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Full text of "Handbuch der Theorie der Cylinderfunktionen"

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HA  N  DP.  U  OH 


DER  THEORIE  DER 


CYLINDERFUNKTIONEN 


VON 


Db    NIELS  NIELSEN 

PRIVATDOCENT  AN  DER  UNIVEKSITÄT  K OPF.NHAtiEN, 
IMSPEKTOR  DES  MATHEMATISCHEN  UNTERBICHTS  AN  DEN  GYMNASIEN  DÄNEMARK». 


LEIPZIG, 
DRUCK   UND  VERLAG  VON   B.  G.  TEUBNER. 

1904. 


^08 


AliLE  HECHTE,  ErNSCHLIESZLICH  DES  ÜBERSETZITNGSRECHTS,  VORBEHALTEN. 


HERRN 

Professor  Dr.  C.  NEHMANN 

IN  LEIPZIG 

IN  GRÖSSTER  HOCHACHTUNG  UND  VEREHRUNG 

GEWIDMET 

VOM  VERFASSER. 


Vo  1- wor  t, 


Die  in  diesem  llandbuche  entwickelte  Theorie  der  Cylinder- 
funktionen  weicht  von  früher  gegebenen  beträchtlich  ab;  in  der  Tat 
ist  sie  mit  Ausnahme  der  Kapitel  Vll,  XI,  XXVI  und  XXVII  zum 
gr()ßten  Teile  das  Ergebnis  eigener  Untersuchungen.  Natürlich  ist 
trotzdem  ein  großer  Teil  der  gewonnenen  Sätze  und  Formeln, 
jedenfalls  in  etwas  speziellerer  Form,  altl)ekannt. 

Es  ist  überall  mein  Hauptbestreben  gewesen,  die  Ergebnisse  in 
ra(")glichst  allgemeiner  Form  und  nach  möglichst  allgemeinen  Prin- 
zipien herzuleiten.  Daher  kommt  es,  daß  ich  im  ersten  Teile  die 
Funktion  TT''''U'')  von  Lommel  und  die  ähnliche  Funktion  O'' ?(./;) 
so  ausführlich  behandelt  habe;  denn  ohne  eine  eingehendere  Theorie 
dieser  Funktionen  ist  ja  in  der  Tat  die  systematische  Darstellung 
der  Theorie  der  bestimmten  Integrale  mit  Cylinderfunktionen  sowie 
der  Nullentwicklungen  in  den  Schlömilchschen  Reihen  so  gut 
wie  unmöglich.  Überdies  ist  zu  bemerken,  daß  die  Lomme Ische 
Funktion  schöne  Anwendungen  der  Fourierschen  Reihen  nach 
Cylinderfunktionen  erlaubt. 

Die  im  zweiten  Teile  gegebene  Theorie  der  bestimmten  Integrale 
mit  Cylinderfunktionen  scheint  ganz  und  gar  neu  zu  sein  und  wird 
hier  zum  ersten  Male  veröffentlicht.  Über  die  Anwendung  der  all- 
gemeinen Prinzipien  dieser  Theorie  habe  ich  noch  zu  bemerken, 
daß  man  die  dort  vorkommenden  allgemeinen  bestimmten  Integrale 
mit  Cylinderfunktionen  durch  die  partikulären  Integrale  der  all- 
gemeinen Differentialgleichungen  hätte  ausdrücken  können,  so  daß 
es  nicht  nötig  gewesen  wäre,  jedesmal,  wie  es  im  Buche  geschieht, 
eine  besondere  Konstantenbestiramung  zu  geben. 

Indessen  habe  ich  doch  vorgezogen,  dieser  allgemeinen  Methode 
nicht  zu  folgen,  weil  ich  dann  eine  große  Menge  allgemeinerer 
Funktionen  hätte  einführen  müssen,  um  sie  schließlich  doch  nur  für 
Spezialisierungen  der  Parameter  zu  brauchen.  Dazu  kommt  aber 
noch,  daß  in  diesem  Falle  die  allgemeinen  Konstantenbestimmungen, 
wie  es  scheint,  überaus  große  Schwierigkeiten  darbieten. 


VI  Vorwort. 

Was  die  Bezeiclinungen  betrifft,  so  schien  es  mir  ratsam,  den 
noch  recht  häufig  gebrauchten  Namen  „Besselsche  Funktionen"  über- 
haupt fallen  zu  lassen;  denn  erstens  hat  Bessel  nur  J''(x)  und  nur 
für  ganze  Werte  des  Parameters  v  untersucht,  und  zweitens  haben 
Daniel  BernouUi,  Euler,  Laplace,  Parseval,  Carlini,  Fourier 
und  Poisson  diese  Fimktion  jedenfalls  vor  der  Veröffentlichung 
der  Be  SS  eischen  Abhandlung  gekannt;  man  darf  hier  wohl  auch 
auf  die  analogen  Bezeichnungen  wie  elliptische  und  Kugelfunltionen 
hinweisen.  Indessen  hat  doch  eben  Bessel  zuerst  die  Grundzüge 
einer  wirklichen  Theorie  der  /-Funktion  gegeben;  daher  schlage  ich 
vor,  die  Funktion  J''{x)  als  die  Besselsche  Cylinderfimldion  zu  be- 
zeichnen, während  ich  Y^'{x)  die  Neumann  sehe  Cy  linder  funktion 
nenne,  weil  Neumanu  zuerst  die  Funktion  Y"(x)  für  willkürliche 
ganze  Werte  des  Parameters  n  aufgestellt  hat. 

Die  Cy  lind  erfunktionen  dritter  Art  oder  die  Hankeischen  Cylinder- 
funktionen  H/(x)  und  H^^'ix)  scheinen  hier  zum  ersten  Male  syste- 
matisch eingeführt  zu  werden,  und  doch  sind  gerade  sie  ihrer 
asymptotischen  Ausdrücke  wegen  von  fundamentaler  Bedeutung. 

Die  Bezeichnung  .,Besselsche  Funktionen  der  ziveiten  Ärf  für 
die  Funktionen  0^[x),  S"{x),  T"(x)  und  U"(x)  scheint  mir  ganz 
und  gar  unrichtig;  denn  erstens  genügen  diese  Funktionen  nicht 
den  Fundamentalgleichungen  der  Cylinderfunktionen,  und  zweitens 
habe  ich  die  Existenz  ganzer  Funktionenklasseu,  die  diese  Be- 
zeichnung ebensogut  verdienen,  außer  allen  Zweifel  gesetzt;  so  findet 
man   in   meinem  Buche    ein   solches  System    in   £)'"{pc),   ©"(a;)    und 

Da  mein  Handbuch  nur  die  Theorie  und  die  analytischen  An- 
wendungen der  Cylinderfunktionen  bietet,  die  physikalischen  Anwen- 
dungen aber  gar  nicht  berührt,  habe  ich  mit  großer  Sorgfalt  ein, 
wie  ich  hoffe,  ziemlich  vollständiges  Verzeichnis  der  gesamten  Lite- 
ratur über  Theorie  und  Anwendungen  der  Cylinderfunktionen  über- 
haupt geboten,  so  daß  auch  derjenige  Leser,  der  die  Anwendungen 
sucht,  hier  eine  erste  Orientierung  finden  dürfte. 

Im  Anhange  findet  man  die  im  Texte  gebrauchten  Formeln 
und  Lehrsätze  aus  andern  in  den  Lehrbüchern  gewöhnlich  nicht 
behandelten  Teilen  der  Analysis  übersichtlich  zusammengestellt  und 
hier  und  da  mit  Beweisen  versehen.  Ein  solcher  Anhang  empfahl 
sich  besonders  deshalb,  damit  die  betreffenden  Formeln  im  Texte 
nicht  immer  und  immer  wieder  ausdrücklich  niedergeschrieben  zu 
werden  brauchten. 


Vorwort.  VII 

Ich  oilüul)»'  mir  bei  dieser  (jlelig«Mibt'it  »laruiii'  aul'merksain  /u 
iiiacluni,  dab  der  letzte  Abschnitt  des  Anhanj^es  eiiii»^e  Zusätze  und 
BeriehtijTuugen  zum  Texte  gibt. 

Möchte  nun  mein  llaiidlnicli  eine  uaclibaltige  Anregung  dazu 
geben,  die  Theorie  der  Cylinderfunktionen,  indem  man  Mängel  der 
jetzigen  Theorie  verbessert  ujul  etwaige  Lücken  ausfüllt,  noch  weiter 
auszul)auen,  damit  diese  Funktionen  in  Zukunft  im  Systeme  der 
bekannten  speziellen  Funktionen  wegen  ihrer  Einfachheit  und  Wich- 
tigkeit unmittelbar  nach  den  Kreisfunktiouen  eingeordnet  werden 
können;  die  volle  Berechtigung  dazu  gewährt  ihre  analytische  Natur 
und  ihre  reiche  Anwendbarkeit  sowohl  in  der  Aiialysis  als  in  der 
mathematischen  Phy.sik. 

Mit  der  Vollendung  meines  Handbuches  der  Theorie  der  Cylinder- 
funktionen einen  wichtigen  Abschnitt  meiner  Jugenduntersuchungen 
—  vielleicht  für  immer  —  verlassend,  empfinde  ich  es  als  teuere 
Pflicht,  mehreren  älteren  Fachgenosseu  hier  meinen  herzlichsten  Dank 
auszusprechen:  den  beiden  gi'oßen  Meistern  Herrn  Geheimrat  Pro- 
fessor Dr.  (J.  Neu  mann  in  Leipzig  und  Herrn  Senator  Professor 
Dr.  U.  Dini  in  Pisa,  deren  Schüler  ich  leider  nur  durch  ihre  Publi- 
kationen gewesen  bin,  die  aber  nicht  nur  meinen  hierher  gehörigen 
Untersuchungen,  sondern  meinen  mathematischen  Arbeiten  über- 
haupt  stets  mit  freundlichem  Interesse  gefolgt  sind;  den  beiden  aus- 
gezeichneten dänischen  Mathematikern  S.  Excelleuz  Herrn  Kriegs- 
minister V.  H.  0.  Madsen,  Generalmajor  der  Artillerie,  und  Herrn 
Dr.  J.  P.  Gram,  Direktor  der  Versicherungsanstalten  „Hafnia"  und 
„Skjold",  die  —  ohne  Vorlesungen  zu  halten  —  durch  ihre  Auf- 
munterung unter  schwierigen  Verhältnissen,  durch  ihre  Ratschläge 
und  durch  ihre  Kritik  auf  meine  mathematische  Entwicklung  einen 
großen  Einfluß  gehabt  haben;  meinem  Freunde  Herrn  Professor 
Dr.  J.  H.  Graf  in  Bern  für  unsem  schriftlichen  und  mündlichen 
Gedankenaustausch  und  Herrn  Professor  Dr.  A.  Wangerin  in  Halle 
für  die  ebenso  wohlwollenden  als  gründlichen  Besprechungen,  die 
er  im  Jahrhuch  über  die  Fortschritte  der  Mathematik  meinen  zahl- 
reichen Abhandlungen  hat  angedeihen  lassen  und  die  mir  unter  der 
Last  der  Arbeit  eine  starke  Aufmunterung  gewährt  haben. 

Endlich  muß  ich  vor  allem  noch  der  Verlagsbuchhandlung  für 
ihr  freundliches  Entgegenkommen  und  für  die  schöne  Ausstattung 
des  Buches  meinen  besten  Dank  aussprechen. 

Kopenhagen,  den  1.  November  1903. 

Dr.  Niels  Nielsen. 


Inhalt. 

Erster  Teil. 
Fnndameiitaleigeiischafteii  der  CyliiKlerfiiiiktionen. 

Kapitel  I.   Die  vier  spezieUen  t'jlinderfiiuktioiieii.  ^^.^^ 

§     1.    Definition.     Einführung  von  J''(x) 3 

5?    2.    Fundamentaleigenschaften  der  Funktion  J''(.r) g 

§    3.    Die  Cylinderfunktion  zweiter  Art  Y''{x)   . "     lo 

§    4.    Die  Cylinderfunktionen  dritter  Art  II/(x)  und  11," (x)     .    .    .    .    .  iq 

§    5.    Umlaufsrelationen  der  vier  speziellen  Cylinderfunktionen ig 

§    6.    Über  das  Produkt  r'{ax)J^{ßx) .    .  20 

§    7.    Fundamentalformel  von  Lommel      22 

§    8.    Verallgemeinerungen  einiger  Formeln  von  Bessel  .......'.  24 

Kapitel  II.    Eigen  Schäften  der  willkürlichen  Cyliuderfnuktionen. 

§    9.    Bestimmung  der  allgemeinen  Cylinderfunktionen   ....  25 

§  10.    Differential eigenschaften  der  Cylinderfunktionen    .........  27 

§11.    Reduktionsformel  für  C'±"(a:).    Bestimmung  von  J"  +  i (.t)    ....  29 

§  12.    Fundamentaleigenschaften  des  Lommelschen  Polynomes  32 

§13.    Differentialeigenschaften  des  Lommelschen  Polynomes .    .    .    .    .  35 

§  14.    Ketteubruchentwicklungen  und  ähnliche  Darstellungen         37 

§  15.    Die  Funktion  B^.C'\x)  für  ganze  v 40 

§  16.    Andere  Beweise  der  Lommelschen  Fundamen talformel  .    .    .    '    ."    .    '  42 

Kapitel  III.    Elementare  Integraldarstelluugen  mid  Verallgemeinerimeeu 
der  Besselschen  Cylinderfunktion. 

§  17.    Erstes  Integral  von  Bessel  und  die  Funktionen  V" (.-r) ,  Q"(x)  und  T"(x)  Ai 

§  18.    Zweites  Integral  von  Bessel  und  die  Funktion  Z''(x)    ...  51 

§  19.    Das  Integral  von  Hansen  und  die  Funktionen  0'(.r),  A''{x)  und  'v'(x)  56 

§  20.    Zwei  Integralklassen.     Formeltafeln.     Die  Funktion  M"{x)     .        .    .  59 

n+v  n—v 

§  21.    Integralausdrücke  für  das  Produkt  f^(x).f^(x),  n  ganz  63 

!  o!'    ^""ff  Entwicklungen,  die  nach  Cylinderfunktionen  fortschreiten  65 

^  2.-i.    Die  Besselsche  Auflösung  der  Keplerschen  Gleichung  69 
§  24.    Die  Funktionen  li  e--  (;.(x),  S,{x)  und  die  Integrale  von  Kramp  und 
Fresnel  . 

71 

Kapitel  IV.    Unbestimmte  Integrale  und  unendliche  Reihen  mit  Cylinder- 

funktionen. 

§  25.    Verallgemeinerung     der     Fundamentalgleichungen     der     Cvlinder- 

iunktionen     .  „, 
75 

§26.    Reduktion  von  B'±"(a;).     Anwendung  auf  i2'''"(.-r)            78 

§  27.    Unbestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen                          •    •    •    •  ^^ 

§  28.    Herleitung  eines  Integrales  mit  zwei  Cylinderfunktionen         '    '    '    '  83 


§ 

29 

§ 

3ü. 

8 

31. 

§ 

32. 

§ 

33. 

§ 

31. 

Inhalt.  IX 

Kapitel  V     l>ic  l.oiiinulMhe  Funktion  n''^'(x).  ''•'"" 

Fuudameataleigeuöchat'ten  von  TT*''^'(a-) 86 

Spezialfälle  der  Loiumelschen  Funktion 8'J 

I>it'  nitl't'ri'uti:il|^'k'irluin>;  für  TT'''-'m) '.H 

Kleuientare  Integrulilarstellunf^on  für  n''"(.r) <j.l 

Anwendungen  von  TT''^'(^')  'i^f  Heilu-n  und  Integrale 96 

Anwendungen  auf  die  Funktionen  li  r""^,  Ci {x)  und  Si{a:),K{x),  Fi{x) 

und  i*o(a-)                      100 

Kapitel  VI.    Die  Funktionen  <i>'''-!  x)  und  n'-^^C^;). 

§  35.  Fundamentale  Eigenschaften  von  <i>'''-'(.r) 103 

§  36.  Spezialfälle  von  <t>'''"{x) 105 

§  37.  Anwendungen  von  <t>''''i'x)  auf  Reihen  und  Integrale 107 

§  38.  Fundamentale    Eigenschaften   der  Funktion  TT'''"'"(a-) lOH 

§  39.  Ueihcnentwicklungeu  für  TT'''''''(x-) 111 

§  40.  Spezialfälle  der  Funktion  TT'''^''''(x) 113 

Kapitel  VII.   Allgemeine  lutegraldarstelluugcu  von  SchläQi  und  Sonin. 

§  41.  Allgemeine  Methode  von  Sonin 114 

§  42.  Diskussion  von   f/, .     Integrale  von  Schläfli  und  Soniu 116 

t)  43.  Diskussion  des  Integrales   U^' 120 

§  44.  Diskussion  der  Integrale  U^  und   LL^ 123 

§  45.  Diskussion  des  Integrales  U^ 124 

§  46.  Integraldarstellungen  von   Y"(x),  S"{x),  0''{x),  ©"(«)  und  D"ix)     .  127 

Kapitel  VIII.    Lineare  Diflferentialgleicliungcn  für  die  Cylinderfunktionen. 

§  47.    Transformation  der  Besselschcu  Gleichung 129 

§  48.    Integration  der  Riccatischen  Gleichung 131 

§  49.    Difterentialgleichung  für  a;"e±''^^^C'(ßx>') 132 

§  50.    DiflCerentialgleichungen  dritter  Ordnung 133 

§  51.    Differentialgleichungen  vierter  Ordnving 137 

§  52.    Diffei'entialgleichuugen  willkürlicher  Ordnung 139 

§  53.    Einige  Anwendungen  auf  partielle  Differentialgleichungen 141 

Kapitel  IX.   Lineare  Differentialgleichungen  für  das  Produkt  C''(a;)(7/'(a;), 

§  54.    Herleitung  einiger  Spezialfälle 144 

§  55.    Die  Differentialgleichung  cbitter  Ordnung  für  C '' (x)  Cj *' (x) 146 

§  56.    Die  Differentialgleichung  vierter  Ordnung  für  C^{x)C^^{x) 148 

Kapitel  X.   Angenäherte  Darstellungen  einer  Cylinderfunktion. 

§  57.  Die  Hankeischen  Integrale 149 

§  58.  Asymptotische  Reihen  für  H^^{x)  und  H,/{x) 153 

§  59.  Asymptotische  Entwicklungen  für  ./''(«)  und   Y''(^) 1^^ 

§  60.  Numerische  Tafeln  für  Cylinderfunktionen 157 

Kapitel  XL    Nullstellen.    Untersuchungen  von  Hurwitz. 

§  61.  Allgemeine  Sätze  über  die  Nullstellen  einer  Cylinderfunktion    .    .    .  159 

§  62.  J^'{x)  als  gleichmäßige  Grenze  der  Lommelschen  Polynome   ....  163 

§  63.    Die  Funktionen     „(^a;)  bilden  eine  Sturmsche  Kette 166 

§  64.    Über  die  Nullstellen  von  (/„(.i?) 168 


X  Inhalt. 

Seite 

§  65.    Satz  von  Hurwitz  über  clio  Nullstellen  von  J^{x) 170 

§  66.    Angenäherte  Lage  der  Nullstellen.     Sätze  von  Schafheitlin    ....  172 
§  67.    Sätze  von  Schafheitlin  über  die  Nullstellen  von   Y'"{x) 175 


Zweiter  Teil. 
Bestimmte  Integrale  mit  Cyliiiderfunktionen. 

Kapitel  XII.   Integralbestiiiimungen  durch  Reihenentwickluugeu. 

§  68.    Anwendungen  des  ersten  Eulerschen  Integrales 179 

§  69.    Integrale  von  Gegenbauer 181 

§  70.    Anwendungen  des  zweiten  Eulerschen  Integrales 183 


CO 


§  71.    Bestimmung  von    f  e~'^T {tx)i^dt 187 

0 

§  72.    Bestimmung  des  Weberschen  Fundamentalintegrales 188 

Kapitel  XIII.   Integraldarstellungen  der  hypergeouietrischen  Funktion. 

§  73.  Allgemeine  Formeln 191 

§  74.  Integrale  mit  einer  trigonometrischen  Funktion 195 

§  75.  Diskontinuierliche  Faktoren  von  Dirichlet  und  Weber 198 

§  76.  Integraldarstellungen  der  Kugelfunktionen 200 

Kapitel  XIV.    Über  die  Integrale  der  DiflFerentialgleichung  von  Malmsten. 

§  77.  Erste  Methode 203 

§  78.  Zweite  Methode 206 

§  79.  Dritte  Methode 208 

§  80.  Vierte  und  fünfte  Methode 209 

Kapitel  XV.   Anwendungen  der  ersten  Methode. 

§  81.    über  das  Integral    C  C {tx)t^  {t'-\- y^f  dt 211 

0 

§  82.  Erster  Fall:   Integraldarstellungen  für  C {x) C^'' {x) 213 

§  83.  Zweiter  Fall:  Weitere  Integralausdrücke  für  C''(a;)C/(a?) 216 

§  84.  Dritter  Fall:   Integralausdrücke  für  TT'''^(«) 218 

§  85.  Vierter  Fall:  Verallgemeinerung  eines  Integrales  von  Sonin   ....  220 

§  86.  Verallgemeinerung  zweier  Integrale  von  Weber  und  Mehler  ....  221 

§  87.  Verallgemeinerung  eines  Integrales  von  Meissel  und  Weber  ....  224 

§  88.  Asymptotische  Ausdrücke  für  die  Lommelsche  Funktion 227 

Kapitel  XVI.   Weitere  Anwendungen  der  ersten  und  zweiten  Methode. 

CO 

§  89.    über  das  Integral  f  C {tx)C^''{tx){t^-\- y^ft^dt 231 

0 

§  90.    Integraldarstellungen  für  die  Poissou-Angersche  Funktion 232 

§  91.    Integraldarstellungen  für  die  Funktion  Z*'{x) 234 

CO 

§  92.    Über  das  Integral    C C\tx){t-\-yft^dt 237 

0 


Inhalt.  XI 

Kapitel  XMl     Auwoudiiugcii  «lor  drittoii  und  vierten  Methude. 

§  «J3.    über  die  luicgrAlv  J  e~  "' C*  {tx)t^  {t-\-  y)" dt  und 

0   »         y 

j\"'--ic\tx)t^-\n -240 

0 

§  94.  Verallgemeinerung  eines  Integrales  von  Sonin *241 

4)  yö.  Asymptotische  Darstellung  der  Funktion  (J>''"(.i-j 242 

§  Ü6.  Integralauridrücko  für  die  Hankelscben  Cylindert'unktionen 244 

§  97.  Vt'rallgemeinening  eines  Doppelintegrales  von  Meissel        245 

Kapitel  XVIII.    Diskontinuicrliehe  Faktoren. 

tj     98.    Anwendungen  der  Residuenrcchnung 247 

§     99.    Spezialisicniiigen  der  allgemeinen  Forni<'lu 250 

§  100.  Verallgemeinerungen  eines  FundameutalintegriileH  von  Sonin   .    .    .  252 

§  101.    Verallgemeinerungen  anderer  Integrale  von  Sonin 257 

Dritter  Teil. 
Entwicklungen  analytischer  Funktionen  nach  Cylinderfunktionen. 

Kapitel  XIX.  Kutwicklung  einer  Fakultäteurelbe.  Die  Reihe  Ir/„.r",7' +"(.i). 

§  102.    Allgemeine  Prinzipien 261 

§  103.    Entwicklung  einer  Fakultätenreihe  mit  dem  Argumente  v    .    .    .    .  262 
§  104.    Anwendungen.     Die  Besselsche  Additionsformel 265 

— )  /'"'""(.t) 266 

§  IOC.    Entwicklungen  von  J^{x).     Reduktionsformel  für  R''''"{x)    ....  268 

Kapitel  XX.   Die  Neuuiauuscheu  Keiheu  erster  Art. 

§  107.    Allgemeine  Formeln 270 

§  108.    Anwendungen.     Entwicklung  von  273 

y     -^ 

§  109.    Entwicklung  von  ,J'^'{ax).    Die  Reihe  e+'-^If7„J''  +  "(a;) 275 

§  110.  Entwicklungen  von  cos(aa;),  sin  (ora;)  und  J" ~ T (.-c  sin ö) 277 

§  111.  Formeln  von  Neumann,  Clebsch  und  Gegenbauer 278 

§  112.  Entwicklung  einer  Funktion  von  der  Form  f{y  —  x) 281 

§  113.  Die  Funktionen  0"(i/)   und  S"(2/),  D^'Cy)  und  &' {y) 284 

§  114.  Allgemeine  Additionsformel  von  Sonin 286 

§  115.  Verallgemeinerungen  von  Ä'*''"(x).  Die  Differentialgleichung  §  31,  (7)  288 

Kapitel  XXI.   Die  Neumannschen  Reiheu  zweiter  Art. 

§  IIG.    Allgemeine  Formeln 292 

8  117.    Anwendungen.     Entwicklung  von  294 

y-x 

§  118.    Andere  Entwicklungen  nach  Produkten  zweier  Cylinderfunktionen    297 
§  119.  Über  die  Reihe  Ia„J''  +  "(a;),7^-''(a;) 298 

Kapitel  XXII.    Die  Kapteynschen  Reihen  erster  und  zweiter  Art. 

§  120.    Formale  Entwicklung  von  x^  in  eine  Reihe  der  ersten  Art ....  300 

§  121.    Unbedingte  Konvergenz  der  Entwicklung  für  «'' 302 

§  122.    Die  allgemeine  Kapteynsche  Reihe  der  ersten  Art 304 

§  123.    Die  Kapteynschen  Reihen  der  zweiten  Art 306 


Xn  Inhalt. 

Seite 

Kapitel  XXIII    Analogrien  zwischen  den  >enniannschen  und  den 

Kapteynschen  Reihen. 

§  124.    Entwicklungen  ein  und  derselben  Funktion  f(ax) 309 

§  125.    Kapteynsche  Reihen  für  die  Funktion  313 

y—x 

§  120.    Neue  Herleitung  einiger  Reihen  der  zweiten  Art 316 


Vierter  Teil. 
Darstellniigen  willkürlicher  Funktionen  durch  Cylinderfunktionen. 

Kapitel  XXIV.    Allgemeine  Funklionentypeu  mit  einem  Invariahilitäts- 

bereiche. 

§  127.    Verallgemeinerung  der  Kreis-  und  Cylinderfunktionen 323 

§  128.    Summation  einiger  Reihen,  welche  nach  F{ci^  x)  und  '^{a,  x)  fort- 
schreiten    326 

§  129.    Neue  Auflösungen  der  Keplerschen  Gleichung 330 

§  130.    Anwendung  der  Funktion  f(a,x)  =  co-x 334 

Kapitel  XXV.    Nullontwicklungen  in  den  Sehlöniilchschen  Reihen. 

§  131.    Allgemeine  Summenformeln 337 

§  132.    Anwendungen  der  Lommelschen  Funktion 342 

§  133.    Anwendungen  von  Produkten  zweier  /-Funktionen 345 

§  134.    Die  Schlömilchschen  Reihen  gestatten  sämtlich  eine  Nullentwicklung  347 

Kapitel  XXVI.    Theorie  der  Fouriersehen  Reihen  nach  Dini. 

§  135.    Sätze  von  Dini 352 

§  136.    Entwicklung  von  TT''''?(«).     Die  Produktdarstellung  von  .r'{x).    .    .  355 

§  137.    Reziproke  Potenzsummen  der  Wurzeln  or„''  nach  Graf 358 

Kapitel  XXVII.   Integraldarstellungen  nach  Neumann  und  Hankel. 

§  138.    Das  dreifache  Integral  von  Neumann 360 

§  139.    Herleitung  einiger  Grenzwerte 364 

§  140.    Das  Hankeleche  Umkehrproblem 366 

Anhang.  —  Hilfsformeln  und  Zusätze. 

A.  Die  Gammafunktion 371 

B.  Die  hypergeometrische  Funktion 375 

C.  Die  Kugelfunktionen 377 

D.  Zwei  Inte<?ralidentitäten 379 


"o-^ 


E.    Trigonometrische  Reihen 381 


*o 


F.    Zusätze  und  Berichtigungen 387 

Literaturverzeichnis 389 

Alphahetisches  Register .  .  .  405 


ERSTER  TEIL. 

FUNDAMENTÄLEIGENSCHAFTEN 
DEE  CYLINDEREUNKTIONEN. 


Nielsen,   Cylinderfunktionen. 


Kapitel  I. 
Die  vier  speziellen  ('\iiii(lerfiiiiktioiieii. 

§  1.     Definition.     Einführung    von    J*'(x). 

Wir  bezeiclmen  als  Cylinderfuiiktiou  mit  dem  Argumente  x  und 
dum  Piirameter  v  eine  willkürliche  Lösung  folgender  zwei  Funktional- 
gleichungen 

(1)  C^-\x)-C^^\x)=^2D^C^Xx), 

(2)  C^-\x)  +  C^^\x)=^^^^C^{x), 

die  wir  der  Kürze  halber  häufig  als  erste,  beziehungsweise  zweite 
Funktionalgleichuug  der  Cylinderf'unktioneu  bezeichnen  werden.  Durch 
Addition  oder  Subtraktion  von  (1)  und  (2)  erhält  man  folgendes 
andere  System  von  Gleichungen 

(3)  I)..C^ix)^-^C^{x)-i-C^-'(x), 

(4)  D^C^ix)=^^C^ix)-C^'^\x), 

die  man  statt  (1)  und  (2)  als  Definition  der  Cylinderfunktionen 
nehmen  kann;  denn  diese  beiden  Systeme  von  Gleichungen  sind 
oflFenbar  miteinander  identisch. 

Um  nun  den  Ausdruck  für  die  allgemeine  Cylinderfuuktion  zu 
finden,  beweisen  wir  zuerst,  daß  die  Gleichungen  (1)  und  (2)  oder, 
was  dasselbe  ist,  (3)  und  (4)  eine  Lösung  besitzen,  welche,  vom 
Faktor  rr''  abgesehen,  eine  ganze  transcendente  Funktion  der  zwei 
Veränderlichen  x  und  v  ist.  Wir  betrachten  daher  vorläufig  nur 
solche  Cylinderfunktionen,  für  welche  eine  der  drei  Derivierten 

(5)  DJC^'i^),  D.C^-\^),  Dß^'^\x) 

existiert;  denn  die  Gleichungen  (3)  und  (4)  zeigen  unmittelbar,  daß, 
falls  man  nur  eine  von  diesen  Funktionen  bilden  kann,  die  beiden 
anderen  gleichfalls  existieren  müssen. 


4  Erster  Teil.    Fundamentaleigenscliaften  der  Cylinderfunktionen. 

Unter  diesen  Voraussetzungen  findet  man  aus  (4) 


X'-         ^   '  X 


nimmt  man  nun  wieder  aus  (4)  die  Funktion  D^C^{x),  während  man 
D^G^-^'^ix)  aus  (3),  für  v -\- \  statt  v,  entnimmt,  so  findet  man 

^/^"(^)  =  {^.  -  l)  C'i.^)  +  ^  C^^K^)  -  ^  G\x)  ; 

addiert  man  endlich  zu  dieser  Formel  die  mit  x  dividierte  Glei- 
chung (4),  so  findet  man  für  die  oben  erwähnten  spezielleren  Cylin- 
derfunktionen folgende  lineare  Differentialgleichung  der  zweiten 
Ordnung 

(6)  y^''  +  \  y^'^  +  {^-$)y-  0; 

die  man  häufig  als  die  Besselsche  Differentialgleichung  bezeichnet. 
Hieraus  geht  hervor,  daß  sich  die  Cylinderfunktionen,  für  welche 
eine  der  Derivierten  (5)  existiert,  in  der  ganzen  a;-Ebene,  die  zwei 
singulären  Stellen  x  =  0  und  a;  =  oo  ausgeschlossen,  regulär  ver- 
halten, weil  sie  immer  der  Differentialgleichung  (6)  Genüge  leisten 
müssen. 

Versucht  man  nunmehr  die  Gleichung  (6)  durch  eine  Reihe  von 
der  Form 

«  =  00 

n  =  0 

ZU  integrieren,  wo  die  Koeffizienten  a  von  x  unabhängig  sind,  so 
erhält  man  zur  successiven  Bestimmung  dieser  Koeffizienten  un- 
mittelbar die  allgemeine  Rekursionsformel 

(7)  (p  -  V  +  W)(?  +  ^  +  ^)««  +  %-2  =  0; 
während  der  Anfangsexponent  q  sich  durch  die  Gleichung 

(8)  {Q-v)iQ  +  v)  =  0 

bestimmen  läßt. 

Betrachtet  man  zuerst  die  Wurzel  ^  =  -f  v  und  setzt  man 

_  1 

^0  —  2''r(i'-f  1) ' 

so  findet  man  aus  (7)  unmittelbar,  daß 

sein  müssen,  so  daß  sich  ein  partikuläres  Integi-al  von  (6)  durch 
die  Entwicklung 


Kapitel  I     Die  vier  speziellen  Cylinderfunktionen.    §  1. 

r  +  'in 


-^m 


(9)  ».-./'W  =  2'„,r,,  +  „  +  ., 

tlarsteÜL'H  lilbt,  wo  die  willkürliclie  Potenz  x'  auf  «geeignete  Weise 
deHuiert  worden  niuB.  W't'iin  v  keine  rationale  Zahl  bedeutet,  so  ist 
die  t/Funktion  unendlich  vieldeutig,  weil  sie  dann  im  Punkte  x  =  0 
einen  Verzweigungspunkt  hat,  der  durch  Umlaufen  der  Variabein  x 
unendlich  viele  Werte  der  Funktion  hervorbringen  kann.  Wir  haben 
diese  Verhältnisse  später  in  §  5  zu  untersuchen. 

Es  ist  auBer  allem  Zweifel,  daß  die  Funktion  J*'(x)  ein  parti- 
kuläres Integral  von  (ü)  ist;  dagegen  ist  es  nicht  sicher,  ob  sie  auch 
den  Funktioualgleichungen  (1)  und  (2)  genügt,  d.  h.  ob  sie  wirklich 
eine  Cylinderfunktion  mit  dem  Argumente  x  und  dem  Parameter  v 
ist.  Difterentiiert  man  aber  die  zwei  Produkte  x-*'J''{x),  so  gibt 
die  Reihenentwicklung  (9)  die  folgenden  zwei  Formeln 

(10)  D^(x'J''{x))  =  x''J''-^ix),     D^(x-''J'(x))  =  -x-'J''  +  \x), 

die  nach  Ausführung  der  Differentiationen  in  (3)  und  (4j  übergehen, 
womit  wir  bewiesen  haben,  daß  J^'{x)  wirklich  eine  Cylinderfunk- 
tion mit  dem  Argumente  x  und  dem  Parameter  v  sein  muß. 

Diese  Funldion  J^(x)  nennen  ivir  immer  die  Cylinderfimldion 
erster  Art  oder  auch  die  Besselsclw  Cylinderfimldion. 

Die  zweite  Wurzel  der  determinierenden  Gleichung  (8)  gibt 
mittels  (7)  ohne  weiteres  die  Funktion 

(11)  y,  =  J-\x) 

als  zweites  partikuläres  Integral  von  (6). 

Diese  Funktion  kann  indessen  keine  Cylinderfunktion  mit  dem 
Arcjumente  x  und  dem  Parameter  v  darstellen- 

Setzen  wir  voraus,  daß  2v  eine  ganze  Zahl  ist,  so  bilden  die 
beiden  Wurzeln  der  determinierenden  Gleichung  (8)  eine  Gruppe,  so 
daß  wir  in  diesem  Falle  die  zwei  Integrale  (9)  und  (11)  miteinander 
zu  vergleichen  haben.  Falls  v  die  Hälfte  einer  imgeraden  ganzen 
Zahl  bedeutet,  so  bleiben  diese  beiden  Integrale  voneinander  stets 
linear  unabhängig;  wenn  dagegen  v  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl 
bedeutet,  so  hat  man  die  Identität 

(12)  J-«(:c)  =  (-l)V(a;); 

denn  in  diesem  Falle  verschwinden  wegen  der  Gammafunktionen  im 

Nenner  immer  die  n  ersten  Glieder  der  Reihenentwicklung  für  J~''(x). 

Aus  den  hier  angegebenen  zwei  Gründen  brauchen  wir  J~^'{x) 

niemals  als  independente  Funktion,  so  daß  wir  ein  anderes  partiku- 


G  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

läres  Integral  von  (6)  zn  suchen  haben,  das  immer  von  J''{x)  linear 
unabhängig  ist. 

Sicher  hat  Daniel  Bernoulli^)  in  seiner  Untersuchung  über 
die  schwingende  Saite  zum  ersten  Male  die  Gleichung  (6)  und  die 
Reihe  (9)  für  v  =  0  gefunden.  Später  hat  wieder  Euler^)  diese 
spezielle  Gleichung  uud  Reihe  untersucht;  er  hat  auch  die  allgemeine 
Funktion  V{v  -\-  l)J^'{xY)  eingeführt,  ohne  jedoch  die  Funktional- 
gleichungen (1)  und  (2)  zu  bemerken.  Carlini^)  hat  einen  asympto- 
tischen Ausdruck  für  p\JP{pe)  für  ein  positives,  ganzes  und  sehr 
großes  p  gegeben,  während  Fourier^)  J^(x)  als  Entwicklungs- 
funktion benutzt,  Poisson*')  aber  die  Funktionen  J'\x)  und  J"-+2{x) 
eingeführt  hat,  wo  n  eine  ganze   und  nicht  negative  Zahl   bedeutet. 

BesseF)  hat  zuerst  die  Fundamentalgleichungen  (1)  imd  (2) 
für  J"(jx),  n  positiv  und  ganz  vorausgesetzt,  gefunden  und  übrigens 
die  ersten  Fundamente  zu  einer  wirklichen  Theorie  dieser  Funktion 
geliefert;  eine  solche  Theorie  ist  von  Neumann ^)  systematisch 
auso-ebildet  worden,  wähi-end  offenbar  LomnieP)  zum  ersten  Male 
einen  willkürlichen  Parameter  v  systematisch  verwendet  hat. 

§  2.     Fundamentaleigenschaften  der  Funktion  J^'(x). 

Ehe  wii'  das  zweite  partikuläre  Integi-al  von  (6)  in  §  1  auf- 
suchen, scheint  es  uns  angemessen,  einige  einfache  Fimdamental- 
eigenschaften  der  Besselschen  Cylinderfunktiou  mitzuteilen,  weil  sie 
sich  als  unmittelbare  Folgen  der  Definition  (^9)  in  §  1  ergeben: 

1.  x~^J^'{x)  ist  eine  ganze  transcendcnte  Funldion  ihrer  sivei 
Variahein  x  und  v. 

2.  x~''J^'(x)  ist,  als  Funldion  von  x^  hetraclitd,  vom  Genre  Null. 
Bezeichnen    wir    also    durch    «^,«2,0:3,...    die  Nullstelleu   von 

x~^J^'(x)  mit  nicht  negativem  reellen  Teile,  und  ordnen  wir  sie  so. 


1)  Commentarü  Acadeniiae  Petropolitanae  Bd.  6,  p.  116,  118;   1732 — 33, 
Bd.  7,  p.  171,  172;  1734—35. 

2)  Acta  Academiae  Petropolitanae  1781,  p.  167 — 176,  p.  185 — 190. 

3)  Novi  Commentarü  Academiae  Petropolitanae  Bd.  10,  p.  256;  1764. 

4)  Ricerche  sulla  convergenza  della  serie  etc.    Milano  1817.    Astronom. 
Nachr.  Bd.  30,  col.  227,  240;  1849. 

5)  Theorie  de  la  chaleur.    1822. 

6)  Journal  de  l'Ec.  Pol.  cahier  19,  p.  300,  340;  1823. 

7)  Abhandl.  der  Akademie.  Berlin  1824. 

8)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen.    1867. 

9)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen.    1868. 


Kiipitel  I.    Die  vier  speziellen  Cylinderfuuktioncn.    §  2.  7 

tlaU  immer  |«,4.il^|«, |  ist,  so  gewinnt  man  eine  Pruduktentwick- 
lun«r  von  folgender  Form: 

W  ^-  =  rMr)(i-i;)('-^-)('-$)    ■• 

Diese  Formel  ist  die  unmittelbare  Folge  eines  allgemeinen  Satzes 
von  Iladamard'j;  indessen  wollen  wir  sie  später  in  §  13G  noch 
direkt  Ijeweisen. 

3.  Benutzt  man  die  Formel  (fi)-)  für  r(2c3),  so  ergeben  sich 
ohne  weiteres  folgende  zwei  wichtige  Formeln: 

(2)  «^^(^)  =  v—-  •  si"  ^ )     J~^{x)  =  1/ cos  a;. 

4.  Falls  I  V  I  selir  (jroß  ist,  ohne  daß  es  eine  ganze  negative  Zahl 
bedeutet,  ivlüircnd  \  x  \  endlich  bleibt,  findet  man  den  asymptotisehen 
Ausdruck: 


x" 


—  1 


Mau  findet  nämlich  unmittelbar: 

^    >'  ^        ^  s !  (v  -f-  1)  (v  +  2)  ■  •  ■  (v  +  s) ' 

SO  daß  es  einleuchtet,  daß  die  einzelnen  Glieder  in  der  Reihenent- 
wicklung für  die  in  (3)  angegebene  höhere  Grenze  von  |£|  immer 
größer  sind  als  die  absoluten  Beträge  der  entsprechenden  Glieder 
rechter  Hand  in  (4),  selbst  in  dem  ungünstigsten  Falle,  daß  ^^(v) 
negativ  und  numerisch  sehr  groß  angenommen  wird,  während  die 
imaginäre  Komponente  von  v  endlich  bleibt. 

Für  den  Fall,  daß  9fl(v)  >  0  angenommen  wird,  geben  wir 
später  in  §  103  eine  viel  genauere  Bestimmung  von  \e\. 

5.  Die  Cylinderfiinlction  der  ersten  Art  läßt  sieh  als  Grenzfall 
der  KugelfunJctionen  darstellen^  bedeuten  nämlich  v  und  x  willJcürliche 
endliche  Größen,  so  hat  7nan  die  Formel: 

(5)  lim  i-Jß+^}^^  .  K'.' (cos  ^))  -  xi- V'-^W, 

^   ^  „  =  00  Vl/2^-r(2j;  +  w)  \  '*//  ^   ^ 

ivo  e  gleich  0  oder  1  zu  nehmen  ist,  je  nachdem  n  gerade  oder  un- 
gerade vorausgesetzt  wird. 

1)  Journal  des  Mathematiques  (4)  Bd.  9,  p.  209;  1893. 

2)  So  eitlere  ich  immer  der  Kürze  halber  im  Texte  die  Formeln  der  ver- 
schiedenen Abschnitte  des  Anhanges. 


8  Erster  Teil.    Fimdamentaleigenschaftcn  der  Cylinderfunktionen. 

Wir  bemerken  zunächst,  daß  sich  die  Funktion  unter  dem 
Limes-Zeichen,  die  wir  mit  Q^  bezeichnen  wollen,  mittels  der  For- 
mehi  (Kg)  und  (Kg)  folgendermaßen  schreiben  läßt: 


(6) 


^   (—ifn]      (2y-f  OT)(2y-|-w+l)---(2y  +  OT  +  s— 1)  /  .      x  \2* 

es  ist  dann  nicht  schwer  zu  beweisen,  daß  Q^  für  ein  unendlich 
wachsendes  n  eine  ganze  transcendente  Funktion  von  x  und  von  v 
darstellen  muß. 

Erstens  sei  darauf  hingewiesen,  daß  man  für  hinlänglich  große 
n  immer 

setzen  darf,  wo 

(7a)  I^K^-^^"^ 

ist.  Beachtet  man  nun  weiter,  daß  die  Binomialformel  für  einen 
positiven  ganzen  Exponenten  immer  die  Ungleichheit: 

(8)  (1 +  «)^<1 -f-2*£^,     0<a^l 

liefert,  so  bekommt  man  für  den  absoluten  Betrag  des  Gliedes  Ä^ 
unter  dem  Summenzeichen  rechter  Hand  in  (6)  folgende  Ungleichheit: 

I      \  -  /  sin  2     ■r{2r  -\-  n) 

wo  r  eine  solche  positive  ganze  Zahl  bedeutet,  daß 

r  —  1  <  |i/|  ^  r; 
denn  man  hat  offenbar: 

^^=(l_l)(i_l)...(i_lz:i)<l. 

(n  —  s)\n*        \  ^*/  V  *»/  \  n    /   ^ 

Benutzt  man  noch  die  Stirlingsche  Formel  (fg),  so  erhält  man 
weiter : 

wo  K^  eine  endliche  positive  Zahl  bedeutet.     Nun  ist  aber: 
und  man  bekommt  somit  endlich: 


Kapitel  I.    Die  vier  spezirllon  rylinderfunktionen.    §  tl. 

\AA<- 


woraus  erhellt,  ilalJ: 


"1  =  q  „  . 


(9)  2'l^l..J<A'2^t 


m  -0  1/1-0 

sein  muß,  wo  q  eine  willkürliche  positive  ganze  Zahl  bedeutet,  wäh- 
rend K  der  Maximalwert  von  if,,  K^^i,  .  .  .,  Ä,  +  ,  ist. 

Auf  ähnliche  Weise  behandelt  man  die  nach  x  oder  v  genom- 
mene Derivierte  von  Q„,  und  somit  ist  unsere  Behauptung  über  diese 
Funktion  bewiesen. 

Wir  nehmen  nun  vorläufig  an,  daß  v  und  x  beide  positiv  sind, 
und  teilen  die  Summe  rechter  Hand  in  (6)  in  zwei  andere,  die  erste 
von  s  =  0  bis  6'  =  S,  die  zweite  von  s  =  S  -]-  1  bis  s  =  n,  wo  S 
eine  sehr  große  positive  ganze  Zahl  bedeutet,  die  mit  n  über  alle 
Grenzen  wächst.  Die  Ungleichheit  (9)  zeigt  dann  unmittelbar,  daß 
der  absolute  Betrag  der  letzteren  der  erwähnten  Summen  imter  jede 
angebbare  Größe  herabsinkt,  wenn  n  groß  genug  genommen  wird, 
d.  h.  daß  er  kleiner  als  0,,  angenommen  werden  kann,'  wo  0„  eine 
kleine  positive  Größe  bedeutet,  die  mit  1  :  n  der  Grenze  Null  zustrebt. 

Um  die  erste  der  beiden  Summen  zu  behandeln,  setzen  wir: 

beachtet  man  nun  weiter,  daß 

/i    ,    2v  +  r\  /.        Si'  +  s  — r\  _^         4i;  +  s    ,    (2r  +  r)  (2y  +  s-r) 

n 
sein  muß,  so  findet  man: 

die  Ungleichheit  (8)  ergibt  dann  weiter,  daß 

(10)  B,<l  +  tl^^l+e, 

ist,  wo  s'  die  Hälfte  von  s  oder  s  +  1  bedeutet,  je  nachdem  s  ge- 
rade oder  ungerade  ist;  wir  haben  demnach  mittels  (7)  bewiesen,  daß 

sein  muß,  wo 


10         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 


ist,  wäkrend 


iEj<0.+2'4+±fi)(f) 


^         ^  S!r(j;+S+1) 


bedeutet. 

Unsere  Formel  (5)  ist  also  auch  in  dem  oben  erwähnten  spe- 
ziellen Falle  bewiesen  und  somit  allgemein  gültig,  weil  ihre  beiden 
Seiten  ganze  transcendente  Funktionen  in  x  und  v  darstellen. 

Für  V  =  \  ist  die  Formel  (5)  von  Hehler^),  kurz  nachher  aber 
von  allgemeineren  Gesichtspunkten  aus  von  Heine ^)  gefunden  worden. 
Später  hat  Lord  Rayleigh^)  die  Formel  aufs  neue  bewiesen  und 
mit  ihr  einige  Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen  aus 
denen  der  Kugelfunktionen  hergeleitet,  während  S  h  a  r  p  e  ^)  die 
Funktion  linker  Hand  in  (5)  nach  fallenden  Potenzen  von  n  zu 
entwickeln  versucht  hat.  Für  t»  =  0,  v  =  1  wird  die  Grenzformel 
(5)  vermöge  (K^g)  und  (K^g)  eine  formale  Identität. 

6.   P.  A.  Hansen^)  hat  noch   folgenden   Grenzwert    angegeben: 

wo  F  die  gewöhnliche  hypergeometrische  Reihe  bedeutet,  und  wo 
X  und  X  über  alle  Grenzen  wachsen.  Der  Beweis  für  diese  Formel 
ist  nur  eine  leichte  Abänderung  des  vorigen,  so  daß  wir  ihn  hier 
übergehen  dürfen. 

§  3.     Die  Cylinderfunktion  zweiter  Art   Y^'{oc). 

Wenn  wir  das  am  Schlüsse  des  §  1  erwähnte  zweite  partikuläre 
Integral  der  Besselschen  Gleichung  suchen,  so  haben  wir  es  derart 
zu  bestimmen,  daß  es  erstens  immer  von  J^'{cc)  linear  unabhängig 
ist  und  zweitens  eine  Cylinderfunktion  mit  dem  Argumente  x  und 
dem  Parameter  v  darstellt.     Wählt  man  nun  aber  zwei  Funktionen 


1)  Journal  für  Math.  Bd.  68,  p.  140;  1868. 

2)  Journal  für  Math.  Bd.  69;  1869.    Handbuch  der  Kugelfunktionen  Bd.  I, 
p.  184;  Berlin  1878. 

3)  Proceedings  of  London  Math.  Soc.  Bd.  9,  p.  61—64;  1878. 

4)  Quarterly  Journal  Bd.  24,  p.  383—386;  1890. 

5)  Leipziger  Abhandlungen  Bd.  2,  p.  252;  1855. 


Kapitel  I.    Di«  vier  speziellen  Cylinderlunktionen.    §  3.  H 

a{v)  und  b(v),  die  beide  von  x  imabliäiigig  sind  uud  außerdem  den 
Bcdini^imj^en 

a(v  -j-l)^a{v),     h{v -{-  1)  =  -  h(v) 

genügen,  während  C*'{x)  eine  Cylinderfunktion  mit  dem  Argumente 
X  und  dem  Parameter  v  bezeichnet,  so  haben  die  folgenden  vier 
Funktionen 

(1)        aiv)C-'{-x),    a{v)C'ix),    h{v)C-\x),    h{v)C^{-x) 
ofi'enl)ar  wieder  dieselbe  Eigenschaft,  d.  h.  sie  leisten,  wie  eine  ein- 
fache Keclinung  unmittelbar  darlegt,  den  beiden  Funktioualgleichungen 

(1)  und  (2)  des  §  1  Genüge. 

Nach  diesen  Überlegungen  ist  es  sehr  leicht,  von  J*(.r)  aus- 
gehend, noch  viele  andere  Cylinderfunktioneu  zu  bilden,  die  immer 
von  J\x)  linear  unabhängig  sind.  Eine  der  einfachsten  unter  allen 
diesen  neuen  Funktionen  ist  ofienbar  die  folgende: 

(2)  Y^ix)  =  ^  (cos  v:tJ^x)  -  J-^{x)), 

welche  sich  für  ganze  v  als  Grenzwert  darstellt. 

Wir  nennen  immer  die  Funldion  Y^{oc)  die  Cylinderfunldion 
ziceiter  Art  oder  auch  die  Neu  mann  sehe  Cylinderfunldion. 

Die  Formel  (2)  gibt  ohne  Mühe  die  zwei  anderen: 

(3)  J~*(^)  =  <^os  V7tj''{x)  —  sin  vnY\x), 

(4)  Y-  '■  (x)  =  sin  V  Ä  J'  {x)  +  cos  v  ;c  Y"  {x) , 

von  denen  die  erste  eine  Verallgemeinerung  von  (12)  in  §  1  ist, 
während  die  zweite  die  ähnliche  Formel 

(5)  r-»(a;)==(-  iyY"{x) 

liefert,  in  der  n  eine  ganze  Zahl  bedeutet.  Aus  (3)  findet  man 
weiterhin  die  neue  Formel 

(6)  Y'^-^ix)  =  (-  ly-'j-^'-^ix), 

in  welcher  n  immer  eine  ganze  Zahl  bedeutet;  somit  gibt  (2)  in 
§  2  folgende  ähnliche  Fonneln: 

(7)  r^(^)  =  -  ]/A  .  cos  ^,    r-%)  =  ]/Ä.sin^. 

Setzt  mau  noch  voraus,  daß  \v\  sehr  groß  ist,  ohne  daß  es  eine 
negative  ganze  Zahl  ist,  während  \x\  endlich  bleibt,  so  gibt  (3)  in 
§  2  mittels  der  Eulerschen  Formel  (fg)  folgenden  asymptotischen 
Ausdruck:  i 

(8)  Y^{x)=-'-^il  +  s),      |.|<^ 


4 


—  1 


nx I»'— 1 


12  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Wir  wenden  uns  nunmehr  zur  Bestimmung  des  Grenzwertes 
der  rechten  Seite  in  (2),  wenn  v  eine  ganze  Zahl  bedeutet,  und 
dürfen  dann,  wie  die  Formel  (5)  deutlich  zeigt,  die  negativen  Werte 
von  V  ausschließen.  Die  gewöhnliche  Methode  gibt  ohne  Mühe, 
wenn  man  die  Formel  (f^)  auf  die  ersten  n  Glieder  anwendet,  für 
die  Neumann  sehe  Cylinderfunktion  den  Ausdruck: 


(9) 


4  =  0 

«=«  —  1 


Aus  (2)  und  (9)  ergibt  sich,  daß  die  Neumann  sehe  Cylinder- 
funktion immer,  auch  für  ganze  n,  unendlich  vieldeutig  sein  muß; 
wir  wollen  auf  diese  Frage  später  in  §  5  näher  eingehen. 

Heine^)  hat  auch  für  die  Neumannsche  Cylinderfunktion  eine 
zu  §  2,  (5)  analoge  Grenzformel  angegeben,  in  welcher  die  Kugel- 
funktion der  zweiten  Art  vorkommt;  wir  können  indessen  nicht 
näher  auf  diese  Formel  eingehen. 

In  früheren  Zeiten,  wo  die  allgemeinen  Integraldarstellungen 
der  Cylinderfimktionen  noch  nicht  bekannt  waren,  teilte  man  den 
oben  gegebenen  Ausdruck  für  die  Funktion  Y^\x)  in  mehrere  Sum- 
men, die  man  als  neue  Funktionen  einführte  und  durch  bestimmte 
Integrale  ausdrückte.  Da  diese  Funktionen  noch  immer  in  der 
Theorie  der  Cylinderfunktionen  eine  nicht  unwichtige  Rolle  spielen, 
wollen  wir  hier  die  oben  angegebene  Teilung  der  rechten  Seite  in 
(9),  indem  wir  Schläfli^)  folgen,  mitteilen. 

Wir  setzen  also: 

«-1 


'^'2 


(10)        s«(.)^2:^^^=^(i)""" 

«  =  0 

und  führen,  indem 

'^(^)  =  T  +  T  +  i-  +  ---  +  T'    ^(0)  =  0 
bedeuten  soll,  noch  folgende  zwei  neue  Funktionen  ein: 


1)  Journal  für  Mathematik  Bd.  69,  p.  131;   1869.     Handbuch  der  Kugel- 
funktionen Bd.  I,  p.  185;  1878. 

2)  Mathematische  Annalen  Bd.  3;  1871, 


Kapitel  I.    Die  vier  speziellen  C^linderfunktionon.    §  3.  13 

11-8 

»i-2«-2 


•  (11) 


^"W--2'<;r:r^(f) 


(«  —  s  —  1)  1 
n  +  2t 


«  =  0  ^      ' 


(12)      u'(^)=;^  ,  ;;^    x(n+s). 

Wir  finden  also  ans  (9),  mit  Hilfe  der  Formeln  (fji)  und  (fu)  für 
die  G au ß sehe  Funktion  ^{x),  noch  folgende  andere  Darstellung  der 
Neu  mann  sehen  Cylinderfunktion : 

(13)       7c .  yix)  =  2J"(x)(^C  +  log  fj  —  S"(x)  +  T"{x)  -  2  U"{x), 

wo  C  die  Eulersche  Konstante  bedeutet. 

Wir  bemerken,  daß  S  eine  rationale  Funktion  ist,  während  T 
und  U  ganze  transcendente  Funktionen  in  x  und  zwar  mit  ratio- 
nalen Zahlenkoeffizienten  bedeuten.  Übrigens  finden  wir  für  die 
Funktion 

S"(:r)  =  (2),J'(:r)X.„-J"(^)log(|) 
den  Ausdruck: 


(14)  ^«{x)  =  -2;  -TTTT+'n)!-  -"^is  +  n  +  l); 


'^^-'^if) 


s  =  0 

aus  (12)  ergibt  sich  also  unmittelbar,  daß 

(15)  U"{x)^CJ"{x)-^''{x) 

sein  muß,  wo  C  wie  gewöhnlich  die  Eulersche  Konstante  bedeutet. 
Wir  bemerken  noch,  daß  die  Definition  (2)  für  Y"{x)  unmittelbar 
noch  diese  anderen  Ausdrücke  ergibt: 

^     ^  U  •  Y"(x)  =  2{DJ^\x)\^„  +  T\x)  -  S"{x). 

Die  Funktionen  S,  T,  ü  werden  häufig  Besselsche  Funktionen 
zweiter  Art  genannt,  eine  Bezeichnung,  die  nicht  zutreffend  ist; 
denn  erstens  genügen  diese  Funktionen  nicht  den  Fundamentalfor- 
meln  der  Cylinderfonktionen,  aber  wohl  ähnlichen  Gleichungen,  und 
zweitens  kann  dieser  Name  mit  ebensoviel  Recht  auf  ganze  Klassen 
solcher  Funktionen  übertragen  werden;  wir  selbst  geben  in  §  G  ein 


14  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

neues  System  dieser  Funktionen  und  deuten  in  §  40  wenigstens  an, 
wie  jedenfalls  noch  ein  Funktionen  System  dieser  Art  zu  bilden  ist. 
Es  scheint  uns  daher  ratsamer,  diesen  Namen  ganz  fallen  zu  lassen. 
Über  die  Formel  (9)  haben  wir  noch  zu  bemerken,  daß  die 
Koeffizienten  in  der  unendlichen  Reihe  rechter  Hand  nicht  rationale 
Zahlen  sind;  um  dies  zu  erreichen,  muß  man  statt  Y^ix)  die  andere 
Funktion : 
(17)  7t-Y''{x)-2CJ"{x) 

einführen,  wo    C  die   Eulersche   Konstante   bedeutet.     Die  Funktion 

(17)  ist  gewiß  eine  Cylinderfunktion  mit  dem  Argumente  x  und 
dem  Parameter  w,  sie  wird  indessen  die  Formeln  (3)  und  (4)  um- 
gestalten, und  dasselbe  gilt  noch  mehr  für  eine  große  Reihe  anderer 
Formeln,  wie  unsere  Untersuchungen  über  asymptotische  Darstel- 
lungen und  bestimmte  Integrale  späterhin  zeigen  werden. 

Die  Funktion  J~'^'(x),  die,  wie  wir  schon  in  §  1  bemerkt  haben, 
keine  Cylinderfunktion  mit  dem  Argumente  x  und  dem  Parameter  v 
sein  kann,  ist  bei  den  älteren  Autoren,  wenn  v  nicht  ganz  ist,  fast 
ausschließlich  als  zweites  partikuläres  Integral  der  Be sseischen 
Gleichung  benutzt  worden.  Dies  ist  ein  ernstlicher  Ubelstand,  weil 
dann  eine  große  Menge  von  Formeln  ihren  einheitlichen  Charakter 
verlieren,  indem  sie  in  zwei  verschiedenen  Formen  dargestellt  werden 
müssen,  je  nachdem  v  ganz  ist  oder  nicht;  man  vergleiche  zum 
Beispiel  die  Arbeiten  von  Lommel^)  und  Sonin^).  Diesem  Übel- 
stande  entgeht  man  bei  einem  systematischen  Gebrauche  der  Funk- 
tion Y^'(x),  auch  wenn  v  nicht  ganz  ist.  Was  J~'''{x)  betrifft,  so 
muß  sie,  als  independente  Funktion,  aus  der  Theorie  der  Cylinder- 
funktionen verbannt  werden;  ihre  Existenzberechtigung  ist  ausschließ- 
lich die  einer  Hilfsfunktion  für  den  Übergang  von  der  Bess eischen 
zur  Neumannschen  Cylinderfunktion. 

Es  leuchtet  ein,  daß  die  beiden  Funktionen  J  und  Y  uns  immer 
erlauben,  die  Besselsche  Differentialgleichung  vollständig  zu  inte- 
grieren;  man  findet  nämlich  als  vollständiges  Integral  die  Funktion: 

(18)  y^aiv)J\x)^b{v)Y^(x), 

wo  a(v)  und  h{v)  arbiträre  Funktionen  von  v  bedeuten,  die  aber 
unabhängig  von  x  sind.  Es  läßt  sich  auch  über  diese  willkürlichen 
Funktionen   sehr  leicht  so  verfügen,  daß  (18)   den  Gleichungen  (1) 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  14  u.  16. 

2)  Mathematische  Annalen  Bd.  16. 


Kapitel  I.    Die  vier  speziellen  Cylinderfunktionen.  §  3.  15 

und  (2)  des  §  1  Genüge  leistet,  d.  h.  so,  diiü  //  eiue  Cylinderfunk- 
tion  wird.  Indessen  läßt  diese  Methode  eine  Auflösung  der  oben 
erwiihuten  Gleichungen  nur  unter  der  Vorausset/Aing  7ai,  daß  die 
Funktionen  (5)  in  i^  1  existieren.  Wir  haben  daher  andere  Methoden 
zu  suchen,  die  uns  die  allgemeinste  L(tsung  liefern  können. 

Zur  Geschichte  der  Neu  mann  sehen  Cylinderfunktion  bemerken 
wir,  daß  unsere  Definition  (2)  mit  kleinen  Abänderungen  zuerst 
von  IlankeP)  und  von  Schläfli^)  gebraucht  worden  ist;  nur 
wird  die  llankelsehe  Definition  unbrauchbar,  wenn  v  die  Hälfte 
einer  ungeraden  ganzen  Zahl  bedeutet.  Für  v  =  0  ist  die  Reihe  (9) 
als  zweites  Integral  der  entsprechenden  Be sseischen  Gleichung  von 
Euler^),  Riemaun*)  und  Meissel^')  eingeführt.  Vielleicht  wurde 
diese  Reihenentwicklung  gefunden,  indem  man  die  allgemeine  Bessel- 
sche  Gleichung  nach  v  ditterentiierte  und  dann  v  =  0  setzte;  jeden- 
falls gibt  diese  Methode  genau  die  Funktion  Y'^{x),  wird  aber  für 
andere  ganzzahlige  Werte  von  v  unbrauchbar. 

Wie  wir  später  in  den  §§  IG,  18  zeigen  wollen,  haben  Euler'') 
und  Poisson'')  Integralausdrücke  für  Y^{x)  gefunden;  indessen  ist 
es  zuerst  C.  Neumann")  gelungen,  für  Y"{x)  einen  allgemeinen 
Ausdruck  zu  finden.  Die  I^-Funktion,  die  Lommel^)  eingeführt 
hat,  ist  allerdings,  wie  schon  V.  A.  Julius^'')  und  Schafheitlin^^) 
bemerkt  haben,  keine  Cylinderfunktion,  sondern  nur  ein  partikuläres 
Integral  der  B es s eischen  Gleichung. 

Die  wirkliche  Bestimmung  von  Y''(x)  bot  also  für  eine  Zeit 
bedeutende  Schwierigkeiten  dar,  in  welcher  die  allgemeine  Theorie 
der  linearen  Differentialgleichungen  noch  wenig  bekannt  war.  Wie 
Ette^')   neuerdings   in  seiner  dänischen  Ausgabe   der   Fundamental- 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  1,  p.  472;  1869. 

2)  Matheinatische  Annalen  Bd.  3,  p.  135;  1871. 

3)  Acta  Academiae  Petropolitanae  1781,  p.  189 — 190. 

4)  PoggendorfF   Annalen    Bd.  95;    1855.     Mathematische   Werke    2.  Aufl. 
p.  57—60. 

5)  Gewerbeschulprogramm  Iserlohn  1862. 

6)  Institutiones  calculi  integralis  Bd.  2,  p.  235;  1769. 

7)  Journal  de  TEcole  Polytechnique  cahier  19,  p.  476;  1823. 

8)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen  p.  52;  1867. 

9)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen  p.  86;  1868. 

10)  Archives  Ne'erlandaises  Bd.  28,  p.  221—225;  1895. 

11)  Journal  für  Mathematik  Bd.  114,  p.  38;  1895. 

12)  G.   Frobenius:     Om    Integration    af   linesere    Ditferentialligninger    ved 
Rfekkeudv-iklinger  p.  23.    Kopenhagen  1903. 


16         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

abhandlung  von  Frobenius^)  gezeigt  hat,  gibt  diese  scböne  Me- 
thode ohne  Mühe  als  zweites  partikuläres  Integral  der  Bessel sehen 
Gleichung  Funktionen,  die  mit   Y"{x)  übereinstimmen. 

§  4.     Die  Cylinderfunktionen  dritter  Art  Hi'ipc)  und  H^^{x). 

Wie  unsere  Einführung  der  Cylinderfunktion  erster  Art  deut- 
lich zeigt,  ist  diese  Funktion  offenbar  diejenige,  die  sich  am  ein- 
fachsten von  den  Fundamentalgleichungen  aus  darbietet;  ebenso  zeigt 
die  Definition  der  Cylinderfunktion  der  zweiten  Art,  daß  sie  jeden- 
falls unter  allen  übrigen,  welche  in  unendlicher  Anzahl  auftreten, 
eine  der  einfachsten  ist.  Sicher  sind  diese  zwei  Funktionen  auch 
die  einfachsten  für  die  Ausbildung  der  systematischen  Theorie  der 
Cylinderfunktionen;  indessen  ist  es  nicht  außer  allem  Zweifel,  daß 
sie  auch  für  die  zahlreichen  Anwendungen  der  Cylinderfunktionen 
am  vorteilhaftesten  zu  Grunde  gelegt  werden  können. 

Zum  Beispiel  sind  die  Formeln  (3)  und  (4)  des  §  3  für  J~'^'(x) 
und  Y~'^(x)  für  die  Anwendungen  nicht  sehr  bequem;  da  diese  Re- 
duktion recht  häufig  vorkommt,  fordern  eben  die  oben  erwähnten 
Formeln  zur  Aufsuchung  anderer  Cylinderfimktionen  auf,  für  welche 
diese  Reduktion  einfacher  wird.  Unter  solchen  Funktionen  scheinen 
folgende  zwei 


'O" 


(1)  H,'{x)  =  J'{x)i-iY'{x),    H^\x)  =  J\x)-iY\x), 

die  ja  auch  immer  linear  unabhängig  sind,  die  bequemsten  zu  sein; 
für  sie  bekommt  man  nämlich  die  zwei  einfachen  Reduktionsformeln: 

(2)  H{- »' (x)  =  e''^  ■  H,\x) ,     Hf  '■{x)  =  e-"""'  ■  H^''{x) . 

Dazu  kommt  erstens  noch,  daß  auch  die  Umlaufsrelationen 
dieser  Funktionen  sehr  einfach  sind,  zweitens,  daß  sie  am  häufigsten 
als  Werte  bestimmter  Integrale  auftreten,  viel  häufiger  als  J  und  Y, 
drittens  aber,  daß  sich  die  Ä- Funktionen  für  äußerst  große  Werte 
von  \x\  wie  eine  Exponentialfunktion  verhalten. 

Aus  diesen  Gründen  scheint  es  uns  angemessen,  die  H-FunMionen 
neben  J  und  Y  als  Cylinderfunktionen  dritter  Art  oder  Hankeische 
Cylinderfunktionen  einzuführen. 

In  der  Tat  spielen  diese  Funktionen  eine  Hauptrolle  in  der 
Untersuchung   von    HankeF)    über    die    asymptotische   Darstellung 


1)  Journal  für  Mathematik  Bd.  76. 

2)  Mathematische  Annalen  Bd.  1,  p.  491;  1869. 


Kapitel  I.    Die  vier  speziellen  Cjlinderl'unktionen.    §  4.  17 

der  Cylinderfuiiktionen;  überdies  hat  IlankeP)  in  seiner  Unter- 
suchung über  bestimnito  Integrah!  mit  ('yündurl'unktionen  gelegent- 
licli  //,  benutzt,  ohne  doch  ihre  Eigenschaften  und  fundamentale 
iiedeutung  recht  erkannt  zu  haben.  Sjtäter  hat  11.  \V'('l)er-)  die 
l''uuktion  //,  wieder  l)enutzt,  und  in  den  letzten  Jahren  haben 
DougalPj  und  Aldis')  die  Funktion  //,  statt  Y  neben  J  ein- 
gefülirt,  während  Graf  und  Gubler'')  Funktionen  einführen,  die  sehr 
nahe  mit  H^{cc)  und  H/(x)  verwandt  sind,  ohne  doch  davon  syste- 
matischen Gebrauch  zu  machen. 

Die  Definitionen  der  Hankeischen  Cylindcrfunktionen  sind  in- 
dessen viel  komplizierter  als  die  der  Funktionen  J  und  Y;  dazu 
kommt  noch,  daß  die  //-Fuiiktioiicii  mit  reellem  Argumente  und 
Parameter  immer  imaginär  sein  müssoii,  während  die  Funktionen 
der  ersten  und  zweiten  Art  so  definiert  werden  können,  daß  sie  reell 
sind,  wenn  der  Parameter  reell  und  das  Argument  positiv  voraus- 
gesetzt wird. 

Dagegen  sind  die  Ilankelschen  Cylindcrfunktionen,  von  einem 
einfachen  Faktor  abgesehen,  für  gewisse  rein  imaginäre  Werte  des 
Argumentes  reell,  vorausgesetzt,  daß  der  Parameter  reell  ist.  Führt 
man  nämlich  in  der  Definition  der  //-Funktionen  statt  Y  den  Aus- 
druck (2)  des  §  3  ein,  so  findet  man: 

(3)  H.^Xx)  =  ^  (e— 'J^Cx)  -  J-^ix))  , 

(4)  E,^{x)  =  ^  (e-'J'(^)  -  J-(.:))  ; 

unter  diesen  Formen  treten  die  //-Funktionen  und  dann  insbeson- 
dere //j  in  den  älteren  Arbeiten  über  bestimmte  Integrale  mit  Cy- 
lindcrfunktionen am  häufigsten  auf  Erinnert  man  sich  aber,  daß 
die  Funktion 


_  V 

+  - 
e 


"j'Ge"") 


so  definiert  werden  kann,  daß  sie  für  positive  x  und  reelle  v  reell 
ist,  so  findet  man  aus  (3)  und  (4)  das  bemerkenswerte  Resultat: 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  8,  p.  458;  1875. 

2)  Mathematische  Annalen  Bd.  6,  p.  147;  1873. 

3)  Pi-oceedingä  of  the  Royal  Society  of  London   Bd.  66,  p.  32—42;  1900. 

4)  Proceedings  of  the  Math.  Soc.  Edinbg.  Bd.  18,  p.  37—83;  1900. 

5)  Einleitung  in  die  Theorie  der  Besselschen  Funktionen  Heft  I,  p.  42; 
Bern  1898. 

Nielsen,  Cylinderfunktionen.  2 


18  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfanktionen. 

Wenn  x  positiv  und  v  reell  vorausgesetzt  ivird,  so  Jiönnen  die 
zwei  Fmiktioncn 

(5)  e'      H^\xe"),      e     '      H^\xe    V 

so  definiert  uerden,  daß  sie  heide  reell  sind. 

Es  ist  nämlicli  offenbar,  daß  die  Hankeischen  Cylinderfunk- 
tionen  immer  in  x  =  0  einen  Verzweiguugspunkt  Laben,  so  daß  sie 
unendlich  vieldeutig  sind;  wir  wollen  im  folgenden  Paragraphen  dies 
Verhältnis  näher  auseinander  setzen.  Hier  haben  wir  noch  zu  er- 
wähnen, daß  die  Formeln  (2)  des  §  2  und  (7)  des  §  3  folgende  vier 
anderen  liefern: 

(6)         fiAx)  =  -  i|^  ■  e-    J3T*W  =  l/^  ■-''■'; 

(7)  Hj^\x)-iy%-c-",       H-^i^)  =  y^^-e-". 


§  5.     Umlaufsrelationen    der   vier    speziellen    Cylinderfunktionen. 

Wir  haben  schon  ausdrücklich  bemerkt,  daß  die  vier  speziellen 
Cylinderfunktionen,  die  Besselsche  mit  ganzem  Parameter  allein 
ausgenommen,  in  a:  =  0  eine  singulare  Stelle  haben.  Um  die  ent- 
sprechenden Umlaufsrelationen  zu  finden,  bezeichnen  wir  mit  2^  eine 
willkürliche  ganze  Zahl  und  erhalten  somit  für  die  t7- Funktion  die 
Formel 

(1)  J''(xeP''')  =  eP'^'J'Xx), 

so  daß  die  Verzweigung  für  die  Besselsche  Cylinderfunktion  eine 
rein  multiplikative  ist,  während  sie  für  die  drei  anderen  Funktionen 
sowohl  eine  multiplikative  wie  eine  additive  sein  muß. 

Für   die  Neumann  sehe  Cylinderfunktion  findet  mau   nämlich: 

(2)  Y^{xe^^')  =  e-^-'- r>(^)  +  ^i^-^(--)^^iP--) .  j.(^) 

^  /  ^  /  \  /    I  sin(v7r)  ^  ''' 

und  für  die  Hanke  Ischen  Funktionen: 

H/{xeP''')  =  cos  {pv7t)Hj^'Xx)  +  i  sin  (j)v%)K{{x) 


(3) 


(4) 


_  2cos(y?r)sin(j)y7r)  j-,./^\ 

K/(xeP''')  =  cos  {pv'ji)H^^'{x)  +  i  sin  {pvn)H^'{x) 

2cos(r7r)sin(_pt;7r)  ^^.   ^ 


Kapitel  I.    Die  vier  speziellen  Cylinderfunktionon.    §  5.  19 

Ut'deutt't  mm  j>  eine  gerade  Zahl,  so  «^ebeii  diese  vier  Formeln 
unmittell)ar  die  gesuchten  Umhmfsrelationeu.  Bedeutet  außerdem  v 
eine  ganze  Zahl,  so  werden  die  Umlaufsreliitionen  für  Y  und  für  die 
zwei  //-Funktionen  ganz  ähnlich;  wenn  i'  dagegen  dit^  Hälfte  einer 
ganzen  ungeraden  Zahl  bedeutet,  sind  alle  vier  Formeln  einander 
ähnlich. 

Wir  setzen  nun  im  allgemeinen 

(ö)  x=\x\&®, 

wo  0  einen  reellen  Winkel  bedeutet;  es  ist  dann  otfenl)ar,  daß  die 
vier  speziellen  Cylinderfunktionen  vermöge  der  oben  gegebenen  For- 
meln vollständig  bekannt  sind,  falls  man  sie  nur  für  a<0^a  +  n: 
kennt,  wo  a  einen  ganz  willkürlichen  reellen  AV'inkel  bedeutet.  Die 
asymptotischen   Reihen,  welche  wir   in  §  58   für  die   Cylinderfunk- 

tionen  zu  entwickeln  haben,  zeigen,   daß  es  natürlich  ist,   a  = ^ 

zu  setzen;  daher  wollen  wir  immer  von  folgender  Definition  Gebrauch 
machen : 

Falls  der  Winkel  Q  in  (5)  so  (jewühlt  ivird,  daß  —  „  <  0  ^  -f  ^ 
ist,  nennen  ivir  den  zugehöri<jcn  Wert  einer  CylinderfunMion  ihren 
Hauptiart,  so  daß  also  dieser  Haupttvert  für  J  und  Y  immer  reell 
sein  muß,  wenn  das  Argument  x  positiv  und  der  Parameter  v  reell 
voratisgesctzt  ivird. 

Der  Begriff  des  Hauptwertes  einer  Cylinderfunktion  ist  wohl 
zuerst  von  Schaf heitlin^)  eingeführt  worden  und  zwar  für  die 
Y-Fuuktion.  Setzt  man  noch  in  (3)  und  (4)  p  =  1,  beziehungsweise 
p  =  —  1,  so  findet  man: 

(6)  H^^xe^')  =  -  E,f\x)  =  e-('  +  i)'"£2'(^), 

(7)  H^'ixe-'"'')  =  -  H^-'{x)  =*e^"+'^'"H,"(x), 

Formeln,  die  keine  Analogien  für  die  1^-Funktion  haben  und  in  der 
Tat  höchst  merkwürdig  sind. 

Greifen  wir  noch  auf  die  Formeln  (2)  des  §  4  zurück,  so  sehen 
wir,  daß  die  ^-Funktionen  für  den  Zeichenwechsel  des  Parameters 
und  des  Argumentes  dieselben  einfachen  Eigenschaften  wie  die 
e^-Funktion  für  den  Zeichenwechsel  des  Argumentes  besitzen.  Diese 
Eigenschaft  der  Hankeischen  Cylinderfunktionen,  welche  sie  viel 
geschmeidiger  macht  als  die  zwei  anderen,  wird  uns  späterhin  von 
großem  Nutzen  sein. 


1)  Archiv  der  Mathematik  und  Physik  (3)  Bd.  1,  p.  133;  1901. 

2* 


20  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

§  6.     Über  das  Produkt  J''{ax)J^{ßx). 

Nachdem  wir  im  vorhergehenden  die  Fundamentaleigenschaften 
der  vier  speziellen  Cylinderfunktionen  dargelegt  haben,  wenden  wir 
uns  nunmehr  zu  einer  Produktformel,  welche  auch  in  die  Theorie 
dieser  Funktionen  tief  eingreift.  Zu  diesem  Zwecke  wenden  wir  die 
Regel  von  Cauchy  für  die  Multiplikation  zweier  unendlichen  Reihen 
an  und  erhalten  somit  ohne  Schwierigkeit  die  Formel: 


(1)        J'{ax)J^{ßx)  =  a'ß^  ■  2  (-  l>'^''?'''(a,  ß)  (f ) 


r  +  p  +  2s 


s  =  ü 


wo  wir  der  Kürze  halber 

^^)  ^  p\  (n—p)\  V{v-\-n  —  p-\-  1)  r(?  +iJ  +  1)  ^      ''^'"(«,  /  ) 

oder  noch  einfacher 

(3)      .r,    I  ."rT-i rr.  ■  Fi-  v-n,-  n,  q -\- l,  '^^)  =  ^"•?'"(«,  ß) 

^  '   w!  r(e -|- 1)  r(v -]- OT-)- 1)      \  '       '^        '  a^/  v  "/ 

gesetzt  haben,  während  F  die  gewöhnliche  hypergeometrische  Reihe 
bedeutet. 

Beschränken   wir    uns    auf   den    einfachen   Fall    a  =  /3  =  1 ,    so 
finden  wir  mittels  (Fg)  und  (fg)  die  einfache  Formel: 

die  in  ihrer  vollen  Allgemeinheit  von  Schönholzer^)  gegeben  wor- 
den ist,  und  aus  welcher  man  eine  große  Menge  anderer  Formeln 
herleiten  kann. 

Setzt  man  zuerst  in  (4)   ()  =  ±  \,   so   erhält  man  mittels  (f^) 
und  (2)  in  §  2  folgende  zwei  Entwicklungen: 

iS\  J" ix\  cos  :r  =  ^'  .  y  (-irr(.  +  2^^  +  i)  .2X2. 


n  - 


(bj  d  {x)  sin  ä;  -  ^_  -^^  ^^^  ^  i),  r(2^  +  2«  +  2)  ^^^^ 

1)   Über  die  Auswertung  bestimmter    Integrale  mit  Hilfe  von   Verände- 
rungen des  Integrationsweges  p.  15;  Bern  1877. 


Kapitel  I.    Die  vier  speziellen  Cylinderfunktionen.    §  6.  21 

welche  für  v  =  0  schon  von  Bessel')  gegeben  worden  sind,  wiihreiid 
Loniniel-)  wohl  zuerst  die  sillgemoineu  Formeln   bewiesen  hat. 

Addiert  oder  subtrahiert  man  die  Gleichungen  (ö)  und  (6), 
nachdem  man  sie  mit  cos  x,  respektive  sin  x  oder  umgekehrt  mul- 
tipliziert hat,  so  findet  man  zwei  neue  Formeln;  aus  (ö)  und  (G) 
erhält  man  auch  immittelbar  die  andere: 


n  =  00 


Oflenbar  gelten  ähnliche  Formeln  auch  für  die  Produkte  J"{x)  Y^'{x) 
und  Y"{x)Y*'{x^y  wo  n  und  v  ganze  Zahlen  bedeuten.  Man  findet 
zum  Beispiel  folgende  einfache  Entwicklung  dieser  Art: 


\%J^{x)Y^{x)  =  ^{J\x)Y  log  (f )  + 


(8) 


n  =  00 


Übrigens  bemerken  wir,  daß  sich  diese  Formeln  mittels  der  Methode 
von  Frobenius^)  mimittelbar  aus  den  linearen  Differentialgleichungen 
des  Kapitel  IX  herleiten  lassen. 

Wir  kehren  nun  zur  Formel  (7)  zurück,  um  eine  neue  Dar- 
stellung der  Neumannschen  Cylinderfunktion  zu  erhalten.  Wir  be- 
schränken uns  auf  das  obere  Zeichen  von  i  und  finden  dann  mittels 
(16)  in  §  3  für  die  Y-Funktion  ohne  Mühe  folgenden  andern  Ausdruck: 

(9)  it .  Y\x)  =  2(i), J'(a;)),_  -f-  %\x)  -  <B\x) , 

wo  wir  der  Kürze  halber 


(10) 


und 


2(2a;f 


2_^y^\-l)-r(.+|(n-.-l)!  ^ 


s=n— 1 


2]^  y    i2n-s-l)l    /   1   \"--  _  g„,  . 
^^^)  ^ix     j^   sW(n-s-\-i)\2xi)  ^W 

gesetzt  haben. 


e         ,  =  0 


1)  Abhandlungen  der  Berliner  Akademie  1824,  p.  39. 

2)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen  1868,  p.  17. 

3)  Journal  für  Mathematik  Bd.  76. 


22         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Diese  zwei  neuen  Funktionen  @  und  %  sind,  wie  wir  später 
zeio-en  wollen,  zu  den  altbekannten  S  und  T  überall  analog;  sie 
verdienen  also  in  der  Tat  ebenso  gut  wie  diese  als  Besselsche 
Funktionen  zweiter  Art  bezeichnet  zu  werden,  wenn  es  nicht  besser 
wäre,  diese  Bezeiclmung  für  immer  fallen  zu  lassen. 

Vergleicht  man  nun  die  Formel  (9)  mit  (16)  in  §  3,  so  findet 
man,  daß 

(12)  T«  (x)  -  /S"  {x)  =  X«  {x)  -  &  (x) 

sein  muß;  aus  dieser  Identität  leitet  man  nun  sehr  leicht  die  zwei 
anderen  ab: 

(13)  %"{x)  -  (-  iy%"{-  x)  =  &{x)  -  (-  1)"©"(-  x) , 

(14)  %"(^x)-^{-iy'%"i-x)-2T^'ix)  =  &ix)  +  {-iy'B\-x)-2S\x). 

Nun  zeio-en  in  der  Tat  diese  Identitäten,  daß  die  zwei  Funktionen 
rechter  Hand  ganze  transcendeute  Funktionen  sein  müssen;  für  sie 
haben  wir  späterhin  in  den  §§  19,  20  einfache  Integralausdrücke  her- 
zuleiten. 

§  7.     Fimdamentalformel  von  Lommel. 

Die  allgemeine  Produktformel  (4)  des  §  6  scheint  recht  unbe- 
achtet geblieben  zu  sein  und  doch  erlaubt  sie,  den  vorteilhaftesten 
Beweis  einer  der  wichtigsten  Formeln  in  der  ganzen  Theorie  der 
Cylinderfunktionen  herzuleiten.  Setzt  man  nämlich  in  der  oben  er- 
wähnten Formel  q  =  —  v  —  p  —  1,  wo  p  eine  ganze,  nicht  negative 
Zahl  bedeutet,  und  zerlegt  man  die  Summe  rechter  Hand  in  zwei 
andere,  von  welchen  die  erste  von  n  =  0  bis  n  =  f>,  die  zweite  von 
ji  =  jtj  -|-  1  bis  n  =  <X)  geht,  so  bekommt  man: 

J   [X)J  W  — ^         r(i'-f  «+l)r(n— i)  — r) 


(1) 


/t  =  U 


4-  (-  1V+ ^  y     in-fp-fiju; 

-r  V    -l;     j^  r(«-}-i  — lOrcH-fp  +  i  +  r) 

n  =  0 

Nun   ist   es   aber   einleuchtend,    daß    die  letzte    dieser   Summen 
nichts  anderes  ist  als  das  Produkt: 

(-  \y^^j-^'{x)j"^p+\x); 

was  die  erste  Summe  betrifft,  so  verschwinden  die  Binomialkoeffi- 
zienten,  wenn  2«^j)-f  1  ist.  Für  die  vorhergehenden  Terme 
findet  man  dagegen  allgemein: 


Kapitel  I.    Die  vier  speziellen  Cylinderfunktionen.    §  7.  8.  23 

^       ^   \  »  '        .^(      .x^Ci»-/; -l)(2n-p- 2)  ■•■(«- j>) 

r^r+H+l)  r(n— p  — v)        \      ^^  n! 

(n  —  j)  —  y)  (n  —  p  4- 1  —  »)  •  •  ■  (—  n  —  1  —  y) 

r(v  +  7»-|-i)r(— n  — v)  ' 

wendet  man  nun  die  Formel  (fj)  auf  das  Produkt  im  letzten  Neuner 
rechter  Hand  an,  so  iiudet  mau  Iblgeudeu  elegauten  Ausdruck: 

r_lV'  +  '^  +  i    ^'°'"'    iP  —  n)Uv-\-p-n\ 
^        ^  n  Ji!        \   jp  — 2n   / 

Führt  man  als(»  die  in  x  uud  v  rationale  Funktion : 

s  =  0 


(2)      ^■■'w-^^=i4F^r;_^r)a) 


ein,  für  welche  wir  den  Namen  Lommdschcs  Polynom  vorschlagen, 
80  gibt  (1)  die  elegante  Formel: 

(  J'{x)J-''-p-\x)  +  (-  \y>J-'\x)J"+p+\x)  = 

die  Lommel')  auf  ganz  andere  Weise  gefunden  hat.  Führt  man 
nun  mittels  (3)  in  §  3  die  Y-Funktiou  ein,  so  findet  man  die  noch 
einfachere  Formel: 

(4)  Y\x)J'+''  +  \x)  -  Y'+J'  +  \x)J\x)  =  ~  •  R''P{x), 

die  ebenfalls  von  LommeP)  gefunden  worden  ist. 

Setzt  man  noch  in  (3j  und  (4)  p  =  0    und    v  —  i    für  v,    so 
findet  man  die  spezielleren  Formeln: 

(5)  J\x)J-^'^\x)  +  J^-\x)J-\x)  =  ^^, 

(6)  Y^-\x)J\x)  -  Y\x)J^-\x)  =  ^, 

welche  LommeP)  zum  Ausgangspunkt  für  seinen  Beweis  der  all- 
gemeinen Formeln  genommen  hat. 

Wir  haben  noch  zu  bemerken,  daß  Weber*)  beinahe  zu  gleicher 
Zeit  wie  Lommel  die  Formel  (6)  fand,  und  daß  HankeP)  dieselbe 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  4,  p.  lO'J;  1871. 

2)  loc.  cit.  p.  111.  3)  loc.  cit.  p.  105. 

4)  Journal  für  Mathematik  Bd.  76,  p.  10;  1873. 

5)  Mathematische  Annalen  Bd.  8,  p.  458;  1875. 


24  Erster  Teil.    Funtlamentaleigenscliaften  der  Cylinderfunktionen. 

Formel  schon  einige  Jahre  vorher  gefunden  hatte,  ohne  sie  aber  zu 
veröffentlichen. 

Hankel  und  Weber  beweisen  die  Formel  (6)  durch  Zuhilfe- 
nahme eines  Satzes  von  AbeP)  über  die  aus  J  und  Y  gebildete 
Funktionaldeterminante,  welcher  von  Fuchs^)  verallgemeinert  worden 
ist.     Man  findet  dadurch,  daß 

/dx 

oder  vermöge  (3)  des  §  1 

sein  muß,  wo  die  Konstante  Ä  bestimmt  werden  kann,  wenn  man 
nach    ausgeführter    Multiplikation    durch    x    diese    Variabele    gleich 

Null  setzt. 

Wir  werden  später  in  §  16  noch  mehrere  Beweise  für  die 
Formel  (6)  herleiten;  jedoch  ist  der  erste  hier  mitgeteilte  der  vor- 
teilhafteste von  allen,  weil  er  uns  sogleich  die  allgemeinere  Formel 
(4)  gibt. 


§  8.     Verallgemeinerungen  einiger  Formeln  von  Bessel. 

Wir  haben  noch  eine  andere  Anwendung  der  allgemeinen  Pro- 
duktformel (1)  des  §  6  zu  geben,  indem  Avir  die  oben  gegebenen 
Besselschen  Reihenentwicklungen  noch  weiter  verallgemeinern.  Zu 
diesem  Zwecke  betrachten  wir  das  Polynom: 

in  welchem  wir  die  einzelnen  Glieder  nach  der  Binomialformel  ent- 
wickeln und  dann  nach  steigenden  Potenzen  von  ß  ordnen.  Auf 
diese  Weise  finden  wir  als  Koeffizienten  des  Terms  a'^''~^^ß^% 
0  ^  s  ^  4l^,  den  Ausdruck: 

>2r 


«2.= 


^  rl  (n  —  rj]  (s  —  r)\  (2 n  —  s  —  r)[  r(p  -f  r  -f  1)  r(r  -f  w  —  r  +  1)  ' 

r  =  0 

wendet  man  nun  auf  die  Gammafunktion  im  Zähler  die  Formel  (fj 
an,  so  findet  man,  nachdem  man  Q  =  —  ^  gesetzt, 

"^^^^  -77^ ,!r,     ,   ,,v-  ■  ^^~  "■'  ~  -'  +  '''  ■"  +  ^'  1)' 

nl(2n  —  s) !  r (v  -J-  l)y jr 


1)  Citat  von  Hankel;  loc.  cit.  p.  457. 

2)  Journal  für  Mathematik  Bd.  66. 


Ka|titol  II.    Die  willkürlichen  Cylindorfunktionen.    §  9.  25 

80  (laß  die  G au ß sehe  Formel  (F^)  uurnittelbai'  ck-ii  cinfaclicreu  Aus- 
druck gibt: 


«^,= 


2'"  rcv-fas-fi) 


n\  (271 -sV.y^    r(v-f  s+l)r(v  +  l  +  2n-8)' 
man  findet  so  die  bemerkt-uswerte  Formel: 

(1)  Ä'-h''i2ccß,  cc'-\-ß^)=^"'^^''±i^i±^  .  ^^^3»(«,  ß), 
während  man  auf  ähnliche  Weise  die  analoge  Formel  findet: 

(2)  (aH/3")^'4-"(2a/3,«H/3^=''^'"^''"^'';J:^""^^^-  Ä^'^''"  +  \tt, ß). 

y  1t 

Erinnert  man  sich  noch   der  Formeln   (2)   des  §  2,    so    findet 
man  die  drei  Entwicklungen: 

(3)  J'  (f )  cos  ("-!±i'.)  -  i^ .  5'fc^ .  r(.  +  25+ 1)^^^-(«,,^).-, 


i  =  0 

Ä  =  00 


(4)  J-m  sin  («-I±£-V)  =  ("^-^)'  .^^T^'  ■  r(.+25+2)4-.-(«,ft:.-^', 

(5)  J^i^?  ^'-'L  («??)■■  f  r(.  +  .+  l)Ä:'.'(.,ß){±f); 

«  =  () 

welche  sehr  eigentümlich  sind,  wenn  man  sie  mit  der  allgemeinen 
Produktformel  (1)  des  §  6  vergleicht;  setzt  man  a==  ß,  so  ergeben 
sich  die  in  §  6  mitgeteilten  verallgemeinerten  Be sseischen  Ent- 
wicklungen (5),  (6)  und  (7). 


Kai3itel  II. 
Eigenscliaften  der  willkürlicheu  Cyliiiderfiuiktioueu. 

§  9.     Bestimmung  der  allgemeinen  Cylinderfunktionen. 

Die  Eigenschaften  der  vier  speziellen  Cylinderfunktionen,  welche 
wir  im  vorigen  Kapitel  entwickelt  haben,  erlauben  ims  nun,  ohne 
Schwierigkeit  die  zwei  Funktionalgleichungen  (1)  und  (2)  des  §  1 
vollständig  aufzulösen,  d.  h.  die  allgemeinen  Cylinderfunktionen  zu 
bestimmen.  Zu  diesem  Zwecke  betrachten  wir  zuerst  die  letzte 
dieser  Gleich imgen:  ^ 


26  Erster  Teil.    Fundainentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen, 

(1)  F^-\x)  +  F^'  +  \x)  =  ^  F\x), 

die  in  Bezug  auf  v  eine  lineare  homogene  DiffercnzengleicJmng  der 
zweiten  Ordnung  ist. 

Wir  setzen  voraus,  daß  F^^'{x)  und  F^^{x)  zwei  verschiedene 
Lösungen  dieser  Gleichung  bedeuten,  die  so  beschaifen  sind,  daß  die 
sechs  Funktionswerte,  welche  in  (1)  vorkommen,  wirklich  existieren; 
sonst   machen   wir  über  diese  Lösungen  gar  keine  Voraussetzungen. 

In  Übereinstimmung  mit  der  in  §  7  gegebenen  Lo  mm  eischen 
Fundamentalformel  betrachten  wir  hier  die  Funktion 

(2)  r{x)  =  F,^'F./-\x)  -  F,^'-\x)Fi{x), 

welche,  wie  (1)  unmittelbar  zeigt,  ungeändert  bleibt,  wenn  man 
V  -\~  1  für  V  einführt,  so  daß  f^x)  eine  periodisclie  Funktion  in  v 
mit  der  additiven  Periode  -\-  1  sein  muß. 

Diese  Bemerkung  reicht  aber  für  die  vollständige  Auflösung 
der  Differenzengleichung  (1)  aus;  bezeichnet  man  nämlich  die  all- 
gemeinste Lösung  dieser  Gleichung   mit  F {pc)   und   setzt  man  noch 

(3)  J"  + 1  {x)  F'  {x)  -  J'  (x)  F'  +  \x)  =  —  &^'  (x),    1'  +  '  (x)  =  l^'  (x) 


7tX 


(4)  -  Y"  +  \x)F"{x)  +  Y"(x)F''  +  \x)  =  ^^a"(x),     a'  +  \x)  =a'(x), 

so   gibt  die  L omni el sehe  Fundamentalformel  unmittelbar  den  Satz: 
Die  allgemeinste  Lösung  von  (1),    idjer  zvelche  icir  nur  voraus- 
setzen,  daß   die  drei   in   (1)  vorkommenden  Funktionswerte  wirklich 
existieren,  läßt  sich  immer,  wie  folgt,  darstellen: 

(5)  F'  (x) = a"  (x)  J"  (x) + &^  (x)  F"  (x) ;  a"  +  ^  (x)  =  a"  (x)  ,b''  +  \x)  =  b"  (x) . 

Die   sonst   ivillkürlichen  Funktionen   a  und  h  lassen  sich  bestimmen, 
wenn  man  den   Wert  der  Funktion  F''{x)  für  9ft(v)  =  +  oo  kennt. 

Mit  Hilfe  dieses  Satzes  ist  es  aber  sehr  leicht,  die  allgemeinste 
Cylinderfunktion  zu  bestimmen;  man  muß  nämlich  nur  so  über  die 
willkürlichen  Funktionen  a''(x)  und  b'''(x)  verfügen,  daß  F"[x)  auch 
der  ersten  Funktionalgieichuug  der  Cylinderfunktionen  genügt.  Eine 
direkte  Einsetzung  gibt: 

F'-\x)  -  F"  +  \x)  =  2D^F'{x)  -  2J\x)D^a^\x)  -  2  Y'{x)DJo\x), 
so  daß  man  identisch 

J\x)D,a\x)  +  Y\x)DJb\x)  =  0 
hat.     Wenn  nun   die   beiden  Funktionen  a  und  b  von  x  nicht  un- 
abhängig sind,  so  läßt  sich  diese  Bedingung  auch  so  schreiben: 


Kupitcl  II.    Diu  willkürlichen  Cylinderfunktionen.    §  lU.  27 

so    tlali  tlor  ßrueli   linker   Ihuul  oiiic   in   v   [iL-rioiliM-hc   l-'nnktioii   dar- 

st»'llt'n    iniilite;    dies    ist    aber    unmöglich,    denn    die    Lonimelsche 

Fundanientaliorniel  gibt: 

J'(x)   _   J*-^x) -J ^ 

y^x)  ~  y-Var^  "^  2«xr''(a;)y*'-i(x)' 

also  müssen  die  beiden  Funktionen  a  und  b  von  x  unabhängig  sein; 
damit  haben  wir  folgenden  zweiten  Satz  bewiesen: 

Die  allgoHcinc  Cyl'uukrfunldion  mit  (lern  Argumente  x  und  dem 
Pammctcr  v  läßt  sieh  immer,  wie  folgt,  darstellen: 

C'(^x)  =  a{v)J'{x)  +  b{v)  Y^{x);    «(i/+  1)  =  a{v),    h{v+i)  =  h{v), 

wo  a  und  h  von  x  unalihängig  sind.  Diese  Cylindcrfunldion  ist  also 
eine  in  x  analytische  Funktion,  die  ztvei  singulären  Stellen  x  =  0  mid 
X  =  (x>  ausgeschlossen. 

Es  ist  also  einleuchtend,  daß  diese  allgemeine  Cylinderfunktion 
kein  besonderes  funktiouenthcoretisches  Interesse  darbietet,  weil  sie 
bekannt  ist,  sobald  mau  nur  zwei  linear  unabhängige  Cylinder- 
funktionen  gefunden  hat.  Für  eine  systematische  Theorie  ist  diese 
allgemeine  Cylinderfunktion  C^{x)  indessen  von  großem  Nutzen, 
weil  man  durch  sie  diejenigen  Formeln,  welche  für  alle  Cyliuder- 
funktionen  gelten,  auf  einmal  allgemeingültig  herleiten  kann,  statt 
diese  Formeln  zuerst  für  J  und  dann  noch  einmal  für  Y  zu  be- 
weisen, wie  die  frühereu  Autoren  es  häufig  gemacht  haben.  Beweist 
man  dagegen  die  Formeln  für  C^'{x),  so  ist  offenbar,  daß  sie  sowohl 
für   Y  als  auch  für  J  gelten  müssen. 

Wir  haben  also  in  diesem  Paragraphen  die  allgemeine  Lösung 
der  zweiten  Fundamentalgleichung  der  Cylinderfuuktionen  gegeben; 
was  die  erste  Fundamentalgleichung  für  diese  Funktionen  betriift, 
so  ist  sie  viel  schwieriger;  ja,  man  darf  wohl  sagen,  daß  es  beinahe 
immöglich  scheint,  die  allgemeine  Form  der  Lösungen  dieser  Gleichung 
zu  finden.  In  der  Tat  findet  man  im  nächsten  Kapitel  sowohl  rationale 
Funktionen  wie  ganze  transcendente  Funktionen,  die  sämtlich  Lösungen 
darstellen,  und  zudem  geben  wir  noch  im  Kapitel  XXIV  sehr  all- 
gemeine Integraldarstellungen,  welche  dieselbe  Eigenschaft  besitzen. 

§  10.     Differentialeigenschaften   der  Cylinderfunktionen. 

Als  erste  Anwendung  der  allgemeinen  Cylinderfunktion  wollen 
wir  einige  Differentialeigenschaften  derselben  herleiten.     Wir  haben 


28  Erster  Teil.    Fundamentaleigenscliaften  der  Cylinderfunktionen. 

schon  in  §  1  darauf  aufmerksam  gemaclit,  daß  die  zwei  Fundamental- 
gleichungen der  Cylinderfunktionen  durch  die  zwei  anderen  ersetzt 
werden  können : 

(1)  D^C^ix)  =  -^C^(x)  +  C^-\x),  D,C^'{x)  =  ^C^{x)-C^  +  \xy, 

von  diesen  Formeln  ausgehend,  findet  man  nun  olme  Mühe  folgende 
zwei  anderen: 

(2)  B^ix"    C''{ax))==ax''C''-Hax), 

(3)  D^  (x-  "  C''  (a  x))  =  -a  x- ''  C"  +  Hccx), 

welche  wir  schon  in  §  1  für  die  Besselsche  Cylinderfunktion  her- 
geleitet haben. 

Die  Formeln  (1)  geben  noch  die  weiteren: 


(4)  D, 


{x'ciYax))  =  y^-x^   •  C'-KVax), 


(5)  dXx    'C^iVax))  =  -yi-x     '    -C^'  +  'iYax), 

welche  viel  eigentümlicher  als  die  vorhergehenden  sind.     Setzt  man 
nämlich: 

V  V 

f'(x)  =  (ixfc  (Y^),     ff{x)  =  sin  v%  ■  (^)~  '  C/''  (y^), 

so  findet  man  aus  (4)  und  (5)  folgende  merkwürdige  Formeln: 

(6)  D,/-"(^)  =  r-\x),    B^(f{x)  =  f^\x), 

von  welchen  die  erste  auch   die  Bernoullischen  Funktionen^)   als 
Lösungen  hat. 

Bemerkt  man  nun  weiter,  daß  sich  C'(^)  in  der  ganzen  a;- Ebene, 
mit  Ausnahme  der  zwei  singulären  Stellen  x  =  0  und  x  =  oo,  regulär 
verhält,  so  geben  die  Formeln  (4)  und  (5)  die  zwei  Taylorschen 
Reihenentwicklungen : 


«=  CD 


(7)  {y^^Thj'ciV^  +  /O  =  ^^  <^^'-<i^)^ 


s  =  00 


(8)       iY^rc'ivi^.)  =  vt^-.^^:^, 


s  =  ü 

die  anwendbar  sind,  falls  |  /i  |  <  |  ^  |  und  0  <  |  :r  |  vorausgesetzt  wird. 


.  =  0  ^   2 


1)    Man   vergleiche    zum  Beispiel    die  Inauguraldissertation  von  ßenfer; 
Bern  1900,  p.  37. 


Kapitel  II.    Die  willkQrliilion  f'yliiulftrfnnktioneu.    §  11. 


29 


Wenn  die  Cylindnfunktion  von  der  ersten  Art  ist,  so  können 
diese  Redin<(iin^on  für  (H)  wegj^elassen  werden,  weil  dann  die  Funk- 
tion linktT  Hiind  in  dieser  Formel  eine  gan/c  tninscendente  Funktion 
in  ./■  darstellen   muß. 

Unter  Weglassung  der  lutegrationskonstanto  findet  man  aus 
(2)  und  (;i): 

(9)      Jx^C'-\x)dx  =  x'C'{x),    Jx-*C'^\x)  =  -  x-'C\x), 

während  (4)  und  (5)  auf  dieselbe  Weise  ergeben: 

a:'  C*-'{yx)dx=2x''  C'{Y^), 

Jx'^'^c^^'iY^)  =  -2x"^ciyx). 

Die  Formel  (4),  in  welcher  v  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet, 
während  die  Cylinderfunktion  von  der  ersten  Art  ist,  hat  schon 
Bessel')  gekannt;  Neumann")  hat  dieselbe  Formel  auch  für  die 
1"- Funktion  gegeben  und  eben  dadurch  den  expliciten  Ausdruck 
für  diese  Funktion  gefunden.  Bei  Lommel  findet  man  für  die 
J- Funktion  alle  vier  Differentialformeln  ^)  und  die  Taylor  sehe 
Reihe  (8)*). 


(10) 


§11.    Reduktionsformel  für  C''±"{x).    Bestimmung  von  J"  +  ^(x). 

Der  Ausdruck  §  9,  (5)  für  die  allgemeine  Lösung  der  zweiten 
Fundamentalgleichung  der  Cylinderfunktionen  erlaubt  uns,  für  diese 
Funktionen  eine  Analogie  der  Lommelschen  Fundamentalformel  zu 
bilden.     Es  seien: 

F,'{x)=a^'{x)J'{x)-\-b,-{x)  Y'{x),  R/{x)=^a,'(x)J'{x)-\-h/{x)  Y'{x) 
zwei  solche  Funktionen,  so  gibt  die  Regel  für  die  Multiplikation 
zweier  Determinanten  die  Formel: 


i^/+"(a;)  F^'(x) 
F/+"{x)  F^\x) 


Wx)  h/{x) 


J^+''{x)   J\x) 
Y'+''{x)  Y\x) 


so  daß  die  allgemeine  Lommel  sehe  Formel  unmittelbar  die  andere 

ergibt: 

(1)        F,^^\x)F,\x)  -  F,^{x)F/+-{x)  =  4  •  A  •  R^'--\x), 


1)  Abhandlungen  der  Berliner  Akademie  1824,  p.  34. 

2)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen  p.  54;  1867. 

3)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen,  p.  6—9;  1868. 

4)  loc.  cit.  p.  11. 


30  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaftea  der  Cylinderfunktionen. 

WO  A  die  erste  Determinante  rechter  Hand  in  der  vorigen  Gleiclinng 
bedeutet.  Wenn  a  und  h  von  x  unabhängig  sind,  werden  F^  und 
Fo  gewöhnliche  Cylinderfunktionen,  und  somit  haben  wir  in  (1)  die 
zusfeh()rige  allgemeine  Lommelsche  Fundamentalformel  gegeben. 

Von  der  Formel  (1)  ausgehend,  haben  wir  nun  einige  sehr 
wichtige  Reduktionsformeln  für  die  i^- Funktionen  und  somit  auch 
für  die  allgemeinen  Cylinderfunktionen  herzuleiten.  Zu  diesem 
Zwecke  schreiben  wir  die  Fundamentalgleichung  folgendermaßen: 

(2)  F''  +  \x)  =  ^  F'(x)  -  F'-\x) ; 

setzen  wir  hier  v  -\-  1,  v  -{-  2,  v  +  3,  •••  statt  v,  so  ist  oö'enbar 
daß  wir  dadurch  eine  allgemeine  Formel  von  folgender  Gestalt 
finden  müssen: 

(3)  F^'+'^i^x)  =  A^''\x)F\x)  -  B''^^{x)F'-\x), 

wo  A  und  B  rationale  Funktionen  der  zwei  Variabein  v  und  x 
bedeuten;  n  ist  natürlich  eine  positive  ganze  Zalü. 

Man  kann  diese  Funktionen  A  und  B  durch  vollständige  In- 
duktion bestimmen,  wie  LommeP)  es  wirklich  getan  hat;  die  fol- 
gende Methode  ist  aber  viel  einfacher. 

Führt  man  nämlich  in  (1)  den  Ausdruck  (3)  ein,  so  findet  man 

unmittelbar : 

B''''{x)  =  B'-'"-\x)', 

setzt  man  nun  weiter  in  (1)  v  —  1  für  v  und  n  -{-  1  für  n,  so  liefert 
eine  neue  Anwendung  von  (3)  das  weitere  Resultat: 

A'''''{x)  =  R'-'^'''{x), 
und  somit  haben  wir  folgende  allgemeine  Reduktionsformel  gefunden: 

(4)  F'+'>{x)  =  R'-'''"{x)F'{x)  -  Il''''-\x)F'-\x). 

Um  die  ähnliche  Formel  für  den  Parameter  v  —  w  zu  finden, 
setzen  wir  in  (4)  cos  v7cF~''^'{x)  statt  F'\x),  was  offenbar  erlaubt 
ist,  weil  auch  diese  Funktion  eine  Lösung  der  Fundamentalgleichung 
(2)   sein  muß.     Unterdrückt  man  nun  in  der  so  erhaltenen  Formel 

(4)  den  gemeinsamen  Faktor  cos  v^  und  setzt  man  noch  1  —v  statt 
V,  so  findet  man  die  erwähnte  Formel: 

(5)  (-  iy'-^F^-"{x)  =  R^-''^-\x)F'{x)  +  B-''''-\x)F'-\x)', 

man  kann  auch  in  der  so  modifizierten  Formel  (4)  —  v  für  v  ein- 
führen, wodurch  man  folgende  Formel  findet: 


1)  Studien  über  die  Besselsclien  Funktionen  p.  3;  1868. 


Kapitel  LI.    Die  willkürlichen  Cylimlerfunktioni'ii.    §  11.  31 

(6)  (-  l)"F''-»(a:)  =  72-'-'."(a:)F'(a:)  +  R- '•" - \x) F' +  \x) , 
oder  auch,  wenii  man  v  +  n  für  v  einsetzt, 

(7)  {-\)''F'{x)  =  li-'-"-''"(,i:)F'  +  "{x)  +  Ii-'-''-"-'{x)F'  +  "  +  '{x); 

die  letztere  Formel  wird  uns  in  den  Untersufhun^en  über  die  Null- 
stellen einer  Cylinderfunktiou  sehr  nützlich  sein. 

Im  allgemeinen  haben  wir  durch  die  Formeln  (4)  und  (5)  den 
Satz  bewiesen: 

Um  die  Fimldionen  F*'{x)  in  der  ganzen  v- Ebene  zu  lennoi, 
hraucht  man  nur  diejenigen  Werte  zu  lennen,  für  tvdche  —  1  <  91  (v) 
£  4-  1  ist 

Die  Formel  (4)  ist  für  die  t/-Funktion  von  Lommel  explicite 
gefunden,  während  Bessel')  sie  schon  für  v  =  1  gekannt  hat;  doch 
gibt  er  nicht  die  direkten  Ausdrücke  der  Funktionen  R,  sondern 
definiert  sie  als  Zähler  und  Nenner  der  Annäheningsbrüche  des 
Kc'ttenbruches,    den  wir  in  §  14  näher  zu  betrachten  haben.     Für 

V  =  1  hat  Christoffel-)  den  entwickelten  Ausdruck  für  die  R- 
Funktionen  cjefunden. 

Es  ist  offenbar,  daß  die  allgemeinen  Formeln  (4)  und  (5)  uns 
erlauben,  die  Cylinderfunktionen  zu  bestimmen,  deren  Parameter  die 
Hälfte  einer  ungeraden  ganzen  Zahl  ist.     Setzt  man  nämlich  in  (4) 

V  =  .V,  so  findet  man  mittelst  §  2,  (2)  die  folgende  erste  Formel: 

(8)  J"  +  -}{x)  =  (—  1)"  Y-"-i{x)  =  Ä"{x)  sin  x  —  B''{x)  cos  x, 
während  (5)  für  v  ==  ^  und  n  -\-  1  statt  n  die  analoge  Formel  gibt: 

(9)  (—  1)"  J- "  -  2-  (a:)  =  —  r«  + 1  (x)  =  Ä"  (x)  cos  x  +  B"  (aj)  sin  x, 

wo  sich  die  Koeffizienten  Ä  und  B  mittelst  der  Formel  (^4)  fol- 
gendermaßen darstellen  lassen: 


s  =  0 


Für  die  Ä"-Funktionen  findet  man  nun  ohne  Mühe  aus  (8)  und  (9) 
die  Ausdrücke: 


1)  Abhandlungen  der  Berliner  Akademie  1824,  p.  32. 

2)  Journal  für  Mathematik  ßd.  58,  p.  90—92;  1861. 


32  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 


■  n  +  4- , 


H^^^^ix)  =  —  e-'^  (^'^  (ic)  —  iA""  {X)) ; 
aus  denselben  Formeln  findet  man  noch  die  interessante  Identität: 

(13)  (J"^^(^))'  +  (r«+^-(;r))'  =(^"(x))'+  {B»{x)y, 

die  zuerst  von  LommeP)  angegeben  worden  ist.  Die  Quadrat- 
summe linker  Hand  in  (13)  ist  also,  vom  Divisor  7t  abgesehen,  eine 
rationale  Funktion  in  x,  die  zudem  rationale  Koeffizienten  hat. 

Die  Cylinderfunktionen  (8)  und  (9),  die  übrigens  von  Poisson^) 
eingeführt  sind,  lassen  sich  auch  als  Diiferentialquotienten  von  tri- 
gonometrischen Funktionen  darstellen;  die  allgemeine  Formel  §  10, 
(5)  gibt  nämlich  unmittelbar  die  beiden  Ausdrücke: 

J-i(x)  =  (-i)».<^.i)v(^), 


j/jr 


(14) 

man  hat  für  dieselben  Formeln  auch  direkte  Beweise  mittelst  der 
zugehörigen  B  es  sei  sehen  Differentialgleichung;  der  einfachste  unter 
diesen  ist  neuerdings  vom  Kriegsminister  Madsen^)  gegeben  worden. 
Wendet  man  dagegen  die  allgemeine  Formel  §  10,  (4)  an,  so 
lassen  sich  die  Poissonschen  Cylinderfunktionen  durch  mehrfache 
Integi-ale  aus  trigonometrischen  Funktionen  darstellen;  eine  noch 
allgemeinere  Formel  dieser  Art  ist  schon  von  Liouville^)  gefunden 
worden. 

§12.     rundamentaleigenschaften  des  L o mm el seilen  Pol5aiomes. 

Die  Lommelsche  Fundamentalformel  und  die  Rekursionsformelu 
des  vorigen  Paragraphen  zeigen  deutlich,  daß  das  Polynom  B,  in 
der  Theorie  der  Cylinderfunktionen  eine  sehr  wichtige  Rolle  spielt. 
Dies  hat  schon  Lommel  richtig  erkannt,  indem  er  eine  Reihe  von 
Fundamentaleigenschaften  dieses  Polynomes  entwickelt  hat,  die  denen 
der  Cylinderfunktionen  ganz   analog  sind.     Später  haben  Graf  und 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  2,  p.  631;  1870. 

2)  Journal  de  l'Ecole  Polytechnique  cahier  19,  p.  300;  1823. 
Theorie  mathematique  de  la  chaleur,  Chap.  VI;  Paris  1835. 

3)  Nyt  Tidsskrift  for  Mathematik,  Bd.  13  B,  p.  22;  1902. 

4)  Journal  de  l'Ecole  Polytechnique,  cahier  24,  p.  58;  1835. 


«I 


Kapitel  II.    Die  willkiirlichen  Cvlinderfunktioueu.    §  l'J.  33 

Crelier  die  Lommelschen  Formebi  wieJergel'undeii  und  außiMdeui 
neue  Eigeusclmften  des  Polyuomes  11  entdeckt. 

liier  woUeu  wir  die  wichtigsten  dieser  Eigenschaften  nehst 
einigen  anderen  mit  Zuhilfenahme  der  Keduktionsformehi  des  i^  1 1 
herleiten. 

Wir  gehen  also  von   der  Formel  ij  11,  (1): 

(1)  F,^^"(x)IY{x)  -  F,^{x)F,^^''{x)  =  ^  •  A  •  Ii-"-\x) 

aus;  nehmen  wir  noch  aus  §  11,  (5)  die  beiden  Funktionen  i^j''~"(a;), 
F^*~"{x),  so  finden  wir  folgende  mit  (1)  analoge  Formel: 

(2)  Fr"{x)Fi(x)  -  F:{x)Fr\x)  =  (-  1)"  ^  ■  A  .  li-^'"-\x). 

Nun  ist  es  offenbar,  daß  (2)  sich  aus  (1)  bilden  läßt,  wenn  man 
nur  V  —  n  für  v  einsetzt;  man  findet  alsdann: 

(3)  R-^^"-\x)  =  (-  lY-''R-'''^-\x), 

eine  Formel,  welche  sich  auch  mittelst  der  Definition  für  i?  §  7,  (2) 
direkt  beweisen  läßt.  Es  ist  übrigens  offenbar,  daß  (2)  sich  auch 
aus  (1)  herleiten  läßt,  wenn  man  das  Zeichen  von  n  ändert;  man 
findet  so  folgende  andere  Formel: 

(4)  R'-''-\x)  =  (-  iyR-''''-\x)  =  -  JR"-"'"-^^), 

die  von  Graf^)  herrührt. 

Die  Formel  (4)  gilt  als  Definition  der  Funktion  R,  für  welcJie 
der  letzte  Index  negativ  ist 

Bedeutet  mm  weiter  p  eine  ganze  Zahl,  und  setzt  man  in  (1) 
V  -\-  2^  für  V  und  gleichzeitig  w  —  jo  für  n,  so  findet  man: 

(ö)     F^'-^"{x)F^''+P{x)  -  F^'+P(x)F/+''  =  A  .  A  •  R'+P'^-p-^x), 

denn  die  Determinante  A  ist  ja  in  v  eine  periodische  Funktion. 
Drückt  man  nun  wieder  jede  der  vier  i^- Funktionen  linker  Hand 
in  (5)  mittelst  der  allgemeinen  Reduktionsformel  §  11,  (4)  aus,  so 
findet  man  unter  Anwendung  von  (1): 

(6)       R'''-\x)R'-^'P(x)  -  R^'P-\x)R'-^'''{x)  =  R'+p^''-p-\x), 

woraus  man  durch  die  Annahme  n  =  p  -\-  1  die  merkwürdige  Formel 
findet: 


1)  Annali  di  Matematica  (2)  Bd.  23,  p.  56;  1895. 

Nielsen,  Cylinderfunktionen. 


34         Erster  Teil.    Pundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

(7)  E'''P {x) R' - ^'P{x)  -  R'P - 1  (rr) R  -^'P+\x)^1^ 

die,  ebenso  wie  (6),  von  LonimeP)  gefunden  worden  ist. 

Die  Formel  (6)  ist  offenbar  in  der  Theorie  der  _R- Funktionen 
sehr  fundamental  5  in  der  Tat  kann  man  durch  sie  eine  große  Menge 
anderer  herleiten.  Erstens  findet  man  zum  Beispiel  ohne  Mühe 
folgende  noch  allgemeinere: 

(^)        j  =R^'P{x)R'+'>  +  ^''-''-\x), 

die  von  Crelier^)  gefunden  worden  ist;  zweitens  gibt  (6)  für  jj=l 
die  elegante  Formel: 

(9)  R-^'''{x)  +  R'+'''"-\x)  =  ~  R'^^-\x), 

während   drittens   die  Hypothese  n=\,  wenn  man  noch  v—p  für 
V  schreibt,  gibt: 

R-p-hv{x)  -  R''-P{x)  =  ^^"'^^  R-P'P-\x)- 

setzt   man   in   dieser  Formel   noch  —  v  für  v  und  j)  +  1    für  p,   so 
findet  man  mittelst  (3)  und  (4)  die  weitere  elegante  Formel: 

(10)  R''P-\x)  +  R''P+\x)  =  ^^''+P+'^^  R'P{x); 

(9)  und  (10)  sind  ebenfalls  von  LommeP)  gefunden  worden. 

Mit  Zuhilfenahme  der  zwei  letzten  Lommelschen  Formeln  be- 
weist man  nun  auch  ohne  Schwierigkeit  die  andere: 


(11) 


in  der  Tat  braucht  man  nur  mittelst  (9)  die  zwei  Funktionen  linker 
Hand  auszudrücken  imd  dann  wieder  die  Formel  (10)  anzuwenden. 
Die  Analogie  zwischen  den  Formeln  von  (9)  bis  (11)  und  der 
zweiten  Fundamentalformel  der  Cylinderfunktionen  ist  offenbar.  Die 
Ursache  dieser  Analogie  ist  in  der  folgenden  Grenzformel  zu  suchen: 


r  +  n  —  1 


('')  ,1!?Ai4t^^'"''"(^V--^'-'(^)' 


1)  Mathematische  Annalen,  Bd.  4,  p.  115;  1871. 

2)  Annali  di  Matematica  (2)  Bd.  24,  p.  141;  1896. 

3)  loc.  cit.  p.  114. 


Kapitel  II.    Die  willkürlichen  Cyliuderfunktiouen.    §  13.  35 

welche  zuerst  vou  Ilurwitz^)  gegeben  worden  ist;  wir  kehren  später 
in  §  &2  zur  Formel  (12)  zurück. 

Aus  der  Formel  (10)  ergibt  sich  ohne  Mühe,  daß  die  Funktion 

(13)  F''(x)  =  R'-''"-\x) 

der  zweiten  Fundamentalgleichun«^  der  Cylinderfunktionen  mit  dem 
Parameter  ;/  t^enügt,  vorausgesetzt,  daß  k  eine  ganze  Zahl  bedeutet; 
diese  Funktion  (13)  läßt  sich  also  vermöge  §  9,  (5)  folgendermaßen 
darstellen: 

(14)  R''-''"-'(x)  =  aixyix)  +  h{x)  Y\x), 

wo  a{x)  und  h{x)  von  n  unabhängig  sein  müssen;  setzt  man  in 
der  Tat 

a{x)  =  ^  Y>^-\x),    b{x)  =  -  ^^  J'^-\x), 

so  zeigt  die  Lommelsche  Fundamentalformel  unmittelbar  die  Richtig- 
keit von  (14). 


§  13.     Dififerentialeigenschaften  des  Lommelsehen  Polynomes. 

Die  Analogie  zwischen  den  Cylinderfunktionen  und  den  ratio- 
nalen Funktionen  12*'"(a;)  läßt  sich  auch  auf  die  Differentialeigen- 
schaften übertragen.  Um  dies  zu  beweisen,  brauchen  wir  den  fol- 
genden Hilfssatz: 

Bedeuten  in  der  Formel 

n  =  p'  m  =  q' 

^^^  2r+''(a;)J"^+«(a;)  =  ^  f+^^ix^+^ix) 

p  und  jp',  q  und  q  endliche  ganze  Zahlen,  und  sind  die  Funk- 
tionen f  und  g  sämtlich  in  x  rational,  während  sie  in  v  willkürlich 
angenommen  werden  dürfen,  so  reduziert  sich  die  Formel  (1)  auf  fol- 
gende Identität  mit  den  B,- Funktionen: 

n=p'  m  =  q 

(2)  ^p+-{x)R'-''"{x)  =^g'  +  ^{x)R'--'''^{x) 

n=p  m=q 

und  ist  somit  für  jede  willkürliche  Lösung  der  zweiten  Fundamental- 
gleichung der  Cylinderfunktionen  anwendbar. 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  33,  p.  252;  1889. 


36  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Der  Beweis  dieses  Hilfssatzes  ist  sekr  einfach;  in  der  Tat  läßt 
sich  (1)  mittelst  der  allgemeinen  Rekursionsformeln  (4)  und  (5)  in 
§  11  folgendermaßen  schreiben: 

(3)  Ä{x)J'{x)  ==  B{x)J'-\x), 

wo  A(x)  und  B(x)  in  x  rationale  Funktionen  bedeuten;  nun  be- 
weisen wir  später  in  Kapitel  XI,  daß  die  beiden  transcendenten 
Gleichungen : 

(|-)>(^)  =  o,   (§)'-■/'->(*)  =  0 

unendlich  viele  verschiedene  Wurzeln  haben,  darunter  aber  keine 
gemeinsamen,  so  daß  die  Gleichung  (3)  dann  und  nur  dann  möglich 
sein  kann,  wenn  sie  sich  in  eine  formale  Identität  verwandelt,  wenn 
also  A(x)  und  B(x)  beide  identisch  gleich  Null  sind.  Rechnet  man 
nun  wirklich  mittelst  der  obenerwähnten  Reduktionsformeln  die 
Funktion  A(x)  aus,  so  findet  man  die  Gleichung  (2),  und  somit  ist 
der  Satz  bewiesen. 

Differentiiert  man  nun  nach  x  die  Formel  §  11,  (4) 

J-+^(x)  =  R-^'''{x)J'{x)  -  B'''''-\x)J''-\x), 

so  findet  man  mittelst  der  DifFerentiationsformeln  (3)  und  (4)  in 
§  1  folgende  Formeln: 


(4)  D^B'~''"{x)  =  -  ^  R-'''''{x)  +  B'--''''-\x)  -  R'''-\x\ 

(5)  D^B'-^'^{x)  =  ^^^^  R'-''^(x)  -  R-''^+\x)  -  R^^-\x), 

die  beide  von  LommeP)  gefunden  worden  sind. 

Eliminiert  man  nun  aus  (5)  mittelst  §  12,  (9)  die  Funktion: 

2v  — 2 


X 


B'-'''''(x) 


und  setzt  man  noch  in  (4)  und  in  der  so  erhaltenen  neuen  Formel 

(5)  V  -\-  1   für  V,   so  findet  man  für  die  JS- Funktionen  die  weiteren 
Differentialformeln : 

(6)  D^B^'^^ix)  =  "^-^  B''»{x)  +  B'-'''''+\x)  -  B''^+\x), 


(7)        B^R''''{x)  =  -  ^  B^^^(x)  +  R^'^'-^x)  -  B'+''^^-\x), 
welche    sich    noch    in    anderer  Weise    schreiben  lassen.     Setzt  man 


1)  Mathematische  Annalen,  Bd.  4,  p.  114;  1871. 


Kapitel  U     Die  willkürlichen  Cylinderfunktionen.    §  14  37 

nämlich   in   i7)   r  —  1   für   v  und  m -|-  2  für  n,   so  findet  man  durch 
Anwendung  von  (^6): 

(8)  1>,  (^/^•'•(x)  -  R-'^"  +  \x))  =  "^  (^IV'''{x)  +  /^-»''•+»(a;))  ; 

setzt   mau    in   dieser  Formel   noch   v  -\-  l   statt  v  und  »  —  2  statt  >/, 
so  läßt  sich  dieselbe  auch  folgenderniaUen  schreiben: 

(9)  /),  (7?*-"(.r)  -  /^•  +  '."--(^-))  =  -  -^  (/?*  "Cr)  +  72'  +  '-''-2(^))  . 

Setzt  man  nun  wieder  in  dieser  Formel  i'  -f  1  statt  ;-,  n  —  2 
statt  )i  und  fährt  man  so  fort,  bis  man,  je  nachdem  n  gerade  oder 
ungerade  ist,  eine  J?-Fimktion  mit  dem  letzten  Index  0  oder  —  1 
erreicht,  die  ja  beide  von  ./•  unabhängig  sind,  so  gibt  eine  Addition 
aller  so  erhalteneu  Gleichungen  durch  Anwendung  von  (7)  folgende 
Rekursionsformel: 


n 


(10)    R^''''-\x)  -  R^"-\x)  =  ~  ^{n  -2s+  l)R  +  ''"-"{x). 

Indem  wir  uns  übrigens  vorbehalten,  in  den  §§  26,  106  andere 
und  bequemere  Rekursionsformeln  für  die  JR- Funktionen  zu  geben, 
bemerken  wir  hier  noch,  daß  die  Definition  §  1,  (2)  mittelst  der 
Elemente  der  Diff'erenzem-echnuug  folgende  Formel  liefert: 

^'D  f;ÖT^— "•(-)  =  (I)" 


§   14.     Kettenbruchentwicklungen  und  ähnliche  Darstellungen. 

Nachdem  wir  das  Lommelsche  Polynom  untersucht  haben,  ist 
es  sehr  leicht,  eine  Kettenbruchentwicklung  der  allgemeinen  Lösung 
der  zweiten  Fundamentalgleichung  der  Cylinderfunktionen  zu  dis- 
kutieren. 

Zu  diesem  Zwecke  schreiben  wir  die  obenerwähnte  Gleichung 
folgendermaßen : 

F'-'^ix)       2v  1 


F^ix)  ^  

-■\xy 


ViT'  +  vW 


durch  Wiederholung    dieses   Prozesses    findet    man   ohne   Mühe  den 
folgenden  Kettenbruch: 


38  Erster  Teil.    Fnndamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 


F''-'^(x)        2v 


F\x)  ^         2(y  +  l) 


(1) 

WO  wir  der  Kürze  halber 


X  2(v  +  2) 


X 


2{v-\-'yt) 


X  ' 


F'  +  "{x) 

gesetzt  haben;  wir  haben  somit  eine  neue  Eigenschaft  für  die  all- 
gemeine Lösung  der  obenerwähnten  Fundamentalgleichung  gefunden, 
während  man  sonst  im  allgemeinen  nur  für  die  Besselsche  Cylinder- 
funktion  eine  solche  Eigenschaft  bemerkt  zu  haben  scheint. 

Sucht  man  nun  die  Bedingung  dafür,  daß  der  Kettenbruch  (1) 
unbegrenzt  fortgesetzt  werden  darf,  so  ist  offenbar,  daß 

lim  -R„  =  0 

7J    =  +  CO 

sein  muß,  eine  Bedingung,  die  sowohl  notwendig  als  hinreichend  ist. 
Nun  zeigt  aber  die  Form  der  allgemeinen  Lösung  §  9,  (5)  in  Ver- 
bindung mit  den  asymptotischen  Ausdrücken  §  2,  (3)  und  §  3,  (8), 
daß  diese  Bedingung  nur  für  die  Besselsche  Cylinderfunktion  er- 
füllt werden  kann,  und  somit  haben  wir  die  altbekannte  Formel: 


(2) 


r-\x) 

2v 

X 

1 

J\x) 

2(t'  +  l) 

1 

X 

2(1; +  2) 

X 


in  aller  Strenge  bewiesen. 

Es  ist  nun  leicht  einzusehen,  daß  die  Zähler  Y/~^  und  Nenner 
Z^~^  der  Annäherungsbrüche  in  (1)  oder  (2)  Lommelsche  Poly- 
nome sein  müssen.  Bildet  man  nämlich  diese  Annäherungsbrüche, 
so  bekommt  man  direkt: 

während   die  Definition  selbst  für  die  Annäherungsbrüche  folgende 


Rekursionsformel  ergibt: 


Y/-^      2v      r/_V 


-"■r-l  ^r-1 

oder,  was  dasselbe  ist, 

Y"-!  _1_  yi'  +  i  =  l^  yi-         r>2 

J-r  -T  -^r-2  X        r-lf       '   ^^y 

während  man  außerdem  noch  findet: 


Kapitel  II.    Die  willkürlichen  Cylinderlunktionen.    §  14.  39 

80  daß  man  unmittelbar  aus  §  12,  (9)  folgende  Formel  erhält: 

(3)  Y/-'  =  R-''-{x). 

Die  zweite  Fundaiiieutalgleichun^  der  Cylinderlunktionen  läßt 
sich  indessen  auch  folgendermaßen  darstellen: 

^  F'ix)  X  F\x)    ' 

80  daß  der  Bnich  linker  Hand  mittels  (1)  und  (2)  in  einen  Ketten- 
bruch entwickelt  werden  kann;  man  findet  so  die  zweite  Ketten- 
bruchentwicklung,  die  LommeP)  angegeben  hat. 

Sicher  hat  Lambert-)  zum  ersten  Male  in  seinen  Untersuchungen 
über  die  Irrationalität  von  jr  einen  Kettenl)rueh  von  der  Form  (2) 
und  zwar  den  Spezialfall  v  =  ^,  x  =  i  gebraucht;  später  hat  Le- 
gendre^)  den  allgemeinen  Kettenbruch  (2)  betrachtet.  Indessen  hat 
zuerst  B  es  sei*)  erkannt,  daß  der  obenerwähnte  Kettenbruch  für 
ganze  v  in  Verbindung  mit  «/' (.r)  steht;  mit  der  Definition  (3)  für 
die  7i-Funktionen  hat  Bessel  auch  seinen  Spezialfall  der  allgemeinen 
Reduktionsformel  §  II,  (4)  gegeben. 

Die  Formel  §  9,  (2): 

F^{x)F,^-\x)  -  F'-\x)F,'(x)  =  f\x), 

wo  F  und  F^  zwei  verschiedene  Lösungen  der  zweiten  Fundamental- 
gleichung der  Cylinderfunktionen  bedeuten,  läßt  sich  auch  folgender- 
maßen schreiben: 

.  i:-\x)  _f:\x)        rix) 


F''-\x)        F^ix)        F''-\x)F''(x)^ 

beachtet  man  nun,  daß  f^'{x)  in  v  periodisch  ist,  so  findet  man  ohne 
Schwierigkeit  folgende  zwei  allgemeinen  Formeln,  in  denen  n  eine 
positive  ganze  Zahl  bedeutet: 

(Q\  F/(x)  _    F,'  +  "{x)        y'  rix) 

^^  F\x)        F^'  +  ^'ix)        -f^    F'  +  \x)F^^'^\xy 

Fl^  _  F/-^^)  _  y'        rix) 

F\x)        F'-»ix)        f^    F'-\x)F'-'-\x)' 


(7) 


1)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen  p.  5 ;  1868. 

2)  Memoires  de  l'Academie  des  Sciences  de  Berlin  1761,  p.  265. 

3)  Elements  de  Geometrie  p.  288.  11.  Ausgabe,  Paris  1817. 

4)  Abhandlungen  der  Berliner  Akademie  1824,  p.  31—33. 


40         Erster  Teil.    Fimdamentaleigenscliaften  der  Cylinderfunktionen. 

Setzt  man  in  (6)  v  =  0,  F  =  J,  F^  =  Y,  so  findet  man  eine 
Formel,  die  Sonin^)  gegeben  hat.  Nimmt  man  für  F  eine  passende 
Lösung  der  obenerwähnten  Fundamentalgleichung,  so  darf  man  in 
(6)  und  (7)  n  unbegrenzt  wachsen  lassen. 


§  15.     Die  Funktion  D^C^(x)  für  ganze  v. 

