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Full text of "De triangulis sphaericis libri quatuor; De meteoroscopiis libri sex"

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S-vL 9-S5.H5,ii 



r 



Hacbarlr College l^tbrars 

BORACE APPLETON HAVEN, 
OF PORTSMOUTH, N. H. 




/ \ 




^c^.i^^S.tZ. ,|, 



<* 'I *" 






ABHANDLUNGEN ZUR NGESCHICHTE DER MATHEMATISCHEN 

WISSENSCHAFTEN MIT BUtóCÌI^^^^^raRER ANWENDUNGEN 

BEGRttNDET VON MORÌTJrTjOTim. HEFT XXIV, i. 



lOANNlS VERNEKl 

DE TEIANGULIS SPHAERICIS 

LIBRI QUATUOR 

DE METEOROSCOPIIS 

LIBRI SEX 

CUM PKOOEMIO 

GEORGII IOACHIMI RHETICI 



DE TRIANGULIS SPHAERICIS 

UBRAUSaEOKBXN VON 

AXEL ANTHON BJÒRNBO 



MIT 211 FIGUREN IM TEXT 




LEIPZIG 
DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER 

1907 



/• 



Verlag von B. G. Teubner in Leipzig nnd Berlin. 



Ahrensy Dr. W., in Magdebnrg, mathematische Unterhaltungen nnd Spiele. 

SX n. 428 S.J gr. 8. 1901. In Originai -Leìnwandband mit Zeichnung von 
*. Btirck in Darmstadt, geb. n. JC 10. — (Auch in H9>lften broech., jede n, JC b. — ) 
Kleine Ausgabe. Mit einem Titelbild nnd 69 Figuren im Text. Band 170 
der Sammlnng wissenscliaftlich-genieinverstandlicher Darstellnngen : ,, Aus Natur 
und Geisteswelt". [VI n. 118 S.] 8. 1907. geh. n. JC 1.—, geb. n. JC 1.2b. 

Scherz nnd Ernst in der Matbematik. Qeflùgelte und nngeflùgelte 

Worte. [X u. 522 S.] gr. 8 1904. In Leinw. geb. u. JC S.— 

— C. G. J. JacobialsPoiitiker. Ein Beitrag zu seiner Biographie. (Er- 
weiterter Sonderabdruck aus ,,Bibliotbeca Mathematica*^ 3. Folge. VII. Band.) 
[46 S.] gr. 8. 1907. geh. n. .K 1.20. 

Arcbìmedes. Eine neue Schrift dea Archimedea. Von Dr. J. L. Heiberg und 
Dr. G. H. Zeuthen, Professoren an der CJniversitat Kopenhagen. (Sonderabdruck 
aus: Bibliotbeca Mathematica. 3. Folge, VII. Band.) [Il S. 821 bis S. 363.] Lex.-8. 
1907. geh. n. X 1.60. 

Bopp, Dr. Karl, Privatdozent an der Universit&t Heidelberg, die Kegelschnitte 
des Gregorius a St. Yincentio in vergleichender Bearbeitnng. Mit 
3t>9 Teitfiguren. [IH u. 228 S.] gr. 8. 1907. geh. n. JC 10.— 

Braunmùlil, Dr. A. von, Professor der Mathematik an d. Egl. Technischen Hoch- 
Bchule zu Mùnchen, Yorlesnngen nber Geschichte der Trigonometrie. 
2 Teile. gr. 8. 1903. geh. n. JC 19. — , in Leinwand geb. n. JC 21. — 

I. Teil : Von den a,ltesten Zeiten bis zur Erfindung der Logarithmen. Mit 62 Figuren 
imText. [Vnu.260S.] gr.8. 1900. geh. n..>^ 9. ~, in Leinwand geb. n.UK 10.— 

II. Teil : Von der Erfindnng der Logarithmen bis auf die Gegenwart. Mit 39 Figuren 
imText. [XIu. 264S.] gr. 8. 1903. geh. n. .^10. — , in Leinwand geb. n..^ 1 1 . — 

Cantor, Moritz. Vorlesungen ùber Geschichte der Mathematik. In 4 B&nden. 
I. Band. Von den ^Itesten Zeiten bis zum Jahre 1200 n. Chr. 3. Auflage. 
Mit 114 Figuren im Text und 1 lithogr. Tafel. [VI u. 941 S.] gr. 8. 1907. 
geh. n. JC 24. — , in Halbfranz geb. n. JC 26. — 

— _ _ II. Band. Vom Jahre 1200 bis zum Jahre 1668. 2., verbesserte 

und vermehrte Auflage. Mit 190 Figuren im Text. [XII u. 943 S.] gr. 8. 
1900. geh. n. JC 26.—, in Halbfranz geb. n. uiC 28.— 

in. Band. Vom Jahre 1668 bis zum Jahre 1768. 2., verbesserte 

und vermehrte Auflage. In 3 Abteilungen. Mit 146 Figuren im Text. 
[X u. 923 S.] gr. 8. 19ul. geh. n. JC 26.—, in Halbfranz geb. n. JC 27 — 

IV. Band. Von 1759 bis 1799. Bearbeitet von M. Cantor, 



S. Gilnther, V. Bobynin, A. von Braunmuhl, F. Cajori, E. Netto, 
G. Loria, V. Kommerell, G. Vivantiund C. R. Wallner. ca. 6 — 6Lieferungen 
umfassend. 1.— 3. Lieferung. [S. 1—642.] gr. 8. 1907. geh. n. ^iC 18.20. 
Lieferung 4 und 6 unter der Presse. (Preis dea kompl. IV. Bandes ca. n. ,>^ 30 . — ) 

Ctirtze, M., Urkunden zur Geschichte der Mathematik im Mittelalter und 
der Renaissance. L Teil. [X u. 336 S.] gr. 8. 1902. geh. n. JC 16.— 
II. Teil. [IV u. 291 S,] gr. b. 1902. geh. n. JC 14.— 

Diophantus , des, von Alexandria Arithmetik und die Schrift nber Poly- 
gonalzahlen. C'bersetzt und mit Anmerkungen begleitet von G. Wertheim. 
[X u. 346 S.] gr. 8. 1890. geh n. JC 8.— 

Engel^ Friedrich, und Paul Bt&ckel, Urkunden zur Geschichte der nicht- 
euklidiachen Geometrie. Mit vi elen Figuren im Text. In2B3,nden. gr.8. geh. 

L Band: ^'ikoli^ Iwanowitsch LobatschefHkij, zwei geometrische Ab- 
handlungen, aus dem Russischen ilbersetzt, mit Anmerkungen und 
mit einer Biographie des Verfassers von Friedr. Engel. I. Teil: 
Die tjTbersetzung. Mit einem Bildnisse Lobatschefskijs nnd mit 
194 Figuren im Text. lì. Teil: Anmerkungen. Lobatschefskijs Leben 
und Schriften. Register. Mit 67 Figuren im Text. [XVl, IV u. 476 S.] 
1899. geh. n. JC 14. — , in Halbfranz geb. n. JC 15.40. 
II. Band: Wolfgang nnd Johann Bolyai^ geometrische Untersuchungen, 
herausgegeb. von Paul Stiickel. Mit 1 Bildnis W. Bolyais. [In Vorb.] 





ABHANDLUNGEN ZUR GBSCHICHTE DEE MATHEMATISCHEN 

WiSSENSCHAPTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDTJNGEN 

BEGRMDBT VON MORITZ CANTOR XXIV. HEPT 



^ IO ANNI S TERNE RI 

DE TRIANGULIS SPHAERICIS 

LIBRI QUATUOR 

DE METEOROSCOPIIS 

LIBRI SEX 

CUM PROOEMIO 

GEOKGn IOACHIMI KHETICI 



I 
DE TRIANGULIS SPHAERICIS 

HKBAnSOEOEBEN YUN 

AXEL ANTHON BJÒRNBO 



MIT 211 PIQUEEN IM TEXT 




LEIPZIG 
DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER 

1907 



ALLE BECHTE, EINS0HLIBB8LIGH DES ÙBERSETZUNGSBEOHTS , VOBBEHALTEN. 



'■~p: 



ANTON V. BRAUNMÙHL 



DEM GESCHICHTSCHREIBER DER TRIGONOMETRIE 



GEWIDMET 



IOANNIS VER' 

NERI MATHEMATICI NO) 
RIMBERGBNSIS, 

DE TRIANGVLIS SPHOERICIS 

l j » R I Q,V AT V O K. 

DE METEOROSCOPIIS 

L t B K J (EX. 

Nunc primum Studio 8C D0^ntta 
OE0j{_Oa lOjtCMlMl HHKTICI 
in luccm editi . 

OBELISCI INSCRIPTia 

PLIN: Lia XXXVL GAP: IX 

K^E^VM Wvfrrit^ INTStl.PSt.ETo€Tl01>rE3fr 
^OTfTIO^V li OtEHjA tHltOtOfaXMCOÌiTmENXi 









VIRGILIVS. 
e R A e O V I AE. 

GAZARVI AHDB.8AB B X C T O B 1 Af . 

ANNO M D. L va 



SCIRE DEBENT OMNES, NO. 

ftms cJitio9i€s (mptcrum MawcnmUcùrmè^tTlm^tratùr'm Mate 
t/Strtmi* •K.eojs Iccfotim iruiitoMs nmnkas c|se , autpus iamtj» 
mjViottes 4N4m iiiNtif tioffCi t/$4€micatiim€s ncsir^nm Mf€tim,mt 

politii^ QiMtx ^ #f^ 0H€ms omnes mniiNs t/oMrds (imis 

0IPS Tifmmii^ 
Mt (ucrnm Mmrttiéu JUmmm 

Ìt9H€ÌlÌ0tlt* 



) 




PROOEMIVM 

AD SERENISSIMAM MAIESTA* 
TEM FERDINANDI REGIS 

ROMANORVM VNGARIA ET BOHE» 

ML«>- PP»- ET OPTIMARVM DISCI- 

PLINARVM ATaVE ARTIVM PRO- 

TECTORIS. ETCET^ 

OB0H.OH JOJtCHJMl HHBTlCl IN L IVtiÓ S 
lO^NNIS rSHNEUr M^THBÌt^TICl N O- 
fiIitaEl{,OSNSIS. srVTilQ BT OILIOBUTTA 
SrJt IN l.rCBM EDITOS. 

,VLi vs cABs ARin iummis maxinianim rcfiffii Dc# 

^god}vn Republica collapià infticuciuia/n profligin 

,6is hoihbua^cum totìm impenl pondus fiiftineret^^ 

ttcr arma & ttibaru ftrqxftua^ìftorias^quasThiidd^ 

àts Principu theiaurcM appdlatyS^euoIuft & conftrif 

pRyxy quidem (iicccflù^vt n5 piasbuific altjs rationem&fàcuIlaiS 

a' (cres geftas conicribcndi vioesautfod omnem ali^ ea de re krù 
bendi copiam pracrìpuiflc Alterum, qao d maxima Hcroicum 

eflcduxit^cum Alcxandrum magnum (ajQàs (upcrarc tuiJCtcturjBt 

ReBIct ad cius ftadiam, antcquam <nucq magni, dignum Tuo (pirif 

ni aut gem'o^fo artads adhuc geCuilet^cft, quod Alcxandrum cri# 

am dooTina fiiperare voIuicHunc ab Arìllotdc in Phyficis enu 

ditum tdthsit^Syi autem ipfiim codum (uipiciendum duadc* 

Didicerat in Repufarficut mudus non nifi vnumSolon firme 

pofltt^ita verifiimiim cflle illud Homen^ ^ ^«it^ woTiwifaaiM, J^ n^u 

In codo Solem eflic Monarcbam^fi: in terra* Qyaiie & Solis in 
codo imperìum cognofcere cupiebflu:* Anni metas perlpicen^ 8c 
Reipi]b:liia?,certam anni & temponim rationem infiuuere ^ ipfi> 
SoIe,per ortus ac occafiis fiderum^monflratore ac duce» Hanc ad 
rem pèrfidcndam , adhibuic (ummum Sax aetatts Mathemaricum 
Sofigenem y quem de comicrfionibus libros Produs Diadodiut 
icripfiflètradit» 

Quanta mutado Imperi]^ illa forma qitam lulius animo (ùo 

a ij conceperai^ 



coticepera^ aut edam pofterìtatì rdiquerat^ fiuìb ùtyyidrniuSyiC 

Turcica cyrannis nobis oftmdit» At eam radonon anni & temi 

ponim^quam vtiliter 6C propcer hiftorianim lmcm,& muldpli^ 

CCS vfiis in vita^ad Solis monim inftituit^tocus adhuc mudus obi 

fcruat « Quamuis Cicero & alij fiia a^ate hoc ffaiditim ridcrcnt, 

ìac iidcra ex Cariàrìs edi Ao orirì damarent» Sic cnim non nifi Hc« 

roica& diuina ingenia^ficut Atlas^Orìon^HcrculeS) & Achillea: 

nacurae^ um (ùblimia (èruntur midia, cum alij contempds cosi 

leftibus^perpetuis illis & illuftriisimis ignibus^quibus & (àcr^ lil 

cene conferunt beatos & dignos a^ema vita , circa tcrreftria illa 

v<niifta^ucunda,vdIiavermitur,ilIis(]ptodinhanTnl:« TAmcn, 

<]uac maximus lulius admirabatur^erudirìfiimitt QC opdmus fune 

<jfiiuf Gbi inprìmts curse eilè finerat* Qganta vero confìifio temf 

pomm^ante hanc luliani anniinftituddem (iierit, qiuperpetuam 

fidtrum poliuam exquirimus, et qui Hiftorias condtint esperii 

mun De qiu confufione alias i nobis didtur* Hoc indolendum^ 

qnod^cum maxima (blerda^ & (iimmis laboribus Sofigenes prae# 

ter luliani anni ififtitutionem , radones ortus 6C occalus fiderum 

pracfixerit ^ quac tcmporum fiicceflù QC motu iiderum in EudoxI, 

vfitatts faftis^ i vero aberrabanc^ hodie ea omnia vicp adeo ncgle# 

&ai iaceanc^cum tamen maximos vfus habeanc» Inde enim tempci 
itatum ratio precìpue conltat* inde funt (ìnsularum gedum cor^ 

ponim & animorum diuerfi, & propri) (ili nabidis» riinc impef 

rìorum mutadones dependent^Qu^ ohm culta^erant ingenijs^terl 

rac (crdlitate^imperìo. Nunc ftchlia incukab iacenc , & barbari 

tnhabitanc, Tyranmde oppreflSu Horum Gdcmm motus, ortui, 

et occafui^reipondettranfitus imperiorum^ortuad occa(wn^& 

inde in (èptencrìonem * Hinc feriisimair nadones mitefomt^ ne* 

rih's terra culturam (ùlcipit, demitcuntur coditusalij^terta^^ngc» 

. ^ niorum,corporum habitus^Et^fanpa^ccd^ferc annis ah'quam in* 

/v" fignem in fuMunari mundo niutadonem prò ihf^i Sellati orbis 

aliquajnoiaiiyarietate fieri videimis ♦ Sdmus (àcras Utèras tal 

Ics mutadonestribuere peccatis* ^Tatemur tcrraeideo maledii 

cL Sed cum per verbum Dei ^èC inuecadoncm nominis diuini, 

nomo reOAijt coeli indinadonibus^ordinaria mala non modo non 

auertimus^ièd & plura infiiper accumulamus^SiC calamitates calai 

m itatibus addimus,ac prouocames iram Dei^quafi vi clidmus dii 

uinam malediftionem* 

Verum cnimuero Qy od auris audit^Qyod oculus videtJDeus 

vtrun<^ 



ftcit vtrunqpinquic Sapientiisimustex Salomon* Ve videremus 
Solem JLunam^lanetas^Sidera3& obièruarcmus coni ftatos curi 
(ùs^Dei rhuncre faéhim, qui mentes exu(cicat ad haec^onliderani 
da & incuenda, a(9 ideo tx>tirsimuni, 

Of homm fiUime dtdit , aelnm^ >idere 

lufiit y cr treltos difider4 toUtre >idtus. 

Siali Se Plato, antiqui&ima Aegypdorum dottrina imbutus^rel 
&t iudicat, Ncc nos hac in parte G^deni cauillado moueat» Item 

3uod ibituimus,dum Geometras &Arithmeticos (cu Logiftas au^ 
imus , harc ideo tradì, vt coelum his ducibus exploremus,DEus 
facic» Coelum per Aftronomiam loquitur nobifcum. Terra per 
Geographiam,Natut3e,qu2r in his concinentur per Phylofophia, 
Phyficen diiftam^&eius ex^ificatrìcemMedicinam* Q.\r o M o d o 
DEvs SBMPER GBOJUETRAH AGAT. Certa ilenc Omnia le# 
gè: Prasterìta^pracièmia, futunu Qyomodo quis<^ fit mundus in 
imagine patwu Coclu 8C terra ab initio Hiftoricos potius libros^ 
quis dixerit, mutacionum imperionim,(i quis reAe hxc^hoc eil^ 
non coecutientibus oculis in(pexerit,non fùrdis auribus prarterie>. 
ria, Q^x omnia poftea (cripta hiftoriae teftantur^untum ita a<9a 
ficuc coelum przemonflrauerat SC ordinauerat*Coelum 8^ qu^ (uo 
drcumplexu tegit, veri {unt Phyfìci libri, qui naturx iccreta nof 
bis ob oculos ponunt. Imo vifibiles manus«& organa quae a no# 
bis contreAariqueant,quibus Deus naturam foueat,gubernet,(ìi» 
ftentet, quo nobis bene faciat* Hxc oculi noftri non vident, nifi 
a Dee illuftrentur, nifi eruantur per Geometriam & Arithmetil 
cam,quas Placo primas artes vocat, ex barbarico coeno* Hos dof 
élores nemo audit,nifiiurdas aures,ad*codeftia percipiendaDeus 
per Geometriam iC Arithmeticam aperiat* Deus,in cuiusmanu 
(unt Regum &C Principum animi.oculos lulio Csefàrì ad coelum 
Ìuftulit,vt cogno(ceret literas, quious vifìbiliter naturar conditot 
nobiicum loqueretur « Deus aperuic lulio Cadàri aures, vt So& 
genem audiret loquentem vera non vajia , certa non conunenti# 
tia,vtilia'vicx &C faluci humana?,non (ÌLiperfticioia&noiaa,de or» 
dine coeli,Luminura,Planecarum, Siderum^ Hyemis OC Aeftads^ 
Lucis &C Tenebrammo Et qui horum neceflarij & ordinati in na^ 
cura eflènt cfFedlus, Quomodo vifibiliter haec omnia nobis fint 
propofita,in Ggna , & non in contemptum,vt oblèruaretur a no# 
bis,ex his vifibilibtk,inutfibilis Dei virtus^pientia^iuftitia^ con# 
fians^ certa^firma^ta eius nobis bencSsidendi voluntas^ 

a li) ViAorìae 



Vi&otix lulfj Cx&ris fiiaxttiu Dei fucrthenf6e{^<faiea Smo 
proteste Qypeo , Quod miferabili ctdàitiàto^ eo eft faéhjm, vc 
videret poltericas^tea Diuiniois ièniatum^ non propria vircu# 
te^non cafii, non fortuna* Ita & Cyro affadtièmper Deus ^ Illi 
praeterea dedtt, rt anni certam rationcm inftituerct,& coUapfiun' 
modium ac ortunni,doftrìnam,inftauraret» Sub hoc Pcriarum 
Monarchia incoepit, 6C motuum do<!ìrina pritnum pululare coe# 
pit» NahiBàbilònicaeoblcniationes^quibiàHipparchiis&Pto» 
lemasus vfi fùnt^in illa apparet inddiflc iemponu Diuo Augufto 
gracificans Maniliiis Mamematicus , (%cIilco auream pilam im^ 
po(ùicAntomnJPijtemMribus,floruitPtoleman]s. Inter hunc 
et Proauum SerenifiiniadSlaic(laLt]3 tuae Diuum Frìdcricuin^vix 
vnas & a] ter leuiter florucre, hoc eft annis mille trecenti^vidcli# 
cet Albategnius AracenGB,&: Assophi^fiib Proauo noua luxoriri^ 
coepit Mauieniatids diidplinis^eo tempore QeorgiusBiirbadu# 
ìxSy'ÒC Ioannes de Monte regio, Mathemata ex Sìixacaiica barbai 
rie primum euoluere sonasi Gmu Horum Georgius in aliquo lo 
comit^apudllluffaiistmumSigifinundumAuftnae» R^omonl 
tanus apud fummos pontifices» Deinde clari&ma ingenia, Ioan# 
nes Stabiu8,8^ Andreas Stiborìus^qua: Auus Sereni&mse R^ac 
Maieftatis tuae, Diuus Maximilianus fouit^aluit, proiiexit, cum 
impcniè his ddeAaretur ftudijéjCaq^ tan^juam artikx intelligeret» 

Cu veroPrìncipes Reiptgrauiisimis curis&mole negotioruoci 
cupati,nihil temporis habeant,qua inGeometrico puluere le exer 
ceant,excogitaueré (uikimi iUi viri Stabius &Stibonusin gratiam 
Sereniisimi Aui Maieftatis tuae , varia inftrumenta, & /Sboqo# 
micas Machinas , quibus &iter agens,& bella gerens , 6C Hiftoi. 
rias (uas conicrìbcns,tune codi meatus, ortus & ocatTuafiderum, 
non modo obicruaret, Sed & caulàs horum omnium, 0tie defatif 
gatiòne, & dto & re&t primo quafi innutu, perdpeiet» 

Porro quia Stahiua,tum Matfaematici,tum Hiftoriographi mu 
nere , apud Sereniisimam ipGus Maieftattem fìingd>atur , nccp ad 
fublimia hacc prò dignitate tradandaiàtis ottj illiei&t, ac viderec 
Ioannem Vemerum Norìmbergenicm doSirinae Mathematum 
qua excdliebauidiunziflc earum viiim, inftite Vernerò, vt eanf 
dem viam infifteret,quo cum Sereni&imf Maieftati Caefàrqutum 
multtsPrindpibus viris gmificaxctur,qiii Mathcmacicis d^pli 

siisGad&ra 



lus Catiarea aucorìtate permeila deletfbbantun Con1crip(it igb^ 
tur Vemcrus fex libros de Metcorofiropfjs^quibus omnia pra*ce# 
pu do&rinat primf conuerfionis & Gcographif , ol facilitate cd$ 
plexus eft^vt fine Logifticcs fkftidio^ut Geometrico puluere, v# 
Jiusqui(9 Sdisobliquationes fingulis did>i]scapiat» Sublimitati 
poli mundi diuerfis modis inueniat^ Vera fiderum in codi globo 
loca ftatuat^ertus Sc occafus^ occultationes & apparìtiones oihm# 
um Gderum^leui negocio pncuideat» Omnis generis Sc(otherica 
ièu Horologia ad quamiiis planiciem^ctiam fortuito óbhtam def 
pingat* Qyonim alif prò diuerib Gtu exa<%ius^oras ad meridie 
oftendunt,Alise ad ortum &occa(ùm» Dici partes ex Solift aut 
fiderum fimplid intuita varfjs rationibus diicernat» Vise Solis (èu 
Zodiaci tranfitus per horìs»>ntas^eridianos^&circulos per Hof 
ri^ontis vertices duftos^Item ipfius cum bis ièAiones, vnde defet 
^sSoIisvaridsLun^laboresdeprehcndimus* InGeographi^ 
cis,ex tribus maximorum circulorum arcubus^ & tribfis inclinai 
tionis angulis^locorum in filobo terrae pofitus ratiocinamun 
Duorum viddicet locorìi uiblimate poh'^&: eorum itiner^uria ài$. 
Aantia* Meridiani vnius ad alterum indinatione^item amborum 
meridianorum indim^onibus ad eundem maximum, iqui per vf 
triuQg loci v:erticem ducitun Quandocunc^ vero tria^ex bis (èx^ 
cpiacucp permutatione fàufb^dataK. nota fiierinl^aec Metcorofco 
pia^primo quafi acceflù non modo relionia trìaaperìunt^fed often 
dunt etiam^quomodo de fiderum ortu oC acca&ij^ quado culmi» 
nant , locorum longitudines & latitudines explicandae fint» 

In ea ^o doArina^qii^ eft de cfFedibus Politi*^ ccdi,Solis,|Lunf , 
PIanctarum,6xarum3& horum inter (è, in mundo, & ad nos baf 
bitudine^eaparsqu^ inambulatioes Liberatorìs iiaiAphetf ^SM 
rit^ell omnium diiFicillima« 

Qyare Albohazen .proprios libros aperìendi nodos^^iac ob caul ' 
£im confcripièrat. Hi nodi,in bis libris, fine nc^otio aperìuntur, 
lèd Se tbtius codi j[acies3de bis Meteoro(copi)8/id quoduis tempo 
rismomentum depinxerimusexpcdite^vnde codi i Deo ordinai 
tos effèAus ratiocinemur« 

Hos de Meteorofcopi|8 libros^&de triagulis (phanids^Georgié. 
US Hartman Mathemadcus Norìcus^DoArìna &virtute prfftis, 
poft Vi^merìmortem ^ tanquam ex naufragio dìfperlàs tabdb», 
iiinc indccoUegit^S^ ea^qua^ quafi folip Sybillaedcfcriptaatxtt di» 

a ii^ rpedàeflcnt 



kcTÙi cfTcnt condnnauit y mihi^ ante quindcdm annos dedf C» 
Cur Cam diu apird me latuerint^mulcac fiint caufie» Piimum & ièf 
cundum Meteorofcopium^quidam pVo iuis cdiderat, nam vt jpo» 
fica a Geomo aùdiui^illi apud (è conlpeéti operis racionc &tor# 
mam cxprelkrant, Sac (ciebam Bellorophonds fabulam lufuros^ 
vt (è quidem b.&i autoresprf dicarenc fed apud nos eflè^cui moi 
ftro fijperato linguam haberet, qua fàdti autorcm demonArarcCt 
Dum dubitamus nofler ne^ an Oli Meteoroicopionun Gntautof 
res , nihil praeterea ea de re prodire vidcmus » Vemeti iginir 
Meteorofcopia^ampUuspramenda non duximus, maxime cum 
alia infuper duo Meteorolcopia tradideri^prioribus longe praef 
fiantionu Qiium pneterea muta illa fint, & thOf lingua , noilra 
vero facunda^Sd quae (uà eruditione omne pòileriiatem aluerinc» 
Virgilius fila Aendda flamis potius abfumi voluit^qua edi vi» 
cima manu non impofica^Nec]^ nofker^fua vt rcs ezigebac^perpolil 
re &C perficere potuic, morte pranientus» Ego in alieno opere im 
genium noftrum oftentare nolui , &C itaqualia (imt imperpolita 
aut edam imperfeda an ederem ^ dubitaui* Vidt tandem omnes 
dcliberaciones, Diui Augufti confiliunu Aends^licet non fit^qùa 
optaflcc Virgilius arce & diligenda^excultSLtamen Diuus Augu 
ilus, his diuini Virff,li) labonous totam^pofterìtatem defraudari 
noluiU Videmus Se Amili confiiio^enup excdlentilsimì. MediV 
d Montani (cripta, dida &C (ada, ili lucem prodirc Non igitur* 
dubitemus Sc nos 3 Germani nofm Mathemadcum opua^ non o# 
mnibus modis excultum^neqi abfblutum edcre^quod tamen pM 
fbntius eriCjpiultoru aliorum perpolitis^&magno apparata feri» 
ptis voluminibus*Diuus Auguftus poftm'tad imperfedum Vir» 
giltj opus commcndauit^Sc raa autoricate contra 2jOÌlorum ma« 
lignitatem3tutatuse(l» Ica Sereniisimam tuam Maieftatem hos lii 
brot in gradam Sereni(8imi Aui Ro^ar tuai! Maieifaids conferii ' 
DCoSjdementi&ime (^(cfiDturam, & le in ds oUedaturam, iperQ« 
Si quickm (iunmadm Aitronómica & Gec^raphica prfcepia co# 
dnent^eaif prsedpua, quae Sphamca dodrina confbnt» Sdo Se# 
renifiimam Maieftatem tuam, bis di(ciplinis virtute Caefiurea de# 
Icdari* Ideocp iUi piacere, vt U libri ad p<^lerìtatem propi^^tur* 
His (ex deMeteoro(copcjs libris^pramiiimus auatuor de Sf^unif 
ds triangulik, Quind materia congeflèrat^Sed ea in manus Hart» 
manni non Venere* Annotauerat, quam dodrinae partem in eo 
cradaffo , fed nos ìnchoatam opdmi Appella Vcnerem diuerfii 

manu non 




wanu non pcrficicndam ftatuimus» Porro eam Vcrnmis'm fift 
condendo libris viam eft ingreflus ^ vt doiflrìnas trìangulorum 
Spha^riconim a fé craditar^ ninil a quouis artifice addi^quod non 
rcdundaret , poflèt,* n ihii demi , fine noxa totius operìs^cum nihd 
redundet» Voluit omnibus nu'meris efle perfeAum^elementis cxf 
ceptis,quac i Theodofio 8C Menelao traduntun Hoc (uum con» 
.filium prudentiisime in his qu^ efiFeóbt (unt pertendit^ita vt facile 
erudita fisicilicate y omnium ante (e in hoc genere (cripta fiipcret* 
Noftrum vero confilium fuit ^ vt eruditi quibus tantum cri: oti), 

J|uoGeometricumver(èntpuluerem,habeant principio totius de 
pharrìds Mathefèos Thefàurum^in libris triangulorum» In fiib» 
équentibus vero de Meteorofcopijs libris, videant tanti The&uf 
ri vfum^ié f n fjs exerceant,& inde quicquid Cphxricg confiderati; 
oni dignum habeat codum^mare^terra^natur^ in hia contenta, dei 
promant» Haec^G explicare velle^tota Aftronomia, Geographia, 
doArina de fiderum cfFeftibus in medium producénda forcnt , 
Verum Sereniisima Maieftas Tua Regia virtute Cac(àrea,longtf 
iseAiùs et (ubiimius ha^c animo intuetur fiio 3 & peripidt ^ quam 
vlla a nobis oratione depingi po&it» 

Serenissima Maieftas tua Regia , in imperio nunc maximu v€ 

audimus con(crìb]texs^dtutn.ad repellendasTurcicas incur(ì5es< 
Precamur Chriitum Od nlium , vt Serenilsmia: Maieftati Tuac 

R^'f ,de codo det viftoriam, is (èdit ad dexterain Dd patrìs, SiC 

confnnget hoftes Chrifliani nominis exoratus^tanquam vasfigui 

li ve non remaneat teihila^in qua parum ignis (eratun 

Diximus ailra natura ordine^h^c inferiora gubemare^jSed coeH 

conditor, qui aflra nomine vocat, eis modum iC terminum phe^ 

fcribitjvbi vult^curfiim (ìftit,efFc(fhis vt vult/noderatur,^icut Io« 

fii^ Solem in coelo (iftebat3& Sedechig (blem retrahebat» Qt^an^ ^ 

tum vero ad aftra attinet^non dubito^quin Turdco imperio imi 

mineat mina maximairepentinajmprouiia^a ppropinquate in flu» 

m ignei Trig oni^et languefcentc Aquei Trigoni vinous* 



_ A6# 

cedic et orbis Exarum anomalia^ad tertium dus terminunu Qyof 
ties vero talem aliquem attingtt terminum , (èmper condgiflc in U*-^ v/^ * * V 
mundo/t in imperijs maximas mutationes, conftat ex Hiltorifs* "^ V**^^ f^ 
Aciìib.idemtempus,natur^conditoremDeumiùaexercui(Iciu# J^0^^'^'^*f*'^*^ /'c4*fti 
dicia. Depofìiiile potentes de (ède, & exaltailè humiles^quod 8C ^-rf^ '•J'^» •" ^7^< 1^ ^ w / 
Xcnd euenit^dum Gneciam innumerabili inuaderet exerdtu* «.f ^n/. J^.»n/^/#(\,^. 

Primua yj4 i^^ ^ 



'*f 



Pr Jmm Nicolaus CopernioM^oftrf aetatis nunquam &ds Uaa 
clatus Hippardius^anc orbfe fiianim anomali^ radonem (kprf» 
hendf (3 quonadinodum alias copiofè oftendimus, Cum vero in 
Pri|(kia,plus minus triennio tgiilèm^ di(cedend mihi opdmus (t^ 
nex iniunxit^vt enitercr ea pedìcere^qu^ ip(è,(enioS^fijo quodam 
impedinis faco , minus potuittet abfi>luere « Dcip quf in Lunii# 
num et Planeurum conucrrioibus adhuc d«fiderantur,aiio in lof 
co erìc dicendi occafio* 

In pofitu vero Siderum orbis ftellarum^Ieracpeflie conilat in 
Pcolemaica defcripdone, i ventate ab'ena*Primo propter librai 
rìorum infddam, cum (sepius deicr ibendo tales indiccs , fadle in 
numerisadmittatur error* Deinde^quia obfeniadoes vix ad De^ 
cades pardum fint accepcar, idcf per armillas^ quibus in promptu 
eAyèC ad gradus (èmiisim errare. Quantum momend habitura eO 
ff t iulìa orbia (Iellati defcrìptio , in doébina de efteftibuB fiderS, 
parcun fupra diximus. Hoc affirmare auGm^totam eam Phyfices 
partem^quf eft de fiderum eflfèdibus^deo mmus (liam tueri inter 
reliquas difciplinas autorìtatem^quod qui ea traftan t.plerun<a fo» 
^ \Ì i""t P^npf||jj^^ pgYp'aWj ti^gi^Af» ea confidcradcme qu^ elt in 



hac arte prascipua» Hanc ob cauiiun credidenm^maximum artis 

vfiim interddiflè* Georgitis Tanfì^ter , et Andreaùs Perlacb'ug, 

fiimmi yiri^eadem haec peribexcre^, & proculdubio» fi iuftos Gdd 
rum poutus habuilìQrnfc, res in arte maximas praeftitiilent Cum 

jgitur tand moménd base 6t exquiftdo , & hajnc prouindam do» 

minus Copemicus nobis iniunxerit ^ q uem non iolum tangiiam 

prdt<^ptorem Jed vt patrem colui^obfèruaui^ac ci ièmper gradfi# 

cari iuidui. Poilquam Geometria & Aritbmedca £ids me prse» 

^ pafaiirram.^gl«n Cracouiam^JgruadQpift lofum^fu m Cppérni» 

^ ^Qwdc^ehenoWfe 

jQocouia aequialiter diilare ab occaiìi^nib code men'diano^hic^au 
xilio&liberaliuteMagnifidE^jDOMiNiiOANNis bonbri, 

erext Obeli(cu,quadragintaquin<^pedumRomanorunvNameo 
ìudicio, nullum aliud inilrumentum praeftadus Obdiico fìierìt* 
Onmiu prìmus in Aegypto Obelifcos inftituit Rex Mitres,vt 
Plinibs refer^ibmnio iuluis» Deum autem velie y vt (barn Geo> 
metriam in natura confideremus , edam Galenus teftatun Cum 
enim non auderet demonftrationes Geometricas, in Anatomids 
librìs adducere,ne (ùf actads medicos ab eorum legione deterre» 
xet» Iufli»in ibmnis i Deo^ demonftradonem Gcometrìcam iai 

brìcfocii 




bricg oculi^podiic Obelifcus autem Solis mimuii fkcnto&jnomi^ 
neillorum Aegyptio fignificarì^teftamr Plinto^ SicutcnimSol^ 
rex & Monarcna eft Politi^ codi^ad cuiittniiin<ro$ & motus rct 
Itqua mouencur fiderà* Eft & codus mundi oculus , cuiusluce iìf 
lullrantur omnia* Ita (blo CHxliico^ omnes Ims PóHtif codcftis J^ 
€xaL&c deprairhendi, 8c (cr ibi pofiùnc» Soli» OhclifoMS oculos ar> 
tificurn apcrfre , 8c luccm capiendarum obieniatiomim conferì) 
bendair hiftoriac mocuum^perlcrutadi apcas demonftradones moi 
tuum^pnebcre potcft^ vt per cum omm momento capiantur vti> 
Ics mocuum ob^ruariones» Scribit Sdbortii83& tanquam ardfex 
pofteritatem moncc, nouisiùbinde obferuauonflMis fulciendam 
mocuum doéhrinam^non condids tabulis perpetuo infaserendumL 
{ed cado (e conformandum* ^4on i^mr Obeliicus humanum eft 
]'nuentum,lèd Deo autore inftitutus^non vt iàdsfàceret curìofita» 
d bumanf , (évi vt Dd in coelo SC terratGcometrìam doceret, Art 
millar,regulp,Aftrolabia^Qi|adrantc8^nt humanainuenta* Ideo 
Se iaborioià & maxime errorìbus oportuna« ObelifcusDei mò# 
nitu xdificatus , facile omnia ha?c praeftat^ & oàtAe. Porro duos 
Obelifcos in(crìpt08 alt Plim'ui» 

^OTTTlOltVM OPEH^ PHILOSOPHJjS CONTINENT. 

Quid hac inicrìptionealiud fibi voluere, quam has Machinaa 
no (rufbra mftitutas^ fed in v(us maximo8»£(Iè opera Philoibphif 
Aegypdoi^ non Philofophi; Graxorum aut LadnoR^icd Atgff 
pdoru^qui parentes Geometri^ ^ri thmedcf ,et Aftronomip^a' pa> 
tribuB v(cp&Abraliamo,(ì lolèpho credimu8^ere/ì quibus Plato 
inGrf dam,Pytbagoras in Italiam Mathemata traduxere* Ac tra» 
die Plinius^ìio idem tempus in Aesypto Pythagoram (ìiifle^dum 
jlle centum vigin'd quincp pedum o^ Dodrands ObeIi(cus ftatu> jf/jr 
eretur,quem poftea. Romf Diuus Auguftus in drco ftatuit*Obe» 
lifcos igitur vocant A^yptij,interpretes rerum naturac^^t quod 
.maius eft ipGus rerum natur^ interpretationem* Qyisautem aij»> 
dens hpideam hanc molem, cog^'tauerit, hacc moles eft interpre# 
tatio rerum naturf^autrerum natura interpres ( Nemo credide# 
rìm hominum ^ nifi de illorum numero fuerìt, quorum veftigia, 
dum in littore naufragus &C expes videret Arìftipptis . iufiit cala» 
mitatis idciosjbono animo eflè, ie em'm hominum veftigia cemcf 
te 3 cum videret Gcomctricas figuras in littoris arena pafiim exa> 

r?fiiftHiif 



Tatss. ExplicatiusigiOir dixerimus30I>c]if£uni eflè opus I%i1oÌ0i 
phi^emonftrans ordine^^iodum^et tationc tapiendi poGhis So» 
lisfjLunf^nr&ium^c rdiquonim Gdenmi, vnde ftad fiderumo» 
tus^omnesi^ codeins Poli'd^ leges exquirantur.ac Aftronomia cu 
Geograpbm et caPhyfiiccs parte^quf dtt de effc&f bus fidmi^uma # 
n^ vita? maxime neceflàri^ diicifìins^exaedificef itur^Aabiliantur, 
jppagciuunDiuiiB Auguftus^Plinio teftc^Obelifco faorasdier ca» 
piebat^vfiis piilchemmiis, Scd qu^ eft Rheni^lcherrimi flumif 
nis^cSpaiado ad tocum mare, Terr^ ad ccdimi^ca cftCjnomom't 
cesadxotum CMxlifa vfiim* 

Dolcndum igitur Turdeum Tyrannum ex Aegypto G>tifkl» 

dnopolim^tantum dicfiuirum, in millumpenitus vmm^obiblain 

ambitionem dcndbere» Vdnam Romanus Obelifiius, non etiam 

toc iam lèculis mucus ftuet^ (ed ciim doórìna & ingemjscxcdlac 

Italia^indc nobfs Aftronomiam inflauraret^infiii celd^ricatem^et 

omnium noftmm vtilitate* Concedat'haec opcandbus atcj^ cutani 

tìbusyincerc^ has^mihi^DEus ben^e vicam^&Serenifiinui Maief 

ftas Tua me mamrAc audiec poitmtas^quantus die&irus fit 0# 

belìicus : Non {ìruKra Aegypdos Rcges^in Qbeliicos maiiimos 

aurì & arécnti theiàuros eroòpiSiyt dulcmimos a nobis comme* 

momosSpncflami&mos&ithcrauroscompamcnc Ha<;^ 

nus me rei anguftia & muitiplida inforcunia tdcf adueria prdlef 

runc^quo minus ficut volui^Aftronomiae inuigflare pbtucrìm, SC 

Medica me tota flbi rapuerc» Qt^od ù Scrcnifiima TuaR^tMai 

ieftasme tucndum tuiceperìt^hisftudijsgaudenSjmeamoi 

peram no d^Dezerìc^ca EXd benignitacedaturusiiim^ 

qug cum DeOjtum 8ereni6iniae Maicftad Tu; 

Rcgiae grata accqMaì]^ fore non 

dubito, vei potiusmihi 

perfiiadeo* 

Htt me fiibmifl^ Scrcni&un^ MaìeBaitì Tu; Rcgif 

conunendo^ 

s 



\ 



\ 



IOANNIS VERNEEI 



DE TRIANGULIS SPHAERICIS 



LIBEI QUATUOR 



IOANNIS VEKNEKI NORIMBEEGENSIS codReg 



1259. 



DE TKIANGULIS SPHAEEICIS. ^oi i' 



LIBER PBIMUS. 



Defflnitiones. 

I* Circulus maximus in sphaera est, cuìus planum sphaeram super 
ipsius centrum secai aequalìter. 

II. Circulus minor est, qui sphaeram extra sphaerae centrum secai 
per inaequalia. 

III. Segmentum circuii maximi est pars maximi, quae coniinetur a 
parte circum|ferentiae et rectae in maximum inductae. Sed et circumferen- 1^ 
tiam sectoris segmenti nomine quandoque accipimus. 

IT* Angulus sphaericus, qui in hoc et sequentibus libris consideratur, 
est, qui in superficie sphaerae ex maximorum circulorum segmentis con- 
cinnatur. 

y. Si circulus maximus super circulum maximum sphaerae consistens 
continuos angulos aequales fecerit, uterque eorum rectus est, et maximi 
sibi mutuo sunt recti seu perpendiculares. 

TI. Angulus acutus sphaeralis est, qui a maximis sphaerae circulis 
comprehensus recto minor existit. | 

TII« Obtusus angulus sphaeraUs est, qui maximis sphaerae circulis 2' 
concinnatus rectum exsuperat angulum. 

Vili. Si duo segmenta quempiam datum angulum continentia in qua- 
drantes efficiantur ad eandem partem, atque per fines eorundem quadrantum 
maximi segmentum fuerit productum, protracti itaque segmenti et inter 
quadrantum fines comprehensi magnitudo anguli dati magnitudinem defìnit. 
Hoc segmentum si quadrans fuerit, angulus datus erit rectus; si quadrante 
minor, acutus; si maior, obtusus. 

IX. Triangulum, quod in hoc et sequentibus consideratur libris, est, 
quod ex maximorum in sphaera concinnatur segmentis. | 

X. Segmentum maximi circuii seu orbis magni in dato puncto alteri 2^ 
segmento congredi dico, quod, cum altero sphaeralem continens angulum, 
unam et continuam orbis sectionem minime constituat. 

XI. Segmentum genere incertum est, eisdem subiectis, quod in eadem 
trianguli dispositione aut quadrans esse possif, vel quadrante maius, aut 
minus. 

Abbdlgn. x. Qetch. d. math. Wìbb. XXIV. 1 



2 Liber primus. 

XII. Angulus genere dubius est, qui pari trianguli dispositione, eisdem 
subiectis, aliquando rectus est, aliquando acutus aut obtusus. 




3' Froposltio prima. 

Si in sphaerico triangulo duo, qui ad basim sunt anguli, 
recti sunt, erit utrumque duorum segmentorum iuxta eosdem 
rectos angulos quadranti aequale. 

In sphaerico igitur triangulo ABC uterque duorum angulorum ABC, 
ACB, qui ad basim BC sunt, sit rectus. Dico, quod utrumque duorum 
segmentorum AB, AC sit quadrans. 

Eadem namque AB, AC segmenta cdnstat esse aequalia per propo- 
sitionem tertiam primi libri Menelai de aphaerids] et quia utriusque seg- 
mentorum duorum AB, AC planum ex hipothesi erigitur ad 
planum orbis BC segmenti, igitur utriusque segmentorum 
duorum AB, AC circulus permeat polum orbis segmenti 
BC}) Ergo communis sectio A duorum segmentorum polus 
erit orbis segmenti BC, nisi eiusdem circuii super sphaera 

S'^ j^l }q scripti in eandem partem duo poli | dari poterint, quod est 

impossibile.^) Et quoniam A polus est magni circuii segmenti 
BC, igitur utrumque duorum segmentorum AB, AC quadrans est.*) 

Si igitur in sphaerico triangulo duo, qui ad basim sunt anguli, recti 
sunt, et reliqua ut supra; q. o. osten[dere]. 

Propositio secunda. 

Si sphaericus trigonus rectum unum habuerit angulum, et 
alterum iuxta rectum angulum segmentum quadrante minus, et 
segmentum eidem angulo recto obiectum quadranti aequale, erit 
altera circa eundem rectum angulum circumferentia quadranti 
aequalis, atque idem triangulus duos habebit rectos angulos. 

In sphaerico itaque triangulo ABC angulus ABC rectus sit, et AC 
segmentum quadrans eidem recto angulo oppositum, atque AB segmentum 

quadrante minus. Dico, quod alterum BC seg- 
mentorum iuxta rectum angulum ABC sit qua- 
drans, et angulus BAC quoque rectus. | 

E sto itaque, ut circumferentia AB minor 

sit quadrante. Utrumque deinde iuxta angulum 

ABC segmentorum ex parte A, C producatur 

in semicirculum, concurrente altero alteri in puncto 

2>; iungeturque axis sphaerae BD; et ex puncto 

A super BD axi perpendicularis agatur A E-, et esto, si id fieri poterit, 

BC segmentum quadrante minus. Ergo ex semicirculo BCD quadrans 

BCF dematur; atque per A, F signa scribatur magni circuii AGF peri- 

pheria.*) Et quia ex hypothesi angulus ABC rectus est, igitur F punctum 

1) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 13. 

2) Vgl. Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, def. 5. 8) Ibid. I, 16. 
4) Ibid. I, 20. 




Liber primus. 3 

polus est magni circuii BAD}) Igitur circumferentia AGF magni circuii 
quadrans est. 

Rursus iungantnr AC, AF^ EC, EF rectae lineae; et quia per con- 
structionem semicirculi BAD planum super plano semicirculi BCD erigitur, 
ergo per diffinitionem : „Si planum plano rectum est, etc/* — ut in 
principio libri [XI] élementorum Euclidis*) — uterque duorum angulorum 
rectilineomm AEC^ AEF rectus est. Et per propositionem septimam 
libri ni eorundem élementorum EC recta linea minor est quam | EF 4^ 
recta linea. Igitur per propositionem penultimam libri primi') eorundem 
élementorum quadratum^) ipsius AF rectae lineae maius est quadrato rectae 
lineae AC, Et quia duae circumferentiae AGF et AC aequalium sunt 
circulorum ex hypothesi, et basis AF circumferentiae AGFy yelut patuit, 
maior est base AC segmenti AC, igitur segmentum AGF maius AC 
segmento; at, velut patuit, AGF segmentum quadrans est; ergo AC 
segmentum quadrante minus erit. At iam pridem subiiciebatur, idem 
segmentum AC acquale esse quadranti, quod est impossibile. 

Pari denique argumentatione probabimus, BC segmentum^) non excedere 
quadrantem. Igitur BC segmentum quadrans est seu quadranti acquale. 
Et quia circulus segmenti AC, uti patet, per polos scriptus est circuii ABD^\ 
ergo planum circuii J.C ad planum BAD circuii erigitur^); ergo BAC 
angulus rectus est. 

Igitur si sphaerici trianguli rectus unus datur angulus, et segmentum 
eidem angulo obiectum qua|drans, et alterum iuxta eundem rectum angulum 6' 
segmentum quadrante minus, erit et reliquum iuxta eundem rectum angulum 
segmentum quadranti acquale; quod demonstrandum erat. 

Propositlo tertla. 

Si in triangulo rectum possidente angulum duorum laterum, 
quae rectum angulum continent, utrumque minùs quadrante 
fuerit, erit uterque reliquorum angulorum acutus, et latus, 
quod sub recto tenditur angulo, etiam quadrante inferius. 

Sit ergo triangulus ABC rectum habens angulum ^^C7 et utrumque 
laterum, eundem quae comprehendunt angulum rectum, 
quadrante minus. Dico, quod uterque ex reliquis 
angulis ACB et BAC acutus est, et latus reliquum 
AC quadrante minus. 

Ergo utraque latera AB et BC rectum angulum 
ABC continentia in partes A, C producantur, quousque 
eorum utrumque quadrans fiat. { Sintque quadrantes 
isti BAE et BCD] et per A, D signa descriptum esto magni orbis seg- 
mentum AD,^ 

1) Vgl. Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 13. 

2) Euclidis elementa XI, def. 4. 
8) Ibid. I, 47 (Der pythag. Lehrsatz). 
4) Ha. hat quadrantum. 5) Hb. bat quadrantem. 
6) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 18. 7) Ibid. I, 16. 
8) Ibid. I, 20. 




Lìber primus. 



Et quia quadrans BD a,à rectos consistit angulos super BE quadrante, 
igitur 2) signum polus est segmenti BAE\et idcirco AD sectio quadrans 
est. Et quia per primum librum Theodosii de sphaericis^) angulus BAD 
rectus est, igitur BAC sjo^ìvls recto minor est. Igitur per diffinitionem [VI] 
angulus BAC acutus. 

Rursus per Ey C signa orbis magni sectio EG scribatur. 

Et quia BE quadrans super BD segmentum perpendicularìs est, ergo 
E signum polus est segmenti BCDj et angulus BCE rectus. Ergo angulus 
ACB recto minor, et per diffinitionem [VI] acutus. Igitur uterque duorum 
angulorum BAC et BOA est acutus. 

Praeterea in triangulo ACD angulus ADB acutus est; eius enim 
magnitudo per diffinitionem anguli sphaeralis [Vili] est AB sectio, quae 
6' quadrante minor existit. Et angulus ACD obtusus est; { nam de duobus 
rectis reliquus ACB acutus est, yelut ostensum fuit. Et quoniam demon- 
stratuni est*) in primo libro Menelai de sphaericis triangulis^) ^ quod 
in triangulo omni maius latus sub malori tenditur angulo, igitur segmentum 
AD maius est sectione AC, At AD segmentum per constructionem 
quadrans est; ergo AC sectio quadrante inferior est. 

Igitur si in triangulo rectum possidente angulum duorum etc. ut supra; 
quod 0. osten[dere]. 

Propositio quarta. 

In triangulo isoscheli, cuius utrumque duorum aequalium 
laterum quadrante fuerit inferius, uterque angulorum, qui super 
reliquo consistunt latere, acutus est, et alter alteri aequalis. 

Sit triangulus^) isoscbeles ABCy cuius duo latera aequalia sunt BA^ 
AC [et utrumque eorum quadrante inferius]. Dico, quod uterque duorum 
angulorum ABC ei ACB sit acutus. 

Igitur duo latera AB et AC in partes B ei C protrahantur usque 
ad D et jE, quousque utrumque | segmentorum ABD et AC E quadrans 

existat. Et per D, E magnus descrìbatur 
circulus GDEF^) SimiUter BC latus ad 
utrasque partes protrabatur, quousque con- 
currat utrobique cum circulo GDEF super 
F et G punctis. 

Quoniam in triangulo ABC duo latera 

>F BA^ AC sunt aequalia, erunt duo anguli 

ABC et ACB aequales*); ergo et duo qui 

eis ad verticem sunt aequales anguli ECF 

et DBGJ) Et quoniam A signum polus est circuH FDG, erunt duo 

anguli BDG, CEF aequales; eorum enim uterque rectus est.®) Et quia 

1) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 16. 2) Hs hat fuit korr. in est. 

8) He. hat sphaericis nis [d. h. Sia = triangulia]. — Vgl. Menelai 
sphaerica I, 7. Ich zitiere die Halleyausgabe (Oxford 1768), deren Satze der von 
Werner benutzten Menelaos-Oljersetzung (durch Gerhard v. Cremona) enteprechen. 

4) Hb. hat angulus. 6) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 20. 

6) Menelai sphaerica I, 2. 7) Ibid. I, def. 4. 

8) Theodosii sphaerica, ed Nizze I, 16. 



6 




Liber primus. 5 

utnunque segmentorum FBG et FDG semìcirculus est^), igitur duo angoli 
BGDy OFE simt aequales per prìmum libnim Menelaì.^) Ergo duo 
triangula CFE et BDG sunt aequiangula, et segmentum BD aequatur 
segmento CE'^ igitur et BG per XIY primi libri Menelai sectio aequalis 
erit EF sectioni. Et duorum segmentorum BD^ CE utrumque per con- 
structionem quadrante minus est. Simillit-er duorum segmentorum EF et 7' 
BG utrumque quadrante minus est. Ergo per praecedentem propositionem 
bis assumptam uterque duorum angulorum ECF et BBG acutus est. Igitur 
qui bis ad 7erticem sunt angulorum ABC, ACB uterque acutus. 
Ergo in triangulo isoscheli etc; q. o. o. 

Propositio quinta. 

In triangulo isoscheli, cuius utrumque aequalium laterum 
quadrantem ezsuperat, uterque duorum angulorum, qui super 
reliquo consistunt latere, obtusus existit, et alter alteri aequalis. 

In triangulo igitur ABC duo latera AB et BC sint aequalia, et 
utrumque quadrante maius. Dico, quod uterque duorum 
angulorum ACB et BAC est recto maior. 

Ergo AB et BC latera protrabantur in partes A, C, 
quousque concurrant super D, Et quia per { propositionem XV 
primi libri Theodosii de sphaericis^) utraque duarum 
sectionum BAD et BCB semicirculus est, et per hipothesim 
AB et BC segmenta aequalia, igitur duae sectiones reliquae 
AB et BC aequales sunt, et earum utraque quadrante minor. 
Ergo per praecedentem propositionem duorum angulorum 
BAC et BCA uterque recto minor') est. Ergo duorum 
angulorum BAC et ACB uterque recto maior est. 

Igitur in triangulo isoscheli etc; q. o. o. 

Propositio sexta. 

Si in trigono^) dato rectangulo duorum laterum, quibus 
[rectus] continetur angulus, unum utcumque fuerit, alterum 
quadrans erit, et reliquum latus recto subtensum angulo qua- 
drans, atque datus triangulus habebit ad minimum duos angulos 
rectos. 

Esto igitur triangulus ABC habens AB la|tu8 quadrante minus, AC ^i' 
vero quadranti acquale, et angulum^^C sub eisdem comprehensum lateribus 

1) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 11. 

2) Eb findet sich in Menelaos' Spharik kein Satz, auf welchen hier hin- 
gewiesen werden kann. Dagegen wird daselbst yen Satz I, 10 an òfters dieselbe 
Yoraussetzung wie hier gemacht, nnd Campanns knùpft daran folgenden Eom- 
mentar: Quia Urne dicuntur anguli, quos continent arcus eirculorum magnorum in 
sphaera, aequcUes, cum angtUi inclinationis eorum sunt aequales. In den arabischen 
Menelaoshfls. liefft die Voraussetzung in I, def. 6; Werner aber kannte sicher nar 
die lateinische Ubersetzung duxch Gerhard von Cremona, wo die Definitionen feblen. 

8) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 11. 4) Hs. bat maior. 

6) Hs. hat trigono korr. aus triangulo. 





6 Liber primus. 

rectum. Dico, quod segmentum BC quadrans quoque est, atque triangulus 

ABC tià. mìnus duos rectos possidet angulos. 

Et quia angulus BAC rectus, ergo per id, quod Theodosius in 

primo libro de sphaericis^) demonstravit, AC segmentum transit per polos 

orbis AB. Et quoniam ex hypothesi AG quadrans, ideo 
per eundem librum Tbeodosii') C signum polus est orbis 
AB, At quia in eodem libro Tbeodosii demonstratum 
est'), si a polo magni orbis ad ipsius circumferentiam recta 
qualitercunque deducatur, linea ipsa magni orbis qua- 
drantem subtendit, igitur et BC segmentum quadrans est. 
At in primo libro de sphaericis triangulis Menelaus^) 

ostendit, quod in trigono isoscheli duo anguli qui super basim ad invicem 

sunt aequales; ergo in triangulo ABC angulus ABC aequalis est angulo 
9^ BAC. At angulus | BAC per bypotbesim rectus est, ergo et angulus 

ABC est rectus. 

Quod si AB segmentum quadrans quoque fuerit, et AB per difGl- 

nitionem [Ylli] magnitudo est sphaerici anguli ACB, ergo et angulus 

ACB rectus erit; atque idcirco triangulus ABC tres habebit angulos rectos. 

Si autem AB sectio quadraltte maior aut minor fuerit, angulus itaque 

BCA rectus non erit, sed vel recto minor vel maior; et ita datum trian- 

gulum ABC duos tantum rectos habebit angulos. 

Igitur si in triangulo dato, et reliqua ut supra; q. o. o. 

Propositio septima. 

Si in triangulo sphaerico duorum laterum, quibus rectus 

comprehenditur angulus, unum quadrante minus existat, alterum 

quadrante maius, erit angulus minori subtensus datorum laterum 

Qi acutus, qui | vero malori obtusus, et reliquum latus quoque 

quadrante maius. 

Sit datum triangulum ABC habens ABC angulum rectum, et AB 
latus quadrante quidem minus, BC vero maius. Dico, quod angulus BCA 
C sit acutus, et angulus BAC obtusus, et AC latus reliquum 

y\. etiam quadrante maius. 

\ \ Ergo duo latera AC et CB in partes -4, B producantur, 

\ \ donec concurrant super 2) signo. Et quia in primo libro 

\ Tbeodosii*) demonstratum est, quod magni super spbaera 

J -circuii in duobus duntaxat signis et per aequalia se ad invicem 

3 — --'W^^ secant, igitur utrumque duorum segmentorum CAD et BBC 

I semicirculus est. Et quia per hipothesim BC sectio quadrante 

/ / maior est, igitur et reliqua BD eadem est quadrante minor. 

^y At AB segmentum ex hypothesi quadrante superatur, et anguli 

^v jO circa signum { B recti sunt; ergo per propositionem t^rtiam 

uterque duorum angulorum BAD et ADB recto minor est, et segmentum 

1) Tbeodosii sphaerica, ed. Nizze I, 13. 

2) Ibid. I, 16 invera. 3) Ibìd. I, 16. 

4) Hs. hat aphctericis nis [d. h. 3is.]. — Menelai sphaerica 1,2. 

5) TheodoBÌi sphaerica, ed. Nizze 1, 11. 



Lìber prìmus. 7 

AD quadrante minus. At angulus ACB aequalis est angulo ADE; igitur 
angulus ACB aeutus est; et quoniam BAD angulus est acutus, ergo de 
duobus rectìs reliquus BAC angulus obtusus est. At quia AD sectio 
quadrante est inferior, igitur ex semicirculo DAC reliqua CA quadrantem 
excedit. 

Igitur si in triangulo sphaerico duorum laterum, quibus rectus com- 
prebenditur angidus, et reliqua ut supra; q. o. o. 

Propositio oetaya. 

Si super triangulo spbaerico duorum laterum, quae rectum 
complectuntur angulum, unum quadrans ezistat, alterum qua- 
drante superius, erit latus reliquum quadrans, et angulus dato 
subtensus quadrante re|ctus, reliquusque angulus obtusus. 10' 

Esto triangulum sphaericum ABC habens angulum BAC rectum, et 
latus AB quadrantem, AC vero quadrante longius. Dico, quod reliquum 
latus BC quadrans sit, et reliquorum angu- 
ÌOTvm ACB quidem rectus, ABC vero obtusus. 

Ergo ^C et CB segmenta in partes A, 
B producantur, et concurrant in D}) Et quia 
utraque sectionum CAD et DBC per primum 
librum Theodosii^ est semicirculus, et AC 
segmentum ex hypothesi quadrante maius, 
igitur DA semicirculi CAD reliqua sectio 
quadrante minor est. At ex hjpothesi AB quadrans est, et angulus BAD 
rectus; ergo per propositionem sextam BD segmentum quadrans est; igitur 
ex semicirculo DBC reliquum segmentum CB quadrans. 

At quia in triangulo ABD utrumqne laterum AB, BD quadrans est, 
et idcirco triangulus ABD \ isoscheles, igitur angulus ADB aequalis est 10^ 
angulo BAD}) Angulus autem BAD rectus est; igitur angulus ADB 
rectus est, qui quoniam aequalis est angulo ACB, ideo angulus ACB 
rectus est. Et quia segmentum AD, velut ostensum fuit, minus existit 
quadrante, et ipsum magnitudo est anguli ABD [Def. VillJ, igitur angulus 
ABD recto minor est Quare de duobus rectis reliquus ABC obtusus erit. 

Igitur si super triangulo sphaerico, et reliqua yelut supra; q. o. o. 

Propositio nona. 

In dato triangulo spbaerico si duo latera inaequalia rectum 
complectantur angulum, ex quibus utrumque quadrantem excedat, 
erit reliquum latus quadrante brevius, et reliquorum uterque 
angulorum obtusus. 

Triangulus itaque datus esto ABC habens | angulum BAC rectum, 11' 
et utrumque duorum laterum AB, AC quadrante maius. Dico, quod latus 
reliquum BC quadrante minus est, et uterque duorum angulorum ABC et 
BCA obtusus. 




1) Hs. hat DE. 2) Theodoaii sphaerica, ed. Nizze I, 11. 

8) Menelai sphaerica I, 2. 



8 



Liber primus. 



in 



Igitur duo latera AB et AC in partes B^ C producta concurrant 
D. Et quoniam utrumque segmentorum ABI) et ACD est semi- 

cìrculus^), et duo utraque latera AB ei AC 
sunt maiora quadrante, ideo utrumque duorum 
segmentorum BD et DC est quadrante in- 
ferius; et angulus BDC aequalis est angulo 
BAC, sed BAC angulus rectus est, ergo 
et suus aequalis BJDC, Igitur per pro- 
positionem tertiam latus BC quadrante minus 
est; at quia per propositionem eandem uterque duorum angulorum BCD 
et CBD acutus est, ergo de duobus rectis reliqui ABC et ACB sunt 
obtusi. 

Igitur in trlangulo sphaerico si duo latera inaequalia rectum com- 
plectantur angulum, et reliqua, quae oportuit ostendere. | 




ir 



12' 



Propositio decima. 

In triangulo sphaerico si duo latera inaequalia, quorum 
utrumque minus quadrante fuerit, acutum comprehendunt angu- 
lum, erit latus, quod acutum subtendit angulum, quadrante minus. 

E sto triangulum ABC possidens utrumque duorum laterum, quae acu- 
tum contineant angulum BAC^ quadrante minus. Dico, quod latus reliquum 
BC quadrante minus est. 

Sit igitur BAD angulus rectus, claudens intra se partilem et acutum 
angulum BAC] atque segmenta tria AB, AC et AD in partes B, C et D 

producta concurrant super E signo. Etenim 
si duo segmenta velut AB et AD concursum 
suum habuerint super E puncto, segmentum 
vero AC in partem C productum in diversis 
congrediatur cum utroque reUquorum | segmen- 
torum, velut cum sectione AB E super F signo 
)ijS et cum segmento ADE super G signo, con- 
sequens erit, ut duo magni orbes super sphaera 
sese per inaequalia secent, quod est penitus 
absentaneum atque illi, quod Theodosius de sphacì'icis^) in libro primo 
demonstravit, penitus contrarium. Ipsa igitur tria segmenta concurrunt super 
unico signo E] atque BC sectio in partem C producta concurrat cum seg- 
mento ADE super D signo. 

Et ex semicirculo ADE abscindatur quadrans AH. Igitur si D punc- 
tum ceciderit inter A, H signa, patet AD segmentum quadrante minus esse. 
At ex bjrpothesi AB segmentum quadrante quoque vincitur, et per con- 
structionem angulus BAD rectus est; igitur per propositionem tertiam BD 
sectio quadrante minor existit; ergo multo magis ipsius pars, videlicet seg- 
mentum BCy quadrante vincitur. 




1) Theodosii sphcterica, ed. Nizze I, 11. 

2) Ibid. 



Liber priinns. 9 

Idem^) eodem modo demonstrabìmus, si B super H ceciderit; nam BH 
quajdrans erìt per propositìonem sextam; et quia BC tunc pars erit qua- 12^ 
drantifl, igitur BC erit quadrante minor. 

Postquam vero punctum D inter H et E signa contigerit, ergo ex 
semicirculo AB E scindatur quadrans AI\ atque per signa H^ I magni orbis 
segmentum HKI describatur^), secans BJ) segmentum super K signo. Et 
quoniam A polus est segmenti HKI, atque angulus HAI per hipothesim 
rectus, igitur HKI segmentum quadrans est [Def. "Vili inv.], et angulus 
BIK rectus.^) Et quia in triangulo rectangulo BIK duorum circa rectum 
angulum laterum BI, IK utrumque, velut liquet, quadrante minus est, igitur 
per proposìtionem tertiam BK segmentum quadrante inferius existit; ipsius 
autem pars est BC\ ergo BC sectio multo minor quadrante probabitur. 

Communis autem sectio semicircuU AC E et HKI sit L signum. Et 
quia AL quadrans est, igitur iuxta praemissas hjpotheses C punctum non 
erit idem cum L signo; alioquin AC quadrans esset, quod non subiectum 
fuit. Ergo C punctum ncque cadet injferius L signo velut in quadrantem 13* 
XJ5, quia sic AC segmentum longe quadrantem excederet, quod rursus non 
supponitur. Ergo C signum non cadet secus quam vel in primo aut in 
secundo situ; quare ad probandam hanc propositionem iam ostensa suf&ciunt. 

Igitur in triangulo sphaerico si duo latera, quorum utrumque etc.; 
q. 0. 0. 

Correlarinm.^) 

Inde etiam manifestum est, angulum ABC esse quandoque 
acutum, velut quando D inter Ay H signa constituitur, aliquando 
vero rectum, velut si D in H inciderit, aliquando obtusum, uti 
si D inter JI, E signa deprehenditur. 

In primo namque situ ipsius D correlarium patet per propositionem 
tertiam, in situ secundo ipsius D per propositionem sextam, in situ tertio 
per diffinitionem anguli obtusi; nam tunc anguH ABC magnitudo erit seg- 
mentum circuii quadrante maius. 

Propositio XI. 

Si in triangulo segmentum quadrante minus et | quadrans 18' 
acutum comprebendunt angulum, erit reliquorum angulorum 
alter, qui ad brevius latus, obtusus, qui vero quadranti cobaeret, 
acutus, sectio et, quae sub acuto tenditur angulo, quadrante 
minor. 

Ergo in triangulo ABC angulus BAC sit acutus, qì AB segmentum 
quadrante minus, et AC quadrans. Dico, quod angulus ABC sit obtusus, 
et ACB angulus acutus. 

1) Hs. bat Idem korr. auB Idem in. 

2) Theodosii sphuerica, ed. Nizze I, 20. 3) Ibid. I, 16. 

4) Am Rande scbreibt 2. Hand: ,,Hinc etiam conetat, quod in triangulo, cuius 
duo latera quadrantibus singula maiora includunt angulum acutum, reliquum 
latus sit quadrante minus, unus angulus acutus, tertius varius." Unter den kursiv 
gedruckten Worten schreibt 3. Hand: „Amplius^^ 




10 Liber primuB. 

Ergo latus AB ia partem B protrahatur usque ad 2), et sit ABD 
quadrans; et per C, D signa*) describatur orbis magni sectio DCT) Et 
quia utrumque segmentorum AC et ABD est quadrans, igitur A signum 

polus est sectionis D(7, et uterque angulonim ACD et 
ABC rectus. Et quia ex hjpothesi angulus BAC acutus 
est, igitur per diffinitionem anguli conversam [Vili] sectio 
DC minor est quadrante, et BD segmentum quadrante 
inferius ex hjpothesi, et BBC angulus rectus, velut 

14' ^( ^_^^ ostensum fuit; ergo | per propositionem tertiam angulus 

CBD acutus est; ergo de duobus rectis reliquus ASC 
obtusus est. Et quia ACD angulus rectus est, igitur partilis angulus 
ACB erit acutus. "Et BC segmentum quadrante minus est per eadem 
demonstrata. 

Igitur si in triangulo segmentum quadrante minus etc. ut supra; q. o. o. 

Propositio XII. 

Si trianguli duorum laterum, quae') acutum continent an- 
gulum, alterum quadrante minus existat, alterum quadrante 
maius, erit angulorum reliquorum alter breviori cohaerens latori 
obtusus, qui vero ad maius consistit latus acutus. 

In triangulo igitur ABC angulus BAC sit acutus, et AB segmentum 
quadrante minus, et ^C latus quadrantem exuperet. Dico, quod angulus 
ABC obtusus est, et angulus ACB acutus. 
14^ Ergo ex AC longiore latere { quadrans AD abscindatur, 

et protracto segmento BD^ erit per praecedentem propositionem 
partilis angulus ABD obtusus; ergo multo fortius maior an- 
gulus ABC obtusus est. Et per eandem propositionem ADB 
angulus est acutus, igitur de duobus rectis reliquus angulus 
BDC obtusus Et quia in triangulo obtusiangulo duorum 
laterum BD et DC, quae obtusum angulum BDC continent, 
utrumque quadrante minus est^ BD quidem per secundam 
partem praecedentis propositionis, DC vero per constructionem 
seu per hypothesim, ergo per praecedentem propositionem 
angulus BCD acutus. 
Igitur si trianguli duorum laterum, quae acutum comprehendunt an- 
gulum, et reliqua ut supra; q. o. o. 

Propositio XIII. 

Si in triangulo sphaerico quadrans et segmentum quadrante 

maius acutum comprehendant angulum, erit reliquorum angu- 

15' lorum unus obtusus, qui ad quadrantem consistit, alter | vero, 

qui ad longius latus, acutus, et reliquum latus quadrante minus. 




1) Hs. hat signum, 2) TbeodoBii sphaerica, ed. Nizze I, 20. 

3) Ha. hat qui. 




Libei primuB. H 

In trìangulo ABC quadrans AB et segmentimi AC quadrante maius 
acutum complectantur angulum BAC. Dico, quod angulus ABC est ob- 
tusus, et angulus ACB acutus, latusque relìquum BC quadrante minus. 

"Ex AC segmento abscindatur quadrans ^D, et producta sectione BD^) 
constituetur partìlìs trigonus') BDC, rectum habens angulum BDC et 
duorum laterum J92), jOC^\ quae rectum complectuntur angulum BDC, 
utrumque minus quadrante. Anguli enim iuxta 2) signum recti sunt, quo- 
niam A signum polus est segmenti BD}) Et quia ex 
hypothesi angulus BAD acutus est, atque per diffinitionem 
anguli sphaerici [VUI] BD segmentum magnitudo est 
anguli BAD, igitur BD segmentum est quadrante inferius; 
liquet autem DC sectionem quadrante minorem esse per 
constructionem; ergo trigonus BCD \ habet angulum BDC I | 15^ 

rectum et duorum circa eundem laterum quadrante minus -^ 
utrumque. At — per tertiam propositionem — si in trian- 
gulo rectum possidente angulum duorum laterum, quae 
rectum continent angulum, utrumque minus existat quadrante, 
erit uterque reliquorum angulorum acutus, et segmentum 
sub recto tensum angulo quadrante inferius. Ergo angulus ACB acutus 
est, et latus BC quadrante minus. Patet autem angulum ABC esse obtusum. 

Igitur si in triangulo sphaerico quadrans et segmentum quadrante 
maius acutum comprehendant angulum, et reliqua ut supra; q. o. o. 

Propositio XIT. 

Si in triangulo obtusiangulo laterum, quae obtusum com- 
prehendunt angulum*, quadrante minus utrumque extiterit, erit 
uterque reliquorum angulorum acutus, et latus reliquum genere 
ambiguum. | 

In triangulo igitur ABC obtusus sit angulus ABC, et laterum AB 16' 
et BC, quae eum continent, utrumque sit quadrante minus. Dico, quod 
uterque duorum angulorum ACB et BAC acutus est. 

Protrahantur ergo utrumque duorum laterum AB et BC ia partes A, 
C, donec utrumque quadrans existat. Sintque duo quadrantes BCD et 
BAE; et AC latus in utrasque partes protra- 
hatur; et per D, E signa orbis magni describatur 
segmentum JPJKG^^), occurrens utrobique cum seg- 
mento ^C in utrasque partes producto super 
F, G signis. Et quoniam in partili trigono 
CDF duorum laterum CD, DF^) rectum angu- 
lum CDF comprehendentium quadrante minus 

utrumque est — CD quidem ex hipotesi, DF vero quoniam DE segmentum 
per diffinitionem anguH spbaeralis [VIU] magnitudo est anguli ABC ob- 
tusi, et idcirco quadrante maius, et totum segmentum FEG semicirculus 
est per XV primi Theodosii*) — , igitur per praecedentem tertiam propo- 

1) The odo sii sphaetica, ed. Nizze I, 20. 2) Ha. bat trigonis. 

3) Ha. hat BDC, 4) Theodoaii sphaerica, ed. Nizze 1, 16. 

6) Ha. hat CDF. 6) Theodoaii sphaerica, ed. Nizze I, 11. 





