Grundriss der theoretischen Astronomie und der Geschichte der Planetentheorien

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Aftrenomlcal
Obiervatory

35-/

/iJ-sa

Grundriss

theoretischen Astronomie

(SeBchlchte der Planetentheori

Johannes Frisehanf.

Graz,

Leuschner& Lubensky,

k. k. TlDiT.-BaoIihandliing.
1871.

Uebersetzungs - Recht vorbehalten.

Druck von B. G. Teubner in Leipzig.

Vo r wo r t.

Die freundliche Aufnalime, welche meine vor drei
Jahren erschienene ^Theorie der Bewegung der Himmels-
korper" erfuhr, und die Auffordening von Seite der Ver-
lagshandlung zur Bearbeiiung einer neuen Auflage ermun-
terten micli dieselbe durch eine Reihe von Arbeiten aus
dem Gebiete der theoretischen Astronomie, mit welehen
ich mich mehrere Jahre hindurch beschaftigt hatte, zum
vorliegenden ^Grundriss" zu erganzen. Uebrigens habe
ich den unter dem oben erwahnten Titel erschienenen Theil,
dessen Inhalt hauptsachlich in der Gauss^schen Babn-
bestimmung aus drei Orten und der Olbers'chen Metbode
besteht, durch weitlaufigere Ausfiihrung der Zwischen-
rechnungeU; Erlauterung einzehier dunkler Stellen, Ver-
mehrung der Beispiele und Anmerkungen vollstandig um-
gearbeitet. In den hinzugefugten Parthien ist die Guuss^sche
Bahnbestimmung aus vier Orten, die Bahnbestimmungen
aus einer grosseren Reihe von Beobachtungen, die Beriick-
sichtigung der Correctionen und der Storungen und endlich
die Geschichte der Planetentheorien gegeben. Die Aufnahme
der Gauss'schen Bahnbestimmung aus vier Orten konnte
um so leichter geschehen, da ich bereits in meiner Th. d. B.
die Bahnbestimmung aus drei Orten nach dieser Methode
umgeformt hatte. Die Berechnung der speciellen Storungen
nach Encke diirfte auch in nicht astronomischen Ereisen,
in welehen sie vielleicht wenig bekannt sein diirfte, Beach-
tung finden. Hinsichtlich der Geschichte der Planetentheorien

IV

habe ich mir zum Zweck gesetzt^ die leider so wenig be-
kannte Entdeckungsgeschichte der Keppler'schen Gesetze
weiteren Ereisen zuganglich zu machen und in das Studium
der Keppler'schen Werke, welches gegenwartig durch die
treflPliche Gesammtausgabe von Ghr. Frisch sehr erleichtert
ist, einzufahren. Ftlr das Verstandniss dieser Entdeckungs-
geschichte ist jedoch auch die Darstellung der Theorien
von Ptolemaus und Kopemikus unerlasslich. Ueber die
Wurdigkeit der Aufnahme dieses Theils war ich nicht einen
Moment im Zweifel; icb glaube sogar^ dass diese Parthien
dem Interessantesten in der Geschichte der Wissenschaften
anzureihen seien.

Getreu der nrsprunglichen Bestimmung meiner Th. d. B.,
dieses Buch Studierenden der mathematischen Physik zu
widmen, habe ich Manches fur den Fach-Astronomen In-
teressante absichtlich unterdriickt. Solches kann leicht aus
den Quellen oder Zeitschriften nachgelesen werden.

Die dem Inhalts-Verzeichnisse — dessen Bearbeitung
ich Herrn Albert v. Ettingshausen, Assistent der Physik
an der hiesigen Universitat^ verdanke — beigegebene Lite-
ratur-Angabe bezieht sich nur auf die bei der Ausarbeitung
dieses Buches benutzten Schriften.

Bei der Corrector fand ich iiberdies an den Herren
Albert v. Ettingshausen und Johann Gerst die freund-
lichste Unterstiitzung, woftir ich ihnen meinen innigsten
Dank ausspreche.

Graz, im Marz 1871.

J. Frischauf.

I n h a 1 t.

Brster Theil.

Beziehungen zwischen den die Bewegungen der Himmels-
kSrper um die Sonne bestimmenden GrSssen.

Erster Absohnitt.

Beziehungen hinsichtlich eines einzelnen Ortes

in der Bahn.

Art. Seite

1. Keppler's Gesetze; Definitionen *) 1

2. Auflosung der Aufgabe : aus der wahren Anomalie die mitt-
lere zu finden.*) Constante der theoria motiis^) 3

3. Auflosung des Keppler'schen Problems: aus der mittleren
Anomalie die wahre und den Radius Vector zu finden. . . 6

4. Ueber die Bewegung in einer parabolischen Bahn^) .... 7

Literatur.

1) Das erste und zweite Keppler'sche Gesetz ist enthalteu in der », Astronomia
nova ... a Joanne Keplero " 1609 (gedruckt zu Heidelberg) , das dritte Gesetz
in des „ Joannis Keppleri Harmonices mundi libri Y, Lincii, 1619.** III. u. Y.
Band der Frisoh'soliexi Ausgabe.

2) Eine andere Ableitung derGrleichung (7) gibt Mobius, Elemente der Mechanik
des Himmels, Leipzig, 1843. Die hier gegebene Ableitung dieser Gleichung
ist die Uebertragung des Yorganges von Keppler.

3) GausSf Theoria motus corporum coelestium in sectionibus couicis solem
ambientium, Hamburgi, 1809. (Deutsqh ron Haase, 1865).

4) Olbers, Abhandlung fiber die leichteste and bequemste Methode die Bahn
eines Kometen zu berechnen. Zum ersten mal von F. v. Zach, Weimar, 1797,
zum zweiteu male von En eke 1847 und zum dritten male von Galle 1^64,
enthillt nebst andern HtUfs-Tafeln die Barker'sche Tafel in voUstandiger
Weise,

VI

Zweiter Absclmitt

Beziehungen zwischen mehreren Orten in der
Art. Bahn. g^^

5. Hulfssatze 9

6. Berechnung der' Bahnelemente eines Himmelsk^rpers aus
zwei Radien Vectoren, dem Unterschied der zugehorigen

wahren Anomalien und der Zwischenzeit 9

I. fur die Ellipse »); 11. fiir die Parabel.

7. Lambert'sche Fonnel fiir die Parabel*) 17

8. Berechnung des Parameters aus drei Orten eines Himmels-
korpers ; Ableitung einer fur die Bahnbestimmung wicbtigen
Formel^). *. . . . 19

Dritter Absclmitt.

Beziehungen hinsichtlich eines einzelnen Ortes

hn Baume^).

9. Definitionen: Knoten, Neigung der Bahn, Langen in der
Bahn, Lange des Perihels, Elemente der Bewegung des
HimmelskSrpers '21

10. Heliocentrische Mnge und Breite. Argument der Breite.
Kelationen zwischen den heliocentrischen Gr5ssen und den
L§,ngen in der Bahn 23

11. Lage eines Punktes im Raume. Verwandlung der helio-
centrischen Mngen, Breiten und Distanzen in geocentrische
und umgekehrt. Curtirte Distanzen 24

12. Es wird gezeigt, wie sich die heliocentrischen Coordinaten
direct durch die wahre Anomalie und den Radius -Vector
ausdrilcken lassen 25

Vierter Absclmitt.
Beziehungen zwischen mehreren Orten im Raume®).

13. Bestimmung der LUnge des Enotens, der Neigung der Bahn
und der Argumente der Breite aus zwei heliocentrischen
Langen und Breiten 27

14. Beziehungen zwischen den Coordinaten und den Dreiecks-
flachen dreier (heliocentrischer) Orte eines Himmelsk5rpers 28

•

5) L5Bung yon aanss. Eine genftherte LOsong dieser wiohtigen Aufgabe entbait
bereits Euler's Theoria motuum planetarum et cometarum, Berolini 1744.
(Deutsch Yon Paoassi, Wien, 1781).

6) En eke, Berliner astronomiscbes Jabrbuch fflr 1833.

7) Gauss, Tbeoria motus, art. 82.

8) Gauss, Theoria motus, zweiter Abscbnitt des 1. B.

9) Gauss, Theoria motus, vierter Abschnitt des 1. B. und En eke, Berl. astr.
J. ftir 1854.

VII

- Zweiter Theil.
Bahnbestimmung der Planeten imd Eometen.

' Erster Abschnitt.

Bestimmung einer elliptischen Bahn aus drei
geocentrischen Beobachtungen^^).

Art Seite

15. For die Bestimmung der sechs Elemente der elliptischen
Bewegung eines Himmelskorpers werden drei geocentrische
Beobachtungen desselben, die zugehorigen }ieliocentrisclien
Orte der Erde und die Beobachtungszeiten als gegeben
yorausgesetzt. Die UnmOglicbkeit einer unmittelbaren LOsiing
der Aufgabe ndthigt dieselbe durch snccessive NSberungen
zu l^sen, zu welchem Zwecke die dazu geeigneten Hiilfs-
grSssen P nnd Q eingefuhrt werden 30

16. Fortsetzung; Berechnung der Bahnelemente mit Hiilfe der
curtirten Distanzen 35

17. Erlauterung der Berechnung der HultsgrSssen P und Q in

den verschiedenen Hypothesen . 38

18. Beispiel; Berechnung der Elemente des Planeten Juno. . . 39

Zweiter Absclmitt.

Bestimmung einer parabolischen Bahn aus drei
geocentrischen Beobachtungen nach der Methode

von Olbers^*).

19. Fiir die Bestimmung einer parabolischen Bahn genugt es
das Yerhaltniss der curtirten Entfemung der ersten und
dritten Beobachtung zu kennen, um.mit HWe der Lam-
bert*schen Formel diese GrCssen zu bestimmen 44

20. Ursprunglicher Ausdruck fiir die Olbers'sche Voraussetzung 47

21. Beispiel; Berechnung der Elemente des eweiten Eometen
vom Jahre 1813 47

10) Die einleitenden Bemerkungen des Art. ^5 Bind nach Gauss Theoria motas,
art. 115, 131 — 185, die Umformong der Gleiohnng (1) dnrch die Qrdssen /nnd K

' nach Encke Berl. astr. J. fOr 1854 gegeben. Die EinfOhmng der GrOssen
P nnd Q rfihrt von Ganss her. Die Ldsong in dem Art. 16 ist dem
Ganss^schen Vorgange der Bahnbestimmnng aus Tier Orten angepasst.

11) 01b ers, Abhandlnng ... nnd Encke, Berl. astr. J. fOr 1833.

vin

Dritter Abscbnitt.

Bestimmung einer elliptischen Bahn aus yier
geocentrischen Beobachtungen, yon denen nur

zwei yoUstSiiidig sind'*).

Art. Seit«

22. Diese Bestimmung stiitzt sich auf die Berechnung der Jlulfs-
grossen Pj, Pj, 0,, j2t, aus denen die curtirten Entfemungen
in den mittleren Beobachtungen und aus diesen die Elemente
erhalten werden 49

Yierter Abschnitt.

Ueber die Vorbereitungsrechnungen bei Bahn-

bestimmungen*^).

23. Einleitung 54

24. I. Yerwandlung yon Eectaecension und Declination in Lange
und Breite und umgekehrt 54

25. II. Parallaxe. Be&eiung der Beobachtungen yon derselben;
Horizontalparallaxe . 56

26. Methode yon Gauss, die Parallaze zu beriicksichtigen ohne
Kenntniss der Entfemung des Gestims yon der Erde ... 59

27. III. Aberration des Lichtes. TUgliche und jSJirliche Aber-
ration. GrSsster Werth derselben 61

28. Einfluss der Aberration auf die LUnge und Breite eines Fix-
sterns. Jahrliche Parallaxe 62

29. Berechnung der Aberration bei Gestimen mit eigener Be-
wegung 66

30. IV. Praecession und Nutation. Definitionen: wahre und
scheinbare Aequinoctialpunkte , Schiefe der Ekliptik , u. s. w.
mittlere Lange, mittlere Schiefe der Ekliptik 67

31. Portsetzung; mittlerer und scheinbarer Ort 68

32. Beispiel iiber die angegebenen Reductionen 69

Filnfter Absobnitt.

Bahnbestimmungen aus einer grSsseren Reihe

yon Beobachtungen.^^)

33. Ephemeriden; Berechnung derselben 73

34. Unterschied der beobachteten und berechneten Ortej Nor-
malort 77

12) GauBB, Theoria motna, zweiter Abschnitt des 2. B.

13) Brtlnno w, Lehrbuch der sphftrischen Astronomie, Berlin 18f)2; zweite Auflage
1862 and Gauss, Theoria moins, zweiter Abschnitt, und Beispiel art. 150.

14) Frischauf, Bahnbestimmung des Flaneten Asia. Sitzimgsberichte der kais.
Akademie der W. Band LIU. Gauss, Theoria motus. Euler, Theoria mo-
tuum. Olbers, Abhandluug.

IX

j Art. Seito

35. Verbesserung der Elemente eines Himmelskdrpers aus
spSiteren Beobachtnngen : 1. vermittelst der Entfemungen
zweier Orte von der Erde; 2. vermittelst der Elemente
Knoten und Neigung. Modification far parabolische Bahnen. 79

•

Sechster Absclmitt.

Bahnbestimmung mit Berdcksichtignng der

St5rungen*5).

36. ErklSxungen , Berechnung deir spedellen Stdrungen durch
die mechanischen Quadraturen bei kleinen Flaneten und
Eometen anwendbar; osculirende Elemente 83

37. Encke'sche Methode; Bestimmung der St5rungen der Coor-
dinaten 86

38. Formeln filr die mechanischen Quadraturen 87

39. Anwendung dieser Formeln auf die Berechnung der StO-
rungen. Beispiel; Bestimmung der St5rungen des Planeten
Asia durch Jupiter 92

40. Berucksichtigung der Glieder hCherer Ordnung 96

41. Bestimmung der osculirenden Elemente 97

Dritter Theil.

Geschichtef der Planetentheorien.

42. Einleitung. Planetenlauf; erste und zweite Ungleichheit . . 99

Erster Absclmitt.

Aeltere Theorie*®).

43. Darstellung der Planetenbewegung mittelst excentrischen
Ereises und de6 Epicykels. Optische und physische Gleichung,
Mittelpunktsgleichung; deferirender Ereis. Punctum aequans 100

15) Enoke, Berl. astr. J. fUr 1837, 1888, 1857, 1858. Ueber die bei den StOrungs-
rechxumgen ange'wandte Quadra ttur vergl. En eke in den Berl. astr. J. fttr 1837,
1858, 1862 und Airy, Nautical -Almanac fdr 1856. Nacb einer ^Mitthtfllong
En eke' 8 sind diese Formeln der mechanischen Qnadratur von Gauss.

16) Kkccvdtov HtoXafiatov Ma&ijficettxfj Svvta^tg, Dieses unter dem Namen Al-
magest bekannte Werk enth&lt die gesammte Astronomie der Griechen zu den
Zeiten des Ptolemftns, der im Mittelalter mit Aristoteles gleiches Ansehen
hatte. Der Name Almagest stammt aus dem arabischen. Die erste lateinische
Uebersetzung erschien 1515 zu Yenedig. Das griechische Original mit dem
Gommentar Ton The on 1588 zu Basel. Die beste Ausgabe (mit Anmerkungen
von Delambre) griechisch und ijranz5sisch ist die von M. Halm a, Paris, der
erste Band erschien 1813, der zweite 1816.

Gute und ttbersichtliche Darstellnngen des Almagest sind enthalten in:
1) Biccioli, G. B. , Almagestum noTum 2 yol. Bononiae 1651; brauchbar
ftlr die gesammte Literatur.
FBIS0HAT77, Astronomie. *

X

Art. Seite

44. Genauigkeit dieser Theorie. Einfache Excentricitat, gleiche
Theilung der Excentricitat 103

45. Bestimmung der LUnge der Planeten; 1. obere - Planeten,

2. untere Planeten, 3. Planet Merkur 106

46. Bestimmung der Breite der Planeten; 1, fur die oberen
Planeten , 2. fiir die unteren Planeten 109

Zweiter Abschnitt.

Neuere Theorien.

a) Kopernikus.

47. Dreifache Bewegung der Erde. Die drei Formen der Planeten-
bewegungi'') 110

b) Tycho Brahe und Keppler*^).

48. Prutenische Tafeln; anfanglich geringer Anhang des koper-
nikanischen Systems**) 113

49. Keppler; Gescbichte; sein Geheimniss des Weltbaues**^) . . 114

2) Tacquet, A., Astronomia, in dessen Opera mathematica nach eeinem
Tode in Antwerpen 1669 (und 1707) herausgegeben.

3) Delambr.e, M., Histoire de rAstrouomie ancienne, tome second,
Paris, 1817.

Das erste Compendium zum Almagest ist' des Peurbach Theoricae novae
planetarum, etc. Venet. 1488, von welchem zahlreiche Ausgaben existiren.

17) Copernicus, N. De revolutionibus orbium coelestium libri VI, Norimbergae
1543. Neueste Ausgabe s&mmtlicher Werke des Kopernikus ist von Bara-
ncwsky (mit polnischer Uebersetzung) , Warscbau , 1854. Eurze Darstellungen
dieses Systems sind in Bhaeticus, G. J., Narratio de libris revolutionum
Copernici auch der Basler Ausgabe des Kopernikus (1566) und dem Kepp-
ler'schen Prodromns beigefagt. In letzterem Werke befindet sich auch die
Schrift Maestlins: De dimensionibus orbium et sphaerarum coelestium juxta
tabulas prutenicas ex sententia Nicolai Copernici, welche eine recht (iber-
sichtliche Darstellung dieses Systems enthSllt.

18) Ueber Kopernikus, Tycho und Keppler vergl.: Delambre, Histoire
de PAstronomie moderne, tome premier, Paris, 1821. Ape It, E. F., 1) die
Reformation der Stemkunde. Jena , 1852 und 2) „ die Epochen der Oeschichte

'der Menschheit. Erster Band, zweite Ausgabe, Jena, 1851 Band 1," far die
Entdeckungsgeschichte des ersten Gesetzes, 3) „ J. Kepp>ler's astronomische
Weltansicht,- Leipzig, 1849.'' Euth&lt eine ausfUhrliche Darstellung der Har-
monices muadi.

19) Be in hold, E., Prutenioae tabulae coelestium motuum, Yitebergae, 1551.
Diese Tafeln waren dem Herzog Albxeoht von Preussen gewidmet, von
welcher Widmung sie den Namen tragen.

20) Keppl er, J., Prodomus dissertationum cosmographioarum, continens mysterium
cosmographioum de admirabili proportione orbium coelestium: deque causis
coelorum numeri , magnitudinis , motuumque periodicorum genidnis et propriis,
deqionstratum per quinque regularia corpora geometrica ... a M. Joanne
Keplero, Tttbingae, 1596. Dieses Werk enth&lt die leitende Idee zu den
astronomischen Bestrebungen Keppler s.

XI

Art Seite

50. Tycho Brahe; Geschichte; sein System**) 117

51. Die Beobachtungen dee Planeten Mars. Astronomia nava**) 119

52. Erster Versuch Keppler's einer Marstheorie: Bestimmung
der Lange der Enoten, der Neigung; Eeduction der Orte
des Mars auf den wahren Sonnenort; stellvertretende Hypo-
these 119

53. Bestimmung der Erdbahn; Beweis der gleichen Theilung

der Excentricitat 124

54. Entdeckung des zweiten Keppler'schen Gesetzes 127

55. Bestimmung der Mittelpunktsgleichung vermittelst dieses
Gesetzes 128

56. Bestimmung der Figur der Marsbahn aus den Entfernungen
des Mars von der Sonne; dieselbe stellt sich zunachst als
ein Oval dar; Auffindung der wahren Form dieser Bahn —
erstes Keppler'sches Gesetz 129

57. Verbesserung der Marselemente ; Rudolfinische Tafeln*^) . . 134

58. Harmonices mundi**) 134

59. Entdeckung des dritten Gesetzes 136

60. Schluss. Keppler's naturphilosophische Speculationen . . . 138

Dritter Absclmitt.

Zum Problem der Bahnbestimmung.

'61. Geschichtliche Entwicklung; Bestimmung einer Kreisbahn;

Anwendung auf die Bestimmung der Elemente des Uranus *°) 139

21) Tycho Brahe, Astronomiae instauratae progymnasmata. De mundi aetherei
recentioribus phaenomenis liber Becuzidas. Begonnen 1588 (anf der Uranien-
burg), beendet 1603 (in Prag). Astronomiae instauratae Mechanica, 1598. Die
tyohonische Astronomie isf auch enthalten in Longomontanns, Ghr. S.,
Astronomia Danica, Amsterodami 1622; und Biccioli, Almagestum novum.

22) Astronomia nova ... a Joanne Kepler o. Dieses fUr die theoretische Astro-
nomie so wiohtige Werk ist in fllnf Theile abgetheilt. Der erste Theil ist
rein theoretiscber Natur und behandelt die HtQfsmittel der Darstellung der
Ungleichheiten durch den ezcentrischen Kreis und Epicykel; der Hauptinhalt
dieses Theils wurde in Art. 56, S. 132 und am Sohlusse des Art. 47, S. 112
benutzt. Der zweite Theil enth&lt di^ Materien der Art. 51 und 52. Der
dritte Theil enthftlt die Bestimmung der Erdbahn, das zweite Geaetz und
die Bestimmung der Mittelpunktsgleichung des Art. 55. Der vier.te Theil
enth&lt das erste Gesetz; der fttnfte Theil beweist nnter anderen den wich-
tigen Satz, dass die Knotenlinie der Marsbahn genau durch den wahren
Sonnenort geht.

23) Tabulae Budolphinae, Ulmae, 1627.

24) Harmonices mundi libri Y, Lincii, 1619.

25) Bohnenberger, J. G. F. , Astronomie, Tfibingen, 811.

XII

Art. S«ite

62. Balinbestimiiiung der Ceres; Gauss, Theoria motus*®) * . . 141

63. Bestimmung einer parabolischen Bahn, Olbers") 141

Anhang 144

Nachtrag 158

26) Gauss, Yorwoxt zur Theoria motas.

27) 01b ers, Abhandlung. Erster und zweitex Abschnitt.

Erster Theil.

Beziehungen zwischen den die Bewegungen der
Himmelskorper um die Sonne bestimmenden

GrSssen.

Erster Abschnitt.

Beziehungen hinsichtlich eines einzelnen Ortes in der Bahn.

1.

Betrachtet man die Planeten als mathematische Puncte
und beriicksichtiget man bloss die Anziehung der Sonne,
so geschieht die Bewegung derselben nach folgenden Ge-
setzen :

I. Die Planeten bewegen sich in Ellipsen, in deren

einem (gemeinsamen) Brennpuncte sich der Mittel-

punct der Sonne befindet.

II. Die von der Sonne nach dem Planeten gezogene

Gerade iiberstreicht der Zeit proportionale Flachen.

III. Die Wurfel der grossen Axen zweier Planeten ver-

halten sich wie die Quadrate ihrer Umlaufszeiten.

Diese Gesetze sind von Keppler (geb. 1571, gest. 1630)

gefunden worden.

Beriicksichtigt man die Anziehung des Planeten auf
die Sonne, so ist der Wurfel der grossen Axe dem Producte

VidscHAUF, Agtrouomic. 1

aus dem Quadrate der Umlaufszeit mit der Summe der
Massen der Sonne und des Planeten proportional.

p. ^ Es stelle die Ellipse der Figur

(Fig. 1) die Bahn eines Planeten vor,
im Brennpuncte S sei die Sonne.
1st AP die grosse Axe der Ellipse;
so ist der dem Brennpuncte S naher
liegende Punct Pzugleich derjenige
Punet der Bahn, in welchem der Planet der Sonne am
nachsten kommt; der Punct P wird daher das Peribelium
oder die Sonnennahe genannt. Im anderen Endpuncte ^
ist der Planet von der Sonne am weitesten entfernt, der Punct
.4wirddaherdasAphelium oder dieSonnenf erne genannt.
Beide Puncte heisst man A p s i d e n , und die Grade A P, sobald
nur ihre Lage beriicksichtiget wird, die Apsidenlinie. .
Ist der Mittelpunkt der Ellipse, AO = OP=a die
halbe grosse Axe, OS = ae, so heisst e die Exeentri-
citat. Die kleinste Entfernung des Planeten von der
Sonne ist daher SP= OP — OS = a (1 — ^), die grosste
SA = OA -\- SO = a (1 + e), daher die mittlere = a =
der halben grossen Axe. In der mittleren Entfernung be-
findet sich der Planet, wenn er durch den einen oder den
anderen Endpunct der kleinen Axe geht.

Befindet sich der Planet im Puncte L seiner Bahn, so
heisst die Gerade SL = r der Radius Vector, und der
Winkel PSL = v die wahre Anomalie des Planeten.
Dieser Winkel wird vom Perihelium im Sinne der Bewe-
gung des Planeten (in der Figur durch einen beigesetzten
Pfeil ausgedriickt) von bis 360® gezUhlt. Die beiden
Grossen r und v sind die Polarcoordinaten des Planeten
in Bezug auf die Sonne als Anfangspunct (Pol) und die
Apsidenlinie als Grundlinie (Axe).

2.

Aus der wahren Anomalie v die Zeit t, in welcher sie
vom Planeten beschrieben wird, zu finden.

Ist U die Umlaufszeit des Planeten, bo verhalt sich /
zu U wie der Sector PSL zur Flache der ganzen Ellipse.
Um das letzere VerhUltniss zu berechnen, bedient man sich
des sogenannten excentrischen Kreises, der in der Ebene
der Ellipse uber der grossen Axe AP als Durchmesser be-
schrieben wird. Eine vom Puncte L auf die Gerade AP
gefallte Senkrechte LJ treflfe den Kreis in A^. Der Winkel
POK heisst die excentrische Anomalie und wird mit
E bezeichnet.

Nun ist SJ= OJ— OS, d. h.

(1) r cos V = a cos E — ae.
Aus der Polargleichung der Ellipse

1 + e cos V

folgt; wenn man den Worth von r cos v aus (1) in diese
Gleichung setzt,

(2) r = a — ae cos E.

' Aus den Gleichungen (1) und (2) erhalt man durch
Addition und Subtraction

r (1 + cos v) = a{l — ^) (1 -|- cos E)
r (1 — cos v) = a{l -j- ^) (1 — cos E).
Zieht man aus diesen Gleichungen die Quadratwurzel
auB; so erhalt man

(3) /r cos i^v= ]/a~(l"^~e) COB {- E

(4) j/r sin i t; = /a (1 +~^sin ^ E,
Durch Division und Multiplication erhalt man

(5) tang ^v= //^+~ tang ^ E

(6) r siu V == aj/l — e"^ sin E.

1*

Aus der Gleichung (6) folgt

r sin V : a sin U d. i. LJ: KJ =]/l — e^ : 1

d. h. die Ordinate in der Ellipse verhalt sich zur Ordinate

des excentrischen Kreises wie die kleine Halbaxe b =

a }/] — e^ zur grossen a. Zieht man eine zweite (unendlich

nahe). Ordinate , so findet dasselbe Verhaltniss zwischen den

dadurch bestimmten Trapezen statt, mithin erhalt man,

wenn die ganzen Flaehen in Trapeze zerlegt werden

PJL: P1K = h\ a = G\ na^,

wo G die Flache der Ellipse bedeutet. Ebenso ist, wenn

S einen beliebigen Punct der Geraden AP bedeutet, das

Verhaltniss der Dreiecke

SJL: SJK = hi a,

mithin das Verhaltniss der Sectoren

SPL\ SPK=G\ %a^',
darans folgt

U:t=G: SPL = TCa'^ : SPK,

Es ist aber SPK = OPK — OSK •

= ^0P' PK—\OS JK=^a ' aE — ^ae- asm E,

also U : t = 2 7C : E — ^ sin ^;

setzt man ferner -y^- = ^, so wird

(7) fit = E — esmE.

Die Grosse ^t = Mhei8st die mittlere Anomalie,
die Grosse ft ist die mittlere Bewegung in der Zeit-
einheit.

Aus V erhalt man nach (5) die exeentrische Anomalie E
und damit nach (7) die mittlere Anomalie M oder die Zeit /.

Aus dem Vorhergehenden ist ersichtlich, dass
fixr i = 0,M= E=v = ist.

- t===:^i/^M= E=v^l80^ -

- 0<t <:^U, M < E <v
' U> t> {U, M> E> V

In der Gleichung (7) ist der Hiilfswinkel ^inTheilen

des Halbmessers auszudruckeii; driickt man jedoch -^ und

e sin E im Gradmasse aus^ so kann auch E in Graden bei-
behaiten werden^).

\ Aus dem Verhaltnisse der Flache der Ellipse zur Flache

des Kreises = ^1 — e^ \ 1 folgt

G = Ttd^ y\ — e^ = Tcai }/p.

Der Ausdruck Ttai j/p : U stellt die in der Zeiteinheit
vom Radius Vector beschriebene Flache, d. i. die Flachen-
geschwindigkeit dar.

Sind m, m die Massen zweier Planeten, die Masse der
Sonne = 1 gesetzt, a, a ihre mittleren Entfernungen, U, U
ihre Umlaufszeiten ; so ist nach dem verbesserten dritten

keppler'schen Gesetze

«3 : ^'3 = (72 (1 _|. ^^ . u'l (1 ^ ^')^

3 9 ^

es ist daher ,, , also^auch — — -- — fiir alle Plane-

uw+m - c/vr+

m

ten constant. Bezeichnet man mit k den Worth dieser Con-

stante, so wird die Flslchengeschwindigkeit = -j/l -^ m "/p,

die mittlere Bewegung ^ = k j/\ -\- m : a^.

Die Gr5sse k heisst die Constante der theoria motus,
Gauss bestimmt deren Worth aus der Bewegung der Erde.
Als Einheit der Distanzen wird die mittlere Entfernung
der Erde von der Sonne, als Zeiteinheit der mittlere Sonnen-
tag angenommen. Mit den Werthen

U = 365.2563835, m = -j^^Vtit = 0.0000028192
erhalt man

log k = 8.2355814414
k = 0.01720209895.

6

3.

Die umgekehrte, unter dem Namen des Keppler'-
schen Problems beriihmte Aufgabe, namlich „aus der mitt-
leren Anomalie die wahre und den Radius Vector zu fin-
den/^ kommt in der Anwendung weit haufiger vor.

Zunachst ist die Gleichung E = M -^ e Bin E nach E
aufzulosen. Die Auflosung kann entweder durch Reihen
oder indirect durch Versuche bewerkstelligt werden. Man
beginnt mit einem Naherungswerth Eq und rechnet nun

El = M -\- e sin Eq
E2 = M + e Bin E^
E^ = M -\- e Bin E^

so langC; bis man keine verschiedenen Werthe von E er-
halt; als E^ kann' man ^ wenn kein anderer Naherungswerth
bekannt ist; M annehmen. Aus zwei Naherungswerthen
kann man durch die regula falsi einen genaueren Worth
erhalten^).

Beispiel. Es sei M == 332« 28' 32".ll , e = 0.2451028,
daher log e in Secunden = 4.7037734.

Setzt man Eq = 332®, so erhalt man
E^ = 325<> 53', E^ = 324® 36'
E^ = 324® 22' 26", \ = 324® 17' 42"
E^ = 324® 16' 47", E^, = 324® 16' 36" u. s. w.
bis man schliesslich E = 324® 16" 33".30 erhalt.

Nimmt man die regula falsi zu Hulfe, so erhalt man
aus a = 325® 53' a = 324® 36'. Setzt man

ferner a = 324®, so wird «'= 324® 13'.5:

aus welchen Werthen man nach (2) erhSlt

10 = 324« 13'.5 + 3'.3 = 324^ 16'.8,

welcher Werth, wie man ersieht, dem wahren Werthe von
E schon ziemlich nahe kommt.

1st nun log a = 0.4223802, so erhalt man nach (2) und
(5) dos Art. 2, .

log r = 0.3260215 , v = 315« 2' 0".76.

Ebenso kann man aus den Gleichungen (1) und (6) oder
(3) und (4) des Art. 2. die Grossen r und v erhalten.

4.

Die Kometen bewegen sich in Bahncn, dje man in
erstei* Annaherung als Parabein betrachten kann. Der am
Schlusse von Art. 2. gefundene Ausdruck fiir die Flachen-
geschwindigkeit gestattet eine Anwendung des zweiten und
dritten keppler'schen Gesetzes auf die Bewegung eines Him-
raelskorpers in einer Parabel.

Ist der Bogen jPZ ein Stuck einer Parabel, so ist das
Flachenstuck J PL der Parabel = | JP.JL.

Die Polargleichung der Parabel ist

r = P ^^ P

1 + cos V 2 cos 4 o*

Die in der Zeit t vom Radius Vector durchstrichene
Flache SPL

= !i yV+m ]/pt = Dreieck SJL + Flache J PL

^^SJ,JL + ^ JP.JL.

Nun ist

/Z = r sin i; = p tang ^ v, SJ= r cos t; = ^ (1— tang ^ v^)y

jp= SP—SJ = ^ tang ^ v\

8

Setzt man ^ == q, so ist q die kleinste Entfernung des
Kometen von der Sonne, und es wird

(8) ^^^^ < = tang i r + i tang i r'.

Fiir die Kometen setzt man immer m = 0.
Multiplicirt man die Gleiehung (8) mit 75 und setzt

y^ = 0, log C = 9.9601277182,

so geht die Gleiehung (8) iiber in

(8*) ^ = 75 tang ^ t; + 25 tang ^ v^

• c

Die Grosse -^==(i heisst mittlere tagliche Bewe-

c

gung, die Grosse -^ t = M mittlere Anomalie des

q^

Kometen. Aus t erhalt man v und umgekehrt aus v die
Zeit t. Die Barker'sche Tafel gibt fiir den Worth von v,
welchen man fiir die Parabel in der Kegel von bis + 180^'
zahlt, die Grosse AI und umgekehrt.

Beispiel. Fiir log q = 0.08469 erhalt man

log ft = 9.83309.

Ist nun, wenn die Perihelzeit T = Mai 19.5175 ist,

fiir April 14.54694 desselben Jahres die wahre Anomalie

zu berechnen, so ist if = — 34.97056 Tage, und man

erhalt

, log M=^n 1.37680

und damit aus der Barker'schen Tafel

v=—U^ 12' 52" = 3250 47' 8".
Aus V erhalt man log r = 0.12400.

9

Zweiter Abschnitt.

Beziehungen zwischen mehreren Orten in der Bahn.

Hulfssatze: Bedeuten A, B, C drei beliebige Winkel,
so ist

I. sin^sin(^— 60 + sin^sin(C'— ^) + sinCsin(^-^)=0,
IL cos^sin(J? — (7) + cos^sin(C' — ^) + cos^sin(^— ^)=0,
wie man durch Entwicklung von sin (-^ — (7) . . . unmittelbar
findet.

Es seien r, v; r', v die Polarcoordinaten zweier Orte
eines Himmelskorpers in der Bafan^ t die Zeit; welche dor-
selbe braucht, um vom ersten Ort zum zweiten zu gelangen;
aus r, r'j V — Vj t die Eiemente des Planeten in der Bahn
zu bestimmen.

I. Fiir die Ellipse.

Aus den Gleichungen

j/r sin ^ t; = /«(1 + e) sin ^ E

^r cos ^ t; = \/a (1 — e) cos ^ E

]/r sin i^v = /a (1 + e) sin ^ E

^r cos \v = ya (1 — e) cos ^ E'
folgt

yrr sin \ v cos 4^ v = a }/\ — e^ sin ^ E cos \ E

}/rr cos ^ t^ sin ^ t;' = « ]/l — ^^ cos ^ E am ^ E

]/rr sin ^ v sin ^ v' = a {I -\- e) sin ^ E sin ^ .6^'

j/irr' cos i i; cos ^v == a {I — e) cos ^ E cos ^ ^'.