In  den  vorhergehenden  Paragraphen  haben  wir  eine  Reihe  von 
Eigenschaften  für  die  allgemeine  Cylinderfunktion  aufgestellt,  sofern 
sie  als  Funktion  des  Argumentes  x  betrachtet  wird.  Betrachtet  man 
dagegen  den  Parameter  v  als  die  eigentliche  Variable  der  Cylinder- 
funktion, so  scheint  sie  eine  viel  schwierigere  Funktion  zu  sein. 
Außer  den  zwei  allgemeinen  Reduktionsformeln  (4)  und  (5)  des  §  11 
haben  wir  in  der  Tat  über  diese  Funktion  nur  einen  einzigen  neuen 
Satz  hinzuzufügen  und  zwar  einen  Satz  über  die  nach  dem  Para- 
meter V  genommene  Derivierte. 

Zu  diesem  Zwecke  setzen  wir  im  allgemeinen: 


(1)  A-  ^"  (^)  =  e"  (x)  +  C^  (x)  log  (I) , 

so  daß  die  zu  J  gehörige  Funktion  ^^'{x)  logarithmenfrei  ist;  aus 
dieser  Definition  (1)  folgen  für  fS,^(x)  unmittelbar  folgende  zwei 
Fundamentalgleichungen : 

(2)  (S'-X^)  -  S'-'X^)  =  21>,e'(a;)  +  |-  C'{x), 

(3)  e-X^)  +  e"  +  n^)  =  ^S^(^)  +  I  <^^(^). 

und  daß  dieselbe  Funktion  ein  partikuläres  Integral  der  nicht  homo- 
genen Differentialgleichung: 

(4)  y^'^  +  ^  y^'^  +  (i  -  ^^y  =  |  C^'^\x) 

sein  muß. 

Für  die  Funktion   ^^(x)  haben  wir  früher  den  Ausdruck  §  3, 
(14)  gegeben: 

s  =  0 

weiter  folgt  aus  der  Formel  (16)  des  §  3  die  andere: 

(6)        S"(:^)  +  (-  iy^-"{x)  =  -  2J-{x)  log  (f )  +  7t  Y\x), 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  33;  1880. 


Kapitel  II     I>ie  willkürlichen  Cylinderfunktionen.    §  15.  41 

wo  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl    bedeutet,   so  daß  eine  besou 
dere  Untersuchung  der  Funktion  3>~"(J^)  übertlüssig  ist. 

Um  nun  dii'  /u   y'\x)  gehörige  Funktion  fj^i^^  zu  finden,  mul- 
tiplizieren wir  die  Detinition  i?  8,  (2)  für  die  Neumannsche  Cylin 
dertunktion  mit  sin  vir,  so  daU  eine  Differentiation  nach  v  unmittell)ar 
die  Formel  ergibt: 

pi)'(.r)  sin  r.T  =  cos  v:i^'{x)  +  ^-'(x)  +  2J-'{a')  log  (y) 
^        [  —  %J*ix)  sin  V7t  —  n  Y^'{x)  cos  vn , 

die  jedoch  für  ganze  v  keine  direkte  Bestimmung  von  ?}  mehr  ge- 
stattet. Setzt  mau  indessen  in  (1)  —  v  für  v  und  drückt  man  das 
dabei  eingeführte   Y'^^x)  mittels  §  3,  (4)  aus,  so  findet  mau: 

^"(a;)  -}-  ?)-H^)  cos  vn  =  —  2Y''{x)  log  (  J)  —  ^  cos  vnJ-'{x) 

-f  sin  vn{'^~^'{x)  —  n  qo^vti  Y\x)  —  %  sin  i/;rJ''(.z;)j , 

woraus,  falls  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet,  die  mit  (6) 
analoge  Formel  folgt: 

(8)        %\x^  +  (-  l)"?)-"!^)  =  -  2  Y\x)  log  (I)  -  %J\x) . 

Die  Formeln  (6)  und  (8)  geben  nun  für  w  =  0  unmittelbar  die 
Ausdrücke: 

(S°(:r)=-J»(a;)log(-^)+|-ro(;r), 

\W{x)=-Y\x)\o^[^)-\j\xy, 

für  n  =  1  muß  man  noch  die  Formel  (3)  für  v  =  0  zu  Hilfe  neh- 
men, so  daß  man  in  diesem  Falle  findet: 

3X^)  =  -  ^H^)  log  (f )  +  f  Y\x:)  -f  \  J\x\ 
^\x)  =  -  r^:^)  log  (I)  -  f  JH^)  +  i  Y»  ■ 

Nach  diesen  Vorbereitungen  wenden  wir  uns  nunmehr  zur  all- 
gemeinen Cylinderfunktiou: 

(11)  C'{x)  =  a(v)J'Xx)  -f  h(v)  Y''(x) , 

wo  also  a{v)  und  h{v)  differentiable  Funktionen  bedeuten  müssen, 
und  finden  für  die  entsprechende  S-Funktion  den  Ausdruck: 

(12)  ^'(x)  =  a{v)^'(x)  +  h(v)^^{x)  +  a('\v)J'Xx)  +  U'\v)Y^(x), 
so  daß  (9)  und  (10)  unmittelbar  ergeben: 


(10) 


(13) 


(15) 


wo 


42         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 
e»(a;)=-C°(a;)log(f)  +  0,°(:r), 

^\x)  =  -  C\x)  log  (I)  +  1  C\x)  +  C,\x), 

wo  wir  der  Kürze  halber  gesetzt  haben: 

(14)  C,"(x)  =  (a'  -  Y^)j"ix)  +  (h'  +  y«)  r"(a;), 

wo  wiederum  a  und  &,  a'  und  h'  die  von  dem  gauzzahligen  Argu- 
mente n  unabhängigen  Werte  von  a(v)  und  h{v),  a^^\v)  und  U^^v) 
bedeuten,  so  daß  C^^(x)  wieder  eine  Cylinderfunktion  mit  dem  Argu- 
mente X  und  dem  Parameter  n  bezeichnet. 

Differentiieren  Avir  nun  die  allgemeine  Reduktionsformel  §  11, 
(4)  nach  v  und  setzen  wir  darauf  v  =  1  und  u  —  1  für  n^  so  finden 
wir  folgende  allgemeine  Formel: 

{^n(x)  =  -  C"{x)  log  (^)  -  ^  E«'«-Xä;)  C\x) 

+  W^"-\x)C\x)  -  W'"-\x)  C\x)  +  C^^ix), 

während  die  Formeln  (6)  und  (8)  unmittelbar  ergeben: 

(16)  e"(Ä:)  +  (-l)«6-"(^)  =  -2C"'(^)log(-|)-f2C/(^) 

Wir  haben  somit  den  allgemeinen  Satz  bewiesen: 
Wenn  n  mie  ganze  Zahl  bedeutet,   so  läßt   sich   die  Berivierte 
^"{x)  immer  unter  endlicher  Form  mittels  CylinderfunJctionen  und  der 
elementaren  Funktionen  darstellen. 

Wir  bemerken  noch,  daß  die  einfachste  Lösung  der  Fundamental- 
gleichungen (2)  und  (3)  sich  so  darstellen  läßt: 

(17)  a{v)^'{x)  +  hiv)^^{x), 

so  daß  sie  immer  existiert,  unabhängig  von  der  Differentiierbarkeit 
der  periodischen  Funktionen  a{v)  und  h(y). 

§  16.     Andere   Beweise    der   Lommelsclien   Fundamentalformel. 

Wir  haben  schon  in  §  7  zwei  verschiedene  Beweise   der  Lom- 
m eischen  Fundamentalformel: 
(1)  Y^-\x:)J^{x)  -  Y\x)J^-\x)  =  ^ 

gegeben.     Dieselbe  Formel  läßt  sich  indessen  noch  auf  verschiedene 


Kapitel  LI.    Die  willkürlichen  Cjlinclertuuktionen.    §  16.  43 

andere  Weisen  herleiten,   die  nicht  ohne  Interesse  sind;   wir  wollen 
deshalb  hier  noch  zwei  andere  Beweise  für  dieselbe  Formel  mitteilen. 

Dritter  Bcuris.  Wir  hal)en  i?  1)  im  Anfang  darauf  aufmerksam 
gemacht,  daB  die  Funktion  linker  Hand  in  (I)  periodisch  in  v  sein 
muB;  setzt  man  daher  v  -\-  n  für  v,  wo  n  eine  positive  ganze  Zahl 
bedeutet  und  läßt  man  n  imbegrenzt  wachsen,  so  führen  die  asympto- 
tischen Ausdrücke  ij  2,  (3)  und  §  3,  (8)  sehr  leicht  zur  Bestimmung 
dieser  periodischen  Funktion,  und  somit  ist  auch  (1)  bewiesen. 

VierUr  liviveis.  Multipliziert  man  die  allgemeine  Reduktions- 
formel : 

y^\x)  =  R--''>"{x)  Y\x)  -  R^^-^x)  Y*-\x) 
mit 

X 


80  braucht  man  nur  die  positive  ganze  Zahl  n  unbegrenzt  wachsen 
zu  lassen;  die  Formeln  §  3,  (8)  und  §  12,  (12)  führen  dann  im- 
mittelbar  zum  Ziele. 

Der  Lommelsche  Beweis.  Lommel  hat  die  obenerwähnte  Formel 
dadurch  gefunden,  daß  er  das  zweite  partikuläre  Integral  der  Bessel- 
schen  Gleichung: 

durch  die  Substitution: 

y  =  zJ"{x) 

zu  bestimmen  suchte.  Die  Bestimmung  der  unbekannten  Funktion  z 
wird  nun   dadurch   ermittelt,   daß   sie  folgender  linearer   Gleichung: 

V«       r{x)  ) 

genügen  muß;  dieser  Bemerkung  entsprechend  findet  man  dann  für 
das  partikuläre  Integral  unmittelbar  den  Ausdruck: 


^-"^'(^)/^(iw' 


d.  h.  es  ist  möglich,  über  die  von  x  unabhängige,  willkürliche  Inte- 
grationskonstante so  zu  verfügen,  daß 

dx 


H 


^^,^b(v)Y'(x) 
x{j\x))\         ^  ^      ^  ^ 


wird. 

Bemerkt  man  nun,   daß  für  hinlänglich  kleine  Werte  von   \x\ 
die  Funktion  linker  Hand  eine  Entwicklung  von  der  Form: 

—  2''-ir(v)a;-'(l  +rt,Ä;  +  ---) 


44         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfanktionen. 

gestattet,  so  bestimmt  die  Definition  der  Y-Funktion  unmittelbar  die 
unbekannte  Funktion  h(;v),  so  daß  man  endlich  die  Formel  gewinnt: 

die  von  LommeP)  gefunden  worden  ist.  Für  v  =  0  hat  aber 
schon  Euler')  die  Funktion  linker  Hand  als  zweites  partikuläres 
Integral  der  B es s eischen  Gleichung  benutzt.  Lommel  hat  nun 
weiter  die  Formel  (1)  durch  J^'(x)  dividiert;  eine  Differentiation 
nach  X  gibt  dann  leicht  die  gesuchte  Fundamentalformel.  Dieser 
Beweis  ist  also  nur  eine  kompliziertere  Form  des  von  Hankel  und 
Weber  gelieferten,  den  wir  schon  in  §  7  mitgeteilt  haben. 


Kapitel  III. 

Elementare  Integraldarstellniigeii  niid  A  erallgemeinerungen  der 

Besselsclien  Oylinderfunktion. 

§  17.    Erstes  Integral  von  Bessel  und  die  Funktionen  W^'{x),  Q^'(x) 

und  T"{x). 

Die  wohlbekannten  Integralausdrücke  für  die  Gammafunktion 
erlauben  ims  ohne  Mühe  eine  Reihe  von  einfachen  Integraldarstel- 
lungen für  die  Besselsche  Cylinderfunktion  herzuleiten;  und  eben- 
diese  Integrale  spielen  in  den  Anwendungen  eine  so  wichtige  Rolle, 
daß  es  uns  angemessen  erscheint,  diese  Darstellungen  hier  zu  dis- 
kutieren, obgleich  wir  später  in  Kapitel  VII  viel  allgemeinere  Inte- 
grale zu  untersuchen  haben. 

Ehe  wir  zur  wirklichen  Herleitung  der  betreffenden  Formeln 
schreiten,  scheint  es  uns  nützlich,  einige  allgemeine  Formeln  von 
Cauchy  vorauszuschicken.  Zu  diesem  Zwecke  bezeichnen  wir  mit 
f{(p)  eine  von  ^  =  0  bis  (p  =  it  integrierbare  Funktion,  welche  außer- 
dem der  Bedingung  genügt: 

f{n-(p)^f{cp). 

Wir  führen  nun  folgende  beiden  in  v  ganzen  transcendenten 
Funktionen  ein: 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  4,  p.  103;  1871. 

2)  Institutiones  calculi  integralis  Bd.  2,  p.  235;  1769. 


Kapitel  III.    Veralljfomeiiierunj»eu  der  Cylimlerfunktiun  J\x).    §  17.     4ö 
(1)         F{v)  =  ff{<p)  cos  (v(p)(i(p,     r;(i')  =  ff{q>)  sin  (v(p)d(p 

0  0 

und  setzen 

7t 

0  ü  _« 

weiter    transformieren    wir    diese    zwei   neuen    Intetjjrale,    indem    wir 

-r (p,  bezw.  —  -{-  (p  für  cp  setzen,  und  finden  somit  folgende  zwei 

anderen  Integriildurstellungen  der  Funktionen  (1): 


T 


F{y)  =  2  cos  ~  •  J  /"(l  -  (p^  cos  {y(p)  d(p, 


(2) 


ft 
T 


G(v)  =  2  sin  ^  •  J  /'(y  —  (jd)  cos  {ycp)(}(p. 


Es  sei  nun  wieder  /7(9)  eine  von  (p  =  0  bis  g?  =  tt  integrierbare 
Funktion,  welche  der  Bedingung  genügt: 

9{jt-(p)=^-g{(p); 

dann  findet  man  auf  ähnliche  Weise  für  die  Funktionen: 


7t 


(3)      %{v)  =f9{(p)  cos  {vcp) dtp,     (3{v)  =fg{(p)  sin  (vcp)  dtp 


die  zwei  weiteren  Formeln: 


w 


%{v)  =  2  sin"^  ■  J  (j  (~  -  cp^  sin  (1/9))  f/g?, 


TT 

Y 


@ (v)  =  —  2  COS—  ■  J  g[^~(p^  sin  (1/9) (^95 


Die  neuen  Integraldarstellungen  unserer  vier  ganzen  transcen- 
denten  Funktionen  liefern  nun  ohne  Mühe  folgende  bemerkenswerten 
Formeln: 


(5) 


G{v)=tg'-}.F{v);     (ä(v)  =  ~cot'^.^(v). 


46         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

die  zuerst  von  Cauchy^)  angegeben  worden  sind  und  zu  denen  wir 
in  den  §§  73,  99  noch  eigentümliche  Analogien  zu  entwickeln  haben. 
Bedeutet  speziell  n  eine  ganze  Zahl,  so  findet  man  aus  (2)  und  (4) 
die  Werte: 
(6)         F(2n  +  1)  =  @(2w  +  1)  =  0,     G{2n)  =  %{2n)  =  0. 

Nach  diesen  allgemeinen  Erörterungen  liefern  die  Formeln  (fgi) 
und  (fag),  wenn  wir  in  den  beiden  folgenden  Integralen  für 
cos  [x  sin  cp)  und  sin  (x  sin  cp)  die  gewöhnlichen  Potenzreihen  ein- 
setzen und  dann  gliedweise  integrieren,  was  offenbar  erlaubt  ist, 
folgende  zwei  Integraldarstellungen: 

7t 

J^^ix)  =  —   /  cos  {x  sin  (p)  cos  (2n)(pdcp, 

(7) 

J2"  +  ^(a;)  =  —    /sin  {x  sin  g?)  sin  {2n  -{-  l)q)dq), 

0 

wo  n  eine  ganze  Zahl  bedeuten  muß.  Die  Integralausdrücke  (7) 
lassen  sich  indessen  auch  auf  eine  gemeinsame  Form  bringen,  indem 
wir  sowohl  für  gerade  wie  für  ungerade  n  folgende  allgemeine  Form 
herleiten  können: 

Tt 

(8)  J''(x)  =  —    /  cos  (x  Bin  q)  —  n(p)  d(p, 

0 

denn  die  Additionsformel  für  cos  {x  sin  (p  —  ncp)  führt  uns  immer 
mittelst  (6)  auf  (7)  zurück,  und  wir  haben  somit  das  erste  Integi-al 
von  BesseP)  gefunden,  das  also  nur  anwendbar  ist,  falls  n  eine 
ganze  Zahl  bedeutet. 

Wenn  dagegen  n  keine  ganze  Zahl  ist,  so  kann  das  Integral 
rechter  Hand  in  (8)  niemals  eine  Cylinderfunktion  darstellen.  Setzt 
man  nämlich: 

(9)  ^'^{x)  =  —   /  cos  (x  sin  cp  —  vtp)  dq), 

0 

so  findet  man  die  zwei  Fundamentalgleichungen: 

(10)  Y^-^a,-)  -  W'  +  \x)  =  2D^'V\x) 

(10a)  ^^-\x)  +  V'+X^)  =  ^  •  ^^(^)  -  ^^. 


1)  Comptes  rendus  Bd.  39,  p.  131;  1854. 

2)  Abhandlungen  der  Berliner  Akademie  1824,  p.  22. 


Kapitel  III.    Vorall)femeiuerunj»en  iler  Lylinilcrfunktion  J^{x).    §  1".     47 

die  sich  am  eiiifachston  hfrleiten  lassen,  indem  111:111  die  zwei- 
gliedrigen Ausdrückt'  linker  Hand  mittelst  (9)  als  Integrale  schreibt 
und  dann  für  (H^a)  die  partielle  Integration  anwendet.  Die  Formel 
(10a)  fällt  indessen  mit  der  zweiten  Fiindamcntalformel  der  Cylinder 
funktiouen  dann  iiiid  niii-  dann  zusammen,  wenn  v  eine  ganze  Zahl 
bedeutet. 

Benutzt  man  nun  dieselbe  Methode,  die  uns  in  §  1  zur  Bessel- 
scheu  Diö'ereutialgk'ichung  geführt  hat,  so  findet  man,  daß  die  Y- 
Fimktiou  ein  partikuläres  Integral  der  nicht  homogenen  Differential- 
gleichung: 

(11)  ^■>+  -  t/(^)  +  (1  -  p)  y  =  -^ ^^^ 

sein  muß. 

Sicher  ist  die  Y- Funktion  der  erste  Versuch,  den  man  gemacht 
hat,  um  die  t7-B\mktiou  mit  ganzem  Parameter  zu  verallgemeinern; 
sie  ist  zuerst  von  Poisson^)  eingeführt  worden,  während  später 
Anger^),  Lommel'^)  und  H.  F.  Web  er- Zürich*)  unabhängig  von- 
einander dieselbe  Funktion  untersucht  haben. 

Es  ist  oflFenbar,  daß  Y'  (a;)  eine  ganze  transcendente  Funktion  der 
zwei  Variabein  x  imd  v  ist;  um  ihre  Potenzreihe  in  x  zu  bilden,  ist 
es  bequem,  die  zwei  anderen  Funktionen: 

7t 

(12)  W(x)  =  Y  h'(x)  +  V-'(a;))  =  ^   /cos  {x  sin (p) cos (vcp) d(p, 

0 
jt 

(13)  X"(a:)  =  ~  (^''(x)  -  V-''(x'))  =  ~    Tsin  {x  sin  cp)  sin  {v(p)d(p 

0 

zu  benutzen,  so  daß  man  mittelst  der  Formeln  (2)  auch: 


2 
--^-  /  c 


2  cos 

(12a)  TT'(a;)  = :;,~~  ■  /  cos  {x  cos  ^)  cos  {vq)) dcp, 

0 


"^      / 

•    /    S] 

TT  t/ 


2  sin  — 
(13a)  X''(a;)  = •  /  sin  (o;  cos  tp)  cos  (vqo)  d(p 


1)  Connaissances    des    temps   1833.     Citat    von  Burkhardt:   Jahresbericht 
d.  Deutsch.  Math.-Ver.  Bd.  10,  p.  101 ;  1901. 

2)  Neueste  Schriften  d.  Naturf.-Gesellschaft  Danzig  Bd.  ö,  p.  14;  1855. 

3)  Mathematische  Annalen  Bd    16,  p.  183;  1880. 

4)  Vierteljahrsschrift  d.  Naturf.-Gesellschaft  Zürich  Bd.  24,  p.  46;  1879. 


48  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

setzen  kann-,  die  Formel  (fjg)  liefert  also  folgende  Potenzreilien: 


VTt 


(-!)■' (ir 


V 


(14)  n^(^)  =  cos  2     ^  , 


s  = 


X  =  CO  '  - . .  - 


(15)  X'(.)  =  sin^.V  ^'^ 


.=0  r(.s+--jr(.+  -^) 

die  unmittelbar  zeigen: 

Wenn  v  eine  ganze  Zahl  ist,  so  wird  eine  der  FunMionen  Y\^(x) 
und  X^{x)  immer  gleich  Null,  die  andere  mit  der  J- Funktion  identisch. 

Wir  gewinnen  auch  leicht  die  folgenden  Fundamentalformeln: 

(16)    r\"-\x)-~T]"  +  \x)==2D^X'{x),  T]''\x)  +  T\'  +  \x)  =  ^X'{x) 

(1'^)                    I  \/.,    1/   N    ,    \/.,j.i/  N        2v_r„/   X        2  sin  vjr 
^     ^  X''-^(x)+  X'  +  ^(x)  =  — W(x) —  , 

während  die  Differentialgleichung  (11)  für  TT,  bezw.  X  ergibt: 

(18)  !/'''  + I  !/<■'  + (1  -  ^)  .  =  - ^^ 

(19)  ,.,  +  l,«  +  (l_^),.=i^. 

Es  ist  offenbar,  daß  die  andere  in  x  und  v  ganze  transcendente 
Funktion : 

7t 

(20)  ^^{x)  =  —   I  8m{x  sin  g)  —  v(p)  d(p , 

0 

die  gleichzeitig  von  LommeP)  und  H.  F.  Web  er- Zürich^)  ein- 
geführt worden  ist,  mit  der  ¥- Funktion  sehr  nahe  zusammenhängen 
muß.  Setzt  man  in  (9)  —  v  für  v  und  darauf  ti  —  cp  für  qp,  so 
findet  man  in  der  Tat  ohne  Mühe  die  Formel: 

die  also  mit  derjenigen  ganz  analog  ist,  welche  von  J  nach  Y  führt. 
In  dem  speziellen  Falle,  in  welchem  v  eine  ganze  Zahl  bedeutet, 
haben  wir  noch  den  Grenzwert  rechter  Hand  in  (21)  zu  bestimmen. 

1)  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  187;  1880. 

2)  Vierteljahrsschrift  d.  Naturf.-Gesellschaft  Zürich  Bd.  24,  p.  47;  1879. 


Kapitel  III.    Verallgemeinerungen  tler  Cy linderfunkt ion  J'f.r).    §  17.      49 

Um  dies  durchführen  /u  kthinen,  bemerken  wir,  daß  sich  (21)  auch 
folgendermabeu  schreibou  läBt: 

(21  a)  Q^ix)  =  cot  ^  X^(^)  -  tg  ^  U^ix), 

so  daß  die  Eutwickluugen  (14)  und  (lä)  unmittelbar  die  Poteuzreihen: 

(22)  Q^^ix)  =  (-  1 )" .  ^ 3^^^^ , 

(22a)       Q2''  +  X^)  =  (-l) 


(_l)»py' 


geben,  wo  n  also  eine  ganze  Zahl  bedeuten  muß. 

Die  Formel  (21)  ist  explicite  von  H.  F.  Weber-Zürich^)  ge- 
geben worden,  während  die  damit  identische  (21a)  nur  ein  Spezial- 
fall  der  allgemeinen  Formel  (2)   von  Cauchy  ist.     Die  Funktionen 

(22)  und  (22  a)  spielen  eine  nicht  unwichtige  Rolle  in  der  mathe- 
matischen Physik,  wie  Arbeiten  von  Lord  Rayleigh^)  und  Struve^) 
zeigen.  —  H.  F.  Weber^)  hat  die  ß- Funktion  für  v  =  ^  benutzt. 

Für  die  Funktion  Q^ix)  findet  man  aus  (20)  die  P'undamental- 
form  ein: 

(23)  Q'-\x)  -  Q''^\x)  =  2D^Q'{x), 

4  sin*  — 

(23a)  Q^-^{x)  +  Q^'^\x)  =  ^  Q^(x)  +  ^^ 

und  die  nicht  homogene  lineare  Differentialgleichung: 

^  VTt  „  .     .  VTt 

»2  cos*  —        2v  sm"  — 

(24)    ,<3.+±,<.,+(i-^:),=-_^+___^. 

Wenn  n  eine  ganze  Zahl  bedeutet,  so  liefert  die  Formel  (21a) 
noch  die  anderen: 

(25)  Q'^{x)  =  l{D,.X^ix)X^,^,     ß^"^^(^)  =  ^-(^.n^(^)U2.  +  x5 
unter  derselben  Voraussetzung  über  v  findet  man  dagegen: 

(26)  T'"{x)=^-2(p^mx)X=,n,    ^'''+H^)  =  -2(D.X>'(a;)),=2„+i, 

1)  loc.  cit.  p.  48. 

2)  Theory  of  Sound  Bd.  II,  p.  164—168;  1896. 

3)  Wiedemann  Annalen  Bd.  17,  p.  1011;  1882. 

4)  loc.  cit.  p.  52  ff. 

Nielsen,  CylinderfunktiODeu.  4 


50         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

wo  T'^ix)  die  in  §  3,  (11)  definierte  Funktion  bedeutet;  faßt  man 
noch  die  zwei  Formelgruppen  (25)  und  (26)  zusammen,  so  findet 
man  allgemein,  daß: 

(27)  2(7),Y''(a;)),^„  =  n  ■  Q\x)  -  T\x) 

sein  muß,  wo  n  eine  willkürliche  ganze  positive  oder  negative  Zahl 
bedeutet,  so  daß  man  unmittelbar  aus  (9)  und  (20)  folgende  Integral- 
darstellung findet: 

rt 

(28)  T'^{x)  =  —  1  sin  (ic  sin  g)  —  ncp)  (y  —  qA  d(p, 

0 

die  auf  ganz  andere  Weise  schon  von  Schläfli^)  gefunden  worden  ist. 
Die  Formeln    (26)    liefern    für   T'"{x)    noch    ohne   weiteres   die 
wohlbekannten  Fundamentalformeln : 

(29)  T^-\x)  -  T^  +  \x)  =  2D^T\x), 

4  cos''  — 

(29a)     T-\x)  +  T"  +  X^)  =  ^  T\x)  -  ^  J^{x)  +  -^ 

und  die  Differentialgleichung: 

2WC0S''— —       2  sm^  — — 
4w  -^„.   X    .  2     .  2 


(30)     ^(^)  +  -i  ^(^)  +  (l  -1,)  ?/  =  -  ^  J''(rr)  +        ^.        + 


a; 


Wir  bemerken  noch,  daß  aus  der  Formel  (27)  mittels  §  3,  (16) 
die  andere: 

(31)  2  (D,  J"  {x)  -  i),Y''(:r)),^„  =  :;r  •  Y-{x)  -%-9.\x)-^  S\x) 

folgt,  wo  n  eine  ganze  Zahl  bedeutet  und  S'"{x)  die  in  §  3,  (10) 
definierte  rationale  Funktion  von  Schlaf li  ist,  so  daß  wir  für  das 
Schläflische  Polynom  die  Fundamentalformeln: 

(32)  S''-\x)  -  S^^  +  'ix)  =  2D^S^(x), 

4  cos^  -— 

(32a)  S"-\x)  +  S^  +  \x)  =  ^  S-(^)  +  -^-^ 

und  die  Differentialgleichung: 

2  sin*-—       2«  cos''-— 


(33)       'y"+ij''"+(i-y!'--^+ 

finden,  drei  Formeln,  welche  schon  von  Schläfli^)  gefunden  worden  sind. 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  3,  p.  147;  1871. 

2)  loc.  cit.  p.  139. 


Kapitel  III.    VfrallfjorueiuiTungcn  tler  Cylimlorrunktion  J*  (x).    §  18.      (){ 

§   18.     Zweites  Integral  von  Bessol  und  die  Funktion  X'(x), 

Dio  im  vorigen  l'nragriiplu^n  gogebonen  Integraldiirsti-lliiiigen 
der  J-Fuiiktiou  haben  den  U beistand,  nur  für  «fanzzaliliire  \\'(M-te 
des  l*aranieters  brauchbar  zu  Bein,  so  daB  wir  andere  elementare 
Integraldarstellungen  zu  suchen  haben,  welche  mit  diesem  Mangel 
nicht  behaltet  sind.  Zu  diesem  Zwecke  nehmen  wir  das  erste 
Eulersche  Integi-al  zum  Ausgangspunkte  und  tinden  dann  mit  Zu- 
hilfenahme der  Formel  (^^)  ohne  Mühe  folgende  andere  Darstellung: 

(^)      '^"(^)  =  ,/-  r7   ■    iT"    ßos{x sin cp)( cos cpY-'dcp,    ^{v)>-i, 

0 

eine  Formel,  die  für  ganze  v  ebenfalls  von  B  es  sei')  als  Ausdruck 
für  '7*'{x)  gegeben  worden  ist.  Sonst  bemerken  wir,  daß  Integrale 
dieser  Form,  wenn  man  die  Gammafunktion  rechter  Hand  weg- 
nimmt, als  Lösung  der  Besselschen  Differentialgleichung  schon 
von  Euler-)  und  für  ganze  v  von  Poisson"^)  angewandt  worden 
sind;  Poisson^)  betrachtet  noch  den  Fall,  wo  v  die  Hälfte  einer 
ungeraden  ganzen  Zahl  bedeutet.  In  einer  anderen  Abhandlung 
führt  Poisson^')  gleichzeitig  die  Funktionen  J'^~^(x)  und  J^~'''{x) 
als  Integrale  der  zugehörigen  Besselschen  Gleichung  ein. 

Setzt  man  in  (1)     ~ —  cp  für  (p,  so  läßt  sich  diese  Formel  auch 

folgendermaßen  schreiben : 


(la)     J'{x)  =  ~-      y^         •  ( cos  (x  cos  cp)  {sin  (ff  ^dcp,  ^{^v)>-^- 

beachtet  man  noch,  daß  das  ähnliche  Integi-al  mit  sin  (x  cos  g))  statt 
cos  {x  cos  q))  gleich  NuU  sein  muß,  so  findet  man  auch  die  weitere 
Integraldarstelluug : 

(2)       J'  {X)  =  \''  .  /.'•-  -^sin  ^y"(h,     ^  {v)  >  -  i, 

die  also  nur  formell  von  (1)  verschieden  ist. 

1)  Abhandlungen  der  Berliner  Akademie  1824,  p.  36. 

2)  Institutiones  calculi  integralis  Bd.  2,  p.  298;  1769. 

3)  Journal  de  l'Ecole  Polytechnique  cahier  19,  p.  300;  1823. 

4)  loc.  cit.  p.  299. 

5)  Journal  de  l'Ecole  Polytechnique  cahier  19,  p.  475;  1823. 

4* 


52  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Nachdem    wir    diese    neue    Integral darstellung    der   e7- Funktion 
gewonnen  haben,  ist  es  sehr  leicht,  die  folgende  Formel  von  Bessel^): 

n 

(3)  -^  /  e'^'^o« V  cos  («/  sin  9?)  d^)  =  J^ (]/^M^) 

0 
zu  beweisen.  Wir  brauchen  nämlich  nur  statt  cos  (ij  sin  <p)  die  ge- 
wöhnliche Potenzreihe  einzusetzen;  die  Integi-ation  der  einzelnen 
Glieder  läßt  sich  dann  unmittelbar  mittelst  (2)  ausführen.  Wenden 
wir  noch  (f^)  an,  so  gibt  die  Taylor  sehe  Reihe  §  10,  (8)  un- 
mittelbar die  gesuchte  Formel  (3). 

Differeutiiert  man  nun  das  Besselsche  Integral  (1)  nach  v,  so 
erhält  man  für  v  =  0  mittelst  §  3,  (16): 


7t 


(4)      7cY^{x)~2{C-{-\og  2)  J^  {x)  =  —  /cos  {x  cos  cp)  log  {x  sin-  90)  d  (p ; 

0 
das    Integral    rechter    Hand    in    dieser   Formel,    mit    welchem    sich 
Neumann-)    eingehend  beschäftigt  hat,    ist  schon  von  Poisson^) 
als  zweites  Integral  der  Be sseischen  Gleichung  für  v  =  0  angegeben 
worden. 

Wir  haben  hier  noch  eine  andere  interessante  Anwendung  des 
zweiten  Besselschen  Integi-ales  (1)  zu  erwähnen.  Die  allgemeine 
Methode  für  die  Entwicklung  in  eine  Fouriersche  Reihe,  welche 
im  Intervalle  von  —  jr  bis  +jr  anwendbar  ist,  gibt  nämlich  mittelst 
(1)  die  Formel: 

wo  £(,==1,  aber  s^=  2  für  s  >  0  zu  setzen  ist;  für  v  =  0  ist  diese 
Formel  von  Cinelli*)  gefunden.  Die  Reihe  rechter  Hand  hat  für 
X  =  +  jt  und  9i(v)  >  4^  die  Summe  Null;  wir  haben  in  den  Kapiteln 
XXIV,  XXV  Näheres  über  solche  Entwicklungen  der  Null  mitzu- 
teilen. Wenden  wir  noch  auf  (5)  das  Besselsche  Integral  (1)  an, 
so  erhalten  wir  eine  eigentümliche  Pai-tialbru chent wickln ng  der 
(/-Funktion,  welche  wir  indessen  in  §  22  in  viel  allgemeinerer  Form 
zu  geben  haben. 


1)  Abhandlungen  der  Berliner  Akademie  1824,  p.  37. 

2)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen  p.  46 — 48;  1867. 

3)  Journal  de  l'Ecole  Polytechnique  cahier  19  p.  476;  1823. 

4)  Nuovo  Cimento  (4)  Bd.  1;  1895. 


Kapitel  III.    Vcrallfjeincincnmpen  der  Cylinderfunktion  J*'(x).    »5  18.      53 

Es  ist  zu  bemerken,  diitJ  sich  für  i>  =  \  die  Formel  (f))  auf 
eine  formale  Identität  reduziert;  dies  li:ln«^t  damit  zusamnieu,  daß 
eine  Kcmstaute  nicht  in  eine  gleichmäliif^  konver^'nte  Fourier- 
sche  Reihe,  die  in  einem  IntervaUc  von  der  ({r(i|ic  'Ire  anwciidhar 
ist,  entwickelt  werden   kann. 

Setzen  wir  nun  v  als  gajize  Zahl  voraus,  so  wird  die  Formel 
(1)  in  Vergleichung  mit  §  17,  (7)  sehr  interessant.  Jacobi')  hat 
eine  eigentümliche  allgemeine  Methode  angegeben,  welche  uns  direkt 
von  den  letztgenannten  Formeln  aus  zu  (1)  führt.  Es  ist  oöeubar, 
daß  diese  zwei  Formelkhissen  interessante  Identitäten  zwischen  den 
«7- Funktionen  ergeben  müssen. 

Erinnert  mau  sich  nämlich  der  Formel: 

n 

(6)  (2  cos  co)"  =  2  ^ '  (',!)  cos  («  -  2s)(o, 

wo  n  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet,  der  Accent  nach  dem 
Summenzeichen  aber  besagen  soll,  daß,  falls  n  gerade  ist,  das  letzte 
Glied,  für  2s  =  n,  zu  halbieren  ist,  so  findet  man  unter  Anwendung 
von  (1)  und  §  17,  (7): 

n 

während  die  andere  elementare  Formel: 

(8)  (-  \y  cos  {2nco)  =  n-^  ^~'\?^nZl7'^'  (2  cos  c)^' 

auf  ähnliche  Weise  die  zu  (7)  umgekehrte  Formel  gibt: 

Anger  hat  auf  diese  Weise  versucht,  das  zweite  Besselsche 
Integral  unmittelbar  aus  dem  ersten  herzuleiten;  er  stellt  die  Formel 
(7)^)  auf,  ohne  sie  aber  direkt  zu  beweisen;  darauf  kommt  es  ja 
aber  hier  gerade  an.  Unsere  allgemeinen  Untersuchungen  über 
Reihenentwicklungen  nach  Cylinderfunktionen  werden  uns  später  in 


1)  Journal  für  Mathematik  Bd.  15;  1836. 

2)  Neueste  Schriften  der  Naturforschenden  Gesellschaft  in  Danzig  Bd.  5. 


54  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

§  109  Formel  (4)  und  in  §  106  Formel  (7)  ermöglichen,  beziehungs- 
weise (7)  und  (9)  direkt  und  voneinander  unabhängig  zu  verall- 
gemeinern. 

Wir  betrachten  nun  das  (1)  sehr  ähnliche  Integral: 

(10)     Z"ix)  =  ^-^^J^  ,s  ■  ß^  (^  cos  cp)  (sin  ^y^'d<p,    m(v)>-^ 
und  finden  auf  dieselbe  Weise  die  Reihenentwicklung: 


(-)'(l)' 


(11)  ■^'W=.Sr(s  +  |)r(s  +  ''  +  |)' 


s  =  0 


welche  uns  die  Funktion  Z^(x)  für  aUe  Werte  von  v  definiert;  für 
ganzzahlige  v  ist  diese  Funktion  von  P.  Siemon^)  untersucht  worden. 
Es  leuchtet  ein,  daß  die  Formel  (2)  hier  bei  Z*  (x)  kein  Analogon 
hat;  dagegen  findet  man  einen  anderen  Integralausdruck: 


2 


m 


n 


(12)        JUx)  +  iZ''{x)  =   ^  ' /  e'^''o^<?'(sin9)2"fZ^, 

yTtV{v-\-\)  ^^ 


^{v)  > 


-h 


von  welchem   der  Spezialfall  v  =  0  von  Lord  Rayleigh^)   erörtert 
worden  ist. 

Um   die  Fundamentalformeln    für  Z^'{x)   zu   finden,    gehen  wir 
von  der  Reihenentwicklung  (11)  aus  und  finden  ohne  Mühe: 

(13)  B^(x'Z-{x))  =  x"Z'-\x), 

(13a)  D,(^-Z"(^))  =  -  x-^Z^'^\x)  +  l  ; 

man  erhält  schließlich  daraus  die  Fundamentalformelu : 

(14)  Z^'-\x)  -Z^^\x)^  ^D^Z^x)  -  ^/^Jy^^^ , 

(14a)  Z'-\x)^  Z'  +  \x)=~Z'X^)  + 


X  y„r{v-\-^)' 


1)  Programm  der  Luisenschule,  Berlin  1890. 

2)  Theory  of  Sound,  Bd.  11  p.  163;  1896. 


Kapitel  III.  Verallgemeinerungen  der  Cylimlerfunktion  J*{x).  §  18.  55 
aus  deneu  man  wiederum  die  Diä'erentialgleichuiig : 

(15)  ,...  +  ^,..,  +  (l--),  =  ^g_ 

herleitet. 

Setzt  man  uuu  v  =  —  n  —  ^,  wo  ii  ein»'  «^anzo,  nicht  nej^ative 
Zahl  bedeutet,  so  wird  diese  Gleichun<;  (15)  ein  Spezialfidl  der 
Besselschen  Gleichun«^,  und  mau  findet  so,  wie  auch  die  Reihe  (11) 
bestätigt,  daß: 

(16)  z-"-^{x)^{-irr'-^x) 

'     sein  muß;  mit  derselben  Bedeutung  von  n  gibt  (11)  nach  einer  ein- 
fachen Anwendung  von  (Ty)  weiterhin  die  analoge  Formel: 

(16a)  rH(,)_(_i)..v-'-*(x)+i.^:(!^i±i'(;)"-="*. 


«  =  ü 


Man  bemerke,  daß  die  letzte  Funktion  rechter  Hand  in  dieser  Formel 
eine  gewisse  Ähnlichkeit  mit  dem  Schläfli sehen  Polynome  S"{x) 
darbietet. 

Im   anderen  Spezialfälle,  wo  v  eine  positive  ganze  Zahl  n  be- 
deutet, findet  man  dagegen: 


«-1 
^-y-   .        ..  /j;\"-2.»-i 


(17)  Z'(.)  =  Q»(^)  -2  ra-^rl-.+^' 


s  =  0 

n  -1 


X\-n  +  2s-\-l 
2/ 


(17a)  Z-^(x)  =  i-iyQ^(x)+^   1^ 

für  n  =  0  aber: 

(17b)  Z%x)  =  Q%x). 

Wir  erwähnen  noch,   daß  die  elementaren  Formeln  (6)   und  (8)    die 
zwei  Identitäten 


/xy  j^  *■ !  (2 n  —  s) ! 


(18)  ^  =  2  -2 


ni[—  T^ 


(19)      ü^-(.)^..f'-'r(^-r'"(D'->-w 

s  =  0 


ergeben. 


56  Erster  Teil.    Fundamentaleigenscliaften  der  Cylinderfunktionen. 

§  19.     Das  Integral  von  Hansen  und  die  Funktionen  0'^(ir),  A"(a;) 

und  %"{x). 

Die  Integralausdrücke  §  17,  (7)  geben  unter  Anwendung  der 
allgemeinen  Formeln  von  Cauchy  folgende  andere  Integraldarstellung: 

jt 

(1)  J" (x)  =  -^^  •    A'^co« v  COS  {n (p)d(p, 

0 

welche  von  Hansen^)  herrührt,  und  in  der  wiederum  n  eine  ganze 
Zahl  sein  muß.  Diese  Formel  ist  offenbar  mit  §  18,  (2)  durch  die 
allgemeine  Transformation  von  Jacob i  verbunden. 

Bedeutet  im  Integrale  rechter  Hand  in  (1)  u  keine  ganze  Zahl, 
so  definiert  dies  Integral  immer  eine  neue  Funktion,  welche  eine 
ganze  Transcendente  der  beiden  Variabein  sein  muß.     Setzt  man 

(2)  <t>'(ic)  =  A;  •   f e''"'°^f  cos {v(p)d(p, 

0 

so  gewinnt  man  für  diese  Funktion  ohne  Mühe  die  folgenden  Funda- 
mentalgleichungen: 

(3)  <^'-\x)  -  0-+X^)  =  2D^ct)''(;z,-), 

(3a)  (^"-^{x)  +  ct)''+i(ic)  =  — <t>^'{x) ■ 

und  die  nicht  homogene  lineare  Differentialgleichung: 

(4)  !/^')+--2/^'^  +  v-^^}y^ ^' — 

Die  Potenzreihe  in  x  für  <i>''(x)  selbst  ist  etwas  komphziert,  weil 
man  die  Koeffizienten  im  allgemeinen  nicht  durch  eingliedrige  Aus- 
drücke darstellen  kann;  dagegen  wird  die  Potenzreihe  sehr  einfach, 
wenn  man  sie  mit  c~'^  multipliziert.  Betrachtet  man  nämlich  die 
Funktion: 

Ä 
7t  2 

e'-^(D>'(^)  =  J_  .    /g2'-^cos^- 1 cos(v9))d9)  =  ^  •    /  e2ia;co8^rp  ^^g  (2v(p)d<p 

Tft      t/  Tri'     t/ 

0  0 

und  ersetzt  man  im  letzten  Integrale  die  Exponentialfunktion  durch 
ihre  Potenzreihe,  so  liefern  die  Formeln  (f^y)  und  (fj  folgende 
elegante  Entwicklung: 


1)  Memoire  sur  la  determination  des  perturbations  absolue,  p.  105;  Paris 
1845.     Deutsch  1843. 


Kapitel  III.    Verallgemeinerungen  der  Cylinderfunktion  J\.r).    §  ll>.      57 


f  =  » 


die  zu  der  in  sj  <>  Formel  (7)  für  J''{x)  gegebenen  analog  ist. 
Wir  haben  noch  die  mit  0*^(0:)  analoge  Funktion: 

n 

(6)  A*'(j;)  =  — ^-    I ef''">"Psm{v(p)d(p 

0 

zu  betrachten,  in  welcher  der  Exponent  von  i  im  Nenner  geändert 
ist,  um  die  Funktion  reell  zu  machen,  falls  x  reell  ist,  während  v 
eine  ganze  Zahl  bedeutet.  Um  die  A  Funktion  auf  ct)-Funktionen  zu 
reduzieren,  setzt  man  in  (2)  —  x  für  x  und  x  —  (p  für  (p  und  findet 
dann  ohne  Mühe: 

eine  Formel,  welche  mit  §  3,  (2)  für  Y'{x)  und  §  17,  (21)  für  Q'(a;) 
ganz  analog  ist.  Wenn  v  eine  ganze  Zahl  bedeutet,  so  reduziert 
sich  f\''{x)  auf  elementare  Funktionen;  den  so  erhaltenen  Ausdruck, 

welcher  mit  demjenigen  für  J-  '^\x)  ähnlich  ist,  findet  man  am 
Schlüsse  dieses  Paragraphen. 

Für  die  A-Funktion  erhält  man  die  Fundameutalformeln : 

(8)  A'' - 1  {x)  -  A"  + 1  {;x)  =  2 D^K' {x), 
(8a)          N-\x)  +  A'  +  i(x)  =  ^  N^x)  - 
und  die  Differentialgleichung: 

(9)  2/^^^  +  i!/^^^  +  (l-S)y  =  - 

Wir  haben  noch  zu  beweisen,  daß  uns  unsere  0-Funktion  zu  der  in 
§  6,  (10)  definierten  Funktion  %'\x)  führt,  ebenso  wie  uns  '^\x) 
zu  T"{pc)  geführt  hat.  Bedeutet  nämlich  n  eine  ganze  Zahl,  so 
finden  wir,  daß 

(10)  -  2 (2)„0'(a;))„=„  =  %\x)  +  niJ\x) 

sein  muß,  woraus  wir  dann  weiter  den  mit  dem  für  T"(x)  in  §  17, 
(28)  gegebenen  analogen  Integralausdruck: 


2(e''^ 

_^-,x 

cos  V  ä) 

•V  — 

TtXl 

•  1 

v(e'^ 

_^-.x 

cos  Vä) 

Ttx^i"' 

1 

(11)  Z"{x)  =  ~  ■    /V^cosr^ sm(n(p)  ■  cpd(p 

n^    J 


58         Erster  Teil.    Fundamentaleigenscliaften  der  Cylinderfanktionen. 

herleiten.     Aus   (10)    finden   wir  weiter   für  'Z'"(x)    ohne  Mühe   die 
Fundamentalformeln : 

(12)         %»-\x)  -  Z"  +  \x)  =  2B^Z"(x), 


(12a)      V'-\x)  +  V'^\x)  =  -~%^(x)  -  -:- J"(^)+       ^ 

»X/  tX/  ijt/ 

imd  die  Differentialgleichung: 

(13)   ?/'='+ i:/'"+(i-::) 2/= -^j'w+^^, 

Formeln,    welche    ganz    analog    mit    den    in    §   17    für   T"(x)    ge- 
gebenen sind. 

Kombiniert  man  noch  (10)  mit  §  6,  (9),  so  findet  man  die  mit 
§  17,  (31)  analoge  Formel: 

(14)  2  (D^.J'(x)  -  D^0'(x))r=n  =  7t Y\x)  +  7iiJ\x)  +  &{x), 
aus  der  sich  für  &{x)  die  Fundamentalformeln: 

(15)  (5^-i(^)  -  @"  +  i(a;)  =  2B^&{x), 

(15a)  &-\x)  +  &+\x)  =  ?^@-(a;)  +  i^^ 

und  die  nicht  homogene  Differentialgleichung: 


(16)  ^^'^+|-^^'^  +  (l-S)^ 


o,^  ^— *a:  .-w 


ergeben. 

Der  oben  gefundene  Integralausdruck  für  %'"{x)  erlaubt  uns, 
ohne  Mühe  den  expliziten  Ausdruck  für  die  A- Funktion  zu  gewinnen. 
Die  Formel  (11)  gibt  nämlich: 

rt 

(-  lY-'^V{~x)  =  -^  •   /(^  —  95)e''='=°''^sin(7^9))f7g), 

0 

woraus  unter  Anwendung  von  (11)  und  (6): 

(17)  V'ix)  -  (-  \y%\-  x)  =  -  2niN'{x) 
und  mit  Hilfe  von  §  6,  (13)  folgt,  daß 

(18)  %N'{x)  =  y  (©"(a;)  -  (-  iy&(-x)J 

sein  muß.     Führt  man  nun  der  Kürze  halber  die  beiden  rationalen 
Funktionen; 


(19) 


Kapiti'l  III.    Verallgemeinerungen  der  Cylinderfunktiuu  J*  {xj.    §  20.     59 

«- 1 

®l   W  -^Y^t    ^     (2«)!r(H-2*-|-i)     l2x/ 

n 

®2   W-^y»    ^    (2s+l)!r(«-2s-i)l2.rj 


j  =  0 


ein,  so  findet  mun: 

(20)  'B"{x)  =  Bi"{x)cosx-\-^^''{x)s\nx -\-  i{B.;P{x)cosx  —  ^^'*{x)s\nx)-^ 
also  läßt  sich  die  Formel  (18)  auch  folgeudermaßcu  darstellen: 

(21)  ;rA"(^)  =  B^''{x)  smx  —  ©/'(a;)  coso;. 

Aus   (18)   findet   man   nun  durch   Zuhilfenahme   von   (6)  den  ersten 
der  in  §  fi  erwähnten  Integralausdrücke. 


§  20.     Zwei  Integralklassen.     Formeltafeln,     Die  Funktion  [A"{x). 
Es  ist  sehr  leicht  einzusehen,  daß  sich  die  acht  Integrale 


(1) 


-  .   C^^^  ^  xi  ^^^  ^\  ]  ^^^  ^^  ^^  dw 
^    ^7  sin  i    \sm(pj  jsm  (vcp)    ^' 


wenn  v  keine  ganze  Zahl  ist,  als  lineare  homogene  Funktionen  von 
^'(±-^')  und  0'\±.i')  darstellen  lassen.  Dies  ist  aber  nicht  mehr 
der  Fall,  wenn  v  gleich  einer  ganzen  Zahl  n  angenommen  wird; 
dann  treten  nämlich  außer  J"(x)  auch  die  zwei  anderen  Funktionen 
Q»(x)  und  A"(x)  auf. 

Da  eben  diese  Integrale  sehr  häufig  in  den  Anwendungen  auf- 
treten, scheint  es  uns  angemessen,  hier  eine  Tafel  ihrer  Werte  mit- 
zuteilen : 


(2) 


7t 

J^"{x)  =  —     f  cos  (x  sin  9?)  cos  (2wg))  d(p 


(3) 


J^^ix)  =  '^ —  ■  I  cos  (x  cos  (p)  cos  {2n(p)d(p, 

0 

Tt 

j2n  +  i^£^  =  —  •  I  Bm{xBm(p)  sin(2M  +  V)(pd(p 

0 

n 

(_  1)"   r 

rP"  +  ^(x)  =- -'  I  sin(a;cos9))  cos (2«  -f  \)(pd(p, 


60 


(4) 


Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

it 
Q^"(a;)  =  --  •  /  sin  {x  sin  ff)  cos  {2ntp)  d(p 

0 

Q2«+i^^-)  =  —  —  •  /  COS  (:r  sin  g?)  sin  (2m  +1)9?  dcp, 
0 

h^'^^x)  =  - — ^ /  sin(a;  cos  cp)  sin  (2ncp)  dq) 


(5) 


0 

3t 


A2«+i(;j.)  =  *-  ^^    .  I  cos  (ic  cos  90)  sin  (2w  +  1)  9)  dtp. 


Diese  Formeln  lassen  sich  leicht  aus  den  allgemeinen  Formeln  von 

Cauchy   in  §  17   herleiten;    ebenso   ist    es   offenbar,    daß   die   acht 

übrigen  Integrale  von  derselben  Form  immer  gleich  Null  sein  müssen. 

Betrachtet  man  nun  die  acht  anderen  mit  (1)  analogen  Integrale: 


TT 

y 


(6) 


—  •  1'^^^  f  x(^?^  ^^  ]  ^^^  ^^^^  dw 
nj   sin|    \sin  9?/ jsin  (vqp)     ^ 


genauer,  so  erheUt  offenbar,  daß  sich  dieselben,  auch  wenn  v  keine 
ganze  Zahl  bedeutet,  als  eine  lineare  homogene  Funktion  von  Y(+  x) 
und  0'  (+  x)  darstellen  lassen,  wie  dies  unmittelbar  aus  den  oben- 
erwähnten Formeln  von  Cauchy  hervorgeht.  Um  diese  neue  Integral- 
klasse auch  in  dem  Falle  zu  bestimmen,  in  welchem  v  eine  ganze 
Zahl  bedeutet,  geben  wir  hier  eine  weitere  Tafel  von  Integralformeln, 
welche  gleichfalls  sehr  häufig  gebraucht  werden: 


(7) 


7t 


J^"{x)  =  —•  I  coä(x  sin  go)  cos  (2n(p)  d(p 


n 


J^"(x)  = ■ /  cos  (x  cos  q})  cos  {2nq))  d(p , 


(8) 


7t 


j2n  + 1  (^£^  =  —  ■  I  ä'm  (x  SIR  (f)  sin  (2n  -f  1)  cpdq) 


3t 


J'2«  +  i(ic)  =  ^——^  •  /sin  {x  cos  (p)  cos  (2n  -\-l)(pd<p, 


Kapitel  III.    Verallgemeinerungen  der  Cylimlerfunktion  J\j:).    §  20.      Ol 


(9) 


(10) 


(11) 


(12) 


2      /* 

Qä'«(a;)  =  —  .  I  sin  (./sin  cp)  cos  (2  h  9)// 9) 

0 

« 

^'"(0:)  =  ^= — -^— ^  •  I  sin  (x  cos  (p)  cos  (2Mg))  d<p, 


n 
T 


Q^"+^{x)  =  —^-  I  cos{x  aintp)  sin(2>2  +  i)(p<l(p 


n 
T 


Q-"  +  '(aj)  =^^ -•  I  cos(j;  cos  9))  cos  (2m  +  l)(pd(p, 


T 


A^''(a;)  =  —  /  sin  {x  sin  9p)  sin  (ßiicp)  dcp 


n 
Y 


A""(a;)  =  '^ —    •  1  sin  (x  cos  qp)  sin  {2nq))  dcp, 


n 


A^''  +  ^(a?)  =  —•  I  cos{x  sin  9p)  cos(2»i  +  \)(pd(p 


(—  1)"  2     /* 
A-"  +  '(a:)  =  ^ 1  cos  {x  cos  qp)  sin  (2m  +  \)(pd(p. 


Es  leuchtet  also  ein,  daß  unsere  drei  Funktionen  noch  nicht 
ausreichen,  um  alle  Integrale  von  der  Form  (6)  zu  bestimmen;  man 
muß  in  der  Tat  noch  die  vierte: 


(13) 


Y 


M^"  (^)  =  —  •  /  cos  {x  sin  qp)  sin  (2m qp)  d(p 


n 
Y 


M^"(^)  =  i /  cos  {x  cos  (f)  sin  (2vi(p)  dcp, 


62  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 


(14) 


n 


W^^'^ix)  = /  sm(;r  sin  9))  cos  (2w  -f  X)(fd(f 


0 

n 


2! 

W'^'^^ix)  =  - —  /  sin (;r cos 9)  sin(2w  +  l)q)d(p 


zu  Hilfe  nehmen.  Diese  ganze  transcendente  Funktion  ist  /V[x) 
sehr  ähnlich^  und  ihr  expliziter  Ausdruck  läßt  sich  denn  auch  auf 
ähnliche  Weise  mittelst  der  Integralausdrücke  für  die  Funktionen 
T"{x)  und  X"(a;)  bestimmen.     Man  findet  nämlich  aus  §  19,  (11): 


n 


2 

X" (x)  +  (—  1)" X"(—  :r)  = I  cp  cos  (x  sin (p  —  ^j  sin n  fy  —  (p\  dcp 

und  aus  §  17,  {2S): 


it 


2T"{x)  =  ~  *  /  (y  ~  '?')  ^^^  (^  ^^^  9^ 2)  ^^^  *^  (t  ~  ^)  ^^' 

0 

daraus  folgt  mittelst  (13)  und  (14): 

(15)  Z'^ix)  +  (-  iyV'{-x)  -  2T^(x)  =  2;rM"(ic); 
gemäß  §  6,  (14)  ergibt  dies  wieder  die  weitere  Formel: 

(16)  jiW["{x)  =  l  {(B^ix)  +  (-  iy&(-  x))  -  S"{x)', 

also  haben  wir  auch  den  zweiten  der  in  §  6  erwähnten  Integral- 
ausdrücke gefunden.  Führt  man  noch  die  in  §  19,  (19)  definierten 
rationalen  Funktionen  ein,  so  erhält  man  aus  (16)  den  einfacheren 
Ausdruck : 

(17)  TcM^^ix)  =  (Bj"{x)  cos  X  +  'B^'^ix)  sin x  -  8''{x). 

Vergleicht  man   diese  Formel   mit  der  analogen  §  19,  (21),  so 
gewinnt  man  die  Identität: 

(18)    [7tA-{x)Y  +  {7tN\\x)  +  s^{x)y  =  (<B,"{x)y  +  (@2"(^))^ 

welche  der  Lom meischen  P'ormel  §  11,  (13)  analog  ist. 

Für  die  M-Funktion  findet  man  die  Fundamentalformeln: 

(19)      M"-\x)-N\"  +  \x)  =  2D^fA''(x), 

(19a)   M"-\x)  +  M«  +  i(x)  =  ^M"(Ä;)  +  ^[cos(:r-*^)-cos2*^] 


Kapitel  IIJ.    Verallj^emeinoruii^^cii  der  Cyliinlerfuiiktion  J'(.r).    § 'Jl       G3 


und  die  Differentialt^loichiiug: 


'*  Hiu» 


nx 


(20)  .<•.+  :- ,...+  (1  - ^y  =  ;^[c„,(.- 7)-eo«'":]— ,-^. 

Wir  bemerken  noch,    daß   die   letzte  Formeltafel    folj^eiide  zwei 
interessante  Identitäten  liefert: 

(21)  '^"i^)  +  A"(a;)  =  "  •  /  cos  {x  sin  qo  —  mp)  d(p, 


0 

ff 


(22)  Q"{x)  -  M"  (x)=^- 1  sin  (>;  sin  (p  -n(p)(i(p; 

0 

aus  (17)  und  §  19,  (21)  ergibt  sich  weiter,  daß: 

(23)  7t  M"  (x)  -TfiA"  (x)  =  <B"  (x)  -  S"  (x) 

sein  muß,  so  daß   die   obenerwähnte  Formeltafel   noch   die  Integral- 
relation ergibt: 

(24)  <B"(x)  -  S"{x)  =  -!7  •  /  e-''"'°'"P  sin  (titp)  d(p. 


n  +v  n  —  v 

§  21.    Integralausdrücke  für  das  Produkt  J  ^   (x)J  ^   (x),ng&nz. 

Dieselbe  Formel  (Hj^),  welche  wir  schon  häufig  angewandt  haben, 
gibt  mittels  §  G,  (4)  auch  die  einfache  Formel: 

7t 

n  +  V  n  —  v  ^ 

(1)  J  ^   (x)J  ^   (x)  =  -^  •  j  J"(2x  cos(p)  C08(vg))dq), 

0 

wo  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet;  mittelst  der  Cauchy- 
schen  Formeln  §  17,  (2)  läßt  sich  (1)  auch  folgendermaßen  schreiben: 

n+  V  n—  V  J^ 

(2)  cos ^"  •  J   ^  {x)J  ^  {x)  =  —  -jj"(2x  cos  cp)  cos{v(p)  dcp, 


0 


n  +  V  n—  V  ^ 


n  +  V  n—  V  " 

(3)  sin  —  ■  J  ^  (x)J  ^  (^)  =  —  •  /  J"(2x  cos  9p)  s'm^vcp)  dtp. 


(4) 


64  Erster  Teil.    Fundameutaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Neumann ^)  hat  diese  Formel  (1)  für  gerades  n  und  v  =  0 
gefunden,  während  Schläfli-)  die  etwas  allgemeinere  Formel  (1) 
gegeben  hat,  in  der  auch  v  eine  ganze  Zahl  ist,  so  daß  n  +  v 
gerade  Zahlen  sind. 

Führt  man  noch  in  (1)  die  Ausdrücke  §  20,  (7)  und  (8)  ein, 
so  findet  man  folgende  Doppelintegrale  von  ganz  elementarer  Form: 

n    it 
"2"    2 

n^i-       n--         4     r  r 

J      ^{x)J      ^{x)  =  —^-j  j  cos  (2  X  cos  cp  sin  ijj)  cos  {v(p)  cos  (2  nij)d<pd  xIj, 


0    0 


1  +  r  1  -  r 


7t    n 


~  —  /^   /* 

(5)J        ^  ix)J        ^{^)  =  ~~i'l  I  siyi(2xcos(psmf)cos{v(p)sm(2n+l)^d(pdip. 

0    0 

Hier  kann  die  Integrationsfolge  offenbar  willkürlich  vertauscht 
werden;  integi-iei-t  man  zuerst  nach  z/;,  so  findet  man  die  Formel  (1) 
wieder,  während  die  Integration,  zuerst  nach  (p  genommen,  mittelst 
§  17,  (12a)  und  (13a)  die  zwei  anderen  Formehi  gibt: 

7t 

-        n--  r 

(6)       cos^ •  J^ ' {x)  J     \x)  =  --\  Wi2x sin ^)  cos(2wt^) di>, 


n 
Y 


(7)  sin  ^  •  /      '  ix)  J       '  (^)  =  ^  •  /  X^(2a:  sin^)  sin (2w  +  l)tdt. 

0 

Setzt    man    weiter    in    (6)    und  (7)    voraus,    daß    v    eine    ungerade, 
respektive  eine  gerade  ganze  Zahl  ist,  so  findet  man: 

n 
(8)     (- 1)^+1  J"+^+^X-^)  J^'^'^ix)  =  ^  ■fQ'P^ \2x  sin  cp)  cos  (2n(p)  dtp, 


it 


(9)       (-l)^J"+^  +  ^(a;)J""^  +  ^"(a:)-^-  rQ2'^(2xsin9)sin(2«+l)9)(fg); 

0 

daraus  ergeben  sich  für  w  =  ^^  =  0  die  bemerkenswerten  Formeln: 


1)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen  p.  70;  1867. 

2)  Mathematische  Annalen  Bd.  3,  p.  142;  1871. 


Kapitel  III.    Verallgemeinerungen  der  Cylinderfunktion  J*'(x).    §  22.      G5 


n 
T 


(10)  '^^-fQ\2xB\n<p)d<p, 


n 
T 


(11)  ^-^=  fQ\2x  sin  (p)am(p(l(p. 


0 


§  22.     Einige  Entwicklungen,  die  nach  Cylinderfunktionen 

fortschreiten. 

Die  Integralformeln,  welche  wir  soeben  gefunden  haben,  er- 
lauben uns,  sehr  leicht  einige  merkwürdige  Fouriersche  Reihen- 
entwicklungen zu  bilden.  Erstens  findet  man  aus  dem  ersten  Bessel- 
schen  Integrale  folgende  Formeln: 

(  =  00 

(1)  cos(a;  sin 9))  =^  €^,J'^'(x)  cos(2sqp), 

s  =  0 

(2)  sin  (a;  sin 9?)  =^^  £2,^1  J^'  +  ^(a;)  sin(2s-f  l)^?, 

wo  f,  im  allgemeinen  gleich  2  zu  nehmen  ist,  außer  wenn  s  =  0, 
wo  man  f 0  ^  ^  ^^  setzen  hat;  diese  Reihen  sind  von  Jacobi^) 
gegeben. 

Der  asymptotische  Ausdruck  §  2,  (3)  zeigt,  daß  die  Formeln  (1) 
und  (2)   auch    für    imaginäre  Werte   von   q)   anwendbar    sind;   setzt 


man  nun  — —  <p  für  9,  so  findet  man: 


(  =  00 


(3)  eixcosy  =^  f^  j*(a;)  cos  (scp), 

3  =  0       * 

so  daß  die  Annahme: 

e'f^t,        2cos{s(p)  =  f  +  t-' 
zu  folgender  Entwicklung  führt: 

(4)  e^  '""'      =  J\x)  +^  i-'J\x)  {f  -f- 1-'), 

s  =  l 

von  welcher  Hansen^)  und  Schlömilch^)  Gebrauch  gemacht  haben. 

1)  Journal  für  Mathematik,  Bd.  15,  p.  12;  1836. 

2)  Memoire  sur  la  determination  des  perturbations  absolues,  p.  100,  107. 

3)  Zeitschrift  für  Math,  und  Physik,  Bd.  2,  p.  138;  1857. 

Nielsen,  Cylinderfunktionen.  5 


(?>  l^'^&^J^iX), 


_efart: 


s=rr  1  —  w  1  — • 


(9^X"^r  ?zi  r    =  i_i  ^  ^  c..^, J-      *  ^jff\J      ^  '-  =:-  "?^^!>( 


1 

.^Lr^W^ 

^  =  0,  sc    ^      ■    _  ^-  I  ?■• 


?3                ^m^        -' 

r  =  C'    Le   v:-    Ei2--i       .   . 

~ 

ill)                                    1  =^  i,.  .7'  r '- 

3 

s  =  a                         »                        - 

Z 

=  1 

1—» 

■an»  —.: 

Kapitel  HI.    Verallgemeinenmgeo  der  CylindeTfanktion  X'ix).   §  SS.      67 

während  die  Annahme  (f  =  —  Entwicklungen  für  TT*(2j)  und  X*(2x) 

h'efert.  Wenn  v  eine  ganze  gerade,  bez.  ungerade  Zahl  bedeutet,  so 
gewinnt  man  aus  (12)  und  (13)  eigentümliche  Entwicklungen  für 
Bes  sei  sehe  Cylinderfunktionen  mit  ganzem  Parameter,  während  die 
Annahme  eines  ungeraden,  bez.  geraden  v  ähnliche  Entwicklungen 
für  die  Q -Funktionen  ergibt. 

Andere  Reihenentwicklungen,  welche  nach  Cylinderfunktionen 
fortschreiten,  lassen  sich  mittelst  derselben  Integralformeln  herleiten, 
wenn  wir  Ton  den  Fourierschen  Reihen  (T5)  und  (T^): 

(14)  cos(v^j  =  ^  •  (^v  +2'  l-  1 ''  [vh  +  ^)  ^'  ^'"f"^)  ' 

(15)  8in(v<f:)  =  ^-^(-lV(^-^)sin(s9) 

1  =  1 

Gebrauch  machen:  sie  sind  beide  im  Intervall  ron  —  x  bis  -{-  x  an- 
wendbar, diese  Grenzen  selbst  für  die  letzte  Reihe  ausgeschlossen; 
V  bedeutet  eine  willkürliche,  endliche  Größe. 

Aus  den  Formeln  (14)  und  (15)  findet  man  sehr  leicht  folgende 
drei  Entwicklungen  nach  Cylinderfunktionen: 

(16)  n-  (.) .  ü^'  |i  j^  (.)  +  ^  (-^^  ^  -^)  ^.(x)) , 

,17,     X-(x)-=^'.'f  (,^i^-,^J^)^.-(x), 


(18) 


<,.(x)  =  f^.(^i^(x)^f,-.(-^H-^)/Hx>), 

welche  in  der  ganzen  J- Ebene  anwendbar  sind. 

Für  die  Funktionen  Q  und  A  findet  man  nun  ohne  Mühe  mittelst 
§  IT,  {2d)  und  §  19,  [1  \  folgende  Entwicklungen: 

(19)       Q-^x)  =  i- .  '2u-^-.„"^-^'(^' 
(21)       A^.,x)=->"^-.f-tif^S, 


t  =  0 


68         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfimktionen. 


s==l 


während  die  Formeln  §  17,  (26)  und  §  19,  (10)  folgende  Entwick- 
lungen für  die  Funktionen  T  und  %  liefern: 

•         »=00 

(23)  r«(:r)  =^lf  J'"  +  2*(;r)  -  J^-'^ix)), 

(24)  %^ix)  =^ ^~-  (j^-^-^ix)  -  (-  lyj^-^x)) , 

von  welchen  die  erste  von  Schläfli^)  herrührt. 

Die  entsprechenden  Entwicklungen  für  die  Funktion  M  lassen 
sich  nicht  so  unmittelbar  durch  diese  Methode  herleiten;  indessen 
werden  unsere  allgemeinen  Untersuchungen  über  die  Neumann- 
schen  Reihen  auch  diese  Formeln  leicht  ergeben. 

Wir  gehen  hier  nicht  näher  auf  die  ähnlichen  Entwicklungen 
nach  den  Funktionen  Q,  A  und  M  ein,  sondern  kehren  zu  den 
Formeln  (14)  und  (15)  zurück,  um  noch  einige  Entwicklungen  nach 
Produkten  zweier  Cylinderfunktionen  herzuleiten. 

Die  Formel  §  21,  (1)  gibt  eine  erste  Reihe  dieser  Art: 

(25)     J^{x)J-^{x)  =  ^  \\r\x))  +  21.2  ■^^^.J'^  {^)J'^  {x)\ , 

s  =  l 

während  (2)   und  (3)  in  demselben  Paragraphen  die  folgenden  im 
Vergleiche  zu  (25)  sehr  eigentümlichen  Entwicklungen  ergeben: 

'Hz  "LH  2sin— r/      n;         \2  s=a.  n^^^  n^_^         - 

(26)    J\x)j'(x)^--^{j^(£))^-^v^y,-^^,r     {x)r     (X) 


TtV 


n+v  n—v  1  COS  s  —  co  n  +  1  n  —  1 


2       N^        2s+l  7-~l~^'  ^^-« 

s  =  0 


(27)  j  ^  {x)j '  {x)—^'Zi2s+TY-v^j    ^"^y    (^) 


Für  V  =  1,  w  =■  0,  bez.  v  =  0,  »i  =  1   liefern  (26)  und  (27)  interes- 
sante Entwicklungen. 

Nachdem  wir  diese  ersten  Beispiele  der  Neumann  sehen  Reihen 
erster  und  zweiter  Ai-t  gegeben  haben,  wenden  wir  uns  nunmehr  zu 
anderen  Anwendungen  derselben  Formeln  (14)  und  (15),  indem  wir 


1)  Mathematische  Annalen,  Bd.  3,  p.  146;  1871. 


Kapitel  III.    Verallgemeinerunf,'en  der  Cylinderfunktion  ./'(a).    §  2;i      69 

(i   für   V   und   x  sin  (p   für  (p   schreiben.     Durcli  tliese  Substitutionen 
ergibt  sieh  aus  dem  zweiten  Besselschen  Integrale  ohne  Mühe: 

(28)      ^.(.,)  =  «^'(.^.^^;_._+|(_  .y^^^^^.-l^^^ 


i  =  l 


und   somit  haben   wir   die   in   §  18   erwähnte  Partialbruchzerleguug 
gegeben. 

Die  IntegraUlefinitionen   der  Funktionen  TT   und  X  liefern  noch 
folgende  Entwickhingen: 

(30)  n.(«.)^?'-:^=i'(ln.(0)+f  (-  !)'(„;,+ „l,)n'(,.)), 

(31)  X.  («X)  =  t-  IV  D'  (^,  -  ^-1 .,)  X'  (-), 

SO  daß  die  Lntegralformeln  des  §21  folgende  anderen  geben  müssen: 
/^H«.r)/-^(„x)_™5»[l/-i(0)j'-5(0)  + 


(32) 


»=1 


1  +  v 


,  xr.  1-V 


(33) 


.v  =  l 


Durch  die  sechs  letzten  Formeki  haben  wir  ebensoviele  Bei- 
spiele der  Schlömilchschen  Reihen  der  ersten,  zweiten  und  dritten 
Art  gegeben;  indem  wir  uns  vorbehalten,  später  solche  Reihen  näher 
zu  betrachten,  verzichten  wir  hier  auf  etwaige  andere  spezielle  Ent- 
wicklungen dieser  Art. 


§  23.     Die  Besselsehe  Auflösung  der  Keplerschen  Gleichung. 

Als  letzte  Anwendung  der  elementaren  Integraldarstellungen 
für  die  «/-Funktion  wollen  wir  noch  die  Besselsehe  Auflösung  der 
Keplerschen  Gleichung  mitteilen,  weil  ebendiese  Auflösung  in  der 
Geschichte   der  Cjlinderfunktionen    eine  Hauptrolle  spielt;  ja,   man 


70         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

darf  wohl  sagen,  daß  sie  den  Anstoß  7aiy  Ausbildung  einer  systema- 
tischen Theorie  dieser  Fimktionen  gegeben  hat. 
Wir  betrachten  also  die  Gleichung: 

M)  G)  —  e  sin  a  =  q), 

wo  c?  und  <p  reell  sein  sollen  und  0  <  c  <  1  vorausgesetzt  wird, 
und  suchen  den  unbekannten  Winkel  (o  durch  eine  Fouriersche 
Reihe  mit  dem  Argumente  cp  darzustellen,  so  daß  wir  zuerst  zu 
beweisen  haben,   daß  eine  solche  Entwicklung  wirklich  möglich  ist. 

Zu  diesem  Zwecke  betrachten  wir  die  reelle  Lösung  o  als 
Funktion  von  (p  und  finden  dann  an  ihr  folgende  Eigenschaften: 

1)  03  ist  eine  eindeutige  Fimldion  von  cp ,  tvettn  —  :t  ^cp  ^-\-  x 
vorausgesetzt  tvird. 

Sollten  nämlich  die  zwei  verschiedenen  Werte  w^  und  g?2  für 
dasselbe  cp  beide  der  Gleichung  (1)  Genüge  leisten,  so  findet  man 
unmittelbar,  daß  auch 

Mj  -|-  cöj        .      cöj  —  a^ 


9iu,    —r-   uJa 
v^i      v„2    —ecos-J— ^ — ^  •  sm 


2 
.    Nlll    

2 


sein  müßte;  dies  ist  aber  unmöglich,  weil  e  ein  echter  Bruch  ist. 

2)  cj  ist  eine  ühcrall  endliclie,  JcontinuierlicJie  und  differentiierhare 
Fimldion  in  tp ,  wenn  —  n  ^q)  <-\-  ^  vorausgesetzt  tvird. 

Setzt  man  in  der  Tat: 

(o  -\-  k  —  e  sin  (cd  -|-  ä:)  =  qp  +  k, 
so  findet  man  mittelst  (1): 
(2)  k  —  2e  cos  (o  +  — )  sin  —  =  h, 


(^)  1™(t) 


dop  ^ 

^  =1—6  cos  OJ . 

ao3 


3)  a  hat  im  dbenenvälmten  Intervall  iveder  Maxima  noch  Minima, 
muß  aber  immer  beständig  zu-  oder  beständig  abnehmen. 

Die  Gleichung  (2)  zeigt  nämlich,   daß  h  und  k  immer  dasselbe 
Vorzeichen  haben  müssen.     Außerdem  zeigt  (1),  daß 

4)  03  eine  ungerade  Funktion  in  (p  ist. 
Setzt  man  nun: 

«=  CO 

03  =  ^,  ffj  sin  (59?),     —  n  "^fp  ^-\-  ^, 

s  =  l 

eine  Entwicklung  also,  die  in  der  Tat  möglich  ist,  so  hat  man  be- 
kanntlich für  a^  den  Ausdruck: 


Kapitel  III.    Verall^'emeinpnmpen  der  Cylinderfunktion  </'(x).    §  24.       71 

rt 

fl,  =  ^-  I  CO -ain  {s<p)d(p, 

0 

so  daß  eine  partielle  lutegration   mittelst  (3)  unniittell)ar  erj^ibt: 


also  findet  man  mittelst  (Tg)  folgende  Entwicklung 

»  =  00 

(4)         ra  =  qp  4-  2  •  ^  —  J'{se)  sin  (sqp),     —  »r  <  g)  <  +  ä, 

eine  F'ormel,  welche  von  BesseP)  gefunden  worden  ist. 

Für    die    in    (.'})    gegebene   abgeleitete   Funktion   findet   man   in 
ähnlicher  Weise  die  Entwicklung: 

^^)  l-/c08a,  =  1  +  2  .^  J'(se)  cos  (Stp),      -7t^(p<-\-Jl, 

s  =  l 

so  daß  die  Annahme  (p  =  0  die  weitere  Formel: 

(6)  rb  =  ^  +  2-2'^'(^^)' 


s  =  l 


ergibt,  welche  sicher  anwendbar  ist,  falls  —  1  <  e  <  +  1  angenom- 
men wird,  wie  es  unmittelbar  aus  den  vorhergehenden  Bedingungen 
ersichtlich  ist.  Füre^  1  bleibt  die  Formel  (6)  nicht  mehr  anwendbar, 
weil   dann  J'{sc)   mit  s  über  jede  Grenze  hinaus  wachsen  muß^). 

Diese  Entwicklung  scheint  zuerst  von  Todhunter"')  bemerkt 
zu  sein,  jedenfalls  hat  Todhunters  Hinweis,  wie  Kapteyn'*)  selbst 
hervorhebt,  Veranlassung  zu  dessen  Verallgemeinerungen  gegeben, 
welche  wir  später  zu  untersuchen  haben. 

§  24.     Die  Funktionen  lie~*,  C^(ä;),  Si(x)   und   die  Integrale  von 

Eramp  und  Fresnel. 

Indem  wir  mit  C,  wie  gewöhnlich,  die  Euler  sehe  Konstante 
bezeichnen,  definieren  wir  den  Integrallogarithmus  li  e~%  den  Integral- 
cosinus Ci{x)  und  den  Integralsinus  Si(x)  folgendermaßen: 


1)  Abhandlungen  der  Berliner  Akademie  1824,  p.  21. 

2)  Graf  und  Gubler:  Einleitung  in  die  Theorie  der  Besselschen  Funktionen, 
Heft  I,  p.  104;  Bern  1898. 

3)  An  elementary  Treatise  on  Lame's,  Laplace's  and  Bessel's  functions, 
p.  342;  London  187.5. 

4)  Annales  de  l'ficole  Nonnale  (3)  Bd.  10,  p.  96;  1893. 


72  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cjlinderfunktionen. 

5=  00 

(1)  li  e-  _  log  :r  -  C  =  2  ^-=yf  •  x% 

(2)  G,ix)-logx-C==2^^ 


s  =  l 

S  =  00 


(2s)!  2s  ' 


(3) 


Si{x)  =  ^ 


{-ir 


s  =  Q 


(2s  +  l)!(2s+l) 


•  X^^'^^ 


und  finden  dann  aus  §  2,  (2)  und  §  4,  (6)  folgende  Integralausdrücke: 

0  0 

.T  X 

(5)     C.(x)-loga,-  C=/5^d.;=/|/^(j-^W-j/Ä)<?^, 

0  0 

X  X 

{x)=j''-^dx=jy^.j^  {x)dx. 


(6)  S,{x)=J''-^dx  = 

0  0 

Nahe  verwandt  mit  den  vorhergelienden  Transcendenten  sind 
die  Integrale  von  Krampf)  K{pc)  und  von  FresneP)  F^{x)  und 
F^{cc),  für  Avelche  wir  folgende  Definitionen  anwenden: 


X 


2«+l 


J 


(8) 


(9) 


(2s)!(4s+  1) 


^2 (•*)  =  f  sin  (a;')  dx=^^  (2s+^l)!0 

n  s  =  0 


aJ' 


,4«  +  l 


r 

(4s +  3) 


X' 


,4« +  3 


Durch  Cylinderfunktionen  lassen  sich  diese  drei  Transcendenten 
folgendermaßen  darstellen: 


K{yx)  =  i'  ]/y  füi '  iix)dx, 


(10) 


0 

X 


F,  {Vx)  =Y^Jj~'^  (x)  dx,     F,  (Yx)  =  Y^^Jj^  (^)  dx, 


1)  Memoires  de  rAcademie  des  Sciences  de  Paris,    Bd.  5,  p.  434,   man 
vergleiche  auch  pp.  406,  412,  433;  1826. 

2)  Analyse  des  refractions  astronomiques  et  terrestres;  1798. 


Kapitel  III.    Verallgemeinerungen  der  Cylinderfunktion  J*'(x).    §  24.      73 

Die    drei    letzten    Funktionen    la.ssen    sich    auch    sehr   einfach    (hirch 

<t)2^(j:),  TT^(j')  und  X2^(a;)  ausdrücken;  um  dies  für  K{x)  einzusehen, 
setzen   wir  in  (U'ui  Inte^ale: 

0^  (x)  =  — £  •  /  «'"-"'""^cos  ^  (p  d(p 

Ttt^     0 

/ .        .  2  dt 

y2xi  ■  sin  \  q)  =  t,     cos  ^  qp  (J(p  = 


y^xi 

und  finden  so  unmittelbar  die  Formel: 

(U)  ct>^(:r)=]/I.^^.^(]/2^:), 

so    daß    wir    aus    §  22,  (18)   folgende    Entwicklung    nach   Cylinder- 
funktionen  erhalten: 

(12)     ^^'=j»(-i;)-f  i^,^'(S)- 

*= 1 

Aus    den  Definitionen    §  17,  (12a)    und    (13a)   finden   wir  nun 
weiter: 

■  T 

TT^  (x)  =  —  (cos  X  I  cos  (2x  sin^  |  tp)  cos  ^  (pdq)  -\- 


n 


+  sin  ^  /  sin  {2x  sin^  ^  9p)  cos  ^  9  rfqp  j  , 
0 


n 
T 


X  2"  (a;)  =  —  (  sin  a;  1  cos  (2.r  sin^^^  9?)  cos  |-  qp  d^) 


0 


cos, 

0 


\x    I  sin  (2x  sin^  4"  9')  cos  ^  9)  c?^) ) , 

so  daß  die  Substitution: 

y2x  ■  am  ^(p  =  tf     cos  ^  rp  drp  =y  —  •  dt 
folgende  Formeln  ergibt: 

(13)  n^  {x)  =  -4-  .  /cos  X  F.  {Yx)  +  sin  x  K 

nyx     \  ' 

(14)  X^  (x)  =  -^  •  ^sin  X  Fl  (Yx)  -  cos  x F^  {Vx)\ , 


X    I      l   y 


74  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

woraus   mittelst  §  22,  (16)   und   (17)  folgende  Entwicklungen  nach 
Cylinderfunktionen  hervorgehen: 


(15) 


(16) 


1 F, (x)  =  cos  (x^)  i^J^ix^)  -  2  2^  ^^1  j  + 

J^«(xO-2^S^i 

s  =  l 

,  „.  '"V  (4s +2)  ja* +  «(•«') 
—  cos  {x")    >  ^       '     ^  ^    '' 


«  =  o 


(4s  +  2)^ 


Aus  den  Formeln  (11),  (13)  imd  (14)  können  wir  weitere  Ent- 
wicklungen für  die  drei  Funktionen  K{pc),  F^{x)  und  F^{x)  her- 
leiten; wir  ziehen  es  indessen  vor,  hier  auf  diese  Frage  nicht  näher 
einzugehen,  da  wir  später  in  §  34  dieselben  Entwicklungen  wieder- 
finden werden  und  zwar  durch  eine  Methode,  die  uns  erlaubt,  ähn- 
liche Formeln  für  lie~^,  C^{x)  und  Si{x)  zu  geben. 

Wir  wollen  am  Schlüsse  noch  eine  andere  Anwendung  der 
Formel  (11)  geben;  beachten  wir  nämlich,  daß: 

n 

(17)  i'^  ^ 0"^^  {£)  -f  i'~^ 0""  2  {x)=^  I e'^'^^^f  cos  (v(p)  cos ^(pd(p 

0 

ist,  und  daß  man  unmittelbar  die  andere  Formel: 

(18)  jßixcosip  cos  I  (p  ^^  _  _?£!_  xlsin  -|-  •  y2xi\ 
0  " 

gewinnt  oder,  was  dasselbe  ist: 

D^^(sin-| .  y2^i)  =  ^  e'-o«^  cos  f , 
so  liefert  eine  partielle  Integration  folgende  neue  Formel: 

TT  

^J  K(sml-  ■  y2xij  sm  (v<p)  dcp  = ^^ -'  + 

0 

setzt  man  noch  x^  :2i  für  x,  so  gibt  (19)  folgende  Entwicklung  in 
eine  Fouriersche  Reihe: 


(19) 


Kapitel  IV.    Integral'-  iimi   Reiben  mit  CylinderfunktioiuMi.    §  25.  75 

s  —  1 

WO  man  voraussetzen  niuB,  daß  —  ä  ^  qp  ^  +  Jf  ist. 
Die  anilere  Formel: 

rt 

9    ' 

0 

gibt  auf  ähnliche  Weise  folgende  neue  Entwicklung: 

(2i)/f(.cos|)-|c-f  Ji:ii(0'-5(f;)-,<.-m:))c„,M. 


j=i 


welche  gültig  ist,  falls  —  ä  <  9?  <  +  :rr. 

Für  die  beiden  Entwicklungen  (20)  und  (21)  gilt  noch  der 
folgende  bemerkenswerte  Satz,  den  wir  in  §  26  allgemein  beweisen 
werden: 

Die  Koeffizienten  der  zwei  Fouri  er  sehen  Reilien  (20)  utid  (21) 
lassen  sich  sehr  einfach  durch  die  Funktion  K{x)  selbst  darstellen. 


Kapitel  IV. 

Unbestimmte  Integrale  und  unendliche  Reihen  mit 
Cylinderfunktionen. 

§  25.     Verallgemeinerung  der  Fundamentalgleichungen  der 

Cylinderfunktionen. 

Es  ist  offenbar,  daß  alle  diejenigen  Funktionen,  die  wir  im 
vorigen  Kapitel  untersucht  haben,  sehr  einfache  Spezialfälle  der 
Lösungen  folgender  allgemeinen  Fundamentalgleichungen  sind: 

(1)  B^-\x)  -  B^+\x)  =  2B,B\x)  +  ^f\x), 

(2)  B^-\x)  +  B^^\x)  =  ^  B^{x)  +  \  f{x\ 

wo  f^ix)  und  g^'ix')  gegebene  Funktionen  in  x  und  v  bedeuten. 
Die  auffallende  Form  dieser  bekannten  Funktionen  f  und  g  wird 
sich  durch  die  folgende  Formel  (8)  rechtfertigen. 


76  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Bedeutet  nun  B''(x)  eine  willJiürlicJie  Lösung  des  Systemes  (1), 
(2),  so  beweist  man  ohne  Mühe  die  folgenden  Sätze: 

1)  Die  allgemeinste  Lösung  von  (1),  (2)  läßt  sich  immer  fol- 
gendermaßen darstellen: 

R'(x)  +  C"{^), 
wo  C^{x)  die  allgemeine  Cylinderfunldion  mit  dem  Argumente  x  und 
dem  Parameter  v  bedeutet. 

2)  Bie  Fmiktion  B~'^{—x)  ist  die  Lösung  eines  Systemes,  das 
man  aus  (1),  (2)  erhält,  wenn  man  /"~^(—  x)  und  g~^{—  x)  für  f''{x) 
und  g^{x)  einsetzt. 

3)  Wenn  daher  gleiehzeitig  f  {x)  —f-  *'  {x)  =  0  undg"  {x)+g-''  (x) = 0, 
so  ist  die  Differenz  B''{x)  —  J5~^'(—  x)  immer  eine  Cylinderfmiktion 
mit  dem  Argumente  x  und  dem  Parameter  v. 

4)  Bedeutet  a(v)  eine  Fmiktion,  so  daß  a{v  -\-  1)  =  —  a(v)  ist, 
so  ivird  a{v)B~'''{x)  eine  Lösung  des  Systemes  (1),  (2),  wenn  nur 
P'{x)  und  g''(x)  durch  a{y)f~''ix)  und  —  a{v)g-^{x)  ersetzt  werden; 
für  die  Funktion  a{v)B^{—  x)  muß  man  dagegen  a{v)p'(—  x)  und 
—  a{v)g''{—  x)  statt  p'(x)  und  g''{x)  setzen. 

5)  Die  Funktion  B^''^^{ccx),  wo  a  und  q  ivillkürliche  endliche 
Größen  bedeuten,  genügt  einem  System,  das  man  aus  (1),  (2)  erhält, 
ivenn  man  für  P'{x),  bez.  g^'(x)  folgende  Ausdrücke  setzt: 

i- /-'^^  M  +  :.  (^  -  l)  D,5»'  +  ^M, 

1  f  +  ^iax)  +  (^  -  v)  B^^^{ax). 

Nach  diesen  allgemeinen  Bemerkungen  haben  wir  die  Möglich- 
keit der  Auflösung  des  Systemes  (1),  (2)  näher  zu  untersuchen. 
Durch  Addition  und  Subtraktion  der  beiden  ursprünglichen  Glei- 
chungen findet  man  beziehentlich: 

(3)  D^B\x)  =  -  -J  B\x)  +  B^'-\x)  -  \  [f\x)  +  f{x)) , 

(4)  D,B\x)  =  ^  B^'ix)  -  B^'^\x)  -  I  (t^^x)  -  g\x)) , 

Formeln,  die  wir  ebensogut  wie  (1)  und  (2)  als  Definitionen  der 
Funktionen  B^(x)  annehmen  können;  denn  beide  Systeme  sind  ja 
äquivalent. 

Behandelt  man  nun  weiter  (3)  und  (4)  nach  der  Methode, 
welche  uns  in  §  1  zur  B es s eischen  Differentialgleichung  für  die 
Cylinderfunktionen  geführt  hat,  so  findet  man  hier  für  die  jB- Funk- 
tionen folgende  lineare,  nicht  homogene  Gleichung: 


Kapitel  IV.    Integrale  und  Reihen  mit  Cylinderfunktioneu.    §  20.         77 

(5)  ^«)  +  A,/l)+(l_^)y  =  !«.(;,), 

in  der  man  für  die  Funktion  ""^(j)  folgende  beide  Ausdrücke 
gewinnt: 

(6)  G>'(a-)  =  -^ (f-(x)+g^(x))-D,(pix)+fix))'-(f^-Hx)  -  (f-'(x^), 

(7)  Gi\x)  =  -^{f\x)-(f{x))-D^{f'{x)-g\x))  +  {f'^\x)^-g'^\x)), 

je  nachdem  man  von  (H)  oder  (4)  ausgeht. 

Die  Foraieln  (6)  und  (7)  zeigen  aber,  daß  die  Funktionen  Pix) 
und  g^ix)  nicht  ganz  willkürlich  gegeben  sein  dürfen;  denn,  falls  die 
Fundamentalgleichungen  (l)und(2)  wirklich  Lösungen  haben  können, 
müssen  jedenfalls  die  beiden  Ausdrücke  (6)  und  (7)  identisch  sein, 
d.  h.  /'  und  g  müssen  folgender  BedingTing  Genüge  leisten: 

(8)  g^-\x)-f^\x)-2D^g^\x)  =  r-\x)-\-r^\x)-''-^r{x). 

Die  Übereinstimmung  der  Ausdrücke,  die  in  dieser  Formel  auf- 
treten, mit  denjenigen  in  den  Fundamentalgleichungen  der  Cylinder- 
funktionen  ist  offenbar;  um  sie  aufrecht  erhalten  zu  können,  haben 
wir  eben   die   etwas  auffallende  Form  der  gegebenen  Funktionen  in 

(1)  und  (2)  gewählt. 

Im  allgemeinen  ist  diese  noüvendige  Bedingung  (8)  auch  lihi- 
reichend  für  die  Möglichkeit  einer  Auflösung  der  Gleichungen  (1) 
und  (2);  ein  Zweifel  kann  überhaupt  nur  dann  eintreten,  wenn  sich 
die  Funktionen  f  und  g  in  Reihen  entwickeln  lassen,  die  beide  von 
folgender  Form  sind: 

Diese  Frage  interessiert  uns  indessen  hier  nicht,  weil  wir  nur 
voraussetzen  wollen,  daß  die  Funktion  cf'{x)  gegeben  ist,  so  daß 
wir  die  Funktionen  JB,  f  und  g  nur  so  zu  bestimmen  haben,  daß 
die  Gleichungen  (1)  und  (2)  durch  sie  befriedigt  werden.  Zu  die- 
sem Zwecke  bemerken  wir  zuerst,  daß  man  einen  Ausdruck  für  die 
^-Funktionen  finden  kann,  indem  man  in  (5): 

y  =  zJ'{x) 
substituiert.     Wendet  man  nämlich   die  Lommelsche  Formel  §  16, 

(2)  an,  so  findet  man  folgende  Funktion: 

(9)  2/  =  Y  T" {x)  j  a" {x)  J' (x)  dx  —  ~  J' {x)  /  o"  (x)  Y'  {x)  dx 
als  partikuläres  Integral  von  (5). 


78  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Um  die  Bestimmung  von  f^'{x)  und  (fix)  durchzuführen, 
setzen  wir: 

(10)     2/v-i  =  7'-  (r'(^)  +  ^^(^0) ,   ^.+1  =  ~  (r(^)  -  cf{x)) , 

so  daß  die  Gleichungen  (6)  und  (7)  sich  auch  folgendermaßen 
schreiben  lassen: 

»"(^')  -{v-  l)2/r-i  -  ^D^y^-i  -  ^^v, 
co^(x)  =  -  (v  +  l)2^,+^-xD^2^^^  +  xp^.. 

Dieselbe  Methode,  durch  welche  wir  die  Gleichung  (5)  aus  (1)  und 
(2)  hergeleitet  haben,  gibt  hier  folgende  zu  (5)  analoge  Differential- 
gleichungen: 

(11)  2/;^^4-^2/.^^)+(l-^)2/.=|(-^«^  +  X-^)-^.«^'"X^)  +  «^'(4 

(12)  ^,(^)  + 1 0  W  +  (1  -^)  ^.  =^(~  co^-\^) -DX-\^)-^'{^))  ■ 

Setzt  man  noch 

B'{x)  =  a{v)J'{x)  +  h{v)  r*'(:r), 

wo  a(v)  und  h{v)  ganz  willkürliche  Funktionen  in  v  bedeuten,  so 
findet  man  für  die  zugehörigen  Funktionen  ?/,,  und  0^,,  wie  un- 
mittelbar aus  (11)  und  (12)  erheUt,  genau  die  Besselsche  Diffe- 
rentialgleichung; damit  haben  wir  folgenden  Satz  bewiesen: 

Set0t  man  voraus,  daß  die  Funktion  C3^'{x)  gegeben  ist,  so  wird 
ein  willkürliches  Integral  von  (5)  immer  einem  Systeme  wie  (1),  (2) 
genügen,  falls  nur  die  zugehörigen  Funktionen  f  und  g  aus  passenden 
Integralen  der  Gleichungen  (11)  und  (12)  gebildet  werden. 

Dieser  Satz,  den  wir  in  den  zwei  folgenden  Kapiteln  anwenden 
wollen,  ist  fundamental  für  die  Untersuchungen  über  unbestimmte 
Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

§  26.     Reduktion  von  5^±"(a;).     Anwendung  auf  J2"'"(rr). 

Es  sei  nun  B''{x)  eine  willkürliche  Lösung  der  Gleichungen  (1) 
und  (2)  des  §  25;  dann  muß  die  Funktion: 

G\x)  =  C'-\x)B'+^{ax)  -  C'{x)B''  +  Q-\ax), 
wo  die  C  Cylinderfunktionen  bezeichnen,  während  a  und  q  endliche 
Größen  bedeuten,  dem  Satze  5)  des  §  25  zufolge  folgender  Bedingung 
genügen: 

(1)  (?^+^(a:)  =  ö^(^)  +  [(^^-'^)£^  +  ^(c.^)4-^^^-^K«^)]C^(^); 


Kapitel  TV     Intejjrali'  und  Reihen  mit  Cylinderfunktionen,    §  2G  79 


setzt   man    also    q  —  v   für   q  und   y   für  ux,    so   findet    man    durch 
Wiederholung  der  Formel  (1)  die  allgemeinere: 


t  =  ii-i 


*  =  ü        ■ 

wo  also  n  eine  positive  ganze  Zahl  hedeutet. 

Betrachtet  man  nun  die  zwei  Formeln,  die  aus  (2)  entstehen, 
wenn  man  J  und  dann  Y  für  C  einsetzt,  so  liefert  die  allgemeine 
Lommelsche  Fundamentallormel  §  7,  (4)  folgende  allgemeine  Ueduk- 
tionsformel: 


(3) 


y 


«  =  0  ^ 


deren  Form  wegen  der  vier  Variabein  sehr  merkwürdig  ist,  und  aus 
welcher  man  viele  andere  herleiten  kann,  wie  die  folgenden  vier 
Spezialfälle  andeuten  mögen. 

1)  X  =  y,  p  =  V.     Man   findet   hier   die  eigentliche  Reduktions- 
formel: 


(4) 


B-  +  "{x)  =  R'-''''{x)B''{x)  -  R''"-\x)B'-\x)  + 

»  =  n— 1 

-^^•29''-'{x)R^+^'"-*-\x), 


»  =  0 


welche  uns  unmittelbar  erlaubt,  den  in  §  24  erwähnten  Satz  über 
die  Koeffizienten  der  Fourier sehen  Reihenentwicklung  für  das 
Kramp  sehe  Integral  K(x)   zu  beweisen.     Es  handelt  sich   nämlich 

dort  um  die  Bestimmung  von  <t>^'^'^{x),  wo  s  eine  positive  ganze 
Zahl  bedeutet;  erinnert  man  sich  aber  nun,  daß: 

<i>~~(x)  =  i-  0'"'" (x) 
ist,  so  gibt  (4)  mittelst  §  19,  (3a)  die  Rekursionsformel: 


p  =  s—  1 


2e~'*    'V'.    ^P+h'-P-'^ 


(5)  (p*^^{x)=(R-^'\x)-iR^"~\x))(i>\x)-^-^-Zji''I^ 

und  damit  ist  vermöge  §  24,  (11)  der  Satz  vollständig  bewiesen. 


H 


80 


Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 


2)  x  =  <x>.  Die  Definition  §  1,  (2)  für  das  Lommelsche  Polynom 
ergibt  weiter,  daß: 

i?''."(oo)=cos'-^ 

64 


(6) 


sein  muß;  man  findet  also  aus  (3)  folgende  weitere  Formel: 
'B^^-{ij)  =  cos  '^  B^{y)  -  sin  ^  B^-^i^j)  + 


s  =  0 


3)  Setzt  man  in  (3)  v  =  1  und  n  —  \  für  w,  so  findet  man 
den  Satz: 

Bas  allgemeine  Integral  der  nicht  homogenen  linearen  Bifferenzen- 
gleichung: 

(7)  B'^-^x)  +  B-^\x)  =  ^-^B^ix)+lg^ix), 

wo  n  eine  ganze  Zahl  bedeutet,  ivird  durch  die  Funktion: 

B"{x)  =  A{x)B^^''-\x)  -  B{x)B^'^-\x)  + 


(8) 


Ä  =  7J  —  2 

1.   V.^  +  : 


+  i--Z>*'''(^)^""''' 


7?-»-2 


{X) 


«  =  0 


dargestellt,  wo  A{x)  und  B{x)  in  x  willkürliche  Funktionen  bedeuten. 
Betrachtet  man  zum  Beispiel  das  Schläflische  Polynom  S"{x), 
so  hat  man: 

A{x)  =  S\x)=^,      B{x)==S\x)=^0,      ^«(:r)  =  2cos^^; 
also  ergibt  sich  die  Formel: 

s  =  n-2 

(9)  S^{x)=lB''^'-\x)-^^-2sin^'^.R'^^'"-^-\x), 

welche  auch    durch    andere    Methoden,    so    von    Graf^),    gewonnen 
worden  ist.     Auf  ähnliche  Weise  findet  man  die  analoge  Formel: 

a  =  w-2 

(10)  e'^(B"{x)  =  ^R'''''-\x)+^-^i'R'+'''''-'-\x). 

s  =  0 

4)  B^{y)  =  C^{y)-  Der  allgemeine  Satz,  den  wir  in  §  13  be- 
wiesen haben,  läßt  sich  dann  auf  den  so  erhaltenen  Spezialfall  von 
(3)  anwenden;  man  findet  so  die  merkwürdige  Formel: 


1)  Einleitung  in  die  Theorie  der  ßesselschen  Funktionen,  Heft  11,  p.  41 ;  1900. 


Kapitel  IV.    Integrale  und  Reihen  mit  Cylinderfunktionen.    §  27.         81 

»  =  o  ^ 

aus  welcher  man  eine  große  Menge  anderer  herleiten  kann. 

Wir  beschränken  uns  hier  auf  die  beiden  Annahmen  x  =  oo, 
y  =  cx)  und  finden  demnach  für  das  Loni  nie  Ische  Polynom  folgende 
Reduktionsformeln : 

$  =H  -  1 

(12)  2?^"(y)  =  co8*4''  +  |.^(p  +  s+l)co8'^-.i2^  +  '  +  v.-.-i(y), 

3  =  n  —  1 

(13)  R'-{x)  =  co8^"  +  |-2(v-f  s+  1)  sin  '^:fR''{x), 

während  die  Annahme  y  =  —  x  noch  die  weitere  Formel  liefert: 
■ !{'.',» (x)-(-iyR'"{x)  = 


(14) 


3  =  n  —l 


=  - 1-  •2(-  l)''-'(v  +  9  +  2s  +  2)R''*{x)  m  +  '+''"-'-'{x). 


3  =  0 


§  27.     Unbestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

Nach  diesen  allgemeinen  Eröi-terungeu  gehen  wir  nunmehr  zur 
Anwendung  unserer  jö-Funktionen  auf  Cylinderfunktionen  über.  Als 
erste  Anwendung  setzen  wir  in  der  allgemeinen  Formel  §  26,  (1) 
9  =  0,  a  =  1  und  finden  so  für  die  Funktion: 

(1)  G'{x)  =  1-  {R-\x)  C'ix)  -  Rix)C'-\x)) 

die  Formeln: 

(2)  G^{x)==G^'  +  \x)+g^{x)C^'{x), 

.1  =  n 

(3)  G'(x)  =  G'+''+\x)  +^g"+\x)  0'+'{x), 

3=0 

wo  n  eine  positive  ganze  Zahl  bedeuten  muß. 
Setzt  man  nun  voraus,  daß  der  Grenzwert: 

(4)  F'i^x)  =  lim  G'+\x) 

71=  +  00 

existiert  und  eine  bestimmte,  endliche,  in  v  periodische  Funktion 
darstellt,  so  findet  mau  aus  (3),  wenn  man  n  unbegrenzt  wachsen 
läßt,  folgende  Reihenentwicklung  nach  Cylinderfunktionen: 

»=00 

(5)  y  (B'-Hx)  C^'ix)  - B'{x)  C'- \x))  =^(f+>{x)  C'+'(x)  +  F'  (x). 

3  =  0 

Nielsen,  Cylinderfunktionen.  6 


82         Erster  Teil.    Fundaraentaleigenscliaften  der  Cylinderfunktionen. 

Es  leuchtet  ein,  daß  man  in  dieser  Formel  (5)  statt  der  Cylinder 
funktion  eine  willkürliche  Lösung  ihrer  zweiten  Fundamentalgleichung 
setzen  darf,  und  es  ist  dann  möglich,  diese  Lösung  so  zu  wählen, 
daß  die  Funktion  F^'{x)  verschwindet. 

Will  man  umgekehrt  die  Reihe  rechter  Hand  in  (5)  für  eine 
gegebene  Funktion  g^'ix)  summieren,  so  muß  man  die  Differenzen- 
gleichung §  25,  (2)  auflösen,  um  die  Funktion  B  linker  Hand  in 
(5)  zu  bestimmen.  Indessen  ist  es  gegenwärtig  noch  nicht  bekannt, 
unter  welchen  Bedingungen  diese  nicht  homogene  lineare  Differenzen- 
gleichung wirklich  eine  Lösung  hat,  und  wir  können  hier  nicht  auf 
eine  nähere  Untersuchung  dieser  Frage  eingehen. 

Differentiiert  man  aber  die  Funktion  G^{x)  nach  x  und  drückt 
man  mittelst  §  1,  (3),  (4)  und  §  25,  (3),  (4)  die  Differentialquotienten 
der  Funktionen  JB  und  G  so  aus,  daß  man  nur  die  Parameter  v  und 
V  —  1  einführt,  so  findet  man: 

2I>^G'{x)  =  C'-\x)  {p{x)  +  g'\x))  -  C\x)  (f'-Hx)  -  g''-\x)), 

eine  Formel,  welche  sich  mittelst  der  Identität: 

G^-\x)  =  ^C\x)-\-Bß\x) 

auch,  wie  folgt,  schreiben  läßt: 

'^D^G^x)  =  [(^  {p{:x)  +  g^{x))  -  {r-Hx)  -  f-\x)))\  C\x)  + 

-\-{r{x)+g^{x))D^C\x), 
so  daß  die  Formel  §  25,  (6)  endlich: 

2D,G^(x)  =  (o^ix)  C^(x)  +  B,[C\x){r{x)  +  g^{x))) 

gibt,  und  man  so  die  einfache  Formel: 

jco"{x)C\x)dx  = 

=  x{C\x)B'-^  {x)  -  C"  - 1  {x)  B'  {x))  -  [f  {x)  +  f  {x))  C"  (x) 

findet,  wo  die  Integrationskonstante,  die  eine  arbiträre  Funktion 
von  V  sein  muß,  weggelassen  ist. 

Lommel^)  hat  schon  einige  Spezialfälle  der  Formel  (6)  gegeben. 

Will  man  das  Integral  linker  Hand  in  (6)  allein  durch  die 
Funktionen  B  und  C  ausdrücken,  so  kann  man  mittelst  §  25,  (3) 
die    Funktionen   /"  und   g    eliminieren;    wendet    man    außerdem    die 

1)  Mathematisclie  Annalen  Bd.  14;  1879. 


(6) 


Kapitel  IV.    Integrale  und  Reihen  mit  Cylinilerfimktionen     §  28.         83 

zweite  Fundamentalformel  der  Cyliuderfunktioueu  au,  so  erhält  mau 
folgende  Formel: 

(7)       fa^ix)  0(x)dx  -  xC'  +  \x)RXx)  +  xO'{x)D,R{x), 

die  in  etwas  anderer  Form  von  Soniu')  gegeben  worden  ist. 

Nimmt  man  nun  weiter  an,  dnß  die  Formel  (5)  anwendbar  ist, 
so  findet  man  aus  (6)  folgende  Reihenentwickluug  nach  Cyliuder- 
funktionen: 

(S)fei'(x)  C'{x)dx=2F'{x)+2^g^+'(x)  C^+*(x)-(f^{x)+g^ix))  C^{x), 


«  =  0 


eine  Formel,  von  welcher  schon  Lommel-)   einige  Spezialfälle  an- 
gegeben hat. 

Der  Weg,  den  wir  zu  folgen  haben,  um  das  Integral  linker 
Hand  in  (6)  und  (7)  zu  bestimmen,  wenn  die  ra-Funktion  gegeben 
ist,  ist  durch  die  Entwicklungen  des  §  25  bezeichnet. 


§  28.     Herleitung   eines  Integrales   mit   zwei  Cylinderfunktionen. 

Ehe  wir  zu  allgemeineren  Anwendungen  der  im  vorhergehenden 
Paragi-aphen  gefundenen  Formeln  schreiten,  wollen  wir  noch  ein 
spezielles  Integi-al  herleiten,  welches  in  der  Theorie  der  Nullstellen 
einer  Cylinderfunktion  eine  sehr  wichtige  Rolle  spielt  und  gewöhnlich 
nach  anderen  Methoden  dargestellt  wird. 

Zu  diesem  Zwecke  bemerken  wir,  daß  die  Funktion  Ci'^^'ißx), 
wo  Ci  eine  willkürliche  Cylinderfunktion  ist,  während  q  und  ß  end- 
liche Größen  bedeuten,  einem  Gleichungssystem  von  der  Form  §  25, 
(1),  (2)  Genüge  leisten  muß,  in  dem  man: 

rix)  = :. (1  - 1)  D, o'^^m,  <f{x)  -i^-^-v)  o'^^ißx), 

'(x) = ((1  -  ß')  X + ^^+^j:~^)  c^^^ißx) 


o"' 


zu  setzen  hat;  der  Ausdi-uck  für  die  w -Funktion  läßt  sich  am  ein- 
fachsten mittelst  der  Besselschen  Differentialgleichung  herleiten. 
Setzt  man  nun  q  —  v  für  q,  ax  für  x  und  ß  :  a  für  ß,  so  findet 
man  aus  §  27,  (6)  die  speziellere  Formel: 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  30;  1880. 

2)  Mathematische  Annalen  Bd.  16;  1880. 

6* 


84         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

I   f{{a'  -ß')x-  '^-~^)  C^<^{ßx)  C'{ax)  dx  = 

W     j  =ßxC\ax)C^^-\ßx)-axC"-^{ax)C^^(^ßx)- 

l  -{Q-v)C\ax)C^^{ßx), 

die  von  LommeP)  gefunden  worden  ist  und   aus  welcher  wir  eine 
Reihe  anderer  Formeln  herzuleiten  haben: 
1)  Q  =  V]  man  findet: 


(2)      1*^'''  ~  ß')fxC/(ßx)C'{ax)  dx  = 
l  =ßxC'{ax)C^^-H 


^{ßx)  -  axC'-\ax)C^^{ßx), 

eine  Formel,  die  jedoch  für  ß  =  +  a  nicht  anwendbar  ist;  differen- 
tiiert  man  sie  aber  nach  cc  und  setzt  man  noch  ß  =  a,  C^  =  C,  so 
findet  man  ohne  Mühe,  daß: 

(3)    JxC'{ax)C\ax)dx='^{C\ax)G"{ax)  -  C'-\ax)C'^\ax)\ 

sein  muß. 

2)  a  =  ß\  man  findet  hier: 

(4)  (^Q^-v^)j91!^^^^^1^3dx  =  ax(C\ax^C^^-\ax)-C^'^ 

eine  Formel,  die  hinwiederum  für  Q  =  ±v  unbrauchbar  wird. 
Diiferentiiert  man  sie  aber  nach  q  und  setzt  man  dann  q  =  v,  so 
findet  man  mittelst  §  15,  (1)  und  §  11,  (1),  daß 

(5)  .2vJ^^^"''^^''^'''''^dx  =  ax{C^{ax)^,^-\ax)-C'-\ax)^^^{ax))- 

—  2  A  log  o;  —  0*' (« ic)  C/ (a  ;r) 

sein  muß,  so  daß  man  noch  den  Spezialfall  i^  =  0  zu  untersuchen  hat. 

Wendet  man  den  Satz  des  §  15  an,  so  findet  man  folgenden 
neuen  Satz: 

Bas  Integral  UnJcer  Hand  in  (5),  wo  v  eine  positive  ganze  ZaJd 
bedeutet,  läßt  sich  unter  endlicher  Form  durch  Cylinderfimlitionen  und 
elementare  Funktionen  ausdrücken. 

Dies  ist  für  v  =  0  offenbar  nicht  mehr  zutreffend,  weil  die 
dann  notwendige  Differentiation  nach  v  zu  neuen  Funktionen 
führen  muß. 

Wir  kehren  nun  zu  den  Formeln  (2)  und  (3)  zurück,  um  die 
dort  vorkommenden  Integrale  zwischen  den  Grenzen  0  und  1  zu 
berechnen.     Falls  keine  der  Cylinderfunktionen 

1)  Matliematisclie  Annalen  Bd.  14,  p.  523;  1879. 


Kapitel  IV.    Integrale  und  Reihen  mit  Cylinderfunktionen.    §  28.         85 

C\x)  =  a{v)J\x)  +  h{v)  Y\x) 

von  der  ersten  Art  ist,  so  erfordert  die  Konvergenz  des  Integrales 
an  der  unteren  Grenze,  daß  1  >  iK(i')  >  —  1  ist;  ist  dagegen  wenig- 
stens eine  dieser  Funktionen  von  der  ersten  Art,  so  ist  es  hinläng- 
lich, daß  3^(1»)  >  —  1  ist.  Eine  direkte  Ausrechnung  und  eine  ein- 
fache Umformung  der  Formel  (2)  liefert  dann  ohne  Schwierigkeit 
die  andere: 

(a'--ß--)J xC'(ax)CY(ßx)dx  -  a6"  +  '(a)C/(/3)-/3C'(a)Ci'+'(/5) 
(6)1  °        +°^{a(v)b,iv)i-l-)'-a,i,v)b{v){fy')- 

.  -^w^wl^((7)'-(y)"')' 

und  die  Annahme  v  =  0  ergibt  dann  weiter: 


+ 


(7) 


(8) 


(9) 


X 

{a^-ß^)JxC\ax)C^\ßx)dx  =  aC\a)C,\(i)-ßC\a)C^\ß) 

Aus  der  Formel  (3)  findet  man  in  ähnlicher  Weise: 
fxC'Xccx)  C''(ccx)dx  =  ^  {C'io^)  0'{a)  -  C-^cc)  C'  +  \a)\ 

n 

4:va(v)b(v)  2(b{v))  vcosvn 


+ 


nu' 


1 

JxC\ax)C\ccx)dx  =  -i  {{C\a)y-{-  (cK«))') 


Diese  Formeln  werden  uns  in  den  Untersuchungen  über  die 
Nullstellen  der  Cylinderfunktionen  sehr  nützlich  sein;  für  C=C^=  Y 
oder  C  =  J,  C^=  Y  ist  die  Formel  (7)  von  Schafheitlin^)  auf- 
gestellt worden. 

Die  Formel  (6)  läßt  sich  leicht  generalisieren,  indem  man  zu 
wiederholten  Malen  nach  a^  differentiiert  und  die  allgemeine  Diffe- 
rentiationsformel §  10,  (5)  anwendet;  die  so  erhaltene  allgemeine 
Formel  wird  indes  so  lang,  daß  wir  es  vorziehen,  sie  hier  nicht 
niederzuschreiben. 


1)  Archiv  der  Mathematik  und  Physik  (3)  Bd.  1,  p.  135;  1901. 


86  Erster  Teil.    Funclamentaleigenscliaften  der  Cylinderfunktionen. 

Kapitel  Y. 
Die  Lommelsche  Funktion  m?(a;). 

§  29.     Fundamentaleigenseliafteii  von  TT''?(a;). 

Für  die  Anwendung  der  in  §  25  gegebenen  Theorie  ist  es  not- 
wendig zu  bemerken,  daß,  wenn  man  die  gegebene  co-Funktion  mit 
einem  Faktor  multipliziert,  welcher  von  x  unabhängig,  aber  eine 
Funktion  von  v  ist,  die  gesuchte  5- Funktion  offenbar  mit  dem- 
selben Faktor  multipliziert  wird,  so  daß  die  zwei  Fundamental- 
gleichungen, welchen  diese  Funktion  genügen  muß,  gänzlich  ge- 
ändert werden.  Es  ist  also  in  jedem  Falle,  wenn  die  «-Funktion 
gegeben  ist,  eine  Hauptsache,  einen  solchen  Faktor  zu  bestimmen, 
daß  die  Fundamentalgleichungen  die  möglichst  einfache  Form  er- 
halten. 

Nach  diesen  allgemeinen  Bemerkungen  wollen  wir  diejenige 
5-Funktion  suchen,  für  welche  die  zugehörige  co-Funktion  eine 
einzelne  Potenz  von  x  ist;  wenn  der  Exponent  dieser  Potenz  gleich 
^  —  1  angenommen  wird,  wollen  wir  die  einfachste  der  zugehörigen 
jB- Funktionen  mit  W^^(x)  bezeichnen. 

Um  die  bequemste  Form  dieser  ra- Funktion  zu  bestimmen,  be- 
merken wir,  daß: 

(1)      A,.((f)>4^.^(frv(i-/ 

sein  muß,  wo  wir  der  Kürze  halber: 

gesetzt  haben;  nun  veranlaßt  uns  (1)  offenbar,  natürlich: 

2  cos  —  (*■  —  p)  p_i 

(2)  cj"  (x)  =      ^     ,    \ r  (^)        =  aj".?(^) 

zu  setzen,  denn  die  oben  erwähnte  Formel  gibt  daim  unmittelbar: 

so   daß  wir   für    die  TT -Funktion    als    erste  Fundamentaleigenschaft 
finden: 

(3)  n'>?  +  2(;r)  =  T\'^^{^x)^-(o''^-^\x), 


Kapitel  V.    Die  Lomnielsche  Funktion  T]*'^(x).    §  29.  87 

oder,  noch  allgemeiner,  wenn  ii  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet: 

»= 1 

setzt  man  weiterhin   in  dieser  Formel  q  —  2n  für  p,   so  findet  man 
die  analoge  Kednktionsformel: 

(5)  W'^-^\x)  =  W'<i{x)-  ^  •^cD'.('-2'(a;), 

80  daß  man,  weuu  n  eine  ganze  Zahl  bedeutet,   immer  eine  Formel 
von  folgender  Form  findet: 

(6)  7T'''?  +  2''(a;)  =  rT'.C'(x-)  +  vl'''C-"(a:), 

wo  die  ^-Funktion   eine   endliche  Reihe  bedeutet,  welche  man  un- 
mittelbar aus  (4)  und  (5)  bilden  kann. 

Die  Formel  (4j  erlaubt  uns  noch,  den  expliziten  Ausdruck  für 
TT'''?(a:)  zu  finden;  um  ihn  zu  gewinnen,  braucht  man  nämlich  nur 
die  positive  ganze  Zahl  n  über  alle  Grenzen  hinaus  wachsen  zu  lassen; 
die  dadurch  erhaltene  unendliche  Reihe  rechter  Hand  wird  für  alle 
endliclien  Werte  von  x,  v  und  q,  vielleicht  nur  x  =  0  ausgeschlossen, 
unbedingt  konvergent,  und  wir  finden  somit: 

(7)    mn^)  =  cos  f  (.  - ,)  -^  ^,  '""/,-. V , 

denn    diese  Funktion    muß    offenbar    gegen    die   Null    konvergieren, 
wenn  ^{q)  unbegrenzt  wächst  und  positiv  ist. 

Um  nun  die  zugehörigen  Funktionen  f  und  g  zu  bestimmen, 
berechnet  man  die  Ausdrücke  rechter  Hand  in  den  Formeln  (11) 
und  (12)  des  §  25  und  findet  dann  als  partikuläre  Integi-ale  dieser 
Differentialgleichungen  die  Funktionen: 

(8)  -^  (f^{x)-g''{x)^  =  W^^^^-\x)  -  n''  +  ^>c(^), 

(8a)  ^  {f'{x)  +  g'ix))  =  n»-i'?(a:)  -  W-^^^-\x), 

so  daß    die  Fundamentalformeln  §  25,  (1),  (2),   wenn   man  vorerst 
noch  p  +  1  für  q  gesetzt  hat,  hier  ergeben: 

(9)  n"-i'C(a;)  -  n"  +  ^'?(;z;)  =  2DJ\''^^^(x), 
(9a)  W-^'^{x)  +  T\'  +  ^'Q{x)  =  —  mP+i(a;); 

denn  diese   Formeln  zeigen  deutlich,    daß    die   Ausdrücke  (8),  (8  a) 


88         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

nicht    durch    Hinzufügung    gewisser    Cylinderfunktionen    modifiziert 
werden  dürfen. 

Setzt  man  nunmehr  in  (9),  (9  a)   noch  einmal  ()  +  1  für  q,  so 
findet  man  mittels  (3)  folgende  weiteren  Fundamentalgleichungen: 

(10)  W-'''<^  +  \x)  -  W  +  ''Q  +  \x)  =  2D^W'<^{x)  +  ^  a)'''Q  +  \x), 
10a)    W-''Q  +  \x)  +  -n'+''^  +  \x)  =  ^n-?(a;)  +  |J  (o'''Q  +  \xy, 

führt  man  nun  noch  die  Funktion: 

(11)  ^"'Q(x)  =  W'^(x)  +  W'<^  +  \x) 

ein,  so  findet  man  für  dieselbe   aus  (9)  und  (10)   folgende  einfache 
Fundamentalformeln  von  derselben  Form  wie  (1)  und  (2)  in  §  25: 

(12)  Y*-i.c(a;)  -  Y'^  +  i'?(^)  =  2D^Y''?(;r)  -\-  |f  (o'''^  +  \x), 

(12a)        V^-i'K^)  +  T'^''<^(x)  =  ^  Y".?(^)  +  ^  cö''.?  +  X4 

Weiter  ist  zu  bemerken,  daß  die  Funktion  TT'>"  +  ^(ä;)  Formeln 
von  derselben  Form  wie  (12)  genügt;  man  findet  nämlich  aus  (9) 
mit  Zuhilfenahme  von  (3),  daß: 

=  2D^n''^+?(:r)  --  ö»'  +  i' '■  +  ?  +  ! (a:;), 


(13) 


(13a) 


TT"-i."  +  c-i(;r)  +  W  +  ^''+^  +  \x)  = 

=  ^J^  T]'''+Q{x)  +  -  a3^  +  i.^+?  +  i(a;) 


sein  muß. 

Die  Funktion  TT''^(:r)  ist,  von  einem  von  x  unabhängigen  Faktor 
abgesehen,  von  LommeP)  eingeführt  worden;  man  findet  nämlich 
mit  der  Lo  mm  eischen  Bezeichnung: 


cos  Y  (f  —  e) 


nun  ist  es  aber  offenbar,  daß  dieser  von  x  unabhängige  Faktor  den 
Fundamentalformeln  unserer  Fimktion  ihre  einfache  Gestalt  ver- 
liehen hat;  es  ist  daher  auch  nicht  zu  verwundern,  wenn  Lommel 
diese  Formeln  nicht  gekannt  hat. 

1)  Mathematische  Annalen  Bd.  9,  p.  435;  1876. 


Kapitel  V.    Die  LommeUche  Funktion  n*''P(x).    §30.  89 

§  30.     Spezialfälle  der  Lommelschon  Funktion. 

Es  ist  offenbar,  daß  TT'''t'(a:)  eine  große  Monge  der  früher  be- 
trachteten Funktionen  als  Spezialfälle  i'iitlialtcn  muß,  von  denen  wir 
hier  die  wichtigsten  mitteilen  wollen. 

1)  ()=  +  v  — 2m,  wo  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet; 
man  findet: 

(1)  W''-^"{x)  =  J'(x),       W'-*-^"{x)  =  cosv7t-J-''(xy, 

wenn  nämlich  n  größer  als  Null  vorausgesetzt  wird,   verschwinden 
die  n  ersten  Terme  der  Reihe  §  29,  (7)  vermöge  der  Gaminatunktion 
im  Nenner,  und  für  )i  ==  0  sind  die  beiden  Formeln  einleuchtend. 
Weiter  findet  man  aus  §  29,  (6): 

I  n'''+-''(^)  =  J'(ic)  -  Ä''"{x), 
^^^  \  n- ■  -  '■  +  2 " (a:)  =  cos  V :r  ( J-  '•  (a;)  -  Ä' '> " (x)) , 

wo  wir  der  Kürze  halber: 

(3)  Ä-.'(x)=-^   .,r(.V»  +  i) 

4=0 

gesetzt   haben,   so   daß   diese  ^.-Funktion  nichts  anderes  ist  als  die 
Summe  der  n  ersten  Terme  der  Reihenentwicklung  für  J^ix). 

2)  9  =  0,  ()  =  1;  man  findet  hier  die  Funktionen  von  Poisson 
und  Anger,  nämlich: 

(4)  n'  ■  0  {x)  =  W  {x) ,      n»'  1  {x)  =  X"  {x). 

3)  Q  =  2n  -\-l  +  v,  wo  n  eine  ganze  Zahl  bedeutet;  man  findet 
zunächst: 

(5)  W^'^-''{x)  =  ^mv%- Z-^ix), 

während  man  allgemeiner  folgende  neue  Funktion  einführt: 

(6)  TT'>2«  +  i-*'(a;)  =  sin  V7t  ■  Z-^'"(x). 

Für  Q  =  2n  -^  1  -{-  V  verschwindet  die  Funktion  TT'''<?(a:)  immer;  da- 
gegen findet  man: 

und  allgemeiner: 

(8)  _  A  (D^n*.?(^))„.,^,„^,  =  z^'"{x). 

Für  die  Funktion  Z''"{x)  findet  man  aus  §  29,  (2)   die  Differential- 
gleichung: 

(9)  ;/<')  +  |y)  +  (l-g)y-r(„^.)%'>;„  +  ^)(f  )"'•"'■ 


90         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

4)  Um  auch  Verallgemeinerungen  der  Neumann  sehen  Cylinder- 
funktion  zu  finden,  setzen  wir  der  Kürze  halber: 

(10)        L\x)  =  2  (2),n''^(:r))^_,     2  {D,T\^'^{x)\^^  =  m{x) 

und  allgemeiner,  wenn  n  eine  positive,  ganze  Zahl  bedeutet: 

so  daß  wir  ohne  Schwierigkeit  finden: 

(12)  L\x)^2J^\x)\o^^-^-^^^^-j^^ 

s  =  0 

(13)  ^'W  — ;f  iTrti.  +  i)  fr(^  +  ^+l)-'^G-  +  l)). 

4  =  0 

und  noch  allgemeiner  mittels  (f^)  und  §  29,  (5): 

(14)  D>"(x)  =  L''{x)  — P'-'^^ix),      N'''"{x)  =  N'Xx)i- P''"(x), 
wo  wir  der  Kürze  halber: 

gesetzt  haben,  und  erhalten  somit  folgende  elegante  Formel: 

(16)  L'''''(x)  +  N^'^'ix)  =  2B^J"{x), 

während  wir  für  L^'"(x)  und  N^''"(x)  die  Difi'erentialgleichungen: 

(18)     2/«  +  ij/"'  +  (l-ä)!/  =  S-'''W-r(f"^(C 

gewinnen,  die  mit  (16)  in  Einklang  stehen. 

Bezeichnet  n  immer  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl,  so  findet 
man  weiter,  daß: 

(19)  2  (l>pTT'''?(3;))p^_,,_2„  =  7t  sin  V7t  •  J-'  (x)  +  cos  v:t  ■  X-»''"(a;), 

(20)  2ll)^,T\''('(x))^^_^^,„=-7tsmQ7r-J-Q{x)  +  cosQ^-N-^  +  ^'''''{x) 

sein  muß. 

Die  erste  Formel  (14)  zeigt  deutlich,  daß  L^''"(x)  wirklich  eine 
Verallgemeinerung  der  Neumannschen  Cylinderfunktion  darstellt; 
setzt  man  nämlich  speziell  v  =  p,  wo  p  eine  ganze  Zahl  bedeutet, 
so  findet  man: 


1'-  2w-2 


Kapitel  V.    Die  Lommelbche  Funktion  n''''(xj.    §  31.  91 

(21)  L'''''(x)  =  7c-YP{x),     p^n, 

während  man  für  p'>n  die  andere  Formel: 

(22)       £-(.)  =  , .  r  (X)  rf '  '-^^^jp^  (.;)'"  ^ 

findet,  aus  der  sich  folgende  bemerkenswerte  Spezialfälle  ergeben: 

(23)  L'"^\x)=7i-Y-''{x)  +  S"'(x),  IJ"+''''{x)=n'Y'"+\x)-^S-"+'{x), 

wo  *S'  das  in  §  3,  (10)  definierte  Schlüflische  Polynom  bedeutet, 
während  man  für  das  damit  nahe  verwandte  Polynom  von  Neumann^): 

(24)        o"w="'f^^^-^^(iy-='^' 

die  ähnlichen  Ausdrücke: 

(25)  2x 

findet. 

Weiter  erhält  man: 

(26)  N^''  +  ^'"(x)  =  -  T^"  +  \x),      N^'''"(x)  =  -  ^'"{x), 

und  somit  gibt  (16)  in  Verbindung  mit  (23)  und  (26)  die  in  §  3 
mitgeteilte  Formel  (16)  für  die  Neumannsche  Cylinderfunktion,  so 
daß  wir  für  diese  Teilung  des  Ausdruckes  von  Y"(x)  eine  natürliche 
Begiiindung  gegeben  haben. 

§  31.     Die  Differentialgleichung  für  n''"(a;). 

Untersuchungen  mathematischer  und  physikalischer  Art  führen 
bisweilen  zu  der  nicht  homogenen  linearen  Differentialgleichung: 

(1)  y^''i-^y^'^  +  {^-pjy  =  ^''-\ 

so  daß  es  uns  nicht  unangemessen  erscheint,  die  verschiedenen  Formen 
eines   partikulären  Integrales  33'' ^(a;)   dieser  Gleichung  mittelst    der 
im  vorigen  Paragraphen  gegebenen  Formeln  zu  diskutieren. 
Im  allgemeinen  findet  man  ja: 

(2)  93^'?(a:)  =     ^        ^    ^ W'^(x), 

cos  Y  (v  —  e) 


1)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen,  p.  13;  1867. 


92         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

ein  Ausdruck,  welcher  indessen  in  den  folgenden  Spezialfällen  zu 
modifizieren  ist. 

1)  Q  =  +  v  -\-  2n,  wo  n  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet;  die 
Formeln  §  30,  (2)  geben  hier: 

(3)  S3»''±''+2«(:i;)  =  (-l)«-i(w-l)!r(±v  +  w)2+»'  +  2'»-2.^±v.«(^>)^ 

ein  Ausdruck,  der  immer,  auch  wenn  +v-\-n  Null  oder  negativ 
ganz  ist,  anwendbar  bleibt. 

2)()  =  +  v  +  2w-fl,  wo  n  eine  ganze  Zahl  bedeutet;  hier 
gibt  §  30,  (9)  unmittelbar: 

(4)  93''±"+2«  +  i(;r)  =  (-l)"r(w+|)  r(+i^  +  j«  +  i)2±''+2«-i-Z±»'"(:r), 

wo  indessen  +  v  +  w  +  ^-  nicht  gleich  Null  oder  einer  ganzen  nega- 
tiven Zahl  sein  darf,  ein  Spezialfall,  der  sich  ohne  Mühe  nach  3) 
behandeln  läßt. 

3)  ()  =  +  V  —  2w,  wo  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  be- 
deutet; man  findet  hier  mittelst  §  30,  (17)  den  allgemeinen  Ausdruck: 

(6)  «'■±'-"'(.^)-if||4^^-i±-W 

und  hieraus  den  oben  erwähnten  Spezialfall  von  (4),  wenn  man 
+  1^  +  ^  +  4=  — P  setzt.  Wenn  dagegen  -^v  —  n  =  — p,  wo  ^ 
eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet,  muß  man  die  Formel  (5) 
noch  modifizieren. 

4)  ±_v  —  n  =  —  p.  Differentiiert  man  die  Differentialgleichung 
§  30,  (17)  nach  v  und  setzt  man  darauf  -^v  —  n  =  —  p,  so  findet 
man  vermöge  §  30,  (21): 

(6)      «"-^'— ^(^■)  =  ^^7^;^SrT  •  (A-i"'"(^)-^.i^^(^)).=„-p. 

Hiermit  ist  die  Diskussion  des  oben  erwähnten  partikulären  Integrales 
SQi^'^{oo)  vollständig  durchgeführt;  man  kennt  also  immer  das  voll- 
ständige Integral  der  Differentialgleichung  (1). 

Wir  bemerken  noch,  daß  die  Lomraelsche  Funktion  uns  er- 
laubt, folgende  allgemeinere  Differentialgleichung  mittels  einer  un- 
endlichen Reihe  zu  integrieren: 

(T)      2'-+ij/<'>+(i-^:)j'=(ir^l\(i)' 

wo  die  Koeffizienten  a^  von  x  unabhängig  sind. 

Es  ist  nämlich  leicht  zu  sehen,  daß  stets  die  asymptotische 
Gleichheit  statthaben  muß: 


Kapitel  V.    Die  Lommelache  Funktion  TT'- ^(x).    §  ai.  93 

cos  -^  [v  —  Q  —  s\ 

wo  s  eine  sehr  große  positive  Zahl  bedeutet,  und  also  ist  es  oifen- 
bar,  daß  ein  partikuläres  Integral  von  (7)  sich  durch  folgende  un- 
endliche Reihe  darstellen  läßt: 

(9)  y^^     ^       \/    ^       \      ^  •  «.  •  n^^^'Co:) . 

,  =  0  cos  —  (v  —  p  —  sj 

Denn  erstens  ist  es  offenbar,  daß  diese  Reihe  und  die  zwei 
anderen,  die  man  daraus  durch  ein-  oder  zweimalige  Differentiation 
nach  X  herleitet,  alle  im  Inneren  des  Konvergenzkreises  der  Reihe 
rechter  Hand  in  (7)  konvergieren  müssen,  und  zweitens  genügt  die 
Reihe  (9)  formell  der  Differentialgleichung  (7). 

In  den  im  Anfange  dieses  Paragraphen  betrachteten  Spezialfällen 
muß  auch  (9)  modifiziert  werden;  hierauf  gehen  wir  jedoch  nicht 
näher  ein,  sondern  betrachten  den  Fall,  in  welchem  «2*  +  !  "=  ^  ^^^ 
und  die  unendliche  Reihe: 

(10)       Fi.,  ,)  =  f  ^--"L .  r (4^  + .)  r  (^  + .) «,. 

7^  cos  -^[v  —  QJ 

konvergiert,  und  finden  dann  aus  (9)  und  §  29,  (6)  für  unser  Integral 
den  Ausdruck: 


(11) 


(y  =  F(v,  q)W'9{x)-\- 


TT     C08 


das  heißt  also,  daß  sich  y,  von  der  einzigen  TT -Funktion  abgesehen, 
in  einer  Reihe  entwickeln  läßt,  die  nach  den  ^-Funktionen  fort- 
schreitet. 

Setzt  man  zum  Beispiel: 


2, 


(ir2^«4i)=a)  •"-(-)' 


»  =  0 

so  findet  man  leicht  folgende  Entwicklung: 


94         Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 


(12)^  =  j(^(4')-^(^)V'^(-) 


V 


A''^'\x) 


wo  M^  die  G au ß sehe  Funktion  bedeutet. 