12 Liber primus. 

16"^ sitionem an|guliis DCF acutus est, igìtur et qui ad verticem consìstìt 
ACB^) angiQus.*) Eodem quoque modo ostendemus, angulum^J.6r^) acutum 
esse, quare et qui ad yerticem est BAC, 

Igitur si in triangulo obtusiangulo etc. ut supra; quod decuit [!] ostendere. 

Propositio XV. 

In trigono^) obtusiangulo si duorum laterum, quae obtusum 
angulum comprehendunt, alterum quadrante minus extiterit, 
alterum vero quadrans, erit latus obtuso subtensum angulo 
maius quadrante, et uterque angulorum reliquorum acutus. 

Sit ergo triangulum ABC habens angulum ABC obtusum, et AB 
latus quadrante minus, BC vero quadrantem. Dico, quod latus AC obtuso 
17' angulo ABC subtensum | quadrante maius est, et uterque angulorum BAC 
et BCA recto minor*) est. 

Ex obtuso angulo ABC rectus auferatur angulus CBD descripto 
segmento BB^, Et quia ex hipothesi sectio BC quadrans est, et per con- 

structionem angulus CBD rectus, igitur per propositionem 
sextam segmentum CD quadrans est, et angulus BDC 
rectus, quare et reliquus ADB rectus. Et quia, ut pro- 
batum fuit, BC [quadrans est], sectio AC quadrantem 
excedit. Bursus, quia in triangulo ADB [angulus] ADB^ 
ut ostensum fiiit, rectus est, et utrumque duorum laterum 
AB^ AD quadrante minus est — AB quidem ex hypothesi, AD vero per 
constructionem, quoniam CA si semicirculus esset, et duo segmenta AB et 
BC semicirculus atque unum segmentum essent, quod non suppositum fuit — , 
17^ ergo AD segmentum quadrante minus est. | At Menelaus in primo libro 
operis sui de sphaericis tricmgulis') demonstravit: „Si trigonus unum con- 
tinuerit angulum recto non minorem, at duorum laterum, quae unum ex 
reliquis continent angulìs, quadrante minus utrumque, erit reliquum latus 
quadrante minus, et reliquorum uterque angulorum acutus." Igitur segmentum 
BD quadrante minus est, et angulus BAD acutus. Et quia BD defìnit 
magnitudinem anguli BCD [Def. Vili], et BD sectio quadrante minor est, 
igitur et angulus BCD recto minor est. 

Ergo in triangulo obtusiangulo, et reliqua ut supra; q. o. o. 

Propositio XVI. 

Si trigonus datus obtusiangulus laterum, quae obtusum 
comprehendunt angulum, quadrante unum quidem minus ha- 
buerit, alterum vero maius, erit latus reliquum etiam quadrante 
18' maius. Ex reliquis vero angulis qui iuxta brevius datorum 
laterum consistit aliquando rectus aliquando obtusus, altero 
iuxta longius latus consistente semper acuto; quandoque vero 
utrisque angulis reliquis recto minoribus; nonnunquam autem is, 

1) Hs. hat ABC. 2) Menelai sphaerica I, def. 4. 3) Hg. hat FAG. 

4) Hs. hat trigono korr. aus triangtdo. 6) Us. hat minor korr. aus minus. 

6) Hs. hat BB. 

7) Hs. hat sphaericis nis [d. h. Sia]. — Vgl. Menelai sphaerica l, 22. 




Liber primus. 13 

qui iuxta longius constituitur latus, erit rectus, altero qui ìuxta 
brevìus existente obtuso. 

Esto datum triangulum ABC angui uin CBA possidens obtusum, ex 
bis, quae obtusum comprehendunt angulum, laterìbus AB et BG, AB 
quidem quadrante mìnus, BC vero maius. Dico, quod AC, latus quadrantem 
excedit, angulo BAC nonnunquam recto con- 
stituto, quandoque obtuso, altero BCA existente 
acuto, aut uterque angulorum BAC et ACB 
acutus erit, aut angulus ACB rectus existit 
altero BAC obtuso, aut uterque angulorum 
BAC et ACB erit obtusus. 

Duo ergo latera AB et BC in par|tes A ^( ^^^^IZZJict ^®^ 

et C protracta concurrant super D signo; et ex 

semicirculo BCD auferatur quadrans BE'^ et ex 

semidrculo BAD quadrans dematur BF'^ atque 

protractum segmentum EF secet AC super 

signo G, Et quoniam punctum B polus est 

sectionis EF, igitur uterque angulorum BEF, 

BFE rectus est.^) Subtrabatur quoque angulo 

obtuso ABC rectus CBH, protracto segmento BHI scindente EGF super 

signo 7, quod cadet aut inter JPet G- signa, vel in signum G, vel inter E, G signa. 

Imprimis itaque signum I cadat inter JP et (r signa; et quadrans BI 
seeet AC latus trianguli ABC super puncto H. Et quoniam in triangulo 
BCH angulus CBEreGiua est, et BH latus quadrante minus, BC vero latus 
quadrante maius, ergo per propositionem septimam CU segmentum erit qua- 
drante maius. Quare totumulO segmentum multo amplius superat quadrantem. | 

At si FG quadrans extiterit, quare per propositionem sextam angulus 19' 
FAG rectus est [, igitur de duobus rectis reliquus angulus BAC rectus 
est]; et quia FG constituto quadrante segmentum EG inferius est quadrante, 
EC autem ex bipotbesi quadrante minus est, et angulus CEG rectus, igitur 
per tertiam propositionem angulus ECG acutus est. 

Postquam autem segmentum FG quadrante^) fuerit inferius, erit per 
propositionem tertiam angulus FAG acutus, igitur de duobus rectis angulus 
reliquus BAC obtusus, et alter angulus BCA acutus per propositionem 
tertiam; nam utraque duarum sectionum CEj EG quadrante minor est, 
CE quidem per constructionem, EG vero quia eo maior sectio EI quadrans 
est, nam anguli recti IBC magnitudo est per diffìnitionem [VILI]. 

At si FG sectio quadrantem exuperaverit, erit per propositionem 
septimam angulus FAG obtusus, ergo de duobus rectis reliquus BAC 
acu|tus; et alter angulus ACB acutus eht per propositionem tertiam, 19^ 
quoniam in triangulo partili CEG angulus CEG rectus est, et utrumque 
latenun CE et EG quadrante minus. 

Puncto deinde / cadente in G, erit EG quadrans; ergo per pro- 
positionem sextam CG quoque quadrans; ergo AC segmentum quadrante 
maius erit. Et quia angulus AFG rectus est, atque utrumque laterum AF et 
FG quadrante minus, igitur per propositionem tertiam angulus FAG acutus 

1) TbeodoBii sphaeriea, ed. Nizze I, 16. 2) Hs. hat quadrans. 



X4 Lìber primus. 

est, ergo de duobus rectis reliquus BAC obtusus, et per propositioneia 
sextam angulus ACB rectus, velut ex schemate secando^) liquet. 

Demum esto, ut punctum 1 ìncidat super sectione EG velut in forma 
postrema.*) Et quia EG segmentum superat quadrantem, EC vero quadrante 
20' minus est, erit per propositionem septìmam sectio CG quadrante ma|ior; 
ergo multo magis AC segmentum quadrantem superat. Et per eandem 
propositionem ACB angulus obtusus, et quia utrumque duorum laterum 
AF et FG trianguli AFG quadrante inferius est, et angulus AFG rectus, 
erit per propositionem tertiam angulus [F]AO acutus. Igitur de duobus 
rectis reliquus angulus BAC obtusus est. 

Igitur si trigonus extiterit obtusiangulus, et reliqua ut supra; q. o. de- 
mon[strare]. 

Correlarlnm. 

Hinc etiam patet, quod si FG quadrans extiterit, angulus BAC rectus 
est, et ACB acutus. At si FG sectio quadrante minor est, erit angulus 
BAC obtusus, et ACB acutus. Si vero FG quadrante maior fuerit, ergo 
uterque angulorum BAC et ACB acutus est. Ubi autem EG quadrans 
20^ est, ut { in specie secunda, erit angulus ACB rectus et angulus BAC 
obtusus. Demum si EG quadrantem vicerit, ergo uterque duorum angu- 
lorum BAC et ACB obtusus est. 

Fropositio XVII. 

In triangulo obtusiangulo si duorum laterum, quae obtusum 
continent angulum, unum quadrans extiterit, alterum quadrante 
maius, erit latus reliquum quadrante maius, et uterque reli- 
quorum angulorum obtusus. 

Sit itaque triangulus sphaericus ABC obtusum habens angulum ABC, 
et latus AB quadrans, BC vero latus quadrante maius. Dico, quod latus 

AC quadrantem exuperat, et duorum angu- 
lorum BAC et BCA uterque obtusus est. 
Ex BC quadrans auferatur BD, et 
21' / \ descripto segmento AD ipsum | est maius 

quadrante per diffinitionem anguli obtusi [VII] ; 
nam ipsum est magnitudo anguli ABC 
[Def. Vili] ; et segmentum CD quadrante minus 
per constructionem; atque angulus ADC rectus; 
ergo per propositionem septìmam AC seg- 
mentum quadrantem exuperat, et ACB an- 
gulus obtusus est. At quia angulus BAD 
rectus existit, ergo angulus BAC quoque 
obtusus; nam ipse recto angulo BAD maior est. 

Igitur in triangulo obtusiangulo si duorum laterum, quae obtusum con- 
tinent angulum, et reliqua ut supra; q. o. o. 

1) Die Worte „ex schemate secundo'^ und ,,in forma postrema" zeigen, dafi 
im Originalmanuskript fur jeden Fall des gegenwàrtigen Satzes eine Figur da- 
gewesen ist. Da indessen die ursprunglichen Fignren verloren gegangen, hat der 
Herausgeber der Ùbersichtlicbkeit wegen diese Spezialisierung aufgegeben. 




Lìber primns. 



15 



Fropositio XYIIL 

Si trigonus obtusiangulus duorum laterum, quibus angulus 
contìnetur obtusus, utrumque maius quadrante possideat, erit 
reliquorum angulorum uterque obtusus.^) 



Si[t] triangulus obtusiangulus ABC obtusum 
habens angulum ABC^ et utrumque duorum laterum 
AB^ BC quadrante superius. Dico, quod uterque 
angulorum ACB et BAC est obtusus. 

Duo itaque latera AB et BC protrahantur in 
partes A, C, donec concurrant super 2>. Et quia 
utrumque segmentorum BAD et BCD semicirculus 
est, igitur et reliquorum segmentorum AD^ DC^) 
utrumque quadrant-e inferìus. Igitur per propo^ 
sitionem XIV ex duobus angulis CAD et DCA 
uterque recto minor est. Ergo de duobus rectis reli- 
quorum angulorum BAC et ACB uterque recto maior 
obtususque erit. 

Igitur si trigonus duorum etc. ; q. o. o. 




2r 



Fropositio XIX. 

Duobus super sphaera magnis orbibus ad inaequales angulos 

sese ad invicem secan|tibus si a signo quopiam, terminante 22' 

quadrantem ab alterutra sectionum inchoatum, perpendicularis 

■sectio] in utramlibet partem super alium circulum deducta 

fuerit], in punctum medium inter duas communes sectiones 

duorum circulorum incidet. 

Igitur^) duo super sphaera circuii magni ABC et ADC^) sese ad in- 
vicem ad inaequales angulos secent, et angulus BAD sit acutus, et reliquus 
BAE obtusus, et sint duo communium sectionum 
puncta Aj (7, et sit quadrans AB, et a puncto B 
circuii ABC in. utramlibet partem, si ve anguli 
acuti BAD sive obtusi BAE, perpendicularis 
sectio deducta super circulum ADC, velut in 
partem acuti anguli BAD descripta sit BD, et 
in partem obtusi anguli BAE deducta sit BE 
perpendicularis. Dico, quod D signum medium 
est inter duo communium sectionum signa A et C, 

et quod pari | modo E dividit semicirculum AEC """"^Ai — ^ 22' 

in duo dimidia. 

Et quia in triangulo BAD latus AB quadrans est, et angulus ADB 
rectus per hipothesim, igitur per secundam propositionem angulus ABD 

1) Am Rande Bchreibt 2. Hand: ,,Peudet haec propositio ex 14. huius'\ 
and femei: „Adde insuper, quod latus tertium sit ambìguum.^^ 

2) Ha. hai AD, DO, DA. 3) Hand 2 korrigiert Igitur in Sint, 
4) Hand 2 fùgt qui hinzu. 




16 Liber prirnuB. 

rectus est, et segmentum AD etiam quadrans; et pari ratione A E seg- 
mentimi quadrans. 

Igitur duobus super sphaera magnìs orbibus ad inequales angulos etc.; 
q. deinoii[8trare] o. 

Fropositio XX. 

Duobus super sphaera cìrculis magnis ad duos inaequales 
angulos sese ad invicem secantibus sì a signo, terminante minus 
quadrante segmentum ab alterutra communium sectionum in- 
ceptum, perpendicularis sectio super alterum circulum deducta 
fuerit, ipsa cadit in partes acuti anguli. 

28' Sint duo magni orbes ABC et AED sese adinvicem secantes ad in- 

aequales angulos, obtusum quidem BAE, BAK vero acutum; et sit AB 
segmentum quadrante minus. Dico, quod ex B signo super circulum AED 

perpendicularis sectio deducta cadit ad partem acuti 
anguli BAKei non in partem obtusi anguli BAD, 
Si enim id possibile fuerit, cadat ergo super 
E signo, sitque segmentum AE quadrante minus. 
Et quia per hypothesim AB sectio quadrante 
minor est, et angulus BAE obtusus, erit per pro- 
positionem XTV angulus AEB acutus, quod non 
supponebatur. 

Bursus sit AED quadrans. Dico, quod per- 
pendicularis ex B deducta non cadit super D, 
Cadat ergo, si id possibile fuerit, et sit ABC quadrans. Atque segmento 
28^ descripto CD erit angulus ADC rejctus, et idcirco angulus ADB recto 
minor; igitur BD sectio non erit perpendicularis super circulum AED. 

Cadat nunc perpendicularis ex B deducta ultra D signum, velut in 
puncto G, Et quia CD segmentum magnitudo est anguli obtusi BAE 
[Def. Vni], igitur CD sectio quadrante maior est; ergo ex CD auferatiir 
quadrans DF-^ et BG secet in primis FD, Descripto segmento itaque FG, 
erit angulus DGF rectus et maior angulo BGD'^ igitur BG sectio non est 
perpendicularis super AED segmento. 

Praeterea BG secet nunc CF segmentum; descriptaque sectione FG 
manifestum erit, angulum BGD maiorem esse angulo FGD\ est autem 
angulus FGD rectus; igitur angulus BGD recta maior ^) est. 

Igitur duobus super sphaera cìrculis, et reliqua ut supra; q. o. o. | 

24' Fropositio XXI.») 

In trìangulo rectum habente angulum sì utrumque laterum, 
quae unum ex relìquis angulìs continent, quadrante minus 

1) Ha. hat minor. — Die Mòglichkeit eines Benkrechtcn Bogens BFG wird 
wissentlich odor unwisBentlich nicht gepruft; die MOglichkeit eines senkrechten 
HalbkreiBea KBFG wird beiaeite geschoben. Entweder muB also der Beweis als 
falBch betrachtet werden oder aber der Satz als BÌnnlos. 

2) Am Rande Bchreibt Hand 2: „HactenuB duo latera cum angulo com- 
preheuBO; Bequitur nimc duo latera cum angulo opposìto.^* 





Liber primus. 17 

extiterit, erit et reliquum latus quadrante minus, et uterque 
reliquorum angulorum acutus. 

Esto tiiangulum ABC habens angulum AOB rectum, et duorum 
laterum AB et AC ulrumque minus quadrante. Dico, quod reliquum latus 
BC quadrante vincitur, et quod uterque duorum BAG et 
ABC angulorum acutus est. 

Quoniam Menelaus in sphaericis triangulis^) libro 
primo demonstravit, quod si in triangulo ex segmentis 
magnorum orbium concinnato unus fuerit angulus non 
minor recto, et utrumque duorum') laterum, quae imum ex 
reliquis angulis com|prehendunt, quadrante minus, erit ^ 24^ 

reliquum latus etiam quadrante minus, et uterque ex duobus reliquis angulis 
recto minor; sed quia per hypotbesim in triangulo ABC ex segmentis 
magnorum orbium constructo angulus ACB rectus est, et utrumque duorum 
laterum AB et AC, quae comprehendunt angulum BAC, quadrante minus; 
igitur reliquum latus BC quadrante minus est, et uterque reliquorum angu- 
lorum BAC et ABC recto minor est; q. o. demon[strare]. 

Propositio XXII. 

In triangulo rectangulo si duorum laterum, quae unum')* ex 
reliquis angulis comprehendunt, quadrante alterum quidem 
minus fuerit, alterum vero maius, erit reliquum latus qua- 
drante maius, et angulus eodem subtensus latere obtusus, et 
reliquus*) angulus acutus.^) | 

Sit ergo triangulum ABC rectum babens angulum ABC, et latus 26' 
AB quadrante quidem minus, latus vero AC quadrante maius. Dico, quod 
reliquum BC latus sit quadrante maius, et 
angulus BAC obtusus, et ACB angulus 
acutus. 

Ergo duo latera BC e\ CA in partes A, 
B protrahantur, quousque concurrant super 
signo D. Et quia per hypotbesim segmentum 
AC quadrante maius est, ergo de semicirculo 
reliquum segmentum AD quadrante minus erit. Et quoniam per hypothesim 
angulus ABC rectus est, igitur de duobus rectis reliquus ABD rectus est. 
Est autem AB sectio quadrante minor, igitur per proposi tionem XXI BD 
segmentum quadrante minus, et uterque duorum angulorum ADB et BAD 
acutus. Ergo BC segnxentum quadrantem excedit; nam de semicirculo CBD 
reliquum BD quadrante minus est, ut ostensum fuit. Et angulus BAC 
obtusus est, quia de duobus rectis reliquus | BAD recto minor iam 25^ 
ostendebatur. Praeterea quoniam angulus ADB aequalis est angulo 




1) Hb. bat sphaericis nis [d. h. Sis.l. — Vgl. M enei ai sphaerica I, 22. 

2) Hb. hat reliquorum. 8) Hs. nat nunc. 4) Hs. bat reliquis, 

6) Zweideutij^ abgefafit; nur der eine Fall wird bewiesen; vgl. unten. Fùr 
den anderen Fall ist der Satz falscb. 

Abhdlgn. z. Oesch. d. math. Wiss. XXIY. 2 




Xg Lìber primus. 

AOB^), sed angulus ADB ostensus faìt acutus, ergo angulus ACB 
acutus est. 

Igitur in triangulo rectangulo si duorum laterum, quae unum ex reliquis 
angulis comprehendunt, et reliqua ut supra; q. o. o. 

Froposltio XXm. 

Si triangulum rectum possideat angulum, fieri non poterit, 
ut duorum laterum, quae unum ex reliquis complectuntur an- 
gulis, unum quidem sit quadrans, alterum quadrante maius. 

Sit ergo triangulus talis ABC liabens angulum ABC rectum, et 
latus*) AB quadranti aequale, latus vero AC quadrante maius. 

Ergo duo latera AC et BC producantur 
26' ^^""^ — -^ i^ partes A, B, usque quo concurrant | super D 

signo. Et quia per hipothesim ABC angulus 
rectus est et ^^ quadrans, ergo punctum A 
polus est semicirculi BBC?) At quia cuncta 
\j) segmenta, quae a polo super periplieriam magni 
orbis describuntur, quadrantes sunt, velut Theo- 
dosi US de sphaericis triangtUis^) in libro primo 
demonstravit^), ergo segmentum AC quadrans est. Sed prius erat qua- 
drante maius, quod est impossibile. 

Igitur si triangulus rectum possideat angulum, et reliqua ut supra; 
quod erat ostendendum. 

Propositlo XXIY. 

Si in triangulo quopiam unus angulus fuerit acutus, et 
duorum laterum, quae unum ex reliquis continent angulis, qua- 
drante minus utrumque, erit reliquorum angulorum unus aut 
26^ acutus, aut rectus vel obtusus, et reliquum latus quadrante 
minus, praesertim angulus, cui ipsum subtenditur, obtusus non 
existat; cui si obtuso contigerit esse, varium^) latus reliquum 
invenietur. 

Sit triangulus ABC habens acutum angulum ABC et utrumque duorum 
laterum AB et AC quadrante minus. Dico, quod angulo ACB contingit 
vel obtuso vel recto aut acuto esse, et latus BC reliquum etiam 
quadrante minus erit. 

Frotrahatur ergo latus BC in partem B usque in D. Et 

quia per hipothesim duorum laterum AC et AB utrumque 

quadrante minus est, igitur duo latera AC et AB pariter accepta 

semicirculo sunt minora. Et quoniam Menelaus de sphaericis 

trianffulis^ in libro primo demonstravit**): „Si duo latera trianguli alicuius 

pariter accepta fuerint semicirculo minora, et reliquimi latus productum 

1) M enei ai aphaerica I, def. 4. 2) Hs. hat latus korr. ans recttis. 

8) Vgl. TheodoBii sphaerica, ed. Nizze I, 16 — 17. 
4) Ha. hat spJuierieisnis , d. h. sphaericis Bis, 

6) Theodosìi sphaerica^ ed. Nizze I, 16. 6; Ha. hat varie. 

7) Hs. hat sphaericis nis [d. h. Sia.]. 8) Menelai sphaerica I, 10. 





Liber primns. 19 

faciet angttllum exterìorem minori et opposito ad easdem partes maiorem*^, 27' 
igitur angolus AGB interior minor est angulo ABD esteriore. Atqui'per 
hipothesim angulus ABC acutus est; igitur angulus ABD exterior recto 
maior est. Sed angulum minorem obtuso^) ABD contingit accipi vel 
obtusum aut rectum vel acutum, ergo angulus ACB erit vel obtusus aut 
rectus aut acutus. 

Quod si angulus ACB rectus extiterit, erit per propositionem xxi 
latus BC quadrante minus. 

Si autem obtusus, protrabatur latus BC in partem C usque in E^ 
et a signo A perpendicularis sectio describatur super segmentum BCE. 
Igitur per propositionem XX perpendicularis sectio A E cadit 
extra triangulum ABC et in partem acuti anguli AC E. 
Et quia in triangulo rectangulo AB E angulus AEB rectus 
est per constructionem, et per bipojtbesim angulus AB E / ^^^^^ 27'' 
acutus — sed maiori angulo maius subtenditur latus ^ — , igitur 
AB maius erit segmento A E. Sed AB quadrante minus 
est; ergo multo fortius A E quadrante minus est. Igitur 
per propositionem XXL BE segmentum quadrante inferius est; ergo BC 
ipsius pars multo magis exuperatur quadrante. 

Postquam autem angulus ACB acutus fuerit, et angulus BAC aut 
rectus est: igitur per praecedentes hypotheses et per XXI propositionem') 
BC quadrante vincitur; si angulus autem BAC acutus extiterit, ergo 
per propositionem X BC quadrante minus est. 

Quod autem, angulo BAC obtuso posito reliquorumque ABC et ACB 
utroque acuto, latus BC obtuso subtensum angulo varium inveniatur, id est 
aut quadrans et quadrante vel maius aut minus, ita patebit: Sint duo qua- 
drantes AB et AC acutum | comprebendentes angulum BAC, cui sub- 28' 
tendatur segmentum J?C7; et ex quadrante AB dematur ut 
Hbet BD sectio, descriptoque segmento DC igitur trianguli 
partilis BCD angulus CBD rectus, et utrumque duorum 
laterum BD et BC rectum angulum CBD compreben- 
dentium quadrante minus est [Def. Vili]; ergo per pro- 
positionem tertiam segmentum CD est quadrante minus, 
et uterque duorum angulorum BCD et BDC recto minor; 
ergo iam patet, quod in triangulo ACD obtusum babente 
angulum ADC, [cuius] duorum reliquorum angulorum CAD et ACD 
uterque [recto] minor est, et utrumque duonmi laterum AD et DC qua- 
drante vincitur, erit latus AC*) obtuso subtensum angulo ADC quadrans. 

Rursum ex D super AC segmentum perpendicularis DC sectio descri- 
batur; et protrabatur GC io. partem C, ut sit tota GCE sectio quadrante 
minor, | descriptoque DE segmento erit ipsum quadrante minus per tertiam 28^ 
primi buius.^) Ergo manifestum, quod in triangulo obtusum babente an- 
gulum ADEj [duos acutos reliquos angulos DAE et DEA^] et utrumque 




1) Am Bande bat Hand 2 gescbrieben, aber wieder gestrìcben: „ Dubito an 
boc argmnentum sit sufGciens.^^ 2) Menelai sphaerica I, 7. 

8) Falscber Yerweis. Bichtig w9jre: per tertiam propositionem. 

4) Hs. bat AC korr. aue DC 6) Ha. bat huius korr. aue inferior, 

2* 




20 Liber primus. 

duorum latenun AB et DE quadrante [minus, érit latus A E obtuso 
subtensum angulo ADE quadrante] maius. 

Ex angulo demum ADC obtuso subìiciamus sublatum esse rectum 
angulum ADG, et reliquum GDG segmento J)F bifariam vel utcunque esse 

divisum; manifestum est iam, quod in triangulo obtusi- 
angulo ADF duos acutos reliquos habente angulos FAD 
et BFA^ et circa angulum obtusum utraque latera qua- 
drante minora, erit latus reliquum AF obtuso subtensum 
angulo quadrante minus. 

Ergo in triangulo obtusiangulo, habente utrumque 
\c laterum circa obtusum angulum quadrante minus, latus 
obtuso subtensum angulo yariat. Nam aliquando quadrans 
est, aliquando quadrante maius, aliquando minus. 

Igitur si in triangulo, et reliqua ut supra; quod demon[strare] o. 

29' Propositlo XXV. 

In triangulo unum possidente acutum angulum si duorum 
laterum quempiam ex reliquis continentium angulis unum qua- 
drans fuerit, alterum quadrante minus, continget ut reliquum 
latus sit quadrans aliquando, nonnunquam quadrante minus, 
aliquando maius.^) 

Sit igitur triangulum isoschele ABC utrumque duorum laterum AB 
et BC possidens quadranti acquale, et angulum ABC acutum; patet igitur, 
quod in triangulo ABC latore AB posito quadrante, et AC minore quam 
sit quadrans, reliquum latus BC erit etiam quadrans. Quod autem AC 
sit quadrante minus, liquet ex eo, quoniam latus AC magnitudo est anguli 
ABC [Def. Vm], qui acutus supponebatur. 
29^ Auferatur ex quadrante BC sectio CD, et descripto segmento | AD 

ipsum quadrante minus est per tertiam propositionem'); et iterum constabit, 

quod in triangulo ABD unum acutum habente angulum 
ABDj et duorum laterum AB et AD unum ex reliquis 
angulis continentium unum quadranti acquale videlicet ABy 
alterum videlicet AD quadrante minus, et reliquum latus 
BD etiam quadrante superatur. 

Protrahatur nunc quadrans BC in. partem C usque 

in Ej et sit CE sectio quadrante minor, et descripto 

segmento AE ipsum erit per eandem propositionem tertiam 

Hbrì huius quadrante minus. Ergo in triangulo AB E 

acutum habente angulum AB E, et latus AB quadranti acquale, et latus 

A E quadrante minus, erit reliquum latus BE quadrante maius. 

Igitur in triangulo unum possidente acutum angulum si duorum 
laterum, et reliqua ut supra; q. o. o. 




1) Zweideutig abgefafit; nur der cine Fall wild bewieBen; vgl. union; fur 
den anderen Fall ist der Satz falach, w3hrend das Bichtige sich leicht durch I, 27 
beweìsen Tàfit. 

2) Die Hb. hat nach propositionem die, wenn nicht etwa eine Lùcke ver- 
handen ist, unYer8lS.ndlichen Worte: circumferentiam sumpto. 



Lìber primus. 21 

Correlarinm. 80' 

Inde nobis eidam declaratur, sì reliquum latus etiam quadrante minus 
extìterìt, velut BD in trìangulo ABD, erit alter angulorum super eodem 
latere relìquo obtusus, velut est angulus ADB. Si autem reliquum latus 
quadrantem superaverit, mì BE latus trianguli ABEj erit alter angulus 
super eodem latere consistens acutus, velut est angulus AEB, Si reliquum 
latus quadrans fiierit, erit taHs angulus rectus. 

Propositio XXTI. 

Si super triangulo unum habente acutum angulum duorum 
laterum, quae unum ex reliquis angulis comprehéndunt, unum 
quidem quadrante fuerit maius, alterum eodem minus, accidet 
reliquum latus esse aliquando quadrantem, quandoque eo minus, 
nonnunquam maius.^) { 

Sit triangulum ABC acutum habens angulum ABC, et latus AB 30^ 
quadrante maius, AC vero quadrante minus; et sit AC sectio ipsi BC 
segmento ad rectos angulos. Igitur per propositionem XXII 
BC segmentum quadrante maius existit. 

Eodem autem segmento BC bifariam diviso super 
signo D, erit utraque sectionum BD et DC quadrante in- 
ferior, et per propositionem tertiam segmentum AD qua- 
drante quoque superatur. Ergo in triangulo ABD habente 
angulum ABD acutum, et latus AB quadrante maius, et 
AD quadrante minus, erit reliquum latus BD quadrante 
quoque minus. 

Bursus auferatur ex BC quadrans BE*^ descripto seg- 
mento A E erit per tertiam propositionem A E sectio 
quadrante minor. Igitur triangulum AB E habens angulum 
AB E acutum, et latus AB quadrante maius, et latus A E quadrante 
minus, possidet latus reliquum BE quadranti acquale. 

Igitur si super triangulo unum habente acutum angulum, et reliqua 
ut supra; q. o. demon[strare]. | 

Correlarinm. 3i' 

Manifestum hinc etiam erit, quod accidit alterum angulum super reliquo 
latere obtusum esse, sive reliquum latus quadrans extiterit seu quadrante 
maius aut quadrante minus, rectum autem tantum, quando reUquum latus 
quadrantem superaverit, et nonnunquam eundem angulum contingit acutum 
esse, velut patet producto BC segmento in partem C usque in F, et 
descripta^ sectione AF] angulus enim AFB acutus est per tertiam pro- 




1) Zweideutig abgefafit; nur der eine Fall wird bewiesen; vgl. unten; fSr 
den anderen Fall ist der Satz falech. Die gegenw&rtige zweideutige Àbfassung 
hat die falsche Anwendung von 1, 26 zum Beweis dea falschen Satzes I, 28 ver- 
schuldet. 2) Hs. hat descHpta koxr. aus descriptam* 



22 Liber prìmus. 

positionem, quoniam utrumque duonim segmentoruin ACj CFy quae rectum 
contment angulum ACF^ quadrante minus est. 

Quando autem angulus alter super reliquo latere constitutus acutus 
extiterit, reliquum latus excedet utrumque datorum laterum, ut BF maius 
existit AB latere. 

Propositio XXYII. | 

81^ In triangulo unum acutum possidente angulum si duorum 

laterum, unum ex reliquis angulis continentium, unum fuerit 
quadrans, alterum quadrante amplius, erit reliquum latus 
quadrante minus, et alter angulus super eodem latere reliquo 
obtusus, et reliquus acutus.^) 

Esto triangulus ABC acutum habens angulum ABC, et fuerit AC 
latus quadrans, AB vero latus quadrante maius. Dico, quod reliquum 

latus BC quadrante est minus; et angulus ACB obtusus 
erit, reliquus angulus BAC acutus. 

Ergo duo latera AB et BC producantur in partes A 
et C, quousque concurrant super 2); atque a signo A super 
\0 segmentum BCD describatur perpendicularis sectio A E. Et 
quia angulus AEC rectus et ^C segmentum quadrans est, 
[igitur per propositionem secundam et FC segmentum qua- 
drans est;] ergo reliquum segmentum BC quadrante minus. 
Et quia angulus AC E acutus est; nam eius magnitudo, 
82' ^^x^ / videlicet segmentum AE, quajdrante vincitur [Def. YUI], 

quoniam A E segmentum minus est sectione AD, quae qua- 
drante minor est — maiori enim angulo maius subtenditur 
latus ^ — , acutus igitur est AC E angulus; ergo de duobus 
rectis reliquus ACB obtusus est. Et quoniam in triangulo ABC ACB 
angulus obtusus est, et latus AC quadrans, BC vero latus quadrante minus, 
erit per XV propositionem angulus BAC acutus. 

Igitur in triangulo unum acutum, et reliqua ut supra; q. o. demon[strare]. 

Propositio xxynr. 

In triangulo unum acutum possidente angulum si duorum 
laterum, quae ex reliquis unum comprebendunt angulum, utrum- 
que fuerit quadrante amplius, accidet reliquum latus variari, 
similiter et angulum alterum super eodem latere diversum fieri.^) ! 

82^ 3it ergo triangulus ABC habens angulum ABC acutum, et utrumque 

duorum laterum AB et AC quadrante maius. Dico, latus*) reliquum BC 
magnitudine variari, et id quandoque quadrantem esse, aliquando eo minus, 
nonnunquam maius. Simili modo dico et angulum ACB diversum reperiri. 




1) Zweideutig abgefaBt; nur der eine Fall wird bewiesen; vgl. unten; der 
andere Fall existiert nicht. 2) Menelai sphaerica I, 7. 

8) Dieser Satz ist falech und làfit sich nicbt durch ir^ndwelche Eorrektur 
berichtigen. Einen direkten Gegenbeweis dea gegenwartigen falschen Satzes 
lìefert I, 67. 4) Hs. hat latus korr. aus datum. 




Liber primus. 23 

id est yel rectum vel acutum aut obtusum. IJtraque igitur latera AB et 
BC producantur, usquequo concurrant super 2>. Et quoniam in trìangulo 
ACD angulus ABC acutus est, et latus AB quadrante 
minus, AC vero latus quadrante amplius, erit per prò- 
positionem XX YI^) segmentum BC aut quadrans aut qua- 
drante vel mìnus aut maius. Idem igitur accidet laterì 
BC. Et per correlarium eiusdem propositionis XXVl^) 
angulus ACB quandoque rectus est, quandoque acutus, 
aUquando obtusus. Similiter ergo variarì accidet reliquo 
angulo ACB, 

Igitur in triangulo unum acutum possidente angulum 
si duorum laterum, | quae unum ex reliquis complectuntur \ >/ ^^* 

angulis, utrumque fuerit quadrante amplius, et reliqua ut 
siipra; q. o. o. 

Propositlo XXIX. 

In triangulo sphaerico unum obtusum habente angulum si 
duorum laterum, unum ex reliquis continentium angulis, 
utrumque quadrante Tincitur, erit reliquum latus quadrante 
quoque minus, et uterque reliquorum angulorum acutus. 

Esto triangulus ABC habens angulum ABC obtusum, ac utrumque 
duorum laterum AC ei CB quadrante inferius. Dico, quod reliquum latus 
AB 2ii quadrante minus, et uterque reliquorum angulorum 
BAC et ACB recto minor. 

Quoniam in triangulo ABC angulus ABC non est 

minor recto, et | utrumque laterum AC et CB angulum / ^^^^ ^C 38^ 

ACB continentium quadrante minus, igitur, yelut Menelaus 
in libro primo de sphaericis trianffulis*) demonstravit, 
et reliquum latus AB quadrante minus est, et uterque reUquorum angu- 
lorum BAC et ACB acutus est. q. o. de[monstrare]. 

Fropositio XXX. 

Si sphaericus triangulus unum possidet obtusum angulum, 
et .duorum eius laterum, quae unum ex reliquis angulis com- 
prehendunt, alterum quidem quadrans fuerit, alterum autem 
quadrante minus, erit latus reliquum quadrante minus, et 
reliquorum angulorum uterque acutus.') 




1) Das, was in diesem Satz bewiesen wurde, pafit nicht auf Dreieck ACD. 
Man bàtte hier anwenden sollen einen in diesem Werke fehlenden, abei durch I, 29 
(oder MenelaoB I, 22) beweisbaren Satz: Wenn i B < 90 •, -^ AG > 90 ^ 
^ AB < 90 «, so iflt -^ BC > 90 •, L C < 90 ^ L A> 90 «. — Die falsche An- 
wendung Ton I, 26 bewirkt, dafi der gegenw&rtige Satz des weiteren falsch wird. 
Dafi I, 26 falsch angewendet wuide, kommt daher, daB dieser Satz unklar (zwei- 
deutig) abgefafit ist; ygl. S. 21, Note 1 oben. 

2) Hb. hat sphaericis nis [d. h. Sia.]. — Ygl. Mene lai sphaerica I, 22. 

3) Zweideutig abgefafit; nur der eine Fall wird bewiesen; ygl. unten. Der 
andere Fall existiert nicht. 




24 Libei primuB. 

Esto trìangulus ABC habens angulum ACB obtusum, et latus AB 
quadrantem , AC^) vero quadrante minus. Dico, quod latus reliquum BC^ 
S4' sit quadrante ìnferìus, et reliquorum | angulorum ABC et BAC uterque 
acutus. 

Igìtur ex signo A super segmentum BC describatur perpendicularìs A E, 
Et quoniam angulus AC E acutus est, et ^0 segmentum quadrante minus, 
ergo perpendicularìs A E cadit extra triangulum ABC» Et quoniam in 

triangulo AB E quadrans AB est, et AEB angulus 
rectus per constructionem, igitur per propositionem 
secimdam primi BCE circumferentia orbis magni 
quadrans est, ergo BC latus quadrante minus erit. 
Et quia in triangulo AC E angulus AEC rectus 
est, et angulus AC E acutus, et sub maiore angulo 
latus maius subtenditur'), ergo latus AC maius est 
latere AE; sed latus AC quadrante minus est per 
bipothesim; igitur multo fortius AE latus quadrante superatur; si A E 
magnitudo est anguli ABC [Def. Vinj; ergo angulus ABC acutus est. 
Pari modo demonstrabimus, angulum BAC esse acutum. Producatur itaque 
34^ latus \ AC m partem C usque in D; et super A polo iuxta intervallum 
AB quadrantis describatur BD sectio, secans A CD segmentum super 2> 
signo, <et a signo B sectionis BC quadrante minoris deducta>.*) Et quo- 
niam in triangulo BCD angulus BBC rectus est, BCJ) autem angulus 
recto minor, et malori angulo maius subtenditur latus ^), igitur BC seg- 
mentum exuperat^) BD sectionem; at ^C segmentum per bipotbesim qua- 
drante minus est; igitur BB sectio quadrante multo fortius inferior erit. 
Est autem BD sectio per dif&nitionem anguli [Vili] magnitudo anguli BAC'^ 
ergo angulus BAC"^) recto minor est. 

Ergo si spbaericus triangulus, et reliqua ut supra; q. o. demon[strare]. 

Propositio XXXI. 

36' Si triangulus obtusiangulus duorum laterum, { unum ex 

reliquis angulis comprebendentium, possidet alterum quadrante 
maius, alterum quadrante minus, erit^ reliquum latus yarium, 
aut enim quadrans, aut quadrante inferius, aut quadrante maius, 
et angulus alter super eodem reliquo latere acutus.^) 

Sit triangulus ABC babens angulum ACB obtusum, et AC latus 
quadrante minus, latus vero AB quadrante maius. Dico, quod reliquum 
latus BC variabitur, aut enim quadrans est, aut quadrante minus, aut 
quadrante maius, et quod angulus ABC sit acutus. 



1) Ha. bat BC. 2) Hs. bat AC. 3) Menelai sphaerica I, 7. 

4) Die Worte in < > bilden vielleicht einen vom Autor wieder verlaesenen 
Anfang und wfixen somit zu streicben. 6) Menelai sphaerica I, 7. 

6) Hs. bat exuperat korr. aus exsuperat 

7) Die Worte ergo angiUus BAC bis. 8) Ha. bat et 

9) Zweideutig abgefafit; nur der eine Fall wird unten bebandelt; fHi den 
anderen iat der Satz falaeb. 



Liber primuB. 



25 




Froducatur ergo latus BC in. partem^) C usque in 2). A signo igitur A 
super BGD segmentum describatur sectio perpendiculans AE. Et quoniam 
in triangulo AC E angulus AEC per constructìonem rectus est, et | AC E 35^ 
acutus; et quia sub malori angulo maius subtenditur latus*), igitur seg- 
mentum AG excedit sectionem AE. 8ed 
AC segmentum quadrante minus est, 
igitur multo fortius AE sectio. At quo- 
niam in triangulo ABE^ latus AB per 
hipothesim quadrantem superat, A E vero 
latus quadrante vlncitur, et angulus AEB 
per constructìonem rectus, ergo per pro- 
positionem XXII latus BE quadrante maius est, et angulus AB E acutus. 

Intelligamus BE segmentum, bifariam secari super C signo — id 
enim contigere potest — ; erit utraque sectionum BCj CE quadrante 
minor; nam segmentum BE semicirculo inferius est. Erit itaque per 
tertiam propositionem angulus AC E acutus, et de duobus rectis reliquus 
ACB obtusus. Et sive BC sectionem quadrantem posuerimus sive qua- 
drante maiorem, semper per eandem tertiam prò | positionem probabimus 36' 
angulum ACB esse obtusum, AC latere minore manente quam sit quadrans. 

Igitur si triangulus obtusiangulus , et reliqua ut supra; quod fuit 
ostendendum. 

Propositio XXXII. 

In triangulo obtusiangulo si duorum laterum, quae unum 
ex reliquis complectuntur angulis, alterum quadrans fuerit, 
alterum quadrante longius, erit latus reliquum specie varium, 
et reliquorum duorum angulorum uterque ambiguus.^) 

Esto triangulus ABC possidens angulum ACB obtusum, et AC latus 
quadranti ' acquale, AB autem latus quadrante maius. Dico, quod BC 
reliquum latus specie ambiguum est; existat et 
reliquorum angulorum BAC et ABC uterque | 
anceps genere. 

Duo itaque latera AB, BC in partes J., 
C producantur ad concursum in signo D flatus 
reliquum est^.^) Quod si CD segmentum quadrans 
fuerit, ergo C signum polus erit semicirculi 

BAB^', quare segmentimi BC quadrans est, et uterque duorum angulorum 
BAC et ABC rectus.') 

Rursus segmentum CD sit quadrante longius, et ex eo auferatur 
quadrans CE, et descripta magni orbis peripheria A E erit angulus CAE^) 




36' 



1) Hfl. hat partes. 2) Menelai sphaerica I, 7. 

8) Nur weim Winkel JB < 90* ist, existiert Dreieck AB E; der Beweis ist 
also nur in diesem Fall giiltig. 4) Zweideutig abgefafit. 

6) Die Worte in ^ 5 gcben an sich keine Bedeutung und sind offenbar ent- 
bebrlich. Ob eie durcn Ij&fiyerst&ndnis hierher gekommen sind, oder ob etwas 
herausgefallen ist, lafit sich kaum entscheiden. 

6) Vgl. Theodosii spìiaerica, ed. Nizze I, 16 — 17. 7) Ibid. I, 16. 

8) Hb. hat BAE. 





26 Liber primoB. 

rectus; quare partilìs angulus^) BAC recto minor. Est autem AE peri- 
pheria quadrante minor, quia AD segmentum per hipothesim quadrante 
minus est^ et Jl(7 quadrans*) <^erLt AE circumferentia quadrante minor^.') 
Est autem DE quadrante minor; ergo per proposìtìonem tertiam primi 
87' huius angulus ADE*") acutus est; quare et suus | aequalis ABC. 

Praeterea, posito seg- 
mento CD minore quam sit 
quadrans, et sit CDF qua- 
^:B j)/ I ^ \ drans, descriptaque AF cir- 

cumferentia, et quia C signum 
/▼^ — ^ J polus est circumferentiae AE^ 

igitur angulus CAE rectus 
est; quare partilis angulus 
CAD recto minor; ergo de 
duobus rectis angulis reliquus angulus BAC obtusus. Et quoniam in partili 
triangulo [^F2>] angulus AFD rectus est, et singula latera quadrante 
minora, igitur per tertiam primi angulus ADE acutus est; ergo et reliquus 
ADC seu suus aequalis ABC obtusus. 

In triangulo igitur obtusiangulo si duorum laterum, quae unum ex 
reliquis complectuntur angulis etc. ut supra; q. o. o. 

Oorrelarinm. 

Hinc patet, quando BC quadrans fuerit, duorum angulorum BAC e>t 
ABC utrumque rectum esse. Si vero BC latus quadrante minus extiterit, 
37^ utrumque duorum angulorum BAC ei ABC acutum esse. Si | autem BC 
quadrante maius existat, erìt eorundem angulorum uterque obtusus. 

Propositlo XXXTTT, 

In triangulo obtusiangulo si duorum laterum, ex reliquis 
unum continentium angulis, utrumque quadrante maius existat, 
erit latus reliquum specie varium, et anguli reliqui genere 
diversificantur. 

Sit ergo triangulus ABC obtusum habens an- 
gulum ACB^ et utrumque laterum AB et AC qua- 
drante maius. Dico, quod latus reliquum variatur; 
nam ipsum aliquando quadrans est, aliquando qua- 
drante minus, nonnunquam quadrante maius, et simi- 
liter reliqui anguli diversificantur. 

Ergo duo latera AB et BC protrahantur in 
partes A, (7, usquequo concurrant super D signo. 
88' ^ Et quia in trian|gulo ACD angulus ACD acutus, 

et duorum laterum unum ex reliquis angulis continentium alterum AD 

1) Hs. hat angulis. 

2) Die Bonderbare Art des Boweises an dieser Stelle lS.fit uns vielleicht hier 
eine Lùcke vermuten. 

8) Die Worte in < J>, welche eine logische Dittographie bilden, sind zu streichen, 
wenn nicht etwa eine Lùcke vorhanden ist. 4) Hb. hat ADB. 





Liber primas. 27 

quadrante mìnus est, alterum AC quadrante maìus, ìgitur per XXVI con- 
tìnget, ut latus DCreliquum sit alìquando quadrans, et quadrante quandoque 
mìnus, et quandoque maius. Idem quoque accidere laterì BC necesse est; 
et per correlarìum eiusdem proposìtìonis XXYI liquet, angulum ADC 
diversifìcarì, igitur et suum aequalem ABC, Et prò varia habitudìne 
angulorum ABC et ACB accidet et relìquimi angulum BAC varium esse.^) 
Igitur in triangulo obtusiangulo, et reliqua ut supra; q. o. demon[strare]. 

Propositlo XXXIY.*) 

Si triangulus unum latus habuerit quadrante minus, duo- 
rumque angulorum super eodem latere consistentium alterum 
rectum alterum acutum, erit reliquorum laterum | quadrante 38^ 
minus utrumque, et reliquus angulus acutus. 

Sit triangulus ABC latus habens BC quadrante minus, et angulum 
ABC rectum, ACB vero angulum acutum. Dico, quod utrumque reli- 
quorum laterum AB et AC quadrante minus est, et angulus 
BAC acutus. 

Quod si fuerit possibile, sit AC latus quadrans. Ergo 
per propositionem secundam angulus ACB rectus erit, quod 
non supponitur. a 

Bursus latus AC, si possibile fuerit, sit quadrante 
maius. Igitur per propositionem XXII angulus ACB eht obtusus; at iam 
supponebatur acutus; igitur latus AC quadrante minus est. 

Et quia sub maiore angulo latus subtenditur maius'), ergo AB latus 
acuto angulo ACB subtensum minus erit latere AC', at AC latus, ut 
ostensum fuit, quadrante minus; { ergo multo fortius AB latus quadrante 39' 
inferius erit. 

Et quia utrumque laterum AB et BC rectum angulum ABC conti- 
nentium quadrante vincitur, ergo et reliquus angulus BAC per propositionem 
tertiam acutus est. 

Igitur si triangulus unum latus habuerit quadrante minus, et reliqua 
ut supra; q. o. demon[strare]. 

Propositlo XXXT. 

Si triangulus unum latus habuerit quadrante minus, duo- 
rumque angulorum super eodem consistentium latere alterum 
rectum alterum obtusum, erit utrumque reliquorum laterum 
quadrante maius, et reliquus angulus acutus. 

Sit triangulus ABC latus habens BC quadrante minus, et angulum 
ABC rectum, et ACB obtusum. Dico, quod utrumque duorum laterum 
reliquorum AB et AC quajdrantem excedit, et angulus BAC acutus est. 39^*^ 

1) Woran derVerfasser hierjzedacht hat, ist unsicher. In den vorangehenden 
S&tzen oder in den Slteren dem Verfasser bekannten Schriften fìndet man keinen 
Beleg zur Stùtze seiner Schlufifolgerung. 

2) Am Bande schreibt Hand 2: „Dno anguli cum latere adiacente. ^^ 

3) Menelai sphaerica I, 7. 




28 Liber primus. 

Producantur itaque duo latera AB et AC in paites j5, C, quousque 
concurrant super signo J>. Et quia in triangulo BCD latus BC quadrante 
minus est, et angulus CBD rectus, angulus vero BCJD acutus — nam et 
rellquus AGB obtusus subìicitur — , ergo per praecedentem propositionem 

utrumque duorum laterum reliquorum BD et DC 
quadrante superatur, et angulus BDC acutus est. 
Ergo [de] duobus semidrculis ABD qì ACD reli- 
quorum segmentorum AB et AG utrumque qua- 
drante maius est. Est autem angulus BAC aequalis 
angulo BDC, qui, ut probatum fuit, acutus est. Ergo et suus aequalis 
BAC acutus erit. 

Igitur si triangulus unum latus habuerit, et reliqua ut supra; q o. de- 
mon[strare]. 

Propositlo XXXVI. 

40' Si triangulus unum latus habuerit quadrante minus, et 

utrumque angulorum super eodem latere consistentium acutum^ 
erit utrumque reliquorum laterum quadrante minus, et angulus 
reliquus vel acutus vel rectus aut obtusus. 

Sit triangulus ABC latus AB habens quadrante minus et duorum 
angulorum ABC et BAC [utrumque] acutum. Dico, quod utrumque duorum 

laterum AC et BC quadrante minus est, et angulus 
ACB aut rectus aut acutus vel obtusus. 

Si autem non, erit alterum duorum laterum AC et 
CB vel quadrans aut quadrante maius. 

Sit ergo AC quadrans, si possibile id fuerit. Et 
quia in triangulo ABC quadrans AC et segmentum AB 
quadrante minus acutum comprehendunt angulum BAC, igitur per pro- 
positionem XI angulus ABC obtusus est, quod non supponitur. 

Rursus AC sit quadrante longius. Ergo per pro- 
40^ j^^ positio|nem XII angidus ABC obtusus erit, quod est 

centra hjpothesim; subiectum enim fuit angulum ABC 
esse acutum. 

Pari quoque ratione si subiecerimus latus BC aut 

quadrantem aut quadrante maius, inferemus [?] per 

easdem^) propositiones XI et XH, angulum BAC esse obtusum, qui suppo- 

nebatur acutus. Ergo utrumque laterum AC, CB quadrante brevius erit. 

Et si BC sectio super AC segmentum fuerit per- 
pendicularis, ergo angulus ACB rectus est. Si autem 
non, ergo ducatur perpendicularis sectio BD super seg- 
mentum AC. Quod si segmentum BD ceciderit intra 
triangulum ABC, igitur per propositionem XX angulus 
BCA erit acutus. Quod si perpendicularis sectio BD 
ceciderit extra triangulum ABC, igitur et AB segmentum quadrante 
41' minus est et recto | angulo ADB subtenditur; ergo multo fortius seg- 
mentum BD acuto angulo CAB subtensum quadrante minus erit*); igitur 

1) Hb. hat eosdem. 2) Menelai sphaerica I, 7. 







Liber primus. 29 

per eandem propositionem XX angulus BCD acutus erìt, ergo et reliquus 
BOA obtusus. 

Igìtur si trìangulus unum latus habens quadrante minus, et reliqua 
ut supra; q. o. de[monJ3trare]. 

Propositio xxxyn. 

Si super idem dati trianguli latus, quod quadrante minus est, 
duo consistant obtusi anguli, erit utrumque reliquorum laterum 
quadrante maius, et reliquo angulo contingit esse vario [I]. 

Sit triangulus ABC habens BC latus quadrante minus, et utrumque 
duorum angulorum ABC et ACB obtusum. Dico, quod duorum laterum 
AB et AC utrumque quajdrantem superat, atque^) angulus ^ 41' 

BAC reliquus aliquando rectus est, quandoque acutus, non- 
nimquam obtusus. 

<Sit ergo triangulus ABC possidens BC latus quadrante 
minus, et utrumque duorum angulorum ABC et ACB recto 
maiorem. Dico, quod utrumque duorum laterum AB et AC 
quadrantem ezuperat.^') 

Producantur ergo duo latera AB et AC in partes B^ C, JB^ 
quousque concurrant super 2> signo. Et quoniam per hypo- 
tìiesim uterque duorum angulorum ABC et ACB obtusus est, 
igitur de duobus rectis*) [reliquorum] uterque duorum angulorum BCD et 
CBD acutus est. Et quia per hipothesim BC segmentum quadrante minus 
est, ergo per praecedentem propositionem utrumque duorum segmentorum BD 
et CD quadrante est inferius; igitur de duobus semicirculis reliquorum seg- 
mentorum AB et AC utnunque quadrante maius est. Et quia per eandem 
propositionem XXXVI contingit angulum BDC va|rium esse, et angulus 42' 
BAC aequalis est angulo BDC^)^ ergo et angulus BAC variabitur. 

Igitur si super idem dati trianguli latus, quod quadrante minus est, 
duo consistant obtusi anguli, et reliqua ut supra; q. o. o. 

Propositio XXXYni. 

Si triangulus datum unum latus habuerit quadrante minus, 
et duorum angulorum super eodem latere consistentium alterum 
quidem obtusum, alterum vero acutum, erit duorum reliquorum 
laterum incerti generis utrumque, et similiter reliquus angulus 
generis dubii.*) 

Sit triangulus ABC datum latus BC quadrante minus habens, et 
angulum ABC obtusum, angulum vero BCA acutum. Dico, quod utrique 
reliquorum laterum AB et AC contingit sub varia magnitudine reperiri, | 
nam aliquando quadrantem, aliquando quadrante minus, nonnunquam qua- 42^ 

1) Hs. hat etque. 

2) Das Stùck in <^ > ist offeDbar eine ganz ùberfluesige Wiederholnng dea 
Vcrhergebenden. 3) Ha. hat reìiquis. 4) Menelai sphaerica I, def. 4. 

6) Der letzte TeU dea Satzea iat falach; vgl. unten. 




30 Liber primiu. 

drante maiiu. Pari ratìoiie oontiiigìt angolo BAC duhiiuii esse; ipse namqae 

potasi esse Tel reetus Tel obtnsiis aot acutns. 

Producantiir itaque duo laiera AB ^ AC in. partes 
Bj Cy quoosque ooncurrant saper D signo; et ponamus AC 
latns quadrante inferius; erit per propositionem xxix reli- 
qamn latus AB etìam quadrante minns, et angnlus BAC 
acntns. Ergo iam datus obiter erit trianguliis BCD^ ex 
hypothesì latos BC quadrante minns habens, et snper eodem^) 
latere BC oonsistentibas duobns angulis, BCD qoidem obtuso 
CBD Tero acato, et otmmqae lateram BD et CD qua- 
drante niaias. Borsus per propositionem XVI in BCD trian- 
golo contingit, ot angolos BDC sii aliqaando acutus Tel ob- 

tosos aot rectos^, qoare €»Eidem etiam dirersitas aeqoali angolo BAC accidet. 
48' Qood si posoerimos AC latos \ quadrantem, erit per propositionem XXX 

latos AB quadrante minus et angulus BAC acotos.') Igitor^) in tnangulo 

ABC obtosos angulus ABC comprehenditur duobus lateribus 
utrisque quadrante minoribus [, et reliquum latus A C quadrans 
est]. At in tnangulo BCD obtusus angulus BCD contLnebitur 
latere BC quadrante minore et quadrante CD, et reliquum. 
1^ latus BD quadrantem excedit. 

Igitur si triangulus datum unum latus habuerit quadrante 
inferius, et duorum angulorum super dato latere consistentium 
alterum quidem obtusum, alterum vero acutum, erit, et reliqua 
ut supra; q. o. o. 

Fropositio XXXIX. 

Si triangulus datum latus habuerit quadranti aequale, et 

super eodem latere duorum consistentium angulorum unum 

48^ quidem rectum, alterum Tero acutum, erit latus recto subjtensum 

angulo etiam quadrans, et reliquus angulus reetus, et latus 

reliquum acuto subtensum angulo quadrante minus. 

Esto triangulus ABC latus habens AC quadranti 
acquale, et angulum ACB rectum, BAC Tero acutum. 
Dico, quod latus AB quadrans sit, et BC latus quadrante 
minus, et angulus ABC quoque reetus. 

Et quia AC quadrans est atque ad angulos rectos 

segmento BC, igitur signum A polus est segmenti BC}) 

A polo autem ad circimiferentiam circuii Tenientia magnorum orbium 

1) Hb. hai eodem, 

2) FalBChe Anwendung vom Satz 16, wo eben bewiesen wird, dafi in dem 
gegenw&rtigen Dreieck BCD der Winkel D nur dann ^90^ sein kann, wenn 
Winkel 5 > 90® ist. Winkel BAC mufì also < 90*» sein. — Eiuen direkten 
Gegenbeweifl des gegenwSxtigen falschen Teilea dea Satzes 88 liefert, was die 
MOglicbkeit eines restierenden rechten Winkels betrifft, Satz 47. 

3) Also ist Winkel A immer < 90 ^ xmd aomit der letzte Teil des Satzes falsch. 

4) Das folgende StÙck ist recht ungeachickt abgefaOt, weil der Verfasser 
yen den stumpfen Winkeln ABC und BCD statt von der Seite BC herausgeht. 

5) Theodosii aphaerica, ed. Nizze I, 18 & 16 inv. 






Liber primus. 31 

segmenta ciincta sunt quadrantes^); igitur AB segmentimi quadrans est. 
Et quia [per] dìffinìtionem [Vili] BC sectio magnitudo est anguli BAC, 
et BAO angulus per hypothesìm acutus est, ergo segmentum BO quadrante 
minus est. Et quia A polus est segmenti BC^ ergo et angulus ABC 
rectus est.*) 

Igitur si triangulus datum { latus Iiabuerìt quadranti aequale, et reliqua 44' 
ut supra; q. o. demon[strare]. 

Proposltlo XL. 

Si triangulus datum habuerit latus aequale quadranti, et 
duorum angulorum super eodem latere consistentium') alterum 
quidem rectum, alterum vero recto maiorem, erit et reliquorum 
laterum alterum recto subtensum angulo quadrans, alterum 
vero, quod obtuso subtenditur angulo, quadrante maius, et reli- 
quus angulus rectus. 

Esto triangulus ABC latus habens AC quadranti aequale, et angulum 
ACB rectum, BAC vero angulum recto maiorem. 
Dico, quod latus AB quadrans est, BC latus qua- 
drante maius, et reliquus angulus ABC \ quoque / \^ 44^ 
rectus. 

Est etenim signum A polus segmenti BC*")] igitur 
et AB quadrans est^) et ABC angulus rectus.*) Et 
quia BC segmentum magnitudo est anguli BAC [Def. Vili], at per bipo- 
thesim angiQus BAC obtusus est, igitur BC latus quadrantem excedit. 

Ergo si triangulus, et reliqua ut supra; q. o. o. 

Fropositio XLI. 

Si triangulus datum habuerit latus aequale quadranti, et 
duorum angulorum super eodem latere consistentium utrumque 
recto mìnorem, erit utrumque reliquorum laterum quadrante 
minus, et reliquus angulus obtusus. 

Sit triangulus ABC latus habens AC quadrantem, et utrumque duorum 
angulorum BAC et BCA recto minorem. Dico, quod utrumque duorum 
laterum AB et BC quadrante | minus est, et angulus j) 46' 

ABC ab eisdem comprehensus obtusus. 

Ipsi itaque quadranti ^0 ad rectos angulos sit 
CD segmentum, quod extra triangulum ABC necessario 
cadit; nam per constructionem angulus ACD rectus est, ^i 
ACB vero angulus per hipothesim recto minor. Pro- 
trahatur ergo latus AB in partem J9, quousque concurrat cum CD seg- 
mento super signo D, Manifestum igitur est, AB latus quadrante minus 

1) Theodosii sphaertca, ed. Nizze I, 16. 2) Ibid. I, 16. 

8) Nach consistentium schrieb 1. Hand die Worte: utrumque recto minorum, 
id est, die die 2. Hand, weil aie falsch sind, dann duxch Einklammem wieder 
annuUierfce. 4) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 18 & 16 inv. 

6) Ibid. I, 16. 6) Ibid. I, 16 




32 Liber primus. 

esse, quia A polus est segmenti CD^)^ et ABD sectio quadrans.^) Et 
quoniam CD sectio est magnitudo acuti anguli BAC [Dei. Vili], igitur 
CD segmentum quadrante minus est. Liquet autem BD sectionem esse 
quadrante*) nùnorem; et angulus BDC rectus est; igitur per propositionem 
tertiam segmentum BC quadrante minus est, et angulus CBD acutus; ergo 
de duobus rectìs reliquus ABC angulus obtusus est. 

Igitur si triangulus datum habuerit latus aequale quadranti, et reliqua 
ut supra; q. de[monstrare] o. | 

45^ Propositio XUI. 

Si triangulus datum habuerit latus aequale quadranti, et 
duorum angulorum super dato latere utrumque recto maiorem, 
erìt utrumque reliquorum laterum quadrante maius, et angulus 
reliquus recto maior. 

Sit in triangulo ABC latus BC quadrans, et duorum angulorum ABC 
et ACB uterque obtusus. Dico, quod duorum laterum AB et AC utrumque 
sit quadrante maius, et angulus BAC obtusus. 

Producantur itaque duo latera AB et AC in partes 
B, C, quousque concurrant super D. Et quoniam in 
triangulo J^DClatus BC quadrans est, et duorum angulorunoi 
BCD et CBD uterque acutus, igitur per propositionem. 
quadragesimam primam utrumque duorum segmentorum BD 
^^' \ ^^1"^ ®^ ^-^ quadrante minus est, et angulus BDC obtujsus. 

Ergo de duobus semicirculis ABD et ACD reliqua seg- 
menta AB et AC utraque sunt quadrante maiora. Et 
quia angulus BAC aequalis est angulo BDC^)y qui obtusus 
iam ostendebatur, ergo et angulus BAC obtusus est. 
Igitur si triangulus datum habuerit latus, et reliqua ut supra, quod 
erat demon[strandum].^) 

Propositio Xim. 

Si triangulus datum latus habuerit quadrante maius, et 
duorum angulorum super eodem latere consistentium unum 
quidem rectum, alterum vero acutum, erit latus sub recto sub- 
tensum angulo quadrante maius, et reliquum latus, quod sub 
acuto tenditur angulo, quadrante minus, et reliquus angulus 
obtusus. 

Sit triangulus ABC latus BC habens quadrante^) maius, et angulum 
46^ ABC rectum, , ACB vero angulum acutum. Dico, quod latus AC qua- 
drante maius est, et latus AB quadrante minus, et angulus BAC obtusus. 




1) TheodoBii sphaeriea, ed. Nizze I, 18 & 16 inv. 2) Ibid. I, 16. 

3) Hs. bat quadrante korr. aus quadrantem. 4) Menelai sphaeriea I, def. 4 

6) Am Bande fagt Band 2 hinzu: ,,DeeBt propositio seu casus, quando 
latuB est quadrans, et unus adiacentium angulorum minor, alter maior recto. Est 
autem alterum latus maius quadrante, tertium minus, et angulus tertius acutuB.*** 

6) Hs. hat quadrantem. 




Liber primus. 33 

Protrahantur ergo duo latera AC et BC in partes -A, B, donec con- 
currant super signo B. Et quia in triangulo ABB angulus ABB rectus 
est, qì ABB angulus acutus, et BB latus quadrante 
mìnus, ergo per propositionem XXXTV utrumque 
duorum segmentorum AB qì AB quadrante minus 
est, et angulus BAB acutus. Igitur segmentum AG 
quadrantem excedit, et angulus BAC obtusus est. 

Ergo si triangulus datum habuerit latus quadrante maius, et reliqua 
ut supra; quod demonstrasse oportuit. 

Propositio XIIY. 

Si triangulus datum latus habuerit quadrante maius, et 
duorum angulorum super eodem latere consystentium [!] alterum j 
reetum alterum obtusum, erit latus recto subtensum angulo 47' 
quadrante minus, et reliquum latus, quod obtuso subtenditur 
angulo, quadrante maius, et angulus reliquus obtusus. 

Sit itaque triangulus ABC datum habens latus AC quadrante maius, 
et angulum BAC reetum, angulum vero ACB obtusum. Dico, quod latus 
AB quadrantem superat, latus vero BC quadrante inferius 
est, et angulus ABC recto maior. 

Protrahantur itaque BC et AC latera in partes -4, B, 
quousque concurrant^) super B signo. Triangulus itaque 
ABB latus habet'lf AB quadrante minus, et super eo 
angulum quidem BAB reetum, angulum vero ABB obtusum. A^ 
Igitur per propositionem XXXY utrumque segmentonun AB 
et BB quadrantem superat, et angulus | ABB acutus \-^ 47^ 

est. Ergo de semicirculo BBC reliquum segmentum BC ^ 

quadrante minus est, et de duobus rectis reliquus angulus ABC obtusus. 

Igitur si triangulus datum latus habuerit quadrante maius, et duorum 
angulorum super eodem latere consistentium alterum reetum, alterum obtusum, 
erit latus recto subtensum angulo quadrante inferius, et latus, quod obtuso 
subtenditur angulo, quadrante superius, et angulus reliquus obtusus; qinod 
erat demonstrandum. 

Propositio XIV. 

Si in triangulo latus aliquod quadrantem superat, et angu- 
lorum super eodem latere consistentium uterque recto minor 
existat, erit duorum laterum reliquorum utrumque genere anceps, 
et reliquus angulus obtusus genere.^) 

Sit triangulus ABC latus AC quadrante maius habens, et utrumque 
duorum { angulorum BAC e\ ACB recto minorem. Dico, quod utrumque 48' 




1) Ha. hat amowrrat. 2) Hs. hat habens, 

3) Obttmu genere: so die Handschrift Der nachfolgende Beweìs zeigt, dafi 
obiii9fiS mit varius, dtibitts, anceps oder incertus zu ersetzen ist. Dieser letzte 
Teil dea Satzes ist aber falsch (vgl.unten), und der lestierende Winkel ist wirklich 
stumpf. 

Abhdlgo. z. Geich. d. math.Wis8. XXIV. 3 




34 Liber primus. 

duorum laterum AB et BC contìngit esse magnitudine dubimn, ita ut 
quandoque sit quadrans, et quadrante nonnunquam maius, aliquando minus. 
Et similiter angulus ABC rectus est aliquando vel acutus aut obtusus. 

Protrahantur ergo duo latera AC ei BC ìil 
partes A^ B, quousque concurrant super D signo. 
Et quia BAC angulus per hipothesim acutus est, 
igitur de duobus rectis reliquus BAD obtusus. Est 
autem ADB angulus acutus, quoniam aequaHs 
acuto — per hypothesim — angulo ACB^)^ et 
segmentum AD quadrante minus. Ergo per propositionem XXXVlil utrumque 
duorum segmentorum AB, BD magnitudinis existit dubiae, quare et BO 
segmentum existit incertae magnitudinis. Et quoniam per eandem pro- 
positionem XXXYm angulus ABD dubiae quantitatis existit^, ergo de 
48^ duobus rectis reliquus angulus ABC incertae magni | tudinis erit. 

Igitur si in triangulo latus aliquod quadrantem superat, et reliqua ut 
supra; q. o. o. 

Propositio XLTL 

Si in triangulo quopiam latus unum quadrante maius existat, 
et duorum angulorum super eodem latere consistentium obtusus 
uterque, erit reliquorum laterum incerti generis utrumque, et 
angulus ab eisdem lateribus comprehensus genere dubius. 

Sit') triangulus ABC habens latus BC quadrante maiujs, et utrumque 
duorum angulorum ABC et ACB recto maiorem. I^co, quod utrumque 

duorum laterum AB et AC sit magnitudine dubium; et 

quod similiter angulus ^^C magnitudinis existat incertae. 

Protrahantur ergo duo latera ^^ et ^C in partes 

B, C, quousque concurrant super D signo. Ergo in 

49' [ y^\ trian|gulo BCD latus BC ex bipothesi quadrantem 

excedit, et uterque duorum angulorum BCD et CBD 

super eodem latere BC consistentium acutus est. Ergo 

per propositionem XLY utrumque duorum segmentorum 

BD et CD magnitudine incertum est, atque angulus 

BDC dubius^); quare de duobus semicirculis ABD et 

ACD reliqua segmenta AB et AC magnitudine dubia sunt; et quia angulus 

BAC aequalis est angulo BDC^) — est autem BDC angulus dubius, ut 

ostensimi fuit — , ergo et angulus BAC magnitudinis erit incertae. 

Igitur si in triangulo quopiam, et reliqua ut supra; q. o. o.^ 

1) Menelai sphaerica I, def. 4. 

2) Da der betreffende Teil vom Satze 88 falsch ist (rgì. oben S. 80), so wird 
aucb diesel letzte Teil yom Satze 46 falsch. Winkel ABD ist spitz, der 
Supplementwinkel ABC also stumpf. — Einen Gegenboweis des gegenw&rtigen 
falschen Teiles leiatet, was die Mdglichkeit eines restierenden rechten Winkel b 
betrifit, Satz 50. 8) Hb. hat Si. 

4) Da dei letzte Teil dea hier benutzten Satzes I, 46 falsch ist, so ist auch 
der letzte Teil der gegenw&rtìgen Schlufifolgenmg falBch. 

5) Menelai sphaerica I, def. 4. 

6) Am Bande fùgt Hand 2 hinzu: „Adde propoBÌtionem seu casmn: ai latua 
quadrante maiuB, et angulorum adhaerentium unus acutus alter obtusuB, erit 
altemm latus minus quadrante, tertium maius, et angulus yarius/^ 





Liber primns. 35 

Fropositio XLTIL 

Si in triangulo duorum angulorum alter rectus alter acutus 
fuerit, et latus recto subtensum angulo quadrante minus, | erit 49^ 
utrumque reliquorum laterum quadrante minus, et reliquus an- 
gulus acutus. 

Sit trìangulus ABC habens angulum ABC rectum quidem, et ACB 
acutum, et latus AC recto angulo ABC subtensum quadrante minus. Dico, 
quod utrumque duorum segmentorum AB et BC quadrante 
inferius est, et reliquus angulus BAC acutus. 

Patet autem AB segmentum quadrante minus esse; 
ìpsnm namque minus est segmento AC^ quod per bipo- 
thesim quadrante minus existit; nam maiorì angulo latus 
maius subtenditur.^) 

At si ^C7 latus quadrans fuerit, si sit possibile, erit 
signum Opolus segmenti') AB'^ quare AC quadrans erit, quod non subiicitur. 

Si autem ^(7 segmentum quadrantem excedat, erit per propositionem XLm 
segmentum AC quadrante maius, quod est contra hipothesim; latus enim 
AC\ quadrante minus supponebatur; ergo et £(7 latus quadrante est inferius. 50' 

Igitur si in triangulo duorum angulorum alter rectus alter acutus 
fuerit, et latus recto subtensum angulo quadrante minus, erit reliquorum 
laterum quadrante inferius utrumque, et reUquus angulus acutos»); q. erat 
demon[8trandum]. 

AUter. 

Et quoniam segmentum AB inferius est segmento AC — etenim sub 
maiore angfulo latus maius subtenditur^) — et angulus ABC rectus, ergo 
per propositionem XXT reliquum latus BC quadrante minus est, et reliquus 
angulus BAC acutus. 

Ergo si in triangulo duorum angulorum, et reUqua ut supra; q. e. 
osten[dendum]. 

Fropositio XLTIIL | 

Si in triangulo quopiam duorum angulorum alter rectus 60^ 
alter acutus existat, et latus angulo subtensum acuto minus 
quadrante, erit reliquorum laterum genere dubium utrumque, 
et reliquus angulus genere incertus. 

Sit^ triangulus ABCh&h&na angulum ABC rectum, 
et ACB angulum acutum, et latus AB acuto angulo 
ACB subtensum quadrante minus. Dico, quod reliquorum 
laterum BC et AC utrumque incertum est magnitudine, 
et similiter BAC angulus magnitudine dubius. 

Supposito enim latere BC quadrante minore, erit 
per propositionem tertiam et AC latus quadrante inferius, atque angulus 
BAC acutus. 




1) Menelao aphaerica I, 7. 2) Ha. hat segmente, 

8) Dafi derWinkel spitz ist, wird im nachfolgenden aliter*Bew6ÌB bewiesen. 

4) Menelai aphaerica I, 7. 5) Hb. bat Si. 



8 




36 Liber prìmus. 

Eursus si BC segmentum aequale quadranti subiìciatur, erit eit AC 
61' quadrane, atque | angulus BAC rectus. Nam C signum tunc est poliis 
segmenti AB}) 

At si ^0 latus quadrantem excesserit, ergo per propositionem septimajn 
AC latus quadrante superius erit, et angulus BAC obtusus. 

Igitur si in triangulo quopiam duorum angulorum, et reliqua ut 
supra; q. o. o. 

Propositlo XLIX. 

Fieri non potest, ut triangulus aliquis, duorum angulorum 
alterum rectum alterum acutum babens, possideat latus acuto 
subtensum angulo quadranti aequale. 

Si enim id possibile fuerìt, sit triangulus ABC habens 

angulum ABC rectum, ACB vero angulum acutum, et 

51^ / \ latus AB acuto subtensum angulo ACB \ quadranti aequale. 