Setzt man Kurze halber v — v = 2/', E ^ E =2g, E + E
= 2G, so erhalt man aus den Gleichungen (1) durch Sub-
traction der beiden ersteren und Addition der beiden letzteren

(1)

w

(2) i/rr sin /"= aj/l — e^ sin ff

(3) j/rr cos /"= a cos ^ — ae cos C.

Aus r = a — ae cos ^, r = a — ae cos ^ folgt

r'+ r= 2« — 2«^ cos ff cos G=2a sin^^-f- 2 cos/* cos ^ ^rr,

indem statt ae cos 6^ aus (3) der Worth a cos ff — \/rr cos /*
gesetzt wird; woraus dann

r -\- r — 2 cos /* cos g Vn^*

a =

2 sin g^

. r -L. r — 2 cos f Yrr + 4 cos f siii 4 fl' yrr

oder « = — ' \ . , ^-

2 sin g^

Setzt man, wenn cos / positiv ist,

r -\- r — 2 cos / l/rr = 4 cos f y^rr /,
o^er

(4) I = 77^-- - ^'

4 cos frrr

so wird

/5) « = 2 (^ + sin \ g^) cos f Vr r^'

^ ' sin g^

J ,/- I /2 (/ + sin 4 fli«) cos f y^' J ,

und ya=+ - — ^— J- ?-^-^ '—^ — , wo das obere

' — sin g '

oder untere Zeichen stattfindet, je nachdem sin ff positiv
oder negativ ist.

Ist aber cos f negativ, so setze man

r + ^' — 2 cos f ]/rr = — 4 cos f j/rr ^
oder

(4*) L^ ^ + '-' +i

— 4: COS f yrr

und es wird

C5*^ a= — ^ (-^ — s^° -i . 9') CQ8 fVrr^

^ * sin g^

Sind r, r die Zeiten, welche seit dem Durchgange
durch das Perihel verflossen sind , also t — r = ^ ; so ist,
die Masse des Flaneten gleich Null gesetzt,

11

k k , ,

-xr=^E — e ^\n Ey -\t = B^ — e sin E\ also
I = E^ — E — e (sin £^ — sin E)

nil

= 2 g — 2 ^ sin ^ cos G.
Setzt man statt e cos G den Werth aus (3), so wird

-3=2^ — sin 2^ + 2 cos f sin g — •

flz a

Substituirt man fur }/ a den Werth, und setzt der Kurze
wegen

^ ^ ^ 2* cos fi {rr')i ~ ^ '

SO wird

(7) +»» = (/ + sini-7*)* + (/ + sini <;»)* ^ ^''^nT" )'

WO ftir /» das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem
sin g positiv oder negativ ist.

1st cos f negativ, so setze man

(6*) -3 ^^ , . . = My

^ ^ 2! (- cos /•)4 (rr')l '

und man erhalt

(7*) + i|/ = _(Z-8mi<7')* + (Z-sm^<7^)?(-^^),

WO das obere Zeichen gilt fur sin g positiv, das untere fur
sin g negativ. —

Zuerst ist die Gleichung (7) oder (7*) nach g auf-
zulosen.

Es sei zunachst g nicht sehr gross*), in diesem Falle

kann ~ — ; — 5 — - in eine Reihe nach Potenzen von sin ^ g

entwickelt werden.

Es ist
2^=4. ^^, sin ^ = 2 sin ^ <7 cos i^=2 sin ^g j/l — sin ^ g'^,

sin 2^=2 sin^ cos g=4t sin ^ ^1— sin ^^—8 sin ^g^ j/l — sin|^^.

*) Bis 30° ungefahr.

12

Berucksichtiget man^ dass
(1 — o:)^ = 1 —^x-'^x'^ — -^x^ — j%^x* — ...

M=sin w + -J i sin w^+l ^ sin u^ + |^;^'gSinw' +i|]m sin w» + ..

ist; SO erhalt man

2^=4sin^^+|sini^3 + 3^sin^^''^+^sini^7^^sini^9+..
sin 2^=4 sin ^^— 10 sin ^g^ +^ sin y ^ +| sin^^;' +|^ sin ^^ + . .
2(7 — sin 2^?^= ^ sin y^ — i/sin ^^^ _ :|.sin^^7_| gin^^9_^

sin ^3 =8 sin 4^^^ — 12sin^^'^ + 3sin^^' + ^sin-J^® + ..
Bezeichnet man der Kiirze halber -^-^ — 5—^ mit Jf und

sin j7^

setzt sin ^ ^* = a:, so wird

A=l

f — I a; — rV «^ — 3*ff ^'

Bezeichnet man den Zahler von A mit Z, den Nenner
mit Nf so wird ^ = - == ^rr-— .

Entwickelt man N : Z in eine Reihe nach Potenzen
von X, so erhalt man

= I.-A(^-S);

wenn | = ^a:^ + i¥fT^^ + • • ^*^^^

a) g = [8.75696] a;2 + [8.5187] a;^ + ..
wo die eingeklammerten Zahlen Logarithmen sind, gesetzt
wird. Es wird daher

K L

Setzt man diesen Ausdruck von A in die Gleichung (7)
und bedenkt man, dass, wenn ff nicht gross ist, nur das
obere Zeichen stattfindet; so erhalt man

-(' + -)' + riSj^,-

"' - f««

• Setzt man ^^q^^= y, so wird a; = ^ — /,

13

|-A(aj-|) = ^(| + /+!-'!),

also

y = 1 +

=^1 +

oder

(*+'+5)(^-iV?+i)

1 j^ V*

m«

gesetzt wird.

Die Gleichang fiir y entwickelt; gibt

?) y^ — y^ — hy — \h = o,

Diese Gleichung hat eine positive WurzeP).

Die Aufiosung der Gleichung (7) gesehieht nun auf
folgende Art: Fiir die erste Annaherung setze man § = 0,

erhalt damit nach fi) h = t-t— und damit nach y) y , aus y

« It \ *■

rechne man x. Dann rechne man nach a) |, und erhalt
damit aus /3) einen verbesserten Worth von h, Diese Rech-
nung wird so oft wiederholt, bis man keine verschiedenen
Werthe erhalt.

Aus der Gleichung y=\-\- -— ^ ^^ ^ folgt, dass,

° .y* (I ~ -A (^ — s)) °

wenn die Zeit t als eine kleine Grosse erster Ordnung be-
trachtet wird, y — 1 nahe == ^ m^ eine kleine Grosse zweiter
Ordnung ist.

Aus X erhalt man y, ist y gefunden, so hat man nach
Gleichung (5)

a

sin y^ y« sin g^ 4 y^ vr cos /"* sin g^

14
Aus der Gleichung (2) d, h. aus

aVr^

a }/\ — ^^sin^ = j/rr'sin/'und j/p = ^a (1 — e^) = '~y^
folgt mit Beriicksichtigung der vorhergehenden Gleichung

(8) ' V^^'-^^^^^,

mithiu y = k /p t ; rr sin 2/, d. li. y ist das Verhalt-

niss des elliptischen Sectors zwischen den beiden Radien
Vectoren und dem durch dieselben bestimmten Dreiecke.

Die Grossen »»,(/ + x)^y (/ + x)^ X sind daher be-
ziehungsweise der Sectorflache (zwischen den Radien Vec-
toren und dem elliptischen Bogen), der Dreiecksflache (zwi-
schen den Radien Vectoren und der Chorde), der Segment-
flache (zwischen dem Bogen und der Chorde) proportional*).

Ist p gefunden, so erhalt man aus den Gleichungen
fur r und r

e cos t; = ^ — 1

^cos

V = -, — 1.

Setzt man v ^= v -\' {y — v) = v -\-2f und entwickelt
cos (v -j- 2 /) , so wird

e sin v = (- — 1) cot 2 / — (— , — 1) cosec 2 /
(9)

e cos V = - — 1 ,

aus welchen Gleichungen e und v und damit auch v er-
halten werden.

*) Darans folgt wieder, dass y — 1 eine kleine Grosse zweiter
Orduung ist. Denn es ist: Sector ^ Dreieck -[~ Segment. Betrachtet
man den Bogen, also audi die Sehne als eine kleine Orosse erster
Ordnnng) so ist die Hohe des Segmentes (dasselbe etwa als Parabel<
segment betrachtet) eine kleine Grosse zweiter Ordnnng, also die
FlUche desselben von der dritten Ordnung. Das t)reieck = \ rr sin 2 f
ist von der ersten Ordnung, also y = 1 -|- Grosse zweiter Ordnung.

15
Die mittleren Anomalien M und M' erhalt man aus

tang \E=^ y^Tire ^^^ ^ ^
(10) _^_^

tang \E = y\^e *^"S i ^'

M = E — e sin ^
^^^^ M'=E' -e sin E\

Die mittlere tagliche Bewegung [i wird erhalten aus
(12) ^ = _ = _^^_.

1st g gross, so lasst sich die Gleichung (7) oder (7*)
sicher und leicht durch Versuche auflosen; sieher^ well

^T^^3 — - sich genau mittelst trigonometrischer Tafeln

berechnen lasst; leicht , well dieser Fall nur bei bereits
naherungsweise bekannten Bahnen vorkommt; wo also ein
Naherungswerth von g schon gegeben ist. In diesem Falle
bestimmt man dann aus (5) oder (5*) die Grosse a, hierauf

aus (2) die Grosse Yl — e^ und aus beiden die Grosse p \
die tibrige Rechnung ist genau so wie in dem fruheren
Falle.

Zusatz. Um ^sicher und bequem zu berechnen, setze
man 7/ - = tang (45^ + w)y und es wird dann

j/'i^j/L,^2 + (tang (45^ + w^— cotang (45« + w)y

= 2 + 4 tang 2 w^,
woraus man erhalt

, sin ^f* I tang 2 w'

cos f * cos f '

und ebenso

^ sin I /^ tang 2 tv^ ^

cos /* cos /■

16

Beispiel. Es sei log r = 0.3307925, log r= 0.3222617,
v'-^v = V 34' 49".87, t = 21.934433 Tage.

Man erhalt:
IV = —8' 26".46, / = 0.0011202067, log w^ = 7.2735971.
Setzt man zunachst 5=0, so wird h = 0.0022501 und
damit log y = 0.0010815, woraus x = 0.0007480399 folgt.
S ist in diesem Falle verschwindend. Aus x folgt

^ = 30 8' 4".226 und damit log a = 0.4223804.

Aus (8) folgt log p = 0.3954732 und damit aus (9)
und (10)

log e = 9.3893483, iil Secunden log e = 4.7037734.

V = 310» 56' 9".39, v' = 318^ 30' 59".26.

Statt der Excentricitat e fiihrt Gauss den spitzen Winkel
q) ein, wo sin <p = e ist; aus p und q) erhalt man a sehr
bequem nach der Formel a =p : cos (p^.

Fur dieses Beispiel ist

9 = 140 11' 16".47, und daraus log a = 0.4223802.

Die Uebereinstimmung der beiden Werthe von log a dient
als Controle der Rechnung; fur den letzteren braucht man
/ nicht mit dieser Genauigkeit zu rechnen, welche der erste
erfordert.

*

Aus den wahren Anomalien und der Excentricitat er-
halt man

E =='3200 52' 19". 16, E' = 327« 8' 27".64

M=329^U' 2".84, J/' = 334« 45' 38''.02.

^'— y|f= 18095".18.

Aus log a erhalt man die mittlere tagliche Bewegung
ft = 824".9663, also in der Zeit ^ betragt die mittlere Be-
wegung 18095".17. Die Uebereinstimmung mit M' — M
dient als Controle der Rechnung.

17

11. Fur die Parabel.
Aus r = ^ -^, r' = — %—fi erh^lt man

cos -J «*' COS -^ i; *

iind darans, indem man t;'^ = t; -}- 2/* setzt,

, /i . . cot /* cosec /*

(13) /-- 1

aus welchen Gleichungen q, v und v' erhalten werden. Aus

— r = 75 tang ^ v -f- 25 tang ^ v^

(14) f

\ t' = 75 tang ^ v' + 25 tang ^ t;'^

erIiM,lt man r und r'^ d. i. die Zeiten^ welche seit dem
Durchgange durch das Perihel verflossen sind; aus diesen
und den Beobachtungszeiten erb&lt man die Zeit des Durch-
ganges des Himmelskorpers durch das Perihel. Die Ueber-
einstimmung dieser beiden Zeiten dient als Controle der
Rechnung.

Beispiel. Es sei log r = 0.13896, log r = 0.11068,
,/ _ t; = 120 11' 35"^ t = - 14.04929 Tage.

Man erhalt
log q = 0.08469, t; = - 400 5' ig-^ t,' = - 27^ 53' 41".

Aus V erhalt man r = — 41.968 Tage.
. v' . - — 27.918 -

7.

Fur die Bestimmung einer parabolischen Bahn ist eine
unter dem Namen der Lambert'schen Gleichung bekannte
Formel von grosser Wichtigkeit.

Friachauf, Astroiiomie. 2

_ 18

Nach den Gleicbungen (14) ist, wegen x — r = ^,
^ = 75 (tang \v — tang i t;) + 25 (tang ^ v'^ — tang ^ v^)
=25(tang^v'— tang^v) (3+tangit>^+tang4^vtang^t^'+tang^r'2) .
Da 1 -j- tang A t; tang 4!;'= — ^^^' . , . l + tang4«;* = ^-j,

1 4- tang X v^ = — i—^i) tang4 v'— tang Xv= — / . , ist :
so folgt

C/ __ 25 sin /• / cos /* , 1 , 1 \

gi COS ^v COS ^v' I COS "it; COS Jw' "^ cos-Jv* *^ cob^v^J'

Setzt man fur C den Werth -^7= > femer aus r = — V, ,

y2 ' cosjw*'

r' = — T-7idie Werthe -- = 7/ !1, — ^-, s= 7/ !1, so wird

cos^©' cos-Ji; y q cos^w y q^

Bedeutet q die Sehne zwisehen dem ersten und zwei-
ten Orte, so ist

Q^ = r^ + r * — 2rr' cos 2/ = (r + r')' — 4rr' cos/"^

4rr' cos /^ == (r + ''O^ — 9^ = (r + ^' 4* P) ('^ + ^' — ?)•
Setzt man r + ^ ' + P = ^^> r + r' — 9 = w^, so wird

(16) ,_ ^ ^ ^ ^

2 cos fyrr' = -\-mny

wo das obere Zeichen stattfindet, wenn cos /" positiv, das
untere Zeichen , wenn cos f negativ ist.

Nun ist
sin /^ = sin ^ {v — vy = (sin ^ v' cos ^v — cos ^ t;' sin ^ t;)^
= cos-J^t;' + cos 4^1;'* — 2cos|^(t;' — v) cos ^v cos ^v

7. I 9[. 2 g cos / * a ** 4 ^' — 2 cos /"^rr'

r ' r ^/i^ rr '

oder mit Beriicksichtigung der Qleichungen (16)

(17) 2ainfyrr' = {m + n)}/2^.

19

Substituirt man die Werthe von r -f- r', cos fYrr'j sin f^rr
in die Gleichung (15); so erhalt man

2A:^ = 4.(w3 + w3),

oder, indem man statt m und n die Werthe setzt,
(18) 6;^^ .=r.{r^r^ q)\ qi (r + r' — 9)*,

welche Gleichung dieLambert'scheFormel heisst, wie-
wohl sie bereits von Euler angegeben wurde. Das obere
Zeichen wird genommen, wenn 2/= v' — v kleiner als 180^
ist, das untere, wenn 2/ grosser als 180^ ist. In der
Kegel findet nur der erste Fall statt.

8.
Es seien r, v; r, v; r", v" drei-Orte eines Himmels-
korpers in der Bahn^ so ist

- = 1 + ^ cos V
J] z=z\ -X- e cos V

r '

-i = 1 + ^ cos v\

r '

Multiplicirt man dieseGleichungen resp. mit sin (v — v''),
sin (v" — v), sin {v — v') und addirt man, so wird zufolge
der Formel II. des Art. 5.

^ sin {v — O + I sin {v" - v) + 4> sin {v — v')

= sin (v — v") + sin (r" — v) + sin(t; — v).
Multiplicirt man mit rr'r' und setzt Kiirze halber
v^v = 2r, v'—v = 2r, t;"— V = 2/,
rr' sin 2/" = w", rr" sin 2 yT = w', r'r'sin2/= w,
beriicksichtigt man ferner, dass
sin a + sin /3 — sin (a + /3) = 2 sin ^ (a + ^) (cos ^ (a — j3)

— cos J^ (a + /3)) = 4 sin ^ (a + Z^) sin | sin j
ist, so wird

(19) ^ = 4rrr «.„W;8.nr^

I

20

In diesem Ausdrucke sind ^n, ^n, ^n' die Fllichen
der Dreiecke resp. zwischen dem zweiten und dritten, d'em
ersten und dritten, dem ersten und zweiten Radius Vector;
der Nenner ist daher die doppelte Dreiecksflache , welclie
durch die drei Orte des Himmelskorpers im Raume be-
stimmt ist.

Aus dem obigen fur p gefundenen Ausdrucke lasst

sich eine Formel fur " ," ableiten , welche in der Folge

von Wichtigkeit ist.

Sind nS,mlich t, t\ f die Zwischenzeiten resp. zwischen
dem zweiten und dritten, dem ersten und dritten, dem
ersten und zweiten Orte, und setzt man

kt = ^y kf = !&'y A:r = -&•",
so ist zufolge Gleichung (8) des Art. G.

y^ = ^> Vp = ^^> also

ff t*

,,, yy nn

P =

^&

" 9

wo die Bedeutung von y und y" kiar ist. Durch Gleich-
stellung dieses Werthes von p mit dem in Gleichung (19)
erhalt man

/ , „ 4rr' r" sin f sin /"' sin /■" ^^"
' yy nn

Da nn" = r r" sin 2/*« r/ sin 2/"'

= 4rr'2 r" sin f cos / sin /"' cos /*" ist, so wird

_ sin f &»'' n>»"

n — n +w =

yy r cos/cos/^ 2yy rr r cos/^cos/^ cos/ '

(20) ?^+^'- = 1 + **

w • 2yy rr r cos f cob f^ cob f

21

Drittei^ Abschnitt.

Beziehungen hinsichtlich eines einzelnen Ortea im Raume.

9.

Um den Ort eines Himmelskorpers im Raume in Be-
ziehung auf einen gegebenen Punct angeben zu konnen,
ist die Kenntniss der Lage der Bahnebene gegen eine be-
kannte Ebene und die der Apsidenlinie in der Bahnebene
erforderlich. Denkt man sich um den Mittelpunct der
Sonne eine Kugelflache beschrieben, so werden sich auf
dieser die Bahn des Himmelskorpers als ein grosster Kreis^
die von dem Mittelpuncte der Sonne nach dem Himmels-
korper gezogenen Geraden als Puncte darstellen. Wenn
die zu bestimmenden Ebenen und Geraden nicht dureh die
Sonne selbst hindurchgehen, so solien dieselben durch
parallel durch den Mittelpunct der Sonne gelegte Ebenen
und Gerade ersetzt werden.

Die Ebene der Bahn eines Himmelskorpers schneidet im
AUgemeinen die Ebene der Erdbahn oder Ecliptik^ diese
Durchschnittslinie heisst die Knotenlinie; die Durch-
schnittspuncle der erwahnten Kugelflache mit der Knoten-
linie heissen Knoten, derjenige, wo der Planet von der
sudlichen Gegend in die nordliche Gegend der Ecliptik
iibergeht; heisst der aufsteigende, der andere der ab-
stcigende Ejioteu; in diesem geht der Himmelskorper
von der nordlichen Gegend der Ecliptik in die siidliche
liber. Die Lage der Knoten wird durch ihren nach
der Ordnung der Zeichen gezahlten Abstand *von dem
Friihlings-Aequinoctium bezeichnet d. i. die Lange des
Knotens.

22

Es sei (Fig. 2) Yft^.ein Theil der Ecliptik, y^aP
ein Theil der Bahn des Himmelskorpers, y der Friihlings-

piinct (die Qichtung der Bewegung ist
durch beigesetztePfeile bezeichnet). Der
sph^irisehe Winkel £,§l P stellt den Win-
kel der Bahn und Ecliptik vor, dieser
Winkel heisst die Neigung der Bahn
des Himmelskorpers gegen die Ecliptik
oder einfach Neigung der Bahn; die Neigung wird von
bis 180^ gezahlt. Bezeichnet in der Figur SI den auf-
steigenden Knoten, so stellt der Bogen X^ ^^^ Lange des
aufsteigenden Knotens dar. Wird dieser Bogen in der
Bahn von SI aus entgegengesetzt der Richtung der Bewe-
gung des Himmelskorpers abgetragen, so erhalt man da-
durch den Punct Yq; die von diesem Punct in der Rich-
tung der Bewegung gezahlten Bogen werden Lang en in
der Bahn genannt. Ist daher P das Perihel (eigentlich
die Projection des Perihels), so heisst X^P die Lange
des Perihele.

In Figur 2 ist daher

X^ = '9> = Lange des aufsteigenden Knotens,
<>C^ESlP= i = Neigung der Bahn,
XqP= n = Lange des Perihels.
IstZeinOrt des Himmelskorpers; v die wahre, M die
mittlere Anomalie desselben, so heisst 77 + t; die wahre,
n •-\- M die mittlere LS^nge des Himmelskorpers in der
Bahn. Die sieben Grossen: 1) mittlere Lange fiir einen
bestimmten Zeitpunct, 2) mittlere Entfemung, 3) Excen-
tricitat, 4) Lange des Perihels, 5) Lange des aufsteigenden
Knotens, *6) Neigung der Bahn, 7) Masse des Himmels-
korpers heissen die Elemente der Bewegung des
Himmelskorpers. Bei der Parabel vertritt die Zeit des

23

Periheldurchganges die Stelle des ersten Elements. Statt
des Elementes in 2) wird die Distanz im Perihel genommen.
Bei den Kometen und den kleinen Planeten setzt man die
Masse immer gleich Null.

10.

Die Lage eines Punctes z. B. L an der Oberflache der
Kugel wird am einfachsten durch den Abstand desselben
von der Ecliptik d. i. die Breite, und durch den Ab-
stand des Fusspunctes des Perpendikels auf die Ecliptik
von dem Fruhlingspunct d. i. die Lange bestimmt. Es sei
also der Bogen LD senkrecht auf yE^ so heisst yD=^l
die Lange, DL^=b die Breite des Punctes Z. Die Breite
wird von beiden Seiten der Ecliptik an bis 90^ gezahlt,
oberhalb (d. i. in der nordlichen Region) der Ecliptik po-
sitiv; unterhalb negativ gezahlt. Da der Mittelpunct der
Sonne als Mittelpunct der Kugel angenommen wurde, so
nennt man / und h heliocentrische Lange und Breite.
Bezeichnet man den Bogen Sl>L mit Uy so heisst u das
Argument der Breite, dabei ist u^=n — Sl-^-v.

Aus dem rechtwinkligen spharischen Dreiecke S^DL
folgt

(1) tang (/* — Q) = cos / tang u

(2) tang b = tang i sin (/ — SI)

(3) sin b = sin i sin u

(4) cos u = cos b cos (/ — SI).

Aus den Formeln (1) und (4) folgt, dass fiir i < 90^
die Grossen / — SI und u, fur i > 90^ die Grossen I — SI
und 360^ — w in demselben Quadranten liegen.

24

11.

Die Lage eines Punctes im Raume wird durch die
Abstande desselben von drei sich einander unter rechten
Winkeln schneidenden Ebenen bestimmt. Es sei der Mittel-
punct der Sonne der Coordinaten-Anfang, die Ecliptik
die xy'Ebene, die positive xAxje sei nach dem Friihlings-
punct, die positive yAxe nach dem Puncte 90*^ Lange, die
positive zAxe nach dem Nordpol der Ecliptik gerichtet.
Sind daher I, b, r die heliocentrische Laiige, Breite und
Distanz eines Punctes von der Sonne, x, y, z die recht-
winkligen Coordinaten desselben auf das vorhin erw&hnte

Axensystem bezogen, so ist (Fig. 3),
wenn fur den Punct M die Gerade MP
senkrecht auf die xyEbenep die Ge-
rade PQ senkrecht auf die a; Axe ge-
zogen wird, ^xOP= I, ^POM =
b, OM = r, also OP = r cos b, x =
OP cos I, y = OP sin I, z = r sin b]
mithin
x = r cos b cos /
y = r cos b sin /
z = r sin b.

Fig. 3.

(5)

Sind L, By It die heliocentrische Lange, Breite und'
Distanz des Mittelpunctes der Erde von der Sonne, Jl, V, Z
die rechtwinkligen Coordinaten, so ist

A = B cos B cos L, V= B cos ^ sin Z, Z = ^ sin B.

Denkt man sich durch den Mittelpunct der Erde ein
dem friiheren Axensysteme paralleles Axensystem gelegt,
so soUen durch A und /3 die geocentrische Lange und
Breite, durch z/ die Distanz des Punctes von dem Mittel-

25

puncte der Erde bezeichnet werden. Sind ^, tj, t die recht-
winkligen geocentrischen Coordinaten dieses Punctes^ so ist

g = ^ cos /8 cos I

(6) Yi = /J cos /J sin k

g = ^ sin /3,

und es ist

^ = ^ + §.

Die Qrosse r cos 6 ist die Projection der Distanz des
Punctes von der Sonne auf die Ecliptik und heisst cur-
tirte Distanz von der Sonne. Ebenso heisst /J cos fi = Q
die curtirte Distanz des Punctes von der Erde.

Die Breite B der Erde ist nahe gleich Null und wird
daher gewohnlich vernachlassigt; unter dieser Voraussetzung
erhalt man fttr die heliocentrischen Coordinaten die Aus-
drlicke

r cos b cos I = X = Q cos A -f- ^ cos L

(7) r cos & sin / = y = (> sin A + ^ sin Z

r sirfft = z = Q tang /3.
Vermittelst dieser Ausdriicke kann man die heliocentri-
schen LSiUgen, Breiten und Distanzen in geocentrische ver-
wandehi; und umgekehrt.

Aus r^ = o;^ + y^ -f- ^^ oder
r^ >= (p cos A + ^ cos Ly -f- (9 sin A -f- -^ sin ly + p^ tang fi"^,
folgt durch Entwicklung der Quadrate

(8) r^ = ^2 ^ 2 ^ cos (A — Z) p + sec /J^ q\

12.

Die heliocentrischen Coordinaten lassen sich unmittel-
bar durch r und v ausdriicken. Setzt man in den Gleichun-
gen (5) des Art. 11. / = / — 5?. + ii> so wird

■ 26

iu = r cos & cos (/ — a) C0& a — r cos b sin (/ — SI) sin SI
tj = r cos b sin (/ _ ^) cos ^ + r cos b cos (/ — SI) sin SI,
und berucksichtiget man, dass nach den Gleichungen (1)
bis (4)

cos b cos (I — Sl) = cos u

cos ^ sin (I — Sl) = sin « cos /

sin ^ = sin M sin i
ist, so wird

a: = r cos w cos ft — r sin u sin SI cos ?'
y = r sin M cos SI cos / + r cos u sin ft
z = r sin M sin i.
Setzt man

cos Sl = I sin y4
• — sin ft cos 2 ==: / cos Ay
sin ft = /» sin ^
cos ft cos i = m cos B ^
sin / = w,
wo Ij m, n posjtiv genommen werden, so wird

X = 1 r %in{A -^^ u)

(9) y = mr sin (^ + «4

r = n r sin w.

Daw = /7 — ft + v ist, so sind x^ ijy z unmittelbar
durch r und v ausgedrUckt, wenn

5l = i7— ft + ^

a3 = i7 — ft + ^
g = 77-ft
gesetzt wird; es wird dann namlich

a: = / r sin (21 + t;)

(10) y = /» r sin (S + z;)

z = /^ r sin (6 + t;).

Diese Formeln sind dann sehr bequem, wenn mehrere
Orte zu rechnen sind.

__^7

Beispiel: Es sei

a = 171« 7 53".84, i = 13« 6' 54".20.

Man erhalt

A = 2610 21' 33\86; j5 = 170o 53' 52".92,
log / = 9.9997341, log m = 9.9888016, log n = 9.3558483.

Ist. nnnn— a = 241® 9' 34".06, so wird

51 = 1420 31' 7".92, S = 52^ 3' 26".98.

Hierbei dient die Gleichung (aus (10))

P sin 21^ + m^ sin ©^ _|. ^^ gin ^2 ^ i

als Controle der Rechnung.

Fiir V = 315^ 2' 0".76, log r = 0.3260215 wird
log X = 0.3219717, log y = 9.4063011, log z = 9.1272776.

Vierter Abschnitt.

Beziehungen zwisclien mehreren Orten im Baume.

13.

Aus zwei heliocentrischen Orten /, b und /', b' imRaume,
die Lange des aufsteigenden Knotens SI, die Neigung der
Bahn i und die Argumente der Breite t/, u' zu bestimmen.

Es ist

tang b = tang i sin (/ — Si)

tang b' == tang i sin (/' — ^).

Setzt man F — Sl = ^ — i?> + /' — h so erhalt man zur
Bestimmung der Unbekannten SI und i folgende Gleichungen

tang I sin (/ — Si) = tang b
^^^ tang i cos (/ - 5i) = tang6::=WA^i(LzO ,

Wachsen die heliocentrischen LSngen mit der Zeit, so
ist / < 90^, im entgegengesetzten Falle ist i > 90®.

28

Hat man Q, und i gefunden, so erhalt man die Argu-
mente der Breite nach den Formeln

tang « = ^-"-i^^€l)
(2)

. , tang (C — SI)

1st i < 90^, so liegen / — SI und u in demselben Quadlranten.
„ / > 90« „ 360« — u „

U.

Es seien Xy y^ z\ x , y% z ; x'\ y\ z" drei heliocen-
trische Orte eines Himmelskorpers im Raume; so ist nach
(10) des Art. 12.

X

^ = / sin (91 + V)

4-= /sin (91 -\- v)

X

It

r

= /sin(2l + 0.

Multiplicirt man diese Gleichungen resp. mit sin {v — v"\
sin (v" — v)f sin (v — v') und addirt man, so erhalt man
mit BerUcksichtigung der Formel I. des Art. 5.

- sin iy' — r") + %■ sin (v" — v) + ^' ^^^ ^ — «;') =

oder

X rr" sin (v" — v') — x'rr' sin («;" — v) + a;" rr sin {v — v) =0.

Darr sin(e; — v)=nyrr sm(i; — t;)=w,rrsm(«; — v)=n

gesetzt wurde, so wird

n X — n X '\' n" a;" = 0, ebenso
ny — n y +n y =0

n z — n z -Y n z =0.

29

* Driickt man die heliocentrischen Goordinaten durch
die geocentrischen aus, so wird gemass der Ausdriicke (7)
des Art. 11.

(3) n (p cos X -\- B cos Z) — n (p' cos A' + /^ cos Z')

+ n" {q' cos r + B'' cos Z") = •

(4) n (q sin I -}- B sin Z) — n {q' sin A' + B' sin Z')

+ n" (p" sin r + /?" sin Z") =

(5) n Q tang /3 — w' q tang /J' + w" q' tang ^" = 0.

Zweiter TheiL

Bahnbestimmung der Planeten und Kometen.

Erster Abschnitt.

Bestimmung einer elliptisohen Balin aus drei geocentrischen
^ Beobachtungen.

15.

Vernachlassigt man die Masse des Himmelskorpers,
so sind bei einer elliptisohen Bahn sechs Elemente zu be-
stimmen. Zu dieser Bestimmung miissen daher *sechs von
einander unabhangige Grossen, welche von den Elementen
abhangen, gegeben sein. Diese gegebenen Grossen konnen
nur von der Erde aus beobachtete Orte des Himmelskorpers
sein, und da jede solche Ortsbestimmung zwei Daten, etwa
L^nge und Breite liefert, so soUen drei geocentrische
Beobachtungen als gegeben betrachtet werden. Diese
Beobachtungen diirfen keine zu grosse heliocentrische Be-
wegung umfassen, indem sonst Voraussetzungen, zu welchen
man bei einer ersten Bahnbestimmung genothigt ist, nicht
stattfinden.

Waren ausser den geocentrischen Langen und Breiten
noch die Entfemungen des Himmelskorpers von der Erde
gegeben, so konnte man daraus die heliocentrischen Langen,
Breiten und Entfernungen des Himmelskorpers rechnen,

31

and damit nach Art. 13. Neigung, Knoten and Argament
der BreitC; and dann nach Art. 6. die iibrigen Elemente
bestimmen. Wir versachen daher zunS^hst die Bestimmang
der Entfemangen des Himmelskorpers von der Erde.

Es bedeaten, wie friiher
t, t y f die Zwischenzeiten zwischen resp. der. zweiten and
dritten, ersten and dritten, ersten and zweiten
Beobachtang.
A; A'; X' die drei geoeentrischen LUngen des Himmelsk5rperS;
/J//5', /J" dessen Breiten^

Q, Q% q" dessen cartirte Entfernangen von der Erde^
ZyL\ Z" die heliocentrischen Langen der Erde,
R,Rfff' die Entfernangen der Erde von der Sonne.

Aas den Gieichangen (3), (4), (5) des Art. 14 folgt
darch Elimination von q and q"

n R (tang § sin (A" — Z) — tang /J" sin (A — Z))

— n'R (tang /S sin (A" — Z') — tang jS" sin (A — Z'))
(1) • + nR' (tang /J sin (A" — Z") - tang /S" sin (A — Z"))

— n Q (tang /J sin (A" — A') — tang ^ sin (A" — A)

+ tang /J" sin (A' — A)) == 0.
Es stelie (Fig. 4) S den Mittelpanct der Sonne, T den
Mittelpunct der Erde and Z den Ort des Planeten dar,

Fig. 5.

ferner seien (Fig. 5) A, A , A' die drei heliocentrischen
Orte der Erde aaf der Himmelskagel, By ff^ S' die drei
geoeentrischen Orte des Himmelskorpers^ Cy C\ C die helio-

32

centrischen Orte desselben. Ist K der Durchschnittspunct
des grossten Kreises durch die aussersten geocentrischen
Orte des Himmelskorpers (d. i. durch die Puncte B B")
mit der Ecliptik, so werde die Lange dieses Fancies mit
Ky die Neigung des eben erwUhnten grossten Kreises mit
/ bezeichnet. Dabei ist
.^. tang j3 = sin (A — K) tang /

tang /3"= sin (A" — K) tang /,
aus welchen Gleichungen (^hnlich wie in Art. 13.) tang /
und A'erhalten werden, wobei tang/positiv genoramen wifd.

Durch Einfuhrung der Hulfsgrossen / und K erhalt man
mit Beriicksichtigung der Formel I des Art. bj indem man
fur A, By C resp. X — K^ X' — K, L — K setzt
tang /J sin (A" — Z) — tang /S" sin (A — L)
= tang / sin (A" — A) sin (Z — K) ,
und Analoges fur die ubrigen Ausdriicke.