Wir  haben  noch  später  (in  §  39)  eine  andere  spezielle  Ent- 
wicklung dieser  Art  zu  geben,  während  wir  in  §  115  die  Differential- 
gleichung (7)  von  einem  anderen  Gesichtspunkte  aus  betrachten 
wollen. 


§  32.     Elementare  Integraldarstellungen  von  TT*''?(a;). 

Das  erste  Eulersche  Integi-al  ermöglicht  uns,  sehr  leicht  ele- 
mentare Integraldarstellungen  der  Lomm eischen  Funktion  zu  finden; 
wendet  man  in  der  Tat  die  Formel  (r^g)  an,  so  bekommt  man  durch 
gliedweise  Intesration  unmittelbar  die  Formel: 


(1)  f^  •  r^"(^  cos  9') 


(sin  qp) 


2ß-l 


-^'iv^f 


<-)'(!) 


a+2« 


(cosg))"-^      '       ;-^  i(s  +  «+l)r(s-f  ß  +  1)' 


wo  9fi(/3)  >  0  vorausgesetzt  werden  muß;  setzt  man  aber  in  (1): 


a  = 


Q  +  V 


,        ß  = 


Q-\-V 


2      '      f  2      ' 

so  findet  man  folgende  erste  Integraldarstellung  der  TT -Funktion: 


(2) 


2  cos 


T[''(^(x) 


y(^-^) 


m 


(f) 


Tt 


(sin  qj) 


?  +  »'-! 


•J'j  '    (a;cosg))  ^^^_^ 

0  (cos  qp) 


Ili^SP; 


WO  also  Ü?  (()  +  1^)  >  0  vorausgesetzt  werden  muß. 

Setzt  man  speziell  q  =  v  —  2w,  wo  w  eine  ganze,  nicht  negative 
Zahl  bedeutet,  so  erhält  man  die  einfache  Formel: 


(3) 


(f) 


n 

2 


2v-2«-l 


die  sich  in  eleganterer  Form  darbietet,  wenn  man  w  =  0  oder  v  =  m  -f  1 


Kapitel  V.    Die  Lommelsche  Funktion  TT'''^(a;).    §  32. 


95 


setzt;  die  andere  Annahme  p  =  —  v  —  2w  gibt  eine  Formel, 
welche  man  ans  (ii)  herleitet,  indem  man  nnr  das  Zeichen  von  v 
ändert. 

Führt  man  noch  in  (3)  statt  J  das  zweite  Besselsche  Integi-al 
§  18,  (1)  ein,  so  findet  man   für  TT  das   Doppelintef^ral: 


« 


n''P(3-)  = 


7t      n 
2        2 


•    /     1    cos  (a;  cos  qp  cos  1^)  (sin  !/')?  +  '■"*  cos  i^  (sin  9))?±*'(^j/>fZ  9?, 


0      u 


wo  man  also  voraussetzen  muß,  daß: 

9t(,o  +  i.)>0,    g?(p  +  v)>_i 

ist.  Das  Doppeliutegi-al  (4)  führt  uns  leicht  zu  dem  Integi-ale  §  18, 
(10)  für  Z*'(x)',  dagegen  scheint  es  weit  schwieriger,  die  Integrale 
in  §  17,  (12),  (13)  für  T]'(x)  und  X''{x)  aus  (4)  herzuleiten. 

Es  ist  sehr  bemerkenswert,  daß  genau  dieselbe  Methode  mittels 
§  18,  (11)  folgende  andere  Integraldarstelluug: 


2  sin  —  Iv  —  q\ 


2 


m 


(5) 


2        Q+V 


■  fz-^(.co.^).(^^'p->ll';_la^, 


(cos  qp) 

gibt,    wo  man  ebenfalls   9fl  (()  q:  v)  >  0  voraussetzen  muß.     Ebenso 
findet  man  die  mit  (3)  analoge  Formel: 


(6) 


(I)' 


7t 

"2 


Z''  (x)  =  "ffY  •    I  Z^(x  cos  cp)  (sin  qo)^ ''  ~  ^  cos  (p  dcp , 

^  iy)  >  0, 


während  die  Integraldarstelluug  §  18,  (10)  das  zu  (4)  ganz  analoge 
Doppelintegral  liefert: 


96 


Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 


l  4  sin  ^  (i;  -  p)  .  (y) 


(7) 


r(^±i^)r(4^) 


2       2 


•    1    /  siii(a:cos9)  cos?/')(sin9)?±''(sin^)^-'  +  ''~^cos^c?95f/^, 
0    6 
welches  unter  denselben  Bedingungen  anwendbar  ist. 

Diese  Integraldarstellungen  für  die  Lomme Ische  Funktion 
werden  uns  später  in  Kapitel  XXV  bei  unseren  Untersuchungen 
über  Nullentwicklungen  sehr  nützlich  sein. 

§  33.     Anwendungen  von  W^'^{x)  auf  Reihen  und  Integrale. 

Die  Lommelsche  Funktion  gestattet,  wie  deutlich  aus  §  29, 
(12  a),  (13  a)  hervorgeht,  zwei  verschiedene  Reihenentwicklungen 
nach  Cylinderfunktionen  zu  bilden.  Gehen  wir  nämlich  von  (12  a) 
aus,  so  finden  wir  nach  einer  Anwendung  von  {T^  folgende  Ent- 
wicklung: 


(1) 


sjn,,^)  .  ^"(_  j^ 


4  =  0 


=  (4)       (Y''^(^)^"- '(^)  -  Y"- ''^(:r) /"(a;)), 


die  in   der   ganzen  a;- Ebene  gültig  ist,  während  die  entsprechenden 
Reihen  mit  anderen  Cylinderfunktionen  divergieren  müssen. 

Ändert  man  nun  in  (1)  das  Zeichen  von  x  und  multipliziert 
man  mit  e^^\  so  findet  man  durch  Addition  und  Subtraktion  dieser 
Gleichungen  die  weiteren  Entwicklungen: 


(2) 


Bin  n{v  —  q)      •sr\        '       ^     \     2    )     j^  +  2* /^\ 

(-|)'"'(n'.i'(ä:)  j'-'(x)  -  n'-'.f+'(^)J'(«)), 
(.  +  2.  +  i)r(?::=|+i+.) 


(3) 


sin  TT  (f  —  p)      •^^ 

«  =  0 


(L±l+i+.) 


\x) 


(^    ^{^'-^^^{x)J'{x)  -  W'^'^\x)J'-\x^  , 


Kapitel  V.    Die  Lommelsche  Funktion  TT'''P(x).    §  33. 


97 


die  ebenfalls  in  der  gjinzen  a-Ebene  gültig  sind.  Für  (j  =  0  nehmen 
diese  Formeln  beide  eine  sehr  einlache  Gestalt  an.  Setzt  man  noch 
Q  =  —  V,  so  gibt  (2)  mittelst  §  30,  ( 1)  und  der  Lom meischen  Funda- 
mentallormel  §  7,  (5)  folgende  Entwicklung: 


w 


»  =  0 


die  wir  später  in  §  108  nach  einer  anderen  Methode  herleiten 
wollen;  bemerkt  man,  daß  sich  für  v  =  0  das  erste  Glied  rechter 
Hand  in  (4)  auf  J^{x)  reduzieren  muß,  so  findet  man  aus  (4)  die 
Formel  §  22,  (5)  wieder. 

Geht  man  dagegen  von  §  29,  (13a)  aus,  so  findet  man,  wenn 
man  noch  q  —  v  l'ür  q  setzt,  die  andere  zu  (2)  und  (3)  analoge 
Entwickluns: 


(5) 


J         {X) 


die    gleichfalls    in    der    ganzen    a;-Ebene   gültig   ist.     Die   Annahme 
Q  =  —  V  gibt  hier  die  mit  (4)  analoge  Entwicklung : 


(6) 


(f)"         ^"(1)' 


r{v-^l)~  ^    \l     '  '^"^'(^); 


die  wir  ebenfalls   nach    einer  anderen  Methode  in    §  104    herleiten 
werden. 

Für  das  entsprechende  Integral  findet  man  aus  §  29,  (8  a)  und 
§  27,  (6)  den  Ausdruck: 


O) 


2  C03~—lv  —  q\  o_i 


dx 


=  X  (C\x)T\'-''^'^-\x)  -  C'-\x)W^^{x)) 
und  somit  aus  (5)  die  Entwicklung: 

(8)        1      ^/.n«-^.,.^.,^.    '-v  K^) 


f*\x) 


t-^+.+o' 


setzt  man  weiterhin  in  (7)   9  +  1   für   p,   so  liefert  (3)  die  andere 
Entwicklung : 

Nielsen,  Cyliaderfunktionen.  7 


98  Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

fV—Q-\-l) 


(9) 


Indem  wir  vorläufig  von  den  Fällen  absehen,  in  denen  die 
vorhergehenden  allgemeinen  Formeln  durch  eine  Difi"erentiation  nach 
Q  oder  V  modifiziert  werden,  wollen  wir  einen  eigentümhchen  Satz 
über  die  dort  vorkommenden  unendlichen  Reihen  und  unbestimmten 
Integrale  beweisen.  Zu  diesem  Zwecke  betrachten  wir  zuerst  die 
Reihe    (2)    und    setzen   der  Kürze   halber  die   Summe  dieser  Reihe 

gleich   (—]  (?'''? (o;);  dann  gibt  §  29,  (6)  unmittelbar  die  Identität: 

(10)  (j''.?  +  2"(:r)=y(j^-i(a;)^^'?'''(a;)-J'(a;)J.'-i'?  +  ^>''(a;)W(?'''?(:r), 

wo  n  eine  ganze  Zahl  bedeutet;  ähnliche  Formeln  gelten  offenbar 
für  die  Reihen  (3),  (5)  und  für  das  Integral  (7). 

Für  Q  =  0  hat  Lommel^)  die  Formel  (10)  auf  ganz  andere 
Weise  hergeleitet. 

Weiter  finden  wir,  daß,  wenn  q  =  +  v  -}-  2n  ist,  wo  n  eine 
positive  ganze  Zahl  bedeutet,  das  Integi-al  (7)  und  die  Reihensummen 
(2)  und  (5)  sich  unter  endlicher  Form  durch  Cylinderfunktionen 
ausdrücken  lassen. 

Für  ()  =  0  ergibt  (9)  die  elegante  Formel: 

(11)  /  J'{x)dx  =  2-y^J'  +  ''+\x), 

die  ebenfalls  LommeP)  angehört.  Setzt  man  in  (11)  v  =  ±^^,  so 
findet  mau  folgende  Entwicklungen  für  die  zwei  Fr esn eischen 
IntegTale: 

(12)  F,{Y^)=Y\.^J^'^H^), 

s=Q 

«=00 

(13)  F,{Vx)^y^-2j^^^Hx), 


«  =  0 


1)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen,  p.  37;  1868. 

2)  loc.  cit.  p.  45. 


Kapitel  V.    Die  Lommelsche  Funktion  TT^'^Cx).    §  33.  99 

die   ebenfalls   vou  LorameP)   gefunden    worden    sind;    für  dieselben 
Transcendenten  findet  man  aus  (8)  folgende  Entwicklungen: 

(15)      ^(v^)=yig/^^''z;a>- 

Für  den  Integralsinus  findet  mau  aus  (8)  und  (9),  indem  man 
V  =  \,  beziehentlich  ()  =  ±  i^  einsetzt,  folgende  Entwicklungen: 

(16)  s,{x)  -  yi  ■  2^  i-jr^'' (,! + .)  j-^ '  (^) , 


j  =  0 


Um  die  entsprechenden  Formeln  für  den  Integralcosinus  zu  finden, 
differentiieren  wir  die  Formeln  (8),  (9)  nach  p  und  setzen  darnach 
V  =  —  ^,  beziehentlich  Q  =  ±^,  so  daß  (4)  und  (6)  leicht  ergeben: 

(18)   c,(x)  =  log  .  -  }/| .  Jf"!^  (I)"  V-i  w, 


«=0 

»  =  00 


(19)     C,(x)  =  log  .  -  l/|  •  2" '''+^^^'^  +  "  f  («  +  1)«^"'  ^  (-)  • 

»  =  0 

Wenn  ()  =  v  —  2w,  wo  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  be- 
deutet, so  muß  man  zuerst  die  Formeln  (7)  und  (2)  nach  q  diffe- 
rentiieren, ehe  man  den  obenerwähnten  speziellen  Wert  einführt; 
dadurch  findet  man: 

-i-J     V{v-\-s  —  n-\-l)  ^  ^ 


(21) 


s  =  0 
2  \v-2n-  1 


_  [L^j'     "      (j'^-i(a;)Z"'«(Ä;)  -  J^'{x)L'-^^\x)) 


Setzt  man  nun  weiter  in  (20)  v  =  2n  -\-  1 ,  v  =  2n  -{-  2 ,  so  findet 
man  aus  §  30,  (23)  und  (24)  und  mit  Zuhilfenahme  der  Lom mei- 
schen Fundamentalformel: 


1)  Abhandlungen  der  Leipziger  Akademie  Bd.  15,  p.  507;  1886. 

7* 


100        Erster  Teil.    Fundaraentaleigenscliafteu  der  Cylinderfiinktioneu. 

(22)  fc'-''+\x)dx  =  y  (C2«(a;)52«+i(a;)  -  C''^  +  \x)S^\x)) , 

(23)  \JxC'^{x)dx  =  ^[^^C^'^-\x)0'\x)-^^0'^-\xW^{x)), 

wobei  wir  in   der   letzten  Formel  n  —  1    für  n   gesetzt   haben;   die 
Formel  (23)  ist  von  LommeP)  gefunden  worden. 
Für  V  =  2n  gibt  (21)  auf  dieselbe  Weise: 

2-^X'^  +  '-\x)  =  y  (r-''  +  \x)S^\x)  -  T^''{x)S''''^\x))  +  1; 

s=  1 

wendet  man  nun  die  durch  (4)  gegebene  Entwicklung  für  die  Ein- 
heit an,  so  findet  man  für  den  Ausdruck  linker  Hand  eine  endliche 
Reihe,  so  daß  man  also  hier  vermöge  des  Satzes  in  §  13  für  J  eine 
willkürliche  Cylinderfunktion  einführen  darf;  beachtet  man  noch  die 

Identität:  C'^x)  ^  {- \yC-{x), 

so  findet  man  endlich  folgende  bemerkenswerte  Formel: 

(24)         ^  (C'"{x)S'"  +  \x)  -  C'^+\x)S'''{x))  =  2  C\x). 


=-2« 


§  34.     Anwendung  auf  die  Funktionen  li  e  ^,  C^{x)  und  S-(x), 

K{x),  F^ix)  und  F,{x). 

Die  allgemeine  Integralformel  §  (33),  (7)  erlaubt  uns,  speziellere 
Entwicklungen  zu  geben,  durch  die  wir  unmittelbar  einige  elemen- 
tare  Integrale  imd  neue  Darstellungen  der  schon  in  §  24  betrach- 
teten Transcendenten  bestimmen  wollen.  Um  diese  Formeln  in 
möglichst  einfacher  Gestalt  zu  geben,  führen  wir  folgende  VeraU- 
gemeinerungeu  der  trigonometrischen  und  der  Exponentialfunktion  ein: 


(1) 


«"C^)  =  ,^    r(i;  +  s  4-  1)  ^ 


so  daß  wir  unmittelbar  finden: 

(2)  y^ipc)  =  cos  X,     G^{x)  =  sin  x,     s^{x)  =  e^-, 

übrigens  erhalten  wir  für  die  Funktionen  (1)  folgende  Fundamental- 
formeln: 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  9,  p.  442;  1876. 


Kapitel  V.    Die  Lommelsche  Funktion  TT''"(.r).    §  34.  101 

(3)      6*  (x)  =  i-  ^  (f  (ix)  -  i<r(ia^)  =  /-  (y  (-  ix)  +  ia^ (-  ix))  , 


.»-1 


-v-l 


(4)    /),/(x)  =  ^-(r(x),  D^6^(x)=^r{x),  D^a^(x)  =  ''^^^+s^{x), 

welche  iminittelbar  die  bekannten  Eigenschaften  der  entsprechenden 
elementaren  Funktionen  geben,  wenn  man  nur  v  =  0  setzt.  Weiter 
bemerken  wir,  daß  die  Formel  §  29,  (7)  folgende  Identitäten  liefert: 


(5) 


wir  erhalten  also  aus  §  33,  (7)  folgende  elementare  Integralformeln: 

(6)  =-T-T  •  I  u;'-^  cos  xdx  =  cos  a;  •  y''(x)  +  sin  o;  •  g''{x), 

(7)  ^rj-r  •  I  X' ~^  s'm  X dx  =  ßia  X  •  y" (x)  —  cosa:  •  6''{x), 

(8)  ^- I  x'-^e-''dx  =  e-'' ■  s'(x). 

Für  V  gleich  einer  positiven  ganzen  Zahl  findet  man  hieraus 
drei  bekannte  Integralformeln,  während  die  Annahme  v  =  ^  wieder 
die  Formeln  §  24,  (13),  (14)  gibt.  Führt  man  dagegen  die  Reihen- 
entwicklungen (1)  ein  imd  setzt  man  noch  x^  für  x,  so  erhält  man 
folgende  neue  Darstellungen  für  die  Integrale  von  Kramp  und 
Fresnel: 


(9) 


K(x)=e- 


2'x"+'- 


2L  1.3.5..(2s+1) 


«  =  o 


(10) 


F,  ix)  =  cos  (X^)  -2  /.3.5..(4.+  l)  + 

3=0 


(4S  +  1) 

Ä  =  OD 

+  Sin  (x^)  .^  t 


3-5--(4s-f3y' 


s  =  0 


(11) 


F,  ix)  =  sin  (x^)  -2  1^3.5. .(4.  +  !) 


-  cos  (x')  '2  TTf: 


5  •  •  (4s  +  3)  ' 


s  =  0 


von  denen   die   erste  neu  zu  sein  scheint,   während  die  zwei  letzten 


102        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 


niclits  anderes  sind  als  die  bekannten  Reilien  von  Knochenliauer^); 
die  drei  letzten  Formeln  stehen  mit  der  Identität: 

im  Einklänge. 

Wenn  v  einer  ganzen,  nicht  positiven  Zahl  gleich  ist,  so  werden 
die  Formeln  (6),  (7),  (8)  unbrauchbar,  so  daß  sie  zuerst  nach  v 
differentiiert  werden  müssen.  Auf  diese  Weise  findet  man  für  v  =  0 
folgende  Darstellungen: 


(13) 


Ol 

S,{x)  =  oosx-2^-=^^X{2s+l) 


(14) 


s  =  l  ^      '' 

S  =  00 

C,{x)  =  C+  log :r  -  sin ^ -^  \^I^7)x    ^ (^^  +  1) 


s  =  l 


—  cosä; 


■2 

s  =  l 


(-i)V 

(2  s)! 


A(2s), 


(15) 


S=  00 

li  e-^  =  C  +  log  x  -  e-'^-^f]  A(s), 


«=i 


von  denen  die  zwei  ersten  von  LommeP)  gefunden  worden  sind, 
während  (15)  vielleicht  neu  ist;  diese  drei  Formeln  stimmen  mit 
der  Identität: 


ni-. 


Ttt. 


(16)  C,(a:  •  e^  )  +  ^^.  (^  .  e2  )  _  li  g-.  _|.  !1! 

überein. 

Kehren    wir    zu    den  Formeln    (6),    (7)    zurück,    so   finden  wir 
mittelst  (5)  die  weiteren  Darstellungen: 

(17)  ^.{x)  =]/^  i^mx-L-^ix)  -  cos:r-Z^(a;)), 

(18)  C,{x)  =")/"g*  (^o%x-L-^i{x)  +  sina;-X^(:r)), 

wo  l/''(a;)  die  in  §  30,  (12)  definierte  Funktion  bedeutet;  die  Formeln 
(17),  (18)  werden  uns  später  in  §  88  für  die  asymptotischen  Dar- 
stellungen der  Funktionen  >S'^(^)  und  C^ix)  sehr  nützlich  sein. 

1)  Poggendorff  Annalen  Bd.  41,  p.  104;  1837. 

2)  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  204;  1880. 


Kapitel  VI.    Die  Funktionen  (t>*'<^\x)  und  T['''^'"{x).    §  35.  103 

Ubor  die  in  (1 )  gegebenen  Verallgomeiiiernngen  der  elementaren 
Transcendenten  haben  wir  noch  zu  bemerken,  daß  sich  die  vier 
unbestimmten  Integrale: 


(19) 


/  cos  {ax)  •  y*'{ßx)  clx,    j  sin  (ax)  •  y'{ßx)  dx, 
I  cos  (ax)  •  a''(ßx)  dx,    j  sin  (ax)  ■  <f*(ßx)  dx 


(20) 


sehr  leicht  durch  dieselben  Funktionen  darstellen  lassen.  Man  kann 
dies  durch  eine  partielle  Integration  und  darauf  folgende  Anwendung 
der  Formeln  (6),  (7)  nachweisen;  dagegen  führt  folgende  andere 
Methode  unmittelbar  zum  Ziele:  Wendet  man  nämlich  auf  die 
Lommelsche  Funktion  den  Satz  §  25,  5  an,  so  gibt  die  allgemeLne 
Integralformel  §  27,  (6)  in  Verbindung  mit  §  33,  (7)  folgende  andere: 

/  ({a'-ß')x  +  '^^^^W'Q(ßx)Cf'(ax)dx  = 

=  ßxCf(ax)'n''-^'^-\ßx)  —  axC^'-\ax)T]''<^(ßx)  — 

-(v-^)W'^(ßx)C^'(ax)-axm'^ ^ £  .  AJ_^V_J_i 

•  (Cf'(ttx)'nf-'^'9-\ax)  —  C^'-'^(ax)W^^(ax)  , 

welche  eine  Verallgemeinerung  der  Formel  §  28,  (1)  ist.  Um  nun 
die  Integrale  (19)  hieraus  zu  erhalten,  braucht  man  nur  ^  =  ±i\ 
imd  V  =  +  ?>  anzunehmen. 


Kapitel  YI. 
Die  Funktionen  <\>'''^(x)  und  W'^'"(x). 

§  35.     Fundamentale  Eigenschaften  von  0''?(^). 

Es  ist  klar,  daß  sich  die  Lommelsche  Funktion  als  eine  natür- 
liche Verallgemeinerung  der  Reihen  §  1,  (9)  für  die  Besselsche 
Cylinderfunktion  und  §  17,  (14),  (15)  für  die  Funktionen  T\''(x)  und 
X''(a;)  darstellt.  Wir  haben  daher  noch  die  entsprechende  Verall- 
gemeinerung der  Reihen  §  6,  (7)  für  J''(x)  und  §  19,  (5)  für  <^^'(x) 
zu  suchen,   und  dies  um  so  mehr,   da  die  so  erhaltene  Funktion  in 


104       Erster  Teil.    Fundamentaleigenscliaften  der  Cylinderfunktionen. 

der  Theorie  der  Cylinderfunktionen   eine  ähnliche  Rolle  spielt  wie 
die  Lomme Ische  Funktion. 

Um    diese   neue    Funktion    zu   finden,   bemerken   wir,    daß   die 
Identität : 

uns  ganz  natürlich  dazu  führt: 

zu  setzen;  denn  die  Formel  (1)  gibt  dann  unmittelbar: 

(3)       A.  i^^i  "'"*'  W)  =  I  (-■"(-)  -  -"'\-)) ; 

also    finden    wir   für    die   gesuchte  Funktion   0'''?(;r)   folgende  erste 
Fundamentalformel : 

(4)  0".?+X^O  =  ^''^C^)  -  (^-frfi  «'•'^+'(^), 

oder,  noch  allgemeiner,  wenn  n  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet: 

(5)  0'..^»W  =  <t.M(^)  -  J;  j^^^^^,; 


Ä  =  l 


setzen  wir  in  dieser  Formel  noch  q  —  n  für  q,  so  ergibt  sich: 
(6)  *•..-» W  -  *'..«  +  _f  (..üÜ^il,),- 

Der  explizite  Ausdruck  der  0 -Funktion  wird  aus  (5)  erhalten, 
wenn  man  die  dort  vorkommende  positive  ganze  Zahl  n  über  alle 
Grenzen  hinaus  wachsen  läßt;  dadurch  findet  man: 

Diese  Definition  wird  jedoch  unbrauchbar,  wenn  q  die  Hälfte  einer 
ungeraden  negativen  ganzen  Zahl  ist,  weil  dann  die  ersten  Glieder 
der  Reihe,  wie  auch  a'^'^ix)  selbst  unbegrenzt  wachsen.  Um  eine 
Lösung  der  entsprechenden  Differentialgleichung  zu  finden,  kann 
man  in  (7)  durch  V{q  -\-  \)  dividieren  und  dann  den  obenerwähnten 
speziellen  Wert  von  q  einführen.  Wir  gehen  indessen  nicht  näher 
darauf  ein,  sehen  vielmehr  in  den  folgenden  Untersuchungen  von 
diesem  Spezialfälle  ganz  ab. 

Sucht  man  die  Differentialgleichungen  der  zugehörigen  Funktionen 
y^  und  3^  auf,  so  findet  man  leicht: 


105 


Kapitel  VI.    Die  Funktionen  (t>*'^(x)  und  Tl''^''"  (x).   §  36. 
und   somit  erliält   man   aus  §  25,  (10)  für  die  0- Funktion  folgende 


Fundamentalgleichungen ; 


2p 


(8)  (t>'-''Q{x)  -  0'  +  i.e(a;)  =  2/),0'.e(x)  -  -5^  c>»'.?(a;), 

(9)  0"- »'('(j-)  +  O'  +  »-^(a;)  =  —  0*'P(a:)  -  -j^'^  ü'''?(a;). 

Wir  gehen  nicht  näher  auf  die  Funktion  0''*'  +  C'(.r)  ein,  sondern 
betrachten  noch  einige  Spezialfälle  der  allgemeinen  0- Funktion. 


§  36.     SpezialfäUe  von  0''C(a;). 

Es  leuchtet  ein,  daß  die  0-Funktion  durch  Spezialisierung  der 
Parameter  eine  Reihe  von  spezielleren  Funktionen  geben  wird,  die  zu 
den  aus  der  Lom  nie  Ischen  Funktion  hergeleiteten  analog  sind. 
Zunächst  findet  man  tatsächlich  folgende  Formeln: 

(1)  (P''\x)      =  0'(a;), 

(2)  0''.''-«(a;)  =  J'{x),     0"'-''-"(a;)  =  c"»''^'  •  J-"{x), 

wo  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet. 

Wenden  wir  uns  nunmehr  zu  den  nach  v  oder  q  genommenen 
DiflFerentialquotienten  von  0'>'(:r),  so  finden  wir  ähnliche  Funktionen 
wie  L  und  iV  in  §  30;  um  die  Analogie  der  Bezeichnungen  voll- 
ständig durchzuführen,  setzen  wir: 

(3)  2  (i>,0"'^(a;))^  =  ,  =  Sl^ix),    2  (D,0''^(:r))..,  =  ^^(x) 
und  allgemeiner,  indem  n  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet: 

(4)  2(D^0'.e(^))^^,_„^ß^-(^),     2(D,0".?(^)),^^^,  =  ^?+«.''(a;), 

so  daß  §  35,  (7)  ohne  Schwierigkeit: 

£^(a;)  =  2J"(^)log(2Ä;i)  + 

_i|/(2z;  +  s  +  l)-Y(s+l)), 
•  9fj''(^)  =  _  jtWix)  + 


(5) 


f|/% 


+ 


'       Ä = 0 


106        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

und  noch  allgemeiner  mit  Zuhilfenahme  von  §  35,  (5): 

(7)       £"'"(i')  =  £"(^)  -  ^"'"(^),     9fi''"(^)  =  ^^'{x)  +  '^'■'"(x) 

liefert,  wo  wir  der  Kürze  halber: 


(8) 


vW„„-ex     *=JLZ^        .V* 


'  4  =  0 

gesetzt  haben. 

Aus   (5),  (6)  und  (7)   ergibt  sich   demnach  die  zu  §  30,  (16) 
analoge  Formel: 

(9)  £*''"  (x)  +  m^'''  (x)  =  22),  J'  (x)  ; 

zugleich  findet  man  die  zu  §  30,  (19),  (20)  analogen  Formeln: 

(10)  2  (D,ct)v,?(^))^_,_„  =  e— • .  Q-^>n^x), 

(11)  2  (D,,  0"'?(rK)),^_^^„  ==  e-?'^'  •  9fi-?  +  «>'»  (a;). 

Setzt  man  nun  weiter  für  v  die  ganze  Zahl  p,    so  findet  man 
hier: 

(12)  QP'''{x)  =  niJp(x)  +  7iYp{x),    p£~ 
und  für  2p  >  w : 

■  2i',''(ic)  =  7ciJp{x)  +  ^  r^(.^)  + 

(13)  •  (— l)^2e~'"'    ^^^~  V  (s  — p  +  4-)  (2i?  —  s  —  1)!  /J_\^~* 

"•"  y^  ■  ^  i*s!  Xix)       > 

SO  erhält  man  noch  die  zu  §  30,  (23),  (25)  analogen  Formeln: 

(14)  S"'''(:r)  =  niJ^'ix)  +  n  Y''{x)  +  ^"{x), 

(15)  2«'Xa;)  =  :r^J■«(^)  +  n  Y''{x)  +  ^  •  D''(^), 
wo  die  neue  Funktion: 

4  =  0  ^  ' 

in  der  Theorie  der  Neumannschen  Reihen  erster  Art  eine  ganz 
ähnliche  Rolle  spielt  wie  die  rationale  Funktion  0"(x)  von  Neu- 
mann. 

Beachtet  man  noch,  daß  (6)  die  weitere  Formel: 

(17)  m^^'^^ix)  =  -  jtiJ'^ix)  -  X^'ix) 

liefert,  so  findet  man  endlich  die  natürliche  Begründung  der  schon 
in  §  6,  (9)  gegebenen  Teilung  des  Ausdruckes  für  die  Neumann- 
sche  Cylinderfunktion. 


Kapitel  VI.    Die  Funktionen  O'^-^Cx)  und  -n"'^'" (x).   §  37. 


107 


(1) 


§  37.    Anwondungon  von  0''i'(a^^)  auf  Reihen  und  Integrale. 

Die  in  den  zwei  vorhergelienden  Paraj^raphen  dargelegte  Ana- 
logie zwischen  den  Funktionen  T[''^'{x)  und  0 '-"(.<■)  läßt  sich  auch 
auf  Reihen  und  Integrale  ül)ertragen,  wie  wir  kurz  andeuten  wollen. 

Aus  den  allgemeinen  Formeln  des  §  27  finden  wir: 

__^ni±M l\2xiy-'e-''C'(x)dx  = 

''-Wnr(Q  +  v)r(Q-v)  J^     ^  ^  ^ 


(2) 


(3) 


=  x[C'' (x) 0"-^'^ {x)  -  C'-^  (x)  0''C  (x))  +-^«''?(a:)  C'ix), 

rr      ■     fr/ -^•   ß^^-' 6-'="  J'{x)  dx  = 


a^J^ix) 


2  x^  sin  TT  (v  —  p) 


r(9  +  ^)r(9-t'  +  i) 


n 


Wendet  man  nun  die  Formeln  §  35,  (5),  (6)  an,  so  leuchtet 
ein,  daß  für  die  eben  betrachteten  Reihen  und  Integrale  der  durch 
§  33,  (10)  ausgedrückte  Satz  gültig  ist. 

Wir  betrachten  ferner  einige  Spezialfälle  unserer  drei  Formeln 
und  bemerken  zuerst,  daß  die  Reihen  (1)  und  (3)  für  ^  ==  0  eine 
sehr  einfache  Form  annehmen,  während  (1)  für  Q  =  0,  v  =  ^  mittelst 
§  24,  (11)  für  das  Integral  von  Kramp  folgende  neue  Entwicklung 
liefert: 

(4)  e"^  K{x)=y^  •2'*"'^'^"'M~?)' 


s  =  0 


Setzt  man  weiter  in  (1)  ^  =  —  v,  so  findet  man  durch  An- 
wendung der  L  o  m  m  e  1  sehen  Fimdamentalformel  die  weitere  zu 
§  33,  (4)  analoge  Entwicklung: 


(5) 


^"(2-r-  Ä  ■f^^^^^±4f2^^ /-(.), 


s  =  0 


woraus  sich  für  i/  =  0  die  in  §  22,  (6),  (7)  gefundenen  Reihen  für 
cos  X  und  sin  x  ergeben;  die  Formel  (5)  werden  wir  später  in  §  109 
noch  durch  eine  andere  Methode  herleiten. 


108        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Differentiiert    man    die    Formel    (1)    nach    q    und    setzt    man 
Q  =  P  —  11^  SO  findet  man  mittelst  §  36,  (14): 

.S  =  CO 

« =  ?i  + 1 
also  durch  Zuhilfenahme  von  (5)  die  zu  §  33,  (24)  analoge  Formel: 

s=  +w 

(7)      ~(C''(x)(B''+\x)-C''  +  \x)<B''{xfj  =  e-'^-^  i'Cix), 

s=  —  n 

WO  C  eine  willkürliche  Cylinderfunktion  bedeutet. 

Hier  brechen  wir  diese  Untersuchungen  ab,  um  noch  eine  etwas 
allgemeinere  Anwendung  der  5- Funktionen  zu  erwähnen. 


§  38.    Fundamentale  Eigenschaften  der  Funktion  'n^''"''^{x). 

Die  Funktionen  TT  und  0,  welche  wir  in  den  vorhergehenden 
Paragraphen  als  Anwendungen  der  allgemeinen  ^-I'unktionen  unter- 
sucht haben,  sind  so  einfach,  daß  man  ihre  Fundamentaleigensehaften 
bequem  direkt  herleiten  kann,  falls  man  die  Funktionen  durch  die 
unendlichen  Reihen  definiert.  Wir  wollen  nunmehr  dieselben  all- 
gemeinen Formeln  auf  einen  anderen  Fall  anwenden,  in  welchem 
die  gesuchte  Funktion  und  ihre  unbekannten  Fundamentalgleichungen 
etwas  komplizierter  sind. 

Zu  diesem  Zwecke  suchen  wh'  diejenige  j5- Funktion,  für  welche 
die  entsprechende  oj- Funktion  in  folgender  Form  gegeben  ist: 

(1)  y  =  {ffc''{x), 

wo  C  eine  willkürliche  Cylinderfunktion  mit  dem  Argumente  x  und 
dem  Parameter  ö  bezeichnet.  Um  diese  co- Funktion  näher  zu  be- 
stimmen, bemerken  wir  zunächst,  daß  (1)  folgender  Differential- 
gleichung Genüge  leistet: 

2/'''  +  ^^^J/">  +  (l  +  ^')2/  =  0, 

d.  h.,  daß: 

A     /  \         2p     ,,.    ,    ö^  —  v^  —  p* 

^Äy)  =  -^y^'^  +  — ^-^y 

sein  muß.  Drückt  man  nun  die  Derivierte  y^^'>  durch  §  1,  (3),  (4) 
aus,  so  findet  man  weiter: 


(2) 


(3) 


Kapitel  VI.    Die  Funktionen  <t)''?(x)  und  n'-^'^Cx).    §  38.  109 

A,((-^yc»w)  = 
^.  ((f  ^-w)  = 


2  2 

man  kauu  also  oöenbar  mit  Vorteil: 
03"  (x)  =  co'>?>''(a;)  = 


W 


2r(p)co8|-(v-e  +  (T)C»(|) 


^-1 


setzen;  die  Formebi  (2),  (3)  geben  dann: 

Bezeicknet  man  nun  mit  TT'''''''(a;)  die  zu  (4)  gehörige  J5- Funk- 
tion, so  erhält  man  aus  (5),  (6)  die  folgenden  zwei  Fundamental- 
formeln: 


(8)     n''?.''(a;)-n'>?+i''^+^(ic) 


a^,9  +  ^.<^(x); 


beachtet  man  noch,  daß: 


(9) 


CO 


2qx 


^    ^         (p  -|-  V  —  1)*—  ö*  ^   ^ 


2$a; 


jjjr  +  l,p,cr(^^^ 


ist,    so    kann    man    die   Formeln  (7),  (8)   auch  auf  folgende  Form 
bringen: 

Q  -\-  6  —  V 


(10)        ^'^'"{x)  —  TT''?+^'^-i(rr)  =  — 


2Q{Q--a-\-v) 


c3''-1'^  +  1''^(ä;), 


(11)      n^'^.'^(^)  -  n'.^+i-'^+H^)  =     2f(,-T^  •  ^''-'''^''''(^)' 

Subtrahiert  man  jetzt  die  Formeln  (7),  (8)  und  setzt  man 
Q  —  l  für  Q,  (?  4-  1  für  6,  so  findet  man  die  erste  Reduktions- 
formel: 

(12)  W'^^^ix)  -  W'^'^'^  +  'ix)  =  ^-i^  •  fo»>?  +  i.'^+i(a:) . 


110        Erster  Teil.    Fundamentaleigenscliaften  der  Cylinderfunktionen. 

Um  eine  äknliclie  Reduktion  von  q  zu  erhalten,  setzt  man  in  (11) 
p  +  1  für  Q  und  6—1  für  ö;  addiert  man  nun  die  so  erhaltene 
Formel  zu  (10),  so  erhält  man: 

W'^'^ix)  —  TT"'?  +  ^>''(ic)  = 

Die  eigentlichen  Fundamentalgleichungen  lassen  sich  nun  auch 
bequem  herleiten;  sucht  man  zuerst  die  Funktion  0^,  so  findet  man 
aus  §  1,  (4): 

CO 

p  —  V  —  6 —  1  ^^  Q  —  V  —  6  —  1  ^^' 

wendet  man  noch  (11)  und  (9)  an,  so  bekommt  man,  nachdem  man 
V  -\~  1  für  V  gesetzt  hat: 

1  (/•r(^)  _  ^v^^^J    _  Tfr  +  l,^-l,<7(^^^)  _  J]v  +  li,,o  ^^^^  _  __!__  co"''^'" (x)  . 

Zur  Bestimmung  der  Funktion  y^  dient  die  aus  §  1,  (3)  gewonnene 
Formel: 


2-2e       „v.o-l.a/^^   ,  e-v-0-1 


p  +  v  +  ö  —  1  ^-''p  +  v  +  ö  —  1  ^-^ 

somit  ergeben  dieselben  Formeln,  wie  vorher: 

Bildet  man  nun  die  zugehörigen  Fundamentalformeln  §  25,  (1),  (2), 
so  findet  man,  nachdem  man  noch  9  +  1  für  q  gesetzt: 

(14)      n^-i'?'''(^)  -  T['+''^^'''(x)  =  2D^n''?  +  ^''^(x)  -  -  .  (ö''.?+^''^(a;), 


2v 
X 


(15)    n"-^'?'''(ic)  +  n»'+i'C'''^(a:)  =— n^'?+i''^(:r), 

Formeln,  welche  in  der  Tat  ganz  analog  zu  denjenigen  sind,  welche 
wir  früher  für  die  Lommelsche  Funktion  gefunden  haben. 

Man  findet  nun  ohne  Mühe  auch  die  entsprechenden  Fundamental- 
gleichungen für  folgende  drei  Funktionen: 

(16)       n"'?>^(.'r) +  n"'?  +  ^''^(a'),       n'''?  +  ^'^(a;),       W'^'^  +  ^ix)', 

wir  gehen  indessen  auf  diese  FormeLa  nicht  näher  ein. 


Kapitel  VI.    Die  Funktionen  0''>P(x)  und  Tl''^''" (x).    %  30. 


111 


§  39.    Reihenentwicklimgon  für  T\*'^'''(x). 

Die  Fundamentalformeln,  welche  wir  soeben  entwickelt  haben, 
gestatten  uns,  für  TT''t'>"(j')  mehrere  verschiedene  Reiheuentwick- 
luntren  zu  bilden.  Wir  gehen  zuerst  von  §  38,  (8)  aus  und  haben 
also  vor  allem  folgenden  Grenzwert  zu   bestimmen: 

lim  rT»'-?  +  "'''  +  ''(jc); 

n  =  OD 

nun  ergeben  §  3,  (8)  und  (^fn,)  ohne  weiteres,  daß: 


lim  cj'.?  +  ".''  +  ''(a:)  =  —  ^ 
sein  muß,  falls  wir 


2  cos  I  (v  —  p  +  ff) 


(^±I^X^^I^°) 


=^(f) 


g  —  a—  1 


Cix)  =  a{6)J''{x)  +  h{6)  Y''{x) 
setzen;  also  finden  wir: 

(1)  lim  n''?  +  ''>^  +  ''(a-)  =  -^-^W'^-^ipc). 


n=  +  OD 


■Jt 


Dieser  Grenzwert   stellt   also   eine   Lommelsche   Funktion   dar, 
und  §  38,  (8)  liefert  somit  folgende  Entwicklung: 


(2) 


cos 


—  Iv  —  p  -|"  ^) 

n^e.'^fa;)  = -^-^W^'^-'^ix)  + j — ^A — ; r 


n 


S=<X> 


{9  +  s)C'^\x)[fj' 


0  +> 


die  in  der  ganzen  ::i- Ebene  gültig  ist. 

Geht  man  dagegen  von  §  38,  (13)  aus,  so  findet  man  folgende 
Entwicklung: 


(3) 


0  +  2« 


I 


«  =  0 


n'.S.»(:r)  =  C«(x)._2^,(f)'        + 


Q  +  2S+1 


»  =  0 


die   ebenso    in   der  ganzen  a:- Ebene  anwendbar  ist,    und  in  welcher 
man  der  Kürze  halber: 


112       Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 


n 


(4) 


r(p  +  2s)  cos  — (v  —  p-f  <'  +  2s) 


r(Q-\-G-\-V 


H)r(i±|^+.)r(-:|+-%»+i)  r(^^f:f +,+  .) 


-2i> 


(5) 


4(e  +  2s)^,,       _    . 

(p4-ff4-2s)*  — v*         2.+1 
gesetzt  hat.     Die  Entwicklung  (3)   ist  derjenigen   von  0'''?(a;)   selir 
ähnlich.     Setzt  man  wirklich  voraus,    daß   die   Cylinderfunktion  H^ 
ist,    und    setzt    man  weiter  ö  =  —  ^,    q  -\-  \  für  q,    so    findet    man 
auch,  daß: 


5t 


n''^^+i'-i(a;)  = 


sin  — (v— p) 


TT'J 


,;?-" 


(t)''?(a;) 


(6) 

sein  muß. 

Die  Entwicklungen  (2),  (3)  sind  beide  anwendbar,  wenn  C'^{x) 
eine  willkürliche  Cylinderfunktion  mit  dem  Argumente  x  und  dem 
Parameter  6  bedeutet;  wenn  diese  Funktion  dagegen  speziell  von 
der  ersten  Art  ist,  so  findet  man  aus  §  38,  (12)  folgende  Ent- 
wicklung: 

r(.)(|f 

n-'^'O^  = — ^ 


p-1 


(7) 


sm 


TT 


( 


6  —  V  —  q)  sin  7i{y  —  Q-\-  6) 


2(-iy(<?  +  2s+l)x 

«  =  0 


(^); 


2  '        '     /      V         2 

die  gleichfalls  in  der  ganzen  a;-Ebene  anwendbar  ist. 

Die  speziellere  Funktion  TT''?''^(ic),  welche  in  (7)  auftritt,  läßt 
sich  endlich  auch  durch  die  Methode  des  §  31  entwickeln;  mit  Zu- 
hilfenahme der  G au ß sehen  Formel  (Fg)  findet  man: 


■  T\"'<^''''(x) 


(8) 


TT         sin  7t  (v  —  e  -f-  o) 


sin  Q  TT     sin  7t  (v  —  q  —  (?) 


T]''^  +  ''(x)  + 


+ 


a 


",?,<T(a;) 


X 


s=l 


(^); 


sir{a  +  s-i-l) 
eine  Formel,  welche  wiederum  in  der  ganzen  ic- Ebene  anwendbar  ist 


Kapitel  V\.    Die  Funktionen  <t>*'^{x    und  TT''-''" {x).    §40.  113 

§  40.    SpezialfäUe  der  Funktion  U''^'''{x). 
Die  a- Funktion  §  38,  (4)  muB  otienbar  verschwiiuleii,  falls  man 

(1)  Q  =  ±v  ±0  —  2n 

voraussetzt,  wo  w  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet,  il.  h.  die 
zugehörige  Funktion  T[*''^'''(x)  muß  der  Besselschen  Differential- 
gleichung Genüge  leisten  oder,  was  dasselbe  ist: 

(2)  n '  -  ^'.  "{x)=pJ'  (.r)  +  q  Y'  (x) 

sein,  wo  p  und  7  noch  unbekannte  Funktionen  von  v  und  a  be- 
deuten, die  aber  von  x  unabhängig  sein  müssen. 

Wir  haben  nun  jeden  der  vier  in  (1)  angegebenen  Spezialfälle 
für  sich  zu  untersuchen. 

1)  Q  =  v-\-a  —  2)r^    die  Formel  §  39,  (2)   ergibt  unmittelbar: 

(3)  T]''^^''{x)  =  ~^-^J'{x). 

2)  Q  =  V  —  6  -\-  2n.  Die  Entwicklung  rechter  Hand  in  §  39,  (2) 
teilt  sich  in  zwei  verschiedene  Reihen,  von  welchen  sich  die  erste 
als  eine  Reihe  von  positiven  ganzen  Potenzen  von  x,  mit  x^  multi- 
pliziert, darstellt,  während  die  andere  eine  Reihe  von  ganzen 
Potenzen  von  x,  mit  x*'^"  multipliziert,  sein  muß.  Nun  ist 
offenbar,  daß  die  Gleichung  (2)  dann  und  nur  dann  bestehen  karm, 
wenn  der  letzte  Ausdruck  verschwindet;  man  findet  also  für  n  =  0 
die  Entwicklung: 

(4)  U^>^-^<'{x)  =  r(l  -f  0)  cos  6:t  .^  ^4\%i)-J-"-(4 

Berücksichtigt  man  noch  die  erste  der  oben  erwähnten  Reihen, 
so  findet  man  durch  eine  Vergleichung  mit  (2),  daß: 

(5)  T[^'<^^'"{x) ^^^^  («((?)  +  h{6)  cot7t(j)  J\x) 

sein  muß;  also  erhält  man  folgende  neue  Entwicklung: 

(6)    j>(^)  =  r(i+«).2'-r(.+;;.;(l)     -^"^-w, 

.1  =  0 

die  demnach  gleichfalls  in  der  ganzen  ;r-Ebene  gültig  ist  und  die 
wir  später  in  §  106  durch  eine  ganz  andere  Methode  herleiten  und 
näher  diskutieren  werden. 

3)  Q  ==  —  V  —  6  —  2w;  man  findet  hier  auf  dieselbe  Weise,  daß: 

Nielsen,  Cylinderfunktionen.  8 


V  —  a  +  » 


114       Erster  Teil.    Fundamentaleigenscliaften  der  Cylinderfunktionen. 

(7)  n "'  ?' ''  (x)  =  —  -^—  (a  ((?)  + 1)  ((?)  cot  Ä  (?)  COS  TT  (i^  +  (?)  J- ''  (x) 

sein  muß,    und    außerdem    zwei    zu   (4)   und   (G)    analoge    Entwick- 
lungen. 

4)  Q  =  —  V  -{-  6  -—  2n]  man  findet  leicht: 

(8)  T]''^'''{x)  =  --^^cos  V7i  J-\x). 

Differentiiert  man  nun  die  Funktion  '[\^''^''^{x)  nach  v,  q  oder  (? 
und  führt  man  nachher  die  Werte  (1)  ein,  so  findet  man  Funktionen- 
Systeme,  die  ganz  analog  sind  mit  den  aus  L,  N  und  £,  '^  gebildeten. 
Auf  diese  Weise  gewinnt  man  auch  neue  Darstellungen  der  Neu- 
mannschen  Cylinderfunktion.  Indessen  ist  diese  Darstellungsweise 
so  mannigfaltig,  daß  ihre  detaillierte  Diskussion  uns  hier  zu  weit 
führen  würde.  Hierzu  kommt  noch,  daß  die  Funktion  T\^'^'"(x)  in 
unseren  allgemeinen  Untersuchungen  über  bestimmte  Integrale  mit 
Cylinderfunktionen  überhaupt  nicht  auftritt.  Wir  müssen  uns  daher 
auf  diese  Andeutungen  über  die  Analogie  zwischen  TT''?''^(a;)  und 
den  vorhergehenden  Funktionen  T\^''^(x)  und  0'''?(a:)  beschränken; 
es  geht  ja  doch  hieraus  deutlich  genug  hervor,  daß  die  altbekannten 
Funktionen  0''{x),  S"(x),  T"(x)  und  die  analogen  £)''{x),  (B"{x), 
%"(x)  nur  vereinzelte  Repräsentanten  ganzer  Funktionensysteme  sein 
können,  welche  eine  ähnliche  Teilung  des  Ausdruckes  für  Y^(x)  ge- 
statten; somit  ist  die  Bezeichnung  „Besselsche  Funktionen  der 
zweiten  Art"  auch  für  diese  Funktionen  durchaus  hinfällig  geworden. 

Wii-  erwähnen  noch,  daß  die  Anwendungen  der  Funktion  T\ ''<"'" (x) 
auf  Reihen  und  Integrale  auf  der  Hand  liegen;  durch  Spezialisie- 
rungen der  so  erhaltenen  Reihen  findet  man  zum  Beispiel  die  zwei 
Fundamentalreihen  §  117,  (6)  und  §  118,  (1). 


Kapitel  YII. 
Allgemeine  Integraldarstellungen  von  Scliläfli  und  Sonin. 

§  41.    Allgemeine  Methode  von  Sonin. 

Schon  in  §  25  Satz  1  haben  wir  darauf  aufmerksam  gemacht, 
daß  die  Differenz  zweier  Lösungen  des  dort  aufgestellten  Systemes 
von  Fundamentalgleichungen  (1),  (2)  immer  eine  Cylinderfunktion 
mit  dem  Argumente  x  und  dem  Parameter  v  sein  muß.     Es   ist   in 


Kapitel  VII.    Intcgraldarstellun<,'en  \«n  Schläfli  und  Sonin.    §  11         1  1  f) 

der  Tat  sehr  bemerkenswert,  daß  sich  die  allgemeinsten  Integral- 
darstellungen mit  elementaren  Funktionen,  welche  man  noch  bisher 
für  die  Funktion  J^ioc)  gefunden  hat,  immer  als  eine  solche  Differenz 
darstellen. 

Sonin  hat  zuerst  vorteiUiafte,  allgemeine  Methoden  zur  Her- 
leitung solcher  Iiitegraldarstellungen  gefunden');  seine  Methode  tritt 
aber  durch  folgende  Bemerkung  noch  deutlicher  hervor.  Wir  denken 
uns,  die  gegebenen  Funktionen  f*'{x)  und  (/''(x)  in  §  25,  (1),  (2)  ent- 
hielten außer  den  zwei  eigentlichen  Variabein  x  und  v  noch  einen 
Parameter  t;  dasselbe  wird  dann  im  allgemeinen  auch  mit  der  zu- 
gehörigen Funktion  B^'{x)  der  Fall  sein.     A\  ir  setzen  daher: 

(1)  B^-\x,  t)  -  B^'^\x,  t)  =  2D,B\x,  t)+y\x,  t), 

(2)  B^-\x,  t)  +  B^'^\x,  t)=^B^(x,  t)  -h  l-  r{x,  t); 

denken  wir  uns  nun  weiter,  daß  es  möglich  sei,  einen  lutegrations- 
weg  zwischen  den  Punkten  a  und  h  so  zu  bestimmen,  daß: 

b  b 

(3)  ff"i^?  t)dt  =  0,     f(r{x,  t)dt  =  0 

a  a 

ist,  so  finden  wir  offenbar  aus  (1)  und  (2): 

(4)  jB\x,t)dt^C\x), 

a 

WO  C^{x)  eine  Cylinderfunktiou  mit  dem  Argumente  x  und  dem 
Parameter  v  bezeichnet. 

Diese  neue  Anwendung  der  5- Funktionen  in  der  Theorie  der 
Cyliuderfunktionen  zeigt  aber  deutlich  die  systematische  Uulösbar- 
keit  des  Problemes  der  Integi*aldarstellung  von  Cylinderfunktionen; 
es  kommt  ausschließlich  darauf  an,  die  einfachsten  derjenigen  B- 
Funktionen  zu  bestimmen,  welche  den  Bedingungen  (3)  genügen. 

Als  den  einfachsten  Fall  betrachten  wir  mit  S  o  n  i  n  ^)  die 
Funktion: 

X 

(5)  B\x,t)==e^^'~'~'^  't—''; 
wir  finden  dann  aus  (1)  und  (2): 


1)  Denn  die  Integraldarstellungen  von  Hankel  in  Math.  Ann.  Bd.  1  leiden 
an  dem  Übelstand,  im  allgemeinen  nicht  geradlinig  und  mit  reellem  In- 
tegrationswege genommen  werden  zu  können. 

2)  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  10;  1880. 

8* 


116        Erster  Teil.    Fuudamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktioneu. 

so  daß  die  Bedingungen  (3)   sich   auf  die  folgende   eine  reduzieren: 


(7) 


-  (t-t-i) 


eine  Bedingung,  welcher  man  in  den  folgenden  vier  Fällen  zu  ge- 
nügen weiß;  bezeichnet  man  nämlich  durch  a  und  ß  solche  Größen, 
daß  sowohl  9i(a;r)  <  0  als  auch  ^(ßx)<.0  ist,  so  findet  man: 

1)  a  =  <x>  ■  a ,     b  =  oo  ■  ß , 

o\  0,0 

2)  «  =  --;       ^  =  -p 

3)  «  =  --,       J)  =  oo-ß, 

4)  ^{axi)  =  ±  oo ,     ^(hxi)  =  ±  oo ,     'Si{v)  >  0, 

während  in  den  drei  ersten  Fällen  v  eine  willkürliche  endliche  Größe 
bedeuten  darf. 

Wir  bezeichnen  die  zu  den  oben  gegebenen  Grenzen  gehörigen 
Integrale  beziehentlich  mit  U^,  U^,  U^,  U^  und  haben  also  nun  diese 
vier  Integrale  nacheinander  zu  diskutieren;  bei  dieser  Diskussion 
folgen  wir,  mit  Genehmigung  des  Verfassers,  beinahe  wortgetreu  der 
Darstellung  von  Sonin;  dagegen  verzichten  wir  darauf,  mit  dem 
großen  russischen  Mathematiker  die  gefundenen  Resultate  zur  Her- 
leitung  von  Formeln  und  Fundamentaleigenschaften  für  die  Cylinder- 
funktionen  zu  verwerten,  weil  eine  solche  Herleitung  weder  eigent- 
lich systematisch  noch  recht  einfach  ist. 

Das  Integral  U^  wird  sich  als  das  interessanteste  und  das 
fruchtbarste  der  obenerwähnten  vier  Integrale  erweisen. 


§  42.    Diskussion  von   f/^.     Integrale  von  Schläfli  und  Sonin. 

Um  das  Integi-al  U^  näher  diskutieren  zu  können,  haben  wir 
zuerst  den  Integrationsweg  genauer  festzustellen;  wir  denken  uns 
denselben  ohne  Schleifen  und  so  beschaffen,  daß  die  Punkte  a  ■  oo 
und  ß  •  oo  durch  eine  unendlich  ferne  Linie  verbunden  sind,  so  daß 
für  sämtliche  Punkte  dieser  Linie  ^(xt)  =  —  oc  ist;  weiter  müssen 
wir  annehmen,  daß  sich  der  Punkt  ^  =  0  im  Innern  der  so  erhaltenen 
geschlossenen  Kurve  befindet;  sonst  wird  das  Integi-al  dem  Cauchy- 
schen  Satze  zufolge  immer  gleich  Null. 


Kapitel  VLI.    Integraldarstellungen  von  Scbläfli  und  Sonin.    §42.       117 

Um  nun  das  so  erhaltene  Integral  in  eine  Potenzreihe  in  x  ent- 
wickeln zu  können,  setzen  wir  tx  =  2u  und  finden  so: 


^.  =  (»)'/ 


(1)       »■>-(»)■/  '''"'"•;f!>-.'     9i(''')<0,     9i(«<0; 


das  so  erhaltene  neue  Integral  verdient  für  sich  untersucht  zu  werden; 
wir  bezeichnen  es  daher  mit  f/,'  und  wollen  es  im  folgenden  Para- 
graphen näher  diskutieren. 

Führt  man  nun  in  (1)  statt  e  ^"  die  gewölmliche  Potenzreihe 
ein,  so  findet  man  ohne  Mühe,  daß  fTj  ein  Produkt  aus  J^'{x)  und 
einer  periodischen  Funktion  von  v  darstellen  muß;  denn  das  Integi-al 
genügt  erstens  den  beiden  Fundamentalgleichungen  der  Cylinder- 
fuuktionen  und  läßt  sich  zweitens  durch  eine  mit  x^'  multiplizierte 
Reihe  von  geraden  positiven  Potenzen  von  x  darstellen.  Nun  wird 
offenbar  die  direkte  Bestimmung  dieser  periodischen  Funktion  von  v 
ziemlich  schwierig;  wir  benutzen  daher  lieber  das  Integral  (J^^  von 
Weierstraß  und  finden  dann  leicht  folgende  fundamentale  Formel: 


^.mj     '' 


(2)  J'X^)  =  ^,-   I    ^'-'"'-t-^-'dt, 


vorausgesetzt,  daß  der  Integrationsweg  den  oben  gestellten  Be- 
dingungen genügt. 

Nachdem  wir  also  den  Wert  von  U^  gefunden  haben,  müssen 
wir  das  Integral  noch  so  umformen,  daß  der  Integrationsweg  reell 
angenommen  werden  darf.     Um  dies  zu  erreichen;  setzen  wir: 

a  =  ß  =  e'^' 

und  konstruieren  einen  Kreis  mit  dem  Radius  1  und  mit  dem  Zen- 
trum im  Anfangspunkte;  weiter  bezeichnen  wir  mit  A  den  Schnitt- 
punkt dieses  Kreises  mit  dem  Strahl  von  dem  Anfangspunkte  nach 
dem  Punkte  e^^  auf  der  Kreisperipherie,  während  Q.  den  unendlich 
fernen  Punkt  dieses  Strahles  bezeichnet;  dann  läßt  sich  die  Formel  (2) 
auch  folgendermaßen  schreiben: 

Ä  n 

(3)  27ciJ''{^)  =  e^'""'-  J  -\-  f  +  f, 

Si  {A,Ä)     A 

WO  der  Integrationsweg  (Ä,Ä)  die  von  Ä  bis  Ä  positiv,  von 
(p  =  rjj  —  27t  bis  (f  =  xl),  genommene  Kreisperipherie  bezeichnet. 


118        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Nach  diesen  Überlegungen  setzen  wir  im  ersten  und  im  zweiten 
Integrale  rechter  Hand  in  (3): 

und  im  zweiten  Integrale  cp  =  ip  —  :t  -\-  6-  reduzieren  wir  noch 
die  Grrenzen  dieses  letzten  Integrales  auf  0  und  7t,  so  finden  wir 
schließlich: 


(4) 


gV(Ä-T^)i 


JrM  = 


n 


Jg-ixsinyjcoBo  .  cos  (a;  cos  t/;  s'm  ö -{- V g)  dö  — 

0 

»  -fpO  +  ^^i _   -e-y^i) 


wo  man  also  voraussetzen  muß,  daß  'SKxe^')  <  0  ist. 

Diese  allgemeine  Formel  (4)  von  Sonin^)  hat  den  großen 
Vorteil,  daß  man,  wenn  x  gegeben  ist,  so  über  ^  disponieren  kann, 
daß  (4)  anwendbar  wird;  x  darf  jedoch  nicht  gleich  Null  sein.  Sieht 
man  aber  von  dieser  großen  Allgemeinheit  der  obenerwähnten 
Formel  ab,  so  kann  man  viel  elegantere  Darstellungen  finden,  wenn 
man  i^  passende  spezielle  Werte  gibt.  Setzt  man  zum  Beispiel 
^  =  71,  SO  findet  man  folgende  schöne  Formel: 

(5)      j^{x)  =  ^\x)-^^~-  Ce-^^^^e-^'^dd,     m{x)>0, 

0 

welche  von  Schläfli^)  gefunden  worden  ist;  sie  ist  wohl  als  die 
erste  allgemeine  Integraldarstellung  der  t7- Funktion  anzusehen,  die 
man  überhaupt  kenneu  lernte;  die  Funktion  Y  rechter  Hand  ist  die 
in  §  17  eingeführte,  während  fin  d  den  Hyperbelsinus  bedeutet: 

Wenn  v  eine  ganze  Zahl  bedeutet,  so  geht  die  Formel  (5)  in 
das  erste  Besselsche  Integral  über. 

Nimmt  man  in  (4)  '^(x)  <C0  an,  so  darf  man  i)  =  0  setzen 
und  findet  dadurch  die  Formel  (5),  wenn  man  nur  das  Zeichen  von 
X   ändert.     In    dem    Falle,    daß    x   eine    rein   imaginäre   Größe    mit 

negativem  reellen  Faktor  bedeutet,  darf  man  in  (4)  t^  =  -^  annehmen 

und  findet  dann  folgende  Formel: 


1)  loc.  cit.  p.  14. 

2)  Annali  di  Matematica  (2)  Bd.  1,  p.  237;  1868,    Mathematische  Annalen 
Bd.  3,  p.  143;  1871. 


Kapitel  VII.    Integralilarf^k'IIungen  von  Schläfli  und  Sonin.    §  42.        HO 

0 

ilie  zwar  direkt  mir  für  ilou  Fall  l)o\viesou  ist,  daß  ix  positiv  ist; 
sie  muß  indessen  auch  in  deui  viel  allgemeineren  Falle  anwendbar 
sein,  in  welchem  nur  9i(iÄ*)  >  0  vorausgesetzt  wird.  In  der  Tat 
sind  ja  die  Funktionen  heider  Seiten  in  (6)  holomorph  in  rr,  wenn 
die  obenerwähnte  Bedingung  erfüllt  ist;  diese  Funktionen  sind  also 
identisch,  wenn  9^(/x)  positiv  ist.  Die  Funktion  CO»  0  bedeutet  wie 
gewöhnlich  den  Iljperbelcosinus: 

Die  Formel  (6)  ist  der  Schläfli  sehen  ganz  analog;  sie  ist  von 
Sonin ^)  gefunden  worden;  .setzt  man  v  als  ganze  Zahl  voraus,  so 
gewinnt  man  aus  (6)  das  Hansensche  Integral  wieder. 

Die  Formeln  (5),  (6)  zeigen  noch  einmal  die  Analogie  der 
Funktionen  Y  und  O.  Wir  kehren  nun  zur  allgemeinen  Formel  (2) 
zurück  und  setzen: 

a  =  e  ^-      '  ,     ß  =  e^^      ^  ; 

weiter  denken  wir  uns,  der  Integrationsweg  sei  aus  zwei  geraden 
Linien  von  a  •  oo  bis  a  und  von  /3  •  co  bis  /3  und  einem  Kreis- 
bogen C  zusammengesetzt,  der  die  Punkte  a  und  /3  verbindet  und 
sein  Zentrum  im  Anfangspunkte  hat;  aus  (2)  finden  wir  dann: 


hS4 


2niJ''{x)  = 

Wir  setzen  weiterhin   in   dem  ersten  und  dritten  der  so  erhaltenen 
Integrale  t  =  a-  u  und  t  =  ß  ■  u,  während  wir  im  zweiten  Integrale 

t  =  ef'  setzen    und   die   Grenzen   auf  0  und  y  +  «  reduzieren;   da- 
durch finden  wir  folgende  allgemeine  Formel: 

-  +  C0 

J^'(x)  =  —   I  cos  {x  sin  cp  —  vcp)  dq)  + 

0 

CO  ^  T  1 

ni  J  IP        ^  P  a       e  j^^,^,, 

1 

1)  loc.  cit.  p.  17. 


(7) 


'^27rj 


120        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

die  also  anwendbar  ist,  falls  SR{ax)<0  und  '^{ßx)  <0  voraus- 
gesetzt werden. 

Offenbar  ist  diese  Formel  (7)  wegen  des  letzten  Integrales 
etwas  kompliziert;  es  scheint  nur  einfacber  zu  werden,  wenn,  man 
X  als  reell  voraussetzt;  in  diesem  Falle  darf  man  03  =  0  annehmen, 
und  die  Transformation  ^1  =  6-"  gibt  dann  die  Formel: 

2  00 

(8)     J''(^)  =  ^-  JGOs{xsbi(p  —  v(p)d(p-i-^-lsm(xco^6  —  '^je-''''d(3, 

0  0 

die  anwendbar  ist,  falls  9x  (v)  >  0  vorausgesetzt  wird.  Setzt  man  v 
speziell  gleich  der  ganzen  Zahl  n,  so  findet  man  aus  §  20,  (21) 
die  einfachere  Formel: 

00 

(9)  J^ix)  =  A''(ic)  +  —  •    I  s'm\x  co§  ö  -  -^-j  e-^'^'dö. 


§  43.     Diskussion  des  Integrales   Z7/. 

Wir  haben  im  vorhergehenden  Paragraphen  bei  unserer  Her- 
leitung der  Formel  (2)  bemerkt,  daß  das  dort  auftretende  Integi-al 
üi  besondere  Aufmerksamkeit  verdient;  in  der  Tat  ist  dies  Integral 
von  einer  ähnlichen  Bedeutung  wie  U^  selbst.  Um  nun  wirklich 
die  Diskussion  von  Z7/  durchführen  zu  können,  setzen  wir  voraus, 
daß  sich  der  Integrationsweg  in  einen  Kreisbogen  mit  dem  Zentrum 

in  M  =  0  und  mit  dem  Radius  —  und  in  eine  Doppellinie  y  e('^-V)' 
zerlegt,  wo   man  also   —  y  <  ^  <  +  y   voraussetzen  muß,  weil  ja 
^(e(^ -'/')'•)  <0  sein  muß. 
Wir  setzen  außerdem: 

und  finden  somit  aus  §  42,  (2): 


(1)  j-(x)    ^'^ 


reduzieren  wir  nun  die  Grenzen  des  ersten  Integrales  rechter  Hand 
auf  0  und  7t,  während  wir  im  zweiten  Integrale: 


Kapitel  VII.    Integraldarstellungen  von  Schläfli  und  Sonin.    §  4;{        121 
setzen,  so  finden  wir  nach  einigen  Reduktionen: 


(2) 


(3) 


(4) 


eine  Formel,  welche  von  sehr  großer  Allgemeinheit  ist. 

Setzt  man  zum  Beispiel  x  =  h,  so  findet  man  die  Formel  von 
Schläfli  in  §  42,  (5),  während  die  Annahme  Ji  =  xi  die  Soninsche 
Formel  in  §  42,  (6)  gibt.     Setzt  man: 

^^  =  «.    T-!-.  ^{o  +  b)>0, 

SO  erhält  man  aus  (2)  folgende  Formel: 

•  (   f  (^""^v  cos{a sm(p  —  v(p)d<p  —  smv7t  •  /  e-«rin(A«)-öcoä(Ä«)g-v*^^.J  ^ 

0  0 

so  daß  die  Annahme  v  =  0  die  Besselsche  Formel  §  18,  (3)  liefert. 

Dividiert  man  in  (2)  durch  (x  :  h)''  und  setzt  man  x  =  0  und 
2h  für  h,  so  findet  man  folgende  neue  Formel: 

7t  Ot> 

0  0 

«R(Ä)>0. 

Setzt  man  weiter  in  (2)  9fl(v)>0  voraus,  so  darf  A  rein  imaginär 
sein,  ohne  daß  die  Formel  ihre  Anwendbarkeit  einbüßt.    Indem  man 


X  =y—2ah    annimmt,    multipliziert    man  mit  /^^;  setzt  man  dann 
Ä  =  0  und  wieder  h  für  a,  so  findet  man: 

7t  OD 

(5)       0  =  ^i  I  e^''°^vcos(hsm(p-\-v(p)dcp  —  8mv7t-  I  e-'"~'-''dsj . 

0  0 

Addiert  und   subtrahiert  man  nun  die  Formeln  (4)  und  (5),   so  er- 
hält man  beziehentlich: 


122        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 


it 


(6) 


r(t/  +  i) 


—  \  &  "^^f  cos  (/i  sin  gp)  cos  (vqo)  f^g? 

0 

CO 


(7) 


3t 


.       .  =  -^    I  ßh  cos  tp  gj^  ^^  gjjj  ^^  gjjj  ^^tfp-J  (Jfp 

0 

00 


wo  man  voraussetzen  muß,  daß  'ifi(v)  >  0,  'SiQi)  >  0  ist.     Bedeutet 
V  eine  ganze  Zahl,  so  gehören  die  Formebi  (6),  (7)  Poisson^)  an. 
Wir  kehren  nun  zur  Formel  §  42,  (2)  zurück.     Indem  wir: 


(f 


+  w]  i 


if  +  "') 


«  =  e    \^      /  ,     ß'  =  e' 
setzen,    denken    wir   uns,    daß   sich  der  Integrationsweg  aus   einem 
Kreisbogen   C  mit  dem  Radius  —  und   dem  Zentram  im  Anfangs- 

.      •  C  OC  C  ß 

punkte  und  aus  den  zwei  geraden  Linien  -^  und  -|-  zusammensetze. 
Dieselben  Rechnungen  wie  in  §  42  ergeben  dann: 

2"  "•" '"  /«'  <»  a'  00 


2 


ca 


also  auch  für  os  =  0  folgende  neue  Integraldarstellung; 


(8) 


0 

oo 

+/sin(. 


2c 


sm  (je 


-  vcp\  d(p  + 


wo  man  voraussetzen  muß,  daß  ^^(r^)  >  0  ist,  und  daß  x^  eine  reeUe 
Größe  bedeutet.     Die  Formel  (8)  ist  zu  §  42,  (8)  analog. 

Setzt  man  in  (8)  —  xi  für  x,   so  gewinnt  man,  wenn  v  gleich 
der  positiven  ganzen  Zahl  n  gesetzt  wird,  folgende  weitere  Formel: 


1)  Journal  de  l'Ecole  Polytechnique,  cahier  19,  p.  493;  1823. 


Kapitel  VII.    Intcgraldarbtellungen  von  Schläfli  und  Sonin.    §  41        123 


(9) 


T 


0 

+   1  sin  (x  \u\  (hs)  —  ~j  e~'"ds) ; 


somit   gibt  die   lliinsensclie   IntegraKorinel  §  ID,  (1)   folgende   be- 
merkenswerte Identität  von  Sonin^): 

(10)  I  e"=''"P cos  {ncp) dtp  =  j  sin  (x  fin  (hs)  —  ^^^\e-"'ds, 


n 
T 


welche  übrigens  Gubler')  neuerdings  direkt  abgeleitet  hat. 

Setzt    man    endlich   in   (8)   2c  für  c  und  dividiert  man   durch 
{x  :  2c)*,  so  findet  man  für  o;  =  0  die  neue  Formel: 


(11) 


n 

T 


-fr-, — :— T  =  —   /  e^co8(p  ßQa  (c  sin  OD  —  vw)  dcp  + 
V(y-\-l)        nj  ^ 

0 

OD 

H /sin  (ce*  —  ^je~'*(?s, 


welche  zu  (4)  analog  ist. 


§  44.     Diskussion  der  Integrale   U^  Tind   C/g. 

Die  Diskussion  der  zwei  Integrale  U^  und  U^  wird  sehr  er- 
leichtert, wenn  man  folgendermaßen  über  den  Integi-ationsweg 
disponiert: 

Wir  konstruieren  mit  dem  Zentrum  im  Anfangspunkte  imd  mit 
dem  Radius  1  einen  Kreis  und  bezeichnen  den  Schnittpunkt  dieses 
Kreises  mit  der  negativen  reellen  Achse  mit  A,  mit  der  negativen 
imaginären  Achse  mit  B,  mit  der  positiven  reellen  Achse  mit  C 
und  mit  der  positiven  imaginären  Achse  mit  D,  während  S  den 
unendlich   fernen  Punkt  der  negativen  reellen  Achse  bedeuten  mag. 


1)  loc.  cit.  p.  19. 

2)  Mathematische  Annalen  Bd.  49,  p.  584;  1897. 


124        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Bezeichnet   noch   Q   einen  willkürlichen  Integrationsweg,    so   setzen 
wir  immer  der  Kürze  halber: 

S2 

Mit  diesen  Bezeichnungen  findet  man  also  zum  Beispiel: 

U^  =  J\x)  =  ^{S  ABCBAS) 
und  daraus: 

(1)  C/i  =  ^{CBÄ)  -  ^(CAB)  +  (1  -  e2v^'-)^(^5). 
Setzt  man  ferner: 

U^  =  ^(OCBABCO),     U^  =  ^(OCBAS), 
wo   0  den  Ursprung  bezeichnet,  so  findet  man  leicht; 

(2)  U,  =  {1-  e-^'"')'^{OC)  +  '^{GBA)  -  e-'''^'^{CBÄ), 

(3)  U,  =  S(OC)  +  S(Ci)^)  +  S(^Ä), 
woraus  unmittelbar  folgende  Identität  hervorgeht: 

(4)  U^  =  e-2'-^'  C^i  +  (1  -  e-2>'^')  f/3. 

Setzt  man   weiterhin   in   dem   oben  gegebenen  Integrale  für  J~'''{x) 
statt  t  den  Ausdruck  —  e~^'  :  t,  so  findet  man: 

so  daß  man  endlich  zu  folgenden  Formeln  gelangt: 

(5)  U2  =  e-'^^'J-^ix), 

(6)  ^3  =  ^^^^4S^— -|-^i"(-), 

wo  H^^(x)  die  erste  Hanke  Ische  Cylinderfunktion  bedeutet. 

Doch  sind  diese  Formeln  von  keinem  besonderen  Interesse, 
weil  die  Integrationswege  sehr  kompliziert  sind.  In  unseren  Unter- 
suchungen über  die  asymptotische  Darstellung  einer  Cylinderfunktion 
werden  wir  daher  noch  andere  weit  bequemere  Integraldarstellungen 
der  Hank  eischen  Funktionen  geben. 

§  45.     Diskussion  des  Integrales    ü^. 

Das  vierte  und  letzte  der  in  §  41  eingeführten  Integrale,  U^, 
läßt  sich  in  folgender  Form: 


1  +  aai 


(1)  xj^^^^-        e'-Tu.u-'-Hu,        ^(v)>0 

A-  +  00  f 


Kapitel  VII.    Integraldarstellungen  von  Schlilfli  und  Sonin.    §  45.       121) 

darstellen,  wo  oo  in  den  beiden  Grenzen  mit  demselben  Zeichen  zu 
nehmen  ist;  wir  nehmen  stets  das  positive.  Wir  setzen  nun  in  (1) 
des  §  42  a  =  ß^  =  i  und  beachten,  daß: 

0  +  30  I  i-  +  X  I 

sein  muß,  weil  die  Integrationswege  u  =  0  nicht  einschlieBeu.  Ad- 
dieren wir  nun  aber  zu  ij  41,  (1)  die  Summe  der  beiden  Integrale 
(2),  so  linden  wir: 


l+wi  0-+-ce  I 


l  +  coi 


(3)  J'{x)  =  ^  I  e"-ru-u-^-'du,         miv)>0 

i  +  001 

oder  mit  anderen  Worten: 

(4)  U,  =  J^ix). 

Wir  setzen   weiterhin   in  §  42,  (1)  a  =  ß'  =  —  i  und  addieren 
zu  der  so  erhalteneu  Formel  die  Summe  folgender  beiden  Integrale: 

0  —  IX  i  l  +  oi  i 


(5) 


2nt      f  2^11      J 


k—  cci  0  +  oc  i' 

und  finden  so  die  weitere  Formel: 

(6)  J'(x)  =  -^-  /  e"-i^  .  u-'-'du,       9t(v)  >  0. 

A-  —  00  i 

Es  ist  wohl  zu  beachten,  daß  die  Integrationswege  in  (3)  und 
(6)  die  reelle  positive  Achse  schneiden  müssen,  weil,  wenn  dies 
nicht  der  Fall  wäre,  die  beiden  Integrale  offenbar  gleich  Null  sein 
müßten. 

Wir  betrachten  die  Formel  (6)  näher  und  setzen  l  =  A-,  so  daß 
?R(Ä-)>0  sein  muß;  dann  darf  nämlich  das  Integral  längs  einer 
geraden  Linie  genommen  werden,  welche  vom  Punkte  k  ausgeht 
und  mit  der  imaginären  Achse  parallel  läuft.  Bezeichnen  wir  außer- 
dem durch  a  eine  reelle  und  zwar  positive  Konstante  und  setzen 
wir  hierüber  2u  =  a(k  -{-  ri)j  so  finden  wir: 


126        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfuuktionen. 


(7)    j'v(^)  =  i«_Z-   /  e-^'^'''^-2^^)-(Jc  +  ri)-^-hh',      ^{v)>0. 


Transformiert  man  auf  ähnliche  Weise  das  analoge  Integral, 
für  welches  der  geradlinige  Integrationsweg  mit  der  imaginären 
Achse  parallel  läuft,  aber  vom  Punkte  —  Ä:  ausgeht,  so  findet  man 
dagegen  folgende  Formel: 

+  <» 

(8)  0  =    re-|^'-*-''^-'^^(rrF?)  .  (k  +  ri)—hJr,         '3i(v)  >  0, 

welche  in  Sonins^)  Untersuchungen  über  bestimmte  Integrale  mit 
Cylinderfunktiouen  eine  wichtige  Rolle  spielt. 

Dividiert  man  jetzt  die  Formel  (7)  durch  .r*'  und  setzt  man 
X  =  0,  so  erhält  man  aus  (7),  (8): 

+  00 

(9)  -^ =  ^  feJ^''-'''^ .  (Je  +  ri)-^-hIr,         ^(v)  >  0, 


—  00 
+  00 


(10)  0  =  ^fe'^^''"''^  ■  (1c  +  ri)-^-'dr,  m(v)  >  0 


—  QO 


zwei  Formeln,  die  schon  von  Cauchy^)  gefunden  worden  sind;  die 
erste  ist  also  in  der  Tat  eine  Integi*aldarstellung  des  reziproken 
Wertes  der  Gammafunktion. 

Es  ist  Ijemerkenswert,  daß  uns  imsere  allgemeinen  Integral- 
darstellungen für  die  Cylinderfunktion  mit  Leichtigkeit  auf  das  erste 
Besselsche  Integral  fühi-ten;  dagegen  scheint  der  Übergang  zum 
zweiten  B es s eischen  Integrale  etwas  schwieriger  zu  sein.  Um  aber 
auch  diesen  Übergang  bewerkstelligen  zu  können,  gehen  wh-  von 
der  bekannten  Formel: 

(11)  Je-^'\os{ty)dt  =  y^-e~^,         üi(^)>0 

0 

aus,  welche  wir  unmittelbar  herleiten  können,  wenn  wir  statt 
cos  (yt)  die  gewöhnliche  Potenzreihe  einführen  und  dann  gliedweise 
integrieren,  was  offenbar  erlaubt  ist.  Wir  werden  übrigens  später 
in  §  70,  (7)  die  Formel  (11)  noch  verallgemeinern. 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.   16,  p.  38;  1880. 

2)  Citat  von  Souiu,  loc.  cit.  p.  26. 


Kapitel  VII.    lutt'graldarHtcllungen  von  SchliUii  und  Soniii.    §  4G.        li>7 

Setzt    man    nun    in    (11)    x   für  xj  und     -  {k -\- ri)  für  x  und 

führt  man  das  so  erhaltono  Intepral  in  (7")  an  Stelle  der  Exponen- 
tialfunktion ein,  so  erhält  man  nach  einer  sicherlich  gestatteten  Um- 
kehruug  der  Integrationsfolge  folgende  neue  Formel: 


(12) 


OD  +00 

•  Jcos  CrO  (2-,/^^  (^-'')(*+-) .  (A;+rO--* ä^ dt-, 


wendet  mau  weiterhin  die  Formel  (10)  an,  so  erhellt,  daß  das  zu- 
erst zu  bestimmende  Integral  gleich  Null  sein  muß,  falls  /-  >  1  ist, 
so  daß  sich  die  obere  Integrationsgrenze  für  t  auf  +  1  reduziert. 
Das  so  erhaltene  Integral  läßt  sich  aber  unmittelbar  aus  (9)  be- 
stimmen, und  somit  ist  auch  der  zweite  Besselsche  Integralaus- 
druck für  die  Cylinderfunktion  J'(x)  gefunden. 


§  46.     IntegraldarsteUungen   von    Y^x),  S"{x),   0''{x),  <B''{x) 

und  £)"{x). 

Die  zwei  allgemeinen  Integraldarstellungen  des  §  42,  (5)  und  (6) 
ermöglichen  uns  für  die  fünf  oben  genannten  Funktionen  unschwer 
ähnliche  Formeln  zu  finden.  Wir  gehen  zunächst  von  §  42,  (5) 
aus,  bringen  die  einander  sehr  ähnlichen  Formeln  §  3,  (2)  für  Y^(x) 
und  §  17,  (21)  für  Q''(x)  in  Anwendung  und  finden  somit  für  die 
Neumannsche  Cylinderfunktion  ohne  weiteres  folgende  Integral- 
darstellung: 

oe 

(1)     Y'{x)  =  Q"{x)  -  je-^  f'"»  (e"»  +  cos  v:i  •  e""«)  dB,     ^(x)  >  0, 

0 

die  für  ganze  v  von  Schläfli^)  gefunden  wurde. 

Ziehen  wir  jetzt  §  42,  (6)   in  Betracht  und  erinnern  wir  uns 

der  Identität: 

cD-'(ic)  =  e'«^' .  0"{x), 

so  finden  wir  nach  einer  einfachen  Rechnung  folgende  von  Heine^) 
für  ganzzahlige  v  gefundene  Integraldarstellung: 


1)  Mathematische  Amialen  Bd.  3,  p.  147;  1871. 

2)  Journal  für  Mathematik  Bd.  69,  p.  140;  1869. 


128        Erster  Teil.    Fundamentaleigenscliaften  der  Cylinderfunktionen. 

00 

(2)         T"  (x)  ^iJ^\x)^-~.  je-  '-^  "« ö  •  co§  (v  ö)  (?  ö ,       gt  {x'i)  >  0 

0 

und    bemerken,    daß    sich    diese    Formel    (2)    auch    folgendermaßen 
schreiben  läßt: 


00 


(3)  H^\x)  =  ^-^  ■   Te-'-^coge .  co§  {yd)  de,  gt  {xi)  >  0, 

0 

wo  H^^ix)  die  zweite  Hankeische  Cylinderfunktion  bedeutet. 

Differentiieren  wir  nun  die  Formel  §  42,  (5)  nach  v  und  setzen 
dann  v  gleich  der  ganzen  Zahl  n,  so  gewinnen  wir  mittelst  §  17, 
(27)  die  Formel: 

00 

2(D^,J''(ä;))„^^  +  T''{x)  =  Q"(^)  -  (-  1)"2  ./e-^f'»öe-'^ödö; 

0 

mit  Zuhilfenahme  von  §  3,  (16)   liefert  demnach  (1)  folgende  neue 
Integral  darstellung; : 


QO 


(4)  S"" {x)  =/e-^  f'" ^{f^  -  (-  1)" e-"o)de,  'tR{x)>0', 

0 

sie  ist  zuerst  von  Schläfli^)  aufgestellt  worden. 

Gehen  wir  jetzt  von  §  42,  (6)  aus,  so  finden  wir  auf  dieselbe 
Weise  durch  Benutzung  von  §  19,  (10): 

00 

0 

so  daß  sich  aus  (2)  mittelst  §  6,  (9)  die  zu  (4)  analoge  Darstellung 
ergibt: 

00 

(5)  @ « (^)  =  2  •  i^Je- '^ "« ö  jiu  (w e)dd,  9^ {x i)  >  0 . 

0 

Nun  ist  es  auch  sehr  leicht,  Integralausdriicke  für  die  Funk- 
tionen 0"{x)  und  £)'^{x')  zu  gewinnen;  in  der  Tat  ergeben  sich  aus 
den  Definitionen  dieser  Funktionen  §  oO,  (24)  und  §  36,  (16)  ohne 
weiteres  folgende  zwei  Identitäten: 

(6)  S''-\x)  +  S^^\x)  =  A.O''{xy,    (S''-^(.^)  +  ©''  +  X^)  =  4D''(^), 
welche  wir  übrigens  später  in  §  112  durch  eine  allgemeine  Methode 
herleiten     werden.      Eine    Anwendung     von    (6)    liefert    inzwischen 
mittelst  (4)  und  (5)  die  folgenden  Formeln: 

1)  Mathematische  Annalen  Bd.  3,  p.  146;  1871. 


Kapitel  VIII.    Lineare  Ditfereutial^leichungen  für  r"  (jV    §  47.         129 

aa 

(7)  0''(z)  =  ^-jc-'f"ine(e"fl^.  (_  i)»e-«e)toöO(/(y,         !JR(j)  >  0 

0 

OB 

(8)  0''{x)  =  /"  +  »-/e-''"»»cog(«ö)  •  \inOclO,  ^:R(xi)  >  0. 

0 

Die  Formel  (7)  ist  ohne  Beweis  von  Neumann')  angegeben;  Sonin-) 
hat  sie  durch  andere  Methoden  bewiesen. 

Wir  bemerken  beiläufig,  daß  die  Formelpaare  (4)  und  (5),  (7) 
und  (8)  die  Analogie  zwischen  den  beiden  Funktionenpaaren  S"{x) 
und  ()"(x),  2"(u)  und  C"(a')  beträchtlich  verstärken;  aber  erst  in 
tj  112  wird  diese  Analogie  durch  unsere  allgemeinen  Untersuchungen 
über  die  Neumannschen  Reihen  erster  Art  völlig  klargelegt  werden. 


Kapitel  YIII. 
Lineare  Differeiitialgleiehungeii  für  die  Cyliiiderfuiiktionen. 

§  47.     Transformationen  der  Besselschen  Gleichung. 

Nachdem  wir  unsere  Untersuchungen  über  die  Fundamental- 
gleichungen der  Cylinderfunktionen  mit  der  Aufstellung  allgemein 
gültiger  Integralausdrücke  für  diese  Funktionen  abgeschlossen  haben, 
wenden  wir  uns  nunmehr  zu  denjenigen  linearen  Differentialglei- 
chungen, welche  sich  mittelst  Cylinderfunktionen  integrieren  lassen. 

Wir  setzen  voraus,  daß 

y  =  F(x) 

ein  Integi'al  der  nicht  homogenen  linearen  Differentialgleichung: 

(1)  y^^  +  ^  y^'^  +  (i  -  ^)  1/  =  f{x) 

sei,  in  welcher  f{x)  eine  gegebene  Funktion  bedeutet.  Dui'ch  eine 
einfache  Transformation  der  unabhängigen  Variabein  finden  wir 
dann  leicht,  daß: 

0  =  F{ßxy) 

folgender  Gleichung  genügen  muß: 


1)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen  p.  16;  1867. 

2)  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  7;  1880. 

Nielsen,  Cylinderfanktionen 


130        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Setzen  wir  außerdem: 

z  =  x-"t, 

so  finden  wir  schließlich,  daß  die  Funktion: 
(3)  t  =  x"F{ßxy) 

ein  Integral  der  allgemeineren  Gleichung: 

(4)     0  +  '-^  ■  H  +  {ßV^''-'  +  ^^^)  i  =  ßV^-'-'y-'-nßxy) 

sein  muß. 

Betrachten  wir  nun  speziell  die  zu  (4)  gehörige  homogene 
Gleichung,  so  sehen  wir,  daß  sich  ihr  allgemeines  Integral  durch 
folg-ende  Formel  darstellen  läßt: 

(5)  y^x'^  [c,  J^  (ßxy)  +  c,  Y^  (ßxy)) , 

wo  q  und  Cg  von  x  unabhängig  sein  müssen,  sonst  aber  ganz 
willkürlich  angenommen  werden  dürfen,  ein  Resultat,  das  wohl 
LommeP)  angehört. 

Wir  erkennen  demnach,  daß  die  Funktion: 

(6)  y=-YxC'{ßxy) 

einer  homogenen  linearen  Differentialgleichung  von  der  Form  (4), 
aber  ohne  ^/^^^  genügen  muß. 

Wir  betrachten  ferner  speziell  die  Gleichung: 

(7)  2/(2)  4-  hx'^y  =  0 

und  finden  aus  (4),  (5),  daß  ihr  allgemeines  Integral  durch  folgende 
Formel  dargestellt  wird: 


X    2 


m  -\-  2 

ein  Resultat,  das  man  gleichfalls  LommeP)  verdankt;  wir  setzen 
natürlich  in  (6)  voraus,  daß  m  +  2  =4=  0  ist,  denn  in  diesem  Falle 
wird  ja  (8)  illusorisch;  die  entsprechende  Gleichung  läßt  sich  aber 
durch  ganz  elementare  Methoden  integrieren. 

Wir   spezialisieren  noch  die  Gleichung  (7),    indem  wir  &  =  2, 
m  =  1  annehmen,  so  daß  sie,  wie  folgt,  lautet: 

(9)  2/(2)  +  2xy  =  0, 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  3,  p.  478;  1871. 

2)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen  p.  113;  1868. 


Kapitel  VIII.    Lineare  DifFerentialgleichungen  für  ^"(.r).    §  48.         131 
während  sich  ihr  allgemeines  Integral  folgendornmßeu  darstellen  läßt: 

(10)  y  =  |/^(,^ji(AV:L.^')  +  ,^yJ(_^.J)). 

In  seinen  Untersuchungen  über  die  numerische  Berechnung  der 
Cylinderfunktion  der  ersten  Art  hat  Meiss«;!')  die  Gleichung  (9) 
gefunden,  ohne  jedoch  zu  bemerken,  daß  sich  ihr  Integral  so  einfach 
durch  Cylinderfunktiouen  ausdrücken  läßt,  und  daß  es  also  auch 
überflüssig  ist,  ihre  zwei  partikulären  Integrale  einer  näheren  Unter- 
suc"hung  zu  unterwerfen.  Indessen  erhöht  ebendiese  Form  der  oben- 
erwähnten Integrale  das  Interesse  an  den  von  Meissel  gefundenen 
Resultaten  wesentlich. 

§  48.     Integration  der  Riccatisclien  Gleichung. 

Wir  haben  noch  nachzuweisen,  daß  die  Formeln  §  47,  (7),  (8) 
uns  gestatten,  die  Gleichung  von  Riccati-),  d.  h.  folgende  nicht 
lineare  Gleichung  erster  Ordnung: 

(1)  «/(i)  +  ^?/2  =  aa;'" 

zu  integrieren.    Zu  diesem  Zwecke  nehmen  wir  vorerst  an,  daß  /3  =  1 
sei,  und  setzen  dann  weiter  mit  Euler^): 

(2)  y=~' 

so  daß  wir  für  die  neue  Unbekannte  z  die  Gleichung: 

(3)  ^(2)  -  ax'''z  =  0, 

also  mittelst  §  47,  (8)  als  ihr  allgemeines  Integral  den  Ausdruck: 

bekommen.     Wenden   wir  weiterhin   die  Differentialformel  §  1,  (3) 
an,  so  ergibt  eine  einfache  Rechnung: 


(1  /  , m+l2\  1  /  , 


7n  +  2^ 


(5)    .«  =  1/^(^0,7"«     [^^J^  ■  X  ^  )  +  c.Y"-^     (^^_i_r.^.j 

so   daß   wir  nun  unmittelbar  durch  (2)  das  allgemeine  Integral  von 
(1)   für  /3  =  1  finden;   offenbar  kann  dieses  allgemeine  Integral  nur 


1)  Jahresbericht  der  Oberrealschule  in  Kiel,  189-2,  \i.  8. 

2)  Acta  eruditorum  suppl.  Bd.  8,  p.  66. 

3)  Citat   von  Duhamel:   Elements   de  calcul  infinitesimal,   Bd.  ü,  p.  266. 
4.  Aufl.;  Paris  1887. 

9* 


132        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

eine  willkürliche  Konstante,  c^  :  c^,  enthalten.  Um  die  allgemeine 
Gleichung  (1)  zu  integrieren,  brauchen  wir  nur  in  dem  eben  ge- 
fundenen Integrale  x  :  ß  für  x  zu  setzen. 

In  dem  Spezialfälle  m  =  —  2,  wo  die  vorhergehende  Methode 
hinfällig  wird,  braucht  man  nur  z  =  xy  zu  setzen;  (1)  wird  dann 
eine  in  y  lineare  Gleichung  erster  Ordnung. 

Nachdem  wir  also  die  Ricca tische  Gleichung  integriert  haben, 
ist  leicht  einzusehen,  daß  sich  das  allgemeine  Integral  dieser  Glei- 
chung durch  elementare  Funktionen  ausdrücken  läßt,  wenn  man: 

(6)  i;rX2=^  +  T'       »^  =  - 


w^-f  2        -^     '     2  '  2^+1 

setzt,  wo  p  eine  willkürliche  ganze  Zahl  bedeutet.  In  diesem  Falle 
werden  ja  in  der  Tat  die  im  allgemeinen  Integrale  auftretenden 
Cylinderfunktionen  immer  unter  endlicher  Form  durch  cos  x  und 
sin  X  ausdrückbar.  Umgekehrt  ist  es  nicht  schwierig  zu  beweisen, 
daß  sich  das  allgemeine  Integral  der  Gleichung  (1)  in  dieser  Form 
nur  darstellen  läßt,  wenn  m  der  Bedingung  (6)  genügt.  Die  Formeln 
§11,  (8),  (9)  ermöglichen 'uns  also,  diesen  bei  den  älteren  Autoren^) 
sehr  beliebten  Spezialfall  unmittelbar  zu  erledigen. 

Sicher  hat  Schläfli^)  zum  ersten  Male  die  Auflösung  der 
Riccatischen  Gleichung  mittelst  Cylinderfunktionen  gegeben;  indessen 
hat  doch  LommeP)  beinahe  zu  gleicher  Zeit  und  offenbar,  ohne 
Schläflis  Arbeit  zu  kennen,  eine  ähnliche  Lösung  gefunden. 

Wir  haben  indessen  zu  bemerken,  daß  schon  Euler*)  und 
später  Raabe^),  also  noch  zwanzig  Jahre  vor  Schläfli  und  Lommel, 
die  Gleichung  §  47,  (4)  durch  bestimmte  Integrale  integriert  haben. 

§  49.     Differentialgleieliung  für  a;«e±''^-"^  •  C^ßx^). 
Wir  kehren  nun  zu  der  Gleichung  §  47,  (4)  zurück  und  setzen: 
(1)  y  =  e^'^U, 

so  daß  wir  also  für  y  folgende  lineare  Gleichung  finden: 


1)  Z.  B.  Lacroix:   Traite  du  calcul  differential  et  integral,   Bd.  3,  p.  537, 

2.  Aufl. ;  Paris  1819. 
Duhamel:  Elements  de  calcul  infinitesimal,  Bd.  2,  p.  267. 

2)  Annali  di  Matematica  (2)  Bd.  1;  1868. 

3)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen  p.  112;  1868. 

4)  Institutiones  calculi  integralis  Bd.  2,  p.  298;  1769. 

6)  Differential-  und  Integralrechnung  Bd.  3,  p.  260  ff.     Zürich  1847. 


(2) 


(5) 


Kapitel  VIII     Lineare  Differentialgleichungen  für  C'\x).    §  49.  m.     133 

die  Form  dieser  Gleichunt:^  zeij^ft  deutlich,   daß  sie  sich  sehr  verein- 
fachen muß,  wenn  wir: 

(3)  Q  =  ±ßh     <^  =  y 

setzen;   denn    in   diesem   Falle  finden  wir  mit  der  in  §  47  angewen- 
deten Bezeichnung,  daß  die  Funktion: 

(4)  y  =  x"-e±^>-*'^-F(ßxy) 
ein  Integral  der  nicht  homogenen  Gleichung: 

sein  muß,    so   daß    sich   das   allgemeine  Integral  der  entsprechenden 
homogenen  Gleich img  folgendermaßen  darstellen  läßt: 

(6)  y  =  x"'e±  '-^^^  •  (q  J'  (ßxy)  -f  Cg  F" (ßxy))  . 

Wir  betrachten  folgende  zwei  Spezialfälle  der  eben  erwähnten 
homogenen  Gleichung: 

(7)  !/'='  +  y'"  +  i^^  y  =  0, 

und  finden  somit  für  ihi-  vollständiges  Integral  die  Ausdrücke: 

(9)  y  =  y^(q/»(^)  +  ^,r^(¥)) 

(10)  y  =  ^-''(q^"  (-2-)  +  c,Y^' {—))  ■  CT , 

die  uns  späterhin  in  §  57  sehr  nützlich  sein  werden. 

§  50.    Differentialgleichungen  dritter  Ordnung. 

Wir  differentiiereu  jetzt  die  in  §  47  für  die  Funktion  x^C^'^ßx^) 
erhaltene  Differentialgleichung  nach  x: 


X 


kx 


134        Erster  Teil.    Fimdamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

und  finden  so,  daß  sicli  stets  zwei  partikuläre  Integi-ale  dieser  Glei- 
chung von  der  dritten  Ordnung: 

(2)  ^^  +  Any)  =  0, 

WO  A  eine  in  x  durchaus  willkürliche  Funktion  bedeutet,  durch  die 
obenerwähnte  Funktion  herstellen  lassen. 

Was  nun  die  willkürliche  Funktion  A  anbetrifft,  so  kann  man 
sie  entweder  so  bestimmen,  daß  rechter  Hand  in  (2)  einer  der 
Koeffizienten  von  y'^'\  y^^\  y  einen  gegebenen  Wert  annimmt,  oder 
man  verfügt  über  diese  Funktion  so,  daß  das  dritte  partikuläre  Integral 
von  (2)  einer  vorgegebenen  Fimktion  von  x  gleich  wird;  denn  man 
erhält  aus  (2): 

(3)  ^  =  -D,logF(^), 

so  daß  man  A  unmittelbar  bestimmen  kann,  wenn  man  nur  rechter 
Hand  in  (3)  für  y  das  gegebene  partikuläre  Integral  einführt. 

Wenn  umgekehrt  A  gegeben  ist,  also  das  di-itte  partikuläre 
Integi-al  von  (2)  gesucht  wird,  so  findet  man  aus  (3),  daß  dieses 
Integral  auch  folgender  nicht  homogener  Gleichung  von  derselben 
Form  wie  §  47,  (4)  genügen  muß: 


Setzt  man  zum  Beispiel  voraus,  daß  das  dritte  partikuläre  Inte- 
gral von  (2)  gleich  c^  sein  soll,  so  bestimmt  man  die  Funktion  A 
unmittelbar  aus  (3);  der  allgemeine  Ausdruck  für  diese  Funktion 
wird  etwas  kompliziert,  dagegen  findet  man  in  folgenden  Spezial- 
fällen elegantere  Resultate: 

1)  y  =  l^     «^=1'     ^  =  ^     ^  =  ¥~^5 
die  Difi'erentialgleichung: 

hat  dann  das  vollständige  Integi-al: 

(6)  y  =  c^(f  +  Yx  [c^J'ixi)  +  Cg  Y'\xi)) . 

2)  a==v,     ß  =  i,     A  =  ^-l; 
wir  finden  hier  die  Differentialgleichung: 

m  '/-  +  (-^  - 1)  ^-  +  (-^  - 1)  'r>  +  (1  -  ^)  j'  =  0 


Kapitel  VIll.    Lineare  Ditferentialgleicliuugeu  für  C*'{x).    §  50.        13ö 
mit  dem  vollstäudi^en   lutcgralo: 
(8)  y  =  c^e'-\-x'  (c.J'ixi)  +  Cj  Y'ixi))  . 

3)    «  =  -:-,     /3  =  2)/v~^n[,     y=A,     A  =  -l; 
setzen  wir  noch  v  -f-  1  für  v,  so  fintlt'ii  wir,  daß  die  Funktion: 

(9)  y  =  c^(f-\-  x'T  (r, ./• + ' (2 y^)  +  fj  r- + 1(2 y^)) 

das  vollständit^e  Intot^ral  folgender  Gleichung  sein  muß: 

(10)  ,.'.-(n-^),/=.  +  (i;+^:)y..-(-;.+|.),  =  o. 

Die  in  §  49  für  die  Funktion: 

y  =  x"e±'!^'^-C'{ßxy) 

erhaltene  Differentialgleichung: 

U{y)  =  0 

läßt  sich  auf  dieselbe  Weise  behandeln;  wir  beschränken  uns  indessen 
hier  auf  die  Bestimmung  der  willkürlichen  Funktion  A  in  der  Art, 
daß  die  Gleichung: 

(11)  '-^+ÄU{y)  =  0 

als  drittes  partikuläres  Integral  den  Wert  (f  erhält.  Wir  finden 
dann,  daß  die  zwei  speziellen  Gleichungen: 

(12)  y».  +  (-1  -  2)  ,f>  +  (1^'  _  1  +  1)  y.  +  ^J  ,  =  0, 

(13)  ,<3.  +  f-^^ -  1) ,<« - (iil^) ,a.  +  '-^y  =  0 

ZU  vollständigen  Integralen  folgende  Funktionen  haben  müssen: 

(14)  y  =  q  e-  +  y^(c,J^  (^)  +  c,  Y^  (f))  e-i, 

(15)  y=^c,e^  +  x^[c,J^'  (f )  +  c,  F"  (f ))  e"?  • 

Wir  haben  außerdem  noch  einen  spezielleren  Fall  näher  zu  be- 
trachten, weil  derselbe  in  unseren  Untersuchungen  über  bestimmte 
Integi-ale  mit  Cylinderfunktiouen  eine  wichtige  Rolle  spielt.  Der 
Kürze  halber  setzen  wir  zu  diesem  Zwecke: 

(16)  A„,^,^  ^  yi^)  +  '-^  y(i)  +  (/3^  +  ^^)  y 


136        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 
und  finden: 


(1^) 


dx  ic        "'/ 


=  ,/3)_l     1-20^  +  «     (2), 


X 


+  (/3^  +  - 


y*  +  (a-l)(l-2a) 


a;' 


)  ^^^^  + 


«ß«       (a  — 2)(a2 


+  (?+ 


aj- 


y 


Setzen  wir  weiter  voraus,  daß  a  eine  von  x  unabhängige  Kon- 
stante bedeutet,  so  erkennen  wir,  daß  sich  das  vollständige  Integral 
folgender  linearen  homogenen  Differentialgleichung  dritter  Ordnung: 


(18) 


aA 


im  allgemeinen  folgendermaßen  darstellen  läßt: 

(19)  y  =  x-[c,Jr{ßx)  +  c^  r>'(^a;)  +  c,W''^\ßx))  , 

wo  TT  die  Lommelsche  Funktion  bedeutet;  mittelst  §  31,  (1),  (2) 
und  §  47,  (4)  erhalten  wii-  für  den  neuen  Parameter  Ö  folgenden 
Ausdrack: 

(20)  8  =  2  — u-a. 

Wir  setzen  femer: 

(21)   A;,,,^.y.  +  (i^-2^;)y.>  +  (^-ii!-M^^), 


und  finden; 


(22) 


+  M^-y'  +  («--l)(l-2a)  _  l-2a  +  2a  ^  A  ^^^^  _^ 


+  ( 


(a  — 2)(a*-y*)        («  —  1)  (1  —  2a)^i' 


die  lineare  homogene  DifiFerentialgleichung  dritter  Ordnung: 


)!/; 


(23) 


aA' 


«.^.y 


hhl  _i_  _    A' 

a:        '    a;         «'-^-y' 


=  0, 


wo  a   eine  von  x  unabhängige    Konstante    bedeutet,    muß    also    das 
vollständige  Integral: 

(24)  y  =  a;«  e'  <^  ^  (q  J>'  (/3 a;)  +  Cg  T^"  (/3 ^)  +  Cg  O^'  \ßx)) 

haben,  wo  der  neue  Parameter  8  immer  aus  (20)  zu  entnehmen  ist. 


Kapitel  Vm.    Lineare  Differentialgleichungen  für  C'(x).    §51  137 

§  51.    Differentialgleichungon  vierter  Ordnung. 
Wir  haben  hier  die  Gleichung: 

(1)  ^Jl^  +  A?2^  +  Byiy)-Q, 

ZU  betrachten,  wo  V(y)  die  in  ij  50  Formel  (1)  definierte  Funktion 
bedeutet,  während  ^-1  und  B  in  x  willkürliche  Funktionen  darstellen. 
Offenbar  lassen  sich  dann  zwei  der  partikulären  Litegrale  von  (1) 
aus  der  Funktion: 

bestimmen;  um  die  beiden  anderen  zu  finden,  haben  wir  die  homo- 
gene lineare  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung: 

(2)  e^')-{-  Az^'^-\-  Bz  =  () 

zu  integrieren;  wenn  dies  ausgeführt  ist,  finden  wir  die  obener- 
wähnten partikulären  Integrale  durch  Integration  folgender  nicht 
homogenen  Gleichungen: 

(3)  V{y)  =  z,,         V(:y)  =  ,,, 

die  ganz  dieselbe  Form  haben  wie  §  50,  (4)  und  in  denen  z^  und 
z^  zwei  partikuläre  Integrale  von  (2)  bedeuten. 

Sind  umgekehrt  die  beiden  letzten  partikulären  Integrale  y^  und 
?/o  von  (1)  gegeben,  so  kann  man  die  beiden  Koeffizienten  Ä  und  B 
durch  folgende  zwei  Gleichungen  ersten  Grades: 


(4) 


bestimmen;  denn  die  Determinante  dieses  Gleichungssystemes  kann 
niemals  verschwinden,  wenn  y^  und  y^  wirklich  von  den  Cylinder- 
funktionen  und  voneinander  linear  unabhängig  sind. 

Nach  diesen  allgemeinen  Erörterungen  wollen  wir  denjenigen 
Spezialfall  näher  untersuchen,  in  welchem  sich  y^  und  y.^  aus  der 
Funktion: 

x^C'Xißxy) 

bilden  lassen.  Bezeichnen  wir  der  Kürze  halber  durch  V^^y)  die 
Funktion,  welche  wir  aus  Vi^y)  herleiten,  indem  wir  ßi  für  ß  setzen, 
so  haben  wir  demnach  die  Koeffizienten  A,  B,  A^  und  B^  so  zu 
bestimmen,  daß  wir  die  identische  Gleichung: 


138        Erster  Teil.    Fundamentaleigenscliaften  der  Cylinderfunktionen. 


erhalten;  eine  einfache  Rechnung  gibt  nun: 

5  — 2«  — 4y 


Ä 
B 


A- 


X 


^V  +  4(y-l)(y  +  C.-l)  .2^2^2y-2 


rc" 


ß^y^x^ 


so  daß  sich  die  gesuchte  Gleichung  folgendermaßen  schreiben  läßt: 

WO  wir  der  Kürze  halber: 

a^==2{a'~v'y')-^4:(y-l){y  +  a-l)-\-(l-2a)(ß-2a--iy), 
a,^2(a'-v'y')(l-a-2y)+(l-2a){l-2y){l-2a-2y)> 
a,  =  (a^-v'y^)(6-2Ä-{-B-{-ß'y'x'y-') 

gesetzt  haben. 

Diese  allgemeineren  Koeffizienten   lassen   sich  beträchtlich  ver- 
einfachen, wenn  man  über  die  Parameter  speziellere  Voraussetzungen 

1  V  .  ■ 

macht;  so  findet  man  zum  Beispiel  für  y  =  -^,  ^  =  ^  ^^^    einfache 
Gleichung: 

2 

16p 


0) 


mit  dem  vollständigen  Integrale: 

(8)  y^xi{c,J'iyhx)  +  c,  Y'iybx)  +  c,J^'{y^-l^)  +  c^Y'(y^^^)) . 

In  den  Spezialfällen  v  ==  0,  1,2  gewinnt  man  aus  (7)  folgende 
bemerkenswerten  Gleichungen : 


(9) 
(10) 

(11) 


16xhß^  +  64xiß^  +  32^(2)  _  ^2^  _  0, 
16icV'^  +  32;r?/(3)-622/  =  0, 


Wir  setzen  ferner  in  (6)   g:  =  Y'  ^  ^  2~ 
Gleichung: 


und    finden    so    die 


(2) _  .  ^  V 


(12)      ,..  +  i^%/3.  +  (1..4<l^,  ^^„. 

mit  ihrem  vollständigen  Integrale: 

y  =  Y^  q  J"(l/&  •  x'^)  +  c,  r'(-)/&  •  x^)\ 


?/=o 


(13) 


+ 


+  c, 


Jv  (yZ:^    .  a;  2r.)   ^_  c^  p'  (|/3&  .  a;  2  v) 


(14) 


Kapitel  VIII     Lineare  Differentialgleichungen  für  C*\x\    §  5-'.        139 

für  V  \  erhalten  wir  hieraus  wieder  die  GkMchung  (10),  die  von 
Ostenfeld')  aufj^estellt  worden   ist. 

Aus  §  öO,  (17)  tinden  wir  folgende  Gleichung  vierter  Ordnung: 

dx*    ^  X     dx    ^  X*  "«.^r -y   ^       X      J   ^ 

Setzen  wir  weiter  voraus,  daß  <i  und  h  zwei  von  o?  unal)hängige 
Konstanten  ))edeuten,  so  zeigt  (2),  daß  sich  das  vollständige  Integral 
dieser  Gleichung  vierter  Ordnung: 

(15)  ?^^  +  ^  ^^  +  -\  A„  ,    =  0 
^     ^  dx*  X       dx  X*      "'P-y 

folgendermaßen  darstellen  läßt: 

(16)  y  =  x"{c,Jy{ßx)  +  q  Yy{ßx)  +  c.Ur'^ißx)  +  c,m'^(ßx))  ■ 

die  zwei  neuen  Parameter  d  und  s  lassen  sich  demnach  durch  die 
Wurzeln  Aj  und  A,  der  aus  (2)  erhaltenen  Gleichung: 

(17)  A(A-l)  +  «A  +  &  =  0 
folgendermaßen  bestimmen: 

(18)  ö=2  +  Ai-«,     £  =  2  +  ^2-«; 

auch  dieses  Resultat  ist  für  unsere  Untersuchung  über  bestimmte 
Integrale  mit  Cylinderfunktionen  von  großem  Nutzen.  Wir  verzichten 
dagegen  auf  die  zu  (14)  analoge  Formel  für  A'„,^  ,  weil  wir  von 
dieser  Formel  keinen  Gebrauch  zu  machen  haben. 

§  52.    Differentialgleichungen  willkürlicher  Ordnung. 

Es  leuchtet  ein,  daß  die  Methoden,  welche  wir  in  den 
beiden  vorhergehenden  Paragraphen  auseinandergesetzt  haben,  auch 
auf  Differentialgleichungen  höherer  Ordnung  ausgedehnt  werden 
können;  wir  beschränken  uns  indessen  auf  die  Untersuchung  eines 
bemerkenswerten  Spezialfalles.  Zu  diesem  Zwecke  setzen  wir  wie 
in  §  50: 

1)  Bei  seinen  theoretischen  Untersuchungen  über  die  Schwingpartie  der 
neuen  Brücke  „Langebro",  welche  Kopenhagen  mit  der  Vorstadt  Christianshavn 
verbindet. 


140        Erster  Teil.    Fundamentaleigenscliaften  der  Cylinderfunktionen. 

(1)  Viy)  ^  tß)  +  ^^ y^''  +  {ß'v'x'^-'  +  ^.^)  y 
und  außerdem: 

(2)  2S(«/)  =  F(^)  -  /3C)/2a;«  +  y?-2^ 

so  daß  die  Funktion  a;"TT*''?(/3a;>'),  mit  einem  passenden,  von  x  un- 
abhängigen Faktor  multipliziert,  ein  partikuläres  Integral  der  nicht 
homogenen  Gleichung: 

(3)  35(^)  =  0 

sein  muß. 

Differentiiert  man  nun  die  Gleichung  (3)  wiederholt  nach  x,  so 
findet  man,  daß: 

^"J  X  ^^"  X 

s=0  s=0 

sein  muß,  wo  die  Koeffizienten  a^  von  x  unabhängig  sind  und  wir 
der  Kürze  halber: 

(5)  Gih)  =  a^  +  ^a„_,  -  Jc(h-1)  ■  •  •  (Jc-s  +  l) 

gesetzt  haben.  Es  ist  nun  nicht  schwer,  folgenden  Satz  zu  be- 
weisen: 

Im  allgemeinen  läßt  sich  die  GUichung  (4)  durch  zwei  Cylinder- 
funktionen und  n  -\-  1   Lommelsche  Funktionell  vollständig  integrieren. 

Daß  ein  partikuläres  Integral  von  (4),  von  einem  von  x  un- 
abhängigen Faktor  abgesehen,  im  allgemeinen  eine  Lommelsche 
Funktion  sein  muß,  haben  wir  ja  schon  oben  bemerkt.  Nun  ist 
ferner  offenbar,  daß  die  determinierende  Gleichung  für  die  zu  (4) 
gehörige  homogene  DiflFerentialgleichung  genau: 

(6)  G{k)  =  0 

sein  muß;  denken  wir  uns  also,  daß  die  Wurzeln  dieser  Gleichung: 

(7)  «1,  «2,  ••-,«„ 

sind,  unter  denen  sich  nicht  zwei  gleiche  finden  mögen,  so  wird 
das  vollständige  Integral  von  (4)  durch  die  Funktion: 

y  =  Ä- x^W'^ißxy)  +  X"  (c^J'Xßxy) -\-  Cg  Y'ißxy))  + 

(8)  ^"  .       . 

l  s  =  l 

dargestellt,  wo  wir  der  Kürze  halber: 


Kapitel  VIII.    Lineare  Ditfereutialgleicbungen  für  C*{x).    §53.  141 

gesetzt  haben. 

Sinti  zwei  oder  mehrere  der  Wurzehi  (7)  einander  gleich,  so 
treten  in  (8)  auch  nach  ^  genounneiu'  DiÜ'erentiaUjuotienten  der 
Lomnielschen  Funktion  auf;  dasselbe  findet  statt,  wenn  (J,  =  ±v  —  2p, 
wo  p  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  ]>edeutet. 

Wir  setzen  weiter  voraus,  daü: 

wo   die  2\  ganze  Zahlen  bedeuten,  und  daß  übrigens: 

a,  —  a  +  9 


d 


=  ±  V  +  m 


ist,  wo  ni  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet;  dann  lassen  sich  die 
w  letzten  in  (8)  vorkommenden  Lommelschen  Funktionen  nach 
§  30,  (2)  sämtlich  durch  endliche  Reihen  ersetzen. 

In  dem  Spezialfälle  a^  =  0,  p^=  1,  d  ^  l  findet  man  folgenden 
bemerkenswerten  Satz: 

Diff'crcntiicrt  man  die  für  die  Funldion: 


+  -^  -  m  +  2 


erhaltene  Besselsche  Differentialgleichung  n-mal  nach  x,  so  wird  durch 
die  zwei  Cylindcrfunktionen  und  durch  n  endliche  Reihen  ein  Fun- 
damentalsystem von  Intcgnden  der  so  erhaltenen  homogenen  linearen 
Differentialgleichung  (n  +  2)'*'"  Ordnung  dargestellt. 

§  53.    Einige  Anwendungen  auf  partielle  Differentialgleichungen. 

Indem  wir  mit  v  eine  entlliche,  aber  sonst  ganz  willkürliche 
Konstante  bezeichnen,  suchen  wir  mit  Neumann^)  für  folgende 
partielle  Differentialgleichung: 


wo 


(2)  r'^^{x-x,y  +  {y-y,f 

gesetzt   wird,    ein    Integi-al,    das    eine    Funktion    von   r    allein    ist. 


1)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen  p.  59;  1867.     Neumann  betrachtet 
den  Fall  v  =  0. 


142        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 
Mittelst  (2)  finden  wir  unmittelbar: 


d^ti 


dx' 


du       du    X  —  x^ 

dx       dr         r      ' 

d^u 

{x—x^Y        1   du 
r*              r   dr 

du 

{x—x^Y 

dr^ 

dr 

^3 

und  äkaliche  Ausdrücke  für  die  partiellen  Ableitungen  nach  ?/;  dem- 
nacli  erhalten  wir  aus  (1)  für  das  gesuchte  Integral  die  Besselsche 
Gleichuno:: 

r^         r  dr        \  r^J  ' 


d^u    .     1   du 


d 
aus  der  sich  für  das  obenerwähnte  spezielle  Integral  ergibt: 

(3)  u  =  c,J\r)  +  c,Y^{r), 

wo  q  und  c^  willkürliche  Konstanten  bedeuten. 

Der  Neumannsche  Fall  v  =  0  ist  später  von  Poincare^)  uud 
Picard^)  untersucht  worden. 

Wir  denken  uns  im  allgemeinen  die  vier  Koordinaten  x,  y,  x^ 
und  y^  reeU,  somit  ergeben  die  Formeln  des  §  59  über  asymptotische 
Darstellungen  von  J''{x)  und   F*(a;)  folgenden  Satz: 

Die  partielle  Differentialgleichung  (1)  hat  als  Integral  eine 
FunJition  von  r  allein,  und  dieses  Integral  ist  in  der  ganzen  reellen 
Ebene,  auch  in  den  sehr  entfernten  Punkten,  immer  endlich. 

Um  ein  zweites  Beispiel  zu  geben,  suchen  wir  mit  Poisson^) 
von  folgender  partiellen  Differentialgleichung: 

/-\  d^u   .     1  du 1      d^u        v^ 

^  ^  dx^       x  dx       a^     dy^       x^ 

ein  Integral  von  der  Form: 


fxy 

(5)    u\x,y)=-J^^-—-'  j  F(ay+x(iOBcp){^mq>Yulcp,    '^{y)>—\, 


0 


wo  F{x)    eine    willkürliche    Funktion    bedeutet,    für    welche  jedoch 
F^^\x)  und  F^^\x)  beide  existieren  müssen. 

Wir  finden  nämlich  aus  (5)  ohne  Schwierigkeit: 


1)  Comptes  rendus  Bd.  117,  p.  1027—1032;  1893. 

2)  Comptes  rendus  Bd.  118,  p.  IG— 17;  1894. 

3)  Journal  de  l'Ecole  Polytechnique  cahier  19,  p.  224;  1823. 


Kapitel  VIII.    Lineare  I>itferentialj?leichuugeu  für  C*[^x).    §  53.         143 

(ir 


/,is     du        V 


^V{v  +  \) 


yF^^Haifi-x 


cos  (p)  (sin  (py '  cos  (pdq>'., 


beachten    wir,     daß    eine    partielle    Integration    ohne    weiteres    die 
folgende  Formel: 
n 

j  F^^'>{ay  -\-  X  cos  (p)  (sin  cp)'*  cos  q)  dcp  = 

0 

liefert,  so  finden  wir  aus  (6)  leicht: 

n 

xV    1 


2*M  v(v  —  1) 

dx*  X* 


V2         X        / 

u ;^ /  i^('^(rt!/+a:cos9))(sin9))^'cos9)(79p-|- 


m 


+ 


(f) 


F^'^\ay  4-  ic  cos  9)  (sin  9)-*'  (^qp; 


erinnern  wir  uns  nun  weiter,  daß 


(8) 


^  ■  ^*  ^  V^r(.  +  ^)  7^^'^^«^  +  ^  '^^  9')  (sin  9)^"  ä^ 


sein  muß,    so  ersehen  wir  aus   (6)   und   (7),    daß   (5)   wirklich  ein 
Integral  von  (4)  darstellt. 

Bedenkt  man,  daß,  wenn  iC'ix,  y)  ein  Litegral  von  (4)  ist,  das- 
selbe auch  mit  den  zwei  anderen  Funktionen: 


u' 


'^^'  ^)'       S^^  (^^^  ^"^  ■  ^"*^^'  ?/)  -^*"'(^7 «/)) 


der  Fall  sein  muß,  so  gewinnt  man  für  1/  =  0,  außer  u^{x,  y\  noch 
das  anderere  partikuläre  Integral: 


(9) 


v^{x,  y)  =  f  F{ay  -f  x  cos  cp)  log  (a:  sin^  fp)d(p, 


wie  schon  Poisson^)  gezeigt  hat;    es   ist  offenbar,   daß  v^(x,  y)   zu 
m°(ä;,  ?/)  in  demselben  Verhältnisse  steht  wie   Y°(a;)  zu  J^(x). 

1)  loc.  cit.  p.  227, 


144       Erster  Teil.    Fundameutaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Wir    denken  uns  nun  weiter,  daß  F(q))  im  Intervall  von  —  tc 
bis  +  7t  durch  die  Fouriersche  Reihe: 

Ä=  00 

F((p)  =  i%  +  ^  (a,  cos  (scp)  +  J)^  sin  {s(p)) 


4=1 


darstellbar  sei,  wo  also: 


—  TT 


sein  müssen;  die  Formeln  des  §  18  ergeben  dann  mittelst  (5), 
wenn  —  :jt  <,  ay  +  x  <i  -{■  ^ ,  für  unser  partikuläres  Integral  ohne 
Mühe  folgende   eigentümliche  Entwicklung: 


I I  «=00 


J^(saj) 


s=l 


Ähnliche  Auflösungen  gewisser  partieller  Differentialgleichungen 
sind  in  der  mathematischen  Physik  von  größter  Wichtigkeit;  es 
würde  uns  indessen  hier  viel  zu  weit  führen,  näher  auf  diese  Unter- 
suchungen einzugehen. 


Kapitel  IX. 
Lineare  Differentialgleiehuiigeii  für  das  Produkt  C''(x)C^^^(x). 

§  54.    Herleitung  einiger  Spezialfälle. 

Eine  Untersuchung  von  Poincare^)  zeigt,  daß  das  Produkt 
zweier  Cylinderfunktionen  mit  demselben  Argumente  im  allgemeinen 
einer  linearen  homogenen  Differentialgleichung  vierter  Ordnung  Ge- 
nüge leisten  muß.  Die  allgemeine  Methode  von  Poincare  ist  in- 
dessen sehr  weitläufig,  so  daß  wir  hier  vorziehen,  eine  mehr  indirekte 
Methode  anzuwenden. 

Um  zuerst  die  Form  der  obenerwähnten  Differentialgleichung  zu 
bestimmen,  gehen  wir  von  der  in  §  21,  (1)  bewiesenen  Formel  aus: 

71 
1 

n+v  n—v  y' 

(1)  J~^ (x)  J^^ (x)  =  ^  ■  I  J» (2 xcoa  (p)  COS  {v(p)d(p, 


1)  Acta  Mathematica  Bd.  8,  p.  329  ff.;  1886. 


Kapitel  IX.    Lineare  Differentialfjleichungen  für  C*  (x)C,^(x).    §54.     145 

WO  n  also  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet;  die  Bessclsche 
Gleichung  liefert  diinn  für  die   Funktidn: 

n+v  n—y 

y  =  J~ (u-)  J"^ {x) 
die  nicht  homogene  lijieare  Gleichung: 

a 

(2)  y^'^  +  lv^'^~^fy  =  -l  ■  fj-i^x  coHcp)  cos{vq>)  {2  co3(pyd<p. 

0 

Führt  man  nun  in  dieser  Gleichung  für  die  Cylinderfuuktion 
unter  dem  Integralzeichen  die  gewöhnliche  Reihenentwicklung  ein, 
so  ergibt  enie  gliedweise  Integration,  mittelst  (f^y),  für  die  Funktion 
rechter  Hand  in  (2)  den  Ausdruck: 

_  .       '^  ^        ^\      s      }\2) (M-_2s  -f  1)  (n  -\-28j-^ 

wendet  man  endlich  die  Identität: 

a(a-l)  _  1    ,    e-1  .  _J g+1  .      1 

a*— 9*  ''        2      '  a  —  Q  2      'a-\-Q 

an,  so  läßt  sich  (2)  auch  folgendermaßen  schreiben: 

(3)  ^^)  +  l  y^'^  +  (4  - "■ )  y  =  2iv  +  l) u-^{x)  -2(1.-1) u^{x), 
wo  wir  der  Kürze  halber: 

(4)  «'(x)-V        '       U    M-J 


,-^r(,,+i+'4-y(s+i+^^')  "+"+2-" 

gesetzt  haben. 

Für  diese  neue  Funktion  finden  wir  nun  ohne  Mühe,  daß: 

(5)  i>.((f  )"•-' W)  =  I  •  [yV  ■  '''^i-)^'^i'') 

sein    muß.     Multiplizieren    wir    also  (3)   mit  (a;:2)^~'',    so    erhalten 
wir  durch  Differentiation  nach  x  mittelst  (5)  die  folgende  Gleichung: 

,„^    ,    3  — V     ,„,    ,    /.     ,    1  — w*  — 1^-\    ,l^    ,    /4— 4v    ,    n^v\ 


(6) 

Nielsen,   Cyliuderfanktioaeu.  10 


^v{v+  l)ir\x). 


346       Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 
In  dem  Spezialfälle  v  =  0  ergibt  sich  also  für  die  Funktion: 

folgende  lineare  Differentialgleichung  dritter  Ordnung: 
(7)  2,(3)  4-  A  ,ß)  +  (l  +  ^)  ^(1)  +  ^y  =  0, 

die  für  n  =  0  schon  von  Meissel^)  gefunden  wurde. 

Im  allgemeineren  Falle  setzen  wir  in  (5)  —  ^'  für  v  und  finden 
so  aus  (6)  die  Gleichung  vierter  Ordnung: 

und  damit  haben  wir  den  vorgelegten  Spezialfall  vollständig  erledigt. 


(8) 


§  55.    Die  Differentialgleichung  dritter  Ordnung   für  C'Xx)C^''{^)- 

Die  Gleichung  §  54,  (7)  leitet  ganz  natürlich  dazu,  daß  wir 
für  die  Funktionen: 

{j"{x)y,    j\x)j-^{x) 

eine  Gleichung  dritter  Ordnung  von  folgender  Form  suchen: 

(1)  y''^  +  ~  y''^  +  («  +  -J}  y'''  +  (|  +  ^s)  2/  =  O; 

um  die  fünf  noch  unbekannten  Koeffizienten  zu  bestimmen,  führen 
wir  in  (1)  die  Reihenentwicklungen  für  die  zwei  obenerwähnten 
Funktionen  ein  und  finden  so  die  Bedinemno;: 

4(ö  -  1)  [c3  (ca  -  1)  (cj  —  2)  +  «  w  («  -  1)  +  &Ö  +  c]  = 

wo  wir  a  —  2v  -^  2s  oder  cj  =  2s  gesetzt  haben. 

Die  Gleichung  (2)  muß  also  für  unendlich  viele  Werte  von  a 
richtig  sein,  d.  h.  sie  muß  eine  formelle  Identität  sein;  ordnen  wir 
sie  also  nach  fallenden  Potenzen  von  «,  so  müssen  die  einzelnen 
Koeffizienten  für  sich  verschwinden.  Bemerkt  man  noch,  daß  der 
Ausdruck  rechter  Hand  in  (2)  für  o  =  +  2v,  a  =  0  verschwindet, 
so  muß  die  gesuchte  Gleichung  offenbar  folgendermaßen  lauten: 

(3)  y^'^  +  ~  2/(^)  +  (4  +  ^^)  2/(^)  +  1^  =  0. 

1)  Gewerbeschulprogramm  Iserlohn  1862, 


(2) 


Kapitel  IX.    Lineare  Differentialgleichungen  für  C''(a:)C,^(.T).    §66.66.     147 


Beachtet  man  ferner,  daß  (3)  nngeiindert  bleibt,  wenn  v  sein 
Zeichen  wechselt,  so  erhellt,  daß  sich  das  vollständige  Integral  dieser 
Gleichung  durch  folgende  Funktion  darstcllfii   läßt: 


(4) 


y  =  c,  {J^{x)y  +  c,  J'{x)  Y^{x)  +  c,  ( Y^(x)y. 


Durch    eine  Transtbrinatiou    der   unabhängigen  Variabcin    lindt-t 
man  für  die  Funktion: 

(5)  ^  =  C^ißxr)  C^ißxr) 

die   Gleichung: 

(6)        ^(3)  + A  ^(2)+    (4^2y2^2y-2_,_LZLA^*\  ^(1)  4.  4 ß^'y-X^r -  ^ 2  =  0 ', 

setzt  man  hierin: 

z  =  x-"ij, 

so  erhält  man  für  die  noch  alltjemeinere  öleichuns:: 


(T) 


ys)  _^ 


3(1 -a) 


X 


y 


(2)  +  (. 


1  —  4v*y-  +  3a(a—  1) 


a;= 


-^4ß'f'x'-y--^y^'^  + 


+  (" 


a(4v*y*  —  a*) 


a;' 


+  4/3V^(j'-«)a;->'-')y  =  0 


das  vollständige  Integral: 


(8)    y  =  x" (c,  {j'{ßxr)Y  +  c, J" (/3a:>')  7^ (^a:'')  +  C3  [Y^ßx^))')  . 

Es  ist  also  offenbar,  daß  in  (7)  die  Derivierte  y^'^  wegfallen 
muß,  -wenn  man  «=1  annimmt;  setzt  man  ferner  ß  =  y  =  1,  so 
ergibt  sich  die  einfache  Gleichung: 

1  —  4v^       ,n     ,     iv^—1 


(9) 


y 


(3) 


,    /.     ,    1  — 4v='\     ,.^    .    iv^—l  f. 


-—    ergeben    außerdem    die    weitere 

2y         ^ 


die  Annahmen  a  =  1,  v  =  ß 

Gleichung: 

(10)  ?/(3)  +  a;2y-27/{i)  +  {y-l)x'"y-hj  =  0 

mit  dem  vollständigen  Integrale: 


(11) 


1 


,  =  .(.,  {.A  [0  +  c,J'-r  Q  Y^\  Q  + 


Von  (10)   verdienen   die  Spezialfälle  y  =  \,  |,  2  hervorgehoben  zu 

werden. 

10* 


148       Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

§  56.    Die  Differentialgleichung  vierter  Ordnung   für  C^'(x)C-^^(oc). 

Von  der  Gleichung  §  54,  (8)    ausgehend,    suchen   wir    für    die 
Funktion  J^'(x)J^(x)  eine  Differentialgleichung  von  der  Form: 

(1)      '/'^  +  I J/'"  +  (4  +  ^)  V^'>  +  (-^  +  ^)  !/'■'  +  (^  +  ^)  ^^  =  0; 

WO  die  noch  unbekannten  Koeffizienten  a,  h,  c  von  x  unabhängio- 
sind;  um  diese  Koeffizienten  zu  bestimmen,  führen  wir  in  (1)  die 
obenerwähnte  Funktion  ein  und  finden  so,  daß  die  Gleichung: 

(  cö((o  —  1)  ((ö  —  2)  ((0  +  3)  +  aw  (c3  —  1)  +  5ca  +  c  = 

wo  a  =  V  -\-  Q  -{-  2s  gesetzt  ist,  für  alle  Werte  von  co  gültig  sein 
muß,  so  daß  sich  die  drei  Koeffizienten  leicht  bestimmen  lassen. 
Bedenkt  man,  daß  die  Größe  rechter  Hand  in  (2)  für  a  =  +  q  +  v 
verschwinden  muß,  so  findet  mau  demnach  die  Differentialgleichung: 


(3) 


+  (f+^-^S-^>'"  +  (^  +  ^^-^>  =  o 


da  in 'dieser  Gleichung  nur  die  Quadrate  der  zwei  Parameter  v  und 
Q  vorkommen,  so  kann  man  das  Zeichen  dieser  Parameter  ganz 
willkürlich  nehmen;  also  wird  das  vollständige  Integral  von  (3) 
gleich: 

(4)  ^ = Cj  J'  (x)  JQ  (x)  +  Cg  J'  (x)  YQ  (x)  +  f 3  Y''{x)  Ja  {x)  +  c^  Y'  {x)  Y^  {x). 

Hier  muß  man  jedoch  voraussetzen,  daß  v  nicht  gleich  +  q  sei, 
denn  in  diesem  Falle  sind  die  vier  in  (4)  eingehenden  partikulären 
Integrale  nicht  mehr  linear  unabhängig.  Dieser  Fall  interessiert 
uns  indessen  hier  nicht  weiter,  weil  wir  im  vorhergehenden  Para- 
gi-aphen  eine  Differentialgleichung  dritter  Ordnung  für  die  zuge- 
hörigen Cylinderfunktionen  gegeben  haben.  Das  vierte  partikuläre 
Integral  von  (3)  läßt  sich  übrigens  ohne  Mühe  bilden. 

Die  gewöhnlichen  Transformationen  liefern  für  die  Funktion: 

(5)  «/  =  a;" C"(/3a;>')  C^^i^x^) 
die  allgemeinere  Differentialgleichung: 


(6) 


+  [Uß'y'x^^y-^  +  ^'"~'^')  y^'^  +  (4^/3VV/-^  +^)  y  =  0, 


(7) 


Kapitel  X.    Angenilhertc  Darstellungen  von  C*{x).    %  67.  140 

wo  wir  der  Kürze  halber: 

a  =  ^{a-iy  -2y^{v^  -^  Q^,  i  =  2y-2a+l, 

c  =  2y«(i.»  +  p»)-2«(«-l)-l,        rf  =  («-y)(a-2y), 
e  =  (^vy-{-QyJ^a){y'y-\-Qy  —  a){vy  —  Qy  +  tt){vy  —  Qy  —  a) 
gesetzt  haben. 

Es  leuchtet  also  ein,  daß  für  «  =  .3  die  Derivierte  i/^'>  nicht 
in  (6)  vorkommen  kann. 

Wir  betrachten  noch  besonders  den  Spezialfall  q  =  v  -\-  n  -{-  \, 
wo  II  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet;  die  allgemeine 
Lommelsche  Fundamentalformel  §  7,  (4)  zeigt  dann,  daß  die 
Funktion: 

(8)  ij  =  x''-^R''''{ßxy) 

ein  partikuläres  Integral  der  entsprechenden  Gleichung  (6)  sein  muß. 
Damit  haben  wir  für  das  Lommelsche  Polynom  diejenige  lineare 
Diflerentialgleichung  vierter  Ordnung  gefunden,  welche  Hurwitz^) 
ohne  Beweis  mitgeteilt  hat. 