At quia quadrans AB &à rectos angulos est BC seg- 
mento, igitur signum A polus est segmenti BC^ et angulus 
ACB rectus erit. Nam, ut Tbeodosius demonstravìt, 
-^ omnis maximus circulus veniens per polum alterius maiimi 
circuii, ad ipsum erit rectus.^) At angulus ACB subiiciebatur recto ^ 
minor. 

Non igitur fieri potest, ut triangulus aliquis, et reliqua ut supra; q. e. d. 

Propositlo L. 

In triangulo quopiam duorum angulorum alterum rectum 
babente, alterum acutum, et latus recto subtensum angulo qua- 
drante maius, erit latus acuto subtensum angulo quadrante 
inferius, et reliquum latus quadrante superius, et reliquus an- 
gulus obtusus. I 

52' Sit triangulus ABC angulum ABC rectum babens, et angulum ACB 

acutum, et latus AC quadrante maius. Dico, quod latus AB subtensum 

acuto angulo ACB quadrante minus est, et latus 
BC quadrante longius, et angulus BAC obtusus. 
Protrahantur itaque duo latera BC et CA in 
partes A, jB, quousque concurrant super D. Et 
quoniam segmentum A C per bipotbesim quadrantem 
superat, igitur de semicirculo CAD reliqua sectio 
AD quadrante inferior est; et quia angulus ABD rectus est, et ADB 
acutus — nam suus aequalis ACB per bipotbesim acutus — , ergo per 
propositionem XLVII utrumque duorum segmentorum AB et BD quadrante 
vincitur. Ergo de semicirculo DBC reliqua sectio BC quadrante maior 
62^ est. At per eandem { propositionem BAD angulus acutus est; ergo de 
duobus rectis reliquus BAC obtusus. 

Igitur in triangulo quopiam duorum angulorum alterum rectum habente, 
et reliqua ut supra; q. e. o. 

1) TheodoBii sphaerica, ed. Nizze I, 18 & 16 inv. 

2) Ibid. I, 15. 3) Ha. bat recto acuto. 





Liber primus. 37 

Froposltlo LI. 

Fieri non potest, ut in triangulo, duorum angulorum possi- 
dente alterum rectum alterum acutum, latus acuto subtensum 
angulo sit quadrante superius. 

Id si possibile fuerit, sit ergo triangulus ABC habens angulum BAC 
rectum, et angulum ACB acutum, et latus AB quadrante maius. 

Auferatur ergo ex AB segmento quadrans AI); et describatur | seg- 68' 
mentum DC. Et quoniam AB segmentum ad rectos ^ 

existit angulos AC segmento, igitur signum D polus 
est sectionis -4C^), et angulus ACB rectus.^) Ergo 
per diffinitionem anguli obtusi ["Vili] angulus ACB 
recto maior est, quod non supponebatur. 

Non igitur possibile est, ut triangulus ABC habeat C* 
angulum BAC rectimi, et ACB acutum, et latus AB^ 
quod sub angulo ACB subtenditur, quadrante maius; quod demonstrasse 
oportuit. 

Propositlo LII. 

In triangulo duos acutos habente angulos, et eorum alteri 
subtensum latus quadrante minus, erit utrumque reliquorum 
laterum quadrante minus, si reliquus angulus aut rectus aut 
acutus fuerit. Nam si reliquus angulus obtusus sit, utrumque 
reliquorum laterum variabitur. | 

Sit triangulus ABC habens duos acutos angulos ABC et ACB, et 68^ 
latus AB quadrante minus acuto angulo 
ACB subtensum. Dico, quod utrumque reli- 
quorum laterum AC et BC quadrante sit 
inferius, si reliquus angulus BAC aut rectus / \ 
aut acutus existat. ^ *< 

Sit igitur inprunis acutus. Ergo per prò- 
positionem XXXVI utrumque duorum laterum AC et BC quadrante superatur. 

Sit rursus BAC angulus rectus. Igitur per XXXTV propositionem 
utraque latera AC et BC quadrante sunt minora. 

Praeterea subiiciatur') angulus BAC obtusus. Ergo 
[per XXXVni propositionem] utrumque duorum laterum 
OJB*) et AC genere ambiguum erit. 

In triangulo igitur duos acutos habente angulos, 
et eorum alteri subtensum latus, et reliqua ut supra; 
q, 0. 0. 

Correlarlum. 54' 

Inde manifestum erit, angulum BAC varium esse genere, quandoque 
enim rectus est, aliquando recto minor, nonnunquam maior. 



A 





1) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 18 & 16 iny. 

2) Ibid. I, 16. 8) He. hat subiiciantur, 4) Hs. hat AB. 



38 Libei primuB. 

Propositio LHL 

In triangulo duos babente acutos angulos, et latus earum 
alteri subtensum quadranti aequale, erit reliquus angulus 
obtusus, eique subtensum latus quadrante maius, et reliquum 
latus quadrante inferius. 

Sit ergo triangulus ABC babens duos angulos aoutos BAC et ACB^ 
et angulo BAC subtensum latus BC quadranti aequale. Dico, quod reliquus 

angulus ABC obtusus est, eique subtensum latus AC 

quadrante maius, et reliquum latus AB quadrante 

minus. 

64^ ii/£ \ Ex signo I B super ^) AC segmentum sectio 

^ perpendicularis descrìbatur BD. Et quia uterque 

angulorum BAC et ACB recto minor est, igitur 2) 
signum cadit inter A^ C signa. Et quia per constructionem angulus BDC 
rectus, et per hipotbesim BC sectio quadrans [, et sectio BD quadrante 
yincitur], ergo per secundam propositionem DC segmentum quadrans est 
aequale, et angulus CBD rectus. Et quia angulus ABC recto CBD 
maior est, igitur per difiBnitionem [VJLl] angulus ABC obtusus est. Et 
quia DC quadrans est, igitur ADC segmentum quadrantem ezoedit Ergo 
reliqua sectio AD quadrante inferior est. Segmentum autem BD quadrante 
nunus est, quoniam ipsum est magnitudo acuti anguli BCD [Def. Vilfj, 
et angulus ADB rectus per constructionem. Ergo per propositionem tertiam 
primi segmentum AB quadrante minus est. 

Igitur in triangulo duos acutos babente angulos, et reliqua ut supra; 
quod demon[strare] o. 




66' Propositio LIY, 

In triangulo duos acutos angulos babente, alterique eorundem 
latus subtensum quadrante maius, erit reliquus angulus obtusus, 
eique subtensum latus quadrante maius, et reliquum latus alteri 
acutorum angulorum subtensum quadrante minus. 

Sit triangulus ABC duos acutos angulos babens BAC et ACB^ et latus 
BC acuto angulo BAC subtensum quadrante maius. Dico, quod reliquus 

angulus ABC sit obtusus, et eidem angulo ABC 
B^ _ ^ subtensum latus AC quadrante maius, et reliquum 

latus AB quadrante minus. 

Ex signo B perpendicularis maximi circuii 

66^ j / j[ \ sectio BD super segmentum AC descri{batur. Et 

quia per bipotbesim duorum angulorum BAC et 
ACB^ uterque recto minor est, igitur signum D 
cadit inter A^ C signa. Et quia in partili trian- 
gulo BCD angulus BDC rectus est, et angulus BCD acutus, atque seg- 
mentum BC per bipotbesim quadrante maius, igitur per propositionem L 
primi erit angulus CBD obtusus; ergo multo magis angulus ABC obtusus 

1) Ha. hat superai, 2) Hs. hat AGD. 





Liber primns. 39 

est. Et per eandem BC segmentum quadrante maius est; ergo multo foitius 
ADC sectio quadrantem superai 

Per eandem quoque propositionem BD sectio perpendicularìs quadrante 
inferìor est. Est autem et ^2> sectio quadrante minor, et angulus ADB 
rectus per constructionem; ergo per propositionem tertiam primi AB seg- 
mentum quadrante minus est. 

Igitur in trìangulo duos acutos angulos habente, et reliqua ut supra; 
q. 0. d. 

Propositio lY. I 

Fieri non potest, ut triangulus duos obtusos possideat an- 66' 
gulos et latus uni eorum subtensum quadrante minus.^) 

Id si possibile fuerit, ergo sit triangulum duos angulos obtusos habens 
BAC et ACBj et latus AB obtuso angulo ACB sub- 
tensum quadrante minus. 

Igitur super AC segmentum ex B signo sectio per- 
pendicularìs descrìbatur BD. Et quoniam angulus BAC 
obtusus est ei AB segmentum quadrante minus, igitur 
per propositionem XX perpendicularis sectio BD cadit 
extra triangulum BAC, Et quia in triangulo ABD 
angulus ADB rectus est et BAD acutus, et maiorì angulo 
tenditur latus*), ergo segmentum AB maius est sectione BD. 

Est autem AB quadrante minus per bipothesim; 
multo igitur minor quadrante erìt BD sectio. Ipsa ergo 

producatur in partem jB, | et sit totum segmentum DB E />^^^^\ ^^^ 

quadrans; ergo signum E polus est segmenti DAC^ et 
descrìpto EC segmento erìt angulus AC E rectus, ergo 
angulus ACB recto minor ^; at recto maior supponebatur. 

Non ergo fìerì potest, ut trìangulus duos habeat 
obtusos angulos et latus eorum alterì subtensum quadrante 
minus; quod demonstrasse oportuit. 

Propositio LTI. 

In triangulo duos obtusos angulos habente, eorumque alteri 
subtensum latus aequale quadranti, erit reliquus angulus 
obtusus, eique subtensum latus quadrante maius, et reliquum 
latus alteri obtuso angulo subtensum quadrante maius. 

Sit trìangulus ABC habens duos [obtusos] angujlos BAC et ACB^ 67' 
et ^^ latus quadranti aequale. Dico, quod reliquus angulus ABC sit 
obtusus, eique subtensum latus AC quadrante maius, et reliquum latus BC 
quadrante maius. 

Igitur a signo B super AC segmentum descrìbatur perpendicularis 
sectio BD. Et quia angulus BAC obtusus est, igitur perpendicularìs sectio 

1) Dieser Satz ist falsch; ygl. unten. 2) Me nel ai sphaerica I, 7. 

8) Hier ist eine falsche Yoraussetznng unterBchoben; denn BE braucht nicht 
(b. Fig. 2) aufierhalb des Dreiecks ABC zo. fallen. Alee ist der Bewei3 falsch. 




40 



Liber prìmas. 



67^ 



BD potest cadere in partes obtuù BOA angui! , et ipsa peipendicularis 
BB cadit intra triangulum ABC. 

Si autem non, cadat ergo extra. Et quia in triangulo BCD angulus 
CBD acutus est^), et BDG rectus, et BD latus quadrante maius — 

magnitudo enim est obtusi anguli BAD — , 
igitur per XTjTTT propositionem angulus BCD 
obtusus est; quare et reliquus angulus ACB 
acutus; at prius supponebatur obtusus, ergo 
peipendicularis sectio BD cadit intra trian- 
gulum ABC. 

Erit igitur angulus ABC obtusus, et eidem 
subtensum latus AC qua|drante maius. Nam 
per propositionem secundam primi angulus ABD 
rectus est, ^i AD segmentum quadrans. Et 
quia in triangulo BCD angulus BDC rectus 
est, et CBD acutus, et BD latus quadrante 
maius, velut ostensum est, igitur per propositionem XLIII BC latus qua- 
drante maius est. 

Ergo in triangulo duos obtusos angulos habente, eorumque alteri latus 
subtensum acquale quadranti, erit reliquus angulus etiam obtusus, eique 
latus subtensiun quadrante maius, et^) latus reliquum quadrante maius; q. o. o. 




68' 



Propositio LVn. 

In triangulo duos obtusos angulos habente, et latus eorum 
uni subtensum quadrante maius, erit utrumque reliquorum 
laterum genere ambiguum, et reliquus angulus genere incertus. 



Sit itaque triangulus ABC habens duos | obtusos angulos BAC et 
ACB^ et latus AB obtuso angulo ACB subtensum quadrante maius. Dico, 
quod reliquorum laterum AC et BC utrumque specie sit incertum [, et 
reliquus angulus ABC ambiguusj. 

Producantur igitur duo latera AB ei AC in partes 
B^ (7, quousque concurrant super signo D. Quod si 
utrumque segmentorum BD et DC quadrante minus 
extiterit, fiet in triangulo BDC per propositionem XTV 
l^ uterque duorum angulorum CBD et BCD acutus, et 
BC segmentum ambiguum genere ^ et angulus ABC 
obtusus. 

Auferatur itaque &i. AB segmento quadrans AJE^ 
et ex AC sectione quadrans AF^ et descripto segmento 
EF ipsum erit magnitudo obtusi anguli J?^(7 [Def.Vili], 
et idcirco quadrante maius. Et describatur segmentum BF. Quod si idem 
fuerit cum BC segmento, erit per propositionem XLIII angulus EBF 




68^' obtusus, et jBi^ latus seu BC quadrante maius, et -40 seu AF quajdrana 



1) Winkel ABD hi n^onlich rechi (vgl. Satz 2, welcher unten zitiert wird). 

2) Hs. undeutlich. 




Liber prìmus. 41 

Rursus ex EF segmento auferatur quadrans FG. Et quia FG sectio 
ipsì AC segmento ad rectos est angulos, erìt G signum polus sectionis 
ACJ) Praeterea BC segmentum secet iam FG quadrantem super H signo, 
et desciìpto quadrante GC erìt ìgìtur angulus ACG 
rectus; ergo et angulus ACB obtusus. Quod si 
EGH sectio quadrans fuerit, erit [per propositionem 
sextam] angulus ABC rectus.^) Sin autem EGH 
sectio quadrante minor fuerit, angulus ABC acutus 
[erit per propositionem tertiam]. Quod si EGH seg- 
mentum quadrantem excedat, ergo angulus ABC 
obtusus existet per propositionem septimam primi. 
Segmentum autem B C non veniet per signum G^ quia 
tunc angulus ACB rectus esset, quod non supponitur; 

neque BC latus secabit EG circiunferentiam, alioquin angulus ACB acutus 
esset, quod etiam subiectum non est. 

Igitur in triangulo duos obtusos angulos habente, et reliqua ut supra; 
q. e. o.') 

Propositio LTin.*) | 

Si in triangulo quodlibet trium laterum quadrante minus 69' 
existit, erunt in eodem triangulo duo ad minimum anguli acuti, 
et reliquus erit specie dubius. 

Si^) ergo, ut in triangulo ABC^ duo segmenta AB et AC utraque 
quadrante minora rectum comprehendant angulum BAC, erit per tertiam 
propositionem BC latus quadrante inferius, et uterque duorum angulorum 
ABC et ACB acutus. Liquet ergo, quod triangulus rectangulus quodlibet 
laterum quadrante minus habens possidet duos angulos acutos. 

Rursus ex ^C latere segmentum auferatur AE, et descripto BE seg- 
mento erit per eandem tertiam propositionem libri primi BE segmentum 
quadrante minus, et angulus AEB acutus; igitur de duobus rectis reliquus 
BEC obtusus; ergo per propositionem XTV uterque • 
duorum angulorum EBC et ECB acutus est. Patet 

igitur I iam, quod in triangulo BEC quodlibet latus y/ \\\ 69^ 

quadrante minus habente duorum angulorum, quibus 
BC latus adiacet, uterque recto minor est, et BEC q. 
angulus obtusus. 

Praeterea latus ^0 in partem A producatur usque 
in D. Sitque CAD segmentum aequale ipsi BC segmento, describatur 
[que] BD segmentum. [Ergo] erit per propositionem quartam'^) uterque 




1) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 18 & 16 inv. 

2) Ha. hat rectìM korr. aus ohtusus. — Vgl. TheodoBii sphaerica, ed. Nizze I, 
18 & 16. 

8) Am Rande fiìgt Hand 2 hinzu: ^Desunt propositiones in tribus [?] 
casibuB, quando sunt duo anguli, acutus et obtuBus, cum latere uni eorum opposito, 
licet ex praecedentibuB coUigì poasint. Nam ^quaesìta omnia varia enim essente 
Vide propoB. 68." — Die Worte in < ]> sind wieder annuUiert worden. 

4) Am Rande fùgt Hand 2 hinzu: ,,Trìa latera". 

5) Hb. hat Sii. 6) Hb. hat tertiam quartam. 



42 Liber prìmiu. 

duorum angulonun BDC et CBD acutus. Et quia in trìangnlo partili 
et rectangulo BAD angulus BAD rectus est, et eum contiiientia latera 
AD et AB quadrante minora, igitur [per] propositionem tertiam primi 
BD segmentimi quadrante minus est. Perspicuum igitur est, quod in 
triangulo BCD quodlibet laterum quadrante minus habente tres interiores 
anguli sunt acuti. 

Item^) quoque probabimus, quod in triangulo non isosoheli et quodlibet 
laterum quadrante minus habente contingit, tres angulos interiores acutos 
60' esse. Ex AD igitur segmenjto auferatur AF, et descripta BF sectione erit 
per tertiam propositionem primi in triangulo rectangulo BAF BF seg- 
mentum quadrante minus, et angulus AFB acutus. Et quia angulus CBD 
acutus est, ut probatum fuit, multo igitur magis angulus partilis FBC 
acutus est. Igitur in triangiQo BFC non isosoheli et unumquodque laterum. 
quadrante minus habente omnes tres anguli interiores acuti sunt. 

Igitur si in triangulo quodlibet trium laterum quadrante minus existat, 
erunt in eodem triangulo duo ad minimum acuti anguli, et reliquus genere 
anceps.*) 

Propositio LDL 

In triangulo duorum laterum utrumque quadrante minus 
habente et quadrantem tertium, erit angulus obtusus, cui qua- 
drans subtenditur, et reliqui acuti. | 

60^ Esto triangulus ABC possidens utrumque duorum [laterum] ^^ et 

AC quadrante minus et tertium latus BC quadranti acquale. Dico, quod 
angulus BAC obtusus est, et reUqui acuti. 

Latus AC igitur ad partem*) A producatur usque 
in D; et sit CAD quadrans; et descrìpto segmento 
BD erit ergo signum C polus segmenti BD^) Igitur 
C angulus BDC rectus est; et quia iu triangulo rect- 
angulo ABD utrumque laterum AB et AD quadrante 
inferius existit, ergo per propositionem XXI libri primi 
* latus BD quadrante vincitur, et angulus BAD acutus 
est; quare de duobus rectis reliquus BAC recto maior est et obtusus. Et 
quia segmentum BD quadrante superatur, ut ostensum fiùt, et est per 
diffinitionem [Vili] magnitudo anguli ACB, igitur angulus ACB acutos 
est. Bursus quia signum C polus est BD segmenti, ergo angulus CBD 
rectus est; quare partilis angulus ABC acutus est. 

Igitur in triangulo duorum laterum, et sequentia ut supra; q. e. o. 




61' Propositio LX. 

In triangulo utrumque duorum laterum quadrante minus 
habente, et reliquum quadrante maius, erit angulus obtusus, cui 
latus maximum subtenditur, et reliquorum uterque angulorum 
acutus. 

1) Hs. hat Idem. 

2) Dieser Beweis befrìedigt nicht, indem offenbar nur die Mòglichkeit, nicht 
aber die Notwendigkeit zweier spitzen Winkel bewiesen wird. 8) Ha. hat partes, 

4) Theodosii sphaerica, ed. Nizze 1, ISinv.oder Menelai «pAoerica 1, 2 & 10. 




Liber primns. 43 

Triangulus igìtur ABC utruxnque laterum AB ^i AC quadrante minus 
habeat, et BC latus quadrante maius. Dico, quod angulus BAC obtusus 
est, et uterque reliquorum angulorum ^^C et ACB acutus. 

Igitur per XXV tertii^) élementorum^ sectionis AC circulus des- 
cribatur ACD\ et e^ BC segmento auferatur quadrane CE\ et super C 
polo describatur DEK semidrculus, secans orbem ACD super D ei K 
sìgnÌB. Bursus AB segmentum in partem B prò- 

ducatur usque in F^ sitque ABF quadrans. | Et ..-4^-^ _ ^^^ 

iterum super polo A iuxta intervallum ABF qua- 
drantis describatur semidrculus QFL^ secans DEK 
semicirculum super signo I et orbem ACD in signis 
& et X. B itaque signum non est in &X circum- 
ferentia; nam sic AB quadrans esset, quod non 
Bupponitur. Nec cadit B signum in DK circum- 
ferentiam, quia bìg BC quadrans esset, quod adver- 
satur lijpothesi; nam J9(7per subiectionem quadrante maius est. Non cadit') 
B quoque signum intra sphaericam superficiem AKD'^ nam sic ^C latus 
esset quadrante inferius, quod non fuit suppositum. Ncque intra triangulum 
IGE'^ ita namque AB segmentum excederet quadrantem, quod non est 
subieetum. Ergo B signum cadit intra triangulum DIC Et quoniam DE 
drcumferentia quadrante est minor magnitudoque anguli ACB [Def. "Vili], 
ergo angulus ACB acutus est. Pari modo probabimus angulum ABC 
acutum. Et quia FL drcumferentia quadrantem exuperat — est quoque 
magnitudo | anguli BAC — , igitur angulus BAC obtusus existit. 68' 

Igitur in triangulo utrumque duorum laterum quadrante minus habente, 
et reliquum quadrante maius, et sequentia ut supra; q. e. d. 

Fropositio LXI. 

In triangulo, cuius latus unum quadrans existit, alterum 
quadrante minus, tertium quadrante maius, erit angulus, cui 
maximum subtenditur latus, obtusus, [et] reliquorum uterque 
angulorum acutus. 

Sit triangulus ABC habens AB latus quadrante minus, BC latus 
quadrante maius, et latus AC quadranti acquale. Dico, quod angulus BAC 
obtusus est, et reliquorum uterque angulorum acutus. 

"Ex BC igitur latere quadrans CD auferatur; et 
super C polo posito describatur AD segmentum. Erit 

ergo I angulus partilis CAD rectus*); igitur et totus /^ J^ \ yj 6t^ 

BAC recto maior et obtusus est. Est autem AD seg- 
mentimi quadrante minus; nam quadrans esse non 
potest; ita enim A polus esset segmenti BDC^, et AB quoque quadrans^, 
quod adversatur hjpothesi. Ncque AD sectio quadrantem superat; ita enim 
per propositionem septìmam primi AB latus quadrante maius esset, quod 




1) Ha. hat tertii quarti. 2) D. h. Euclidi s élementa III, 25. 

3) Ha. bat cadat. 4) Tbeodosii sphaerica, ed. Nizze I, 16. 

6) Ibid. I, 16, 18 & 16 inv. 6) Ibid. I, 16. 



44 Liber prìmus. 

non subiciebatur. Ergo AD circumferentia quadrante superatur; et quia in 
trìangulo BAD unumquodque latenun quadrante vincitur, et angulus ADB 
per constructionem rectujs, ergo per propositionem L\JLll angulus ABD 
acutus est. Et quia AD segmentum quadrante minus magnitudo est anguli 
ACD [Def. Vm], igitur et angulus. ^(7^ acutus est. 

Ergo in triangulo, cuius iatus unum quadrans existit, et reliqua ut 
supra; q. o. o. 

Fropositio LXn. 

68' In triangulo, qui duo latera qua|drante utraque possidet 

maiora, et reliquum quadrante minus, erunt anguli cuncti specie 
varii. 

Sit triangulus ABC possidens utrumque duorum laterum AC %i CB 
quadrante maius, et reliquum AB quadrante minus. Dico, quod in triangulo 
cuncti sunt anguli genere varii. 

Igitur duo latera AC ^i CB in partes A^ B prò- 

ducantur, et concurrant super D signo. Et quia in 

triangulo ABD unumquodque laterum quadrante minus 

est, ergo [per propositionem LVIII] triangulus ABD duos 

habet acutos angulos, et reliquum genere varium. Igitur 

in triangulo ABC erunt cuncti anguli genere varii. Nam 

imus angulus trianguli ABD varius est genere. Quod si 

BAD rectus fuerit, erit in triangulo ABC angulus BAC 

rectus, et angulus ACB acutus, angulus vero ABC obtusus. 

Bursus si angulus BAD obtusus est, ergo in triangulo 

63^^ ABC angulorum duorum BAC et ACB uterque acutus, | et reliquus obtusus. 

Si autem in trìangulo ABD cuncti anguli fuerìnt acuti, ergo in triangulo 

ABC uterque duorum angulorum BAC et ABC obtusus est, et reliquus 

ACB acutus. 

Igitur in triangulo ABC, qui duo latera possidet utraque quadrante 
maiora AC et BC, omnes anguli genere varii sunt; q. o. o. 

Fropositio LXIIL 

In triangulo possidente duo latera utraque quadrante maiora, 
et reliquum Iatus aequale quadranti, omnes anguli sunt obtusi. 

Sit trìangulus ^^Chabens utrumque duorum laterum. 
^C et CB quadrante maius, et AB Iatus aequale qua- 
dranti. Dico, quod omnes anguli trianguli ABC symi obtusi. 
Latera igitur AC et BC in partes -4, B producantur 
usque ad D. Et quoniam in trìangulo ABD quadrans 
est AB, et reliquorum laterum AD et DB utrumque minus 
quadrante, igitur per propositionem LIX primi angulus 
ADB obtusus est; ergo et suus aequalis ACB recto 
maior. Et quoniam per eandem propositionem uterque 
64' ^ duorum angulorum BAD et ABD acutus | est, ergo de 

duobus rectis reliquorum angulorum BAC et ABC obtusus est uterque. 
Igitur in trìangulo possidente, et reliqua ut supra; q. o. de[mon8trare]. 






Liber prìmus. 45 

Propositio JjSIY. 

In triangulo trium aequalium laterum, quorum singula qua- 
drante sunt minora, omnes anguli aequales et acuti sunt. 

Sit ergo triangulus ABC aequalia contìnens latera atque eorum unum- 
quodque quadrante minus. Dico, quod cuncti anguli in 
triangulo ABC acuti sunt et aequales. 

Quoniam duo latera AB et AC sunt aequalia, igitur 
per quartam propositionem huius primi duo anguli ABC 
et ACB sunt acuti, et uterque utrique aequalis. Et per 
eandem angulus BAC est acutus et aequalis utrique duorum 
angulorum ABC et ACB, 

Igitur in triangulo trium aequalium laterum, quorum singula quadrante 
sunt minora, et reliqua ut sùpra; q. e. demon[strandum]. { 

Propositio LXY, 64 

In triangulo trium aequalium laterum, quorum quodlibet 
quadrans est, omnes anguli recti sunt. ^ 

Sit ergo triangulus ABC^ et eius quodlibet laterum 
quadrans. Dico, quod quilibet trium angulorum A^ By C 
rectus est. 

Nam A polus est lateris JBC, et J? polus lateris Ji \q 

ACy et C polus lateris AB}) 

Igitur in triangulo trium aequalium laterum, quorum quodlibet quadrans 
est, omnes anguli recti sunt; q. o. o. 

Propositio LXVI. 

In triangulo trium aequalium laterum, quorum singula qua- 
drantem excedunt, cuncti anguli sunt obtusi et aequales. 

Sit ergo triangulus ABC trium aequalium la|terum [atque eorum 66' 
unumquodque quadrante maius]. Dico, quod ipsius^) 
angulorum quilibet obtusus est, et omnes ad invicem 
aequales. 

Duo igitur latera AC et CB in partes -4, B pro- 
ducantur, quousque concurrant super D, Et quoniam in 
triangulo ABB duo latera AD et BD utraque qua- 
drante sunt minora, et latus AB quadrante maius, igitur 
per propositionem LX huius primi angulus ABB obtusus 
est. Ergo et suus aequalis ACB obtusus.*) Rursus per 
eandem uterque duorum angulorum BAD et ABD est 
acutus. Ergo de duobus rectis reliquorum angulorum ABC et BAC [uterque] 
obtusus est; et alter alteri aequalis per propositionem quintam. 

Igitur in triangulo trium aequalium laterum, quorum quodlibet quadrante 
niaius est, cuncti anguli sunt obtusi et aequales; quod oportuit demonstrare. 

1} Theo do sii ephaerica^ ed. Nizze I, 16 inv. oder M enei ai sphaerical, 2&10. 
2) Hb. hat omnes ipsius. 3) Menelai spìiaerica I, def. 4. 






46 Liber primus. 

Propositio LXYn. 

In triangulo trium inaequalium laterum, quorum unum- 
quodque quadrante superius existat, anguli sunt omnes obtusL | 

66^ Sit ergo triangulum ABC unumquodque laterum quadrante maius 

habens. Dico, quod ipaius trianguli^) ABC omnes anguli sunt obtusi. 

Duo igitur latera AG ei BC m partes A^ B prò- 
ducantur ad concursum signi D. Et quia in triangulo 
ABD duo latera AD et BB utraque quadrante minora 
sunt, et ^^ latus quadrantem excedit, igitur per pro- 
positionem LX primi angulus ADB obtusus eBt[; ergo 
et suus aequalis ACB obtusus est]. Et per eandem pro- 
positionem uterque angulorum ABD et BAD acutus. 
Igitur de duobus rectis reliquorum angulorum ABC et 
BAC uterque obtusus est. 

Igitur in triangulo trium inaequalium laterum, quorum 
unumquodque quadrante superius existat, anguli sunt onmes obtusi; quod 
oportuit demonstrare. 

Propositio LXTIIL 

In triangulo, si unus angulus acutus fuerit, et alter obtusus, 
66' atque latus | acutum angulum subtendens quadrante minus, erit 
utrumque ex reliquis lateribus genere ambiguum, et angulus 
reliquus dubius genere. 

In triangulo ABC angulus ^^C sit acutus, et angulus ACB obtusus, 
atque latus BC quadrante minus. Dico, quod duo latera AB^ AC sunt 
genere dubia, et quod angulus ABC genere varius existat. 

Duo igitur latera AB^ AC protrahantur in 
concursum super signo D. Et quoniam in triangulo 
BCD uterque duorum angulorum BCD et CDB 
acutus est, et ^C latus quadrante minus, igitur per 
propositionem LII utrumque duorum segmentorum 
BDy DC genere ambiguum est. Igitur reliqua duo 
segmenta AB et AC genere varia sunt. Et per 
eandem propositionem CBD angulus genere varius existit; ergo et reliquus 
66^ angulus ABC specie | varius est. 

In triangulo igitur, si unus angulus acutus fuerit, et alter obtusus, 
atque latus acutum angulum subtendens quadrante minus, erit utrumque ex 
reliquis lateribus genere ambiguiun, et angulus reliquus dubius genere; quod 
oportuit ostendere. 

Finis primi libri. | 
1) Ha. hat anguli. 




IOANNIS VERNERI NORIMBERGENSIS e:- 
DE TRIANGULIS SPHAERICIS. 

LIBER SECUNDUS. 



DifflnitiO I* Linea recta in dato poncto rectam lineam contingere 
dicitur, quae cum altera in dato pnncto planum comprehendat angulum. 

DifflnitiO II« Sinus rectus datae sectionis est ipsius geminatae 
semibasis. 

At semibasi et sinu recto vocabulis indifferenter posterius utar, eo 
quod significata panun disteni. 

DifBnitiO lEL Sinus eversus dati segmenti est particnla dimetientis 
drcìimferentia eiusdem segmenti | et recto sinu comprehensa. 67^ 

Hunc sinum eversum alii sagittam, alii cuspidem vocant. 

[DifflnitiO] IT» Dati segmenti orbis magni completionem seu compie- 
mentum dico quodcunque reliquum erit dato segmento ex quadrante sublato. 

[DifflnitiO] Y. Ratio quaevis ex aliis quotlibet componitur. 

Id ex eo liquidum est, quoniam inter duas magnitudines datam ad se 
ìnvicem rationem habentes quotvis eiusdem generis accipi possunt: velut Aj E 
magnitudines datam ad se invicem habeant rationem, et inter eas quotlibet 
eiusdem generis magnitudines assumantur, quae sunt B^ (7, D. Dico, rationem A 
ad E compositam esse ex quatuor rationibus: ./i ad j& et ^ ad Ó et (7 ad 2) 
atque D ad E. Et si inter A et E magnitudines aliae utcunque magni- 
tudines quatuor sumerentur eiusdem generis, iam ratio ^ ad .E ex quinque 
aliis esse concinnata diceretur. Atque in hunc modum ratio J. ad J^ ex 
quotvis aliis construi potest. | 

DifflnitiO TI* AequaHbus rationibus rationes concinnantur aequales. 68' 

[Difflnitio] TII« Contingit inaequalibus rationibus aequales saepius 
construere rationes. 

Quod ita patet: Sint A et C magnitudines aequales. Sint item B et 
D magnitudines aequales. Igitur per Vii, Y^) utraque magnitudinum A 
et C ad utramque duarum ^ et D eandem possidet rationem. Igitur sicut 
jÌ ad J?, ita est (7 ad D. Bursus inter A et B intercipiatur E magnitudo, 
et inter (7, D magnitudines cadat F magnitudo maior E magnitudine. Et 
quoniam F est maior E magnitudine, igitur per dedmam quinti elementorwin 
Èuclidis ^ ad jEJ maiorem habet rationem quam ad F, Sed ex hypcthesi 

1) D. h. Èuclidis éUmmta V, 7. 



48 



Liber secundus. 



C est aequalìs A\ igìtur C ad J^ maìorem habet rationem quam C ad JP. 
68^ Deinde per eandem E ^à B minorem | possidet rationem quam F ad B. 
Est autem ipsi D aequalis B\ igitur È dA D minorem continet rationem. 
quam JP ad D, Ergo duae rationes A ^à E et E^^ a,d B duabus rationibus 
(7 ad JP et P ad D sunt inaequales. Et quia ostensum fuit, ^ ad ^ rationem 
esse sicut (7 ad D, et ^ ad ^ ratio componitur ex ^ ad ^ et jEJ ad J? 
rationibus, inaequalibus ad 2^ et J^ ad D rationibus, quibus (7 ad D 
concinnatur ratio, igitur contingit inaequalibus rationibus aequales saepius 
componere rationes. 

Dlfftnitlo Tlll. Si aequales rationes inaequalibus construantur 
duabus rationibus, si prima componentium priorum rationum maior fuerit 
prima posteriorum construentium, erit reliqua priorum minor reliqua posteri- 
orum. Et si minor fuerit prima prionmi prima') posteriorum, erit 
69' reliqua prionmi maior reliqua pò { steriorum. Et si prima concinnantium. 
rationum prioris rationis constructae fuerit aequalis pnmae construentium 
posteriorem constructam, erit reliqua priorum construentium aequalis reliquae 
posteriorum construentium. 

Ut in praemisso schemate si A B,à E ratio fuerit maior C ad F ratione, 
erit ^ ad ^ ratio minor ^ ad D ratione. Et si ^ ad jEJ ratio fuerit minor 
C a,à F ratione, igitur ratio E a.d B erit maior ratione J^ ad 2), per coni- 
munem sententiam: „Si aequalibus inaequalia demas, erit reliquum maioris 
ablatae minus reliquo minoris ablatae'S ^^ ^ centra. Igitur dif&nitio est 
manifesta. 

Propositio prima. 

Si rationem quampiam aliae duae construant rationes, 

fuerintque rationum termini componentium vel lineae rectae vel 

69^ numeri, | erit eadem ratio aequalis ei, quam id habet, quod ex 

antecedentibus fit construentium terminis, ad id, quod ex earun- 

dem componentium rationum fit consequentibus. 

Sit data ratio magnitudinis A a,di B magnitudinem, quam biduae [!]') 
aliae rationes C ad D et JEJ ad F componant. Dico, rationem A B,à B esse 
aequalem rationi, quam habet id, quod ex C et E antecedentibus con- 
struentium fit rationum terminis, ad id, quod 
ex earundem fit D et P consequentibus. 

Et quia rectae lineae tantum et numeri 

alterutrim ducuntur, igitur propositimi in 

lineis rectis et numeris demonstrarì conveniet. 

Si[n]t ergo primum ut ad D ita GS 

et HK rectae lineae in directum atque in 

unam rectam lineam compositae super H 

puncto. Et per undecimam primi dementomm 

Euclidis in signo seu puncto H ad rectos angulos excitetur HL quanta- 

70' libet recta linea; | atque ipsi ad directum adiiciatur iTJf; et sit LH Bkà 

H3f sicut E ad F] et compleantur rectangula GL^ LK et KM, Sumpto 

1) Hs. hat A, 2) Hs. hat ad primatn etatt prima. 
8) Werner benùtzt Offcers bidtMi€ statt d%Me', vgl. S. 62. 




Liber Becundus. 49 

ìgitur LK rectangulo ìnter GL ei KM rectangula medio, igitur per dì^m- 
tionem quintam^) huius ratio rectanguli G L bA rectangxiluia KM con- 
struitur ex duabus rationibus, rectanguli GL &à rectangulum LK et LK 
rectanguli ad rectangulum KM. 

Et quoniam duo rectangula GL^ LK eiusdem sunt altitudinis, igitur 
per prìmam sexti élementorvm Euclidis ratio rectanguli GL &à LK rect- 
angulum est sicut GH basis ad basim HK. At ex hipothesi ratio ipsius 
GH 2A HK est velut C ad D. Igitur ratio GL rectanguli ad rectangulum 
LK per 11 eorundem elementorwn quinti est sicut C ad 2>. Bursus per 
easdem et eodem modo demonstrabimus, rationem rectanguli LK Vkà KM 
rectangulum esse sicut E ad F, Igitur ratio rectanguli GL vA KM \ rect- 70^ 
angulum ex duabus quoque componitur rationibus, ad D et J^ ad F. At 
eaedem per hypothesim pangunt rationem A ad B, Et quoniam per sextam^ 
difOnitionem aequalibus rationibus aequales concinnantur rationes, igitur 
ratio rectanguli 6rX ad KM rectangulum aequalis est ^ ad ^ rationi. 

Igitur si rationem quampiam aliae duae construant rationes, fuerintque 
componentium termini rationum vel rectae lineae vel numeri, erit eadem 
ratio aequalis ei, quam id babet, quod^) ex antecedentibus construentium 
£it rationum terminis, ad id, quod ex earundem fit rationum componentium 
consequentibus; quod demonstrare oportuit. 

Idem in numens ita erit liquidum: Sitque rursus ratio data A dA B 
composita ex duabus rationibus, numeri ad 2) numerum, et E numeri ad 
F numerum. Et [ex] G numero antecedente in E numerum antecedentem 
producatur (?; acto item D conjsequente numero in F consequentem ere- 71' 
etur E.. Dico, datam rationem j. ad J9 esse sicut G ad H. 

Igitur ex ducto*) D m E prodeat K numerus; ergo per XVii septimi 
éleMentorum: „Si numerus duos multiplicans fecerit aliquos, geniti ex eis 
eandem habebunt rationem quam multiplicati^^, G numeri ad numerum K 
ratio erit sicut C ad D. Rursus per eandem ratio K nA H erit sicut E 
numeri ad F numerum. 

Estoque inter G et H numeros medius JT; igitur per di£&nitionem 
quintam^ huius ratio G dA H componitur ex duabus rationibus, G 2A K 
et K ad H, Et quoniam, velut ostensum fuit, ratio 6r ad f est sicut C 
ad D, et ratio ^ ad J3" est sicut E ad F^ igitur ratio G 2A H construitur 
ex duabus rationibus, (7 ad D et ^ ad F. At ex eisdem per bipothesim 
concinnatur ratio A ad B, Et quia per difìQnitionem sextam^) huius aequa |- 
libus rationibus rationes concinnantur aequales, igitur ratio J. ad J9 est sicut 71^ 
ratio G ad H, 

Ergo si rationem quampiam aliae duae construant rationes, et reliqua 
ut supra; q. d. 0. 

Propositio seconda. 

Si ratio quaepiam componitur ex duabus rationibus, erit 
ntra componentium aequalis ei, quam id habet, quod ex conse- 
quente alterius componentium termino fit in antecedentem com- 

1) Kb. hat quintam septimam. 2) Hb. hat sextam octavam. 

8) Bm, hat <id id quod statt quod. 4) Hb. hat ductum. 

5) Hb. hat quintam septimam. 6) Hb. hat sextam octavam. 

Abhdlgn. e. Oeich. d. math. Wiss. XXIY. 4 



50 Liber Bectmdns. 

positae, ad id, quod ex antecedente eiusdem construentis reliquae 
fit in consequentem constructae. 

Sit ergo, ut ^ ad JS ratio ex duabus aliis concinnetur, C ad D et £ 
ad jP. Dico, quod productum ex D in ^ ad productum ex O in P rationem 
habet quam E ad F] et quod fit sub J^ et ^ ad id, quod sub B et E 
continetur, rationem babet quam C ad D, 
72' Sint igitur in primis trium ra|tionum ^ ad J9, C ad 2) et J^ ad F 

termini lineae rectae. Smnmaturque GH recta linea aequalis ipsi C rectae 
lineae, et HK recta linea aequalis ipsi D; sintque GH^ HK rectae lineae 
sibi inyicem in directum compositae. Atque super E puncto recta linea 
HL aequalis ipsi A per undecimam primi élementorum Euclidis ad rectos 
angulos excitetur, quae in partem H agatur usque in Jf; sitque HM 
aequalis [ipsi] P; et compleantur tria parallelogramata GL^ LK et GM. 
Et quoniam HK aequalis est ipsi D, et HL aequalis est ipsi A ex 
hipothesi, igitur quod fit ex ^ in D rectangulum aequum est rectangulo 
LK. Bursus quia GH recta linea aequalis est ipsi 0, et HM aequalis 
ipsi J9, igitur quod fit ex (7 in P rectangulum acquale est rectangulo GM. 

Et eodem modo patet, GL rectangulum 
acquale esse ei, quod fit ex C in A, Et 
per prìmam sexti [dementorum']^ quia duo 

72'' ,,,1 1^ rectangula LG^ GM \ altitudinis eiusdem 

sunt, igitur ratio rectanguli LG dA rect- 
angulum GM est sicut basis LH eia basim 
HM, At ex hipotbesi LH est aequalis 

jh ' ipsi -4, et HM aequalis ipsi JB; igitur 

ratio rectanguli LG eia rectangulum GM 
est sicut A ad B. Et quia per diffinitionem sextam^) huius aequalibus 
rationibus rationes concinnantur aequales, ergo ratio rectanguli LG ad GM 
rectangulum cònstruitur quoque ex ratione C ad D, et ex ratione E ad JP. 
Et quoniam ratio GL rectanguli ad rectangulum GM componitur etiam per 
quintam^ diffinitionem buius ex ratione GL rectanguli ad rectangulum LK^ 
et ex ratione LK rectanguli 2i,à GM rectangulum, et ratio rectanguli GL 
BÀ LK rectangulum est sicut GH Sid HK — est autem GH aequalis ipsi 
C et HK aequalis ipsi D — , igitur ratio rectanguli GL ad LK rect- 
angulum est sicut C ad D. Et quia patuit, LG esse s.à. GM sicut A ad Bj 
73' igitur per communem 8enten|tiam: „Si aequalibus auferantur aequalia, reliqua 
sunt aequalia"^), ratio rectanguli LK &à rectangulum GM est sicut ratio 
E ad F. Et prius ostensum fuit LK esse id, quod sub A et D continetur, 
et GM ià^ quod sub (7, B comprebenditur. 

Igitur, si ratio quaepiam ex duabus componitur rationibus, erit utra 
componentium ei aequalis^), quam id habet, quod ex consequente alterius 
componentium rationum fit termino in antecedentem conciimatae rationis, ad 
id, quod ex antecedente reliquae construentis in consequentem constructae 
producitur; quod demonstrare oportuit. 

1) He. bat sextam octavam. 2) Hs. hat quintam septimam. 

8) Der Beweis ist zwar richtig, die Anwendung von Enklids %oi,vcà ipvoiai 3 
ala Ton Divisìon gultig iet dagegen nicht zul&ssìg. 4) Hs. bat aequalibus. 



■ ■ 

H 



Liber secxmdus. 51 

Eodem modo ostendemus, quod contmetur sub A^ F ad id, quod 
sub E, B comprehenditur, rationem habere quam C ad B. 

Trìum proposìtanuu ratìonum fìnes [!] in numerìs iam subiìciantur, et sit 
data ratio, quam numerus A possìdet ad B numerum, concìmiata ex ratione 
C numeri ad numerum 2), et ex ratione numeri E 2i.à F numerum; et sub 
-4, D numerìs | fiat G numerus, et ex ^ in producatur JJ. Dico, G 78' 
ad H rationem esse sicut E ad F. 

Agatur ergo A numerus in numerum (7, et fiat K. Et quoniam numerus 
G multiplicans A qì B numeros fecit K et JBT, igitur per XYII septimi 
elemeniorum Euclidis K numerus ad numerum H rationem habet quam A 
ad B, Igitur per sextam^) di£Ojiitionem: „Aequalibus rationibus rationes 
concinnantur aequales^', ratio numeri £" ad ^ numerum etiam componitur 
ex duabus rationibus, ad D et ^ ad JP. At quia numerus A multiplicans 
C et D numeros fecit JBT et 6r, igitur per eandem propositionem ratio numeri 
j^ ad 6^ numerum est sicut *G ad D. Et quia fuit quoque ostensum, 
rationem ^ ad IT esse sicut ^4 ad ^ — ex eisdem enim componitur — *), 
ergo per communem sententiam: „Si aequalibus auferantur aequalia [etc.]"^), 
et reliqua ratio G numeri ad numerum H esse sicut E numeri ad numerum F. 
At G producitur ex -4, D numeris, et H creatur ex | i?, G numeris. 74' 

Igitur si ratio quaepiam ex duabus componitur rationibus, erit utra 
componentium ei aequalis; reb'qua ut supra; q. d. o. 

Similiter quoque ostendemus, rationem eius, quod A et F nimieris con- 
tinetur, ad numerum, qui sub E, B comprehenditur numeris, esse sicut 
rationem numeri (7 ad D numerum. 

Propositio tertta, 

Duae sectiones orbis eiusdem eundem sinum habent, si pa- 
riter assumptae semicirculum constituant. 

Sit circulus ABG et eius centrum D, atque in eo sumptae duae 
sectiones AB et BG sint aequales semicirculo. Dico, eisdem sectionibus 
eundem sinum subtendi. 

Et quia per hipothesim ABG circumferentia 
semi I circulus est, igitur acta basis AG est di- /^ W 74^ 

metiens orbis ABG\ et per XTT primi élementorv/m 
Euclidis ex B puncto ìxl AG dimetientem perpen- C\ 
dicularis agatur BE'^ et producta BE m partem E 
incidat circumferentiae super F pimcto; ducanturque 
BA^ AF rectae lineae. 

Et quia BEF basis per tertiam tertii élementorum 
Euclidis bifariam secatur super E puncto, et per quartam primi [eorundum 
demefUorum] basis BA est aequalis AF basi, igitur per XX Vm tertii 

1) Hs. hat 8€Xtam octavam, 

2) An dieser Stelle, wie es scheìnt, eine Lficke mit Angabe der Proportion 
r ^ £ G 
h"^ Q ' e' 

8) Wieder einmal wird hier Euklids xoii^al §vvoioct 8 auf Dirision verwendet; 
ygl. oben. 

4* 




52 Liber secxinduB. 

eorundem elementorum BA sectio aequalìs est Al^ sectioni. Et quonìam 
BE^ ut ostendebatur, est dimidium basis BF^ et BAF sectio dupla est 
sectionis BA^ igitur per diffinitionem secundam ^) BE recta linea sinus 
est sectionis BA. Et quoniam utraque duarum sectionum ABC et AFC 
est semicirculus, igitur per communem sententiam: „Si ab aequalibus auferas 
76' aequalia, reliqua sunt aequalia"*), biduae [!] sectiones BC et CF [ sunt 
aequales. Igitur per eandem diffinitionem BE recta linea est sinus quoque 
sectionis BC. At prius ostensa fuit, BE rectam lineam^) esse sinus etiam 
sectionis AB, et duae sectiones AB, BC semicirculum constituunt. 

Igitur duae sectiones eiusdem orbis, si pariter assumptae semicirculum 
constituant, eundem habent sìnum; q. o. de[monstrare]. 

Corralarlnm. 

Hinc etiam manifestum est, sinum maximum aequalem esse circuii semi- 
diametro et totius circumferentiae circuii quadrantem subtendere. Quoniam 
perpendicularìum omnium, quas ex susceptis in circumferentia punctis deduci 
ad dimetientem contingit, maxima est, quae in centrum cadit circuii, et 
eadem per diffinitionem^) aequalis est semidiametro eiusdem circuii; et per 
75^ secundam dif&nitionem semi { diameter sinus est quadrantis totius circum- 
ferentiae. 

Propositio quarta. 

Duabus rectis lineis in aliquo puncto se ad invicem tan- 
gentibus, et a reliquis earum terminis aliae biduae [I] rectae lineae 
fuerint actae, priores rectas duas lineas et se ad invicem se- 
cantes, erit ratio unius tangentium ad superiorem eius parti- 
culam composita ex duabus aliis rationibus, ex ratione videlicet 
totius conterminae rectae lineae ad superiorem eius portionem, 
et ex ratione inferioris particulae alterius tangenti lineae rectae 
alteri conterminae ad totam ipsam conterminam. 

Sint duae rectae lineae AB et AC se ad invicem 
76' A tangentes in puncto A iuxta di£Gi | nitionem primam; et 

a reliquis earum terminis ^ et actae fuerint aliae 
duae rectae lineae BE et CD, quae se vicissim secent 
super F signo, et duas tangentes rectas lineas super D 
et E punctis, ipsam quidem AB super D et -4C 
super E. Dico, rationem rectae lineae BA ad eius 
superiorem particulam AD ex. duabus^) aliis concinnari 
rationibus, ex ratione BE ha EF, et ex ratione FC^ 
ad CD.') 

Igitur per XXXI primi elementorum Euclidis ipsi 
BE rectae lineae agatur parallela DG, secans rectam lineam AC hi puncto G, 
Et quia recta linea DG parallela est ipsi BF rectae lineae, igitur per x xix 

1) Hs. hat secimdam korr. aue sextam, 

2) Euclidis èlementa, yioival ivvouci 8. 8) Ha. hat recta linea. 
4) Euclidis èlementa I, def. 16 — 17. 6) Ha. hat duobus. 
6) Ha. hat FC korr. aua BE. 7) Ha. hat CD korr. aua EF. 




Liber secundas. 53 

eiusdem duo angulì AEB et AGD sunt aequales, et per eandem duo 
anguli ADG et AB E sunt aequales; cominunis autem est angulus BAE\ 
igitur duo trìangula AB E et ADG sunt aequiangula; ergo per quartam 
sexti eorundem elementomm ratio ìpsius BA ad AD est sìcut BE ad GD. 
At sumpta inter BE et BG rectas lineas | media EF^ igitur per V diffi- 76^ 
nitionem huius ratio BA ad AI) pangitur ex duabus rationibus, BE a,à 
EF et EF ad DG. Ratio autem EF &d DG per eandem quartam sexti 
elementorum est sicut FC ad (72); igitur ratio ipsius BA ad AD con- 
dnnatur ex ratione BE ad EF^ et ex ratione JP(7 ad CD. 

Igitur duabus rectis lineis in aliquo puncto se ad invicem tangentibus, 
et a reliquis earum terminis aliae duae rectae lineae fuerint actae, priores 
rectas duas lineas et se ad inyicem secantes, erit ratio imius tangentium 
ad superiorem eius particulam composita ex duabus aliis rationibus, ex 
ratione videlicet totius conterminae rectae lineae ad superiorem eius por- 
tionem, et ex ratione inferìoris sectionis alterius conterminae tangenti alteri 
ad totam ipsam confinem; q. o. o. 

Propositlo y. 

Si duae rectae lineae in puncto aliquo se vicissim tangant, 
et ab earum reliquis { terminis biduae [!] rectae lineae illas et se^) 77' 
ad invicem secantes ductae fuerint, erit ratio inferioris sectionis 
unius contingentium ad ipsius superiorem sectionem constructa 
ex duabus aliis, ex ratione yidelicet infernae sectionis conter- 
minae ipsius rectae lineae ad sectionem supernam, et ex ratione 
inferioris particulae alterius tangentis ad totam ipsam tan- 
gentem. 

Igitur iuxta difOnitionem primam huius duae rectae lineae AB et CA 
se tangant super A puncto, et a reliquis earum fìnibus B, C rectae lineae 
BE et CD ductae se vicissim secent super F et tan- 
gentes rectas lineas ìa D, E punctis, AB quidem in 
D et AC super E puncto. Dico, rationem BD^) ad 
DA componi ex ratione BF ad FE^ et ex ratione 
-BC ad CA, 

Igitur per XXXI primi elementorum Euclidis 
ipsi CD [parallela] sit acta GA^ et BE in partem E 

producta con|currat ipsi AG in puncto G, Et quia //^'^ \ \ 77^ 

in triangulo ABG recta linea FD parallela est latori 
AG^ secans duo reliqua latera AB^ BG, igitur per 
secundam sexti eorundem ratio ipsius BD s^d DA est 
sicut BF ad FG, Et quoniam ipsi CD [parallela] acta est AG^ igitur per 
j^XlX primi eorundem elementorum duo anguli coaltemi CAG et AGF sunt 
aequales; item per eandem duo anguli AGF et CFG sunt aequales; et 
per XV primi eorimdem anguli duo CEF et AEG^ quia sunt ad verticem, 
aequales probantur. Ergo per quartam sexti eorundem ratio EF ad ^6r 
est sicut CE ad E A. Et quia per XVlii quinti: „Si divisae magnitudines 




1) Hb. hat 8i. 2) Ha. hat D statt BD. 



54 Liber secundas. 

proportionales fuerint, compositae quoque proportionales erunt", igitur ratio 
EF ad FG est sicut ratio jEJO ad CA. At prius ostensum fuit, ratìonem 
ipsius BD ad DA esse sicut BF ad JP6r; accepta autem inter BF et 
78' FG rectas lineas media EF^ igitur per diffi { nitionem quintam huius ratio 
BF ad FG construitur ex ratione BF ad FÉ et EF ad FG^. Igitur per 
XI quinti eìementorum: „Quae eisdem sunt eaedem rationes, et ad invicem 
sunt eaedem", ratio ipsius BD 9A DA composita [est] ex ratione ^i^ ad FE^ 
et ex ratione ipsius EF ad FG, Haec autem demonstrata fuit esse aequaHs 
rationi EG 2A CA; igitur ratio BD ad DA componitur ex ratione BF 
ad FÉ et EO ad CA. 

Ergo si duae rectae lineae in puncto aliquo se yicissim tangant, et 
reliqua ut supra; q. 0. o. 

Proposltio TI. 

Si in circulo duae sectiones ad punctum unum utrisque 
commune sibi invicem fuerint additae, compositae iam sectioni 
subtensam basim diameter ad illud commune punctum educta 
duobus sinibus duarum partilium sectionum proportionaliter 
secabit. | 

78^^ In circulo ABC duae sectiones AB et BG sint compositae in B 

puncto, et subtensam basim AC secet diameter DJ? in pimcto E^ et pro- 
tractis ab ^ et punctis B.d BD dimetientem perpendicularibus ^J^ et 

CG, quarum [?] per tertiam tertìi eìementorum constat 
et per diffinitionem secundam huius esse AF^) quidem 
sinum sectionis AB^ CG autem sinum sectionis BC. 
Dico igitur, rationem A E ad EC esse sicut est sinus 
AF &d sinum CG, 

Quoniam autem anguli apud F et G puncta 
recti sunt, atque eam ob rem aequales, et duo anguli 
AEFet CEG, quia ad verticem sunt, etiam aequales*), 
igitur per communem sententiam: „Si ab aequalibus 
aequalia demantur [etc.]"^), anguli duo EAFet ECG 
erunt etiam aequales. Tres enim anguli trianguli AEF sunt aequales 
tribus angulis trianguli ECG'^ utrique enim per XXXII primi eìementorum 
79' Euclidis sunt duobus rectis | aequales. Ergo duo triangula AEF et 
CEG sunt aequiangula. Igitur per quartam sexti eorundem ratio ipsius 
AE &à E C est sicut ratio sinus AF sectionis AB ad sinum CG sectionis BC. 
• Igitur si in circulo duae sectiones ad punctum unum utrisque com- 
mune sibi ad invicem fuerint additae, subtensam compositae sectioni basim 
semidiameter ad commune illud punctum educta duarum partilium sectionum 
duobus sinibus proportionaliter secabit. 

Proposltio Tn. 

Si*) in circulo duae sectiones semicirculo minores pariter 
acceptae fuerint compositae, et uni partilium sectionum subtensa 

1) Ha. hat sinus AF statt AF. 2) Euclidis élenienta I, 16. 
3) Ibid. %oivaì Svvoiai 3. 4) Hs. hat Sint 




Libei secnudus. 



56 



basis fuerit ad infinitum eiecta, et per reliquum finem alterius 
sectionis dimetiens circuii ad easdem partes protractus con- 
currat eiectae basi, erit ratio sinus compositae sectionis { ad 79^ 
sinum partilis unius sectionis sicut ratio eiectae basis alterius 
sectionis usque in concursum dimetientis in easdem partes prò- 
ducti ad ezteriorem sui portionem, inter eundem concursum et 
circumferentiam iacentem. 

In circulo ABC duae sectiones AB et BC pariter compositae in 
puncto B sint minores semicirculo. Et subtensa basis AB eiiciatur in partem^) 
B ad infinitum, et diameter EC in easdem partes 
educta occurrat basi AB in puncto D. Et per XII primi 
élementorum in CE dimetientem deductis perpendicu- 
laribus AF et BG, erit per tertiam tertii eorundem et 
per diffinitionem secundam huius AF sinus sectionis 
ABC et BG sinus sectionis BC. Dico, rationem AF 
[sinus] sectionis ^^(7 ad J96r sinum sectionis BC esse 
sicut [rationem] AD rectae lineae ha DB rectam lineam. 

Et quia anguli apud \ F et G puncta sunt recti, 
et duobus triangulis BDG et*) ADF communis est 
angulus ADFj igitur per XXXll primi eUmeniorum 
duo trianguli ADF et BDG sunt aequianguli; ergo 
per quartam sesti eìementorum Euclidis ratio AF 
sinus H.à BG sinum est sicut ipsius AD ad DB. 

Igitur si in circulo duae sectiones semicirculo 
minores pariter acceptae fuerint compositae, et uni partilium sectionum sub- 
tensa basis fuerit ad infinitum eiecta, et reliqua ut supra; q. o. o. 




80' 



Propositio Tm. 

Si in sphaerica superficie magnorum circulorum duae sectio- 
nes singulae semicirculum non exuperantes ad unum congre- 
diantur punctum, et a reliquis earum finibus duae sectiones 
aliae singulae semicirculo minores educantur, { quae se ad in- 80^ 
vicem et congressas^) secent, erit ratio sinus infernae portionis 
unius congredientis ad sinum superae particulae concinnata ex 
duabus^) aliis, ex ratione sinus inferae particulae unius secantis 
et conterminae sectionis ad sinum supernae suae portionis, et 
ex ratione sinus inferae portionis alterius sectionis congressae 
ad sinum eiusdem congressae. 

Duo magnorum orbium segmenta BA et AC iuxta X^) di£&nitionem 
primi congrediantur in puncto ^; et a reliquis eorum finibus B et C edu- 
cantur aliae magnorum sectiones BE et CD, se ad invicem secantes super 
puncto F, congressa vero segmenta BA et AC super punctis D et E, seg- 
mentum quidem BA in D, segmentum autem AC in E; et nulla sectionum 
semicirculo maior 1 sit. Dico, rationem sinus BD sectionis ad sinum seg- 81' 



1) Ha. hat partes. 2) Hs. hat ad. 

4) Hs. hat duobus. 6) Hs. hat XIV. 



3) He. hat congressus. 




56 Liber secnndos. 

mentì DA con^tractam esse ex duabus aliis, ex ratione sinus sectionis BF 
ad sinum sectionis FE^ et ex ratione sìnns segmenti EC aà sìnum seg- 
menti CA, 

Dnctis AB^ BE et AE basìbns, susdpiaturque sphaerae centrum Gr^)j 
a quo ductis semidiametrìs GC^ GD^ et GF^ et senùdiameter GD secabit 
basim AB in ponete J, et semidiameter GF secabit basim BE super S 
puncto. Deìnde GC et A Eia partes C, E protractae concurrant in pimcto K. 

Et connexis J, Hj K enmt tria pmncta 
2, Hy K in una recta linea; ipsa enim 
sunt in communi sectione duorum pia- 
norum circuii JDFC et trianguli ABE, 
quae quidem scotìo per tertiam nndecimi 
elemerUomm E u elidi s linea est recta. 
At quia duae rectae lineae BA, AKy 
ad punctum A se adinvicem oontingentes, 

81^ ^ C ^ W I *^^ ^^*^ * ^^ I re^<l^ finibus B et 

K eductas se et yicissìm secantes susci- 
piunt, quae sunt BE et jSTJ, igitur per 
quintam huius ratio BI ad lA constructa est ex ratione BH ad HE et 
ex ratione EK ad KA At quia per sextam^ huius ratio BI ad lA est 
sicut ratio sinus sectionis BD eA sinum sectionis DJ.; et per eandem ratio 
BH ad HE est sicut ratio sinus segmenti BF ad sinum segmenti FE^ 
igitur ratio sinus segmenti BD ad sinum segmenti DA composita ex ratione 
sinus segmenti BF ad sinum segmenti FEj et ex ratione EK ad KA. 
Sed ratio EK*') ad KA aequalis est per septimam huius rationi sinus EC 
sectionis ad sinum segmenti CA. Igitur ratio sinus segmenti BD hA sinum 
segmenti DA concinnatur ex ratione sinus sectionis BF tA sinum segmenti 

82' FE^ et ex ratione sinus segmenti -EJC ad sinum ^) | segmenti CA. 

Ergo si in sphaerica superfìcie magnorum circulorum duae sectiones, 
et reliqua ut supra; q. de[monstrare] o. 

Propositio IX. 

Si duo magnorum circulorum segmenta in sphaerica super- 
ficie ad punctum unum congrediantur, et a reliquis eorum 
finibus duae magnorum sectiones orbium fuerint deductae, quae 
se adinvicem et congressas secent sectiones, nullumque ex his 
segmentis semicirculum exuperat, erit ratio sinus unius con- 
gredientis segmenti ad sinum superae particulae suae constructa 
ex duabus^) [aliis], ex ratione sinus conterminae sectionis ad 
sinum superae portionis suae, et ex ratione sinus inferae parti- 
culae alterius secantis segmenti ad sinum eiusdem segmenti 
secantis. | 

82^ In proposita sphaera ABC duo magnorum orbium segmenta BA ei 

AC iuxta diffinitìonem X^ primi congrediantur in pimcto A\ et ab eorum 

1) Theodosii sphcierica, ed. Nizze I, 2. 2) Ha. hat CD. 

3) Ha. hat sextam korr. aus septimam. 4) Hs. hat FK. 

5) Hb. hat signum. 6) Hb. hat duobtis. 7) Hb. hat XIV. 



Liber Becundus. 



67 



reliquis finibus ^ et C aliae duae magnorum orbium sectiones BD et CE 
deductae se vicissìni secent in puncto F, at congressas sectiones BA et AC 
in punctis 2> et ^, AB quidem in puncto ^, AC vero in puncto D; 
honunque segmentorum existat nullum semicirculo maius. Dico, rationem 
sinus segmenti J?^ ad sinum superae eius particulae A E ex aliis construi 
duabus, ex ratìone sinus segmenti J?D ad sinum suae portionis superae 
DFj et ex ratione ^ sinus particulae JP(7 ad semibasim seu sinum totius 
segmenti CE. 

Igitur per primum librum Theodosii de sphaerids trianguUs^) 
ipsius spliaerae ABC centrum suscipiatur, sitque id punctum G\ et agantur 
bases EB, BF et FE*^ \ ducantur quoque _ 88' 

semidiametri AG et GD et GC. Eiicìantur 
deinde GA semidiameter et BE basis in 
partes A et E^ donec concurrant in puncto JBT; 
similiter quoque basis BF et semidiameter 
6rD in partes D et jP eiiciantur, quoad 
concurrant in puncto I. Et productis GC et 
HI ad partes C et 7, donec concurrant in 
puncto K, et connexis JF, K punctis, erunt 
duae rectae lineae EF et FK in directum 
compositae et una linea recta; utraque enim 
est in communi sectione duorum planorum 
trìanguli BHI et orbis EFC\ haec autem 
sectio per m undecimi elementorum Euclidis 
linea recta est. 

Et quoniam recta linea BH contingit 
rectam lineam HK in puncto i7, atque ab 
earum finibus BetK duae deducuntur rectae 
lineae BI et KE^ se ad invicem secantes in 

puncto.^ I et contingentes lineas m E et I punctis, igitur per quartam 88*^ 
huius /atio BH rectae lineae ad HE particulam concinnatur ex duabus*) 
aliis, ex ratione rectae lineae ^J ad suam portionem JJF, et ex ratione 
FK particulae ad'totam rectam lineam KE. At per septimam huius ratio 
BH rectae lineae ad HE particulam est sicut ratio sinus sectionis BA 2A 
sinum sectionis AE\ et per eandem ratio rectae lineae ^J ad eius parti- 
culam IF est sicut sinus sectionis BD ad sinum sectionis D^; rursus per 
eandem et ex rationia eiusdem permutatione ratio rectae lineae FK ad rectam 
lineam KE est sicut ratio sinus segmenti FC ad sinum CE segmenti. 
Igitur ratio rectae lineae BH ad suam^) particulam HE construitur per 
dif&nitionem sextam^) huius ex ratione sinus sectionis BD ad sinum 
sectionis DF^ et ex ratione sinus segmenti FC 2A sinum CE segmenti. 
Et quia iam ostensum fuit, rationem | rectae lineae BH'Sià particulam HE 84' 
esse aequalem rationi sinus sectionis BA ad sinum sectionis AE, igitur 
per eandem dlfOnitionem: „Eationibus aequalibus rationes construuntur 
aequales,'* ratio sinus sectionis BA Sià sinum sectionis A E componitur ex 




1) Hb. hat de Sphaericis nis [d. h. 8ìbJ. — Vgl. Theodosii sphaerica, 
ed. Nizze 1,2. 2) Hs. hat duobus, 8) Hs. hat sui. 4) Hb. hat octavam. 



58 



Liber sectuidas. 



ratione sinus sectionis BD ad sinum sectionis DF^), et ex raidone sinus 
sectionis FC &à sinum CE segmenti. 

Igitur si duo magnorum segmenta orbìum in sphaerica superficie ad 
unum congrediantur punctum, et reliqua ut supra; q. d. o. 

Propositlo X. 

Datis duobus triangulis sphaericis, qui ex magnorum seg- 
mentis Constant orbium, fueritque angulus unius aequalis angulo 
84^ uni alterius trianguli, alterque angulus trianguli unius | aequalis 
alteri angulo trianguli alterius, aut cum eodem constituens 
duos angulos duobus aequales rectis, erunt trianguli unius sinus 
duorum laterum, quorum neutrum comparatis adiacet angulis, 
proportionales sinibus duorum alterius trianguli laterum, quo- 
rum similiter subiectis neutrum adiaceat angulis. 

Hanc Menelaus iuxta codicem, qui in fuit potestate mea'), demon- 
stravit in propositione secunda libri tertiL 

Sint igitur duo triangula sphaerica ex magnorum segmentìs orbium 
constructa ABC et DE F^ et angulus EBF sit aequalis angulo BAC^ et 

angulus EFB aequalis angolo BCAy 
aut cum eo constituens duos angulos 
duobus aequales rectis. Dico, rationem 
sinus lateris AB a,à. sinum lateris BC 

j) <:^^ j5 esse sicut rationem sinus lateris DJ? ad 

sinum lateris EF. 

[In primis constituat angulus BCA 
cum angulo EFD duos angulos duobus 
aequales rectis.] Ergo segmentum AC \ 
86' in partem A producatur usque in 6^, et 

sit AG sectio aequalis lateri DF; et super AG ad punctum G iuxta 
doctrinam primam primi libri Menelai de sphaericis triangtdis^^ con- 
stituatur angulus AGH aequalis angulo EFD; et producta BA et GH 
segmenta concurrant in // puncto. 

Et quoniam angulus GAU est ad verticem anguli BAC, igitur angulus 
GAH est aequalis angulo BAC^); at ex hipothesi angulus EDF angulo 
BAC Q^t aequalis; ergo per communem sententiam: „Quae uni sunt aequalia^ 
sibi invicem sunt aequalia"^), angulus EDF est angulo GAH aequalis, et 
per constructionem et hypothesim angulus AGH est aequalis angulo DFE^ 
et latus AG trianguli AGH acquale lateri DF trianguli DEF. Et quoniam 
per XIV primi Menelai: „Si anguli duo unius trianguli sphaerici fuerint 

1) Hb. hat BF. 

2) Yielleicht der in der Yatikanischen Bibliothek sich befindliche Cod. Palat. 
lat 1861, membr., ca. 1300 — 26; Tgl. Abhandlungen zur Gesebichte der 
mathematischen Wissenschaften XIY, S. 146 — 146. Nur dìesem Cedex und 
Cod. Marc. Yenet. CI XI. 90 entsprechen namlich die von Werner angegebenen 
Satznummem im Menelaostexte , und letzterer Codez tr9^t keine Spnr von Be- 
nutzung um das Jabr 1600. 

3) Hfl. hat sphaericis nis [d. h. 3Ì8.J. — Ygl. Menelai sphcierica I, 1. 

4) Menelai sphaerica I def. 4. 6)£uclidÌ8 elementa, xoivuì ipvoiai 1. 





Liber secundus. 59 

aequales duobus angulis alterìus trianguli, duoque latera aequis adiacentia 
angulis aequalia, enmt duo reliqua unìus latera aequalia duobus lateribus { 
reliquis alterìus trianguli, quodque suo comparì, et reliquus unìus angulus 86^ 
reliquo angulo alterìus trianguli ^^, igitur latus DE^) est aequale laterì AH, 
et GH latus aequale laterì EF, Producantur iam BG et GH segmenta, 
quousque concurrant in puncto K. Et sunt duo angulì AQH et ACB 
duobus aequales rectis; et quìa duo angulì HGA ei AGK duobus quoque 
rectis sunt aequales, ìpsi sunt aequales duobus angulis HGA et ACB, et 
utrobique dempto communi angulo HGA remanent duo angulì AGK et 
ACB aequales per communem sententiam: „Sì aequalibus auferuntur aequalia, 
reliqua sunt aequalia."') Et quoniam duo angulì CGK et KCG supra CG 
basim in trìangulo CGK sunt aequales, igitur per tertiam propositionem 
primi libri Mene lai duo latera CK, KG simt aequalia. Bursus quoniam 
duo magnorum segmenta orbium in sphaerica superficie congrediuntur in 
signo K, quae sunt CK et KH, et ab eorum reliquis ducuntur fìnibus C 86' 
et H duae alìae magnorum sectìones orbium CG et HB, quae se vicissim 
secantes in puncto A dispescant duo segmenta CK et KH in punctis B et 
6r, igitur per octavam huius ratio sinus segmenti HG ad sìnum sectìonis 
GK pangitur ex ratione sinus segmenti HA ad sìnum AB segmenti, et ex 
ratione sinus BC sectìonis ad sìnum sectìonis CK At quia, velut ostensum 
fuit, CK segmentum aequale est segmento KG, igitur per communem 
sententiam: „ Aequalia segmenta sinus habent aequales", sinus segmenti CK 
est aequalis sinui segmenti KG; ergo ratio sinus HG^) sectionis ad sìnum 
GK segmenti concìnnatur ex ratione [sinus segmenti HA ad sìnum segmenti 
AB, et ex ratione] sinus segmenti BC aÀ sìnum segmenti GK Et quo- 
niam, ut patuit, duae ratìones HA sinus ad ^^ sìnum et ìpsius BC sinus 
vA GK sìnum sunt aequales ratìonì sinus segmenti HG ad sìnum segmenti 
GK, igitur per communem sententiam: „Si ab aequalibus I eadem dematur 86^ 
ratio, reliquae ratìones erunt aequales", ratio sinus sectìonis HG vA sinum 
sectìonis BC erit sìcut ratio sinus sectionis HA ad sinum sectìonis AB. 
Vicissim igitur ratio sinus sectìonis J.jB ad sinum sectìonis BC est sìcut 
ratio sinus AH sectionis ad sinum segmenti HG. At AH segmentum ìpsi 
DE segmento aequatur, et HG ìpsi EF est aequale; igitur ratio sinus 
AB 9,à sinum BC est sìcut ratio*) sinus DE &d sìnum EF. 

Ergo datis duobus in sphaerica superficie trianguHs^), quae ex mag- 
norum segmentis Constant orbium, et reliqua ut supra. 

Sit nunc angulus ACB aequalis angulo DFE. Igitur per commimem 
sententiam'^): „Quae sunt eidem aequalia, sibi sunt adinvicem aequalia"^), 
angulus AGH est aequalis angulo ACB. Producantur ergo HK et KC 
segmenta in partes H et C, donec concurrant in puncto X; et quìa angulus 
HGC exterior est aequalis angulo GCK interiori et opposìto, igitur | per 87' 
decìmam primi Me nel ai duo segmenta CK et KG semìcìrculo sunt aequales. 
Et quìa per aequalia^) duo orbes magni KBL et LG K a. se invicem secantur, 

1) Ha. hat DF. 2) Euclidis elementa, xoival ivvouci 8. 8) Hs. hat HC. 
4) Die Worte sicut ratio am Rande hìnzugefClgt. 6) Ha. hat trianguliis. 

6) Ha. hat scientiam. Die Verkurzungen sciam und snam aind aber leicht zu 
verwechaeln. 7) Euclidia elementa^ noivaì Ivvoiai 1. 

