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Full text of "Grundriss der differnetial- und integral-rechnung .."

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GRÜNDRISS 



der X..-. 



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«• • * 






I. Theil: Differential -ßecliiiTmg. 

Von 

Dr. M. Stegemann, 

weiL Professor an der technischen Hochschule zu Hannover. 

Sechste vollständig rangearbeitete und vermehrte Auflage 

mit 154 Figuren im Texte, 

herausgegeben 



von 



Dr. Ludwig Kiepert, 

Professor der Mathematik an der technischen Hodischnle zn Hannover. 




Hannover 1892. 

Helwing'sche Verlagsbuchhandlung. 



Alle Rechte vorbehalten. 



\ 



Vorrede 2:ur ersten Auflage. 



Bei der Bearbeitung der vorliegenden Schrift habe ich ge- 
sucht, neben der Forderung wissenschaftlicher Strenge vor allen 
Dingen der didaktischen Forderung möglichster Fasslichkeit zu 
genügen. 

In Betreff der speciellen Ausfuhrung bemerke ich, dass 
ich mich bemüht habe, die Einsicht in den Gang der analytischen 
Untersuchung durch graphische Darstellungen zu erleichtem, 
und femer, dass ich bei schwierigen oder wichtigen Stellen die 
Entwickelung der allgemeinen Theorie durch Erörterung eines 
speciellen Falles eingeleitet habe. 

Die grosse Anzahl von Beispielen und Anwendungen in 
jedem Capitel, sowie die gelegentlichen Bemerkungen sind zu- 
nächst für solche Leser bestimmt, welche durch Selbst- Studium 
sich in der Wissenschaft weiter ausbilden und mehr befestigen 
wollen; indess dürften sie auch dem Lehrer ein Mittel bieten, 
um seine Schüler zur freien Selbstthätigkeit anzuregen. 

In Betreff der äusseren Ausstattung ist die Verlagshandlung 
sowohl wie die Drackerei allen meinen Wünschen bereitwillig 
entgegengekommen. 

Hannover, den 1. August 1862. 

M. Stegemann. 



Vorrede zur fünften Auflage. 



Als d^m Unterzeicbneten der Auftrag ertheilt wurde, die 
neue Auflage dieses Werkes herauszugeben, ahnte er noch nicht, 
dass Aenderungen in so weitem Umfange nothwendig sein würden. 
Erst bei der Bearbeitung überzeugte er sich davon, dass sehr 
viele Lücken auszufüllen und zahlreiche Irrthümer, die sich in 
den früheren Auflagen befinden, richtig zu stellen waren. 

Neben den angedeuteten Mängeln besass aber das Buch von 
Stegemann doch auch grosse Vorzüge, welche namentlich in 
der leicht fasslichen Darstellung liegen, und welche durch den 
verhältnissmässig schnell erfolgten Absatz von vier Auflagen 
bestätigt werden. 

Der Herausgeber hat sich bemüht, diese Vorzüge nach 
Möglichkeit beizubehalten, ohne die wissenschaftliche Strenge und 
Gründlichkeit ausser Acht zu lassen. Das Buch hat demnach 
den Zweck, den Anfönger, — mag er nun an der Universität, 
an der technischen Hochschule oder an irgend einer anderen 
Bildungs-Anstalt studiren, an der höhere Mathematik getrieben 
wird, — auf möglichst bequeme Weise mit den wichtigsten 
Sätzen und Auj^aben der Differential -Rechnung vertraut zu 
machen. Auch zum Selbst-Studium ist das Buch seiner ganzen 
Anlage nach geeignet. 

Für die Abgrenzung des Stoffes waren dem Herausgeber 
im Grossen und Ganzen seine eigenen Vorträge an der tech- 
nischen Hochschule in Hannover massgebend. Da die für diese 
Vorträge verfugbare Zeit eine beschränkte ist, so war dadurch 
auch für den Umfang des Buches ein Rahmen gegeben, so dass 



VI Vorrede. 

der Inhalt nicht so erschöpfend sein konnte wie z.B. bei Lehr- 
büchern der Differential-Rechnung hervorragender französischer 
Mathematiker. 

Aber diese Beschränkung ist vielleicht gerade ein wesent- 
licher Vorzug, weil die Fälle des Stoffes den Anfanger häufig 
mehr verwirrt und abschreckt als fördert. Der vorliegende 
Leitfaden soll daher eine feste und sichere Grundlage bieten, 
welche dem Techniker genügen, dem Mathematiker aber eine 
nützliche Vorbereitung zu weitergehenden Studien sein wird. 

Als Anhang ist eine Tabelle der wichtigsten Formeln hin- 
zugefügt, welche einerseits die Anwendungen sehr erleichtert, 
andererseits aber ein durch langjährige Erfahrung erprobtes 
Hülfsmittel bei Repetitionen ist. 

Dem Herrn Verleger spricht der Herausgeber hierdurch 
seinen verbindlichsten Dank aus fär das liebenswürdige Entgegen- 
kommen, das allen seinen Wünschen entgegengebracht worden ist. 

Hannover, im Juli 1887. 

L. Kiepert. 



Vorrede ztit sectisteii Auflage- 



Die freundliche Aufiiahme, welche die fünfte Auflage in 
weiten Kreisen geftinden hat, war für den Herausgeber ein An- 
trieb, bei der Bearbeitung der neuen Auflage mit grösster Sorg- 
falt die hervorgetretenen Mängel zu beseitigen und die vor- 
handenen Lücken auszufüllen. Den Herren Lampe, von Man- 
goldt, Franz Meyer, Runge und Voss, welche dabei den 
Herausgeber durch werthvoUe Winke unterstützt haben, sei 
hierdurch der verbindlichste Dank ausgesprochen. 

Durch die angedeuteten Verbesserungen hat das Buch an 
Umfang und Inhalt wesentlich zugenommen ; namentlich sind die 
geometrischen Anwendungen vermehrt worden, auch hat eine 
kurzgefasste Darstellung der Determinanten- Theorie Aufiiahme 
gefunden. Die Figuren sind sämmtlich neu gezeichnet worden, 
ihre Zahl ist von 66 auf 154 gewachsen. 

Mit Rücksicht darauf, dass das Buch auch vielfach von 
Studirenden der Mathematik benutzt worden ist, schien es 
zweckmässig, noch mehr Gewicht auf wissenschaftliche Strenge 
zu legen, als es in den früheren Auflagen geschehen war. Da 
aber die elementare Art der Behandlung darunter nicht leiden 
sollte, so war es nicht immer ganz leicht, den richtigen Mittel- 
weg zu finden. 

Durch die mühsame Umarbeitung und die erhebliche Er- 
weiterung des Buches ist die Drucklegung etwas verzögert 
worden. Der Herausgeber ist der Verlagsbuchhandlung für die 



vm Vorwort. 

Nachsicht, die ihm dabei gewährt worden, und für das bereit- 
willige Entgegenkommen, das er bei allen seinen Wünschen 
gefunden hat, zu aufrichtigem Danke verpflichtet. 

Schliesslich sei noch mit bestem Danke die gütige Mitwirkung 
des Herrn Petzold bei dem Lesen der Correctur hervorgehoben. 

Hannover, den 15. November 1892. . 

L Kiepert. 



Inhalts -Verzeichniss. 



Einleitung. g^.^ 

§ 1. Begriff und EintheiluBg der Functionen 1 

§ 2. Geometrische Darstellung der Functionen 12 

§ B. Functionen von mehreren Veränderlichen 15 

§ 4. Begriff der Grenze 16 

§ 5. Das unendlich Kleine und das unendlich Grosse 21 

§ 6. Ueber die Rechnung mit unendlich kleinen Grössen .... 25 

§ 7. Verschiedene Oi^dnungen der unendlich kleinen Grössen. . . 27 

§ 8. Begriff der Stetigkeit . 36 

Hülfsaätae aus der algebraischen Analysis. 

§ 9. Der binomische Lehrsatz für positive ganzzahlige Exponenten 51 

§ 10. Geometrische Progressionen 58 

§ 11. Erklärung der Zahl t 60 

Differential-Bechnung. 

Erster Theil. 
Functionen von einer unabhängigen Veränderlichen. 

I. Abschnitt. 
Erklärung nnd Bildung der DHferential-Quofienten. 

§ 12. Bildung des Differential -Quotienten einer stetigen Function 

2/=/W 69 

§ 13. Geometrische Deutung des Differential-Quotienten ..... 73 

§ 14. Einige Lehrsäte» über Differential-Quotienten 76 

§ 15. Differentiation der ganzen rationalen Functionen 78 

§ 16. Üebungs-Beispiele 81 

§ 17. Differentiation einer Potenz mit negativem ganzzahligen 

Sxpon^iten 82 

§ 18. Differentiation der logarithmischen Function /(a:) = log« . , 83 



X Inhalts-Verzeichniss. 

S«ite 

§ 19* Differentiation der trigonometrischen Funcüonen sin o; im 85 

§ 20. Differentiation der trigonometrischen Functionen tg x und ctgo; 86 

§ 21. Differentiation der Producte und Quotienten 88 

II. Abschnitt 

Funetionen^von Functionen. 

§ 22. Differentiation einer Function von der Form /(w) .... 99 

§ 23. Uebungs-Au%aben 102 

§ 24. Differentiation inverser Functionen, insbesondere der cyklo- 

metrischen Functionen und der Function a» 104 

§ 25. Uebungs-Beispiele 108 

IIL Abschnitt. 

AbleHttngen und Differentiale liöiierer Ordnung. 

§26. Ermittelungen von /(♦») (a;) 114 

§ 27. Uebungs-Beispiele 117 

IV. Abschnitt. 

Herleitung und Anwendungen der Taylor'schen und der Mac-Laurin'schen Reiiie. 

§ 28. EntwiekeLung einer ganzen rationalen Function f{x'\-hYjnSi(:^ 

steigenden Potenzen von h 123 

§ 29. Anwendung auf den binomischen Lehrsatz für positive ganz- 
zahlige Exponenten 127 

§ 30. Verallgemeinerung der gegebenen Entwickelungs-Methode . 128 
§ 31. Bestimmung des Bestgliedes der Tayibr'schen Reihe nach 

Lagrange 132 

§ 32. Die Jfac-Xaurin^sche oder jS^tVZm^'sche Reihe 141 

§ 33. Entwickelung der Functionen e* und a« 141 

§ 34. Entwickelung der Functionen sino; und coso; 144 

§ 35. Berechnung von Tafeln für die Functionen sin^r und cos^c . 147 

§ 36. Andere Formen des Restgliedes .' . 150 

§ 37. Der allgemeine binomische Lehrsatz 157 

§ 38. Der Logarithmus 167 

§ 39. Berechnung der natürlichen Logarithmen 170 

§ 40. Partes proportionales 177 

§ 41. Methode der unbestimmten Coefi&cienten 179 

§ 42. Entwickelung der Function arctgo; nach steigenden Potenzen 

von X , 181 

§ 43. Berechnung der Zahl n durch Anwendung der Entwickelung 

von arctg« 182 

§ 44. Entwickelung der Function arcsin^i; nach steigenden Potenzen 

von X 187 



Inhalts- Verzeidmiss. XI 

V. Abschnitt. 

Convergenz der Reihen. Seite 

§ 45. Erklärungen und vorbereitende Beispiele 189 

§ 46. Reihen mit lauter positiven Gliedern 192 

§ 47. Beihen mit positiven und negativen Gliedern 206 

§ 48. Bedingte und unbedingte Convergenz «... 210 

§ 49. Multiplication der Reihen 214 

§ 50. Convergenz der Potenzreihen 216 

§ 51. Convergenz der periodischen Reihen 218 

VI. Abschnitt. 

Maxima und Minima von eniwiciceHen Functionen einer Veränderliclien. 

§ 52. Bedingungen, unter denen ein Maximum oder Minimum ein- 
treten kann 223 

§ 53. Aufgaben 229 

§ 54. Entscheidung über das Erutreten eines Maximums oder Mini- 
mums durch Untersuchung der höheren Ableitungen . . . 234 

§ 55. Anwendungen 240 

§ 56. Vereinfachungen der Rechnung, wenn f^{x) eine gebrochene 

Function ist 244 

§ 57. Aufgaben 245 

Vn. Abschnitt. 
Bestimmung von Ausdrücicen, welclie an der Grenze eine der unbestimmten Formen 

^, g., 0.00, 00 — 00, 0«, «0, 1« liaben. 
00 

§ 58. Ausdrücke von der Form ^ 269 

§ 59. Uebungs-Beispiele 272 

§ 60. Ausdrücke von der Form ^ 275 

§ 61. Uebungs-Beispiele 278 

§ 62. Ausdrücke von der Form O.oo .280 

§ 63. Uebungs-Beispiele 281 

§ 64. Ausdrücke von der Form oo — co 283 

§ 65. Uebungs-Beispiele 284 

§ 66. Ausdrücke von der Form 0», aoO, 1«* 286 

§ 67. Uebungs-Beispiele 286 

§ 68. Zusammentreffen unbestimmter Formen 290 

Vm. Abschnitt. 

Differentiation der nicht entwiclcelten Functionen. 

§ 69. Differentiation einer Function von der Form F{uy t?) . . . 293 
§ 70. Herleitung der allgemeinen Regel fiir die Differentiation der 

nicht entwickelten Functionen 298 



XII luhalts-Yerzelchiiiss. 

S«it« 

§ 71. Uebungs-Beispiele 301 

§ 72. Ableitungen höherer Ordnung 303 

§ 73. Uebungs-Beispiele 303 

§ 74. Anwendung auf die Theorie der Maxima und Minima von 

nicht entwickelten Functionen einer Veränderlichen .... 306 

§ 75. Uebungs-Beispiele 308 

IX. Abschnitt. 

Vertausdiiing der Abhängigkeit to veriatoiiciMn Grössen. 

§ 76. Bildung der Gbrössen p und q, wenn x und y Functionen von 

t sind 311 

§ 77. Uebungs-Beispiele 313 

§ 78. Behandlung des Falles, in welchem y die unabhängige Ver- 
änderliche wird 317 

§ 79. Uebungs-Beispiele 319 

X. Abschnitt. 

Untersudiung von Curven, die auf ein reciitwinliiises CoonHnafen- System 

imzogen sind. 

§ 80. Tangenten und Normalen 321 

§ 81. Anwendung auf einzelne Curven 323 

§ 82. Asymptoten einer Curve 343 

§ 83. Anwendungen auf einzelne Curven 353 

§ 84. Ooncavität, Convezität, Wendepunkte . 362 

§ 85. Anwendungen auf einzelne Curven 367 

§ 86. Berührung (oder Osculation) n^ Ordnung 373 

§ 87. Anwendungen auf eLozehie Curven 375 

§ 88. Krümmung der Curven 381 

§ 89. Anwendungen auf einzehie Curven 384 

§ 90. Die Ejrümmungsmittelpunkts-Curven oder Evoluten .... 394 

§ 91. Anwendungen auf einzehie Curven 399 

XI Abschnitt. 

Untersucliung von Curven, die auf ein Poiarcoordinaten-System Itezogen sind. 

§ 92. Tangenten und Normalen 410 

§ 93. Anwendungen auf einzelne Curven 414 

§ 94. Krümmungskreis und Krümmungsmittelpunkts-Curven . . 422 

§ 95. Anwendungen auf einzelne Curven 423 

XII. Abschnitt. 

Tlieorie der Determinanten. 

§ 96. Einleitung 429 

§ 97. Bildung einer Determinante n*^ Ordnung aus n^ Elementen 431 



Inhalts-VerzeiGlmiss. ^1^1 

Seit« 

§ d8. Einige Sätze aus der Permutatioiislehre ........ 432 

§ d9. Eigenschafben der Determinanten 436 

§ 100. Zerlegung der Determinanten 440 

§ 101. Anwendung auf die Auflösung von n linearen Gleichungen 

mit n Unbekannten 445 

§ 102. Vereinfachungen bei Ausrechnung der Determinanten. . . 447 

§ 103. Mrdtlplication der Determinanten 450 

§ 104. Homogene, lineare Gleichungen mit n Unbekannten . . . 453 

§ 105. Anwendungen auf einzelne Aufgaben 454 



Zweiter Theil. 

Functionen von mehreren unabhängigen Veränderlichen. 

XTTT. Abschnitt. 

DHferentiaiion der Functionen von mehreren von Einander unabhängigen 

VerSnderltelwn. 

§ 106. Differentiation einer Function von zwei von einander un- 
abhängigen Veränderlichen 460 

§ 107. Aufgaben 464 

§ 108. Differentiation der Functionen von mehreren von einander 

unabhängigen Veränderlichen 465 

§ 109. Wiederholte Differentiation einer Function von mehreren 

Veränderlichen 469 

§110. Uebungs-Aufgaben 472 

§ 111. Vollständige Differentiale höherer Ordnung 473 

§ 112. Nicht entwickelte Functionen einer Veränderlichen, gegeben 

durch simultane Gleichungen 480 

XIV. Abschnitt. 

Anwendungen auf die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes. 

§ 113. Bestimmung der Tangenten und der Normalebenen bei einer 

Ourve im Räume 483 

§ 114. Uebungs-Aufgaben 486 

§ 115. Tangenten und Tangential-Ebenen an eine beliebige krumme 

Fläche 489 

§ 116. Uebungs-Aufgaben 493 

§ 117. Theorie der Enveloppen 495 

§ 118. Uebungs-Aufgaben 499 

§ 119. Doppelpunkte und isolirte Punkte 506 

§ 120. Uebungs-Au%aben 511 

§ 121. Mehrfache Punkte 515 

§ 122. Spiteen oder Rückkehrpunkte 517 



XIV Inhalts- Verzeichniss. 

XV. Abschnitt. 

HerleHung und Anwendungen der Taylor'schen Reibe für Functionen von melvoroR 

VerSnderliclien. seiu 

§ 123. Die Taylor^scke Reihe für Functionen von mehreren Ver- 
änderlichen 522 

§ 124. Homogene Functionen 525 

§ 125. Maxim a und Minima der Functionen von zwei Veränderlichen 532 

§ 126. Geometrische Deutung der vorhergehenden Untersuchungen 539 
§ 127. Maxima imd Mininnn. der Functionen von drei oder mehr 

unabhängigen Veränderlichen 543 

§ 128. Aufgaben 548 

§ 129. Maxima und Minima mit Nebenbedingungen 554 

§ 130. Aufgaben 558 

XVI. Abschnitt. 

Tiieorie der complexen GrSssen. 

§ 131. Erklärung der complexen Grössen 568 

§ 132. Einige Sätze über complexe Grössen. Moivre'ach.e Formeln 571 

§ 133. Geometrische Darstellung der complexen Grössen .... 574 

§ 134. Vier Sätze über die absoluten Beträge 579 

§ 135. Unendliche Reihen nüt complexen Gliedern 581 

§ 136. Functionen einer complexen Veränderlichen , 583 

§ 137. Zusammenhang der Exponential-Function mit den trigono- 
metrischen Functionen 585 

§ 138. Logarithmen der complexen Grössen 590 

§ 139. Zusammenhang der Functionen Ix und arctga: 591 

§ 140. Auftreten complexer Wurzeln einer Gleichung 592 



Tabelle der wichtigsten Formeln aus der Differential-Bechnung . . 594 



Einleitung. 



§1. 

Begriff und Eintheilung der Functionen. 

Erklärung. Eine Grösse heisst variabel oder veränderlichj 
wenn sie im Verlaufe derselben Untersiu:hung nach und nach 
verschiedene Werthe annehmen darf; eine Grösse heisst dagegen 
constant oder unveränderlich^ wenn sie im Verlaufe derselben 
Untersuchung denselben Werth beibehält. 

Die unveränderlichen Grössen werden gewöhnlich mit den 
ersten Buchstaben des Alphabets, also mit 

a^ Oj c, • • • , 
oder mit 

oder mit 

«, /^, r, . . . 

bezeichnet. Zum Unterschiede davon werden die veränderlichen 

Grössen gewöhnlich mit den letzten Buchstaben des Alphabets, 
also mit 

^> y> ^? 

oder mit 



w, ü, w^ 



oder mit den x^ y, z entsprechenden griechischen Buchstaben 

bezeichnet. 

Man kann den Werth einer (veränderliclien oder unver- 
änderlichen) Grösse auch durch die Lage von Punkten auf einer 
geraden Linie geometrisch darstellen, wenn auf derselben ein 

Stegemann- Kiepert, Diflferential-Hecliiiung. \ 



2 § 1. Begriff und Eintheilung der Functionen. 

fester Punkt als Anfangspunkt gegeben ist. Sind z. B. in 
Figur 1 die Strecken 

OÄ = a, OP— X, OB = J, 

Fig. 1. ? > ? 

SO entsprechen die Punkte A, P, B 
*-* ■ ""^ — den Werthen a, x, b. Die Massein- 
heit, durch welche dabei die Strecken 
gemessen sind, ist beliebig; dagegen muss man festsetzen, dass 
die Punkte auf der einen Seite des Anfangspunktes 0, z. B. auf 
der rechten Seite von 0, positicen Zahlwerthen entsprechen; 
dann müssen alle Punkte, welche negaticen Zahlwerthen ent- 
sprechen, auf der anderen Seite von liegen. 

Gewöhnlich denkt man sich x in der Weise veränderlich, 
dass X alle Werthe zwischen zwei constanten Werthen a und b 
annehmen kann. Der Punkt P, welcher x entspricht, durch- 
läuft dann in Figur 1 die Strecke von A bis B, Deshalb sagt 
man in diesem Falle: x durchläuft das Intervall von a bis b. 
Wenn a gleich — oo und J = + oo wird, so darf die Veränder- 
liche X alle Werthe zwischen — oo und + oo annehmen, und 
der Punkt P durchläuft die ganze unbegrenzte gerade Linie. 

Wenn man zwischen zwei veränderlichen Grössen x und y 
eine Gleichung aufetellt, so sind diese beiden Grössen dadurch in 
eine gegenseitige Abhängigkeit gebracht, und zwar so, dass die eine 
Grösse, z. B. y, nur einen oder mehrere ganz bestimmte Werthe 
haben kann, sobald der Werth der anderen veränderlichen 
Grösse x gegeben ist. Es sei z. B. 

(1.) y = a:2 + 3;r — 2, 

dann wird y = + 8, wenn x = — 5, 

y = + 2, „ ar = — 4, 

y ■= 2, „ a; = 3, 

y = — 4, „ a: = — 2, 

y = — 4, „ X — — 1, 

y = — 2, „ a;= 0, 

y = + 2, „ X- + 1, 

y = + 8, „ a: = + 2, 



Hätte man in der Gleichung (1.) beliebige Werthe für y ange- 
nommen, so wären dadurch die entsprechenden Werthe von x 



§ 1. Begriff und Eintheilung der Functionen. ä 

ebenfalls bestimmt gewesen. Weil aber die Grieichung (1.) in 
Bezug auf x vom zweiten Grade ist, so entsprechen jedem be- 
liebigen Werthe von y zwei Werthe von x. So sind z. B. dem 
Werthe 

y = +2 

die beiden Werthe 

zugeordnet. Die veränderliche Grösse a-, deren Werthe man be- 
liebig annimmt, nennt man die unabhängige Veränderliche oder 
das Argument ; die andere veränderliche Grösse y dagegen nennt 
man die abhängige Veränderliche oder die Function der ei*steren. 

In der Gleichung (1.) wurde also zuerst x als die unab- 
hängige Veränderliche und y als eine von x abhängige Veränder- 
liche, d. h. als eine Function von x betrachtet. 

Gewöhnlich ist das Gesetz der Abhängigkeit zwischen einer 
Function y und der unabhängigen Veränderlichen x durch eine 
Gleichung zwischen x und y gegeben. Ganz allgemein kann 
man aber den Begiiff der Function in folgender Weise erklären : 

Fine veränderliche Grösse y heisst eine Function einer an- 
deren veränderlichen Grösse x in dem Intervalle von x^= a bis 
X = bj wenn jedem Werthe von x in diesem Intervalle ein Werth 
(oder mehra^e WertheJ von y nach ei?iem bestimmten Gesetze 
zugeordnet sind. 

So ist z. B. der Umfang eines Ki'eises eine Function von 
dem Halbmesser des Kreises. Dasselbe gilt vom Flächeninhalt 
des Kreises. Diese Functionen können, auch durch die Glei- 
chungen 

y = 2x7r, y = x^TT 

dargestellt werden. 

Ebenso sind Oberfläche und Volumen einer Kugel Func- 
tionen von dem Halbmesser der Kugel, welche bezw. durch die 
Gleichungen 

y = 4:X^7r, y = — — 

dargestellt werden. 

Bei diesen Beispielen war der Halbmesser als eine verän- 
derliche Grösse betrachtet worden. Lässt man aber den Halb- 



4 § 1. Begriff und Eintheilung der runctionen. 

messer unveränderlich^ SO kann man die Sehne, das Segment und 
den Sector des Kreises als Functionen des zugehörigen Centri- 
winkels ansehen. 

Femer ist die Intensität des Lichtes eine Function von der 
Entfernung des leuchtenden Punktes ; die Spannkraft des Dampfes 
ist eine Function seiner Temperatur; die Geschwindigkeit eines 
fallenden Körpers ist eine Function der Fallzeit; die Schwin- 
gungsdauer bei einem Pendel ist eine Function seiner Länge, 
u. s. w. 

Wie schon oben erwähnt wurde, kann man die Abhängig- 
keit der Function von der unabhängigen Veränderlichen häufig 
durch eine Gleichung ausdrücken. Demnach sind z. B. folgende 
Ausdrücke Functionen von x\ 

y = a:2 + 3a: — 2, y = ^x^ — Ix^ + 2x— 11, 

_2£— J. _ 1 3.r + 4 

^~ar + 3' ^"^ X x^ + x' 



2 



,/ — X + y «2 — ^"i 

y = yx, y = ' 

X — y a^ — x^ 

y = sinar, y = cosa:, 

y = tga;, y — ctga:, 

y = log.r, y = log(sina:), 

y = a«=, y = J* + J-a=, 

y :=^ a^ -{- h cosa: — cx^. 

Ist die Abhängigkeit zwischen x und y durch eine nach y 
aufgelöste Gleichung gegeben, wie das in den soeben erwähnten 
Beispielen geschehen ist, so nennt man y eine entwickelte (oder 
explicite) Function von x. 

Ist dagegen die Gleichung zwischen x und y nicht nach y 
aufgelöst, so nennt man y eine unentwickelte (oder implicite) 
Function von x. Durch die Gleichungen 

xy'^ — 3a:2y2 _|. ^2x^ — b)y — x^ = 0, 
yi _ ^xy + 4a:2 — 7a: + 3 = 0, 
y* — COSa: + a:** + 7 = 
ist z. B. y als unentwickelte Function von x gegeben. 



§ 1. Begriff und Eintheilung der Functionen. 5 

In vielen Fällen ist es möglich, y als eine entwickelte Func- 
tion von X darzustellen, obgleich y als eine unenttmckelte Func- 
tion von X gegeben ist. Aus 



folgt z. B. 

und aus 
folgt 



yi _ ^xy + 4a;2 — 7ii; + 3 = 

y = 2x±Ylx — ^\ 

y* — COS:r + :k« + 7 = 



y = ]/^cosa: — af^ — 7. 

Will man andeuten, dass y eine entmckeUe Function von x 
ist, so schreibt man gewöhnlich 

y =f{x)^ oder y = F{x\ oder y = q){x\ oder y = (l>{x). 

Hat man es mit mehreren Functionen zu thun, die man 
von einander unterscheiden wiU, so geschieht dies durch Indices, 
indem man schreibt 

/iWj M^)^ M^)^ '"fn{x). 

Will man andeuten, dass y eine unentwickelte Function von 
X ist, so schreibt man gewöhnlich 

f{x, y) = 0, oder I{x, y) = 0, oder y(a?, y) = 0. 

Man denkt sich dabei die Gleichung zwischen x und y so 
umgeformt, dass auf der rechten Seite nur stehen bleibt. 

/ Aus den angeführten Beispielen erkennt man auch, dass 
jedem Werthe der unabhängigen Veränderlichen x nicht immer 
nur ein Werth der Function y entspricht, sondern dass häufig 
jedem Werthe von x mehrere Werthe von y zugeordnet sind. 
Demnach muss man eindeutige und mehrdeutige Functionen 
miterscheiden. 

In einer Gleichung zwischen x und y wurde bisher x als 
diejenige Veränderliche angesehen, deren Werth man beliebig 
annehmen durfte. Mit demselben Rechte kann man aber auch 
y als die unabhängige und x als die abhängige Veränderhche be- 
trachten. Das giebt den Satz; 

Wenn y durch eine Gleichu?ig als eine entwickelte oder un- 
entwickelte Minction von x gegeben ist, so ist auch x eine Func- 



6 § 1. Begriff und Eintheilung der Functionen. 

tion von y, oder mit anderen Worten: Die durch eine Gleichung 
gegebene Abhängigkeit zwischen zwei veränderlichen Grössen x 
und y ist eine gegenseitige. 

Daraus ergiebt sich auch die Erklärung solcher Functionen, 
welche aus bereits bekannten Functionen durch Vertauschung 
der abhängigen mit der unabhängigen Veränderlichen, d. h. 
,,durch Umkehrung der Functionen^^ hervorgehen. 

Es sei 
(2.) y=J-, 

dann kann auch x als eine Function von y betrachtet werden, 
und zwar wird diese Function der ^^Logarithmus^^ von y mit 
der Basis b genannt. Dies giebt die Gleichung 

(2a.) a; = logy; 

gleichzeitig folgt hieraus die Erklärung: Der Logarithmus einer 
Zahl y ist der Exponent^ zu dem die Basis b erhoben weiden 
muss, damit man y erhält. 

Die Gleichungen (2.) u. (2 a.) sagen also genau dasselbe aus. 

Ein zweites Beispiel liefert die Gleichung 
(3.) y = sina-. 

Es sei aber hier zunächst darauf hingewiesen, dass man in 
der Differentialrechnung bei den trigonometrischen Functionen 

sin AT, COSa:, tga:, ctga: 

unter x nicht einen Winkel, sondern das Verhältniss des dem 
Centriwinkel entsprechenden Kreisbogens zum Halbmesser des 
Kreises versteht. Macht man den Halbmesser der Einheit gleich, 
so ist X die Länge des Kreisbogens. Einem Winkel von 360" 
entspricht also der Bogen 27r, nämlich der Umfang des ganzen 
Kreises mit dem Radius 1, einem Winkel von 1" entspricht da- 
her der Bogen 

und einem Winkel von a® entspricht der Bogen 

an 



180 



= tt. 0,017 453 29. 



§ 1. Begriff und Eintheilung der Functionen. 



In Figur 2 sei deshalb 
MA = 31B = 1, 
dann mitspricht dem Centriwinkel 
AMB oder a der Bogen 



Fig. 2. 



AB — x = 



180* 




Dies vorausgeschickt, ist der Sinn der 

Gleichung (3.) der, dass x der Bogen 

(arcus) ist, dessen Sinus (OB) gleich y wü'd. Dasselbe soll 

auch die Gleichung 

(3 a.) X = arc sin y 

(sprich: X gleich Arcus Sinus y) aussagen, nämlich x ist gleich 

dem Arcus, dessen Sinus gleich y ist. 

In ähnlicher Weise sind die Gleichungen 



a; = arc cos y, 
a; = arc tg y, 
a; = arc ctg y 



(4.) y = cosa; und (4 a.) 

(5.) y =ztgx und (5 a.) 

(6.) y == ctg a: und (6 a.) 

gleichbedeutend. 

Diese Functionen 

arc sin x, arc cos x, arc tg a:, 
welche durch TJmkehrung aus den trigonometrischen Functionen 
abgeleitet werden, heissen cykhmetrische Functionen. 



arc ctga;. 



Die entwickelten Functionen theilt man nun wieder ein in 
algebraische und transcendente Functionen, und zwar ist y eine 
algebraische Function von ^r, wenn y einem Ausdrucke gleich ist, 
welcher aus x und aus constanten Grössen nur durch die ge- 
wöhnlichen algebraischen Operationen, nämlich nur durch Addi- 
tion^ Subtraction^ Multiplication, Division und TVurzelatcsziehung 
gebildet ist. 

Ist dieses nicht der Fall, so ist y eine transcendente Func- 
tion von X. Durch jede der Gleichungen 

(7.) y=:2x^ + S Yx — x^ |/x 

3a;2+7a:— 11 



(8.) 



y = 



2a; + 5 



— 13a: + 9, 



8 § 1. Begriff und Eintheiluiig der Functionen. 



(9.) y = }/ 



2a;2 + 3a; — 8 




a: + 1 1/ yx+ 2 

wird daher y als eine algebraische Function von x erklärt; 

durch jede der Gleichungen 

(10.) y = sina:, y = cosrr, y = tga:, y = ctg2;, 

(11.) y = a*, y = logar, 

(12.) y = 3sin:r + 4cos:c , 

(13.) y = a* +2]/T+a;3 — c 

dagegen wird y als eine trancendente Function von x erklärt. 

Die algebraischen Functionen werden wieder eingetheilt in 
rationale und irrationalcj und die rationalen Functionen werden 
weiter eingetheilt in ganze rationale und in gebrochene ratiofiale 
Functionen. 

1) Die ganzen rationalen Functionen werden am der unab- 
hängigen Veränderlichen x und aus constafiten Grössen nur durch 
die Operationen des Addirens, des Subtrahirens und des Mutti- 
plicirens gebildet, 

(Die Division und die Wurzelausziehung sind also hierbei 
ausgeschlossen.) 

Es ist z. B. 

y = 3:c* — ^x^ + |:c2 _ n^ + | 

eine ganze rationale Function von x, denn sie ist aws x und den 
Constanten Grössen 3, ^, |, 11, | nur durch Addition, Subtrac- 
tion und Multiplication zusanunengesetzt. 

Bemerknngr. 

Da hierbei die Brüche -|, -f, -f vorkommen, so könnte man glau- 
ben, die Bildung dieser Function widerspräche der soeben angegebenen 
Regel, indem diese Brüche durch Division entstanden seien. 

Dieser Einwand ist aber deshalb unbegründet, weil die Besultate 
dieser Division selbst wieder constante Grössen sind, die man bei der 
Bildung einer ganzen rationalen Function beliebig verwenden darf. 

Femer ist zu beachten, dass die Potenzen von x, also 

•V ""^ XSvf X ^^~ XXXy X/ ^■~' XXSvXj ... 

durch MultipHcation entstanden sind, so lange der Exponent eine posi- 
tive, ganze Zahl ist. 



§ 1. Begriff und Eintheilaiig der Functionen. 9 

Die Function 

y = aa: + a^ 
heisst eine ganze rationale Function ersten Grades^ weil x (ohne 
dass Klammern auftreten) nur in der eraten Potenz vorkommt. 
Ebenso heisst 

y = ax^ + a^x + «2 
eine ganze rationale Function zweiten Grades, 

y = ax'^ + a^x'^ + (^i^ + 0.3 
eine ganze rationale Function dritten Grades, 

y = ax^ + aja:'*"^ + a.jaf^-^ + ... + «n-i ^ + «n 
eine ganze rationale Function w^** Grades, weil (ohne dass Klam- 
mem auftreten) die höchste Potenz von x, welche vorkommt, 
a:** ist. 

Die Gleichung 

y = öa:« + a^a;**-^ + aj^"^ + ... + an~\x + a« 
giebt auch diejenige Form an , auf welche jede ganze rationale 
Function gebracht werden kann, wenn man sämmtliche Klam- 
mem auflöst. Ist z. B. 

y = (2ar2— 3a:+ll)(3a:— 5)+a:[(2a;+3)(a:+2)+(a:— 1) (a'+l) — 7], 

so findet man, indem man alle Klammem auflösst und die 
Glieder mit gleichen Potenzen von x vereinigt, 

y = 6^:3 — 19^:2 + 48a: — 55 -f ir [(2a;2 + 7a?-f6)+ (a;2 — 1) — 7] 
= 9a:3 _ i2a;2 + 46a: — 55. 

/ Dieses Verfahren fährt immer zum Ziele, wie auch die 
Function durch Addition, Subtraction und Multiplication gebildet 
sein mag, wenn nur die Anzahl der angewendeten Operationen 
eine endliche ist Unter dieser Voraussetzung kann man näm- 
lich zunächst die innersten Klammem auflösen, d. h. diejenigen 
Klammerausdrücke, in denen keine weiteren Klammem stehen, 
und in den gefundenen Resultaten die Glieder vereinigen, welche 
mit gleichen Potenzen von x multiplicirt sind. Indem man dieses 
Verfahren fortsetzt, kann man nach und nach alle Klammem 
auflösen, die Glieder mit gleichen Potenzen von x vereinigen und 
nach fallenden Potenzen von x ordnen. 

Um anzudeuten, das y eine ganze rationale Function von x 
ist, schreibt man 

y = ^(^)j ^der y = G(x). 



^Ö § 1. Begriff und Eintheilung der Functionen. 

2) Die gebrochenen rationalen Functionen werden aus der 
unabhängigen Vei*änderlicheti x und aus constauten Grössen ge- 
bildet durch Addition j Subtraction^ MuUiplication und Division, 

So sind z. B. 

ax*^ — b 

_1 Ix 

^ " X 2a: — 3' 

5a: + 2 "*" 3a: — 4 

y= 1 3^^ 

2a: 2a: + 5 

gebrochene rationale Functionen von x. Hier tritt also zu den 
Operationen, welche bei der Bildung von ganzen rationalen 
Functionen zulässig waren, noch die Division hinzu. Wie oft 
aber auch die Division bei der Bildung einer gebrochenen ratio- 
nalen Function verwendet sein mag, es lässt sich die Function 
immer so umformen, dass bei ihrer Bildung nur eine einzige 
Division vorkommt. Es gilt nämlich der Satz: 

Jede gebrochene rationale Function lässt sich darstellefi ah 
Quotient von zwei ganzen rationalen Functionen^ d. h. es lässt 
sich jede gebrochene rationale Function auf die Form 

ax^ + a^a:*»""* + ... 4- an^\x + öJn 

^ "" J^*» + Jia:"»-^ + ... + b,n-\x + 6« 

biingen. 

f Der Beweis dieses Satzes folgt dai^aus, dass man Brüche 
addirt oder subtrahirt, indem man sie auf gleichen Nenner bringt 
und die Zähler addirt oder subtrahirt, dass man femer Brüche 
mit einander multiplicirt, indem man Zähler mit Zähler und 
Nenner mit Nenner multiplicirt, und dass man endlich Brüche 
durch einander dividirt, indem man den Divisor umkehrt mid 
dann multiplicirt. Alle diese Operationen liefern, wenn sie auf 
Quotienten von ganzen rationalen Functionen angewendet werden, 
als Endresultat wieder den Quotienten von zwei ganzen rationalen 
Functionen. 

Führt man also bei der Bildung einer gebrochenen rationa- 
len Function alle Additionen, Subtractionen, Multiplicationen und 



§ 1. Begriff und Eintlieiluiig der FunctionezL H 

Divisionen in der gehörigen Reihenfolge wii'klich aus, indem 
man immer nur mit Brüchen opeiirt, welche schon die vor- 
geschiiebene Foim haben, so kann man schliesslich die Function 
selbst auf diese vorgeschiiebene Form bringen. 

Es ist z. B. 

2x — S . Sx — 2 

+ 



X 1 X + 1 , _ 

y= ^ +7x 

X — 2 
5x^ — 6a; — 1 



X 



x — 2 

bx'^ — 6x—l x — 2 



xP- — 1 X 

5:i;3— 16a:2+ \\x-\- 2 



•^Ix 



X^ X 



+ Ix 



7x^ + 5a:3 _ 2Bx^ + Ux + 2 



X^ — X 



Bekanntlich ist 






deshalb sind Potenzen von x mit negativen ganzzahligen Expo- 
nenten auch gebrochene rationale Functionen von x. 
^ Um anzudeuten, dass y eine (ganze oder gebrochene) ratio- 
nale Function von x ist, schreibt man gewöhnlich 

y = It{x). 

3) Die irrationalen Functionen werden aus der unabhängigen 
Veränderlichen x und aus constanten Grössen gebildet durch Ad- 
dition^ Subtraction, MuÜiplication^ Division und Wurzelausziehung - 

Hier tritt also noch die Wurzelausziehung hinzu. 

Durch die Gleichungen 



12 § 2. Geometrische Darstellang der Functionen. 

y = J/2a:2— 7 = {2x^ — 7)t, 



_ Yx — 3 |/2a:2 _ 3;g 4. 5 

werden also irratiofiale Functionen erklärt. Man erkennt aus 
diesen Beispielen, dass Potenzen von x mit gebrochenen (posi- 
tiven oder negativen) Exponenten irrationale Functionen von x 
sind, denn es ist 

Bemerkung, 

Bei dieser Eintheilang der Fanctionen handelt es sich nur um ent- 
wickelte Functionen; nimmt man aber die unentwickelten Functionen 
hinzu, so erweitert sich der Begriff der algebraischen Functionen, und 
zwar heisst dann y eine algebraische Function von x, wenn y die VITurzel 
einer Gleichung von der Form 

Oo{x) . y^ + Gdx) • y'*-^ + . . . -h On-\(x) • y+Gn(x) = 

ist, wobei Goix), G\{x\ ... Gn-\{x), Gn(x) sämmtlich ganze rationale 
Functionen von x sind. Vorläufig können aber solche algebraische 
Functionen übergangen werden. 



§2. 

y. Geometrische Darstellung der Functionen. 

Von dem Verlaufe einer Function kann man sich auf zwei- 
fache Weise eine Vorstellung machen, erstens durch eine Tabelle 
und zweitens durch eine Figur. 

Solche Tabellen sind z. B. füi* die Fimctionen log^-, 
log (sin ä;), log(cos:c},.. . hergestellt und zwar in der Weise, 
dass in der einen Colonne die verschiedenen Werthe von x und 
in der anderen Colonne die zugehörigen Werthe von y stehen, 
z. B. 



§ 2. Geometrische Darstellung der Functionen. 

y = \0%x 



13 



X 



1 
2 
3 
4 





0,3010300 
0,4771213 
0,602 0600 




Das andere Mittel bietet die analytische Geometrie. Sind 
nämlich in einer Ebene zwei sich schneidende gerade Linien OX 
und OY gegeben (Fig. 3), und legt man durch einen beliebigen 
Punkt P die Gerade RP parallel zu OX und die Gerade QP 
parallel zu F, so erhält man ein Pa- 
rallelogramm Q PJR, in welchem 

OQ^ RP^ X, 
OIt== QP=^y 

die Coordinaten des Punktes Pheissen, 

und zwar nennt man x die Äbsdsse und 

y die Ordinate des Punktes P. Die 

gegebenen Geraden OX und O Y heissen 

die Coordinaten- Axen, und zwar heisst 

OX die Abscissen-Axe oder X-Axe, OY heisst die Ordinaten- 

Axe oder Y-Axe^ und ihre Zusammenstellung heisst ein Parallel- 

Co(yrdinatensystem. Dabei nennt man den Nullpunkt oder 

den Anfangspunkt des Coordinatensystems. 

Durch die Lage des Punktes P sind also seine Coordinaten 
X und y bestimmt ; umgekehrt ist aber auch die Lage des Punlt- 
tes P bestimmt, wenn seine Coordinaten x und y gegeben sind. 
Schneidet man nämlich OQ=^x von aus auf der X-Axe und 
OR = y von O aus auf der Y- Axe ab , so schneiden sich die 
Geraden, welche man bezw. durch R parallel zur X-Axe und 
durch Q parallel zur r--4xe legt, im Punkte P. 

Allerdings ist diese Construction nur dann eindeutig, wenn 
man die eine Seite der X-Axe, z. B. die rechts von als die 
positive und deshalb die andere Seite als die negative festsetzt, 
so dass OQ=^x auf der positiven oder negativen Seite abzu- 
tragen ist, je nachdem x einen positiven oder negativen Werth 



14 



§ 2. Geometrische Darstellung der Functionen. 



hat. Ebenso muss man auf der Y-Axe die eine Seite, z. B. die 
über der X-Axe als die positice und deshalb die andere als die 
negative festsetzen. 

Für viele Untersuchungen ist es am bequemsten, ein „recht- 
vnnkliges^ Coordinatensystem zu Grunde zu legen, bei welchem 
die Coordinaten-Axen sich rechtwinklig schneidea. Das Paral- 
lelogramm OQPR wird dann ein Rechteck. 

Betrachtet man nun x und y als die rechtwinkUgen Coor- 
dinaten eines Punktes, so entspricht jedem Werthepaare dei: eben 
beschriebenen Tabelle ein Punkt. Da man den Untersclued 

zwischen je zwei auf einander fol- 
genden Werthen von x beliebig klein 
machen kann, so wird die Anzahl 
dieser Punkte beliebig gross; auch 
werden im Allgemeinen die auf ein- 
ander folgenden Punkte einander be- 
liebig nahe liegen und dadurch eine 
stetig verlaufende Curve bestimmen, 
welche der Gleichung 

y = f(x) 
entspricht. Ist z. B. 
(1.) y = x^ + Sx- 2, 

so ergiebt sich die Tabelle 



Figr, 4. 





riW 



X 


y 


— 5 


+ 8 


— 4 


+ 2 


— 3 


— 2 


— 2 


— 4 


1 


— 4 





9. 


+ 1 


+ 2 


+ 2 


+ 8 


• . 


• • 



und daraus die in Figur 4 dargestellte Cuive. 



§ 3. Functionen von mehreren Veränderlichen. 15 

Ein zweites Beispiel liefert die Gleichung 

(2.) :r2 + y2 _ 25 = 0, 

oder 

(2 a.) y = ±lA25 — z\ 

Die Curve, welche dieser Gleichung entspricht, ist in Figur 5 
dargestellt. 

Liegt die einer Gleichung zwischen x und y entsprechende 
Curve gezeichnet vor, so kann man zu jedem Werthe von x 
einen zugehörigen Werth von y finden, indem man im Abstände 
X eine Parallele zur F-Axe zieht, welche die Curve in einem 
oder in mehreren Punkten P schneidet. Der Abstand eines 
solchen Punktes P von der X-Axe ist dann ein zugehöriger 
Werth von y. 

Möglicher Weise wird diese Parallele die Curve in gar 
keinem Punkte schneiden. Dies tritt in dem zweiten Beispiele 
ein, wenn x^>2b ist; dann wird nämlich y imaginär. 



§ 3. 

Functionen von mehreren Veränderfichen. 

Besteht eine Gleichung zwischen rfm Veränderlichien x^ y, 
;?, ist z. B. 

2: = 3:r2- Ixy + 112/2, 
so lieisst z eine Function der beiden Veränderlichen x und y, 
weil jedem Werthepaare x^ y ein Werth (oder mehrere Werthe) 
von z nach einem bestimmten Gesetze zugeordnet ist. 

So ist z. B. der Flächeninhalt eines Dreiecks ( ^ | eine 



(f)* 



Function der Grundlinie g und der Höhe h ; das Volumen eines 

— ^j ist eine Function vom Halbmesser r des 

Grundkreises und von der Höhe h. 

Ebenso giebt es Functionen von drei oder mehr Veränder- 
lichen. Das Volumen eines Kegelstumpfes 



16 § 4. Begriff der Grenze. 

ist eine Function der Höhe h und der Halbmesser r^ und r^^ der 
beiden begrenzenden Kreise. 

Die Schwingungszahl einer gespannten Saite ist eine Func- 
tion ihrer Länge, ihrer Dicke und der spannenden Gewichte. 

Die Zinsen, welche ein ausgeliehenes Capital bringt, sind 
eine Function des Capitals, der Zeit und des Zinsfiisses. 

Um anzudeuten, dass y eine Function von n Veränderlichen 
ar^, a:2, ... x^ ist, schreibt man 

y =y (^ij ^2> • • • ^'*)? 
oder 

oder 

y = y>(x^j X2j ... Xn). 

Die Functionen von mehreren Veränderlichen kann man in 
derselben Weise eintheilen wie die Functionen von einei' Ver- 
änderlichen; es giebt also auch hier eindeutige und mehr deutig e^ 
entwickelte und unentwickelte Functionen. 

Die entwickelten Functionen werden eingetheilt in alge- 
braische und transcendente. Dabei unterscheidet man unter den 
algebraischen Functionen je nach ihrer Bildung aus den unab- 
hängigen Veränderlichen und constanten Grössen gerade so wie 
bei den Functionen mit einer Veränderlichen 

1) ganze rationale Functionen, 

2) gebrochene rationale Functionen, 

3) irrationale Functionen. 

Alle übrigen Functionen heissen transcendent 

§4. 

^ Begriff der Grenze. 

(Vergl. die Fonnel-Tabelle Nr. 1.)*) 
Wenn eine veränderliche Grösse X (oder eine Reihe von 
Grössen X^, X2, X3, . . .^ sich einer constanten Grösse A immer 
mehr nähert^ so dass schliesslich der Unterschied zwischen X und 



*) Die wichtigsten Formeln sind im Anhange zu einer Tabelle zu- 
Bam mengestellt. 



§ 4. Begriff der Grenze. 17 

A {bezw. zwischen Xn und A für hinreichend grosses n) heUebig 
klein wird^ so heisst A die Grenze {limes) von X, hezw, von Xn* 

Dabei kann es vorkonunen, dass X immer kleiner bleibt 
als die Grenze A, oder dass X immer grösser bleibt als die 
Grenze A ; es kann aber auch vorkommen, dass diese veränder- 
liche Grösse X bald grösser ist, bald kleiner als die Grenze A^ 
der sie sich nähert. Es kann auch vorkommen, dass für ge- 
wisse Werthe von n der Unterschied zwischen X» und A kleiner 
ist als der Unterschied zwischen Xn+i und A^ wenn nur für 
hinreichend grosse Werthe von n dieser Unterschied beliebig 
Alein gemacht werden kann. 

Um auszudrücken, dass A die Grenze von X ist, schreibt 

man 

^ = limX. 

Beispiele. 

1) Der Umfang eines Kreises ist die Grenze vom Umfange 
des dem Kreise einbeschriebenen regelmässigen n-Ecks, wenn die 
Anzahl der Seiten immer grösser und grösser wird, denn der 
Unterschied zwischen beiden wird beliebig klein, wenn man n 
hinreichend gross macht. 

Ebenso kann der Umfang des Kreises als Grenze des dem 
Kreise umschriebenen regelmässigen »-Ecks angesehen werden. 

2) Auch die Fläche des Kreises ist die Grenze vom Flächen- 
inhalt des dem Kreise einbeschriebenen und ebenso des umschrie- 
benen /J-Ecks, wenn n immer grösser und grösser wird. 

3) Es ist 

0,7777. .. = m(^ + ^ + ^+... + ^„)=1. 

Hierbei bedeutet das Zeichen lim (sprich : limes fiir n gleich 



n = ao 



(11 1 

+ — j gesucht wird, wenn n über jedes Mass hinaus wächst. 

Stegemann- Kiepert) DifTerential-Beohnting. 2 



18 § 4. Begriff der Grenze. 

7 

Dieser gesuchte Grenzwerth ist in der That -, denn es wird 



7 
9 


7 
10 


7 
■"90' 






7 > 

loo; 


1 = 


7 
90 


7 
100 


7 
■"900' 



\10 ^ 100 ^ 1000/ 90 



7 

9 VlO ' lÖO ' 10007 " 900 1000 "" 9000 ' 



9 \10 "^ 100 "^ 1000 "^ • • ' "^ loV 9 . 10** 

7 

Der Unterschied zwischen ~ und 0,7777 ... wird also beliebig 

y 

Mein^ wenn man eine hinreichend grosse Anzahl von Decimal- 
stellen berücksichtigt. 

Aehnliches gut ganz allgemein, wenn man einen gewöhn- 
lichen Bruch, dessen Nenner von 2 und 5 verschiedene Factoren 
enthält, in einen periodischen Decimalbruch verwandelt. 

4) Es ist 

In der That, es wird 

Der Unterschied zwischen l+^ + T + 7r + ««* +:^ iind 

2 4 8 2** 

2 wird also beliebig klein, wenn man n hinreichend gross macht. 



§ 4. Begriff der Grenze. 



19 



5) Die Gleichung 

VS=: 1,73205 

ist nicht genau, denn es wird 

1,732052= 2,9999972025, 

ein Ausdmck, der von 3 um eine kleine Grösse verschieden ist • 
nimmt man aber mehr Decimalstellen, so kann man den Unterschied 
zwischen dem Quadrat des Decimalbruches und 3 immer kleiner 
machen. Es ist also Ys die Grenze, welcher sich der Decimal- 
bruch nähert, d. h. der Unterschied zwischen dem Decimalbruch 
und Ys wird beliebig klein, wenn man die Anzahl der Stellen 
hinreichend gross macht. 



6) 



lim 

3 = 



smz 



= 1. 



Hierbei bedeutet das Zei- 
chen lim (sprich: limes für z 
«=o 

gleich 0), dass der Werth von 

bestimmt werden soll, wenn 

sich der Werth des Bogens z 
der Null beliebig nähert. 



Fig. 6. 



^z. 




Zum Beweise beachte man, dass für alle Bogen Zy welche 
kleiner als ^ (d. h. kleiner als 90 0) sind, in Figur 6 

(1.) aOCB^ Sector AOB S aOBD 

wird. Macht man den Halbmesser des Kreises um O gleich 1, 
so ist 

2 aO(7J5= CB. CO=::smzco^z, 

2 Sector AOB = ÄB.AO=zz, 

2 AOBD =OB.BD=tgz=^^^, 

^ COS2' 

folglich gehen die Ungleichungen (1.) über in 



(la.) 



sm^; cosz'^z 



smz 
cosz 



2* 



20 § 4. Begriff der Grenze. 

Indem man durch sin 2; dividirt, erhält man 

z 1 
(2.) COS;? < -. — < , 

oder 

/« \ 1 v^ sin«^ 

(3.) >. > cos«; 

^ ^ cos« — z — 

sin« 1 

d. h. liegt immer zwischen cos« und • Da nun aber 

« ® cos« 

(4.) lim cos« = 1 und lim = 1 

fl=o « = o cos« 

wird, so muss auch 

/c \ T sin« ^ 

(5.) hm — - = 1 

a = « 

sein. 

Der Sinn dieses Sesultates lässt sich folgendermassen aus- 
sprechen : 

Der Unterschied zwischen dem Sinus eines Bogens « und 
dem Bogen selbst wird im Verhältniss zu diesem Bogen « beliebig 
ileinj wenn man den Bogen hinreichend klein macht. So ist 

arcus 4« = 0,069 813 17, sin 4« = 0,069 756 47, 

arcus 2^ = 0,03490658, sin 2« = 0,034 899 42, 

arcus 1^ = 0,01745329, sin 1^ = 0,01745241, 

arcus 30' = 0,008 726 64, sin 30' = 0,008 726 54, 

arcus 15' = 0,00436332, sin 15' = 0,00436331, 

arcus 7|' = 0,002 181 66, sm 7^' == 0,002 181 66, 



also 



arcus40-sm40 5670 ^o,00081217. 



arcus 4« 6981317 

arcus 2^ — sin 2^ _ 716 

arcus 2" ""3490658 
arcus 1^ — sinl^ __ 88 
arcus 1« "" 1745329 
arcus 30* — sin 30' _ 10 
arcus 30' " 872664 



= 0,00020512, 
= 0,00005042, 



= 0,00001146, 



§ 5. Das unendlich Kleine und das unendlich Grosse. 21 

§5. 

Das unendlich Kleine und das unendlich Grosse. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 2—4.) 

Nähert sich eine veränderliche Grösse der Grenze 0, so sagt 
man^ sie wird unendlich klein. 

Nach den Auseinandersetzungen des vorhei'gelienden Para- 
graphen könnte man die Erklärung des unendlich Kleinen daher 
auch so fassen: 

Wenn eine veränderliche Grösse immer kleinere und kleinere 
Werthe annimmt^ so dass sie kleiner werden kann als jede ge- 
gebene Grösse, so sagt man, sie toird unendlich klein, oder noch 
besser, sie toird verschwindend klein. 

Wenn man also von „verschwindend kleinen^'- oder von „w»- 
endlich kleinen Grössen!"^ spricht, so muss man sich stets dessen 
bewusst bleiben, dass man zunächst mit kleinen veränderlichen 
Grössen rechnet, die sich dann der Grenze beliebig Mhem sollen. 

Es ist sehr bequem, diese vereinfachte Bezeichnung zu be- 
nutzen, damit man es nicht nöthig hat, in jedem einzelnen FäUe 
die Auseinandersetzung des hier angedeuteten Grenzverfahrens 
zu wiederholen. 

Wenn eine veränderliche Grösse immer grössere und grössere 
Werthe annimmt, so dass sie jede gegebene Grösse übersteigen 
kann, so sagt man, sie wird unendlich gross, oder noch besser, 
sie ist eine unbegrenzt wachsende Grösse, 

üas Zeichen für unendlich gross ist oo. 

Wenn man also von „unbegrenzt wachsenden' ' oder von „un- 
endlich grossen Grössen'^ spricht, so will man wiederum ein 
Grenzverfahren andeuten, welches darin besteht, dass man zu- 
nächst mit endlichen, veränderlichen Grössen rechnet, die dann 
aber grösser werden dürfen als jede angebbare Grösse. 

So wird z. B. tg« erklärt als das Verhältniss der beiden 
Katheten im rechtwinkligen Dreieck, von denen die erste dem 
spitzen Winkel a gegenüberliegt. Wächst der Winkel u, so 
wächst auch tg«. Für « = 90^ hat diese Erklärung keinen 
Sinn mehr , weil es kein geradliniges Dreieck giebt , das zwei 
rechte Winkel enthält; trotzdem sagt man 

tgOO'^ = 00 



22 § 5. Das unendlich Kleine und das unendlich Grosse. 

und will damit ausdiücken, dass tga über jede angebbare Grösse 
hinaus wächst, wenn sich a dem Werthe 90^ beliebig nähert. 

JSine Grösse heisst ^^endlich^^ ^ wenn sie weder unendlich 
klein noch unendlich gross ist, 

Satz 1. Neben einer endlichen Grösse darf eine verschwin- 
dend kleine Grösse vernachlässigt werden^ oder mit anderen 
Worten: eine endliche Grösse bleibt unverändert^ wenn man sie 
um eine unendlich kleine Grösse vermehrt oder vermindert. 

Die Richtigkeit folgt aus der Erklärung der unendlich 
kleinen oder verschwindend kleinen Grössen. 

Von diesem Satze kann man sofort einige Anwendungen 
machen. Es sei 

limX=:^, lunr=J5, 
also X==A + a, Y=B + ß, 

wobei a und ß beim Uebergange zur Grenze verschwindend 
kleine Grössen sind. Dann werden aber auch a + ß und « — /5f 
verschwindend klein, folglich wird 

lim(X ± Y) = lim [{A ± B) + (a ± ß)] = A ± B, 

oder 

(1.) lim (X ± F) = lim X ± lim y. 

Ferner ist 

X . r= {A + a){B + ß) = AB + aB + ßA + aß. 

Da A und B endliche Grössen sind, so werden beim Ueber- 
gange zur Grenze aB und ßA verschwindend klein, und da auch 
aß verschwindend klein wird, so erhält man 

\\m{X.Y)^A.B 

oder 

(2.) Um(X. y) = limX.lim F. 

Schliesslich ist 

Y B+ ß ^B ßA—aB 

X"~"^ + «'~^ A{A + a) ' 

Beim Uebergang zur Grenze werden ßA und aB terschtmn- 
dend klein , während unter der Voraussetzung , dass -4 S ist, 
A{A + a) den endlichen Werth A'^ erhält, foglich wii'd 



§ ö. Das unendlich Kleine und das unendlich Grosse. 



23 



^^© = 1' 






limF 
limX' 



oder 

(3.) 

wenn lim X S ist. 

Aus der Erklärung dei- unbegrenzt wachsenden Grössen 
folgt: 

Satz 2. Eine unbeffrenzt wachsende Grösse wächst auch 
dann noch unbegrenzt^ wenn man sie um eine endliche Grösse 
vermehrt oder vermindert, oder mit anderen Worten : eine Grösse 
bleibt unendlich gross y atwh wenn man eine endliche Grösse zu 
ihr addirt oder von ihr subirahirt 



Fig. 7. 



Manche scheinbar elementare Untersuchungen setzen bereits 
den Begriff des Grenzwerthes, bezw. den Begriff der unendlich 
kleinen Grössen voraus, wie die 
beiden folgenden Aufgaben aus 
der Geometrie und Mechanik 
zeigen mögen. 

1. Es sei 

(4.) y =f{x) 

die Gleichung einer Curve PP^ 

(Fig. 7), in welcher die Punkte 

P und Pi durch eine Secante 

verbunden sind. Der Winkel 

ß, den diese Secante mit der positiven Bichtung der X-Axe 

bildet, ist dann bestimmt durch die Gleichung 




(5.) 



tgß = tgiJPP, =. ^ 



Bezeichnet man nun die Coordinaten des Punktes P mit x 
und y, die des Punktes P^ mit x^ und yi*), so wird 

OQ = x, QP = y, OQi=a:i, QiP, =j/,, 



*) In dem Folgenden sollen die Coordinaten eines Punktes P immer 
mit x^ y, die eines Punktes Pj mit x\, y\, allgemein die eines Punkte^ 
Pn mit ar», yn bezeichnet werden. 



24 § 5. Das iinendJÜch Kleine und das unendlich Grosse. 

also 

PR = QQy^ = OQ^ — OQ — x^ —X, 

folglich wird 



(6.) igß 



^ y\—y 

X* ~~~ X 



Die Differenzen x^—x und y^ — y bezeichnet man gewöhn- 
lich mit Jx und Jy, Die Gleichung (6.) nimmt dadurch die 
Form 

(6a.) tg/» = ^ 

an. Nähert sich jetzt der Punkt P^ dem Punkte P, so werden 
auch Jx und Jy immer kleiner. Wii'd schliesslich der Abstand 
des Punktes P^ von P verschindend klein, so werden auch Jx 
und Jy verschwindend kleine Grössen, welche man dann Diffe- 
rentiale nennt und mit dx und dy bezeichnet. Gleichzeitig geht 
die Secante PPi in die Tangente TP über, welche mit der po- 
sitiven Eichtung der X-Axe den Winkel a bildet. Die Tan- 
gente im Curvenpunkte P ist nämlich eine Secante, bei der zwei 
Schnittpunkte P und Pj in einen Prmktj den Berührungspunkt 
P zusammengefallen sind. 

Die Gleichung (6a.) geht daher über in 

(7.) tga = | = lim^. 

Den Quotienten der beiden Differentiale dy und dx nennt 
man einen Differential-Quotienten. 

2. Unter der Geschwindigkeit c eines (z. B. in gerader 
Linie) gleichförmig fortbewegten Massenpunktes versteht man 
die Länge des Weges, der in der Zeiteinheit (Secunde) zurück- 
gelegt wird. In t Secunden ist daher die Länge des zurück- 
gelegten Weges 
(8.) 6- = ct. 

Dies giebt für die Geschwindigkeit bei gleichförmiger Be- 
wegung den Werth 

(9.) c=f 



§ 6. lieber die Rechnung mit unendlich kleinen Grössen. 25 

Hierbei ist es ganz gleichgültig, wie gross, bezw. wie klein 
t ist, weil s in demselben Verhältnisse wächst und abnimmt 
wie t. 

Wenn die Bewegung nicht mehi' gleichförmig ist, d. h. wenn 
der bewegte Massenpunkt in gleichen Zeiten nicht mehr gleiche 
Strecken zuräcklegt, so kann man doch noch von der mittleren 
Gesch\\indigkeit im Zeitintervall von t bis t^ sprechen und diese 
wieder erklären als das Verhältniss der in der Zeit t^ — t zu- 
rückgelegten Strecke s^ — s zu diesem Zeitintervall t\ — t. 
Bezeichnet man diese Differenzen b^ — s und t^ — t bezw. mit 
Js und M^ so ist also die mittlere Geschwindigkeit 

Tt^ t^ — V 

Wird das ZeitintervaU Jt immer kleiner und schliesslich 
verschwindend klein, so wird auch Js verschwindend klein. 
Diese verschwindend kleinen Grössen bezeichnet man bezw. mit 
dt und ds und nennt 

die Geschwindigkeit der ungleichförmigen Bewegung zur Zeit t. 
Auch hier nennt man die verschwindend kleinen Grössen 
ds und dt Differentiale und ihren Quotienten einen Differential- 
Quotienten. 

§ 6- 

lieber die Rechnung mit unendlich Ideinen Grössen. 

Nach den Erkläningen des vorhergehenden Paragraphen 
wird eine Grösse dann unendlich klein (oder verschwindend klein), 
wenn man sie kleiner machen kann als jede gegebene Grösse. 
Wie gross auch die Genauigkeit sein mag, mit der man rechnen 
will, man kann die verschwindend kleinen Grössen so klein 
machen, dass sie neben einer endlichen Grösse nicht mehr in 
Betracht kommen. 

Verlangt man z. B., dass eine Zahl bis auf n DecimalsteUen 
genau berechnet wird, so kann man jede unendlich kleine Grösse 
kleiner machen als 



26 § 6. Ueber die Beohnung mit unendlich kleinen Grössen. 



10*' 

wie gross auch n sein mag. Man kann daher die unendlich 
kleinen Grössen nicht mit endlichen, sondern nur mit unendlich 
kleinen Grössen vergleichen; das VerhäUniss zweier unendlich 
kleinen Grössen kann nämlich sehr wohl einen endlichen Werth 
haben, wie schon die Beispiele 

dy ds 

in § 5 gezeigt haben. Mit solchen Differentialen und Differe^i- 
tial' Quotienten hat man es hauptsächlich in der Differential- 
Rechnung zu thun. 

Man kann aber auch in anderer Weise mit verschwindend 
kleinen Grössen rechnen. 

Theilt man nämlich eine endliche Grösse Jmn Theile (die 
übrigens nicht gleich zu sein brauchen), so ist / gleich der 
Summe aller dieser Theile. Wenn nun die Zahl n, d. h. die 
Anzahl der Theile in's Unbegrenzte wächst, so dass die ein- 
zelnen Theile immer kleiner und schliesslich unendlich klein 
werden, so erkennt man, dass auch die Summe von unendlich 
vielen j unendlich Aleinen Grössen sehr wohl einen endlichen 
Werth J haben kann. 

Solche Summen von unendlich vielen, unendlich kleinen 
Grössen treten in der Integral- Rechnung auf. 

Beispiele davon kommen schon in der Planimetrie und 
Stereometrie vor. 

So berechnet man die Fläche eines Kreises mit dem Halb- 
messer r, indem man sie in unendlich viele, unendlich schmale 
Sectoren zerlegt. Jeder solche Sector wii*d dann als ein Dreieck 
betrachtet, dessen Spitze der Mittelpunkt des Kreises ist, und 
dessen Grundlinie in der Peripherie des Kreises liegt. Da diese 
Dreiecke alle dieselbe Höhe r haben, so braucht man nur ihre 
Grundlinien zu addiren und erhält als ihre Summe den Umfang 
des Kreises, nämlich 

u = 2r7r. 



§ 7. Verschiedene Ordnungen der unendlich kleinen Grössen. 27 

Der Flächeninhalt des Kreises ist daher 

i?^ = — - = r%. 
2 

In ähnlicher Weise berechnet man die Oberfläche einer 
Kugel, indem man sie in unendlich viele, unendlich schmale Zonen 
zerlegt, welche man als Mäntel von Kegelstumpfen betrachtet. 

Ferner findet man das Volumen V einer Kugel, indem man 
die Kugeloberfläche in unendlich kleine Dreiecke zerlegt und 
diese Dreiecke als die Grundflächen von Pyramiden betrachtet, 
die alle ihre Spitze im Mittelpunkte der Kugel haben. Die 
Höhe ist bei allen diesen Pyramiden gleich dem Halbmesser r 
der Kugel, folglich ist die Summe ihrer Volumina gleich der 

Summe ihrer Grundflächen, multiplicirt mit --. Da die Summe 

der Volumina gleich dem Volumen der Kugel und die Summe 
der Grundflächen gleich der Kugeloberfläche {4cr^jt) ist, so 
findet man 

V = 4r27r . -- = — — -. 
3 3 

Bei der Rechnung mit unendlich kleinen Grössen kommen 

daher hauptsächlich nur zwei Aufgaben in Betracht: 

1) j&« ist der Werth zu bestimmen^ welchen das Verhältnis 
von zwei unendlich kleinen Grössen annimmt. 

2) Es ist die Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen 

Grössen zu bestimmen. 
In dem Folgenden wird daher auch nur auf diese beiden 
Aufgaben Rücksicht genommen werden. 



§7. 

Verschiedene Ordnungen der unendlich kleinen Grössen. 

Die verschwindend kleinen Grössen, welche in einer Rech- 
nung vorkommen, können noch sehr verschiedenartig sein. Zer- 
legt man z. B. einen Würfel durch Schnitte, senkrecht zu einer 
Seitenkante, in n gleiche Schichten, so werden die einzelnen 
Schichten verschwindend kleine Grössen, wenn n in's unbegrenzte 
wächst. 



28 § 7. Verschiedene Ordnungen der unendlich kleinen Grössen. 

Legt man jetzt noch Schnitte, senki-echt zu einer zweiten 
Kante, so kann man jede dieser Schichten in n gleiche Säulen 
zerlegen. Wenn jetzt n wieder in's ünbegi'enzte wächst, so 
werden diese Säulen verschwindend kleine Grössen, und zwar 
sind sie auch noch verschindend klein im Verhältniss zu jeder ein- 
zelnen Schicht, weil erst unendlich viele Säulen eine solche 
Schicht ausmachen. 

Schliesslich kann man noch durch Schnitte, senkrecht zu 
einer dritten Kante des Würfels jede Säule in n Würfel zer- 
legen. Wächst n wieder in's Unbegrenzte, so werden diese 
Würfel noch verschwindend klein im Verhältniss zu den ver- 
schwindend kleinen Säulen, weil erst unendlich viele Würfel eine 
solche Säule ausmachen. 

Dieses Beispiel zeigt, dass man die unendlich kleinen Grössen 
noch in vei-schiedene Ordnungen eintheüen muss. 

Kommen also in einer Eechnung verschiedene unendlich 
kleine Grössen vor, so kann man eine, z. B. a, nach Belieben 
auswählen und festsetzen, dass « eine unendlich kleine Grösse 
erster Ordnung heisse. 

Ist dann ß eine andere unendlich kleine Grösse, und wird 

eine endliche Grösse, so heisst ß gleichfalls eine unendlich 
kleine Grösse erster Ordnung. 

Die unendlich kleinen Grössen erster Ordnung haben daher 
nach dieser Festsetzung alle die Form ap. 

Wenn dagegen - selbst wieder eine unendlich kleine Grösse 

erster Ordnung ist, wenn also - auf die Form ap gebracht 
werden kann, so ist 

eine endliche Grösse. Man sagt dann, ß sei eüie unendlich kleine 
Grösse ztoeiter Ordnung. 



-i=p 



§ 7. Verschiedene Ordnungen der unendlich kleinen Grössen. 29 

Die unendlich kleinen Grössen zweiter Ordnung haben daher 
alle die Form a^p. 

Ist auch noch ~ eine unendlich kleine Grösse erster Ord- 
nung, lässt sich also ~ auf die Form ap bringen, so ist 

l 

eine, endliche Grösse, und ß heisst eine unendlich kleine Grösae 
dritter Ordnung. 

So kann man fortfahren; es heisst dann ß eine unendlich 
kleine Grösse n**^ Ordnung^ wenn 

eine endliche Grösse ist, wenn also 

ß = ay. 

Dabei ist n nicht nothwendiger Weise eine ganze Zahl, 
sondern n darf auch eine gebrochene positioe Zahl sein. 

Auch wenn man für n gebrochene Werthe zulässt, so sind 
in der Form a> noch nicht alle unendlich kleinen Grössen er- 
schöpft, wie später gezeigt werden soll. Deshalb möge die ge- 
gebene Erklärung dahin erweitert werden, dass y im Vergleich 
zu a eine unendlich kleine Grösse höherer Ordnung heissen möge, 

wenn noch — unendlich klein toird, 
a 

Dies vorausgeschickt, gelten die folgenden Sätze. 

Satz 1. Unterscheiden sich die unendlich kleinen Grössen 
a und of' von einander nur durch eine unendlich kleine Grösse 
höherer Ordnung y, so ist der Gremwerth ihres Verhältnisses 
gleich 1. 

Beweis. Nach Voraussetzung ist 
(1.) a* — « = y, oder a' = « + y, 

wobei Y eine unendlich kleine Grösse höherer Ordnung ist, so 

dass - = € selbst noch unendlich klein wu-d. Deshalb folgt 
a 

aus Gleichung (1.) 



30 § 7. Verschiedene OrdnoBgen der unendlich kleinen Grössen. 

(2.) — == 1 + 6 oder lim — == 1, 

denn die unendlich kleine Grösse e darf neben der endlichen 
Grösse 1 vernachlässigt werden (nach Satz 1 in § 5). 

Von diesem Satze gilt auch die Umkehrunff: 

Ist der Grenztcerfh, dem sich das Verhältniss zweier un- 
endlich kleinen Grössen a und a* nähert^ gleich i, so können 
sich a und a* nur durch eine unendlich kleine Grösse höherer 
Ordnung von einander unterscheiden. 

Beweis. Ist nämlich wieder 

a* — a = ^'j oder a' =^ « + y, 
also 

a* Y 

-= 1 + -, 
a a 

et* V 

SO folgt aas lim— = 1, dass '- unendlich klein sein muss. 

Beispiel. Es war (vergl. Formel Nr. 1 der Tabelle) 

,. sin;? 
lim = 1, 

folglich wird z — sin« unendlich klein von höherer Ordnung, 
wenn z unendlich klein von der ersten Ordnung wird. 

Satz 2. Hat das Verhältniss zweier unendlich kleinen 
Grössen a und ß einen endlichen Grenzwerth (oder den Grenz- 
werth oy, so ändert sich dieser Grenzwerth nicht ^ wenn man a 
und ß um unendlich kleine Grössen höherer Ordnung vermehrt 
oder vermindert. 

Man soll also zeigen, dass 

lim , = lim — , 
u ±: y a 

wobei a und ß unendlich kleine Grössen von beliebiger Ordnung 
sind, während r und d unendlich kleine Grössen höherer Ord- 
nung sein sollen, so dasss 

^ = ^'^ und J = (J' 
a ß 

selbst noch unendlich kleine Grössen sind. 



§ 7, Veischiedene Ordnungen der unendlich kleinen Grössen. 31 

Beweis. Es ist 

^ '' « ± y ~ «(1 ± y) « V 1 ± r' / 

_ß,,ß ±ä'Tr' 

a u 1 ± y 
Da 

lim(l ±;'0 = 1» lim (± d' T r') = 0, 

und da — einen endlichen Werth hat, so wird 
,4.) " tai.±i^ = «, 

d. h. — . , . / wird verschwindend klein und darf neben 
et 1 ± y 

der endlichen Grösse — vernachlässigt werden. Man erhält 

daher 

(8.) lim^ = lim^. 

Da sich die verschwindend kleinen Grössen a und ß von 
a' = a±r und ß* — ß ± d 
nur durch verschwindend kleine Grössen höherer Ordnung unter- 
scheiden, so kann man die Gleichung (5.) auf die Form 

(5a.) lim^ = lim- 

bringen und dem Satze 2 die folgende Fassung geben. 

Satz 2a. Der Gremwerth von — bleibt ungeändert^ wenn 

man die verschwindend kleinen Grössen a und ß durch andere 
a' und ß* ersetzt, welche sich von den ersteren nur durch vej'- 
schtoindend kleine Grössen höherer Ordnung unterscheiden. 

Beispiel. Nach Formel Nr. 1 der Tabelle ist, wenn man 
für z das eine Mal Sx und das andere Mal 4^ setzt, 

T sin(3z) ^ -. sin (4a:) 
hm ^ ^ = 1, Imi — — ^ = 1, 

2 = OX £3 4^ 

folglich unterscheiden sich lim sin (3a;) und lim sin (4a:) von lim (Sx) 



32 § 7. Yeiscbiedene Ordnungen der unendlich kleinen Grössen. 



und lim (4a:) nur durch verschwindend kleine Grössen höherer 
Ordnung und man erhält 

,. sin (3a:) .. Sx 3 
lim . ;^ ^ = lim-7- == T- 

a; = üSm(4>r; 4a: 4 

Safz 3. Sind a^, a^y ... »n verschwindend kleine Grössen^ 
deren Anzahl n in^s Unbegrenzte wächst ^ und weiss man, dass 
die Summe dieser unendlich vielen, unendlich kleinen Grössen 
einen endlichen Grenzwerth S besitzt, dass also 

äS = lim («1 + «2 + • • • + ««) 



M = QO 



Fig. 8. 



ist, SO bleibt dieser Grenzwerth unverändert, wenn man die ver- 
schwindend kleinen Grössen a^, 02^ , , . an um verschwindend kleine 
Grössen höherer Ordnung Y\ Yi^ • • • y* vermehrt oder vermindert. 
Dem Beweise dieses Satzes möge ein Beispiel zur Erläute- 
rung vorangestellt werden. 

Es sei eine ebene Figur 
A^ABB^ (Fig. 8), oben begrenzt 
durch einen Curvenbogen AB, 
links und rechts von den Ordi- 
naten A^A, B^B und unten durch 
den Abschnitt A^B^ der X-Axe. 
Indem man A^B^ in n (gleiche 
oder ungleiche) Theile zerlegt und 
durch die Theilpunkte Parallele 
zu der F-Axe zieht, kann man 
den Flächeninhalt F der Figur in n Streifen «i, «j, ... «» zer- 
legen. Dadurch wird 

(6.) i^= «j + «2 + • • • + c^« = '^«• 

Ist nun QPPx Qx ein solcher Streifen, und zieht man durch 
P eine Parallele PR zur X-Axe, so zerfällt der Streifen a in 
das Rechteck QPRQ^ = a* und das Dreieck PRP^ = r? folg- 
lich wird, wenn man dieselbe Construction für sämmtliche 
Streifen ausfährt, 

(7.) «j = a'j -f Y^, «2 = a'2 + ^2, • • • «n = (Xn + Yn, 

oder 

(7a.) «1' = «1 — Y^, «2' = «2 -" ^2» • • • ^n = «n — rw> 

(8.) i^= 2a = 2{a* + r) = -«' + ^Y- 




§ 7. Yerschiedene Ordnungen der unendlich kleinen Grössen. 33 

In Figur 8 sind die Streifen a sämmtlich grösser als die 
Rechtecke «', so dass in den Gleichungen (7.) und (8.) die 
Grössen y sämmtlich positiv sind. Es können aber auch (Mrie 
in Figur 9) die Streifen a sämmtlich kleiner sein als die Recht- 
ecke «', oder es können (wie in Figur 10) die Streifen a zum 
Theil grösser^ zum Theil kleiner sein als die Rechtecke a*. Die 
Gleichungen (7.) und (8.) bleiben auch in diesen Fällen noch 
richtig, wenn man unter den Grössen y auch negative zulässt. 



Fig. 9. 



Fig. 10. 



Ff 



f^ 



^ 





Wird jetzt die Anzahl n der Streifen immer grösser, werden 
also die Streifen selbst immer schmaler, so werden die Dreiecke 
Y nicht nur selbst immer kleiner, sondern auch ihre Summe wird 
immer kleiner. Selbst wenn man die Dreiecke y alle positiv nimmt, 
so ist ihre Summe kleiner als ein Rechteck, das die Seite A^B^ 
zur Grundlinie und die grösste Höhe der Dreiecke y zur Höhe hat. 
Da nun aber diese Höhe mit wachsendem n immer kleiner wird, 
so wird auch der Flächeninhalt des Rechtecks und deshalb erst 
recht 2y beliebig klein. Man erhält daher 

(9.) lim JS';' = 0, F— lim 2"« = lim 2a'. 

Nach diesem Beispiele möge der oben ausgesprochene Satz 
zunächst für den Fall bewiesen werden, dass die Grössen a und 
y sämmtlich positiv sind. Es wird dann 



(10.) 



/Si = «1 + «2 + . . - + «n, 



I ^^1 = «1 



+ ri) + («2 + r2) + • • • + («» + Yn) S S^. 

Nach Voraussetzung sind ^i, ^2» • • • Yn verschwindend kleine 
Grössen höherer Ordnung, d. h. es sind 

Stegexnsnn- Kiepert, Differential-Beolmtuig. 3 



84 § 7. Yerschiedene Ordnungea der unendlich kleinen Grössen. 

selbst wieder verschwindend kleine Grössen, die man also kleiner 
machen kann als jede geg:ebene Grösse. Man kann sie z. B. 
kleiner machen als 

(12.) * = löi ' 

wobei man den Exponenten x noch so gross machen kann, wie 
man will. Dies giebt 

Deshalb wird 

Äj = («1 + ^l«l) + («2 + «2*2) + . • . + («n + CCnen) 
= «1 (1 + «1) + «2 (1 + «2) + • • • + ö«« (1 + «n), 

oder 

(14.) Ä2 ^ a, (1 + €) + «2 (1 + e) + . . . + «n (1 + e), 

(14a.) Ä2 ^(«1 + «2 + • • • + «n) (1 + «) = Äi (1 + €), 

oder mit Eücksicht auf die Ungleichung (10.) 

(15.) S^^S^^S^ + sS^. 

Wächst jetzt n in's Unbegrenzte, so wird nach Voraus- 
setzung Mm S^=^ S eine bestimmte, endliche Grösse, und e wird 
beliebig klein; folglich wird auch lim eiS^^ beliebig klein, d. h. ver- 
schwindend klein, so dass die Ungleichung (15.) übergeht in die 
Gleichung 
(16.) limÄ2 = limÄi = & 

Sind die Grössen a und r theüweise positiv und theilweise 
negativ, so möge der Satz nur unter der Voraussetzung bewiesen 
werden, dass 

S = lim(ai + «2 + • • • + "n) = lim 2a 

fl SS OD n :b 00 

auch dann noch einen endlichen Werth behält, wenn man die 
Grössen a alle positiv nimmt. Bezeichnet man also den absoluten 
Betrag von «mit | a | und den absoluten Betrag von y niit | y | , 
so kann man jetzt in derselben Weise wie vorhin zeigen, dass 

lim 2\r\ — 
wird. Folglich ist erst recht 



§ 7. Yerschiedeue Ordnungen der unendlich kleinen Grössen. 35 

lim :^;' = 



nxa 00 



und deshalb 



lim J!^a = Um 2{a + y). 



n=s jo ns 00 



Setzt man 

«i' = «1 ± Yu Oj' = «2 ± ^2? . . • «n' = «n ± ^n, 

SO unterscheiden sich die verschwindend kleinen Grössen a und 
a' von einander nur durch verschwindend kleine Grössen höherer 
Ordnung, und es wird nach dem eben bewiesenen Satze 3 

lim («i' + 0C2' + . . . + ccn) = lim («1 + «2 + • • • «n). 

Man kann daher diesem Satze auch die folgende Fassung geben: 

Satz 3 a. Der Gremwerth von a^ + «2 + • • • + o^h hleibt 
unverändert^ wenn die verschwindend kleinen Grössen «j, 
a2,...o{n durch andere a^*^ a2j...an ersetzt werden j die sich 
von ihnen nur durch verschwindend kleine Grössen höherer Ord- 
nung unterscheiden. 

Eine Anwendung dieses Satzes macht man schon bei der 
Berechnung der Kreisfläche, denn man betrachtet dabei die un- 
endlich vielen Kreissectoren, in welche die Kreissfläche zerlegt 
werden kann, als geradlinige Dreiecke. Ein solches Dreieck 
unterscheidet sich von dem entsprechenden Sector durch ein 
Kreissegment; da aber diese Segmente unendlich kleine Grössen 
höherer Ordnung werden, so darf man sie nach dem vorigen 
Satze in der That vernachlässigen. 

Ebenso darf man bei der Berechnung der Kugeloberfläche 
die Kugelzonen nur deshalb durch die Mäntel adgestumpfter 
Kegel ersetzen, weil sie sich von den letzteren nur durch ver- 
schwindend kleine Grössen höherer Ordnung unterscheiden. 

Schliesslich sind auch bei der Berechnung des Volumens 
einer Kugel die in § 6 angegebenen Theile, streng genommen, 
keine dreiseitigen Pyramiden, sondern sie unterscheiden sich von 
diesen durch verschwindend kleine Grössen höherer Ordnung. 

3* 



36 § 8. Begriff der Stetigkeit. 

§8. 

Begriff der Stetigkeit. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 5.) 

Wenn durch die Gleichung 

(1-) y =/(^) 

irgend eine Function von x erklärt ist, so werden im Allge- 
meinen unendlich kleine Aenderungen von x auch unendlich kleine 
Aendemngen von y nach sich ziehen. Für alle Werthe von x^ 
bei welchen dies der Fall ist, heisst die Function stetig oder 

continuirlich. 

Diese Bezeichnung ist der in § 1 angedeuteten geometrischen 
Darstellung einer Veränderlichen entnommen. Durchläuft näm- 
lich der Punkt Q, welcher auf der X-Axe den Werthen der 
unabhängigen Veränderlichen x entspricht, stetig eine Strecke 

Q1Q2, so wird im Allgemeinen der 
** Punkt iJ, welcher den zugeordneten 

Werthen von y entspricht, auf der 
F-Axe eine Strecke R^Ri stetig durch- 
laufen, wobei auch einzehie Theile der 
F-Axe (innerhalb oder ausserhalb der 
*i Strecke R^R^ mehrfach durchlaufen 

werden können. (Vergl. Fig. 11.) 



E 



2 



^ «. « ^r~-* Nur in AnsnaWefäJl^ werden 

Functionen unstetig (oder discontinuir- 
lich)j d. h. nur ausnahmsweise wird der Fall eintreten, dass 
die Function y für endliche Werthe von x unendlich gross wird, 
oder dass sie sich sprungweise (um endliche oder unendlich 
grosse Beträge) ändert, während die Aenderung von x unend- 
lich klein ist. 

Es sei z. B. 

(2.) y = 



X — a* 



dann wird y, so lange x kleiner als a bleibt, negativ und stetig 
sein. Wird aber x gleich a, so wird 

y = — 00 



§ 8. Begriff der Stetigkeit. 



37 



und springt dann von — ao 
bis + 00 , wenn x den 
Werth a passirt. (Vergl. 
Fig. 12.) 

Ein anderes Beispiel 
liefert dia Function 

(3.) y = tga:. 

' Wenn x von bis ^ 

wächst, so wächst y gleich- 
zeitig von bis + 00 j wenn 
Aber X noch etwas grösser 
wird, so erhält y einen sehr 
grossen negativen Werth, so 
dass der Werth von y von 
+ 00 bis zu — 00 springt, 

wenn x den Werth - passirt. 



Fig. 12. 



(VergL Fig. 


13.) 


Ist 




(40 y = 


1 



SO bleibt y immer positiv 
und wird um so grösser, je 
kleiner x ist. Für unendlich 
kleine (positive oder nega- 
tive) Werthe von x wird y 
unendlich gross, d. h. y wird 
für diesen Werth von x un- 
stetig. (Vergl. Fig. 14.) 

Ist 



X 



(5.) 



y = 



a 




1 + a 



X 







OA^a, 



Fig.18. 




«- 



£. 



OQ 



., OB « n. 



a 



1^ » 

X 

+ 1 



38 



§ 8« Begriff der Stetigkeit. 




und beschränkt man x zunächst 
auf positive Werthe, so wird 



lima 

« = 









also 



limy = 1. 



(5a.) 



um auszudrücken, dass x 
negative Werthe annimmt, setze 
-X man a; = — «, dann wird 

1 



y = — 

a' + 1 
Nähert sich jetzt z dem Werthe 0, so wird 

lima' = Go, alsolimy = 0. 

Fig. 16. 




Fig. 16. 



-^ 

Daraus erkennt man, dass sich y sprungweise ändert, wenn 
X den Werth passirt, und zwar springt y von bis 1. (Vergl. 
Fig. 15.) 

Sind X und y die rechtwinklichen 
Coordinaten eines Punktes P, so stellt 
die Gleichung (1.) eine Curve dar. Die 
Punkte P und Pi, welche den Werthen 
X und x^ entsprechen, werden einander 
beliebig nahe liegen, wenn die Func- 
tion für den betreffenden Werth von 
X stetig ist, und wenn x^ — x hinreichend 




§ 8. Begriff der Stetigkeit. 



39 



klein wird. Nach Voraussetzung wird nämlich y^ — y mit 
x^ — X zugleich verschwindend klein, folglich auch 

(6.) PPi = y(^i-^)^ + (yi-y)^. 

(Vergl. Fig. 16.) 

Der Verlauf der Curve, welche die Gleichung 

y ==/(^) 

hat, ist also im Punkte P ein stetiger (continuirUcherJ . Wird 
aber y^ — y nicht mit x^ — x zugleich verschwindend klein, so 
ist die Curve im Punkte P umteüg^ wie die Figuren 12, 13, 
14 und 15 zeigen, welche den oben angeführten Beispielen ent- 
sprechen. 

BemerknnsT« 

Eine Unstetigkeit der Function kann Bcheinhar auch dadurch ein- 
treten, daBB die Werthe von y imaginär werden, wenn x das IntervaU 
▼on xx bis x^ durchläuft. Ist z. B. 




Fig. 17. 

T 



80 ist y nur reell, so lange 
j;2^a2 ig^^ y -sKvs^ dagegen 
imaginär, wenn x^<a^ ist, 
wenn also 

— a < a: < + ö. 

Für die Werthe von x^^^^a 
bis d?ss= -f a wird also die Curve 
unterbrochen 9 wie man aus 
Figur 17 ersieht Trotzdem 
darf man diesen Fall nicht als 
eine Unstetigkeit betrachten, 
wie bei der Theorie der com- 

plexen Grössen gezeigt werden wird. Vorläufig kommt übrigens dieser 
Fall nicht in Betracht, weil nur reeUe Werthe der Functionen berück- 
sichtigt werden sollen, wenn nicht ausdrücklich das Gegentheil gesagt wird. 

Man kann den Begriff der Stetigkeit, ganz unabhängig von 
der geometiischen Anschauung, in folgender Weise erklären: 

Eine Function 

y =/(^) 
Jieisat für solche Werthe von x stetig^ für welche die Differenz 




40 § 8. Begriff der Stetigkeit. 

mit den positiven Grössen d und e zugleich verschwindend Mein 
wird. 

Ist z. B. 

1 

so wird 

1 1 —(<» + «) 



J = 



ic + e — a X — d — a (x — a)^ + (€ — d)(x — d) — de 

Dieser Ausdnick wird mit d und e zugleich verschwindend 
klein, so lange x von a verschieden ist. Wird aber x gleich a, 
so ist 

— oe € o 

ein Ausdruck, der für unendlich kleine Werthe von d und c 
sogai* unendlich gross wird. Die Function ist deshalb fiir x 
gleich a unstetig. 

Ist 

y = tga:, 

so wird 

^^ ^ ^^ ^ COS(a: + €) COS(a: — S) 

Dieser Ausdruck wird mit 6 und e zugleich unendlich klein, 
wenn 

"I^'^^ + i' 

denn dann ist cos 2; von verschieden. Wird aber x gleich 
-, so ist 



J = — sine, cos f - — d j = sind. 



cosC - + e 

also 

. __ — sin(d + e) _ — sindcose — cosdsing 

"" sind sine "" sindsine 

oder 

^ = — ctgd — ctge, 



§ 8. Begriff der Stetigkeit. 41 

ein Ausdruck, welcher für unendlich kleine Werthe von d und 
e gleich — ao wird. Die Function tga; ist daher für x gleich 

— unstetig. 



Ist 



1 



so wird 

____! ;l __ — 2x{d + £) + J2 _ ^2 

(a: + 6)2 (x — df^ {x + eflx — dy 

Für aUe Werthe von x^ welche von verschieden sind, 
wird dieser Ausdruck mit <^ und e zugleich verschwindend klein; 
ist aber a; = 0, so wird 

und nimmt beliebig grosse Werthe an, wenn 8 und e hinreichend 
klein und von einander verschieden sind; d. h. y wird für a; = 
unstetig. 



Ist 



m 



a 



X 



so wird 



1 + a 



1 1 

// = — — 



V 1 

l+a 1+0 

also für a: = wird 

1 1 

T ""7 

a a 



J = 



1 1 

7 ""7 



1 + a 1 + a 



Setzt man der Kürze wegen j = «, - = /J, so werden a 

und ß unendlich gross, wenn d und e unendlich klein werdea, 
und man erhält 



42 § 8. Begriff der Stetigkeit 



^- •' 


a 


1 






1 + J 


1+a 


1 + a 


-ß 


1+«-" 


Nun ist aber 










liTno~" = 

(Cboo 


lim— = 0, 


lima 

ßsstoo 


= \m 


i.=«. 


folglich wird 






> 





liin//= 1; 
d. h. y wird för a; = unstetig, 

Satz 1.*) Sind die Rincti(menf{x) und ff (x) in dem Intervall von 
Xx bis X2 endlich undstetiffy so sind auch die Functionen f{x) +g{x) 
und f{x) — g{x) in diesem Intervalle endlich und stetig. 

Beweis. Nach Voraussetzung werden 

(7.) Jx-='f{x + e)—f{x — d\J^ = g{x + e) — g{x — d) 
mit d und e zugleich verschwindend klein, folglich auch 

^^[f{x + e)±g{x + e)]--[f{x — S)±g{x — S)-\ = Jx±^'i' 

Satz 2. Sind die Functionen f{x) und g{x) in dem Inter- 
vall von x^ his x^ endlich und stetig^ so ist auch die Function 
F{x) :=f(x) . g(x) in diesem Intervalle endlich und stetig. 

Beweis. Wendet man dieselben Bezeichnungen an wie in 
den Gleichungen (7.), so erhält man 

J = F{x+B)—F{x—S) =f{x+e).g{x+e)—f{x—3).g{x—S) 
=f{x + e) . g(x + «) —/{x — S).g(x + e) 
+f(x — d).g(x + €) —f{x — S).g{x — S) 

= Jx • y (^ + «) + ^2 -/(^ — ^• 
Nach Voraussetzung sind/(a; — J), g{x + e) endliche Grössen, 
und -^1, J^ werden verschwindend klein zugleich mit ö und «, 
folglich auch J. ^ 



*) SoUten die hier folgenden Sätze 1 bis 14 dem Anfänger noch za 
schwer sein, so kennen sie vorläufig übergangen werden; der Leser 
mnss aber bei den späteren Untersuchungen beachten, dass die Stetig- 
keit der Functionen für die in Betracht kommenden Werthe von x vor- 
ausgesetzt wird, wenn nicht ausdrücklich das Gegentheil gesagt ist. 



§ 8. Begriff der Stetigkeit. 43 

Satz 3. Jede ganze rationale Function von x ist stetig für 
aüe endliche Werthe von x. 

Der Beweis folgt daraus, dass die ganzen rationalen Func- 
tionen aus der Veränderlichen x und aus constanten Grössen 
nur durch Addition, Subtraction und Multiplication gebildet 
werden. 

Satz 4. Sind die Functionen f{x) und g{x) in dem Intervall 
von x^ bis x^ endlich und stetig j und bleibt f{x) in diesem Intervalle 
entweder beständig positiv oder beständig negativ, so ist auch die 

(f(x\ 

Function F(x) = t^t-t in diesem Intervalle endlich und stetig. 

Beweis. Hier ist 

__ f(x —d).g(x + €) —f(x + g) . g{x — ä) 

/(^ + «) -/(^ - ^) 
_ f(x — d).g(x + €) —f(x — d).g(x — d) 

f{x + e) .f{x — S) 

fix J^ e).g{x — S) —fix — d).g(x — d) 
f{x + e).f{x—d) 

oder, wenn man dieselben Bezeichnungen anwendet wie in 
den Gleichungen (7.), 

__ ^2 -/(^ — d)—j^. gip^—S) 

Nach Voraussetzung sind/(a; — d), g(x — d) endliche Grössen, 
und J^j Ji werden mit d und e zugleich verschwindend klein, 
folglich auch J^ As^f{x — d) und/(a: + e) nach Voraussetzung 
von verschieden sind. 

O \X\ 

Satz 5. Der Quotient -xj-r zweier ganzen rationalen Func- 

tionen g{x) und f{x) wird nur für diejenigen Werthe von x 
unstetig^ für welche f(x) gleich wird. 

Der Beweis folgt unmittelbar aus Satz 4. 
Da man jede gebrochene rationale Function als Quotienten 
zweier ganzen rationalen Functionen darstellen kann, so findet 



44 § 8. Begriff der Stetigkeit. 

man aus Satz 5, für welche Werthe von x die gebrochenen 
rationalen Functionen stetig sind oder nicht. 

Satz 6. Die rf^ Wurzel aus einer endlichen stetigen Ficno 
tum f{pc) ist wieder endlich und stetig,*) 
Beweis. Nach Voraussetzung wird 

^1 =/(^ + €)— /(^ — <J) 
mit d und e zugleich verschwindend klein. Setzt man nun 

y/(^ + «) = t., ^fix^^^v, 

so ist nachzuweisen, dass auch 

j = u — f? 
verschwindend klein wird. 

Ist zunächst f(x)SO, so kann man d und e so klein 
machen, dass f{x + e) und f(x — d) dasselbe Zeichen haben 
wie/(;r); dann muss man auch den Grössen u und v das gleiche 
Zeichen geben. Deshalb sind in 

W* V^ z= (u — t?) (w*»~^ + «"-2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ Wü*»""^ + t?**""*) 

die Grossen u^\ u^-H^ ...u ü**-^, t?«*-^ alle von verschieden 
und haben sämmtlich dasselbe Vorzeichen, folglich ist 
S = u»-i + w^^o + • • . + «t>**-2 + ^n-i g 0, 
und 

«•* — V^ Ja 
/§ :=: U t? = I ^ = -~ 

8 8 

wird mit d und e zugleich verschwindend klein. 

Ist f{x) = 0, so sind f{x + e) und f(x — S) einzeln be- 
liebig klein für hinreichend kleine Werthe von d und e, folglich 
auch u^ V und ^, wobei vorausgesetzt wird, dass u und v beide 
noch reelle Grössen sind. 

Dieser Satz giebt Aufechluss über die Stetigkeit der irra- 
tionalen Functionen. 

Satz 7. Die Functionen sinrz; und cos^r sir^ für alle 
Werthe von x stetig. 

Beweis. Für y = sin^r wird 

J = sin(a; + €) — sm(x — d) =^ 2sin^ 'T f cos(x + ^~ j • 

*) I$t n gerade, 80 möge bei diesem Satze x auf solche Werthe 
beschränkt werden, für welche f{x) > ist. 



§ 8, Begrijff der Stetigkeit. 45 

Dabei liegt cos^a^H — ^i"-) zwischen — 1 und + 1, und 

sin( T^ j wird nach Formel Nr. 1 der Tabelle mit d und e 

zugleich verschwindend klein, folglich auch J, 
Für y = cosir wird 

j = cos(a; + e) — cos(a; — (J) = — 2sinf — ^jsm(x + ^-^y 

Auch hier liegt sin^ic + ~ j zwischen — 1 und + 1, 

und sinf "t j wird mit d und e verachwindend klein, folg- 
lich auch J. 

Satz 8. Die Function tffa; = wird nur für diejeni- 

ffen Werthe von x unstetig^ für welche cosa; gleich wird^ also 

für o; = ± ^, ± -TT^ ± -?r-> • • • > ^^^ <^«^ Function ctg:r = — : — 
•^ 2' 2 2 ' ' ^ sm:r 

t«?trrf nwr für diejenigen Werthe von x unstetig ^ für welche 

sinx = toird, also für x= 0, ± 7t, ± 27r, • . . • 

Der Beweis folgt ohne Weiteres aus Satz 5. 

Satz 9. Die Function a* ist stetig für alle endlichen 
Werthe von x. 

Beweis. Für y = a' ist 

J = ««+• — a*-<^ =a'' .a* y = a'ia* jY 

Nun ist 

lima^' = 1, lima* = 1, 

folglich wird J mit d und e zugleich verschwindend klein. 

Satz 10. Die Functionen arc sinrr und arc coso; sind stetig, 
wenn — l<a:<-fl ist. 

Beweis. Ist y = arc sin 2;, so wird 

-^ = arc sin(a; + €) — arc sin(a; — J) = w — r, 
indem man 

w = arc sin(a: + e), i? = arc sin(a; — S) 



46 § 8. Begriff der Stetigkeit. 

setzt. Dabei kann man <^ und e so klein machen, dass auch 
— l<X'^d<x + e<+ 1 ist. Dies giebt 

sin « = a: + 6, sin f? = a: — d, 

wobei u und v so gewählt werden müssen, dass 



also 






— 7r<u + ü < + :^,. oder — ^ < — |— < + 2 



Nun wird 
smu — smt? = d + 6 = 2sin( — 5 — Icosf — - — j, 

— -— ) = 7-7-rj ^ = «— «? = 2arcsm/ J , . \> 



sm 



(4/ >i. 2?\ 
— ^ — \ von verschieden ist, so wird 



2 cos 



(:-¥) 



mit ö und e zugleich verschwindend klein, also auch J. 

Dadurch ist die Stetigkeit der Function arcsina; bewiesen, 
aus der sich auch die Stetigkeit von arccosa: in folgender 
Weise ergiebt. Es sei 

y = arc sina;, z = arc cosar, 
dann wird 

X = siny = cos«. 
Hieraus folgt 

« = — — y, oder arc cos a; = — — arcsina;, 

und zwar durchläuft z alle Werthe von nr bis 0, wenn y alle 

Werthe von — -^ bis +- durchläuft. 

Satz 11. Die Functionen arctga: und arcctga: sind für 
alle endlichen Werthe von x stetig. 

Beweis- Ist y = arc tga:, so wird 

j =z arc tg(a: + e) — arc tg(a; — <J) = w — v, 
indem man 



§ 8. Begriff der Stetigkeit. 47 

w Ä arc tg(a; + €), t? = arc tg(x — d) 
setzt. Dabei kann man u und v so wählen, dass 

ist. Dies giebt 

tg« = a: + «> tg«? = a; — (J, 
, , • , sin(M — v) 

tflfW tgt? = () + € = ^^ ^ j 

sin(w — ü) = (d + «) . cosu coso, 

// = « — 1> = arc sin[((J + «) . cosw cos©], 

folglich wird J mit i und e zugleich verschwindend klein. 

Aus der Stetigkeit von arctg^; ergiebt sich dann auch die 
Stetigkeit von arc ctga; in folgender Weise. Es sei 

y = arc tga;, z = arc ctga:, 

dann wird 

a: = tgy = ctg«. 

Hieraus folgt 

« = — — y, oder arcctga; = — — arctga:, 
und zwar durchläuft z alle Werthe von n bis 0, wenn y aUe 
Werthe von — ^ bis +-5 durchläuft. 

Satz 12. 2>i« Function \^%x ist stetig für aUe endlichen^ 
positiven Werthe von x. 

Beweis. Ist y = log:r, so wird 

^ = l0g(^ + «)-l0g(^-(J) = l0g(j±5)==:l0g(l+^^). 

Da nun 

lim log (1 + ^4") = log 1 = 
ist, so wird ^ mit <J und e zugleich verschwindend klein. 

Bei den folgenden Betrachtungen ist es von grosser Wichtig- 
keit, ob die Functionen, mit denen man opeiirt, stetig sind oder 
nicht, weil die meisten Sätze, die hergeleitet werden sollen, nur 
für stetige Functionen gelten. 



48 § 8. Begriff der Stetigkeit. 

Satz 13. Ist die Function f{x) für alle Werthe von x 
zwischen x^ und x^ reell und stetig^ und ist 

fM<o,fix2)>o, 

SO gieht es zwischen x^ und x^ mindestens einen Werth von x, 
für welchen f{x) gleich toird. 

Beweis. Am leichtesten erkennt man die Bichtigkeit des 
Satzes aus der geometrischen Darstellung. Setzt man nämlich 

so entspricht den Coordinaten x^, y^ ein Punkt P^ auf der nega- 
tiven Seite, und den Coordinaten x^^ y^ entspricht ein Punkt P^ 
j,. 13 auf der positiven Seite der X-Axe 

(vergl. Mg. 18). Da nun die 
Curve, welche der Gleichung 
y=/(a:) entspricht, zwischen den 
Punkten P^ und P^ stetig verläuft, 
so muss sie die X-Axe zwischai 
den Punkten Qj und Q^ minde- 
stens in einem Punkte Q schneiden, 
um von der negativen Seite der 
X-Axe auf die positive zu ge- 
langen. OQ^x ist dann der Werth von a;, ftr welchen 
f{x) = wird. 

Man kann aber den Beweis auch unabhängig von der geo- 
metrischen Darstellung führen. 

Es sei iC2 > a?!, und es werde die Differenz x^ — x^ m zwei 
gleiche Theile h getheilt, so dass 

X<\ ~~"~ X* 

X2 — a?! = 2Ä, oder h = —2— — L 

wird. Ist f{xi + Ä) == 0, so ist der Satz schon bewiesen ; ist 
dagegen f{x^ + ä) > 0, so setze man 

iPj = iCg, rCj -j- Ä = x^j 

und ist f(x^ + Ä) < 0, so setze man 

iCj -|- Ä = a^j Xi + 2Ä ^ a:2 = x^* 

In beiden Fällen ist 

/(^) < 0, fix,) > 0, 




§ 8. Begriff der Stetigkeit 49 

wobei aber das Intervall von x^ bis x^ halb so gross ist wie 
das zwischen x^ und x^. Setzt man jetzt 

^4 — ^3 = 2Äi , oder h^ = ^ ^ "^ , 

so ist der Satz bewiesen, wenn f{x^ + ä^) = wii*d. Ist da- 
g^en f{x^ + Äj) > 0, so setze man 

^ = ^6j ^ + *1 = ^6 j 

und ist/(a:3 + Ai)< 0, so setze man 

a^ + ^1 = ^6? ^3 + 2*1 = 3:4 = a-ß. 

In beiden Fällen ist 

/(^6)<0, /(^)>0, 
wobei aber das Intervall zwischen x^ und Xf^ viermal kleiner ist 
als das Intervall zwischen x^ und x^. 

In dieser Weise kann man fortfahren und findet entweder 
f(x%n^\ + *»-.i) = 0, oder 

/(^« + i)<0, /(a:2„ + 2)>0, 

wobei das Intervall zwischen 3:2« + 1 und xin-k-i (2*)*'" mal kleiner 
ist als das zwischen x^ und x^. Da aber die Function für die 
betrachteten Werthe von x stetig ist, so wird der Unterschied 
zwischen /(a:2n + i) und/(a;2n+2) beliebig klein, wenn man nur 
n hinreichend gross macht, folglich ist erst recht der Unterschied 
zwischen und/(a;2n + i), oder zwischen und/(:r5H + 2) be- 
liebig klein, d. h. 

lim/(^2n + 1) = lini/(a:2H + 2) = 0. 



n = OD H= OD 



Der Satz gilt auch noch, wenn 

f{x;)>0 und /(^)<0 

ist. Der Beweis wird dann in ganz ähnlicher Weise geführt 
wie vorhin. 

Hieraus erhält man unmittelbar noch folgenden allgemeineren 

Satz 14. Ist die Rinction f{x) für aUe Werthe von x 
zwischen x^ und x^ reell und stetig y so toird f{x) Jeden Werth 
zwischen /(x^) und f{x^ mindestens einmal annehmen ^ wenn x 
alle fVerthe ztoischen x^ und x^ durchläuft 

Stegemann -Kiepert, DifferentuJ-Beohnnng. 4 



50 § 8. Begriff der Stetigkeit. 

Beweis. Ist b irgend ein Werth zwischen f(z^) und /(x^), 
ist also entweder 

oder 

f(x,)>b>f(x^), 
so bilde man die Function 

Fix)^f{x)-b, 

welche zwischen x^ und X2 stetig ist, und welche zwischen x^ 
und X2 sicher das Zeichen wechselt. 

Für F{x) gelten daher genau dieselben Voraussetzungen wie 
in dem vorigen Satze für f(x). Deshalb giebt es in dem Intervall 
von a?! bis X2 mindestens einen Werth von x, für welchen F(x) 
gleich wird. Dieser Werth sei a, dann ist 

l^(a) =/(«)- Ä = 0, 

also 

was zu beweisen war. 



Hülfssätze aus der algebraischen Analysis. 



(1-) 



§9- 

Der binomische Leiirsatz fOr positive ganzzalilige 

Exponenten. 

(VergL die Formel-T»belle Nr. 6—10.) 

Es sei 

n\ n(n — l)(n — 2)...in — k+l) 

WO k eine positive ganze Zahl sein möge, während n auch ne- 
gativ und gebrochen sem darf, dann gelten folgende Sätze: 

Satz 1. 

(-) ©+G-0=CtO- 

Der Beweis möge zunächst für einige besondere Fälle 
durchgeführt werden. 

1. Beispiel. Es ist 

10 . 9 . 8 



/10\ /10\ __ 10 ■ 9 . 8 . 7 
V4/"^V3/ 1,2.3.4 



+ 



1.2.3 



10.9.8.7 10.9.8.4 



1.2.3.4 ' 1.2.3.4 

_ 10. 9. 8 (7 + 4) _ 11.10.9.8 _ (\1 
"~ 1.2.3.4 "" 1.2.3.4 



Q 



52 § 9. Der binomische Lehrsatz fClr positive ganzzahlige Exponenten. 

2. Beispiel. Es ist 



9.8.7.6.5.4.8 9.8.7.6.5.4 

1.2.3.4.5.6.7 "^ 1.2.3.4.5.6 

__ 9.8.7.6.5.4.3 9.8.7.6.5.4.7 

■" 1.2.3.4.5.6.7 "^ 1.2.3.4.5.6.7 

_ 9. 8. 7. 6. 5. 4 (3 + 7) _ 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4 

"" 1.2.3.4.5.6.7 "" 1.2.3.4.5.6.7 



= o- 



Allgemeiner Beweis. Es ist 

/n\ / n \ n(n — l)...in — k + 2)(n — A+i) 
W U— 1/ 1.2...(A — 1)* 

n{n — l)...{n — k + 2) 
■^ 1.2...(A— 1) 

_ n{n — l)..,(n — k + 2)(n — k+l) 
"" 1 . 2 . . . (Ä — 1) Ä 

w(;> — l)...(n — A + 2)A 
■*■ 1.2...(>fe — 1)A 

_ n (n — 1) . . . (n — ^+ 2) (n — ^ + 1 + ^) 
"^ 1 . 2 . 3 . . . (Ä — 1) >fe 

_ {n+l)n{n—i)...{n+l—k+i) _ /» 4- 1\ 
"■ 1.2.3...(A— 1)* ""V * / 

Ist n eine positive, ganze Zahl, so folgt aus Gleichung (1.) 
unmittelbar noch der folgende Satz 2: 

Aach hier möge der Beweis des Satzes zunächst durch ein 
Zahlenbeispiel erläutert werden. Es ist 



8\ 




8. 


.7, 


.6. 


,5 


.4 




8. 


7. 


6. 


.5 


.4 


3. 


,2. 


1 


sj 




1, 


,2, 


.8. 


,4 


.0 




1. 


2. 


3. 


.4 


.5 


1, 


,2. 


3 






8_, 


.7, 


.6 


• « 


5.4 


.3 


.2 


.1 






8.7 


A 




( 



1.2.3 



§ 9. Der binomische Lehrsatz für positive ganzzahlige Exponenten. 53 

Allgemeiner Beweis. Es ist 

/n\ n(n—l)(n'-'2).,.(n — k+l) 
W "" 1 . 2 . 3 . . . A 

_ n(n—l)(n — 2)...(n—i + l) (»— ^0(n— A — 1)...3.2. 1 
"" 1 . 2 . 3 . . . A 1 . 2 . 3 . . . (n — A) 

n (n— 1) (n — 2) . , . {k + 1) i(i — l)...3.2.1 
"■ 1.2.3...(n — A) * 1 .2.3. ..(* — 1)A 

^(w — l)(n — 2)...(^+ 1) 
"~ 1.2.3...(n — A) ' 

oder, da Ä + 1 gleich n — (n — A) + 1 ist, 

{i)^\n-k) 
Der Gleichung (3) entsprechend, setze man 

dann gilt die Gleichung (2.) auch noch für ^ = 1, d. h. es wird 

Satz 3. JVenn m eine positive, ganze Zahl ist, so toird 
(4.) (l+x)-=l+(7)»; + (^y+(^)«»+... 

Beweis. Der Satz ist sicher richtig für m = 1, 2, 3, denn 
man erhält der Reihe nach 

(1 + a:)» = 1 + X, 

(1 + ^)2= 1 + 2a: + ^'= 1 +(i)^ + (2)^^ 



{l + xy^l + Sx + Sx^ + x^^l + Qx + Qx^ '^(I)^^' 



Dass die Gleichung (4.) allgemein richtig ist, findet man 
durch den Schluss von n auf » + 1- Es werde nämlich voraus- 
gesetzt, dass sie für einen bestimmten Werth von m, nämlich 



54 § 9. Der binomische Lehrsatz für positive ganzzahlige Exponenten. 

für m gleich n, richtig sei, dann kann bewiesen werden, dass 
sie auch für m gleich « + 1 richtig ist. 
Aus der Gleichung 

(n-)-=i+(i>+(2>+ •+G^iy-'+6y+- 

folgt durch Mnltiplicatioii mit 1 + a; 

(5.) (1 + xy.-^y = 



nun ist aber nach Gleichung (2.) und (2 a.) 

C) + («) = Ct'). 
+ = Ct'). 



o+G-:)=cr). 

folglich erhält man dadurch, dass man auf der rechten Seite in 
Gleichung (5.) die unter einanderstehenden Glieder vereinigt, 

(5a.) (1 +x)'H-> = 1 +(» + 1)^ + («+ 1)^:2+ ... 

Gilt also der vorstehende Satz, welcher der binomische Lehr- 
satz genannt wird, für m = 8, so gilt er auch für m == 4, und 
daraus folgt wieder, dass er auch für m = 5 gilt. So kann man 
fortfahren und die Gültigkeit des Satzes for alle Fälle beweisen, 
in denen m eine positive^ ganze Zahl ist. 



§ 9. Der binomisclie Lehrsatz für positive ganzzahlige Exponenten* 55 

Bemerknngeo. 

1. £b wird später gezeigt werden, dass die Gleicliung 

(H-«)« = l + (^« + (J)«« + (J)x» + ... 

unter der Yoraassetzung 

-l<x<+l 

anch nocli riclitig bleibt, wenn m Iceine potitwe^ ganze Zalil ist. In 
dem Falle aber, wo m eine positive, gehroehene, oder eine negative (ganze 
oder gebrochene) Zahl ist, hat die rechte Seite eine unendliche iüizahl 
von Gliedern und ist ein besonderer Fall der IViy/or'schen Beihe. 

2. Die Coef&oienten in der Entwickelang von (1 + ^)"*» ftlso die 
Grössen 

werden Binonual-CoeJ^ieienten genannt. 

3. Das Ftodnct aller ganzen Zahlen von 1 bis k wird A;-Facaltät ge- 
nannt nnd mit k ! bezeichnet Es ist daher 

Ä! = 1.2.3...(Ä — 1)Ä, 
und da 

(ik — 1)! = 1.2.3...(Ä; — 1) 

ist, so besteht die Gleichung 

Ä! = (Ä — 1)!Ä. 

Durch Anwendung der Formel [vergl. Gleichung (3.)] 

\i) ^ \m — k) 

kann man, immer unter der Voraussetzung, dass m eme positive, 
ganze Zahl ist, die Gleichung (4.) noch auf eine ein&chere 
Form bringen; es wird nämlich 

C)-. C-0=(T). (--.)=©•■■• 

und deshalb 

(1 + x)'^ = 

Es sind also je zwei Coefficienten in der Enttcicielunff nach 
dem binomischen Lehrsatze einander gleich^ wenn sie zu GUedem 
gehören j ton denen das eine ebenso weit vom Anfange wie das 
andere vom Ende absteht. 



(6.) 



56 § 9. Der binomische Leihrsatz für poBitlve ganzzahlige Exponenten. 

Beispiele. 

(1 + a:)* = 1 + 5a: + lOa:« + 10a:» + 5a:* + x^, 

(1 + a:)« = 1 + 6a: + 15a:2 ^ 20a;» + 15a:4 ^ ß^b + a:«, 

(1 + a:)' = 1 + 7a: + 21a:2 4. 35^3 + 35^4 4, 21a:» + 7a:« + a:', 

Setzt man in Gleichung (6.) 

b 

a: = — 
a 

und multiplicirt beide Seiten der Gleichung mit a~, so erhält 
man 



+ 

oder 






(7.) (a + Ä)" = a" + (^) a«»-! Ä + (^) a«-2ft2 + . . 

+ (2) «^**~^ + (7) ^*"^' + *~- 

Satz 4. Diiß Potenz eines unäckten Bruches toird beliebig 
grosSj wenn man den Exponenten hinreichend gross macht. 

Beweis. Es sei 

Ä>a>0, also J — a = c>0, Ä = a + c, 

b c 

dann ist — ein unächter Bruch. Bezeichnet man — mit x, so 
a a 

ist X gleichfalls positiv, und man erhält 

b a -^ c c 

(i)-= (1+.)-= i+-.+!^(^..+^^^^=^^.»+... , 

folglich ist 



§ 9. Der binomische Lehrsatz fär positive ganzzahlige Exponenten. 57 

denn die Gheder ^ — -x^^ —^ — ^^ -x^, ... sind 

alle positiv, wenn m eine positive ganze Zahl ist. 

Da man nun aber durch passende Wahl von m den Ans- 

drack 1 + mx beliebig gross machen kann, so wird f — j für 

hinreichend grosse Werthe von m erat recht beliebig gross, oder 
mit anderen Worten: 

~ j unendlich gross. 

Satz 5. Die Potenz eines ächten Bruches wird beliebig 
klein^ wenn man den Exponenten hinreichend gross macht. 

Beweis. Es sei jetzt 

a>b> 0, also a — i = rf>0, a = J + cf, 

dann ist — ein ächter Brach. Bezeichnet man -r mit x, so ist 
a o 

X gleichfalls positiv^ und man erhält 

* Ä 1 1 



also 



a b + d ^ . d 1 +x ' 
/6 y _ / 1 \*~ _ 1 

W "^ Vi + ^/ "" (1 + xy^' 

Nun ist wieder, wie vorhin 

{1 '\- xY> l + mx, 



/by ^ 1 1 

^ ^ W "~ (1 + :r)- ^ r+" 



971 :r 



Da man nun aber durch passende Wahl von m den Aus- 
druck 1 + mx beliebig gross, also t—. beliebig klein machen 

1 -f- mx 

-j fiär hinreichend grosse Werthe von m erat 
recht beliebig klein, oder mit anderen Worten: 

— j unendlich klein. 



58 § 10. Geometrische Progressionen. 

Die Sätze 4 und 5 sind zunächst unter der Voraussetzung 
bewiesen worden , dass — positiv ist, weil aber 

(-^)"=°(-')-©'=±e)' 

wird, so gelten sie auch noch, wenn — negativ ist. 



§ 10. 

Geometrische Progressionen. 

(Vergl. die Formel-TabeUe Kr. 11, IIa und 12.) 

Die Beihe der Zahlen 

Aj Ap^ Ap^, . . . Ap*^^^ 

nennt man eine geometrische Reihe oder geometrische Progression. 
Die Anzahl ihrer Glieder beträgt n, und die Sunune derselben 
ist leicht zu bilden. Setzt man nämlich 

(1.) S= A + Ap + Ap'^ + , ..-{- Af\ 

so wird 

pS— Ap + Ap^ + .., + Ap""-^ + Ap*", 

also 

S—pS—S{l—p) = A — Ap"", 

(2.) s=^['-n 

^ 1 — p. 

Beispiel. Es sei 
dann wird 

1 — 



X ^ ' V ar^V ar," — x^ 
—, «J = = 

Xa ^ X X* ""~~ X 



Xi 



Noch leichter findet man dieses Eesultat in folgender Weise. 
Es ist 

Sx^ = arj* + a^i"""^ + x^x^*^"^^ + . . . + x^^^Xi, 

Sx = xx^^"^ + x'^xx^"^ + . . . + x^-'^x^ + ^^ 



§ 10. Geometaische Progressionen. 59 

also 

Sxi — aSi: = S{xi — x) = a?|* — sf^, 
oder 



(4.) 8^'=^ 



Xa^ X^ 



X* """■ X 

Bisher war stillschweigend vorausgesetzt worden, dass n eine 
endliche (positnre, ganze) Zahl ist. Wenn aber p ein ächter 
Brach ist, so behält S auch noch eine bestimmte Bedeatmig, 
wenn n unendlich gross wird. Es ist dann nämlich nach Satz 5 
des vorhergehenden Paragraphen 

limp" = 0, 
folglich wird 

(5.) S = --^. 

1 — p 

Beispiele. 1) Es ist 

2 

wächst n in's Unbegrenzte, so wird lim T^ j = 0, also 

i + l + I + ^+--=2- 

2) Es ist 

^^3 ^9 ^•••^3—' 1 2L V3/J' 

3 

wächst n in's Unbegrenzte , so wii*d lim ( — ) = 0, also 

3^9^ 27^" 2 



60 § 11. Erklärung der Zahl e. 

3) Es ist 

11 1 

0,1111 ...=T?^ + T7r7;+...+ 



10 ' 100 ' ' 10" 



7 vioy 7r, /iv] 



10 

1 — 

10 

wächst n in's ünbegi^enzte , so wird lim ( — ) == 0, also 

0,7777...=^. 

9 

Bemerknnir* 

Die Summe 

hat unendlich viele Glieder, aber trotzdem einen endlichen Werth. Man 
nennt eine Bolche Summe mit unendlich vielen Gliedern, welche trotzdem 
einen bestimmten, endlichen Werth hat, eine convergente (unendliche) 
Reihe. Später wird noch ansflihrlich von der Oonvergenz der Seihen 
die Rede sein. 



§11. 

Erklärung der Zahl e. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 13 und 14.) 

Setzt man in 

/i I \« 11^ I n(n — i) « , n(n — 1)(« — 2) , , 
(1+^) =l + r*+ 172-^'+ 17273 ^'+- 

. n(n — l) (« — 2)...(» — ^+l) _t . 
■^ 1.2.S...A "^••• 

X gleich — , so erhält man 

rn^'t I ^V-i I "^ , »("-!) 1 , «(«-!) (»-2) 1 

n(n—i)(n — 2)...(n — k + i) 1_ 
"*" 1.2.3..,y6 ■«*"'■••• 



§ 11. Erklflmng der Zahl e. 61 

- 1 + i + 1 + 1 2£A_^+ 

~ ^ 1 ^ 1.2 ^ 1.2.3 ■•• 

■^ 1.2.3...A +.... 

Es soll nun der Werth von M H — j bestimmt werden^ 

wenn n unendlich gross wird, wobei aber n zunächst auf ffanz- 
zahUge Werthe beschränkt sein möge. 

Bezeichnet man den gesuchten Grenzwerth mit <?, so ist alsa 

(2.) . = lim (l + iy . 

Zur Berechnung dieses Grenzwerthes trenne man auf der 
rechten Seite von Gleichung (1.) die ersten k + l Glieder ah 
und nenne ihre Summe /S^, während die Summe aller übrigen 
Glieder Su heissen möge; es ist dann 

i_i (,_i)(i_a) 

(3.) s, = . + 1 + _Jl + !^_i!A__^ ^ 

, 0-^)(-l)-('-^) 

l.A*Ö.«.A? 

(A\ o <_ v n) \ n)"'\ n ) \ n) ^ 

^*-'' '^* - 1 . 2 . 8 . . . >i(>i + 1) "•■■•• 

and 

(5.) e = lim Äj + lim S^'. 

unter der Voraussetzung, dass h eine endliche Zahl ist, 
werden die Grössen 

12 3 k—\ 



— ) 



n n n n 

sämmtlich unendlich klein, wenn n unendlich gross wird; di& 
Factoren 



62 § 11. Erklärung der Zahl e. 

i_l, i_i, i_i, ...i_* 



n n n n 

werden deshalb alle gleich 1, und man erhält 

liiniS'* = l+i+,-iTr+ . i o + . - . + ^ 



1 ^ 1.2 ' 1.2.3 ' '" ^ 1.2.3...A' 
oder 

(6.) iiin-S» = l + l + l + l+ ... + ~ 

Denselben Schluss darf man aber nicht bei den sämmtlichen 
Gliedern von Sk* machen, denn in den späteren Gliedern von 
Sk' hat der Zähler auch Factoren von der Form 

n 

bei denen nicht nur n unendlich gross wird, sondern auch m. 
Ist z. B. m gleich ^n, so wird stets, wie gross auch n werd^ mag, 

l-^ = l-i = i- 
n 2 2' 

und ist w>2J ^ wird sogar lim— >-, also 



.'ä('-?)<r 



Wollte man daher auch bei den sämmtlichen Gliedern von 
Su' die Factoren der Zähler alle gleich 1 setzen, so wärde man 
die Zähler zu gross machen. Setzt man trotzdem die Factoren 
der Zähler alle gleich 1, so wird aus der Gleichung (4.) eine 
Ungleichung^ nämlich 

(7.) lim*»'<^-^q^ + (j^p-2yi+p-qr3)I+---' 
oder, weil 

(A + 2)! = (*+l)I (Ä + 2), 

{k 4- 3)! = (A + 1)! {k + 2) (* + 3), 



ist, 

(7a.) li°^^*'<(^[l + r^ + (^ + 2H>fe + 3) +•••]• 



§ 11. ErMärong der Zahl e. 63 

Nun ist aber 

1 1 1 1 

Ä + 2 < A + l' (* + 2) (A + 3) ^ (A + 1)J ' • * • ' 

folglich wird die Ungleichung (7 a.) noch verstärkt, wenn man 

setzt. Dadurch erhält man 

(8.) ^S,'<^^[l + ^ + jj^+..]. 

Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist hierbei eine 
geometrische Progression 

die sich bis ins Unendliche erstreckt, deren Summe sich aber 
leicht bilden lässt, weil 

ist; und zwar wird nach Formel Nr. IIa der Tabelle diese 
Summe gleich 

^^•^ 1 -p " ^_ 1 - ^T 



i+ 1 
Daraus folgt 

lim Sh < TT — : — TTT ' — i — 

(A+ 1)! i 
oder, da {A + 1)! gleich kl (* + 1) ist, 

(10.) lim Su' < ~ 

Nach Gleichung (5.) ist daher 
(11.) lim*Ä<^<lim-Sik + ~ 



»=» l»=S30 



Nun wird aber für hinreichend grosse Werthe von i die 
Grösse -ttt beliebig klein, so dass man e zwischen zwei Grenzen 
gebracht hat, die einander beliebig nahe liegen, ja diese Grenzen 



64 § 11. £rklänmg der Zahl e. 

fallen sogar zusammen, wenn man jetzt auch ^ unendlich gross 
werden lässt. Es ist daher 

(12.) e^ = lim(l + ^y = i + 1 + l + Jj + ...minf. 

Kommt es nur darauf an, die Zahl e bis auf eine bestimmte 
Anzahl von Decimalstellen genau zu berechnen, so genügen schon 
verhältnissmässig wenige Glieder der Eeihe auf der rechten Seite 
von Gleichung (12.). Will man z. B. e bis auf 10 Decimal- 
stellen genau finden, so genügen schon die ersten 16 Glieder 
der Beihe. Es ist nämlich, wenn man zunächst 12 Decimal- 
stellen berücksichtigt, 



^^^. 


= 


2 


1 

2! 


= 


0,5 


1 
3! 


= 


0,166666666667 


1 

4! 


= 


0,041 666 666 667 


1 
5! 

• 


= 


0,008333333333 


1 
6! 


= 


0,001 388 888 889 


1 

7! 


= 


0,000198412698 


1 

8! 


= 


0,000024801587 


1 
9! 


= 


0,000002755732 


1 
10! 





0,000000275573 


1 
11! 


=: 


0,000000025052 


1 
12! 


=: 


0,000000002088 



§ 11. Erklärung der Zahl e, 65 

-i- = 0,000000000161 
lo ! 

7^-: = 0,000000000 011 
14! 

~ ^ 0,000000000 001 
15! 

also 

(13.) e = 2,718281828459. 

Hierdurch ist e ohne Zweifel auf 10 Decimalstellen genau 
berechnet, denn der Unterschied zwischen e und der Summe 

^^l!^2!^3!^"*^ 15! 
ist (unter Berücksichtigung Von 14 Decimalstellen) 

li^ ^1 5 ^ ITTF = 0,000 000 000 000 05 
«=x> 15! lo 

imd kommt daher bei den ersten 12 Decimalstellen nicht in Be- 
tracht. Dagegen können die 11*® und die 12*® Decimalstelle 
dadurch fehlerhaft geworden sein, dass bei Summirung der 16 
Glieder die auf die 12*® Decimalstelle folgenden Stellen ver- 
Aachlässigt worden sind. Dieser Fehler ist aber bei jedem der 
Glieder in der 12*®" Decimalstelle kleiner als |, so dass der 
Gesammtfehler kleiner als 

16.i = 8 

sein muss. Im Allgemeinen wird der gesammte Fehler, welcher 
bei solchen Eechnungen durch Fortlassung der späteren Decimal- 
stellen begangen wird, noch viel kleiner sein, als das hier an- 
gedeutete Verfahren ergeben würde, weil die einzelnen Fehler 
verschiedenes Zeichen haben und sich in Folge dessen wenig- 
stens theilweise gegen einander fortheben. 

In der soeben ausgeführten Berechnung der Zahl e ist z. B. 
der gesammte Fehler bei der 12*®" Decimalstelle nicht 8 sondern 
0, wie sich aus der Berücksichtigung der späteren Decimalstellen 
ergiebt. Die Gleichung (13.) enthält daher die Zahl e bis auf 
12 Decimalstellen genau. 

Stegemann -Kiepert, Differential-Heohnxmg c 



66 § 11, Erklärung der Kahl e. 

Es war vorhin angenommen worden, dass n eine positive 
ganze Zahl sei. Von dieser Voraussetzung kann man sich noch 
frei machen. Liegt nämlich n zwischen den positiven ganzen 
Zahlen m und m + 1, ist also 

m<w<m + 1, 
so wird 

m n m + 1 
und 

1 1 1 

1 + - > l+r >1 + 



m n m + 1 



Da die Potenz eines unächten Bruchas mit dem Exponenten 
zugleich wächst, so wird 

,^,^ ; ('+4)'^'>0+ä">0+J)". 

0+D'^('+STl)"='('+^)" 



Nun ist 

1 V «w + 1 

Lim ^ 1 -[- 



lim (\ + i-V' "*"*= lim fl + ~V Um (l + -T = e, . 



limA + -^y = lim ?_- . lim fl + -i— V = e, 

m = oDV m + lj m = x. , 1 V W+1/ 

folglich gehen die Ungleichungen (14.) über in 

(14a) ij^Umfl + -y^ö, 

oder 

Die Zahl e spielt eine sehr wichtige Eolle in der liöheren 
Mathematik; sie ist die Basis der sogenannten natürlichen 
Logarithmen. Welche Vorzüge das Logarithmen -System mit 
dieser Basis besitzt, soll an einer späteren Stelle gezeigt 
werden. 



§ 11. Erklärung der Zahl 4. 6? 

Man hätte übrigens die Zahl e auch durch die Gleichung 



6 = lim('l— -") 



erklären können. Es ist nämlich 



■ ('-r=c-^r"=(^)". 

oder, wenn man n — 1 gleich m setzt, 

(-r=m'^'=o+r'=o+^)o+^)"- 

Wird n unendlich gross, so gilt dasselbe von m, folglich ist 
lim ('i — iy "=lim (l + - Vi + -T= lim ^1 + -T = e. 

Satz. Die Zahl e ist keine rationale Zahl, d, h. es ist 
nicht möglich, e auf die Form -r zu bringen, so dass k und l 
ganze Zahlen sind. 

Beweis. Wäre 

__l_ _ l(& — 1)! _ lß—l) \ 
^~ k ~ (k—\)\k ~ k\ ' 

so wäre nach dem Yorhei^henden 



^ -4- 1 4- 4- 1 ^ ^(^-1)! ^ 1 . 1 4. 1 



+ i+ ' 



k\ ' k\k' 

oder, wenn man diese doppelte Ungleichung mit k\ multiplicirt 
und die ganze Zahl 

u.k\.k\. ._*!.*! 

^*' "^ n "^ 2! "^ • • ' ^ {k—\)\ "*" k\ 



mit A bezeichnet. 



5* 



68 § 11. Erkläiiing der Zahl «. 



oder 



A<l{&-l)\<A + l:, 



0</(* — 1)!— ^<i- 



Es mflsste also zwischen und j noch eine positive ganze 
Zahl 1{A — 1)! — A liegen, und das ist unmöglich. 



Differential-Rechnung. 



Erster Theil. 

FoDetionen tod einer oDabhäDgigen VeräDderliehen. 



I. Abschnitt. 

Erkläning und Bildung der Differential- 
Quotienten. 

§ 12. 

Bildung des Differential-Quotienten einer stetigen Function 

(VergL die Formel-Tabelle Nr. 15.) 

Es sei die Function 

(1.) y =/(^) 

für die betrachteten Werthe der unabhängigen Veränderlichen z 
(des Argumentes) stetig. Setzt man also 

(2.) yi=/(^i), 

so sollen die Differenzen 

(3.) ÄTj — z^=^ Jx und yx — y r=. Jy 

gleichzeitig verschwindend klein werden. Den Quotienten dieser 
Differenzen Jx und Jy^ nämlich 

(4.) ^ = yi—y 

^X Xa X 



70 § 12. Bildung des Differential-Quotienten u. s. w. 

nennt man Differenzen- Quotient Werden jetzt Jx und J^f ver- 
schwindend klein, so nennt man sie Differentiale und bezeichnet 
sie mit dx und dy. Es ist also 

dx = lim Jx^ dy = lim Jy, 

Dabei geht der Differenzen-Quotient über in den Difefen- 
tial' Quotienten, nämlich in 

(5.) ^=lim^ = üm?^t^^. 

Beispiel 1. Es sei 

y = x\ also yi = x^^, 
dann wird 

Vx — y ^1^ — ^^ • 

^ ^ = -i = ar^ 4- ar, 

X* ' sc X4 ■ iC 



dx 



= lim (a?! + ic) = 2ir. 

Beispiel 2. Es sei 

y^x^, also yl=^l^ 



dann wird 



y* — y x^^ — x^ „ , , ^ 

^^ ^ = -^! = X^^ + X^X + X^, 

X\ ' X X* *^^ X 



^ = lim («,2 + xix + x^) = 3xK 

In den meisten Fällen, in denen y eine stetige Function 
von X ist, wird es möglich sein, ^, d. h. den Grenzwerth von 

^ — - zu bestimmen. Es giebt aber auch Functionen, die für 
x^ — X ® ' 

einzelne oder für unendlich viele Werthe von x nicht differen- 
türbar sind, d. h. es giebt Fälle, in denen ^ ieimn bestimm- 
ten, endlichen Werth hat. Ist z.B. y = Ä;sinf — j, so wii'd, 

wie sich zeigen lässt, -^ für a: = unbestimmt, obgleich die 
Function selbst für diesen Werth von x noch stetig ist. 



§ 12. Bildung des Differential-Quotieiiten u. s. w. 71 

In den hier folgenden Untersuchungen werden aber nur 
Functionen in Betracht kommen, welche differentürbar sind. 

Die Gleichungen (4.) und (5.), durch welche der Differenzen- 
Quotient und der Differential -Quotient erklärt werden, kann 
man noch auf eine etwas andere Form bringen. Mit Eücksicht 
auf die Gleichungen (1.) und (2.) erhält man zunächst 

(4a.) ^ = ^M. = fMzzM, 

(5a.) ^ = ^ = limÄlzii^. 

^ dx ax x^^x ^\ — ^ 

Aus den Gleichungen (3.) folgt femer 

a:^ = a: + Jx, ßx^) =f{x + Jx)\ 

dies giebt 

(4b.) ^ = ^I^ = /(a: + Jx) -^ßx) 

^ ' Jx Jx Jx 

(5 b.) $^ = ffi = j^/(. + Jx) -A-x 

dx dx jx=o Jx 

Bemerkungen. 

Der AnfäDger möge noch besonders darauf aufmerksam gemacht 
werden, dass in den Ausdrücken Jx und Jy das Zeichen J nicht von 
X oder von y getrennt werden darf, denn Jx und Jy sind nicht etwa 
Prodncte von J und x oder von J und y, sondern sie sind Symbole, 
welche die gleichzeitigen Zunahmen von x und y bezeichnen. 

AehnUches gilt auch von den Differentialen dx und dy. Dabei ist noch 
zu beachten, dass die Differentiale dx und dy immer mit einem geraden 
d (nicht mit einem geschwungenen d) geschrieben werden, weil die Sym- 
bole dx und dy später noch in einer etwas anderen Bedeutung benutzt 
werden sollen. Ebenso haben die Bezeichnungen dx und Jy eine andere 
Bedeutung wie dx und dy. 

Der Differential-Quotient —^ einer entvdckeUen Function 

y=:f(x) ist also der Gremwerthy welchem sich der Bruch 

-~^ — "^ — -r- — nähert, wenn Jx unendlich klein wird. 

Jx 

Um anzudeuten, dass ^ gleichfalls eine Function von x 
ist, bezeichnet man sie gewöhnlich mit/'(a;); es ist daher 



72 § 12. Bildung des Difiereutial-Quotieuteu u. s. w. 

(6.) I =/•(.). 

Die Function f*{x) nennt man im Gegensatz zu der 
ui-sprüngKchen Function f{x) die abgeleitete Function oder die 
Ableitung \o\i f{x). 

In derselben Weise wie/'(a:) erklärt ist durch die Gleiclumg 

/'(^) = lim'^^^ :7i — ^^^ ' 

werden auch die Ableitungen der Functionen F{x\ fp{x) u. s. w. 
erklärt. Es ist daher 

(7.) i^'(a:) = lun — ^^ — ■ — 7^ ^-^ ? 

^ar = ^^ 

(8.) f/)'(a:) = Imi ^^ -^ ^-^ , 

u. s. w. 

Hervorzuheben ist noch, dass bei dieser Erkläi'ung des 
Differential-Quotienten die Grösse Jx nach Belieben positiv oder 
negativ vorausgesetzt werden darf. Man hätte also mit dem- 
selben Rechte /'(a;) durch die Gleichung 

fix) = hm-^-^^ ' ^^ ^ 

erklären können. Im Allgemeinen wird man auch beide Male 
föi- /'(x) denselben Ausdruck erhalten. Setzt man nämlich in 
diesem Falle x — Jx^^x^, so wird x=^x^ + Jx, also 

f{x-Jx)-f(x) ^ f(or,,)-f{x,+Jx) ^ f{x,+Jx)-f{x,) 
— Jx — Jx Jx 

Dies giebt 

Jx=0 ^^ x^-=x 

Man erhält daher, wenn die Function /' {x) stetig ist , den- 
selben Weith von f{x)^ gleichviel ob man Jx positiv oder 
negativ wählt. 



§ 13. Geometrische Deutung des Difierential-Quotienteii. 73 



§ 13. 

Geometrische Deutung des Differential-Quotienten. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 16.) 

Für viele Untersuchungen ist die Bildung des Differenzen- 
Quotienten und des Differential- Quotienten von grosser Bedeutung, 
um zu beurtheilen, in welchem Verhältnisse die Aenderung der 
Function zu der Aenderung des Argumentes x steht. Ist z. B. 

(1.) y = /(^) 

die Gleichung einer Curve (Fig- 19), und legt man durch die 
benachbarten Punkte P und Pj eine Secante , welche mit der 
positiven Richtung der X-Axe den Winkel ß bildet, dann wird, 
wie schon auf Seite 24 gezeigt wurde, 

PR = QQ^ — OQ^ — OQ=:x^—Xj 

RP, = Q,P, — QP^y,—y, 
also 

tffß = tff RPP, = ^ 



(2.) 



Xa -^ X 



Dabei giebt der Differenzen- 



Quotient 



Vi—y 



Fig. 19. 



ein Mass für 




x^ — X 
die Steigung der Curve vom 
Punkte P bis zum Punkte Pj , 
d. h. dieser Ausdruck giebt an, 
in welchem Verhältnisse die 
Zunahme der Ordinate y zur 
Zimahme der Abscisse x steht. 
Unter der Voraussetzung, 
dass die Function y =f(x) für 

den betrachteten Werth von x differentürbar ist, nähert sich die 
Secante PP^ einer bestimmten Grenzlage TP, wenn der Punkt 
Pi dem Punkte P immer näher rückt und schliesslich mit 
diesem Punkte zusammenfällt. Eine solche Secante, bei der 
zwei Schnittpunkte in einen Punkt P zusammenfallen, heisst 
Tangente und der Punkt P ihr Berührungspunkt. Bei diesem 
Grenzübergange werden die Strecken 

PE := x^ —x und ÄPj = yj — y 



74 § 13. Geometrische Deutung des Differenüal-Quotietiten. 



versehwindend klein, der Winkel ß gdit in den Winkel « über, 
und man erhält aus Gleichung (2.) die wichtige Formel 



(3.) 



^« = ^.^ = I = /■(^). 



in welcher der folgende Satz enthalten ist: 

Der Differential' Quotient ist gleich der trigonometrischen 
Tangente desjenigen Winkels cc, welchen die geometrische Tangente 
im Curvenpunkte P mit der positiven Richtung der X-Axe 
bildet, wenn y =.y*(a;) die Gleichung der Curve ist, und der 
Punkt P die Coordinaten x und y hat. 

Wenn die Curve im Punkte P steigt, so ist a ein spitzer 
Winkel (vergl. Fig. 20), also 



(4.) 



tga:=:^>0; 



Fig, 20. 




und wenn die Curve im Punkte P* fällt, so ist a' ein stumpfer 
Winkel (vergl. Fig. 20), also 



(5.) 



^«' = |<:o. 



(Dabei sind allerdings nur die Winkel zwischen 0® und 
180® berücksichtigt, weil auch nur solche Winkel hier in Be- 
tracht kommen können.) 

In der vorstehenden Figur 20 ist also im Punkte P der 

Differential-Quotient ^ positiv, im Punkte P dagegen negativ. 

Dies giebt den Satz: 

Wenn eine Hinction y '=^f(x) gleichzeitig mit x zunimmt, 
so ist die Ableitung für den betrachteten Werth positiv ; wenn 



§ 13. Geometiische Deutung des Diiferential-Quotienten. 75 

aber die Ikinction abnimmt^ während x zunimmt^ so ist die Ab- 
leitung für den betrachteten Werth von x negativ. 

Der Beweis dieses Satzes kann auch unabhängig von der 
geometrischen Deutung des Differential - Quotienten geführt 
werden. 

Nimmt nämlich y mit x gleichzeitig zu, so wird 

x^—x>Q, yi—y>o, 

also auch 

X4 ~~~" X 

Dies gilt, wie klein auch x^ — x werden mag, folglich wird 
auch 

(4a.) ^^^VLIZl^o, 

ax jf^^x^ X 

Hierbei ist das Gleichheitszeichen dem Ungleichheitszeichen 
hinzugefügt, weil möglicher Weise der Zuwachs von y im Ver- 
gleich zu dem Zuwachse von x eine verschwindend kleine Grösse 
höherer Ordnung ist. 

Nimmt y ab, während x zunimmt, so wird 

xi — x>o, y\—y<o, 

also 

Xa ~~~" X 

Dies gilt gleichfalls , wie klein x^—x auch werden mag, 
folglich ist 

(5a.) |^ = iünl?LZll<o. 

Von dem angegebenen Satze gilt auch die Umkehrung: 
Eine Function nimmt gleichzeitig mit x zu für alle Werthe 

von X, für welche -^ positiv ist, und die Function nimmt ab, 

während x zunimmt, für alle Werthe von Xy für welche -^ 

negativ ist 

Der Beweis folgt aus dem Satze selbst ohne Weiteres. 



76 § 14. Einige Lehrsätze über Differential-Quotienteii. 

§ 14. 

Einige Lehrsätze Ober Differential -Quotienten. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 17—20.) 
Satz 1. Zwei Functionen^ welche sich von einander nur 
durch eifie additive Constante unterscheiden, haben dieselbe Ab- 
leitung^ d. h. ist 

so wird 

y'(^)=/'(4 

Beweis. Ist 

y(^)=/(^)+C, 



so wird 



also 



ff{x + Jx):=:f{x + Jx)+ C, 



fp(x + Jx) — (f{x) =f{x + Jx) —f{x\ 

fp(x + Jx) — (p(x) _ f(x + Jx) —f{x) ^ 
Jx Jx 

/. \ i/ \ r (fix+Jx) — (f>{x) . f(x'\-Jx) — f{it) ^,, . 

Bezeichnet inan/(ir) mit y, so wird 

und die Gleichmig (1.) nimmt die Form an 
da.) ^^+^ = f. 

dx dx 

Salz 2. Ist eine Function y =zf{x) mit einem constanten 
Factor A muUiplicirty so ist die Ableitung dieses Productes gleich 
der Ableitung der Function y^ multiplicirt mit dem constanten 
Factor A, d. h. es ist 

dx dx 

Beweis. Setzt man 

g){x)—Af{x), 
so wird 

(f{x + Jx) = ^/(a? + ^^)i 



§ 14. Einige Lehrsätze über DiiFerential-Quotienten. 77 

also 

q^(x + Jx) — (p{x) =■ Äf(x + Jx) — -4/^(^) 

^Ä\^f(x\Jx)-f(x)\, 
q>(x + Jx) — ip(x) __ ^^ f(x + Jx) —f(x) 
Jx Jx 

oder, wenn man Jx unendlich klein werden lässt, 

(2.) tp^(x) = Af{x\ 

Bezeichnet man nun wieder /(a;) mit y, so wird 

(p(x)= Af{x) = Ay, 

und die Gleichung (2.) geht über in 

Satz 3. Die Ableitung einer Summe voji zwei (oder von 
mehreren) Iknctionen ist gleich der Summe der Ableitungen der 
einzelnen Functionen,' d. h. es ist 

d{u + v) du do 

dx dx dx 

Beweis. Es seien 

u = (f>{x) und V = \p[x) 
zwei beliebige Functionen von x^ und es sei 

y =/(^) = w + «? = y(^) + ip(x). 
Es wird dann 

f{x + Jx) = ff(x + Jx) + i// (a: + ^^)i 

Jy -==-f(x + Jx) — f{x) = if(x + Joi^ — if{x) + i/^ (a: + Jx) — ^)(x)^ 

Jy (p{x + Jx) — (p{x) i// {x + Jx) — xp {x) 

Jx Jx Jx 

dx jx=0 ^-^ Jx={i Jx X \ / 7- \ /> 

oder 

, . d(u •\- v) du do 

^ '^ dx dx dx 

In derselben Weise lässt sich zeigen, dass der angegebene 
Satz auch für eine Summe von beliebig vielen Functionen gilt. 



78 § 15. Differentiation der ganzen rationalen Functionen. 

Vertauscht man u + v mit u — v, so findet man durch die 
gleichen Schltlsse die Gleichung 



d(u — v) du dv 

und damit den 



dx dx dx 



Satz 4. Die Ableitung der Differenz von zwei tUnciianen 
ist gleich der Differenz der Ableitungen der einzelnen Functionen, 



§ 15. 

Differentiation der ganzen rationalen Functionen. 

(VergL die Formel-TabeUe Nr. 21.) 

Aufgabe 1. Man soll die Ableitung von 
(1.) y == a:»» 

bilden, wenn m eine positive ganze Zahl ist. 

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt. 

(2.) y^ = ^r, 

(3.) yi — y = a:i«* — af», 

also nach Fonnel Nr. 12 der Tabelle 

+ x^x^-"^ + a:**'^ ; 

dies giebt 

(5.) ^ = Um ?^i^=^ = lim (ä-j«»-* + a-^"»-^^- + ^i'"-^^-2 + . . . 

+ x^af'^ + ^^"Oj 
oder 



(6.) I = maf^-K 

Dasselbe Resultat kann man auch in folgender Weise er- 
halten. 

Aus Gleichung (1.) folgt 
(7.) y + Jy — {x + JxY 

s= a:"» + --a:"»~* . ^ä: H \ — —^x^' ^ . Jx^ + . . . , 

1 1 • A 



§ 15. Differentiation der ganzen rationalen Functionen. 79 

also 

(8.) ^ = ^-.+'^(2Lz±),«.-^^, + .... 

Geht jetzt Jx in dx über, d. h. wird Jx unendlich klein, 
so werden die Glieder auf der rechten Seite von Gleichung (8.) 
alle bis auf das erste unendlich klein, weil sie den Factor dx 
enthalten. Die Gleichung (8.) geht daher über in 

(9.) !='-"-'• 

Der Werth m gleich möge besonders berücksichtigt 
werden; man findet dann aus der allgemeinen Foimel 

dx dx 

Durch Anwendung der Formel 

d{Ay) ^ ^d^ 
dx dx 

ergiebt sich hieraus, indem man y gleich l setzt, dass 

— — 
dx 

wird, d, h. dass die Ableitung eirm* Constanten immer gleich 
ist, ein Satz, den man natürlich auch direct beweisen kann. 

Aufgabe 2. Man soll die Ableitung von 

y :=: X* -{- X^ -{- X 

bilden. 

Auflösung. Nach Formel Nr. 19 der Tabelle ist 

dy d(x*) , d(x^) . dx - .^ , o 9 i -« 
dx dx dx dx 

Aufgabe 3. Man soll die Ableitung von 

2/ = 3:^4 + ll;r2 _ 7^ _|. 8 

bilden. 



80 § 15. Differentiation der ganzen rationalen Ftmctionen. 

Auflösung. Hier ist nach den Fonneln Nr. 19 und 20 der 

Tabelle 

dj/_ d{Sx^) d(llx'^) d{lx) rf(8) 

dx dx dx dx dx 

Femer wird nach Fonnel Nr. 18 der Tabelle 

dx dx 

^^ ^ = 11 4r^ =11.2^ = 22:r, 

CLX CtX 

47£)^ 7^=7.1 = 7 
dx dx ' ' 



folglich ist 



^=0 
dx "' 



^= 12a;3 + 22flr — 7. 
ax 



In welcher Weise sich dieses Verfahren verallgemeinem 
lässt, soll die folgende Aufgabe zeigen. 

Aufgabe 4. Man soll die Ableitung von 

y = ax*^ + a^x*^^^ + «2^*'"^ + • • • + öf«— la; + «« 
bilden. 

Auflösung. Nach Fonnel Nr. 19 der Tabelle ist 

dy__ d(ax^) d{a^a^-^) dja^x*'-'^) d{a»-ix) djun) 

dx"^ dx dx dx "*"•••"+" ^^ ^^ ? 

und nach den Formeln Nr. 18 und 21 der Tabelle wird 

az ax 

dT^ = «..-^ =«,(«- 2) ^-S 



§ 16. UebuQKs-BeiapMle. 81 

folglich erhält man 

Da sich jede ganze ratiooale Function auf die Form 

bringen lässt, so ist damit gezeigt, wie man jede beliebige ganze 
rationale Function differentüren kann. 



§ 16. 

Uebungs- Beispiele. 

1) y = 6a:^ 4- 4, ^ = 30a:*, 

2) y = 6a:ö — 4, J^ — 30^:4. 

3) y = |:cio, ^ ^ 4^9. 

4) y= 3^2_7a:+9, J^ = 6^: — 7. 

5) y = {2x ~ 5) (a:2 + llar— 3), ^ = Öa:^ + 34^ — 61. 

Hier findet man das Resultat, indem man zunächst die 
Klammem auflöst und dadurch y auf die Form bringt 

y = 2a:3 + 17a:2 — 61a: + 15. 

6) y = 5a:*— yrc» + 4^2 _ 3^ + 7^ ^ = 20^:»— llrr» + 8a:— 3. 

7) y = a:'»+12a:3— 29a:2— 61a:— 134, ^ =4a:»+36a:2— 58a:— 61. 

8) y = a:» — 5a:2 + 8a: — 4, J^ = Sx^ _ lOa; + 8. 

9) y = 8a:5 — j^z 4. 13^^ ^ ^ 15^4 _ 21^:2 + 13. 
10) y = 5a:8 — 3^;« 4. 2a:* — 4a:2 + 7, ^ = 40;!;'' — 18a?'>+8a;3— Sa:. 

Steg«inaim- Kiepert, Differential-Beohnnng. 6 



82 § 17. Differentiation einer Potenz u. s. w. 

§. 17. 

Differentiation einer Potenz mit negativem ganzzaliligen 

Exponenten. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 21.) 

Aufgabe. Man soll die Ableitung von 
(1.) y — af" 

bilden, wenn 

(2.) m = — n 

eine negative ganze Zahl ist. 

AuflBsung. In diesem Falle ist 



(8.) y = a;-« = 



af^ 



(4.) Vi = ^1'" = ^ ' 

also 

1 1 a^i *• — x^ 

(6.) yi-»=^-^=--5=v~' 

also nach Formel Nr. 12 der Tabelle 

(6.) yLzj^==- ^\"»"-^" 

^ ' Xi — X 7^x^ Xx — »r 

Dies giebt 

^^•^ rfar ^^:rx—x x^ ' 

oder 

CS. ) -/ = — «ar-*~^ = ma:^""^ . 

^ ' dx 

Die Formel Nr. 21 der Tabelle bleibt also noch richtig, 
auch wenn m eine negative ganze Zahl ist. 



*5 18. Differentiation der Functton logar. 88 

§ 18. 

Differentiation der logarithmischen Function 

f{x) - \ogx. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 22 und 23). 

Aufgabe. Man soll die Ableitung der logarithmischen 
Function 
(1.) y =f{x) = log.r 

bilden. 

Auflösung. In dem vorliegenden Falle ist 

(2.) /(^) = logrr, /(:r + -^.r) = log(a; + ^:r), 

f{x + Jx) -fix) = log(^ + Jx) - log.r = log(^^-) 

oder 

(3.) f(x + Jx) -fix) = log(l + ^) , 

Ax + Jx)-f(x)^J^^l ,,^(,+^\ 
^ Jx Jx Jx ^ V x J 

Setzt man 

(5.) — = — , also Jx = — , 

x n n 

so ist 

Nun wird aber n unendlich gross, wenn Jx unendlich klein 
wird; deshalb ist 

Diesen Grenzwerth kann man leicht angeben, denn nach 
Formel Nr. 13 der Tabelle ist 

(8.) ' Um(l+iy=^, 

n = 00 \ n / 

folglich wird 

(9.) ^ == ^(^Qg^) — l2i£. 

dx dx X 

6* 



84 § 18. Differentiation der Function logj*. 

Dabei ist die Basis des Logarithmen - Systems noch eine 
ganz beliebige, wählt man aber die Zahl e selbst zur Basis des 
Logarithmen-Systems, so ist 

loge= 1, 

so dass die Gleichung (9.) eine noch einfachere Foim annimmt. 

Die Logarithmen mit der Basis e heissen die natürlichen 
Logarithmen und mögen in dem Folgenden nur durch den Buch- 
staben 1 bezeichnet werden. 

Demnach ergiebt sich aus Gleichung (9.) 

t/(Lr) 1 



(9 a.) 



dx X 



Bemerkung. 

In der höheren Mathematik benatzt man fast auaachlieBslich die 
natürliche!) Logarithmen mit der Basis e; es ist aber sehr leicht, von 
dem einen Logarithmen- System zu dem anderen überzugeben. 

Es bezeichne z. B. logo; den ^nV/^^'schen Logarithmus von x mit 
der Basis 10, und \x den natürlichen Logarithmus mit der Basis e; 
dann ist 

(10.) y==loga; gleichbedeutend mit 10^ =x 

und 

fll.) 2 = 10; ist „ „ e* = a;. 

Daraus folgt 

(12.) 10^ = «*. 

Nimmt man auf beiden Seiten dieser Gleichung den natürlichen 
Logarithmus, so erhält man 

(13.) yllO = «, oder loga: = i^. 

Nimmt man dagegen auf beiden Seiten der Gleichung (12.) den 
^ri^^a'schen Logarithmus, so erhält man 

(14.) y = « log e, oder log a; = la: . log «. 

Aus den Gleichungen (13.) und (14.) folgt zunächst 

= log e : 

110 ^ ' 

ferner geht aus ihnen hervor, dass man die natürlichen Logarithmen 
Bämmtlich mit dem constanten Factor 

löge == J- = ^^^\ ^ , = 0,434 2944819 
® HO 2,3025850930 

zu multipliciren hat, um aus ihnen die entsprechenden Briggs^ f^^YL^n zu 

erhalten. Man nennt diesen Factor löge gewöhnlich „den Modul der 

^r^^«'schen Logarithmen.'^ 



§ 19. Differentiation der Functionen sina? und cosiP. 85 

§ 19. 

Differentiation der trigonometrisehen Functionen 

mx und coso?. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 24 und 25.) 

Aufgabe 1. Man soll die Ableitung von 

(1.) y=/(^) = sin^ 

bilden. 

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt 

(2.) f{x + Jx) = sin(:r + J.r), 

(3.) f{x + Jx) — f{x) = Jf(x) == sin(;r + //.r) — sina-. 

Nun ist bekanntlich 

sma - smi = 2sin( — ^ — ) cos f — ^ — h 

folglich wird 

(4.) Jfi^) = 2 Sin (^) cos (^ + ^)> 

oder, wenn man der Kürze wegen 

(5.) Jx = 2z 

setzt, 

4f{x) = 2sin;r cosC-r + «), 

(6.) ~^r-^ = C0S(a: + z) , 

Jx z ' 

,_ . df(x) du ,. sin;r / , n t sin;? 
(7.) "\^ ^ = -^ = lim cos(^ + «) = cosa; lim 

0tX QtX z-rz^ Z jB «~ Z 

Nach Formel Nr. 1 der Tabelle ist aber 

,. sin;? 
um = 1, 

folglich ist 

/o % dy </(sin;r) 

(8.) -^=: — -= — ^ = C0S;r. 

dx dx 

Aufgabe 2. Man soll die Ableitung von 

(9.) y = fix) = cosir 

bilden. 



86 §. 20. Differentiation der Functionen tga: und ctgo;. 

Auflösung. Aus Gleichung (9.) folgt 
(10.) /(a: + Jx) == COS {x + ^x\ 

(11.) f{x + Jx) —fix) = Jf(x) = COS(a: + Jx) — COSa:. 

Nun ist bekanntlich 

cosa — cosJ= — 2sm ( — - — )sm( — ^ — j, 
folglich wird 
(12.) Jf{x) = - 2sin (^) sm {x + ^), 

oder, wenn man wieder 

Jx = 2^; 
setzt, 

(12a.) Jf{x)=^ — 2sin;5Sin(a; + «), 

(13.) -^^ ^ == sin(a: + «), 

^ '^ Jx z ^ 



df(x) dy . ,. sin« 

ax ax g^Q z 



(14.) 

oder 

(15.) -r = -S — ' = — sma;. 

Ueinerkuug. 

Eb wird hier nochmals darauf aufmerksam gemacht, dass in sin« 
and coBo? die Grösse x kein Winkel^ sondern die Länge eines Kreisbogens 
ist. (Vergl. § 1, Seite 6.) 



§ 20. 

Differentiation der trigonometrischen Functionen 

tgo; und ctgo;. 

(Vergl. die Formel-TabeUe Nr. 26 und 27.) 

Aufgabe 1. Man soU die Ableitung von 

(1.) y =/(^) = tg^ 

bilden. 



(5.) 



§ 20. Differentiation der Functionen tga: und cstgx, 87 

AiiflSsung. Aus Gleichung (1.) folgt 

(2.) f(x + Jx) = tg(x + Jx), 

(3.) fix + Jx) —fix) = Jf{x) = tg(^ + Jx) - 1«:r. 

Nun ist bekanntlich 

tga — tgJ = — ^ r ' 

^ ^ cos flf cos 6 

folglich wird 

/A \ j^( \ sin (Jx) 

(4.) 4rw = ; — ; — -T\ ' 

^ "^ ^ '^ COS (a: + Jx) COSic 

Jf{x) 1 sin {Jx) 

Jx cos (a: + Jx) COSic -^a: 

und da nach Formel Nr. 1 der Tabelle 

T sinC-^ar) 
lim — ^ — ^ = 1 

wird, so ist 

(6.) ffl = ^ = M = _i^=l+tg»,. 

^ flte dx dx cos% ^ 

Aufgabe 2. Man soll die Ableitung von 

(7.) y ==f(x) = ctga; 

bilden. 

Auflösung. Aus Gleichung (7.) folgt 
(8.) . f(x + Jx) = ctg(a: + Jx), 

(9.) f(x + Jx)—f(x)^Jf(x)r=(^tg(x + Jx)—ctgx. 

Nun ist aber bekanntlich 

. j, y — sin(a — b) 

ctga — ctg J = > ; . , ^ 5 

folglich wird 

/1A^ ^^r \ - mijJx) 

(10.) '^(^) — -r-T — ; — •r\' — ' 

^ ^ *^ ^ '^ sm(a; + Jx) smx 

(11) ^/(^) ^ — ^ ■ ^^^ ^ 

^ "^ Jx sin(ir + //a;)sin:r ^a: 

(12) ^(^ ^ ^ ^ rf(clg^) ^J. 

^^^•^ ifo cfe (/^ Sin^a: (1 + Clga:j. 



^ § dl. Difiereatiatioii der Producta und Quotienten. 

§ 21. 

Differentiation der Producte und Quotienten. 

(Vergl. die Formel Tabelle Nr. 28—33.) 

Aufgabe 1. Es sei 

(1.) u = q^{x), v^tp{x); 

man soll die Ableitung des Productes 

(2.) y —f{x) = «0 = q){x) tp(x) 

bilden. 

AuflSsung. Aus Gleichung (2.) folgt 

(3.) f{x + Jx) = fp{x+Jx) \p{x+Jx), 

f(x+Jx) —ßx) = J/{x) = (p(x+Jx) ip{x+Jx) — ^(x) ip{x) , 
oder 
(4.) ^/(x) = y (a: + Jx) Jp(x + Jx) — (f(x) \p{x + Jx) 

+ (f{x) ip(x+J:r)~g){x) \p{x\ 

also 

/K \ ^^Äx) ,/ I > .(fix+Jx) — (p{x) , . .xp(x+Jx)'-'tp(x) 

Nun ist 
lim ipix + Jx) = xlj{x), lim y(^ + -^^) ~y(^) ^ y,./^)^ 






ii«=0 



folglich wird 

^®-) ^^ = 1 = «^^^^ ^'^"^ + ^^^> '^'^^>' 

oder 

,^ . d(uv) du , dv 

(6a.) _^ = ,_ + „_ 

Dies giebt den Satz: 

Mn Product von zwei Factor e?i wird differerdiirt^ indem 
man jeden der beiden Factor en emzeln differentiirtj mit dem 
andern muttiplicirt und die Summe dieser beiden Producte bildete 



§ 21. Differentiation der Producte iind QfaotienteH. 89 

Beispiele. 

1) y = (3 + 4tx) (2 — 7x), 

^ = 4 (2 — 7a;) — 7 (3 + 4:r) = — 13 — 56a:. 

Von der Bichtigkeit dieses Resultates kann man sich auch 
dadurch überzeugen, dass man nach Auflösung der Klammem 

y = 6 — 135- — 28a:2 

erhält, woraus sich unmittelbar derselbe Werth von -~ ergiebt. 

2) y = (a;* — 3a:2+ ii)sin:r; 

^ = (^x^ — 6a:) sin:?: + (^^ — 3^-2 + 11) cosa:. 

3) y = C0Sa:tgÄ;; 

-f^ — Sma: tg.^ -\ TT 

dx ^ COS^.r 

sin^a: , 1 1 — sin^:^ 

= = = COSä:. 

COSa: COS:r COSa: 

Dieses Resultat hätte man noch einfacher finden kömieD, 

indem man berficksichtigt, dass 

, sina: 

tga: = 

^ cosa: 

ist. denn dadurch wird 

y = cOSa: tgx = sina: 

und nach Formel Nr. 24 der Tabelle 

dy 

-f- = cosa:. 

dx 

Aufgabe 2. Es sei 

(7.) u = ip{x\ v = ip(x), w = x{^), 

man soll die Ableitung von 

(8.) y = uow 

bilden. 

AuflSsung. Indem man 

(9.) mv = t?i 

setzt, erhält man 



90 § 21. Dififerentiation der Producte und Quotienten. 

(10.) y = «'»i, 

SO dass nach der vorhergehenden Aufgabe 

^ * dx ^ dx dx 

wird. Nun ist aber gleichfalls nach der vorhergehenden Aufgabe 

/-^ dvx dv . dw 

folglich wird 

,^^. rfy d(uvw) du , c/ü , dw 

(13.) :r=^-h — ^= cw-^ + uw j — [-UV — - 

^ dx dx dx dx dx 

Dies giebt den Satz: 

Hin Product von drei Factoren wird differeniiiri^ i?idem 7nan 
jede?i dieser Factoren einzeln differentiirt^ mit den beiden anderen 
Factoren multiplicirt und die Summe dieser Producte bildet. 

Man erkennt leicht, dass sich diese Regel auch auf Producte 
mit beliebig vielen Factoren tibertragen lässt. Zum Beweise 
mögen die Gleichungen (6a.) und (13.), indem man sie beziehungs- 
weise durch UV und uvw dividirt, auf die Form 

feb ) 1 d(uv) _1 du i dv 

^ uo dx u dx V dx 

,^^ 1 diuvw) 1 du l du , 1 dw 

(13a. I ^ — ^= -zr + -'zr + ^zr 

^ uvw dx u dx V dx w dx 

gebracht werden. 

Dem entsprechend kann jetzt durch den Schluss von m auf 
iw + 1 die Richtigkeit der Gleichung 

.^ . X 1 d{u^tl2 • . . Um) _ 1 dui 1 du^2 i . 1 dUfu 

u^u^..,Ufn dx '~ ^i dx «2 ^ ' ^t» ^^ 

nachgewiesen werden. 

Ist nämlich Um wiederum aus zwei Factoren zusammen- 
gesetzt, ist z. B. 

Um — uo, 

so wird nach Gleichung (6 b.) 

1 dUfn __1 du i dv 
Ufn dx u dx V dx 



§ 21. Differentiation der Producte und Quotienten« 91 

Deshalb geht die Gleichung' (14.) über in 

i^U- l.i!f^ JL. 1 dutn^x t'^du 1 de . 

Ux dx u-x dx '" Um-x dx u dx V dx^ 

daraus folgt, wenn man t/» statt u^ e^m+i statt t? schreibt, 
(loa) ^ d{u^u^...u^u^J^^) __ 

_l^i , 1^^, . 1 du^ 1 du^j^x 

U^ dx ti2 dx '" Um dx Ww+1 dx 

Damit ist die allgemeine Gültigkeit der Gleichung (14.) 
nachgewiesen. Durch Multiplication mit t/^wj...«», erhält man 
aus ihr die Formel 

(16.) d{u^U2...Um) _ 

^ '^ dx 

m du* dUcy dumi 

t^t*3...w»-^' + u^v.^ •••^«ö^ + ••• + «1 «^2 • • • w«_i -^ 

und damit den Satz: 

Ein Product von beliebig vielen Factoren loird differenüirt^ 
indem man jeden dieser Factoren einzeln differentiirty mit allen 
übrigen Factoren muUiplicirt und die Summe dieser Producte 
bildet 

Sind die m Factoren alle einander gleich, ist also 

Wj = W2 = «3 = ••• = «m = w, 
so tblgt aus Gleichung (16.) 

Für den besonderen Fall, wo 

u=^x 
ist, geht diese Gleichung in Formel Nr. 21 der Tabelle über, 
nämlich in 

dx 
Die Gleichung (17.) gilt|vorläuflg nur, wenn m eine positive 
ganze Zahl ist, sie bleibt aber, wie sogleich gezeigt werden soll, 
auch noch richtig, wenn m eine positive gebrochene Zahl ist. 



92 § 21. Differentiation der Producte und Quotienten. 

Wird nämlich 
(18.) m^-r^ oder mb = a, 

wo a und h positive ganze Zahlen sind, so folgt aus 

a 
(19.) y = W»» = W*, 

indem man beide Seiten der Gleichung in die V^ Potenz erhebt, 

(20.) j/* = w«. 

Differentiirt man beide Seiten dieser Gleichung mit An- 
wendung der in Gleichung (17.) ausgesprochenen Regel, so 
erhält man 

(21.) bxfi-^ ^ = au*-^ ^ = mbu^-' ^. 

^ ^ ^ dx dx dx 

Da aber aus Gleichung (19.) folgt, dass 

ist, so geht Gleichung (21.) über in 

ax ax 

oder, wenn man diese Gleichung durch bu"*^-^ dividirt, in 

/^^ V dy .du 

(22.) ^ = ^e.»-._, 

ein Resultat, das mit Gleichung (17.) genau übereinstimmt. 
Es gilt daher auch die Gleichung 

(22 a) ^^^maf^-' 

dx 

noch, wenn m eine positive gebrochene Zahl ist. 

Man kann sogar die Richtigkeit dieser Formeln noch 
zeigen, wenn 

(23.) m == —91 

eine negative ganze oder gebrochene Zalü ist. Es wird dann 

(24.) y = e««»_- ^-n _-_, 

also 

(25.) w»y=:l. 



§ 21. Differentiation der Producte und Quotienten. 93 

Difi'erentiirt man beide Seiten dieser Gleichung, so findet 
man nach der Regel für die Diflferentiation eines Productes 

oder, wenn man mit u multiplicirt und für u^y den Werth 1 setzt, 

du , ^ , . dy 

also 

(26.) -^ = — nu-*^-^^r = w«***""^ t" 

^ ^ dx dx dx 

Damit ist bewiesen, dass die Gleichung (17.) und deshalb auch 
die Formel Nr. 21 der Tabelle gilt, gleichviel ob m eine ganze 
oder eine gebrochene, eine positive oder negative Zahl ist. 

Beispiele. 

1) y = {2x^ — 7a;2 ■\- ^x + 11)^; 

^ = 4 (2^3 _ 7-^:2 + 3a: + 11)^ (6a:2 _ 14^ + 3). 

2) y = Ya^ + x^ - («2 + ^2)i. 

Setzt man 



«2 4- a;2 = w, 



so wird 



1 
y = u^ 



oder 

(27.) 



dx 2 dx 2^ ^ ^ ' 



dYa^ + x^ _ 



X 



dx Ya^ + x' 

Ebenso findet man 



(27 a.) 



dY^^'I^ai _ 



X 



dx Yx^^a 



2 



3) y = )/'a2— :r2=:(a2-^-2)^. 



94 § 21. Differentiation der Producte und Quotienten. 

Setzt man hier 

a2 — rc2 — = Uj 

so wird wieder 

oder 

(28.) dya^-x^_ -X _ 

dx ya'i — x^ 

4) y = }/{2x — 5)« = {2x — 5)^ ; 

-/ = 2a:* — 2a;^ + ttä;^ + ö'^ • 
a:i: 2 2 

7) y = ya; = a:* ; 3^ = T^ = . ^ ' 

_ 1 _ -^ rfy_ 1^ -|_ 1_. 



8) y = 



]ß ' ax i i^j. 

10) y = -^ + * + c/7= öir""^ + b + cx^; 

y X 

dy a . c 



+ 



dx 2V«* 2Ylc 

11) y = 12^/^ — 7^^x* + llx — -y^ = 



Yx^ 
12«* — 7«^ + IIa; — 8«"* 



§ 21. Differentiation der Producte und Quotienten. 95 

^ = Qx'^ — ^"^ + 11 + 12a;"'^ = 

dx \ 

9 4 12 

12) y = {2x^ — 3a; + 4) YX^x — 3)3. 
Setzt man 

2a;2 — 3:r + 4 = «, /(4^ — 3)^ = (4a:— 3)"* = v, 

SO wird 

1 = 4,-8, *=|(4.-S)t.4 = 6/4J^ 

tir fite rfa: 

= (4ä; — 3)"^ (4a: — 3) + (2a:2 _ 3a: + 4) . 6^ix — Z 
= y4a: — 3 [(4a: — 3)2 + 6 (2a:2 _ 3^1; 4. 4)] 
= y4tx — S (28a;2 _ 42a: + 33). 

13) y =:= sina: — f sin^a: + ^ sin^a;; 

^ = (1 — 2 sin^a: + sin^a:) cosa; = cos'^a:. 

14) y = cosa: — COS^a: + f COS^a: — 4 COS'a;; 

J^ = (1 — 3 cos^a; + 3 cos*a; — cos^a;) ( — sina:) = — sin^a;. 

15) y = 3tgSa: — 2tg*a; — ötg^a; + 4:tg^x: 

^ = (15tg*a: — 8tg3^ — lötg^o; + 8tga:) (1 + tgh:) 
= 15tg«a; — Stg^a: — lötg^a: + Stga:. 

Aufgabe 3. Es sei 

(29.) u = (p{x), v^tp(x); 

man soll die Ableitung des Quotienten 

(80.) y=:^.oder/(.)=|^g 

bilden. 



% § 21. Di^Sßrentiation der Prodaote und <2aotienten. 

AuflSsung. Aus Gleichung (30.) folgt 

__ (p(x+Jx) ifj(x) — ip{x-{'Jx) gf(x)^ 
~ ilj(x + Jx)ip{x) 

Dies giebt 

(32.) "^(^) = 1 . (p{x+Jx) tf;{x)—'^{x+Jx) ^(x) ^ 

^ '^ Jx ^{x+Jx)ip(x) Jx 

oder, wenn man in dem Zähler auf der rechten Seite dieser 
Gleichung die Grösse ^ i^x) xp (.r) subtrahirt und wieder addirt, 

(33.) ^(^ + ^^)^(^).ffi = 

(p{x-\- Jx) xfß{x) — g>(x) tp(x) — 'ilJ{x+ Jx) (p{x) + (p(x) \l){x) 

Jx 

Geht man zur Grenze über, indem man Jx unendlich klein 
werden lässt, so erhält man 



lUli — 


Jx 


— y 






Jx 


und deshalb 












xlj{x)xlj{x) 


dx 


= i/j(x)q>' 


(^)- 


(f>{x)xp'{x), 


(34.) 


df{x) _ 
dx 


dy __ x/j(x) (p'{x) — (p{x) \p'(x) ^ 
dx xp{x) xp{x) 


oder 












(34 a.) 




<f) 


du 
dx 


dv 





dx 



§ 21, Differentiation der Producte und Quotienten« 97 

Dies giebt den Satz: 

Die Ableitung eines Brtsckes ist gleich dem Nenner^ mulii- 
plicirt mit der Ableitung des Zählers, weniger dem Zähler^ multi- 
plicirt mit der Ableitung des Nenners^ das Ganze dividirt durch 
das Quadrat des Nenners. 

Beispiele. 

. __ sina: dg _ COSar COSa: — smx ( — sinx) 

^ ^ "~ COSir' dx "" COS^a; 

_ cos% + sin^a: _ 1 

Dieses Resultat stimmt mit Formel Nr. 26 der Tabelle 
überein, denn es ist 

sina: 



COSa; 



= tga-. 



«\ « 1 dy x*^ .0 — nx^-^ ^ , 

Dieses Resultat stimmt mit Formel Nr. 21 der Tabelle 
überein. 



3) y = 



.r2 — «2 



x'^ + <^^ 

Hier ist 

u=^ x^ — «2^ ü = a:2 + «2, 

also 

^ _ 2a- — - 2a: 

^_ (a;2 + a^)2x — (a;^ — a^)2ar _ ^a'^x 
^ — (^2 + ^2)2 "~ (a:2 + a2)2' 

a; + y «2 4- :2:2 

a: — Y ^ '^ ^ 

Hier ist 

_i 1/ 212 ^^ 1 _i_ ^ _ ^ + y «^ + ^^ 

M = a;4-ya2 + a:2, -3-=rl4 = — —=== — 7 

^ ^ ^ ' dx ^ ya^ + x^ ya'^+ " 



x^ 



Stegemanxi -Kiepert, Differential-Rechntmg. 7 



98 § 21. Differentiation der Producte und Quotienten. 

lAT"; — ? flfo ^ X X — Y^^ + ^' 



rfa: y^^2"+^ Yd?' + 



a: 



2 



> 



also 

dy _ (x—Ya^+^^) {x+ya^+x^) + (x+Ya^+ii^^) (a:— VoM^ 

_ —2a» _ — 2(a: + Va» + a?»)» 

"" (ät — V a» + a:2)2)/"ä2+P""" a^V a» + a:» 



I 



II. Abschnitt. 
Functionen von Functionen. 

§ 22- 

DifFerentiation einer Function von der Form f{u). 

(VergL die Formel-Tabelle Nr. 34 und 35.) 
Es sei y irgend eine stetige iTnnction von u, aJso 
(1.) y =/(«)■ 

und u sei wieder irgend eine stetige Function von x, also 
(2.) u = fp{x), 

dann ist y auch eine Function von x, nämlich 
(8.) y=A9{^)\ = n«^. 

Beispiele solcher „JFunctione» von i 



y = yix^ — 73T + 11 , y = sin(3ar), 
y = log(sin3:), y = (loga:)", 

Es ist die Frage, in Reicher Weise 
Fnnctionen differentürt werden können. 

Vermehrt man x \mcl*Jx, so gehen die Grössen x, m i 
y bezw. über in 

x + Jx, u + Ju = tf<{x + Jx), y + ^y =/{m + Ju), 
folglich ist J** \ 

(4.) Ju = ^{x + Jx) -<f>'ß), *Jy =f{u + Ju) -/(«), 
.„ , JF(xl _ Jy _^ f{u + Ju)-f(u) 

^'*-> Jx ~ Jx~ ■■ Jx 



100 § 22. Differentiation einer Function von der Form /(w). 

oder, wenn man auf der rechten Seite dieser Gleichung Zähler 
und Nenner mit Ju gleich tp(x + Jx) — (p{x) multiplicirt, 

Jx Ju Jx 

folglich ist 

Dies giebt den Satz: 

Die Ableitung einer Function von eine^' Mincüon ist gleich 
dem Producte der Ableitungen beider Functionen, 

Die Richtigkeit dieses Satzes erkennt man ohne Weiteres, 
wenn man beachtet, dass man mit den verschwindend kleinen 
Grössen tfe , rfy , rfw , ... ebenso rechnen darf, als wären sie 

bestimmte Zahlen. Dann erhält man nämlich -^ -^ aus -^j 

au dx dx 

indem man Zähler und Nenner mit du multiplicirt. 

Eine etwas einfachere Form, erhält dieser Satz, wenn man 
statt der Ableitungen oder Differential-Quotienten die Differen- 
tiale einführt. 

Aus der Erklärung des Differential-Quotienten einer Function 
y ^f[x^ nämlich aus 

dx dx -^ ^ ^ ^^_^j jx 

folgt unmittelbar 

(7.) dy = df[x) =f{x)dx = lim- ^^^"^^^^ ~^^'^^ ■ Jx, 

d. h. das Differential einer Function von einer unabhängigen 
Veränderlithm x ist gleich der Ableitung, multiplicirt mit dem 
Differential dieser Veränderlichen. 

Aus Gleichung (6.) folgt daher 

(6a.) dy=f{u)(p'(x)dx; 

da aber 

du = (p*{x)dx 

ist, so findet man hieraus 

(8.) dy—f(i()du, 






"•* r» 



•? » • • » 



§ 22. DüFerentiatioii einer Function von der Form f(u). 101 

d. h. man findet das Differential von y, indem man die Function 
u als die unabhängige Veränderliche ansieht. 

Beispiele. 

1) y = w3 und i^ = gijiar. 

Hier ist 

dy = Su^du und du = COSxdx, 
also 

dy = Ssm^x cosxdx, oder -^ = Ssin^^ cos:r. 
2) y == 1 (1 — x^) = lu, wo u=zl — x\ 

dy = -du^ r ( — 2x) dx = s-. 

Ist y eine Function von t^, u eine Function von o und o 
eine Function von x^ ist also 

so wird auch y eine Function von t? und deshalb auch eine 
Function von x ; daher findet man nach dem vorhergehenden Satze 

(9.) dy =:f{u)du, du = (p^{;o)dv, dv = ifj'{x)dx, 

oder 

(10.) dy =f(u)du ^f(u)(p\v)dv —f{u)(p\v) tp\x)dx. 

In dieser Weise kann man fortfahren und das Differential 
von y auch dann noch finden, wenn die Reihe der veränder- 
lichen Grössen, von denen jede eine Function der folgenden ist, 
noch länger wird. 

Es sei z. ß. 

y = sinw, u = «?"*, ü = a^ + ^^j 
oder 

y = SÜl Ua^ + x^)"^], 

dann winl 

dy =^ cosudu, du = mv*^"^ dv, dv ^=^ Sx^dx, 

also 

dy == cos w . mv^"^ dv 

= cosw . mv^~^^ . ^x^dxj 

^ = ^mx'^ (a3 + x^y-^ cos[(a3 + x^^]. 



102 § 23. Uebungs-Aufgaben. 

§ 23. 

Uebungs-Aufgaben. 

1) y = ««", i^^-'Tx 

Dieses Resultat stimmt mit Formel Nr. 29 a der Tabelle 
überein. Daraus erkemit man, dass diese Formel nur ein beson- 
derer Fall von Formel Nr. 35 ist. 

2) y = sin(mir). 

Man setze 

tax = w, 
dann wird 

y=:sin2/, e/y = cost<c?e<, 

du = mdx^ dy = mCOS(ma:)rfar, 
oder 



^ = mcos {mx). 



3) y = cos(a:r3 + ftrr^). 

Man setze 

ax^ + i^r* = w, 

dann wird 

y=rC0St/, efy = — sint^eft«, 

rfw = (3a:r2 4. 4ft;2;3) j<^.^ dy — — ^m{ax^ + i:r*) . (3ar2 + ^hx^) dx, 

oder 

4) y = tg(f). 

Hier ist 

y = tgw, wo 

, du 

^ "" cös%' 

also 

, dx 

ay = 



w = 


X 

2' 




du — 


2 ' 




efy 


1 




cfe"" 


.-^ n i 


<:r^ 



2cos2(|y ''^ 2cos»(j) 



§ 23. IJebungs- Aufgaben. 



103 



KN ^rr-* ; ^ ^"9 3(c osa; — sina;) 

5) y = \{Wix + C0S:r)3; -/. = ^ 



6) y = l(sinir). 

Hier ist 

y •=. 1«, wo 

T du 
^ mLx 

7) y==l(C0S5;); 

8) y = l(tga;); 

9) y = l(ctg^); 



u = smo;, 
{/t^ = C0S:r dx^ 



dy_ 



dx 



Ctga:. 



rfy 1 



dy _ 1 

e/:r sin^; COS:r 



10) y = l(cosa; + sma:); -/^ = ^^ , *^ — • 

11) y=:l(Va2 + a:2 + ]/a2 — :r2). 

Man setze 

u = Ya^ + x^ + ya^ — x^y 
dann wird 



y = lw, 



dy z=: — du, 



u 



du 



""Vl/aU^ V a2— a:2/ "^ 1/V=^ 



_ x{Y a^'-x^ — Ya^ + ^^) ^^ 



rfy = 

oder 

^ _ 

dx {YW+^ + Ya^ — x^) Ya^ — x^ 

Indem man noch Zähler und Nenner auf der rechten Seite 
dieser Gleichung mit y^^Tp^ — y gp. — x^ multiplicirt, erhält 
man 

dy^ _ — x{2a^ — 2y g^ — x^) _ — a2^]/a* — a;* 
dx^ 2x^Y a^ — x^ ~" xY a* — ^* 



104 § 24. DifPerentiation invetser Functionen u. s. w. 

12) y = l(la:). 

Hier ist 

y du j dx 

dy^-, du = -, 

, dx f^ _« J: 

Ä-Lr' dir arLr 



§24. 

Differentiation inverser Functionen, insbesondere der 
cyiciometrischen Functionen und der Function a"". 

(Vergl. die Formel-TabeUe Nr. 36—43.) 

Wie schon früher (§ 1) hervorgehoben wurde, kann aus 
der Gleichung 

(1.) y =/(^) 

durch Auflösung nach x eine Gleichung 

(2.) ^ = 9>(y) 

hergeleitet werden; man nennt dabei die eine Function die in- 
verse der anderen, weil die eine aus der anderen durch Um- 
kehrung entsteht. 

Es ist nun häufig nothwendig, ^ zu bilden, wenn nicht 

y=zf(x) gegeben ist, sondern die inverse Function a; = 5p(y). 
Dies geschieht, indem man beide Seiten der Gleichung (2.) nach 
X differentürt; dabei muss man aber beachten, dass auf der 
rechten Seite der Gleichung eine Function von y steht, und dass 
y wieder eine Function von x ist. Es kommt dabei also Formel 
Nr. 35 der Tabelle zur Anwendung, wobei man erhält 

oder 

(4.) ^ = _L_ 

^ ^ dx <p'(y) 



§ 24. Differentiation inverser Functionen u. s, w. 105 

Beispiele. 

1) Es sei 
(5.) y = arcsma:, 

dann findet man durch Umkehrung der Function 

(6.) X = siny 

und durch Differentiation dieser Gleichung nach x 

(7.) 1 = cosy . ^., 



(8.) 



dy_ l _ 



dx cosy ]/ 1 — sin2y 
oder 



(8 a.) ^(a^sM^ 



dx "J/l — ^2 

Für alle Werthe von a: zwischen — i und + 1 giebt es 

einen Werth von y zwischen — — und +— • Da cosy for alle 

diese Werthe von y positiv ist, so muss in Gleichung (8.) die 
Quadratwurzel mit dem positiven Vorzeichen genommen werden. 

2) Es sei 
(9.) y = arc cos^r, 

dann wird in ähnlicher Weise wie vorhin 



(11.) 

(12.) 
oder 
(12a.) 


X = cosy, 

^ • dy 

^ dx 

dx siny 
rf(arc cosa:) i 


dx yix'^ 



}^1 — COS^y 



Für alle Werthe von x zwischen — 1 und + 1 giebt es 
einen Werth von y wischen und tt. Da siny für alle diese 
Werthe von y positiv ist, so ist in Gleichung (12.) das Vorzeichen 
der Quadratwurzel richtig bestimmt. 

3) Es sei 
(13.) y = arc tga:, 



106 ' § 24. Differentiation inverser Functionen u. s. w. 



dann wird 

(14.) 
(15.) 


s^ 

rf(ai 
sei 


X = tgy, 
dy ^ 1 ^ 


(16.) 

oder 
(16 a.) 

4) Es 

(17.) 
dann wird 

(18.) 
(19.) 


Birc igx) _^ 1 


dx 1 + ^2 

y = arcctgir, 
:r = ctgy, 


(20.) 

oder 


dx^ 1 + Ctg2y ' 
rc oi^x) 1 


(20 a.) 

5) Es 
(21.) 
dann wii-d 


dir 1 + 5:^ 
y = arcsec:r, 



1 =±=.-i 



(22.) X = secy = — , cosy = - = -^ % 

^ ^ siny rfy ^ 
cos-^y efa 
dy _ cos^y _ cos^ _ x"'^ 
Ix "~ siny "~ y 1 _ cos^y "^ y 1 — :r~^ 



(23.) 
(24.) 

oder 

,r., N rf(arcsecir) 1 

(24 a.) -^^—7 = — 7====:- 

6) Es sei 
(25 . ) y = ai'c cosec x , 

dann wird 



§ 24. Difierentiation inverser Functionen u. s. w. 107 

(26.) a:=:cosecy = ^, smy = - = :r-^ 

(271 i = _52?ü..^, 

^ ^ sin^y dx 



(28.) 
oder 
(28 a.) 



:r-2 



dx "" cosy "" ~ V 1 — sinV "" ~yi — a;- 

rf(arc coseca;) l 

dx "" ^j/pZIi* 



7) Es sei 
(29.) y = «% 

dann wird, wenn man auf beiden Seiten den natürlichen 

Logarithmus nimmt, 

(30.) x\a = \y^ 

(31.) 1«=--|^' 

y dx 

(32.) | = yla, 

oder 

(32 a.) • ^) = o.la. 

dx 

Für den besonderen Fall, wo a gleich ^ (der Basis der 
natürlichen Logarithmen) wird, erhält man 

lö = Iß =: 1, 

so dass die Gleichung (32 a) übergeht in 
(BS, f?g) = .. 

Ist C eine beliebige CJonstante, so ist auch 

(»«.) ^ = 0-. 

Dieses Eesultat ist deshalb bemerkenswerth , weil Co*, wie 
später gezeigt werden soll, die einzige Function ist^ welche mit 
ihrer Ableitung übereinstimmt. Man nennt ^ die Exponenttal- 
Function, 



108 § 25. Uebungs-Beispiele. 

§25. 

Uebungs-Beispiele. 

1) d{ax^ — hx^-\-c) = x {Qaz — 2b)dx. 

2) rf(^ar» — \x^ + 4ar — 5) = {x^ — 3« + 4)fi?:r. 

3) d(2x^ — lx — b-\-^ — Ux—l — ^dx. 

=(t^ +3^ +T^ T^- 

6) rf[(aa~^ — 4a:» + c)»] = 

,;j« (aa:'« — Ja^ + c)"-* (2ac" — h)(id*-^dx. 

9) d[{a + a;)V g — a; = \ 

10) ä[(a' + ,^)VW^] = !^f^^- 

11) rf[(2a2 + 3^2) y(a2_^2)3] == _ 15:^3]/ «2 _ ^^2 . e/:r. 

14) rf[(a; — l)a*] = a*[l + (^ — 1)1«]^^. 

15) d{e^ ^7^) = e' . 7^^^ {x + rn)dx. 

16) rf[ö*(a:3 — 3:r2 + öar — 6)] = ö* . x^dx. 

' \ ^ \—x) (1 — x)y 1 — a;2 



dx. 

13 



§ 25. Uebungs-Beispiele. 10» 

18) äl(. + r^T^)=y^,- 

19) .l(. + /^^)=:p^. 

dx dx 



yi + x^ 



X 1/ 1 -1- 'tS 



''^ ^^Tiri) =4i'^'^-*)-l^^'^+*>] 



_3/ 1 _ _1 \ _ 12 da 

2W — 4 3a: + 4/ "^ ~" 9a:2 — 



12 dx 
16 



x X \ , 2a2a:dir 

«2 — ^2:2 a^-\-x^) a* — a;* 

23) ^l(«+.+/ar+T.) = ,p.^=. 

\i_|/^' 3(1 — y^)V^ 

^ Vy a2 + xi — y a^ — xV "" V«?/ 

wobei 

rfw :g a: _ a; (}^a2 — a:^ — y a^-^-x'^^ 

do X X x(y a^ — ^ + y a2-|-/p2j 

oder 



-a:* 



rfw rre? dv arw 



rfa: y o4 — x^ ' ö^«^ y^ 



4_^* 



110 § 25. Uebungs-Beispiele. 

ist. Dies giebt 

\v / ^ U V 

xvdx xudx x{v^'^'U^)dx 

uvY a* — x^ 



uya^ — x^ 
Nun ist 

uv = a^ + x^ — {a^ — 

w2 + t?2 = a2 + ir2 + 2 y a* 


vy^a* — x^ t 

x^) = 2 x^, 

— x^ + a^ — x^ 


+ a^ + x^ 2 )/a4 
= 4 a\ 
folglich wird 


— x^ + cfi — a:2 
2a2rfa: 


\vj 2^Y«^ ^' 


^ y a*— X* 



26) ^Yn^ + 2)^/F+l)3^ 

^ y(x—\y ^ 

= rf[|-l(:r+2)+|-l(:r+4)— |l(^_l)] 

27) rfsin (2 :r + 5) = 2 cos (2 :r + 5) rfar. 

28) d cos (wa:) = — m sin ijnx) dx. 

29) d (sin^ic) = 2 sin a: cos :r dx. 

30) d (sin 3 a: cos x) = sin^a; (3 — 4 sin ^a:) dx, 

31) rff-T-^ : — )= (— -r^ — |--:-ö-) COSa:^^: 

__ (5sin3; — 6) omxdx 
~" sin^a: 

^ \1 — COS^/ ~" (1 — C0Sa:)2 

^^) ''*^(f)=T[i + *^<T)]'^^- 

34) rf Ctg (3 a:) = — 3 [1 + ctg 2 (3 ^j)] j^. 



§ 25. Uebungs-Beispiele. 111 

35) (/(tg^'a:) = ^^^^^-^ dx^mtjg'^-^xil + tg'^x)dx. 

36) rf(4tg3aw-3tg2^-}-6tga:) = (12tg2a:— 6tga:+6) (l+tg^a;) cfo 

= 6(2tg4a: — tg3a:+ 3tg2:r — tgÄ:+ 1) efo. 

37) rf(ö*COSa:) = e* (cosa: — sina:)dlr. 

38) d sin (la:) = cos (la:). rf (la:) = ^^iäf) ef^:. 

39) ,*Bto(y|)=c«(yDVi=3-j^««(>D*«. 

41) rf l(Vl5i^ = rf(ilC0S^) = ^^^ = - 1 tgx rf:r. 

*2^ ''^T^^) = ^^^'^ + "^^^ - ^^-^ - ^'^)1 

— ^(1 + COSa;) d{l — cosa:) 2dx 

"~ 1 + cosa: 1 — cosa; ~" sinic 

ft . /x\ /x\ sin iT 
2smr 



HO'^d) 



«) 4ct.(|)]=-^ 



4 ro 3 "1 

45) dl(y än^x cos^a:) = rf j l(sina:) + jl(cos x) 

— ^ /^^^ sina;\ , 

"~4\sinic cosa:/ 

= M£2!!£lZH!£)^=ictg(2a:)(;:r. 
4sina:C0Sa; 2 ^^ ^ 

46) d{^^') = ö«i»* . rf(sina:) = <?«*"* . COSarrfar. 

47) rf(a;c«o**) = ö<^o'»*(l — a:sina:)di, 

48) d{€^ . cos(wa;)] = ß^[acos(mx) — msixi(mx)]dx. 



112 § 25. Uebungs-Beispiele. 
49) d{a^') = ö^*la . d(\z) = dx. 



X 

dx 



50) rfarcsin0)= ^^ <^0) = ^ 

51) '^arctg(j)=— i^,rf0) = ^ 

52) ^arctg|/^ = — 37I"'>^ 



a;- 






a + ^ 

(a + x^ y a + X adx adx ^ 

"" 2(a + 2x) Y^ ' {a + x^ "" 2(a+2a:) Y x{a+x) 

53) rf L . arc COb( ^ ~ j — V 2aa: — a:^ = 

a Ja — x\ d[2ax — x"^) 

"",/ /a — x^^ \ a ) 2V 2ax — a:^ 

arfa; (a — a:)cfe xdx 

■" "^1/205: — ;r^ ~ ]/2flw: — a;2 "" y^ax — x'^ 

54) y = a;^ ly = a:U, ^J=l+^^» 

55) y = a:«*»*, 

, 1 dv 1 , Sina: 

ly = Sma:Ja:, --f-= COSa^.la: + — T» 
^ ^ y dx X 

(OTT» /p \ 
hCOSa:.la:jrfa:. 

« 

56) y = Y^, 

1 =lia; 1 <^y_ i — 1^ 

^ a; ' y dz «2 ' 

(fy^ = |/^ . — dx. 



§ 25. Uebungs-Beispiele. 113 

57) y = {afY — 3^'^, 

d[{x^Y'\ = :r(^) . .r(l + 2l.r) dx = :r«^+^ (1 + 2U)dx. 

58) y = :r* , 

ly = x^Ax, ^^=^x^(l+lx)lx + — 

tj dx ^ ^ X 

nach Au%abe 54, folglich wird 

r («*)i (•*) 

dlx J = .T . x^[{l + l2:)la; + x-^]dx 



X 4- X 
= X 



59) y = (cosic)«^, 



[(1 + l;r) Ix + ;i:-l]d:r. 



Iv = sma;l(coSic), — -r- = cosa:;l(cosa:) 



j 



e/[(cos:r)"»^] = (cos:r)-^+«^°^[cos2;rl(cos:r) — sin^a:]. 
60) y = arcsin[tg(^)], 



a — :r 



siny = tgw, wo w = > 

dy 1 du 1 — 2a 

^ dx'^ cos% dx "~ cos'-^« (a + xY ' 

„ _ .2 — cos% — sin^^^ _ cosr2^) 

^ "" ^ "~ cos% "" cos^w 



1 —2a 



öf^ cosw y^C0S(2tt) (a + :r)2 

rfarcsm[t8(^)] 



— 2adx 






Stegemaim- Kiepert, Differential-Beohuung. g 



III. Abschnitt. 

Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung. 

§ 26. 

Ermittelung yonf^^'^ix). 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 44— 46.J 

Wie schon früher gezeigt wurde, ist äie Ableitimg einer 
Function f{x) im Allgemeinen wieder eine Function von x. 
Es wurde deshalb auch das Zeichen /'(^) eingeführt, so dass 

('■) I = ^' =/'« 

w^ar. 

Man kann daher f'{x) ebenso behandeln wie f(x) selbst und 
untersuchen, ob f'{x) eine Ableitung besitzt. Ist dies der Fall, 
so bezeichnet man die Ableitung Yonf'{x) mitf''(x) und nennt 
sie die ^.zweite Ableitung^' Yonf(x), Es ist also 

(2-) ^^ =/"(-)• 

In dieser Weise kann man fortfahren und erhält durch 
wiederholte Differentiation der Eeihe nach die Gleichungen 



(3.) 



dx 



Dabei heisst /^"^ (a;) die w** Ableitung der Function /(a;). 



Es ist nun auch von Interesse, zu untersuchen, nach 
welchem Gesetze die höheren Ableitungen von f{x) aus f{x) 



§26. Ermitteluiig von/(«)(a;). 115 

selbst gebildet werden können, ohne dass man die dazwischen 
liegenden Ableitungen benutzt. 

Der erste Differenzen-Quotient war 
(4.) ^ ^f±±^±-f(^) ^ ^(,). 

Vertauscht man in diesem Ausdrucke x mit x + Jx, wobei 
sich natürlich Jx gar nicht ändert, so erhält man 

/r N /(^ + 2^/a:) —f(x + Jx) , , ^ 

(5.) -^-^ ^-^ ^ = <p{x + Jx). 

Indem man die Gleichung (4.) von der Gleichung (5.) sub- 
trahirt und die Differenz durch J.r dividirt, ergiebt sich 

fp(x + ^^) — ^{^) ^^{^) \ ^x / 

Jx Jx Jx 

^ f{x + 2Jx) — 2f{x + ^x) +f{x) 

Jx^ 

Lässt man jetzt Jx verschwindend klein werden, so wird 
lim *(.) = ^ =/■(.), lim^ = Ä)=/-.(.), 
folglich ist 

(7.) f"{.) = lim-^^" + ^-^"> - y: + -^") +-^^")- 

In ähnlicher Weise findet man 
(8.) f"{x) = ^^'"^ ZJx)-%f{x-\-2Jx)+ Sfix+Jx)-f(x) ^ 



(6.) 



Jx=zO 



Jx^ 



(9.) /^«)(^) =^^^^ {/O^ + nJx) -Q})f[x + in - l)Jx] 
+ ©/[^ + (n-2)Jx] — +,..± (f)f{x + Jx) +/(a:)}. 

Der Beweis dieser Formel kann durch den Schluss von ?^ 

auf n+ 1 geführt werden, möge aber hier übergangen werden, 

weil för das Folgende nur der Fall, wo ;» = 2 ist, in Betracht 

kommen wird. 

8* 



116 § 26. Ennittelungeii von /»*)(x). 

Man kann auch von dem BiffermUale 

(10.) dy ^f(x) dx 

ausgehen und das Differential von dy bilden. 

Dann bezeichnet man dieses neue Differential d{dy) mi 
d^ und nennt es das zweite Differential von y. Bei der Bildung 
von dhi muss man aber beachten, dass in Gleichung (10.) die 
unendlich kleine Grösse dx einen von x unabhängigen Werth 
hat und deshalb bei der nochmaligen Differentiation als eine 
Constante anzusehen ist. Deshalb wird 

(11.) ^ = d{dy) = d\f\x)dx\ = d\f{x)]dx', 

nach Formel Nr. 34 der Tabelle ist aber 

d\f\x)\ ^,r{x)dx, 

folglich erhält man 

(12.) rf2y =f\x)dx\ 

Hierbei soll da?' immer mit {dxf- gleichbedeutend sein und 
ist wohl zu unterscheiden von d(^'^) = "Ixdx. 

Aus Gleichung (12.) folgt jetzt auch, dass 

•(12a.) 3=/"(^) 

ist. 

Unter dem dritten Differential von y versteht man das 
Differential von <?^, also d(dPy) und bezeichnet es mit rf^. 
Deshalb wird 

cPy = rf(d2y) = d\f^\x)dx^\ == d\f\x)\dx^, 

oder 

(13.) d^y^f*'{x)dx\ 

Hier ist dx^ gleichbedeutend mit {dxY und wohl zu unter- 
scheiden von d{x^) = ^'^dx. 

Aus Gleichung (13.) folgt wieder 
(13a.) g =f"{x). 

In dieser Weise kann man fort&hren und findet 
(14.) d»y = rf(«P-V) = /•"'(*) <^. 



§ 27. Üebungs-Beispiele. 117 

wobei (fe** immer mit {dxy gleichbedeutend ist. 

§ 27. 

Uebungs -Beispiele. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 47 and 48.) 

Aufgabe 1. Man soll die höheren Ableitungen von 

y =/(^) = ^* 
bilden. 

Auflösung. 

S=/'"(^) = 4-3.2^= 24.» 
g=:/(«(.) = 4.3.2.1 = 24, 

Aufgabe 2. Man soll die höheren Ableitungen von 

y =f{x) = ^x^—lx^ + %x^ + lla:2 _ 6a; + 9 
bilden. 

Auflösung. 

^ =/'(a;) = 15a:4 _ 28a:» + 24a:2 + 22a; — 6, 
^ —f*{x) = 60a;3 — 84:^:2 + 48a: + 22, 
^ =f*'\x) = 180aj2 — 168a: + 48, 
g=/W(:,) = 360a:- 168, 



118 § 27. Uebimgs-Beispiele. 

g=/(5)(^) = 360, 

Aufgabe 3. Man soll die höheren Differentiale von 

bilden. 

Auflosung. 

5 3 

dy ^=.f*{x) dx = -^x^dx^ 

^y =/"'(^) «?^=' = |- 1- 1^ ~^dx\ 

dhi=^ß*\x)dx^=-\- |- |- |:r"*rfa:S 

'^y = l(|-O(|-O--(|-"-^0^^'" ''''"• 

Aufgabe 4. Man soll die höheren Differentiale von 

y =/(^) = ^ 
bilden. 

Auflösung. 

dy = y (a:) rf;r = mx'^-' ^ dx, 
dh) =/" {x) dx^ = m (m — 1) ir«-2 dx'^, 
d'iy =/'" (a:) rfa:3 = m (m — 1) (w — 2) ;r''»-3 (ir», 

rf«y =/(«)(a;)rf:2'~ = w (w— 1) (w— 2) . . . (w— »+ 1) ä:«-" (fe**. 

Ist hierbei m eine positive ganze Zahl, so ist also f^^\x) 
eine Constante und die höheren Ableitungen werden alle gleich 
0; in allen übrigen Fällen aber kann man die Differentiation 
bis in's Unendliche fortsetzen. 



§ 27. Uebungs-Beispiele. 119 

Aufgabe 5. Man soll die höheren Ableitungen von 



bilden. 

Auflösung. 

Die Ableitungen der Exponential- Function ^ sind also 
sämmtlich wieder gleich «*. 

Aufgabe 6. Man soll die höheren Ableitungen von 

bilden. 

AuflSsung. 

Für a = ß geht diese Aufgabe in die vorhergehende über. 

Aufgabe 7. Man soll die höheren Ableitungen von 

y =/(^) = 1^ 
bilden. 

Auflösung. 

/-(.r)= + 1.2.rr-3, 



/N(:i:) = (— 1)C— 1). . (n— 1)! :z:— . 

Die Richtigkeit der letzten Formel wird durch den Schluss 
von n auf n + 1 bewiesen. 

Aufgabe 8. Man soll die höheren Ableitungen von 

y =f{x) = sin X 
büden. 



120 § 27. Uebungs-Beispiele. 

Auflösung. 

/'(ar) = COS a: = sinf a: + j , 

f'*(x) = — sin a: = sin ( ic + -^"j. 

/(4)(^) = + sin^ = sin (2: + ^)=/(^). 

Durch den Schluss von w auf » + 1 findet man, dass ganz 
allgemein 

Aufgabe 9. Man soll die höheren Ableitungen von 

y ^=f{oc) =: cos X 



bilden. 

Auflösung. 



f*{x) = — sin a- = cosf a: + — j , 

f\x) = — cos ^ = COs(a: + -o")» 
f-\x) = + sin^ = cos (x + ~^), 

/(4)(^) == 4. cos ^ = cos ra: + -^j =f{p\ 



Aufgabe 10. Man soll die höheren Ableitungen von 

f{x) = «^sin^r 
bilden. 

Auflösung. 

f\x) = eF (sinar + cos:r) = Y^ef^ %m\x + —j, 



§ 27. Uebungs-Beispiele. 121 

Aufgabe 11. Es sei u = ff{x\ v = xp{x)\ man soll die höheren 
Ableitimgen von 

y ==/(^) = w ± ü = 9)(a;) ± V'C^) 
bilden. 

Auflösung. Aus den Formeln Nr. 19 und 20 der Tabelle, 

nämlich aus 

d{u±ti) ^du di> 

dx dx dx 

folgt durch wiederholte Dilferentiation 



d\u ±v) __ d^u d^v 
Beispiel. Es ist 

folglich ist 

/(">(a:) = (—1)«»! (a:+ l)-»-i— (— l)"«! (a:+ 2)-«-^ 
- r l^n^» (^ + 2)'>^^l-(^+l)-'^^^ 

Aufgabe 12, Es sei wieder u = (p{x\ v = ?^(ä;) ; man soll 
die höheren Ableitungen von 

y =/(«) = «*<? = v(ip) . i^(ä?j 

bilden. 

Auflösung. Nach Formel Nr. 28 der Tabelle ist 
fXx) = f/(^) ip\x) + g>\x) xp{x), 



122 § 27. Uebungs-Beispiele. 

folglich wird 

r\x) ^<f{x) yj%x) + 2(fXx) xp*{x) + ip%x) xp{x), 
f**'(x) = if{x) xp'^^x) + ^tp\x) ip'^x) + Sq>''(x) xf)\x) + <f*%x)xf){x\ 

/(-)(;r) =y(a;)i/;(-)(:r) + (^)9)'(Ä:)i/;(— 1) {x) + (^^'\x)xl)<'^'^){x) 

+ ... +(^^V>^'"'^Kx) \p\x] + 9)(«)(a:) \l){x). 

Die Eichtigkeit dieser letzten Formel wird durch den Schluss 
von n auf n + 1 bewiesen. 



IV. Abschnitt. 

Herleitung und Anwendungen der Taylor'schen 
und der Mac-Laurln'schen Reihe. 

§ 28. 

Entwickelung einer ganzen rationalen Function /(a:^+^) 

nach steigenden Potenzen von h. 

Ehe die Tayfor'sche Reihe in ihrer allgemeinen Form 
hergeleitet wird; möge ein besonderer Fall behandelt werden, 
welcher dazu dienen soll, die später angewendeten Methoden zu 
erläuteiTi. 

Es sei 

(1.) f(x) = ax^ + a^x^ + a^x^ 4- a^x + a^ , 

also, wenn man mit h eine beliebige zweite Veränderliche be- 
zeichnet, 

dann folgt aus Gleichung (2.) durch Auflösung der Klammern 
und durch Vereinigung aller Glieder, die mit gleichen Potenzen 
von h multiplicirt sind, 

(3.) f{x + Ä) = {ax^ + a^x^ + a,x^ + a^x + a,) 

+ (4ar3 + 3ö^a;2 + 2a^x + a.^)h 

Dieses Resultat hätte man schneller auf folgendem Wege 
finden können. 



12:1: § 28. Entwickelung einer ganzen rationalen Function /(x-^-h). 

Man weiss, f{x + h) lässt sich auf die Form 

(4.) f(x + Ä) = X + X^h + X2Ä2 + X3Ä3 + X4Ä* 

bringen, wo die Coefficienten X, Xj, X2, X3, X4 Functionen von 
X sind. Um diese zu bestimmen, betrachte man h als einzige 
Veränderliche und differentüre beide Seiten der Gleichung (4.). 
Dabei ist zu beachten, dass 

df(x + h)_ df(x + h) d(x + h) _ 

dh "" d{x + h) dh "^ ^^ "^ ^^ 

ist. Man erhält daher 

(5.) /' (a: + Ä) = 1 . Xi + 2X2Ä + 3X3*2 + 4X4*^ , 

und hieraus durch wiederholte Differentiation 

(6.) /" (.c + A) = 1 . 2X2 + 2 . 3X3Ä + 3 . 4Xj/*2 ^ 

(7.) f%x + Ä) = 1 . 2 . 3X3 + 2 . 3 . 4X4Ä, 

(8.) ß%x + Ä) = 1 . 2 . 3 . 4X4. 

Setzt man in den Gleichungen (4.) bis (8.) die Veränder- 
liche h gleich 0, so findet man 

f(x) = X, oder X ^=f{x) = ax^-^a^x'^-^a.ix'^+a^x+a^^ 

/(a:)=:l.Xi, „ Xi===^^-y===4aa:3+3ö,a:2+2€?2^-fa3, 

f"(x) 



(9.) 



/"(a;) = 1.2X2, 



2! 



f"'{x) = 1.2.3X„ „ X,==-t:^=iaz + a„ 



3! 



/W(a:)=1.2.3.4X„ „ X,=-^=a. 

Setzt man diese Werthe von X, Xj, Xj, X3, X4 in die 
Gleichung (4.) ein, so erhält man in der That genau dasselbe 
Resultat wie in Gleichung (3.). 

Es wird also 
(3..) A.+A) =/(«) +m, + m H^^CMl,. +/M,, 



Diese Entwickelungs- Methode, welche hier nur für eine 
ganze rationale Function 4*«» Grades ausgeführt wurde, lässt 



§28. Entwickelung einer ganzen rationalen Function f(x + h). 125 

sich ohne Weiteres Kvi jede ganze rationah Function übertragen. 
Es sei jetzt also ganz allgemein 

(10.) fix) =:aüf' + a^af*'^ + a^""-^ + . . . + «n-ia; + a« 

und deshalb 

(11.) f(x + Ä) = a{x + hy + a^{x + Ä)~-i + 02(2: + Kf'^ + ... 

+ an^x{x + h) + ö„; 

dann weiss man , dass sich fix + h) durch Auflösung der 
Klammem und durch Vereinigung aller Glieder, welche mit 
derselben Potenz von h multiplicirt sind, auf die Form 

(12.) fix + Ä) = X + X^h + X2Ä2 + X3Ä» + X4Ä4 + . . . 

+ Xn-iA'-* + XnÄ~ 

bringen lässt, wobei die Coefflcienten 

X ? Xj , X2 j . • . Xh— l , Xn 

noch Functionen von x sind. Um diese zu bestimmen, betrachte 
man wieder h als einzige Veränderliche und diflferentiire beide 
Seiten der Gleichung (12.) zu wiederholten Malen nach A. 
Dadurch erhält man der Reihe nach die Gleichungen 

fix + Ä) = 1 . Xi + 2X2A + 3X3*2 + 4X4Ä3 + . . . 

f*'ix + Ä) = 1 . 2X2 + 2 . 3XjiÄ + 3 . 4X4*2 + . . . 

+ (n — 2) (^ — 1) X„_iÄ«-8 + (;^ — 1) «XnÄ"-2^ 

f**ix + Ä) = 1 . 2 . 3X8 + 2 . 3 . 4X4Ä + . . . 

+ (;^ — 3) (« — 2) (w — 1) X„-iÄ"-* 
(13.) { +in — 2)in—l) nXji^'^, 

f^^\x + Ä) = 1 . 2 . 3 . 4X4 + . . . 

+ (« — 4)(n — 3)(» — 2)(» — l)Xn-iA~-^ 
+ in — S)in — 2) (« — 1) »X»Ä"-*, 

/<«-^)(a:+Ä)=1.2.3...(«— l)Xn-l+2.3.4...(f^— 1)»XhÄ, 
l/(») (a; + Ä) = 1 . 2 . 3 . . . (« — 1) nXn. 

Setzt man jetzt in den Gleichungen (12.) und (13.) die 
Veränderliche A gleich 0, so findet man 



126 §28. Entwickelung einer ganzen rationalen Function /(x+Ä). 

f{x) = X, oder X ^f{x), 



(U.) 



f'{x)=\.X„ „ Xi = 



_/'(^) 



1! 



? 



f"{z) =1.2X,, „ ^2="^' 

/'" (a;) = 1 . 2 . 3X3 „ X3 ='^y ' 

/W(a:) =1.2.3. 4X„ „ X4 =^^ ' 

/(«-«(;,) = («_!) !X„_„ „ X„_,='^— i^^ 

/w(^) = m!X„, „ X»=-ö^. 

Die Gleichung (12.) geht daher über in 
(15.) /(^+Ä) =/(:r) +^Ä +fflA2+-^Ä3+ . . . +-^Ä" . 



-Dasselbe Resultat erhält man auch auf folgendem Wege. 
Es ist nach Formel Nr. 35 der Tabelle 

dx dh J \ ^ } 

Man wird also mit einander übereinstimmende Ausdrücke 
erhalten, gleichviel ob man die rechte Seite von Gleichung (12.) 
nach X oder nach h differentürt. Dies giebt 

d^ . dX^ , aX2 7«j , ^^3 7 a , 
dx dx dx dx 

(15.) ! +^Ä.-+^Ä» = 

dx dx 

1 . Xj + 2X2Ä + 3X3*2 + 4X.iA3 + ... + wX„Ä«-^ 

Für Ä = findet man aus Gleichung (12.) 
(16.) X =f{x) 

und aus Gleichung (15.) 



§ 29. Anwendung auf den binomischen Lehrsatz. 



127 



(17.) 



dX 
dx 



= i-^^=^=/'(-)- 



dX 



Wenn man jetzt in Gleichung (15.) ^ gegen 1 . X^ fort- 
hebt und beide Seiten der Gleichung durch h dividirt, so 
erhält man 

(15a.) dx^ dx^^ dx^^'^'^ dx " ^ dx^ ~ 

1 2X2 + 3X3Ä + 4X4*2 + . . . + wXnÄ'*-2. 

Hieraus folgt, wenn man wieder ä = setzt, 



^ = .X. = <ffl =^..(,), ^ X, =£0). 



<£r 



rfa; 



Indem man dieses Verfahi-en fortsetzt, findet man der 
Eeihe nach 



'^^« = 3X3, oder X3=-C^ 



dx 



3! 



(16.) 






<fX; 



^ — 4X 



?? 






dXn- 

dx 



= wX„, 



n 






§ 29. 

Anwendung auf den binomischen Lehrsatz für positive 

ganzzahlige Exponenten. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 10.) \ 

Wie wichtig die oben angegebene Entwickelung ist, kann 
man schon aus einem sehr einfachen Falle einsehen. Es sei 
nämlich 

(1.) fix) = X-, 

also 

(2.) /(:r + Ä) = (a: + Ä)", 



128 § 30. VerallgemeineniDg der gegebenen Entwickelungs-Methode. 

wobei n eine positive ganze ZaM sein soll. Nun ist nach 
Gleichung (15.) des vorhergehenden Paragraphen 

(3.) f{x+k)^f{x)+£^h+^^h'^+^^ 

In diesem Falle ist aber 

f{x) = 3f, f {x) = na^-\ f (a:) =n{^ — \) af"'^ 
/'"(a;) = »(« — l)(«—2)rp*»-3,.../(*)(a:) = u(»—l)... 3,2.1 = »!, 
folglich geht Gleichung (3.) über in 

(4.) {x + hy = ar» + ^a^- ^h + ^^^~^^ a:— W 

+ «(»- 1) (»- 2)^ -3 ;^, + ^,. + «!^.^ 
o! n \ 

Setzt man noch 

5? = a, Ä = Ä, « = m, 
so erhält man den binomischen Lehrsatz, nämlich 

(5.) {a+by^^a^ + (^a^-^b+(^^ 

eine Formel, welche schon in § 9 , aber auf andere Weise her- 
geleitet wurde. 

§ 30. 

Verallgemeinerung der gegebenen Entwickelungs- 
Methode. 

Es ist nun die Frage, ob und in welchei' Weise die her- 
geleitete Entwickelung einer ganzen rationalen Function/ (a:+Ä) 
nach steigenden Potenzen von h auch auf andere Fimctionen 
übertragen werden kann. 

Eine solche Verallgemeinerung liegt sehr nahe, denn man 
kann dieselben Schlüsse, welche in § 28 richtig waren> auch 
bei jeder anderen Function f{x + h) anwenden, von der man 



§ 30. Verallgemeinerimg der gegebenen Entwickelungs-Methode. 129 

weiss, dass sie sich nach steigenden Potenzen von h entwickeln 
lässt, dass sie sich also auf die Fonn 

(1.) /(a: + A) = X + XjÄ + X2Ä2 + X3Ä3 + X4Ä4 + . . . 

bringen lässt. Man findet dann nämlich, indem man beide 
Seiten der Gleichung (1.) zu wiederholten Malen nach h 
diflferentürt*), der Reihe nach die Gleichungen 

r /' (^ + *) = 1 • -^1 + 2X2A + 3X3*2 + 4X4*3 + ...^ 

I /" (:r + Ä) = 1 . 2X2 + 2 . 3X3/* + 3 . 4X4*2 + ..., 
]/'"(^ + Ä) = 1.2.3X3 + 2 .3.4X4* +..., 

Setzt man dann in den Gleichungen (1.) und (2.) die Ver- 
änderliche * gleich 0, so findet man genau so wie damals 

(3.) X r=zf(x\ Xi= -^, X2 = 2! -^3 = —^y — v5 
so dass Gleichung (1.) übergeht in 

(4.) /{X-V h) =f{x) +-^Ä+^Ä2+-^Ä34/Ää4 + . . . . 

Ist nun aber/(ic) keine ganze rationale Function, so kann 
/(a: + *) unmöglich gleich 

sein, weil dieser Ausdruck eine ganze rationale Function ?^**** 
Grades von * ist. Es muss daher /(:r + *) von dieser ganzen 
rationalen Function verschieden sein, und zwar um eine Grösse, 
die mit R bezeichnet werden möge. R ist daher erklärt durch 
die Gleichung 

(5.) J^==/(:. + *)_/(:r)-'^*-•^U2-..._'^*^ 



*) Dabei ist allerdings die Voraussetzang gemacht, dass die Summe 
auf der rechten Seite differentiirt wird, indem man jedes Glied einzeln 
differentiirt. Enthielte die Summe nur eine endliche Anzahl von Gliedern, 
so wäre diese Voraussetzung ohne Weiteres richtig; enthält die Summe 
aber unendlich viele Glieder, so mnss man erst beweisen, dass diese 
Voraussetzung gilt. 

Stegemann- Kiepert, Differential-Rechnung. 9 



130 § 30. Verallgemeinerung der gegebenen Entwickelungs-Methode. 

oder 

(5aO/(^+Ä)=/(^)+-^Ä+Ö^Ä2+...+ 

Wird nun R für hinreichend grosse Werthe von n beliebig 
klein, so darf man R yemachlässigen , so dass dann die 
Gleichung (5a.) auch noch in dem Falle, wo f{x) keine ganze 
rationale Function ist, sehr brauchbare Resultate liefert. 

Man nennt die Summe auf der rechten Seite von Gleichung 
(5a.) die Tay/or'sche Reihe und R das Restglied der Taylor- 
schen Reihe. 

Wie nothwendig die Untersuchung dieses Restgliedes R ist, 
soll zunächst bei einem einfachen Beispiele gezeigt werden. 

Es sei 

(6.) f(x)=^^x-\ 

also 

(V.) f^^ + '^-TTÄ 

und 

j /' (a;) = — 1 . a:-2, /*' (x)=:l. 2x-\ 

^^•^ 1/" (:r) = — 1 . 2 . 3:r-4, . . . f^^x) = (— l)~w! x^^-K 

Setzt man diese Werthe in die Gleichung (5a.) ein, so 
erhält man 

^ ^ X -\- h X x^ x^ x^ a:"+^ 

Für a: = 2, A = — 1 giebt dies z. B. 

— = — = l=i + i + i+ JL_| 1 \ Lß 

Hier wird, wie man ohne Weiteres erkennt, 

also beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von n. 

In diesem Falle würde daher die Töy^or'sche Reihe anwend- 
bar sein. Setzt man aber 

:r = 2, Ä = — 4, 



§30. Verallgemeinerung der gegebenen Entwickelungs-Methode. 131 

SO findet man aus Gleichung (9.) 

Jetzt ist 

JS = — 2" 

und wird, vom Vorzeichen abgesehen, sogar beUebig gross, 
wenn n hinreichend gross ist. Man darf also R nicht ver- 
nachlässigen, d. h. man darf in diesem Falle die Entwickelung 
nach der Tayfor'schen Eeihe nicht anwenden. 

Man kann in dem vorliegenden Beispiel das Eestglied R 
auch flii^ beliebige Werthe von z und h sehr leicht bestimmen. 
Aus Gleichung (9.) folgt nämlich 

(10.) i2= 1 _i+4_^V^_+..._(_i)„.j:L 

Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist eine geometrische 
Progi-ession, deren Summe man sehr leicht nach Formel Nr. 11 
der Tabelle bilden kann. Es wird nämlich 

1 + J» + J»^ + i»^ + • • • + P" = —--^ , 

l—p 

und da in diesem Falle p gleich ist, so erhält man 

X 



(11.) 






= .r — 



X 



Daraus folgt 

(12.) R = -L- ^ ^/ =\^2_. 

x + h X + h x + h 

Nun wird nach früheren Sätzen (vergl. § 9) die Potenz 
eines ächten Bruches beliebig Mein und die eines unächten 
Bruches beliebig gross, wenn man den Exponenten hinreichend 



132 § 31. Das Restglied der Tayfor'schen Reihe. 

gross macht, folglich wird hier R nur dann bdiebig iletn, wenn, 
abgesehen vom Vorzeichen, k kleiner als x ist. 

Bei diesem Beispiele wird also die Tay for 'sehe Reihe nm' 
anwendbar sein, wenn 

|Ä|<H, 

wobei man unter |ä| und la?] die absoluten Beträge (d. h. die 
Zahlenwerthe, abgesehen vom Vorzeichen) von h und x versteht. 

So leicht wie in diesem Beispiele ist im Allgemeinen die 
Berechnung des Restgliedes JR nicht. Man braucht aber den 
wirklichen Werth von JR auch gar nicht, sondern braucht nur 
zu wissen, ob R für hinreichend grosse Werthe von n beliebig 
klein wird. 

Diese Untersuchung soll nun in dem folgenden Paragraphen 
ausgeführt werden. 

§31. 

Bestimmung des Restgliedes der TayloKschen Reihe 

nach Lagrange. 

(VergL die Formel-Tabelle Nr. 49 und 50.) 

Es war 

(1.) /(;. + k) =f{x) +Ä) Ä + ffl A2 + . . . +/!^A«+i2, 

oder 

(2.) R^f(x+h)-f{x)-£^h-l^h^ ^^V. 

Setzt man hierbei 

(3.) X -{- h^=- z^ also h=^ z — ir, 

so geht Gleichung (2.) über in 

(4.) R=f{z)-f(x)-^-M^z-x)-^-^^ 

...—^- — )-^(z—xY. 

ni ^ ^ 

Aus dieser Darstellung erkennt man, dass R eine Function 
von X und z ist, welche für x = z verschwindet^ also 
(4a.) R = Q f&n x = z. 



§ 31. Das Restglied der Taylor'achen Reihe. 133 

Bei den zunächst folgenden Untersuchungen soll z einen 
Constanten Werth behalten und x als die einzige Veränderliche 
betrachtet werden. Wenn man unter dieser Voraussetzung 
beide Seiten der Gleichung (4.) differentiirt, so erhält man 

3! (=^— ^) +2! ^^""^^ 



oder 

(5.) 



Nun war in § 13 der Satz bewiesen worden: Eine litnction 
nimmt gleichzeitig mit x zu für aUe Werthe von x, für welche 

-j- positiv ist, und die Fitnction nimmt ab, während x zunimmt, 

für alle Werthe von x^ für welche -j- negativ ist 

Dieser Satz möge hier zunächst unter der Voraussetzung 
angewendet werden, dass x kleiner als z ist und alle Werthe 
von einem Anfangswerthe a bis zu dem Endwerthe z durch- 
läuft, so dass 

a Sa;Sg 

ist. Femer möge vorausgesetzt werden, dass die Functionen 

fix). f{x\ r\x\ . . . ß-\x\ ß-^\x) 

in diesem Intervalle sämmtlich stetig sind. 

Der kleinste Werth, welchen /('•+^> (a:) in diesem Intervalle 
wirklich annimmt, heisse JT, und der grösste heisse 6r; es sei 
also 



134 §. 31. Das Restglied der Taylor'acheii Reihe. 

(6.) ß*"^'K^i) = ^ und ß'"^'K^2) = G, 

wobei 

a'^Xi '^z und a'^x^ '^z 

ist. K und G sind dann constante Grössen , und es wird flir 
alle hier in Betracht kommenden Werthe von x 

(7.) K—ß^+^){x) SO, G — /^"+^>(2:) ^ 0. 

Deshalb ist 

Wächst also x von a bis «, so muss nach dem oben an- 
geführten Satze 

^ — S' — . .«x, -ZT beständig abnehmen. 

(n +1)! 

JB — —. — ^.y G beständig zunehmen, 

(z xY"^^ 

d. h. die Differenz JR — ^7 — . ;., K erhält für rc = 5; ihren 

(n + 1)! 

kleinsten, und die Differenz E — -. — . ;., G erhält für ;r = 2j 

(» + !)! 

ihren grössten Werth, wenn x das Intervall von a bis 2; durch- 

läuft. Dieser kleinste Werth von R — ^ — . ,., jBT ist aber 

{n+ 1)! 

nach Gleichung (4 a.) gleich 0, folglich müssen die übrigen 
Werthe grösser als sein, so dass man erhält 

(9.) R — ^^^^^^K>0, oder R^^^IZJ^x. 
^ ^ (^ + 1)! — ' ~ {n+ 1)! 



* 



) Um Platz zu sparen, schreibt man hier und in ähnlichen Fällen 



dx 



W- ^^-'T^' k] statt '^-TOT^J 

L (n + l)! J dx 



§ 31. Das Restglied der rayZor'schen Reüie. 135 

Ebenso ist dieser grösste Werth von R — -. — , , ,, G 

{n+ 1)! 

nach Gleichung (4 a.) gleich 0, folglich müssen die übrigen 
Werthe Heiner als sein, so dass man erhält 

W B-(£^GSO, oder M^^^I^G. 

Die beiden Ungleichungen (9.) und (10.) kann man ver- 
einigen, indem man schreibt 

^ {n + 1)1 — — {n+l)l 

Erklärt man jetzt die Grösse M durch die Gleichung 

(12.) J|i-=^Jl^iJ, 

so wird 

und die Ungleichungen (11.) gehen über in 

(14.) K^Af^G, 

d. h. M ist ein Mittelwerth zwischen K und G. 

Aehnliche Schlüsse gelten, wenn 

z'^x'^a 

ist, nur muss man dann zwei Fälle unterscheiden, jenachdem 7i 
gerade oder ungerade ist. 

Weil für gerades n auch hier (z — xY positiv ist, so gelten 
in gleicher Weise wie vorhin die Ungleichungen (8), nämlich 

Wächst also x von z bis a, so muss 

(z ;c)**+^ 

jl — 1^ — , :;■, K beständig abnehmen. 

(n+l)\ ° ' 

ß — —i — . ixi ^ beständig zunehmen ; 

(n+l)\ 



136 § 31. Das Restglied der raytor'schen Reihe. 

d. h. wenn x das Intervall von « bis a durchläuft, so erhält die 

(z — ar)""*"* 
Differenz JB ; — , \.. K ^ x ^^ z ihren grössten Werth, 

(n-\-l)\ ^ ' 

nämlich den Werth 0, und die Differenz R — ^ — . ;,, G erhält 

(^+1)! 

ihren kleinsten Werth, der ebenfalls gleich ist. Daraus folgt 

\li- \ ^L g^O, Oder i?^ ^^. ^l^, G, 
{ {n+l)\ — — {n+l)l 

also 

Setzt man wieder wie in Gleichung (13.) 

so findet man auch hier 

Ist dagegen n ungeradej so wird (z — xY negativ \ die Un- 
gleichungen (8.) gelten dann nicht mehr, es wird vielmehr 

Wächst also x von z bis a, so muss jetzt 

R 7 — , ^\. K beständig zunehmen, 

^;^^-ljI 

^ — ^^; — . .X, ö beständig abnehmen ; 
d. h. wenn a: das Intervall von z bis a durchläuft, so erhält die 

Differenz R — ^^7 — , [., K ^ x ■=^ z ihren kleinsien Werth, 

{n+l)\ 

(g xY+^ 

nämlich den Werth 0, und die Differenz R — ~ — r-frr- G erhält 

(n+l)\ 



I 31. Das Restgüed der Taylor'achen Reihe. 137 

ihren grössten Werth, der ebenfalls gleich ist. Daraus folgt 



(17.) 



JR — \ , ;,, JT^O, oder R^ \ , ,,, A, 
(w+1)! — ' — (;i+l)! 

^-lM:T)r^^^^^*^^^^lirfir 



also 

(18.) (±Z^K^n^^±Z^G. 

(n+l)\ — — (n+1)! 

Setzt man in den Ungleichungen (18.) wieder in Ueberein- 
stimmung mit Gleichung (13.) 

so findet man auch in diesem Falle 

d. h. die Gleichung (13.) und die Ungleichungen (14.) gelten, 
gleichviel ob 

a^x^z^ oder ob z^x^a 
ist. 

Wenn man für K und G ihre Werthe einsetzt, so kann 
man die Ungleichungen (14.) auch auf die Form 

(14a.) /^--^^K^) ^ Jf S/^-+i)(a:2) 

bringen. 

Nun war in § 8 der Satz bewiesen worden: Ist die Function 

f[i£) für alle Werthe von x ztoischen x^ und x^ stetig^ so wird 

f(x) jeden Werth zu)ischen f(x^) und f{x<i) mindestens einmal 

annehmen, wenn x alle Werthe zunschen x^ und x^ durchläuft 

Dieser Satz möge auf den vorliegenden Fall angewendet 
werden, wo aber die Function nicht f{x) sondern /c»*+i) {x) heisst. 

Da der Mittelwerth M zwischen /^"^^K^i) ^^^ /^**"^^n^2) li^g^» 
so muss es zwischen x^ und oc^ mindestens einen Werth von x 
geben, er heisse |, für welchen f^^'^^^{x) gleich M wird. 
Dies giebt 

(19.) /^-+^H5) = ^• 

Ist zunächst a <z und x^<.x^, so erhält man 



138 § 31. Das Restglied der Taylor'schea Reihe., 

ist a <^z und x^ > X2, so erhält man 

in beiden Fällen wird also 

(20.) a-^^-^z. 

Ist dagegen z < a und x^ < X2 , so erhält man 

ist 2: < a und arj > X2, so erhält man 

in diesen beiden Fällen wird also 

(21.) 2:^1^0. 

In allen vier Fällen liegt | zwischen a und z. Deshalb 
wird die Grösse 

(22.) ^^=^ == & 

^ z — a 

immer zwischen und 1 liegen, weil in diesem Bruche Zähler 

und Nenner gleiches Vorzeichen haben, und der Zähler, abge- 

Fig. 21. sehen vom Vorzeichen, kleiner ist als 

A üT 2 dör Nenner. Am besten kann man 

' sich von der Richtigkeit dieser Be- 

^^•^ hauptung durch die geometrische 

^ ff ^ Darstellung der Werthe a, 5 und z 

durch die Punkte A^ 17, Z überzeugen, 
indem man 

OA = a, OZ=z, on=l 

macht; dann entspricht Figur 21 den Ungleichungen (20.) und 
Figur 22 den Ungleichungen (21.). In beiden Fällen ist 

S — g An, 

z — a AZ 

und zwar sind im ersten Falle Zähler und Nenner beide positiv^ 
im zweiten Falle sind Zähler und Nenner beide negativ. Des- 
halb wird in beiden Fällen 
(23.) OS0^+ 1. 

Diese Einschränkung des Werthes von ist für 
das Folgende besonders zu beachten. 



§ 31. Das Restglied der Tayhr'acken Reihe. 139 

Aus Gleichung (22.) folgt 

5 — a = 0{z — a), 
oder 

(24.) 'S = a + e(z — a). > 

Hierdurch erhält Gleichung (19.) die Form 

(25.) M ==/(-+») [a + e{z — a)], 

und Gleichung (13.) geht über in 

(26.) R = (£lI^/(H+.)[a + iz-a)l 

Diese Gleichung gilt, wenn x alle Werthe zwischen a und z 
durchläuft, sie gilt also auch für x — a. Dann gehen die 
Gleichungen (4.) und (26.) über in 

(27.) /(;,)=/(«)+Ä(^_«)+Ä)(^_a)2 + ... 
wobei 

(28.) ü = >•'"" f;+/i5r "" <-—)•"■ «592+ 1. 

Nachdem man auf diese Weise den Werth von R ermittelt 
hat, darf man die Grösse a auch als veränderlich betrachten 
und wird sie dann am besten wieder mit x bezeichnen. Dadurch 
gehen die Gleichungen (27.) und (28.) über in 

(29.) Az) =f{x) +-ffl (^ _ :«) +ffl (^ _ ^)2 + . . . 

+-^ (z-xT + B, 

(30.) i,=£!lM|iz£!J(. _,,..,, „ses + 1. 

Setzt man jetzt wieder, den Gleichungen (3.) entsprechend, 

z=^x + h^ also z — ^ = Ä, 
so erhält man hieraus 

(31.) fix + h) =/(x) +-fflÄ +Ä)ä^ + ... +-^Ä»+i?, 



140 § 31. Das Restglied der Taylor'schea Reihe. 

(32.) !t^f^+p,..:, 0S«S+1. 

Diese Gleichungen geben an, in welcher Weise man f(x+h) 
nach steigenden Potenzen von h entwickeln kann. 

Bemerkunir« 

Um sich die Form des Restes R leichter zu behalten, merke man 

sich, dass R aus dem letzten Gliede «^ — 1— '/r entsteht, indem man n 

n! 

mit n + 1 i^^d X mit x + OA vertauscht. 

Man kann in den Gleichungen (27.) und (28.) die Grösse 
a auch als constafit und die Grösse z als veränderlich betrach- 
ten, wobei es zweckmässig sein wii'd, den Buchstaben z mit 
dem Buchstaben x zu vertauschen. Dann ist 

(33.) fix) =f(a) +Ä (^ _ a) +-^ (;, _ a)2 + . . . 

'^ (/^ -f 1)! ^ 

Diese Gleichungen geben an, in welcher Weise man fix) 
nach steigenden Potenzen von x — a entwickeln kann, 

Lässt sich nun zeigen, dass JB beliebig klein wird fiir hin- 
reichend grosse Werthe von w, so darf man R für unbegrenzt 
wachsende Werthe von n vernachlässigen und schreiben 

(31a.)/(:.+Ä) =fix)+i^h+^h:^+^-^h^ + . . . , 
(33a.) /(:.) =/(a)+^(.^_a) + /l^(^_a)2 

+^-^ix-ay+,.., 

WO die Punkte andeuten sollen, dass die Reihen bis in's Un- 
endliche fortzusetzen sind. 



§ 32. Die Mac'Laurin^sche oder Sttrltng^ache Reihe. 141 

§ 32. 

Die Mac-Laurin'sche oder Stirling'sche Reihe. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 51.) 

Die Mac-LaurMsche oder Stirlinff^^che Reihe ist nur eia 
besonderer Fall der Tayfor'schen Eeihe, den man erhält, indem 
man in den Gleichungen (33.) und (34.) des vorhergehenden 
Paragraphen a gleich setzt. Dies giebt 

wobei 



(2.) 
ist. 



R =fpl!^i^ 3f>+i und OS0S1 
(» + 1)! "~ ~ 



§ 33. 

EntWickelung der Functionen e*' und a". 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 52 and 53.) 

Aufgabe 1. Man soll die Function e* nach steigenden 
Potenzen von x entwickeln. 

Auflösung. Hier ist 

/(a:) = c*, also /(O) = 1, 

f'(x)^e-, „ /'(0)=1, 

f"(x) = e', „ /"(0) = 1, 



(1-) 



/(«)(a:) = <.«, „ /'"'(0)=1, 

. /l»+i) (x) = ««, „ /(»+» (0x) = e^ . 

Setzt man diese Werthe in die Mac-Laurin'scla.e Eeihe 



ein, so erhält man 

(2.) e' = l+j^ + ^ +...+j^ + B, 



X . X^ . . x^ 



142 § 33. Entwickdung der Fiinctionen «« und a*. 

wobei 

(3.) E=- ^^ ^i^f ^"-"^^rTTTTl^ ' 

^ ^ (« + 1)1 (/2 + l)i 

Bezeichnet man nun den absoluten Betrag von x (d. h. 
den Werth von x, abgesehen vom Vorzeichen) mit \x\, und 
genügt die ganze Zahl ff der Ungleichung 

ff^\x\<ff+ 1, 



SO zerlege man - — t-ttt in die Factoren 
® (n + 1)! 

^ 12 ff ^+1^ + 2 «+1 

Es ist dann, wenn man vorläufig voraussetzt, dass x 
positiv ist, 

ein ächter Bruch, und es wird 

<Ä, p-r<A, ... — r~T< ^• 



(7 + 2 ^ ' ff+S^ ' -n + l 
Daraus folgt 



XXX X 



^' ^ + 1^ + 2(7 + 3 n + l^"" 

(5.) jB = 2^1 . jPa . i^3, wobei F3 = 0^' 

ist. Die Factoren 

Fl = 4 ™d F3 = ö^"^ 

sind endliche Grössen, während man k^-^^s und folglich erst 
recht den Factor F-i für hinreichend grosse Werthe von n be- 
liebig klein machen kann; deshalb wird auch R beliebig klein 
für hinreichend grosses n. 

Vertauscht man x mit — x, so ändert der Factor ; — ^-ttt 

(» + 1)1 

höchstens sein Vorzeichen, und F^ = e^^ geht über in 
^""^"^ = -;ö7> bleibt also eine endliche Grösse. Deshalb wird 



§ 33. Entwickelung der Functionen e« und a«. 143 

jR auch dann beliebig klein für hinreichend grosses n, wenn x 
eine negative Grösse ist. 

Man kann daher in allen Fällen das ßestglied bei dieser 
Entwickelung vernachlässigen, wenn man die Eeihe bis in's 
Unendliche fortsetzt, und erhält 

X US Oß oc 

(6.) e* =!+_ + _ + _ + _ + ... in inf. 

Für x=l stimmt diese Gleichung mit Fonnel Nr. 14 der 
Tabelle überein. 

Aufgabe 2. Man soU die Function a" nach steigenden 
Potenzen von x entwickeln. 

Auflösung. Hier ist 

f{x) = a«, also /(O) = 1, 



(7.) 



f'{x) = a'\a, /'(0) = la, 



ß»)(x) = a' (lo)« , /(«'(O) = (la)- 

/(«+i>(a;) = a*(la)»+' , /»•'+i> (0a;) = a®'(la)"+». 

Daraus folgt durch Anwendung der Jtfoc - ia«rt»'schen 
Reihe 

wobei man in ähnlicher Weise wie vorhin zeigen kann, dass 
R beliebig klein wird für hinreichend grosse Werthe von n. 
Dies giebt 

(9.) a« = i + ^ + £!M! + qf)! + .... 

Dasselbe Resultat hätte man auch aus Gleichung (6.) in 
folgender Weise finden können. Es sei 

dann wird 

\y = l(a*) = x\a, 
folglich ist 



144 § 34. Entwickelimg der Functionen sinar und cosj-. 



y=:ß«l«, 



also nach Gleichung (6.), indem man x mit x\a vertauscht. 



§34. 

Entwickelung der Functionen sina? und cos^. 

(VergL die Formel-Tabelle Nr 54 und 55.) 

Aufgabe 1. Man soll die Function sin:? nach steigenden 
Potenzen von x entwickeln. 

Auflosung. Hier ist 

f(x) = sin:r, also /(O) = 0, 

/'(:r) = COS:r, „ /'(0)=1, 

/"(^) = -sin^, „ /"(0) = 0, 

r\x) = - COSrc, „ /'"(O) = - 1 , 
/(^)(:r) = sin:r, „ /(^)(0) = 0, 



(1.) 



Unter der Voraussetzling, dass » eine ungerade Zahl ist, 
wird daher 

|/'"'^"(^) = + Sinar, „ /(•+i)(0«) = q: sin(@a;). 
Dies giebt mit Hülfe der Jtfac-ioMnVschen Reihe 

(3.) sin:r = ^-3j+^-+...±^+iJ, 

wobei 

(4.) Ä= + ^-^-p^sin(0^). 

Nun wurde bereits im vorigen Paragraphen bei Entwicke- 

lung von c* gezeigt, dass man . >^y beliebig klein machen 

kann, wenn man nur n hinreichend gross wählt. Ausserdem 
liegt sin {^x) zwischen — 1 und +1, folglich kann i? vemach- 



§ 34. Entwickelung der Functionen slnx und cosx. 145 

lässig^ werden, wenn man die Beihe bis in's Unendliche fort- 
setzt. Dadnrcli erhält man 

/*• /yo /*»5 /*»7 

(5.) smx = --^, + ^-yj+-.... 

Hdsst das letzte Glied , weldies man für die Beredmnng 
von sina: benutzt hat, ±-tj und ist \x\ <n+ 1, so ist der 
Best, welcher vernachlässigt wird, nämlich 

i2= T -T — T~T • sin(®:r), 
»! n + 1 ^ ^' 

vom Vorzeichen abgesehen, immer nur ein Bruchtheil dieses 
letzten Gliedes, so dass man für die Genauigkeit der Bechnung 
ein sicheres Mass erhält. 

Aufgabe 2. Man soll nach dieser Formel sin 15^25' 20'' 
berechnen. 

AuflSsung. Die Länge des Bogens, welcher dem Centri- 
winkel von 15^25' 20'' in einem Kreise mit dem Badius 1 ent- 
spricht, ist 

. = 15^ . ^ = 2776.3,14159265 ^ o,26916856. 
180 180 32400 v,^u^xuo,i 

Deshalb ist 

•^ = 0,269 168 56 , fr = 0,003 250 29 , 
II o! 

5 7 

|j- = 0,00001177, jj = 0,00000002. 

Die folgenden Glieder haben in den ersten 8 Dedmalstellen 
keine geltenden Ziffern mehr. Es wird daher 

sina: = 0,26918033 — 0,00325031, 
oder 

sin 15025' 20" = 0,26593002. 

Aufgabe 3. Man soll die Function cos:r nach steigenden 
Potenzen von x entwickehi. 

Stegemaim-Kieperty Differential-EeclmTmg. 10 



146 § 34. Entwiokelang der Fnnctioiien sin« tind cos«. 

AiriUitung. Hier ist 

fix) — COS«, also /(O) = 1, 

f'ix) = —^x, „ /'(o) = o, 

/"ix) = -casx, „ f'(o) = -l, 

f"'{x) = smx, „ /'"(0) = 0, 

/<«(a;) = cosar, „ /W(0) = 1, 



(6.) ( 



(7.) { 



Unter der Voraussetzung, dass n eine gerade Zahl ist, wird 
daher 

/(n)(a:) = ± COSa:, also /^^X^) = ± 1, 

/(«+i)(a:) = T sina:, ' „ /(•»+i)(®a:) = T sin(®ar). 
Dies giebt mit Hülfe der Jfaf^-XaunVschen Beihe 

(8.) coSa: = l-^ + jj.-^ + -...±^ + iJ, 

wobei 

(9.) iJ = T (^^71)1 sin(0a:). 

Der Best hat hier dieselbe Form wie in Aufgabe 1, nur 
war dort n eine ungerade Zahl, während hier n eine gerade 
Zahl ist. Man findet daher ebenso wie in Aufgabe 1, dass 22 
beliebig klein wird för hinreichend grosse Werthe von «, und 
erhält 

3? OC X 

(10) coS5;=l — 2y + jj-—ßj + — .... 

Auch hier ist der yemachlässigte Best nur ein Bruchtheil 
des letzten von der Beihe beibehaltenen Gliedes. 

Aufgabe 4. Man soll nach dieser Formel cos 15® 25' 20'' 
berechnen. 

Auflösung. Da in diesem Falle 

z = 0,269 168 56 

ist, so findet man 

1 = 1,00000000, ^ = 0,03622586, 

^ == 0,00021872, fr = 0,00000053. 
4! '6! 



§ 35. Berechnung von Tafeln für sin x und coax, 147 

Die folgenden Glieder haben in den ersten 8 Decimalstellen 
keine geltenden Ziffern mehr. Es wird daher 

cosa: = 1,00021872 — 0,03622639, 
oder 

C0S15<>25'20" = 0,963 99233. 



§ 35. 

Berechnung von Tafeln fUr die Functionen 

sina? und cosa?. 

Es war für alle endlichen Werthe von x 



X X"^ . x^ x'^ 



.) sm. = ^— ^+^-^+-..., 

(2.) cosa;= 1 _|! + |J_|! + _.... 

Dabei ist x die Länge des zugehörigen Kreisbogens, 
nämlich 

^^'■> '^~18Ö~'2'90' 

wenn der entsprechende Centriwinkel gleich a® ist. Da man 
nun für den Gebrauch zweckmässiger Weise die trigonometri- 
schen Functionen der Winkel in Tafeln zusammenstellen wird, 
so wird man den in Gleichung (3.) angegebenen Werth von x 
in die Gleichungen (1.) und (2.) einsetzen. Dadurch erhält man 

(4.) »to«' = f-^-^(f)'(55)'+i(|)*-(^J-+..., 

<..) w = .-i(0.(^)'+i(0.(^)* 

6!V2/ V9Ö/ +—•••' 
wobei man die numerischen Coefflcienten 

^ J-/^£!V -1/^!?V —flL\ 

2' 2!V2/' 3!V2/' 4:l\2) '* ' 
ein flir alle Mal ausrechnen kann, und zwar wird 

10* 



148 § 35. Berechnung von Tafeln fUr sinx und cosx. 

I =1,57079633, -^ßV = 1,23370055, 

TT (ff '^ ^'6*5^^* i<^' "^ (f )* = ^'^^^ ^^^ ^^' 

-^ (f )* = 0,07969263, -i- 0)' = 0,02086848, 

TT (f)' = 0.00468175, -^ (ly = 0,00091926, 

-^ (f )' = 0,00016044, -^ 0)'"= 0,00002520, 

■nr (f )" = 0,00000360, j|j- (f )"= 0,00000047, 

llr (f ) ' = 0,00000006, j^ (I) " = 0,000000 Ol. 

Bezeichnet man also — mit <, so wird 

(4 a.) sina« = 1,570 796 33 . ^ — 0,645 964 10 . t^ 

+ 0,07969263 . t^ — 0,004681 75 . V 
+ 0,000 16044 . i^ — 0,00000360 . t^^ 
+ 0,000 000 06. <J 5, 

(5 a.) COS a<^ = 1,000 000 00 — 1,233 700 55 . (^ 

+ 0,253 669 51 . ^^ — 0,02086348 . ^ 
+ 0,00091926 . t^ — 0,000025 20 . i^^ 
+ 0,000 000 47. < 12 _ 0,00000001 . t^^. 

Da man nur die Winkel zu berücksichtigen braucht, welche 
zwischen 0^ und 45" liegen, so ist ^ immer kleiner als 0,5, so 
dass man bei der Berechnung nicht einmal die angeführten 
Glieder alle brauchen wird. Dabei ist es fllr die Genauigkeit 
des Endresultates von grosser Bedeutung, dass ^, <*, i^^ ... 
sämmtlich ächte Brüche sind, weil deshalb die Fehler, welche 
bei den Goefflcienten durch Vernachlässigung der späteren Deci- 
malstellen entstehen, durch die Multiplication mit t^ t^, t^, . ,. 
nicht vergrösseit werden. 



oder 



oder 



§ 35. Berechnung von Tafeln für sinx und cosa?. 149 

Ist z. B. a = 18, SO wird ^ = 18 : 90 = 0,2, also 
sin 18<> = 0,31415927 — 0,00516771 
+ 0,00002550 — 0,00000006 
= 0,31418477 — 0,00516777, 

sin 18<> = 0,30901700. 

COS 18«= 1,00000000 — 0,04934802 
+ 0,00040587 — 0,00000134 
= 1,00040587 — 0,04934936, 

COS 18« = 0,95105651. 



Aufgabe. Man soll eine Tafel berechnen, welche die Sinusse 
und Cosinusse aller Winkel von 10' zu 10' bis auf 6 Decimal- 
stellen genau berechnet enthält. 

AuflSsung. Bekanntlich ist 

(6.) sin(a ± /?) = sin« cosß ± cos« sin/J, 

(7.) cos(a ± /ST) = cos« cos/J hF sina sinß. 

Ist dabei ß = 10', so ist der zugehörige Werth von i gleich 

, und man erhält aus Gleichung (4 a.) 



540 

(8.) sinlO' = 0,00290888, 

wobei man nur das erste Glied zu berücksichtigen braucht, und 
aus Gleichung (5 a.) 

(9.) cos 10' = 1 — 0,00000423 = 0,99999577, 

wobei man ausser der 1 wieder nur ein einziges Glied zu be- 
räcksichtigen braucht. Indem man diese Werthe in die 
Gleichungen (6.) und (7.) einsetzt, findet man 

(10.) sin(a ± 10') = 0,99999577 sina ± 0,00290888 cos«, 

(11.) C0S(a ± 10') = 0,99999577 COS« T 0,00290888 sina. 

In ähnlicher Weise kann man sin(a ± 20') und cos(a ± 20'), 
sin(a ± 30') und cos(a ± 30') berechnen, wenn sina und cosa 
bekannt sind. 



150 § 36. Andere Formen des Restgliedes. 

Es genügt also nach dieser Methode, sina und cos a für 

a= 1», 2», 3«, ... 450 

unter Anwendung der Gleichungen (4 a.) und (5 a.) auszui'echnen. 
Die dazwischen liegenden Werthe findet man dann in der an- 
gedeuteten Weise mit Hülfe der Formeln (6.) und (7.). 

Die Rechnung wurde auf 8 Decimalstellen ausgeführt, da- 
mit in den Endresultaten die ersten 6 Decimalstellen sicher 
richtig sind. 

In welcher Weise man diese Methode auch auf den Fall 
übertragen kann, wo es sich um eine Tabelle von ^Minute zu 
Minute oder von zehn zu zehn Secunden handelt, erkennt man 
ohne Weiteres. 

§ 36. 

Andere Formen des Restgliedes. 

(VergL die Formel-TabeUe Nr, 49—51.) 

Dem ßestgliede kann man noch andere Formen geben, die 
gleichfalls hergeleitet werden mögen, weil sie für spätere An- 
wendungen erforderlich sind. 
Nach Gleichung (31.) in § 31 war 

(1.) f(T+h)=fix)+-(^h+^h^ + ...+(^h- + B. 

Setzt man in dieser Gleichung für B den Werth ein, wie 
er dort in Gleichung (32.) angegeben ist, und vertauscht dann 
n mit » — 1, so erhält man 

(2.) f{x + h)=rfix)+-^-^h+'^A^ + ... 

(n — 1)1 nl 

Indem man diese beiden Gleichungen von emander sub- 
trahirt, findet man 

n\ nl 

oder 

(3.) R=z^ [f-Kx + eh) —ß^x)] Ä^ 



§ 36. Andere Formen des Bestgliedes. 151 

Diese Form des Restes ist der früheren z. B. dann vorzu- 
ziehen, wenn man nicht weiss , ob die (« + 1)** Ableitung von 
f(x) m dem betrachteten Intervalle stetig ist. 