Die Gleichung (1) geht daher uber in

n R sin (A" — A) sin (Z — TT) tang /

— n' ^ sin (A" — A) sin (Z' - K) tang J

(3) + n"^"sin (A" — A) sin (Z"— K) tang /

— n q' (sin (A" — A) sin (A' — K) tang /

— tang /S' sin (A" — A)) = 0.
Fiihrt man die Hulfsgrosse /3q ein durch die Gleichung

(4) tang /Jq = sin (A' — K) tang /,
so folgt aus der Gleichung (3)

(5) n -8in(p|^fe) ._g_^_^^g-^^2:— A^) + ^^i?^Bin(r>-/r)

^ ' COS po tang J cos p \ / i \ /

Setzt man der Ktirze halber

(a\ sin {ff -Po) _„ RBmi L-K) _, R'sm(r^K) _
W cos Po tang ^ ~ ^0 ^ flo ""^ ''o "^ '

/?'' sin (r' — A) ^ ^

33_ _
so wird aus (5)

V ' / cos p n

Die Grosse /S^ ist vermoge der Gleichung (4) die Breite
des Durchschnittspunctes Bq des Breitenkreisos B' D' des
zweiten Punctes B' mit dem erwahnten grossten Kreise
durch die beiden Puncte B und B'\

Die Grosse /3' — /J^, in der Fig. 5 durch den Bogen
B^ B" versinnlicht , hangt von der Kriimmung des geocen-
trischen Weges B B' ff' ab, sie ist daher im Allgemeinen
eine kleine Grosse zweiter Ordnung, wenn die Linie B B B"
eine kleine Grosse der ersten Ordnung ist. Aus den Aus-
drucken fiir agy by c, d ersieht man, dass b und d kleine
Grossen der — 2ten , d. i. grosse Grossen der zweiten Ord-

nunff sind. Nun ist -, = -^ • — , ^ = -^ • ^. Die Grossen

^ n V y n v" 1/

y^Vy y" also auch die Grossen — , ^ weichen von der Ein-

heit um kleine Grossen der zweiten Ordnung ab, wenn
man die Zwisehenzeiten als kleine Grossen der ersten Ord-
nung betrachtet. Wtirde man daher in der Gleichung (7)

statt ^ , ^ die Naherungswerthe ^y -^ setzen : so wiirde,

wegen der grossen Factoren b und dj die Grosse q im
Allgemeinen mit einem endlichen Fehler behaftet erhalten
werden.

Schreibt man aber die Gleichung (7) in der Form

g h n-\- dn' w-j- n'

COS p n-^- n n '

SO konnen fiir diese Form Annahmen gemacht werden,
welche zu einem brauchbaren Werthe von q fiihren.

Setzt man in dem Factor ~--'^^—^- statt ^ das Ver-

n -^ n n

haltniss^j, so ist der Fehler im Allgemeinen nur eine

Fbiscualu'', Astrouomie. 3

34

kleine Grosse der ersten Ordnung; denn es ist

Nun ist, weil R' nahe = R ist, d — h nahe

= ~ sin ^ (Z — Z) cos /--^ Ky

also von der Ordnung - -?^^^ — "^ — d. i. von der Ordnung

— 1; O-O"" von der Ordnung + 2, y" — y von der Ordnung
+ 2, — also der Zahler der Differenz J eine kleine Grosse
der dritten Ordnung. Der Nenner von zi ist eine kleine
Grosse zweiter Ordnung, also die Differenz J im All-
gemeinen von der ersten Ordnung.

Der Factor " .^ ist nach Art. 8. Gleichung (20)

n-\-n' < . 9" %""

n ^^2r

1^ •

r r y y cos f cos / cos f

Da die Oosinusse der Winkel /*, /", f" von der Einheit
ebenfalls nur um Grossen zweiter Ordnung abweichen, so

ist auf einen Fehler vierter Ordnung genau . = 1 +5 — ^^ •

ft

Die Verhaltnisse — , ,- weichen, wenn man die Excentricitat

r ' r '

der Bahn als eine kleine Grosse erster Ordnung betrachtet,
von der Einheit bios um kleine Grossen zweiter Ordnung

L»' a. t^f*

ab. Setzt man daher statt — r-r, die Grosse —ft-j so wird

der Fehler von ^ #" nahe von der vierten Ordnung sein.

Fasst man das Vorhergehende zusammen , so erhalt man
schliesslich folgendes Besultat:
In der Gleichung

"cos ff~^ «• + «•" \ "*" 2 r'« )

ist der Fehler von q im Allgemeinen nur eine kleine Grosse
der ersten Ordnung.

35

Setzt man die genauen Werthe

n__ p n + n _ -t • C^

SO ist in aller Strenge

\yj & y ' yy rr cos f con f con f

W Z^ ^ 1+P y ^ 2r'3J-

Kimmt man in der Gleichung (9) fur P und die NM^he-
rungswerthe -^ und d' '&•", so wird die GrSsse q im Allge-
meinen mit einem Fehler erster Ordnung behaftet sein^).

16.

Nach der Qleichung (8) des Art. 11. ist

r'2 = ffi + 2 IT- C cos d' + -^~i,

' cos p ' COS p^'

wo cos 6' = COS /3' cos (A' — Z') ist, oder

r'2 = iT^ sin d'^ + (iT cos d' + -/J-^,)',

dabei bedeutet d' den Bogen -<4' i?',

Setzt man /}' sin ^ = a\ H cos d' H — ^ = a:', so wird

' ' cosp '

9

(10) r'2 = a'2 ^ ^'2^ _V_ = ^' _ ^' COS *',

cos

J

und die Gleichung (9) geht tiber in

zy j&'i b + dP h + dP Q

oder, wenn

D/ *, , b + dP . b + dP Q

B coAd +€ = 6, e ^ T+7~ "" ^' "" "i + F * 2 ^

gesetzt Avird, in

(11) x=l+ (^'4"^"^4-

Urn r' d. i. //a"^ + x^ bequem zu bercchnen, setze man
tang z' = --^ , so wird

3*

36

X

Sin z cos z '

i/a'.' 4- a;'» = r' = ^^, =

'^ ' Sin z

dabei bedeutet z' den Bogen C ff .

Aus der Gleichung (11) wird die Unbekannte x' durch
Versuche bestimmt, in der Kegel wird x von A nicht sehr
verschieden sein.

1st x' gefunden , so erhalt man daraus r und q\ Dann
erhalt man aus

(12) » =/i+ 0\ 1 ,!L: = 4/>.

n n

n * n

Hat man die Grosse g und die Verhaltnisse ->,

gefunden; so erhalt man aus den Gleichungen (3) und (4)
des Art. 14. die Grossen q und q'\ Bequemer werden die
Formeln, wenn man noch die Gleichung (5) desselben
Art. benutzt.

Eliminirt man namlich aus den Gleichungen (3) und
und (4) die Grosse n' R", so erhalt man

n {q sin (A — Z") + R sin (Z — L"))
~ n {q' sin (A' — Z") + R' sin (Z' — Z"))
+ 71 ' q' sin (A"— Z") = 0.

Eliminirt man aus dieser Gleichung und der Gleichung
(5) die Grosse n" q", so wird:

n Q (tang fi sin (A" — Z") — tang /3" sin (A — Z"))
— n' q' (tang /S' sin (A" - Z") — tang /5" sin (A' — Z"))
+ tang /3" (w R sin (Z" _ Z) -^ w' ^' sin (Z" — Z')) = 0.

Fiihrt man fiir tang /3 und tang j3" die Hulfsgrossen /
und A' ein , so wird der Coefficient von n q

tang / sin (A" — A) sin (Z" — A').

37

Setzt man im Coeffioienten von «' q'
tang /J' = tang /J," + tang /J' — tang /?„

= tang J sin (A' — A') + ^^f~ ^i^ ,

° ^ ' ' COS p COS ft) '

so geht derselbe iiber in

tang / sin (A" - A') sin (Z" - K) + ^^^ sin (A" - Z") .

Ferner ist

n R sin (Z" — Z) — n R' sin (Z" — Z')

^ '' \ n n sin {L — ^) J

Setzt man

R K sin (Z' — Z) = N" , R E' sin (Z" — V) = ^,

^ ^" sin (Z" — Z) = iV',
so wird

K sin (Z," — L') __ A

Es ist daher

R sin (X'^ — L) N"

/^Q\ /sin (A" — '''') i_ ^ sec |3' sin (A," — /'")\ n ,

, «sin(Z"_-Z,) sin iX' — K) (^ n^ _ {\
"*" sin (r — A) * sin {X" — X) \Jf ' n )'

Ebenso erhalt man, indem man den ersten Ort mit
dem dritten vertauscht:

(I4j Q — \~r^^^jjr^^^ — -^^ZTi) • sin (L -. K)) * ^ <*

I j^,/ sin (Z»" — L) sin (X — AT) / N" n ^\

"I" ^ sin (i" - i) • sin (Z -~Jn i^iV^ * ^ "" J*

Aus den Gleichungen (13) und (14) erhalt man q iind q\
Ist (>,(>', (>" gefunden, so rechne man nach den For-
meln (7) des Art. 11. und den analogen Formeln ftir den
zweiten und dritten Ort, die heliocentrischen Langen,
Breiten und Radien Vectoren des Himmelskorpers. Aus
diesen Grossen kann man die Elemente nach Art. 13. und
Art. 6. rechnen.

38

17.

Wie man ersieht, setzt diese Methode voraus, dass die
Werthe von P und Q bekannt sind. AUein diese Grossen
Bind unbekannt; aber man kann dafur als erste Hypothese

die Naherungswerthe -^ und d-" setzen, und mit diesen

Werthen fiihre man die Rechnung, jedoch nieht bis zum
Schlusse, durch; sondem liat man die Grossen r, r , r" und
Uy u' y u ermittelt, so rechne man nach Art. 6. aus
r, r \ u — w = i;' — v =^2 f' und %^' die Grosse y"

und damit neue Werthe von P und Q nach den Foimcln

%• y ^ rr yy coafcoaf cos/

Mit diesen Werthen von P und Q wird die Rechnung wieder-
hoit, diese Wiederholung geschieht so oft, bis man Werthe
von A* und Q bekommt, welche von den friiheren gar nieht
oder nur sehr wenig verschieden sind.

In dieser Hypothese, als letzten, fiihre man die Rech-
nung mit den Grossen r, r, v' — v, d''% y" und den Grossen
r y r'y v" — V y^yy zu Ende. Die Uebereinstimmung dient
als Controle. Sicherer verfahrt man , namentlich bci ersten
Bahnbestimmungen, wo die heliocentrische Bewegung in
der Regel gering ist, wenn man in der letzten Hypothese
aus den Grossen /, /'; &, &"; r, r"; v' — v, %'' die Elemente
der Bahn rechnet. Als Controle der Rechnung berechne
man den mittleren Ort aus den erhaltenen Elementen.

Bei diesen verschiedenen Hypothesen fur die Grossen
P und Q ist es vortheilhaft, so viele Rechnungen als mog-
lich von den Hypothesen unabhangig zu machen und auf
unmittelbar gegebene Grossen zuriickzufiihren. Die Grossen
K y tang /, a^y b, c, dy e, a , . , hangen nur von den ge-

39

gebenen Beobachtungsdaten ab, werden daher nur einmal
gerecbnet. Dasselbe gilt auch von den Coefficienten von

— Qj-fj''^- — ^' • • ^®^ Gleichungen (13) und (14).

Z u s a t z. Die Sicherheit dieser Rechnungen hangt haupt-
sachlich von der Bestimmung der Constanten tang / und K
und von der Grosse des Bogens B^ ^' = /3' — /J^ ab. Fallt
der erste geoeentrische Ort mit dem dritten nahe zusammen,
so kann man aus den Gleichungen (2) die Grossen tang /
und K nicht genau bestimmen. Liegen die drei geocentri-
schen Orte B, B" ^ B" nahe in einem grossten Kreise, so
ist der Bogen B^ ff eine kleine Grosse hoherer Ordnung
als zweiter; die dargestellte Methode der Bahnbestimmung
ist daher nicht an wend bar. Dieser Fall tritt dann immer
ein, wenn die Neigung der Bahn sehr klein ist (oder nahe
180^ betragt).

18.

Zur Erlauterung dieser Methode soil folgendes von

Gauss gegebenes Beispiel dienen*). Fur den Planeten

Juno sind als Beobachtungen und zugehorige Erdorte

gegeben :

1804 Oct. 5.458644

Beobachtungszeiten i^ytoioorc

auf den Pariser
Meridian reducirt. 27.393077

A = 3540 44' 31".60 /J = — 4« 59' 31".06

r = 3520 34' 22".12 /5' = — 6» 21' 55".07

A" = 3510 34' 30".01 /S" = — 7» 17' 50".95

L = 12« 28' 27".76 log ^ =9.9996826

Z' = 24" 19' 49".05 log R = 9.9980979

Z" = 34" 16' 9".65 log It" = 9.9969678,

*) Eine solehe Bahnbestimmung muss mit aller Scharfe gerechnet
werden.

40

welche Grossen auf das mittlore Friihlings-Aequinox 18()5/>

bezogen sind. Damit crhalt man

log tang / = 9.8718259, K = 1" 28' 49".34
(S, = - 60 34' 3i",394

loga„= 7.6953221
b = 38.43487
c = 77.976545
logd= 2,0352814
fi'cosd'= 0.8413488
e = 78.817894
loga'= 9.7262084.
Setzt man

so wird

log^ =9.6317132 log^ =0.3290193

log A' = 9.7331305 log B" = 0.6134162

log N:N' = 9.6657486 log ^" : N' = 9.7441299

log & = 9.2343285 log ^'' = 9.3134303.

Alio diese Zahlen sind von den verschiedenen Hypothesen

f iir P und Q unabh^ngig.

In erster Hypothese setze man:

log P = 0.0791018, log = 8.5477588,

damit erhalt man

A = 2.189052

log |[z = w 0.1311211.

Nun lose man die Gleichung

nach x' auf. Fiir die klcinen Planeten liegt r = j/a"^ -(- x"^
ungcfahr zwisehen 2 und 3. Ein Mittelwerth von r^ ist 17.

41

Man seize nun 3 log r = 1.0() und 3 log r = 1.30; damit
erhalt man x' = 2.054 und x = 2.121.

Substituirt man diese Werthe in die obigo Gleichung;
80 erhalt man — 0.0066 und — 0.0613 als Fehler, und da-
mit nach der regvla falsi x' = 2.0459 als genaueren Werth,
au8 wolchem x' = 2.045902 als definitiver Werth von x' er-
halten wird. Nun wird

log Q = 0.0781403, log r' = 0.3251 1 1 1
logp =0.0651853, log/ = 0.0961795

; = 2«56' 7".96
r = 6« 57' 15". 19
r = 10" 22' 37".72
log tang ft =n 8.6769275 log r =0.3299972
log tang *' = n 8.8013853 log r' = 0.3251113
log tang b" = n 8.8835959 log r" = 0.3212583.
AuB /, /", tang b, tang b" erMlt man

ii = 171« 5' 46".47

I = 13« 2' 31".68

und damit log tang b' <= n 8.8013852. Die Uebereinstim-

mung der beiden Werthe von log r und log tang b' dient

als Controle.

Nun erhalt man m = 192'> 8' 36".96 und
«'_«== 2/" = 40 6' 44".53
u" — m' == 2/ = 3» 29' 47".09
u" — u = 2/-' = 7« 36' 31".62.
Aus r, r' f" und «•" erhalt man log y" = 0.0003191.
Au8 r', r", f und «• erhalt man log y = 0.0002285.
Damit erhalt man folgende Werthe von P und
log P = 0.07901 12 , log i? = 8.5476184 ,
dabci weicht log P von dem fruheren um 906, log Q um
1404 Einheiten der siebenten Decimale ab. Hit diesen
neuen Werthen von P und Q wiederhole man die Bechnung.

42^

Es wird
• A = 2.192683, log ft = n 0.1309601
und damit

a:' = 2.050484, log r' = 0.3260214
log q' = 0.0797892
log 9 = 0.0666582, log p" = 0.0979442
I = 2« 55' 13".71
r= 6»55'24".83
r= lO* 19' 56" .40
log tang * = n 8.6776066, log r = 0.3307925
log tang i' = n 8.8021271 , log r' = 0.3260214
log tang *" = n 8.8843618, log r"= 0.3222617.
Alts /, T' , tang h, tang h" erhalt man

<^ = 17 1* 7' 53".84
j= 13«6'54".20
und damit log tang V = 8.8021268 als Controle. Femer wird
M = 192* 5' 43".45 und

m' _ M = 'if" = 4» 6' 51".31
m" — «'=2/ == 30 28' 58".56
m" — « = 2/" = 7» 34' 49".87
log y = 0.0002270, log y" = 0.0003172.
Damit erh&lt man folgende neue Werthe von P und Q
log P = 0.0790116, log Q = 8.5476326 ,
welche von den vorigen resp. um 4 und 142 Einheiten der
siebenten Decimale abweichen. Diese Unterschiede sind so
klein, dass eine nochmalige Wiederholung der Rechnung
nicht mehr nothig ist. Der grossere Unterschied in log Q
hat, da Q nur eine kleine Grosse zweiter Ordnung ist, auf
die Rechnung keinen Einfluss.

Wegen der Kleinheit der heliocentrischen Bewegung
rechne man r, r", m" — u und %•' die Elemente in der Bahn.
Diese Berechnung ist im Beispiele des Art. 6. darchgefUhrt.

43

Alls u iind V erhalt man •

w — t; = /7— ,ft = 24P 9' 34."06.
Stellt man die gefundenen Elemente zusammen, so erhalt
man fur den Planeten Juno folgende Elemente:

Epoche 1804, Oct. 5. 458644
M = 3290 44' r .84
i7 = 312o ir27".90
^ = 17P 7'53".84
i = 130 6' 54".20
g?= 14Mri6".47
fi = 824".9663
log a = 0.4223802.
Zur Controle rechne man aus den erhaltenen Elemen-
ten den mittleren Ort. Die mittlere Bewegung zwischen der
ersten und zweiten Beobachtung betragt (if = 9869".27
= 20 44' 29".27, damit erhalt man durch Addition zur Grosse
M die mittlere Anomalie

;^' = 3320 28'32".ll,
und aus dieser nach Art. 3.

E' = 3240 16' 33".30
t;' = 315o 2' 0".76
log r = 0.3260215.
Aus V erhalt man u und damit nach (1) und (2) des
Art. 10. die heliocentrische Lange und Breite /' und b\
Aus t, V und r erhalt man nach (5) des Art. 11. die
Coordinaten x, y, z.

Aus r und v erhalt man die Coordinaten x\ y\ z\ auch
nach Art. 12.

Aus den heliocentrischen Coordinaten erhalt man die

geocentrischen und damit

A' = 3520 34' 22".22

^' = ^ 6« 21' 55".08
log p'= 0,0797895.

_u

Der Fehler in X' bctragt O'MO, der Fehler in /3' betragt
0".01. Man sieht, wie genau in diesem Beispiele die zweite
Hypothese fur P und die Beobachtungen darstellt. Bei
grosseren Zwischenzeiten, etwa von hundert Tagen, werden
selbst bei einer vollig unbekannten Bahn nur drei oder
hochstens vier Hypothesen erforderlich sein. In diesem
Falle besitzt man aber in der Kegel bereits genaherte Ele-
mente, aus welchen man sieh die erste Hypothese fur P
und Q ableitet.

Zweiter Abschnitt.

Bestimmung einer parabolischen Bahn aus drei geooentrischen
Beobachtungen nach der Methode von Olbers.

19.

Eliminirt man aus den Qleichungen (3); (4) und (5) des
Art. 14. die Grossen w' q' und n -R'*), so erhalt man fol-
gende Gleichung

n Q (tang P' sin (A — Z') — tang fi sin (A' — Z'))
+ n" 9" (tang /S' sin (A"- Z') - tang /3" sin (A' — Z'))
-nB tang /5' sin (Z' — Z) + n" IT' tang /S' sin (Z" - Z') =0,
oder indem man das Verbal tniss (>": q bestimmt,

/^ X p" n tang j3' sin {X — Z') — tang fi sin (X' — L')

^ ^ Q n" * tang (J" sin (i' — L') — tang §' sin (X" — ^U)

, (- « /? sin ( r — Z) + 7i" fi" si n (Z" — Z^) ) tang p'
(tang |3'' sin (^' — Z') — tang p' sin XX" — U)) n^ q

Das zweite Glied des Verhaltnisses — ist

^ tang |3' /? sin (Z'— Z) ( lt?\w{L*'—lJ) _ n\

Q (tang (3" sin (V— Z') -— tang j5' sin (^"—Z')) \ ^ sin (/*' — Z) 7?"/

Nun ist

H'' Bin jL'' — L') _ /?'/?'' sin (Z"— O _ A_
/?8in (Z' — Z) ~ RR' ain (L'—L) "" ^"'

*) Vergl. die Ableitung der Gleichung (13) des Art. 16.

45

Die Verhaltnisse r-^-,, ~n weichen von den Verhaltnissen
^ = — P der Zwischenzeiten nur um Grossen der zweiten

i v

Ordnung ab. Der Factor ( J^^ IL) des zweiten Gliedes

\N" n )

von — ist daher von der zweiten Ordnung; der Zahler des

ersten Factors dieses Gliedes d. i. die Grosse

= tang /?' R sin (Z' — Z)
ist eine kleine Grosse erster Ordnung, der Nenner

= p (tang /J" sin (A' — Z') — tang /J' sin (A" — Z'))
ebenfalls von der ersten Ordnung; denn dieser Ausdruck
reducirt sich durch Einfuhrung von Hulfsgrossen / und K
auf : — tang J sin (Z' — E^ sin (A" — A'). Der erste Factor
ist daher eine endliche Grosse.

Es ist daher das zweite Glied des Verhaltnisses — in

der Gleichung (1) eine kleine Grosse der zweiten Ordnung.
Vernachlassigt man daher dieses Glied, und setzt im ersten

Gliede statt -n die Grosse -^ = — ^7: so erhalt man, bis auf

einen Fehler zweiter Ordnung genau,

/Ox 9 ' j^ tang P' sin (X — L') — tang fi sin (A' — L')

^^ ~^ ~ T' tang (}"sin (X' — L') — tang |3' sin (X"— L') '

oder q' = M Qy wo die Bedeutung von M klar ist.

Nach Art. 11. ist, zufolge der Gleichung (8),

(3) r^ = R^ + 2RQo^(k — L)q + sec /J^ (,2.
ebenso

(4) r"2 = ^"2 + 2 ^" cos (A" — Z' •) ^/ 9 + sec f^ M^ q\

Bedeutet s die Sehne zwischen dem ersten und dritten
Orte des Himmelskorpers, so ist

s^ = {x" - xY + W' - y? + (^"~ zY

= x^ + /^ + ^"^ -\-;c' + y'' + z' — 2 (xx+ yy'-^ zz")

46

Setzt man statt x, y, z\ x", y\ z' ihre Werthe durch
die geocentrischen Coordinaten ausgedruckt, so erhalt man

(5) 52 = r2 + r"2 _ 2 RK' cos (Z"— L)^2{RM cos (A"— Z)
+ R' cos (A — Z")) 9 —2 (cos (A"— A) + tang /J tang /J") il/p^.

1st if' die Zwischenzeit zwischen der ersten und dritten
Beobachtung; so folgt nach der Lamberfschen Formel

(6) ^ki = (r + r" + s)\ + (r + r" — i)K

Denkt man sich aus den Gleichungen (3) , (4) , (5) die
Werthe von r, r", s in die Lambert'sche Gleichung (6) ge-
setzt, so geht diese in eine Gleichung uber, welche bios
die Unbekannte q enth^lt. Aus dieser Gleichung hat man
daher diese Unbekannte zu bestimmen. Diese Bestimmung
geschieht am einfachsten durch Versuche. Man nimmt fur
9 einen Worth an, rechnet damit nach (3), (4), (5) die
Grossen r, r", s und sieht, ob der Lambert'schen Formel
(6) genilgt wird. Man andert nun (> so lange, bis die
Gleichung (6) erfiillt wird. Aus zwei Annahmen fur Qj
welche bereits der Wahrheit ziemlich nahe kommen, erhalt
man durch die regvla falsi einen genauen Worth von q.
Aus Q erhalt man p" = Mq,

Mit den Grossen ^, 9" und den geocentrischen Langen
und Breiten rechne man r, I, h; r\ I", h" und hierauf nach
Art. 13. und Art. 6. die Bahnelemente.

Mit den gefundenen Elementen rechne man den Ort
des Himmelskorpers zur Zeit der mittleren Beobaehtung.
Stimmt dieser mit dem beobachteten iiberein, so ist die
Rechnung beendet; weicht aber der berechnete Ort von
dem beobachteten um mehr als die moglichen Beobach-
tungsfehler ab, so verandere man die Grosse M so lange,
bis die Darstellung des mittleren Ortes innerhalb der Grenze
der Beobachtungsfehler gelingt. Man kann audi hier die
regiila falsi anwenden.

47

20.

Wie man ersieht, hesteht der Nerv der Olbers'schen
Methode, welche ausschliesslich bei Kometenbahnen ange-
wendet wird, in der Bestimmung des Verhfi-ltnisses q'' : Q
und in der Anwendung der Lambert^schen Formel. Fiir
das Verhaltniss q'' : q wurde die Annahme gemacht; dass
man fiir w" : n und iV" : N das Verhaltniss der Zwisehen-
zeiten setzen konne, diese Annahme ist identisch mit der
Voraussetzung, dass die Sehnen der Kometenbahn und der
Erdbahn zwischen den §.ussersten Beobachtungen von den
mittleren Radien Vectoren in dem Verhaitnisse der Zeiten
geschnitten werden, wie man aus n" : n = r sin {v' — v):
r" sin (t;" - v) und N'' : N == R sin (Z' — Z) : B" sin (Z" — Z')
ersieht. Fiir die Kometenbahn haben bereits Euler und
Lambert diese Voraussetzung gemacht. Oibers dehnte
diese Voraussetzung auch auf die Erdbahn aus und erhieit
dadurch diese Iiochst einfache Methode der Berechnung
einer Kometenbahn*

21.

Zur Eriauterung dieser Methode soil ein von Gauss
gegebenes Beispiel dienen*). Fiir den zweiten Kometen
vom Jahre 1813 hat man folgende Angaben.

Mittlere Gottingor Zeit. Liinge. Breite.

1813 April 7.55002 A =271«16'38" j3 = + 29« 2' 0"

14.54694 A' = 266o 27' 22" /3' = + 22^ 52' 18"

21.59931 A" = 256M8' 8" j8" = + 9^ 53' 12"

Z =1970 47' 41" logB =0.00091

r = 2040 38' 45" log B' = 0.00175

Z" = 21 P 31' 25" log B" = 0.00260.

*) Fiir Kometcubahnen geniigt hauiig eine fiinfstellige Rechiumg.

48

Damit erh&lt man

log M = 9.75799, 6 itr = 1.4501

r = ^1.00420 + 0.56981 o + 1.30810 q"

r"=j/1.01205 + 0.81092 p + 0.33805 p*

s = ^0.05765 — 0.22389 q + 0.42612 p».

Nan suche man (darch passende Wahl von q) die
Werthe von r, r", « so zn bestimmen, dass der Gleichnng

(r + r" + «)i — (r + r" — «)i — 6AY = ^ =

genfigt wird. Setzt man p <= 1 , so wird r = 1.70, r" = 1.47,
«=: 0.51 and JC = -{- 1.27; also ist p zu gross. Setzt man
9 = i, so wird r = 1.26, r" = 1.23, s = 0.23 und ^ =
— 0.35; also ist q za klein. Ans den beiden Werthen fur
AT schliesst man, dass q nahe = 0.6 ist. Man erh&lt nan
mit den Werthen q = 0.60 and q ^ 0.65

p = 0.60 p = 0.65

r =1.34797 r =1.38830

r" = 1.27290 r" = 1.29690

s =0.27700 s =0.30358

jr = — 0.1055 -i' = + 0.0598

and damit p = 0.632... Rechnet man nan mit 9 = 0.632
und Q = 0.637, so wird

Q = 0.632 ' Q = 0.637

r = 1.37364 ' r = 1.37770

r" = 1 .28824 r" = 1 .29065

s = 0.29386 s = 0.29656

,1' = — 0.0125 A' = + 0.0022

and damit p =0.63625, worans folgt

log Q = 9.80364, log p" = 9.56163

/ = 2250 4' 22", log tang b = 9.42381, log r = 0.13896
r= 223" 6' 55", log tang ft" = 8.69316, log r"= 0.11068.

49

Db, I > f ist, so ist i > 90®. Damit erhalt man

i = 98® 58' 57"
^ = 42«40' 8"
u = 164® 57' 1", w" = 177® 8' 36".
Damit erhalt man nach Art. 6.

n = 2470 42' 25"
log q = 0.08469.
Fiir die Perihelzeit T erhalt man

ausr ... r = April 49.518
aus v" . . . r = April 49.517
also im Mittel T= Mai 19.5175.
Berechnet man mit diesen Elementen den mittleren
Kometenort (vergl. Art. 4.), so findet man

A' = 2660 27' 15", /3' = + 22« 52' 18".
Die Lange stimmt bis auf T% die Breite voUkommen mit
der Beobachtung iiberein^).

Dritter Absehnitt.

Bestimmung einer elliptischen Bahn aus vier geocentrisohen
Beobachtungen, von denen nur zwei vollstandig sind.

22.

Die im ersten Abschnitte dargestellte Methode^ eine
elliptische Bahn zu bestimmen; ist — wie bereits im Art. 17.
erwahnt wurde — in manchen Fallen nicbt anwendbar.
In solchen Fallen kann man aus vier Langen und zwei
Breiten die Bahn bestimmen.

Es seien also vier geocentrische Beobachtungen ge-
geben; der Bequemlichkeit der Rechnung halber werden
die vier Langen und die beiden mittleren Breiten beniitzt ;
die aussersten Breiten sind nicht erforderlich,.dienen jedoch
schliesslich als Controle der Rechnung. Die Bedeutung der

Fbischattv, Astronomie. 4

50

Buchstaben ist hier dieselbe, wie im ersten Abschnitte;
d. h. es sind also

die Langen und Breiten des Himmelskorpers u. s. w.

^ou ^02^ • • ^^® Zwischenzeiten zwischen der ersten und ,

zweiten, ersten und dritten, . . . Beobachtung. Analog ist

die Bedeutung von

'^oi; ^02 > • • ^^^ y^iy ^02? • •
als doppelte Dreiecksflachen und Verhaltnisse des ellipti-
schen Sectors zum zugehorigen Dreiecke.

Nach Art. 14. Gleichung (3) und (4) ist:

^12 iff ^^s A + ^ COS L) — nQ2 {Q\ cos Aj + -^i cos Zj)

+ ^01 {Qi cos Aj + -^2 cos Zj) == 0,
«,2 {q sin a + jR sin L) — n^^ {Q\ sin X^ + ^^ sin Zj)

4" Wqi (P2 ^^^ ^2 4" ^2 s^^ ^2) = 0-
Eliminirt man aus diesen beiden Gleiehungen die Grosse
Qy SO erhalt man

(1) Wj2 R sin (Z — A) — n^^ (pi sin (A^ — A) + ^1 sin (Zj — A))

+ ^01 (P2 sin (Aj — A) + ^2 sin (Z2 — A)) = 0.
Ebenso folgt aus der zweiten, dritten und vierten Be-
obachtung ^ indem man aus denselben Gleiehungen des
Art. 14. die Grosse q^ eliminirt,

(2) ^23 {Q\ sin (Ai — A3) -f R^ sin (Z, — A3))
— Wj 3 ((>2 sin (A2-- A3) + ^2 sin (Z2— A3)) + «i2^3 sin (Z3— A3) = 0.

Die Gleichung (1) last sich umformen in
«„i?sin(Z-A)-«,,sin(A,-A)co8/J,(^ + ^^^i=^^

+ «o. sin (A, _ A) cos ^, (^^ + eH^^^-)) =
Oder in

COS

51

Wj2 ^ R sin (L — X) tiq, cosftsipUt-^ / g^ , /?, sin (Z^ f — A)\
woi co8/3,sin(i2— X) «oi ' cos ft si" (^2— i) \cosft ' co8|3i8in(;i,- A)J

•^ cosft "•" co8P28in(Jl, — X)

Setzt man analog mit der Gleichung (10), Art. 15.
^ + /2, cos*, =a:„ _^ + /?^ cos d^ = a:^,
so geht diese Gleichung iiber in

J'x'-Jp,(a:.+M + x, + «, = 0,
wo der Kiirze halber

i?i8in (Zi — X) 1? ^^„ A I.

cospi 8in(Xi--X) * 11

/? sin (Z; — X) ^_ co8gt8in(X|--X)

cos ft siu (^2 — X) ^' cos ft sin {X^—l) ^^

/?2 8in (Z/2-->t) j^ «.

cos ft sin (^2 — X) ~" 2 COS dg = ^2

gesetzt wird. Setzt man ""-^ = P.^ so ist nach der Glei-
chung (12), Art. 15.

.2 = (l + .-^3)r^,also

2 (aj»+ a:i*)4

WO die Bedeutung von Q^ klar ist.
Man erhalt daher

Setzt man ansserdetn

- Xj — P, V = c,, fli (1 + />,) = d, ,
so erhalt man

(3) X,:=C,+ ''■(^i + M .

1+ ^* r

52

Auf dieselbe Art erh&lt man aus der Gleichung (2),
indem man

i?, sin (£, - X.) _ ^ ^^g g _ J
COS pt sin (ij — ^a) ^ ' ^

iJj sin (Zj — ilg) cos ^2 sin (If — i,)

cos Pi sin (Zi — As) "" ^3> cos p, sin (i, — 1,) ~ ^^

^^ ^'" (^* -^ - /2, COS (J, = X, ,

cos (J| sin (Ai — A3)

ferner

wo jP, = — ist, setzt

(4) :*:i=^2+ '^^^* + **^

1+ ^«

2 («2« + a:,«)f

Der Gang der Rechnung ist nun derselbe wie im ersten
Abschnitte: man rechnet zuerst die Constanten a^y a^^ b^y

^2 9 ^1; ^2; f^i; f^2^ ^> ^39 biei^Auf verschafft man sich aus
den genauen Werthen

Q __ ^01 'P'lt n* /^ '^ll^tsV

*^t «.. ,/._ •*«_ n/\a /•-. Aria /*-_ #»na /*,_ ' *^2

yoiyil»^2COS/oiCOS/*ot cos/;,' ^ yity2Sn^3COS/;2C08/isC08/i8

in der ersten Hypothese die Werthe

Pi = cT^f P2 = sr> ^1 = '^01 "^12; O2 = '9'j2 '9'23;

rechnet damit c^y d^^ c^j d^ und loset dann die Qleichungen
(3) und (4) nach x^ und x^ auf. Diese Auflosung geschieht
durch Versuche. Man erbS,lt in der Regei schon Naherungs-
werthe, wenn man p, = ^j = setzt, wodurch

_ gj + dt (6, + Cj) + rfi </, 6t _ c^ + tfi (6i + c,) + rfi rfg &,

erhalten wird. Ist nun g^ ein Naherungswerth von x^y so
setze man diesen in (3), erhalt daraus a;2 = $2^ welcber

53

Werth in (4) gesetzt x^ = ^, gibt. Wiederholt man nun
die Rechnung mit a;, = 61 + ^i ^ ^o erhalte man ^2 = $2
-|- ^2 ^^d 0^1 = ^, + TV,. Aus diesen Angaben erhalt man
nach der regula falsi*)

Aus x^ und 0:2 erhalt man Q^y q^ und damit (wie im
ersten Abschnitte) die heliocentrischen Orte r, , r^'^ l[, /2)
b^, ^2 7 damit die Differenz der wahren Anomalien V2 — v^
= 1/2 — ^\7 woraus dann folgt, wegen

W12 n rg sill iv2 — Vj)

Wqi ' ?■ 8111 (Uj — V)'

^02 y sin (t>2 — w) 1 + ^1

«,j ?'i sill (r, — »,) ^

(■+^)

(5) r 8in {V, ~ r) = '' "" ^; - ^^^ und

r sin. (y, — e^) = — j-^ — ■

P

-^^-^r, Bin (.,-.,),

oder da 1^2 — v ^^v^ — ^i + (^1 — ^^ ist,

(6) rco8(.,-.) :iJi±^ -.cot (.,-..) ^^^^^^$*^^-

Aus den Gleichungen (5) und (6) erhalt man r und
1;, — v.