8) Ha. hat per I [!] atatt per aequalia. 



60 



Liber secnndus. 



ergo per XV primi Theodosii^) de sphcierids triangulis^ KBL est 
quoque semicirculus, et communi segmento KG dempto relinquuntur GrK et 
CL segmenta aequalia. Igitur ex communi sententia: ,yAequalium sectionum 
aequales sunt sinus^S sùius CL sectionis idem est qui GK segmenti; et per 
tertiam propositionem huius duorum segmentortun LG ei GK idem sinus 
est. Igitur sinus segmenti GK rursus aequalis est sinui segmenti KG. 
Eursus eodem modo demonstrabimus ut prius, rationem sinus segmenti AB 
ad sinum segmenti BG esse sicut rationem AH sinus ad sinum HG\ igitur 
sicut rationem sinus segmenti 2>^ ad sinum segmenti EF, 

Ergo datis duobus triangulis sphaericis, quae de magnorum segmentis 
87^ orbium construuntur, angulusque unius trianguli fuerit aequalis | uni angulo 
altehus trianguli, alterque angulus eiusdem trianguli aequalis alteri angulo 
alterius trianguli, aut cum eodem duos constituens angulos aequales duobus 
rectis, erunt duo sinus duorum unius trianguli laterum, quorum neutrum 
comparatis adiacet angulis, proportionales duobus sinibus duorum alterius 
trianguli laterum, quorum neutrum quoque subiectis simul adiaceat angulis; 
q. d. 0. 

Proposltio XI. 

Si aliquis triangulus ex magnorum^) circulorum segmentis in 
sphaera concinnatus unum rectum contineat angulum, erit ratio 
sinus lateris, quod recto opponitur angulo, ad sinum^) unius seg- 
mentorum rectum angulum continentium, sicut ratio sinus 
maximi ad sinum anguli, cui idem circa eundem rectum angulum 
segmentum obiicitur. | 

88' Sit datus trigonus sphaericus ABG habens angulum AGB rectum. 

Dico, rationem sinus lateris AB ad sinum lateris BG esse sicut rationem 
totius sinus ad sinum anguli BAG, et sinum lateris eiusdem ^^ ad sinum 
lateris AG esse sicut sinum totum ad sinum anguli ABG. 






AB latus aut erit quadrante minus aut maius aut quadrans. Sit in 
primis quadrante minus; et AB^ AG^^ latera producantur in partes B^ C, 
donec utrumque sit quadrans, et sint producta ABD et AG E. Descripto 
magni orbis segmento DE ipsum est per diffinitionem octayam^ primi 
magnitudo anguli BAG\ et quoniam utraque sectioniim AD et A E est 
circuii quadrans magni, igitur punctum A polus est sectionis ED^ et ABD 
et AEG [!] orbes circulum ED per prìmum librum Theodosii') ad rectos 

1) Theodosii sphaerica, ed. Nizze 1, 12. Dieso Stelle zeigt, da6 Werner die 
yen Campanus kommentierte llUigere Theodosips-Ùbersetzung benntzte, die in 
Yenedig 1518 zweimal und femer im Jahre 1629 von Johs. YOgelin in Wien heraus- 
gegeben wurde. 2) Ha. hat sphaericis nis [d. h. Sis.]. S) He. hat magnis. 

4) Hb. hat sinum korr. auB sintis. 6) Es wird also AC <C 90 ^ YorauegesetEt. 

6) Hs. hat octavi. 7) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 16 inv. & 15. 



Liber Becandnfl. 61 

dìspescunt angulos; igìtur uterque duorum angrulorum AED et ADE \ 
rectus est. Et quia duobus trìangulìs DEA et ABC communis est angulus 88^ 
JBAG, et angulus ACB est aequalis angulo AED — uterque enìm est 
rectus — , igìtur per X huius ratio siaus AB lateris ad sinum lateris BC 
est sicut ratio siaus lateris ^D ad sinum lateris DE. Est autem sinus AD 
segmenti totus per correlarium tertium huius, et sinus DE sectionis [sinus] 
magnitudinis anguli BAC, yelut ostensum fuit; ergo ratio sinus lateris AB ad 
sinum lateris BC est sicut ratio totius sinus ad sinum magnitudinis anguli BAC. 

Eodem modo ostendemus, rationem sinus lateris ^^ ad sinum lateris 
AC esse sicut sinum maximum ad sinum anguli ABC, 

Igitur si aliquis triangulus ex magnorum^) orbium segmentis in sphaera 
concinnatus, et reUqua ut supra. 

lam AB et AC sectiones sint quadrantes. Erit quod proponitur ex se 
manifestum. Nam AB sectioni, quia quajdrans est, totus sinus subtenditur. 89' 
Et quia segmentum AC perpendiculariter seu ad angulos rectos secat BC 
sectionem, igitur A polus est orbis BC^, et AC sectio quoque circuii magni 
quadrans; igitur per 8 diffinitionem primi BC sectio magnitudo est anguli 
BAC. Ergo ratio sinus AB lateris ad sinum lateris BC &st sicut ratio 
maximi sinus ad sinum anguli BAC, 

Sit iam AB latus magni orbis quadrante maius. Et quia BCA an- 
gulus rectus est, igitur AC quadrantem exuperat.') Secetur ex ^^ seg- 
mentum AD quadrans existens; item ex ^C latere quadrans abscindatur 
AEy et descripta sectione DE magni orbis erunt anguli apud D et E signa 
recti.*) Et quoniam duobus triangulis ABC et ADE communis est an- 
gulus BACj et angulus AED est aequalis angulo ACB — uterque enim 
rectus — , igitur per X huius ratio semibasis ^D ad sinum DE \ sectionis 89^ 
est sicut ^) ratio sinus lateris ^^ ad sinum lateris BC, Et quoniam sinus 
AD sectionis per correlarium tertium maximus est, et per diffinitionem 8 
[primi] DE magnitudo est anguU DAE^ igitur ratio sinus AB lateris est 
ad sinum lateris BC sicut ratio maximi sinus ad sinum anguli DA E. 

Igitur si aliquis triangulus ex magnorum orbium segmentis in sphaera 
concinnatus, et reliqua ut supra; q. o. demon[strare]. 

Alitar ut Geber Arabs.^) 

"Et AB latus quadrante sit inferius, quare et ^0 latus quadrante erit 
multo minus; malori enim angulo latus maius opponitur per VII primi 
Menelai in sphaericis triangulis.'^) Nam angulus ACB rectus est, et 
GB A acutus; ergo AC latus minus est AB latere. Et quia AB latus ex 
hipothesi quadrante inferius est, igitur multo magis sectio AC quadrante { 
minor est. Producantur duo latera AB et AC in partes B et C, donec 90' 

1) Hb. hat magnis. 2) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 18 & 16 inv. 

8) Dies iet nicht notwendig, wenigBtenB nur, wenn i A <^90^; vgl. oben I, 
22 & 60. 4) TheodoBii aphaerica, ed. Nizze I, 16 & 16 inv. 
6) aicut am Rande hinzugeffigt. 

6) Vgl. Crebri filii Affla HiBpalensis, De astronomia IX, Norimbergae 
1684, I, 12 — 18. 

7) Hb. hat sphaericis ms fd. h. 8i8.]. — Eb wird ako vorauBgeaetzt, dafi 
LC<^90^ iflt, waB nicht notwendig ist. 



62 



Liber secnndaa. 





utrumque in quadrantem crescat, ita ut ^J?D et AC E segmentorum utnimque 
quadrans existat. Et producto segmento DE magni orbis ipsum est magni- 
tudo anguli BAC per diffìnitionem 8 primi. Suscipiaturque centrum 
sphaerae, et sit 6r; et scribantur semidiametri tres GrD, GÈ et GA, Pro- 
trahantur iterum DI sinus DE segmenti, et sinus BH segmenti BG^ et 
BF semibasis dupli sectionis AB, 

Et quia duo anguli AFB et AGD sunt aequales — uterque enim 
rectus — , et duae rectae BF et DG in eodem sunt plano orbis ABD, 
igitur per XXYm primi elementorum E u elidi s duae rectae lineae BF 
et GD sunt adinvicem parallelae. Et quoniam DI et BH rectae lineae 
plano AEG sunt ad rectos angulos, igitur ipsae per sextam undedmi 

eonmdem dementorum 

sunt parallelae. Et con- 

90^ jì^^-'^ IV. « /^ \\at^XZ} nexis | JP, H punctis, 

et quoniam duae rectae 
lineae FB, BH sese in- 
vicem tangentes in eodem 
non sunt plano [lincia 
DG, DI], igitur per 
decimam undecimi eorundem angulus FBH aequalis est angulo GDI', et 
angulus FHB aequalis est angulo GID; uterque enim rectus est per 
diffinitionem -secundam libri XI elementorum Euclidis^): „Itecta linea ad 
planum recta est etc." Igitur duo triangula GDI et FBH sunt aequi- 
angula; ergo per quartam sexti eorundem elementorum ratio FB ad BH 
est sicut ratio ipsius GD B,d DI Et quia BF sinus est segmenti AB, et 
BH sinus est sectionis BC, et GD sinus maximus, DI autem sinus DE 
segmenti diffinientis magnitudinem anguU DAE [, igitur ratio sinus lateris AB 
ad sinum lateris BC est sicut ratio totius sinus ad sinum anguli BAC]. 
Igitur si aliquis triangulus ex magnorum segmentis orbium in sphaera 
concinnatus unum rectum possideat angulum, et reliqua ut supra; q. o. o. | 
91 Idem quoque eodem ostendemus modo, si latus obversum angulo recto 

quadrantem excesserit. 

Nam figura resumpta eadem ponendum est in triangulo ADE latus 
AD maius quadrante magni circuii. Et quia angulus AED ex hipothesi 
rectus est, igitur et latus A E quadrante quoque superius est.^ Ex duobus 
ergo lateribua AD, A E resecentur duo quadrantes AB et AC; et descripto 
segmento BC magni orbis ipsum est acquale magnitudini anguli BAC. 
Deinde simili modo propositionem concludemus. 

Allter ut Oeorgius Forbacliius. 

Sequens Georgii Furbachii demonstratio subiicit unumquodque trium 
laterum dati trigoni minus esse quadrante magni orbis. ^) 

1) Nach Zamberti Euclidis elementa XI, def. 2; in Heibergs Anagabe XI, 
def. 8. 2) Di 68 ist nur notwendìg, wenn /_ Jt < 90® ist; vgl. oben. 

3) Vgl. loannes Begiomontanus, In Ptolemaei magnam composiUonem, 
quam Almagestum vocant, libri tredecim, Noribergae 1560, 1, 18. Von diesem Werke, 
sog. Epitome AlmagesH, sind die Bùcher I — VI yen Georg von Feurbach ver- 
falt; siebe die Vorrede dea Regiomontanus an Eardinal Bessarion. 





Liber secundaa. 63 

Sit ìgitur propositus triangulus ABC habens ACB rectum^), | et sit 91' 
quodlibet trìum laterum AB^ BC et CA quadrante inferìus. Dico, rationem 
semìbasis segmenti AB Vkà simun BG segmenti esse sicut rationem maximi 
sinus ad semibasim angui! BAG. 

Eiiciantur ergo latera ^jB et ^C in partes ^ et C, AB quidem usque 
in D^ AG yero usque in JEJ; et utrumque productorum segmentorum ABD 
et AG E sit quadrans circuii magni; et magni orbis sectione DE descripta 
ipsa erit magnitudo anguli BAG per difi&nitionem Vili primi huius. Eiici- 
antur quoque DE ei BG segmenta ad partes B^ D, quousque concurrant 
in puncto F, 

Et quoniam duae 
sectiones GF et FÉ 
gecant orbem AGE per 
hipothesim ad rectos an- 
gidos, igitur utrumque 
segmentorum GF et FÉ 
per primum librum Theo - 
do sii in sphaericis trian- 
ffulis^ transit per polum 
orbis AGE. Igitur F 
punctus circuii AGE 

polus est; et utraque sectionum GF et FÉ quadrans est magni orbis.^ 
Et duo magnorum orbiimi segmenta AE et | EF ad punctum E congrediantur; 92' 
atque ab eorum £nibus ^ et J^ aliae duae sectiones deductae AD^) et FG 
secant se ad inyicem in puncto B^ et congredientes sectiones ^^ et FÉ in X) 
et G punctis. Igitur per IX huius ratio sinus segmenti FÉ ad sinum seg- 
nolenti ED pangitur ex duabus^) aliis, ex ratione sinus FG sectionis ad sinum 
segmenti GBj et ex ratione [sinus BA sectionis ad sinum segmenti AD. 
Ergo etiam ratio] semibasis FÉ ad sinum ED construitur ex ratione sinus BA 
ad sinum AD sectionis, et ex ratione sinus FG sectionis ad sinum BG seg- 
menti; construentes enim rationes perturbatae eandem compingunt per aequam 
proportionem seu per X X Mi quinti élementorum Euclidis.®) Et quoniam 
sinus GF segmenti aequalis est semibasi sectionis AD — horum namque 
segmentorum utrumque quadrans magni orbis subiicitur — , igitur per 
quintam^) diffinitionem huius ratio sinus sectionis BA ad semibasim BG 
construitur ex eisdem rationibus, quibus ratio { FÉ sinus constat ad sinum 92^ 
ED sectionis. At quia per sextam^ diffinitionem aequalibus rationibus 
rationes panguntur aequales, ergo ratio semibasis segmenti AB Aà semi- 
basim BG sectionis aequalis est rationi sinus segmenti FÉ ad sinum ED 
segmenti. Sinus autem sectionis FÉ per correlarium tertium est maximus; 
et DE sectio magnitudo est, ut patuit, anguli BAG. Igitur ratio semi- 
basis segmenti AB 8,à sinum segmenti BG est ut ratio semibasis maximae 
ad sinum anguli BAG. 

1) Nach rectum bat die Hs. die Worte: cui oppositum sit latus, welche zu 
streicben sind. 

2) Hb. bat sphaericis nis[d. h. Sia.], — Vgl. Theodosii sphaerica, ed. N i z z e 1, 18. 
8) Ibid. 1, 16 iny. 4) Hs. hat ^B. 6) Hs. hat dtiobus. 6) Falscher Yerweis. 
7) Hs. hat quvntam korr. aus septimam. 8) Hs. hat sextam octavam. 



g4 Liber secundus. 

Igitur si triangulus^) alìquìs ex magnorum segmentis orbium in sphaera 
concinnatus, et reliqua ut supra; quod rursus osteii[dere] opor[tuit]. 

Yerum AB latere quadrantem exuperante propositionem ita demonstra- 
bimus, quasi praecedentis vestigia demonstrationis ingredientes modica con- 
tingente variamone. 

Esto nunc latus AB recto subtensum angulo quadrante longius; atque 
ex eo resecetur AD ({^adrans; et sectio magni circuii, quae sit BE^ ad 

98' AC segmentum ad rectos | angulos describatur; ac iterum productìs BC et 
DE segmentis in partes B, D, quoadusque in puncto F concurrant. Et 
quoniam per IX ratio semibasis segmenti FC s,à sinum sectionis CB con- 
structa est ex duabus^) aliis, ex ratione sinus segmenti FÉ ad semibasim 
sectionis ED, et ex ratione sinus DA sectionis ad semibasim segmenti AB. 
Sumpta autem inter FC et CB sinus media ED semibasi, igitur per 
difi&nitionem quintam huius ratio sinus segmenti FC B,à semibasim sectionis 
CB pangitur ex ratione sinus sectionis FC B,à semibasim segmenti ED, et 
ex ratione semibasis ED sectionis ad sinum segmenti CB. At quia duo 
segmenta FC et FÉ sunt aequalia — utrumque enim est quadrans cir- 
cuii — , igitur per communem sententiam aut per XXTX tertii dementortim 
Euclidis eisdem segmentis FC et FÉ aequales sunt semibases. Et quoniam 
per yn quinti eorundem élemmtontm: „ Aequales magnitudines ad eandem 

93^^ unam habent rationem^^, igitur ratio sinus segmenti FC 9.d semibasim sectionis 
ED est ut ratio sinus FÉ sectionis ad semibasim ED segmenti. Igitur 
per Vni difOnitionem huius ^) reliqua ratio sinus ED segmenti ad semibasim 
sectionis CB est ut reliqua ratio semibasis DA segmenti ad semibasim seg- 
menti AB. At quia per XVI quinti eorundem elementorum: „Si magni- 
tudines quatuor fuerint proportionales, vicissim quoque proportionales erunt", 
igitur semibasis AB segmenti ad sinum BC sectionis est ut sinus segmenti 
AD Q.d semibasim sectionis DE. Est autem ex hypothesi sinus AD sectionis 
maximus, et per difììnitionem Vili primi ED sectio magnitudo anguli BAC. 
Igitur si triangulum aliquod in sphaera ex magnorum segmentis con- 
cinnatum^) orbium rectum unum contineat angulum, erit ratio semibasis 
lateris, quod recto subtenditur angulo, ad sinum alterius laterum, quae 

94' rectum complectuntur angulum, velut ratio maximae se|mibasis ad sinum 
anguli, cui latus idem circa rectum angulum subtenditur; quod fuit demon- 
strandum. 

Propositio Xn. 

In triangulo sphaerico rectum unum habente angulum, 
cuius unumquodque trium laterum extiterit quadrante minus, 
erit ratio sinuum subtendentium duo latera, quae unum acutum 
comprehendunt angulum, maioris inquam sinus ad minorem, 
velut ratio sinus complementi reliqui lateris ad sinum com- 
pletionis eiusdem acuti anguli. 

Sit triangulus sphaericus ABC angulum ACB rectum habens, et unum- 
quodque trium laterum AB, BC et CA quadrante minus. Igitur per 
94^^ in propositionem primi uterque reliquorum angulorum ABC et B\AC 

1) Hb. hat triangt^is. 2) Hs. hat diiobiis. 3) Falscher Yerweis. 

4) Hb. hat concinnetur. 




Liber secundus. g5 

acutus est. Producantur duo latera AB et AC in partes B et C, donec 
utrumque quadrans fiat, et sint duo quadrantes ABD et ACE'^ describa- 
turque ED sectio magni orbis; et producatur CB in partem B, donec ipsi 
ED segmento in eandem partem eiecto ocurrat [!] in puncto F. Et quoniam 
anguli circa C et E puncta recti sunt, igitur utrumque segmentorum CBF 
et FDE orbis magni quadrans est.^) Dico, quod ratio semibasis segmenti 
AB Kà sinum AC sectionis est ut sinus sectionis*^P ad semibasim FD 
segmenti. 

Et quia duo anguli ABC et DBF sunt ad verticem, igitur alter alteri 
est aequalis. At per XI ratio sinus AB segmenti ad sinum AC sectionis 
est sicut [ratio] maximi sinus ad sinum anguli 
ABC seu sui aequalis DBF\ et per eandem ratio 
semibasis segmenti ^2^ ad semibasim FD sectionis 
est etiam ut ratio maximi sinus ad sinum anguH 
ABC. Igitur per XI quinti élementorum Euclidis: 

„Bationes, { quae eidem sunt eaedem, et adinvicem ) \ 95' 

sunt eaedem", ratio semibasis BA segmenti ad 
sinum segmenti AC est sicut ratio sinus sectionis 
BF B,à semibasim FD segmenti. 

Ergo in triangulo spbaerico rectum unum 
babente angulum, cuius unumquodque trium laterum 

extiterit quadrante minus, erit ratio sinuum duo subtendentium latera, quae 
unum acutum comprebendunt angulum, maioris inquam sinus ad minorem, 
velut ratio sinus complementi reliqui lateris ad semibasim completionis 
eiusdem anguli acuti; quod fuit demonstrandum. 

Non aliter quoque ostendemus, rationem sinus segmenti ^^ ad sinum 
sectionis BC esse velut rationem maximae semibasis complementi lateris AC 
ad sinum complementi anguli ABC. 

Aliter ut Georgius Furbaohius.') 

Manente eodem schemate erit per "Vili ratio semibasis segmenti -FD 
ad sinum sectionis DE constructa ex duabus, ex rajtione sinus sectionis 95^ 
FB ad semibasim segmenti BC, et ex ratione sinus segmenti AC ad semi- 
basim maximam Sumpto igitur sinu sectionis DE medio inter sinum seg- 
menti FD et semibasim FB^ igitur ratio semibasis FD ad FB semibasim 
[construitur ex tribus aliis, ex ratione semibasis DE B.d FB semibasim,] 
et ex ratione FB sinus ad -BC sinum, atque ex ratione semibasis AC &à 
sinum maximum. Sed duae rationes semibasis DE ad semibasim FB et 
semibasis FB 9.à BC sinum pangunt rationem DE sinus ad sinum -B(7; 
ergo ratio semibasis FD ad FB sinum ex duabus constat, ex ratione semi- 
basis DE 2A BC sinum, et ex ratione sinus CA ad sinum maximum. At 
per XI buius atque per XVI quinti eìementorum Euclidis: „Si magni- 

1) Tbeodosii sphaerica, ed. Nizze I, 13 & 16 inv. 

2) Ygl. loannes Regiomontanas, In Ptólemaei magnani coìtipositionem, 
quam Almagestum vocant, libri tredecim, Noribergae 1650, II, 83. Von diesem 
Werke, sog. Epitome Almagesti, sind die Bùcher I— VI von Georg von Peurbach 
▼erfafit; siebe die Yorrede dea Regioni ontanuB an Eardinal Bessarion. 

Abhdlgn. z. Gesch. d. math. Wiss. XXIV. 5 



QQ Liber secundus. 

tudines proportionem habuerìnt, vicissìm quoque proportionales erunt", ratio 
DE sinus ad semibasim J? (7 est sicut [ratio] maximi sinus t^àAB sinum. Ergo 
ratio semibasis FD ad FB sinum pangitur ex duabus, ex ratione maximi 
96' sinus ad sinum AB, et ex ratione semibasis CA ad maximam ^) semi|basim. 
8ed hae construunt rationem sinus CA eia AB sinum; igitur ratio sinus 
2>1^ ad FB semibasim est sicut sinus CA ad sinum AB. Ergo per corre- 
larium quartae quinti eorundem elemeniorum semibasis BF nd FD sinum 
est ut sinus AB ad AC^ semibasim. 

Igitur in triangulo sphaerico rectum unum habente angulum, cuius 
unumquodque trium laterum quadrante minus extiterit, et reliqua ut supra. 

Propositio Xm. 

In triangulo sphaerico, qui unum rectum possidet angulum, 
et unumquodque trium laterum quadrante minus, ratio sinus 
complementi unius duorum laterum rectum continentium an- 
gulum ad semibasim completionis lateris recto subtensi angulo 
est sicut ratio sinus maximi ad sinum complementi alterius 
laterum rectum angulum continentium. | 

96^ Ut in praemissa figuratione supplementum sectionis AB est BD seg- 

mentum, et complementum CB segmenti est BF sectio, et complementum 

AC segmenti est CE sectio. Dico, sinum BF seg- 
menti ad semibasim segmenti BD esse sicut semi- 
basim FC sectionis, per correlarium tertiae quae 
est sinus maximus, ad semibasim CE. 

Et quoniam BDF angulus est rectus, quem 
in triangulo BDF subtendit latus BF, et per 
diffinitionem VJLLL primi CE magnitudo est angui! 
BFD, igitur per XI huius sinus segmenti FB ad 
sinum sectionis BD est sicut maximus sinus, id est 
semibasis quadrantìs FC, ad sinum sectionis CE. 
Ergo sinus complementi sectionis CB ad semibasim completionis seg- 
menti AB est sicut maximus sinus, id est semibasis segmenti jPO, ad sinum 
complementi sectionis AC\ quod demonstrandum erat. 
^7' Rursus dico, quod sinus complementi se|ctionis -40 ad sinum sup- 

pletionis^) segmenti AB sit sicut sinus maximus ad sinum suppletionis 
segmenti CB. 

Et quia, yelut ostensum est, sinus maximus ad semibasim segmenti 
CE est sicut sinus FB sectionis ad semibasim BD segmenti, igitur vicissìm 
per XVI quinti élementorum Euclidis: „Si magnitudines quatuor pro- 
portionem habuerint, vicissim quoque proportionales erunt'^, sinus segmenti 
CE ad sinum BD sectionis est sicut semibasis sectionis FC, idest maximus^) 
sinus, ad sinum segmenti BF. Est autem CE supplementum segmenti CA, 
et DB supplementum sectionis BA, et FB completi© segmenti BC, et FC 
quadrans. 

1) Hs. hat maximae ad CE statt CA ad maximam. 

2) Hs. hat AC ad AB statt AB ad AC. 

3) Hs. hat suppletionis korr. aus completionis, 4) Hs. hat maximi. 




Liber Becundns. 67 

Bursus ergo in triangulo sphaerico ABC sìnus complementi sectìonis 
AC Ad sinum suppletìonis segmenti AB est sicut maximus sinus ad sinum 
complementi alterius circa rectum angulum lateris; quod iterum osten- 
dendum erat. | 

Propositio XIY. 97^ 

In triangulo sphaerico rectangulo, unumquodque trium la- 
terum quadrante minus habente, ratio sinus suppletionis lateris 
alteri acutorum angulorum subtensi ad semibasim supplementi 
eiusdem anguli acuti erit sicut ratio maximi sinus ad sinum 
reliqui acuti anguli. 

Sit triangulus sphaericus ABC babens angulum ACB rectum, et unum- 
quodque laterum quadrante minus, et utrumque ex reliquis angulis per m 
propositionem primi acutum. Dico igitur, rationem sinus complementi lateris 
^C ad semibasim complementi anguli ABC esse, ut est ratio maximi sinus* 
ad semibasim anguli BACj et rationem sinus suppletionis lateris BC sA 
semibasim supplementi anguli BAC esse | sicut 98' 

rationem maximae semibasis ad sinum anguli ABC. 

Igitur duo latera AB, BC in partes -4, C pro- 
ducantur, donec utrumque quadrans fiat^); et sunt hi 
quadrantes BAD, BCE, Et descripto magni orbis 
segmento ED duae sectiones AC et DE in partes A 
et D eiiciantur, donec invicem concummt in puncto F. 

Et quia anguli iuxta (7 et jEJ puncta recti sunt, 
igitur duae sectiones CAF et FDE sunt quadrantes.^ 
Igitur in triangulo sphaerico ex magnorum orbium 

segmentis concinnato AFB unumquodque trium laterum est quadrante 
inferius, et angulus ADF rectus est; nam B punctum est polus segmenti 
EDF^) ex hipothesi. Ergo per XI ratio semibasis AF lateris ad semibasim 
FD lateris est sicut ratio maximi sinus ad sinum anguli BAF. At per 
diffinitionem IV huius segmentum AF complementum est AC lateris, et 
FD completio est DE segmenti, quod | per diffinitionem Vili*) primi 98^ 
magnitudo est anguli ABC, et quoniam angulus DAF aequalis est angulo 
BAC — est enim ei ad verticem — , igitur in triangulo sphaerico ABC 
ratio semibasis complementi lateris AC ad sinum completionis anguli 
ABC, cui latus AC subtenditur, est sicut [ratio] maximi sinus ad sinum 
anguli BAC 

Igitur in triangulo sphaerico rectangulo, unumquodque trium laterum 
quadrante minus habente, ratio sinus suppletionis lateris uni acutorum an- 
gulorum subtensi ad semibasim supplementi eiusdem anguli acuti erit sicut 
ratio maximi sinus ad semibasim reliqui acuti anguli; quod oportuit de- 
monstrare. 

Non aliter quoque demonstrabimus, rationem sinus completionis lateris 
BC esse ad sinum complementi anguli BAC ut [rationem] semibasis 
maximae ad semibasim anguli ABC. 

1) Hfl. hat fiant 2) Theodoaii sphaerica, ed. Nizze I, 13 & 16 inv. 

3) Hs. hat CDF. 4) Ha. hat XVIII. 

6* 




@8 Liber Becundus. 

Propositlo XY. 

Si quatuor numeri proportionem habuerint, erit ut eo, quod 
99' ex secundo | in tertium producitur, per primum diviso prodeat 
numerus quartus. 

Sint quatuor*) numeri proportionales -4, B, (7, D, ut A ad ^ sic C 
ad D] ducaturque J5 in C producens E^ quo diviso per A numerus F^ 
exeat. Dico, numerum F esse aequalem numero D. 

Nam ex hjpothesi quatuor numeri A, B^ Cy D sunt proportionales; 
igitur per XIX, VII*) [ejlemfentorum] Eucl[idis]: „Si quatuor numeri 
proportionales fuerint, qui ex primo et quarto fìt, aequus est ei; qui ex 
secundo et tertio", quod fit ex Jl in 2> aequum est ipsi E. At quia ex A 
in F quoque fit E, igitur E numerus ad utrumque D et F eandem habet 
rationem. At per IX quinti elemeniorum Euclidis ad quas eadem magni- 
. tudp eandem habet rationem, ipsae sunt aequales Igitur F numerus est 
idem D numero. 

Ergo si 4 numeri proportionem habuerint, erit ut eo, quod ex secundo 
in tertium producitur, per primum diviso prodeat numerus 4; quod fiiit 
ostendendum. | 

99^ Propositlo XVI. 

Si numeri tres continue fuerint proportionales, erit ut eo, 
quod ex secundo fit quadrato, per primum diviso exeat tertius 
numerus. 

Sint tres numeri A, B, C continue proportionales, ut -4 ad ^ ita B 
ad C; et quadratus B numeri sit D, quo diviso per A exeat E. Dico, 
numerum E esse aequalem C numero. 

Nam per XX, VII elemeniorum Euclidis*): „Si tres numeri continue 
fuerint propoi-tionales , erit qui fit sub primo et tertio numerus aequalis ei, 
qui fit ex secundo quadrato", igitur quadratus D est aequalis ei, qui fit 
sub A et C numeris. At quia sub A et C fit^) jD, rursusque sub A et E 
fit idem D quadratus, igitur D quadratus ad utrumque C et E est aeque 
multiplex, ergo per IX quinti elemeniorum eorundem numerus E est aequalis 
ipsi C numero. Producitur autem D quadratus ex B secundo numero pro- 
100' portionali, et E exivit diviso D quadrato per A nume] rum. 

Igitur si numeri tres continue fuerint proportionales, erit ut eo, quod 
ex secundo fit quadrato, per primum diviso exeat tertius numerus; quod 
demonstrare oportuit. 

Propositlo XVn. 

In triangulo sphaerico rectangulo, unumquodque trium 
laterum quadrante minus habente, cognito latere rectum an- 
gulum subtendente et altero acutorum angulorum, perspicuum 
erit et latus reliquum eidem acuto angulo subtensum. 

1) Hb. hat tres. 2) Hs. hat sinuum F statt num^'us F. 

8) Hb. hat VII korr. aua Vili. — Vgl. Euclidis eUmenta VII, 19. 
4) EuclidiB elementa VII, 20 in Zambertis Ùbersetzung, die Werner 
immer zitiert. 6) Hs. hat fit korr. aus fitque. 




Liber secnndus. 69 

In trìangulo sphaerico ABC latus AB recto angulo ACB subtensum 
sit cognitum, et angulus BAC quoque ìnnotescat. Dico, latus BG eìdem 
acuto angulo BAC subtensum etìam manifestum esse. 

Nam per XI huius sìnus lateris J[^ ad sinum BC laterìs est | sicut 100^ 
semibasis maxima ad sinum anguli BAC, Sit igitur sinus maximus terminus 
jprimus, sinus anguli BAC secundus, sinus AB tertius 
terminus eiusdem proportionis,- sinus vero lateris BC 
quartus. Igitur per XV propositionem prodibit sinus 
lateris BC quoque cognitus; et per eundem ex tabulis 
sinuum latus BC innotescet. 

Igitur in triangulo sphaerico rectangulo, unum- 
quodque trium laterum quadrante minus habente, cognito 
latere rectum angulum subtendente atque altero acutorum angulorum super 
base[!], perspicuum erit reliquum latus. 

Oorrelariam. 

Hinc liquet, latus BC cognitis angulo BAC qì latere AB cognosci per 
tmam proportionem, cuius terminus primus est maximus sinus, secundus 
semibasis anguli BAC, tertius sinus lateris AB, quartus vero terminus 
sinus seu semibasis lateris BC, quod desiderabatur. 

Propositio XVm. 

In triangulo sphaerico rectangulo, unum|quodque trium 101' 
laterum quadrante minus habente, si duo latera unum compre- 
hendentia angulum acutum perspicua fuerint, erit et reliquus 
acutus angulus liquidus. 

Ut in eodem schemate propositionis XVII, si duo latera AB et BC 
acutum angulum ABC comprehendentia fuerint^) cognita, dico, quod pateat 
etiam angulus BAC. 

Est enim per XI ratio maximi sinus ad sinum AB 
lateris sicut sinus anguli BAC ad sinum lateris BC. 
Igitur per correlarium quartae quinti elementorum 
E u ci idi s^ et erit [?] semibasis lateris AB &à sinum 
maximum sicut sinus BC lateris ad sinum anguli BAC. 
Sed numeri priorum trium semibasium ex tabulis sinuum 
innotescunt. Igitur per XV huius patebit sinus anguli BAC ex eisdem 
quoque tabulis. 

Igitur in triangulo sphaerico, unumquodque trium laterum quadrante 
minus habente, si duo latera unum comprehendentia acutum angulum per- 
spicua fuerint, patebit etiam reliquus acutus angulus; quod estendere con- 
veniebat. { 

Oorrelariam. loi' 

Manifestum inde fiet, angulum BAC patentibus AB et BC lateribus 
innotescere per unam proportionem, habentem in termino primo semibasim 
lateris AB, in secundo sinum maximum, in tertio semibasim lateris BC, 
in quarto sinum anguli BAC, qui quaeritur. 

1) Hs. hat fuerwnt. 

2) Euclidis élementa V, 4, coroll. in Zambertis tTbersetzung. 




70 



Liber secundas. 



Propositlo XIX. 

In trìangulo sphaeralì rectangulo, acuto et noto angulo 
atque cognito latere, quod eidem acuto angulo et recto adiacet, 
reliquus acutus angulus perspicietur. 

In trìangulo itaque sphaerali ABC angulus BAC sit rectus, et an- 
gulus ACB acutus perspicuus, et latus AC manifestum; sint autem singula 
tria latera AB^ AC et BC quadrante minora. Dico, quod reliquus acutus 
102' angulus ABC cognoscitur. 

Ergo duo latera AB^ BC in partes A, C producantur in quadrantes, 
qui sint BAD^ BCE-^ et super B polo describatur peripheria DE. Eursus 

duo segmenta AC^ DE in partes C, E protrabantur 
in concursum super signo JP; igitur utrumque duorum 
segmentorum ACF, BEF quadrans est.^) In 
trìangulo autem CEF latus CF cognitum est — 
supplementum namque perspicui segmenti AC — , 
et angulus ECF manifestus; ad verticem enim 
existit angulo ACB per bypothesim cognito; igitur 
per propositionem XVII buius secundi latus EF 
patebit. At DE complementum est cogniti seg- 
menti EF-^ ergo DE segmentum patet. Sed per 
diffinitionem anguli [I, def. VIU] DE magnitudo est acuti anguli ABC\ 
igitur acutus angulus ABC perspicuus. 

Igitur in trìangulo spbaerali, et reliqua ut supra; q. o. o. 




Propositlo XX. 

In triangulo spbaerico, unum rectum angulum atque unum- 

102^ quodque laterum qua|drante minus babente, si duo latera acutum 

comprebendentia angulum patescant, et reliquum latus patebit. 

In trìangulo spbaerìco, angulum ACB^) rectum et unumquodque laterum 
quadrante minus babente, duo latera BA^ AC circa acutum angulum BAC 

innotescant.^) Dico, reliquum latus BC quoque cogni- 
tum fieri, rursus si duo latera AB, BC perspiciuntur, 
et tertium latus AC patescere. 

Nam per XIII buius ratio sinus complementi lateris 
^C ad semibasim completionis AB lateris est ut sinus 
maximus ad semibasim complementi lateris BC. At 
per tabulas sinuum priores . sinus tres perspicui sunt; 
igitur per XV buius et quartus sinus complementi lateris BC liquebit ex 
eisdem tabulis; ac perinde latus BC palam fìet. 

Igitur in trìangulo spbaerìco, unum angulum rectum atque unumquodque 
108' laterum quadrante minus babente, si duo latera acutum | comprebendentia 
angulum patescant, et reliquum latus patebit.^) 

Eodem modo cognitis AB, BC lateribus, et latus AC innotescet; quod 
fuit ostendendum. 




1) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 18 & 16 inv. 2) Hb. bat ABC. 

3) Hb. bat innotescat. 4) Hs. bat lattis A [?] statt latus patebit. 




Liber secundus. 71 

Oorrelarinm. 

Inde constai, lateribus BA et AG manìfestìs, et latas BC perspici 
per unam proportionem, quae in primo termino continet semibasim^) com- 
plementi latenB AC^ in secundo sinum complementi lateris AB^ in 
tertio sinum maximum, in quarto semibasìm complementi lateris BC^ quod 
disquiritur. 

Et cognitis AB et BC lateribus similiter proportione una patebit 
latus AC<f in cuius termino primo est sinus complementi lateris BC^ in 
secundo complementi lateris AB^ in tertio sinus maximus^), in quarto com- 
plementi lateris AC. 

Propositio XXL 

In triangulo spbaerico, unum rectum possidente angulum 
atque unumquodque laterum quadrante minus, si duo latera 
acutum comprehendentia angulum innotuerint, et acutus angulus 
ab eisdem comprehensus perspicietur. 

In triangulo ABC angulus ACB rectus sit, et 
duo latera BA^ AC cognita. Dico, quod angulus BAC 
ab eisdem lateribus BA et AC contentus patescit. 

Nam per XX cognitis lateribus BA \ et AC^ pa- y^ \ 108^ 

lam fit quoque latus BC. At quia in triangulo ABC^ 
angulum ACB rectum et unumquodque laterum notum 
habente atque quadrante minus, igitur per XVITE aut per XII') angulus BAC 
palam fìet. 

Non dissimili ratione cognitis AB et BC lateribus angulus ABC 
liquebit. 

Ergo in triangulo sphaerico, et reliqua ut supra; q. e. de[monstrandum]. 

Oorrelarinm. 

Perspicuum erit, cognitis duobus lateribus BA et -4(7, angulum BAC 
innotescere duabus proportionibus, quarum prima in termino primo habet 
sinum complementi lateris AC^ in secundo semibasim complementi lateris 
AB, in tertio sinum maximum, in quarto sinum complementi lateris BC, 
quod ita perspicitur. — Rursus secunda proportio habet in termino primo 
semibasim lateris AB, in secundo sinum lateris BC, in tertio sinum maxi- 
mum, in quarto sinum anguli BAC, qui quaeritur. 

Propositio XXn. 

■ 

In triangulo rectangulo duobus lateribus, quorum utrumque 
minus quadrante* fuerit, angulum rectum continentibus notis, 
latus reliquum patescet. 

In triangulo ABClrnheiite angulum CBA rectum, eumque continentibus 104' 
lateribus AB et BC manifestis, dico, reliquum latus AC patefieri. 

1) Hs. bat semibasim circulum statt semibasim. 2) Hb. hat sinum mcucimum. 
3) Hb. hat per XIX aut per XII; es mu6 aber XI oder XVIII und XII sein. 



12 



Liber secundas. 



Ergo segmenta AC et CB in partes ^ et ^ agantur, donec utrumque 
quadrans fìat. Sìntque hi duo quadrantes CAE et CBB; et per E^ B 
puncta . magni orbis segmentimi describatur DJ5J, quod in partem^) E pro- 
tractum concurrat cum BA segmento in easdem pai^tes acto in puncto F. 
Et quia duae sectiones DEF et FAB quadrantes simt*), erit BD com- 
plementum sectionis BC magnitudo anguli AFE [I, def. Vili], et AF 

complementum segmenti lateris AB. Et quia per 
undecimam propositionem huius secundi^) libri ratio 
recti sinus segmenti FB ad semibasim sectionis BD 
est sicut rectus sinus AF sectionis ad semibasim 
E A segmenti, primis autem tribus terminis in hac 
proportione cognitis, per propositionem XY huius 
secundi') libri patebit etiam sinus rectus ^£ sectionis; 
quare deinceps per tabulas sinuum innotescet seg- 
mentum A E. At A E complementum est AC 
lateris; ergo et latus AC perspicuum erit. 
Igitur in triangulo rectangulo, et reliqua ut supra; quod erat 
ostendendum. I 




104^ Propositio XKIIL 

In triangulo sphaerico, possidente unum rectum angulum 
et unumquodque laterum quadrante minus, si alter quoque 
acutorum angulorum atque latus, quod eidem acuto angulo et 
recto adiacet, innotescant, erit latus quoque recto subtensum 
angulo perspicuum. 

In triangulo sphaerico ABC^ angulum ACB rectum atque unum- 
quodque laterum quadrante minus habente, latus AC atque angulus BAC 
innotescant. Dico, latus A B recto angulo A CB subtensum palam quoque fieri. 

Nam per XIV*) angulus ABC liquet.^) Atqui per XI 
sinus anguli ABC ad sinum AC lateris est sicut sinus 
maximus ad semibasim lateris AB. .Sed primi tres sinus 
ex tabulis sinuum clarescunt; nam segmenta, quae iisdem 
sinubus subtenduntur, agnita[!] sunt. Igitur per XV sinus 
quartus*) lateris AB cognitus exibit; ergo et latus AB 
perspicuum erit. 

Pari modo per latus BC ei angulum ABC liquidum manifestabimus 
AB latus. 

Igitur in^riangulo sphaerico, unum possidente rectum angulum et 
105' unumquodque laterum quadrante minus, si alter acutorum angulo rum atque 
latus eidem acuto et recto adiacens angulo perspicuutn fuerit, latus recto 
quoque angulo subtensum innotescet; quod fuit ostendendum. 




1) Ha. bat partes. 2) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 13 & 16 inv. 

3) He. hat primi. 4) Hs. hat X 

6) Hs. hat lìquet korr. aus subtensum palam. 6) Hs. hat quartis. 



Liber secandus. 73 

Oorrelarium. 

Palam inde fit, patentibus angulo BAC et latere AC, latus AB perspici 
duabus proportionibus, quarum una in primo termino habeat sinum maximum, 
in secundo semibasim complementi lateris AC, in tertio sinum anguli BAC, 
in quarto semibasim complementi anguli ABC, qui hac proportione clarescit. 
— Altera proportio continet in termino primo semibasim anguli ABC iam 
reperti, in secundo sinum lateris ^C, in tertio semibasim maximam, in 
quarto sinum lateris AB, quod ita cognitus prodivit. 

Quod si per angulum ABC et latus BC cognitum manifestare velis 
AB latus, permutatis ergo literis A, B^ ita ut ad locum ipsius B posito 
A et in locum A traducto B propositum ex eodem correlario perfìcies, qua 
cautione et in praecedentibus admoneri te quoque velim. 

Proposltio XXIV. 

In trìangulo sphaerico, unum possidente | rectum angulum 105^ 
et unumquodque laterum quadrante minus, si alter acutorum 
angulorum et latus ei subtensum cognoscantur, erit latus eidem 
acuto et recto adiacens angulo quoque notum. 

Sit igitur trigonus sphaericus ABC habens angulum ACB rectum, et 
unumquodque laterum quadrante minus, et angulum ABC et subtensum 
latus AC cognitum. Dico, latus BC quoque cognosci. 

Nam per XI propositionem ratio semibasis anguH 
ABC ad rectum sinum lateris AC est sicut maxima 
aemibasis ad sinum lateris^) AB, Sed priores tres sinus 
sunt cogniti; igitur et semibasis lateris AB patebit; atque 
deinde ex tabulis sinuum segmentum AB non ignora- 
bitur. Et quia in triangulo ABC duo latera BA et AC acut\im com- 
prebendentia angulum cognita sunt, igitur per XX huius aut eius oor- 
relarium latus BC patescit. 

Igitur in triangulo, et reliqua ut supra; q. o. o. 

Oorrelarinm. 

Inde est perspicuum, quod in | triangulo sphaerico et rectangulo, quod- 106' 
Hbet latus quadrante minus babente, si acutus angulus et latus eidem sub- 
tensum pateant, alterum quoque latus duobus recto adiacens et acuto 
angulis elucebit duabus proportionibus, quarum prima priorem terminum 
habebit sinum rectum dati acuti anguli, in secundo termino sinum rectum 
cogniti lateris, in tertio sinum rectum maximum, in quarto semibasim lateris 
angulo subtensi recto. — Rursus altera proportio continebit in priori termino 
semibasim complementi lateris dati, in secundo rectum sinimi complementi 
lateris angulo recto subtensi, in tertio termino semibasim maximam, in 
quarto rectum sinum completionis alterius iuxta rectum angulum cruris, 
quod quaeritur, quodque deinde per sublationem eius completionis ex qua- 
drante demptae non ignorabitur. 

1) Hs. bat IcUus statt sinum lateris. 





74 Liber Becundns. 

Propositio XXY. 

106^ In trìangulo rectangulo duobus la|teribus, quorum utrumque 

quadrante minus fuerit, angulum rectum contìnentibus per- 
spicuis, uterque ex duobus acutis angulis innotescet. 

Yelut in trìangulo ABC, habente rectum angulum CBA, patentibus 
duobus lateribus AB et BC, dico, utrumlibet acutorum angulorum BAC 
et ACB manifestum fìerì. 

Sit igitur intentio angulum ACB notum efficere. 

Per XXn buius secundi^) libri AC latus angulo recto 

^J9(7 subtensum est notum. Et quia per XI propositionem 

secundi') buius libri ratio sinus recti laterìs ^0 ad semi- 

basim AB lateris est ut maximus rectus sinus ad sinum 

anguli ACB. Atqui in bac proportione, priorìbus trìbus 

terminis liquidis, patebit terminus quartus, videHcet 

semibasis anguli ACB. Igitur et per tabulas sinuum 

rectorum angulus ACB manifestus est. Eodem modo angulus BAC patebit. 

Igitur in trìangulo rectangulo, et reliqua ut supra; q. e. demon- 

[strandum]. { 

j^j^r Propositio XXVI. 

In triangulo rectangulo, cuius quodlibet trium laterum qua- 
drante minus existat, acutum angulum et latus ei subtensum 
notum babente, erit latus recto angulo subtensum cognitum. 

In trìangulo ABC rectum babente angulum ACB, acutus angulus 
BAC ei eidem latus BC subtensum pateant. Dico, quod AB latus recto 
angulo ACB subtensum perspicietur. 

Et quoniam per propositionem XI buius secundi 
librì ratio semibasis maximae ad rectum sinum anguli 
BAC est sicut ratio semibasis AB lateris ad sinum 
rectum lateris BC, igitur vicissim per propositionem XVI 
^ quinti librì elementorum Euclidis ratio semibasis 
107^ anguli I BAC e^i ad sinum rectum maximum sicut 

sinus rectus laterìs BC &d semibasim AB lateris. Huius autem proportionis 
per bypotbesim et tabulas sinuum rectorum primi tres termini in numeris 
perspicui sunt; ergo per propositionem XV buius libri semibasis lateris AB 
patescit; quod oportuit demonstrare. 

Propositio XXVII. 

In triangulo rectangulo si quodlibet laterum quadrante 
minus existat, et unus acutus angulus eique latus subtensum 
pateant, et reliquus angulus acutus manifestabitur. 

In triangulo ABC itaque angulus BAC^) rectus sit, et ACB angulus 
108' acujtus notusque, et ei subtensum latus AB quadrante minus atque cognitum, 

1) Ha. hat primi. 

2) Hb. hat ^BC itaque ABC angulus BAC 




Liber secnndus. 

et unumquodque trium laterum AB, AC et BC quadrante mìnus 
quod acutus angulus ABC quoque perspicuus erit. 

Et quonìam in triangulo rectangulo acutus an- 
gulus ACB atque eidem subtensum latus AB patent, 
igitur per propositionem XXVI huius secundi libri latus 
BC constabit. Et per propositionem XX eiusdem 
secundi libri reliquum latus AC innotescit. Duobus 
ergo lateribus AC, CB per iam ostensa liquidis per 
propositionem XVJil eiusdem secundi libri angulus 
ABC patebit. 

In rectangulo igitur triangulo, et sequentia ut supra; q. o. o. 



75 
Dico, 




Proposltio XXTIII. 

Datis trigoni spbaerici*) tribus | angulis, quorum unus 108^ 
rectus et nterque reliquorum acutus extiterit, eiusdem trigoni 
tria latera dabuntur. 

Sit sphaericus trigonus, cuius tres anguli dati fuerint, quorum ABC 
rectus, reliquorum autem uterque acutus. Dico, quod quodlibet trium 
laterum trianguli ABC datum erit. 

Duo itaque segmenta AB, AC compleantur in quadrantes ABI), 
AC E] et polo A intervallo autem ABI) seu AC E scribatur quadrans 
DEE-, et ex F per C descendat quadrans FCB. Et quia DE segmentum 
definit quantitatem anguli BAC dati [I, def. Vili], 
igitur DE segmentum datur; ergo de quadrante DEE 

reliquum EF datur. Et quia in trian|gulo spbaerico W 109' 

CEF duo anguH dantur, videlicet ECF — nam ad 
verticem est dati anguli ACB — et CEF rectus, 
igitur per doctrinam huius secundi libri trigonomm 
sphaericorum*) utrumque duorum segmentorum EC 
et CE datur [II, 24 & 26]; ergo ex duobus qua- 
drantibus residua segmenta AC et BC dantur. At 
eisdem segmentis et angulo ACB atque recto ABC 

datis per eundem secundum librum sphaericorum trigonorum segmentum 
quoque AB dabitur [II, 17 aut 20]. 

Ergo datis trigoni sphaerici^) tribus anguUs, quorum unus rectus et 
uterque reliquorum acutus extiterit, eiusdem trigoni tria latera dabuntur. 




Finis secundi libri. 



1) Ha. hat sphaericis. 

2) Ha. hat htUus secundi libri ex seeundo libr^ trigonorum sphaericorum. 

3) Ha. hat sphaerici korr. aus sphaericis. 

4) Nach Fol. 109 folgt ein leerea Blatt ohne Kummer. 



109^ 
vacat*) 



110' IOANNIS VERNERI NORIMBERGENSIS 

DE TRIANGULIS SPHAERICIS. 

LIBER TERTIUS. 



Propositìo prima. 

Dati trìgoni sphaerici duobus inaequalibus et notis latori- 
bus, si eorum utrumque existat quadrante inferius, et acuto 
angulo ab eisdem lateribus contento et cognito, reliquum latus 
cognoscitur. 

Sit datus triangulus spbaericus ABC habens AB et AC latera cognita, 
et eorum utrumque quadrante minus. Sitque angulus BAC perspicuus et 
110^ acutus. Dico, reliquum latus BC quoque manifejstum fieri. 

Sit itaque latus AB minus latere AC\ et a 
puncto B super AC latus circuii magni sectio BE 
ad angulos rectos descendat in puncto E. Et quia 
latus AB est latere AC inferius, et ^^ latus excedìt 
AE segmentum — nam in triangulo AB E maiori 
angulo [I, 47] maius latus opponitur*) — , ergo AE 
segmentum minus est AC latere, et idcirco E punctum 
segmenti perpendicularis BE cadit inter A e>i C puncta lateris AC. Et 
quoniam in triangulo rectangulo BAE angulus acutus E AB notus^) est, 
et latus AB recto angulo AEB subtensum innotescit, ergo per XVII pro- 
positionem libri secundi^) BE perpendicularis liquebit. Et quia in triangulo 
BAE duo latera AB et BE sunt conspicua, comprehendentia acutum an- 
gulum AB E, igitur per XX eiusdem secundi') libri reliquum latus A E 
patebit, quod sublatum ex segmento AC relinquitur CE sectio nota. At 
111' in triangulo partili BEC angulus CEB per constructionem rectus est, et 
duo latera eundem angulum rectum BEC comprehendentia sunt manifesta, 
igitur per XXII secundi*) libri BC reliquum latus innotescet. 

Ergo dati trigoni sphaeralis duo nota et inaequalia latera possidentis, 
quorum fuerit utrumque quadrante minus, atque acuto ab eisdem lateribus 
comprebenso angulo cognito, latus patebit reliquum; quod erat ostendendum. 




1) Menelai sphaerica I, 7. 2) He. hat inotìM oder motus, 

3) Hb. hat primi. 




Liber tertiua. 77 

AUter. 

A puncto C maioris lateris AC super AB latus ad rectos angulos 
descrìbatur CD segmentimi. 

Quod si punctus D ceciderit in B punctum, erìt per constructionem 
angulus ABC rectus; quare per XI secundi^) libri, perspicuo angulo BAC 
et latere AC, patebit latus BC, quod quaerebatur; aut latus BC per 
XX eiusdem secundi^) patebit. 

Sin autem | D punctum non fuerit idem cum puncto B, igitur ipsum 111^ 
punctum D necessario cadit extra trigonum ABC. Et quia in triangulo 
A CD angulus ADC rectus est, et acutus CAD 
angui US ex hipothesi manifestus, et quodlibet trium 
laterum AD, AC et CD quadrante minns, et AC 
latus cognitum, igitur per XVII propositionem libri 
secundi^) CD sectio innotescit. Et quoniam in eodem 
rectangulo triangulo ACD duo latera AC et CD 
acutum angulum ACD continentia patent, ergo per XX eiusdem libri secundi') 
AD segmentum liquebit, cui si demamus AB sectionem ex hjpothesi cog- 
nitam, relinquitur BD segmentum notum. Àt in rectangulo triangulo BCD 
partili duo crura BD et DC rectum angulum CDB comprehendentia patescimt; 
igitur per XXTT secundi^) libri eiusdem BC reliquum latus erit perspicuum. 

Ergo si in dato sphaerali trigono duo inaequalia latera, : quorum 112' 
utrumque quadrante minus existat, patuerint, acutum et cognitum angulum 
continentia, erit etiam reliquum latus apertum; quod erat ostendendum. 

Et inde quoque manifestum est, hanc secundam demonstrationem 
praestare priori. Nam ex hac secunda per duas operationes liquet, utrum 
angulus ABC rectus fuerit, an non; quod non patebit ex prima demon- 
stratione. 

Propositlo II. 

In triangulo sphaerali, duobus inaequalibus lateribus notis 
et angulo acuto ab eisdem comprehenso, si fuerit eorundem 
laterum quadrans alterum, alterum quadrante inferius, reliquum 
quoque latus manifestabitur. 

Sit ergo datus triangulus sphaericus AB\C, babens quidem AB latus 112^ 
quadrante minus et notum, AC vero latus qua- j^ 
drantem, angulum quoque BAC acutum et notum 
ab eisdem lateribus comprehensum. Dico, quod 
latus BC reliquum etiam innotescet. 

Protrahatur ergo CB latus in partem B 
usque in 2)*); et ab ^ in CBD perpendiculariter 
Teniat segmentum AD [I, 11]. Et quoniam in A 
triangrilo sphaerico ACD angulus ADC per con- 
structionem rectus est, et latus AC quadrans, igitur segmentum DC qua- 
drans est, et totus angulus CAD rectus [I, 2]. Et quia angulus CAB per 
hjpothesim liquet, ergo et reliquus BAD angulus patebit. Igitur per 

1) Hs. hat primi. 2) Hs. hat secundi korr. aus primi. 3) Ha. hat primi. 
4) Ha. hat usque in D in infinitum. 





78 Liber tertins. 

propositionem XI secundi^) libri segmentum BD cognitum erit, quo qua- 
dranti D C sublato remanebit B C sectio manifesta. 

Igitur in triangulo sphaerali, duobus inaequalibus lateribus notis et 
angulo acuto ab eisdem comprehenso, si fuerit eorundem laterum quadrans 
alterum, et reliqua ut supra; quod erat demonstrandum. | 

118' Propositio in. 

Si triangulum sphaerale duo nota possederit latera, unum 
quidem quadrante minus, alterum autem quadrante maius, no- 
tum et acutum comprehendentia angulum, et reliquum latus in- 
notescet. 

Sit ergo trigonus sphaericus ABC duo contingens nota latera, et AB 
quidem quadrante minus, AC aut«m quadrante maius, acutum et manifestum 
angulum BAC comprehendentia. Dico, quod reliquum latus BC innotescet 

Ergo in triangulo ABC ab B signo in ^C 
perpendicularis BD descendat sectio, quae cadet 
necessario inter Ay C puncta [I, 12]. Et quia 
per XI propositionem libri secundi BD sectio per- 
pendicularis liquet, ergo per propositionem XXIV 
eiusdem secundi^) AD segmentum perspicuum erit. 
118^ Et { quoniam ex hipothesi totum segmentum AC liquet, igitur et reliqua 
eius pars DC manifesta erit. Ergo per propositionem') XXTT secundi^ 
sectio BC innotescet. 

Igitur si triangulum sphaerale duo nota possederit latera, unum 
quidem quadrante minus, alterum autem quadrante maius, notum et acutum 
comprehendentia angulum, et reliquum latus innotescet. 

Propositio IV. 

Si triangulum sphaericum duo cognita habuerit latera, qua- 
drantem quidem unum, alterum maius quadrante, perspicuum et 
acutum comprehendentia angulum, et reliquum latus notum erit. 

Ergo triangulus ABC habeat AB latus quadrantem, AC vero latus 
eo maius, et utrumque liquidum, et angulum BAC acutum ab eisdem late- 
114' „ ribus comprehensum etiam manifestum. | Dico, 

quod tertium latus BC patescet. 

Ex AC latere quadrans AD secetur; et per 

JB, D signa descripto magni orbis segmento BD, 

quod cognitum est — nam ipsum est magnitudo 

BAC [I, def.Vni] —, et quoniam DA^) Uquet, 

reliqua portio [DC] segmenti AC liquet, atque angulus .BDC rectus est*); 

ergo per XXTT secundi^) libri BC latus patet. 

Igitur si triangulum sphaericum duo cognita habuerit latera, quadrantem 
quidem imum, alterum maius quadrante, perspicuum et acutum compre- 
hendentia angulum, et reliquum latus notum erit. 

1) Hfl. hat primi. 2) H8. hat per eandem propositionem. 8) Hs. hat primi. 
4) Hs. hat DC. 6) Theodoaii sphaerica, ed. Nizze I, 16 & 16 inv. 

6) Hs. hat secundi korr. aus primi. 





Liber tertins. 79 

Propositio V. 

Si trigonns sphaeralìs duo latera ìnaequalia possederit 
perspicua, notum acutumque continentia angalum, et fuerit 
ntrumque horum laterum maius quadrante, et reliquum latus 
manifestabitur. 

Sit triangalus ABC habens duo nota latera AB^ AC, et eorum 
utrumque quadrante | maius, acutum perspicuumque BAC angulum com- 114^ 
prehendentia. Dico, quod latus BC per- 
spicietur. 

Ergo utrumque laterum AB et AC in 
partes B, protrahatur, quousqne concurrant 
super D signo. Et quia per primum librum 
Theodosii in sphaerids iriangulis^) 
utrumque segmentorum ABI) et ACD semicirculus est, [et duo latera AB, 
AC per hjpothesim patent,] ergo et reliquae sectiones BD et DC cognos- 
cuntur*); et angulus BDC aequalis est angulo BAC noto.*) Igitur per 
primam propositionem huius tertii libri BC segmentum liquet. 

Igitur si trìgonus sphaeralis duo latera inaequalia possederit per- 
spicua, notum acutumque continentia angulum, et fuerit utrumque horum 
laterum maius quadrante, et reliquum latus manifestabitur. 

Propositio TI. 

Si in triangulo sphaerali inaequalia duo latera, quorum 
utrumque quadrante minus extiterit, pateant, obtusum com- 
prehendentia et notum angulum, erit reliquum latus quoque 
perspicuum. ! 

In triangulo sphaerali ABC utrumque duorum crurium BA et AC sit 116' 
cognitum et quadrante minus; atque ab eis comprehensus angulus BAC 
etiam manifestus et obtusus. Dico, reliquum latus BC quoque patefieri. 

Agatur AC latus in partem^) A usque in D; et per B punctum ipsi 
CAD segmento ad rectos angulos describatur magni orbis sectio BD. Et 
quoniam BAD angulus patet — nam ipse 
reliquus est BAC angulo ex duobus rectis 
sublato — , et BA latus per hypothesim 
cognitum, igitur per XViL secundi^) in 
partili triangulo rectangulo BAD latus BD 
innotescit. Et quia in eodem triangulo ^ 
partili BAD duo latera acutum compre- 

hendentia angulum ABD <per XII secundi^) libri ®)> nota sunt, igitur per 
XX eiusdem libri secundi') AD segmentum innotescet; ergo et totu^ji seg- 




1) Ha. hat sphaericis nw[d.h.8ÌB.]. — Vgl. Theodoaii sphaerica, ed. Nizze 1, 11. 

2) Ha. hat ergo et reliqua sectionis BD et DC cogtwscitur, 

8) Menelai sphaerica I, def. 4. 4) Ha. hat partes. 6) Ha, hat primi. 

6) Dieaer Yerweia auf U, 12 acheint hier keinen Sinn zu haben nnd iat wobl 
zu streichen. 7) Ha. hat primi. 



80 Liber tertiuB. 

mentum BAC patet, quod ubi quadrante mìnus faerit, et in trìangulo 
rectangulo sphaerali [BBC] duo latera BB et BC rectum continentia 
angulum BBC [cognita sunt], et utromque eorum quadrante minus est, 
igitur per XXII secundi^) BC latus elucescit. 

Ergo in triangulo sphaerali si inaequalia duo latera, quorum utrumque 
quadrante minus extiterit, et reliqua ut supra; q. o. o. { 
115^ At quando BA et AC segmenta simul accepta quadrantem ex amussi 

constituerint, erit BC latus quoque quadrans orbis magni [I, 6], quare 
rursus patet intentio. 

Quando autem BA et AC segmenta simul sumpta sectionem quadrante 
maiorem effìcerint, igitur et BC latus quadrantem exuperat [I, 7]; ergo 
C B et CB sectiones ad partes B et B excitentur, donec ad invicem con- 
currant in puncto E. Igitur per XV propositionem libri primi Theodosii 
in sphaericis triangulis^) utraque sectionum BCE [!] et CBE semicirculus 
est magni orbis; quare ex hipothesi cum utrumque duorum segmentorum 
partilium BC et CB quadrante maius existit, reliquarum duarum sectionum 
BE et EB [utraque] quadrante minor est. Et quia in [triangulo] rectangulo 
sphaerali BEB duo latera BB et BE nota sunt, rectum comprehendentia 
angulum BBE — cognoscitur enim ex hipothesi BB, sed BE sectio patet idcirco, 
quia relinquitur nota sectione BC semicirculo CBE detracta — , ergo per 
XXU secundi*) libri BE^) sectio patet; ergo et reliqua BC semicirculi CBE \ 
116' portio manifesta est. 

Igitur si in triangulo sphaerali duo latera inaequalia, quorum utrumque 
minus fuerit quadrante, pateant, obtusum et notum continentia angulum, 
erit reliquum latus quoque perspicuum; q. o. o. 

Propositio TU. 

Si in trigono sphaerali dilo innotescant latera, quorum unum 
quadrante minus existat, alterum quadrans, obtusum et notum 
continentia angulum, erit et tertium latus cognitum. 

Sit triangulus ABC nota possidens latera 
AB et AC, quorum unum AB quadrante 
minus existat, quadrans alterum AC, com- 
prehendentia obtusum angulum BAC liquidum. 
Dico, quod reliquum segmentum BC liquescit. 
Et quoniam in omni trigono sphaerico 
ex magnis circulis concinnato sub maiore an- 
gulo latus maius subtenditur*), ergo BC latus 
maius est AC quadrante. Resecetur ergo BC 
latori quadrans CB; et per A, B signa sectio orbis magni descripta sit^) 
116^ Et qiya in triangulo | partili ABB angulus ABB rectus*), et latus ei 
oppositum AB cognitum, atque angulus BAB — nam ipse relinquitur 




1) Hs. hat secundi korr. aus primi. 2) Hs. hat sphaericis nis [d. h. Sis.]. 
8) Hs. hat B E, 

4) Menelai sphaerica I, 7. — DaB /. -B < 90®, iet in I, 16 bewiesen. 
6) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 20. 6) Ibid. I, 15 & 16 inv. 




Liber tertins. 81 

recto angolo ex dato obtnso angolo BAC soblato — , igìtor per prò- 
positionem XI secondi^) libri BB sectio innotescit* Et qoia CD seg- 
mentom ioxta constroctionem qoadrans est, ergo totom segmentom BC 
manifestiun est. 

Igitur si in triangolo sphaerali doo innotescant latera, quorom unum 
quadrante minus existat, et reliqua ut supra; q. o. o. 

Propositio TIII. 

Si trigonus sphaeralis duo inaequalia nota possideat latera, 
quorum alterum quadrante minus, alterum quadrante maius, 
obtusum notumque comprehendentia angulum, et latus reliquum 
perspicietur. 

Sit in trìangulo ABC sphaerali angulus BAC manifestus obtususque, 
et utraque latera AB et AC eundem angulum contìnen{tia perspicua, sitque 117' 
quadrante minus AB^ AC autem quadrante 
xnaius. Dico, quod latus BC etiam mani- 
festabitur. 

Ergo segmentum CA in partem A 
protrahatur usque in D ; ex J? in segmentum 
CAD veniat perpendicularis sectio BD. Et 
quia angulus extrìnsecus BAD innotescit — nam ipse reliquus est BAC 
angulo de duobus rectis sublato — , et AB segmentum cognitum ex hipothesi, 
igitur per XI propositionem secundi^) libri BD perpendicularis sectio patebit. 
Ergo per XX propositionem secundi') libri in trigono rectangulo partili 
ABD ei latus AD liquet; ergo et totum segmentum CAD patescit. Denique 
utrumque segmentorum DO et CB in partes B qì D protrahatur, usque 
concurrant super E. Et quoniam in partili triangulo BDE angulus BDE 
rectus est, et duo latera BD, DE cognita — nam DE segmentum reb'quum 
est cognita sectione CD ex semicirculo sublata, BD vero perpendicularis 
ex praeostensis perspicua — , et utrumque segmentorum BD, DE quadrante 
minus, ergo per XXH secundi^) libri sectio BE patescit, qua de semicirculo 
CBE sublata relinquitur BC sectio co Ignita. 117'^ 

Igitur si trigonus sphaeralis duo inaequalia notaque possideat latera, 
quorum alterimi quadrante minus, alterum quadrante maius, obtusum notumque 
comprehendentia angulum, et reliquum latus perspicietur; q. o. o. 

Propositio IX, 

Si in triangulo sphaerico duo latera inaequalia, quorum 
unum quadrans sit, alterum quadrante maius, innotuerint, 
obtusum notumque angulum comprehendentia, erit et reliquum 
latus notum. 

Esto datus trigonus ABC cognita inaequaliaque habens latera AB 
et AC, quorum AB quadrans existat, AC vero quadrante maius, obtusum*) 
notumque angulum JS^ (7 continentia. Dico, quod latus BC perspicuum erit. 

1} Ha. hat sectmdi korr. aus primi. 2) He. hat primi, 8) Hs. hat obtusumque. 

Abhdlgn. i. Getch. d. math. Witi, XXIV. 6 




82 Liber teitiaB. 

Et quoniam maiori angulo maius subtendìtur latus, ergo BC latus 
maius est AC latere.^) Igìtur ex ^C auferatur BD quadrans; et per A^ 

D sìgna magni orbìs segmentum describatur.^ 
118' ^^ _ ^^ Erit ergo uterque duorum | angulorum BAD 

et ADB rectus^); et quia totus angulus BAC 
ex hjpothesi cognoscitur, ex eo igitur recto 
BAD sublato ^) relinquitur angulus partilis 
CAD perspicuus. Et duo segmenta CA et 
^D in partes C, D producta concurrant super 
E signo. Et quoniam anguli circa D signum 
recti sunt, erit triangulus sphaeralis CDE 
rectangulus. Igitur per XI propositionem 
secundi^) libri sectio DC patet. Est autem 
ex hypothesi BD quadrans; ergo totum seg- 
mentum BDC notum erit. 
Igitur si in triangulo sphaerico bidua [I] latera inaequaHa, quorum 
unum quadrans sit, alterum quadrante maius, innotuerint, obtusum notumque 
angulum comprehendentia, erit et reliquum latus notum; q. o. o. 

Propositio X. 

Si triangulum sphaericum duo latera nota possideat in- 
aequalia, quorum utrumque quadrante maius existat, obtusum no- 
tumque angulum comprebendentia, erit et reliquum latus notum. j 

118^ Sit igitur triangulus sphaeralis ABC habens inaequalia duo nota latera 

AB et ACj utrumque quadrantem exuperans **) , quae obtusum notumque 

angulum BAC comprehendant. Dico, reliquum') latus BC 
quoque notum fieri. 

Ergo utraque segmenta AB, AC in partes B, G pro- 
ducantur, quousque concurrant super D, Et quia trianguli 
BDC duorum laterum BD et DC utrumque quadrante 
vincitur notumque est, eadem quoque latera BD{, D]C 
notum obtusumque angulum BDC continent, ergo per sextun 
propositionem huius tertii libri latus BC innotescet. 

Igitur si triangulum sphaericum duo latera nota possi- 
deat inaequalia, quorum utrumque quadrante maius existat, obtusum notumque 
angulum comprebendentia, erit et reliquum latus notum; q. o. o. 

Propositio XI. 

In triangulo sphaerico duo nota possidente latera, quorum 
utrumque quadrante minus existat, atque perspicuum et acutum 




1) Menelai sphaerica I, 7. — Dìeser Satz wìrd hier falsch benutzt, wie es 
scheint in Analogie mit der richtigen Ànwendung in III, 7. Winkel B ist nàmlich 
auch Btumpf (I, 17). DaB aber BC grdBer als 90® ist, erhellt aus I, 17. 

2) TheodoBii sphaerica, ed. Kizze I, 20. 8) Ibid. I, 16 & 16 inv. 
4) Hb. hat recttta BAD sublatus. 5) Hb. hat primi. 

6) Hb. hat exuperantibìM. 7) Hb. bat Dico, quod reliquum. 



Libei tertius. 



83 



angulum super reliquo latore et | iuxta brevius latus cognìtum 119' 
consistentem, et idem reliquum innotescet latus. 

Sit trigonus sphaeralis ABC habens cognita crura AB et -4(7, atque 
utrumque quadrante inferìus, latus quidem AB brevius, AG autem longius, 
angulum vero ABC [acutum] notum[que]. Dico, quod 
reliquum latus BC patescet. 

Ergo a signo A segmentum AD magni orbis perpen- 
diculariter veniat super £ (7 latus; et quoniam uterque duorum 
angulorum ABC qì ACB acutus est [I, 24], igitur signum 
D cadit inter B^ C puncta. Et quia AB sectio ex hipo- 
thesi manifesta est, simiHter quoque angulus ABD, igitur 
per XI propositionem secundi^) libri perpendicularis sectio 
AD perspicua erit. Quare per XK eiusdem*) libri et BD segmentum liquei 
Per eandem quoque propositionem sectio DC patescet; ergo et totum seg- 
mentum BC patet. 

Igitur si in triangulo sphaerico duo latera nota possidente, quorum 
utrumque quadran|te minus existat, atque perspicuum et acutum angulum 119^ 
super reliquo latere et iuxta brevius latus cognitum consistentem, et idem 
reliquum innotescet latus; q. o. o. 




Propositio XIL 

Si trianguli duobus lateribus, quorum quadrante minus 
utrumque sit, cognitis acutus et perspicuus angulus super 
reliquo crure consistens maiori cognito cohaereat lateri, idem 
reliquum latus patescet. 

Sit triangulus ABC habens AB et BC latera cognita et eorum 
utrumque minus quadrante, AC quidem maius, minus BA^^^ et angulum 
ACB acutum notumque. 
Dico, quod latus BC liqui- 
dum erit. 

Igitur per A signum 
super crure BC magni orbis 
sectio AD perpendiculariter 
veniat. Haec autem cadet vel inter B, C aut extra, vel AD eadem erit 
ipsi AB, quod accidit. 

Primum ergo AD interius cadat, ea per XI propositionem [secundi 
libri] cogni|ta erit. Et quia per XX propositionem 
secundi*) utrumque segmentum BD et DC patet, 
ergo et tota sectio BDC manifesta erit. 

Igitur si trianguli duobus lateribus, etc. 

lam autem perpendicularis AD extra B, C signa 
cadat velut in secunda specie. Et quia per XX secundi*) 

libri utrumque rursus segmentum BD et DC patet, ergo reliqua partilis 
sectio BC manifesta erit. 






1) Hb. hat primi. 
4) Ha. hat primi. 



2) Hb. hat eiusdem korr. auB primi. 8) Ha. hat BC 

e* 



120' 



84 Liber tertius. 

Quod si AD fuerit eadem segmento AB, tunc enìm angulus ABC est 
rectus, quare iteruin per XX secimdi') BC segmentum liquet. 

Igitur si trianguli duobus laterìbus, quorum quadrante minus utrumque 
ezistat, et reliqua ut supra. 

Oorrelarlum. 

Hinc patet etiam penitus discemi non posse tribus tantum magni- 
tudinibus videlicet notis, duobus cruribus AB, AC et angulo ACB, [utrum] 
perpendicularis AD ìnter B, C signa cadat an extra, ìdest an eadem per- 
pendicularìs cadat intra triangulum ABC an extra eundem, nisi cognitus 
etiam fuerit vel angulus BAC, yel ad minus pateat, an angulus ABC sit 
obtusus vel acutus sive rectus. 
120^ Nam si obtusus, AD perpendicularis veniet extra trigonum | ABCy si 

acutus intra. Et si idem angulus ABC rectus fuerit, perpendicularis AD 
eadem erit sectioni AB, et signa B, D incident in unum punctum. Igitur 
ad deffìniendum propositionem hanc XII cognoscere etiam oportet angulum 
ABC, utrum ipse obtusus acutusve sit, alioquin circa inquisitionem BC 
segmenti nobis hallucinari continget. 