Auch hier ist @ eine Zahl, welche zwischen und 1 liegt ; 
sie ist aber selbstverständlich verschieden von der Grösse 0, 
welche bei der anderen Form des Bestes auftrat. Es möge 
dies dadurch zum Ausdruck gebracht werden, dass man zu den 
beiden Grössen die Indices 1 und 2 hinzufügt. 

Es ist also 

Setzt man in Gleichung (1.) x gleich a, so geht sie über in 
wobei jetzt nach Gleichung (3a.) 

wird. Vertauscht man sodann noch h mit x — a, so erhält man 
die andere Form der Tay^'schen Reihe, nämlich 

(4.) fix) =f{a) +Ä(^_a)+Ö!) (^_a)2 + . . . 



+-'-rF(^-«)" + ^. 



/(-)(«) 
n! 
wobei 

(5.) -B = ^/<"' [a + ©2 {x - a)] -/(«'(«)} (x - a)\ 

Indem man endlich in den Gleichungen (4.) und (5.) a gleich 
setzt, findet man für die Mac l^urtn'sche Beihe 

(6.) /w=/(o)+Ä).+«,.+...+«e^+B 

das Bestglied in der Form 

(7.) Ä = i^ [/(-) {@.,x) -/^•)(0)]a:". 



152 § 36. Andere Formen des Bestgliedes. 

Eine dritte Form des ßestgliedes erhält man in folgender 
Weise. 

Setzt man in Gleichung (1.) 

(8.) ic -f Ä = «, also Ä = 2; — Xn 

so wird 

(9.) f{z)=f{x)+^-^(z-x)-\-^-^{z-xy+-.. 



+^^{z-x)-+R, 



oder 



(10.) R^f(z)-f(x)-^-p(z-x)-'t^iz-x)^->^. 



-^-P (- - ^)~. 



Hiemach ist E eine Function von x und z. Wenn man 
aber wieder festsetzt, dass z in der hier folgenden Betrachtung 
constant bleibt, so ist B als eine Function von x allein zu be- 
trachten, und man kann setzen 

(11.) Ä = (f(x). 

Dies giebt, wie schon in § 31 Gleichung (5.) gezeigt wurde, 



dB 



= — -^ A^ (z — xr. 



(12.) :^- = ^«(.) = _^_^ (._.). 

Wenn nun f{x) mit seinen « + 1 ersten Ableitungen in dem 
betrachteten Intervalle stetig ist, so gilt dasselbe auch von den 
Functionen q)(x) und y'(:r). Man kann also auf q>(x) die Ent- 
wickelung nach der Tay/or'schen Beihe für ?» = anwenden 
und findet 

der mit Bäcksicht auf die Gleichungen (8.) 

(13.) ^(.) = K-) + y'r^+®(— )] (. _ .). 

Nun folgt aber aus Gleichung (10.), dass ü = wird für 
X =^Zj dass also 

q>(z) = 



§ 36. Andere Formen des Bestgliedes. 153 

ist. Ferner folgt ans Gleichung (12.), indem man x mit 
X + 0(2 — x) vertauscht, 

g>' [x+@iz — x)] = _/Ülllk±®(iZl^ . [z-x—&(z~x)Y 

= — -^ !■ — -^ ^ (1 — ©)" (z — a;)» ; 

deshalb geht die Gleichung (13.) über in 

(14.) g>(x) = Jt ^/!!i!!kiL®iiZl£)^ (1 _ ©)n (^ _^)n4-l. 

Auch hier ist & eme Grösse zwischen und 1, die aber 
zum Unterschiede von @i und 0.^ mit @^ bezeichnet werden 
möge. Berücksichtigt man noch die Gleichungen (8.), so 
wird 

(15.) ij=/ülü(£ + ^)(l _©,)«,-+.. 

Vertauscht man jetzt wieder x mit a und h mit x — a, so 
erhSit man die zweite Form der 7ay&>r'schen Reihe, nämlich 

(16.) fix) =f{a) +fMix-a)+-(^^(x-af+... 



+•4^ (^ - «)• + -ß' 



/na) 

»I 
wobei 

(17.) i2=/^:l!!I^±^i£ii:^(i _«,).(, _«).... 

Indem man in diesen Gleichungen (16.) und (17.) a gleich 
setzt, findet man für die Mac Xat^rtn'sche Reihe 

(18.) /« =/(«) +m) . +Ä) ,,+... + /^+ « 

das Bestglied in der Form 

(19.) R =-^Ü!l^®3£) (1 _ @j)«a.«+i. 



154 § 36. Andere Formen des Restgliedes. 

Bemerknnir*)* 

Diese Form des Restes ist mir ein besonderer Fall einer viel all- 
gemeineren Form, die man auf folgende Weise findet. 

Sind fp{x) und ^(jr) zwei Functionen, welche mit ihren Ableitungen 
g**{x) und ^(x) in dem Intervalle von a bis z stetig und endlich bleiben, 
und nimmt %ffXx) innerhalb dieses Intervalles nur positive Werthe an, so 
bleibt der Quotient 

w'(x) 
(20.) ÖW-^ 

in diesem Intervalle gleichfalls stetig und endlich^ und die Function %lß{x) 
nimmt mit x zugleich zu. 

Wenn nun x das Intervall von a bis z durchläuft, so möge Q{x) für 
x^^xi seinen kleinsten Werth K und fUr x^Xi seinen grOssten Werth O 
erreichen. Es sei also 

(21.) Of*«)-$S]-^. «(*^)-^-G'. 

wobei xi und x^ zwischen a und z liegen. Dies giebt für a <Cg<Cg 

tf^\x) — tfß'[X) — ' 

oder 

(22.) (r'(x) — K ^'(ar) ^ 0, </>'(jr) — G ^'(jr) ^ 0. 

Diese Ausdrücke sind aber bezw. die Ableitungen von 

(23 ) / " ■" "^^""^ " "^^""^ "" ^'^^*^ "■ ^^'*^^' 

1 t? « (p(x) - (p{a) — O [i^(a:) - V'(a)]. 

Da nach den Ungleichungen (22.) 

dx — ' dx — 

ist, so mnss u beständig zunehmen und v beständig ahnehmen, wenn x 
zunimmt. Für x «^ a werden u und v beide gleich 0, folglich ist 

der kleinste Werth von ti, und 

der grösste Werth von r, 

wenn x das Intervall von a bis z durchläuft; d. h. 

u — (p(x) — (Pia) — Jq^(x) — ip{a)] ^ 0, 
v — (p{x) — (p(a) — O [tlß{x) — t^(a)] ^ 0, 
oder, da tff{x) — ^(a) > fUr a: > a, 

(24.) K^p^izJ^^^e. 

*) Der Anfänger darf diese Bemerkung übergehen, da von der 
darin enthaltenen Untersuchung nur selten Gebrauch gemacht wer- 
den wird. 



§ 36. Andere Formen des Restgliedes. 155 

Bezeichnet man \)J^ _ V'r' mit 3f, bo wird also 

(24a.) 2jfi)s3f<2W 

V' (a?i) — — V^V^) 

Nun ist aber Zjpj^ ©ine stetige Function, folglich giebt es nach dem 

in § 8 bewiesenen Satze 14 zwischen xi und X2 einen Werth von ar, er 
heisse I, für welchen 

(25.) lf=j|^ 

wird. Da f zwischen xi und X2 liegt, so liegt es auch zwischen a und «, 
und man kann wieder 

I -» a + e (« — a) 
setzen, wobei g ö ^ 1 ist. Dies giebt 

^ ^ V'(iP) — VC«) V' I«* + Ö(« — a)] 

und für ar «s « 



(26.) yW-y(a) __y: 



a + 9{z — a)] 



tp{z) - tp{a) yß'[a + 9i,z — a)] 

Setzt man z. B. 

^(ar) = jx — (5 _ ar)x, also tjj'ix) = x(5 — xf''^ 

wobei 5 > z und x > sein möge, so sind die für yf{x) und ^'(a?) fest- 
gestellten Bedingungen erfüllt, und man erhält 

<p{z) — (p{a) _ (p'[a 4- 9{z — g)] 

(5 - a)^ - (6 - 2)* x[6 - a - Ö(» - a)f -* ' 
oder 

(27.) fi') - »(») = (t-«7-(6-y . ^.[„ + e(, _ a)]. 

x[6 — a — B{z — a)Y ^ 

Dies gilt, wie nahe auch 5 dem Werthe von z liegen mag, folglich 
erhält man für lim 5 <= s 

(28.) <p W - y W = ^(1 !re)x-^ * '^'^'* "^ ^^* - ''^^* 

Für « g^^ö gelten ähnliche Schlüsse. Aus den Ungleichungen 
(22.) folgt dann wieder, dass u beständig zunimmt und « beständig abnimmt, 
wenn x zunimmt. Da jetzt aber x^a, so ist 

der gröeete Werth von u und 

der kleinste Werth von v, 

wenn x das Intervall von z bis a durchläuft. Dies giebt 

u = (f>[x) — (/)(a) — K[tp{x) — V'C»)] ^ 0, 
t? =» <p(ar) •— (f{a) — Ö[f/;(ar) •— i^(a)] > 0. 



156 § 36. Andere Fonnen des Bestgliedes. 

Da jetit x^a, so ist tlß{x) — \p{a) < 0; deshalb folgt ans diesen 
Ungleichungen wieder 

^ ^ y(^) — y(g) ^ ^ 

— i^(ar) -- t^a) — 
und 

y(g) — y (g) _ y*[a + 9(i — a)] 
^z) — tf,(a) yß'[a + 9(z - a)] ' 

Setzt man in diesem Falle 

tp(x) — (x — &)*— 5*, also v^'W = ^{x — 5)*"^ 

wobei 5 < s und x > sein möge , so sind die für ti/(x) und tp*{x) fest- 
gestellten Bedingungen wieder erfüllt, und man erhält 

yfg) ~ y(g) _ y'[fl + ^(g — <»)] 

(« — &)» — (a — 5)* x[a — & + e(z — ö)f "^ ' 
oder 

also für lim 5 »= z findet man in Uebereinstimmung mit Gleichung (28.) 

(f>(z) — (p(a) = — — j3i ^P'[» + Ö(« — o;)l 

X ^ — «; 

Für a BB X findet man hieraus 

(29.) (p{i) - <p{x) = ^^JTef-^ ^'f"" + ^^* "" *^^' 

gleichviel ob ^ < z oder Z'<,x ist. 

Setzt man jetzt wieder 

(30.) 9(x)-12-/s)-/(x)-%(«--^)--4! (»-*)--••• 

so wird 

(31.) <p{z) - 0, .p' (x) = -j; = - ^, (* - «)", 

(32.) y'(« + e(» - X)] - - i L-i^-^ — iü(i-e)»(«-x)», 

folglieh findet man ans Gleiehang (29.) 

(33.) ^_ r+i>[x+^e(,-.)] ^j _ ^)»-.+. (,_,).+., 

Für X « 1 erhält man hieraus die dritte Form des Restes. 



§ 37. Der allgemeine binomische Lehrsatz. 



157 



§ 37. 

Der allgemeine binomische Lehrsatz. 

(Vergl die Formel-Tabelle Nr. 56—58.) 

Aufgabe. Man soll (1 + xY nach steigenden Potenzen von 
X entwickeln, gleichviel ob m eine positive ganze Zahl ist 
oder nicht. 

Auflösung. Hier ist 

f{x) = (1 + xY, 

f*{x) = m{m — 1) (1 + Är)«-^ 

f**{x) = m(m — 1) (w — 2) (1 + xY'^, 



(10 



also 






1) ...(»» — «+ 1) (1 + a;)"-*, 

1) . . . (m—n+i)(m—n){l+x)'*-'-\ 



(la.) 



/(O) 

/'(O) 

/"(O) 

/'"(O) 



= 1, 
= »», 
= m{m 



-1), 

- 1) (m - 2), 



/(n)(o) = m(m— l)...(w— «+1), 
/(»+i)(0a;) = w(w--l)...(m— n+l)(m— ;^)(l-f®a;)••-«-V 
Dies giebt mit Hülfe der Jfac-iawrm'schen Keihe 
(2.) (! + .)«•= l+^. + ^^).2+^K^^ 



+ 



2 "^ ' 1.2.3 

m(m — 1) . . . (m — n + 1) 
1.2...» 



rc^ + Ä 



=i+(T).+c>+(:>'+...+(:)-+^ 

wobei 

/o N T>^ *>*(m—L) . . . (m— »+!) (m—n) (l+®,a;>"-«-' _^^, 

^*'-'''"~ 1.2...«(«+1) ' 



158 § 37. Der allgememe biliomisGhe Lehrsatz. 

oder 

(4.) R = 

m(m—l) . . . (m—n+1) (m—n) (l+&^x)^-*''^ ^ ^^ _^j 

1.2...» ^ ^^ ' 

jenacMem man die erste oder die diitte Form des Bestes 
benutzt. 

Erster Fall. Zunächst möge gezeigt werden, dass E beliebig 
klein wird für hinreichend grosse Werthe von «, wenn 

Bezeichnet man mit g eine beliebige positive ganze Zahl, 
so kann man das Bestglied nach Gleichung (8.) in drei Haupt- 
factoren 

/ßN n __ «(^— l)'-(^— jy+l) ^. 

(7.) i^« = 7+i-^t^--^+T-. 

(8.) F,=(l + 0:.)«-«-« = (^+e^!li 

zerlegen, wobei der Einfachheit wegen statt 0, ge- 
schrieben ist. 

Der erste Hauptfactor F^ enthält n gar nicht und bleibt 
endlich, wie gross auch ff sein mag. Der dritte Hauptfactor 
F^ wird gleich 1, wenn von den beiden Grössen © und x wenig- 
stens die eine gleich wird; F^ wird aber sogar beliebig klein 
für hinreichend grosse Werthe von «, wenn ©>0 und x>0. 

Setzt man m + 1 = />, und ist 

ff>m^ — 1, also »i + l=/>^0, 
so wird 

^ — y _ ff + I—P 
ff+l ff+l 



X — — ^ X ^ X j 



_M-ff-l g+2-p 

ff + 2 ^ ff + 2 '' = ''' 



m — n « + 1 — p 

» + 1 W + 1 ' 



§ 37. Der allgemeine binomische Lehrsatz. 159 

folglich ist 

(9.) (— 1)"-^+^ -F2 S a^-^+* . 

Da nun z<+ 1 ist, so wird für hiiurekhend grosse Werthe 
von n die Grösse rc"-^+^ beliebig klein, folglich erst recht Ji. 

Ist dagegen 

m< — 1, also w + KO, 

so erhält man, indem man m + 1 == — p setzt, 

m — ff ^ g+ 1 +P _ . , P 

ff + 1 g+1 9 + 1' 

m — g—l _ .y + 2 -f ;? _ p 

9 + 2 ff + 2 '^9 + 2' 



m — n ^ n + l + p __ p 

»+1"" n + 1 "" n + 1 

Alle diese Brüche sind grösaer als 1, da j9 > ist, aber sie 
nähern sich dem Werthe 1 beliebig. Da :r< 1 ist, so kann man 
es daher erreichen, wenn man nur g hinreichend gross macht, 
dass 

^ — 9 ^ 1 , P ^^^ 
9 + ^ '^g + l^x 
wird, dass also 

^ — 9 1 
^ + 1 
ist. Dies giebt dann 

m — g — \ 



9+2 
m — <7 — 2 



a:< Ar, 



fn — n ^ y 



» -f- 1 



160 § 37. Der allgemeine binomische Leihrsatz. 

Deshalb wird 
(10.) (— l)«-i^^-^ F^ < *-^+* , 

* 

also auch hier wird i^ für hinreichend grosse Werthe von n 
beliebig klein, da k ein ächter Bruch ist. 

Daraus folgt, dass auch 

-B = J^ .JFi.i^, wenn 0^a;< + l 

ist, beliebig klein wird far hinreichend grosse Werthe von n. 

Zweiter Fall. Liegt x zwischen — 1 und 0, ist also 

(11.) — l<a:SO, 

SO wendet man die dritte Form des Bestgliedes an, um zu 
zeigen, dass R beliebig klein wird. Aus Gleichung (4.) folgt 
dann, wenn man der Einfachheit wegen & statt &^ schreibt und 

a: = — z setzt, 

,,^>. p _ m(m— l)...(m— y>+l)(m— n)(l->-®g)**-^(l-~@)»(~g)'^-^^ 

^ _ mz(l - &zY-^ . (l-m)(.- ®g)^ i2-m){z^ez\^^ 
- mz^i UZ) 1(1—0;?) 2.{l—ez) 

{n — fn){z — &z) 

«(1 — ez) ' 

wobei 

(IIa.) 0^5:< + l. 

Auch hier zerlegt man R in drei Hauptfactoren 
(13.) i^i = — ^(1 —ßzY-\ 

(14.; ^2 - — j— • iZlQ^ • — 2~ • l—@z J" l—ez' 

(15 ) F ^ ^ +i ~ ^ . ^— ®^ . gr + 2 — m g — ®g 



^+1 l — ®z ff +2 1 — Oz 
n — m z — &z 



n 1 — &z 

Der erste Hauptfactor i^ ist eine endliche Grösse, ebenso 
der zweite Hauptfactor F^. Femer ist nach der Ungleichung 
(IIa.) 

0^z(l — &) ^ z— ez^z{l — ®z\ 



§ 37. Der allgemeine binomische Lehrsatz. 161 

folglich wird 

z — 0z 

(16-) «Si3r©:^-<1- 

Ist nun m ^ 0, so wird 

g + 1 — m f/ + 2 — m n — m 

ff+1 =^^' ff + 2 =^' ••• n =^' 

also 

Da z ein achter Bruch ist, so wird 2«-^ beliebig klein für 
hinreichend grosse Werthe von n, also erst recht 2^. 

Ist dagegen w < , also — m > 0, so wird, wenn man hier 
— m=p setzt, 

<7+ 1 ff + 1 

ff + 2-m _p_ 

9 + 2 ^+^ + 2^^' 



?i n 



Diese Brüche sind zwar alle grösser als 1 , da /> > ist, 
nähern sich aber dem Werthe 1 beliebig. Macht man daher g 
so gross, dass 

g + l ■" ~^ g + i<z — ez' 
oder 

g -\' 1 —m z — Gz , ^^ 

y + 1 1 — Gz 
ist, so wird 

<7 + 2 — m z — Gz 

^+2 1 — 05J 



<>i', 



/^ — m z — Gz ^, 



n 1 — ©;: 

Stegemann-Kiepert, Differential-Beohnimg. 11 



162 § 37. Der allgemeine binomische Lehrsatz. 

Dies giebt 
(18.) .F3 < k'-9^ 

Da k ein ächter Bruch ist, so wird ^♦»-^ beliebig klein für 
hinreichend grosse Werthe von ??, folglich erst recht F^. 

Damit ist bewiesen, dass auch R beliebig klein wird fiir 
hinreichend grosse Werthe von ^^, gleichviel ob m positiv oder 
negativ ist. 

Durch Vereinigung des ersten und des zweiten Falles er- 
hält man daher für 

(19.) —\<x<+ 1 

die Entwickelung 



(20.) (1 +.)»=! +(-).+(-)..+(-) 



•«^ "i .... 



Bemerkung« *) 

Liegt m zwischen — 1 and + <^ > so l'ässt sich zeigen , dass diese 
Reihe auch noch für iF = + l gilt; liegt inzwischen und +qo, so gilt 
sie auch noch für ir = — 1. 

Beweis. Ist 

(21.) --l<m< + co, oder 0<m + l<+oo, a: = + l, 

so gehen die Gleichungen (6.), (7 ) und (8.) über in 

(^ *•> ^^ 1.2. ..(7 ' 

XI "» — g OT — g — 1 m — n 

(8».) ^3- (!+«)"+'• 

Der erste Hauptfactor F^ bleibt wieder enMich^ der dritte Haupt- 
factor wird gleich 1 für Ö««0 und beliebig klein für O>0. Ferner 
folgt aus Gleichung (7 a.), wenn m^n die positive Grösse m-f-l==^ setzt, 

(21.) (-1) Ji= ^^1 • ^+2 — ^rrr^- 

Nun ist nach dem Tay/or'schen Lehrsatze 



*) Sollte der Inhalt dieser Bemerkung für den Anfanger noch zu 
schwer verständlich sein, so darf sie übergangen werden. 



§ 37. Der allgemeine binomische Lehrsatz. 163 

-also für 

erhält man 

(22.) (x 4 h)P^^ = x^-^^ + (p + 1) h(x + Shy, 

und für a;s=l 

»(2a) (1 + Ä)^+^ = 1 + (p + 1) Ä (1 + OÄ)^ . 

Wenn nun h und p beide positiv sind, so ist 

{i + shY^ii + hy, 

.und die Gleichung (23.) geht über in die Ungleichung 

(l^ky-^i^l + (p + l)h (1 + Ä)^, 
7f olglich ist 
(24.) (1 + Ä)^ (l—ph)'^l. 

Dies giebt für h = tt~Z 
•oder 



Indem man für « nach und nach die Werthe 1, 2, ... n — ^ + 1 
^einsetzt, erhält man 

9 + ^ — P ^( g + 2 \P 

n + 1 — Jg ^^/ n + 1\ P 

Daraus folgt, wenn man alle diese Ungleichungen mit einander mul- 
tiplicirt, nach Gleichung (21.) 

.(26.) c-ir-'+^j^i^Cf^^)'. 

d. h. |i^2| wird heliehig klein für hinreichend grosse Werthe von n, also 
.iiuch H selbst. 

Im zweiten Falle, wo 

0<m<-|-QO, a; = — 1 

ist, erhält man aus Gleichung (33.) in § 36, wenn man a; mit und z — x 
>mit « = — 1 vertauscht, 

.(27.) R = i- 1)«+' "'('»-IK.jC»'-») (1 _ e)«-. . 

11* 



164 § 37. Der allgemeine binomisclie Lehrsatz. 

also für x = m 

(1 — m) (2 — m) .. .(n — m) „ ^ 
(28.) iJ l.a.'.n ■^••^^' 

wobei für 

(29-) ^. ■ 1.2.../ 

eine endliche Grösse ist. Dagegen wird unter Anwendung der im ersten 
Falle ausgeführten Untersuchung, wenn man p mit w vertauscht, 

(30.) i^.=-^+r--^T+^- » =fe)' 

d. h. Jj wird beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von n, folg- 
lich auch B. 

Da 7?z unendlich viele Werthe haben darf, so sind in dem 
binomischen Lehrsatze unendlich viele Reihenentwickelungen 
enthalten. Ist m eine positive ganze Zahl, so geht die Reihe 
nicht bis in's Unendliche, sondern sie bricht nach dem m + 1*^" 
Gliede ab. 

Beispiele. 

1) m = — 1. 

(1 + x)~^ = --— — = 1 — X + z'^ X^ + X*^ [-.... 

^ -^ 1 + X 

2) ^ = + ^- 

/, . ^i i/T-T- 1 . -^ la:2 1.3;r3 1.3.5 a;« , 



2 4 ' 2.4 6 2.4.6 8 



3)m=-l 



/, ■ v-1 1 1 1 1 1-3 i 1-3.5 , 

(1 + ^^ -7r+i='~2^+2TT^'- 27476^' 

2.4.6.8 ^ 

Man kann den allgemeinen binomischen Lehi'satz auch auf 
die Entwickelung von (a + Vf anwenden. 



§ 37. Der allgemeine binomische Lehrsatz. 165 

Ist nämlich |a|>| J|, so wird - ein ächter Bruch, und 
man erhält 



/ 6V 






oder 



(31.) (a+6)- == a- + (^)a--'6+(^)a---^6M-(3)a'"-^i^+ • • • • 

Ist dagegen | ö | < | i | , so wird - ein ächter Bruch, und 
man erhält 

='-['+Oi+G)S+(:)p+-} 

oder 

(32.) (a + 5)« = J"» + (^\ ah"^- ' + ( ^ ) a^Ä"-^ + (^'^^ a» J™-:' + 



• • • • 



Der binomische Lehrsatz kann auch benutzt werden zur 
Ausziehung von Wurzeln mit beliebig hohem Wurzel-Exponenten. 

Beispiele. 

1) |/13Ö = (125+5)'^ = 5(1 + ^ = 5 (1 + 0,04)^. 
Nach dem binomischen Lehi-satze wird aber 

yL-r ) x-Tg 3^ ^3.6.9 3.6.9.12 ^ 
also hier ist 

(1 + 0,04)*= 1,013 333 333 3 — 0,000 177 777 8 

+ 0,000 003 950 6 — 0,000 000 105 3 

+ 0,000 000 003 1 — 0,000 000 000 1, 
oder 



166 § 37. Der allgemeine binomische Lehrsatz. 



i 



(1 + 0,04)^ = 1,013 159 4038, 
yiEo = 5 (1+0,04)^ = 5,065 797 019 0. 



Wegen Vernachlässiguiig der späteren Decimalstellen ist in 
diesem Resultate die letzte Decimalstelle um 15 Einheiten un- 
sicher. 

2) VlÖOÖ == (1024 — 24)* == 4 (l — j|^^ • 

Nach dem binomischen Lehrsatze ist nun 

vx-r^; ± -r g 5.10 ^5.10.15 ^ ' 



(l-:r)* = l-i:r- 



X*^ — , ^ * — -T X^ • • • r 



(^ 



5 5.10 5.10.15 

folglich wird 

— 0,000 043 945 3 

— 0,000 000 618 

— 0,000 000 010 1 

— 0,000 000 000 2, 



oder 

/lÖOÖ = 4 . 0,995 267 926 4 = 3,981071705 6. 

Die Unsicherheit in der letzten Decimalstelle beträgt 
hierbei 8. 

In ähnlicher Weise werden die folgenden Aufgaben gelöst: 

3) >/220 = (216 + 4)* = 6 (l + ^) = ^ • 1»^^^ 1^^ 122 799 

= 6,036 810 736 794. 

Die Unsicherheit in der letzten DecimalsteUe beträgt 
hierbei 18. 

4) l/21Ö6 = (2187 — 81)^ =3(1— ^) j 



§ 38. Der Logarithmus. 



167 



6 



(i + .)4=.i + i,_^_^^ 



X' 



, 6.13 3 

+ - — —. r-r X^ 



6 . 13 . 20 



x^^ 



IN^ 



7 . 14 . 21 "^ 7 . 14 . 21 . 28 

/ 2.Y - \ ^ 6.13 

V 27/ "" 7.27 7.14.272 7.14.21.27'* 

= 0,994 623 032 493, 

y2lÖ6 = 2,983 869 097 479. 

Die Unsicherheit in der letzten Decimalstelle beträgt 
hierbei 10^. 



§38. 

Der Logarithmus. 

(Vergl, die Formel-Tabelle Nr. 59—64.) 

Setzt man 

f(x) = Ir, 

so kann man die Mac Za?«rm'sche Reihe nicht anwenden, weil 
f{x) und alle Ableitungen davon f ür rc = unendlich gross 
werden. Deshalb setzt man 



(!•) 



f /(a:) = l(l + ^), 
f\x) = (1 + xY\ 
rix) = _ 1 . (1 + ^)-2, 

r\x) = 1 . 2 (1 + x)-\ 



also /(O) = 0, 
/'(O) = + 1, 

/"(o) = - 1, 

/-'(O) = + 1.2, 



?? 



» 



/(4)(^) = _1.2.3(l+:r)-S „ /(*)(0) = - 1 . 2 . 3, 
/(n) {x) = (-l)»-i(«-i) ! (1 +xy-, „ /<-)(0) = [-Vr' (w-1) !, 

ly(n+l)(^) ^ (_ 1)« ;j! (1 + 5:)-»-^ 

also 

(la.) /(»+!) (6>a:) = (— 1)'»?^! (1 + @a;)-«-i. 

Durch Anwendung der J/oc-Lawrm'schen Reihe erhält man 
dann 



168 § 38. Der Logarithmus. 

/f <*.2 /yS ff>^ -!•'* 

(2.) l(l+:r) = ^-|- + |--J + -...±^ + i2. 

Auch hier kann man zeigen, dass R beliebig klein wird 
für hinreichend grosse Werthe von n , wenn x zwischen — 1 
und + 1 liegt. 

Ist zunächst 

(3.) 0^a:^+l, 

SO wendet man die erste Form des Restes an und erhält 

(4.) R := /;"^"(y ^«+1 = (zii)! . ^^\ 



(n + 1) ! ?^ + 1 (1 + 0a:)'»+i 

Für a; = 1 wird also 

± 1 
■^ ^ (w + 1) (1 + 0)^*-^^ 

beliebig klein, selbst wenn Q> gleich sein sollte, denn 



» + 1 
wird beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von w. Ist 

aber x ein ächter Bruch, so ist sicher auch ^ . _, ein ächter 

1 + 0:r 

Bruch; dann wird R erst recht beliebig klein, da die Factoren 

1 und f-^r 

\1 + 0Ä-/ 



w+ 1 

beide beliebig klein werden. 
Ist 

(5.) —1 <a:SO, 

SO wendet man wieder die dritte Form des Restes an und 
erhält, indem man x mit — z vertauscht, 

R ^J. p^(l-0)":r"+i===(-l)«(l + 02:)--*»-i(l~@^^ 

(6-) 

I — — g (z — ez v" 
"" i — &z\i — ez)' 

Nun folgt aus der Ungleichung (5.), dass 

(7.) ^ ;5 < 1 

und deshalb 

0^z(l — e)=iz — @z^z{l — @z) 



§ 38. Der Logarithmus. 169 

ist, folglich wird 

wird beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von n. Das- 
selbe gilt daher auch für 22. 

Somit erhält man für 

— l<a:^+ 1 
die Entwickelung 

/*• i"2 /»»o <>•■« 

(8.) 1(1 + ^) = ^_|. + £._£- +_.... 

Es ist z. B. 
(8a.) I2 = i_| + i_l+-.... 

Für die numerische Berechnung der Logarithmen ist diese 
Reihe noch nicht sehr geeignet, weil man sie nur för die 
Berechnung der Logarithmen zwischen und 2 benutzen kann, 
und weil man sehr viele Glieder der Reihe braucht, um den 
Logarithmus auf einige Decimalstellen genau zu erhalten. 

Man kann aber aus dieser Reihe einige andere, für die 
numerische Berechnung weit geeignetere Reihen ableiten. Setzt 

man z. B. in Gleichung (8.) ic = ^, so erhält man 

oder 

(9.) l(a + y) = la + |-i^, + g-£, + -..., 

wenn - ein ächter Bruch ist. Für y = 1 folgt hieraus 
(9a.) l(a+l) = la + i-^-l, + 3-l-^-l + -.... 



170 § 39. Berechnung der natürlichen Logarithmen. 

Eine noch brauchbarere Reihe erhält man auf folgende 
Weise. Nach Gleichung (8.) ist 

/j» /»•* /y^ /J.4 /fO 

->• 'jr* (»»O /y\ <i»5 

Hl— ^) = — Y"— ^— -3— -4 — -5 •••; 

indem man diese beiden Gleichungen von einander subtrahirt, 
findet man 

(10.) l(l+:.)_l(l_x) = l(l±j)= 2(i + I + ^ + ...). 
Setzt man jetzt 

an x--^— also 1 I :.^ ^y + ^^ i_a.-_2y_ 

so wird 

und Gleichung (10.) geht über in 

(12.) l(y+.)=ly+2 [^ + 3-^, + ^-^, + ...]. 

Sind y und z positive Zahlen, so wird x ein ächter Bruch, 
und es gilt also die durch Gleichung (12.) gegebene Entwickelung. 

Diese Reihe wird besonders häufig angewendet f&r den Fall, 
wo « = 1 ist; dann wird nämlich 

(12a.) l(y+i) = ly+2[2-^+ 3^^^ + ^^^^5 + .-} 

§ 39. 

Berechnung der natürlichen Logarithmen. 

Aufgabe. Man soll die natürlichen Logarithmen der Zahlen 
1 bis 10 auf 8 Decimalstellen genau berechnen. 

Auflösung. Um in dem Resultate eine Genauigkeit von 
8 Decimalstellen zu erzielen, wird es gut sein, die Rechnung 
bis auf 10 Decimalstellen durchzuführen. 



§ 39. Berechnung der natürlichen Logarithmen. 171 

Zunächst ist 
(1.) 11 = 0. 

Ferner setze man in der Reihe 

(2.) l(y+l) = l,+2[^+^^ + ^^, + ...] 

y = 1, dann wird 

12 = 2 (^+ ^-p + ^-^ + ...j. 

Nun ist 

1:3 = 0,333 333 333 3, 1:3 = 0,333 333 333 3, 

1 : 3» = 0,037 037 037 0, 1 : 3 . 3» = 0,012 345 679 0, 

1 : 3^ = 0,004 115 226 3, 1:5.3^= 0,0008230453, 

1:3' = 0,000 457 247 4, 1:7.3'= 0,000 065 321 1, 

1:3» = 0,000 050 805 3, 1 : 9 . 3» = 0,000 005 645 0, 

1 : 3^1 = 0,0000056450, 1 : 11 . 3^1 = 0,0000005132, 

1 : 3^3 — 0,000000627 2, 1 : 13 . 3«3 = 0,0000000482, 

1 : 315 = 0,000000069 7, 1 : 15 . 3^^ = 0,0000000046, 

1 : 31' = 0,000000007 7, 1 : 17 . 31' = 0,0000000005, 

folglich ist 

i-l2 = 0,3465735902 

und 

(3.) 12 = 0,6931471804. 

Setzt man in Gleichung (2.) y = 2, so erhält man 
13 = 12 + 2(1 + ^3 + ^, + ...). 

Nun ist 

1:5 = 0,2, 1:5 = 0,2000000000, 

1:5^ = 0,008, 1 : 3 . 53 = 0,002 666 666 7, 

1:5^ = 0,00032, 1 : 5 . 5» = 0,0000640000, 

1:5' = 0,0000128, 1:7.5' = 0,0000018286, 

1:5»= 0,000000512, 1:9.5» = 0,0000000569, 

1 : 511 = 0,0000000205, 1 : 11 . 51* = 0,0000000019, 

1 : 5^3 = 0,0000000008, 1 : 13 . 5^» = 0,0000000001. 



172 § 39. Berechnung der natürlichen Logarithmen. 

folglich ist 

12 = 0,6931471804. 

Dies giebt 

(4.) 13 = 1,0986122888. 

Ferner wird 

(5.) 14 = 2.12 = 1,3862943608. 

Für y = 4 folgt aus Gleichung (2.) 

15 = 14 + 2(1 + 3^ + ^+...). 

Nun ist 

1:9 = 0,1111111111, 1:9 = 0,1111111111, 

1:9-^= 0,001371 7421, 1:3. 9^ = 0,0004572474, 

1 : 9» = 0,000 016 935 1, 1 : 5 . 9^ = 0,000003 387 0, 

1:9' = 0,0000002091, 1 : 7 . 9' = 0,0000000299, 

1:9»= 0,0000000026, 1:9.9» = 0,0000000003, 
folglich ist 

Kl + CT^ + 5^^+ •••)= 0,2231435514, 

14 = 1,3862943608; 
dies giebt 

(6.) 15 = 1,6094379122. 

Femer ist 

16 = 12 + 13 = 0,6931471804 + 1,0986122888, 
oder 

(7.) 16 = 1,7917594692. 

Für y = 6 folgt aus Gleichung (2.) 

17 = 16 + 2(^+^^ + ^4p +...). 



§ 39. Berechnung der natürlichen Logarithmen. 



17a 



Nun ist 

1:13 = 

1 : 13=^ : 

1:13^: 

1 : 13' : 
folglich ist 



0,0769230769, 
0,0004551661, 
0,000002 6933, 
0,0000000159, 



1:13 
1:3.13^ 
1:5. 13'^ 
1:7. 13' 



0,0769230769, 
0,0001517220, 
0,0000005387, 
0,0000000023, 



+ 



+ - 



13 ' 3.13'^ ' 5.135 
13^ 3.13=^^ 5. 135 



(h 



dies giebt 
(8.) 

also 
(9.) 



+ ... = 0,077075339 9, 

+ ...^= 0,1541506798, 
16 = 1,791759469 2; 



also 
(10.) 

also 
(11.) 



17 = 1,9459101490; 

18 = 3 . 12 = 3 . 0,6931471804, 

18 = 2,0794415412; 

19 = 2 . 13 = 2 . 1,0986122888, 



19 = 2,1972245776; 
HO = 12 + 15 = 0,693 1471804 + 1,609437 9122, 



110 = 2,3025850926. 

Berücksichtigt man nun, dass die beiden letzten Decimal- 
stellen in den vorstehenden Rechnungen nicht mehr ganz zu- 
verlässig sind, und behält man deshalb nur 8 Stellen bei, so- 
ergiebt sich als Resultat der Rechnung die folgende Tabelle 

11 = 0, 

12 = 0,69314718, 
13=1,09861229, 
14= 1,38629436, 

n2.) J 15 = 1,609437 91, 

16 = 1,79175947, 

17 = 1,945 91015, 

18 = 2,07944154, 

19 = 2,19722458, 
110 = 2,30258509. 



174 



§ 39. Berechnung der natürlichen Logarithmen. 



Will man hieraus die Logarithmen mit der Basis 10 berechnen, 
so hat man nach den Ausführungen in § 18 die gefundenen 
Wei-the mit dem Modul des Än^^^Ä'schen Logarithmensystems, 
nämlich mit 



(13.) 

ZU multipliciren. 



^^^ HO 2,30258509 



= 0,43429448 



Bezeichnet man also log« mit ilf, so erhält man für die 
Logarithmen mit der Basis 10 folgende Tabelle: 

log2 = Jf.l2 =0,30102999, 

log3 = Jf.l3 =0,47712125, 

log4=Jf.l4 =0,602 059 99, 

log5 = Jf.l5 =0,698 97000, 

(14.) I log6 = Jf.l6 =0,77815125, 

log7 = Jf.l7 =0,84509804, 

log8 = ilf.l8 =0,90308998, 

log9 = 3f.l9 =0,95424251, 

loglO = Jf . HO = 1,00000000. 

Für die Berechnung der Logarithmen aller übrigen Zahlen 
mit der Basis 10 findet man aus Gleichung (2.) durch Multi- 
plication mit M 

1 



(15.) log(y+l) = logy+23/[^ + 



+ 



• « « I • 



Dabei braucht man von der Reihe höchstens nur noch die 
drei ersten Glieder, wenn man auf 8 Decimalstellen genau 
rechnen will. Bei etwas grösseren Zahlen werden sogar schon 
die beiden ersten Glieder ausreichen. So ist z. B. 



153 

1 
105 



= ^^-2 + <iÜ5 + 37IÖP + •••)' 



= 0,0095238095, 



3.105 



?;:j 



= 0,000000287 9; 



§ 39. Berechnung der natürlichen Logarithmen. 



175 



folglich ist 

153 = 152 + 2 . 0,0095240974 

= 152 + 0,0190481948. 

Hier hat schon das dritte Glied der Reihe in den ersten 
8 Decimalstellen keine geltende Ziffer mehr. 

Allerdings darf man es sich nicht verhehlen, dass die Fehler, 
welche man durch Vernachlässigung der späteren Decimalstellen 
begeht, bei diesem Verfahren um so grösser werden, je weiter 
man es fortsetzt. Zu dem Fehler, der schon bei der Bildung 
von \y begangen ist, tritt ein neuer Fehler bei der Bildung von 
l(y + 1) hinzu. Ist femer die Zahl w, deren Logarithmus man 
bilden will, eine zusammengesetzte, ist z. B. 

n = abc . . . , 

so wird 

lw = la + 16 + lc+ ..., 

so dass der Fehler bei \n gleich der algebraischen Summe der 
Fehler bei la, 16, Ic, . . . ist. 

Man muss daher die Logarithmen der Primzahlen 2, 3 
und 5 , die am häufigsten bei der Bildung zusammengesetzter 
Zahlen vorkommen, ganz besonders genau berechnen und kann 
das in folgender Weise. Es ist 



(16.) 



-Q'©'-©'- 



«'Y . 



-©■■(i)-a 

/16\i« /25\»2 /81\^ 



Daraus folgt 



(17.) 



^'(D+^KS- 



>-"'(il)+«'(i) + ^'(l5) 

l'--(n) +-(!)+ "(m) 



176 



§ 39. Berechnung der natürlichen Logarithmen. 



Nun ist aber nach Gleichung (2.), wenn man für y die 
Werthe 15, 24 und 80 einsetzt und mit 20 Decimalstellen 
rechnet, 



Hl5)""^(31 + 3T3p + --7 



(18.) 



1 



= 0,064 538521137 57117170, 

1 



\24/ V4i 



+ 



+ ...) 



1 



161 "^3. 1613 "^ "7 



.49 ' 3.49» 
= 0,040 82199452025512956, 

m = 2 a 

V8oy Vi6 

= 0,012 422 519 998 557 153 30. 

Bei der Berechnung von MTr ) und 1(St) braucht man 
hierbei nur 6 Glieder der Entwickelung, bei der Berechnung 
von \\qk) sogar nur 4. Dadurch findet man 

12 = 0,693 147 180 559 945 309 60, 

13 = 1,09861228866810969168, 
15 = 1,609437 91243410037502, 

HO = 2,302585 09299404568462. 

Es ist nicht zu verlangen, dass in diesen Resultaten die 
beiden letzten Decimalstellen noch genau richtig sind; und 
zwar ist 

bei 12, 13, 15, HO, 

die obere Fehlergrenze ± 48, ± 67, ± 112, ± 160, 
und der wirkliche Fehler + 18, + 28, + 42, + 60 ; 
d. h. die hier angeführten Werthe von 12, 13, 15, HO, sind in 
den letzten beiden Decimalstellen bezw. um 18, 28, 42, 60 zu 
gross. 

Es ist dem Anfänger sehr zu empfehlen, die liier angedeutete 
Rechnung wirklich durchzuführen. 

Jetzt ist es auch möglich, 17 sehr genau auszurechnen, 
denn es ist 

72 — _ 9 ^^2 



§ 40. Partes proportionales. 177 

also 

217 = 12 + 215 — l(|^V 

Dabei ist nach Gleichung (2.) for y = 49 

^(49) "" ^ (99 "^ 37993 + 57995 + ••7 
= 0,02020270731751944840, 

und wenn man die hier gefundenen WeiUie zu Grunde legt, 

12 + 215 = 3,91202300542814605964, 

also 

217 = 3,89182029811062661124, 

17 = 1,945910149055313305 62, 

ein Werth, der in den beiden letzten Decimalstellen um 51 zu 
gross ist. 

§ 40. 

Partes proportionales. 

Nach Gleichung (4.) in § 38 ist für « = 2 

i(i + -)=j— ä + äCr+öi)' 

also 

a.) .(S)=-+^ - *=H(i:^y+(i^.)l- 

Nun wird für < a: < + 1 

X X X 

folglich ist 

^< fO + (T^) = Kr^J Kl — )' + 1]. 

oder 

Setzt man wieder 



X = 



2y + 5 

Stegenuum- Kiepert, Düferential-Beclmiing. 12 



> 



178 § 40. Partes proportionales. 

also 

^^''~ 2y + ^' 2y + ;r 

1 — a; "" y 1 — a; "" 2y 

SO wird 

(3.) l(y + ^) = ly + _2|_ + iJ, 

WO 

(4.) Ä < 



z^ 



12ya 
Ist also y > 10000, 2^1, so wird 

(5.) ^< 12. 10^2' 

d. h. R hat in den ersten 13 Decimalstellen keine geltende 
Ziffer mehr. 

Darauf gründet sich bei dem Gebrauche der Logarithmen- 
tafeln die Berechtigung für die Interpolation durch die partes 
proportionales. 

Sind z. B. in einer solchen Tafel die Logarithmen für alle 
fün&telligen Zahlen angegeben, so kann man daraus doch noch 
den Logarithmus einer siebenstelligen Zahl n bis auf 7 oder 8 
Decimalstellen genau finden, wie folgt. 

Da es nur auf die Mantisse des Logarithmus ankommt, so 
setze man das Decimal- Komma hinter die fünfte Ziffer, nenne 
die Ganzen y und den übrig bleibenden Decimalbruch z^ dann ist 

n = y + z^ wobei y > 10000 und z<l. 

Jetzt ist 

(6.) \n = \{y + z) = \y + -^^^ + R., 

(7.) l(y + l) = ly + 5^ + i?„ 

wobei man aber die beiden Beste Rz und R^ vernachlässigen 
darf, da beide in den ersten 13 Decimalstellen keine geltende 
Ziffer haben. Setzt man daher 



§ 41. Methode der unbestimmten Coefficienten. 179 



(8.) • J = l(y+l)-ly = ^-±-^, 

SO wird 

(9.) 1^ = ly + ^"^ 



2y + z 

2z 2z 

==lt/ + z.J + 



= ly + Z.J + 



2y + z 2y+l 
2z{l—z) 



(2t/ + z) (2y + 1) 
Dabei ist aber 

2z (1 — z) 2z{l—z) J_ 1 



(2y + z) (2y +1) 4y2 ^ 2y2 ^ 2 . lO'^ 

Setzt man also 

\n^=\y + z .J ^ 

so ist der Fehler so klein, dass er in den ersten 8 Decimalstellen 
keine geltende Ziffer hat. 

Man braucht also nur, um l;^ zu erhalten, in den Tafeln \y 
aufeuschlagen und den Ausdruck 

z.J^z\[{y+ 1) — ly] 

zu addiren , welcher unter dem Namen y^partes proportionales'-^ 
bekannt ist. 

Das Gesagte gilt zunächst für natürliche Logarithmen, da 
aber die JBny^^'schen Logarithmen aus diesen entstehen, indem 
man sie sänuntlich mit Jf=loge multiplicirt, so gilt es in 
ähnlicher Weise auch für Briffys^sche Logarithmen und ebenso 
für jedes andere Logarithmen -System. 

§ 41. 

Methode der unbestimmten Coefficienten. 

Bei manchen Functionen ist die Bildung der höheren 
Ableitungen sehr umständlich; deshalb wählt man zur Ent- 
wickelung nach Potenzen von x einen etwas anderen Weg. 

Man weiss nämlich, es ist nach der Mac-Laurin^schen Keihe 

(1.) f(x) = A + A^X+ ^2^2 + A^X^ + . . . + AnX^ + Ä, 

12* 



180 § 41. Methode der unbestimmten Coefficienten. 

wobei 

(2.) ^=/(0), ^1=-^^ ^2=*^\... 

wird. Aus Gleichung (1.) folgt aber 

du 

Ist also die Entwickelung von/'(a:) bekannt, und kann 
man zeigen, dass R beliebig klein wird für hinreichend grosse 
Werthe von n, so findet man die Werthe der Coefficienten 
-4i, A^j ^3,... aus Gleichung (3.) Deshalb soll der folgende 
Satz bewiesen werden: 

Ist für hinreichend grosse Werthe von n die Grösse -j- 

beliebig kleinj so gilt dasselbe auch von R. 

Beweis. Ist e eine beliebig kleine Zahl, so gilt die Voraus- 
setzung 

(4.) -e<f< + e, 

also 

dR ^ dR ^ ^ ^ 

oder 

deshalb nimmt R+ ex mit x beständig zu, während R — ex 
beständig abnimmt , so lange x zunimmt. Für a: = sind aber 
beide Functionen gleich , folglich ist fiir positive Werthe von x 

(5.) R + ex>{) und R — ex<0, 

oder 

(5a.) — ex <cR <,-\' ex. 

Für negative Werthe von x findet man ebenso 

(6.) + ex<R<—ex. 

In beiden Fällen wird R beliebig klein, denn e ist beliebig 

klein. 

dR 

Dabei ist zu beachten, dass -^ das Kestglied in der 



§ 42. £ntwickelang der Function arctgx. 181 

Entwickelung von /' (x) nach steigenden Potenzen von x ist. 
Man kann daher dem eben bewiesenen Satze anch die Fassung 
geben: 

Lässt sich f* {x) nach steigenden Potenzen von x entwickeln^ 
80 ffilt dasselbe auch von f{x). 

Mit Hülfe dieses Satzes findet man z. B. sehr leicht die 
Entwickelung von 

f{x) ^\{l + x) = A + A^x + A:^x^ + A^x^ + ... + AnX"" + JR, 

denn es wird nach dem binomischen Lehrsatze für 

— 1 <a;<+l 

folglich ist 

A =/(0) = 11 = 0, ^1 = 1,' 2^2 = — Ij 3^ = + 1, . . 

und deshalb in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 59 der Tabelle 

(8.) i(n-;,) = £_|. + |— 1- + -.... 

Wenn — l<a:<+l ist, so wird dabei B beliebig klein, 
weil das Kestglied -j- in der Entwickelung von/'(a:) beliebig 
klem ist. 

§42. 

Entwickelung der Function arotga? nach steigenden 

Potenzen von x. 

(Yergl. die Formel-TabeUe Nr. 6ö.) 

Aufgabe. Man soll die Function arctgo; nach steigenden 
Potenzen von x entwickeln. 

Aufifisung. Hier ist 

(1.) f{x) = aTCtgx^A-\'A^x+A2X^+A^x^+...+An;a!^+Ity 

(2.) f'{x)^jl^=A,+2A^x+SA^x^+...+nAnßf^^+'^' 

Nun wird aber nach dem binomischen Lehrsatze, wenn x^ 
ein ächter Bruch ist. 



182 § 43. Berechnung der Zahl n, 

(3.) YT^^ = (1 + '^'^)"' = 1 — ^2 + ^4_^6 + __ ... , 

folglich ist 

^=/(0) = arctgO=0, 

^1 = 1, ^2 = ^j 3 ^3 = — 1, 4^4 = 0, 5-45 = + 1, . . . 
und deshalb 

I X x^ , x^ a:^ . 

arctg^ = --- + y-y + -... 
für— l<a:<+ 1. 

R wird dabei beliebig klein för hinreichend grosse Werthe 

du 

von w, weil das Restglied -j- in der Entwickelung von f*{x) 

beliebig klein ist. 

§43. 

Berechnung der Zahl n 
durch Anwendung der Entwickelung von arctga^. 

(Vergl. die Fonnel-TabeHe Nr. 66—68.) 

Die Enjtwickelung von arctga: nach Potenzen von x ist 
sicher richtig , so lange x zwischen — 1 und + 1 liegt. Es 
lässt sich auch beweisen , dass sie noch für a; = + l richtig 
bleibt*). Wenn dies der Fall ist, so findet man daraus unmit- 

Tt /Tt\ 

telbar den Werth voji — , weil tgf-7J gleich 1 ist. Denn die 

Reihe giebt für :r = 1 

(W !E— 1 iu-i — io-i -La- — 

^ '^ 4"" 3*^5 7'^9 11 "^ •••• 

Diese Reihe heisst die Reihe von Leibniz. 
Aus Gleichung (1.) folgt weiter 

?=o-F)+a-f)^(i-n)+-. 



*) Der Beweis kann an dieser SteUe übergaDgen werden, weil die 
Folgerungen des Satzes hier nur geschichtliches Interesse haben. Iq den 
Beispielen auf Seite 209 (§ 47) wird der Beweis nachgeholt. 



§ 43. Berechnung der Zahl n. 183 

oder 



und 



TT 

4 



~"^ V3 5/ V7 9) (11 isj •• 

oder 

Berücksichtigt man in Gleichung (2.) die ersten n Glieder 
und ebenso in Gleichung (3.), so findet man zwei Zahlen, 

TT 

zwischen denen — liegt. Man erkennt aber auch, dass die 

Eechnung sehr langwierig werden würde, wenn man nach einer 

dieser Reihen den Werth von — nur auf 6 Decimalstellen genau 

berechnen wollte. Man kann aus den Gleichungen (2.) und (3.) 
noch andere ableiten, die zur Berechnung von tt geeigneter 
sind. Durch Addition der Gleichungen 

4 VI. 3^5. 7^9. 11 ^"7' 

4 V3 . 5 ^ 7 . 9 ^ 11 . 13 ^ ■ • 7 

erhält man nämlich 

2 ^ Vi. 3 3.5^5." 



5.7 7.9 

+ 9711 ~ T1TT3 +—•••)' 

also 

(4.) 1 = 1 + 2. 4(j^ + ^g + ^^ + ...), 

oder 

.V TT i_i_2 ^ . f 1 , 1 1 \ 

(5.) 2 '~^ + r:3~^^-^U.5.7'^7:9Tri + 11.13.15+--7" 

Durch Addition der Gleichungen (4.) und (5.) findet man iu 
ähnlicher Weise 



1B4 § 43. Beredhnung der Zahl n. 

+ 5:7:9~"7Xii'''~-'7' 

also 

(6.) . = 2 + j^ + 2.4.6(j^ + ^-^^ + ...), 

oder 

(7.) . = 2 + ^-?3 + ^ 

~^**'®V3.5.7.9"'' 7.9.11.13 "^ "V' 
In dieser Weise kann man foitfiüiTen, wobei man immer 
stärker convergirende Beihen erhalt. 

Noch sdmeller fOhren die folgenden Methoden zmn Ziele. 
Setzt man 

(8.) ^« = 2» *^®" " = "<5*?(2)' 

(9.) tge=-, „ e = arctg(j), 

dann wird 

i + i 
(10.) tff(« + .) = i2i±^ = All^ = 5 1, 
^ ^ «ov • / 1 — tgwtgc ,115 ' 

^-23 

oder 

(11.) w + t? = arctgl =-j- 

Dies giebt 

(12.) I = arctg (I) + arctg (|) , 

oder 

oder 

(14.) 4 = (2 + 3)~3 fe ■•■ p) + 5 fe "^ FV~ + • • • • 



§ 4S. Bereclmimg der Zahl n, 185 

Diese Beihe heisst die Reihe von Etder. Sie ist zur Be- 
rechnung von n schon weit geeigneter als die Beihe von Leibniz, 

Mctchin hat eine Beihe zur Berechnung von n angestellt, 
welche für die numerische Berechnung noch zweckmässiger ist. 
Er setzte zunächst 

(15.) tgtt = ~ , also u = arctg T- j • 

Hieraus folgt 



(16.) 



(17.) 



tg(2M) = 

t«(4«) = 

Es ist demnach 


2t«« 
1 — tgi« 

2tg(2M) 

1 — tg»(2M) 


2 
5 


5 


5 
6 


12' 
120 


1 25 
144 


~ 119 



tg(4tt) > 1, also 4tt > -j • 
Der Unterschied zwischen 4t^ und — ist offenbar sehr 

4 

klein; bezeichnet man ihn mit t?, so wird 

TT JX 

(18.) 4w = -7+t?, oder 4w — © = - 

4 4 

und 

(19.) t? = 4w — ^• 

Deshalb erhält man 

^(^«)-tg(;) 

tgr = tg (4«- jj = — - , 

oder 

120 

/oA^ 4r 119 1 

(20.) tg.=:-— — =— . 

^ + II9'^ 



186 § 43. Berechnung der Zahl n. 

Dies giebt 
(21.) V = arctg(2jg) 

und mit Rücksicht auf die Gleichungen (18.) und (15.) 

(22.) ^^4:11 — v^ 4: arctg^l^) — aix tg (^ , 

oder 

(23.) 4- = 4(5— 3753+ 5:y5— + •••)— (239~3:239ä 

Will man also den Werth von n bis auf 8 Decünalstellen 
genau berechnen, so findet man 

1:5= 0,2000000000, — 1 : 3 . 5^ = — 0,0026666667, 

1 : 5 . 55 = 0,000 064 000 0, —1:7.57 = — 0,000 001 828 6, 

1 : 9 . 59 = 0,0000000569, — 1 : 11 . 5^1 = — 0,0000000019, 

1:13.513 = 0,0000000001, 
also 

arctg (^^ = 0,200064057 — 0,0026684972 

= 0,1973955598. 
Ferner ist 

1:239= +0,0041841004 

— 1:3. 239-i = — 0,0000000244, 
also 

arc tg {^^ = 0,004 184076 0. 
Daraus folgt 

J = 4arctg(i)-arctg(.^) 

= 0,7895822392 — 0,0041840760, 
oder 

'^= 0,7853981632, 
4 

TT = 3.1415926528. 

Hierbei sind die beiden letzten Decimalstellen nicht mehr 
sicher, weü schon bei Berechnung von arctg f—) durch Ver- 



§ 44. Entwickelung der Function arcsina:. 187 

nachlässigung der folgenden Decimalstellen ein kleiner Fehler 
begangen ist, der in der 10*®" Decimalstelle kleiner als 2^ ist. 
Dieser kleine Fehler wird aber bei der Bildung von n mit 16 
multiplicirt, weil 

;r = l6arctgQ-4arctg(^) 

ist. Dazu tritt noch ein Fehler, der von 4 arctg (^^) herrührt 

und der in der letzten Decimalstelle kleiner ist als 4. Der 
Gesammtfehler ist also kleiner als 

44 

101«' 
Durch eine Rechnung auf mehr, z. B. auf 20 Decimalstellen 
findet man dies bestätigt; es wird dann nämlich 

n = 3,14159265358979323846. 

Daraus erhält man ohne Weiteres noch die folgenden Zahlen, 
welche in der Vermessungskunde häufig angewendet werden: 

arc 1 = -^ = 0,017 453 292 519 943, 

180 

o ^ ±211 :=, 57,295 779 513 1 ; 

7t 

arc 1' = TE^-^ = 0,000 290 888 208 666, 

loO .oü 
^ 180.60 ^ g 437 746 770 734 9 ; 

^ 180.60.60 ^ 206264,806247 0964. 

7t 

§44. 

Entwickelung der Function arcsina? nach steigenden 

Potenzen von x. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Kr. 69.) 

Aufgabe. Man soll die Fanctioii arcsin^j; nach steigenden 
Potenzen von x entwickeln. 



188 ' § 41. Entwickelong dar Ftmction arcsin«. 

AuflStung. Setzt man hier 
(1.) f(x) = arcsina; = A + A^x ■{■ A^"^ + . . . + ^»a^ + B, 
SO wird nach dffln binomischen Lehrsatze 



(2.) 



/'<-)= y=^ = (i-^')"* 



= Ai-\- 2AiX + ... + nA„a^^ + ^ 

-1 + 2* +274^^ ''■274:6* ■^••" 

Wenn d:^ kleiner ist als 1, so wird -j- beliebig klein für 

hinreichend grosse Werthe von n, folglich gilt auch dasselbe für 
Mj und man erhält 

A =/(0) = aresin = 0, 

^1=1, 2^2 = 0, 3^3 = |, 4^4 = 0, 5^5 = 1^,..., 

folglich ist 

(3.) arcsm:r = - + --+— - + ^-^^+... 

für — l<x<+ 1. 

Auch diese Eeihe kann man zur Berechnung von n benutzen. 
Es ist nämlich 

-) = -, also -g = arcsm(2), 
folglich wird 

^ = i4-i 1 1»3 1 1.3.5 1 

6 2'^2*3.2»"^2.4*5.2s"^2.4.6*7.2''^"** 



V. Abschnitt. 

Conyergenz der Beihen. 

§ 45. 

Erklärungen und vorbereitende Beispiele. 

Ist 
(1.) «m —f{rn) 

eine gegebene Function der positiven ganzen Zahl w, so bilden 
die einzelnen Functionswerthe 

/(O), /(l), /(2),.../(;^-l), 

oder 

Wq, Wjj U^^ , . . Wn— 1) 

eine endliche Reihe ^ welche aus w Gliedern besteht, und deren 
Summe mit Sn bezeichnet werden möge. Es sei also 

(2.) Äi = W„ + W, + t^2 + • • • + «'n-l. 

Wächst die positive ganze Zahl n in's Unbegrenzte, so wird 
aus der endlichen Beihe eine unendliche Reihe. Dabei kann es 
vorkommen, dass sich Sn mit unbegrenzt wachsendem n einer 
bestimmten^ endlichen Grenze S nähert, dass also 

(3.) lim iSn = Ä' 



n = ao 



wird. In diesem Falle heisst die unendliche Reihe (oder kürzer: 
die Reihe) convergent. Die Grenze S heisst dabei die Summe 
der Reihe. 

Wird aber Sn mit n zugleich unendlich gross oder gar unbe- 
stimmt^ so heisst die Reihe divergent. Dies giebt die 

Erklärung. Eine Reihe ist convergent^ wenn Sn^ die Summe 
der n ersten Glieder^ sich mit unbegrenzt wachsendem n einet* 
bestimmten, endlichen Grenze S nähert. 



190 § 45. Erklärungen und vorbereitende Beispiele. 

Zahlreiche Beispiele für solche Reihen liefert der vorher- 
gehende Abschnitt, in dem die Tayfor'sche Reihe behandelt worden 
ist. Dort wurde die Convergenz der gebildeten Reihen dadurch 
gepinift, dass man untersuchte, ob der Rest E för hinreichend 
grosse Werthe von n beliebig klein wird. Ist dies der Fall, 
so ist die Reihe in der That convergent^ denn der Unterschied 
zwischen der Function f(x + h) und Sn wird beKebig klein, 
d. h. Sn nähert sich der endlichen Grenze f{x + h) beliebig. 

Ein anderes Beispiel liefern die geometrischen Progressionen 
(4.) S^=^A + Ap + Ap'^ + ... + Ap^-' = ^^^—P"") , 

wenn p ein ächter Bruch ist, denn dann wird sich nach Formel 
Nr. IIa der Tabelle Sn der Grenze 

(5.) *=r^ 

^ ^ 1 — p 

nähern, wenn n unbegrenzt wächst. 
Auch hier wird die Differenz 

o — o« = 

1—p 

beliebig klein für hini'eichend grosse Wertlie von n. 

Soll sich Sn mit wachsendem n einer bestimmten, endlichen 
Grenze S nähern, so müssen die Grössen 

S — Sn, S — Sn^.\ und deshalb auch Sn^\ — Sn=^Un 

für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein werden; 
d. h. die Glieder einer convergenten Reihe müssen von einer 
bestimmten Stelle ab immer kleiner und schliesslich unendlich 
klein werden. Damit ist nicht gesagt, dass Wn+i stets kleiner 
als Un sein muss; es ist vielmehr sehr wohl denkbar, dass ab 
und zu auch grössere Glieder auf kleinere folgen; wenn aber 
n in's Unbegrenzte wächst, so muss w„ verschwindend klein 
werden, es muss also 

(6.) lim Wn = 

sein. 



§ 45. Erklärungen und vorbereitende Beispiele. 191 

Diese Bedingung ist eine nothwendige aber durchaus noch 
keine hinreichende^ wie das folgende Beispiel zeigen soll. 
In der Reihe 

werden die Glieder immer kleiner und schliesslich unendlich 
klein; trotzdem kann man zeigen, dass Sn beliebig gross wird, 
wenn man nur n him^eichend gross macht, dass also die Reihe 
divergent ist. 

Man setze zu diesem Zwecke 

w = 2 + 2 + 4 + 8 + ... + 2"»-^ oder n == 2'",' 
dann wird 

+ (2^+ ••• + 2^Jj 

also 

'S«>l + | + ^ + i+... + i=l + |- 

Da man jetzt m beliebig gross machen kann, so wird 
auch Sn beliebig gross, d. h. die Reihe 



oder 



1 ^2 ^3 ^4 ^5 ^••• 



ist divergent 



In der Reihe 

wird Sn zwar nicht unendlich gross, aber Sn nähert sich mit 
wachsendem n keiner bestimmten Grenze, denn für gerade Werthe 
von n wird Sn gleich Null und für ungerade Werthe von n 
wird Sn gleich a. Deshalb ist auch diese Reihe divergent. 



192 § 46. Heihezi mit lauter positiven Gliedern. 

Bei der Tay &r 'sehen Reihe hatte man, wie schon hervor- 
gehoben wurde, die Convergenz dadurch nachgewiesen, dass man 
untersuchte, ob der Unterschied R zwischen dem Grenz werthe 
f{x + h) und den n + 1 ersten Gliedern der Eeihe mit wachsen- 
dem n beliebig klein werde. In ähnlicher Weise kann man die 
Convergenz der Eeihen ganz allgemein prüfen. Kann man näm- 
lich eine Grösse S so bestinunen, dass 

(7.) S— Sn—Rn, und (8.) lim ßn = 

wird, so ist nach der angegebenen Erklärung die Reihe con- 
cergent ; und umgekehrt muss i?» für hinreichend grosse Werthe 
von n Tbeliebig klein sein, wenn die Reihe convergent ist. 

Man kann bei einer convergenten Reihe die Grösse iJ», welche 
man den Rest der Reihe nennt, auch noch in folgender Weise 
erklären. Es ist 

also 

\Ra Rn+q = Sn-\-q Äi, = Wn + Wn+l + . . . 4" Wn+«-l. 

Da nun bei einer convergenten Reihe 22«+, mit unbegrenzt 
wachsendem q verschwindend klein wird, so ist 

(10.) Rn = lim(Wn + Wn+l + . . . + Wn+(?-l) 

9 = 00 

= t/„ + «„+1 + ^„4-2 + ... in inflnitum. 

§46. 

Reihen mit lauter positiven Gliedern. 

(VergL die Formel-TabeUe Nr. 70 und 71). 

Zunächst möge die Voraussetzung gemacht werden, dass alle 
Glieder der Reihe endlich und positiv sind. Dann gelten die 
folgenden Sätze: 

Satz 1. ht 

«^0 + «^1 + «^2 + • • • 

eine convergente Reihe mit lauter positiven Gliederny und ist von 
einer bestimmten Stelle ab 



Rn — Rn+i = Sn-^i — Sn = Wnj 
(9.) 1 Ät — Rn-i-2 = ^^1+2 — Sn^= Un + Wn-fl , 



§ 46. Reihen mit lauter positiven Gliedern. 193 

SO ist auch die Heifie 

^0 + «*! + «*2 + • • • J 

(die lauter positive Glieder enthalten möge) convergent. 
Beweis. Setzt man 

aS; = «0 + «^1 + • • • + «^»-1 J Ä'n' = t?o + »1 + . . . + Vn-U 

SO wird 

Sn-\-q Äi» = Wn + «^n+l + • • • + «n+g-l , 

S'n-^q Ä"n = t?n + «?n+l + . • • + t?n+j— 1 , 

und nach Voraussetzung wird 

Auserdem nähert sich nach Voraussetzung Ä'n+j — S*n mit 
wachsendem n der Grenze 0, wie gross auch q sein mag, folg- 
lich erst recht Sn^rq — ^n, d. h, Sn und Sn+q nähern sich der- 
selben endlichen Grenze. 

Satz 2. Ist 

«^0 + «?! + «?2 + ••• 

eine divergente Reihe mit lauter positiven Gliedern^ und ist von 
einer bestimmten Stelle ah 



SO ist auch die Reihe 

«^0 + «^1 + «^2 + . . . 

divergent. 

Beweis. Wäre die Reihe ^o + ^i + «^2 + • • • convergent, 
so müsste nach dem ersten Satze auch »0 + ^1 + ^2 + • • • kon- 
vergent sein, und das widerstreitet der Voraussetzung. 

Satz 3. JEine Reihe 

«^0 + "1 + ^2 + . . . 

mit lauter positiven Gliedern convergirt, wenn von einer bestimm- 
ten Stelle ab 

(1.) "^'-^iKl 

tstj wobei k eine von n unabhängige Constante ist. 

Stegemaim -Kiepert, Differenüal-Beohniiiig. 13 



194 § 46. Reihen mit lauter poeitiven Gliedern. 

Beweis. Nach Voraossetzung wii*d für hinreichend grosse 
Werthe von n; z. B. fiir »^»» 

^also 



<2.) 



d. h. von einer bestimmten Stelle ab sind die Glieder der be- 
trachteten Eeihe gleich oder kleiner als die der Eeihe 

diese Eeihe ist aber convergmt^ denn sie ist eine geometrische 
Progression, bei welcher der Quotient k kleiner als 1 ist, und 
deren Summe daher nach Formel Nr. IIa der Tabelle gleich 

l—k 
wird. Deshalb ist nach Satz 1 auch die Eeihe 

«0 + «1 + «2 + . . . 

convergent 

Beispiele. 



1) ^- = i + n + 2! + --- + (»-i)! 

Hier ist 



a; 



n 



^+1 



also wird 



Un-\-\ X 



SA<1, 



Un n+l 

wenn man n+l grösser als x wählt, folglich ist die Eeihe 



X . x^ , x^ 



^ + 1! + 2! + 3! ■*■'•• 



für alle endlichen Werthe von x convergent. 

9^ ^ — £ j-l£!-Lili~-U 1.3... (2n— 3) a;2n-i 

^ "~ 1 "^2 3 "^2.4 5"^'""^2.4...f2n-2)2»— ] 



x^ 



§ 4ß, Beihen mit lauter positiven Gliedern. 195 

Hier ist 

_ 1.3..,{2n — S)(2n—l) x^^-^^ 
^•*'" 2.4...(2« — 2j.(2») 2» + l' 

__ 1 . 3 . , . (2n — 1) (2n + 1) a^^^"^^ 
«*«+! - 2.4... (2n) . {2n + 2) 2n + s' 

folglich wird 

Un±i_ {2n + l)^x^ ^ V ^ n ^ n'^J 
Un "■ (2» + 2) (2/1 + 3) 4 , H + A 

n rfi 

Ist 2; gleich 1, so nähert sich dieser Ausdruck mit wachsendem 
n dem Werthe 1 beliebig, dann ist also die Bedingung 

nicht erfüllt, denn h muss um eine endliche Grösse von 1 ver- 
schieden sein. Damit ist noch nicht gesagt, dass in diesem 
Falle die Reihe divergent ist; es lässt sich viehnehr ihre Con- 
vergenz auf einem anderen Wege (vergl. Seite 204) sehr wohl 
beweisen. 

Ist dagegen 

a;2 = Ä < 1 , 
SO wird auch 

in diesem Falle ist al^o die Eeihe 

1 "^ 2 3 ■^2745""^'" 

sicher convergent. 

3) Sn = l+Yp'^'^ + ^+'"+{n — l)p\ 

wobei jp > sein möge. 
Hier ist 

X^ /pn+l 

folglich wird 

13* 



196 



§. 46. Reihezi mit lauter positiven Gliedern. 






=(^iX-^= 



X 



(^ + ä' 



gleich oder kleiner als ein achter Bruch A, wenn x gleich k ist. 
Die Reihe 



X 



X 



2 



X' 



ist also canv6rffent, wenn x kleiner als 1 ist. 

Satz 4. Eine Heihe mit lauter positiven Gliedem ist diver 
ffentj wenn von einer bestimmten Stelle ab 

(3.) "^ ^ 1 

ist 



u. 



Beweis. 



(4.) 



Wm = «i 



Wm-l-2 ^ Wm+1 ^ t^mj 



Da nnn die Reihe 

w» + «^ + ««+.. • 
divergent ist, so ist die Reihe 

<*0 + «1 + Wi + • . . 

nach Satz 2 erst recht divergent. * 

Die Reihen 

X 1 a:^ 1 . 3 a:^ 

1 "^ 2 3 + 2 . 4 5 ■*■ ' • ' 

und 

X Ot^ X 

welche vorhin in den Beispielen 2 und 3 untersucht wurden, 
sind daher divergent^ wenn a;> 1 ist; denn man kann dann n 

so gross wählen, dass auch die Grössen — ^, nämlich 

II« 



§ 46. Reihen mit lauter positiven Gliedern. 197 






x^ 



bezw. 



gleich oder grösser als 1 werden. 

Satz 5. Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern ist con- 
vergent, wenn von einer bestimmten Stelle ah 

(5.) yiTn^kKl 

ist. 

Beweis. Nach Voraussetzung ist für n^m 

(6.) Un^k"", 

folglich wird 






Wm+2 S *""*"^ 



d. h. von einer bestimmten Stelle ab sind die Glieder der 
betrachteten Eeihe gleich oder kleiner als die der Reihe 

l + k + k^ + k^ + ..,. 

Diese Reihe ist aber convergent^ denn sie ist eine geometri- 
sche Progression, bei welcher der Quotient k kleiner als 1 ist, 
und deren Summe daher nach Formel Nr. 11 a der Tabelle gleich 

1 
1 — k 

wird. Deshalb ist nach Satz 1 auch die Reihe 

convergent. 

Beispiel. 

Es sei 

^» — -|^2 "1" 22 "^ 32 ■*" 42 "^ •••"*" 7^2 ' 

also 



198 § 46. Beulen mit lauter positiven Gliedern. 



und 



^" = ^' «»+i = (^ipip *) 



Un \n +lj / ^ 1 Y 



Dieser Ansdrack nähert sich dem Werthe 1 beliebig mit 
wachsendem n, wird also grösser als jeder beliebige ächte 
Brach k. Der Satz 3 reicht hier deshalb zum Beweise der 
(Konvergenz nicht aus. 

Ebenso nähert sich 

dem Werthe 1 beliebig, denn es ist 

log iVün) = logU " V = — ^ log». 

Dieser Ausdruck wird aber mit wachsendem n beliebig klein. 

Nimmt man z. B. die Zahl 10 als Basis des Logarithmensystems 

und setzt 

-n = lO"», 

so wird 

, ?/- 2m 

logywn=— -j^i 

n 

folglich nähert sich log Yün mit wachsendem m dem Werthe 



*) Da in der Summe S« = «o + **i+«2 + .-« + <*«— * das n'« Glied 
mit tin-i bezeichnet worden war, so müsste man, streng genommen, 

1 1 

****"" (n + 1J2 • "~+^""(n-f2j2 

setzen; man kann aber auch das erste Glied uo = setzen, dann wird 
in dem vorliegenden Beispiele 

Ä» = + p-+22 + ... + (^ _ 1J2 . »l80 «» = ^» ****+* "" (W + 1)2 * 



§ 46. Reilieii mit lauter positiven Gliedern. 199 

und deshalb yun dem Werthe 1 beliebig.*) Daher ist auch 
der Satz 5 nicht unmittelbar verwendbar. 

Setzt man aber 

12 



Wo =— J 



1 _1_ 1 

% = 2^ + 32' 

_ 1 , 1 , 1 , 1 

^2 — p- -r ■^'i' 62" "^ 72"' 



W»» /cknt\0 •" /rtm I -1 \9 • • • • • 



SO wird 



(2"»)2 ■ (2«+ 1)2 . ••• . (2« + 2«» — 1)2 



Wo = 1, 

1_, _ 

22 ' 22 ~" 2 

42 ~ 42 ^ 42 ~ 42 4 



Wi <:7r'+ ^;ö- = ~' 



. 1 , _i_ , , 1 

^w "^ /9»/M2 "^ r9»M2 "T • • • "1" 



(2"*)2 ' (^2''*j2 ' •' J (2'»)2 2~ 

Es ist also 



1 / — 1 /— 1 "*> — 1 

^i < 2' y«^2<2' y%<2' ••• y^fn<2' 

und deshalb die Eeihe 

][2 "^ 22 32 " 42 "» 52 ~ " • 

Satz 6. Eine Heike mit lauter positiven Gliedern ist diver- 
gent^ wenn von einer bestimmten Stelle ab 



*) Ein voUatändig strenger Nachweis dafür, das lim y-^ = 1 ist, 
wird an einer späteren Stelle gegeben werden. 



200 



§ 46. Reihen mit lauter positiven Gliedern. 



(8.) 
ist. 



n 



Beweis. Für hinreichend grosse Werthe von i« ist in diesem 
FaUe 

da nun die Reihe 

1 + 1 + 1 + ... 

divergent ist, so ist die Eeihe 

Wo + Wj + «2 + • • • 

dkch Satz 2 erst recht divergent. 

Das zu Satz 5 gegebene Beispiel kann man sogleich ver- 
allgemeinem und den folgenden Satz beweisen: 

Satz 7. Die Reihe 

i. 4.1.4.1.4.2.+ 
IP ^ 2^» 3^ 4'' 

ist convergent für p> 1. 

Beweis. Setzt man 



1 , 1 

«1 2P S^ 



(9.) 



Wm = 



+ 



dann wird 



(10.) 



(2")!' ' (2»'+l)' 

l\p-i 



+ ...+ 



(2 



m-Hl 



i> 



«1 < 2?""^2^~V2/ 



IV-i 



"» < (2<»)i' "^ (2»»)? + • • • + (2»)i' 






1 V"^ 



§ 46. Reihen mit lauter positiven Gliedern. 



201 



folglich ist 

(11.) u, <(ij""' , f ^ <(!)'"' , . . . K: <(^y'\ 

und da nach Voraussetzung p — 1 positiv sein soll, 

Deshalb ist die Eeihe 

IP ^ 2^ 3^ ^ 41» ~ • • • 
converffent, wenn j» > 1 ist. 

Satz 8. Die Heike 

IP ^ 2P S^ 4:P 



ist diver ff ent für f^l. 

Beweis. Setzt man in diesem Falle 



(12.) 



^ 2P 



^2=37+4?' 






Wm = 



+ 



dann wird 



(2"»-^+l)^ • (2"-^ +2)^ 



+ ...+ 



(13.) 



(2«)!' ' 



Uo > — + — = -• 41-^, 

2 ^ 4P ~ 4P 2 ' 

^ > gp -r Qp T- Qp T- Qp gp 2 ' 



^m > ^2»»)1' "*" (2«)^ + • •• + ^2mjp — 2 ' ^^'"'^ ^' 



oder 

(14.) |/2ir2>2^-i', |/2^>2»--P,...y2ii;>2i-^. 



m 



202 § 46. Reihen mit lauter positiven Gliedern. 

Es wird also, da j» S 1 und deshalb 1 — p ^ ist, 

folglich ist nach Satz 6 die Eeihe 

2tto + 2wi + 2^2 + • • • 
und deshalb auch die Eeihe 

«^0 + «1 + ^2 + . . . 

divergent. 

Satz 9. Ist 

«0 + «?1 + «^2 + «3 + . . . 

eine convergente Reihe mit lauter positiven Oliedern^ und ist von 
einer bestimmten Stelle ab 



^n-f1 <-- t^n-ft 



(15.) 

^ ^ Un — Vn 

SO ist auch die Reihe 

«'O + «1 + «^2 + «^ + . . . , 

{welche gleichfalls lauter positive Glieder enthalten möge), con- 
vergent. 

Beweis. Ist m hinreichend gross, so wird nach Voraus- 
setzung 

Utn ~ Ü» ' 

oder, wenn man — mit A bezeichnet, 



(16.) 


Wm+l '^ *^w+l . A. 


Femer wird 






(17.) 


^m4-2 



Daraus folgt, dass von einer bestimmten Stelle ab die 
Glieder der Eeihe Uq + u^ -f- u,^ + . . . kleiner sind als die ent- 
sprechenden Glieder der Eeihe ^t?o + -^^i + -^^2 + • • • 5 ^ 



§ 46. Reihen mit lauter positiven Gliedern. 208 

aber ©o + «^i + »2 + • • • nach Voraussetasung eine convergente 
Beihe ist, so gilt dasselbe von 

(18.) Avq + Av^ + Av2 + ...; 

deshalb ist auch nach Satz 1 die Reihe 

«'o + «'i + «^ + . . . 
convergent. 

Satz 10. Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern 
ist convergent^ wenn von einer bestimmten Stelle ah 

(19.) ,(._!^)a,>l 

ist. 

Beweis. Aus der Voraussetzung folgt 









n — p r^n > 


oder 








(20.) 






Wn+l^^ P^ 

Un n 


Setzt 


man jetzt 


«?o 


= iinci für ;2 > 


(21.) 






1 


so ist die Eeihe 







t?o + «?i + «^2 + . . . = + — + 27 + . . . 
nach Satz 7 convergent, weil p>l ist. Dabei wird 
(22.) ^ = (-^Y. 

Nun ist nach der Jfac - Z/a«n«'schen Eeihe 

(1 + xy-^^ = 1 + (/> + 1) (1 + Qs^y . ^• 

Da S © g + 1 ist, so ist für positive Werthe von x 

l+x'^l + Qx, 
also 

(1 + xy+^ ^i + (px-{-x){i + xy, 



204 § 46. Beihea mit lauter positiven Gliedern. 

oder 

(23.) i-p,^(-^y. 

Setzt man in dieser Ungleichung rc = — , so erhält man 

(24.) i_£ = ^zz£sf_^Y = £^, 

oder mit Eücksicht auf Ungleichung (20.) 

(25.) Un^^^J^, 

Es gilt deshalb in diesem Falle der Satz 9, d. h. die Reihe 

Wo + Wj + t^2 + «^ + • • • 9 

ist convergent. 

Beispiel. 

Es sei 

e— 1 . 1 1,1.3 1 , l.S...{2n—S) 1 

'^~~^+2'3"*"2:i'5+--"*"2.4...(2w-2)*2^=I' 

dann wird 

_ 1.3...(2n — 3) (2n — 1) 1 
^'''" 2.4...(2« — 2). (2w) *2w+l' 

_ 1.3...(2»— 1) (2n+ 1) 1 
^'*'^^"" 2.4...(2;j).(2w + 2) ' 2» + 3 ' 

Un^\ _ {2n + 1)^ ___ 4n^ + 4;> + 1 
Un "" (2n + 2) (2n H- 3) "" 4»^ + iQn + 6 

n n^ 



4 + i2 + -^ 



Dieser Ausdruck nähert sich mit wachsendem n der 
Grenze 1 beliebig; deshalb ist Satz 3 nicht anwendbar. Da- 
gegen wird 



§ 46. Reihen mit lauter positiven Gliedern. 205 

/ Un+x\ _ / 4;^2 + 4;^ + 1 \ _ 6;>^ + 6n 

\ UnJ \ 4;^2 + 10;i + 6/ 4^2 + 10;^ + 6 ' 

also 

/ Un+i \ 6n^ +bn — ß _ (2n + S){Sn — 2) _ Sn—2 
\ Un / "^ 4^2 + 10» + 6 "" (2w + 3)(2» + 2) "■ 2» + 2 ' 

oder 

\ Un / 2;^ + 2'n = oo \ w„ / 2 

d. h. 

n(l ^M ist für w>4 ein unächter Bruch, der sich dem 

Grenzwerth | beliebig nähert, folglich ist die Reihe 

1 1 , 1_^ 1 1.8.5 1^ 
"^2*3 ■^2.4"5"*"2.4.6'7 "^•" 
converffent, 

Satz 11. Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern ist 
divergent^ wenn von einer bestimmten Stelle ab 

(26.) »0-^')si 

ist. 

Beweis. Aus der Voraussetzung folgt 
(27.) ;^_lg^!fü±l, oder ^^'^"^^Zll. 



Un Un — n 

Setzt man also 
(28.) {m — l)u„,=zA, 

SO ist fiir hinreichend grosse Werthe von m 

A 



f*tn 


m — 1 








Wm+l 


^ (m — 1) Um 
m 


— 


A 

m 


7 


Um-^2 


fn + 1 m 


A 

+ 


T 


> 


4/ ■ M 


^(m + l)wm+2-^ 


!* 


A 


• • 


m + 2 


• 


m 

• 


+ 2 

9 • 



206 § 47. Eeihen mit positiven und negativen Gliedern. 

Da nun die ßeihe 

1 ^2 ^3 ^4 ^ 

diyeigent ist, so ist auch die Reihe 

-'(f + l + f + i + -) = T + T + 4 + T + - 

dirergeut, folglich ist nach Satz 2 

^0 + ^1+^ + ^ + "' 

erst recht divergent. 

§ 47. 

Reihen mit positiven und negatfvea Gliedern. 

(Vergl. die Formel-TabeUe Nr. 72 und 73.) 

Die Bedingungen, welche in dem vorhergehenden Paragraphen 
für die Convergenz einer Eeihe aufgestellt wurden, bezogen 
sich immer nur auf ihre Glieder von einer bestimmten Stelle ab. 
Die ersten Glieder der Reihe, d. h. die Glieder bis zu einer 
bestimmten Stelle, die noch im Endlichen liegt, sind nur der 
einen Bedingung unterworfen, dass keines von ihnen unendlich 
gross wird. 

Für Reihen mit positiven und negativen Gliedern gilt 
zunächst der folgende Satz: 

Eine Reihe mit positiven und negativen Gliedern convergirt^ 
wenn die Summe der absoluten Beträge convergirt. 

Beweis. Es sei 

(1.) ^^n = «0 + «^1 + «^ + • • • + «'n-l ; 

hierbei seien die Glieder 

alle positiv und die Glieder 

— «i", — «2", ... — V 
alle negativ. Setzt man also • 

(2.) «1' + W2' + . . . + V = Sn\ «1" + «2" + . . . + ^y' = Sn*% 

so wird 

(3.) Sn = Sn — Sn*' 



§ 47. Reihen mit positiven und ne^tiven Gliedern. 207 

Aus der gegebenen Reihe kann man aber eine andere 
bilden, indem man sämmüidie Glieder mit dem positiven Vor- 
zeichen nimmt. Diese Reihe ist nach V6raiiS86tzung convergent, 
d. h. die Summe Sn + Sn^ nähert sich mit wachsendem n einer 
bestimmten, endlichen Grenze. Dies ist aber nur möglich, wenn 
sich Sn und Sn* einzeln einer bestimmten, endlichen Grenze 
nähern, und daraus folgt, dass dasselbe auch für 

gilt. 

Eine Reihe mit positiven und negativen Gliedern kann aber 
auch dann noch convergirm^ wenn die Summe der absoluten 
Beträge divergirt. 

Versteht man unter einer alternirenden Reihe eine Reihe, 
deren Glieder abwechsehid positiv und negativ sind, so gilt 
z. B. der Satz: 

Eine alternirende Reihe convergirt, wenn der absolute Betrag 
der Glieder immer kleiner und schliesslich unendlich klein wird* 

Beweis. Es sei 

(4.) /y2m = «0 U^+U2 t^ H . . . + «2m-2 W2m-1 , 

Ql = W2m, 

Qz = W2m (W2m+l «^2m+2) j 

Qö = ^m («^m+1 W2m-f2) (^m+3 W2m+4) , 

Q2a-1 = W2m {^m+i ^^Tm+l) ... (W2m+2a-3 — W2m+2a-2) ; 

Qj = (W2« W2m+l) J 

Qi = («*2m W2m+l) + (W2m+2 — U2m-\-z) , 

©2« = (W2m W2m+l) + (w2m+2 ^2m-{-z) + . . • 

+ (W2m-|-2a— 2 W2«+2a-l). 

Da nach Voraussetzung die Glieder ihrem absoluten Betrage 
nach immer kleiner werden, da also Sir hinreichend grosse 
Werthe von m 

U2m > ^^2m+1 > «2»+2 > . • . > «2m+2a-l > , 

so sind in den Gleichungen (5.) und (6.) die Elammergrössen 
sämmtlich positiv, und man erhält 



(5.) 



208 § 47. Reihen mit positiven und negativen Gliedern. 

/.^ X j t^2m = Ql > Q3 > Qs > • • • > Q2a-1, 

l 0<Q2<Q4<Q6<...<Q2a. 

Ausserdem ist 

Q2a = Q2«— 1 — W2m+2a-l < Q2«— 1 j 

also 

(8.) 0<Q2«<Q2«-l<W2m, 

wie gross auch a sein mag. Nach Voraussetzung ist 
lim (Q2«-i— 02«) = lim w2m+2«-i = 0, 

deshalb wird 

(9.) lim Q2a-\ = lim Qj«? 

und zwar liegt die gemeinsame Grenze dieser beiden Grössen 
nach den Ungleichungen (8.) zwischen und t*2m. Da aber U2m 
mit wachsendem m beliebig klein wird, so ist damit bewiesen, 
dass der Unterschied zwischen 

/Sim und Ä2m+2a-l = ^2tn + ©2« -1 

und ebenso zwischen 

S2m und /S2m+2a = ^2»» + Q2« 

beliebig klein gemacht werden kann, welchen Werth a auch 
haben mag, wenn man nur m him-eichend gross macht. Sn 
nähert sich daher mit wachsendem n einer bestimmten, endlichen 
Grenze S, d. h. die Reihe 

Wo — «1 + «^2 «^3 H • • • 

ist convergent. 

Aus der Gleichung 

S = Sim + lim Qia = S^m^x — u2rn-\ + lim Q2« 

« SS 00 « SS 00 

und der Ungleichung 

(8 a.) < 02« < Q2a-1 < Ulm < t^m-1 

folgt hierbei 

(10.) S2fn<S<S2n.-^, 

(11.) OSA^i«.-! — *S'<W2m-l, O^S—S2fn<U2m, 

oder nach Gleichung (7.) in § 45 

(12.) OSi22m^W2m, 

(13.) W2m-1 ^ ifem-l ^ 0. 



§ 47. Reihen mit positiven und negativen Gliedern. 209 

Beispiele. 



1) Die Reilie 



1 2^3 4 ^ 



ist converffent, und zwar ist nach Formel Nr. 60 der Tabelle 
ihre Summe gleich 12, obwohl die Reihe 

1^2^3^4^'" 
divergent ist, wie schon in § 45 gezeigt wurde. 

2) Die Reihe 
ist converffent, und zwar ist nach Formel Nr. 66 der Tabelle 

TV 

ihre Summe gleich — • Hierdurch ist auch der Nachweis ge- 
fuhrt, dass die Formel Nr. 65 der Tabelle noch richtig bleibt 
für rc = + 1. Die Reihe 

ist dagegen divergent. Dies folgt schon daraus, dass 

1 + 14.1 + 1+ >i + i + i + i + 

oder 

ist. 

Bei altemirenden Reihen kann ein eigenthümlicher um- 
stand eintreten. Werden nämlich die absoluten Beträge der 
Grlieder schliesslich nicht beliebig klein, sondern nähern sie sich 
einer bestimmten, endlichen Grenze p, so werden sich die 
Differenzen 

der Grenze Null nähern. Es kann also sehr wohl eintreten, 
dass sich mit wachsendem n 

Stegemann- Kiepert, Differential-Becliniuig. 14 



210 § 48. Bedingte und unbedingte Oonvergenz. 

S2n = K — ^l) + («^2 — «^3) + . . . + (W2tt-2 — U2n^l) 

einer bestimmten, endlichen Grenze nähert. Dasselbe ist dann bei 

>S2n+l= S2n+U2n = Uo (^i U^) (^3 W4) . . . (W2n-1 ^In) 

der Fall; trotzdem ist die Reibe divergent^ denn es ist nach 
Voraussetzung 

lim (Äin+l *^2n) = lim W2n = (>, 

n 3 OD n 3= jo 

d. h. die Summe der Reihe 

«^0 — «^1 + «^2 — «^3 H • • • 

nähert sich zwei endlichen, um q von einander verschiedenen 
Grenzen, jenachdem man eine gerade oder eine ungerade Anzahl 
von Gliedern addirt. Eine solche Reihe wird eine osciüirende 
Reihe genannt. 

Beispiele. 

1) Bei der Reihe 

a — a -}- a — a -\ . . . 

ist 

aS'2» = 0, S2n-\-i = ö. 

2) Bei der Reihe 

2_3 4_5 6_7 _ 
1 2 ■'■3 4 "^5 6 "^ ••' 
ist 

'^^•*=(r-|"MI"-i)+(l~l)+---+(2i^ 

also 

lim S2n = 12, lim S^n-^-i = 1 + 12. 



n = oo n=sao 



§48. 

Bedingte und unbedingte Convergenz. 

(Vergl. die Formel-TabeUe Nr. 74.) 

Bisher wurde stillschweigend die Annahme gemacht, dass 
bei den GUedem einer Reihe eine bestinmite Ordnung fest- 
gehalten werde. 



§ 48. Bedingte und unbedingte Convergenz. 211 

Bei einer Summe mit einer endlichen Anzahl von Gliedern 
ändert sich der Werth der Summe gar nicht, wenn man die 
Aufeinanderfolge der Glieder ändert; bei Summen mit unend- 
lich vielen Gliedern aber, d. h. also bei unendlichen Reihen 
kann sich möglicher Weise der Werth der Summe mit der 
Reihenfolge der Glieder ändern. Ist z. B. 

+C_i i- +.^ J.^ 



und 



--• =(K|-|)+(^H>-+(s^+i;;^-^) 



SO wird 






oder 



-"■--■=l[(H)+(H)+-+(^-^)] 



Nun wird aber 



lim -8; = 12, lim(AS„' — -S'„) = |l2, 



n = 00 n = ao 



folglich ist 



lim5„' = |l2 = |lim.Sn. 



Die Reihen 



und 



1 2^3 4^5 6^ 



1^3 2^5 ^7 4 ^^ ••• 



14^ 



212 § 48. Bedingte und unbedingte Oonvergenz. 

sind also beide convergent und jede von ihnen enthält, wenn 
man sie nur weit genug fortsetzt, sämmtliche Glieder, welche 
die andere enthält, aber ihre Summen haben verschiedene Werthe, 
weil die Aufeinanderfolge der Glieder in den beiden Reihen 
eine verschiedene ist. 

Eine Reihe ^ bei der sich die Summe der n ersten Glieder 
mit wachsendem n nur unter der Bedingung derselben endlichen 
Grenze nähert^ dass die Aufeinanderfolge der Glieder eine be- 
stimmte ist, heisst bedingt convergent Bleibt aber dieser Grenz- 
werih derselbe, wie man auch die Glieder der Reihe anoi^dnen 
mag, so heisst die Reihe unbedingt convergent. 

Dabei gilt nun der folgende Satz: 

Eine Reihe ist unbedingt convergent, wenn nach Absonderung 
von Sn die Summe von beliebig vielen Gliedern, welche aus den 
hoch folgenden Gliedern willkürlich ausgewählt sind, beliebig 
klein wird für hinreichend grosse Werthe von n. 

Beweis. Um zu zeigen, dass sich dann 

(1.) Sn = ^0+^1 + ••• + Wn-1, und /S'^' = V + «^i' + --- + Wp-l 
derselben endlichen Grenze nahem, kann man p so gross wählen, 
dass die Glieder 

Uq, Wj, . . . Wn-l 

sämmtlich unter den Gliedern 

enthalten sind. Ausserdem kommen in Sp* noch beliebig viele 
andere Glieder 

Ur, Uf, Ut, .. . 

vor, so dass 

(2.) Sp'=:Sn + Ur+U, + Ut+... 

wird. Nach Voraussetzung ist aber 

(3.) lim (ur + u, + ut + , . .) ^ 0, 

folglich wird 

(4.) Um/y/=:limÄn; 

d. h. unter der gemachten Voraussetzung nähert sich die Summe 
Sn mit wachsendem n derselben Grenze, wie man auch die Rei- 
henfolge der Glieder bestimmen mag. 



§ 48. Bedingte und unbedingte Convergenz. 213 

Diese Voraussetzung, unter welcher der eben bewiesene 
Satz gilt, wird offenbar erfüllt, wenn die Summe der absoluten 
Beträge convergirt. Bezeichnet man nämlich mit \u\ den abso- 
luten Betrag von u, und nähert sich 

(5.) 2n = Kl + |Wi| + Ithl + . . . + hn-l| 

mit wachsendem n einer bestimmten endlichen Grenze 2, so 
wird für hinreichend grosse Werthe von n 

(6.) 2n+a — -^n = |Wfi| + |«n+l| + • • • + |«n+a-1 1 

beliebig klein, folglich erst recht 

Ur + Ug + Ut + ..., 

wobei Ur, Ug, ut,... aus den Gliedern w«? Wn+i, ... Un+a-\ 
willkürlich ausgewählt sind. 

Hiervon gut aber auch die Umkehrung: 

Wird bei willkürlicher Auswahl der Glieder Ur, u,, Ut,,.. 
aus den Gliedern Un, Wn+i, . . . Wn-fw-i die Summe 

Ur + Us + Ut+... 

für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein, so ist in der 
Reihe «0 + ^1+^2 + ... die Summe der absoluten Beträge 
eine convergente Reihe. 

Beweis. Setzt man 

(7.) Sn+a — 'S'n = W» + ^n+l + . . . + Wn+a-1 = I^a 

und bezeichnet die Summe aller positiven Glieder, welche in Z>„ 
enthalten sind, mit Z>„' und die Summe aller in Z>« enthaltenen 
negativen Glieder mit — !>«", so ist 

(8.) Da = Da' — Da''. 

Nach Voraussetzung müssen Da und Da** einzeln beliebig 
klein werden, folglich wird auch 

(9.) 2n+a — -^n = Da* + Da'* 

beliebig klein für hinreichend grosse Werthe von n. 2n und 
2n^a nähern sich daher mit wachsendem n demselben Grenz- 
werthe -2, d. h. die Summe der absoluten Beträge ist con- 
vergent. 

Der vorhin ausgesprochene Satz deckt sich daher mit dem 
folgenden Satze: 

Eine Reihe ist unbedingt convergent, wenn die Summe der 
absoluten Beträge convergirt; und umgekehrt. 



I 



214 § 49. Multiplication der Reihen. 

§ 49. 

Multiplication der Reihen. 



Sind 
und 



(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 75.) 
U^Uq + Ui + IC2 + ... 



F= t?o + t?i + t?2 + . . . 
zwei unbedingt convergente Reihen^ und ist 



Wq = UqVq, 



t(?2 = UqV2 + Wi ©1 + ^2^0 J 

Wn = U^Vn + U^rn-\ + . . . + Wn-1 «?i + Wnt?o, 

50 ist auch die Reihe 

unbedingt conmrgent^ und ihre Summe W ist gleich dem Producte 
UV der Summe der beiden ersten Reihen. 

Beweis. Es sei 

C^2n = «0 + ^1 + ^2 + • • • + «*2n-l, 

]^2« = «?0 + «?! + t*2 + . . . + «^2n-l, 

W^n = t^o + ^^1 + W?2 + • • • + ^2n-l , 

und es mögen zunächst die Glieder w©? ^ij «^2j«"j ^oj ^u ^H'" 
alle positiv sein, dann ist 

U^n . ^2n == Win + («1 t?2H-l + ^2 t*2H-2 + • • • + «^2n-2 ^2 + «^2n-l «?l) 
+ • . • + (W2n-2«'2n— 1 + «^n-l«?2w-2) + W2n-1 »2n-l j 

also 

Dagegen ist 

W2n =• Un.Vn + K^n + «^n «?o) + K «^n+l + ^l «?»+ W»t?i + Wn+2«?o) 
+ . . . + (Wo^2»»-l + ^1^2n-2 + . . . + W2n-2«?1 + W2n-lt'o)j 

also 

Tr2n>?7n. r«. 

Ebenso kann man zeigen, dass 

J72«+l . F2n4.1 > W^2n+1 > Un . Vn 



§ 49, Multiplication der Reihen. 215. 

ist. Lässt man aber n immer grösser werden, so nähern sich 
die Producte TJ^- Vn und Din. T^2n, bezw. ?72«+i . F2n+i nach 
Voraussetzung derselben endlichen Grenze ü . V, folglich nähern 
sich auch die dazwischen liegenden Werthe Win bezw. W^n+i 
einer bestimmten, endlichen Grenze JV, und es wird 

W= U. V. 

Enthalten die Reihen U und V positive und negative 
Glieder, sind sie aber, wie vorausgesetzt wurde, unbedingt eon- 
verffefit, ä. h. sind auch noch die Summen der absoluten Beträge 
convergent, so nähert sich der Ausdruck 

ün. Vn ^n = Wn-1 «?n-l + (Wn-2 «^n-l + Wn-1 t?n-2) + • • • 

+ (Wil?n-1 + «^t?n-2 + . . . + «^n-2t?2 + «^n-lt?i), 

wie vorhin gezeigt wurde, mit wachsendem n dem Werthe 0, 
wenn man die Grössen u^, «^2? • • • ^n-i, «^i, «?2> • • • ^«-i sämmt- 
lich durch ihre absoluten Beträge ersetzt; er nähert sich also 
dem Werthe erst recht, wenn diese Grössen theilweise negativ 
sind. Es wird daher auch in diesem Falle 

lim TTn = Um t/n . Fn = U. V, 



n=ao n := OD 



Dabei ist auch 

^0 + «^1 + W?2 + • • • 

eine unbedingt convergente Reihe, denn ersetzt man die Grössen 

Wo , Wj , ^2 , . . . , t?o J ^1 J '^2 J • • • m 

«6^0 = Wo ^0 J 

1^2 = t/o^2 + Wi«?i + ^2^0» 



durch ihre absoluten Beträge, so verwandeln sich die Grössen 

^oj ^i j ^2j • • • in «^o'j ^t' ^2'? Bezeichnet man nun den 

absoluten Betrag von w^ mit | «^0 1 ? den von t^^ mit | w?i | , . . . , 
so wird 

Kl = «^oS kl! S «^iS Kl ^ «^2', . • • • 

Jetzt enthält aber die Reihe 



216 



§ 50. Oonvergenz der Potenzreihen. 



lauter positive Glieder und ist convergent, folglich gilt dasselbe 
auch für 

d. h. die Reihe 

W?0 + W?! + «^2 + . . . 

ist unbedingt convergent, 

Beispiel. 



X . x^ . x^ 



^=l + lT + 2!+^+---' 

^ ^1! ^2! ^ 3! ^••* 
sind zwei unbedingt convergente Reihen, folglich ist 

^^Vl!^l!y^V2! ^l!l!^2!y^-- 

"" "^ 1! "^ 2! "^ 3! "^•••' 

setzt man für U und V nach Formel Nr. 52 der Tabelle ihre 
Werthe ein, so ergiebt sich hieraus die bekannte Formel 



§ 50. 

Convergenz der Potenzreihen. 

(VergL die Formel-TabeUe Nr. 76.) 

Unter einer Potenzreihe versteht man eine Reihe von der 

Form 

ÖQ + <^\^ + <h^'^ + ^^^ + . . . . 
Von einer solchen Reihe gelten die folgenden Sätze: 
Satz 1. Eine Potenzreihe convergirt unbedingt, wen?i von 

einer bestimmten Stelle ab 



^i?;<l 

ist, d. h. für alle Werthe von x, deren absoluter Betrag kleiner 
an 



ist als 



ö^n+l 



§ 50. Convergenz der Potenzreihen. 217 

Der Beweis folgt unmittelbar aus Satz 3 in § 46. 

Satz 2. Eine Potenzreihe convergirt unbedingt für alle 
Werthe von x, deren absoluter Betrag kleiner ist als die positive 
Grösse Xq, wenn von einer bestimmten Stelle ab 

l^nlx^^'-^g 

istf wobei g eine bestimmte endliche Grösse bedeutet. 

Beweis. Nach Voraussetzung ist für hinreichend grosse 
Werthe von m 

I «m I ^0~ ^^J I «m+t I ^o"*"^^ ^ffi I «m+2 | ^o"*"^^ S^'j • • • » 

folglich ist, wenn x vorläufig positiv genommen wird, 

/ X \'»+2 

da nun — nach Voraussetzung ein ächter Bruch ist, so wird 

eine convergente Reihe, folglich erst recht 
d. h. die Reihe 

00 + a^x + a^x^ + . • . 
ist unbedingt convergent. 

In der Reihe wird nur das Vorzeichen der Glieder a^x, 
a^x^, a^x^, . . . geändert, wenn man x mit — x vertauscht. Der 
Satz gilt also für positive und negative Werthe von x, wenn 
nur der absolute Betrag von x kleiner ist als xq. 



218 § 51. Convergenz der periodischen Reihen. 

§ 51. 

Convergenz der periodischen Reihen. 

(Verjfl. die Formel-Tabelle Nr. 77 und 78.) 

Die Reihen von der Form 

(1.) -^öo + «1 COSa; + 02^08(2^) + 03 C0S(3a:) + . . . 

+ Jj sina: + b2Bm(2x) + b^sm{Sx) + . . . 

nennt msm periodische Beihen, weil die Glieder sämmtlich den- 
selben Werth behalten, wenn man x nm ein Vielfaches von 27r 
vermehrt oder vermindert. 

Zunächst möge der einfache Fall betrachtet werden, wo 
die Coefl&cienten a^ , ö^ , «2 , «3 , . . . alle einander gleich und 
die Coefiicienten *i , *2? *3 5 • • • sämmtlich gleich sind; es sei also 

(2.) /S'„= aQ\- + co^x+coB{2x) + cos(3:r)+ ... + cos(n — l)x\' 

Aus der bekannten Formel 

sina — sinJ = 2sin( — - — j cos f "T j 

folgt 

/o\ d • /^\ / \ • /2w + 1 \ . /2m — 1 \ 
(3.) 2smf- jcos(ma:) = sm( — - — xj — sm( — - — xy 



Multiplicirt man Gleichung (2) mit 2 sin (^j , so erhält man 



daher 



(4.) 25„sin(|)=«,[sm(|) + |sm(f)-sin(|)l 



+ 



h(i)--(i)} 



+ ... + |sin(?^:r)-sin(?^a:))] 
= aoSin(^ — - — xJ, 



oder 



. /2n — l \ 

(5.) S„ = — 

2 sing) 



§ 51. Oonvergenz der periodischen Reihen. 



219 



Wächst n in's Unbegrenzte, so schwankt der Werth von 
— - — X \ zwischen — 1 und + 1 , nähert sich aber keiner 
bestimmten Grenze, folglich ist die Reihe divergent. 



Jetzt seien die Coefficienten J^ , Jj > *3 ? • • • alle einander 
gleich, und die Coefficienten a^ , a^ , a^ , «3 , . . . seien sämmtlich 
gleich 0; es sei also 

(6.) Sn* = ii [sin^r + siJi{2x) + • • . + Wi{nx)]. 

Aus der bekannten Formel 

cosJ — cosa = 2sm( — ^— jsmf — ^ j 



folgt 

(7.) 2sm(- jsm(ma:) = cos( — - — x\— cosf — ^ — x), 

Multiplicirt man Gleichung (6.) mit 2sin(- j, so erhält 
man daher 
(8.) 25'„'sin(|) = b, [{cos(|)- cos (f )} 



^ ( /2» — 1 



^)-^<^K^^)}] 



= j,[^cos(|)-cos(H^x)], 



oder 



(9.) 






ctg^ — 



cos 



( 



2;i+ 1 



4 



™(i) 



eine Grösse, die sich ebenfalls keiner bestimmten Grenze nähert, 
wenn n in's Unbegrenzte wächst , folglich ist auch diese Eeihe 
divergent. 



220 § 51, Convergenz der periodischen Reihen. 

Bilden die Coefl&cienten «o? ^15 ^2» ^3>«" oder i^, ij? ^sj»-- 
eine steigende Reihe, so können sich ^Jn und Sn noch weniger 
einer bestimmten, endKchen Grenze nähern; deshalb kann nur 
dann Convergenz eintreten, wenn die Coefficienten Oq» ^u ^> 
03 , . . . und *! , J2 ? *3 ? • • • fallende Reihen bilden. Ob aber die 
periodischen Reihen unter dieser Voraussetzung wirUich conver- 
gent sind, muss noch untersucht werden. Es sei jetzt also 

(10.) aSh = ^ÖQ + <^\ COSic + «2 cos (2a:) + . . . + an-iC0S(» — l)ar, 

wobei 

(11.) «0 > ^1 > ^ > • • • > ^»-1 > ^ ^i^d lima« = 



n = ao 



sein möge; dann wird nach Gleichung (3.) 

2.S„sin(|) = aoSin(|)+a,[sin(|)-sin(|)] 



+ 



r . {hx\ . /3x\\ 



r . /2n—l \ . /2n — S VI 
+ . . . + «n-i I smf — - — a;j— sm( — - — x)\ , 

oder 

(12.) 2/ynSinr|j — an-isinr '^^~ x\=z 

(«0 — öl) sin(0 + («1 — (h) sin^y) + («2—03) sin (^^ + ... 

, , . . /2n — S \ 

+ (an_2 — ö„-i)sm( — - — xh 

In der Reihe 

(13.) («0— «l) + («l— «2) + (ö2— «3)+ ••• +(«»-2— ön-l)= «0— «n-1 

sind sämmtliche Glieder positiv, und die Summe der ersten n 
Glieder nähert sich mit wachsendem n der bestimmten, endlichen 
Grenze a^, d. h. die in Gleichung (13.) angegebene Reihe ist 
unbedingt convergent. Deshalb ist auch die in Gleichung (12.) 
angegebene Reihe unbedingt convergent, da der absolute Betrag 
der einzelnen Glieder kleiner ist als die entsprechenden Glieder 
in der Reihe 

(«0 — ^l) + («1 Ö2) + («2 Ö53) + . . . . 



§ 51. Convergenz der periodischen Reihen. 221 

Da noch 

hm «n-i sini — - — X ) = 

ist, so nähert sich 2.5'« sin (-|-j mit wachsendem n einer be- 
stimmten, endlichen Grenze. Dasselbe gilt auch für Sn selbst, 
wenn man die Werthe von x ausnimmt, für welche sinf - j gleich 

wird. Dies giebt den Satz: 

Die Heike 

•J-öo + a^cosx + a2C0S(2a:) + a^COS{Sx) + . . . 

ist converffent für alle Werthe von Xj welche von 0, ±27r, 
±4 TT,.,, verschieden sind, wenn die Coefficienten öq, a^, «2, 
03 , . . . positiv sind und eine bis in^s unendlich Kleine abnehmende 
Reihe bilden. 

Indem man x mit x + n vertauscht , findet man, dass die 
Beihe 

+ i^o — ^1 ^Sa: + a2C0S(2:r) — a3COS(3:p) H ... 

unter denselben Bedingungen für alle Werthe von x convergirt, 
die von ± tt, ± Stt, ± ött, . . . verschieden sind. 

Ebenso findet man, wenn die Coefficienten 6^, J27 63,... 
positiv sind und eine bis in's unendlich Kleine abnehmende Eeihe 
bilden, wenn also 

(14.) *! > ^2 > *3 > • • • > *n > und lim J„ = 0, 

n=sao 

aus 

(15.) Sn* = Jj m.x + i2Sin(2:r) -f . . . + i„sin(na;) , 

indem man mit 2sinr-| j multiplicirt und Gleichung (7.) an- 
wendet, 

(16.)2Än'sin(|)=J,cos(|)-(J,-J2)cos(f)-(S2-is)cos(^^ 

— ... — {bn-\ — bn) COS^ ^~ x\— JnCOSr— ^ A 



222 § 51. Convergenz der periodischen Reihen. 

Nun ist aber mit Kücksicht auf die jetzt geltenden Voraus- 
setzungen die Reihe 

(17.) (J^ - J^) + (6-2 — *3) 4- (^3 — *4) + . . . = h 

unbedingt convergent, folglich erst recht die Reihe 

(S,— y COs(y)+ (J2— *3)C0s(y^+ (^3 — i4)C0s(yj+.^ 

bei welcher die absoluten Beträge der einzehien Glieder noch 
kleiner sind. Da hierbei noch sin^, sin (2a:), sin (3a:), . . . sämmt- 

lieh gleich sind für alle Werthe von x, für welche sinf -1) ver- 
schwindet, so bleibt die Reihe 

S^sina: + S2sin(2a:) + S3sin(3a:) + . . . 

auch noch flir diese Werthe von x convergent, und man erhält 
den Satz: 

Die Reihp 

6isina: + 62sin(2a:) -f- J3sin(3a:) -J- . . . 
ist für alle Werthe von x convergent, wenn die Coefßcienten 
^1 > ^2 > ^3 ? • • • positiv sind und eine bis in^s unendlich Kleine 
abnehmende Reihe bilden. 

Indem man x mit x + n vertauscht, findet man, dass die 
Reihe 

JjSina: — b^Wi{2x) + J3Sin(3a:) h . • . 

unter denselben Bedingungen für alle Werthe von x convergirt. 

Beispiele. 

1) Die Reihe 

. COSa: COS (2a:) COS (3a:) , 

ist convergent, wenn x von 0, ± 27r, ± 47r, . . . verschieden ist. 

2) Die Reihe 

sina: sin (2a: ) sin (3a:) 

n y^ y^ 

ist convergent für alle Werthe von x. 



VI. Abschnitt. 

Maxima und Minima Yon entwickelten 
Functionen einer Yeränderlichen. 

§ 52. 

Bedingungen, unter denen ein Maximum oder Minimum 

eintreten Icann. 

Wenn sich die unabhängige Veränderliche x^ von der eine 
stetige Function 

(1.) y =/(^) 

abhängt, um eine sehr kleine positive oder negative Grösse ± a 
ändert, so sollen die zugehörigen Werthe der Function, nämlich 

f{x — d) und/(a; + a), 

die zu /(a;) benachb arten Wtr^^ genannt werden, und zwar ist 
f{x — d) ein unmittelbar vorhergehender^ f(x + a) ein unmittelbar 
folgender benachbarter Werth der Function. 

Wenn nun f{x) grösser ist als alle unmittelbar vorher- 
gehenden und folgenden Werthe der Function^ so heisstf(x) ein 
Maximum; und wennf{x) kleiner ist als alle unmittelbar vor- 
hergehenden und folgenden Werthe der Function^ so heisst 
fix) ein Minimum. 

Im ersten Falle ist also 

f{x — a) —f{x) < und auch f{x + a) —f{x) < ; 

im zweiten Falle ist 

f(x — a) —f(x) > und auch f(x + a) —f{x) > 0. 

Am besten wird man sich diese Beziehung klar machen 
durch die geometrische Deutung der Gleichung (1.) als eine 



224 



§ 52« Eintritt eines Maximums oder Minininms, 



Curve. Dieser geometrischen Deutung sind auch die oben ein- 
geführten Bezeichnungen entnommen. 

Wenn z. B. der Gleichung (1.) die Curve in Figur 23 oder 
in Figur 24 entspricht, so hat die Function für 

a; = ^Tj = OQx 
ein Maximum und für 

X = X2= OQ2 

ein Minimum^ d. h. die Ordinate Q^Px des Punktes P^ ist 
grösser als die Ordinaten aller benachbarten Punkte, und die 
Ordinate Q2A ist Heiner als die Ordinaten aller benachbarten 
Punkte 



Fig. 23. 



Fig. 24. 





Damit nun die Curve einen solchen höchsten Punkt P^ 
erreicht, muss sie vorher steigen und nachher fallen; und damit 
sie einen solchen tiefeten Punkt erreicht, muss sie vorher fallen 
und nachher steigen. 

Aus diesen Erwägungen kann man die Bedingungen ableiten, 
unter denen /(ic) ein Maximum oder Minimum wird. 

In § 13 (Seite 74) war nämlich gezeigt worden, dass 

-^z=.f{x) positiv sein muss, wenn die Curve mit der Gleichung 

y =^f{x) in dem zugehörigen Punkte steifft, und dass ^ =f (x) 

negativ sein muss, wenn die Curve in dem zugehörigen Punkte 
fällt. Unabhängig von der geometrischen Darstellung gab dies 
den Satz: 

Wenn eine Function y '=^f(x) gleichzeitig mit x zunimmt^ 
so ist die Ableitung für den betrachteten Werth positiv; wenn 



§ 52. Eintritt eines Maxi-mums oder "UiniTttminfif , ^5 

aber die Function abnimmt^ während x zunimmt, so ist die Ab- 
leitung für den betrachteten Werth ven x negativ; 
und umgekehrt. 

Eine Function f{x) nimmt gleichzeitig 'mit x zu für alle 
Werthe von x^ für welche f*{x) positiv ist, und die Function 
nimmt ai, während x zunimmt, für alle Werthe von x, für 
welche f*{x) negativ ist. 

Wenn also f(x) ein Maximum werden soll, so muss f'(x) 
aus dem Positiven in das Negative übei^ehen; wenn dagegen 
f'{x) ein Minimum werden soD, so muss/' (x) aus dem Negativen 
in das Positive übergehen. 

Hieraus folgt, dass f(x)jaBr für diejenigen Werthe von x 
ein Maximum oder ein MinimuTn werden kann, fiir welche die 
Ableitung f'(x) einen Zeichenwechsel erleidet. Ein solcher 
Zeichenwechsel tritt aber nur dann ein, wenn f*(x) entweder 
gleich Null oder unendlich gross wird. 

Dies giebt den Satz: 

Die Function f{x) kann nur für diejenigen Werthe von x 
ein Maximum oder Minimum werden, für welche f'(x) gleich 
Null oder unendlich gross wird. 

Aus der geometrischen Deutung der Ableitung, nämlich aus 
der Formel (Nr. 16 der Tabelle) 

folgt, wie auch aus den Figuren zu ersehen ist, dass in den 
Curvenpunkten, welche einem Maximum oder Minimum ent- 
sprechen, die Tangente zur X-Axe oder zur F-Axe parallel 
sein muss. 

Ist f'(x) = 0, ist also die Tangente in dem zugehörigen 
Curvenpunkte P parallel zur X-Axe, so liegen die dem Punkte 
P benachbarten Punkte sämmtUch unterhalb oder sämmtlich 
oberhalb dieser Tangente, jenachdem der Punkt P einem Maxi- 
mum oder Minimum entspricht (vergl. Fig. 28)» 

Ist /'(a:) = 00 , ist also die Tangente parallel zur F-Axe, 
so hat ^e Curve in dem zugehörigen Punkte P eiue nach oben 
oder nach unten gerichtete Spitste, jenachdem der Punkt P einem 
Maximum oder einem Minimum entspricht (vergl. Fig. 24). 

Stegemann- Kiepert, Diiferential-BeohnTmg. 15 



226 



§ 52. Eintritt eineB Maximums oder MinimninH. 



Bemerkungen. 

1) In dem Vorstehenden ist Btillschweigend die Vorausaetasung ge- 
macht worden, dass fix) wohl unendlich gross werden darf, dass aber 
alle übrigen Fälle der Unstetigkeit aasgeschloBsen sind. 

2) Wird /'(x) gleich Null oder unendlich gross, so ist es mögUeh, 
aber nicht immer nothwendig, dass f(x) ein Maximum oder Minimum wird. 



Fig. 25. 



Fig. 26. 





In Figur 25 wird z. B. 

/'(ar)=0 für ar=OQ, 
und in Figur 26 wird 

/'(x) = oo für x^OQ-, 

trotzdem findet in beiden Fällen weder ein Maximum noch ein Minimum 
statt. Die Punkte P in Figur 25 und 26 sind vielmehr TVendspunJUe, 
von denen an einer späteren Stelle noch ausführlich die Bede sein wird. 

Die Regel, welche sich aus den vorhergehenden Betrach- 
tungen fjir die Aufeuchung der Maxima und Minima ergiebt, ist 
daher die folgende: 

Man ermittele diejenigen Werthe von x^ für welche f{x) 
gleich Null oder unencQich gross wird, und untersuche dann fär 
die dadurch gefundenen Werthe von x noch das Vorzeichen von 
f'{x — a) und/'(^ + ö). 

Wird für hinreichend kleine Werthe von a 

f{x—a)<0 
und 

/'(^ + a)>0, 

SO ist/(a;) ein Minimum^ wie man aus den Figuren 27 und 28 
erkennt, in denen 



§ 52. Eintritt eines Maximums oder MinimnTng . 



227 



OQ^ =x — a und 00^ =^x + a 



sein möge. 



Fig. 27. 



Fig. 2a 



^ 




a^ a a 




und 



Wird dagegen für hinreichend kleine Werthe von a 

f{x — a)>0 



SO isty(2:) ein Maximum^ wie man aus den Figurei 
erkemit, in denen wieder 

OQi = a: — a und OQ2 = x + a 
sein möge. 

Fig. 29. Fig 30. 





BemerkUBgen. 

1) Es kann vorkommen, dass/' {x — a) und/'(a:+ <») för hinreichend 
kleine Werthe von a beide positiv sind, obgleich /' (x) = (vergl. Fig. 31), 
oder obgleich /'(«)=: 00 wird (vergl. Fig, 32). Ebenso kann es vor- 
kommen, dass f'{x — a) und f'{x + a) für hinreichend kleine Werthe von 
o beide negativ sind, obgleich /' (x) = (vergl. Fig. 33), oder /' (ar) «= 00 
wird (vergl. Fig. 34). In diesen Fällen ist /{x') weder ein Maximum 
noch ein Minimum. Die Curven haben vielmehr in den zugehörigen 

Punkten einen Wendepunkt. 

15* 



226 



§ 52. Eintritt eines Maximums oder Minimums. 
Fig 81. Kg. 82. 




Fig. 38. 





Fig. 85. 



2) Wenn man für einen bestimmten Werth von x die Vorzeichen 
von/'(ic — a) und /' (a: + a) unters achen will, so ist es nothwendig , die 

Grösse a hinreichend klein zu wählen, 
um sichere Schlüsse über das Auf- 
treten eines Maximums oder Minimums 
ziehen zu können. 

Wäre z. B. die Curve, welche der 
Function 

entspricht, durch die Figur 35 dar- 
gestellt, so würde f{x) für x= OQ 
ein Maximum, Trotzdem erhielte man, 
wenn a so gross gewählt würde, wie 
es in der Figur geschehen ist, 
/'(« — a) <0 und/'(xH-a)> 0. 

Aus diesen Ungleichungen würde man also den falschen Sehlnss 
ziehen, dass f{x) ein Minimum sei. 

Wenn man aber a hinreichend klein wählt, so ist auch in diesem 
Falle, wie man von yomherein erwarten konnte , die angegebene Regel 
bestätigt, d. h. es wird 

/'(«-a)>0 und/'(xH-a) <0, 
dem Umstände entsprechend, dass f{x) ein Maximum ist. 




§53. Aufgaben. 229 

§53. 

Aufgabe». 

Aufgabe h Man soU untersachen, für welehe Wertbe von 
X die Fnnction 

(1.) y = i(x^ - 9x^ + Ibx + 30) ^f(x) 

ein Maximum oder MinimiiTn wird. 

Auflofang. Aus Gleichmig (1.) folgt 

(2.) f'(x) = \(x^ — 6x + 5) = ^(x—l)(x — b). 

Die beiden Werthe von x, fiir welche f\x) gleich Null 
wird, sind also 
(3.) x=zl und x = b. 

Für diese Werthe kann möglicher Weise ein Maximum oder 
Minimum eintreten. Um zu entscheiden, ob das eine oder das 
andere wirklich stattlSndet, bilde man nach Anleitung des vorigen 
Paragraphen 



und 



/'(l-a) = i(l-a-l)(l-a-5) = |(a + 4) 



/'(l + a) = ^(1 + a— 1)(1 + a—b) = J(a — 4). 



2 

Für hinreichend kleine Werthe der positiven Grösse a ist 
daher 

(4.) /'(i_a)>0,. /'(l + a)<0, 

folglich ist 

(5.) /(l) = ^(1 — 9 + 15 + 30) = I = 6,1666 . . . 
ein Maximum. 

Ebenso bilde man 

/'(5-a) = i(5-a-l)(5-a-5) = -|(4-a) 
und 

/' (5 + ö) = ^ (5 + a - 1 ) (5 + a — 5) = + I (4 + a). 

Für hinreichend kleine Werthe von a ist daher 
(6.) /'(5 — a)<0 und /'(5 + a)>0, 

folglich wird 

(7.) /(5) = ^{12b — 225 + 75 + 30) = f = 0,8333 . . . 
ein MinimiiTn. 



230 



§ Ö3. Au^aben. 



Man könnte jetzt noch fragen, für welche Werthe von x 
die erste Ableitung /'(a:) unendlich gross wird. Diese Frage 
beantwortet sich aber nach Gleichung (2.) dahin, dass es keinen 
endlichen Werth von x giebt, für welchen /'(a?) unendlich gross 
wird. 

Denmach sind a: = 1 und a: = 5 die einzigen Werthe von 
a:, für welche die Function ein Maximum oder Minimum werden 
kann. 

Bemerknng. 

Die Bichtigkeit des gefundenen Besultates kann man durch die 
geometrische Deutung der Gßeichung (1.) anschaulich machen. Aus dieser 
Gleichung findet man nämlich 



Fig. 96. 



y = — 7,333... fUr «« — 2, 




» 



n 



« = — 1, 
X^ 0, 

« = + 3, 

« = + 5, 



y« + 0,833... 

y = + 6,166... 
y = + 5,333... 
y = + 3,5 
y ^ + 1,666 . . . 
y = 4- 0,833... 

y- + 2 

y = + 6,166,.. 
Wenn man nach diesen An- 
gaben die Curve zeichnet, welche 
der Gleichung (1.) entspricht, so 
findet man in der That, dass dem 
Werthe x^ — OQi = l ein Maximum und dem Werthe x^^ OQs^ö ein 
Minimum entspricht. 

Der Anblick der Figur lehrt femer, dass die Maximal' Werthe durch- 
aus nicht immer die gröasten Functions- Werthe sind, und dass die Minimal' 
Werih0 ebenso wenig die hUimten Functions -Werthe zu sein brauchen. 
Die Maximal -Werthe sind nur grösser und die Minimal -Werthe sind nur 
kleiner als die benachbarten Werthe der Function. 

Aufgabe 2. Man soll untersuchen, für welche Werthe von 
X die Function 

(8.) y = |(:r3 — 6x^ -J- 12:r + 48) =/(a:) 

ein MATiniiiTn oder MimTmim wird. 

Auflösung. Aus Gleichung (8.) folgt 

(9.) /' (x) = \(ßx^ — 12rc + 12) = |(a: - 2)2. 



§ 53. Aufgaben. 



231 



Der einzige Werth von x^ für welchen /' (a:) gleich Null 
wird, ist 

X=: 2 

während /' (x) für keinen endlichen Werth von x unendlich 
gross wird. 

Um zu entscheiden, ob für ^ gleich 1 ein Maximum oder 
ein Minimum eintritt, bilde man 

/'(2 — a) = |(2 — a — 2)2 = |a2 
und 

/'(2 + a) = 1(2 + a — 2)2 = |a2. 

Es wird also 
(10.) /'(2 — ö) > und /'(2 + a) > 0, 

folglich ist/(2) weder ein Maximum noch ein Minimum. 

Da ir = 2 der einzige Werth von x war, für welchen mög- 
licher Weise ein Maximum oder Minimum eintreten konnte, so 
besitzt die Function überhaupt weder ein Maximum noch ein 
Minimum. 



Bemerkungr. 

Die Gleichung (8.) giebt 

y = — l fUra; = — 2, 

y = + 3,625 » X 1, 

y = + 6 „ x^ 0, 

y« + 6,875 . a: = + l, 

y = + 7 « X- + 2, 

y = + 7.125 , a: = + 3, 

y=+8 . x^+^ 

y« + 10,375 « x=^ + 6, 

Oonstmirt man hiernach die 
Curve, welche der Gleichung (8.) ent- 
spricht (Fig. 37), 80 findet man es be- 
stätigt, dass f(x) für keinen Werth 
Ton X ein Maximum oder ein Minimum 
wird. Man sieht vielmehr, dass die 
Gorye für x gleich 1 einen Wende- 
punkt besitzt« 



Fig. 87. 