Kapitel  X. 
Angenäherte  Darstellnngen  einer  Cylinderfunktion. 

§  57.     Die  Hankeischen  Integrale. 

Wir  haben  in  den  vorhergehenden  Kapiteln  die  Fundamental- 
eigenschaften der  Cylinderfunktionen  kennen  gelernt,  indem  wir  dabei 
annahmen,  daß  das  Argument  stets  eine  endliche  Größe  bedeute. 
Um  die  Cylinderfunktionen  indessen  vollständig  zu  beherrschen, 
reicht  dies  nicht  aus;  wir  müssen  vielmehr  noch  ihr  Verhalten  für 
sehr  große  Werte  des  absoluten  Betrages  des  Argumentes  unter- 
suchen, d.  h.  wir  müssen  sie  in  einer  asymptotischen  Reihe  zu  ent- 
wickeln suchen. 

Zu  diesem  Zwecke  betrachten  wir  im  Anschluß  an  die  älteren 
Methoden  folgendes  bestimmte  Integral,  für  welches  der  Integrations- 
weg mit  der  Achse  der  positiven  Zahlen  zusammenfällt: 

OD 

(1)  V  =  fe-'''{t-\-yytQdt; 


1)  Mathematische  Annalen,  Bd.  33,  p.  251  Note;  1889. 


150        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

dies  Integral  ist  eigentlich  der  einfachste  Spezialfall  derjenigen  all- 
gemeineren Integrale,  die  wir  in  Kapitel  XIV  noch  näher  zu  unter- 
suchen haben.  Indem  wir  den  allgemeinen  Methoden  folgen,  wollen 
wir  hier  den  Wert  von  V  direkt  bestimmen,  was  ohne  Schwierig- 
keit geschehen  kann. 

Das  Integral  (1)  konvergiert  unbedingt,  wenn: 

(2)  9^(^)>0,     m{Q)>-l 

ist,  und  wenn  y  nicht  gleich  Null  oder  einer  negativen  reellen  Größe 
angenommen  wird.  Wenn  die  erste  dieser  Bedingungen  nicht  er- 
füllt ist,  kann  das  Integral  jedenfalls  nicht  immer  unbedingt  konver- 
gieren; man  findet  hier  die  Bedingungen: 

(3)  m(x)  =  0,    x  +  O,    ^(q)>-1,     'dl{Q  +  0)<O. 

In  dem  ganz  speziellen  Falle,  wo  x  =  0  ist,  müssen  wir  voraus- 
setzen, daß: 

(4)  ^  =  0,    m{Q)>-l,    3?(?-fö)<-l 

ist.  Wenn  y  reell  und  negativ  ist,  müssen  wir  zu  den  vorstehenden 
Bedingungen  noch  die  weitere  hinzufügen: 

(5)  ^i0)>-l, 
während  ^  =  0  noch  die  Bedingung: 

(6)  91(^-f-(?)>-l, 

erfordert,  so  daß  der  Fall  x  =  y  =  0  ausgeschlossen  bleiben  muß. 

Wir  setzen  nun  einstweilen  x  als  positiv  voraus;  die  Substitu- 
tion tx  =  r  ergibt  dann: 

(7)  V=x-'"'^(xy),     co  =  Q  +  a  -^1, 
wo  demnach: 

CO 

(8)  ^{xij)  =^Je-*^{txyifi-'"(t  -f  yydt 

0 

gesetzt  wird  und  eine  Funktion  des  Produktes  xy  bedeutet.  Die 
Gleichung  (7)  ist  indessen  nur  bewiesen,  wenn  x  eine  positive  Größe 
bedeutet;  einem  bekannten  Satze ^)  zufolge  ist  sie  aber  überall  da 
anwendbar,  wo  das  Integi-al  V  eine  in  x  analytische  Funktion  dar- 
stellt. Von  einem  einfachen  Faktor  abgesehen,  ist  V  also  eine 
Funktion  des  Argumentes  xy^  die  Form  (1)  dieses  Integrales  scheint 
also   unnötig  kompliziert  zu  sein,    denn  theoretisch  ist  es  ja  nicht 


1)  Neumann:  Vorlesungen  über  Kiemanns  Theorie  der  Abelschen  Integrale. 
Leipzig  1884,  p.  35. 


Kapitel  X.    Angenäherte  Darstellungen  von  ^(x).    §  57.  151 

all^'emeinor  als  dasjenige  von  derselben  Form,  wo  y=  1  angenoinmeu 
wird.  Wir  bemerken  hierzu  nur,  daß  diese  neue  Variable  y  sowohl 
bei  der  Herleitung  des  Wertes  des  Integrales  als  für  seine  Anwen- 
dungen eine  wichtige  Rolle  spielt. 

Um   nun   den  Wert   des  Integrales  35   zu    bestimmen,    beiuitzen 
wir  zunächst  die  Differentialgleichung: 

und  differentiiereu  in  (f^)  unter  dem  Integralzeichen  nach  x,  was 
unter  der  Bedingung  {'2)  offeubjir  erlaubt  ist;  die  Identität  t=it-^ij)  —  y 
ergibt  dann  für  ^  die  Gleichung: 

00 

(9)  yW\xtj)  -{~-\-y)  ^i^y)  =  -Je-'^{txYt^—{t  +  yY  +  'dt, 

u 
wo  wir  der  Kürze  halber: 

SS<..(.,)  =  « 

gesetzt  haben.  Differentiiereu  wir  nun  die  Gleichung  (9)  abermals 
nach  y,  so  finden  wir,  nach  einer  Division  durch  xy,  für  ^(x)  fol- 
gende homogene  lineare  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung: 

(10)  WKx)  +  (^^  -  l)  WKx)  +  -^  58  ix)  =  0, 

welche  wir  mit  der  in  §  49,  (5)  für  x''e~'>^''^C^{ßxy)  gefundenen 
Differentialgleichung  zu  vergleichen  haben. 

Nun  ist  es   klar,   daß   diese  beiden  Gleichungen  dann  und  nur 
dann  identisch  sein  können,  wenn: 

i  1 

tt=v,     /3  =  Y,     2«  =  «  =  p  +  ö  +  1,     a  —  Y  =  (5,     7  =  1 

also  wenn 

a=v,     Q  =  a=v  —  -^,     /3=27     w  =  2i/,     y  =  l 

angenommen  wird,  so  daß  man  für  das  entsprechende  Integral  fol- 
genden Ausdruck: 

00 

(11)  /e-"r  ä  («+y)-i-,«=(|)'.^(o,/'  (4)  +  .,  F'ff  )) 

findet;  außerdem  haben  wir  gesehen,  daß  das  Integral  linker  Hand 
in  (11)  das  einzige  von  der  Form  (1)  ist,  welches  sich  direkt  durch 
Cylinderfunktionen  ausdrücken  läßt. 


152        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfanktionen. 

Der  Faktor  if  rechter  Hand  in  (11)  ist  eingefülirt  worden, 
weil  ja  das  Integi-al  linker  Hand,  mit  x^"  multipliziei-t,  eine  Funktion 
des  Argumentes  xy  darstellen  soll,  so  daß  nun  die  beiden  noch 
unbekannten  Koeffizienten  q  und  Cg  sowohl  von  x  als  von  y  unab- 
hängig sein  müssen  und  also  nur  Funktionen  von  v  allein  sein 
können;  diese  Funktionen  müssen  aber  überall  dieselben  sein,  wo 
das  Integral  linker  Hand  überhaupt  einen  Sinn  hat. 

Um  nun  die  Koeffizienten  c^  und  Cg  zu  bestimmen,  greifen 
wir  zunächst  auf  die  Bedingung  (4)  zurück;  das  Integral  linker 
Hand  in  (11)  läßt  sich  dann  mittelst  (f^^)  berechnen,  während  die 
von  Y^'{x)  herrührende  Funktion  J~'(a;)  rechter  Hand  verschwindet; 
also  finden  wir  folgende  erste  Gleichung: 


(^+i> 


VTti 


(12)  q  sin  vtc  -\-  c^cos,v7t  =  —  ^T\v  +  ^Je     ^ 

die  somit  überall  gültig  bleibt,  wo  das  Integral  einen  Sinn  hat. 
Zweitens  ziehen  wir  die  Bedingung  (6)  in  Betracht,  setzen  also 
?/  =  0 ;  das  Integral  läßt  sich  dann  mittelst  (f^^)  bestimmen,  während 
die  Funktion  J^'{x)  rechter  Hand  verschwindet,  so  daß  wir  die 
zweite  Gleichung:  ^^^ 

(13)  c,  =  -^v{v  +  :^)e-^-' 

erhalten,  die  ebenfalls  überall  gültig  bleibt,  wo  das  Integral  einen 
Sinn  hat.     Somit  finden  wir  endlich  die  Formel: 

0 

Setzen  wir  ferner  in  (14)  —  y  =  ye"'  für  y,  so  ergibt  sich  mittelst 
§  5,  (6)  folgende  ganz  analoge  Formel: 

0 

die  mithin  unter  denselben  Bedingungen  gültig  ist  wie  (14). 

Sind  X  und  y  beide  positiv  und  v  reell,  so  werden  die  beiden 
Ausdrücke  in  (14)  wegen  §  4,  (5)  reell,  während  das  Integral  (15) 
reell  wird  für  y  negativ. 

Hankel^)  hat  die  Formeln  (14),  (15)  für  y  =  —  2i  gefunden; 
später  hat  Dini^)  dieselben  Formeln  durch  eine  Änderimg  des 
Integrationsweges  aus  dem  zweiten  Bess eischen  Integrale  hergeleitet. 

1)  Mathematisclie  Annalen  Bd.  1,  p.  491;  1869. 

2)  Serie  di  Fourier,  p.  234;  Pisa  1880. 


Kapitel  X.    Angenäherte  Darstellungen  von  C*'(x).    §  58.  153 

§  58.     Asymptotische  Reihen  für  ///(x)  und  H^^ix). 
Wir  setzeu: 

und   führen  in  §  57,  (14),   (15)  ;•  für  ./   ein;   wir  erhalten  dann  die 
zwei  Formeln: 


0 

OD 


(2)        fc-'{l-'{e-")"  '  t'-idt-y'^-'^-^^-ji"-'-  ") .  H,'{x). 
0  r     t 

Weiter  setzen  wir: 

(i+ 2  ^""y~^^9fi(o+*s(o, 

wo   ^(t)    lind   3(0   reelle  Funktionen    der    reellen   Variabein    t   be- 
deuten, und  finden  so  die  folgende  Taylor  sehe  Reihenentwicklung: 

s=  n 

(3)       ^(t)  +  im  =  2{''~s^)  (y)^^-"'' + ^n(o, 

wo  wir  der  Kürze  halber: 

gesetzt   haben,    während  s  und  a    zwei   Größen  zwischen  0  und   1 
bedeuten. 

Wir   führen  nun  in  (1)  die  Reihenentwicklung  (3)  ein  und  er- 
halten, "wenn  f(x)  das  Integral  linker  Hand  bedeutet,  somit: 

OD 

(5)  fix)  =  "^^  (P„(^)  +  iQ.i^))  +fc-n^-^R^{t)dt, 

r     'S"  ."q 

wo  wir  folgende  Abkürzungen  eingeführt  haben: 

(6)    P,(^)_i+ytJ'.l^ — iJ\ — ti-^^i L^, 

V  ^  n\  J  I    ^    (2s)!  (2a;)^' 


»=1 


2 


,.  (-4^)(-i')-  e-^^^^) 


(^)    ^-(^^^^iMn- 


154       Erster  Teil.   FandamentaleigensGtiaften  der  CTlinderfonktionen. 

Es  ist  sonach  offenbar,  daß  die  Reilieii  P^ui)  und  Q,(j:)  im 
aUgemeinen  for  n  =-=  ex:  divergent  sein  müssen;  nur  in  dem  Spezial- 
fälle, in  welchem  r  die  Hälfte  einer  ungeraden  ganzen  Zahl 
bedeutet,  brechen  diese  Reihen  von  selbst  ab,  und  wir  hnden 
dann  srenau  die  in  ^  11  für  die  Poissonschen  Cvlinderfimktionen 
gegebenen  Ausdrücke. 

SoU  nun  aber  die  Formel  (5)  wirklich  die  asymptotische  Reihe 
für  f{jc)  liefern,  so  muß  es  nach  der  Definition  von  Poincare^) 
möglich  sein,  einen  hinlänglich  großen  Wert  X  von  j:  zu  bestim- 
men, so  daß.  wenn  '  :c   >  X  vorausgesetzt  wird. 


v-/ 


f 3fBJ l^\jf  fe-'^f-^B^ [f' dt   <6 


ist,   wo  ö  eine  vorgegebene  positive  Größe  von  beliebiger  Kleinheit 
bedeutet.     Xun  findet  man  leicht,  daß: 


(9) 


0 

sein  muß.  wo  K  eine  endliche  Größe  bedeutet,  und  wo  wir  der 
Kürze  halber  '^[y)  =  v  gesetzt  haben;  die  letzte  Ungleichheit  (9) 
ermbt  aber  unmittelbar    S  . 

Die  Formel  (2)  läßt  sich  auf  dieselbe  Weise  behandeln;  somit 
haben  wir  bewiesen,  daß  die  Entwicklung  (5i  und  die  zu  ihr  analoge 
aus  (2)  erhaltene  wirklich  die  asymptotischen  Reihen  für  die  zwei 
in  (1)  und  (2)  auftretenden  Integrale  liefern,  wenn  nur: 

vorausgesetzt  wird;  demnach  finden  wir: 

(10)  r'('""'^')    H.^ix^^y'J-^iPM  +  iQ^{x)), 

(11)  e  i:-'-^^)  .  m^ix)  ^ ]/^  (p^(^)  _  i ^^(,;;,) , 

wo  das  Zeichen  ~  eine  asymptotische  Gleichheit  im  Sinne  Poin- 
cares  bezeichnet. 


1)  Acta  Maüiematica  Bd.  8,  p.  297;  1886. 


Kapitel  X.    Angenäherte  Darstellungen  von  C*(x).    §  58.  155 

Setzt  man   weiter   in   (1)   0  =  —,   so  ist  einleuchtend,  daß  die 

Formel  (10)  auch  in  diesem  Falle  noch  ihre  Gültigkeit  behält, 
während  (2)  direkt  keine  asymptotische  Darstellung  mehr  liefern 
kann.     Setzt  man  indessen  in  §  57,  (15)  xe^'  für  x  und  y  =  2c~"f, 

wo  — s"  <  9'  <  +  V  vorausgesetzt  wird,  so  findet  man,  nach  einer 

Division   durch  t/'~l,   die  Formel: 

und  das  so  erhaltene  Integral  läßt  sich  ohne  Mühe  nach  der  oben 
gegebenen  Methode  entwickeln,  so  daß  die  Formel  (11)  auch  hier 
gültig  bleibt. 

In  den  vorhergehenden  Untersuchungen  haben  wir  immer 
9H(v)  >  —  ^  voraussetzen  müssen;  wenn  diese  Bedingung  nicht  er- 
füllt ist,  kann  man  das  Zeichen  von  v  unter  Anwendimg  der  For- 
meln §  4,  (2)  wechseln,  so  daß  die  asymptotischen  Gleichheiten 
(10),  (11)  auch  in  diesem  Falle  gültig  bleiben. 

Wir  haben  so  den  allgemeinen  Satz  bewiesen: 

Wenn  v  ehie  imllkürlklie  endlkhe  Größe  bedeutet ^  und  x  =  re"* 

ist,  wo  — ^  <  ö  <  4-  IT  vorausgesetzt  icird,  so  sind  die  beiden  asijmpto- 

tischen  Eeilwn  (10)  und  (11)  in  der  ganzen  so  bestimmten  Halbebene 
amcendbar. 

Dieser  Satz  ist  in  der  Tat  höchst  merkwürdig  und  zum  Bei- 
spiel in  der  Theorie  der  Fakultätenreihen  von  großem  Interesse. 

Wemi  der  Winkel  ß  der  oben  gestellten  Bedingung  nicht  ge- 
nügt, so  kann  man  die  Formeln  §  5,  (6),  (7)  anwenden  und  findet 
dann  die  höchst  wichtige  Folgerung  des  obenerwähnten  Satzes: 

Wenn  v  eine  iciUkürlicJie  endliche  Größe  bedeutet,  so  sind  die 
Grenzwerte: 

(12)  ,]^^^  (v^e-'-'S,'  (x)) ,      ]i^^  {Vxe'-^E,^{x)) 

stets  zugleich  endlich  mid  von  Null  verschieden. 

Eben  diese  Grenzwerte  sind  es,  welche  die  gi'oße  Anwendbar- 
keit der  Hank  eischen  Cylinderfunktioneu  im  Gebiete  der  bestimmten 
Integrale  bedingen. 

Die  Formeln   (10),  (11)   sind  zuerst  von  HankeP^   aufgestellt 


1)  Mathematische  Annalen  Bd   1,  p.  494;  1869. 


156       Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

worden;  wie  Hurwitz^)  bemerkt  hat,  beurteilt  er  indessen  die  Trag- 
weite seiner  Resultate  falsch.  Später  hat  H.  Weber^)  die  Formel 
(11)  entwickelt,  während  Dini^)  wieder  beide  Formeln  gab. 


§  59.     Asymptotische  Entwicklungen  für  J'''{x)  und    Y^'{x). 

Multipliziert  man  in  §  56,  (10),  (11)  mit  den  Exponential- 
funktionen, so  erhält  man  nach  einer  Addition  und  Subtraktion 
der  beiden  so  gewonnenen  Formeln  folgende  asymptotische  Dar- 
stellungen : 

(1)  J"  (x)  - 1/^  (cos  (x  -  ^^  7c)  P„  (x)  -  sin  (x  -  ^-^  7t)  Q,  (x)^ , 

(2)  Y^{x)  ~l/^(siB  {x  -  ^-^  Tc)  P„{x)  +  cos  {x-'-^  TC)  QJx)), 

wo  X  als  positiv  anzunehmen  ist.  Ist  dies  nicht  der  FaU,  oder 
bleibt  wenigstens  die  imaginäre  Komponente  von  x  nicht  endlich,  so 
können  die  Formeln  (1)  und  (2)  die  beiden  Cylinderfunktionen  nicht 
im  Sinne  Poincares  asymptotisch  darstellen. 

Doch  sind  auch  in  diesem  Falle  die  beiden  Formeln  (1)  und 
(2)  noch  sehr  nützlich,  da  sie  uns  immer  über  das  Verhalten  der 
Funktionen  J  und  Y  für  große  Werte  von  |  x  \  Auskunft  geben. 
Betrachten  wir  zum  Beispiel  den  Fall,  in  welchem  das  Argument 
in  der  Form  xi  gegeben  ist,  wo  x  eine  positive  Größe  bedeutet, 
so  finden  wir  aus  (1),  (2)  folgende  asymptotische  Darstellimgen: 

^  -^  ^     ^  1/2 jta;  y27tx 

^  -^         ^  ^  y^-zx  y27tx  ' 

Formeln,  die  uns  späterhin  sehr  nützlich  sein  werden. 

Sicher  hat  Poisson*)  zum  ersten  Male  die  Formel  (1)  für 
V  =  0  gegeben,  während  Hansen^)  dieselbe  Formel  für  v  =  1  an- 
gibt   und   Jacob i^)  unsere   Formel  für  einen  willkürlichen  ganzen 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  33,  p.  246;  1889.  2)  Ebenda  Bd.  6, 

p.  148;  1873. 

3)  Serie  di  Fourier  p.  234,  Pisa  1880. 

4)  Journal  de  l'Ecole  Polytechnique,  cahier  19,  p.  350;  1823. 

5)  Memoire  sur  la  determination  des  perturbations  absolues  p.  113 — 117; 
Paris  1845.     (Deutsch  erschienen  1843.) 

6)  Astronomische  Nachrichten  Bd-  25,  col.  94;  1849. 


Kapitel  X.    Angenäherte  Darstellungen  von  C*{x).   §  69.  60.  157 

Wert  von  v  ohne  Beweis  mitteilt.  Der  erste  Beweis  für  diese 
allgemeinere  Formel  scheint  von  Plana 'j  gegeben  oder  wenigstens 
klar  angedeutet  zu  sein;  Anger-)  behandelt  ausführlicher  die  Ent- 
wicklungen von  Jacobi.  Schliimilch')  und  Lipschitz*)  geben  wie 
Hansen  unsere  Formel  für  r  =  0  und  v  =  l,  während  sie  zugleich 
darauf  hinweisen,  wie  es  möglich  sei,  dieselbe  Formel  für  ganze 
Werte  von  v  zu  finden. 

Lommel^)  gibt  ohne  Beweis  die  beiden  allgemeinen  Formeln 
(1)  und  (2)  an;  in  den  letzten  Jahren  hat  Weber'')  eine  neue  Her- 
leitung der  beiden  Formeln  (1)  und  (2)  für  ganze  v  geliefert,  wäh- 
rend Stiltjes')  dieselben  Formeln  sehr  eingehend  für  v  =  0  unter- 
sucht hat. 

In  den  Paragraphen  2  und  3  haben  wir  asymptotische  Aus- 
drücke für  die  Cylinderfunktionen  erster  und  zweiter  Art  unter  der 
Voraussetzung  gegeben,  diiB  |  a;  |  endlich  bleibt  und  \v\  sehr  groß 
ist;  hier  haben  wir  also  den  umgekehrten  Fall  auseinandergesetzt. 
Es  wäre  sehr  wünschenswert,  auch  den  Fall  l)emeistern  zu  können, 
in  welchem  sowohl  \x\  als  \v\  sehr  groß,  doch  aber  so  angenommen 
werden,  daß  ihr  Verhältnis  endlich  bleibt.  Dieser  Fall  scheint  indessen 
große  Schwierigkeiten  zu  bieten.  Vollständig  kennt  man  bisher, 
wenn  ich  nicht  irre,  nur  den  einfachsten  Fall,  in  welchem  x  und  v 
beide  als  positiv  angenommen  werden^).  Der  von  Cauchy®)  gegebene 
Ausdruck  ist  in  der  Tat  gar  nicht  asymptotisch,  sondern  nur  als 
ein  sehr  ungenauer  Majorantwert  anzusehen;  wir  werden  später 
(§  122)  die  Formel  von  Cauchy  verallgemeinem. 

§  60,     Numerische  Tafeln  für  Cylinderfunktionen. 

Obgleich  die  numerische  Berechnung  der  Cylinderfunktionen 
noch  andere  Methoden  in  Anspruch  nimmt  als  diejenige,  welche  wir 
in    den   vorhergehenden   Paragraphen    entwickelt  haben,    scheint  es 

1)  Memoria  delF  Accademia  di  Torino  serie  2*  Bd.  10,  p.  283;  1849. 

2)  Neueste  Schriften  der  Naturforschenden  Gesellschaft  Danzig  Bd.  5, 
p.  18;  1855. 

3)  Zeitschrift  für  Mathematik  und  Physik  Bd.  2,  p.  147—153;  1857. 

4)  Journal  für  Mathematik  Bd.  56,  p.  193—196;  1859. 

5)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen  p.  57 — 65;  1868. 

6)  Mathematische  Annalen  Bd.  37;  1890. 

7)  Anuales  de  l'Ecole  Normale  (3)  Bd.  3,  p.  233  ff.;    1886. 

8)  Graf  und  Gubler:  Einleitung  in  die  Theorie  der  Besselschen  Funk- 
tionen Heft  I,  p.  96. 

9)  Comptes  rendus  Bd.  13,  p.  687,  p.  854;  1841. 


158        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

uns  doch  angemessen,  hier  eine  Übersicht  über  die  wichtigsten 
Tafeln  für  diese  Funktionen  mitzuteilen.  Der  Kürze  halber  be- 
zeichnen wir  das  Intervall  der  Tafel  mit  d,  während  die  Zahl  p  der 
Decimalstellen,  welche  die  betreffende  Tafel  mitteilt,  einfach  mit 
p  Dec.  bezeichnet  werden  soll. 

1)  Die  Tafel  von  BesseV)  gibt  die  Werte  von  J^{x)  und  J'^ix) 
von  X  =  0,00  bis  x  =  3,10  mit  10  Dec.  und  für  d  =  0,01. 

2)  Die  Tafel  von  Airy-)  gibt  die  Werte  von  J'^{x)  von  x  =  0,0 
bis  10,0  mit  4  Dec.  und  für  fZ  =  0,2;  von  dieser  kleinen  Tafel  hat 
Knochenhau  er  ^)  in  seineu  optischen  Untersuchungen  Gebrauch 
gemacht. 

3)  Die  Tafeln  von  Hansen^):  die  erste  gibt  die  Werte  von 
J^{x)  und  J^{x)  von  x  =  0  bis  a;  =  10,0  mit  6  Dec.  und  für  f7  =  0,l; 
die  zweite  bietet  mit  7  Dec.  eine  Reihe  von  Werten  von  J"(x),  wo 
71  und  X  einander  ziemlich  gleich  sind.  Diese  Tafel  ist  offenbar  mit 
Rücksicht  auf  die  Besselsche  Auflösung  der  Kepler  sehen  Gleichung 
berechnet  worden. 

Es  ist  indessen  daran  zu  erinnern,  daß  Hansen  immer  J"(2x) 
in  Betracht  zieht;  Schlömilch^)  druckt  die  Hansenschen  Tafeln 
ungeändert  ab,  während  LommeP)  sie  mit  dem  gewöhnlichen  Argu- 
mente angibt. 

4)  Die  Tafel  von  MeisseV)  liefert  die  Werte  von  J^(x)  und 
J^{x)  von  X  =  0,00  bis  x  =  15,50  für  d  =  0,01  und  mit  12  Dec. 

5)  Die  Tafel  im  Report  of  tlie  meeting  of  tlie  British  Association 
for  tlie  advancement  of  science  1889  gibt  die  Werte  von  J"{pc)  für 
w  =  0,  1,  2,  .  .  . ,  1 1  von  X  =  0,0  bis  x  =  0,6  für  d  =  0,2  und  durch- 
gehends  mit  12  Dec. 

6)  Die  Tafel  im  Report  of  the  British  Association  1893  liefert 
für  d  =  0,001  und  mit  9  Dec.  die  Werte  von  J\x)  von  x  =  0,000 

bis  X  =  6,000  und  für  d  =  0,2  die  Werte  von  J^^iiYx)  für  x  =  0,0 
bis  X  =  6,0. 

7)  Die  Tafel  im  Report  of  the  British  Association  1896  gibt  die 
Werte /^a;)  von  ic  =  0,000  bis  ic  =  5,1000  für  (?= 0,0001  und  mit  9  Dec. 


1)  Abhandlungen  der  Berliner  Akademie  1824,  p.  46 — 52. 

2)  PoggendorflFs  Annalen  Bd.  45,  p.  95;  1838. 

3)  Undulationstheorie  des  Lichts.     Berlin  1839. 

4)  Memoire  sur  la  determination  des  jDerturbations  absolues.  Paris  1845  (1843). 

5)  Zeitschrift  für  Mathematik  und  Physik  Bd.  2,  p.  158—165;  1857. 

6)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen,  1868. 

7)  Abhandlungen  der  Berliner  Akademie  1888. 


Kapitel  XI.    Nullstellen.    Untersuchungen  von  Hurwitz.    §  ül.  159 

Die  vier  letzten  Tafeln  sind  in  dem  Buche  von  Gray  und 
Matthews'')  abgedruckt.  Weit  spärlicher  scheint  die  Berechnung 
von  Tafeln  für  die  Neuniannsche  Cylinderfuuktion  erfolgt  zu  sein; 
für  sie  ist  mir  in  der  Tat  nur  eine  einzige  Tal'el  Ijekaimt: 

8)  Die  Tafel  voti  Smit/i^),  welche  die  Werte  von  Y^{x)  und 
Y^{x)  von  a;=  1,00  bis  x  =  10,20  für  (/  =  0,01  und  mit  4Dee.  angibt. 

Für  die  Cylinderfuuktion  der  ersten  Art  mit  nicht  ganzem 
Parameter  kennt  man  nur  eine  Tafel  von  LommeF),  welche  für 
ganze  Argumente  die  Werte  der  Poissonschen  Cylinderfuuktion 
mit  dem  Parameter  w  +  {,  n  ganz,  bietet. 


Kapitel  XI. 
Nullstellen.    Untersucliuiigeii  von  Hnrwitz. 

§  61.     Allgemeine  Sätze  über  die  Nullstellen  einer  Cylinder- 

funktion. 

Die  Eigenschaften  der  Cylinderfuuktionen,  welche  wir  iu  den 
vorhergehenden  Kapiteln  ermittelt  haben,  erlauben  uns,  unmittelbar 
eine  Reihe  von  Sätzen  über  die  Nullstellen  solcher  Funktionen  her- 
zuleiten. Wir  wollen  deshalb  hier  an  der  Spitze  unserer  Theorie 
der  Nullstellen  die  wichtigsten  dieser  Sätze  vorausschicken,  obgleich 
wir  die  Existenz  dieser  Nullstellen  noch  nicht  allgemein  bewiesen 
haben. 

Die  asymptotischen  Entwicklungen,  welche  wir  in  dem  vorigen 
Kapitel  gegeben  haben,  zeigen  ohne  weiteres  die  Richtigkeit  des 
folgenden  Satzes: 

I.  Wenn  v  endlich  ist,  so  haben  die  Funktionen  J^{x)  und  Y^ix) 
unendlich  viele  Nullstellen,  die  sich,  je  größer  und  größer  ihre  ab- 
soluten Beträge  iverden,  mehr  und  mehr  den  Ausdrücken 

(1)  {li-^~)7C  +  ~^%,      küi^-f-^ 

nähern,  wo  k  eine  ganze  Zahl  von  überaus  großem  absolutem  Betrage 
bedeutet. 


1)  Bessel  functions,  London  1895. 

2)  Messenger  (2)  Bd.  26,  p.  98—101;  1896. 

3)  Abhandlungen  der  Münchener  Akademie  Bd.  15,  p.  644—647;  1886. 


160        Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Bemerkt  man  nämlich,  daß  die  imaginären  Komponenten  der 
Zahlen  (1)  stets  endlich  bleiben,  so  sind  die  Reihen  §  59,  (1),  (2) 
offenbar  wirklich  asymptotische  Reihen  im  Sinne  Poincares;  der 
Satz  ist  somit  einleuchtend.  Wir  wissen  aber  nicht,  ob  diese  Cylinder- 
funktion  außer  den  Zahlen  (1)  nicht  noch  sehr  ferne  Nullstellen 
besitzen. 

Die  Hankeischen  Cylinderfunktionen  scheinen  in  Bezug  auf 
ihre  Nullstellen  recht  eigentümliche  Verhältnisse  zu  haben;  so  er- 
geben zum  Beispiel  die  Formeln  (12)  des  §  11  unschwer: 

II.  Wenn  n  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet,  so  haben  die  beiden 
Funktionen  ]I^"'^y(x)  und  H^'''^-\{x)  im  endlichen  Gebiete  der  x- 
Ebene  genau  n  NidJstellen,  verschivinden  aber  sonst  nur  mit  e-'  . 

Wenden  wir  uns  nunmehr  zu  den  Fundamentalformeln  für 
Cylinderfunktionen,  so  finden  wir  weiterhin: 

in.  Die  Cylinderfunktion  C''{x)  kann  außer  Nidl  keine  mehr- 
fache Nidlstelle  haben. 

Denn  eine  mehrfache  Nullstelle  von  C^'(x)  müßte  zufolge  Formel 

(1)  in  §  4  zugleich  eine  Nullstelle  von  C'  +  ^(.r)  sein;  dies  ist  aber 
unangängig,  wie  deutlich  aus  der  Lommelscheu  Fundamentalformel 
§  7,  (5)  hervorgeht.     Diese  letztere  Formel  ergibt  außerdem  noch: 

IV.  Zwei  verschiedene  Cylinderfunktionen  mit  demselben  Para- 
meter C^(x)  und  C^^{x)  können  keine  gemeinsame  NullsteUe  haben. 

Die  zweite  Fundamentalformel  für  Cylinderfunktionen  zeigt  ferner : 

V.  Wenn  a  eine  von  Null  verschiedene  Nullstelle  von  C''(x)  be- 
deutet, ist  immer 

(2)  C"-\a)  =  -C'  +  \a). 

Die  allgemeine  Formel  §  11,  (1)  liefert  noch  folgenden  Satz: 

VI.  Wenn  n  eine  ganze  Zahl  bedeutet,  so  können  die  Cylinder- 
funktionen C^'{x)  und  C^'  +  "{x)  außer  Null  jedenfalls  keine  andere 
Nullstelle  gemeinsam  haben  als  die  Wurzeln  der  algebraischen  Gleichung: 

(3)  E^'«-Xa^)  =  0. 

Wahrscheinlich  haben  diese  Cylinderfunktionen  außer  Null  über- 
haupt keine  gemeinsamen  NuUsteUen.  Bourget^)  behauptet  bewiesen 
zu  haben,  daß  J"(x)  und  J^+p^x),  wo  n  und  j>  ganze  Zahlen  sind, 
außer  Null  keine  gemeinsamen  Nullstellen  haben  können;  indessen 
hat  er  nur  so  viel  bewiesen,  daß  diese  Funktionen  außer  NuU  keine 
mehrfachen  Nullstellen  haben  können. 


1)  Annales  de  l'ficole  Normale  Bd.  3,  1866. 


Kapitel  XI.    Nullstellen.    Untersuchmif^en  von  Hnrwitz.    §  Gl  \{]\ 

Die  Integrallbrmehi  §  28,  (6),  (7)  führeu  weiterhin  zu  folgen- 
dem Satze: 

VII.    Wnin  '3i(v)  >  —  1    vorausgesetzt    uird   uml  u  und  ß   von 
Null  verschiedene  Nullstellcn  von  J'(2')  bedeuten,  so  ist: 
1 

u 
Setzt    man    in    (4)   v  =  +  \,    so   findet   man   als   Spezialfall    die   be- 
kannten Formeln  für  die  trigonometrischen  Funktionen. 

Über   die   Kealität   der  Nullstellen   von  (^.j  J''{ji)   erhalten    wir 

aus  (4)  noch  den  Satz: 

Vni.  Wenn  v  reell  und  größer  als  —  1  vorausgesetzt  wird,  so 
hat  die  Funldion  J*'{x)  nur  lauter  reelle  Nidlstellen. 

Erstens  ist  es  offenbar,  daß  fP{x)  keine  rein  imaginären  Null- 
stellen  besitzen  kann,  denn  (—rj  J''{xi)  muß  ja  für  reelle  x  immer 

positiv  sein.  Wäre  nun  weiter  p  -\-  q_i  eine  komplexe  Nullstelle  der- 
selben Funktion,  so  müßte  sie  nach  einem  bekannten  Satze  von 
Schwarz^;  auch  die  konjugierte  Nullstelle  ^  —  gi  haben.    Nun  sind 

aber  nach  demselben  Satze  «7"' (^(p  +  gO)  und  f7*'(a:(2)  —  ^-i) ,  w^o  x 
als  positiv  anzusehen  ist,  wieder  konjugierte  komplexe  Größen,  ihr 
Produkt  also  immer  positiv,  und  somit  kann  das  Integral  linker 
Hand  in  (4)  nicht  verschwinden. 

Schon  Euler^)  hat  bemerkt,  daß  J^{x)  lauter  reelle  Nullstellen 
haben  muß;  neuerdings  hat  Bocher^)  einen  elementaren  Beweis 
desselben  Satzes  gegeben.  Steru^)  hat  den  obenerwähnten  Satz  für 
ganze  Werte  von  v  bewiesen,  "svährend  zuerst  Schlaf li")  den  all- 
gemeinen Satz  mittelst  des  oben  gegebenen  Beweises  hergeleitet  hat; 
dieses  Beweisverfahren  ist  übrigens  nach  einer  Bemerkung  von 
Sturm^)  Poisson'')  zuzuschreiben. 

Obgleich  wir  hier  noch  gar  nicht  allgemein  bewiesen  haben, 
daß  es  wirklich  solche  reelle  Nullstellen  von  J''{x)  gibt,  wollen  wir 

1)  Mathematische  Abhandlungen  Bd.  2,  p.  66  ff. 

2)  Acta  Academiae  Petropolitanae  1781,  p.  174  iF. 

3)  BuUetin  of  the  American  Math.  Sog.  (2)  Bd.  5,  p.  385—388;  1899. 

4)  Journal  für  Mathematik  Bd.  22;  1841. 

5)  Mathematische  Annalen  Bd.  10,  p.  137;  1876. 

6)  Joiu-nal  de  Mathematiques  Bd.  1,  p.  384;  1836. 

7)  Bulletin  de  la  Socie'te  philomatique  1828.  Theorie  mathe'matique  de 
la  chaleur  p.  178.     Paris  1835. 

Nielsen,  Cylinderfunktionen.  1 1 


162       Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

doch,  indem  wir  den  Satz  für  den  Augenblick  als  bewiesen  vor- 
aussetzen, um  den  Zusammenhang  nicht  zu  unterbrechen,  hier  noch 
folgenden  Satz  mitteilen: 

IX.  Wenn  v  reell  ist,  so  verteilen  sich  die  reellevi  Nullstellen  a 
von  J*'{x)  und  ß  von  J''+^(x)  gegenseitig  so,  daß  zwischen  je  zivei 
aufeinanderfolgenden  a  immer  ein  und  nur  ein  ß  und  umgeJiehrt  zivi- 
scJien  je  zwei  aufeinanderfolgenden  ß  immer  ein  und  nur  ein  a  liegt. 

Dieser  Satz  ist  eine  einfache  Folge  der  zwei  Differentialformeln 

(4)  und  (5)  des  §  10;  denn  eine  Anwendung  von  (5)  zeigt  dem 
Roll  eschen  Satze  zufolge,  daß  mindestens  ein  ß  zwischen  je  zwei 
aufeinanderfolgenden  a  liegen  muß,  während  (4)  unmittelbar  ergibt, 
daß  auch  zwischen  je  zwei  aufeinanderfolgenden  ß  mindestens  ein 
a  liegen  muß.  Dieser  Satz  ist  neuerdings  auf  ganz  andere  Weise 
von  Gegenbauer  ^),  van  Vleck  ^),  Hobson^),  Porter*)  und 
Bocher^)  bewiesen  worden. 

Wir  bemerken,  daß  die  Nullstellen  von  C^{x)  offenbar  eine  im 
allgemeinen  unendlich  vieldeutige  Funktion  des  Parameters  v  sein 
müssen;  differentiieren  wir  aber  nun  die  Identität: 

C»'(«)  =  0, 

wo  CO  die  obenerwähnte  Funktion  bedeutet,  so  finden  wir  folgenden 
Satz: 

X.  Die  Nidlstellen  der  CylinderfunMion  C^{x)  sind  als  die  ver- 
schiedenen Ztveige  einer  unendlich  vieldeutigen  Funktion  «(v)  des 
Parameters  v  anzusehen;  für  diese  Funhtion  finden  wir  folgende  Diffe- 
rentialgleichung erster  Ordnung: 

(5)  C'^'(a>)^  =  e'(a). 

Nach  diesen  allgemeinen  Erörterungen  wenden  wir  uns  nun- 
mehr zu  den  schönen  Untersuchungen  von  Hurwitz^),  indem  wir 
seine  Darstellung  möglichst  genau,  hier  und  da  fast  wortgetreu 
folgen. 


1)  Monatshefte  für  Mathematik  und  Physik  Bd.  8,  p.  383—384;  1897. 

2)  American  Journal  of  Mathematics  Bd.  19;  1897. 

3)  Proceedings  of  the  Math.  See.  London,  Bd.  28;  1897. 

4)  American  Journal  of  Mathematics  Bd.  20;  1898. 

5)  Bulletin  of  the  American  Math.  Soc.  (2)  Bd.  5,  p.  205—213;  1897. 

6)  Mathematische  Annalen  Bd.  33;  1889. 


Kajfitel  XI.    NullHtellen.    Untersuchunffen  von  Ilurwitz.    §  62.  1G3 

§  62.    J*{x)  als  gleichmäßige  Grenze  der  Lo  mmol  sehen  Polynome. 

Für  die  Uiitersuchiingen  über  die  Nullstellea  der  H  es  sei  scheu 
Cylinderfuuktioii  ist  die  «gewöhnliche  Keihcueutwickliuig  für  fP{x) 
nicht  recht  bequem;  wir  setzen  dnher: 


(1)       /•»=2'..r(.+.+i)'  j'(2'yi)  - ('y^)Y.w, 

so   daß  sich  die  Reduktionslbrmel  §  11,  (7)  in  folgender  Form  dar- 
bietet : 

wo  wir  der  Kürze  halber: 


(3) 


2 


9n{^)=2j-^^\        n-2s      r 

gesetzt  haben. 

Nun    läßt    sich    die   Lommelsche  Fundamentalformel  §  ",   (3) 
auch  folgendermaßen  schreiben: 

J^-\x)J-^-"{x)  +  (-  lYJ-^  +  '{x)J^^"{x)  =  ^^^R-^-"'"(x), 
also  findet  man  aus  (2),  (3): 

Führt  man  weiter  in  (4)  für  /'_,,_„(x)  und  f,.^„{x)  die  aus  (1)  er- 
haltenen Reihenentwicklungen  ein,  so  erhält  man  mit  Zuhilfenahme 
der  Formel  (fg): 


(5) 


sin  vTtViv -{-n)r{v -\-n-\-l)\      'v-fw-fl"'"        / 


Wir  schließen  der  Einfachheit  halber  den  Fall  eines  ganz- 
zahligen V  aus;  denn,  wenn  v  ganz  ist,  kann,  wie  Satz  VIII  des 
vorigen  Paragraphen  zeigt,  J''(x)  nur  lauter  reelle  Nullstellen  haben; 
unter  dieser  Voraussetzung  ergibt  (5)  unmittelbar  den  Satz: 

Ist  G  ein  heliebig  großes,  aber  endliches  Gebiet  der  x-Ebene,  so 

kann  man  N  so  groß  annehmen,  daß  sich,  für  jede  Stelle  des  Gebietes 

G,  g„ioc:) :  r (v  i- n)  um  weniger  als  eine  beliebig  vorgegebene  Größe 

11* 


164       Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

von  f^,_i{x)  unterscJieidet,  sobald  n^N  angenommen  wird]  also  ist 
/"r-i(^)  *'**  ^  ^^"^  gleiclmiäßige  Grenze  von  g„(x) :  r(v  +  n). 

Nacli  diesen  Überlegungen  beweisen  wir  nunmebr  den  all- 
gemeinen Satz: 

Im  Innern  und  auf  dem  Hände  R  eines  einfacli  zusammen- 
hängenden Bereiches  G  seien  die  Funltionen  f(x)  und  g{x)  eindeutig 
und  stetig.  In  jedem  PunJcte  des  Eandes  R  mögen  ferner  f(x)  und 
g(x)  von  Null  verschieden,  soivie 

1  f{^)  -  9{^)  1  <  1  n^)  I 

sein;  dann  verschivindet  die  Funldion  f{x)  im  Innern  des  Bereiches 
B  genau  so  oft  wie  die  Funktion  g{x). 
Setzt  man  nämlicb: 

f{x)  -  g{x)  =  fix)  ■  u,    g{x)  =  (1  -  u)fix), 

so  findet  man: 

(6)         ^iß  log  »(*)  -  ^iß  '°g  /■  W  +  i^.ß  »°g  (1  -  «) ' 

Ji  M  H 

WO  die  Integrale  längs  des  Randes  jR  genommen  werden  müssen. 
Nun  ist  das  letzte  dieser  Integrale  gleicb  Null;  wenn  nämlicb  x 
den  ßand  R  durcbläuft,  bescbreibt  der  Punkt  1  —  u  einen  Weg, 
welcber  zufolge  der  Ungleicbbeit  |  m  j  <  1  die  Nullstelle  u  =  1  aus- 
scbließt;  daber  kann  sieb  log  (1  —  u)  nacb  Durcblaufuug  dieses 
Weges  nicbt  geändert  baben,  und  somit  ist  vermöge  (6)  der  Satz 
bewiesen. 

Wir  nebmen  nun  an,  daß  jede  einzelne  der  Funktionen: 

g^{x),  g^{x),  g^{x),  .  .  .,  g^{x),  ... 

ebenso  wie  f{x)  im  Innern  eines  Gebietes  G  den  Cbarakter  einer 
ganzen  rationalen  Funktion  besitzt.  Weiter  setzen  wir  voraus,  daß 
gleicbmäßig  für  die  Umgebung  einer  beliebigen  Stelle  des  Gebietes  G 

limg„{x)=f{x) 

71  =  a:: 

ist.  Es  sei  dann  a  eine  Stelle  des  Gebietes  G,  an  welcber  f(x) 
von  der  r*^"  Ordnung  verscbwindet.  Um  diese  Stelle  berum  grenzen 
wir  ein  kleines,  ganz  im  Innern  von  G  liegendes  Gebiet  G'  ab, 
innerhalb  dessen,  einscbließlicb  des  Randes,  die  Funktion  f(x)  nicht 
verscbwindet,  außer  an  der  Stelle  a.  Dann  ist  längs  des  Randes 
von  G'  beständig  j  f(x)  |  <  £,  wo  £  eine  positive,  von  Null  ver- 
schiedene Zahl  bedeutet.  Nun  kann  man  aber  nach  der  Voraus- 
setzung .A^  so  groß  wählen,  daß  für  aUe  Stellen  des  Bereiches  G' 


Kapitel  XI.    Nullbtellen.    Untersuchungen  von  Hurwitz.    §  6'2.  165 

\nx)-g„{x)\<B 

angenommen  werden  kann,  sobald  nur  n  >  N  ist.  Also  verseliwiudet 
nach  dem  vorhergehenden  Hilfssutze  von  «=iVan  jede  Fnuktion //„(x) 
ebenso  oft  wie  f(x),  also  r-mal  im  Innern  von  (r'.  Hierbei  ist 
noch  zu  bemerken,  daß  der  Bereich  G'  beliebig  verkleinert  werden 
kann,  so  daß  die  r  Nullsteilen  von  //„(./)  mit  unendlich  wachsendem 
n  der  Stelle  d  unendlich  nahe  rücken. 

Liegen    umgekehrt    in   jeder    noch    so    kleinen    Umgebung    von 
X  =  a  unendlich  viele  Wurzeln  der  Gleichuntren: 


*o^ 


80  ist  <i  notwendig  eine  Nullstelle  von  f'{x).  Andernfalls  würde 
man  nämlich  um  x  =  a  einen  kleinen  Bereich  abgrenzen  können, 
innerhalb  dessen  I  /'(.r)  '  >  s  wäre,  wo  e  eine  positive,  von  Null  ver- 
schiedene Größe  bezeichnet.  Da  andererseits  ii  so  groß  gewählt 
werden  kann,  daß  erstens  g„{x)  für  einen  Punkt  x  ^  Xq  jenes  Be- 
reiches verschwindet  und  zweitens  \f(x) — 9„(x)  \  <£  ist,  so  ergibt 
sich  für  die  Stelle  Xq  der  Widerspruch,  daß  gleichzeitig  |  /"(a^o)  I  >  ^ 
und  I  /'(Xq)  I  <  s  ist.  Daher  ist  die  Annahme,  f(x)  sei  für  x  =  a 
von  Null  verschieden,  unzulässig. 

Unter  den  oben  gegebenen  Voraussetzungen  haben  wir  also 
folgenden  Satz  bewiesen: 

Im  Innern  von  G  sind  die  Nullstellen  der  Funktion  f{x) 
identisch  mit  denjenigen  Stellen,  an  welchen  sich  die  Wurzeln  der 
Gleichungen 

g,(x)  =  0,  g^(x)  =  0,  . . .,  g^(x)  =  0,  ... 

verdichten;  und  mvar  liegen  in  einer  beliebig  Meinen  Umgebung  der 
Stelle  a,  welche  eine  r- fache  Nullstelle  von  f(x)  ist,  genau  r  Wurzeln 
der  Gleichung  g^i^)  =  0,  sobald  n  eine  bestimmte,  von  der  Größe 
jener  Umgebung  abhängende  Zahl  überschreitet. 

Die  Anwendung  auf  denjenigen  Fall,  in  welchem  f{x)  eine 
Potenzreihe  bedeutet,  gn{x)  aber  die  Summe  ihrer  n  ersten  Glieder 
ist,  ist  klar.     Wir  finden  außerdem  folgendes  CoroUar: 

Man  kann  die  Nullstellen  von  /i,_i(^)  init  beliebiger  Genauigkeit 
durch  Auflösung  der  Gleichung  g„{x)  =  0,  wo  g„{x)  das  transformierte 
Lommelsche  Polynom  bedeutet,  für  ein  hinlänglich  großes  n  finden. 


(2) 


166       Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

§  63.     Die  Punktionen  g„{x)  bilden  eine  Sturmsclie  Kette. 

Um  nunmehr  die  Nullstellen  des  Lommelschen  Polynomes 
näher  zu  untersuchen,  bemerken  wir  zuerst,  daß  die  Formel  (9)  des 
§  12  für  —  V  —  w  +  1  statt  v  mittelst  der  Definition  §  62,  (3) 
folgende  Rekursionsformel  gibt: 

(1)  9n(^)  =  {v-\-n-  l)g„_^ix)  +  xg^_^{x). 

Setzen  wir  in  dieser  Formel  wieder  n  -\-  1  und  n  -\-  2  für  n,  so 
finden  wir  durch  Elimination  von  g^^-^  und  g^-i  aus  den  so  erhal- 
tenen drei  Gleichungen  folgende  weitere  Formel: 

'  ={v  +  n)  (iy  +  ny  -  1  +  2x)g^{x)  -  {y  ^  n  +  \)x'g^^_,{x). 

Denkt  man  sich  nun  v  reell  und  führt  man  in  (2)  für  n  die 
positiven,  ganzen  und  geraden  Zahlen,  von  2  an  gerechnet,  ein, 
so  findet  man  eine  Kette  ganzer  rationaler  Funktionen: 

welche  folgende  Eigenschaften  besitzen  und  somit  ganz  analog  sind 
zu  einer  Sturm  sehen  Funktionenkette  ^) : 

1)  Der  Grad  von  V^^  ist  genau  gleich  q,  und  der  Koeffizient 
der  q^^^  Potenz  von  x  ist  eine  positive  Größe,  insbesondere  ist  Vq 
eine  positive  Konstante. 

2)  Wenn  für  einen  reellen  Wert  von  x  die  Funktion  V ,  wo 
p  =^  q  anzunehmen  ist,  verschwindet,  besitzen  die  benachbarten 
Funktionen  Vg^t  und  V  ^  nichtverschwindende  Werte  von  ent- 
gegengesetztem Vorzeichen.  Die  Funktion  V  besitzt  dagegen  die 
ausgezeichnete  Eigenschaft,  daß,  wenn  V^  für  einen  reellen  Wert 
von  X  verschwindet,  K,  +  i  und  V  .^  nichtverschwindende  Werte  von 
demselben  Vorzeichen  haben. 

3)  Wenn  x  die  reellen  Werte  von  —  oo  bis  +  c»  durchläuft, 
so  geht  der  Quotient  F„, :  F,„_i  überall,  wo  er  verschwindet,  von 
negativen  zu  positiven  Werten  über. 

4)  Die  Gleichung  F^  =  0  hat  keine  mehrfachen  reellen  Wurzeln. 
Wir  haben  nun  nachzuweisen,  daß  die  Funktionen   Vg^g^qi^) 

wirklich  diesen  Bedingungen  genügen. 

Die  Bedingung  1)  ist  eine  direkte  Folge  der  §  62,  (3)  für  g„{x) 
gegebenen  Definition,  während  2)   unmittelbar  aus  Formel  (2)  her- 


1)  H.  Weber:  Lehrbuch  der  Algebra  Bd.  I,  p.  271;  Braunschweig  1895. 


Kapitel  XI.    Nullstellen.    Untersuchungen  von  Ilurwitz     §  6a.  167 

vorgeht,  weuu  p  eine  solche  positive  ganze  Zahl  bedeutet,  daß 
V  +  2/)  +  1  >  0  ist,  während  r  +  2/)  —  1  <  0  uugenoninien 
werden  kann. 

Die  Bedingungen  3)  und  4)  sind   offenbar  dann  und  nur  dann 
möglich,  weim  die  Funktionaldetenninante  A»,,,  wobei  man: 

(3)  K-9.-, (-^O^i/^ (^)  -  9% {x)9„ {x) 

setzt,  für  jede  reelle  Nullstelle  von  (J.i,„{x)  einen  positiven,  nicht- 
verschwindenden  Wert  besitzt;  denn  man  hat  offenbar  für  hinläng- 
lich kleine  Werte  von  |/i|  folgende  Taylor  sehe  Reihenentwicklung: 

•'Jn  ^       '       •'  ''in  ^   '        t  in 


+  7 ^^^Tö  •  -:-  + 


9in-2{x-\-h)         Oin-ii^)  {92n-2ix)y       1! 

Wir  finden  aber  aus  (1),  daß: 

(4)  A,„  =  (ri,„_,(x)y  +  (v  +  2«-  1)  A„„_, 

ist,  und  wollen  nun  beweisen,  daß  A2„_i  von  einem  gewissen  Wert 
von  n  ab  für  jeden  reellen  Wert  von  x  positiv  ist,  woraus  dann 
dasselbe  unmittelbar  für  A^^  selbst  folgt.  Zu  diesem  Zweck  be- 
nutzen wir  den  Ausdruck  §  62,  (4)  und  finden  demnach  aus  (3),  daß: 

(^)    ^«  =  (^)'  (f>:=V+^2))'  (/"v-iC^))'  (^7+^  +  •  ••)  +  ••• 

ist,  wo  die  durch  Punkte  angedeuteten  Terme  gegen  die  berück- 
sichtigten mit  unendlich  wachsendem  n  verschwinden.  Wenn  aber  x 
einen  Wert  annimmt,  für  welchen  f^,_l{x)  =  0  ist,  so  haben  wir 
dafür  folgenden  Ausdruck  zu  setzen: 

(6)  A       (^JL\\_;jcy-i^..., 

Aus  diesen  Formeln  schließt  man  unschwer,  daß  man  iV  so 
groß  wählen  kann,  daß  A2„_i,  wenn  x  irgend  ein  endliches  reelles 
Intervall  durchläuft,  immer  positiv  bleibt,  wenn  nur  7^  >  iV  an- 
genommen wird.  Weiter  findet  man  aus  §  62,  (1)  und  (3)  die 
folgenden  Ausdrücke: 

(7)  A2„_,=^^^"-^^^^+V'^^'"^''~'H^^^'+^^^(^-^)-^)^'""'+-^ 

(8)  A„^2  =  (^  +  »0(^.(^))'  +  ^^A„, 

wo  in  (7)  wieder  die  durch  Punkte  angedeuteten  Terme  gegen  die 
berücksichtigten  mit  unendlich  wachsendem  n  verschwinden.  Aus 
diesen  Formeln  erhellt  aber,  daß  A2„_i  für  unendlich  große  Werte 
von  X  positiv  ist,  wenn  nur  n  eine  gewisse  Zahl  überschreitet,  und 


168       Erster  Teil.    Fimdamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

daß  Ag^^i  nocli  für  die  eventuellen  äußersten  Nullstellen  von  Ag^.^ 
positiv  sein  muß,  also  nur  zwischen  diesen  Nullstellen  negativ  werden 
könnte;  es  gilt  also: 

Die  FunMionaldeterminantc  \n-i  ^^^  Z**^  jeden  reellen  Wert 
von  X  positiv,  sobald  nur  n  eine  gewisse  Zahl  überschreitet. 

Derselbe  Satz  gilt  demnach  auch  für  Ag^,  wenn  f,._i(x)  für 
keinen  positiven  Wert  von  x  verschwindet,  denn  dann  ist  (5)  immer 
anwendbar.  Für  die  Umgebung  einer  positiven  Nullstelle  von  f^_i{x) 
besitzt  hingegen  Ag,,  bei  genügend  großen  Werten  von  n  das  nega- 
tive Zeichen,  wie  dies  aus  (6)  ersichtlich  ist. 

Also  bilden  die  rationalen  Funktionen  g^{x)  eine  Sturm  sehe 
Funktionenkette. 


§  64.    Über  die  Nullstellen  von  g„(x). 
Wir  betrachten  jetzt  die  Funktionenreihe: 

(1)  ''^pj     ^p-17   ■   •   ■}     ^ly     *'^0- 

Offenbar  besitzt  sie  p  Zeichenwechsel  für  v  =  —  oo  und  p  Zeichen- 
folgen für  ic  =  -(-  oo.  Da  man  nun  nach  dem  Sturm  sehen  Satze  ^) 
nur  dadurch  einen  Zeichenwechsel  verlieren  kann,  daß  x  eine  Wurzel 
der  Gleichung  F^  =  0  passiert  und  dabei  zugleich  F^ :  F^.^  von 
negativen  zu  positiven  Werten  übergeht,  so  folgt: 

Die  Wurzeln  der  Gleichung  F^  =  0  sind  sämtlich  reell  und  von- 
einander verschieden j  und  der  Quotient  V^:  F^_i  geht,  tvenn  x  eine 
Wurzel  der  Gleichung  F^  =  0  überschreitet,  stets  von  einem  negativen 
zu  einem  positiven  Werte  über. 

Hieraus  folgt,  daß  die  Anzahl  der  Wurzeln  von  F^  =  0,  welche 
zwischen  x  =  a  und  x  =  ß  liegen,  genau  gleich  der  Anzahl  der 
Zeichenwechsel  ist,  welche  die  Reihe  (1)  verliert,  während  x  von 
a  bis  ß  wächst,  wenn  a  K  ß  vorausgesetzt  wird. 

Wenden  wir  uns  nun  zu  den  ganzen  rationalen  Funktionen 
g^{x),  so  finden  wir  dementsprechend  den  spezielleren  Satz: 

Wenn  v  >  —  1  ist,  so  sind  die  Wurzeln  der  Gleichungen: 

sämtlich  reell. 

Um  die  Anzahl  der  positiven  Wurzeln  der  Gleichung  g2n{^)  =  0 
zu  finden,  betrachten  wir  zunächst  die  Reihe: 


1)  H.  Weber:  Lehrbuch  der  Algebra  Bd.  I,  p.  273. 


Kapitel  XL    Nullstellen.    Untersuchungen  von  Ilurwitz.    §  61.  \Q[) 

^2„  +  2(0)  =  (»'  +  2«)(v  +  2n4-l)/73„(<>)- 
Ist    i' >  0,    so    tindt'U    wir    hier    keineu    Zeichonwecbsel;    wenn    ila- 
gegen  0>v>—  1   ist,    so    finden   wir    nur    einen;    da    nun    immer 
g„{+  oo)  =  +  oo  ist,  so  folgt: 

Die  Gleichung  ff3„(x)  ==  0  hat  eine  positive  und  n  —  l    negative 
^yu^•zeln,  wenn  0  >  r  >  —  1  ist-^  dagegen  sind  für  v  >  0  alle  Wurzeln 
jener  Gleichung  negativ. 

Nun  betrachten  wir  die  ganze  Funktionenkette: 

i^)  V     V  V         V     V  V     V  ' 

sie  verliert,  wenn  x  von  —  cx>  bis  +  cc  wächst,  ni  Zeichenwechsel. 
Der  Verlust  eines  Zeichenwechsels  kann  erstens  nur  eintreten  beim 
Überschreiten  einer  Nullstelle  von  F,,,  und  zweitens  beim  Über- 
schreiten einer  Nullstelle  von  F^,  und  zwar  gehen  in  letzterem 
Falle  immer  zugleich  zwei  Zeichenwechsel  verloren.  Denn  da  der 
Quotient  F^  :  F^_i  kurz  vor  einer  Nullstelle  von  V  negativ  ist,  so 
erhalten  die   Funktionen   F^_^i,  F^,  Vp_^   kurz  vor,   respektive  kurz 

nach  dem   Überschreiten  einer  Nullstelle   die   Zeichen   -\ 1-   oder 

1 ,   respektive   +  +  +   oder ;  also  haben,  wir  folgenden 

zweiten  Satz: 

Die  Gleichung  F„,  =  0  hat  2p  imaginäre  und  m  ~  2p  reelle 
Wurzeln. 

Um  die  Zahl  r^o  der  reellen  Wurzeln  von  F,„  ==  0  zu  be- 
stimmen, welche  zwischen  x  =  u  und  x  =  ß,  für  «  <  /3,  liegen,  be- 
zeichne man  mit  Ä  die  Zahl  der  Zeichenwechsel,  welche  die  Reihe  (2), 
mit  A'  die  Zahl  der  Zeichen  Wechsel,  welche  die  Reihe  (1)  verliert, 
wenn  x  von  cc  bis  ß  wächst;  wenn  also  r'^^  die  Zahl  der  in  den 
Grenzen  x  =  a  und  x  =  ß  liegenden  reellen  Wurzeln  von  F^  =  0 
bezeichnet,  so  findet  man: 

'^aß  +  2/„^  =  A,      r\^  =  A\ 

woraus  sich  für  die  gesuchte  Anzahl  der  reellen  Wurzeln  von  F„j  =  0, 
welche  zwisclien  x  =  a  und  x  =  ß  liegen, 

ergibt. 

Als  CoroUar  finden  wir  demnach  für  unsere  ^-Funktionen  fol- 
genden Satz: 

Wenn  p  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet  und 

-2p-l<v<-2pi-l 


170       Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

ist,  SO  hat  die  Gleichung  g^^nix)  =  0  genau  2p  imaginäre  Wurzeln, 
falls  n  eine  gewisse  Zahl  N  üherschreitet.  Zugleich  ist  von  den  reellen 
Wurzeln  dieser  Gleichung  eine  oder  keine  positiv,  je  nachdem 

—  2p—l<v<  —  2p     oder     —  2p  <  v  <  — 2p -\-  1 
ist. 

Nach  diesen  Erörterungen  gehen  wir  nunmehr  zur  Untersuchung 
der  Nullstellen  von  J''(x)  selbst  über. 


§  65.    Satz  von  Hurwitz  über  die  Nullstellen  von  J^'(x). 

Da  die  Nullstellen  von  f^,_i{x)  vermöge  §  62  mit  den  Verdich- 
tungsstellen der  Wurzeln  von: 

g.^(x)  =  0,     g^(x)  =  0,     '■',    g^^{x)  =  0 

übereinstimmen,  so  ergibt  sich  aus  den  Resultaten  des  §  64,  wenn 
man  nur  v  -\-  1  für  v  setzt,  ohne  weiteres: 

Die  Wurzeln  der  Gleichung  fX^)  =  0  sind  sämtlich  reell,  falls 
1^  >  —  2  ist;  die  Wurzeln  sind  für  v  >  —  1  sämtlich  negativ;  da- 
gegen ist  eine  derselben  positiv  und  sind  die  übrigen  negativ,  wenn 
—  2<v<  —  l  ist. 

Der  Fall,  wo  v  <  —  2  ist,  erfordert  indessen  noch  weitere  Ent- 
wicklungen, weil  die  Verdichtungsstellen  eines  Systemes  imaginärer 
Werte  nicht  notwendig  imaginär  sind.  Wir  betrachten  daher  zu- 
nächst die  Gleichung: 

(1)  ö'2«(^)  +  ^ö'2«  +  l(^)  =  0, 

in  welcher  X  eine  reelle  Konstante  bezeichnet.  Ist  A  =  0  und  hat  n 
einen  genügend  großen  Wert,  während  —  2p  —  1  <  v  <  —  2^  -f  1 
ist,  so  besitzt  diese  Gleichung  genau  2p  imaginäre  Wurzeln.  Wenn 
nun  A  von  Null  bis  zu  irgend  einem  Werte  Xq  variiert,  so  kann 
sich  die  Zahl  der  imaginären  Wurzeln  nur  dann  verändern,  wenn  A 
einen  Wert  passiert,  für  welchen  (1)  eine  Doppel wurzel  erhält.  Ist 
aber  a  ein  solcher  Wert,  so  hat  man  aus  (1): 

und  somit  wird  mittelst  §  63,  (3)  für  diesen  Wert  von  x: 

was  nach  dem  vorigen  Paragraphen  nicht  angeht;   also  gilt: 

Die  Gleichung  (1)  hat  für  jeden  reellen  Wert  von  A  genau  2p 
imaginäre  Wurzeln. 


Kapitel  XI.    Nullstellen.    Unterauchungen  von  Ilunvitz.    §(55.  171 

Wenn  daher  A  von  —  c»  bis  -f  cc   variiert,  so  (lurclilaufeu  die 
imaginären  Wurzeln  der  Gleichung  (1)   eine    Kurve,   welche  aus  2p 
getrennten  Zweigen  besteht.     Sei  nun: 
(2)  x  =  ^-\-  irj,     a;'=  I  -  />;, 

so  ist  die  Gleichung  der  genannten  Kurve: 

und  die  Glieder  höchster  Dimension  von  qp„(|, '>?)  lauten: 

n  (n  +  1)  (v  -f  »0  {v  -\-n—  1)  /,,    o  ,    t,         ,  o\ 

c  =  — — ■ — — — -^-^ — ' 1271-+  2vn  -\-v  —  2y 

Die  Kurve  <p„{i,,  ■>;)  =  0  ist  also  von  der  (2w  —  2)'®"  Ordnung 
und  trifft  die  unendlich  ferne  Gerade  nur  in  den  imaginären  Kreis- 
punkten, welche  («  —  1)  fache  Punkte  der  Kurve  sind. 

Die  2p  Zweige  der  Kurve  (3)  sind  daher  ganz  im  Emllichen 
liegende  Ovale. 

Da  für  ^;  =  0,  also  x  =  x,  die  Funktion  ^„(1,  t;)  in  Agn^i 
übergeht  (wenn  man  nämlich  in  (3)  zuerst  im  Zähler  und  Nenner 
nach  X  differentiiert  und  dann  x  =  x  setzt),  so  treffen  die  Ovale 
nicht  die  Achse  der  reellen  Zahlen,  und  es  geht  9„(^7''?);  wenn  sich 
der  Punkt  x  =  %  -{■  i\]  von  einem  reellen  Werte  aus  so  bewegt,  daß 
er  eines  der  Ovale  überschreitet,  von  positiven  zu  negativen  Werten 
über.     Nun  findet  man  aber  mit  Hilfe  von  §  63,  (1): 

(4)  <Pn^X^l  n)  =  i}'  +  2«  +  l)5'2n  +  l(^)^2«  +  l(^')  +  ^^' ^>n^>  n)\ 

9„  ,  j  ist  also  noch  positiv,  wenn  tf^  verschwindet,  abgesehen  von 
denjenigen  Punkten  von  x  =  ^  -{-  irj,  welche  die  Gleichung  9^2  «  +  i  ^  ^ 
befriedigen  und  gleichzeitig  auf  den  Kurven  9?„^i  =  0  und  cp^^  =  0 
liegen. 

Hieraus  geht  hervor,  daß  jedes  Oval  der  Kurve  (p^n+i^^  j® 
ein  Oval  der  Kurve  cp^^  =  0  in  einem  Punkte,  für  welchen  ^J'gn  +  i  ^  ^ 
ist,  von  innen  berührt.  Die  2p  Ovale  werden  sich  ferner  mit 
wachsendem  n  immer  mehr  verkleinern,  bis  sie  sich  für  n  =  00  auf 
2p  Punkte  zusammengezogen  haben.  Da  nämlich  die  Grenzstellen 
der  Punkte  eines  Ovales  Nullstellen  von  f^_i{x)  sind  und  letztere 
diskret  über  die  Ebene  verteilt  sind,  so  kann  die  Grenze  jedes  Ovales 
nur  ein  Punkt  sein.  Auf  demselben  Grunde  beruht  die  Richtigkeit 
der  stillschweigend  gemachten  Annahme,  daß  die  2p  Ovale  der 
Kurve  9P„  =  0  sämtlich  auseinander  liegen. 

Aus  diesen  Betrachtungen  ergibt  sich  nun  der  Satz: 


172       Erster  Teil.    Funclamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Die  Gleichung  f^,{x)  =  0  hat  für  negative,  zwischen  —2p  —  2 
und  —  2p  liegende  Werte  von  v  genau  2p  paarweise  konjugierte  ima- 
ginäre und  übrigens  unendlich  viele  reelle  Wurzeln.  Zur  näheren 
Bestimmung  der  imaginären  Wurzeln  hat  man  eine  unendliche  Reihe 
algebraischer  Kurven: 

von  denen  jede  einzelne  aus  2p  im  Endlichen  und  auseinander  liegen- 
den Ovalen  bestellt.  Das  einzelne  Oval  der  Kurve  cp^^  =  0  berührt 
und  umschließt  je  ein  Oval  der  nächstfolgenden  Kurve  und  enthält  in 
seinem  Innern  je  eine  imaginäre  Nullstelle  von  f\,  {x).  Auf  diese  Nullstelle 
zieht  sich  das  Oval  mit  ivachsendem  n  immer  mehr  und  mehr  zusammen. 
Wir  bemerken,  daß,  wenn  v  kontinuierlich  in  einen  ganzzahligen 
negativen  Wert  übergeht,  die  imaginären  Wurzeln  sämtlich  unendlich 
klein  werden. 

Über  die  reellen  Wurzeln  folgt  noch  nach  §  64: 
Von  den  reellen  Wurzeln  der  Gleichung  fX^)  =  0  ^^*^f^  entweder 
alle  oder  alle  bis  auf  eine  negativ,  je  nachdem 

—  2p—l<v<  —  2p     oder     —  2p  —  2  <  v  <  —  2p  —  1        ist. 

Kehren  wir  nun  zur  Be sseischen  Cylinderfunktion  zurück,  so 
haben  wir  also  —  x^ :  2  für  x  zu  setzen  und  bekommen  so  fol- 
genden Satz: 

XI.  Wenn  v  reell  und  größer  als  —  1  ist,  sind  sämtliche  Nidl- 
stellen  Yon  J^(x)  reell;  dagegen  hat  diese  FunJition  unendlich  viele 
reelle  Nidlstellen  und  dazu  genau  2p  paariveise  konjugierte  imaginäre, 
wenn  —  2j9  +  l>v>  —  2j)  —  1  vorausgesetzt  wird,  wo  p  eine  positive 
ganze  Zahl  bedeutet. 

Hier  brechen  wir  unsere  Darstellung  der  schönen  Untersuchungen 
von  Hurwitz  ab,  weU  seine  weiteren  Resultate  nicht  denselben  all- 
gemeinen Charakter  haben,  und  wenden  uns  nunmehr  zur  näherungs- 
weisen Bestimmung  der  Lage  dieser  reellen  NuUstellen. 

§  66.    Angenäherte  Lage  der  Nullstellen.     Sätze  von  Schafheitlin. 

Schon  Euler ^)  hat  bemerkt,  daß  J°(2]/.'r)  unendlich  viele  posi- 
tive Nullstellen  besitzt  und  die  drei  ersten  dieser  Nullstellen  be- 
ziehentlich *  bis  auf  sechs,  vier  und  zwei  Decimalstellen  berechnet. 
Später  hat  Poisson^)  einige  Nullstellen  von  J'^{x)  berechnet;  seine 

1)  Acta  Academiae  Petropolitanae  1781. 

2)  Memoires  de  l'Academie  des  Sciences  Paris,  Bd.  8,  p.  485,  506, 
522;  1829. 


Kapitel  XI.    Nullstellen.    Untersuchnnpen  von  Hurwitz     §  0(j  173 

Resultate  sind  indessen,  wie  Stern')  hervorhobt,  durchgehends  un- 
genau. Abgesehen  von  den  Ergebnissen,  welche  die  allgemein»» 
Tafel  für  di»-  Besselsche  Cyliuderfunktiou  über  die  Nullstellen 
dieser  Funktion  liefert,  hat  dann  Meissel-)  die  zehn  ersten  Null- 
stellen von  J^{j:)  berechnet,  während  neuerdings  Wilson  und 
Peirce^j   die    vierzig   ersten   dieser   Nullstellen    ausgerechnet   haben. 

Allgemeinere  Methoden  zur  Berechnung  dieser  Nullstellen  sind 
von  Meissel^)  angegeben  worden,  während  Mac  Mahon^)  noch 
iülgemeinere  Entwicklungen  geliefert  hat.  Indessen  sind  diese  Ent- 
wicklungen vorläufig  nur  von  durchweg  praktischer  Bedeutung,  weil 
keine  Untersuchungen  über  die  zugehörigen  Kestglieder  vorliegen, 
so  daß  daraus  allgemeine  Schlüsse  über  die  Lage  der  Nullstellen 
nicht  gezotjen  werden  können. 

Wenn  wir  uns  nunmehr  zu  denjenigen  allgemeinen  Resultaten 
wenden,  welche  man  bisher  über  die  näheruno-sweise  Lage  der  Null- 
stellen  gefunden  hat,  so  bemerken  wir  zunächst,  daß  schon  Bessel'') 
eine  Abschätzung  für  die  Nullstellen  von  J^(x)  angegeben  hat. 
Rudski")  hat  den  Fall  betrachtet,  in  welchem  der  Parameter  v  von 
J'{x)  die  Hälfte  einer  ungeraden  ganzen  Zahl  ist;  seine  Resultate 
über  die  Lage  der  zugehörigen  Nullstellen  sind  allerdings,  wie 
Schafheitlin  bemerkt  hat,  für  die  ersten  dieser  Nullstellen  nicht 
zutreffend.  Schafheitlin**)  hat  vielmehi-  gezeigt,  daß  das  Litervall 
zweier  aufeinander  folgender  Nullstellen  von  J^(x)  kleiner  als  n: 
sein  muß,  während  Böcher^)  später  für  dasselbe  Intervall  eine 
weniger  gute  Annäherung  fand.  Das  Resultat  von  Schafheitlin 
ist,  freilich  ohne  Beweis,  schon  von  dem  großen  englischen  Mathe- 
matiker Hamilton'")  angegeben  worden. 

Neuerdings  hat  Schafheitlin'')  seine  Untersuchungen  wieder 
aufgenommen  und  weitergeführt,  so  daß  er,  außer  vielen  neuen,  alle 
bisher  bekannten  Resultate  in  verallgemeinerter  Form  gefunden  hat. 


1)  Journal  für  Mathematik   Bd.  22,  p.  35,  39;   1841. 

2)  Abhandlungen  der  Berliner  Akademie  1888. 

3)  Bulletin  of  the  American  Math.  Soc.  (2)  Bd.  3,  p.  153—155;  1897. 

4)  Programm  der  Oberrealschule  in  Kiel;  1890. 

5)  Annais  of  Mathematics  Bd.  9,  p   23—30;  1894. 

6)  Abhandlungen  der  Berliner  Akademie  1824,  p.  40. 

7)  Memoires  de  la  Societö  Royale  de  Liege  (2)  Bd.  18;  1895. 

8)  Journal  für  Mathematik  Bd.  114;  1894. 

9)  Bulletin  of  the  American  Math.  Soc.  (2)  Bd.  5;  1899. 

10)  Transactions  of  the  Royal  Msh  Academy  Bd.  19  11  p.  309;  1843. 

11)  Journal  für  Mathematik  Bd.  122;  1900. 


174       Erster  Teil.    Fundamentaleigenschaften  der  Cylinderfunktionen. 

Wir  können  seine  Beweise  hier  nicht  mitteilen,  sondern  bemerken 
nur,  daß  er  ihnen  folgendes  von  ihm  selbst  früher  gefundene^)  In- 
tegral zu  Grunde  gelegt  hat: 


2^  +  ^^^  / 

/nr{v-\-\)'J 


tt 
Y 

_j      .   /         1v  —  \ 


(cos  CO)      ^•sml.'T 


G) 


^   ^  ^  ^        l/7rr(f  +  i)     /  (siii(a)^'  +  ^  ' 


0 

wo  ^{x)  im  allgemeinen  als  positiv  anzunehmen  ist. 

Schafheitlin  hat  für  die  Lage  der  Nullstellen  von  J^'{x)   fol- 
gende Abschätzungen  gefunden: 

I.    Die  erste  NtiUstelle  von  J^'(x)  liegt  sivischen  ]/v(v-|-  2)  und 


]/2  (?^  -1-  1)  (y  -f  3);  falls  2v  >  7  ist,  findet  man  die  einfachere  obere 

Grenze:  y2  (v  +  1)  (v  +  2) . 

Für  die  zweite  und  die  nächstfolgenden  Nullstellen  ist  es  ihm, 
falls  V  ein  größerer  Wert  beigelegt  wird,  nicht  gelungen,  so  ein- 
fache Grenzen  festzustellen.  Dagegen  findet  man  für  die  ferneren 
Nullstellen,  wenn  n  eine  ganze  und  nicht  negative  Zahl  bedeutet: 

II.  Ist  x>  (4:(n  -}-  2y  —  l)  :  üi,  so  liegen  die  Nidlstellen  von 
J"(x)  innerhalb  der  Intervalle  (]c-\-^)7C  bis  (Ä;-f  f):7r,  bes.  kjt  bis 
(Je  -\-  ^)7t,  je  nachdem  n  gerade  oder  ungerade  ist;  Je  bedeutet  hierbei 
eine  ganze  Zahl. 

ni.  Ist  ic  >  (4(w  H- 3)^— Ij  :  :r,  so  liegen  die  Maxima  und 
Minima  von  J'^{x)  innerhalb  der  Intervalle  h%  bis  (k-]-^)n,  bez. 
(k  -\-  ^)7t  bis  Qc  -f  f )  7C ,  je  nachdem  n  gerade  oder  ungerade  ist. 

IV.  Wenn  x  ^  (4:  (n  -\-  3y  —  l)  :  7t  ist,  muß  die  Differenz  ziveier 
aufeinander  folgender  Nullstellen  von  J"(x)  zwischen  —  und  —  liegen. 

V.  Sämtliche  Nullstellen  von  J^{x)  liegen  zwischen  (k  -\-  Dn  und 
(Ji  +  l)7t,  wo  Je  alle  positiven  ganzen  ZaJüen  mit  EinscJduß  der  Null 
zu  durcJdaufen  Jiat. 

Hamilton^)  gibt  für  diese  Nullstellen  als  Intervall  JvTt  bis 
(k  -{-  ^)7t  an. 

VI.  SämtlicJie  Nidlstellen  von  J^(x)  liegen  zwiscJien  (k  -\-  ^)x 
und  (k  -f-  ^)jr,  ivo  k  alle  positiven  ganzen  Werte  mit  ÄusscJüiiß  der 
Null  anneJimen  Jcann. 

Für  die  Poissonschen  Cylinderfunktionen  findet  man  außerdem 
den  Satz: 


1)  Journal  für  Mathematik  Bd.  114,  p.  40;  1894.  2)  loc.  cit.  p.  309. 


Kapitel  XI.    Nullstellen.    Unteriiuchungen  von  Huiwitz.    §  IJ7.  175 

VII.  Ist  2- >  (4(n  -f  'iY—  l)  :7Cy  so  ließen  die  Nitllstrlleti  von 
J"  +  i (a:)  innerhalb  der  Intervcdlr  {k -\- \)n  bis  k:x.  bez.  (Je  ■{■  \)n  bis 
{k  +  i)«,  jß  nachdem  n  (jeradc  oder  ungerade  ist. 

Diese  Amiiiherungsresultate  zeigen  also,  daß  die  Verteilung  der 
reellen  Nullstellen  von  J*'{x)  ziemlich  regelmäßig  sein  muß. 

§  67.    Sätze  von  Schaf heitlin  über  die  Nullstellon  von    Y^{x). 

Ehe  wir  die  Integndt'orniehi  des  §  28  für  die  Nullstellen  des 
Hauptwertes  von  1' («t-)  anwenden  dürfen,  hahen  wir  zuvor  zu  be- 
weisen, daß  dieser  Ilauptwert,  wenn  —  1  <  v  <  -f  1  vorausgesetzt 
wird,  keine  rein  imaginären  Nullstellen  haben  kann. 

Für  Y^{x)  ist  dies  einleuchtend,  weil  hier  imaginäre  Werte 
einzig  aus  dem  Logarithmus  herrühren  könnten  und  t/"(a)  für  einen 
solchen  Wert  von  x  immer  positiv  sein  muß.  Im  allgemeineren 
Falle  setzen  wir  der  Kürze  halber:  „ 

A,  =  m'  J'  (xi)  -  y  -rr^^m , 

«  =  ü 
so  daß  A^,  für  reelle  x  und  —  l<i/<-|-  1,  immer  positiv  sein  muß. 
Wäre   nun  xi  eine  rein   imaginäre  Nullstelle  von   Y^'{x),   so  müßte 
zufolge  der  Definition  dieser  Funktion  folgende  Gleichung  gelten: 

cos  vnA^  —  e  +  *""Ä_^  =  0 
oder,  was  dasselbe  ist,   J.,,  ==  4_,,  ^  0  sein;  dies  ist  aber,  wie  wir 
soeben  gesehen  haben,  unmöglich. 
Setzt  man  weiterhin: 

(1)  cc  =  QC^',     ß  =  pe-V', 

so  muß,  falls  «  eine  Nullstelle  des  Hauptwertes  von  Y^'(x)  ist, 
ß  gleichfalls  eine  sein;  bei  dieser  Bedeutung  von  cc  und  ß  ergibt 
aber  §  28,  (6): 

(2)  fxY'{ax)Y'(ßx)dx  =  0,       v  +  0, 

0 

während  man  aus  §  28,  (7)  das  weitere  Resultat  erhält: 


TT^p^  sin  2q) 


(3)  fx  Y%ax)  Y%ßx)  dx  =  -  ^^ 

Die  Gleichung  (2)  ist  aber  unmöglich,  und  dasselbe  ist  für  (3)  der 

Fall,   weil  ja  für  den  Hauptwert ^  <  9^  ^  +  V   ^^^^    muß;    wir 

haben  so  folgenden  Satz  bewiesen: 

I.    /&/  —  1  >  V  >  +  1,   so  hat  der  Hauptwert  von  Y^(x)  keine 
kom;plexen  Nullstellen. 


176       Erster  Teil.    Fundamentaleigenscbaften  der  Cylinderfunktionen. 

Für  V  =  0  ist  dieser  Satz  von  Schafheitlin^)  gefunden 
worden. 

Durch  die  am  Schlüsse  des  §  28  angegebene  Methode  gelangt 
Schaf  hei  tlin-)  dann  zu  der  weiteren  Formel: 

S2ccß 


32.p  /  «  X 


wo  a  und  ß  verschiedene  Nullstellen  von  Y^(x)  bedeuten.  Stellt  man 
nun  diese  Nullstellen  unter  der  Form  (1)  dar,  so  findet  man  sehr 
leicht  einen  zweiten  Satz,  der  ebenfalls  Schafheitlin^)  angehört: 

IL  Der  Haupkvert  von  Y^(x)  kann  keine  komplexen  Null- 
stellen haben. 

Durch  Anwendung  des  zu  §  66,  (1)  analogen  Integrales*): 


7t 


(cos  a»)      ^  •  cos  I X CO  I 


(5)     Y^  (x)  ^ -S^-^^  ■ '    .,      "' '-e-'-^-'-dco, 


0 

wo  ^(x)  im  allgemeinen  als  positiv  anzunehmen  ist,  gelangte  dann 
Schafheitlin^)  über  die  angenäherte  Lage  der  Nullstellen  von 
Y"(x)  noch  zu  folgenden  Resultaten: 

III.  Sämtliche  Nullstellen  von  Y^(x)  liegen  zivischen  (k  +  |);r 
und  (Ä;  +  |):nc,  ivo  k  alle  ganzen,  nicht  negativen  Zahlen  zu  durch- 
laufen hat. 

IV.  Die  erste  Nullstclle  von  Y^  (x)  liegt  zwischen  n :  2  und  ?>7i:2, 
tvährend  die  übrigen  für  k^l  zwischen  (k -\- ^)7t  und  (k -\- f)7t 
liegen  inüssen. 

V.  Ist  X  >  U:  (n  +  2y  —  Lj  :  7t,  so  liegen  die  Nullstellen  von 
Y"(x)  innerhalb  der  Intervalle  kn  bis  (k  -|-  ^)jr,  bez.  {k  +  |-):;t  bis 
{k  +  |-)jr,  je  nachdem  n  gerade  oder  ungerade  ist. 

Die  Verteilung  der  Nullstellen  von  Y"(x)  ist  also  gleichfalls 
ziemlich  regelmäßig. 

1)  Archiv  für  Mathematik  und  Physik  (1)  Bd.  1,  p.  135;  1901. 

2)  loc.  cit.  p.  136. 

3)  loc.  cit.  p.  136. 

4)  Journal  für  Mathematik  Bd.  114,  p.  40;  1894. 

5)  Journal  für  Mathematik  Bd.  122,  p.  314;  1900. 


ZWEITER  TEIL. 

BESTIMMTE  INTEGRALE 
MIT  CYLTNDEPtFüNKTIONEN. 


Nielsen,  Cylinderfunktionen.  12 


Kapitel  XIL 
Iiite£:rall)('stiiiimuii2;eii  durcli   licilHMiciitAvIcklniig;. 

§  G8.    Anwendungen  des  ersten  Eulerschen  Integrales. 

Schon  in  Kapitel  III  haben  wir  gezeigt,  wie  sich  uns  das  erste 
Eulersche  Integral  als  ein  leichtes  Mittel  zur  Herleitung  elemen- 
tarer Integraldarstellimgen  der  Besselscheu  Cylinderfunktion  und 
analoger  Funktionen  darbietet.  Als  Einleitung  zu  unseren  allge- 
meinen Untersuchungen  über  bestimmte  Integrale  mit  Cyliuder- 
funktionen  wollen  wir  hier  noch  einige  ähnliche  Formeln  ableiten, 
welche  früher  nicht  Platz  gefunden  haben. 

1)  Bei  Einführung  der  unendlichen  Reihe  an  Stelle  der  L  omni  ei- 
schen Funktion  findet  man  durch  gliedweise  Integration  mittelst  (r^ß) 
folgende  Formel: 


(1) 


fT[''-^-'{xsin  (p)  (sin  9)1-'' (cos  (p)-'--<^-Ul(p  = 
j 

_  x^~T{v  —  q)C0S7i{v  —  q)     j^.   . 


WO  man 

(la)  l>m{v-Q)>0 

voraussetzen    muß.      Setzt    man    in    dieser   Formel    —  v   für  v    und 
Q  =  0,  so  erhält  man  die  speziellere: 

it 
T 

(2)      f  J'(x sin (p) {sin <py  +  ' (cos (p)-''-hl(p  =  ^^^^1^  •  (^fjj^x), 
0 

die  anwendbar  ist,  sobald: 

(2a)  0>miiv)>-l 

vorausgesetzt  wird. 

12* 


180  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

2)  Dasselbe  Verfahren  liefert  ohne  weiteres  die  Formel: 


V 

wo  die  Reihe  linker  Hand  mittelst  (r4)  reduziert  werden  kann.    Setzt 
man  ferner  Ax'i  für  x  und  t  =  sm^^cp,  so  findet  man: 


(3) 


I  e-^sin> .  (\)^,i^(ix^sm-(p)  (tg  y)  '  sin  (pdcp  =  -^ 


^r 


(-ir(a;-|/2)2?  +  2*+i 


(p  +  s  +  l)(2p  +  2s+l)' 


WO  man  voraussetzen  muß,  daß: 

(3a)  9^(9±v)>-l 

ist.     Setzt  man  speziell  Q  =  0,  so  gewinnt  man  die  weitere  Formel: 


n 


g-:r^sin>  .  (jjv (^^^2  ^^2  ^^)  ^^g -|)  '  sin  cp  d(p  =- ^  •  ^(ä;]/2), 

0 

wo  K{x)  das  Kramp  sehe  Integral  bezeichnet,  und  wo  man: 

(4a)  1  >  m{v)  >  -  1 

annehmen  muß.     Die    Annahmen    v  =  0,   v  =  ^-    ergeben    weiterhin 
beziehentlich : 


7t 


(5) 


/  g-x^sin>      J0A,;^^2  sjjj2  ^N  gjj-,  cpd(p  =  ~^-  K{xy2)  , 


0 


(6)  /  e-^'8i">  .  K{ix  sin  9))  tg  -^-  fpdfp  =^^  •  -^(a;). 

0 

3)  Wenden  wir  uns  nunmehr  zu  der  allgemeinen  Produktformel 
§  6,  (1),  so  finden  wir  ohne  Mühe,  daß: 


it 


J*AM.«(2/cos9P,^sin9p)(cos9p)2^  +  H*^m9>)'^^'f?gP  =  ^7^^,r^^ 


«+2) 


ist,  was  zu  der  neuen  Formel: 


0) 


Kapitel  Xil.    Integralliestinunuugen  dunJi  Reihen.    §69  IS] 

/  J''{xi/  COS  (p)J^'{xz  sin  (p)  (cos  qpV"*"^  (sin  rpy^^  dtp  = 


führt,  wo  man  voraussetzen  niuB,  daß: 

(7a)  9i(j,)>_l,       s)i(-p)>_l 

ist.     Dieselbe   Formel  (7)   ist  auf  ganz  andere  Weise  von   Soniu') 
gefunden  worden. 

Die  Sui)stitution  x  cos  g>  =  |  erlaubt  uns,  das  Integral  linker 
Hand  in  (7)  zu  transformieren;  auf  diese  Transformation,  die  sich 
ja  leicht  durchführen  läßt,  gehen  wir  indessen  hier  nicht  näher  ein. 
Dividiert  man  dagegen  die  Formel  (7)  durch  ^,  so  findet  man  für 
z  =  0  und  y  =  1  die  interessante  Formel: 


tt 


(«)   2, r r + 1) :/ '^' ^-^^ ''''' ^^ ^''''^ <py^'{sm g>y^^'  =  j'+c+^(^), 


•(.+i)„ 

die  Ulis  bald  sehr  nützlich  sein   wird. 


§  69.    Integrale  von  Gegenbauer. 

Wie  Sonin^)  gezeigt  hat,  bietet  uns  die  Formel  §  68,  (7)  ein 
einfaches  Mittel  dar,  um  einige  interessante  Formeln  von  Gegen- 
bauer abzuleiten.  Setzt  man  nämlich  in  der  obenerwähnten  Formel 
V  =  —  \  und  hinwiederum  v  —  \  für  q,  so  erhält  man  unmittelbar 
die  speziellere  Formel: 


(1) 


Y  1  cos  {xy  cos  90)  J''   ^{xz  sin  cp)  (sin  9))'"'"^  clq)  = 

wo  man  also  9?  (1^)  >  —  ^  voraussetzen  muß. 

Beachtet  mau  nun  weiter,  daß  das  Integral,  welches  man  aus  (1) 
erhält,  wenn  man  sin  (xy  cos  qo)  für  cos  (xy  cos  cp)  setzt,  gleich 
Null  sein  muß,  so  findet  man,  daß  sich  die  Formel  (1)  auch  fol- 
gendermaßen schreiben  läßt: 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  36;  1880. 

2)  loc.  cit.  p.  37. 


182  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 


(2) 


_L  /  Qixyw5(pjy-\(^xz  sin  (p)  (sin  (py^^d(p  = 

eine  Formel,    aus  welcher  wir  mehrere   interessante  Resultate   her- 
leiten können. 

Zu  diesem  Zwecke  setzen  wir  in  (2)  y  =  a  —  h  cos  co,  ^  =  &  sin  (a 
und  finden  so: 


(3) 


n 

=   1/  X — -  •  (h  sin  oY    ^ , 


wo  wir  der  Kürze  halber: 


(4)  Q  =  ]/a2  _  <2a})  cos  co  +  ft^ 

gesetzt  haben.  Ersetzen  wir  nun  in  dem  Integrale  (3)  die  dort  vor- 
kommende Cylinderfunktion  durch  das  zweite  Besselsche  Integral 
§  18,  (la),  so  ergibt  sich  ohne  Schwierigkeit  das  Doppelintegral 
von  Gegenbauer^): 


n    n 


Q"        TT  r(i/)2''  fJ  J 

^    '  U       0 

wo  wir  zur  Abkürzung: 

(6)  cos  Y  =  cos  9?  cos  (o  —  sin  qp  sin  oj  cos  i> 

gesetzt  haben. 

Die  Analogie  zwischen  den  Ausdrücken  Q  und  cos  V  und  den 
gewöhnlichen  Ausdrücken  für  eine  Seite  des  ebenen,  bez.  sphärischen 
Dreiecks  ist  offenbar. 

Gegenbauer  hat  noch  eine  andere  Formel  angegeben,  welche 
sich  als  die  reziproke  zu  (5)  auffassen  läßt,  und  welche  wir  folgender- 
maßen herleiten  können:  Wir  multiplizieren  in  (3)  mit  (sin  af^^da 
und  integrieren  von  0  bis  %  nach  o;  vertauschen  wir  nun  die  In- 
tegrationsfolge, was  offenbar  erlaubt  ist,  so  läßt  sich  die  Integration 
nach  «  unmittelbar  mittelst  (2)  ausführen,  indem  wir  in  dieser 
letzten    Formel   y  =  h  cos  (p,    z  =  1)  sin  (p    setzen.      Die    Integi'ation 


1)  Citat  von  Sonin:    Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  37;  1880. 


Kapitel  XU.    Integral IjCistinimun^'cn  durch  Reihen.    §  70.  183 

nach  q)   läßt  sich  dauii    weiter  ohne   Mühe   mittelst  §  18,  (2)   aus- 
führen; wir  finden  somit  folgende  Formel: 

n 

(7)  J'{ax)J^(hx)  =  ,..  "J'^f       Z^- (^^^ ^)'^ ^^">  n{v)>-^, 


die  nichts  anderes  ist  als  die  zweite  Formel  von  Gegenbauer.') 

Die  Formel  (7)  ist  später  unrichtig  von  Struve^)  angegeben 
worden;  es  haben  nämlich  in  Struves  Formel  rechter  Hand  x  und 
Q  nur  die  Exponenten  1;  Gray  und  Matthews^)  drucken  die 
Formel  nach  Struve  ab,  ohne  den  Exponenten  von  Q  zu  be- 
richtigen. 


§  70.    Anwendungen  des  zweiten  Eulerschen  Integrales. 

Es  ist  offenbar,  daß  das  zweite  Eulersche  Integral  (fu)  eine 
Reihe  von  Anwendungen  darbieten  muß,  die  zu  den  in  §  68  von 
Cte)  gegebenen  analog  sind.  In  der  Tat  liefert  uns  dieses  Integral 
denn  auch  eine  ganze  Klasse  von  bestimmten  Integralen  mit  Cylinder- 
funktionen,  welche  für  unsere  folgenden  Untersuchungen  unentbehr- 
lich sind;  wir  leiten  sie  hier  folgendermaßen  her: 

1)  Aus  Formel  §  6,  (1)  findet  man: 

(1)    J\tx)J\ty)e-''^-={xyy  -^  (-  l)M".M(^,y)e-''^  (|)""'''; 

.«  =  0 

nimmt  man  i  als  eine  Größe  an,  welche  von  0  bis  -{-  oo  variieren 
soll,  während  9^1  (^')  >  0  angenommen  wird,  so  hat  die  unendliche 
Reihe  rechter  Hand  in  (1)  folgende  drei  Eigenschaften: 

a)  Die  Reihe  ist  gleichmäßig  konvergent,  falls  0  <  ^  <  -f  oo  ist. 

b)  Die  einzelnen  Glieder  der  Reihe  sind  von  ^  =  0  bis  t  =  -\-  oo 
integrabel,  falls  3't(i')  >  —  \  ist. 

c)  Die  Reihe,  welche  man  durch  gliedweise  Integration  von 
^  =  0  bis  t  =  -\-  oo  erhält,  ist  ebenfalls  gleichmäßig  konvergent. 

Nach  diesen  Erörterungen  erhellt,  daß  die  gliedweise  Integration 
unserer  Reihe  von  ^  =  0  bis  t  =  -\-  oo  einem  bekannten  Satze*)  zu- 


1)  Citat  von  Sonin  loc.  cit.  p.  38. 

2)  Wiedemann  Annalen  Bd.  17,  p.  1014;  1882. 

3)  Bessel  Functions,  p.  238;  1895. 

4)  U.  Dini:    Grundlagen  für  eine  Theorie  der  Funktionen  einer  veränder- 
lichen  reellen  Größe,  p.  523;  1892. 


184  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

folge  gestattet  ist,  iind  wir  finden  also  mittelst  der  verallgemeinerten 
Besselschen  Formel  §  8,  (5)  folgende  interessante  Formel: 

(2)  \j\tx)J^{ty)er^-^^t-dt  =  '     '\^     '    •  J"  ("|^') , 

0 

wo  wir  also: 

(2a)  9i(^)>0,      3t(v)>-l 

voraussetzen  müssen.  Für  ganze  v  ist  (2)  schon  von  Hankel') 
gefunden  worden,  während  Sonin")  die  allgemeine  Formel  ge- 
geben hat. 

2)  Eine  Anwendung   der   Formel  (fj   auf  §  6,  (4)  liefert   un- 
mittelbar folgende  speziellere  Produktformel: 

auf  dieselbe  Weise  findet  man  dann  die  weitere  Formel: 

3?-         VTti 

(3)  /  /•■  {tx)  J-  '■  (tx)  e-*'y.t.dt=  ^^  .  0^  (^) , 


wo  man  demnach  9?(?/)  >  0  voraussetzen  muß. 

Setzt  man  nun  in  (2)  y  =  x  und  hinwiederum  y  für  s,  so  er- 
gibt sich  aus  (3)  zufolge  der  Definition  §  3,  (2)  für  die  Neumann- 
sche  Cylinderfunktion  folgende  neue  Formel: 


(4) 


fj'itx)  Y'itx)  e-'"-Hdt  = 


X*         VTti. 

2y        2~ 


22/ 

welche  anwendbar  ist,  falls: 
(4a)  ^{v)>-l,       ^(y)>0 

vorausgesetzt  wird. 

In  dem  ganz  speziellen  Falle,  in  welchem  v  gleich  einer  ganzen, 
nicht  negativen  Zahl   ist,   wird   der  Ausdruck  rechter  Hand  in  (4) 

1)  Mathematische  Annalen  Bd.  8,  p.  470;  1875.  2)  Ebenda  Bd.  16, 

p.  40;  1880. 


Kapitel  XII.    Intr^ralliostiuimunf,'en  tlurch  Kcilicn     §  70. 


185 


unbestimmt;  eine  Anwendung  der  Formeln  §  10,  (10)   und  §  i\  (9) 
liefert  uns  indessen  ohne  Schwierigkeit  die  folgende  Formel: 


(5) 


OD 


4^(^."(9+^®"{f)) 


Vertauscht  man  weiterhin  in  (2)  für  y  =  x  das  Zeichen  von  »/, 
80  kann  man  auch  das  zu  (4)  amiloge  Integral  mit  zwei  Neu- 
m annscheu  Cylinderfuuktioneu  bestimmen;  doch  wird  dasselbe,  auch 
für  V  =  0,  den  einzig  möglichen  ganzen  Wert  des  Parameters,  sehr 
kompliziert. 

3)  Setzt  man  3i(?/)  >  0  und  9? (v +  ())>—  1  voraus,  so  führt 
dieselbe  Methode  noch  zu  folgender  Formel: 


(6) 


I  J*{tx)t<! 


e-'"-^(U  = 


X 


,v  +  l 


y 


y 

+  Q  +  1    ^J 
— 5 »  =  0 


\iy) ' 


sir{v-\-s-\- 1) 


von    der    aus    mau    durch    die    Annahme    q  =  0    zu    der    weiteren 
Formel: 


x^     int 


(7)  J^J^{tx)e--m=Y^^/^  Q^"^'^' 

0 

gelangt,    aus   der   man  wiederum  ohne  Mühe  die  folgende  herleitet: 

CO 

(8)  jY\tx)e-''dt  =i-.y|.  ir,«  Q.- 


«*     ni 

"87"!" 


die   in   etwas   anderer  Form    von    Basset^)    aufgestellt    worden    ist. 
Die  zweite  Annahme  q  =^  v  -\-  1  gibt  die  wohlbekannte  Formel: 


(9) 


fj'{tx)c- 


^'H'+^dt  = 


X 


i^y) 


v  +  l 


.  e 


4y  . 


4)    Dasselbe  Verfahren  liefert  endlich  noch  die  Formel: 


(10) 


00 

J        ^     '  ,/  +  ?  +  !      2*.r(j; 


^( 


g+1) : 

y  ■  <  ■  -     -j-  •  I  (v  +  1) 
v  +  e  +  i    i;  +  e  +  2 


,  ^+1, 


■:)' 


1)  Citat  von  Gray  und  Matthews:  Bessel  Functions,  p.  227;  1895. 


186  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

welche  von  HankeP)  herrührt  und  in  der  man  im  allgemeinen: 

(10a)         ^(q-^v)>-1,       yi{y±ix)>0,       \x\<\y\ 

voraussetzen  muß.  Aus  (10)  läßt  sich  eine  große  Menge  von 
spezielleren  Formeln  herleiten;  setzt  man  zum  Beispiel  Q  =  v,  so 
findet  man: 

(11)  fj^itx)e--H^dt  =  ^-^^  .  —^^, 
während  die  Annahme  q  =  v  -{-  \  folgende  Formel  ergibt: 

(12)  fj\tx)G-^yp'^'dt  =  ^^^^  .  -^^^^-^ 

letztere  Formel  kann  man  auch  aus  (11)  herleiten,  wenn  man  nur 
nach  y  differentiiert;  ebenso  ist  es  offenbar,  daß  man  durch  wieder- 
holte Differentiation  nach  y  aus  derselben  Formel  dasjenige  Integral 
herleiten  kann,  in  welchem  t  den  Exponenten  v  -}-  ii  hat,  wo  ti  eine 
positive,  ganze  Zahl  bedeutet. 

Die  Formeln  (11),  (12)  sind  von  Gegenbauer^)  gefunden;  der 
Spezialfall  v  =  0  von  (11)  war  schon  von  Lipschitz^)  erörtert 
worden,  und  dieses  bestimmte  Integi-al  mit  einer  Cylinderfunktion 
ist  wohl  das  erste,  welches  man  überhaupt  kennen  lernte. 

Setzt  man  ferner  in  (10)  p  =  0,  so  findet  man  mittelst  der 
Kumm ersehen  Formel  (F^)  die  folgende: 

(13)  ßxt.)e-'m~^y4^f^, 

eine  Formel,  welche  zuerst  von  Heine*)  aufgestellt  worden  ist, 
während  sie  später  Pincherle^)  durch  eine  sehr  elegante  Methode 
hergeleitet  hat;  für  v  =  0  findet  man  aus  (13)  die  Lipschitzsche 
Formel  wieder.  Differentiiert  man  endlich  die  Formel  (13)  nach  v, 
so  erhält  man  für  v  =  0  folgende  Formel: 

CO  

(14)     jVo((x).-'.<^^=j™.iog(|/rT{f)'-f). 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  8,  p.  467;  1875. 

2)  Sitzungsberichte  der  Wiener  Akademie  Bd.  70  II,  p,  439;  1874. 

3)  Journal  für  Mathematik  Bd.  56,  p.  190;  1859. 

4)  Handbuch  der  Kugelfunktionen  Bd.  I,  p.  243;  1878. 

5)  Memorie  dell'  Istituto  di  Bologna,  serie  4%  Bd.  8,  p.  21;  1887. 


Kapitel  XII.    Integralbestimmungen  durch  Reihen.    §  71.  187 

§  71.    Bestimmung  von    fr-"^J*'{tx)tf!dt. 

0 

In  gewissen  Fälh-n  kann  man  dif  allgemeinen  Bedingungen 
ij  70,  (i<*{i)  etwas  moililizieren  und  so  aus  (10)  einige  speziellere 
Formeln  herleiten,  welche  uns  bald  sehr  nützlich  sein  werden. 
Zuerst  setzen  wir  y  =  xi,  wo  x  als  reell  und  positiv  anzunehmen  ist; 
die  asymptotische  Reihe  §  59,  (3)  zeigt  dann,  daß  sich  für  sehr 
große  Werte  von  t  die  Funktion  unter  dem  Integralzeichen  wie 
^•"1  verhält,  d.  h.  iliiß  'JH(())  <  —  ^  sein  muß,  während  die  untere 
Integrationsgrenze  die  weitere  Bedingung  9i  (i^  +  p)  >  —  1  erfordert. 
Daß  die  obenerwähnte  Formel  (10)  auch  hier  richtig  bleibt,  folgt 
aus  dem  gewöhnlichen  Fundamentalsatz  \)  der  Theorie  der  analy- 
tischen Funktionen. 

Wenn  y  =  xi  gesetzt  wird,  läßt  sich  die  hypergeometrische 
Reihe  rechter  Hand  in  (10)  mittelst  der  G au ß sehen  Formel  (Fg) 
summieren;  man  erhält  so  nach  einer  Anwendung  von  (fg)  die  ein- 
fachere Formel: 


(1) 


fj\tx)c^^-if^dt  =  r(,-f.-fi)r(g-.-f.i)r(-;-,) 


c        ^  ■  sin  ;r(v  — ()), 


welche  also  anwendbar  ist,  falls  man  gleichzeitig: 
(la)  a;>0,     9i(^  +  i.)>-l,     9^(p)<-_^ 

voraussetzt. 

Die  ähnliche  Formel  für  die  Neumannsche  Cylinderfunktion  läßt 
sich  ohne  Mühe  mittelst  der  Definition  derselben  bilden;  man  findet: 


(2) 


00 

^/'p(<a;)e+'^'>(^^  =  r(^-|-i/-f-l)r(()-v+l)  r(-^-()) 


_    ('  +  V  +  1        . 

-[-  -i: m 


(2  cos  v%  cos  ^:;r  +  i  sin  :r  (o  +  v)\ , 


wo  man: 

(2a)  x>0,     ^{q±v)>-\,     9R(9)<_4- 

voraussetzen   muß.     Aus    den    Formeln    (1)    und    (2)    gewinnt   man 

sehr    leicht   vier    andere,    in    denen    die  Exponentialfunktion    durch 

trigonometrische  Funktionen  ersetzt  worden  ist. 


1)  C.  Neumann:  Vorlesungen  über  Riemanns  Theorie  der  Abelschen  Inte- 
grale, p.  35;  1884. 


188  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

Nun  lassen  sich  auch  ohne  Mühe  die  entsprechenden  Formeln 
bilden,  welche  die  Hankeischen  Cylinderfunktionen  enthalten, 
nämlich  : 


+  1) 


e 


-=^  V-Q 


7 


(4)  I  R/{tx)e-'-'"ti!dt  = 


•  G     "         , 


Formeln,  die  demnach  bewiesen  sind,  falls: 

x>0,    '^{±v)>-\,    9?(^)<--t 

vorausgesetzt  wird.     Es  ist  indessen  oJBFenbar,  daß  die  beiden  Seiten 
von    (3)    und    (4)    analytische  Funktionen  von  x  darstellen  müssen, 
falls  nur: 
(5)  'Si{Q±v)>-l,     'Si  {ix)  >  0     resp.  "^{ix)  <  0 

vorausgesetzt  wird;  also  müssen,  dem  bekannten  Fundamentalsatze 
zufolge,  die  Formeln  (3)  und  (4)  auch  unter  diesen  weiteren  Be- 
dingungen gültig  bleiben.  Dieselben  Formeln  lassen  sich  auch  ohne 
Schwierigkeit  folgendermaßen  schreiben : 

(6)    fa(M6-^-^^^=^'"^^+"+^^'^^-:+^^6"'^"^ , 

wo  also  "Si^x)  im  allgemeinen  positiv  sein  muß;  die  Formeln  (6),  (7) 
bestätigen  vollkommen  den  Satz  des  §  4  über  die  Realität  der 
Hank  eischen  Cylinderfunktionen. 

§  72.    Bestimmung  des  Webersclien  Fundamentalintegrales. 

Mit  HankeP)  wollen  wir  noch  die  Formel  §  70,  (10)  mittelst 
der  Eni  er  sehen  Formel  (Fg)  umformen;  wir  finden  dann  leicht: 


(1) 


■4 


i'j;  -|-  p  -|-  1         v  —  Q  .  X^ 


^  \         2  '         2      '     ^  ^  ^  '     a;*  +  «V  ' 


1)  Mathematische  Annalen  ßd.  8,  p.  468;  1875. 


Kapitel  XH.    Intogralbestimmungen  «lurch  Reihen.    §  72.  189 

setzen   wir   nun    t/ =  0,    so    führt    die   Gnußsche    Formel  (F,)    nach 
einer  leichten  Umformuii«;  mittelst  (f^)  zu  folgender  wichtiger  Formel: 

(2)  yj.(,.)^rf,  =  A...  V|y^ 


0 

wo  man  also: 


(2a)  x>0,     ^(v  +  Q)>-l,     ^{q)<^ 

voraussetzen  muß.  Für  ein  ganzzahliges  v  ist  (2)  von  Weber*) 
gefunden  worden ,  während  schon  Lipschitz-)  den  Fall  v  =  0 
kannte. 

Für  die  Cylinderfunktion  zweiter  Art  ergibt  die  Definition  der- 
selben nach  einer  einfachen  Rechnung  folgende  Formel: 

(3)  fr'it.),ät  -  _^;,, .  r(-h|±i)  r(^-.^)  sin  |(,  -  .), 

u 
wo  man  demnach: 

(3a)  a;>0,     <iRiQ±v)>-l,     ^(())<i 

voraussetzen  muß.    Die  Formel  (2)  läßt  sich  ohne  Mühe  in  folgender 

(3)  sehr  ähnlicher  Form  sclu'eiben: 

(4)  fj'(t.) Mt  -  -^  .  r(^±^)  r(-l|±i)  eos  |  (,  -  .)• 

0 

Für  den  Üljergang  zu  den  Cylinderfunktionen  dritter  Art  ist 
diese  letzte  Form  der  Web  ersehen  Formel  sehr  bequem;  man 
findet  in  der  Tat  aus  (3)  und  (4)  unmittelbar: 

(5)  y^,(,.).<«=?!^;.r(^±|+i)r(^^|±i), 

0 

(6)  y*^,.(..).v«  =  ^'.r(?+|+i)r(^^|±l), 

0 

Formeln,  die  also  richtig  bleiben,  wenn  nur: 

^{Q±y)>-'^,     '^(xi)  >  0     resp.  m{xi)  <  0, 

1)  Journal  für  Mathematik  Bd.  69,  p.  231;  1869.  2)  Ebenda  Bd.  56, 

p.  192;  18.39. 


190  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

vorausgesetzt  wird:    man   kann    dieselben    Fonneln    auch   folcrender- 
maßen  umformen: 


fH,x-t..:)<^,t  =  ^  .  r(^±|±i)r(-^), 


CO 

0 

CO  r  +  1 

I  oC^^ 

(8) 

0 

wo  der  reelle  Teil  von  x  sonacb  im  allgemeinen  als  positiv  voraus- 
gesetzt werden  muß. 

Diese  Verallgemeinerungen  der  Web  er  sehen  Formel  werden 
uns  bei  unseren  weiteren  Untersuchungen  über  bestimmte  Integi'ale 
mit  Cvlinderfunktionen  häufig  von  gi'oßem  Nutzen  sein. 

Wir  wenden  uns  noch  einmal  zu  den  Formehi  (2)  und  (3). 
eine  Differentiation  nach  q  ergibt  ohne  Mühe,  nachdem  wir  p  =  0 
gesetzt  haben: 

(9)  p\tx)  log  t dt  =  -i(Y  C^^)  +  log  (I)), 


u 


00 


(10)  y  p  (te)  log  w< = ^  -  ^  (2  log  (I)  +  V  (i±?:)  +  v  (1^ 


daraus  findet  man  für   y  =  0  und   .r  =  1    die  folgenden  bemerkens- 
werten Formeln,  wo  C  die  Euler  sehe  Konstante  bedeutet: 

(11)  fj\t)  log  tdt  =  -{C  +  log  2), 

0 

00 

(12)  Jy\t)\ogtdt=^- 

u 
Aus  (3)  finden  wir  weiterhin  für  p  =  v  die  interessante  Formel: 

(13)  fY\tx)Pdt=^0, 

0 
wo  wir  also: 

x>0,      i>9?(i/)>-i 

voraussetzen  müssen. 


Kapitel  Xin.    Integraldarstellungen  von  F(a,  ß,  y,  x).    §  7.S.  l'Jl 

Kapitel  XIII. 
Inte;i;i'al(larsl<'IIiin,i;«'ii  der  liy|K'r;;('ometri.sclit'ii  Funktion. 

§  73.     Allgemeine  Formeln. 

Die  asymptotischen  Darstellungen  der  Ilankelschen  Cylinder- 
fiinktionen  zeigen  unmittelbar,  daß  sich  die  in  §  70  angewendete 
Methode  ohne  weiteres  auf  diejenigen  Integrale  übertragen  läßt, 
welche  wir  aus  denjenigen  in  §  70,  4)  erhalten,  wenn  wir  die  dort 
vorkommende  Exponentialfunktion  durch  Hankeische  Cyliuder- 
funktionen  ersetzen.  Die  gliedweise  Integration  läßt  sich  dann  mit- 
telst §  72,  (5)  und  (6)  ausführen,  so  daß  diese  Woberschen  In- 
tegrale hier  an  Stelle  des  zweiten  Eulerschen  Integrales  für  die 
Gammafunktion  treten. 

Wir  betrachten  erstens  das  Integral: 

ao 
0 

welches  konvergent  ist,  wenn  im  allgemeinen: 

(1)  m(iy±ix)<0,     ^{6-\-^±v)>-l 
oder  im  besondern: 

(2)  "Sliiy  ±  ix)  =  0,  ^{(S  +  Q±v)>-1,  9i((5)  <  1 
vorausgesetzt  wird.  Wir  denken  uns  nim,  die  Bedingungen  (1) 
seien  erfüllt,  und  führen  in  dem  oben  erwähnten  Integrale  statt  der 
«/"-Funktion  ihre  Reihenentwicklung  ein.  Soll  nun  die  durch  die 
gliedweise  Integration  erhaltene  Reihe  wirklich  gleichmäßig  konver- 
gieren, so  muß  außerdem  |  a;  |  <  |  ?/  |  sein.  Unter  diesen  Voraus- 
setzungen ergibt  §  72,  (5)  unmittelbar  die  gesuchte  Formel: 

(3)  j\{ty)J^(tx)t^dt  =  e-^'''-  F,,^^  (|) , 

0 

wo  wir  der  Kürze  halber: 
F     (-) 


(4) 


2"a;'^ 


r /g  +  g  +  ^^  +  1\  .  r /Q  +  a-v  +  iy 


yJ     Tty^^"^^  r(9  +  i) 


^\ 2 '      2 '      ^  +  1'      f-) 

gesetzt  haben.     Die  Formel  (3)  ist  also  anwendbar,  wenn  die  Be- 
dingungen (1)  oder  (2)  erfüllt  sind  und  zudem  |  a;  ]  <  ]  «/  |  ist. 


192  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

Ganz  auf  dieselbe  Weise  beliaudelt  mau  mittelst  §  72^  (6)  das 
älinliclie  Integral  mit  der  Funktion  H^-^  der  Wert  dieses  Integrales 
läßt  sich  aus  (3)  herleiten,  wenn  man  nur  in  der  Exponentialfunk- 
tion rechter  Hand  —  i  für  i  einführt.     Wir  erhalten  nämlich: 

CO 

(5)  jH,\ty)J^{tx)1fdt  =  e-'-^^""'  •  F,.^^  (|)  , 

0 

eine  Formel,  die  demnach  im  allgemeinen  anwendbar  ist,  falls: 

(6)  ^{iy±ix)>0,     '^{q  +  6±v)>-1,     \x\<\y\ 

ist,   oder  im   besondern,  falls   die  Bedingungen  (2)  erfüllt  sind  und 
zudem  |  ^  |  <  |  ^  |  ist. 

Greifen  wir  nun  auf  die  in  §  4  gegebenen  Definitionen  für  H^ 
und  H^  zurück,  so  gewinnen  wir  aus  (3)  und  (5)  die  noch  all- 
gemeineren Formeln: 


a—v—Q+i     . 
2 jti 

0  2  } 


■  »■  -  ^  +  1 

-5 7t  1 


(7)  fHAty)mt^)^dt^  '-'^"L.^"' 

0 
0 

welche  sonach  anwendbar  sind,  falls  im  allgemeinen: 

(9)  'tR{ix  +  iy)§0,     ^ia±v±Q)>-l,     1^|<|^| 
oder  im  besondern: 

(10)  m{ix  +  iy)  =  0,     ^(6±v±q)>-1,     9i((5)<l,     |^|<|?/| 

vorausgesetzt  wird.  Die  zwei  ersten  Ungleichungen  in  der  Bedingung 
(9)  gelten  natürlich  beziehungsweise  für  die  Formehi  (7)  und  (8). 

Wir  bemerken,  daß  die  Integrale,  welche  zwei  verschiedene 
Hankeische  Cylinderfunktionen  enthalten,  viel  komplizierter  sind; 
wir  bemerken  ferner,  daß  sich  die  Formeln  (7)  und  (8)  offenbar 
gegenseitig  ausschließen,  so  daß  sie  im  aUgemeinen  nicht  gleich- 
zeitig bestehen  können;  dies  tritt  dann  und  nur  dann  ein,  wenn 
die  spezielleren  Bedingungen  (10)  erfüllt  sind. 

Denken  wir  ims  nun  x  und  y  als  verschieden,  so  reichen  die 
Formeln  (7),  (8)  offenbar  aus,  um  die  hypergeometrische  Funktion 
für  alle  möglichen  Kombinationen  endlicher  Werte  von  x  und  y 
darzustellen.  Denn  man  kann,  falls  |  ^  |  >  |  ?/  1  angenommen  wird, 
in  diesen  Formeln  x  mit  y  vertauschen,  wenn  mau  nur  auch  gleich- 


Kapitel  XIIT.    Intc<,'ralclar8tellungen  von  F(a,  ß,  y,  x).    §  73.  193 

zeitig  V  mit  p  vertauscht.  Diese  Vertauschungeu  zeigen  aber  deut- 
lich, daß  die  Integrale  linker  Hand  in  (7)  und  (H)  sehr  eigentüm- 
liche Verhältnisse  darbieten.  Es  ist  in  der  Tat  außer  allem  Zweifel, 
daß  diese  Integrale  unter  den  Bedingungen  (9)  und  (10)  kontinuier- 
liche Funktionen  darstellen,  die  indessen  verschieden  sind,  je  nach- 
dem I  -1^  1  ^  I  y  I  vorausgesetzt  wird,  aber  identisch  werden  beim 
Grenzübergange  x  =  y,  falls  sie  dabei  kontinuierlich  bleiben.  Wir 
werden  später  nachweisen,  daß  diese  Integrale  Verallgemeinerungen 
des  berühmten  diskontinuierlichen  Faktors  von  Dirichlet  sind. 

Dir  Ursache  der  Diskont'niu'üät  der  ohenerivähnten  Integrale  ist 
natürlich  darin  zu  suchen,  daß  die  hypergeometrische  Funldion  inx=l 
eine  singulare  Stelle  hat. 

Kehren  wir  nun  zu  den  Formeln  (3)  und  (5)  zurück  und  setzen 
wir  voraus,  daß  sie  beide  anwendbar  sind,  so  finden  wir  durch  Ad- 
dition, bez.  Subtraktion  folgende  zwei  weiteren  Formeln: 

cc 

(11)  Jj\ty)j9{tx)tPdt  =  i^„,^  (^-)  •  cos  I  {q  +  6-v), 

0 

wo  man  voraussetzen  muß,  daß: 

(IIa)  y>x>0,    9t(„  +  p +  (?)>-!,    m{6)<l 

ist,  und: 

(12)  fY^{ty)j9(tx)t"dt  =  F,.^^  {^)  .sm^{Q  +  6-v), 

0 

eine  Formel,  welche  gültig  ist,  wenn  man: 

(12a)  y>x>0,     'iR{Q  +  6±v)>-\,     3?(ö)<l 

voraussetzt. 

Denkt  man  sich  weiterhin  die  Bedingungen  (10)  erfüllt,  so  führen 
die  Formeln  (7),  (8)  mittelst  (11),  (12)  zu  den  folgenden: 

00 

(13)  fj\ty)Y^{tx)tf'dt  = 

cos  -—iv-\-Q  —  Ol 

=  coiQTC  .  cos^  (()  -f  (?  -  v\F,(-) ^-^ '-F^,      (-), 

^  1  y  /    *'^\y/  sin  OTT  ^>~^\yJ' 


00 

(14)  fY\ty)Y^{tx)tPdt  = 


sm 


cot^Tt  .  sin  -J(p  +  ö  -  v\F^.A-)^—^X--^—LF,,_i-), 
wo  man  also: 

Nielsen,  Cylinderfunktionen.  13 


194  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

(13a)  y>x>0,     9fv(v  +  ö±  ?)>-!,     9i(ö)<  1, 

beziehentlich : 

(14a)         y>x>0,     ^{±  v  ±  q  +  6  >  -  1,     9i(ö)  <  1 

annehmen  muß. 

Die  Formeln  von  (11)  bis  (14)  erlauben  uns,  die  hypergeome- 
trische Funktion  für  reelle  und  verschiedene  Werte  von  x  und  y 
stets  durch  bestimmte  Integrale  darzustellen.  Eben  diese  spezielleren 
Formeln  lassen  deutlich  erkennen,  weshalb  der  Spezialfall  y  =  x  eine 
besondere  Bedingung  erfordert;  denn,  vs^ährend  die  Produkte  der 
beiden  Cylinderfunktionen,  welche  in  diesen  Integralen  vorkommen, 
für  x^y  bei  sehr  gi-oßen  Werten  von  t  ihr  Vorzeichen  ebenso  wech- 
seln wie  die  Exponentialfunktion  mit  dem  Exponenten  {■±:ix  +  iy)t, 
kommen  in  dem  Spezialfälle  y  =  x  immer  Glieder  mit  invariabeln 
Vorzeichen  vor,  so  daß  hier  9i((?)  <  0  angenommen  werden  muß, 
um   die  Konvergenz  der  Integrale  an  der  oberen  Grenze  zu  sichern. 

Betrachten  wir  speziell  die  Formel  (11)  für  x  =  y,  so  finden 
wir  mittelst  der  Gauß sehen  Formel  (Fg)  folgende  Formel: 

J  J''(tx)J^(tx)t''dt=^ 

(15)  i  ,a.^-.-i.r(i  +  ^  +  pJi^^r(-<T) 

l]  r  A  —  ^^  +  9  —  c\  p  /i  +  ^  +  g  -^  ' 

wo  wir  im  allgemeinen: 

(15a)  x>0,     9?(v  +  ^  +  (?)>-l,     9?((?)<0 

annehmen  müssen.  Doch  kann  man  die  Bedingung  für  6  dahin 
modifizieren,  daß  man  6  =  0  setzen  darf,  wenn  zugleich  q^v  —  l—2n 
angenommen  wird,  wo  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet; 
die  Formel  (11)  gibt  nämlich,  nachdem  man  zuerst  (fg)  anwendet: 

00 

(16)  Jjv(t)jv-2.-i^i^^i^tzJ^^     ^(v)>n. 

0 

Die  Formeln  (11)  und  (15)  sind  von  Schafheitlin^)  auf  ganz 
andere  Weise  hergeleitet  worden;  (11)  kommt  jedoch  schon  bei 
Sonin^)  vor.  Später  hat  Gubler^)  die  Formel  (11)  durch  Änderung 
des  Integrationsweges  diskutiert.  Unsere  Herleitung  und  die  all- 
gemeinen Formeln  scheinen  dagegen  neu  zu  sein. 


r /'L+ZJZ ^~''\  r/1  —  '^  +  9  —  ''\  r/l  +  ^  +  P 
\  2 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  30,  p.  168,  169;  1887.  2)  Ebenda 

Bd.  16,  p.  51;  1880.  3)  Bd.  48,  p.  31—48;  1896. 


Kapitel  XÜI     Tiite^rnildarstellungen  von  F{ct,  ß,  y,  .t).    §  74.  195 

§   74.     Integrale  mit  einer  trigonometrischon  Funktion. 

Die  Gaubscheii  Formeln  von  (V^)  bis  (Ff.)  erlauben  uns,  unsere 
Funktion  t\  in  den  Spezialfällen  ()  =  ±  ^,  tf  =  ±  i  unmittelbar 
durch  elementare  Funktionen  aus'/udrüeken,  während  uns  die  Kum- 
mersche  Formel  (h\)  «bestattet,  die  Fälle  v=  J,  p  =  ±  i  auf  ähn- 
liche Weise  zu  vereinfachen.  Durch  Anweudun«^  dieser  Formeln 
erhält  man  eine  Keihe  von  äußerst  einfachen  und  interessanten 
Formelu,  welche  wir  nunmehr  entwickeln  wollen. 

Setzt  man  in  i?  73,  ( 1 1)  y^l,  q  =  ö  =  ^,  so  ergibt  sich  aus  (F^): 


(1) 


Ol 

/j'(/)sin(^a:)J<  =  ^^^^^^^|^,     9?(v)>-2,     0<:r<l; 


um  dasselbe  Integral  auch  für  a-  >  1  zu  erhalten,  setzen  wir  in  der 
obenerwähnten  allgemeinen  Formel  ?/  =  (?=  .V,  x  =  1  und  hin- 
wiederum a:  für  y  und  v  für  9;  dann  ergibt  (F^,)  unmittelbar: 


vn 
cos 


J^{t) sin (tx) dt  =      , J_  '  (x -  Vx'--lJ,   x>l,   9i(v)>-2; 

u  ' 

ist  in  dieser  Formel  v  gleich  einer  ganzen  ungeraden  Zahl,  so  ver- 
schwindet demnach  das  Integral  linker  Hand. 

Die  Annahmen  ^  =  —  .V,  (?  =  +  ^  liefern  in  derselben  Weise  die 
zwei  analogen  Formeln: 

(3)  fj^{t)cos{tx)dt=^-^'^^^^^^,     0<x<l,     m(v)>-l, 
0  ' 

(4)  jJ'{t)(tos{tx)dt  =  —=^\x-yx'--\j,   x>\,  9t(i/)>-l; 
0  ' 

wenn    v    hier   eine    ganze    gerade  Zahl   bedeutet,    verschwindet   das 
letztere  Integral  immer. 

Aus  den  Formeln  §  73,  (12)  und  (13)  erhalten  wir  ebenso  die 
zu  (1)  und  (2)  analogen  Integraldarstellungen: 

00  .v% 

r  ^^^^ 

(5)  /  i^*'(0  sin  {tx)dt  =  •  sin  (y  arc  sin  x), 
0                                       ' 

0<2<1,    2>^(t.)>-2, 

13* 


196  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

00 

fr^Xt)  sin  (tx)  dt  =^ 

(  i/^ — 1\*'      4.  («  — V«^— i)' 

yx  —yx^—l\  Q,oiv7i  —  ~       *  ^ 


(6) 


cos 


VTl 


Sin  vjt 


x>l,     2>^{v)>-2. 

In  diesen  Formeln  darf  v  also  nur  die  ganzen  Werte  0  und  1  an- 
nehmen; wir  finden  in  diesen  speziellen  Fällen: 

00 

(7)  fY\t)Binitx)di  =  ^-'^^^,         0<^<1, 


(8) 


00 

fY^t)  sm(tx)dt  =  —  •  ^.^SJ^-V^"-})  ^  >  1 


(9)  fy^t)  sin  (tx) dt  =  0, 


0<:r<l, 


(10) 


00 

(  Y\t)  sin  (tx)  dt  =  -    ^  ^       ,         x>  1 


Geht  man  nun  auf  die  Formel  §  70,  (14)  zurück,  so  findet  man 
auf  ganz  dieselbe  Weise: 

oo  ,       Vif 

r  ^T 

(11)  /  Y^if)  cos  {tx)dt  = cos  (v  arc  sina;),        0  <  ^  <  1, 

0  '^ 

(12)  Jr^(0  cos  {tx)dt  =  -^  (  coti.;r  (^->/p3i)^+  ^""£1"'- 


a;>  1, 


wobei  man  noch    1  >  9i(v)  >  —  1   annehmen  muß;  für  den  einzig 
möglichen  ganzen  Wert  r  =  0  erhält  man  folgende  Formehi: 


(13) 


(14) 


f  Y\t)  cos  (tx) dt  =  0, 


0<:r<  1, 


00 

I  Y^{t)  COS (tx)dt  =  -^^,  x>l 


Kapitt'l  XIII     Intoj,'ral(larstc'llungcn  von  F(a, /?,  y. -^O-    §7-1.  107 

Die  Diskontiuuität  <ler  vier/ehu  Intf^nile,  wolcln«  wir  hier  tMit- 
wickelt  haben,  ist  otli'iibftr.  Wie  sowohl  dif  iusyiiiptotisrheii  AuB- 
drücke  tilr  ilie  C'yliiidert'unktionea  als  auch  die  ^eriuidfiieii  Wi-rte 
der  obenerwähiitt'ii  liitt'ifiali'  di-utiich  /»'i^i'u,  darf  .r  niemnls  j^leieh 
1  aii^enonimen  werden.  Von  diesen  Formeln  hat  W'fher'j  (1)  his 
(4)  für   f  =  0  gefunden,   wähn-nd  die   ühri^tMi   wn  /,u   sein  Hcheinen. 

Wir  kehren  nun  zu  ij  7)^  ill)  zurück  und  finden  für  q  —  \, 
<y  =  —  ^  die  schöne  Formel: 

OD 

(15)      y>,^-^^.:imi^,^^^Bin(.arc.iux)^       ()<x<l,       9](V)>-1, 

u 
wiilirend  die  Annahme  v  =  l,  ö  =  —  l  die  entsprechende  Formel: 

(113)    Jj'(t).'-^dt  =  —;^(x-Vx'-iy,     x>\,     '^l(v)>-l 

0 

liefert;    das    letztere   Integral    verschwindet    also    für   positive   ganze 
gerade  Werte  von  v. 

Setzt  man  ferner  in  §  73,  (13)  Q  =  l,  6  =  —  \  und  in  §  73, 
(12)  V  =  ^,  ^  ^  ~  ^j  ^o  erhält  mau  die  weiteren  Formeln: 

CO 

/i-N       Crvu\     C08(fa;)  ,,      cos  (v  arc  sin  x)  ^.      ^  .  o3/\-^a 

(10    J  J\t)-—j—cU  = '—^ -',         0<a;^l,         9t(i/)>0, 

0 

00  VTC 

jr^t) .  c_2!p cU=  —^ (x  - Vx' -  l)^     x^l,     9i {v) > 0, 
ö 

in   denen   das  letzte  Integral  für  ganze  ungerade  Werte  von  v  ver- 
schwinden muß. 

Die  Formel  §  73,  (14)  ergibt  in  ähnlicher  Weise: 

00  VTT 

/IXT  
Yy(ßy^2^^fll^_lA.sm{vdrGsmx),  0<x^  1, 

0 

(20)  /y. (0 .^Mädt=-;iLt V. . {.-^/W^x)•  - ^-^S-t), 

wobei    man    für    den    Parameter    v    noch    voraussetzen    muß,    daß 


1)  Journal  für  Mathematik  ßcl.  75,  p.  77;  1873. 


198  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen . 

1  >  9^  (v)  >  —  1  ist.    Von  ganzen  Werten  von  v  ist  sonacli  Null  der 
einzig  mögliche;  man  findet  in  diesem  Falle: 

r  sin  (tx)  (  ^  ,      0  <  ^  <  1 

Es  ist  demnach  offenbar,  daß  die  zu  (17)  und  (18)  analogen 
Integrale  mit  der  Neumannschen  Cylinderfunktion  immer  divergent 
sein  müssen. 

Die  Formeln  von  (15)  bis  (18)  sind  von  Schafheitlin^)  ge- 
funden worden,  während  Kapteyu^)  später  dieselben  Formeln  für 
ganze  v  hergeleitet  hat.  Die  Formeln  von  (19)  bis  (21)  bestätigen 
vollständig  die  Vermutung  von  Kapteyn^),  daß  die  Neumannsche 
Cylinderfunktion  auch  wirklich  derartige  Formeln  zuläßt. 

§  75.     Diskontinuierliche  Faktoren  von  Dirichlet  und  Weber. 

Es  ist  klar,  daß  sich  die  in  §  73  eingeführte  hypergeometrische 
Reihe  in  den  beiden  Fällen,  in  denen  ö  =  q  ±  v  -\-  1  vorausgesetzt 
wird,  durch  die  Binomialformel  summieren  läßt.  Wir  wollen  uns 
hier  indes  auf  diejenigen  Integrale  beschränken,  welche  sich  durch 
eine  einzige  Potenz  ausdrücken  lassen. 

Wenn  x  <1  und  ö  =  q  —  v  -\-  1  angenommen  wird,  so  ergibt 
sich  aus  §  73,  (11)  unmittelbar  die  Formel: 


(1) 


jj^it)j'^itx)P-^^^dt = ;^ .  ^^_;^,-.,., 


0<^<l,         ^(9)>-l; 
um  nun  den  Fall  a;  >  1  zu  untersuchen ,  wenden  wir,  nachdem  wir 
y  und  Q,  X  und  y  vertauscht  haben,  wieder  die  Formel  §  73,  (11) 
an  und  finden  so: 

(2)  J>(t)jQ(tx)P!-'  +  ^di  =  0,     x>l,     ^{q)>-1. 

0 

Ganz  in  derselben  Weise  liefert  §  73,  (12)  das  analoge  Resultat: 

(3)       fY^m^itx),-^^ät = ^ .  f^^^., 

0<^<l,     m{Q)>-l,     ^(y-Q)<l, 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  30,  p.  171,  172;  1887. 

2)  Archives  Neerlandaises  1901,  p.  114,  115.  3)  loc.  cit.  p.  116. 