Ebenso erhalt man r^ und v^ — v^ aus den Glei-
chungen

(7) Tg sm (^3 — V2) = p

♦) Es sind namlich ^ =- {j — Xj und ^' «= li + Vi — (X, + iVj)
die Fehler ^er ersten und zweiten Substitution. Die Aenderungen der
Unbekannten x^ und 0^2 ^^"^^ resp. v^ und 1^2*

54

Nun bestimme man, wie im crsten Abschnitte, neue
verbesserte Werthe von Pif P29 0\9 O21 ^" letzter Hypothese
fiihre man die Berechnung der Elemente zu Ende. 1st die
heliocentrische Bewegung sehr klein, so kann man aus
^} ^3; ^3 — ^9 ^03 ^^® Elemente in der Bahn rechnen.

Mit den erhaltenen Elementen berechne man die beiden
aussersten Orte; man ersieht dann mit welchem Grade der
Genauigkeit die aussersten Breiten durch die gefundenen
Elemente dargestellt werden.

Vierteir Abschuitt.

Ueber die Vorbereitungsreohnungen bei Bahnbestimmungen.

28.
In den drei ersten Abschnitten wurde die Voraussetzung
gcmacht, dass die zur Bahnbestimmung verwendeten Beob-
achtungen die wahren geocentrischen Orte (Lange und Breite)
des Himmelskorpers seien. Die Beobachtungen , wie sie
unmittelbar gegeben sind, sind scbeinbare Rectascensionen
und Deelinationen ; es sind daher eine Reihe von Vorberei-
tungsrechnungen nothig, um dieselben in geocentrische
Lange und Breite zu verwandeln. Es soil daher bier zu-
nachst die Theorie dieser Rechnungen gegeben werden.

I. Verwandlung von Rectascension und
Declination in Lange und Breite und umgekehrt.

U.

Es seien a, d die Rectascension und Declination, A, /3
die Lange und Breite eines Sterns, a die Schiefc der Ecliptik.

Aus dem spharischen Dreiecke zwischen Weltpol, Pol
der Ecliptik und Stern folgt nach den drei Fundamental-
gleichungen der spharischen Trigonometric:

55

1) Gegeben sei a, d; man bestimme A, /J.
cos A cos /S = cos a cos d

sin A cos /3 = sin d sin £ + ^^^ d cos € sin a
sin ^ = sin d cos b — cos S sin « sin a.

Setzt man cos d sin a = w sin if/

sin d = m cos ilf ,
so wird

sin A cos /3 = /» sin (ilf + 6) , sin jS = w cos {M + ^ )?

also

(1) tang A = tang a — A^-^'

/ON • fi • Jt COS (Jf + «)

(2) sm p = sin o ^^ — jr-^j

^ ^ ^ cos M '

WO tang ilf = sin a cot d ist.

M wird in demjenigen Quadranten genommen, fur
welchen m positiv ist. Als Controle der Rechnung kann
die Gleichung

tang j3 = sin A cot (/!/+*)
benutzt werden.

2) Qegeben sei A; /3; man bestimme a^ S.
cos a cos tf = cos A cos /3

sin cc cos d = — sin /J sin « + cos fi sin A cos £
sin d = sin /J cos £ + cos /J sin A sin £.

Setzt man sin /J = ;i sin N

cos jS sin A = w cos -A^,
so wird

/o\ 1 i. 1 COS (N + f )

(3) tang a = tang A — ^^^^

/>i\ • Jt . ^ sin (iV + *)

(4) sm o =« sm p — ^ — ^, — \

^ ^ '^ sm N '

WO tang N = -55?^ ist.

® sin X

Als Controle dient die Gleichung

tang d = sin a tang {N + s).

56

11. Parallaxe.
25.
Unter Parallaxe eiues Planeten oder Kometen ver-
Bteht man die OrtsveranderuDg, welche der Himmelskorper
erieidet, wenn man denselben statt vom Mittelpuncte der
Erde von einem Puncte der Oberflache der Erde aus beob-
achtet. Die Erde kann man^ wegen der Kleinheit der
Parallaxe; als eine Kugel betrachten.

Man denke sich ein Coordinatensystem, in welchem der
Aequator die icy-Ebene, der Mittelpunct der Erde der
Coordinaten-Anfangspunct ist. Die positive a;- Axe soi nach
dem Friihlingspuncte, die positive 2/ -Axe nach dem Puncte
90** Rectascension gerichtet. Sind Xy F, Z die Coordiuaten
des Beobachtungsortes ; so ist

A = Q cos 9 cos ®, F = Q cos 97 sin @; Z = q sin g>,

wo Q den Radius der Erde, 9 die geographische Breite
und & die Stemzeit des Beobachtungsortes bedeutet.

Sind Xy y, z die Coordinaten des Himmelskorpers ; a, 8
die Rectascension und Declination; /J die Entfemung vom
UrsprungC; so ist

aj = ^ cos 8 cos «; y = ^ COS S sin «; z = ^ sin 8,

Legt man durch den Beobachtungsort ein zweites paralleles
Axensystem; sind x, y , z die Coordinaten und a'; S y A'
die mit der Parallaxe behaftete Rectascension; Declination
und Entfemung des Himmelskorpers; so ist

X = A cos 8' cos a'; y = A cos d' sin a', z = A sin 8\

Aus X = X' -\' X. y = y'+rj :^ = z + Z folgt

(1) jd' cos 8' cos a' = ^ cos 8 cos a — q cos q) cos

(2) A' cos 8' sin a = A cos d sin a — q cos <p sin ®

(3) A' sin tf' = -J sin d — q sin 9^.

57

Aus diesen Gleichungen erhalt man a', 8', A' aus or, d, ^
und umgekehrt. Bequemer ist es aber unmittelbar a — a,
S) — 8 zu bestimmen.

Multiplicirt man (1) mit — sin a, (2) mit + cos a und
addirt die Producte, so erhalt man

A' cos d' sin {a — a) = — p cos tp sin (® — a).
Multiplicirt man (1) mit + cos a, (2) mit -|- sin a und addirt
die ProductC; so erhalt man

z/' cos 8! cos (a' — a) = ^. cos d — ^ (> cos 9 cos (0 — a).
Dividirt man die beiden letzten Gleichungen, so wird*

tariff («' — a\= - q cos q> sin {& — a)

° ^ ^ A cos ^ — ^ cos qp cos (0 — a) *

8etzt man cos («' — «) == 1 — 2 sin ^ {a — a)-, so
geht die vorletzte Gleichung uber in
A' cos 8' = A cos 8 — q cos 9 cos (0 — ex)

+ 2^'cos*'sini(a — a)2

= A cos d — Q cos 9 cos (@ — a)

+ ^' cos 8" sin(a' — a) tang ^ (a' — a)

= A cos d — Q cos 9? (cos (0 — a)

+ sin (0 — a) tang -^ (a' — a))

^ jR cos (® — -i (a + a'))

= A cos d — p cos w — 5^ — , // , ^^ '

^ ^ cos -J (a — a)

Setzt man der Ktirze halber
m sin y = sin 9

cos (0 — "t (a + a')

^ COS y = cos op ^ :r /, , — ,

' ^ COS ^ (a — a) '

so wird

A* cos 8" = A cos tf — p /» cos y
A' sin 8' = A sin tf — p ^ sin y ;

woraus ahnlich wie friiher folgt

p sin 9? • / i,\

— ^ — - Sin (y — a)
tane (d' — 8) = ^^?-^ .

v# 9 sin op , ».

A—^ — ~ cos (y — o)

sin y ^' ^

58

Die Grossc A wird nicht benothigt.

Die Grossen a — a, d' — 8 sind in der Regel sehr
kleiii; man kann dann statt der Tangenten die Bogen setzen.
Bezeichnet man die mittlere Entfernnng der Erde von der
Sonne mit R^ so ist

Q : R ist der Sinus des Winkels , nnter welchem der Radius
der Erde von der Sonne aus erscheint, d. i. die Horizon-
talparallaxe der Sonne; bezeichnet man dieselbe mit jt,
so ist

^ = sin 7t = Jt, da 3r = 8".9 ist.

Die Grosse ^ driickt man immer in Theilen von R aus
und bezeichnet diese Zahl mit ^, so dass man statt ^
die Grosse ^ setzen kann. Beriicksichtiget man femer, dass
— — -=— ist, wenn .rgegen b sehr klein ist, so erhalt
man fiir die Grossen a — a , S" . — d die Ausdriicke

/ n cos w sin (0 — a)

a — a = ^ ^^

d cos o

tang y = ,^ ^ .

^ ' cos {B - a)

8—8 = —

n sin tp sin (y — 6)

z^ sin y '

wenn man ausserdem statt S — i (« 4" ^') ^^^ Grossen
S — a setzt. Die letztcren Ausdriicke erhalt man etwas
einfacher, wenn man in ^' cos 8' cos (a — a) die Grosse
cos («' — «) = 1 setzt. Da n in Secunden ausgedriickt ist,
so erhalt man dadurch a — a, 8' — 8 unmittelbar in Se-
cunden ausgedriickt.

Der Winkel S — a ist der Stundenwinkel der Beob-
achtung, fiir den Meridian ist derselbe =0, also

a — a = Oy y = q)y o — o = -^ .

59^

Setzt man in den gefundenen Ausdriicken statt der
Rectascension und Declination die Lange und Breite des
GestirnS; und nimmt statt ® und q) die daraus nach Art. 24.
berechnete Lange / und Breite b des Beobachtungsortes,
so erhalt man die Ausdriicke fur die Parallaxe in L^nge
nnd Breite.

26.

Die im vorigen Art. erhaltenen Ausdriicke fiir die
Parallaxe setzen die Entfernung ^ des Gestirns als bekannt
voraus; fiir eine erste Bahnbestimmung kann daher diese
Reduction nicht durchgefiihrt werden.

Will man dennoch die Parallaxe beriicksichtigen , so
kann man sich der folgenden (von Gauss gegebenen) Me-
thode bedienen.

Gauss fiihrt namlich statt des Beobachtungsortes den
Durchschnittspunct F der von dem Bcobachtungsorte nach
dem Gestirne gezogenen Richtungslinie mit der Ecliptik ein.

Es scion ly hj Q die Lange, Breite und Distanz des

Beobachtungsortes auf den Mittel-
punct der Erde bezogen.
A, ^, ^ die Lange, Breite und Distanz des
Gestirns in Bezug auf den Beob-
achtungsort.
Lj By R die heliocentrische Lange, Breite
und Distanz des Mittelpunctcs der
Erde.
Z', B'y R dieselben Grossen des Punctes Fy
wo also R = ist.
^ -\- 8 die Distanz des Gestirns vom Puncte F.
Nun bestimme man die rechtwinkligen Coordinaten |,
riy 6 des Beobachtungsortes in Bezug auf die Sonne als

60

Goordinaten-Anfang und ein Axensystem wie in Art. 11.
Diese Bestimmuug kann auf zweifache Art durchgefiihrt
werden :

1) Man gehe von der Sonne zum Puncte F und von
F zum Beobachtungsort, man erhftlt fiir die Coordinaten
S? ^7 5 die Werthe

§ = jR' cos L '\- 8 cos /S cos A
iy = -ft' sin Z' + d cos ^ sin A
g = d sin /3.

2) Man gehe von der Sonne zum Mittelpuncte der Erde
und von diesem Puncte zum Beobachtungsort^ man erh^It
dadurch

\z=z R cos B cos Z -f- 9 cos h cos / '

ri = B cos ^ sin Z + 9 cos b sin /
g = ^ sin ^ + 9 sin b.

Durch Gieichstellung dieser Ausdrucke ergiebt sich durch
eine ahnliche Rechnung wie im vorigen Artikel, wenn man
statt cos By cos (Z' — Z) die Einheit, statt sin B, sin (Z' — Z)
die Bogen B, L' — Z setzt

i^ = ^ -j- 3t COB b cos (/ — Z) — fi cos (A — Z)

,, J. n cos 6 siu (/ — L) — (i sin {X — L)

L — L ^ ,

WO ^ = (72^ + ;r sin &) cot /J ist.

Behalt man in R die Grossen it und fi in Secunden
bei, so ist

p/ /? _i ^ cos ^ COS (^ — -^j — f*' COS (^ — •^)

^ "^"1 206266 •

Die Grosse 8 = — ^ wird dadurch == ^

cos (3 206265 cos ?•

Da das Licht die mittlere Entfemung der Erde von
der Sonne in 493 Secunden zurucklegt, so braucht es um
die Distanz 8 zuriickzulegen die Zeit

61

^ _ 493 * — _^??L^L_.

T — ^yoo— 206266 cos fi '

diese Zeit muss zur Beobachtungszeit addirt werden, um
die entsprechende Zeit fur den Punct F zu erhalten.

Beispiel.

A = 364M5', /S = — 4«59'.5, / — 24^29', ^ = 46o 53'
Z= 12«29', ^ = + 0".49, log i? = 9.9995, 7t = 8\6.

Daraus folgt log ft = n 1.8891, und damit

log « cos b cos (/ — Z) sin 1" «= 5.4452
log ft cos (A — Z) sin 1" = n 6.5636
Zahl = + 0.0000279, Zahl = — 0.0003677
5^ _ ^ «= + 0.0003866.
log «^osbBm(i-^L) _ QQ^rj^^ j^g (, Bin (X - z) _ J 3^32

Zahl = + 1".22, Zahl = + 23".61

r — Z = — 22".395
Reduction der Zeit = — 0.19 Secunden, also verschwindend.

III. Aberration des Lichts.

27.

Unter Aberration versteht man jene scheinbare Orts-
veranderung, welche ein Gestim in Folge der Bewegung
der Erd.e und der endlichen Geschwindigkeit des Lichts
erleidet.

Die Ortsveranderung, welche in Folge der jahrlichen
Bewegung der Erde um die Sonne entsteht, heisst die
jahrliche, jene Ortsverftnderung, welche in Folge der
Axendrehung der Erde entsteht^ die tagliche Aberration;
wegen der Kleinheit der letzteren soil hier nur die erstere
behandelt werden. Bei dieser Untersuchung geniigt es die
Erdbahn als einen Ereis mit dem Radius B «= der mitt-
leren Entfernung vorauszusetzen.

62

Es sei (Fig. 6) S ein Stem in der
^' Richtong b a S] legt das Licht den Weg
ab zoriick, wahrend die fjrde*) den
Weg cb macht, so muss das Femrohr
in die Lage c a gebracht werden, so dass
a das Objectiv und c das Ocular vor-

^ stellt: denn in dieser Lage bleibt das

Licht bestandig in der Axe des Fem-
rohres. 1st namlich das Femrohr in die parallele Lage
nn gekommen, und ist m der Durchschnitt der Geraden
nn und ab, so folgt

am : ab = en: cb

oder am:cn = ab:cb= Verhaltniss der Geschwindig-
keiten des Lichtes und der Erde.

Ist daher ba'^ca, so sieht man den Stem in der
Richtung ba' etwa in^S^; es erleidet daher der Stern eine
Ortsveranderung, welche gleich ist dem Winkel S=SbS'=
a b a'- Der grosste Worth dieses Winkels ist bestimmt durch

d. i. durch das Verhaltniss der Geschwindigkeiten der Erde
und des Lichtes; setzt man ftir diese ihre Werthe, so er-
halt man S = 20".25.

28.
Um den Einfluss der Aberration auf die Lange und
Breite eines Fixstemes zu bestimmen: sei Z die heliocen-
trische Lange des Punctes c, L-^w die Lange des Punctes &;
r die Zeit; wahrend die Erde yon c nach b gelangt oder
das Licht den Weg a b zuriicklegt; ^ die Geschwindigkeit

*) D. i. der Mittelpunct der Erde, in welchem das Auge des
Beobachters voransgesetzt wird.

63

des Lichtes, I =s c a ^^h a die Lange des Fernrohres. Es

seien ferner

*

A, /3 die wahre, durch die Richtung b a,
A', ^ die scheinbare, durch die Richtung c a\\b a bestimmte,
Lange und Breite des Sternes.

Man lege durch den Punct c ein Axensystem, in welchem
(wie in Art. 11) die a; -Axe nach dem Friihlingspuncte , die
y-Axe nach dem Puncte 90® LSlnge gerichtet ist, und be-
stimme die Coordinaten des Punctes a. Dieses kann auf
zweifache Art geschen.

1) Man erhalt unmittelbar

/ cos fi' cos A', / cos /S' sin A', / sin /J'
als Coordinaten von a.

2) Man gehe von c zum Punct b und von b zum Punct a.

Da die Gerade c b (als Tangente an die Erdbahn im
Puncte c) mit der x Axe den Winkel 90® + ^ bildet; so
sind c b cos (90® + Z), c ^ sin (90® + Z), oder, wegen
cb = jRwy — RwsinLy Rw cos L^O

die Coordinaten des Punctes b.

Ferner sind, wegen ab «= p,tj

(I r cos fi cos A ; (It cos /3 sin A ^ (it sin fi
die Coordinaten von a in Bezug auf b als Anfang.

Es sind daher

— ^ m; sin Z + ft r cos fi cos A

— Rw cos Z + ft r cos fi sin A

ft r sin /3
die Coordinaten von a in Bezug auf c als Anfang.

Man erhalt daher durch Gleichstellung dieser Werthe
/ cos 5' cos A' = ft r cos /3 cos A — j^ sin Z t^^
/ cos /J' sin A' = ft r cos j3 sin A + ^ cos Z w?
/ sin /3' = fi T sin /J.

64

Der Quotient — ist die Winkel - Geschwindigkeit der

Erde um die Sonne. Ist die Secunde die Zeiteinheit, so
folgt, da die tagliche Bewegung der Erde um die Sonne

= 59' 8".2 betragt; fiir die Bewegung in einer

365.2564

Zeitsecunde = -^, ' = 0".041067, welche Grosse hier in

004UU

Theile des Halbmessers zu verwandeln ist.

Aus den obigen Gleichungen folgt auf die bekannte
Weise

A' — A = - . - cos (Z — A) sec j3
/r -/?=-.- sin (X — A) sin fi.

fJL T

Da - = Anzahl der Zeitsecunden. in welcher das Licht

die Entfemung R zurucklegt = 493.2 Secunden (nach De-
lambre), so ist

i? . '^ = 493.2 X 0".041067 = 20".25 = C,

fir r '

welcher Ausdruck in Secunden beibehalten wird, um A' — A,
j3' — § unmittelbar in Secunden zu erhalten. Es ist daher

A' — A = 20".25 cos (Z - A) sec /S
/3' — /J = 20".25 sin (Z — A) sin /S.

Zusatz I. Man denke sich an der Himmelskugel
ein Coordinatensystem ; den wahren Ort A, /S des Sterns als
Coordinaten-Anfang; die Beruhrungsebene an die Kugel
als xy Ebene, die x Axe parallel zur Ecliptik. Die Coor-
dinaten 5; ^ des Punktes A', j8' werden

5 = (A' — A) cos j3 = C cos (Z — A)*)
12 = /S' — /S = C' sin (Z — A) sin /S.

*) Ist I der Bogen eines Parallelkreises , Z der zugehorige des
grossten Kreises, 9 der Abstand beider Kreise , so ist / = Z^ cos qt.

66

Aug diesen Qleichungen folgt

i!+ _2!__i

d. h. der scheinbare Ort K, ff eines Sternes beschreibt um
den wahren Ort A, /3 auf der HimmelBkugel in einem Jahre
eine Ellipse; deren Axen 2 Cy2C nin ^ sind.

Zusatz 2. Unter j^hrlicher Parallaxe der Fix-
sterne versteht man jene Ortverftnderung, welche die Sterne
erleideu; indem man sie statt von der ruhenden Sonne von
der um letztere sich bewegenden Erde aus beobachtet.

Sind ky p, /d die heliocentrische ; A', /5', ^ die geocen-
trische L&nge, Breite und Distanz eines Sternes ^ so ist
A cos*/3' cos A' = ^ cos /5 cos A — R cos L
A cos §! sin A' «= -^ cos /3 sin A — R sin L
A' sin /S' = /I sin /J,

woraus folgt

A' — A = — 2> sin (Z — A) sec ^
j3' _ j3 = 2> cos (Z — A) sin /5,

wo Z> = sin Z> = — gesetzt wurde. Die Q rosso D heisst

die j&hrliche Parallaxe der Fixsterne.

Setzt man in den Formeln fiir die Aberration statt L
die Gr5sse 90^ -(- ^; statt C die Grosse />, so erh&lt man
die Ausdriicke fur die Parallaxe. Der Verlauf der beiden
Erscbeinungen ist also im allgemeinen derselbe, nur sind
sie um ein Vierteljahr verschieden.

Die Erscheinung der Aberration wurde von dem eng-
lischen Astronomen James Bradley beim Suchen nach
der Parallaxe der Fixsterne entdeckt und erkl^rt.

I'biboha.ui', Aitronomie.

66

29.

Hat das Gestirn eine eigene Bewegung; wie dies bei

den Planeten iind Kometen der Fall ist, so geschieht die

Berechnung der Aberration anders.

Es seien (Fig. 7) S, A die Orte des

Himmelskorpers und des Objectivs zur

Zeit T\Sy a die resp. Orte zur Zeit /, wo

t — T die Zeit ist, wahrend welcher das

Licht den Weg Sa^ dife Erde den Weg A a

zuriicklegt. Der Lichtstrahl SA trifft das

Objectiv nicht; sondem der Strahl 5fl;

damit dieser in das Auge des Beobachters

kommt; muss das Femrohr die Richtung c a haben^ wo

ch =^ a a der Weg der Erde in der Zeit ist, wS-hrend

das Licht den Weg ah znriieklegt. Ist f die Zeit, zu

welcher das Licht das Ocular h erreicht, d. h. die Beob-

achtungszeit, so ist, weil man innerhalb der kleinen Zeit

t' — T die Bewegung der Erde geradlinig und gleichformig

betrachten kann, und das Licht eine constante Geschwindig-

keit hat

Aaiaa' ^t— T :f — t

Saiab =t — T\{ — t,

also Aa : aa' = S a\ aby und da ^AaS = a'ah ist,
so folgt SA \a' b oder ac^ d. h.

Der scheinbare Ort des Gestirns zur Zeit { ist gleich
dem wahren Orte zur Zeit T. Setzt man Sb = ^^ so ist
die Zeit t ^= f — T, welche das Licht braucht, um den

Weg z/ zuriickzulegen = 493'.2 ^^ also

T==^f — 493'.2 ^.

Daraus ergeben sich folgende Regeln der Beriick-
sichtigung der Aberration:

I

67

1) Man nehme statt der Beobachtungszeit ( die Zeit J.

2) Man befreie den beobachteten Ort von der durch
die Formeln des Art. 28 bestimmten Fixstern- Aberration,
wodurch man die Richtung ha erjialt; diese Richtung ist
diejenige, in welcher man den wahren Ort S des Gestirns
zur Zeit T von dem Orte * der Erde zur Zeit i erblickt.
Diese Methode ist bei einer ersten Bahnbestimmung . die
bequemste.

IV. Pracession und Nutation.

80.

Unter Pracession und Nutation versteht man den
Inbegriff aller Veranderungen, welche der Aequator und
die Ecliptik in ihren Lagen erleiden. Diese Veranderungen
sind eine Folge der Anziehung desMondes, der Sonne und
der grosseren Planeten auf die abgeplattete und urn ihre Axe
rotirende Erde. Diese Veranderungen sind theils (haupt-
sachlich) der Zeit proportional, theils periodisch; erstere
heissen Pracession, letztere Nutation.

Die Pracession besteht in dem Zuriickgehen der Nacht-
gleichenpunkte und der Ver^nderung der Schiefe der Eclip-
tik; dieses Zuriickweichen betragt im Jahre 1750 + / die

Grosse

/' = 50".2ll + 0".000244 /,

also von 1750 bis 1750 + ^

/ = 50".211 1 + 0".000122 ^2.

Der Winkel des Aequators von 1750+/ mit der Ecliptik
von 1750 + / ist

a -= 230 28' 18".0 — 0".484 iy
dieser Winkel heisst die mittlere Schiefe der Ecliptik.

Die Precession der Naehtgleichen, wodurch die Langen
der Sterne um dieselbe Grosse zunehmen, wurde von

68

Hipparcb (130 v. Chr.) durch Vergleichung mit den
150 Jahre S.lteren Beobachtungen des Timocharis entdeckt.

Die Nutation enthS.lt die periodischen Veranderungen,
dieselbe bangt hauptsachlieh von der Lange des Monds-
knotens ab; die Veranderungen der Lange eines "Sterns and
der Schiefe der Ecliptik sind resp.

^ A = — 17".2 sin i^, ^ £ = + 9".2 cos ft ,
wo SI die Lange des aufsteigenden Knotens des Mondes be-
deutet. Da die Knotenlinie des Mondes innerhalb 19 Jahren
einen Umlauf macht; so ist die Wirkung der Nutation
ahnlich jener der Aberration. Die Nutation wurde ebenfalls
von Bradley entdeckt.

Man nennt die Durchschnittspuncte des wahren Aequa-
tors mit der wahren Kcliptik zur Zeit / die wahren oder
scheinbaren AequinoctialpunctC; den Winkel derselben
Ebenen die wahre oder scheinbare Schiefe der Ecliptik,
die von dem wahren Friihlingspuncte gezahlten Langen die
wahren oder scheinbaren Langen. Befreit man die
Langen von der Nutation und ebenso die Schiefe der
Ecliptik; so erhalt man die mittleren Langen und die
mittlere Schiefe der Ecliptik. Die mittleren Langen der
Sterne werden daher von dem Friihlingspuncte des oben
bestimmten Aequators mit der Ecliptik zur Zeit 1750 + /
gezahlt; dieser Punct heisst das mittlere Friihlings-
Aequinoctium von 1750 -f- t.

31.

Man kann die Veranderungen der Lage der Sterne in
Lange und Breite in die entsprechenden Veranderungen der
Rectascension und Declination verwandeln. Durch die Beob-
achtung erhalt man die scheinbare mit Aberration und Parall-
axe behaftete Rectascension und Declination des Gestii*ns.

69

1st das Gestirn ein Fixstern, so befreit man die Beob-
acLtung von der Aberration und Nutation, wodurch man
die mittlero Rectascension und Declination zur Zeit der
Beobachtung erhalt. Vermittelst der bekannten Pracession
kann man diese mittlere Position auf ein bestimmtes Aequi-
noctium und den zugehorigen Aequator beziehen. In dieser
Weise sind die Fixstern-Verzeichnisse angelegt.

1st das Gestirn ein Planet, so befreit man die Beob-
achtung von der Parallaxe, wodurch man den scheinbaren
geocentrischen Ort erhalt; diese Position befreit man noch
von der Aberration und Nutation, wodurch man den mitt-
leren Ort zur Zeit der Beobachtung erhalt, welchon man
wieder auf ein bestimmtes Aequinoctium reduciren kann.

Die zur Bahnbestimmung zu verwendenden Beobach-
tungen miissen auf ein gemeinsames mittleres Aequinoctium
und die zugehorige mittlere Grundebene (Aequator oder
Ecliptik) bezogen werden.

82.

Um die im Vorhergehenden angegebenen Reductionen
zu erlautern, mogen dieselben an den Beobachtungen des Bei-
spieles des Art. 18. vorgenommen werden. Fur den Planeten
Juno gibt Gauss (theoria motus, art. 150) folgende Daten:

Mittlere Zeit Greenwich.

Scheinbare
Rectascension.

Scheinbare
Declination.

1804 Oct. 6 10* 51"' 6-

367" IC 22" M

6*40' 8"

17 9*58"»10'

355« 43' 45".30

- 8«47'25"

27 9* 16"' 41'

355» 11' 10".95

— 10" 2' 28"

Aus den Sonncntafeln*) findet man fur dieselben Zciten:

*) Statt der Sonnentafeln bedient man sich gegenw'Artig viel be-
quemer des Berliner astronomischeu Jahrbuches. Auf den Sciten II
der Sonnenephemeride findet man die h'&nge, Breite and den Abstand
der Sonne, auf Seite 100 (neuerer Einrichtang) die Schiefe der Ecliptik,
Precession und Nutation.

70

Scheinbare Lange Abstand von Breite

Datam. jer Sonne. der Erde. der Sonne.

.^N I ^

192» 28' 53".72 0.9988839
204" 20' 21".54 0.9953968
2140 16' 52".21 0.9928340 .

Scheinb. Scbiefe
Nutation. der Ecliptik.

+ 15". 43 23« 27' 59".48

+ 15".51 59".26

+ ir.60 59".06.

Da die Entfemangen des Planeten von der Erde un-
bekannt sind; so kann man die Beobachtungen nicht un-
mittelbar von der Parallaxe and Aberration befreien. Man
verwandle zunachst die scheinbaren Rectascensionen and
Declinationen mit Anwendung der scheinbaren Schiefe der
Ecliptik (nach Art. 24. Gl. (1) and (2)) in scheinbare Langen,
Breiten, wodarch man erhalt:

Scheinbare Lange Scheinbare Breite

Datum. der Jano. der Juno.

»A^

3540 44' 54".27 — 4« 59' 3r.59
352® 34' 44".51 ~ 6^ 21' 56".25
351« 34' 51".57 - 7M7' 52".70.

Addirt man za den Sonnenlangen 180® and verwandelt
man die Breiten in die entgegengesetzten^ so erhalt man
die Erdorte.

Nun bestimme man nach denselben Formeln fiir die
drei Beobachtungen die Lange und Breite des Beob-
achtungsortes.

Fur Greenwich ist 9 = 51« 28' 39"; da die Beobach-
tungen im Meridiane angestellt sind; so sind die Rectas-
censionen der Juno gleich den Stemzeiten der Beob-
achtungen.

71
Man erhalt fur den Beobachtungsort

Datam. LUnge. Breite.

OctT^ 24^^ 46«^'

17 23« 25' 470 24'

27 23® r 47^36'.

Nun nebmc man nach Art. 26. die den Erdorten ent-
sprechenden Puncte F] man erhalt

Datum. L'-'L K — R

Reduction
der Zeit.

— 22".39 + 0.0003856

— 27".21 + 0.0002329

— 35".82 + 0.0002085
Die Reduction der Zeit ist also verschwindend.

Nun ziehe man von den Ltogen der Erde die Nutation
ab, und reducire dann dieselben auf ein mittleres Fruhlings-
Aequinoctium; Gauss wILblt das ftir den Anfang des Jahres
1805. Die jahrliche Precession betragt im Jahre 1804 : 50".22,
also bis zum Beginn des Jabres 1805 betragt dieselbe fur
die drei Beobachtungen resp. ir'.87j 10".23, 8".86, welche
Grossen zu den Langen dazu addirt werden, weil dieselben
mit der Zeit wachsen.

Die Aberration berucksichtiget man nach der in Art. 29.
2) angegebenen Methode: man befreit die Beobachtungen
von der Fixs tern -Aberration, diese betragt fur die Langen
resp. + 19'M2, + 17".ll, + 14".82; fiir die Breite — 0".53,
— I".l8, — r'.75, welche Grossen von den Beobachtungen
subtrahirt werden. Fiir die Erdorte sind nun die Beob-
achtungszeiten; fiir die Juno-Orte die um die Lichtzeit
493' ^ verminderten Zeiten zu nehmen. Man vernachlassigt
in erster Hypothese diese Reduction der Zeit, und fiihrt bei
der Berechnung der Werthe von P und Q in letzter Hypo-
these die verbesserten Zwischenzeiten ein.

72

Bringt man nun an die Beobachtungen sammtliche
hier angegebenen Correctionen an, so erhalt man die in
Art. 18. gegebenen Daten. Die Beobachtungszeiten gibt
man in Decimaltheile eines Tages statt in Stunden, Minuten
und Secunden an.

Es ist 1* = 0.0416667

1« = 0.0006944
V = 0.0000116 Tage.

Bei der Methode des ersten Absehnittes erhalt man un-
mittelbar die drei Distanzen des Planeten von der Erde.
Rechnet man mit den gefundenen Werthen der ersten
Hypothese

log -^ = 0.06685, log -C = 0.08083, log -^, = 0.09971

° cos p ' o cog p- J o cQg p

die Correctionen der Zeiten, so erhalt man, da 493* =
0.005706 Tage ist:

— 0.006655, — 0.006873, — 0.007179 Tage;

und damit die verbesserten Zeiten

Oct. 5. 451989
17. 415012
27. 385898,

woraus r= 11.963023, log 0-"= 9.3134223
t = 9.970886, ' log ^ = 9.2343153

folgt. Berechnet man mit diesen Werthen die zweite Hypo-
these von P und Q, so erhalt man

log P = 0,0790164, log = 8.5475972,

mit welchen Werthen die zweite Hypothese (und ebenso,
wenn nothig, die folgenden) gerechnet wird. Dadurch ist
auf alle Correctionen der Beobachtungen Riicksicht ge-
nommen.

73

Zusatz. Bei der Methode des dritten Abschnittes
erhalt man unmittelbar — ^^ und — -%— Fur die erste

COB Pi cos P2

und vierte Beobachtung erhalt man p, q.^ aus den bereits
bekannten Werthen r und r^,

Es ist namlich

cos p ' '^ '

wo COS 8 = cos /3 cos (A — Z) ist.
Setzt man

= sm OP, so wird x = r cos cp, — ^3=rcosop — ^coso.

»» ' ' ^ ' cos p ^

Ebenso findet man die Distanz ^^^ «

cos P3

Fttnfter Abschnitt.

Bahnbestimmungen aus einer grosseren Beiho von

Beobaohtungen.

88.

Zur Vergleichung der Beobachtungen mit den aus den
zugehorigen Elementen berechneten Orten eines Himmels-
korpers bedient man sich einer Epheraeride d. i. einer
Tafel, welche die in constanten Intervallen berechneten
Orte des Himmelskorpers enthS.It. Vermittelst einer solchen
iiber die ganze Zeit der Beobachtungsreihe sich erstrecken-
den Ephemeride kann man man sich durch Interpolation
jeden Ort leicht verschafifen. Ftir die grosseren Planeten
rechnet man die Ephemeriden fur das ganze Jahr, ftir die
kleinen Planeten meist nur fiir den Monat der Opposition,
weil sie urn diese Zeit der Erde am nUchsten, und daher
am besten zu beobachten sind.

74

Um eine Ephemeride zu berechnen^ bestimmt man die
mittlere Anomalie der ersten Position ^ addirt dann fort-
gesetzt die dem Intervalle entsprechende mittlere Bewegung
hinzu; wodurch man die mittleren Anomalien der sammt-
lichen Positionen erhalt, Aus den mittleren Anomalien
bestimme man nach Art. 3. die excentrischen und aus
diesen die wahren Anomalien und Radien-Vectoren nach
den Gleichungen (3), (4) des Art. 2., oder nach den
Gleichungen (1) und (6)

r cos t; = tf (cos E — e)

r sin i; = a cos fp An E.

Aus r und v konnen unmittelbar die auf den Aequator
bezogenen heliocentrischen Coordinaten erhalten werden.

Denn sind Xq, y^y Zq die heliocentrischen Coordinaten
eines Punctes in Bezug auf die Ecliptik als a;y-Ebene;
X, t/y z die Coordinaten in Bezug auf den Aequator als
X y-Ebene (die a:- Axe fiir beide Systeme nach dem Friihlings-
puncte gerichtet), so ist, wenn s die Schiefe der Ecliptik
bedeutet,

X —— Xq

y = y^ cos S — Zq sin 6

z = yQ An 6 -{- Zq cos «*).