Propositio XIIL 

In triangulo spbaerico duobus cruribus cognitis, quorum 
unum quadrans existat, alterum minus quadrante, [si] angulus 
perspicuus acutusque super reliquo trianguli latere breviori 
cohaereat cruri, et reliquum latus manifestabitur. 

Sit igitur triangulus ABC cognita habens latera AB [et] AC, AB 

quidem minus quadrante, quadrantem vero AC, et angulum ABC notum 

acutumque. Dico, quod latus BC innotescet. 
^^1' T» _ ^ _ Igitur per A super BC segmentum perpen- 

dicularis sectio veniat*) AD. Et quia AB latus 
ex hypothesi quadrante superatur, et angulus 
ABC acutus est, igitur et reliquus angulus 
ACB est acutus.^) Ergo perpendicularis AD 
intra triangulum ABC cadit, quae per XI se- 
cundi*) Clara est; et quia anguli circa D recti 

sunt, et AC quadrans est ex hjpothesi, igitur et CD quadrans est [I, 2]. 

At per XX secundi*) BD sectio elucescit, ergo et totum segmentimi BDC^) 

manifestum est. 

Igitur in triangulo spbaerico duobus cruribus cognitis, et reliqua ut supra; 

quod decuit [!J estendere. 

Propositio XIT. 

Trianguli duobus cognitis lateribus, quorum unum qua- 
drante yincatur, alterum quadrans existat, si acutus notusque 
angulus quadrante et reliquo incognito latere comprehensus 
fuerit, et eidem lateri reliquo reperiri continget. | 




1) Ha. bat primù 2) Ha. bat veneat. 

8) Fraber nicbt bewieaen; vgl. I, 25 — 27. 4) Ha. bat primi, 

6) Ha. hat DDC. 



Liber tertius. 



85 



Sit triangulus ABC, cuius unum cognitorum laterum AB quadrante 121^ 
minus, alterum quadrans AC, et angulus ACB cognitus acutusque. Dico, 
quod contìnget et lateri BC fieri notum. 

Quod si de angulo ABC constiterit, qualis foret, rectusne an acutus 
vel obtusus, profecto sciemus BC latus. Nam si idem angulus ABC rectus 
extiterit, BC latus quadrans erit [I, 2], si acutus, ergo per A per- 
pendicularis super BC descendat sectio AI), quae cadet intra trìangulum 




ABC et manifesta fiet per XI secundi.*) Quare per XX secundi*) eiusdem 
utrumque segmentorum BD et DC patebit; ergo et totum segmentum BDC 
perspicuum est. 

Si autem angulus ABC obtusus fuerit, ergo sectio perpendicularis AD 
cadet extra triangulum ABC, velut in secunda forma conspicimus, et per 
eandem XX secundi*) utrumque segmentorum CD et DB cognitum prodibit, 
quare BD sublato ex DC remanebit sectio*) BC manifesta. 

Igitur trianguli duobus cognitis lateribus, etc. ut supra; quod erat 



demonstrandum. 



Propositio XV. 



In triangulo sphaerico si duobus notis lateribus, quorum 
unum quadrante vincatur, alterum vero sit quadrante superius, 
acutus perspicuusque angulus reliquo latere atque minore 
datorum laterum contineatur, erit et idem reliquum latus mani- 
festum. 

Sit triangulus u4 j5 (7 babens duo cognita latera, AB quidem 
quadrante minus, -4(7 vero quadrante superius, angulum quoque 
ABC cognitum et acutum. Dico, quod et latus BC prodibit 
manifestum. 

Et per A super BC sectio perpendicularis AD incidat. 
Et quia angulus ABC acutus est, atque latus AB quadrante 
minus, AC vero quadrante maius, igitur eadem AD per- 
pendicularis cadit intra triangulum ABC, manifesta existens 
per XI secundi*); quare per XX eiusdem^) duo partiHa segmenta 
BD, DC Clara | prodibunt; ergo totum segmentum BDC 
manifestum est. 

Igitur in triangulo sphaerico si duobus notis lateribus, quorum unum 
quadrante vincatur, etc. ut supra; q. o. o. 




122' 



122^ 



1) Hi. hat secundi korr. aus primi. 2) Hs. hat primi. 3) Hb. hat sectione 
4) Hs. hat secundi korr. aus primi. 6) Hs. hat eiusdem korr. aus primi. 



86 



Lìber tertius. 



Propositio XYl^) 

Si in triangulo sphaerico duobus datis lateribus, quorum 
unum quadrante superatur, quadrante alterum maius existat, 
acutus notusque angulus super reliquo latere consistens ampliori 
datorum laterum appositus eztiterit, idem latus non necessario 
manifestabitur, nisi alterius super eodem latere consistentis 
anguli genus innotescat. 

Sit ergo triangulus ABChahens [duo] cognita latera, AB quidem minus 
quadrante, AC vero maius, et angulum ACB acutum et notum. Dico, 

quod latus BC non necessario cognoscetur a 
nobis, nisi noverimus anguli • alterius ABC 
speciem, utrum videUcet ìpse sit rectus 
obtususne an acutus. 

Nam ut in praecedentibus producta per- 

pendiculari J.D si angulus ABC rectus fuerit, 

ipsa eadem perpendicularis erit AB lateri, et 

per XX secundi*) patebit BC latus. 

Si autem angulus ABC fuerit acutus, ergo perpendicularis AD cadet 

128' intra triangulum \ABC ut in primo hoc schemate, et cognita per XI secundi*) 

perpendiculari AD igitur per XX secundi*) partilia segmenta BD, DC non 

latebunt; ergo et totum BC segmentum manifestabitur. 






At angulo ABC obtuso subsistente, perpendicularis AD cadet extra 
trigonum ABC'^ ergo per XI secundi') patente perpendiculari AD utrumque 
segmentorum DC et BD per XX secundi*) liquet, ergo et BC sectio. 

Igitur si in triangulo sphaerico duobus datis lateribus, quorum unum 
quadrante superatur, et reliqua ut supra; q. o. o. 

Propositio XVII. 

Si trigonus sphaericus duo possideat inaequalia notaque 
latera, quorum utrumque minus sit quadrante, et minore reli- 
quoque incognito latere comprehendatur cognitus angulus 
obtusus, erit idem latus reliquum manifestum. 

Sit triangulus ABC habens duo latera cognita et inaequalia, et 
eorum*) utrumque quadrante minus, AB quidem brevius, AC vero 
longius, et angulum ABC obtusum atque manifestum. Dico, quod latus 
BC reliquum patebit. 



1) Statt XVI hat die Hs. VI korr. aus VII. 
3) Ha. hs^t et eorumque. 



2) Hs. hat primi. 



Liber tertias. 



87 




Igìtur super BC p&rA signum deducta perpendicularis sectio [AD] cadet 
extra triangulum ABC; et quia angulus interior ABC obtusus cognitusque 
est, igitur { et de duobus rectis reliquus ABD ^ 128^ 

acutus notusque erit. Angulus autem ADB J^r 
per constructionem rectus; ergo per XI secundi^ / 
perpendicularis AB patet; quare per XX eiusdem^ 
utrumque segmentorum BB et BC innotescet; 
quare et residuum segmentum BC idest latus 
BC liquet. 

Igitur si trigonus sphaericus duo possideat inaequalia notaque latera, 
et reliqua ut supra; q. o. o. 

Propositio XVin. 

Si triangulus sphaericus duo possideat inaequalia latera, 
quorum unum quadrans, alterum quadrante minus et notum 
fuerit, et angulum obtusum notumque minore dato et reliquo 
latere contentum, erit reliquum latus perspicuum. 

Sit in triangulo ABC latus AB quadrans, ei BC quadrante minus et 
notum, et angulus ACB obtusus et cognitus. Dico, quod 
reliquum latus AC manifestum erit. 

Producatur ergo BC latus in partem C usque in i), 
ita ut totum segmentum BCB sit quadrans, et descripta 
[sit] AD peripheria super B polo. Et quoniam in triangulo 
ACD angulus ADC rectus est'), et ACD angulus acutus 

cognitusque, et unumquodque trium | laterum AD ^ AC et I y^ 124' 

CD quadrante minus per XXX primi, igitur per XXm pro- 
positionem secundi latus AC cognitum est. 

Ergo si triangulus sphaericus, et reliqua ut supra; q. o. o. 




-^B 



Propositio XIX. 

Si in triangulo obtusiangulo duorum notorum laterum unum 
ex reliquis angulis continentium alterum quadrante quidem 
minus, alterum vero maius existat, obtususque angulus notus 
fuerit, erit et reliquum latus cognitum. 

Sit ergo in triangulo ABC angulus BAC cognitus et obtusus, et J?C 
latus quadrante quidem maius, AC vero minus [, et utrumque notum exi- 
stat]. Dico, et reliquum latus AB cognosci. 

Utrumque igitur duorum laterum AB^ BC in partes ui, C productum 
sit usque in concursum ^, descriptaque perpendiculari CD [ipsa secabit 
ATI peripheriam inter J., jEJ signa in puncto D\ Et quoniam in trian- 
gulo rectangulo ADC quodlibet laterum quadrante minus existit [I, 31, 
50 k 21], et angulus CAD acutus per hypothesim et notus, latus quoque 
AC notum, igitur per propositionem XVII libri secundi*) (7Z)- perpendicularis 

1) Hs. hat 'grimi, 2) Hs. hat eiusdem korr. auB pìHmi. 

3) Theodoflii sphcierica, ed. Nizze I, 16. 

4) Hs. hat XVII • III ' libn secundi. 



88 



Liber tertius. 




ìnnotescit, et per propositionem XX eiusdem libri perspicuum erit AD 
124^ segmentimi. Et quoniam BCE peripheria semicirculus est, qì BC segmentimi 

innotescit, ergo et reliqua se^tio CE patet. Et quoniam in triangulo BCD 
^ angulus BBC rectus est, et quadrante latus quidem CD 
minus, latus autem BC maius, ergo per propositionem XXII 
primi libri BD latus quadrantem exuperat. Igitur ex semi- 
circulo et reliqua peripheria DE quadrante inferior est; ergo 
triangulus CDE^) possidet unumquodque trium laterum qua- 
drante minus. Est autem per constructionem angulus CDE 
rectus, ergo per eandem propositionem XX secundi libri 
peripheria DE patescit. At prius AD segmentum innotuit, 
ergo et tota circumferentia ADE perspicua est; igitur ex 
semicirculo ADE reliquum segmentum AB innotescit. 

Quare si in triangulo imum notum obtusumque angulum 
habente, et duorum laterum imum ex reliquis angulis con* 
tinentium alterum quadrante quidem minus, alterum vero maius 

existat, obtususque angtQus notus fuerit, erit et reliquum latus cognitum; quod 

erat ostendendum. 

Propositio XX. 

Si in triangulo obtusiangulo angulus obtusus notus existat, 

duorumque laterum unum ex reliquis angulis continentium 

126' utrumque innotescat, | fueritque alterum quadrans, alterum 

quadrante maius, latus reliquum quoque patebit, si genus unius 

ex reliquis angulis perspicuum extiterit. 

Sit itaque in triangulo ABC angulus ACB obtusus, et latus AC 
quadrans, AB vero latus quadrante maius') [notumque], et utriusque duorum 
angulorum B AC et ABC genus pateat. Dico, quod latus B C reliquum patebit. 

Protrahantur itaque duo latera AB, BC in con- 
cursum D in partes A, C. Patet autem per cor- 
relarium XXXII primi, quod duo ^LngxjMBACeiABC 
simul sint aut recti, vel acuti, aut obtusi. Et per 
conversionem eiusdem proposi tionis XXXII et sui 
correlarii si iidem anguli recti fuerint, BC quadrans 
est; si acuti, BC latus quadrante minus est; quare 
ex semicirculo reliquum segmentum CD quadrante 
maius existit; ex eo igitur auferatur quadrans CE', 
descriptaque [sit] circumferentia AE\ et quia per hipo- 
thesim angulus obtusus ACB cognitus est, igitiir ex 
duobus rectis reliquus AC E <cognoscitur; est autem 
AE circumferentia magnitudo anguli ACE^^y, ergo 
126'^ AE segmentum innotescit.^) Et quoniam AB segmentum | per hipothesim 
innotescit, ergo ex semicirculo reliquum AD patet. Anguli autem ad E 
recti sunt, quoniam C polus est circumferentiae AE^y, igitur in partili 

1) Hs. hat CBE. 

2) Hs. hat AG quadrans, AB vero quadrans, AB veìo latus quadrante maius. 

3) Die Worte in < > am Rande mit 1. Hand. 

4) Hs. hat nach innotescit die auegestrichenen Worte ergo ex semicirctdo. 
6) Theo do sii sphaerica, ed. Nizze I, 16 & 16 inv. 




Liber tertias. 



89 



triangulo ADE per propositionem XX secundi libri DE segmentum innotescit. 
At quia CE quadrane est per bipothesim, igitur et totum segmentum DEC 
patet; quare ex semicirculo reliquum CB idest latus BC innotescit. 

Quod si duorum angulorum BAC et ABC uterque subiiciatur obtusus, 
ergo per eandem propositionem XXXII 
primi et ipsius correlarium BC latus 
quadrantem excedet, et CD peripberia 
quadrante minor existit. Sit ergo CDF 
quadrans, et super polo C et sumpto 
intervallo CF circumferentia magni orbis 
describatur AF, Et quia peripberia 
AF magnitudo est anguli ACF — est 
autem ACF angulus notus — , ergo et 
^JP^) peripberia cognoscitur. Est et -4 D 
segmentum liquidum; nam reliquum 
est ex semicirculo BAD sublato AB 

segmento per bipotbesim cognito; angulus autem AFD rectus est.^) Igitur 
in triangulo ADF per | XX secundi libri FD latus perspicuum erit. At 126' 
quia per constructionem CDF segmentum quadrans est, igitur eius reliqua 
sectio DC perspicua est; et ex semicirculo DCB reliquum segmentum 
BC patet. 

Igitur si in triangulo obtusiangulo angulus obtusus notus existat, et 
sequentia velut supra; q. o. o. 





Propositio XXI. 

In triangulo obtusiangulo, notum obtusum angulum babente, 
si duorum laterum unum ex reliquis angulis continentium utrum- 
que notum et quadrante maius extiterit, reliquum quoque latus 
innotescet, si alter ex reliquis angulis genere pateat. 

Sit ergo triangulus ABC babens [duo latera cognita AB ^i AC^ eorum- 
que utrumque quadrante maius, et] angulum ACB obtusum perspicuum, et 
genus alterius duorum angulorum BAC, ABC pateat. 
Dico, quod latus reliquum BC perspicuum fiet. 

Duo itaque latera AB, AC in partes B, C pro- 
tra |bantur usque ad concursum D. At quia per XXXTTT 
primi uterque duorum angulorum BAC et ABC specie 
varìatur, ergo praesens propositio non uno conficitur modo. 

Inprimis ergo sit angulus BAC rectus. Igitur et 
suus*) aequaHs BDC rectus est.^) Et quoniam in tri- 
angulo rectangulo [B CD] utrumque laterum rectum angu- 
lum [BDC] comprebendentium quadrante minus est et 
notum, igitur per XXEE secundi latus BC innotescet. 

Rursus angulus BAC sit obtusus. Ergo et suus aequalis BDC obtusus 
est.*) Describatur perpendicularis DE^) super BC. Et quoniam in triangulo 




126' 



1) Hfl. hat A E. 
8) Hs. bat sinus. 



2) TheodoBii sphaerica, ed. Nizze I, 16 & 16 inv. 
4) M enei ai sphaerica I, def. 4. 6) Hs. bat DF. 



90 



Liber tertius. 



127' 





rectangulo CEB angulus DCE acutus et notus est, et angulus DEC rectus 
per constructionem, latusque CD cognitum, igitur per XI propositionem secimdi 
libri perpendicularis DE patebit. Et per XX eiusdem libri secundi seg- 
mentum CE ìnnotescit, et per eandem propositionem cognitis^) duobus late- 
ribus BD qì DE trianguli BDE sectio BE perspicua erit. Quare et 
totum latus BC liquidimi est. 

Sit iam angulus BAC acutus. Ergo et suus'ì aequalis BDC acutus 
est; quare per signum B descripta perpendiculari') BF ipsa secabit CD 
peripheriam inter (7, D signa in signo F. Et quia in triangulo rectangulo 

BDF angulus BDF et BD latus noti 
sunt*), igitur per propositionem XI 
secundi libri BF perpendicularis cog- 
nita est et per conversionem eiusdem 
propositionis XI seu per XXVI eius- 
dem libri latus \_BC] innotescet. 

Rursus sit angulus CBA^) j rectus 
Et quoniam in triangulo rectangulo 
BCD duo latera BD, DC et angulus 
acutus BCD cognoscuntur, ergo et 
latus BC innotescet [II, 20], 

Sit autem angulus ABC acutus. 
Et protraete segmento CB in partem B usque ad G descriptaque perpen- 
diculari^) DG ipsa per propositionem XI secundi libri patet. Nam in 
triangulo rectangulo CDG angulus acutus DCG et latus CD perspi- 

ciuntur. Atque per 
propositionem XX 
secundi Ubri utrum- 
que segmentorum 
CG et GB patet; 
ergo et reliqua 
sectio B C Ìnno- 
tescit. 

Sit demum an- 
gulus ABC ob- 
tusus. Igitur reli- 
quus CBD acutus 
est; quare per sig- 
num D descripta 

perpendiculari velut DE ipsa secabit peripheriam BC inter JB, C signa in 
puncto E. Per notum autem angulum acutum DCE et CD segmentum 
cognitum perpendicularis DE liquescit [II, 11], Et per XX secundi libri 
bis repetitam utraque sectionum CE, EB cognitis CD, DE et BD seg- 
mentis innotescet. 

Igitur in triangulo obtusiangulo , et reliqua ut supra; q. o. o. 






1) Hs hat cognitus. 2) Hs. hat sinus. 3) Hs. hat perpendicUlaris, 

4) Dieser Teil des Beweises ist falsch; denn Winkel BDF ist niobt 
bekannt. 6) Hs. hat CBD. 




Libei tertius. 91 

Propositio XXn. 

In triangulo duobus notis et inaequalibus lateribus acutum 
et notum angulum comprehendentibus, quorum utrumque qua- 
drante minus est, uterque reliquorum angulorum innotescet. 

In triangulo ABC duo nota latera AB, AC utraque quadrante minora 127^ 
acutum et notum angulum BAC comprehendant. Dico, quod uterque duorum 
angulorum ABC et ACB patescet. 

Atque in primis angulus ABC manifestandus est. Manifestum autem 
est per propositionem X primi et eius correlarium, quod angulo ABC con- 
tingit esse vario; nam aut acutus aut rectus vel obtusus erit. Ergo per 
signum C super latus ^ ^ ad rectos angulos describatur magni 
orbis segmentum CD, quod idem erit cum latere BC, si 
angulus ABC rectus existat. Si vero ABC angulus acutus 
faerit, perpendicularis sectio CD cadet intra triangulum ABC. 
At ubi angulus ABC obtusus conti gerit, CD perpendicularis 
cadet extra triangulum ABC. Eorum autem quodlibet quando -^ 
contingat ex subiectis perspicuum erit; perpendicularis autem 
sectio CD notis AC latere et angulo acuto BAC ìimotescit per propositionem 
XVn secundi libri. Et — per propositionem XX secundi Ubri — quia in 
triangulo rectangulo ACD duo latera AC, CD acutum angulum ACD 
comprebendentia nota sunt, igitur AD latus innotescet. 

Quod si AD segmentum aequale fuerit lateri AB, per|spicuum est, 128' 
angulum ABC esse rectum. 

Si autem AD segmentum maius extiterit latere AB trianguli ABC, 
liquebit igitur, angulum ABC esse obtusum; nam per III primi [in tri- 
angulo rectangulo BCD angulus CBD acutus est. Et quoniam] in t^- 
angulo rectangulo ^ CD duo latera BD^) 
et CD rectum angulum BDC continentia 
patent, ergo per XXTT*) secundi latus BC 
innotescet. Et quoniam in triangulo 
rectangulo BCD duo latera BC et CD 
acutum continentia angulum BCD pates- 
cunt, ergo et reliquus acutus angulus 

CBD per propositionem XVlil secundi patescit, quare de duobus rectis reli- 
quus ABC perspicuus est. 

At si perpendicularis CD ceciderit intra triangulum ABC, iam liquet 
per propositionem tertiam primi, [quod] angulus CBD^) acutus est, qui per 
eandem propositionem XVIII secundi libri notis perpendiculari CD et BC 
segmento^) patescit; sive per XXV secundi notis duobus lateribus BD^), 
CD rectum angulum BDC comprebendentibus innotescet acutus angulus CBD. 

Iam esto propositum patefacere reliquum angulum ACB circa longius 
duorum laterum AB, AC, videlicet iuxta latus AC consistentem, ex iam 
ostensis igitur, patefactis perpendiculari sectione CD et AD segmento. 





1) Ha. bat BC. 2) Ha. hat XX. 3) Ha. bat CDB, 

4) Ha. h9>t et BC segnusnto BC. 6) Ha. hat BC 



92 Liber tertiiiB. 

Quod si AD idem fuerit ipsi lateri AB^ igitur per XVllI secondi 
libri angulus AGB patet. 
128^ Ai segmento CD \ cadente extra triangulum ABC^ ergo per eandem 

propositionem XYHI secundi libri bis assumptum uterque duorum angulonim 
ACD et BCD innotescit; auferatur ergo minor BCD^ relinquitnr angulns 
ACBj qui quaerebatur, notus. 

Bursus perpendicularis peripberìa CD iam cadet intra triangulum ABC. 
Per ostensa igitur cognitis AD et CD segmentis et per propositionem 
eandem XYIII secundi bis repetitam uterque duorum angulonim ACD et 
DCB perspicuus est. Igitur ex eisdem angulus compositus A CB cognoscitur. 

Ergo in triangulo duobus notis et inaequalibus lateribus acutum et 
notum angulum comprehendentibus, et sequentia ut supra; q. o. o. 

Propositfo XXIIL 

In triangulo duobus notis et inaequalibus lateribus notum 
et acutum comprehendentibus angulum, quorum unum quadrante 
minus existat, alterum quadrans, uterque reliquorum angulorum 
patebit. 

129^ In triangulo ABC latus AB notum et qua idrante minus existens et AC 

latus existens quadrans acutum et perspicuum angulum ^J.C comprehendant. 
Dico, quod uterque duorum angulorum ABC et ACB perspicuus erit. 

Protrahatur^) ergo latus AB in partem B usque ad D, sicut totum 
segmentum ABD quadrans existat; et super A signo iuxta intervallum alterius 

quadrantum ABD aut AC orbis magni circumferentia CD 
describatur. Ergo in triangulo BCD rectangulo existente, 
et utrumque duorum laterum BD et DC rectum angulum 
BDC comprehendentium habente notum atque quadrante 
minus, per propositionem XXV secundi libri uterque reli- 
quorum angulorum CBD et BCD^) innotescet. Ergo de 
Jj) duobus rectis angulus reliquus ABC patebit, et de uno 
recto reliquus angulus ACB perspicuus est. 
Igitur in triangulo duobus notis et inaequalibus lateribus notum') et 
acutum comprehendentibus angulum, et reliqua ut supra; q. e. o. 

Propositio XXIV. 

129^ In triangulo duobus notis et inaequalibus | lateribus notum 

et acutum angulum comprehendentibus, quorum quadrante minus 
existat alterum, alterum maius, et reliquorum angulorum uterque 
fiet manifestus. 

In triangulo igitur ABC latus AB quadrante minus atque cognitum 
existat, AC vero latus quoque cognitum et quadrante maius, et angulus BAC 
cognitus etiam et acutus. Dico, quod uterque duorum angulorum ABC et 
ACB liquebit. 

Ergo per signum B super AC segmentum perpendicularis BD sectio 
scribatur. Et quoniam in triangulo rectangulo ABD latus AB recto sub- 

1) He. bat protrahantur. 2) Ha. hat BDC. 

3) Hs. hat lateribus angulis notum. 





Liber tertins. 93 

tensiun angulo et angulus BAD acutus innotescit, ergo per propositionem 
XVn secundi libri perpendicularis sectio BD innotescit; et per XX eiusdem 
libri segmentum AD clarum fiet. Atque per XVill eiusdem libri ABD 
angulus patescit. 

Bursum si in triangulo partili et rectangulo BCD segmentum CD 
quadrans existat, erit C signum polus segmenti BD^ quare et angulus CBD 
rectus est^); et quia iam notus fuit angulus ABD, ergo et 
totus angulus AB\C patet. ^^ 180' 

Quod si CD sectio quadrante minor extiterit, ergo duo- 
bus lateribus BD[j D]C cognitis per XXV secundi angulus 
partilis CBD iterum innotescet. At iam patuit angulus ^J32>; 
ergo totus angulus ABC perspicuus erit. 

Segmento*) autem CD quadrantem exuperante, protra- 
hantur ergo duo latera BC, CA in concursum super signo E, 
Et quoniam in triangulo rectangulo BDE duo latera BD, 
DE rectum angulimi BDE comprehendentia patent, et 
utrumque quadrante minus existit, ergo per propositionem XXV secundi 
angelus DB E liquidus fiet. Quare de duobus rectis reliquus angulus 
CBD patescit. At pridem patuit angulus ABD, ergo totus angulus ABC 
manifestus erit. 

Et per eandem propositionem XXV secundi angulus quoque ACB in- 
notescit, aut per J5D[, D]C segmenta, si CD sectio quadrante minor existat, 
aut per BD[, D]E segmenta, si eadem CD sectio quadrantem exuperat. 
At si quadrans existat CD, sectio erit perpendicularis BD^) magnitudo 
anguli BCD; sed ex | ostensis BD perpendicularis sectio cognoscitur; ergo et ISO^ 
angulus BCD patescet. 

Igitur in triangulo duobus notis et inaequalibus lateribus notum et 
acutum angulimi comprehendentibus^), et sequentia ut supra; q. e. 0. 

Propositlo XXV. 

In triangulo si duo nota et inaequalia latera acutum notum- 
que comprehendant angulum, et eorundem laterum quadrans unum 
existat, alterum vero quadrante maius, erit uterque reliquorum 
angulorum manifestus. 

In triangulo ABC latus AB^) quadrans existat, AC 
vero latus quadrantem excedat ipsumque sit cognitum, et 
angulus BAC acutus atque notus. Dico, quod duorum 
angulorum ABC et ACB uterque cognitus fiet. 

Ex noto igitur et longiore latere AC quadrans AD 
auferatur, et super A polo iuxta intervallum AB aut AD -^\ 
peripheria scribatur BD. Ergo sectio B D nota est; magni- \^y^ 181' 

tudo etenim anguli BAD. Et quoniam anguli ad D signum C 
recti sunt, et in triangulo rectangulo BCD duorum laterum 
BD\, D'\C rectum angulum BDC comprehendentium utrumque cognitum 

1) TheodoBÌi sphaerica, ed. Nizze I, 15 & 16 inv. 2) Hs. bat Segmenti. 
3) Ver BD bat die Hs. sectio gestrìcben. 4) Hs. hat comprehendentia. 

6} Hb. hat AD. 




94 Liber tertius. 

existit, ergo per XXY secundì angulus CBD patescit; angulus autem 
ABB rectus est, ergo totus angulus ABD liquescit. Rursus per eandem 
XXY secundi angulus BOB perspicitur. 

Ergo in triangulo si duo nota et inaequalia latera, et reliqua ut supra; 
q. 0. 0. 

Propositio XXYL 

Si trianguli duo nota et inaequalia latera, quorum utrum- 
que quadrante superiùs existat, acutum notumque comprehendant 
angulum, erit uterque reliquorum angulorum cognitus. 

Sit ergo in triangulo ABC utrumque duorum inaequalium et notorum 
laterum AB et AG quadrante maius, et angulus BAC acutus notusque. 
131^ Dico, quod uterque duorum angulorum | ABC et ACB perspicuus fiet. 

* Sit ergo latus AB brevius latere AC, et duo latera AB, AC pro- 
trahantur in concurssum [!] E. Atque per signum B super A CE semicirculum 

describatur perpendicularis sectio BD. Et quoniam per pro- 
positionem X primi libri latus BC quadrante minus existit, et 
angulus ACB acutus, igitur per propositionem XX eiusdem 
libri primi perpendicularis BD cadit intra triangulum ABC. 
At quia angulus BEI) aequalis est angulo BAC, at angulus 
BAC e^ bypotbesi acutus, ergo et angulus eidem aequalis^) 
BED acutus est; angulus autem BDE per constructionem 
rectus est, et sub maiori angulo latus maius subtenditur^), ergo 
segmentum BE superat perpendicularem sectionem BI)\ sed 
BE segmentum quadrante minus est, ergo multo fortius per- 
pendicularis sectio BD quadrante minor existit; ergo per propositionem XXI 
primi DE segmentum quadrante vincitur. Perpendicularis autem sectio BD 
cognita est per propositionem XYH secundi, qì BE segmentum ex hypothesi 
182' — I nam ex semicirculo reliquum AB patet — , ergo per XX secundi eiusdem 
segmentum DE innotescit. At CE sectio perspicitur; nam reliqua existit 
sublato noto segmento ^C ex semicirculo ACE-^ igitur et CD sectio per- 
spicua existit. Ergo per XXV*) eiusdem secundi libri bis assumptam uterque 
duorum angulorum DB E et CBD Hquet; igitur partilis angulus CBE in- 
notescit; ergo de duobus rectis reliquus ABC manifestus est. At trianguli 
BCD, duobus lateribus BD, CD rectum angulum BDC comprehenden- 
tibuj et notis, per propositionem XXV eiusdem libri secundi patescet an- 
gulus BCD, 

Igitur si trianguli duo nota et inaequalia latera, quorum utrumque, et 
sequentia ut supra; q. o. o. 

Propositio XXVII. 

In triangulo duobus lateribus notis et inaequalibus, quorum 
quadrante utrumque minus existat, obtusum notumque angulum 
comprehendentibus, reliquorum uterque angulorum mani- 
festabitur. j 




1) Ha. bat inaegualis. 2) Me ne lai sphaenca 1,7. 3) Ha. bat XVIIL 




Liber tertìus. 95 

In triangulo igìtur ABC utrumque duorum laterum AB, AC^) qua- 182^ 
drante minus exìstat et notum, atque ab eisdem comprehensus angulus BAC 
obtusus notusque. Dico, quod uterque relìquonim angulorum ABC qì ACB 
patescet. 

Per sìgnum igitur C super BA segmentum perpendicularìs sectio CD 
scribatur. Et quìa angulus BAC obtusus est, [et] ex hjpothesi utrumque 
duorum laterum AB et AC quadrante minus est, 
igitur perpendicularis sectio CD cadit extra triangulum 
ABC secans latus BA super D signo Et quia per 
XYII secundi segmentum CD notum est, igitur in 
triangulo reetangulo ACD duobus notis lateribus AC, _B' 
CD acutum angulum ACD comprehendentibus latus 

AD perspicuum est [II, 20]; ergo totum segmentum BAD manifestum erit. 
Rursus per XXV eiusdem secundi libri in triangulo BCD notis duobus 
lateribus BD, DC rectum angulum BDC comprehendentibus uterque duo- 
rum angulorum ABC et BCD patescit. Et per XVIII eiusdem secundi 
partilis anjgulus ACD perspicuus est; at totus angulus BCD iam innotuit; 188' 
ergo et reliquus angulus ACB manifestus existit. 

Igitur in triangulo duobus lateribus notis, et reliqua ut supra; q. o. o. 

Propositio XXTIII. 

In triangulo duobus lateribus notis et inaequalibus, quorum 
unum quadrante minus, alterum quadrans existat, obtusum 
notumque angulum comprehendentibus, erit uterque reliquorum 
angulorum perspicuus. 

In triangulo itaque ABC latus AB sit quadrante minus notumque, et 
latus AC quadrans. Angulus autem BAC obtusus notusque. Dico, quod 
duorum angulorum ABC et ACB uterque innotescit. 

Duo igitur latera AC, BC producantur in concursum D. Et quoniam 
in triangulo ABD latus AB quadrante minus existit, et latus AD quadrans, 
et ipsa latera AB \ et AD nota acutum notum- 188^ 

que angulum BAD comprehendunt , igitur per 
propositionem XXTTT huius tertii libri uterque 
duorum angulorum ABD et ADB patet. At 
ABC angulus reliquus est ABD noto angulo ex 
duobus rectis sublato; igitur et angulus ABC 

cognoscitur. Rursus ACB angulus aequalis est ADB angulo noto; igitur 
et angulus ACB cognoscitur. 

Ergo in triangulo duobus lateribus notis inaequalibus, et sequentia ut 
supra^ q. o. o. 

Propositio XXIX. 

In triangulo duobus lateribus cognitis et inaequalibus^)) 
quorum alterum quadrante quidem minus, alterum vero maius 
existat, obtusum notumque continentibus angulum, erit uterque 
reliquorum angulorum cognitus. 

1) Hs. hat BC. 2) Hs. hat ìateribìis et inaeqìialibus cognitis. 




96 



Liber tertius. 




In trìangulo ìtaque ABC latus AB quadrante minus existat, latus 
184' vero AC quadrantem exuperet, et utnunque cognitum existat; , angulus 

quoque BAC ab eia comprehensus sit obtusus cognitusque. 
Dico, quod uterque duorum angulorum ABC^) et ACB 
manifestus fiet. 

Producantur ergo duo latera -4C, CB in concursum 
super signo D. Et quoniam in triangulo ABI) duorum late- 
rum ABj AD utrumque quadrante minus et notum existit, 
atque ab eìs comprehensus angulus BAD acutus notusque, 
igitur per propositionem XXII huius libri tertii uterque duo- 
rum angulorum ABD et A DB innotescit. Et quia angulus 
^^0 reliquus est noto angulo ABD ex duobus rectis sublato, 
igitur angulus ABC manifestus est. Et quia angulus ADB notus aequalis 
est angulo ACB, ergo et angulus ACB perspicuus erit. 

Igitur in triangulo cognitis duobus lateribus inaequalibus, et sequentia 
ut supra; q. o. o. 

Propositio XXX. 

In triangulo cognitis binis lateribus et inaequalibus, quorum 
alterum quadrans, alterum quadrante maius fuerit, obtusum 
notumque continentibus angulum, erit uterque reliquorum an- 
gulorum perspicuus. 

184^ In triangulo ABC latus AB sit quadrans, et latus AC quadrante 

maius atque perspicuum, et angulus BAC obtusus notusque. Dico, quod 

uterque reliquorum angulorum ABC et 
ACB manifestus fìet. 

Duo itaque latera AC^ CB in partes 

A^ B producantur in concursum super D 

signo. Et quia in trìangulo ABD latus 

AB quadrans est, et latus AD quadrante 

minus notumque, et angulus BAD acutus 

atque cognitus, igitur per propositionem XXIII 

buius libri tertii uterque duorum angulorum 

ABD et ADB perspicitur. Ergo de duobus rectis reliquus angulus ABC 

perspicuus fìet. At quia angulus ACB aequalis est angulo ADB noto, 

igitur angulus ACB liquebit. 

Ergo in triangulo cognitis duobus lateribus et inaequalibus, quorum 
alterum quadrans, alterum quadrante maius fuerit, obtusum notumque 
continentibus angulum, erit uterque reliquorum angulorum perspicuus; q. o. o. 




Propositio XXXI. • 

In triangulo perspicuis duobus^ lateribus et inaequalibus, 
quorum quadrante utrumque maius existat, obtusum notumque 
185' anjgulum comprebendentibus, erit uterque reliquorum angulorum 
perspicuus. 



1) Hs. bat AB statt ABC. 2) Duohus ùber die Zeile mit 1. Hand. 



Liber tertins. 97 

In trìangulo itaque ABC duorum laterum AB^ AC utrumque ' (Qua- 
drante maius sit atque manifestimi, et angulus ACB quoque notus 
[obtususque]. Dico, quod uterque reliquorum 
angulorum ^^C7 et ACB liquìdus erìt. 

Duo itaque latera AC^ CB in partes 
A^ B protrahantur in concursum super D 
signo. Et quonìam in trìangulo ^JSD latus 
AB quadrante quidem maius existit, AD 
vero latus quadrante minus, eorumque 
utrumque notum, et ab eis comprehensus 
angulus BAD acutus atque notus, igitur 
per propositionem XXTV [huius tertii libri] 

uterque reliquorum angulorum ABD et ADB cognoscitur. Ergo de duobus 
rectis reliquus angulus ABC perspicuus est. Et quia angulus ACB aequalis 
est angulo ADB noto, igitur et angulus ACB manifestus fit. 

Ergo in trìangulo perspicuis duobus laterìbus et inaequalibus, quorum 
quadrante utrumque maius existat, obtusum notumque angulum com- 
prehendentibus, erìt uterque reliquorum angulorum perspicuus-, q. o. o. 





Propositio XXXn, 

In triangulo sphaerico duobus acutis angulis atque latere 185^ 
inter eos, quod quadrante minus est, cognito, utrumque re- 
liquorum laterum patescit. 

Sit trìangulus ABC habens cognitos duos angulos ACB et BAC 
acutos, et quadrante minus latus AC^ quod eisdem angulis adiacet, quoque 
perspicuum. Dico, quod duorum laterum ^^, BC utrumque 
perspicuum fiet. 

Igitur per signum C ipsi AB laterì ad [angulos] rectos 
descrìpta esto orbis magni perìpherìa CD, quae per pro- 
positionem XVn secundi librì perspicua fiet. Deinde per 
propositionem XX eiusdem secimdi Ubrì AD circumferentia innotescit. Cognitia 
autem AC et AD segmentis per propositionem XVILL eiusdem secundi librì 
angulus ACD innotescit. 

Qui si aequalis fuerìt angulo ACB, igitur CD perpendicularìs sectio 
eadem erìt ipsi BC laterì, et ^Z> perìpherìa ipsi AB laterì aequalis. 

At angulo ACD vincente ACB 
angulum, igitur ex eodem noto auferatur 
angulus ACB per hTpothesim liquidus, 
et residebit angulus BCD manifestus. 

Ed et CD perpendicularì sectione per // \ //^ \ 186' 

propositionem XXIII eiusdem secundi qC'^ A4 C 

librì BC latus patebit, quo et angulo 

BCD iam prìdem revelato BD segmentum liquet [II, 17], Eo ex AD 
sectione sublato et latus AB manifestabitur. 

Bursus angulus ACD minor sit angulo ACB. Igitur angulus ACD 
sublatus ex angulo A CB relinquat angulum B CD cognitum. Perpendicularì 
autem sectione CD prìdem manifestata et angulo BCD per eandem pro- 

Abhdlgn. s. Qeich. d. math. Wiss. XXIY. 7 





98 Liber tertìuB. 

positLonenL XXHI secundi libri manifestabitur latus BC. Bursus latere BC 
et angulo BCB cognito BD segmentum liquescit [II, 17], quo adiuncto 
ipsi AD segmento patebit et latus AB, 

Igitur in triangulo sphaerico duobus acutis angulis atque latere inter 
eosdem perspicuo, reliquorum laterum utrumque perspicitur; q. e. o. 

Oorrelarinm. 

Hinc quoque liquet, si seorsum manifestare unum tantum laterum 
reliquorum libeat, ab communi igitur signo eiusdem lateris et lateris AC 
perpendiculare ^) in alterum ignotorum laterum describamus segmentum, itaque 
186^ [per] praemissam praeceptionem idem lajtus cognoscimus; velut si propositum 
fuerit latus BC tantum liquidum reddere, igitur perpendicularis sectio 
describenda est super latus AB per signum C. 

Si vero latus AB sigillatim cognoscere velimus, per signum A per- 
pendiculare segmentum super latus reliquum BC scribendum est; imitantes 
itaque iam ostensam doctrinam conficiemus propositum. 

Propositio XXXin. 

In triangulo sphaerico duobus acutis angulis atque latere 
inter eos, quod quadrans est, liquido, utrumque reliquorum 
laterum manifestabitur. 

Sit ergo triangulus ABC habens utrumque duorum angulorum ACB 
et BAC acutum notumque, et latus AC quadrantem. Dico, quod utrumque 
duonim laterum AB, BC patescet. 

Et quia per propositionem XLI') primi libri utrumque duorum latenma. 
187' AB et BC qua drante inferius est, sitque intentio AB latus in primis notum 

effìcere, igitur reliquum latus ignotum BC in partem. 
B producatur usque in D signum, sic ut CBD qua- 
drans existat. Atque descripta AD magni orbis 
peripheria^) ipsa est magnitudo per diffinitionem 
acuti anguli ACB [I, def. 6]; et propterea circum- 
ferentia AD patet. Et quia signum C polus est 
circumferentiae AD, igitur datorum angulorum CAD 
et ADO uterque rectus est.*) Ergo angulus BAC per hjpothesim cognitus 
ablatus ex recto CAD relinquit angulum BAD manifestum. Igitur per 
propositionem XXHI secundi libri, cognito segmento ^D et angulo BAD^ 
latus AB patebit. Deinde per XVII eiusdem secundi libri segmentum BD 
innotescet; quod si quadranti CD auferatur, residebit BC latus cognitum. 

Correlarinm. 

Quod si latus BC seorsum ac in primis perspicere velimus, igitur iuxta 
traditam praeceptionem latus ^^ in quadrantem AB E producatur, descripta 




1) Ha. hat perpendicularem, 2) He. hat XII [?]. 

8) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 20. 4) Ibid. I, 16 inv. & 16. 



Liber tertius. 99 




CE perìpherìa et reli^ua, ut ìam dìctmn est, agenda sunt; et lajtus BC IZT 
ìnprìznis patebit Prìor tamen doctrìna praecìpit, quomodo duorum laterum 
ABy BC alterum ex altero inprimis manifestato pateat. 



Fropositio XXXIY. 

In triangulo spbaerico duobus acutis angulis atque latere 
cognito inter eos, quod quadrantem exuperet, utrumque reliquo- 
Tum laterum patescet. 

Sit ergo triangulus ABC babens cognitum latus AC quadrante maius, 
et utrumque duorum angulorum ACB et BAC notum acutumque. Dico, 
quod utrumque duorum laterum AB^ BC patescet. 

Propositum nunc esto latus BC inprimis notum facere atque deinceps 
AB latus. Igitur duo latera AB, AC protrabantur in concursum D; et per 
signum C ipsi BD peripberiae ad angulos rectos jq 

describatur CE. Et quia angulus acutus BAC notus 
est aequalis angulo CD E, igitur angulus CDE mani- 

festus est. CD autem segmentum patet | — nam / \/^ ^^®' 

ìpsum est de semicirculo ACD reliquum notae sec- aI"^^"^^^ C^^2? 

tionis A C sublatae [I] ^) — , quare per XVll secundi 

libri CE perpendicularis sectio liquet. Et quia CD latus recto angulo CED 
subtensiun quadrante minus est, et CE perpendicularis acuto angulo CDE 
subtenditur, atque sub maiore angulo maius subtenditur latus ^), igitur CE 
perpendicularis multo magis quadrante vincitur. Ergo per propositionem XXI 
secundi libri angulus D CE liquet. At quia totus angulus B CD patet — nam 
de duobus redis reUquus est noti anguli A GB subtracti [!] *) — , igitur partilis 
angulus BCE innotescet. At quia CE perpendicularis sectio, ut patuit, nota 
est, igitur per propositionem X xill secundi libri latus BC perspicuum est. 
Eodem quoque modo protractis duobus lateribus AC^ CB in concursimi 
patebit latus AB. 

Aliter autem idem latus AB patebit manifestato, ut iam traditum fuit, 
latere BC. Nam per XX secundi cognitis CE et CD segmentis sectio DE 
perspicua erit, et per eandem propositionem XX secundi CE et CB cognitis 
segmentis BE segmentum liquet. Igitur totum segmentum BED^) innote |scit; 138^ 
ergo ex semicirculo reliquum segmentum AB patebit. 

Igitur in triangulo spbaerico duobus acutis anguHs atque cognito inter 
eos latere, quod quadrantem excedat, utrumque reliquorum laterum mani- 
festabitur. 

Fropositio XXXV. 

In triangulo spbaerico duobus obtusis angulis atque cognito 
inter eos latere, quod quadrante superatur, reliquorum laterum 
utrumque patescet. 

1) Soli beifien: nota sectione AC stiblata. 

2) Menelai sphcterica I, 7. 8) Soli beifien: noto angulo ACB suhtracto. 
4) Ha. bat segmentum BED segmentum. 

% 7* 



100 



Liber tertius. 



139' 



In trìangulo ABC uterque duorum angulorum ACB et BAC obtusus 
sitque [!] cognìtus, atque inter eos AC latus quadrante mìnus atque cog- 

nitum. Dico, quod utrumque duorum laterum AB^ BC 
patescit. 

Igitur, binis lateribus AB^ BC in concursum prò- 
tractis super D signo, erunt in trìangulo ACB duo anguli 
ACD et CAD acuti et noti; ergo utrumque duonun 
laterum AD^ DC per propositionem XXXLL huius tertdi 
librì perspicuum erìt. Igitur de duobus semicir j culis BAD^ 
BCD reliqua segmenta AB^ BC perspicua sunt. 

Igitur in triangolo ABC duobus obtusis angulis ACB^ 
BAC atque cognito inter eos latore AC^ quod quadrante 
minus est, reliquorum laterum AB^ BC utrumque patet; q. o. o. 





Propositio XXXVI. 

In triangulo duobus angulis obtusis notis super quadrante 
existentibus, utrumque reliquorum laterum patescit. 

Ut in praecedenti figura, et quoniam per hjpo- 
thesim uterque duorum angulorum ACB ei BAC ob- 
tusus est, igitur in trìangulo ACD duorum angulorum 
ACD et DAC uterque acutus est, et latus AC qua- 
drans. Quare per propositionem XXXm huius tertii utrum- 
que duonmi segmentorum ADj CD patet; igitur et 
reliqua duo segmenta AB et BC perspicua sunt. 

In trìangulo igitur duobus angulis obtusis BAC^^ 
et BCA cognitis, et reliqua ut supra; q. o. o. | 

189^ Propositio XXXVII. 

In triangulo, cognitis duobus obtusis angulis super segmento 
consistentibus quadrantem exuperante, et utrumique reliquorum 
laterum patescit. 

In trìangulo ABC latus AC quadrantem 
exuperans innotescat; et sit duorum angulorum 
BAC et ACB uterque obtusus et cognitus. Dico, 
quod utrumque ex duobus laterìbus AB et BC 
perspicuum erìt. 

Ut in praecedenti figura, et quoniam duorimi 
angulorum ACB et BAC uterque obtusus est et 
notus, igitur de duobus rectis reliqui duo anguli 
ACD et DAC perspicui sunt et acuti. Et quoniam 
per propositionem XXXIV huius tertii librì in tri- 
angulo duobus acutis angulis atque latore inter eos 
cognito, quod quadrantem excedat, utrumque ex 
reliquis laterìbus patet, ergo duo segmenta AD et DC perspicua sunt. 




1) Hs. hat ABC 




Liber tertins. 101 

Quare de duobus semicirculis BAD et BOB reliqua duo segmenta -4. JB et 
BC perspi|cua sunt. 140' 

Igìttir in triangulo, cognitis duobus obtusìs angulis consistentibus 
super latere quadrantem exuperante, et sequentia ut supra; q. e. demon- 
[strandum]. 

Propositio XXXVin. 

In triangulo cognitis duobus acutis angulis atque latere, 
quod quadrante inferius unum ex perspicuìs angulis subtendìt, 
utrumque reliquorum laterum manifestum erit. 

In triangulo itaque ABC uterque duorum angulorum ACB et BAC 
pateat et latus AB, quod quadrante minus existat. Dico, quod utrumque 
reliquorum laterum AG et BG innotescit. 

Et quia AB notum segmentimi quadrante minus est, et angulus BAC 
acutus atque perspicuus, descripta igitur perpendiculans 
sectio BJD per propositionem XVH secundi libri liquebit. 
Et quoniam ih partili triangulo BGB angulus BGD 
eique subtensum latus BB patent, igitur per pro- 
positionem XXVI secimdi libri latus BG perspicitur. At 
cognitis duobus latejribus AB, BG atque perpendiculari 140^ 

sectione BB per propositionem XX secundi libri utrumque duorum seg- 
mentorum AD et DG patebit; quare et reliquum latus AG innotescit. 

Igitur in triangulo cognitis duobus acutis angulis, et reliqua ut supra; q.e.o. 



Assnmptnm sive lemma. 

Quando BD perpendicularis aequalis fuerit 
angulo BAD, erit AB et AD segmentorum utrum- 
que quadrans.^) 



Propositio XXXEt. 

In triangulo cognitis duobus acutis angulis atque latere, quod 
quadrans est, unum ex cognitis angulis subtendente, reliquorum 
laterum utrumque patebit. 

In triangulo ABG duorum angulorum AGB et BAG uterque sit acutus 
atque manifestus, et AB latus quadrans. Dico, quod 
utrumque | duorum laterum AG, GB patebit. ^^ 141' 

Describatur perpendicularis J5D; et quoniam AB 
ex liTpotliesi quadrans est, igitur per propositionem 
secundam primi AD sectio quadrans est circuii magni; ^ 
et per di£Qnitionem anguli sphaeralis [I, def. 4,]BD 
perpendicularis sectio aequalis angulo BAD, et idcirco 
BD segmentimi innotescit. At quia AD segmentimi quadrans est, igitur 

1) Da AB <[90^ gegeben ist, ist das Lemma unverstàndlicb. 





102 Liber tertius. 

reliqua sectio DC quadrante minor. Est autem et BD quadrante minus 
— magnitudo namque acuti anguli BAD [I, def. 6] — , et per propositionena 
tertiam primi BC latus quoque quadrante minus. Igitur per propositionem 
XXVI secundi libri BC latus liquidum erit; et per propositionem XX eiusdem 
secundi libri DC latus patet. At ex iam ostensìs AD segmentum liquet esse 
quadranti aequale; ergo totum segmentum ADC patet. 

Igitur in triangulo cognitis duobus acutis angulis atque latere, quod 
quadrans est, unum ex cognitis angulis^) subtendente, reliquonmi latenim 
utrumque patebit. | 

i^v Propositio XL. 

In triangulo cognitis duobus acutis angulis atque latere, 
quod quadrantem superat, unum ex acutis angulis subtendente, 
erit utrumque reliquorum laterum manifestum. 

In triangulo ABC uterque biduorum[!] angulorum ACB et BAC cogni- 
tus sit atque acutus, et AB latus quoque perspicuum atque quadrante maius. 
Dico, quod utrumque duorum laterum AC, CB patebit. 

Duo itaque latera AB et AC in partes B, C protrahantur usque in 
D concursum. Et protracta perpendiculari sectione BE ipsa cadit intra tri- 

angulum ABC. Et quoniam in triangulo rectangulo 
AB E per propositionem L libri primi A E seg- 
mentum quadrante maius est, et BE quadrante 

142' / JO l \ niinus, ergo DE quadrante minus | est. BD autem 

sectio per hypothesim quadrante vincitur; ergo 
in triangulo rectangulo BDE unumquodque latus 
quadrante minus est. Angulus autem BDE acutus aequalis est angulo BAE 
et idcirco notus, et segmentum BD quoque notum est — nam ex semicirculo 
ABD reliquum segmentum AB per hypothesim cognoscitur — , ergo per 
propositionem XVII secundi libri perpendicularis sectio \BE] innotescit. Et 
quia in partili triangulo rectangulo BCE acutus angulus BCE atque latus 
eidem subtenso BE pateat, igitur per propositionem XXYI eiusdem secundi 
libri B C latus innotescit. Et per propositionem XX secundi libri bis assumptam 
utrumque duorum segmentorum DE, CE perspicuum est; igitur et 2) sectio 
patet. Quare ex semicirculo ACD reliquum segmentum AC innotescit. 

In triangulo igitur cognitis duobus acutis angulis, et reliqua ut supra; 
q. 0. 0. 

Propositio XLI. I 

142^ In triangulo duobus obtusis angulis cognitis atque latere, 

quod quadrans est, alterum eorum subtendente, reliqua duo 
latera patebunt. 

In triangulo itaque ABC uterque duorum angulorum ACB et BAC 
pateat, et latus AB quadrans existat. Dico, quod utrumque reliquorum 
laterum AC, CB perspicuum fiet. 




1) Nach angulis hat die Ha. die Worte Oitque latere qui gestrichen. 




Liber tertiua. 103 

Et quìa per propositionem LYI primi liquet, angulum J.^CiBsse obtusmn, 
et duonim latenun AC, CB utrumque quadrante maius, igitur qh AO latere 
quadrans AD auferatur, et descrìpta circumferentia 
BD super A polo ipsa erit magnitudo angui! BAD 
[I, def. 4]. Igitur BD circumferentia cognita est, 
et anguli ìuxta D signum recti.^) Protrahantur 
ergo duo segmenta BC^ BD in concursum super 
JE signo. Et quìa in trìangulo ODE angulus 
CDE rectus est, et circa eum duo latera CD, DE 

utraque quadrante minojra per constructionem — est "^ / ^*^' 

enim BD segmentum magnitudo obtusì anguli 
BAD QÌ ìdcirco quadrante maius — , igitur ex semì- 
circulo BDE reliqua sectio DE quadrante minor. 

Et quoniam ex hipothesi AD quadrans est, ìdcirco reliqua sectio DC qua- 
drante inferior. At per m primi CE circumferentia quoque quadrante 
inferior est. Et quia per hipothesim obtusus angulus BCA cognoscitur, 
ergo de duobus rectis relìquus acutus angulus DCE manifestus est. Patet 
autem et DE segmentum-, igitur per propositionem XXVI secundi libri 
peripheria CE patescit; ergo de semicirculo BCE reliquum segmentum BC 
perspicuum est. Et per propositionem XX eiusdem secundi libri notis 
perìpberìis DE, EC segmentum DC prodìbit, quo adiecto ad quadrantem 
AD tota sectio ADC perspicua £t. 

In trìangulo igitur duobus obtusìs angulis cognìtis, et reliqua ut 
supra; q. o. d. 

Propositio XLn. 

In trìangulo duobus angulis obtusìs perjspìcuis atque latere, 148^ 
quod quadrante maius est, usum ex eisdem angulis subtendente, 
reliqua latera patebunt, praesertim sì genus anguli tertii pateat. 

In trìangulo igitur ABC uterque duorum angulorum ACB et BAC 
obtusus cognìtusque sit, et latus AB quadrante maius atque cognitum, et 
genus relìquì anguli ABC pateat. Dico, quod 
utrumque relìquorum laterum AC^^, J? C ìnnotescet. 

Et quia per propositionem LVII^) primi libri 
angulo ABC contingit esse genere vario, ideoque 
praesens propositio vanìs modis determìnabìtur. 

Sit ergo inprimis angulus ABC rectus; et 
AB, AC latera producantur in concursum super 
signo 2); rursus BC, CD segmenta protrahantur 
in concursum super signo E. Et quìa in partili 
triangulo BCD utrumque segmentorum BC, CD 
quadrante maius est [I, 43], igitur in triangulo 
rectangulo BDE quodUbet trium laterum quadrante 

minus est. Et quoniam angulus BED acutus aequalìs est angiilo BCD 
acuto cognito, igitur | angulus BED cognitus est. Est autem per hypo- 144' 

1) Theodosii sphaerica, ed. Nizze 1, 15. 

2) Hs. hat AB. 8) Hs. hat LVIIl. 





204 Liber tertius. 

thesim perspicuum BD latus; nam ex semicirculo ipsum reliquum est AB 
cognito segmento subtracto; igitur per propositionem XXYI secundi libri 
segmentum BE innotescit. At segmentimi DE aequatur segmento AC\ 
nam ex duobus semicirculis ACD et ODE communi segmento CD subtracto 

resident AC et BE segmenta aequalia; sed DE seg- 
mentum iam patuit; igitur AC sectio innotescit. Bursus 
per XX eìusdem secundi libri duobus cognitis peripheriis 
BD^ DE acutum angulum BDE comprehendentibus 
BE segmentum perspicuum fìt; igitur ex semicirculo 
CBE reliqua sectio BC manifesta fìt. 

In triangulo igitur ABC babente duos obtusos et 
cognitos^) angulos BAC qì ACB, et reliquum angulum 
ABC rectum, et AB latus quadrante maius atque cog- 
nitum, utrumque duorum laterum ACy CB innotescit. 
Sit iam angulus ABC sive acutus sive obtosus 
velut in secunda figura, et imiversaliter sit angulus ABC qualiscumque. 
Igitur duo latera AB, BC concurrant super signo D. Et quoniam in 
triangulo ACD duo acuti anguli ACD, DAC cogniti sunt, atque latus 
144"^ AD qua Idrante minus et notum, igitur per propositionem XXX VILI huius 
tertii libri utrumque duorum laterum AC, CD patebit. Ergo ex semicirculo 
BCD reliquum segmentum BC innotescit. 

In triangulo igitur ABC duobus obtusis angulis perspicuis ACB et 
BAC atque latere AB, quod quadrante maius est, utrumque reliquorum 
laterum AC, CB perspicuum erit. 

Propositio XLUL 

In triangulo duobus cognitis angulis, uno acuto altero 
obtuso, atque latere, quod quadrante inferius sit, acutum an- 
gulum subtendente, erit utrumque reliquorum laterum mani- 
festum. 

In triangulo itaque ABC angulus BAC sit acutus, et ACB angulus 
obtusus, et uterque cognitus, ei BC latus perspicuum atque quadrante minus. 

Dico, quod utrumque reliquorum laterum AB, 
AC cognitum erit. 

Duo itaque latera AB qì AC producantur 

in concursum super signo D. Et quoniam in 

146' Tkìy"^^^ "^ ^"^^^ triangulo | BCD uterque duorum angulorum 

BCD et BDC acutus atque manifestus existit, 
et BC latus quadrante minus atque perspicuum, igitur per pro- 
positionem XXX Vili huius tertii libri duo latera BD, DC cognita fient. 
Ergo de duobus semicirculis ABD et ACD reliqua segmenta AB et AC 
perspicua fiunt. 

Igitur in triangulo duobus cognitis angulis, uno acuto altero obtuso, 
et reHqua ut supra; q. o. o. 




1) Am Rande stehen hier die Worte et cognitus mit 1. Hand. 




Liber tertius. 105 



Fropositio XLIV. 

In triangulo perspicuis duobus angulis, uno acuto altero 
obtuso, atque latere, quod quadrans est, acutum subtendente, 
erit utrumque reliquorum laterum manifestum. 

In triangulo itaque ABC angulus BAC sit acutus, et ACB obtusus, 
et uterque manìfestus, et BC latus quadrans. Dico, quod utrumque re- 
liquorum laterum AB^ AC manifestabitur. 

Duo itaque latera AB^ AC protrahantur 
in concursum super signo D. Et quoniam in 

triangulo BCB \ duo anguH BCD et BBC f j^ _ _ \ 146^ 
acuti sunt atque cogniti, et latus BC quadrans, 
ergo per propositionem XXXIX utrumque 

duorum laterum BB et DC^) perspicuum erit. Ergo de duobus semicirculis 
ABB et ACB reliqua segmenta AB et -4C perspicua sunt. 

In triangulo igitur duobus perspicuis angulis, et reliqua ut supra; q. o. o. 



Propositlo XLT. 

In triangulo cognitis duobus angulis, uno acuto altero 
obtuso, atque latere, quod quadrante maius existat, acutum sub- 
tendente, erit utrumque reliquorum laterum perspicuum. 

In triangulo itaque ABC angulus BAC sit acutus, et ACB angulus 
obtusus, et latus BC quadrante maius et liquidum. Dico, quod utrumque 
reliquorum laterum perspicuum fiet. 

Duo itaque latera AB^ AC producantur in concursimi super signo B. \ 
[Et quoniam in triangulo BCB duo anguli BBC et BCB acuti sunt atque 146' 
cogniti,] et latus BC quoque cognitum et 
quadrante maius, ergo per propositionem XL 
utrumque reliquorum laterum BB, BC per- 
spicuum erit. Quare de duobus semicirculis 
^^D et ACB reliqua duo segmenta AB 
et AC manifesta fiunt. 

In triangulo igitur cognitis duobus angulis, uno acuto altero obtuso, 
atque latere, quod quadrante maius existat, acutum subtendente, utrumque 
reliquorum laterum perspicuum erit; q. e. de[monstrandum]. 



Proposltio XLVI, 

In triangulo cognitis duobus angulis, uno acuto altero 
obtuso, atque latere, quod quadrans existat, obtusum sub- 
tendente, erit utrumque reliquorum laterum cognitum. . 

1) Hb. hat BE. 




106 



Liber tertius. 




In triangulo ABC angulus ACB sit acutus, et angulus BAC obtusus, 
atque uterque notus, et latus BC quadrans. Dico, quod duo latera reliqua 

AB^ AC quoque perspicua fient. 

Duo itaque latera AB^ AC protrahantur ia 
146^^ y^ "\ ^ concursum super signo D. Et quoniam in | triangulo 

BCB duo anguli BCD qì BBC obtusi sunt atque 
cogniti, et latus BC quadrans, ergo per pro- 
positionem XLI huius tertii libri duo latera BB et 
BC liquida fiunt. De duobus semicirculis ABB et 
ACB reliqua segmenta AB, AC cognoscuntur. 

Ergo in triangulo cognitis duobus angulis, uno 
acuto et alteiy) obtuso, atque latere, quod quadrans 
existat, obtusum subtendente, utraque reliqua latera 
patebunt; q. erat o. 

Propositio XLYII, 

In triangulo duobus angulis perspicuis, altero quidem acuto, 
altero autem obtuso, atque latere, quod quadrantem excedit, 
obtusum angulum subtendente, erunt duo [reliqua] latera 
manifesta. 

In triangulo itaque ABC angulus BAC sit obtusus, et an^us ACB 
acutus, et uterque manifestus, et latus BC quadrante maius atque cognìtum. 

Dico, quod reliqua duo latera AB, AC perspicua 
quoque fient. 
147' y^ ^\ Duo itaque latera^) \ AB et AC ia concursum 

producantur super signo D. Et quia in triangulo 
BCB duo anguli BCB et BBC*) sunt obtusi atque 
cogniti, et ^0 latus cognitum quadrantem exuperans^ 
ergo per propositionem XLII huius tertii libri duo 
latera BJ), CB liquida simt. Quare de duobus 
semicirculis ABB et ACB reliqua segmenta AB 
et AC perspicua fiunt. 
j) In triangulo igitur ABC duobus angulis per- 

spicuis, altero quidem ACB^) acuto, et altero BAC 
obtuso, atque latere BC, quod quadrantem exuperat, perspicua sunt reliqua 
latera AB, AC; quod oportuit ostendere. 

Propositio XLYIII. 

In triangulo duobus acutis angulis perspicuis atque latere 
eis^) adiacente, quod quadrante minus existat, reliquus angulus 
perspicuus fiet. 

147'' In triangulo itaque ABC duo anguU ACB et BAC \ sint acuti atque 

noti, et eisdem latus adiacens A C quadrante minus existat notumque. 
Dico, quod reliquus angulus ABC perspicuus fiet. 

1) AB, AC . . . itaque latera hat die Hs. bis. 2) Hb. hat BCB et BCD. 

3) Hb. hat ACB. 4) Hb. hat qiMd eia statt eis. 




Liber tertius. 



107 




Per signum C super AB latus perpendicularìs sectio CD scribatur, quae 
cognitìs AC latere atque angulo ^^C7per propositionem XVll [secundi] per- 
spicua sit. Et per propositìonem XX secundi libri 
AC^ CD segmentis liquidìs cognoscitur ^2) periphe- 
rìa. Bursus per propositionein XVJii eiusdem libri 
secundi duabus drcumferentìis AC, AD cognitis an- 
gulua ACD patet. Qui si fuerit aequalis angulo 
ACB angulus ABC rectus est et idcirco cognitus. 

At si angulus ACD minor ^) extiterit angulo ACB, ergo ACD angulus 
auferatur ex angulo ACB, et constabit angulus BCD, quo atque per- 
pendiculari sectione CD per- 
spicuus erit angulus CBD 
pi, 19]. 

Postquam autem angulus 
ACD superat angulum ACB, 
minore igitur ablato malori 
cognitus residet angulus BCD, 
quo rursus et perpendiculari 
sectione CD^ cognitus prodibit angulus CBD extrinsecus, quare et de 
binis rectis reliquus interior angulus | ABC manifestus erit. 

In triangulo igitur binis acutis angulis perspicuìs, atque latere eisdem 
adiacente, quod quadrante minus existat, reliquus angulus manifestabitur; q.e.o. 





148' 



Fropositio XLIX. 

In triangulo duobus acutis angulis manifestis atque inter 
eos latere, quod quadrans existat, reliquus angulus mani- 
festabitur. 

In triangulo itaque ABC duo anguli ACB et BAC uterque sit acutus 
atque cognitus, at latus AC quadrans. Dico, quod angulus ABC per- 
spicuus fiet. 

Et quia per propositionem XLI') primi utraque duo latera AB, BC 
quadrante sunt minora, et angulus ABC obtusus, igitur alterum duorum 
laterum AB, BC in partem B producatur, donec 
quadrans existat. Esto itaque AB productum usque 
in D, ita utAtìD quadrans existat, et descripta super 
polo A circumferentia CD erit uterque duorum an- 
gulorum I ad (7, D signa rectus.*) Et quia per hipo- 
thesim angulus ACB cognoscitur, ergo ex recto angulo 
ACD reliquus angulus BCD innotescit. At circum- 
ferentia CD cognita est — nam magnitudo perspicui anguli BA C^) [I, def. 4] — , 
igitur acutus [angulus] CBD constabit. Quare de duobus rectis reliquus 
obtusus angulus ABC manifestus est. 

In triangulo igitur, et sequentia ut supra; q. e. o. 




148' 



1) Es. hat minus, 2) Ha. hat BD. 8) He. hat XL. 

4) Theodoflii sphaerica, ed. Nizze I, 15. 6) Hs. hat BAE. 




108 Liber tertins. 

Propositio L. 

In trìangulo duobus acutis angulis cognitis atque latóre eis ad- 
iacente, quod quadrante maius est, reliquus angulus fìt manifestus. 

In trìangulo itaque ABO duo angui! ACB et BAC sunt acuti notique, 
et latus AC quadrante maius atque perspicuum. Dico, quod ang^us ABC 
quoque manifestus fìet. 

Ergo bina latera AB, AC in concursum producantur super D signo, 

149' et per signum C super circumferentiam BD vA angulos { rectos descrìbatur 

CE sectio. Et quia DC segmentum quadrante inferìus est atque cognitum, 

et angulus CBE acutus est atque perspicuus 

— aequalis enim noto et acuto angulo BAC — , 
igitur per propositionem XVII secundi per- 
pendicularis sectio CE^) manifesta est. Et quia 
CD segmentum per hipothesim quadrante est 
inferìus atque maius perpendicularì sectione CE 

— maiorì enim angulo maius subtenditur 
latus*) — , ergo perìpberìa CE multo minor est 
quadrante. Et cognitis duobus segmentis CD, 
CE acutus angulus BCE ab eis comprehensus 

per propositionem XXI') secundi librì manifestabitur. Obtusus autem 
angulus BCD perspicuus est — nam ex hypothesi de duobus rectis reliquus 
angulus ACB acutus*) innotescit — , ergo angulus BCE manifestus fit. Et 
quoniam per propositionem XLY primi Hbrì contingit, duo latera AB^ BC 
varìa esse genere — nam utrumque aliquando quadrans est, nonnunquam 
quadrante minus, quandoque quadrante maius — , idcirco et angulo BCE 
accidit esse varìo. 

In primis igitur angulus BCE rectus existat. Et quoniam per con- 
149"^ structionem angulus BEC \ quoque rectus existit, igitur per propositionem 
prìmam librì primi utrumque duorum segmentorum BC, BE quadrans est, 
et signum B polus circumferentiae CE}) Igitur perìpberìa CE per difSnitio- 
nem anguli sphaerìci [I, def. 4] magnitudo est anguli CBE, At CE seg- 
mentum iam patuit; ergo et angulus CBE manifestus est. Quare de duobus 
rectis reliquus angulus ABC obtusus perspicuus erìt. 

Bursus BCE angulus subiiciatur acutus. Et quia perpendicularis perì- 
pberìa CE atque acutus angulus BCE ex iam ostensis cognoscuntur, ergo 
per propositionem XIX secundi librì acutus angulus CBE manifestus fiet. 
Ergo de duobus rectis angulis reliquus obtusus angulus ABC perspicitur. 

Deinde BCE angulus existat obtusus. Ergo duo segmenta BC, BD in 
concursum agantur super signo F, Et quia in trìangulo CEF latus CE 
cognitum est atque quadrante minus, et ECF angulus acutus manifestus, 
ergo per propositionem XIX secundi librì acutus angulus CFE perspicuus | 
160' fìt. At angulus CBD aequalis est angulo CFD\ ergo angulus CBD per- 
spicuus est. Quare de duobus rectis reliquus angulus ABC manifestus est. 

Igitur in trìangulo duobus angulis cognitis, et sequentia ut supra; q. o. o. 

1) Hs. hat CB, 2) Menelai sphaerica I, 7. 8) Hb. hat XLL 

4) Hb. bat ocuttM korr. aus angultis. 

6) Tbeodosii sphaerica, ed. Nizze I, 16 inv. 




Liber teriins. 109 

Ii6llllllil« 

In duobus triangulis BCE et CEF duos angulos CBE et CFE per 
propositionem XXXiV primi libri constat esse acutos atque singula eorundem 
triangulorum latera quadrante minora, si duo anguli BCE et EOF acuti 
faerint. 

Propositio LI. 

In triangulo duobus notis angulis, uno acuto altero obtuso, 
atque latere eis adiacente, quod quadrante inferius existat, 
reliquus angulus perspicuus erit. | 

In triangulo itaque ABC angulus ACB sit obtusus, bi BAC acutus, 150"^ 
et uterque cognitus, et latus AC quoque cognitum et quadrante minus. Dico, 
quod reliquus angulus ABC manifestus fìet. 

Duo itaque latera AB^ AC ia concursum proti'ahantur super signo D. 
Et quoniam in triangulo BCD duo acuti anguli 
BCD et BDC manifesti sunt, et CD latus mani- 
festum atque quadrante maius, igitur per pro- 
positionem L huius libri tertii angulus CBD 
manifestus fiet. Ergo reliquus ABC liquet. 

Igitur in triangulo duobus perspicuis angulis, 
uno acuto altero obtuso, et reliqua ut supra; q.o.o. 

Propositio LII. 

In triangulo duobus liquidis angulis, uno acuto altero obtuso, 
atque latere eis adiacente, quod quadrans sit, reliquus angulus 
manifestabitur. 

In triangulo itaque ABC angulus BAC sit acutus, et ACB obtusus, 

atque uterque Hqui|dus, et latus AC quadrans. ^ 161' 

Dico, quod angulus ABC perspicuus fiet. 

Duo itaque latera AB, AC in concursum 
producantur super signo D. Et quoniam in tri- 
angulo BCD bini^) anguH BCD et BDC acuti ^^-^"^^^ C 
sunt atque noti, et latus CD quadrans, igitur 

per propositionem XTìTX huius tertii angulus CBD patebit, quare de binis 
rectis- reliquus angulus ABC. 

In triangulo igitur binis liquidis angulis, uno acuto altero obtuso, atque 
latere eis adiacente, quod quadrans sit, reliquus angulus manifestabitur; q.o.o. 

Propositio LUI. 

In triangulo duobus perspicuis angulis, altero acuto altero 
obtuso, et latere inter eos quadrantem excedente, reliquus angulus 
perspicuus fiet. 




1) Ha. bai mi [d. h. ?]. 




110 Liber tertius. 

In triangulo itaque ABC angulus ACB sit obtusus, et BAC acutus, 
et uterque eorum cognitus, et latus AC quoque manifestum atque quadrante 
161^ maius. Dico, quod reliquus angulus \ ABC constabit. 

Bina itaque latera AB et AC in concursum agantur super signo D. 

Et quoniam in triangulo BCB duo anguli 
BCD et BDC^) acuti sunt atque cogniti, et 
latus CD quoque perspicuum atque quadrante 
minus, ergo per propositionem XLVIII huius 
tertii libri reliquus angulus CBD patebit. Quare 
de duobus rectis residuus angulus ABC mani- 
festus fiet. 

In triangulo igitur perspicuis duobus angulis, et sequentia ut supra; q. o.o. 

Propositlo LIT. 

In triangulo duobus acutis angulis perspicuis, atque latere 
alterum eorundem subtendente, quod quadrante minus existat, 
reliquus angulus perspicuus fiet, si genus lateris eundem reliquum 
angulum subtendentis innotescat. Yerumtamen si idem latus qua- 
drante maius extiterit, tunc oportebit et ipsius magnitudinem 
agnoscere. | 

162' In triangulo itaque ABC duo anguli ACB et BAC sunt acuti atque 

noti, et latus BC notum atque quadrante minus. Dico, quod angulus ABC 
perspicuus fìet. 