Kapitel  Xlll.    IntegraldurstelluiiKen  von  F{ct,  ß,  y,  x).    §  75.  199 

während   der  Fall   ./;  >  1   eine  Anwendung  von  §  73,  (13)  erfordert; 
mau  findet  hier: 

(4)    /r'(OJc((x)(o— .rf(  =  -?!r:il^^i±i).__^, 

x>  1. 

Die  andere  Annahme  6  =  q  -\-  v  -{-  1  läßt  sich  nun  ohne  Mühe 
mit  Zuhilfenahme  der  vorigen  Formeln  hehandeln.  Vertauscht  man 
nämlich  in  diesen  Formein  das  Zeichen  von  i^  und  führt  man  weiter 
mittelst  §  3,  (3),  (4)  Cylindorfuuktioncn  mit  dem  Parameter  v  ein, 
so  gewinnt  man  nach  einer  einfachen  Rechnung  folgende  zwei 
Formelgruppen: 

OS 

(5)  fj\t)J<^{tx)t^^^^^dt  =  _  !i^  .  r(x>  +  p  +  i)2-^j^^a;c 

0  ^  ' 

0<x<\, 

(6)  fj\t)J<^\tx)t^'^^^Ult  =  -  ^i^ .  ^^^^j^i^J)^llll^ 

x>  1, 
wo  man  noch  91  (V  +  ())>  —  1  voraussetzen  muß, 

(7)    rV(ü/c.((^)(..c..rii= S2ii- .  rc+^+of;;'-^, 

0  ^  ^ 

0<x<\, 

0 

x>\, 

wo   man  noch  9i(p)  >  —  1  und  9i(f  +  (>)>  —  1  voraussetzen  muß. 

Setzt  man  in  den  vier  letzten  Formeln  v  oder  9  gleich  der 
Hälfte  'einer  ganzen  Zahl,  so  verschwinden  immer  zwei  der  ent- 
sprechenden Integrale. 

Die  Formeln  (1)  und  (2)  sind  von  Schafheitlin^)  aufgestellt 
worden. 

Setzt  man  ferner  in  (1)  und  (2)  q  =  v—\,  so  erhält  man, 
unter  Anwendung  von  §  73,  (16),  die  merkwürdige  Formel: 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  30,  p.  172;  1887. 


200  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfmiktionen. 


00 

(9)  Cr(t)J''-\tx)cU  = 


x'-^    0<a;<l, 

i  r  =  1 

0     ,     a^>  1; 


man  muß  für  sie  außerdem  9?(v)  >  0  annehmen.  Durcli  die  Sub- 
stitution V  =  ^  ergibt  sieb  aus  (9)  der  berühmte  diskontinuierliche 
Faktor  von  Dirichlet,  während  v=l  denjenigen  von  Weber^) 
liefert. 

Wir  setzen  endlich  in  §  73,  (11)  p  =  v,  0  =  —  1  und  erhalten 
dann  die  bemerkenswerte  Formel: 


a;" 


(10)  fj''(t)J'(i^)-T  =  \     h    ^     ^  =  1. 

0  1 

wobei  wir  jedoch  9^  (v)  >  0  voraussetzen  müssen. 


x>l, 


§  76.     Integraldarstellungen  der  Kugelfunktionen. 

Die  FormeLi,  mittelst  welcher  wir  im  Anhange  die  Kugel- 
funktionen als  hypergeometrische  Reihen  dargestellt  haben,  erlauben 
uns,  für  diese  Funktionen  drei  verschiedene  Formen  von  einfachen 
Integraldarstellungen  zu  geben.  Wir  bemerken  jedoch  hier  ein  für 
allemal,  daß  unsere  Integrale  kein  besonderes  Interesse  darbieten, 
wenn  a:  >  1  angenommen  wird;  die  entsprechenden  Ausdrücke  lassen 
sich  übrigens  ohne  Mühe  aus  den  allgemeinen  Formeln  herleiten. 
Wir  beschränken  uns  daher  immer  auf  den  Fall  x  ^  1[. 

Zuerst  setzen  wir,  der  Formel  (KJ  gemäß,  in  §  73,  (11)  v  -\-2n 
für  Vy  Q  =  —  \,  6  =  V  —  ^,  wo  n  eine  ganze,  nicht  negative 
Zahl    bedeutet-,    eliminieren    wir  sodann   mittelst  (fg)    die   Funktion 

cos —  (()  + (?  —  !'),  so  erhalten  wir  folgende  Integraldarstellung: 

CO 

(1)  fj''^^"{t)  cos (tx)r -''dt  =  (-  iy2''-'r{v)K"'^"{x), 

0 

wo  also  —  1  <  :r  <  +  1  und  f  >  9f{(v)  >  —  n  anzunehmen  ist. 

Das  Integral  linker  Hand  in  (1)  ist  ein  diskontinuierlicher 
Faktor,  denn  für  a;  =  1  findet  man  aus  §  73,  (15): 

1)  Journal  für  Mathematik  Bd.  75,  p.  80;  1873. 


Kapitel  XIII.    Intogmidarstellungen  von  F{a,  ß,  y,  x).    §  76.  201 

WO  mau  also  ^^9^(i')>  — "  aimehmeu  muß,  weil  sich  die  Cylinder- 
lunktiou  für  v  =  ^  asymptotisch  wie  (sin  /)  :  yt  verhält;  lur  a;  >  1 
stellt  das  Integral  (1)  keine  Kugelfimktiou  dar,  es  verschwindet 
für  V  ^  \. 

Auf  ähnliche  Weise  ergibt  (Kr,),  wenn  mau  in  §  73,  (11) 
V  +  2w  +  1  för  V ,  Q  =  ^,  G  =^  V  —  \  setzt,  die  analoge  lutogral- 
darstelluuir: 


0 

wo  man  sonach  —  1  <  .r  <  1  und  .}  >  9?  (v)  >  —  «  —  1  annehmen 
muß;  für  o;  =  1  erhält  man: 

i^9i(v)>-Ji-  1; 

für  j;  >  1  stellt  das  Integral  keine  Kugelfunktion  dar;  auch  es  ver- 
schwindet für  V  =  ^. 

HankeP)  hat  für  v  =  ^  die  Formeln  (1)  und  (3)  gefunden; 
für  denselben  Wert  dieses  Parameters  gibt  Schafheitliu')  alle  vier 
Formeln  an. 

Wendet  man  nun  die  Formel  CK^^  an,  so  muß  man  in  §  73, 
(11)  V  -\-  2n  für  V,  <3  =  —  \,  q  =  v  —  ^  setzen  und  gewinnt  so  die 
Formel: 

00 

(5)      />^^"(0^--i(^sing)4^,^l/^/^^^'^;^  +  ^^^""'^^"^^-.^"(cosö), 


0 


wo  man ^  <  ö  <  +  v  ^^^  9^(i^)>  — >i  annehmen  muß;  dagegen 

findet  man: 

(6)  /r....(o..-i(o^  =  ]/f^(j^Ij^>^; 

für  sin  ö  >  1  stellt  das  Integral  (5)  keine  Kugelfunktion  dar. 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  8,  p.  468;  1875.  2)  Ebenda  Bd.  30, 

p.  173,  174;  1887. 


202  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

Auf   ähnliche    Weise    führt    (K^)    mittelst    §  73,  (11)    zu    der 
analogen  Integraldarstellung: 

CD 

(7)  fj^  +  "'  +  \t)J^'  +  ^(t  smd)~  = 

0  ^ 

Y    %      cosö  Y{y  +  n  +  ^) 

WO,  wie  gewöhnlich,  —  i^  <  ö  <  +  —  und  ^{y)'>  —  n  —  —  voraus- 
gesetzt werden  muß;  man  findet  ferner: 

CO 

(8)  /....^...(o..-i(o .^ = -yi . ,^4^xkti\;^y 

das  Integral  (7)  kann  für  ^>1  keine  Kugelfunktion  darstellen. 

Um  die  Formel  (Kg)   anwenden  zu  können,  muß  man  in  §  73, 
(11)  2v  +  4w  für  v^  Q  =  6  =^  V  —  \  setzen;  man  erhält  sodann: 

r  a  r(2,-)(2sin|-)""'2 

(9)        \J^^"^^-{S)J'-\{t^m^t^-\dt  = 1  '       •^•■.2«  (cosö), 

0  V  2"7 

WO    man    also    —  :nr  <  ö  <  +  ^   und    |  >  9fl(v)  >  —  n   voraussetzen 
muß;  für  x  =\  findet  man  dagegen: 


"O^CJ^ 


oo 

(10)  jj'^'^'\^J-'^iS)i-'^ät^^^^^^^ 

für  a;  >  1    stellt  auch  das  Integral  (9)  keine  Kugelfunktion  dar;  es 
verschwindet  für  v  =  \. 

Die  Formel  (Kg)  ergibt  in  ähnlicher  Weise: 

00 

(11)  fj^'+^''  +  \t)J'-^i{tsm^y'-^dt  = 

8 

r(2t;+l)(2sin|-y"^" 

= r(.  +  i)  •^'■'--^(-^)> 

wo   man  also   —  Jt  -C  d  <C  -\-  tt  und  f  >  9?(x')  >  —  >i  —  |^  annehmen 
muß;  weiter  findet  man: 

(12)  fj^^+^-^\t)J^-^{t)P'-^^ät=-  "~^~yf\t^\ 


Kapitel  XIV     Die  Differcnti;ilf?lcichung  von  Malmeten.    §  77.         203 

während  das  entsprechende  lutej^ral  für  ./;  >  1  keine  Kugeli'uuktiou 
darstellen  kann;  auch  es  verschwindet  wieder  für  v  =  ^. 

Für  v  =  ^  hat  Schafhoitlin  ^)  die  vier  letzten  Formeln 
gefunden. 

Oäeubar  müssen  die  ähnlichen  Integrale  mit  der  Neumann- 
schen  Cylinderfunktiou  entweder,  außer  für  n  =  0,  divergent  sein 
oder  können  keine  Kngelfunktionen  darstellen.  Wir  brechen  daher 
diese  Untersuchungen  über  diskontinuierliche  Faktoren  hier  ab,  in- 
dem wir  uns  vorbehalten,  später  in  Kapitel  XVllI  dasselbe  Problem 
von  allgemeLueren  Gesichtspunkten  aus  zu  betrachten. 


Kapitel  XIY. 
Über  die  Integrale  der  Differentialgleichung  von  Malnisten. 

§  77.    Erste  Methode. 

In  den  beiden  vorhergehenden  Kapiteln  haben  wir  zur  Be- 
stimmung der  Werte  bestimmter  Integrale  ausschließlich  die  alt- 
bekannte Methode  der  gliedweisen  Integration  unendlicher  Reihen 
benutzt.  Wir  wenden  uns  nunmehr  zu  dem  anderen  klassischen 
Verfahren,  zu  der  Herleitung  der  Werte  solcher  Integrale  mittelst 
gewisser  Differentialgleichungen.  Zu  diesem  Zwecke  beweisen  wir 
eine  Reihe  von  allgemeinen  und  bemerkenswerten  Sätzen  über  die 
Integrale  gewisser  linearer  Differentialgleichungen,  welche  mit  der- 
jenigen Gleichung  identisch  oder  wenigstens  nahe  verwandt  sind, 
die  zuerst  von  Malmsten-),  später  von  Frobenius^)  untersucht 
worden  ist.  Wir  bemerken  zugleich,  daß  uns  diese  Methode  zur 
Herleitung  bestimmter  Integrale,  die  übrigens  mit  der  sogenannten 
La  place  sehen  Transformation  sehr  nahe  verwandt  ist,  erlaubt,  alle 
diejenigen  Integrale  von  gewissen  gegebenen  Formen  zu  finden, 
welche  Cylinderfunktionen  oder  sonst  Lösungen  gewisser  gegebener 
linearer  Differentialgleichungen  überhaupt  darstellen  können. 

Wir  gehen  zunächst  von  folgender  linearen  homogenen  Diffe- 
rentialgleichung aus: 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  30,  p.  173,  174;  1887. 

2)  Journal  für  Mathematik  Bd.  39,  p.  99—107;  1850.  3)  Ebenda 
Bd.  76,  p.  228—230;   1873. 


204  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 


O^  /VI 

s  =  0       ""^  "^ 


in  der  die  Koeffizienten  o^  und  &,  sämtlich  von  x  unabhängig  sein 
sollen.  Es  ist  sonach  offenbar,  daß  diese  Gleichung  (1)  eine  Ver- 
allgemeinerung derjenigen  ist,  welche  wir  früher  für  die  Cylinder- 
funktionen und  die  Produkte  zweier  solcher  Funktionen  hergeleitet 
haben. 

Wir  nehmen  nun  an,  die  Funktion: 

(2)  g{x)=f{x)x'^ 

sei  ein  Integral  der  Gleichung  (1),  und  betrachten  folgendes  be- 
stimmte Integral: 

(3)  S  =  ff{tx)t9{f  +  frdt, 

0 

wo  X  im  allgemeinen  eine  reelle  und  positive  Größe  darstellt, 
während  der  Integrationsweg  mit  der  Achse  der  positiven  Zahlen 
zusammenfällt.  Offenbar  kann  man,  wie  die  folgende  Entwicklung 
zeigt,  als  Integrationsweg  auch  eine  Schleife  von  0  bis  0,  von 
0  bis  oo  oder  von  oo  bis  oo  benutzen.  Da  wir  indessen  immer 
den  Integrationsweg  als  reell  anzunehmen  haben,  gehen  wir  auf 
diese  Schleifen  nicht  näher  ein.  Natürlich  nehmen  wir  weiter  an, 
daß  unser  Integral  wirklich  die  folgenden  Operationen  erlaubt. 

Nach  diesen  allgemeinen  Bemerkungen  setzen  wir  in  (3)  t'  =  tx 
und  finden: 

(4)  S  =  x-'"<B{xtj),    ö  =  ()-f  2(?  + 1, 

wo  'B{xij)  eine  Funktion  des  Argumentes  (xy)  bezeichnet  und  wo: 

00 

(5)  (B{xy)=fg{ix)i^-'"(f  +  fydt,         g(t)  =  f(t)ir 

0 

gesetzt  ist.  Nun  ergibt  aber  die  Gleichung  (1)  folgende  andere 
Identität : 

s=  n 


und  wir  erhalten  somit  aus  (5): 

CO 

s  =  n  .1  =  71  /^ 

(6)    ^ ~if'-'<B^"-'^  =  -^ -^-  /  g^"-'\tx)t^-'"+\e^-\-i/ydt, 

0 

wo  die  Ableitungen  ©^'"^  und  (j'^''^  in  Bezug  auf  x  zu  nehmen  sind. 


Kapitel  XIV.    Die  Differentialgleichung  von  Malrasten.    §  77. 


205 


Wendet    man   nun   uut'  die   Integrale   rechter   lluiul    in   (0)   folgende 
Identität: 

an,  so  erhält  man  weiter: 


m 


2  ^'ß"~'K^'^)^~'"(^'-^ry^''^f^ 


s  =  0 


X 


so  daß  eine  Differentiation  nach  y  und  eine  darauffolgende  Division 
durch  {xy")  den   Satz  ergeben: 

I.  Die  Fimldhn  ©(a)  ist  ein  Integral  foJgemJcr  in  der  Fmm 
mit  (1)  ühcreinstinmienden  linearen  homogenen  Gleichung  {n  +  1)'"" 
Ordnung: 


s  =  n  +  l 


(8) 


wobei  man  für  die  Koeffizienten  A^  und  B^  folgende  Äusdriicl'e  hat: 

(9)     ^,  =  fl,  +  (n-s+l)a,_„    B,  =  h^  +  {n-s-20-\-l)h,_,, 

in   denen   die  a  und  h   mit   den  Indices  —  1   und  w  +  1    natürlich 
gleich  Ntdl  anzunehmen  sind. 

In  dem  Spezialfälle  ö  =  —  1  liefert  die  Formel  (7)  für  die  zu- 
gehörige ©-Funktion  die  nicht  homogene  Gleichung: 

CO 

(10)  ^(-f-^^)©^''-'^(^)=— ^•J?^'.  f\ß->\t)t^-'^hlt. 

0 

Denkt    man    sich    weiter,    die    Funktion  g{x)    sei    das  Integral 
folgender  nicht  homogener  Gleichung: 


(11) 


\  Jir  Jb  ' 


s  =  0 


WO  fp{x)  eine  gegebene  Funktion  von  x  bedeutet,  so  findet  man 
für  die  entsprechende  Funktion  ©(a?)  die  zu  (8)  analoge,  aber  nicht 
homogene  Gleichung: 


(12) 


«  =  0 


Ji,  ■j\{()r-'- 


-2ff-l//2 


{t'^x'^y-uu, 


206 


Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 


für     welche     die     Koeffizienten     Ä^     und     JB^     aus     (9)     zu     ent- 
nehmen sind. 

Diese  Resultate  reichen  für  unsere  weiteren  Untersuchungen 
vollkommen  aus;  denken  wir  uns  nun  aber  umgekehrt  die  Glei- 
chung (8)  gegeben,  so  erlauben  uns  die  Formeln  (9)  immer,  die 
Koeffizienten  a^  und  h^  mittelst  Ä.^  und  jB,  eindeutig  zu  bestimmen, 
vorausgesetzt,  daß  Ä^_^^  =  0  ist.  Wenn  dies  wirklich  der  Fall  ist, 
so  stellt  auch  umgekehrt  das  Integral  (5)  eine  Lösung  von  (8)  dar, 
falls  nur  g{x)  der  so  bestimmten  Gleichung  (1)  genügt.  Das  be- 
stimmte Integral  (5)  ermöglicht  uns  also,  in  diesem  Falle  den  Grad 
der  Gleichung  (8)  um  eine  Einheit  zu  erniedrigen.  Dies  ist  aber 
für  unsere  Untersuchung  über  bestimmte  Integrale  mit  Cylinder- 
funktionen ganz  ohne  Bedeutung,  so  daß  wir  in  den  folgenden 
Kapiteln  auf  diese  Urakehrung  nicht  eingehen  wollen. 


§  78.    Zweite  Methode. 

Wir  setzen  auch  hier  voraus,  daß  g(x)  der  Differentialgleichung 
§77    (1)   genügt  und   betrachten   nunmehr  das  bestimmte  Integral: 

cc 

(1)  T  =  Jt\tx)i^{t^yydt  =  x-'"%{xy),     cj  =  p  +  (j-fl, 

0 

wo  %{x'ii)  eine  Funktion  des  Argumentes  {xy)  bezeichnet,  nämlich: 

(2)  %{xy)  =fg(tx)t^--{t  +  yYdt- 

0 

wenden  wir  hier  die  Identität: 

an,  so  finden  wir  folgende  zu  §  77,  7  analoge  Gleichung: 


(3) 


(3 


_^  ^lL\jn-s<l{n-s) 


X 


g(''-'\tx)t<^-'^{t  +  yy^""dt-\- 


s  =  ü 


aus  der  sich  durch  eine  Differentiation  nach  y  ohne  Mühe; 


(4) 


Kapitel  XIV.    Die  Differentialgleichung  von  Malmsten.    §  78.  207 

OD 


.    f=n+l     , 
J  =  0 


=  —  (J 


ergibt,  wo  die  Koeffizieuteu  Ä^  und  7^^  aus  i?  77,  (9)  zu  entueliinen 
sind.  Differeutiiereu  wir  die  Gleichung  (4)  nun  wieder  nacli  //,  so 
erhalten  wir  nach  einer  Division  durch  {x^y")  folgenden  weiteren  Satz: 
II.  Bit'  Funktion  'Z(x)  ist  ein  Inüyral  fohp-mlcr  in  dir  Form 
mit  §  77,  (1)  ührcinstimnmidcr  Gleichung  (n  +  2)''"'"  Onlnum/: 


(5) 


»  =  n  + 

2 

i  =  0 


I  +  '2 


wo  wir  der  Kürze  hallxr: 

(6)  ^;  =  a,  +  2(n-s  +  l)a,_i  +  («-s4-l)(w-s  +  2)a,_2, 

(7)  b;  =  h^  +  2(w-s-e  +  2)&,_i  +  (n-s-6+2)  (w-s-(?+3)&,_2 

gesetzt   haben,    wohei   die   Koeffizienten   a^   und   h^   mit    den    Indices 
—  2,  —  1,  w  +  1   und  M  +  2  natürlich  gleich  Null  zu  setzen  sind. 

Der    Spezialfall    (?  =  —  1    ergibt    die    zu    §    77,    (10)    analoge 
Gleichung: 


(8) 


»=7l 

2 


(5-+.-^)^"'""(^)- 


c 
s  =  n  /"• 


g(n-')(t)t"-''+'dt  + 


s  =  0 


während    die   nicht    homogene    Gleichung  §  77,  (11)   für  die   zuge- 
hörige Funktion  X(x)  die  nicht  homogene  Gleichung: 


(9) 


liefert. 


2 


\  X^  X       "/ 


'^^-  f'q>{ty-<'-\t  +  xy 


-2 


dt 


208  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

§  79.    Dritte  Methode. 

Als  Verallgerneinerung  der  Differentialgleichungen  für  C^{yx) , 
c~'^C^{x)  und  G^'\\/oß)  C'i'(]/a:)  betrachten  wir  jetzt  folgende  homogene 
lineare  Gleichung: 


s  =  n 


(1)  2'fe  +  :;:ÄT)5'^^-%)  =  o. 


4  =  0  "^  ^ 


Setzen  wir  auch  hier: 

(2)  g{x)^f{x)x-, 

so  gelangen  wir  für  das  bestimmte  Integral: 

(3)  U=ff(tx)i^{t-{-yydt 

0 

zu  der  Identität: 

(4)  ü^x-'"]X{xy),     0  =  Q-\-  6  -\-l, 

wo  Vi{x'y)  eine  Funktion  des  Argumentes  (xy)  ist  und  also: 

(5)  U{xy)  ^fgitx)tQ-^{t  +  yydt 

0 

zu  setzen  ist;    das   gewöhnliche  Verfahren  führt  uns  leicht  zu  dem 
folgenden  dritten  Satze: 

III.  Die  Funktion  Vi(x)  ist  ein  Integral  folgender  in  der  Form 
mit  (1)  iibereinstimmender  homogenen  linearen  Differentialgleichung 
(n  +  !)"''■  Ordnung: 

s  =  n  +  l 

.9=0 

tvo  wir  der  Kürze  halber: 

(7)     A^  =  a^-^{n-s+l)a^_„     B^  =  h^  ^  {n-s-ö -{-l)h^_, 

gesetzt   haben,   während  a^  und  b^  mit   den    Indices  —  1   und  n  -\-  1 
gleich  Null  anzunehmen  sind. 

Der  Spezialfall  (j  =  —  1  ergibt  hier  für  die  entsprechende 
Funktion  Vi{x)  die  nicht  homogene  Gleichung  von  derselben  Form 
wie  (1): 


00 

=  n 


0 

während  die  nicht  homogene  Gleichung: 

s  =  w 


Kapitel  XIV.    Die  Differentialgleichung?  von  Malmsten.    §  80.  209 

wo  <p(x)  eine  gegebene  Funktion  bedeutet,  für  die  zugeh()rige  Funk- 
tion ll{cc)  folgende  zu  (6)  analoge,  aber  nicht  homogene  Differential- 
gleichung liefert: 

QC 

0 

wo  die  Koeffizienten  A^  und  B^  aus  (7)  zu  entnehmen  sind. 


§  80.    Vierte  und  fünfte  Methode. 

Der    Satz    II    führt    uns    ganz    natürlich    dazu,    folgendes    die 
Funktion  §  79,  (2)  enthaltende  Integral: 

ff{tx)t^{f+i/ydt 

0 

zu  untersuchen;  es  scheint  im  allgemeinen  allerdings  nicht  eben  die 
Eigenschaften  zu  besitzen  wie  die  vorigen  Integrale,  so  daß  wir  es 
vorziehen,  statt  seiner  das  andere  Integral: 

(1)  V=  I  e'^f(tx)t'"-^clt 

0 

in  Betracht  zu  ziehen.     Wir  finden,  wie  gewöhnlich,  die  Formel: 

(2)  V  =  x-'"^{xy), 

wo  SS(iC?/)  eine  Funktion  des  Produktes  (xy)  ist,  so  daß  also: 


(3)  ^ixy)=Je~'g{tx).^' 

0 


t 


sein  muß.    Die  gewöhnliche  Methode  führt  nun  ohne  Mühe  zu  dem 
vierten  Satze: 

IV.  Die  Funktion  Sß{x)  ist  ein  Integral  folgender  in  der  Form 
mit  §  79,  (1)  übereinstimmender  linearen  homogenen  Gleichung  (n  -\- 1)'"" 
Ordnung: 

(4)  ^^V«.+  (n-.  +  l)a.-i  _  ^U(«4-i-.)(^)  ^  0, 


wo  die  Koeffizienten  a^  und  h^  mit  den  Indices  —  1  und  n  -\-  1  gleich 
Null  zu  setzen  sind. 

Nielsen,  CylindeTfunktionen.  14 


210  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen.  ' 

Es  ist  offenbar,  daß  der  in  jedem  der  drei  vorhergehenden 
Paragraphen  erörterte  Spezialfall  (S  =  —  1  hier  kein  Analogon  findet. 
Gehen  wir  aber  von  der  nicht  homogenen  Gleichung  §  79,  (9)  aus, 
so  finden  wir  für  die  entsprechende  Funktion  '^(x)  folgende  zu  (4) 
analoge,  aber  nicht  homogene  Gleichung: 

s  =  n  +  1 

/\        >  SC  tC  / 


(5) 


s  =  0 


-1 


dt. 


0 

Der  Vollständigkeit    halber  wollen   wir   noch    das    weitere    die 
Funktion  §  79,  (2)  enthaltende  Integral: 


t 


(6)  W=  I  e   yf{tx)V"-^dt 

0 

betrachten.     Wir  erhalten  hier: 

(7)  W^x-^'^ixij), 

wo  sich  die  Funktion  '^{xy)  des  Produktes  (xy)  folgendermaßen 
darstellen  läßt:  oo 

(8)  m{xy)=^  jf'yg{tx)-^-l- 

0 

dieselbe  Methode  wie  vorher  ergibt  so  den  folgenden  fünften  Satz: 
V.    Die  Funktion  SS(a:')  ist  ein  Integral  folgender  in  der  Form 
mit   §   79,   (1)    iibereinstimmender    linearen    homogenen    Differential- 
gleichung (n  -\-  1  )''''■  Ordnung: 

tüo  die  Koeffkienten  a^  und  h^  mit  den  Indices  —  1  tmd  n  -\-  \  weg- 
ztdassen  sind.  Wenn  aber  &,  =  0  ist,  so  finden  ivir  folgende  Glei- 
chung n^"''  Ordnung: 


s  =  n 


(10)  ^  (v  +  ^-^L^^^-^-A  m^-^Kx)  =  0. 

g_^)    \x  X  / 

Von  dieser  Methode,  welche  ja  mit  einem  Spezialfälle  der 
Laplace sehen  Transformation  zusammenfällt,  machen  wir  in  den 
folgenden  Untersuchungen  keinen  Gebrauch.  Wir  bemerken  nur 
vorübergehend,  daß  sich  die  Formebi  §  70,  (2),  (3)  nach  dieser 
Methode  herleiten  lassen. 


Kapitel  XV.    Anwendungen  der  ersten  Methode.    §  81.  211 

Kapitel  XV. 
Anwe]i<lnii2:eii  der  ersten  MellKule. 

OD 

§  ^\.    Über  das  Integral  fC'{tx)t^'{t' +  i/y dt. 

u 

Als  erstes  Beispiel  für  die  Theorien  des  vorigen  Kapitels  be- 
trachten wir  hier  das  Integral: 

(1)  <B{xy)  =fC'{tx){txyt^-"(t^  +  t/y(U,       CO  ^Q +  26+1, 

0 

wo  C*'(f)  eine  willkürliche  Cyliuderfunktion  mit  dem  Argumente  t 
und  dem  Parameter  v  bezeichnet.  Eine  formnJc  Anwendung  des 
Satzes  §  77,  I  liefert  mittelst  §  50,  (16)  die  homogene  lineare  DiflFe- 
rentialgleichung  dritter  Ordnung: 

(2)  ©(3)(a-)  +  i^  @(^)(a;)  +(("  -  ^J;-  ^' - 1)  B^^Hx)  +  ^^©(o;)  =  0. 

Die  formale  Herleitung  dieser  Gleichung  und  der  daraus  folgende 
Ausdruck  für  das  Integral  Q{xy)  bedürfen  indessen  weiterer  Über- 
legung. In  der  Tat  erfordert  ja  die  Herleitung  der  Gleichung  (2) 
erstens  Differentiationen  unter  dem  Integralzeichen  in  (1)  und  zwar 
zweimal  nach  x  und  einmal  nach  y.  Wenn  nun  die  betreffende 
Cyliuderfunktion  nicht  eine  Hanke  Ische  ist,  darf  x  nur  als  reell 
angenommen  werden;  nehmen  wir  nun  aber  an,  daß: 

(3)  9^(p±^,)>_i,    9i(^  +  2(?)<--| 

ist,  so  muß  das  Integi-al  ^(xy),  dem  asymptotischen  Werte  der 
Cylinderfunktioneu  gemäß,  unbedingt  konvergent  sein.  Die  zwei- 
malige Differentiation  nach  x  unter  dem  Integi-alzeichen  ist  also 
erlaubt;  denn  jede  Differentiation  gibt  ja  nur  wieder  Cylinderfunk- 
tioneu, die  allerdings  mit  t  multipliziert  sind,  und  somit  müssen 
auch  die  zwei  Derivierten  nach  x  unbedingt  konvergente  Integi-ale 
sein.  Die  nachfolgende  Differentiation  nach  y  kann  aber  die  Kon- 
vergenz des  betreffenden  Integrales  nur  verstärken;  also  ist  die 
Gleichung  (2)  jedenfalls  unter  den  Bedingungen  (3)  gültig,  und 
somit  finden  wir  für  das  Integral  (1)  einen  Ausdruck  von  folgender 
Form : 

(4)  @  (xy)  =  cj,  {xy)  +  qf^  {xy)  +  cj^i^y), 

wo  fyipc),  f'iix)  und  f^(x)  voneinander  linear  unabhängige  partikuläre 

14* 


212  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfanktionen. 

Integrale  der  Differentialgleichung  (2)  bedeuten  und  die  Koeffizienten 
Cj,  Cg  und  Cg  sowohl  von  x  als  auch  von  y  unabhängig  sein  müssen. 

Weiter  ist  offenbar,  daß  die  Gleichung  (2)  nur  die  zwei  singu- 
lären  Stellen  x  =  ^  und  a;  =  oo  haben  kann,  so  daß  die  drei  Inte- 
grale /i(a;),  i\{x)  und  f^ix)  für  willkürliche  endliche  Werte  von  v, 
q  und  6  in  der  ganzen  a;- Ebene  mit  Ausnahme  von  .x  =  0  und 
X  =  <X)  analytische  Funktionen  sein  müssen.  Fassen  wir  also  drei 
der  vier  Variabein  rr,  v,  q  und  6  als  gegebene  feste  Konstanten 
auf,  so  sind  die  drei  partikulären  Integrale  demnach  immer  analy- 
tische Funktionen  der  vierten  Variabein. 

Nun  ist  das  Integral  (1)  offenbar  konvergent,  falls: 

(5)  '^(q±v)>-1,     m{Q  +  26)<-l 

vorausgesetzt  wird.  Gibt  man  also  q  und  v  ganz  willkürliche,  aber 
endliche  und  feste  Werte,  welche  der  ersten  Bedingung  (5)  ge- 
nügen, so  besthnmt  die  zweite  dieser  Bedingungen  offenbar  eine 
Halbebene  E,  in  welche  6  fallen  muß,  um  das  Integral  konvergent 
zu  machen,  und  es  leuchtet  ein,  daß  die  Konvergenz  des  Integrales 
dann  eine  gleiclimäßige  sein  muß;  die  Integrale,  welche  man  aus  (1) 
durch  wiederholte  Differentiation  nach  6  herleiten  kann,  haben  offen- 
bar alle  dieselbe  Eigenschaft. 

Teilt  man  nun  das  Integrationsiutervall  in  unendlich  viele  end- 
liche Stücke,  so  wird  das  ursprüngliche  Integi-al  '^{xy)  als  Summe 
einer  unendlichen  Reihe  dargestellt.  Die  einzelnen  Glieder  dieser 
Reihe  sind  analytische  Funktionen  von  <?,  während  die  Reihe  selbst 
und  diejenigen  anderen  Reihen,  welche  man  daraus  durch  gliedweise 
Differentiationen  nach  6  herleiten  kann,  sämtlich  in  der  Halbebene  E 
gleichmäßig  konvergent  sind.  Einem  bekannten  Satze  ^)  zufolge  sind 
also  die  Summen  dieser  neuen  Reihen  genau  die  nach  6  genom- 
menen Ableitungen  des  Integrales  ^{xy). 

Da  nun  'B{xy)  als  Funktion  von  6  betrachtet,  emdeutig  und 
stetig  und  zudem  willkürlich  oft  differentiierbar  ist,  und  da  diese  Ab- 
leitungen von  der  Richtung,  in  welcher  sie  genommen  werden,  un- 
abhängig sind,  so  ist  ^(xy)  eine  analytische  Funktion  von  6,  falls 
nur  die  Bedingungen  (5)  erfüllt  sind. 

Denkt  man  sich  also  die  Koeffizienten  q,  Cg  und  c^  in  (4) 
den  Bedingungen  (3)  entsprechend  bestimmt,  Bedingungen,  welche 
jedenfalls  die  Existenz  der  Formel  (4)  sichern,  so  müssen  diese 
Koeffizienten  ja  analytische  Funktionen  von  6  darstellen,  und  daher 


1)  U.  Dini:  Grundlagen  etc.  p.  524;  Leipzig  1892. 


Kupitel  XV.    Anwendungen  der  ersten  Methode.    §  82.  213 

muß,  einem  Fimdamentiilsatze')  der  Theorie  der  analytischen  Funk- 
tionen zufolge,  auch  die  Formel  (4)  unter  den  weiteren  Bedingungen 
(5)  gültig  bleiben. 

Wir  haben  hier  die  Herleitung  der  Formel  (4)  so  ausführlich 
besprochen,  damit  wir  späterhin  die  ganz  ähnlichen  Entwicklungen 
weglassen  dürfen. 

Nach  diesen  allgemeinen  Erörterungen  baben  wir  nun  über  die 
drei  Parameter  v,  ^  und  ö  so  zu  verfügen,  daß  sich  das  Integral 
@(j7/)  durch  Cylinderfunktioneu  oder  Lommelsche  Funktionen  aus- 
drücken läßt. 

Wir  vergleichen  zuerst  (2)  mit  §  55,  (7)  für  x"Cy{ßx)Cj(ßx) 
und  finden,  daß  diese  zwei  Gleichungen  dann  und  nur  dann  identisch 
sein  können,  wenn  folgende  Bedingungen  erfüllt  sind: 

so  daß  wir  folgende  zwei  Fälle  näher  zu  untersuchen  haben: 

1)  a  =  ()  =  ö  =  0,     v  =  2y,     6  =  —  ^, 

2)  V  ^  Q  =  y,     a  =  2y,     a  =  ^y,     6  =  y  —  '}. 

Zweitens  vergleichen  wir  (2)  mit  §  50,  (17);  beide  Gleichungen 
sind  identisch,  wenn  folgende  Bedingungen  erfüllt  sind: 

1  -  2«  +  a  =  3  -  2(0,     ß=  i,     a  =  -26, 

a'-  -  y-  -\-  {a  -  1)  {l-2a)  =  ((o-  If  -  v\ 

{a-2){a'-f)  =  0, 

so  daß  wir  die  zwei  weiteren  Fälle  zii  untersuchen  haben: 

3)  rt  =  2,     (9  =  —  1,     a  =  (o,     y  =  v,     d  =  —  C3,     p  willkürlich, 

4)  a  =  y  =  v-\-6~\-l,  (o  =  y -\- 6 -{- 1,  q  =  v-\-1,  d  =  l—v-\-ö, 
6  willkürlich. 

§  82.    Erster  Fall:  Integraldarstellungen  für  C''{x)C^''{x). 

Beim  ersten  Spezialfälle  betrachten  wir  zunächst  das  Integral, 
in  welchem  die  Cylinderfunktion  von  der  ersten  Art  ist,  imd  finden 
so  eine  Formel  von  der  Form: 

CK 

(1)  /  ~-^,dt  =  c,[j^{xyi)Y  +  c,J\xyi)Y\xyi)^c,{Y^{xyi))\ 
0 


1)  C.  Neumann:  Vorlesungen  über  Riemanns  Theorie  der  Abdachen  In- 
tegrale, p.  35;  Leipzig  1884. 


214  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

eine  Formel,  welche  gültig  ist,  solange  a;  >  0  und  9^(v)  >  —  ^^ 
vorausgesetzt  wird,  oder  spezieller,  solange  x  =  0,  '3{{v)^0  oder 
endlich  y  ="  0,  9i(i^)  >  0  ist.  Um  die  drei  Koeffizienten  zu  be- 
stimmen, setzen  wir  erstens  ^  =  0;  dann  wird  das  letzte  Glied 
rechter  Hand  unendlich,  also  muß  C3  =  0  sein;  wenden  wir  nun 
weiter  die  Web  er  sehe  Formel  §  72,  (2)  an,  so  finden  wir: 

^2  =  ~  Y  5 

um  auch  c^  zu  bestimmen,  multiplizieren  wir  in  (1)  mit  x~^^  und 
setzen  danach  x  =  0,  so  daß  die  Formel  (f^g)  unmittelbar  folgende 
Gleichung  gibt: 


q  sin  V7t  +  Cg  ^^^  V7t  =  — ^e~*"', 


und  somit  haben  wir  die  elegante  Formel: 


gefunden,  in  der  wir  im  allgemeinen  x^O,  ?/  +  0,  9l(v)  >  —  ^ 
oder  spezieller  x  =  0,  9t (i»)  >  0  oder  y  ==  0,  9t (i^)  >  0  voraus- 
setzen müssen. 

Ändert  man  nun  in  (2)  das  Vorzeichen  von  v  und  führt  man 
linker  Hand  mittelst  der  Definition  §  3,  (2)  die  Funktion  Y^^{x) 
ein,  während  man  rechter  Hand  mit  Zuhilfenahme  von  §  3,  (3),  (4) 
wieder  Cylinderfunktionen  mit  dem  Parameter  v  einführt,  so  findet 
man  die  weitere  Formel: 

CD 

(3)       ^J^^^^^  =  {H:\xyi)y-  i  tg  vnH:{xyi)H,\xyi), 

0 

wo  man  also  ^^  >  9t(f)  >  —  2-  voraussetzen  muß,  während  y  nicht 
gleich  Null  angenommen  werden  darf;  die  Null  ist  also  der  einzig 
mögliche  ganze  Wert  von  r;  die  entsprechende  Formel  (3)  wird 
dann  sehr  elegant. 

Wir  setzen  nun  weiter  in  (2)  —  yi  für  y  und  denken  uns  für 
einen  Augenblick  x  und  y  reell  und  positiv,  während  wir  das  Inte- 
grationsintervall in  zwei  andere,  nämlich  von  ^  =  0  bis  t  ='  y  und 
von  t  =  y  bis  ^  =  00 ,  teilen.  Setzen  wir  in  der  so  erhaltenen 
Formel  (2)  die  reellen  und  die  imaginären  Komponenten  der  beiden 
Seiten  einander  gleich,  so  finden  wir  folgende  zwei  Formeln: 


Kapitel  XV     Anwendungen  der  ersten  Methode.    §  82.  215 


n 
T 


(4)  ~Jj^''{2x  cos  <p)d(p  =  (J'(^))',     'iR[v)>-  h     ^  willkürlich, 


0 

Od 


(5)  -    /  -y/. --^  =  -  ^"i'^y)  ^'(-^-V),     ^  >  0,     V  willkürlich. 

y 

Die  Formel  (4)  läßt  sich  auch  sehr  leicht  durch  «^'liedweise 
Integration  direkt  herleiten;  sie  ist  übrigens  eine  neue  Verallgemei- 
nerung der  in  §  22  erwähnten  Formel  von  Neumann'),  welche  man 
aus  (4)  findet,  wenn  v  eine  ganze  Zahl  bedeutet. 

In  (;'))  darf  y  auch  als  komplex  angenommen  werden,  wenn  nur 
die  sehr  entfernten  Teile  des  Integrationsweges  mit  der  Achse  der 
positiven  Zahlen  zusammenfallen. 

Die  Definition  der  Neumannschen  Cylinderfunktion  gibt  weiter 
ohne  Mühe  mittelst  (4)  die  analoge  Formel: 

n 

T 

(6)  ^fY'"(2x  cos  (p) d(p  =  2J'{x)  Y'{x)  -  tg  v%H,'{x) H/(x) , 

0 

wo  x  eine  willkürliche  endliche  Größe  bezeichnet,  während 

sein  muß.     Durch  diese  Formel   findet   man  wieder  aus  (3),    wenn 
man  dort  —  yi  für  y  setzt,  die  weitere  Formel: 

wo  die  Bedingungen  dieselben  sind  wie  in  (5). 

Führt  man  endlich  die  Hankeischen  Cylinderfunktionen  ein, 
so  findet  man  aus  (5)  und  (7)  folgende  Formeln: 


(8) 


(9) 


00 

y 


1)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen,  p.  70;  1867. 


216  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

In  den  zwei  letzten  Formeln  ist  es  nicht  notwendig,  daß  der 
Integrationsweg  mit  der  Achse  der  positiven  Zahlen  zusammenfällt; 
nur  muß  für  die  sehr  entfernten  Teile  dieses  Weges  '^(txi)>0, 
bez.  '?fi(txi)  ^0  angenommen  werden. 


§  83.    Zweiter  Fall:   Weitere  Integralausdrücke  für   C^{x)C^*(x). 

In  dem   zweiten  Falle  des  §  81    findet   man    eine    Fonnel  von 
folgender  Form: 


(1) 


CO 

fC'X2tx){t^-\-i/y~h'dt  = 

0 

-~{<^i  (J'{xyi)y+c,j^{xyi)  Y-{xyi)  +  c,(Y^{xyi)Y), 


wo  man  im  allgemeinen  a;  >  0  und  -|^  >  9?  (v)  >  —  ^  voraussetzen 
muß.     Wenn  die  willkürliche  Cylinderfunktion  unter  der  Form: 

C'(x)  =  aJ'{x)  +  hY^{x) 

gegeben  ist,  suchen  wir  nunmehr  die  drei  in  (1)  vorkommenden 
Koeffizienten  zu  bestimmen;  erstens  setzen  wir  y  =  0,  so  daß  vor- 
läufig 'Si{v)>0  sein  muß.  Die  Weberschen  Formehi  §  12,  (3),  (4) 
ergeben  dann  ohne  weiteres: 

(2)  C3  =  ^''"^''  +  ^^  {a  sin  v:t-J)  cos  v:i) e^"', 

eine  Formel,  die  also  überall  gültig  bleibt,  wo  das  Integral  (1) 
überhaupt  einen  Sinn  hat;   dasselbe  gilt  von  der  andern  Gleichung: 

q  sin^  Vit  -f  Cg  sin  v%  cos  vti  -\-  c^  cos*  vn  = 

=  -  ^'''"^;  +  ^^  {a  sin  v:r  +  &COS  i/;r)e-^«', 


(3) 


4 

welche  man  durch  Anwendung  von  (J^^  aus  (1)  findet,  nachdem  man 
durch  a;'  dividiert  und  dann  .r  =  0  gesetzt  hat;  man  muß  also  hier 
einstweilen  9ft(v)  <  0  annehmen. 

Um  eine  dritte  Gleichung  zwischen  den  Koeffizienten  zu  finden, 
dividiert  man  die  Gleichung  (1)  durch  if^~^  und  setzt  dann  y  =  -{-  <x>-^ 
die  linke  Seite  von  (1)  behält  dami  einen  endlichen  Wert,  falls 
^>9f?(v)>  — -^  angenommen  wii-d;  führt  man  aber  rechter  Hand 
die  Ausdrücke  (3),  (4)  des  §  59  ein,  so  muß  die  Exponential- 
funktion e^y  wegfallen,  und  man  findet  schließlich  nach  einer  An- 
Wendung  der  Weberschen  Fundamentalformeln  des  §  72  folgende 
zwei  Formeln: 


(4) 
(5) 


Kapitel  XV.    Anwomlungen  der  ersten  Methode.    §  83. 
c,  +  .,  =  >/:rr(r+i)-^'. 


217 


Die  Formeln  (2),  (4)  und  (5)  j^estatten  nun  eine  Bestimmun«^ 
der  drei  Kueftizienton,  wälirond  (3)  eine  Kontrolle  der  gefundenen 
Werte  ermöglicht;  man  findet  so  endlich  die   Formel: 


(6) 


CO 

0 


WO   j:;  >  0   und    \  > 'Si{v) '>  —  ^   sein  muß,   und  wo  wir   der  Kürze 

halber: 

A  =  h  cos  vTi  -\-  a  sin  V7t  +  '^cbi  cos  vn, 

(7)  J5  =  2&i  cos  v:nr  —  2a  cos  v:nr, 

C  =  a  sin  vn  —  h  cos  v;r 

gesetzt  haben. 

Setzen  wir  nun  in  (6)  —  iy  für  y  und  denken  wir  uns  x  und  y 
positiv  und  v  reell,  so  finden  wir  durch  Teilung  des  Integrations- 
intervalles  in  zwei  andere,  nämlich  von  ^  =  0  bis  t  =  y  und  von 
t  =  y  bis  ^  =  00 ,  und  durch  Identifizierung  der  reellen  und  der 
imaginären  Komponenten  folgende  zwei  Formeln: 


(8) 


7t 


fC*(2x  cos  q))  (cos  cp  sin  cpydtp  = 
0 

WO  9ft(v)  >  —  ^  vorausgesetzt  werden  muß,  und: 

OD 

fc'{2tx){t^-tfy~Uuu  = 

y  _ 

=  ^"'^^+/^^'^ [A,[j\xy)Y+B,J^'{xy)  Y^{xy)^C,[Y\xy)Y\ 


(9) 


wo  wir  der  Kürze  halber: 

Ay  =  h  cos  v%  —  a  sin  V7t,     B-^^  ~  2{b  sin  vä  +  a  cos  vn), 

Ci  =  a  sin  vn  —  h  cos  v:nr 

gesetzt  haben;   hier  muß  a;  >  0  und  ^>9l(v)>  — 4"  angenommen 
werden. 


(10) 


218 


Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 


Aus  (9)  findet  man  weiterhin   für  die  Hankel sehen  Cylinder- 
funktionen folgende  zwei  eleganten  Formeln: 


(11) 


00 

fH/(2tx)  {t^-i/y^  P'dt  == 
y 

^V^n^+^ ^(Ä,•(.^.))^ 


(12) 


CO 

fK/(2tx)  if  - i/y~h'dt  = 
y 


4«" 


{W(^y)y, 


wo  man  im  allgemeinen  9i(v)  >  —  -^  und  9fi(a;i)  >  0,  bez.  ^(xi)  <iO 
voraussetzen  muß;  in  dem  Spezialfälle  '?R(^xi)  =  0  muß  noch 
^  >  9?  (v)  >  —  4-  angenommen  werden. 

Die  Formeln  (11)  und  (12)  erlauben  uns  noch  eine  ganze  Reihe 
von  neuen,  zu  den  vorigen  analogen  Formeln  zu  entwickeln.  Zu 
diesem  Zwecke  setzen  wir  in  (11),  (12)  —  v  für  v  und  reduzieren 
mittelst  §  4,  (2)  die  Cylinderfunktionen  mit  dem  Parameter  —  v; 
auf  diese  Weise  finden  wir: 


(13) 


(14) 


n^''{2tx)(lt         ynr{\  —  v)x'''i 


fr-y') 


*+* 


91 


y 


{H,"{xy)Y, 


fi 


n/{2tx)dt       y^r{i-v)x'' 


t"{t\-y') 


^+^ 


2y^'-i 


(H^i^yif, 


wo  wir  '^{y)<i^  und  91(0;?')  >  0,  bez.  9?(:r«')<0  voraussetzen 
müssen;  in  dem  Spezialfälle  '^{xi)  =  0  muß  ^  >  9^(v)  >  —  ^  an- 
genommen werden.  Durch  Addition,  bez.  Subtraktion  der  Formeln 
(13),  (14)  findet  man  zwei  zu  (9)  analoge  Formeln. 


§  84.    Dritter  Tall:    Integralausdrücke  für  W'^{x). 

Beim  dritten  Falle  beschränken  wir   uns  auf  die  Untersuchung 
des  Integrales  mit  einer  Cylinderfunktion  der  ersten  Art  und  finden 


eine  Formel  von  folgender  Form: 


00 

(1)   f^^^dt  =  if-'(c,J^{xyi)  +  c,Y^{xyi)  +  c,TJ^''''^{xyi)), 


Kapitel  XV.    Aiiwerulungou  der  ersten  Methode.    §  84.  211) 

WO  a;  >  0,  Oil^  +  p)  >  —  1,  l!R(p)  <  i    st-'in    muß,   währond  y  nicht 
rein  iniaj^inilr  iuii^enoinmen  werden  darf. 

Setzt  mau  in  (1)  y  =  0,  so  muß  man  für  den  Augeni)lick 
9l(v  +  p)  >  1  voraussetzen,  und  c^  läßt  sich  unmittelbar  mittelst 
der  Weberschen  Formel  §  72,  (2)  bestimmen.  Dividiert  man  ferner 
mit  X*  in  (1)  und  setzt  man  x  ==  0,  so  muß  man  einstweilen 
—  l<?R(v+p)<l  annehmen,  und  somit  l)estinimt  (fja)  c^,  während 
Cj  verschwinden  muß;  um  dies  einzusehen,  braucht  man  nur  9?(v)  >  0 
anzunehmen.     Mau  findet  so  die  Formel: 


(2) 


0 

In  dem  Spezialfälle,  in  welchem  q  -\-  v  eine  ganze  ungerade 
Zahl  bedeutet,  stellt  sich  der  Ausdruck  rechter  Hand  in  (2)  unter 
unbestimmter  Form  dar,  läßt  sich  aber  unmittelbar  durch  die  ge- 
wöhnlichen Methoden  bestimmeu.  Setzt  man  noch  spezieller  v  =  2^, 
Q  =  l,  bez.  V  =  2n  -{•  \,  q  =^0,   so  findet  man  mittelst  §  17,  (2G): 

oc 

(3)  ßy^ljf'  =  i  i^H,^"  i^yi)  +  iS'"ixyi)) , 


0 


0 

Setzt  man  dagegen  v  =  2n,  p  =  0,  bez.  v  =  2n  -\-  \,  Q  =  ^,  so 
erhält  man  mittelst  §  17,  (25): 

00 


'•  -"Jw  +  l 


(6)  j  '-^^^^^^  =  '^{j''''\xyi)  +  iQ^'^^^^xyi)). 

0 

Wir    setzen    ferner    in  (2)    q  =  v  -\-  2n  -\-  \,    wo  n  eine  ganze, 
nicht  negative  Zahl  bedeutet,  und  finden  dann  die  Formel: 

0 

wo  man  —  2n  +  f  >  fR(v)  >  —  n  —  1  voraussetzen  muß,   so  daß  n 
nur  die  Werte  0,  1  oder  2  annehmen  darf. 


220  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen 

§  85.  Vierter  Fall:  Verallgemeinerung  eines  Integrales  von  Sonin. 

Eine  einfache  Änderung  der  Bezeichnungen  des  vierten  Falles 
in  §  81  erlaubt  uns  die  entsprechende  Formel  folgendermaßen  zu 
schreiben: 


(1) 


/; 


,    (t'+yr- 


dt^ 


+  1 

das  Integral  linker  Hand  hat  einen  Sinn,  wenn: 

x>0,    9?(29)  +  f  >9?(i;)>-4- 

vorausgesetzt  wird;  wenn  y  rein  imaginär  ist,  kommt  noch  die  neue 
Bedingung  9f?(p)  <  0  hinzu. 

Um  die  Koeffizienten  zu  bestimmen,  denken  wir  ims  die  Cylinder- 
funktion  folgendermaßen  gegeben: 

C'(x)  =  aJ'(x)  +  hY'{x). 

Setzen  wir  dann  zuerst  y  =  0,  so  müssen  wir  für  den  Augenblick 
^{v-q)>0,  9?(())<0  annehmen;  die  Formeln  §  70,  (3),  (4) 
geben  dann  ohne  Schwierigkeit: 

(2)  Cc,  =  —TT (—  a  —  &  cot  o;r) ; 

multiplizieren  wir  ferner  mit  x~^,  so  ergibt  die  Annahme  x  =  0, 
vorläufig  unter  den  Voraussetzungen  9i(i/  — ^)>0,  9fi(9)  <  0, 
mittelst  der  Formel  (r^g): 

q  sin  m;  (v  —  q)  -\-  Co  cos  7t(v  —  q)  = 

(3) 

Endlich  multiplizieren  wir  mit  ic"  und  setzen  wieder  x  =  0',  eine  Kon- 
stantenbestimmung ist  dami  möglich,  falls  vorläufig  füiv)  >  0, 
9(t(^  — z')>0  angenommen  wird.     Wir  finden  mittelst  (Fig): 

(4)  c,  = -. r— - — 

^   ■'  "*  sin  TT  Q  sm  2,jr  v 

und  erhalten  somit  endlich  die  Formel: 


'"^  (a +  &  cot  i/7r)e'^  (?-'■)', 


(5) 


OD 

J  (t^ 


^'^^'""'dt  = 


Kapitel  XV.    Anwendungen  der  ersten  Methode.    §  85.  86.  221 

wo  wir  der  Kürze  halber: 

A  {        1     J  1.  N    •      ,     6  C08  «  (V  —  p) 

^  =  (a  -f  6  cot  vn)  i  H — .    -  -\-— ^ , 

^  '  )i\XiVX  8in  p«   ' 

(6)  I  B  =  —  {a-\-h  cot  Q -x) , 

sin  2  V  TT  sin  p  TT 
gesetzt  haben. 

Die  allgemeine  Formel  (5)  ist  ja  etwas  kompliziert,  indessen 
liefert  sie  durch  Spezialisierimgen  der  Parameter  v  und  q  oder  der 
willkürlichen  Funktionen  a  und  h  eine  große  Menge  eleganter  Formeln, 
welche  man  sonst  auf  andere  Weise  und  von  verschiedenen  Prin- 
zipien ausgehend  herzuleiten  pflegt;  von  diesen  spezielleren  Formeln 
wollen  wir  nun  die  wichtigsten  mitteilen. 

Wenn  1v  oder  q  ganze  Werte  annehmen,  wird  der  Ausdrack 
rechter  Hand  unbestimmt,  läßt  sich  aber  ohne  Mühe  durch  die  ge- 
wöhnlichen Methoden  behandeln:  wir  gehen  vorläuficr  nicht  näher 
darauf  ein,  sondern  betrachten  hier  nur  den  Spezialfall,  in  welchem 
die  im  Integi-ale  vorkommende  Cyliuderfunktion  von  der  ersten  Art 
ist;  wir  haben  dann  &  =  0  zu  setzen  und  finden  so  die  Formel: 

welche  von  Sonin^)  gefunden  worden  ist. 

§  86.  Verallgemeinerung  zweier  Integrale  von  Weber  und  Mehler. 

Um  die  Formel  §  85,  (5)  besser  anwenden  zu  können,  setzen 
wir  in  ihr  —  iy  für  ^,  wo  das  neue  \j  eine  positive  Größe  bedeutet; 
sind  nun  weiter  v  und  q  reell  und  setzen  wir  außerdem: 

(1)      p„„^^(..)r^-       ^„„^rV(,.)r^-^^ 

während  F'>^  das  entsprechende  Integral  (5)  bezeichnet,  so  finden  wir: 

(2)  F''-?  =  —  e^"'  [/'■'?  4-  W"'^. 

Setzen  wir  jetzt  die  reellen  und  die  imaginären  Komponenten 
der  beiden  Seiten  in  (2)  einander  gleich,  so  erhalten  wir  sehr  leicht 
die  beiden  neuen  Integrale  U  und  W.  Wir  bemerken,  daß  U  und 
W  in  dem  obenerwähnten  Spezialfälle  nur  reell  sein  können,  wenn 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  50;  1880. 


222  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

wir  für  die  Potenz  ( —  1)?  +  *  den  Wert  rechter  Hand  in  (2)  nehmen. 
Auf  diese  Weise  finden  wir: 


(3) 


n 

T 

fC^'{x  sin  qp)  (sin  9?)'  +  ^  (cos  (py(!~'^d(p 
I  0 


2^-?x? 


{{a  +  h  cot  v7t)J^+^{x)-^^^^T]^  +  ^'-^'-^^{x)), 


00 


y 
wo  wir  der  Kürze  halber: 


(5)  Ä  =  h  sin  Q7t  -\-  a  cos  ^tt,     B  =  h  cos  Qn  —  a  sin  ():?r 

gesetzt  haben. 

Die  Formel  (3)  ist  für  willkürliche  endliche  Werte  von  x  anwend- 
bar, falls  nur  9?(())  >  0,  9fl(v)  >  —  1  angenommen  wird.  In  dem  Falle, 
daß  V  eine  ganze  Zahl  ist,  läßt  sich  der  Ausdruck  rechter  Hand 
ohne  Mühe  bestimmen.  Setzt  man  ferner  v  =  —  ^  und  ()  +  4-  für  q, 
so  gewinnt  man  die  in  §  18  gegebenen  Integralaus di-ücke  für  J^(x) 
und  Z^{x). 

Die  Formel  (4)  ist  viel  interessanter;  sie  erfordert  übrigens 
die  Bedingungen  a;  >  0,  ?/  >  0,  ^(q)>0  und  9?(2()  +  v)  <  f.  Die 
Annahme  a  =  1,  &  =  i  ergibt,  wenn  man  p  —  1  für  q  setzt  und 
mittelst  §  4,  (2)  das  Vorzeichen  von  v  ändert,  die  Formel: 

y 

Von  den  übrigen  Spezialfällen  von  (4)  beschränken  wir  uns 
auf  die  folgenden: 

1)  Q  =  n  -\-  \,  wo  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet; 
wir  finden  hier  die  merkwürdige  Formel: 

(7)   (_  1)^  +  1  Cc\tx)  {t'-y'Y-t'+'dt  =  —^"fj"'''  C'+"  +  \xy), 

y 
wo   wir  9i(v  +  2w)  <  — -^-  voraussetzen  müssen;  für  w  =  0  ist  diese 
Formel  in  der  Hauptsache  mit  §  10,  (2)  identisch. 

2)  Q  =  n  -\-  ^-,  wo  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet; 
hier  erhalten  wir  die  Formel: 


(8) 


Kapitel  XV     Anwendungen  der  ersten  Methode.    §  86.  223 

OD 

(-  1)"  Je  ((!)((' -»*)""*•  (•*'(/(  = 

WO  9l(v  +  2«)<^  angeuonimen  werden  muß. 

Bezeichnen  wir  nun  mit  Hji^xij)  für  gj  =  1,  2  die  zwei 
Hankeischen  Cylinderfunktionen,  so  finden  wir  aus  (8)  die  neue 
Formel : 


(9) 


OB 

y  , 


2i-"rr"  +  ^ 


{^y)- 


3)  V  =  n  —  1",  wo  w  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet; 
setzen  wir  hier  —  ()  +  ^  für  q,  so  ergibt  eine  Anwendung  der 
Formeln  §  3,  (3),  (4)  unmittelbar: 


(10) 


{tx)t 


l+i 


dt  = 


1  -  n 

wo   wir  —  >  ^  ((>)>  —  Y 


2?  +  i 
1 


(hJ(.'-"{x7j)  +  a  F?-''(a'?/))  , 


annehmen  müssen.    Führen  wir  die 


Hank  eischen  Cylindei-funktionen  ein,  so  erhalten  wir  eine  zu  (9) 
analoge  Formel,  während  die  Annahme  w  =  0  folgende  zwei  be- 
merkenswerten Formeln  liefert: 


(11) 


jQ{xy)  = 


(12) 


YQ{xy)  = 


-|/«ra-e) 


Bin(^^^ 


cos  (tx)        ,  , 
^  dt, 


wo  ^-  >  9?  {q)  >  —  -}  angenommen  werden  muß. 

Für  Q  =  0  hat  Hehler^)  die  Formel  (11)  gefunden;   indes  hat 
Weber^)  beinahe  gleichzeitig  denselben  Spezialfall  von  (11)  sowie 

1)  Mathematische  Annalen  Bd.  5,  p.  144;  1872. 

2)  Journal  für  Mathematik  Bd.  75,  p.  81;  1873. 


(1)' 


224  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

von  (12)  gegeben,  während  die  beiden  allgemeinen  Formeln  zuerst 
von  Sonin^)  bewiesen  worden  sind.  Neuerdings  bat  Web  er  ^) 
abermals  die  beiden  Formeln  für  ^  =  0,  aber  auf  ganz  andere  Weise 
hergeleitet.  Es  ist  bemerkenswert,  daß  uns  unsere  späteren  Unter- 
suchungen in  §  89  direkt  zu  den  allgemeineren  Formeln  (11)  und 
(12)  führen. 

§  87.  Verallgemeinerung  eines  Integrales  von  Meissel  und  Weber. 

W^ir  kehren  nun  zu  der  allgemeinen  Formel  §  85,  (5)  zurück 
und  führen  die  Funktion  H^  ein.  Setzen  wir  noch  —  ix  für  x,  so 
finden  wir  folgende  Formel: 


/ 


H,'{-txi)e^^  ^^ 


+1 


=  ^S^rTZ^—  (-  ^^^"""J"-'  i^y)  +  Y"-'  (^y)  +  ^i^  TT  "-e.  — c  (xy)), 

2        r (p-j-l)  sinpTT  \  sm  ^vn  / 

welche  anwendbar  ist,  falls  9?(a')  >  0  und  9t  (v)  >  —  1  vorausgesetzt 
wird;  wenn  y  rein  imaginär  ist,  muß  man  außerdem  9t(())  <  0  an- 
nehmen. Die  entsprechende  Formel  mit  H^  läßt  sich  unmittelbar 
aus  (1)  herleiten,  wenn  man  nur  überall  das  Zeichen  von  i  wechselt. 
Wir  bemerken,  daß  die  Annahmen  q  =  —  v  oder  q  =  —  v  —  1 
die  Funktionen  T\'^^' (x)  und  X^''+^(.^)  in  (1)  einführen  müssen. 
Wir  betrachten  den  anderen  Spezialfall  v  =  —  ^^  näher,  der  viel 
interessanter  ist.  Setzen  wir  nämlich  ^  —  v  für  q,  so  erhalten  wir 
die  bemerkenswerte  Formel: 

00  

(2)      fe-^^(f  +  fr^dt=^'''^ß^  [Z\xy)  -  Y\xy))  , 

0 

wo  man  im  allgemeinen  9t(vC)>0  oder  spezieller  ^{x)  =  0,  9J(v)  <  0 
annehmen  muß. 

Setzt  man  in  (2)  v  =  0  und  führt  man  für  Z^{xtj)  ihre  Reihen- 
entwicklung aus  §  18,  (11)  ein,  so  gewinnt  man  eine  Formel  von 
Meissel ^);  führt  man  dagegen  für  Z''(xy)  ihren  Integralausdruck 
aus  §  18,  (10)  ein,  so  findet  man  die  Formel: 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  39;  1880. 

2)  Die  partiellen  Differentialgleichungen  der  mathematischen  Physik  Bd.  1, 
p.  175;  1900. 

3)  Gewerbeschulprogramm  Iserlohn  1862.    Citat  von  Meissel:  Jahresbericht 
der  Oberrealschule  Kiel,  1890. 


Kapitel  XV.    Anwendungen  der  ersten  Methode.    §  87.  225 


2(0)' 
(3)    Y'(x)  -=  -^-—     I      /  sinU-co8(i)(siua)j 


{/■ 


welche  für  ^'auze  Werte  von  v  von  Weber*)  gefunden  worden   ist. 

Die  Formel  (2)  gestattet  uns  femer,  wie  ich  neuerdings  gezeigt 
habe*),  die  Funktion  rechter  Hand  in  eine  Fakultäteureihe  zu  ent- 
wickeln. Wir  bemerken  noch,  daß  uns  dieselbe  Formel  leicht  zu 
den  Formeln  §  8G,  (11),  (12)  führt;  um  dies  zu  erreichen,  brauchen 
wir  in  der  Tat  nur  längs  der  Peripherie  eines  von  den  positiven 
Achsen  der  reellen  und  der  imaginären  Zahlen  begrenzten  Kreis- 
viertels von  unendlichem  Radius  und  mit  dem  Zentrum  im  Anfangs- 
punkte zu  integrieren. 

Setzen  wir  ferner  in  (1)  q  =  —  n  —  1,  wo  n  eine  ganze,  nicht 
negative  Zahl  bedeutet,  und  außerdem  xi  für  x,  so  finden  wir 
mittelst  §  30,  (1),  (2)  und  §  3,  (3),  (4)  die  Formel: 

(4)   (-  lY -fn.^itx) {i'  +  fyp^uu  =  -  ^  ^"^ -^"-"(^y) , 

0 

wo  wir  der  Kürze  halber: 

s  =  0 

gesetzt  haben.  Es  ist  in  der  Tat  höchst  merkwürdig,  daß  der 
Wert  des  Integrales  (5)  für  positive  x  und  y  und  für  ein  reelles 
V  rein  imaginär  ist.  Doch  darf  man  im  allgemeinen  ja  nicht  die 
reelle  und  die  imaginäre  Komponente  linker  Hand  trennen,  weil 
die  so  erhaltenen  Integi'ale  mit  den  Funktionen  J  und  Y  im  all- 
gemeinen beide  divergieren. 

Betrachten  wir  jetzt  die  ganze  transcendente  Funktion: 

(6)  f{x)  =  «0  +  «1^  +  «2^^  H H  «n^""  H , 

wo  die  Koeffizienten  a^  so  beschaffen  sein  sollen,  daß,  wenn  A  eine 
endliche  Zahl  bedeutet: 

(7)  lim  ^^/  =  0 


n"- 


wird,  und  setzen  wir  in  dem  IntegTale: 


1)  Journal  für  Mathematik  Bd.  76,  p.  10;  1873. 

2)  Comptes  rendus  Bd.  134;  1902 

Kielaen,  CylinderfunktioneB.  15 


226  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

I=j\^'itx)P'^'f[z{f  +  f))dt 

0 

für  f  die  Reihe  (6)  ein,  so  finden  wir  durch  formale  gliedweise 
Integration : 

(8)     7^-,.f(-')--'f/:--v.«,g,..(,,), 

eine  Formel,  welche  einem  bekannten  Satze  ^)  zufolge  anwendbar  ist, 
wenn  nur  die  Reihe  rechter  Hand  konvergiert.  Beachtet  man  in- 
dessen, daß  (5)  für  ein  sehr  großes  s  die  asymptotische  Gleichheit: 

liefert,  so  folgt  aus  (7),  daß  die  Reihe  rechter  Hand  in  (8)  kon- 
vergiert, wenn: 

(9)  \4.z\<\x\' 

ist;  in  diesem  Falle  ist  die  Formel  (8)  also  wirklich  gültig. 

Darf  man  nun  in  dem  Integrale  I  die  reelle  und  die  imaginäre 
Komponente  trennen,  so  findet  man  folgende  zwei  Formeln: 


CO 

(10)      fj'itx)f[z{f+if))  P  +  'dt  =  0, 


0 

CO 


/'  *=°o  4-     J-  1 

Y^{tx)fU(f^+y'))  P^'dt  =^(-  iys\a,2'  - '^  y]^[     B^''^{xy)- 
s  =  0  ^ 

0 

Die  Formel  (8)  zeigt  also,  daß  sich  unser  Integral  /  für  hin- 
länglich kleine  Werte  von  |  z  \  nach  positiven  ganzen  Potenzen 
dieser  Variabein  entwickeln  läßt.  Führen  wir  nunmehr  statt  B  den 
Ausdruck  (5)  ein  und  ordnen  wir  nach  Potenzen  von  x,  so  erhalten 
wir  die  Formel: 

»=00 
8  =  0  * 

wo  wir  der  Kürze  halber: 

p  =  00 

^.W  =  (-l)'2'^»»+.2'' 
gesetzt  haben,  so  daß  also: 

^X2/)  =  (-i)Y«(2/) 

1)  U.  Dini:  Grundlagen  etc.  p.  524;  Leipzig  1892. 


Kapitel  XV.    Anwendungen  der  ersten  Methode.    §  88.  227 

sein  niub;  ilainit  haben  wir  folgende  merkwürdige  Formel  bewiesen: 

00 

u 

»=00 


(12) 


*  =  0 


Von  Funktionen  f{x),  web^he  der  Bedingung  (7)  genügen, 
nennen  wir  J^'{x),  cos  (]/a;),  sin  (j/ic). 

§  88.    Asymptotische   Ausdrücke   für   die   Lommelsche  Funktion. 

Wir  haben  noch  eine  wichtige  Anwendung  der  allgemeinen 
Formel  §  87,  (1)  zu  zeigen,  durch  die  wir  eine  asymptotische  Dar- 
stellung der  L  omni  eischen  Funktion  zu  geben  vermögen.  Zu 
diesem  Zwecke  multiplizieren  wir  in  der  erwähnten  Formel  mit 
^2^  +  2  ^jjj  betrachten  sonach  das  bestimmte  Integral: 

00 

(1)  f(.^)-r'?~Tl'lT^t, 


wo  wir  also: 

(2)  9^(2.)  >-l,     'S{{x)>0,     'Si{iy)^0 

annehmen  müssen. 

Wir  betrachten  ferner  folgende  Taylor  sehe  Reihe: 

(B)      ('+^r*=|rro(7r+^- 

wo  das  Restglied  R^  ein  Ausdruck  von  derselben  Form  wie  -R„(0 
in  §  58  bedeutet.  Führen  wir  nun  die  Entwicklung  (3)  in  (1)  ein, 
so  liefert  die  Web  ersehe  Formel  §  72,  (8)  ohne  weiteres  die  Ent- 
wicklung: 

s  =  0 

Erinnert  man  sich  aber,    daß    sich    die    Hankeische    Funktion 
H^^X—xi)  für  große  Werte  von  \x\  wie  e~^  verhält,  so  ergibt  die- 
selbe Methode  wie  in  §  58: 
(5)  lim   \x'-R^\  =  0,     ^(x)>0; 

das  heißt  aber,    daß  die  Formel  (4)  iiir  y  =  1  und  '^(x)>0  eine 

15* 


228  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  CylinderfunktioneD. 

asymptotische    Reihe    im    Sinne  Poincares^)   darstellt.     Setzt   mau 
weiter  xy  =  ri,  wo  r  eine   positive   Größe   bedeutet,    so  muß   man 

dagegen  in  (4)  x  =  re'^,   y  =  ie~'>   annehmen,    wo  —  >  95  > - 

sein  muß;  die  Formel  (5)  bleibt  dann  noch  immer  gültig. 

Nach  diesen  Erörterungen  setzen  wir  in  (4)  v  und  q  für 
V  —  Q,  bez.  — V  —  Q  und  finden  mittelst  §  87,  (1)  folgenden  allge- 
meinen Satz: 

Setzt  man  voraus,  daß: 

(6)  m{v-Q)>-2 

ist,  so  wird  die  asymptotische  ReihenentivicMung : 

(  2TT'''?(a;)  +  sin  7t{v-Q)  Y'{x)  -  2  cos^  ^(v  —  q)  J'{x)  ~ 


(7) 


sin  —  (v  -{-  q)  sm  %  {v  —  q) 

_ 


■2'(-i)'r(^+^+i)r(-4^+.  +  i)(|f 

«  =  o 
in  der  ganzen  Ebene  anwendbar,  wo: 

(8)  x  =  \x\e'\     0<d£27i. 

Es  ist  bemerkenswert,   daß  der  Ausdruck  rechter  Hand  in  (7) 
mit  der  Formel: 

(9)  TT'>?(a;e''0  =  e?'^''n»'?(a;) 

übereinstimmt,  während  dies  nicht  mit  den  letzten  Gliedern  linker 
Hand  der  Fall  ist.  Was  die  Bedingung  (6)  anbetrifft,  so  denken  wir 
uns  0^9^(v  —  ())>  —  2;  bezeichnet  dann  2^  ^üi^  positive  ganze 
Zahl,  so  ergibt  §  29,  (4): 

T\'''Q+'-p{x)  = 

==n".?(^)-cos-J(a/-^).V  ^-^ 


(10) 


^ 


'  r(^+.  +  i)r(^  +  .  +  iy 


und  nun  läßt  sich  die  Lommelsche  Funktion  rechter  Hand  mittelst 
(7)  entwickeln. 

Die  Formel  (7)  ist  von  fundamentaler  Bedeutung;  denn  aus 
ihr  kann  man  durch  einfache  Spezialisierungen  der  Parameter  q  und 
V  unmittelbar  eine  gi-oße  Menge  von  spezielleren  Formeln  herleiten. 


1)  Acta  Mathematica  Bd.  8,  p.  297;  1886. 


Kapitel  XV.    Anwendungen  der  erston  Methode.    §  88.  229 

welche  man  sonst  jede  einzeln  für  sich  und  nach  verschiedenen 
Prinzipien  zu  entwickeln  pflegt.  Wir  betrachten  nun  die  wichtigsten 
dieser  Spezialfälle  näher. 

1)    Q  =  0,  bez.  ()=  1;  wir  finden  unmittelbar: 

(11)  TJ^ix)  -  cos- ","  J*(x)  +  4-8in  v:tY*ix)  r^ -'-^^A^ix), 

M  M  TT 

(12)  \^{x)  -  8in^-7  J'(a:)  -  i-sin  vz  Y^{x)  ^     '^pB„'{x), 
wo  wir  der  Kürze  halber: 

(13)  A„'(.)  =  i,  +f  -'--^'»-'-tT -'-•-"'' , 

»  =  1  ^ 

(14)         B:ix)  =  1+2 '- ^^ Ij^^—^ ^ 


,=1  ^ 


gesetzt  haben;  wir  müssen  also  in  (11)  und  (12)  9'?(i')>  — 2,  bez. 
9li(r)  >  —  1  annehmen.  Führen  wir  nun  mittelst  der  Formeln  des 
§17  die  Funktionen  V  und  Q  ein,  so  erhalten  wir  die  weiteren 
asymptotischen  Reihen: 

(15)  ^\x)  -  J^ix)  ~ ^  (B^ix)  -  A"(^)) , 

2  cos*  -^  2  sin*  -;— 

(16)  Q^Xx)  -  Y^ix) ^  B:{x)  +  — ^  A:{x), 

wo  also  9?(v)  >  —  1  angenommen  werden  muß.  Führen  wir  in 
diese  Formel  noch  die  aus  §  59,  (1),  (2)  für  J  und  Y  erhaltenen 
asymptotischen  Reihen  ein,  so  finden  wir  zwei  Formeln,  welche 
H.  F.  Weber-Zürich^)  ohne  Beweis  mitgeteilt  hat. 

Aus  (11)  und  (12)  erhalten  wir  ferner  mittelst  §  24,  (13),  (14) 
für  die  Integrale  von  Fresuel  die  asymptotischen  Reihen: 


(17) 


(18) 


F,{yx)-~y^r^ 

'^  —  YxBJ{x)  sin  ^  -  Y  V^  ^„^  (^)  cos  a;, 

f  F,{yx)-^y^<^ 

~  -  —  |/^  BJ  {x)  cos  a;  -  —  Yx  AJ  {x)  sin 


JU  • 


1)  Vierteljahrsschrift  der  Naturforschenden  Gesellschaft  in  Zürich  Bd.  24, 
p.  48;  1879. 


230  Zweiter  Teil.   Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

die  zuerst  von  Cauchy^)  aufgestellt  worden  sind;  eine  Anwendung 
der  Formel  §  34,  (12)  ergibt  nun  auch  ohne  Mühe  die  asymptotische 
Reihe  für  das  Integral  von  Kramp;  wir  werden  diese  Formel  in- 
dessen später,  in  §  95,  durch  andere  Methoden  direkt  herleiten. 

2)  Q  =  V  —  2p,  wo  p  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet; 
wir  finden  nach  §  30,  (11)  die  neue  Entwicklung: 


(19) 


T-      /   s  TT-  /  \         ( —  1)^  sin  Vit 


Tt 


4=0 


setzen  wir  wiederum  in  dieser  Formel  p  =  0,  v  =  +  ^,  so  erhalten 
wir  mittelst  (fj: 

(20)  lH.)  +  ]/f  cos  .  ~  -|/Ä  .f  (_  1).  J-^, 

4  =  0  '*' 

(21)  £-i(.)-yf.n.^--)/Ä.f(_l).(!tt')!, 


s  =  Q  ^ 


so   daß   die  Formeln  §  34,  (17),  (18)    für    den  Integralcosinus  und 
Integralsinus  folgende  Entwicklungen  liefern: 

(22)  C,{x)  =  sin  o;  •  ^  (-  1)^  -^^  -  cos  x  -^  (-  ly  ^/i, 

s  =  (i  ^  «  =  0  ^ 

(23)  S,ix)  =  ^-oosx.^(-  ly  -?^  -  sin  x  ^^  (-  1)-'  ^^-^ ; 


s=U  ^  s=0  * 


wenden  wir  weiterhin  die  Formel  (16)  des  §  34  an,  so  gewinnen 
wir,  falls  :r  >  0  ist,  die  analoge  Entwicklung  für  den  Integral- 
logarithmus: 


»=« 


(24)  li^-^'-'^-^^^=:§^ 


3=0  ^ 


3)  ^  =  V  —  2^)  -f  1,  wo  2>  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  be- 
deutet; die  Formel  §  30,  (8)  gibt  die  neue  asymptotische  Ent- 
wicklung: 


1)  Comptes  rendus  Bd.  15,  p.  554—556;  1842. 


Kapitel  XM.  Weitere  Anwendungen  der  ersten  und  zweiten  Methode.  §  89.     231 

( —  ly  C0&  Vit 


(25) 


Z^'-P{x)  -  Y\x) 


n' 


-V(_,).r(.+^  +  i)r(-.+;,+.  +  l)(ip"^'"-. 


diese  Formel  ist  für  p  =  0,  v  =  0,  v=i  von  Struve')  und  Lord 
Rayleigh^)  gefunden  worden,  während  P.  Siemon')  den  etwas 
allgemeineren  Fall  angegeben  bat,  in  welchem  j)  =  0  und  v  ganz, 
aber  nicht  negativ  ist. 


(2) 


Kapitel  XYI. 
Weitere  Anwendungen  der  ersten  und  zweiten  Methode. 

OD 

§  89.     Über  das  Integral  f  C'{tx)C^'{tx)(f  +  i/yt^dt. 

u 

Wir  haben  die  erste  Methode  noch  auf  das  folgende  Integral 
anzuwenden: 

(1)  <Bixy)  =fO-(tx)  C^\tx){t^  4-  y^yt^-'"dt. 

0 

Der  Satz  §  77,  I   ergibt  ohne  Mühe  folgende  Differentialgleichung 

vierter  Ordnung: 

6(.)(^)+^6W(^)+(-4+'  +  '<''-'»r~"~'-)  &"  (x)  + 

Wir  bemerken  zuerst,  daß  eine  Vergleichung  zAvischen  (2)  und 
§  56,  (6)  kein  Resultat  liefert;  dagegen  werden  (2)  und  §  51,  (14) 
identisch,  wenn: 


ß  =  2i,  a  =  2  —  CO —  2ö,     &  =  2ö(o  —  2(?,     a  =  a  —  a 


iL 

2  7 


^2  _  y2  ^  4^,2  _  (p3  _  2^)(„  _  2(?  -  5)  +  7, 
(2(j  +  3)(a2  _  y2^^  =  (c  _  2(7  -  2)(«  -  2(?  -  3), 
(ö  +  l)(a4-l)(«'-y^)  =  0. 

Um  nun  diese  Gleichungen  aufzulösen,  gehen  wir  von  der  letzten 
aus  und  finden  dann  ohne  Mühe  folgende  fünf  verschiedenen  Systeme 

1)  Wiedemann  Annalen  Bd   17,  p.  1012;  1882. 

2)  Theory  of  Sound,  Bd.  2,  p.  168;  1896. 

3)  Programm  der  Luisenschule  Berlin,  p.  13;  1890. 


232  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

von   Werten    der   Parameter,    wo    d^    und    d.^    aus    §  51;   (13)    zu 
nehmen  sind: 

1)(J=  —  1,        y  =  v  =  ^,        a  =  (0  —  ^,        ^  =  K>  +  |,        di=|— 03, 

^2  =  1-, 

2)  'y==v,      a  =  —  v  —  l,      ö  =  v  —  ?^,      q  =  1—2v,      ü3  =  —1, 

3)  y  =  2v,      ci;  =  — 1,      Q  =  ^,      <^  =  — f?      «  =  —1,      ^'^  =  0, 

^2=1/ 

4)  y^a  =  ö  +  ^,      Q  =  l,      v  =  i,      co^26  +  2,      di  =  (?  +  f, 

5)  j;^(,  =  (?  +  |,      Q  =  2,      v  =  ^j,      ö  =  2<5  +  3,     ^i  =  (?  +  i, 

0^2  =  (?-!-  f. 

Nun  ist  offenbar,  daß  der  Fall  1)  kein  besonderes  Interesse 
darbietet;  weiter  sehen  wir,  daß  die  Fälle  4)  und  5)  genau  auf  die 
allgemeinen  Integralformeln  von  Weber  und  Hehler,  (11)  und  (12) 
des  §  86,  fühi-en;  wir  gehen  indessen  nicht  näher  auf  diesen  neuen 
Beweis  der  zwei  interessanten  Formeln  ein  und  haben  somit  nur  die 
beiden  FäUe  2)  und  3)  näher  zu  diskutieren. 

§  90.     Integraldarstellungen  für  die  Poisson-Angersche  Funktion. 

Im  Falle  3)  betrachten  wir  zuerst  das  Integral,  in  welchem  die 
Cylinderfunktionen  beide  von  der  ersten  Art  sind;  wir  finden  eine 
Formel  von  folgender  Form: 

CO 

J       («'  +  '/>         -^  ^  ' 

0 

wo  man  a;  >  0,  9ft(r')>— 1  voraussetzen  muß,  während  y  nicht 
rein  imaginär  sein  darf.  Unter  der  Voraussetzung  0  <  9?  (v)  <  4- 
muß  sich  das  Integral  linker  Hand  für  kleine  Werte  von  x  wie  die 
Potenz  x'^'^  verhalten,  also  mit  x  gegen  Null  konvergieren;  dies 
kann  aber  mit  dem  Ausdrucke  rechter  Hand  nur  der  Fall  sein, 
wenn  es  nicht  die  Funktionen  Y'^'^i^xyi)  und  TT^''(2a;7/i)  enthält; 
also  ist  die  Form  der  Formel  (1)  sichergestellt. 

Nach  diesen  Erörterungen  dividieren  wir  die  beiden  Seiten  von 
(1)  durch  x^'^,  so  daß  die  Annahme  ^'  =  0  ohne  weiteres  gibt: 


Ci  = 


cos  v%  ' 


Kapitel  XYl.  Weitere  Anwendungen  der  ersten  und  zweiten  Methode.  §  90.     233 

während  die  Auiuihme  y  =  0  unter  Anwendung  der  Schafheitlin- 
schen  Formel  §  73,  (15)  folgende  Bestimmung  von  c.^  liefert: 

»■ 

^        COB  v:t  •  sin  V7t  ' 

80  daß  wir  schließlich  foltjende  Formel  finden: 


(2)  fiJlMflfät^ 

0 

y  cos  vn  \  ^      '^  ■'        sm  vn  ^       if  JJ  i 

wenn  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet,  muß  (2)  die  Funk- 
tion Q^''(2xyi)  enthalten;  diese  speziellere  Formel  wird  den  in  §  84, 
(5),  (6)  ganz  ähnlich.  Im  Falle  v  =  «  -j-  ^  linden  wir  dagegen  die 
zu  §  84,  (3),  (4)  analoge  Formel: 

(3)  7    ^"""y  l'^rr'  =■  7  {S"'\^^y')  -  ^iH,''*'(2xy{}) , 

0 

wo  S  wie  gewöhnlich  die  rationale  Funktion  von  Schläfli  bedeutet. 
Wir  betrachten  weiterhin  die  zu  (1)  analoge  Formel: 

OS 

0 

wo  a;  >  0  ist  und  y  nicht  rein  imaginär  sein  darf.  Beachten  wir  näm- 
lich, daß  das  Integral  linker  Hand  für  a;  =  0  einen  bestimmten  Wert 
haben  muß,  so  ist  es  einleuchtend,  daß  die  Funktionen  J^''(2xyi) 
und  Y-'(2xyi)  nicht  in  dem  Ausdrucke  rechter  Hand  auftreten 
dürfen. 


Die  Annahme  x  ==  0  ergibt  unmittelbar: 


Ci  = 


^  cos  V7t  ' 

während  die  Bestimmung  von  Cg  etwas  schwieriger  ist;  sie  läßt  sich 
offenbar  am  einfachsten  durch  ZuhiLfenahme  der  asymptotischen 
Ausdrücke  des  §  88  durchführen.  Wir  setzen  also  x  als  sehr  groß 
und  positiv  voraus,  während  y  als  positiv  angenommen  wird.  Das 
Integral  muß  also  einen  endlichen  Wert  haben;  führen  wir  aber 
rechter   Hand    die    Ausdi'ücke    §  88,  (11),  (12)    ein,   so    zeigen   die 


234  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

Formeln    in    §  59,    daß    der    so    erhaltene  Ausdruck  dann  und  nur 
dann  endlich  werden  kann,  wenn: 

i 

^2  = 


Sin  V7C 


ist,  und  somit  finden  wir  die  Formel: 


(8) 


00 

-^ ^—  =.  ±  (_i__  T['v(2xyi)  +  -r^-  X 2-  (2 xyi)] . 

(i^    I   ^2W  y  \cosvTt         ^      ^  ^   '   smvTt  ^       ^  V 


Die  Spezialfälle  v  =  n,  v  =  n  -\-  \,  wo  n  eine  ganze  Zahl  be- 
deutet, lassen  sich  ohne  Mühe  behandeln,  so  daß  wir  dieselben  ohne 
weiteres  übergehen  dürfen.  Führen  wir  nun  weiter  in  (5)  für 
J~'^(tx)  den  Ausdruck  §  3,  (3)  ein,  so  finden  wir  mittelst  (2)  die 
neue  Formel: 


(6) 


a 

f 


r{tx)Y'(tx)tdt 


y   \  cos  vn  ■  sin  V7t  \      j  jj  i 


-2    _   T2rvo„...-\         tt2v/ 

y  \ 

wenn  v  hier  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet,  so  entsteht 
eine  zu  (3)  ganz  analoge  Formel.  Andern  wir  ferner  in  (6)  das 
Zeichen  von  v  und  führen  wir  mittelst  §  3,  (3),  (4)  wieder  Cylinder- 
funktionen mit  dem  Parameter  2v  ein,  so  erhalten  wir  das  ent- 
sprechende Integral,  welches  das  Quadrat  von  P'(^x')  enthält;  es  wird 
indessen  ziemlich  kompliziert. 

§  91.     Integraldarstellung  für  die  Funktion  Z^(x). 

Im  zweiten  Falle  führen  die  gewöhnlichen  Überlegungen  zu 
einer  Formel  von  der  Form: 

^^^       J     {t'Wf-'  ^^  =  ^Wr(^i^^''"(^^^0  +  c,Z\2xyi)), 

0 

wo  a;  >  0  sein  muß,  während  y  nicht  rein  imaginär  vorausgesetzt 
werden  darf,  außer  wenn  SR  (v)  >  -^  ist. 

Um  die  Koeffizienten  zu  bestimmen,  multiplizieren  wir  zuerst 
in  (1)  mit  x~^^'^  die  Annahme  x  =  0  gibt  dann  unmittelbar  mit- 
telst (fig): 


Kapitel  XVI.  Weitere  Anwendungen  der  erfiten  und  zweiten  Methode.  §91.     235 


—  3  »  Ä  » 


^1  a-./~  > 

lyn  cos  v-x 


während  t/  =  0  mit  Zuhilfenahme  von  §  73,  (15)  folgenden  Ausdruck 

_.T(v-^)e'"^. 


für  fj  liefert: 


^2  = -TT- , 


'l^n 


somit  haben  wir  folgende  Formel  bewiesen: 


-3rni 


",,»'+ 1        \  COSVJt 


+  ^■e•'«■■Z♦•(2:r?/^)  I . 


Setzen  wir  nun  weiter  —  iy  für  y,  wo  das  neue  y  positiv  ist, 
und  teilen  wir  das  Integrationsintervall  in  zwei  andere,  nämlich  von 
^  =  0  bis  t  =  y  und  von  t  =  y  bis  ^  =  oo,  so  finden  wir  durch  das 
gewöhnliche  Verfahren  die  zwei  bemerkenswerten  Formeln: 

2y^cosv7ra;^/  +  ^      P  {r  {tx)ft^-^'' dt 


(3)  m3v(2.y)^^>^---^        J    ^^^_^^^ 

(4)         z^(2.,)  =  Ly^^\y(^ 


!-v        ' 


2]/7r  a;>^  +  '      /*  {r\tx))h^-"^' dt 
y 

wo   man  also  9i(r)  >  ^  annehmen  muß;  für  v  =  1  erhält  man  aus 
(4)  eine  spezielle  Formel,  welche  von  Struve^)  gefunden  worden  ist. 
Auf  ganz  dieselbe  Weise  findet  man  eine  Formel  von  folgender 
Form: 


CO 


rrm£Jßxyt^  ^^  _      1^  /   j.^2xyi)  +  c,ZH2xyi)) , 

wo  man  a;  >  0  und  9?  (v)  <  1  voraussetzen  muß ;  wenn  y  rein 
imaginär  ist,  muß  außerdem  noch  fR(v)>^  sein.  Die  Annahme 
X  =  0  ergibt  mittelst  (f^g) : 

VTti 

—  V^  g    ^  . 
^1  ~  2  r  (f  —  v) ' 


1)  Wiedemann  Annalen  Bd.  17,  p.  1011;  1882. 


236  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

für  die  Bestimmung  von  c^  muß  man  dagegen  x  selir  groß  und 
positiv  annehmen,  während  zugleich  y  als  positiv  vorausgesetzt  wird; 
die  Formeln  §  88,  (25)  und  §  59,  (3)  und  (4)  geben  dami  c^  =  ic^, 
so  daß  man  endlich  folgende  Formel  erhält: 


y  jti 


0 

Setzt  man  hier  —  iy  für  y,  wo  das  neue  y  positiv  vorausgesetzt 
wird,  so  findet  man  durch  die  gewöhnliche  Methode  die  weitere 
Formel: 

J'(2x)  = 


(6) 


3t 

T 


^  _  ^,   /  J"*'(^cos9))  J'~*(^cos9p)(cos9))^"^*'(sin9))^''~2f79), 


während  das  übriggebliebene  IntegTal  mit  den  Grenzen  y  und  co 
etwas  komplizierter  wird;  in  (6)  muß  man  l>Üi(i')>^  voraus- 
setzen. 

Statt    das    ähnliche    Integral    mit    dem    Quadrate    \J'~'^{x))      zu 
untersuchen,  betrachten  wir  das  folgende: 


c 

/ 


\-^-J—^^dt  =  x^f  {c,J^'(2xyi)  +  c,Z-^i2xyi)) ; 


it'-\-y') 


die  Koeffizienten  lassen   sich  auch  hier  ohne  Mühe  bestimmen,    so 
daß  man  schließlich  zu  der  Formel  gelangt: 


m 


c 

/ 


\2  .2v+l 


(r{tx)Yt' 


{t'+y'Y''^ 


of.X+l)  (^"^^^  ^"^^^^^^  +  iZ-ri2xyi)) , 


welche  anwendbar  ist,  falls  9i(v)  >  —  4-  angenommen  wird;  in  dieser 
Formel  darf  y  daher  nicht  rein  imaginär  angenommen  werden. 


Kapitel  XVl.  Weitere  Anwendungen  der  erbten  und  zweiten  Methode.  §  92.     237 


§  92.    Über  das  Intogral  J'C''{tx){t  +  yy  t^' dt. 

0 

Um  auch  eine  Anwendung  der  zweiten  Methode  zu  geben,   be- 
trachten wir  das  Intcirral: 


n 

OD 


(1)  %{xy)  =fC'(tx)(txyt<^-'"{t  +  yYdt, 

u 
mit    Bezug    auf   welches    die    transformierte    Besselsche    Gleichung 
§  47,  (4)  für  y  =  1  die  andere  ergibt: 


(2) 


%^'Kx)  +  ^-^-%^'Kx)  +  (l  +^"~'j,'~')X(^)(a:)  + 


+  i(l^X(^)(^)  +  ^-^=:l)x(^)  =  0, 


welche  wir  mit  §  51,  (14)  zu  vergleichen  haben.  Die  Identität 
beider  Gleichungen  erfordert,  daß: 

tt  =  co  —  6—l,     a  =  2  —  26,     h  =  6-—6,     /3=1, 

ö((?+l)(l -2«) -2((?+ !)(«'-?'')  =  0, 

(^+l)((j  +  2)(i;2-y2)  =  o 

ist.  Die  letzte  dieser  Gleichungen  erfordert  dann  wieder  die  Unter- 
suchunt;  folgender  drei  verschiedener  Fälle: 

2)  6  =  —  2,     a  =  Q  =  V,      (o  =  y  ==  u  —  1,     d^  =  —  q, 

3)  V  =  7  =  ±  -i,       a  =  Q=  l,       (o  =  G  -{■  l,       0^=  6  -\-  f , 

von  welchen  der  letzte  zu  §  89,  1)  analog  ist  und  daher  kein  be- 
sonderes Interesse  darbietet,  so  daß  wir  uns  auf  die  zwei  ersten  be- 
schränken dürfen. 

Im  ersten  Falle  betrachten  wir  nur  das  Integi*al  mit  der  B es s ei- 
schen Cylinderfunktiou  und  finden  eine  Formel  von  folgender  Form: 

oc 

(1)  f'^^Tl'y^'  =  y  (^i^"(^2/)  +  c,TJ^'-^ixy)  -h  c,U^''-^(xy)) , 

0 

wo  wir  9^(2/  +  9)  >  —  1  und  9^(^)  <  |  annehmen  müssen,  während 
y    nicht    negativ    sein    darf.      Um    nun    die    Koeffizienten    zu    be- 


238  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

stimmen,  setzen  wir  erstens  y  =  0,  so  daß  die  Webersche  Formel 
§  72,  (2)  unmittelbar  ergibt: 

TT 

2        sin  n{v-\-  q)'' 

weiter  dividieren  wir  in  (1)  durch  x^  und  setzen  dann  x  =  0-  die 
Formel  (r^^)  liefert  dann  obne  weiteres  Ci  =  — Cg.  Um  endlich  auch 
Cg  zu  bestimmen,  multiplizieren  wir  in  (1)  mit  y  und  denken  uns  y 
sehr  groß  und  positiv;  die  gewöhnlichen  asymptotischen  Entwick- 
lungen der  §§  59  und  88  geben  dann  mittelst  §  72,  (2)  Cg  =  Cg, 
und  wir  finden  so  folgende  einfache  Formel: 


(2)    / 


J'mt^,,  ^y1 


?fF-''«  =  si^+i)(n--n»^j/)+n'.'-n*y)-'^'(*</)) 


welche  einige  elegante  Spezialfälle  darbietet. 
Erstens  setzen  wir  ^  =  0  und  finden: 

CO 

(3)  /^^  =  3i^("l"(^J')-J'(^2/)),    9!W>-1, 

0 

wo  ^^'(x)  die  Poisson-Angersche  Funktion  bedeutet;  nimmt  man 
V  gleich  einer  ganzen,  nicht  negativen  Zahl  n,  so  erhält  man  mittelst 
§  17,  (27)  die  speziellere  Formel: 

00 

(4)  (-  iyj~^  =  f  [^\xy)  +  S^xy)  -  Y\xy))  , 

ü 

wo  S^{x)  die  rationale  Funktion  von  Schlaf li  bedeutet. 

Wir  setzen  ferner  in  (2)  q  =  v  und  finden,   vorausgesetzt,   daß 
— -^- <  9ft (i/)  <  1  ist,  die  weitere  Formel: 


(5)    ß~ 


J''{tx)f  dt 

t  +  y 


=  2^^  (^-''(^^)  -  «i^  ^^ ^^(^2/))  -  ^  y\xy) ; 


für  w  =  0,  bez.  v  =  0  werden  die  Formeln  (4)  und  (5)  identisch. 

Der  dritte  Spezialfall  von  (2),  wo  v  -[-  q  eine  ganze  Zahl  be- 
deutet, läßt  sich  nach  der  gewöhnlichen  Methode  behandeln;  wir 
finden  so  Formeln,  die  zu  §  84,  (5),  (6)  analog  sind. 

Im  Falle  2)  erhalten  wir  eine  Formel  von  folgender  Form: 

OD 

i^Q)J'^-lM^^^y^(c,J^-i^xy)  +  c,Y^~\xy)+c,T\^-^--\xy)), 


Kapitel  XVI.  Weitere  Anwendungen  der  ersten  und  zweiten  Methode.  § 'J2.     239 

WO  z  >  0  und  I  >  9i  (i')  >  —  ^  vorausgesetzt  werden  muß,  während 
y  nicht  reell  und  negativ  sein  darf.  Wir  bemerken,  daß  die  übrigen 
Integrale  von  der  Form  (_(.>)  auch  die  Derivierte  der  Lo  nun  eischen 
Funktion,  nach  dem  Parameter  q  genommen,  enthalten  müssen. 

Die  Annahme  y  =  0   ergibt    mittelst    der  Weberschen    Formel 
§  72,  (2)  ohne  weiteres: 

C')  ^8   =  —  sintifTT  ' 

setzen  wir  femer  a;  =  0,  nachdem  wir  zunächst  mit  x^  dividiert 
haben,  so  ergibt  (Hj^): 

(8)  c,  +  Co  cot  vn  =  ^—z — ; 

multiidiziereu  wir  endlich  mit  y'^  und  setzen  wir  y  als  sehr  groß 
und  positiv  voraus,  so  ergeben  die  gewöhnlichen  asymptotischen 
Ausdrücke  der  §§  59  und  88: 

(9)  ^  =  |-^      c,  =|-tgv:r, 

ein  Ergebnis,  das  sehr  gut  mit  (8)  übereinstimmt,  und  wir  finden 
demnach  endUch: 


(10) 


/ 


^ritx)f  ^^^ 


{t  +  yf 

0 

ixxy"    '  TT.'-i,-v, 


2  cos  V 


■jt\  V    ^/  I  \  /  smvn       / 


der  Spezialfall  v  =  0  verdient  besonders  hervorgehoben  zu  werden ; 
unter  dieser  Annahme  finden  wir  nämlich  die  elegante  Formel: 

00 


(2) 


240  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylindei-fimktionen. 

Kapitel  XYII. 
Anwendnnsieii  der  dritten  irnd  vierten  Methode. 

00 

§  93.    Über  die  Integvsile  Je' ^'^'C'itx)  t^  {t  +  y)"  dt   und 

00  0 

0 

Als  Anwendung  der  di-itten  Methode  betracliten  wir  das  Integral: 

oc 

(1)  Uixij)  ^fe-''='C^(tx)(txyi9-'"{t  +  yydt, 

0 

in    Bezuor    auf  welches    der  allo-emeine   Satz  §  79,  III   mittelst   der 
Differentialgleichung  §  49,  (5)  auf  die  andere  führt: 

w\x)  +  [^^-2i)m{x)-{- 

eine   G-leichung,    welche   wir  mit  §  50,  (22)    zu   vergleichen  haben. 
Beide  Gleichungen  werden  identisch,  wenn: 

a  =  —  26,     cc  =  co  —  6  —  l,     ß==l, 

(a-  1)  (1  -  2a)  =  6  {2co  -  1), 
«'  -  y'  +  (a  -  1)  (1  -  2a)  =  (cj  -  ly  -  v\ 
{a-2){a^-y^)  =  0 
ist,  so  daß  wir  hier  zwei  Fälle  zu  imtersuchen  haben: 

1)  a  =  2,     6  =  —  1,     a  =  Q  =  CO,     y  =  v,     d  =  —  q, 

2)  «  =  y  =  p  =  0  4-  i,     1/  =  4-,     d  =  a  -\-  .|- 

Nun  führt  uns  der  zweite  Fall  offenbar  zu  dem  Hank  eischen 
Integrale  des  §  57,  so  daß  wir  nur  den  ersten  Fall  näher  zu  unter- 
suchen haben. 

Als  Anwendung  der  vierten  Methode  betrachten  wir  das  Integral: 

(3)  ^(xy)  =/V""^ C^ (tx) {txy  .  y , 

0 

in  Bezug  auf  welches  der  allgemeine  Satz  §  80,  IV  mittelst  §  49,  (5) 
die  Gleichuno;  liefert: 


(4) 


a5(3)(^)  + 1^  W\x)  +  f^  "'];""  +  fj  WKx)  + 


Kapitel  XVII.    Anwendungen  der  dritten  und  vierten  Methode.    §  93.  94.     241 


welche  wir  mit  der  aus  §  50,  (17)  für  .r"Cy(Yß'f)  erhalteneu  Ditfe- 

rentialgleifhunt,' 

ideutisch.  wenn: 


rentialgleifhunt,'     vergleieheu     wollen.      Beide     Gleichungen     werden 


1)  Q  =  ((  =  --,     y  =  2u,     d  =  l, 

von  welchen  Fällen  der  letztere  kein  besonderes  Interesse  bietet. 

Wir  haben  unsere  Gleichung  (4)  endlich  noch  mit  §  55,  (7) 
für  x"C*{yßx)C^'{yßx)  zu  vergleichen;  die  Identität  dieser  beiden 
Gleichungen  erfordert  die  Bedingungen: 

3)  a  =  p  =  0,     ß  =  2i,     y  =  v. 


§  94.    Verallgemeinerung  eines  Integrales  von  Sonin. 

Wir  betrachten  znnäclist  das  Integral  §  03,  (1);  es  ist  klar, 
daß  wir  uns  auf  denjenigen  Fall  beschränken  können,  in  welchem 
die  unter  dem  Integralzeichen  vorkommende  Cylinderfunktion  von 
der  ersten  Art  ist;  denn  sobald  dies  Integral  gefunden  ist,  führt 
eine  Änderung  des  Zeichens  von  v  ohne  Mühe  zu  dem  allgemeinsten 
Integrale  dieser  Art.  Wir  haben  also  nur  die  noch  unbekannten 
Koeffizienten  in  folgender  Formel  zu  bestimmen: 

u 

Beachtet  man,  daß  die  Funktion  e'''^'  J''{tx)  für  große  Werte 
von  tx  ein  Glied  mit  unveränderlichem  Zeichen  enthalten  muß,  so 
erfordert  die  Konvergenz  des  Integrales  offenbar,  daß  9^(())<i-, 
9i(()  + v)  >  —  1,  also  9i(i/)  >  —  1  ist,  während  y  nicht  reell  und 
negativ  sein  darf. 

Um  die  Koeffizienten  zu  bestimmen,    setzen  wir  erstens  y  =  0; 

die  Formel  §  71,  (1)  gibt  dann  ohne  Schwierigkeit: 

n 
^       sin  «  (v  -|-  p) ' 

nach    einer    Division    durch  x^'  ergibt   die  Annahme  x  =  0  mittelst 
(fj^)  Cj  =  —  Cg,  und  somit  finden  wir  die  elegante  Formel: 

(2)     j r+Y^—  =  sin.(.+,)  [^''-'{^y)-J'  (^?/)) , 

0 

welche  für  p  =  0  noch  bemerkenswerter  wird. 

Nielsen,  Cj-linderfunktionen.  16 


242 


Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinclerfunktionen. 


Setzt  man  ferner  q  =  v  -\-  n,  wo  w  eine  ganze  ZaM  bedeutet, 
die  also  nur  gleich  0  oder  1  sein  darf,  so  findet  man  aus  §  36,  (2), 
daß  sich  das  entsprechende  Integral  allein  durch  Cylinderfunktionen 
darstellen  läßt.  Der  Fall  n  =  1  bietet  kein  besonderes  Interesse, 
dagegen  gewinnt  man  für  n  =  0  die  Formel  von  Sonin^): 


(3)     re-^('+y)^r-(tx)f 


dt       7ty  e    ^      -' 
2  cos  vn 


H,\xy),     ^^>^{y):>-^. 


Die  ähnliche  Annahme  q  =  —  v  -\-  n,  wo  n  eine  ganze,  nicht 
negative  Zahl  bedeutet,  liefert  mittelst  §  36,  (4),  (14)  die  andere, 
speziellere  Formel: 

(4)       (-  1)''  +  ^  •/^"'^t+7'^'^'  =T  {^\^yH^iIl.\xy))  ; 

0 

für    V  =  0,    bez.    n  =  0    werden    die   beiden    Formeln    (3)    und    (4) 
identisch. 


§  95.    Asymptotische  Darstellung  der  Funktion  0'''?(a:). 

Die  Formeln,  welche  wir  im  vorhergehenden  Paragraphen  ent- 
wickelt haben,  ermöglichen  uns,  die  asymptotische  Reihe  für  0'>?(a;) 
aufzustellen.  Um  dies  zu  erreichen,  ist  es  bequem,  in  §  94,  (2)  das 
Zeichen  von  v  zu  ändern;  die  Definition  §  4,  (4)  gibt  dann  nach 
einer  einfachen  Rechnung  folgende  allgemeinere  Formel: 

0 

(1)         {   =  .  ""y  \       . .(2coso;rcD>.-?(a:y)- 

sin  w  (9 -j- r)  sm  TT  (p  —  v)\  ^  \    ^/ 

—  (cos^^r-f  cos-V7ie~^^  +  ''^''')  J''{xy)  -{- 
-\-  e-'"'  sin  7t  (v  +  q)  Y''(xy)\  , 

wo  man  also  9f?(a;i)  >  0  und  9i(^  +  v)>  — 1  voraussetzen  muß. 
Wendet  man  nun  die  Identität: 


i+y 


1 


r 


+ 


(_l)«-lf-l      (-Iff 

H « r 


y 


/(«  +  2/) 


1)  Mathematische  Annalen  ßd.  16,  p.  65;   1880. 


Kai)itel  XVIT.    Anwendungen  der  dritten  und  vierton  Methode.  §  95.     243 


an  uiul  bozolchnet  miin  mit  /"    ihis  Intogr.il   linker   llaud    in  (^1),    so 
(iiulet  man  mittelst  §  71,  (4): 

v  +  l 

(2)    L  = 


2y^e  ' 


"'  'v>\-i/r(e+r  +  /?+i)r(e-v+-''-+i)  ,   7? 

*  =  0 


wo  man  der  Kürze  hall)er: 


(3) 


^         (- 1)"   ///,'■  (Lr)e-^-Wg  +  "  (- 1)" 


gesetzt  hat. 

Nimmt  man  nun  an,   daß  r  eine  solir  große  und  po.sitive  Zahl 

bedeutet,  während  — ^"  <  9^  ^  +  T  ist,  so  darf  man  in  (2)  x  =  rieff' 

und  y  =  —  ?c(®~v)'  setzen;  transformiert  man  endlich  das  Integral  in 

(3)  mittelst  der  Substitution  rt  für  f,  so  erkennt  man,  daß: 

lim  {r"R„)  =  0 

r  =  +  CO 

sein  muß.     Damit  ist  aber  folgender  allgemeine  Satz  bewiesen: 
Die  asymptotische  Reihencntivicklimy : 

2  cos  ();r  ct)»'«/(a;)  —  (cos  q%  +  cos  vn)  e^^"')'"' «/"(a;)  + 

+  e-''^'  sin  jr(i;  —  9)  Y''{x)^  ~ 

(4)  •'  ^  2e~^  •  ^^"  ^  (^^  —  e)  sin  7g  (^^  +  g) 


w<  für  9i(^±i')  <  1  m  ^er  f7i«rc/i  die  Formeln: 
(5)  a;  =  re'«,     0^ö^2;r 

definierten  ganzen  Ebene  amvendhar. 

Wenn  v  und  q  der  vorhergehenden  Bedingung  nicht  genügen, 
kann  man  immer  eine  positive  ganze  Zahl  p  so  bestimmen,  daß 
?R(()  ±  V— ^9)  <  1  ist,  und  dann  die  Reduktionsformel  §  35,  (C) 
anwenden. 

Im  ganzen  ist  die  Entwicklung  (4)  eine  ziemlich  allgemeine; 
setzt  man  z.  B.  Q  ==  p  -\-  2-,  wo  p  eine  positive  ganze  Zahl  be- 
deutet, so  erhält  man,  falls  n^p  ist,  die  schon  in  §  58  gegebene 
asymptotische  Reihe  für  H^^'{x).     Setzt    man    weiter    in  (4)    ^  =  0, 

16* 


244 


Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 


V  =  +  ^-    und    —  ix^    für    x,    so    findet    man    für    das    Integral  von 
Kramp  folgende  asymptotische  Reihe: 


(6) 


00 


e''  I  e-^'  dx 


s  =  n  —  1 

y,  (-1/(25)! 


.^    s!(2.T) 
welche  von  Weber^)  gefunden  worden  ist. 


§  96.   Integralausdrücke  für  die  Hankelschen  Cylinderfunktionen. 

Wir   wenden    uns    nunmehr    zu    dem    Integrale   §  93,  (3)    und 
finden  im  ersten  Falle  eine  Formel  von  der  Art: 

00 

0  '  ^ 

denn  es  ist  offenbar,  daß  der  Ausdruck  rechter  Hand  nicht  eine 
Cylinderfunktion  der  zweiten  Art  enthalten  kann;  übrigens  ist  das 
Integral  im  allgemeinen  konvergent,  wenn  .t  >  0  und  9ft(?/)  >  0 
vorausgesetzt  wird;  in  dem  Spezialfälle  M(j/)  =  0  muß  man  noch 
9i  (v)  >  -^-  annehmen. 

Die    zwei    Koeffizienten  c^  und  c^   lassen  sich   auf  die  gewöhn- 
liche Weise    bestimmen,    so    daß   wir  endlich    folgende    Formel   ge- 
winnen : 
( 

e        '  J\tx)t    'dt  = 


(2) 


y% 


V7tt 

2 


j/y  cos  V  TC 


J^'\2y2xyi) 


SVO-VIt  ^      '  -^    /    /   ' 


setzt  man  nun  hier  v  gleich  der  positiven  ganzen  Zahl  n,  so  findet 
man  aus  §  17,  (25)  die  speziellere  Formel: 


(3) 


CO 

/txi  ■ 


l  _3 

'  J''(tx)t  ^dt  = 


=  '^^  (J2n  (2/2^)  +  /•  Q2"(2-)/2:r^0) , 


1)  Partielle    Differeutialgleicliungen    der    mathematischen    Physik    Bd.  I, 
p.  60;  Braunschweig  1900. 


Kapitel  XVII.    Anwendungen  dur  dritten  und  vierten  Methode.    §  ittj.  07.     245 

während   die  Auuahine    v  =  ti  +  }^  mittelst   §  17,  (26)   die  ähnliche 
Formel  liefert: 


(4) 


=  ^"' (S2"  +  '(2>/2^-)  +  ^>'"'  +  '(2t/2^.vO)- 

Um  das  (2)  entsprechende  Integral  mit  der  allgemeinen  Cylin- 
derfunktion  /u  bestimmen,  hat  man  nur  in  (2)  das  Zeichen  von  v 
zu  ändern;  auf  diese  Weise  findet  man  zum  Beispiel  die  bemerkens- 
werte Formel: 

(5)         2e~Äi^'  (2)/2.r7/)  =  ]/^  lc"'~^'H,^{tx)f^dt, 

0 

wo  X  nur  der  allgemeineren  Bedingimg  '^{xi)  <.^  genügen  muß. 
Eine  Anwendung  von  §  b,  (6)  gibt  ohne  Mühe  die  ähnliche  Formel 
mit  H^^ix). 


§  97.    Verallgemeinerung  eines  Doppelintegrales  von  Meissel. 

Wenden  wir  uns  endlich  zum  dritten  Falle,  so  finden  wir  eine 
Formel  von  folcrender  Gestalt: 


/ 


""'^'•-T^.,/.   N     dt 


e        'C'{tx)-^  = 


t 


=  c,  {j^{V2xyi)f  +  c,J^  (V2xyi)  Y^(Y2^)  +  c,  (r»'(]/2^-))'; 

wo  im  allgemeinen  die  Bedingungen  'Si{xi)  <  0,  9i  (?/)  >  0  be- 
friedigt werden  müssen;  y  darf  im  allgemeinen  nicht  rein  imaginär 
angenommen  werden. 

Wir  betrachten  zuerst  den  Fall,  in  welchem  die  im  Integrale 
vorkommende  Cylinderfunktion  von  der  ersten  Art  ist;  die  Annahme 
y  =  0  ergibt  dann  mittelst  §  71,  (1)  unmittelbar: 


Cg^O,        c.2  =  —  Tce  '^   y 

während   sich  q   durch  Division  mit  x^  für  x  =  0  bestimmen  läßt. 
Wir  finden  somit  die  Formel: 


246 


Zweiter  Teil.   Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 


Ändern  wir  nun  weiter  das   Zeichen  von   v,   so    erhalten    wir    ver- 
möge §  3,  (3)  und  §  4,  (2)  die  allgemeine  Formel: 


r  +  l 


(2)  fe"'    '  C^'itx)  •  y  =  Tre  2  ^'  ^v  {y2xyi)  ü/'  (l/2^i), 

0 

die  in  der  Tat  höchst  merkwürdig  ist. 

Wir  betrachten  speziell  den  Fall,  in  welchem  die  im  Integrale 
(2)  vorkommende  Cylinderfunktion  H^'Xx)  ist,  und  finden  dann, 
nachdem  wir  zuerst  —  xi :  2  für  x  gesetzt  haben,  folgende  elegante 
Formel : 


(3)      le-'-'H,' 


(-^) .  !^  =  .ß'"({Hy^j)f+  {Y^iv^'), 


so  daß  eine  Anwendung  des  in  §  57,  Formel  (15)    gegebenen  Inte- 
gralausdruckes für  H^^'(x)  folgendes   einfache  Doppelintegral  liefert: 


(4) 


'  {j'(yx,j)f+{Y'{yx,j)'j-  = 

CC        00 


0       0 


wo  wir  9fl(:r)  >  0,  9f?(^)  >  0,  9^(i')  >  —  T^-  annehmen  müssen. 

In  dem  speziellen  Falle  v  =  0  finden  wir  das  Doppelintegral 
von  MeisseP),  welches  sicher  die  erste  analytische  Darstellung  von 
dem  Produkte  zweier  Cylinderfunktionen  ist. 

Wenden  wir  nun  wieder  die  gewöhnliche  Methode  für  die  Ent- 
wicklung in  eine  asymptotische  Reihe  an,  so  gewinnen  wir  ohne 
Mühe  mittelst  (f^J  die  Formel: 


(5) 


n  yxy 


^  _^  yi'  1  ■  3  •  5  •  •  •  (2  s  -  1) 


s=l 


2  •  4  •  6  ■  •  •  (2s) 


(-(l)')(--(l)')-(-(^))' 


{^yr 


1)  Gewerbeschulprogramm  Iserlohn  1862;  Citat  von  Meissel:  Jahresbericht 
der  Oberrealschule  Kiel,  1890,  p.  1. 


Kapitel  XVIII     Diskontinuierliche  Faktoren.    8  98.  247 

die  also  jedenfalls  auwendl)ar  ist,  weim  die  oben  gestellten  Be- 
dingungen erfüllt  sind.  Einem  Satze  von  Poineare*)  /Aifolge  kann 
aber  die  asymptotische  Reihe  (5)  auch  unmittelbar  durch  eine  ein- 
fache Multiplikation  der  beiden  asymptotischen  Keihen  §  58,  (10),  (11) 
gefunden  werden;  da  außerdem  die  Entwicklung  in  eine  asym- 
ptotische Reihe  immer  eindeutig  sein  muß,  gibt  (5)  uns  ein  einfaches 
Mittel  zur  Bestimmung  der  neuen  Koeffizienten.  Wir  haben  somit 
den  Satz  bewiesen: 

Die  üsijmptotische  Bcihc: 

■  3  .  6  ...  (2  s  —  1) 
2-4-6--2S 

f2s—l 


(6) 


(-(4)')(-(l)")-(-(^ 


X 


ist  für  jeden   endlichen   Wert  von  v   und   in  der  ganzen   durch   die 
Bedimjüng: 

x=\x\e^^,      0<0<2n 

für  X  bestimmten  Ebene  amvendbar. 

Wir  bemerken  noch,  daß  die  Formeln  §  3,  (3),  (4)  deutlich 
zeigen,  daß  die  Funktion  linker  Hand  in  (6)  eine  in  v  gerade 
Funktion  sein  muß. 


Kapitel  XYIII. 
Diskontiiiiiierliclie  Faktoren. 

§  98.    Anwendungen  der  Residuenrechnung. 

Schon  HankeP)  hat  einige  sehr  einfache  Anwendungen  der 
Residuenrechnung  von  Cauchy  auf  gewisse  bestimmte  Integrale 
mit  Cylinderfunktionen  gegeben.  Indem  wir  uns  auf  die  vorher- 
gehende Theorie  dieser  Funktionen  stützen,  werden  wir  hier  ähn- 
liche Untersuchungen,  aber  in  weit  allgemeinerem  Sinne  aufnehmen 


1)  Acta  Mathematica  Bd.  8,  p.  298;  1886. 

2)  Mathematische  Annalen  Bd.  8,  p.  458'fF.;  1875. 


248  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

und  ihre  Anwendimgen  auf  die  Theorie  der  diskontinuierlichen  Fak- 
toren im  allgemeinen  wenigstens  andeuten,  in  gewissen  Fällen  aber 
vollständig  durchführen,  indem  wir  die  Ergebnisse  des  Kapitel  XIII 
verallgemeinern. 

Zu  diesem  Zwecke  betrachten  wir  eine  Funktion  f{t),  welche 
die  folgenden  Eigenschaften  besitzt: 

1)  In  der  Halbebene  oberhalb  der  reellen  Achse  hat  /'(/)  von 
endlichen  singulären  Stellen  nur  diskrete  Pole  von  endlicher  Ord- 
nung, deren  Residuen  sämtlich  gleich  Null  sind. 

2)  Auf  der  reellen  Achse  selbst  darf  f{t)  wohl  singulare  Stellen 
besitzen,  aber  nur  solche,  daß  das  Integral: 

(1)  jfm^dt, 

a 

wo  a  und  h  willkürliche  reelle  endliche  Größen  bedeuten,  konvergiert 
oder  divergiert,  je  nachdem: 

(2)  3^((>)§>--l 

vorausgesetzt  wird,  wo  r  eine  reelle  und  endliche  Größe  bedeutet. 

3)  Was  endlich  die  Werte  von  sehr  gi-oßem  absolutem  Betrage 
und  mit  nicht  negativen  imaginären  Komponenten  betriift,  so  hat 
man  immer  einen  asymptotischen  Ausdruck  von  folgender  Form: 

(3)  e-'y'  ■  f{t)  ~  r  {K  +  Le-2'2"), 

wo  CO  und  y,  K  und  L  reelle  endliche  Größen  bezeichnen,  von 
welchen  y  positiv  angenommen  werden  muß. 

Wir  konstruieren  nun  mit  dem  Ursprung  als  Zentrum  und  mit 
dem  sehr  großen  Radius  B,  einen  oberhalb  der  reellen  Achse  be- 
legenen Halbkreis,  welcher  keinen  der  obenerwähnten  Pole  von  f{f), 
falls  solche  existieren,  passieren  darf.  Hat  f{t)  noch  reelle  singu- 
lare Stellen,  so  schneiden  wir  diese  durch  sehr  kleine  Halbkreise 
mit  den  betreffenden  Punkten  als  Mittelpunkten  aus;  auf  solche 
Weise  verfahren  wir  jedenfalls  immer  mit  dem  Ursprung.  Die  in 
positiver  Richtung  durchlaufene  Begrenzungslinie  des  so  definierten 
Bereiches  bezeichnen  wir  der  Kürze  halber  mit  21. 

Bedeutet  nun  weiter  x  eine  positive  endliche  Größe  und  u  eine 
komplexe  Zahl,  die  innerhalb  der  Begi-enzungslinie  %  abgebildet 
wird,  ohne  mit  einem  der  eventuellen  Pole  von  f{t)  zusammen- 
zufallen, so  hat  man  der  Cauchyschen  Fundamentalformel  zufolge 
die  Identität: 


Kapitel  Will.    DiskontinuitM-liche  Faktoren.    §  98.  2411 

«     j(;'-^s^'rf'=-A")/v(.".)«-, 

{lenn  t  =  u  ist  ja  der  einzige  im  Innern  von  ?(  sich  beiindeude  Pol, 
welcher  ein  Uesiduum  bosit/i.     Setzt  man  nun  weiter: 

(5)  '}i{Q±v-r)>{} 

voraus,  so  darf  man  die  kleinen  Halbkreise  mit  dem  Mittelpunkte 
in  der  reellen  Achse  ganz  we<jflassen,  und  das  Integral  linker  lluiul 
läßt  sich  also  folgendermaßen  schreiben: 

(6)     J  -irr^— ^^^  +  '^^     J li^T^z::^ de, 

-R  0 

WO  der  erste  Integrationsweg  also  mit  einem  Teile  der  reellen  Achse 
zusammenfällt. 

Läßt  nuiu  nun  11  unbegrenzt  wachsen,  so  konvergiert  das  erste 
Integral  in  (5)  der  Bedingung  (3)  zufolge  im  allgemeinen,  wenn: 

(7)  x>y,      9iX9  +  «)<i^ 

oder  im  besondern: 

(7  a)  x==y,       9?(p +  «)<!; 

unter  denselben  Bedingungen  (7)  und  (7  a)  verschwindet  das  zweite 
Integral  (6),  also  findet  man  aus  (4),  wenn  man  iu  für  u  einführt, 
die  Formel: 

—  oc 

Entfernt  man  iu  diesem  Integrale  den  Nenner  t^  +  ii},  so  findet 
man  durch  dieselben  Überlegungen  die  weitere  Formel: 

4-00 

(9)  SS  =ff{t)  ^/  (tx)  t^'  dt  =  0, 

—  OD 

welche  anwendbar  ist,  wenn  im  allgemeinen: 

(10)  x>y,       'Si(Q  +  co)<l- 
oder  im  besondern: 

(10a)  x  =  y,       gfJ(^  +  03)<-J^ 

vorausgesetzt  wird,  während  übrigens  noch  die  Bedingung  (5)  er- 
füllt sein  muß. 


250  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

Es  leuclitet  ein,  daß  man  auf  ganz  ähnliche  Weise  diejenigen 
Integrale  behandeln  kann,  welche  ans  (8)  durch  Hinzufügung 
mehrerer  Faktoren : 

t'  +  ih\     t'  +  u,',    ••• 

im  Nenner  gebildet  werden. 

Wie  sich  aber  die  zwei  Integrale  (8)  und  (9)  verhalten,  wenn 
X  <Cy  vorausgesetzt  wird,  wissen  wir  nicht;  im  allgemeinen  können 
Avir  nur  sagen,  daß  sie  in  diesem  Falle  ganz  andere  Funktionen 
darstellen,  wenn  sie  überhaupt  einen  Simi  haben,  und  daß  diese 
Funktionen  sicher  viel  komplizierter  sind;  zu  ihrer  Bestimmung  be- 
sitzen wir  aber  im  allgemeinen  hier  kein  Mittel.  Unsere  zwei  In- 
tegrale stellen  also  im  allgemeinen  diskontinuierliche  Faktoren  im 
Sinne  Dirichlets  dar. 

Setzen  wir  ferner  voraus,  daß  eine  zweimalige  Differentiation 
nach  X  unter  dem  Integralzeichen  in  (8)  erlaubt  ist,  so  finden  wir 
für  V  die  Differentialgleichung: 


so  daß  wir  den  Satz  bewiesen  haben: 

Falls  die  obenerwähnte  zweimalige  Differentiation  erlaubt  ist,  stellt 

das  Integral  V  immer  einen  dislcontinuicrlicJten  Faldor  dar,  wenn  dies 
mit  Sß  der  Fall  ist. 


§  99.    Spezialisierungen  der  allgemeinen  Formeln. 

Ehe  wir  zur  wirklichen  Anwendung  der  Formeln  §  98,  (8),  (9) 
schreiten,  woUen  wir  über  die  Funktion  f{t)  eine  neue  Voraussetzung 
machen,  welche  uns  bemerkenswerte  Umformungen  der  obenerwähnten 
Formeln  erlaubt.     Nehmen  wir  an,  daß: 

(1)  f{te''')  =  e^-'"f{t) 

ist,  und  setzen  wir  in  den  obenerwähnten  Formeln: 

+  00 


(2)  /-/-/- 


—  00         0 


so  läßt   sich   das  letzte   der  neuen  Integrale  durch  die  Substitution 
te"^'  für  t   mittelst  (1)    und    §  5,  (5)    umformen,    so   daß  §  98,  (8) 


folgende  Formel  liefert: 


(3) 


81U 


Kajtitel  XVIII.    Dirtkoiitimiifrliche  Faktoren.    §  99. 

ü 
-  cos  V  (A  -  V  +  ())  •  J  --f,-_|:'„,-  ^<  = 


251 


■X      (v-i  +  l)- 


=  T« 


f(Hi)H^Uxuf)u(^'-'- 


Die    Formel    §    98,    (9)     ergibt    iliigegeu    die    bemerkenswerte 
Identität : 


(4) 


in  y  (A  -  V  +  Q)Jf{t)  J''  (tx)  t<!dt  = 

00 

=  cos  y  {X-v+Q)  '  ff{t)  y  (<a:) ^ dt, 


welche  zu  den  C au chy sehen  Identitäten  in  §  17   und  den  Formeln 
§  73,  (11),  (12)  ganz  analog  ist. 

Von    diesen    allgemeinen    Formeln  (3)   und   (4)    betrachten   wir 
noch  folgende  zwei  Spezialfälle  näher: 

1)  Q  —  V  —  l  -\-  2n  -\-  \ ,  wo  n  eine   ganze   Zahl  bedeutet;    wir 
finden : 

0 

OD 

(6)  ff{t)J'{tx)t^'-'  +  '^''  +  'dt  =  0, 

0 

für  welche  Formeln  sich  die  Bedingung  §  98,  (5)  so  schreiben  läßt: 

(7)  m(2v-l-r)>-2n-  1. 

2)  ()  =  v  —  A  +  2m;  man  findet  hier: 


(8) 


(9) 


00 


rti 


l*  =  (-l)«-i.|../'  ''''^'^f{ui)H,Xxui)ie-'-+"'-\ 


00 

ff(t)  y  (tx)  t'-'-+^"  dt  =  0. 


Die   vier   letzten    spezielleren    Formeln  lassen  sich  unmittelbar 
auf  den  Fall: 


(10) 


f(t)  =  J'  (ty),     also     ö  =  -4-,     r  =  -A-l 


252  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

anwenden.  Die  so  ans  (6)  und  (9)  erhaltenen  Formeln  sind  offen- 
bar eine  unmittelbare  Folge  von  §  73,  (11),  (12).  Die  zwei  ent- 
sprechenden Integrale  für  y  ^  x  lassen  sich  mittelst  §  73,  (11),  (13) 
durch  hypergeometrische  Funktionen  darstellen.  Eine  Anwendung 
des  Satzes  in  §  98  liefert  dann  unmittelbar  das  speziellere  Resultat: 

Unter  der  ÄnnaJmie  von  (10)  stellen  auch  die  Integrale  (5) 
tind  (8)  diskontinuierliche  Faläoren  dar,  inde^n  sie  verschiedene 
Funldionen  darstellen  müssen,  je  nachdem  x^y  oder  x  <Cy  an- 
genommen ivird. 

Nach  diesen  allgemeineren  Erörterungen  wenden  wir  uns  nun- 
mehr zu  den  direkten  Anwendungen  unserer  gewonneneu  Resultate, 
indem  wir  einige  interessante  Formeln  von  Sonin  zu  verallgemei- 
nern suchen. 

§  100.    Verallgemeinerungen  eines  Fundamentalintegrales 

von  Sonin. 

Offenbar  ist  die  Annahme: 

WO  p  eine  ganze,    nicht  negative  Zahl   bedeutet,    erlaubt    und    gibt 
folgende  spezielleren  Werte  der  Konstanten  A,  r  und  co: 
(2)  A  =  r  =  0,     co  =  -{6-2p-^^), 

so  daß  die  Formel  §  99,  (6)  ergibt: 


(3) 


'^'^y'^^''^-^j''{tx)p'+^^^uu  =  o, 


eine  Formel,  welche  also  anwendbar  ist,  falls  im  allgemeinen: 

(4)  x>y,     ^{y  +  n)>-l,     '^{p-v)>  2n  +  2p 
oder  im  besonderen: 

(4a)  x  =  y,     '^{y-^n)>-l,     "${{6 -v)>  2n  +  2p -\- l 

vorausgesetzt  wird. 

Ganz  auf  dieselbe  Weise  führt  §  99,  (9)  zu  folgender  ähnlichen 
Formel : 

00 

(5)  I J" (yVt' +  ^')  Yv^tx)t^^'-dt=-0, 


Kapitel  XVITT     Diskontinuiorliche  Faktoren.    §  lon.  253 

wo  man  im  all  «gemeinen: 

(G)       x>ii,     ^Ji(v  +  w)>-l,     ')\{G  —  v)>2n-{-2p-\,     n>0 

oder  im   besonderu: 

(Ga)     x  =  y,     9i(j/-f  «)>  -  1,     ')\{o  -  v)>  2n  +  2p,  n^O 

annehmen  muß. 

Setzt  man  speziell  in  (3)  n  =  2^  —  ^>  ^^  erhält  man  eine  Formel, 
welche  von  S  o  n  i  n  \)  durch  eine  «^anz  andere  Methode  «gefunden 
worden  ist. 

Sucht  man   nun   weiter  das  Litegral: 


00 


(«'  +  2') 

0 

zu  bestimmen,    wo  ?/ >  .r  vorausgesetzt  wird,    so    empfiehlt   es   sich 
sehr,  mit  Soniu")  folgende  Transformation: 


t  =  yt^^  -  ^2 

anzuwenden;  2  wird  als  reell  und  positiv  vorausgesetzt.  Das  Inte- 
gi-al   U  läßt  sich  dann  folgendermaßen  schreiben: 

00 

so  daß  die  Formel  §  86,  (ß)  uns  natürlich  dazu  führt,  in  diesem 
Integrale: 

Ci^x)  =  H,"{x),     C,'(x)  =  J'(a;),  j?  =  0 

zu  setzen.  Substituiert  man  nun  in  dem  so  erhaltenen  Integrale 
für  J''{x)  ihre  gewöhnliche  Reihenentwicklung,  so  ist  die  gliedweise 
Integration  erlaubt,  falls  die  dadurch  erhaltene  Reihe  wieder  gleich- 
mäßig konvergent  ist.^)  Nun  liefert  die  obenerwähnte  Formel  fol- 
gende Reihenentwicklung: 

^  -I-   Jf  ^  '      " 


■'=0      ._ -2—+*    — r-+* 


.s!r(v-|-s4- l)-2      -^  -y 

welche  in  der  Tat,  wie  die  Taylor  sehen  Reihen  des  §  10  deutlich 
zeigen,  unbedingt  konvergiert,  falls  nur  y^x  vorausgesetzt  wird. 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  38;  1880.  2)  loc.  cit.  p.  38. 

3)  ü.  Dini:  Grundlagen  etc.  p.  524;  Leipzig  1892. 


254 


Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 


Denkt  man  sich  mm  für  den  Augenblick  x,  y  und  2  positiv, 
während  v,  q  und  6  nur  reell  zu  sein  brauchen,  so  müssen  die 
reellen  und  die  imaginären  Komponenten  der  beiden  Seiten  in  (7) 
einander  gleich  sein;  also  darf  man  in  dieser  Formel  statt  der 
H  a  n  k  e  1  sehen  Cylinderfunktion  eine  willkürliche  C  jlinderfunk- 
tion  mit  dem  Argumente  x  und  dem  Parameter  a  einführen  und 
findet  somit  folgende  allgemeinere  Formel: 


(8) 


Q-l 


^-M .  j- {xYF^')  {f  -  z')  ^^  dt 


«  =  QO 

»  =  0 


(-i)T(' 


9  +  ^  +  1 


1 

X  ^     z 


v+e  +  1 


+  s— a 


v  +  p  +  1 


s!r(i'  +  s+l)2      ^  y      2 


c 


'    (y^)- 


Weiter  ist  offenbar,  daß  sich  die  unendliche  Reihe  rechter 
Hand  in  (8)  unter  endlicher  Form  summieren  läßt,  wenn  man 
V  -{-  1  =  Q  einführt;  die  Formel  §  10,  (7)  ergibt  nämlich  in  diesem 
Falle  unmittelbar: 


l^f-  ■  j^{xyf--z'){f-2'y  dt  = 

\      c""-^{syif-x''), 


x^  /y2/2_^2^^-.'-i 


(9) 


wo  man: 

(9a)  y>x,     m{v)>-l,     'S{{6-v)>0 

annehmen  muß. 

Aus  der  allgemeinen  Formel  (9)  läßt  sich  nun  sehr  leicht  eine 
große  Menge  anderer  herleiten.  Denkt  man  sich  zum  Beispiel  die 
willkürliche  Cylinderfunktion  mit  dem  Parameter  6  durch  H^^ity) 
ersetzt  und  ändert  man  das  Vorzeichen  von  6,  so  erhält  man  aus 
§  4,  (2)  die  neue  Integralforrael: 


(10) 


CO 

jH.'^ity) 


=  X 


i/^+^j"{xyf-z^){f-sy  dt  = 


die  also  anwendbar  ist,  falls: 

(10a)  y>x,    m(v  +  a)<0,    9i(v)  >  -  1 


angenommen  wird. 