IT / 




£^ 



282 



§ 5&. Aufgaben. 



Aufgabe 3. Man soll die Werthe von x bestimmen, für welche 

(11.) y = m — l \[{x — cy' =f{x) 

ein Maxirnnm oder MimmuTn wd. 

AuflSsung. Die Gleichung (11.) kann man auf die Form 

(IIa.) f(x) = m—h{x — cY 

bringen und erhält daraus 

(12.) f\x)^-\l{x~cf^ = --^^^—. 

Hieraus folgt, dass'/'(a0 für keinen 
endliche Werth von x gleich Null 
werden kaim, Dagegen wird 

(13.) /'(a:)=oo für a: = c. 

Dies ist also der dnzige Werth 

von X , für welchen f{x) möglicher 

Weise ein Maximum oder Minimmn 

wird. Um darüber zu entscheiden, 

"-X bilde man 

^a \ —2^ +26 

fix - a) = = -^— 

5y(c — a— c)3 hycfi 




und 



r{p + a) = 



— 2h 



— 24 



Unter der Voraussetzung, dass l eine positive Zahl ist, 
erhält man also 
(14.) /'(c — a)>0 und /'(c+a)<0, 

folglich wird 

(15.) fic) = m 

ein Maximum. (VergL Fig. 38;) 

Aufgabe 4. Von einem Rechteck ist der Um£ang gleich 2c\ 
wie gross muss man die Seiten machen, damit der Flächeninhalt 
ein Maximum wird? 




§ 53. Aufgaben. 233 

AuflSsung. Bezeichnet man die eine Seite AB mit x, so 
wird 

(16.) BC=C — X, ^i8-89. 

und der Flächeninhalt wird I 1^ 

(17.) F=f(x) =:x(c — x) = cx — x^, 
(18.) f'(x) = c—2x = 0, 

(19.) X == \c. 

Um zu entscheiden, ob für diesen Werth yon x wirklich 
ein Maximum eintritt, bilde man 

und 

/' (x + a) =/' Q + a^ ^ c — (c + 2a) = — 2a. 

Da/'(a: — a) >0 und/'(a; + a) <0 ist, so wird f{x) ein 
Maximum. Dies giebt den Satz: 

Unter allen Rechtecken mit gleichem Umfange hat das 
Quadrat den grössien Flächeninhalt, 

Aufgabe 5. Von einem Dreieck ABC sind zwei Seiten b 
und c gegeben; wie gross muss der eingeschlossene Winkel sein, 
wenn der Flächeninhalt ein Maximum werden soll? 

Auflösung. Nennt man den eingeschlossenen Winkel x^ so 
wird der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks 

(20.) 2 JP = ic sina: = f{x) , 

(21.) f'(x)^hc(mxt=i^ flir a:Ä^, 



/'(|+a)=6ccos(|+a)<0, 




folglich wird f{x) ein Maximum für a: = ~ > d. h. der Flächen- 
inhalt des Dreiecks wird am grössten, wenn der yon den gege- 
benen Seiten h und c eingeschlossene Winkel ein rechter ist. 



284 § 54. Entsdieidang über das Eintreten eines Maximums u. s. w. 

§ 54. 

Entscheidung Ober das Eintreten eines Maximums oder 
Minimums durch Untersuchung der höheren Ableitungen. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 79.) 

Die Fälle, wof*(x) unendlich gross wird, mögen in den 
folgenden Untersuchungen ausgeschlossen sein. Es soll vielmehr 
vorausgesetzt werden, dass die Function f(x) mit ihren n ersten 
Ableitungen /' (a:), /" (a:) , . . ./^"^(a:) stetig und endlich sei, wobei 
über die Zahl n später noch passend verfügt werden soll. Dann 
ist nach Formel Nr. 49 der Tabelle 

wobei unter Anwendung der zweiten Form des Eestes 
(2.) ü = ji. \f(-Kx + @h) -ß-){x)\h- 

ist. Setzt man in dieser Entwickelung das eine Mal 

Ä = — a 
und das andere Mal 

Ä = + a, 

so kann man sie benutzen, um das Vorzeichen von 

(3.) J^ =f{x — a) —fix) und von J^ =f{x + d) —f{x) 

zu bestimmen. Sind nun diese Differenzen für hinreichend kleine 
Werthe von a beide negativ, so wird f{x) offenbar ein Maximum; 
smd aber diese Differenzen beide positiv, so wird f(x) ein Mini- 
mum; haben endlich diese beiden Differenzen verschiedenes 
Zeichen, so tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein. 

Für n = 1 erhält man aus den Gleichungen (1.) und (2.) 
(4.) fix + h) -fix) =Ä) h + \f'ix + 0h) -rix)]h. 
Hierbei werde 

(5.) ri^ + &h)—f\x)=:a 

gesetzt, dann erhält man 



§ 54: Entscheidung über das Eintreten eines Maximuros u. s. w. 285 

(4a.) f{x + K) -f{x) = A |/'(^) + „], 

wobei wegen der Stetigkeit der Funktion f'{x) die Grösse « 
Hiit h zugleich beliebig klein wird. Ist also 

(6.) /'(^)§0, 

SO kann man h so klein wählen, dass a, vom Vorzeichen ab- 
gesehen, kleiner wird als /' (ar). Das Vorzeichen der Elammer- 
grösse /' (x) + a wird deshalb mit dem Vorzeichen von /' {x) 
übereinstimmen. Ist a gleich «^ für A = — a und a gleich ct^ 
für Ä = + a, so folgt hieraus, dass 

und 

A =f{x + a) —f{x) = + a[f*{x) + aj 
entgegengesetztes Vorzeichen haben, dass also weder ein Maximum 
noch ein Minimum eintreten kann, so lange die Ungleichung 
(6.) besteht. 

Ein Maximum oder Minimum von f{x) kann vielmehr nur 
eintreten, wenn 

(7.) /'(^) = 

ist. Die geometrische Deutung dieses Resultates giebt wieder 
den Satz: 

Die Tangente in einem CurvenpunMe, welcher einem Maxi- 
mum oder Minimum er^spricht, ist der X-Axe parallel, 

Ist die Gleichung (7.) befriedigt, so füge man noch die 
Voraussetzung hinzu, dass auch f''{x) fiir die betrachteten Werthe 
von X stetig sei, und dass 

(8.) nx)mo. 

Nach den Gleichungen (1.) und (2.) wird dann fiir n gleich 2 

/(:^ + Ä)-/(^)=Ä)ä+Ö)ä2+J^ 

oder mit Rucksicht auf Gleichung (7.) 

(9.) fix + h) -fix) = |i [f- {x) + ßl 

wobei 



236 § 54. Entscheidung über das Eintreten eineB Maximums tu s. w. 

(10.) r{^ + eh)-f-{x) = ß 

gesetzt worden ist. Wegen der Stetigkeit von/"(a;) wird diese 
Grösse ß mi h zugleich beliebig klein. Man kann also h 
immer so klein wäMen, dass /?, vom Vorzeich^ abgesehen, 
kleiner wird als f'*{x\ dass also das Vorzeichen von fix) über 
das Vorzeichen der Klammergrösse f" {x) + ß entscheidet. Ist 
ß gleich ß^ für Ä = — a, und ß gleich /Jj für A = + a, so folgt 
hieraus, dass 

j^^f(^_a)-f{x) = ^[r{x) + ß,] 

und 

j, =f{x + d) -fix) = |i irix) + ß^ 

gleiches Vorzeichen haben, dass also ein Maximum eintritt, wenn 
f"{x) negativ ist, während ein Minimum eintritt, wenn f^*{x) 
positiv ist. 

Dies giebt die folgende Regel: 

Ist 

f'{x) — und fix) <0, 

so wird fix) ein Maximum; ist dagegen 

f'ix) = Omdf''ix)>0, 

so wird fix) ein Minimum. 



Es bleibt nur der Fall übrig, wo 

(11.) /'(^) = und /''(rc) = 0. 

Fügt man dann die Voraussetzung hinzu, dass f*'*ix) für 
die betrachteten Werthe von x stetig sei, und dass 

(12.) /'"(^)S0, 

SO folgt aus den Gleichungen (1.) und (2.) für » = 3 



3! 
oder mit Bücksicht auf die Gleichungen (11.) 



^[/"(^ + 0Ä)-/"'W]Ä», 



§ 54. Entscheidung über das Eintreten eines Maximums u. s. w. 237 
(13.) f{x + Ä) -f{x) = |i [f-*{x) + Yl 

wobei 

(14.) r\x + eh)-r*{x) = Y 

gesetzt worden ist. Wegen der Stetigkeit von/"'(a:) wird diese 
Grösse y ^^ ^ zugleich beliebig klein. Man kann also h inuner 
so klein wählen, dass y^ vom Vorzeichen abgesehen, kleiner 
wird als/'"(a;), dass also das Vorzeichen von/'"(a:) über das 
Vorzeichen der Klanunergrösse /'" {x) + y entscheidet. Ist nun 
Y gleich T'i für Ä = — a, und y gleich yi für ä = + a, so folgt 
hieraus, dass 

A=f{x-a)-f{x)^-^\f-*{x) + Y,] 
und 

^2 =/(^ + a) -fix) = + |i [r-{x) + Y2] 

entgegengesetztes Vorzeichen haben, dass also weder ein Maximum 
noch ein Minimum eintreten kann, so lange neben den Gleichungen 
(11.) die Ungleichung (12.) besteht 

Ist dagegen auch/'''(a;) gleich Null, ist also 

(15.) r{x)=o, r{x) = o, /-(^) = e, 

so ffige man die Voraussetzung hinzu, dass ß^^{x) für die be- 
trachteten Werthe von x stetig sei, und dass 

(16.) ß'K^)^o 

wird. Jetzt folgt aus den Gleichungen (1.) und (2.) für » = 4, 
wenn man die Gleichungen (15.) berücksichtigt, 

(17.) fix + k) -fix) =Ä) A4 + i^ [/(4)(a:+ &h)-ß%x)]h^ 

wobei 

(18.) /(4)(a: + 0Ä) — /W = d 

gesetzt worden ist. Wegen der Stetigkeit von/<4>(a:) wird diese 
Grösse d mit h zugleich beliebig klein. Man kann also h immer 



288 § 54. Entscheidung über das Eintreten eines Maximums u. s. w. 

SO klein wählen, dass d, vom Vorzeichen abgesehen, kleiner wird 
als/^*K^)j dfl^s also das Vorzeichen von/^*^(rc) über das Vor- 
zeidiea der Klammergrösse ß^^ {x) + d entscheidet. Ist nun d 
gleich 9^ fiir Ä = — a, und d gleich dj für Ä = + a, so folgt 
hieraus, dass 

und 

gleiches Vorzeichen haben, dass also f{x) ein Maximum wird, 
wenn f^^^ (x) negativ ist, während f(x) ein J/immtim wird, wenn 
y(4)(a;) positiv wird. 



In dieser Weise kann man fortfahren. Ganz allgemein 
findet man das folgende Resultat: 

Es sei fiir einen bestimmten Werth von x 

(19.) /'(:r) = 0, /"(^) = 0, /-(a:) = 0,... /(«-i)(^) = 0, 

ß'^\x) dagegen sei von Null verschieden und für die betrachteten 
Werthe der Veränderlichen stetig; dann folgt aus den Gleichungen 
(1.) und (2.) mit Rücksicht auf die Gleichungen (19.) 

(20.) f{x + Ä) -f{x) ^-^^^ h- + l^[fi-\x+&h)-ß-){x)]h- 

n\ 
wobei 

(21.) /c»») (x + eh) — /^«) {x) = V 

gesetzt worden ist. Wegen der Stetigkeit von /^*^ {x) wird diese 
Grösse v mit h zugleich beliebig klein. Man kann also h immer 
so klein wählen, dass y, abgesehen vom Vorzeichen, kleiner 
wird als /^•»^ (a;), dass also das Vorzeichen von/^*^(a;) über das 
Vorzeichen der Klammergrösse /^'•^(a;) + v entscheidet. Ist nun 
V gleich v^ für h = — a und v gleich v^ für ä = + a, so er- 
giebt sich hieraus, dass 



= ^[/^**K^) + ^], 



§ 51. Entscheidung über das Eimtreten eines MHiriTniiiiiH u. a. ^ 



gleiche» oder entgegengesetztes Zeichen haben, jenachdem n gerade 
oder ungerade ist. 

Es tritt daher weder ein Maximnm nodi ein Mmimnin ein, 
wenn n ungerade ist; dagegen wird /(:):) ein Maximum, wenn 
n gerade und /'"•(«) negativ ist;/{«) wird ein JtfwiwjMm, wenn 
n gerade und /(">(«) posüiv ist. 

Dies g:iebt die a%enieine Regel: 

E7n» (fte Werthe von x zu bestimmen, für welche f{x) ein 
Maximum oder Minimum wird, bestimme man die Werthe ton 
X, für welche f'{x) gleich Null wird. Ein solcher Werth sei x, 
und fi'^x) sei die erste spätere Ableitung, welche für diesen 
Werth von x nicht verschwindet; dann ist f(x) ein Maximum, 
wenn n gerade and ff^'^[x) negativ ist; f(x) ist ein Minimum, 
wenn n gerade und /*"' (x) positiv ist. Dagegen tritt weder ein 
Maximum noch ein Minimum ein, wenn n ungerade ist. 

Bemerknngen, 
1) OewOhnlich wird » gleich 2, nar ausnahmsweise kommen anch 
giSssere Werthe von n in Betracht. 

Fig. 41. Fig. 42. 



ü^ ä üj 



-Qlt 



2) Aus dem Vorhergehenden folgt, dasa Tier wesentlich Tereohiodene 
Fülle eintreten hSnnen, wenn fUr irgend einen Werth von x 

wird. 



240 



§ 55. Anwendungen. 



I. Ist unter dieser Voraussetzung entweder f**{x) negativ , oder 
f" {x) gleich Null, und ist die erste höhere Ableitung, welche von Null Tcr- 
■chieden ist, von gerader Ordnung und negativ, so wird der entsprechende 
Werth der Function ein Maximum (vergl. Fig, 41). 

n. Ist unter der Voraussetzung, dass/'(a;) »0 wird, entweder /"(«) 
positiv, oder /" {x) gleich Null, und ist die erste höhere Ableitung, welche 
von Kuli verschieden ist, von gerader Ordnung und positiv, so wird der 
entsprechende Werth der Function ein Minimum (vergl. Fig. 42). 

ni. Ist für einen Werth von x, für welchen /'(ap)«0 wird, auch 
f'*(x)m=0, und ist entweder f"'{x) positiv, oder f"(x) gleich NuU und 
die erste höhere Ableitung, welche von Null verschieden ist, von un- 
gerader Ordnung und positiv, so ist der entsprechende Werth der Func- 
tion weder ein Maximum noch ein Minimum (vergL Fig. 43). 



Tig. 48. 



Fig. 44. 





IV. Ist für einen Werth von x, für welchen /'(flp) = wird, auch 
f'*(x)'=0, und ist entweder /'"(«) negativ^ oder/"'(ar) gleich Null und 
die eiste höhere Ableitung, welche von Null verschieden ist, von un- 
gerader Ordnung und negativ, so ist der entsprechende Werth der Func- 
tion weder ein Maximum noch ein Minimum (vergl. Fig. 44). 

3) In den Figuren 43 und 44 ist der Punkt P ein Wendepunkt, und 
zwar steigt die Curve in Figur 43 bis zum Punkte P und fährt unmit- 
telbar hinter ihm fort zu steigen. Im Punkte P selbst ist die Bichtung 
der Curve parallel zur X-Axe. 

In Figur 44 dagegen fUllt die Curve bis zum Punkte P und fährt 
unmittelbar hinter ihm fort zu fallen. Auch hier ist P ein Wendepunkt, 
in welchem die Bichtung der Curve zur X-Axe parallel ist. 

§ 55. 

Anwendungen. 

Es möge diese Methode zunächst auf die Au^aben ange- 
weadet werden, welche schon in § 53 behandelt worden sind; 
Aufgabe 3 daselbst kommt hier aber nicht in Betracht; weil 



§ 55. Anwendungen. 241 

hier nur die Falle berücksichtigt werden, in denen f*{x) stetig 
und endlich bleibt. 

Aufgabe 1- Für welche Werthe von x wird die Function 

(1.) y == i (^^ - 9^^ + 15:r + 30) =/(:r) 

ein Maximum oder ein Minimum? 

Auflösung. Man bilde 

(2.) f\x)=^\{x'^-'^x + b) = \{x—l){x—b), 

(3.) /"(a:) = a: — 3 

und bestimme die Werthe von x^ für welche /'(a?) gleich 
wird. Dadurch findet man 

(4.) a: = 1 und a; = 5. 

Für diese Werthe kann möglicher Weise ein Maximum oder 
MiniTTfirnfn eintreten, um darüber zu entscheiden, bilde man 

(5.) /"(1) = — 2 und /-(5) = + 2, 

folglich wird 

(6.) /(l) = 6,1666 . . . 

ein Maximum^ weiiy'(l) negativ ist, und 

(7.) /(5) = 0,8333 . . . 

ein Minimum^ weil f** (5) positiv ist. 

(Vergl. Fig. 36 auf Seite 230.) 

Aufgabe 2. Für welche Werthe von x wird die Function 
(8.) y = \(x^ — 6x^ + 12^ + 48) =/(rc) 

ein Maximum oder Minimum? 

Auflösung. Man bilde 

(9.) f^{x) = 1(^:2 — 4a: + 4) = f(x — 2)2, 

(10.) /''(^) = 1(^-2) 

und bestimme die Werthe von x, für welche /' (x) gleich wird. 
Dadurch findet man nur den einzigen Werth 

(11.) x=2, 

für den möglicher Weise ein Maximum oder Minimum eintreten 
kann. Um darüber zu entscheiden, bildet man/" (2) und findet 

(12.) /"(2) = 0. 

Siegemaxm^Eiepert) DifTerential-Bechiiiiiig. ^^ 



242 § 55. Anwendungen. 

Deshalb muss man noch die dritte Ableitung 

(13.) •/'''(^) = 1 

bilden. Da diese Ableitung sogar für jeden Werih von x von 
verschieden ist, so tritt weder ein Maximum noch ein Minimum 
ein. 

(Vergl. Fig. 37 auf Seite 231.) , 

Aufgabe 3. Für welche Werthe von x wird 

(14.) f(x) = x(c — x) = cx — x^ 

ein Maximum oder Minimum? 

Auflösung. Man bilde 
(15.) f%x)^c — 2x, 

(16.) /-(:.) = -2 

und bestimme den Werth von x^ für welchen f'(x) gleich wird. 
Dadurch findet man nur den einzigen Werth 

(17.) X:=:\C. 

T>dkf**{x) fär Jeden Werth' von x negativ ist, so wird/(a;) 
für x^=\c ein Maximum. 

Aufgabe 4. Für welche Werthe von x wird 
(18.) f{x) = hcmix 

ein Maximum oder Minimum? 

Auflösung. Man bilde 

(19.) f*{x) = bc cos a:, 

(20.) /" (ic) = — 6c sin rc 

und bestimme den Werth von a:, für welchen f*{x) gleich wird. 
Dadurch findet man, weil hier x kleiner als n sein muss, den 
einzigen Werth 

(21.) a: = f. 

Um zu entscheiden, ob für diesen Werth von x wirklich 

ein Maximum oder Minimum eintritt, bildet man/"(— ) und 
findet 

(22.) /"(!)=: -Je. 



§ 55. Anwendungen. 243 

Da dieser Werth negativ ist, so wird/^— j ein Maximum. 
Aufgabe 5. Die Function 

wird ein Minimum für a; = a, und zwar wird 
Aufgabe 6. Die Function 

f(x) = a:3 — 18a:2 4. qq^ _ 20 

wird ein Maximum für a; = 4 imd ein Minimum für a: = 8; 

dabei ist 

/(4:) = 14:0 und /(8) = 108. 

Aufgabe 7. Die Function 

/(a;) = a+ (x'-cy 
wird ein Minimum für rc = c, und zwar ist 

Aufgabe 8. Die Function 

f(x) =za + {x — cY 
hat weder ein Maximum noch ein Minimum. 

Aufgabe 9. Die Function 

f{x)^a + {x — cr 
wird ein Minimum für a: = c, wenn n eine gerade Zahl ist; sie 
ist dagegen weder ein Maximum noch ein Minimum, wenn n 
ungerade ist. 

Aufgabe 10. Die Function 

/(a;) = a;2(a — a;)3 = a3a;2 _ 3 a^x^ + Sax^ — x^ 

wird unter der Voraussetzung, dass a positiv ist, für ^ = eiu 

2a 
Minimum, für a; = -r- ein Maximum und für a: = a weder ein 

5 

Maximum noch ein Minimum, obgleich /' (a) = ist. 
Aufgabe 11. Die Function 

f{x)=^{x^lYix + 2)^ 

16* 



244 § 56. Vereinfachuiigen der Eeclmung, u. s. w. 

wird für a: = 1 ein Minimum^ 

5 . . 

„ a: = — =• ein Maximum 

" 7 

und für a; = — 2 weder ein Maximum noch ein Minimumj 
obgleich /'( — 2) = ist. 

Aufgabe 12. Die Function 



/« =©" 



wird für a; = — ein Maximum, . 

e 

Aufgabe 13. Die Function 

wird für a; = tf ein Minimum, 
Aufgabe 14. Die Function 

f{pc) = ")/^= a;* 
wird für a; = ö ein Maximum. 

Aufgabe 15. Die Function 

wird fiir a: = — ein Minimum. 

e 

§ 56. 

Vereinfachungen der Rechnung, 
wenn/'(a?) eine gebrochene Function ist. 

(VergL die Formel-Tabelle Nr. 80.) 

Hat/'(a;) die Form 

so wird im Allgemeinen /' {x) zugleich mit P{x) gleich NulL 
WiU man nun entscheiden, ob f{x) für einen Werth von x^ für 
welchen P{x) gleich Null ist, ein Maximum oder MinimiiTn wird, 
so muss man das Vorzeichen von 



§ 57. Aufgaben. 245 

bestimmen. Nun ist aber für den betrachteten Werth von x die 
Function P{x) gleich Null, folglich wird 

Das Vorzeichen dieses Bruches kann man aber Verhältnisse 
massig leicht bestimmen. 



§ 57. 

Aufgaben. 

Aufgabe I. Für welchen Werth von x wird die Function 

ein Maximum oder Minimum? 
Auflösung. Man bilde 

(o ^ fs M - 1-^^ _ il-x)(l+x) _ P^ 

^^ / W ~ (1 + ^2)2 - (1 + ^2)2 - Q(^) • 

Daraus folgt, dass P{x) und deshalb auch f'(x) nur ver- 
schwindet für 

(3.) x=l und x = — 1. 

Für diese Werthe von x wird aber 

also 

/''(1)=-| und /-(-i) = +i. 



Deshalb ist 



und 



/(l) = - ein Maximum 
/( — 1) = — - ein Minimum. 



246 § 57. Aufgaben. 

Aufgabe 2. Für welche Werthe von x wird die Function 

/W-2 + 3a: + a:2 

ein Maximum oder Minimum? 

AuflSsung. /0/2) wird ein Minimum 
und/( — 1/2) „ „ Maximum. 

Aufgabe 3, Für welche Werthe von z wird die Function 

7*3 JLm O* 
■ff \ — **^ i **^ 

ein Maximum oder Minimum? 

Auflösung, /(l) wird ein Maximum 
und/( — 1) „ „ Minimum, 



Aufgabe 4, Für welche Werthe von x wird die Function 

ein Ma.ximum oder Minimum? 
Auflosung. 

fi i^ ) ^^^ /( ~ j werden Maxima, 
/(^^^^ — 7" ^ j und /(— — ~ ) werden Minima. 
Aufgabe 5. Für welche Werthe von x wird die Function 

f{x) = e* + 2cosa: + c-* 

ein Minimum? 

Auflösung. Hier wird 

/'(ä:) = ö* — 2sina: — e-* = für a:=:0, 
/''(a:) = ö* — 2C0Sa: + ö"* = für a; = 0, 
/'"(a;) = ö« + 2sina: — C-* = für a: = 0, 
/(4)(a;) = 6* + 2cosa; + e-' =/(^) = 4>0fara: = 0; 
folglich tritt für a: = ein Minimum ein. 



§ 57. Aufgaben. 247 

Aufgabe 6. Man soll eine positive Zahl o so in zwei Theile. 
zerlegen, dass das Product aus der vierten Potenz des einen 
Theiles und der siebenten Potenz des anderen Theiles ein Maxi- 
mum wird. 

Auflösung. Bezeichnet man die beiden Theile von c mit x 
und c — x^ so wird 

(50 f{x)^x^{c-x)\ 

folglich ist 

(6.) /' {x) = x\c — a;)ö(4c — IIa:). 

Die beiden Werthe x = und a: = c, für wdehe /' {x) ver- 
schwindet , kommen hier nicht in Betracht , denn a: = liefert 
ein Minimum^ weil /' {x) aus dem Negativen in's Positive über- 
geht, wenn x den Werth passirt, und für a: = c tritt weder 
ein Maximum noch ein Minimum ein, weil für hinreichend kleine 
Werthe von a 

f{c — a) = {c — afa\— Ic + IIa) < 0, 

und auch 

f*{c + a) = {c + aYa\— 7c— IIa) <0 

ist. Dagegen tritt wirklich ein Maximum ein, wenn 

(7.) 4c — IIa; = 0, oder x = —c 

ist, weil/'(a;) für diesen Werth von x verschwindet, und weil 

(8.) f*{x) = x^{c — xy{12c^ — S0cx+110x^) =z—^j^< 

ist. Hier ergiebt sich auch aus der Natur der Aufgabe, dass 
zwischen a: = und a: = c ein Werth von x liegen muss, für 
welchen f{x) ein Maximum wird, denn die stetige Function f{x) 
wird för a: = und für a: = c selbst gleich und ist für die 
dazwischen liegenden Werthe von x positiv. 

Aufgabe 7. Man soll die Zahl c so in zwei Theile zerlegen, 
dass das Product aus der mten Potenz des einen Theiles und aus 
der n*^ Potenz des anderen Theiles ein Maximum wird. 

Auflösung. Aehnlich wie bei der voiigen Aufgabe ist hier 

(9.) /(a:) = a:-(c — a:)» 



248 



§ 57. Au^aben. 



mc 



ein Maximum wird, demi 



die Function, welche für a? = 
es wird 

Bemerkung« 

Man erkennt, dass die vorhergehende Aufgabe, und ebenso Auf- 
gabe 3 in § 65 nur besondere Fälle dieser Aufgabe sind. 

Aufgabe 8. In einen Ereis (Fig. 45) mit dem Badius r 
soU ein Bechteck mit möglichst grossem Flächeninhalt einge- 
schrieben werden. 

Fig. 46 Auflösung. Bezeichnet man die 

eine Seite des Bechtecks AB mit x^ 
so wird die andere Seite 

also der Flächeninhalt 

(11.) F= AB.BC=xy^r^—x\ 

(12.) jF2=a?2(4r2— a;^) = ^.rh^'^—xK 

Soll F ein Maximum werden, 
dann muss auch F^ eüi Maximum 
werden, so dass man 

(13.) /(a:) = 4r2a:2 — a:* 

setzen kann. Dies giebt 

(14.) f\x) = 8r2a: — ^x^ = 4a:(2r2 — x^) , 

(15.) f\x) = 8r2 — 12a;2, 

(16.) f{ry2) c= 0, /"(rVä) = — Ur^ < 0, 

folgUch tritt für 

(17.) ^lB = 5C=ry2 

ein Maximum ein. Es gUt also der Satz: 

Unter allen Rechtecken^ welche einem Kreise dngeschriehen 
werden können^ hat das Quadrat den grössten Flächeninhalt. 




§ 57. Aufgaben. 



249 



Aufgabe 9. In einen Kreis (Fig. 45) mit dem Badios r 
soll ein Rechteck mit möglichst grossem Um£mge eingeschrieben 
werden. 

Auflösung. Benutzt man dieselben Bezeichnungen wie in der 
vorhergehenden Auj^be, so wd der halbe Umfang 

(18.) \u — x+ y^r^ — x^ =/(a:), 

X y 4^.2 — ^ — X -P(^) 

y 4r2 — z^ "~ y 4r2 — x"^ "" Q{x) 



(19.) r{x)-l- 



Hier wird P{x) = 0, wenn 
(20.) y 4r2 — x'^ =zx= ry2 

ist; für diesen Werth von x wird 



'X^_ — 2ry2 _ V^^o 
4r2_a;2 "" 2r2 "" r ^ ' 



folglich tritt ein Maximum ein. Dies giebt den Satz: 

Unter allen Rechtecken ^ welche einem Kreise eingeschrieben 
werden können^ hat das Quadrat den grössten Umfang. 

Bemerkung« 

Die Lösung der beiden vorhergehenden Aufgaben wird noch etwas 
kürzer, wenn man den Winkel CAB als Veränderliche einführt; es sollten 
aber an dieser SteUe trigonometrische Functionen vermieden werden. 

Aufgabe 10. Von einem Dreieck ABC (Fig. 46) ist die 
Grundlinie AB gleich c und die Höhe HC = h gegeben ; man 
soll in dieses Dreieck ein Becht- 
eck mit möglichst grossem 
Flächeninhalte einzeichnen, so 
dass die eine Seite DE in der 
Basis AB liegt. 

Auflösung. Bezeichnet man 
die Höhe DO eines solchen 
Bechtecks mit x^ so wird 

JC.HC = GFiAB, 

oder 




PH M 



{h — x):h = DE\c, 



250 



§ 57. Aufgaben. 



also 

(22.) 



h 

Mithin ist der Flächeniiihalt des Rechtecks DEFG 



(23.) ir=££(^ = ^(A^_^2). 

Daher ist in dieser Angabe 

(24.) /(4=A:r — rc^^ /' (o:) = Ä — 2rr, /"(a:) = — 2; 

daraus folgt, dass/(a:) ein Maximum .wird für ar=-« 

Das grösste unter allen Rechtecken, welche sich in der an- 
gegebenen Weise in das Dreieck ABC einschreiben lassen, ist 
also dagenige, dessen Höhe und Grundlinie halb so gross sind 
wie die Höhe und die Grundlinie des gegebenen Dreiecks. Der 
Flächeninhalt von diesem Rechteck ist 



(25.) 



IT— ^* 



Fig. 47. 



also halb so gross wie der Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks. 

Bemerkung^, 

In vielen Fällen erkennt mian schon aus der Natur der Aufgabe, ob 
für die Werthe von x, für welche f*{x) verschwindet, ein Maximum oder 
Minimum eintritt. In das Dreieck ABC (Fig 47) lassen sich z. B. unend- 
lich viele Bechtecke einschreiben. Denkt man sie sich alle gezeichnet 

und fängt man bei demjenigen an, 
dessen Höhe gleich h und dessen 
Grundlinie gleich KuU ist (Fig. 46), 
das also mit der Höhe h des Drei- 
ecks selbst zusammenfällt, so wird 
bei diesem Rechteck auch der 
Flächeninhalt gleich NuU. Wenn 
dann die Höhe des Bechtecks 
kleiner wird, so wird die Basis 
grösser. Auf diese Weisse gelangt 
man zu den Rechtecken KLMN^ 
JDJEFQ, OPQR und endlich zu 
einem Rechteck, dessen Höhe gleich Null, und dessen Grundlinie 
gleich c ist, so dass auch bei diesem Rechteck der Flächeninhalt gleich 
Null wird. 





'a 




■ 


^ 






</ 




N 


\ 


^ 












\o 


yi 






, 


i 


R 


-^0 L 


yji 


:r / 


r 


? T ■ 



§ 57. Aufgaben. 251 

Daraus folgt, dass der Flächeninhalt dieser Rechtecke zuerst zu- 
nehmen und dann wieder abnehmen muss. Deshalb muss es wenigstens 
ein Bechteck in dieser Reihe von Rechtecken geben, dessen Flächen- 
inhalt ein Maximum ist. 

Da man aber aus Gleichung (24.) nur einen einzigen Werth von x, 

nämlich x = -. findet, für den ein Maximum oder Minimum eintreten kann, 
2 * 

so folgt, dass dieser Werth wirklich das Maximum liefert. 

Durch derartige Ueberlegungen kann man in vielen Fällen die Bil- 
dung und Berechnung von /" {x) ersparen. So würden z. B. in der Auf- 
gabe 8 ganz ähnliche Erwägungen zum Ziele geführt haben. 

Aufgabe 11. Von einem Kreissector (Fig. 48) ist der ge- 
sammte Umfang u gegeben; wie 
gross muss man den Halbmesser 
machen, damit der Flächeninhalt 
ein Maximum wird? 

Auflösung. Bezeichnet man 
den Halbmesser MA mit x, so 
wird der gesammte Umfang des 
Sectors 

(26.) u = 2x + AB, also ÄB=:u — 2x. 

Der doppelte Flächeninhalt des Sectors ist daher 

(27.) 2jF= AB.x = {u — 2x)x = ux — 2x^ =^f(x)^ 
folglich wird 

(28.) f'(x)=:u — ^x = für x==jj 

(29.) /"(:r) = -4<0. 

Der Flächeninhalt wird daher ein Maximum, wenn der 
Bogen des Sectors die Hälfte des ganzen Umfangs ist. 

Aufgabe 12. Man soll das kleinste unter allen Quadraten 
bestimmen, welche sich in ein gegebenes Quadrat AB CD (Fig. 49) 
einschreiben lassen. 

Auflösung. Es sei EFGH eines der Quadrate, welche sich 
in das gegebene Quadrat einschreiben lassen. Bezeichnet man 
AB mit a und AE mit x, so wird 

EB:=AH=a — x, 




252 



§ 57. Aufgaben. 



Fig. 49. 



also 

HE^ = a:2 + (a — a?)2. 

Dieser Ausdruck ist gleichzeitig auch der Flächeninhalt des 

Quadrates EFGH; die Function, welche ein Minimum werden 

soll, ist daher 

(30.) f(x) = 2a;2 — 2ax + a\ 

Daraus folgt 
(31.) f{x) = 4a: — 2a, f\x) = 4; 
die Ableitung f'{x) verschwindet also 

nur für a; = -• Da nun/"(a:) für alle 

Werthe von x den positiven Werth 4 
hat, so wird 




(32.) 



<i)=f 



ein Minimum. Die Punkte jB, F, G^H müssen daher in der 
Mitte von den Seiten des gegebenen Quadrates liegen, damit 
das eingeschriebene Quadrat EFGH möglichst kleia wird. 

Aufgabe 13. Von einem Dreieck ABC (Fig. 50) ist die 

Grundlinie AB = c und der Winkel y 
^^s- ^' an der Spitze gegeben; wie gross müssen 

c die anderen Winkel sein, damit der 

Flächeninhalt des Dreiecks ein Maxi- 
mum wird? 

Auflösung. Bezeichnet man den 
Dreieckswinkel a mit x^ so wird der 
dritte Winkel ß gleich 180 — {x + ^) 




und der Flächeninhalt wird 
(33.) 



p_ c^sinasin/y _ c^mLXWL{y + ^) ^ 
"~ 2siny "" 2sin/ 



In dieser Aufgabe ist daher 
(34.) f{x) = sina: sin(y + x\ 

(35.) /' {x) = cosa: sin (r + ^) + cos {y + ^) sina: = sin (^^ + 2x\ 
(36.) /"(:r) = 2cos(/ + 24 



§ 57. Aufgaben. 



253 



Für 

oder, da x gleich a ist, für 

(37.) x — a-ß 

verschwindet /' (a:) , mid/"(a:) wird gleich — 2<0. Deshalb 
wird der Flächeninhalt ein Maximum, wenn das Dreieck ein 
ghtchschenkeliges ist. 

Aufgabe 14. Von einem Dreieck ABC (Fig. 51) ist die 
Grundlinie c und die Höhe h gegeben; wie gross müssen die 
anderen Seiten sein, damit der 
Winkel /, welcher c gegenüberliegt, 
ein Maximum wird? 

Auflösung. Die Höhe des Drei- 
ecks theile die Grundlinie c in die 
Abschnitte x und c — x^ mid den 
Winkel y theüe sie in die Winkel § 
und Y — §j dann ist 




AH^x, HB^c — x, 



(38.) 
also 



X 



tgi=p <«(/-?)= 



h 



.X 



ter = tgrs + (r-g)1= *gg + ^(^-g)., 



oder 



(39.) 



tgr = 



X c — 



X 



hc 



1 — 



x(c — x) h^ — x{c — x) 

Ä2 



Da die Ableitung von tgx, nämlich 1 + tg^x (vergl. Formel 
Nr. 26 der Tabelle) beständig positiv ist, so nimmt tgx mit x 
gleichzeitig zu, und zwar für alle Werthe von x. Deshalb wird 
tg;' mit r zugleich ein Maximum oder Minimum. In der vor- 
liegenden Aufgabe kommt es daher nur darauf an, :r so zu 

bestimmen, dass 

kc 

Ä2 x{c X) 



254 § 57. Aufgaben. 

ein Maximum wird. Dieser Ausdruck ist aber ein Bruch, dessen 
ZäMer eine positive Constante ist. Deshalb wird der Bruch ein 
Maximum, wenn der Nenner ein Minimum ist. Man hat also 
zu setzen 

(40.) f(x):=^h^ — x{c — x) = h^ — cx + x^, 

(41.) f'{x) = —c+2x, rix) = 2. 

Daraus folgt, dass f(x) für ä; = - ein Minimum wird. 

Für diesen Werth von x werden tgy und y ein Maximum und 
das Dreieck wird wieder ein gleichschenkdiges. 

Aufgabe 15. Von einem Dreieck ist gegeben die Summe 
zweier Seiten, nämlich a + h gleich «, und der von diesen Seiten 
eingeschlossene Winkel y ; wie gross müssen die Seiten a und b 
selbst sein, damit der Flächeninhalt des Dreiecks ein Maximum 
wird? 

Auflösung. Bezeichnet man die Seite a mit rr, so wird b 
gleich s — X, und man erhält für den doppelten Flächeninhalt 
des Dreiecks 

(42.) 2F—x{8 — x)miY. 

Deshalb hat man in diesem Falle zu setzen 

(43.) f{x)^8x — x\ f'{x) = 8 — 2x, /"(:r) = — 2, 

s 

folglich wird für a: = — der Flächeninhalt ein Maximum. 

Aufgabe 16. Von einem Dreieck ist gegeben die Summe 
zweier Seiten, nämlich a + 6 gleich «, und der anliegende 
Winkel a; wie gross müssen die beiden anderen Winkel sein, 
damit der Flächeninhalt des Dreiecks ein Maximum wird? 

Auflösung. Bezeichnet man den Dreieckswinkel ß mit x, so 
wird r gleich 180® — (a + x) und 

(44.) F^ f^iosin^ 

^ 2smr 

oder, weil nach dem Sinussatz 



§ 57. Aufgaben* 255 

""^sina + sin/y 
ist, 

(Ufi) ^ ^^sina sin/y siny 

^^^^'^ ^ 2(sina + siii/?)2' 
also 

rAt;. V 2JF _ smg siii(tf + x) _ ^, . 

'^^^•>' «2sina- (sma + siii:r)2 --/W- 

Hieraus folgt nach einigen Umformungen 

/..x ^,.. sinarsin(« + 2^) — sina:] _P(^) 

^4b.; / W - (sina + sina:)3 ^ Q(a:) 

Damit /'(a:) verschwindet, muss 

(47.) sin(a + 2x) — siax = 2sin(5^) cos (^^■^) == 

sein. Da a H- ^ grösser als und kleiner als tv sein muss, so 
kann Gleichung (47.) nur beftiedigt werden, wenn 

— ^ — = - , oder a + Sx=:n=:a + ß + r 

ist. Dies giebt 

(48.) 2:c = 2/?=:y = |(7r — a), a: = /? = |(7r — a). 

Ob für diesen Werth von x wirklich ein Maximum von f(x) 
eintritt, findet man aus dem Vorzeichen von f" (x) , wobei nach 
Formel Nr, 80 der Tabelle 

ist. Nun wird, weil a + 2a; gleich n; — a: ist, 
(50.) P' (x) = sin a [2 cos (a + 2x) — cosa:] 

= — 3sinacosa;<0, 
(51.) Q(x) = (sina + sina:)3> 0, 

folglich ist/"(a:)<0, und/(a:) ein Maximum. 



256 



§ 57. Aufgaben. 



Fig. 52. 



Aufgabe 17. Es ist eine Gerade AM gegeben (Fig. 52) 
und ausserhalb derselben ein Punkt B ; man soll auf der Oeraden 
AM einen Punkt C bestimmen, so dass 

(52.) S — p . AC + q . CB 

B ein Minimum wird, wobei p<q 

vorausgesetzt werden soll. 

Auflösung. Es sei der 
Winkel, den CB mit dem von 
B auf AM gefällten Lothe BF 
bildet, gleich x^ und es sei 

dann wird 
S=f{x)=p{AF— CF) + q.CB 




(53.) 



= />(« — ht^x) + y . 



COSa: 



r54^ f'(x\- i^ft , qhmix _ h{qwix—p) _P{x) 

KP^.) 7W- cos2:r^ cos^a: cos^^ ~ Q(^) 

P{x) wird gleich 0, wenn 

(55.) 

ist; fiir diesen Werth von x wird 






(56.) j ^^j - Q^^^ _ ^g2^ 

folglich tritt ein Minimum ein. 



cosa: 



>0, 



Legt man AE unter dem aus Gleichung (55.) geftmdenen 
Winkel x im Punkte A an die Gerade AM an und verlängert 
J?C bis zum Schnittpunkte D mit der Geraden AE, so steht 
BD senkrecht auf AE, und es wird 

(57.) S^p.AC +q.CB=qWix.AC+q.CB 

= q{AC^mx + CB) = y(I^e + CJ?) = y . DB. 



§ 57. Aufgaben. 



257 



Aufgabe 18. Es ist eine Gerade AM gegeben (Fig. 53) 
und auf verschiedenen Seiten derselben zwei Punkte B und C; 
man soll auf AM einen Punkt D bestimmen, so dass 

(58.) S = p.AD+ q.BD + r.CD 

ein Minimum wird. 



Fig. 53. 



Auflösung. Es seien BB^ und 
(7C| die Lothe, die man von B und 
C auf AM fällen kann, und es sei 




dann wird 

(60.) S —fix) =px + q y(^_a:)24.J^2 + r y{c — xy + c^'^, 

q{h—x) _ r{c — x) ^^ 
y(6_a:)2 + J^2 y(^c — xy + c^^ 



(61.) /'(^)=/>- 



oder, wenn man den Winkel jBiÖ5 mit i^ und den Winkel 
C^DC mit (i bezeichnet, 

(61a.) p — ycosi^ — rcos/t* = 0. 

Ist diese Bedingung erfüllt, so tritt wirklich ein Minimum 
ein, denn es ist 

2 



/"(^) = 



qb,^ 



+ 



rCi 



[{b — Xf + 6i2]Va ^ [{c — Xf + C,2]"/« 



>o. 



Der Werth von x und die Lage des Punktes D lassen sich 
aus der Gleichung (61.) oder (61a.) noch nicht in einfacher 
Weise ermitteln, dagegen werden diese Gleichungen benutzt 
werden können zur Lösung der folgenden Aufgabe. 

Aufgabe 19. Es sind drei Punkte Aj B, C gegeben (Fig. 54); 
man soll einen Punkt D bestimmen, so dass 

(62.) S =: p. AD + q.BD + r.CD 

ein Minimum wird. 

Stegemann -Kiepert, Differential-Rechnung. 17 



258 



§ 57. Aufgaben. 



Fig. 64. 




Auflösung. Die Gerade AD habe bereits die verlangte 
Eichtung, dann ergiebt sich, wenn man Winkel 

BDG = CDF mit A, 
CDE = ADG mit /», 
ADF = BDE mit v 

bezeichnet, aus Gleichung (61a.) 
der vorhergehenden Aufgabe 

(63.) p — jcosy — rcos^ = 0. 

In derselben Weise findet man 

(64.) q — rcosX — jDCOS^ = 0, 

(65.) r — pcos/* — jcosA = 0. 

Eliminirt man aus diesen beiden Gleichungen ^, so erhält man 

(66.) y(cos/A + cosA cosi') = r (cosy + cosA cos/a), 

oder, weü 

cos^ = — cos(A + i') = — cosA cosj' + sinA sin^ , 

cosj' = — cos(A + (i)^ — cosA cos/t* + sinA sin/* 
ist, 

(66 a.) 

oder 

(67.) q : sin/* = r : sin>^. 

Ebenso findet man 
(68.) p : sinA = q : sin/*. 

Beschreibt man um das Dreieck ADB den umschriebenen 
Kreis i^Fig. 55) und verlängert CD bis zum zweiten Schnitt- 
punkte C^ mit diesem Kreise, so sind in dem Dreieck ABCi 
die Winkel bei J', B und Ci bezw. A, /* und p, so dass man 
erhält 
(69.) BCi : C^A : AB = sinA : sin/* : sini^, 

oder mit Eücksicht auf die Gleichungen (67.) und (68.) 

(70.) BC^ : C^A :AB^p:q:r. 

Daraus ergiebt sich die folgende Construction: 

Man errichte über AB auf der zu C entgegengesetzten 
Seite ein Dreieck ^jBC7i, dessen Seiten in üebereinstimmung 



ysinA siny = rsinA sin/*. 



§ 57. Aufgaben. 



259 



mit Gleichung (70.) sich verhalten wie p'q.r^ und ' beschreibe 
um dieses Dreieck den umschriebenen Ki'eis, dann schneidet die 
Gerade CC^ diesen Kreis in dem gesuchten Punkte D. 



Fig. 56. 



Fig. 56. 





Cr 



Man kann natürlich auch über der Seite £C ein Dreieck 
BCÄx und über der Seite CA ein Dreieck CAB^ construiien 
(F!g. 56), so dass 

(71.) BC\ CAi:A^B = B^C: CA.AB^^piqir 

ist. Durch den gesuchten Punkt D gehen dann auch die 
Geraden AA^ und BB^ und die Kreise, welche diesen Dreiecken 
BCAi und CABi umschrieben sind. Gleichzeitig erhält man 
für S eine geometiische Darstellung. Nach dem Ptoltmaeisdien 
Lehrsatze ist nämlich (Fig. 55) 

(72.) AD . 5Ci + BD . AC^ = C^D . AB; 

nun ist aber nach Construction 



f _ pAB ^ _ g*AB 



Ba 



folglich geht Gleichung (72.) über in 

AB 

{p.AD + q. BD) = CiD, AB. 



17 



7* 



260 



§ 57. Aufgaben. 



Dies giebt 
(73.) S=:p.AD + q.BD + r. CD =zr(CD + DC^) ::=r . CC^. 

In derselben Weise findet man 

(73a.) S^p. AA^ = q . BB^ = r . CC^. 

Ein besonderer Fall ist der, wo 

;? = y = r = l, also S^^AD-^- BD+ CD 

wird, ein Fall, der auch in Figur 56 berücksiclitigt ist. Dann 
sind die Dreiecke BCA^j CAB^, ABC^ gleichseitige Dreiecke^ 
die Winkel i, /u, v sind alle drei gleich 60®, so dass Winkel 

BDC^ CDA :=ADB=^ 120^ 

wii^d, und endlich ist 

(73 b.) S==AA^ = BBi = CC^. 

Bemerkung. 

1) Der gefundene Pankt 2> hat nur dann die Eigenschaft des Mini- 
mums, wenn von den Eckpunkten des Dreiecks keiner innerhalb der um 
die Dreiecke BCAi, CABu ABCi beschriebenen Kreise liegt. Läge z. B. 
C innerhalb des Kreises um ABC\, so wäre, wie man leicht nachweisen 
kann, 

p . ÄC + q . BC <p . AD + q . BD + r .CD. 

2) Die letzten drei Aufgaben haben ganz besondere Bedeutung für 
die Lehre vom Trassiren und bilden den Ausgangspunkt für eine ganze 
Reihe von Aufgaben, deren Besprechung hier aber zu weit führen würde.. 
(Man vergleiche Launhardt, Theorie des Trassirens, Hannover 1887.) 

Aufgabe 20. Man soll unter allen Cylindem, die sich in 
einen geraden Kegel einschreiben lassen, den grössten bestimmen. 

Auflösung. t)ie Höhe des ge- 
gebenen Kegels (Fig. 57) CS sei 
Ä, der Halbmesser CB der Grund- 
fläche sei r, die Höhe CE des 
eingeschriebenen Cylinders sei y, 
und der Halbmesser CD seiner 
Grundfläche sei x. Dadurch findet 
man für das Volumen des Cy-^ 
linders 
(74.) V = x^Tiy. 




.1 



§ 57. Aufgaben. 261 

Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke SCB und FDB folgt 

CS\ CB = DF\DB, 

oder 

folgbch wird 

(75.) y^^{r-x) und V^^x\r-x). 

Die Function, welche ein Maximum werden soll, ist daher 
(abgesehen von dem positiven constanten Factor — j 

(76.) /(x) = x^(r — x) = rx^ — x\ 

Dies giebt 
(77.) f'{x)^2rx — 3x^^x{2r — 3x), f"(x) — 2r—ßx. 

Die Ableitung f* (x) verschwindet erstens für a: = und 

2r 
zweitens für a: = -r-- Nun ist 

/"(0) = 2r>0, 

folglich erhält man für a: = ein Minimum. In der That, der 
entsprechende Cylinder ist zu einer geraden Linie zusammen- 
geschrumpft, und sein Volumen ist gleich Null. Dagegen wird 

/.(|:)=_2.<o, 

folglich wird/f — j ein Maximum. Die Höhe y des zugehörigen 

Cylinders ist nach Gleichung (75.) gleich - und das Volumen 
wird nach Gleichung (74.) 

(78.) r= i^. 

Da das Volumen des gegebenen Kegels gleich —5— ist, 
so ist das Volumen des grössten Cylinders, der sich in einen 
geraden Kreiskegel einschreiben lässt, gleich - von dem Volumen 
des Kegels. 



262 



§ 57. Aufgaben. 



Aufgabe 21. Man soll unter allen Cylindern, welche sich 
einem geraden Ereiskegel einschreiben lassen (Fig. 57), denjenigen 
bestimmen, dessen Mantelfläche ein Maximum ist. 

Auflösung. Wendet man wieder dieselben Bezeichnungen an 
wie in der vorhergehenden Aufgabe, so erhält man für die 
Mantelfläche des Cylinders 

(79.) Jl/=2x7r.y. 

Nach Gleichung (75.) ist aber 



folglich wird 



y = j(f—^\ 



M = {rx — x^). 



Die Function, welche ein Maximum werden soll, ist daher 

(80.) f{x) = rx — x\ 

und es wird 

(81.) /'(^) = r-2^, /''(a:) = — 2. 

Daraus findet man , dass die Mantelfläche für a: = - ein 

Maximum wiid. 

Aufgabe 22. Ein cylindrisches Grefass (Fig. 58) soll so ge- 
formt werden, dass es bei gegebenem Vo- 
lumen eine möglichst kleine Gesammt- 
oberfläche besitzt. In welchem Verhält- 
nisse stehen dann die Höhe und der Halb- 
messer der Grundfläche? 

Auflösung. Bezeichnet man den Halb- 
messer CB der Grundfläche mit x^ die 
Höhe CD mit y, die Oberfläche mit JF 
und das Volumen mit F, so wird 



Fig 68. 



d '* ^"^ 




^--^ 




1 


•"' — ^^~~^ 


^--— '^ '^ — ^ 



B 



(82.) 



V = a:%y, oder y = --^ > 



ar^.T 



(83.) F=^ 2x7Ty + 2x'^7t = 2ra:-* + 2.r% =/(ar), 

also 

(84.) f'{x) = — 2 Vx-^ + 4:X7r == 2^^-2(2,^3;^ — V) = 0. 



§ 57. Aufgaben. 



263 



= r, y = 2. = 2>^. 



Dies giebt 
(85.) 2^»^ . _ , 2;r 

Für diesen Werth von x tritt wii'klich ein Minimum ein, 
denn es wird dann 

(86.) f*{x) = 4ra:-* + 47r = Stt + 47r = 127r> 0. 

2>f'(ß Oesammtoherfläche wird daher möjlichst Alein , wenn 
der Durchmesser des Grundkreises uni die Höhe eina?ider 
gleich sind. 

Aufgabe 23. Ein cylindiisches Gretäss (Fig. 58) soll so ge- 
formt werden, dass bei gegebenem Volumen (nicht die Gesammt- 
oberfläche, sondern nur) der Mantel und die eine Grundfläche 
zusammen ein Minimum werden. 

Auflosung. In diesem Falle ist 

(87.) f(x) = 25;7ry + x^tv = 2Vx-^ + x^tt, 

(88.) f'{x) = — 2Vx-^ + 2x7r = tär x^jt = V. 

Dies giebt 

(89.) y = ^ = yZ, 

und zwar tritt für diesen Werth von x wirklich ein Minimum 
ein, weü 

(90.) f*{x) = ^Vx-^ + 27r == Ott > 

wird. Hier muss also der Halb- 
messer dei* Grundfläche der Höhe 
gleich sein. 

Aufgabe 24. Man soll einer 
Kugel einen geraden Kegel (Fig. 
59) einschreiben, dessen Mantel- 
fläche ein Maximum ist. 

Auflösung. Bezeichnet man 
den Halbmesser BO der Kugel 
mit r, den Halbmesser AC von 

der Grundfläche des Kegels mit y, die Seitenkante -4/9 mit s und 
di3 Höhe CS mit x^ so wird die Mantelfläche des Kegels 
(J)l.) M^yns. 




264 



§ 57. Au^aben. 



Nun ist aber nach bekannten Sätzen aus der Planimetrie 
(92.) y2 = ;c(2r — z), s^ = 2rx\ 

deshalb wird 
(93.) Jf 2 = 2rx\2r — x) 7r\ 

Ist M ein Maximum, so gilt dasselbe von M^j folglich hat 
man hier zu setzen 

(94.) f{x) = x^ (2r — x) = 2rx^ — x^ ; 

dies giebt 

(95.) f -^^ ^"^"^ ^ ^^"^ ~ ^^^ = a:(4r — Sx), 



I /'(a;) = 4ra; — 3:j 
|/"(a;) = 4r — 6ar. 



Für a: = wird /(a:) ein Minimum, dagegen wird 
ein Mft.Tinii|Tn . 



Fig. 00. 



Aufgabe 25. Man soll aus einem Baumstamme mit kreis- 
förmigem Querschnitt (Fig. 60) einen Balken mit rechteckigem 

Querschnitte so ausschneiden, da^ 
seine Tragfähigkeit ein Maximum 
wird. 

Auflösung. Da die Tragföhig- 
keit T proportional zu der Breite 
X des Querschnitts und propor- 
tional zum Quadrate der Höhe y 
desselben ist, so wird 

T=^cxy^j 
wobei 

y^:= d^ — x^, 

wenn man mit d den Durchmesser A C des Ki^eises bezeichnet. 

Dies giebt 

(97.) T—cx{di — ^2^ -: c{d^x — x% 

(98.) f{x) = d^x — x^, 

(99.) /'(:r) = cP — 3a:2 = für ^ = i" 




§ 57. Aufgaben. 



265 



Für diesen Werth von x tritt ein Maximum ein, denn es ist 

(100.) /"(a:) — — 6a;<0. 

Die Tragfähigkeit des Balkens ist daher ein Maximum^ 



wenn 



Fig. 61. 




l-x Si 



(101.) a:2 : y2 : e/2 — 1 : 2 : 3, oder a: : y : rf = 1 : "j/i" : )/3 . 

Aufgabe 26. Auf derselben Seite einer geraden Linie MN 
(Fig. 61) seien zwei Punkte A und B gegeben; man soll die 
Lage des Punktes C auf der 
Geraden MN so bestimmen, dass 

AC^+ CB^ ein Minimum wird. 

Auflösung. Fällt man von A 
und B auf MN die Lothe AA^ 
und jBJ?i, dann sei 

A^A = a, B^B = J, 

setzt man also 

A^C^x, so \\drd CB^=l — x. 

Dies giebt 

(102.) Je" + C5^ = ö2 + ^2 + J2 + (/ _ ^)2 ==y(^)^ 

(103.) /'(o;) = 2^ — 2(/ - a:) = 4^ ^ 2/, /"(:r) = 4, 

folglich wird /(a:) ein Minimum für :?; = -, d. h., wenn der 
Punkt C in der Mitte zwischen A^ und B^ liegt. 

Aufgabe 27. Auf derselben Seite einer geraden Linie MN 
(Fig. 61) seien zwei Punkte .^ und J? gegeben; man soll die 
Lage des Punktes C auf der Geraden MN so bestimmen, dass 
-4C+ CB ein Minimum wird. 

Auflösung. Die Function, welche hier ein Minimum werden 
soll, ist 

(104.) AC+ CB = ya^ + x^ + yb^ + (l — xy =f{x). 



266 § 57. Aufgaben, 

Dies giebt 
(105 ) f'(x) = ^ _ \^~^) ^ 

(106.) /-(^) = ___== + 



(a2 + x^)yu^ + x^ [62+(/_a:)2]yj2 + (/— a;)« 

Um die Werthe von ar zu bestimmen, für welche /' (r) ver- 
schwindet, beachte man, dass aus Gleichung (105.) folgt 

Dieser Ausdnick verschwindet, wenn der Winkel 
(107.) ACA^ ^BCB^. 

Die beiden Dreiecke ÄCA^ und BCB^ sind deshalb ähnlich, 
und es wird 

a:: a = (/ — x) : b, 

oder 

(108.) :g= . , l — x = 



Da bei dieser Bestimmung von x die zweite Ableitung nach 
Gleichung (106.), nämlich 

(109.) f-(a:) = 4^+S£ 

^ -^ ^ ^ AU' BC 

positiv ist, so wii-d -4C+ CJ5 ein Minimum. 

Wegen Gleichheit der Winkel ACA^ und BCB^ ist die ge- 
brochene Linie AGB der Weg, den ein Lichtstrahl nehmen 
würde, der von dem Punkte A ausgeht und von der Geraden 
MN nach B reflectirt werden soll. 

Dieser Weg ist demnach ein Minimum, 

Aufgabe 28. Die Gerade MN (Fig. 62) trenne das Medium, 
in welchem das Licht sich mit der Geschwindigkeit c fortbewegt, 
von dem Medium, in welchem die Geschwindigkeit des Lichtes 
gleich rf ist; in welchem Punkte C trifft der Lichtstrahl die 
Gerade MN^ damit er in der kürzesten Zeit vom Punkte A in 



§ 57. Aufgaben. 



267 



Fig ea 



dem ei'Sten Medium zum Punkte B in dem anderen Medium ge- 
langt, und nach welchem Gesetze wird er gebrochen? 

Auflösung. Unter Be- 
nutzung derselben Bezeich- 
nungen T^de bei den beiden 
vorhergehenden Angaben 
wird in diesem Falle die 
Zeit t^ \ welche der Strahl 
braucht, um von A nach C 

AC 

zu gelangen, — , und die 

Zeit <2, welche er braucht; 
um von C nach B zu ge- 

CB 

langen, -^. Setzt man also 



^1 N 




(110.) 

so erhält man 



1 

c ^ 



1 



(111.) /(.r) ^t, + t, =pyä^+x^+ yyj2 + (/_^)2, 



(112.) 
oder 



/'(^)= 



px 



Yu^ 



X' 



q(l—x) ^ ^ 
y62 + (/— ar)2 ' 



(112a.) fix) ^E^ - l:^ = pcosa-qcosß = 0, 

wobei die Winkel A^CA und B^CB mit a und ß bezeichnet 
sind. Nennt man die Winkel, welche das Einfallsloth im Punkte 
C mit den Strahlen A C und B C bildet, y und d, so wii'd 

. * , siny sind 
= jsina, oder — - = 



pwiy 



d 



also 
(113.) 



sm/ _ £ 
sind ^ d 



In dieser Gleichung ist das Gesetz ausgesprochen^ nach 
welchem der Strahl im Punkte C gehrochen wird. 



268 § 57. Aufgaben. 

Aus 

(114.) /-(.)= .,. ;!!„. .. + ''' 



folgt wieder, dass p.AC+g. CB ein Mininnim wird. 



Vn. Abschnitt. 

Bestimmung Ton Ausdrücken, welche an der 
Grenze eine der unbestimmten Formen 

J, §, O.x), oo-oD, 0«, oo», 1* haben. 

§58. 

Ausdrücke von der Form ^. 

(VergL die Formel-Tabelle Nr. 81.) 

(i) (x) 

Werden in dem Bruche -^f^ Zähler und Nenner gleich 0, 

wenn man x gleich a setzt, so erhält dieser Bruch flir x gleich 

a die unbestimmte Form -• Beispiele dafür kommen in der 

Differential-Rechnung sehi* häufig vor. Schon die Erklärung des 
Differential-Quotienten (vergl. Formel Nr. 15 der Tabelle) 

(1.) f^(:,) = ]inrüatz^ 

liefert den Grenzwerth eines Ausdruckes von der Form — • 

Indem man x mit a und x^ mit x vertauscht, geht Gleichung 
(1.) über in 

(2.) /'(«) = liluÄzffl; 

xs=a X U 

ebenso ist 

(3.) y'(a) = liin5^^fc^). 



x=sa 



X — a 



270 § 58. Ausdrücke von der Form ^ . 

Aus diesen GleicliuDgen folgt schon die Lösung der vor- 
gelegten Aufgabe. Weil nämlich nach Voraussetzung 

(4w) y(a) = und /(«) = 

ist, so ^hält man 



(5). 



also 



<6.) 



<^(af) (f(x) — (f{a) X — a 

W) ^ M^) -/(<*) ~ /(^) -/(«) ' 

X — a 

X — a 

- . Ä ix§ 

Man findet dalier den wahren Werth von lim-^jr-rj indem 

man Zähler und Nenner einzeln diferentiirt und in den Qm>' 
iienten der Ableitungen x gleich a einsetzt. 

Um dieses Verfahren anzudeuten, bringt man die Gleichung 
(6.) auf die Foim 

Hieraus findet man dann auch sogleich, dass man das an- 
gegebene Verfahren noch zum zweiten Male anwenden muss, 
wenn auch 

(7.) y'(a)=0 und/'(a)=:0 

ist. In diesem Falle wird also 

,Q>i lim^) - lim^^^^. 

Wird auch noch 
<9.) y-(a) = o und /"(a) = 0, 

so wendet man dasselbe Verfahren auf lim Z,, ,( an , indem 
man Zähler und Nenner einzeln differentürt, und erhält 



§ 58. Auädröcke von der Form ^. 271 

Dieses Verfahren kann man so lange fortsetzen, bis man 
endlich auf einen Bruch kommt, der &üc x = a nicht mehr die 

Form jr hat. Dies giebt die allgemeine Begel: Ist 

^ ; l/(a) = 0, /'(a) = 0, /''(«) = 0,... /(-»)(«) = 0, 
so ist 

(12 \ lim 5^^ = lim 5^"-^^ = ^^^^. 



»sa. 



Unter der Voraussetzung, dass die Functionen ^{x) und 
f(x) mit ihren ersten n Ableitungen stetig und mdlich bleiben 
für alle Werthe von x^ deren Unterschied von a beliebig klein 
ist, kann man dieses Resultat auch durch Anwendung der Taylor'- 
sehen Reihe finden. Nach Formel Nr. 50 der Tabelle ist, wenn 
man ^ + 1 mit n vertauscht, 

(la.) /W =/(«) +-^' (» - ») +-^' (»^ -.)> + .. . 

^^^» — 1)! ^ ^ 7^! V / > 

ebenso findet man 

(14.) ^(x) = 9(a) + '^'-^^{x-a)+^{x-aY+... 

(» — 1)! ^ '^ w! ^ ^ 

Wenn aber die in den Gleichungen (11.) angegebenen 
Voraussetzungen gelten, so reduciren sich diese Grleichungen 
(13.) und (14.) auf 

(13a.) /(,)^- ^t' + y-)l (.-aA 

(U..) y(.) = ^"n°+^.(»—)l (,_„)., 

folglich ist 

(15.) ^d£l = ^^''^[(^+®x(x — a)\ 

f{x) ßn^[a^&(x — a)] 

und 



•i 



272 § 59. Uebungs-Bei,<ipiele. 

ein Resultat, das mit Gleichung (12.) übereinstimmt. 



§ 59. 

Uebungs-Beispiele. 

1) lim = lim — - — = wa*»-^ 

^. ,. X — sina: ,. 1 — cos^ 

2) lim 3 — = lim — r-s — ='r» 

^ x=o x^ Bx^ 

,. 1 — cos:r ,. sina; 
,. sin^ V cos:r 1 

4) lun = hm — r ==— • 

Ä=il — x*^ — nx*^^^ n 

5) hm — ; = lim — -^ = 2. 

«=o Sma: COBX 

6) hm -2 , = hm cos^a: = - • 

« = o X — Sma: — :; 

1 — cos« 
Nun ist aber 

1 _ 1 — COS^« _ (1 — COSa;) (l+C0Sa:+C08^a:) 

cos^rc cos^ar cos%; 

folghch wird 

,. tga; — sin:» ,. 1 + COS« + COS^a: 

lim -2 ; = hm — ■ ^r = 3. 

x=zo X — sm« cos^« 

7) lim f7--r — rr--T = lim = lim«*» = a". 

X 



J 



§ 59. Uebungs-Beispiele. 278 



8) lim = lim - — ; = 1. 

Die Aufgabe 8 findet folgende geometiische Anwendung. 
In der Int^-al-Eechnung erhält man für die Oberfläche des 
Körp^«, welcher durch Botation der Ellipse um die gtime Axe 
entsteht, den Ausdruck 

(1.) jF= 2i% + ^^ arc sin (^Y 

oder , wenn man - = a; setzt, 

a 

(la.) F^ 2h'^7i + 2ab7i • ELSSf . 

X 

Wenn nun die Ellipse in einen Kreis ttbergeht, wenn also 
ö = 6, <j = )/a2 — 42-:0, a;=0 
wird, so geht das BottUtons-JEUipsoid in eine Ki$ffel über, und 

das zweite Glied in dem Ausdruck fflr F erhält die Form — . 

Benutzt man aber das soeben gefundene Besultat, so ergiebt 
sich for die OberfläcBe der Kugel aus Gleichung (la.) der be- 
kannte Ausdruck 

' x=a ^ 1 

Auch dieses Besultat findet eine geometrische Anwendung. 
In der Int^al-Bechnung erhält man fSr die Oberfläche des Kör- 
pers, welcher durch Botation der Ellipse um die kleine Axe 
entsteht, und welcher Sphäroid genannt wird, den Ausdruck 

(2.) F^ 2«%+^*^ lf^*^= 2ah^^bh?M^t=^l-^, 
^ ^ e \a — e/ x 

wenn man wieder — mit a: bezeichnet. Geht nun die Ellipse 

in einen Kreis über, wird also 

a SS b^ c = 0, ic = 0, 

Stog*m*mi- Kiepert^ Differeniial-Bechniing. IS 



274 § 59. Uebimgd-Beispiele^ 

SO geht das SpMroid in eine Kuffel über, und das zweite Glied 

in dem Ausdrucke für F erhält die Form ~. Benutzt man aber 

das soeben gefundene Resultat, so ergiebt sich für die Oberflä- 
che der Kugel aus Gleichung (2.) der bekannte Ausdruck 

F= 4a27r. 

10) hm = lim —z— = n. 

»=i X — 1 1 

„.N !• ^ — fix + n — 1 ,. wa^""* — n 

= lim <^ - 1>^~"^ _ n(n — l) ^ 
2 2 

Die beiden letzten Angaben 10 und 11 finden Anwendung 

in der Bentenrechnung. Bezeichnet man nämlich mit JSy den 

Baarwerth einer Leibrente, die einer Person im Alter von y 

Jahren am Anfange eines jeden Jahres ausgezahlt wird, und 

(-) 
mit Bif^"^ den Baarwerth einer Leibrente von gleichem Betrage, 

die derselben Person aber in n Quoten am Anüange eines jeden 

w'*^ des Jahres ausgezahlt wird, so ist 

(3.) B,<i'> = -^(i^U-k '-:^+'-^ , 

n^y^i^i \yf— 1 7 ^ (1/7— ly 

wobei der Zimfactor r durch die Gleichung 
(4.) 100 r == 100 + Procente 

erklärt wird. Der in Gleichung (3.) gegebene Ausdruck ffir 

(-) 
üy^**^ ist für die numerischen Berechnungen sehr unbequem; 

deshalb benutzt man gewöhnlich einen Näherungswerth, den man 

erhält, indem man den Zinsfactor r, welcher so wie so von L 

wenig verschieden ist, gleich 1 werden lässt. Setzt man dann 

noch 

(5.) r = rt'*, also yr ^ Xj 

so wird 

T Tj (t) 1- 1 A* — 'IV T> 1« ^ ^ — nx + n — 1 
hm jB„^"^ =lun-r-T;-^( ) IL— hm-«- 7 — ^^ 1 



§ ea Ausdrücke von der Form ^. 275 

oder mit Eficksicht auf die in den Aufgaben 10 und 11 geftin* 
denen Besnltate 

(6.) limijP=rJS,-^. . 

Eine genauere Untersuchung zeigt, dass dieser Näherungs- 
werth von dem wahren Werthe sehr wenig verschieden ist. 

,„x r af — x ,. (l + lx)^^ — ! 

— 1 + a;~* — x"^ 



,8, „.yg-i^+v^^ .„ay^ 2V^— 

««a . Yx^ — Or^ ^ 

Yx^ — a^ 

"" 2xYx ""2aya"">/2a 

^ ^v ,. 1 — COSa; ,. sin;r 

14) lim r-r- = lun r-r r-^r-^; 5- = -• 

"^ x-oCOSÄSm^a: — sm*2: + 2sma:cos2a; 

Nun ist aber 

EE£J__— 1 

— sin'rt + 2sin:c cos^:» "" — sin^ + 2cos^' 

folglich wird 

,. 1 — cosar 1 
lim 



« 



-socosajsin^ar 2 



§ 60. 

Ausdrücke von der Form ^. 

(Vergl. die Formel-TabeUe Nr. 81.) 

Werden die Functionen fp(x) und f{x) beide fftr x gleich 
a unendlich gross, so wird 



276 § 60. Ausdrücke toh der Form §-. 

Um den Grenzweith zu ermitteln, dem sich in diesem Falle 
^^ nähert, setze man 

/w 

(2.) -^^^^^fj^y ^^ -^^^^^^/c^' 

dann folgt aus g>(a) = oo und/(a) = oo 
(3.) yi (a) = und /, (ö) = 0, 

und man erhält 

(4) lim 5^^ = lim ^^1^ = -, 

d. h. man hat diese Au%abe auf die in § 58 behandelte Auf- 
gabe zurfickgefflhrt. Bezeichnet man also den gesuchten Orenz- 
werth mit ^, so wird nach der damals gefundene Regel 

Nan ist aber 

/i(*)--7(^. 9^l(^) ^2' 

folglich wird 

(6.) ^=.M-$;ii)Ä;=iimÄ 

oder mit Bficksicht auf Gleichung (5.) 
(6a.) .4 = ^2.1im-^,. 

Unter der Voraussetzung, dass A von vei^hieden ist, 
kann man beide Seiten dieser Gleichung durch A^ dividiren 
und erhält dadurch ^ 

(7.) -T = hm-SH' 

V ^ . -4 9 {x) 

oder 

^^•^ ^ - «a/(^) - ^/'(:r) 



§ 60. Ausdrücke von der Fonn ^. 27T 

Es gilt hier also dieselbe Begel wie bei den Ausdrücken, 
welche an der Grenze die Form ~ annehmen, d. h. man findete 

den Werth von lim ^ßl. indem man Zähler nnd Nenner einzeln 

differentiirt und in den Quotienten der Ableitungen x gleich a 
einsetzt. 

Diese Begel bleibt auch dann noch richtig, wenn A den 
Werth hat. Denn, wenn man in diesem Falle den Ausdrude: 

betrachtet, so erkennt man, dass er ffir 2; gleich a wohl die Form 

^ annimmt, aber einen Werth hat, der von verschieden ist. 
Man darf daher die eben ausgesprochene Begel anwenden und" 
erhält 

(10.) MÄtÄ = lünÄ^fC^, 

oder 

1 4. lim ''(*) — 1 4. lim '''(^). 

folglich ist auch in diesem Falle 

(11) iini?^) = lim5^- 

Werden f'{a) und 9^{a) beide gleich 0, oder werden sie 
beide unendlich gross, so findet man durch nochmalige An- 
wendung derselben B^el 

(12.) lim|^) = lim^ = lim^ 

und kann so fortfahren, bis sich ein bestimmter Werth ergiebt. 



Bei diesen Untersuchungen ist die Voraussetzung gemacht, 
dass man die Ableitungen von q>(x) und f(x) bilden kann, 
namentlich aber, dass a ein endlicher Werth ist. Diese zweite 
Voraussetzung darf auch wegfallen ; denn wird a unendlich gross, 
so setze man 



278 § 61. Üebungs-Beispiele. 

(13.) ' ^ = j, also ^ = -» 

dann wird 

(14.) lim 1^) = lim -)rV 
Da nun aba* 

ist, so findet man, auch wenn man t als die unabhängige Ver- 
änderliche betrachtet, nach der angegebenen Regel 

(15.) lnn|y=jHu^^. 



Orszgo 



§61. 

Uebungs- Beispiele. 



.^ ,. ts(5x) .. C0S*(5a:) ,. Scos^a: 

^ COS^a; 

,. öcos^a; _ ,. — lOcosa; sina; _ ., sin (2a;) _ 
. "^ cos2(5a:) - "^ — 10 C0S(5a:) sin(5a;) ~ "^ sin(lOar) ~ ' 

m(2£)^ _ j. _2eos(2£)_ _ -2 _ i, 
sin(10a;) ~ 10cos(10a:) — 10 5 

2) lim -J = lim -^ = 0. 

3) jüft2j. = lim-^ = lim^ = 0. 

4) lim^ = f- 

Zunächst möge vorausgesetzt werden, dass n eine positive 
ganze Zahl ist. Dann wird 



§ 61. Uebungs-Bdspiele. 279 

!• ^^ _^ !• '^^ OD 

wenn »>1 ist; 

lim = lim— ^^ • 

Dieser Ausdruck wird entweder gleich 

^^^^ = 0, oder ^, 

jenachdem n gleich 2 oder grösser als 2 ist. Um die Angabe 
allgemein zu lösen, muss man Zähler und Nenner »Mal differen- 
türen und erhält dadurch 

hm— = hm — = -55- = 0. 

Dasselbe Resultat findet man aueh, wenn n eine positke ge- 
btochene Zahl ist; denn in diesem Falle liegt n zwischen zwei 
ganzen Zahlen k — l und A, so dass 

k—l<n<k 
wird, folglich ist 

Imi —- = lim — - — = lim 1 — ? 

oder 

hm -r = lim -— • -t— - = lim -— • lim 



Nun ist nach dem Vorhergehenden 






und, da ii — n positiv ist, 



lü»^ = 0» 



folglich ist auch 



x*^ 



lim:^=0. 



Der Sinn dieses Resultates ist der, dass für hinreichend 
grosse Weiihe von x die Exponential-Function c* noch grösser 
wird als jede beliebig hohe Potenz von x. 



280 §. 62. Ausdrücke yon der Form .t|. 



5) lim -TT = lim . = lim — = -=--=: o ; 

dabei ist war vorausgesetzt, dass n positiv ist, im Uebrigen darf 
7% beliebig klein sein. Der Sinn dieses Resultates ist dann der, 
dass I2; fBr hinreichend grosse Werthe von x zwar selbst beliebig 
gross wird, aber doch noch kleiner bleibt als jede beliebig 
niedrige Potenz von x. 

Setzt man » = — , so nimmt für positive Werthe von m 

Hl 

das soeben gefundene Resultat die Form an 

lim-J^=0. 

'"^Yx 

1 



«\ 1- l(te^) — 00 1. smarCOSa: 

6) hm 1 rx 7o \i = = lun 



sin (32:) COS (3a:) 

_,. sin(3a;)cos(3ar) _ y sin(to) 
3sma:C0Sa; 3sm(2a;) 

^ Sin(6a:) ^^j^ 6cos(6a;) ^6_ 
™^ 3sin(2-p) ™ 6C0S(2ir) "" 6 - ^' 

7) lun-T — = = lim ; — = hm =-> 

«»oCtga: 00 1 X 

srn^x 

i. — sin^a: .. — 2sina;Gosa; 

lim = lim ; = — = 0. 

X 11 

§62. 

Ausdrucke von der Form . co . 

Bei den Ausdrucken, welche an der Grenze die Form . oo 
haben, kann man die Bestimmung auf einen der beiden vorher- 
gehenden Fälle zurückfuhren. Wird nämlich 

(1.) y(a)=^0, /(a)= 00, 

SO setze man wieder 



§ 6S. Uebimgs-Beispiela 281 

dann ist 

(4.) y^(a)=«>, /t(«) = 0. 

Deshalb wird 

(5.) .■ ^(^)-/(^)=^ 

ein Aasdrbck, der filr ;c = a die Form — jumimmt; and 

wird ein Ausdruck, der fiir :r=:a die Form ^ annimmt. 
Daraus ergiebt sich die Regel: Man bringe den Ausdruck auf 

die Form — oder auf die Form ^ und behandle ihn^ uns in 
§ 58, bezw, in § 60 angegeben tcorden ist. 



§ 63. 

Uebungs-Beispieie. 

X 1 

1) lim (;t: . ctga:) = lim t^ — = lim —r— = 1. 

X a tgar 1 

COS^a; 

2) lim(;r — a)[l(a: — a)]2==0.ao, 
Um(x -a)\lix~ a)f = lim ^^' = f-, 



x^a 



lim ß^lZlfiL^ - lim !!^!Z!^ - - 2lim i^^l^ - ^ 

_J 

— 2lim }^'' ~" \ = — 2lim f ~ " , == 4- 2lim(« — «) = 0. 
(x — a)-' — (x — a)~^ ^ ' 



2Q2 § 63. Uebungs-Beispiele. 

3) lim(4;—l)tg(^)= 0.00 = lim 



x—1 



ctgC-- 1 



xn\ 
2"/ 



TT > 



l6n-^^^ = lim ^ = -lim \lJ=-l 



<f) 



— TT 71 71 



2sin2 



>«•(?) 



Noch etwas einfBicher hätte man diese Aufgabe in folgender 
Weise behandeln können. Es ist 

Jim^a:— i;igi— i=imi ^ =lm ___ = _, 

«^«/^^\ ^ • fX7t\ TT 

4) ^1^2ng(^)=ao.O. 

Die Lösung dieser Au%abe wird einfacher, wenn man 

a 

als Veränderliche einführt. Dadurch wird 

2* = — und limy = 0, 

y «=» 

also 

lim --^^ = lim — 5- = a. 
y cos^ 

« ^ 10 1 

5) lim a; (j/r — 1) = lim — - — = -j wo ^ = - gesetzt ist, 

X=OD <SS0 fr X 

,. r' — 1 ,. Hlr . 
lim — - — = lim -7- = \r. 



§ 64. Ausdrttcke von der Form oo — qo . 283 

Von diesem Besultate kann man wieder eine Anwendung 
machen. Nach Gleichung (3.) in § 59 war 

/l ^ 7? (^)_ 1 IISZLY TL ^ r-nVV+n-l 
oder, wenn man n mit x vertauscht, 

r[rr(V7— 1)P [;r(y7— 1)]2 

Wird nun die Zahl x immer grösser und schliesslich unend- 
lich gross, so erhält man mit Eücksicht darauf, dass 

% 
lim X Q/r — 1) = \r 
wird, 

§ 64. 

Ausdrücke von der Form » — oo. 

Wird 

(1.) if>(a) = 00 und/(a) = oo , 

so nimmt der Ausdruck 

f ür :r = a die unbestimmte Form oo — oo an. Der wahre Werth 
dieses Ausdruckes kann wieder dadurch ermittelt werden, dass 
man 

(3.) ■>'(^)=^)' *^^ -^^^^^ = 7^ 

setzt. Dann wird 

(4.) y,(«) = o, /,(«) = o, 

und man erhält 

fö^ it>(z)—nx\ i 1 fM—^l=^) 



284 § 65. Uebungs-Beispiele/ 

Dies ist aber ein Bruch, welcher für :» = a die Form ^ 

annimint und nach der in § 58 angegebenen Regel bestimmt 
werden kann. 

Mitunter gestaltet sich die Umformung noch etwas einfacher, 
wie es die folgenden Beispiele zeigen werden. 



§ 65. 

Uebungs-Beispieie. 



'> .'2',(Ä-drr)= 



,. —x + 1 
co-oo = hm^5— P = ^, 



lim ^ \ = lim -rr— = — « • 
x^ — 1 2x 2 

o\ i:«/ ^ 1\ V x\x — X+1 

2) liml -^ — r-)= 00— 00 == hm -7 TTT — = ~> 

^ ifr^\x — 1 \xj (x — l)la: 

y.^xlx—x + 1 ,. l:r + l — 1 .. \x 

nm -7 TT^ — = lim ^ — -^ ; = lim i — —: ; = tt 

(:c— l)la: \x + l—x-^ la:+l— a:-^ 

;= lim ^^^^ ,^ == lim -^-r = ö' 

3) liml -: )= 00 — 00 = hm ; = :r> 

xsoVsm^t; x/ xsmx 

i. x — sin:r ,. 1 — C0S:r 

um '. a= hm -. : = - 

:rsm:r sma:+a:COS:r 

i. sinoT 

= hm r ; — == -- = 0. 

2C0Sa: — ;rsma; 2 



'^ ä(iik-^)="-" = "^ 



x^ — mflx 



rry 



x^mn^x 



,. x^ — sin^a: ,. 2x — 2sin:2;cos2r 

Imi ^r^-Ti = lim r-s r-: = —> 

x^m^x 2:i:sm%+2:r2smarC0SÄr 

oder, wenn man 2x gleich y setzt, 



§ 65. UebuBgs-Beispiele. 285 



iim^'-^'^=iim ^y-^^y 



\ 



,»«0 x^wi^z y=o 2y (1 — cosy) + y^siny 

2(1 — cosy) + 4y siny + y^cosy 

^jjjjj 4siny ^0 

6smy + 6ycosy — y^siny '0 

_ y '^_ 4 cosy — A — i 

"" I2cosy — 8y siny — y^cosy "" 12 ~" 3 



Häufig wii^ man bei Behandlung der Ausdrücke, welche 

OD 

für a: = a die unbestinunte Form -, ^, . oo , oder qo — oo 

aimehmen, am schnellsten zum Ziele kommen, indem man sie so 

umformt, dass sie für :r = a die Form — erhalten, dann Zähler 

und Nenner mit Hülfe der 7ay/or'schen Beihe nach steigenden 
Potenzen von x — a entwickelt und durch eine möglichst hohe 
Potenz von x — a dividirt. 

. Für die letzte Angabe erhält man z. B. 
x^ — m^x = {x — sina;) (x + sinx) 

~V 1!^3! 5!^ •••A ^1! 3!^ "7 
Dies giebt 

(3r~fr + ~- •)r~?r + "" ••) 



x^ — sin^x 
x^wi'^x 



o-ir+---y 



also 

,. x'^ — sin^x _ _2^ _ 1 
^0 x^iii^x ~" 3! "~ 3 



286 §66. Ausdrücke von der Fonn 00, CO 0, 1» 

§66. 

AusdrOcke von der Form 0\ oo^ r. 

Nimmt d^ Aiisdra(± [ff{^)V^'^ ^^ ^ gleich a eine der 
Formen 

0^ 00», 1* 



an, so setze 


man 


(1.) 
dann wird 


[y(a:)]/(') = t., 


(2.) 

also 


\u:=f(x)Ag>(x), 


(3.) 


w = ö'^c«).iy(a'). 


Ist nnn 
so wird 


/(a) = 0, ?>(«) = 0, 




lim/(:i:).l9>(:r) = 0.(-oo); 


ist 

so wird 





lim/(a:) . lg>(x) = . 00 ; 



und ist 



CS« 



so wird 



/(a)=QO, y(a)==l, 
lim/(a:) , ly (a:) = oo .0. 

Um den Werth von limt< zn ermitteln, braucht man nur den 
Werth von lim (}u) zu berechnen, d^ zunächst die unbestimmte 
Form 0.(± Qo) hat und sich deshalb nach den Angaben der 
Torhergehenden Paragraphen behandeln Jässt. 

§67. 

Uebungs- Beispiele. 

1) Km (a:*) = O*. 

lim Iw = liml(Ä') = lim (z\x) = lim -^ = ^^^^ 

X. ^ 1 



§67. Üebungs-Beispielo! 2Ä7 

folglich ist 

limw = lim (ar*) == ^o = i. 

2) lim(^8«*)=:0^ 

liml« = limKx'i»») = lim(sina;lar) = lim , .^^, = 31^ ' 

(sina;)-! » 

1 
= lün— £_ = ^lim.S2^ = ^ 



Sin^a: 

v 2sin:rcos:r 

= — um : — = -- = 0, 

cosa: — xsmx 1 ' 

folglich ist 

limw = lim(a;"'^*)=: c**ä l. 



3) lim(a;'+^'7=: 00. 



lim 



XmsO 

31a: — ^^00 



imltt = limi r =— • la: i= lim 

V4 + 2la: / ^" 



Hm| = limJ = -, 

2 2 2 

X 



4 + 2U — 



00 



lim w = lim (x'-^'"') ^e^^y^. 



limla:"^ )= 00 ^ 

XSS OD 



4) lim 



lim li^ = liml^i la:V lim ^ = — 

\X / X (X> 



1 

= lim f. = lim - == 0, 

1 X ' 

folglich ist 

limw = lim(^ic*y= e^ = 1. 



2«8 § 67. UebungB-Beispiele. 

5) limy-^==== l™«"» =: 00«. 

lim lu = — 2liin — = — 2lim- = 0, 
folglich ist 

lim ti = lim y -s- = e« == i. 

Die Bestimmimg dieses Ausdrackes war in § 46 (Seite 198) 
erforderlich. 

6) lim [(Ctgar)"»^] = cx) 0. 

liml« = lim[smjrl(ctg:r)] = hm — .^^^ ^_t = f 

Sm:r COS:r 



^ COSa: sma: ,. smx 

= Hm — T-T — s-5 = lim — =— = - = o, 

— (sma:)-'' COSJ: COS^x 1 ' 

folglich ist 

lim« = lim[(ctg:r)"»'] = ^« = 1. 

7) lim(l + ;i:)* s=l^ 

limlw = limil(l + :c) = limi^i-±-^ = ^ 

1 



= hm— ^ = 1, 
folglich ist 

limw = lim (1 + xy = ^i = tf. 



8) lim(l+-Y=l*. 



Diese Aufgabe wird auf die vorhergehende zuril(&geftthrt, 



indem man :r mit — vertauscht 

X 



§ 67. Uebungs^Beispiele. 280 

Man beachte, dass nach Formel Nr. 18 der Tabelle die 
Zahl e durch die Gleichung 

6 = limi 1 + -) 

erklärt worden ist. 



») s?.t-9 ]='"• 



limlt« = ]imtg 



V2a/ \ a ) ctg(^^ 



... 2a — X 2a,. 
— Ujn — — lim 



. *'(S) 



n 71 2a — X n 



folglich ist 



limM = lim (2 — ^ = «^ 



Bemerkungen. 

1. In vielen FäUen kann man Grenz- Ausdrücke von der Form ^ oder 

^ dadurch ermitteln, dass man Zähler und Nenner des Bruches, beyor 
man den Grenz werth yon x einsetzt, durch einen passenden Faetor 
dividirt. So ist z. B» 

I — cosa; _ 1 — cosa; 1 — cosa? 

sin^ar "" 1 — cos% "^ (l+cosa;)(l — cosa;) ' 

folglich wird 

1 — cosar ,.1 1 

hm ?~ö = iimT — ; ääss*«' 

«5=0 ^*^* 1 + cosar 2 

2. Zu demselben Resultate hätte man auch, wie schon obe n hervor- 
gehoben ist, durch Entwickelung nach steigenden Potenzen von x ge- 
langen können. Nach den Formeln Nr. 54 und 55 der Tabelle ist nämlieh 

Stegemaim -Kiepert Differential-Beohnim^. 19 



290 § 68. Zusammentreffen unbestimmter Formen. 

11-3!+— •;-'*Cn-3T+— •;■' 

dies giebt 

1 X* 



sm'x 



folglich Mt 






1 — oosx 1 



§ 68. 

Zusammentreffen unbestimmter Formen. 

Die Grenz- Ausdrftcke, welche eine nnbestimmte Form haben, 
sind durch die behandelten Fälle noch nicht erschöpft; die an- 
gegebenen Begeln reichen aber zur Erledigung der nodi übrigen 
FftUe aus, die im Wesentlichen nur Gombinationen der bereits 
besprochenen Grenz- Ausdrucke sind, wie die noch folgenden 
Beispiele zeigen sollen. 

1 



') ^BKi) 



Nun ist aber 

,. sinx ,. cosa; 
hm — = lim — r- = 1, 

folglich ist 

\^ 

(sin.pv^ 
j = 1* 

und 

r-^i T Isina: — \x 

lim lef = hm 5 = - 

x^ 

,. Ctga: — x^^ ,. ;rC0S:r — sina: 

= iim ^ = lim — ^ ^ . = r- 

2x ^x^soix 

— r — arsina; _ .. — sina: _ 

"" 4a:sina; + 2a;*C0Sa: ~ 4sinar + 2a:C0Sa; "" 

— COSa? 1 . 



= lim 



6C0Sa? — 2a:sinar 6 



§ 68. Zusammentreffen unbestimmter Formen. ^^1 

dies giebt 



1 

/»in ^\ 

lim 



t^ = lim| )=« = "5~* 



\ X / ® 



2) ,Iün [^f = (^)'. 



Hier ist 

1. 

,. l(ax) ^. X - 
lim -^^ — - = lim T = 0, 

X 1 

folglich ist 

1 



lim« = limP-^n*=0«, 



X* 00 

111 



,. \(ax) X X ^. 1 — \(ax) — od 
== um -^^ — ^ = hm — , . \ ^ = 

1 Xl{(XX) 00 



= lim T— TTT — \ = hm r^ ■ i/ — VI = = ; 

1+I(a2r) ar[l+l(aa;)] oo ' 



dies giebt 



lim« = liin[^]'=*'> = l. 



3) iuo(l±^lzzf = i:zii. 

Nmi ist aber nach Aufgabe 7 in § 67 

lim (1 + x)' = e, 

ar=0 

folghch ist 

19 



2d2 § ^. Zusammentreffeii unbestimmter Formen. 



lim iL±ij— _:: = ^ = Hm 

X 



^ -1(1 + a;) 



= lim (1 + a;) lim — 5 =^ * * ä 

1 1 



,. (1+«)* 1+a; ,. — « 



VIII. Abschnitt. 

Differentiation der nicht entwickelten 

Functionen. 

§ 69. 

Differentiation einer Function von der Form F{u,t). 

(Vergl. die Formel-TAbelle Nr. 82—86.) 

Ist z eine Function von zwei Veränderlichen, ist z. B. 

(1.) «=:3W»— 71*2©+ llWtj2+ 2V\ 

SO wird sich z im Allgemeinen schon verändern, wenn sich nur 
u verändert, während v constant bleibt, oder wenn sich nur v 
verändert, während u constant bleibt. Man kann also, wenn 
z in Bezug auf u eine stetige Function ist, in derselben Weise 
wie bei Functionen mit einer Veränderlichen den Differenzen- 
Quotienten bilden, dessen Grenzwerth dann für verschwindend 
kleine Werthe von Ju den Differential-Quotienten oder die Ab- 
leitung liefert. 

Li diesem Falle bezeichnet man aber die Ableitung nicht 

dz dz 

mit ^, sondern mit ^ und nennt sie die partielle Ableitung 

von z nach «, weil man bei dieser Operation nur u als Verän- 
derliche betrachtet und dadurch die Veränderlichkeit der Func- 
tion z beschränkt. In dem vorliegenden Falle wird also 

dz 
(2.) ^ = 9tt2 — Uuv + llr2. 

Mit demselben Bechte kann man z so differentüi*en, dass 

man v als die einzige Veränderliche und u als eine Constante 

betrachtet. In dem vorliegenden Beispiele wird daher 

dz 
(3.) rl = _ 7«^2 ^ 22uv + 6t?2. 

dv 



294 § 69. Differentiaüon einer Function von der Form F{Uj ©). 

Wie man also nach Formel Nr. 15 der Tabelle die Ableitimg 
einer Function y=/(a:) von einer Veränderlichen durch die 
Gleichung 

erklären kami, so kami man die partiellen Ableitungen von dner 
Function von zwei Veränderlichen durch die Gleichungen 

^ ^^ du jus^o Ju 

erklären. 



^«sO 



Beispiele. 

dz dz 

«N i/««\ 1 1 dz 1 dz 1 

ö« +1 



öt? 2y^(y5r— |/F)2 



Ausführlicher wird von den partiellen Ableitungen im zweitegi 
Theile dieses Bandes die Rede sein^, der über die Functionen 
von mehreren Veränderlichen handelt. 

Hier soll nur der Fall in Betracht gezogen werden, wo u 
und V beide Functionen von x sind, wo also 

(7.) u^g>(x), t?=:i/;(ar) 

ist, so dass z als eine Function der einzigen Veränderlichen x 
angesehen w^den kann. 

Jetzt sind zwar die Veränderlichen u und v nicht mehr v(m 
einander unabhängig, man könnte viehnehr aus den Gleichungen 



herleiten , man kann aber trotzdem die Ausdrücke -3- nnd -x- 
' du üp 



§ 68. Differentiation einer Ftmction von der Form JP(tf, 0). 295 

(7.) durch Elimination von x eine Gleichung zwischen u und v, 

nämlich 

(8.) /(«, r) = 

dz , dz 
h 

bilden, genau so, wie sie durch die Gleichungen (5.) und (6.) 
erklärt sind, und far das Folgende verwenden. 

Vermehrt man nämlich :i; um ^:r, so gehen die Grössen u, 
V, z bezw. über in 

. . j w + Ju = ip(x + -^ä)? t? + -^«^ = V'C^ + «^^)j 

\ Z'\' Jz:=^ F{u + Ju^ V + Jv); 

daraus folgt 

'^ \ Jz=: F(u + Ju,v + Jc) — F{u, v\ 
od^, wenn man v + Jv mit v^ bezeichnet, 

10a.) Jz = F{u + Ju, «?J— F(w, t?i) + F(u, V + Jv)—F(u, t?), 

Jz _ F(u+Ju, v^) — F(uj v^) F(ujV+Jv) — F{Ujv) 
^x ^x ^x 



oder 

(11.) 



Jz _ F(u+Ju, t?|) — F(u^ t?|) Ju 
Jx Ju Jx 

F(u, v+Jv) — F(u, v) Jv 
Jv Jx 



Geht man jetzt zur Grenze über, indem man Jx verschwin- 
dend klein werden lässt, so werden auch, wenn 9p (x) und \p{x) 
stetige Functionen sind, nach den Gleichungen (9.) die Grössen 
Ju und Jv verschwindend klein, und man erhält 

(12.) lixn 4^^ = lim ?^^^±4^=-^ = ^, 

jxmz^A^ Jx=zo Jx ax 

(13.) hm -7- = hm ^^ -j^ ^-i^ =-y. , 

^ jx^^Jx jx=o Jx ax 

und da lim «1 = t? ist, 



996 § G9. DifFerentaation einer Functian von der Form F(u,v), 

_ dF(u, v) _ dz 
du ^ 

(15.) lim ^K ^+^^) - F(u, f>) ^ ^ F(u,i,+Jv)-F(u,v) 

dF{u^ v) dz 
öt? ov 

Deshalb folgt aus Gleichung (11.) 

.X cfe ffg du dz dv 

^ "^ cfo "" du dx "^ 9t? flte' 

oder auch, wenn man beide Seiten dieser Gleichung mit dx mul- 
tiplicirt, 

(16a.) dz = ^du + ^ dv. 



In Gleichung (16.) sind mehrere Formeln, die schon früher 
hergeleitet wurden, als besondere Fälle enthalten. 

Beispiele. 

1) Es sei 

(17.) • z= u ±v, 

dann wird 

dz dz 

— = 1 — = 4- 1 

du ^' dv =^^' 

folglich ist in Uebereinstimmung mit den Formeln Nr. 19 und 
20 der Tabelle 

/1Q^ rfg __ d{u ±v) _^du.dv 

^ *^ dx dx dx ~' dx 

2) Es sei 

(19.) z = UV, 

dann wird 

dz dz 

folglich ist in Uebereiostimmung mit Formel Nr. 28 der Tabelle 



§ 69. Differentiation einer Function von der Form F{u, v). 297 



(20.) 

3) Es sei 



dz d{uo) ^^ I ^^ 

dx dx "" dx dx 



u 



(21.) z^-, 

dann wird 

ö« _ 1 Sz ^ u 
du V Wo v^ 

folglich ist in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 33 der Tabelle 



du dv 

dz ^\vj 1 du u de dx dx 



(22.) n=-W=i = 

^ ^ dx dx V dx v^ dx v* 

4) Es sei 

(23.) z = l{uv) = \u + h, 

dann wird 

du u dv V 

. s ^ d\(uc) ^l du 1 do 

^ '^ dx dx "^ u dx V dx 

5) Es sei 

(25.) z = \(^^\u — \o, 

dann wird 

du u dv V 



(26.) 



dz \v/ 1 du 1 dv 

<fe dx u dx V dx 



6) Es sei 
(27.) 2 = w 



dann wird 



^« .«-1 ^« V 1 

5Ji ' (5ü ' 



(28.) T- = -W = W""* T- + t^" . It^^T- 

"^ dx dx dx dx 



298 § 70. Pifferenüation nicht entwickelter Functionen. 

Von diesei* letzten Foimel mögen noch einige Anwendungen 
gegeben werden. 

7) Es sei 

also 

du ^ dv ^ 

dz 

-j- = x. af-^ + a;* . la; = af{l + \x). 

Dasselbe Resultat ergab sich auf atfderem Wege in § 25, 
Angabe 54. 

8) Es sei 

V - 

z = yx = rc*, 

also 

1 du ^ f^_ L 

' X dx ^ dx x^ 



-—- = — . x- * — a; * . \X' — =- = — r- (1 — lic). 

dx X x^ x^ ^ ^ 

Auch dieses Resultat ergab sich auf anderem Wege in § 25, 
Aufgabe 56. 

9) « = (Lr)*«*, 

also 

— > --*«^j dx^x^ d^^cos^* 



= a^)»«-g 



« . \i\x) -\ 

X 



"^ COS*a:J 



§70. 

HerieHung der aUgemeinen Regel fOr die Differentiation, 
der nictit entwioicelten Functionen. 

(YergL die Fonnel-TabeUe Nr. 87 nnd 88.) 

Es sei 'Wieder 

(1.) *=-P(«,»), 



§ 70. Differentiation nicht entwickelter Fnnctioiieii. 299 

und es seien u und v beide Functionen von x, die eine Ableitung 
besitzen, dann wird nach Formel Nr. 83 der Tabelle 

dz dz du dz dv 
^^'^ di^'Südx'^'Sm' 

oder 

. cfe __ dF{u, v) du dF{Uj v) cfo 

^ *^ efe "~ SfJ dx Sü cfo; 

Hierbei ist u eine beliebige Function von x, folglich darf 
u auch gleich x sein. Dann geht Gleichung (2.) aber in 

dz dz dz dv 

^^'^ di'^'Si'^di'di^ 

Vertauscht man jetzt v mit y, so wird 

(4.) z = F{x, y), 

wobei y noch eine Function von x, also 

(5.) y =/(^) 

ist, und man erhält 

.. & 6g ff g rfy 

^^•>' d^^dx'^dydi' 

oder 

rft«^ ^ J^(^, y) _ ff J^Qp, y) 6F(^, y) rfy 

In diesem Falle ist also z erstens unmittelbar abhängig von 
X und ausserdem auch noch mittelbar abhängig von x^ indem z 
auch eine Function von y und y wieder eine Function von x ist. 

Aus den Gleichungen (6.) und (6a.) ersieht man auch, wie 

dz 
nothwendig es ist, die partielle Ableitung ^vonderto^o/^nAb- 

(rundes) ^, das andere Mal ein (gerades) d schreibt. 

Beispiele» 

1) z:= x^ = xy^ WO y = \x. 

Hier wird 

ff:r ^ ' ffy ^ dx x 



300 § 70. Differentiation nicht entwickelter Functionen. 

folg^ch ist 

dz d(x^*) . , 1 

dx^ dx y" ^ ^ ^^ ^ 

2) « = (tga:)^ = y*, WO y = tga:. 

Hier wird 

%=r\y, 1=^-', i=^' 

folglich ist 

dz d\(\%xY] . , ic ^ . /x N«i/x X , ^(tga^)*-i 

Der Kürze wegen bezeichnet man die partielle Ableitung 
von F{xy y) nach der ersten Veränderlichen, also — ^^^, mit 

JFJ (x, y) und die partielle Ableitung von F{xy y) nach der zwei- 

dFlx v) 
ten Veränderlichen, also — 1 ^% mit i^(ar, y). 

Dadurch erhält die Gleichung (6 a.) die Form 
(7.) i?^ = f,(.,„ + f,(.,„|. 

Diese Formel kann man jetzt auch benutzen zur Differen- 
tiation von nicht entwickelten Functionen. Ist z. B. y als Func- 
tion von X durch die Gleichung 

(8.) F{x, y) = 

gegeben, so kann man sich vorstellen, diese Gleichung sei nach 
y au%elöst und dadurch auf die Form 

(9.) y =f{x) 

gebracht. Man erhält daher nach Gleichung (7.) 

(10.) iI^ = Fax,y)-VF,i.,y)%. 

Setzt man den Werth von y, welchen die Gleichung (9.) 
liefert, in die Function F{xj y) ein, so muss nach Voraussetzung 

2^(^,y) = 



§ 71. Uebnngs-Beispiele. 301 

werden, deshalb wird erst recht 

dF{x, y) _ 
dx ~^' 

80 dass ans Gleichung (10.) folgt 

(11.) F,{x,y) + F^{x,y)^ = Q, 

oder 

(11 a.) Fy {x, y) dx + F^ {x, y) dy = 0. 

Ans Gleichung (11.) findet man jetzt unmittelbar 

ng\ ^ -Fl jx, y) 

^ ^^ dx- F,(x,yy 

§71. 

Uebungs-Beispiele. 

1) b^x^ + a»y2 — a* b^ == 0. 

Hier ist 

F(x, y) = b^x^+ a^y"^ — a* JJ = 0, 

^^ = F,ix, y) = 2b^x, ^^ = mx, y) = 2«>y, 
folglich wird 

2) l^(Ä:,y)=«,ia;2+2a,2^+«22yH2aisa:+2a23y+a33=0. 

Setzt man hierbei noch fest, dass a^^ gleich a^^ ist, so vmA 

F\ (^j y)=2(aiia:+ö,2y+öfi3)j -^2(2:, y)=2(a2, ^+a22y+«Js)5 

rfy_ ^11^ + «lay + <»iH 

3) jF(a;, y) = x^ + y^ — Saxy = 0, 

^i(«>y) = 3a;J — 3ay, F^ix, y) — 3y^ — Sax, 



2 



dy 3a?^ — 3ay ay — 

dz 3y^ — 3ax y^ — cut 



302 § 71. Uebungs-Beispiele. 

4) -F(^,y) = (rr2 + y2)2_a2(ip2 — y2) = o, 
F^{x,y) = 2{x^ + y2).2a: — 2aV, 
F^{z, y) = 2{x^ + y«) . 2y + 2a2y, 

dy _ a: 2(g2 + y2) — g^ 

(fe*"" y 2(a:2 + y2) + a2' 

5) F{xj y) = a:2y3 + cog^: _ gina; tgy — siny, 
Fx (xj y) = 2xy^ — sina: — eosx tgy, 

F2 (^, y) = 3a:»y2 _ ^1 _ cosy, 

^_ — 2ay^ + sina? + C08a?tgy 

_ ( — 2gy^ + sma;)cosV -f cosa; siny cosy 
"" Sxh/^cos'^ — sina: — cos^ 

6) F(x,y)=:^x^y* + siny, 

^i (^j y) = 2xy*, F2 (x, y) = 4a:2y3 + cosy, 

dy 2ay* 

öfe 4a?y + cosy 

7) l^(a:, y) ä sinar siny + sina: cosy — y, 
-'^ {^9 y) = cosa: (siny + cosy), 

F2 (a-, y) = sina: (cosy — siny) — 1, 

^y — _ cosa:(cosy + siny) 
cfo "~ sina:(cosy — siny) — 1 

In ähnlicher Weise findet man die Lösungen der folgenden 
AiilQi;aben. 

8) ^_^ + ^ = o;| = ?l=|. 

9) an(:ry)-.'>-:.V = 0;^ = ytco8(^^-*'>-2x] , 
^ ^ ^^ ^ ' (fe ar[a: + tf**' — C08(ay)] 

10) ,> + j,._.. = 0;| = -i- 






§ 72. Ableitongen höherer Ordnung. 303 

§ 72. 

Ableitungen höherer Ordnung. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 89 und 90.) 

Der Kürze w^en setzt man häufig 

d^y cPp __dq 

dx^ dx^ dx 

Ans der Gleichung 

^ '^ ^ dx B,{x,y) 

folgt dann, dass p wieder eine £\inction von x und y ist, die man 
ebenso differentiiren kann wie in § 70 die Function z-^ man er- 
halt daher, indem man in Formel Nr. 87 der Tabelle, nSmlich in 

dz dz dz dy 
dx dx dy dx 
z mit p vertauscht, 

/o^ ±_dp dpdy 

y^') dx^ dx'^ dy dx 

oder 

cPy dp , dp 

(2a.> d = ^'=fx + ^P- 

In derselben Weise findet man aus q auch die dritte Ab- 
leitung yon y nach x^ denn es ist wieder nach Formel Nr. 87 
der Tabelle, indem man z mit q vertauscht, 

(3.) dq^dqdqdy 

^ '^ dx Wc dy dx 

oder 

(3a.) ^ = *- = gI + 5p^- 

Dies kann man beliebig fortsetzen. 

§ 73. 

Uebungs-Beispiele. 

Aufgabe 1. Man soll die Ableitungen p und q bestimmen, 
wenn g^^eben ist 



804 § 73. Uebnngs-Beispiole. 

(1.) x'^ — ^ + y^ = a\ 

Hier ist 
(2.) F{x, t/) = x^ — xy + y^ — a\ 

(3.) -Fi(^,y)==2x — y, F^(^x,y) = —x^'^y, 

also 

(4) ^^ 2:r-y 

Daraus folgt 

cjp _ — 3y 

(^•) da: "^ (ar— 2y)i' 

^ dp _ — 3y ar 2g — y 

? = ^ "^ S^ ^ ~ («— 2y)2 "^ (x— 2y)2 ' a: — 2y ' 
oder 

Berücksichtigt man noch Gleichung (l.)i so erhält man 

__6a2_ 

(®-) ^-(;2:_2y)3* 

Aufgabe 2. Es ist gegeben 

(9.) (o: — |)2 + (y — ^)2 — a2=:0, 

man soll die Werthe von p und q ermitteln. 

Auflösung 1. Hier ist 

(10.) F{x,y) = {x-iy + (y_,)2_ai, 

(11.) Fxix,y)^2{x-l), 1^2(^,y) = 2(y-i,), 

also 

dy x — i 

Daraus folgt 
(13.) ^= ^, 



§ 73. Uebungs-Beispiele. 305 

. .X ' _^ , Öp _ ___JL X — S X — g 

^ "^ * dx'^ dy^ y — fj (y — v)^' y — fj^ 

oder 

^^""'^ ^^dx^-^ {y — nf ^ {y — nY 

Auflösung 2. Dasselbe Eesultat kann man hier auch durch 
Auflösung der Gleichung (9.) nach y finden. Es wird nämlich 



(17.) y = ^±ya2 — (:r — ?)2, 

also 

„_^_ -3- yg» — (a: — gp 



= + 



a2 



ri' 



oder 

(19.) ? = -(^^' 

ein Eesultat, das mit Gleichung (16.) übereinstimmt. 

Aufgabe 3. Man soll ^, q und r bestimmen, wenn gegeben 
ist 

(20.) F{x^ y) = y2 ^ 2ax = 0. 

Auflösung. Hier ist 

(22.) g = -^, ^ = 0, ^=+y. 

(23.) r = ^^ 

y5 

Stegemann-Kiepert, Düferenidal-Beohnnng. ^ 



306 § 74. Anwendung auf die Theorie, der Maxima und Minima u. s. w. 

Aufgabe 4. Man soll^, q und r bestimmen, wenn gegeben ist 
(24.) J V + «y — a%^ = 

AufIBsung. Hier ist 






aV>^ 



oder 



«y ay 



Daraus folgt 



§ 74. 

Anwendung auf die Theorie der Maxima und Minima von 
nicht entwickelten Functionen einer Veränderiichen. 

(VergL die Formel-Tabelle Nr. 91.) 

Es sei y als Fonction von x gegeben durch die Gleichung 

(1.) Fix, y) = 0, 

es sollen die Werthe von x bestimmt werden, ftir welche y ein 
Maximum oder Minimum wird. 

Beachtet man, dass man die Gleichung (1.) auf die Form 

(2.) y=/(^) 

Dringen kann, indem man sie sich nach y aufgelöst denkt, so 
erkennt man, dass hier dieselben Regehi anwendbar sind, welche 
im VI. Abschnitt fOr die Au&uchung der Maxima und Minima 
von entwickelten Functionen gegeben worden sind; d. h. man 
bestimmt diejenigen Werthe von x, für welche 



§ 74. Anwendung auf die Theorie der Maxima und Minima u. s. w. 307 

verschwindet. Wird dann ^^ =/"(x)flir einen solchen Werth 

von X negativ^ SO tritt ein Maximum ein, und wird f**{x) für 
einen solchen Werth von x positiv^ so tritt ein Mininn iTn ein. 

Dabei ist es aber in dem vorliegendem Fall gar nicht nöthig, 
die Gleichung (2.) wirklich zu bilden, denn nach Formel Nr. 88 
der Tabelle wird 

Schliesst man den Fall aus, wo i^(^,j^) unendlich gross 
wird, so kann/'(Ä:) nur dann verschwinden, wenn 

(4.) F, {x, y) = 

ist. Aus den beiden Gleichungen (1.) und (4.) findet man dann 
die Werthe von x und y, für welche y möglicher Weise ein 
Maximum oder Minimum wird. 

Um zu entscheiden, ob füi» einen der geflmdenen Werthe 
von X wirklich ein Maximum oder Minimum eintritt, bilde man 
nach Formel Nr. 89 der Tabelle 

(^•) S =/"» =1+11- 

Setzt man der Kürze wegen 

/ß^ ^F^_ dF,_ dF^__ dF^_ 

so wird 

^'•^ dx~ i?i2 dy~ i^2* 

also 

I?I? I?I? TP TP TP TP TP 

/Q X ^ _ /^2Al — A At , A-^12 — A-^22 A 

(8.) ? -j^^ + ^^ ^• 

Dieser allgemein gültige Ausdruck vereinfacht sich in dem 
vorliegenden Falle, wo nur solche Werthe von x und y in Be- 
tracht kommen, fär welche 

F,(x,y)^F,=.0 
ist. Deshalb wird hier 

20* 



308 § 75. Uebungs-Beispiele. 

(8a.) y=/"(x) = -^- 

Haben also i^j und F^ für das betrachtete Werthepaar 
Xy y gleiches Zeichen, so ist f**{x) negativ ^ und y wird ein 
Maximum. Haben dagegen i^i und i^ entgegengesetztes Zeichen, 
so ist /" {x) positiv^ und y wird ein Minimum, Dies giebt die 
Eegel: 

Ist F{xy y) == , so wird y ein Maximum oder Minimum^ 
wenn 

istj und wenn i^ mit F^^ gleiches^ hezw, entgegengesetztes Zeichen 
hat. 



Indem man x und y, und dem entsprechend die Indices 1 
und 2 mit einander vertauscht, findet man hieraus auch diä 
folgende Eegel: 

Ist F(xyy) = 0, «0 wird x ein Maximum oder Minimum^ 

wenn 

F^(x,y) = 

istj und wenn F^ mit F^i gleiches^ hezw. entgegengesetztes Zeichen 
hat. 

§ 75. 

Uebungs-Beispiele. 

Aufgabe 1. Man soll auf der Curve (Fig. 63) 

(1.) F{x, y) = x^ + y^ — Saxy = 

einen Punkt P bestimmen, der höher liegt als die benachbarten 
Punkte. 

Auflösung. Hier ist 

(2.) ^ F[{x,y) = Sx'^ — Say = für y = — • 

a 

Setzt man diesen Werth in die Gleichung (1.) ein, so wird 

x^ 
(3.) x^ + -Y — Sx^ = 0, oder x^ — 2a^x^ = x^{x^ — 2a^) = 0. 



§ 75. Uebungs-Beispiele. 



309 



Fig. 68. 




Diese Gleichung wird zunächst befriedigt für ;i; = 0, dann 
ist aber, wie später gezeigt werden soll, der zugehörige Werth 
von y ein Minimum. Ein Maximum 
kann also nur eintreten, wenn 

(4.) x^ — 2a3 = 0, 

oder 

X = ay2 , y = «K 4. 

Es wird nämlich für diese 
Werthe 

F^(x,y)=^S(y^-ax) 

(5.) { = Sa^p2> 0, 

-Pii(^,y)= 6^ = 6af2 >0; 
da J^ und i^j gleiches Vorzeichen haben, so ist y = a^T ein 

Das Maximum von x, dem ein ausser ster Punkt Pi der 
Curve entspricht, findet man in ähnlicher Weise, und zwar sind 
die Coordinaten dieses Punktes 

(6.) x^=aYi, yx=a}f2. 

Die hier behandelte Curve hat den Namen „Folium Cartesii^. 

Aufgabe 2. Man soll den höchsten, bezw. den tieften Punkt 
der Ellipse (Fig. 64) 
(7.) F(xj y) = a,irc2 + 2a^.^xy + a^^y^ + 033 == 

bestimmen. 

AuflSsung. ffier ist ^i» ^ 

(8.) F^{x, y) = 2(ai^a:+a,2y) = 

für 



(9.) 



_ «11 



y = — 



:r. 



»12 



Dies giebt mit Eücksicht auf 
Gleichung (7.) 

(10.) «11(011022— «^2>^ = — 0^2033, 

oder 




310 § 75. Uebungs-Beispiele. 



(11.) x=±^W, wobei IV ^y — ^i^^^ 

ist. Die Grösse W wird sicher reell, denn Gleichnng (7.) stellt 
bekanntlich nnr dann eine reelle Ellipse dar, wenn 

«ii«» — «^2>0 nnd «11033 <0 

ist. Ans den Gleichungen (9.) nnd (11.) folgt dann 

(12.) y = T JT. 

Femer ist 

(13.) Jli = 2a,i, E, = 2(a,,x+a,,y) = ^ ^(^^^22-a\,)W ^ 

«11 

also 

(U.) FuF^^T 4(aiia22 — o^^j) W. 

Für das o Wa Vorzeichen wird daher y ein Minimum^ weil 
dann JFJi nnd i^ ungleiches Vorzeichen haben; für das untere 
Vorzeichen dagegen wird y ein Maximum^ weil dann i^i nnd 
i^ gleiches Vorzeichen haben. 

Dieses Besnltat wird durch Figur 64 bestätigt. 



j 



IX. Abschnitt. 

Yertanschung der Abhängigkeit der yeränder- 

lichen Grössen. 

§ 76. 

Bildung der Grössen p und q, wenn x und y 

Functionen von t sind. 

(VergL die Formel - Tabelle Nr. 92.) 

Ist y eine (entwickelte oder nicht entwickelte) Function von ar, 
so ist es häufig von Vorfheil, x als eine Function einer dritten 
Veränderlichen t auszudrücken. Dann wird nämlich auch y 
eine Function von t 

Beim Kreise ist z. B. 

(1.) a:2 + y2 — a2 = 0, oder y^zfa^ — x\ 

Setzt man nun 
(2.) X = acos^, so wird y = asin^. 

Bei der Ellipse ist 

(3.) &2^2 + ö2y2 — a2j2 -: 0, odcr y = ^ya^—x^\ 

setzt man hier wieder 

(4.) x = acos^, so wird y = Jsin^. 

Sind die Gleichungen 

(5.) ^^<f{t\ y = rp(t) . 

gegeben, so kann man umgekehrt durch Elimination von i eine 
Gleichung zwischen x und y herleiten, aus der man erkennt, 
dass man auch in diesem Falle y als eine Function von x be- 
trachten darf. 



312 § 76. Bildung der Grössen p und ^ u. s. w. 

Es sei z. B. 

(6.) z = a{t — sin^), y = a(l — cosf), 

dann wird 

(7.) acos^ = a — y, asin^ = Y^ay — • y'^^ 

(8.) t = arccosf ^ ^ \ 

folglich ist 

(9.) x = a arc cos y ^ j — y 2ay — y^. 

Es ist nun die Frage, in welcher Weise man die Grössen 
p nnd ; bilden kann, wenn die Abhängigkeit zwischen x nnd y 
durch die Gleichungen (5.) gegeben ist. 

Hier wird 

(10.) Jx = (p(t + J() — q>(t), Jy=:tp(t + Jt) — xp(t), 

also 

xp{t + Jt) — ifj(t) 

Jx'^ 9)(^ + ^f) — 9)(0 "" (p{t + Jt) — g){t) ' 

Jt 

oder, wenn ^^ und deshalb auch ^2: und ^/y unendlich klein 
werden, 

dy 

(11.) ^^p^t^^'E. 

^ ^ dx ^ q>'{t) dx 

dt 

Dieses Resultat hätte man auch aus Formel Nr. 35 der 
Tabelle finden können. Danach ist nämlich, wenn man u mit t 
yertauscht, 

dx~' dtdx'^^ ^^ g>*(t) " 9>\t) 

In derselben Weise kann man jetzt auch 



§ 77. Uebungs-Beispiele. 313 

finden, denn es ist, wenn man in Gleichung (11.) y mit p ver- 
tauscht, 

dp 

dp_Tt _ <f'(W{t)-xp'{t)q>-{t) 

dt 

oder 

dx d^ dy d^x 

_ <P'{tw(t) — tp*(t)^''(t) _ didfi~diap ^ 

\dt) 

Diesen Ausdruck schreibt man noch bequemer in der Form 
, dh/ _ dxd^y—dyd^ 

wobei man sich aber bewusst bleiben muss, dass auf der rechten 
Seite dieser Gleichung x und y als Functionen von ^ zu be- 
trachten sind, dass also 

dx = q>' (t) dt, d^x = 9)" (t) dt\ 

dy = \p' (t) dt, dhf = \p'' (t) dt^ 
ist. 

Dieses Verfahren kann man noch fortsetzen, um die höheren 

Ableitungen von y nach x zu ermitteln. So ist z. B. 

dq 

'^ dx^ dx dx 

dt 

U. s. w. 

§ 77. 

Uebungs-Beispiele. 

Aufgabe 1. Man soll die Grössen p und q bUden, wenn 
gegeben ist 

(1.) x = 7 + t^, y = 3 + ^ — 3^*. 

AuflSsung. Aus den Gleichungen (1.) folgt 

(2.) dx = 2t dt, dy = (2t— 12^) dt, 

(8.) d^x = 2dt^, cPy = (2 — 36 t^)dt^; 



814 § 77. Üebnngs-Beispiele. 

deshalb wird 

Aufgabe 2. Man soll die Grössen p und ; bilden, wenn 
gegeben idt 

(6.) a: = a(f — sin<), y = ö(l — cos^- 

AuflSsung. Aus den Gleichnngen (6.) folgt 

(7.) cfe = ö(l — COS<)rff, dy=^aWitdt^ 

(8.) rf^ = asin^rf^, cPy = acos^rf^^j 

deshalb wird 

oder 

(9a.) /^ = ^(|)- 

Femer ist 

^ dxePy—dycPx _ a\<:mt—\)dt^ 
* "" di» "" a«(l — cos tfdt'^ ' 

oder 

(10.) q = - ^ ^ 



a(l — cosO^ 



asin^d) 



Dieses Besoltat hätte man auch durch Differentiation von 
Gleichung (9 a.) finden können. Es ist nämlich 

dp dp dt 

^ dx dt dx 



dp 



e^Ctg(i) 



dt dt 

2sm 



'"•(I) 



§ 77. Uebungs-Beispiele. 315 



und nach Gleichung (7.) 

J*. 1 

dx ' 



folglich ist 





^ — 


4asin^(|) 




Aufgabe 3. 

gegeben ist 
(11.) 


Man soll die 
x^ ctg^, 


1 Grössen p und q 
y = sin^^. 


bilden, wenn 


Auflösung. 


Aus den Gleichungen (11.) folgt 




(12.) dx 
also 


dt 


rfy = ^mHojoBtdty 




(13.) 


dy 


— 3sin4^cos<. 




Femer ist 
dp 


dp dt 
dt dx 







= (— 12sin8^ cos2^ + 3sin5^) (— sin^O» 
oder 

(14.) q = 3sin*<(4cos2^ — sin«^) = 3sins<(4 — Ssin^Q. 

Aufgabe 4. Man soll die Grössen p und q bilden, wenn 
gegeben ist 

(15.) X = a(mcos/ — cosm^), y = a(msin^ — sinm^). 

Auflösung. Aus den Gleichungen (15.) folgt 

(16.) dx = ma{ — sin< + mimt)dt^ dy = wa(cos^ — CO^fnt)dty 

oder, wenn man 

(17.) m — 1 = », fn + l = / 

setzt, 

dx = 2masin( — )cos(^)d<, 
(16 a.) l ^y ^^ 

dy = 2wasin(^jsinf^- jrf^. 



316 §. 77. Uebungs-Beispielö. 

\ 

also 

Femer ist 

dp l dx ^ , /nf\ /lt\ 

ri9 ^ a- ^- ^ . ^ - ^ 



4masm 



^(1)^'(f) 



^^ Aufgabe 5. Man soll die Grössen p und ; bilden, wenn 

gegeben ist 

(20.) X = a(cos^ + ^sin^), y = a(sin^ — ^cos^). 

Auflösung. Hier ^^d 
(21.) dx = a^cos^rf^, dy = a^sin^rff, 

(22.) P-% = ^'^ 

(23.) rf/> = -4i. ? = I^=-Ar/ 

Aufgabe 6. In der Gleichung 

(24.) x^ — ay^O 

ist X die unabhängige Veränderliche. Im Yerlaufi^ einer analy- 
tischen Untersuchung wird es nothwendig, durch die Gleichung 

(25.) x^^ 

die Grösse t als unabhängige Veränderliche einzuftthren. Welche 
Form nimmt dadurch die Gleichung (24.) an? 

Auflösung. Zunächst ist 

dx . ^ dt . 
-57 = c* und ^- = e-* 
dt dx 

folglich wird 

^"^^'^ dx^ dt dx" dt "^ ' 

so dass die Gleichung (24.) übergeht in 



§ 78. Yertaaschung der Function mit dem Argument. 317 

oder 

(27.) |-«y = o. 

Aufgabe 7. In der Gleichung 

wird die Grösse t als unabhängige Veränderliche eingeführt durch 

die Gleichung 

(29.) a: = arctg^. 

Welche Form nimmt dadurch die Gleichung (28.) an? 

Auflösung. Aus Gleichung (29.) folgt 

(30.) tga: = ^ -^=i + tg2:r=l + ^2/ 

dx li dt 



m i.=t=t5=*(i + «'). 



dx dt dx dt 



w '=l=ll=[S('+'')+l-^']('+")-- 



Setzt man diese Werthe in die Gleichung (28.) ein, so er- 
hält man 

§(1 + ^2)1,. g.2f](l+^'^)+arctg^y^(l + <2) + (i + ^2) = o, 
oder, wenn man die Gleichung durch 1 + ^ dividirt, 
(34.) (1 + <2) § + (2t + yaxctgO§ + 1 = 0. 



[ 



§ 78. 

Behandlung des Falles, In welchem y die unabhängige 

Veränderliche wird. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 93 and 94). 

Ein besonderer Fall in der Yertanschung der nnabhängigen 
Veränderlichen x mit einer anderen ^ ist der, wo ^ gleich y 



318 § 78. Vertaoschung der FuncUoii mit dem Argument, 

wird, d. h. wo die Grosse y zur unabhängigen Veränderlichen 
gemacht wird. 

Dieser Fall konunt z. B. vor, wenn man bei Corven die 
Ordinate y als unabhängige Veränderliche ansehen wOl. 

Nach Formel Nr. 92 der Tabelle ist 

dy dx dhf dy d^x 

(\\ dy_'^ , dkf li dfi~dt dfl 

^ *^ dx dx dx^ /d£\? 



\dt) 



dt 

Diese Gleichungen bleiben auch noch richtig, wenn man 
(2.) y^i 

setzt; dann wird aber 
/Q \ dx ^dx cPx __ d^x dy ^ d^ __ 

Die Gleichungen (1.) gehen daher über in 



W 



dy 

Dem entsprechend findet man durch Vertauschung von x 
mit y 

d^ 
. . dx^l 1^ d^x __ dx^ q^ 

^ '^ ^'^^"p^ dy^^ /f^Y~~^* 

dx \dx/ 

Aus dem Werthe von ; kann man durch Differentiation 
auch den Werth von r finden. Es ist nämlich 

(6) r = ^ = ^^, 

^ ^ dx dy dx 

dq^ dydy^ W/ , ___ 

dy /^V ^^ — 

\dy) dy * 

folglich wird 



dy_ 1 



: 



§ 79. Uebungs-Beispiele. 319 

ri\ r =, ^ - _ «^y ^y" \dyv 

und dem entsprechend 

In dieser Weise kann man mit der Bildung der höheren 
Ableitungen fortfahren. 



§ 79. 

Uebungs-Beispiele. 