Per signum B igitur perpendicularis sectio BD describatur, quae intra 
triangulum ABC cadet. Et quia BC latus notum ex hipothesi quadrante 

minus est, atque angulus BCD acutus et cogni- 
tus, igitur per propositionem XVII secundi libri 
perpendicularis sectio BD perspicua fit. Ergo 
duobus segmentis BC et BD <M3gnitis angulus 
CBD innotescit per propositionem XXI secundi 
Hbri. Rursus quoniam in triangulo rectangulo 
ABD duo latera AD, DB rectum angulum ADB 
comprehendentia utraque quadrante minora sunt, ergo per tertiam primi AB 
latus quadrante inferius existit. Et quoniam acutus angulus BAD eique 
latus subtensum BD patent, igitur per propositionem XX VII secundi libri 
angulus ABD constat. Sed et angulus CBD iam manifestus fuit, ergo totus 
angulus ABC innotescit. 
152^ Haec ita se babent, si latus AC aut quadrans { aut quadrante minus 

fuerit. At ubi latus idem AC quadrantem exuperat, ergo necesse erit quantita- 
tem AC lateris agnoscere. Et quoniam per iam ostensa et hipotbesim atque 
per XX secundi CD segmentum liquet, ergo AD sectio nota erit. Quae si 
quadrans extiterit, ergo A signum polus erit circumferentiae J52), et angulus 
ABD rectus. At prius innotuit angulus CBD, igitur totus angulus 
ABC perspicuus est. Postquam autem AD segmentum quadrante inferius 
extiterit, ergo duobus peripberiis AD, BD per XXV secundi angulus 
ABD perspicietur; ergo totus angulus ABC notus est. Ubi tandem AD 

1) Ha. hat DBC. 




Liber tertius. IH 

segmentimi quadrantem excesserit, ergo per propositionem \il primi angulus 
ABD obtusus est, et angulus BAD acutus, atque latus AB quadrante 
maius. Est autem et ^D ex hipothesi quadrante superius. Igitur duo seg- 
menta AB^ AD in concursum protrahantur super signo E. Et quia in tri- 
angulo rectangulo BDE unumquodque ' latus quadrante minus est, et duo 163' 
latera J9D, DE rectum angulum continentia utraque cognita, igitur per 
propositionem XXV secundi libri angulus EBD innotescit. Ergo de duobus 
rectis reliquus angulus ABD patebit. At prìus angulus CBD patefactus est; 
quare totus angulus ABC innotescet. 

In triangulo igitur duobus acutis angulis perspicuis, atque latere alterum 
eorum subtendente, quod quadrante minus existit, reliquus angulus patuit; q.e.o. 

Propositio LV. 

In triangulo duobus acutis angulis manifestis, atque latere, 
quod quadrans est^), [alterum angulum] acutum subtendente, 
reliquus angulus perspicuus fiet. 

In triangulo itaque ABC duo anguli ACB et BAC sint acuti atque 
noti, et latus BC quadrans. Dico, quod reliquus angulus ABC innotescit. 

Et quia per propositionem LUI primi Hbri latus AC \ quadrante maius 153^ 
est, et angulus ABC obtusus, igitur ex latere AC quadrans CD auferatur, 
et descripta J^Dcircumferentia ipsa erit nota; 
nam magnitudo est anguli BCD [I, def. 4]. 
Et quia signum C polus est circumferentiae 
BD^^ igitur angulus CBD rectus est. 
Bursus in triangulo*) [rectangulo] ABD 
angulus BAD eique subtensum latus BD 
Constant; ergo per propositionem XXVII 
secundi Hbri angulus ABD manifestus est. 

At iam patuit), angulum CBD esse rectum; ergo totus angulus ABC 
manifestus est. 

In triangulo igitur duobus angulis [manifestis] atque latere, quod qua- 
drans est, reliquus angulus perspicuus fiet; q. o. demon[strare]. 

Propositio LTI. 

In triangulo perspicuis duobus acutis angulis, atque latere, 
quod quadrantem excedit, alterum acutum angulum^) subtendente, 
reliquus angulus liquebit. | 

In triangulo ABC duo anguli ACB et BAC sint acuti perspicuique, 164' 
et latus BC quadrante maius atque cognitum. Dico, quod angulus ABC 
quoque manifestabitur. 

Duo ergo latera BC^ AC ia concursum producantur super signo D; 
et per B signum ipsi AC lateri ad rectos angulos describatur BE peri- 
pheria. Et quoniam in triangulo rectangulo BDE latus BD quadrante minus 

1) Est ùber die Zeile mit 1. Hand. 

2) TheodoBÌi sphaerica, ed. Nizze 1, 16 inv. 

3) Nach triangulo hat die Hs. das Wort rectilineo gestrichen. 

4) Hs. hat excedit, unum acutum alterum angulum. 





112 Liber tertius. 

est atque cognitum, et angulus acutus BDE notus, igìtur per propositio- 
nem XVII secundi libri perpendicularis circumferentia BE constabit, et 

per propositionem XXVII eiusdem secundi 
libri bis repetitam duo anguli DEE et ABE 
manifesti erunt. Ergo partilis angulus ABD 
perspicitur. Quare de duobus rectis angulis 
reliquus [angulus] ABC manifestus est. 

Igitur in triangulo perspicuis duobus 
acutis angulis, et sequentia ut supra; q.e.o. 

Propositio LTIf . 

In triangulo duobus angulis notis, uno acuto altero obtuso, 

154"^ atque latere, | quod quadrante minus est, acutum subtendente, 

erit reliquus angulus perspicuus. Haec propositio varie deter- 

minatur, veluti ex demonstratione propositionis LIY patet 

huius tertii. 

In triangulo itaque ABC angulus ACB sit obtusus, qì BAC acutus, 
et uterque manifestus; et latus BC quoque liquidum et quadrante minus. 
Dico, quod angulus ABC manifestabitur. 

Ergo duo latera AB qì AC producantur in concursum super signo D. 
Et quia in triangulo BCB duo anguli BCD et BBC acuti sunt atque 

cogniti, et latus BC liquidum et quadrante 
minus, igitur per propositionem LIV huius 
tertii libri angulus CBD manifestus fit. Ergo 
de duobus rectis reliquus angulus ABC 
constabit. 

In triangulo igitur [duobus] angulis notis, 
165' altero acujto altero obtuso, atque latere, quod quadrante minus est, acutum 
angulum subtendente, reHquus erit angulus perspicuus; q. e. o. 

Propositio LTIII. 

In triangulo duobus notis angulis, altero acuto altero 
obtuso, atque latere, quod quadrans est, acutum subtendente, 
erit reliquus angulus manifestus. 

In triangulo itaque ABC angulus ACB sit obtusus, et angulus BAC 
acutus, et uterque perspicuus, et latus BC quadrans. Dico, quod reliquus 
angulus ABC liquebit. 

Duo igitur latera AB et AC in concursum agantur super signo D. 

Et quia in triangulo BCD duo anguli BCD 
et BDC acuti sunt et noti, atque latus BC 
quadrans, ergo per propositionem LV huius 

166^ / y/^ \ tertii libri angulus | CBD constabit, ergo de 

" duobus rectis residuus ABC 

Igitur in triangulo duobus notis angulis, 
altero acuto altero obtuso, atque latere, quod quadrans est, acutum sub- 
tendente, reliquus angulus manifestabitur. 






Liber tertins. 113 

Fropositio LIX. 

In trìangulo duobus notìs angulis, altero acuto altero 
obtuso, atque latere, quod quadrante maius exìstat, acutum 
subtendente^ reliquus cognoscitur angulus. 

Yelut in praecedenti figura sit BC iam latus quadrante maius; et 
quoniam [in] triangulo BOB duo anguli 
BCB et BBC sunt acuti atque cogniti, et 
latus BC quadrante maius, igitur per pro- 
positionem LVI huius tertii libri angulus CBB 

innotescit. Ergo | de duobus rectis reliquus a}^^C^ ^^-O 166' 

ABC manifestus est. 

In triangulo igitur duobus notis angulis, et sequentia ut supra; q. o. o. 

Fropositio LX. 

In triangulo duobus notis angulis, altero acuto altero 
obtuso, atque latere, quod quadrante minus est, obtusum sub- 
tendente, reliquus patebit angulus. 

In triangulo itaque ABC angulus ACB sit acutus, et BAC obtusus, 
et uterque cognitus, et latus BC quadrante 
minus notumque. Dico, quod angulus ABC 
quoque perspicietor. 

Ergo bina latera AC^ BC agantur ad 
concursum in signo D. Et quia in triangulo 
ABI) duo anguli BAD et ADB acuti sunt 
atque noti, et latus BD quadrante maius atque cognitum, igitur per prò- 
positionem LVI^) huius tertii libri angulus ABD patebit. Quare | de duobus 166'' 
rectis reliquus ABC innotescit. 

In triangulo igitur duobus perspicuis angulis, et reliqua ut supra; 
q. o. demon[strare]. 

Fropositio LXI. 

In triangulo duobus perspicuis angulis, altero acuto et 
altero obtuso, atque latere, quod quadrans existat, obtusum an- 
gulum subtendente, reliquus manifestabitur angulus. 

Velut in praecedenti figura latus BC quadrans existat. Et quoniam 
in triangulo ABD duo anguli ADB^) et 
BAD acuti sunt et noti, et BD quadrans 
existit, igitur per propositionem LV^) huius 
tertii angulus ABD perspicuus fit. Quare 
de duobus rectis angulus ABC reliquus 
constabit. 

In triangulo igitur binis perspicuis angulis, et reliqua ut supra; q. o. o. 





1) Hs. hat LVIL 2) Hs. hat ABD, 3) Hs. hat LI, 

Abhdlgn. s. Getch. d. math. WIbb. XXIV. g 



114 Libei tertias. 

Propositio LXn. I 

167' In triangulo duobus perspicuis angulìs, altero acuto et 

altero obtuso, et quod quadrante maius est latore obtusum sub- 
tendente angulum, reliquus angulus patebit. 

In eodem schemate BC segmentum quadrante maius existat. Et 
quonìam in triangulo ABD duo anguH ADB^) et BAD acuti sunt et noti, 

et BB latus quadrante minus, ergo per prò- 
positionem LTV angulus ABD manifestus 
est. Quare de duobus rectis reliquus ABC 
perspicuus existet. 

In triangulo igitur duobus notis angulis, 
altero acuto et altero obtuso, et quod qua- 
drante maius existit latore obtusum subtendente angulum, reliquus innotuit 
angulus; quod erat demonstrandum. 

Finis tertii libri. 1 




y«at. 1) Hb. hat ABD. 



IOANNIS VERNEEI NORIMBEEGENSIS') i58' 
DE TEIANGULIS SPHAEEICIS. 



LIBER QUAETUS. 



Propositlo prima. 

In dato sphaerico triangulo duobus segmentis, quorum 
utrumque fuerit quadrante mìnus, propositum aliquem com- 
prehendentibus angulum, si super [termino] unius eorundem 
segmentorum tanquam polo magnus scribatur circulus, et super 
altero quidem eiusdem segmenti termino, spatio autem alterius 
duorum iuxta eundem angulum segmentorum parvus describatur 
circulus, ex quo circumferentia proposito angulo similis aufe- 
ratur, et a termino sinus | versi^) eandem subtendentis circum- 168^ 
ferentiam perpendicularis ad magni circuii planum deducatur, 
erit eadem perpendicularis aequalis sinui recto complementi 
eius segmenti, quod in dato triangulo eundem Ipropositum sub- 
tendit angulum. 

In dato igitur sphaerico triangulo ABC duo segmenta AB^ BC, 
quorum utrumque quadrante sit minus, propositum angulum ABC com- 
prehendant; et circulus^) ipsius AB seg- 
menti sit ^^D; atque complementum AC 
segmenti angulum ABC subtendentis sit 
CE. Et super A quidem polo spatio 
autem A E magnus describatur circulus 
DEFj secans circulum ABD super D, F 
signis. Eursus super B polo intervallo j)\ 
autem B C parvus scribatur circulus GCH, 
secans eundem circulum ABD super (r, H 

signis. Per constructionem autem | CH \ \ "^V 169' 

circumferentia similis est angulo ABC 
proposito, cuius quidem circumferentiae 
sinus versus sit HI, a cuius termino I 

perpendicularis IK ad planum circuii DEE agatur; et sinus rectus ipsius 
CE segmenti sit CL, Dico, quod perpendicularis IK sit aequalis recto 
sinui CL. 



G 




1) Hs. hat Vemeri Nerinorinibergensis, 
3) Hb. bat circulis. 



2) Ha. hat versus. 



8' 



116 



Liber quartus. 



Coniunctis itaque CI^ LK rectis, et quìa planum quadrantis AC E 
erectum est ad planimi circuii DEF^)j igitur rectus sinus CL ad idem 
planum circuii DEF erigitur; nam rectus sinus CL perpendicularis est ad 
communem sectionem duorum planoruin, quadrantis videlicet AC E et magni 
circuii DEF}) Est autem IK per constructionem ad idem planum DEF 
perpendicularis; ergo perpendicularis IK et sinus rectus CL sunt paralleli 
per propositionem sextam libri undecima élementorum Euclidis. Et quia 
per diffìnitionem [II, def. 2] CI rectus est sinus segmenti HC'^, et planum 
parvi circuii 6r OH erectum est plano circuii ABD^), igitur duorum angulorum 
CIK et IKL uterque rectus per | tertiam diffinitionem eiusdem libri 
169^ undecimi^); nam HI pars est communis sectionis duorum planorum circuii 
magni ABD et circuii parvi GCH. Et quia utraque rectarum linearum 
Cly KL in eodem simt plano IK, CL rectarum linearum per septimam 
propositionem eiusdem libri undecimi, igitur perXXVm^ libri primi eorundem 
elemeniorum duse rectae CI, KL sunt parallelae. Igitur quadnlatenun 
CIKL est paraUelogrammum.'^) Ergo IK perpendicularis aequaHs est sinui 
recto CX; nam per XXXIV propositionem primi libri eorundem élementarum 
„parallelogramorum locorum latera, quae ex opposito, et anguli, aequalia 
sunt adinvicem". 

Igitur in dato sphaerico tiiangulo duobus segmentis, etc.; quod oportuit 
demonstrare. 

Propositio seennda, 

Datis tribus lateribus propositi trianguli sphaerici angulum 
160' datum efficere duobus | contentum segmentis, quorum utrumque 
quadrante minus extiterit. 

Sitergo alterum segmentorum, quae^) propositum continent angulum, AB; 

atque maximus circulus, cuius segmentum AB portio existit, sit ABCDEF. 

Et descripti super A polo maximi circuii dimetiens sit CE, atque super B 

polo maximi descripti circuii dimetiens sit DF. 
Hi duo dimetientes se invicem secabunt in 
centro sphaerae, quod sit G. Sit autem re- 
liquum segmentorum, a quibus propositus 
angulus continetur, aequale segmento BH, 
quod subiiciatur esse maius circumferentia^jS, 
minus autem complemento eiusdem circum- 
ferentiae AB. Igitur punctus H necessario 
cadet inter B, C signa. Et a puncto H ipsi 
DGF dimetienti parallela agatur HI. Atque 
segmenti IFE sinus rectus sit IK; et ipsius 
160^ parallela sit acta LM aequalis sinui recto compie menti tertii lateris, quod 

in proposito triangulo sphaerico subtenditur ei angulo, quem datum oportet 




1) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 16. 

2) Kein euklidischer Satz scheint hier direkt anwendbar. 8) Ha. bat AC. 
4) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 16. 

6) Nach Zamberti; in Heibergs Ausgabe XI, def. 4. 6) Hs. hat XXIX. 

7) Ha. hat parallelogen : minutn [!]. 8) Ha. hat qui. 



Liber qnarfcus. 117 

efficere. Deinde CGE diametro parallelus agatiir HNO, secans LM super 
N et IK super signo. 

Et quia per constructionein duae rectae lineae Jf ^) etLM sunt parallelae, 
igitur per XXTX propositionem libri primi elementarum anguli ad N, signa 
sunt aequales, videlicet angulus HNL aequalis angulo*) NOI; uterque 
enim rectus. Et quoniam duobus triangulis IHO, LHN^) communis angulus 
est NHL, igitur duo trianguli IHOj LHN sunt aequianguli et similes. 
Ergo per propositionem quartam libri sexti élementamm ratio ipsius ILH 
ad HL datur; est enim sicut IO ad LN ratio data. Et quia IH magni- 
tudine datur — est enim dimetiens paralleli super B polo et secundum 
BH datam sectionem descripti — , igitur et HL, item et reliqua IL 
magnitudine datur. Est autem IL per ea, quae prius [IV, 1] ostensa sunt, 
sinus versus circumferentiae in parallelo IH similis | angulo proposito, 161' 
quem datum oportebat efficere. 

Datis igitur trìbus lateribus propositi trianguli sphaerici, etc.; quod 
oportuit demonstrare. 

Lemma sive assnmptam. 

Quod autem IO et LN rectae lineae datae sint, sic perspicuum fiet, 
Nam lOK datur; est enim lOK sinus IEF[\] segmenti per constructionem 
quoque dati; nam ipsum componitur ex segmento JEF aequali ipsi AB 
segmento, et FI segmento, quod acquale est DH complemento segmenti BH, 
quod ex bypothesi aequatur alteri laterum angulum subiectum ad B con- 
linentiimi. "Et LM quoque datur; nam ipsa aequalis est sinui recto com- 
plementi circumferentiae propositum ad B angulum subtendentis. Sunt 
autem et OK, NM rectae datae; utraque enim aequalis est sinui recto 
circumferentiae HO, quae complementimi existit per constructionem ABH 
segmenti. Igitur ex ÌOK et LNM sublatis OJT, NM .erunt reHquae IO, 
LN datae; quod oportebat manifestum perspicuumque efficere. | 

Oorrelarium. ler 

Hinc etiam erit perspicuum, [quod] in subiecto triangulo sphaeiico 
trium datorum segmentorum, quorum duo propositum angulum, quem datum 
efScere oportet, continentia utraque sint quadrante minora ^ propositus ad 
B angulus unica fiet perspicuus proportione, in qua primus terminus sit 
dimidium ipsius IO, secundus terminus LN, tertius terminus FG semi- 
diameter sphaerae sive sinus totus, quartus ipsius DGF^) dimetientis parti- 
cola LP existens sinus versus circumferentiae maximi circuii, cuius dimetiens 
DGF^), quae quidem circumferentia similis est in parallelo IH circum- 
ferentiae, cuius versus sinus est II L, qua quidem circumferentia ex semi- 
circulo dempta remanebit segmentum maximi circuii acquale proposito ad B 
angulo sphaerico. 

Et ut liquidius fiat, quod illatum fuit correlariimi, sit igitur IO ad 
NL, seu sicut IH ad HL, sic etiam fiat 2>F ad DP; et dimidiimi ipsius 



1) Nach IK hskt die Hs. das Wort eletnentorum gestrichen. 

2) Hs. hat anouU, S) Hs. hat LHH. 4) Hs. hat DGT. 
6) Hs. hatD&jE?. 



118 



Liber quartus. 



IO sit IQ\ et quia IQ ad IO est sicut GF ad FB, et IO ad XJV^ àcut 
162' FD ad ^P, | igitur ex aequali IQ VLd LN erit sicut FG semidiameter 
sphaerae, seu sinus rectus integer, ad DP, Sed DP sinus versus est circum- 
ferentiae, qua maximo semicirculo sublata relinquitur circumferentia aequalis 
sphaerico angulo ad B proposito. 

Igitur in trìangulo sphaerico trium datorum segmentorum, quorum duo 
propositum angulum includant, et cetera; quod est correlarium inferendum. 

Propositio tertia. 

Si autem in dato triangulo sphaerico trium datorum seg- 
mentorum duo segmenta propositum [angulum] continentia fuerint 
aequalia, idem propositus angulus datus angulus^) erit. 

Haec propositio per praemissam et subsequentes quoque ostendi poterii 
Nam si uniuscuiusque aequaUum segmentorum complementum maius fuerit 
octava parte circuii magni, id est maius gradibus XLV, ipsa propositio fiet 
162^ per praecedentem projpositionem; sin autem acquale, per sequentem pro- 
positionem; aut [si] minus octava parte maximi circuii, sive grad[ibus] XLY, 
problema fiet per quintam propositionem. 



168' 



Propositio quarta. 

At si alterum duorum segmentorum, quae propositum ad B 
angulum comprehendunt, acquale fuerit complemento circum- 
ferentiae AB, id est segmento BC, 

Igitur ex C puncto ipsi DGF parallelus agatur CH, secans circulum 
AB ODE ad H signum. Et super CGE dimetientem perpendicularìs 

agatur HI. Et complementi cìrcumferentiae 
subtendentis ad B angulum propositum sit 
KL sinus. 

Et quia, velut prius ostenditur, triangulus 
CKL*) similis triangulo CHI, ergo per pro- 
positionem quartam libri sexti eìementorìim ratio 
HI ad KL erit sicut ratio ipsius HC \ ad CK 
Et ex dimetiente FD auferatur DM secundmn 
rationem HI ad KL. Igitur HI ad KL est 
sicut FD ad DM, Et dimidia ipsius HI sit 
HN. Et quia per constructionem FG dimi- 
dium est ipsius DGF dimetientis, ergo HN 
ad HI est sicut FG aà FGD. Igitur ex aequali HN ad KL est sicut 
FG B,à DM. In hac autem proportione tres priores termini dati sunt. 
Nam HN dimidium est ipsius HI, quae rectus est sinus circumferentiae 
EFH per constructionem quoque datae; nam ipsa componitur ex duplo 
circumferentiae EF, id est ex duplo ipsius circumferentiae AB, Et KL 
aequalis est sinui recto complementi circumferentiae per hjpothesim datae 




1) Hs. hat angulttm, 2) Hs. hat CHL. 



Liber quartus. 119 

et subtendentìs angulum ad B propositum. Et FG sìnus totus. Ergo et 
quartus terminus DM datus est. Et quoniam per constructionem ratio FD 
ad DM est sicut ratio ipsius HO [ad] CK — est autem GK sinus versus 
circujnferentiae in parallelo HC simili s segmento magni circuii, [quo maximo 
semicirculo sublato] { relinquitur circumferentia aequalis angulo ad B proposito les*^ 
[IV, 1] — , igitur FM sinus versus est propositi anguli ad B. 

Ergo angulus ad B propositus est datus; quod oportuit demonstrare. 

Oorrelarium. 

Inde perspicuum fit, quod hoc modo propositus ad B angulus dabitur 
una proportione, cuius prìmus terminus est dimidium recti sinus duplae 
circumferentiae minoris duorum laterum propositum angulum comprehen- 
dentium. Secundus terminus est sinus rectus complementi circumferentiae 
propositum subtendentis angulimi. Tertius terminus est sinus totus, id est 
dimidium dimetientis maximi circuii. Quartus terminus est versus sinus 
circumferentiae, qua sublata ex semicirculo propositus relinquitur angulus. 
Prioribus autem terminis per prius ostensa datis, et quartus terminus datur, 
videlicet versus sinus circumferentiae, qua ex semicirculo dempta propositus 
relinquitur angulus. 

AUter propoBltio haec ostendltnr.^) | 

In dato igitur sphaerico triangulo ABC trium datorum laterum, 164' 
habente duo latera AB, BC aequalia, propositum sit angulum ABC datum 
efficere. 

Igitur per [XXX] propositionem*) libri HI élementorum Euclidis AC 
segmentum angulo ABC subtensum bifariam secetur in puncto D; et per B, 
D signa magni orbis sectio BD describatur.^) Et 
quia duo maximorum in spbaera orbium segmenta AB, 
BC ex hypothesi sunt aequalia, et duobus partilibus 
trìangulis ABD, CBD commune existit segmentum 
BD^ et AD basis basi CD aequalis, igitur per pri- 
mum Menelai de sphctericis*) duo anguli ADB, 
BDC sunt aequales, et uterque eorum per defini- ^ 
tionem [I, def. 5] rectus. Eodem quoque modo patet, 

duos angulos ABD, DBC esse aequales. Et quia, ut in*) libro secundo 
[n, 11] fuerat ostensum, ratio recti sinus segmenti BC &d segmenti CD 
rectum sinum est, sicut ratio sinus totius ad rectum sìnum anguli CBD 
seu aequalis ABD, et per hypothesim in hac proportione priores termini 
dantur, ergo et | quartus, rectus videlicet sinus anguli CBD, datur. Quare 164^ 
per tabulas rectorum sinuum angulus CBD datur; ex hipothesi igitur 
totus ABC angulus datus est. 

Dati ergo trianguli sphaerici trium datorum laterum, et reliqua ut 
supra; quod oportuit demonstrare. 

1) Dieser aliter-Beweis gehOrfc zu IV, 3 und ist alao in der Hs. versetzt worden. 

2) Hs. hat propositionis. — Euclidis élementa III, 80 auf die Engel ùber- 
tragen wird schon von Menelaos vorausgesetzt. 

8) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 20. 4) Menelai sphaerica I, 4. 

5) Hs. hat uU statt ut in. 




120 



Liber qnartus. 




Propositio quinta. 

Sì vero alterum duorum segmentorum, quae propositum ad 
B continent angulum, maìus fuerit complemento circum* 
ferentiae AB^ 

Quod quidem complementum existit BC circumferentia, sitque illud 
aequale BCH segmento; itaque H punctus cadet inter C, D sìgna. Et ab 

H sìgno ipsi DGF dimetienti parallelus HKI 

agatur, secans dimetientem CGE super K 

166^ y^ \ r signo. | Bursus ipsi CGE dimetienti parallelus 

agatur HL. Et circumferentiae EFI sinus 
rectus sit IM, 

His itaque dispositis, si circumferentia pro- 
positum ad B angulum subtendens quadrante 
minor extiterit, ergo parallela ipsius IM sinus 
recti aequalis recto sinui complementi circum* 
ferentiae ad B propositum angulum subtendentis 
cadet inter K signum et IM rectum sinum seg- 
menti EFI. Sitque talis parallela NO'^ et productis IM et NO in partes^) 
M, 0, donec occurrant ipsi HL, IM quidem in P, NO autem super Q. 
Igitur, ut prius, erit ratio ipsius INH ad HN sicut IMP ad NOQ. 
Et sicut est IH ad HN, sic fiat FD ad DR, Et dimidia ipsius IMP 
sit IS. Igitur, ut prius ostensum fuit, ex acquali erit ratio ipsius IS ad 
NOQ sicut ratio ipsius FG &d DB. In hac autem proportione priores tres 
termini dati sunt; ergo et quartus terminus DB datus erit. Nam IS dimi- 
166^ dium est ipsius IMP datae, quae componitur ex recto | sinu IM segmenti 
EFI dati per constructionem et MP acquali recto sinui segmenti CH 
similiter dati. Pari ratione NOQ recta probatur esse data. Et FG datur; 
est enim totus sinus ex hypothesi. Igitur BR recta datur, quae est sinus 
versus seu sagitta propositi ad B anguH [IV, 1]. 

Propositus ergo ad B angulus datur; quod oportuit demonstrare. 
Circumferentia deinde, quae propositum ad B angulum subtendit, acquante 
quadrantem, igitur HK erit sinus versus circumferentiae in parallelo HI, 
qua*) sublata ex semicirculo relinquitur circumferentia in eodem parallelo 
ad B angulo [subtensa]. Et super HL perpendicularis KA agatur; ergo iterum 
ratio ipsius IMP ad KA erit sicut IH^) ad HK. Et sicut IH ad HK sic 
fìat FB ad BT. Igitur, ut prius, ex aequaU IS ad KA erit sicut FG 
166' ad BT. Est autem KA data; aequalis enim existit recto sinui seg menti 
CH per constructionem. In eadem ergo proportione datis tribus prioribus 
terminis et quartus terminus BT datur, sinus scilicet versus circumferentiae 
circuii magni, qua sublata ex semicirculo relinquitur circumferentia aequalis 
ad B angulo proposito. 

Igitur propositus idem ad B angulus erit iterum datus. 
At circumferentia, quae propositum ad B angulum subtendit, qua- 
drantem superante, igitur per superius ostensa sinus versus subtendentis in 



1) Ha. hat partem. 2) Hb. hat que. 3) Hb, hat IH korr. auB IN. 



Liber quartus. 121 

parallelo HI circumferentiae^), qua dempta semìcirculo eìusdem paralleli 
relinquìtur circuinferentia sìmilis proposito ad B angulo, erit miaor quam 
HK recta. Sit itaque talis sinus versus ifF; et per V ipsi IMP parallelus 
agatur X7Y, secans dimetientem CGE super Z, et HL super Y. Et quia 
ratio ipsius IMP ad YY est sicut IH ad HV, sit igitur FD ad DZ sicut 
I\H ad HVi ergo ex aequaU 18 ad YY erit sicut FG ad DZ. At huius 166^ 
proportionis tres termini priores dati sunt; ergo et quartus tenoinus yidelicet 
DZ datus erit. Nam YY reliqua est, si FX detrahatur sinui recto seg- 
menti GH. Est autem XF aequalis sinui recto circumferentiae remanentis^), 
si circumferentiae ad B angulo subtensae quadrans auferatur'); ergo et FX 
datur; quare etiam YY dabitur. Et quoniam ratio ipsius IH ad HY est 
sicut FD ad DZ, ergo DZ datur, et erit sinus versus circumferentiae 
magni circuii, qua dempta ex semicirculo eiusdem circuii magni relinquitur 
circumferentia aequalis proposito ad B angulo. 

Igitur idem propositus ad B angulus iterum datus erit; quod oportuit, 
ostendere. 




Haec tertia particula huius quintae propositionis aliter fieri poterit, 

Ex primo videlicet signo si dimetienti 
CGE parallelus agatur JDC, atque ad eam 
actis perpendicularibus | duabus YXB^ HC. y>J^/^ ^\7 1®*^' 

Harum autem perpendicularium utraque 
datur. Nam YXB componitur ex YX per 
hypothesim*) data [et] ex XB acquali recto 
sinui circumferentiae EFI datae.*) Et HC 
componitur ex eodem sinu circumferentiae 
EFI recto et recto sinu segmenti HC. Igi- 
tur ut ante DZ versus sinus datus esse con- 
cluditur. 

Oorrelarlum. 

Hinc etiam manifestimi fit, quod in triangulo sphaerico trium notorum 
laterum si propositimi angulum, quem datum efficere oporteat, duo continent 
segmenta, quorum utrumque quadrante minus, et maius borum duorum 
laterum excedat complementum minoris, et circumferentia eidem proposito 
angulo subtensa quadrante inferior extiterit, propositus angulus dabitur una 
proportione, habente in primo termino dimidium aggregati ex sinu recto 
segmenti compositi ex minore circa propositum angulum circumferentia cum 
complemento majioris circumferentiae circa angulum eundem, atque eo seg- 167"^ 
mento ^), quod relinquitur complemento eiusdem minoris circumferentiae 
detracto maiori circumferentiae circa eundem angulum, quod quidem seg- 



1) Hb. hat circumferentiam. 2) Hs. bat remanenU. 

8) Folge von dem in IV, 1 feblenden Fall, daB ^(7> 90^ 

4) Hb. hat datur. 6) SoU heifien: atqtie ex sinu recto eius segmenti. 



122 Li ber qoartuB. 

mentum discretionis et brevitatìs gratia propositi anguli argumentum appellare 
duxi, atque eìusdem argumenti sinu recto; secundum termiDum composi- 
tum ex sinu recto complementi circumferentiae ^) propositum subtendentis 
angulum atque sinu recto eiusdem argumenti; tertium terminum sinum totum; 
et quartum terminum sinum versum eius circumferentiae, qua dempta ex 
semicirculo relinquitur circumferentia aequalis proposito angulo. 

Sin autem subtensa proposito angulo circumferentia quadrans extìterit, 
ergo propositus angulus rursum dabitur una proportione, quae habet in primo 
dictum dimidium, secundum terminum sinum rectum eiusdem argumenti, 
168' tertium terminum sinum totum, et quartum terminum sinum | yersum eius 
circumferentiae, qua detracta ex semicirculo circumferentia iterum relinquitur 
aequalis proposito angulo. 

Si vero circumferentia proposito subtensa angulo quadrante maior fuerìt, 
idem angulus iterum dabitur unica proportione, quae habeat eosdem ter- 
minos praeter tertium^, qui reliquus est, si quadrans subtensae dicto 
angulo circumferentiae detrahatur, et residui sinus rectus ex sinu recto 
memorati argumenti dematur, quod itaque hac sublatione remanserit tertius^ 
proportionis terminus erit. 

Propositlo sexta. 

In sphaerico triangulo trium datorum segmentorum pro- 
positum angulum circumferentia quadrante minore atque qua- 
drante contentum datum efficere. { 

168^^ Sit igitur eadem circumferentia minor quadrante AB, cuius circulus 

ABCBEF, Et supra A polo circulus magnus descriptus sit CGE. Rursus 
super polo B descriptus magnus circulus sit DGF. Et esto inprimis circum- 
ferentia proposito 
ad B angulo sub- 
tensa AH qua- 
drante minor, quae 
agatur in partem M, 
donec secat cir- 
culum CGE super 
/ signo. 

Et quia circuii 
CGE per construc- 
tionem polus est A 
signum, igitur anguli ad I recti sunt.*) Et quia in sphaerico triangulo 
(r JH"/ rectanguio angulus jETG^Jacutus datus est — eius enim magnitudo circum- 
ferentia FÉ data, aequalis namque ipsi AB segmento — , igitur per secundum 
librum [II, 26] HG segmentum recto angulo GIR oppositum datur; ergo^) 
et eius complementum FU datur, quod magnitudo existit propositi AB E 
anguli [I, def. 4]. Datus igitur est propositus ad B angulus. | 

1) Ha. hat minoris circumferentiae circa statt circumferentiae. 

2) Soli heifien secundum. 3) Soli heifien secundus, 
4) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 16. 
6) Ver ergo hat die Hs. das Wort et geetrichen. 




Liber qnartus. 



123 




At cìrcumferentia proposito subtensa ad B angulo quadrantem aequante, 169' 
quod accidìt, si quadrans oirca B propositum angulum in communem G 
sectionem duorum CGE et DGF circulorum inciderit, et quia duae AG^ 
BG circumferentiae quadrantes existunt, ergo 
in triangolo per Ubrum primum [I, 1 inv. 
cfr. I, 65] ABG uterque duorum ?A AB angu- 
lorum rectus est. Datus igitur est propositus 
ad B angulus. 

Sit denique circumferentia ad B subtensa 
angulo maior quadrante. Sitque ipsa AK 
secans circulum CGE super L signo. Bursus 
quia in triangulo GKL angulus ad L rectus 
est^), et acuttts angulus KGL datus — aequalis 
enim circumferentiae CD datae, quae aequalis 
est ipsi AB segmento — , et LK segmentum dato angulo KGL subtensum 
datum — relinquitur enim, si quadrans AL dematur dato segmento ALK — , 
igitur I per ea, quae ostensa fuerunt in libro secundo [II, 26], segmentum 169^ 
GK datum, quod cum quadrante FG acquale est proposito ad B angulo. 
Igitur idem ad B angulus datur. 

Ergo in sphaerico triangulo trium datorum segmentorum, et reliqua ut 
supra; quod oportuit demonstrare. 

Fropositio septima. 

In sphaerico triangulo trium datorum segmentorum angulum 
duobus contentum segmentis, quorum unum quadrante^) minus 
alterum quadrante maius, datum efficere. 

Sit ergo sphaericus triangulus ABC trium datorum segmentorum AB^ 
BC, CA'^ et esto propositum angulum ABC datum efficere contentimi duobus 
segmentis AB et BC datis, AB quidem minore 

quam sit quadrans |, BC vero quadrantem ^^-^^^ — ^ 170' 

superante. 

Igitur segmenti AB cìrculus compleatur, 
sitque ille AB DE] punctumque D sit e diametro 
A signi, et E ex diametro signi B. Et per 
polos A, D descriptus sit circulus ACD\ et 
per -B, E polos circulus BCE, Et quia DE 
circumferentia aequalis est AB segmento, igitur 
DE circumferenlia minor est quadrante. Et 
quia BC segmentum per constructionem maius 
est quadrante, igitur reliquum de semicirculo 
CE segmentum quadrante inferius est. 

Esto deinde AC circumferentia angulo ABC subtensa quadrante minor, 
ergo et reliqua CD de semicirculo ACD quadrante maior est. In triangulo 
itaque sphaerico CDE trium per constructionem datorum segmentorum, 
quorum duo DE^ CE quadrante sunt minora, et tertium CD quadrante 




1) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 15. 2) Hb. hat aegmente. 



124 Liber qnartns. 

maius et subtensuin angulo GED^ idem angulus CED per prius ostensa 
[rV, 5] dabitiir; ergo de duobus rectis reliquus AEC datur. Igitiir suus 
170^ aequa |lis ABC datus erit. 

Praeterea ex ACD semicirculo quadrans auferatur ACF. Sitque per 
B,F,E semicirculus descriptus BFE. Et propositum esto in triangulo ABF 
trium datorum segmentorum AB, AFy BF angulum ABF datum efficere. 
Et quia in triangulo EFB per prius ostensa [IV, 5] angulus BEF datur 
contentus duobus per constructionem datis segmentis BE, EF, cui quidam 
angulo quadrans BF subtenditur, ergo de duobus rectis reliquus ABF 
dabitur. 

Eursus ex' semicirculo ACFB auferatur datum segmentum ACFGr 
quadrante maius. Et per Bj G, E signa semicirculus scribatur BGE*^ 
et sit BG segmentum quoque datum et quadrans maius. Propositumque 
sit angulum ABG notum datumque ef&cere. Et quoniam in triangulo ABG 
tria segmenta AB, AG et BG^) [data sunt, et tria segmenta DE, BG] 
et EG trianguli DEG data, et quodlibet eorum quadrante minus, ergo 
per prius ostensa [IV, 2 — 6] angulus BEG datus erit; ergo et reUquus 
171' de duobus rectis ABG datus | erit. 

In sphaerico igitur triangulo trium datorum segmentorum angulum 
duobus contentum segmentis, quorum unum quadrante minus alterum qua- 
drante maius, datum fecimus; quod oportuit ef&cere. 

Propositio oetara. 

In sphaerico triangulo trium datorum segmentorum angulum 
duobus contentum segmentis, quorum alterum quadrans alterum 
quadrante maius extiterit, datum constituere. 

In triangulo itaque ABG trium datorum segmentorum propositum sit 

angulum ABG datum effìcere, AB quadrante, 
et BG segmento quadrantem superante. 

Duo igitur segmenta AB, BG agantur, 

donec in oppositum partem concurrant super 

171"^ / \ \ D signo. Et quia utraque duajrum circum- 

ferentiarum BAB et BGB semicirculus est*), 
igitur segmentum AB quadrans erit, [et] BO 
segmentum quadrante minus. Ergo per prius 
ostensa [IV, 6] in triangulo ABG trium per bipothesim datorum seg- 
mentorum angulus ABG dabitur; ergo et suus aequalis ABG datus erit. 

Igitur in sphaerico triangulo trium datorum segmentorum,. et reliqua 
ut supra; quod oportuit efficere. 

Propositio nona. 

In sphaerico triangulo trium datorum segmentorum angulum 
duobus contentum segmentis, utrisque quadrantem superantibus, 
datum notumque constituere. 




1) Hb. hat BC. 2) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 11. 



Liber quartuB. 



125 



Sit igìtur, ut in priore figura, datus triangulus ABC trìum daiorum 
segmentorum; et propositum sit angulum ABG dare duobus contentum seg- 
mentis AB^ BC^ quorum utrumque quadrante 
maius extiterit. 

Ergo per prius | ostensa [IV, 2 — 5] 
angulus ADC dabitur duobus AD, DO seg- 
mentis contentus, quorum utrumque quadrante 
inferius est; ergo et suus aequalis angulus 
ABC datur. JB 

In sphaerìco igitur triangulo, et reliqua ut supra; quod oportuit efficere. 




172' 



Propositio deeima. 

In dato triangulo sphaerico datis duobus segmentis datum 
angulum continentibus, quorum utrumque quadrante minus 
existat, maius quoque horum segmentorum inferius complemento 
alterius segmenti, tertium eiusdem trianguli segmentum, dato 
yidelicet angulo subtensum, datum erit. 

Sit itaque in dato triangulo minus duorum segmentorum AB, datusque 
angulus ad B signum, perficiaturque ipsius AB segmenti circulus, qui sit 
ABCBEF}) Et super A polo magni circuii scripti sit dimetiens CGE; 172^ 
et super B polo circuii magni diameter sit DGF; et maius segmentum 
circa datimi angulum sit minus complemento segmenti AB, acquale videlicet 
segmento BH. Et a puncto H ipsis CGE et DQF diametris duae 
parallelae agantur HI, HK, HI quidem ipsi BF, HK vero ipsi CGE 
dimetienti. Atque segmenti EFI rectus sinus sit IKL, secans parallelam 
HK in puncto K, Et in parallelo per IH scripto sit IM sinus versus eius 
segmenti, quod simile est dato ad B angulo; atque ab M signo super CGE 
dimetientem perpendicularis agatur MNO, secans parallelam HK super N^) 
signo. Erit itaque per ea, quae prius ostensa fuerunt [TV, 1], MNO per- 
pendicularis aequalis recto sinui complementi ^ 
circumferentiae dato ad B angulo subtensae. 
Et quia duo triangula IHK et MHN sunt 
simiHa, igitur ratio ipsius IK ad MN est 
si {cut IH ad HM?) Est autem ratio ipsius Hj 
IH ad HM data; ex hipothesi namque est q 
sicut dimetiens magni circuii ad sinum versum 
eius circumferentiae eiusdem magni circuii, qua^) 
quidem circumferentia deducta semicirculo relin- 
quitur segmentum dato ad B angulo subtensum. 
Fiat igitur FD dimetiens ad i>P sicut IH ad 

HM aut sicut IK ad MN; et divisa IK bifariam in puncto G^) ^^^ igitur 
ex acquali ratio ipsius GF semidiametri orbis AB ad BF sicut IQ ad MN. 
In hac autem proportione prioribus terminis tribus datis dabitur et quartus 

1) Hb. hat ABCBEF. 

2) N ùber die Zeile mit 1. Band. 

3) Euclidis élementa, ed. Heiberg VI, 4. 

4) Ha. bat gue. 5) Euclidis élementa, ed. Heiberg I, 10. 




178' 



126 Liber quarkis. 

terminiis ilf JV^ Data quoque existit N0\ nam ipsa aequalis est recto sinui 
dati segmenti HC^ quod ex hipothesi differentia est Inter maius ad B 
angulum segmentum et inter complementom segmenti AB. <Et quia tota 
MNO datur, ergo et reliqua MN-^ quia>*) per constructionem recta MNO 
aequalis est recto sinui complementi circumferentiae dato subtensae ad B 
angulo. 

Igitur in sphaerico triangulo datìs duobus segmentis atque angulo ab 

173^ eis con {tento, quorum quidem segmentorum utrumque quadrante inferius 

existat, atque longius eorundem segmentorum minus complemento brevioris 

segmenti, tertium eiusdem trianguli segmentum dato subtensum angulo 

dabitur; quod oportuit demonstrare. 

Lemma slve assiimptum. 

At IQ dimidiam ipsius IK datam esse sic patet. Nam per con- 
structionem tota IKL sinus rectus est segmenti E FI, quod datum est; 
nam ipsum componitur ex segmento EF acquali ipsi AB et FI com- 
plemento segmenti BH ex hipothesi dati. Est autem OH reliquum longiore 
circa datum ad B angulum segmento detraete ex complemento BC ipsius 
AB brevioris circa eundem ad B angulum segmenti.^) Igitur et sinus rectus 
174' IKL dato eidem subtensus segmento EFI datus est. Sed KL data | est; 
aequalis enim recto sinui CH segmenti; igitur et reliqua IK recta datur; 
ergo et dimidia IQ data erit; quod oportuit perspicuum facere. 

Correlarinm. 

Hinc manifestum erit, quod in triangulo sphaerico, qualis proponitur, 
circumferentia dato subtensa angulo dabitur una proportione, quae prò primo 
termino habeat sinum totum, prò secundo termino sinum versum eius circum- 
ferentiae, qua ex semicirculo dempta relinquitur segmentum dato angulo 
acquale. Tertius terminus constituetur, si complementiim longioris circa 
datum angulum segmenti breviori circa eundem angulum segmento adiiciatur; 
huius itaque aggregati sinui recto si sinus rectus differentiae longioris seg- 
174^ menti et complementi brevioris iuxta eundem | angulum segmenti dematur, 
remanentis rectae dimidium tertius erit terminus. Quartus autem terminus 
erit quaedam recta, cui si componatur eiusdem sinus rectus differentiae, 
rectum conflabimus sinum complementi quaesitae circumferentiae, quae dato 
subtenditur angulo. 

Fropositio undecima. 

Si duo circa datum segmenta angulum aequalia fuerint, et 
utriusque complementum minus existat octava [parte] circuii 
magni, id est grad[ibus] XLV minus, propositio haec per prae- 
missam fiet. Si vero idem complementum octavam magni partem 
circuii, id est gradus XLV, aequaverit aut superaverit, pro- 
176' po'sitio*) haec fit per sequentes propositiones. 

1) Die Worte in < > sind zu ersetzen durch folgende: Et tota MNO datur, 
quia et reliqua MN; sed. 

2) Der Satz Est autem CH . . . segmenti war offenbar ursprùnglich eine Band- 
note, die an einer falschen Stelle in den Text hineingekommen ist. 

8) Hb. hat propositionem. 



Liber quartuB. 



127 




Allter proposltio haec ostenditiir. 

Esto itaque in trìangulo ABC data duo latera AB^ BC datum con- 
tinentia angulnm ABC aequalìa, et propositum ^i AC segmentum dato 
ABC subtensum angulo datum efficere. 

Intelligatur itaque idem angulus ABC segmento 
BD bifarìam divisus. ^) Igitur uterque ad 2) angulus 
rectus est.*) Et quia in partili triangulo BBC 
habente duos datos angulos, videlicet CBD per con- 
structionem acutum et BBC rectum, et oppositum 
eidem recto angulo segmentum BC quoque datum, 
igitur per secimdum librum de triangulis sphaericis 
[n, 17] CD segmentum dato et acuto angulo CBD 

oppositum erit datum. Per praesentes autem hypotheses et primum librum 
Mene lai in sphaericis^) CD \ segmentum aequale est ipsi AB segmento. 176^ 
Igitur totum segmentum AC dato ABC angulo subtensum datum erit. 

Ergo si in sphaerico triangulo duo data et aequaUa [fuerint] segmenta 
datum comprehendentia angulum, segmentum eidem dato subtensum angulo 
datum erit. 

Fropositio Xn. 

Si vero circa datum angulum B longius segmentum aequale 
fuerit complemento brevioris AB segmenti, 

Longius igitur idem segmentum, uti in subiecta figura, aequale erit 
BC segmento. Ergo a puncto C ipsi BGF parallelus agatur CH, Et 
segmenti EFH rectus siuus sit HI. Dato deinde ad B [angulo] in parallelo 
per CH scripto simiUs circumferentiae versus sinus sit HK. Et a puncto 
K ipsi HI recto sinui paralle|lus agatur KL. Et secundum rationem 176' 
ipsius HK ad KC secetur BGF dimetiens in puncto Jf. 

Et quia duo trianguK HCI et CKL 
similes sunt, ergo ratio ipsius HC a.à CKj 
seu ipsius FB ad BM, est sicut HI ad KL. 
Ipsa deinde HI bifariam secetur super N 
signo*); igitur ex acquali ratio ipsius FG ad 
DM erit sicut HN ad KL. In hac autem 
proportione priores termini tres dantur. Est 
enim FG sinus totus per diffinitionem; DM 
vero versus sinus eius segmenti, quo dempto 
ex semicirculo segmentum relinquitur aequale 
dato ad B angulo; HN denique dimidium 
ipsius HI recti sinus segmenti EFH per con- 

structionem similiter dati — nam ipsum duplum AB dati segmenti — , ergo 
et quartus terminus KL datur. Est autem KL aequalis recto sinui com- 

1) Euclidis elementa, ed. Heiberg I, 9 auf die Kugel ùbertragen & Theo- 
doflii sphaerica, ed. Nizze I, 20. Die Winkelteilung auf der Kugel setzt schon 
Menelao 8 ala bekannt voraus. 2) Menelai sphaerica 1, 4. 

8) Menelai sphaerica I, 4. — Hs. hat sphaericis korr. auB sphaeridsnis [d. h. 
Bphaerìcis triangulis]. 4) Euclidis elementa, ed. Heiberg I, 10. 




128 



Liber quartns. 



plementi drcumferentiae, quae in subiecto triaagulo datum ad B angulum 
subtenditur^) [IV, 1]. 
176^ Ergo si circa datimi angulum longius segmentum { fuerit aequale com- 

plemento brevioris segmenti, circumferentia dato subtensa angulo data erit; 
quod oportuit demonstrare. 

Ista denique propositìone propositio generaliter confìcitur, quando 
alterum segmentum circa datum angulum aequale fuerit complemento alterius 
segmenti circa eundem angulum, si ^^ segmentum brevius extiterit sive 
longius altero. 

Oorrelarlnm. 

Inde etiam perspicuum fìt, quod si datis duobus segmentìs, quorum 
utrumque quadrante inferius extiterit, datum continentibus angulum alterum 
eorundem segmentorum aequale fuerit complemento alterius segmenti, datum 
eundem circumferentia subtendens angulum unica dabitur proportione, in 
qua primus terminus est sinus totus; secundus terminus sinus versus eius \ 
177' segmenti, quod detractum semicirculo relinquit segmentum aequale dato ad 
B angulo; tertius est dimidium sinus recti*) dupli alterius segmenti circa 
datum angulum, cuius quidem segmenti complementum aequale fuerit alteri 
segmento circa eundem angulum; quartus denique terminus sinus rectus 
complementi circumferentiae, quae datum subtendit angulum. 

Propositio Xm. 

Si denique circa datum angulum B longius segmentum 
exsuperaverit complementum alterius circa eundem angulum 
segmenti, 

Igitur, ut prius, descriptus esto circulus ABCDEF duoque dimetient^s 
CGE et DGF, Et longius duorum segmentorum datum ad B angulum 
comprehendentium sit aequale BH segmento; et quia ex hjpothesi idem 
177'^ segmen|tum exsuperat complementum segmenti 

AB, ideo H pimctus cadit inter C, D signa. 
Deinde a signo H dimetienti DGF parallelus 
agatur II IK, secans CGE dimetientem super / 
signo et circumferentiam ABCDEF super K 
puncto. Rursus ipsi CGE dimetienti ab eodem 
signo H parallelus agatur HL. Et circum- 
ferentiae EFK sinus rectus') sit KM, qui 
producatur in partem itf, donec secet HL super 
N signo. Et sit KG sinus versus circumferentiae 
in parallelo HK similis angulo ad B signum dato. 
Sit autem primum angulus ad B datiis quadrante inferior. Ergo signum 
cadit inter /, K signa ^); et a signo ipsi KMN recto sinui parallelus agatur 
GPQ, secans dimetientem CGE super signo Pet parallelam HL super Q signo. 
Et quia ex bypothesi ratio ipsius KH ad HO data est, igitur propter 
178' similes triangulos^) KHN, OHQ ratio ^') | KMN ad OPQ data erit. 

1) Hs. hat suhtendenti korr. aua ? 2) Ha. hat recttts, 8) Ha. hat rechts bis. 
4) Unrichtige Diatinktion. Nicht die GroBe dea Winkela B, aondem die der 
gegenùberliegenden Seite entacheidet ìlber die drei Falle dea Satzea. Ygl. unten. 
6) Ha. hat angulos. 6) Ha. hat ratio korr. aua ratio ipsiits. 




liber qnartos. X29 

Est enìm ratio ipsius KMN ad OPQ sicut ìpsìus KH ad HO}) Et 
gecnndum rationem ipsius KO ad OH secetur DGF dimetiens super 
Bigno B. Erìt ìgitur per construetìonem FD ad DB sicut KMN ad 
OFQ, Secetur deìnde KMN bifariam super 8 signo.^ Ex aequalì 
igitur exit sicut F& ad DJR sic K8 ad OFQ, In hac autem proportìone 
priores teimini tres dati sunt Est enim per construetìonem FG sinus 
totus; DR sinus versus cìrcumferentiae, qua semìcirculo sublata relinquitur 
circumferentia aequalis dato ad B angulo; K8 quoque data; nam dimidium 
est ipsius rectae KMNj' quae componitur ex KM sinu recto dati segmenti 
EFK et sinu recto segmenti CH per constructionem quoque dati; ergo et 
K8 data; igitur et quartus terminus, videlicet OFQ recta, datur. Et quia per 
constructionem PQ datur, ergo et reliqua OP data erit. Est autem OP sinus 
rectuB com|plementi circumferentiae, quae dato ad B angulo subtenditur [IV, 1]. 178^ 

Sin autem praemissae proportionis quartus terminus aequalis fuerìt sinui 
recto segmenti CH^ quemadmodum est ipsa IT^ igitur circumferentia ad B 
angulo subtensa quadrans est. 

At ubi idem quartus terminus minor extiterit sinu recto eiusdem seg- 
menti CH^ velut est XF, erit itaque punctus X inter H^ I puneta; et 
secundum rationem ipsius KH ad HK sit FGD &à DV. Et XF in partem 
X agatur, secans CQE dimetientem super puncto Z. Exit itaque per- 
spìcuum, circumferentiam dato ad B angulo subtensam maiorem esse qua- 
drante, atque datam fieri unica proportione, in qua primus terminus est 
FG sinus totus; secundus terminus DF, sinus videlicet versus eius segmenti, 
quo ex semicirculo magni circuii sublato segmentum relinquitur aequale dato 
ad B angulo; tertius terminus K8 per prius ostensa datus; I et quartus 179' 
terminus XF per eandem proportionem datus, quo dempto ex') recta FZ, 
seu ex sinu recto segmenti CJET, relinquitur XZ data, quae aequalis est 
per constructionem^) sinui recto cuiusdam segmenti, quo addito ad qua- 
drantem circumferentia'^) magni conflabitur^ circuii, quae datum ad B 
angulum subtendit.^ 

In spbaerico igitur triangulo datis duobus segmentis datum continentibus 
angulum, quorum utrumque quadrante minus, longius vero exsuperet com- 
plementum alterius circa eundem angulum segmenti, tertium quoque in eodem 
triangulo segmentum datum erit. 

Oorrelarlnm. 

Hinc perspicuum est, quod in triangulo spbaerico, qualis proponitur, 
dato angulo duobus contento datis segmentis, qualia proponuntur, subtensum 
segmentum unica datum sit proportione, in qua primus terminus est sinus 
totus; secundus terminus sinus versus eius circumferentiae, qua se|micirculo 179^ 
detracta segmentum relinquitur dato aequale angulo; tertius terminus ef&cietur. 



1) Euclidis élementa, ed. Heiberg VI, 4. 2) Ibid. I, 10. 

8) Hb hat est ex statt ex, 

4) D.h. ala Polge von dem in IV, 1 fehlenden Fall, dafi AC> 90^ 

6) Circumferentia ist yon jùngerer Hand mit rotei Tinte in circumferentia: kor- 
rìgiert 6) Ebenso con/toò.' [= conflabitur] in confidò! t^ T"*^!* 

7) Ebenso. «uòfettdt^ in aubtendet. 

Abhdlgn. z. Geaoh. d. math. Wlss. XXIV. 9 



130 



Liber qnaiias. 



sì circtunferezitiae conflatàe ex breviore circa datimi anguluin segmento atque 
ex complemento longìorìs ìuxta eundem angulum segmenti rectus sinus 
addatur recto sinui differentiae eiusdem longioris et complementi brevioris 
circa eundem datum segmenti; nam horum sinunm aggregati dimidinm 
tertins erit terminus; quartus terminus erit recta qnaedam, qua superante 
rectum sinum praedictae differentiae, eodem sinu ex ea dempto relinquitur 
sinus rectus complementi circumferentiae dato angulo subtensae, quae ex con- 
sequenti data erit. Si vero idem quartus .terminus aequaverit praedictae 
i^um rectum differentiae, igitur circumferentia dato subtensa angulo quadrans 
erit. At eodem quarto termino existente minore quam sit rectus sinus eius- 
180' dem | differentiae, igitur idem quartus terminus, sublatus ex saepius 
memoratae differentiae recto sinu , relinquit rectum sinum cuiusdam segmenti, 
quo ad quadrantem congregato circimiferentia constituetur datum subtendens 
anfifulum. 

Propositio xrr. 

Dato angulo duobus datis comprehenso segmentis, quorum 
alterum quadrans sit, alterum vero minus quadrante, subtensum 
segmentum esse datum estendere. 

Minoris itaque AB circa datum angulum segmenti circulus sit 
ABCDEF, datusque angulus sit iuxta B signum. Et super A polo cir- 
culus magnus scribatur [CG-E'^ et super B polo 
magnus scribatur] circulus DGF'^ eorundem 
magnorum circulorum communis sectio sit G 
punctus. 

Estoque primum datus ABH angulus seg- 
mento AB et \ quadrante BH comprehensus 
acutus, productoque segmento AH in partem 
JET, donec quadrans fiat AHI. Et quia cir- 
cuii CGE polus est A punctus, per con- 
structionem igitur anguli ad I recti sunt.^) 
In triangulo quoque sphaerico GHI, cuius 
quaelibet tria segmenta quadrante minora existunt, acutus angulus HGI 
datus est — aequaHs enim AB segmento dato — , et GIH angulus datus 
— nam per constructionem rectus — , eique oppositum segmentimi GH datum; 

complementum namque est FH dati segmenti 
seu anguli ABH, Igitur per ea, quae in secundo 
libro [II, 17] demonstrata fuerunt, HI seg- 
mentum acuto angulo £r6^ Jobiectum erit datum. 
Ergo et eius complementum AH, quod dato 
ABH angulo subtenditur, datum erit; quod 
oportebat ostendisse. 

Kursus datus angulus ABG segmento*) 
181' T^v^ / AB et quadrante BG contentus rectus } sit 

Ergo per ea, quae in primo libro [I, 23] 
demonstrata fuerunt, segmentum AG dato 
ABG^) angulo subtensum quadrans est atque idcirco datum. 



180 





1) The odo sii sphaeriea, ed. Nizze I, 15. 

2) Hs. bat duo segmento statt segmento. 



8) He. bat AGB, 



Liber quartas. 



181 




Sit denìque ABK datus angulus, qnem segmentrun AB quadrante 
minus atque quadrans BK comprehendant, subtensumque ei segmentum AK^ 
secans CGE magnum circulum super L signo. 
Et quia eìusdem magni circuii^) CGE polus^ m 

est A signum, ergo in triangulo GKL angulus 
GLK^ rectus est, atque angulus KGL^) datus 
— aequalis enim per constructionem dato AB 
segmento — , [atque segmentum 6rf etiamdatum, 
quia subtractum ex segmento dato KF seu an- qÌ 
gulo ABK relinquit quadrantem]; igitur seg- 
mentum KL eidem acuto angulo KGL obtensum 
datum existit [11,17]. Datur autem segmentum 
AL\ nam per constructionem quadrans est. Ergo 
totum segmentum ALK datum erit, quod dato 
ABK angulo subtenditur. 

Ergo dato angulo duobus datis comprehenso segmentis, quorum alterum 
quadrans alterum quadrante minus existat, subtensum quoque eidem angulo 
segmentum datum est; q. o. d. { 

Propositio XY. 

. In sphaerico triangulo duobus datis segmentis datum con- 
tinentibus angulum, quorum alterum quadrante minus, alterum 
quadrante maius, circumferentia eidem dato subtensa angulo 
data erit. 

Sit ergo super sphaerica superfìcie datus triangulus ABC duo data 
possidens segmenta AB^ BC datum angulum ABC continentia, quorum 
alterum AB sit quadrante minus, alterum vero BC quadrante maius. Et 
propositum esto drcumferentiam AC dato angulo ^ 

ABC subtensam datam estendere. 

Segmenti igitur AB drculus sit ABBE] et 
producatur circumferentia AC in partem 0, donec 
eundem circulum-4 jB D-Esecet super D. Similiter ^ C 
in partem C producatur, quousque circulum AB DE 
etiam secet super ^^) signo. Et quia per constructio- 
nem BCE semicirculus | est*^), et per hipothesim J? (7 
segmentum [quadrante] maius atque magnitudine 
datum, igitur reliquum segmentum CE quadrante 
minus erit atque magnitudine datum. Et quia DE ^ 

segmentum per constructionem aequale est ipsi^^ segmento, quod ex hipothesi 
quadrante minus atque datum est, ergo aequale segmentum BE^ quadrante 
minus atque datum existit. Et quoniam per constructionem angulus AEC 
datus existit — aequalis enim dato angulo ABC — , igitur de duobus rectis 
angulis reliquus CED datus. Et quia, velut patuit, duo segmenta DE, CE 
circa eundem datimi angulum CED data sunt, atque utrumque quadrante 

1) Ha. hat ctrculo. 2) Ha. hat GLK korr. aus GFK 

8) Ha. hat GKL 4) Hs. hat F. 

6) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 11. 6) Hs. hat BE. 

9* 




isr 



182' 



132 Libei quartos. 

mìniiSy ergo per praecedentes propositiones ^) [lY, 10 — 13] segmentum CD 

dato CEB angolo subtensum datiun eiìt, quo ex semidrcolo ACD sublato 

segmentum AO dato subtensum angulo ABO datum quoque relinquitur. 

Ergo in sphaerico triangulo, etc.; q. o. d. 




182"^ Proposltio XYL 

In sphaerica superficie duobus datis segmentis datum con- 
tinentibus angulum, quorum alterum quadrans alterum qua- 
drante maius extiterit, circumferentia^ eidem dato subtensa 
angulo dabitur. 

Sint ergo in sphaerica quapiam superficie data duo segmenta AB^ BC 
datum continentia') angulum ABC^ cui subtendatur AC circumferentia. 
Dico, quod eadem circumferentia data sii 

Producantur duo segmenta AB, BC, donec in partem A, C concurrant 
super D pimcto. Et quoniam BAD circumferentia semicirculus est^), et 

AB segmentum quadrans, ergo et reliquum 
segmentum AD quadrans erit. Bursus quia 
circumferentia BCD semicirculus est, et ^C7 
segmentum quadrante maius atque datum, ergo 
188' . / \ \ reliquum segjmentum CD quadrante minus 

erit atque datum. Est autem angulus ADC 
aequalis angulo ABC de^to per constructionem. 
Ergo per decimam quartam propositionem 
circumferentia AC dato angulo ADC subtensa data erit. 

In sphaerica igitur superficie duobus datis segmentis AB, BC datum 
angulum ABC continentibus, quorum alterum quadrans alterum quadrante 
tnaius existat, circumferentia AC eundem subtendens angulum ABC data 
est; q. o. d. 

Fropositio XTn. 

In sphaerica quapiam superficie datis duobus segmentis 
datum continentibus angulum, quorum utrumque quadrante maius 
existat, circumferentia eidem dato subtensa angulo data erit. 

183^ Sint igitur in data sphaerica superfìcie data { duo segmenta AB, BC 

datum contiaentia angulum ABC, quorum quidem segmentorum quadrante 

maius utrumque existat. Sitque dato angulo 
^^(7 subtensa circumferentia ^C Dico, quod 
eadem circumferentia AC^) data erit. 

Et quoniam manente proxima figura utra- 

que duarum circumferentiarum BAD et BCD 

semicirculus est, et utrumque duorum segmen- 

JB ^ X/ torum AB, BC quadrante maius atque datum 

ex hipothesi, ergo reliqua duo segmenta AD, DC data simt, et utrumque 

• 1) Hb. hat preposttùmes. 

2) Hs. hat circumferentie. 3) Hs. hat conUnenHe. 

4) Theodosii sphaerica, ed. Nizze I, 11. 
h) AC iìber die Zeile mit 1. Hand. 




Liber qtiarhu. 133 

zniniis quadrante; et angulns ab eis comprehensus ADC datus — aequalis 
enìm per constructìonem ABC dato angulo — , igìtur aut per X vel XI 
aut Xn Tel etiam XIII propositionem circumferentia AC dato subtensa 
angulo ABC data erit 

In sphaerìca ìgitur quapìam superficie duobus datis, etc.; quod o. 
ostendere. 



Gorrelarium generale euUibet propositioni hnius libri senriens. i84' 

Perspicuum etiam est, quodlibet praeceptum huius libri 

confici posse unica tantum yel divisionis aut multiplicationis 

operatione, flocipensis^) numerorum additionibus et subtractio- 

nibuSy quibus in eisdem propositionibus nonnunquam opus erit, 

quoniam ipsae additiones et subtractiones nullo paene fiunt 

negotio, tabulis videlicet rectorum habitis sinuum, in quibus 

maximus sinus rectus subiicitur partium 10000000. | 184^ 
yacat. 



1) Ha. hat flocdptnsis korr. aus flocipetma mit jfingerer Hand. 



ANHAJSTG/) 



1. Zitate des Textes. 

Euclidis élementa p. 3, 43, 47—57, 62—66, 68—69, 74, 116—119. 

Aus den Zitaten S. 49, 53, 54, 62, 64—66, 68, 69, 116 erheUt, 
daB die in Yenedig 1505 zum erstemnal erschienene Ùbersetzung des 
Bartholomeo Zamberti (*1473) toMlióh zitiert wird. 

Geber Araba p. 61. 

Das Zitat bezieht sich auf die Astronomie des Gàbir ben Aflah 
(12. Jahrh.). Die lateinische Ùbersetzung durch Gherardo Cremonese 
(1114 — 1187), die in zahlreichen Handschriften vorliegt, wurde erst 1534 
in Ntlmberg, sechs Jahre nach Werner s Tod gedruckt, und zwar als An- 
bang zu Peter Apians (1495 — 1552) InstrumerU/um primi tnobiUs. 

Georgius Furbacbius p. 62, 65. 

Die beiden Zitate beziehen sich auf den Eommentar zu Ptolemaios' 
Syntaxis, der unter dem Titel Epytoma in Aìmagestum PlolemcH 1496 in 
Yenedig gedruckt wurde. Neudrucke unter anderen Titebi erschienen nach 
Werners Tod in Basel 1543 und Nùmberg 1550. Die sechs ersten Bùcher 
verfaBte Georg von Peurbach (1423 — 1461), die letzten sieben nach 
seinem Tod sein Schtiler Bégiomontan (1436 — 1476), was aus der Yor- 
rede des letzteren an den Eardinal Bessarion hervorgeht. 

Menelai de sphaerids p. 2, 4—6, 12, 17—18, 23, 58—59, 61, 119, 127. 

Nach dem Zitat S. 58 besaB Werner eìne Handschrift von Mene- 
laos' Spharik, d. h. von der nie gedruckten lateinischen Ùbersetzung durch 
Gherardo Cremonese (1114 — 1187) mit dem Titel Milei de sphaericis. 
Aus den S. 58 und 61 zitierten Satznummem geht hervor, dafi die Ton 
Werner benutzte Handschrift den anonymen Eommentar des Giovanni 
Campano (13. Jahrh.) enthielt, und daB diese -Handschrift; vielleicht iden- 
tisch ist mit einer der zwei Handschriffcen Cod. Palat. lai 1351 und God. 
S. Marc. Yenet. YTH. 32 (Yalentinelli XI, 90), die in den Ahhandlungen 
gvr Gesckichte der math. Wissenschaften XIV bzw. S. 145 — 146 und 

1) Im Anhang bedeuten zwei Zahlen mit Strich dazwischen, wie z. B. 97, 14, 
Seite und Zeile, zwei Zahlen, die eine hoch, wie z. B. 121 ^ Seite und Note in 
der Teztausgabe. 



1. Zitate des Textes. 135 

151 — 152 beschrieben 8Ìn<L Gedruckt wurde Menelaos' SphUrik erst 
30 Jahre nach Werner s Tod, Messina 1558, in einer neuen Ùbersetzung 
durch Francesco Maurolico (1494 — 1575). 

Theodosii de sphaericis p. 4—8, 11, 18, 36, 57, 60, 63, 79—80. 

Aus der S. 5, 11, 60, 80 zitierten Satznummer ersieht man, dafi die 
benutzte Ùbersetzung die llingere der beiden mittelalterlichen lateinischen 
aus dem Arabischen geflossenen Ubersetzungen ist, d. b. die mit 32, 31 
und 10 Sàtzen, die in den beiden oben erw&bnten Menelaoshandscbnften 
neben dem Menelaosiexte steht und gleichfalls einen diesmal dem Giovanni 
Campano (13. Jahrh.) ausdrìicklich beigelegten Kommentar enthalt. Noch 
zu Werner s Lebzeit wurde diese Theodosiosiibersetzung gedruc^, und zwar 
zweimal in Yenedig im Jahre 1518 in Sammelb&nden mit dem Tiìeì Sphaera 
cwm commentis, die von Boncompagni in seinem Buche Bette Versioni 
fatte da Fiatone Tiburtino, Eoma 1851, beschrieben sind. Schon im 
Jahre 1529, also gleich nach Werners Tod, wurde die Ùbersetzung wieder 
von Johs. Y5gelìn (f 1549) in Wien gedruckt. Ob diese Ùbersetzimg 
wirklich dem Platone Tiburtino (11 — 12. Jahrh.) gehOrt, ist.noch unsicher. 



2. SachwOrter dea Textes. 



(Bei Wort6n, die ma eininal, oder nar einmal in einer bestìmmten Bedentang 
vorkommen, ist die Zahl der betreffenden Seite in () hinzugefOgt.) 



abscìndere » abschneiden , ausschneiden, 

abtragezL 
accipere » nehmen, setzen, annehmen. 
^y pariter » zosammen nehmen. 
ti simili = „ „ 

acutos a spitz. 
addere « addieren, hinzufOgen, znsam- 

menz&blen. 
additio^Addition^ Zusammenaahlen. 
adiacere -^ anliegen. 
adiacens = anliegend, Neben-. 
adiicere-hiMufBgeii, addieren. 
adinngere »■ „ „ 

adyenarì ^ entgegen sein, entgegen- 

sprechen. 
aeqnaliB >« gleich. 

per aequalia secare «halbieren, zweiteilen. 
„ „ dividere— „ „ 

aeqnaliter » ^leichm&fiig, gleichartìg. 
aeqnare — gleichmachen, gleichkommen. 
acquari » gleich werden, ffleich sein. 
aeqidangnlos » gleichwinkUg. 
aeqnos — gleicb. 

afEérre » snbtrahieren, abziehen. 
agere » ziehen, verl&ngem, multìpli- 

zieren, yervìelf&ltigen. 
aggregatmn « Summe. 
agnitas - bekanat. 
affnoscere ■- kennen. 
altitado « Hòhe. 
ambiguns « yerschiedenartig, yarìabel, 

yerìLnderlich. 
anceps = yeischiedenartig, yarìabel, yer- 

ànderlich. 
aDgolus » Winkel. 
apertas « bekaimt. 
appoBituB B anliegend, Neben-. 
ar^omentatio — Schlufifolgerong, Beweis- 

nUming. 
argamentum angoli B triangoli ABC » 

BC - (90»-AB) (121). 
assomere »> nehmen, azmehmen, setzen, 

auBetzen, anwenden. 
asBomptom » Hùlf satz, Lehnsatz, Lemma, 
aufferre =. subtrahieren, abziehen, ab- 

Bchneiden (118). 
axia 8 Achse. 

basifl » Basis, Grondlinie. 

bidoi » doo. 

bifarìam dividere = halbieren, zweiteilen. 

„ Becare « 
bini a= duo. 



17 



1» 



1 



cadere — fallen. 

centrom — Zentrom, Mittelpunkt. 

circuluB « EreiB. 

magnuB « GròBter Ereis, GrroBkreiB. 



Il 



„ minor « EQeinkreiB. 
„ paryuB — „ 
circomierentia « EreÌBumfang, Perìphé- 

xie, KreiBboffen. 
darescere » onenbar werden, offenbar 

sein, bekannt werden, bekannt sein. 
claroB «■ bekannt. 
danderee-enthalten, eiuBchliefien. 
coaltemuB d.h. angoli coaltemiaB Wechael- 

winkel (bei Parallelen). 
cognitoB B bekannt, klar, offenbar. 
cognoBcere — finden, bekannt machen. 
cognoBci » bekannt werden, bekannt aein. 
conaerere — anliegen. 
communiB » gemeinscbaftlich, gemein- 

sam. 
compar -> entsprechend, homolog, gleich- 

liegend. 
comparare — yergleichen, paaren. 
compingere — zuBammenBetzen, bilden. 
complecti ■- einBchliefien, umBchliefien. 
complementum » Eomplement. 
compiere » auBfQllen. 
completio ■- Eomplement. 
componere « zoiammenBetzen, bilden. 
comprehendere — einschliefien , um- 

Bcnliefien. 
concinnare — eiuBchliefien, umBchliefioi, 

zusammensetzen, bilden. 
concludere » Bchliefien. 
concurrere b zuBammenlaufen, zuBam- 

mentreffen, Bich schneiden, sich treffen. 
concurB(B)oB »» Schnitt, Tref^onkt, Zu- 

sammentreffen. 
conficere = erfOllen, erledigen, darton. 
conflare » erzeogen, hervorbrìngen (dorch 

ZosammenBeiiong oder Addition). 
congredi » zosammenlaofen, zosammen^ 

treffen, Bich treffen, sich schneiden. 
congregare ^ hinzoftigen, zosammen- 

legen. 
coniongere == yerbinden. 
connectere = „ 
conflistere — bestehen, stehen, feststehen^ 

sein, liegen, belegen sein. 
conspicouB » bekannt, klar, offenbar. 
constare — bekannt sein, feststehen, be- 
stehen, sein. 