Kapitel  XVIII.    Diskontinuiorliebe  Faktoren.    §  100. 


255 


Setzt  man  mm  wieder  in  «leii  l'()rin«'lii  (8)  und  (9)  t  =  yt^'-\-^z, 
so  findet  man: 


(11 


^ 


•A5(-i)'r(?+fti+,)^v+2. 


v  +  p  +  l   , 

i +  «— o 


«  =  0 


(12) 


s!r(v  +  .>?+  1)2 

) 


y 


(««+0 


J''{tx)i'+'(U  = 


=  2:(V&£l)"-'c"->-.(.y,-^T«). 


Vergloicht  mau  nun  weiter  in  (10)  die  reellen  und  die  ima- 
ginären Komponenten  der  beiden  Seiten,  so  ergibt  dieselbe  Sub- 
stitution die  zwei  weiteren  Formeln: 


(13) 


(14) 


00 

/  J"  {yyl^+J')  if  +  z'^y  J'\tx)  ^"+1  dt  = 

0 

=  x'f  (-=4==^\^'^  '  (sin  v:t  p  +  ^  +  i  (^y^"^2)  _ 

-  cos  1/ ;r  J"  +  "^  +  ^  (^y«?^"^))  , 

00 

jY^{yyF+?)  {f-\-z^yjHx)V^''dt  = 

0 

-f  sin  V  ;r  J*  + -^ + 1  (^  j/^^T^))  . 


Setzt  man  ferner   in  (11)   C°{x)  =  J"{x),   q  =  v  -\-  2n  -{-  1,    so 
gewinnt  mau  aus  (3)  für  ^)  =  0  folgenden  Satz: 
Bas  Integrcd: 


256 


Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 


ist  ein  disliontinuierlidier  Faldor  im  Sinne  Biriclüets;   denn,  falls  im 

allgemeinen: 

x>y,     '^{g)>'^{v)>-1 

oder  im  hesonderen: 

x  =  y,     '^{a-l)>^{y)>-l 

vorausgesetzt  ivird,  ist  das  Integral  glcieJi  Null,  während  für  y'>x 
sein  von  Nidl  verscliiedener  Wert  aus  der  zugehörigen  Formel  (11) 
zu  hestimmen  ist. 

Dies  Resultat  ist  für  w  =  0  von  Sonin^)  gefunden  worden. 
Betrachten  wir  nun  diesen  Spezialfall  näher,  so  finden  wir  für 
0  =  0  die  Formeln  §  75,  (1),  (2)  wieder,  während  die  weitere  An- 
nahmt (?  =  V  +  1  auf  §  75,  (9)  führt,  so  daß  der  diskontinuier- 
liche Faktor  von  Sonin  eine  sehr  weitreichende  Verallgemeinerung 
desjenigen  von  Dirichlet  und  Weber  darstellt. 

Aus  (9)  finden  wir  weiter  für  x  =  0,  nachdem  man  .-r''  weg- 
genommen und  ^  =  +  Y  gesetzt  hat,  die  Formeln  §  86,  (11),  (12) 
von  Mehler  und  Weber. 

Die  Formel  (10)  liefert  in  ähnlicher  Weise,  wenn  wir  6  =  +  l, 
iy  für  y  und  v  —  -|-,  bez.  v  —  -|  für  v  setzen,  die  weiteren  Formeln: 


(15) 


2v-l 
—  2-\      i~ 


fj'--4xyf-z')(^-^-^)    "   e-y'dt  = 


(16) 


jS'-!(.l/^^^)(^y 


2r-3 


e-y'tdt  = 


Y^.^l^Jtf^H,^iizy^-^^)e^'^-y 


von  welchen  Sonin")  die  erstere  auf  ganz  andere  Weise  gefunden 
hat.  Setzen  wir  noch  in  diesen  Formeln  x  =  0,  so  erhalten  wir 
zwei  neue  Integraldarstellungen  für  die  erste  Hankeische  Cylinder- 
funktion  H^^'{yzi). 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  38;  1890. 

2)  loc.  cit.  p.  55. 


Kapitel  XVllI.    Diskoütiuuierliche  Faktoren.    §  101. 


257 


§   VI.    Vorallgomoinorungen  anderer  Integrale  von  Sonin. 

Wir  li:il)t'n  noch  dir  allgi-meiueren  Formeln  §  üi),  (äj,  (^S)  in 
Übereiustinunung  mit  unserer  im  vorigen  l'aragiiii)heu  gemacliteii 
Annalnno  über  f\t)  zn  moditiziiTfii  und  linden  ohne  Schwierigkeit 
die  zwei  Formeln: 


(1) 


/ 


-p 


(2) 


/ 


CO 


e   ^ 


(i^  +  2*) 


T'-P 


<«  +  u^- 


dt 


=  (_  i)«-i  -  .  ^"(yy^^^O  .  H,^'^xui)ie^''"-'  ■  e^"', 


a 


von  welchen   die   erste  für  n  =  j>  =  0  durch   andere   Methoden  von 
Sonin ^)  gefunden  worden  ist.  I 

Setzen  wir  nun  in  (1)  und  (2)  u  =  0,  was  offenbar  erlaubt  ist, 
wenn  nur  die  übrigen  ßedingimgen  erfüllt  sind,  so  finden  wir  in 
den  beiden  Formeln  rechter  Hand  den  Ausdruck  Null,  falls  2?  >  0 
angenommen  ward;  für  p  =  0  bekommen  wir  dagegen  die  zwei  neuen 
Formeln : 


(3) 


GO 


a    v  +  2n 


v  +  i 


(-  lY  — J^^ H,'(x2i)  c   -       , 


-(0+1) 


jr{yyt^  +  z^) 

(4)      . 

0 

1) 

Nie) 

loc.  cit.  p.  59;  1880 
s  e  n ,  Cyliuderfuuktioneu. 

=  (-1) 


2''+2r((7  +  i) 


I +1 


H^'ixzi)  c   - 


Ät 


17 


258  Zweiter  Teil.    Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen. 

von  welchen  die  erste  für  w  =  0  ebenfalls  von  Sonin^)  gefunden 
worden  ist. 

Wir  haben  noch  einen  anderen  Spezialfall  von  (1)  und  (2)  zu 
untersuchen,  den  wir  erhalten,  indem  wir  u  =  0  setzen;  wenn  m  >  0 
und  9?(i')  >  —  n,  bez.  9fi(v)  >  —  w  —  -|-,  so  haben  die  zwei  neuen 
Integi-ale  beide  den  Wert  Null;  für  w  =  0  erhalten  wir  dagegen 
aus  (1): 

CO 

0 

eine  Formel,  welche  gleichfalls  von  Sonin^)  aufgestellt  worden  ist. 
Das  letztere  Resultat  kann  nicht  mittelst  der  allgemeinen  Formeln 
hergeleitet  werden,  denn  das  entsprechende  Integral  mit  der  Haukei- 
schen Cylinderfunktion  statt  J^'{toc)  muß  immer  divergieren. 

Wir  dürfen  also  in  den  Formeln  von  (1)  bis  (5)  niemals  y 
größer  als  x  annehmen;  der  allgemeine  Satz  des  §  99  ergibt  in- 
dessen unter  Anwendung  des  Satzes  in  §  100  den  folgenden: 

Bas  Integral  (1)  ist  für  p  =  0  ein  diskontinuierlicher  Faktor, 
weil  er  für  x^y  und  für  x  <iy  swei  verschiedene  Funktionen 
darstellt. 

Wir  bemerken  noch,  daß  sich  das  Integral  (3)  für  n  =  0  sehr 
leicht  bestimmen  läßt,  wenn  x^y  vorausgesetzt  wird;  um  dies  zu 
erreichen,  braucht  man  nur  die  Formel  (12)  des  §  100  nach  0  zu 
differentiieren;  die  Differentiationsformel  §  10,  (5)  liefert  dann  ohne 
Mühe  diese  andere  Integralformel: 


(6) 


^°(yVi'+^}^j.(^t.)f^.ät. 


C'  +  z')" 

a  —  v—l 


in  der  man  nach  ausgeführter  Differentiation  ö  —  1  für  6  gesetzt 
hat;  wenn  die  Cylinderfunktion  C°(x)  von  der  ersten  Art  ist,  wird 
der  entsprechende  Ausdi-uck  (6)  vollständig  von  dem  in  (3)  ge- 
gebenen verschieden. 


1)  loc.  cit.  p.  50.  2)  loc.  cit.  p.  49. 


DRITTER  TEIL. 

ENTWICKLUNGEN 

ANALYTISCHER  FUNKTIONEN  NACH 

CYLINDERFUNKTIONEN. 


17' 


Kapitel  XIX. 


Entwii'kliiii,:;  «'iiicr  Fakiillätenreihe.     Die  Reihe  Ta^x''J'+"{x). 

§   102.     Allgemoino  Prinzipien. 
Wir  setzen  der  Kürze  halber: 

(1)         ».=«,(f)-./-w,  ".'i^.^. 

wo  die  Koeffizienten  «„  für  endliche  n  auch  endliche  Größen  be- 
deuten. Denken  wir  uns  auch  x  endlich,  so  ergibt  der  asymptotische 
Ausdruck  §  2,  (3)  unmittelbar,  daß  die  beiden  Reihen  mit  positiven 
Gliedern: 

zu  gleicher  Zeit  konvergent  oder  divergent  sein  müssen. 
Weiter  setzen  wir: 

A==Tu       u^^  = (~  ^f"n^" ! 

2^    ^^j!  r(l' -|- )i -j-i^  +  1) 

und  führen  nun  in  A  für  jede  Cylinderfunktion  ihre  Reihenentwick- 
lung ein;  die  einfache  Reihe  A  verwandelt  sich  dann  in  eine  Doppel- 
reihe, indem  wir  bekommen: 

f  +  «0^'^  +  V'^  +  <'^  +  •  •  •  +  Wo^"^  +  •  •  • 

-f  Mi(»)  +  Mi^l)  +  Wi(2)  +  .  .  .  +  W^(«)  +  .  .  . 
+  ?(/)  +  i<2^1)  H-  ^2(2)  4-  .  .  .  +  u^^n)  _^  .  .  . 


(3) 


(4) 


A  =  { 


+  «*„("^  +  w„('^  +  K^'^  +■■■  +  wj")  4- 


wo  wir  der  Definition  von  A  gemäß  zuerst  die  horizontalen  Reihen 
zu  summieren  und  dann  wieder  die  Summe  dieser  Summen  zu  bilden 
haben.  Setzen  wir  indessen  voraus,  daß  die  Reihe  X  |  v„  |  konvergent 
ist,  so  wird  dasselbe  auch  mit  Z  |  i/„  |  der  Fall  sein,  also  konver- 
gieren die  einzelnen  horizontalen  und  vertikalen  Reihen  in  (4)  alle 
unbedingt,  und  wir  können  somit  die  Doppelreihe  (4)  summieren, 
indem  wir  ihre  Glieder  ganz  willkürlich  anordnen. 


262  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

Durch  diese  Bemerkung  ist  ein  allgemeines  Prinzip  angedeutet, 
nach  welchem  man  für  dieselbe  analytische  Funktion  verschiedene 
Entwicklungen  bilden  kann,  die  nach  Cylinderfuuktionen  fortschreiten. 
Pincherle^)  hat  wohl  zuerst  systematisch  die  Theorie  der  Doppel- 
reihen mit  solchen  Entwicklungen  in  Verbindung  gebracht. 

Wir  bemerken  noch  vorübergehend,  daß  sich  die  Reihe  Z  u^ 
sehr  leicht  als  bestimmtes  Integral  darstellen  läßt;  um  dies  zu  er- 
reichen, schreiben  wir  die  Formel  68,  (8)  unter  der  Form: 

(5)    \lL_.j  J-'(ä;]/c)(1  -  c)"c2  de  =  J^+^'+^x),       'Siiv)  >  -  2, 

0 

wo  u  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet. 

Die  vorhergehende  Bemerkung  über  die  Reihen  (2)  zeigt  aber, 
daß  die  Potenzreihe: 

(6)  «-) = Th  (f)" 

n  =  0 

überall   konvergent   sein  muß,  wo  dies  mit  Zi<„  selbst  der  Fall  ist, 
und  somit  finden  wir  aus  (5)  die  Formel: 

(7)  2a„^'+""*"'(^)  =  y-  /  J'ixYc)f{x-cx)c^ de, 

welche   demnach  überall  anwendbar  ist,   wo   die  Reihe  linker  Hand 
konvergiert. 

§  103.     Entwicklung  einer  Fakultätenreihe  mit  dem  Argumente  v. 

Wir  ordnen  nun  zuerst  die  Glieder  der  Doppelreihe  A  in  §  102 
so,  daß  wir  aUe  diejenigen,  welche  im  Nenner  dieselbe  Gamma- 
funktion  haben,  als  ein  einziges  Glied  ansehen.  Auf  diese  Weise 
finden  wir  eine  Identität  von  der  Form: 

wo  wir: 


(1)         2^»y'^-w  =  (!)'■  2;  r(.+:+i) 


(2)  ^.=2'^«.-.(fr 

gesetzt  haben. 


1)  Memorie  dell'  Istituto  di  Bologna  (4)  Bd.  3;  1881. 


Kapitel  XIX.    Entwicklung  einer  Fakultätcnreiho.    §  102.   103.         263 

Die  Gleichungen  (2)  gestatten  nus,  die  Koeffizienten  h^^  zu  be- 
stimmen, falls  nur  die  a^  gegeben  sind;  umgekehrt  ist  es  aber  auch 
möglieh,  mittelst  dieser  Gleichungen  die  a,  zu  bestimmen,  falls  die 
^n  g<>gebeu  sind  und  .r  nicht  gleich  Null  angenommen  wird.  Durch 
unvollständige  Induktion  finden  wir  nämlich  nach  einer  direkten 
Auflösung  der  ersten  dieser  Gleichungen,  daß: 

j  =  0 

ist,  eine  Formel,  die  wir  nun  durch  vollständige  Induktion  in  aller 
Strenge  zu  beweisen  haben.  Zu  dem  Ende  setzen  wir  in  (2)  n  -\-  \ 
für  n  und  suchen  «„  +  i,  indem  wir  für  die  Koeffizienten  «q,  a^,  . . .,  a^ 
die  aus  (3)  erhaltenen  Ausdrücke  einführen.  Auf  diese  Weise  finden 
wir  aus  dem  Ausdrucke  für  ff„  +  i,  daß  der  zu  h^  gehörige  Koeffizient 
folgendermaßen  bestimmt  wird: 

\2/     ^  s\{n—s)\  n\        -^  ^        ^        \s)  n\     ' 

«  =  1  » =  1 

die  zu  h,,b„,...  gehörigen  Koeffizienten  lassen  sich  auf  dieselbe 
Weise  bestimmen,  und  somit  ist  die  Formel  (3)  vollständig  bewiesen. 
Durch  diese  Formel  (3)  haben  wir  also  die  formale  Entwicklung 
der  Fakultäteni-eihe  rechter  Hand  in  (1)  gegeben;  es  bleibt  indessen 
noch  übrig,  diese  Entwicklung  in  aller  Strenge  zu  begi'ünden.  Zu 
dem  Ende  denken  wir  uns,  daß  die  Fakultätenreihe: 

konvergiert,    falls    9l(i')  >  /l    angenommen    wird,    und    setzen    der 

Kürze  halber: 

.   ^  b„ 

«  ~  r  (r  -f  w  +  1)  ' 

weiter  bemerken  wir,  daß  die  gewöhnliche  Reihe  für  J*''^"(x)  in 
Verbindung  mit  §  102,  (1)  folgende  Identität  liefert: 

(P)  '^n  =  **n  +  4(^^^j_|_i)    ^«  +  (^  ^  n-\-  ly  ' 

wo  k^  überall  endlich  bleibt,  wo  dies  mit  w„  der  Fall  ist,  und  wir 
erhalten  somit  aus  Formel  (3)  die  andere: 

s  =  n  ^ 

(6)       v„  =  t„  +  ^       gj22*       ■  (v  +  n){v-{-n  —  l)-  ■■  (v-\-n  —  s-\-l) ' 


264  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

während  die  Formel  (2)  in  ähnliclier  Weise  ergibt: 

„2s 


(7) 


L 


V_^ 

^    ..-o'-^^ 


«  =  0 


{v  -\-  n){v  -\-n  —  !)■  ■  ■  {v  -\-n  —  s  -)-  1) 


Nun  zeigen  die  Formeln  (6)  und  (7)  aber  deutlich,  daß  j  t^  \ 
und  I  v^  I  zu  gleicher  Zeit  endlich  bleiben,  so  daß  dasselbe  gemäß 
(5)  auch  mit  |  t^  \  und  |  ii^  \  der  Fall  sein  muß.  Bleibt  also  einer 
der  absoluten  Beträge  \  L\,  1  i(„  1  oder  I  r„  1  mit  unendlich  wachsen- 
dem   n  endlich,   so  findet  man  aus  (5)  und  (G)  die  weitere  Formel: 


(8) 


w„  =  t„  + 


x^ 


L 


a;= 


—  t    +  —-'"» 

1)    «  ^  (v 


wo  L^  eine  bei  unendlich  Avachsendem  n  endlich  bleibende  Größe 
bezeichnet.  Setzen  wir  nun  in  (8)  n  -\-  1,  n  -\-  2,  •  -  ■,  n  -\-  p  für  n, 
so  finden  wir  durch  Addition: 


(9) 


s  =  l 


\%  +  s  ~  ^n  +  s)  — 


4  (v  -f  «  +  1)    "  - 1         4  (v  +  w  +  i>  +  1)    »  +P  "^  ^  (y  +  «  +  sY 


«=l 


Da  nun  die  letzte  Summe  rechter  Hand  in  (9)  das  Restglied 
einer  unbedingt  konvergenten  Reihe  darstellt,  haben  wir  bewiesen, 
daß  für  die  positive  ganze  Zahl  n  ein  hinlänglich  großer  Wert  iV 
gefunden  werden  kann^  so  daß: 


(10) 


<f, 


n>iV^ 


wird,  wo  £  eine  vorgegebene  positive  Größe  von  willkürlicher  Klein- 
heit bedeutet;  mit  andern  Worten,  wir  haben  bewiesen,  daß  die 
Fakultätenreihe  (4)  und  die  durch  (1)  und  (3)  bestimmte  Cylinder- 
funktionenreihe  denselben  Konvergenzbereich  haben  müssen. 

Definiert  man  nun  mittelst  (3)  die  Koeffizienten  a^,  so  muß  die 
Reihe  linker  Hand  in  (1)  überall  konvergent  sein,  wo  dies  mit  der 
Fakultätenreihe  f{y)  der  Fall  ist,  und  diese  Cylinderfunktionenreihe 
gibt  umgekehrt  mittelst  (2)  genau  die  gegebene  Fakultätenreihe  fiv)^ 
so  daß  wir  also  den  Satz  bewiesen  haben: 

I.  Wenn  das  Argument  x  eine  von  Null  verschiedene  endliche 
Größe  bedeutet,  Icann  die  Fakultätenreihe: 

/  W  =  jZj  V(v-\-n4-l) 

/i  =0 


Kapit«!  XIX     Entwickluii};  einer  Fakultätonreihc.    §  int  26f) 

nach  CylimhrfunldiuucH  cntivkUcU  ncrden,  so  daß: 

»  =  so 

n  =  0 

ist,    wo   sich    dir   Korffiziniten    a,   diirrh  folgende  Formel  bestimmen 
lassen : 

«.(f)"=f¥(ir- 

i  =  0 

Diese  Entaieldung  ist  tiur  auf  eine  einzige  Weise  möglieh;  die 
CijlinderftinJitionenreihe  hat  denselben  Konvergenzbereieh  ivic  die  Fakul- 
tätcnreihe  f{i')  selbst,  und  die  Konvergenz  der  beiden  lleihen  ist  immer 
von  derselben  Natur:  unbedingt  oder  bedingt,  aber  immer  gleichmäßig. 
Wenn  außerdem  die  Glieder  einer  dieser  beiden  Ileihen  immer  endlich 
bleiben,  nie  groß  ihr  Index  auch  sein  mag,  so  sind  diese  Beihcn  zu 
gleicher  Zeit  divergent  oder  oscillierend  zwiselmi  endlichen  oder  un- 
endlichen Grenzen. 

Es  kann  demnach  vorkommen,  daß  die  beiden  obenerwähnten 
Reihen  auf  einem  Parallelstreifen  der  v-Ebene  von  endlicher  Breite, 
welche  jedoch  nicht  größer  als  1  sein  darf,  dessen  Ränder  auf  der  reellen 
Achse  senkrecht  stehen,  nur  bedingt,  aber  gleichmäßig  konvergieren 
und  doch  eine  analytische  Funktion  von  v  darstellen^). 

§   104.     Anwendungen.     Die  Besselsche  Additionsformel. 

Um    einige   Anwendungen  des   allgemeinen   Satzes  I   zu   geben 

setzen  wir: 

b^=  l     und     Z>„  =  0,     «4=  s, 

und  finden  so  die  einfache  Formel: 

71  =  00 

(Y)  ^ =    >'__£: J''  +  "(x)- 

für  s  =  0  gibt  diese  Formel  §  33,  (6)  wieder. 
Weiter  setzen  wir: 

f{v)^J'(z),    i„  =  L_^_ 
und  erhalten  so  unmittelbar  die  Entwicklung: 

1)  Man  vergleiche  meine  Abhandlung  in  Annales  de  l'Ecole  Normale  (3) 
Bd.  19,  p.  42'J;   1902. 


266  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 


w  =0 


(2)  J..(,)  =  ^^).2,'^^^^-/-W, 

w  =0 

welclie   viele   speziellere  Formeln  liefert,    die  man   sonst  auf  andere 
Weise  und  nacli  recht  weitläufigen  Methoden  herzuleiten  pflegt. 

Setzt    man    zum    Beispiel   z  =  x  -{-  y,    so    findet    man    folgende 
Formel  für  die  Addition  der  Ar(?umente: 


(3)     j.  (. + ,) .  (1  +  D'  •2'  ^i  (1 + Ä)v-(.), 

welche  für  alle  endlichen  Werte  von  x  und  y  anwendbar  ist.  Für 
V  gleich  einer  positiven  ganzen  Zahl  hat  BesseP)  die  Formel  (3) 
gefunden;  er  hat  sie  dann  bei  seiner  Berechnung  der  Tafeln  für 
die  «7- Funktion  angewendet. 

Die  Annahme   z  =  x  y2    in    (2)   gibt  weiter   die  im  Vergleich 
zu  (1)  für  s  =  0  sehr  merkwürdige  Formel: 


(4)  J.(^l/2)  =  (^2)'.2'^^'^'*'(^). 


2    •  <?' 


welche  von  LommeP)  gefunden  worden  ist;  dasselbe  gilt  auch  für 
diejenigen  Formeln,  welche  man  durch  Addition,  bez.  Subtraktion 
von  (4)  und  dem  eben  genannten  Spezialfälle  von  (1)  erhält. 

Die  Formel  §  104,  (1)  liefert  für  s  =  0  eine  neue  Entwicklung 
der  willkürlichen  Potenz  x"  nach  Cylinderfunktionen;  um  die  all- 
gemeinen Reihen  von  dieser  Form  näher  zu  untersuchen,  setzen  wir 
in  §  102,  (1)  a^x'":2"  für  a„  oder,  mit  andern  Worten,  wir  setzen  hier: 

(1)  u   =  a^  l^y  ~ '  J-' + "  (x) ,     «  =  -, — "^ . 

Weiter  nehmen  wir  an,  daß  eine  der  Reihen  mit  positiven 
Gliedern  Z  |  u^  \  oder  ^\v^\  konvergent  ist;  dann  ist  es  erlaubt,  die 
Glieder  der  aus  A  in  §  1 02  gebildeten  Doppelreihe  in  solcher  Weise 
zu  ordnen,  daß  wir  diejenigen,  welche  dieselbe  Potenz  von  x  ent- 
halten, zusammenfassen,  und  wir  finden  somit  die  Identität: 


1)  Abhandlungen  der  Berliner  Akademie  1824,  p.  35. 

2)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen  p.  21;  1868. 


Kai.itel  XIX.    Kiitwicklung  einer  Fakultütoureihe.    §  105.  267 

11  =  0  n  =  0 ; 

wo   wir: 

«=71 

(3)  riv  +  n-^l)b„=^tl}^ 

t  =0 

gesetzt  haben,  so  daß  v  offenbar  nicht  gleich  einer  negativen  ganzen 
Zahl  angenommen   werden  darf'. 

Setzt  man  umgekehrt  voraus,  daß  in  (3)  die  Koeffizienten  h^ 
gegeben  sind,  so  ist  es  auch  möglich,  und  /war  auf  Grund  des- 
selben Beweises  wie  in  §  103,  die  Koeffizienten  a„  eindeutig  zu  be- 
stimmen; man  findet  in  der  Tat: 


S  —  7t 


j  =  0 

Wir  bilden  nun  mittelst  (4)  die  Reihe  X«„  und  haben  dann 
zu  beweisen,  daß  diese  Reihe  und  die  Potenzreihe  rechter  Hand  in 
(2)  gleichzeitig  konvergieren  oder  divergieren  müssen.  Zu  dem  Ende 
setzen  wir: 

und  gewinnen  so  aus  (3),  bez.  (4): 

t  =v  +  y  ti)'^ 'j^ 

somit  ist  es  offenbar,   daß  dasselbe  Verfahren  wie  in  §  103  zu  fol- 
gendem Satze  führen  muß: 

II.  Wenn  der  Parameter  v  nicht  gleich  einer  negativen  ganzen 
Zahl  angenommen  zvird,  Icann  die  Potenzreihe  mit  lauter  geraden 
Potenzen: 


m  -2  k  {-)' 


2n 
n  =  0 

eindeutig  in  eine  Cylinderfunldionenreilie  verwandelt  werden,  nämlich: 


«-)-(l)'-2'''.(f)"-^-w. 


s  =  0 


268  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

WO  sich  die  Koeffizienten  «„  durch  die  Formel  hestimmen  lassen: 


s  =  n 


"       ^       (n  —  s)\        *■ 
s  =  o       ^         ^ 

Die  neue  Beilie  hat  denselben  Konvergenzhereich  wie  f{x)  selbst, 
und  die  Konvergenz  der  beiden  JReihen  ist  überall  von  derselben  Natur: 
unbedingt  oder  bedingt,  gleiclimäßig  oder  nicht.  Wenn  außerdem  die 
Glieder  einer  der  beiden  Reihen,  ivie  groß  auch  ihr  Index  angenommen 
ivird,  endlich  bleiben,  so  sind  die  beiden  Reihen  gleichzeitig  divergent 
oder  oscillierend  zivischen  endlichen  oder  unendlichen  Grenzen. 

Will  man  eine  Reihe  mit  lauter  ungeraden  Potenzen  entwickeln, 
so  kann  man  in  den  vorhergehenden  Formeln  v  -\-  \  für  v  setzen 
oder  auch  die  oben  gegebene  Entwicklung  mit  x  :  2  multiplizieren. 
Setzt  mau  ferner  in  der  Entwicklung  von  x^'  nacheinander  v  —  1, 
V  —  2,  V  —  Z,  ■  •  •  für  V ,  so  findet  man,  falls  v  nicht  eine  ganze 
Zahl  ist,  eine  ähnliche  Entwicklung  einer  Reihe  mit  negativen  ganzen 
Potenzen  von  x. 

Wir  gehen  indessen  nicht  näher  auf  dies  Problem  ein^). 

§  106.     Entwicklung  von  J^{x).    Reduktionsformel  für  i?''"(a;). 

Um  eine  Anwendung  des  allgemeinen  Satzes  II  zu  geben, 
setzen  wir: 

(-  if        . 


f{x)=={^^J'^{x),     b^ 


w!r(p +  «  +  !)' 
eine  einfache  Rechnung  ergibt  dann  für  rt„  den  Ausdruck: 

so  daß  die  Gaußsche  Formel  (Fg)  die  einfache  Entwicklung: 

7!  =  0 

liefert,  welche  also  in  der  ganzen  2' -Ebene  anwendbar  ist. 

Aus  dieser  allgemeineren  Formel  kann  man  durch  Speziali- 
sierungen der  beiden  Parameter  v  und  q  eine  ganze  Reihe  anderer 
herleiten.  Setzt  man  zum  Beispiel  Q  =  v  -\-  "p,  wo  ji  eine  ganze  Zahl 
bedeutet,   oder  p  =  +  2">  so   findet  man  solche  Spezialfälle,  welche 


1)  Man   vergleiche   meine  Abhandlung  in  Nyt  Tidsskriffc  for  Mathematik 
Bd.  9B,  p.  83;  1898. 


Kapit«!  XIX.  Entwicklung  einer  Fakultätenreihe.    §  IOC.  209 

sich  sehr  leicht  behiiiuaiu  lassen.  Wir  setzen  ferner  q  =  v  —  2> 
und  fiudeu  nach  einer  einfachen  Reduktion  folgende  endliche  Reihe: 

(2)    (-fyj>-.(x)=r(.+  i)-f r,„^;U(:)>^'w- 

Wenden  wir  nun  den  allgemeinen  Satz  des  §  13  an,  so  ist  es 
erlaubt,  in  (2)  für  J''{x)  die  andere  Cylinderfunktion  cos  vnJ~*ix) 
zu  setzen;  schatten  wir  dann  den  gemeinsamen  Faktor  cos  vn  weg 
und  setzen  wir  in  der  so  erhaltenen  Formel  —  v  -[■  p  für  v, 
Huden  wir:  ,    , 

(l)V'W  .  r^-  .  + ;,  +  1) .  2 r(-HTTT)  i^''"--^^ 

ändern  wir  nun  hier  mittelst  der  Eul  er  sehen  Formel  (fg)  jede  der 
vorkommenden  Gammafunktionen  und  schreiben  wir  die  Glieder 
rechter  Ilaud  in  umgekehrter  Ordnung,  so  finden  wir  schließlich: 


{-iyv{v-i>)J\x)  = 


(3) 


ii=p 


»  =  0 

eine  Formel,  die  uns  später  in  §  111  sehr  nützlich  sein  wird.  Der 
Spezialfall  v  =  2p  führt  uns  unmittelbar  zu  der  mittelst  der  zwei 
B es s eischen  Integrale  für  die  Cylinderfunktion  erster  Art  gefun- 
denen Formel  §  18,  (9),  während  die  allgemeine  Formel  (1)  mit 
§  40,  (6)  identisch  ist. 

Die  Formel  (3)  läßt  sich  nach  einer  einfachen  Rechnung  auch 
folgendermaßen  schreiben : 

setzt  man  hier  v  +  w^  für  v,  wo  m  eine  positive  ganze  Zahl  be- 
deutet, so  ergibt  eine  Anwendung  der  allgemeinen  Formel  §  13,  (2) 
die  merkwürdige  Rekursionsformel   für  das  Lommelsche  Polynom: 

»  =  0 

indem  man  zuerst  v  -\-l  für  v  setzen  muß.  Die  Spezialfälle  7n  =  2p, 
m  =  2p  -{-  1  liefern  sehr  elegante  Formeln. 

Diese  Rekursionsformel  (5)  zeigt  am  deutlichsten  die  außer- 
ordentlich große  Biegsamkeit  des  Lo mm  eischen  Polynomes,  welche 
noch  größer  zu  sein  scheint  als  diejenige  der  BernouUischen  Zahlen. 


270  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

Kapitel  XX. 
Die  Xenmaunsclieu  Reihen  erster  Art. 

§   107.    Allgemeine  Formeln. 

Wir  gellen  wieder  von  der  Doppelreihe  A  in  §  102  ans  und 
ordnen  ihre  Glieder  nach  steigenden  Potenzen  von  x,  so  daß  wir 
eine  Gleichuno-  von  folgender  Form  finden: 


^_  ,mdpT 


m  {l)'-2'v-w-i:^(l)". 

wo  wir: 


n 


(2)  r{v  +  n  +  l)b„=^{-iyC  +  ')a„_,^ 

6  =  0 

gesetzt  haben.     Nehmen  wir  zum  Beispiel: 

an,  so  erhalten  wir  aus  (1^  und  (2)  die  Entwicklung: 

7i=  30 

(3)  f  •  J"'  -'  (:r)  =  ^(-  1)"  {v  +  '2n)  J>  +-'"(a:), 

71  =  0 

welche  von  LommeP)   angegeben  worden  ist.     Setzen  wir   ferner: 

so    gewinnen    wir    nach    einer    Anwendung    der    Formel  A,  (ß)    im 
Anhange   die  weitere  Entwicklung: 


n  =  3c 


(4)  J'(^)  J-H^)  =!/;!  ■2'(-  !)"(  „V''"(-^)' 

«  =  0 

welche  ebenso  wie  (3)  in  der  ganzen  a;- Ebene  anwendbar  ist. 

Kehren  wir  nun  zur  Gleichung  (2)  zurück,  so  ist  ofi"enbar, 
daß  uns  diese  Formel  ermöglicht,  die  Koeffizienten  a„  eindeutig 
durch  die  Koeffizienten  h^^  zu  bestimmen,  falls  v  nicht  einer  nega- 
tiven ganzen  Zahl  gleich  ist.  Die  formale  Auflösimg  dieses  Glei- 
chungssvstems  läßt  sich  am  einfachsten  durch  vollständige  Induktion 
und  mittelst  der  Prinzipien  der  Dififerenzenrechmmg  durchführen. 


1)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen,  p.  40;  1868. 


Kapitel  XX.    Neiunannsche  Reihen  erster  Art.    §  107.  271 

Wir  beweisen  zuerst  die  Hilfsibniiel: 

p  =  m 

(5)  2(- !)'(';:) üTT^h ■  '■(*' + -'•- '" ->'^ = °'  '" > > • 

das   alltjemeine   Glied   unter  dem  Summenzeicheu    linker  Hand    läUt 
sich  auch  folgendermaßen  schreiben: 


(-l/'("')(r  +  2r-2i;) 


{v-\-2r—p){v-\-2r—p—l)-  ■  ■  {v-]-2r  —  p  —  m) 


{v-\-2r — p — 1)  •  •  •  {v-\-2r — p  —  in)         {v-\-2r—p)  ■  ■  ■  {v-\-2r—p  —  m) 
Bezeichnen   wir   nun  wie   gewöhnlich    mit  A'   die   Differenz    der 
s'*°  Ordnung,   so   läßt   sieh   die   Summe  linker  Hand  in  (5)  mittelst 
der  eben  gegebenen  Umformung  folgendermaßen  schreiben: 

(—  1)'"  A'"  (^ (Tqr 2 r  —  m  —  1)  ■  •  ■  {v  -^  2r  —  1))  ~ 

_   (_  IV»  ni  ^rn-l  ( 1 \ 

\      "■)    '""         \(v^2r  — wi  — l)-.(i;  +  2r)/' 

und  die  Formel  (ö)   ist   eine  unmittelbare  Folge  der  Ausdrücke  für 
diese  beiden  Differenzen. 

Die  vollständige    Induktion    gibt   nun    sebr   leicht    mittelst  (5) 
für  die  allgemeine  Lösung  des  Gleichungssystems  (2)  den  Ausdruck: 


n 


(6)        «.=(^+.o-2""'^;~°'^-^.- 

s  =  0 

Nacb  dieser  formalen  Bestimmung  der  Koeffizienten  linker 
Hand  in  (1),  die  möglich  ist,  falls  die  Potenzreihe  rechter  Hand 
gegeben  ist,  müssen  wir  noch  in  aller  Strenge  die  wirkliche  Existenz 
der  so  erhaltenen  Cylinderfunktionenreihe  nachweisen  und  ihren 
Konvergenzbereich  bestimmen.     Setzen  wir  nun: 

so  erhalten  wir  aus  (2)  und  (6)  die  Identitäten: 


-2 


t 


'„  =  ^n+2 


r  =  l 


r !         {v  -\-  n  —  r  -\-  1)  {v  -\-  n  —  r  -{-  2)  ■  ■  ■  {v  -\-  n)' 


r !         {v  -\-  n  —  r  -\-  1 
f 

V  1 


'—     (1) 


{v  -{-  n  —  r)  {v  -}-  71  —  r  -\-  1)  ■  •  ■  (v  -{-  n  —  1 ) ' 

r  =  l 


272  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

so    daß    dieselbe    Methode    wie    in    §    103    den    allgemeinen    Satz 
liefert: 

III.  Wenn  der  Parameter  v  nicld  gleleh  einer  ganzen  negativen 
Zahl  angenommen  tvird,  lann  eine  ivillldlrliche  Potenzreihe  eindeutig 
nach  Cylinderfanldionen  enttvicJcelt  werden,  nämlich: 


M  =  CC 


s=0  n=0 


WO  sich  die  Koeffizienten  aus  folgender  Formel  bestimmen  lassen. 


n 

<-:r 


^n  -  iv  +  n)  ■  ^ 6„_2,- 

4  =  0 

Die  so  erhcdtene  Cylinderfunhtionenreihe  ist  im  Innern  des  Konver- 
genzJireises  der  Potenzreihe  unbedingt  Iconvergent;  auf  der  Kreis- 
peripherie selbst  sind  die  beiden  Reihen  gleiclizeitig  unbedingt  oder 
bedingt,  gleichmäßig  oder  ungleichmäßig  konvergent,  oder  sie  sind, 
wenn  die  Glieder  einer  der  Reihen  sämtlich  endlich  bleiben,  ivie  groß 
ihr  Index  auch  angenommen  ivird,  gleichzeitig  divergent  oder  oscil- 
lierend  zwischen  endlichen  oder  unendlichen  Grenzen. 

Wenn  der  Parameter  v  nicht  eine  ganze  Zahl  bedeutet,  ist  es 
auch  möglich,  eine  Reihe  mit  ganzen  negativen  Potenzen  zu  ent- 
wickeln; wir  gehen  indessen  nicht  näher  darauf  ein.^) 

Für  ganze,  nicht  negative  Werte  von  v  hat  Neumann^)  zuerst 
den  Satz  II  bewiesen,  während  den  allgemeinen  Fall  zuerst  Sonin^) 
betrachtet  hat;  beinahe  zu  gleicher  Zeit  hat  auch  Gegenbauer^), 
offenbar  ohne  die  russisch  erschienene  Arbeit  Sonins  zu  kennen, 
den  allgemeinen  Satz  bewiesen.  Später  sind  die  Neumannschen 
Reihen  erster  Art  von  König^),  Heine-),  Gram'),  Pincherle^) 
und  Kapteyn^)  untersucht  worden. 


1)  Man  vergleiche  meine  Abhandlung  in  Nyt  Tidsskrift  for  Mathematik, 
Bd.  9B,  p.  83;  1898. 

2)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen  1867. 

3)  Journal    de    la    Societe    mathematique    de   Moscou    1871.     Math.  Ann. 
Bd.  16,  p.  77;  1880. 

4)  Sitzungsberichte  der  Wiener  Akademie  Bd.  74,  II.  p.  12G;  1876. 

5)  Mathematische  Annalen,  Bd.  5;  1872. 

6)  Handbuch  der  Kugelfunktionen  Bd.  I;  1878. 

7)  Doktordissertation,  p.  44;  Kopenhagen  1879. 

8)  Memorie  dell'  Istituto  Lombardo  (4)  Bd.  3;  1881. 

9)  Anuales  de  l'Ecole  Normale  (3)  Bd.  10;  1893. 


Kai)itd  XX.    Neuniannsche  Reiheu  erbter  Art.    §  108.  273 

§  108.    Anwoudungon.    Entwicklung  von • 

Zum  Behufe  einer  ersten  Anwenduu«^  der  allgemeiiieii  Formeln 
setzen  wir  Iq  =  1  und,  für  n  >  0,  6„  =  0  und  finden  dadurch  die 
Formel  §  33,  (4)  wieder,  nämlich: 

für  V  =  0  finden  wir  die  in  §  22  gegehene  Formel  (ö)  von  Jacobi'), 
während  die  Formel  (1)  für  ein  ganzes  positives  v  von  Schlö- 
milch*)  gefunden  worden  ist.  Schlömilclr^)  hat  noch  andere 
ähnliche  Formeln  augegeben,  die  wir  aus  (1)  folgendermaßen  her- 
leiten: 

Aus  folgenden  zwei  rein  fonnalen  Identitäten: 

(3)  '^^^^  -'/7'((3«  +  2^  +  1)^  -  i^P  +  1)0 

p  =  0 

finden  wir  mittelst  (1)  durch  vollständige  Induktion,  daß  die  Summe 
der  unendlichen  Reihe: 


»=00 


(4)  s,  =  2(2s  +  .)V^^+^(^), 

wo  n  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet,  während  £=1,2  anzu- 
nehmen ist,  je  nachdem  ii  ungerade  oder  gerade  ist,  einem  ganzen 
Polynome  w*®"  Grades  in  x  gleich  sein  muß. 

Benutzen  wir  nämlich  die  Identitäten  (2),  (3),  so  ersehen  wir, 
daß  sich  die  aus  (1)  für  v  =  n  erhaltene  Reihe  als  eine  homogene 
lineare  Funktion  derjenigen  Reihen  darstellen  läßt,  welche  man  aus 
s„,  s„_2,  s„_^,  .  .  .  durch  Weglassung  der  ersten  Glieder  erhält.  Nun 
zeigen  aber  die  Formeln  (2),  (3),  daß  die  Hinzufügung  dieser 
Glieder  auf  die  obenerwähnte  homogene  lineare  Funktion  keinen 
Einfluß  haben  kann,  weil  die  beiden  Seiten  von  (2),  (3)  für  ganze 
negative  Werte  von  s  verschwinden  müssen. 

1)  Journal  für  Mathematik  Bd.  15,  p.  12;  1836. 

2)  Zeitschrift  für  Mathematik  und  Physik  Bd.  2,  p.  141;  18.'>7. 

3)  loc.  cit.  p.  141. 

Nielsen,  Cylinderfunktionen.  18 


274  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

Nachdem  man  so  die  Form  der  durch  5^  definierten  Funktion 
gefunden^  bestimmt  man  die  noch  unbekannten  Koeffizienten  des 
obenerwähnten  Polynoms  sehr  leicht,  indem  man  die  Reihe  rechter 
Hand  in  (4)  mittelst  der  allgemeinen  Formeln  §  107,  (1),  (2)  als 
eine  Potenzreihe  in  x  schreibt;  auf  diese  Weise  findet  man  die  ge- 
suchte Formel: 

g — 

wo  der  Kürze  halber: 

n 
< p 

(6)     ^.'-"=ii^'.  -2  i-ir{''-"'){n-2p-2sr 


s  =  Q 


gesetzt  worden  ist. 


Zum  Zwecke  einer  zweiten  Anwendung  setzen  wir: 

b..=  ' 


n         yU  +  l 


und  finden  so  eine  Entwicklung  von  folgender  Form: 

S=  oo 

(7)  ^a^  =  {ij-2's0^'<y)^'^'(^)^   \^\<\y\, 


WO  wir  der  Kürze  halber: 


n 


(8)  o.,»w=4=.2't^^F-^(7y'.  «■•»w=^ 

gesetzt  haben,   während  im   allgemeinen  «^  gleich  2  zu  nehmen  ist, 
außer  für  s  =  0,  wo  f o  =  1  sein  muß.     Für  v  =  0  finden  wir  dem- 
nach, daß: 
(9)  O'^-iij)  =  0-{,j) 

sein  muß,  wo  0"(?/)  das  in  §  30  Formel  (24)  eingeführte  Neu- 
mannsche  Polynom  bedeutet. 

Die  Formel  (7)  hat  in  der  Geschichte  der  Neumannschen 
Reihen  erster  Art  eine  wichtige  Rolle  gespielt;  in  der  Tat  haben 
Neumann,  Sonin  und  Gegenbauer  durch  sie  unter  Anwendung 
des  C  au  chy  sehen  Fundamentalintegrales  ebendiese  Reihen  entwickelt. 

Wir  setzen  ferner: 

&^  =  -^     für     s  >  0     und     h^  =  0, 


Kapitel  XX.    Ncuraannsche  Reihen  erster  Art.    §  109.  275 

80  daß  die  ullgemeiuen  Formeln  folgende  Entwicklung  liefern: 


(10)       ^=(iy^('^+^)'S'''(y)'^'-^'(^). 


wo: 

(11)  «..(,)  ^  2"  ^^^^^^'(D""^' 

»  =  o  ■  •' 

gesetzt  worden  ist,  so  daß  wir  auch  hier  für  v  =  0  die  Identität: 

(12)  S'-^i^j)  =  >S"(y) 

gewinnen,    in     der    S^iy)    das     in    §  3    Formel    (1(J)    eingeführte 
Schläflische  Polynom  bedeutet. 

Für  die  Eutwickhmgen  von  der  Form  (7),  (10)  hat  Piucherle^) 
einen  interessanten  allgemeinen  Satz  bewiesen. 

§  109.    Entwicklung  von  J^{ax).     Die  Reihe  c  +  '^Ia„  J''+''(a;). 

Als  weitere  Anwendung  der  allgemeinen  N  e  u  m  a  n  n  sehen 
Reihen  suchen  wir  die  Entwicklung  von  J^'(ccx),  wo  u  und  q  end- 
liche Größen  bedeuten;  die  allgemeinen  Formeln  geben  hier: 

«=  CO 


8  =  0 


wo  wir  der  Kürze  halber: 

gesetzt  haben. 

Aus  der  allgemeineren  Formel  (1)  kann  man  eine  große  Menge 
anderer  herleiten;  so  findet  man  z.  B.  mittelst  der  Gau  ß  sehen 
Formel  (Fg)  die  speziellere  Entwicklung: 


4  =  00 


« =  0 
wenn   q  =  v  -{-  r  angenommen  wird,  wo  r  eine  positive  ganze  Zahl 
bedeutet,  wird  die  Reihe  rechter  Hand  endlich,  und  man  erhält: 

s  =  0 

1;  Rendiconti  dell"  Istituto  Reale  Lombardo  (2)  Bd.  15    p.  225;  1882. 

18* 


276  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

setzt  man  darin  v  =  0,  so  gelangt  man  zu  der  durch  die  zwei 
B es s eischen  Integrale  für  die  Cylinderfunktion  der  ersten  Art  be- 
wiesenen Formel  §  18,  (7);  man  muß  jedoch  darauf  hinweisen,  daß 
für  s  =  0  der  Zähler  rechter  Hand  in  (4)  V(v  -j-  1),  für  v  =  0  also 
gleich  1  wird. 

Differentiiert  man  ferner  die  Formel  (3)  nach  q  und  setzt  man 
darnach  Q  =  v,  so  findet  man  für  die  in  §  15,  (5)  eingeführte 
Funktion  ^'^(x)  folgende  Entwicklung: 

«=00 

(5)     S"(^)  =  -^iv  +  l)  J^ix)  -^  (-  1)^  (-f  +  ^^)  J^'^^'ix), 

s  =  l 

so  daß  man  für  die  in  §  3,  Formel  (15)  eingeführte  Funktion  V^^x) 
die  weitere  Entwicklung: 

S=  CO 

(6)  p»(..) = (i + 1 + . . . + 1) .!'(,) + 2;(-  i)'(f + 4-,)^"n^) 

s  =  1 

gewinnt;  eine  Anwendung  der  Formeln  §  3,  (13)  und  §  22,  (23) 
liefert  nun  ohne  Schwierigkeit  für  die  Neumannsche  Cylinder- 
funktion den  Ausdruck,  durch  welchen  Neumann ^)  diese  Funktion 
definiert  hat. 

Setzt  man  weiter  in  (3)  Q  =  +  l-,  so  erhält  man  mittelst  (f^) 
die  Entwicklung: 

(7)  (2^)-a±-  =pl^  .2"(±  ,■)■<" +  '>^r  +  'V>^-(.), 

^      s  =  0 

welche  nichts  anders  ist  als  die  Formel  §  37,  (5). 

Setzt  man  endlich  in  (7)  v  +  1,  i^  +  2,  v  -f  3,  •  •  •  für  v,  so 
gewinnt  man  durch  Addition  den  allgemeinen  Satz: 

IV.  Wenn  v  nicht  einer  ganzen  negativen  Zahl  gleich  ist,  kann 
eine  Potenzreihe  mit  ganzen,  nicht  negativen  Exponenten  eindeutig  in 
eine  Eeihe  von  folgender  Form  entivichelt  iverden: 

s=  oc  .       n=  oc 

(8)  ^Ki^xY  =  ^l§^  -^aj^-\x), 

4  =  0  \^^)  n  =  0 

u'o  der  Kürze  halber: 

gesetzt  ist,  und  diese  neue  Eeihe  hat  genau  dieselben  Eigenschaften 
tvie  die  allgemeine  Neumannsche  Eeihe  der  ersten  Art. 


1)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen  p.  52;  1867. 


Kapitel  XX.    Neumannschc  Reihen  erster  Art.    §  110.  277 

Als  Beispiel  dieser  Entwicklungen  betrachten  wir  den  Fall,    in 
welchem: 


n         2"    1/"  +  * 


ist;  wir  gelangen  dann  zu  folgender  Entwicklung: 

m        '-^=(2:r)-.2^C-''(a;)/'+"(a:),      \x\<\y\, 


n  =  0 

WO  wir: 


(11) 


O'.o(y) 


"l/jr  r(2v-t-l)      1 


gesetzt    haben.     Ganz    auf   dieselbe  Weise    finden   wir    die    ähnliche 


Formel 

y  —  x 


(12)  ^^^==(2^)-"-2(i^  +  5)  ©•■•%)  J^v  +  ^(:r), 


s  =  0 

wo: 


(^x^y  ^      Kyj  ^i,j       j^  V{v-\-s-^r\){n  —  s)\\2yi) 

gesetzt  ist.     In  dem  Spezialfälle  v  =  0  erhalten  wir  auch  hier : 

(14)  Do."(2/)  =  ü^y),      ©°."(y)  =  &{y), 

wo  D"(y)  und  ©«(?/)  die  in  §  36,  (16)  und  §  6,  (11)  definierten 
Funktionen  bedeuten;  somit  haben  wir  eine  neue  Analogie  zwischen 
diesen  Funktionen  und  den  altbekannten  analogen  Funktionen  0"(y) 
und  >S"(?/)  nachgewiesen. 


§  110.   Entwicklungen  von  cos  {ax),  sin  (ax)  und  J^~^{x  sin  &). 

Wir  kehren  nun  zu  der  Formel  §  109,  (1)  zurück  und  setzen 
darin  p  =  ±  1;  eine  Anwendung  von  (K^)  und  (Kg)  ergibt  dann 
unschwer  die  zwei  anderen  Entwicklungen: 

S=  CO 

(1)        cos  {ax)  =  -^)-  .^(-  \y{v  +  2s)K^'^''{a).P^^^{x), 


«-0 


(2)    sin  (ax)  =  ^^^^ -^  ("  1>'(«'  + 2s+ l)5:''2*  +  ^(«)/''  +  2*  +  i(a;), 


(f)' 


s=0 


278  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

WO  K^''^(ci)  die  im  Anhange  erwäknte  Kugelfunktion  bedeutet.  Setzt 
man  v  =  y,  so  werden  diese  Kugelfunktionen  mit  den  Legen dre- 
sclien  identisch;  die  so  erhaltenen  Formeln  sind  zuerst  von  Bauer^) 
gefimden  \^orden,  während  Gegenbauer^)  die  allgemeinen  Formeln 
(1),  (2)  aufgestellt  hat.  Für  v  =  0  werden  unsere  Formeln  mittelst 
(K^o)  und  (Kji)  mit  den  in  §  22  hergeleiteten  Jacob ischen  Formeln 
(1),  (2)  identisch. 

Wir  kehren  noch  einmal  zu  der  allgemeinen  Formel  §  109,  (1) 
zurück;  die  Form  der  hypergeometrischen  Reihe  §  109,  (2)  führt 
uns  mittelst  (Kg)  dazu,  Q  =  v  —  ^,  a  =  sin  Ö  zu  setzen,  und  wir 
finden  so  die  allgemeine  Formel: 

welche  unbekannt  zu  sein  scheint.  Für  v  =  p  +  1,  wo  p  eine  ganze 
Zahl  bedeutet,  hat  Bauer^)  die  Formel  (3)  gefunden;  Hobson^) 
hat  später  den  Fall  v  =  ^  betrachtet,  offenbar  ohne  die  Abhandlung 
von  Bauer  zu  kemien.  Für  v  =  0  findet  man  die  Formel  §  22,  (1) 
von  Jacobi;  Hobson^)  betrachtet  noch  den  Fall  v  =  1,  ohne  zu 
bemerken,  daß  sich  die  so  gefundene  Formel  unmittelbar  in  die 
zweite  Jacobi  sehe  §  22,  (2)  überführen  läßt,  und  merkwürdiger- 
weise haben  auch  Gray  und  Matthews'')  dies  nicht  bemerkt. 

Offenbar  müssen  uns  die  Formeln  (1),  (2),  (3)  eine  Menge  von 
Entwicklungen  gewisser  Funktionen  nach  Cylinder-  oder  Kugel- 
funktionen, sowie  von  bestimmten  Integralen  liefern,  die  Cylinder- 
oder  Kugelfunktionen  enthalten.  Wir  gehen  indessen  nicht  näher 
auf  diese  Probleme  ein. 


§  111.    Formeln  von  Neumann,  Clebsch  und  Gegenbauer. 
Bedeutet  6  einen  reellen  Winkel,  so  ist  offenbar,  daß  die  Funktion: 

r 

(E2  -  2 Er  cos  ö  +  r')"^  ■  C"  (YB'-- 2 Rr  cos  6 +r^), 
wo  C^ix)  eine  willkürliche  Cylinderfunktion   mit  dem  Argumente  x 
und  dem  Parameter  v  bedeutet,  nach  steigenden  Potenzen  von  r  ent- 

1)  Journal  für  Mathematik  Bd.  56,  p.  104,  106;  1859. 

2)  Sitzungsberichte  der  Wiener  Akademie  Bd.  72,  II,  p.  127;  1876. 

3)  Sitzungsberichte  der  Münchener  Akademie  1875,  p.  265. 

4)  5)  Proceedings  of  the  London  Math.  Soc.  Bd.  25,  p.  69,  p.  68;  1894. 
6)  Bessel  Functions,  p.  240;  1895. 


Kapitel  XX.    Nenmannscbe  Reihen  erster  Art     §  111.  279 

wickelt  werden  kann,    falls  noch  7i  >  r  augenommeu  wird;    in  dem 
sj)ezielleu   Falle,    daß   dio   Cylindorfnnktion    voii   der   ersten   Art   ist, 
kiuin  man  diese  Bedingung  fallen  lassen. 
Wir  setzen  nun  der  Kürze  halber: 

(1)  a(r)  =  R^- 2 Rr  cos  0-\-r\     (o(0)  =  R^, 

schreiben  aber  häutig  nur  co  für  co()'),  wenn  diese  Abkürzung  kein 
Mißverständnis  veranlassen  kann;  wir  gewinnen  so  eine  Entwicklung 
von  der  Form: 


wo: 


h,  =  R-^C>{R),     «!Z>„==D;'(«"^C"()/«)Lo 
sein  muß. 

Wendet  mau  mm,  um  die  Koeffizienten  h^  näher  zu  bestimmen, 
die  Formel: 

an,  so  ergibt  eine  allgemeine  Formel  für  die  Bildung  höherer 
DifFereutialquotienten  von  zusammengesetzten  Funktionen^)  folgenden 
Ausdruck: 

wo  man  der  Kürze  halber: 

r."  =  2)^"[(«  ((,)  -  «  (0))*]^^^  =  D;[^*(?  -  2E  cos  ö)']^^^ 

gesetzt  hat;  man  findet  so  endlich  für  den  allgemeinen  Koeffizienten 
den  Ausdruck: 

n 

^   ^  "      -f^  ^        ^  2*-s!(»-2s)!        2?"  +  ''-* 

W^ir  suchen  nunmehr  die  so  erhaltene  Potenzreihe  in  eine 
Neumannsche  Reihe  der  ersten  Art  zu  entwickeln;  eine  Anwen- 
dung der  allgemeinen  Formeln  zeigt  dann,  daß  in  dieser  Neumann- 
schen  Reihe  der  Koeffizient  a^^  ein  Polynom  vom  n^'^^  Grade  in 
cos  6  werden  muß;  eine  einfache  Ausführung  der  Rechnungen  liefert 
für  den  zur  Potenz  (cos  ö)"~-^'  gehörigen  Koeffizienten  den  Ausdruck: 


1)  Man  vergleiche  z.  B.  Schlömilch,  Kompendium  Bd.  II,  p.  5. 


280  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

oder  nach  einer  Anwendung  von  §  106,  (4): 

plin  —  ^py.R"  ^    '' 

nach  dieser  Reduktion  findet  man  weiter  ohne  Mühe: 

a^  =  {y  +  n)  rO-')  •  .^»■."  (cos  6)  C'+"(E) B-% 
und  erhält  somit  schließlich  die  interessante  Entwicklung: 

(3)  «"^"C^d/«)  =  -^  -y  (T^  +  5)C"  +  ^(i?)J"  +  ^(r)Z'.^(cosö); 

in  dem  Spezialfälle  v  =  0  findet  man  mittelst  (Kg)  folgende  elegante 
Formel: 

(4)  Oo(yi22-2Ercosö  +  r2)=(70(i2)J«(/')  +  2-^C*(i?)JX>")cos(sg)), 

s  =  l 

welche  von  Neumann^)  gefunden  worden  ist;  Neumann^)  be- 
trachtet auch  den  Fall  v  =  ^-,  ohne  zu  bemerken,  daß  schon  früher 
Clebsch^)  die  entsprechende  Formel  aufgestellt  hatte.  Die  allge- 
meine Formel  (3)  ist  zuerst  von  Gegenbauer*)  bewiesen  worden; 
sein  Beweis  ist  indessen  etwas  kompliziert,  was  auch  mit  demjenigen 
von  Sonin"'')  der  FaU  ist.  Beltrami^)  hat  einen  schönen  Beweis 
für  die  Neumannsche  Formel  (4)  gegeben,  allerdings  unter  der 
Voraussetzung,  daß  die  Cylinderfuuktion  von  der  ersten  Art  ist. 
Später  hat  Graf^)  mit  Zuhilfenahme  der  Integralausdrücke  für  J^'iy^) 
und   F*'(ya))  die  allgemeine  Formel  (3)  bewiesen. 

Durch  die  Annahme  cp  =  7t  gewinnt  man  aus  (3)  die  Additions- 
formel: 

G''{B-\-r)  2]/^ 


(5) 


■^(-^^^(-+;,^^^^^+'^^o---(E)j-^-(.),  i.i<|i2|, 

s-0 


1)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen,  p.  65;  1867. 

2)  Sitzungsberichte  der  Leipziger  Akademie  1886,  p.  75—82. 

3)  Journal  für  Mathematik  Bd.  61,  p.  227;  1863. 

4)  Wiener  Sitzungsberichte  Bd.  70  II,  p.  13,  14;  1874. 

5)  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  22,  23;  1880. 

6)  Atti  deir  Accademia  di  Torino,  Bd.  16,  p.  201—205;  1881. 

7)  Mathematische  Annalen  Bd.  43,  p.  143,  144;  1893. 


Kapitel  XX.    Noumannscho  Reihen  erster  Art.    §  112.  2^1 

welche  ebeafalls  von  Gogenbauer*)  gefunden  worden  ist.  Setzen 
wir  weiter  in  (3)  C^^x)  =  J^i^)  und  R  =  r  =  x,  was  erlaubt  ist, 
so  finden  wir  die  weitere,  ebenfalls  von  Gegenbauer*)  gegebene 
Formel: 


f  =  <» 


welche  im  Vergleich  zu  §  IIU,  (o)  in  der  Tat  höchst  merkwürdig 
ist.  Durch  die  Annahme  v  =  --,  6  =  tc  erhält  man  aus  (6)  die 
von  LommeP)  gefundene  speziellere  Formel: 

(7)  sin  (2x)  =  :t.^{-  l)'(2s  +  1)  (J^  +  H^O)', 

»  =  o 

welche  sonach  in  der  ganzen  a:-Ebene  anwendbar  ist.  Die  An- 
nahme r  =  —  -,  6  =  n  führt  dagegen  wegen  des  Faktors  '"(^  +  ^) ) 
im  Nenner  rechter  Hand  in  (5)  nur  zu  einer  formalen  Identität. 

§  112.    Entwicklung  einer  Funktion  von  der  Form  f(ij  —  x). 

Man  kann  die  Neumannschen  Reihen  der  ersten  Art  einfachen 
Transformationen  unterwerfen,  welche  für  die  Theorie  dieser  Reihen 
von  großer  Bedeutung  sind;  wendet  man  in  der  Tut  auf  die  ein- 
zelnen Glieder  rechter  Hand  in  der  Formel: 

n  =  CO 

(1)  /•(^)=(iy-2'«»^"'^(^) 

?i  =  0 

die  zweite  Fundamentalformel  der  Cylinderfanktionen  an,  nämlich: 
so  findet  man  für  v  ^0: 

ra  =  1 

und  in  dem  Spezialfälle  v  =  0: 

«=00 

(3)  I/-W  -(}^+ «,) /»w + 1'  j'{x) +2  {^\  +  ^\)  j-i'^y, 


(2) 


4  =  2 


1)  2)  loc.  cit.  p.  14. 

3)  Mathematische  Annalen  Bd.  2,  p.  633;  1876. 


282  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

durcli  Zuhilfenahme  der  Formel  (2)  hat  Lommel  seinen  Spezialfall 
unserer  allgemeinen  Formel  §  33,  (10)  gefunden. 

Durch  Anwendung  der  ersten  Fundamentalformel: 

erhält  man  dagegen  aus  (1): 


M  =  GO 


re  =  0 

eliminiert  man  nun  mittelst  der  zweiten  Fundamentalformel  die 
Funktion  J^'^'"{x)  aus  dem  allgemeinen  Gliede  rechter  Hand  in 
dieser  Formel,  so  findet  man: 

(4)  2/<'>(:.)  =  (I)'  .§"(-J^„.^,  -  'il+^a,_).P»{.), 

w  =  0 

eine  Formel,  welche  auch  für  v  =  0  anwendbar  ist,  wenn  die  zu 
den  Funktionen  J'^{x)  und  J^{x)  gehörigen  Koeffizienten  gleich  a^, 
bez.  »2  —  %  angenommen  werden. 

Die  Formeln  (2)  und  (3)  sind  übrigens  für  eine  willkürliche 
Reihe  anwendbar,  welche  nach  Cyliuderfunktionen  fortschreitet, 
während  (4)  natürlich  erfordert,  daß  die  Koeffizienten  a^  sämtlich 
von  X  unabhängig  sind. 

Die  allgemeinen  Formeln,  welche  wir  soeben  entwickelt  haben, 
finden  eine  unmittelbare  Anwendung  auf  folgende  Neumannsche 
Reihet: 

(5)  f{y  -x)  =  (1)^ .  2  e^AyW^'ix), 

s  =  0 

WO  f{y  —  x)  in  eine  Taylor  sehe  Reihe  entwickelbar  sein  muß. 
Differentiiert  man  nämlich  die  Formel  (5)  erstens  nach  x  und 
zweitens  nach  y,  so  erhält  man  mittelst  (4)  die  Identitäten: 

Umgekehrt  reichen  offenbar  die  Formeln  (6)  auch  aus,  um  zu 
beweisen,  daß  die  Neumannsche  Reihe  rechter  Hand  in  (5),  falls 
sie  überhaupt  konvergiert,  eine  Funktion  vom  Argumente  y  —  x 
darstellen  muß. 


(6) 


1)  Hier  und  in  den  folgenden  Formeln  bedeutet  f„    den    gewöhnlichen 
Koeffizienten,  welcher  im  allgemeinen  gleich  2  ist,   außer  für  n  =  0,  wo  man 


£q  =  1  zu  nehmen  hat. 


Kapitel  XX.    NeumannBchf  Iicihen  erster  Art.    §  lli'  2>>!) 

In  ilt-iii  speziellen  l'alle  v  =  0  Kchreiheu  wir  einf'iirh  a"i //i  l'ür 
ü^{y)   iiMil   ;.^owiiinen  so  siu.s  (<j)  den  Siitz: 

WiHH  V  0  (itninwmmni  tvin/,  siiid  die  Kucffizicnfoi  (i"(ii)  der 
NrHmnunschni  Itrihe  für  fiij  —  x)  i»n)i< r  L'6snu(jcn  dir  rrslrn  Fim- 
damrnfalfornul  der  ( 'ylitKlrrfiadcfioncn. 

Wenn  die  Reihe  (f))  wiiklieli  exi.stieit,  ho  eiliiilt  iiiaii  uiicli  di"' 
zwei   anderen   Neu  ni  an  n. sehen    lu'iiien: 


»  =  ao 


(7)  -^^'f(y-a-)={l)'  ■^(v  +  s)B:(y)J^'^"{x), 

j  =  1 

und    eine    Anwendung    der    Formel    (5)     ergiht    dann     unniittelhar 
zwischen  den  Koeffizienten  folc^ende  Bczieliung: 

(9)  ^yA,"{y)  =  (v  +  n)  B^"(y)  -+  2a -(y) , 

wo  man  B^°(y)  ==  0   zu  setzen   hat.     Transformiert  man   mittelst  (2) 
auch  die  Reihe  (5),  so  findet  man  weiter  die  Formeln: 

^    ^  \  B,Hy)-^2Ä,!^(y). 

Man  kann  nun  auch  sehr  leicht  aus  (9)  und  (10)  sowohl  Ä"(y) 
als  Bj*{y)  für  sich  eliminieren  und  findet  beziehentlich: 

(11)  B; -  ^ (2/)  +  B:  ^\y)=^  ^^^  B;  iy)  +  ^  «/  (y) , 

(  9  4  -M  -  y^"-^'(y)-^."-^'(y)  ,  yÄr\y)-<-\v)    „  ^  q 

(12)  M^^^^^-         M-ir+T        +         7+17^1        '    "-^^ 

l  yA\y)=<{y)- 

Bemerkt  man  noch,  daß  die  Formel  (6)  auch  für  ^,,"0/)  n^'i^^ig 
ist,  so  findet  man  nach  einer  Differentiation  nach  y  und  darauf 
folgender  Anwendung  von  (10)  diese  Fundamentalgleichung: 

(13)  2B,^B:^{y)==''{-^-^Br\y)  -  ^-^B^Hy). 

Wh'  haben  noch  nachzuweisen,  daß  die  Funktionen  A  und  B 
beide  einer  linearen,  nicht  homogenen  Differentialgleichung  zweiter 
Ordnung  genügen  müssen.  Um  die  Gleichung  für  B  zu  finden, 
muß  man  aus  (11)  und  (13)  Bj'~^{y)  und  dann  J3,"  +  ^(^)  eliminieren; 
differentiiert  man  dann  ferner  die  so  erhaltenen  Gleichungen  nach  y, 
so  erhält  man  für  z  =  B^^iy)  die  Differentialgleichung: 


284  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen 

y  \  y^      ) 


(14) 


(15) 


SO     daß     eine    Anwendung    von    (9)    für    z  =  Aj^ijj)    die    ähnliche 
Gleichung: 

^=)  +  tll_%(.)  +  (l  _(n-l)(»-H-.)N     ^ 

!/  V  y'  I 

ergibt. 


§  113.     Die  Funktionen   0''(i/)  und  /S'"(i/),  D"(^)  und  ©"(?/). 

Wir  haben  schon  bemerkt,  daß  die  beiden  Funktionen  a^{y) 
und  A^{y)  für  v  =  0  der  ersten  Fundamentalgleichung  der  Cylinder- 
funktionen  genügen  müssen;  aus  §  112,  (13)  ergibt  sich,  daß  das- 
selbe auch  mit  S'^{y)  der  Fall  sein  muß,  während  man  für  dieselbe 
Funktion  aus  (11)  die  andere  Fundamentalgleichung: 

(1)  B^-^y)  -f  B^'^\y)  =  ^f  B\y)  +  |  a\y) 

gewinnt;  um  diese  Formel  und  die  ähnlichen  für  Ä"(y)  und  d"{y) 
auch  für  negative  ganze  Werte  von  n  aufrecht  erhalten  zu  können, 
setzen  wir: 

iB-''(y)  =  {-iy-'B^{y),    a-'(^)  =  (- l)«a«(^), 

^  ^  l  Ä-{y)  =  (-  lyA^iy) 

und  brauchen  diese  Gleichungen  als  Definitionen  der  betreffenden 
Funktionen  mit  negativem  ganzem  Parameter. 

Wir  betrachten  nun  den  einfachsten  Fall,  wo  f(x)  =  1  an- 
genommen wird,  und  finden: 

(3)  «'''(2/)  =  l,     «^«+n^)  =  0, 

(4)  Ä^{y)==0"{y),    B"{y)^S"iy)', 

diese  Eigenschaft  als  Entwicklungskoeffizient  für  das  Schläflische 
Polynom  S"{y)  scheint  bisher  unbeachtet  geblieben  zu  sein. 

Für  die  Funktion  0"(y)  hat  zuerst  Neumann^)  die  aus  §  112, 
(12)  und  (15)  erhaltene  spezielle  Formel  gegeben,  während  Schläfli^) 


1)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen  p.  13,  21;  1867. 

2)  Mathematische  Annalen  Bd.  3,  p.  137,  139;  1871. 


Kapitel  XX.    Nenmannsche  Reihen  erster  Art.    §  113.  285 

die  Formeln  (6),  (10),  (11)  gefunden  hat;  beinahe  zu  gleicher  Zeit 
und  offenbar,  ohne  die  Abhimdhiug  Scliläflis  zu  kennen,  hat 
Gegenbauer')  dieselben  Formeln  hergeleitet.  Wir  l)emerken  noch, 
daß  Crelier')  neuerdings  durch  eine  Anwendung  von  Integral- 
ausdrücken dieselben  Formeln  entwickelt  hat. 

Setzt  nuin  nunmehr  f{x)  =  c~'^,  so  findet  man: 

(5)  o"(t/)  =  »"c"'!', 

(6)  A\y)  =  0"{ii),     2?"(y)  =  ©"(?/), 

so  daß  wir  hier  eine  neue  Analogie  zwischen  diesen  zwei  Funktionen- 
paaren gefunden  haben. 

Wir  bemerken  noch,  daß  wir  für  z  =  0"{y),  bez.  z  =  £)"{y) 
folgende  Diöerentialgleichungen  erhalten: 

,M«  .     .«TT 

(7)  .<.+  l^..+  (i_!L^).  =  __^+_^, 

(8)  ^(»)  +  i.,ra+(l_!^J),  =  ip.e-.>. 

Wir  kehren  nun  zu  den  Formeln  des  §  112  zurück,  um  die 
eigentliche  Ursache  für  die  für  v  =  0  erhaltene  große  Einfachheit 
dieser  Formeln  aufzusuchen.  Eine  direkte  Ausrechnung  ergibt  für 
diese  Entwicklungskoeffizienten  folgende  Ausdrücke: 

n 

(9)  a'(y)  -  (-  1)'«!  ^J  ^"~^,~"' '  £S  ^'"""(^)' 

p  =  0 

p  =  n 

(10)         Ä"(y)  =  2'  ^S^'  •  o/{y)n"-^Ky)> 

p  =  0  ^  '^'' 

p  =  n 

(11)  B\y)  ^  ^  ^".flj"'  •  S;{y)f^"-PKy), 

p  =  0 


wo  wir  der  Kürze  halber: 


-y 


-  2 


s— 1)!  /2\i'-2s+l 


(13)  0/(,)-2'<'^^^^'(|) 


1)  Sitzungsberichte  der  Wiener  Akademie  Bd.  65  IT,  p.  35;  1872. 

2)  Coniptes  rendu.s  Bd.  125,  p.  421—423.  p.  860—863;  1897. 


286  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

gesetzt  haben,  so  daß  wir  identisch  finden: 

(14)  S:^{y)-S\y),     0:^{y)==0\y), 

während   die   allgemeineren  Funktionen  (12),  (13)   die  Summen  der 

ersten  Glieder  von  S"{y)  und  0'"{y),  mit  einer  passenden  Potenz  von 

y  multipliziert,  darstellen. 

Führt  man  nim  in  den  allgemeinen  Formeln  des  vorhergehenden 
Paragraphen  die  aus  (9),  (10),  (11)  gewonnenen  Ausdrücke  ein  und 
ordnet  man  die  so  erhaltene  Gleichung  nach  den  Differential quo- 
tienten  von  f{y),  so  werden  die  einzelnen  Koeffizienten  rationale 
und  von  f{y)  unabhängige  Funktionen  von  y,  so  daß  sie  offenbar 
identisch  verschwinden  müssen;  denn  es  gibt  ja  unendlich  viele 
Funktionen  f(y),  welche  nicht  Lösungen  von  linearen  Differential- 
gleichungen endlicher  Ordnung  und  mit  rationalen  Koeffizienten  sein 
können;  man  braucht  zum  Beispiel  nur  f{jj)  =  e^'-'  zu  setzen  und 
zu  beachten,  daß  n  eine  transcendente  Zahl  ist. 

Auf  diese  Weise  finden  wir  folgende  Fundamentalformeln: 


(ir,)  0;{y)^^s;{,j)-^ 


n\  \n — ^j      COS'' ^ 


p  \jj        2y    i»  w^    '       riP    ,    A  ^y 


^(f  +  0 


(IG)  S;zl(y)  +  S;il{y)  =  AO;{y) 


(17)  F;zl{y)  -  F;Xl(:y)  =  2i)^F/(v/)  -  (n  -  p)FU,{y), 

wo  in  der  letzten  Gleichung  Fp(y)  sowohl  Op(jj)  als  Sp(y)  bedeuten 
kann;  die  Annahme  p  =  n  ergibt  unmittelbar  die  für  0"(y)  und 
S"{y)  bekannten  Formeln. 

§  114.     Allgemeine  Additionsformel  von  Sonin. 

Wir  setzen  nunmehr  voraus,  daß  F^{x)  eine  willkürliche  Lösung 
der  ersten  Fundamentalgleichung  der  Cylinderfunktioneu  bedeute, 
daß  also: 

(1)  F'~\x)  -  F''^\x)  =  2I)^F'{x) 

ist;  unter  der  weiteren  Annahme,  daß  F''(y  —  x)  in  eine  Taylor- 
sche  Reihe  nach  steigenden  Potenzen  von  x  entwickelbar  ist,  suchen 
wir  diese  Funktion  jetzt  in  eine  Neumannsche  Reihe  erster  Art 
zu  entwickeln,  wo  die  Parameter  sämtlich  ganze  Zahlen  bedeuten. 

Da  die  Koeffizienten  dieser  Neumannschen  Reihe,  dem  Satze 
des  §  112  zufolge,  auch  der  Gleichung  (1)  genügen  müssen,  er- 
halten wir: 


Kapitel  XX.    Neumannsche  Reihen  erster  Art.    §  114.  287 

und     daraus    durch    voUstiiiulige    luduktion    folgendou    ullgemeiiieu 
Ausdruck : 

2a-(y)  =  F^^^ii/)  +  (-  1)"F'  ""(y), 

80   daB   wir   nach   einer  Änderung  des  Vorzeichens  von  x  die  Neu- 
mannsche Reihe: 

(2)     F'(y  +  x)  =  F\y)J'(x)  +  ^  {F^-'{y)  +  (-  iyF^-^'{y))  J'(x) 


$  =  i 


finden,   die  also  überall  anwendbar  ist,   wo  die  Funktion  F^'(y-\-x) 
nach  steigenden  Potenzen  von  x  entwickelt  werden  kann. 

Setzen  wir  weiter  voraus,  daß  sich  F''(x)  in  der  Umgebung 
von  X  =  0  regulär  verhält,  so  dürfen  wir  in  (2)  y  =  0  annehmen 
und  gelangen  so  zu  der  einfacheren  Entwicklung: 

(3)     F'{x)  =  F^{0)J\x)  +  2  (^'"'(0)  +  (-  l)'F^+'(0))j'{x). 

Umgekehrt  haben  wir  in  §  112  bewiesen,  daß  die  Formel  (2) 
auch  ausreicht,  um  die  Funktionalgleichung  (1)  herzuleiten;  damit 
haben  wir  folgenden  allgemeinen  Satz  von  Sonin^)  bewiesen: 

Die  notwendigen  und  liinreicUendcn  Bedingungen  dafür,  daß  die 
FunJition  F''{x)  eine  Additionsformel  von  der  Form  (2)  besitze,  sind 
erstens,  daß  F''{x)  der  Gleichung  (1)  genügt,  und  zweitens,  daß  sich 
F'  (y  -\-  x)  nach  steigenden  Potenzen  von  x  entwicJceln  läßt. 

Wir  betrachten  folgende  Beispiele  solcher  Entwicklungen  etwas 
näher: 

1)  Die  CylinderfunJitionen  seihst]  hier  muß  im  allgemeinen 
\  3c\  <.\  y  \  vorausgesetzt  icerden,  und  nur,  ivenn  die  Fimldion  von  der 
ersten  Art  ist  und  zudem  einen  ganzzahligen  Parameter  hesitzt,  kann 
diese  Bedingung  wegfallen. 

Die  Additionsformel  für  J^(x -{- y)  ist  von  Neuraann^)  ge- 
funden worden,  während  LommeP)  die  entsprechende  Formel  für 
J"{x  -f-  y)  bei  positivem  ganzem  n  gegeben  hat;  Schläfli^)  hat  zu- 
erst die  ähnliche  P'ormel  für  einen  willkürlichen  Parameter  bewiesen. 

2)  Die  Entwicklung slioeffizienten  A"(y)  und  B"(y)  des  §  113, 


1)  Mathematisclie  Aimalen  Bd.  16,  p.  4;  1880. 

2)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen  p.  40;  1867. 

3)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen  p.  27;  1868. 

4)  Mathematische  Annalen  Bd.  3,  p.  136;  1871. 


288  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

Schläfli^)  hat  die  Formeln  für  0''{x -^  y)  und  S'^ix  ^- y)  an- 
gegeben; in  fliesen  Fällen  muß  |  a:  |  <  |  ^  |  angenommen  werden;  die 
Entwicklungen  für  0"(x -\- y)  und  ^{^-{-y)  erfordern  dieselbe 
Bedingung. 

3)  Die  Funktionen  Y'(ic),  ü'{x),  ^\x),  N'ix),  WV{x),  T"{x) 
und  %"(x);  hier  dürfen  x  und  y  tvillkürliche  endliche  Größen  sein. 

Die  Beispiele  1)  und  2)  gestatten  im  allgemeinen  keine  Ent- 
wicklung von  der  Form  (3);  dies  ist  dagegen  immer  für  3)  möglich. 
Schon  in  §  22  haben  wir  diese  Entwicklungen  für  die  genannten 
Funktionen  mit  Ausnahme  von  M"(a;)  gegeben;  für  diese  Funktion 
liefert  aber  (3)  vermöge  §  20,  (13),  (14)  folgende  Entwicklungen: 


sm*  ^^ —        sin^ 


(4)  M-(*)  =  A.^^_±      +_j^lj-W, 


2 


n  -\-  s 

«  =  »  /  .   „  (w  —  s)n         .   ,  (n  -\-  s)Tt\ 
"^  l  sin^  ^ T-^—        sin* 


damit  haben  wir  die  in  §  22  versprochenen  Formeln  hergeleitet. 

§  115.    Verallgemeinerung  von  K^'^^{x).    Die  Differentialgleiclmng 

§  31,  (7). 

Wir  haben  noch  nachzuweisen,  daß  die  Neumannschen  Reihen 
auch  zu  eigentümlichen  Verallgemeinerungen  der  Kugelfunktionen 
Veranlassung  geben.    Zu  dem  Ende  gehen  wir  von  der  Potenzreihe: 

fix)  =  «0  -f  a^x  +  a^x^  -\ h  a^x''  H 

aus  und  finden  so  eine  Neu  mann  sehe  Reihe  von  der  Form: 

?(  =  CO 

(1)  fixyi)  =  (I)"  r  (i.)  •  ^  i^'(v  +  n)Ä^''"{y)J^-+"  (x), 

n  =  0 

wo  wir  der  Kürze  halber: 

n 

gesetzt  haben;  die  Polynome  Ä  werden  sonach  mit  den  Kugelfunk- 
tionen in  dem  speziellen  Falle  identisch,  daß  f(x)  die  Exponential- 
funktion bedeutet. 


1)  loc.  cit.  p.  138,  141. 


Kapitel  XX.    Neumannsche  Reiben  erster  Art.    §  115.  289 

Wir  haben  nun  naohzuweisen,  daß  diese  Polynome  A  für  alle 
/"  eine  einfacli»'  Fundanientalf^leiciiung  befriedigen  müssen.  Um  dies 
einzusehen,  ditVerentiicreu  wir  die  Formel  (1)  nach  y  und  erhalten 
80  mit  Zuhilfenalime  von  i?  112,  (2)  die  Identität: 

(3)     2ir'Kxyi)  =  r{v)  (I)'  {D^Ä'-<^(:y)J^-\x)  +  iD^Ä^^\y))  J^\x)  + 


»  =  i 


diiferentiieren  wir  nun  die  Formel  (1)  nach  x,  so  liefert  eine  An- 
wendung von  §  112,  (4)  mittelst  (3)  die  gesuchte  Fundamental- 
gleichung, nämlich : 

iyI)^A^'-^\y)-yD,jA^'^-'{y)  = 

(4)|  =(m  +  1)^'>''  +  X?/)  +  (2v  +  w-1)^*'''-H«/),     n>\ 

\yD,^A^^{y)  =  A^-\y). 

Umgekehrt  reichen  diese  Formeln  auch  aus,  um  zu  beweisen, 
daß  die  Neumannsche  Reihe  (1),  falls  sie  konvergent  ist,  eine 
Funktion  des  Argumentes  {xyi)  darstellen  muß.  Wir  bemerken  noch 
ausdrücklich,  daß  (4)  sonach  eine  der  Fundamentalgleichungen  der 
Kugelfunktionen  sein  muß,  da  sie  ja  für  alle  A  gültig  ist. 

Um  endlich  die  Polynome  A^''"{y)  als  Entwicklungsfunktionen 
anzuwenden,  suchen  wir  in  (l)  auf  beiden  Seiten  den  Koeffizienten 
der  Potenz  x"  auf  und  finden  so  unmittelbar: 


n 


(5)  (2y)"«.  =  2'.,r(:t«-'Vi)--^""'"(y)i 

spezialisieren  wir  hier  den  Koeffizienten  a^  linker  Hand,  so  erhalten 
wir  die  bekannte  Entwicklung  nach  Kugelfunktionen.  Durch  An- 
wendung dieser  Formel  (5)  läßt  sich  sehr  leicht  die  formale  Ent- 
wicklung einer  Potenzreihe  in  y  nach  den  -4 -Funktionen  darstellen; 
der  strenge  Nachweis  der  Konvergenz  und  die  Bestimmung  des 
Konvergenzbereiches  bieten  dagegen  im  allgemeinen  große  Schwierig- 
keiten dar,  wie  dies  ja  auch  zu  erwarten  war,  denn  dieser  Bereich 
hängt  natürlich  vom  Bildungsgesetze  der  Koeffizienten  a^  ab. 

Setzt    man   f{x)  =  c'   und    v  =  ^-,    so   hat   C.  Neumann^)   be- 
kanntlich   bewiesen,     daß     die    obenerwähnten    Konvergenzbereiche 


1)  Über  die  Entwicklung  einer  Funktion  mit  imaginärem  Argument  nach 
den  Kugelfunktionen  erster  und  zweiter  Art.     Halle  18G2. 

Kielaen,  Cylinderfiinktionen.  19 


290  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

Ellipsen  mit  den  Brennpunkten  (+1,  0)  sind;   betrachtet  man  nun 
weiter  den  Fall  v  =  0,  so  findet  man  leiclit: 


y  —  x       ^ 


«  =  o 


y  —  x       ^  \y 


'r'{j)-i^"{i)'      \^\<\y\ 


n=  1 

Ist  nun  die  Potenzreihe: 

f(x)  =  «0  +  ^'1^  +  %^^  +  '^s^^  +  •  •  • 
konvergent,  wenn   |  ic  |  <  ()  ist,  und  bedeutet  C  einen  mit   |  ^  |  =  () 
konzentrischen    Kreis,    dessen   Radius    eine    beliebig    kleine    Größe, 
kleiner  als  q,  ist,   so  führt  der  Integralsatz  von  Cauchy  zu  folgen- 
den zwei  Entwicklungen: 


«=  CO 


(6)      fw=2^-o"(i)-  /■w-2'^"-«"(i)' 

71  =  0  n  =  l 

wo  wir  der  Kürze  halber: 

gesetzt  haben;  die  Reihen  (6)  sind  also  anwendbar,  falls  |  a;  |  <  ^ 
vorausgesetzt  wird. 

Wir  betrachten  nunmehr  den  Spezialfall,  in  welchem  die  zu 
entwickelnde  Funktion  f^{x)  ein  Integral  folgender  nicht  homogener 
Gleichung  ist: 

(7)  y'''-V^y^'^  +  {i-'^)y  =  ^.9^{x), 

wo  für  hinreichend  kleine  Werte  von  ]  x  \  die  Reihenentwicklung: 

(8)  ^w=2^«,(iy'" 

s  =  0 

gültig  ist.  Setzt  man  voraus,  daß  v  ^q  nicht  einer  ganzen  negativen 
Zahl  gleich  ist,  so  findet  man  auch  für  f^{x)  eine  mit  (8)  analoge 
Entwicklung;  somit  ist  also  die  Existenz  folgender  zwei  Neu- 
mann sehen  Reihen  der  ersten  Art  sicher: 

71  =  00 

(9)  ^? {ax)  =  a^-^{Q^  n) &?> " {a)  J^ ^''{x), 


n  =  0 

72  =  00 


(10)  f^{ax)  =  a?  .  ^  (^  +  n)B^'''{a)J^  +  ''{x), 


Kapitel  XX.    Neumannsche  Reihen  erster  Art.    §  llö.  291 

die  beide  für  hiuläni^lich  kleine  Werte  von  |a:|  anwendbar  sind  und 
in  denen  die  Koeffizienten  fj^jinze  Polynome  in  u  sein  nuisseu. 

Fübrt    niiin    nun    die   Entwicklung    (10)   in   (7)   ein,    so   ergibt 
die  Besselscbe  Differentialgleichung  für  J?  +  *'(a;)  die  Identität: 

w  =  » 

(11)  «^^((>  +  n)5('.''(«)[l-a^+^-^±^=^']j?+''(^)  =  ^.^(a:), 

n  =  0 

aus  der  mittelst  (9)  und  (10)  die  neue  Formel: 

n  =  oe 

(12)  x'ßix)  =  a'^'^  (^,  [{{q  +  ny  -  v')R''"{a)-U'^^'{u)]jQ+"{x) 


n=0 


hervorgeht;  nun  findet  man  aus  (7)  die  weitere  Differentialgleicbung: 
^?lIl(-^  +  L^J^-^J,(^ux)  =  -x^f^{ax)  +  \rß(axy, 

führt  man  hier  die  Reihe  (10)  ein,  so  gelangt  man  schließlich  mit 
Zuhilfenahme  von  (9)  und  (12)  für  ^-"(a)  zu  der  nicht  homogenen 
Gleichung: 


(13) 


«-(1  -  «■)       g^»      +  (2()  +  1) a(l  -  «-)      g^'     + 

welche  als  eine  Verallgemeinerung  derjenigen  für  die  Kugelfunk- 
tionen anzusehen  ist;  der  Formel  §  35,  (1)  zufolge  braucht  man  in 
der  Tat  nur  f^(x)  =  a^e'^  anzunehmen,  um  aus  (13)  die  Differential- 
gleichung der  KugeLfunktionen  herzuleiten. 

Es    ist   noch    zu    bemerken,    daß    (13)  für  a  =  1   folgende  be- 
merkenswerte Formel  liefert: 

eine  Formel,  welche  uns  ein  eigentümliches  Korrespondenzprinzip 
für  die  Entwicklung  der  Funktionen  g^{x)  und  p{x)  in  eine  Neu- 
mannsche Reihe  bietet.  So  liefern  zum  Beispiel  die  Entwicklungen 
§  108,  (1)  und  §  109,  (7)  in  Verbindung  mit  den  Differentialglei- 
chungen für  '^'^(x)  und  0'''?(;r)  folgende  neue  Entwicklungen: 


s  =  0 


(16)  <^'-(^-rw^^;n^-Zs:i^:;^i:+,-^''-^' 


19' 


^:2  Drildter  Teil   Eiiitwidklnii^«&  äiiiaJljtijs(chec  FuuMioueit. 

ler  gsjixeiL  ac-Ebene  anwendbar  süidj    ifur  9  =  0  erhält 

§  ^,  (16),  (18)  wieder.  Sefest  man  uocli  in  (15) 
9  =  r  Hh  1,  so  ünddt  mau  mittelst  §  30,  (7)  fblg^eude  andere  Ent- 
wicklang: 

die  fBr  eir   _:     -t?«  und  uiekt  negatires  1»  von  P.  Siem       '  befanden 
<:.     A;:'     '    -4be  Weise  gewinnt  man  aus  ^   I  "     die 


u.^.o- 


Kapitel  XXI. 

lue   NoiiiUMiinlit'ii   lu'ilieu  zwoiier   An. 

§  llttv      Alicemeine   FormoLu, 
Wir  ..   v:...^..-.. xi:    .....    ....l^.v.Iv^^o  Kcihe: 


(ly        ^  :J    '  J 


iu  der  die  Koeffizio' '  •  »^  von  .;  •  .  V.iüigig  sein  sollen;  faiireu 
wir  in  diese  Reihe  ui  je^ies  Produo.;  ^loeier  Cyliiidexfanktioiieu  die 
Reihe  §  6,  (4)  ein,  so  erhalten  wir  eine  Doppelreihe,  die  auiüog  zu 
A  in  §  102  ist  Wir  ordnen  nun  die  Glieder  dieser  Doppelreihe 
nach  steigenden  Potenien  von  x  und  finden  etae  Gleichung  vou  der 
Form: 

«=(j  «5=0 

wo  wir  der  Kurve  halber: 


'^    'ir^^^)'(''  + 


»=i 


gesetzt  haben. 


1)  Prograiuiu  der  Lukenschole,  BerUu  ISdO. 


Kftpitel  XXJ.    Keuxumiuch«  Ueibm  zveiter  Art    |  116.  ^3 

Wir   Hctz^^n   beispielsweiBe  zunächst  öy,  —  1>  «j,  +  i  "-  0  und  ge- 
langen Bo  zu  der  eleganten  Fonnel: 

aus  der  lur  r  =  p  =  J  folgende  EntwickJung  für  den  InWgraifiUJUB: 

« =  -jt 
(5)  S,{2x)  =  ^.^(.r\{x))' 


•  =  0 


hervorgeht,  die  auf  andre  Weise  Ton  Lommel')  gefunden  worden  ißt 
Weiter  »etzen  wir: 


)'y\  «»,+.  =  0 


P-I/-1,  «,^  =  (-1/ 

und  erhalten  §o  mitteL^t  (rj  die  bemerkenswert«  Fonnel: 

(6)  J'^i2x)  =l/f  -^  (-  l/f'^)r'^*(^)*^'^'-i(r), 

welche  als  die  umgekehrte  Formel  zu  §  107,  (4)  angesehen  werden 
kann. 

Kehren  wir  nun  zur  allgemeinen  Gleichung  {?>)  zurück,  so  ist 
ofiFenbar,  daß  sie  genau  von  derselben  Y()Tm  wie  §  107,  (2)  ist;  wir 
finden  also  mittelst  §  107,  (6)  für  a^  den  allgemeinen  Ausdruck: 

^  ^    ik  *!r(^l^  +  n-2*+l) 

vorauwgesetzt    allerdings,    daß    keine    der    drei   Zahlen   -^ ,  ^,  ^—[-- 

negativ  ganz  ist.  Diese  Bestimmung  von  a,  ist  also  eindeutig,  und 
die  gewöhnliche  Methode  führt  somit  zu  folgendem  allgemeinen 
Satze: 

V.     ^VcMn  heiivß  der  drd  ZfjhUn  —,  -|-,  — |-^  n&jativ  (janz   ist, 

kann  eine  Pofenzreihe  immer  eindeutig  in  eine  Heilve  entwicf:elt  vcerden, 
tceldie  juieh  Produkten  zweier  CylimlerßmktUjrten  fortachraitet: 


n-tti 


1  =  9  11  =  0 


1)  Abhandlangen  der  Münchener  Akademie  Bd.  14,  p.  550;  1884. 


294  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

in  der  sich  die  Koeffizienten  a„  aus  der  Formel: 

-Tr(4^  +  »-.)rf-±-»-s  +  >)r(4l'-«  +  .) 

/v  +  e  ,     \    -ST    ^     ^    ^    ^ ^    ^    ^ i. 


«  =  0 


s!r(^  +  «-2s+l) 


hestimmen  lassen.    Diese  Neumann  sehe  Reihe  zweiter  Art  hat  genau 
dieselben  Eigenschaften  wie  diejenige  der  ersten  Art. 

Für  den  Fall,  daß  v  =  q  =  0  oder  v  =  (>  =  -|-  und  sonst  alle 
Parameter  der  Cylinderfunktionen  ganze  Zahlen  sind,  ist  dieser  Satz 
zuerst  von  Naumann^)  aufgestellt  worden,  während  LommeP) 
einzelne  Potenzen  von  x  in  eine  solche  Reihe  entwickelt  hat. 
Gegenbau  er  ^)  gibt  den  allgemeineren  Fall  v  =  q,  während  Kap- 
teyn^)  den  Fall  mit  lauter  ganzen  Parametern  von  einem  all- 
gemeineren Gesichtspunkte  aus  untersucht  hat. 


§  117.     Anwendungen.     Entwicklung  von 


y—x 

Obgleich  die  Neumann  sehen  Reihen  zweiter  Art  in  der  Theorie 
der  Cylinderfunktionen  nicht  eine  so  wichtige  Rolle  zu  spielen 
scheinen  wie  diejenigen  der  ersten  Art,  so  gestatten  sie  doch  einige 
interessante  Anwendungen. 

So  gewinnen  wir  zum  Beispiel  folgende  zwei  Entwicklungen: 


(1) 


(2) 


X-  ^Jx^  (/''  -  ^  {x)  J'  (x)  +  Jf  (x)  J'  - 1  (x))  dx  = 

-  rf±P)-,§      r(»+x+-t|±.)   -'^"-W'^'-Wi 


1)  Sitzungsberichte  der  Leipziger  Akademie  1869,  p.  221 — 256.        Mathe- 
matische Annalen  Bd.  2,  p.  192;  Bd.  3,  p.  581—610. 

2)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen  p.  48;  1868. 

3)  Sitzungsberichte  der  Wiener  Akademie  Bd.  75  II,  p.  216—222;  1877. 

4)  Annales  de  TEcole  Normale  (3)  Bd.  10;  1893. 


Kapitel  XXI.    Neumannsche  Ueihea  zweiter  Art.    ^117.  295 

für  ()  =  1,  /*  =  i,  V  =  —  i,  liefert  (1)  die  speziellere  Formel: 

Auf  ähnliche  Weise  erhalten  wir: 

f  =:  OD 

(4)     cos2x  =  ^[/'(x)J~\x)-^^(~  l)'4sf^^(.i^j"^{x)), 


1  =  1 

1  =  00 


(5)  sin  2x  =  2x-  2%x  ■  ^  j'^  '  i^)j'    ''(^); 

diese  fünf  Formeln  sind  also  in  der  ganzen  a:-Ebene  anwendbar. 
Für  eine  einzige  Potenz  erhalten  wir  die  Entwicklung: 

/xy  +  Q  «  =  » 

(6)  rr  iVn   mu=  ^  "^^J^C  ^ ''^ ')  J'''i^)J'"(^y. 

^  l   {V  -\-  l)  r {Q  -\-  1)  ,  =  0      V  -\-  Q  -\-S     \  S  /  ^     ■'  ^     ^' 

für  V   imd   p  gleich   der  Hälfte   einer  positivei;  ungeraden  Zahl   ist 
diese  Formel  zuerst  von  LommeP)  angegeben  worden. 

Setzen  wir  weiter  in  (6)  v  -\-  q  =  0  oder  v  -{-  q  =  1,  so  ge- 
langen wir  durch  die  in  §  108  angewendete  Methode  beziehentlich 
zu  folgenden  zwei  Formeln: 


(2py.^ll-'p        .^s2p 


rrw4-14-v)rr;;4-l  — j'U  2  / 

«  =  00  p  =  n 


(7)       2  (2^)"./- w  j- w  -'2w+:+.;u,+r-.)  (f )' 


in  denen  die  Koeffizienten  %  dieselben  wie  in  §  108  sind.  Beide 
Formeln  sind  ja  der  Schlömilchschen  Entwicklung  §  108,  (5) 
ganz  ähnlich,  sie  bieten  aber  größere  Eigentümlichkeiten  dar,  indem 
wir  wegen  der  letzten  Gammafunktionen  im  Nenner  rechter  Hand 
folgenden  Satz  finden: 

Wenn  v  gleich  einer  ganzen  Zahl  und  größer  als  n,  hez.  n  +  1 
angenommen  ivird,  haben  die  unendlicJien  Reihen  linher  Hand  in  (7), 
(8)  beide  die  Summe  Null. 

Es  ist  indessen  offenbar,  daß  diese  Nullentwicklungen  nur 
formale  Identitäten  sein  können,  weil  sich  ja  beide  unendliche  Reihen 
als  Fotenzreihen  schreiben  lassen. 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  2,  p.  633;  1870. 


296  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

Wir  betrachten  ferner  die  Neumannsche  Reihe  zweiter  Art 

''  71  =  0 

WO  «0=1,  f „  =  2  für  n  >  0  anzunehmen  ist,  und  wo  man: 
y  -|-  p  -j-  2w 


(10) 


U'.c.''(i/)  = 


+  .)r( 


p  =  0 


V  -\-  ^  -\-  In  —  2^ 


P 


■(l  +  ')^(l  +  >) 


gesetzt  hat.  Im  allgemeinen  genügt  diese  in  y  rationale  Funktion 
VC'^''^{y)  einer  linearen,  nicht  homogenen  Differentialgleichimg  der 
vierten  Ordnung,  in  welcher  der  DifFerentialausdruck  linker  Hand 
zu  dem  in  §  112,  15  analog  ist.  In  dem  Spezialfälle  q  =  v  erhält 
man  für  die  Funktion: 

(11)  ^  =  U'''''"(y)  =  U'."(?/) 

folgende  Gleichung  dritter  Ordnung: 
4  — 2v     ,2^ 


(12) 


:  P^    + 


y 


^(2)  + 


wo  man  der  Kürze  halber: 


8  — 4v  ,  («+l)(n  — 1— i')(l+j')' 


2/ 


)^  =  ^„(!/); 


(13) 


V  -\-  n         \     n    /  ^  \y  J 


V  -|-  2«  + 


1     vi     2     j;    /i;  +  n  +  l 


(13a)        ^2„+i(2/)  =  -^  2  1.  +  «  + 

gesetzt  hat.     Für  v  =  0  nimmt  (12)  die  elegante  Form: 


n"+r')(7)' 


4  cos^ 


,  WTf 


(14)    ^3,+  i,«+(4  +  l^')„.,+  (|  +  ?ü_^),_      ^. 

an,  und  damit  haben   wir  eine  neue  Analogie   zwischen  den  Neu- 
mann sehen  Reihen  der  ersten  und  der  zweiten  Art  nachgewiesen. 

Ist  keine  der  drei  Zahlen  --    4r,     T  ^  eine  ganze  Zahl,  so  ist 

es   auch  möglich,   eine   sogenannte  Laurentsche  Reihe   im   ganzen 


0  Kapitel  XXI.    Neumannsche  U<«ihen  zweiter  Art.    §  HS.  297 

Kreisringe  der  Koiivergen/,  nuch  l'rudukten  /.weier  Cylinderfunktiom'ii 
zu  entwickeln'),  wir  «(clien  indessen  auf  diese  Frage  hier  nicht 
näher  ein. 

Hier  brechen  wir  unsere  Untersucliungen  ül)er  die  Neu  man  n- 
schen  Heiheu  ab.  Die  zwei  folgenden  Entwickhuigen  sind  ja  in  der 
Tat  nicht  eigentliche  Neumannsche  Reihen;  gleichwohl  ziehen  wir 
es  vor,  sie  in  diesem  Kapitel  hier  einzufügen. 


§   118.     Andere  Entwicklungen  nach  Produkten  zweier 

Cylinderfunktionen. 

Wir  gehen  noch  einmal  von  der  Formel  §  109,  (3)  aus,  indem 
wir  sie  folgendermaßen  schreiben: 

(1)    (f)'^v-.(.) = 2'-rif?^'r r  o^'-^'W' 


»i  =  U 


und    setzen    nun    in   dieser  Formel  nacheinander  v-\-l,  v-{-2,  •■ 
für  V,  so  daß  wir  leicht  folgende  allgemeine  Entwicklung  finden: 


n=  00 


(2)  J-W-^^.(f)"-(|)"^-^«,J-"W, 

n=0  n=0 

in  der  wir  der  Kürze  halber: 


n 


s  =  0 

gesetzt  haben. 

Sehen  wir  von  dem  speziellen  Falle  ab,  in  welchem  die  durch 
die  Potenzreihe  linker  Hand  in  (2)  dargestellte  Funktion  in  den 
Nullstellen  von  J-c{x)  Pole  erster  Ordnung  hat,  sonst  aber  keine 
endliche  singulare  Stelle  besitzt,  so  hat  die  Entwicklung  rechter 
Hand  in  (2)  die  gewöhnlichen  Eigenschaften  einer  Neumannschen 
Reihe;  denn  die  Multiplikation  mit  der  Cylinderfunktion  linker  Hand 
kann  ja  in  diesem  Falle  die  Konvergenz  oder  Divergenz  der  Potenz- 
reihe gar  nicht  ändern. 

Setzen  wir  weiter  in  (2)  ^  —  1  für  q,  v  +  1  für  v,  so  gelangen 
wir  zu  folgender  ähnlicher  Formel: 

(4)  J-.-w  '^K (y)"  =  iT" -T^J-'-^i-)' 

n  =  0  n  =  0 

1)  Man  vergleiche  meine  Abhandlung  in  Mathematische  Annalen  Bd.  52. 


298  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen, 

in  welcher: 


n 


(5)  <=(v+n+i).^J(;+;-^+'^{~^-^-''+y„_,, 

gesetzt  ist.  Multiplizieren  wir  nun  die  Formel  (4)  mit  J^{x),  die 
Formel  (2)  aber  mit  J^-'^{x),  so  gewinnen  wir  durch  Anwendung 
der  Lommelschen  Fundamentalformel  für  die  gegebene  Potenzreihe 
die  neue  Entwicklung: 

S  =  CO 


(6) 


\  n=0  w=0  / 


Sin  TtQ 

damit  haben  wir  folgenden  Satz  bewiesen: 

VI.  Wenn  q  Jceine  ganze  Zahl  ist  und  v  nicht  negativ  ganz 
angenommen  wird,  so  läßt  sich  eine  Potenzreihe  mittelst  der 
Formel  (6)  entivickeln,  und  die  so  erhaltene  CylinderfimMionenreihe 
hat  genau  dieselben  Eigenschaften  ivie  eine  gewöhnliche  JSfeumannsche 
Beihe. 

Die  Entwicklungskoeffizienten  dieser  neuen  Reihe  sind  indessen 
recht  kompliziert;  noch  schlimmer  wird  die  Sache,  wenn  q  eine 
ganze  Zahl  bedeutet,  denn  in  diesem  Falle  wird  der  Ausdruck  rechter 
Hand  in  (6)  unbestimmt,  und  die  notwendige  Differentiation  nach 
Q  macht  die  Koeffizienten  sehr  zusammengesetzt. 


§  119.     Über  die  Reihe  Ta^J''  +  ''{x)jQ-''{x). 
Wir   gehen    endlich    von    der  Formel   §  6,  (4)   aus   und  finden 


(1) 


nach  einer  leichten  Umformung  die  Potenzreihe: 


/a;y  +  e  +  2« 


-i-s-\-l){v-^s-\-2)---{v-\-s-\-n)    r(i;  +  s+l)r(p  +  s+l 


«  =  0 

weiter  bezeichnen  wir  mit    a^,  n^,  «2?  •  •  •  willkürliche  Koeffizienten, 
welche  nur  so  beschaffen  sein  müssen,  daß  die  Reihe: 

(2)        f(.,.)^«,+l«..;'v-'>-+t"^ 

5=1 


Kapitel  XXI.    Noumann.scho  Keihen  zweiter  Art.    §  119.  299 

unbedingt  konvergeat  ist,  falls  9i(f)>Q')  voniusgesetzt  wird;   wir 
erhalten  so  ohne  Schwierigkeit  aus  (1)  die  Entwicklung 


■'i- 


(3) 


'    p  =  OD 


.^(_„.(-  +  »^+^«)(0-'-- 


die  anwendbar  ist,  wenn  nur  9i(i/)  >  ß  angenommen  wird;  denn  in 
diesem  Falle  wird  die  Reihe  rechter  Hand  unbedingt  konvergent. 

Setzt  man  zum  Beispiel  a^  =  (—  1)',  so  findet  man  mittelst 
einer  Stirlingschen  Formel: 

F(v,9)  =  ^,         9?(^  +  (>)>0; 

mithin  ergibt  (3)  in  dem  speziellen  Falle  q  =  v  folgende  bemerkens- 
werte Formel: 

;)  =  ® 

p  =  l 

Führt  man  ferner  in  der  folgenden  Reihe  für  jedes  Produkt 
zweier  J-Fimktionen  die  entsprechende  Reihe  (1)  ein  und  setzt  man 
außerdem  |  «  |  <  1  voraus,  so  findet  man: 

p=-x  s  =  0 

mm  ist  in  dieser  Formel  die  Reihe  rechter  Hand  offenbar  nichts 
anderes  als  eine  Cylinderfunktion;  dies  führt  zu  der  merkwürdigen 
Formel: 

(5)  ^'  H  +  f)  =  ^  a-'-'PJ'+P{x)J-P{x),        \a\<l. 

P——IX 

Setzt  man  hier  endlich  x  für  ax  und  y  für  —,    so  gewinnt  man 


X 

a 
folgende  neue  Additionsformel: 


(6)      J^{x  +  y)  =  ^[fi-'-^-J^'^p{y^j)J-p{yxy),       \x\<\y\, 

p=  —  CK 

welche    nicht    mit    den    vorhergehenden    in    den    §§  104,  111,  114 
gegebenen  Additionsformeln  zusammenfällt. 


1)  Man  vergleiche  meine  Abhandlung  über  die  Fakultätenreihen  in  An- 
nales de  TEcole  Normale  (3)  Bd.  19;  1902. 


300  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

Nimmt  man  in  (5)  v  gleich  der  ganzen,  nicht  negativen  Zahl  n 
an,  so  kann  die  Bedingung  |  a  |  <  1  wegfallen,  und  die  Formel  wird 
für  jeden  endlichen  Wert  von  a  anwendbar. 

Die  Annahme  a  =  e'^  führt  zum  Beispiel  mittelst  (5)  zu  den  in 
§  2'2,  (8)  und  (9)  für  ganze  v  gegebenen  Fourier sehen  Reihen, 
welche  zuerst  von  Schlaf li  gefunden  worden  sind. 


Kapitel  XXII. 
Die  Kapteyiischen  Reihen  erster  und  zweiter  Art. 

§  120.    rormale  Entwicklung  von  x^'  in  eine  Reihe  der  ersten  Art. 

In  den  letzten  Jahren  hat  W.  Kapteyn^)  eine  neue  Entwicklung 
einer  Potenzreihe  nach  Cylinderfunktionen  gegeben,  welche  wir  hier 
zu  verallgemeinern  haben.  Zu  dem  Ende  setzen  wir  für  den  Augen- 
blick voraus,  daß  es  möglich  sei,  die  Potenz  x^'  in  eine  Reihe  von 
folgender  Form  zu  entwickeln: 

7!  =0 

und  daß  es  weiterhin  möglich  sei,  diese  Reihe  dadurch  in  eine 
Potenzreihe  umzuformen,  daß  wir  für  jede  Cylinderfunktion  rechter 
Hand  die  gewöhnliche  Entwicklung  einführen.  Eine  solche  Um- 
formung der  Reihe  liefert  aber  zur  Bestimmung  der  noch  unbekannten 
Koeffizienten  al«  die  Gleichungen: 


V 

V 


und  allgemeiner,  wenn  n  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet: 


s=  n 


/QN  0   =     V  (-1)    (^  +  2g) 


^  («  —  s)!  r(v  -f  »  -f  s  -f  1) 


«2 


«• 


s  =  0 


Ans  diesen  Gleichungen  findet  man  durch  vollständige  Induktion 
für  die  Koeffizienten  «  den  allgemeinen  Ausdruck: 


y*)  «2  n  = 


V 


n\     (v  +  2n/  +  ^' 


1)  Annales  de  r:ßcole  Normale  (3)  Bd.  10;  1893 


Kapitel  XXII.    Kapteynsche  Reihen  erster  und  zweiter  Art.    §  120.      301 

in  der  Tat  leuchtet  ja  ein,  daß  wir  für  kleine  Werte  von  n  wirklich 
Ausdrücke  von  der  Form  (4)  erhalten.  Setzen  wir  nun  voraus,  daß 
(4)  für  Uq^,  Ot*,  .  .  .,  «sn-a  richtig  sei,  so  haben  wir  aus  (3)  den 
Koeffizienten  «i,,  zu  bestininien.  Führen  wir  in  diese  Formel  wirk- 
lich die  Ausdrücke  für  die  vorhergehenden  Koeftizienten  ein,  so 
kommt  es  ofl'enbar  darauf  jin,  die  Gleichheit: 

^^  fri  'r(v  +  n-f;/-fl)  \ii) 

nachzuweisen;  denn  dann  und  nur  dann  erhalten  wir  für  ««n  den 
Ausdruck  (4). 

Die  Formel  (ö)  läßt  sich  aber  ohne  Mühe  durch  vollständiore 
Induktion  beweisen;  um  dies  zu  erreichen,  setzen  wir  der  Kürze 
halber: 

;f^        rci'  +  n  +  p  +  i)        \i,) 

und  finden  dann  durch  eine  einfache  Reduktion: 

p  =  0 

da  sich  die  Gleichung  (5)  für  kleine  Werte  von  n  leicht  beweisen 
läßt  und  wir  sie  für  w  —  1  als  gültig  annehmen ;  addiert  man  nun 
aber  diesen  Ausdi-uck  für  4nX^'lJ  zu  X,",  so  erhalten  wir: 

X;  =  (.  +  2,0'  f  ^,^^'^-1^' (;)  =  (.+  2,0'X,-S 

p  =  0 

woraus  durch  Wiederholung  dieses  Prozesses  die  allgemeinere 
Formel : 

X„"  =  (v  +  2w)2"-2Xi 

hervorgeht;  nun  findet  man  aber  für  X,/  folgenden  anderen  Aus- 
druck : 

p—n 

riv-\-p) 


p  —  O 


p  =  0 

die  Prinzipien  der  Differenzenrechnung  ergeben  dann  ohne  weiteres, 
daß  XI   und   somit  auch  X«   gleich  Null  sein  muß;    also  ist  (4j  all- 


gemein bewiesen. 


302 


Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 


Es  erhellt,  daß  unser  Beweis  hinfällig  wird,  sobald  v  gleich 
Null  oder  einer  ganzen  negativen  Zahl  angenommen  wird;  im  ersten 
Falle  hat  man: 

während  im  zweiten  Falle  die  Gleichungen  (2)  und  (3)   nicht  mehr 
die  Koeffizienten  «L  bestimmen. 


(1) 


§121.    Unbedingte  Konvergenz  der  Entwicklung  für  x^ 

Wir  haben  nun  zu  beweisen,  daß  die  unendliche  Reihe: 


unbedingt   konvergiert,   falls    |  x  \    eine    gewisse   Grenze   nicht  über- 
schreitet.   Zu  diesem  Zwecke  wenden  wir  die  aus  §  2,  (3)  erhaltene 


Ungleichheit: 


J'"(i)  < 


— 1 

4cu 


l2-||r(«  +  i)| 

an,  wo  ^(co)  als  positiv  und  sehr  groß  anzunehmen  ist.  Bezeichnet 
nun  weiter  ii^  das  allgemeine  Glied  unter  dem  Summenzeichen  in  (1), 
so  finden  wir: 

(1)1 


l«J< 


\v-\-2n\^"-''e 


nl\v  -\-  n\  ■  \v  -{-  n-{-  1\  ■  ■  ■  \v  -\-2n\ 
so  daß  die  Stirlingsche  Formel  (fg)  zu  der  weiteren  Ungleichheit: 

1  + 


M<K^ 


-2n 


führt,  wo  K  eine  endliche  positive  Größe  bedeutet;  der  zuletzt  ge- 
fundene Ausdruck  ist  einem  von  Cauchy^)  gegebenen  sehr  ähnlich. 
Diese  Überlegungen  zeigen  uns  aber,  daß  die  Reihe  (l)  wie 
eine  Potenzreihe  konvergiert,  falls  |ir|  <  Q(l)  angenommen  wird,  wo 
Q(l)  die  positive  Wurzel  der  transcendenten  Gleichung: 


(2) 


r       1  +  — 


bedeutet  oder  nach  Kapteyn^)  näherungs weise: 
(3)  Q(l)  =  0,659.-. 


1)  Comptes  rentlus  Bd.  13,  p.  687;  1841. 

2)  Annales  de  l'ficole  Normale  (3)  Bd.  10,  p.  120;  1893. 


Kapitel  XXIT.    Kapteynsche  Reihen  erster  und  zweiter  Art.    §  121.      303 

ist.    Als  Corollar  zu  dem  vorhergehendeii  Resultate  erhalten  wir  also 
den  Satz,  daß  die  Summe  der  Reihe: 

r,      .      \\      1/»'+'-«    V"^*"'^*'' 


(4)  2" 


pA     "!i'!|(v  +  2n)''  +  ^||r(^  +  2n  +  p)| 

mit  unendlich  wachsendem  n  der  Grenze  Null  zustreht,  wenn  nur 
|a;|  <  Ö(l)  ist,    ein  Resultat,    das  uns  bald  sehr  nützlich  sein  Avird. 

Nach  diesen  Erörterungen  schreiben  wir  die  Reihe  (1)  als 
Doppelreihe,  indem  wir  für  jede  Cylinderfunktion  die  entsprechende 
Reihenentwicklung  einführen,  und  zwar  schreiben  wir  sie  so,  daß 
die  Glieder,  welche  dieselbe  Potenz  von  x  enthalten,  die  Vertikal- 
reihen bilden.  Nun  haben  wir  soeben  bewiesen,  daß  die  Horizoutal- 
reihen  allesamt  unbedingt  konvergieren,  wenn  nur  |a;|<Q(l)  voraus- 
gesetzt wird.  Die  Vertikalreihen  haben,  von  der  ersten  abgesehen, 
sämtlich  die  Summe  Null,  wie  deutlich  aus  §  120,  (5)  hervorgeht, 
während  die  erste  Vertikalreihe  die  Summe  x^' :  (2''v^)  besitzt;  damit 
haben  wir  aber  folgenden  Hilfssatz  bewiesen: 

W(ynn  V  eine  endliche  Größe  bedeutet,  ivelche  Jceme  ganze  negative 
Zahl  ist,  sonst  aber  ganz  ivillkürlich  sein  kann,  ist  die  Entwicklung: 


i=  cc 


(5)     m-^'-^^T^^^-'-n^^^^)^) 

jedenfalls  unhcdingt  konvergent,  tvenn  nur  \x\<iQ.{\)  vorausgesetzt 
tvird,  und  diese  Entwickhing  ist  nur  auf  eine  Weise  möglicli. 

Wenn  v  gleich  Nidl  ist,  reduziert  sich  (5)  auf  die  Identität  1  =  1. 

Setzen  wir  v  als  positiv  und  ganz  voraus,  so  finden  wir  nach 
der  in  §  108  angewendeten  Methode  folgende  elegante  Formel: 

wo  p  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet,  während  e  gleich  1  oder  2 
zu  setzen  ist,  und  wo  wir  der  Kürze  halber: 

gesetzt  haben;  die  Zahlen  33,  für  welche  r^2^  ist,  müssen  dem- 
nach verschwinden. 

Die  Formel  (6)  hat  Ähnlichkeit  mit  §  108,  (5). 


304  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

§  122.    Die  allgemeine  Kapteynsche  Reihe  der  ersten  Art. 

Wir  betrachten  nunmehr  die  Potenzreihe: 

(1)  fix)  =  «0  +  «1  (I)  +  «^2  (y)"  +  «^3  (y)     +  •  •  • 

mit  dem  Konvergenzradius  ^;  die  einzelnen  Glieder  dieser  Reihe 
können  nun  mittelst  §  121,  (5)  in  eine  Kapteynsche  Reihe  ver- 
wandelt werden,  wenn  wir  nur  in  der  obenerwähnten  Formel 
v-f-1,  V  -\-  2,  i^-f-3,  •••  für  V  setzen  und  dann  durch  x^'  :  2"  divi- 
dieren. Auf  diese  Weise  erhalten  wir  eine  Doppelreihe,  deren 
Horizontalreihen  von  den  obenerwähnten  Kapteynschen  Reihen 
gebildet  werden;  wir  denken  uns  sie  so  geschrieben,  daß  die  Glieder 
mit  derselben  Cylinderfunktion  die  Vertikalreihen  unserer  Doppel- 
reihe bilden. 

Es  ist  dann  offenbar,  daß  die  Horizontalreihen  sämtlich  un- 
bedingt konvergieren,  wenn  erstens  l^r]  <  Q(l)  und  zweitens  |^|  <  ^ 
ang-enommen  wird.  Wenden  wir  uns  nun  zu  den  Vertikalreihen 
unserer  Doppelreihe,  so  finden  wir  im  allgemeinen: 


n 


f9\         Q         r  +  "(^v  +  n)x)      ^(v^n-2p)mv-\-n-p) 

^^^         ''«"       (v  +  nY^^        '^,  p!(.-f<-^-  •^«-^^' 

wir  haben  daher  noch  die  Bedingungen  dafür  zu  finden,  daß  auch 
die  aus  (2)  mit  unendlich  wachsendem  n  erhaltene  unendliche  Reihe 
unbedingt  konvergiert.  Offenbar  dürfen  wir  uns  dann  darauf  be- 
schränken,  n  als  gerade  Zahl  anzunehmen,  denn  der  Fall,  wo  n  un- 
gerade ist,  läßt  sich  auf  ganz  dieselbe  Weise  behandeln. 
Wir  setzen  also: 

wo  der  Kürze  halber: 

{v  -\- n)  [v  -\- n -{- 1)  ■  ■  ■  [v  -\- n -\- x>  —  !)■«(«  —  1)  •  •  •  («  —  P  -|-  1) 

gesetzt  worden  ist;  außerdem  führen  wir  der  Bequemlichkeit  wegen 
folgende  Bezeichnung  ein: 

_  ''^2p  +  2  ^  {v-\-n-\-  p)  {n  —  y) 

Nun    finden    wir    für    endliche,    aber   hinreichend    große  Werte 
von  n,  daß  sich  \v  \  mit  wachsendem  n  mehr  und  mehr  dem  Werte 


Kapitel  XXII.   Kapteynsche  Reihen  erster  und  zweiter  Art.    §  122.     305 

1:4  nähert;  hierüber  behaupte  ich,  daß  N'p' >  h';,  +  i !  «^^'i'i  i'ii'li, 
falls  mir  u  und  /)  liinlänglich  ffcoQ  augeuuunneu  werden;  es  leuchtet 
nämlich  ein,  dab  dann : 

in-p)in+2y+\v\)<{2n-\v\y 
sein  niuB.    \N'ir  bezeichnen  ferner  mit  A  den  größten  Wert,  welchen 

überhaupt  annehmen  kann,  und  finden  somit  durch  Zuhilfenahme 
der  Formeln  des  vorhergehenden  Paragraphen,  daß: 

\S,^\<nÄ-\v-\-2n\\[l\e     U  I) 

Bein  muß,  so  daß  die  Vertikalreiheu  S„  jedenfalls  unbedingt  kon- 
vergieren, wenn  zugleich  |a;|  <  Q(l)  und  ja:j  <  Q(())  angenommen 
wird,  wo  ß(p)  die  positive  Wui-zel  der  transcendentcn  Gleichung: 

(3)  ^.e     ^  =Q 

bedeutet;  damit  haben  wir  folgenden  allgemeinen  Satz  bewiesen: 

VII.    Wenn  v  eine   endliche    Größe    hedeutct,    die  jedoch   keiner 
ganzen  negcdivcn  Zahl  gleich  sein  darf,  läßt  sich  die  Potenzreihe: 


/'(^)=2«n(Y)" 


n-0 


mit  dem  Konvergensradius  q  in  eine  Kapteynschc  Reihe  der  ersten  Art: 

(4)        fix)  =  (!)•  '2  ^^  •  j-"((- + «)  x) 

entivicMn,  wo  sich  die  Koeffizienten  h^  aus  der  Formel: 


n 
<  — 

-  2 


(5)  K  =  ^ 


a„ 


berechnen  lassen.  Die  EntivicTdung  (4)  ist  eindeutig  hestimmt,  und 
die  so  erhaltene  CylinderfunMionenreihe  ist  jedenfalls  unbedingt  kon- 
vergent, falls  |a;|  <  Q(l)  und  \x\<iQ{Q)  angenommen  wird;  tvenn 
V  =  0  ist,  reduziert  sich  das  erste  Glied  rechter  Hand  in  (4)  auf  a^. 

Kapteyn^)  hat  diesen  Satz  für  den  Fall  v  =  0  und  ^  ^  1 
bewiesen. 

Wir  haben  also  die  Existenz  der  Kapteynschen  Reihe  in  aller 
Strenge  nachgewiesen;   wir  wissen  aber  nicht,  ob  der  obenerwähnte 

1)  Annales  de  l'Ecole  Normale  (3)  Bd.  10,  p.  120;  1893. 

Nielsen,  Cylinderfunktionen.  20 


306  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

Kreis,  in  dessen  Innern  die  Reihe  sicher  nnbedingt  konrergiert, 
wirklich  mit  dem  vollständigen  Bereiche  der  imbedingten  Konver- 
genz dieser  Reihe  zusammenfällt;  daß  dieser  Kreis  jedenfalls  mit 
dem  Bereiche  der  Konvergenz  einer  Kap tevn sehen  Reihe  über- 
haupt nicht  zusammenfällt,  ist  außer  allem  Zweifel,  wie  die  aus 
der  Kepler  sehen  Gleichung  hergeleitete  Formel  §  2'd,  (^6)  deut- 
lich zeigt. 

Im  allcfemeinen  scheinen  die  Bereiche  der  unbedino-ten  und  der 
bedingten  Konvergenz  einer  Kap teyn sehen  Reihe  nicht  identisch 
zu  sein,  so  daß  es  einen  endlichen  Bereich  der  a;-Ebene  geben  muß, 
in  welchem  die  Kap  teyn  sehe  Reihe  nur  bedingt  konvergiert  und 
doch  eine  analytische  Funktion  von  .r  darstellen  muß,  ein  Verhältnis, 
welches  ich  schon  bei  gewissen  Fakultätenreihen  nachgewiesen  habe^). 

Indessen  scheint  die  allo-emeiue  Beantwortimo-  der  Frage  nach 
dem  Kouvergenzbereich  einer  Kap  teyn  sehen  Reihe  recht  schwierig 
zu  sein;  man  muß  nämlich  zuerst  den  asymptotischen  Wert  von 
e7'(v.r)  bestimmen,  wenn  3^(v)  äußerst  groß  und  positiv  angenommen 
wird,  während  |  x  |  eine  endliche  Größe  bedeutet.  Bisher  hat  man 
aber  nur  den  Fall  bemeistern  können -\  in  welchem  r  positiv  und  x 
reell  angenommen  werden,  imd  selbst  dieser  spezielle  Fall  bietet 
noch  g-roße  Schwierigkeiten  dar. 

§  123.    Die  Kapteynsclien  Reihen  der  zweiten  Art. 

Die  Neu  mann  sehen  Reihen  der  zweiten  Art  veranlassen  uns 
ganz  natürlich  dazu,  eine  Reihe  von  folgender  Form  zu  untersuchen: 

(1)    2''y^((:-p-+">y~^{H^+")')-^ 

für  eine  solche  Reihe  schlagen  wir  die  Bezeichnimg  Kapfeynsclw 
Reihe  der  siceiten  Art  vor. 

Um  die  Existenz  einer  solchen  Entwicklung  nachzuweisen,  haben 
wir  die  Methode  der  §§  120,  121  auf  die  vorläufig  rein  hypothetische 
Entwicklimo- : 

(2)     [^y  =  ^  a^J^-^r.  ((^  _^  ^  ^  2n)x)  J^^"  {i,v  -f  q  +  2n),j 

n  =  0 


1)  Annales  de  l'Ecole  Normale  (3)  Bd.  19,  p.  429;  1902. 

2)  Graf  und  Gubler:  Einleitung  in  die  Theorie  der  Besselschen  Funktionen 
Heft  I,  p.  96—107. 


Kapitel  XXII.    Kapteynsche  Reihen  erster  und  zweiter  Art.    §  1'23.      307 

anzuwenileu;  wir  erhalten  so  für  die  Bestimmung  der  imbekannten 
Koeffizienten  folgendes  Gleichuugssystem: 

W  i -r(i  +  v)r(i  +  p)-"o 

und  allgemeiner: 

(4)    0  =  5"(-iy(''  +  ^  +  '")(z,  +  (,  +  2n  +  2i,)^  +  ^  +  «".«„_^. 

Für  die  ersten  Koeffizienten  «„  finden  wir  sonach  Ausdrücke, 
welche  mittelst  unvollständiger  Induktion  dazu  führen: 

C5^  «       (v  +  e)r(i  +  v)r(i  +  e)       r(v  +  e  +  n) 

^  ^  "  n\V{v-\-Q)  (v  +  e  +  2n)''  +  «'  +  ^ 

anzunehmen.  Um  nun  die  vollständige  Induktion  durchführen  zu 
können,  müssen  wir  erst  die  Identität: 

(6)  5'(-i)'C+'!::;""')r+'+'")(''+?+2»-2pr-'-o 

p  =  0 

beweisen;  drücken  wir  indessen  die  in  dieser  Gleichung  vorkommen- 
den Binom ialkoeffizienten  durch  Gammafunktioneu  aus,  so  erhellt, 
daß  (6)  nichts  andres  ist  als  §  120,  (5),  so  daß  der  Ausdruck  (5) 
wirklich  richtig  ist;  somit  haben  wir  hier  eine  Analogie  zwischen 
den  Neu  mann  sehen  und  den  Kap  teyu  sehen  Reihen  gefunden. 

Wenden  wir  nun  weiter  die  Methode  des  §  121  an,  so  erhalten 
wir  folgenden  Hilfssatz: 

Vorausgesetzt,  daß  Jceine  der  drei  Grüßen  v,  q  und  v  -\-  q  eine 
ganze  negative  Zahl  ist,  erhält  man  eindeutig  folgende  EntivicMung  in 
eine  Kajyteynsche  Reihe  ziveiter  Art: 

(1)""' =  (^  +  ^)'"(i +  ^)r  (!  +  (>)  • 

tveJche  jedenfalls  unhedingt  Jconvergiert,  ivenn  \x\K-\Q{\)  ist.  Für 
V  -\-  Q  =  0  reduziert  sich  die  Formel  (7)  auf  die  Identität  1  =  1. 

Bedienen  wir  uns  abermals  der  Methode  der  §§  108,  121,  so 
führt  (7)  unmittelbar  zu  folgenden  zwei  anderen  Formeln: 

^^^     ^  (2„)2P  ^  r{r-{-l-\-v)r{r+l-v)'\2)     ' 

20* 


0) 


n  =  oc 


308  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 


(9) 


^IJ"  +  ^'((2 w  +  1)  a;)  J^  +  ^ ~ ^' ((2 n  +  l)x)  ^ 
.4  {2n  +  lf^ 


n  =  0 

r  =  p  —  l 


V  {2r+l)l'!8l^^,  /xY-r+i 


/xyr+i 


r  =  0 

WO  die  Koeffizienten  33  die  durch  §  121,  (7)  definierten  Zahlen 
bedeuten. 

Die  Formeln  (8),  (9)  sind  zu  §  116,  (5),  (6)  ganz  analog;  denkt 
man  sich  noch  v  =  q,  wo  q^ p  eine  ganze  Zahl  bedeutet,  so  haben 
die  beiden  Reihen  linker  Hand  in  (8),  (9)  die  Summe  Null;  diese 
Nullentwicklungen   können   also   auch  nur  formale  Identitäten  sein. 

Um  eine  Potenzreihe  in  eine  Kapteynsche  Reihe  zu  ent- 
wickebi,  setzen  wir  in  (7)  v  :  2  und  q  :  2  für  v  und  q-  eine  An- 
wendung der  Methode  des  vorigen  Paragraphen  ergibt  dann  un- 
schwer den  allgemeinen  Satz: 

VIII.  Wenn  keine  der  Größen  v,  q  und  v  -{-  q  eine  ganse,  nega- 
tive und  gerade  ZaJd  ist,  läßt  sich  die  Potenzredie: 

W  =  00 

(10)  F{x)-^K(^y 

w  =  0 

mit  dem  Konvergenzradius  q  eindeutig  folgendermaßen  in  eine  Kapteyn- 
sche Reihe  der  zweiten  Art  entwickeln: 

(11)  F(.)  =  (1)'-^.  S" «../"^(f-i^  +  s)  .)  J^Y(^  +  s)X 
ivo  sich  die  Koeffizienten  a^  aus  folgender  Formel  hestimmen  lassen: 


s 


(!±i+.-.,)r(-+-/^+^)rf+-/^+^)  r-p+s-,-^ 


0-2)  a^  —  ^  r+o  \  p  /-s-2p- 

Die  so  erhaltene  CylinderfunJctionenreihe  ist  jedenfalls  unbedingt  kon- 
vergent, tvenn  \x\<.\Q(l)  wmc?  zugleich  \x\  <^^Q(q)  vorausgesetzt 
tvird.  In  dem  Spezialfälle  v  -\-  q  =  0  reduziert  sich  das  erste  Glied 
rechter  Hand  in  (11)  auf  h^. 

Unsere  Kenntnis  des  Konvergenzbereiches  der  Kapteyn  sehen 
Reihen  zweiter  Art  zeigt  natürlich  dieselben  Lücken,  auf  welche  wir 
in  §  122  für  die  Reihen  der  ersten  Art  aufmerksam  gemacht  haben. 


Kiipitcl  XXJII.    Ncumannsche  uud  Kaptcynscho  Keihen.    §  121         HUU 

Kapitel  XXIII. 

Analogien  zwisclicn  den  X«Minianns<'lion  und  den 
KaptcvnsclH'n  llcilicn. 

§  124.    Entwicklungen  ein  und  derselben  Funktion  f{ccx). 

Die  Entwicklun«?en  ein  und  derselben  Poteuzreihe  in  eine 
Neumannsche  oder  in  eine  Kapteynsche  Reihe  zeigen  sehr  innige 
Verwandtschaften;  um  diese  näher  nachzuweisen,  betrachten  wir 
zuerst  die  Reihen  der  ersten  Art;    wir    finden    für    die   Potenzreihe: 

(1)  f(^  =  T"M 

n  =  0 

folgende  Entwicklungen,  in  denen  a  eine  willkürlicho  endliche  Kon- 
stante bedeutet: 

(2)  fiax)  =  (I)"  •  2"  (^  +  n)Ä^'"{a)J^'^'^{x) , 

n  =  U 

mit  den  Koeffizientenbestimmungen: 

n 

(4)  4'.-W=2'^^F^-«.-..-''"-^ 


p  =  0  ^ 


n 


/-\             ar,.«/   \          '^  (v-l-w  — 2«)*r(v  +  w  — «)  „     , 

(O)  3I'."(«)    =2^^—- ^^^r^ ^•«n-2p-«"-' 


■2p 

Ijl  "n-Zp      " 

p  =  0 

Für  die  Reihen  der  zweiten  Art  erhalten  wir  auf  ähnliche  Weise: 


(6)     f{ax)  =  (1)'^'  •  ^  ("4^  +  ^*)  £"'?'"(«)  J^'\x)  j'''\x) , 


7i=0 


(7) 


2 


310  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen, 

mit  den  Koeffizientenbestimmungen: 


n 


(8) 


«  =  0 


(9) 


n 

—  g 


-f  «  —  S  - 


«»-2.  •«''-'*• 


Bezeiclinet  man  nun  mit  Y  eine  der  Funktionen  Ä  oder  B, 
während  5)  das  entsprechende  51  oder  33  bedeuten  mag,  so  findet 
man  leicht  folgende  Differentialgleichung: 

(10)  ,,20+(2c.  +  l)a|^^+«^r=2), 

wo  03  gleich  v  oder  gleich  (v  -{-  q)  :  2  zu  setzen  ist,  je  nachdem  die 
zugehörigen  Reihen  von  der  ersten  oder  der  zweiten  Art  sind. 
Dieses  Resultat  läßt  sich  auch,  wie  folgt,  als  Satz  aussprechen: 

Wenn  die  KapteynscJie  Reihe  (3)  oder  (7)  gegeben  ist,  so  erhält 
man  für  die  Funktion : 

(11)  «^^^  +  (2«+  1)«^  +  a^'fiax) 

Netimmmsche  Reihen  mit  denselben  EntivickhingsJcoeffizienten  5t*'' "(cc) 
und  33 '''^'"(a)  ivie  die  gegebene  Kapteynsche  Reihe  von  derselben  Art. 
Dieses  allgemeine  Ergebnis  läßt  sich  mit  Vorteil  auf  denjenigen 
spezielleren  Fall  anwenden,  in  welchem  f(x)  ein  gewisses  partiku- 
läres Integral  von  der  in  den  §§  31,  115  untersuchten  linearen, 
nicht  homogenen  Differentialgleichung: 

(12)  y^'^-\-^y^'^  +  {i-^)y--^9^{^) 

ist,  in  der  man  für  hinreichend  kleine  Werte  von  [  x  \  folgende  Ent- 
wicklung hat: 

(13)  9^w=2'«.(fy'"- 

71=0 


Kai)itel  XXIII.    Neumannscbc  uuil  Kapleynschc  Reihen.    §  l'J4.        311 

Gehen  wir  nun  von  der  für  f{x)  erhaltenen  Kapteynsehen 
Keihe  der  ersten  Art  aus: 

(14)  f{ax)  =  «^  •  ^  "i^r'ö^^'  "^^ ' "  (^^  "^  "^  "■) ' 

80  ergibt  eine  Kombination  der  Gleichungen  (10)  und  i?  115,  (13) 
für  den  Koeffizienten  'ii  den  bemerkenswerten  Ausdruck: 

(15)  S(^"(«)  =  ^W  +  (-'-(^frtn.-)B^.'W  _ 

aus   welchem   man   für   a  =  unmittelbar  die  Entwicklung  von 

/"(a;)  herleiten  kann,  wenn  nur  q  +  n  nicht  gleich  1  wird;  für  a  =  1 
wird  nämlich  der  Ausdruck  linker  Hand  in  (15)  unbestimmt,  und 
sucht  man  dessen  Wert,  so  findet  man  genau  den  aus  (10)  er- 
haltenen Ausdruck.     Im  allgemeinen  können  wir  also  behaupten: 

Die  Koptcijnschc  Reihe  erster  Art  für  die  Funldion  f{ax)  läßt 
sich  bilden,  ohne  andere  Koeffizienten  zu  Hilfe  zu  nehmen  als  die- 
jenigeti,  ivelche  schon  in  den  Neumannschen  Reihen  erster  Art  für 
g"{ccx)  und  f{ccx)  vorliommen. 