Aufgabe 1. In der Gleichung 

('•) (^+-)iS+'(i)*-'='> 

ist X die unabhängige Veränderliche; man soll die Gleichung so 
umformen, dass y die unabhängige Veränderliche wird. 

Auflosung. Setzt man in die Gleichung (1.) die Werthe von 
I und g nach den Gleichungen (4.) des vorheigehenden Para- 
graphen ein, so erhält man 

dy \dy) \dy) 



oder 



/o\ ( \ \d^^ X dx /<foV /> 

(2-) -(^ + '*>^^+^^-U)=«- 

Aufgabe 2. In der Gleichung 

ist X die unabhängige Veränderliche ; man soll die Gleichung so 
umformen, dass y die unabhängige Veränderliche wird. 



320 § 79. Uebungs-Beisptele. 

Auflösung. Setzt man wieder für ^ und ^ ihre Werthe 
ein 9 so erhält man 

~''7d^'^ 7d£^ y~"' 

W \dy) 

oder 

Aufgabe 3. Man soll die ersten drei Ableitungen von 
X = arc sin y bilden. 

Auflösung. Hier ist 

(5.) y = sina:, p = coSa:, y = — sina;, r = — COSa:, 

folglich wird nach den Formeln Nr. 94 der Tabelle 

{a^ da;_ 1 d^x _ SJüx d^x _ cos^a: + Ssin^a; 
dy^ cosx^ dy^ "~ cos^^r' dy^ "~ cos^a: 



X. Abschnitt. 

Untersuchung von Curren, 
die auf ein rechtwinkliges Goordinaten-System 

bezogen sind. 

§80. 

Tangenten und Normalen. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 95—101.) 

Es sei 

die Gleichung einer Curve (Fig. 65), auf welcher der beliebige 
Punkt P die Coordinaten x und y haben möge. 

Legt man nun in diesem 
Punkte eine Tangente TP an 
die Curve und bezeichnet man 
den Winkel, welchen diese 
Tangente mit der positiven 
Richtung der X-Axe bildet, 
wieder mit a, so ist nach 
Formel Nr. 16 der Tabelle 



Fig. 65. 



(2.) tg« = ^=/'(4 




dx 

Ist nun die Gleichung der Tangeidte 

(^•) y* =zmx* + fi, 

wobei die laufenden Coordinaten mit x' und y' bezeichnet sind, 
weil a: und y die Coordinaten des Berührungspunktes P sein soUen,' 
so ist auch, da die Tangente durch den Punkt P gehen muss' 

Stegemann- Kiepert, DiflFerential-Heclmting. * gl 



322 § 80. Tangeoitea und Noimaleii. 

folglich wird 

(4.) y' — y=:fn(p!^—x). 

Ausserdem ist bekanntlich 
folglich wird 

(5.) j^_y = g(^_:,). 

Die gerade Linie PN, welche jan Berührungspunkte auf 
der Tangente senkrecht steht, heisst Normale. Deshalb ist ihre 
Gleichung 

(6.) y-y = -|(^-^). 

Die Abschnitte der Tangente und der Normale, welche 
zwischen der Abscissen-Axe und dem Berührungspunkte P liegen, 
also die Strecken TP und PN, heissen auch kurzweg Tangente, 
beziehungsweise Normale. Man bezeichnet sie durch T und N. 
Die Projectionen TQ und QN dieser Abschnitte auf die Abscissen- 
Axe nennt man Subtangente und Subnormale und bezeichnet 
sie durch St und Sn. 

Es ist daher 
(7.) T=TP, N=PN, 

(8.) St = TQ, Sn = QN. 

Hieraus findet man ohne Weiteres 
(9.) Sn = y\%a = y^, 

(10.) Ä^ = yctga = y^, 






§ 81. Anwendung auf einzelne Curven. 



323 



Die beiden letzten Gleichungen kann man noch etwas ein- 
facher schreiben. Haben die benachbarten Curvenpunkte P und 
P\ (vergl. Fig. 19 auf Seite 73) bezw. die Coordinaten ar, y und 
X + Jx^ y + Jy^ SO ist nach dem pythagoräischen Lehrsatze 

oder, wenn die Punkte P und P^ einander unendlich nahe 
rücken, und wenn man die unendlich kleine Sehne PP^ durch 
ds bezeichnet, 

(13.) ds^ = dx^ + dy^, 

(-) (iy='+(S)' (D'-+(i)- 

Setzt man diese Werthe in die Gleichungen (11.) und (12.) 
ein, so erhält man 



(14.) 



TU ^^ 



^ dy 



(2.) 



Fig. 66. 



§81. 

Anwendung auf einzelne Curven. 

Aufgabe 1. Die Gleichung einer Parabel (Fig. 66) sei 
(1.) y2==9^. 

man soll für den Punkt P, der 
die Abcissse 

hat, die Subnormale, Subtan- 
gente, Normale und Tangente 
berechnen. 

Auflösung. Aus Gleichung 
(1.) folgt 

2ydy = ^dx^ 
oder 

^^ 9_ 
dx 2y 




Für X gleich 4 erhält man also, wenn man nur den oberen 
Theil der Curve berücksichtigt, 



21 



324 



(3.) 



§ 81. Anwendung auf einzelne Ourven. 



j,. = 36, y = 6, | = |, 



folglich wird 

(5.) .5«=QiV=y| = |, 



9 25 c^^ 



cfo 5. 



"^■^16 Iß' dx ^' dy 3' 



^.= rQ = y|=8, 



Fig. 67. 



(6.) iyr=Piyr=y| = f, r=rP=y|=io. 

Aufgabe 2. Ein Ereis (Fig. 67) ist durch die Gleichung 

(7,) a;2 + y2 ^ 25 

gegeben; man soll für den 
Punkt P mit der Abscisse 

a: = — 3 

die Grössen Sn, St, N mH T 
berechnen. 

Auflösung. Aus Gleichung 
(7.) folgt 

2ar cfe + 2y dy = 0, 
oder 




(8.) 



dy X 

e£r y 



Für a; gleich — 3 erhält man also, da die Ordinate von P 
positiv ist, 

(9.) y^ = 25-9=16, y = 4, | = |, 

folglich wd 

(11.) 



(12.) 



Ä„ = y| = 3, 
i.= y|=5, 



o^ (fe 16 

*rfy 8 



§81. Anwendung auf einzelne Ourven. 325 

Die Normale muss, wie auch aus Sn = QN = 3 folgt, durch 
den Mittelpunkt des Kreises hindurcligehen, d. h. der Punkt 
N fällt mit zusammen. 

Aufgabe 3. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale 
und Tangente für die Parabel 
(13.) y2 == 2px 

berechnen. (Vei^L Fig. 66.) 

Auflösung. Aus Gleichung (13.) folgt 

2ydy=z 2p dx, 
oder 



also 



(IT- +(!)'= '+g='-^ 



2 



^^^■^ dx y^P^y^ dy-dxdy-p^P ^y- 



Dies giebt 



(16.) 



(17.) 



' dy p p 
N=PN = y^ = ypnT^ 



In den Gleichungen (16.) sind die folgenden Sätze aus- 
gesprochen: 

Satz 1. Die Subnormale ist bei der Parabel constant. 

Satz 2. Die Subtangente ist bei der Parabel doppelt so 
gross wie die zugehörige Absdsse. 

Diese beiden Sätze fahren zu einer sehr einfEichein Construc- 
tion beliebig vieler Punkte der Parabel. Beschreibt man näm- 
lich um den Brennpunkt F (vergl. Fig. 66) einen Kreis mit dem 



326 § 81. Anwendung auf einzelne Curven. 

beliebigen Halbmesser TF= J2V = a: + 1- und macht OQ=TO, 

so schneidet die Gerade, welche durch Q parallel zur Y-Axe 
gezogen wird, den Kreis in zwei Punkten P und P* der Pa- 
rabel. Dabei sind TP und TP* die Tangenten und PN und 
PiV die Normalen in den Punkten P und P*. 



Auch die Gleichungen von Tangente und Normale lassen 
sich jetzt ohne Weiteres angeben. Allgemein ist die Gleichung 
der Tangente 



also hier 



y^-y=Tx^^-^^^ 



y'— y = ~(^— ^), 



oder 

(18.) y^^ — y'^pix' — x). 

Berücksichtigt man noch, dass nach Gleichung (13.) 
jp- gleich 2fx ist, so geht Gleichung (18.) über in 

(18a.) W=P{^'^^\ 

Die Gleichung der Normale ist allgemein 



also hier 



dx 



'1: 

oder 

(19.) y(a:' — rr) + f{y' — y) = 0. 

Aufgabe 4. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale 
und Tangente für die Ellipse 
(20.) J2a;2 + aY — €fih^ = 

berechnen, (Vergl. Fig. 68.) 

Auflösung. Aus Gleichung (20.) folgt durch Differentiation 

2V^xdx + 2a^ydy = 0, 



§ 81. Anwendung auf einzelne Curven. 



327 



oder 

Löst man noch die 
Gleichung (20.) nach 
y au^ so erhält man 



Fig. es. 



(22.)y=±-y55=^, 

folglich wird, wenn 
man nnr das obere 
Vorzeichen berück- 
sichtigt, 




(23.) 



X 



dx a y^jp. — x^ 



(iy-+(iy= 



a4 _ qIx^ + IH'^ 



2-r2 



e^'X 



a2(a2_a;2)' 



(240 :z: = 



a\a^ — x^) ' 

wobei die Excentricität der Ellipse, nämlich die Grösse y«2 — j2 
mit e bezeichnet worden ist. Dies giebt. 

cfe ds dx ya^ — e^^ 

dx öVa^ ^ ' dy dx dy hx 

folglich ist 

(25.) >S«=QiV=y|^=-*^, >S<= TQ = y^ = -f^=f'. 

^ dx a^ ^ dy x 

In der letzten Gleichung ist der folgende Satz enthalten: 

Bei allen Ellipsen mit derselben grossen Axe 2a gehören zu 
gleichen Ahsdssen gleiche Subtangenten. 

Diesen Satz kann man anwenden, imi in dem Punkte P 
einer Ellipse, auch wenn sie nicht gezeichnet vorliegt, wenn nur 
die grosse Axe bekannt ist, die Tangente zu construiren. 

AuflSsung. Man beschreibe über der grossen Axe als Durch- 
messer einen Ereis, welcher von der Ordinate des Punktes P 
in einem Punkte P getroffen wird. Legt, man nun im Punkte 
P an den Kreis eine Tangente, welche die grosse Axe im 
Punkte T schneiden möge, dann ist TP die gesuchte Tangente, 



328 



§. 81. Anwendung auf einzelne Curven. 



weil der Kreis und die Ellipse für die Punkte P' und P die- 
selbe Subtangente TQ haben müssen. 

Femer ist 



iV=PJ^=v^=*J^5^, 



(26.) 



dx 



a' 






ax 



Die Gleichung der Tangente wird mit Bücksicht auf 
Gleichung (21.) 



oder 



ah/y* — ahf^ + h^xa^ — b^x^ = 0. 

Nun ist aber nach Gleichung (20.) 

daher erhält man durch 
Addition der beiden letz- 
ten Gleichungen 

V^xx* -f ahfy^ = am^^ 

oder l 

N \A*') ^:2 +"72 — ■'■• 



Fig. 60. 




a 



J2 



Die Gleichung der 
Normale wird 



y' 



— y = S(^'-^X 



}ßx 



oder 

oder 

(28.) 



V^xy* — V^xy — cfl-yoif -|- a^xy = 0, 
a^yx^ — ly^xy* — e^xy = 0. 



(29.) 



In ähnlicher Weise findet man für die Hyperbel (Fig. 69) 

/p2 — fjfi 



Sn^QN = ^^y 



ü' 



St^TQ^ 



X 



§ 81. Anwendung auf dnzelne Curven. 



329 



(30.) 






Die Gleichung der Tangente ist bei der Hjrperbel 

y.^H ^2 ^2 — ^» 

und die Gleichung der Normale 

(32.) «V^' + b^xy' — e^a-y = 0. 

Aufgabe 5. Man soll Subnoimale, Subtangente, Normale und 
Tangente fflr die Sinuslinie 
(33.) y = sina: 

berechnen. (VergL Fig. 70.) 

Fig. 70. 




. Auflösung. Aus Gleichung (33.) folgt 



34.) 



^ = cosa:. 
dx 



Dies giebt 

$. = — Vl + C0S2;r, 
rfy C0S2: ^ 



deshalb wird 

(36.) Sn^y-^^ sina; cosa-, 






da 



(87.) iV = y ^ = sina-VT+cöPr, T = y-j- = tgaryi+COSV 



330 



§ 81. Anwendung auf einzelne Corven. 



Aufgabe 6. Man soll Subnormale, Snbtangente, Normale 
und Tangente fär die ExponentiaUinie 
(38.) y = ö» 

berechnen. (Vergl. Fig. 71.) 



Fig. 71. 



Auflösung. Ans Gleichung (38.) folgt 




(39.) 



f^ — 



ds 



dx 



= «*. :j: = Vr+ 



dx 



e 



i2x 



dy <F^^^^ ' 



dies giebt 

(40.) Ä»=y$=<^=y2, ^=y^=l. 



dx 



(41.) 






Aus den Gleichungen (40.) folgt der Satz: 

Die Suhtangente ist hei der ExponentiaUinie comtant, 

Aufgabe 7. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale 
und Tangente für die gemeine Kettenlinie 



(42.) 



all! 
= 9V 



+ « 



) 



berechnen. (Vergl. Fig. 72.) 

Auflosung. Man kann zunächst 
die Gleichung der gemeinen Ketten- 
linie noch auf dne andere Form 
bringen. Es ist nämlich 

y2 _ «2 = ^ (ö*^ + 2 + <?" V- «^ 




? 







X 



OA^a. 



= ^(.^-r^), 



§ 81. Anwendung auf einzelne Curven. 



331 



±yy5^i^=j(.^-.. 0. 



also 

(43.) ^r. - -2 

Durch Addition der Gleichungen (42.) und (43.) erhält man 

y ± Yy^ — ö^ = o^ 



X 

a 



oder 

(44.) 



X 



= a\(l 



Hierbei gilt das obere oder das untere Speichen, jenachdem 
z positiv oder n^ativ ist. 

Der Kürze wegen möge in dem Folgenden vorausgesetzt 
werden, dass x positiv ist, dann findet man aus Gleichung (42.) 
durch Differentiation 



(45.) 



|=i(.^_r^)=i>^;w=tg«. 



(Ö^-+(S)^-+K^--^+«"') 



2^ 
a 



=jV"+2+« 



^=i( 



X 



e^ + e 



x\2 
a 



-y. 



also 

Dies giebt 






(47.) 



W 

" dy Yyi _ «2 



y 



(48.) N=PN=y^ = ^, T=TP=y^ = - 

^ ' ' dx a " dy Vyi «2 

Aus Gleichung (45.) ergiebt sich die Construction der Tan- 
gente in einem Curvenpunkte P, auch wenn die Curye nicht 
gezeichnet vorliegt, in folgender Weise. 



332 



§ 81. Anwendung auf einzelne Curven. 



Man beschreibe über QP als Durchmesser einen Kreis 
(Fig. 72) und trage von Q ans die Sehne QS gleich a ab, dann 
ist die Gerade PS^ welche die X-Axe im Punkte T schneiden 
möge, die Tangente im Punkte P, denn es wird 

tg QTP = igSQP = Ig = 15!E£? = tga. 

Aufgabe 9. Man soll die Gleichungen der gemeinen Cycloide 
aufteilen. (Vergl. Fig. 73.) 

Auflösung. Wenn ein Kreis auf einer geraden Linie rollt, 
ohne zu gleiten, so beschreibt jeder Punkt der Peripherie dieses 
Kreises eine gemeine Cycloide. 




Um ihre Gleichungen zu bestimmen, mache man die Gerade 
OX (Fig. 73), auf welcher der Kreis rollt, zur X-Axe und lege 
die r-Axe durch denjenigen Punkt 0, in welchen der die Cy- 
cloide erzeugende Punkt filllt, wenn der rollende Kreis in diesem 
Punkte die X-Axe berührt. 

Rollt der Kreis, von dieser Anfangslage ausgehend, fort, 
bis sein Mittelpunkt na^h M und der erzeugende Punkt nach P 
gelangt, so ist P ein Punkt der Cycloide mit den Coordinaten 

(49.) OQ^x und QP=y. 

Ist femer B der Berührungspunkt des Kreises um Jf , so 
nennt man den Centriwinkel PMB den Walzungswinkel ; er 
wird gemessen durch die Länge t des Kreisbogens, der in einem 
Kreise mit dem Halbmesser 1 demselben Centriwinkel entspricht. 
Wenn man also den Halbmesser des rollenden Kreises a nediit, 
so ist der Bogen 



§ 81. Anwendung auf einzelne Curven. 333 

(50.) PB = at. 

Dieser Bogen muss aber der Strecke OB gleich sein, auf 
welcher der Kreis fortgeroDt ist, um aus der Anfangslage in die 
neue Lage zu kommen. Es ist also auch 

(51.) OB = at; 

femer ist 

QB = PD — awit, 
und deshalb 
(52.) x=^OQ-OB—QB^ a{t — sint). 

Da ausserdem 

BM=:a und DM=acost 
ist, so wird 

(53.) y=QP^BD = BM— DM = a(l — cos/). 

» 

Aus den Gleichungen (52.) und (53.) kann man noch die 
Grösse t eliminiren. Man erhält dadurch, wie in § 76 (Gleichung 
(9.)) gezeigt wurde, 

(54.) a; = aarc cos y M — y2at/ — y\ 

Bei der Untersuchung der Cydoide ist es aber bequemer, 
von den beiden Gleichungen 

x = a{t — sin/), y = a(l — cos/) 
auszugehen. 

Aufgabe 10. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale 
und Tangente für die Cycloide 

(55.) x = a{t — sin/), y = a(l — cos/) 

berechnen. (Vergl. Fig. 73.) 

Auflosung. Aus den Gleichungen (55.) folgt durch Differen- 
tiation 
(56.) di=a(l — cos/)rf/, dy==asin/rf/, 

und daraus durch Division 

dx l-cos< 2sin» 



■<i) 



834 § 81. Anwendung auf einzelne Curven. 

oder 

(57.) s='^m)=*?«' 

wo a der Winkel ist, welchen die Tangente im Punkte P mit 
der positiven Bichtung der X-Axe bildet. 

Aus Gleichung (57.) ergiebt sich zunächst, dass 

(58.) a = 90ö — |- 

ist. Nun ist der Winkel PCB (Fig. 73.) als Peripheriewinkel 
halb so gross wie der Centriwinkel PJfB, folglich ist 



und 



2^PCB^^ 



^ P TÄ = 90 — P (75 = 90 — 4 = a. 



Verbindet man also den höchsten Punkt C des Kreises um 
M mit dem erzeugenden Punkte P, so erhält man die Tangente 
der Cycloide im Punkte P. 

Femer ist 



^^ = y'^ = <'^—^^^)^'^{^ 



= 2asin2(|.)ctg(|) = 2asin(|)c (|) 

oder 

(59.) 8n =iamit= PD= QB. 

Die Normale geht also durch den Punkt £, in dem der 
Kreis um Jf die X-Axe berührt. 

Dieses Resultat ist schon eine Folge des vorhergehenden, 
weil der Winkel CPB als Peripheriewinkel im Halbkreise ein 
rechter ist, und die Normale auf der Tangente im Berührungs- 
punkte senkrecht steht. 

(60.) 'S^ = y^ = «(l-cos^)tg(|) 

= 2asin^(|)tg(|) 



§ 81. Anwendung auf einzelne Curven. 



as5 



also 



ds 

dx 



^(1) 



ds ds dx 
dy dx dy 



COS 



(0 



dies giebt 



(61.) iy=-p^=y^= -^;;"'- =2asm(i) 



(62.) T=2'P = y^=«il:=^=2asm(|)tgQ. 



rfy 



COS 



(ö 



Aufgabe 11. Man soll die Gleichungen der gemeinen Epi- 
cycloiden und Hjrpocydoiden herleiten. 

Auflösung. Wenn ein Kreis mit dem Halbmesser a auf einem 
festen Kreise mit dem Halbmesser na rollt, ohne zu gleiten, so 
beschreibt jeder Punkt auf dem umfange des rollenden Kreises 
eine gemeine Epicydoide oder Hypocydoide, jenachdem die Be- 
rührung von Aussen oder von Iimen stattfindet 

Findet die Berührung zunächst von Aussen statt (Fig. 74) 
so mache man den Mittelpunkt 

V\if 74. 

des festen Kreises zum Null- 
punkt und lege die X-Axe 
durch deiyenigen Punkt A^ in 
welchem der die Curve erzeu- 
gende Punkt der Berührungs- 
punkt der beiden Kreise wird. 
Liegt dann beim Weiterrollen 
des beweglichen Kreises um M 
der Berührungspunkt in JS, so 
nennt man Winkel 

AOB = t 
den Wälzungsmnkel des festen und PMB den Wälzungstoinkel 




3S6 § 81. Anwendung auf einzelne Curven. 

des rollenden Kreises, wobei P ein Punkt der Curve ist. Dann 
wird ^ _ 

AB = PB, 

oder, weil AB zum Centriwinkel t und zum Halbmesser na 
gehört, 

PB=^ÄB=:ina.t=^a.nt. 
Daraus folgt, dass Winkel 

PMB = rd und PCB = ^ 

ist. Verbindet man noch mit P und bezeichnet die Strecke 
OP mit r, den Winkel AOP mit y, so folgt aus dem Dreieck 
OPM durch Anwendung des Sinussatzes, 

(63.) OP : MP = sin OMP : sin MOP, 

(64.) OP : Jfef = sin 03f P : sin OPM, 

oder 

(63a.) r : a = sin [nf) : sin(< — y), 

(64a.) r : (» + 1) a == sin(w<) : sin(n^ + ^ — tf). 

Dies giebt, wenn man w + 1 mit m bezeichnet, 

(65.) rsin(< — 9)) = asm(»^), 

(66.) r sin (fn< — ^) = ma sin («^), 

oder 

(65a.) rsin^cosy — rcos^siny = asin(n<), 

(66 a.) rsin(m^) cosy — rcos(m^) siny = masm(ni). 

Die rechtwinkeligen Coordinaten des Punktes P sind 
OQ = a; = rcosy und QP = y = rsiny, 
folglich gehen die Gleichungen (65 a.) und (66 a.) über in 

(67.) a:sin^ — ycos^ = asin(»^), 

(68.) X sin (mt) — y cos (mQ = ma sin (nt), 

also 
x[m{mt) cos^ — cos(iw^) sin^] = ami{nt) [mcos^ — cos(m^)], 

y [sin (mt) cost — cos(m^) sin^] = asin(w^) [wsin^ — sin(w<)], 

oder, weil 

sin {mi) cos t — cos (tni) sin ^ = sin {mt — ^) = sin(«^) 
ist, 



§ 81. Anwendung auf einzelne Curven. 



337 



(69.) x:= a[tncost — cos {frU)]j 

(70.) y = a[msin^ — sm(m^)]. 

Dies sind die Gleichungen der Epicycloiden. 

In ähnlicher Weise findet man die Gleichungen der Hypo- 
cycloiden. Wendet man nämlich in Figur 75 die entsprechenden 
Bezeichnungen an wie in Figur 74, so findet man wieder aus dem 
Dreieck OFM durch Anwendung des Sinussatzes 

(71.) OP: MP=^smOMP: sin MOP, 

(72.) OP : O-S/ = sin OMP : sin OPM. 

In dem vorliegenden Falle Fig. ts. 

ist wieder 

AB=^PB, 

oder 

PB zrz na .t^=^ a .nt, 

wenn man den Wälzungswinkel 
AOB des festen Kreises mit 
t bezeichnet. Der Wälzungs- 
winkel PMB des rollenden 
Kreises ist daher nt. Indem 
man wieder OP mit r und 
Winkel -4 OP mit y bezeichnet, 
gehen daher die Gleichungen (71.) und (72.) über in 

(71 a.) r : a = sin(n^) : sin(^ — y), 

(72a.) r:{n — l)a = sin(n<) : sin(»^ — 1+ ^). 

Dies giebt, wenn man in diesem Falle n — 1 mit m be- 
zeichnet, 
(73.) rsin(< — y) = asm(nt\ 




(74.) 
oder 
(73 a.) 

(74 a.) 



rsm(m^ + y) = mami(nt), 



rsin^ cosy — r cos^ siny = asin(«<), 

rBm(nU) cosy -f- rcos(m^) siny = wasin(»<), 

also, wenn man wieder die rechtwinkeligen Cioordinaten des 
Punktes P durch die Gleichungen 

Stegemazm-Kiepert) Düferential-Beolmimg. 



22 



dsa* 



§ 81. Anwendung auf einzelne Curven. 



arsin(mO + ycos(m^) = wasin(n^), 



X = rcoB% y = rsiny 
einfuhrt, 

(75.) 
(76.) 

also 

x\wi{int) cos^ + cos {mt) sin^] = asm(«^)[mcos^ + cos(m^)], 

y[sm(wi^)cos^+cos(m^)sm^] = asin(n^)[wism^ — sin(m^)], 

oder weil 

sin(m<)cos^+ cos(m<)sin^ = sin(m + 1)^ = sm(»<) 
ist, 

(77.) a; = a [mcos ^ + cos(m<)], 

(78.) y = a [msin ^ — sin {m()\. 

Ein besonderer Fall der Epicycloiden ist die Cardioide 
(vergl. Fig. 76), deren Oleichungen man aus den Gleichungen 
(69.) und (70.) erhält, indem man n = l, also m = 2 setzt. 
Dies giebt 

(79.) X = a[2cos^ — COS (2/)], 

(80.) y = a [2 sin< — sin (2 1)]. 

Der feste und der rollende Ereis haben in diesem Falle 
denselben Halbmesser a. 



Fig. 76. 



Fig. 77. 





Ein besonderer Fall der Hypocychiden ist die Astroide (vei^l. 
Fig. 77), deren Gleichungen man aus den Gleichungen (77.) und 
(78.) erhält, indem man n = 4, also m = 3 setzt. Dies giebt 



§ 81. Anwendung aut' einzelne Corven. 339 

(81.) a: = a[3C0S^ + C0S(3^)], 

(82.) y = a[3sin^ — sin(30]• 

Da bekanntlich 

cos (3^ = 4 cos3/ — 3 cos ty 

sin(30 = 3sin^ — 4sm3^ 
ist, so gehen die Gleichungen (81.) und (82.) über in 
(81a.) ar = 4 a cos^^, (82 a.) y = 4 a sin'^. 

Aufgabe 1^. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale 
und Tangente für die Epicydoide 

(83.) X = a[mcos^ — cos{mt)], y = a[msin< — sin(fn^] 
berechnen. (Vergl. Fig. 74.) 

AuflSsung. Aus den Gleichungen (83.) erhält man durch 
Differentiation, wenn man m+ l = n + 2 mit l bezeichnet, 

(84.) dx = fna[ — sin^ + sin(w^)] dt = 2masinf ^jcosf - j dt, 

(85.) dy = ma[ci9S^ — C0S(w^)]c?^ = 2masinf ^jsin(-jeß, 
und daraus durch Division 

(86.) |=.s. = tg(D=m+,) 

oder, wenn man mit h eine ganze Zahl bezeichnet, 

nt 
(86a.) a=-y + t±h7t. 

Daraus folgt, dass die Gerade PC, welche die X-Axe im 
Punkte T schneiden möge, Tangente der Ourve im Punkte P 
ist, denn Winkel NTC ist als Aussenwinkel des Dreiecks TCO 
gleich Winkel 

nf 

TCO+ COT=^ + t, 

also gleich a. Da der Winkel CPB als Winkel im Halbkreise 
ein rechter ist, so muss PB die Normale im Punkte P sein. 
Dies giebt den Satz: 

Die Tangente im Curvenpunite P schneidet den rollenden 
Kreis zum zweiten Male in einem Punkte (7, welcher mit dem 

22* 



340 § 81. Anwendung auf einzelne Curven. 

BerührunffSpunkte B auf einem Durchmesser liegt; oder die 
Normale des Punktes P geht durch den Punkt Bj in welchem 
der rollende Kreis den festen Kreis berührt. 

(87.) ». = ,|=,t,(D. « = i,| = j,cm); 

also 

. ds 1 ds ds^ dx 1 

^^ ' di "" 7ä\' '^~ dx"dy~ ~~ß\ 

folglich wird 

= «^ = _JL_, T = y^= y . 

(2) ^^k) 



(89.) iV=y^ = -^, T^y^ 

cos' * ^ 



Aufgabe 13. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale 
und Tangente für die Hypocycloiden 

(90.) X = a[fncos / + cos(w^)], y = a [wsin ^ — sin(w^)] 

berechnen. (Vergl. Fig. 75.) 

Auflösung. Aus den Gleichungen (90.) erhält man durch 
Differentiation, wenn man hier m — 1 = « — 2 mit / bezeichnet, 

(91.) di=ma[— sin ^ — Wi{mt)\dt == — 2wasinf ^jcos^- jrf^, 

(92.) dy = ma [cos t — COS (mt)] dt=^2ma sin ( ~ jsinf — j* , 
und daraus durch Division 

(,3.) |=.,. = _m)=_m_,) 

oder, abgesehen von einem Vielfachen von tt, 

(93a.) a = TT — — + t, oder -^ — ^ = tt — a. 

Daraus folgt, dass die Gerade PC, welche die X-Axe im 
Punkte T schneiden möge, Tangente der Curve im Punkte P 



§ 81. Anwendung auf einzelne Curven. 341 

ist, denn der Dreiecks^^inkel CTO ist gleich dem Anssenwinkel 
TOB ( oder — j> weniger dem anderen Dreieckswinkel CO T 
(oder t\ also 

fit 

CTO^^ — t^zn^a. 

Da dei- Winkel CPB als Winkel im Halbkreis ein rechter 
ist, so muss PB die Normale im Punkte P sein. 

Man erhält daher hier denselben Satz wie bei der Epi- 
cycloide. 

(94.) Sn = y% yü(^ St = yf^ = -y^^; 

also 

^^^•^ di^ 7lf{ ^= + 



/lt\ dy ' . /lt\ 

"^k) ^(2) 



wobei das Vorzeichen dadurch bestimmt ist, dass s für kleine 
Werthe von t zunimmt, während x abnimmt, dass also dx und 
ds entgegengesetztes Zeichen haben. Dies giebt 

(96.) iV=y^ = y—, T = y^=-y-- 

^(2) ^(2) 

Für die Jstroide wird 

» = 4, w = 3, / = 2, 



also 



(97.) 



Idy 
-^=:—tgt, Sn=:—ytgt, St = —yctgt, 



dx 



cos^ sin^ 



Aufgabe 14. Man soll die Gleichungen der Kreisevolvente 
herleiten. (Vergl. Fig. 78.) 



342 



§ 81. Anwendung auf einzelne Curven. 




Auflösung. Die Kreisevolvente enteteht durch Abmckelnng 
eines Fadens von einem Ej*eise, wobei der Endpunkt des ge- 
spannten Fadens die Curve durchläuft. Es sei JS der Punkt, 

Fig. 78. in welchem der Faden 

den Ej'eis verlässt, dann 
ist der gespannte Faden 
BP die Tangente des 
Ej'eises im Punkte B^ und 
es wird die Gerade 

BP—BA = at, 

wenn A der Endpunkt des 
au%ewickelten Fadens, 
a der Halbmesser des 
Kreises und t der Winkel 

AOB ist. Diesen Winkel nennt man auch hier den Wälzung s- 

loinkeL 

Macht man den Mttelpunkt des Kreises zum An£angs- 
punkt der Coordinaten, legt die X-Axe durch den Punkt Ä und 
zieht durch B die Gerade BC parallel zur F-Axe und durch 
P die Gerade PD parallel zur X-Axe, so wird 

OQ = x=ÖC+ CQ= OC+DP, 
QPz=y=CB — DB, 

oder, weil auch Winkel DBP gleich t ist, 

(98.) X = a(cos< + ^sin^), y = a(sin^ — ^cos^). 

Aufgabe 15. Man soll die Subnormale, Subtangente, Normale 
und Tangente der Kreisevolvente berechnen. (VergL Fig. 78.) 

AuflSsung. Aus den Gleichungen der Kreisevolvente, näm- 
lich aus den Gleichungen (98.) folgt 

(99.) dx = atiM&tdt^ dy = at^mtdtj 

und daraus durch Division 



(100.) 



^=:tfira = 



dx 



tga = tg^. 



Dies giebt den Satz: Die Tangente TP im Curvenpunkte 
P ist dem entsprechenden Kreishalbmesser OB parallel^ und der 



§ 82. Asymptoten einer Curve. 343 

den Kreis im Punkte B berührende Faden BP ist Normale der 
Kreisevolvente, Ferner wird 

(101.) (|Y = 1 + tg^ = _!-,, 1=0., 



(102.) 



ds ^ds dx ^ 1 COS< _ 1 
dy^dx rfy ~ cos^* sm^"" sin^' 
(103.) Sn=QNz= ytgt, St—TQ — yctgt, 

(104.) N^PN = '^^ T=TP = ^,^ 



§82. 

Asymptoten einer Curve. 

(VergL die Formel-Tabelle Nr. 102.) 

Erklärung. Eine Tangente, deren Bertihrangspunkt unend- 
lich fem liegt, heisst eine Asymptote der Curve. 

In diesem Falle ist die Formel Nr. 95 der Tabelle, welche 
die Gleichung der Tangente angiebt, nämlich 

nicht mehr anwendbar, weil die Differentiation dann nicht mehr 
ausgeführt werden kann, denn x und y (oder wenigstens die 
eine von diesen beiden Grössen) werden unendlich gross. Da- 
gegen führen die folgenden algebraischen Untersuchungen zum 
Ziele. 

Es sei 

(1.) f(x) = oa;* -f- «lÄ^-i 4- a2a;*-2 -f- . . . + a^^^ x + a„, 

dann wird in der Algebra gezeigt, dass es einen (reellen oder 
complexen*)) Werth von x geben muss — er heisse x^ — , für 
welchen f{x) = wird, wobei man x^ eine Wurzel der Gleichung 
/(a;) = nennt. Es gilt also 

Satz 1. Jede algebraische Gleichung besitzt eine Wurzel. 



*) Unter einer complexen Grösse versteht man eine Zahl von der 
Form a + by^^. 



344 § 82. Asymptoten einer Curve. 

Ist a?i eine Wurzel der Gleichung f{x) = 0, so wird 

Subtaraürt man die Gleichungen (1.) und (2.) von einander, 
so erhalt man 

oder -nach Formel Nr. 12 der Tabelle 
(3 a.) f(x) ^[x — x^) [a(a^i + x^x"'-'^ + x^'^x"'-^ + ... + x^""-^) 

+ öj {a^^ + :ria:'*-3 + Xi^x""^ + . . . + a:i*»-2) 

+ 

Bezeichnet man die ganze rationale Function {n — 1)*«** 
Grades in der eckigen Klammer mifi{x\ so wird daher 

wobei 

Damit ist der folgende Satz bewiesen: 

Satz 2. /.s< x^ eine Wurzel der Gleichung f{x) = 0, so ist 
f{x) durch den Factor x — x^ ohne Rest theilbar. 

Nach Satz 1 hat jetzt auch die Gleichung (n — 1)**^ 
Grades /i (a;) = eine Wurzel, die X2 heissen möge; dann ist 
nach Satz 2 

(5.) /i {x) =z(x — X2)f2 (X) , 

wobei 

eine ganze rationale Function {n — 2)**** Grades ist. Ebenso 
findet man die Gleichungen 

(6.) /j {x) = (x—x^)f^ (x) = {x—x^)iax'"-^+d^af"^ + . . . + c?n-3), 

(7.) fz («) = (^ — ^4)/4 (^) = (^— a?4) (ö^**^ + e^x""-^ + • . . + ^n-4), 
(8.) /»-2(«) = {X — Xn^\)fn-\ (x) = {x — Xfir-i) {OX + A), 

k 

(9.) fn-\{x) = a{x — :rn), wobei a;« = — - 



§ 82. Asymptoten einer Curve. 345 

ist. Multiplicirt man die Gleichungen (4.) bis (9.) mit einander 
und hebt die Factoren 

auf beiden Seiten fort, so erhält man 

(10.) f{x) ss:a(x X^)(X X2)(x X^) . . . (x Xn). 

Daraus folgen die Sätze: 

Satz 3. Jede ganze rationale Function n**^ Orades läset 
eich in n lineare Factoren (d. h. Factoren ersten Grades) zer- 
legen. 

Satz 4. Jede Gleichung w**** Grades hat genau n Wurzeln. 

Aus Gleichung (10.) ersieht man nämlich, dass f{x) = 
wird für die n Werthe 

X ^~" Xa • X — ^ Xty . X — M/ß. • • • X ^^ Xfi» 

und dass f{x) für keinen anderen Werth von x verschwinden 
kann. Denn wäre f{x) = für ar = iCn+i, wobei Xn^\ von x^^ x^, 
x^j...xn verschieden sein soll, so würde aus Gleichung (10.) folgen 

(11.) a(Xn^i X^) (Xn^l — X2) (Xn-^-i — ^^3) • • • (^n+l — ^n) = 0. 

Dies ist aber ein Widerspruch, denn nach Voraussetzung 
sind sämmtliche Factoren dieses Productes von verschieden. 

Lässt man die Voraussetzung a ^ fort, so folgt aus der 
Gleichung (11.), dass a = sein muss, und dass sich/(a:) auf 
eine rationale ganze Function {n — 1)^*" Grades 

a^x^-^ + a^x^"^ + . . . + öfn-i X + an 

reducirt, welche fär mehr als n — 1 Werthe von x verschwindet 
Daraus würde man wieder schliessen, dass auch «1 = seii^ 
muss. Indem man diesen Schluss wiederholt, findet man 

Satz 5. Verschvnndet die ganze rationale tknction n*^ 
Chrades 

f(x) = ax*" + a^x""'^ + . . . + «n-ia: + »n 
für mehr als n verschiedene .Werthe von x, so müssen sämmt- 
liche Coefßdenten a, a^, ^9 • • • (^n-u ^n gleich sein. 

Es ist nicht ausgeschlossen, dass unter den t) Wurzeln x^^ 
X2,... Xn einer Gleichung n^^ Grades auch etliche einander 
gleich sind. Ist z. B. x^ = x^, so wird nach dem Vorstehenden 



846 § 82. Asymptoten einer Curve. 

(12.) f{x) = [x — x,)^Mx), 

(13.) fix) = 2 (^ - x,)f^ {x) + (x — x,Yf'i{x) 

= {x — Xi) [2/2 {x) + {x — a:i)/'2(a;)] = {x—Xi)^{z), 

d. h. x^ ist dann aach eine Wurzel der Gleichung 

fix) = 0. 

Dieses Besultat kann man noch yerallgemeinem. Ist x, 
eine a-&che Wurzel von/(a;) = 0, ist also 

X\ — •C2 ""~ »^3 "~ • • • —— «2/0;) 

SO wird nach dem Vorstehenden 

(14.) f{x) = {x-x,Yfa{x\ 

(15.) /' {x) = a{x — x,)^^fa {x) + {x — x^) «/'„ {x) 

^{X- X.y-^ [afa{x) + {X- X,)ra{x)\ 

^{x — x^Y-^g>{x). 

Dies giebt 

Satz 6. Ist x^ eine a-ftushe Wurzel der Okichung f{x)^=^0^ 
so ist Xi eine (a — 1) 'fache Wurzel der Gleichung f*{x) = 0, 
eine (a — 2) -fache Wurzel der Gleichung /"(a;) = 0, . . . und 
eine einfache Wurzel der Gleichung f^^-^^{x)-=^^. 

Ein besonderer Fall hiervon ist der, dass 
wird, dann reducirt sich die Gleichung w^** Grades auf 

(16.) f{x) — ax^ + a^sf"^ + . . . + On-«^« = 

und hat die «-fache Wurzel ä = 0. 

Setzt man « = 7, so geht die Gleichung /(^r) = über in 

oder, wenn man die ganze Gleichung mit ^ multipUcirt, in 
(17.) anf + «n-i^-^ + ... + a^t+a^O. 

Jeder Wurzel ^« dieser Gleichung entspricht eine Wurzel 

xa = — der Gleichung f(x) = 0. Wenn nun 

a = 0, «1 = 0, «2 = 0,... a«-! = 



§ 82. Asjmaptoten einer Curve. 347 

ist, so reducirt sich Gleichung (17.) auf 

(17 a.) «H.^ + «n-i ^'»-^ + . . . + ««<** = 

und hat die «-fache Wurzel ^ = 0, folglich werden in diesem 

Falle «Wurzeln der Gleichung /(ar) = unendlich gross. 

Die Bestimmung der . Asymptoten einer Curve mit der 
Gleichung 
(18.) F{x, y) = 

möge nun auf den Fall beschränkt werden, wo F(xj y) eine 
ganze rationale Function n***^ Grades ist. Dann beachte man 
zunächst, dass die Asymptote eine gerade Linie ist, deren 
Gleichung die Form 

(19.) Aa^ + By' + C=0 

haben muss. Ist f < 0, so erhält man hieraus 

(19 a.) y' = mx' + (a^ 

und ist .4<0, so erhält man 

(19b.) x' = ly' + X, 

wobei 

(20.) ^ = -5' ^--A = m 

ist. Wird -B = 0, so ist die Gerade parallel zur F-Axe und 
hat die Gleichung 

x' = X, 
während die Gleichung (19 a.) nicht benutzt werden kann. Wird 
^ == 0, so ist die Gerade parallel zur X-Axe und hat die 
Gleichung 

y' = /*, 
während die Gleichung (19 b.) nicht benutzt werden kann. 

Damit die Gerade (19 a.) oder (19 b.) durch den Curven- 
punkt P mit den Coordinaten x und y hindurchgeht, muss 

y = mx + [i und x = ly + X, 
oder 

(21.) m = y-^ und / = i-^ 

XX y y 



348 § 82. Asymptoten einer Ourve. 

sein, wobei zunächst angenommen ist, dass der Punkt P im 
Endlichen liegt. Eückt aber P in's Unendliche, so wird 

(2la.) »» = lim(|-^)=M(|) . 

(21b.) /=lim('---)=lim('-\ 

Um nun die Grössen lim(- j bezw. lim(- j zu berechnen, 

beachte man, das x und y die Coordinaten eines CiK^ri^^/^punktes 
sind, dass man diese Grössen also aus der GMchung der Curve, 

nämlich aus 

F{x,y) = 

berechnen muss. Zu diesem Zwecke ordne man F{x^ y) so, dass 
(22.) F{x,y) = Z7„ + CTn-i + . . . + Z7i + CTo = 
wird, wobei 

alle Glieder der «^^ Dimension, 

alle Glieder der {n — 1)**** Dimension, 

ÜJ = Äy + i^x 

die Glieder der ersten Dimension enthält, und Uq eine Constante ist. 
Dividirt man jetzt die Gleichung (22.) durch af^, so wird 

w 5= <!)"+ ».(ir+<ir+-+-<i)+ «• 

nur noch von ~ abhängig sein. Dagegen wird 

(-) %-'= J[<r + Kr + Kr +-+h- 

Lässt man jetzt x unendlich gross werden, so ist 

lim(|)=«», 
und wenn m -eine endliche Grösse ist, 

lim%l = 0. 



i 



§ 82. Asymptoten einer Curve. 349 

Ebenso werden die Grössen lim— ^,... lim— ^, lim—? 

gleich Oy so dass sich die Gleichung (22.) bei der Ausführung 
der angegebnen Operationen auf 

(25.) lim -^ = aw» + aiin*"^ + «2*'»**""^ + • • • +an-im + an = 
x^ 

reducirt. 

Die n Wurzehi dieser Gleichung entsprechen n Eichtungen, 
in denen unendlich ferne Punkte der Curve liegen. 

Eine Curve nf^ Grades hat daher n unendlich ferne Punkte 
und deshalb auch n Asymptoten, von denen aber einige imaginär 
sein könneny dem Umstände entsprechend, dass die Gleichung (25.) 
imaginäre Wurzeln haben kann. 

Wenn in Gleichung (25.) der Coefficient von »»•», nämlich 
flf, gleich wird, so reducirt sich der Grad der Gleichung (25.) 
und somit auch die Anzahl ihrer Wurzehi, nicht aber die An- 
zahl der Asymptoten. Es wurde ja schon vorher darauf hinge- 
wiesen^ dass die Gleichungsform 

y* = mx* + /i* 
für die Asymptote nicht immer verwendbar sei. Dieser Fall 
tritt ein, wenn a gleich ist. 

Dividirt man nämlich die Gleichung (22.) durch y*, lässt 

dann y unendlich gross werden und beachtet, dass üm(-j = / 

ist, so erhält man • 

Wird jetzt a gleich 0, so hat diese Gleichung die Wurzel 

m ' 
und die entsprechende Asymptote steht auf der X-Axe senk- 
recht. Ist auch a^ gleich 0, so lässt sich in Gleichung (26.) 
auf der linken Seite der Factor /^ abtrennen, d. h. die Gleichung 
hat die Wurzel 

/=0 



350 § 82. Asymptoten einer Ourve. 

zwei Mal, so dass zwei Asymptoten auf der X-Axe senkrecht 
stehen. XJ. s. w. 

Nachdem man ans der Gleichung (25.) einen Werth von 
m (oder ans der Gleichnng (26.) einen Werth von l) bestimmt 
hat, kennt man erst die Richtung der Asymptote 

y* = fnx' + gi; 

nm ihre Lage vollständig zu erhalten, mnss man noch den zu- 
gehörigen Werth von [ju (bezw. X) an&nchen. 

Zu diesem Zwecke bestimme man die Punkte, in denen die 
Curve von der Geraden geschnitten wird. Für die Coordinaten 
eines solchen Punktes gelten die Gleichungen 

F(xj y) = und y^r^mz + fA 

gemeinschaftlich, also auch die Gleichung 

(27.) F(x, mx + fjL) = 0. 

Diese Gleichung enthält nur noch die eine unbekannte x 
und lässt sich, da sie höchstens vom n*^ Grade ist, auf die Form 

(27 a.) F(x,mx + /i*) = Fa:« + V^a^-^ + V,^-^ + . . . 

bringen. Wie die Coeflftcienten F, Fj , F^ , . . . gebildet sind, 
ergiebt sich aus der Betrachtung der Ausdrucke 

17n(a;, mx + ^), TJ^xix^ mx + ^), Un^i{x, ma: + /i*), . . . , 

in welche die Grössen ?7„, CT^-i, U,^i , . . . übergehen, wenn man 
y gleich mx + ii einsetzt. Es ist nämlich 

Un{x^ mx + (a) = 
a(mx + fj^y + a^x{mx + ^)*»-"i + . . . + an^^x^"^ (mx + /t*)+ö^n^ 
= (am^ + a^m*^-^ + . . . + On^im + a«)a?" 
+ fjt [nam**-^ + {n — 1) a^m*^"'^ + . . . + 2an-2»» + «n-ila^""^ 

+ 

J7n-i (a?, mx + [i)=i 
h{mx + iaY"^ + hYx{mx + iif"^ + . . . + hn-isf^^^{mx + fi) 

= (Jm'»-^ + iim*-2 + . . . + J„_2»» + in-l)iC**~^ + 

Daraus folgt 
(28.) F= am** + a^m^^^ + • • • + an-\fn + «•*, 



§ 82, Asymptoten einer Curve. 351 

(29.) Fi = filnam"^^ + (n — l) a^m*"^ + . . . + a»-i] 
+ {bm^-^ + h^m^-'^ + . . . + in-am + Jn-i), 

Da nuib der Werth von m bereits so bestimmt ist, dass 
Gleichung (25.) befriedigt wird, so ist schon deshalb 

r=o, 

d. h. die Gleichung (27 a.), nämlich die Gleichung 

hat bereits eine Wurzel 

oder mit anderen Worten, die Gerade 

y* = mx* + f* 

geht bereits durch einen unendlich fernen Punkt der Curve, 
welchen Werth auch ii haben mag. 

Damit sie aber die Curve in diesem Punkte berührt, muss 
man ^i so bestimmen, dass auch noch eine zweite Wurzel der 
Gleichung (27 a.) unendlich gross wird. Dies geschieht, wenn man 

(30.) Fl = 

macht, indem man 

^ *^ ^ ^ nam''-^ + (» — \)a^m^'-'^ + . . . + «n-i 
setzt. 

Die Eegel, welche sich aus dieser Untersuchung für die 
Behandlung von Beispielen ergiebt, ist daher folgende: 

Man dividirt Vn durch x"" und erhält dadurch, dass man 
UmT— ) gleich m setzt, die Gleichung (25.), nämlich 

lim-~ = am^ + a^;»**-* + a^m^-'^ + . . . + «n-i»» + «n = 0. 

X 

Ist m eine Wurzel dieser Gleichung, so setzt many=ma:+/i* 
in die Gleichung 

F{x,y) = 

ein , von der man aber nur die Glieder 17» + D^i braucht, 
dividirt durch x'^"^ und lässt dann x unendlich gross werden. 



352 § 82. Asymptoten einer Ourve. 

Dies giebt eine Gleichung ersten Grades für die Bestimmung 
von lA. 

Man hätte auch x mit y und in Folge dessen m mit l und 
fi mit X vertauschen können, um die Gleichung der Asymptoten 
in der Form 

zu erhalten. Diese Vertauschung ist sogar nothwendig, wenn 
eine oder mehrere Asymptoten der F-Axe parallel sind, d. h. wenn 

flf == 0, «1=0,.... 

Eine Modiflcation der gegebenen Regel tritt nur ein, wenn 
die Gleichung (25.)9 nämlich 
f{m) = am» + öim"-^ + a^m''-^ -f . . . + «n-i i» + «« = 0, 

gleiche Wurzeln hat, d. h. wenn unter den Asymptoten etliche 
zu einander parallel sind; dann wird nach den vorstehenden 
Sätzen aus der Algebra auch 

f'(m) = «a7»«-^+(«— l)aim«-2+(»— 2)a2W»-3 + ..- + an-i=0. 

Der Werth von f* ist deshalb entweder nach Gleichung 
(31.) unendlich, d. h. die zugehörigen Asymptoten rücken in's 
IFnendliche, oder es wird auch 

In diesem Falle wird Fj gleich für jeden beliebigen Werth 
von fjb, so dass man den Werth (oder vielmehi^ die beiden 
Werthe) von fi erhält, indem man 

^2 = 

setzt. Ist auch V2 für jeden Werth von f* gleich 0, und gilt 
dasselbe für Fg, . . . Fa-i (nicht aber für F«), beginnt also die 
Entwickelung von F{x, mx + fjt) nach fallenden Potenzen von x 
mit FjjX*^«, so bestimme man [ju so, dass auch 

F« = 
wird. Dies ist dann eine Gleichung a*®» Grades von /i*, dem 
Umstände entsprechend, dass a Werthe von m einander gleich 
sind, die aber zu a verschiedenen (zu einander parallelen) 
Asymptoten gehören. 

Am besten wird der Anfanger diese Angaben durch die 
Ausfährung an einigen hier folgenden Beispielen verstehen. 



§ 83. Anwendungeii auf einzelne Ourven. 



353 



§ 83. 

Anwendungen auf einzelne Curven. 

Aufgabe 1. Man soll die Asymptoten der Hypt 

(1.) V^x^ — ahP' — aW = 

bestimmen. (Vergl. Mg. 79.) 

Auflösung. Hier ist n gleich 2 und 



(2.) 
(2 a.) 

also 

(3.) 



X' 

U. 



X' 



= J2 



«'© 



Umii| = J2 — «2^2=0, 



5 = 00 ^ 



a 



JPig. 79. 



Die Gleichung der einen 
Asymptote ist daher 



(4.) 



y' = ~^' + ^. 



Um auch noch den Werfli 
von [b zu bestimmen, setze man y 

gleich - a; + ^ in die Gleichung (1.) ein. 




a 



Dadurch erhält man 



J2a.2 _ J2a:2 — ^dblbX — «2^2 _ a2j2 — Q, 



und wenn man durch x dividirt, 



(5.) 



— 2a5/i* — 



«2^2 + ^2J2 



X 



= a 



Lässt man jetzt x unendlich gross werden, so folgt hieraus 
(6.) — 2aJffr = 0, oder ffr = 0. 

Die Gleichung der ersten Asymptote ist daher 

(7.) y' = *^'; 



a 



ebenso findet man für die zweite Asymptote die Gleichung 

(8.) y' = --a:'. 



a 



Stegexnaxm- Kiepert, Bifferential-Beclmang. 



23 



354: § 83. Anweaiduiigen auf einzelne Ourven. 

Aufgabe 2. Man soll die Asymptoten der Parabel 

(9.) y2 — 2pa; = 

bestimmen. 

Auflösung. Hier ist wieder n = 2 und 

(10.) ^ = ^' lim^ = m* = 0, 

also 

(11.) f»i = 0, ^ = 0. 

Für beide Asymptoten findet man eine Gleichnng von der 
Form 
(12.) y' = /*; 

Um die zugehörigen Werthe von /ü zu finden, setzt man 
y = /i in die Gleichung (9.) ein und erhält 

(13.) ffi = 2px^ f*i = + ySpi, /*2 = — K2p^. 

Lässt man jetzt x in's Unbegrenzte wachsen, so wachsen 
auch f^i und ^^2 in's Unbegrenzte, d. h. die beiden Asymptoten 
rücken in's Unendliche. 

Aufgabe 3. Man soll die Asymptoten der Curve 

(U.) «3 + y3_3aÄy = 

bestimmen. (VergL Fig. 80.) 

Auflösung. Bei dieser Curve, welche man FoKum Cartesü 
nennt, ist n gleich 3 und 

(15.) 5'=^- + ©' 

(15a.) lim^ = l+«»» = (l + »»)(l— »» + m!«) = 0, 

also 

l + iVE l—iVE 

mi= — 1, W2= — ^^— J f»3= — ^-^— 

Die beiden imaginären Werthe von m brauchen nicht be- 
rücksichtigt zu werden ; die einzige reelle Asymptote erhält man, 
wenn man m gleich — 1 setzt. Dadurch wird 



§ 83. Anwendungen auf einzelne Curven. 



355 



und die Gleichung (14.) geht für diesen Werth von y über in 

(16.) ^lAX^ — Sgi^x + gi^ + Sax*^ — Safjbx = 0. 

Indem man diese Gleichung durch x^ dividirt, findet man 
3/1* + Sa ^ r- + T5 = 0. 



X 



X 



X' 



Wenn jetzt x unendlich gross 
wird; so erhält man 

(17.) 3/1* + 3a = 0, 
oder 

Die Gleichung der reellen 
Asymptote ist daher 

(18.) y'^ — x* — a, 

oder 

(18a.) x' + y' + a^O. 



Aufgabe 4. Man soll die Asymptoten der Curve 

(19.) x^ — 3ay2 _ a3 = 

bestimmen. (Vergl. Fig. 81.) 

Auflösung. Hier ist n gleich 3 und 

U^ ^ x^ — Sxy^ = 1 - 3 r^ Y » 
x^ x^ \x/ 

also 




(20.) 



lim^ = l — 3m2 = o, m—±~ 
x^ ' |/3 



Da m die Tangente des Winkels a ist, den die Gerade 

y = mx + fl 

mit der positiven Richtung der X-Axe bildet, und da 

1 



tg30<> = 



n 



ist, so bilden die beiden Asymptoten, welche den gefundenen 
Werthen von m entsprechen, bezw. die Winkel +30® und — 30® 
mit der positiven Richtung der X-Axe. 

23* 



866 



§ 83. AnTvendimgeni auf einzelne Cnrven. 



Setzt man nun 
in die Gleichung (19.) ein, so findet man 

(21.) x^ — x^ — 2a: V Yz — ^x^Jk^ — a^ = 0, 

oder 

Wenn jetzt x unendlich gross wird, so folgt hieraus 
(22.) — 2ii*y3 = 0, oder iii = 0. 

Die erste Asymptote hat daher die Gleichung 

(23.) y'l/3==n;'. 

Ebenso findet man für die zweite Asymptote die Gleichung 

(24.) y']/3 = — «'. 

um noch die dritte Asymptote zu erhalten, bilde man 



U^ ^ x^ — %xy^ - /"£ Y _ 8 (^ 

y3 yS \y) \y) 



Dies giebt 



(25.) 



lim^' = /3 — 3/==0. 

y3 



(26.) 



Die drei Wurzefai dieser Gleichung sind 

/=: + y3, / = — 1/3, 1=0. 

^•^ Wie man ohne Weiteres 

Y erkennt, führen die beiden ersten 

Werthe auf die schon bekann- 
ten Asymptoten; dagegen liefert 
/ = eine dritte Asymptote. 
Man muss daher 

a; = i 
in die Gleichung (19.) einsetzen 

und erhält dadurch 

^3 _ 3Ay2 _ ^3 = 0, 

oder 

l,_3;i_lL=:0. 




r 



T 



§ 83. Anweaadungen auf eiiusßlne Cunren. 357 

LSast man jetzt y unendlich gross werden, so folgt hieraus, 
dass 

(27.) A = 

wird, und dass die dritte Asymptote die Gleichung 

(28.) x' = 

hat. Dies ist aber die Gleichung der F-Axe. 

Aufgabe 5. Man soll die Asymptoten der Curve 
(29.) x(x^ — a2) — 2y(y2 — a^) — Sxy^ — a^ = 
bestimmen. (Vergl. Fig. 82.) 

AuflSsung. Hier ist wieder n gleich 3 und 

U, ^ x^-2y^-3ay^ ^ ^ ^/yy ^ /yy 
x^ x^ \x/ \x/ 

also 

(30.) lim -| = 1 — 3m2 — 2m3 = (1 + m) (1 + m) (1 — 2m) = 0. 

Die 3 Wurzeh dieser Gleichung sind daher 
(31.) ^1= — 1, w, = — 1, »15 = + -. 

Bei dieser Curve findet man zwei parallele Asymptoten, 
weil zwei Werthe von m einander gleich sind, um die zuge- 
hörigen Werthe von /a zu finden, setze man 

y = —x + fi 

in die Gleichung (29.) ein. Dadurch erhSlt man 

x(x^^ä^)+2{x''fA)(x^- 2A*a;+ A*2-a2)^ Sxiafl" 2fttr+A*^) - a»= 0, 

oder 

(32.) (— 3a2 + 3a*2) ^j _ 2^3 + 2a V — a» = 0. 

Indem man diese Gleichung durch x dividirt und x dann 
unendlich gross werden lässt, findet man 
(33.) — 3fl2 + 3^2 = 0, oder /i* = ± a. 

Die beiden entsprechenden Asymptoten haben daher die 
Gleichungen 

(34.) y' = — a:' + a und y* = — x* — a. 



358 § 83. Anwendungen auf einzelne Curven. 

Für die dritte Asymptote hat man 

1 . 

in die Gleichung (29.) einzusetzen. Dadurch erhält man 



(35.) 






Indem man diese Gleichung 
durch x^ dividirt und dann x 
unendlich gross werden lässt, 
findet man 
(36.) /* = 0, 

so dass die dritte Asymptote 
-^die Gleichung 

(37.) 2y' = a^ 

besitzt. 



Aufgabe 6. Man soll die 
Asymptoten der Curve 

(38.) xy^ — x + 2y'-l = 

bestimmen. (Vergl. Fig. 83.) 

Auflösung. Hier ist wieder n = 3 und 




x^ \xj 



lim— 1=^2 = 0, mi = 0, ^2 = 0, m^ = <x). 
x^ 

Die Gleichungen der 
drei Asymptoten haben 
daher die Form 

(39.) y' = ^1, y' = f*2, 

x'^L 

Dabei findet man (ii 
'^ und /ii2> indem man y=/t* 
in die Gleichung (38.) ein- 
setzt. Dies giebt 

a:/i2_a: + 2/i*— 1 = 0, 

oder 




§ 83. Anwendungen auf einzelne Chirven. 



359 



X 

und für lim Ä = 00 

(40.) /i*2 = 1, 

(41.) f^i = + 1, /*2 = — 1. 

Ebenso findet man A, indem man a: = A in die Gleichung 
der Curve einsetzt. Dadurch erhält man 

(42.) iy2_i + 2y— 1 = 0, oder A + ^ — ^^ = 0, 

und für lim y = 00 

(43.) A = 0. 

Die Gleichungen der drei Asymptoten sind daher 
(44.) • y = + l, y' = — 1, ^' = 0. 

Aufgabe 7. Man soll die Asymptoten der Curve 
(45.) xy*^ + xhf — a^ = ^ig, 84. 

bestimmen. (Vergl. Kg. 84.) 

Auflösung. In ähnlicher 
Weise wie bei den vorher- 
gehenden Aufgaben findet man 
hier drei Asymptoten mit den 
Gleichungen 



(46.) 



|y' = o, y' = 

l a:' = 0. 



= — X' 




Aufgabe 8. Man soll die 
Asymptoten der Curve 

(47.) ;r3 + :ry2_aÄ;2 + ay2 = 

bestimmen. (Vergl. Fig. 85.) 

Auflösung. Hier werden zwei Asymptoten imaginär, weil 
aus der Gleichung 

lim 5 = lim (l + g) = 1 + m2 = 

folgt, dass 

m^ = + i, ^2 = ^ e, W3 = 00 



360 



§ 83. Anwendnngea auf dnzelne Corven. 



Fiff. 86. 




wird. Die dritte Asymptote ist reell 
und steht auf der X-Axe senkrecht. 
Dabei findet man ans Gleichung (47.), 
indan man x = l setzt, 

;t3 + Ay2 — aX^ + ay^ = 0, 

oder 

i3 _ aX^ 
X + a + - 



T 



= 0. 



Dies giebt für lim y = oo 
(48.) A = — a; 

die einzige reelle Asymptote hat daher die Gleichung 
(49.) z* + a^0. 

Die Gleichung (47.) kann man auf die Form 



(50.) 



, xY^fl^ 



y=± 



X' 



a + X 



bringen, woraus man erkennt, dass die X-Axe eine Symmetrie- 
Axe der Curve ist, und dass die Curve zwischen der Asymptote 
x' = — a und der Geraden x' ^ + a Hegt. Aus 

dy . «2 — (IX — ^2 



(51.) 



dx {a + x)ya^ — x^ 



==tga 



folgt, indem man x = o setzt, dass die beiden Tangenten im 
Nullpunkte die Winkel + 45<^ und — 45® mit der positiven 
Richtung der X-Axe bilden. 

Aufgabe 9. Man soll die Gleichung der Cissoide des DioAles 
bestimmen. (Yergl. Fig. 86.) 

Auflösung. Die Cissoide des Diokles entsteht, indem man 
an eüien Ereis mit dem Halbmesser a zwei parallele Tangenten 
mit den Berfihrungspunkten und A legt, von aus eine be- 
liebige Secante zieht, welche den Ereis zum zweiten Male im 
Punkte C und die andere Tangente im Punkte B schneiden möge, 
und von B aus die Sehne OC rückwärts auf der Secante ab- 
trägt, so dass 

PB=OC 

wird, dann ist P ein Punkt der Cissoide. 



§ 83. Anwendungen auf ein2selne Curven. 



861 



Bezeichnet man den Winkel AOP 
mit q> und die Strecke OP mit r, so 
findet man aus den rechtwinkligen 
Dreiecken OÄB und OCÄ 



Fig. ae. 



(52.) 

also 

(53.) 

oder 
(53 a.) 



0B = j OC=2acosg), 

cosy ^' 

OP=r—OB—OC 

= (1 — COS^O)), 

cosg)^ ^^' 

_ 2asin^y 




coS9> 
Daraus folgt, da 
OQ = rcos9), QP=rsüi9) 
ist, 

(54.) ;r = 2«smV, y = ^^- 

Indem man aus diesen beiden 
Gleichungen q> eliminirt, erhält man 

(55.) x^ + xy*^ — 2ay^ = 0. 

Aufgabe 10. Man soll die Asymptoten der Cüssoide bestimmen. 

AuflSsung. Schon aus der Entstehung der Cissoide ergiebt 
sich, dass die Ereistangente AB (veigl. Fig. 86) eine Asymptote 
der Cissoide sein muss. Dasselbe Resultat findet man auch aus 
der Rechnung. Es ist nämlich 



lim 



^5=C+S)=^+"'=^' 



(56.) 

also 

(57.) mj = + t, ^2 = — «, W3 = 00 , 

d. h. zwei Asymptoten sind imaginär, nur die dritte ist reell 
und steht auf der X-Axe senkrecht. Dabei findet man, iadem 
man rz; = A in die Gleichung (55.) einsetzt, 

;t3 + iy2 _ 2ay2 = 0, oder A — 2a + -3 = 0. 



362 



§ 84. Concavität, Convexität, Wendepunkte. 



Dies giebt für lim y = oo 
(58.) A = 2a ; 

folglich hat die reelle Asymptote die Gleichung 
(59.) x' = 2a. 



§ 84. 

Concavität, Convexität, Wendepunkte. 

(Veirgl. die Formel-Tabelle Nr. 103 und 104.) 

Erklärung. Legt man in einem Punkte P an eine Curve 
die Tangente, so heisst die Curve in diesem Punkte P nach 
oben concav, wenn die dem Berührungspunkte P benachbarten 
Curvenpunkte oberhalb der Tangente liegen. (Vergl. Fig. 87.) 



Fig. 87. 



Fig. 88. 





Dagegen ist die Curve im Punkte P nach oben convex 
(vergl. Fig. 88), wenn die dem Berührungspunkte P benachbarten 
Punkte unterhalb der Tangente liegen. 

Wenn endlich die Curve im Punkte P von der Concavität 
in die Convexität übergeht (vergl. Fig. 89), oder wenn die Curve 



Fig. 89. 



Fig. 90. 





§ 84. Concavität, Convexität, Wendepunkte* 363 

im Punkte P aus der Convexität in die Concavität übergeht 
(vergl. Fig. 90), so heisst der Punkt P ein Wendepunkt. Die 
Tangente in einem solchen Punkte heisst Wendetangente. Bei 
einer Wendetangente muss daher die Curve auf der einen Seite 
des Berührungspunktes oberhalb^ auf der anderen Seite des Be- 
rührungspunktes unterhalb der Tangente liegen, wobei natürlich 
nur die benachbarten Theüe der Curve in Frage kommen. 

Die Gleichung einer Curve (Fig. 87) sei 

(1.) y =/(^), 

und die Curve sei in der Nähe des Punktes P nach oben 
concavj dann ist nach der vorstehenden Erklärung 

T^P^==Q^P2 — CkT2>0 
und auch 

riPi = QiPi — Qi2\>0, 

wobei Pi und P2 die dem Berührungspunkte P benachbarten 
Punkte mit den Absdssen x — a und x + a sind, und wo die 
Schnittpunkte der Ordiaaten Q^P^ und Q2P2 ^^ der Tangente 
Ti und T2 heissen. 

Nun ist nach Formel Nr. 49 der Tabelle 
(2.) Q,P,=/(;. + a)=/(^)+Äa+/::(£+®f0^2; 

ausserdem wird 

(3.) Q2T2-^QP+S^T^^f{x)+'^a, 

weü in dem rechtwinklichen Dreieck PS2T2 

S2T2 = PS2 • tgS^PT^ = atga = af'(x) 

ist. Durch Subtraction der Gleichungen (2.) und (3.) von ein- 
ander erhält man daher 

(4.) T2P2 = Q2 A — Q2 ^2 = ^/'' (x + 0a). 

In ähnlicher Weise findet man 
(5.) Q,P,=/(._«)=/(.)_«a+-»ZI^)... 



364 § 84. Concavität, Convezität, Wendepunkte. 

(6,) Q^T, = QP-T,S^ =f(x) --^ a , 

(7.) TiP, = QiPi - Ol ri = ^f"(x - 0,a). 

Damit die Gurve nach oben concav ist, müssen far hin- 
reichend kleine Werthe von a die Strecken TjA und r^P, 
posüive Bichixmg haben. Das ist nur möglich, wenn/"(a;+®a) 
und/"(a; — ©1«) beide i^owtft? sind. 

Unter der Voraussetzung, dass/"(a:) für die betrachteten 
Werthe von x stetig ist, muss deshalb auch f*\x) positiv sein, 
und umgekehrt: ist /"(a:) positiv, so werden auch/"(a;+ @a) 
und /" {x — ©1«) fär hinreichend kleine Werthe von a positiv sein. 

Die Ourve ist daher im Punkte P nach oben concav, wenn 
(8.) • S^-^''^^)^^- 

Die Gleichung einer Curve (Fig. 88) sei wieder 

y =/(^), 
die Curve sei jetzt aber üi der Nähe des Punktes P nach oben 
convex, dann ist nach d^ vorstehenden Erklärung 

T2P2=Q2P2—QiT^<^ 
und auch 

T,P,^Q,P, — Q,T,<0, 

wobei dieselben Bezeichnungen angewendet sind wie in Fig. 87. 
Daraus ergiebt sich genau ebenso wie vorhin 

(9.) r^Pj = jf'ix + @a), T,P, = ^f-(x-0,a). 

Damit die Curve nach oben convex ist, mfissen für hin- 
reichend kleine Werthe von a die Strecken T^P^ und 2\Pi 
negative Eichtung haben. Das ist nur möglich, wenn f**{x+&a) 
vaiäf"{x — ©1«) beide negativ sini. 

Unter der Voraussetzung, dass/"(a;) für die betrachteten 
Werthe von x stetig ist, muss deshalb auch/"(a;) negativ sein, 
und umgekehrt: ist/"(a;) negativ, so werden auch/"(a;-J-0a) 
und/"(a; — ®ia) für hinreichend kleine Werthe von a negativ sein. 



§ 84. Concavität, Convexität, Wendepunkte. 



365 



(10.) 



Die Curve ist daher im Punkte P nach oben conveXj wenn 



In dem yorhergehenden sind die Fälle, wo 

/"(a:) = oder /"(a;) = oo 

wird, ausgeschlossen worden. Beide Fälle können im Allgemeinen 
nur für einzelne Werthe von x eintreten. Ist x ein solcher 
Werth, so hat man noch die Vorzeichen Yon f"(x — ä) und 
f(x + a) für hinreichend kleine Werthe von a zu untersuchen 
und danach die folgenden 8 Fälle zu unterscheiden: 

L/''(^) = 0, f''{x — a)>0, nx + a)<0. 

In diesem Falle geht die Curve im Punkte P (vergl. 
Fig. 89) von der CJoncavität zur Convexität über. Dasselbe 
gilt auch, wenn 

n./"(ic) = oo, f"ix—a)>Oj /"(a:+ö)<0 (vergLFig. 89). 

Wird dagegen 

m.f"(x)=0, r{x — a)<% /''(^+a)>0 (vergl. Fig. 90), 

oder 

IV./"(^) = oo, f**{x — a)<0, /''(a;+a)>0 (vergl. Fig. 90), 

so geht die Curve von der Convexität zur Concavität über. 

In allen diesen Fällen heisst der Punkt P ein Wendepunkt^ 
weil sich die Curve von der Concavität zur Convexität oder von 
der Convexität zur Concavität wendet. 

Ist aber 

(a; — a)>0, 

(vergl. Fig. 91), 
oder 

(a: — a)>0, 

(vergl. Fig. 91), 

so ist die Curve unmittelbar vor dem 

Punkte P und ebenso unmittelbar nach 

dem Punkte P nach oben concav; sie hat daher im Punkte P 

keinen Wendepunkt. 



^r/-(a:) = o, /-i 
}der 

y r{x + a)>o (1 



Fig. 9t 





366 § 84. Concavitat, Convexität, Wendepunkte. 

« 

Ist endlich 

Vn./"(a:) = 0, r(x — a)<0, /"(a:+a)<0 (vergl. Fig. 92), 
oder 
Vm. f"{x) = 00 , /'' (^ — a)< 0, /'' {x+a) < (vergL Fig. 92), 

SO ist die Gurve munittelbar vor dem Punkte P und ebenso 

munittelbar nach dem Punkte P nach 
Pig. 02. oben convex, so dass auch hier der 

Punkt P kein Wendepunkt ist. 

Daraus ergebt sich jetzt die all- 
gemeine Begel für die Au&uchung der 
etwaigen Wendepunkte einer Curve 

y =A^y ' 

Man ermittele die Wetthe von x, 
für welche f"(x) gleich Null oder un- 
endlich gross wird. Ist x ein solcher TVerth, so untersuche man 
das Vorzeichen von f**{x — a) und von f^^ix-^d) für hin- 
reichend Meine Werthe von a. Man erhält dann einen Wende- 
punktj wenn entweder 

f"{x — a)>0 und f''(x+a)<0, 

oder wenn 

f"{x — a)<0 und f"(x + a)>0; 

und zwar geht die Curve im ersten Falle in diesem Wendepunkte 
von der Concavität zur Convexität und im zweiten Falle von der 
Convexität zur Concavität über. 

Haben dagegen f''(x — a) und /" (x + a) für hinreichend 
kleine Werthe von a dasselbe Zeichen, so ist der Punkt kein 
Wendepunkt. 

Bemerkung. 

Es möge hierbei noch besonders hervorgehoben werden, dass sich 
die vorstehenden Betrachtangen nur auf Pankte der Curve beziehen, 
welche im Endlichen liegen. 



§ 85. Anweadongeii auf dnzeliie GurvBiu 



367 



Fig. 93. 




§ 85, 

Anwendungen auf einzelne Curven. 

Aufgabe 1. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Curve 

(1.) y = h + {c — xY^f{x) 

bestimmen. (Vergl. Fig. 93.) 

Auflösung. Aus der Gleichung (1.) folgt 
(2.) r{x)^-Kc-x)\ 

(3.) f**(x)= + %{c — x). 

Aus Gleichung (3.) erkennt man, 
dass es keinen endlichen Werth von 
X giebt, für den f*'{x) == oo wird. 
Dagegen wird/''(a;) = für 

(4.) a; = c. 

Der Punkt P, dessen Abscisse 
gleich c ist, kann also möglicher Weise 
ein Wendepunkt sein. Um darüber zu 
entscheiden, beachte man, dass 

(5.) /"(c — a) = + 6a>0, /"(c + «) = — 6a<0 

ist. Es findet also im Punkte P ein Uebergang von der Con- 
cavität zur Convexitat statt. Folglich ist P ein Wendepunkt 
(Vergl. Fig. 93.) 

Aufgabe 2. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Curve 

(6.) y^b+{x — cY^f{x) 

bestimmen. (Vergl. Fig. 94.) 

Auflösung. Aus Gleichung (6.) 
folgt 

(7.) f\x)= 4.{x-c)\ 

(8.) /''(^) = 12(rp — c)2. 

Auch hier giebt es keinen endlichen 
Werth von a?, für welchen f'*{x) = oo 
wird. Dag^en wird /" (a:) = für 

(9.) X =: C. 



Pig. Ö4. 



« p « 



■<>■ 



< ä ü* 



368 



§ 85. Anwendungen auf einzelne Cnrven. 



Ffir diesen Werth von x kann man möglicher Weise einen 
Wendepmikt erhalten, um darüber zn entscheiden, bilde man 

(10.)/"(c — a)= + 12a2>0 nnd /"(c + a)= + 12ö2>0, 

folglich ist die Curve auf beiden Seiten des betrachteten Punktes 
P nach oben concav, so dass dieser Punkt kein Wendepunkt 
sein kann. (Vergl. I^. 94.) 



Aufgabe 3. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Curve 

(11.) y = f» - ft fF=^' =/(^) 

bestimmen. (VergL Fig. 95.) 

Auflösung. Aus Gleichung (11.) folgt 

(12.) f{x) = -^{x-c) \ 



(13.) 



/"(^)= + g(^-^) * = 



ßb 



25y(x — c)^ 



Hieraus erkennt man, dass f"{x) tSoc keinen endlichen Werth 
von X gleich Null wird, dagegen wird 

(14.) /"(a;)=oo ftr x = c. 

Fig. 96. Dieser Werth von x kann also mög- 

licher Weise einen Wendepunkt liefern. 
Um darüber zu entscheiden, bilde man 

(15.) /-(c-a) = -^>0 

25 Vo» 
und 

(15a.)/-(c + a) = -4->Ö. 

25 Vö» 

'^ wobei man b als positiv vorausgesetzt 

hat. Die Curve ist also zu beiden 

Seiten des betrachteten Punktes P nach oben concav; der Punkt 

P ist daher Aein Wendepunkt der Curve, sondern, wie man aus 

Figur 95 ersieht, eine Spitze. 




§ 85. Anwendungexi auf emzelne Curven. 



369 



Aufgabe 4. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Curve 

(16.) y = m — by{x—cy ==f{x) 

bestinunen. 

Auflösung. Aus Gleichung (16.) folgt 

(17.) /'(^) = _^(.:_c)~^, 

(18.) /-(^)= + g(.:_c)"* = 



6J 



2by(x — cy 

Auch hier wird f'*{x) für keinen endlichen Werth von x 
gleich Null, dagegen wird 
(19.) f''(x)=oo für x = c. 

Um zu entscheiden, ob dieser Werth ^ig. 96. 

von X wirklich einen Wendepunkt 
liefert, bilde man 

ßb 



/"(c-a)^ 



und 



25Va7 



< 



25 y«'' 




Daraus erkennt man, dass im Punkte P mit den Goordinaten 

(20.) a: = c, y = m 

eine Wendung von der Convexität zur Concavität stattfindet, 
dass also der Punkt P ein Wendepunkt ist. (Vergl. Fig. 96.) 



b\b—x) ., . 



Aufgabe 5. Man soll die etwaigen Wendepunkte der Curve 

(21.) 

bestinunen. 

Auflösung. Durch Differentiation folgt ans Gleichnng (21.) 

(22.) 



•^ ^^~ (a;2 + 52)2 ' 
.,,, ^ _ — 2&'(a;» — Sbx^ — 3b^z + b^) 



(23.) 

Stegemaim- Kiepert, Differential-Beohn-aiig. 



24 



370 



§ 85. Anwendungen auf einzelne Curven. 



Hier kaim/'^(^) für keinen endlichen^ reellen Werth von x 
nnendlich gross werden. Dagegen wird /'^^r) gleich Nnll, wenn 

(24.) «» — 34ir2 — 3Ä2jr + js = (a; + J) [x'^ — ^hx + Ä2) = o 

wird. Die Werthe von «, für welche möglicher Weise ein 
Wendepunkt eintritt, sind daher 

(25.) x^ = —l, rc2 = 6(2 — ^3), a^, = Ä(2 + ^3), 

welche beziehungsweise den Werthen 



(26.) 
entsprechen. 



y, = + J, y, = i(l+y3), y3=|(l-V3) 



FiflT. 97. 




<-' { X 



Da a;2 + J2 far reelle Werthe von x ünmer positiv ist, so 
braucht man nur zu untersuchen, ob 

(27.) {x^ + V^Yf\x) = — ^h\x + h) («2 _ 4 Ja; + J2) = jpT(a;) 

für die angegebenen Werthe von x das Vorzeichen wechselt. 
Zunächst ist für hinreichend kleine Werthe von a 

JF(— Ä — ö) = + 2aJ2(6 J2 + 6öÄ + a») > 0, 
J + a) = — 2aJ2(6Ä2 — 6aJ + «2) <o; 

deshalb ist der Punkt P^ mit den Coordinaten x^^ y^ ein 
Wendepunkt, in welchem die Curve von der Concavität zur 
Convexität übergeht. 

Femer ist für hioreichend kleine Werthe von a 

. . r jF(2ä— äVs— a)=— 2aJ2(3J-.jyi"_o)(2Äy3+a)<0, 

l jF(2ä— Äl/3+a) = + 2aJ2(3J_ jyä + a) (2iy1k-a)> 0, 

folglich ist auch der Punkt P^ mit den Coordinaten x^^ y^wa 
Wendepunkt, in welchem die Curve von der Convexität zur 
Concavität übergeht. 



§ 85. Anwendongoa auf einzelne Ourven. 



371 



Endlich ist noch für hinreichend kleine Werthe von a 

. . / F(2i+iy^~a)= + 2aJ2(3i + J)/3 — a)(2iV3— a)>0, 

\ F(2i+il/3+a)==— 2ai2(35 + iy3 + a)(2iy3 + a)<0, 

folglich ist der Punkt P^ mit den Goordinaten x^^ y^ gleichfidls 
ein Wendepunkt, in welchem die Curve von der Goncavität zur 
Conyexit&t übergeht. 

Es ist dabei noch zu beaditen, dass die drei Wendepunkte 
Pj, P2, P3 in einer geraden Linie liegen, weil 

(31.) ^ii3fi — y%) + ^2(^3 —yi) + ^ijfx—yi) = 

wird. (Vergl. Kg. 97.) 

Aufgabe 6. Man soll untersuchen, in welchen Punkten die 
Parabel nach oben concavy und in welchen Punkten sie nach 
oben convex ist. 

Auflösung. Die Gleichung der Parabel ist ^^ar- ^ 

(32.) y^=z2px; r 

daraus folgt 



(33.) 



dy^p^ cPy __ p^ 



dx 



cfo2 



d^ 
Für positive Werthe von y wird ^ 

negativ, und för negative Werthe von y wird 



dhf 

Cfe2 



positiv. Die obere Hälfte der Curve ist 




daher nach oben convex, und die untere 

Hälfte ist nach oben conoav. Einen Wendepunkt besitzt die 

Curve nicht, da ^ für endliche Werthe von y niemals ver- 
schwinden kann. 

Aufgabe 7. Man soll untersuchen, in welchen Punkten die 
Ellipse und die Hyperbel nach oben concav, und in welchen 
Punkten sie nach oben convex sind. 

Auflösung. Die Gleichung der Ellipse ist 

(34.) b^x^ + a V — a^^ = ; 

24* 



372 



§ 85. Anwendungen auf einzelne Oorven. 



daraus folgt 
(86.) 



^ W£ ^_ *i. 



dx 




cPy 



Auch hier wird ^ negativ 

für positive Werfhe von y und 
positiv für negative Werfhe von y. 
Die obere Hälfte der Curve ist 
^ daher nach oben convex und die 
untere Hälfte der Curve ist nach 
oben concav. Einen Wendepunkt 

dh/ 

besitzt die Curve nicht, da -^ 

für endliche Werthe von x und 
y niemals verschwinden kann. 

In ähnlicher Weise erhält man bei der Hyperbel die 
Gleichungen 

(36.) J2^2 _ ^2y2 _ a2J2 — 0, 

/Q7 \ ^ — J. *^^ ^^ — ^ ^^ 

^ '^ dx dh/ ' dx^ ay 

und kann daraus dieselben Schlüsse ziehen wie bei der Ellipse. 

Aufgabe 8. Man soll die Wendepunkte der Sinmlinie be- 
stimmen. (Vergl. Fig. 100.) 

Auflösung. Die Sinuslinie hat die Gleichung 
(38.) y = siuic; 

Fig. 100. 
Y 




daraus folgt 
(39.) 



dy 
dx 



-^ = COSar, 



dx^ 



= — sma*. 



§ 86. Berührang (oder Osculation) n^^ Ordnung. 



373 



Die Curve ist daher nach oben convex, wenn 0<a?<7r, 
2n:<a;<37r, .., allgemein, wenn 

2n7t<x<{^n + l)7t 
ist; und die Curve ist nach obai cancav, wenn 

(2n + l)7r< x<(2n + 2)n 

ist, wobei n eüie positive oder negative ganze Zahl bedeuten 
soll. Ein Wendepunkt tritt ein, wenn 

ist; die zugehörigen Werthe von y sind sämmtlich gleich 0, 
d. h. die Wendepunkte liegen aUe in der X'Axe. 



§ 86. 

Berührung (oder Osculation) n*^ Ordnung. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 105.) 

Erklärung. Zwei Curven VW und RS (Fig. 101) mit den 
Gleichungen 
(1.) y-fi^) und y = g{x), 

haben in dem ihnen gemeinschaftlichen Punkte P eine Berührung 
(oder Osculation) n*^ Ordnung, wenn für den zugehörigen Werth 
von X nicht nur 
(2.) fix) = g(x) 

isty sondern ausserdem auch noch 

(30 r{x)^g*{x), f'{x) = g-{x\...ß-\x)^g(-){x). 

Mit welchem Rechte diese Er- 
klärung aufeestellt worden ist, er- t 
sieht man aus dem folgenden Satze: 

Zwei Curven 

y=/(^) ^^^ y = ^(^)j 

welche im Punkte P eine Berührung 
fjf*r Ordnung haben, schmiegen sich 
in diesem Punkte enger an einander 
an als an jede andere Curve, mit 
der sie im Punkte P keine Berührung "^ 
von gleich hoher Ordnung haben. 



Fig. 101. 




374 § 86. Berahnmg (oder Osculaiion) m<m- Ordnung. 

Beweis. Nach Formel Nr. 49 der Tabelle ist 

^ »! " ^ (»+!)! ' 

gleichviel ob h positiv oder negativ ist. Ebenso wird 

(5.) Q^P',=g{x + h) = g{x) + ^h+^h-^ + ... 

+ «! '^ + (« + 1)! " ' 
folglich ist, wdl nadi Yoranssetznng die GMdnmgen (2.) und 
(3.) gdten, 

iP^P'^=g{x + h)—f{x + h) 

Da h eine beliebig kleine, positive oder negative Grösse ist, 
so wird -Pi-P*! eine beliebig kleine Grösse von der (n + 1)*~ 
Ordnung. 

Wenn man nun mit diesen beiden Curven noch eine dritte 

Curve 

y = SP(a;) 
zusammenstellt, welche mit der Curve 

y=/(^) 

im Punkte P nur eine Berührung von der m*** Ordnung hat, 
wobei m <n vorausgesetzt wird , so ist fOr iesD. betrachteten 
Werth von z 

(7.) fix) = 9>{x), f'{x) = 9'{x),... /(-)(«) ^y'-'C^), 
aber 

(8.) /<-+» (x) %. y (-+»(a;), 

SO dass für hinreichend kleine Werthe von h auch 

ist. Man findet dann in ähnlicher Weise wie vorhin 

g,(x + h)—fix + h) 
(9.) 



!g)(x -t n) —j {X + 



(«+i)(a; + 0jÄ) —/("+»)(« + @ih)]. 



§ 87. Anwendungen auf einzelne Curven. 875 

Diese Differenz wird nur beliebig klein von der {m + !)*•'' 
Ordnung, weil der Ausdmck in der eckigen Klammer eine end- 
liche (von Null verschiedene) Grösse ist. Deshalb wird 

(10.) P.P^, = g(x + h) -fix + h)<9{x + h) ^f{x + Ä), 

d. h. die Curven y=f{x) und y = g{x) schmiegen sich im 
Punkte P enger an einander an als die Curven y ^f(x) und 

y=^9>(x). 

§87. 

Anwendungen auf einzelne Curven. 

(VergL die Formel -Tabelle Nr 106 und 107.) 

Aufgabe 1. Man soll durch den Punkt P einer Curve mit 
der Gleichung 

(1-) y =/(^) 

eine gerade Linie legen, welche mit der Curve eine Berührung 
von möglichst hoher Ordnung hat. 

Auflösung. Die Gleichung der geraden Linie sei 

(2.) y' = mx' + fi^ 

wobei die laufenden Coordinaten mit x* und y' bezeichnet sind,^ 
weQ die Coordinaten des Berührungspunktes x und y heissen 
sollen. Damit nun die Gerade durch den Punkt P geht, muss 

(3.) y =^f(x) z=imx + fi 

sein. In diesem Falle ist also ff{x) gleich mx + fij so dass die 
Gleichung /'(a:) = ^'(a:) hier die Form hat 

(4.) I = ». 

Man hat hier nur aber die beiden Grössen m und [a zu 
verfugen, und zwar sind diese Grössen schon durch die Gleichungen 
(3.) und (4.) vollständig bestimmt, denn es wird 

(5.) m = ^ und /i* = y — mx=:y — ^jr ' 

so dass die Gleichung (2.) äbergeht in 

(6.) y._y = |(,._,). 



376 § 87. Anwendungen auf einzelne Ourven. 

Dies ist aber die Gleichung der Tangente. 

Die Tangente ist daher diejenige Gerade, welche sich im 
Punkte P der Curve am engsten anschmiegt. Da ausserdem 
jede Gerade in allen ihren Punkten dieselbe Eichtung hat, so 
giebt die Tangente in dem betrachteten Punkte die Eichtung 
der Curve an. 

Aus dem Vorstehenden erkennt man auch, dass die Tangente 
mit der Curve im Allgemeinen nur eine Berührung erster Ord- 
nung hat. Man kann aber sogleich die Bedingung angeben, unter 
welcher die Berührung eine Berührung von der zweiten Ordnung 
wird. Es ißt hier nämlich 

(7.) g{x) = mx + lA, g*{x) = m, g*\x) — 0, 

folglich muss auch 

(8.) /"(^) = 

sein, damit die Berührung höher als von der ersten Ordnung ist. 

Diese Bedingung ist nur for einzelne Punkte der Curve 
erfüllt, und zwar sind diese Punkte (nach Formel Nr. 104 der 
Tabelle) Wendepunkte, wenn /" (x) für den betrachteten Werth 
von X das Vorzeichen wechsdt. 

Aufgabe 2. Man soll die Gleichung emes Kreises bestimmen, 
der im Punkte P mit der Curve 

(9.) y =/(^) 

eine Berührung von möglichst hoher Ordnung besitzt. 

Auflösung. Ein Ereis mit dem Eadius q hat bekanntlich 
die Gleichung 

(10.) {x - S)2 + (y - riY — p2 = 0, 

wobei ^ und ^ die Coordinaten seines Mittelpunktes sind. Iiöst 
man die Gleichung in Bezug auf y auf, so erhält man 

(10a.) y = fl ± yQ^ — {x — i^Y = g{x). 

In der Gleichung des Kreises kommen also drei willkürliche 
Constante |, ^ und q vor, über die man so verfugen kann, dass 
drei Bedingungen erfüllt sind. Deshalb ist es möglich, die drei 
Gleichungen 



§ 87. Anwendungen auf einzelne Curven. 377 



(11.) fix) = ffix) = fi±yQ^-(x- ?)» = y, 
(12.) /-(»)=^'(^)=T y^,I.~Lg)2 =-^' 
(13.) f"(x) = ff"(x)= T ^ j = — /-^Lrö*^ 

durch passende Bestimmung von $, ^ und q zu beMedigen. 
Dabei sind x and y die Gootdinaten des Berührungspunktes. 
Aus den Gleichungen (12.) und (10.) findet man 

(14.) x — l^ = — (ji/-^)f'ix), 

(15.) (}^ = {x- ?)2 + (y - ,)2 = (y _ ,)2[1 +/' (xy] , 

SO dass Gleichung (13.) übergeht in 

■^ ^ ^ y — ^ 

Deshalb ist 

(16.) y-^=-^-j^' 

(n.) ._S = _(y-,i^-(.) = M^fflZ:(l). 

folglich wird 



3. 



(20) ,^^^i±ts^)ni. 

Wenn man 

P = ^ statt /'(:r) und y = 0- statt /''(a:) 

schreibt, so erhält man mit Bücksicht auf Formel Nr. 99 der 
Tabelle 



*) lieber die Bildung dieser Ableitungen vergleiche man § 73, 
Aufgabe 2. 



378 



§ 87. Anweoidtmgeii auf einzelne Corven 



(21.) 



s = 



MV 



9 = 



^ ? ^ ? 



(1 + p')i , W 



Hierbei wird man for ^ das obere oder das untere Vor- 

ds 
zeichen wäMen, jenachdem ; mit ^ gleiches oder entgegen- 
gesetztes Vorzeichen hat, damit q selbst positiv wird. 

Da X nnd y die Coordinaten des Berährongspnnktes sind, 
so mögen die laufenden Coordinaten des Kreises mit x' und y' 
bezeichnet werden, so dass er die Gleichung 

(22.) {x' — ^y + (y'-vy — Q^ = 

hat Man nennt diesen Kreis den Oscuiationskreta oder den 
JSrümmungskreis; er hat, wie aus dem Vorhergehenden folgt, 
im Allgemeinen nur eine Berührung von der zweiten Ordnung 
mit der Curve. In besonderen Punkten der Curve kann aber 
auch eine Berührung höherer Ordnung mit dem Krümmungs- 
kreise stattfinden. Die Bedingung dafür ist 



(23.) 



/."(.)=/"(.)=_fci). 



Sind X und y Functionen emer dritten Veränderlichen ^, 
also 

(24.) x = if{t\ y^xp(t\ 

so gehen, mit Bücksicht auf die Formeln Nr. 92 der Tabelle, 
die Gleichungen (21.) über in 



§ 87. Anwexkdtmgen auf einzelne Cuiven. 



379 



(25.) 



| = x- 



v = y + 



Q=± 





/^Y 


dy 










W 


dt 




z — 


ds^dy 


dz 


d^ 


dy 


d^z 


dx dPy — dy d^x ' 


dt 


dP 
/ds\^ 


dt 
dz 


<Ä2 








\di) 


dt 




y + 


dfßdx 


dz 


dhf 


dy 


d^~ 


dxd^ — dy d^' 


dt 


dfi 
/ds' 


dt 


rf<2 








U> 


; 




-1- 


ds^ 


dz 


d^ 


dy 


d^z~ 


'^ dxd^ — dydhi 


dt 


dt^ 


dt 


dp' 







Aufgabe 3. Man soll eine Parabel bestimmen, deren Axe 
zur F-Axe parallel ist, und welche im Punkte P mit den Coordi- 
naten a; = a, y = a mit der Curve 
(26.) «V — ^3 

eine Berührnng von möglichst hoher Ordnung hat. 

AuflSsung. Hier ist 

/««N ^,_£f dy_^ d^_6x d^_± 
K^^') y-^2' dx^ a^' dx^^a'^' dx^ " a^' 

Die Gleichung einer Parabel, deren Axe ^ur Y-Axe parallel 
ist, hat die Form 

(28.) Ax^ + 2By* + 2Ci + 2> = 0. 

Man kann hier also über die drei Grössen -^j -t> -j pas- 

^ JIjl ^1 

send verfugen, so dass für ^r = a 

/«..N i dy* dy ^ dM ^ ^ 



dx'^ dir* 



a 



dx dx 

wird. Dies giebt zunächst 

(30.) Aa^ + 2Ba + 2 Ca + 2> = 0, 

(31.) A{x'^ — a^) + 2B{y* — a)+2C{x — a)^Q, 

(32.) Ax + B^ + C = 0, oder Aa + %B+ (7=0, 



380 



§ 87. Anwendungen auf einzelne Curven. 



(33.) A + B^ = 0, oder ^ + — = 0. 
Daraus folget 

(34.) 6B = — Aa, 2C= — Aa, 

(35.) S(x^ — a^) — a(j/ — d) — Sa(x — ä) 

oder 

(35 a.) Sx{z — a) = a(y' — a). 



= 0, 



Nach Gleichung (6.) in § 86 war 

Ist also n gerade, so wechselt PiP'j mit A sein Zeichen, 
und ist n ungerade, so bleibt das Zeichen von i^i^i unverändert, 
wenn auch h sein Zeichen wechselt; d. h. die beiden Curven 
schneiden sich, wenn die Ordnung der Berührung gerade ist, 
und die beiden Curven schliessen einander ein, wenn die Ord- 
nung der Berührung ungerade ist. 

Ein Beispiel hierfür liefert bereits die Tangente einer Curve. 
Im Allgemeinen ist die Berührung nur von der ersten Ordnung, 
dann liegen alle dem Berührungspunkt benachbarten Gurven- 
punkte auf derselben Seite der Tangente. Ist aber die Berührung 
von der zweiten Ordnung, so ist der Berührungspunkt ein 
Wendepunkt der Curve und die Tangente ist eine Wendetan- 
gente, welche die Curve im Berührungspunkte schneidet. (Vergl. 
Fig. 89 und 90 auf Seite 362.) 

Ein zweites Beispiel liefert der Osculationskreis oder 
Fig. lOB. Erümmungskreis, der sich 

einer Curve im Punkte P 
möglichst eng anschliesst. 
Im Allgemeinen wird die 
Berührung (nach Angabe 2) 
von der zweiten Ordnung sein. 
Dann wird, wie Figur 102 
im Punkte P zeigt, der Kreis 
die Curve schneiden. Nur 
ausnahmsweise ist die Beruh- 




§ 88. Krümmung der Curven. 381 

ning von der dritten Ordnung. So ist z. B. in den Scheiteln der 
Ellipse, wie später gezeigt werden soll, die Berührung zwischen 
Krämmungskreis und Curve von der dritten Ordnung; deshalb 
schliessen Ereis und Curve in diesen Punkten einander ein. 

§ 88. 

Krümmung der Curven. 

(VergL die Formel-Tabelle Nr. 106 und 107.) 

Der Kreis hat in allen seinen Punkten dieselbe Krümmung^ 
und zwar ist die Krümmung um so grösser, je kleiner der 
Badius q des Kreises ist. Man setzt daher die Krümmung 
eines Kreises gleich dem reciproken Werthe des Badius, also 

gleich — 

Bei anderen Curven ist die ILrümmung in verschiedenen 
Punkten eine verschiedene. Um sie zu messen, wird man die 
Curve mit demjenigen Kreise vergleichen, welcher sich in dem 
betrachteten Punkte unter allen Kreisen am nächsten an die 
Curve anschmiegt. 

Es giebt nändich für jeden Punkt P einer beliebigen Curve 
unendlich viele Kreise, welche die Curve im Punkte P berühren. 
Unter diesen Kreisen giebt es jedoch, wie in § 86 gezeigt wurde, 
einen, der sich an die Curve näher anschmiegt als alle anderen. 
Diesen Kreis, der den Badius q haben möge, nennt man den 

Kriimmungskreis. und — nennt man die Krümmung der Curve 

in dem betrachteten Punkte. 

Der Werth von q und ebenso die Werthe der Coordinaten 
S und fi des Krümmungsmittelpunktes wurden bereits in § 87 
berechnet. (Vergl. die Formeln Nr. 106 und 107 der Tabelle.) 

Der Krümmungskreis kann aber auch in folgender Weise 
erklärt werden. Die Gleichung des Kreises 

enthält drei willkürliche Constante ?, 17, 9, welche man so be- 
stimmen kann, dass der Kreis durch drei gegebene Punkte P, 
Pi, P2 hindurchgeht. Dies giebt die drei Bedingungsgleichungen 



382 § 88. ExttmmoBg der Gorrea. 

(la.) «»-2|a; + g» + y2_2fly + fl» — ^2 = 0, 
(2.) «,» — 25ar, + P + yi« — 2fly, + ^^ — ?* = 0, 

(3.) «2» — 2ga52 + S2 + y22_2,yj + , 2 — ^2=0. 

Indem man die Gleichmigen (la.) and (2.) bezw. von den 
Gleichmigen (2.) und (3.) subtrahirt, findet man hieraus 

(4.) V — «' — 2S(a5i— «) + y,« — y» — 2i/(y,— y) = 0, 
(5.) ajjJ — V — 2S(a^ — a;,) + yj* — J/i* — 2^(y2 — yj = 0, 
oder, wenn man Gleichung (4.) durch x, — x und Gleichung (5.) 
durch «2 — «1 dividirt, 

(4a.) a;i+« — 2§ + (y, + y — 2i/)^i^ = 0, 



1 



(5a.) «2 + a:i — 2S + (y2 + yi — 2^)^ — ^ = 0. 
Aus diesen Gleichungm folgt durch Subtraction 
(6.) a:,_x-(y, + y-2,)2LIZl + (y^+y^_2,)^ZZ^ = 0, 

oder, wenn man 

(y2 + yi-2fl)|^-(y,+yi-2,)|5| = o 
addirt, 
(6a.) a=,-^ + (y2-y)|=|+(y2+y,-2,)(g5|-^)=0. 

Diese Gleichungen gelten, wo auch die Punkte P, P^ , P^ 
liegen mögen. Nimmt man sie auf der Curve an und setzt 

(7.) x^=^ X + Jxj X2=^x + 2Jx, 

so gelten die Gleichungen 

(8.) y=/(^), yi=^Ax + Jx), y2 =/(^ + 2^2?), 

und die Gleichungen (4 a.) und (6 a.) gehen über in 

(9.) 2:c + ^^-2S + (yi+y-2i?)ı^ZL£(£) = o, 

(10.) 2Jx + [fix + 2Jx) _/(:,)J&+^ZL/M 

+ (y,+y,_2,)/(£±^ÄzÄt^^ 



§ 88. Krümmung der Gurven. 383 

oder, wenn man die letzte Gleichung durch 2Jx dividirt, in 
(10a.) 1 I /(^+2^^)-/(^) f{x+Jx) -fix) 

^ 2Jx Jx 

+ i(y2+yi — 2^) ^^^-^ — X^ /-^>^v^ = 0. 

Nun ist aber für lim ^2; = a 

limy2 = Mniyi =y; 
sodann ist nach Formel Nr. 15 der Tabelle 

und ebenso, wenn man Jx mit 2^:r vertauscht, 

endlich ist nach Formel Nr. 44 a der Tabelle 

Deshalb erhält man aus den Gleichungen (9.) und (10a.), 
wenn die Punkte P, /\ und P^ einander unendlidi nahe rficken, 
so dass sich Jx dem Grenzwerthe nShert, 

(11.) ix-t) + i3f-fi)rix) = 0, 

(12.) 1 +/' ix)^ + (y — fi)f'ix) = 0. 

Aus diesen Gleichungen findet man wieder in üeberein- 
stimmung mit den Gleichungen (16.), (17.) und (18.) in § 87 

2>^ Krümmungskreis kann also auch erklärt werden ab 
der Kreisj welcher durch drei unendlich nahe Punkte der Ourve 
hindurchgeht 

Dieser Satz ist nur ein besonderer Fall des allgemeüien 
Satzes, dass zwei Curyen n + 1 unendlich nahe Punkte gemein- 
schaftlich haben, wenn sie eine Bertthinmg n^^ Ordnung besitzen. 



384 § 89. Anwendimgen auf einzelne Gurven. 

§ 89. 

Anwendungen auf einzelne Curven. 

Aufgabe 1. Man soll den Erünunungskreis für die Parabel 

(1.) y2 =: 2ax 

bestimmen,*) 

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt 
, s — !^ — « — ^. — . ?L ^ — . f! 

^ '^ ^ ^ dx^ y^ ^ '~ dx^ y^ dx y^' 

Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 106 und 107 
der Tabelle ein, so findet man 

a^ + y2 n / •73\ /i2 _L «y2 

y2 y 

oder 

(4.) § = a: H =1 a + Sx; 



y\ ay a 



'~^^ y2 \ «V ^ a* 

oder 

, giy — güy — y8 _ y». 



o2 «2 



(g2 + y2)l / y»\ _ (g» + yi')i 
yä \ ay "•■ g2 



Für den Scheitel der Parabel wird y gleich 0, folglich ist 
in diesem Punkte 

(7.) p = + a, 5 = a, ^ = 0. ^ 

In dem Scheitel hat auch der Erfimmungskreis mit der 
Parabel eine Berührung von der dritten Ordnung. Es wird hier 
nämlich 



*) In dieser Aufgabe ist der Parameter der Parabel mit a be- 

zeichnet, während p hier und in den folgenden Aufgaben gleich JK 

ax 

sein solL 



§ 80*. AnwandungeQ auf dnzelne Curven. SB5!^ 

(8.) ^..,., = g=^|=-^,. 

und mdk GMehimg (23.) in § 87 

^"M - - «eH^-g) _ 3(a' + y»)» («' + y') • <»*' 

^ ^ ^~ (y — ?)* ~ a* . a . (a» + y?) V 
oder 

Daraus folgt 

nft^ öl)-?^ (a2 + y2)y5 ,,2 4,y2 , 

deshalb wird für lima: = 0, limy = 

(11.) iimÖL)=»i, oder lim/^''(2:) = limy'"(a:)/ 

ffr \X) 

Die Parabel hat daher im Scheitel mit dem zugehörigen 
ErümmungBkreise eine Bertthnmg von der dritten Qrdnimg. 

Aufgabe 2. Man soll den Erömmnngskreis für die Ellipae 

(12.) b^x^ + a2y2 _ a2J2 — o 

bestimmen. 

Auflösung. Ans Gleichung (12.) findet man 

(^^•) te; •= ^ +^ = — sy— 

Setzt man diese Werthe in die Formeln 106 und 107 der 
Tabelle ein, so erhält man 

ia?2 + a4y2) 



^ "" ^ aV^ V ahf) \ J* / "" ^ a* J2 

Mit Bücksicht auf Gleichung (12.) ist aber 
(15.) h^x^ +. oy •=? J2(a*. — «2^;^> == «?(i* + ^y), 
folglich wird 

Stegemazm-Kiepert, DifferentuJ-Bedmimg. 25 



386' § 89. Anwendungen auf einzelne Curven. 

(16.) 5 = ^ — '—^, — "=-sr' 

oder nach Gleichung (15.) 

(17.; fl — y j4 — j4 ' 

(1^-) ? = ± ^V V i^/ "" ^ S^i^ 

Femer ist 

Bb^x 



(19.) /'"(:r) = - 



«V^ 



Bh^^x 



(JU.; ^ ^a;;^ (y — i?)* aV(J*a;2+ay) 

Daraus folgt 

f'"{x) __ Bb^x oVH^^^^ + gy) _ ^^^^ + gy 

also fiira:=±a, y = wird 

(22.) -^j = 1, Oder f'"(x) = ^-'(4 

Auch für a? = 0, y = ± 6 wird 

(22a.) /'''(:c) = ^'"(:c) = 0. 

In den vier Scheitelpunkten der Ellipse findet daher eine 
Berührung von der dritten Ordnung mit dem zugehörigen 
Krfimmungskreise statt. (Vergl. Fig. 102.) 

Dabei wird 
(23.) ^ = +^lffir x = 

und 
(24.) e = ±— fury = 0. 

Aufgabe 3. Man soll den Erümmungskreis für die Hyperbel 

(25.) b^x^ — a2y2 _ a^^ = 

bestimmen. . 



§ 89. Anwendungen auf einzelne Ourven. 887 

AuflSsung. Die Bechnungen gestalten sich hier genau 
ebenso wie in der vorhergehenden Aufgabe, man hat nur + Ifl 
mit — i^ zu vertauschen. Dadurch erhält man wieder 

(26.) 1 = -^, n^—V' g = + aV - 

genau so wie bei der Ellipse, hier ist aber e^ gleich a^ + 6^^ 
während bei der Ellipse e^ gleich a^ — V^ war. 

Aufgabe 4. Man soll den Krümmungskreis für il(d Ketten- 
linie 



(27.) y 2 

bestimmen. 



=jO "+'''") 



Auflosung. Aus Gleichung (27.) folgt mit Bücksicht auf die 
Formeln, welche in § 81, Aufgabe 7 entwickelt worden sinc^, 



(2«.) q 



(30.) 



^ = i(/ + ."»)=y. 



Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 106 und 107 
der Tabelle ein, so erhält man 

(31.) g = a; — i^.i-i = a; — «^i-i- , 

(32.) ? = y + ^2-y = 2y, 

Es war aber auch die Normale 

(84.) ^=y^ = ^ 



dx a 



26* 



3£[8 § 89. Anweadiingen auf einzelne Corvexi. 

(vergl. G:}eiphang,(480 auf Seite 881), folglich ist der Ejräimmmgs- 
radius bei der Ke;tt^iliiue, der zngßhörigea Nonnale gleich; er 
hat aber die; entgegengesetzte Bichtung, wie man schon ans 
Gleichung (82.) erkennt. 

Aufgabe 5. Man soll den Erämmungskreis für die Cykhide 
(86.) x^a{t — Wit\ y = a (1 — COS^) 

bestimmen. 

A|iflS8|^ng. Aus den Gleichungen (85.) folgt durch Differen- 
tiation 

(36.) dx = a(l — cos^)cÄ, dy = asin^ cÄ, 

(87.) d^x = asm^ . dfl^ dh/=zacoBt. dfij 

(88.) Ä2 = cfe2 + rfy2 = 2a2(l — cos^^^ = 4a2sin2(|^d^, 

(88a.) ds = 2asm T- j cß, 

(89.) dxd^ — dydh! = — a2 (1 — cos^) dfi = — 2a2sm2 {^\ dt\ 

Dies giebt nach Formel Nr. 106 und 107 der Tabelle 

4a2sin2^-yasin< 

| = a: =q(< — sip^) + 2asm<, 

— 2a2sin2(~j 

od.^ 

(40.) ? = a(^ + siÄO; 

4a2sin2 ^|-^ • a(l — cos^ 

«7 = y + ^^ jrr = a(l — cosQ — 2a(l — cos^), 

— 2a2sin2(M 

oder 

(41.) fl = — a(i — cosO =?..— y ; 

8a3sin3(i) 

(42.) p = ± ^ = T 4asin(i) 

-2a2sia2(y ^^^ 



§ 89. Anwendungen auf dnzelne Curveti. 



8Ö9 



Nun war aber (nach GMchnng (61.) in § 81) die Normale 

(43.) JV=y^=2a8iil(^), 

folglich ist der Krümmungshalbmesser doppelt so gross tote die 
Normale, 

Noch etwas schneller kommt man auf folgende Weise zum 
Ziele. Ans den Gleichungen (36.) findet man 



du shit . /t\ 

^ = i = i3:^<-«H2> 

_dh/ _dp dt _ 1 

^ dx^ dt dx 



2sin^(0 2asin2/0 *«sin*(0 



(S/--^— '(l)=4:y 



? = a; + 



os(i)- 4asin*(|) 

4asin*(5-) 

-4asin*(|) _ 
? = ± tt: — = + 4asin(^2/ 



= a(# + sin#), 



cmt), 



*'(9 

Diese Eesultate 
werden durch Figur 
103 bestätigt. 

Ist nämlich M der 
Mittelpunkt des Erflm- 
mungskreises für den 
Punkt P, so wird 



Fig. 103. 




390 § 49. AnwexkduDgen auf einzehie Gurven. 

PM=2PB, 
odei* 

PB = EM. 

Daraus folgt 

A BKM& BQP, 
und deshalb 

i7 = irjf = — JOr= — QP = — y; 

BK=z QB=PD = awit, 

also 

g= OQ + 2QB = a{t — Wit) + 2a^t 

= a(t + sin^). 

Aufgabe 6. Man soll den Krömmungskreis der Astroide 
(44.) X = acos% y = asin^ 

bestimmen. 

AuflSsung. Aus den Gleichungen (44.) folgt durch Differen- 
tiation 

(45.) di = — 3acos^ sin^ . cÄ, rfy = Sasin^^ cos^ . rf^, 
(46.) ^ = | = -tg<. 

(47.) jr — ^^j— cos2<*<fo 3acos<<sm<' 



w (iy=i+^^=i+*«''=E^ 



cos^^ ' 

(48a.) ^ = -^,- 

Dies giebt nach den Formeln Nr. 106 und 107 der Tabelle 
(49.) 5 = a; 2>( :)3acos^^sin^= acos^ + 3acos< sin^^ ; 

(50.) fi=y^ 2^-3acos*<sin^ = 3acos2^sin< + asm^; 

(51.) ß= ± ^^ • 3acos^^sin^ = q= 3asin^ cos^. 

cos^ 



§ 89. Anwendmigen auf emzelne Cnrvem. '391 

Aufgabe 7. Man soll den Kränunungskreis für die Gnrye 

(52.) X = 3^^ y^St — fi 

bestünmen. 

AuflSsung. Ans den Gleichungen (52.) folgt durch Differen- 
tiation 

(53.) dx = ßtdtj dy = 3(1 — t^)dt^ 

(54.) d^x — %dfi, dh/ = — %tdfi, 

(55.) cfe2 = di2 + dy^ == 9(1 + 2fi + t^) dt^ = 9(1 + ^2)2^^2^ 

(55a.) rfÄ = 3(l + ^)flf^, 

(56.) dxd^ — rfy d2^ = — 18 (1 + t^)dt\ 

Setzt man diese Werthe in die Formehi Nr. 106 und 107 
der Tabelle ein, so erhält man 

._^ 9(1 + ^^)^3(1-^2) ^ 3 

^-^ -18(1 + ^2) -3^ +2(1-^^ 

oder 

(57.) 5 = |(i + 2^2_^4). 

?=y+ _i8(i + ^2) =^^-^^-^^a + ^^)> 

oder 

(58.) n = — 4**; 

Aufgabe 8. Man soll den Erflmmungskreis der Epicykloide 

(60.) rr = a(m cos ^ — COS w^) , y = a (msin^ — sinm<) 
bestimmen. 

Auflösung. Aus den Gleichungen (60.) folgt durch Differen- 
tiation, wenn man wieder m — 1 = ;«, w+l = / setzt, 

(61.) dx = ma{ — Wit+Wimt)dt = 2wäisin(^ jcosfr-jcft, 
(62.) dy = ma(cos^ — COSw^) dt = 2 wasinf— j sin f — j eÄ, 



302 § 89. Anwendongeii auf eiazolne Cwfifok. 



it) 

fRA.\ _^_^ dt _ l 1 



COS 



««'(I) 2».*.(DC08(D 



/ 



4 ma sin(— j cos^f- j 

Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 106 und 107 
der Tabelle ein, so erhält man 



^ 4wa . /lt\ . /nt\ 



= a(mcos^ — cosw^) H — j- (cosrn^ — cosO, 
oder, wenn man 

fßti \ 2a na 
(65.) a j = — = a^ 

setzt, 

(66.) S = öj (mcos^ + cosm^) ; 



, Ama . /nt\ /lt\ 



= a(msin^ — WLmt) H — r- (sinm^ — mi) , 

oder 

(67.) 47 =2= a^ (msin< + sinm^). 

Endlich wird 
(68.) ,= ±i|fsin(D. 

Aus Figur 74 auf Seite 335 erkennt man, dass 
(69.) P5 = 2asin(^ 

wird, folglich ist 

(70.) ^^^J1.PB = ^J^.PB. 

^ l n + 2 

Daraus ergiebt sidi eine sehr einfache Construction des 
Krümmungstuittelpunktes. 



§ 89. Anwendtmgen auf einzehiedirven. 398 

Aufgabe 9. Man soll den Krfimmungskreis dar Hypocykhide 
(71.) X = a(incos^ + cosm^), y = a(wsin^ — sinm^ 
bestimmen. 

AuflSsung. Wenn man hier m + 1 mit n und m — 1 mit / 
bezeichnet, so wird in ähnlicher Weise wie bei der vorhergehen- 
den An^be 

(72.) dx = — 2masin f — ) cosf^- jrfi^, 

(7B.) rfy = + 2inasin(— jsin(~jefö, 



(74.) 



^__ /ft\ ds _ 1 

dx^ ^\2/ dx'^ /«V 



:(75.) ^=+ L__; 

4masin (^ jcos»^- j 



na 



dies gfiebt, w^nn man -j- mit a^ bezeichnet, 

(76.) S = % (^cos< — cos w^) , 

(77.) ^ = «1 (msin^ + sinm^), 

(78.) ^ = q:*f?sm(D=?p.PÄ (Vgl. Fig. 75.) 

Aufgabe 10. Man soll den Erömmungskreis der Ereis- 
evolvente 

(79.) X = a(cos< + ^sin^), y = a(sin< — ^cos^) 

bestimmen. 

Auflösung. Durch Differentiation der Gleic^fmgen (79.) er- 
hält man 

(80.) dx = a^cos^ . dt^ dy == a^sin^ . Ä, 

(»1-' " = I = ^'. %-^i' 



394 § 90, Die ErOxninimgsmittelpuiiktB-Giirven oder Evoluten. 

Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 106 und 107 
der Formel-Tabelle ein, so wird 

(83.) 5 = a: — a^sin^ = acos^, 

(84.) 4? = y + ö^cos^ = asin^, 

(85.) Q^ ±at. 

Daraus ergiebt sich, dass der Punkt JS, in welchem der 
abgewickelte Faden den Kreis verlässt (Fig. 78), der Eriim- 
mungsmittelpunkt ist. 



§ 90. 

Die KrOmmungsmittelpunkts-Curven oder Evoluten. 

Wenn man sich die Erflmmungskreise zu sämmtlichen Punkten 
P, Pi, P2J • • • ^^r Curve construirt denkt, so wird durch die 
zugehörigen Erflmmungs-Mittelpunkte 3f, Jf^, M2, . . . eine neue 
Curve bestimmt, welche man die SsümmungsmütelpunktS' Curve 
der gegebenen Curve nennt. Durchläuft also ein Punkt die ur- 
sprüngliche Curve, so durchläuft sein Erämmungsmittelpunkt die 
Ernmmungsmittelpunkts- Curve. Um die Gleichung derselben 
zu finden, braucht man nur aus den drei Gleichungen 

(1.) y=/(^) oder P(ir,y) = 0, 

(2.) 5 = ,_(1±£^, 

(3.) , = y+l±£' 

die Grössen x und y zu eliminiren, dann erhält man die gesuchte 
Gleichung zwischen | und 9. 

Sind X und y als Functionen einer dritten Veränderlichen t 
gegeben, so werden auch 

/^\ V ds^dy j . ds^dx 

Functionen von ^, so dass die Erümmungsmittelpunkts- Curve 
schon durch diese beiden Gleichungen üi zweckmässiger Form 
gegeben ist, da man zu jedem Werthe von t die zugehörigen 
Werthe von 5 und i? findet. 



§ 90. Die Krüminuiigsmittelpuiikts-Ourven oder Evoluten. 395 




Um die Beziehungen leichter zu erkennen, welche zwischen 
der ursprünglichen Curve und der Krünunungsmittelpunkts-Curve 
bestehen, ersetze man die Curve zunächst durch ein Polygon 
PP^ P2 P3 . . . mit lauter gleichen, beUebig kleinen Seiten (vergl. 
Fig. 104), dessen Ecken P, P^, P2, . . . auf der Curve liegen. 
Dann kann man die Mit- -^^ ^q^ 

telpunkte M, M^, M^^ . . . 
der Kreise finden, die 
durch je drei auf einander 
folgende Punkte P gehen, 
indem man die Seiten des 
Polygons halbirt und in 
den Mittelpunkten B, Jß^, 
^2? • • • Lothe JRM, A-^u 
RiM2i . . . auf den Seiten 
des Polygons errichtet. 

Eücken die Punkte 
P, Pj , P2, . . . einander 
immer näher, so geht das Polygon PP^ P2 . . . in die ursprüng- 
liche Curve und das Polygon MM^M^,.. in die Krümmungs- 
mittelpunkts- Curve über. Dabei werden die Geraden PP^, 
P1P2, P2P3, . . . Tangenten der ursprünlichen Curve, weil sie 
zwei unendlich nahe Curvenpunkte mit einander verbinden, und 
die darauf senkrecht stehenden Geraden RM^ -Bi-ä^i, ^2-8/2, • • • 
werden Normalen der ursprünglichen Curve. Die Gerade R^M^ 
geht aber auch durch If, die Gerade R^M^ geht auch durch 
-Sfj , u. s. w. Da nun auch die Punkte M^ M^^ -äfj , . . . ein- 
ander unendlich nahe rücken, so sind die Geraden RM^ Rx^u 
R^M^y... gleichzeitig Tangenten der Krümmungsmittelpunkts- 
Curve, und man erhält 

Satz 1. Die Normalen der ursprünglichen Curvie sind Tan- 
genten der Krümmungsmittelpunkts' Curve. 

Dabei folgt aus der Congruenz der Dreiecke RMP^ und 
RiMP^^ dass 

JB3f = R^M 
ist. Ebenso wird 

R^M^^zR^M^, ÄjJkfi = ^-äf2, R^M^:=R^M^, 



396 § dO. Die KrfltmtmngsmittelpniiktB-OurTOn ocler Evolateo. 

DaratiB ergeben sich die folgenden Gleichungen 

Ifii jfi — RM = ^ Jfj — Ä, jf = JOf,, 
JBjJfj — Äi if, = Äjlfj — ÄjJfi = X-Wj, 

Ans diesen Gleichnngen folgt durch Addition 
(6.) R„Mtt—RM=^ MMi + 3fi Ar2+Ä2Ä,+ . . . + lf„_i Ma. 

Eücken die Punkte P, P^, Pj , . . . einander unendlich nahe, so 
gehen £ Jf, üj M^ , i22-3f2) ... in die Eriimmungshalbmesser q, q^ , 
^21..., und das Polygon M]U^M2M^... geht in den Bogöi er 
der Krflmmungsmittelpunkts- Cftrve über. Bezeichnet man daher 
den Unterschied zweier benachbarten Ejummungshalbmesser mit 
dg und die entsprechende unendlich kleine Seite des Polygons 
JtOfjJfjJfs... mit rfc, so wird da der unendlich kleine Zu- 
wachs des feogens er, und .die Gleichungen (5.) und (6.) erhalten 
die Form 

(5 a.) dQ=:d(T^ 

(6a.) Qa — Q=^(f, 

wobei <T der Bogen der KWliimiungsmittelpunkts-Curve ist, 
welcher zwischen den beiden Krümmungsradien q und Qa liegt. 
Darin sind die folgenden Sätze ausgesprochen: 

Satz 2. Die unendlich Heine Chrösse^ um welche sich der 
Krümmungshaibmesser einer Curve ändert^ ist gleich der entsprechen- 
den Aenderung des Bogens der JSriimmungsmiitelpunitS'Ourve. 

Satz 3. Die Differerhz zweier Krümmungshalbm^ser ^a 
und Q giebt die Länge des Bogens a der KrümmungsmittelpunM^' 
Curve zwischen q und Qa» 

Aus diesen beiden Sätzen folgt, dass die ursprüngliche Curve 
aus der EMmmungsmittelpunkts-Curve durch Abwickelung (oder 
Aufwickelung) eines Fadens entsteht. Denkt man sich nämlich 
zunächst um das Polygon MM^il2M^...Ma einen vollkommen 
biegsamen, aber nicht dehnbaren Faden gelegt, dessen Endpunkt 
sich in JR befindet, so beschreibt der Endpunkt des Fadens zu- 
nächst einen Kreisbogen RR^^ weil MB und MB^ gleich lang 



§. 90. Die Krüi^muDgsmittelpuiikts-Curveii oder Evoluten. 397 

sind, und aus der gebrochenen Linie M^MR wird die gerade 
Linie M^R^. Dann beschreibt der Endpunkt des Fadens einen 
Kr^bQgen R^Rii und aus der gebrochenen Linie M^MiRi wird 
die gerade Linie M^Ri'i ^« s. w. 

Backen die Punkte P, Pi, P2, . . . einander unendli9h nahe, 
so fallen die kleinen Kreisbögen üjßi, R^R^^... mit der ur- 
sprünglichen Gurve zusammen, und man erhält 

Satz 4. Die ursprüngliche Curve entsteht durch Abtoicieltmg 
der KrümmungsmittelpunitS' Curve. 

Man nennt deshalb auch die Erömmungsmittelpunkts-Curve 
gewöhnlich die Evolute und die ursprüngliche Curve die Evol- 
vente. 

Ba die Länge des Fadens noch beliebig ist, so folgt hieraus, 
dass bei der Abwickelung des Fadens unendlich viele Curven 
entstehen. (Vergl. Fig. 105.) Dies giebt 

Satz 5. Jede Curve hat eine eimig,e Evolute^ aber zu^ jeder 
als Evolute angenommenen Curve gehören unendlich viele Evol- 
venten. 

Diese Sätze ergeben sich auch durch Rechnung aus den 

Gleictaingw 

(7.) | = ._(kl^ ond , = y+^^ 

Da y durch die Gleichung 

y ==/(«) 

als Function yor x erklärt ist, so sind auch die Grössen 

und deshalb auch^ und^^ Functionen von x. Durch Diffieren- 
tUition n^ X, findet man , daher aus dien Gleichuogen . (7,) 

rr,. dS \ qH^+Bp^)—p{l+p^)r _ —Bp^q^+p(l-{-p^)r 

^^'^ di^^~ ^T" " T^ ' 

(9) ^?^j, I 2pq^-(l +P^)r ^ Spq^-{1 + p^)r 

^ ' dx ^ y2 y2j 

Indem man diese be|d^ Gleichungen durch einander dividirt, 
findet man 



398 § 90. Die Krümmungsmittelpunkts-Ourven oder Evoluten. 



' *^ d§ p dy 

Ist alBQ wie gewöhnlich a der Winkel, den die Tangente 
TP in irgend einem Punkte P der Curve y=f{x) mit der 
positiven Bichtung^ der 
X-Axe bildet, und ß der 
Winkel, welchen die Tan- 
gente MN der Erüm- 
mungsmittelpunkts - Curve 
in dem zugehörigenPunkte 
M mit der positiven Eich- 
tung der X-Axe bildet, so 
ist (Fig. 105) 

und deshalb nach Glei- 
chung (10.) 




(11.) 



tg/y = -t^ = tg(900+a). 



d. h. die beiden Tangenten TP und MN bilden (hinreichend 
verlängert) einen rechten Winkel mit einander. 

Die Gerade PM steht aber als Krümmungshalbmesser eben- 
falls senkrecht auf der Tangente TP, sie muss daher mit MN 
zusanunenMlen, da es durch den Punkt M nur eine Gerade 
giebt, welche auf TP senkrecht steht. Dies giebt wieder 

Satz 1. Die Normalen der ursprünglichen Curve sind zu- 
gleich Tangenten der Krilmmungsmittelpunkts-Gurve. 

Indem man die Gleichungen (8.) und (9.) in's Quadrat er- 
hebt und addirt, findet man 



dx^ q^ 



(12.) 

und wenn man die Gleichung 






§ 91. Anwendungea auf einzelne Ourven. 399 

differentiirt, erhält man 

^ '^ dx '~ q^ 

Setzt man jetzt wieder das Bogenelement der Eriimmimgs- 
mittelpmikts-Curve 

(14.) yWTdi^ = dfs, 

so findet man ans den Gleichungen (12.) und (13.) 

(15.) rfc == ± dq. 

Dies giebt 

Satz 2. Die unendlich kleine Crrösse, um welche eich der 
Krümmungshalbmesser einer Curve ändert, ist gleich der entsprechen- 
den Aenderung des Bogens der KrümmungsmiUelpunkts- Curve. 

Ans diesen Sätzen ergeben sich dann ohne Weiteres auch 
die Sätze 3, 4 und 5 in derselben Weise wie oben. 

§ 91. 

Anwendungen auf einzelne Curven. 

Aufgabe 1. Man soll die Evolute der Parabel 

(1.) y^^2ax 

au&uchen. 