2. SacbwOriei dea Textes. 



137 



constitaere «bìldeiif machen^ anbzingen. 
constnictio »■ Eonsiroktion, Zeiohnimg 

(einez i^gpcur). 
constniere «- ziuaiiunenfetsexi, bilden. 
contermiimB a anstofiend, benachbait. 
continere >- einBcbIìefien, urnscbliefien, 

entìiàlten. 
confciiigere » Bcbneiden, treffen. 
contingi «soBammentreffen, znaammen- 

lanfen, sich scbneiden, sicb treffen. 
continniiB >■ kontìnnierlich, fortlaufend. 
continui angoli »» NebenwinkeL 
conTerdo » Umkebnmg, Eonvenion, 

InTenion. 
conveitere « nmkebren. 
correlarìnm » EoroUar, Folgesatz, Zn- 

satz. 
creare » benrorbzingen, bilden, her- 

stellen, erzengen. 
crescere » wachsen, zunehmen. 
eros B Scbenkel (auch eines Bph&rischen 

Winkeb). 
cnspes a- sin. yers. (47). 

dare — bekannt maohen, finden. 
dari -B bekannt sein, gegeben Bein. 
datos a bekannt, gegebeiu 
declarare »■ beweisen, zeigen. 
dedncere » ziehen, abziehen. 
defBnize ~ bestimmen, definieren. 
deffinitio ^ Definition, Begriffiierklarang. 
demere = subtrahieren, abziehen. 
demonstrare -■ beweizen, zeigen. 
demonstratio s» Beweis. 
de^rehendi » sicb befinden (9). 
deecendere >« f&llen, fallen (d. h. die 

Senkrecbte, das Lot). 
descrìbere -= zeicbnen, beschreiben. 
desiderare « suchen, yerlangen. 
determinare - bestimmen, anflOsen. 
detrahere « sabtrahieren, abzidien. 
diameter » Diameter, DÓrcbmesBer. 
e(x)diametro<« diametral entgegen^esetzt. 
differentia » Differenza Unterschied. 
diffinitio » Definitiont Begrìffserkl&mng. 
dimetiens «-> Diameter, DnrchmesBer. 
dimidia » dimidinm >>> Hftlfte. 
dimidins «» halb, Halb-. 
in dno dimidia dividere (oder secare) «i 

balbieren, zweiteilen. 
ad directnm « in Yerl&ngerang (einander). 

in tt *» 1» 

diBpescere » schneiden, treffen. 

disponere « einrichten (120). 

dispositio » Anordnnng, Gattong (1). 

disquirere »■ snchen, verlangen. 

diTersificarì » Terschiedenartig sein, yer- 

ftnderlich sein, varìieren. 
diversitas » Y erschiedenarldgkeit, Varia- 

bilit&t, Yer&nderlichkeit. 



diversna « venchiedenartig, yariabel, 

vei&iderlicb. 
dividere » teilen, dividieren, zerlegen. 
„ bifariam ■■ balbieren, zweit^en. 
„ in dno dimidia» „ „ 

,, per ae<|nalia =„ „ 

divisio » Division, Teilnng. 
doctrina a Satz, Lehrsatz, Lebre. 
dnbins » verschiedenartig, variabel, 

yer&nderlicb. . . 

dncere »> zieben, mnltiplizieren, verviel- 

f&ltigen. 
dnctoB «■ Mnltiplikation,Yervielfftltigang. 
dnplns a doppelt. 

edncere » zieben, aoszieben. 
efficere — yollf&hren, machen, bilden. 
eiicere » yerl&ngem, anszieben. 
elticescere « bekannt werden, bekannt 

sein, offenbar werden, offenbar seìn. 
erectuB » senkrecbt, yeridkal. 
erìgere » senkrecbt errìcbten, errìcbten. 
erigi — senkrecbt Bteben. 
excedere *» grSfier sein, l&nger sein, 

ùberragen, flberscbreiten. 
•ezcitare ■- senkrecbt errìcbten, errìcbten. 
ezire = beryorkommen, heranskcmmen. 
exsuperare » grOfier Bein, l&nger sein, 

tlberragen, ùberschreiten. 
exterìor ■■ &ófierer, Anfien-. 
extrinsecns a> „ „ 

ezuperare » grOfier sein, l&nger sein, 

ùberragen, tLberschreiten. 

figura = Figar. 

fìgoratio B Figor, Gebilde. 

finis » Endpunkt, Ende. 

„ s terminus «- Glied (einer Proportion) 

(61). 
flocipendere » gerìng scb&tzen (188). 
forma » Fignr, Fall. 

geminare » yerdoppeln, dnplieren. 
genns » Arfc, Gattong. 

habitodo » Gestalt, Yerhalten. 
bipothesis « Hypothese, Yoraossetznng. 
hypethesis = „ „ 



lacere » lie^^, belegen sein. 

non ignorar! e bekannt werden, bekannt 

sein. 
inaeqoalis >^ nngleicb. 
inaeqoaliter >■ ongleichartig. 
incertoB » yerscbiedenartig, yarìabel, 

yer&nderlich. 
incidere — begegnen, treffen, scbneiden 

in, fallen auf. 
includere >■ einschliefien, nmscbliefien. 
incognitoB a xmbekannt. 
indncere ^ zieben. 



138 



Anhang. 



infexìjor » kleiner, kfirzer. 

inferre «^ schliefien (28), eiweisen 

(117—118). 
infinitas » nnendlich. 
innotescere » bekftimt werden, bekannt 

sein. 
inquisitio » Nachfonchniig. 
interior a iimerer, Inner*. 
interraUum ^ Z wischenramn, Entf emang, 

d. h. ZirkelOffhung. 
iBotclieleB =a gleichf chenklig. 
iun^e s yerbinden, ziehen (ala Yer- 

bindimgslìiiie). 

non latet « ut bekannt. 

latos « Seite. 

lemma «» HtilfBats, LehnsatK, Lemma. 

linea » Linie. 

linea recta « recta » Gerade. 

liqnescere «> bekannt werden, bekannt 

seìn. 
liqnet ■» es zeigt sich, ist klar, wìrd 

klar, erhellt. 
liquiduB Bs bekannt, klar, offenbar. 
locos (à.h.. x(Oifiop) — geometrische Figor 

[in EokUdzitat nach ZamberH S. 116J. 

magnitado = GrO0e. 

manifestare » finden, bekannt machen, 

darton. 
manifestos » bekannt, klar, offenbar. 
meditu = mittler, ala mittlere Propor- 

tionàle. 
mnltìplex ■» Mnltiplmn, Vielfachea. 
moltiplicare » mnltiplizieren, vernel- 

f&ltigen. 
moltiplicatio* » Moltiplikation, Verviel- 

f&ltìgang. 

noBcere « kennen. 
notuB s» bekannt. 
numems » Zahl, Anzahl. 

obiectos « gegentiberliegend, gegen- 

liegend, entgegengesetet, Gl^egen-. 
obiici « gegenùberliegen. 
obtendi » „ 

obtosos B stnmpf. 
obtnsiangnlus » stampfwinklig. 
obversus » gegenflberliegend, gegen- 

liegend, entgegengesetzt, Gegen-. 
obvem E= ge^enùberHegen. 
oc(c)urrere == begegnen, treffen, schneiden. 
operatio » Operation (188). 
opponi s gegenùberliegen. 
oppositas =9 gegenùberliegend, gegen- 

liegend, entgegengesetzt, Gegen-. 
ex opposito (latera) « Gegen(8eiton) 

fin Euklidzitat nach Umberti S. 116j. 
orbiB *= Kreis. . 

„ magnuB «> Grdfiter Kreis, GrofikreiB. 
estendere » beweisen, zeigen. 



palam fit » zeigt sich, irt klar, wird 

klar, erhellt. 
pangere » znsammenBetzen, bilden. 
parallelogram(m)mn nparallelogTam(m)a 

-« Parulelogramm, Zeileck. 
parallelofframus ■■ parallelogrammÌBch 

[in Euklidzitat nach ZamAerH 8.1161. 
parallelaB » paiallel, ParaUde, Parallei- 

kreis. 
pars s Teil, Biehtonff. 
particnla « Teil, Teilchen. 
partiHB - TeU-, Partìal-. 
pateftkcere ■- finden, bekannt machen. 
patenB » bekannt. 
pateflcere « patofieri «■ bekannt werden, 

bekannt aein, offenbar sein, sich zeigen, 

erhellen. 
patet a> zeigt sich, erhellt, ist Idar, wìrd 

klar, ist bekannt, wird bekannt. 
perficere » hervorbringen , bilden, her- 

stellen, erzeogen, Tollfìlhren. 
peripherìa » Peripherie, Kreìsnm£ang, 

Ereisbogen. 
permeare » dorchgehen, passieren. 
permutare » permutieren, Tertanachen 

(die Glieder einer Proportion). 
permutatio « Permutation, VertaoBchnng 

(der Glieder einer Proportion). 
perpendicularis » Senkrechte, Lot. 
perpendicularìter » perpendikólar, senk- 

recht, lotrechl 
perspicere = bekannt machen , finden. 
perspici B bekannt werden, bekannt sein, 

erhellen. 
perBpicuus = bekannt, klar, offenbar. 
perturbare » vertauBohen (68). 
planum =» Pian, Ebene. 
poluB » Poi. 
ponere » annehmen, Toraussetzen, neh- 

men, setzen, abtragen. 
portio « Teil, Stiick, Abschnitfc (eìnes 

Ereisbogens). 
praeceptio »LehrBatz,y orschrift, BegeL 
praeceptum » „ „ „ (188). 

praecipere » lehren, zeigen, weisen. 
probare » beweisen , zeigen. 
problema » Satz. 
prodire «hervorkommen, herauskommen, 

werden. 
producere » veil&ngem, ausziehen, zie- 
hen, bilden, erzeugen. 
productum » Produkt. 
proponere » yerlangen, voriegen. 
proportio — Proportion. 
proportionalis « proportional. 
proportionaliter = proportionaL 
propositio Bs Satz, Lehrsatz. 
propositus » vorliegend. 
protraheresverUlngem, ausziehen, ziehen. 
punctnm = Punkt. 



2. SachwOrter dea Teztes. 



139 



quadrane » Qnadrant, Yiertelkreis. 
qnadratom » Quadrai, 
quadrilatemm = Yiereck (116). 
quaerere » suchen, verlangen. 
quantitas = Grafie. 

ratio = Verh&ltnis , Beziehung. 
recta = recta linea = Gerade* 
rectangulnm » Bechteck. 
rectanguluB « rechtwinklig. 
recfUineuB » geradlinig. 
rectuB, subflt. — Bechter (Winkel). 

f, adj. » rechi, aenkrecht. 
relinquere •• tlbrig lasaen, ertlbrigen. 
relinqui » reatieren, ùbrig bleiben, er- 

(Ibrigen. 
reliquum ■> Beat, 
reliquua => reaiderend, Ùbrig. 
remanere >» reatieren, ùbrig bleiben, 

erfLbrigen. 
repetere » wiederholen. 
resecare a abschneiden, auaachneiden. 
reaidere =» tlbrig bleiben, reatieren, er- 

xLbrigen. 
reaiduum «- BiCat. 
reaidnua » ùbrig, reatierend. 
revelatua » bekannt, gefunden (97). 

gagitta — ain. vera. (47), (130). 

acbema = Figur. 

acindere =» acnneiden, abachneiden, zer- 

achneiden. 
Bcire B kennen. 

acribere — zeicbnen, beachreiben. 
aecare = achneiden , zerachneiden. 

„ bifariam » halbieren, zweiteilen. 
. „ per aequalia « „ 

„ induodimidia— „ 

„ aequaliter „ „ 

aectio = Ereiabogen, Stùck, Abachnitt 

(einea Kreiabogena), Schnitt. 
aector » Sektor, Auaachnitt (einea Ereiaea) 

(1). 

segmentum « Ereiabogen, Stùck, Ab- 
achnitt (einea £[reiabogena). 

aemibaaia » sin. (rect.). 

„ maxima ^ ain. (rect.) 90 ^ 

aemicirculuB » Halbkreia. 

„ maximua » Ghròfiter Halb- 

kreia. 

aemidiameter a Badius, Halbmeaaer. 

sententia communia »» Grundaatz, Axiom. 

flignnm ~ Punkt. 

aimilia = &hnlich. 

ainua (rectua) » ain. (rect.). 
„ (rectua) maximua =» ain. (rect.) 90 ^. 
integer» „ „ (118). 



11 



ainua (e)yeraua » ain. vera. 

aitua — Lage. 

apatium » Zwiachenraum, Entfemung, 

d. h. ZirkelO&ung. 
apeciea = Art, Fall, Gattung. 
aphaera » Engel, SphSjre. 
aphaeralia «■ aph&riach, Engel-, 
aphaericna ^ «, n 

aubiectio »■ YorauaaetzuDg, Annahme. 
aubiicereayorauaaetzen, annehmen, yor- 

liegen. 
aublatio » Subtraktion, Abziehen. 
aubtendi » g^gentlberliegen, unter- 

apannen. 
aubtractio -> Subtraktion, Abziehen. 
aubtrahere » aubtrahieren, abziehen. 
aufferre =* „ „ 

aumere » nehmen, annehmen, aetzen, 

anaetzen. 
sumere aimul « zusammennehmen, ad- 

dieren. 
Buperare a grGfier aein, l&nger aein, 

ùberragen, ùberachreiten. 
auperficiea «• Fl&ehe, Oberfl&che. 
supplementum «■ Eomplement. 
auppletio ìb „ 

aupponere ^ vorauaaetzen, annehmen. 
auacipere » nehmen, annehmen, aetzen, 

anaetzen. 

tabula = TafeL 

tangena a sich treffende, aich achneiden- 

de, zuaammenlaufende (Linie). 
tangere » achneiden, treffen 

„ aeB>zuaammentreffen,zuBammen- 

laufen, aich achneiden, aich treffen. 
terminare » beenden, begrenzen, Ab- 

achluB bilden. 
terminua » Endpunkt, Glied (einer Pro- 

portion). 
tradere = erkl&ren, zeigen, beweiaen, dar- 

legen, erweiaen. 
tranaire « durchgehen, paaaieren. 
triangulum ■« Dreieck. 
triangulua a 
trigonua » 



11 



1» 



11 



11 



totua a 



11 11 



nniveraaliter -» allgemein, in alien F&Uen. 

Tariare — variari »> verachiedenartig aein, 
yariieren, yerftnderlich aein. 

yariua ■■ yerachiedenartig, yariabel, yer- 
&nderlich. 

yenire ■- fallen, gehen. 

yertex = Scheitel, Spitze. 

yincere = gr96er aein, l&nger aein, ùber- 
ragen, ùberachreiten. 



3. HeTansgeberbemeTkHngen. 

Die Yorliegende Textaiisgabe beruht auf eìner einzìgen Handschrìft, 
dem Godex Begìnensis latinus 1259, d. k. Nr. 1259 der Begìna Sveciae- 
Sammluiig der YatikaniBclieii Bibliothek zu Bom. In dem handscluiftlichen 
Eatalog ùber dìese von Gustaf Adolfs Tochter, EOnigin Christina von 
Scbweden, der p&pstiichen Bibliothek geschenkte Samxnlung hat die Hand- 
schrift folgende Bezeichniing: „Nr.l259. Joannis Yerneri Norimbez^nsìay 
de triangulifl sphaericis libri lY. Cod. ex papyro 4^, anno 1495.'* Die 
Handfichrift ist aus Papier von einer recht dtinnen und durchsichtìgen 
Qualit&t; eie ist in klein Quarto mit ca. 21x16 cm Blattfl&che und besteht 
aus 495 oben rechts numerierten und mehreren (leeren) unnumerierten 
Bl&ttem. Der ganze Text ist von einer Hand geschrieben, dem Ansdiem 
nach der eines professionellen SchOnschreibers aus dem Anfang des 16. Jahr- 
hunderts. Die von dieser Hand angebrachten Eustoden und Bogennummem 
(Buchstaben) zeigen, dafi die Handschrift vollstandig ist, und daB die leeren 
unnumerìerten Blàtter fUr sp&tere Eintragungen bestimmt waren und alflo 
Textlùcken bedeuten. Damit paBt es auch, dafi die Foliierung yon neaerer 
Hand herstammt. Am breiten Bande kommen aufier Textkorrekturen der ersten 
Hand kritische Bandnoten eìner zweiten gleichzeitigen Hand yor, die offenbar 
keinem Schdnschreiber gehSrt Bandnoten und Textkorrekturen von ein paar 
jtlngeren H&nden findet man auch; sie sind aber sehr selten. Figuren fehlen 
ganz und ebenso Datierungen, so dafi die in dem alten handschrifUichen 
Eatalog angeftOirte Jahreszahl 1495 keinen Anknilpfungspunkt im Texte hai 

Der Inhalt ist: 

I. Joannis Yerneri Norimbergensis de triangulis sphcericis (foLl'— 184') 
in yier Bùchem^) ohne Sondertitel und ohne leere Blatter; am Ende der droi 
ersten Bficher steht Finis . . . libri, und am Ende des vierten findet sich ein 
carrdarium generale cuiUbet propositiani huius libri serviens. Es scheìnt 
also eine yollst&ndige Abschrift eines yoUst&idigen Werkes yorzuliegen. 

Dieser Text ist der oben S. 1 — 133 gedruckte. Darauf folgt: 

n. Joannis Yerneri Norimbergensis de meteoroseopOs (foL 185'— 495^) 
in sechs BtLchem, alle mit Sondertiteln, wie folgt: 

Buch 1 (fol. 185'— 217^): DesignoHo circulortim saphoeae per demon- 
strationes (10 S&tze). Anfang: „Propositio prima. Qualem 
sphaericae designationis inscriptionem saphaeae instrumentum 
in supposito plano figuret ostendere . . /* 

„ 2 Tfol. 218'— 228'ì: Primi metearoscopH constnicHo (5 SStze). 

„ 3 (fol. 229'— 420^): Primi meteoroscopii usus (91 Satze). 



1) t^ber den Seiten steht in der HandBchrift wie in der gegenw&rtìgen 
Ansgabe: Liber primus, lAber aecundus ubw. 



8. Heranageberbemerknngen. 141 

Buch 4 TfoL 421'— 428'ì: Secundi meteoroecopU constm^ctio (6 S&tzeY 

„ 6 (foL 428'— 443^ì: Teriii meteoroscopn construcUo (il S&tze). 

„ 6 ffol. 444'— 495^): Quarti meteoroscopn constructio et usm 

(30 Satze). Ende: „. ..per theorema tertium regionis lati- 

tudo JJJP[?] prope grad[us] XTìTX, quod erat manìfestandum/' 

Das Werk ist eìne allgemeine Beobachtungslehre oder prakidsche Astro- 
nomie, und an den Stellen, wo die leeren mmimierìerten Bl&tter yorkommen, 
sieht man, dafi sie fór Eintragungen von trigonometrìschen oder astronomischen 
Tafeln bestinmit waren. 

Trotz Nacbforschungen ist es nicht gelnngen, andere Abschnfben von 
diesen beiden Arbeìten des Johannes Werner zu finden, und es dtirfte 
mebr als zweìfelhaffc sein, ob solcbe ùberhaupt existieren; es solite denn 
sein, dafi das Originalmanuskript des Autors in irgendeiner Bibliothek ver- 
borgen lago; denn der God. Begin. 1259 ist eine Abschrift. Nicht nur ist 
die Hand, wie gesagt, die eines professioneUen Schreibers, sondem, was 
mebr bedeutet, die Schrift ist eine ganz andere als die des God. Aug. 17. 6. 4^ 
in Wolfenbùttel, welcher Godex ein Wemerautograph sein soU.^) tJbrigens 
kommen vollanf von typischen Abschreiberzeichen im God. Begin. 1259 vor: 
erstens ZeUen, welche ùberschlagen und entweder sp&ter am Rande hinzu- 

1) Nach Heinemann, Die Hcmdschriften der herzoglichen Biblioihek zu 
Wólfenbuttél, 2. Abt., lY, S. 206, Nr. 8096, ist diese Handschxift ein von Werner 
selbst geschriebener Hietoficus diariua inde ab anno 1506—1521 Johannis Vemeri 
presbiteri Bambergensis diocesis et viearii seu rectoris cappelle beatorum Johannis 
baptiste et Johannis evangèliste Norinbergensis. Die Schrift dieser HandBchrift' 
wurde von Herm Oberbibhothekar Milchsack gùtigst mit Aufhahmen dee God. 
Begin. 1269 verglichen, und zwar mit negativem Resultat, sowohl was die erste 
als die zweite Band dieses Godex betrifft. Ùbrigens finden sich zerstreut in den 
Bibliotheken Europas mehrere unedierte Arbeiten von Werner, von denen jedoch 
die meiflten Abschnften sein dùrften. Nnr der hocfaiiitereBBante God. Digbeanus 182 
ist mOglicherweise ein Autograph, jedenfalls ist er von einem Fachmaxme gè- 
Bchrieben, der den Text kritisch korrigiert hat und dessen Hand mit der Werner b 
gleichzeiiig ist. Da die BeBchreibung dieser Handschrift in Catcdoai codicum 
manuscriptorum bibliothecae Bodleianae, Pars IX, confeeit G.JD.Macray, Oxoniil888, 
col. 188 recht mangelhaft ist, folgt hier eine genauere Inhaltsangabe: 

Poi. 1»— ▼, 14Jf— ▼, 27'— ▼ enthalten Ausrechnungen. 

Fol. 26^ ist leer. 

Fol. 2'— 12^, 16^— 26', 28'— 28^ enthalten Tafeln ùber Planetenbreiten. 

Fol. 12^— 18^ enthalten einen zu denselben gehOrigen Text: 
„FraemÌ88ae latitudinum tabulae, saturni videlicet, jovis, mskrtis, veneris et 
mercurii, compositae fuerunt a me Joanne Vernerò Nurembergensi anno do- 
mini 1521 : — In quas quidem tabulas intratur in fronte quidem cum vero planetae 
argumento, in latore autem sinistro [korr. aus dextro] cum vero centro planetae. — 
Hìb denique tabulis latitudinum palam fìt, quantum veteres illae latitudinum ta- 
bulae, nescio quo authore compositae, a ventate atque aPtolomaei Alfonsique 
fnndamentiB sint alienae. Quamquam hac aetate non [non am Bande mit erster Hand] 
desint, qui affirment, eas a Geòrgie Purbachio editas esse, quod ob excellentem 
huius viri in mathematicis doctrinam verum [!] nunquam [korr. in neunquaìn] 
concedo . . . band aliter prò latitudine mercuni erit agendum. TéXog 1621 die 
11 Martii bora tertia post merìdiem minutiìs primis unius horae 8 horoscopante 

fradu 29 Leonis, primum gradum Y', ]) septimnm gradum H occupante, per 
oannem Vernerum, sacellanum divorum Joannis Baptistae Joannisque Evange- 
listae in suburbio Nurembergensi computus praemissarum tabularum latitudinìs 
planetarum consumatus scriptusque fuit.^^ 



142 Anhaag. 

gefìigt worden smd (88*) oder noch fehlen (13, 28; 20, 1; 22, 20; 69, 24; 
87, 37; 91, 25; 105, 24)^); ebenso eine Zeile, die zweimal geschrieben 
wurde (106^); endlìch verkelirte und wieder gestrìchene Anfange, die davon 
herrtQiren mtlssen, daB eìn Abschreiber beim Ùbergang Yon Zeile zu Zeile 
zuerst auf eine imricbtige geraten ist (49», 72^ 88*, 102S 117S 128*). 
Ganz allgemeine Dittographien, die beim Abscbreiben so offe yorkommen, 
finden sich auch (24^, 52*—', 128*), und ebenso Dittographien wegen Laut- 

Fol. 29^ — 88^: „Joannis Verneri Nurembergeneia compositioneB et 
ustiB organorum latitudinum lunae et qninqne planetarom. — Organnm latitadinis 
Innae descrìbere . . . mercuiii latitudinem idem Joannes Justingensis ntunexa- 
YÌt [?] in sua ephemeride. Expliciunt compoBitioneB et usua instrumentoris latita- 
dinnnx lunae et qninqne planetanun a Jeanne Vernerò Nnrembergense editae 
Bcriptaeqne anno reconciliationis 1621 die Mercnrìi vigesima qnarta mensis Aprìlis 
horoBCopante gradn Beptimo Scorpii." 

Poi. 89' — 64»: Fignren, wdche die yerschiedenen „ organa^' sbut Anffindnng 
der Breiten darstellen. Dieso Figuren Bind fein geseichnet nnd mehrfarbig. Neben 
ihnen befinden sich giOfiere Textstucke, einzelne Notizen, Erkl&ranfen der Kon- 
Btroktionen, Ansrechnungen, Streichongen und Hinznfoffungen, Tafem usw. Anch 
kritische Notizen kommen vor, alle dei ersten Band. Zu bemerken sind: fol. 89^: 
,,1621 die 9 aprilis^* bei einer Berechnnng. — fol. 48': Neben einer aasgestrichenen 
Tafel tlber ^latìtudoVeneris merìdionalÌB^*8teht„baec tabula latitndinÌ8g)[d. h.Yeneris] 
bine usque ad fìnem eins satia mendosa eat/^ — fol. 67^: Mit roter Tmte nnd OTster 
Hand: „Beflezio g> fideliter per eundum Joannem Yernernm numerata Anno 
domini 1620 in mense novembris completaqne die 27 einsdem mensìs novembrÌB/^ — 
fol. 60^: Bei einer auBgeBtrichenen Zeicbnung: „hinc inest falsitas/^ — fol. 61^: Mit 
roter Tinte: ,,1613 die 30 octobris Joannes Werner hoc organnm excogitavit bor* 
tante Jeanne Stabio.^* — Am Ende desTeztes: ^baecYeneris latitudo computata est 
prò die 22aprilÌB amii currentis 1621 iuzta computum veroJoannis Justingensis, 
qui buiuB temporifl epbemendes edidit, eadem g> latitudo innenitur gradus . . .". 

Wfiren nur die Texte dieser Handsohrift, deren Hand in keiner Beziehung 
der des Cod. Begin. 1269 3.hnlicb ist, immer in Ich-Form gescbrieben, wùrde man un- 
bedingt den Cedex far ein mit We r n e r s Hand geschriebenes Arbeitsmanuskript halten. 

Andere Wemermanuskripte, die docb nicht Autographe sein dùrften, Bind 
nacb den betreffenden Handscbriftenkatalogen: 

Cod. Yindob. lat. 4766, fol. 143' — 146^: Johannes Werner, Judicium de 
cometa annil600 ad Sebaldum Clamo Bum alias SchreyercivemNurembergenaem: 
„Superioribu8 bis diebus . . . anno salutis noBtrae MD16 [d. b. 1616] kl. Ang.^^ 

Cod.Yindob.lat.6002,fol.l04'— lllv:JohanneBYerner,DuonativitatÌBÌudicia. 

Cod.Yindob.lat.6212, fol. 6^ — 6^: Johannes Werner, Regula aurea de aSris 
dispositione diiudicanda singulis diebus : „Hic iudicandi modus . . .maxime 6«ma]igni(I) 
Zut in n." 

Cod.Yindob. lat. 10660, fol. 48^: Johannes Werner, Nativitas UrsuUu Gunàd- 
fingemAÌsd anno 1488. — fol. 44' — 46': Idem, „ Prognosticon SchewrleiuB" nempe 
nativitas eiusdem. — fol. 47' — 63^.- Johannes Werner, Bevolutiones qnamndua 
nativitatum partim latino partim germanico sermone conflignatae : „ Et quia secnndum 
sjdera . . . gluck vnd geschighlichheit dem gut in septentrione — 7.^^ — foL 
81'— 87': Johannes Werner, Judicium de natìyitate Erasmi Doppler ecclesiae 
S. S. Petri et Sebaldi Norimbergae pastoris, scriptum anno 1498. 14. Februani. 

Cod. Monac. lat. 27083, fol.l'— 8^: Computus(de genitura Bilibaldi Pirck- 
heimer) a Joanne Werner anno 1613 factus. Am Schlufi steht, wie Prof. 
A. y. Braunmùhl gutigst mitgeteilt hat: „Anno domini 1613 die ultima Augusti 
computum hunc Joannes Werner explevit.^^ Dieses „Pirkheimer8che Horoakop^ 
ist nach y. Braunmùhls Untersuchung eine SchOnschreiberabachrift. 

1) An fast alien diesen Stellen kann auch wegen Wortgleichheit nicht gerade 
eine Zeile, sondem ein kleìnes Textstiick ùberschlagen worden sein, wie es- 
offenbar S. 62, 27 und 130, 21 der Fall ist. Auch dann sind aber die SteUen 
sichere Abschreiberzeichen. 



8. HeranBgeberbemerkiulgen. 143 

Shnlichkeit wìe óbiusumque notumque (81^) fCbr ohtustmt notumque oder ^ 
eorumgue utrumqtte (86*) ittr et eorum idrwmque. Der Cod. Eegìn. 1269 ist 
also sicher eìne Abschrìft. 

Dafi der Abachreiber rechi gedankenlos abscbrìeb, zeigen viele kleine 
sprachliche Febler, wìe z. B. an mehreren Stellen duohus statt duahus 
(namlicb ratìonibus) (62^ 56*, 66«, 67*, 63^ 64*), namentìich aber ein 
Fehler wie Fcrneri È erinoriinhergenais far Vemeri Norimbergensis (116*). 
Da6 der Abachreiber eìne in der Mathematik ganz unkiindige Peraon war, 
erhellt nnr allzu deutlich aus Fehlem wie signum fOr simum (66^), communem 
sdentiam fiir communem sententiam (69^), siwwum fiir nwmerus (68*), sinMS ftir 
8UU8 (89®, 90*), paràUdogen : minum fiir paraJMogrammum (1 1 6^). Weim unter 
den zahhreichen, in einem Originalmaniiakript wenigatena in solchem XJmfang 
undenkbaren Eehlern in den Figurenbuchstaben, auch viele offenbare mathe- 
matiache Sinnloaigkeiten vorkommen, wie segmentfum BB (12®), anguius AG- 
(14, 9), segmentum BBC (84^), anguius AB (96*), dm anguli BOB et 
BOB (106*), triangulus LEH (117»), ao zeigt diea deutUch, daB die 
Unknndigkeit dea Abachreibers eine ganz durchgreifende war. Hier und da ahnt 
man auch, dafi er wegen Gedankenloaigkeìt und XJnwiaaenheit ein falachea Wòrt 
eingefiihrt hat; z. B. werden die „Glieder^^ einer Proportion eiumal fines atatt 
termini (61, 3) genannt. Mitunter mu6 man annehmen, dafi er aeine Yorlage 
fiberhaupt nicht leaen konnte. Solche Stellen kommen S. 69^ (per I), 70* 
(latus A), 109* (mi) vor; an derartigen Stellen iat ea deahalb auch aehr 
zweifelhaft, ob der Herauageber die rìchtige Leaart geraten hat. 

Obwohl der Text, ao wìe er im Cod. Begìn. 1269 vorliegt, wie oben 
bemerkt, dem àufieren Anschein nach yollatàndig und abgeachloaaen iat, 
tauchen doch bei einer genaueren und krìtiachen Beaichtigung viele Anzeichen 
auf, die direkt darauf deuten, dafi unaer profeaaioneller Abachreiber keine 
druckfertige Beinachrift, aondem vielmehr eine noch nicht abgeachloaaene 
und abgeachliffene Arbeitahandachrifb dea Autora vor aich batte. 

Ea findet aich nàmlich in dem Werk eine recht bedeutende Anzahl von 
M&ngeln imd Fehlem, an denen der Abachreiber nicht achuld aein kann Mit- 
unter aind Satze oder Beweiae direkt falsch (16\ 22*, 29*, 30*-*, 84*, 34*, 
39*, 90*), oder aber ruhen aie auf falachen Yorauaaetzungen (39'), oder die 
Beweiae befiriedigen nicht (26*, 42*). Mitimter fbidet man auch falache Anwen- 
dungen von SStzen alterer Autoren (50» = 61», 82*). Hier und da kommen 
auch in den Einzelheiten der Beweiae Fehler vor, ao dafi ein Textatuck 
mathematiach betrachtet falach wird (66*""*, 126*). Eìgentliche Sinnloaig- 
keiten, auch im mathematischen Sinn dea Wortea, kommen òfbera aporadìach 
vor, wenn z. 6. ein grQfiter Ereiabogen ina Unendliche (in infinitum) 
verlSngert (77*), oder ein einem Satze ganz wideraprechender Htilfaatz 
(Lemma) ihm beigeaellt wird (lOl*). Ein Fehler anderer Art, welcher 
wiederholt vorkommt, iat, dafi der Satz ao abgefafit iat, dafi er mehrere 
Falle in aich achliefit, von denen nur der eiue richtig iat imd bewiesen 
wird (17*, 20*, 21*, 22*, 23», 24^ 25*). Ea pasaiert auch, dafi Satze oder 
FàUe einea Satzea, die an den betreffeuden Stellen fehlen, dennoch 8pS.ter 
benutzt werden (84», 121», 129*). Grammatikalìache Ungenauigkeiten, von 
denen die meiaten kaum Abachreibefehler aind, kommen oftera vor (79*, 
99*, 99»); in der Eegei iat die XJraache, dafi der Satzbau wahrend 



144 Anhang. 

dea SchreìbenB ge&ndert und die Ausaage deshalb falsch oder gar. unlogìsch 
geworden ist (64*, eS\ 64*, 71», 82^ 106* 122*), 

Fehler einer ganz besonderen Art sind die falflchen Yerweìse. Die 
meìsten toh ihnen lassen sich wohl als ziif&llige Irrtfimer des Autors oder 
Schreibfehler erkl&ren (z. B. 19«, 67*, 71», 72*, 91», 94», 103», 107», 108» 
113S 113'» 11 6*) 9 obwobl es keineswegs feststeht, dafi diese ErklSnmg 
immer die rìchtige ist; denn eine Beihe von Doppelyerweisen zeigt, dafi 
aie nicht immer pafit. Wenn z. B. die Handachiift mehrmals auf diffinUkmem 
quintam septimam hmus secundi libri (49\ 49^, 50») und daneben lìchtig 
auf diffinitianem quintam (54, 4), sowie auf diffinitionem qunUam [korriffiert 
aits sepHmam] (63^ verweìst, so deutet das bestimmt darauf, daB IL, def 5 
des uns bekamiten Textes fróher II, def. 7 war, und dafi Werner deshalb 
in seinem Arbeitsmanuskrìpt mehrmals ein s^iimam in ein quintam korri* 
giert hat, mitunter deutlich, meistens aber undeutlich, indem er nur tLber s^H- 
mam ein qumtam geschrieben hat, welche letzte Zi^ der Abschreiber dann 
neben septimam in den Text einftigte. Sichergestellt wird diese Annahme da- 
durch, dafi die Handschrìffc auch mehrmals auf diffinitianem sextam octavam 
huius secundi libri (49», 49», 50\ 51^, 63») und daneben auch auf diffinUionem 
octavam statt auf sextam (57*) verweist. Es kommen auch Verweise auf 
proposiUonem tertiam quartam (primi libri) (41») und auf XXV tcrtii quarti 
élemcntorum (Euclidis) (43^) vor, und bei alien diesen Doppelverweisen ist 
die erstgenannte Zahl die rìchtige. In alien diesen F&llen hat der Ab- 
schreiber also Eorrekturen tlber der Zeile als Einschiebsel im Texte auf- 
gefafit und sie vor dem annullierten Wort in den Text eingef&gt. 

MtLssen wir es also als festgestellt betrachten, dafi der Schreiber des 
Cod. Regin. 1259 eine durchkorrigierte Eladde, ein Eonzept, kurzum keine 
Beinschilft vor sich batte, so werden uns viele andere Merkwftrdigkeiten 
des aufbewahrten Textes auf einmal klar. Wir verstehen, dafi im Satz IV, 5 
der Buchstabe A zweimal auf derselben Figur vorkommt, und dafi auf der 
Figur des zu demselben Satze gebòrigeu aliter-Beweises sogar drei Figuren- 
buchstaben (A, B, C) als Dubletten auftreten.^) Aller Wahrscheinlichkeit nach 
ist dieser aliter-Beweis am Bande des Wemerschen Manuskrìptes hinzu- 
gefUgt worden, oder er befand sich sogar auf einem los hineingelegten 
Blatt; denn dadurch erklaren wir uns am besten, dafi kurz vorher der 
aliter-Beweis zu IV, 3 falsch angebracht ist (119*). Wir verstehen auch, 
dafi von S. 76 an, d. h. vom Anfang des drìtten Buches, immer wieder 
auf Buch I statt auf Buch II yerwiesen wird, und finden, dafi diese Tat- 
sache uns zu der Annahme berechtigt, dafi Buch I erst geschrìeben Ynirde, 
nachdem Buch n imd in ausgearbeitet waren. Da zweimal fòlschlich auf I, 
def. 14 statt auf I, def. 10 verwiesen wird (55^, 56^), so ist es erlaubt zu 
yermuten, dafi I, def. 10 ursprdngHch I, def. 14 gewesen ist. Da in 1, 12 mit 
dem Wort praecedens auf I, 13 verwiesen wird, so stand I, 13 wohl frflher vor 
I, 12. Leider erhalten wir durch die doppelten und falschen Verweise keine 
weìteren Anhaltspunkte zur genaueren Er5rterung der Entstehungsgeschichte 
des Werkes. Dagegen begreifen wir nun leicht die vielen sonderbaren und 

1) Anch in den besten Euklidùberlieferangen kommt ùbrìgens eine solche 
Dnblette von Figorenbuchstaben ver. Siehe Hai b erga Euklidausgabe, Buch II, 
Satz 6. In Zambertifl Ùbersetzang findet sich die Dublette auch. 



8. Herausgeberbemerkiingen. 145 

ganz sinnlosen Dittographìen, wie z. B. recto acuto fOr recto (36^), sem%basim 
drcuium fOr semibasim (71^), lateribm angtiUs ftb: latertbus (92'), per doctri- 
nam huius seenne libri ex sectmdo libro statt per doctrvnam htims secundi 
libri (75^, unf4m acutium àUerum angulum statt tmtm acutum angtdum 
(oder statt aUerum acutum angiihm) (111^); denn ganz offenbajr stand tlberall 
das rìchtìge Wort oder Sttick, das zuerst konunt, in Werners Manuskrìpt 
Uber dem nachfolgenden falschen von ìlun selbst kassìerten Wort oder 
Sttick. Weshalb Bandnoten an falscher Stelle in den Text hìneingesQhltlpfk 
sind (126^, warum eìn ganzes Stdck zweimal, in nur leidlich veiiLnderter 
Bedaktion, geschrieben wird (29^, wie logìsche Dìttographien sicb haben 
einschleichen kOnnen (26"), und weshalb hìer und da die Wortfolge ganz 
verrackt scheint (95^, das alles erklart sich ebenfalls leicht. Endlich be- 
greifen wir auch, daB ganz wilde W5rter oder Wortfolgen mitten in einem 
ordentUchen Text auftauchen kSnnen und gestrichen werden mfissen (20', 
24^ 25^ 31^ 63^). Es konunt alles daher, daB der God. Eegin. 1259 ganz 
unkritisch nach einem in Kladdenform vorUegenden Arbeitsmanuskript ab- 
gescbmiert ist. 

Werners Manuskript enthielt sicher mathematische Figuren. In jedem 
Satz des uns tLberlieferten Textes bezieht sich ja der Beweis auf eine Figur, 
und an yielen Stellen verweisen auch die Worte des Textes direkt auf die 
zugehdrigen Figuren, die schemcUa, figurae, formae oder figuraiiones heiBen 
(14, 2—3; 66, 30; 66, 18; 69, 25; 85, 12; 86, 19; 100, 17; 100, 35; 
104, 16; 113, 5; 113, 33; 114, 5; 125, 1; 132, 37). Der Umstand, 
daB im Cod. Begin. 1259 alle Figuren fehlen, kann als eine einfache Un- 
fertigkeit des Manuskriptes, wo ja auch fOr Eintragung von Tafeln Platz 
offen steht, betrachtet werden, um so mehr als der Codex einen breiten Band 
mit Platz fQr viele Figuren hat. Dieser Mangel konnte aber auch dahin 
gedeutet werden, daB wir hier eine speziell fììr den Druck angefertLgte 
Handschrift vor uns haben ^); ihr ganzer Charakter als SchSnschreiberabschnft 
wibrde am besten noit dieser letzten Auffassung ilbereinstimmen. 

Ohne Bùcksicht auf geschichtliche Nachrichten u. dgl., ausschHeBlich 
durch krìtische Betrachtung des tLberlieferten Textes und der ihn enthal- 
tenden Handschrifk laBt sich also feststellen, daB Werners de irianguUs 
sphaericis in einer Abschrift vorliegt, die von einem professio- 
nellen, in der Mathematik ganz unkundigen Schònschreiber her- 
rtLhrt, daB dieser ohne Eritik und Interesse seine Yorlage nicht 
allzu genau kopiert hat, ferner daB diese Vorlage ein durch- 
korrigiertes, mit Bandnoten und wahrscheinlich auch mit losen 
Beilagen yersehenes, noch nicht abgeschlossenes oder ftir den 
Druck fertiggestelltes Arbeitsmanuskript des Yerfassers war, 
endlich daB dieses Manuskript wenigstens einmal umgearbeitet 
und das erste Buch des Werkes nach dem zweiten und dritten 
geschrieben worden ist. Yerschiedenes deutet darauf, daB die 
wegen der XJnkundigkeit des Abschreibers und des unfertigen 
Zustandes seiner Vorlage vielfach verdorbene Abschrift ftLr den 
Druck bestimmt war. 



1) Ygl. Biblioikeea MaOiematica 3,, Leipzig 1902, S. 248. 

Abhdlgn. s. Geiob. d. mftth.Wiss. XXIY. 10 



146 Anhang. 

Die Tatigkeit dea Herausgebers ergab sich teils durch den eben gè- 
scbìlderten Gharakter der Handsclirift, teils auch dadurch, dafi die Aus- 
gabe mehr ftbr Mathematiker als fUr Philologen eiugerìchtet werden solite. 
Der Umstand, daB nicht ein Originabnanuskript, sondem eiae Abscbrift 
eines recht unfertigen Eonzeptes die einzige Grundlage der Ausgabe bildete. 
enn6glichte eine fCbr die Fachleute leidlich praktische und zugangliche 
Wiedergabe des Textes, ohne daB dadurch etwas von der Origiiialitfit des 
Werkes verloren ging. 

In der Handschrift altemieren nach damaUgem Gebrauch e und /, e 
und ae (e), u und v, i und j. Z. B. findet man: 

circumferentìa neben circumferencia, 



acapere „ 
sphera (sphaera) „ 
uterque „ 
dit;isio „ 


acfìpere, 
sphera, 
vterque, 
dit^isio, 


aliis „ 


aHfs. 



Wir wissen aus Werners anderen Werken, daB er wie seine Zeit- 
genossen die genannten Buchstaben untereìnander benutzt hat; es ist aber 
ganz unsicher, ob ungere Handschrift die Wemersche Orthograpbie treu 
wiedergibt. Jedenfalls genligt es ftlr den Philologen, ein fOr allemal auf 
dieso gewòhnliche orthographische Inkonsequenz aufmerksam gemacht zu werden. 
und fOr den nicht philologìsch geschulten Leser ist es eine wahre Erleich- 
terung, nicht unnotwendigerweise nachdenken zu miissen fiberWorte wieiocHdif, 
fordus, taci, coheret, eedem, sepe, queuis, vsuj, vnagueque, due, ad\}cit usw. 

Was die genannten Buchstaben betrifft, ist deshalb die Orthograpbie 
der Ausgabe modemisiert. Alle anderen orthographischen UnregelmaBigkeiten 
odor Inkonsequenzen sìnd dagegen unverandert geblieben; deshalb findet man, 
wie in der Handschrift, z. B. „htpothesis" neben „hypothesis", „exuperare*' 
neben „e^uperare", „occurrere" neben „ocurrere", „ concursus" neben „con- 
curssus", „dcffinitio" neben „diffinitio", „ consistere" neben „consystere" usw. 
Nur bei den lateinischen Zahlwortem ist IV statt llll, IX statt Vllil, 
XL statt XXXX eingesetzt, wahrend sonst die inkonsequente Anwendung 
von lateinischen, arabischen und mit Buchstaben geschriebenen Zahlen untar- 
einander beibehalten ist. Die Interpunktion, die Einteilung der Beweise 
in Abschnitte, sowie die konsequente Anwendimg von groBen Buchstaben 
ist modem. Modem sind notwendigerweise auch die Figuren, und zwar 
sind sie den Anforderungen des modemen Lesers angepaBt, ohne BQcksicht 
darauf, ob dadurch stellenweise mehr oder weniger Figuren, als Werner 
selbst benutzte, vorkommen m5chten. Deshalb stimmen die Yerweise anf 
die Figurenzahl desselben Beweises im Texte nicht immer mit den Figuren 
der Ausgabe. 

Ein eigentlich kritischer Apparat ist nur notwendig, wenn mehrere 
Handschrifken benutzt werden. Eann man sich wie hier, weil nur eine 
Handschrift da ist, mit einem alien Lesem sogleich verstandlichen Noten- 
system behelfen, so ist dies unbedingt vorzuziehen, dann aber auch die 
Anwendung einer modemen Sprache praktìsch und, wenn auch einem Philo- 
logen anstòBig, gut geeignet, die Zugànglichkeit zu steigem. 



8. Herausgeberbemerkungen. 147 

Abgesehen von Verweisen auf andere Werke (jedoch nur solche, die 
Werner bekannt gewesen sind) und kritischen oder erklàrenden Bemerkungen 
des Herausgebers, enthalten die Noien slUntlìclie Bandnoten und Textkorrek- 
turen der yerscbìedenen Hande. Wenn keìne andere Hand genannt ist, so 
rtlhren die Korrekturen von der ersten Hand ber; die der zweiten Hand, die 
8icb als solche feststellen liefien, sind nur drei (15', 15^, 31^; dagegen bai 
diese Hand niobi wenige Eandnoten binzugefdgt, die sìcb alle auf den 
matbematiseben Inbalt bezieben, indem sie denselben kritìsieren, vermebren 
oder gruppieren (9*, 15S 16», 19*, 27^ 32^, 34«, 41^ 41*). Die Hinzu- 
ffigungen der dritfcen Hand und die der jtlngeren Hande sind sebr selten 
und obne Bedeutung. Drei Korrekturen einer jtlngeren Hand sind besonders 
bemerkenswert, weil sie mit roter Tinte ausgeftUirt sind (129'^"'''). 

Die Textkorrekturen des Herausgebers siud entweder Einscbiebsel, die 
alle in [] steben, oder Ànderungen des ùberlieferten Textes, die alle, mit 
Ausnabme der oben genannten ortbograpbiscben Modemisierungen, in den 
Noten angegeben werden. An Stellen, wo Absonderlicbkeiten vorkommen, 
die der Herausgeber niebt zu korrigieren wagte, ist ein [I] beigefùgt, damit 
der Leser sebe, dafi bier niebt irgendwelcbe Ungenauigkeit oder Unacbtsam- 
keit des Herausgebers vorliegt. Textstilcke, die wegen Dittograpbien oder 
irgendwelcher anderen Unregelm&fìigkeiten in den Noten n§.ber erklart werden 
mtlBten , steben in < >. 

Es war die Absicbt, so wenig wie mòglicb am Texte spracblicb zu 
andem, so steif, unklassiscb und unabgescblififen er aucb sein mag, weil die 
Spracbe im Gegensatz zur Orthograpbie sicber Werner s eigene ist. Alle 
falscben Satze, Beweise oder Ausdriicke, die offenbar vom Verfasser ber- 
rtibren, blieben natùrUcb ebenfalls unverandert. Detailfebler in den Figuren- 
bucbstaben sind dagegen liberali bericbtigt worden; denn es wurde ja oben 
nacbgewiesen , daS viele matbematiscbe Sinnlosigkeiten vorkommen, die 
auf Abscbrift beruben mùssen; also k5nnen alle solcbe Febler auf dieselbe 
Weise erkl&rt werden. Ebenso sind die falscben Verweise korrigiert, wenn 
-sie als Abscbreibefebler erklart werden konnten. An alien den Stellen, wo 
der Abscbreiber, wie oben dargelegt, irgendeine Korrektur des Verfassers 
miBverstanden bat, ist die Stelle so korrigiert, daB der Text die Grestalt er- 
halten bat, die Werner ibm durcb die Korrektur geben woUte. 

Eine mebrmals (4», 6*, 12^ n\ 18*, 18^ 23>, 57S 68», 60^ 61', 
63^ 79^ 80^ 127') vorkommende Konjektur ist die Anderung von nis in 
trianffulis, Sie kommt an Stellen vor, wo die spbariscben Werke des Tbeo- 
dosios und Menelaos mit den Worten de (oder in) sphaericis nis zitiert 
werden, wo nis in der Ausgabe dann immer als Abscbreibefebler fiir 
3Ì8 (d. b. triangulis) verstanden isi DaB diese Konjektur die ricbtige ist, 
làBt sicb sicberlicb bestreiten; erlaubt ist sie aber, weil die anderen móg- 
lichen Konjekturen «is =» 5*« =■ trihus; nis « nis = noìns*^ nis => ms.^^ manu- 
scriptis; nis = [trigojnis offenbar weniger leicbt zu verteidigen sind. Es ist 
aber keineswegs ausgescblossen, daB dieses Wort nis in Werners Origrnal- 
manuskript irgendeine Erinnerungsnotiz oder ein Vermerk am Bande oder 
ùber der Zeile gewesen ist, die nur durcb Verseben des in dieser Beziebung 
rechi scbuldbelasteien Abscbreibers in den Text bineingekommen sind; dann 
ware vielleicht doch die Konjektur nis « ms. =» manuscriptum die ricbtige. 

10* 



148 Anhang. 

Das Bìld Yon Werner, das der Ausgabe yorangeht, ist das eìnzige 
bekannte und findet sìch in mehreren Exemplaren ìm Germanischen Museum 
und in der Stadtbibliothek zu Ntbnberg, bald znit, bald obne IJmrahmung 
yon S&ulen und Blumen. Nach der Aoffassung dea Herm Dr. Scbulz ìm 
Germanischen Museum ist diese Ausschmtlckung ìm ScbluB des 16. Jahr- 
bunderts bìneìngravìert worden; darauf, dafi sie jtinger ist als das Bìld, 
deutet in bobem Grad der Umstand, daB die Jabreszabl 1490 auf dem 
Bìld mit Einrahmung feblt, also wegradiert ist. Zu der gegenw&rtigen Aus- 
gabe wurde desbalb das beate Exemplar obne Umrahmung benutzt, namlich 
der StLcb in der Merkelscben Sammlung ìm Germanìscben Museum. Das 
Bìld ist wobl kaum gleicbzeitig mit Werner, YÌelleìcbt ist es ùberbaupt 
nur ein Pbantasìebild; verdacbtig ist jedenfalls nicbt nur die Jabreszabl 1490 
— Werners 22. Lebensjabr — , sondem nocb mebr die Àbnlicbkeìt mit 
einem alten und sìcber ecbten Stìcb, der den mit Werner gleìcbzeitigQn 
Astronomen Jt)b8. Stoffler (1452—1531) darstellt. Dieser Stich 
findet sicb ìm Berliner Eupferstìcbkabinett P. IQ p. 392, 61 und ist in 
den „Monograpbien zur deutscben Eulturgescbicbte^^ Bd. 7: E. Beicke, 
Der GeUihrte m der deutschen Vergangenheit^ Leipzig 1900, S. 95 publiziert 

Dafi die Ausgabe Herm Prof. Dr. Anton v. BraunmtLbl gewidmet ist, bat 
seìne XJrsacbe nicbt nur darìn, dafi der Herausgebèr sein ScbtQer und y. Braun- 
mtlbl unter den Landsleuten Werners einer der ei&igsten und anregendsten 
Pfleger der Gescbicbte der Matbematik ist, sondem yielmebr darìn, daB 
We r n e r s Bucb zum Bereicb der spb&riscben Trigonometrie geb5rt und y. B r a u n - 
mtlbl nicbt nur der Gescbicbtscbreiber, sondem der erste und eìnzige Gescbicbt- 
scbreìber der Trigonometrie ist, und dank der Gewissenbaftdgkeìt und Ndcbtem- 
beit seiner Arbeitsmetbode lange der eìnzige und immer der GrOnder bleiben 
wird. Dazu kommt nocb, dafi y. Braunmflbl sicb eingebend mit Werner 
bescbaftigt bat, indem er ìm Jabre 1896, zu einer Zeit, da man nocb all- 
gemein meinte, Werners Spbarik sei yerscboHen^), bewìes^), daB er der 
Erfinder der prostbapbàretiscben Metbode sei; und nun bildet eben die gegen- 
w&rtige Textausgabe die Bestatigung yon der Eicbtìgkeit dieses Beweises. 
In den yom Herausgebèr besucbten Yorlesungen tlber die Gescbicbte der 
Trigonometrie, die y. Braunmflbl ìm Wintersemester 1899 — 1900 auf der 
Tecbniscben Hocbscbule zu Mùncben bielt, wurde stark beryorgeboben, wie 
sebr der Yerlust yon Werners Bucb zu bedauem sei. Als sein Zub5rer 
und ScbtQer ìm Jabre 1901 nacb ItaJien ging und bald in Bom das Werner^ 
manuskript fand, war er also, was Werner betnfft, sozusagen f&r den 

1) Ygl. Gantor, Vorlesungen uber Geschiehte der MathenuUik II, 2. Aufl., 
Leipzig 1900, 8.454. — A.v.Braunmùbl, Vorleswngen uber Geschiehte der Trigono- 
metrie I, Leipzig 1900, S. 138 — 184. — Erst nacbdem der Herausgebèr die 
Wemerbandscbrift; gefanden batte, bemerkte znf&lligerweise G. Enestrdm, da6 
Bcbon Heilbronner in seiner Historia mcUheseos, Leipzig 1742, unter den yati- 
kaniscben Hss. aucb S. 648: „JoannÌ8 Vomerii (!) Neuburgensi^ (!) de Triangalis 
Sphaericis & MeteoroscopiÌB^* auffùbrt, womit offenbar der Cod. B<eg. 1259 gemeìnt 
ÌBt. Ygl, B^liotheca Mathematica 5,, Leipzig 1904, S. 215. 

2) Bibliolheca Mathematica iO^, Stockbolm 1896, S. 106— 108. VgLAy.Braun- 
mùbl, Vorlesimgen Uber Geschiehte der Trigonometrie I, S. 184 — 187. Scbon bei 
Montncla, Histoire des mathématigues I, Paris 1758, S. 584 und 617 — 619, wurde 
die Vermutong ausgeBprocben, Werner babe die ProBtbapbSxeBe gekannt. 



8. HeranBgeberbemeiknngen. 149 

Fimd praparìert, und dieser geschah nnter den Auspizien des Forscbers, 
dem die Ansgabe des neugefundenen Textes nun gewidmet ìst. 

Eine Pfliclit des Herausgebers ist es anch, denen zu danken, die 
ihm bei der Arbeit beistanden, zuySrderst dem Prìlfekten der Yatikanischen 
Bibliothek Herm Pater Fr. Ebrle, der sich gleich fQr den Fund interessierte 
und dem Herausgeber auf alle Weise die Arbeit erleichterte, denm&chst 
Herm TTnterbibliothekar Sigfus Blòndal an der EOnigl. Bibliothek zu 
KObenhayn, der bereitwillig eine kritische und absolut notwendige Eorrektur 
der Ausgabe las, sowie Herm Oberbibliothekar Milchsack zu WolfenbQttel^ 
den Direktionen der XJniversitatsbibliotheken zu Erakow und Eònigsberg und 
den Eollegen in der Stadtbibliothek und im Germanischen Museum zu Nùm- 
berg, bei denen der Herausgeber Aufischllisse ùber Werner suchte, endlich 
Herm Gustaf En6str5m, welcher in seiner Zeitschrìfb eine kurze Mitteilung 
ùber den Fund publizierte (Bibliotkeca Mathematica f^, 1902, S. 242 — 243) 
und daran die wicbtige Mitteilung ùber die Vorrede des Bheticus kntipfte, 
wodurch die Aufhahme derselben vor dem Texte ermòglicht wurde. 

Die zur VollfObrung der Arbeit ndtigen MuBestunden erhielt der Heraus- 
geber durch eine mebrjahrige Unterstùtzung der Carlsbergstiftung. 



4, TextgescMclite. 

• 

Johannes Werner ward am 14. Februor 1468 zu Nùmberg geboren, 
absolvierte die gelehrte Schule seiner Yaterstadt und begab sìch, nacMem 
er sicb auf mehreren deutschen Universitàten theologischen Studien gewidmet 
batte, im Alter Yon 25 Jahren 1493 nacb Italien.^) Er bezeugt selber, 
daB er im Jahre 1493 nacb Eom kam'), und es gebt aus seinen Scbriften 
bervor, dafi er sicb nocb zu Anfang des Jabres 1497 dort aufbielt.') Im 
Scblufi des Jabres 1497 oder im Anfang yon 1498 muB er jedocb nacb 
Ntimberg zurtickgekommen sein; denn im Jabre 1514 sagt er, dafi er sein 
Amt als Priester daselbst seit ungefàbr 16 Jabren bekleide.^) Aucb besitzen 
wir ja eine von ibm den 14. Februar 1498 verfafite Nativitat des Nflm- 
berger Priesters Erasmus Doppler (vgl. oben S. 141, Note 1). In Nflmberg 
lebte er nun 30 Jabre bis zu seinem im Jabre 1528 erfolgten Tode, stets 

1) Zitat nacb Siegm. Gùntber, Johann Werner ans Nurnberg wnd scine 
Jìeeiéhtmgen eur mcUhemaUschen tmd physischen Erdkunde, Halle a. S. 1878 » 
Stttdien zur Geschichte der mcUhematisdien tmd physischen Geographie, Hefb 5. — 
In diesem Werk werden W e mera geograpbiBcbe und meteorologiBcbe Axbeiten 
eingehend und mit grofiem Erfolg eròrtert, und zugleich wird ùber Wernera 
Leben neues Licbt verbreitet. — Ausfdhrliche und wicbtige Aufscblusse ùber 
Werner findet man aucb in Doppelmayr, Historische Nachricht von den Nùm- 
bergischen MathemaHcis tmd KUnstlem, Nùmberg 1780, I, S. 31 ff. — Siebe aucb 
Allgemeine deutsche Biographie unter Werner. 

2) ,,Ego cum yenisaem Hromam anno domini 1498^^ scbreibt Werner n&mlicb 
in einem Sammelband von geographischen und astronomiscben Werken, teila von 
ihm selbst, teUs von anderen, mit dem Titel: In hoc opere hciec eontinentur: Nova 
transìcUio primi libri geographiae CI. Ptolomaei, qwie guidem transl<iUo verbum 
habet e verbo fideliter expressum Ioanne Vernerò Nicrenbergensi interprete, — In 
eundem primwm librum geographiae CI. Ptholomaei argumenta, paraphrases, quilms 
idem liber per sententias oc summatim explicatwr, et annotationes eiusdem loannis 
Vemeri. — lAbéllus de quatuor terrarum orbis in plano figuratiombus ab eodem 
Ioanne Vernerò novissime conipertis et enarratis. — Ex fine septimi libri eitisdem 
geographiae CI. Ptolomaei super plana terrarum orbis descriptione a priscis instituta 
geographis. Locus quidam, nova translatione, paraphrasi dt annotationibtis explieatus, 
quem recentium geographarum , ut ipsorum id pace dicam, nemo hucusque sane ae 
medullitus intellexit — De his quae geographiae debent adesse Georgii Amirudi Con- 
sta/ntinopólitani opusculum. — In idem Georgii Amirtuiii opusculimi loannis Vemeri 
Appendices. — loannis de Regiomonte epistola ad Reverendissimum patrem dt domi- 
num Bessarionem Cardinalem Nicenum ac Constantinopolitanum patriarcham de 
compositione et usu cuiusdam meteoroscopii , Nùmberg 1514. Die zitierten Worte 
fìnden sicb in Annotatio 14 in Gap. Ili libri I geogr. Ptolemaei (fol. e ^ ▼). 

3) Wernera Sammelband von 1614 fol. d,^': „Quemadmodum ego Hromae con- 
spezi lunae deUquium , quod fuit anno domini 1497 post diem X'^nUl lanuarii sub 
noctis prìncipium. Eiusdem itaque lunaris defectus principium Hromae fuit a me 
visum post diem decimum octavnm lanuarii.*^ 

4) Wernera Sammelband von 1614 fol. a,'— ▼ (Vorwort). 



4. Textgeschichte. 151 

alsPfarrer, zuletzt in don Jaliren 1525 — 1528^) am Frìedhof zu St. Johannes.^) 
Seine Grabstatte ist unbekannt. 

Den mathematisclien, astronomìsclieii und geographìschen Studìen war 
Werner w&hrend seines ganzen Lebens sehr zugetan, und schon von 
Jugend an fablte er sìch zum Studìmn der exakten Wissenschafton hìn- 
gezogen. War er doch ein Ntimberger Eind und zu der Zeìt geboren, in 
welcber seine Vaterstadt durch den Einflufi von Eegiomontan u. a. ein 
wissenschaftlicher Kulturmittelpunkt geworden war. Die Reise nacb Italien 
hai er untemommen, weil er nicbt mit Unrecht hofPte, daselbst (relegenbeit 
zu bekommen, seine Eenntnisse in den von ihm so geliebten Wissenschaften 
erweitem und Bùcher und Handschriften erwerben zu kSnnen. Dafi diese 
Erwartung erfQllt wurde, ersiebt man daraus, daB er in seinen Schriften 
mehrmals erkiart, von den italienischen Gelehrten vieles gelen^t zu baben. 
Wenn er in der gegenw&rtigen Ausgabe S. 58 davon spricht, daB er eine 
Menelaoshandscbrift besitzt, und wir aus seinen Zitaten (vgl. S. 134 — 135) 
seben, daB er die damals nocb ungedruckten Werke von Geber und 
Tbeodosios kannte, so laBt sicb vermuten, daB er Handscbriften aus Italien 
mit nacb Hause gebracbt bat. Seine genauen Eenntnisse der griecbiscben 
Klassiker und der griecbiscben Spracbe, die ibm spater so sebr zustatten 
kamen, verdankt er wobl aucb dem Aufentbalt in Italien. 

Inwiefem seine scbriftstelleriscbe Tàtigkeit scbon in Bom angefangen 
bat, ist uns nicbt bekannt; denn aus dieser Zeit kennen wir nur einige 
seiner Beobacbtungen. Von seinen Lebrjabren erfabren wir Uberbaupt nur, 
was er uns selber in seinem Sammelband vom Jabre 1514 erzablt. Eben 
aus der Vorrede dieser seiner ersten Publikation wissen wir aber mit Bestimmit- 
beit, daB er in den Jabren 1498 — 1514 alle die MuBestunden, die ibm 
seine kircblicben Pflicbten gewabrten, seinen Studien iiber die exakten Wissen- 
scbaften widmete. Fast rCLbrend ist die Scbilderung seiner innigen Liebe 
zur Matbematik: „[Ego] a primis fere, ut aiunt, ungviculis pbilosopbiae ac 
bonarum artium studiis me libentius addixi, buius praesertim pbilosopbiae, 
quae matbematica dicitur . . . Hanc demum matbematicam disciplinam 
successivis boris, quando alia studia magis necessaria ecclesiaeque ministeria 
et ceremoniae, quibus ante annos ferme sexdecim initiatus fueram et ad- 
scriptus, id permitterent, relaxandi potissimum animi causa declinandique 
illius scelestissimi otii gratia versavi didicique, disciplinae buius allectus 
praecipue delectatusque veritate et certitudine. Ipsa enim primum certitu- 
dinis gradum inter caeteras obtinet bumanas scientias; ex primis namque 



1) Ygl. Diptyi^ecclesiaeSébàldinaed.h. Vereeichnip und Lébensheschreibìi/ngen 
der Hèrren Prediger eie. an der JSaupt- und Pfarrkirche bei St. Seébald in Numberg. 
Yen G. G. Hirscben, Nùmberg 1766. Daselbst stebt S. 467 unter St. Jobannes: 
„Die Herren Pfarrer daselbst: 1. Jobann Werner, kam an 1625, starb oder kam 
ab 1628." 

2) Im Jabre 1621, den 11. Marz, bezeicbnet er sicb nacb God. D^bean. 812 
(vgl. oben S. 141, Note 1) ala „8acellaDua divorum Joannis Baptistae Joannisqae 
Erangelistae in suburbio Nurembergensi" und nacb God. Aug. 17. 6. 4® (^gl- 
oben S. 141, Note 1) wobl in demselben Jabre als „preabiter Bambergensis diocesis 
et vicarius seu rector cappellae beatorum Jobannis baptistae et Jobannis evange- 
listae Norinbergensìs". 



152 Anhang. 

ac imediatis atque per se noids emanat ìnitiìs, quae se aliter habere perpetuo 
nequeant."*) 

Wie umfangreich Werners schrìftatellerische T&iàgkeit sclion vor dem 
Jahre 1514 war, erfahren wir aus dem Sanunelband yozl diesem Jahre. 
Vom in demselben ist namlich ein Privìlegium yom Jahre 1513 (Landau 
19. Dezember) abgedruckt (fol. a^^), in welchem Kaiser Maximilian dem 
Werner — ^capellanus noster" nennt er ihn — gnadìgst gestattet, eine 
Beihe Werke drucken zu lassen, darunter auch die im Jahre 1514 er- 
schienenen. Von den ùbrigen, und unter ihnen befindet sich auch eine 
Spharik, geben uns nun nicht nur das Privilegium, sondem auch die nach 
demselben im Sammelband folgenden Werke mit ihren Yorreden und De- 
dikationen vielerlei Aufschlttsse. Werner setzt namlich hier manchmal 
B&tze aus den damals noch nicht zum Druck befòrderfcen Arbeiten voraus 
und verspricht, sie bald zu yerOffentlichen. Diese Zitate sind um so wichtiger 
gewesen, weil bisher kein einziges dieser B&cher, die aus der Publikation 
Yon 1514 ausgeschlossen wurden, bekannt war. Allerdings erschìen im 
Jahre 1522, sechs Jahre vor Werners Tod, noch ein Sammelband seiner 
Werke ^); darunter war aber keins von den im Jahre 1518 — 1514 erwahnten, 
so daB der Sammelband von 1522 also aus Arbeiten zusammengestellt worden 
ist, welche erst nach dem Jahre 1513 fertig wurden; und ebenso verhillt 
es sich mit den meteorologischen Canones, die nach Werners Tod im 
Jahre 1546 von seinem Landsmann Johannes SchSner (1477 — 1547) 
herausgegeben wurden.^ 

Es erhellt schon aus alien diesenUmst&nden, daB die Publikation von 1514 
die Hauptquelle unserer Eenntnis der àlteren Produktion und des Lebens 
Werners ist, und doch ist ihrWert als Quelle damit bei weitem nicht ersclidpft; 
denn sie gibt uns auBerdem die wichtigsten, ja fast die einzigen Nachrichten 
von Werners Beziehungen zu seinen Zeitgenossen und Gdnnem^), wie den 
Ntìmbergem Willibald Pirckheimer(l470 — 1530) undSebald Schreyer 
(1446—1520), dem Eardinal Matthàus Lang (1468—1540, Bischof 
von Gurk, spater Erzbischof von Salzburg) und dem Wiener Mathematiker 
und kaiserlichen Historìographen Johannes Stabius (f 1522), auf dessen 
Veranlassung der Sammelband vom Jahre 1514 erscliien und das kaiser- 
liche Privilegium ausgefertigt wurde. Hinzu kommt noch, daB wir in dem- 
selben Band hochinteressante Au&chltisse dber die ÙberUeferung von Begio- 
montans Dreiecksbtlchem und flber Werners Kenntnisse derselben erhalten. 



1) Werners Sammelband vom Jahre 1614, Vorwrort fol. a, 

2) Der Sammelband vom Jahre 1522 hat den Titel: In hoc opere haec eon- 
tinentur: Libellus Ioannis V&meri Nurenibergenfeis] super viginHduóbus elementìa 
conicis. — Eitudem Commeniarius seu paraphrastica enatratio in undecim modas 
conficiendi eius Prohlematis, guod Ouhi dttplicatio dicitur. — Eiusdem Cktmmentatio 
in Dionysodori problema, qw) data sphaera plano sttb data secatwr rottone. — Alius 
modus idem problema conficiendi ab eodem Ioanne Vernerò novissime compertus 
demanstratusque. — Eiusdem Ioannis, de motu octavae Sphaerae, TraeUsius duo. — 
Eiusdem Summaria ennarroHo Theoricae motus octavae Sphaerae, Ntiznberg 1522. 

8) Canones sicut, ita brevissimi etiam doctissimi, compUctentes praeoepta et 
óbservationes de mutatione awrae clarissimi mathemeUici Ioannis Vemeri. Ed. 
J. Schonerus, Nùmberg 1546. 

4) Neue Aufschl^se finden sich vielleicht in Werners kleìneren astro- 
logischen Arbeiten (ygl. S. 141, Note 1). 



4. Textgeschichte. 153 

Die ìm erw&hnten Prìvìlegiiiin vom Jahre 1513 genannten Wernerschen 
Arbeiten, die nicht im Jahre 1514 gedruckt wurden, sìnd folgende: 

1. Libellus de constructìone et utìlitatibuB meteoroscopiì circularibus 
sectionibus in plano descrìpti. 

2. Libellus de compositione et usu meteoroscopii rectis lineis et cylindricis 
segmentis in plano designati. 

3. Libellus de concinnatione ac commoditatibus meteoroscopii, quod in 
plano triangulari figura rectisque lineis fonnatur. 

4. Libellus de constructione et usu plani meteoroscopii ac rectUinei 
quadratam speciem habentis. 

5. Libellus de compositione et utiUtatibus meteoroscopii, quod in plano 
lineis rectis cjlindricisque ac circularibus segmentis concinnatur. 

6. Libri quinque de triangulis per maximorum segmenta drculorum 
constructis. 

7. Liber de multimodis tam in astronomia quam in geographia prò- 
blematis, quae ope arteque horum quinque librorum absolvuntur. 

8. Opusculum de nonnullis scioteriis, quibus linea meridiana, sublimitas 
axis mundani et bora dici sub omni cHmate per umbram soHs simul examinantur. 

9. Tractatus resolutorius, qui prope pedìssequus existit libris datorum 
Euclidis. 

10. Libellus arìthmeticus, qui complectitur quaedam commenta numeralia. 

Wàhrend 1 — 5 offenbar Abhandlungen zur Beobacbtungs- und Instru- 
mentenlehre sind und 7 cine spbftrische Astronomie ist, so ist 6 unzweifel- 
haft cine Spb&rik oder Yielmebr eìne Lehre von Eugeldreiecken; 8 ist eine 
Gnomonlehre oder Lebre Yon Sonnenubren, 9 — 10 mathematiscbe Werke, die 
uns in diesem Zusammenbange nicbts angeben. 

Yerglicben mit der obigen Bescbreibung (S. 140 — 141) vom God. Begin. 
1259 stimmen 1 — 6 offenbar inhaltlicb genau mit den beiden Werken dieser 
Handschrift; dagegen stimmen weder Titel noch Btlcheranzahl, indem das 
Priyilegium nicbt 4 Btlcber de iriangtdis sphaerids, sondem 5 de triangulis 
per maxmormum segmenta circuhrum consirtuMs, und statt 6 Btlcber de 
meteoroscopiis 5 Libelli yon 4 oder 5 verscbiedenen Meteoroskopien nennt; 
aucb stimmen die Ùberscbrifton dieser Libelli keineswegs mit denen der 
6 Bticher im God. Begin. 1259 tlberein. 

Untersucben wir aber die Werke im Sammelband von 1514 und die 
darìn befindlicben Zitate genauer, so werden wir uns bald dayon ilberzeugen 
kOnnen, dafi die Unùbereinstimmung offenbar nur eine scheinbare ist. 8agt 
Werner doch in bezug auf die Meteoroskopien fol. e,': „Igitur ego quaedam 
plana meteoroscopia excogitayi yanis descriptionum figuris deformata. Nam 
unum est trìangulum, alterum quadrangulum, et quoddam est circulorum 
segmentis, aliud yero rectis tantum lineis aut curyis quibusdam designatum. 
De buiusmodi itaque meteoroscopix)rum compositione et utilitate 
librum unum scripsi, quem deo optimo maximoque opitulanti paulo 
post in publicum edam.^^ Also spricbt Werner ausdrtkcklicb yon „einem 
Buch'* ùber die Eonstruktion und Anwendung der „yier^^ yon ibm erfundenen 
Meteoroskopien, was ja durcbweg mit dem God. Begin. 1259 stimmi Es 
ist also alle Ursacbe yorbanden, anzunebmen, dafi die 5 Libelli und yielleicbt 



154 Anhang. 

auch die als Nr. 7 ìm Prìvilegium genannte sphSlrìsche Astronomie mit den 
6 Bùchem im Cod. Begin. 1259 identisch sind. Mdgliclierweìse sìnd mehrere 
kleinere Abhandlungen zu eìnem grófieren Bach vereinigt worden; denkbar 
ist es aber auch, dafi das Prìvìlegiuiii die anderen und genaueren Titel 
hat, damit der wirkliche Inhalt rechi deutlich aus ihnen hervorgehe und 
Mifiyerstandnisse vermieden wtirden. 