In  dem  Spezialfälle  ^  =  0,  a  =  v  folgt  aus  (15)  die  Kapteyn- 
sche  Reihe: 


S  =  OD 


(16)  f{vx)  =-%+Z  s^^  •  ^'  (f)  •  ^*(^^) ' 


welche    sehr    merkwürdig    ist,    wenn    man    beachtet,    daß    sich    aus 
§  115,  (14)  folgende  Neumannsche  Reihe  ergibt: 

«=00 

(17)  n^)=-2^^^J'(^)- 


5  =  0 


Auf  diese  Weise  findet  man  zum  Beispiel  folgende  bemerkens- 
werten Kapteynsehen  Reihen: 


.»=05 

2«, 


(18)  W^{yx)  =  -^^ ;^  •  2,  47^^^^' 


s  =  \ 


nn\  w/      \       o       •  VJ^'  +  ^((2s4-l)x) 

(19)  X'{vx)  =  2v  sm  V7t  -  ^  -(öS  l\y^  -  ^,^- > 


(2S+1)- 


312  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

die  beide  anwendbar  sind,  falls  nur  |a;|<Q(l)  vorausgesetzt  wird, 
während  v  eine  endliche  Größe  bedeutet.  Aus  diesen  beiden  Formeln 
ergibt  sich  weiter: 


(=  oo 


(20)  Y'M  =  ?^(l-2.'.2ia^,VM), 


^       •        9   ^"f  0-^-9(^4-    S)« 

2  iv       'ST]  2 


(21)  Q^'ivx)  =  -  —^  +  V  •  Z      .3_,.     •  J'ißx), 


s  =  l 


SO  daß  (21)  für  V  =  1  folgende  §  22,  (20)   sehr  ähnliche  Entwick- 
lung liefert:  • 

(22)  ;rQ^(^)  =  -  2  +  4  •  ^  ^^  •  J'\2sx) . 

Durch  Entwicklungen  der  einzelnen  Koeffizienten  rechter  Hand 
in  (18),  (19)  nach  steigenden  Potenzen  von  v  gewinnen  wir  die 
eigentümlichen  Formeln : 

«  =  00 

(23)  ^\vx)  =  '^[l-2.^f,,{x).v^-),     \v\<2, 

s  =  1 

«=  CO 

(24)  y^''{vx)  =  ^-^  •^g,X^)-v'^-\    \v\<\, 

s  =  \ 

wo  f^si^)  '^'^^  92s(.^)  geii^-^^  fliö  durch  die  Formel  §  121,  (6)  defi- 
nierten ganzen  Polynome  von  x  bedeuten. 

Wenden  wir  weiter  die  Formeln  (6),  (7)  des  §  21  an,  so  er- 
halten wir  aus  (18),  (19)  unter  Anwendung  von  §  21,  (1)  folgende 
neuen  Formeln: 

v_  _v_  2  sin —  •'.^  j 

(25)  J^  (vx)  J-  ^  iyx)  =  -^  (1  -  2  -^  j^^  (J'i^sx))')  , 


»=i 


(26) 


l+v  l-v 


J  2    (vx)  J  2    (vx)  == 


V  n 
4  cos  -—      t^^ 


=  -ir^  •2'757T^1^'^'((2.  + 1)^)  J-'((25+ 1)0.), 


(2s  + 

8  =  0        ^  ' 


Kapitel  XXIII.    Neumannschc  unil  Kapteynscbc  Reihen.    §  125.        313 

wo  wir  (lemnarh   |a;j<^Q(l)   annehmen   müssen;    für   1^=1    führt 
(25)  zu  der  bemerkenswerten  Entwicklung: 

(27)  ^=i--^-2'47^i(^'i^"^'))%    l^l<ß(i); 

1=1 

ferner  erhalten  wir  folgende  (23),  (24)  ähulichen  Entwicklungen: 
1.  -—  2  Bin—  *-'* 

(28)  /^(i'a:)j"H^^)=-7;r^(i-2-2,22,(-^)-'^i,    I^K^, 


1  +  V  1  -  V  4  cos 


*=1 


(29)     J'   (vx)J  ^   {vx)  =  -^.2q,,^,{x)-v''^\     \v\<l, 


<  =  0 


wo  die  Funktionen  q  genau  die  durch  die  Formeln  §  123,  (8),  (9) 
definierten  ganzen  Polynome  von  x  bedeuten.  Aus  (28)  gewinnen 
wir  endlich  die  eigentümliche  Entwicklung: 

(30)   J'(f)/-'(|)  =  ^^(l-2j '/.,(-^)(2.)-),     |x|<l. 

4=1 

Die  Potenzreihen  in  (23),  (24)  und  (28),  (29),  (30)  sind  den- 
jenigen sehr  ähnlich,  welche  MeisseP)  für  die  Fmiktion  v~^-J''(vx) 
aufzustellen  versucht  hat. 


§  125.    Kapteynsche  Reihen  für  die  Funktion 


y  —  x 

Um    die    Analogie    zwischen    den    N  e  u  m  a  n  n  sehen    und    den 
Kapteyn sehen  Reihen  noch  weiterzuführen,  setzen  wir: 

(1)  i7^  -  (I)'  •  2^.  y-'  ((- + »)^-)  j"'"  ((" + »)-) . 

y  —  x       \xj         ^  ^+k 

(2){  (-F  +  ") 

a5.c." ((^i  +  n) y)  j'^d'-^  +  n)x)  J^{{^  +  n)x), 


1)  Jahresbericht  über  die  Ober-Realschule  Kiel  1892. 


314  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

WO  wie  gewöhnlich  Sq  =  1,  f „  =  2  für  m  >  0  anzunehmen  ist,   und 
wo  wir  der  Kürze  halber  für  >z  >  1 : 


(3)         Fv W  =  I  ■  2" "  +  "~T"'  +  "~'^ (I)" 


(4) 


n 
<;  — 

"  2 


$8'',('>''(y)  == 


i. . ^  C-i^  +  „  _  2.) rC-iii' - .  +  1) r(45 -  2.) 

6  =  0 

~^  +  «  —  s—  1  \  /2y'-2Ä  +  i 


0(v)' 


gesetzt  haben ;  für  11=^0  sind  diese  Ausdrücke  dagegen  mit  2  zu 
multiplizieren. 

Eine  Vergleichuug  der  FormeLi  (3),  (4)  mit  §  109,  (11),  bez. 
§  117,  (10)  für  0''''(y)  und  U '-?'''(?/)  ergibt  unmittelbar  folgende 
Diif erentialgleichuug : 

(5)  Ni'^  +  '-=^^^  m  +  ^^^  N=^^K, 
\  ^  '2/  y  y       ' 

wo  N  die  Neu  mann  sehen  Funktionen  0  oder  U  und  K  die  zu- 
gehörigen Kapteynschen  V  oder  35  bedeuten,  während  co  =  v  oder 
=  (v  +  (>)  :  2  anzunehmen  ist;  die  Gleichung  (5)  kann  natürlich 
auch  sehr  leicht  mittelst  §  124,  (10)  hergeleitet  werden. 

Wendet  man  ferner  die  aus  §  112,  (15)  erhaltene  Differential- 
gleichung für  0^'>"(y)  an,  so  ergibt  sich  aus  (5)  für  die  Funktion  V 
der  Ausdruck: 

(6)  F''.«(^)  =  ^'-f-y' .  0'V'(2/)  +  ^  •  cos^  ^  +  sin^^ 
und  für  v  =  0  folgende  Formel  von  Kapteyn^): 

(7)  V-{ny)  =  nil  -  f)  0-{ny)  +  y  cos^  '^  +  sin^  '-^-  ■ 

setzt  man  weiterhin  ?/  =  1,  so  erhält  man  hieraus  mittelst  (1)  schließ- 
lich die  in  §  23,  Formel  (6)  gegebene  Entwicklung. 
Was  die  Funktion: 

SB '■.  »^  (y)  =  SS '■.'',»  (y) 


1)  Anuales  de  l'Ecole  Normale  (3)  Bd.  10,  p.  117;  1893. 


Kapitel  XXIII.    Neumannsche  und  KapU'ynsche  Reihen.    §  125.       315 

angeht,    so  zeigt  (5),   daß  sie  einer  Gleichuug  dritter  Ordnung  ge- 
nügen muß,  die  zu  §  117,  (11)  analog  ist. 

Nach  diesen  allgemeinen  Erörterungen  haben  wir  noch  die 
Formel  §  124,  (11)  auf  ein  Beispiel  anzuwenden.  In  der  Tat  er- 
gibt sich  aus  (1)  ohne  Mühe  die  entsprechende  Neumannsche 
Reihe : 


(8) 


+  - 


(2  v  +  l)x 


2x^ 


'"  -I rz = 

y—x  '     (y  — ar)'     '   (y  — a-)* 

=  (1)'  •^^.('^  +  ")"  +  ^^'-(!/)^"^"(^),    \x\  <  \y\, 


H  =  ü 


welche  für  v  =  0  recht  elegant  wird;  die  erlaubte  Annahme  y  =  2x 
führt  zu  folgender  andren  Formel: 

(9)        (!1+1^  =  (ly  .^. „(.  +  «)■■  + ^  F'.''(2a:)J^  +  "(^). 


X 


H-ü 


Eine  Anwendung  von  §  124,  (3),  (5)   liefert  ebenso   leicht  die 
zu  (8)  analoge  P'ormel: 


(     n  =  Xi 

'S 


(10) 


V 


X 


n  =  » 


±i!  ('  +  '•)' 


in  dem  speziellen  Falle  v  =  0  werden  die  beiden  Seiten  von  (10) 
imendlich;  durch  eine  Subtraktion  von  1  :  (y^y)  gelangen  wir  in- 
dessen unmittelbar  zu  folgender  andern  Formel: 


(11) 


'V   ^         a;"     _  ^     -^  0"{ny)    j„.      .         xH 


n=l 


y 


n  =  i. 


für  y  =  l  ist  die  Reihe  linker  Hand  in  (11)  die  bekannte  Funktion, 
an  welcher  Legendre^),  Abel^),  Schaeffers^)  und  Kapteyn'*) 
interessante    Eigenschaften    aufgezeigt    haben.     Setzt  man  ferner  in 


1)  Exercices  de  Calcul  integral,  Bd.  I,  p.  244. 

2)  Oeuvres  completes,  Bd.  ET,  p.  189. 

3)  Journal  für  Mathematik,  Bd.  30. 

4)  Nieuw  Archief  (2)  Bd.  3,  p.  225—229;  1897. 


316  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 

(10)  y  =  2x,  was  ja  erlaubt  ist,    so   findet  man  die  zu  (9)  analoge 
Formel: 


(12) 


/(  =  0 


•  0"'"  ((2i^  +  2n)x)  J''  +  "  ((v  +  n)x)  , 
während  sich  durch  dieselbe  Annahme  aus  (11)  ergibt: 

(13)  4^  ( 12  -  Y  (l^S  2) )  =  Z  -\-^  ^  l^^)  -  y . 

?l  =  1 

denn    die    entsprechende    numerische    Reihe    linker    Hand   läßt    sich 
mittelst  einer  Formel  von  Legendre^)  summieren. 

Es  ist  offenbar,  daß  man  ähnliche  Reihen  der  zweiten  Art  her- 
leiten kann;  da  die  Entwicklung  indessen  zu  der  oben  gegebenen 
durchaus  analog  ist,  gehen  wir  hier  nicht  näher  auf  diese  Frage  ein. 


§  126.    Neue  Herleitung  einiger  Keilien  der  zweiten  Art. 

Die  im  Anhange  gegebene  Integralidentität  (I^): 

7t        Tt 

2      1 

(1)      ^x  \    I  f{x sin  2(0  COS  q))x sin  2 CO  COS (v(p)  (ig  ayd ad (p=Yf(^) 

0      0 

gestattet  uns,  unter  Anwendung  des  Integralausdruckes  für 

n+v  n—r 


J-    2     (x)J^     {X) 

in  §  21,  (1)  aus  den  entsprechenden  Reihen  der  ersten  Art  für  v  =  0 
unmittelbar  diejenigen  Neumann  sehen  und  Kapteynschen  Reihen 
der  zweiten  Art  herzuleiten,  für  welche  q  =  —  v  ist,  und  umgekehrt, 
so  daß  diese  Reihen  der  ersten  und  zweiten  Art  in  der  Tat  als 
identisch  anzusehen  sind. 

Zu  diesem  Zwecke  setzen  wir  in  den  Reihen: 

w  =  CO  ra  =  00 

(2)  f{ax)  =  2  A''{a)J\x)  =  ^  %"{a)  J^{nx) 

7i  =  0  •  re  =  U 

1)  loc.  cit. 


Kapitel  XXIII.    Xeuraannsche  und  Kapteynsche  Reiben.    §  126.        317 


2x  cos  (p    für    X    und    ^^-  sin  'Ja    für    u,    so    dali    die    ubrnerwäluitcn 
Forraoln  unmittelbar  folgende  Reilien  der  /weiten  Art: 


(3) 


n+v  n—y 


n  =  ü 


n  +  r 


f{ax)'=^B'>\u)J  -   {x)j'^  {x)  = 

=  ^33''"(«)  J  '^  (:nx)J  ^'  (nx) 

71  =  0 

ergeben;  für  die  neuen  Koeffizienten  erlialten  wir: 


2 


(4)         i?'-"(«)  =  D^(^~J  yl"(|-  sin  2(o^  (tg  üj)^siu  2cöd(o^ 

u 

und  einen  ganz  analogen  Ausdruck  für  93 ''"(a). 

Gehen  wir  umgekehrt  von  den  Entwicklungen  (3)  aus  und 
setzen  wir  dort  2u  cos  (p  für  a  und  ^  sin  2  a  für  x,  so  finden  wir 
die  Entwicklungen  (2)   wieder,    so   daß  wir  umgekehrt  die  Formel: 


(5) 


-4"(a)  =  —    /  ^'•"(2a  cos  (p)  cos  (vg?)  dq) 


und  aus  93 ''"(«)  die  analoge  für  21" (a)  gewinnen. 
Setzen  wir  weiter  der  Kürze  halber: 

so    ergeben    sich    aus    den    Entwicklungen    für    1  :  (y  —  x)    folgende 

Identitäten : 

n 


(6) 


9^ 


2 

(7)  0^iy)=---  f^^'^i^^^^^^dcp 

^   ^  ^•'^         "Jt    J  \2  cos  qp/     cos  qp        ~ 


und    zwei    analoge,    welche  die  Funktionen  W''"{^j)  und   F"(?/)  ent- 
halten. 


318 


Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 


Kaptevn^')  hat  die  Formel  (6)  für  v  =  0  angegeben;  bemerken 
wir  noch,  daß  Xeumann-)  durch  Anwendung  von  §  21,  (1)  eine 
einzehie,  ganze  und  nicht  negative  Potenz  Ton  :c  m  eüie  Reihe 
der  zweiten  Art  der  CvLinderfimktionen  mit  ganzem  Parameter 
entwickelt  hat.  so  läßt  sich  imsere  hier  dargestellte  Methode 
als  eine  Kombination  der  Formeln  von  Xeumann  und  Kapteyn 
ansehen. 

Um  einige  Anwendungen  der  oben  gewonnenen  Integralformeln 
zu  geben,  gehen  wir  zunächst  Ton  den  Xeumann  sehen  und 
Kapteynschen  Reihen  der  ersten  Ai't  für  l:[^y  —  x)  aus  und  finden 
dann  mittelst  §  21,  (^1)  und  (T^q)  folgende  Entwicklungen: 


(8) 


V^ 


n+v 


]^nO''iy)J'  (^)J  '  uO 


1         ^  \     -2     )     \     2     ) {2xr 


(9) 


r.-r 


Sm "^  ^  n  +  v  n  —  v 

^    -f  2  ^"  ^"  y)  J^^Cn  x)  J~^(n  x)  = 

K=  1 


TT  y  i/ 


(^)  ^m 


1        yi  \    -2    /    \    -1    I  (2£r 


Setzt    man    ferner    in    (ß)    v  =  0,    i- =  —  1,    so    gewinnt    man, 
nachdem   man   —  x  für  x  gesetzt,  durch  Addition   und  Subtraktion 


die  eleganten  Fonneln: 


(10) 


n  =  X 


e,,0'-'(y)(j-i.)y---=L=, 


Vy'—i- 


(11) 


2  0"-'(y)J'{x)J'-'{T)  -  jL  (^^=^^  _  i), 


während  sich  aus  (9)  mittelst  §  125,  (6)  in  ähnlicher  Weise  ergibt: 


1)  Annales  de  l'Ecole  Normale  (3)  Bd.  10.  p.  111;    1S93. 

2)  Theorie  der  Besselachen  Funktionen,  p.  70;  1867. 


Kapitel  XXIII     Neninann»che  und  Kaptejfwche  Reihen.    §  12«        319 


(12) 


n  ^  1 


woraus    für    v  =  0,    v  =  —l    die  (lOj,  (llj   ähnJichen    spezielleren 
Formeln : 


(13J 


l+2.^(.7"(2„x;;'=^, 


folgen,  die  auch  zu  §  23,  (Gj  große  Analogie  besitzen. 

Die  Entwicklungen  (lOj,  (11)  ermöglichen  uns,  das  elliptische 
Integral  erster  Art  in  eine  Neumannsche  Reihe  der  zweiten  Art 
zu  entwickeln.  Zu  dem  Ende  setzen  wir  y  =  2  :  »in  (p  und  inte- 
grieren von  0  bis  9;  alsdann  finden  wir,  nachdem  wir  noch  k  statt  x 
gesetzt  haben: 

f  -  f 

(15;    f'--=d^=-^  =  2.yeJj''(k)Y  .  A^"(^)  -4^, 


y 


(^''/?r^ls^=''+^'^-5-'""'>^""^'-^:/^^'"'(^)'''^> 


die  analogen  Kapteynschen  Reihen,  welche  wir  in  ähnlicher  Weise 
aus  iVl)  herleiten  können,  sind  etwas  komplizierter. 

Gehen  wir  jetzt  von  der  PVjrmel  fG)  aus,  so  gewinnen  wir, 
mittelst  der  Neumann. sehen  Reihe  erster  Art  für  die  Funktion 
1  -iy  —  x),  folgende  andere  Entwicklungen: 

1«  =  » 
(nj2'^.,5R^-fi,)J««(x)  =  -^.f(H-r,l-.,i-,;^,), 


n  =  0 


320  Dritter  Teil.    Entwicklungen  analytischer  Funktionen. 


n  =  0 


WO    F   die    gewöhnliclie    hypergeometrisclie    Reihe    bedeutet;    diese 
Formeln  sind  als  die  umgekehrten  zu  (10),  (11)  anzusehen. 

Offenbar  erhält  man  für   dieselben  hypergeometrischen  Reihen 
zwei  (17),  (18)  ganz  ähnliche  Kapteynsche  Reihen  der  ersten  Art. 


VIERTER  TEIL. 

DARSTELLUNGEN 

WILLKÜRLICHER  FUNKTIONEN 

DURCH  CYLINDERFUNKTIONEN. 


Nielsen,  Cylinderftinktioneii.  21 


Kapitel  XXIY. 
Alli^rmciiic  Fimktioiu'iilyiM'ii  mit  ciucm  liivaiiahilitülsbcreklu'. 

§  127.  Verallgemeinerungen  der  Kreis-  und  Cylinderfunktionen. 

Es  ist  bisher  uocli  uicht  jjrilunjicen,  eine  trigonometrische  Reib 
von  cUt  Form: 

(1)  Oq  +  2  (a„  cos  (itx)  -f  &„  sin  {nx}) 


7.U  finden,  welche  in  einem  Intervalle  von  der  Größe  2^1  dieselbe 
Konstante  darstellte,  in  welcher  aber  die  Koeffizienten  «^  und  h^ 
für  *i  >  1  nicht  sämtlich  Null  sein  dürften.  Vielleicht  hängt  dies 
damit  zusammen,  daß  die  Reihe: 

(2)  4"  ~"  cos  X  +  cos  2x  —  cos  3x  +  cos  4a;  —  •  •, 

welche  analog  zu  den  Fourierschen  Reihen  für  die  Bernoullischen 
Funktionen  die  Null  darstellen  sollte,  zwischen  endlichen  Grenzen 
oscilliert,  wenn  x  nicht  ein  ungerades  Multiplum  von  jc  bedeutet; 
denn  in  diesem  Falle  ist  die  obenerwähnte  Reihe  sicher  divergent. 
Die  Frage  nach  der  Existenz  einer  solchen  Konstantenentwicklung 
und  also  auch  nach  der  Eindeutigkeit  der  Entwicklung  einer  Funk- 
tion  in  eine  trigonometrische  Reihe  ist  noch  eine  offene;  man  weiß 
nur,  daß  eine  solche  Entwicklung  nicht  eine  gleichmäßig  konvergente 
oder  bloß  eine  gliedweise  integrable  Reihe  sein  kann. 

Es  ist  indessen  sehr  leicht,  allgemeinere  Entwicklungsfunktionen 
zu  bilden,  für  welche  die  (2)  entsprechende  Reihe  konvergiert,  so 
daß  man  durch  solche  Funktionen  Konstantenentwicklungen  erhalten 
kann.  Da  diese  Frage  für  die  Schlö  milch  sehen  Reihen  von  der 
größten  Bedeutung  ist,  wollen  wir  hier  den  Fall  betrachten,  in 
welchem  die  Entwicklungsfunktionen  sehr  weitgehende  Generali- 
sationen  der  Cylinderfunktionen  und  der  damit  verwandten  Funk- 
tionen sind. 

21* 


324  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürliclier  Funktionen. 

Wir  betrachten  dalier  eine  Funktion  f{c3,  x)  der  zwei  unab- 
hängigen reellen  Variabein  co  und  x,  von  welchen  die  erste  das 
endliche  Intervall  a  ^  co  ^  6  kontinuierlich  durchlaufen  soll;  ein 
solches  Intervall  bezeichnen  wir  immer  der  Kürze  halber  mit  {a,  V), 
wobei  die  Endwerte  a  und  h  immer  als  mitinbegriifen  anzusehen 
sind.  Was  die  Variable  x  betrifft,  so  darf  sie  folgende  Werte  an- 
nehmen: 
(ö)  x  =  x^,  x^j  x^,  •  ■  •,  x^,  •  •  •; 

die  Zahlen  (3)  können  in  endlicher  oder  unendlicher  Anzahl  vor- 
kommen; sie  können,  um  die  beiden  Extreme  zu  nennen,  diskret 
liegen  oder  ein  Intervall  kontinuierlich  ausfüllen;  darüber  machen 
wir  gar  keine  Voraussetzungen.  Weiter  soll  die  Funktion  f{co ,  x) 
noch  folgenden  zwei  Bedingungen  genügen: 

1)  f{co,  x)  soll  für  die  oben  angegebenen  Werte  von  a  und  x 
immer  endlich,  überdies  aber  in  co  kontinuierlich  und  differentiierbar 
sein.     Wir  setzen  für  x  =  x^  demnach: 

(4)  a,^f{p,x;)^^^,       a^oj^h, 

wo  also  Kj.  und  ß^.  endliche  Größen  bedeuten. 

2)  Die  Gleichung: 

(5)  fi^,^r)  =  h  C^r<^£ßr 

soll,  nach  a  aufgelöst,  einen  und  nur  einen  in  dem  Intervalle  (a,  h) 
sich  befindenden  reellen  Wert: 

(6)  «  =  9(p^r,  ^) 

liefern. 

Diese    zweite  Voraussetzung  reicht  hin,    um   zu  beweisen,    daß 

/■(ö,  .r^),    wenn  oj   das  Intervall  (a,  h)    durclüäuft,    entweder   immer 

wachsen  oder  immer  abnehmen  muß;  wäre  nämlich: 

(7)  f{c},  X)  =  f(co',  X),  03  +  0)', 

so  könnte  die  Gleichung  (6)  a  in  dem  Intervalle  (a,  h)  nicht  als 
eindeutige  Funktion  von  |  bestimmen.  Weiter  sieht  man  ein,  daß 
die  nach  a  genommene  partielle  Ableitung  von  /"(ra,  x)  im  oben- 
erwähnten Intei*valle  (a,  h)  niemals  verschwinden  kann;  denn  dann 
würde  ja  die  Gleichung  (5)  für  |  g»  —  w'  |  l)eliebig  klein  möglich  sein. 
Nach  diesen  Uberleguno;en   betrachten  wir  eine  Funktion: 

(8)  (J)(ö)  =  c!)^((d)  +  /02(co), 

wo  <l^i(«)  und  03(09)  reelle  Funktionen  von  co  bedeuten;  wird  nun 
0(co)  im  Intervalle  (a,h)  als  integrabel  vorausgesetzt,  so  definieren 
die  folgeuden  zwei  bestimmten  Integrale: 


Kapitel  XXIV.    Funktionen  mit  Invariiil)ilität»bereioh.    §  l'H.  'S'Jb 

b 


(9) 


7''(a,  x)  =  I  cos  (ccf(a,  xjj  <t>{a)  dco, 


a 
6 


5(«,  x)  =  f  sin  {«f(a,  xj\  <^i(o)dio 


jjranze  transceudente  Fimktionen  von  a.  Um  das  einzusehen,  hat 
man  in  der  Tat  nur  für  cos  und  5m  die  gewöhnlichen  Potenzreihen 
einzusetzen  und  dann  <^liedweise  zu  integrieren,  was  ja  uöeuhar  er- 
laubt ist,  da  a  und  h  endliche  Größen  bedeuten.  Auf  diese  Weise 
finden  wir  die  Potenzreihen: 

(10)  F{a,x)  =  «0  -  a^cc  +  a,«^ +  (-  1)"«^««'"  +  •  •  •  =  ^I«,,,, 

(11)  %{a,x)  =  a,a-a,a^-^a,a'----  +  {-lYa,,^y^"^'+--=^ 

wo  wir  der  Kürze  halber:  2n  +  u 

6 

(12)  a„  =  ^J(/'(co,^-))"0(co).?« 

a 

gesetzt  haben. 

Es  ist  mm  nachzuweisen,  daß  uns  die  Funktionen  Ficc,  x)  und 
%{a,  oc)  ein  einfaches  Mittel  bieten,  um  bemerkenswerte  Reihen- 
entwicklungen zu  bilden.  Erstens  betrachten  wir  den  spezielleren 
Fall,  in  welchem  immer  ß,.^^  und  a^  ^  —  7t  ist;  dann  geben  die 
Fourierschen  Reihen  für  die  Bernoullischen  Funktionen  (T^)  und 
(Tg)  folgende  Formeln: 

*  =  00  .?  =  n 

(^^)  ^^"2!  +  !      •  l^C^'^;  ^)  ==  2<?2«-2.  •  ^2,  +  ,, 

« =  1         *  .f  =  0 

wo  (5^  die  in  E,  {ß)  definierte  numerische  Reihe  bedeutet;  die  Formeln 
(13),  (14)  sind  sonach  als  bemerkenswerte  Verallgemeinerungen  der 
Formeln  (Tg)  anzusehen. 

Wir  betrachten  weiter  die  Reihen  (Tg)  und  (Tg)  für  cos  (ax) 
und  sin  (ccx)  und  finden: 

(15)   f  (., .)  ^  £^  .  (i .  F„  +  f  (- 1).  (-1-  ^  -L.^  F(s, .)) , 

s  =  l 


«  =  l 


326  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürliclier  Funktionen. 

wo  a  eine  willkürliclie  endliclie  Größe  bedeutet  und  F^  eine  Ab- 
kürzung für  die  von  x  unabhängige  Größe  jP(0,  x)  ist. 

Bezeiclinet  man  ferner  mit  (^snC^);  <?2«  +  i(^)  ^^^  Reihen  linker 
Hand  in  (13),  (14)  für  a  =  l,  während  ^o  =  i-^o  zu  nehmen  ist, 
so  erhält  man  aus  (13),  (14),  falls  \x\<\  vorausgesetzt  wird,  fol- 
gende andere  Entwicklungen: 

(17)  F{a,  X)  =  ^-^^  {ao{x)  -  ö,{x)a^  +  a,{x)a^  -■•), 

(18)  %{a,  ^)=1^^  (^^(^)«  -  6,{x)a'+6,{x)^'--  •  •)  ; 

führt  man  in  diesen  Formeln  rechter  Hand  die  gewöhnliche  Potenz- 
reihe für  sin  (a:t)  ein,  so  ist  offenbar,  daß  sich  (17),  (18)  als  ein- 
fache Folgerungen  aus  (13),  (14)  darbieten. 

§  128.    Summation  einiger  Reihen,  welche  nach  F{cc,  x) 
und  '^{a,x)  fortschreiten. 

Wir  kehren  jetzt  zu  dem  allgemeinen  Falle  zurück  und  wenden 
folgende  elementare  Formel: 

^  —  cos  cj  4-  cos  2o3  —  cos  3aj  -f  •••  +  (—  1)"  cos  na  = 

(-  \f  cos  [^-^  «j 


(A) 

an,  aus  der  wir  unmittelbar  die  andere 


2  cos  — 


(1)  ^{-^y^.F{s,x)^{-\r.l  — ^-| -L.^{^)d 

cos  \-^  f{(o ,  x)j 


/2«  +  l  \ 


finden,  wo  wie  gewöhnlich  Sq  =  1,  £,  =  2  für  s  >  0  anzunehmen  ist. 
Transformieren  wir  nun  mittelst  §  127,  (5)  das  Integral  linker  Hand 
in  (1)  und  setzen  wir  außerdem  ^  =  7t  -{-  tj,  so  gewinnen  wir  für 
das  obenerwähnte  Integral  den  Ausdruck: 


(2)  1=1      \  :  ,  -•^^^-"  +  ^^^.?, 


«r  —  lt 


wo  Gix^j"^  und  ^i(^r,  i)  diejenigen  Ausdrücke  bedeuten,  welche 
man  aus  (t>(cj)  und  cf{G),x)  :  da  erhält,  wenn  man  für  a  die  Funk- 
tion g(x^,  I)  §  127,  (6)  einführt. 


Ka[)itel  XXIV.    Funktionen  mit  Invariabilitütabereich.    §  128.         327 

Wir  setzen  weiter: 

G{x^,  ar  +  7;)  =  Gi(j„  7r  +  rj)  +  iCr^(x^,  %  +  n), 

wo  G^{x^j7i  -\-  ri)  und  G^ix^^n  •\-  ti)  reell t*  Funktionen  bedeuten, 
welche  in  dem  Intervalle  (a^  —  :r,  ß^  —  ;r)  abteilungsweise  stetig  und 
kontinuierlich  sind;  endlich  setzen  wir  voraus,  daß  die  Funktionen: 

in  dem  obenerwähnten  Intervalle  nicht  imendlich  viele  Maxima  und 
Minima  besitzen.     Wir  bezeichnen  ferner  mit: 

2p:t,  {2p  +  2)7t,  ■  ■  •,  (2p  +  2q)^ 

diejenigen  Multipla  von  27t,  welche  in  demselben  Intervalle  liegen, 
so  daß  also: 

(2)     {2p-2)n<a^-n<2p:i,     {2p-\-2q)7t<ß^-:t<{2p-\-2q+2)jt 

sein  muß,  und  zerlegen  unser  Intervall  [a^  —  7t,bj.  —  7t)  in  verschie- 
dene andere,   welche  sich  in  zwei  Klassen  einteilen   lassen,    erstens: 

{u^-:t,  2pn  -  8^),     {2p7i  +  a^,  2{p  -f  l)n;  -  d^^,),     ■  •  -, 

{2(p  +  q)K  +  s^^,^,  ß^-:t) 

und  zweitens: 

{2p7C-d^,2p:t+s^),  [2(p+\)7t-d^^„2{p  +  l)7t+6^^,),  •••, 

(2(p  +  q):t-8^^^,  2(p-^q):t  +  8^^^)- 

hier  bedeuten  die  d  und  s  sehr  kleine  positive,  aber  endliche 
Größen. 

Betrachten  wir  nun  zuerst  das  Intervall  (2s7t  —  d^,  2sä  -f  gj 
so  läßt  sich  das  entsprechende  Integral: 


w 


(5) 


2sn  +  es 


2«  +  1 


sin  (+7,)  g,ix„^  +  ri) 

mittelst  der  Transformation  r]  =  2s:t  -}-  ^  folgendermaßen  schreiben: 

(Q)  1=1    ''"  (~2~  V     G{x„2sn  +  n-{-^)  ^^ 

^   ^  '     J  ^i^(i^)  g,{x„2sn  +  ^  +  ^) 

-äs 
Zweitens  haben  wir  das  Intervall  (2s7i: -{- s^,  2(s  -\-  l)7t  —  d^_^_A  zu 


328  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Eunktionen. 

untersuclien;    das    entsprecliende    Integral    läßt    sich    durch   dieselbe 
Transformation  wie  oben  folgendermaßen  umformen: 


o 


2s4-l 


sm 


0 


n\  TT  =  V      2       V      6'(a;^,2s:r  +  7r  +  |)     g 


Nach  diesen  Erörterungen  werden  wir  die  positive  ganze  Zahl  n 
über  jede  Grenze  hinaus  wachsen,  die  Zahlen  d  und  s  aber  unbe- 
gi'enzt  abnehmen  lassen,  jedoch  so,  daß  die  Produkte  nö  und  ns 
sämtlich  mit  n  unendlich  groß  werden;  dann  ergibt  der  Satz  Ton 
Dirichlet  (Tg)  unmittelbar  die  zwei  Grenzwerte: 

(8)  lim  /,  =  2;r  .  ^^^^-'-'~'-^+"\ 

«  =  <x  gr^  (71^,28 TT +7r) 

(9)  lim  H^  =  0. 

Hier  muß  jedoch  bemerkt  werden,  daß  in  (8)  der  Mittelwert 
zwischen  den  zwei  Funktionswerten  zu  nehmen  ist,  falls  die  Funk- 
tion rechter  Hand  in  dem  betrachteten  Punkte  2s:i  -{-  it  eine  Sprung- 
steUe  hat,  und  daß  der  Ausdruck  rechter  Hand  in  (8)  zu  halbieren 
ist,  falls  die  Gleichheit  a^  =  {2s  -\-  V)7C  oder  ß^  =  {2s  -\-  1)%  eintritt 
und  das  entsprechende  Integral  (6)  sonach  die  Null  als  untere  oder 
obere  Grenze  hat. 

Auf  ganz  dieselbe  Weise  lassen  sich  die  übrigen  Integrale  mit 
den  InteiTallen  (4),  (5)  behandeln;  somit  erhalten  wir  schließlich 
folsfende  bemerkenswerte  Formel: 


O" 


S  =  p+q 


(10)  2(_1).,,F(.,.,)  =  2..^'     ^^, 


6  =  0 


ivo  ci^=  g{x^,2s7i  -\-  7i),  und  wo  im  Nenner,  ivenn  man  die  Diffe- 
rentiation nach  a  ausgeführt  hat,  diese  Variable  durch  co^  m  ersetzen 
ist;  der  Accent  nach  dem  Summenzeichen  zeigt  an,  daß  das  ent- 
sprechende Glied  nach  den  vorhergehenden  Vorschriften  zu  hehandeln 
ist,  fcdls  eine  der  dort  hesprochetien  EigentümlichJ^eiten  eintritt. 

Es  ist  noch  zu  bemerken,  daß  die  ganzen  Zahlen  p  und  g  von 
Xj.  abhängig  sind. 


(B) 


Kapitol  XXIV.    Funktionen  mit  Invariabilitiitäbercich.    §  12«  829 

Wir  gehen  jetzt  von  der  elementaren  Formel: 

f  2  cos  üj  -f  2  cos  2(0  +  2  cos  3w  -f-  •  •  •  +  -  cos  no  = 


Hin 


sin  {\  (o) 

aus;  setzen   wir: 

(11)     ('2p-2)7t  <  «,  ^  2p7C,      (2i>  +  2q)7i  <  /3,  <  (2;)  +  2q  +  2);r, 

so    finden    wir    nach    derselben    Methode    folgende    zu    (10)    analoge 
Formel: 


wo  co/  =  g(x^,  2s%)  gesetzt  ist,  und  ivo  der  Accent  nach  dem  Summen- 
zeichen soivie  das  Symbol  im  Nenner  dieselbe  Bedeutung  wie  in  (10) 
haben. 

Gehen  wir  endlich  von  der  dritten  elementaren  Formel: 


(C) 


sin  CO  —  sin  3(0  +  sin  5w  —  •••  +  ( —  1)"  sin  {2n-{-  l)(o  = 

=  (_  1>  sin(2n+2)a) 


2  cos  (o 
aus  und  setzen  wir: 


(13) 


[  (2^-l)-f-<a,^(2p+l)f, 

I  (2^  +  22  +  1)  I-  ^  ^,  <  (22)  +  2^  +  3)  I , 


so  erhalten  wir  durch  dieselbe  Methode  folgende  zu  (10),  (12)  ana- 
loge Formel: 

Ä=Cß  8  =  p-\-q 

\     dco      }, 

tvo  Gi"  =  g\x^,  {s  -\-  \)7t\  gesetzt  ist,  während  der  Accent  nach  dem 
Summenzeichen  und  das  Symbol  im  Nenner  dieselbe  Bedeutung  haben 
ivie  vorher. 

Nach  diesen  allgemeinen  Erörterungen  wenden  wir  uns  nun- 
mehr zu  einigen  bemerkenswerten  Anwendungen,  welche  uns  später- 
hin sehr  nützlich  sein  werden. 


330  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 

§  129.    Neue  Auflösungen  der  Keplerschen  Gleichung. 

Zum    Zwecke    einer    ersten    Anwendung    unserer    allgemeinen 
Formeln  setzen  wir:  * 

(1)  f{c3,  x)  =  v(o  —  oc  sin.  03,     l^l^l^I; 

wo  V  und  X  reell  sein  müssen-,  die  Funktion  /"(oj,  x)  genügt  dann, 
wie  deutlich  aus  unseren  Bemerkungen  in  §  23  hervorgeht,  den  Be- 
dingungen 1)  und  2)  des  §  127.  Wir  nehmen  hier  als  Integrations- 
grenzen a  =  0,  h  =  Tt  und  setzen: 

n 

F^'ix)  =  —  •    /  COS  (vco  —  X  sin  co)  0(w)  da, 


(2) 


0 

7t 


%^{x)  =  —  •    1  sin  (i' 03  —  ii;  sin  co)  4>(o)  da, 

0 

SO  daß  diese  Funktionen  als  Verallgemeinerungen  von  Y'(x)  und 
Q'(ä;)  anzusehen  sind;  sie  genügen  übrigens,  was  man  leicht  nach- 
weisen kann,  der  zweiten  Fundamentalgleichung  der  Cylinderfunk- 
tionen,  besitzen  also  das  in  §  114  gegebene  Additionstheorem  und 
lassen  sich  endlich  nach  der  Soninschen  Formel  in  Neumannsche 
Reihen  der  ersten  Art  entwickeln. 

Die  allgemeinen  Formeln  des  vorhergehenden  Paragraphen  liefern 
noch  folgende  spezielleren: 

(3)  l(-l)'^,^"(-)-|Vf'-^-' 

4  =  0  '     '       s  =  0       1 cos  CO, 

wo  die  positive  ganze  Zahl  j)  so  zu  bestimmen  ist,  daß: 

(4)  2^  +  1  ^_  1  V  1<  2^;  +  3 

ist,  während  cö^  die  reelle  Wurzel  folgender  Keplerschen  Gleichung 
bedeutet^): 

(5)  va^  —  X  sin  a^  =  sgn  v  •  (2s  +  X)%. 

Weiter  finden  wir: 

(6)  I^.^"(-)=^-f'-1^^. 

«  =  0  '     '       s  =  0     1 COS  CO, 

V 

wo: 

(7)  2^  ^  1 1/ 1  <  2^9  -f  2 ,      val  —  X  sin  o/  =  sgn  v  ■2s7C 

zu  nehmen  ist. 


1)  Das  Zeichen  sgna;  (signum)  bedeutet  das  Vorzeichen  von  x. 


(«) 


Kapitel  XXIV.    Funktionen  mit  Invariabilitätsbereich.    §  J29.         331 
Endlich  erhalttMi  wir  iiucli  folgeiule  dritte  Formol: 

f  (-  i)-^.,..s (i^s + 1).)  =  X  tiq*>;:>, 

t~o  '         fri       V  -  X  coa  CO, 


WO  wir: 

(9)     2p  +  1  <  \2v\  <  2p  +  3,      7-0)/'-  .r  sin  w/'  =  sgn  v  •  ^^^  nr 

zu  setzen  haben. 

Der  Accent  nach  dem  Sumnienzeichen  hat  auch  hier  die  ge- 
wöhnliche Bedeutung;  außerdem  ist  wohl  zu  ])emprken,  daß  in  (6) 
das  zu  5  =  0  gehörige  Glied  immer  zu  lialbiercn  ist.  Nehmen  wir 
in  (3)  und  (8)  |  v  |  <  1 ,  bez.  |  v  |  <  ^  an ,  so  fallen  die  Summen 
rechter  Hand  aus,  und  wir  «xelangen  so  zu  dem  bemerkenswerten  Satz: 

Die  durch  die  uncndlicJien  Bcihcn  (3)  und  (8)  definierten  Funk- 
tionen haben  int  Intervalle  —  1  <  v  <  +  1,  bß^-  —  ^  <  v  <  +  ^  einen 
Invariahilitätshcreich,  in  tcelchem  die  betreff  ende  Funldion  die  Summe 
Null  besitzt. 

Übrigens  stellen  die  unendlichen  Reihen  in  (3),  (6),  (8)  in  den 
durch  (4),  (7),  (9)  bestimmten  Intervallen  infolge  der  verschiedenen 
Werte  von  p  verschiedene  Funktionen  dar,  welche  in  den  Grenz- 
punkteu  zweier  aufeinander  folgender  Intervalle  identisch  sind. 

Die  Annahme  0(m)  =  1  führt  zu  den  in  §  17  eingeführten 
Poisson-Angerschen  Funktionen;  man  findet  folgende  einfache 
Formeln: 

s  =  p 

1 


(10)  '2{-iys,'V>^{sx)  =  2^gnv^' 

«  =  0 

(11)  2f,M^-(s:r)  =  2sgni..^' 


,  =  0  »  =  0      V  — iCCOSö), 

(12)     ^(-l)^.,,,,Q^-  +  ''((2s  +  l)r.)  =^'-J=i)^; 
die  weitere  Annahme: 

0  (o))  =  1  —  —  •  cos  03 

führt  dagegen  zu  den  Formeln  (T,),  (T^i)  und  (T12)  für  w  =  0. 

Setzt  man  nun  in  (10),  (11),  (12)  v  =  n,  wo  n  eine  positive 
ganze  Zahl  bedeutet,  welche  in  der  letzten  Formel  überdies  ungerade 
sein  muß,  und  weiterhin  nx  für  x,  so  erhält  man  gewisse  Kapteyn- 
sche  Reihen  der  ersten  Art,  welche  sich  jedoch  unmittelbar  aus  den 
Reihenentwicklungen  §  23,  (5),  (6)  herleiten  lassen. 


332 


Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 


Die  allgemeinen  Formeln  (3),  (6),  (8)  lassen  sich  indessen  in 
gewissen  Fällen  noch  auf  eine  andere  Form  bringen;  nimmt  man 
nämlich  die  Funktion  <P{(a)  als  dilFerentiabel  an  und  setzt  man 
ferner: 

0(fa)  =  M  —  —  cos  cj]  H{(o), 

so  ergibt  eine  partielle  Integration: 


(13) 


F\x) 


sin  V  7t 


Vit 


Hi^)--^G'ix), 


Vit 


wo  man: 


(14) 


n 

G''{x)  =  —    /sin  (va  —  x  sin  fo)  H'^^^cj)  da, 


n 

"(a:)  =  —  .    f  cos  {yo  —  x  sin  w)  H'^^\c})da 


@ 


gesetzt  hat. 

Führt  man  nun  in  den  betreffenden  allgemeinen  Formeln  die 
Ausdrücke  (13)  ein,  so  gewinnt  man  nach  einer  Anwendung  von 
(Tg),  (Tu)  und  (T^o)  folgende  weiteren  Formeln: 


(15) 


s  =  0 


(-1) 


s-1 


G'\sx)  =  ^  •    I  {va  —  xsm  a)  H^^^  (w)  dco  + 


2 

0 


+  ^sgnv.^' (HM- H(:t)), 


s  =  l 


(16) 


^T"  •  G'^Xsx)  =  -  Y  •    1  (vco-x sin  a)  H('){co)da 


s  =  l 


s  =  p 


3t  •  sgn  r.  •  2  (^:f(ö/)  -H(x)) , 


s  =  0 


(17) 


«=00 

2|^-(5i^-'  +  ^((2s  +  l)^)  = 


«  =  0 


»-  =  p 


^(;r)  -  if(0))  =f  .  2'(-  l)-^(^(0  -  fi^(;r)) 


s  =  l 


Kapitel  XXIV.    Funktionen  mit  Invariabilitiitsbereich.    §  129.  33!i 

Durch  die  Annahme  //(oj)  =  a  gelangen  wir  dann  zu  folgenden 
spezielleren  Formeln: 

(18)  ^  ^=^  •  Q-{sx)  =  ^-^-a:  +  n-  sgn  ,  •  S^'i^s  "  ^^. 

(19)  ^y-Q-(sx)  =  a:-^'-:r.S5,m..2''(";-^), 
1=1  «=o 

»=0  ^  1=1 

Die  durch  die  letzte  Reihe  definierte  Funktion  hat  also  in  dem 
Intervalle   —  y  ^  ^  "^  ~^  Y  ®^®^^  Invariabilitiitsbereich. 

Die   Entwicklungen   (15)   und   (18)    ermöglichen   uns   außerdem 
neue  Auflösungen  der  Kepler  sehen  Gleichung: 

CO  —  e  sin  a  =  (p 

durch  unendliche  Reihen.  Zu  diesem  Zwecke  bemerken  wir  vorerst, 
daß  wir  uns  auf  denjenigen   Fall   beschränken   können,    in  welchem 

TT 

0  ^  q)  ^—  vorausgesetzt  wird.  Denken  wir  uns  nämlich  (jp  so  ge- 
geben, daß  die  obengenannten  Ungleichheiten  wirklich  stattfinden, 
und  bezeichnen  wir  mit  oj((p,e)  die  reelle  Lösung  der  vorgelegten 
Kepler  sehen  Gleichung,  so  finden  wir  ohne  Mühe  folgende  drei 
Formeln: 

foi—<p,  e)  =  —  (o{(p,  e);     aicp+pn,  e)  =p7t-\-co((p,  (—  Vfe)] 
co{jc  —  (p,e)  =  a  —  co[(p,  e), 

und  damit  ist  unsere  Behauptung  ja  bewiesen. 

Die  Annahmen  v  =  — ,  x  =  — ,    also    1  <  v  <  2,    liefern    nun 

q)  '  (p  '  ' 

unmittelbar  folgende  Entwicklungen: 


Ä 


(21) 


H{m)  =  H(%)--^-  I  (o-<:sme)Hm{a)d6  + 


.    '-VC-')'-'    - 


s=  1 

(22)  „..  +  ^>i.f(^L:!ö'f(»^^); 


334  Vierter  Teil.   Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 

femer  führen  die  Annahmen  v  =  -r— ,  x  =  -r— ,   also  4  <  ^^  <  1>  zu 
folgenden  anderen  Entwicklungen: 

(23)  ff(c)  =  3ffW  -  ff (0)  -  4  ^  ^  ■  ®^  (^  »t.) , 

s  =  o 

Es  ist  sehr  bemerkenswert,  daß  uns  die  Poisson-Angerschen 
Funktionen  erlauben,  die  beiden  unabhängigen  Veränderlichen  e  und 
(p  in  eine  einzige  Funktion  hineinzubringen,  während  sie  bei  der 
Besselschen  Auflösung  getrennt  vorkommen,  nämlich  (p  in  dem 
Cosinus  und  e  in  den  Cylinderfunktionen,  welche  als  Koeffizienten 
in  der  Fourierschen  Reihe  auftreten.  Die  praktische  Anwendbar- 
keit dieser  zwei  neuen  Formeln  scheint  indessen  eine  ziemlich  ge- 
ringe zu  sein. 

Wir  bemerken  noch  vorübergehend,  daß  die  Formeln  §  127, 
(13),  (14),  auf  die  Funktionen  Y'(ä;)  und  Q'' (."/;)  angewendet,  die  in 
§  124   auf   ganz    andere  Weise  hergeleiteten  Formeln  von  (18)  bis 

(24)  wiedergeben,   während  uns   §  127,  (11),  (12)  hinwiederum  die 
Kapteynschen  Reihen  §  121,  (G)  liefern. 


§  130.     Anwendung  der  Punktion  f((o,x)  =  co-x. 

Zu   einer  noch   schöneren  Anwendung  der  in  den  §§  127,  128 
ffcffebenen  allgemeinen  Formeln  führen  die  Annahmen: 

/*(«,  x)  =  CO  •  X,     «  =  0; 

die  Variable  x  hat  hier  ein  Intervall  kontinuierlich  zu  durchlaufen, 
während  wir  für  die  entsprechenden  Funktionen  F(x)  und  %(x) 
folgende  Formeln  finden: 

(1)  F(a,  x)  =  F{ci  ■  x),     %{a,  x)  =  %{a'  x), 

so  daß  wir  mittelst  der  allgemeinen  Entwicklungen  des  §  128  fol- 
gende Formeln  erhalten: 

(2)       J;V  i)v,F(..)  -  ^  •  J'  *  (2^) , 

WO  die  positive  ganze  Zahl  der  Bedingung: 

(2a)  {2  p  -  l)3r  <  1  hx  \<{2p-\-  l);t 


Kapitt;!  XXIV.    Funktionen  mit  InvariabiliUltiiberfich     §  13(i  33;") 

genügt,  uiul: 

mit  tlt'ii   Htnlini^ngon:  . 

(3a)  2pn  <\bx\<  {2  p  +  2):r; 

eudlich  gewinnt  man  folgenilc  dritte  Furniel: 

(4)        f  (-  vy^^2s  +  i)x)  =  ,; .  ^V  i).-<.  ('--;") 

mit   (ItMi    Htnlintrnn^on: 

(4a)  {2p  -  1).T  <  1  2hx  I  <  {2p  +  l):r. 

In  dem  spezielleren  l'alle  p  --  U  ergeben  die  Formeln  (2)  und 
(4)  unmittelbar  den   Satz: 

Die  durch  die  nncndUchoi  Beihcn  (2)  mid  (4)  definierten  Funl- 

iioucn  hahcH  in  den  Intervallen  — r-  <  a-  <  +  ^  ,  /^^^r.  —  .77;  <  *^  <  +  t>^ 

e/«/*w   Invariahditätshcreich ,   in   welchem  die  hctrcff'mdc  Funktion   den 
hmstnnten   Wert  Nidl  hat. 

Übrigens  stellen  die  drei  oben  angegebenen  unendlielieu  Reihen 
in  den  durch  die  verschiedenen  Werte  von  h  aus  (2a),  (3a),  (4a) 
l)estimmten  Intervallen  verschiedene  Funktionen  von  x  dar,  welche 
in  den  Greuzpunkten  der  Intervalle  identisch  sind. 

Die  zu  den  hier  betrachteten  Funktionen  F(x)  und  %(x)  ge- 
höricren  Verallf^emeineruni^en  der  Bernoullischen  Funktionen  lassen 
sich  ohne  Mühe  bilden,  so  daß  wir  unmittelbar  zu  den  direkten 
Anwendungen  ü))ergehen  dürfen. 

Zuerst    betrachten    Avir    die    Poisson-Angerschen    Funktionen 
TT'(a;)  und  X'(a'j;  wir  haben  hier: 
/^v  ^/    \        cos (v  arc  cos  co) 

zu  setzen,  woraus  sich  mittelst  §  17,  (12a),  (13a): 

(6)  Fix)  =  -^^-W{x),     ^(^)  =  -^.X '■(:.) 

2  cos  —  2  sin  -— 

ergibt,  so  daß  wir  in  diesem  Falle  folgende  Formeln  erhalten: 

i  =  CK  2  cos  -  -       .« =  p  ,       . 

(7)       ^  (-  i)...n. (..)  -  -^ .  2'n^^^^ 


s=0 


336 


Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 


s  =  p 


(8)  ^s^Ti^{sx)  =  2cos^-Bgnx-2   y^^=^^ 


s  =  0 


s  =  0 


(9) 


^  (- 1^2.4-1  X^  ((2^+1)^)  = 


s  =  0 


s  =  p 


=  sm— -sgna;-^ 


'  (— l)*-^sin(i'Cü;') 


f^    1/40;*  — (2  s— 1)*  TT*' 

wo  wir  beziehentlich: 

(10)    {2p-l)7C<\x\<(2p-\-l)7t,     2p^^\x\<{2p-\-2)7r, 
{2p-l):c^\2x\<{2p+  l)n 

annehmen  müssen,  und  wo  die  Größen  co^ ,  co/,  a"  folgendermaßen 
zu  bestimmen  sind: 

,^^    x  (2s— l)«  ,        "isx  ,,        (2s— 1)« 

(10a)      cosco^  =  ^^ — \ — H^— ,     coso),  =n — r,     cos«.   = 


X 


X 


2x 


Aus  diesen  Formeln  läßt  sich  eine  große  Menge  anderer  her- 
leiten. Erstens  finden  wir  zum  Beispiel,  wenn  n  eine  positive  ganze 
Zahl  bedeutet: 


(11)  2(- ly-^j'-isx)  =  (- ir-^2 .^'  — 

«=1  s=l        V^ 


cos  (2«caJ 


J     ^x-  —  {2s  —  lYn^' 


s  =  p 


(12)  ^r-'isx)  =  i-iy2.^ 


'    cos(2«a3/) 


-^    l/^ä  — 4s-7t^ 
und,  wenn  w  nur  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet: 


s=.  p 


(13)  >; j"-"' ((2^ + 1)^) = -~ '?'"" ■^' '" T ' "''^'"' ^  ""•"-■ 

f^  \^       ^     -^    /  2  ^         l/4a;«  — (2s— 1)*Ä*       5 

in  dem  in  (11),  (12)  ausgeschlossenen  speziellen  FaUe  r*  =  0  finden 
wir  endlich: 

4'  =  CO  S  =p 

(IIa)      ^{-\y^ß\^x)  =  ^.^' , 


s  =  0 


(12a) 


^    -j/a;*- (2s  — l)*3r^' 


s  =  p 


Zweitens  liefern  die  Formeln  §  17,  (25),  (27)  analoge  Reihen, 
welche  die  Funktionen  Q'(a;)  und  T''\x)  enthalten;  die  zugehörigen 
Formeln  lassen  sich  ohne  Mühe  herleiten,  so  daß  wir  sie  übergehen 


Kapitel  XXV.    Nullentwicklungen  in  den  Schlömilcbscheu  Reihen.   §  131.     337 

dürfen.  Wir  bemerken  noch,  diili  die  zugehörigen  Verallgenioiue- 
rungeu  der  Beruou  11  i sehen  Funktionen  hier  zu  folgenden  Nullent- 
wickluniren  führen: 


»=00 


(13a)      ^''^'^ -'"("■)  =  0,     2'-<-^-^"'(-'^)  =  Ö' 


,=l  *  «=1 


welche   in   dem  Intervalle   —  :t  <  x  < -\-  n   anwendbar   sind,    und  in 
denen  p  eine  positive  ganze  Zahl  >  n  bedeutet. 

Um   noch   das   zweite  Besselsche  Integral  für  J''{oc)  anwenden 
zu  können,  haben  wir  zu  setzen: 

/•(«)  =  (l-a,^)^-T,     6=1; 
wir  gewinnen  so  unschwer  folgende  Formeln: 

3  =  0  ^  —  *■ 

S=CC  S  =  p 


(15)  (l)'-2';;-^'M  =  r^'^^-I  (''-/)"-' 

d«)  (1)'  •  T  ^^f"  ■  ^'  ((^»'+ 1)-) = röM!)^  f '  (-  D- '  (^"  <y'- ' 


s  =  0  -  .1  =  1 

wo   die  Winkel  a^,  co/,  «/'   aus   (10a)  zu  entnehmen  sind,   und  wo 
91  (v)  >  —  l  vorausgesetzt  werden  muß. 

Wir  können  nun  auch  sehr  leicht  Entwicklungen  bilden,  welche 
nach  den  Funktionen  ^"{x)  und  W^x)  fortschreiten-,  wir  gehen 
indessen  auf  diese  Frage  nicht  näher  ein,  sondern  wenden  uns 
nunmehr  zur  Verallgemeinerung  der  in  (13  a)  gegebenen  Null- 
entwicklungen. 


Kapitel  XXY. 
Nulleiitwickluiigeii  in  den  Sclilömilclisclien  Reihen. 

§  131.     Allgemeine  Sununenformeln. 

Die  Betrachtungen  der  §§  127,  128  lassen  sich  ohne  Schwierig- 
keit auf  die  durch  mehrfache  Integrale  definierten,  zu  F(x)  und  ^{x) 
analoo-en  Funktionen  übertragen.  Wir  beschränken  uns  auf  den  Fall 
eines  Doppelintegrales  und  setzen: 

Nielsen,  Cylinderfunktionen.  22 


338 


Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 


(1) 


Jt       7t 


G(x)  =  J  J  cos(i(;  cos  9?  sin  a)f((p,  a)  dtp  da, 


0      0 

it   jt 
Y  T 


^ip)  ="  J  J  sin(a;  cos 9?  ^mü3)f{cp,  (o)dq)dco, 


0    0 


wo  die  Funktion  f(q),  a)  so  beschaffen  sein  muß,  daß  G{0)  eine 
bestimmte  und  endlicbe  Größe  ist.  Die  Funktionen  G(x)  und  &(x) 
sind  somit  auch  in  x  ganze  transcendente  Funktionen,  auf  welche 
sich  die  Formebi  §  128,  (14)  bis  (18)  ohne  weiteres  übertragen  lassen. 
Weiter  führt  eine  Anwendung  der  elementaren  Formel  (A)  in 
§  128,  wenn  man  das  dort  erhaltene  Integral  mittelst  der  durch  die 
Gleichung:  ^  cos  ^  sin  m  =  « 

definierten  neuen  Variabelen  reduziert,  auf  folgende  andere  Formel: 


(2) 


2(- 

s  =  0 


iysMsx)  = 


7t 

Y 


xcosc 


=  (- 1)' 


/  ( OD ,  arc  sin 1    cos  ( — ' —  a  1 

'  \^ '  a;  cos  9)/  \      2         / 


cos  (I  a) 


dfpda, 


Yx^  cos*  qp  —  a* 

so   daß   wir  also   den  Wert   des  Doppelintegrales  rechter  Hand  für 

unendlich  wachsende  n  zu  bestimmen  haben. 

Zu   diesem  Behufe   zeichnen  wir  einen  Zus;  der  Kurve  mit  fol- 

gender  Gleichung: 

a  =  X  cos  (p, 

wo  q)  als  Abscisse,  a  als  Ordinate  anzusehen  ist.  Wir  bezeichnen 
mit  0  den  Ursprung,  mit  A  und  B  die  Schnittpunkte  der  Kurve  mit 
den  positiven  Richtungen  der  Abscissen-,  bez.  Ordinatenachse;  es 
handelt  sich  dann  darum,  den  Wert  unseres  über  den  Bereich  AOB 
genommenen  Doppelintegrales  zu  berechnen^).  Zu  diesem  Zwecke 
setzen  wir: 

(3)  (22;-l):r<^<(2j,  +  l);r, 

wo  p  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet,  und  bestimmen  auf 

dem  Bogen  AB  die  Punkte  G^  mit  den  Koordinaten: 


(4) 


% 


arc  cos 


(2^  — l)7r 


X 


%- 


{2q—  1)« 


X 


q=l,  2,  3,  ...,  p. 


1)  A  ist  derjenige  Schnittpunkt,  der  die  kleinste  positive  Abscisse  hat. 


KapiUl  XXV     Nullentwicklongen  in  den  Schlömilchschen  Reihen.   §  131      339 

Wir  scliiieiilfii  mm  durch  schnmlc  K;müle,  dtTiii  Kämlcr  mit 
(l.r  AKsoisseuachsr  piiriill«-!  laiitVn,  ilii«  Punkte  (4)  aus  diMu  Bi-rcicho 
^lojl  aus,  so  dab  die  Ränder  d.-s  /u  ('  gehörigen  Kanales  fdgeude 
Gleichungen  haben: 

(5)  «'=''^'^.:^^)!^^,    a "  =.  (llulüHiiy , 

V    /  7  X  '  '  X  ' 

WO  d  und  f,  sehr  kleine,  aber  endlicjie  positive  (ir()ßen  bedeuten. 
Durch  die  mittelst  if))  defiuiert«'n  Kanäle  /erteilen  wir  den  Bereich 
AOli  in  mehrere  andere,  nämlich  1)  ilie  Bereiche  /y, ,  welche  von 
den  Geraden  a'  und  u"  und  dem  Bogen  AB  begrenzt  werden; 
2)  die  Bereiche  r/  welciie  zwischen  den  a^"  und  a.'.i_^^  liegen,  jedoch 
so,  daß  r/,  /wischen  der  Abscissenachse  und  u^\  u  aljer  zwischen 
u  "   und   dem    letzten  Stück    des  Bozens  AU  liejrt.     Es  ist  darnach 

p  OD 

offenbar,  daß  die  Punkte  (4)  sämtlich  in  die  Bereiche  6  fallen 
müssen.  Wir  bezeichnen  nun  \veiter  durch  7/,  bez.  /,  den  Wert 
des  obenerwähnten  über  den  Bereich  a  bez.  h  erstreckten  Doppel- 
integrales. 

Nach  diesen  Überlegungen  lassen  wir  nun  die  positive  ganze 
Zahl  n  unbegi-en/t  wachsen,  während  ö,^  und  £  sämtlich  der  Null 
zustreben,  aber  so,  daß  die  Produkte  n6  und  «£  allesamt  unbegrenzt 
wachsen;  dann  liefert  das  Theorem  von  Dirichlet,  falls  die  Funktion: 

fla),  aresin '- — ) 

'    \^'  X  cos  (pj 

die  gewöhnlichen  Bedingungen  erfüllt,  folgende  Ergebnisse: 
lim  11^  =  0, 

n  =  00 


arc  cos 


/f\cp,  arcsi 
"j/a;*  cos*  qp  - 


{2q  —  l)n\ 


cos  qp    / 
n=oo     '         X     t/      "j/a;*  COS*  qp  —  (2  g — l)*jr 


,  ,  ^  , sin 

5ä       I      '  V  X 


lim  i,  = /  h=^   dw' 


0 

setzen  wir  weiter  der  Kürze  halber 


^  =  arc  sin  (/.•/),     /,^  =  ]/l  _  i^^-iÜ!^,     f=HK,ß), 
so  finden  wir: 

(6)  lim  7=2^     r  ^ik,,ß)     _ ^^_ 

n  =  »    *        a;    J  y(l-ß^)(l-Vß') 

0 

Wir  haben  noch  den  speziellen  Fall  a;  =  (2|)  —  l);r  zu  unter- 
suchen;   hier    ist    der    Gipfelpunkt    B    des    Kurvenzuges    selbst    ein 

22* 


340  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 

kritischer  Punkt    von    dem   Charakter    (4).     Um   das   entsprechende 
Integral  J,  mit   den   Grenzen  a  =  x  —  e   bis  u  =  x  und  cp  =  0  bis 

(p  =arccos(l )    zu    bestimmen,    wo    e    eine    sehr    kleine,    aber 

endliche  positive  Größe  bedeutet,  setzen  wir: 

a  =  X  —  y,     9)  =  arc  cos  (A/3),     /j  =  1/ 1  —  f  1  —  — j 

und   finden    alsdann,    falls  f{(p,  co)    in    der  Umgebung   von  (p  =  0, 
03  =  —  kontinuierlich  ist,  für  das  Integral  folgenden  Ausdruck: 


liml=^flö,^).  f^M=, 


also  genau  die  Hälfte  von  dem  aus  (6)  für  g=p  gefundenen  Integrale. 
Führen  wir  nun  im  allgemeinen  folgende  Bezeichnungen  ein: 

^(A,  s)  ==  f[arc  sin  (A^),     arc  sin "|/^^_~^a^gj , 

so  daß  A'  den  zu  A  komplementären  Modul  darstellt,  falls  elliptische 
Integrale  in  Frage  kommen,  so  finden  wir  ohne  Mühe  die  allgemeine 
Formel: 

1 


s  =  p 


wo  wir  für  Ä'^  und  für  den  komplementären  Modul  /./  die  Ausdrücke: 

(8)  i,  =. -i/IZÜEEW,    i-;=e^f^ 

\  /  *       r  x^        '       ^  \  x\ 

erhalten,  während  die  ganze  Zahl  ^;  so  zu  bestimmen  ist,  daß: 

(9)  {2p-l)7t£\x\<{2p-\-l)7t- 

falls   bei   der  unteren  Grenze  in   (9)   die  Gleichheit  eintritt,  ist  das 
zu  s  =  p  gehörige  Glied  zu  halbieren. 

Wenn  —  n  <i  x  <i -\-  it  vorausgesetzt  wird,  verschwindet  die 
Summe  rechter  Hand  in  (7),  weil  dann  kein  kritischer  Punkt  vom 
Charakter  (4)  mehr  vorhanden  ist;  wir  müssen  aber  doch  bemerken, 
daß  für  X  ==  0  die  Reihe  linker  Hand  in  (7)  im  allgemeinen  keine 
bestimmte  Summe  besitzt;  denn  diese  Summe  ist  entweder  gleich 
+  2'G^(0)  oder  gleich  —-\G{Q)),  je  nachdem  die  Anzahl  der  Glieder 
als  imgerade  oder  gerade  angenommen  wird. 


Kapitel  XXV.    Nullentwicklungon  in  den  Schlömilchsciien  Reihen.    §  131.     341 

Die   elementare  Formel  (C)   in   §  128  führt  auf  dieselbe  Weise 
zu  der  andern: 

/      »=  OD 


(10) 


wo: 


3-0 

*  =  p 


'        Y  4x-         '        *  1 2a; 

sein  muß,  während: 
(12)  (2^)  -  1).^  <  I  2a:  |<  (2^)  +  l)% 

vorauszusetzen  ist;  der  Accent  nach  dem  Sumraenzeichen  hat  dieselbe 
Bedeutung  wie  vorher;  für  —  :r<2a;<  +  :nr  verschwindet  die  Summe 
rechter  Hand  in  (10),  und  für  a;  =  0  hat  unsere  Reihe  hier  die 
Summe  Null. 

Wenden  wir  uns  nunmehr  zu  der  elementaren  Formel  (B)  in 
§  128,  so  ist  es  sehr  bemerkenswert,  daß  die  entsprechende  Reihe 
nur  dann  konvergiert,  wenn  das  Integral: 


(13)  S'^'^-^ 

0 

einen  Sinn  hat;  in  diesem  Falle  finden  wir: 
J=o^  »=p        *  . 

(14)     2''.g(^^) = w\  ■  ZJ  v(^-Vw-«m'^'' 


«=0  «=0 

wo: 


(15)  m  =  y\--^,  '''^=w\ 

gesetzt  worden  ist,  und  wo  die  ganze,  nicht  negative  Zahl  p  so  zu 
bestimmen  ist,  daß: 

(16)  2pn<^\x\<(2p  +  2)7C 

ist;  der  Accent  nach  dem  Summenzeichen  bedeutet  hier,  daß  das  Glied 
für  s  =  0  stets  zu  halbieren  ist,  und  daß  dies  auch  für  s  =  p  der 
Fall  sein  muß,  falls  in  (16)  bei  der  unteren  Grenze  die  Gleichheit 
stattfindet.  Für  a;  =  0  ist  unsere  unendliche  Reihe  im  allgemeinen 
divergent. 


342 


Vierter  Teil.   Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 


Wir  haben  somit  folgenden  Satz  bewiesen: 

Die  durch  die  unendlichen  Reihen  (7)  und  (10)  definierten  Func- 
tionen haben  in  den  Intervallen  —7i<x<C-\-7t,  hez.  —:r<.2x<C-\-jr 
einen  Invaridbilitätsbereich,  in  ivelchem  der  Tionstante  Wert  der  be- 
treffenden Funktion  immer  gleich  Nidl  ist. 

Übrigens  stellen  die  unendlichen  Reihen  (7),  (10),  (14)  in  den 
durch  die  verschiedenen  Werte  von  p  aus  (9),  (^12),  (16)  bestimmten 
Intervallen  verschiedene  Funktionen  dar,  welche  im  allgemeinen  an 
den  Grenzen  identisch  sind. 


§  132.     Anwendungen  der  Lommelschen  Funktion. 

Für    eine    erste    Anwendung    der    allgemeinen    Formeln    setzen 

wir  hier: 

f{(pj  to)  =  (sin  9)?  +  *-^  cos  q)  (cos  co)?±% 

so  daß  sich  die  entsprechenden  Funktionen  G(x)  und  ®{x)  mittelst 
§32,  (4),  (7)  durch  Lommelsche  Funktionen  ausdrücken  lassen; 
wir  setzen  ferner  der  Kürze  halber: 


(1) 


und  finden: 


{^y&^^(x)  = 


r(e  +  i) 


TT 


2  y«  cos  —  (v  —  q) 


TT 


2  y^  sin  y  (v  —  e) 


7/,(i,2) 


|/(l  —  z^)  (1  —  Vz") 


(i  +  v-1 

q-Vv  '' 


so  daß  sich  das  betreffende  Integral  vermittelst  (Fjg)  durch  hyper- 
geometrische Reihen  ausdrücken  läßt.  Wir  gewinnen  in  der  Tat 
ohne  Mühe  folgende  Formeln: 


«  =  OD 


(2) 


(iy-2^-«-(-)- 


s-ü 


(3) 


Kapitel  XXV.    NuUentwicklungcn  in  den  ScblömilchHchen  Ueihcii.   §  132.     343 

(,;rJ^-«-(-)= 

1  =  0 


w 


j-O 

f  =  00 


(ir-2,^c-®-((2^-+')^)= 


5=0 

i  =  p 


*  =  i 

in  den  zwei  ersten  Formeln  muß  nuiu  natürlich  für  6  =  0  den  leicht 
zn  bestimmenden  Grenzwert  benutzen.  Die  Formeln  (2),  (4)  sind 
sonach  anwendbar,  falls: 

(5)  ?R(9=Fv)>0,        9?(()±i/)>-l 
vorausgesetzt  wird,  während  (3)  die  etwas  engeren  Bedingimgeu: 

(6)  ^{q  +  v)>0,        '3iiQ±v)>0 

erfordert. 

Zum  Zweck  einer  ersten  Spezialisierung  der  so  gewonnenen 
Formeln  setzen  wir  in  (2),  (3)  q  =  v  —  2n,  in  (4)  q  =  v  —  2n  —  1, 
wo  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet;  weiter  setzen  wir 
V  +  2«,  bez.  V  -\-  2n  -j-  1  für  v  und  erhalten  so  mittelst  der 
Formel  (Kg)  folgende  bemerkenswerten  Entwicklungen: 


(7) 


4  =  00 

(- 1)*  s, 


(■A.)'-2'^-^'-'"(-)  = 


s 

a  =  Q 


{—l)"2(2n)\r(v) 
\x\  ■  r(2j;  +  2M) 


s  =  p 


V'a-2.-1^v,2«  /(^S-l)7t\ 


s-1 


(8) 


(^)"-2'v-'''""(^^)- 


S 
»  =  0 


(— l)"2(2w)!r(v) 


s=p 


(9) 


\x\T(2v-\-2n-^l)    ^    ^s         ^         \x)> 

s-O 


»=o       ^       '     ^ 

_      s=p 
(-l)"2>/7r 


»=i 


344  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürliclier  Funktionen. 

so  daß  sich  die  betreffenden  Reihen  (7)  und  (8)  unter  endlicher 
Form  mittelst  der  Kugelfunktionen  summieren  lassen. 

Für  n  =  0  finden  wir  die  Formeln  §  130,  (14),  (15)  wieder, 
während  die  Annahme  v  =  0  die  Formeln  (11)  bis  (13)  desselben 
Paragraphen  ergibt. 

Über  die  drei  letzten  Formeln  bemerken  wir  noch,  daß  sie 
vorläufig  unter  den  aus  (5)  und  (6)  erhaltenen  Bedingungen  bewiesen 
sind;  indessen  können  wir  ohne  Mühe  diese  Bedingungen  sehr  er- 
weitern. Wenden  wir  in  der  Tat  die  gewöhnlichen  asymptotischen 
Ausdi-ücke  für  die  Cjlinderfunktionen  der  ersten  Art  an,  so  ist 
offenbar,  daß  sich  die  sehr  entfernten  Glieder  der  betreffenden  Reihen, 

von  dem  gemeinsamen  Faktor  ( — 1)"   [/— ;  abgesehen,  wie: 
^~^N     •  cos  Isx-  (v  +  v)  v)> 


V 

S 


71  ■  <=os  (s^  -  ("  +  y)  f )  > 


'-'>;       -sin  ((25+1)  x-(.  + 1)1) 

(2s+l)      2 

verhalten.  Diese  Reihen  müssen  also  dem  Satze  (T^J  zufolge  ana- 
lytische Funktionen  von  v  definieren,  falls  x  nicht  gleich  einem 
ungeraden  Multiplum  von  7t,  bez.  7t:  2  vorausgesetzt  wird.  Dasselbe 
gilt  für  die  Funktionen  rechter  Hand  in  (7),  (8),  (9),  somit  sind 
die  obenerwähnten  Formeln  anwendbar,  falls  nur  9ft(v)>  — |-  ist. 

Setzt  man  weiter  in  (2),  (3),  (4)  ^  =  0,  so  erhält  man  wieder 
die  Formeln  §  130,  (7),  (8),  (9),  während  sich  durch  die  Annahme 
9  =  1  aus  (2),  (3)  folgende  weiteren  Entwicklungen  ergeben: 

(10)  ^^ -^■Y.''{sx)=Bgnx ^]  sin(varcsinZ;j), 

„  .       VTt 

(11)  ^  -^  •  X "  (s2;)  =  sgn  X — —  ^]  sin  {v  arc  sin  m J , 

welche  für  jeden  endlichen  Wert  von  v  anwendbar  sind;  für  v  =  1 
findet  man  folgende  spezielleren  Formeln: 

(12)  ^t:^.jx^sx)=^^^nx-^'l-^, 

i  =0  «=i 


Kapitel  XXV.    Nullentwicklungen  in  den  Sihlömilchschen  Uoihcn.   §  133.     345 


(13) 


^-/  •  J^{s^)  =  4  sgn  2-  -^    ni„ 


» =  0  *  -  0 

währoiul  die  Aunalune  v  =  0  zu  eleu  ähnlichen  Formeln: 

(14)  y*  ^~^J  ''  •  Q\sx)  =  4  s^m  1-  •  ^ '  arc  sin  /.•„ 

»  =  ao  j  =  ;j 

(15)  ^  —  •Q°(sx)  =  4  sgn  x  ■  ^    arc  sin  7)i^ 

$=0  «=ü 

führt. 

Hier  brechen  wir  unsere  Untersuchungen  über  die  Anwendungen 
der  alltremeinen  Formeln  mit  den  Lommelschen  Funktionen  al)  und 
wenden  uns  nunmehr  zu  den  ähnlichen  Entwicklungen,  welche  nach 
Produkten  zweier  Cyliuderfunktionen  fortschreiten. 

§  133.     Anwendungen  von  Produkten  zweier  t7-Funktionen. 

Die  Annahme: 
f(<p,  a)  =  cos  (vcp)  cos  (2nco),     f{(p,  od)  =  cos  {vcp)  sin  (2w  +  1)(d, 
wo  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet,  ergibt  mittelst  §  21, 
(4),  (5)  folgende  Werte  für    die    entsprechenden  Funktionen   G{x) 
und  (^(x): 

1+v 


(1) 


T 


l-r 


m  =  '^-r'  '  (|)/'~(y), 


so  daß  sich  aus  den  allgemeinen  Formeln  §  131,  (7),  (10): 


(2) 


«  =  0 


1 


I    f  =  y= 


(3) 


2(-l)'^.../^^  (^*)  f*~^  (^^)  - 


.»  =  0 


1 


346  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen, 

ergibt,  wo  wir  der  Kürze  halber: 

(4)  ^^^{K  ^)  =  cos(varcsiii  A^)  •  sin(2w  arc  sin"!/     ~.^  A, 

(5)  qo^"  +  ^(A,  z)  =  cos  (v  arc  sin  A^)  -sinf  (2w  +  l)  arc  sin  1/    _  ^  J 

gesetzt  haben. 

Die  aus  §  131,  (14)  erhaltene  spezielle  Reihe  wird  hier  immer 
divergent,  wenn  v  nicht  die  Hälfte  einer  ungeraden  ganzen  Zahl 
bedeutet;  denn  erstens  wird  sonst  das  Integral  §  131,  (13)  logarith- 
misch unendlich,  und  zweitens  zeigt  der  asymptotische  Ausdruck  für 
die  e7-Funktion,  daß  die  obenerwähnte  Reihe  wie  die  harmonische 
Reihe  divergiert.  Die  für  ganze  ungerade  Werte  des  Parameters  v 
erhaltene  konvergente  Reihe  ist  ohne  besonderes  Interesse,  weil  sie 
nur  eine  Folge  der  Formeln  (T^^)  und  (T^J  ist. 

Wenden  wir  uns  daher  wieder  zu  den  Reihen  (2),  (3),  so  finden 
wir  an  ihnen  folgende  Eigenschaften: 

1)  Die  Beulen  (2),  (3)  Jiahen  in  den  Intervallen  —  n  <C  x  <i  -\-  7t, 
hez.  —  71  <i2x  <,-\-  n  einen  InvariabiUtätsbereicli,  in  welchem  die 
Summe  der  Reihe  itnmer  gleich  Nidl  ist,  außer  für  x  =  0,  wo  (2) 
bisweilen  oscillierend  wird. 

2)  Wenn  v  eine  ganze  Zahl  ist,  welche  ungerade,  hez.  gerade 
vorausgesetzt  wird,  werden  die  BeiJien  (2),  (3)  mit  bekannten  trigono- 
metrischen Reihen  identisch. 

Es   ist  dies   eine  unmittelbare  Folge  von  den  in  §  11,  (8),  (9) 
gegebenen  Ausdrücken  für  die  Poissonschen  Cylinderfunktionen. 
Weiter  erhalten  wir  folgenden  merkwürdigen  Satz: 

3)  Bedeutet  v  eine  ganze  Zahl,  ivelche  gerade,  hez.  ungerade  sein 
muß,  so  lassen  sich  die  Summen  der  unendlichen  Reihen  (2),  (3)  als 
lineare  FunMionen  einer  endlichen  Anzahl  von  vollständigen  elliptischen 
Integralen  darstellen. 

Die  Funktionen  cp  reduzieren  sich  dann  nämlich  auf  rationale 
Funktionen  der  Größe  1  —  l^z'^,  und  der  Satz  ist  sonach  eine  direkte 
Folge  des  bekannten  Satzes  über  die  Reduktion  solcher  Integrale. 
Setzen  wir  zum  Beispiel  w  =  0  und  v  =^  0,  bez.  v  =  1,  so  gewinnen 
wir  die  schönen  Formeln: 

*=0  «=1 


Kapitel  XXV.    Nullcntwickluugcn  in  den  Schlömilcbschen  Reihen.   §  134.     347 


m 


1  =  0 

•=p 


=  iv2''(-i)'"''-'^'(^'')' 


j=i 


wo  Fi  .,  ,  Aj  das  vollstäudige  elliptische  Integral  der  ersten  Art  mit 

dem  Modul  A  bedeutet,  während  ?.'  wie  gewöhnlich  der  zu  A  komple- 
mentäre Modul  ist. 

In  dem  Falle  n  =  0,  v  =  2,  bez.  j/  =  3  findet  man  in  den 
Summen  der  zwei  Reihen  (6),  (7)  auch  Integrale  der  zweiten  Art, 
während  die  Annahme  w  =  1,  v  =  2,  bez.  v  =  ?>  schon  auf  Integrale 
der  dritten  Art  führt. 

Endlich  erhalten  wir  noch  folgenden  Satz: 

4)  Bedeutet  v  einen  irreduzihlcn  Bruch  }) :  q,  so  lassen  sich  die 
Summen  der  unendlichen  Beihen  (2),  (3)  als  lineare  Funldionen  einer 
endlichen  Anzahl  von  hyperellipti sehen  Integralen  darstellen,  in  icelchen 
die  Polynome  unter  den  Badilalen  vom  Grade  2+2,  hez.  2+1  sind, 
je  nachdem  p  gerade  oder  ungerade  ist. 

Um  diesen  Satz  zu  beweisen,  setzen  wir: 

Xg  =  sin  7j 
und  finden  so: 

nn      SJ  COS  p-^^i  r  (cos  7]) 


2 


dr}, 


y{i  —  z')  (i  —  x^z^)       ycos^Tj  — r 

wo  f(x)  eine  rationale  Funktion  von   x  bedeutet.     Setzen  wir  nmi 
weiter :  ,    . 

80  erhalten  wir: 

dy  = ,—  : 

damit  ist  der  Satz  bewiesen. 

In  den  Spezialfällen  v  =  \,  v  =  ^  reduzieren  sich  die  oben- 
genannten hyperelliptischen  Integrale  auf  nicht  vollständige  elliptische. 

§  134.     Die  Schlömilchschen  Reihen  gestatten  sämtlich  eine 

Nullentwicklung. 

Die  in  den  beiden  vorhergehenden  Paragraphen  gegebenen 
spezielleren  Reihen  spielen  eine  wichtige  Rolle  in  der  Theorie  der 
Schlömilchschen  Reihen,  indem  sie  zeigen,  daß  diese  Reihen  sämt- 
lich unendlich  vieldeutig  sein  müssen. 


348  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 

Die  Theorie  der  Sclilömilchsclien  Reihen  ist  im  allgemeinen 
noch  fast  ganz  miausgebildet.  Da  zudem  die  eben  erwähnte  un- 
endliche Vieldeutigkeit  ihr  Interesse  beträchtlich  vermindert,  wollen 
wir  hier  eine  solche  allgemeine  Theorie  gar  nicht  zu  geben  ver- 
suchen, sondern  uns  auf  einen  engeren  P^'all  beschränken,  welcher 
gleichwohl  so  allgemein  ist,  daß  es  außer  allem  Zweifel  gesetzt 
wird,  daß  solche  Entwicklungen,  auch  außer  den  ganz  einfachen 
Spezialfällen,  wirklich  existieren. 

Zu  diesem  Zwecke  betrachten  wir  eine  Funktion  f{x\  welche 
so  beschaifen  ist,  daß  f^^'^  {x)  existiert  und  daß  außerdem  die 
Funktion  f{ax)  +  axf^^\ax)  in  eine  Fouriersche  Reihe: 

S=  CO 

s  =  0 

entwickelt  werden  kann,  eine  Reihe,  welche  für  —  1  ^  a  ^  +  1 
und  —  jr  <  a;  <  +  jr  gleichmäßig  konvergiert.  Folglich  dürfen  wir 
unmittelbar  die  Integralidentitäten  (Ijj)  und  (IJ  auf  (1)  anwenden. 
Um  die  Identität  (IJ: 


(2) 


7t      n 
T     T 


/    /  F^'^'i  {x  sin  (p  sin  cj)  x  sin  03  (tg  co)^''  (cos  cpy^dcp  dm  = 


0       Ü 


auf  (1)  anwenden  zu  können,  setzen  wir  in  dieser  Formel  a  sin  a 
für  a,  x  ^m.  cp  für  gp,  und  die  gliedweise  Anwendung  von  (2),  welche 
ja  erlaubt  ist,  liefert  nun  unmittelbar  folgende  Entwicklung  in  eine 
Schlömildische  Reihe  der  ersten  Art: 

s  =  iy> 

(3)  fia^)  =  (I)"  -^{"^  J'(.x)  +  &  Z'isx)), 

.5  =  0 

wo  wir  der  Kürze  halber: 


7t 


(3a)         ü;(a)  =   ^^Q"^'"     .  ja^  (ß,  sin  a)  sin  co  (tg  a^'  da, 


0 

7t 


(3b)         6/(a)  =     !^'''''''     •  A,  («  sin  a)  sin  «  (tg  ay^'  da 

0 

gesetzt  haben;  die  Reihe  (3)  ist  demnach  jedenfalls  anwendbar,  falls 
—  ^ < 9^ (v)  <  +  ^  und  außerdem  —  n  <.x  <  +^  vorausgesetzt  wird. 


Kapitel  XXV.    Nullentwicklungen  in  den  Schlömilchschen  Reihen.   §  134.     349 
Die  Identität  (L): 


8      2 


(4)  f  fF<'\xcoH(ps[n2oj)xsm2(o{i^aycoü{v(p)<I(pdco  =  y  (F(x)-F(O)) 

0       0 

ergibt  i»  ähnlicher  Weise  folgende  Entwicklung  in  eine  Schlömilchschr 
lieihe  der  zweiten  Art: 

»  =  OD 

(5)  f{ax)  =^  (?l;(«)n'(6-x)  +  93;(a)X'(.s-:r) 

3  =  0 

mit  den  Koeffizientenbestimmungeu: 

7t 

T 
(5  a)        51;  (a)  =  —^ /  a,  (x  sin  2  w)  sin  2  o  (tg  oj)"  d  a , 


0 

8 


(5b)        S5;(ß)  =  — ^^ /  bXx  sin  2«)  sin  2a  (tg  w)''  •  da-, 


28m  — 

0 


die  Reihe  (5)  ist  mithin  jedenfalls  anwendbar,  falls  —  2  <  9l?(v)  <  +  2 
und  —  7C  <.  X  <C -\-  7t  vorausgesetzt  wird. 

In   den  Spezialfällen    v  =  0,   bez.   v  =  1    erhalten   wir  aus   (f)) 
folgende  Entwicklungen: 


«=00 


(6)  fiax)  =  2  (5t,«(«)  J\sx)  +  23,»(a)  Q«(sa:))  , 

»  =  o 

*  =  OD 

(7)  /-(«o:)  =^(^/(a)QXsa;)  +  95,n«)^n^^)), 

a  =  0 

von  welchen   die   erste   auch   aus  (3)   für  v  ==  0   hergeleitet  werden 
kann,  während  dies  mit  (7)  nicht  der  Fall  ist. 

Wir  denken  uns  nun  weiter,  daß  f(x)  eine  solche  Funktion 
bedeutet,  daß  sich  f{ax)  +  axf^^^ax)  mittelst  (5)  entwickeln  läßt; 
alsdann  finden  wir  unmittelbar  diese  zwei  Erklärungen: 

f{ax)  +  axp\ttx)  +  /■(-  ax)  -  axP\-  ax)  =  2  -^g/ia) U'{sx), 

s  =  0 

S  =  00 

f{ax)  +  axfW(cix)-f{-  ax)  +  uxf^'^{-  ax)  =  2  •  ^  h;{a)X''{sx)- 


»  =  i 


350  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 

sonach  führt  uns  die  Identität  (4)  für  v  =  0  unter  Anwendung  von 
§  21,  (4),  (5)  zu  folgender  Entwicklung  in  eine  Scldömilchsche  ReiJie 
der  dritten  Art: 
f{ax)  = 

= 2  (^/ w  ^^  (?)  ^~  ^  (¥) + ^.'  («)  -r"^  (?)  ^"^  (¥)) 

4  =  0      ^  ' 

mit  folgenden  Koeffizientenbestimmungen: 


(8) 


Ä 


(8  a)  -^/C«)  =  "J"  •  /  .^//  ("  ^^^  2")  ^"^  ^"  ^^"^ 

0 

n 

(8  b)  ^/(<^)  =  J-  •  /v  (a  sin  2co)  sin  2«  ^(o; 

0 

die  Reihe  (8)  ist  also  anwendbar,  wenn  — l^ß^+1,  — 2<9i(v)<  +  2, 
—  it<ix<i^'K  vorausgesetzt  wird;  dieselbe  Reihe  (8)  kann  auch  aus 
(3)  für  r  =  0  unter  Anwendung  der  allgemeinen  Formel  (4)  her- 
geleitet werden.  Die  speziellen  Fälle  v  =  0,  bez.  v  -=\  von  (8)  ver- 
dienen besonders  hervorgehoben  zu  werden,  weil  man  dann  Mischungen 
der  gewöhnlichen  Fourier sehen  und  Schlömilch sehen  Reihen 
bekommt. 

Schlömilch^)  hat  die  formale  Entwicklung  nach  J^{sx)  an- 
gegeben und  zwar  mittelst  der  Identität  (4),  eine  nochmalige  An- 
wendung derselben  Identität  hätte  ihn  also  auch  auf  die  Entwicklung 
nach  den  Quadraten  derselben  Funktionen  geführt.  Lommel^)  hat 
eine  Verallgemeinerung  der  von  Schlömilch  aufgestellten  Reihe 
versucht;  allein  seine  Entwicklungen  sind  im  allgemeinen  divergent. 
Später  hat  Beltrami^)  über  die  Reihen  der  ersten  Art  schöne  Unter- 
suchungen angestellt.  Wir  erwähnen  noch,  daß  Coates^)  ähnliche 
Entwicklungen,  die  nach  Y^{sx)  fortschreiten,  erörtert  hat;  ich  kann 
aber  nicht  sehen,  daß  es  ihm  gelungen  ist,  die  allgemeine  Existenz 
solcher  Reihen  in  aller  Strenge  zu  erweisen. 

Um  Beispiele  für  die  drei  Schlömilchschen  Reihen  zu  erhalten, 
kann  man  die  Fourier  sehen  Reihen  für  die  Berno  uliischen  Funk- 


1)  Zeitschrift  für  Mathematik  und  Physik  Bd.  2,  p.  155—158. 

2)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen  p.  59 — 72;  1868. 

3)  Rendiconti  dell'  Istituto  Lombardo  (2)  Bd.  13;  1880. 

4)  Quarterly  Journal  of  Mathematics  Bd.  21,  p.  180—190;  1886. 


Kapitel  XXV.    Nullentwicklungen  in  den  Schlümilchschen  Reihen.   §  134.     3ol 

tionen  oder  für  cos  (^vx)  und  sin  (vx)  anwenden.  Wir  gehen  indessen 
auf  diese  spezielleren  Formeln  nicht  näher  ein,  sondern  wenden  uns 
nunmehr  zu  der  Frage  nach  der  Eindeutigkeit  der  Entwicklungen 
in  eine  Schlömilchsche  Reihe. 

Zunächst  bemerken  wir  noch  einmal,  daß  unsere  vorhergehende 
Entwicklungsmethode  nur  eine  sehr  spezielle  ist;  es  muß  daher 
m(")<dich  sein,  erstens  die  Bedingun<'on  für  die  zu  entwickelnden 
Funktionen  wesentlich  zu  verallgeraeiuern  und  zweitens  die  Grenzen 
für  9i(v)  beträclitlicli  zu  erweitern.  Die  speziellen  Schlömilchschen 
Reihen  in  den  vorhergehenden  Paragraphen  zeigen  ja  in  der  Tat, 
daß  die  obenerwähnten  Bedingungen  für  f{x)  gar  nicht  notwendig 
sind.  Wie  sich  das  nun  auch  verhalten  mag,  jedenfalls  ist  es  sehr 
leicht,  für  die  allgemeinsten  Schlömilchschen  Reihen  folgenden  Satz 
zu  beweisen: 

Falls  eine  Funktion  in  eine  Schlömilchsche  Beihe  entivicJielbar  ist, 
muß  diese  Enfwichhinfj  immer  eine  unendlich  vieldeutige  sein. 

Wir  haben  ja  in  der  Tat  folgende  drei  Nulleutwicklungen: 

«  =  0       ^^       ^ 

J=  00 

(10)  o=^{-iy8,wisx), 


»  =  0 


(11)         o=2(-i)'^j"'^(?)^""  =  {?)' 

wo  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet,  und  wo  wie  gewöhn- 
lich «0=1,  f „  =  2  für  w  >  0  zu  nehmen  ist.  Diese  Entwicklungen 
sind  sämtlich  in  dem  Intervalle  —n<ix<C-\-n  anwendbar,  höchstens 
mit  Ausnahme  von  x  =  0,  wo  die  betreffende  Reihe  vielleicht 
oscillierend  werden  kann. 

In  früheren  Arbeiten^)  habe  ich  nur  diejenigen  Schlömilch- 
schen Reihen  betrachtet,  welche  kein  von  x  unabhängiges  Glied  ent- 
halten; für  diese  Reihen  müssen  die  drei  vorstehenden  NuUentwick- 
luncren  in  ähnlicher  Weise  modifiziert  werden;  eine  solche  Definition 
einer  Schlömilchschen  Reihe  ist  indessen  als  hinfällig  anzusehen. 


1)  Bulletin    de    TAcademie    de    Danemark    1899,   1900.     Mathematische 
Annalen  Bd.  52;  1899.     Annali  di  Matematica  (3)  Bd.  G;  1901. 


352  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 

Kapitel  XXYI. 
Theorie  der  Fouriersclien  Reihen  nach  Dini. 

§  135.     Sätze  von  Dini. 

Schon  in  §  Gl  haben  wir  auf  eine  merkwürdige  Analogie  zwischen 
den  Kreis-  und  Cylinderfunktionen  aufmerksam  gemacht,  indem  wir 
die  Formel  (4): 

aufstellten,  in  der  ay  und  /S"  Wurzeln  der  transcendenten  Gleichung: 

(2)  (l)'^^(^)  =  0 

sind  und  außerdem  9?  (v)  >  —  1  vorausgesetzt  werden  muß. 

Diese  Analogie  war  für  v  =  0  schon  Fourier^)  bekannt;  er 
hat  davon  einen  ähnlichen  Gebrauch  gemacht  wie  von  den  ent- 
sprechenden Euler  sehen  Formeln  mit  Kreisfunktionen.  Denkt  man 
sich  nämlich  eine  Entwicklung  von  folgender  Form  gegeben: 

(3)  fix)  =  a^J\a^x)  +  a^J''{a/x)  +  «3 J^C^rr)  -f  •  •  •, 

wo  a^^,  a^,  0:3",  •  •  •  die  Wurzeln  der  Gleichung  (2)  bedeuten,  so 
geordnet,  daß  stets  Ia/+i|^|a/j  ist,  so  ergibt  die  Formel  (1)  für 
den  allgemeinen  Koeffizienten  a^  den  Ausdruck: 

1 

(4)  a„  =  (.r+i(a,;))2  j  ^  /"(^)  ^'  («»  ^^ ; 

^        "  ^  0 

falls  die  nach  der  Multiplikation  mit  xJ^'{a^x)  folgende  gliedweise 
Integration  der  unendlichen  Reihe  rechter  Hand  in  (3)  erlaubt  ist; 
für  V  =  ±^^  erhält  man  daraus  genau  die  bekannte  Bestimmung  der 
Koeffizienten  einer  Fouri ersehen  Reihe  nach  Kreisfunktionen. 

Diese  Herleitung  der  Reihe  (3)  ist  in  dem  Falle  v  =  0  von 
Fouri  er  benutzt  worden;  sie  ist  indes  nur  eine  ganz  formale,  da 
er  ja  die  wirkliche  Existenz  der  Reihe  und  die  Berechtigung  der 
gliedweisen  Integration  gar  nicht  bewiesen  hat. 

Viele  Mathematiker  haben  seit  Fouri  er  eine  strenge  Herleitung 
der  Formel  (3)   versucht;    indessen  ist   es   im  allgemeinen  nicht  ge- 


1)  Theorie  analytique  de  la  chaleur,  chap.  VI;  Paris  1822. 


Kapitel  XXVI.    Theorie  der  Fourierschen  Reihen  nach  Dini.    §  135.     353 

lungen,  die  damit  verbundenen,  überaus  j^roßeu  Schwierigkeiten  zu 
überwinden.  So  sind  vAim  Beispiel  die  Beweise  von  Hankel*)) 
Harnack-),  Gegenbauer^j  und  Sheppard')  nicht  genau;  über- 
haupt ist  es,  soviel  ich  weiß,  nur  Dini'j  geglückt,  einen  wirklich 
strengen  Beweis  für  die  Existenz  der  obenerwähnten  Entwicklung 
zu  geben. 

Der  ffroße  italienische  Mathematiker  hat  noch  weit  allgemeinere 
Entwicklungen  als  (3)  untersucht;  sein  Beweis  für  diese  speziellere 
Formel  ist  indessen  so  eng  mit  seinen  allgemeinen  Resultaten  ver- 
bunden, daß  es  uns  hier  viel  zu  weit  führen  würde,  ihn  wiederzu- 
geben; indem  wir  also  den  Leser  auf  das  Dini  sehe  Werk  selbst 
verweisen,  beschränken  wir  uns  hier  auf  die  bluße  Citation  seiner 
Sätze: 

I.  Die  Entivicklung  (3)  mit  der  Koeffizientenhestinmmng  (4)  ist 
für  die  ziciscJien  0  und  1  iviUkürlich  gegeboie  reelle  Funktion  f{x) 
amvcndhar,  falls  v  als  reell  uml  größer  als  —  ^  vorausgesetzt  wird 
und  falls  f{x)  übrigens  folgenden  Bedingungen  Genüge  leistet: 

1)  Das  von  0  bis  1  genommene  Integral  von  x  ~^  -fix),  wo  jß  die 
größte  der  zwei  Zahlen  v  und  ^  bedeutet,  muß  unbedingt  konvergent 
sein;  außerdem  muß  in  jedem  Punkte  des  Intervalles  (0,  1)  sowohl 
f{x-\-0)  als  f{x  —  0)  bestimmt  und  endlich  sein. 

2)  In  keinem  Punkte  des  Intervalles  (0,  1)  darf  f{x)  unendlich 
viele  Schwankungen  besitzen,  oder  wenigstens  muß  dies  der  Fall 
sein,  nachdem  man  zu  f{x)  eine  passende  Funktion  ersten  Grades 
adjungiert  hat. 

3)  Für  jeden  Punkt  x  des  Intervalles  (0,  1)  muß  eine  beliebig 
kleine  Umgebung  gefunden  werden  können,  welche  nicht  im  Punkte  x 
selbst  enden  darf,  so  daß  die  Summe  der  entsprechenden  Schwankungen 
von  f{x)  willkürlich  klein  gemacht  werden  kann. 

4)  In  jedem  Punkte  des  Intervalles  (0,  1)  muß  fix)  eine  Ab- 
leitung oder  wenigstens  eine  solche  größte  Schwankung  besitzen, 
daß  I  f{x)  I  integrabel  ist. 

5)  Das  Verhältnis: 

f{x±t)-f{x±Q) 
t 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  8. 

2)  Sitzungsberichte  der  Leipziger  Akademie  1887;  Mathematische  Annalen 
Bd.  35;  1889. 

3)  Sitzungsberichte  der  Wiener  Akademie  Bd.  88  11,  p.  975—1003;  1883. 

4)  Quarterly  Journal  of  Mathematics  Bd.  23;  1888. 

5)  Serie  di  Fourier  Bd.  I,  p.  246—269,  Pisa  1880. 

Nielsen,  Cylinderfunktionen.  23 


354  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 

muß,  als  Funktion  von  t  betrachtet,  endlich  oder  mindestens,  absolut 
genommen,  integrabel  sein. 

6)  Wenn  x  einen  innern  Punkt  des  Intervalles  (0,  1)  bedeutet, 
wird    die    Summe    der    so    gebildeten    Reihe    (3)    gleich   f{x)    oder 

^iifip -\- ^) -\- f{^  ~  ^))}  jö  nachdem  f{x)  im  Punkte  x  kontinuier- 
lich ist  oder  nicht;  im  Punkte  x  =1  wird  die  Summe  dagegen 
immer  gleich  Null. 

Dini  hat  noch  andere  Reihenentwicklungen  nach  Cylinder- 
funktionen  angegeben;  bedeuten  nämlich  cc^^^  die  Wurzeln  der- 
jenigen Gleichung,  welche  man  aus  (2)  erhält,  wenn  man  v  -\-  1 
für  V  setzt,  so  erhält  man  folgende  Entwicklung: 

1 

f{x)x^''+'dx  +  ^  a;j'\(x;  +  'x) 

s  =  l 
0 

mit  den  Koeffizientenbestimmungen: 

(6)  a'  =  7 ^- ^-   fxf(x)J''(aJ  +  ^x)dx. 

0 

Bedeutet  nun  1%  eine  willkürliche,  von  Null  verschiedene  reelle 
Konstante  und  sind  /S^'',  /Sg'',  /Sg',  ...  die  reellen  Wurzeln  folgender 
anderen  transcendenten  Gleichung: 

(7)  xJ'^^{x)^'li-J\x)  =  ^, 

so  gelangt  Dini  schließlich  zu  folgender  Entwicklung: 

«=  CO 

s  =  l 

mit  der  Koeffizientenbestimmung: 

0 

für  beide  Entwicklungen  gilt  der  Satz: 

n.  Die  EntwicMungen  (5)  und  (8)  sind  unter  den  oben  ange- 
gebenen Bedingungen  im  Intervalle  (0 , 1)  anwendbar,  denn  diese  ReiJien 
haben  für  x  =  1  die  Summe  f{l  —  0). 

Die  Entwicklung  (8)  ist  des  Parameters  7i  wegen  sehr  allgemein. 
Setzt  man  zum  Beispiel  h  =  —  2v,    so    reduziert   sich   (7)    auf  die 

Gleichung: 

-x-J'-\x)  =  0, 


Kapitel  XXVI.    Theorie  der  Fouriei-schen  Reihen  uach  Dini.    §  136.     355 

uuil  man  findet  somit  /i„*  =«„*"S   ^^^^   ^^^  (^)  ^^^  speziellere  Ent- 
wicklung: 

f  =  OB 

(10)  .    nx)=^2arj^{ar'^) 


s=  1 


mit  der  Koeffizientenbestimmung: 

0 

Die  Keihe  (10)  bat  also  nacb  dem  zweiten  Diuiscben  Satze 
für  a:  =  1  die  Summe  /(l  —  0),  eine  Bemerkung,  die  uns  bald  sehr 
nützlich  sein  wird. 

Wir  bemerken  noch,  daß  die  Koeffizientenbestimmungeu  (4), 
(6),  (9),  (11)  offenbar  in  sehr  naher  Verbindung  mit  unseren  in 
Kapitel  IV  gegebenen  Untersuchungen  stehen.  Betrachten  wir  näm- 
lich die  lineare,  nicht  homogene  Gleichung: 

wo  a  eine   endliche    Konstante    bedeutet,    und    bezeichnen   wir   mit 
B*'{a,  x)  ein  Integi-al  dieser  Gleichung,  so  erhalten  wir  aus  §  27,  (7): 

(12)  fxfix)J^K'x)dx  =  -^-J^'  +  \aj)B^'(-^,  <), 

0 

vorausgesetzt  allerdings,  daß: 

lim  \xJ^ia„^x)D,B^'  (-^,  a,;x\]  =  0 
ist;  die  Formel  (4)  liefert  dann  für  a„  unmittelbar  den  Ausdruck: 

(13)  ».-.„' Am  ■^'{■^'<)' 

es  ist  klar,  daß  wir  die  drei  andern  Koeffizienten  in  ähnlicher  Weise 
ausdrücken  können. 

§  136.  Entwicklung  von  TT''?(a;).  Die  Produktdarstellung  von  J''(x). 

Als  Beispiel  für  die  allgemeinen  Dini  sehen  Entwicklungen 
setzen  wir: 

wo  f  eine  willkürliche  endliche  reelle  Größe  bedeutet,    so  daß  wir: 

od(3r: 

23* 


356  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürliclier  Funktionen. 

voraussetzen  müssen.  Die  Integralformel  §  34,  (20)  führt  uns  un- 
mittelbar zu  folgender  Entwicklimg: 

aus  welcher  eine  große  Menge  anderer  Formeln  entwickelt  werden 
kann.  Durch  Spezialisierungen  des  Parameters  q  gewinnt  man  z.  B. 
die  drei  neuen  Entwicklungen: 


S=  00 


Dividiert  man  ferner  in  (1)  mit  P,  so  erhält  man  für  ^  =  0 
nach  einer  Anwendung  der  Rekursionsformel  §  29,  (3)  folgende 
andere  spezielle  Entwicklung: 

welche  man  ja  mittelst  §  33,  (7)-  auch  direkt  herleiten  kann;  für 
Q  =  V  ergibt  sich  weiter  aus  (5)  wegen  §  29,  (3)  folgende  be- 
merkenswerte Formel: 


(5) 


«  =  00 


(6)  ^--2^i.^:K4>, 

während  die  Annahme  q  =  0  des  weitern: 

(7)    1  =  y  — 1^— - .  (i  -  -^-^  n '' «'))  J'  i<^) 

ergibt;  daraus  erhalten  wir  mittelst  §  17,  (25),  (26)  die  spezielleren 
Formeln: 


(9) 


Kapitel  XXVI.   Theorie  der  Fourierschen  Reihen  nach  Dini.    §  136.    357 

wo  n  eine  ganze  Zalil  bedeutet;  für  n  =  0  gibt  (8)  ferner  die  merk- 
würdige Formel: 


*  =  i 


Diese  Fourierschen  Bcihen  nach  Cyl indcrfioiltionen  erhuhcn  also 
Konstantcncuiivi<MHngen,  tcdchc  in  dem  ganzen  Intervalle  0  ^  a;  <  1 
dieselbe  Konstante  darstellen.  Da  die  allgemeitie  Reihe  §  135,  (3) 
aber  kein  Konstantes  Glied  entliält,  können  diese  KonstanfenenttvicJc- 
lungcn  nicht  die  unendliche  Vieldeutigkeit  der  Reihe  (3)  7nit  sich 
führen. 

Wir  bemerken  noch,  daß  die  Formel  (5)  durch  Differentiation 
nach  Q  und  dami  für  q  =  0  eine  Entwicklung  für  den  Logarithmus 
liefert;  die  so  erhaltene  Formel  wird  indessen  so  kompliziert,  daß 
wir  es  bei  dieser  Andeutung  bleiben  lassen,  um  wieder  zu  der  all- 
gemeineren Formel  (1)  zurückzukehren.  Setzen  wir  in  dieser  Formel 
Q  =  V,  so  erhalten  wir  durch  Anwendung  von  (6)  folgende  weitere 
Entwicklunor: 


*  =  00 


^     ^  r{t)  •^,;((,;)2_^.)-    ^v+i(^^v)    , 

nun  ist  die  Reihe  rechter  Hand  in  dieser  Formel,  als  Funktion 
von  X  betrachtet,  offenbar  gliedweise  differentiierbar,  weil  sie  un- 
bedingt konvergent  ist;  die  gliedweise  Differentiation  nach  x  führt 
indessen  mittelst  §  10,  (5)  zu  der  neuen  Formel: 

(12-)  ^.lllM^2'y  —  ^—    ^^^^""^^ 

^   ^  r{t)        ^  «)'-<*    j'+^(«/)  ' 

Die  so  erhaltene  Entwicklung  ist  nun  genau  von  derselben  Form 
wie  §  135,  (10)  und  kann  natürlich  auch  mittelst  der  allgemeinen 
Methode  hergeleitet  werden.  Es  ist  also  allerdings  erlaubt,  in  (12) 
a;  =  1  zu  setzen;  führt  man  darauf  wieder  x  statt  t  ein,  so  findet 
man,  daß: 


*=i 


ist,  und  hieraus  erhält  man  unmittelbar  die  Produktdarstellunsf  von 
J''(x).  Diese  Darstellimg  ist  ja  gewiß  nur  für  ein  reelles  v  be- 
wiesen, das  größer  als  —1  ist,  während  0  ^  a;  <  1  sein  muß;  sie 
muß  aber  allgemein  gültig  sein,  weil  sowohl  das  unendliche  Produkt 


358  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 

als  auch  J^'ix)  durcli  x~'''  multipliziert  für  alle  endlichen  Werte- 
paare von  X  und  v  ganze  transcendente  Funktionen  dieser  Yariabeln 
darstellen. 

Sicher  hat  HankeP)  zuerst  ein  solches  Beweisverfahren  für 
die  Produktdarstellung  versucht;  später  hat  Beltrami^)  die  speziellen 
Fälle  V  =  0,  V  =  1  erörtert,  während  neuerdings  Graf^)  auf  den 
allgemeinen  Fall  zurückgekommen  ist.  Diese  Beweise  sind  indessen 
nicht  genau,  weil  der  Übergang  von  (12)  nach  (13)  erst  infolge  des 
zweiten  Satzes  von  Dini  als  legitim  angesehen  werden  darf. 


§  137.    Reziproke  Potenzsummen  der  "Wurzeln  a^'  nach,  Graf. 

Um  die  Analogie  zwischen  den  Kreis-  und  den  Cylinderfunk- 
tionen  noch  weiterzuführen,  wollen  wir  kurz  andeuten,  was  wir  hier 
unter  den  BernouUi sehen  Zahlen  zu  verstehen  haben.  Zu  dem 
Ende  gehen  wir  von  der  Froduktdarstellung: 

aus,  welche  sich  auch  als  unmittelbare  Folge  des  allgemeinen  Satzes 
von  Hadamard^)  darbietet.  Die  logarithmische  Differentiation 
von  (1)  führt,  wie  man  sieht,  unmittelbar  zu  §  136,  (13)  zurück. 
Wir  setzen  nun  der  Kürze  halber: 


S  —  a> 


(2)  ^L-y, 


4=1  ^ 

wo  n  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet,  und  finden  so  aus  §  136,  (13), 
falls  |^l<C|ß^i''|  vorausgesetzt  wird,  folgende  Formel: 

(3)  S,^x  +  S:x'  +  S.^'x'  +  •■■  =  ^^  • 

Für  V  =  0  hat  Euler ^)   versucht,    die  Funktion  rechter  Hand 
nach  steigenden  Potenzen  von  x  zu  entwickeln;  später  ist  Jacobi^) 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  8,  p.  494;  1875. 

2)  Rendiconti  dell'  Istituto  Lombardo  (2)  Bd.  13,  p.  336;  1880. 

3)  Einleitung  in   die  Theorie  der  Besselschen  Funktionen  Heft  I,  p.  130; 
Bern  1898. 

4)  Journal  de  Mathematiques  (4)  Bd.  9,  p.  209;  1893. 

5)  Acta  Academiae  Petropolitanae  1781,  p.  172,  173. 

6)  Journal   für  Mathematik   Bd.  15,  p.  26;   1836.     Astronomische   Nach- 
richten Bd.  28,  col.  93—94;  1849. 


Kajtitel  XXVI.    Theorie  clor  Fouriciächcn  Ueiheii  narli  I>iiii.    §  137.     359 

zweimal  auf  die  allgomeiuere  Aufgalie,  iu  welcher  v  eine  ganze  Ziilil 
bedeutet,  zurückgekommen;  er  hat  die  ersten  Glieder  einer  solchen 
Entwicklung  angegeben.  Wie  aus  Formel  (3)  deutlich  hervorgeht, 
füllt  das  Problem  mit  dem  tblgcuden  zusammen:  die  Summen  der 
reziproken  Potenzen  S^^  der  Nullstellen  «/  als  Funktion  von  v  zu 
bestimmen. 

Multipliziert  man  in  (3)  mit  'P'{x)  und  entwickelt  man  die 
beiden  Seiten  der  so  erhaltenen  Formel  nach  steigenden  Potenzen 
von  X,  80  erhält  man  für  die  successive  Bestimmung  der  Summen 
/Sj^j  leicht  folgende  Rekursionsformel: 


^(j3  — 1)!      r(v  +  n  — p+l)       (n  — l)!r(v  +  n+ 1)' 


eine  Formel,  die  nichts  anderes  ist  als  ein  Analogen  zur  Newton- 
schen  Formel  für  die  Potenzsummen  der  Wurzeln  einer  algebraischen 
Gleichung. 

Durch  vollständige  Induktion  ergibt  sich  nun  aus  (4)  der  all- 
gemeine Satz: 

Wenn  v  eine  tvüJMrlicJie,  endliche  Größe  bedeutet,  die  jedoch 
nicht  eine  ganze  negative  Zahl  sein  darf,  ist  die  Summe  S^^  immer 
eine  rationale  Funldion  von  v,  und  das  überdies  mit  lauter  rationalen 
Koeffizienten. 

Es  ist  hier  wohl  zu  beachten,  daß  wir  von  den  Summen: 


«=0D 


in  denen  n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl  bedeutet,  im  Grunde 
nichts  wissen.     Dasselbe  gilt  übrigens  für  die  Summen: 

y  =  °°      ^ 

(6)  ^2n  +  l  ="   y-,      27,+  !  > 

über  deren  Natur  noch  gar  nichts  bekannt  ist;  es  ist  ja  auch  wohl- 
bekannt, daß  man  sogar  noch  bei  den  elliptischen  Funktionen  ähn- 
lichen Verhältnissen  begegnet.^) 

Der  allgemeine  Ausdruck  für  S^^  scheint  allerdings  äußerst 
kompliziert  zu  sein;  für  kleinere  Werte  von  n  findet  man  indessen 
ohne  Mühe  folgende  Formeln: 


1)  Man  vergleiche   Tanner y    und  Molk:     Elements  de   la   theorie    des 
fonctions  elliptiques,  Bd.  I,  p.  176;  Paris  1893. 


360  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 


^2 


S/ 


V+1' 

2-* 


4  (^  +  1)2(^  +  2)' 


S/ 


2-^-2 


6  (i,  +  l)3(t,_|_2)  (v+S)» 


^/ 


2-^(51/4-11) 


8  (^+i)4(^_^2r(t;+3)(t;  +  4)' 


'10 


(v  +  1)5  {v  +  2)*  (i;  +  3)  (i;  +  4)  (v  +  5) ' 


welche  zuerst  von  Graf^)  aufgestellt  worden  sind;  wie  Graf  be- 
merkt, findet  man  hieraus  für  v  =  4"  "^i^  ^^^f  ersten  B er noulli sehen 
Zahlen. 


Kapitel  XXYII. 
Integraldarstellungeii  nacli  Neumaiin  und  Hankel. 

§  138.    Das  dreifache  Integral  von  Neumann. 

Bekanntlich  hat  zur  Darstellung  der  „willkürlichen"  Funktion 
f{x)  einer  reellen  Variabein  zuerst  Fourier^)  folgende  allgemeine 
Integralformel: 

00  +00 

(1)  Jd^ffij/)  cos  2{'y  —  x)dij  =  %f{x) 


angegeben,   während  Hamilton^)   später  aufs  neue  und,    ohne   die 
Arbeit  Fouriers  zu  kennen,  dieselbe  Formel  hergeleitet  hat. 

Fourier'^)  hat  ähnliche  Darstellungen  und  zwar  durch  ein  vier- 
faches Integral  auch  für  eine  Funktion  zweier  reellen  Variabein  an- 
gegeben. Beide  Darstellungen  sind  von  du  Bois  Reymond^)  streng 
bewiesen  und  wesentlich  verallgemeinert  worden. 


1)  Einleitung  in  die  Theorie  der  Besselschen  Funktionen,  Heft  I,  p.  190; 
Bern  1898. 

2)  Citat  von  du  Bois  Keymond :  Journal  für  Mathematik  Bd.  69,  p.  65;  1869. 

3)  Transactions  of  the  Royal  Irish  Academy  Bd.  19  11;  1843. 

4)  Citat  von  du  Bois  Reymond :  Mathematische  Annalen  Bd.  4,  j).  367;  1871. 

5)  Mathematische  Annalen  Bd.  4. 


Kapitel  XXVII,    IntcgraUlarstellungen  nach  Neumann  und  llankel.    §  138.     361 

Hamilton*)  bat  als  Aualoj^nn  der  Formel  (1)  eine  ähnliche 
Integraldarstollung  augegeben,  in  welcher  die  Kreisfunktion  durch 
eine  spezielle  Cylinderfunktion  ersetzt  ist,  eine  Formel,  welche 
llankeF)  später,  offenbar  ohne  die  Arbeit  Hamiltons  zu  kennen, 
verallgemeinert  hat. 

Als  Analogon  des  vierfachen  Fourierschen  Integrales  mit  Kreis- 
funktionen kann  man  ein  dreifaches  Integral  von  Neumann^)  mit 
der  Cylinderfunktion  tP{x)  ansehen;  diese  Neumannsche  Formel  ist 
dann  in  aller  Strenge  auch  von  du  Bois  Keymond')  bewiesen 
worden,  während  die  späteren  Beweise  von  Mehler^)  und 
Ermakoff')  nicht  genau  sind. 

Hier  wollen  wir  die  Neumannsche  Formel  in  ihrer  möglichst 
allgemeinen  Gestalt  herleiten,  indem  wir  von  folgendem  allgemeinen 
Satze  du  Bois  Reymonds")  ausgehen: 

Falls  die  Fimldion  f{r,  v)  der  sicei  reellen  und  unahhänfjigen 
Variahein  r  uml  v  so  heschaff'en  ist,  daß  das  zweifache  Integral: 

oe  2« 

(2)  Jrdrjf{r,v)dv 

0  0 

unhcdingt  konvergiert,   und  falls  (p{x)   eine   solche  Funläion  bedeutet, 
daß  das  einfache  Integral: 


X 


(3)  f^dx,        <Pix)=fcp{x)dc 


,  ^  ,  ix 

Ö  0 


eirmi  Sinn  Jmt,  dann  gilt  die  allgemeine  Formel. 


(4) 


0  0 


/  zd^  I  rdr  I  f{r,  v)  tp  (z^(r^  +  (>^  —  Srqp  cos  {v  —  6))  dv  = 


1)  loc.  cit.  p.  309. 

2)  Mathematische  Annalen  Bd.  8;  1875. 

3)  Allgemeine  Lösung  des  Problems  über  den  stationäreüi  Temperatur- 
zustand eines  homogenen  Körpers,  welcher  von  zwei  nicht  konzentrischen  Kugel- 
flächen begrenzt  wird,  p.  149;  Halle  1862. 

4)  Mathematische  Annalen  Bd.  4,  p.  390;  1871. 

5)  Mathematische  Annalen  Bd.  5,  p.  135—140;  1872. 

6)  Mathematische  Annalen  Bd.  5,  p.  639—640;  1872. 

7)  loc.  cit.  p.  386. 


362  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 

Um  diesen  Satz  anwenden  zu  können,  müssen  wir  vor  allem 
die  Funktion  ^(x)  als  passende  Cylinderfunktion  bestimmen;  wir 
setzen  daher  zunächst: 

v-l 

(5)  (p{x)  =  x~^  'C'--'{yx) 

und  finden  so  mittelst  §  10,  (4)  für  (l)(x)  den  Ausdruck: 

(6)  <t>{x)  =  2x^  •  C'(Y^) ,         ^(v)  >  0; 

das  Integral  (3)  läßt  sich  also  mittelst  des  Web  er  sehen  Funda- 
mentalintegrales in  §  72  herleiten,  hat  aber  nur  einen  Sinn,  wenn 
die  Cylinderfunktion  von  der  ersten  Art  ist  und  wenn  zudem: 

(7)  0<m{v)<i 

vorausgesetzt  wird.  In  diesem  Falle  findet  man  durch  die  Sub- 
stitution X  =  z^  und  unter  Anwendung  von  §  72,  (2)  unschwer: 

00  00 

(8)  /^2    .J^{yx)dx  =  2  I  z''--'J\d)dt  =  ^; 

0  0 

daraus  ergibt  sich  folgende  erste  allgemeine  Darstellung: 

OD  00  in 

^^)    f(9,(^)  =  ^^f^^yßdBfrdrffir,v){zQy-'J^'-\zQ)dv, 

0  0  0 

wo  wir  der  Kürze  halber: 


(10)  Q  =  1/^2  _|.  ^2  _  2^^  cos  {v  -  6) 

gesetzt  haben,  und  wo  die  Bedingung  (7)  erfüllt  sein  muß. 

Für  V  =  1   erhält  man   aus  (9)   die  obenerwähnte  Formel  von 
Neumann. 

Die  Annahme: 


1-1 


(11)  cp{x)  =  x   2  .c'--^{yx) 

scheitert  für  alle  Cylinderfunktiouen   daran,    daß   das  entsprechende 
Integral  (3)  immer  divergieren  muß. 
Weiter  setzen  wir: 

(12)  cp{x)  =  x^-C'-\x) 

und  finden  so  mittelst  der  allgemeinen  Differentialformel  §  10,  (2): 

(13)  ^{x)  =  x^'C\x),         9fl(i^)>0; 


Kapitel  XXVII.    IntegraUlarstellungen  nach  Neumann  und  Hankol.    §  138.     363 

das  zugeh(>rig<'  Integral  {)))  kauii  uulIi  hier  nur   konvergieren,    falls 
die  Cylinderfunktiou  vun  der  ersten  Art  und  falls  außerdem: 

(14)  0<^{v)<i 

vorausgesetzt  wird.     Die  Weborsche  Fuudanientalfornu'l  führt  dann 
ohne  Mühe  zu  folgender  andern  allgemeinen  Integraldarstellung: 


Sit 


(15)  /-((>,  0)  =  ^^  -fzclzfrärffir^v)  izQy^J^-\z^Q')dv', 

0  0  u 

setzt  man  hier  v  =  ^,  so  erhält  man  eine  Formel  von  du  Bois 
Raymond.^) 

Die  Annahme: 

(16)  <p{x)  =  x-'-C'-\x) 

ist  gleichfalls  für  alle  Cylinderfunktiou en  unzulässig,  weil  das  Inte- 
gral (3)  auch  hier  immer  divergieren  muß. 

Die  Formeln  (9)  und  (15)  stellen  so  die  überhaupt  durch  (4) 
möglichen  Verallgemeineningen  der  Neumannschen  Formel  dar:  die 
Ergebnisse  sind  ohne  Beweis  und  ohne  diesen  Hinweis  von  Gegen- 
bau er  ^)  veröffentlicht  worden. 

Setzt  man  in  der  Neumannschen  Formel  (9)  für  v  =  1  die 
Funktion  f(r,  v)  als  von  v  unabhängig  voraus,  so  findet  man  mittelst 
der  Gegenbauerschen  Integralformel  §  69,  (7)  für  v  =  0  die  be- 
merkenswerte Identität : 

00  CO 

(17)  /■(())  =^JzdzJ^(Qz)JrdrJ\rz)f{r), 

0  0 

welche  nichts  andres  ist  als  ein  Spezialfall  des  merkwürdigen 
Hankeischen  Umkehrproblems.  Die  allgemeine  Lösung  dieses  Pro- 
blems scheint  indessen  unter  ausschließhcher  Anwendung  der  ver- 
allgemeinei-ten  Neumannschen  Formel  (9)  nicht  möglich,  so  daß 
wir  einen  andern  Weg  zu  gehen  haben,  indem  wir  uns  ziemlich 
nahe  an  Hankel  selbst  halten. 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  4,  p.  388;  1871. 

2)  Sitzungsberichte  der  Wiener  Akademie  Bd.  95  II,  p,  409—410;  1887. 


364  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 

§  139.    Herleitung  einiger  Grenzwerte. 

Um  das  am  Schlüsse  des  vorhergelienden  Paragraphen  erwähnte 
Hankeische  Umkehrprohlem  in  seiner  vollsten  Allgemeinheit  zu 
lösen,    betrachten  wir  mit  HankeP)  folgendes  bestimmte  Integral: 

to 

(1)  Y^(«,  /3,  (o)=ftC^(ta)C,^{tß)dt, 

0 

wo  im  allgemeinen  1  >  9fi  (v)  >  —  1  vorauszusetzen  ist  und  wo  wir 
außerdem  a,  ß  und  co  als  positiv  annehmen.     Setzen  wir: 

(2)  C'ix)  =  aJ^'i^)  +  ^  ^'(^);     (^i^i^)  =  o^i^"(^)  +  \Y''(^), 

so  erhalten  wir  aus  §  28,  (6)   nach  einer  einfachen  Umformung  für 
die  Funktion  ^  den  Ausdruck: 

wo  wir  der  Kürze  halber: 


(3) 


(4) 


2&&jCOSv7i;      ( (  ^y       (  ^\~^\ 

gesetzt  haben;  diese  Funktion  ist  also  von  c?  ganz  unabhängig. 

Es  seien  nun  weiter  p  und  q  zwei  reelle,  nicht  negative  Größen 
und  q^Pj  wir  suchen  dann  folgenden  Grenzwert  zu  bestimmen: 

9 

(5)  lim     fT'{a,ß,(a)dcc. 

p 
Falls  |)  >  0  angenommen  wird,    ist  es   erlaubt,    in  (3)  für  die 
dort    vorkommenden    Cylinderfunktionen    die    in   §   59    gefundenen 
asymptotischen  Ausdrücke  einzuführen-,  wir  setzen  also: 

^i^'(^«)  -^  y^  («1  ^««  {^^  -  (^ + i)  f )  - 

-&,sin(/3«-(t.+  i)f)), 
C^  +  ^(««)  ^]/^(a  sin  {aco  -  (,.+  ^)|)  + 

+  &  cos  ^«03  —  (v  +  i)  y) j 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  8,  p.  476;  1875. 


Kapitel  XXVII.    Integraldarstellungen  nach  Neumaun  und  Ilankel.   §  139.     365 

und  gewinnen  sd  uuch  einer  einfachen  Rechnung  aus  (^)  für  T  fol- 
genden Ausdruck: 

,    ,  ,  V  cos  (a  —  ß)  CO         ,  ,  ,  V  cos  ((a  -f  ß)  CO  —  vtt) 

,     .    ,      ,        ,v  sin  ((ot -4-/3)  «0 —  VJrU         ^  ,       ^k 
+  {a\  +  a,Z>)  -      ;T.'   /-     -)  +  -^  («'  /^)' 

(a  +  P)  y  a  / 

80  daß  die  Bestimmung  des  Grenzwertes  (5)  auf  die  Ermittlung  von: 
(6)  lim     i'^-^^^^^da 

P 

und  von  drei  anderen  Integralen  hinausläuft,  welche  indessen  nach 
den  Formeln  (Tg)  und  (TJ  von  Dirichlet  sämtlich  gleich  Null  sein 
müssen.  Um  den  Grenzwert  (6)  zu  bestimmen,  setzen  wir  cj  (a  —  /3)  =  | 
und  finden  so: 

q  (9-i*)tu 

lim      /*^"-^^=4^  ^c  =  lim      r^A==dl, 


im      /    ^—J^ — PZi?  ci(^  =  lim 
+  00    /       {cc  —  ^)  ya  tu  =  +  oc 


(p-/?)cu 


so  daß  dieser  Grenzwert  gemäß  (T3)  im  allgemeinen  gleich  n  '.  Yß 
oder  gleich  Null  sein  muß,  je  nachdem  p  <i  ß  <iq  oder  p^  ß  oder 
q  <.  ß  vorausgesetzt  wird;  füllt  speziell  ß  mit  p  oder  q  zusammen, 
so  wird  der  Grenzwert  dagegen  :r  :  2]//3. 

Dieses  Ergebnis  läßt  sich  auch  noch  aufrecht  erhalten,  wenn 
die  untere  Grenze  jj  des  Integrales  (5)  dem  Werte  Null  zustrebt; 
denn  die  asymptotischen  Ausdrücke  für  die  Cylinderfunktionen  bleiben 
ja  noch  anwendbar,  falls  man  j)  gegen  die  Null  konvergieren  und  a 
ohne  Grenze  wachsen  läßt,  wenn  nur  das  Produkt  a  ■  p  gleichzeitig 
mit  C3  unbegrenzt  wächst. 

Wir  haben  damit  folgenden  allgemeinen  Satz  bewiesen: 

Wenn  q^  ß'>  p  ist  und  p^O  vorausgesetzt  wird,   ist  immer: 

(7)  lim      r^^(a,  ß,  co)da  =  ''h±^yj^  1  .    C F\a,  ß)da- 

p  p 


366  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürlicher  Funktionen. 

wenn  dagegen  ß>  q  oder  p'>  ß  ist,  finden  ivir  den  Grenzivert: 

(8)  Um     C^'{a,ß,G3)da^^-    CF\a,ß)da; 

p  p 

ivenn  endlich  ß  mit  einer  der  Grenzen  p  oder  q  msammenfälU,  ist: 

9  1 

(9)  J_im^  J^^ia,  ß,  oy)da  =  ^-^i^ +- •  J F^\a,  ß)da, 

p  p 

ivo  wir  demnach  immer  /3  >  0  annehmen  müssen. 

Zwei  verschiedene  spezielle  Fälle  dieses  allgemeinen  Satzes  ver- 
dienen besonders  hervorgehoben  zu  werden. 

Der  erste  Fall  tritt  bei  den  Hankeischen  Cylinderfunktionen 
Hi^(x)  und  H^^^x)  ein;  denn  für  sie  verschwindet  der  Ausdruck 
aa^  -\-hh^  immer,  so  daß,  wenn: 

C\x)  =  Cy'ix)  =  H^\x)     oder     C'{x)  =  C^\x)  =  H^^x) 

ist,  die  Formeln  (7)  und  (9)  mit  (8)  identisch  werden  müssen. 
Der  zweite  Fall  tritt  nur  bei  der  Annahme: 

C^'{x)  =  C\x)  =  J\x) 

ein;  denn  dann  und  nur  dann  verschwindet  die  Funktion  F^'(a,  ß), 
so  daß  der  zugehörige  Grenzwert  (5)  sowohl  von  2^  ^Is  von  q  un- 
abhängig wird,  eine  Eigenschaft,  die  diesen  speziellen  Fall  vor  allen 
andern  besonders  auszeichnet,  so  daß  wir  ihn  in  dem  folgenden 
Paragraphen  ausschließlich  betrachten  wollen. 

§  140.    Das  Hankelsche  Umkehrproblem. 

Wir  betrachten  nunmehr  eine  Funktion  f(x),  welche  in  dem 
Intervalle  p  ^x  ^q  willkürlich  gegeben  ist,  jedoch  so,  daß  sie  in 
diesem  Intervalle  nicht  unendlich  viele  Maxima  und  Minima  besitzt 
und  außerdem  abteilungsweise  stetig  und  kontinuierlich  ist  und 
zwar  so,  daß  das  Integral: 

(1)  Jxf{x)dx 

p 

^J  unbedingt   konvergiert.      Unter    diesen    Voraussetzungen    betrachten 

wir  das  Integral: 

(2)  •       jaf{a)^^{a,ß,a>)da, 


Kapitel  XX^TI.    Intepraldarstellungen  nach  Neumann  und  Hankel.    §  140.     367 

wo   also   die  beiden   auftretenden  Cylinderfuuktionen  von   der  ersten 
Art  sein  sollen. 

Vorläufig  setzen  wir  voraus,  daß  «/'(«)  im  ganzen  Integratious- 
intervalle  entweder  immer  zu-  odt>r  abnimmt,  und  erhalten  somit 
aus  dem  bekannten  Mittelwertsatze'): 


(3) 


f  f<xf{a)^'{a,ß,co)du  = 


WO  p^c-^q  vorauszusetzen  ist.  In  dem  Falle  ß  <.p  oder  /3  >  ^ 
gewinnen  wir  so  aus  dem  Satze  des  vorigen  Paragraphen  folgendes 
Ergebnis: 

(4)  lim      faf{a)T(u,ß,a)da  =  0. 

p 

Weiter  ergibt  der  Mittelwertsatz: 

p 

faf{a)T{a,ß,a)da  = 

=  ßmf^^{a,  ß,  CO)  da  +  {pf{p)  -  ßf{ß))f^\a,  ß,  co)  da, 

fi  c' 

wo  also  ß^c  ^p  zu  nehmen  ist;  also  findet  man  aus  §  139,  (9): 

lim      faf{a)^"'(a,  ß,  co)  da  = 

01=  +  »  e/ 

=  -lf(ß)  +   lim    (pfip)  -  ßf{ß))J^\a,  ß,  «) da; 

tU  =  +  CO       ^  g. 

daraus  folgt  nach  Addition  von  (4): 

lim      jaf{a)^'{a,  ß,  co)  da  = 
=  ^fiß)  +  lim    (pf{p)  -  ßfiß))  /V(a,  ß,  «)  da 


0)  =  +» 


1)  du  Bois  Raymond,  im  Journal  für  Math.  Bd.  69,  p.  82. 