Nim ist nach Art. 12.

a;^ = r cos u cos ,0, — r sin u sin Sh cos i
y^^ r sin u cos SI cos i -\' r cos u sin SI
Zq = r sin u sin i.

Substituirt man diese Werthe in den obigen Gleichungen,
so erhalt man, wenn

*) Driickt man in diesen Gleichnngen die recfatwinkligen Coor-
dinaten durch die Polarcoordinaten aus, so erhalt man die in Art. 24.
angegebenen Verwandlungs-Formeln von LSnge und Breite in Rectas-
cension und Declination und umgekehrt.

75

a Bin A = cos fi,

a cos A = — sin SI cos i

b Bin B =^ sin ^ cos e

b cos -5 = cos SI cos I cos £ — sin i sin a

c Bin C ==^ sin ^ sin £

c cos 6? = cos SI cos I sin b -j- sin / cos s,

% = A + n — sh
(^^c + n — si

gesetzt wird;

a; = a r sin (at + v)

y z= & r sin (S3 + r)

2: = c r sin (K + v).

Vergl. Artr 12.

Zur bequemeren Berechnung von

b cos ^ und c cos C
seize man

tang V'^— ^,

cos 66

80 wird

b cos B == -^^ cos (^ + £)

c COS C = -;^ sin (V' + f).

Allein die Berechnung von r und v ist fur die Coor-
dinaten liberflussig ; man kann dieselben unmittelbar durch
die excentrische Anomalie ausdrucken.

Denn jeder Ausdruck von der Form k r sin (AT + v)
geht durch Substitution von r sin t;, r cos v iiber in
a k cos K cos tp Bin E -^ ak Bin K (cos E — e)*
Bestimmt man i, L^ X durch die Gleichungen:
/ sin Z = « X: sin A'
I cos L = ak cos (p cos AT

A = — ^ / sin Z =s — ^ fl ^ sin A',

76

so wird

A: r sin (A' + v) = / sin (Z + ^ + A

wo /, Z, A constant sind. Die Grosse r rechnet man, falls
man dieselbe benothigt, nach der Formel

r == a *— a ^ cos E.

Sind nun X^ Yy Z die geocentrischen Coordinaten der
Sonne (welche den heliocentrischen der Erde gleich und
entgegengesetzt sind), so erhalt man die geocentrische Rec-
tasccnsion. Declination und Distanz des Himmelskorpers aus

^ cos 8 cos a^=^ X -\- X
z/ cos d sin a = y -|- F
^ sin tf s=s 2: -f- Z.

Die Grossen a, S sind auf den mittleren Aequator
bezogen, auf welchen sich die Eleraente 77, ^, 1 beziehen,
und auf welchen man auch die Coordinaten X, F, Z be-
ziehen muss. Es sind daher die Grossen a, d noch auf
den scheinbaren Aequator zu beziehen; man fiige daher
die Pracession bis zur Zeit der Position und die fur die-
selbe Zeit stattfindende Nutation hinzu. Diese Rechnung
kann sehr bequem mit Hiilfe der in den Berliner astronomi-
schen Jahrbiichern gegebenen Tafeln ausgefuhrt werden*).

Bei der wirklichen Berechnung der Ephemeriden ist es
nicht nothig, alle Positionen direct zu rechnen; sondern
bei den kleinen Planeten z. B. geniigt es, dieselben von
vier zu vier Tagen (fur die Mitternacht) zu rechnen und
die Zwischenpositionen zu interpoliren.

*) Auf S. 80 u. f. findet man die auf das mittlere Aequinoctium
bezogenen Sonnencoordinaten X, F, Z; auf S. 245 u, f. und noch
bequemer von S. 255 an, die fiir die Reduction vom mittleren Aequi-
noctium auf das scheinbare erforderlichen Hiilfstabellen. Die nabere
Einrichtung ist in den Jahrbiichern selbst angegeben.

77

84.

Um nun einen beobachteten Ort mit Hiilfe einer Ephe-
meride zu vergleichen^ bestimme man zunachst nacli den
Ausdriicken

, n sin (0 — a)

a — a = r cos w — ^^ — ^ — -

J ^ cos o

X' jt n • sin (y —

S — a = — "i sm OP — -^ —

ZJ ^ sin y

' ^ tanff o)

**«g y = cos (® - «)

die Parallaxe; durch Subtraction von dem beobachteten
Orte erhalt man den geocentrischen Ort. In der- Kegel
wird die Parallaxe, oder das Product derselben mit der
Distanz ^, von dem Beobachter angegeben. Ist dieses
nicht der Fall, so muss man sich aus der angegebenen
mittleren Zeit der Beobachtung die Sternzeit ableiten: dieses
geschieht dadurch, dass man die mittlere Zeit in Sternzeit-
intervall verwandelt und die dem BeobachtuDgsorte ent-
sprechende Sternzeit des Mittags dazu addirt. Die Stern-
zeit des Mittags ist gleich der Rectascension der mittleren
Sonne zur Zeit des Mittags.

Ist die Beobachtungszeit /, so bestimme man durch
Interpolation mit dem Argumente 7 = / — 493* ^ die Posi-
tion der Ephemeride; diese mit dem von der Parallaxe
befreiten Orte verglichen, gibt den Fehler der Ephemeride
zur Zeit T d. i. den Unterschied: Beobachtung — Rech-
nung.

Die Beobachtungen sind nftmlich trotz aller Sorgfalt
mit unvermeidlichen kleinen Beobachtungsfehlem behaftet;
es wird daher eine aus drei oder vier Beobachtungen ge-
rechnete Bahn nicht alle iibrigen Beobachtungen genau
darstellen, sondem es werden sich Unterschiede zwischen
Beobachtung und Rechnung zeigen. Diese Unterschiede

* 78

werden bei den spateren Beobachtimgen um so mehr
wachsen, je kleiner das Bahnstiick ist^ welches die Beob-
achtungen^ aus denen die Bahn gerechnet wurde^ umfassen.

Hat man daher eine grossere Keihe von Beobaehtongen;
so wird man aus diesen eine Bahn zu bestimmen suchen^
welche sich alien Beobachtungen moglichst genau anschliesst.
Die Mittel; wodurch ein solcher Anschluss erreicht wird,
sind folgende:

Man bestimmt fur die ganze Reihe der Beobachtungen
den Unterschied zwischen Beobachtung und Rechnung: es
sei B der beobachtete^ R der berechnete Ort. Der Unter-
schied B — R lasst sich, wenn die Zeit t klein ist, als
Function der Zeit t durch eine Reihe darstellen

B — R = a'\-bt + cfi + ..

wo a, bf c^ . . constant sind, und, wenn die Elemente der
Bahn nicht zu ungenau sind, in der Form B — R = a -\- bt.

Es seien nun d^y d^y • • dn die den Beobachtungs-
zeiten Z^, ^2? • - ^n entsprechenden Unterschiede. Zahlt
man die Zeiten t^y . , tn vom arithmetischen Mittel T der-
seiben, so ist

der dem arithmetischen Mittel T entsprechende Fehler
wird (wegen / = 0)

n

Berechnet man ftir die Zeit T den Ort Ry so ist ^ + «
der von den Beobachtungsfehlem moglichst befreite Ort;
denn man kann voraussetzen, dass in der Summe d^ -f- ^j
4" • " 4~ ^» ^^6 i" ^^^ Grossen dj, Jj; * • ^n enthaltenen
Beobachtungsfehler sich grosstentheils anfheben. Diese
Untersuchung macht man sqwoI ftir die Rectascension als

79

auch fiir die Declination; man erhalt auf diese.Art eine
aus mehreren Orten abgeleitete Position; welche man einen
Normalort nennt.

Bei den kleinen Planeten und Kometen konnen Beob-
achtungen , die einen Zeitraum von zehn bis dreissig Tagen
umfassen; zu einem Norraalort vereinigt werden. Fiir die
erste Erscheinung (Opposition), wo die Beobachtungen
selten einen ZeitrdXim von mehr als hundert Tagen um-
fassen; geniigt es, aus denselben drei odor vier Normal-
orte mit moglichst nahe gleichen Zwischenzeiten zu bilden^
und aus denselben nach den in den ersten drei Abschnitten
gegebenen Methoden die Bahn zu bestimmen.

85.

1st ein Planet in zwei oder mehreren Oppositionen
beobachtet worden, so sind die im ersten und dritten Ab-
schnitte angegebenen Methoden nicht bequem anwendbar;
allein in diesem Falle besitzt man aus der ersten Opposition
bereits ziemlich genaue Elemente, und die nachsten Oppo-
sitionen werden dann hauptsaehlich zur Verbesserung dieser
Elemente benutzt.

Aus der ersten Opposition nehme man einen oder zwei
moglichst entfernte Normalorte, aus jeder folgenden Oppo-
sition (da man in denselben den Planeten nicht so oft beob-
achtet) einen Normalort; nun bestimmt man die Bahn auf
folgende Art:

Man wahle zwei moglichst genaue und hinreichend
(um eine oder mehrere Oppositionen) entfernte Normalorte
Z; Z'. Man kann nun die Elemente als . Functionen der
(unbekannten) zu diesen beiden Normalorten zugehorigen
Entfernungen des Himmelskorpers von der Erde betrachten.
Fur die Orte Z, Z' rechne man aus den genaherten Elementen

80

die Entf^rnungen Dy D' von der Erde. Um die wahren
Entfemungen zu bestimmen ; bilde man die drei Hypothesen

I. II. III.

D D + d D
If If ly + d",

wo d und d' kleine Aenderungen sind, die bis auf 0.001
genommen werden durfen. Man bestimme nun fiir diese
drei Hypothesen der Entfernungen und der Orte Z, Z' drei
Elementensysteme , und berechne mit diesen die ubrigen
Normalorte. Es seien

I. II. III.

M', M' + a, M' + /}'

• • •

die bereehneten Normalorte, wobei die einzelnen Langen
und Breiten besonders bezeichnet gedacht werden. Die
zugehorigen beobachteten Orte seien N, N\ .

Sind D + x,df B' + i/.d" die wahren Entfernungen, so
sind die damit bereehneten Beobachtungen

M+ax + fiy*)

M'-^ ax + P^y

• . •

welche den Grossen N, N', . , . gleich sind. Man erhalt
daher Gleichungen von der Form

^ — M ^= ax -^^ ^y
N'—M'^c!x + ^y

*) Ist namlich a die Aendertmg einer von D und />' abhangigen
Grosse, welche der Aenderung d von Z> entspricht, so entspricht der
Aenderung d x die Aenderang a x. Analoges gilt fiir die Aendeningen
von D\ Der gleichzeitigen Aenderang von D nnd D' entspricht die
Samme der Aenderungen. — Interpolation nach zwei Argumenten.

81

AuB einem Normalort erh&lt man zwei solche Gleichungen ;
hat man mehrere Orte , so kann man nach der Methode
der kleinsten Quadrate®) die wahrscheinlichsten Werthe
von Xy y bestimmen. Aus den verbesserten Distanzen oder
durch Interpolation bestimme man die verbesserten Elemente ;
denn diese stellen sich ebenfalls in der Form dar

M '\- ax -^^ fi y.

Diese Methode stellt die beiden Orte L und Z' voll-
kommen, die iibrigen, wenn mehrere sind ; moglichst genau
dar. Die Orte Z; L mtissen moglichst fehlerfrei sein^ weil
deren Fehler in die Elementenbestimmung, also auch in die
Darstellung der ubrigen Orte tibergehen.

Diese Methode setzt ausserdem voraus^ dass man die
zweiten Potenzen von xd und yd vemachl&ssigen kann.
ErhSrlt man fUr x und y Werthe ^ die mehrere Einheiten
betragen^ so iviederhole man diese Rechnung; wobei man
die durch die erste Rechnung erhaltenen Distanzen als erste
Hypothese nimmt.

Statt der Entfemungen Dy U des HimmelskSrpers von
der Erde kann man sich* auf ganz analpgem Wege der
Elemente Si und i bedienen. Die hiehergehorige Methode
ergibt sich aus der Losung der folgenden Aufgabe:

;; Aus dem geocentrischen Orte und der Lage der Bahn-
ebene; d. i. Knoten und Neigung, den heliocentrischen Ort
zu bestimmen."

Legt man die a; Axe in die Knotenlinie, so hat man
die Gleichungen (indem man in den Gleichungen (7) des
Art. 11. statt /, Z resp. / — ft, Z — ft setzt und die For-
meln des Art. 10. beriicksichtigt)

(1) r cos tt — R cos (Z — ^) = ^ cos ^ cos (A — ft)

(2) r sin u cos i — E sin (Z — ft) = ^ cos /J sin (A — ft)

(3) r sin u sin i = ^ sin /3.

Frischauf, Astrouomie. 6

82

i^Iiminirt man aus den Gleichungen (1) und (2) die Grosse
R, so erMlt man

(4) r cos u sin (Z — SI) — r sin u cos i cos (Z — SI)

= ^ cos /} sin (Z — A).

Darch Elimination von ^ aus den Gleichungen (3) and (4)
folgt

(5) tang « Bin (i; - a) sin g ^

COS t COS {L — St) sin § + sin t sin (L — I) cos fi

Aus den Qleichungen (1) und (2) folgt durch Elimination
von .d

R sin {L — X)

(6) r =

sin u cos I cos (X — di) — cos « sin (X — SI)

1st /J positiv) so liegt u zwischen und 180^
- - negativ, - - - - 180» - 360«.

Fur j3 = 0, ist w = oder ISO® zu nehmeu; so dass r po-
sitiv wird.

Die Rechnung ist so wie im vorigen Falle, indem man
statt der Qrossen 2>, D' die £lemente Sly i setzt.

Znsatz 1. Bei einer parabolischen Bahn kann man
die Elemente auch als Functionen des Verbal tnisses der
curtirten Entf emungen der Orte Z und Z' betrachten. Man
rechnet hun aus zwei Annahmen dieses Verhaltnisses —
woven die eine M aus den genaherten Elementen erbalten
wird, die andere M -\' m ist, wo m eine kleine Aenderung
ist, — Elemente.

Mit diesen beiden Elementensystemen vergleicht man
die tibrigen Beobachtungen und bestimmt dadurch das
wahrscheinlichste Yerhaltniss M 4* x.my aus welchem
(oder durch Interpolation) man die zugeh5rigen Elemente
findet.

I

I

83

Zusatz 2. Bei ganz genauen Rechnungen kann man
die AenderuDgen der berechneten Orte durch die Diflferential-
formeln der Elemente darstellen^ und damit die Correctioncn
der Elemente nach der Methode der kleinsten Quadrate er-
mitteln.

Sechster Abschnitt.

Bahnbestimmung mit Berucksichtigung der Storungen.

86.

Die in den frtiheren Abschnitten darge&tellten Bahn-
bestimmungen berucksichtigen nur die gegenseitige An-
ziehung der Sonne und des Himmelskorpers ; dadurch
erhS.lt man ala relative Bahn des Himmelskorpers um die
Sonne einen Kegelschnitt; in dessen einem Brennpuncte
sich die Sonne befindet. Vermoge der allgemeinen An-
ziehung weicht die wirkliche Bewegung der Himmelskorper
von der unter der obigen Voraussetzung bestimmten Bewe-
gung ab; welche Abweichung man unter dem Namen
Storungen begreift.

Es soil nun die Bewegung eines Himmelskorpers^
welcher der gestorte heisst^ bestimmt werden, wenn
ausser der Sonne noch ein anderer storender Himmels-
korper einwirkt (Problem der drei Korper).

Um die relative Bewegung des gestorten Himmels-
korpers um die Sonne zu erhalten^ bringe man die auf die
Sonne wirkende Kraft im entgegengesetzten Sinne an Sonne
und Himmelskorper an. Es sei nun, wenn }c^ die Masse
der Sonne') ist, deren Mittelpunct als Coordinaten-Anfang

gesetzt wird:

6*

84

X, y, Zj mk^ die Coordinaten and Masse des g^torten
Xf y'y Zj fn'k^ - - ... Btorenden

HimmelskorperSy p deren Distanz; dabei ist

<.» = {X' - xY + (y' - y? + {/ - zf.

Zerlegt man die Elinwirknngen in drei Componenten
nach den Coordinateniichtnngen, nnd nimmt die Krafte
positiVy wenn sie die Coordinaten des bewegten Ponctes
za vergrossem, n^atiy, wenn sie dieselben za verkleinem
sachen, so sind fur die a;-Richtung

— ^%y H" ^' ^^ — — r^ die auf den gestorten Himmebkorper

-\- m k'^ ^, -{- m k^ %i - - die Sonne
wirkenden beschleonigenden Kr&fte, also

die in der x-Richtnng wirkende Kraft, welche = -z-^ ist.

Man erbalt daber

5^ + AMU- «) ^ = «•'*» (^ - ^) , ebenso

Sind mebrere storende Himmelskorper vorhanden, so
bleiben die linken Theile dieser Gleicbungen unge^ndert;
recbts erbElt man ftir jeden storenden Himmelskorper ein
abnlicbes Glied, deren Somme die in dieser Axenricbtang
wirkende storende Kraft ist.

Aus den Oleicbnngen (1) bat man X; ^^ z als Fane-
tionen der Zeit / zu bestimmen. Die directe Losung iiber-
sebreitet die Krafte der gegenw^rtigen Analysis, man ist
daber gezwangen die Anfgabe successive durcb Reiben-

85

ent\^icklungen zu losen. Man' kann entweder unmittelbar
die heliocentrischcn Coordinaten durch die Zeit ausdriicken,
d. i. die Storungen der Coordinaten entwickeln^ oder die
Aufgabe auch dadurch losen^ dass man die Voraussetzung
macht: die Bewegung des gestdrten Himmelskorpers ge-
schieht in einem Kegelschnitt, dessen Elemente verHnder-
lich sind, in welchem jedoch der Ort und die Geschwin-
digkeit des Himmelskorpers zur Zeit t nach den Regeln
der Bewegung im Kegelschnitte mit den zur Zeit t gelten-
den Eiementen bestimmt wird (Methode der Variation der
Cons tan ten). Statt der Reihenentwicklungen bedient man
sich gegenw9,rtig bei den kleinen Planeten und Kometen
meist des Verfahrens der Berechnung der speciellen
Storungen durch die mechanischen Quadraturen. Zu diesem
Ende theiit man das Zeitintervall ; fUr welches die Storun-
gen zu bestimmen sind^ in eine Anzahl gleicher Theile;
fiir den Anfang T des Zeitintervalles seien die osculirenden
Elemente y d. h. die Elemente ^ aus welchen fur die Zeit T
der berechnete Ort und die Geschwindigkeit des Himmels-
korpers mit dem wirklichen Orte und der wirklichen Ge-
schwindigkeit tibereinstimmt; g^geben, Man bestimmt nun
aus den storenden Krftften fiir die einzelnen Theile des
Zeitintervalles die Geschwindigkeiten der Elemente und
leitet aus diesen durch die mechanische Quadratur die zu-
gehorigen Elemente ab.

Kurzer ist die Rechnung^ wenn man statt der Storun-
gen der Elemente die Storungen der Coordinaten bestimmt.
Letztere Methode wurde zuerst von Bond in Cambridge
und unabhangig von En eke in Berlin angegeben; von
letzterem jedoch in einer fiir die Anwendung h5chst be-
quemen Form, wcsshalb die Methode gegenwHrtig die Encke'-
sche Methode heisst.

86

87.

Es seien zur Zeit t: x, yf z die wahren (gestorten) Coor-
dinaten^ Xq^ y^y Zq die fur dieeelbe Zeit mit den zur Zeit
7 osculirenden Elementen gerechnetenCoordinaten; setzt man

X = Xo + i, y-=y^-fiy, Z = ZQ + i,

SO kann man die Storungen |, i^, J auf folgende Art be-
stimmen.

Es ist^ wenn man die gegenseitige Einwirkung der
Sonne und des gestorten Himmelskorpers allein beriick-
sichtiget:

(2) ^o + A:Ml + »»)^. =

Subtrahirt man von den Gleichungen (1) die Gleichungen
(2), so erhalt man

und analog fur die librigen Gleichungen.

Um ^ — ^ bequemer zu berechnen, setze nA'es

Nun iet r* = (a;, + S)' + (^o + V? + i^o + t)' oder
r^ = ro* + 2 a^o I + 2 yo 1? + 2 zo e + I* + fl' + SS
!i = 1 4- 2 fa + ^{)S + (ya4-^';)i? + fa + ^g)e

= 1 + 2^,
wo g = ^»±li| + ?^<L+i5,+ ^»:tlle. ist.

i

87

Aus J. = 1 + 2 ^ folgt ^f* = (1 + 2q)~ ^, Oder
^' = l_3, + y,^-fg,3 + ..

Setzt man

^=3(1-1, + 11^^-..),

SO wird 1 — J- = Z*^^ ^iid daraus folgt

Mithin ist
ebenso

88.

Aus den Gleichungen (3) erhalt man durch die mecha-
nische Quadratur die Grossen g; i;^ g. Zu diesem Ende
mogen zunachst die hierzu nothigen Formein entwickelt
werden,

I. Es sei f{x) eine stetige Function von x. In der
Reihe der Werthe

lasst sich jede der drei Zahlen /* (a -f- » — 1 . w), /* (« + nw),^
f (a -^ n -{- I . w) genau darsteilen durch die Formel

indem man ii; = a + »t^ + t; setzt.

88 _

Denn setzt man v = — w, 0, -{- w, so wird

f {a -\- n — 1 . w) = a — /J + y

daraus folgt

a = f {a -^ nw)
2 /3 = /-(a + n w) — /(a + « ^^\ w) + /(« + n + 1. t^)

2 y == / (« + n + 1 • «^) — f {a -{- nw) — (f {^ -}- nw)

— f {a -{- n — 1 . w)).

Bequemer werden die Ausdrucke, wenn man die Diffe-
renzen der Functionswerthe einfuhrt. Setzt man

/'(« + w + ^.w) —/'(« + n — i -ui) ^==z f*\a-\-nw) u.s.w.,
so wird

2y=r(a+nw).
Es ist daher fur x = a -]- n w -\- v
f {X) =f{a + « M-) + i {f\a +n-i . w) + /"(« +^-H • «^)) I

welcheFormel fur v= — w,0 und+w; voUkommen richtig ist.

w
2

Aliein anch fur jeden, zwischen a -\- n — ^ > w und

a + w + i • ^ liegenden Werth von x lasst sich f (x) durch
diese Formel mit grosser Genauigkeit darstellen^ wenn
die Werthe f{a), /" (a + m;) , . . f (a -{- nw) naherungsweise
als Glieder einer arithmetischen Reihe zweiter Ordnung
betrachtet werden konnen.

II. Es sei nun das Integral J f {x) dx zwischen den

Grenzen a •■\- ^w und a -{' n '\-\ .w zu finden.

89

£s ist das unbestimmte Integral
also innerhalb der Grenzen - == — 4 bis - = + i* d- h.

W " W

von X = a -^^ n — i^ , w bis x =^ a -{- n-\- ^ . w

f:

a>^n 4-4 • to

. 10

= w(ria + nw) + ^^r^ria + nw)).

Setzt man in dieser Gleichung n == 1, 2, 3 . . w, und
addirt die erhaltenen Gleichungen, so wird

Cf (x)dx = w{f{a-\-w)+f{a+2w)-]-..'\-f{a'\-nw)

+ ^ (/" (« + M-) +/" (a + 2m>) + . . + f" (« + » w))}.

Fuhrt man die Summenreihen ein und bezeichnet die
Glieder der ersten Summenreihe, von welcher

/•(«), f{a + w)y..
die DifFerenzen sind; mit '/, die Glieder der zweiten Summen-
reihe mit "/*; . .; so ist consequent mit der fruheren Be-
zeichnung

y{a'\-n-\-\.w) — '/(« + n — ^ . w) = f{a -{- nw),

Setzt man in dieser Gleichung w = 1, 2, . . w und
addirt die erhaltenen Gleichungen, so wird

'/(« + M=T- ^) - '/(« + i. «^) =/(« + «^)

ebenso ist

/"(« + w + i . ^) -/'(« + i . «'^) = r (« + w)

+ /*"(« + 2 «^) + ..+/•"(« + w w;).

90

Es ist daher

a+ w + 4 '^

(1) Jf{x)dx=w ('/(a+TT+T-w) + iif{a-\- H=T- «-)

- 7 (« + i «>) - A /'.(« + i ««))•

I

Das Anfangsglied einer summirten Reihe ist willkurlich^
betrachtet man 'f{a-\'i^ii)) als Anfangsglied der ersten
Summenreihe^ so ist es am bequemsten^ dasselbe so zu be-
stimmeu; dass

7ifl + ^w) + i^r{a + i^w) = wird,
also 'f{a + i^w) = -^r{a-{-i^w)

wird; in diesem Falle erhUlt man

ax) dx= w (f{a+ir^.w) + ^/'(«+H4^.«^)).

a + ^w

III. Beizeichnet man den Worth des gefundenen Inte-

grals mit F (a -^ n -^ ^ .w)y so werden aus der Beihe der
E\inctionswerthe

..f{a — w), f{a)y f{a'\-w)y f{a + 2w),..f{a + nw)y..

und den zugehorigen Differenzen nach der Formel (2) die
Integrale

. . F{a—{w), F{a+)^ w), F{a + ^w), . . F{a -j-n + ^.w)...

bekannt. Aus diesen Werthen erhalt man wieder

jjf (x) dx*= JF {x) d X.

a a

Nach Gleichxing (1) gibt to 'f {a -\- n '\- \ . w) integrirt:
m;2 (7(fl + ^~+T. w) + ^f{a + w+nr . w)

/V+zi+i '^) gibt integrirt: ~ {f{a+n+\.w)—f(a)),

24' ^ ' ' X '-/. o— -D- 24

91

also

(3) fjf (x) dx^ = w^ {"f(a + ^+T. w) + tV/C* + «TT- «>)

- "/• (a) - tV /• («))•

Die Formeln (1) und (3) gelten auch, wenn n gebrochen
ist^ d. h. in dem Sinne; dass es gleichgiltig ist; ob man
sich aiis den fur ganze n erhaltenen Integralen den Werth
des Integrals fur ein gebrochenes n interpolirt, oder die fur
letzteres n interpolirten Glieder der Summenreihen benutzt.

Subtrahirt man von dem Integral in (3) das Integral

a + lw

r{x)dx^,

a

SO erh^lt man

a

IS'

SI'

« + »• + !• w

Die Glieder Y (« + ^ w;) , /* (« + i ^) niiissen durch
Interpolation bestimmt werden. Es ist fur die Interpolation
in die Mitte

"fia + i«>) = "/•(«) + i '/•(« + ii^) - i/-(« + «;) + -rVA" + 1"')
/•(a + i«>) =/•(«) +!/•' C« + iu-) -. .

Flir den Beginn der ersten Summenreihe wurde

geset^t. Fuhrt man diese Werthe ein^ so erhalt man

fffix) dx = tv^ ("f(a + n-\-l.w) +^ fia-\- n-^l .w)

-"/•(«) + ^ /(« + M')).

Bestimmt man das willkurliche Anfangsglied der zweiten
Summenreihe dergestalt^ dass

92

- "/(«) + ^V /■(« + w') = 0, also Y(a) = ^ /-(a + w) iet;
so wird

(4) fjn^) dx^ = ^^' Cr(« + H=T. e^) + tV/(« + H^. ^)).

a + ^M'

Das Hauptglied der Forrael (4), namlich

w^ "f (a '\' n -\- \ . iv)y
ist aus den Werthen der urspriinglichen Reihe / («),
f{a -\- w)y , . f{a -^ nw) bekannt; dieses Qlied ist bereits
ein Naherungswerth des zweiten Integrals. Aus dem Gange
der urspriinglichen Reihe bis zum Gliede fia-^-nio) lasst

sich auch ein Schluss auf /* (a + n + 1 . ^«?) maeheu; also

das Integral (wenn f {a -{- n -^^ \ . w) nicht mehr gegeben
ist) mit grosser Genauigkeit erhalten, da ein Fehler in der
Annahme des letzteren Gliedes durch den Factor ^ noch
sehr vermindert wird^).

Um nun die Storungen |, iy, g zu erhalten, setze man
den Anfang derselben auf den Osculationspunct; und be-
zeichne diesen mit a -\- i^ w, Man rechne nun nach den
Gleichungen (3) des Art. 37. fur die Zeiten a und a -\- w

die Werthe von j^ , . . . indem man in den rechten Theilen

dieser Gleichungen g = iy = g = setzt. Bezeichnet man

^-^ mit f {a -\- n to), so erhalt man dadurch /" (a) , /"(« + to)

und damit /" (« + ^ w;). Nun erhalt man Werthe fiir
y (^ + i *^) ; '/ (^) uJid mit diesen kann man durch Fort-
setzung der Summenreihen die Werthe von 6 fur t = a und
t = a -]- w erhalten.

Genau auf demselben Wege erhalt man filr die Zeiten
t = a und i = a -{- w genaherte Werthe von ij und g.

93

Nun berechne man mit den genaherten Werthen von 5, rj, J;
neuerdings ihre zweiten DijQferentialquotienten nach den
Formeln (3) des Art 37., wodurch man dann genauere
Werthe fur J, iy, f erhalt. Die Rechnung wird so oft
wiederholt, bis man keine verschiedenen Werthe erhS.lt.
Die Fortsetzung fiir die weiteren Argumente hat nach dem
Obigen keine Schwierigkeit.

Beispiel. Fiir den Planeten Asia sind die Storungen,
welche derselbe von 1868 Januar 22 an durch den Planeten
Jupiter erleidet, zu bestimmen.

Es werde w = 20 Tage, m' = - . ^^ und w = gesetzt.

Fiir die Rechnung ist es bequemer, gleich w'^f(a-\-nw)
zu berechnen. Es ist in Einheiten der siebenten Decimale
log {w^ m'k^) = 3.05291 = log m^.

Mit den zur Zeit 1868 Jan. 22 osculirenden Elementen
des Planeten Asia erhalt man

1868 Arg. xq y^ z^ log r©

Jan. 12 a —2.5620 +1.0545 —0.2063 0.4438

Febr. 1 a + w 2.6077 0.8693 0.1902 0.4402

-21 a + 2tv 2.6387 0.6791 0.1731 0.4362

Marzl2 a + 3w; -2.6543 +0.4850 —0.1549 0.4.318.

Fiir den Planeten Jupiter hat man fiir dieselben Zeiten

X y

+ 4.8100 — 1.2759 — 0.1041 — 44.06 + 11.69 + 0.95

4.8448 1.1222 0.1054 44.44 10.30 0.97

4.8748 0.9673 0.1067 44.83 8.89 0.98

+ 4.9001 —0.8116 —0.1078 —45.14 + 7.48 +0.99.

Damit erhalt man, indem man fiir Jan. 12 und Febr. 1
zunachst \y ri, 5 == setzt, folgende genaherte Werthe

f

, a?'

»y

z

— »'o ;7s

— Wo ^'3

— "'O /3

94

Arg. logff u^j^ "^dfl "" rf^

a 0.8883 — 26.04 + 5.99 + 1.20

a + w 0.8873 — 26.10 + 5.40 + 1.18,

• • ^ ■ . . . '

aus welchen Werthen durch BilduDg der Summen und
Dififerenzen nach (4) des Art. 38. erhalten werden

Arg. S n ' i

a —3.3 +0.7 +0.2

a + w —3.3 +0.8 +0.2.

Mit diesen Werthen reehne man neuerdings die Ausdriicke

^^ Ti^ ' ' -9 wodurch man die verbesserten Werthe

at*

^^^' "" dt^ dt^ dl^

a — 26.07 + 6.00 + 1.21

a-\-w —26.13 +5.41 +1.19

erhalt, welche von den vorigen beinahe nicht verschieden
sind. Aas diesen constrnirt man sicb folgende Tafel ,

Arg. 7 7 r f .

fUr I

a — 1.09 . . — 26.07

0.00 — 0.06

a-\-w — 1.09 —26.13

— 26.13
a + 2w —27.22

fur 1}

a +0.25 + 6.00

-f 0.02 — 0.59

a-^w 0.27 + 5.41

+ 5.43
a-^2w + 5.70

95

Arg. "f 'T T r

flirf

a + 0.05 + 1.21

0.00 —0.02

a-\-w + 0.05 + 1.19

+ 1.19
a-\-2w + 1.24.

Ans diesen Angaben ersieht man nnmittelbar, class
/(a + 2m;) fUr |, ij, % reap, von — 26.2', + 4.8, + 1.2
(indem man die ersten DifFerenzen anbringt) nicht sehr
yerschieden sein werden, worans durch Anwendung der
Formel (4) des Art. 38. fUr « + 2 w foigt

\ 29.4, ,, = + 6.1, e = + 1.3.

Damit erhfilt man

log q = 0.-8860, w^ji= — 26.52, w" j^ (- 4.89,

«>^g/ = + l.ll,

welche Werthe von den obigen so wenig yerschieden sind,
dass eine Wiederholung der Rechnung uberflussig ist. Durch
Fortsetzung der ersten und zweiten Summenreihe erhalt
man

Arg. 7 'f f f

Vox I

— 0.39
a-\-2w —27.22 —26.52

— 52.65

a + 3w; —79.87

fiir 1}

— 0.52

a^2w + 5.70 + 4.89

+ 10.32
a + Sw +16.02

96

Arg. 7 7 r f

fiirf

— 0.08

a + 2M> + 1.24 + 1.11

+ 2.30
a-\-Zw + 3.54.

Man sleht nun, dass f {a -\-Zw) fiir I, ij, 5 resp. von

— 27.2, H-4.4, +1.0
nicht sehr verschieden sein kann: denn aus dem Gange der
Diflferenzen f ersieht man, dass f (a -\-%w') — f (a -\-2w)
f&r i, ij, t nngeftlhr resp.

_0.7, —0.5, —0.1
sein dUrfte. Damit erh&lt man ftir a -{- 3w

I = — 82.2, i? = + 16.4, g = + 3.6,
mit welchen Werthen

log Q = 0.8845, wij^ = — 27.18, «-« ^ = + 4.40,

»

^^^ = + 1.00

erhalten wird. Auf diese Art wird die Rechnung fortgesetzt.

Nach denselben Regeln werden die Storungen von
a -\- ^ w an , zuriick fttr die Argumente

a, a — w^ a — 2w, . . bestimmt.

40.

Beriicksichtigt man nur die Storungen erster Ordnung,
so kann man

"o ^0 '^o

und a, — xq ___ ^0 -~ ^0 ^ ^ setzen.

AUein die Berucksichtigung der Glieder hoherer Ord-
nung ist mit nicht viel mehr Arbeit verbunden^ da man in
^0 + i 5; • • ^' — a?; . . und q nur die genaherten Werthe

von I, riy i einzufuhren hat. Den genauen Werth von
log f erhalt man aus der beistehenden Tafel, welche fiir
die meisten Falle ausreichen durfte.

9

log/

Di«f.

0.00^

0.482580

1097

0.004

0.481483

1094

0.003

•

0.480389

1092

0.002

0.479297

*

1089

— 0.001

0.478208

1087

0.000

0.477121

^

1084

-f 0.001

0.476037

•

1082

0.002

0.474955

1080

0.003

0.473875

1078

0.004

0.472797

1075

+ 0.005

0.471722

41.

•Bei der Berechnung der speciellen Storungen nach der
angegebenen Methode wurde die Voraussetzung gemacht;
dass fur den Anfang der Storungen die osculirenden Ele-
mente bekannt sind. Aliein diese Elemente setzen die
Kenntniss der Storungen voraus; man kann daher die
osculirenden Elemente und die zugehorigen Storungen nur
durch abwechselnd wiederholte Verbesserungen bestimmen.