Auflösung. Nach den Gßeichungen (4.) und (5.) in § 89 wird 
für die Parabel 

(2;) t = a + ^, ' = -& 

folgUch ist 

oder 

(3.) 27ai?2 = 8(1 — a)\ oder ,n=± ^^^"""V e^g— «)> 

Da fi nur reelle Werthe haben kann, wenn 

t — ö^O, also ?^a 

ist, so beginnt die Curve in emem Punkte S auf der X-Axe, 
welcher den Abstand a vom Scheitel hat. Sie erstreckt sich 



400 



§ 91. Anwendungen auf einzelne Ourven« 



von da in zwei znr X-Axe symmetrisch gelegenen Zweigen bis> 
ins Unendliche. (Vergl. Fig. 106.) 

Aus Gleichung (3.) folgt durch Differentiation 

Für 5 = a wird also der 
Winkel a gleich 0, d. h. die beiden 
Zweige b^iibren im Punkte S die 
X-Axe, so dass die Curve im 
Punkte S eine Spitze hat. 

Im Uebrigen hat -4 da£»elbe 

'Vorzeichen wie i?, der Curven- 
zweig über der X-Axe steifft daher 
und der unter der X-Axe /alü 
beständig. 

Femer findet man aus Glei- 
chimg (4.) durch nochmalige Diffe- 
rentiation 

^. 4[2,(g-a)-(g-a)»|] 

oder mit Bücksicht auf die Gleichungen (8.) und (4.) 

<P^_ 72afi^ß — g) — 16 (S — ay _ 2(S — o) 
rf|2 "" ' 81 aV 9a7 

Also auch ^ hat. dasselbe. Vorzeich^ wie 9, d. h. der 

obere Zweig der Curve ist nach oben concav^ und der untere 
Zweig der Curve ist nach oben conpex. 
Für a? = 4a wird y^ = Sa^, und 
für 5 = 4a wird ^2 = ga^, 

folglich wird die Parabel in den Punkten^ mit den Coordinaten 
a; = 4a, y = ± 2a yT von ihrer Evolute geschnitten. 

Aufgabe 2. Man soll die Evolute der EUipse 




(5.) 



Ä^»+.aV^a?Ä» = 0,. oder ^ +-^ = 1 



(6.) 

aofmcheB. (Vexgl. Elg. 107.) 



§ 91. Anwendtmgen auf einzelne Oorven. 



401 



AiillBsung. Nach den Gleichungen (16.) nnd (17.) in § 89 
wd for die Ellipse 



(7.) 




und ^ = ^> 


oder • 










J3 «2 



aJso 

Setzt man diese Werthe in die Gleichung (6.) ein, so erhält man 

Da die Ellipse die beiden Goordinaten-Azen zu Symmetrie- 
Ax&a hat, so gilt dasselbe auch von ihrer Evolute. 

Pfir «7 = wird g = + — ^ 



und für ? = 



n 






JDadnrch erhalt man die vier Schnittpunkte S^, iS^, S^, S^ 
der Evolute mit den Cioordinaten-Azen, und zwar sind diese 
Punkte wieder Spitzen der Curve, weil 



e 



e' 



^^^a^ mid ^»^p 

sein muss, und weil die 
Curvenzweige in den ange- 
gebenen Punkten die X-Aze, 
bezw. die F-Axe berühren. 

Man kann übrigens diese 
Punkte auch leicht constnii- 
ren, indem man von dem 
Punkte C mit den Coordi- 
naten (Fig. 107) 

rc = a, y = i 

Stegemann- Kiepert, Differential-BechxiTUQg:. 




26 



402 



§ 91. Anwendungen auf einzelne Ourven. 



anf die Gerade AB mit der Gleichnng 

— 4- — = 1 

welche durch die beiden Scheitel A und B der Ellipse hindurch- 
geht, em Loth fällt. Dieses Loth, welches die Gleichuig 

(9.) . h{tf — h) = a{af — a) 

hat, schneidet die X-Aze in einem Punkte S^ mit den Coordinaten 

a ^ 

und die F-Axe in einem Punkte S^ mit den Coordinaten 



x^ — Q, 



e' 



y=-r 



Aufgabe 3. Man soll die Evolute der Hyperbel 

^^' ^^' (10.) i2a:2-aV-a262«0, 

oder 

— _y!— 1 

»2 J2 - ^ 
au&uchen. 

AufIBsung. In ähn- 
licher Weise wie bei der 
vorhergehenden Au%abe 
findet man hier 




(11.) 



@/-@/-- 



Man untersuche die Eigenschaften und die Gestalt dieser 
Curve. 



Aufgabe 4. Man soll die Evolute der Kettentinie 






a 



(12.) y = J\^«»+e «), oder VyJ — a2=|(e» 

aoMchoi. 



-.-) 



§ 91. Anwendungen auf einzelne Gurven. 



403 



Auflösung. Nach den Gleichungen (31.) und (32.) in § 89 
wird für die Eettenlinie 



(18.) | = .-yV^, , = 2y. 

oder mit Rücksicht auf die Gleichungen (12.) 

e'-e '), f, = a(e' + e i). 



Somit sind $ und tj als Func- 
tionen einer dritten Veränderlichen^ ^j^ 
X dargestellt, so dass man die Gurve 
punktweise construiren und ihre 
Eigenschaften untersuchen kann. 
(Vergl. Fig. 109.) 

Da man die Gleichung der 
Eettenlinie auf die Form 



Fig. 109. 

rr 



X 



= ai(y±}^zif!) 




bringen kann, so ergiebt sich aus 

den Gleichungen (13.) auch eine Gleichung zwischen 5 und i?, 

nämlich 



g ^ ^^ A ± v?^ — ^«^ ^y? 



2 — 4a2 



4« 

Aufgabe 5. Man soll die Evolute der Cykloide 
(15.) ic = a(^ — sinQ, y=a{X — cosO 

au&uchen. 

Auflösung. Nach den Gleichungen (40.) und (41.) in § 89 
wird fftr die Cykloide 
(16.) g = a(^ + sinO, 7 = — a(l — cos^. 

Diese Gleichungen, welche zur Construction und Unter- 
suchung der Evolute wohl geeignet sind, haben einige Aehn- 
lichkeit mit den Gleichungen der Cykloide selbst, ja man kann 
sogar zeigen, dass die Evolute gleichfalls eine Cykloide ist. 
Dies geschieht, indem man ein neues Coordinaten- System ein- 

26* 



404 



§ 91. AnwenduBgea aof eüuselne Gurven. 



f&brt, dessen Abscissen-Axe O'X' parallel ist'znr X-Axe, und 
dessen Qrdinaten-Axe O'y parallel ist zur F-Axe (Pig. 110). 
Dabei soll der neue Anfiangspunkt O* eine solche Lage haben, dass 

(17.) 5' = a7r + 5, V = 2a+^ 

wird. Dadurch gehen die GMchnngen (16.) fiber in 
(18.) l» = a{n + t + smO, n' = «(1 + cosO. 

Fig. 110. 




Setzt man jetzt noch 
(19.) t = 1f — nj also ^ = 7r + <, 

so wird 
(20.) sin^ = — sin^ , cos ^ = — cos^' , 

und die Gleichungen (18.) gehen aber in 

(21.) g' = a(^ — sin^, ^' = a(l — COS^. 

Diese Gleichungen stinunen genau überein mit den Glei- 
chungen (16.); es sind nur die Buchstaben x^ y, t bezw. vertauscht 
mit §', fj'j fj d. h. die gemeine Cyüoide ist ihrer Evoltde congruerd. 

Nach dem Vorstehenden ist also die Cykloide OPHA 
(Pig. 110) eine Evolvente der beiden halben Cykloiden OB und 
BA. Befestigt man in B einen biegsamen, aber nicht dehn- 
baren Faden und legt ihn um die halbe Cykloide BMO^ so wird 
das Ende die Cykloide OPHA beschreiben, wenn man zu- 
nächst den Faden von dem Bogen BMO abwickelt und dann 
auf den Bogen BA aufwickelt, bis das Ende des Fadens in d^n 
Punkte A anlangt. . 



§ 91. Anwendungen auf einzelne Curven. 



405 



Daraus findet man auch leicht die Länge des CykLoiden- 
bogens OB^ denn die Länge des Fadens, der auf diesen Bogen 
au^ewickelt werden kann, ist 

(22.) 6B = HB = 4a. 

Der Bogen OB ist aber congruent dem Bogen HÄ^ und HA 
ist die Hälfte der ganzen Cykloide, folglich ist 

(23.) OPHA = 8a. 

Der Bogen der ganzen Cykloide ist daher 8 -mal so lang 
tote der Halbmesser des die Cykloide erzeugenden Kreises. 

In der Integral -Rechnung wird die Länge des Gykloiden- 
bogens durch eine andere, allgemein verwendbare MeÜiode ^- 
mittelt werden. 

Aufgabe 6. Man soll die Evolute der Astroide 
(24.) X = acos^, y = asin^^ 

au&uchen. 

Auflosung. Nach den Gleichungen (49.) und (50.) in § 89 
wird für die Astroide 

= acos% + 3a cos^ sin%, 

3a cos2^ sin< + asin^^. 



(25.) 



1^ = 3( 



Diese Gleichungen stellen, 
wie sogleich gezeigt werden 
soll, wieder eine Astroide dar, 
die aus der gegebenen entsteht, 
indem man a mit 2a vertauscht 
und die Coordinaten-Axen um 
einen Winkel von 45^ dreht 
Zwischen den neuen und den 
alten Cioordinaten eines Punktes 
bestehen bei einer solchen 
Drehung der Axen bekanntlich 
die Gleichungen 



Fig. 111. 




(26.) 



{ 



r = 100845« + ifan45«, 

?' = — San 450 + 9C0S45*, 



406 § 91. AnweiidimgeEi auf emzelne Corven. 

oder, weil cos 45^ und sin 45^ beide gleich —=: sind, 

(26a.) 1/2.^ = 5 + 7, 1/2 . 7' = — g + ?. 

In diesem Falle erhält man deshalb 

. V I >^. ?' = a(cos»^ + 3cos2^ sin^ + Scos^sin^/ + sm^^) 
\ = a(cos^ + sm<)^ 

. . I y2 . i = a(sm»^ — 3sin2^ cos^ + Ssin^cos^^— cos«<) 
\ = a(sin^ — cos^^ 

Da aber 

cos^ + sin^ 



cos(^ — 45<^) = cos^cos45^ + sin^ sin45^ = 
sin(^ — 45^) = sin^ cos45^ — cos^ sin45^ = 



}/2 

sin^ — cos^ 



ist, so wird 

. V f (cos^ + sinO^ = 2 y2 . cos»(^ — 45«), 

l (sin^ — cos^)3 = 2 V^. sin3(^ — 45»). 

Bezeichnet man noch t — 45« mit ^, so gehen die Glei- 
chungen (27.) und (28.) aber in 

(30.) V = 2ö cosV, i = 2a sinV. 

Hieraus erkennt man die Richtigkeit der oben ausgesprochenen 
Behauptung. 

Aufgabe 7. Man soll die Evolute der Epicykloide 
(31.) a; = a(mcos^ — cosw^), y = a(msin^ — sinm^) 
aufiuchen. 

AuflSsung. Nach den Gleichungen (66.) und (67.) in § 89 
wird für die Epicykloide 

(32.) ? = ai (mcos^ + cosf»^), 17 = a^ (wsin^ + sinm^), 
wobei 

/QQ \ na n 

(88.) «. = - = _j-^a 

ist. Diese Gleichungen siad den Gleichungen der ursprünglichen 
Cnrve so Shnlich, dass die Vermuthung nahe liegt, die Evolute 



§ 91. Anwendungen auf einzelne Curven. 



407 



sei [eine den EpicykLoiden verwandte Curve. Durch Transfor- 
mation der CoordJnaten kann man diese V ermuthnng bestätigen. 
Dreht man n&mlich die Coordinaten-Axen nm den Winkel t?, so 
sind die nenen Coordinaten eines Punktes bekamitlich durch die 
Gleichungen 

(34.) g' = gcost? + fjwiVj 'tf = — gsint? + ^cost? 

gegeben. In dem vorliegenden Falle erhält man daher 

5' = ai[f»(cos^cosü + sin^sint?) + (cosw^cost? + sinw^sint?)], 

vf = ai[w( — cos^sint? + sin<cost?) + ( — cosm^sint? + sinm^cost?)], 

oder 

5' = Ol [mcos(^ — t?) + cos(m^ — t?)], 

t?) + sin(m< — t?)]. 

Setzt man nun 



(35.) |r = «iimcos(«- 



(86.) 



7t 



t? = — und t — 1? = ^, 



n 



so wird, da m = » + 1 ist, 



7t 



n 



also 

cos {mt — t?) = — cosm^, 

sin(m< — t?) = — sinm^. 

Deshalb gehen die Glei- 
chungen (35.) aber in 

(37) p'=^(^^s^— ^sm^O) 
1 1]^ = aj (msin^ — sinw^). 

Die Evolute ist also tvieder 
eine Epicykloide derselben Art^ 
nur die Dimension hat sich in 
dem VerhäUniss von n + 2 zu 
n verkleinert, und die Richtung 



Fig. iia 




7t ^ 7ir\ 

der Azen hat sich um den Winkel — 1 oder j gedreht. 

(VergL Fig. 112.) 



408 § 91. Anwendongea auf ftinateliw Ganren. 

Jetzt kann man auch leicht die Länge des EpqrkliOidfin- 
Bog^is berechnen. In Figor 112 entsteht der Bogßn AB durch 
Abwickebing des Bogens AC^ folglich muss der Bogen AC die- 
selbe Länge haben wie die Gerade OB. Nun ist aber 

CB=OB'- 00=(» + 2)a ^a 

^ • ^ n + 2 

__ ^{n + l)a _ ^{n + l)a^ 
#» + 2 "" n 

Deshalb wird 
(38.) ^-0 = 1^1+^^., i5 = i(^±l)a. 

Ist n eine ganze Zahl, so besteht die Gurre aus 2n Bögen, 
welche AB congruent sind; der Um£ang Z7der ganzen Epicykloide 
wird dann 8(w + l)a. 

Ist z. B-, der Figur 112 entsprechend, « = 3, so wird 
(38a.) AB=^^ J7= 32a. 

Aufgabe 8. Man soll die Evolute der Hypocykhide 
(39.) a; = a(mcos^ + cosm^), y = a(wsin^ — sinmQ 
au&uchen. 

AufiBsung. Nach den Gleichungen (76.) und (77.) in § 89 
wird für die Hjrpocykloide 

(40.) g = Oj (mcos^ — cosfirf), 1? = «1 (msin^ + sinm/)^ 

wobei 

ist. Durch Drehung der C!oordinaten-Axen um den Winkel v 
findet man in diesem Falle 
(42 ) 1 5' = «1 [wcos(^ — t?) — cos(w^ + «?)], 

\fl*=za^ [insin(^ — t?) + sin(w^ + t?)]. 
Setzt man jetzt wieder 

(43.) t?Ä— und t — v = t'^ 

n 

SO wird, da hier m^n — 1 ist, 



§ 91. Anwendungen auf einzelne Ourven. 409 

t = f -{ , mt + V = mf + TT, 

cos(f»^ + v) = — coBmf, sm(nd + o) = — sinm^'. 
Deshalb gehen die Gleichungen (42.) über in 
(44.) S' = «1 (wcos^ + coBmf)^ fj' = a^(mwif — sinm^')- 

Die Evolute ist also tcieder eine Hypocykloide derselben Art^ 
nur die Dimension hat sich in dem Verhältniss von n — 2 zu n 
verffrössert, und die Richtung der Axen hat sich um den Winkel 

— gedrehte 

Auch hier kann man sehr leicht die Länge des Bogens 
berechnen und findet, ähnlich wie bei der vorigen Angabe, 
wenn n eine ganze Zahl ist, dass der Umfang der ganzen 
Hypocykloide 

(45.) J7=8(» — l)a 

ist. 

Als Beispiel kann hier die Astroide dienen, welche man 
für den Fall » = 4 erhält. (Vergl. Fig. 111.) 

Aufgabe 9. Man soll die Evolute der Kreisevolvente 
(46.) X = a(cos^ + twit\ y = a(sin^ — ^cos<) 

aufeuchen. (VergL Fig. 78 auf Seite 342.) 

Auflösung. Schon aus der Entstehung der Ereisevolvente 
durch Abwickelung eines Kreises kann man schliessen, dass 
dieser Ereis die Evolute sein muss. (Vei^l. Satz 4 in § 90.) 

Dieser Schluss wird auch durdi die Rechnung bestätigt, 
denn nach den Gleichungen (83.) und (84.) in § 89 wird fiir 
die Kreisevolvente 

(47.) | = acos^, ^ = asin^, 

also 

(48.) P + n"^ «^ 

und dies ist die Gleichung des Kreises, durch dessen Abwicke- 
lung die Kreisevolvente entstanden ist. 



XI. Abschnitt. 



Untersnehnng Ton Cnnren, welche anf ein 
Polarcoordinaten-System liezogen sind. 

§ 92. 

Tangenten und Normalen. 

(Vergl. die Fonnel-TabeUe Nr. 108—113.) 

Bei der Bestunmuiig der Lage eines Punktes dnreli Polar- 

coordinaten ist eine G^ade OX gegeben and auf dieser Geraden 

Fig. 118. ein Punkt 0; den Punkt nennt 

man den Nullpunkt oder den Pol, und 
die Gerade OX nennt man die An- 
fangsricktung oder die Polar -Axe 
des Coordinaten-Systems. 

Ist nun ein Punkt P beliebig 

gegeben, so nennt man die positive 

Strecke OP = r den Badius vector und den Winkel y, welchen 

OP mit der Anfangsricbtung bildet, das Argument des Punktes 

P. (Vergl. Fig. 113.) 

Durch die Lage des Punktes P sind daher die beiden 
Ooordinaten r und g> gegeben, und umgekehrt: Durch die beiden 
Ooordinaten r und fp ist die Lage des Punktes P gegeben, 

Macht man zum Anfangspunkte eines rechtwinke%en 
Coordinaten-Systems und die Anfengsrichtung OX zur X-Axe, 
so ist der Uebergang von rechtwinkeligen Ooordinaten zu Polar- 
coordinaten, wie man ohne Weiteres aus der Figur erkennt, 
gegeben durch die Gleichungen 

(1.) a; = rcosy und y = rsin5p. 




§ 92. Tangenten und Normalen. 



411 



Fig. U4. 



Daraus folgen dann die Gleichungen 
(2.) r = y^r^ + y2 und y = arctg^^Y 

welche den Uebergang von Polarcoordinaten zu rechtwinkeligen 
Coordinaten vermitteln. 

Ist nun zwischen r und qt eine Gleichung von der Fomt 

(3.) Jl(r,5p) = 0, oder r=/(5p) 

gegeben, so entspricht dieser Gleichung eine Curve. 

Auf einer solchen Curve (Fig. 114) seien P und P^ zwei 
benachbarte Punkte, deren Coordinat^ mit r, 9), bezw. mit 
r + A* , 5p + rfy bezeichnet werden 
mögen, wobei durch die Bezeichnung 
sogleich ausgedrückt werden soll, 
dass die beiden Punkte einander be- 
liebig nahe rücken dürfen. Beschreibt 
man dann um mit dem Halb- 
messer OP gleich r einen Kreisbogen, 
welcher den Radius vector OP^ im 
Punkte Q treffen möge, dann ist 

(4.) OPy^ = r'\' dr, 

also 

Od = r, QPy^ = rfr, 

(5.) QP^rdg>. 

Wenn die Punkte P und Pj einander unendlich nahe rücken, 
so darf man das kleine rechtwinke%e Dreieck PQPi als gerad- 
linig betrachten und erhält nach dem pythagoräischen Lehrsatze 

PP^'^ = PQ^ + aPl^ 

oder, wenn man den unendlich kleinen Bogen PP^ wieder mit 
ds bezeichnet, 

(6.) ds^ = rfr2 + r2rfy2. 

Femer ist 




(7.) 



^ ^ » QPi dr 



Der Winkel QPiP ist der Winkel, den die Gerade PiP 
mit dem Badius vector OPi bildet; räckea aber die Punkte P 



< o ■* ■* 



J f. , 






412 



§ 92. Tangenten und Normalen. 



und Pi einander unendlich nahe, so wird P^P die Tangente der 
Curve im Punkte P (oder Pj), und der Radius vector OP^ fiUlt 
mit OP zusammen. Bezeichnet man also den Winkel, welchen 
die Tangente im Punkte P mit dem Radius vector OP bildet, 
mit /ti, so wird nach Gleichung (7.) 



(7 a.) 



tg^ 



rd(p 

SS — ^— — . 



dr 



Fig. U6. 



Nennt man den Winkel, den die Tangente mit der positiven 

Richtung der X-Axe bildet, 
wieder a, so ist, wie man ohne 
Weiteres aus Fig. 115 erkennt, 
a = 5p + |ii, 

tg« = tg(5P + li) 

__ tgy + tg/ti 
1 — tgytg/i* 

rdg) 




^9 + 



dr 



1 — tg9P 



rdg) 
dr 



oder, wenn man Zähler und Nenner mit cosy . dr multiplicirt, 
(8.) 



smo) . rfr + rcoso) . rfo) 

tga = — ^ , . j ' 

cosy.ar — rsmg>.dg) 



Durch den üebergang von rechtwinkeligen Coordinaten zu 
Polarcoordinaten werden die in den Gleichungen (6.) und (8.) 
enthaltenen Resultate bestätigt. Da r durch Gleichung (3.) als 
Function von g> erklärt ist, so muss man auch 

X = rcos^p, y = rsiny 

als Functionen von g> betrachten und erhält durch Differentiation 

dx dr 
dg> 



= ^cos^p — rsm^p 



oder 
(9.) 



dy dr . 

{cfe = cosy .dr — rsmg> .rfy, 
dy = sin^p . dr + rcos^p . dg>. 



§ 92^ Tangenten nnd Normalen. 413 

Erhebt man diese beiden Gleichungen in's Quadrat und ad- 
dirt sie, so findet man wieder wie in Gleichung (6.) 

durch Division erhält man in Uebereinstimmung mit Gleichung (8.) 

^ — f — siny . dr + rcosy . rfy 
cfe"^^ ""cosy.rfr — rsin9>.c?9> 

In einem beliebigen Punkte P der Curve seien die Tangente 
und die Normale gezogen (Kg. 115), welche die im Punkte 
auf dem Eadius vector OP errichtete Senkrechte bezw. in den 
Punkten T und iV treffen mögen. Man nennt dann 

NP die Polar-Normale {N\ 

NO die Polar-Sulnormdle {Sn\ 

PT die Polar- Tangente (T), 

OT die Polar- SuhtangerUe (St). 

Bezeichnet man den Complementwinkel von fi mit v, so er- 
kennt man aus Figur 115, dass v auch der Complementwinkel 
von ONP ist Deshalb wird 

4:0NP^(i, 
und man erhält mit Rücksicht auf Gleichung (7 a.) 

(10.) NO = Sn=^^; 

OT OT 

(11.) or=-y< = rtg/* = ^; 

]^=^o^+öP=(^y+r.=(0, 



4U 



§ 93. Anwendungen auf einzelne Ourven. 



(12.) 



(13.) 



NP=N = 



— ; 



tg/* = igPNT = 



PT 

NP' 



PT^T^Nig,^^.'^ 



rds 
dr 



§ 93. 

Anwendungen auf einzelne Curven. 

Aufgabe 1. Man soll Subnonaale, Subtangente, Nonaale und 
Tangente far die Archimedische Spirale 

(1.) r = aq) 

berechnen. 

AuflSsung. Die Archimedische Spirale entsteht, indem eine 
gerade Linie sich um einen ihrer Punkte dreht, während ein 

anderer Punkt P auf ihr mit 
gleichmässiger Geschwindigkeit 
fortrückt. Dadurch ist es auch 
leicht, die Curve punktweise zu 
construiren. (Vergl. Fig. 116.) 
Aus Gleichung (1.) folgt nun 



Fig. 116. 




(2.) Ä« = ^ = a, 

d. h. die Si4bnormale ist in allen 
Punkten der Curve constant; 
deshalb kann man in jedem be- 
liebigen Punkte der Curve sehr leicht Tangente und Normale con- 
struiren, auch wenn die Curve nicht gezeichnet vorliegt. Femer ist 



(3.) 



tgA* 



rdg> r 



dr 



a 



9P, 



Für 9) gleich wird auch r gleich und f* gleich 0, d. h. 
die Curve geht durch den Anfangspunkt des Coordinaten-Systems 
und die Tangente in diesem Punkte der Curve fällt mit der 
Anfangsrichtung zusammen. 



§ 93. Anwendung^ auf einzelne Curven. 



415 



(4.) 



ar 



a 



also 

(5.) 
(6.) 



(0=(0 + ^^ = «^+^^ = -'(^ + ^^)' 



ds 






rqi'=^a 



Fig. 117. 



Aufgabe 2. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale 
und Tangente f&r die hgperboliscAe Spirale 

(7.) 
berechnen, 

AufIBsung. Beschreibt 
man um den Anfangs- 
punkt eine Schaar von 
Kreisen und schneidet 
auf ihnen, von der 
Anfangsrichtung (Polar- 
Axe) an gerechnet, Bö- 
gen von gleicher Länge 
a ab, so ist der geo- 
metrische Ort der End- 
punkte, wie man aus t 
Gleichung (7.) erkennt, 
eine hyperbolische Spi- 
rale. (Vergl. Fig. 117.) 




Aus Gleichung (7.) folgt 



(7 a.) 
also 

(8.) 
(9.) 
(10.) 



r -=. a^ 



— 1 



dr r^ 



tg^ 



rdg> a 



dr 



9 



ar 



= — a. 



416 § 93. Anwendangeoa auf einzelne Gnrven. 

Bei der hyperbolischen Spirale ist also die Subtangente 
constant; deshalb kann man Air jeden beliebigen Punkt der Corve 
sehr leicht Tangente und Normale constmiren. 

Femer ist 
also 

Für g> gleich ist r unendlich gross; man kann aber auch 
dann noch die Tangente an den zugehörigen Curvenpiuikt legen, 
obgleich er unendlidi fem ist. Eine Tangente, deren Berühmngs- 
punkt unendlich fem liegt, heisst bekanntlich Asymptote. Die 
Asymptote der hyperbolischen Spirale ist die Gerade, welche 
man im Abstände a parallel zur Anfangsrichtung legen kann. 
Denn r fällt für g> gleich in die Anfangsrichtung, die Sub- 
tangente also in die Gerade, welche im AnfangEqpunkte auf der 
Anfangsrichtung senkrecht steht, und ihre Länge ist nach 
Gleichung (10.) gleich — a. 

Aufgabe. 3. Man soll Subnormale, Subtangente, Normale 
und Tangente der parabolischen Spirale 

(13.) r^ = d^g> , oder r = a}/y = aqr 

aufeuchen. 

Auflösung. Aus Gleichung (13.) felgt 

/^Ä.\ o dr a -l a^ 

(!*•) ^" = ^ = 2'' -2F' 

(15.) tgM = r^ = 5 = 2y; 

deshalb 'wird ebenso wie bei der Archimedischen Spirale - 

rs=o, i*=0 &! y> = 0. 

(16.) ^< = -^ = _ = 2r<|D, 



§ 93. Anwendimgen auf täxatia» Curvan. 



417 



(17.) 
(18.) 



''-^-^y^'+^-iy^^+^' 



T = Ntgfi r=z—ya^ + 4r4 = a Vy (1 + 4y2). 



ä^ 



Aufgabe 4. Man soll Subnormale, Subtangente^ Normale 
und Tangente der allgemeinen Spirale 

(19.) r = ay" 

au&uchen. 

AuflSsung. Aus Gleichung (19.) folgt 
(20.) Sn = j- = nag>'"'\ 

(21.) tg^ = !a^ = SP, ' 



dr 



n 



(22.) 
(23.) 



of = — T — = j 



7» 



d% 






Fig. 118. 



(24.) T = iVtg/it = ^ y«2 + y2 == Iyn2+y2. 

Man erkennt, dass in dieser Aufgabe die ersten drei Auf- 
gaben als besondere 
Fälle enthalten sind, 
wenn man bezw. 
/e= + l, 72 = — 1, 

setzt. 

Aufgabe 5. Man soll i^ 
Subnormale, Subtan- —t 
gente. Normale und \ 
Tangente für einen be- 
liebigen Punkt der &- 
garitiimischen Spirale 

(25.) r = ^^^ 
berechnen. 

Stegemaan - Kiepert, Differential-BeohBung. 




27 



418 § d3. Anwendungen auf einzelne Curven. 

Auflösung. Aus Gleichung (25.) folgt 
(26.) Sn=^j-= a^ = ar. 

Die Subnormale ist oho dem Radius vectar proportionalj 
deshalb beschreibt der Endpunkt iV^ der Subnormale eine Gurre, 
welche der ursprunglichen Curve ähnlich ist. (Vergl. Fig. 118.) 

Femer ist 

(27.) tg^ = ?|? = |, ^ = arctg(l) 

der Winkel fs, den eine hdiehige Tangente mit dem zugehöriffen 
Madiics vector bildet, ist also constant. 

(28.) St^'^^L, 

^ ^ dr a 

folglich ist auch die Subtangente dem Radius vector proportionalj 
so dass auch der Endpunkt T der Subtangente eine Gurre be- 
schreibt, welche der urspränglichen Gurve ähnlich ist, (Vergl. 
Fig. 118.) 



(iy=''+(0='^<'+»'). 



also 

(30.) T=Ni^, = ^-^.^ = LYrT^.. 

Es sind daher auch Normale und Tangente selbst dem 
Radius vector proportional. 

Aufgabe 6. Man soll Subnormale, Subtangente^ Normale und 
Tangente der Gurve 

(31.) r^i=i a"^ cos (wy) 

au&uchen. 

AuflSsung. Da in Gleichung (31.) die Grösse m noch un- 
endlich viele Werthe haben darf, so sind in dieser Gleichung 
unendlich viele Gurven inbegriffen, von denen einzelne hervor- 
gehoben werden mögen. 

I. m = 1. Die Gleichung der Gurve ist 

(32.) r = a cos y, oder r^ = ar cos y , 

also, wenn man zu rechtwinkeligen Goordinaten übergeht, 



§ 93. Anwendungen auf einzelne Curven. 



419 



(32 a.) x^ + y^ = ax, 

und dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Halbmesser 



a 



Fig. ue. 




o 



-9 dessen Mittelpunkt die Coordioaten 

hat. (Vergl. Fig. 119.) 

n. w = — 1. Die Gleichung 
der Curve ist 

(33.) r"^ = a-^cosy, 

oder 

rcosy = a, 

also, wenn man zu rechtwinkeligen 

Coordinaten übergeht, 

(33 a.) x = a. 

Dies ist die Gleichung einer Geraden , welche im Abstände 
a parallel zur F-Axe gezogen ist. (Vergl. Fig. 119.) 

m. m = 2. Die Gleichung der Curve ist 

(34.) r2 = a2 cos (2y) , oder r * = a^ (r^ cos V — r^ sin V)j 

also, wenn man zu rechtwinkeligen Coordinaten übergeht, 

(34 a.) (a:2 + y2)2 — ^^2(^2 _ y2). 

Dies ist die Gleichung' der Lemniscate, einer Curve, deren 
Gestalt man sehr leicht aus den Gleichungen (34.) und (34 a.) 
erkennen kann. Zunächst 




folgt aus Gleichung (34.), 
dass die Curve innerhalb 
eines Kreises mit dem Halb- 
messer a liegen muss, d^nn 
es ist r^a. (Vergl. Fig. 
120.) Aus Gleichung (34 a.) 
erkennt man sodann, dass 
die Coordinaten -Axen Sym- 
metrie- Axen der Curve sind, 
weil nur die Quadrate von 
X und y in der Gleichung 
vorkommen. 



Fig. 120. 




27' 



420 § 93. Anwendimgen auf einssetae Cuttccl. 

Für 9) = wird r = a; wächst g>, so wird r kleiner und 
nimmt ab bis zu r = 0, wenn der Winkel y = 45® geworden 
ist. Liegt y zwischen 45 ® und 90 ®, so wird r^ negativ , r selbst 
also imaginär; deshalb liegt kein reeller Punkt der Cnrve 
zwischen der Geraden OB mit der Gleichung y = rr und der 
y-Axe. 

IV. m = — 2. Die Gleichung der Curve ist 
(35.) r-* = a-2cos(29)), oder r2cos(2y) = a^, 
also 

(35 a.) r^cos^y — r^sin^ = a^, oder z^ — y^^a\ 

Dies ist die Gleichung der gleicJ^eitigen Hyperbel. (VergL 
Fig. 120.) 

V. m = + |. Die Gleichung der Curve ist 

(36.) r* = a*cos^|\ oder r = acos^^^^ ]; 

daraus folgt 

2r2 = 2arcos2f 2 j:=: ar{l + cosy) ^=z ar + arcoSf), 

(37.) 2r2 — ax=i ar, 

4r* — 4Äir2 + ä^x^ = a V^ = a^ar^ + ay ^ 
oder 

(36 a.) 4 (a:2 + y2) (3^2 4. y2 _ o^;) =- «2y2, 

Dies ist die Gleichung der Cardioide. um die Ueberein- 
Stimmung dieser Curve mit der bei den Epicykloiden als Cardi- 
oide bezeichneten Curve nachzuweisen, setze man 

(38.) 2r=a(l — cosO, 

dann folgt aus Gleichung (37.) 

(39.) 2a: = — a cos ^(1 — COSt), 

(40.) 2y = V4r2 _ 4-^2 == asin <(1 — cos t). 

Transformirt man noch die Coordinaten, indem man 

4a:' = a — 4a: 

setzt) so erhält man 

4a:' = a(l + 2cos^ — 2cos2^) = a(2cos< — C0S2^), 



,.- . f4a:' = a(l + 2cos^- 
*^ \ 4y==a(2sin^ — 2si 



2sin^cosO = a(2sin< — sin2^). 



§. 98. Anwendungen auf einzelne Ourven. 421 

Diese Gleichungen gehen in die damals aufgestellten 
Gleichungen der Cardioide über, wenn man a mit 4a vertauscht. 
(Vergl. Fig. 76 auf Seite 338.) 

VI. w = — \. Die Gleichung der Curve ist 
(42.) r * = a *cosf2Y oder rcos2^^j=a, 

2rcos2f ^j = r + roosy = 2a, oder r = 2a — z, 

r^ =z x^ + y^ = 4a2 — 4aic + x^, 
also 
(42a.) y2 = 4a2 — 4aa: = 4a(a — x). 

Dies ist die Gleichung einer Parabel, deren Axe die X-Axe 
ist, und deren Scheitel die Coordinaten a: = a, y = hat. 

Allgemein folgt aus der Gleichung (31.) 



also 






f43.) Sn^ — ^ g'^sinCmy) ^ _]/^^^^ 



oder 

(^aa.) ^ = -^=^^^ = -^^^^^^ 

(44.) tg/t = ^ = — ctgCmy) 

= Ctg(7r — m(f) = tg^my — ^\ 

folglich ist 

^A^^ , (2Ä+l)7r 

(45.) (A + i^ ^-^^ = wty» 

wobei A eine ganze Zahl ist, auf deren Werth es nicht an- 
kommt. Dies giebt den Satz: 

Der Winkel^ den der Badius vecior mit der Normale hildety 
ist m-mal so gross fvie der Winkel, den er mit der Anfangs- 
richtung iildet. 



422 § 94. JSrüininiuigskreis und Krümmuiigsinittelpuiikts-CarveQQ. 
(46.) Ä^ = !:^=:_rctg(my), 

(±7^ TV"— — — -^— — ?^— 

^ '^ "" rfy "" r~-^ "" cos(w9)) ' 

(48.) T=mgfi = r ^ 



sin(my) 
§ 94. 

KrOmmungskreis und KrOmmungsmittelpunkts-Curven. 

(Vergl. die Formel -Tabelle Nr. 114.) 

Ist die Gleichung einer Curve in Polarcoordinaten gegeben, 
so kann man inuner den Badius vector r als eine Function vom 
Argumente 9 betrachten; deshalb sind auch 

(1.) X =rcosg) und y = rWLg) 

Functionen von 9), so dass man durch Differentiation die fol- 
genden Gleichungen erhält 

^. dx dr 
/«\ dy dr . , 

, , d^x rfV dr . 

(*•) rf^ = 5^ *^'»' - % ^9' - »-cos?», 

, s ef^ dV . dr 

^7 ^ <fa <Py dy d^ 2j_9/^^V ^ 

Vertauscht man in den Formeln 106 und 107 der Tabelle t 
mit y, setzt die hier gefundenen Werthe ein und multiplicirt in 
den Brüchen Zähler und Nenner mit dip^^ so erhält man 



(8.) 



§ 95. Anwendungen auf einzelne Ourven. 423 

Jj. _ ds^ (r COS (f) dg) + dr . siny) 

§ - rcosy — ^^2^^2 + 2rfr2 — rdV)cf9)' 

\ . . cfe2( — rsincprfo) + rfr . cosw) 
I 4!/ = rsm9)H ^^ ^ ^ ^ 






(9.) ? — ± (^2rfy 2 + 2rfr2 — rdV) dg> 

Wenn man in diesen Gleichungen den Werth von r als 
Function von 9) einsetzt, so sind ^ und fj als Functionen der dritten 
Veränderiichen 9) dargestellt, was für die Untersuchung der 
Krimimungsmittelpunkts-Gurve oder Evolute ausreicht. Man kann 
aber auch noch g) aus den beiden Gleichungen (8.) eliminiren und 
erhält dadurch eine Gleichung zwischen ^ und fj. 

WiU man noch die Evolute in Polarcoordinaten darstellen, 
so hat man in dieser Gleichung zu setzen 

(10.) .5 = r' cosy' , fi=. r* siny'. 



§ 95. 

Anwendungen auf einzelne Curven. 

Aufgabe 1. Man soll den Erämmungskreis der Archimedi- 
schen Spirale 

(1.) r == ag 

bestimmen. (Vergl. Fig. 116 auf Seite 414.) 

Auflösung. Aus Gleichung (1.) folgt 

(2.) dr = ad(p, dV = 0, 

also 

(3.) (fc2 == rMtp'^ + dr^ = a\l + (p^)d(p\ 

(4.) r2rfy2 4. 2ö?r2 — reiV = a%2 + (p^)dg>\ 

Setzt man diese Werthe in die Formeln 114 der Tabelle 
ein, so erhält man 

^ a2(l + aß) . afcpcoscp + sincp) 
| = a5PC0Sy ^ a^2 + 9^) ^' 

, d^Ci + aß) . a( — (p%m(p + coscp) 
n = aysrny + -5^ ^ a'(2+V) 



494 § 95. Anwendttngen aof ejxunbie Oarvea. 

oder 

, . fc _ g[y cosy — (1 + y^)siny] 

W 5~ 2 + 9)2 ' 

/ßx „ a[yfflny 4-(l + y2)co8y] 
(60 ^ = 2T?2 ' 

^' ^ ^ =^ 2 + 9?2 

Aufgabe 2. Man soll den Eräminfmgskreis der allgememeti 
Mirale 

(8.) r = oy* 

bestunmen. 

AiiflSsung. Aus GHeichuiig (8.) folgt durdi Diffef^eirtifttion 

deshalb ist 

(10.) Cfo2 — y2rfy2 _^ rf^2 =: a2y2H-2(,j2 4. ^2) ^2^ 

(11.) r^rfyi + 2dr^ — riV = a2y'^2 [^„ + 1) + 9)2]rfy2. 

Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 114 der Tabelle 
ein, so erhält man 

,.^v ^ _ n[roosy — (n2 + y«)ay'*-^siny] 

^^^•^ * ~ n(« + 1) + y2 ' 

, . V n[rsiny + (^^ -j, y2^ ay*"^ cos tp] 
^^^'^ ' " n(n+i) + y2 ' 

(14) .^±f5C::!^L+s^. 

^ ^ ^ "^ n(« + 1) + y2 

Aufgabe 3. Man soll den Efimmungskreis und die Evolute 
der lofforithmischen Spirale. 

(15.) r = /^ 

bestimmen. (Vergi. Fig. 118 auf Seite 417.) 



§ 95. Anwendungen auf einzelne Ourven. 425 

AufIKsung. Aus Gleichung (15.) folgt dorch Differentiation 

(^«•) 5y^^ •« = '*'•' 5^ = ''5y = «'"' 

deshalb ist 

(17.) Ä« = r2rf5p2 + rfy.2 = ^2(1 + a2)rfy2^ 

(18.) r^dg)^+2dr^—r<Pr = r^(l+2a^—a^)dg)^:=:r'^(l+a^)d^^. 

Setzt man diese Werthe in die Formeb Nr. 114 der Tabelle 
ein, so erhält man 

, r2(l + a*) . r( — sin«? + acosa?) 
^ = '^9 + -^ Uil + a^) ' 

oder 

(19,) g = — ar sin y, ^ = + «rcosy. 



(20.) Q^±'^^=±ryT+TK 

Es war aber (nach § 93, Gldchimg (29.)) auch die Normale 

da 



(21-) ^-=^ = ^^1 + «', 

folglich ist der Krümmunffshalbmesser gleich der Polar-NormcUe. 
Der Erttmmungsmittelpunkt fällt daher in Figur 118 mit JV 
zusammen. 

Nach den Gleichungen (19.) wird 

(22.) 5 = — ay^ iy = or. 

Hieraus erkennt man schon, dass die Evolute wieder eine 
ioffarithmtsche Spirale ist, bei der aber die Dimensionen a-mal 
so gross sind wie bei der gegebenen. Gleichzeitig sind auch 
noch die Coordinaten-Axen um einen Winkel von 90® gedreht. 
Durch Einfährung von Polarcoordinaten kann man sogar zeigen, 
dass die Evolute der gegebenen Curve ähnlich und ausserdem 
auch congruent ist. 

Bezeichnet man die Polarcoordinaten der Evolute mit r' und 
9', so ist bekanntlich 

(23.) r'2 = g2 + ,2, tg9)' = |, 



426 § 95. Anwendungen auf einzelne Curven. 

folglich wird in diesem Falle 

(24.) r'2 = a2^2^ tg(/?' = — ctgy = tg(9) +0 

oder 

(24a.) r' = ar, y' = SP + 2 ' SP = 9' — 2 ' 
also 

a(p «('P'— t) 

(25.) r* = ar^ae =ae ^ ^% 

7t 

lr' = la+ay' — a— > 
oder, wenn man \a mit a bezeichnet, 

(26.) r^ = e ^ \ 

Dreht man die Polar-Axe um den Winkel » so dass 

a 2 

wird, so geht Gleichung (26.) über in 
(27.) r' = /^". 

Aufgabe 4. Man soll den Krümmungskreis und die Evolute 
der Lemniscate 

(28.) r2 = a2cos(2y) 

bestimmen. (Vergl. Fig. 121.) 

AuflSsung. Durch Differentiation folgt aus Gleichung (28.) 

(29.) r j- = — a2sin(2y) = — r^tg{2g)), 

und wenn man diese Gleichung nochmals differentürt, 

Deshalb wird 
oder 



(31.) Ä2 = ^ cf(^2. 






§ 95. Anwendungen auf einzelne Ourven. 



427 



Ferner findet man aus Gleichung (30.) 
\dg>) ^dg)^ \d(f) LW/ #^J 

K0— 0- 



folglich ist bei der Lemniscate 

(32.) .2+2(g^)-rg^ = 3(^)=: 



3a* 
r2 



Setzt man diese Werthe in die Formeln Nr. 114 der Ta- 
belle ein, so erhält man 

dr 
d(p 

dr 



oder 



(33.) 



5 = rcosy — ^(rcosy + -j-' siny J5 



= rsin^) + \l — rsin^) + -j- • cosyY 



n 



I 5 = -l"- [2cos(2y)cos5P + sin (2^)) sin y] = -^-^ — ^> 
[ ^ = J: [2cos(2sp)sinsp — sin(29p)cossp] = — ?f-^J£, 



/«- \ , M ds , a^ 



Fig. 12L 



folgt 



Ans den Gleichungen (33.) 



(35.) 



i 



/3r|\ 
*^«9' = (2^) 




i 



cos V + sinV = (^) Ö* + /)=!, 



I 



cosV — sinV = (^) (1* — /)= cos {2<p) - ^ 



428 § 95. Anwendungen auf einzelne Curven. 

folglich ist 

(37.) 9(5* + fi^y (?* — /) = 4a2, 

Den beiden Scheiteln A^ und A^ der Lenmiscate ent- 
sprechen die Spitzen S^ und S^ der Evolute, wobei 

(88.) «'20=0/^1=10. 



XII. Abschnitt. 

Theorie der Determinanten. 

§ 96. 

Einleitung. 

Fär viele Untersuchmigen in der höheren Mathematik ge- 
währt die Anwendung der Determinanten eine wesentliche Er- 
leichterung, einerseits dadurch, dass die Rechnungen kürzer 
werden, andererseits dadurch, dass die Resultate eine übersicht- 
lichere und leichter zu merkende Form erhalten. 

Deshalb soll hier ein kurzer Abriss der Determinanten- 
Theorie eingeschaltet werden. 

Auf die Ausdrücke, welche man Determinanten nennt, ist 
man durch die Auflösung von n linearen Gleichungen mit n 
unbekannten geführt worden. Sind z. B. die beiden Gleichungen 

a^^xi + ai2X2 = ci, 

mit den beiden Unbekannten xi und X2 gegeben, so findet man 
bekanntlich durch Elimination 



(1.) { 



, V 01022 C2ai2 Ci(hl + 02011 

(2.) Xi = J X2-= • 

«11022 «12021 O11O22 Ol2<*21 

Den gemeinschaftlichen Nenner dieser beiden Ausdrücke, 
nämlich die Grösse 

(3.) J = ÖI1O22 Ol2«21 = 

«21 «22 

nennt man die Determinante ^ welche zu den GoefKcienten der 
beiden Gleichungen (1.) gehört. Diese Determinante wird daher 



430 § 96. Einleitniig. 

auch SO geschrieben, dass man die Coefflcienten in derselben 
Reihenfolge wie in den gegebenen Gleichungen au&chreibt und 
zwischen zwei senkrechte Striche einschliesst. 

Sind drei lineare Gleichungen 

<H\!^i + 0822:2 + d^Z = C3 

gegeben, so findet man bei der Auflösung für die drei Unbe- 
kannten a:i, Z2y xz Werthe, welche den gemeinschaftlichen Nenner 

(6w) -^ = Oll {a^Oz» (hsßZ^) + «12 («28081 — Ö21Ö83) 

+ Ö18(ö21032 Ö22Ö31) 

haben. Diesea Nenner schreibt man wieder in der Form 



(5 a.) ^ = 



011Ö12Ö18 

021 Ö22 «28 
«81 ^ Ö33 

wobei die Goefflcienten der gegebenen Gleichungen zwischen zwei 
senkrechte Striche eingeschlossen sind. Aus Gleichung (5.) er- 
kennt man, dass 

ist, wobei sich die Summation über alle Permutationsformen 
a ß Y der Zahlen 12 3 erstreckt , und wobei das Vorzeichen 
( — 1)^ gleich + 1 oder — 1 ist, jenachdem die Permutations- 
form €iß Y aus 12 3 durch eine gerade oder ungerade Ang^ftM 
von Vertauschungen von je 2 Zahlen hervorgeht. Demnach sind 
die Glieder 

auC^OzZ j 0^1205230^81 j <^\Z<H\0'Z2 

mit dem Vorzeichen + zu nehmen, weil die Reihenfolge der 
zweiten Indices 

123, 231, 312 
bezw. durch 0, 2, 2 

solche Vertauschungen von je 2 Zahlen aus der Permutationsfonn 
12 3 hervorgehen. Vertauscht man nämlich in 1 2 3 die Zahlen 
1 und 2 mit einander, so erhält man 2 13, und vertauscht man 
dann die Zahlen 1 und 3 mit einander, so erhält man 2 31. 



§ 97. ]raiBBig; einer Determmante n*^ Ordnung. 431 

y^i;auscht man in 1 2 3 die Zabkn 1 und 3, so erhält man 3 2 1, 
und vertauscht man dann die Zahlen 1 wd 2, so erhält man 
312. 

Die Glieder 

011023032) 0120^210^33) 0^13^22031 

dagegen sind mit dem Vorzeichen — zu nehmen, weil die Per- 
mutationsformen 

132, 213, 321 

aus 1 2 3 durch eüie einzige solche Vertauschung hervorgehen ; 
vertauscht man nämlich in 1 2 3 die Zahlen 2 und 3, so erhält 
man 13 2, vertauscht man in 1 2 3 die Zahlen 1 und 2, so er- 
hält man 2 13, und vertauscht man in 1 2 3 die Zahlen 1 und 3, 
so erhält man 3 21. 



§ 97. 

Bildung einer Determinante n*"^ Ordnung aus n^ 

Elementen. 

(Vergl. die Formel-TabeUe Nr. 115). 

In ähnlicher Weise möge jetzt 

«11 «12 . . . «in 

= 2( — 1) Ctict^2ß^Sy • • • ^ny 



(1.) j = 



^21 ^2 • • • ^2n 



Öfnl ^n2 • • • Clnn 

erklärt werden. Die n^ Grössen au, ai2,...a«n heissen Ele- 
mente der Determinante; die Determinante J selbst ist eine 
Summe, bei der jedes Glied das Product von ;» Elementen ist. 
Dabei enthält ein solches Product aus jeder Zeile (Horizontalreihe) 
und aus jeder Colonne (Verticalreihe) ein und nur ein Element. 

Für das Vorzeichen ( — 1)^ gelte folgende Kegel : Heissen 
die ersten Indices 

12S. ..n 
und die zweiten 

cc ß y . . . p, 



432 § 98. Einige Sätze am der Foimiitatioiislebxe. 

SO ist aßr .. .V eine Fermutationsfoim der Zahlen 1 2 3 ... n. 
Ist dann a von 1 verschieden, so yertausche man a mit 1. Ist 
in der dadurch entstandenen Permutationsfonn die zweite Zahl 
von 2 verschieden, so vertausche man sie mit 2 und feübre so 
fort, bis die Reihenfolge der Zahlen die natürliche ist. Wenn 
nun X die Anzahl dieser Vertauschungen ist, so wird das Vor- 
zeichen des zugehörigen Gliedes ( — 1)^. 

So ist z. B. für die Permutationsform 3 14 2 diese Zahl l 
gleich 3, und zwar erhält man nach einander die Formen 

314 2, 134 2, 124 3, 123 4. 

Für die Permutationsform 3 2 5 14 ist X wieder gleich 3, 
und zwar erhält man nach einander die Formen 

32514, 12534, 12354, 12345. , 

Die Summation erstreckt sich über alle Permutationsformen 
aßy . ..V der Zahlen 1 2 3 ... n, folglich ist die Anzahl der 
Glieder gleich w! = 1.2.3...w. 

Dies kann man auch so zeigen. Nimmt man ein beliebiges 
Element der ersten Zeile ai»^ so giebt es n mögliche Fälle, weil a 
dabei nWerthe haben darf. Da ß von a verschieden sein muss, so 
giebt es bei der Auswahl von a^ß aus den Elementen der zweiten 
Zeile nur noch n — 1 mögliche Fälle. Deshalb giebt es bei der 
Auswahl von a^„ a^ß im Ganzen n(n — 1) mögliche Fälle. 
Ebenso erkennt man, dass für die Auswahl von a^ aus den 
Elementen der dritten Zeile nur n — 2 mögliche Fälle und des- 
halb für die Auswahl von a^a^i^^zy ^ Ganzen n{n — l){n — 2) 
mögliche Fälle vorhanden sind. 

Indem man so weiter fortfährt, findet man das oben ange- 
gebene Eesultat. 

§ 98. 

Einige Sätze aus der Permutationsiehre. 

Erklärung. Das Permutiren besteht in dem Au&uchen aller 
Stellungen, welche ^Elemente a,b,c,...i,l einnehmen k&nneii. 
Jede solche Stellung nennt man eine Permutatumsform. 

Die Anzahl der Permutationsformen bei 2 Elementen a und h 
ist 1.2 = 2!, nämlich a b und h a. Tritt ein drittes Element 



i 



§ 98. Einige Sätze aus der Permutationslehxe. 43 3 

c hinzu, so kann man aus jeder dieser beiden Permutationsformen 
drei bilden, z. B. aus 6 a die drei Formen 

cb a^ b c a, b a c, 

indem man <? an die erste, die zweite und die dritte Stelle setzt. 
Die Anzahl der Permutationsformen bei 3 Elementen a, J, c ist 
daher gleich 1.2.3 = 3!. 

Tritt ein viertes Element d hinzu, so kann man aus jeder 
dieser 3! Permutationsformen vier bilden, z. B. aus iac die 
vier Formen 

dbac, bdac, badcy bacd, 

indem man d an die erste, zweite, dritte und vierte Stelle setzt. 
Die Anzahl der Permutationsformen bei 4 Elementen ist daher 
gleich 1.2.3.4 = 4!. 

Indem man so fortfahrt, findet man 

Satz 1. Die Anzahl der Permutationsformen bei n Ele- 
menten ist »! = 1 . 2 . 3 . . . w. 

Vertauscht man nur zwei Elemente mit einander, so nennt 
man diese Vertauschung eine Transposiüon. 

Satz 2. Von zwei beliebigen Permutationsformen P^ und P^ 
kann die eine am der anderen durch fortgesetzte Transposition 
hergeleitet werden. 

Beispiele. Die Permutationsform eabdc kann durch 3 
Transpositionen in die Form abcde übergeführt werden, und 
zwar erhält man der Reihe nach die Formen 

eabdc, aebdc, abedc, abcde. 

Die Permutationsform fgacdeb kann durch 5 Transposi- 
tionen in die Form abcdefg übergeführt werden, und zwar er- 
hält man der Reihe nach die Formen 

fgacdeb y agfcdeb, abfcdeg, 
abcfdeg, abcdfeg, abcdefg. 

Aus diesen Beispielen erkennt man das^Ver&hren, das ganz 
allgemein zum Ziele führt. Es ist aber zu beachten, dass man 
eine Permutationsform P^ in eine andere P^ in mannigfacher 
Weise durch Transpositionen überführen kann, und dass die An- 

Stegemazm-Kiepert, Differential-Bechnxmg. 28 



434 § d8. Einige Sätze aus der PermutatioDsIehre. 

zahl der verwendeten Transpositionen noch unendlich viele Werthe 
besitzt. Dabei gilt aber der folgende 

Satz 3. Kann man P^ in P^ überführen^ das eine Mal 
durch X, das andere Mal durch ia Transpositionen ^ so ist X — fi 
stets eine gerade Zahl. 

Beweis. Es sei 

(1.) -F= (i - a) (c — a) (rf— a) . . . {k — a){l— ä) 

müL{c — b) {d— l)...{k — h) \l — h) 
mal(rf — <?)...(* — c) (l — c) 



mal (/ — k). 

Bei der Bildung dieses Productes hat man jedes Element 
von allen folgenden subtrahirt und die so entstandenen Diffe- 
renzen mit einander multiplicirt. Es soll nun untersucht werden, 
wie sich die Grösse F ändert, wenn man zwei Elemente, z. B. 
q und s mit einander vertauscht. Alle Differenzen, in denen q 
und s gar nicht vorkonmien, bleiben unverändert. Ist femer p 
irgend ein Element, das den beiden Elementen q und s voran- 
geht, so geht bei der Vertauschung von q mit s das Product 
{q — p) {s —p) in {s — p) (q — p) über und behält denselben 
Werth* Steht das Element r zwischen q und 5, so geht das 
Product (r — q) (s — r) in (r — s) {q — r) über und behalt 
gleichfalls denselben Werth. Folgt endlich das Element t den 
beiden Elementen q und «, so geht das Product {t — q) {t — s) 
in {t — s) {t — q) über und behält auch denselben Werth. Nur 
durch den Factor s — q^ welcher bei der Vertauschung von q 
mit s m q — s übergeht, wird das Vorzeichen von 2^ geändert, 
während der absolute Betrag von F derselbe bleibt. 

Die Grösse F ändert daher nur das Vorzeichen^ wenn man 
zwei Elemente mit einander vertauscht. 

Ebenso kann man zeigen, dass F bei jeder weiteren Trans- 
position zweier Elemente nur das Vorzeichen ändert. Entsteht 
Fx aus F durch X Transpositionen, so ist daher 

(2.) i^, = (- ifF 



§ 98. Einige Sätze aus der Permutationslehre. 435 

Bezeichnet man also die Werthe von JFJ welche den Per- 
mutationsfonnen P^ und Pj entsprechen, mit J\ und i^, und 
geht Pj in P^ über, das eine Mal durch i, das andere Mal durch 
lA Transpositionen, so gelten die beiden Gleichungen 

(3.) F^ = {-lfF, und P2 = (— lyi?; 

daraus folgt 

(4.) (— i/ = (— 1)/", oder A = ji*±2w?, 

wobei 2w eine beliebige gerade Zahl ist. 

Um zu bezeichnen, dass die Permutationsform P (z. B. 
1 2 3 . . . j») in Pj (oder aßy ...p) durch i Transpositionen 
übergeführt wird, schreibt man 

(^•) -©=Cr/.:::> 

Satz 4. Geht P in P^ über durch X, und geht P^ in P^ 
über durch (i Transpositionen, so geht P in Pj durch ^ + /t* d: 2m? 
Transpositionen über. Ist also 

(6.) .=(;_) M=(;;> 

so wird 

' Der Beweis folgt unmittelbar daraus, dass P in P2 über- 

geht, wenn man zuerst P in P^ und dann P^ in P^ überfuhrt. 

i Der Satz lässt sich ohne Weiteres verallgemeinem; es 

ist z. B. 

Satz 5. Dien\ Permutationsformen von n Elementen lassen 
sich durch die Transposition zweier Elemente paarweise grup- 
piren. 

Beweis. Durch die Transposition zweier Elemente, z. B. 
der beiden Elemente a und J, geht die beliebige Permutations- 
form Pj in Pj über, wobei Pj und P2 von einander verschieden 
sind, ist nun die Permutationsform Qi von Pj und P2 ver- 

28* 



436 § 99. Eigenschaübeoi der Determinanten. 

schieden, so geht 0^ durch die Vertauschmig von a mit b in 
Q2 über, wobei Q2 von Qj und auch von P^ und P2 ver- 
schieden ist. Wäre nämlich Q2 identisch mit P^ (bezw. mit 
Ps), so mttsste Q^ identisch sem mit P2 (bezw. mit P^). 
Ist femer die Permutationsform E^ von P^, P2, Qi, Q2 ver- 
schieden, so geht B^ durch die Yertauschung von a mit b in 
JB2 über, wobei iS2 von iZi und auch von P^, Pj, Qi, Q2 ver- 
schieden ist. 

So kann man fortfahren, bis die sämmtlichen Permutations- 
form^ erschöpft sind. 

§ 99. 

Eigenschaften der Determinanten. 

(Vergl. die Formel-TabeUe Nr. 116—119.) 
Satz 1. Zwei Olieder (oder Tenne) 

(1.) Ti = (— l/i a,^^ ögft «3yi • • • <^ny^ 

und 

(2.) 2^2 = (— 1/2 a^^ a^ a^^^ . . . a^^^ 

haben gleiches oder entgegengesetztes Zeichen ^ jenachdem die 
Transpositionszahl 

(3.) ? = ("^J''' -"O 

gerade oder ungerade ist. 

Beweis. Es ist 



2 _/«i^iyi--^i\ 
^^"Vl 2 S...nr 



. _ /«2 ß2Y2- • - >'2\ _ / 1 2 3 ...» \ 

~~\1 2 3...n/"" \a2 /^2 ^2 . . . ^2/ 
folglich ist 

(3a.) ^ = Ai + A2 ± 2«^. 

Sind ^ und ^ beide gerade oder beide ungerade, haben 
also T^ und T^ gleiches Zeichen, so ist q gerade. Wenn da- 
gegen von den beiden Zahlen X^ und )^ die eine gerade und 
die andere ungerade ist, wenn also T^ und T^ entgegengesetztes 
Zeichen haben, so ist q ungerade. 



§ 99. Eigezischaften der Determinanten. 437 

Satz 2. Die Determinante J hat ebenso viele positive wie 
negative Glieder» 

Beweis. Wenn die beiden Permutationsformen a^ ßin*" ^x 
und oL^ß^Yi'" ^2 dnrch eine einzige Transposition in einander 
übergehen, wenn also A = 1 ist, so haben nach Satz 1 die 
Glieder 7\ und Tg entgegengesetztes Vorzeichen. Da man nun 
durch eine Transposition alle Pennutationsfonnen paarweise 
gruppiren kann, so kann man auch die sämmtlichen Glieder der 
Determinante paarweise gruppiren, so dass bei jedem solchen 
Paare das eine Glied positiv und das andere negativ ist. 

Ordnet man in 

(4.) T=(— l/ a^^ «2/5 «3y • • • ^ny 

die Factoren anders, so geht T über in 

(4a.) r = (— l)^a/„^ a^ß^ aj^^ . . . a,^^. 

Dabei folgt aus 

W«i ^9ß\ ^Ayi • • • ^ivj 
dass auch 

(tL\ _^/12S...n\_/a ß r "*y\ 

^ '^ ^'^\fffh...i)'^\a,ß,ri...yj 

ist. Ausserdem ist 
Deshalb erhält man 

\«i A ri • . • »'i/ 

/f</h...l\/123...n\/aß y • . • >' \ . „ 

Vl2 3...»/"^V«/»r...»'/"*'Vai/»iri...»'i/^ ' 
oder 

(7 a.) Q = ii + l + [i±2w = X±2v, 

(8-) (-l)e=(-l/. 

Dies giebt 



438 



§ 99. Eigensabaften der Determinanteii. 



Satz 3. Sind in dem Gliede T die Factoren beliebig ge- 
ordnet ^ 80 ist das Vorzeichen von T gleich ( — 1)^, wobei q die 
Transpositianszahl zwischen den ersten und den zweiten In- 
dices ist. 

Jetzt möge die Determinante Ji aus 

flu fll2 fll3 • • • flln 
Ö21 022 fl28 • • • fl2n 
flai fl32 fl33 • • • fl3n 



(9.) 



J = 



flwl fln2 fln3 • • • fl«n 

hervoi^ehen, indem man die ZeQen beliebig mit einander und 
ebenso die Golonnen beliebig mit einander vertauscht, so wird 

^/a ^/ß fl/y • • • fl/y 
^ga ^gß ^gy " * «- 



(10.) 



^1 = 



'gy 



flu«, fl 



ha ^hß ^hy ' • ' ^hy 



^la ^Iß ^ly ' " ^ly 

wobei fg h...l und aßy...y irgend zwei Permutationsformen 
der Zahlen 12 3...» sind. 

Die beiden Determinanten J und J^ enthalten dann, abge- 
sehen vom Vorzeichen, genau dieselben Glieder; denn ein be- 
liebiges Glied von J^ ist 

(11.) T,^(-ira^a,<^gß,^Hy,' 

wobei 



a 



lyt^ 



(12.) 






1^1» 



ist. Das entsprechende Glied in J heisst 
(13.) T = (- 1)9 a^„^ a^ß^ a^^ . . , a 

wobei nach Satz 3 
(14.) p = //^Ä..-^) 

die Traospositionszahl zwischen den ersten und zweiten Indices 
ist. Bezeichnet man jetzt 






§ 99. Eigensabaften der Determinanten. 439 

mit A, so wird 
folglich wird 

(16.) Ti = (-i)^r, 

und da diese Gleichung für alle Glieder der Determinanten J^ 
und J gilt, so erhält man 

(17.) J^ = (— 1)^J. 

In dieser Gleichung ist der folgende Satz enthalten: 

Satz 4. Vertauscht man in einer Determinante J die Zeilen 
heliebig mit einander und die Colonnen heliehig mit einander^ so 
geht die Determinante in sich selbst überj multipUdrt mit ( — 1)^, 
wobei X die TranspositionszaJU zioischen der neuen Aufeinander- 
folge f g h . . .1 der Zeilen und der neuen Aufeinanderfolge 
a ß y . . ,v der Colonnen ist. 

Hieraus ergiebt sich als besonderer Fall 

Satz 5. JEüne Determinante ändert nur ihr Vorzeichen, 
wenn man zwei Zeilen oder zwei Colonnen mit einander ver- 
tauscht. 

Hat eine Determinante J zwei identische Zeil^ oder zwei 
iOäitische Colonnen, so ändert sich J nicht, wenn man diese 
beiden identischen Reihen mit einander vertauscht. Anderer- 
seits erhält aber nach Satz 5 die Determinante bei dieser Ver- 
tauschung das entgegengesetzte Vorzeichen, folglich wird 

(18.) J = —J, oder 2^ = 0. 

Dies giebt 

Satz 6. Eine Determinante mit zwei identischen Zeilen oder 
mit zwei identischen Colonnen ist gleich Null. 

Satz 7. Eine Determinante ändert ihren Werth gar nicht, 
wenn man die Zeilen zu Colonnen und die Colonnen zu Zeilen 
ma^ht. 



440 



§ 100. Zerlegung der Determinanten. 



'ny 



"yn' 



Beweis. Die Yertauschiing der Zeilen mit den Colonnen 
entspricht einer Yertauschimg der ersten Indices mit den zweiten, 
so dass die Determinante 

(19.) J = 2(— if a^^a^ßO^ ... a, 

bei dieser Yertauschnng übergeht in 

(20.) ^1 = 2(— if a„, a^2 V • • ^' 

Die beiden Determinanten J und J^ enthalten aber genau 
dieselben Glieder, nur sind die Factoren der einzelnen Glieder 
in J nach den ersten und in J^ nach den zweiten Indices 
geordnet. 

Aus diesem letzten Satze erkennt man, dass jeder Satz, 
welcher sich auf die Zeilen einer Determinante bezieht, in 
gleicher Weise auch von den Colonnen einer Determinante gilt. 
Um beide Fälle zusammenzu&ssen, möge in den folgenden Para- 
graphen der Ausdruck ^Reihen^ ebenso für die Zeüm wie für 
die Colonnen gebraucht werden. 



§ 100. 

Zerlegung der Determinanten. 

(VergL die Formel-Tabelle Nr. 120—124.) 

Zieht man aus der Determinante 



(1.) ^= 



«11 «12 Ö13 . . . öin 
Ö21 «22 Ö23 . . • Ö^n 
0^31 0^32 Ö33 • • • ^3n 



= 2(— 1)^01« a^ a^... a^^ 



Oni ^«12^3 • • • ÖJfm 

alle Glieder heraus, die mit an multiplicirt sind, so erhält man 

(2.) 2{— ifa^^ a^ «sy • • • ^ny = «11 ^(— i)^^2ß «sy • • • <^ny, 

wo sich die Summation auf alle Permutationsformen ß r •-* ^ 
der Zahlen 2 3 ... n erstreckt, während X die zugehörige Trans- 
positionszahl ist. Der Factor von «n in Gleichung (2.) — er 
heisse «n — ist daher 



§ 100. Zerlegung der Determinanten. 



441 



(3.) 



«11 = 



0^22 ^23 • • • ^n 
Ö?32 Ö533 . • • Ö3n 



^n2 Ön3 • • • ^nn 

er ist also eine Detenninante (n — 1)^'' Ordnung, die aus J 
entsteht, indem man die erste Zeile und die erste Golonne 
fortlässt. 

Vertauscht man in ^ die erste Zeile mit der zweiten, 
so wird 

0^21 Ö522 0^23 • • • ^n 
du «12 Ö13 • • . din 
Ö31 «32 Ö33 . • . Ö3n 



(4.) 



= —J. 



^nl (h%2 Ö?i»3 • • • ^nn 

Bei dieser Determinante wird in gleicher Weise wie vorhin 
der Factor von 021 eine Determinante (n — l)'**" Ordnung, welche 
durch Fortlassen der ersten Zeile und ersten Golonne aus der 
vorstehenden Determinante hervorgeht; folglich ist der Factor 
CC21 von 021 in der ursprünglichen Determinante J 



(5.) 



«21 = — 



«12 Ö13 . . . öin 
0^2 Ö33 . . . a^ 



^n2 ^n3 • • • ^nn 

und geht aus J hervor, indem man die zweite Zeile und die 
erste Golonne fortlässt und das Zeichen 

(6.) - 1 = (- 1)^+^ 

davorsetzt. 

In ähnlicher Weise findet man den Factor von «31, «41, . . . 
allgemein den Factor «/i von a^i. Vertauscht man nämlich die 
f^ Zeile mit der (/— 1)'*», dann mit der (/— 2)*«* und so 
weiter, bis die Reihenfolge der Zeilen (bezw. der ersten Indices) 

/, 1, 2, .../— i,/+i, ... n 

geworden ist, so geht bei diesen / — 1 Vertauschungen J in 
( — ly-^J über, und das Element a/i steht an erster Stelle. 
Daraus folgt, dass der Factor von a/i in J, nämlich 



442 



§ 100. Zerlegong der Determinantein. 



(7.) 



«/i = (- 1)^-' 



ö^/-l, 2 öfy— 1, 8 • • • öf/-i, n 



Öfn2 ^nS • • • ®nn 

aus J hervorgeht, indem man die /'* Zeile und die erste Colonne 

forüässt nnd das Zeichen 

(8.) ^ (_ i)/-i = (_ i)/+i 

hinznfiigt. 

Vertauscht man jetzt in -^ die r*' Colonne mit der (r — 1)*^, 
dann mit der (r — 2)'** und so weiter, bis die Reihenfolge der 
CJolonnen (bezw. der zweiten Ihdices) 

r, 1, 2, . . . r — 1, r + 1, . ,»n 

geworden ist, so geht J in ( — ly-^J über; jetzt kann man 
den Factor u/r von a/r in gleicher Weise finden, wie vorhin 
den Factor a/i von a/i. Daraus folgt dann, dass 



(9.) a,r = (- iy+- 



«11 



ö^l, r— 1 ö^l, r+ 1 • 



öln 



Ö/-I-1, 1 . . . 0/4-1, r-l 05/4-1, r+1 • • • ö/4_i, « 



Ä«l ... öJn, r— 1 ^n, r+1 



a, 



nn 



aus J entsteht, indem man die y** Zeile und r'* Colonne fort- 
lässt und den Factor (— iy+'- hinzufügt. 

Diese Factoren a/r heissen „ Unterdeterminanten {n — 1)*^ 
Ordnung von J^ und können auch noch auf die folgende Form 
gebracht werden. Durch /— 1 Vertauschungen können die 
Zeilen (bezw. die ersten Indices) 

1, 2, 3.../— l,/+l,/+2,...n 

in die Beihenfolge 

/+1, 1, 2, 3,.../— l,/+2,...;j 

gebracht werden. Durch weitere / — 1 Vertauschungen erhält 
man die Eeihenfolge 

/+l,/+2, 1, 2,.../— l,/+3,...;j. 



§ 100. Zerlegung der Determinanten. 443 

So kann man fortfahren, bis man dm-ch {n — /)(/ — 1) 
Vertauschnngen die „cyilische^^ Reihenfolge 

f+l,f+2,..,n, 1, 2,.../-l 

erhält. Ebenso gelangt man durch (n — r) (r — 1) Ver- 
tauschnngen der Colonnen (bezw. der zweiten Indices) zu der 
cyAlüchen Seihenfolge 

r + 1, r + 2, . . . w, 1, 2, ... r — 1. 
Durch diese Vertauschungen ist a/r mit 

( l)(n-y) (/-l) 4- (n^r) (r-l) — (_ l)n (/+r) - 2n -/ (/-l) -r (r-1) 

== ( — !)•• (Z+r) 

multiplicirt, denn 2n, /(/ — 1) und r (r — 1) sind gerade Zahlen. 
Deshalb wird das Vorzeichen von «/r 

( l)n (/+r)+/4-r — (_ l)(n-f 1) CZ+r), 

Dies giebt 

^/-hl. r-\-i ö^-f 1, r+2 • • • ^/+U r— 1 
^/+2, r+1 Ö/+2, r+2 • • • ^/+2, r— 1 



(10.) a/r = (— iy"+*^(-^+'"^ 



a/_l, r+l Ö5/— 1, r+2 • • • Ö/-.1, r-l 

Ist w ungerade , also n + 1 gerade , so sind daher alle diese 
Unterdeterminanten mit dem positiven Vorzeichen zu nehmen. 

Beachtet man, dass jedes Glied der Determinante J ein 
und nur ein Element der ersten Colonne enthält, so findet man, 
dass 

(11.) J = «11 «11 + 021 «21 + «31^31 + . . . + önittnl 

sein muss; denn es sind erstens alle Glieder von J durch [die 
Summe auf der rechten Seite von Gleichung (11.) erschöpft, 
weil jedes Glied ein Element der ersten Colonne als Factor 
enthalten muss, und zweitens kommt in dieser Summe jedes 
Glied nur einmal vor, weil kein Glied zwei Elemente der ersten 
Colonne als Factoren enthalten kann. 

Ebenso kann man die Determinante J nach den Elementen 
der r*«*» Colonne zerlegen und erhält 

(12.) ^ = öirOfir + (l2rCt2r + dSr^CSr + • • • + ^nr^nr' 



444 



§ 100. Zerlegung der Determinanten. 



Es sei w = 3, also 



J = 



Beispiel. 

«11 »12 «13 

<Hl 0^2 0^23 
Ö31 ©82 Ö33 



dann ist 

J = «11 



Ö22 Ö523 
Ö32 Öf33 



«21 



«12 «13 
0^32 Ö33 



+ «31 



«12 «13 
Ö22 0^23 



oder, wenn man die cyMsche Anordnung der Unterdetenninanten 
benutzt, 



j = «11 



«22 0^3 
0^32 Ö33 



+ «21 



0^32 0^33 
012 Öfi3 



+ «31 



«12 «13 
«22 «23 



= öii («22033 «23 0^32) + 0^21 (0^32 0^13 ÖJ33 012) + ^2,1 {P'Vl <hz «13 022). 

Da sich J nicht ändert, wenn man die Zeilen mit den 
Colonnen vertauscht, so findet man in gleicher Weise eine Zer- 
legung von J nach den Elementen einer beliebigen Zeile und 
zwar wird 

(13.) J = aji öc/i + a/2(Xj2 + (^/scc/s + . . .+ a/ncc/n. 

Ordnet man z. B. für tj = 3 die Determinante nach den 
Elementen der zweiten Zeile, so erhält man 



J = «21 


«12 «13 
«32 «33 


+ «22 


«11 «13 
«31 «38 


«23 


«11 «12 
«31 «32 


oder bei cyklischer Anordnung 


J = 021 


«32 «33 
«12 «13 


+ «22 


«33 «31 
«13 «11 


+ «23 


«31 «82 
«11 «12 * 



Ist s von r verschieden, und vertauscht man in Gleichung 
(12.) die Elemente «ir, «2r9 > • »(^nr niit «i«, (hg, • • • «n«, so erhält 
man 

(14.) Ji = «i,air + «2«a2r + «3*a3r + «n«anrj 

WO Ji gleichfalls eine Determinante ist, welche aus J hervor- 
geht, indem man die Elemente der r^^ Colonne durch die Ele- 
mente der «*•** Colonne ersetzt. Dadurch wird aber Ji eine 
Determinante, in welcher die Elemente der r*^ und der «*^ 



§ 101. Auflösung linearer Gleichungen. 445 

Colonne identisch sind. Deshalb wird J^ nach Satz 6 in § 99 
gleich Null, und Gleichung (14.) geht über in 

(14 a.) öl«air + (h»0t2r + aztUzr + anaf^nr = 0, 

wenn r ^ « ist. 

Ist femer g von / verschieden, und vertauscht man in 
Gleichung (13.) die Elemente a/i, a/2, . . . a/n niit a^, Ugi,... agn, 
so erhält man 

(15.) ^2= agiCtfi + 0^205/2 + (^gZCt/Z + • • • + «^«/n, 

WO J2 gleichfalls eine Determinante ist, welche aus J hervor- 
geht, indem man die Elemente der /*^ Zeile durch die Elemente 
der g**^ Zeile ersetzt. Dadurch wird aber J2 eine Determinante, 
in welcher die Elemente der /^**» und der g*^ Zeile identisch 
sind. Deshalb wird J2 nach Satz 6 in § 99 gleich Null, und 
Gleichung (15.) geht über in 

(15a.) agiUfi + a^oLf2 + ag^a^ + • . . + «^ o/h = 0, 

wenn/^^ ist. 



§ 101. 

Anwendung auf die Auflösung von n linearen Gleichungen 

mit n Unbelcannten. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 125.) 

Sind n lineare Gleichungen mit n Unbekannten: 

flu ^1 + fli2^2 + . . . + flm ^» = ^Ij 

, 021 ^1 + fl22 ^2 + . . • + fl2n^ = ^2? 
(1*/ 

flnl^l + fln2 ^2 + • . . + <h»i^n = <?n 

gegeben, so findet man 2:1, indem man die erste Gleichung mit 
«11, die zweite Gleichung mit «21, . . . die w** Gleichung mit «ni 
multiplicirt und alle Gleichungen addirt. Der Coefficient von 
x^ wird dann nach Formel Nr. 121 der Tabelle (für r = 1) 

(2.) «11 «11 + fl21 «21 + . • . + flnl «nl = -^j 

während der Coefficient von x^^ wenn s von 1 verschieden ist, 
nach Formel Nr. 123 der Tabelle (für r = l) gleich 



446 



§ 101. Auflösung liaearer Gleickungea. 



(3.) auctii + a2aa2i +. . .+ «nt««! = 

ist. Man erhält daher bei der Addition 

eine Gleichung, aus der sich Xi unmittelbar ergiebt, wenn man 
auf beiden Seiten durch J dividirt. 

Ebenso leicht findet man den Werth von Xr, indem man 
die Gleichungen (1.) bezw. mit 

Öf Ir j CC2r ) • • • ^nr 

multiplicirt und dann addirt. Ist s von r verschieden, so wird 
bei der Addition der Coefflcient von x, nach Formel Nr. 123 der 
Tabelle 

(5.) öl»air + (hMCC2r +- • •+ (^nsCCnr = 0; 

nur der Coefflcient von Xr wird nach Formel Nr. 121 der 
Tabelle 

(6.) (^irCtir + Ö2ra2r +. . .+ €inr CCnr = ^j 

folglich erhält man bei der Addition 



(7.) 



J. Xr = CiUir + C2a2r +• . .+ CnOCw-. 



Wenn man in der Determinante 

die Elemente der r*^ Colonne air, a2r,...anr durch die Grössen 
ci, C2, . . . Cn ersetzt, so erhält man 

deshalb kann man Gleichung (7.) auch schreiben, wie folgt: 



(7a.) 



«11 ai2 . . . ain 




^1 <^2 • • « Ö2n 






• Xf — 


ö^nl Ön2 . • • ö^n» 





öll . . . öi,r— 1 Cl ^l,r-fl • • • ÖiH 
021 ... ^, r— 1 ^2 Ö2, r+1 • • • Ö2n 



öfil • • • Ö^n, r— 1 ^n ^5«, r-fl • • • (^nn 



um ^r selbst zu finden, muss man noch die beiden Seiten 
der Gleichung (7.) oder (7a.) durch J dividiren, was nur unter 
der Voraussetzung geschehen darf, dass J von Null verschieden 
ist. Was geschieht, wenn ^ = ist, möge einer späteren 
Untersuchung vorbehalten bleiben. 



§ 102. y€i:em&cliimgen bei Ausrechnung der Determinanten. 447 

§ 102. 

Vereinfachungen bei Ausrechnung der Determinanten. 

(Vergl. die Formel- Tabelle Nr. 126—132.) 

Satz 1. Wenn alle Elemente einer Beihe bü auf eines a/r 
verschtoindeny so ist die Determinante diesem einen Elemente a/t 
gleich, mtUtiplicirt mit der ztigehörigen Unterdeterminante {n — 1)**^ 
Ordnung a/r. ' 



So ist z. B. 



J — 



Ai Ci 

Aa Ca 



= B, 



Ä, Ci 
-^8 Ca 



Der Beweis des aUgemeinen Satzes ergiebt sich immittelbar 
aus der Zerlegung der Determinante nach den Elementen der 
betreffenden Eeihe« 

Satz 2. Eine Determinante kann auf den nächst höheren 
Grad gebracht werden, wenn man eine Zeile und eine Colonne 
einschiebt, das den beiden eingeschobenen Meihen gememschafU 
liehe Element + 1 setzt und die übrigen Elemente der einen 
eingeschobenen Reihe gleich macht. Die übrigen Elemente der 
anderen eingeschobenen Meihe sind ganz beliebig. 



Es ist z. B. 



(1.) 



ÖU «12 ... «in 




021 «22... Ö2n 


= 


öfnl an2 . • . ann 





1 ?1 ?2 •.•§»! 

öii 012 • • • am 
«21 «22 • • • «2h 

«Ml «n2 • • • «im 



wobei die Grössen ?i, ?2, • . . ?J noch ganz beliebig sind. 

Der Beweis des Satzes folgt unmittelbar aus der Anwen- 
dung von Satz 1. Stehen die beiden eingeschobenen Eeihen am 
Eande der Determinante, wie in dem angegebenen Beispiele, so 
nennt man das Verfahren y,Rändem der Determinante.^ 



448 § 102. Vereiii&chungein bei Ausreclmmig der Determinanten. 



(2.) 



= At B<t Cz D4. 



Satz 3. Verschtoinden aUe Elemente auf der einen Seite 
einer Dioffonalej so reducirt sich die Determinante auf das erste 
bezw. auf das letzte Glied. 

Es ist z. B. 

Ai B, Ci D, 

CsA 
I>4 

Der Beweis folgt aus der wiederholten Anwendung von 
Satz 1. 

Satz 4. Haben sämmtliche Elemente einer Seihe einen ge- 
meinsamen Factor j so kann man denselben vor die Determinante 
setzen. 

Es ist also z. B. 



(3.) 



du • • • ma\r . • . a\^ 

a^x • . • ma^r • • • ^a 

Oni . . . manr • • • ^nn 



= m 



a\x , . • a\r • • • ^lA 

^21 • • • ^2r • • • ^2n 



öni . . . af^r • . . öj 



'tun 



Der Beweis folgt aus der Zerlegung der Determinante nach 
den Elementen der betreffenden Eeihe. 

Durch die Anwendung dieses Satzes kann man in vielen 
Fällen eine Determinante auf eine andere mit kleineren Zahlen 
i^educiren. So ist z. B. 



12 9 15 

16 7 10 

8 13 25 



= 3.4.5 



13 1 
4 7 2 
2 13 5 



Satz 5. Sind die Elemente einer Reihe denen einer paral- 
lelen Reihe proportional^ so ist die Determinante gleich Null. 

Es ist z. B. 



= 0. 



Ai mAi d 
(4.) A2 mAi O2 = w 

Aq mAz Ca 

Der Beweis des Satzes folgt aus Satz 4 und Formel Nr. 118 
der Tabelle. 



Ai Ai C\ 

A2 A2 Ci 

As As Cs 



§ 102. Yerem&chungeii bei Ausredmung der Detorminanten. 449 

Saiz 6. Sind die Elemente einer Heike Aggregate von 
gleich viel Gliedern y so ist die Determinante gleich der Summe 
mehrerer Determinanten , welche man aus der ursprünglichen 
erhäUj indem man die einzelnen Theüreihen einsetzt 

Es ist z. B. 



(5.) 



-^1 + J^i? Ci, X>i, . . . 

^2 "t" '^2> ^25 -^25 • • • 


— 


Ji.^ C/| JJ^ • • • 
^2 ^2 2 * * * 


+ 


jBi (7i Dl . . . 

x)2 v/2 -^2 * * * 


-4» + -Bnj C», 2)nj • . • 




-^n CnDn • • . 




Bn Cn Dn . . • 



Der Beweis des Satzes folgt aus der Zerlegfung der Deter- 
minante nach den Elementen der betreffenden Beihe. 



Satz 7. Eine Determinante ändert sich nicht y wenn man 
zu den Elementen einer Reihe ein beliebiges Vielfache von den 
Elementen einer parcdlelen Reihe addirt. 



(6.) 



Es ist also z. B. 

«11 «12 . • . öl» 
021 (3^2 • • • 0^2» 



öf»l Ö„2 • • • (^^ 



öu + möir, Ö12 . . . öln 
«21 + ^Wa2r, «22 . . • Ö2» 

«nl + ^flW, On2 . . . On» 



Der Beweis folgt aus der Verbindung der Sätze 5 und 6. 

In welcher Weise die vorstehenden Sätze benutzt werden 
können^ mögen die folgenden Beispiele zeigen. 

1) Es ist 



1^1 — ^) Vi—y^ 
1^1— ^> Vi—Vs 



1 x^ 


Vi 






1 


«1 


yi 


X^ X<iy t/i - 


-Vi 


^ 


— 1 


— «2 


— y2 


Xi— Xsy Vi - 


-Vi 




— 1 


a% 


ys 


1 ^1 Vi 










1 X2 1/2 


• 








1 «3 VS 















Stegemann-Kiepert, Differential-Bechnang. 



29 



450 



§ 103. Mulüplicatlon der Determinanten. 



2) Es ist 



1 
1 
1 
1 



^1 
^2 

^4 



^2 

y3 
y4 



^ 
^ 



1 ar^ 



a?! 
a?! 



yi 
^2? yi 

^3j Vi 

^4j yi 



y3> ^1 



«2 
«3 



— ^4j yi— y4J ^1 — 



1 a:i yi 2r, 



1 ^2 y2 ^ 
1 ^3 y3 ^ 

1 x^ y^ «4 



§103. 

Multiplication der Determinanten. 

(Vergl. die Fonnel-Tabelle Nr. 133.) 



(1.) 

wobei 
(2.) 



Es sei 



«11 «12 




All Ji2 




Cu C12 




, 5 = 


J2I ^22 


, C = 




«21 «22 


7 


/ 


C21 C22 



{Cii = 
C21 = 



= öu Jii + ai2ftl2, ^12 = 0^11*21 + »12*22, 
021*11 + 022*12, ^22 = «21*21 + «22*22, 



dann soll gezeigt werden, dass 

(3.) A.B=:C 

ist. Es wird nämlich nach den Sätzen der vorhergehenden 
Paragraphen 

«11*11 + «12*12, «11*21 + «12*22 
«21 *11 + «22 *12 , «21 *21 + «22 *22 

«11*11, «11*21 , «11*11, «12*22 
«21*11, «21*21 «21*11, «22*22 

«11 «11 , 1 T «11 «12 



c = 



+ 



= *11* 



11 «'21 



«21 «21 



+ *11 *22 



«21 «22 



«12*12, «11*21 
«22*12, «21*21 

«12 «11 



+ 



+ *12* 



21 



«22 «21 



«12*12, «12*22 
«22*12, «22*22 

«12 «12 



+ *12*22 



«22 «22 



Da nun aber die Determinanten mit zwei identischen Colonnen 
gleich Null sind, so wird 



J 



§ 103. Multiplication der Detenumanten. 



451 



(4.) C=bnbn 
= A.B. 



an «12 


+ ^nhi 


0120^11 


— 


^11^12 


0^21 Ö22 




0220^21 




«21 ÖJ22 



(511^22 ^12*21) 



Es ist 



Beispiel. 



a, — i 
b, a 



c, — d 

d, c 



ac + Jflf, ad — bc 
bc — arf, hd + ac 



(5.) 

oder 

(5a.) («2 + i2) (c2 + rf2) = {ac+bdy + {ad — bc)\ 

Dies giebt den Satz: Midtiplicirt man die Summe zweier 
Quadrate wieder mit der Summe zweier Quadrate, so lässt sich 
das Product gleichfalls als die Summe zweier Quadrate darstellen. 

In ähnlicher Weise, wie vorhin Determinanten 2^^ Ordnung 
mit einander multiplicirt worden sind, kann man auch Determi- 
nanten n**»* Ordnung mit einander multipliciren. Es sei jetzt 



(6.) A = 



«11 «12 . . . a\n 
Ö21 0^2 • • • öJ2n 

Ö5nl Ö5n2 • • • ^nn 



,B= 



^Il5l2 . . . bin 
^21 022... b2n 



bnl bn2 • . . bnn 



,c= 



^11 ^12 • . . Cm 

^21^22 . . . C2n 



^nl <?n2 • . • Cnn 



wobei 

(7.) C/r = ö/l bri + a/2*r2 + ... + «/« b^n 

sein möge. Der Kürze wegen soll Gleichung (7.) in der Form 
(7a.) c/r = ^« ö/a bra , oder c/r = 2ß a^ß b^ß,... oder c^r = 2*^ a^y bry 
geschrieben werden, wobei die Summationsbuchstaben a, ß,...v 
die Werthe 1 bis w durchlaufen. Dadurch erhält man 

^"^^la *i« j ^^«1/5 *2^ j • . . -^"«1,. *, 



(8.) 



C7 = 



ny 
ny 



oder, wenn man die Determinante nach den Theilcolonnen zerlegt 

^2a*ia? ^2ßhßi • • . «21'*« 



(9.) C=:2'^2ß...2y 



'ny 
^ny 



^nahai a^ß *2 /•? • • • ^ny^ny\ 



29» 



452 



§ 103. MultipliGation der Determinaiiteii. 



wobei a, /?,... V alle Werthe von 1 bis » durchlaufen, so dass 
die Summe im Ganzen »* Glieder enthält. Die Gleichung (9.) 
kann jetzt aber auch in der Form 

^ia^i/5 • • • öJiy 
^2a ^2/5 •• • ^y 



(9a.) C = 2b^a *2Ä • • • * 



ny 



(^m.»»(lm.fl • • »C^, 



"na'^nß 



ny 



geschrieben werden, wobei das Summenzeichen verlangt, dass 
a, ß^...v einzeln alle Werthe von 1 bis n anndmien. Man 
darf sich aber darauf beschränken , dass a, ß,...y lauter ver- 
schiedene Werthe haben, weil in Gleichung (9a.) die Determi- 
nante der a verschwindet, sobald von den Indices a, ß ...v zwei 
einander gleich sind. Man braucht daher in Gleichung (9 a.) 
die Summation nur über die n\ Permutationsformen aß ...v der 
Zahlen 12...» zu erstrecken. Nun ist aber, wenn aß ...v eine 
Permutationsform der Zahlen 12...» ist. 



(10.) 



^la^ip . • . öjy 



^2a^2p • • • ^' 



2y 



^na^nß • • • ^ 



ny 



= (_!)* 



^11 ^12 • • • ^1« 
^21 ^22 • • • ^» 

^nl ^n2 • • • ^nn 



= (-1)*-*, 



wobei 

(11-) ^=(l2...J 

ist, folglich geht Gleichung (9 a.) über in 

(12.) 0== A.2{— 1)^*1« Jaj} . . . *ni. = ^ • -B. 

Dies giebt den Satz: 

Zwei Determinanten n*^ Ordnung werden mit einander mtdti- 
plicirty indem man die Elemente der f*^ Zeile der ersten De- 
terminante mit den Elementen der r*^ Zeile der zweiten De- 
terminante muUiplicirtf diese n Producte addirt und aus den so 
erhaltenen n'^ Summen eine neue Determinante bildet. 

Da man in jeder der beiden Determinanten A und B die 
Zeilen mit den Colonnen vertauschen darf, so kann e> auch die 
folgenden Werthe erhalten: 



§ 104. Homogene, lineare Gleichungen mit n Unbekannten. 453 

(13.) Cfr ^ a/i Jir + dj^i^r + ♦ • • + ö/»i JiWj 

oder 

(14.) Cfr = «1/Jrl + öyJr2 + • • • + öJ^/^Srn, 

oder 

(15.) C/r = Ci/Jir + (Hs^lr + • • • + O^nf^wr- 



§ 104. 

Homogene, lineare Gleichungen mit n Unbekannten. 

Sind n lineare Gleichungen mit n Unbekannten 

(öiii2?i + 012^^2 + . . . + ^m^M = Ci, 
(h.\X\ + ^2^2 + . . . + ör2n^n = ^2? 

l önl^^l + ««23^2 + . . . + «nn^n = ^n 

gegeben, so wird nach Formel Nr. 125 der Tabelle 

(2.) J .Xr = Cittir + C2a2r + . . . + C^^wr ^ 

Lässt man jetzt die Gf^rössen ci, C2, . . . <?„ immer kleiner 
werden nnd schliesslich ganz verschwinden, so erhält man die 
Gleichungen 

«uaJi + ai2Ä?2 + . . . + ^in^n = 0, 
021^1 + Ö22i??2 + . . . + ^2»^«! = 0, 



(3.) 



Diese linearen Gleichungen heissen homogen. Aus den 
Gleichungen (3.) findet man in diesem Falle 

(4.) ^ . a:r = flir r = 1, 2, 3, . . . w. 

Wenn man nun weiss, dass die Gleichungen (3.) auch für 
solche Werthe von xx^ 0^2, .. . Xn gelten, die nicht sämmtlich gleich 
Null sind, so folgt aus den Gleichungen (4.), dass 

^ = 
sein muss. Dies giebt den Satz: 



454 § 105. Anwendungen auf einzelne Aufgaben. 

n lineare^ homogene Gleichungen mit n Unbekannten können 
für nickt verschwindende Werthe der Unbekannten nur dann 
gleichzeitig bestehen, wenn die Determinante J der Coefßcienten 
gleich ist. 



§ 105. 

Anwendungen auf einzelne Aufgaben. 

Aufgabe 1. Man soll die Bedingung finden, dass drei Gerade 
9u ff2j 9z durch einen Punkt gehen. 

Auflösung. Man kann die Gleichungen 
(1.) ^,fl;+5iy+Ci = 0, A^x+B^y+C^ = % A^x+B^y+C:^= 
der drei Geraden g^ , g^, g^ homogen machen, indem man 

einsetzt und dann die Gleichungen mit x^ multipliciii;. Dadurch 
gehen die drei Gleichungen (1.) über in 

iA^x^ + B^x^ + Cia-3 = 0, 

(3.) I ^2^1 + B^x^ + C^x^ = 0, 

\ A^x^ + ^33:2 + C^x^ = 0. 

Dabei darf man noch für x^ jeden beliebigen Werth setzen. 
Ist z. B. ä:3 = 1, so wird 

rcj = a;, 3^2 = y. 

Da also die drei linearen, homogenen Gleichungen (3.) 
gleichzeitig gelten sollen für Werthe von ^^1,0:25 ^5 ^6 w^lA 
alle drei gleich Null sind, so muss die Determinante der Coefft- 
denten verschwinden. Die Bedingung dafür, dass die drei 
Geraden durch einen Punkt gehen, ist daher 

(4.) A^B^C^ = 0. 

A^B^ C3 

Aufgabe 2. Man soll die Bedingung finden, unter welcher 
vier Ebenen e^, 62, €3, €4 durch einen Punkt gehen. 



§ 105. Anwendungen auf einzelne Aufgaben. 



455 



(5.) 



Auflösung. Man kann die Gleichimgen 

f Aiz + Biy + Ciz + A = 0, 
A^z + Büf + Cjz + I>2 = 0, 
A^z + B^y + C^z + A = 0, 
l AtZ + Biy ■\-CiZ + D^ = 
der vier Ebenen e^, ej, «3, e« homogen machen, indem man 



(6.) 



x^ x^ x^ 



(7.) 



einsetzt nnd dann die Gleichungen mit x^ moltiplicirt. Dadurch 
gehen die Gleichungen (5.) über in 

' A^x^ + B^X2 + Cix^ + 2^1^:4 = 0, 

A^x^ + B^X2 + C^x^ + D^x^ = 0, 
. A^x^ + -043:2 + Cj^x^ + D^x^ = 0. 

Da diese linearen, homogenen Gleichungen gleichzeitig gelten 
sollen für Werthe der Unbekannten x^^ X2^ x^^ x^^ die nicht alle 
vier gleich Null sind, so muss die Determinante der Cioefficienten 
verschwinden. Die Bedingung dafür, dass die vier Ebenen durch 
einen Punkt gehen, ist daher 

A^ B^ Cj A 

A2 x>2 C2 D2 

A,B,C,D, 



(8.) 



= 0. 



Aufgabe 3. Man soll die Bedingung finden, unter welcher 
drei Punkte P^, P2> -^s üi einer Geraden liegen. 

AuflSsung. Hat die Gerade die Gleichung 

(9.) Ax + By+C—% 

so liegen die drei Punkte P^, P2, P3 auf dieser Graden, wenn 

' Ax, + By^+ C=0, 
(10.) { Ax2 + By2+ C=0, 

^Ax^ + By^+ C=(i 



456 



§ 105. Anwendimgen auf einzelne Aufgaben. 



ist. Hierbei sind x^^ y^ ; x^, yi\ ^, ^3 die gegebenen Goordinaten 
der Punkte P^, P^ -P3, während die drei Grössen A^ B, C noch 
unbekannt sind. Man hat also drei lineare, homogene Glei- 
chungen mit den drei unbekannten A, B, C. Da diese ünbe- 
kamiten nicht alle drei gleich Null sein dürfen, so können die 
Gleichungen (10.) nur dann gleichzeitig gelten, wenn die Deter- 
minante der Coeffidenten verschwindet. Die Bedingung, unter 
welcher die drei Punkte in gerader Linie liegen, ist daher 



(11.) 



^1 Vi 


1 


^ y2 


1 


^ ys 


1 



= 0. 



Aufgabe 4. Man soll die Bedingung finden, unter welcher 
vier Punkte P^, P2, P3, P4 in einer Ebene liegen. 

Auflosung. Hat die Ebene s die Gleichung 
(12.) Ax + By+Cz + D^O, 

so liegen die vier Punkte Pj, Pj, P3, P4 in dieser Ebene, wenn 

Ax^ + By^ + föi + 2> = 0, 
.^^. . Ax^ + By^+ Cz^ + D = 0, 

^ Ax^ + By^ + Cz^ + D^Q, 
•^4 + -By* + C&4 + D = 

ist. Hierbei sind x^, y^ z^ ; arj, y2 ^2'^ ^, ya? «3 ; ^4? y4 ^4 di© g^®- 
benen Goordinaten der Punkte Pj, Pj, P3, P4, während die vier 
Grössen -4, -B, (7, D noch unbekannt sind. Man hat also vier 
lineare, homogene Gleichungen mit den Unbekannten -4, -B, C, 2>. 
Da diese unbekannten nicht alle vier gleich Null sein dürfen, 
so können die Gleichungen (13.) nur dann gleichzeitig gelten, 
wenn die Determinante der Coefficienten verschwindet. Die Be- 
dingung, unter welcher die vier Punkte in einer Ebene liegen, 
ist daher 

x^ yi «1 1 

X2 y^ ^2 1 

a^ y3 ^ 1 

rc4 y4 z^ 1 



(14.) 



= 0. 



§ 105. AnweadongeiL auf einzelne Au%aben. 



457 



Aufgabe 5. Man soll den Ereis bestimmen, der durch drei 
gegebene Punkte Pj, P^^ P^ hindurchgeht. 

Auflösung. Hat der gesuchte Ereis die Gleichung 

(150 (^ — ?P + iy—nf-Q'' = 0, 

so geht der Ereis durch die drei gegebenen Punkte, wenn 

(16.) a:j2_2ja:i +?24.y^2_2^, +^2 — p2 = o, 
(17.) ^2^— 2?:r2 + ?2 + ya' — 2^2 + ly^ — p^ = 0, 

(18.) fl^2_ 2J^3 + §2 + y32_ 2^3 + ^2_p2 = 

ist. Diese drei Gleichungen mit den drei unbekannten S, ^ und 
Q sind nicht linearer. Zieht man aber die Gleichungen (17.) 
und (18.) von Gleichung (16.) ab, so erhält man zwei lineare 
Gleichungen 

(19.) I ^^^^ ~ ^2^^ "*" ^^^^ ~ ^^^"^ " ^*^ — ^^ + yi^ — y2^ 

l 2(:ri— ar3)? + 2(yi— y3)^ = rci2_^2 4.y^2_y^2 

mit den beiden unbekannten § und 17. Indem man noch der 
Eärze wegen 

(20.) Xi^ + y,'^ = r,\ x^^ + y^^^r^^, a^s^ + ya^ = ^32 
setzt, findet man durch Auflösung der Gleichungen (19.) 



(21.) 



(22.) 



^1 — ^2> Vi — Vi 

a^i — ^, Vi — y% 

^1 — ^) Vi — Vi 

^1— «8J Vi — Vi 



.1 = 



n = 



n^- 



n' 



Xa 



^2^ yi — y2 
— n^ yi— ya 

— ^2? 



r,2 — ro2 



Xa 



^j ^1^ — ^3 



Die Determinanten, welche hier auftreten, kann man, wie 
schon in § 102, Seite 449 gezeigt wurde, umformen und erhält 
dadurch 



(21 a.) 



/ 



(22 a.) 



1 «i yi 




1 »-i^ yi 


1 «2 Vi 


.1 = 


1 r^"- y-L 


1 «s ys 




1 »-s« yj 


1 «1 »1 




1 «1 ri» 


1 iBj yj 


•? = 


1 «2 ''2* 


1 «3 ya 




1 ^ r^^ 



458 



§ lOd. Anweadungen auf einzeliie Aufgaben. 



Wird 



1 ^1 yi 




«1 yi 1 


1 «2 ya 


= 


«2 ya 1 


1 ^ ys 




^ ys 1 



= 0, 



so werden ? und ^ unendlich gross, d. h. der Mittelpunkt des 
Kreises ruckt in's Unendliche, und die drei Punkte Pi, P2, P3 
li^en in gerader Linie, wie schon in Aufgabe 3 gezeigt wurde. 

Der Werth von q^ ergiebt sich aus Gleichung (16.), oder 
(17.), oder (18.), indem man die gefundenen Werthe von ? und 
^ einsetzt. 

Aufgabe 6. Man soll die Kugelfläche bestimmen, welche 
dui'ch vier gegebene Punkte Pj, Pj, P3, P4 hindurchgeht 

AuflSsung. Hat die KugeMäche die Gleichung 

(23.) (x—^y + (y — ny + (^— C)'^ — ?2 = 0, 

so findet man die Werthe von g, iy, C in ähnlicher Weise wie 
bei der vorhergehenden Aufgabe die Werthe von ? und ^, und 
zwar erhält man, wenn man der Kürze wegen 

;^ + y3' + ^3' = ^3^ x^ + y^-^ + z.-^^r,^ 



(24.) 

setzt, 



1^3' 



(25.) 



1 a;, yi z^ 




1 X2 Vi «2 

1 2:3 ys «3 


.1 = 


1 Xi yi «4 





(26.) 



1 Xi yi zi 




1 X2 1/2 «2 
1 a^ ys «3 


1 


1 Xi y4 «4 





(27.) 



1 a:i yi «i 

1 ^2 y2 ^2 

1 a:3 ^3 «3 

1 a:4 y4 «4 



.c = 



1 
1 
1 
1 

1 
1 
1 
1 

1 
1 
1 



r%^ y3 % 

^4^ ^4 ^4 

a^2 ''-^ 

^3 ''3'' ^ 



2" ^2 

r.2 



a:. 



^4^ 



^1 yi ^1^ 

^2 y2 ^2* 

^3 y3 ^3' 

1 :r4 y4 r^^ 



§ 105. Anwendungen auf einzelne Aufgaben. 



459 



Wird 



1 x^ yi z^ 




1 a:2 y2 «2 

1 ^3 ^3 ^ 


= — 


1 x^ y^ «4 





^1 yi ^1 1 

^2 ^2 ^2 1 

^3 ys ^ 1 

^4 ^4 ^4 1 



= 0, 



SO werden ?, ^, C unendlich gross, d. h. der Mittelpunkt der 

Kugel rückt in's Unendliche, und die vier Punkte Pj, P^^ P3, P4 

liegen, wie schon in Aufgabe 4 gezeigt wurde, in einer Ebene. 

Den Werth von q findet man schliesslich aus der Gleichung 

(28.) {x, - 1)2 + (y, - rif + (;., - If = ^2. 



Zweiter 

Functionen von mehreren unabhängigen Veränderlichen. 



XIII. Abschnitt. 

Differentiation der Functionen von mehreren 
Yon einander unabhängigen Yeränderlichen. 

§ 106. 

Differentiation einer Function 
von zwei von einander unabliängigen Veränderliclien. 

(VergL die Formel - Tabelle Nr. 134.) 

In derselben Weise, wie in § 1 (Seite 3) Functionen von 
einer Veränderlichen erklärt wurden, kann man auch Functionen 
von zwei (oder mehr) Veränderlichen erklären. 

Demncich heisst eine veränderliche Grösse z eine Iknctian 
der beiden Veränderlichen x und y für a^ < a; < Oj, ^i < y < ^2? 
wenn Jedem Werthsysteme x, y in den angegebenen Intervallen 
ein oder mehrere Werthe von z nach einem bestimmten Gesetze 
zugeordnet sind. 

Hier möge nur der Fall in Betracht gezogen werden, wo 
dieses Gesetz durch eine Gleichung zwischen x^ y, z gegeben ist. 

Besteht nämlich zwischen drei veränderlichen Grössen Xj 
y, z eine Gleichung, so wird man zweien von ihnen, z. B. x und 
y, beliebige Werthe beilegen können; dadurch wird dann z die 
Wurzel einer Gleichung mit constanten Coefficienten, so dass z 
nur noch eine Anzahl ganz bestimmter Werthe haben darf. 



§ 106. Functionen von zwei Veränderliclien. 461 

Bei dieser Anschauungsweise sind also x und y die unab- 
hängigen Veränderliche, während z eine von x und y abhängige 
Veränderliche oder eine Function von x und y ist. 

Man kann sich die Gleichung zwischen x, y und z deshalb 
auf die Form 

(1.) z =f(x, y) 

gebracht denken und erkennt, dass die Veränderungen von z 
auf dreifache Art hervorgerufen werden können, nämlich 

1) indem sich x allein ändert, 

8) „ „ X und y gleichzeitig ändern. 

Den Unterschied zwischen diesen drei Fällen kann man sich 
am leichtesten durch ^e geometrische Deutung der Gleichung 
(1.) als eine Fläche im Baume klar machen. Bleibt y constant, 
so liegen die Flächenpunkte mit den Coordinaten x, y, z alle in 
eiuOT Ebene, welche zur ZX- Ebene parallel ist und die Fläche 
in einer Curve schneidet. Auf dieser Curve kann dah^ der 
Flächenpunkt P nur fortschreiten, wenn a; als die einzige Ver- 
änderliche und y als Constante betrachtet wird. 

Ebenso kann der Flächenpunkt P nur auf einer Curve fort- 
schreiten, welche in einer zur FZ- Ebene parallelen Ebene liegt, 
wenn man y als einzige Veränderliche und x als Constante be- 
trachtet. 

Sind aber x und y beide veränderlich, so kann der Flächen- 
punkt auf der Fläche nach allen beliebigen Richtungen fort- 
schreiten. 

Betrachtet man zunächst nur x als veränderlich und y als 
constant, so kann man z wie eine Function der einzigen Ver- 
änderlichen X behandeln und auch ebenso differentiiren. Man 
bezeichnet dann aber, wie schon in § 69, Seite 293 hervorgehoben 

dz 
wurde, den Diflferential- Quotienten nicht mit -j-j sondern mit 

dz 

3~9 so dass man erhält 

dx 

(2.) ^ = ^f(x + Jx,y)-f(^,t^) , 

■ OX joi^O ^^ 



462 § 106. Functionen von zwei Veränderlichen. 

Betrachtet man sodann nur y als veränderlich und x als 
constant^ SO findet man in derselben Weise 

(3.) |i = ^fJai±M:z£M) . 

^ oy J!f=o ^y 

Diese Grössen werden die partiellen Ableitungen von z nach 
X und nach y genannt. 

Dem entsprechend nennt man die Aenderung, welche z 
dadurch erleidet, dass sich nur 2; um die Grösse Jx ändert, die 
partielle Zunahme von z in Bezug auf x und bezeichnet sie mit 
Jxz. Es ist also 

(4.) z + JxZ ^f{x + Jx^ y), 

oder, wenn man hiervon die Gleichung (1.) subtrahirt, 

(5.) J^ =/(. + Jx,y) -fix,y) ^fJ£±^^l^Lzf^Ml j,. 

Ebenso nennt man die Aenderung, welche z dadurch 
erleidet, dass sich nur y um die Grösse Jy ändert, die partielle 
Zunahme von z in Bezug auf y und bezeichnet sie mit J^, 
Es ist also 

(6.) z + Jyz =f{x, y + Jy\ 

oder, wenn man hiervon die Gleichung (1.) subtrahirt, 

(7.) J^ ^fi.,y + Jy) -fi.,y) ^fJM±J^lllf(Ml jy, 

Lässt man jetzt die Grössen Jx und Jy unendlich klein 
werden, indem man sie durch ihre Differentiale dx und dy 
ersetzt, so werden auch die entsprechenden Aenderungen von 2, 
nämlich Jgfi und J^^ unendlich klein und heissen dann die 
partiellen Differentiale dxZ und dyZ von z. Dabei folgt aus den 
Gleichungen (5.) und (7.) 

(8.) d^ =Jim ^-^(^ + Jx,y)-f{x,y) ^^ ^ g ^^^ 

(9.) dyz = ian/(^,y + ^y) -/(^,y) ^ |i ^ 

^ ' ^ ^y=o ^y " dy " 

Wenn sich dag^ien :r tun ^;e nnd gleichzeitig y vaa ^y 
ändert, so nennt man die entsprechende Aenderung von z die 



i 



§ 106. Functionen von zwei Veränderliclien. 463 

vollständige oder totale Zunahme von z und bezeichnet sie mit 
Jz, Es wird also 

(10.) z + Jz =f{x + Jx,y + Jy), 

oder, wemi man hiervon die Gleichung (1.) subtrahirt, 

(11.) Jz =f{x + Jx,y + Jy) —f(x, y\ 

wobei Jx und Jy von einander unabhängige Grossen sind. 
Aus Gleichung (11.) folgt nun weiter 

Jz —fix + Jx,y + Jy) —fix, y + Jy) 

+A^,y + ^y)—A^jy), 

oder, wenn man y + Jy der Kürze wegen mit y^ bezeichnet, 

!Jz =zf{x + Jx,y^) —f(x,y^) +f(x,y + Jg)—f{x,y) 
_ f{x-\-Jx,y^)—f{x,y^ ^^ f{x,y-\'Jy)'-f{x,y) 
Jx Jy ^' 

Lässt man jetzt wieder Jx und Jy unendlich klein werden, 
so wird auch Jz unendlich klein und geht in das vollständige 
oder totale Differential von z über, welches man mit dz bezeichnet. 
Da nun 

^jBssO J^ ^^ 

2ija /(^> y + ^y) — /(^> y) ^ ^/(^> y) 

^sf=o Jy Qy 

und limyi = y wird, so geht die Gleichung (12.) über in 

(13.) äz = ^^ ä. + M^ dy, 

oder 

(14.) dz = -^dx + ^dy. 

Es gilt also der Satz: 

Das totale Differential ist gleich der Summe der partiellen 
Differentiale, 

Derselbe Satz ist auch in § 69, Gleichung (16a.) ausge- 
sprochen; damals handelte es sich aber um eine Function 

y =/(«j ^) 



464 § 107. Angaben. 

von zwei veränderlichen Grössen u nnd t?, die nicht von einander 
unabhängig^ sondern beide wieder Functionen von einer Ver- 
änderlichen X waren. 



§ 107. 

Aufgaben. 

öz öz 
Aufgabe 1. Man soll die Wei'the von ^, ^ und dz er- 
mitteln für 
(1.) z = xh/\ 

Auflösung. Die partielle Ableitung nach x bildet man, indem 
man x als veränderlich und y als constant betrachtet; und die 
partielle Ableitung nach y bildet man, indem man y als veränder- 
lich und X als constant betrachtet. Deshalb ist 

(2.) I = 3.V, I = 2.^, 

dz dz 

(3.) (fe = ^ ü+ ^ dy = Zx'hp'dx + 2xhfdy. 

dz dz 
Aufgabe 2. Man soll die Werthe von ^j ^ und dz er- 

mitteh für 

(4.) « = y2 gin -j.^ 

Auflösung. Hier findet man in ähnlicher Weise wie vorhin 

^^•^ Tx ^ y^^^^' ^ = 2ysma:, 

(6.) dz = y^cosxdx + 2yäJixdy, 

dz dz 
Aufgabe 3- Man soll die Werthe von ^j ^ und dz er- 
mitteln für 

(7.) « = y3 + 4tx^ + 2x\ 

Auflösung. 

dz dz 

(8.) gj = ^ + 6^*' ä^ = 3y' + **'' 

(9.) <fe = (8a;y + exi)dx + (3f + Ax^)dy. 






§ 106. Functionen von mehreren Veränderliclien. 465 

öz öz 
Aufgabe 4. Man soll die Werthe von -i^j ^ und dz er- 
mitteln für 

(10.) z = e^sic^x + x\ ly. 

Auflösung. 

(11.) ^- = -7== + 2a;.ly, ^- = «yarcsina: H , 

(12.) (fe =^-y=L= + 2a; . ly j<fa +(es'arcsina; + — jrfy. 



§108. 

Differentiation der Functionen von melirerm von 
einander unabliängigen Veränderliclien. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 135 und 136.) 

Das in § 106 angedeutete Verfahren lässt sich ohne Weiteres 
auf E\inctionen von drei oder von mehr von einander unab- 
hängigen Veränderlichen fibertragen. Ist z. B. z eine Function 
von drei Veränderlichen, ist also 

(1.) z—f(u, ü, w\ 

so kann man zunächst die partiellen Ableitungen bilden, indem 
man setzt 



(2.) 
(3.) 



dz _ i:_ /(^ + ^^, P> ^) —f{^, ^> ^) . 

__^ ^— Hill . 7 

dz _ ,..„ /(«, t> + ^g, to)— /(«, p, to) 

w ^v=0 -^^ 



(4-) 



Ö2 _ ,. /(«, P, tg + ^to) — /(«, V, W) 

^ — — um j 

Aus den drei partiellen Zunahmen von z^ nämlich aus 

erhält man sodann, indem man Ju^ Jv, Jw durch die Differentiale 
rfw, dt?, rf«^? ersetzt, die drei partiellen Differentiale von «, nämlich 

Stegemazm-Kiepert, Differential-Beolmimg. 30 



466 



§ 108. Functionen von mehreren Veränderlichen. 



(6.) 



d^^^du, d^ = -^dv, d^^-^duy. 



Ist endlich Jz die Aendening von z^ wenn sich gleichzeitig 
u mn Ju, V um Jv, w um Jw ändern, ist also 

z + Jz =y (u + Ju, V + Jvj w + Jw\ 
so wird 

(7.) Jz ^=^fiu + Ju^ V + z/t?, w? + ^w) — /(«'j ^j ^)j 

oder 

(7 a.) l +fi'^i v+Jvj w+Jw) — f(u, V, w+Jw) 
+f{u,v,w + Jw) — / (u, V, w). 

Bezeichnet man der Eüi*ze wegen v + Jv mit v^ und 
to + Jw mit w^ , so kann man diese Gleichung auf die Form 

Ju 



(7b.) 



+ 



f{u, V + Jv, w^) —f{u, t?, fC^) 

Jv 



Jv 



f(u, v,w + Jw) —f{u, V, w) ^^ 

Jw 



bringen. G^ht man jetzt zur Grenze über, indem man Ju, Jv . 
und Jw durch die enteprechenden Differentiale du, dv, dw ersetzt, 
so wird 

limt?i = V, limt^i = w, 

und Jz geht über in das volhiändige (oder totale) Differential 
von z, nämlich in 

(8.) dz = ^f^Y: ""^ ^» + ^-^^Y' ""^ d^ + ^^^V: ""^ ^«'. 

oder 



du 



dv 



dw 



(8 a.) 



dz =^ s-du + s- dv + -j— dw. 
au dv dw 



Auch hier gilt also der Satz: 

Das totale Differential ist gleich der Summe der partiellen 
Differentiale, 



§ 108. Functionen von mehreren Veränderlichen. 



467 



Es sei 

(9.) 

dann wird 



(10.) 



Beispiel. 

z = t?2^sinw + e"^ . \u\ 



Qz e*" 

du u 

-sp = 2vwWiu^ 

dz_ 
dw 



= D^sinw + e^Au^ 



also 

(11.) dz =(t?2w?coswH — Vw + 2«?w?sin«e/t? + (t?2sinw + ö«'.lw)rfw?. 

In derselben Weise kann man 

(12.) Z =^f(u^U2,...Un) 

nach jeder der n Veränderlichen einzehi differentüren, indem man 
die anderen Veränderlichen als comtant betrachtet So erhält 
man die partiellen Ableitungen. Multiplicirt man dann noch 
mit dem Differential der betreffenden Veränderlichen, so sind 
die Producte die partiellen Differentiale von «, nämlich 

• (13.) duZ = ^du, , d^^Z -=-g^du^, . . . ö«„^ = -£. dUn. 

Das vollständige (oder totale) Differential ist dann wieder 
gleich der Summe der partiellen Differentiale^ also 

(14.) 



dz = ^du^ + ^du^^. . . + ^du.. 



Dabei ist zunächst die Voraussetzung gemacht, dass die n 
Veränderlichen u^,u2...un von einander unabhängig sind. Der 
Beweis für die Eichtigkeit der Formel (14.) lässt sich aber auch 
leicht auf den Fall übertragen, wo u^, U2,...un sämmtlich 
Functionen von einer Veränderlichen t sind. 

In diesem Falle sind jedoch , wie für w = 2 schon in § 69 
gezeigt wurde, die Differentiale du^, du^^.^.dun nicht mehr 
von einander unabhängige Grössen; es fo^ vielmehr aus den 
Gleichungen 

30* 



468 



§ 106. Functionen von mehreren Veränderlichen. 



(15.) 

dass 



W, = yi(0, «2= y2(0> • • • «n= 9n(t\ 



(16.) rf«! = 9>i(t)dtj du2=^ VaXO^^j • • • **» = 9n{t)cU 

wird. Deshalb darf man in diesem Falle die beiden Seiten der 

Gleichung (14.) dnrdi dt diyidiren and erhält anf diese Weise 



(17.) 



dz dz^ du^ dz dt^ u- ^^ ^^" 

ä""5«^ dt du^^ dun'dt' 



Die Formel (14.) bleibt sogar noch richtig, wenn u^, 
W2J . . • «n wiederum Functionen von m Veränderlichen ^i, ^, . . . ^ 
sind, wenn also 

«1= yj(^i, ^, ...^), 



(18.) 



[ «n= yn(^i, ^, . . . ^m). 



Setzt man nämlich diese Werthe in die Gleichung (12.) ein, 
so wird 

(19.) ^ = i^^l,^,...^m) 

eine Function von ^i, ^, . . . 4i und deshalb, der Formel (14.) ent- 
sprechend, 

(20.) <^ = W,'^^i + ^^+- + ^<^^' 

Ebenso folgt aus den Gleichungen (18.) 

(21.) rf««=|.rf.,+^-d^, + ... + ^«^. 

für a = 1, 2, 3, ... w. Nun ist aber nach Gleichung (17.), wenn 
man zuerst t^, dann ^2> • • • endlich ^m als die einzige Veränder- 
liche betrachtet, 

dz_ _ dz du^ dz du^ , , dz^ dun 

dt^ '^ dü^ 'di^ dü^ di[ dui, dt^ ' 

dz^ _^ dz öf*! dz dui dz_ dun 

(22.) { di^'^ di^'di^'^ dü^'dt^'^''''^ du^'dt^' 



dz __ dz ö«i dz du2 . dz^ dun 

Mn'" dtTidÄn "du^^ "' dun dt„, 



§ 109. Wiederholte Differentiation. 469 

Multiplicirt man diese Gleichungen bezw. mit dt^ , (/^, . . . dtm 
und addirt sie, so erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen 
(20.) und (21.) 

§ 109. 

Wiederholte Differentiation einer Function von melireren 

Veränderliclien. 

(Veigl. die Formel-TabeUe Nr. 137.) 

Der Kürze wegen bezeichnet man gewöhnlich die partiellen 
Ableitungen durch Indices. Ist z. B. 

(1.) z =f(u, V, w), 

so setzt man 

Nun sind ft(uyV,w), f2{u,v,w), f^{u^v,w) im Allgemeinen 
wieder Functionen von u, v, w, die man nochmals nach den 
einzelnen Veränderlichen difierentüren kann. Dadurch erhält 
man, wenn man die Ableitungen wieder durch Indices andeutet, 

Es giebt also im Ganzen 9 zweite partielle Ableitungen 
einer Function von 3 Veränderlichen. 

Die Werthe dieser Ableitungen sind aber nicht sämmtlich 
von einander verschieden, sondern es soll sogleich bewiesen 
werden, dass 

f/12 (W, !?, tt?) = /21 (W, t?, W?), 
/l3K«',«^)=/3l(«,«?1«^), 
/23(«,t?,W?)=/32(w, «?,«?) 

wird. Zum Beweise genügt es, dass man sich zunächst auf eine 
Function mit zwei Veränderlichen beschränkt. Es sei jetzt also 



470 § 109. Wiederholte Differentiation. 

(4.) ^=/(^,y), 

und 

(5.) SP (y) =/(^ + Äj y) — /(^j y) > 

also 

(6.) 9>(y + *)=/(^ + Ä,y + A)— /(a:,y + *). 

Nun ist nach dem 7ay/or'schen Lehrsatze 

(7.) sp(y + *) — y (y) = 9*{y + ©*),- '^^ 

odei', wenn man die Werthe aus den Gleichungen (5.) und (6.) 
einsetzt, 

(7 a.) f{x + h,y + k) —f(x, y + Ä) —f(x + Ä, y) +/(:r, y) = 
[/2(^ + Ä, y + 0>i) — /2(^, y + ®k)\ . *. 

Setzt man dagegen 

(8.) xp {x) = f(x, y + *) -/(o:, y), 

also 

(9.) xp{x + Ä) =/(a: + Ä, y + A) — /(a; + Ä, y), 

so folgt aus dem Tay/or'schen Lehrsatze 

(10.) \p{x + Ä) — Xp{x) = \i>\x + ©lÄ) . Ä, 

oder, wenn man die Werthe aus den Gleichungen (8.) und (9.) 
einsetzt, 

(10a.) fix + Ä, y + >i) —fix + Ä, y) —fix, y + *) +/(^, y) = 

[/i(^ + ©lÄ, y + *) — /i (^ + ©lÄ, y)] . Ä. 

Durch Zusammenstellung dieser Gleichung mit Gleichung 
(7 a.) erhält man 

1 [/2 (^ + Ä, y + 0*) - /2 (^, y + 0*)] . >^, 

oder, wenn man auf die beiden Grössen in den eckigen Klam- 
mem nochmals den Tay/or'schen Lehrsatz anwendet, 

(12.) /i2 ix + ©lÄ, y + ©2*) . hk =/2i (:r + ©3*, y + ©*) • ä*. 

Dabei sind h und A hinreichend kleine, aber sonst beliebige 
Grössen. Deshalb ist auch 

(13.) /12 ix + ©lÄ, y + ©2*) =/2i (5: + (^3^, y + 0*). 

Lässt man jetzt h und >?? gleich Null werden, so erhält 
man 



§ 109. Wiederholte Differentiation. 471 

(14.) fni^,y)=Ad^,y), oder -^ = -^. 

Dies giebt den Satz: 
Wenn man eine JFhnction 

« =/(^j y) 

zuerst partiell nach x und dann partiell nach y differentiirt^ so 
findet man dasselbe jResultat, welches man finden vmrdcy wenn 
man zuerst partiell nach y und dann partiell nach x differeniiirt; 
oder mit anderen Worten: Die Reihenfolge^ in welcher man die 
partiellen Diff'erentiationen ausführt^ ist gleichgültig. 

Dieser Satz lässt sich natürlich verallgemeinem, nicht nur 
auf die zweiten partiellen Ableitungen von Functionen mit be- 
liebig vielen Veränderlichen, sondern auch auf höhere partielle 
Ableitungen. Setzt man nämlich 

(15.) Uii(^.y)=-ö^=ö^' ^^^(^'y)=-ör"ö^' 

^ , , ^ W d^x . , . ^Wy) d^z 
Uix, y) = -^^ = ^—,f,^(a:,y) = -^ = -^,, 

so erhält der eben ausgesprochene Satz die Fassung 

(16.) — 5 — = — 5 — > Oder >> ^ = -s—n-' 

^ '^ öy ox oxoy oyox 

Bezeichnet man in entsprechender Weise mit ^ ^^ ^ den 

Ausdruck, welchen man erhält, indem man z zuerst m-mal 
partiell nach x und dann n-mal partiell nach y differentiirt, so 
gUt die Gleichung 

^ '^ dx'^dy dxdydx ~ dydx"^^ 



472 § 110. üebnngs-Au^abeDL 

und wenn num in ähnlicher Weise fortfährt, 

Ebenso wird für 
gezeigt, dass 

^m+M+i»^ ^m4^^^^ ßm-^9^Pg 



(19.) 



Qm+n-^p^ ffin-{-ti+p^ Qm-^n-\-pg 

dt^dib^dv^ dv^dto^dt^ dto^dv^dt^ 



§ 110. 

Uebungs- Aufgaben. 

d^;? d^;? d^2 

Aufgabe 1. Man soll die Werthe von ^-^j 5-3-' ^ ^ 1 
3-= ermitteln für 

(1.) ;? = xh/^ — 3xM/ + ay*. 

Aufldsung. Durch Differentiation erhält man 

(2.) ^ = 2xy^—12x^ + y^, ^ = 3a; V — 3a:* + 4^^ 
, , , Ö^2 = 2y3_36.^y, _- = 6^^ _ 12.S + 4y3, 

^ = 6^» - 12:^3 + 4y3^ _ = 6^2y + i2a:y2. 

Hierdurch wird auch bestätigt, dass 

d^z ^ a^g 
dxdy dydx 

d^z d'h d^z 
Aufgabe 2. Man soll die Werthe von ^> ö~ö"' öJTö"* 

3-5 ermitteln für 
öy2 

(4.) z = sinx . ly + e»' . la;. 



§ 111. Vollständige Differentiale höherer Ordnung. 473 

Auflösung. 