368  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürliclier  Funktionen. 

und  sonach  mittelst  §  139,  (7),  (8): 

Nun  ist  das  Integral  linker  Hand  ojffenbar  von  dem  Mittel- 
werte p  ganz  unabhängig;  folglich  ist  die  Annahme  c'  =  /3  unzu- 
lässig, so  daß  Avir  schließlich  zu  dem  Ergebnis  gelangen: 

9 

(5)  lim      fafia)T{a,  ß,  a>) da  =  -lf{ß). 

p 
Ganz  auf  dieselbe  Weise  finden  wir  das  ähnliche  Resultat: 

(6)  lim      iaf{a)T{a,ß,(o)da  =  iaß)- 

tu  =  +  oo  j/ 
P 

also   erhalten  Avir  durch  Addition   von   (5)   und  (6)    die   allgemeine 
Formel: 

(7)  lim     faf{a)T{u,  ß,  co)  du  = 


um, 

0, 


je  nachdem  ß  zwischen  die  Grenzen  p  und  q  fällt,  mit  einer  dieser 
Grenzen  selbst  zusammenfällt  oder  überhaupt  nicht  auf  dem  Inter- 
vall {p,  q)  liegt. 

Denkt  man  sich  nun  das  Intervall  {p,  q)  in  mehrere  andre  zer- 
legt, so  daß  in  jedem  dieser  neuen  Intervalle  «/"(«)  entweder  immer 
zu-  oder  abnimmt,  so  leuchtet  ein,  daß  das  Ergebnis  (7)  noch  richtig 
bleibt.  Ist  ß  eine  Spruugstelle  zwischen  p  und  q,  so  hat  das  Inte- 
gral natürlich  den  Wert  ^  {fXß  +  0)  -f  f{ß  -  0))  . 

Wir  haben  ferner  den  speziellen  Fall  /3  =  0  zu  untersuchen;  ist 
9?(v)  >  0,  so  verschwindet  die  Funktion  V  ofi'enbar,  während  die 
Annahme  —  1  <  9i(v)  <  0  dieselbe  Funktion  unendlich  macht.  Wir 
haben  also  nur  den  Fall  3ft(v)  =  0  zu  betrachten;  ist  die  imaginäre 
Komponente  von  v  nicht  auch  gleich  Null,  so  wird  Y  im  allge- 
meinen ganz  und  gar  unbestimmt,  so  daß  uns  nur  die  Annahme 
V  =  0  übrig  bleibt.     Wir  finden  in  diesem  Falle: 


Kapitel  XXVII.    Integraldarütellungen  nach  Neumann  und  Ilankel.    §  140.     3G9 
woraus  sich  mittelst  §  10,  (4): 

J^\a,  0,  CO) da  =  coJJl^^^dcc  =  (j^(pco)  -  e7«(^«)) 
p  p 

ergibt;  dieselbe  Methode  wie  vorher  liefert  dann  folgendes  Resultat 
(8)  lim      taf(a)'V\a,  0,  o)  da  =  [  ^'         ^^  ^  ^' 

Bemerken  wir  weiter,    daß    uns    die    Annahme   über  die    unbe- 
dingte   Konvergenz    des    Integrales    (1)    gestattet,    in    dem    Doppel- 


integrale : 


q  CO 

j  af{a)  i  f  ßJ'(aß)J'(ßa)dßj  da 


die  Integrationsfolge  umzukehren,  so  haben  wir  folgenden  allgemeinen 
Satz  bewiesen: 

Falls  3l(v)  >  —  1   ist  und  f{x)  den  oben  gestellten  Bedingungen 
genügt,  ist: 


(9) 


CO  q 

f  ßJ^Xßx)  (Jaf{a)J\aß)da\  dß  = 


f{x),        q>x>p>0, 
=  \  ^f{x),     X  =  q  oder  x  =  p^  0, 
0,        x'^  q  oder  x  <Cp\ 


in  dem  speziellen  Falle  x  =  0  ist  (9)  nur  für  v  =  0  anwendbar. 

Ist  es  erlaubt,  2)  =  0,  q  =  <x>  anzunehmen,   so  ergibt  sich  aus 

(9)  für  a;  >  0   die  merkwürdige  Umkehrformel  von  HankeP),    die 
sich  in  folgendem  Satze  ausdrücken  läßt: 

Setzt  man: 

00 

(10)  9(^)=   /  af{a)J\ax)da, 

u 

so  ist  auch  unigeJceJirt  : 


1)  Mathematische  Annalen  Bd.  8,  p.  482;  1875. 

Nielsen,  Cylinderfunktionen. 


24 


370  Vierter  Teil.    Darstellungen  willkürliclier  Funktionen. 

00 

(11)  f{x)  =    /  a(p{a)J"{ax)da; 

0 

diese  Formeln  sind  also  nur  für  die  CylinderfunMon  der  ersten  Art 

anivendhar. 

Dieser  merkwürdige  Satz  ist  später,  aber  nicht  streng,  von 
SoninO  hergeleitet  worden;  der  große  russische  Mathematiker  hat 
aber  eben  durch  diesen  Satz  viele  seiner  interessanten  bestimmten 
Integrale  gefunden. 

1)  Mathematisclie  Annalen,  Bd.  16,  p.  47;  1880. 


Anhang.  —  Hilfsformeln  und  Zusätze. 


A.    Die  Gammafunktion  ^). 

Gauß-)  hat  zuerst  die  allgemeiue  Gammafunktioii  als  uiieud- 
liches  Produkt  dargestellt,  und  zwar  durch  den  Grenzwert: 

(r.)  r(x)  =  i,m  ^(,^^...(,^,._.); 

aus  dieser  Definition  lassen  sich  ohne  Mühe  viele  fundamentale 
Eigenschaften  der  Gamniafunktiou  herleiten ;  wir  heben  insbesondere 
folgende  drei  hervor: 

(r.o)  r{x-\-i)  =  x-r{x), 

(r,)  v{x)v{i-x)  =  ^^, 

(Q  V{x)V{x  +  i)  =  V(2x)  .>^-  2-2-+S 

welche  schon  Eni  er  bekannt  waren;  die  letzte  ist  ein  spezieller 
Fall  einer  viel  allgemeineren  Formel  von  Gauß^). 

Für  sehr  große  Werte  der  positiven  ganzen  Zahl  n  hat  schon 
Stirling^)  die  asymptotische  Formel: 

angegeben,  wo  £„  eine  positive  Größe  bedeutet,  welche  mit  wachsen- 
dem n  der  Grenze  Null  zustrebt. 

Weierstraß  hat  gezeigt,  daß  1  :V{pc)  eine  ganze  transcendente 
Funktion  vom  Genre  1  ist,  indem  er  das  Gauß  sehe  Produkt  (fj 
folgendermaßen  schrieb : 

Ä  =  1 

1)  Die  Foi-meln  dieses  Abschnittes  werden  im  Texte  immer  als  (rj,  (fg) 
u.  s.  w.  citiert. 

2)  Disquisitiones  generales  circa  seriem  infinitam  §  20;  Werke  Bd.  3. 

3)  loc.  cit.  §  26. 

4)  Man  vergleiche  zum  Beispiel  Serret:  Calcul  integral  p.  217;  Paris  1894. 

24* 


372  Anhang.  —  Hilfsformeln  und  Zusätze. 

wo  C  wie  gewöhnlicli  die  Eulersche  Konstante  bedeutet.  Die  durch 
(Fe)  definierte  ganze  transeendeute  Funktion  hat  also  in  0  und  in 
den  negativen  ganzen  Zahlen  Nullstellen  der  ersten  Ordnung;  be- 
deutet n  eine  ganze,  nicht  negative  Zahl,  so  findet  man  eine  Potenz- 
reihe von  folgender  Form: 

welche  sonach  in  der  ganzen  a;- Ebene  anwendbar  ist. 
Der  allgemeine  Binomialkoeffizient: 

X  -\-  n  —  1\        x{x  —  1)  ■  ■  •  {x  —  H  +  1) 


w   (:)-(-i)'r^r~^) 


1  •  2  •  3    •  •  w 


läßt    sich    mittelst    (Fg),    nachdem    man    Zähler    und    Nenner    mit 

r(x  —  n  -\-  1)  multipliziert  hat,   durch  Granimafunktionen,  wie  folgt, 

ausdrücken: 

(r\  /a;\  r(a:-f-l) 

^9^  \n)        nir{x  —  n-{-l)' 

Bedeutet   n  eine  positive  ganze   Zahl,    während  a  -\-  b  =  c  -{-  d 
angenommen  wird,  so  erhält  man  den  Grenzwert: 

setzt    man   nämlich   der  Kürze  halber,    wenn  n  eine  positive  ganze 
endliche  Zahl  bedeutet: 

r  {  \  —      1  •  2  ■  3  ■  (w  —  1)  ■  n^ 
so  ergibt  sich  durch  wiederholte  Anwendung  von  (fg): 

wendet  man  aber  dieselbe  Formel  auf  r(&  +  w),  \'{c-\-n)  und  r{d  +  n) 
an,    so    liefert    (T^)    unmittelbar    den    gewünschten    Grenzwert.     Die 
Formel  (T^q)  läßt  sich  natürlich  leicht  verallgemeinern^). 
Gauß")  hat  auch  die  weitere  Funktion: 

(r„)    T  w  -  Djog  r  w = :;;!> = -  c  -  J  (^^  -  ^) , 

eingeführt,    wo    C  immer    die  Eulersche  Konstante    bedeutet;    für 

1)  Man  vergleiche  meine  Note  in  Le  Matematiche  Bd.  II. 

2)  loc.  cit.  §  30. 


A.    Die  Garamafnnktion.  373 

diese  neue  Funktion  erhält  man  aus  (fj)  und  (fg)  folgende  Funda- 
mentalformeln: 

(r,8)       V(a;  +  1)  =  ^  +  ^'{x),     V(l  -x)-  V(.f)  =  7t  cotjTx. 

Weierstraß*)  hat  zuerst  für  die  ganze  transcendente  Funktion 
1  :  r(j!f)  den  allgemein  gültigen  Lntegralausdruck: 

angegeben,  wo  x  eine  willkürliche  endliche  Größe  ist,  während  © 
eine  Schleife  bedeutet,  welche  im  negativen  Unendlichen  boffinnt, 
sich  unterhalb  der  Achse  der  negativen  reellen  Zahlen  hinzieht, 
dann  den  Nullpunkt  umgeht  und  sich  wieder  oberhalb  der  negativen 
Achse  ins  negative  Unendliche  verläuft. 

Aus  dem  von  Euler  gegebenen  elementaren  Integralausdrucke 
ergibt  sich  ohne  Mühe  folgende  andere  Integraldarstellung: 

0  -^ 

hier  fällt  der  Integrationsweg  mit  der  Achse  der  positiven  reellen 
Zahlen  zusammen. 

Für  das   sogenannte  erste  Eni  er  sehe  Integral  erhält  man  zu- 
nächst den  Ausdruck: 
1 

(r.5)     A'(l-<>(Z<  =  gf++'+t)"'      3iW>-l,     m(9)>-l; 

0 

setzt  man  hier  ^  =  sin^qp,  so  findet  man  nach  einer  kleinen  Änderung 
der  Bezeichnungen  die  weitere  Formel: 

"2  r/^  +  Ap/g  +  n 

(rj     f{sincpyicoBcpyd<p  =  ^.-^J_^    \',     ^{v)>-l,    9?((>)>-l; 

die  Substitution  tg^g)  =  t  ergibt  nun  nach  einer  abermaligen  Änderung 
der  Bezeichnungen: 

1)  Citat  von  Schläfli  in  Math.  Ann.  Bd.  3,  p.  148.  Man  vergleiche  J.  H. 
Graf:  Einleitung  in  die  Theorie  der  Gammafunktion  und  der  Eulerschen  Integrale 
p.  9;  Bern  1894. 


374  Anhang.  —  Hilfsformeln  und  Zusätze. 

Wir  bedienen  uns  femer  noch  einer  Formel,  welche  wh*  aus  (r^^) 
durch  die  Substitution  t  =  z'-'  herleiten,  nämlich : 


(r.)  / 


oo 

V 


f 


.  ^(^)^(^^^^) 


^t-T-  rL     " -^    ^iy)>-\,    ^{2^-v)>\, 


(1  +  tH        2  r(9) 

0 

wo  V  und  q  natürlich  nicht  dieselben  sind  wie  in  der  vorigen  Formel. 
Wir  gehen  schließlich  von  folgender  elementaren  Formel: 

^  In 


(2  COS  ffY  =  ^  r  j  cos  (n  —  2s)  9? 

s  =  0 


aus,  WO  n  eine  positive  ganze  Zahl  bedeutet,  und  finden  unschwer: 


n 


{a)       2«  +  ^  .  /  (cos  g))«  cos  {y^)dcp  =  sin  ^  (v  +  w)  •  ^  ^  ,  ,,  '    *, 

wenden  wir  jetzt  folgende  aus  der  Difi'erenzenrechnung  wohlbekannte 
Formel: 

s  =  0 

an,  die  sich  ohne  Mühe  auch  durch  Zerlegung  oder  sogar  in  völlig 
elementarer  Weise  durch  vollständige  Induktion  herleiten  läßt,  so 
erhalten  wir  aus  («)  die  weitere  Formel: 

(r)  }  (_l)««!sin^(i;+«) 


2«+l   .    I     (cOSa)VcOS(vqp)f^0P  =— j ; j r ; — , ^. 

Betrachten  wir  nunmehr  die  zwei  FäUe,  in  denen  n  als  gerade 
oder  ungerade  vorausgesetzt  wird,  für  sich,  so  finden  wir  aus 
(fg)  und  (fg)  die  allgemeine  Formel: 

n. 

T 

(•"lo)         ■    /   (coscpy'cos(va))(Zm  =  -- — j — ^- -, 

eine  Formel,  die  sich  auch  mittelst  (fj  folgendermaßen  schreiben  läßt: 


it 


2  r  /'*  +  1\  r  /**  +  2 


^('vym 


2     /*  ■  i ~2~;  v~2~; 

('""o'*  ^*     /     (cOSOp)"COs(vOD)rfm  =  -- 


B.    Die  hyiiergeometrische  Funktion.  375 

Die  Formel  (f^y)  liefeii  ohne  Schwierigkeit  noch  folgende  zwei; 

,       /?                                                            (2n)!co8^ 
X21)  -  •  /   (cos  (py  cos  {vcp)dcp  =  — — -— 


(2n4-  1)!  sin^ 


(r«)     i  ■  /  (sin  ^)-  -  .in  (.^).^,p  =  ,.„.,,(,.^3j:>)r( 

man  braucht  ja  in  der  Tat  nur  die  allgemeinen  Formeln  §  17,  (2) 
von  Cauchy  anzuwenden. 


"+^)' 


B.    Die  hypergeometrische  Funktion^). 
Mit  Gauß^)  setzen  wir: 

(F.)       F(„,^,,,.)  =  l  +  |.i.+  «4±i).m.'  +  .., 

SO  daß  diese  Potenzreihe  den  Konvergenzradius  1  besitzt.  Für  x=l 
bleibt  die  Reihe  noch  konvergent,  wenn  ^{y)^0,  9^(y  — a  — /3)>0 
vorausgesetzt  wird;  wir  gewinnen  unter  diesen  Bedingungen  folgende 
Formel  von  Gauß^): 

(F.)  F(.,  ß,  y,  1)  =  ['fX^^l 

Als  spezielle  Fälle  der  allgemeinen  hypergeometrischen  Funktion 
heben  wir  mit  Gauß*)  die  folgenden  hervor: 
,     .  „  /l  +  V      1  —  V       3         2\         sin  {v  arc  sin  x) 

(^3)  ^\^'  "~2~'  y  ^j  =  - 


vx  ' 


/T,  \  TT  /.    ■    ^       -.         V        3         c,\         sin  (v  arc  sin  x) 

(F5)  f{^,  -y,  y,  rc^^  =cos(varcsina;), 

/pN  7?/^  +  ^      1  — '^       1       ^2\        COS  (y  arc  sin  x)  _ 

weiter  führen  wir  die  andere  spezielle  Formel  an: 

Von  den  vielen  Transformationsformeln  für  die  hypergeometrische 
Reihe  benutzen  wir  vor  allem  diejenige  von  Euler^): 


1)  Die  Formeln  dieses  Abschnittes  werden  im  Texte  immer  als  (F^),  (F^) 
u.  s.  w.  citiert. 

2)  loc.  cit.  3)  loc.  cit.  §  24.  4)  loc.  cit.  §  5. 

5)  Citat  von  Hankel:  Mathematische  Annalen  Bd.  8,  p.  468;  1875. 


(Fo) 


g-yg  Anhang.  —  Hilfsformeln  und  Zusätze. 

(Fg)  F{a,  ß,  y,  x)  =  {l-  x)-^F[ß,  y-a,r,  ^) 

und  diejenige  von  Kummer^) 

F{a,  ß,  Y,  x)  =  22«(1  +yi^^=^)"'"' 

setzen  wir  in    der    Kumm ersehen  Formel    speziell    a  =  ß  -\-  ^,    so 
liefert  uns  (F^)  die  einfache  Formel: 

(F..)     F{ß + i,  ß,  2ß, .) = ^  irrw^f  • 

In  dem  folgenden  Abschnitte  über  die  Kugelfunktionen  bedienen  wir 
uns  noch  folgender  zwei  Formeln  von  Gauß^): 


(Fu) 


\F{a,ß,y,l-x)  =  Ä-F{a,ß,a  +  ß-y-hl,x)-i- 


\  -^Bxy-''-l^{l-x)y-F{l-a,l-ß,y-a-ß-\-l,x) 

mit  den  Koeffizientenbestimmungen: 


Ä  = 


r(y)r(7-«-ß) 


B  = 


r(y)  r(a  +  ß  -  y) 


und: 

(Fl,) 


^(2^.,  2/3,  «  +  ^  +  4-,  ^^')  ^  A-^(^,  ^,  Y,  ^)  + 

-^B,yx-F{a-^^,ß  +  ^,^,x), 
wo  wir  der  Kürze  halber: 

gesetzt  haben. 

Die  hypergeometrische  Reihe   läßt    sich  auch  sehr  einfach    als 
bestimmtes  Integral  darstellen;  man  findet  folgende  Formel: 
1 

(F13)   ft^-\l-t)y-^-'(l-txy"dt  =  ^^^^  [l~  ^^  ■  F{a,  ß,  y,  x), 
0 

wo  man: 

I^|<1,      m{ß)>0,      m(y-ß)>0 

voraussetzen  muß.  Die  Formel  (F^g)  läßt  sich  in  der  Tat  durch 
gliedweise  Integration  herleiten,  nachdem  man  die  Funktion  unter 
dem    Integralzeichen    mittelst    der    Binomialformel    nach    steigenden 


1)  Journal  für  Mathematik  Bd.  15,  p.  77;  1836. 

2)  loc.  cit.  §  43,  §  56. 


C.    Die  Kugelfunktionen.  377 

Potenzen  von  ./'  entwickelt  bat.  Für  x  =  1  tindct  raun  hieraus  un- 
mittelbar die  Gaußscbe  Formel  (F^)  wieder,  denn  die  bier  erbaltenen 
engeren  Bedingungen  lassen  sieb  modifizieren,  so  daß  die  Formel 
überall  richtig  bleibt,  wo  beide  Seiten  analytische  Funktionen, 
z.  B.  von  y,  darstellen.  Dieser  Beweis  ist  zuerst  von  Kummer^) 
gegeben  worden. 

Wir  haben  noch  zu  bemerken,  daß  y  =  F(a,  ß,  y,  x)  das  eine 
partikuläre  Integral  folgender  homogenen  linearen  Differentialglei- 
chung, der  G au ß sehen  Gleichimg,  sein  muß: 

(FJ  x{l-x)tß^^  (y-{a  +  ß  +  l)x)yW-aßy  =  0; 

das  andere  partikuläre  Integral  dieser  Gleichung  wird  im  allgemeinen 

in  der  Umgebung  von  x  =  0  durch: 

(FJ  x'-y-F{u+l-y,  ß+l-y,  2-y,  x) 

dargestellt. 

C.    Die  Kugelfunktionen -). 

Wir  definieren  die  allgemeinen  Kugelfunktionen  der  ersten  Art 
durch  die  Identität: 

(Kl)  {l-2ux  +  x^)-''  =  1  +^K''^'{a)x%     v  +  0, 

und  erhalten  so  durch  direkte  Ausrechnung  für  K^'  "(a)  den  Ausdruck : 

^^ 

2 

die  Annahme  v  =  l-  führt  zu  den  gewöhnlichen  Legendreschen 
Kugelfuuktionen ;  also  ist: 

(K3)  Z^-(«)  =  P''(a). 

Die  sowohl  in  1/  als  in  a  ganze  rationale  Funktion  K^''*(cc)  läßt 
sich  sehr  leicht  auch  als  hypergeometrische  Funktion  darstellen; 
wir  erhalten,  je  nachdem  s  gerade  oder  ungerade  ist: 

(K,)      K:^'(u)       =ti^^.F(.  +  «,-«,i,«^), 

1)  loc.  cit. 

2)  Die  Formeln  dieses  Abschnittes  werden  im  Texte  immer  als  (Kj), 
(Kj)  usw.  citiert. 


378  Anhang.  —  Hilfsformeln  und  Zusätze. 

Die  Gauß sehen  Transformationsformeln  des  vorliergehenden 
Abschnittes  gestatten  bemerkenswerte  Umformungen  der  KugeKunk- 
tionen.  Setzen  wir  in  der  Tat  in  (F^^)  ß  =  —  n,  wo  n  eine  ganze, 
nicht  negative  Zahl  bedeutet,  so  verschwindet  der  Koeffizient  B,  und 
wir  gewinnen  aus  (K^)  und  (Kg)  folgende  zwei  anderen  Formeln: 


(K,)     Ä->-  (cos  <p)    ='^^yF{v  +  n,  -n,  a.+  |,  sin^  9,), 


^-■^"  +  ^rcos(pW    ''(a.+^n+i) 

A'  lCOS9'^-(2w  +  l)!r(2j;+l) 


'  F(v-\-71-^  1,  —n,  v-\-~ ,  sin^g)]  •  cosqp, 
während  sich  aus  Formel  (Fjg)  unschwer  ergibt: 

(K3)     ^'■'-(cos^))    ='^l+^yF[2v^2n,-2n,v  +  \,.m^fl, 


(Ke) 


[g-.^-  +  ^rcos(p-)=     r(2^+2^  +  i) 

A'  (,COS()Pj       (2„4-l)!r(2i'+l) 


F{2v-\-2n^-l,-2n-\,v  +  \,sm^\) 


Für  V  =  0  ist  die  Definition  (K^)  der  Kugelfunktionen  demnach 
unanwendbar:  gehen  wir  dagegen  von  (K^)  und  (K5)  aus,  so  finden 
wir  unter  Anwendung  von  (F5)  und  (Fg),  indem  wir  zugleich  x  =  ^va.(p 
setzen: 
(Kio)         Hm  [w  r  {v)  K"^  2«  (sin  g,)]  =  (_  l)«  cos  (2  n  cp) , 

(K,i)  (2w  +  l)^°>2«  +  i  (^si^  ^>)  _  (^_1)«  si^  (2>i+l)9J5 

setzen  wir  in  diesen  Formeln  -^  —  fp  für  9),  so  erhalten  wir  weiter: 

(K12)  lim  [n  r (v)  .AT'' 2 "  (cos  qp)]  =  cos  (2 n (p) , 

r  =  0 

(KJ  {2n  +  l)^o,2«+i  (cos  g))  =  cos  {2n  +  l)(p. 

Ähnliche  Grenzformeln  ergeben  sich,  wenn  wir  in  der  Definition 
(K J  V  =  1   annehmen ;    die  weitere  Annahme   a  =  cos  g)  gibt  dann 

identisch: 

1  —  a;  cos  qo       1  /       1  . 1         \ 

1  — 2a;  cos  cp -\- x^  ~  Y  (^i_a;e'>        1  —  a;e"'>/  ' 
woraus  die  Entwicklung: 

- —  —  ^  cos  qp —  =  1  _|-  N"  COS  (ncp)  •  X*" 
1  —  2a;cos  qp  +  o;*  '  .^  ^   ^^ 

»1  =  0 

folgt,  so  daß: 

(KiJ  ^^'"  (cos  9))  —  cos  9  •  ^^'"-^(cos  (p)  =  cos  (ng)) 


D.    Zwei  Integralidentitiiten.  379 

sein  muß.  Führen  wir  in  diese  Formel  für  die  Kugelfunktioiicn  die 
Ausdrücke  (Ky)  und  (Kg)  ein,  so  erhalten  wir  die  hekannte  Dar- 
stellung von  Qos(nq))  als  Polynom  von  cos  qp,  und  dieser  Beweis 
ist  für  die  obenerwähnte  elementare  Formel  vielleicht  der  einfachst 
mögliche. 

Wir  bemerken  schließlich  noch,  daß  wir  aus  (Fj^)  für  y  =  K^'^{x) 
die  lineare  Differentialgleichung: 

gewinnen. 


D.    Zwei  Integralidentitäten  ^). 

Die  Formeln  mit  der  Gammafunktion,  welche  wir  vorausgeschickt 
haben,  gestatten  uns  unmittelbar,  einen  spezielleren  Fall  zweier 
merkwürdiger  Integralidentitäten  herzuleiten.  Aus  (P^g)  erhalten  wir 
in  der  Tat  die  speziellere  Formel: 


7t 


ß 


(sin  2 «)» + ' ■  (tg  »)' rf»  -        ^  („;.;     ^ 


0 

so  daß  eine  Multiplikation  mit  Formel  (r^c,)  unmittelbar  ergibt: 

7t  7t 


(ß)     j  (sin  2  oj)"  + 1  (tg  coy  da  •  j  (cos  tpY  cos  {v(p)dcp  =  ^ ^^  _^  ^^ , 

0  0 

gehen   wir  also    von    folgender    Potenzreihe    mit    dem    Konvergenz- 
radius q: 

aus,  so  finden  wir  aus  («),  vorausgesetzt,  daß: 

\x\<Q     und     2>3fl(i/)>-2 


ist: 


7t         7t 

Y    Y 


/    /  f{xün2ojQ.oBcp)(igay x^iri2a 0,0^ {y(p)d CO dq)  ==  ^-^^  ~"XT 

0        0  ^  s=0 

1)  Die  Formeln  dieses  Abschnittes  werden  im  Texte  immer  als  (IJ,  (I^)  usw. 
citiert. 


380  Anhang.  —  Hilfsformeln  und  Zusätze. 

oder,  was  dasselbe  ist,  folgende  merkwürdige  Integralidentität: 


n    n 


(Ij)    D^\   I  f(^x  sin  2  (OGOS  (p){tgG)yxsin.2  C3  cos  {vcp)d  ad  q)=-Y'f(^)  > 

0      0 

welche  sich  auch  folgendermaßen  schreiben  läßt: 


n     jt 


/T  N    I    /   I  f^^\x  SIR 2 a  COS  (p)  (ig  cjy  X  s'm 2 (xt  COS  (vqi)d ad q)  = 

[    °  =1  (/-w-fco)). 

Die  Integralformel  (T^q)   gibt  weiter  folgendes  andere  Produkt: 

Y  Y 

(y)       I  {smaY  +  \tgayda-  /  (sm(py{cos(pydq)^ — ^',^^1' 

0  0 

wo   l>tR(v)>  —  1   vorausgesetzt  werden  muß;    somit   finden   wir 
für  dieselbe  Potenzreihe  (ß)  noch  folgende  weiteren  Identitäten: 


(I3) 


7t        7t 

IT    Y 


D^  f    f  f(x  sin  03  sin  9)  tg  «)*'  x  sin  a  (cos  cpy  da  dcp  = 


VTt 

2  cos-— 


(I4) 


Ä        7t 

Y   Y 


f    j  f"^^  {x  sin  a  sin  9)  (tg  (0)''  a;  sin  a  (cos  9))"  da  drp  = 

=  -^-(/(^)-rtO)). 


2  cos  — 

9 


Unsere  vier  Integralidentitäten  sind  also  vorläufig  auf  jede  Funktion 
anwendbar,  welche  sich  in  der  Umgehung  von  x  ==  0  regulär  verhält. 
Sucht  man  nun  diese  Formeln  zu  verallgemeinern,  so  scheint 
es  am  geratensten,  die  Formeln  (I^)  und  (I3)  zu  Grunde  zu  legen, 
weil  man  dann  vielleicht  nicht  notwendig  die  Differentiierbarkeit 
von  f{x)  vorauszusetzen  braucht.  Wir  können  indessen  auf  eine 
solche  Verallgemeinerung  hier  nicht  näher  eingehen,  müssen  uns 
vielmehr  auf  einen  speziellen  Fall  beschränken,  indem  wir  den  Satz 
beweisen: 


E.    Trigonometrische  Reihen.  381 

Lk  Operationen  (I,)  und  (I.,)  sind  für  die  Funklion  F{x)  erlaubt, 
wenn  eine  Reihenentwicklung  von  folgender  Form: 

(d)  F^'^x)  =  «iPi(a-)  +  a,2h{x)  +  o^rÄ^)  +  ■■■ 

existiert,  wo  sich  die  Entwich! nndsfunldionen  p„{x)  sämtlich  in  der 
UmychüUd  von  rc  =  0  rc(/nlär  vcriialtcn,  und  wenn  aiißcrdcm  die 
Reihe  (ö)  für  0  ^x  ^  q  f/lrichmäßig  konvergiert. 

Die  Eutwickluugsfuuktioueu  />„(a:)  gestiittcn  ja  in  der  Tat  sämt- 
lich l)eicle  Operationen,  und  vermöge  der  gleichmäßigen  Konvergenz 
sind  diese  Operationen  auf  die  Reihe  (d)  gliedweise  anwendbar. 

Wir  bemerken,  daß  die  Formeln  (IJ  und  (I3),  (Ig)  und  (I,)  für 
V  =  0  identisch  sein  müssen;  setzen  wir  nämlich  in  (Ij)  oder  (Ig) 
^w  für  03,  so  findet  man  die  Grenzen  0  und  :t,  und  die  Formel 
§  17,  (2)  von  Cauchy  führt  dann  unmittelbar  zum  Ziele.  Dieser 
Spezialfall  von  (I^)  war  schon  AbeP)  bekannt;  ein  einfacher,  aber 
nicht  strenger  Beweis  ist  von  Schlöm  ilch")  geliefert  worden.  Sonin^) 
hat  die  allgemeine  Formel  (Ij)  mittelst  Cylinderfunktionen,  aber 
nicht  in  aller  Strenge  hergeleitet;  denn  seine  Herleitung  ergibt  keine 
Bedingung,  welcher  die  Funktion  f{x)  unterworfen  werden  muß. 


E.    Trigonometrische  Reihen*). 

Von  den  trigonometrischen  Reihen  betrachten  wir  nur  die- 
jenigen, welche  in  einem  Intervalle  von  der  Größe  2%  anwendbar 
sind  und  zudem  noch  Fouriersche  Reihen  sind,  d.  h.  deren  Koef- 
fizienten sämtlich  durch  gewisse  bestimmte  Integrale  dargestellt 
werden  können. 

Wir  betrachten  insbesondere  Reihen,  welche  in  dem  Intervall 
(—TT,  +  n;)  anwendbar  sind,  die  beiden  Grenzen  jedoch  möglicher- 
weise ausgeschlossen;  wir  setzen  demnach: 

«  =  00 
(Ti)  fix)  =  Y  «0  +  ^  (««  cos  (nx)  +  \  cos  {nx)) 


1)  Oeuvres  completes  Bd.  IL 

2)  Zeitschrift  für  Mathematik  und  Physik  Bd.  2,  p.  155;  1857. 

3)  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  48;  18s0. 

4)  Die  Formeln  dieses  Abschnittes  werden  im  Text  immer  als  (TJ,  (T^)  usw. 
citiert. 


382  Anhang.  —  Hilfsformeln  und  Zusätze. 

mit  den  Koeffizientenbestimmungen: 

(Tg)      a^^^'J f{x) cos {nx)dx,     b„  =  ~.Jf{x)  sin  (nx)dx. 


—  n 


Die  hinreichende  und  notwendige  Bedingung,  welcher  die  Funk- 
tion fipc)  unterworfen  sein  muß,  um  in  eine  Reihe  von  der  Form  (T^) 
entwickelbar  zu  sein,  kennen  wir  nicht. 

Für  unsere  Anwendungen  der  Fouri  er  sehen  Reihen  reichen  aber 
die  von  Dirichlet^)  gegebenen  Bedingungen  hin: 

1)  fix)  muß  iu  dem  Intervalle  (— ä,  -{-n)  abteilungsweise  stetig 
und  kontinuierlich  und  zudem  eindeutig  und  integrabel  sein. 

2)  fix)  darf  in  demselben  Intervalle  nicht  unendlich  viele  Maxima 
oder  Minima  besitzen. 

3)  Ist  a  eine  Sprungstelle,  so  hat  die  Reihe  die  Summe: 

-\  (/■(«  +  0)  +  fia  -  0))  ; 
für  ic  =  ±  3t  wird  die  Summe  immer  gleich: 

Dirichlet  hat  seine  Untersuchungen  mittelst  der  sogenannten 
Dirichl  et  sehen  Integi-ale  durchgeführt;  es  sind  dies  Integralsätze 
von  folgender  Form: 

Wenn  f{x)  den  vorhergehenden  Bedingungen  genügt  und  n  eine 
positive  ganze  Zahl  bedeutet,  so  findet  man: 

0     ,    J}>a>0  oder  &<a<0 
^([O),    h>0,  a<0 

^f{0),    &>0,  a  =  0  oder  &  =  0,  a<0; 


6 


(T3)     lim  f^^fix)dx 


M  =  CO 

a 


unter  denselben  Bedingungen  ergibt  sich  dagegen  stets: 

h 

(T,)  lim    f'-^f(x)dx  =  0, 

a 

wobei  jedoch  das  Integrationsintervall  die  Null  nicht  enthalten  darf. 
Integralsätze  von   dieser  Form   sind  später  von  du  Bois  Rey- 
mond^)  wesentlich  verallgemeinert  worden. 


1)  Journal  für  Mathematik  Bd.  4;    Werke  Bd.  I,  p.  127,  128. 

2)  Journal  für  Mathematik  Bd.  69;    Mathematische  Annalen  Bd.  4. 


E.   Trigonometrische  Reihen.  383 

Von  den  zahlreichen  Arbeiten  über  Fouriersehe  Reihen  citieren 
wir  die  Abhandlimf^en  von  Kiemann^),  Heine^,  Cantor'),  du  Bois 
Reyniond^),  Harnack^),  Holder^)  und  vor  allen  von  Dini"). 

Als  Beispiel  l)etraehteu  wir  die  Funktion  cos  (ax),  wo  a  eine 
willkürliche  endliche  Gniße  bedeutet;  da  diese  Fimktion  eine  gerade 
ist,  müssen  die  Koeffizienten  h^  sämtlich  verschwinden;  wir  finden 
dann  ohne  Mühe  folgende  Entwickhmg: 

(T,)     cos  («.)  -  '^  (i  +2  (- 1)'  C-^  +  ^h)  <="'  ^"^)  •■ 

für  die  Funktion  sin  (ax)  erhalten  wir  in  ähnlicher  Weise  folgende 
Sinusreihe: 

(T.)       sin  (..)  =  ^) .  2  (-  !)■  (^  -  ^)  -  (-)■ 

Wir  brauchen  noch  einige  elementare  Fouriersehe  Reihen, 
welche  wir  indessen  einfacher  durch  eine  speziellere  Methode  herleiten 
können.     Die  gewöhnliehe  Potenzreihe: 

log(l-^)  =  T~  Y  +  ¥ 

ist  ja  auch  für  x  =  e'f,  —  n  <  cp  <  -\-  n^  anwendbar;  vergleicht  man 
die  imaginären  Komponenten  der  beiden  Seiten  in  der  so  erhaltenen 
Formel,  so  ersehen  wir,  daß: 

,  V  qp         sin  qp         sin  2  w     ,     sin  3  qp  ^        ^    , 

(«)        2=-T^-^^  +  -T^ '    -^<<p<  +  7t', 

führen  wir  weiter  folgende  Bezeichnungen  ein: 

so  erhalten  wir  aus  (a)  durch  wiederholte  gliedweise  Integration, 
welche  offenbar  erlaubt  ist,  weil  ja  die  Reihe,  außer  in  den  Grenzen 
+  n,  gleichmäßig  konvergent  ist,  die  zwei  allgemeineren  Formeln: 


1)  Mathematische  Werke,  p.  227—265;  Leipzig  1892. 

2)  Journal  für  Mathematik  Bd.  71. 

3)  Journal  für  Mathematik  Bd.  72,  Bd.  73.    Mathematische  Annalen  Bd.  4, 
Bd.  5.     Acta  Mathematica  Bd.  2. 

4)  Abhandlungen  der  Münchener  Akademie  Bd.  12. 

5)  Mathematische  Annalen  Bd.  19. 

6)  Mathematische  Annalen  Bd.  24. 

7)  Serie  di  Fourier,  Bd.  I;  Pisa  1880. 


384 


Anhanof.  —  Hilfsformeln  und  Zusätze. 


V  tlT!  .  cos  {S<p)  =  >;  (-  ir  ^2.-2.  • 


{(p—2pny 


s  =  l 


X/  V       ^J   ^"in-ir  (2r).'         ' 


/•  =  0 


\»-l 


(qo— 2p3r) 


2r+l 


(Ts)  2^  y^^  •  '^^  ^'^^  =2  ^~  ^r^^n-.r  ■  —(27+1)^-' 


s  =  l 


r  =  0 


WO  p  eiiie  solche  ganze  Zahl  bedeutet,  daß  (2^9 — l)3t^g)^(2^  +  l)jr 
ist.  Für  ^>  =  0  gestatten  die  Ausdrücke  rechter  Hand  in  diesen 
Formeln  eine  bemerkenswerte  Umformung;  setzen  wir  in  der  Tat: 


?«<, 


11         >       %»•  +  !"" 


i-lfcp"-'-' 


'■2r  (2r)!       '      ""S'^  +  i     "      (2r  +  l)!     ' 

SO    gewinnen    wir   für    die    Summen    der   trigonometrischen   Reihen 
folgende  Ausdrücke: 


r=  n 

X I   ^2n-2r''^2r)  Xi  ^2n-2r  "^2r +  1  > 

r=0  r=0 


wo   die  u,j.  die   ersten  Glieder  der  Potenzreihen  für  cos  x  und  sin  x 
bedeuten. 

Setzen  wir  weiter  in  (a)  tc  —  g)  für  (p,  so  ergibt  sich: 

(y)  ~2~^~r""' 2 ' 3 ' '      ^<(p<^^, 

woraus  folgende  allgemeinen  Formeln: 


(T,o) 


Ä=  CO 

s=l 


4;-cos(s9J)  =  y'(-  ^y^2n- 


2r 


r  =  0 


(qp-2j)7r) 
(2r)! 


2r 


+ 


+ 


(- 


!       \       (2«— 1)!  (2«)!        J' 


(Tu) 


2r+l 


J^    s2n  + 


..sinM^^^-l)^^— -'^4^  + 


r  =  0 


+ 


(- 1)^'  (%(<p-2pnr  _{cp-2p 

2        \         (2«)! 


-1)!    y 


(2«)!  {2n-{- 

hervorgehen,  in  denen  2^  eine  solche  ganze  Zahl  bedeutet,  daß 

2p7t^(p£{22)-{-2)7t 
ist  und  s,.  die  Summe  der  numerischen  Reihe: 


bezeichnet. 


r>2 


E.    Trigonometrische  Reihen.  385 

Addieren  wir  nneli  (a)  und  (y)  und  setzen  wir  in  der  erhaltenen 


Tt 


Formel  - —  (p  l'ür  qp,  so  gelangen   wir  zu  iojgender  wi-itcri'n  l"'nrniel: 


2 

/.,.          «         COS  qp         cosSqp         C08  5(p  ^    ^         ^    ,     ^ 

(Ö)        Y  =  ~ 3~  H f, f      —  \^    <<P<+    ./  ; 

aus  der  sich  die  allgemeineren: 

ergeben,  wo  j;  eine  solche  ganze  Zahl  bedeutet,  daß: 

{p-^)n£cp£{p  +  ^)ji 
ist,  und  wo  r,.  ilie  Summe  der  numerischen  Keihe: 

^^     r     3'-  "^  5'-     7'-  "^  "  ■ 

bedeutet.  Formeln  von  dieser  Art  sind  zuerst  von  Euler^)  ange- 
geben worden;  die  Reihen  (Tj,,)  und  (T^^)  stehen  für  p  =  0  mit  den 
Jacob  B ern ou  11  i sehen  Funktionen  in  sehr  naher  Verwandtschaft; 
Kaabe-)  hat  diese  Funktionen  durch  die  obenerwähnten  Reihen 
definiert,  indessen  ist  es  ratsamer,  diese  Definition  etwas  zu  modi- 
fizieren, wie  es  meines  Wissens  zuerst  Schläfli^)  getan  hat. 

Setzen  wir  in  (Tj^)  (p  =  tc,  so  gewinnen  wir  durch  vollständige 
Induktion  für  die  numerische  Reihe  Sg«  den  Ausdruck: 

n2n-l       2«      ^ 
.2  n         T> 

(2«)! 

WO  B^n-i  ®*^^  rationale  Zahl,  die  B ern o uliische  Zahl  vom  Range 
2n  —  1,  bedeutet.  Ähnliche  Ausdrücke  finden  wir  für  die  Summen 
ffg«  und  T2„^i,  während  wir  über  die  Natur  der  Reihen  s^^^^, 
^2n  +  i)  ^2n  ^ichts  wisscn. 

Wir  haben  noch  betreffs  folgender  speziellen  Reihe: 

«=  CO 

(Tu)  m = 2  ^^^^ '  ^'^^  (^«  + «) ' 

s  =  l  * 

wo  u  eine  endliche,  reelle  oder  komplexe  Konstante,  a  einen  reellen 
Winkel  bedeutet,  folgenden  Satz  zu  beweisen: 

1)  Introductio  in  Analysin  infinitorum.        2)  Journal  für  Mathematik  Bd.  42. 
3)  Man  vergleiche  die  Dissertation  von  Renfer:  Definitionen  derBernouUi- 
schen  Funktion,  p.  37;  Bern  1900. 

Kiel 86 n,  Cylinderfunktionen.  25 


386  Anhang.  - —  Hilfsformeln  und  Zusätze. 

fix)  ist  in  der  durch  die  Bedingung  9f^(a;)  >  1  bestimmten  Halh- 
ebme  immer  eine  in  x  analytische  Funldion;  dasselbe  gilt  auch  in 
dem  durch  die  Bedingungen  0  <.^{x)  <,1  bestimmten  Parallelstreifen 
der  X- Ebene,  falls  a  nicht  ein  ungerades  Multiplum  von  n  bedeutet. 

Der  erste  Teil  dieses  Satzes  ist  einleuchtend^  weil  dann  die 
betreffende  Reihe  unbedingt  konvergent  ist;  um  auch  den  letzten 
Teil  zu  beweisen,  setzen  wir: 

s  =  p 

"^  (_  1)*  +  "  -  ^  , 

I^n,p{^)  =  ^         ^J^^^^,      •  cos  ((S  +  m)c3  +  C^) 

und  finden  so  aus  der  elementaren  Formel: 

2  cos  Y  •  cos  (so  +  a)  =  cos  US  +  -^j  CO  +  a  j  +  cos  ( (•5  —  y)  «  +  « ) 

für  2 Rn^p(x)  cos—  folgenden  andern  Ausdruck: 

(- 1)"  cos ((w- 4) CO +  «)       (-  If +^-^  cos  {{n  +  p  ^y)x-\-a) 
(«  +  lf  {n-j-pf 

s  =  p 

+  2'(-lV^-((,^„'^y-(^)cos((.  +  »  +  4-)o.  +  .); 


«  =  1 


nun  ist  aber  nach  der  Binomialformel: 

1  1  X  x{x-\-l) 


+ 


somit  ist  für  '3i{x)  >  0  und  a  =[=  (2q  -\-  1)^,  wo  q  eine  ganze  Zahl 
bedeutet,  das  Restglied  Rn,p{x)  als  Restglied  einer  unbedingt  kon- 
vergenten Reihe  anzusehen. 

Durch  Multiplikation  mit  2  sin  —  beweisen  wir  einen  ähnlichen 
Satz  für  die  Reihe: 

4  =  00 

(Tis)  i/(^)  =  ^  4-  •  cos  (so  +  a), 

»  =  i    * 

wo  03  für  0  <  '3i(x)  <  1  kein  gerades  Multiplum  von  7t  bedeuten 
darf;  setzen  wir  ferner  in  den  beiden  Reihen  (T^i)  und  (T^r,)  a — — 
für  a,  so  ergeben  sich  daraus  ähnliche  Sätze  für  die  beiden  analogen 
Sinusreihen. 

Diese  Methode  für  die  Verstärkung  der  Konvergenz  einer 
trigonometrischen  Reihe  ist  nach  Julius  Petersen^)  Malmsten 
zuzuschreiben. 


1)  Vorlesungen  über  Funktionentheorie  p.  141. 


F.    ZuHÜtze  nn<l  Berichtigungen.  .*i,S7 

F.    Zusätze  und  Berichtigungen. 

Seite  (5.    Es  ist  7,11  bemerken,  daß  auch  Liij)la('e')  und  Parseval-) 
die  ('vliiiderl'unktion  J"(jr)  gekannt  haben. 
Seite  27.    Die   erste  Fundamentalgleichung  der  Cyliuderfunktionen: 

2D^FHx)  =  F'-\x)  -  F'^\x) 

ist  eigentlich  mit  Zuhilfenahme  der  Additionsformel  in 
§  114,  (2)  von  Sonin  durch  eine  Neumannsche  Reihe 
der  ersten  Art  aufgelöst.  Setzt  man  nämlich  voraus,  daß 
sich  F*(x)  im  Punkte  x  =  u  regulär  verliält,  und  setzt 
iuan  noch:  F\a)  =  a{y), 

wo  a.{y)  eine  arbiträre  Funktion  von  v  bedeutet,  so  findet 
man  folgende  Entwicklung: 

'  =  tf. 

F'{x  +  «)  =  aiy)J\x)  +  ^  [aiy - h)  +  (-  l)'a(v  +  s)  J'{x), 

>  =  1 

wo  die  willkürliche  Funktion  nur  so  zu  bestimmen  ist, 
daß  diese  Reihe  konvergiert.  Diese  Neumannsche  Reihe 
definiert  uns  also  alle  analytisclien  Lösungen  der  oben- 
erwähnten Fundamentalgleichung. 

Seite  32.  Kapteyn^)  hat  später  einen  mit  demjenigen  vom  Kriegs- 
minister Madsen  gegebenen  sehr  ähnlichen  Beweis  für 
die  Formel  (14)  publiziert. 

Seite  5C.  Parseval*)  hat  das  Hansensche  Integral  für  n  ■=  0 
entwickelt. 

Seite  84.    Die  Formel  (4)  ist  unrichtig;  es  fehlt  rechter  Hand  das 

Glied  -{q-v)  6"(«x)  C,^{ax) . 

Seite  155.  Die  in  (10),  (11)  gegebenen  asymptotischen  Entwick- 
lungen sind  beide  zugleich  in  derselben  willkürlichen 
Halbebene  anwendbar,  wie  man  unmittelbar  beweist,  in- 
dem man  in  (1),  (2)  desselben  Paragraphen 

x  =  re"^^     y  =  —  2ie^^~i'^',     xy  =- ^ 

setzt,  wo  immer  — 5-  <  9^  <  +  v  ^^^^  muß.  Man  vergleiche 
übrigens  die  ähnlichen  Beweise  pp.  227,  242. 


1)  Histoire  de  rAcademie  de  Paris  1779,  p.  277. 

2)  Memoires  des  savants  etrangers,  Bd.  1 ;  1806.     Citat  von  Burkhardt  im 
.Jahresbericht  der  Deutschen  Mathematiker-Vereinigung,  Bd.  10,  p.  401;  1903. 

3)  Monatshefte  für  Mathematik  und  Physik,  Bd.  14,  p.  275  tf.;  1903. 

4)  loc.  cit.     Citat  von  Burkhardt  loc.  cit.  p.  401. 

25* 


388  Anhang.  —  Hilfsformeln  und  Zusätze. 

Seite  230.  Die  asymptotische  Reihe  für  den  Integrallogarithmus  ist 
zuerst  von  Mascheroni^)  gegeben,  später  von  Söldner^), 
Bretschneider^)  und  insbesondere  von  Stiltjes'*) 
untersucht  worden. 

Seite  247.  Die  asymptotische  Entwicklung  (6)  ist  in  der  Tat  höchst 
merkwürdig,  indem  sie  uns  unmittelbar  folgenden  Satz  gibt: 

Die  Quadratsumme  (j''(x)Y-\-  {Y^{x)Y  ist  in  der 
ganzen  unendlichen  x-Ehene,  außer  in  x  =  0,  immer 
endlich. 

Damit  ist  aber  eine  neue  merkwürdige  Analogie 
zwischen  den  Cylinderfunktionen  und  den  Kreisfunktionen 
dargelegt;  für  **  =  ±  1  gewinnt  man  natürlich  aus 
der  obenerwähnten  Formel  die  entsprechende  spezielle 
Identität: 

cos^  X  +  sin^  X  =  1. 

Seite  274.    Kapteyn^)    hat    neuerdings    eine    neue    Herleitung    der 

Neumann  sehen  Reihe  erster  Ai-t  für  gegeben. 

y  —  X  °  '^ 

Seite  353.  Die  Bedingung  1)  ist  im  Dinischen  Buche  durch  einen 
Druckfehler  verunstaltet;  es  steht  nämlich  dort  irrtüm- 
licherweise x''-P^\-f{x)  statt  x^-P-f(x). 

Nach  einer  mündlichen  Mitteilung^)  vonProfessor  Dini 
bleibt  sein  Satz  I  noch  gültig,  wenn  man  —  ^  >  v  >  —  1 
(statt  V  >  —  ^)  annimmt,  vorausgesetzt,  daß  man  in  der 
Bedingung  1)  x~~2-f{x)  (statt  x^~p  •  f{xj)  einführt, 
während  die  übrigen  Bedingungen  ungeändert  bleiben. 

1)  Citat  von  Bretschneider  im  Journal  für  Mathematik  Bd.  17,  p.  260;  1837. 

2)  Theorie  et  tables  d'une  nouvelle  fonction  transcendante ,  p.  14;  Mün- 
chen 1809. 

3)  loc.  cit.;  Grunert  Archiv  Bd.  29,  p.  240;  Programm  des  Realgymnasiums 
Gotha,  1859. 

4)  Man  vergleiche  das  Büchlein  von  ßorel:  Le9ons  sur  les  söries  diver- 
gentes, chap.  2;  Paris  1901. 

5)  Nieuw  Archief;  1903. 

6)  Im  Sommer  1903. 


Literaturverzeichnis. 


Airy,  A.  G.:  Über  die  Diffraktion  eines  Objektives  mit  kreisrunder  Apertur. 
Poggeudorfl'  Annale n  Bd.  45,  p.  86— 95;  1838  (Aus  Transactions  of  the  Cam- 
bridge Phil.  Soc.  Bd.  5;  1834). 

Aldis,  W.  St.:  On  the  numerical  computation  of  the  functions  Gq{x),  (r,  (x) 
and  J'*{iyx).  Proceedings  of  the  Boyal  Soc.  of  London  Bd.  66,  p.  32 — 42; 
1900. 

Anger,  C.  T.:  1)  Untersuchungen  über  die  Funktion  J^  mit  Anwendungen  auf 
das  Keplersche  Problem.  Neueste  Schriften  d.  Naturf.  Ges.  Banzig  Bd.  5, 1865. 

2n 

2)  Über   das  Integral    /  cos(Ä£  —  Äsint)df;  Danzig  1858. 

0  ^_j 

Bach:  De  Tintegration  par  les  s^ries  de  l'e'quation  y^^^ •  y^'  —  y  ^0 

Annales  de  VEcole  Normale  (2)  Bd.  3,  p.  47—67;  1874. 

Baehr,  G.  F.  W.:    Sur   les   racines  des    equations    fcOB{xcos(o)dco  =  0   et 

r  ° 

/  008  (x  cos  (o)  sin^codoa  =  0 .  Archives Neerlandaises  Bd.  7,  p. 351 — 358;  1872. 

0 

Baer,  K. :  Die  Funktion  des  parabolischen  Cylinders.   Programm  Cüstrin  1883. 
de  Ball,  L. :     Ableitung    einiger  Formeln    aus    der  Theorie    der  Besselschen 

Fimktionen.  Astronomische  Nachrichten  Bd.  128,  col.  1 — 4;  1891. 
Basset,  A.  B.:  A  Treatise  on  Hydrodynamics.  Bd.  11;  London  1888. 
Bauer,  G.:    1)  Von  den  Koeffizienten  der  Reihen  von  Kugelfunktionen  einer 

Variabeln.     Journal  für  Mathematik  Bd.  56,  p.  101—121;  1859. 
2)  Bemerkungen  über  Reihen  nach  Kugelfunktionen  und  insbesondere  auch 

über  Reihen,    welche  nach  Produkten  oder  Quadraten  fortschreiten,  mit 

Anwendvmgen  auf  Cylinderfunktionen.     Berichte  der  Münchener  Akademie 

1875,  p.  261—269. 
Beltrami,  E. :  1)  Intomo  ad  alcuni  teoremi  di  Abel  e  ad  alcune  sue  applica- 

zioni.     Istituto  Lombardo  Bendiconti  (2)  Bd.  13,  p.  327—337;  1880. 

2)  Intomo  ad  alcune  serie  trigonometriche.  Istituto  Lombardo  Bend.  (2)  Bd.  13, 
p.  402—413;  1880. 

3)  SuUe  funzioni  cilindriche.    Atti  delV  Accad.  di  Torino  Bd.  16,  p.  201—205; 
1881. 

4)  Sulla  teoria  delle  funzioni  potenziali  simmetriche.     Memorie  delV  Accad. 
di  Bologna  (4)  Bd.  3,  p.  416—507;  1881. 


390  Literaturverzeichnis . 

Bernoulli,  D.:  1)  Theoremata  de  oscillationibus  corporum  filo  flexibili  con- 
vexorum  et  catenae  verticaliter  suspensae.  Conimentarii  Academiae  Petro- 
poUtanae  Bd.  6,  p.  108—129;  1732—33  (1738). 
2)  Demonstrationes  theorematum  suorum  de  oscillationibus  corporum  filo 
flexibili  convexorum  et  catenae  verticaliter  suspensae.  Comm.  Acad.  Pctrop. 
Bd.  7,  p.  162—173;  1734—35  (1740). 

Bessel,   F.  W. :     1)    Untersuchung    des    Teils    der    planetarischen    Störungen, 
welcher  aus   der  Bewegung  der  Sonne  entsteht.     Abhandlungen  der  Ber- 
liner Akademie  1824,  p.  1—52  (1826). 
2)  Beitrag    zu    den    Methoden,    die   Störungen    der  Kometen    zu    berechnen. 
Astronomische  Nachrichten  Bd.  14,  col.  1 — 48;  1837. 

Betti,  E.:    Alcune  determinazioni   delle   temperature   variabili  di  un  cilindro. 
Annali  delle  Universitä  Toscane.    Pisa  1868,  p.  145—168. 

B 6 eher,  M. :   1)  On  BesseFs  functions  of  the  second  kind.     Annais  of  Mathe- 
matics  Bd.  6,  p.  85—90;  1892. 

2)  On  some  applications  of  Bessel's  functions  with  pure  imaginary  index. 
AnnaJs  of  Mathematics  Bd.  6,  p.  137—160;  1892. 

3)  On  certain  methods  of  Sturm  and  their  application  to  the  roots  of  Bessel's 
functions.    Bulletin  of  the  American  Math.  Soc.  (2)  Bd.  2,  p.  205—213;  1897. 

4)  An  elementary  proof  that  Bessel's  function  of  the  zeroth  order  have  an 
infinity  of  real  roots.  Btdl.  of  the  Amer.  Math.  Soc.  (2)  Bd.  5,  p.  385—388; 
1899. 

5)  On  certain  pairs  of  transcendental  functions ,  where  roots  separate  each 
other.     Transactions  of  the  American  Math.  Soc.  Bd.  2,  p.  428—436;  1901. 

6)  On  the  real  Solutions  of  Systems  of  two  homogeneous  linear  differential 
equations  of  the  first  order.  Transactions  of  the  Am.  Math.  Soc.  Bd.  3, 
p.  196—215;   1902. 

du  Bois  Reymond,  P.:  Die  Theorie  der  Fourierschen  Integrale  und  Formeln. 

Mathematische  Annalen  Bd.  4,  p.  362—390;  1871. 
Bourget,  J. :   1)  Note  sur  une  formale  de  M.  Anger.      Comptes  rendus  Bd.  39, 

p.  283;  1854. 

2)  Memoire  sur  las  nombres  de  Cauchy  et  leurs  applications  ä  divers  problemes 
de  mecanique  Celeste.   Journal  de  Mathematiques  (2)  Bd.  6,  p.  33 — 54;  1861. 

3)  Memoire  sur  le  mouvement  vibratoire  des  membranes  circulaires.  Annales 
de  l'Ecole  Normale  Bd.  3,  1866. 

4)  Memoire  sur  le  developpement  algebrique  de  la  fonction  perturbatrice. 
Journal  de  Mathematiques  (2)  Bd.  18,  p.  101—128;  1873. 

Bruhns,  H. :  Über  die  Beugungsfigur  des  Heliometer-Objektives.    Astronomische 
Nachrichten  Bd.  104,  col.  1—8;  1883. 

Burkhardt,  H.:    Entwicklungen     nach     oscillierenden     Funktionen.     Jahres- 
bericht der  Deutschen  Mathematiker-Vereinigung  Bd.  10;   1901,  1902,  1903. 

Byerly,  W.  E.:    An   elementary  Treatise   on  Fourier's    series    and    spherical, 
cylindrical  und  ellipsoidal  Harmonics.     Boston  1895. 

Callendreau,  0.:    1)  Calcul    des    transcendantes    de    Bessel  «7„(a)  pour  des 
grandes  valeurs  de  a,   au  moyen  des  series  semi-convergentes.     Darboux 
Bulletin  (2)  Bd.  14,  p.  110—114;  1890. 
2)  Sur   le   calcul    des   polynömes  X„(cosqp)    de  Legendre   pour  des  grandes 
valeurs  de  n.     Darboux  Bulletin  (2)  Bd.  15,  p.  121—124;  1891. 


Literaturverzeichnis.  391 

Carlini,  F.:  Ricerche  suUa  convergenziv  dolla  seric  che  servo  alla  Boluziono  del 

l)roblema   di  Keplero.     Milano  1H17.     Deutsch   von  Jacobi  in  Astr.  Xachr. 

Bd.  30,  col.  197      Ibi;   IHöO. 
Carlslaw,  H.  S.:    Some  multiform  .Solution.^   of  the  partial  ditferential  equa- 

tions  of  phyaical  matheniatics   and  their  applications.    Proceedings  of  the 

London  Math.  Soc.  Bd.  30,  p.  121-161;  1899. 
Catalan,  K.:    Rapport   sur  une  note   do' M.  Ic  Paige.    Bulletin  de  VAcudemie 

de  Bel'jique  ['2)  Bd.  Ol,  p.  935—939;   1876. 
Cauchy,  A.  L.:  1)  Note  sur  une  transceudante  qui  renfenne  le  develop])ement 

perturbatrice  relative  au  Systeme  planetaire.   Comptes  rendus  Bd.  13,  p.  682 — 

687;  1841. 

2)  Note  sur  la  Substitution  des  anomalies  excentriques  aux  anomalies  moyennes 
dans  les  developpements  de  la  fonction  perturbatrice.  Coinptes  rendus  Bd.  13, 
p.  850-854;   1841. 

3)  Sur  une  formule  de  M.  Anger  et  sur  d'autres  formules  analogues.  Comptes 
rendus  Bd.  39,  p.  129—134;  1854. 

Chessin,  A.  S. :  1)  On  the  expression  of  Bcssels  functions  in  form  of  definite 

integralö.     Johns  Hopkins  University  Circiiinrs.  Bd.  14,  Nr.  116,  p.  20 — 21; 

Jan.  1895. 
2)  On  the  relation  between  Cauchy's  numbers  and  Bessel's  functions.    Annais 

of  Matheniatics  Bd.  12,  p.  170—174;  1899. 
Christoffel,  E.  B.:    Zur  Abhandlung  (von  Heine)   „Über  Zähler  und  Nenner 

der  Näherungswerte  von  Kettenbrüclien"  p.  131  des  vorigen  Bandes.  Journal 

für  Mathematik  Bd.  58,  p.  90—92;  1861. 
Chwolson,    0.:     Über    die    Abhängigkeit    der    Wärmeleitungsfähigkeit    von 

der  Temperatur.     Mc'm.    de  V  Acad.    de  St.  Pctershourg    (1)   Bd.  37;    1890 

(russisch). 
Cinelli,  M.:    Sopra   un    nuovo    modo    di    dedurre    le   formole  generali  per  i 

fenomeni  di  diflErazione  di  Fraunhofer  per  aperture  superfici  curve  etc.  Nuovo 

Cimento  (4)  Bd.  1,  p.  141—155;  1895. 
Clebsch,  A.:    Üher  die  Keflexion  an  einer  Kugelfläche.    Journal  für  Mathe- 
matik Bd.  61,  p.  195—262;  1863. 
Coates,  C.  V.:    1)  Bessel's  functions  of  the  second  order.     Quarterly  Journal 

Bd.  20,  p.  250—260;  1885. 
2)  Bessel's  functions  of  the  second  order.    Quarterly  Journal  Bd.  21,  p.  183 — 

192;  1886. 
Greller,  L. :  1)  Sur  quelques  proprietes  des  fonctions  besseliennes  tirees  de  la 

theorie  des  fractions  continues.    Annali  di  Matematica  (2)  Bd.  24,  p.  131 — 

163;  1896.     Auch  Dissertation,  Bern  1895. 

2)  Sur  les  fonctions  besseliennes  de  deuxieme  espece  S"(x)  et  0"(x).  Actes 
de  la  Socicte  bernoise  des  sc.  nat.     1897,  p.  61 — 96. 

3)  Sur  les  fonctions  besseliennes  0"{x)  et  S''{x).  Comptes  rendus  Bd.  125, 
p.  421—423,  860—863;  1897. 

Dini,  U.:  Serie  di  Fourier  e  altre  rappresentazioni  analitiche  delle  funzioni 
di  una  variabile  reale  Bd.  I,  Pisa  1880  (Bd.  II  nicht  erschienen). 

Dougall,  J. :  The  determination  of  Greens  functions  by  mean  of  cylindrical 
and  spherical  harmonics.  Proceedings  of  the  Edinhourgh  Math.  Soc.  Bd.  18, 
p.  37—83;  1900. 


392  Literaturverzeichnis. 

Duhamel,  J.  M.  C:   Sur  les  vibrations  des  gaz  dans  des  tuyaux  cylindriques 

coniques  etc.     Journal  de  Mathematiques  Bd.  14,  p.  49—110;  1849. 
Elsas     A. :     Zur   Theorie    der   Besselschen    Funktionen.     Sitzungsberichte    der 

Ges.  der  Naturwissenschaften  Marburg  1889,  p.  31 — 45. 
Epstein,  S.  S.:    Die  vier  Rechnungsoperationen  mit  Besselschen  Funktionen. 

Dissertation,  Bern  1894. 
Ermakoff    W.:    Über    die    Cylinderfunktion.     Mathematische  Annalen  Bd.  5, 

p.  639—640;  1873. 
V.  Escherich,  G. :  1)  Zur  Besselschen  Differentialgleichung.    Monatshefte  für 

Mathematik  und  Physik  Bd.  3,  p.  142;  1892. 
2)  Über  eine  Näherungsformel.    Monatsh.   für  Math,  und  Ph.  Bd.  3,  p.  234; 

1892. 
Euler,  L.:   1)  De  motu  vibratorio  tympanorum.    Novi  Commentarii  Äcademiae 

Petropolüanae  Bd.  10,  p.  243—260;  1764. 

2)  Institutiones  calculi  integralis  Bd.  2;  1769. 

3)  De  oscillationibus  minimis  funis  libere  suspensi.     Acta  Äcademiae  Petro- 
politanae  1781,  p.  157—177. 

4)  De  perturbatione  motus  chordarum  ab  earum  pondere  oriunda.     Acta  Ac. 
Petropolüanae  1781,  p.  178—190. 

Feldblume,  M.:    Theorie  der  Riccatischen  Gleichung  und  Eigenschaften  der 

sie  befriedigenden  Funktionen.    Warschau  Univ.  1898 — 1899  (russisch). 
Flamme,  J.  B. :    Recherches    des    expressions    approchees    des    teiTnes    tres- 

eloignes  dans  les   developpements  du  mouvement  elliptique  des  planetes. 

Diss.  Paris  1887.     Annales  de  l'Observatoire  de  Toulouse  Bd.  2;  1887. 
Fourier,  J.  B.  J. :  Theorie  analytique  de  la  chaleur,  Paris  1822.    Deutsch  von 

Weinstein,  Berlin  1884. 
Fricke,  R. :   Kurzgefaßte  Vorlesungen  über  verschiedene  Gebiete  der  höheren 

Mathematik  Bd.  I,  Leipzig  1900. 
Gallop,  E.  G. :    The    distribution    of    electricity    on   the    circular   disc    and 

spherical  bowl.     Quarterly  Journal  Bd.  21,  p.  229—256;  1886. 
Gegenbauer,  L.:     1)  Note   über    die    Besselschen   Funktionen    zweiter   Art. 

Sitzungsberichte  der  Wiener  Akademie  Bd.  65  E,  p.  33 — 35;  1872. 

2)  Zur  Theorie  der  Besselschen  Funktionen  der  zweiten  Art.   Wiener  Sitzungs- 
berichte Bd.  66  n,  p.  220—223;  1872. 

3)  Note  über  bestimmte  Integrale.     Wiener  Sitzungsber.  Bd.  67  U,  p.  202 — 
204;  1873. 

4)  Über   die  Besselschen  Funktionen.     Wiener  Sitzungsber.  Bd.  69  II,  p.  6— 
16;  1874. 

5)  Über  einige  bestimmte  Integrale.    Wiener  Sitzungsber.  Bd.  70  II,  p.  433 — 
443;  1874. 

6)  Über  die  Besselschen  Funktionen.  Wiener  Sitzungsber.  Bd.  74  11,  p.  124— 
130;  1876. 

7)  Zur  Theorie  der  Besselschen  Funktionen.  Wiener  Sitzungsber.  Bd.  75  II, 
p.  218—222;  1877. 

8)  Über  die  Funktion  C„'(ic).     Wiener  Sitzungsber.  Bd.  75  II,  1877. 

9)  Das  Additionstheorem  derjenigen  Funktionen,  welche  bei  der  Entwicklung 
von  e"^'  nach  den  Näherungsnennern  regulärer  Kettenbrüche  auftreten. 
Wiener  Sitzungsber.  Bd.  81  II,  p.  491—502;  1882. 


Literaturverzeichnis,  393 

10)  ^er   die  Besselschen  Kunktinnt'ii  W'ieuer  Sitzungsber  Bd.  88  II,  ]>   '.»76 — 
1003;  1883 

11)  Über  die  BeäHolschen  Funktionen.  Wiener  Sitzutigsbcr.  Bd.  95  II,  p.  409  — 
410;   1887. 

12)  Über  die   Ringfunktion.      Wiener  Sitzungslnr.   I!.l    lOo,  p   745—766;    1891. 
18)  Über  die  zum  elektromagnetischen  Potentiale  eines  KroisstromeK  associiertc 

Funktion.     Monatsh.  für  Math,  und  J'hgsik  Bd.  4,  p.  391—401;  1893. 
14"!  Eine  Integralrolatiou.   Monatsh.  für  Math,  und  Physik  Bd.  6,  p.  53—61;  1894. 
16)  Bemerkung    über    die   Besselschen    Funktionen.     Monatsh.   für  Math,   und 

Physik  Bd.  8,  p.  383—384;  1897. 

16)  Notiz  über  die  Besselschen  Funktionen  der  ersten  Art.  Monatsh.  für 
Math,  und  Phij.'^ik  Bd.  10,  p.  189—192 ;  1899. 

17)  Letter  to  Mr.  Macdonald.  Proceedings  of  London  Math.  Soc.  Bd.  32, 
p.  433—436;  1900. 

18)  Quelques  proprietes  nouvelles  des  racines  des  fonctions  de  Bessel  de  pre- 
miäre  espece.    Lieges  Mem.  (3)  Bd.  2.     1900. 

Giuliani,  G. :  1)  Sopra  la  funzione  P"(co8y)  per  n  infinito.  Giorn.  dt  Mat. 
Bd.  22,  p.  236—240;   1884. 

2)  Sopra  aicune  funzioni  analoghe  alle  funzioni  cilindriche.  Giorn.  di  Mat. 
Bd.  25,  p.  198—202;  1887. 

3)  Aicune  osservazioni  sopra  le  funzioni  spheriche  di  ordine  superiore  al  se- 
condo  e  sopra  altre  funzioni  che  se  ne  possono  dedurre.  Giorn.  di  Mat. 
Bd.  26,  p.  155—171;  1880. 

Glaisher,  J.  W.  L. :  On  Riccati's  equation  and  its  transformation  and  of 
some  definite  integrals  which  satisfy  them.  Philosophtcal  Transact,  Bd.  172, 
p.  759—828;  1882. 

Graf,  J.  H. :  1)  Über  die  Addition  und  Subtraktion  der  Argumente  bei  Bessel- 
schen Funktionen  nebst  einer  Anwendung.  Mathematische  Annalen  Bd.  43, 
p.  135—144;  1893. 

2)  Über  einige  Eigenschaften  der  Besselschen  Funktionen  erster  Art,  ins- 
besondere für  ein  großes  Argument.  Zeitschrift  für  Math,  und  Physik 
Bd.  88,  p.  115—120;   1893. 

3)  Relation  entre  la  fonction  besselienne  de  lere  espece  et  une  fi-action  con- 
tinue.     Ännali  di  Mat.  (2)  Bd.  23,  p.  45—65;  1895. 

4)  Ableitung  der  Formeln  für  die  Besselschen  Funktionen,  bei  welchen  das 
Argument  eine  Distanz  darstellt.     Verh.  d.  Schweiz.  Naturf.  Ges.    1896. 

Graf  und  Gubler:    Einleitung    in    die  Theorie  der  Besselschen  Funktionen. 

Heft  I— II;  Bern  1898,  1900. 
Gram,  J.  P. :    Om    Reekkeudviklinger    bestemte    ved    Hjselp     af   de    mindste 

Kvadraters  Methode.    Diss.  Kopenhagen  1879.    Deutsch:  Journal  für  3Iath. 

Bd.  94. 
Gray  und  Matthews:    A  treatise  on  Bessel  functions  and  their  application 

to  Physics.     London  1895. 
Greenhill,  A.  G. :    On   Riccati's    equation    and   Bessel's    equation.     Quarterly 

Journal  Bd.  16,  p.  294—298;  1879. 
Gubler,  E. :  1)  Die  Darstellung  der  allgemeinen  Besselschen  Funktionen  durch 

bestimmte  Integi-ale.     Vierteljahrsschrift  d.  Naturf.  Ges.  in  Zürich  Bd.  33, 

p.  130—172;  1888. 


394  Literaturverzeichnis. 

2)  Verwandlung  einer  hypergeometrischen  Reihe  im  Anschhiß  an  das  Integral 

CO 

Cj"'{x)e'''^x''~'^dx.    Diss.  Bern  1894.     Mathematische  Ann.  Bd.  48;  1896. 

0 

3)  Beweis  einer  Formel  des  Herrn  Sonin.  Math.  Ann.  Bd.  49,  p.  583—584; 
1897. 

G üb  1er  und  Graf  s.  Graf  und  Gubler. 

Günther,  S. :    Bemerkungen    über    Cylinderfunktionen.     Archiv  d.  Math,   und 
Physik  Bd.  56,  p.  292—297;  1874. 

Häntzschel,  E.:  1)  Über  die  Reduktion  der  Gleichung  ^ — 5  +  tt-j -}- tt— s  =  0 

^  °  ox^      cy^      oz^ 

auf   gewöhnliche    Differentialgleichungen.     Ein    Beitrag    zur   Theorie    der 
Lam^schen  Funktionen  zweiter  Ordnung.     Diss.  Jena  1883. 
2j  Zur  Theorie  der  Funktionen  des  elliptischen  Cylinders.    Programm.    Duis- 
burg 1886. 

3)  Über  den  funktionentheoretischen  Zusammenhang  zwischen  den  Lame- 
schen,  Laplaceschen  und  Besselschen  Funktionen.  Zeitschrift  für  Math, 
und  Physik  Bd.  31,  p.  31—33;  1886. 

4)  Über  die  Fourier-Besselschc  Transcendente.  Zeitschrift  für  Math,  und 
Physik  Bd.  33,  p.  185—186;  1888. 

5)  Beitrag  zur  Theorie  der  Funktionen  des  elliptischen  und  des  Kreiscylinders. 
Programm;  Berlin  1889. 

6)  Studien  über  die  Reduktion  der  Potentialgleichung  auf  gewöhnliche  Diffe- 
rentialgleichungen.    Programm;  Berlin  1893. 

Hamilton,    W.   R. :     On    fluctuating    functions.      Transactions    of   tlie   Irish 

Academy  Bd.  19,  H,  p.  264—321;  1843. 
Hankel,  H. :  1)  Die  Cylinderfunktionen  erster  und  zweiter  Art.    Mathematische 

Annalen  Bd.  1,  p.  467—501 ;  1869. 

2)  Bestimmte  Integrale  mit  Cylinderfunktionen.  Math.  Ann.  Bd.  8,  p.  453 — 
470;  1875. 

3)  Die  Fourierschen  Reihen  und  Integrale  für  Cylinderfunktionen.  Math. 
Ann.  Bd.  8,  p.  471—494;  1875. 

Hansen,  P.  A. :  1)  Ermittelung  der  absoluten  Störungen  in  Ellipsen  von  be- 
liebiger Exzentrizität  und  Neigung.  Schriften  der  Sternwarte  Seeburg 
(Gotha)  1843.  Französisch,  Paris  1845. 
2)  Entwicklung  des  Produktes  einer  Potenz  des  Radius  vector  mit  dem  Sinus 
oder  Cosinus  der  wahren  Anomalie  in  Reihen,  die  nach  den  Sinussen  oder 
Cosinussen  der  wahren  exzentrischen  oder  mittleren  Anomalie  fortschreiten. 
Leipziger  Abhandlungen  Bd.  2,  p.  181 — 281;  1855. 

Hargreave,  C.  J. :    On    the    Solution    of   differential   equations.     Philisophical 
Transactions  1848,  p.  31—54. 

Harnack,  A.:    Über  die  Darstellung  einer  willkürlichen  Funktion   durch  die 
Fourier-Besselsche  Funktion.  Leipziger  Berichte  1887,  p.  191 — 214.  Mathem. 

Annalen  Bd.  35.  p.  41—62;  1889. 

d^f 
Hartenstein,  H. :    1)  Über    die   Integration   der  Differentialgleichung  0—2  + 

4-  x-4  =  ^^f  fflr  Polar-    und    elliptische    Koordinaten    nebst  Behandlung 

oy 

eines  mit  demselben  zusammenhängenden  physikalischen  Problems.     Diss. 
Dresden  1887. 


LitoraiurverzL'ichnig  395 

2>  Integration   <I»t    l>itfercntialgI<Mihiing    — j  f-       , -=- A'/'  fiir  olliptiKclii'  uimI 

|iiiral>olidcho  Kounlinatt'n     Archiv  der  Matheiiuidk   iiiul  Phyaik  ('1)  Hil.  11, 
j)    170  — l'J4;   IH'JO 
Ileinu,  K  :    1     l>in    Fouricr-HenHelHchc  Funktion      ./tmriml    fur  Mitth    IM    li'.i^ 
|.    Ijs      in,    IHßU. 
•J;  llandl'iich  «lor  Kupelfunktionfii      IM    1-   11;   H.TÜn    1m7h,   IkhI 
IIiTinite,  C:    li   Sur   Ui   tranHcemlantt'  E{h).    Anniili  dt   .!/«<.  (2)  lid.  3,  j».  83; 
1809 
2)  Kxtrait  (l'iino  lettre  ii  MonHieiir  rinil  (Jordan      Jourtutl  für  Mutli    IM    T»",, 
p    303      ;ni  ;    187M, 
Hertz,    H.:    1      ri)er    daH    (Jloicligcwioht    Hchwininicinlor    t'laHtisrlii'r    l'laltin. 
Wiedcmanu   Atnudru  ()>)  H<1    '2-',  p.  ll'.»      läii;   Ihhi 
2)  Die    Krilt'tc    elektrischer  Schwingiin^on    luuli    ticr    MaxwcilHclM'n  Theorie. 
W'iedeinmtn  Annnlen  (2)  Bd.  36,  p.  1     -J'J;  1880. 
Herz,  N. :     Bemerkungen    x.nr    Theorie    der  ßesHelschon    Funktionen.     Aslron. 

Nachrichkn  Bd.  107,  col.  17—27;  1881. 
Ilobson,  E.  W.:   1)  On  BeHsel's  functions  and  relations  connecting  them  witli 
hyperspherical    aud    spherioal    harraonies     Procecdings    nf    Jjondon   Mafli 
Bd    25,  p    49—75;   1894. 

2)  On  the  moste  poneral  Solution  of  given  degree  of  Laplace's  equation.  Proc. 
of  Lond.  Math.  Soc.  Bd.  26,  p.  4;»2— 494;  1S95. 

3)  Note  on  some  properties  of  Bessers  functions.  Proc.  of  Lond.  Math.  Soc. 
Bd.  28,  p.  390—395;  1897. 

Hörn,  J.  :  Über  lineare  Ditferontialgleichungen  mit  einem  willki'irlichcn  Para- 
meter.     Math.   Annrdm  Hd.  52,  p.  342  —  362;   1800. 

Ilurwitz,  A.:  Über  die  Nullstellen  der  Besselschen  Fuuktiuneii.  Math.  An- 
nakn  Bd.  33,  p.  246—266;  1889. 

.lacobi,  C.  G.  .1.:  1)  Formula  transformationis  integralium  definitoriini.  JoHnml 
für  Math.  Bd.  15,  p.  1—36;  1836. 

2)  Versuch  einer  Berechnung  der  großen  Ungleichheit  des  Satui-nus  nach 
einer  strengen  Entwicklung.     Astron.  Nachrichten  Bd.  28,  col.  05;  1848. 

3)  Über  die  annähernde  Bestimmung  sehr  entfernter  Glieder  in  der  Ent- 
wicklung der  elliptischen  Koordinaten  nebst  einer  Ausdehnung  der  Laplace- 
schen  Methode  zur  Bestimmung  der  Funktionen  großer  Zahlen.  Astron. 
Nachr.  Bd.  28,  col.  257—270;  1848. 

Jährisch,   P. :    Zur  Theorie    der  Schwingungen   einer  elastischen  HalVjkugel. 

MiU.  der  Math.  Ges.  in  Hamburg  Bd.  3,  p.  51  —  73;  1892. 
Jordan,  C. :  Cours  d' Analyse  Bd.  III;  Paris  1887. 
Julius,  V.  A. :    Sur   les    fonctions    de  Bessel    de    deuxieme    espece.     Ärchives 

Neerlandaises  Bd.  28,  p.  221—225;  1895. 
Kapteyn,  W. :    1)  Nouvelles  formules   pour  represcntcr   la  fonction  </"  +  '2(a;) 

de  Bessel.     Darboux  Bulletin  (2)  Bd.  16,  p.  41—44;  1892. 

2)  Recherches  sur  les  fonctions  de  Fourier-Bessel.  Annales  de  l'Ec.  Normale 
(3)  Bd.  10.  p.  91—122;   1893. 

3)  Over  Bessel'sche  Functien.     Nieim  Archief  Bd.  20,  p.  116—127;  1893. 

4)  Sur  quelques  integrales  contenant  des  fonctions  de  Bessel.  Archioes  Neer- 
landaises 1901. 


396  Literaturverzeichnis. 

5)  Einige  Bemerkungen  über  Besselsche  Funktionen.  Monatshefte  für  Mathe- 
matik und  Physik  Bd.  14,  p.  275—282;  1903. 

6)  Sur  un  däveloppement  de  M.  Neumann.     Nieuw  Archief  1903. 
Kirchhoff,  G.:  1)  Zur  Theorie  der  Bewegung  der  Elastizität  in  unterseeiachen 

und    unterirdischen    Telegraphendrähten.      Berliner    Monatsberichte    1877, 
p.  598—611. 

2)  Über  die  Transversalschwingungen  eines  Stabes  von  veränderlichem  Quer- 
schnitte. Beruhter  Monatsberichte  1879,  p.  815 — 828.  Wiedemann  Annalen 
Bd.  10,  p.  501—512;   1880. 

3)  Über  die  elektrischen  Strömungen  in  einem  Kreiscylinder.  Berliner 
Sitzungsberichte  1883,  p.  519 — 525. 

König,  J. :    1)  Über  die  Darstellung  von  Funktionen  durch  unendliche  Reihen. 

Mathematische  Annalen  Bd.  5,  p,  310—340;  1872. 
2)  Über    Reihenentwicklungen    nach    Besselschen    Funktionen.     Math.   Ann. 

Bd.  17,  p.  85—86;  1880. 
Koppe,  M. :    Die   Ausbreitung    einer    Erschütterung    an    der  Wellenmaschine, 

darstellbar  durch  einen  neuen  Grenzfall  der  Besselschen  Funktionen.    Pro- 
gramm Berlin,  1899. 
Lamb,  H.:    1)  On  the  oscillations  of  a  viscous  spheroid.  Proceed.  of  London 

Math.  Soc.  Bd.  13,  p.  51—66;  1882. 
2)  On    the   deduction   of  electric   currents  in   cylindrical   and  spherical  con- 

ductors.     Proc.  of  Lond.  Math.  Soc.  Bd.  15,  p.  139—149;  1884. 
de  Laplace,  P.  S.:    Memoire    sur   les  suites.     Hist.  de  l'Ac.   de  Paris  1779, 

p.  267—309. 
Legendre,  A.  M.:  Clements  d^  geometrie,  Note  IV;  Paris  1817  (11.  Ausg.). 
Lerch,  M. :   Betrachtung  über  einige  Fragen  der  Integralrechnung.    Bozpravy 

(5)    No.  23    (böhmisch)    s.   Jahrbuch   über   die  Fortschr.   d.   Math.  Bd.  27, 

p.  233;  1896. 
Le  Roy,    E.:     Sur    les    series    divergentes    et   les    fonctions    definies    par    un 

developpement  de  Taylor     Toulouse  Annales  (2)  Bd.  2,  p.  317—340;  1900. 

Lipschitz,  R.:    Über  ein  Integral  der  Differentialgleichung  p— ^j -) ^ [- 

-f  J"=  0.     Journal  für  Math.  Bd.  56,  p.  189—196;  1859. 
Lodge,  0.  J. :    The    rotation    of  the    plan    of  polarization    of  light   by    the 

discharge   of  a  Leyden  jar.     Philosophical   Magazine  (5)  Bd.  27,  p.  339 — 

349;  1889. 
Lohberg,  P. :  Über  den  induzierten  Magnetismus  eines  unbegrenzten  geraden 

Kreiscylinders  und  eines  Rotationsparaboloids.    Programm  Höchst  1889. 
Lohschmidt,  J.:    Schwingungszahlen    einer    elastischen    Halbkugel.      Wiener 

Sitzungsberichte  Bd.  93,  p.  434—446;  1886. 
v.  Lommel,  E.:    1)  Studien  über  die  Besselschen  Funktionen.     Leipzig  1868. 

2)  Integration  der  Differentialgleichung  a;"'  +  y „       .  +  2/  =  ^  durch  Bessel- 

dx     "^ 
sehe  Funktionen.     Math.  Annalen  Bd.  2,  p.  624—635;  1870. 

3)  Über  die  Anwendung  der  Besselschen  Funktionen  in  der  Theorie  der 
Beugung.     Zeitschrift  für  Math,  und  Physik  Bd.  15,  p.  141—169;  1870. 

4)  Zur  Theorie  der  Besselschen  Funktionen.  Math.  Annalen  Bd.  3,  p.  475 — 
488;  1871. 


Literaturverzeichnis  397 

5)  Zur  TliL'orie  der  ücsHelBcben  Funktiouen.  Math.  Annalctt  Bil,  4,  \>.  103 — 
116;   1871. 

6)  Über  eine  mit  den  Besselscben  Funktionen  verwandte  Funktion.  Math. 
Annalen  Bd.  9,  p.  425—444;  1876 

7)  Zur  Theorie  der  Beaselachon  Funktionen.  Math.  Aiivalen  IUI  14,  p.  510— 
536;  1879 

8)  Zur  Theorie  der  Besäelscben  Funktionen.  Math.  Amuilen  Bd.  10,  p.  183 — 
208;  1880. 

9)  Die  Beugungserscheinungen  einer  kreisininden  (jffnuug  und  eines  kreis- 
runden Schiniichens  theoretisch  und  experimentell  bearbeitet.  Münchener 
Abhandlungen   Bd.  15,  p.  233—328;   1H84. 

10)  Die  Beugungserscheinungeu  geradlinig  begrenzter  Schirme.  Münchener 
Abhandlungen  Bd.  1."),  \).  529—564;  1886. 

11)  Theorie  der  Diimmerungsfarben.  Münchener  Abhandlungen  Bd.  19,  p.  449 — 
508,  p.  735—744;   1897. 

Lorenz,   L.:     Om    arbitrjere    Funktioners    Udvikling    ved    givne    Funktioner. 

Tidsskrift  for  Mathematik  (3)  Bd.  6,  p.  129—144;  1876  (Kopenhagen). 
Macdouald,  H.  M. :   1)  The  electrical  distribution  induced  on  a  circular  diso 

placed    in    any   field   of  force.     Proceedings  of  London  3Tath.  Soc.  Bd.  2G, 

p.  257—260;  1895. 

2)  The  electrical  distribution  induced  in  an  infinite  plane  disc  with  a  circular 
hole  in  it.     Proc.  Lond.  Math.  Soc.  Bd.  27,  p.  68;  1896. 

3)  Note  on  Bessel  Functions.    Proc.  Lond.  Math.  Soc.  Bd.  29,  p.  110  —  115;  1898. 

4)  Zeros  of  the  Bessel  functions.  Proc.  Lond.  Math.  Soc.  Bd.  29,  p.  575 — 
589;   1898. 

5)  Zeros  of  the  Bessel  functions.  Proc.  Lond.  Math.Soc.  Bd.SO,i). 16b— 179-  1899. 

6)  The  addition  theorem  of  the  Bessel  functions.  Proc.  Lond.  Math.  Soc. 
Bd.  32,  p.  152—159;   1900. 

Mac  Mahon,  J. :    1)  On  the   descending  series  for  Bessel's  functions  of  both 
kinds.     Annais  of  Math.  Bd.  8,  p.  57—61 ;  1894. 

2)  On  the  roots  of  the  Bessel  and  related  functions.  Annah  of  Math.  Bd.  9, 
p.  23—30;  1894. 

3)  Notes  on  the  expression  for  a  velocity-potential  in  terms  of  functions  of 
Laplace  and  Bessel.  Bulletin  of  the  American  Math.  Soc.  (2)  Bd.  8, 
p.  173—177;  1896. 

Madsen,  V.  H.  0.,  Kriegsminister,  Generalmajor:  Losning  of  Opgave  84.   Nyt 

Tidsskrift  for  Math.  Bd.  13  B,  p.  21—22;  1902. 
Maggi,  G.  A. :    1)  Sulla  storia  delle  funzioni  ciliudriche.     Atti  della  R.  Acca- 

demia  dei  Lincei  (3)  Bd.  4,  p.  259—263;  1880. 
2)  Sopra   una   serie  inequabilmente  convergente.     Istituto  Lombardo  üendi- 

conti  (2)  Bd.  27,  p.  368—372;  1893. 
Marcolongo,  R.:  1)  Alcuni  teoremi  suUe  funzioni  cilindriche  di  prima  specie. 

Rendiconti  delV  Accademia  di  Napoli  (2)  Bd.  3,  p.  96 — 99;  1889. 
2)  Sulla  equazione  A^u  -\-k^ii  =  0  in  uno  spazio  di  n  dimensioni.     Annali 

di  Mat.  (2)  Bd.  24,  p.  310—314;  1896. 
Matthews  und  Gray  s.  Gray  und  Matthews. 
Mayall,  R.  H.  D.:    On  the  diffraction  pattem  near  the  focus  of  a  telescope. 

Cambridge  Proceedings  Bd.  9,  p.  259—268;  1897. 


398  Literaturverzeichnis. 

Meliler,  F..  6.:  1)  Über  die  Verteilung  der  statischen  Elektrizität  in  einem 
von  zwei  Kugelkalotten  begrenzten  Körper.  Journal  für  Math.  Bd.  68, 
p.  134—150;  1868. 

2)  Über  eine  mit  den  Kugel-  und  Cylinderfunktionen  verwandte  Funktion 
und  ihre  Anwendung  in  der  Theorie  der  Elektrizitätsverteilung.  Pro- 
gramm, Elbing  1870.     Mathematische  Annalen  Bd.  18,  p.  161—194;  1881. 

3)  Über  die  Darstellung  einer  willkürlichen  Funktion  zweier  Variabein  durch 
Cylinderfunktionen.     Math.  Amialen  Bd.  5,  p.  135 — 140;  1872. 

4)  Notiz  über  die  Dirichletschen  Integralausdrücke  für  die  Kugelfunktionen 
P''(cosö)  und  über  eine  analoge  Integralform  für  die  Cylinderfunktion 
J{x).     Matheviatische  Annalen  Bd.  5,  p.  140—144;  1872. 

Meissel,  E.:  1)  Gewerbeschulprogramm,  Iserlohn  1862^). 
2)  Tafel    der    Besselschen    Funktionen  Jj.    und  Jf.     von    Je  =  0   bis  Je  =  15,5. 

Berliner  ÄbJiandlungen  1888,  23  Seiten. 
3j  Über    die    Besselschen    Funktionen  J^  und  J^ .     Programm  Kiel  1890. 

4)  Beitrag  zur  Theorie  der  allgemeinen  Besselschen  Funktionen.  Astrono- 
miscJie  NacJiricJiten  Bd.  127,  col.  145—154;  1894. 

5)  Über  die  absoluten  Maxima  der  Besselschen  Funktionen.  Programm  Kiel 
1892. 

6)  Einige  Entwicklungen  die  Besselschen  J- Funktionen  betreffend.  Astron 
NacJiricJiten  Bd.  127,  col.  359—362;  1892. 

7)  Beitrag  zur  Theorie  der  allgemeinen  Besselschen  Funktionen.  Astron. 
NacJiricJiten  Bd.  128,  col.  145—154,  col.  435—338;  1892. 

8)  Abgekürzte  Tafel  der  Besselschen  Funktionen.  Astron.  NacJir.  Bd.  128, 
col.  154—156;   1892. 

9)  Neue  Entwicklung  über  die  Besselschen  Funktionen.  Astron.  NacJir. 
Bd.  129,  col.  280—284;  1892. 

10)  Weitere    Entwicklung    über    die   Besselschen  Funktionen.     Astron.  Nachr. 

Bd.  130,  col.  363—368;   1893. 
Nagoaki,   H. :    1)    A    problem   of  diflfraction.     ToJcio    MatJi.  GesellscJi.  Bd.  5, 

p.  75—79;   1892. 
2)  DifiFraction    phenomena    in    the    focal    plane   of  a  telescope  with  circular 

aperture,  due  to  a  finite  source  of  light.    Philisophical  Magazine  (5),  Bd.  45, 

p.  1—23;  1898. 
Neumann,   C:    1)    Allgemeine  Lösung    des   Problemes    über    den   stationären 

Temperaturzijstand    eines    homogenen  Körpers,    welcher    von   irgend   zwei 

nichtkonzentrischen  Kugelflächen  begrenzt  wird.    Halle  1862. 

2)  Über  das  Gleichgewicht  der  Wärme  und  das  der  Elektrizität  in  einem 
Körper,  welcher  von  zwei  nichtkonzentrischen  Kugelflächen  begrenzt  wird. 
Journal  für  Math.  Bd.  62,  p.  39— 49;  1863. 

3)  Über  die  Entwicklung  beliebig  gegebener  Funktionen  nach  den  Bessel- 
schen Funktionen.     Journal  für  Math.  Bd.  67,  p.  310—314;  1867. 

4)  Theorie  der  Besselschen  Funktionen.     Leipzig  1867. 

5)  Über  die  Entwicklung  einer  Funktion  nach  Quadraten  und  Produkten 
der  Fourier-Besselschen  Funktionen.  Leipziger  Berichte  1869,  p.  221 — 256. 
Mathematische  Annalen  Bd.  2,  p.  192;  1870,  Bd.  3,  p.  581—610;  1871. 


1)  Citat  von  Meissel :  Jahresbericht  über  die  Oberrealschule  in  Kiel  1890,  p.  1. 


Ijiteraturver/.eichnin  |-iHH 

6)  t  her  die  nach  Kreis-,  Kufjfel-  uml  ("vlitnicrrunktionen  fortscliroitendcn 
Entwicklungen  unter  tlurchgüngiger  Anwendung  des  du  Bois  Reyninnd- 
scben   MittelwertHatzen.     Leipzig  IHHI. 

7)  über  gewisse  partikuläre  Integrale  der  Differentialgleichung  Ai''=  jP,  ins- 
besondere über  die  Entwicklung  diener  partikulären  Integrale  nach  Kugel- 
funktionen.    Ln'/Ki'ger  Berichte  188G,  p.  75— 8'2. 

Newall,   H.  F.:    (hi    the     marks   madc   by   stars   on   Photographie   jdates   ex- 

posed  near  the  focuH  of  a  telescope.    Cambridge  Proceedings  Bd.  9,  p.  269 — 

271;  1897. 
Nicolas,  J. :    Etüde   des   fonctions   de  Fourier.     Aynniks  de  VEc.  Normale  (2) 

Bd.  11   Supplement:  1882. 
Nielsen,  N.:  1)  Udviklinger  efter  Cylinderfunktioner.    Nyt  Tidsskrift  for  Math. 

Bd.  9B,  p.  73—83;  1898. 

2)  Sur  le  produit  de  deux  fonctions  cylindriques.  Math.  Annalen  Bd.  52, 
p.  228—242;   IH'Jit. 

3)  Sur  le  developperaent  du  z^ro  eu  s^rie  de  fonctions  cylindriques.  Math. 
Avnalen  Bd.  52,  p.  682—587;  1899. 

4)  Flertydige  Udviklinger  efter  Cylinderfunktioner.  Kyt  Tidaskrift  for  Math. 
Bd.  10  B,  p.  73—81;  1899. 

5)  Note  sur  les  developpements  schlfemilchien.s  en  series  de  fonctions  cylin- 
driques.    Bidktin  de  VAc.  de  Danemari;  1899,  p.  661—665. 

6)  Note  suppl^mentaire  relative  aux  developpements  schloemilchiens  en  series 
de  fonctions  cylindriques.     Bidl.  de  VAc.  de  Danemark,  1900,  p.  55 — 60. 

7)  Sur  une  classe  de  polynöme.s  qui  se  j^r^sentent  dans  la  th^orie  des  fonctions 
cylindriques.  Amudi  di  Matematica  (3)  Bd.  5,  p.  27—41;  1900,  Bd.  6, 
p.  331  —  340;   1901. 

8)  Recherches  sur  les  series  de  fonctions  cylindriques  dues  ä  M.  M.  C.  Neu- 
mann et  W.  Kapteyn.   Annales  de  VEc.  Norm,ale  (3)  Bd.  18,  p.  39—75;  1901. 

9)  Recherches  sur  une  classe  de  series  infinies  analogues  ä  Celles  de  M.  W. 
Kapteyn.     Bidl.  de  VAc.  de  Danemark,  1901,  p.  127—146. 

10)  Evaluation  nouvelle  des  integrales  indöfinies  et  des  series  infinies  con- 
tenant  une  fonction  cylindrique.   Annali  di  Mai.  (3)  Bd.  6,  p.  43 — 115;  1901. 

11)  Sur  une  classe  de  series  infinies  analogues  ä  Celles  de  M.  Schlömilch 
selon  les  fonctions  cylindriques.  Annali  di  3Iat.  (3)  Bd.  6,  p.  301 — 329;  1901. 

12)  Note  sur  la  convergence  d'une  serie  nemnannienne  de  fonctions  cylin- 
driques.    Mathematische  Annalen  Bd.  55,  p.  493 — 496;  1901. 

13)  Sur  les  säries  de  factorielles.     Comptes  rendus  Bd.  134,  20  janvier  1902. 

14)  Theorie  nouvelle  des  series  asymptotiques  obtenues  pour  les  fonctions 
cylindriques  et  pour  des  fonctions  analogue.s.  Bidl.  de  VAc.  de  Dänemark, 
1902,  p.  117—177. 

15)  Equations  diffe'rentielles  lineaires  obtenues  pour  les  produits  de  deux 
fonctions  cylindriques.     Nourelles  Annales  (4)  Bd.  2,  p.  396 — 410;  1902. 

Niemöller,  F.:  1)  Über  die  Schwingungen  einer  Saite,  deren  Spannung  eine 
stetige  Funktion  der  Zeit  ist.  Zeitschrift  für  Math,  und  Physik  Bd.  25, 
p.  44—48;  1880. 
2)  Formeln  zur  numei'ischen  Berechnung  des  allgemeinen  Integrals  der  Bessel- 
schen  Differentialgleichung.  Zeitschrift  für  Math,  und  Physik  Bd.  25, 
p.  65—71;  1880. 


400  Literaturverzeichnis. 

Niven,  C. :    On  the  conduction  lieat  in  ellipsoids  of  revolution.    Pliilosophical 

Transactions  Bd.  171,  p.  117—151;  1880. 
Oberbeck,  A. :    Über    elektrische    Schwingungen.     Magnetisierende   Wirkung 

derselben.      Wiedemann    Ännalen    Bd.    21,    p.    672 — 697;    1883.      Berliner 

Sitzungsberichte  1883. 
Olbricht,  R. :    Studien  über  die  Kugel-  und  Cylinderfunktionen.    Diss.  Halle 

1887.     Nova  acta  d.  Kaiserl.  Leop.-Carol.  Deutschen  Akademie  Bd.  52. 
Orr,  W.  M.  F.:    On  the  product  J,n(pc)J„{x).     Cambridge  Proceedings  Bd.  9, 

p.  93—100;  1899. 
Otti,H. :  Eigenschaften  der  Besselschen  Funktionen  zweiter  Ai"t.  Diss. Bern  1899. 
Parseval:  in  Mem.  des  savants  etrangers,  Paris,  Bd.  1,  1806*). 
Peirce  und  Wilson  s.  Wilson  und  Peirce. 
Picard,  E.:    Sur    requation    aux    derivees    partielles    qui    se    rencontre    dans 

la   theorie    de    la   propagation    de   l'electricite.     Comptes  rendus  Bd.  118, 

p.  116—117;  1894. 
Pincherle,   S. :    1)    Sopra    alcuni    sviluppi    in    serie    per   funzioni    analitiche. 

Memorie  delV  Istituto  di  Bologna  (4)  Bd.  3,  p.  151—180;  1881. 

2)  Alcuni  teoremi   sopra  gli   sviluppi   in  serie  per  funzioni  analitiche.     Ren- 
diconti  delV  Istituto  Lombardo  (2)  Bd.  15,  p.  524—525;  1882. 

3)  Della   trasformazione  di  Laplace   e  di  alcune  sui   applicazioni.     Memorie 
delV  Istituto  di  Bologna  (4)  Bd.  8,  p.  125—144;  1887. 

Plana,  J. :    Recherches  analytiques  sur  la  decouverte  de  la  loi  de  p^senteur 

des  planetes  vers  le  soleil  et  sur  la  theorie  de  leur  mouvement  elliptique. 

Memorie  delV  Accademia  di  Torino  (2)  Bd.  10,  p.  249—332;  1849. 
Pockels,   F.:     Über    die    partielle    Differentialgleichung    L.U  -\-k-u  =  0    und 

deren  Aufti-eten  in  der  mathematischen  Physik.     Leipzig  1891. 
Poincare,  H. :    Sur  la  propagation   de  l'electricite.     Comptes  rendus  Bd.  117, 

p.  1027—1032;  1893. 
Poisson,  S.  D.:    1)  Siu-  la  distribution  de  la  chaleur  dans  les  corps  solides. 

Journal  de  V  JEcole  Polytechnique  cahier  19,  p.  249 — 403;  1823. 

2)  Sur  les  integrales  definies  et  sur  la  sommation  des  series.    Journ.  de  V  Ec. 
Pol.  cahier  19,  p   404—509;  1823. 

3)  Memoire  sur  V  equilibre  et  le  mouvement  des  corps  ^lastiques.     Mem.  de 
V  Aead.  de  Paris  Bd.  8,  p.  357—570;  1829. 

4)  Theorie  mathematique  de  la  chaleur.     Paris  1835. 

5)  in  Connaissance  des  temps.     1838^). 

Porter,  M.  B.:    1)  On  the  roots  of  the  hypei-geometric  and  Bessel's  functions. 
American  Jotirnat  Bd.  20,  p.  199—214;  1898. 

2)  Note  on  the  roots  of  Bessel's  functions.     Bulletin  of  the  American  Math. 
Soc.  (2)  Bd.  4,  p.  274—275;  1898. 

3)  On  the  roots  of  functions  connected  by  a  linear  recurrent  relation  of  the 
second  order.     Annais  of  Mathematics  (2)  Bd.  3,  p.  55 — 70;  1902. 

Lord  Rayleigh,  J.  W.  Strutt:    1)  Note   on  Bessel's  functions.     Philosophical 
Magazine  1872. 


1)  Citat   von    Burkhardt:    Jahresber.    d.    Deutschen   Math.   Ver.   Bd.   10, 
p.  401;  1903. 

2)  Citat  von  Burkhardt:  ebenda  Bd.  10,  p.  101;  1901. 


Literaturverzeichnis.  .|01 

2)  Note  ou  tlic   numerical   calculation   of  the   roots  of  fluctuating  functions. 
Proceedings  of  the  Lomlon  Matli.  Soc.  Bil.  ß,  p.  117—124;  1874. 

3)  On  the  relation  betwecu  the  functious  of  liaphico  and  Bessel.    l^ac.  Linul. 
Math.  Soc.  Bd.  9,  p.  Gl— 64;  1878. 

4)  On  the  instability  of  jets.     Proc.  Lnml.  Math.  Sov.  Bd.  10,  j).  4—13;  1879. 
6)  On    pointe,    line    and    plane    source.s    of   sound.      l^oc.  LmuI.  Math.  Soc 

Bd.  19,  p.  604—607;   1888. 

6)  On   the   instability   of  a  cylinder   of  viscous  liquid  under  capillary  force. 
Fhilosophical  Magazine  (ö)  Bd.  34,  p.  145—154;  1H92. 

7)  On  the  instability  of  cylindrical  Üuid  surfaces.  Phil.  May.  (5)  Bd.  34, 
p    177—180;  1892. 

8)  Theory  of  Sound.     Bd.  I— II;  London  1894,  189G. 

9)  On  tho  passage  of  olectric  wavos  through  tubes  or  the  vibrations  of  diolec- 
tric  cyliuders.     Fhil.  May.  (5)  Bd.  43,  p.  125—132;  1897. 

Riemann,  B. :     1)    Zur    Theorie    der   Nobilischen    Farbenringe.      Poyyendorfj' 

Änmlen  Bd.  95;  1855.     Werke  p.  57—60. 
2)  Partielle  Differentialgleichungen  und   deren  Anwendung  auf  physikalische 

Fragen.     Rraunschweig  1882. 
Riess,  G.:    Über    die   Bewegung    einer    Flüssigkeit    in    einem    cylindrischen 

Gefäße.     Programm,  Würzen  1881. 
Rowland,  H.  A.:    On    the  propagation  of  an   avbitrary  eleetromagnetic  dis- 

turbance  on  spherical  waves  of  light  and  the  dynamical  theory  of  dif- 

fraction.     American  Journal  Bd.  C,  p.  359—382;  1894. 
Rudski,  P. :    Note    sur    la    Situation    des  racines   des  equations  J„.^.l{x')  =  0, 

ou  J  designe  une  fonction  de  Bessel,  « =  0,  1,  2,  3,  .  .  .  .     Memoires  de 

la  Soc.  Royale  de  Liege  Bd.  18,  1895. 
Särchinger,  E. :     Beitrag     zur    Theorie     der    Funktionen     des     elliptischen 

Cylinders.     Programm,  Chemnitz  1894. 
Schafheitlin,  P. :    1)    Über    die   Darstellung    der   hypergeometrischen  Reihe 

durch  ein  bestimmtes  Integral.     Mathematische  Annalen  Bd.  30,  p.  157 — 

178;  1887. 

2)  Über  die  Integraldarstellung  der  hypergeometrischen  Reihe.  Math.  Annalen 
Bd.  31,  p.  156;  1888. 

3)  Über  die  Gaußsche  und  Besselsche  Differentialgleichung  und  eine  neue 
IntegialdarsteUung  der  letzteren.  Journal  für  Mathematik  Bd.  114, 
p.  31—44;  1894. 

4)  Die  Nullstellen  der  Besselschen  Funktionen.  Journal  für  Math.  Bd.  122, 
p.  299—321;   1900 

5)  Über  die  Nullstellen  der  Besselschen  Funktionen  zweiter  Art.  Archiv 
der  Math,  und  Physik  (3)  Bd.  1,  p.  133—137;  1901. 

Schläfli,  L. :  1)  Sidle  relasdone  tra  diversi  integrali  definiti  che  giovano  ad 
esprimere  la  soluzione  generale  della  equazione  di  Riccati.  Annali  di 
Matematica  (2)  Bd.  1,  p.  232—242;  1868. 

2)  Einige  Bemerkungen  zu  Herrn  Neumanns  Theorie  der  Besselschen  Funk- 
tionen.    Mathematische  Annalen  Bd.  3,  p.  134 — 159;  1871. 

3)  Sopra  un  teorema  di  Jacobi  recato  a  forma  piü  generale  ed  applicato  alle 
funzione  cilindriche.     Annali  di  Mat.  (2)  Bd.  5,  p.  199—205;  1872. 

4)  Über    die    Konvergenz    der    Entwicklung    einer    arbiträren  Funktion    f{x) 
Nielsen,  Cylinderfunktionen.  26 


402  Literaturverzeichnis. 

nach  den  Besselschen  Funktionen  /" {ß^  x),  /"(ß,  x) ,  /"  (ßj  x)  . .  . ,  wo  ßj ,  ß^,  ßs 

die    positiven  Wurzeln    der   Gleichung  J^(x)  =  0   vorstellen.     Math.  Ann. 

Bd.  10,  p.  137—142;  1876. 
Schlömilch,  0.:    Über  die  Besselsche  Funktion.     Zeitschrift  für  Math,  und 

Physik  Bd.  2,  p.  137—165;  1857. 
Schönholzer,  J.  J. :   Über  die  Auswertung  bestimmter  Integrale  mit  Hilfe  von 

Veränderungen  des  Integrationsweges.     Programm,  Bern  1877. 
Schumann,  F.:    Elektromagnetische  Rotationserscheinungeu   flüssiger  Leiter. 

Wiedemann  Anmalen  Bd.  32,  p    141—164;  1887. 
Seger,   H.  W. :    Note    on    the    theory    of   functions.     Messenger   (2)    Bd.  22, 

p.  181—182;  1893. 
Sharpe,  H.  J.:    On  Legendre's  coefficients.    Quarterly  Journal  Bd.  24,  p.  383 — 

386;  1890. 
Sheppard,  W.  F.:   On  some   expressions  of  a  function  of   a  single  variable 

in    terms  of  Bessel's  functions.     Quarterly  Journal  Bd.  23,   p.  223 — 260; 

1888. 
Siemon,  P. :    Über  die  Integrale   einer  nicht  homogenen  Differentialgleichung 

zweiter  Ordnung.     Programm,  Berlin  1890. 
Smith,  B.  A. :     Table    of    Bessel's     functions     Y^    and    1\.     Messenger   (2) 

Bd.  26,  p.  98—101;  1896. 
Sohncke    und   Wangerin:    Über   Interferenzerscheinungen    an    dünnen,    ins- 
besondere keilförmigen  Blättchen.     Wiedemann  Annalen  Bd.  20,  p.  198 — 

227,  391—425;   1883. 
Sommerfeld,  A. :    1)    Die  willkürlichen  Funktionen    in    der  mathematischen 

Physik.     Diss.  Königsberg  1891. 

2)  Mathematische  Theorie  der  Diflraktion.  Mathematische  Annalen  Bd.  47, 
p.  317—374;   1896. 

3)  Über  die  Fortpflanzung  elektromagnetischer  Wellen  längs  eines  Drahtes. 
Wiedemann  Annalen  Bd.  67,  p.  233—290;  1899. 

de  Sonin,  N.  J.:  1)  in  Journal  de  la  Soc.  math.  de  Moscou  1871'). 

2)  Recherches  sur  les  fonctions  cylindriques  et  le  ddveloppement  des 
fonctions  continues  en  series.  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  1—80; 
1880. 

3)  Sur  les  fonctions  cylindriques.     Math.  Annalen  Bd.  30,  p.  582;  1888. 

Steinthal,  A.  E.:   On  the  Solution  of  the  equation  (1  —  x^  . -^-^ — 2x-^-\- 

Cl  OC  Cl  CO 

+  «(u  +  l)2/  =  0.     Quarterly  Journal  Bd.  18,  p.  340—346;  1882. 

Stern,  M.  A.:  1)  Über  die  Auflösung  der  transcendenten  Gleichungen.   Journal 
für  Mathematik  Bd.  22,  p.  1—62;  1841. 
2)  Über    die  Anwendung    der  Sturmschen  Methode   auf  transcendente  Glei- 
chungen.    Journal  für  Math.  Bd.  33,  p.  363—365;  1846. 

Stiltjes,  T.  J. :  Recherches  sur  quelques  series  semi-convergentes.  Annales 
de  l'Ec.  Normale  (3)  Bd.  3,  p.  201—258;  1886. 

Stokes,  G.  G. :  Supplement  to  a  paper  on  the  discontinuity  of  arbitrary 
constants  which  appear  in  divergent  developpements.  Tr ansäet,  of  Cam- 
bridge Bd.  11,  p.  412—425;  1869. 


1)  Citat  von  Sonin:  Mathematische  Annalen  Bd.  16,  p.  77;  1880. 


Literaturverzeichnis.  403 

Straubcl,  R.:  Über  die  BiTecbnunp  der  Fraunboferschen  Beugungserschei- 
nungen durch  Randintegrale  mit  besonderer  Berücksicbligung  der  Theorie 
der  Beugung  im  Heliometer.     Diss.  Jena  1888. 

Strutt,  J.  W.,  8.  Lord  Rayleigb. 

Struve,  II.:    l)   Über  den   Kinfluß   der   Ditlraktiou   au    Fernrohren   auf  Licht- 
Kcheiben.     Memoiren  d.  Pdirshuryo-  Akademie  Bd.  30,  No.  8;  18«'2. 
2)  Beitrag  zur  Theorie  der  Üitfniktiou  an  Fernrohren.     Wiedcvicnm  Annalen 
Bd.  17,  p.  1008—1016;   1882. 

Thiele,  ({.:  Aufgabe  der  Wellenlehre,  ohne  jede  Vernachlässigung  der 
Diskontinuität,  mit  Hilfe  der  Cylinderfunktionen.     Diss.  Halle  1875. 


f  (?x.     Qunrterhj  Journal  Bd.  15, 


cos  (sx) 

p.  377—381 ;  1882. 

2)  On  the  electrical  oscillations  and  the  effects  produced  by  the  motion  of 
an  electrified  sphere.  Proceedings  of  the  London  Math.  Soc.  Bd.  15,  p.  197— 
218;  1884. 

3)  Electrical  oscillations  of  cylindrical  conductors.  Proc.  Lond.  Math.  Soc. 
Bd.  17,  p.  310—328;  1886. 

To<l hunter,    .1.:     An     elementary    treatise    on    Laplace's    functions,    Lam^'s 

functions  and  Bessel's  functions.     London  1875. 
van  Vleck,  E.  B.:     On    the    roots    of  Bessel-    and    i'-functions.     American 

Journal  Bd.  19,  p.  75—85;  1897. 
Wagner,  C. :    Beiträge    zur  Entwicklung  der  Besselschen   Funktionen   L  Art. 

Diss.    Bern    1894.     Mitteilungen  d.  Naturf.  Ges.     Bern  1894,  p.  '204—265. 
Walker,  G.  F.:    Some  formules  for  transforming  the  origin   of  reference  of 

Bessel's  functions.     Messenger  (2)  Bd.  25,  p.  76—80;  1895. 
Wangerin  und  Sohncke  s.  Sohncke  und  Wangerin. 
Weber,  H.:    1)  Über  einige  bestimmte  Integrale.     Journal  für  Math.  Bd.  69, 

p.  272—297;  1869. 

2)  Über  die  Integration  der  partiellen  DiflFerentialgleichung  ?^— 5,  +  ö-^  +  ^***==0. 
Mathematische  Annalen  Bd.  1,  p.  1—36;  1869. 

3)  Über  die  Besselschen  Funktionen  und  ihre  Anwendung  auf  die  Theorie 
der  elektrischen  Ströme.     Journal  für  Math.  Bd.  75,  p.  75—105;  1873. 

4)  Über  die  stationären  Strömungen  der  Elektrizität  in  Cylindern.  Journal 
für  Math.  Bd.  76,  p.  1—20;  1873. 

5)  Über  eine  Darstellung  willkürlicher  Funktionen  durch  Besselsche  Funk- 
tionen.    Mathematische  Annalen  Bd.  6,  p.  146 — 161;  1873. 

6)  Zur  Theorie  der  Besselschen  Funktionen.  Math.  Ann.  Bd.  37,  p.  404 — 
416;  1890. 

7)  Die  partiellen  Differentialgleichungen  der  mathematischen  Physik.  Bd.  I— II; 
Braunschweig  1900—1901. 

Weber,  H.  F.:    Die  wahre  Theorie  der  Fresnelschen  Literferenzerscheinungen. 

Vierteljahrsschrift  d.  Naturf  Ges.  in  Zürich  Bd.  24,  p.  45—52;  1879. 
Wendt,  C. :    Eine  Verallgemeinerung    des  Additionstheorems   der  Besselschen 

Funktionen  erster  Art.    Monatshefte  für  Math,  und  Physik  Bd.  11,  p.  125 — 

131;  1900. 

26* 


AQA  Literaturverzeichnis. 

Whitehead,  C.  S.:  On  the  effect  of  a  spherical  conducting  shell  on  the 
induction  at  a  point  in  the  dielectric  outside  due  to  an  alternating  current 
in  a  circular  circuit  in  the  dielectric  inside,  the  axis  of  the  conductor 
passing  through  the  centre  of  the  shell.  PMlosopIdcal  Magazine  (5)  Bd.  44, 
p.  154—165;  1897. 

Wilson  und  Peirce:  Table  of  the  first  forty  roots  of  the  Bessel  equation 
j-o(^)^0  with  the  corresponding  values  of  J"'(«).  Bulletin  of  the  Ame- 
rican Math.  Soc.  (2)  Bd.  3,  p.  153-155;  1897. 

cPv   .  fi+1    dv 

Worms  de  Romilly:  Note  sur  Integration  de  1  equation  — jH — ^  "dx~^ 

=  0.     Journal  de  Mathematiques  (3)  Bd.  4,  p.  177—186;  1878. 


Alphabetisches  Register. 


Aiitorcnnamon  in  Vorl)inrlunsen  wie  z.  B.  NeumannRche  Cylindeifnnktion, 
Neumannschc  Ueihon  wonlon  hier  im  Register  nicht  für  sich  zitiert. 
Unter  „Funktion"   findet  man   die  spezielleren  Funktionen   aufgezeichnet, 

welche  im  Buche  vorkommen. 


Abel,  N.H.  24.  315.  381. 
Additionsformel  2'.t9. 

—  von  Bessel  266. 

—  von   Gegenbauer  2H0. 

—  von    Sonin    286.    287. 
288.  330.  387. 

Airy,  A.  G.  158. 
Aldis,  W.  St.  17. 
Anger,   C.  T.   47.  53.  89. 

157. 
Argument  einer  Cylinder- 

funktion  3. 
Asymptotische        Reihen 

155.  156.  228.  229.  230. 

231.  243.  244.  247.  388. 

Basset,  A.  B.  185. 
Bauer,  G.  278. 
Beltrami,  E.  280.  350.  358. 
Bernoulli,  D.  6. 
BemouUische  Funktionen 

28.  323.  325.  335.  337. 

350.  385. 

—  Zahlen  269.  358.  360. 
385. 

Bessel,  F.W.  6.14.21.24. 

25.  29.  31.  39.  46.  51. 

52.  53.  65.  69.  71.  95. 

118.  121.  126.  127.  152. 

158.  173.  182.  184.  266. 

269.  276.  334.  337. 
Besselsche  Cylinderfunk- 

tion  s.  J'*'{x). 


Besselsche  Differential- 
gleichung 4.  10.  14.  15. 
16.  43.  44.  47.  51.  52. 
55.  76.  78.  83.  113. 
129  ff.  142.  145.  237. 
291. 

—  ,, Funktionen  zweiter 
Art''  13.  22.  114. 

Böcher,  M.  161.  162.  173. 
du  Bois  Reymond,  P.  360. 
361.  363.  367.  382.  383. 
Borel,  E.  388. 
Bourget,  J.  160. 
Bretschneider,  C.  A.  388. 
Burkhardt,  H.  47.  387. 

Cantor,  G.  383. 

Carlini,  F.  6. 

Cauchy,  A.  L.  20.  44.  46. 
49.  60.  63.  116.  126. 
157.230.247.248.251. 
274.290.302.375.381. 

Christoffel,  E.  B.  31. 

CinelH,  M.  52. 

Clebsch,  A.  280. 

Coates,  C.  V.  350. 

Greller,    L.    33.    34.    285. 

Cylinderfunktion,  allge- 
meine s.  C^'{x). 

—  erster  Art  s.  J^{x). 

—  zweiter  Art  s.   Y'^'{x). 

—  dritter  Art  s.  H^*'(x) 
und  H^^'{x). 


Differenzengleichungen 

26.  80. 
Differenzenrechnung     37. 

270.  271.  301. 
Dini,   U.    152.    156.    183. 

212.   226.    253.    353  ff. 

383.  .388. 
Dirichlet,   P.  G.  Lejeune 

250.  328.  339.  365.  382. 
Diskontinuierlicher   Fak- 
tor 193. 200. 247  ff.  2.58. 
von  Dirichlet  193. 

200.  256. 

—  —  von  Sonin  256. 
von  H.  Weber  200. 

256. 

Doppelintegrale  64.  95. 
96.  246.  338  ff.  360.  8. 
übrigens  Integraliden- 
titäten. 

Doppelreihen  261.  266. 
270.  292.  304.  305. 

Dougall,  J.  17. 

Duhamel,  J.  M.  C.  131. 
132. 

Elliptische  Funktionen 
359. 

—  Integrale  319.346.347. 
Ermakoff,  W.  361. 
Ette,  C.  R.  15. 

Euler,  L.  6.  11.  15.  44. 
51.  131.  132.  161.  172. 


406 


Alphabetisches  Register. 


179.  183.  188.  269.  352. 

358.  371.  373.  375.  385. 
Eulersche    Integrale    94. 

179.  191.  373.  374. 
—  Konstante  13.  14.  52. 

71.   190.  371.  372. 


Fakultätenreihen  155.225. 

262  ff.    299.    306. 
Fourier,   J.  B.  J.   6.   352. 

360. 
Fouriersche  Integrale  360. 

—  Reihen  mit  Cylinder- 
funktionen  352  ff. 

—  Reihen  mit  Kreisfunk- 
tionen 52.  53.  65.  67. 
70.  74.  75.  79.  144.  300. 
323.  325.  334.  348.  350. 
352.  381  ff. 

Fresnelsche  Integrale  72. 

73.  74.  98.  99.  101.  102. 

229. 
Frobenius,  G.  15.  16.  21. 

203. 
Fuchs,  L.  24. 
Fundamentalgleichungen 

der     Cylinderfunktio- 

nen  3.  26.  26.  27.  28. 

30.  35.  284.  387. 
Funktion : 

^''(x)  40.  41.  42.  84. 
^^'(x)    13.    40.    41.    42. 

276.  337. 
Q^ix)  105.   114. 
W{x)  105.   114. 
0"(ic)    106.     114.     128. 

129.  277.  285.  288. 
S"(a?)    21.    22.   58.   59. 
62.    63.    80.    106.   108. 
114.  128.  129.  185.  242. 

277.  285.  288. 
Z'^ix)    21.    22.    56.    57. 

62.  68.   106.  114.  128. 

288. 
W{x)  41.  42. 
Cix)  (Definition)  27. 
Ci{x)  s.  Integralcosinus. 


Fj  (x)  und  F^  (x)  s.  Fres- 
nelsche Integrale. 

Si'(a-)  und  iy.'Xa;)  (De- 
finition) 16. 

/'■(.x)  (Definition)  5. 

K{x)  s.  Krampsches 
Integral. 

K'''"(x)  s.  Kugelfunk- 
tionen. 

L''{x)  90.  91.  92.  99. 
102.   114.  230. 

lie~^  s.  Integralloga- 
rithmus. 

N\x)  90.  114. 

0"(x)  s.  Neumannsches 
Polynom. 

R^'"{x)  s.  Lommelsches 
Polynom. 

S"(x)  s.  Schläflisches 
Polynom. 

S/Xx)  s.  Integralsinus. 

T"{x)  13.  22.  44.  49. 
50.  56.  62.  68.  91.  114. 
128.  288.  336.  356. 

^■"(a;)  13.  276.  337. 

Y^ix)  (Definition)  11  ff. 

Z"(.r)  51  ff.  69.  89.  92. 
95.  224.  231.  234.  235. 
236.  238.  292.  337.  348. 
356. 

Z'''-"{x)  89. 

A"{x)  56  ff.  67.  68.  120. 
288. 

M"(ic)  61  ff.  68.  288. 

TT'(.r)  47  ff.  64.  66.  67. 
69.  73.  89.  95.  101.  103. 
224.229.  232.234.311. 
312.  335.  336.  349.  356. 

TT'''^(.'k)  s.  Lommelsche 

Fimktion. 

n"'^'''(a;)  108  ff. 

0'(ic)  56  ff.  59.  60.  67. 
73.  74.  75.  79.  103.  105. 
119.  127.  180.  184.  288. 

0'''?(a;)  103  ff.  114.  136. 
180.  241.  242.  243.  291. 

X''(x)  47  ff.  64.  66.  67. 
69.  73.  89.  95.  103.  224. 


232.  233.  234.  244.  311. 
312.  335.  336.  344.  349. 

356. 
^{x)  s.  Gaußsche  Funk- 
tion. 
^"(0;)  46  ff.  59.  60.  118. 

229.  233.  238.  244.  248. 

288.  312.  330.  331.  333. 

334.  336.  345.  349.  356. 
Y''^{x)  88.  96. 
Q''ix)    44  ff.    55.    59  ff. 

64.  65.  67.  68.  127.  128. 

219.  229.  238.  239.  244. 

248.  288.  312.  330.  331. 

333.  334.  336.  345.  349. 

356. 

Gauß,   C.  F.   13.  25.  112. 

187.  189.  194.  195.  275. 

371.  372.  375.  376.  377. 

378. 
GaußscheFunktionl2.  13. 

21.  40.  90.  94.  99.  105. 

190.  276.  372.  373. 
Gegenbauer,  L.  162.  181. 

182.  183.  186.  272.  274. 

278.  280.  281.  285.  294. 

353.  363. 
Graf,  J.  H.  17.  32.  34.  71. 

80.  157.  280.  306.  358. 

360.  373. 
Gram,  J.  P.  272. 
Gray   159.   183.   185.  278. 
Gubler,    E.    17.    71.   123. 

157.   194.  306. 

Hadamard,  J.  7.  358. 
Hamilton,  W.  R.  173.  174. 

360.  361. 
Hankel,  H.  15.  16.  17.  23. 

24.  44.   114.   115.  152. 

155.  184.  186.  188.  201. 

240.  247.353.358.361. 

363.  364.  369.  375. 
Hankeische  Cylinderfunk- 

tionen   s.  S^'  («)  und 

H,'\x). 
— s^  Umkehrproblem  363. 

369. 


Alpliabetischeri  Register. 


40' 


Hansen,  1'.  A.  10.  56.  Gö. 

66.  119.  123.  156.  157. 

168.  387. 
Harmonische   Reihe   34G. 
Hanmck,  A    353    383. 
Hau])t\vert  einer  Cylint-lor- 

funktion  li>.  175. 
Heine,    E.     10.    V2     127. 

1^<6.  272.  3H3. 
Hobaon,  E.  W.    162.  278. 
Holder,  0.  383. 
Hun\it2,  A.  36.  149.  156. 

162.  172. 
Hyperbelcosiuus  119  iF 
Hyperbelsinus  118  ff. 
Hypcrelliptische  Integrale 

347. 
Hypergeometrische  Funk- 
tionen (Reihe)  10.  20. 

185.    191  ff.    268.    275. 

319.     320.     342.     843. 

375  ff. 

Integralcosinus  71.  72.  74. 

99.   102.  230. 
Integralidentitüten      316. 

348  ff.  379. 
Integrallogarithmus      71. 

72.   74.   102.  230.  388. 
Integralsinus   71.   72.  74. 

99.  102.  230.  293.  295. 
Invariabilit;ltsbereich331. 

333.  335.  342. 

Jacobi,   C.  G.  J.    53.    56. 

65.  156.  157.  273.  278. 

358. 
Julius,  V.  A.  15. 

Kapteyn,  \V.  71.  198. 
272.  294.  300.  302.  305. 
315.  318.  387.  388. 

Kapteynsche  Reihen  er- 
ster Art  300  ff.  309  ff. 
331.  334. 

—  Reihen  zweiter  Art 
306  ff. 

Keplersche  Gleichung  69. 


158.  306  ff.  309  tF.  33(1. 

333. 
Kettenbruchentwicklung 

37  ff 
Kuoiiu'uliauer  102.  158. 
König,  .1.  272. 
Krampsches   Integral   72. 

73.  74.  75.  79.  101.  102. 

107.  180.  230.  244. 
Kreispunkte  171. 
Kugell'uuktionen  7  ff.   12. 

200  ff.    277.    278.   280. 

281.  288.  289.290.  291. 

343. 377  ff. 
Kummer,  E.  E.  186.  195. 

376.  377. 

Lacroix,  S.  F.  132. 
Lambert,  .1.  H.  39. 
de  Laplace,  P.  S.  387. 
Laplaceschc  Transforma- 
tion 203.  210. 
Laurentsche  Reihe  296. 
Legendre,  A.  M.  39.  278. 

315.  316.  377. 
Liouville,  J.  32. 
Lipschitz,    R.     157.    186. 

189. 
V.  Lommel,  E.  6.  14.  15. 

21.  23.  29.  30.  31.  32. 

33.  34.  36.  37.  39.  43. 

44.  47.  48.  62.  77.  82. 

83.  84.  88.  98.  99.  100. 

102.  130.  132.  157.  158. 

159.266.  270.  281.287. 

293.  294.  295.  S.'jü. 
Lommelsche    Fundamen- 
talformel 23  ff.  29.  30. 

32.  35.  42ff.  79.  97.  99. 

107.  149.  160.  163.  298. 

—  Funktion  86  ff.  104. 
111.  113.  114.  136.139. 
140.  141.179.213.218. 
219.  222.  224.  227  ff. 
234.  235.  237.  238.  239. 

291.  342.  343.  344.  355. 
356. 

—  8  Polynom  23.  30.  31. 


32  ff.    42.    79.    80.    81. 

149.   163  ff.  269. 
Mao  Mahon,  .1.  173. 
Madaen,  V.  H.  0.,  Kriogs- 

luinister  32    387. 
.Malmsten,  t"  .1.  203.  386. 
Mascheroni  388.        [278. 
Matthews   159.    183.  185. 
Mehler,    F.    G.    10.    223. 

232.   256.   361. 
Meissel,  E.   15.  131.   146. 

158.  173.  224.  246.  313. 
Mittelwertsatz  367. 
Molk,  .1.  3.')9. 

Neumann,   C.   6.    14.    15. 

29.    52.    64.    91.    106. 

129.  141.  160.  187.  213. 

215.  272.  274.  276.  280. 

284.  286.  289.  294.  318. 

361.  362.363. 
Neumannsclie     Cylinder- 

funktion  s.    Y*{x). 

—  s    Integral    360  ff". 

—  s  Polynom  91.  100. 
106.  114.  128.  129.  274. 
277.  284.  285.  286.  288. 
290.314.315.317.318. 
319. 

—  Reihen  erster  Art  66  ff. 
106.  129.  270  ff".  309  ff. 
387.  388. 

—  Reihen  zweiter  Art  68. 
292  ff.  309  ff.  330. 

Newtonsche  Formel  359. 

Nullentwicklungen     335. 

337.  340.  341.  342. 

—  (identische)  in  eine 
Kapteynsche  Reihe 
308. 

—  (identische)  in  eine 
Neumannsche  Reihe 
295. 

—  in  eineSchlömilchsche 
Reihe  331.  350.  351. 

Nullstellen  einer  Cylinder- 
funktion  7.  36.  83.  85. 
159  ff.   352  ff. 


408 


Alphabetisches  Register. 


Ostenfeld,  A.  S.  139. 

Parameter  einer  Cylinder- 

funktion  3. 
Parseval  387. 
Partielle  Differentialglei- 
chungen 141  ff. 
Peirce  173. 
Petersen,  J.  386. 
Picard,  E.  142. 
Pincherle,    S.     186.    262. 

272.  275. 
Plana,  J.  157. 
Poincare,H.  142.  144.154. 

160.  228.  247. 
Poisson,  S.  D.   6.   15.  32. 

47.51.52.89.  122.  142. 

143.  154.  156.  159.  161. 

172. 
Poissonsche       Cylinder- 

funktion  s.  J^  +  ^^r). 
Poisson-Angersche  Funk- 
tionen s.  ¥*(a;),  W{x) 

und  X'Xx). 
Porter,  M.  B.  162. 
Produkt  zweier  Cylinder- 

funktionen    20  ff.    32. 

63ff.  07.  68.  69.  141  ff. 

144ff.181.183.184.185. 

191ff.  213ff.23lff.241. 

245ff.  270.  292fl'.  345ff. 
Produktentwicklung    von 

J\x)  7.  358. 

Raabe,  J.  132.  385. 
Lord  Rayleigh,  J.W.  Strutt 

10.  49.  54.  231. 
Renfer,  H.  28.  385. 
Residuenrechnung  247  ff. 


RiccatischeGleichungl31 . 

132. 
Riemann,  B.  15.  383. 
Rollescher  Satz  162. 
Rudski,  P.  173. 

Schaeffers  315. 
Schafheitlin,    P.    15.    19. 

85.  173.  174.  176.  194. 

198.  199.  201.  203.  233. 
Schlüfli,  L.  12.  15.  50.  64. 

68.  114.  116.  118.  119. 

121.  127.  128.  132.  161. 

284.  285.  287.  288.  300. 

373.  385. 
SchläüischesPolynom  12ff. 

22.  50.   55.   62.  63.  80. 

91.      100.      114.     128. 

129.  219.  233.  238.  244. 

275.  277.  284.  286.  288. 

290. 
Schlömilch,    0.    65.    157. 

158.273.279.295.  350. 

381. 
Schlömilchsche  Reihen  69. 

323.  347  ft: 
Schönholzer,  J.  J.  20. 
Schwarz,  H.  A.  161. 
Serret,  J.  A.  371. 
sgn  X  330  ff'. 
Sharpe,  H.  J.  10. 
Sheppard,  W.  F.  353. 
Siemon,  P.   54.  231.  292. 
Soldner,  J.  388. 
de  Sonin,  N.    14.   40.  83. 

114.  115.116.118.119. 

121.  123.  126.  129.  181. 

184.  194.  221.  224.  242. 

252.  253.  256.  257.  258. 


272.  274.  280.  287.  330 

370.  381.  387. 
Stern,  M.  A.  161.  173. 
Stiltjes,  T.  J.  157.  388. 
Stirling  299. 
Stirlingsche  Formel  8. 302 

371. 
Struve,  H.   49.    183.   231 

234. 
Sturm,  C.  161. 
Sturmsche      Funktionen 

kette  168. 
Sturmscher  Satz  168. 

Tannery,  J.  359. 
Taylorsche  Reihe  28.  29 

52.  153.  227.  253.  282 

286. 
Todhunter,  J.  71. 


Umlaufsrelationen  einei 
Cylinderfunktion  18 
19. 

van  Vleck,  E.  B.  162. 

Weber,  H.  (Straßburg)  17 
23.  24.  44.  156.  157 
166.  168.  189.  197.  223 
224.  225.  232.  244.  256 

Webersches  Fundamen 
talintegral  190.  191 
214.  216.  219.  227.  238 
239.  362.  363. 

Weber,  H.  F.  (Zürich)  47 
48.  49.  228.  [373 

Weierstraß,  K.   117.  371 

Wilson  173. 


L    ' 


177 


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