Man betrachtet die nach den vorigen Abschnitten aus
den Beobachtungen erhaltenen Elemente als osculirend fiir

Fbischauf, AgtroDotuie. 7

^8

eine gewisse Zeit Tj am besten fur die Mitte des Zeit-
raumes^ den die Beobachtungeii; aus welcben die Eiemente^
erhalten warden ; umfassen.

Mit diesen Eiementen reebne man fur die Beobachtungen
die Storungen der Coordinaten und aus diesen die Storungen
des geocentrischen Ortes (Lange ufid Breite). Man findet
die Stoning des geocentrischen Ortes , indem man denselben
zuerst mit den Coordinaten x^^ y^, Zq und dann mit den

Coordinaten a: = oTq + 6? ^ = y© + ^; ^ = ^o + 6 rechnet;
der Unterschied der beiden Orte ist die Storung des geo-
centrischen Ortes.

Nun befreie man die Beobachtungen von den Storungen
und rechne aus diesen von den Storungen befreiten Orten
neue Elemente. Mit diesen wiederholt man die Storungs-
rechnungen und die Berechnung neuer Elemente so oft^ bis
kein Unterschied stattfindet. In der Kegel genUgt eine
Wiederholung der Berechnung der Storungen und der os-
culirenden Elemente.

^^/>. •^^■•' -■•"''

Dritter TheU.

Qeschichte der Planetentheorien.

Einleitung.

42.

Der Unterschied zwischen Fixsternen und Planeten
war schon in friihester Zeit bekannt: Fixsteme nannte man
diejenigen Himmelskorper, welche ihre gegenseitige Stellung
am Himmel nicht verandern; wUhrend man Planeten; d. i.
irrende Sterne diejenigen nannte^ welche ihre Stellung
am Himmel ver^ndern. Im Alterthum zahlte man sieben
Planeten: Sonne, Mond; Merkur, Venus, Mars, Jupiter
und Saturn. Durch die fortgesetzte Bestimmung der Orte
eines Planeten auf der Himmelskugel kann man ein Bild
seines Laufes erhalten. Die Beobachtungen lehren, dass
sowol dieser Lauf als auch die einzelnen Vorgange desselben
hochst verwickelter Natur sind.

Man hatte bereits im Alterthum erkannt, dass die Un*
regelm^ssigkeiten im Planetenlauf von zweierlei Natur sindy
welche man daher mit den Namen der ersten und z weiten
Ungleichheit bezeichnete. Der erste Versuch einer Er-
klarung dieser Erscheinungen geschah auf Grundlage der
Ideen der griechischen Naturphilosophie. Nach diesen gait
die Kugel als der voUkommenste Korper, die Kreislinie
als die voUkommenste Linie. Man dachte sich daher die
Welt als eine Kugel , in deren Mittelpuncte sich der Mittel-

7*

loo

« * ■

panct der ruhenden Erde befindet; and suchte die Be-
wegungen der Planeten durch gleichformige Bewegungen
in Kreisen darzustellen^). Um in Kiirze das Wesen der
beiden Ungleichheiten zu bezeichnen y mag hier nur an die
elliptische Bewegung der Planeten um die Sonne erinnert
werden. Die Unterschiede^ welche dadurch entstehen^ dass
die Bewegung der Planeten nicht in Kreisen, sondem
in EUipsen geschieht; bildeten die erste Ungleichheit. Die
zweite Ungleicheit hat darin ihren Grundy dass wir die
Beobachtungen der Gestime auf der Erde, welche sich
selbst um die Sonne bewegt;^ anstellen. AUe die jetzt als
scheinbar erkannten Orts - Veranderungen der Planeten,
welche durch die jS.hrliche Bewegung der Erde entstehen
und welche sich haupts&chlich in den Stillst&nden.und riick-
laufigen Bewegungen aussern, bildeten die zweite Ungleich-
heit. Die erste Ungleichheit aussert sich wieder in. den
UnregelmEssigkeiten der zweiten Ungleichheit; z. B. in der
Verschiedenheil der Zeiten zwischen den Conjunctionen
und Oppositionen, Grosse des Bogens der rucklaufigen
Bewegung, u. s. w.

Erster Absehnltt.

Aeltere Theorie.
48.

Die erste auch fiir die Berechnung der Planetenorter
anwendbare Theorie wurde von den alexandriner Astro-
nomen, deren beruhmteste Vertreter Hipparch (um 130
V. Chr.) und Claudius PtolemS^us (um 150 n. Chr.)
waren, aufgestellt.. In des Letzteren Almagest, einer
, Sammlung mathematischer und astronomischer Schriften,
ist diese Theorie streng geometrisch durchgefuhrt.

101

Die erwahnten Astronomen bediehten sich zur Dar-
stellung des Planetenlaufes zweier Hulfsmittel: des excen-
trischen Kreises fiir die erste Ungleichheit, des Epi-
cykels fiir die zweite Ungleichheit. Es soil daher hier
die Theorie dieser beiden Hulfsmittel gegeben werden.

I. Excentrischer Kreis.

Es sei (Fig. 8) der Mittelpunct des excentrischen
Kreises ; a dessen Badius. Der Punct S im Innem des excen-
trischen Ereises sei der Mitielpunct der Welt,' in dem durch
die beiden Puncte S und be- _ ^

stimmten Durchmesser AP (der
Apsidenlinie des excentrischen
Kreises) habe der Punct F die
Eigenschaft, dass von demselben
aus die Bewegung eines Punctes
L im Umfang des excentrischen Kreises gleichformig er-
scheint; so dass die vom Puncte F nach Z gezogenen Ge-
raden in gleichen Zeiten gleiche Winkel bilden. Diese
Geraden schneiden daher einen aus dem Puncte F als
Mittelpunct mit dem Badius = a beschriebenen Kreis in
gleichen Bogen. Dieser Kreis heisst der Aequant, der
Punct F das punciim aequans.

Der Winkel PSL = v , welchen die Gerade SL mit
der Apsidenlinie bildet, heisst die wahre Anomalie, der
Winkel PFL = a, welchen die Gerade FL mit der Apsiden-
linie bildet, heisst die mittlere Anomalie des excen-
trischen Kreises; beide Winkel werden im Sinne der Be-
wegung von bis 360^ gezahlt*).

*) Urspriinglich, etwa bis Euler^ zablte man die Anomalien vom
Puncte A (Apogeum, Aphel), hier sollen die Anomalien immer vom
Puncte P (Perigeum, Perihel) gezalilt werden.

102

Ist OS = acy FO <= ae', also FS = a (e -\- c), so heisst
e die Excentricitat das' excentrischen Kreises, e die Excen-
trieitatdes Aequanten, ^ + ^' die ganze Excentricitat.
Der Winkel OLS = fp heisst die optische Gleichung
„ FLO=ilf „ physische „

Die Summe 9 + ^ = FLS = v — cc heisst die Mi tt el-
pun ctsgleich ung.

Sind die Elemente a, Cy e' gegeben, so kann man fur
die mittlere Anomalie a den wahren Ort des Punctes L
berechnen.

Denn aus dem Dreiecke FLO erhalt man, aus

sin ^ == e' sin a,
den Winkel ^.

Aus dem Dreiecke OLS erhalt man, da Winkel
SOL =^ 1/; -|- a ist, den Winkel q) und die Distanz SL = r.

Aus 9, il> und a folgt: i; = a + 9 + ^.

Umgekehrt kann man aus v und r die mittlere Ano-
malie a bestimmen.

II. Epicykel.

Um den Punct L (Fig. 9) als
Mittelpunct beschreibt im ptolemai-
schen System der Planet M einen
Kreis, dieser Kreis heisst der Epi-
cykel. Die vom PuncteSnach dem
Mittelpuncte L des Epicykels gezogene
Gerade bestimmt den Durchmesser
A P' d. i. die wahre Apsidenlinie des Epicykels. Ein
darauf senkrechter Durchmesser wird der mittlere Durch-
messer genannt.

Der Punct A' heisst das wahre Apogeum des Epicykels.
„ P •„ Perigeum ,5

103

In Verbindung mit dem Epicykel wird der excentrische
Kreis deferirender Kreis genannt.

Einem im Puncte S befindlichen Auge erscheint (bei
ruhendem Puncte Z) die Bewegung des Punctes M im
oberen Theile des Epicykels rechtlaufig; im unteren rtick-
laufig.

44.

Um die Genauigkeit zu priifen, mit welcher die-erste
Ungleichheit dargestellt werden kann^ moge die Entwick-
lung der Grossen r und v sowol fiir die Ellipse als fiir
den excentrischen Kreis in Reifaen nach Potenzen der Excen-
tricitat gegeben werden.

Hulfssatze.

1) 1st b klein, so folgt aus

, . b sin u

° ^ 1 — b cos u

{f = b Bin u -^^ ^ b^ sin2u-^ . .

2) 1st

tang x^== a tang y,

wo a nahe =1 ist, so folgt

tane (x — u) = (^ — ^) ^*°g y = 2(a— l)siny cosy
^ ^ ^^ 1 4" ^ t*ng y* 2 COS y*-\'2a sin y*

Oder tang (a; — y) = ^^^ ,

also aJ = y + ^^Bin2y + i(|^ysin4y+ . .

3) 1st h sehr klein, so ist

sin (a: + A) = sin x + cos o;.^
cos (a; + ^) = cos a? — sin a;. A,

iiidem man cos A = 1 , sin A = A setzt.

104

I. Bezeichnet man fur die Ellipse die mittlere Ano-
malie ebenfalls mit a^ so ist nach Art. 2.

E = a -\- e An Ej
also bis auf einen Fehler zweiter Potenz von e

E = a -\- e sin a,

und bis auf einen Fehler dritter Potenz von e

E =^ a -\- e sin (•« + ^ sin a) ,
oder nach 3)

E = a -{- e sin a -\- ^ e'^ sin 2a.

Aus tang ^ == 1/ -y~- tang - f olgt nach 2)
I = f + & sin ^ + i &2 sin 2 ^ + . . ,

«

Substituirt man statt E den obigen Worth, so erhalt
man bis auf einen Fehler dritter Potenz von e

(1) t; = a -f- 2^ sin a + |- e^ sin 2tc.

Aus — == 1 — e cos E folgt, wegen

cos E = cos (cc -\- e sin a) = cos a — e sin a^,

(2) - = 1 -j- ^ ^2 ___ ^ ^jQg a __ ^ ^2 (j^g 2a.

II. Fiir den excentrischen Kreis ist

sin 9 = e sin v, sin ^ = e' sin a.

Daraus folgt bis auf einen Fehler dritter Ordnung

9? = ^ sin V; ^ = ^' sin a,
oder 9 = ^ sin (a + 9 -|" ^) = ^ sin a + e cos a. {q) -f- ^).

Setzt man im letzten Gliede 9^ + ^ = (^ + ^') sin a,
so erhalt man

(3) 9 + ^ = e; — a = (e + ^') sin a + ^ ^ ((? 4" O sin 2a.

105

Projicirt man den Radiusvector SL auf die Gerade OL,

so erhalt man

r cos g) = a — ae cos E.

Setzt man in — ^ fiir = 1 +Aq?^ = 1 + A^' sina^

cos fp COS tp t ^ T- \ z /

in fiir cos g? = 1, ^ = a + d' sin «• so erhah man

cos (p ' ' '

(4) ^ = 1 -f- 1(^2 + 2ee') — ^ cos a — -^ (^^ + 2^0 cos 2a.

Fijr ^' = ist der excentrische Kreis mit dem Aequan-
ten identisch^ und man hat^ wenn e = 2s gesetzt wird;
V =.a + 2« sin a + 26* sin 2a

~ = 1 + «^ — 2b cos a — s^ cos 2a.

Fiir eine Ellipse mit der Excentricitat e ^= s betragt
der Unterschied in v

Ellipse — Excenter = — f ^^ sin 2a,
also fiir v = 45^, 135^, ... ein Maximum.

Man nennt diesen Fall ,,Einfache Excentricitat.*'

Nach dieser Voraussetzung warden die Orte der Sonne
berechnet. Man hatte bereits damals die Unregelmassig-
keit der jahrlichen Sonrienbewegung erkannt^ z. B. Um vom
Friihlingspuncte zum Herbstpuncte zu gelangen, braucht
nach Ptolemaus die Sonne 186 Tage 11 Stunden, wahrend
sie vom Herbstpunct zum Friifalingspunct 178 Tage 18 Stunden
benothigt. Selbst in den Theilen dieser Bogen der Ecliptik
wxirden Unterschiede bemerkt. Wegen der Kleinheit der
Excentricitat e = 0.0168 betragt der grosste Fehler dieser
Hypothese nur 43".

Eine von S parallel mit der Geraden OL (oder FL)
gezogene Gerade bestimmt die mittlere Sonne*). Die

*) Diese mittlere Sonne ist nicht identisch mit der mittleren Sonne,
welche uns zum Mass der Zeit dient; letztere bewegt sich im Aequa-
tor gleichformig und geht mit der, durch die mittlere Ahomalie be-
stimmten, ersteu mittleren Sonne gleichzeitig durch den Friihlingspunct.

106

Bichtungen von nach L und von S nach der mittleren
Sonne sind daher einander parallel.

Fiir e' = e ,,gleiche Theilung der Excentrieitat'^ wird:
t; == a + 2^ sin a -f- ^^ sin 2a

Diese Construction wurde bei den Planeten, mit Aus-
nahme des Merkur, angewendet.

Der Untersehied Ellipse — Excenter betragt

in t;: -|" i ^^ sin 2a

„ ^: — :te'^(l — cos2a).

Fiir a == 45®, 135®, . . ist der Untersehied von v, und
fur a = 90®, 270® der von — ein Maximum.

Fiir den Planeten Mars ist e =? 0.093 ; also die grossten
Unterschiede von v und - resp. + 7'.5 und — 0.00432.

r
a

45.

Bestimmung der Lange der Planeten.

Die Bewegung des Planeten in Lange ist zusammen-
gesetzt aus der Bewegung des Mittelpunctes des Epicykels
im excentrischen Kreise und des Planeten im Umfange
des Epicykels; die Regeln der Berechnung sind jedoch
verschieden fiir die oberen Planeten (Mars, Jupiter, Saturn)
und unteren Planeten (Venus und Merkur).

Bei der Langen bestimmung werden die Ebene des
excentrischen Kreises und des Epicykels in der Ecliptik
liegend vorausgesetzt^®).

1) Bei den oberen Planeten hatte man beobachtet,
dass im Mittel jeder Planet in seiner siderischen Um-
laufszeit zu demselben Funct des Thierkreises zuriickkehrt;

107

d. h., dass die erste Ungleichheit von dem Orte der SoiiHe
unabhangig ist. Der Mittelpunct L des Epicykels bewegt
sich daher in der siderischen Umlaufszeit des Planeten im
Umfange des excentrischen Kreises von der gleichen Theilung
der Excentricitat derart, dass, fiir die Erde als Mittelpunct
der Welt im Puncte 5, diese Bewegung vora Punct F aus

gleichformig erscheint

»

Die zweite Ungleichheit hangt von der Stellung des
Planeten gegen die Sonne ab. Geht die Linie nach der
mittleren Sonne durch den Planeten, so findet eine niiittlere
Conjunction oder Opposition des Planeten mit der Sonne
statt*). Zur Zeit der mittleren Conjunction befindet sich
der Planet im wahren Apogeum, zur Zeit der mittleren
Opposition im wahren Perigeum des Epicykels; es ver-
schwindet daher die zweite Ungleichheit.

Die Bewegung des Planeten M im Epicykel geschieht
nun derart, dass der Winkel A LM gleich ist dem Ueber-
schusse der mittleren Sonnen- Bewegung in der Ecliptik
liber die wahre Bewegung des Punctes L fur die seit der
mittleren Conjunction verflossene Zeit.

Daraus folgt, indem man zu beiden Bewegungen die
gemeinschaftliche Lange zur Zeit der mittleren Conjunction
addirt:

Lange der mittleren Sonne — wahre Lange des Punctes
Z = Winkel ALM\ d. i. die Gerade LM ist parallel zu
der vom Puncte S nach der mittleren Sonne gezogenen
Geraden.

Fiir die Berechnung des Ortes M sei die Lage der
Apsidenlinie des excentrischen Kreises, die Excentricitat,

*) Ein Gestirn ist in Conjunction oder Opposition mit der Sonne,
wenn der Langenunterschied resp. .0 oder 180° betragt; die helioceu-
trische Lange des Gestirns ist dann gleich der geocentrischen/

108 .

das Verhaltniss der Radien der beiden Kreise und die mitt-
lere LS.nge des Punctes L gegeben.

Man bestimme die mittlere Anomalie = mittlere Lange
. — Lange des Perihels und aus dieser nach Art. 43. die
wahre Anomalie und die Grosse SL = r, wobei OL = 1
gesetzt wird. -

In dem Dreiecke SLM rechne man nun aus SL, LM
und dem eingeschlossenen Winkel die Distanz SM und den
Winkel LSM\ dieser zur Lange des Punctes L hinzuaddirt
• gibt die Lange des Planeten M^^).

2) Bei den unteren Planeten hatte man beobachtet,
dass sie im Mittel mit der Sonne zugleich zu demselben
Punct des Thierkreises zuriickkehren, und dass die zweite
Ungleichheit von dem Orte der Sonne unabhangig ist.

Fur die Venus gilt dieselbe Berechnungsmethode der
Lange wie bei den oberen Planeten; jedoch mit dem Unter-
schiede, dass die Bewegung des Mittelpunctes des Epicykels
identisch ist mit der Bewegung der mittleren Sonne, wo-
gegen sich der Planet in der synodischen Umlaufszeit
(== 583 Tage) im Epicykel gleichformig herumbewegt.

3) Fiir den Planeten Merkur (derselbe bereitete, wegen
der bedeutenden Excentricitat =^y den alten Astronomen
grossere Schwierigkeiten) wurde eine besondere Theorie
gegeben.

. . Um den Punct F (Fig. lOy be-
schreibe man mit dem Radius ae
einen Kreis, welcher also durch den
Punct Oy welcher das puncttm aequans
ist, geht. Von aus bewegt sich
der Mittelpunct C des deferirenden
Kreises entgegengesetzt der Bewegung der Himmelkorper
derart, dass der Winkel OFC gleich der mittleren Anomalie

109

des Planeten ist. Die mittlere Lange des Mittelpunctes
des Epicykels ist gleich der Lange der mittleren Sonne.
Beschreibt man aus C mit dem Radius des deferirenden
Kreises einen KreiS; welcher die unter der Richtung der
mittleren Anomalie gezogene Qerade OL im Puncte L
schneidet; so ist L der Mittelpunct des Epicykels. Dazu
kommt noch die Bewegung des Planeten im Epicykel;
welche in der synodischen Umlaufszeit .(= 116 Tage) einen
Umlauf betragt.

Die Theorie des Planeten Merkur unterscheidet sich
von der fiir die iibrigen Planeten:

1) Diirch die einfache Excentricitat.

2) Der Mittelpunct des deferirenden Kreises ist nicht
fest; sondem bewegt sich auf einem KreisC; dessen
Radius =^ ae und dessen Mittelpunct das friihere punctum

m

aequans ist*^).

46.

Bestimmung der Breite der Planeten.

1) Fiir die oberen Planeten. Hinsichtlich der
Breite dies^r Planeten hatte man folgende Erscheinungen
beobachtet: Die Breiten sind sowohl nordlich als; sudlicb;
die nordlichen Breiten sind haufiger als die sudlichen; die
grossten nordlichen Breiten sind untereinander verschieden ;
dasselbe gilt auch von den siidlichen; letztere sind grosser
als erstere. Wahrend eines siderischen Umlaufes ver*
schwinden die Breiten zweimal.

Durch das Weltcentrum S sei eine auf die Apsidenlinie
senkrechte Qerade gezogen — dieKnotenlinie des ex-
centrischen Kreises; der Ebene desselben gebe man eine
solche (feste) Neigung gegen die Ecliptik; dass der grossere
Theil des excentrischen Kreises nordlich; der kieinere also

110

Budlich liegt. Liegt der Mittelpunct des Epicykels in einem
Knoten des excentrischen Ereises^ so f&llt die Ebene des.
Epicykels mit der Ecliptik zaBammen; die Breite des Pla-
neten verschwindet. Wahrend der Bewegung des Mittei-
punctes des Epicykels vom aufsteigenden Knoten bis zum
Apogeum A neigt sich dessen Ebene langsam, so dass das
Apogeum des Epicykels sich nach Siiden, das Perigeum
nach Norden wendet; dabei bleibt der mittlere Durchmedser
parallel zur Ecliptiki Am grossten ist diese Schwankung im
hochsten Puncte des excentrischen Kreises, d. i. im Pancte A.
Von diesem Puncte bis zum absteigenden Knoten vermindert
sich diese Schwankung nach demselben Qesetze. Bei der
weiteren Bewegung des Mittelpunctes des Epicykels nS.hert
sich dessen Apogeum nach Norden ; also das Perigeum nach
Siiden.

2) Fiir die untern Planeten wird die Breite durcli
eine veranderliche Neigung der Ebene des deferirenden
Kreises gegen die Ecliptik und durch Schwankungen der
Ebene des Epicykels um dessen mittleren Durchmesser und
dessen Apsidenlinie erklart.

Zweiter Abschnitt.

Neuere Theorien.
a) Kopernikus.

47.

Die Planetentheorie des Ptolemaus hat sich beinahe
yierzehn Jahrhunderte erhalten; dieselbe war die herrschende
bei alien gebildeten Volkern.

Erst mit dem Ende des Mittelalters trat eine grosse
Revolution der Sternkunde durch NikolausKopernikus
(geb. 1475; gest. 1543) ein. Kopernikus zeigte in seinem

Ill

Werke Be revolutionibus orbium coelesitum, welches 1543 zu
Niimberg erschien, class sich die Erscheinungen der Be-
wegangen der Gestime viel einfacher erklaren lasseo; wenn
man die Bewegung der Erde voraussetzt. Er gab zu diesem
Zwecke der Erde drei Bewegungen: 1) Eine Axendrehung,
um die tagliehe Umdrehung der Himmelskugel , 2) eine
jahrliche Bewegung der Erde mit einer schiefen Lage der
Erdaxe gcgen die EcUptik^ um die jahrliche Bewegung der
Sonne und die Schiefe der Ecliptik^ 3) eine langsame Bewe-
gung der Pole der Erdaxe um die Pole der Ecliptik, um die
Erscheinung der Pracession der Nachtgleichen zu erklaren.

Fiir die jahrliche Bewegung der Erde um die Sonne
setzte KopernikuB ubereinstimmend mit Ptolemaus die ein-
fache ExcentricitUt voraus.

Fiir die Erklarung der ersten Ungleichheit der Planeten-
bewegung (die zweite Ungleichheit fiel in Folge der jahr-
lichen Bewegung der Erde weg) bediente sich Kopernikus
der Epicykeln,

Es sei (Fig. 11) 5 der Mittelpunct
der Welt, als welcher von Kopernikus
der Mittelpunct der Erdbahn, d. i. der
mittlere Sonnenort angenommen wurde.
Die Gerade AP sei die Apsidenlinie.
Um den Punct S bewege sich in der
Entfemung SJ=: a der Mittelpunct / des grosseren Epi-
cykels vom Halbmesser JIC = ^ ae, um den Punct / bewege
sich der Mittelpunct I^ des kleineren Epicykels vom Halb-
messer A^Z =z ^ ae, und im Umfang des letzteren der
Planet L derart, dass die Winkel der Geraden SJ, JKy KL
mit der Apsidenlinie ^Presp.:

a, 180«; 2«
sind, wo a die mittlere Anomalie bedeutet.

112

Zieht man die Gerade KR parallel zur Geraden./S'
und macht SO.= ae^ so ist SR^=^\ae und RO = \ae\
d. h. die Bewegung ist dieselbe, wenn sich der Eunct K
um den Punct R und der Planet L um den Punct K
bewegt.

Zieht man die Gerade RV =^ ^ ae parallel mit der
Geraden KL, so sind LL'y KR, JS einander parallel; d. h.
man kann auch den Punct Z' um den Punct R und den
Planeten L um den Punct Z' sich bewegen lassen.

Diese drei von Eopemikus unter den Namen 1) Epicepi-
cycluSy 2) Eccenirepicyclvs, 3) Eccentri eccentrus angegebenen
Formen der Planeten theorie, geben also denselben Ort des
Planeten. Dieselben wurden unmitteibar bei den Planeten
mit Ausnahme ^Merkurs angewendet; letzterer erforderte
wegen der grossen E:8:centricitM>t eine besondere Theorie.

Setzt man 5Z = r und bezeichnet den Winkel PSL
mit Vy so erhM.lt man durch Projection auf ein durch den
Punct S gelegtes rechtwinkliges Axensystem, fiir welches
die Gerade AP die a; -Axe ist, die Gleichungen

r cos V ^== a cos a — ?^ ae -{- ^ ae cos 2 a

r sin t; = « sin a -{- ^ ae sin 2 a,

woraus folgt

r cos {v — a) :== a — ae cos a

r sin {v — a) = 2 ae sin a,
und damit

, / N 2 € sin a

tang {v — a) = ,

•° ^ ^ 1 — e cos a '

also bis auf Glieder zweiter Ordnung

V = a -{- 2 e sin a -{' e'^ sin 2 a
— = 1 4- e^— e cos a — e^ cos 2 a.

Hinsichtlich der wahren Anomalien ersetzen sich bis
auf Glieder zweiter Ordnung der ExcentricitSt die koperni-

lis

kanische Theorie and der excentrische Ereis mit gleicher
Theilung der ExcentricitHt. Vergl. Art. 44.
^ Die Breite der Planeten wird bei Kopemikus durch
ahnliche Schwankungen wie bei Ptolemaus erklart.

b) Tycho Brahe und Eeppler.

48.

Das kopemikanische System hatte anfanglich viele
Gegner gefunden; wozu mancherlei Veranlassung war.
Erstens war der unmittelbare Gewinn fiir die berechnende
Astronomie gering; denn die Basis der kopemikanischen
Planetentbeorie woren grosstentheils die altenBeobachtungen;
auf welcben der Almagest des PtolemHus beruhte, nur einige
wenige Beobachtncgen von Kopemikus selbst und drei
nUmberger Beobachtungen des Planeten Merkur von Bern-
hard Walthei* und Johann Schoner wurden noch verwendet.
Die von Erasmus Reinhold nach dieser Theorie berech-
neten prutenischen Tafelh wicben zu Kepplers Zeiten
von dem beobachteten Orte um Grade ab; so dass sich
die Richtigkeit der Theorie nicht prlifen liesS; und das *
Ansehen des Almagest bei der Unduldsamkeit der religiosen
Parteien dadurch fast gar nicht erschiittert wurde.

Der Einwurf; dass die Fixsteme keine jahrlichen
Parallaxen zeigeu; konnte^ unter Hinweisung auf die Klein-
heit derselben , wegen der Ungenauigkeit der Beobachtungen
der damaligen Zeit noch leicht zuriickgewiesen werden.

Ausserdem machte das Verstandniss ^des kopemika-
nischen Werkes den Zeitgenossen bedeutende Schwierig-
keiten; denn friiher hatte man vorausgesetzt, dass jede beob-
achtete Bewegung eines Korpers demselben auch wirklich
zukomme; wahrend Kopemikus die Stillstande und ruck-
laufigen Bewegungen fiir Schein erklarte^ entstanden durch

FniBCHAvr, Astronomie. 8

114

die Bewegung der Erde. Man warf dem neuen Systeme
vor, dass es die Begriflfe von Ruhe und Bewegung ver-
wirre; von welchem Vorwurfe es erst durch Galilei durch
die Einfulirung des Begriflfes der relativen Bewegung ge-
reinigt wurde.

'Das grosste Verdienst fur das kopernikanisclie System
gebuhrt j edoch K e p p 1 e r n.

49.

Johannes Keppler, geb. 1571 zu Weil im Wiirtem-
bergischen; war berufen der eigentliche Reformator der
theoretischen Astronomie zu werden. Von Tubingen, wo
ihn sein Lehrer Mastlin in das kopei*nikanische System
einfuhrte, wurde er nach voUendeten Studien den steirischen
Standen als Lehrer der Mathematik und Moral fur das
protestantisehe Gymnasium in Graz empfohlen. Unterstutzt
von einer fast divinatorischen Erfindungsgabe vereint init
einem eisernen Fleisse und einer unbegranzten Vorliebe
fiir alles GeheimnissvoUe und Wunderbare, gelang es
Kepplem die wahren Gesetze der Planetenbewegung zu
entdecken, Dabei ist es hochst beachtenswerth; das Keppler
dieselben hauptsachlich zum Zwecke der Begriindung seiner
kosmischen Ideen, welche in einer Vereinigung der pytha-
goraischen Vprstellungen mit den christlichen Ideen seiner
Zeit bestandeu; eiitdeckte. Dieser mystische Zug seines
Geistes tritt am deutlichsten in seinem Erstlings-Werke
„Mi/sieHum cosmographicum*^ (1596 zum erstenmale in Tu-
bingen und zum zweitenmale mit Anmerkungen von Keppler
1621 in Frankfurt herausgegeben) hervor.

Anfanglich suchte-Kepjpler ein Gesetz zwischen den
Entfernungen der Planeten von der Sonne ; j edoch ohne
Erfolg; nun versuchte er auf geometrischem Wege das
Geheimniss des Weltbaues zu ergriinden. Das Krumme ist

115

ein Bild Gottes, in der Kugel selbst ist durch den Mittel-
panct; die Oberflache und die Gleichheit der Beschaffen-
heit zwisehen Mittelpunct und Oberflache die Dreieinigkeit
versinnlicht. Bei der Erschaffung der Welt wurde zuerst
die AUes umfassende Fixsternensphare. nach dem Voli-
kommensten in der Geometrie^ dem Bilde der Kugel; ge-
sehaffen. l)as VoUkommenste nach der Kugel sind die
fiinf regularen Korper. Diese batten schon bei den Pythago-
raem eine koBmologische Bedeutung. Es bedeutete nam^ich
der Wtirfel die Erde, das Ikosaeder den Himmel; die Py-
ramide das Feuer, die beiden iibrigen die Luft und das
Wasser. Das Planetensystem ist daher nach der Idee der
fiinf regularen Korper gebildet. Dieser Grundgedanke
wird nun auf folgende Art durchgefiihrt: Jedem regularen
Korper lasst sich eine Kugel umschreiben und einschreiben.
Die sechs Planetenspharen bilden fiinf Zwischenraume;
zwisehen welche man die fiinf regularen Korper so ein-
schalten kann, dass — die Sonne als gemeinsamer Mittel-
punct der Spharen und regularen Korper vorausgesetzt —
jedem dieser Korper eine Sphare um- und einbeschrieben ist.

Die Aufeinanderfolge ist derart: Saturn , KubuS;
Jupiter, Tetraeder, Mars, Dodekaeder, Erde, Iko-
saeder, Venus, Octaeder, Merkur. Dabei ist die Saturn-
sphare demWiirfel umschrieben,die Jupitersphare demWiirfel
einbeschrieben und dem Tetraeder umschrieben, u. s. w.

Da jedoch die Bewegung der Planeten nicht in Kreisen
geschieht, in deren Mittelpunct sich die Sonne befindet,
sondem in excentrischen Bahnen; so gab Keppler den
Spharen (ahnlich wie Peurbach) eine solche Dicke als
der Unterschied der grossten und kleinsten Entfernung des

•

Planeten von der Sonne betragt. Die Anordnung war nun
so, dass z. B. die innere OberflM^che der Satufnsphare dem

8*

116

Wiirfel umschrieben, die aussere Oberflache der Jupiter-

3phare dem Wiirfel einbeschrieben war, und ebenso bei

den tlbrigen Planeten.

Setzt man den Halbmesser der umschriebenen Kugel

= 1000, so ist der Halbmesser der einbeschriebenen

Kugel im

Kubus 577

Tetraeder 333

Dodekaeder 795

Ikosaeder 795

Octaeder 577

Beschreibt man in das von den vier mittleren Seiten des
Octaeders gebildete Quadrat einen Kreis, so ist dessen
Halbmesser. = 707.

Fur die aus der Theorie des Kopemikus folgenden
Werthe der Entfemungen der Planeten vom Mittelpunete
der Erdbahn ergibt sich:

Setzt man
die kleinste
Entfernung
von

Satu rn

Jupiter

Mars

Erde

Venus

= 1000, so

ist die grosste

Entfernung

von

Jupiter

635

Mars

333

Erde

f — 1

757

Venus

•

794

Merkur

723

*).

Mit Ausnahme des Planeten Jupiter sind die Abwei-
chungen von den obigen Zahlen geringe ; Keppler schob
diese Unterschiede auf die mangelhafte Theorie des Koper-
nikns, namentlieh auf die ungenauen Excentricitaten; er
konnte das mit Recht thun: denn zu seiner Zeit betrug
die Abweichung der prutenischen Tafel fur den Mars 3®,
fur die Venus 5^, fur Merkur sogar 10® oder 11®. Keppler

*) Alls den tychonischen Beobachtungen folgen die Zahlen: 608,
336, 737, 742, 654, welche von den neueren Angaben nicht viel ab-
weichen.

117

hatte die sichere Ueberzeugung, dass seine Ideen des Welt-
baues nach den regularen Korpern mit den richtig bestimmten
Entfemungen und Excentricitaten ubereinstimmen warden.
Es handelte sich also um genauere Werthe fur diese Grossen ;
allein fur diese waren genauere Beobaehtungen nothig als
diejenigen waren, auf welche Kopernikus seine Theorie ge-
griindet hatte. Zum Glucke fur Kepplers reformatorische
Bestrebungen war gleichzeitig in der Beobachtungskunst
ein riesiger Fortschritt gemacht worden durch den danischen
Astronomen Tycbo Brahe.

50.

Tycho Brahe, geb. 1546, stammte aus einem alten
danischen Geschlechte. Schon in friihester Juge]:id sich mit
Astronomie beschaftigend, erkannte er die .Ungenauigkeit
der Beobaehtungen als die eigentliche Quelle der Pehler
der astronomischen Tafeln, und fasste daber den Plan auf
Grundlage sorgfaltiger Beobaehtungen neue astronomischc
Tafeln zu rechnen. Die Missachtung der Wissenschaften
durch den danischen Adel bewog ihn zu einer Reise nach
Deutschland; wo er mit den moisten Astronomen seiner
Zeit Bekanntschaft machte. Auf einer zweiten Reise hielt
er sich langere Zeit beim Landgrafen Wilhelm IV. von
Hessen auf, welcher ebenfalls durch Vereinfachung der
astronomischen Instrumente eine grossere Genauigkeit der
Beobaehtungen anstrebte. Nach seiner Ruckkehr nach
Danemark liess ihm der Konig Friedrich II., welcher durch
den Landgrafen Wilhelm auf Tycho aufmerksam gemacht
war, auf der Insel Hween ein mit alien Hiilfsmitteln ver-
sehenes Observatorium „Uranienburg" errichten.

Mit Htilfe zahlreicher Schiller wurde in dem Zeitraume
von 21 Jahren ein grosses Fixstemverzeichniss angelegt,

118

fortgesetzte Beobachtungen der Sonne, des Mondes, der
Planeten und Kometen angestellt. Es warden die Instru-
mentalfehler mit Hulfe der Beobachtungen bestimmt, und
die Correctionen der Beobachtungen ermittelt.