(5.) g- = cosa:.ly + -, g. = _+,v.l,:, 

:5-ö = — sina; . \y — -r-j -5—3- = » 

ö«^: cosa; , e^ d^z siüx , „ , 
= —TT + — ' :är5 = o- + ^^ • 1^- 



(6.) 



dydx y x dy^ y 

Auch hier wird wieder 

d^z ___ d^z 
dxdy "~ dydx 



§ 111. 

Vollständige Differentiale hfiherer Ordnung. 

(Vergl die Formel-Tabelle Nr. 138.) 

Es sei wieder 

eine Function von zwei unabhängigen Veränderlichen, dann wird 
nach Formel Nr. 134 der TabeUe 

(2.) rf^ = |frf:r+|e^ 

das erste yoUständige Differential von z. Dabei sind dx und 
dy zwei von einander und auch von x und y unabhängige^ 
unendlich kleine Grössen. 

Unter dem zweiten vollständigen Differential von z versteht 
man nun das vollständige Differential des ersten vollständigen 
Differentials und bezeichnet es mit dh. 

Um cP^j zu bilden, braucht man also nur in Gleichung (2.) 
z mit dz zu vertauschen. Dadurch erhält man 

(3.) d^ = d{d.) =^~^d.+ ^) dy. 

Weil nun aber dx und dy von x und y unabhängig sind, 
so findet man 



474 § 111. Vollständige Differentiale höherer Ordnung. 

/ d(dz) d^z , , d^z , 

Multiplicirt man diese Gleicliimgen bezw. mit dx und dy 
und addirt sie dann, so erhält man 

(5.) ^ = grf.2 + 2^cforfy + |^«^y^. 

Wenn man auf der rechten Seite dieser Gleichung überall 
dH mit dz^ vertauscht, so wird die rechte Seite ein vollständiges 
Quadrat, nämlich 

Diesen Umstand benutzt man, um die Gleichung (5.) aut 
eine einfachere Form zu bringen; man schreibt nämlich 

'dz . . dz , \(2) 
dy 
wobei der eingeklammerte Exponent (2) bedeutet, dass man den 

dz dz 

Ausdruck ^ efo + ^ dy wirklich in's Quadrat erheben , dann 

aber überall dz*^ mit d'^z vertauschen soll. 

Man sagt bei der Ausführung dieses Verfahrens, dass 

dz dz 

•^dx + -^ dy symbolisch in's Quadrat erhoben werde. 

Ebenso versteht man unter dem dritten vollständigen Diffe- 
rential von z, nämlich unter d^z das erste vollständige Diffe- 
rential des zweiten vollständigen Differentials. Es ist also 

Nun ist aber nach Gleichung (5.) 

d(<Pz) , ö'« , „ ^ „ d^z , » , ^ dH , , , 

d(d^) d^z dh d^z 



(5a.) d^z^i^Jx + ^^d^ 



§ 111. Vollständige Differentiale höherer Ordnung. 475 

folglich ist 

oder, wenn man wieder die symbolische Bezeichnungsweise 
benutzt, 

(9a.) d3,=(^grf^+grfy^^'. 

Auch hier bedeutet der eingeklammerte Exponent (3) , dass 

öz dz 

man -^ dx + -^dy zuerst wirklich in die dritte Potenz erheben 

und dann überall dz^ mit d^z vertauschen soll. 

So kann man fortfahren und findet für das m*'' vollständige 
Differential 

(10.) '^^ = (I '^ + 1 ^yj^ 

dz dz 

wobei man also -^ dx + -^dy m die mf* Potenz erheben und 

dann dz"^ mit d'^z vertauschen soll. 

Die Eichtigkeit dieser Formel für einen beliebigen Werth 
von m wird durch den Schluss von n auf n+ 1 bewiesen. 
Gilt nämlich die Gleichung (10.) für m = », so wird nach dem 
binomischen Lehrsätze 

Dabei ist A = » — k und das Summenzeichen 2 deutet an, 
dass k alle Werthe von bis w durchlaufen soll. Es wird dann 

Ersetzt man die Glieder auf der rechten Seite dieser beiden 
Gleichungen durch die entsprechenden in der symbolischen Dar- 
stellung, so erhält man 



476 § 111. Vollständige Differentiale höherer Ordnung. 



(13.) 



und 



2 G)^'^"*"'V= 



(14.) 






Indem man die Gleichungen (12.) addirt, erhält man auf 
der linken Seite 

(16.) «^&+5gÖ^, = ^,„ 

auf der rechten Seite dagegen, wenn man d^^-^h mit d:^+^ ver- 
tauscht, mit ßäcksicht auf die Gleichungen (13.) und (14.) 

(-»(r>+|'^)(r>+|*)"=(r>+|*r. 

folglich ist unter Anwendung der symbolischen Bezeichnungsweise 

(dz dz V«+i) 

Gilt also die Gleichung (10.) für m = », so gilt sie auch 
für m = n+ 1. 

Was in dem Vorhergehenden für eine Function von zwei 
unabhängigen Veränderlichen gezeigt worden ist, kann man in 
ähnlicher Weise auch für Functionen mit n unabhängigen Ver- 
änderlichen zeigen. Dadurch findet man für 

(18.) Z =f{u^, t^, . . . Un) 

zunächst in Uebereinstimmung mit Formel Nr. 136 der Tabelle 
(19.) dz = -^ — du4 + -^r— du<i+ . . . + -5 — ^^n 

und durch wiederholte Differentiation 



(20.) 



§ 111. YoUstämdige Difierentiale höherer Ordnving. 477 



Bei dem ersten vollständigen Differential von z war es 
gleichgültig, ob die Veränderlichen u^^U2^,..Un von einander 
unabhängig sind oder nicht, denn man erhielt, auch wenn u^^ 
«2, . . . «*n sämmtlich Functionen von einer Veränderlichen t oder 
von mehreren Veränderlichen ^, t^^.,tm waren, 

dz = ^^du,+ l^du, + . . , + ^Ju.. 

Bei den höheren vollständigen Differentialen aber bleiben 
die Gleichungen (20.) nur dann richtig, wenn ti^, t/2, . . . Un von 
einander unabhängig^ oder wenn sie lineare Functionen von 
neuen unabhängigen Veränderlichen ^1, ^ . . . C sind. Ist z. B. 
wieder 

(21.) z =/(a;, y) 

und sind 

beide Functionen einer neuen Veränderlichen ^, so erhält man 
zunächst 

(22.) dz = ^^dx+^£dy. 

Hierbei sind aber dx und dy nicht mehr von einander un- 
abhängige Grössen, sondern es ist 

(23.) dx = q>\t)dt^ dy == xp'{t)dt. 

Deshalb kann man auch die Gleichung (22.) auf die Form 

^"^^'^ dt " dxdt '^ dydt 

/7 /5 r5 

bringen. Da z und _, Ii?, rf, ... als Functionen der einzigen 

dt dx dy 

Veränderlichen t anzusehen sind, so erhält man durch nochmalige 

Differentiation nach t 



478 



§ 111. Yollständige Differentiale höherer Ordnung. 



(25.) 






(£) 



d(-\ 

dz \dy/dy dz d^x dz d^ 
__ .j 57—37 + sz-jj^ + 3:: 



dt dt ' dt dt ' dx dt^ ^ dy dt^ 

Nun ist aber nach Gleichung (24.), indem man z bezw. mit 

s- oder mit 3- vertauscht, 
dx oy ' 



«D 



(26.) 



d 



dt 

'dz 



_dh_dx d^z dy 
"■ örr2 dt ■•■ dxdy dt ' 



w_ 



dh dx^ d^z dy 



dt dxdy dt ' Öy2 jt' 

folglich geht die Gleichung (25.), wenn man wieder die sym- 
bolische Bezeichnungsweise anwendet, über in 

dh 
dfi 



(27.) 



(dz^dx dz_dy\^^ dz 
dxdt^ dydt) "^ dx 



dhi dz d^y 
'dfi'^dy'df 



Indem man beide Seiten der Gleichung mit dt^ multiplicirt, 
giebt dies 

(27a.) .^. = (|rf. + |rfy)\|.P. + |<;V 

Diese Gleichung unterscheidet sich also von der Gleichung 

(5 a.) auch äusserlich dadurch, dass auf der rechten Seite noch 

dz dz 

die Glieder ^d^x + ^dh/ hinzugetreten sind. 

Ist 

(28.) z =/(«j,W2)-.-«^«)5 

und sind 

(29.) Wi = q)^(t\ U2 = 9)2(0? .-'Un=9>n (t) 

sämmtiüch Functionen einer neuen Veränderlichen t, so findet 
man in ähnlicher Weise 



(30.) 



dz =: -?;— dui + ^ — dti2 + . • . + 



ÖWj 



du2 



dUn 



n> 



§ 111. Vollständige Di&ranüale höherer Ordnang. 479 

d^z =( -Ji — du, + Ti — du,, + . . . + Q dun I 

wobei 

J rfwj= 9)1^ {t)dt^ du2=^ q)2* {t)dt, . . . dUn = g)n(t)dt^ 
^^^'^ { cA/i= q)i'X^)dfi, dh^=:^2''(t)dt^, . . . dh^n^ <pn\t)dt\ 

Man erkennt aus den letzten Gleichungen leicht, unter 
welcher Bedingung die Grössen 

oder 



■j ,.» ? 



verschwinden. Dies geschieht, wenn 

(33.) «1 = a^t + Ji, ^2 = ^2^ + *2> • • • ^«= ^«^ + ^n 

lineare Functionen von t sind. Dann wird nänüich 

. ^. du4 du<i dun 

(34.) ^ = «„ -^ = «2,... ^ = «» 

und 



In diesem Falle ist also meder 



(36.) d^=(ß^^du,+ §^^ du, + ... + ^Jun^ 



(2) 



oder 



Gerade dieser Fall wird aber in dem Folgenden in Betracht 
kommen. 

Gelten die Gleichungen (33.), so findet man jetzt auch 
ebenso wie früher 

. V d^z __/dz du^ dz du^ , \ ^^ dUf^^ 

^^^'^ dt^ ~\d^^~df '^ diT^W '^ ' ' ' '^ d^n~dt) ' 



480 § 112. Differentiation simultaner Gleichnngen. 



(39.) 



d^z __ / Ö« du^ dz du^ \ ^^ du^^^ 

dt^ "^ \ßu^ dt du2 dt "*"'•• "^ gj^ "^y 

/dz dz ^ dz \C~) 



§112. 

Nicht entwickelte Functionen einer Veränderlichen, 
gegeben durch simultane Gleichungen. 

(VergL die Formel-Tabelle Nr. 139.) 

Es kommt häufig vor, dass y und z als Functionen der 
einen Veränderlichen x gegeben sind durch zwei Gleichungen 

(1.) F{x, y,z) = und G {x, y, z) = 0, 

welche gleichzeitig bestehen und deshalb simuUan genannt werden. 

Jede der beiden Gleichungen für sich allein würde, geo- 
metrisch gedeutet, einer Fläche entsprechen; gelten sie aber 
gleichzeitig, so können ihnen nur die Goordinaten derjenigen 
Punkte genügen, welche auf beiden Flächen liegen, d. h. die 
Gleichungen (1.) stellen zusammen die Schnittcurve der beiden 
Flächen dar. 

Eliminirt man aus den Gleichungen (1.) die Veränderliche 
z^ so erhält man die Gleichung 

(2.) S^(a:,y) = 0, odei" y=f{x). 

Dies ist die Gleichung eines Cylinders, welcher die Schnitt- 
curve in die XF-Ebene projidrt. Eliminirt man aber aus den 
Gleichungen (1.) die Veränderliche y, so erhält man die Gleichung 

(3.) ^"(3:, z) = 0, oder z-=^g (x). 

Dies ist die Gleichung eines Cylinders, welcher die Schnitt- 
curve in die XZ-Ebene projidrt. Da die Baumcurve, welche 
durch die beiden Gleichungen (1.) erklärt wird, auf diesen beiden 
Cylindem liegt, so ist sie auch die Schnittcurve dieser beiden 
Cylinder oder wenigstens ein Theil davon, denn die Cylinder 
können möglicher Weise auch noch Punkte gemeinsam haben, 
die nicht auf der gegebenen Curve liegen. 

Es kommt hier gar nicht auf diese geometrische Deutung 
an, es sollte viehnehr die vorstehende Untersuchung nur Zeigen, 



j 



§ 112. BifTerentiation simultaner Gleichuiigen. 481 

dass man y und z als Functionen der einzigen unabhängigen 
Veränderlichen x betrachten darf. Deshalb ist es auch möglich, 
y und z als Functionen von x zu dififerentüren , und zwar kann 

man ^ und ^ auch berechnen, ohne die Gleichungen (2.) und 

(3.) wirklich zu bilden. 

, Dies geschieht, iadem man auf die Gleichungen (1.) die 
Ee^eln anwendet, welche in Formel Nr. 136 der Tabelle aus- 
gesprochen sind, wobei man aber in diesem Falle die drei Ver- 
änderlichen «1, «2, ^3 bezw. mit ar, y, z und die unabhängige Ver- 
änderliche ^, von der u^^ u<^^ i^ abhängig sind, mit x vertauschen 
muss. Dadurch erhält man 

dF^ dFdx dFdy dFdz _ 
dx dx dx dy dx dz dx ' 

dF ÖF dF 

oder, wenn man wieder ^ niit -Fi, ^ mit ^j 3- nüt F3 be- 
zeichnet, 
(4.) J,+i5* + i5g = „. 

Ebenso findet man 

(5.) G. + e,| + Ö3j = 0. 

Aus diesen beiden Gleichungen ergiebt sich jetzt sehr leicht 
durch Elimination 

^""'^ dx'' F^G^—F^G^ ™^ dx^ F^G^—F^G^ 

Mit demselben Bechte, mit welchem in dem Vorstehenden 
^ als die unabhängige Veränderliche betrachtet wurde , kann 
man auch y als die unabhängige Veränderliche ansehen. Da- 
durch werden x und z Functionen von y, und man erhält in 
Ueberelnstimmung mit den Gleichungen (6.) 

. dx _ F^G^ — F^G^ dz _ F,G^-F^G, 

^'•^ dy^F,G,-F,G, ™^ dy' F,G,-F,G, 

Stegemann- Kiepert, DifferentiaL-Beohnxmg. 31 



482 



§ 112. DifFereatiation simultaner Gleichungen. 



Macht man ;; zur unabhängigen Veränderlichen, so erhält 
man 

dx _ E,G,-F^Gt , dy _ F,Gi - F,G, 
^^'^ dz ~ FiGi—F^G^ dz ~ FiG^ — F^Gi' 

Man kann die G^leichongen (6.), (7.) and (8.) zosammen- 
£Btssen in der Formel 

(9.) dx : dy : dz = F^G^ — F^Gi-. F^G^ — F, Gj : F^G^ — F^Gi, 

oder 



F,F, 


• 


-F, -Fl 


• 


F,F^ 


G^G^ 


• 


G»e, 


• 


GyGi 



(9a.) dx:dy:dz=: 



üebungs- Beispiele für diese Formeln finden sich bei den 
geometrischen Anwendungen der folgenden Paragraphen. 



XIV. Abschnitt. 

Anwendungen auf die analytische Geometrie 
der Ebene und des Baumes. 

§ 113. 

Bestimmung der Tangenten und der Normalebenen bei 
einer Curve im Räume. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Hr. 140—143.) 

Aufgabe 1. Man soll das Bogeaelemeat ds euer Carve im 
Räume bestiinmeD und die Cosinusse der Winkel a, ß, y berechnen, 
welche ds mit den positiven Eichtungen der Coordinaten-Aiea 

bildet. 

AuflSsung. Es seien F und P, zwei benachbarte Punkt« 
auf der Curve mit den Coordinaten x, y, z bezw. 
(1.) x^=z-\- dx, yi=y+dy, z^ = z + dz, 

wo wieda: die Bezeichnungen dx, p. ^^ 

ify, dz andeuten sollen, dass die 
Punkte P und P^ einander un- 
endlich nahe rücken dürfen. 

Legt man jetzt durch die 
Punkte P und P, Ebenen pa- 
rallel zu den drei Coordinaten- 
Ebenen (vergl. Fig. 122), so erhält 
man ein rechtwinkeliges Parallel- 
epipedon mit den Seitenkanten dx, 
dy, dz und der Diagonale 
(2.) PP, = ds. 

Da die Gerade PP, mit dem Bogen PP, zusammeniäUt, 
wenn die Punkte PundP^ einander unendlich nahe rücken, so 

31 • 



484 § 113. Bestimmung der Tangenten und Normalebenen. 

nennt man ds das Bogendement und erhält nach bekannten 
Sätzen aus der Stereometrie 

(3.) *2 — dx^ + rfy2 + efe2. 

Femer ergiebt sich ohne Weiteres aus der Figur, dass 

, V dx ^ dy dz 

(4.) cosa = ^, «»'» = i' «>sy = ^ 

ist, wobei a, ß^ r ^^ Winkel sind, welche d% mit den positiven 
Richtungen der Coordinaten-Axen bildet. 

Aufgabe 2. Eine Baumcurve sei durch die Gleichungen 

(5.) F{x, y, ;?) = 0, G (x, y, ;r) = 

gegeben; man soll im Curvenpunkte P mit den Coordinaten a;, y, z 
ihre Tangente bestimmen. 

AuflSsung. Die Gleichungen einer geraden Linie im Räume 
schreibt man gewöhnlich in der Form 

(6.) x' =-mz' -\' fjb^ y' = nz* + v. 

Dies seien also auch die Gleichungen der gesuchten Tan- 
gente, wobei die laufenden Coordinaten mit x\ y', zf bezeichnet 
werden mögen, weil a:, y, r die Coordinaten des Berührungs- 
punktes P sind. Damit die Tangente durch diesen Punkt P 
geht, müssen die Gleichungen 

(7.) ar = m;5 -f f*, y = n^ -f- v 

gelten, folglich erhält man für die Tangente die Gleichungen 

(8.) a^ — x = m(z' — z), y' — y = n{z' — z). 

Um auch noch die Coefßcienten m und n zu bestimmen, 
beachte man, dass die Tangente auch durch den Cnrvenpunkt 
P' hindurchgehen muss, welcher dem Punkte P unendlich nahe 
liegt und deshalb die Coordinaten 

(9.) x* =: X + dx, y' = y -{- dyj z' :=^ z + dz 

hat. Setzt man diese Werthe in die Gleichungen (8.) m, so 

erhält man 

(,l(k) dx = mäz, dy = mfe, 

oder, indem man durch dz dividirt und Formel Nr. 189 der 
Tabelle berücksichtigt, 



§ 113. Bestimmimg der Tangenten und Normalebenen. 485 

1,11.; ^ - dg - F^Q^ _ F^Q^' "~dz~ FiG^—F-iGi 
Die Tangente im Punkte P hat daher die Gleichungen 

(12.) a^'-a,==^(z'-z), y' -y = f^(z' -z), 

oder 

Gewöhnlicli schreibt man diese Gleichungen in der Form 

, V X* — X y* — y z' — z 

^ '^ dx dy dz 



oder 



,t 



Uöa.; F^Q^_F^Q^- F^Q^_F^G^'- F^G^_F^Q^' 

Aufgabe 3. Man soll die Ebene bestimmen, welche im 
Curvenpunkte P mit den Coordinaten x, y, z auf der Curve 
senkrecht steht. 

Auflösung. Die Gleichung einer Ebene, welche durch den 
Punkt P hindurchgeht, ist 

(14.) A{x' — x) + B{y' — y)+ C(z' — z) = 0. 

Damit diese Ebene auf einer Geraden 

x' = mz* + (A, y* z=znz* -\- V 

senkrecht steht, muss nach bekannten Sätzen aus der analyti- 
schen Geometrie des Raumes 

(15.) ^ = C ' ^^'C 

sein. In dem vorliegenden Fall ist aber die Tangente die 
Gerade, welche auf der gesuchten Ebene senkrecht stehen soll, 
folglich gehen die Gleichungen (15.) mit Rücksicht auf die 
Gleichungen (11.) über in 

/^«r N dx A dy B 

^1^*-) Tz=-c' Tz=-C' 

so dass man für die gesuchte Ebene die Gleichung 



486 § 114. Üebmigs-Au%aben. 

(16.) {z' — x)dx + (y' — y)dy+(z'— z)dz = 0, 

oder 

(16a.) mG3 — FiGi)ix' — x) + (i^3<?i — J;Gs)(y'-y) 

+ mG^ — F^Gi){z'-z) = 

erhält. Diese Ebene heisst die Normalebene der Baoincnrve im 
Punkte P. 



§ 114. 




Uebungs-Aufgaben. 




Aufgabe 1. Der Kegel 




^2 y2 Z^ _ 

ai "^42 c2 




schneidet die Kugel 




^2 + y2 + ^2 — ^2 = 




in einer Eaumcurve ; man soll die Tangente 


und die Normal 


ebene dieser Curve im Punkte P bestimmen. 




Auflösung. Hier ist 




(!•) ^=S + F-$' G^x^ + t^ 


«2 »-2, 


folglich wird 




(2.) r^-a^' ^«-*^' ^^ = 
l G, = 2x, Gj = 2y, G, = 


22 
C2' 


2z, 



also 



3.) 



Ä2 • c2 J2^2 

4a:2J 4a» 4ax 

c2 a^ c^a^ 



i?G,-p,G, = -^-:^ = -S(«» + .«), 



J'.G,-F,G,=^_^ = -^(..-J.). 



Dies giebt nach Formel Nr. 142 der Tabelle fBr die Tan- 
gente die Gleichungen 

(A\ ^'^\^ — ^) _ c»a V — y) aa&2(g' — z) 

^ '^ y2(i2 + c2) ~ 2a;(c2 + a«) ~ a!y(a2 — 5«) ' 



§ 114. Uebungs-Aiifeaben. 487 

oder 

fö ) i ^^^"^ "^ ^^^^^"^^ — x)==— a2(J2 + c^)g (^' _ z), 

\ C2(a2 — J2)y (y- _ y) =: + ^2(^2 + a^^z{z' — z). 

Aus den Gleichungen (3.) folgt sodann nach Formel Nr. 143 
der Tabelle für die Normalebene die Gleichung 

oder 

(6.) a2y;j(62+c2)(a;'— ir)— 62^(c2+a2) (y'-y)-c2a;y(a^J2)(2:i_2;)=0, 

oder 

(6a.) a2(Ä2 + c'^)yzx* — b^{c^ + a^)zxy* — c\a^ — h^)xyz' = 0. 

Aufgabe 2. Die Schraubenlinie hat die Gleichungen 

(7.) a:2 + y2_e,2==o und y — ^tg0)=O; 

man soll die Tangente und die Normalebene im Cnrvenpunkte 
P bestimmen. 

Auflösung. Hier ist 

(8.) 1^= :r2 + y2 — a2, G = y — x\% 0), 

folglich wird 

(9.) j; = 2:r, -F2 = ^y, jPs^O; 

(10.) Gi = -tg(i)G2=l, Ö3 = -7[l + tg2(i)], 

oder mit Bäcksicht auf die Gleichungen (7.) 

(loa.) ö,=-|, (?, = l, G3 = -5(l+g) = -g. 

Dies giebt 



(11.) 



i^3Ö, - P1G3 = + ^ = — , 



<?a: c 

„ 2v2 2a2 2a2c 

Die Gleichungen der Tangente sind daher nach Formel 
Nr. 142 der Tabelle 



488 §. 114. Uebuiigs-Au%abeii. 

cx{x* — x) cx{y* — y) cx{z* — z) 

20^? "" 202^ ■" 2a2c ' 
oder 

(12.) x^-x = -\(z^-z), y'-y=.^{z'-z). 

Die Gleichung der Normalebene wird nach Formel Nr. 143 
der Tabelle 

cx ^ ^ ^ ex ^ ^^ ex ^ ^ ' 

oder 

(13.) y{x' — x) — x{y* — y) — c{z* — «) = 0, 

oder 

(13 a.) yx* — xy* — c[z* — xj) = 0. 

Aufgabe 3. Die Kugel 

a:2 + y2 + 22_r2 = 

wird von dem Cylinder 

x^ — ra; + y2 = 

durchbohrt; man soll die Tangente und Normalebene der Schnitt- 
curve im Punkte P mit den Coordinaten x^ y, z bestimmen. 

Auflösung. Hier ist 

(14.) JF=:a;2 + y2 + 2j2_y.2, G — x'^ — TX + y\ 

folglich wird 

(15) f-fl=2^' i^2 = 2y, ^3 = 2^, 

\G,= 2x — r, G^ = 2y, G^ = 0, 

(F^G,—F,G:,=^-4.yz, 

(16.) I -F3 Gl — Fl G3 = 4cxz — 2rz, 

{ F,G2-F2G, =4.xy — 4xy + 2yr=:2ry; 

dies giebt nach Formel Nr. 142 der Tabelle fiir die Tangente 
die Gleichungen 

(17.) — - — = -7^ — ^ = ? 

^ ^ — 2y;5 z{2x — r) ry 

oder 

(18.) 1 r{x*-x)=^ — 2z(z^ — z), 



§ 115. Tangenten und Tangentialebenen. 489 

Die Gleichung der Nonnalebene wird nach Formel Nr. 143 
der Tabelle 

(19.) 2yz(x' — x) — (2x — r)z{y' — y) — ry {z' — r) = 0, 

oder 

(19 a.) 2 yzx' — (2x — r) zy' — ryz' = 0. 

§ 115. 

Tangenten und Tangential- Ebenen an eine beliebige 

krumme Fläche. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 144 und 145.) 

Eine gerade Linie heisst eine Tangente der Fläche 

(1.) F{x,y,z) = ^ oder z=f(x,y\ 

wenn sie durch zwei unendlich nahe Funkte der Fläche hin- 
durchgeht, 

Aufgabe 1. Man soll die Bedingung finden, dass die Gerade 

(2.) x* = mz* + fi, y' = nz' + p 

die Fläche 

« =/(^j y) 

im Flächenpunkte F mit den Coordinaten x, y, z berührt. 

Auflösung. Die laufenden Coordinaten der geraden Linie sind 
mit x\ y', z' bezeichnet worden, weil x, y, z die Coordinaten 
des Berührungspunktes F sind. Damit nun die Gerade durch 
diesen Berührungspunkt F hindurchgeht, müssen die Gleichungen 

(3.) X ==^ mz -\- fi, y ■=: nz -Y- V 

gelten. Daraus folgt 

(4.) x^ — x^=m{z* — z\ y* — y ^= n (z* — z). 

Irgend ein Flächenpunkt P', welcher dem Punkte F be- 
nachbart ist, hat die Coordinaten 

(5.) x' = x-)r^x^ y'=^y+^y^ z' = z+Jz=f{x+Jx,y+Jy), 

wobei noch Jx und Jy ganz beliebig und von einander unab- 
hängig sind. Damit nun die Gerade auch durch diesen Punkt 
P' hindurchgeht, müssen die Gleichungen 

(6.) ^/x = mJz und ^y = m^z 

befriedigt werden. 



490 § 115. Tangenten und Tangentialebenen. 

Lässt man jetzt Jx und Jy unendlich klein werden, indem 
man sie bezw. durch dx und dy ersetzt, so rückt der Punkt P* 
dem Punkte P unendlich nahe. Dann wird auch Jz unendlich 
klein, und zwar geht Jz über in 

(7.) rf^ = grfa: + |rfy. 

Dadurch nehmen die Gleichungen (6.) die Form an 

Dies giebt 

(9.) «|d.+(„|-l)rfy = 0. 

dz 
Multiplicirt man Gleichung (8.) mit w^-» Gleichung (9.) 

dz 
mit 1 — ^ 77~ ' so erhält man durch Addition und Fortlassung 

des Factors dy 

(10.) ^_+^__l = 0. 

Ist diese Bedingung erfüllt, so geht die Gerade durch zwei 
unendlich nahe Punkte der Flache, d. h. sie ist eine Tangente 
derselben. 

Wenn die Gleichung der Fläche in der Form 

F(x,y,z)=^0 
gegeben ist, so erhält man, indem man y als constant ansieht, 

/i 1 \ dF BF dz ,, , 17 , i:t Ö2J ^ 

und indem man x als constant ansieht, 
also 



J 



§ 115. Tangenten und Tangentialebenen. 491 

Deshalb geht die Gleichung (10.) über in 
(14.) F^m + F^n + 1^3 = 0. 

Aufgabe 2. Die Gleichung einer krummen Fläche sei wieder 

(15.) F{x,y,z) = 0, oder z^fix.y); 

man soll durch den Punkt P mit den Cioordinaten x^ y, z eine 
Tangentialebene legen. 

Auflösung. Da in Aufgabe 1 die Grössen dx und dy von 
einander unahhängig sind, so giebt es unendlich viele Tangenten 
der Fläche im Punkte P. Davon kann man sich auch dadurch 
überzeugen, dass man in den Gleichungen (10.) und (14.) den 
Werth von m noch beliebig annehmen darf, während man dann 
den Werth von n aus dieser ^Gleichung berechnen kann. Es 
wird nämlich 

(16.) n = ^ = ^ 

dy 

Setzt man diesen Werth von « in die Gleichungen (4.) ein, 
so erhält man 

(17.) x' — x = m(z*—z), ^(y' — y)=(l — m-£^{z* — z), 

oder 

(17a.) x^—x = m(z*—z), F^(y^ — y) = — (F,m+F^)(z^ — z). 

Diese Gleichungen stellen also eine Tangente im Flächen- 
punkte P dar, welchen Werth auch m haben mag. Eliminirt 
man jetzt aus diesen beiden Gleichungen m, so erhält man 

(180 ^'-^= pjx'-x) + p^(y'-y), 

oder 

(18a.) F, {x' — x) + F^(i/* — y) + F^(z' — z) = 0. 

Dies sind zwei verschiedene Formen für die Gleichung einer 
Ebene, in welcher alle Tangenten liegen, die im Punkte P an 
die Fläche möglich sind. Man nennt diese Ebene daher die 
Tangentialehene der Fläche im Punkte P. 



492 



§ 115. Tangenten und Tangentialebenen. 



Fig. 128. 




Die Gleichung der Tangentialebene findet man auch in 
folgender Weise. Der Flächenpunkt P habe wieder die Coor- 
dinaten x^ y, z. Lässt man jetzt ^ um ^;r wachsen, während 

y unverändert bleibt, so gelangt 
man vom Punkte P zu einem 
benachbarten Flächenpunkte P] 
(Fig. 123), dessen Coordinaten 

x^^x + Jx, y^^y 
und 

zi=z + J^ =/(^ + ^a;, y) 

sind. Lässt man dagegen y um 
Jy wachsen, während x con- 
stant bleibt, so gelangt man 

vom Punkte P zu einem dritten Flächenpunkte P2 mit den 

Coordinaten 

X2 = x^ y2 = y + ^y, Z2 = z + Jyz =f(x, y + Jy). 

Durch diese drei Punkte P, P^ , P^ ist eine Ebene bestimmt, 
deren Gleichung 

(19.) Ax* + %' + C^' + D = 

heissen möge. Auch hier sind die laufenden Coordinaten der 
Ebene mit xf^ y\ z* bezeichnet worden, weil x^ y, z die Coordi- 
naten des Punktes P sind. Die Gleichung dieser Ebene kann 
man noch, indem man durch C dividirt, auf die Form 

(20.) z' = ax* + by' + c 

bringen. Damit nun die Ebene durch den Punkt P geht, muss 
die Gleichung 

(21.) z =^ ax + by + c 

gelten, folglich wird 

(22.) z' — z — a(x' — x) + b(y' — y). 

Damit die Ebene durch die Punkte P^ und P^ hindurch- 
geht, muss die Gleichung (22.) auch fiir die Coordinaten dieser 
Punkte befriedigt werden. Dadurch erhält man die beiden 
Gleichungen 

J^z = aJx und J yZ = bJy^ 



§ 116. Uebungs-Aufgaben. 498 

oder 

(23.) » = f, » = ^. 

Lässt man jetzt Jx und Jy unendlich klein werden, indem 
man sie durch ihre Differentiale dx und dy ersetzt, so rücken 
die Punkte P^ und P2 dem Punkte P unendlich nahe, und die 
Gleichungen (23.) gehen über in 

rc^A \ dz , dz 

(24.) a = ^, J = ^, 

SO dass die Gleichung (22.) die Form 

(25.) , z'-z = p^iz'-x) + ^{y'-y) 

annimmt, welche mit Gleichung (18.) übereinstimmt. 

Der Sinn dieser zweiten Herleitung ist folgender: 
Die geraden Linien PP^ und PP2 werden Tangenten der 
Fläche, wenn die Punkte Pj und P2 dem Punkte P unendlich 
nahe rücken. Die Ebene PP^P^ ist also, wenn man Jx und Jy 
unendlich klein werden lässt, durch zwei Tangenten des Punktes 
P hiQdurchgelegt. Da aber aUe Tangenten eines Flächenpunktes 
P in derselben Ebene, nämlich in der Tangentialebene, liegen, 
so ist diese Ebene die Tangentialebene. 

Die Gleichung der Tangentialebene wird illusorisch, wenn 
(26.) Pi = 0, 1^2 = 0, Ps = 0. 

In diesem Falle, welcher allerdings nur ausnahmsweise ein- 
treten kann, liegen die Tangenten des Flächenpunktes P nicht 
mehr sämmtlich in derselben Ebene. 

§ 116. 

Uebungs -Aufgaben. 

Aufgabe 1. Ein EUipsoid ist durch die Gleichung 

gegeben; man soll im Flächenpunkte P mit den Coordinaten 
x^ y, z die Tangentialebene bestimmen. 



494 § 116. Uebungs-Aufgaben. 

AufIBsung. Hier ist 

* A 2 

also 

(2.) ^i""^' ^2— -^J ^3—-^' 

deshalb wird nach Fonnel Nr. 145 der Tabelle die Gleichung 
der Tangentialebene 

. . x{x*—x) y{y'—y) , z{z' — z) _ 

^^•>> «2 + — p— + — ^r- - ö, 

oder, wenn man die Gleichungen (1.) und (3.) addirt, 

Aufgabe 2. Ein elliptisches Paraholoid ist durch die Gleichung 
(5.) x'^ + ahp' — 2pz — 

gegeben; man soll im Flächenpunkte P mit den Coordinaten 
X, y, z die Tangentialebene bestimmen. 

Auflösung. Hier ist 

-fla:, y, 2?) = a;2 + a^y^ _ 2^2:, 

also 

(6.) F,^2x, F^ = 2ahf, F,^—2p, 

deshalb wird nach Formel Nr. 145 der Tabelle die Gleichung 
der Tangentialebene 

(7.) x{x* — x) + ahf{y' — y) —p{z* — ;?) = 0, 

oder, wenn man die Gleichungen (5.) und (7.) addirt, 
(8.) XX* + ahfy* —p{z' + z)^ 0. 

Ist z. B. 

;r = 3, y = 4, also 2pz = ^ + 16a2, 
so geht die Gleichung (8.) über in 
(8 a.) ^x* + 8a Y = 2pz* + 9 + 16 a^. 



§ 117. Theorie der Enveloppen. 



495 



§ 117. 

Theorie der Enveloppen. 

(Vergl. die Formel - Tabelle Nr. 146.) 

Ist eine Gleichung zwischen a:, y und w, nämlich 

(1.) F{x, y, w) = 

gegeben, so stellt diese Gleichung für jeden constanten Werth 
von u eine Curve dar. Da es aber unendlich viele Werthe von 
u giebt, so entspricht der Gleichung (1.) eine ganze Schaar von 
Curven. So entspricht z. B. der Gleichung 

eine ganze Schaar von concentrischen Kreisen, da der Halb- 
messer u noch unendlich viele Werthe haben darf. Der Gleichung 



X' 



+ 



r 



= 1 



entspricht eine Schaar confocaler Ellipsen und Hyperbeln. 
Der Gleichung 

F(x, y, w) = (:r — w)2 + (y — y 62 _ ^^2)2 _ «2 == , 

entspricht eine ganze Schaar von Kreisen (vergl. Fig. 124), denn 
für jeden Werth von u er- 
hält man einen Kreis, dessen 
Mittelpunkt die Coordinaten 



Fig. 124. 




hat. Zwischen ? und ly be- 
steht daher die Gleichung 

?2 + iy2 _ J2 = 0, 

d. h. der Mittelpunkt M des 
Kreises durchläuft selbst 
wieder einen Kreis, welcher 
mit dem Halbmesser b um 
den Anfangspunkt der 
Coordinaten beschrieben ist. 

Die Grösse u nennt man 
dabei den (variablen) Parameter, 

Sind nun u und u^=:u + Ju zwei benachbarte Werthe 
von u, so giebt die Zusanmienstellung der beiden Gleichungen 



OM^h, 0A"=|, NM-=-ri. 



496 § 117. Theorie der Enveloppen. 

(2.) JF{x,y,u)^0 und F{x,y,u^) = 

die Schnittpunkte der beiden entsprechenden Curven. 

Die Goordinaten dieser Schnittpunkte genügen daher auch 
den beiden Gleichungen 

(3.) I{x,y,u)^0 und ^^»y>« + ^j)-i^(^,y,«) ^ q. 

Lässt man jetzt Ju unendlich klein werden, so gehen diese 
Gleichungen über in 

(4.) H^,y,u)=:0 und ^^I|pü) = o, 

Gleichungen, welche die Schnittpunkte der Curve F(z, y, w) = 
mit einer unendlich nahen Curve geben. 

Durch Elimination von u aus diesen beiden Gleichungen 
erhält man eine Gleichung zwischen x und y allein, nämlich 

(5.) S(x,y)^0, 

welche den geometrischen Ort aller Schnittpunkte von Je zwei 
unendlich nahen Curven der gegebenen Ourvenschaar darstellt. 

Die Curve wird die einhüllende Curve oder die Enveloppe 
genannt, da sie die sämmtlichen Curven der gegebenen Curven- 
schaar einhüllt. Es gilt nämlich folgender Satz : 

Die Enveloppe ha;t in den Punkten^ welche sie mit einer 
der Curven 

F{x, y, w) = 

gemein hat, auch die Tangente mit dieser Curve gemein. 

Zum Beweise dieses Satzes 
betrachte man drei benachbarte 
Curven C, C^, C^ des gege- 
benen Curvensystems (vergl. 
Fig. 125), welche den Werthen 
u, u^y u^ des Parameters ent- 
sprechen. Ein Schnittpunkt der 
Curven C und Ci heisse P. 
Dieser Schnittpunkt gehe m den 
Punkt Pj über, wenn die Curve C in Ci und die Curve Ci in Cj 
übergeht Die Punkte Pund P^ liegen also beide auf der Curve C^ 
und rücken einander unendlich nahe, wenn die Werthe k, u^j u^ 




§ 117. Theorie der Enveloppen. 497 

unendlich wenig von einander verschieden sind, d. h. wenn die 
Curven C, C,, C2 einander unendlich nahe rücken. Gleichzeitig 
rücken die Punkte P und P^ auf die Curve mit der Gleichung 

S{x, y) = 0, 

weil sie Schnittpunkte von je zwei unendlich nahen Curven der 
gegebenen Curvenschaar sind. Deshalb ist die Verbindungslinie 
dieser unendlich nahen Punkte P und P^ eine Tangente der 
Curve Ci und gleichzeitig auch der Curve 

S{x, y) = 0. 

Damit ist bewiesen, dass die beiden Curven im Punkte P 
(oder in dem unendlich nahen Punkte P{) eine gemeinsame 
Tangente haben, dass sie sich also im Punkte P berühren. 

Was von Ci gilt, gilt ebenso von jeder beliebigen Curve 
der gegebenen Curvenschaar. Es ist also hiermit bewiesen, dass 
die Curve 

S{x,y) = 

sämmtUche Curven des gegebenen Curvensystems berührt; sie 

ist daher die UmhüUungscurve oder Enveloppe, 

Dasselbe Eesultat findet man auch durch Eechnung. Die 

Gleichung 

S(x, y) = 

kann man nämlich aus den Gleichungen (4.) dadurch herleiten, 
dass man den Parameter u als Function von x und y darstellt, 
indem man die Gleichung 

— ^^^^^^^ = auf die Form u = g)(x, y) 

bringt, und dass man sodann diesen Werth von «< in die 
Gleichung 

F{x, y,u) = 

einsetzt. Dies giebt also 

(6.) S (x, y) = F{x, y,u) für w = y (x, y), 

dS_dF dFdu^ 
ox dx du dx 

dF öFdu 
dy du dy 

Stegemann - Kiepert, Differential-Rechnung. 32 



(7.) 






498 § 117. Theorie der Enveloppen. 

Da nun aber für den betrachteten Punkt P mit den Coor- 

dinaten x. y 

dF ^ 

du 
ist, so gehen die Gleichungen (7.) über in 

dS_dF dS_dF 

folglich hat nach Formel Nr. 88 der Tabelle 

dS öF 

dy dx dx 



(8.) 



dx "" dS ÖF 



dy dy 

in dem betrachteten Punkte P für beide Curven denselben 
Werth, d. h. die beiden Curven haben in diesem Punkte die- 
selbe Tangente. 

Es ist allerdings noch hervorzuheben, dass die Elimination 
von u aus den Qleichungen (4.) durchaus nicht immer die 
Gleichung einer reellen Curve liefert. 

Dies folgt schon daraus, dass nicht jede Schaar von gleich- 
artigen Curven eine Umhüllungs- Curve besitzt. Bei den con- 
centrischen Kreisen 

a;2 »|_ y2 ^2 := 

z. B. schneidet kein Ereis den anderen in einem reellen Punkte, 
folglich giebt es flir diese Curvenschaar auch keine Umhällungs- 
Curve. 

Ebensowenig haben die einander benachbarten confocalen 
Ellipsen 

^2 ./2 



oder die einander benachbarten confocalen Hyperbeln 

rc2 «/2 

+ Ä2^ = l (-a*<«<-i2) 



reelle Schnittpunkte mit einander gemein, folglich giebt es auch 
bei dieser Curvenschaar keine UmhttUungs-Curve. 



§ 118. Uebungs-Aufgaben. 499 

Dagegen schneidet jeder der E[reise 
(9.) F{x, y, u) — {x — uy + {y — Yb^ — u^f — «2 = 

den folgenden in zwei reellen Punkten. Deslialb giebt es in 
diesem Falle eine Umhällungs-Curve. Dabei wird 

(10.) ^^(|>y>^) = _2(^— w) + 2(y— ]/P=:^) " = 0. 
Aus den Gleichungen (9.) und (10.) folgt 

y _ ]/jyzr^ = £zi!fyj2_^2 = £yj2_t^2 _ yjTzrSi, 

oder 

(11.) y = ^|/P^=:^, ^ = !<*±fl), 



a:2 = 



_ u^(b±ay 
b^ 



^ _ a:2(52_^2) __ (b^—u^){b±ay 

^ "" W2 - J2 ' 

folglich ist 

(12.) a;2 + y2 — (J + a)2. 

Nimmt man in diesen Gleichungen das obere Zeichen, so 
erhält man einen Kreis mit dem Halbmesser b + a, und nimmt 
man das untere Zeichen, so erhält man einen Kreis mit dem 
Halbmesser b — a. Die Umhüllungscurve zer^t also bei diesen 
Beispiele in zwei concentrische Kreise. (Vergl. Fig. 124.) 



§ 118. 

Uebungs -Aufgaben. 

Aufgabe 1. Ein System von geraden Linien (Fig. 126) sei 
durch die Bedingung bestimmt, dass die zwischen den Goordi- 
naten-Axen liegenden Abschnitte derselben die constante Länge 
c haben. Man soll die Gleichung ihrer Umhällungs-Curve auf- 
stellen. 

AuflSsung. Es seien OA 3= a und OB = b die Abschnitte, 
welche die Gerade auf den Coordinaten-Axen abschneidet, dann 
ist bekanntlich ihre G-leichung 

32* 



I 118. Uebuugs-Aufgabec 



oder 



+ ^-1 = 



:0, 



bx + ay — ai = 0. 

Der Abschnitt AB der Geraden zwischen den beiden Coor- 
dinaten-Axen ist daher gleich Ya'^ + 6^. Hat also dieser Ab- 
schnitt die constante Länge c, and setzt man 
(2.) a = — ccosw, 

so wird 
(3.) b = csinu. 

Die Gleichung der Geraden AB geht dadurch über in 
(4.) F(z,y,u) = aisin« — ycosu + csinwcos« = 0. 

Fig. las. Fig. 1^. 



Wie man ohne Weiteres si^t, ist dabei u gleich dem 
Winkel a, welchen die Gerade AB mit der positiTen Eichtang 
der X-Axe bildet. 

Um die Enveloppe dieser Schaar gerader Linien zu finden, 
bUde man 

(5.) — - ^ ^' "^ = arCOSM + ysin« + c(cos*u — sin*«) = 0. 

Multiplidrt man die Gl^chungen (4.) und (5.) bezw. mit 
sin« and cosu, so erhält man durch Addition 



§ 118. Üebungs-Auligabeii. 501 

Multiplicirt man sie dagegen bezw. mit — cosw mid sinw, 
so findet man durch Addition 

(7.) y = csin% 

Die Gleichungen (6.) und (7.) geben die Coordinaten des 
Schnittpunktes der dem Werthe u entsprechenden Geraden mit 
der unendlich nahen. Dieser Punkt ist daher auch ein Punkt 
der Umhüllungs-Curve. Die Gleichungen 

(8.) a: = — ccos^, y = csin% 

stellen also die Umhüllungs-Curve dar, wenn u alle Werthe von 
bis 2 TT durchläuft. Man kann aber aus diesen Gleichungen 

auch den Parameter u eliminiren. Erhebt man sie nämlich zur 

2 
Potenz -? so erhält man 

4 4 4-1 

x^ = + c^ cos%, y^ = + c^ sin%, 

und wenn man diese Gleichungen addirt, 

(9.) ^* + y* = c* 

Dies ist die Gleichung der Umhüllungs-Curve, und zwar 
ist diese Curve unter dem Namen „Asiroide^^ bekannt. (Vergl. 
Fig. 127.) 

Aufgabe 2. Es ist durch die Gleichung 

( 10.) JF(a;, y, u) = a:cos(3w) + ysin(3w) — acosu = 

eine Schaar von geraden Linien gegeben; man soll die von ihnen 
eingehüllte Curve bestimmen. (Vergl. Mg. 129.) 

Aufifisung. Hier wird 
(11.) — Q ^' ^^ = — SxsmiSu) + SycoB(Su) + asinw = o. 

Eliminirt man aus diesen Gleichungen y, bezw. a;, so er- 
hält man 

n2 ^ j Sx = a[3coswcos(3w) + sinw sin (3«)], 

\ 3y = a [3 cos w sin (Su) — sin w cos (3w)]. 
Nun ist aber 

cosw cos (3«) + sin w sin(3t^) = cos(2w), 

2C0SW cos(3w) — cos(4w) + cos(2w); 



502 



§ 118. Uebungs-Aufgaben. 



(14.) 



femer ist 

cosM sm(3w) — sinw cos(3w) = sm(2tt), 

2C0SW sin (3m) = sin(4w) + 8in(2w), 
folglioli wird 

. . j 3x = a[cos(4w) + 2cos(2w)], 

l 3y = a[sin(4w) + 2siii(2w)]. 

Setzt man a = 3a^ und 2u = t + tv, so wird 
j cos(2w) = — cos^, sin(2tt) = — sin^, 
\ cos(4t«) = + cos(2^), sin(4M) = + sin(2<), 

und die Qleichungen (13.) gellen ttber in 

(15.) a; == — aj (2 cos^ — cos 2^), y = — a^ (2Bmt — sin2^). 

Dies sind bekanntlich die Gleichungen der Cardioide. Die 
Cardioide war ein besonderer Fall der Epicykloiden, welchen 
man erhält, wenn der Halbmesser des festen Kreises dem Halb- 
messer des rollenden Kreises gleich ist. Durch die vorliegende 
Angabe findet man also eine andere Erzeugungsweise der Car- 
dioide, die sich dann auch so verallgemeinem lässt, dass man 
jede beliebige Epicykloide (oder Hypocykloide) erhält. 

Die Gleichung (10.) 
stellt nämlich eine Gerade 
dar (vergl. Figur 128), 
welche durch' die beiden 
Punkte Pj und P^ mit 
den Coordinaten 

x^ = acos(2«), 

yi = asin(2e*) 
und 

x<^ = acos(4t<), 

y2 = asin(4w) 

hindurchgeht, denn diese 
Werthepaare von x und y 
beMedigen die Gleichung 
(10.). Nun wird aber 



Fig. laB. 



^.^-""^ 


1^ 


\ 


h 





c 


'i <■ 


1 

1 



(16.) 



X, 



+ yi« = a2 und aj2» + y22 = aJ, 



§ 118. Uebmigs-Aufgaben. 



503 



Fig. 129. 



d. h. die Punkte P^ und Pj liegen beide auf einem Kreise, der 
mit dem Halbmesser a um den Anfangspunkt der Coordinaten 
beschrieben ist. Dabei sind die Winkel, welche die Halbmesser 
OPi und OP2 mit der X-Axe bilden, nämlich 

^X0P^ = 2u, 4:XOP2 = 4w = 2^XOPi. 

Wenn sich also der Parameter u verändert, so bewegen 
sich die Punkte Pj und Pj beide auf diesem Kreise fort, der 
Punkt P2 aber doppelt so schnell wie der Punkt P^. 

Dies giebt folgende Erzeugung der Cardioide: 

Bewegen sich auf einem Sreis zwei Punkte Pj und P^ sOj 
dass P2 doppelt so schnell läuft wie P^, so umhüllt die Gerade 
P^P^ eine Cardioide. (Vergi. Fig. 129.) 

In ähnlicher Weise können auch die anderen Epicykloiden 
erzeugt werden, wenn der Punkt P^ auf dem Kreise m-mnl so 
schnell fortschreitet wie der Punkt Pj. 

Dabei war bisher vor- 
ausgesetzt, dass die Punkte 
Pi und P2 den Kreis in 
gleicher Eichtung durch- 
laufen. Wenn sie aber den 
Kreis in entgegengesetzter 
Sichtung durchlaufen, so um- 
hüllt die Gerade P1P2 eine 

,5 HypocyMoide^ . 

Man kann sich in fol- 
gender Weise von dem Vor- 
stehenden durch Zeichnung 
überzeugen. Man theile den 
umfang eines Kreises in 

eine Anzahl gleicher Theile. (Vergl. Fig. 129.) Es sei z. B. 
diese Anzahl gleich 48. Dann bezeichne man die Theilpunkte 
der Reihe nach durch die Nummern 

0, 1, 2, 3, 4, . . . 47, 48, 
wobei der Punkt 48 mit dem Punkte zusammenfällt. Jetzt 
verbinde man die Punkte 

1 und 2, 2 und 4, 8 und 6, . . . 
allgemein k und 2k durch gerade Linien. Auf diese Weise er- 




504 



§ 118. Uebimgs- Aufgaben. 



hält man 48 Tangenten der Cardiotde, und zwar wird man 
daraus die Gestalt der Cardioide sicherer gewinnen, als wenn 
man die Curve punktweise construirt hätte. 

Verbindet man dagegen die Punkte A und mk durch Gerade, 
so erhält man eine andere EpicyAloide, welche der Zahl m ent- 
spricht, mit grosser Genauigkeit als die Enoeloppe ihrer Tan- 
genten. 

In ähnlicher Weise kann man auch die HypocyJdoidm als 
Enveloppe ihrer Tangenten zeichnen. In diesem Falle wird es 
zweckmässig sein, die Anzahl der Theilpunkte auf dem Kreise 
etwas grösser anzunehmen. 

Aufgabe 3. Es ist eine Schaar concentrischer Ellipsen ge- 
geben, deren HalbaKen mit den Coordinaten-Axen zusammenfallen 
und die constante Summe c haben; man soll die Gleichung der 
Enveloppe bestimmen. (Vergl. Fig. 130.) 

Auflösung. Die Gleichung einer Ellipse mit den Halbaxen 

a und b ist 

Fig. 130. b'^x^ -f- a2y2 — a^jfl = o. 

^^ Da aber die Axen 

veränderliche Länge und 
die constante Summe c 
haben sollen, so setze man 

a = w und Ä = c — u. 

Dadurch wird die 
Ifli Gleichung der gegebenen 
Curvenschaar 

{ll.)F{x,y,u) = {c-^uYx^ 

Hieraus folgt durch 
partielle Differentiation 
nach u 

(18.) — 2 (c — u)x^ + 2uy^ — 2u(c — u) {c — 2u) = 0, 

oder, wenn man mit — - multiplicirt, 

(18 a.) {c — u)ux^ — uY + w^c — u){c — 2m) = 0. 




§ 118. Üebungs-Aufgaben. 



505 



man 

oder 
(19.) 



Indem man die Gleichungen (17.) und (18a.) addirt, findet 

{c — u)cx^ — (c — w)«3 = , 



U' 



a:2 == — , a;- = 



<9 , _ 



Setzt man diesen Werth von x^ in die Gleichung (17.) ein, 



so folgt 
(20.) 






l_ g— ^ 



3 



Deshalb wird 



F^ 



(21.) 



i i ^ 

a^^ + r = c % 



d. h. die Enveloppe ist wieder eine Astroide. 

Aufgabe 4. Es ist eine Schaar von Parabehi durch die 
Gleichung 
(22.) F{x, y, u) = 4c(y — ux) + (1 + u^)x^ = 

gegeben; man soll ihre Enveloppe bestimmen. (Vergl. Fig. 131.) 
Auflösung. Hier ist 



(23.) 



du 



Dies giebt a: = 0, oder 

2c 



(24.) w = 



X 




Setzt man diesen 
Werth von « in die 
Gleichung (22.) ein, 
so erhält man für die 
Enveloppe die Glei- 
chung 

(25.)a:2+My-c)==0. 

Die Enveloppe ist 
also wieder eine Parabel. Ausserdem schnöiden sich alle Para- 
beln der gegebenen Schaai* im Punkte 0, welcher als ein Theil 
der Enveloppe zu betrachten ist. 



506 



§ 119. Doppelpunkte und isolirte Punkte. 



Aufgabe 5. Es ist eine Schaar von Kreisen durch die 
GleichaBg 

(26.) F{x, y, u) = {x — u)^ + y2^2up+p^ = 

gegeben; man soll die Enveloppe bestimmen. (Yergl. Fig. 132.) 
AuflStung. Hier ist 

(27.) 



oder 

(28.) 



m^ = -2i.-u)-2p = 0, 



x = u — p. 



Tig. 182. 




Setzt man diesen 
Werth von :r in die Glei- 
chung (26.) ein, so wird 

(29.) y=±V2p(«— ^). 

Die Gleichungen (28.) 
und (29.) geben die Schnitt- 
punkte des Kreises, der 
dem Parameter u ent- 
spricht, mit dem unend- 
lich nahen. Diese Schnitt- 
punkte werden erst reell, 
wenn 
(30.) u^p; 

die Kreise selbst dagegen werden schon reell, wenn 

(31.) 2u ^p. 

Indem man schliesslich noch u aus den Gleichungen (26.) 
und (28.) eliminirt, erhält man die Gleichung der Enveloppe, 
nämlich 
(32.) y2 = 2px. 

Dies ist die Gleichung einer Parabel. 

§ 119. 

Doppelpunkte und isolirte Punkte. 

(Vergl. die Formel -Tabelle Nr. 147.) 

Wenn eine Curve, deren Gleichung 
(1.) F{x, y) = 

sein möge, 2-mal durch denselben Punkt hindurchgeht, so nennt 



§ 119. Doppelpunkte und isolirte Punkte. 



507 



Fig. 133. 



man diesen Punkt einen Doppelpunkt der Curve. So hat z. B. 
das Folium Cartesü mit der Gleichung 

^3 _|- y3 — Saxy = 

im Nullpunkte einen Doppelpunkt. (Vergl. Fig. 80 auf Seite 355.) 
Ebenso hat die Lemniscate mit der Gleichung 

r2 = a2cos(29p), 
oder 

(a:2 + y2)2 _ a2(a;2_y2) — 

im Nullpunkte einen Doppelpunkt. (Vergl. Fig. 120 und 121 
auf Seite 419 und 427.) 

Um nun zu untersuchen, für welche Werthe von x und y 
eine Curve einen Doppelpunkt hat, braucht man nur zu beachten, 
dass in einem Doppelpunkte nicht eine^ sondern zwei Tangenten 
an die Curve möglich sind, denn man kann an jeden der beiden 
Curvenzweige, welche durch den 
Doppelpunkt hindurchgehen, eine 
Tangente legen. (Vergl. Fig. 133.) 
Streng genommen giebt es sogar 
in einem Doppelpunkte unendlich 
viele Tangenten, wenn man von 
der Erklärung ausgeht, dass jede 
Gerade, welche zwei unendlich 
nahe Punkte der Curve mit ein- 
ander verbindet, eine Tangente der Curve ist. Danach würde 
Jede Gerade, welche man durch den Doppelpunkt legt, als eine 
Tangente au^efasst werden können. Hier soll aber nur die 
Verbindungslinie von zwei unendlich nahen Punkten, welche auf 
demselben Zweige der Curve liegen^ als eine Tangente angesehen 
werden. 

Ist nun F{x^y) eine eindeutige Function von x und y, so 
gUt dasselbe von 

(2.) F,i.,y) = ^^ und P,(..y) = :^; 

es wird also für jedes Werthepaar a;, y die Richtungstangente 




508 § 119. Doppelpunkte und isolirte Punkte. 

im Allgemeinen nur einen einzigen Werth haben, so dass der 
zugehörige Curvenpunkt nur ein einfacher Punkt sein kann. 

Nur in dem besonderen Falle, wo Fi(x,y) und F^^x^y) 
beide gleich sind, erhält der Ausdruck für tga die unbestimmte 

Form — ; dann kann also tga möglicher Weise mehr als einen 

Werth haben. Die Methode, welche in § 58 zur Berechnung 
von Ausdrucken angegeben wurde, welche an der Grenze die 

Form jr- annehmen, führt hierbei in folgender Weise zum Ziele. 

Bezeichnet man wieder die zweiten partiellen Ableitungen durch 
Indices, so folgt aus Gleichung (3.), indem man Zähler und 
Nenner einzeln diflferentürt, 

,. dy ,. ^^^+^^^i 
lim-r- = — lim r- 

fiir 

also, wenn man nach Einsetzung der in Betracht kommenden 
Werthe von x und y das Zeichen limes fortlässt, 

oder 

(4.) ü, + 2i,.| + Ji(|; = 0, 

oder 

(4a.) 



dx 2^2 



Dasselbe Eesultat findet man auch, indem man die Gleichung 
(5.) ^^ = i=;(,,y) + j.^(,,y)| = 0. 

nochmals nach x differentiirt'; dann erhält man nämlich 



(6.) 



oder 



§ 119. Doppelpunkte und isolirte Punkte. 509 

dx dy dx 



,6.) i,. + 2^„|+^|)'+i?S = »- 

(P'U 

Aus dieser Gleichung bestimmt man im Allgemeinen ^; 

gilt aber die Voraussetzung 

(7.) i^, = 0, 1^2 = 0, 

so erhält man wieder 

(8.) P» + 2F,, I + i^,,(|y = 0, 

oder 



/o „ ^ dy _ - J;2 ± yPn^ — Fn F^^ 
^^*-) Tx F^ 

Hieraus erkennt man, dass unter der gemachten Voraus- 
setzung -j- zwei Werthe erhält, dass es also in dem betrachteten 

Punkte zwei Tangenten an die Curve giebt, deren Richtungen 
durch die Gleichung (8 a.) bestimmt sind. 

Diese Untersuchung giebt daher den Satz: 

Ist der Punkt D mit den Coordinaten Xj y ein Doppelpunkt 
der Curve, so müssen die drei Gleichungen 

(9.) F(x,y) = 0, F,(x,y)^0, F,(x,y) = 

gleichzeitig befriedigt werden* 

Die beiden Werthe von -^j welche man aus der quadra- 
tischen Gleichung (8.) erhält, sind reell^ wenn 
(10.) Fn^ — J^uF22>0; 

sie sind dagegen imaginär^ wenn 

(11.) F,^^-FuF^2<0. 



510 



§ 119. Doppelpunkte und isolirte Punkte. 



In dem ersten Falle erhält man einen eigentlichen Doppel- 
punkt mit zwei reellen Tangenten, in dem zweiten Falle aber 
sind die Tangenten imaginär. 

Ein Beispiel möge zeigen, wie die Curve in dem Doppel- 
punkte beschaffen ist, jenachdem der erste oder der zweite Fall 
eintritt. Es sei nämlich 

(12.) F{x, y) = y^ — (iT — a)\x — J) = 0, 

oder 

(12a.) F{x, y) = y'^ — x^ + (2a +h)x'^ — (a^ + 2ab)x + a^h = 0, 

dann wird 

fF\ (^5 y) = — 3ir2 + (4a + 2b)x — (a^ + 2a6) 
z={x — a){—^x + a + 2ft), 

(14.) j;i = — 6ä: -f (4a + 2J), i^2 = 0, i^22 = 2. 
Für a: = a, y = werden also die drei Gleichungen 

-F(^,y) = o, j;(^,y) = o, i^2(^,y) = o 

beMedigt, und man erhält 

^11 = — 2(a — J), J;2 = 0, 1^22 = 2. 
Deshalb wird nach Gleichung (8 a.) 



(16.) 



%=±V^. 



Fig. 134. 



Ist a > 5, so wird ya — b 
reell; man kann in diesem Falle 
nicht nur die Tangenten in dem 
Doppelpunkte D mit den Coordi- 
naten :r = a, y = zeichnen, son- 
dern es ergiebt sich auch aus der 
Gleichung (12.), oder aus der 
Gleichung 

(126.) y= ±{x — a)Yx^^ 

leicht die Gestalt der Curve. Sie 
ist symmetrisch zur X-Axe, und 

y wird für Werthe von x, die kiemer als h sind, imaginär, d. h. 

die Curve liegt rechts von der Geraden, welche man durch den 




§ 120. Uebungs- Aufgaben. 



511 



Punkt B mit den Coordinaten ar = J, y = parallel zur F-Axe 
ziehen kann. Diese Gerade wird von der Curve im Punkte B 
berflhrt; und zwar gehen von B aus zwei symmetrische Zweige 
der Curve, welche sich im Doppelpunkte D schneiden, so dass 
die Curve zwischen B und D eine Schleife bildet (Vergl. 
Fig. 134.) 

Ist dagegen a<6, so folgt aus der Gleichung 

y = ± (^ — ö) yx — h^ 
dass der Punkt D mit den Coordinaten a: = a, y = wieder ein 
Punkt der Curve ist. Für alle Werthe von x aber, die entweder 
kleiner als a sind, oder die zwar grösser als a, aber kleiner 
als h sind, wird y imaginär, so dass auch hier die Curve eigent- 
lich erst mit dem Punkte B beginnt, dessen Coordinaten a: = 6, 
y = sind. Der Punkt D ist 
daher in diesem Falle ein isoHrter 
Punkt oder „Einsiedler^. Ein 
solcher isolirter Punkt ist daher 
auch als ein Doppelpunkt anzu- 
sehen, in dem sich zwei imaginäre 
Curvenzweige schneiden. Deshalb 
werden in diesem Falle auch 
die beiden Tangenten imaginär. 
(Vergl. Fig. 135.) 

Für 



Fig. 135. 







X 






b — a 




3 -^ - 3 ^ 3 

hat die Curve zwei Wendepunkte 
W^ und ^2? wie man durch die 
früher angegebenen Methoden leicht bestätigen kann. 

§ 120. 

Uebungs -Aufgaben. 

(Vergl. die Formel -Tabelle Nr. 147.) 

Aufgabe 1. Man soll beweisen, dass beim Iblium Cartem 
der Nullpunkt ein Doppelpunkt ist, und soll die Richtung der 
beiden Tangenten in diesem Punkte bestimmen. (Vergl. Fig. 136.) 



512 



§ 120. Uebungs-Aufgaben. 



Auflösung. Hier ist 



(1.) 




F(x, y) = a;3 + y3 — Saxy = 0, 

also 



F^(x,y)=^Sx^ — Say, 



(2.) I 

(3 ) I ^" "^ ^^' -^^2 = — 3a, 
1 i^22 = 6y- 

Für a: = 0, y = werden 
die drei Gleichungen 

F(x,y) = 0, 

Fi(x,y) = 0, F^(x,y) = 

gleichzeitig befriedigt, folglich ist 
der Nullpunkt ein Doppelpunkt. Um in diesem Doppelpunkte 
die Richtung der Tangenten zu bestimmen, setzt man die 
Werthe von JJi, jFJ2? ^2 üi die Formel Nr. 147 der Tabelle ein. 
Dies giebt 



' <^y ^^^^ -Fn± Y^n'-FnF,^ 



(4.) 



i 



dx 



22 



_ Sa ± Yda^ — Sßxy 
"" x=o 6y 



Nimmt man in dieser Gleichung das obere Zeichen und 
setzt a: = 0, y = 0, so erhMt man 

(4a.) tg«! = 00 . 

Nimmt man dagegen das untere Zeichen, so erhält tga zu- 
nächst die unbestimmte Form — • Um den Grenzwerth dieses 

unbestimmten Ausdrucks zu erhalten, multiplicire man Zähler 

und Nenner des Bruches mit a + Yä^ — 4ay. Dadurch erhält 
man 

"""" 2x 



oder 
(5.) 



= 0, 



«, = 90», «2 = 0«, 



§ 120. TJebungs-Aufgaben. 513 

d. h. ,dte beiden Coordinaten - Axen sind Tangenten in dem 
Doppelpunkte der Curve, 

Aufgabe 2. Man soll beweisen, dass bei der Lemniscate der 
Nullpunkt ein Doppelpunkt ist, und soll die Richtung der beiden 
Tangenten in diesem Punkte bestimmen. (Vergl. Fig. 137.) 

Auflösung. Hier ist 

(6.) ' F{x, y) = x^ + 2a:2y2 + y4 _ 0^2^:2 + «2^2^^ o, 

also 

(7.) F,{x,y) = ^^+^xy^—2a% F^(x,y) = ^h/+^y^+2a^, 

(8.) I^ii = 12^^+4y2— 2«^ i^i2 = 8^, 1^22 = 4^:2+ 12y2+2a2. 

Für x = Oj y = werden 
die drei Gleichungen 

E,(x,y) = 

gleichzeitig befriedigt, folglich 
ist der Nullpunkt ein Doppel- 
punkt. Um die Richtung der 
beiden Tangenten in diesem 
Punkte zu bestimmen, beachte man, dass für x^=0, y = 

(9.) F,, = — 2a2, F,2 = 0, F^^ = + 2a2 

wird. Dies giebt nach Formel Nr. 147 der Tabelle 

(10.) ^=tg« = ^^i±Jffl!Em? = ±i, 

dx x'22 

also 

(11.) «, = + 45«, «2 = — 45«, 

d. h. die beiden Tangenten im Nullpunkte halbiren die Winkel, 
welche die Coordinaten-Axen mit einander bilden. 

Durch fortgesetzte Diflferentiation der Gleichung 

JPl(^,y) = 

erhalt man der Reihe nach unter Anwendung der symbolischen 
Bezeichnungsweise die Gleichungen 

^^^•^ dx ^ dy dx- ^' 

Stegexnann-Kiepert, Differential-Recliimng. 3a 




514 § 120. Uebungs-Aufgaben. 

...x /dF dFdyf> / d^F d^Fdy\d^ dFdh/_ 

Bei einfachen Curvenpunkten findet man 

aus Gleichung (12.) die Grösse ^9 

r n (13.) „ „ ^5? 

ist aber der Punkt ein Doppelpunkt, so wird 
SF _ , V ^ dF _ , . 

dann redudren sich die Gleichungen (13.) und (14.) auf 

^^*^' \^ "^ dy dx) ^ \dxdy "*■ dy^ di)d^~^' 
oder 

(Üb.) p.,+8i^,,,|+8i^,,,(|y+i^,,,(iy 



+ 






Da die Gleichung (12.) zur Berechnung von ^ ülusorisch 

wird, liefert die Gleichung (13a.) die beiden Werthe dieser 
Grösse, und aus der Gleichung (14 a.) findet man dann die zu- 
gehörigen Werthe von ^• 

Für die Lemniscate wird z. B. 
(15.) -Fui = 24:c, l^m = 8y, 1^22 = 8^, 1^222 = 24y, 
Ausdrucke, welche für a: = 0, y = sämmtlich verschwinden. 
Mit Bäcksicht auf die Gleichungen (9.) und (10.) geht daher ia 
diesem Falle die Gleichung (14 b.) über in 



§ 121. Mehrfache Punkte. 515 

(16.) 3(0 + a^|)g = 0, oder ±3«Ä = o. 

Die Werthe von ^ sind also beide gleich Null. Daraus 

folgt, dass die beiden Curvenztoeige der Lemniscate, welche sich 
in ihrem Doppelpunkte schneiden, gleichzeitig Wendepunkte sind. 
(Vergl. Fig. 137.) 



§ 121. 

Mehrfache Punkte. 

(Vergl. die Formel-TabeUe Nr. 148.) 

Wenn für ein Werthepaar x, y nicht nur die Gleichungen 
befriedigt werden, sondern ausserdem auch noch die Gleichungen 

so ist es nicht mehr möglich, die Werthe von ^ nach den An- 
gaben der Formel Nr. 147 der Tabelle zu berechnen; dann 
reducirt sich aber die allgemein geltende Gleichung 

m /gj^, dFdy^^) /d^F d^Fdy\dh, dFdh,_ 
^ ^^ \dx ■*■ dy dx) ■*■ \dxdy "^ öy^ dx) dx'^ "^ dy dx^ " 
auf 

oder 

(2a.) P,, + 3i^., I + 3P.,,(|y + p,,,(|y = 0. 

Diese Gleichung ist in Bezug auf -j- vom dritten Grade 

und liefert daher drei Werthe dieser Grösse. In dem zugehörigen 

Curvenpunkte giebt es daher drei Tangenten der Curve, woraus 

man schliessen kann, dass drei Aeste der Curve durch diesen 

Punkt hindurchgehen. 

Ein solcher Curvenpunkt heisst daher ein dreifacher Punkt 

der Curve. 

33* 



516 § 121. Mehrfache Punkte. 

Sind auch die driäen partielleii Ableitungen von F{x^y^ 
sämmtlich gleich Null, so kann man auch aus der Gleichung 

(2a.) noch nicht die Grösse —^ berechnen; dann gilt aber, wie 

man durch nochmalige Differentiation der Gleichung (1.) erkennt, 
die Gleichung 

welche vier Werthe von •— liefert. Der betrachtete Punkt ist 

ax 

dann ein vierfacher Punkt der Curve, denn es giebt in diesem 

Punkte vier Tangenten an die vier verschiedenen Zweige der 

Curve, welche durch diesen Punkt hindurchgehen. 

In dieser Weise kann man fortfahren und kommt schliess- 
lich zu dem folgenden Resultate: 

Sind die ri^ partiellen Ableitungen van F(x, y) die ersten^ 
welche nicht sämmtlich verschmnden j so findet man aas der 
Gleichung 

n Werthe von -^j denen n Tangenten in dem betrachteten Punkte 

an n verschiedene Zweige der Curve entsprechen. Der Punkt 
heisst dann ein n-f acher Punkt der Curve. 

Beispiel. 

Es sei 

(5.) F{x, y) = {x^ + y2)3 _ y(y2 _ 3^2) = 

die Gleichung der Curve, dann wird 

F{x, y) = a;6 + 3^V + ^Y + y^ — y^ + ^% 
j j; = 6:r^ + lary + 6icy4 + 6:cy, 
* *^ l i^2 = 6^V + 12Ä:2y3 + 6y& — 3y2 + Zx'^, 

i F^^ == 30a:* + 36rc2y2 + ßy* + ^y, 
(7.) I Fn = 24a:3y + 24a:y3 _|. g^^ 



li^22 = 



^x^ + 36a:V + 30y* — 6y, 



§ 122. Spitzen oder Rückkehrpunkte. 
JJn = 120^» + 72^2, F,,^ = 12xhf + 24y3 + 6, 



517 



(8.) P"^ = 

1 -^122 = 24a:3 + ^2xy\ 

Für a: = 0, y = werden 
die 6 Gleichungen 

jF= 0, -Fl = 0, Ji = 0, 

befriedigt, folglieh ist der Null- 
punkt em dreifacher Punkt, in 
welchem man die Sichtung der 
drei Tangenten aus Gleichung 
(2.) findet, indem man 

■^111 = 0, -F112 = ö, 
einsetzt. Dies giebt 



i^222 = 72a:2y+120y3_6. 



(8 a.) 




•«S-<S)'=». 



oder, wenn man die drei Wurzeln dieser Gleichung mit tgcci, 
tga2, tgaj bezeichnet, 

(9.) tga, =0, tga2 = +V3; tga3 = — >/3, 

(10.) at=0^ «2 = 60^ 03 = 120«. 

(Vergl. Fig. 138.) 



§ 122. 

Spitzen oder Rückkehrpunkte. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 149.) 

In Formel Nr. 147 der Tabelle, nämlich in der Gleichung 

dx 2^2 

welche die Richtung der beiden Tangenten in einem Doppel- 
punkte lieferte, kann es vorkommen, dass 

(2.) j;2^-j;, 1^22 = 

wird. Dann sind die beiden Werthe von -j- einander gleich^ 



(10 



518 § 122. Spitzen oder Rückkehrpunkte. 

d. h. die beiden Tangenten fallen in eine zusammen. Durch 
den betrachteten Paukt gehen daher zwei Zweige der Corve, 
die sich gegenseitig berühren. Hierbei werden im Allgemeinen 
die beiden Cnrvenzweige nur auf der einen Seite des betrachteten 
Punktes reell sein, während sie auf der anderen Seite imaginär 
werden. Ist z. B. 

(3.) y = sp(^) ± (^— ö) VvK^ 

wobei ^{x) und rp{x) rationale Functionen sein mögen, die für 
x^a nicht unendlich gross werden, so ist 

(4.) # = 9'{x) ± 2V>(^) + {^n-). 

äx 2y\}){x) 

Aus Gleidumg (3.) findet man andererseits durdi Fort- 
schafüing des Wurzelzeichens 

(5.) F{x, y)=[y-(p (x)]^ -(x- a)hf, (x) = 0, 

/ß ) mx,y) = —2\ff—(p{x)]q>'(x)—2(x—a)tp(x)—ix—a)hpXx), 

\F^{x,y)= + 2[y-q>{x)l 

(F,, = + 2q>'{xf — 2[y — 5P(ar)]5P"(a;) - 2^t>{x) 
(7.) ) —Hx — a)rf,'(x) — (x-a)^tp"ix), 

\Fi^ = — 2g>'(x), Pj2= + 2. 

Deshalb erhSlt man &t x = a 
(8.) y^9ia), F{x,y) = 0, F,(x,y)=zO, Fi(x,y) = 0; 
(9.) F,i = 2g>'{ay — 2tp{ä), Fi^ = — 2(p' (a), F^= + 2. 

Ans den Gleichung^ (8.) folgt, dass der Punkt mit den 
Coordinaten x^a, y = g)(a) ein Doppelpunkt ist, und ans den 
Gleichungen (9.) ergiebt sidi, dass für diesen Doppelpunkt 

(10.) tg« = I = -F..±y^^-FnF ^. = ^,(,) ± yi^). 

Dasselbe Resultat findet man noch leichter aus Gleichung (4.). 

Wenn sich nun der Factor x — a von der Function tfß(x) 
absondern lässt, so dass für :r == a 

(11.) F,^^ — F,, i^22 = 4V^(«) = 

wird, so fallen die beiden Tangenten im Doppelpunkte der Curve 

in eine zusammen, und die Curve selbst hat in dem Doppelpunkte 



§ 122. Spitzen oder Rückkelirpunkte. 519 

eine Spitze, wenn xff(x) mit x — a zugleich das Vorzeichen 
wechselt. Wird z. B. 

\p{x)>0 &Lr x<a und ilj(x)<0 ^ x>a, 

wobei (vom Vorzeichen abgesehen) nur hinreichend kleine Werthe 
von X — a in Betracht kommen sollen, so sind die beiden Werthe 

von y und von -~ nur dann reell, wenn x^a ist; sie werden 

imaginär, wemi x>a ist. Wird dagegen 

ifß(x)<0 t&r x<a und ifj(x)>0 tiir x>a, 

so sind die beiden Werthe Y(m y und von ^ nur dann reell, 



wenn x^a ist; sie werden imaginär fm x<a. 

Die beiden Curvenzweige haben daher in dem Doppelpunkte 
dieselbe Tangente und endigen in diesem Punkte, so dass der 
eine Curvenzweig als die Fortsetzung des anderen betrachtet 
werden muss. Ein solcher Punkt heisst demgemäss eine Spitze 
oder ein Rückkehrpunkt der Curve, und die zugehörige Tangente 
heisst Rückkehrtangente. 

Eine Spitze ist gewissermassen der Uebergang von einem 
eigentlichen Doppelpunkte zu einem isolirten Punkt«, ebenso wie 
eine quadratisdie Gleichung mit zwei gleichen Wurzehi den 
Uebergang bildet von einer quadratischen Gleichung mit zwei 
reellen Wurzeln zu einer mit zwei imaginären Wurzeln. 

So liefert das in § 119 gewählte Beispiel 

F{x,y)^y^ — {x — ay{x — h)=^0 

einen eigentlichen Doppelpunkt^ wenn a> J, einen isoUrten Punkt, 
wenn a<b, und eine Spitze, wenn a = J ist. In der That, 
dann wird 

(12.) F{x, y) = y2 _ (^ _ af, 

(13.) F,{x,y) = — Hx-ay, F^{x,y) = 2y, 

(14.) JJi= — 6(^ — a), J;2 = 0, i^22 = 2, 

folglich ist für ;i: = a, y = 

(15.) Fix,y)^0, F,{x,y)=:0, F^{x,y)^0 

und 

(16.) i^i2^--Fiii^22 = 0. 



520 



§ 122. Spitzen oder Rückkehrpunkte. 



Hier kann die Gleichung der Curve auch in der Form 
(17.) y = ±(x — ä) Yx — a 

Fig. 139. geschrieben werden; dies giebt dann 




(18.) 



dx — 2 ^ 



a. 



und man erkennt, dass y nur reell 
ist, wenn x^a^ und dass far x = a 
die beiden Tangenten der Curve mit 
der X-Axe zusanmienfellen. Der 
Punkt S mit den Coordinaten a; = a, 
y = ist daher eine Spitze der 
Curve. (Vergl. Fig. 139.) 

Andere Beispiele für das Auftreten von Spitzen liefern die 
Eptcykhiden und HypocyMoiden ^ ^insbesondere die Cardioide 
und die Astroide; femer die Evoluten oder Krümmungsmittel' 
punktS'Curven, 

Gewöhnlich wird von den beiden Zweigen einer Curve, 
welche in einer Spitze zusammentreffen, der eine nach oben 
concav und der andere nach oben convex sein, so dass die ge- 
meinsame Tangente ztoischen beiden hegt, wie z. B. bei der 
Evolute der Parabel (Fig. 106 auf Seite 400), der Ellipse (Fig. 
107 auf Seite 401) und der Hyperbel (Fig. 108 auf Seite 402). 
Diese Spitzen nennt man Spitzen erster Art. Es können aber 
auch die beiden Zweige, welche in einer Spitze zusammen- 
treffen, auf derselben Seite der gemeinsamen Tangente liegen. 
Es sei z. B. 

(19.) y = x^± x^, 

oder 

(19a.) F{x, y)=:y^ — 2xhf + a:* — a;^ = 0. 

Hier wird 
(20.) F^ {x, y) = — 4rcy + 4a;3 — bx\ F^ {x, y) = 2y — 2x\ 
(21.) JJi = _ 4y + 12a;2 — 20^:^, F^^ = — 4a:, F^^ = 2. 

Für a: = 0, y = verschwinden F{x^ y), F^ (a:, y), F>^{x^ y),- 
folglich ist der Nullpunkt ein Doppelpunkt Dabei wird 



(22.) 



tg 



§ 122. Spitzen oder Bückkehrpunkte. 
dx F22 ' 



521 



d. h. die Tangenten an die beiden Curvenzweige in diesem 
Doppelpunkte fallen mit der X-Axe zusammen. Deshalb hat die 
Gurve in diesem Doppelpunkte eine Spitze. Dass der Nullpunkt 
wirklich eine Spitze ist, erkennt man aus Gleichung (19.), weil 
y imaginär ist, sobald x negativ wird. 
Femer folgt aus Gleichung (19.) 



(23.) 



dy__ 
dx 



= 2x-\- ^x^i 



5 
2 



3 






Fig. 140. 



Das doppelte Vorzeichen in den Gleichungen (19.) und (23.) 
entspricht dem Umstände, dass jedem Werthe von x zwei Werthe 
von y, also auch zwei Punkte der Curve zugeordnet sind. 

Im Nullpunkte fallen diese 
beiden Punkte zusammen und 
gleichzeitig auch die beiden Tan- 
genten. So lange a; < l ist, liegen 
auch beide Zweige der Curve über 
dieser gemeinsamen Tangente, 
nämlich über der X-Axe, weil 
beide Werthe von y positiv sind. 
Für kleine Werthe von x, d. h. 

64 
für x<^r^ werden sogar beide 



225 




dh/ 



Werthe von -r^ positiv , d. h. beide Zweige der Curve sind in 

der Nähe der Spitze nach oben concav; erst für 

64 . , dV 15, y- 

4 



X = 



225 



^^ S = 2-^y^ = o, 



d. h. der untere Curvenzweig hat in dem zugehörigen Punkte 
einen Wendepunkt W, in dem er sich von der Concavität zur 
Convexität wendet. 

Eine solche Spitze nennt man eine Spitze zweiter Art oder 
Schnabel- Spitze. (Vergl. Fig. 140.) 



XV. Abschnitt. 

Herleitnng und Anwendnngen der Taylor'schen 
Reihe für Functionen Yon mehreren 

Yeränderlichen. 

§ 123. 

Die Taylor'sche Reihe für Functionen von melireren 

Verändeiiiclien. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 150.) 

Es sei 

(1.) ^ =/(^, y) 

eine Function von zwei Veränderlichen, dann kann man 
fix + Ä, y + A) in ähnlicher Weise nach Potenzen von h und k 
entwickln, wie früher (§ 30 und 31) f{x + h) nach Potenzen 
von Ä entwickelt wurde. 

Man findet diese Entwickelung sehr leicht, indem man zunächst 

ht statt Ä, kt statt k 

schreibt und f{x + ht^y + kt) nach Potenzen von t entwickelt. 
Dies geschieht nach der ilf a<; - Xaz^rm'schen Beihe in folgender 
Weise. Man setze 

(2.) x + kt = u, y + kt=v, f(u,v) = F(t\ 

dann wird nach Formel Nr. 51 der Tabelle, wenn man / mit 
F und X mit t vertauscht, 

(S.) m^F{0) + ^F'iO) + ^r\0) + ...+ ^F(-m + E. 

Bei der Bildung von -PCO» ^'(0> • • • ^^^^>ss man beachten, 
dass für diese Rechnung t die einzige Veränderliche ist, während 
x^ y, A, k constant bleiben, dass also 



§ 123. Die Taylor'sche Rdhe. 523 

^ •'' dt -^' dt-" 

wird. Dadurch erhält man nach Formel Nr. 138 der Tabelle 

i.i/j\ «[/(«» ») dfdu dfdv df , , df , 



(5.) 



dt du dt dv dt du "Sv 



-«==^=(i*+f*)' 



h-'(')=^^>=(^*+H' 



Die Formel Nr. 138 der Tabelle ist hier anwendbar, weil 
M und V lineare Functionen von t sind. Fflr < = wird 

folglich ist 

F(Q)=f(x,y), 



(7.) 






/df{x+0ht,y+0kt) df{x+ @ht, y + Q^O A^^+^^ 
\ öa: "^ dy ) ' 

Setzt man diese Werthe in die Gleichung (3.) ein, so er- 
hält man 

(8.) F{t) =/(:r + ht,y + kt) = 



^n\\dx^^ dyV ^ ' 



524 § 123. Die Taylor'sche Reihe. 

wobei 



<»+l 



\\ dx dy ) ' 



Setzt man schliesslich t gleich 1, so geht diese Grleichung 
über in 

(/(.+*,j,+i)-/(..y)4{^4+|*)+^^4+|i)°'+... 

wobei 

^ '^ (»+!)! V dx dy ) ' 

In den vorstehenden Gleichungen ist wieder von der symboli- 
schen Bezeichnnngsweise Gebrauch gemacht, nach welcher z.B. 

(10.) { Vö^ + dy V ^dx^^ + ^dxdy^^ + öj^^ ^ 
l = /ii (^5 y)Ä2 + 2/i2(a:, y)ÄÄ +/22 (a:, y)*^ 

wird. Die Grösse liegt dabei immer zwischen und + 1. 

Diese Art der Entwickelung lässt sich ohne Weiteres auf 
Functionen von drei oder von mehr Veränderlichen übertragen. 
So ist z. B. 

Aus der Tay/or'schen Reihe für Functionen mit mehreren 
Veränderlichen lässt sich dann auch die Mac-Laurtn'scäe Reihe 
herleiten. So braucht man z. B. bei Functionen mit drei Ver- 
änderlichen nur 



§ 124« Homogene Functionen. 525 

x = 0, y = 0, z:= 

ZU setzen und dann 

X statt Ä, y statt i^ z statt / 

zu schreiben, um die Function nach steigenden Potenzen von 
X, y und z zu entwickehi. 

§ 124. 

Homogene Functionen. 

(Vergl. die Fonnel-TabeUe Nr. 151.) 
Eine Ikinction 

(1.) z =/(iri, a:2, . . . Xfi) 

mit n Veränderlichen x^, X2j . , . Xn heisst eine homogene fUnction 
jj^ten Grades^ wenn sie sich durch Multiplicaiian der sämmüichen 
Veränderlichen mit ein und demselben Factor t in sich selbst ver- 
wandelt^ multiplicirt mit der m*^* Potenz dieses Factors, 

Eine homogene Funtion m*^ Grades wird daher erklärt 
durch die Gleichung 

(2.) f(tx^j tX2, ... ton) = ^/(^i, X2,... Xn). 

So ist z. B. 

f{x, y, z) = x^ — 2xh/ + 4y2j2 — 7xyz 
eine homogene Function dritten Grades von x, y, z; 

z^ 2x^ + z^ 

/(^j yj z) = x^ + Sxy + — -i— 

X y 

und 

yx^ — «2 
sind homogene Functionen zweiten Grades von x, y^ z; 

-, V X + y y + g , z + X 

ist eine homogene Function nullten Grades von x, y, z, 

Satz 1. Dividirt man eine homogene Function m**** Grades 
durch die m^ Potenz einer ihrer Veränderlichen j z. B. durch 



526 § 124. Homogene Funcüoiien. 

iCn"*, so wird der Quotient nur von den n — 1 Verhältnissen der 
übrigen Veränderlichen zu dieser einen abhängen ^ d. h. der 
Quotient ist noch eine Function von n — 1 Veränderlichen 

X^ X>2 Xn—l 

9 > • • • 

Xn Xn Xn 

Beweis. Nach Voraussetzung ist 
setzt man in dieser Gleichung t = — ? so erhält man 

(^\ f(Xx,X2^..'Xn-uXn) __ ^/fl. , ^,...£^,l\ 

Xn \^n ^n ^n / 

Satz 2. Aus einer nicht homogenen Rcnction mit n — 1 
Veränderlichen €p(u^, t^,».. Wn— i) kann man eine homogene 
Function m*^ Chrades mit n Veränderlichen machen^ indem man 

X\ X^ Xn — 1 

U^ = -^J ^2 = -^? • • • Un^l = 

Xn Xn Xn 

setzt und die Function mit Xn^ multiplicirt. 

Beweis. Vertauscht man in 

Xi mit tx^y X2 mit tx2,...xn mit txn, so geht Gleichung (4.) 
über in 

t^Xn'^g)(^i ^' • • '^ ) =/(^^l> ^2J • • --^»X 
\Xn Xn Xn / 

folglich wird 

f(tX^, tX2, . . . tXn) = ^/(^l, iC2, . . . a^n). 

Dabei ist der Grad m noch beliebig. Man kaun diesen 
Satz benutzen; um Gleichungen zwischen x, y oder zwischen 
X, y, z homogen zu machen, wodurch ihre Behandlung für 
viele Zwecke bequemer wird. Ist z. B. dje Gleichung 

(5.) 011^:2 + 2ai2xy + a^^y^ + 2aizx + 2a23y + 033 = 

gegeben, so setze man 

X4 Xo 

X = -^? y = — =• 
x^ ^3 



\ 



§ 124, Homogene Functionen. 527 

und multiplicire mit a^\ Dadurch erhält man eine homogene 

Gleichung zweiten Grades mit drei Veränderlichen aj^, arj, x^^ 

nämlich 

(6.) aiia:i2+2ai2a:irc2+ö22a?2^+2ai3a^i 2:3+20235:23:8+0882^8^ = 0. 

Indem man 

x^ = 1, also a:i = a:, X2 = f/ 

setzt, kann man dann jederzeit von den homogenen Gleichungen 
zu den nicht homogenen zurückkehren. 

Satz 3. Die ersten partiellen Ableitungen einer homogenen 
Function m*^*^ Grades sind sämmtlich homogene Functionen 
(m — iy*~ Grades. 

Beweis. Bezeichnet man, wie gewöhnlich, 

so folgt aus der Voraussetzung, nämlich aus der Gleichung 
durch partielle Differentiation nach xa 

JaytXij tX2j • . • *Xn) • t = ^ja\X\^ X^j • • • Xnjy 

oder 

(7.) fa (^Ij iX2,... tXn) = t^'^fa(x^i X^, . . . Xn), 

d. h. fa(x^,x2,...xn) ist eine homogene Function (m — !)*•" 
Grades, wobei a die Werthe 1, 2, . . . n haben dar£ 

In derselben Weise kann man zeigen, dass jede zweite 
partielle Ableitung von einer homogenen Function m^*^ Grades 
eine homogene Function (m — 2)*«'* Grades, allgemein, dass jede 
partielle Ableitung r*«"» Grades eine homogene Function {m — r)**"* 
Grades ist. 

Setzt man 

(8.) toj = Wi, tX2 = U2,..,tXn = fhi, 

SO geht die Gleichung (2.) über in 



528 



§ 124. Homogene Functionen. 



Differentiirt man diese Grleichung, indem man ^ als die ein- 
zige Veränderliche ansieht, so erhält man nach Fonnel Nr. 138 
der Tabelle 

oder für ^ = 1 

y 1 (^1 J -^2^ • • • ^n) • ^1 4" y 2 V*^! J ^2j • • ' •^♦*/ • ^2 "T" • • • 

Dies kann man noch einfacher schreiben, indem man 
setzt; dann erhält man nämlich 



(10.) 



dz , dz dz __ 



Beispiel. 

Es sei 

(11.) 2= aixX^*^+2a^2XiX2+(H2X2'^+2axzXiXz-\-2a2zX^xz+azzXz\ 
und 

dann findet man 



(12.) 



oz ^, , , . 

-^— = 2(aiia;i + «12^:2 + «13^:3), 

ÖXi 



dz 



^— = 2{a2\Xi + a225;2 + «23^3)? 
öx^ 



1x2 
dz 



(13.) l 



-^ = 2(a3ia;i + «32^2 + «33^3); 



X\ TT- + X2 -5— + 0:3 -ä^ = 2X\(axxX\ + «123^2 + <^nXz) 



dxx 



dxi 



dx: 



+ 2X2(021X1 + «22^2 + 023^3) 
+ 2^:3 («31^1 + 032^^2 + 033^3) 

= 2z. 



\ 



§ 124. Homogene Functioiien. 529 

Wenn man beachtet , dass 3— > s— ? • • • 5— wieder homo- 

OX^ 0X2 äXn 

gene Functionen (m — l)*«' Ordnung sind, so folgt aus Gleichung 

dz 
(10.), indem man z mit -5— und m mit m — 1 vertauscht, 

OXa 

Ö2^ Ö2;j _^?5_-/ IN Ö^ 

^^Ö^Tö^ "^""^^ + . . . + ^n-g^^ - (m— 1;^, 

Ö2;2: , dh ^ .02^/ .X ^r 

Multiplicirt man diese Gleichungen bezw. mit x^^ x^^ . ..Xn 
und addirt sie, so erhält man unter Anwendung der symbolischen 
Bezeichnungsweise und mit Rücksicht auf Gleichung (10.) 

In dieser Weise kann man fortfahren und findet 

{lb.)\x^-^ +^2g^+---+^ng£j =?m(7»— l)...(m — r+l);?. 

Durch diese Formeln kann man die Gleichung der Tangente 
einer ebenen Curve und die Gleichung der Tangentialebene einer 
Fläche vereinfachen. 

Es sei z. B. 

(16.) y^fix\ oder i^a:,y) = 

die Gleichung einer Curve »**** Grades, so erhält man nach 
Formel Nr. 95 der Tabelle für die Tangente die Gleichung 

oder 

(17.) F,{x,y){x* -x) + F2{x,y){y' -y)^(i. 

Macht man jetzt aber die Gleichungen (16.) und (17.) 
homogen, indem man 

Stegemann -Kiepert, Differential - Bechnnng. *^ 



530 § 124. Homogene Functionen. 

^ ' ^ ^ ^ ^ 

setzt und beide Gleichungen mk x^^ multiplicirt, so gehen die- 
selben über in 

(19.) ^"^~-' ^) = ^(^i' ^^' ^) = ^' 

(20.) (?i (ar'i — rrO + Q^ {x\ — x^ = 0. 

Nun ist aber nach Grleichung (10.) 
(21.) ffj ÄTi + »2^ + G^3^3 = nO(x^, X2, x^) = 0, 

folglich erhält man durch Addition der Gleichungen (20.) und 
(21.) für die Tangente die Gleichung 

(22.) G^X\ + G2«'2 + »3^3 = 0. 

Indem man zum Schlüsse 

x^ = 1, also xi = Xj X2 = y, x\ = a;', ic'2 = y* 
setzt, gehen 

»(arijiCj, a^a), G^, G^ 

bezw. in 

l^(a:, y), J;, 2^2 

über. Diese Form für die Gleichung der Tangente ist ein£a^her 
als die bisher benutzte, denn die Gleichung (17.) ist in Bezug 
auf X und y vom n*^ Grade, während die Gleichung (22.) nur 
vom {n — 1)^^ Grade ist. 

Beispiel. 

Macht man die Gleichung der Ellipse homogen, so er- 
hält man 
(23.) G{x^, X2J x^) = b^x^^ + a^x<^ — a^b^x^^ = 0, 

folglich wird 

(24.) (?i = ib^x^ , (?2 = 2a^ , G3 = — ^a^b'^x^ , 

so dass man fär die Tangente die Gleichung 

(25.) b^x^x\ + a^x^x^ — aVflx^^ = 

findet, die für a^ = 1 in 

(25 a.) b'^xx' + ahfyt — a^b^ = 

übergeht. 



§ 124. Homogene Functionen. 531 

Man erkennt, dass das hier allgemein erläuterte Verfahren 
bei den in § 81 behandelten Aufgaben bereits Anwendung ge- 
funden hat. 

Ist 

(26.) F{x,y,z)^0 

die Gleichung einer Fläche n*^ Grades, so hat nach Formel 
Nr. 145 die Tangentialebene im Flächenpunkte P die Gleichung 

(27.) F, {x' — x)-\- F^iy^ —y) + F,(z^ — z) = 0. 

Macht man die Gleichungen (26.) und (27.) homogen, 
indem man 

Xa Xn Ä?q - X*4 , X*ci , X\ 

x^ "^ x^ x^ x^ "" x^ x^ 

setzt und beide Gleichungen mit x^"^ multiplicirt , so gehen die- 
selben über in 

(26a.) x,^f(% % J) = G{x,, x^, x,, ^4) = 0, 

(27a.) Gl {x\ — x^) + G^ {x^^ — x^) + G^(x'^ — x^) = 0. 

Nun ist aber nach Gleichung (10.) 

(28.) G^x^ + G2X2 + G^x^ + G^x^ = nG{x^, X2, x^, x^) = 0, 

folglich erhält man durch Addition der Gleichungen (27 a.) und 
(28.) für die Tangentialebene die Gleichung 

(29.) G^x\ + G^x\ + G^x\ -f G^x^ = 0. 

Indem man zum Schlüsse 

x^ = 1, also a?! = :r, a:2 = y, ^«^ = «, 

x\ = a;', x\ = y', x\ = z* 

setzt, gehen 

bezw» in 

F{x, y, z\ F^, F^, F3 

über. Diese Form für die Gleichung der Tangentialebene ist 

einfacher als die bisher benutzte, denn die Gleichung (27.) ist 

in Bezug auf a:, y, z vom rf^ Grade, während die Gleichung 

(29.) nur noch vom (n — l)*««* Grade ist. 

34* 



532 § 125. Maxima und Minima. 

Beispiel. 

Macht man die Gleichung des Ellipsoids 

f! + y! + £!_i = o 

«2 -t- j2 -1- ^2 ^ " 



2 ^2 ^«2 



homogen , so erhält man 

(30.) 0{x,,x^,x,,x,) = ^ + y + ^- V = 0, 
folglich wird 

(31.) Gi = 5-. Ö2 = ^' ©3 = ^ G, = -2x„ 
SO dass man für die Tangentialebene die Gleichung 
(32.) f^ + ?^+^_.,2 = o 

findet, die für 3:4 = 1 in 

xx' vv* zz* 

Übergeht. 

Man erkennt, dass auch diese Vereinfachung bereits in 
§116 zur Anwendung gekommen ist. 

§ 125. 

Maxima und Minima der Functionen von zwei 

Verändeiiichen. 

(Vergl. die Formel -Tabelle Nr. 152.) 

Es sei 

(1.) ^ =/(^, y) 

eine stetige Function der beiden von einander unabhängigen 
Veränderlichen x und y; man nennt dann z ein Maximum^ wenn 

wird fttr hinreichend kleine, im üebrigen aber beliebige, positive 
oder negative Werthe von h und k. Dagegen nennt man z ein 
Minimum^ wenn 

wird. Um die Werthe von x und y zu bestunmen, für welche 
z ein Maximum oder Minimum wird, muss man also untersuchen, 
für welche Werthe von x und y die Differenz 



§ 125. Maxima und Minima. 533 

(2.) J =f{x + Ä, y + *) — /(^, y) 

beständig negatk^ bezw. beständig positiv ist. 

Zu diesem Zwecke entwickelt man // mit Hülfe des Taylor'- 
sehen Lehrsatzes nach steigenden Potenzen von h und *, wobei 
vorausgesetzt wird , dass f{x, y) und die vorkommenden Ablei- 
tungen davon für die betrachteten Werthe von a: und y stetig 
und endlich sind. Dann erhält man nach Formel Nr. 150 der 
Tabelle. 

(3.) /(^ + Ä, y + *)=/(^,y)+(§^Ä + ^A)+Ä, 
wobei 

(4.) Ä = 2TV di ^ 9^ / 

mit h und k zugleich unendlich klein wird von der zweiten 
Ordnung und deshalb mit [A, k\ bezeichnet werden möge. Aus 
Gleichung (3.) folgt daher 

(5.) ^ =/iÄ +/2A + [h, k\. 

Ist /i von Null verschieden, so kann man A = und h so 
klein machen, dass die Glieder der zweiten Dimension [ä, ÄJ2 
ihrem absoluten Betrage nach kleiner werden als/jA, so dass J 
dasselbe Vorzeichen hat wie fxh. Deshalb wechselt aber J mit 
h zugleich das Zeichen, ist also weder beständig negativ y noch 
beständig positiv. Daraus folgt, dass f(x, y) nur dann ein Maxi- 
mum oder MiniTTf inTTi werden kann, wenn 

(6.) /i ix, y) = 

ist. Die Nothwendigkeit dieser Bedingung erkennt man schon 
daraus, dass f{x, y) ein Maximum bezw. ein Minimum bleiben 
muss, wenn man y als unveränderlich, also :r als die einzige Ver- 
änderliche betrachtet. Wie nun f{x) nur flir Werthe von x ein 
Maximum oder Minimum werden konnte, für welche f'{x) = 
wurde (vergl. Formel Nr. 79 der Tabelle), so kann hier/(a:, y) 
nur für Werthe von x und y ein Maximum oder Minimum 
werden, flir welche die Gleichung (6.) befriedigt ist. 

Ebenso kann man jetzt aber auch zeigen, dass 

(7.) /2(^,y) = o 



534 § 125. Maxima und Minima. 

sein muss. Aus den Gleichungen (6.) und (7.) findet man dann 
die Werthe von x und y, fär welche möglicher Weise ein 
Maximum oder Minimum von/(a:, y) eintritt. 

Ob für die so geftmdenen Werthepaare von x und y wirk- 
lich ein Maximum oder MiniTnimri eintritt, darüber entscheidet 
in vielen Fällen schon der Charakter der Angabe, wie das fol- 
gende Beispiel zeigen möge. 

Aufgabe. In der Ebene seien beliebig viele Punkte Pi, 
P2? • • • -Pn mit den Coordinaten x^^y^\ x^^y^\>.. iCn, y^ gegeben; 
ihre Massen seien bezw. Jfi, Mi^ ^ . ,Mn\ man soll die Coordinaten 
eines Punktes P finden, so dass die Summe 



M^ . PP^ + Jf 2 . PP2 + . . + Jf „ . PPn 

ein Minimum wird. 



(8.) |/(^'y)=^iK- 

also 

l/2(^,y) = 2J/,(y-yO 



Auflösung. Hier ist die Function, welche ein Minimum 
werden soU, 

+ 3f„[(^ — ^n)2 + (y — yn)2], 
also 

+ 23/20-^2) + ... + 2itfn(y—yn). 

Indem man 

/i(^,y) = und /2(^,y) = 
setzt, findet man 

(!() ) , "" "" ü/i + 3^2 + . . . + ^n ' 

Jfiyi + M^y^ + . . . + Mnyn 
y M^ + M^^- ... + Mn 

Da bei dieser Angabe sicher ein Punkt vorhanden ist, 
welcher die Eigenschaft des Minimums besitzt, und da man nur 
ein einziges Werthepaar von x und y findet, fär welches die 
beiden nothwendigen Bedingungen erAillt sind, so muss dieses 
Werthepaar das Minimum liefern. 



§ 125. Maxima und Minima. 535 

So einfach ist aber die Entscheidung im Allgemeinen nicht. 
Dagegen findet man für alle Fälle die folgenden Regeln. 

Sind die Bedingungsgleichnngen (6.) und (7.) befriedigt, so 
findet man durch die Entwickelung nach der Tayfor'schen Reihe 

(11.) ^ = ^ (/iiÄ2 + 2/i2M +/22*2) + [Ä, kl, 

wobei der Rest 

n2^ E^ 1 / df(x+0A,y+@k) ^ df{x+0h,y+0k) ^\') 
^ '^ 3! \ dx dy ) 

mit [Ä, ÄJ3 bezeichnet worden ist, weil er mit h und k zugleich 
unendlich kleiu von der dnttm Ordnung wird. Setzt man 

(13.) /u Ä2 + 2/12 hk + /22 ^2 = 9) (Ä, k) , 

so ist die Entscheidung darüber, ob f{x, y) für die gefundenen 
Werthe von x und y ein Maximum oder Minimum wird, darauf 
zurückgeführt, ob die homogene Function zweiten Grades 9>{h,k) 
beständig negativ^ oder ob sie beständig positiv ist. Wenn näm- 
lich y(Ä, k) beständig positiv oder beständig negativ ist, so kann 
man die Werthe von h und k so kleiu machen, dass in dem 
Ausdrucke für // die Summe der Glieder zweiter Dimension, 
d. h. iy(^>*)> grösser ist als die Summe der Glieder dritter 
Dimension [A, k\. Ist also (p (h, k) beständig negativ, so ist dann 
auch J beständig negativ, und f(x, y) wird ein Maximum-, ist 
dagegen (p{h,k) beständig positiv^ so ist auch // flir hinreichend 
kleine Werthe von h und k beständig positiv, und f(x, y) wird 
ein Minimum. Kann aber <p{h,k) positive und negative W&r^% 
annehmen, so wird f{x, y) weder ein Maximum noch ein Minimum. 

Die homogene Function zweiten Grades (p{h,k) heisst eine 
deßnite Form, wenn sie für alle Werthe von h und k, die nicht 
beide gleich Null sind, entweder beständig positiv oder beständig 
negativ ist. 

Um darüber zu entscheiden, ob (p{h,k) eine deßnite Form 
ist, bilde man 

ip{h,k) ./h -= f ii'' h'^ + 2fn f, , Ak +f, 2^ k^ + (/nf 22 -/i22)/t2; 
dies giebt 

(14.) 9)(Ä, k) = i- [(/,,Ä +fnky + (/n/22 -AüWl- 



586 § 125. Maxima und Minima. 

Damit dieser Ausdnick für ^ = positiv ist, muss zunächst 
(15.) /ii > 

sein; damit femer gt(h^ k) auch positiv ist, wenn man 

/iiÄ+/i2*==0, oder * = — 4^ 

setzt, muss ausserdem 

(16.) /11/22— /i22>0 

seiQ. Diese beiden Bedingungen (15.) und (16.) sind nothwendig, 
sie sind aber auch hinreichend \ denn wie man auch h und k 
bestimmen mag, 9)(A, k) ist dann immer positiv^ so lange h und 
k nicht beide gleich Null sind. In diesem Falle wird f{x^ y) 
ein Minimum. Ebenso findet man, dass 9>{h,k) beständig ne- 
gativ ist, wenn 

(17.) /u<0 und /ii/22— /i22>0 

ist, und zwar sind auch hier dies die nothtoendigen und hifi- 
reichenden Bedingungen. In diesem FaUe wird f{x^y) ein 
Minimum, 

Ist dagegen 
(18.) /ii/22 — /i22< 0, 

so ist 9>(h,k) keine deßnüe Form, JXnä f(x,g) wird weder ein 
Maximum noch ein Minimum, denn for A; = hat g>{h,k) 

gleiches Vorzeich«! mit /n, fiir A = — -^^ aber sind die Vor- 

/12 

zeichen von 9{h,k) und/n ungleich. 

Ist endlich 
(19.) /ii/22— /i22 = 0, 

so wird nach Gleichung (14.) 

(20.) y (Ä, A) = i- (/iiÄ +fi2ky 

immer dasselbe Vorzeichen haben wie/n; nur in dem Falle, wo 

(21.) /iiÄ+/i2/fe = 0, oder k=z—^ 

/12 

ist, wird ^{h,k) = und kann deshalb nicht mehr über das 

Vorzeichen von J entscheiden. Für diesen besonderen Werth 



§ 125. Maxima und Minima. 537 

von k muss also noch das Vorzeichen von J untersucht werden, 
indem man 

J^f(x + h,y -f^-f{x, y) 

nach steigenden Potenzen von h entwickelt. Da man es hierbei 
nur mit einer einzigen Veränderlichen h zu thun hat, so ist 
diese Entwickelung verhältnissmässig einfach und beginnt mit 

denn unter den gemachten Voraussetzungen verschwinden die 
Glieder erster und zweiter Dimension. 

Der weitere Verlauf der Untersuchung ist dann in ähnlicher 
Weise zu fuhren wie bei Functionen mit einer Veränderlichen. 
Ist nämlich C^<0, so wechselt J mit h das Vorzeichen, so 
dass weder ein Maximum noch ein Minimum eintreten kann, 
Ist aber (7=0, so tritt ein Minimum ein, wenn /u und B 
beide positiv sind, ein Maximum^ wenn fn und D beide negativ 
sind. Haben aber/n und D verschiedenes Vorzeichen, so tritt 
weder ein Maximum noch ein Minimum ein. 

Ist endlich auch D gleich Null, so muss man in ähnlicher 
Weise die folgenden Glieder der Reihenentwickelung untersuchen. 

Die vorstehenden Umformungen sind unter der Voraus- 
setzung durchgeführt worden, dass /n < ist. Fällt diese Vor- 
aussetzung fort, so wird im Allgemeinen weder ein Maximum 
noch ein Minimum eintreten. 

Ist nämlich 
(22.) /ii = 0, /laSO, /22<0, 

so wird 

i (p{h,k)^2fnhk+f^2k^ 
(23.) \ 1 , 

l /22 

Für Ä = hat daher y (A, k) mit f^ gleiches Vorzeichen 

fiir Ä = — "~— dagegen sind die Vorzeichen von 9>(hj k) und 
yi2 

^22 ungleich. 



538 § 125. Maxima und Minima. 

Ist ferner 

(24.) /n = 0, /,2§0, /22 = 0, 

SO wechselt 

(25.) (p{h,k) — 2fnhk 

mit h (und ebenso mit k) das Vorzeichen. Wenn also die Vor- 
aussetzungen (22.) oder (24.) gelten, kann weder ein Maximum 
noch ein Minimum eintreten. 

Der Fall . 

(26.) /uSO, /i2 = 0, /22=0, ' 

giebt 

/11/22 — /i22 = 

und ist schon oben ausführlich behandelt worden. 

In ähnlicher Weise, indem man nämlich die Indices 1 und 
2 mit einander vertauscht, kann man den Fall 

(27.) /ii = 0, /i2 = 0, /22SO 

untersuchen. 

Es bleibt daher nur noch der Fall übrig, wo 

(28.) /l1 = 0, /l2=0, /22 = 

ist Dann wird 

oder 

(29.) 6^ =/,iiÄ3 + 3/112*2* + 3/mAA2 +f^k^ + 6[Ä, k]^. 
Damit J beständig dasselbe Vorzeichen hat, muss zunächst 

(30.) /lll = 0, /il2=0, /i22 = 0, /222 = 

sein. Sind diese 4 Bedingungen nicht aUe erfüllt, so tritt also 
weder ein Maximum noch ein Minimum ein. 

Sind sie aber erfüllt, so muss man noch untersuchen, ob 

(-J- * + -^ *) beständig dasselbe Vorzeichen hat. Diese Unter- - 

suchung, die übrigens nur in äusserst seltenen Fällen erforder- 
lich sein wird, ist so schwierig, dass sie hier übergangen 
werden muss. 

Im Allgemeinen wird man schon mit der folgenden Regel 
auskommen: 



■\ 



§ 126. Geometrische Deutung. 539 

z =^f{x^ y) wird ein Minimum^ wenn 

(3iO/i(^,y) = o, /2(^,y) = o, /ii>o, /11/22 — /is^ > o ; 

und z '=-f{x^ y) wird ein Maximum^ wenn 

(32.)/i(^,y) = 0, /2(^,y) = 0, /ii<0, /11/22— /i22>0; 

dagegen wird z =zf{x^ y) weder ein Maximum noch ein Minimum, 
wenn zwar 

(33.) /i (x, y) = 0, /2 {x, y) = 0, aber f,,f^^ — /la^ < 0. 

Die Voraussetzungen, dass f{x, y) mit den hier auftretenden 
partiellen Ableitungen stetig' mA endlich sei, hätte man noch 
etwas einschränken können, indem man für den Eest der 
Tay/oj^'schen Eeihe (in ähnlicher Weise wie bei den Functionen 
von einer Veränderlichen) eine andere Form eingeführt hätte. 



§ 126. 

Geometrische Deutung der vorhergehenden Unter- 
suchungen.^) 

Die vorstehenden Untersuchungen werden anschaulich, wenn 
man 

(1-) ^ =/(^j y) 

als Gleichung einer Fläche aufifasst. Nach Formel Nr. 145 der 
Tabelle hat dann die Tangentialebene im Flächenpunkte P mit 
den Coordinaten x, y, z die Gleichung 

(2.) ,^_^=:^(;,'_^) + |(y'_y). 

Sind nun die Bedingungen 
erfallt, so reducirt sich die Gleichung (2.) auf 

(4.) z* — z = ^, 



^) Der Leser, welcher mit der analytischen Geometrie des Baumes 
noch nicht vertraut ist, kann diesen Paragraphen überschlagen, ohne 
dass der Zusammenhang gestört wird. 



540 § 126. G^metrische Deutong. 

cL h. die Tangefdialebene im Punkte P wird parallel zur X Y- 
Ebene. Setzt man jetzt noch 

(5.) ar' =ss a: + Ä, y* =iy + k^ also Ä = ar' — x, k = y* — y, 

SO kann man die Gleichung der Fläche auf die Form 

(6.) ^ =/(^', yO = ^ + 1 (/ii*' + 2/12M +/«F) + [Ä, k\ 

bringen. Deshalb wird z* — z mit h und k zugleich unendlich 
klein von der zweiten Ordnung. Sind nun h und k wirklich 
beliebig klein und so bestimmt, dass z* — z einen constanten 
Weiüh / beibehält, so ist 

(7.) ' z'—z = l 

die Gleichung einer Ebene, welche der Tangentialebene im Punkte 
P parallel ist und ihr beliebig nahe liegt. Für den Durch- 
schnitt dieser Ebene mit der Mäche findet man aus Gleichung 
(6.), unter Vernachlässigung der beliebig kleinen Grössen dritter 
Ordnung, 
(8.) /iiA2 + 2/ioA>fe +/22*2 = 2/, 

oder 

(8a.) /li {a^ — xf + 2/12 {x' — x){y'— y) +/22 (y' — y)^ = 2/. 

Diese Gleichung stellt einen kleinen Kegelschnitt dar, 
welcher die dem Flächenpunkte P entsprechende „Lidicatrix"^ 
genannt wird; und zwar ist bekanntlich die Curve eine Ellipse, 
wenn 

(9.) /11/22— /i22>0 

wird. Damit aber diese Ellipse reell ist, müssen fn (und ebenso 
/22) mit / gleiches Zeichen haben. 

Dies entspricht ganz und gar der Anschauung. Ist näm- 
lich der Punkt ein tiefster Punkt, dann muss in Gleichung (7.) 
die Grösse / einen positiven Werth haben, weil die Tangential- 
ebene nur bei einer kleinen Parallelverschiebui^ nach oben die 
Fläche in einer kleinen ellipsenartigen Curve schneiden kann, 
d. h. es müssen die Bedingungen 

(10.) /ii>0 und /,i/22 — /122 > 

befriedigt sein. 



§ 126. Geometrische Deutung. 541 

Ist der Punkt P ein höchster Punkt, so muss in Gleichung 
(7.) die Grösse / einen negativen Werth haben, weil die Tangen- 
tialebene nur bei einer kleinen Parallelverschiebung nach unten 
die Fläche in einer kleinen ellipsenartigen Curve schneiden kann, 
d. h. es müssen die Bedingungen 

(11.) /u<0 und /11/22— /i22>0 

befriedigt werden. In beiden Fällen nennt man den Punkt P 

elliptisch. 

Die Gleichung (8 a.) stellt dagegen eine Hyperbel dar, wenn 

(12.) /ll/22-/i22<0, 

gleichviel, ob / positiv oder negativ ist. Die Schnittcurve der 
Fläche mit jeder Ebene, welche zur Tangentialebene parallel 
ist und ihr sehr nahe liegt, hat dann in der Nähe des Flächen- 
punktes P die Gestalt einer kleinen Hyperbel^ was nur dadurch 
möglich wird, dass die Fläche im Punkte P sattelförmig ist. 
Li diesem Falle nennt man den Punkt P hyperbolisch und 
erkennt, dass P weder ein höchster noch ein tiefster Punkt der 
Fläche sein kann. 

Die dem Flächenpunkte P entsprechende Indicatrix ist 
also eine EUipse^ wenn 

sie ist eine Hyperbel^ wenn 

/11/22 —M < 0. 

Von besonderem Interesse ist der Fall, wo 
(13.) /ii/22 — /122 = 0, oder /n/22=/i22 

wird; dann kann man die Gleichung (8a.) auf die Form 

fn\x* — xf + 2/i,/i2(^' -^)iy'- y) +fi2Hy' — yy = 2fni 

bringen und erhält, indem man auf beiden Seiten dieser Gleichung 
die Quadratwurzel auszieht, 

(14.) Mx' - x) +My' — y) = ± V^ÄI 

Die Indicatrix zerfällt daher in diesem Falle üi zwei pa- 
raUele Gerade. Ein solcher Flächenpunkt entspricht ün Allge- 
meinen weder einem Maximum noch einem Minimum von z, 
wie folgendes Beispiel zeigen möge. 



542 



§ 126. Greometrische Deutung. 



Es rotire eine Parabel mit der Gleichung 

(15.) 2p{z — c) = (x — ay 

um die Z-Axe (Fig. 141), dann hat die Rotationsfläche die 
Gleichung 

(16.) 2p (z — c) = (|/a:2 + y2 _ a)\ 



Fig. 141. 




(17.) 



(18.) 



Bezeichnet man der Kürze wegen Yx^ + y^ mit r, so wird 

dr X dr y 

dx r dy r 



^ =/(^> y) = c + 



2p 



Um einen höchsten oder tiefeten Punkt P der Fläche auf- 
zufinden, muss man seine Goordinaten x, y, z so bestimmen, dass 
ausser der Gleichung (18.) noch die beiden Gleichungen 

(19.) M.^y)^t^^o, /,(.,y) = 01^ = 

beMedigt werden. Dies geschieht, indem man 

(20.) a;=acost?, y = asint?, also r = a und « = c 

selzt, wobei der Winkel v noch beliebig ist. Nun ist aber 



§ 127, Maxima und Minima. 543 

, . ^ r^ — ay^ ^ axy ^ r^ — ax^ 

(21.) /» = -p^' /'^ = ^' /^ = -^j:5-' 
oder für die Coordinaten des Punktes P 

(22.) /ii = -^' f''^—^ — ' f'^^~' 
(23.) /11/22 — /122 = 0. 

Der Punkt P ist hier kein tiefeter Punkt, denn er liegt auf 
dem Kreise, welchen der Scheitel der Parabel bei der Eotation 
beschreibt, so dass es allerdings Punkte in seiner unmittelbaren 
Nachbarschaft giebt, welche dieselbe Coordinate z haben und 
deshalb mit P in gleicher Höhe liegen. Aus dem vorstehenden 
Beispiele erkennt man auch, dass ein Flächenpunkt P durchaus 
nicht immer ein tiefeter Punkt ist, wenn seine Tangentialebene 
zur xy- Ebene parcMel ist, und wenn die Schnittcurven der 
Fläche mit allen durch P gelegten verticalen Ebenen nach oben 
concav sind. 

Verschiebt man die Tangentialebene im Punkte P um die 
kleine Grösse / nach oben, indem man 

(24.) zr=zc + l 

setzt, so schneidet diese Ebene aus der Fläche zwei concen- 
trische Kreise mit den Gleichungen 

(25.) x^ + y^^{a + Y^l)^ und a:2 + y^ = {a — Y^t)^ 

aus. Die Indicatrix besteht in diesem Falle also aus zwei pa- 
rallelen Linien, da in hinreichender Nähe des Punktes P die 
beiden Kreise mit ihren Tangenten zusammenfallen. 



§ 127. 

Maxima und Minima der Functionen von drei oder mehr 

unabhängigen Veränderlichen. 

(Vergl di© Formel -TabeUe Nr. 153 und 154.) 

Bei Functionen von drei oder mehr unabhängigen Veränder- 
lichen gestaltet sich die Untersuchung ganz ähnlich wie bei 
Functionen von zwei Veränderlichen. Soll z. B. 



544 



§ 127. Maxima und Minima. 



(1.) ^ =/(^, Vj «) 

ein Maximum oder Minimum werden, so muss 
(2.) J =f(x + h,f/ + i,z + l)—f(x,y,z) 

für alle hinreichend kleinen, positiven oder negativen Werthe 
von A, ^, / bei einem Minimum beständig positiv und bei einem 
Maximum beständig negativ sein. Aus der Entwickelung nach der 
Taylor'achßn. Beihe findet man, dass dies nur möglich ist, wenn 

(3.) /i(^,y,«) = o, /i (ar, y, «) = 0, /3(^,y,«) = o 

ist. Sind diese drei Bedingungen erfüllt, so folgt weiter aus der 
Entwickelung nach der Tay/or'schen Beihe, dass für hinreichend 
kleine Werthe von A, A, / die Differenz J dasselbe Zeichen 
hat wie 

(4.) y (Ä, i, t) =^UK^ + 2/i2Ä>fe +/22*2 + 2/,3A/+ 2/23 A/+/33/^, 

es sei denn, dass diese Function y (A, A, /) gleich Null wird fiir 
Werthe von A, A, /, die von Null verschieden sind. Die Ent- 
scheidung, unter welchen Bedingungen y(A,A,Z) eine definite 
Form ist, d. h. die Entscheidung darüber, ob ^> (A, h^ t) bestandig 
positiv bezw. beständig negativ ist, ergiebt sich durch eine 
Umformung von y (A, A, /) unter Anwendung der Determinanten- 
theorie. 

Es seien die Grössen 2>i, X>2, 2>3, «31, «32, «33» A', k% A" 
durch die folgenden Gleichungen erklärt: 



(5.) D,=fn, A = 



/11/12 



ö.= 



(6.) «31 = 






«32 = 






(7.) A' = Ä 



«31 
«33 



/, k* = k 



«32 
«83 



l, 



fnfnfvz 
fnfi2 

f2i/i2 

A" = A' +•$?*', 



«33 = 



= Di, 



dann wird nach den Formeln Nr. 122 und 124 der Tabelle 

(B.) -Ö3 =/31 «31 +y32 «82 +y33 «33 j 

(9.) /ll «31 +/l2 «82 +/l3 «33 = 0, 

(10.) /*2l «31 +/22 «32 +/23 «33 = 0. 



§ 127. Meuüma und Miniiua. ^^ 

Bringt man also die Gleichung (4.) auf die Fonn 
(4a.) y (Ä, i, t) = h(f,,h +/12A +fizl) 

+ k{fi\h +/22^ +f^t) 

und setzt, den Gleichungen (7.) entsprechend, 

«88 «88 

SO erhält man 

y (Ä, A, /) = 
• 17 

*(/ii*' +/i2*0 H (/uasi +/l2a82 +/l8a88) 

«83 

AI 

+ A(fiih' +/22*0 + ---(/2ia31 +/22a32 +/2aa8d) 

«38 

/2 

+ /(/siÄ' +/82*0 + — ■ (/aiaai +/82a32 +/88a88). 

«88 

Dies giebt mit Eücksicht auf die Gleichungen (8.), (9.) und 
(10.) (p{h,k,l) = 

h{fnh* +/12AO + A(/21 A' 4/22^60 + /(/81Ä' +/82A0+^t 

oder y (Ä, A, t) 

= h\f,,h +f,^k +f,,t) + k^ifnh +/22A +/82/) + ^ 

= Ä'(/iiÄ' +/i2*0 H C/uaai +/i2a32 +/i8a88) 

«38 

>t'/ />g/2 

+ *'(/2lÄ' +/22*0 H (/21«31 +/22«32 +/23«83) + -JT 1 

«88 ^2 

also 

(11.) y(A, A, /) =/nA'2 + 2/12Ä' A' +/22Ä'2 4. :^. 

Jetzt ist noch, wie schon in § 125 gezeigt wurde, 
folglich wird 

(12.) (f (Ä, Ä, /) = A Ä"2 + g A'2 + g /2. 

Stegemann- Kiepert, Düferential-Beohnang. 35 



ft46 § 127. Mazima und Mhuma. 

Damit dieser Ansdrack beständig posiUv ist| damit also 
f{x^ y, z) ein Minimum wird^ mfissea die drei Bedisgimgeii 

(13.) A>0, -D2>0, A>o 

erf&llt sein; und damit ^(A, kj t) he9tändig negativ ist, damit also 

/(^i y> «) öin Maximum wird, müssen die drei Bedingmiigen 

(14.) A<0, 1>2>0, A<0 

erfüllt sein. 

In fthnUcher Weise findet maq, dass 

(15.) u =/(a?i, a%j, . . . a:«) 

0m 3fmtme«m trtrd^, toenn die ersten partiellen Ableitungen 
/i(a?i, a%i, . . . a:»), /2(äi, a:2> • • • ^n), . • ./n(a^ij a^2> • • • i«^») sämmtUch 
gleich Null eindy und wenn 

(16.) A>0, -D2>0, 2>3>0,...-Dii>0. 

Dabei ist 



(17.) D« = 



für a = 1, 2, . . . n. 



y«! ya2 . . »Jaa 



Dagegen toird u ein Maximum, wenn die ersten partiellen 
Ableitungen von /(x^ x^j. ••Xn) wieder sämmUich gleich Nully 
und wenn die Determinanten D^ mit gereutem Index sämmüich 
positiv und die mit ungeradem Index sämmüich negativ sind. 

Sind nämlich für ein Werthsystem x^^ x^,... xn die ersten 
partiellen Ableitungen /i,/2,.../» sämmtlich gleich Null, so 
wird 

(18.) J =/(i^l +*l) ^2+^2, . . . Xn+h^ — f{^U ^2> • • • ^n) 
= ly (*!> Ä2j •••*») + [*1J *2» • • • ^nja, 

wobei die Bezeichnungen den firüheren entsprechend gewählt 
sind. Die Differenz J wird für hinreichend kleine Werthe von 
A|, A29 • • • ^» beständig positiv oder beständig negativ seia« wenn 
die homogene Function zweiter Ordnung 



§ 127. Maidma und Minima. 547 

(19.) y(Äi, Äj, . . . An) = h^ifnh +/l2Aa + . . . +/i»Än) 

+ Jh{f%\hi +/22A2 + . . . +/2nÄn) 

+ 

+ A»(/«iÄi +/n2Ä2 + . . . +/fMiÄn) 

eine deßnite Form ist. Bezeichnet man wieder die ünterdeter- 
minanten von 2>n mit cxu, .. .awn, so erhSlt man nach den 
Formehi Nr. 122 und 124 der Tabelle 

(20.) Dn =/nianl +/n2an2 + . . • +/fmann, 

(21.) /rl «nl +/r2 ««2 + . . • +/m «^n == fOT r < #». 

Daraus folgt, wenn man 



(22.) 



setzt, 



j hi = Ä'i + -^ An, Ä2 = Ä'2 + -^ An, . . . 