Nach dem Tode Friedrichs II. wurde Tycho durch die
Intriguen des Ministers Walkendorf gezwungen, sein Vater-
land zu verlassen. Er folgte nun einem Bufe des Kaisers
Rudolf H. nach Prag, welches nun der Sitz der Astronomic
wurde. Hier sollten vor allem aus den Beobachtungen neue
astronomische Tafeln gerechnet werden, zu welcher Arbeit
fast alle mathematischen Krafte der damaligen Zeit aufge-
boten wurden; aiich Keppler, welcher durch sein Geheim-
niss des Weltbaues bereits die Aufmerksamkeit der astro-
nomischen Welt auf sich gelenkt hatte, wurde hierzu von

Tycho eingeladen. Keppler, ohnedies durch die Religions-

«

verfolgung bedr^ngt^ kam gegen Ende Januar 1600 nach
Prag. Hier hatte Tycho mit Hiilfe des Longomontanus
bereits die Theorie der Sonne und des Mondes vollendet;
und machte sich eben an die Bearbeitung der Planeten,
als er plotzlich (1601) starb.

Das System, nach welchem Tycho die Bewegungen
der Planeten darstellen woUte, war ein Uebergang vom
ptoleraaischen zum kopernikanischen. Tycho «etzt die
ruhende Erde als Weltcentrum voraus, lasst urn dieselbe
in einem excentrischen Kreise mit einfacher Excentricitat
die Sonne bewegen, und um diese in der ersten koperni-
kanischen Form (Epicepiq/clus) die Planeten, wobei sogar mit
Ausnahme des Planeten Mars dasselbe Verhaltniss der Ra-
dien der Epicykeln angenommen wlirde. Ausserdem bezog
man im tychonischen Systeme die Beobachtungen nicht auf
den wahren Sonnenort, sondern auf den mittleren d. i. den
Mittelpunct der Erdbahn.

119

51.

Keppler nach Tychos Tode zum Leiter der kaiserlichen
Stemwarte emannt; hatte nun dessen astronomische Auf-
gaben ubernommen. Da Longomontanus sich gerade mit
den Arbeiten iiber den Planeten Mars beschaftigte ^ so be-
gann Keppler seine Untersuchungen mit diesem Planeten.
Man hatte fur denselben bereits eine Theorie erdacht^ welche
die Litngen in der Bahn auf ungefllhf 12' darstellte; allein
mit den Breiten ging es ziemlich ffchlecht.

Der Planet Mars ist ganz geeignet fur eine richtige
Theorie die Grundlagen zu liefem. Die bedeutende Excen-
tricitUt der Marsbahn = ^V ^^^ ^^^ N^he des Planeten zur
Erde zur Zeit der Opposition bewirkt, dass die Unrichtig-
keit einer falschen Annahme in der Figur der Bahn augen-
blicklich hervortreten musste. Dem Keppler standen die
zahlreichen Beobachtungen Tychos zu Gebote. Diese um-
fassten einen Zeitraum von 16 Jahren, waren auf die ganze
Bahn gleichformig vertheilt und dabei von einer grossen
Genauigkeit; auf hochstens 2' unsicher. Fur die spS.teren
i^eiten bediente sich Keppler theils eigener theils der eben-
falls vortrefflichen Beobachtungen des David Fabricius.

Die Bemuhungen Kepplers in BetrefF des Planeten
Mars fuhrten ihn schliesslich zur Entdeckung seiner beiden
ersten Gesetze, welche in dem Werke: „Astronomia nova
aluoXoyrjtos 9 seu Physica coelestis tradita commentariis de
motibus stellae Martis, ex observationibus G. V. Tychonis
Brake . . . 1609*^ enthalten sind.

52.

Keppler folgte bei seinen Untersuchungen Anfangs
noch den Ideen des PtolemHuS; Kopernikus und Tycho.
Zunachst suchte er die Losung der Frage der ersten Un*

120 . ,

gleichheit, die Bestimmung der £lemente der Marsbahn;
fur die Bewegung warden die fruheren Gesetze voraus-
gesetzt.

Bei der Bestimmung der Elemente konnen die auf die
Lage der Bahn beziiglichen getrennt von den iibrigen be-
stimmt werden ; Keppler begann daher seine Untersuchungen
mit der Bestimmung der Lage derMarsbahn, d. i. mit der
Bestimmung der Knoten und der Neigung.

I. 1st der Planet zur Zeit der Opposition im Knoten^
so ist dessen Breite gleich Null und die beobachtete geocen-
trische Lftnge = der heliocentrischen Lange = der Ijange
des Knotens. Keppler findet, fiir die Lange des aufsteigenden
Knotens SI = 46^®. Den absteigenden Knoten findet Kepp-
ler auf der entgegengesetzten Seite' der Sonne ^ also um
180® verschieden.

II. Die Neigung bestimmt Keppler directe aus solchen
Beobachtungen des Planeten Mars^ fiir welche sich die
Erde in der Knotenlinie der Marsbahn befand. 1st 6 nam-
lich der Unterschied der geocentrischen Lange des Mars
und des Knotens ; fi die beobachtete Breite ^ so wird die
Neigung i erhalten aus:

tanff t = . *^ '
^ am c

Ist zugleich = 90®, d. h. die Sonne mit dem Planeten
in Quadratur, so ist / = /5, d. h. die beobachtete Breite
== der Neigung der Bahn. Auch eine Beobachtung dieser
Art fand Keppler in dem tychonischen Nachlasse. Keppler
findet auf diese Art, und durch zwei andere Methoden
bestatigend; fiir die Neigung den Worth

,• = 10 50-. .

Durch die Vergleichung einer grosseren Anzahl von
Beobachtungen erhalt Keppler das wichtige Resultat: 1) Die

121

Knotonlinie der Marsbahn geht nicbt durch den mittlercn
Sonnenort (durch den wahren bestatiget er am Schlusse)
und hat eine constants Lage; 2) Die Neigung ist unver^
anderlich. Es gibt daher keine Schwankungen der excen-
trischen Bahnen.

III. Eeppler reducirte nun die auf den Mittelpunct
der Erdbahn bezogenen Langen des Planeten Mars auf den
wahren Ort der Sonne; denn letztere ist da^ Centrum der
Welt, nicht der leere Mittelpunct der Erdbahn.

Von zwolf Oppositionen des Planeten Mars wUhlte
Eeppler vier aus (die von den Jabren 1587, 1589, 1591, 1593),
fur diese vier Orte waren gegeben: a) Die vier wahren
Langen in der Bahn, b) Die vier mittleren Langen in der
Bahn, deren Diflferenzen. mauj da die mittlere Bewegung
durch die Umlaufszeit bekannt war, genau kannte. In
Folge der Ungenauigkeit der ersten mittlercn Lange konntc
man dieselben mjt einem constanteh Fehler voraussetzen.
c) Die beobachteten (geocentnschen) Breiten.

Es seien (Fig. 12) iHf,, M^^ M^y M^ die vier Orte des
Planeten in der Bahn, S sei der Mittelpunct der Sonne,
ASP die Apsidenlinie. Keppler
suchte nun eine Bahn unter der '

Voraussctzung, dass erstens die
vier Puncte M^ , . M^ in einem
Kreise, dessen Mittelpunct ist,
liegen, zweitens die Bewegung
des Planeten von dem Puncte F
aus gleichfdrmig erscheint; wobei
die Puncte F, 0, S in der Apsiden-
linie liegen. Die letztere Annahme wird dadurch gefordert,
dass die Bewegung am schnellsten ist, wenn das Gestirn
der Sonne am nachsten ist.

122

Die Auflosung gescbieht indirect. Es werde die Lage
der Apsidenlinie und die erste mittlere Anomalies also die
Winkel

als bekannt voi^ausgcsetzt.

Man setze /'5 = c, .und rechne aus den Dreiecken
FSM^y FSM^j FSM^y FSM^, in welchen die- Seite /'^ und
die. Winkel an derselben bekannt sind; die Entfernungen
5^1, SM^, SM^'y SM^ in Theilen von c.

Aus den Dreiecken SM^ M^ und SM^ M^ erhUlt man
d^n Winkel M^ des Vierecks M^ M^ M^ M^ und analog die
Winkel M^^M^y M^, SoUen die vier Puncte M^ . . M^ in
einem Kreise liegen^ so muss daher

• 1) M^ + M^ = M^ +'M^ =r- 180>.

Da der Punct als Mittelpunct des Kreises voraus-
gesetzt wird, so ist ' Winkel M^ M^ = 2 M^ M^ M^, der
letztere Winkel ist durch die Theile M^ M^ S und S M^ M^
bekannt. Bestimmt man im Dreiecke S M^ Mj^ die Seite

•

M^ M^j so kann man im gleichschenkligen Dreiecke M^ M^
den Radius M^ = Mj^ in Theilen von c und den Winkel
M^ M^ recbnen; mithin auch c in Theilen des Radius an-
^ geben. Da Winkel M^S = M^M^ — S M^M^^ ist, so
kann man im Dreiecke OS M^ die Seite S und den Winkel
OSM^ bestimmen; nun ist Winkel

2) O^il/, = 180^ — />5Afi,

Man andert nun die Lage der Geraden APd. h. den
Winkel PS Mi und die erste mittlere Anomalie d. h. den
Winkel PF M^ so lange, bis die Bedingungen 1) und 2)
erfiillt sind^^).

Nach siebenzig Versuchen erhielt Keppler eine Kreis*
bahn; dabei war, 0/^== 0/^ = 1 gesetzt;

123

i?0 = 0.07232, 05 = 0.11332,
also die ganze Excentricitat = 0.18564, die Halfte = 0.09282.

Keppler nannte diese Bahn die stellvertretende
Hypothese, dieselbe stellte die Langen in der Babn auf
ungefahr 1' — 2' dar, also bis auf die Genauigkeit der
tychonischen Beobacbtungen ; sie gibt aber den Radius-
vector falsch.

Vergleicht man namlich diese Kreisbahn mit de^ Ellipse,
so erhalt man, wenn fiir die Ellipse e = 0.093 gesetzt wird,
als Fehler der wahren Anomalie:

Ellipse — Kreis = r.2 sin a + l'«l sin 2 a, also verschwindend.
Der Fehler von - ist jedoch, wie aus den Formeln (1) und
(3) des Art. 44. unmittelbar erhellt, sehr bedeutend.

Ungeacht^t der guten Darstellung der Langen in der
Bahn (von den Breiten m$ieht Keppler keine Erwahnung)
verwarf Keppler diese excentrische Kreisbahn; dazu bewogen
ihn die unmittelbaren Bes^immungen der Entfernungen des
Mittelpunctes der Bahn von dem Mittelpuncte der Welt
(d. i. der Sonne). Keppler bestimmt aus den Beobach-
tungen in der Nahe des Aphel und Perihel die grosste und
kleinste Entfemung des Mars von der Sonne und daraus
die Excentricitat*^). Er findet hierbei e nahe = 0.09, welcher
Worth von e= 0.1 1332 sehr verschieden ist, mit dem Werthe
4^ (^ 4" ^') = 0.09282 nahe iibereinstimmt. Keppler ver-
suchte nun die gleiche Theilung mit der Excentricitat
= 0.09282. Diese Voraussetzung gab in den Anomalien
von ungefahr 45*^, 135®, . . einen Fehler von 8' bis 9'*).
Diese acht Minuten waren fiir Keppler der Beweis der

*) Da dieser Werth der Excentricitat von dem wahren sehr wenig
abweicht, so geniigt fiir die Fehlerschatzung der Unterschied der
Glieder der zweiten Potenzen, wie er in Art. 44. angegeben ist,

• 124

Unrichtigkeit der excentrischen Kreisbahn mit gleicher
Excentricitat.

Der stellvertretenden Hypothese bediente sich Keppler
zur Berechnung der wahren Anomalie^ woher er ihr auch
diesen Namen gab.

58. ,

Mit der Erkenntniss der Unhaltbarkeit der im vor. Art.
erwahnten Hypothesen fiir die Marsbahn trat ein Wende-
punct in den Arbeiten Kepplers ein; er folgte von nun an
nur mehr seinen eigenen Ideen. Zunachst versuchte nun
Keppler die Losung der Frage der zweiten Ungleichheit,
und da diese ihren Grund in der Bewegung der Erde hat;
so suchte Keppler eine genaue Bestimmung der Erdbabn.

Tycho hatte die Sonnenbahn ak einen excentriBchen
Kreis mit dem Mittelpunct als punctum aequans voraus-
gesetzt. Durch die Bestimmung 4er grossten Mittelpuncts-
gleichung gj = 2® 3:^^ erhielt er die Excentricitat

sin g? = ^ = 0.03584, die Halfte = 0.01792.

Keppler hatte bereits in seinem ^^Geheimniss des Welt-
baues^' die Ansicht geaussert, dass, wenn die Erde nach
-der kopemikanischen Ansicht ein Planet ist, die gleiche
Theilung stattfinden milsste. Als nun Tycho an Keppler
schrieb, dass sich die Erdbahn (aus den Beobachtungen
der oberen Planeten) zu verengern und erweitem scheine,
kam Keppler unmittelbar zur Ansicht, dass ihr Mittelpunct
nicht das punctum aequans sein konne.

Keppler suchte nun eine unabhangige Bestimmung der
Elemente der Erdbahn und bediente sich hierzu der Beob-
achtungen des Planeten Mars.

125

Es sei (Fig. 13) der Planet Mars mehrmals in dem-

selben Puncte M seiner Bahn beobachtet worden» Zur Zeit

der ersten Beobachtung sei die Erde

im Puncte E^. 1st N die Projection* des

Ortes M auf die Ecliptik; so sind;

wenn man die heliocentrische Lange ^^

des Punctes M oder N und die L&nge

der Sonne kennt*), im Dreiecke S E^ N

die sUmmtlicben Winkel bekannt^ also das Verbal tniss

SE^iSN
gegeben.

Nach Ablanf eines siderischen Marsjahres befinde sich
die Erde im Puncte jS'j; ™^° erhS.lt dadurch M^ieder das
Verhaltniss

SE2: S N] u. 8. w.

Man kann daher die Distanzen S E^, ^ ^29 * • ^^ Theilen
der Distanz S N bestimmen.

1) Sind (Fig. 14) zwei Distanzen S E^j SE^ und deren
Lage gegeben ; so erhalt man — die Lage der Apsiden-
linie A /^ der Erdbahn (aus den tycho-
nischen Bestimmungen) ' als bekannt
vorausgesetzt — die Elemente der
Erdbahn auf die folgende Art: Im
Dreiecke S E^ E2 bestimme man die
Sehne E^ E2 und den Winkel ^j.
Zieht man vom Mittelpuncte die Gerade B Jl E^ E^j
femer SD _L E^E^, SC^ E^ E^j so erhalt man im Dreiecke
SE^D die Seiten SD = CB und E^ 2>, und damit

5 C = /> 5 = ^1 5 — i?i Z>.

*) Die heliocentrische Lange des Mars erhalt man hinreichend
genaa aus der stellvertretenden Hypothese, die Lange der Sonne
darch die Beobachtung.

Fig.

15.

3%;

^^^

/ \

/ \

126

Im Dreiecke 5 (7 kennt man die Seite S C and den
Winkel SC^ weil die Lagen der Geraden E^ E^ und A P
bekannt Bind, man erbSllt daher die Seite 67 und OS*

Aus 0£=0C + SD und E^ B erhalt man den Radius

E^== E2 Und damit die Excentricitat

OS

2).Sind (Fig. 15) drei Distanzen S E^y SE^, SE^ und
deren Lage gegebeii; so kann man aus denselben 89.mmt-

liche Elemente der Erdbahn be-
stimmen. In dem Dreiecke S E^ E^
rechne man die Seite E^ E2y ana-
log E^ E^y E^ E^. Nun bestimme man
den Winkel E^ E^ £2^ da dieser
s= ^ Winkel jFj E^ ist, so kann
man im Dreiecke E^ E^ den Radius
0E^ = 0E2 und den Winkel E^ E^
berechnen. Damit erhalt man den
Winkel E^S = Winkel S E^ E^ -- E^ E^y wodurch im
Dreiecke S E^ die beiden Seiten und der einge^chlossene
Winkel bekannt sind. Aus dem Dreiecke S E^ erhalt
man die Grosse und Richtung der Seite S.

Keppler fand nach diesen Methoden fur die Excentrici-
tat im Mittel den Werth: e = 0.01800, also ungefahr den
halben Werth der Entfemung des puncttm aequans von der
Sonne nach dem tychonischen System. Damit war die gleiche
Theilung der Excentricitat fur die Erdbahn nachgewiesen.

Zusatz. 1st die Erdbahn bekannt, so kennt man im
Dreiecke S E^ E^ der Fig. 13 die Seiten S E^^ S E^ und den
Winkel Ey^ S E^* Man kann daher die Seite E^ E2 und die
Winkel bei E^ und E2 rechnen. Da der Winkel SE^N
der beobachtete L9.ngenunterschied zwischen Mars und

127 .

Sonne ist, so ist der Winkel E^ Ey N, und analog der
Winkel Ey E^ N bekannt ; man kann daher im Dreiecke
Ey E^ N die Seilen E^ N und E^ N berechnen. Man kann
nun aus dem Dreiecke S E^ N oder S E2N die Seite S -N und
die Lage dieser Linie d. i. die Projection der Entfemung
yon der Sonne und die heliocentrische Lange des Mars
bestimmen.

In dem Dreiecke E^MN ist der Winkel bei E^ = der
beobachteten Breite, man erhalt daher die Distanz M N.
Aus dieser und der Distanz S N erhalt man den Winkel
N S M = der heliocentrischen Breite des Mars und die
Distanz 5 iHf des Planeten von der Sonne.

54.

Die Untersuchungen, welche nun Keppler iiber die
Ursache der Planetenbewegungen anstellte , fuhrten ihn zur
Entdeckung seines z we it en Gesetzes, welches also der
Zeit nach das erste ist.

Die Ursache der Bewegung der Planeten ist die Sonne ;
die Kraft, welche den Planeten kreisformig bewegt> nimmt
mit der Entfemung ab ; denn sie verbreitet sich (^hnlich
wie das Licht)' auf einen grossereh Raum.

Die Zeit; welche der Planet braucht, um gleiche und
^ unendlich kleine Bogen des excentrischen Kreises zu be-
schreiben, sind der Entfemung des Planeten von der Sonne
proportional^^); die Summe der Zeiten, in welcher ein
endlicher Bogen beschrieben wird , ist also proportional der
Summe der Entfemungen d. i. der Flache, welche der
Radius -Vector durchstreift (zweites kepplerisches Gesetz).

Das Gesetz ist richtig, die Ableitung aber falsch, die-
selbe gilt nur fur die Apsiden, "v^elche Puncte hier Keppler
nur beriicksichtiget^®).

128

Keppler ist sich jedoch des Fehlers, wenn fur die
Summen der Entfemungen die FlEchen gesetzt werden,
bewusst; er halt jedoch an der Richtigkeit des zweiten
Gesetzes fortwS.hrend fest.

55.

Zur Theorie des Planeten Mars zuruckgekehrt er-
mittelte Keppler aus den Beobachtungen des Mars in der
Nahe des Perihel und Aphel neue Werthe fur die Lage
der Apsidenlinie; Perihelzeit, mittlere.Entfemung und Excen-
tricitS^t der Marsbahu; — dieselbe noch immer als ein Kreis
vorausgesetzt — . Das im vorigen Art. gefundene Gesetz be-
stimmt die Bewegung des Planeten in der Bahn; man er-
hS.lt dadurch folgende Methode zur Bestimmung der Mittel^
punctsgleichung des excentrisehen Kreises:

Die Flache SPL (Fig. 16) ist das Mass
der mittleren Anomalie; denn dieselbe ist der
Zeit proportional.

Der Winkel .POL = E ist die excentri-
sche Anomalie.

Die Flache des Dreiecks SL ist das Mass
des Ueberschusses der . excentrisehen Anomalie uber die
mittlere.

Der Winkel 9 = SLO d. i. die optische Gleichung ist
der Ueberschuss der wahren Anomalie uber die excentrische.

Ist t die seit dem Durchgange durch das Perihel ver-

flossene Zeit, U die Umlaufszeit des Planeten ; so ist

Flache SPL \a^n = t:U

Flache SPL = Flache OPL — A OSL

= ^ a^ iP — \a^ e An Ey
also

E — e An E= -=j- 1 = mittlere Anomalie «= a.

129

Projicirt man den Radius -Vector SL auf die Qerade
OLp so erhHlt man

r COB 9 = flf — ae cos E

r sin 9> = ae sin E,

woraus

r = (« — ae cos E) sec 9

. ' e sin i? •

folgt. Ausserdem ist t; = i? + 9.
Aus diesen Gleichungen folgt

Die Diflferenz : Ellipse — Kreis = — {e^ sin 2a *),' also
im Maximum wieder ungef&hr 8', welchen Fehler auch
Keppler bei der Vergleichung der tychonischen Beob-
achtungen fand. Der Fehler ist (bis auf Glieder ^weiter
Ordnung) von gleicher Qrosse aber entgegengesetztem
ZeicheU; wie bei der Hypotbese der gleichen Theilung der
Excentricitat.

66.

Kachdem alle VersuchO; unter Voraussetzung de3 excen-
trischen KreiseS; die Marsbahn aus den beobachteten Lftngen
zu bestimmeu; misslungen waren, sucbte Keppler vermittelst
der Entfemungen des Mars von der Sonne die Figur der
Bahn zu bestimmen.

Zu diesem Ende rechnete er drei Distanzen ausser den
Oppositionen ; die eine nahe am Aphel; die beiden anderen
in der N&he der mittleren Entfemungen. Das Resultat war
folgendes:

ans der Kreishyp. aus den Beob.

berechnete Entfemungen.

1.66605 1.66255
1.63883 1.63100
1.48539 1.47750.

*) Vergl. die Note des Art. 52.
FitiBCHAur, Astrooomie,

130

Die Fehler betragen resp. 350, 783, 789 Einheiten der
funften Decimale.

Weil die wahren Distanzen kleiner sind, als die aus
der Kreishypothese berechneten, bo folgerte Keppler: Die
Bahn des Planeten ist kein Kreis, sondern eine Art von
Oval, welches sich in den Apsiden an den Kreis ansebliesst,
ge§en die mittleren Entfernungen zu von dem Kreise immer
mehr abweicht. Fur diese Ovalform gibt sogar Keppler
Grunde; die Construction dieser ovalformigen Curve
(mit einem breiteren und einem spitzeren Ende) und
die Losung der Aufgabe: die Orosse der Ovalflache zu
bestimmen, sowie dieselbe in Theile nach gegebenem
Verhaltnisse zu theilen, machten ihm grosse Schwierig-
keiten; Beide Aufgaben wurden nur naherungsweise auf
folgende Art gelost:

1) Die Puncte der Ovallinie werden durch Verbindung
der stellvertretenden Hypothese des Art, 52. III. mit der der
gleichen Theilung erhalten. Die stellvertretende Hypothese
bestimmt die wahre Lage des Radius -Vectors. Beschreibt
man aus der Mitte der ganzen Excentricitat" /'S (der
Figur 8 oder 12) mit der mittleren Entfemung als Halb-
messer einen Kreis und zieht den Radius ON unter dem
Winkel der mittleren Anomalie, so stellt die Distanz SN
die wahre Lange des Radius -Vectors dar.

2) Fur die Quadrirung und Theilung der Ovale (von
der Sonne aus) bediente sich Keppler einer Ellipse, deren
grosste Breite des sichelformigen Randes, den sie vom
excentrischen Kreis abschneidet, 0.00858 « belragt; denn
von dieser Grosse war die grosste Breite der durch die
Ovallinie abgeschnittenen Sichel.

Als jedoch Keppler die nach der Oval -Hypothese be-
rechneten Distanzen des Mars von der Sonne mit den aus

131

den Beobachtungen erhaltenen verglich, fand er sie zu
kleiii; und zwar in der Nahe der mittleren Entfernnng um
660 Einheiten der fiinften Stelle* Ebenso hatte sein astrono-
mischer Freund David Fabricius, dem er diese letzteren
Untersuchungen mitgetheilt hatte ^ aus der Vergleichung
der berechneten (geocentrischen) Orte mit den Beobach-
tungen geschlosseny dass die Oval-Hypothese die Distanzen
zu kurz gebe. Keppler war jedoch bereits mit der Ver-
besserung seiner Theorie beschaftigt; als er von Fabricius
diese Nachricht erhielt; diese Verbesserung^ die ihn schliess-
lich zur wahren Figur der Marsbahn fiihrte^ bot sich ihm
auf folgendem Wege dar.

Fiir den in Art. 55. erwahnten Werth der Excentricitat
^=» 0.09264 ist die optische Gleichung (p, entsprechend
der grossten Mittelpuncts- Gleichung; bestimmt durch

tang g) = e, also g? = 5^ 18'.

Durch einen glucklichen Zufall gerieth Keppler auf
die Secante dieses Winkels == 1.00429, welche von der
Einheit um 0.00429 abweicht. Ungefahr dieselbe Grosse
betragt in der Nahe der mitteren Entfernungen der Fehler

von — im excentrischen Kreise. ,,Setzt man daher in der

mittleren Entfernung statt der Secante der optischen Glei-
chung den Badius, so erhalt man den wahren Werth."
Dieses fiir die Anomalien von nahe «= 90^ oder 270^ ge-
f undone Resultat dehnte Keppler auf alle Puncte der Bahn
aus; er schloss ganz allgemein, dass man durch die Multi-
plication des aus dem excentrischen Kreise erhaltenen Radius-
Vectors mit dem Cosinus der optischen Gleichung die
wahre Distanz erhftlt; d. h. dass

r = a — ae cos E
ist"). Dieses Resultat bestatigt Keppler durch die Ver-

9*

132

Pig. IT.

gleichung mit einer Reihe von Distanzen, welche er aus
den tychonischen Beobachtangen erhalten hatte.

Nachdem das Gesetz fnr die Grosse des Radios- Vectors
gefimden war, handelte es sich mn die Bestimmnng der
Lage desselben; diese mosste so gewahlt werden, dass das
obige empirisch gefnndene Gesetz nicht gestort wtirde.
Dazn bot sich fur Eeppler zonachst Folgendes dar:

Es sei (Fig. 17) der Mittelpnnkt des excentrischen
Ejreises, OS die Excentricitat. Beschreibt man ans S mit
demselben Radius einen Kreis, and ans einem beliebigen

Ponct M des Umf anges des
letztem mit dem Radius =05
einen Epicykel, so schneidet
dieser den excentrischen
Kreis im Poncte L derart,
dass das Viereck OS ML ein
Parallelogramm ist, wie man onmittelbar ersieht, wenn man
die Gerade SL zieht. Ein aus dem Poncte als Mittelponct
beschriebener excentrischer Kreis kann daher dorch einen
aos S mit demselben Halbmesser beschriebenen Exeis ond
einen Epicykel ersetzt werden^ wenn der Radios des Epicykeis
gleich ist der Excentricitat.

1st non -^ POL = E = excentrischen Anomalie —
bestimmt nach. Art. 56. — , so ist <^ LMS = E, also SR =
SM — RM = fl — ae cos E^^r^ wenn LR _L SM ist.

Der Planet hat sich daher seit seinem Perihel in dem
zor Sonne gerichteten Dorchmesser des Epicykeis yon seiner
anfanglichen Entfemong p = a — ae om die Grosse q ===
ae (1 — cos E) entfemt.

Beschreibt man non aos dem Poncte S mit dem Radios
SR einen Kreis, welcher die Gerade OLim Poncte 7 schneidet,
so stellt ST die Grosse ond Lage des Radios- Vectors dar.

133

AIs jedoch Keppler diese BestimmuDg der Lage mit
der stellvertretenden Hypothese verglich, fand er Unter-
schiede von 4' — 5^'; er war nun selbst bereit das obige
Gesetz der Distanzen fallen zu lassen.

Nun kehrte Keppler wieder zur Ellipse zuruck; da er
sich dieser Linie bereits bei der Oval -Hypothese als Hiilfs-
mittel bedient hatte, er setzte jedoch gem§>ss den friiheren
Bestimmungen fiir die Marsbahn eine Ellipse ^ deren gr5sste
Breite des sichelformigen Randes^ welchen dieselbe vom
excentrischen Kreise abschneidet, 0.00429 a betragt*).

Keppler beweist nun^ dass gerade in der Ellipse^ wenn
sich im Brennpuncte die Sonne befindet,

r '-= a — ae cos E

ist; die Lage des Radius -Vectors ist dann bestimmt durch

r cos t; = a cos E — ae.

Der Fehler der vorigen Lagenbestimmung batte^ wie
Keppler selbst bemerkt; seinen Grund darin, dass statt
des Durchschnittspunctes der Senkrechten vom Puncte L
auf die Apsidenlinie mit dem Kreise R T (d. i. des Punctes
der Ellipse) der Punct T als Ort des Planeten genommen
wird.

Statt des Verhaltnisses der elliptischen Flachen setzt
Keppler (genau nach dem in Art. 2. durchgefiihrten Wege)
das entsprechende Vcrhaltniss der Flachen des excentrischen
Kreises.

•

Auf diese Art erhielt Keppler das wichtige Resultat:
^^Die Bahn des Mars ist eine Ellipse^ in deren eihem
Brennpuncte sich der Mittelpunct der Sonne befindet."

*) Fiir die obige Excentricitat betragt der genaue Werth dieser
Breite 0.00431 a.

134

67.

Schliesslich beschaftigte sich Keppler mit einer Ver-
besserung der Marselemente, namentlich mit der genaueren
Bestimmung von Knoten und Neigung, welche fiir die
Darsteilung der Breiten von besonderer Wichtigkeit sind.
Trotz aller Sorgfalt konnte.n letztere nur bis auf 4' — 5'
dargestellt werden. Keppler schob diese Unterschiede auf
die Fehler der Beobachtungen; auf die Refraction und
Parallaxe.

Diese beiden Gesetze wandte Keppler aucb auf die
ubrigen Planeten ian, und bestimmte unter Voraussetzung
dieser Gesetze deren Bahnelemente. Auf Grundlage dieser
neuen Elemente und der tychonischen Beobachtungen der
Fixsterne und des Mondes wurden die rudolfinischen
Tafeln (erschienen 1627) berechnet; die ersten astronomi-
schen Tafeln, die sich auf die wahre Planeten-Theorie griin-
deten. Das Bediirfniss nach neuen, richtigeren Tafeln hatte
sich immer mehr gesteigert; denn im Jahre 1625 betrug die
Abweichung des Mars von den prutenischen Tafeln nahe 5^
Den Namen trugen die Tafeln von demGonner der Astronomic
Kaiser Rudolf II. (gest. 1612). Der Anfang zu diesen
Tafeln geschah bereits durch Tycho: die theoretischen
Arbeiten Kepplers, die traurigen Verhailtnisse des dreissig-
jahrigen Kriegs hatten das Erscheinen derselben so lange
verzogert.

68.

Durch die Bestimmung der genaueren- Bahnelemente
der Planeten aus den tychonischen Beobachtungen wurde
die in Art. 49. angefuhrte Idee des Geheimnisses des Welt-
baues nach den fUnf regularen Korpern nicht bestatigt.

135

Die AufsucbuDg des Grundes diesor Abweichung fuhrte
Kepplem zurHarmonie der Welt, dargestellt in dessen
„Harmomces mundi , . . Lincti, 1619'% in welcher sein drittes
Gesetz enthalten ist^.^).

Der Grand dieser Abweichung liegt nun nach Keppler
darin^ dass durch das Gesetz der funf regularen Korper
nur die Anordnung des Planetensystems im Grossen und
Ganzen gegeben ist; wahrend die BewegUDg in den einzelnen
Intervallen durch die Harmonien der Welt (des Himmels)
geregelt ist: wodurch in Folge der Gesammtharmonie ge-
wisse Unterschiede von der Darstellung nach der Idee der
funf Korper eintreten miissen.

Die HarmonieU; wodurch die Bewegungen der Planeten
im Besonderen bestimmt sind^ sind nur in den taglichen
heliocentrischen Winkelbewegungen ausgedriickt; — in den
taglichen Wegstticken desshalb nicht, w.eil diese den Ent-
fernungen umgekehrt proportional sind, und letztere den
funf Korpern und nicht den Harmonien angepasst sind.

Man kann die t%lichen Winkelbewegungen gleicbsam
als Tone betrachten, deren Schwingungszahl gleich ist der
Anzahl der Secunden der Winkelbewegung. Aendert sich
daher die tagliche Winkelbewegung, so andert sich der
Ton; der Planet wird daher bei seiner Bewegung ein ge-
wisses Tonintervall durchlaufen.

Die taglichen Winkelbewegungen andern sich mit den
Entfernungen des Planeten von der Sonne , sind namlich
w, w die tS^glichen Winkelbewegungen fur die Zeiten tyt'\
die zugeb5rigen Entfernungen Vy r ; so ist nach dem zwei-
ten keppler^schen Gesetze

r^ w =s r'^ w'y

wenn die Grossen r^ t'\^ Wy w' innerhalb eincs Tages als
constant angesehen werden. Daraus folgt

136

r \r ^ss=^ ^w : Yw

A us dem Verh^ltnisse der grossten und kleinsten tag-
lichen Winkelbewegung kann man dae VerhUltniss der
kleinsten und grossten Entfernungen bestimmeu; und da-
mit erhalt man die Excentricitat «=

T — r 1 T \T

WO r diq kleinste und r die grosste Entfernung bedeutet.

59.

Die Harmonien sind nach Keppler in der Planeten-
bewegung in folgender Weise ausgedrtickt:

1) Sind die VerhS^ltnisse der langsamsten Bewegung
eines Planeten zu seiner schnellsten^ d. h. das Intervall
seines tiefsten Tones zum hochsten^ kleine Unreinheiten
abgeseheU; bei den Planeten mit Ausnahme von Erde und
Venus harmonisch.

Denn aus den tychonischen Beobachtungen ergeben
sich nahezu folgende Verhaltnisse:

Fur Saturn ^ = grosse Terz, fur Jupiter \ = kleine
Terz; ftir Mars \ = Quinte, fur Erde || = Halbton, fur
Venus ^i= Diesis, fur Merkur f^== Octave mit kleiner Terz.

2) Sind auch die Extreme der taglichen Bewegung je
zweier Planeten harmonisch. Diese Vergleichung kann auf
doppelte Weise durchgefuhrt werden.

a) Man bestimmt das Intervall der langsamsten Be-
wegung eines oberen Planeten zur schnellsten des nacbst
unteren „divergirendes Interval!",

b) Man bestimmt das .Intervall der schnellsten Be-
wegung des oberen Planeten zur langsamsten des nachst
unteren „convergirendes Intervall'^

157

Fiir beide Arten von Intervallen erbalt man wieder
au8 den tychonischen Beobachtungen nahezu harmoniBche
Zahlen; dadarch ist es moglich; dass s&mmtliche Planeten
zusammenklingen.

Durch die Harmonien in 1) ist, wie im vorigen Art.
erwahnt wurde, die Excentricit&ty und durch diese die
Form der Bahn bestimmt. Ebenso l^sst sich aus dem
Intervalle des Tones ; welches ein Planet bei seiner Be-
wegung durchlauft; das Verhaltniss seiner Entfernungen

r \T ^=i j/w': w bestimmen ; man kann daher auch die Ent-
femung r in Theilen einer bestimmten r , etwa gleich
der mittleren, angeben. Sind daher 'die Vdrhaltnisse der
mittleren Entfernungen der Planeten zu irgend einer mittleren
bekannt, so kann man die Entfernung r in Theilen dieser
mittleren Entfernung angeben.

Aus den fiinf regularen Korpem lassen sich die ge-
nauen Werthe der Verhaltnisse der mittleren Entfernungen
nicht bestimmen, die wahren Werthe folgen aus den Har-
monien: es miissen sich daher aus den mittleren taglichen
Winkelbewegungen der Planeten , welche zu den mittleren
Entfernungen gehoren, diese Verhaltnisse bestimmen lassen.
Dazu ist nothig; dass das Qesetz zwischen den mittleren
taglichen Winkelbewegungen (oder Umlaufszeiten) und den
mittleren Entfernungen bekannt ist.