Of«n CCn» 






y(Äi, Ä2, . . .An) = 
*l(/n Ä'i +/12 Ä'a + . . . +/l. n-1 Ä'n-l) 

+ -r^C/ll a»l +/12 an2 + . . . +/ln »fMi) 
öfnH 

+ Ä2(/2l Ä'i +/22 Ä'2 + . . . + A «-1 Ä'n-l) 

+ — C/21 «nl +y22 ««12 + • • • +y2nann) 

+ 

+ Än(/nl Ä'i +/n2 Ä'2 + . . . +/n,n-l Ä'n-i) 

+ ■- — \fni «nl +yn2 «n2 + • • • 4"^«»» a»n)j 

oder, wenn man nach den Grössen Ä'i, Ä'2, . • • ^'n-i ordnet und 
die Gleichungen (17.), (20.) und (21.) berücksichtigt, 

(23.) 9p(Äi, Ä2, . . . An) = Ä'i (/iiÄi +/12Ä2 + . . . +/l»Än) 

+ ^'2(^21^1 +^22^2 + . . . +y2nAn) 

+ 

+ Ä'n-l(/n-l,lAi +/ii-.l,2Ä2 +. . ./n-l,nAn) 

Indem man die Substitutionen (22.) noch einmal anwendet, 

findet man 

36* 



548 § 128. Angaben. 

5p(Äi, Äa, . , . A^) = 
h\{fuh\ +fnh*2 + . . . +/i,n-iÄ'«-i) 

+ Ä'2(/2lÄ'l +/22Ä'2 + . . . +/2.n-lÄ'n-l) 

+ C/21 »nl +^22ai»2 + . • • +y2naiMi) 

+ 

+ Ä'n-l(y«— l,lÄ'i +yn-l,2Ä'2 + • • • +yn-l,n— lÄ'«— 1) 

+ (y»-l.l«nl +yn— l,2«n2 + • • • +yn— l,i»«ni») 

oder mit Eäcksicht anf die Gleichungen (21.) 

(24.) ff (Äi, Ä2, . . . An) = y (Ä'i, Ä'2, . . . Ä'n-l, O) + -^ Ä„2. 

Da nun hierbei die homogene Function zweiten Grrades 
9>(A^, Ä^2, . . . A'n-i, 0) nur noch n — 1 Veränderliche enthält, so 
kann man diese Function in ähnlicher Weise auf die Form 

y (Ä"i, h\ . . . Ä"n-2, 0, 0) + ^ (Ä'n-l)2 

bringen und so fortfahren, bis man erhält 

(25.) y (Äi, Ä2, . . . An) = 

^ ^ IJi ^ "^ JLfn-2 ^-'n— 1 

Aus dieser Darstellung ergeben sich dann ohne Weiteres 
die oben aufgeführten Sätze. 



§ 128. 

Aufgaben. 

Aufgabe 1. Man soll die Werthe von x und y bestimmen, 
für welche 

(1.) z =f(x, y)^x'^ + xy + y^ — 5x — 4iy + 10 

ein Maximum oder Minimum wird. 



§ 128. Au^abeiL 549 

AufiSsung. Hier ist 

(2.) /i(a:,y)=:2ar + y — 5, Mx,y) - x + 2y — 4:, 

(3.) /ii = 2, /l2=l, /22 = 2. 

Die beiden ersten partiellen Ableitungen /i(a:, y) und /«(a:, y) 
verschwinden nur für 

(4.) :r=2, y = 1, 

und zwar wird z für diese Werthe von x und y ein Minimum^ weil 

(5.) /ii = 2>0, /11/22 — /i22 = 3 > 0. 

Aufgabe 2. Man soll die Zahl a so in drei Thefle theilen, 
dass ihr Product ein Maximum wird. 

AufiSsung. Bezeichnet man zwei von diesen Theilen mit 
X und y, so wird der dritte a — x — y, und das Product, welches 
ein Maximum werden soll, ist 

(6.) z =/(«, y) = xy{a — x — ^y) =^ axy — xhf — xy'^. 

Daraus folgt 

(7.) f\{x,y)^ay — 2xy — y'^, fi{x^y)^ ax — x^ — 2xy, 

(8.) /ii = — 2y, /i2 = a — 2a; — 2y, /22 = — 2a;. 

Da die Werthe a; = 0, oder y = hier nicht in Betracht 
kommen können, wie schon aus der Natur der Angabe hervor- 
geht, so erhält man, indem man /i (a;, y) und f^ (x, y) gleich Null 
setzt, die Gleichungen 

(9.) a — 2a; — y = 0, a — a; — 2y = 0, 

welche nur fiir 

(10.) x=|, y = | 

befriedigt werden. Da für dieses Werthepaar 

(ll.)/u=«y<0,/i2=-|,/22 = -Y./ll/22-/l22==|'>0, 

so tritt ein Maximum ein. 

Dieser Angabe kann man auch die folgende Fassung geben: 
Von einem rechtwinkligen Parallelepipedon ist die Summe aller 
Kanten gleich 4a; wie gross müssen die einzelnen Kanten sein^ 
damit das Volumen ein Maximum wird? 



550 § laa. Au^abea. 

Aus der vorstehenden Lösung sieht man, dass das recht- 
winklige ParaUelepipedon mit möglichst grossem Volumen ein 
Würfel ist. 

Aufgabe 3. Man soll unter allen Dreiecken sait gegebenem 
Um&Dge da^enige ermittehi, welches den grössten Stächen*' 
Inhalt hat 

Auflösung. Der Elächeninhalt dnes Dreiecks ist bekanntlich 

(12.) F— yu{u — a)(u — b)(u — c), 

wenn man die Seiten mit a, b, c und den Umfang mit 2u be- 
zeichnet. Setzt man aber 

(13.) u = 3in, a = a:, i = y, 

so wird 

(14.) c =^ ßm — X — y, u — c =^ x + y — 3m, 

(15.) 2^ = Sm(Sm — x) (3m — y){x-\-y — 3m), 

also 

•^^"^'^^ ^^^'^^^~^^ (3m — y)(a: + y — 3m) 
(^^•) ^ ^xhf + xy'^ — %m{x^'\'ZTy + y^) 

+ 18m2(a: + y) — 27ma. 
Da F mit f{x^ y) zugleich ein Maximum wird, so bilde man 
/i(rp, y)^2xy'\-y'^ — %m{2x + 3y) + ISm» 
= (3m — y) (6m — 2x — y), 

(18 ) K^ ^^' ^^ = a:2 + 2ay — 3m(3a: + 2y) + ISm^ 

l = (3m — a:) (6m — a: — 2y). 

Da die Summe aller drei Seiten gleich 6m ist, und da jede 
Seite kleiuer sein muss als die Summe der beiden anderen SeiteUi 
so muss jede der Seiten kleiner sein als 3m. Deshalb dfirfen in 
fx(x,y) und/2(a:, y) die Factoren 3m — y bezw. 3m — x nicht 
gleich seiu, so dass man vielmehr 

(19.) 6m — 2a: — y = 0, 6m — a: — 2y = 0, 

oder 

(20.) a; = 2m, y = 2m 

setzen muss. Für diese Werthe von x und y tritt auch imkr 
lieh ein Maximum eia, denn es ist 



(17.) I 



§ 128. Aufgaben. 



551 



(21.) /,! = 2y — 6m = — 2»»< 0, 

(22.) /i2 = 2a; + 2y— 9m = — m, /22 = 2a: — 6iw = — 2iw, 

(23.) /i,/22 —M = 3m2 > 0. 

Unter ajlen Dreiecken mit gleichem Umfange hat also das 
gleichseitige den grössten Inhalt. 

Aufgabe 4. Von einem Dreieck sind die Coordinaten der 
Eckpunkte Pj, P^, P3, nämUch x^ y^; x^, y<i\ a^, ys gegeben; 
man soll die Coordinaten eines 
Punktes P finden, dessen Ab- 
stände von den Ecken eine 
möglichst kleine Summe haben. 
(Vergl. Fig. 142.) 

Auflosung. Die Abstände 
des Punktes P von den Ecken 
seien «t>*2>*3j nnd die Winkel, 
welche diese Linien mit der 
positiven Eichtung der X-Axe 
bilden, seien 

2i.XS,P=(p,, 2j,XS^P=<p^^ 2f:XS^P==g>^, 

dann wird 




(24 



■'{ 



«1 = y(.^ — a^i)' + ( y — yl)^ ^2 = Vi^ — a ra)» + (y — yj)«, 

«» = y(^ — ai,)»+(y-y3)>, 
und es ist 

(2S.) /(«, y) = «1 + »2 + «j 

die Function, welche ein Minimom werden soll. Nun ist für 
a = 1, 2, 8 

dsa X — Xu 



x — x„ 



(26.) 



Ö^ y(^ — a;„)2 + (y — y„)2 «« 



= C0S5P„, 



dSa 



y—Va 



^y Vi—^af + iy-ya^-^"^-^^"' 



folglich muss man setzen 



552 § 128. Ai]%ab«Du 

(27.) /i (xj y) = cosyi + cosyj + cos ^3 = 0, 

(28.) /2 (x, y) = sinyi + sm9>2 + sinys = 0. 

Aus diesen Gleichungen findet man 
(29.) sin(yi — 9>2) = sin(y2 — ^s) = sto(y3 — ^x)- 
Aus der Figur erkennt man, dass 

^2 — yi = ^ P1PP2, 9^2 — 9^3 = ^ (180« - Psi'A), 

^3 - yi = ^ (1800 _ p^pp^) 

ist, folglich wird Gleichung (29.) beMedigt, wenn man 

(30.) ^ P1PP2 = ^ P%PPz = ^ Ai'i'i = 1200 
macht, was nur in dem Falle geschehe kann, wo die Dreiecks- 
wiDkel alle drei kleiner als 120 sind. Dieses Resultat stimmt 
mit der Lösung überein, welche in § 57 (Seite 257 — 260) von 
dieser Au%abe gegeben wurde. Dort sind auch ausser der 
Construction des Punktes P bereits die Bedingungen erläutert 
worden, unter welchen der Punkt P die verlangte Eigenschaft 
des Minimums besitzt. Um aber die in § 125 au^efimdene 
Methode eiozuüben, beachte man, dass 

^cosy« __ sin2y„ ff cos y« _ sin y « cos y g 

dx " Sa ^ dy ^ Sa 

ffsiny« sin y et cos y« ffsiny« __ cos^y« 

dx ^ Sa ' dy ^ Sa 

wird. Deshalb ist 

(31.) «iMs/ii = «2«8 sin2yi+«8*i sin2y2+«i«2 sin^8> 0, 

(32.) «1*2*3/12 = — *2*3 siny 1 cosy 1 — *8«i siny 2 cosy 2— *i«2 siny 3 cosy s, 

(33.) *i*2«8/22 = «2*8COs2yi+*8«i cos2y2+«i«2 cos^ys, 

«l«2«8(/u/22 f\%^) = 

*i sin2(y2— y8)+*2Sin2(y3— yi) +*8 sin2(yi — y«), 
oder 

(84.) /„/,-/,,. = sinM20»(^+^ + ^)>0, 

folglich wird/(a:, y) ein Minimum. 

Aufgabe 5. In einen Kreis mit dem Badius r soll ein Vier* 
eck eingeschrieben werden, welches den gegebenen Winkel a 



j 



§ 128. Au^bea» 



553 




enthält; wie gross sind, die Seiten des Vierecks, wenn der 
Flächeninlialt ein Maximum wird? (Vergl. Fig. 148.) 

AuflBsung. Bezeichnet 
n^an die Winkel ÄDB und 
BDC bezw. mit x und y, 
und die Winkel BAD und 
BCD bezw. mit a und y, 
so ist bekanntlich 

Y = 180« — «, 

also 

.g^ .{AB^ 2rsina:, 

'^ \ 5C=:2rsiny, 

(86.) ^^ = 2rsin(y+r), 

^ \ DA=^ 2rsin(a:4-a); • 
folglich wird der doppelte Flächeninhalt des Vierecks 

2JP= 4r2sina:sin(a; + a)sina + 4r2siny sin(y + r)siny, 

also, da man den constanten positiven Factor 4r2sin u fortlassen 
darf, 

(87.) /(ir, y) = sina: sin(a: + «) + siny sin(y + y)- 
Dies giebt 

(88.) /i {x, y) = sm(ar + a)cosa; + COS(a; + a)wi.x = sm(2:r + a), 
(89.) fi{x, y) = sm(y + y)cosy + cos(y + y)smy = sin(2y + y). 

Deshalb ^ird 

/i («, y) = fttr 2a; + « = 180«, 
/,(ar, y) = fÖr 2y + r = 1800, 



(40.) 



a:=90»-| = |. y=900-|=|. 



Die Diagonale AC muss daher die Winkel a und ^^ in den 
Eckpunkten A und (7 halbiren; dabei gehen die Gleichungen 
(85.) und (86.) über in 



^-B==2rsin^j 



a 



BO = 2rsin ^ 



&54 § 129. MaTima uod Mininift mit NebenbedüigimgaL 

DA = 2rsin^|. + «) = 2rsm|-» 

folglich wird 

(41.) AB = ^Z>, C5 = CD. 

Der FlächeDiDlialt wird für die angegebenen Werihe von x 
und y wirklich ein Maximum, denn es ist 

/ii(^> y) = 2cos(2a; + «) = — 2 < 0, 

/i2 = 0, /22 = 2cos(2y4-r) = — 2, 

/11/22 — /122 = + 4 > 0. 

§ 129. 

Maxima und Minima mit Nebenbedingungen. 

Bisher war immer die Voraussetzung gemacht worden, da£» 
in der Function 

(1.) u =/(a:i, X^,... Xn), 

welche ein Maximum oder Minimum werden soU, die n Veränder- 
lichen von einander unabhängig sind. Das wird aber bei den 
wenigsten Aufgaben der Fall sein. Soll man z. B. die Zahl a 
so in drei Thefle theflen, dass das Product dieser Theile ein 
Maximum wird, so ist die Function, welche ein Maximum 
werden soll, 
(2.) u=:xyz, 

wo zwischen den drei Veränderlichen die Bedingungsgleichung 

(8.) X + y + z = a 

besteht. Diese Angabe wurde in dem vorhergehenden Para- 
graphen so gelöst, dass man aus Gleichung (3.) den Werth yon 
9 berechnete und in die Gleichung (2.) einsetzte. 

Dadurch erhält man 

(4.) u — xy (or-^x — y) =f(x, y) , 

also eine Function, welche nur noch die beiden unabhängigen 
Veränderlichen x und y enthält. 



§ 199. Maxinia und Minima mit Nebenbedingongeiu 555 

In ähnlicher Weise kann man häufig zum Ziele kommen. 
Soll z. B. in die Ellipse 

ein Dreieck PiAA ^^ möglichst grossem Flächeninhalte ein- 
beschrieben werden, so hängt die Function 

(5.) 2F= x^(j/2 — ys) + ^2(y3 — yi) + ^3(yi — y2), 

welche ein Maximum werden soll, von sechs Veränderlichen 
^i> Vii ^2 5 y2; ^j ya *b- Diese sind aber nicht von einander 
unabhängig, sondern sie müssen den drei Gleichungen 

(6.) b%^+ah/^^=:a^^, }flx^-\-ahl^=:aV)^, J2^2+^2y^2=:a242 

genügen, damit die drei Punkte Pi, Pji A a^ der Ellipse Kegen. 
Jetzt kann man aber aus den Gleichungen (6.) die Werthe von 
yij y2 5 y% b^zw. als Functionen von x^^ x^^ x^ ausrechnen und 
in den Ausdruck für 2F einsetzen. Dann hat man nur noch 
eine Function von drei unabhängigen Veränderlichen x^, X2, x^, 
welche ein Maximum werden soll. 

In den meisten Fällen wird aber eine derartige Elimination 
viel zu umständlich sein, als dass man an ihre Ausführung 
denken könnte. Dagegen führt die folgende Methode im All- 
gemeinen viel leichter zum Ziele. 

Es sei wieder 

(7.) u =/(a;i, X2^... Xn) 

die Function, welche ein Maximum oder Minimum werden soll. 
Dabei seien die n Veränderlichen x^,x2,. ,. Xn den m Bedingungs- 
gleichungen 

( V\ (^1)^2j . . .:ZJn) = 0, 
(8.) \ Vi (^1> ^2) • • • ^n) = 0, 

' SP«(^lj^2J---^n) = 

unterworfen, wobei aber m<n sein muss. Da nur solche 
Werthe von x^^x^^.^.Xn in Betracht kommen, für welche diese 
Gleichungen (8.) befriedigt werden, so ist es gleichgültig, ob man 
das Maximum bezw. das Minimum der Function f{x^, a^, . . . x^ 
oder der Function 



556 §^ 129. Maxlnift und Minima mit NebenbedingmigeTi. 

(9.) I "'^^^^' ^^' " • ^*'* =/(^l' ^2 • • • ^ti) + ^l9>l(^> ^2J • . • ^*) 

1 + ^5P2 (^1) ^2 • • • ^t») + . • • + ^9>m(Xu ^2> • • • ^w) 

aufisacht, wenn man anch für ^i, Aj, . . . ^i noch gwz beliebige 
Grössen einsetzt. Um nun die Werthe von x^, x^^...xn zu jOnden, 
für welche F{x^^ x^,... Xn) ein Maximum oder Minimum wird, 
mnss man wieder 

(10.) J = JP(a?i + Äi, a%j + Ä2, . . . ar» + An) — F(x^ arj, . . • a:») 

nach Potenzen von A^, Aj . . . A» entwickeln. Dies geschieht nach 
der Tay/or'schen Beihe, nnd zwar erhalt man 

(11.) J^F^h,+F^h^ + ... + Fnhn + [Äi, A2, . . .Än]2, 

wobei die ersten partiellen Ableitungen von F(x^, X2,.,.xn) nach 
a:i,a:2,...a:nbezw. mit J^,i^,...i^ und der Best mit [Ai,Ä2,...Äj2 
bezeichnet sind. Damit nun F{x^, x^^. . , o^n) ein Minimum wird, 
muss J für alle zulässiffen, hinreichend kleinen Werthe der 
Grössen A^ , Aj) • * • ^«> beständig positiv sein, und damit F(xi ,x2j...Xn) 
ein Maximum wird, muss J Air alle zulässigen, hinreichend 
kleinen Werthe der Grössen A^, Ä2 . . . A» beständig negativ sein. 
Hierbei muss man aber beachten, dass nur solche Werthe yon 
Ai , A2, . . . An zulässig sind, für welche die Gleichungen 

9\{^\ + A^, a^ + A2, . . . ar„ + An) = 0, 

(12.) / 9^2 (^1 + Ai, 2^ + A2, . . . ÄJn + An) = 0, 

9m{Xi + Ai arj + A2, . . . :2;n 4- An) = 

befriedigt sind. Von den n Grössen A^, A^, ... An sind daher nur 
n — m, z. B. Am+i, A«4.2,...An vnUkürlich, während sich die 
Werthe der m übrigen (Äi,A2, . . . A^) aus den m Gleichungen 
(12.) ergeben. Bezeichnet man jetzt 

d€pa{x^^Xt,...Xn) .. 

W^ ^^ 5P«/J, 

wobei « alle Werthe yon 1 bis iw und ß alle Werthe von 1 bis 
n annehmen darf, so kann man die m Grössen A^, ^2? • • • ^ so 
bestimmen, dass die m linearen Gleichungen 

Fi =/i + ^SPll + ^^21 + . . . + K^(pm\ = 0, 
(13.) j "^ "^f^ "^ ^1 yi2 + A2SP22 + . • . + ^m9>m2 = 0, 

Fm ^=fm + ^l (pim + ^5P2m + . . . + ^9>mm = 



§ 129. Maxima und Minima, mit Nebenbedingungen. 557 

befriedigt werden. Dadurch geht die GMchang (11.) über in 

(14.) J = J^m+l ^+1 + •ßi+2Ä»i+2+ . . * + i^Än + [Äj, Aj, . . . A»]^. 

Da nun K^\^ Am+2, ... An willkürlich sind, so kann man 

A»^.2 = 0, . . . Ä„ = 
setzen, so dass sich die Grösse J auf 
(15.) J = i^iÄ^^-i + [Ai, A2, . . . A,»+i, 0, . . . 0]2 

reducirt. Macht man jetzt A^+i hinreichend klein, so werden auch 
Ai, A2 . . . Am beliebig klein. Wäre also JPm+i von Null verschieden, 
so könnte man Am^.i so klein machen, dass, vom Vorzeichen 
abgesehen, i^m+i ^+1 grösser würde als [A^, A^, . . . Am+i, 0, . . . 0]2, 
dass also J dasselbe Vorzeichen hat wie i^^-iAm+i. Diese 
Grösse wechselt aber das Vorzeichen zugleich mit Am+i, folglich 
kann nur dann ein Maximum oder Minimum eintreten, wenn 

ist. In derselben Weise kann man zeigen, dass auch 

im+2 = 0, . . . i^ = 

sein muss. Dies giebt zur Bestimmung der n Grössen x^^ 
^2> • • • ^» ausser den m Gleichungen (8.) noch die n — m 
Gleichungen 

(16.) ^ ■'m-h2=ym4-2+^yi,m4-2 + ^2y2,m+2+... + ^mym,i»+2= 0, 
' Fn=fn + ^iyin+ ^2^21» + •»•'+ ^»9>«n = 0. 

Bei der Herleitung wurden allerdings die m Gleichungen 
(13.) zur Berechnung der m Grössen Aj, ^2,...^» und die n 
Gleichungen (8.) und (16.) zur Berechnung der n Grössen 
x^ , X2, . . . oTn benutzt. Man ist aber natürlich an diese Reihenfolge 
in der Ausfuhrung der Eechnungen nicht gebunden, sondern hat 
nach dem Vorhergehenden im Ganzen m + n Gleichungen, näm- 
lich die Gleichungen 



558 §180. Aii%*lMii. 



(17.) 






die gerade zur Berechnmig der m + » Unbekannte ^i, ^,...Am, 
2:1, 2:29 .. . x^ ausreichen. 

Auf diese Weise findet man alle Werthsysteme der n Ver- 
änderlichen, fOr welche möglicher Weise ein Maximum oder 
MiniTniiTn eintreten kann. Ob dann fHr ein so gefundenes Werth- 
sjrstem mrHich ein Maximum oder Minimum eintritt, geht in 
vielen F&llen schon aus der Natur der Aufgabe hervor. Des- 
halb möge hier die etwas weitläufige Entwickelung eines allge- 
mein gültigen Kriteriums übergangen werden. 



§ 130. 

Aufgaben. 

Aufgabe 1. Es soll das grösste rechtwinklige Parallelepi- 
pedon gefunden werden, das einer Kugel mit dem Radius r un- 
beschrieben werden kann. 

Auflösung. Da der Mittelpunkt des Parallelepipedons zu- 
gleich auch der Mittelpunkt der Engel sein muss, so ist der 
Durchmesser der Ku^el, nämlich 2r, eine Diagonale des Paral- 
lelepipedons. Nennt man also drei an einander stossende Kanten 
X, y, z, so wird 

(1.) V —f(x, y, z) = xyz 

die Function, welche ein Maximum werden soll, und 

(2.) tp{x, y, 2) = a:^ + y2 4- ^2 — 4r* = Q 

ist die Bedingung, welche zwischen den drei Veränderlichen 
stattfindet. In diesem Falle wird deshalb 
(3.) F{x, y, z) =f-{-X<p = xyz + l{x^ + y2 + ^2 _ 4^2)^ 
(4.) F^—yz + 2Xx = % JF2=«« + 2;iy = 0, i^ = ay + 2A« = 0. 



§•130. Aufgaben. 



56d 



Dies giebt 

(5.) _2;i=i^=:^ = ^, 

also mit Bücksicht auf Gleichung (2.) 

(6.) x^ = y^ = z^ = ^, oder a: = y = 2r = yy8. 

Der Würfel ist daher das grösste rechtwinklige Paralldepi- 
pedon, welches der Kugel einbeschrieben werden kann. 

Aufgabe 2. Es soll das grösste rechtwinklige Parallelepi- 
pedon gefimden werden, welches dem Ellipsoid 



(7.) 



&2 



X'' V* z 

^ + I; + --1 = 



2 
C2 



einbeschrieben werden kann. 



Auflosung. In ähnlicher Weise wie bei der vorigen Auf- 
gabe findet man hier für die Seitenkanten die Werthe 



(8.) 



2a 



2b 



.=^V3, y=f yä, 



= |V8. 



Aufgabe 3« Unter allen Eegehi mit gleichem Volumen V 
denjenigen zu finden, welcher die kleinste Oberfläche hat. 

Auflösung. Der Eadius der 
Grundfläche sei ^r, die Höhe sei 
y, und die Seitenkante sei z (yergl. 
Pig. 144); dann wird die Gesammt- 
oberfläche 

f{x^ y, z) = x^Tt + xzn 
= n{x*^ + «^). 



(9.) 



Dies ist die Function, welche 
ein Minimum werden soll. Zwischen 
Xj y und z bestehen dabei noch 
die Bedingungsgleichungen 

F=^, ^2 + y2 = ^2 




560 § lao. Au^bem 

oder 

1 9>2 («, y, ^) = «2 + y2 _ ;,2 == 0. 

Dies giebt 

(11.) F{x,y,z) = ^(:r2+a?;?)+ ^1 (8 V—x^ny)+h, {pfl-{.y^—z^) , 

(JPi (a?, y, a;) = 7r(ar + z) — 2i^nxy + 2^2^; = 0, 
J^2(«,y,«)= — Ai7rar2 4- 2^5^ = 0, 

J^ {x^ y, 2?) = yra: — ^X^z = 0* 

Durch Auflösung dieser Gleichungen findet man 

(13.) ^ = 5' ^""^' :r2 + 2a-;r + ^2 = 2y2, 

oder 

(14.) x + z = yy¥. 

Mit Rücksicht auf die Gleichungen (10.) erhält man daher 

z^ — x^ + y'^ = 2y^ — 2y2xy + x\ 
oder 

(15.) y = 2x^2, 3 F= 2a?n 1/2, 

also 

(16.) :r]/^= y^, y = 2"^, ;.]/2 = ^x\ß= 3"^. 

Die Gesammtoberfläche dieses Kegels ist dann 

(17.) = 4a:% = 2^97%. 

Aufgabe 4. Von einem Viereck sind die yier Seiten a, &, c, ef 
gegeben, wie gross müssen die Winkel sein, damit der Flächen- 
inhalt ein Maximum wird? (Vergl. Fig. 145.) 

Auflösung. Ist AB CD das gesuchte Viereck und setzt mau 

4: ABO = X, 4: ADC = y, 
so wird 

2AABC=^ aJsin^r, 2A-4X>C = crfsiny. 

Hätte das Viereck einen einspringenden Winkel, z. B. bei 
/>], so könnte man seinen Flächeninhalt jPum das Stück AD^CD 



§ 180. Aufgaben; 



561 




grösser machen, ohne die Länge *"»« ^^ 

der Seiten zu ändern. Deshalb 

können, wenn i^ ein Maxirnnm 

werden soll, einspringende Winkel 

nicht Torkonunen, so dass man 

erhält 

(18.) 2 JP=/(ir, y) = akwiz+cdm.y. 

Dies ist die Function, welche 
ein Maximum werden soll; dabei 
sind aber x und y nicht von ein- 
ander unabhängig, denn nach dem 
Cosinussatz wird 

A& = a2 + J2 _ 2ab cosa;, 

ÄC^ = c2 + d^ — 2crfcosy, 
also 
(19.) 9) (x, t/)=z a^+ b^ — 2ab cosa: — c^ — cP + 2crfcosy = 0. 

Setzt man daher 

F(^^ y) =/(^j y) + ^9 (^. y) , 

so erhält man 

f F^ (x, y) = oÄcoSiT + 2aJ^sina: = 0, 

[ i^ {x^ y) = cdcoBy — 2cdl siny = 0, 
oder 

(21.) cosar + 2Asina? = 0, cosy — 2Asiny = 0, 

und wenn man X eliminirt, 

(22.) siny cosa; + sina: cosy = sin(a; + y) = 0. 

Da die Winkel x und y beide grösser als 0^ und beide 
kleiner als 180^ sein müssen, so kann diese Gleichung nur be- 
friedigt werden fiir 

(23.) x + y= 180^ 

Wenn von einem Viereck die vier Seiten gegeben mid^ so 
ist also der Flächeninhalt dann ein Maximum, wenn das Viereck 
einem Kreise einbeschrieben ist, 

Stegemaim- Kiepert, Differential-Seolmiuig. 3^3 



(20.) 



562 



§ 130. Au^beiL 



Den Werth von x findet man jetzt ohne Weiteres ans 
Gleichung (19.), weil cosy gleich — cosa? ist. Dies giebt 
(24.) a2 + ft2_,2_ep 

2(a* + crf) 

Aufgabe 5. Auf einer Ellipse mit der Gleichung 
(25.) 5p {x^ y) = J2^2 ^a^yi_ fjfl^fl — 

sind zwei Punkte P^ und P^ gegeben; man soll auf der Ellipse 

j-ig 140. einen dritten Punkt P 

p V bestimmen, so dass der 

Flächeninhalt des Drei- 
^' ecks Pi Pi P möglichst 

gross wird. (VergL 
Kg. 146.) 

Auflösung. Bezeich- 
net man die Goordina- 
ten der Punkte P^ , Pj, 
P bezw. mit x^^ y\\ 
^j y2; ^) y» so wird 
bekanntlich der dop- 
pelte Flächeninhalt des Dreiecks P1P2P 

(26.) 2P= X {yx—t/i) + y (^^2 — x^) + ^1 ^2 — ^2^1 =/(^> y)- 

Dies ist die Function, welche ein Maximum werden soll. 
Zwischen den beiden Veränderlichen x und y besteht dabei noch 
die Gleichung (25.), da der Punkt P auf der Ellipse liegen soll. 
Deshalb ist hier 

^ ^^ \ +;i(J2^2 4.a2y2_a2J2)^ 




(28.) 



{ 



^1 (^jy) = yi — y2 + 2^*^^ = 0, 

-'^2 (^j y) = ^2 — ^1 + 2Aa2y = 0. 

Dies giebt durch Elimination von X 

(29.) i^ (ar^ _ x^X+ «2 (y^ —y^y=z 0. 

Da die Punkte P^ und Pj auch auf der Ellipse liegen, 
gelten die Gleichungen 

V^x^^ + ahf^^ — aVy^ = und V^x^ + ah)^ — d^lP- = 0, 



so 



§ lao. Au^ben. 568 

folglich ist auch 

(30.) i2 (^^2_ ^^2) + d> (yi^ - y^') = ; 

d. h. die Gleichung (29.) wird befriedigt fllr 

(31.) X = ^-|-^, y = 2L^J^ 

und stellt deshalb einen Durchmesser dar, welcher die Sehne 
Pi P2 halbirt. Nennt man die Endpunkte dieses Durchmessers 
P und P*, so haben diese beiden Punkte die verlangte Eigen- 
schaft des Maximums, denn nach der Lehre von den conjugirten 
Durchmessern sind die Tangenten in P und P' zu P^P<i parallel. 
In dem Dreieck P1P2P (und ebenso in dem Dreieck P1P2P') 
ist deshalb die Höhe grösser als in einem jedem Dreiecke P^Pc^P*^ 
welches dieselbe Grundlinie P1P2 hat, dessen Spitze P" aber 
auf der Ellipse dem Punkte P (bezw. dem Punkte P') benach- 
bart liegt. 

Aufgabe 6. In eine Ellipse soll ein möglichst grosses Drei- 
eck P1P2P3 einbeschrieben werden. (Vergl. Fig. 147.) 

Auflösung, Diese Fig. u?. 

Aufgabe lässt sich un- 
mittelbar auf die vor- 
hergehende zurückfüh- 
ren , indem man z. B. 
die Punkte P^ und P2 
als gegeben ansieht 
und den Punkt P3 sucht. 
P3 muss dann auf der 
Verlängerung des Halb- 
messers OP3 liegen, 
welcher P1P2 halbirt. 

Ebenso muss die Verlängerung von OP^ die Gerade P2P3, und 
die Verlängerung von OP2 die Gerade P3P1 halbiren, d. h. der 
Mittelpunkt der Ellipse ist gleichzeitig der Schwerpunkt des 
gesuchten Dreiecks P^P^P^. 

Da in jedem Dreieck der Schwerpunkt die di'ei Halbirungs- 
transversalen im Verhältniss von 1 : 2 theilt, so kann man ein 

36* 




564 § 130. Au^ben. 

solches Dreieck P\P2P% constriiiren, indem man auf der EUipse 
einen Punkt P^ beliebig annimmt, den Halbmesser OP^ über O 
bis Ni verlängert, so dass 

(32.) P^O^ 20 N^ 

wird, nnd durch N^ eine Parallele zu der Tangente im Pnnkte 
Pi zieht; dann schneidet diese Parallele die Ellipse in zwei 
Punkten P^ nnd Ps? so dass das Dreieck P1P2PS seinen Schwer- 
punkt in hat. Dabei sind nach der Lehre von den conjugirten 
Durchmessern die Coordinaten des Punktes N^ 

^i^ ^2 + ^ yi _ »2 + ys> 
2 2 ' 2 2 

folglich gelten die Gleichungen 

(88.) a:i + 3-2 + ^3 = und yi + y2 + ya = 0. 

Da bei dieser Construction der Punkt Pj noch ganz be- 
liebig auf der Ellipse angenommen werden durfte, so findet man 
hierdurch unendlich viele Dreiecke, von denen aber sogleich ge- 
zeigt werden soll, dass sie alle gleichen Flächeninhalt haben. 
Der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks P1P2P3 wird nämlich 
mit Eücksicht auf die G^leichungen (33.) 

(34^ f 2^=^i(y2 — y3) + ^2(y3 — yi) + ^(yi— y2) 
t =3(0:1^2— ^2yi)- 

Da die Punkte P^ und Pj auf der Ellipse liegen, gelten 
die Gleichungen 

(35.) b^x.'^x^^ + «^yi^ya^ + «^*^ (^1^2^ + ^2^1*) = «'**• 
Femer hat die Tangente im Punkte P^ die Gleichung 

folglich ist die Gleichung der G^eraden, welche man durch N^ 
parallel zu dieser Tangente legt, 

(36.) 2lflx^x' + 2a2yiy' + d?V^ = 0. 

Da diese Gerade durch den Punkt P2 hindurchgeht, so wird 
(37.) 4J*:ri2^2 + ^a^V^x^x^y^y^ + ^a^y^^y^ = a^h\ 



§ 130. Aufgaben. 



565 



Fig. 14a 



oder mit Eficksicht auf Gleichung (85.) 

oder 

(38.) 4 [x^y^ — ar^yi)^ = 3«2i^ 2 {x^y^ — x^y^) ^ abYs. 

Dies giebt 

(39.) ^^ SabyW. 

Der Flächeninhalt ist also unabhängig von der Lage des 
Punktes P^, so dass es unendlich viele Dreiecke P1P2-P3 giebt, 
welche gleichen Inhalt besitzen, und welche grösser sind als alle 
übrigen der Ellipse einbeschriebenen Dreiecke. 

Aufgabe 7. In eine Eugel mit dem Halbmesser a soll ein 
Cylinder mit möglichst grosser Oberfläche einbeschrieben werden. 
(VergL Fig. 148.) 

Auflösung. Bezeichnet man 
die Halbmesser der Grundkreise 
mit X und die Höhe des Cylin- 
ders mit y, so wird die Ober- 
fläche 

(40.) F= 2x^7t + 2xTty, 
also 

(41.) f(x,y) — x^ + xy, 

wobei noch zwischen x und y die 
OMchung 

(42.) 9) {x, y) = 4a;2 + y2 _ 4^2 — 

besteht. Daraus folgt 

^(^5 y) ==/(^, y) + ^y (^» y)» 

-Fl («,y) = 2a: + y + 8Aa; = 0, 

ar + 2Ay = 0, 
2a:y + y^ — 4:^2 = 0, 




(43.) 
(44.) 



|-p;(^,y) = 
li^2(^,y) = 



(45.) 

oder 
(45 a.) 

(46.) 



(^ + y)2 = 5a;2, y = :r(— 1±]/5), 
a:2 (10 HF 2^5) = 4a2, 



566 § 130. Aufgaben. 



(47.) - = |l/l±^'y = -|/lT^' 

(48.) fix, y) = x{x + y)^ x^^^ ^ (l/ö ± 1). 



um den grösseren Werth von / (x, y) zu erhalten , muss 
man also in den vorstehenden Gleichungen das obere Zeichen 
nehmen. 

Aufgabe 8. Durch den Mittelpunkt O eines EUipsoids 

(49.) y^ (^, y, ^) = g + |! + f! _ 1 = 

ist eine Ebene 

(50.) 5p2 (^j y^z)=i Ax^ By -{- Cz = 

gelegt; man soll dieAxen der^von dieser Ebene ausgeschnittenen 
Ellipse bestimmen. 

Auflösung. Verbindet man einen beliebigen Punkt P der 
Schnittcurve mit O, so wird 

(51.) OP =/ (x, y, z)^x^ + y^ + z\ 

wobei die Veränderlichen x^ y, z den Gleichungen (49.) und (50.) 
genügen müssen. Unter diesen Halbmessern OP ist die grosse 
Halbaxe ein Maodmum und die kleine Halbaxe ein Minimum. 
Man findet daher die beiden Axen, indem man die Werthe von 
x^ y, z bestimmt, für welche / (ic, y, z) ein Maximum oder Mini- 
mum wird. Hierbei ist 

(52.) F{x, y, z) =/ +^1^1 + ^9)2j ' 

(53.) Fi = 2x-\--^ + AX^ = 0, 

(54.) i?j = 2y + ?^ + 5^2 = 0, 

(55.) i^3 = 22 + ^ + (7^ = 0, 

also 



§ 130. Aufgaben. 567 

Mit Rücksicht auf die Gleichungen (50.) und (49.) folgt 
hieraus 

A^a^ B'^h'^ (72^2 ^ 

V^"^-) a^ + l^ + W+\ '^ c^ + i^ " ^' 

Aus Gleichung (57.) findet man die beiden Werthe von ^i 
und aus Gleichung (58.) die zugehörigen Werthe von ^2. Indem 
man diese Werthe von l^ und A2 in die Gleichungen (56.) ein- 
setzt, erhält man schliesslich die gesuchten Werthe von x^ y, z. 



XVI. Abschnitt. 

Theorie der complexen Grössen. 

§ 131. 

Erklärung der complexen Grössen. 

(Vergl. die Fomel-Tabelle Nr. 155—163.) 

Bekanntlich fahrt schon die Auflösung der quadratischen 
Gleichungen häufig auf imaginäre Wurzeln. Ist z. B. 

a;2 + 6a: + 13 = 0, 

SO wird 

X— •-3±)/^^ = — 3±2«, 

wobei y — 1 mit i bezeichnet worden ist. Aus )/ — 1 = t folgt 

(1.) t2 = — 1, |3 = — t, *4= + l, i^^ + i,.... 

Es ist nicht nur von grossem Vortheil, imaginäre Grössen in die 
Bechnung einzuführen, sondern es steUt sich sogar bei vielen 
Untersuchungen die Nothwendigieit heraus, mit solchen Grössen 
zu rechnen. Da die Bezeichnung ^^imaginär^^ leicht die falsche 
Vorstellung erwecken könnte, dass die Eechnung mit imaginären 
Grössen unzulässig sei, nennt man dieselben gewöhnlich zum 
Unterschiede von d^ reellen Grössen complexe Grössen und 
kann zeigen, dass sich alle Rechnungen mit ihnen in derselben 
Weise ausfuhren lassen wie mit reellen Grössen. Ihre allge- 
meine Form ist 

a + ly — 1 oder a + W, 

wobei a und b reelle Grössen sind, a heisst der reelle TheU 
und b der Factor des imaginären Theils. Ist der reelle Theil 
einer complexen Grösse gleich 0, so heisst sie rein imaginär. 



§ 131. ErkläruDg der complexen Grössen. 569 

Wie die reellen Grössen ans den beiden Einheiten + 1 und 
— 1 gebildet sind, so werden die complexen Grössen aus den 
vier Einheiten 

+ 1, — 1, + *, — i 
gebildet. Auf die so erklärten Grössen kann man ohne Weiteres 
die Eegeln der Addition, Subtraction, Multiplication und Divi- 
sion, wie sie fflr reelle Grössen gelten, anwenden. Das Eesultat 
dieser Operationen ist, wie sogleich gezeigt werden soll, wieder 
eine Grösse von der Form A + Bi. Daraus folgt dann die 
Berechtigung^ mit complexen Grössen ebenso zu rechnen, wie mit 
reellen. 

I. Addition. Complexe Grössen werden addirt, indem man 
die reellen Theile zu den reellen und die Factoren der imaginären 
TheUe zu den Factoren der imaginären Theile addirtj also 

(2.) (a + hi) + (c + dt) = (a + c) + (J + d)i. 

Das Eesultat hat wieder die Form A + Bi. 

II. Subtraction. Zwei complexe Grössen werden von ein- 
ander suhtrahirty indem man die reellen Theile und die Factoren 
der imaginären Theile von einander subtrahirt, also 

(3.) {a + bi) — {c + di) = (a — c) + (b — d)i. 

Das Eesultat hat wieder die Form A + Bi. 

III. Multiplication. Zwei complexe Grössen werden mit ein- 
ander multiplidrtj indem man jeden Theil des einen Factors mit 

jedem Theile des anderen Factors muüiplicirty also 

(4.) {a + bt) (c + di) = ac + bei + adi + bdi^ 

= (ac — bd) + (ad + bc)i. 
Auch hier hat das Eesultat die Form A + Bi. 

In dem besonderen Falle, wo c=a, d= — b ist, erhält man 
(5.) (a + bi) (a — bi) = a2 + b\ 

Hier ist das Eesultat sogar eine positive reelle Grösse. 

Zwei solche complexe Grössen, die sich nur durch das Vor- 
zeichen des imaginären Theiles von einander unterscheiden, 
heissen conjugirt; es gelten für sie die folgenden Sätze: 



670 § 131. Erklärung der compleoLen Grosseo. 

1) Die Summe zweier conjugirt camplexen Grössen ist reeü: 

(6.) (a + hi) + (a — b%) = 2a. 

2) Die Differenz zweier can/uffirt complexen Grössen ist 
rein imaginär: 

(7.) (a + bi) — (a _ W) = 2bi. 

3) Das Product zweier conjugirt complexen Grössen ist reeü 

und positiv: 

(a + bi)(a — bi) = a^ + b\ 

Dieses Product heist nach Gauss die Norm von a + bi und 
ebenso die Norm von a — bi. Um die Norm einer complexen 
Grösse zu bezeichnen, setzt man ein N vor dieselbe; es ist also 

(8.) N{a + bt) = N{a^ bi) = a» + b\ 

Die Quadratwui'zel aus der Norm, mit positivem Vorzeichen 
genommen, heisst der Modul oder (nach Weierstrass) der ab- 
solute Betrag der complexen Grösse. Das Zeichen dafür ist ein 
vorgesetztes M oder zwei senkrechte Striche, von denen die 
complexe Grösse eingeschlossen wird, also 



(9.) 



j M(a + bi) = \a + bi\ = + Ya^ + b^, 
\ M{a — bt)^\a—bi\^ + yWT^\ 
Aus der Gleichung 



XX 1 a — bi a — bi 

^^^') a + bi" {a + bi){a — bi) "" «2 + j2 

folgt der Satz: 

4) Der reciproke Werth einer complexen Grösse ist gleich 
ihrer conjugirten^ dividirt durch die Norm. 

IV. Division. Bei der Division complexer Grössen multi- 
plicirt man Zähler und Nenner mit der zum Nenner conjugirten 
Grösse, dann hat man nur noch durch eine reelle Grösse, nämlich 
nur durch die Norm des Nenners zu dividiren. Dies giebt 

. . c + di (c + di) (a — bi) ac + bd ad — bc , 

(^^•) 74rw""(a+ W)(a — W)"" a^ + i^ + «2 + ^2 *• 

Auch hier hat das Eesultat die Form A + Bi. 

Da eine Potenz mit ganzzahligem Exponenten em Product 
ist, so kann man auch eine complexe Grösse potenziren. Es 
wird also 



% 182. Einige Sätze über complexe Grössen. 571 



§ 182. 

Einige Sätze Ober complexe GrBssen. Moi vre 'sehe 

Formein. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 164—169.) 

Da eine rein imaginäre Grösse die Quadratwurzel aus einer 
negativen Zahl ist, so kann eine reelle Grösse, welche von 
verschieden ist, niemals einer rein imaginären Grösse gleich sein. 
Ist also 

(1.) a + W=0, 

so mässen a und h einzeln gleich sein. Dies giebt 

Satz 1. Sind zwei complexe Grössen einander gleich^ so 
müssen die reellen Theile und ebenso auch die Faktoren der 
imaginären Theile einander gleich sein. 

Beweis. Aus 

(2.) a + W = c + di 

folgt 

(3.) (a + ht) — {c + di) — {a — c)+{b — d)i=iO. 

Dies giebt aber 
(4.) a — c = 0, h — rf=0, oder a = c, b = d. 

Jede Gleichung zwischen complexen Grössen umfasst daher 
zwei Gleichungen zwischen reellen Grössen. 

Die complexen Grössen lassen sich auch noch in einer etwas 
anderen Form darstellen« Setzt man nämlich 



(5.) I a + W| = + ya2 + i2 = r, 

so wird r^a und r ^ 5, folglich kann man zwischen und 2n 
(bezw. zwischen 0® und 360®) einen Winkel y so bestimmen, dass 



n 


90« „ 180^ 


n 


r 


180« „ 270«, 


n 


» 


270« „ 360«, 


n 



572 § 132. Einige Sätze über complexe GrössexL 

(6.) cosy = — > srny = — 

wird. Dabei liegt der Winkel q> 

zwischen 0« und 90«, wenn a>0, i >0, 

a<0, i>0, 
a<0, i<0, 
ö>0, J<0. 

Dieser Winkel ^ heisst das Argument der complexen Grösse 
a + hi. Durch Einfahrung dieser Bezeichnungen wird 

(7.) a '\- bi:=ir (cosy + i sin 9)). 



Multiplicirt man jetzt die complexen Grössen r^ (cos y , + tsin^pi ) 
und rj (cosyj + t sin 9)2) mit einander, so erhält man 

Ir^ (cos^i + t sinyi) . r^ (cosy2 + **siny2) = 
^1 ^2 [(cos y 1 COS5P2 — sin y isin5p2) + 1 (siny?! 0089)2 + cosy , sin5p2)] 
= r^r^ [cos (^1 + ^2) + ♦ sin {tp^ + yj)]- 

Diese nach Moivre genannte Formel giebt 

Satz 2. Complexe Grrössen werden mit einander multiplicirt^ 
indem man ihre absoluten Beträge mit einander multipUcirt und 
ihre Argumente addirt. 

Dieser Satz lässt sich ohne Weiteres auf Producte von drei 
oder mehr Factoren übertragen; es ist also 

ri(cos9)i+tsinyi) . ^2(0039)2 + * sin9)2) • ^3 (cos 9)3 + «sin y^) 

1^2^3 [COS(yi + y2 + SP3)-|-»Sto(yi + 9>2 + SPs)]- 

Sind die Factoren alle einander gleich, so erhält man 
(10.) [r (COS9) + i siny)]»* = r~ [cos (»y) + t sin (»5p)] :; -^^ 

und damit 

Satz 3. Eine complexe Grösse wird potenzirt, indem man 
den absoluten Betrag potenzirt und das Argument mit dem Potenz- 
exponenten multiplicirt. 

Für r = 1 geht die Gleichung (10.) über in 

cos (nq)) + «sin (ny) = (cosy + « siny)* = 



(9.) /^»(«^^T 
l ='•1 



§ 132. Einige Sätze über complexe Grössen. 578 

cos*5p — f ^ jcos«-2y sin^y + ( ^)cos**~V sin^y — h ... 

+ t f ^ jcos**~V siny — ( jcos**-^9) sin^ H ... . 

Dies giebt mit Eücksicbt auf Satz 1 
(11.) cos(n9))=cos'*9) — C^^ — h. . ., 

(12.) sin (ng>) =f ^ jcos'*-^ siny— f ^ jccs^-V sin^yH .... 

Durch diese Formeln, in denen das Multiplicationstiieorem 
der trigonometrischen Functionen ausgesprochen ist, lassen sich 
Qjo^in^) und sin(n^) als rationale Functionen von cosjp und sin 9) 
darstellen. 

Es wird z. B. für w = 5, wenn man noch die Kelation 
cos^jp + sin^y = 1 anwendet, 

cos (55p) = cos^y — 10 cos^y sinV + 5 cosy sinV 

= 16 cos^y — 20cos^y + 5 cosy, 
sin (5 5p) = 5 cos^ siny — 10 cos^jp sin^jp + sin^y 

= 16 sin^y — 20 siQ^y + 5 siny. 

Für die Division zweier complexen Grössen erhält man jetzt 
r^ (cosy^ +^'sinyt) _ r^ (cos y^ + 1 sin y^) (cos ^2 — ^ sin (p^ 
r^ (cos ^2 + * süi ^2) "~ ^2 (cosy2 + * siny2) (cos 5P2 — * sin (p^ 
__r^ (cosyt cosy2+sinyi siny2) + 1 (sin y^ cosy2 — cosy^ siny2) 
^ r^ C0S^y2 + SÜi2y2 

oder 

/-.«\ /•i(cosyi +*'sinyi) ^1 r / \ • • • / m 

(!»•> 4(008 yU^sinS = t f^« ^^^ - f'^^ + ' ^ (^> - ^^)]- 
Daraus folgt 

Satz 4. Complexe Gfrössen werden durch einander dwidirt, 
indem man die absoluten Beträge durch einander dividirt und 
die Argumente von einander suhtrahirt. 

Der Satz 3 macht es jetzt auch möglich, aus einer complexen 

Grösse die »*• Wurzel auszuziehen. Unter yr (cos y + t sin y) 
versteht man nämlich eine Grösse, deren ;^*• Potenz gleich 



574 § 1B3. Geometrische DarsteUung der complexen Grössen. 

r (cos 9) + « siny) ist. Diese Eigenschaft besitzt für ganzzahlige 
Werthe von h die complexe Grösse 

(14.) ^ = yV[o.(SH^)+.«n(2±i*2)} 

denn es wird nach Gleichung (10.) 

^♦» = r [cos (y + 2Ä7r) + i sin {tp + 2Ä7r)], 

oder, weil 

cos(9) + ^Att) = COS5P und sin (y + 2Ä7r) = siny 

ist, 

(15.) ^•* == r (cos 9P + * siujp). 

Dies giebt 
(16.) f r (cosy +«smy) = v7[cos(J^i^) +.sm(^^i^)] 

Dabei erhält man für die w*® Wurzel aus einer complexen 
Grösse im Ganzen n von einander verschiedene Werthe, wenn 
man der ganzen Zahl h die Werthe 0, 1, 2, . . . n — 1 beilegt. 

Damit ist bewiesen: 

Satz 5. Aus einer complexen Grösse wird die Wurzel ge- 
zogen^ indem man sie aus dem absoluten Betrage zieht und das 
Argument durch den Wurzel-Exponenten dividirt. 

Gleichzeitig sind hiermit auch die Potenzen, deren Exponent 
eine gebrochene Zahl ist, ebenso für complexe Grössen erklärt 
wie für reelle, indem man 

(17.) A^ = \r^P=(\/A)p 

findet. 

§ 133. 

Geometrische Darstellung der complexen Grössen. 

Wie man die reellen Grössen durch Punkte oder Strecken 
in einer geraden Linie geometrisch darstellen kann, so kann man 
die complexen Grössen durch Punkte oder Strecken in einer JEbene 
darstellen. Dabei soll der folgende Grundsatz gelten: 

Zwei Strecken sind einander gleich^ wenn sie gleiche Länge 
und gleiche Richtung hohen. 



§ 133. Geometrische DarsteUung der complezen Grössen« 575 



Fig. 149. 
T 



Jl 



(J 



+1 



Fig. 150. 



Dann bezeichne man mit + 1 eine Strecke , deren Länge 
gleich 1 ist, und deren Eichtung parallel ist zur positive 
Eichtimg d^ X-Axe. Mit +i dagegen bezeichne man eine 
Strecke, deren Länge auch gleich 1 ist, deren Eichtung aber 
parallel ist zur positiven Eichtung der F-Axe. (Vergl. Fig. 149.) 

Damit ist natürlich noch nicht ge- 
sagt, dass + i dieselbe Bedeutung habe 
wie in den vorhergehenden Paragraphen, 

dass nämlich i gleich Y — 1 sei; es 
sollen vielmehr die hier folgenden Un- 
tersuchungen zunächst ganz unabhängig 
von den vorhergehenden geführt werden. 
Demnach werde hier die complexe Grösse 
a + hi durch eine Strecke OP erklärt, 
welche den Anfangspunkt der Coordinaten und einen Punkt 
P mit den Coordinaten OQ = a^ QP = h verbindet. (Vergl. 
Fig. 150.) Man gelangt nämlich vom 
Punkte aus zum Punkte P, indem 
man a Einheiten in der Eichtung der 
X-Axe und b Einheiten in der Eichtung 
der F-Axe durchläuft, oder indem man 
zuerst b Einheiten in der Eichtung der 
F-Axe und dann a Einheiten in der 
Eichtung der X-Axe durchläuft. 

So entspricht jeder complexen Grösse a + bi ein Punkt P 
in der Ebene und jedem Punkte P eine complexe Grösse 
a + bi. Durch die Gleichungen 
(1.) a = rcosy, b = rsiny, a + W = r{co^(p + isin^)) 

kann man auch Polarcoordinaten einführen. Dabei heisst r der 
absolute Betrag der Strecke OP, weil ihre Länge gleich r ist, und 
der Winkel y heisst das Argument der complexen Grösse. 

Die so erklärten complexen Grössen kann man nun durch 
Addition, Subtraction, Multiplication und Division mit einander 
verbinden, indem man dieselben Eegeln anwendet, welche für 
reelle Grössen gebräuchlich sind; und zwar geschieht das in 
folgender Weise: 




576 § 133. Geometarisclie DarsteUung der compleoLen GröBseiL 



Fig. 151 







P 






I. Addition. Will man die Addition zweier reellen Grrossen 

geometrisch ausführen, so trägt man auf einer Geraden, z. B. 

auf der X-Axe vom Anfangspunkte aus eine Strecke OP ab, 

welche der einen Grösse entspridit, 
und darauf vom Punkte P aus eine 
zweite Strecke PÄ, welche der an- 
deren Grösse entspricht. Dadurch 
erhält man eine Strecke OB, welche 

die Summe der beiden gegebenen Grössen geometrisch darstellt. 

In welcher Reihenfolge man die beiden Strecken auf einander 

folgen lässt, ist dabei gleichgültig. 

Genau ebenso kann man zwei complexe Grössen a^ + bii 
und «2 + hh welche durch die Strecken OF^ und OP2 geome- 
trisch dargestellt sind, addiren (vergl. Fig. 152). Man macht 
Pig 152^ zu diesem Zwecke den Punkt 

Pi zum Anfangspunkte einer 
Sü'ecke Pi-B, welche der 
Strecke OP^ gleich ist, d. h. 
welche mit OP^ gleiche Länge 
und gleiche Sichtung hat. Da- 
durch erhält man ein Parallelo- 
gramm OP^RP^, in welchem 
der Punkt ü, bezw. die Diago- 
nale OR die Summe der beiden 
gegebenen Strecken OP^ und OP2 ist. 

Da die Seite P^R der Seite OP^ gleich und parallel ist, 
so hätte man auch P^ zum Anfangspunkte einer Strecke P^R 
machen können, welche der Strecke OP^ gleich ist, und wäre 
zu demselben Punkte R gekommen. 

Wie man sehr leicht aus Figur 152 nachweisen kann, sind 
dabei die Coordinaten des Punktes R gleich a^+a^ und Äi-fi^, 
so dass er in der That der complexen Grösse 

(2.) («1 + b^i) + («2 + *2*J = («1 + «2) + (*i + *2)* 

entspricht. 

In dieser Gonstruction ist der Satz vom Parallelogramm der 
Kräfte enthalten. Versteht man nämlich unter OP^ und OP^ 




§ 133. Geometrische Darstellung der complexen Grössen. 577 



zwei Kräfte mit demselben Angriffspunkte 0, so haben sie mit 
der Diagonale OR des Parallelogramms OP^BP^ gleiche 
Wirkung. Dabei sind 

a^ und ii die Componenten von OP^^ 

^2 » ^2 ?) » w ^-M> 

«1 + «2 „ *! + ^2 J9 M » Ö-S- 

Die Componenten der resultirenden Kraft findet man also, 
indem man die Einzelkräft)e in ihre Componenten zerlegt und 
die gleichgerichteten Componenten addirt. 

II. Subtraction. Da eine Grösse von der anderen subtrahirt 
wird, indem man die entgegengesetzte Grösse addirt, so kann 
man die Subtraction auf die Addition zurückfiihren und findet 

(3.) (ai + b^i) — («2 + *2*) = («1 + *iO + {—<h — h^l 

= («1 — «2) + (*i — ^2) *'• 

III. Multiplicatlon. Für reelle Grössen gilt die Regel: Das 
Prodicct A . B entsteht aus B wie A aus der Einheit. Dieselbe 
Regel kann man auch bei der Multiplicatlon zweier complexen 
Grössen r^ (cos 9)1 + tsin^i) und rjCcos^j + «sin 9)2)? welche den 
Strecken OP^ und OP^ entsprechen, anwenden. 

Hat der Punkt E (Fig. 153) '^^' ^^' 

die Coordinaten a = 1 und i = 0, 
so entsteht die Strecke OP^ aus 
der Einheit O JB, indem man durch 
eine Gerade legt, welche mit 
OE den Winkel y^ bildet, und 
auf dieser Geraden die Länge der 
Einheit (OJE) r^-mal abträgt. 
Ebenso findet man das Product 
der beiden Strecken OP^ und OP2, 
indem man durch den Anfangs- 
punkt eine Gerade legt, welche 
mit der Geraden OP^ den Winkel y^ bildet, und auf dieser 
Geraden die Länge von OP^ (also r<^ r^-mal abträgt. Dadurch 
erhält man einen Punkt Ä, welcher dem Producte der beiden 
complexen Grössen entspricht. 

Stegemann- Kiepert, Differential-Rechn\ing. 




37 



578 § 133. Geometrische Daistellung der complexen Grössen. 

Durch den Umstand, dass die beiden Dreiecke OEP^ und 
OP^It einander ähnlich sind, wird auch die Construction des 
Punktes JR verhältnissmässig einfach. Man mache zu diesem 
Zwecke das Dreieck OE'P*^ dem Dreieck OEP^ congruent und 
ziehe P^B parallel zu E'P^, Dabei hat die Strecke OB nach 
Construction die Länge r-^r^ und bildet mit der positiven Richtung 
dOT X-Axe den Winkel y^ + ^2) so dass man erhält 

.^ 1 ^i(^^S9i + isin^j) . rjCcos^a + iwi^^ 

\ = n ^2[«>s(yi + 9)2) + i^{(px + SPa)]- 

Es gilt also auch hier der Satz: Complexe Ghrössen werden 
mit einander muUiplicirt ^ indem man die ahaoluten Beträge mit 
einander mtUtiplicirt und die Argumente addirt. 

In dem besonderen Falle, wo 

TV 7t 

ri = l, ^2 = 1, SPi=-2' ^2 = ^ 

ist, geht die Gleichung (4.) über in 
(5.) «2 = _ 1. 

Damit ist bewiesen, dass die complexen Grössen j welche in 
diesem Paragraphen geometrisch erklärt tourden^ mit den früher 
betrachteten identisch sind. 

IV. Division. Da die Division die Umkehrung der Multipli- 
cation ist, so liegt in der eben angegebenen Construction aach 
die Anleitung zur Division complexer Grössen« Soll man nämUch 
die den Strecken OB und OP^ entsprechenden complexen 
Grössen durch einander dividiren, so macht man wieder das 
Dreieck OP^B (Fig. 153) ähnlich dem Dreieck OEP^ , so dass 
Pj und E homologe Punkte sind. Die Strecke OP2 entspricht 
dann dem gesuchten Quotienten, und es gilt der Satz : Complexe 
Grrössen werden durch einander dividirt, indem man die abso- 
luten Beträge durch einander dividirt und die Argumente von 
einander subtrahirt. 

Man kann die Sätze über Addition und Multiplication aus- 
dehnen auf Summen von beliebig vielen Summanden und auf 



§ 134. Vier Sätze über die absoluten Beträge. 



579 



Producte mit beliebig vielen Factoren. Soll man z. B. die 
Strecken 

«1 + *i«, «2 + hh . - «n + bni 
addiren, so erhält man für die Summe der beiden ersten Strecken 
einen Punkt Ä^ ™t den 
Coordinaten a^ + Oj uiid 
Jj + ijj flu" die Summe 
der drei ersten Strecken 
einen Punkt iJj mit den* 
Coordinaten «i + «2 + 03 

und ^1 + *2 + *3; Mi die- 
ser Weise kann man fort- 
fahren, bis man einen 
Punkt Bn mit den Coor- 
dinaten ai + «2 + ... + an 
und ij + *2 + . . . + *n er- 
hält, welcher der Summe entspricht. Ist das Polygon 
OPiÄjJBs ' ..Bn geschlossen, so dass der letzte Punkt J2„ mit 
dem Anfangspunkte zusammenfällt, so ist die Summe gleich 
NuU; die Bedingung flir einen geschlossenen Streckenzug ist 
daher 
(6.) 2(a + bi)^0. 




§ 134. 

Vier Sätze über die absoluten Beträge. 

Satz 1. Der absolute Betraff der Summe zweier compUxen 
Grössen ist {gleich oder) kleiner als die Summe der absoluten 
Beträge und {gleich oder) grösser als die Differenz derselben. 

Beweis. Die Summe der beiden complexen Grössen 
r^ (cos 9)1 -f tsin^i) und r2 (cos 9^2 + «sin 9)2) ist 

(r^cosyt + ^2^089)2) + «(^iSin^i + r2siny2); 
der absolute Betrag dieser Sunmie wird daher 



V^i^ + ^2^ + 2rir2COS(9)i — y,)- 



37 



580 § 134. Vier Sätae über die absoluten Beträge. 

Dieser Ausdruck erhält seinen grö&sten Werth, nämlich den 
Werih r^ + ^2? wenn cos(yi — y^) = + 1 wird; den kleinsten 
Werth dagegen, nämlich den Werth \r^ — r^\^ erhält er, wenn 
cos(5Pi — ^2) = — 1 wird. Deshalb ist 

(1.) I ri — ^2 I ^ Vr^^ + ra^ + 2r^r^ cos(yi — 9P2) ^ n + r^. 

Damit ist der Satz bewiesen. 

Viel einfacher gestaltet sich der Beweis mit Hülfe der geo- 
metrischen Darstellung; denn da ist dieser Satz identisch mit 
dem Satze: In einem Dreiecke OP^R (Fig. 152) ist die Seite 
OR kleiner als die Summe und grösser als die Difi^erenz der 
beiden anderen Seiten OP^ und P^R. 

Satz 2. Der absolute Betrag der Differenz zweier com- 
plexen Grössen ist {gleich oder) kleiner als die Summe der 
absoluten Beträge und (gleich oder) grösser als die Differenz 
derselben. 

Beweis. Man kann die Differenz auch als eine Summe auf- 
fassen, indem man die Grösse, welche subtrahirt werden soll, 
mit dem entgegengesetzten Vorzeichen versehen, addirt. Deshalb 
folgt dieser Satz schon aus dem vorhergehenden Satze. 

Man kann somit den Satz 1 auch ohne Weiteres ausdehnen 
auf die Summe oder Differenz beliebig vieler Grössen. 

Satz 3. Der absolute Betrag des Productes zweier complexen 
Grössen ist gleich dem Product der absoluten Beträge, 

Der Beweis des Satzes folgt aus der Gleichung 

(2 ) I ^^ (cosy?! + esin^i) . r^ (cos^a + «sinyj) 

Satz 4. Der absolute Betrag des Quotienten zweier com- 
plexen Grössen ist gleich dem Quotienten der absoluten Beträge. 

Auch hier folgt der Beweis unmittelbar aus der Gleichung 

/•.(coscpi + *sincpi) ^1 r / \ , • • / \i 



\tz 



§ 135. Unendliche Reihen mit complexen Gliedern. 581 

§135. 

Unendliche Reihen mit complexen Gliedern. 

(Vergl. die Formel-Tabelle Nr. 74 und 75.) 
Eine unendliche Seihe 

K + V) + («1 + *!*) + («2 + hi) + . . -J 

bei der die eit%zelnen Glieder complexe Grössen sind, heisst con- 
verffentj wenn die reellen Theile und die Factoren der imaginären 
TheÜe für sich zwei convergente Reihen bilden ^ wenn also die 
Reihen 

^ = «0 + «1 + «2 + • • •? 
*0 + *1 + *2 + •••? 

converffent sind; und zwar heisst sie unbedingt convergent, wenn 
A und B unbedingt coiivergente Reihen sind. Ihre Summe wird 
sich dann derselben Grenze 

(2.) S^A + Bi 

nähern, wie man auch die Glieder der Reihe anordnen mag. 
Auch hier gilt der bereits in § 48 bewiesene Satz: 
Eine Reihe mit complexen Gliedern ist unbedingt convergent, 

wenn die Summe der absoluten Beträge convergirt 

Beweis. Ist 

(3.) ro = [öo + VIj ^1 = kl + *i«1, ^2 = |a2 + M j • • • ? 

SO convergirt nach Voraussetzung die Reihe 

^0 + Tj + r2 . . . . 
Nun ist aber 

^0 ^ KIj ^1 ^ My ^2 ^ hl> • • • J 

folglich sind die Reihen 

l«ol+|öil + KI+---, 

l*o| + |*l| + |52|+... 

erst recht convergent, d. h. die Reihen 

«0 + «1 + ö^ + . . . und Jo + *i + *2 + • • • 
sind nach Formel Nr. 74 der Tabelle unbedingt convergent. 
Deshalb gilt auch dasselbe für die Reihe 

K + *o*) + («1 + *iO + i^2 + hi) + 



582 § 135. Unendliche Reihen mit complexen Gliedern. 

. Der Wortlaut dieses Satzes stimint genau überein mit dem 
letzten Satze in § 48 (S. 213, vergl. auch Formel Nr. 74 der. 
Tabelle); dort handelte es sich aber um Reihen mit positiven 
und negativen reeUen Gliedern, während hier die einzelnen 
Glieder complexe Grössen sind. 

Auch der Satz, welcher in § 49 für die Multiplication zweier 
unbedingt convergenten Reihen mit reellen Gliedern bewiesen 
wurde, lässt sich jetzt auf Reihen mit complexen Gliedern über- 
tragen. Dieser Satz lautet: 

Sind 

. U =^ Uq + U^ + IC2 + . . , und V=:Vq+V^+V2 + ... 

zwei unbedingt convergente Reihen (deren Glieder jetzt auch 
complex sein dürfen), und ist 

Wq == UqVq , 

W2 = Wo ^2 + ^1^1 + "2«^0> 



^n = Wot?« +,Wit?»_i + . . .+ Wn-lt?i + UnVQ, 

SO ist auch die Reihe 

^0 + ^1 + ^2 + • • • 
unbedingt convergent, und ihre Summe W ist gleich dem Pro- 
dukte UV der Summen der beiden ersten Reihen, 

Beweis. Nach Voraussetzung sind die Reihen 

l«o| + I wi I + I «^2 1 + • • • und I t?o I + I t?i I + I «?2 1 + • • • 
convergent. Bezeichnet man ihre Summen bezw. mit TP und P, 
und mit W* die Reihe, welche durch Multiplication der beiden 
Reihen TP und V* entsteht, so kann man in diesen drei Reihen 
die Summen U'ny V'n, W*n der n ersten Glieder absondern und 
findet ebenso wie in § 49, dass 

' U*n V'n— W'n-= K-l| • K-l| + (K-2| • |e?n-l| + K-l| • |«?«-2|) + • - • 

+ (|Wi|.|t?n-l| + N.K-2| + ... + K-2|.|ü2| + K-l|-K^ 
= |Wn-lt?n-l| + (|Wn-2«?n-l| + |w„-it)n-2|) + • • • 

für hinreichend grosse Werthe von n beliebig klein wird; folg- 
lich wird nach den Sätzen des vorhergehenden Paragraphen der 
absolute Betrag von 



§ 136. Function einer complexen Veränderlichen. 583 

+ (Wit?n-1 + tt2^«~2 + . . . + Wn-2«^2 + Un^[V\) 

erst recht beliebig klein, denn der absolute Betrag einer Summe 
Ist kleiner als die Summe der absoluten Beträge. Es wird daher 

limTr^=:lim?7„F'n= UV. 

n =sQo n =00 

Dabei ist auch w?o + ^1 + ^^2 • • • unbedingt concergentj denn 
ersetzt man die Grössen Wo? ^ij ^2> • • «j ^oj ^d «^2> • • • durch ihre 
absoluten Beträge, so verwandeln sich die Grössen w^^ w^^w^,.., 
in lü'o, w\, w*2, . . ., und es wird 

Jetzt ist die Eeihe w'q+ w\+w\+ . . . convergent, folglich 
ist die Reihe 

I «^0 1 + I «^1 1 + 1 «^2 1 + . . . 

erst recht convergent. 

§136. 

Functionen einer complexen Veränderlichen. 

(Vergl. die Formel-TabeUe Nr. 170.) 

Da man die Operationen der Addition, Subtraction, Multi- 
plication und Division bei complexen Grössen in derselben Weise 
ausfähren kann wie bei reellen, so kann man auch ganze und 
gebrochene rationale Functionen von einer complexen Veränder- 
lichen 

(1.) z = x + yt 

bilden. Eine solche Function kann immer auf die Form 

(2.) / (z) =f{x + yi) — 9> (x, y) + ixp {x, y) = u + vi 

gebracht werden, wenn man die Operationen, welche durch die 
Bildung der Function gefordert werden, wirklich ausführt. 
Dabei sind <f (x, y) und xp {x, y) wieder rationale Functionen der 
beiden Veränderlichen x und y, die nur reelle Grössen enthalten. 
Auch irrationale Functionen von x + yi kann man bilden, 
da es möglich ist, bei jeder complexen Grösse n Werthe der 
Wurzel n^^ Grades anzugeben. Ausserdem kann man noch 
transcendente Functionen von x + yi durch convergente Reihen 
erklären. Beispiele hierzu bieten die Reihen 



584 § 136. Function einer complezen VeranderlichecL 

1 o. ^ + y*' o. (^ + y*')^ 4. (^ + y»)^ . 

^■*' 1! ■*■ 2! "^ 3! ■*■•••' 
1! 3! "^ 5! ■*■•••' 

A 2! ■*■ 4! ■*■••• 

u. s. w., welche bezw. in ^, sin^r, cos z übergehen, wenn y gleich 
wird. Diese Beihen sind anch convergent, weil die Summe 
der absoluten Beträge convergirt. Auf die so gebildeten Func- 
tionen lassen sich ohne Weiteres alle Erklänmgen nnd Sätze 
ausdehnen, welche in der Differential-Bechnung für Functionen 
mit einer reeUen Veränderlichen gegeben worden sind; dabei ist 
natürlich 

(3.) dz^:^ dx + idy, df{z)-=^d{u-\- vi) = dw + idv^ 

SO dass man es, abgesehen von dem Factor i, auch hier nur 
mit den Differentialen reeller Grössen zu thun hat. 

Bemerkenswerth sind hier aber noch die folgenden Formeln : 

Man kann/(«) als Function der beiden Veränderlichen x 
und y betrachten und erhält deshalb 

dx dz ^' dy dz dy 

oder 

Dies giebt 

oder mit Bücksicht auf Gleichung (2.) 
/« \ du , .dv , .du dv 

also 

. du^dv öw_ dv 



1 



§ 137. Zusammenhang der Functionen e", smx und cos 2;. 585 

§ 137. 

Zusammenhang der Exponential-Function mit den 
trigonometrischen Functionen. 

(VergL die Formel-Tabelle Nr. 171—179.) 

Es sei eine Function / (2:) erklärt durch die Gleichung 

(1.) /(^)=i+n + lT+lT + '--' 

wobei z jetzt auch complexe Werthe x + yi haben darf. 

Multiplicirt man diese Beihe mit 
(2.) /(^^)=i+iL+|i+|!+..., 

so erhält man 

(3.) f{z) ,f{z^) = w?o + «^1 + «^2 + • • M 

wobei nach Formel Nr. 75 der Tabelle 

Z + Zx 



w^ 



= 1, «'1=11 + 1!^ V. 



^~ 2!"^ 1!' l!"*" 2! - 2! ~ 2! ' 

'*'" „!^ („_!)! i! + („_2)! 2!^' 

~ »! 
wird. Deshalb ist 

Beschränkt man z und «i auf reelle Werthe, so wird 
und die Gleichung (4.) giebt die bekannte Relation 

(5.) e« . e«i = <9»+«i. 



586 § 137. Zusammenhang der Functionen e*, sin 2: und coso:. 

Man bezeichnet nun die durch Gleichung (1.) erklärte Func- 
tion /(xj) auch dann noch mit ^ und nennt sie Exponential-Ikmc- 
tion, wenn z beliebige complexe Werthe annimmt, obgleich dann 
z kein eigentlicher Exponent mehr ist. Es ist also bei dieser 
Erweiterung des Begriffes die Function ^ nicht mehr als eine 
Potenz aufzufassen, sondern als die Reihe 

z z z 

Wie aber soeben gezeigt wurde, gilt auch dann noch die 
Gleichung (5.), in welcher das Additionstheorem der Exponential- 
Function ausgesprochen ist. 

Um zu untersuchen, welchen Sinn c* für complexe Werthe 
von z hat, setze man zunächst :r = 0, also z = y^; dann wird 

(6.) r ~V 2!^4! 6!+ '')^\l\ 3!^5! +"7 
I ==cosy + tsiny. 

Ebenso findet man für « = — yi. 
(7.) e-y^ = cos y — i siny. 

Daraus folgt 

.^ . ev' + e-y' . ev' — e'V^ 
(8.) cosy = 2 ' smy= -. 

Setzt man jetzt z-=ix + yi, so wird nach Gleichung (5.) 
(9.) ^y* = e^ey* = ^ (cosy + * siny). 

Aus diesen Beziehungen ergeben sich auch mit grosser 
Leichtigkeit die Moivr e^^chen Formeln (vei^L die Formel- 
TabeUe Nr. 165 bis 169). Die Gleichung 

kann nämlich auch in der Foim 

(10.) (cos yi + tsinyi)(cosy2+*siny2) = cos(yi +y2)+*sin(yi +92) 
geschrieben werden. Dies bestätigt Formel Nr. 165 der Tabelle. 
Femer ist 

1 1 



(11.) e^^^* = cosy2 — esmy2 = 



cos 9^2 + * sin 9)2 0^2» 



§ 137. Zilsammeiüiaiig der Functionen c«, sina; und cobx, 587 

also 

(12.) = ef^' . e - ^2»- = e(<Pi-'f 2)» , 

oder 

Dies bestätigt Formel Nr, 168 der Tabelle. 

Durch wiederholte Anwendung des Addüionstheorems ergiebt 
sich das MuUiplicatiomtheorem der Exponential-Function, das in 
der Gleichung 

(14.) {e'f'Y = e"^' 

ausgesprochen ist. Diese Gleichung enthält aber zugleich auch 
das MuMiplicaiiomtheorem der trigonometrischen Functionen, 
denn sie kann auch in der Form 

(cosy + isiny)'* = cos(wy) + tsin(/iy) 

geschrieben werden und liefert dann die Formeln Nr. 167 der 
Tabelle, nämlich 



cos(»y) = cos**y — (9)cos*'~V sin^y 



(15.) } 



+ Cv\ cos^-^y sin^y h • . . , 



sin(wy) =( j cos**-^9)sin9) — f jcos"~V sinV 



+ 



Besonders zu beachten ist es noch, dass aus Gleichung (6.) 
für y = 27r, 47r, . . . 2h7t 

(16.) e^^ = 1, ö*^*" = 1, ö^*^« = 1 

folgt, wenn h eine beliebige positive oder negative ganze Zahl 
ist. Femer wird deshalb 

(17.) g»+2Am -- ^ ^ ^2A7f — ^^ 

Die Exponential-Function hat also die Eigenschaft, dass 
sich ihr Werth gar nicht ändert, wenn man die Veränderliche z 
um ein Vielfaches von 2n% vermehrt. Man nennt deshalb 27vi 
eine Periode der Exponential-Function und ^ selbst eine perio- 
dische Function. In ähnlicher Weise sind auch die trigonometri- 



588 § 137. Zusammenliang der Functionen e'^, sirx und cosx. 

sehen Functionen periodische Functionen, und zwar ist ihre 
Periode 27r, denn sie ändern ihren WerÜi gar nicht, wenn man 
den WerÜi der Veränderlichen um ein Vielfaches von 2n vermehrt. 



Setzt man der Kürze wegen 

(18.) ö^* = C0S5P + tsiny = w, ^r-V* = cosy — tsingp = v, 
so wird 

Iw + t? = 2COS9), u — ü = 2ism^, UV = 1, 
w« + t?« = ^(pi + e-*^* = 2cos(m5p), 
u^ — ü» = e«»y«' — e-^V* = 2^sin(m9)). 

Nach dem binomischen Lehrsatze erhält man dann 

oder, wenn man auf der rechten Seite dieser Gleichung je zwei 
Glieder mit einander vereinigt, von denen das eine ebenso weit 
vom Anfange wie das andere vom Ende absteht, 

{U + t?)2» = (m2« + v^) +C^^^^«e?(w2«-2 + ^2n-2) 
+ Q^\ U^V\U^-^ + t?2n-4) ^ _ 

Dies giebt mit Eücksicht auf die Gleichungen (18.) und (19.) 
2^« (cos y )^'» = 2 cos (2w5p) + Q^ 2 cos (2» — 2) y 

(20.) ! +(^2^)2cos(2» — 4)y + ... 



+ 



C-0^-(^'+D 



1 



§ 137. Zusammenhang der Functionen e^, sinx und cosa:. 589 

Ebenso findet man 

^ J2cos(2»— l)y + ... 

Bildet man jetzt in ähnlicher Weise 

+ (^^) w2^2(«^2n-4 + tp2n-4) + . _ 

+ (_ l)«-^(^ ^ ^^n-l^n-l (e^2+^2) + (« l)«^^^^Vü«, 

SO findet man mit Rücksicht auf die Gleichongen (18.) und (19.) 
(— ly 22» (siny)2« = 2 cos (2^9)) — ^^f*^2 cos (2w — 2) y 

2 J2cos(2« — 4)y h... 

Dagegen wird 

(„_t,)2«+l = (mI»+1— »2"+l)— (^^"■'"^)mp(m2»-1 — »2«-!) + — . . . 
+ (— 1)"(^'* ^ ^)«"t)»(M— »). 

Beräcksichtigt man jetzt wieder die GMchungen (18.) und 
(19.) und diyidirt beide Seiten der Gf^Ieichung durch i, so erhält 
man 

(_l)«22«+i(sin9.)2"+» = 



(23.) 



2sin(2w + l)?» — ( ^ ^)2sin(2« — l)y + — . . . 
( + (-l)»-'(f +J)28in(3y) + (-l)«(2"+l)2sin<p. 



590 § 138. Loguithmen der complexeii Grössen. 

Bernttrinuigreii. 

1. Dem Anfänger wird dringend «mpfohlen, diese Formeln durch 
Zahlenbeispiele einznttben, also die Aasdritoke für cos^qp, sin^, eos^ 
sin^, COB^, sin^, . . . wirklich tu. bilden. 

2. Die vorstehenden Formeln finden in der IntQgral-Bechnnng eine 
wichtige Anwendung. 



§ 138. 

Logarithmen der complexen Grössen. 

(Vergl. die Formel -Tabelle Nr. 180 und 181.) 

Nach Gleichung (9.) des vorhergehenden Paragraphen war 

(1.) ß*+y*' = ö* . ey* = ^ (cosy + isiny) = « + vi, 

wo 

(2.) u = e*cosy, V = ö*siny 

reelle Grössen sind. Hierbei waren x und y ganz beliebige 
Grössen. Man kann aber auch die Gleichung (1.) befriedigen, 
wenn die Grössen u und v beliebig g^eben sind, denn aus den 
Gleichungen (2.) folgt dann 



(3.) 



^2« = «2 + v^, oder x — ^ 1(«2 + t?2)^ 
I tgy = ^j oder y = arc tgQj, 



wobei man aber den Werth von y so bestimmen muss, dass 

0<y< — ) wenn w>0, f?>0, 

y<y<^, „ u< 0, «?>0, 

7r<y< — j „ w<0, ü<0, 

— <y<2nr, „ «>0, »<0 
ist, damit die Gldchimgen (2.) befriedigt werden. 



§ 1B9. Zusammenhang der Functionen \x und arctgo;. 591 

Für reelle Grössen war niin der natürliche Logarithmus 
einer Zahl a der Exponent, zu welchem die Basis e erhoben 
werden muss, damit man a erhält, d. h. aus der Gleichung 

^" = a folgte u = la. 

Man erkennt aus dem Vorstehenden, dass man diese Er- 
klärung jetzt ohne Weiteres auf complexe Grössen ausdehnen 
kann^ indem man aus Gleichung (1.) die Gleichung 

(4.) X + yt=^ l(w + vi) 

ableitet. Dabei tritt aber der äusserst bemerkenswerthe Umstand 
ein , dass der Logarithmus von u + vi unendlich viele Werthe 
haben kann, denn nach Formel Nr. 175 wird for ganzzahlige 
Werthe von h auch 

(5.) ^-\ryi+2hni =zu + vi. 

Dies giebt 

(6.) l(u + vi) = X + yi + 2hni. 

Liegt y zwischen — tv und + tt, so nennt man x + yi 
den Hauptwerth von l(w + vt). Aus diesem gehen alle übrigen 
Werthe von l(w + t?t) durch Addition eines ganzzahligen Viel- 
fachen von 27ti hervor. 

Aus der Gleichung 

(7.) ö^* = COSTT + iänn = — 1 

folgt z. B. 

(8.) 1(— 1) = Tri + 2hni = (2Ä + 1)^». 



§ 139. 

Zusammenhang der Functionen \x und arctga?. 

(VergL die Formel-Tabelle Nr. 182.) 

Nach Formel Nr. 59 der Tabelle istftir— l<a:<+l 

{ \H \ \ ^ x^ . x^ x^ . 

(!•) ' 2 3 1 

X X^ Z^ X* 



'i'-^)- 1 2 3 



also 



592 § 140. Auftreten complexer Wurzeln einer Gleichung. 

<^-) '(lil)=<f+f+T+-> 

Damals war x eine reelle Grösse; jetzt gelten aber die znr 
Herleitüng dieser Beihenentwickelong nothwendigen Voraos- 
setzungen anch noch, wenn x eine complexe Grösse ist, deren 
absoluter Betrag kleiner als 1 bleibt. Setzt man z. B. x = gn^ 
wo g) eine reelle Grösse zwischen — 1 und + 1 sein möge, so 
erhält man 

(«•) •(l^)=Kf-¥+¥-l^+— •)• 

Dies giebt aber nach Formel Nr. 65 der Tabelle 



§ 140. 

Auftreten complexer Wurzeln einer Gleichung. 

In § 82 war bewiesen worden, dass jede Gleichung «**" 
Grades n Wurzeln hat, und dass sich die ganze rationale 
Function «*** Grades f{x) auf die Form 

(1.) fix) = (x — x^)f,(x) = (x—x,)(aai^'' + b^x^-^ + ...+bn-0 

bringen lässt, wenn x^ eine Wurzel der Gleichung 

(2.) f{x) = ax*^ + a^x^-^ + . . . + a„-ia: + «n = 

ist. Daraus ergiebt sich der folgende Satz: 

Sind die Coefßcienten einer Gleichung n*^ Grades f{x) = 
sämmüich reeß, und ist x^:=g + hi eine Wurzel dieser Gleichung^ 
so muss auch g — hi eine Wurzel derselben sein. 

Beweis. Nach Voraussetzung ist 

(3.) Ax) = (x-x,)Mx)=:(x-g-ht){P+Qi), 

wobei X als eine reelle Grösse betrachtet werden möge, daun 
wird 

(4.) (x^g-h{){P+Qt)==[(x-g)P+Qh] + [{x—g)Q—Ph]i, 

(5.) (x-g+ht){P-Qt)^[{x-g)P+Qh]--[(x-g)Q—Ph]i. 



§ 140. Auftreten complexer Wurzeln einer Gleichung. 593 

Nun ist aber 

(6.) {x^g — hi){P+ Qi) ^f{x) 

reeUj folglich muss 

(7.) {x — g)Q — Ph = 

sein, d. h. {x — g)Q — Ph muss fiär alle Werthe von x gleich 
Null sein. Daraus erkennt man nach Gleichung (5.), dass auch 

(8.) ix — 9 + ht) {P — Qt) ^f{x) 

wird. Die complexen Wurzeln einer Gleichung rtf^ Grades mit 
reellen Goeffldenten treten also paarweise auf, so dass jeder 
compleKen Wurzel die conjugirte Grösse als eine zweite Wurzel 
der Gleichung isugeordnet ist. 

Dies gilt auch noch, wenn x^^ g + hi eine mehrfache 
Wurzel der Gleichung ist; denn man kann in derselben Weise 
wie oben zeigen, dass/(a;) durch {x — g + htf theilbar sein muss, 
wenn/(a:) durch {x — g — h%f theilbar ist. 

^d die Goefficienten der Gleichung n*^ Grades sämmtlich 
reell, und ist n eine ungerade Zahl, so muss mindestem eine 
Wurzel der Gleichung reell sein. 



Stegemami-Kiepert, Differential-Bechnnng. 3g 



Tabelle 

der wiehtigsten Formell ans d«r Differential-Rechiiiuig. 



, . ,. sin« 

1.) hm -— = 1. [§ 4, GL (5.)] 

2.) lim(X± r) = limX±limF. [§ 5, Gl. (i.)] 

3.) liin(X . Y) = limX . lim F. [§ 5, Gl. (2.)] 

4,) liinf^^)= j^^' wenn lim X 2 ist. [§ 5, Gl. (3.)] 

5.) Eine Function 

y =/(^) 

heisst fiir einen Werth von x stetig, wenn die Differenz 

mit den positiven Grössen d und e zugleich unendlich klein 
wird. [§ 8.] 

7-) G) + G-l) = CD (§9, GL (2.)] 

8-) G) = C-1ä) [§9,aL(3.)] 

Die Formel Nr. 8 gilt nur unter der Voraussetzung, dass 
n eine positive, ganze Zahl ist 



Tabelle der wichtigsten Formeln. 595 

9.) ii+xr=i+(^y+(^y+... 

[§ 9, GL (4.) und Gl. (6.)] 
10.) (a + by = a» + (^\ «»-« b + (2)«""^ 42 + . . . 

[§ 9, GL (7.) und § 29, Gl. (5.)] 

Bei den Formeln Nr. 9 und 10 wird vorausgesetzt, dass m 
eine positive game Zahl ist. 

11.) S=A + Ap-\-Ap^ + ...-\- Ap^^= ^ (^ "P") . [§ 10, GL (2.)] 

IIa) Ist jö ein positiver oder negativer ächter Bruch, und wird 
n unendlich gross, so ist 

S=^A + Ap + Ap'^ + Ap^ + ...— iZZZ' [§ 10, GL (5.)] 
12.) a;i*»-i + xx^''-'^ + x^x.*""'^ + . • . + x^'-^x. + af"-^ = ^^ ~^ - 

^ Xi — X 

[§ 10, GL (3.) und (4.)] 

13.) e = limfl + -Y= lim/SA: + limÄik', 

WO 

«^/* = i + rr + ¥! + ir+-+i!' 

IJ^-^»' < TTi- [§ 11. GL (2.), (5.), (6.) und (10.)] 



n = ao 



iklk 



14.) « = i + i- + i- + i- + 



• • . 



1!^ 2! • 3! 

= 2,718281828459 [§11, GL (12.) und (13.)] 

38* 



596 Tabelle der wiohtiggteii Formeln. 

15.) Die Ableüung (der Differential -Quotient) ^er stetigen 
Function y =f{x) ist 

dy ^ df(x) .. _ ^ f{x + Jx) -fix) ^ ^ f{x,) -fix) 

dx dx Jxtao ^x ^_c 2| — X 

= lim ^—^- [§ 12, GL (5.), (5a.), (5b.) und (6.)] 

16.) Ist a der Winkel, welchen die Tangente einer Cnrye mit 
der positiven Richtung der X-Axe bildet, so wird 

wobei y =fix) die Gleichung der Curve und x^ y die Cioordi- 
naten des Berfihrungspuidsi^s sind. [§ 13, GL (3.)] 

17.) -^^' = J- [§14,Gl.(la.)l 

18.) ^^ = ^^- [§ 14, GL (2a.)] 

.^\ diu^-v) du , dv 

1«-) -V^=^ + ^- [§14.GU3.)] 

^^ X diu — v) du dv 

2^) "^^^ = ^-^' [§14, GL (4.)] 

21.^ ^i^) = ma--i. (§ 15' ^1- (ö.) und GL (9.); § 17, GL (8.); 

^ cfa § 21, GL (17.), (22a) und (26.)] 

^«N d(\ogx) log^. di\x) 1 

^^•^ "^ = "f~' "fc^^r* [§ 18, GL (9.) und (9a.)l 

\x 
23.) loga: = jy^ = la; . loge. [§ 18, GL (13.) und (14.)] 

^ - . dißSix) 

24.) \fo ' = COSa:. (§ 19, GL (8.)] 

r.r \ ^'(cosa:) 

25.) -^^-^ = — sm:r. [§ 19, GL (15.)] 

2^^ ^^^ = - ^ = - (1 + CteH [§ 20. Gl. (12.)] 



I 

Tab^e dw wichtigsten Fotmän. 59^7 

. d(uo) du . dv 

2^-) -kr = «wü: + ^:^- [§ 21, gl (6a;)] 



m 



(2r cir dx 

du< , rfwo . , du 

,, . ^ [§ 21, Gl. (160] 

^^*-^ "^ "= '^'^~^' t§ 21, GL (17.), (22.) und (26.)] 

3^^ äV^^_^^^ [§ 21, GL (27.)] 

^10 ^i^=^^p^- [§ 21, GL (27.), 

32.) JL__ = ___. [§21,01.(28.)] 

j/^\ rfw dv 

33.) Afz;^ ^^ ^ . [§ 21, GL (34 a.)] 
dx ©2 

34.) dy = df{x) =/' (o;) rfo;. [§ 22, GL (7.)] 

35.) fet 

y =/ W lind w = 5P (a:), 
so wird 

rfw = q)\x)dx, dy =/* (w)rfw ■=^f*{u)(p\x)dx^ 

oder 

J=/'(w)y'(rt:)==^^. [§22, GL (6.), (6a.) und (8.)] 

36.) Aus a: = y (y) folgt ^= ~^. [§ 24, GL (4.)] 

37.) f[(«J^M_ 1_. [§ 24, GL (8a.)]. 

38.) ^(a^CCOS:r)_ 1 [§ 24, GL (12a.)] 

39.) 1(5^ ^j^^. f§ 24, GL (16a.)] 



f 



598 Tabelle der wichtigsten Formeln, 

£(arCCtg^^_ 1 " [§ 24, GL (20a.)] 

^ dx 1 + a;2 

41.) '^("^«^^) = / . [§ 24, Gl. (24 a.)] 

rf(arc cosecx) ^ 1 [§ 24, Gl. (28a.)] 

43.) ^^ = a*la, ^ = c». [§ 24, GL (32 a.) und (33.)] 

[§ 26, GL (2.) und (3.)] 
44a.) /-(;r)=lim-^(^ + ^^^)-y(^ + ^^>+-^H [§26. GL (7.)] 

45.) «Py = rf(rfy) =/"(a;)rfa;2, 
dV = «/(dV) =f"'{o^)dx\ 

df'y ■=■ d(d^-^y) =/(»)(a;>fo;". [§ 26, GL (11.) bis (14.)] 

46.) 2 =/"'(a^)- [§ 26, GL (14a.) 

, ^"C« ± «>) ^ ^ + gÜ. [§ 27, Angabe 11.] 

wenn « = ^ (a;), » = i/> (a;) ist. [§ 27, Angabe 12.] 

49.) f(z+h) =/(^) ^--^^ Ä +-^) ÄH . . . +-^A«+Ä, 
wobei 

Die Grössen ®i, ©j? ®3 liegen zwischen und 1. 

[§ 31, Gl. (31.) und (32.), § 36, Gl. (3 a.) und (15.)] 



Tabelle der wichtigsteiii FormeliL 599 



+''-^— «)- + Ä, 



50.) f{x) =/(a) +-'-^ (X - a) +-'-^ (a: _ «)2 + . . . 

(« + i)i 



= ^ {/<"' [a+02(«-«)] -/<*'(«)} (^ -«)• 



Die Grössen ®i, ®2> ®3 liegen zwischen und !• 

[§ 31, Gl. (33.) und (34.); § 36, GL (5.) und (17.)] 
51.) /(.) =/(«) +/^ .+»,,+... +/JÄ) ^ + Ji, 
wobei 

Die Grössen @], @2> ®3 liegen zwischen und 1. 

[§ 32, GL (1.) tind (2.) ; § 36, GL (7.) und (19.)] 



Z . X^ . Z^ . X* 



[§ 33, GL (6.)] 



52.) [^=1+- + - + ^+^+.... 

53^ «*_i . £l^ . fiMi + fiMl + f^ä^V 

53.) a -1+ jj +—^^+ ^j + ^, +.... 

[§ 33, GL (9.)] 

54.) änx=^-f^ + ^-^ + -.... [§34,GL(5.)] 

55.) cosz=l_|5 + f5 — !? + —...• [§ 34, GL (10.)] 

2! 4! 6! 

In den Formeln 52 bis 55 darf x jeden beliebigen endlichen 
Werth haben. 

56.) {i+xr=i+(^y+Qy^+(^^y^+... 

für — 1 < .r < + 1. [§37, Gl. (19.) und (20.)] 






«00 Tab«Ue der wiolitfgate» FonwiliL 

57.) {a+by = «^+(^)<^->*4(2 V"'*'+(7)""~'**+— 

für 1*1 <|a|. B37, GL(31.)1 

58.) (a+ by = i-+ (7)«*^' +( 2 )"**"~'+(3 )'''*^''*" * " " 

f!ir|Ä|>|a|. [§ 37, GL (32.)] 



X ar* . a;' x* 



59.) l(l + x) = j — -^ + j — j + — ... 

für — 1 < a;^ + 1. (§38, Gl. (8.)} 

60.) I2 = i — i + ~i + —.... |§ 38, GL (8».)] 

X ^ O 4 

61.) l(a+y>=la + ^ — -l^ + i^— i!^ + — ... 
' ^ ' '^ ' a 2a* 3a' 4a* 

fBr|y|<|a|. [§ 38, OL (9.)] 

62.) l(« + l) = la + l-^+^_^ + _.... 

[§ 38, GL (9a.)] 

63.) l(y + .) = ly + 2[^^+^^+^-^^+...] 

filr —1 <-s-4 < + 1- [§ 38, GL (12.)] 

64.) l(y+l) = ly+2[^+^^^+^^^,+ ...} 

[§ 38, GL (12a.)) 

•Z7 X X X ' 

65.) arctgaj = -— - + - — - + — ... 

für — l<a;< + 1. {§ 42, GL (4.)] 

66.) ^=1 — i+i — i+l -+— . 

^ 4 3^5 7^9 11^ 

[§ 43, GL (1.) ond § 47, BeLspiel 2 auf Seite 209.] 

» 4% GL (14.)] 

«8.) 7= ^(s — §753+5755— +--)—(239'" 039»''' "•• 7* 

(§ 43, GL (28.)] 



Tabelle der wichtigsten Formeln. 601 

69.)arcsm^=:^ + ^3+274^ + 2TiT67+--- 

für — l<:r < + 1. [§ 44, Gl (3.)J 

70.) Eine Beihe mit lauter positiven Gliedern convergirt^ wenn 
von einer bestinunten Stelle ab eine der folgenden Bedingungen 
erfallt ist: 



m. „(i-!^)£,>i. 



[§ 46, Satz 3, 5 und 10.] 



71.) Eine Reihe mit lauter positiven Gliedern diver girt, wenn 
von einer bestimmten Stelle ab eine der folgenden Bedingungen 
erfiUlt ist: 

L^^^^l, 

n 



n. }/«„ ^ 1, 



[§ 46^ Satz 4, 6 and 11.] 



72.) Eine B.eihe mit positiven und negativen GUedera con- 
vergirt, wenn die Summe der absolute» Beträge eonvei^irt. 

[§ 47, vergl. auch Formel Nr. 74.] 

78.) Eine altemirende B.eQie convergirt, w«m der absolute 
Betrag der einzelnen Glieder immer kleiner und schliesslich un- 
endlich kleiu wird. [§ 47.] 

74.) Eine B.eihe ist unbedingt convergent, wenn die Summe der 
absoluten Beträge convergirt. [§ 48 und 135.] 

75.) Sind 

cr= «^ + t^j + «2 + . . . und F= vq + Vi + ©2 . . . 
zwei unbedingt convergente Beihen, und ist 



602 Tabelle der wichtigsten Formeln. 



Wn = UQVn + Wi«?n-1 + . . . + Un-iV^ + Wn«?o> 

SO ist auch die Reihe 

«<?0 + «^l + ^2 + • • • 

unbedingt convergent, und ihre Sunune W ist gleich dem Pro- 
ducte UV der Summen der beiden ersten Reihen. [§ 49 u. I3ö.] 

76.) Eine Potenzreihe convergirt unbedingt fiir alle Werthe von 
X, deren absoluter Betrag kleiner ist als die positive Grösse x^j 
wenn von eiaer bestimmten Stelle ab 

ist, wobei ff eine bestimmte endliche Grösse bedeutet. [§ 50.] 

77.) Wenn die Grössen a^, »i, «2> %> • • • positiv sind und eine 
bis in's unendlich Kleine abnehmende Reihe bilden, so ist die 
Reihe 

i«o + ^1 COSa: + 02 C0S(2a:) + a^ C0S(3a:) + . . . 

convergent für alle Werthe von x, welche von 0, ± 27r, ±47r, . . . 
verschieden sind; und die Reihe 

^Oo — a^ COSa: + a^ C0S(2a:) — % COS (3a;) H ... 

ist convergent für alle Werthe von x, welche von ± n, ± Sn, 
± OTT . . . verschieden sind. [§^51.] 

78.) Wenn die Grössen Jj, 52> ^3> • • • positiv siad und eine bis 
in's unendliche Kleine abnehmende Reihe bilden, so siad die 
Reihen 

*! sinx + Ja sin(2a;) + ^3 sin (3a:) + b^ sin(4a:) +. . . 
und 

Jj Wix — 62 sin(2a:) + b^ sin {Bx) — b^ sin(4a;) H ... 

fiir alle Werthe von x convergent. [§ 51.] 

79.) Um die Werthe von x zu bestimmen, fiir welche /(a;) ein 
Maximum oder Minimum wird, bestimme man die Werthe von 
X, fiir welche f\x) gleich Null wird. Ein solcher Werth sei x, 
und ß''\x) sei die erste spätere Ableitung, welche fiir diesen 



Tabelle der wichtigsten Formeln. 603 

Werth von x nicht verschwindet; dann ist/(a;) ein Maximum^ 
wenn n gerade mAf^^\x) negativ ist; ß^ ist ein Minimum^ 
wenn' n gerade und f^^\x) positiv ist. Dagegen tritt weder ein 
Maadmum noch ein Minimum eiuy wenn n ungerade ist. [§ 54.] 

80.) Ist 

SO wird für alle Werthe von x^ für welche P(x) verschwindet, 

^^""^^Qi^) [§ 56, Gl. (3.)] 

81.) lim^ = hm^-r^S 

wenn 

if[a) = 0, if\a) = 0, . . . if^''-\a) = 0, 
/[«) = 0, f\a) = 0, . . . /<«-^)(a) = ; [§ 58, Gl. (12.)] 
oder wenn 

y(a) = 00, <f*(a) = 00, . . . y^'»—^)(a) = oo, 

f{a) = 00, f\a) = 00, . . ./(»*-^)(a) = oo. [§ 60, Gl (12.)] 

82.) Ist 

z = F{u, v\ 

so wird 

dz ,. i^(« + Juy v) — Fiuj v) „ f 

du ju^o ^^ 1 \ » /j 

dz ,. F{Uy V + Jv) — F(u, o) TP r \ 

[§ 69, Gl. (5.) und (6.)] 
83.) Ist 

z = F(u, v), 

und sind u und v beide Functionen von x, so wird 



cfe dz du dz dv 

dx du dx dv dx 



oder 



dz = ^4- d^+ — d^' [§ ß^> ^1- (1^0 ^- (Iß «-)] 

84.) ^)_1^ Irf.^ [§ 69, GL (24.)] 

dx u dx V dx 



Ö04 Tabdle der wichtigsten Formeln. 

-d^^-uTx-Tdb^' [§ 69, Gl. (26.)] 

86.) ^ = t,t.-ig + ^,..i^.g. [§ 69, GL (28.)] 

87.) J&i z = F{x, y) und y =f{x), so wird 

& ģ ^ rfy 

dx^ dx dydx^ 
oder 

, dz y , dz y 

88.) Ist JP(a:, y) = 0, SO wird 

dy F. (x. y) 

91.) Ist JFl[rc, y) = 0, SO wird y ein Maximnm oder Minimum, 
wenn 

ist, und wenn F^ mit i^^i gleiches, bezw. entgegengesetztes 
Zeichen hat. [§ 74.] 

92.) Ist rr = y(^), y = xp{t\ SO wird 

_d^ _ 9*{tW{t) — tp'(t)^"{t) _ dxdhf — rfycPa: 
*'~rfa:2"~ y'(^)3 "" dx^ 

[§ 76, GL (11.), (12.) und (12 a.)] 



[^ 72, GL (2a.)] 



Tabelle der wichtigsten Formeln. 605 

93) « = ^=J-, ^ _ ^ _ rfy2 
'^ ^ dx dx ^ dx^ /dx^^ 

__dhf _^ äy'dy^~ \dy^) 

<3?y i>' c^2 ~" p^^ ^^ "p 

[§ 78, €H. (5.) und (8.)] 

95.) Gleichung der Tangente: 

2^' — y = ^ (^' — ^)- I§ 80, Gl, (5.)] 

96.) Gleichung der Normale: 

y ""2^ = — ^(^ — ^)- [§ 80, Gl. (6.)] 

97.) SubnormaJe (Sn) = y ^- [§ 80, GL (9.)] 

98.) Subtangente (St) = y^. [§ go, Gl. (lo.)} 

99.) (fe2 — ^^2 ^ ^y2^ 

100.) Nonoaks W = y J- [§ 80, GL (14.)] 

101.) Tangente (r) = y~ (§ 80, öl (14.)] 

102.) Die Asymptoten i/' = mx' + ii einer Cnrve 

F(x, y) = Un{x, y) + £r„_i(a;, y)+ . . . + D;(ar, y) + CT, = 
findet man, indem man die n Werthe von m ans der GUdchung 
lim Unjx^ _ ]jp^ «»y" + «»lay«-^ + 0,3:^-=^ + • • • + g»a;» 

= am» + «jOT"-! + a^m^^ + . . . 4. «„ = 



606 Tabelle der wichtigsten Formeln. 

ausrechnet und darauf aus der Gleichung 

lim-^(^>"^ + ^) = 

^mM 1 
«asoo ««^ 

die zugehörigen Werthe von f* bestimmt. 

Siad a Werthe von m einander gleich, so findet man die 
a zugehörigen Werthe yon fA aus der Gleichung 



«SSdO 



a;*-« 



In ähnlicher Weise erhält man durch Vertauschung von x 
mit y auch! die] Asymptoten, wenn die Gleichung derselben 
die|[Form x* =ily' + X hat. [§ 82.] 

103.) Eine Curve y = f(x) ist nach oben concav oder convex, 

jenachdem -^ =/" (x) grösser oder kleiner als Null ist. 

[§ 84, GL (8.) und GL (10.)] 

104.) Ein Wendepunkt tritt ein, wenn für den zugehörigen 
Werth von x 

2,=f"(.) = 0, oder g =/"(.) = 00 

wird und ausserdem das Zeichen wechselt. [§ 84.] 

105.) Zwei Curven y ^f(x) und y = g(x) haben im Punkte P 
eine BeiUhrung (oder Osciüation) von der «**" Ordnung, wenn 
für den zugehörigen Werth von x 

f{^) = 9{^\ /'(^) = /(^), r{x)^g-{x)...ß-){x) = gi-){x). 

[§86.1 

106.) Der Mittelpunkt des Erümmungskreises hat die Coordinaten 



= ,_(L±.£^=^_ 






9 i 

, l+i>' , \dx) 

v = y+ —^ = y + ---' 

oder 



Tabelle der wichtigsten Formeliu 607 



(cfoV dy 
Tt) 11 



l^x- ^ -- 7 ^ ^x "^^^ 



dx d^ dy d^x dxdh/ — dydhc 

HIß ~ dt dfi 

\dt) dt . ds^dx 



dx d^ dy dh^ ^ dxdhf — dyd^x 

'didfi~'di'dP 

[§ 87, GL (21.) und (25.); § 88.] 

107.) Der Halbmesser des Erimunimgskreises ist 

oder 

\dt) ds^ 



dx dhj dy iPx dxd^ — dydh^ 

diW ~ dilfi 

[§ 87, GL (21.) und (25.); § 88.] 

108.) efo2 — Jr^ + r^d^\ [§ 92, GL (6.)] 

109.) Nennt man den Winkel, den eine Tangente mit dem zu- 
gehörigen Radius vector bildet, /a, so ist 

rdo) 

tg^ = -^- [§ 92, GL (7a.)] 

df 

110.) Polar-Subnormale {Sn) = -j-- [§ 92, GL (10.)] 

111.) Polar-Subtangente (St) = rtgji* = ^^- [§ 92, Gl. (li.)] 

ds 
112.) Polar-Normale (N) = ^. [§ 92, GL (12.)] 

113.) Polar-Tangente (T) ^N.tgfi=: ~ [§ 92, GL (13.)] 

114.) Der Jtfittelpunkt des Krümmungskreises hat die Coordi- 
naten 



606 



Tabelle der wichtigsten Fonneln. 

^ ^ .,.r^.. ds\rQmq>dip + dr , siny) 
^ "" '^ (^2rfy2 + 2dr'^ — r€Pr)dip' 

und der Halbmesser des E^rfimmuBgskrdses ist 

Cfo3 



(^=± 



(r2rfy2 + 2rfr2 — rdh')d^ 



• [§ 94, GL (8.) und (9.)] 



115.) 



J = 



021 082 • . • ^'2« 



= -:?(— l)^ai«Ö2^a3y . . . Onr 



WO 



\12S...n/ 



die Transpositionszahl zwischen den Permutationsfonnen 
aßY...v und 12 3...^ ist, und wo sich die Sununation über 
alle n ! Permutationsfonnen aßY...v der Zahlen 1 2 3 ... ;» 
erstreckt. [§ 97, GL (i.)] 



116.) 



^Jtt ^Jß ^jy '" <^/y 

^gn %? ^gy ' ' * ^gy 



ctj.fi cth^i . . . a 



«Ä« ^hß ^hy 



hy 



dj^ Ctm di^ . . . O 



na ^Iß '*iy 



ly 



= (- 1/ 



«11 0^12 Ö13 . . . a\n 
«21 Öf22 ^28 . . • 02» 
Ö31 Ö32 Ö83 . . . Ö8n 

ö^nl Ö5n2 Ö^nS • • • ^nn 



WO 






[§ 99, Satz 4.] 



117.) Entsteht Ji aus J durch Vertauschung zweier parallelen 
Beihen, so ist 

^1 = — ^. [§ 99, Satz 5.] 

118.) Sind die Elemente zweier parallelen Beihen der Deta-- 
minante identisch, so ist 

-^ = 0. [§ 99, Satz 6. 



Tabelle der wichtigsten Foimeiln, 



609 



119.) 



Oll Osi . . . a»i 
^12 ^ha • • • ^n2 

^In ^n • • • ö^nn 



etil «12 • • • ö^in 
^21 ^22 • • • 02» 

ö^nl Ön2 • • • ö^n» 



[§ 99, Satz 7.] 



120.) Ist Ofr der Coefflcient von a/r in -^, so ist 



«/r = (— 1)^+»' 



ö^/— 1, 1 . . . ö/_i, ,.«1 Of^i^ r+i 



• • • 






a, 



= ( — l)(n+l) (/+r) 



ö^ti ... Ön, r— 1 ö», r+1 . . . 

^/+1, r+1 Ö/+1, r+2 . . . Ö/+1, r-1 
«/f2, r+1 Ö/+2, r+2 . . . Ö/+2, r-1 



fM» 



121.) 
122.) 
123.) 

124.) 
1250 



Ö/-1, r+1 «/-l, r+2 . . . «/-l, r-1 

[§ 100, GL (9.) und (10.)] 

J = airttir + Ö2ra2r + . . . + »«rOnr. [§ 100, GL (12.)] 

^ = ö/i a/1 + ö/2a/2 + . . . + »AÄ/n. [§ 100, GL (13.)] 

ö^i»air + Ö2«a2r + . . . + 0«««^ = fttr r^s. 

[§ 100, GL (14a.)] 
ö^i«/! + «^20/2 +...+ agna/n = für/^^. 

Sind die Gleichungen 

fl^u i2^i + «12^2 + . . . + öl« a;» = Ci, 
«21 a:i + «22 ^2 + . . . + a2«a;n = C2, 



ö^nl^l + Ön2 a^2 + • . . + ^n^n = C» 

gegeben, so wird unter der Voraussetzung, dass die Determi- 
nante J der Coefficienten von Null verschieden ist, 

J. Xr = CiUil + C2a2r + . . . + CnOL^r^ 

oder 



öu «12 . . ; öm 

Ö21 «22... Ö2n 



• •c7r ^^^ 



«11 . . . öl,r-l Ol ai,r+l . . . «in 
«21 ... «2, r-1 C% 02, r+1 . . . «2» 



ö^ni ö„2 • » . ö^n» 
Stegemaim-Eiepert^ Bifferential-Beohniing 



ö^l . . . öJn, r-1 C^ ort, r+1 . . . «„„ 

[§ 101, GL (7.) und (7 a.)] 
39 



610 



Tabelle der widitigsten Foxmeiln. 



126-) 



1270 



128.) 



129,) 



130.) 



«11 «12 »18 . . . <hn 
022 (h9 • • • ^hn 
082 Ö88 . . • CI9» = ö^ii 

€fn%(lmS • • • <hm 



022 ^ • • • (hn 
0]|2 033 • . • Osi^ 

OnjOnS • • • (htn 



[§ 102, Satz 1.] 



»11 «12 ... (hn 
Ö21 «22 • • • O2» 

ö»l «n2 . • • Onn 



Oll Ö12 O18 . . . Ol« 
O22 028 . . • ^M 
088 . • *(hH 

...Onn 

Oll . . . WOir . . . Oin 
O21 • . • fna^r . • • 02n 

Oni • . • fna,ir . . , Omm 



1 bl b2 • • • b n 
Oll O12 • . . Ol» 
O21 O22 • . . 02M 

Oni 0|i2 • . . (hm 



[§102, Satz 2.)] 



= aii022088 . . . o»» [§ 102, Satz 3.] 



= m 



Oll . . . Oir . . . Oin 
O21 • • • 02r • • • O2» 



0»i • • . dfff , . . Ohm 

[§ 102, Satz 4.] 

mOi2 O12 • . • Ol» 



I72O22 O22 • . • 02h 



mO|i2 0»2 . . . (hm 



= 0. 



[§ 102, Säte 5.] 



131.) 



A^ + Su 0^, 2>i, , . . 

A2 + -B2> ^2j -^2> • • • 


— 


2 ^2 2 * * * 


+ 


5i (7i Dj . . . 

x^2 ^2 "^2 * * * 


An+Bn, Cn,I>n,... 




•"n (^n-^n • • • 




-ß» CnDn . • • 



132.) 



Oll O12 • . . Ol» 

O21 022 . . . 02» 

0»i 0»2 . . • O»» 



[§ 102, Satz 6J 

Oll + ^»irj O12 . . • Ol» 

O21 + ma^ O22 • . • Oa» 



o»i + muf^^ o»2 . . . ihm 

[§ 102, Satz 7.] 



Tabelle der Tviobtigston Formeln. 



611 



188.) 



011012.. -Om 

«21 «22 • . • «2n 


• 


*llSl2. . . bin 
^21 ^22 • • . b%n 




Cii Ci2 . . . Cin 
©21 C22 . . . C2n 


^lO»2« • •C^n 




bni ftn2 • • • bnn 


i 

I 


ö»iCn2. . *Ctm 



WO 

oder 
oder 

oder 



^A = «/l bri + O/^b,^ + . . . + a/n imi 
C/r = a/iÄir + a/^bir + ♦ • • + C^/nbnry 

0fr = «v^rl + Öyftr2 + . . . + C^bm^ 



0fr = Oi/*ir + (hfb^ + . . . + a^bnr. 

t§ 103, Gl. (7.) und (12.) bis (15.)] 
134.) .Ist 

« =/(^, y) 

eine Function von zwei von einander unabhängigen Veränder- 
lichen X und y, so wird 

135.) Das partielle Differential einer Function 

in Bezug auf ua ist gleich der partiellen Ableitung von z nach 
Ua^ multiplicirt mit dua^ also 



Ott 25 = -5 — diwa. 



[§ 108, GL (18.)] 



136.) Das voUständige (oder totale) Differential von 
ist 

und zwar gleichviel, ob t^i, t^, . • . u« von einander unabhäogig 
sind, oder ob t^, t^, . . . Un selbst wieder Functionen von einer 

89* 



612 Tabelle der wichtigstea Formehu 

oder von mehreren Veränderlichen sind. Wenn z. B. ui, c^, . • . t4 
sämmtlich Fnnctionen einer Veränderlichen t sind, so kann man 
anch schreiben 

dz dz dwj , dz du2 . I ^^ ^^* 

Ä " dü^'df "^ 'Su^'dF "^ * ""^ dün dt 

[§ 108, GL (14.), (17.) und (23.)] 

\dxj \dyj ,^^ d^ d^z 

— 3 — = — h > Oder 3—5- = n n ' 
oy ox dxoy oyox 

oder 

/uC^j y) =/2i(^, y). [§ 109, Gl (14.) u. ae.)] 

138.) Ist 

und sind die Veränderlichen t^i, t^, . • . t^n von einander tmaft- 
hänyiff^ so ist 

- /dz . ^ dz , ^ , dz , \^^ 

Diese Formel bleibt noch richtig, wenn t^^, ti2, . • . t^ lineare 
Functionen einer Veränderlichen t sind, wenn also 

dann kann man anch schreiben 

d^z _/ dz du^ dz du^ . 1 ^^ dun\'^^ 

'df^^Xdü^'df'^dü^ 'W^ "^'^dun^/ 
/dz dz . dz V~) 

[§ 111, GL (20.) und (39.)] 

139.) GMten die Gleichungen 

F{x^ y,z) ^0 und O (x, y, 2) = 

gemeinschaftlich, so wird 

dx:dy:dz:=^ F, G3 — -F3 öj : -F3 »i — ^1 Ö3 : F^ O^ — F^O^. 

[§ 112, GL (9.)] 

140.) ds^ — dx^ + dy^ + dz\ [§ 113, GL (3.)] 

- -- V dx a dy dz 

141.) ^^^^"^X' ^'^^"^^ COSr = ^j 



Tabelle der wichtigsten Formeln. 613 

WO a, ß, r die Winkel sind, welche das Bogenelement ds mit den 
positiven Bichtongen der Coordinaten-Axen bildet. 

[§ 113, Gl. (4.)] 

142.) Sind 

F(x, y, «) == und 0(x, y,z) = 

die Gleichungen einer ßaumcurve, so hat die Tangente im 
Curvenpunkte P mit den Coordinaten x, y, z die Gleichungen 

X* — X y* — y z* — z' 

dx dy dz 



oder 



X* — X y* — y 



J^Gs — F^O^ F^Gr\ — -^6^3 •'^^2 — ^2^\ 

{[§ 113, GL (13.) und (13a.)] 

143,) Gleichung der Normalebene 

{x* — x)dx + iy* — y)dy + (z* — z)dz = 0, 
oder 

{^F^G,-F^G^){x'-x) + {F,G,-F,G^W-y) 

+ {F^G^—F^G^){z*—z) == 0. 

[§ 113, GL (16.) und (16 a,)] 

144.) Die Gerade 

x' — a; = m{z* — «), y* — y = n{z* — z) 

ist eine Tangente der Fläche 

■^^C^, y» «) = 0, oder z=f{x,y\ 

wenn 

Qz öz 
F^m + F^n + l^j = 0, oder; w^ + n-^ 1 = 0. 

[§ 115, GL (10.) und (14.)] 

145.) Die Tangentialebene der Fläche 

F{x,y,z) = 0, oder z=f(x,y) 

hat die Gleichung 

F,(x'—x) + F^{y' — y) + F^(z*—z) = 0, 
oder 

z' — z- — (x'-x^4-^(v*—v) [§115, GL (18.), 
z z-Q^[x ^; + ^(y ^^- (18a.) und (25.)] 



614 Tabelle der wichtigsteii Formeln. 

146.) Die Enveloppe der Gurvenschaar 

erhält man durch Elimination von u aus den Gleichungen 

F{x,y,u)r^O und ^^gj^ ^^ = 0. [§ 117J 

147.) Hat die Curve F{x^ y) = im Punkte D mit den Coor- 
dinaten rr, y einen Doppelpunkt^ so müssen die drei Gleichungen 

F{x,y) = 0, -F,(:r,y) = 0, F^{x,y) = 

gleichzeitig befriedigt werden. Die beiden zugehörigen Werthe 

von ^ findet man dann aus der Gleichung 

oder 

rfy _ — -Fii ± V Jti» — -Fii -F« . 

tfrr JF22 

und darauf die zugehörigen Werthe von ^ aus der Gleichung 

/dF dFdy>S^) /d^F d^Fdy\(ßy_^ 
\dx "^ dy dx) "^ \ß^ "*" öy^ cfe/cfe« '"' 

[§ 119, GL (7.), (8.) und (Sa.); § 120, Gl. (14a )] 

148.) Hat die Curve F{x, y) = im Punkte D mit d^n Coordina^ 
ten x, y einen dreifachen Punkt, so müssen die sechs Gleichungen 

F^Q, i^i = 0, i^2 = 0, l?li = 0, JFi2 = 0, J?22 = 

gleichzeitig befriedigt werden. Die drei zugehörigen Werthe 

von ^ findet man dann aus der Gleichung 

dF dFdySi^^ 

^ + ^i) =«• t§ m, GL (2.)] 

149.) Hat die Curve F(x^ y) = im Punkt D mit den Coor- 
dinaten x, y eine Spitze (einen BUcJkiehrpunkt), so mfissen die 
vier Gleichungen 

F(x, y) =0, F^{x, y) = 0, F<, {x, y) = 0, und -F122— JI1JF22 = 

gleichzeitig befriedigt werden. [§ 122, GL (2.)] 



(: 



1 



Tabelle der wichtiestem Formeln. 



615 



150.) /(.+Ä, y+k) =/(., y)+(%k+ 1*)+|-,(| Ä+f Af 

1 /df df V*> 
«!\öa; dt/ / ' 

WO 

[§ 123, GL (8a.) und (9a.)] 

151.) z =/(ari, a:2, . . . x^ 

heisst eine homogene IkjtncHon rnf^ Grades^ wenn 

/(äTj, äTj, . . . Ar») = ^(a:i, arj, . . . a:«); 

dann wird 

dz dz dz 

Xa -k h ^2 ST" + • • • + ^» ^ — = ^^) 






Öa:.] 



dXn 



+ X2 



dz 



\ • • • \ Xn 



dx2 " * dXnJ 



dz \(2) 

K — 1 = m ( m — 



m (m — 1) z, 



[§ 124, Gl. (2.), (10.) und (14.)] 

152.) «=/(ir, y) wird ein Minimum, wenn 

/i(^,y) = 0, /2(a:,y) = 0, /u>0, /11/22— /i22>0; 
jp =y (iT, y) wird ein iifcmmtim, wenn 

/i (^1 y) = 0, /2 (rr, y) = 0, /u< 0, /u/22 — /122 > 0; 
z =f{x, y) wird dagegen weder ein ]\Iaximnm »ooÄ ein Minininni ^ 
wenn zwar 

/i(^,y) = 0, /2(a;,y) = 0, aber f^^f^^—fi^^KO. 

[§ 125, GL (31.) bis (33,)] 

153.) u^=f{xyy,z) wird ein Minimum, wenn 

/i(^»yi«) = 0, f2{x,y,z) = 0, fs(x,y,z)^0, 

und wenn 

/11/12/13 
>0, 2>3 = 



A=/ii>0, 2>2 = 



^21/22 



u^=Lf{x,y,z) wird ein Maximum, wenn 






>0; 



616 



Tabelle der wiclitigsteii Formeln. 



und wenn 

1>1<0, 2>2>0, A<0. [§ 127, Gl. (3.), (13.) und (14.)] 

154.) u =/(a?i, ÄTj, . . . i2?n) wird ein Minimum wenn 
und wenn 

A>o, A>o, A >o,...i>n>o, 

wobei 

^21 j^22 • • «^2« 



2>« = 



• • • • 



w =jf (a?!, ajj, . . . a:n) wird ein Maximum, wenn wieder 

und wenn 

n+1 



n 



l>2r~i<0, Ar>0 für r = 1,2, ...-oder 



[[§1270 



155.) {a + K)+(c + di) = (a + c)+(i + rf)t. [§ 131, GL (2.)] 
156.) (a + bi)—(c + di) = {a — c)+(i — d)i. [§ 131, GL (3.)] 

157.) (a + hi) (c + di) = (ac —bd)+{ad + bc)i. [§ 131, GL (4.)] 



158.) (a + bi) (a — bi) = a^ + b\ 
159.) N(a + bi) = N(a — bi) = a^ + b^. 
160.) |a+ W| = |a— W|= +|/a2+62. 
1 a — W 



161.) 



a + bi a^+b^ 



[§ 131, GL (5.)] 
[§ 181, Gl. (8.)] 
[§ 181, GL (9.)] 

[§ 131, GL (10.)] 
[§ 181, GL (11.)] 



1 ß9 ■> c + di ac + bd ad — bc , 

163.) (a + W)" = p— (2)0— » J2 + /")a— 464_ + . . .1 



[§ 181, GL (12.)] 



Tabelle der wichtigsteii Formeln. 617 



r = + yä^+b^, COSy = -, sina) = -• [§ 132, GL (5.), (6.) u. (70] 



164.) a + W = r(coS5p + »siny), 

wobei 

b 

165.) r^ (cos^)! + « sinyi) . rj (0039)2 + i^g>2) == 

r^rj [cos(9)i + 9)2) + esm(yi + 9P2)]. [§ 132, GL (8.)] 

166.) [r(cos9P + « smy)]** = r^ [cos(«y) + f sm(ny)]. 

[§ 132, GL (10.)] 

167.) cos (ng>) = cos*y —(Z) cos»-^^) sin^ y 

sin(»9)) = ^^jcos^^V siny — ^^^cos^-^ sin^ + — .... 

. . , [§ 132, GL (11.) und (12.)] 

169.) fr((X)sy+tsiny)=j^[cos(S^i^ 

wobei Ä eine beliebige ganze ZaM ist. I§ 132, GL (16.)] 

170.) Ist /(«) =/(ir + yi) = u + vi eine Function der com- 
plexen Veränderlichen x + yi^ so wird 

du dv du dv 

Wx^Wy^ Wy'^^'-Tx C§ 136, GL (7.)] 

171.) ey^ = cosy + t siny, er-y* = cosy — i siny. 

[§ 137, GL (6.) und (7.)] 

172.) cosy = -^ — , siny = ^—^ — [§ 137, GL (8.)] 

173.) e«+y* = e* (cos y + e sin y). [§ 137, GL (9.)] 

174.) c2A7ri = 1, Y^renn h eine ganze Zahl ist. [§ 137, GL (16.)] 

175.) e-+2Am = ^, wenn h eine ganze Zahl ist. [§ 137, GL (17.)] 
176.) 22-(cos9))2»* = 

2 cos {2ng))+ ( ^p Cj0^(2n — 2)^+ (T)^ cos(2;^— 4) 9+ 

'••+(;,!! 1)2 C0S(2y)+ (^^'*)- [§ 137, GL (20.)] 



528 Tabelle der wiclitigsteii FormeM. 

177 \ 2**+* (cos 9))^**+^ = 

' 2cos(2n + l)y+("*;^>cos(2n-l)9) + 

...+(^_+l)2.C0S(3y)+f'*;^')2C0Sy. U§137. Gl. (21.)] 

178.) (_i)»22«(8in9))»» = 

2cOB(2«<p)-f;)2co8(2«-2)y +f;)2cos(2«-4)y- + 

. . . + (-i)-C!:i>-(^^) + ^-<i} '' "'• '^- ^"^ 

179.) (_i)»2^«+Xffln9)r+* = 

2sm(2« + 1) y-f "+')2sm(2«-l)9 + - 

^" ^' [§ 137, GL (23.)] 

180.) Aus der Glfflchimg . , „i • 

^i = „ + «• folgt 1(« + »0 = a; + y» + 2Ä^t. 
Dabei ist h eine beliebige positive, oder negative ganze Zahl und 

a:=i-l(«« + e'), y = arctgu) 

tu 

tmd zwar ist 

0<y<Y *"^ ">^' *'^^' 

§!L<y<2;r„ «>0, «<0. 
^ [§ 188, ÖL (1.), (3.) ond (6.)] 

, , ^^ • l§ 138, GL ^.)1 

181.) 1(-1) = (2A+1)^»- >5 

/1 -I- m\ • * [§ 139. GL (4.)] 

182.) l(i^)=2*arctgy. 19 . V J 



Druckfehler- Verzelchniss, 



Seite 9, Z. 3 v. u« lies dass statt das. 
« 22, Z. 1 y. u. „ folgHch statt foglich.