Diese Untersuchung fuhrte nun Keppler zur Entdeckung
seines dritten Gesetzes. Es war eine gluckliche Idee , die ibn
bestimmtO; die verschiedenen Potenzen der Umlaufszeiten und
mittleren Entfernungen mit einander zu vergleichen. Keppler
spricht das gefundene Gesetz im 3.Eapitel des fiinften Buches
der Harmonien folgendermassen aus : ,;Es ist ganz gewiss,
dass das Verhaltniss der periodischen Umlaufszeiten genau

• 138

das ein- nnd einhalbfache*) des Verhaltnisses der mitt-
leren Entfernungen der Planeten d. i. der Planetensph&ren
eelbst ist."

60.

Dutch Umkehrung der gefundenen Resultate erhalt
Keppler folgendes Axiom: Die Weltaccorde und die Har-
monien sind der Zweck des Weltschopfers ^ die Grosse
(bestimmt durch die funf regularen Korper) und die Form
(bestimmt durch die Excentricitaten) der Bahnen sind das
Mittel dazu.

Diese ganze Ui^tersuchung Kepplers bezweckte eine
theoretische Bestimmung der Bahnelemente der Planeten;
von diesen waren fur ihn die auf die Lage der Bahn und
die Epoche bezuglichen Elemente durch den Zufall; die
auf die Grosse und Form bezuglichen durch die Harmonien
bestimmt. Diese Idee wird in folgender Weise verwirklicht:

Fur einen einzelnen Planeten findet die Harmonic in
den Puncten seiner Apsidenlinie statt ; damit eine Gesammt-
harmonic moglich ist; durften fiir die einzelnen Planeten
nur solche Harmonien gewahlt werden, welche den funf
Korpern angepasst sind, d. h. es mussten den Planeten
bestimmte mittlere Bewegungen zugetheilt werden*, diese
hangen daher von den mittleren Entfernungen ab. Umge-
kehrt konnen aus dem Gesetze der Harmonien die mitt-
leren Entfernungen und Excentricitaten bestimmt werden^®).

^) Aelterer Ausdirnck fur die l^t« Potenz eines Verhaltnisses.

139

Dritter Abschnitt.

Zum Problem der Balmbestixmnung.

61.

Wie bereits im Art. 57. erwahnt wurde, verdankt . man
Kepplem die erste genauere Bestimmung der Bahnelemente
der Erde und der fiinf grosseren Planeten. Diese Be-
stimmung war, nach der Erkenntniss der wahren Bewegungs-
gesetze, insofem von keiner grossen Schwierigkeit, da man
mit Zuziehung der altesten Beobachtungen genaue Werthe
fur die mittleren taglichen Bewegungen erhielt, und ander-
seits ftir die ilbrigen Elemente aus dem reichen Schatze
der tychonischen Beobachtungen die zur Bestimmung eines
jeden Elementes passendsten Beobachtungen ausgewahlt
werden konnten. Selbst die Entdeckung des Planeten
Ur/tnus (im Jahre 1781 durch W. Herschel) forderte
das Problem der Bahnbestimmung der Planeten nicht weiter,
da man vermoge der Kleinheit der Excentricit§.t und der
Neigung der Bahn durch die Voraussetzung einer kreis-
formigen Bahn, deren Ebene mit der Ecliptik zusammen-
fallt, bereits hinreichend genS>herte Elemente erhielt.

Man kann namlich in diesem Falle aus zwei beob-
achteten Langen die Elemente: mittlere Entfernung und
Epoche bestimmen..

Es seien (Fig. 18)" ^ rig. is.

Z|, Z2 die Orte des Planeten,
^, , E^ die zugehorigen Orte der Erde,
S die Sonne.

1st t dieZwischenzeit der beiden Beob-
achtungen, so ist die zugehorige mittlere
Bewegung

140

= ^ = ^ A ^-^2^

wo a = SL^=: SL2 die mittlere Entfernang bedeutet.

Au8 den Dreiecken SE^L^y SE^L^ folgt, wenn5'-£^j=^„
^E^L^S^^L^, ^L^E^S==E^y u. s. w. und ^E^SE2=S
gesetzt wird,

(1) sinZ,=^?ii^, sin Z2 =,^?^^^;

(2) ^' = 5+i5:, + ^2 + A + A-360«.

Man muss nun die Grosse a so bestimmen^ dass den
Gleichungen (f) und (2) geniigt wird.

Fiir den Planeten Uranus wird diese Losung dadurch
yereinfacht; dass a gegen R^ oder R^ sehr gross ist; man
kann daher in (1) statt der Sinusse die Bogen setzen, und
erhalt dadurch

Y Rx sin g| , R^sinE^

y^ * a sin 1 ^ *' a sm 1 •

*i = 5+ £^, + £■, - 360» + ^. »° E, 4- fi. sin g,

oder, wenn

5+^, + ^2 -3600 = a, ^i$^^Ri^ = p a\=^x,

' ^ ' * ' sm 1 ' sm 1 "^ ' '

wobei a und k in Secunden auszudriicken ist, gesetzt wird,

Vermittelst der regula falsi kann man diesen erhaltenen
Werth X derart verbessern, dass er den Gleichungen (1)
und (2) vollkommen geniigt.

Ist a gefunden, so erhalt man die Epoche aus dem
Winkel E^ S Ly oder E^ S L^.

Die genauere Bahnbeatimmung konnte man bis dahin
aufschieben, wo man aus den haufigeren und entfemteren

141

Beobachtungen die passendsten au8wS.hlen konnte. Diese
BestimmuDg wurde ausserdem durch das Auffinden §,lterer
Beobachtungen des Uranus erleichtert.

02.

Ungleich grossere Schwierigkeiten verursachte die Bahn-
bestimmung des ersten Asteroiden Ceres. Dieser Planet
wurde am 1* Januar 1801 .von Piazzi in Palermo bei der
Beobachtung von Fixsternen entdeckt und bis zum 11. Fe-
bruar beobachtet. Hier handelte es sich zum ersten Male
um die Losung der Aufgabe: ,;Die Bahn eines Himmels-
korpers aus Beobachtungen; die keinen grossen Zeitraum
umfasseu; ohne jede hypothetische Voraussetzung zu be-
stimmen.^'

Carl Friedrich Gauss (geb. 1777, gest. 1855), der
sich bereits vor der Entdeckung der Ceres mit dem eben
genannten Problem beschaftigt hatte, bestimmte nun fur
die Ceres eine Bahn, welche die ganze Reihe der piazzi-
schen Beobachtungen (andere Varen nicht vorhanden) hochst
befriedigend. darstellte. Die erste heitere Nacht der nS.chsten
Erscheinung, in der man den Planetep suchte, gab den-
.selben an dem berechneten Orte.

Aus den urspriinglichen Methoden, welche Gauss zur
Berechnung der Ceresbahn angewandt hatte, entwickelte
sich in Folge fortgesetzter Untersuchungen dessen „ tJieoria
moius corporum coelestivm in sectionibus conicis solem am-
bieniium/*

63.

Nicht geringer waren die Schwierigkeiten, welche sich
vor der Aufstellung der Olbers'schen Methode der Bahn-
bestimmung der Kometen entgegenstellten. Trotz des Um-
standes, dass man bei den Kometenbahnen (mindestens in

142

erster Annaherung) mit der Parabel ausreicht — al&o
ein Element weniger zu bestimmen hat — ; bo verursachte
doch wieder der Umstand; dass mati; wegen der kurzen
Sichtbarkeit dieser Himmelskorper; sich die Beobachtungen
nicht willkiirlich auswahlen konnte; sondem diejenigen be-
nutzen musste^ welche der Zufall darbot; dass man hier
zu der unmittelbaren Losong des Problems ^^eine paraboli-
sche Bahn zu bestimmen ^^ gedrangt wurde.

Die erste Losung des eben genannten Problems gab
Newton^ wodurch man jedoch erst (auf dem Wege der
Construction) nacb ziemlicb miihsamen imd zahlreicheti Ver-
suchen die gesucbten Elemente erhS.lt. Die directe analy-
tische Losung wiirde zu ganz unauflosbaren Gleichungen
fuhren; man zog es daher yor auf indirectem Wege die
Aufgabe analytisch zu losen. La Caille bediente sich des
Verfahrens fur drei Beobachtungen durch Versuche die
beiden aussersten Distanzen des Kometen von der Erde
derart zu bestimmen ; dass der mittleren Beobachtung durch
die daraus erhaltenen Elemente geniigt wird. Das ziemlich
miihsame Verfahren der Bestimmung zweier Unbekannten
Buehten Boscovicjh, Lambert; Euler durch^ Voraus-
setzungen iiber die Bewegung des Kometen zu verein-
fachen: 1) dass das Stiick der Kometenbahn zwischen den
aussersten Bewegungen geradlinig sei und vom Kometen
gleichformig durchlaufen werde; 2) dass die Sehne vom
mittleren Radius -Vector iiji Verhaltnisse der Zeiten ge-
sehnitten werde^^). Durch diese Voraussetzungen wurde
allerdings die Aufgabe auf die Aufiosung einer Gleichung
mit einer Unbekannten zuriickgef iihrt ; allein entweder
waren die erhaltenen Elemente zu ungenau oder die Lo-
sung dieser Gleichung noch immer sehr schwierig, Selbst
die vollkommeneren Losungen von La Grange und

1 43

La Place erforderten so miihsame RechnungOD; so dass
fiir die praktische Durchfuhrung wenig gewonnen war.
Erst durch Wilhelm Olbers (geb. 1758, gest. 1840) wurde
vermittelst der in Art. 20. erwahnten Vorauasetzungen jene
Lo^ung der Aufgabe gegeben, welche in theoretischer und
praktischer Hinsicht jeder Forderung geniigte, und die bis
jetzt noch nicht durch eine voUkommenere Methode ver-
drangt wurde. *

Anhang.

1 ) S. 5. Urn einen in Theilen des Halbmessers gegebenen
Winkel = a: in Graden = ofi auszudriicken; verfahrt man
auf folgende Art:

also X— -^'X — ^^^^ • X — 3g5;gQ^ • a; , wo a: , a: , x
der Winkel ist, resp. in Graden, Minuten, Secunden aus-
gedriickt. ^^^^ ist der in Theilen des Halbmessers aus-

gedriickte Bogen fur den Centriwinkel = 1", dieser Bogen
ist sehr nahe = sin W Es ist daher

x = x ' sin 1", x=x: sin V = 206264.81 x.

In der Gleichung M = E — e ^m E sind ilf und E in
Theilen des Halbmessers ausgedriickt. Um diese Gleichung
auf das Gradmass zu beziehen, denke man sich M und E
in Secunden beibehalten und e in Secunden ausgedruckt,
was durch Multiplication mit der Zahl 206264.81 geschieht.
Um M unmittelbar in Secunden zu erhalteu; braucht man

nur in dem Ausdrucke fur M = ^^ t die Zahl k in

Secunden auszudriicken, wodurch man

k = 3548". 1 8761 , log k == 3.55(00066
erh&lt.

145

2) S. 6. Regvia falsi, Ist A" = eine Gleichung zur
Bestimmung der Unbekannten Xy w eine bestimmte Wurzel,
tty a' zwei Naherungswerthe von w\ so sei fttr

a: = a X rs=s A

x^d X= A.

Sind a — w;, ci — w klein^ so gilt naherungsweise

a — w \ d — w =^ A\ A
woraus

(1) rv = a -^-^^^ = d - "^-^^

^' A — A A — A

folgt. Es ist vortheilhaft; die N&heruDgen a and ci so zu
wahlen^ dass die Wurzel w zwischen dieselben fSllt.

In der Anwendung findet hHufig der Fall Statt; dass

X = c '\' fix) — X
ist; wo f{x) die Unbekannte x enth< dabei aber klein
ist und fur geringe Aenderungen von x sich wenig lUidert.
In diesem Falle ist es zweckmassig das obige Verfahren
etwas zu modificiren.

Sind namlicb a und a' zwei N&herungswerthe von w,

so sind

a = c + f{a), d = c+ f{d)

zwei genauere Werthe von Wy und A = a — a, A = d — a
die Fehler.

Aus a — w '. a' — w = a — aid — d folgt
a — w : d — t^ = a — a : d — dy
und daraus folgt

(9\ .n — if ^i^ — ^') _ „' ^ (" — «)

• •

Fiir d nimmt man in diesem Falle gewohnlich die
Grosse a, dann ist A^= a — « , A === d — a und

^ ' a — a — (a — a)

Fbisghaxjv, Astronomie. 10

146

3) S. 13. 1st h kleiii; so l^sst sich die positive Wurzel
y der kubischen Gleiehung y durch folgende Reihe darstellen

log y = [9.683542] h — [9.93341] h^ + [0.3281] h^,
wo die eingeklammerten Zahlen Logarithmen sind. Fiir
grossere Werthe von hy etwa von 0.02 an, kann man sich
nach dieser Reihe Naherungswerthe von y verschaflfen, und
dann vermittelst der regtda falsi den genauen Werth aus
der kubischen jSleichung bestimmen.

4) S. 35. Ist (7 = t/ + w' , F = r + v' , wo w und v
Naherungswerthe von Uy V sind, also w', v deren Fehler;
so ist der Fehler

UV — uv = uv -{- vu -{- u v' nahe = wv'-j- 2;w',
wenn man das sehrkleine Product wVder Fehler vernachlassigt.
Wendet man diesen Sate auf

~ y . bn -A- dn' «-}-«'
U V •=■ i — 71- • ? —

an , so ist U «= ^ ; /? ' eine kleine Grosse der — 2*®'* Ord-

' n-\- n

nung, der Fehler v eine Grosse der vierten Ordnung, also
UV eine kleine Grosse der zweiten Ordnung. F= -^,—

ist von der nullten Ordnung, der Fehler u von der ersten
Ordnung, also das Product vu von der ersten Ordnung.
Der Fehler von TJV ist daher von der ersten Ordnung, da
die Summe von kleinen Grossen erster und zweiter Ordnung
eine Grosse erster Ordnung ist.

Fiir die Bahnbestimmung ist es nun sehr vortheilhaft,
wenn die Zwischenzeiten zwischen der ersten und zweiten,
und der zweiten und dritten Beobachtung nahezu gleich sind.
Denn aus 4em in 3) g^^benen Ausdrucke fiir y folgt

i«* , // m""

A = ^^.. r =

t+'' ~t + r

1 •

147 _

Piir / = /" ist m nahezu = w", / und /" Bind ohnedicg
verschwindeod ^ alBO h n&herungsweise == h'\ Der Unter-
scbied y — y" ist dann eine Grosse der dritten oder noch
hdheren Ordnung, also der Fehler u von der zweiten Ord-
nnng; von derselben Ordnung ist dann anch der Febler
von UV.

5) S. 49. Directe and retrograde Bewegung.
Statt die Neigung der Bahn nacfa Gauss von bis 180^
zu zSlblen, z&hlt man dieselbe auch von bis 90® und
unterscheidet zwischen director und retrograder Be-
wegung. Ist die Neigung der Bahn grdsser als 9()®; so
nimmt man das Supplement der Neigung, ftigt aber hinzu;
dass die Bewegung retrograde sei, wUhrend man sie in
dem andern Falle (wo i < 90^ ist) directe nennt. In
diesem Falle werden die L&ngen in pig. 19.

der Bahn von einem Puncte Y (Fig. 19)
gezEhlt; welcher in der Richtung der
Bewegung des Himmelsk5rpers ebens'o
weit entfernt ist, wie der aufsteigende
Knoten vom Frtthiingsftquinoctium.
Die Liingen in der Bahn werden in einer der Bewegung
entgegengesetzten Richtung f^iez^lt*). Ist nun Yo ^^^
fictive Friiblingspunct in der Bahn aach der Oauss'schen,
Y der fictive Friiblingspunct naoh der lllteren (gewohnlichen)
Zahlting; bedeuten i, SI, A Neigung, Lfage des Knotens,
LfMfige in der Bahn nacb der Oauss^scfaen , f", Sl\ ^ die-
setben Gr^ssen nacb der alteren ZUhlung; so findet folgen-
d^ Zusammenbttng statt

,- + i'=180®, ^-=fl', ^ + ^' = 2a.

•) In der Fig. 19 bedeutet: Pfeil 1 die Richtung der Bewegung der
Krde, Pfeil 2 die Ridt lung der Bewegung des Himmelskdrpers, Pfeil 3
die Richtung der Zahlnng nach 4er aUfirea (gewdbnlicben) Methode.

10*

148

Fiir die Langen des Perihels hat man daher 11 -^ 11'
== 2 SJ,. 1st u das Argument der Bteite, d. i. die Entfemung
d«s Himmelskorpers vom Knoten^ v die wahre Anomalie^
d. i. die Entfemung vom Perihel, beide Grossen in der
Bichtung der Bewegung gezahlt; so ist

u = a'—^=A — Si, v = n'—A' = A — n.

Fiir das in Art. 21. gegebene Beispiel hat man t =
810 Y 3"^ IT = 1970 37' 51"^ muss aber den Zusatz machen
„ Bewegung retrograde"*

6) S. 81. Methode der kleinsten Quadrate.
Es seien aus.den n Qieichungen

Vi = /»! + «! a: + *i y + ^1 ^ =
^2 = W2 + ^2^ + *2 y + ^2^ =*

Vn = nin + anX + &« y + C„Z = 0,

wo tn^y m^j • . THn durch Beobaehtung erhalten werden, die
Unbekannten x^y,z (deren Anzahl der Einfachheit halber
gleich drei gesetzt wurde) zu bestimmen,

W&ren die beobachteten Grossen i»,, m^j . . «i« voU-
kommen genau^ so konnte man aus dreien dieser Gleichungen
die Unbekannten x^ y, z bestimmen; die ubrigen n — 3
Gleichungen werden fiir diese Werthe der Unbekannten
voUkommen erfiillt. Wegen der unvermeidlichen Beob-
achtungsfehler werden die Grossen m^, m^y • • mn nicht
YoUkommen genau sein^ es kann daher durch ein System
von Werthen x, y, z nicht sammtlichen obigen Gleichungen
geniigt werden.

In diesem Falle bestimmt man die Unbekannten der-
art, dass alien Gleichungen moglichst geniigt wird; man
erreicht dieses, indem man die Summe

149

s = v + «'2'+ ..+«'-'

zu einem Minimiiin macht. Da^u ist erforderlich, dass

dS ^^ rv dS ^^ r^ dS ____ r>

dx ' dy ' rfz

wird, wefche Gleichungen entwickelt geben

[aa] X + [ab^ y + \ac\ z + [aiw] =
\ab'\ X + \bb] y + [*^] z + \bm\ —
[ar] a: + \bc\ y + [c<?] z + [^w] = 0,
wo {ad\ = tfjtfj + a^tfj + . • + «««•

Auf dieselbe Weise yerflLbri man, wenn mehr als drei
Unbekanntc vorhandcn sind.

Im Vorigen wurde die stillschweigendc Voraussetzung
gemacht; dass allc (beobacbtetc) Orossen m^j m^^ . . m^ von
gleicher Genauigkeit sind. Ist jedoch cine Beobachtung yon
grosserer Genauigkeit, so sagt man: ,,die Beobachtung hat
ein grosseres Gewicht^'. Um diesen Umstand in Rechnung
zu Ziehen, kann man sich die zugehorige Gleichung so oft
angesetzt denken/als ihr' grdsseres Gewicbt betr&gt.

Sind daher (auf irgend eine Einheit bezogen)

Ptf Pif . • Pn

die Gewichte der Beobachtungen
so mache man die Summc

S = PiV^'^ + P2Vi^ + •• +PnVn^

zu einem Minimum.

Da die Unbekannten aus der Bedingung, dass die Summe
S der Quadrate der Fehler v^^ v^y • • Vn ein Minimum wird,
bestimmt wcrden, so heisst diese Bestimmung ,,Methode
der kleinston Quadrate^^

Fiir eine Unbekannte ist

[paaj a; + [/ia»i] «= 0.

150

1st a^ = ^2 = • • = «« == — 1 , sind ferner die Gewichte
aller Beobachtungen gleich', so ist

>»i -f" ^'t 4~ * • "h ^^»

d. i. das arithmetiscbe Mittel.

X = ,

7) S. 83. Die Beschleunigung, die eine Centralkraft
auf einen Punct, welcher vermoge derselben in der Zeit V
einen Kreid vom Halbmesser a bescbreibt^ ausiibt^ ist aus-
gedriickt durcb

Ist die Centralkraft die Sonne ; M deren Masse ^ so ist nach
dem allgemeinen Anziehungsgesetze

fl«

Pttr « =« 1 , wird

f^M^'^f.^k^

wo k die Constante der theoria motus bedeutet. Vergl. Art. 2.
8) S. 92. Setzt man f{x) in der Form voraus

wo X = a -\- nw -{- V ist, so erbalt man d^rcb passende
Bestimmung von a, . . £ fur

«=_2,_1,0, + 1, +2
die Werthe

f(a -\- n ' — 2 . iv), f(a -\- n — \ , w), f{a -{- nw)y

/(« + w+ 1 . 2^;), /•(a + n + 2.2^)

und alle in der N&he von a -^ nw liegenden Functions-
werthe, wenn man f(pc) als das allgemeine Glied einer
arithmetischen Reihe vierter Ordnung betrachten kann,
Aus den funf Werthen folgt

151

a = /■(« -}- n »>)

- tV if "(a + M^ • ««) + r"X« + fT- i . «;))

Die weitere Entwicklung ist so wie in Art. 38.

Aus den Functionsw^then kann man auch die Werthe
der Differentialquotienten bestimmen.
Denn es ist

Fiir t; =: 0, d. h. f&r x^^a'\'nwy soil der Diflferential-
quotient mit f^ia + «m?) bezeichnet werden. Es ist daher

und ebenso

9) S. 100. Aus diesen Gran(}ssltzen entwickelte sich die
sogenannte Spharentheorie. Die WeltsphSre wird in
neun concentrische Sph&ren getheilt, in den ersten sieben
befanden sich diePlaneten, Mond, Sonne, Merkur u. s. w.
in der achten waren die Fixsteme, die neunte, das primum
mobile y umschloss die tibrigen and ertheilte ihnen die zur
Darstellung der Erscheinnng nothigen Bewegungen. Der
Widerspruch der festen Sphftren mit der epicyklischen
Bewegung der Planeten wurde erst durch Peurbach
(1423 — 1461) dadurch gelost, dass er den Sphftren eine
solche Dicke gab, dass der Planet mit sammt seinem
Epicykel zwischen der ausseren und inneren Flftche einge-
schlossen war. Durch Tycho, welcher die Kometen als

152

kosmische j^orper erkannte^ wurde die Ansicht der festen
Spharen zerstort.

10) S. 106. Der Unterschied zwischen der Lange in
der Bahn und der heliocentrischen Lange, d. i. die Grosse
u — (/—ft) heisst die Reduction auf die'Ecliptik,

Aus

tang « = ^^^i^-^)

° COS I

folgt nach 2) des Art. 44. wegen der Kleinheit von i
« _ (/ - ,^) = i^^ . sin 2 (/ - 5i).

Das Maximum == "'?^ V betragt fiir den Planeten

Mars 52".8. Keppler findet die Reduction kleiner als 1'.

Die alten Astronomen vernachlassigten die Reduction
und rechneten die Lange so, als ob die Bewegung des
Planeten in der Ecliptik geschehe.

11) S. 108. Bestimmung der Bahnelemente der oberen
Planeten nach 01. Ptolemaus.

Fiir die Elemente des excentrischen Kreises d. i. der
Excentricitat und der Lage der Apsidenlinie dienen die
Langen zur Zeit der Opposition.

Gegeben sind: Drei wahre Langen zur Zeit der Oppo-
sition und die zugehorigen mittleren Bewegungen*

1) Unter der Voraussetzung der „einfachen Excentricitat."
Fig. 20.^^ Es seien (Fig. 20) M^, M^y M^ drei

Orte eines oberen Planeten im excen-
"^ tfischen Kreise, der Mittelpunct F das
puncttim aequans.

Die Winkel M^ S M^, M^ S M^ sind

^ die wahren Beweguhgen von der ersten

zur zweiten, zweiten zur dritten Beob-

153

achtung, wahrend die Winkel M^FM^y M^FM^ die znge-
horigen mittleren Bew^angen sind.

Setzt man a=^ly nnd verlangert man SM^ bis zom
Puncte R mid zieht RM^j R^^y so kann man aus den
Dreiecken SRM^y SRM^ die Seiten RM^y RM^ durcb RS
und damit -^RM^M^ bestimmen. Dadnrch wird der Bogen
M^QR und damit RT und FT, wo T die Mitte von M^R
isty bekannt. Bestimmt man ausserdem RS aus RM^ oder
RM^y so erhalt man ST^RS— RT, und damit FS und
^ FST'y wodurch die Excentricitat und die Lage der
Apsidenlinie bekannt ist.

2) Fiir die ^^gleiche Theilung der Excentricitat" kann
man in erster Annaherung die Elemente nach 1) bestimmen.

Man bezeichne mit M den Durchschnittspunct des
Aequanten mit der Geraden FL der Fig. 8, so kann man
aus den genaherten Elementen den Winkel LSM bestimmen.
Diese Rechnung wird fur jeden der drei Orte durchgefiihrt,
dadurch erhalt man den Fall 1).

Nach dieser Methode findet Ptolemaus fur den Planeten
Mars e = 0.10, 77 = 295® SO'.

Das Verhaltniss des Badius des Epicykels zum Radius
des Excenters wird durch eine Beobachtung ausserhalb der
Opposition bestimmt .

12) S. 109. Die Rechnung fiir die Bestinmiung des
Punctes L stellt sich so: Man bestimmt die Sehne OC,
hierauf im Dreiecke COL, in welchem ^C 0L = 90® -\-2a
ist, die Seite OL und schliesslich im Dreiecke OSL die
SL = r und ^ OSL = 180® — v.

13) S. 122. Diese Bedingungen sind in der That hin-
reichend. Denn wird der Gleichung 1) geniigt, so liegen
die vier Puncte ^|, . . ^^ in einem Kreise. Wird der
Gleichung 2) genugt, so liegen die Puncte ^, 0, 5ineiner

154 •

Geraden^ wo der Mittelpnnct des Ereises ist. Der Winkel
OM^S kann namlich doppelt gerechnet werden, zunachst aas

und au8 O M^, SM^ nnd a SMy^\9ffi — PSM^, wo (T
der Durchschnittspunct der Geraden M^ mit der Geraden
F S ist. 1st nun der Punct Of mit dem Punct identisch,
80 mtissen die beiden Werthe von M^S Ubereinstimmen^
wenn man 0' if| = Radius des Kreises setzt. Da im Kreis-
viereck M^ . . M^ nun M^^s= M^ = dem Radius ist,
so ist der Mittelpunct desselben.

14) S. 123. Diese Rechnung ist bei Keppler so ge-
fuhrt: Die heliocentrische Breite folgt aus

sin b = sin i sin u,

a) Ist der Planet mit der Sonne in Opposition, so ist

R sin p

b) Fur Beob^chtungen ausserhalb der Opposition, er*
halt man r aus

r cos b sin (/ — A) =» /J sin (Z — A).

Fiir R nimmt Keppler einmal d^n Werth aus den tycho-

nischen Elementen, und dann den Werth R9=^l\ dadurch

erhalt er Grenzwerthe fur die Eio^entricitilt e, welche ihn

zum Verwerfen der stellvertretenden Hypothese veranlasstep.

15) S. 127. Dass in der NHfae dee Perihel und Aphel sich
die Zeiten, welche der Planet braucht um gleiche Bogen
zuruckzulegen, wie die Entfemupgen von der Sonne ver-
halten, wird im Sinne der Ptolemiiiscfaen Theorie so bewiesen :

Pi^ 21. E» ^^ (^'^K- 21) MEN eine

^ durch das punctum aequans F ge-

4^ ^B'^^^;:"''^^^ y \ *og^D^ Gerade, welche mit der

P Apsidenlinie PA einen sehr kleinen
Winkel bildet, so werden die Bdgen

155

PM und ^i^ in gleichen Zeiten zurUckgelegt. Da fiir
die Bdgen M P und A N die Sehnen gesetzt werden konnen
und A PMFo^ A AN F ist, so ist

PM:AN^FP:FA = SA:SP,
Oder PM'SP^AN'SA,

Ist P M ^=' msj AN^=^ns und t die Zeit, in welcher
der Bogen PM oder AN zuiiickgelegt wird, so sind die
Zeiten, in welcher ein Bogen s in der Nahe des Perihels

und Aphels znrfickgelegt werden, resp. { und 1; also ihr
Verhaltniss ^ S P : S A.

Sind w und w' die zugehorigen Winkel; so ist PM

^SP.tv, AN=SA.w und w : w' =^ S A^ : S P'^, welche
Gleichnng fiir alle Puncte der Bahn giltig ist; denn dieso
enthmt das zweite Gesetz.

16) S. 127. Sind r, r zwei Distanzen, a, a die Winkel
derselben mit ihren Tangenten an die Bahn, iy t die Zeiten,
in welchen die unendiich kleinen Bogen / = /' beschrieben
werden, so ist in Strenge

/ r sin a : r r' sin a' = / : ^' , oder
^ : ^ a= r sin a : r' sin a\

Der Fehler der Ableitung besteht darin, dass Keppler
statt des Verhliltnisses r sin a : r sin a das Verhftltniss
r : r setzt, dann aber das Verhaltniss Ir \l' r fUr das Ver-
hflltniss der Flachen nimmt; beide Fehler heben sich im
Resultate auf . Ftir die Apsidenlinie ist, wegen a=^t^ ^^^ 90^
i\( =r\ r,

17) 8. 131. Projicirt man den excentrischen Kreis
orthogonal auf eine Ebene, welche durch die Apsidenlinie
geht und deren Neigung b durch sin £ »= ^ bestimmt ist,
so ist die Neigung der Projection des Radius vectors im
excentrischen Kreise gleich der optischen Gleichung tp.

156

Denn ist M die Projection des Punctes L des .excen\
trischen Kreises^ so erhalt man aus dem durch die Ge-
raden SP^SLj 5 Jf bestimmten DreikantO; wenn ^LS'M^^
gesetzt wird, und v die wahre Anomalie des excentrisehen
Kreises bedeutet,

m

sin A = sin t? sin £ = ^ sin v = sin g?.
d. h. A == 9. Die Puncte M bilden eine Ellipse als Projec-

«

tion des excentrisehen Kreises. Vergl. Art. 2.

18) S. 135. Der Ursprung der Harmonic der Welt
— sich aussernd in einer Tonmythe — ist bei den Pytha-
goraern zu finden. In Plato's Republik heisst es: „Auf
jeder der acht Weltspharen (FixstemsphHre, . . Mondsphare.
Vergl. Anm. 9) sitzt eine Sirene, die mit herumbewegt
cinen Ton von sich gibt; alle acht Tone fliessen zusammen
zu einem iibereinstimmehden Einklang." CI. Ptolemaus
hatte sogar eine Harmonik verfasst, von deren 3. Buche
(vom 3. Cap. an) Keppler eine Uebersetzung liefert und
seine Resultate mit denen des Ptolemaus vergleicht. Tycho
fiillte den Weltraum mit Luft, welche von den kreisenden
Weltkorpern erschiittert, die Tone erzeugt. Keppler ist
gegen die Ansicht einer musikalischen Harmonic, weil
keine Musik des Weltraums existirt und die Bewegung der
Himmelskorper keine so heftige ist, dass man sic horen
konnte. Die Harmonien konnen daher nur vermittelst des
Lichtes, d. i. in den sichtbaren Bewegungen der Himmels-
korper wahrgenommen werden.

19) S. 138. Aus den tychonischen Beobachtungen ist
die schnellste und langsamste Winkel-Bew'egung eines- jeden
Planeten gegeben ; durch geringe Aenderungen dieser Zahlen
erhalt man harmonische Verhaltnisse fiir die Yergleichungen
1) und 2) des Art. 59. Umgekehrt: Ist das Gesetz der

157

Harmonien gegeben, so erhalt man aus dem Verhaltnisse
der schnellsten und langsamsten Bewegung die Excentricitat
und die mittlere Bewegung. Aus den Verhaltnissen der
mittleren Bewegungen erhalt man nach dem dritten Gesetze
die Verhaltnisse der mittleren Entfemungen.^ Die mittleren
Bewegungen bestimmt Keppler dadurch,' dass er vom
geometrischen Mittel aus der schnellsten und langsamsten
Bewegung den halben Unterschied zwischen dem arithme-
tischen und geometrischen Mittel derselben Zahlen abzieht.
1st daher g die grosstC; k die kleinste Winkelgeschwindig-
keit; so ist die mittlere

20) S. 142. Betrachtet man das Bahnstuck des Eometen
als eine vom Eometen gleichf5rmig durchlaufene Gerade,
so gilt dies auch von den Projectionen auf die Coordinaten-
axen. Es ist daher

Schaflft man die Briiche weg und setzt i -\- i' = t\ so wird

tx — t'x -^ /'V = 0, und ebenso

tz — iz' + fz' = 0,

welche Gleichungen aus den in Art. 15. gemachten Voraus-
setzungen hervorgehen, die fiir die praktische Berechnung
nicht recht zulassig sind.

N a c h t r a g.

Zum Schluss moge noch folgende kurze Bemerku&g
hier Platz iinden.

Die Bestimmung einer elUptischen Bahn aus drei Orten
stutzt sich auf die Hypothesen fiir die GrSssen P und Q,
deren genaue Werthe durch die beiden Systeme von Glei-
ehungen

( 1 ) P = ~K ' ~7f 9 (/ == 7? n 7 -p w

^ ^ 9" y ' yy rr eosfcosf cos/^

N / •• oin i«i __ •11' «i e*c\a X. r«i ,^_ m I

»')

r sin(» — vy p cos J (u — v)

gegeben sind.

In der ersten Hypothese werden fiir P und Q reap. -^

und '9'^" gesetzt. In der zweiten Hypothese werden die
genaueren Werthe von P und Q nach den Gleichungen (1)
gerechnet. Es hat den Anschein, ak ob es viel bequemer
ware, die zweite Hypothese nach den Gleichungen (2) zu
rechnen. Dies ist jedoch nicht der Fall. Nach den Glei-
chungen (1) berechnet man fiir die neuen Werthe von P
und die bei der ersten Hypothese vemachlSssigten kleinen
Grossen besonders; die Grossen y, y" konnen daher etwa
rait fiinfstelligen Logarithmen-Tafeln gerechnet werden,
selbst, wenn die Werthe von P und Q auf sieben Stellen
angesetzt werden. Nach den Gleichungen (2) jedoch gehen
die Fehler von r, r% r", v' — v, v" — v' der ersten Hypothese
unmittelbar auf die Grossen P und Q iiber.

159

Dasselbe gilt audi fur die folgenden Hypothesen,
oder, wenn man sich bei bereits naherungsweise bekannten
Bahnen aus den Elementen die erste Hypothese fiir P und
Q rechnet.

Bei ganz unbekannten Babnen kann man im Allgemei-
nen behaupten: Die erste Hypothese fur P und Q liefert
die Grosse Q) — auf deren Bestimmung es hauptsachlich
ankommt — bis auf einen Fehler der ersten oder (bei
gleiehen Zwischenzeiten) zweiten Ordnung; die zweite Hy-
pothese bis auf einen Fehler der dritten oder vierten Ord-
nung; wenn die Grossen P und Q nach den Gleichungen
(1) berechnet werden; u. s. w.

Analoges gilt bei der Bahnbestimraung aus vier Orten.

a

i>

• >

• . ♦