Was den Titel der Spharik betrifft, so war ìm Jahre 1513 der Be- 
griff triangulus sphaericus nicht gelaufig. Begiomontans Dreiecksbùcher 
waren noch nicht bekannt, und in den alten Ùbersetzungen des Mittelalters 
findet man Umschreibungen wie z. B. triangulus ex arcubtts circularum 
magnorum super superfidem sphaerae oder figura trilatera « VQlitkcvQov 
(beide in Gherardo Cremoneses Ùbersetzung von Menelaos' Sphaiik) 
oder triangulus ex arcubus circularum magnorum (Gebers Astronomie in 
Gherardo s Ùbersetzung), femer trUaterum oder figura trilatera in Georgs 
von Trapezunt (1396 — 1485) Ùbersetzung von Ptolemaios' Sjntaxis 
und einfach triangulus in Gherardos Ùbersetzung desselben Buches. Erst 
in Georgs von Peurbach und Begiomontans Kommentar dieses 
Werkes (vgl. S. 134) findet man an einer Stelle (Buch II, Satz 19) die 
Bezeichnung triangulus spha^rcUis. Werner batte also Ursache, in dem 
Prìvilegium den Begriff nàher zu erklaren, und scine Erklàrung triangulum 
per maximorum segmenta drculorum constructum stimmt gut mit der De- 
finition im Cod. Begin. 1259 (I, def. 9): triangulum . . . quod ex maximorum 
in sphaera concinnantur segmentis. 

Ùbrìgens heìfit Werners Sph&rìk in den Zitaten der Publikationen 
von 1514 und 1522 meistens liber de triangulis sphaericis, mitunter liber 
sphaercUium triangularum, so daB der uns im Cod. Begin. 1259 begegnende 
Titel immer der vom Yerfasser am meisten benutzte gewesen ist. 

Es erhebt sich nun die Frage: LaBt sich aus diesen Zitaten in den 
beiden Wemerschen Publikationen schlieBen, inwiefem die Spharik in den 
Jahren 1514 und 1522 die uns im Cod. Begin. 1259 ùberlieferte Gestalt 
batte? Leider l&Bt sich das nur in den Hauptzùgen feststellen; denn die 
Zitate nennen nur das betreffende Buch, nie den Satz. 

Von besonderem Interesse ist es, ob die Aufl5sungen schiefwinkliger 
Dreiecke mit Hùlfe der prosthapharetischen Methode, aus welchen im Cod. 
Begin. 1259 das vierte Buch besteht, schon im Jahre 1514 erwahnt werden. 

Da begegnet uns im Sammelband von diesem Jahre zuerst fol. kg' in 
Werners Kommentar zu Georgios Amirucios'Buch als„Problema tertium. 
Propositio undecima" folgendes Problemi „Datis duorum locorum latitudini- 
bus itinerìsque intervallo, eorundem differentiam longitudinum liquidam 
datamque facere", von welchem Werner sagt: „Ego denique idem problema 
. . . per verissima mathematicae artis principia et assumpta in subiectis 
demonstravi fìgurìs, quas ex parte tertia libri, quem de multiplicibus 
scripsi sphaerae triangulis, fui mutuatus. Per hunc quoque de eisdem 
trìangulis librum, deo optimo maximo suam gratiam opemve ac longiorem 
mìhi vitam concedente, prìusquam haud multi praetereant anni longe plura 
id genus una cum ipso trìangulorum in publicum edam problemata, quae 
non tribus quatuorve multiplicandorum numerorum laboribus ac 
quadrati lateris inquisitìone, interdum etiam divisione, veluti 



4. TextgeBchichte. 155 

in praesenti, sed unica tantum modo, vel divisionis aut multipli- 
cationis operatione, duabusque ad maximum additionibus et unica 
sublatione, quae celeriter ac nullo pene fiunt negotio a me ab- 
solvuntur." Danach folgt dann eine durch Orthogonalprojektion erledigte 
Dreiecksaufl5sung, wo eìn Winkel (X^ — X^ «> die L&ngendifferenz zweier 
Orte) eines schiefwinkligen sphanschen Dreiecks durch dessen drei gegebene 
Seiten (90®— /Jj und 90®— jS^™ die Komplemente der Breiten der beiden 
Orte, ^» die sph&rìsche Entfemung derselben) gefunden wird.^) 

Also kntlpffc Werner an eine orthogonalprojektivisclie Lòsung der ìm 
God. Begin. 1259 Buch IV, Satz 2 — 5 durch die prosthaph&retische Me- 
thode behandelten Breiecksaufgabe eine Erkl&rung, die dem Corrélarium 
generale am Ende des vierten Buches fast w5rtlich gleichkommt. Im 
Jahre 1514 batte Werner folglich die prosthaph&retische Methode und ihre 
Anwendung zur praktischen Umgestaltung des Gosinussatzes, d. h. des 

zweiten Hauptsatzes der sphàrischen Triffonometrìe fcos B = -. : ) 

^ '^ ° ^ Bin a sin e ^ 

schon Yollstandig ins reine gebracht. Zusammen mit dem CoroUarium 

generale zeigt die oben zitierte wichtige Stelle des Sammelbandes, wie klar 

Werner die Bedeutung der prosthapharetischen Methode begriff, und wie 

eifìdg er deshalb war, durch die Publikation seiner Spharik diese scine Er- 

findung bekannt zu machen. 

In einer Beziehung stùnmt das Zitat nicht mit dem ùberlieferten Text. 

£s yerweist auf Buch m der Spharik; im Cod. Begin. 1259 aber befìndet 

sich die betreffende Dreiecksauflòsung vom im vierten Buche. Durch die 

iibrigen uns zur Yerftlgung stehenden Zitate wird diese Unùbereinstimmung 

in bezug auf die BtLcherzahl nicht nur nicht beseitigt, sondem vielmehr 

bestatigt. Allerdings wird im Sammelband vom Jahre 1514 an einer Stelle 

(fol. dj'), wo dieselbe Aufgabe von der AufQndung des Langenunterschiedes 

zweier Orte behandelt wird, kein Buch genannt: „. . . his ita suppositis per 

librum de sphaericis triangulis differentia longitudinum urbis Hromae 

et Nurenbergae reperietur/^ Im Sammelband yom Jahre 1522 wird aber 

in Werners Buch de motu octavae sphaerae, Traktat 1, Prop. 2 (fol. 

k,^ — kj') im Dreieck Stem — Poi der Ekliptik — Nordpol die Lànge 

des Stemes (A) durch scine Breite (j3), scine Deklination (6) und die Ekliptik- 

schiefe (e), d. h. wie oben ein Winkel eines schiefwinkligen sphàrischen 

Dreiecks durch dessen drei gegebene Seiten numerisch bestimmt, und da 

heiBt es^: „Eonmdem trium siderum . . . yeras in zodiaco longitudines 

muneratione datas exhibere. 



1) Eine eingehende Er5rfcerung dieser Anfgabe gibt Gtinther, Johann 
Werner aua NUmberg, Halle a. S. 1878, S. 810—818. — Vgl. A. v. Braunmùhl, 
VorUeungen ilber Geschichte der Trigonometrie I, Leipzig 1900, S. 186. 

2) Vgl. A, V. Braunmiihl, Beitrag zur Geschichte der prosthapharetischen 
Methode in der Trigonometrie, Bibliotheca Mathematica 10,, Stockholm 1896, 
8. 105 — 108. Hier benutzt ▼. Brannmùhl diese Dreiecksanf lòsung und die daran 
eeknflpften Bemerknngen des Jakob Chris tmann (vgl. S. 166), um nachzuweisen, 
Werner sei der Erfinder der prosthapharetischen Methode. — Vgl. auch A. v. 6r ann- 
mfihl, Vorìesungen Ober Geschichte der Trigonometrie 1^ Leipzig 1900, S. 136— 186. — 
Gleichfalls A. y. Brannmùhl, Zur Geschichte der prosthapharetischen Methode in 
der Trigonometrie. Ahhandhmgen zur Geschichte der Mafhematik, Hefb 9 (Cantor- 
Festschrift), Leipzig 1899, S. 17—18. 



156 ÀnHang. 

luxta praescriptionein itaque theorematam tertii libri, quem scripsi 
de triangulis sphaericis, prò quolibet trium horum siderum Tero in 
longitudine zodiaci loco comperìendo inveniendi snnt numeri quattuor prò- 
portìonales, quorum quartus est sinus versus seu iuxta alios sagitta sive 
cuspis distantiae sideris a capite seu initio cancri . . . Igitur iuxta prae- 
ceptiones theorematum praedicti tertii libri spbaeralium triangu- 
lorum memoratae proportionis primus terminus invenitur 3981067, secun- 
dus 10000000 partium semidiametri zodiaci, tertius 5137615 . . . Igitur 
praedictae proportionis secundo tertioque termino simul actìs, et producto 
per primum diviso, dabitur eiusdem proportionis terminus quartus eanmdem 
partium 12905120,. quarum semidiameter zodiaci subiicitur esse 10000000; 
dato itaque quarto termino sublatis 10000000 partibus diametri zodiaci, 
remanent partes 2905120, sinus videlicet rectus graduum et minutiarum, 
quibus Arista seu Spica . . . removetur ab initio signi librae. Per tabulas 
itaque sinuum habentes sinum maximum partium 10000000^) praedicto 
sinui recto competunt gra[dus] 16, prima mi[nuta] 53 secunda 9 . . . Per 
eadem denique theoremata eiusdem lib[ri] III spbaeralium triangu- 
lorum basiliscus seu cor leonis invenitur/^ 

Hier wird somit dreimal deutlich auf Buch HI verwiesen, und doch 
handelt es sich jedesmal um die im uns bekannten Tezte Bucb lY, Satz 2 — 5 
bebandelte Dreiecksauflòsung, und zwar gebt es aus dem obigen Zitat, wenn 
man es mit unserem Texte vergleicht, deutlich hervor, daB wir hier eine 
praktiscbe Anwendung der in diesen S&tzen dargelegten prosthaph&*etischen 
Methode vor uns haben, eine Anwendung, die der Benutzung der Formel 

sin vers l «=» ,.., . ^ . . . ^i gleichkommt (vgl. v. Braunmùhl). Es 

steht also fest, daB Werner sowobl im Jahre 1514 wie im Jabre 1522 
die Satze IV, 2 — 5 zum dritten Buch z&hlte. 

Die zwei ersten Bficher dagegen scheinen im Jahre 1522 in der Haupt- 
sache in Ùbereinstimmung mit dem ùberlieferten Texte gewesen zu sein; 
denn fol. y^"^ zitiert Werner im Sammelbande dieses Jahres in bezug 
auf Dreieck ach: „ igitur anguli ad a, A puncta recti simt, et utrumque 
binorum segmentorum oc, eh quadrans per librum primum, quem scripsi 
de triangulis sphaericis'^ wo das Zitat auf Satz I, 1 des Textes im 
Cod. Begin. 1259 geht. Kurz danach heiBt es wieder in bezug auf Dreieck 
ahd mit der in h senkrecht auf ab stehenden Trans versale: „Est enim per 
secundum librum, quem scripsi de sphaericis triangulis, velut 
rectus sinus ipsius ad segmenti ad rectum sinum dh segmenti ita sinus 
rectus ipsius ah segmenti ad rectum sinum segmenti fh . . /', womit offenbar 
auf Satz II, 11 — 12 oder 25 unseres Textes hingewiesen wird. Wenn es 
weiter heiBt: „Iuxta eundem autem librum secundum de sphaericis 
triangulis sinus rectus segmenti ah existit partium 1358926^^ so wird 
man dadurch nicht gezwimgen, anzunehmen, daB im Jahre 1522 das zweite 
Buch der Spharik in einer ganz anderen Gestalt als der uns bekannten 
vorlag — etwa mit Tafeln und numerischen Beispielen. Das Zitat braucht 

1) VgL hiermit Werner 8 Verweis auf die Sinustafeln mitriti, tmucoi 10 000 000 
in seinem Corrélarium generale am Ende des vierten Buches, S. 188 der Ausgabe. 



4. Textgescliichte. 157 

nichts anderes zu bedeuten, als da£ in dem bei ìi rechtwìnkligen Dreieck 
fhd der Winkel hdf (— Bogen ah) durch Satz n, 26 mit Hfilfe der 

oben aufgestellten Proportion . ,, -= . ^, ? wo aef =• 90®, sindh und sinfh 

bekannt, direkt gefanden werden kann. 

Man kòimte vìelleìcht wegen der UntlbereiììstiTnniiingen in Btlcherzabl 
ìind Inhalt des dritten und vierten Buches, die tatsachlich zwischen dem 
God. Regin. 1259 und den Zitaten aus den Jahren 1514 und 1522 besteben, 
geneigt sein, die Hypotbese aufzustellen, daB der Cod. Regin. 1259 eine 
Abscbrift einer sebr alten Redaktion sei, vielleicbt einer Redakidon aus der 
Zeit, als Werner noch in Rom war, z. B. aus dem Jabre 1495, welcbe 
Jahreszabl ja im bandscbriftlicben Eatalog der Regina Sveciae-Sammlung 
angeftOirt wird (ygl. oben S. 140). Das gebt aber nicbt, da Werner in dem 
im Cod. Regin. 1259 iiberlieferten Texte wie in seinen gedruckten Publi- 
kationen immer die erst im Jabre 1505 bekannt gewordene Euklidliber- 
setzung des Zamberti w5rtlicb zitiert.^) Die uns ùberlieferte Redaktion 
ist also erst nacb dem Jabre 1505 entstanden, und 'dann gebQrt sie wabr- 
scbeinlich dem Zeitraum 1522 — 1528, vorausgesetzt, dafi sie nicbt nacb 
Werner s Tod vorgenommen sei. 

Aus dem, was wir von Werners Leben wissen und aus seinen eigenen 
Publikationen scbIieBen kònnen, gebt also nur folgendes bervor: Yor dem 
Jabre 1513 und wabrscbeinlicb nacb dem Jabre 1505 verfafite 
Werner fùnf Btlcber ùber spbàriscbe Dreiecke mit dem Titel 
liber de iriangulis sphaericis oder liher sphaeralium triangu- 
lorum. Sowobl im Jabre 1514 als 1522 lag dieses Werk in einer 
Redaktion vor, in der die Satze lY, 2 — 5 des Cod. Regin. 1259 
zum dritten Bucb gebdrten, wàbrend wenigstens im Jabre 1522 
die Btlcber I — Il dem Anscbein nacb den uns durcb die Hand- 
schrift bekannten Inbalt batten. Werner war sebr eifrig, das 
Werk zum Druck zu befòrdern, namentlicb weil er sicb bewufit 
war, dafi die scbon im Jabre 1514 daselbst klar dargelegte 
prostbapb&retiscbe Metbode von groBem praktiscben Wert sei. 



Als Werner im Jabre 1528 starb, war also weder sein Werk iiber 
spbariscbe Dreiecke nocb das tlber die Meteoroskopien gedruckt. Eine 
direkte Bestatigung dayon gibt, was letzteres Bucb betrifft, ein Brief, 
den Peter Apian Yom in seiner Neuausgabe des Jabres 1533 von 
Werners geograpbiscben Werken abgedruckt bat*) In diesem Brief vom 

1) Im Sammelband yom Jabre 1614 kritiaiert Werner recbt eingehend die 
Ùbersetzung des Zamberti, den er ,,novÌ8simam interpretem^^ nennt. Siehe Yor- 
rede an Eardinal Mattb&us Lang, fol. a^'. 

2) IntToducHo Geographica Petri Apiani in doctissitnas Vemeri AnnoUxUones 
continens plenum inteUectum et iudicium omnia operationis, quae per sinus et ehor- 
das in Geographia confici potest, aditmcto Eadio astronomico cum quadrante novo 
Meteoroscqpii longe utilissimo, — Httic accedit Translatio nova primi libri Geo- 
graphiae CI, Ptolemaei, Translationi adiuncta sunt argumenta et paraphrases singu- 
lorum eapitum: libeUus quoque de quatuor terrarufi^ orhis in plano figuroMonibus 



158 Anhang. 

Jahre 1532 bittet und beschwSrt Johann Wilhelm von Loubemberg 
seìnen Freund Peter Apìan, da Werners meteoroscopUm planum trotz 
alien Yersprechungen nie erschienen sei, doch sein eigenes Buch Yon den 
Meteoroskopien erscheinen zu lassen.^) Dieser Bitte zufolge f&gt A pian 
auch wirklich dem Abdruck der Wemerschen Werke seinen Rcidms astrofio- 
micus cum quadrante novo meteoroscopii longe uiUissvmus hinzu; aber, wie 
wir sehen werden, ist Apians Werk yermutlich nur eine Eompilation aus 
den zwei ersten BtLchern Werners. 

Die n&chste Nachricht vom Schicksale der beiden Wemerschen Arbeiten 
gibt uns der Bibliograph Konrad Gesner (1516 — 1565). Er sagt im 
Jahre 1555, daB der Nilmberger Mathematiker und Mechaniker Georg 
Hartmann (1489 — 1564) die sechs(I) Btlcher Werners ùber die Meteorosko- 
pien vom Untergang rettete, und in den neueren 1574 und 1583 erschie- 
nenen Ausgaben von Gesners Bibliographie ftigt Raspar Wolf (1525 — 1601) 
hinzu, dafi Georg Joachim Bheticus (1514 — 1576), wenn er sich nicht irre, 
sowohl diese sechs Btlcher als die vier (1) Bùcher de irianguliS' ediert habe.*) 
In diesen Nachrichteil tlber Werners hinterlassene Arbeiten stimmt also 
die Bùcherzahl der beiden Werke mit der im Cod. Begin. 1259 endlich 
iiberein. 

Doppelmajr und nach ihm die neueren Forscher schliefien aus diesen 
Notizen, daB Hartmann die sehriftlichen Nachlasse Werners Uberkommen 
und sie Rheticus bei dessen Besuch in NUmberg im Jahre 1542 fiber- 

Auihore Vernerò. — Locua etiam pulcherrimus deswnptus ex fine eepUmi libri Geo- 
graphiae Claudii Ptolemaei de plana terrarum orbis descriptione iatn ólim etiam et 
a veteribus instiiuta Geoffrapkis una cum opìisculo AmirVfCii Constantinopolitani de 
ii8, quae Geographiae debent adesse. Adiuncta est etiam epistola Ioannis de JRegio 
monte ad reverendissimum patrem et dominum Bessarionem cardinaiem Nieenum 
oc constantinopolitanum Patriarcham de compositione et usu ctiiusdam Meteoroscopii 
armUlaris^ Ingolstadt 1683. 

1) ÙberBcbrift: Ioannes Gidielmus a Loubemberg Petro Apiano Mathematico 
Ingolstadiano scdutem dicit. Cnterschrift: Ex arce Wagegg octavo Idus Deeembris 
anno Christi nato 1532. Im Brìefe steht: . . . ^Praeterea, quoniam Ver neri Meteoro- 
scopion planum quod post [?] obitum ab eo in libris saia promissum est, necdum in 
lucem prodiit aut a quoquam hucusque visum, peto imo flagito . . ., ut tuum 
nobis impartiri digneria . . . yemm quia Meteoroscopii plani, quod Verna ma in 
auia libris a [?J morte habitnroa nos apopondit, neque illiua copiam habemua, aire 
nonnullorum miprobitate, qui hoc fortaaais non aecua ac draco vigil anreum 
yellua cuatodiunt nec emittunt unquam, aive quod temporum iniuria periit, quod 
saepe bonis rebus iniquum esse consvevit, rogo ac obtestor, ut tuum Ulud piodas 
. . . ne et Ve meri et tuo ... ex aequo carere cogamur.*^ 

2) Vgl. Gonradi Gesneri Pandectarum libri XXI, Tiguri 1648, p. 78, col. 1: 
„Vuemeru8: de triangulis"; p. 90, col. 4: „De Meteoroscopiia Jo&. Vuemeri libri 
6 non impressi, e Geòrgie Hartmanno Norimbergensi ab interìtu vindicati.'* — 
Appendix Bibliothecae universalis Conradi Gesneri, Tiguri 1666, Àrtikel Werner: 
„Joannes Vuemerus: De Meteoroscopiia lib[rt] 6 nondum impreaai per Georgium 
Hartmannum ab interìtu vindicati." — Conradi Geaneri Biblioteca umverealis, 
2. Aufl. 1674, beaorgt yon Kaspar Wolf, p. 424 und 3. Aufi. 1688, p. 507: 
^Vuemerus: De Meteoroscopiis lib[r»] 6 nondum impressi per Georgium Hartmannum 
ab interitu vindicati. Eius libros 4 de Triangulis & sex de Meteoroscopiis 
Georgius Joch. Bheticus (ni fallor) edidit*^ — Gesner kennt also die Titel der 
beiden Werke Werners und weifi, dafi die sechs Bùcher de meteoroscopiis an Hart- 
mann gekommen sind. Erst yon Wolf wird, neun Jahre nach Gè a nera Tod, die 
Vermutung auageaprochen, Bheticua habe die beiden Werke herausgegeben. 



4. Teztgeschichte. 159 

geben habe.^) Wolfs allerdiiigs sebr bedingte Aussage von einer Edìtion 
der Wemerscben Arbeiten durch Bhetìcns hat man aber keine weìtere 
Aufìnerksamkeit geschenkt, um so mebr, weil keiner der Greschichtsforscher 
eine derartige Ausgabe angetroffen hat. 

Sobald aber G. Enestrdm von dem Fund der Wemerscben Arbeiten 
Nacbricht erbalten batte, fand er, dafi in mebreren modemen Bibliographien 
eine von Bbeticus besorgte Ausgabe der beiden Werke aufgefObrt war, 
die im Jahre 1557 in Krakow erscbienen ware.') Und wieder war bier in 
samtlicben Bibliographien Yon vier Btichern de triangtUis sphc^erids und von 
sechs BQchem de meteoroscopiis die Eede, in Ùbereinstimmung also mit 
Wolfs Angaben und den Texten ìm Cod. Begin. 1259. 

Wàhrend es trotz umfassender Nachforschungen in den Hauptbiblio- 
tbeken Europas nicht gelang, ein einziges gedrucktes Exemplar der Wemer- 
scben Werke au&ufinden, ergab es sicb nach einer Anfrage in Krakow, 
dafi Zebrawski, der erste der genannten Bibliographen, dessen Arbeit 
natCbrlich die Quelle der anderen gewesen ist, in der Universitàtsbibliotbek 
zu Erakow eine dUnne Broschiire von sechs Folioblattem gefunden batte, 
welche auf dem Titelblatt die Titel der beiden Wemerscben Werke entbielt 
und als Herausgeber den Eheticus anfohrte. AuBer diesem Titelblatt ent- 
bielt die Broschtbre dagegen nur eine zehnseitige Vorrede (Prooemium) von 
Bheticus, welche dazu bestimmt war, die Wemerscben Arbeiten einzuleiten.') 
Mit gùtiger Erlaubnis der Direktion der Universitatsbibliotbek zu Krakow 
ist ein Faksimile dieser Broschùre in der gegenwartigen Ausgabe dem Texte 
Yorangestellt, damit Vorrede und Text zusammen erscheinen, so wie es 
ursprfinglicb die Absicht war. 

Ffir die Textgeschichte zeigt es sicb gleich, dafi diese Brosch^e zur 
rechten Zeit gefunden worden ist; denn ihr Inhalt ermdglicht die Lòsung 
fast aller Fragen in bezug auf das Schicksal der beiden Wemerscben 
Texte, die noch ungelOst waren. Der Titel Ioannis Vemeri mcUhemcUici 
Norimhergensis de triangulis sphaericis libri quatuor, de meteoroscopiis libri 
sex, mmc prmum studio et dUigentia Georgii loachimi Bhetici in lucem 
editi, Cracoviae, Laearus Andreae excudebat, anno MDLYII zeigt gleich, 
dafi sowohl Titel als Bùcheranzahl (4 und 6) in der von Bheticus in 
Angrìff genommenen Ausgabe mit dem Texte des Cod. Begin. 1259 genau 
tlbereinstimmen, femer bestatigen die Worte „nunc primum editi", dafi die 
Werke vor dem Jahre 1557 nicht publiziert waren. Demnachst findet sicb 

1) Doppelmayr, 1. e. S. 88—84, Note (bb) und (ce); S. 69, Note (yy). — 
Cantor, 1. e, 2. Ann. Ù, S. 464. — A. y. Braunmflhl, VorUsungen uber Oeschichte 
der Trigonometrie I, Leipzig 1900, S. 188. 

2) Zebrawski, Bibliografia pismiennicttva polsìciego z dziaJu nuUematyki i 
fizyki oraz ich zastosowan, Krakow 1878, S. 140 — 141. — Estreicher, Bibliografia 
polskaS^ Krakow 1882, S. 46. — Houzeau & Lancaster, Bibliographie generale 
de V Astronomie I (1887), S. 661. Hier findet sicb statt 1667 die notwendigerweise 
falsche Jahresangabe 1607. — Wenn B. Baldi in seiner Cronica de Matematici, 
Urbino 1707, S. 106 (Artikel Giovanni Vernerò) sa^: „ScrÌBBe anco un trattato de 
giudicii del vento, e de Meteoroscopici promessi alle luce da Giovanni Her- 
man no (I)^^ 80 dtlrfte das wohl auf irgendeinem Mifiverst&ndnis beruhen. 

8) G. EnestrOm, tìber eine toiedergefundene Handschrift der Trigonometrie 
des Johannes Werner, Bibliotheca Mathematica 8^, Leipzig 1902, S. 242 — 248. 



160 Anhang. 

unten auf dem Titelblatt eìne handBchrìfUiclie Notiz von Wichtìgkeit: 
„Praefatio haec sola Cracoviae impressa, reliquum opus mìttere in Ger- 
maniam proposuerat, ut ego intellexì ex quadam epistola manu ipsius 
Rhetici ad Wolfium scripta. An missum et impressum sit, nondmn 
scio/^^) Also ist die Drucklegang nach Beendigung der Yoirede imter- 
brochen worden,. weil Bheticus die Texte in Deutschland statt in Erakow 
drucken zu lassen beabsichtigte, und diese Absicht hat er Wolf brieflich 
mitgeteilt. Dadorch finden auch dessen oben (S. 158, Note 2) zitierte Worte 
„Eius libros . . . Georgius Jocb. Biieticus (ni fallor) edidit^' vom Jahre 1574 
ihre natlirliche Erkl&rung. 

Die Yorrede ist an den Kaiser (damals Ednig) Ferdinand I. gerichtet 
und enth&lt nach einer historisch-philosophischen Einleitung cine Lobrede 
und InhaltsUbersiclit der sechs Btlcber de meteoroscopiis, aus welcher heraus- 
gelesen werden kann, dafi die im Priyilegium vom Jahre 1513 (vgl. oben S. 153) 
aufgeflQirten ftLnf Libelli ùber Meteoroskopien mitsamt dem Opusculum de 
nonnuUis scioteriis etc, (Nr. 8 des Priyilegiums) und, wie es scheint, auch 
mitsamt dem Liber de muUimodis tam in agronomia quam in geographia 
próblemalis (Nr. 7 des Priyilegiums) zu den sechs Bùchem de m^eoroscopHs 
zusammengearbeitet worden sind. 

Bheticus sagt weiter: „Ho8 de meteoroscopus libros et de triangolis 
sphaericis Georgius Hartman mathematicus Noricus doctrina et virtute 
praestans post Yerneri mortem tanquam ex naufragio dispersas tabellas 
bine inde collegit, et ea, quae quasi foliis Sjbillae descrìpta atque dispersa 
essent, concinnavit mihique ante quindecim annos dedif Hier erhalten 
wir also durch Bheticus selbst eine ganz sichere Best&tigung davon, daE 
er, wie vermutet, die Werke im Jahre 1542 von Hartmann bekommen 
hat. Dazu erfahren wir, dafi dieser die beiden Werke in mehreren 
Stucken erworben hat, und daB sie auf losen ungeordneten Blàttem gè- 
schrieben waren, die Hartmann wie die Trfhnmer eines Schiffbruches 
sammelte. Das stimmt aber durchweg mit dem, was wir oben durch 
die kritische Behandlung des tlberlieferten Textes aus dessen schlechtem Zu- 
stand folgerten. 

Weiterhin in der Yorrede sagt Bheticus: „His sex de meteoroscopiis 
libns praemisimus quataor de sphaericis triangulis. Quinti materiam con- 
gesserat, sed ea in manus Hartmanni non venere. Annotaverat, quam 
doctrinae partem in eo tractasset, sed nos inchoatam optimi Appellis 
Yenerem diversa manu non perficiendam statuimus." Hieraus ersehen wir, 
daB Hartmann und Bheticus nur die vier ersten Bùcher und irgendeine 
Inhaltsangabe des ftinften Buches der Spharik flberkommen haben, entweder 
weil die Bedaktion von Buch Y nie verwirklicht worden war, oder weil es nach 
Werner s Tod von den vier ersten getrennt wurde und in andere H&nde flber- 
ging. Gleichzeitig erklart sich auf die einfachste Weise der oben mehrmals 
erwàhnte Widerspruch in den Angaben der BUcherzahl, und dazu wissen wir 
nun mit Bestimmtheit, daB der Cod. Begin. 1259 eine von Bheticus besorgte 
Abschrifi; ist, d. h. wie EnestrQm vermutete, sein Druckmanuskrìpt; denn erst 
in seinen Hànden kann die Spharik die tms von dem Codex bekannte gè* 

1) Ygl. G. Enestròm, 1. e. 



4. TextgeBchichte. 161 

sammelte und einheitlìche Qestalt in yier Bdchem erhalten haben, ohne 
fireien Piatz fOr oder Inlialtsaiigabe ùber das veniLutlich ftlr immer yer- 
schollene ftUifte Bucb. God. Begìn. 1259 ìst offenbar so entstanden, daB 
zuerst Hartmann und nacb. ìhm Bheticus die glticklich erworbenen Eni- 
wtbrfe yon Werners BtLchem geordnet haben, so daB die losen BlStter in 
die richtige Ordnung kamen; und dann hat Bheticus einen Schdnschreiber 
daf&r bezahlt, das so geordnete, aber unyollstàndige und in vielen Einzel- 
heiten unfeitige Bucb in einheitìicher Form abzuschreiben. 

Bedauemswert ist es, daB wir gar nichts davon erfahren, was in dem 
fOnften Buche gestanden hat oder stehen solite; sicher ist jedoch hier die 
in den vorhergehenden Btlchem noch nicht behandelte Aufgabe, die Seiten 
des schiefwinkligen sphàrischen Dreiecks durch die drei gegebenen Winkel 
zu finden, gelOst worden. Ausgeschlossen ist es nicht, daB Werner dann 
auch die noch fehlenden Hauptrelationen des schiefwinkligen Dreiecks^) 
implizite gefanden hat, und zwar in Verbindung mit der Prosthaph&rese, 
oder daB er die prosthaph&retische Methode eingehender entwickelt und 
ihre weitere Anwendung auf mehrere F&Ue der schiefwinkligen Dreiecks- 
auflòsungen ausgedehnt hat.*) 

Wean man, was unter den vorliegenden Umstanden recht nahe liegt, 
etwa befìtrchten mSchte, daB der im Cod. Regin. 1259 yorliegende Text 
eine Bearbeitung oder neue Bedaktion des Urtextes sein solite, so erfàhrt 
man aus Bheticus' Vorrede, daB diese Furcht unbegrùndet sein dilrfte. 
Die zitierten Worte: „sed nos inchoatam optimi Appellis Venerem diversa 
manu non perficiendam statuimus^^ zeigen klar, wie àngstlich Bheticus, 
der einzige, der nach Werners Tod Veranlassnng batte,') an den Arbeiten 
zu korrigieren, eventuellen Textànderungen gegenùber war. Noch deutUcher 
kommt scine Het&t zum Vorschein in den Worten, mit denen er fort- 
setzt: „Porro eam Yernerus in his condendis libris yiam est ingressus, ut 
doctrinae triangulorum sphaericorum a se traditae, nibil a quovis artifice 
addi, quod non redundaret, posset, nihil demi, sine noxa totius operis, oum 
nihil redundet/' Aus einem anderen Passus der Vorrede, der eigentlicb 
nur das Buch de meteoroscopiis gilt, erhellt auch deutlich, daB Bheticus 
einen offénen Blick daftir batte, daB eine Bearbeitung von den Wemerschen 
Arbeiten, so unvoUst&ndig diese auch Ùberliefert waren, sie sehr leicht ver- 
unstalten wtbrde: „Yirgilius sua Aeneida flammis potius absumi voluit, 
quam edi ultima manu non imposita, neque noster [d. h. Werner] sua, ut 
res exigebat, perpolire et perficere potuit morte praeventus. Ego in alieno 



, -r» cosbstnc — stnhcosceosA ... . i 

1) cotB^ r— ; — : — :: Dut semcm Analoffon, 

stnbstnA . • ^ • 

cosC^ sin A sinB case — eoa A cosB und -: — j =» . ^ «= . ^ . Letzterer Satz, dei 

sin A 8inB stnC 

SinuBsatz, war den Arabem bekannt und stand auch bei Regiomontan. 

2) Ygl. A. y. Braunmtihl, Btitrag zwr Geschichte der prosthaphàretischen 
Meihode in der Trigonometrie, Bibliotheca Mathematica 10,, Stockholm 1896, S. 108. 
— Derselbe, Vorlesìéngen tU>er Geschichte der Trigonometrie I, S. 186—187. 

8) Die Yezmutung lag unter diesen UmstSnden nahe, daB Bheticua* Hand 
mit der zweiten Hand des Cod. Begin. 1269 identisch sei. Durch einen Yergleich 
mit einem sicheien Rhetìcusautograph in der Univerait&tBbibliothek zu EOnigsberg 
wurde diese Yermutung jedoch mnf&Uig. 

Abhdlgn. s. Oeicli. d. math. W ìm. XXIY. 1 1 



162 Anhang. 

opere ingenium nostrum ostentare nolui, et ita qualia sunt imperpolita aut 
etiam ìmperfecta an ederem, dubitavi. Yicit tandem omnes deliberationes divi 
Augusti consilium. Aeneis, licet non sit, qua optasset Virgilius arte et 
diligentia exculta, tamen Divus Augustus bis divini Yirgilii laboribus totam 
posteritatem defraudari noluit. Videmus et simili Consilio pleraque excellen- 
tissimi medici Montani scripta, dieta et facta in lucem prodire. Non igitur 
dubitemus et nos, Germani nostri mathematicum opus non onmibus modis 
excultum neque absolutum edere, quod tamen praestantius erit multonun 
aliorum perpolitis et magno apparatu scriptis voluminibus.^^ M5cbte auch 
jemand Bbeticus' Worte als Phrasen auffassen, die darfiber decken sollten, dafi 
er nicht die Mùhe baben woUte, die Wemerscben Werke fertig zu redigieren 
und das letzte verscboUene Bucb zu rekonstruieren, so verbtkrgen sie 
uns jedenfalls, dafi er die beiden Texte bat abscbreiben lassen, obne 
sie irgendwie zu andem oder zu verbessem. WissentUcb bat er sie, wie 
er sagt, „unpoliert ja sogar unvoUendet^^ so wie sie vorlagen, zum Drack 
befÒrdem wollen. Die yorUegende Textausgabe und die an dieselbe gè- 
kntLpfte Eritik (vgl. oben S. 145) bestatigt in jeder Beziebung Bbeticus' 
Àufierungen; aucb obne sie kdnnten wir den Text als einen „unpolierten 
ja sogar unvollendeten^^ cbarakterisieren. 

Warum Bbeticus 13 Jabre scbwankte, ebe er die Drucklegung in 
Angriff nabm, erklart er aucb in der Vorrede: „Cur tam diu apud me 
latuerint, multae sunt causae. Primum et secundum meteoroscopium qui- 
dam prò suis ediderant; nam ut postea a Geòrgie [d. b. Hartmann] 
audivi, illi apud se conspecti operis rationem et formam expresserant. Sat 
sciebam, Belleropbontis fabulam lusuros, ut se quidem facti autores prae- 
dicarent; sed apud nos esse, qui monstre superato linguam baberet, qua 
facti autorem demonstraret. Dum dubitamus, nosteme [d. b. Werner] an 
illi meteoroscopiorum sint autores, nibil praeterea ea de re prodire videmus. 
Yerneri igitur meteoroscopia amplius pr aemenda non duximus, maxime 
cum alia insuper duo meteoroscopia tradiderit prioribus longe praestantiora; 
quum praeterea muta illa sunt et absque lingua, nostra vero facunda et 
quae sua eruditione omnem posteritatem aluerint.^^ Erst cine genaue Unter- 
sucbung des Bucbes de meteoroscopiis und eine Vergleicbung mit den in den 
Jabren 1528 — 1557 publizierten astronomiscben Werken wird ins reine 
bringen, wer diejenigen sind, die, v^ie Bbeticus bier sagt, das Werk 
Werners bei Hartmann eìngeseben und einen Teil desselben als eigene 
Arbeit berausgegeben baben. Wie oben (S. 158) angedeutet, làfit sich 
jedocb vermuten, dafi mit der einen von diesen Personen Peter Apian 
gemeint ist.*) 

Wir mòcbten wissen, warum Bbeticus, wenn er endlicb nacb langem 
Scbwanken die Drucklegung in Angriff genommen batte, docb nicbt die 
Wemerscben Arbeiten drucken Uefi, um so mebr, weil die Beantwortung 
dieser Frage sicberlicb tlber die Entstebungsgescbicbte von. Bbeticus' und 



. 1) Von Apian batte Bbeticus keine gute Meinnng. „Eju8 artem saepe 
Bbeticus, bonae memoriae, vocare solitus erat faden kunst^* schreibt Tbadd. 
Hayek (Hagecius) im Jabre 1688 an Tycbo Brabe. Ygl. Tycbonìa Brabei 
et ad eum doctorum vìrorum epistolae ab anno 1588, ed. F. B. Friis, Havniae 
(KDbenhavn) 1900—1907, S. 28. 



4. Textgescliichte. 153 

Othos OptM paiixHnum^) Licht verbreiten wtlrde. Das Opus palatinum ìst 
namlich, sicht in den Einzellieiten^), sondem in der Anlage und Einteilung, 
iind nicht zum mindesten in der Langatmigkeit und IJniibersicliilichkeit die 
Yervollstandigung yon Werners Buch tiber die Kugeldreiecke und die ein- 
gehendere und methodischere Behandlung der diesem Werke zugrunde 
liegenden Ideen. Die drei Haupttheorien, die Werners Buch behandelte, 
erstens die Elarlegung der verschiedenen mòglichen Dreiecksformen (Buchi), 
zweitens die Auflosung vom rechtwinkligen Dreieck (Buch II), dritikens die 
des schiefwinkligen Dreiecks (Buch IH — IV [und V?]), diese drei Haupt- 
theorien bildeten auch den Inhalt vom Opus paleUinum, inBofem es von 
spharischen Dreiecken handelte. Ùberall, wo Werners Buch unvollkommen 
ist, wo seine Einteilungsprìnzipien nicht subtil genug sind, um alle mòg- 
lichen SpezialfóUe auszuscheiden, da erreicht es das Opus pcUatinum, alle 
einzelnen Fftlle eigens zu erdrtem und die subtìlsten EinteHungsprinzipien 
durchzuffihren, und immer in der sjstematischsten Art und Weise.') 

Es liegt offenbar sehr nahe, in diesem eìgenttbnUchen Yerh&ltnis der 
beiden Werke zueinander die Ursache zu der unterbrochenen oder auf- 
gegebenen Drucklegnng von Werners Werken zu suchen; denn SLuBere 
GrOnde waren nicht Yorhanden; nach dem Jahre 1557 lebte Bheticus 
noch 16 Jahre und war bis zu seinem Todestage rtlstig und arbeitsf&hig; 
andere Arbeiten yon anderen Grelehrten, die die Publikation von Werners 
BQchem unnStig machen konnten, erschienen auBerdem nicht in der Zeit 
ums Jahr 1557. Wir mlìssen also nach inneren GrOnden suchen, und 
stoBen da zunàchst auf die Unvollkommenheiten, die der Wemerschen 
Arbeit anhaften. In seiner Yorrede gibt Bheticus, wie wir sahen, kund, 
dafi diese UnTollkommenheiten da sind, aber nicht ge&ndert werden ddrfen; 
er f&gt indessen cine Lobrede hinzu: „Yoluit [d. h. Werner] omnibus numeris 
[opus] esse perfectnm, elementis ezceptis, quae a Theodosio et Menelao 
traduntur. Hoc suum consilium prudentissime in bis, quae effecta sunt, 
pertendit, ita ut facile erudita facilitate omnium ante se in hoc genere 
scripta supere!" Diese Lobrede ist keine leere Lobhudelei. In der Anlage 
und in der Sjstematik war Werners Werk im Jahre 1557 tatsàchlich das 

1) Opus palatinum de iriangiUis, a Georgia Ioachimo Rhetieo coeptum: 
L. Valentinus Otho, Principia Palatini Friderici IV. Electoris Maihematicus, con- 
summavit, Neustadt 1696. 

2) la seinem Diàiogus de canone doctrinae triangulorum hinten im Canon 
doctrinae iriangulorum , Leipzig 1661, sagt Rheticns, daB er weder dem Ptole- 
maioB noch Geber, dessen Methode yen Peurbach, Begiomontan undWernei 
auBgebaut sei, bei der AnflOsung sphSxiBcher Dreiecke folge, sondem yon der 
BetrachtuDg yon Pyramiden ansgehe, deren gemeinsame Spitze der Mittelpunkt 
der Engel sei, und deren Grnndfl&chen ebene Dreiecke seien. (Ygl. K. Hanrath, 
Des Bheticus canon doctrinae iriangulorum %md Vietala canon maihematicus, Abhand- 
7«N^en;?ttr(7e«c^icAtec{eTÌIfae^mafar,Hef(i9(Gantor-Fe8Ì8chrift),Leipzigl899,S.216). 
Die Worte dea Bheticns sowie die Bezeichnung dodrina triquetrorum globi far die 
Lehre der sph&rischen Dreiecke zeigen, dafi Bheticus schon im Jahre 1661 uber die 
ans dem Opus palatinum bekannte Behandlongsweise und Nomenklatur der Sph&rik 
nachgedacht batte und sich in diesen Beziebungen nicht an Werners Einflufi gè- 
bunden fOlhlte. Vielmehr folgte Bheticus der yon Coppernicus (De revolutionibus 
I, 14) erfundenen Methode, die offenbar nichts mit Werners Bach zu tun batte. 

8) Ygl. A. y. Braunmflhl, Vorlesungen Uber Geschichte der Trigonometrie 
I, S. 215—220. 

11* 



1 64 Anhang. 

beste in seiner Art; denn Nasìr-Eddìn-Tùsis (1201—1274) Werk aber 
das vollstàndige Yiereck^) war ja in Europa ganz unbekannt; und Begio- 
montans Dreiecksbtlcher haben einmal eben in der Anlage und in der 
Sjstematik ihre schwache Seite, zweitens geben sie allerlei ganz nebensach- 
liche Sàtze nach alteren Werken recht krìtiklos wieder*), wahrend Werner 
unbeirrt bei der Hauptsacbe, d. h. der Dreiecksformeneinteilung und Dreiecks- 
aufldsung bleibt. Seit Nasìr-Eddin enthielt nicht, wie y. BraunmtLhl 
annehmen mufite^), das Optts pàkUinum, sondem Werners Spharik (Buch I) 
die erste systematische Aufstellung der verschiedenen Dreiecksformen; und 
mit dem yollfEQirten ftlnften Buch batte sie sicber auch die Yollstandigste 
und wegen der Anwendung der ProsthaphSxese jedenfalls die fEtr praktische 
Zwecke am besten geeignete Theorie der Dreieoksberechnung abgegeben. 

Dennoch muB man sagen, dafi Werners Buch zu wenig und doch zu 
yiel gibt. Letzteres konnte Bheticus nicbt seben, ersteres um so yiel leichter. 
Ganz abgesehen von der Unfertigkeit des Werkes und Ton seinen direkt 
falscben Sàtzen im ersten Buche, so batte Bheticus, wenn nicht frfiher, 
so jedenfalls beim Durchlesen des Druckmanuskriptes oder bei der Eorrektnr 
des zum Druck befórderten Werkes klar einsehen mtlssen, dafi es den 0-e- 
lehrten noch bei weitem nicht dasjenige leistete, was es nach seinen eigenen 
in der Vorrede gesagten Worten leisten solite: „Nostrum vero con- 
silium fuit, ut eruditi, qoibus tantum est otìi, quo geometrìcum versent 
pulyerem, habeant principio totius de sphaericis matheseos the- 
saurum in libris triangulorum. In subsequentibus vero de meteoroscopiis 
libris videant tanti thesauri usum, se in iis exerceant, et inde quìcquid 
sphaericae considerationi dignimi habeat coelum, mare, terra, natorae in 
bis contentae depromant." Die ausgehobenen Worte pafiten nicht auf den 
von Werner hinterlassenen Torso, sie bilden aber das Programm f&r 
Bheticus' Lebenswerk, das Opus palatinum. Wenn er schon ìm Jahre 1568 
mitteilen kann, dafi er ungefslhr die Hàlfte dieses Biesenwerkes fertìg hat^), 
so wissen wir und yerstehen auch, dafi die Drucklegung von Werners 
Werken deshalb aufgegeben wurde, weìl Rheticus deren auf Yollkommen- 
heit angelegte, aber unvollf&hrte Theorien zu einem vollendeten Standart- 
werk ausbilden wollte. Leider yersah er sich auf das unpraktisch Theoreti- 
sierende in Werners Werk, schob der Einheitlichkeit wegen dessen prak- 
tische Methoden beiseite, und aus lauter ÀngstHchkeit yerfiel er — mit 
der Mangelhaftigkeit yon Werners Buch als mahnendem Beispiel — auf 
die Weitlaufigkeit, die sein Werk so unhandlich machte und scine Voll- 
endnng und Drucklegung derart yerz5gerte, dafi es bei seinem Erscheinen 
im Jaìire 1696 yon Vietas Arbeiten tiberholt war.^) 

1) Traité du quadrilatere, aUribué à Nassirttddin'd-Tottssy, trackUt par 
Alexandre Pacha Caraihéodory, Constantinople 1891. Ygl. A. v. Braunmùhl, 
Vorlesuf^gen tiher Geschichte der Trigonometrie I, S. 66 — 71. — Derselbe, NasHr 
Eddin Tdsi und Regiomontan, Nova Ada, Abhandlungen der Kais. Leop^^duroi. 
Deutschen Akademie der Nabwrforscher , Bd. 71, Nr. 2, Halle 1897, S. 88 ff. 

2) Vgl. A. V. Braunmflhl, Yorkswngen I, S. 127—182. — Derselbe, Nasnr 
Eddìn TtUi und Eegiomontan, S. 58 ff., namentlich S. 66 — 66. 

3) A. V. Braunmùhl, Vorlesu^gen I, S. 218. 

4) Ibid. S. 212. 5) Ibid. S. 218 und 220. 



4. Textgeschichte. 165 

Das Druckmanuskrìpt von Werners beiden Werken blieb natlirlich in 
Rheticus' Besìtz bis zu seinem Tod (1576) imd gmg dann ganz selbst- 
verstandlich mit seinen Ubrìgen Nacblassenscbafken an seìnen Scbiller und 
Mitarbeiter L. Y. Otho Uber. Was aus dem Origìnalmanuskrìpt geworden 
ist, wìssen wir dagegen nicht. Sicber ist nur, daB entweder das eine oder das 
andere oder vielleicbt beide nach Othos Tod mit dessen tibrigem literarischen 
NacblaB an den Heidelberger Professor Jakob Cbristmann (1554 — 1630) 
kam.^) Im Jahre 1611, als dessen Bnch Tbeoria lunae^) erschien, konnte 
er namlich die beiden Wemerscben Arbeiten zitieren. Ja er sagt sogar in diesem 
Bncbe mebrmals, daB er sie besitze, und sacht in aUer Weise Werner zu 
yerteidigen und seine Bedeutung hervorzubeben. S. 120 sagt er z. B.: „Sunt 
enim in manibus scripta Regioni ontani, Werneri, Copernici'): ex qui- 
bus dieta nostra probari possunt." S. 123 verteidigt er ihn gegen Tjcho 
Brahe (1546 — 1601): „Caeterum, quia mentionem Werneri fecimus, placet 
nunc integram historiam recensere, ut pateat, quomodo vir ille, omni laude 
dignissimus, Spicam yirginis observaverit: sunt enim iniqui quidam censores, 
qui existimant, Wernerum casum observationis fìnxisse potius, quam revera 
ccelitus denotasse: inter quos principem locum obtinet Nobiliss. Tjcho 
Brabe, ut yidere licet ex eius I. lib. progymnasmatum pag. 220 etc.^) Et 
quia Werner US in demonstratione usus est Prosthaphaeresi nova ac prorsus 
eadem, qua nunc multi, (sed incertis auctoribus) utuntur: idcirco eam per 
praecepta declarabo, et Wernero, tanquam genuino auctori, acceptam re- 
feram." Um nun in Einzelbeiten nachzuweisen, wie Werner die prostha- 
pbaretische Methode benutzte, zitiert er die oben (S. 155 — 156) erwabnte 
Dreiecksaufldsung aus dem Sammelband vom Jahre 1522, und dann resumiert 
er S. 124: „Ex data igitur stellae latitudine et declinatione , sive ex datis 
tribus lateribus in triangulo globi obliquangulo , Werner us quaesivit 
angulum crurum, id est, stellae longitudinem in zodiaco, sed per hjpo- 
thesin Analemmatis. Usus etiam est peculiari prosthaphaeresi, cuius 
demonstrationem attulit in proprio opere de triangulis scripto, 
in quo etiam tres casus Prosthaphaeresium, per tres distinctas 
figuras explicavit, et nonnuUis transscriptoribus occasionem praebuit, ut 
cum opus hoc lucem nondum viderit, sed manuscriptum duntaxat apud nos 
extet, inventionem Prosthaphaereseon sibi vendicaverint, eamque multis 
partibus amplificarint/^ Was Christmann erkl&rt, ist also die in den 
Satzen IV, 2 — 5 des ùberlieferten Textes behandelte Aufgabe, wo in der 
Tat (vgl. IV, 5, corolL, S. 121) Winkel B des schiefwinkligen sphàrischen 
Dreiecks mit den bekannten Seiten a, h, e gefunden wird durch die Formel: 



1) A. V. Braunmùhl, Vorlesungen I, S. 186—187, 221 und 287. 

2) lacobus CbristmannuB, Theoria lunae ex novi^ hypothesihtis et obser- 
vationibua demanstrata, Heidelberg 1611. <• 

8) Diese Zneammenstellung von den Namen: Begiomontanus, Wernerus 
und CopernicuB treffen wir dffcers im 16. Jahrbundert an. Vgl. z. B. Tychonis 
Brahei et ad eum doctorum virorum epistolae ab anno 1588^ ed. F. R. Friie, 
Havniae CE^6benbaTn) 1900—1907, S. 82 — 33. 

4) Vgl. Tycho Brahe, Astranomiae instauratae progymnasmata, Uraniburgi- 
Pragse 1602, S. 220 ff. — Vgl. Tycho Brahe, Epistolarum astronomicarum libri, 
Nfimberg 1601, S. 76. 



166 Anhang. 

-|-{«n(90«-a+c)-ttn(90*~c-o)} r 

«m(90«-6)-«n(90«-c-a) " 8Ìnver8(lB0^-B) 

Da 5i«t?crs(l80®-- J5) =» 1 + co5-S, so laBt diese Formel sich auch schreiben: 

Y { €08 (a — e)— C08 (a + e)] r 

&>8 b — €08 {a -{- e) 1 + eo8B 

und kommt unserer zweiten Hauptrelation, dem Cosìnussatze 

cash ^ cosa cose + Sina sinc cosB 
gleich. Offenbar ist also sin a sino durch 

•|-{co5(a — e) — cos(a + e)] 

ersetzt, und gleichzeitig wird die durch die zweckm&fiige Anwendung Yon 
sin vers entstandene Differenz cos a cos e — sin a sin e durch cos (a + e) 
ersetzt, wodurch sàmtliche Multiplikationen und Divisionen mit Ausnahme 
einer einzigen beseitigt werden. Das Produkt sin a sino kommt bei Werner 
gar nicht Yor, und die prosthaphàretische Formel 

sin a sin e ^ ^{cos(a — e) ^ cos (a + e)} 

fìndet man somit ersi implizite in der obigen Endformel. DaB die andere 
prosthaphàretische Formel 

cosa cose =-|-{co5(o — e) + cos(a + e)} 

nicht bei Werner auffcritt, kommt daher, dafi er von trigonometrìjschen 
Funktionen nur sin und sin vers benutzt^), und also mfissen bei ihm die 
beiden Formeln folgende Gestalt erhalten: 

Sina sinc « ^{5m((90®- a) + e) - 5iw((90<>— e) — a)} 

fttr a + e < 90® und 

Sina sinc^ ^{sin{(90^ - a) + e) + sin(a — (90® — e))) 

fCir a + e > 90®. 

Wenn Christmann nun, wie wir sahen, von „tres casus prostha- 
phaeresium" spricht, so braucht er deshalb keine andere Eedaktion von 
Werners Text als die uns bekannte vor sich gehabt zu haben; denn flb: 
Werner ergeben sich eben wie far seine Nachfolger drei F&lle, die beiden 
obengenannten far a + e < 90® (IV, 2 & 10) und a + e > 90® (IV, 6 & 13) 
und ein Zwischenfall fflr a + e = 90® (IV, 4 & 12), und diese drei F&lle 
mtissen offenbar „per tres distinctas fìguras" bewiesen werden*), ganz aì)- 

1) Dafi Werner auch die Tangens-Fnnktion kannte, erheUt daraus', dafi er 
eine talmla foecunda berechnet batte; vgL Werners Sammelband yom Jahre 1588, 
fol. n,': „At ex qnadam tabula, quam ego ad imitationem tabulae foecnndae 
Ioannis de Regio monte composui." Vgl. auch A. v. Braunmùhl, Vorlesungen 
iiber Geschichte der Trigonometrie I, Leipzig 1900, S. 188, Note 1. 

2) Recht unwahrscheinlich , aber nicht ausgeschlosBen ist es, dafi Christ- 
mann an die drei Filile denkt, die fùr a-|-c]>90^ entstehen, je nachdem 

6^90'^ ist, d. h. IV, 61-a-» oder IV, 18i-a-8. Die Proportion, durch welche 

der Cosinussatz ersetzt wird, heifit hier fiir 6<;90®: 



ì 



4. Textgeschichte. Ig7 

gesehen davon, ob Christmann den figurenlosen Cod. Begìn. 1259 oder 
Werners mìt Figuren yersehenes Orìgìnalmanuskrìpt besafi. Es l&fit sìch 
alBo ans Christmanns obigem Zitat keine eingehendere Eenntnis der 
Wemerscben Arbeit berauslesen als gerade die, die wir durcb den Cod. 
Begin. 1259 erhalten. Nodi deutUcber erbellt dies daraus, dafi bei Christ- 
mann S. 124 — 126 in direktem AnschluB an das Zitat zwei „Praecepta 
ex sententia Werneri" folgen, die mit Christmanns eigenen Worten, 
und zwar immer in AnkntLpfung an die astronomischen Anwendimgen, genaue 
Yorschriften geben, erstens tlber die Berechnung yon B durch a, h imd e 

d. h. Cod. Begìn. IV, 2, 4 & 5), zweitens ùber die yon h durch B, a und e 

d. h. Cod. Begin. IV, 10, 12 & 13). 

Ob Christmann andere astronomische Arbeiten aus Werners Hand 
besaB als den Text de meteoroscopiis des Cod. Begin. 1259, wird erst ein 
Vergleich dieses Werkes mit Christmanns Zitat S. 169 entscheiden kdnnen. 
Da sagt er n&mlich: „referam duas obseryationes, quas clarissimus mathe- 
maticus lohannes Wernerus Norinbergae habuit anno Christi 1517, ut 
ex manuscriptis eius collegimus.^^ 

Wenn er femer behauptet, dafi gewisse Lente (transscriptores) die dem 
Werner geh5rende prosthaph&retische Methode als eigene Erfìndung aus- 
gegeben haben, so mtlssen wir zun&chst annehmen, dafi Christmann hier 
wieder den Werner gegen Tycho Brahe yerteidigen will; denn dieser und 
sein SchtQer Paul Wittich (1555? — 1587) wurden allgemein als die Er- 
finder der Methode betrachtet und waren yielleicht auch Wiedererfìnder der- 
selben.^) Jedenfalls kommt y. Braunmùhl, der dieso Wiedererfindung 
sehr genau er5rtert^), zu folgendem Besultat: „Die Stelle, an welcher 
Werner mit Hinweis auf seine DreiecksbtLcher die prosthaphSxetische 
Methode anwendet, um die Lange der Spica yirginis zu finden, kannte 
Tycho Brahe nachweisbar, denn er spricht oft yon Werners Schrift De 
mota octavae sphaerae^ und greift speziell dessen Beobachtung der Spica an. 

-|-{«n(90*-a + c) + «»n(a-(90<»-c))} r 



wn(90»- b) + 8%n(a'- (SO^- e)) sin t7«r«(180«-B)' 

wo das zweite Glied far 6 = 90® und 6>90® bzw. durch «n(a — (90®— e)) imd 
durch «n(a— (90*— e)) — «n (6 — 90*) ersetzt wird. — In der gegenw9jrtigen Aua- 
gabe werden dieae drei F&lle in cine Figur yereinigt; es ist aber nicht aus- 
ffeschloBsen, dafi ursprfUiglich drei yerschiedene Figuren da waren, oder aber, 
dafi Christmann sich fùr jeden Fall eine Figur gedacht oder gezeichnet hat. 

1) Christmann sagt nicht ausdrùcklich, dafi dieijenigen, die die Erfindung 
far sich yindizieren, sie aus Werners Manuskript gestohlen haben. In dem 
Worte transscriptores liegt aber sicher eine Anklage. 

2) A. y. Braunmùhl, Zur Geschichte der prosthaphàretischen Methode in der 
Trigonometrie, Ahhandlungen zur Geschichte der MaihemcUik, Heft 9 (Cantor- 
Festschrift), Leipzig 1899, S. 16 — 29. 

3) Aus dem oben zitierten (S. 162 u. 166) kùrzlich publìziertenWerk Tychonis 
Brahei et ad eum doctorum virorum epistolae ah anno 1588, ed. F. B. Friis, 
Hayniae (E5benhayD) 1900— 1907, yen dem die neun ersten Faszikeln erschienen sind, 
erhellt, dafi Tycho Brahe sehr eifrig bemùht war, des Buches Werners de motu 
octavae sphaerae, d. h. seines Sammelbandes yom Jahre 1622, habhaft zu werden. Er 
kannte offenbar das Buch yon seinen Beisen, konnte es aber nicht aufbreiben. 
Endlich im Briefe yom 1./11. 1688 schreibt ihm Th. Hayek (Hagecius), dafi 
das lange gesuchte Buch abgeschickt sei (S. 28). Die Sendung yerzOgerte 



168 Anliang. 

Doch konnte ihn der Wortlaut jener Stelle nur auf die Existenz eioes 
praktischeren Rechnungsverfahrens, als das gewOhnliche ìst, auùnerksam 
macben, das Verfahren selbst war absolut niclit daraus zu entnehmen. Da* 
gegen ist es niclit unmQglich, daB Tycho in die Dreiecksbtlclier Werners 
direkt Einsìcbt bekam, als er 1575 Deutscbland durchreiste und speziell 
in Wittenberg war. Denn dieselben waren . . . an Bbeticus gekommen, 
der làngere Zeit in Wittenberg gelehrt batte und in dessen Nacblasse (er 
starb 1576) sie sicb nocb fanden, als sie Cbristmann in Heidelberg er- 
bielt. Docb abgeseben yon dieser wobl kaum mebr beweisbaren Vennntiing 
ist es sicber, daS Tjcbo im Yerein mit Witticb schon 1580 die prostba- 
pbaretiscbe Metbode ausarbeitete/^^) 

sicb aber (S. 65 und 71). Im Briefe Tom 1./Ì1. 1589 sagt Brahe: „diu multun- 
qne iste liber a me expetitus est, nec unquam antea Dancisci licuit*^ (S. 88). End- 
licb am 26./1. 1590 quittiert er far den rìcbtigen Empfang (S. 98). Zu der Zeit 
ala Witticb und Brahe die prostbaphAretiscbe Metbode ausarbeiteten (1580), besafi 
letzterer also nicbt Werners Bucb. — Ygl. aucb F. R. Friis, Tychanis Brahei 
Epistólae 1568—1587, Havniae (EObenhayn) 1876 — 1886, S. 78, 87 und 96. — 
Ebenso A. F avaro, Carteggio inedito di Ticone Brahe etc, con Magini, Bologna 1886, 
S. 898. 

1) Ùber die Frage von der Wiederauffindung der Prostbapb&rese im Jahre 1580 
in Uranienborg auf Hren finden sicb Aufscblùsse in Tycbonis Brabei Epistoltte 
ah anno 1588^ die jedoch nur dazu dienen, y. Braunmùbls Resultat nocb fester 
zu stellen. Von Interesse sind namentlicb Brabes Briefe an Hayek vom 1./Ì1. 1589 
und 14./8. 1592. Im ersten klagt er den Dithmarscben Nicolai Beimers (d. h. 
KaymaruB XJrsus) an, die Prostbapb^ese und andere Tycbonischen Erfindungen 
gestoblen zu haben, und zwar wHhrend eines Besucbes auf Hyen im Jabre 15B4. 
Heimlicb kopierte er alles und gab es in seinem Fundamentum astronamicum 
(Strafiburg 1588) als eigene Erfindung beraus. Dennocb begìng er Febler, aus 
welcben das Plagiat ersicbtlicb sei. Bemerkenswert ist, daB Brabe im zweiten 
Brief (S. 177 — 181), also fùnf Jabre nacb Wittichs Tod, dìesem den ibm gè- 
bùbrenden Teil der Ebre fùr die Erfindung der Prostbapb&rese gibt; aus Gellius 
Sascerides* Brìef vom 1./2. 1591 an Magini mufi man nS»mlicb annebmen, dafi 
er dies nicbt immer getan babe; vgl.T. Braunmùbl, 1. e, 8. 27. Brabe sagt 8.179: 
„Nam quantum triangulorum compendia attinet,jamdudumcumWiticbio, quando 
bic aderat, libenter et liberaliter contuli, et quae tum ab ilio, tum etiam a me 
bac in parte comporta faerant, invicem communicavimus.** Dann folgt eine neue 
Version der Anklage gegen Beimers, die mit dessen Erkl&rung besser ùber- 
einstimmt: „Ipse autem Witicbius, postea in patriam rediens atque debinc ad 
iUustriss. principem Guilielmum Hassiae landgravium profìciscens, illicque ali- 
quandiu commoratus, prìncipis automatopaeo JustoByrgìo iUiterato quidem sed ad- 
modum industrio artifici mecbanico, omnia a nobis concinnata triangulorum mjsteria 
reseravit . . , Post discessum autem Witicbii Ursus iste . . . Cassellas etiam 
accurrit, bypotbeses meas prò suis prìncipi offert ... et ... a dicto Justo 
Byrgio trìanguloram compendiosam demonsixationem atque in numeros [!] reso- 
luti onem, quam illi Witicbius concesserat, obtinuit . . . Quantum ad tnangulos 
attinet, videbis suo loco in nonnullo aliquo tomorum meorum aliquot circa haec 
dogmata, quae meis studiosis jam ante plurìmos annos praescripsi, ut faciliorem 
inde baberent calculi astronomici rationem. Gumque in singalis mensis musaei 
nostri borum descrìptum intuitui patebat (ex qao quilibet ferme eorum peculiare 
ad maDus babeat esemplar) facilimum fnit buie Urso tot dies subdolum parasitam 
agenti ista lambere, utut demonstrationes eorum geometrìcas bic vix acquirere 
potuerìt, eas enim seorsim Inter proprìa quaedam mea majorìs momenti scripta 
conservaram, quas Cassellis a landgravii automatopaeo postea ea, qua dixi, oc- 
casione nactns est. Quin et multa alia habeo, ipsius proprìa manu scrìpta, quae 
bic clam descrìpsit atque una cum caeterìs surrìpere animum induzerat.^* Dem- 
nacb solite Keimers also auf Hven die prostbapb3,retÌ8cben Begeln obne Beweise 



4. Textgeschiclite. 169 

Hierzu ist folgendes zu bemerken: Bis zum Jahre 1557 hatte Eheti- 
cus Werners Manuskrìpt bei sich in Leipzig, Prag tmd zuletzt in Erakow. 
Naòhdem er in diesem Jahre seine Vorrede zu den beiden Wemerschen 
Arbeiten batte dmcken lassen, beabsicbtigte er, wie wir sahen, das Manuskiipt 
nacb Deutschland zu scbicken. Das wabrscbeinlichste ist aber, dafi er diese 
Abaicbt nie verwirklicbte, sondem das Manuskrìpt bei sich in Erakow be- 
bielt, um es bei der Ausarbeitung des Opits palatinum einsehen zu 
k5mien. DafClr sprìcht besonders der Umstand, daB die Wemermanuskrìpte 
wie die ùbrigen Hinterlassenschaffcen des Eheticus scbliefiliGh an Cbrist- 
mann kamen. DaB Tycbo Brabe die Arbeit Werners in Wittenberg 
kennen gelemt — sei es im Jahre 1575 oder in den Jahren 1566 oder 
1568 — 1569, da er auch in Wittenberg war*) — , ist keineswegs unmSg- 
lich, aber dennoch nicht tlberaus wahrscheinlich; und diese Annahme wird 
durch die oben gegebenen AuDschltLsse tlber das Schicksal von Werners 
Hinterlassenschaft weit eher entkr&ftigt als best&tigt. Dazu konunt noch, 
daB die von Brahe und Witti eh ausgearbeiteten prosthaphàretischen Formebi, 
die offenbar mit denen des Nicolai Beimers (f 1599) in alien Einzel- 
heiten identisch sind'), eigentlich keine Spuren davon aufweisen, daB sie dem 
Wemennanuskrìpt entnommen seien. Denn Brahe und Witti eh benutzten 
nicht sin vers und kamen deshalb nicht zu der einfacheren Wemerschen 
Gestalt des Cosinussatzes: 

-|-{«fn(90<>-a + c)-«n(90*-a- e)} r 

sin (90<> - 6) - sin (90« -a- e) "" «nwr«(180»-B)' 

sondem zu der komplizierteren: 

i{«n(90*-a + c)-«w(90«-a-c)} ^ r 

«n(90®-&)-|{sin(90»-a + c) + stn(90«-a-c)} "" sin {90^ -B)' 
Auf der anderen Seite benutzten sie die Prosthaphàrese nicht nur zu den 
beiden Dreiecksaufldsungen , die sie aus Werners Arbeit hàtten kennen 
lemen, sondem auch zu einer anderen, die Werner ohne Anwendung der 
Prosthaphàrese erledigt hatte.^) 

geetohlen haben, was ihm leicht war, weil diese Begeln sich oberali in Uranienborg 
in solchen Abschrìften fanden, die wir von Studnickas Fakaimile (Tjchonìs 
Brahe irianguìorum planorum et sphaericoruni praxis arithmetica , Pragae 1886) 
kennen. Die geometrìschen Beweise aber, die Tycho sorgsamer verwabrte, 
soli er erst spàter bei Bdrgi in Eassel erbalten haben, wohin sie Wittich gè- 
bracht hatte. Auch in einem bisher ungedruckten Brìef dea Jahres 1588 (21./12.), 
auf den Hr. Unterbibliothekar Cari S. Petersen den Herausgeber aufmerksam 
machte (Cod. Breìtenburgensis B119, fol. 686 — 601), verbreitet Brahe sich ùber 
den Diebstahl des Reìmers. — Wie es sich nun auch mit Reimers^ Pnblikation 
▼erh&lt, 80 bezeugen Brahes Brìef an Hayek Yom 4./11. 1680 und Sascerides' 
Brìef Yom 6./8. 1590 an Magini jedenfalls Brahes und Wittichs Prìorìt&t. 

1) Vgl. P. Gassendus, Tychonis Brahei vita, Parisiis 1654, S. 9—10, 18 u. 
86 — 86. — P. R. Friis, Tyge Brahe, KjObenbavn 1871, S. 21ff. — J. L. E. Dreyer, 
Tydko Brahe, Earlsruhe 1894, S. 28 ff. 

2) Vgl. die letzte Pigur in Studnickas Pakaimile mit der Figur im 
Nicolai Raymari Ursi Dithmarsì Fundamentum aslronomicum , Strafiburg 
1688, fol. 20V. 

8) Vgl. in Studnickas Faksimile „ Dogma VII Sphaericorom"— einenWinkel 
eines schiefwinkligen Bph'àrìschen Dreiecks durch die gegenùberliegende Seite und die 
beiden ihr anliegenden Winkel zu finden — mit III, 48—68 der gegenwftrtigen 
Ausgabe. 



170 Anhang. 

Obwohl also die Annahme, Tycho Brahe oder Wittich hatten 
Werner s Dreiecksbùcher in Wittenberg oder anderswo zu sehen bekommen, 
offenbar kelne Wahrscheinlichkeit fllr sich hat, so ist es dennoch nicht 
ausgeschlossen, daB sie oder einer von ihnen eben in Wittenberg tlber den 
Inhalt der Dreiecksbùcher gewisse AufschlQsse haben erhalten k5nnen; denn 
in den Jahren 1571 — 1576 war Johann Bichter oder, wie er allgemein 
genannt wird, Praetorius (1587 — 1616) Professor der hdheren Mathe- 
matik an der Wittenberger Ùniversitat, und er kannte wenigstens in dem 
Jabre 1599 den Inhalt des vierten Buches von Werners Sph&rik; da er 
nun im Jahre 1569 bei Bheticus in Ejrakow war und daselbst mit 
dessen Erlaubnis die Tafeln, die spater ìm Opus pctkUinum erschienen, 
kopierte, so liegt die Annahme nahe, dafi er gleichzeitig yerschiedenes aua 
Werners Buch exzerpiert oder es wenigstens so genau eingesehen 
habe, dafi er anderen von derjenigen Methode zur leichten Berechniing 
sphàrischer Dreiecke, auf die Werner in seinen gedruckten Arbeiten immer 
anspielt, berichten konnte. 

Praetorius sagt namlich in direkter Anknùpfung an eine von ihm 
verfafite, in Handschrift^) aufbewahrte vollstàndige Aufldsung der rechi- 
winkligen und der schiefwinkligen sph&rischen Dreiecke in Tabellenfonn, 
wo sich gerade Werners prosthaph&retische Fonnulierung des Cosinussatzea 
— d. h. mit sin vers (180** — B) — findet: „Johan. Wernerus Norim- 
bergensis, in suis ÌTTT de triangulis libris ut plurìmum occupatus fuit in. 
demonstratione qualitatis arcus quaesiti vel anguli, quae comitatur quali- 
tatem datonun. Eos libros Werneri Bheticus habuit, sed manuscriptos, 
necdum puto excusos. In quarto libro duos illos casus pertractat, quorum 
regulas proximis duabus paginis exposuimus, sed aliquanto prolixior est, 
opus enim habet duabus operationibus/* Hìnzuzuftigen ist noch, dafi die Hand- 
schriffc Yom den Titel hat: „Georgii Joachimi Bhetici Canon Triangu- 
lorum. Johannes Praetorius Joachimicus Ganonem hunc oHm ab authore 
acceptum descripsit Cracoviae Anno 1569. Idem denuo differentiis 
et sinu verso auctum, eundem depìnxit Anno 1599 Mense Julio Altorfìj." 

Um das Jahr 1599, zu welcher Zeit die Handschrifb geschrìeben 
wurde, bemerkt Praetorius also, der schon seit lange verstorbene Bheticus 
habe vier handschriftHche Biicher von Werners Dreieckslehre gehabt, die 
jedoch seinem Wissen nach noch nicht gedruckt worden seien. Das weitere 
Schicksal des Werkes kennt er offenbar nicht, dennoch aber kennt er und 
referiert alles das^ was in dem yierten Buche mit Hùlfe der Prosthapharese 
gefunden wurde. 

Da Praetorius und Tycho Brahe sich kannten und auch miteinander 
in Briefwechsel standen,') so ist es erlaubt, anzunehmen, dafi Tjcho 



1) Cod. Monac. lat. 24 101. Siehe CatalogiM codd. latin, bibliotheeae regiae 
Monacensis, Tom. 2, Pars 4, S. 118. Vgl. M. Gurtze, Die abgehurgte MuìH- 
plication, Zeitsdirift fur Mathem. u, Phys. 40, Leipzig 1896, Hist-liter. Abt« 
S. 7— 18. — A. V. Braunmuhl, Vorlestmgen uber Geschickte der Trigonometrie I, 
Leipzig 1900, S. 186, Note 1. 

2) Tychonis Brahei Epistolae ab anno 1588, ed. F. B. Friis, S. 82. Brief 
Tom l./ll. 1589 an Hayek: „ Praetorius ... (ut ipsemet literìs ad me non ita 
dudum perscriptis fatetur)/' — Es echeint nicht, dafi Brahe und Praetorius 



4. TextgeBchiolite. 171 

Brahe, obwohl er kaum selbst die Dreiecksbiicher Werners gesehen hai, 
dennocli von dem Inlialt des vierten Buches so vìel wuBte, daB er dadurch 
auf die richtige Spur zur Ausarbeitung der prostbapharetischen Methode 
kam. Wabrend Nicolai Beimers, der als der erste die Methode 
publizierte (1588), sie unzweifelhaft gestohlen hai, so kann man also mit 
Bechi von einer Wiederauffindung der Methode dureh Witiich und Brahe 
im Jahre 1*580 reden.^) 

Das weitere Schicksal von Werners beiden Arbeiten kQnnen wir nicht 
genau verfolgen. Chrisimann behielt sie aller Wahrscheinlichkeit nach 
bis zu seinem im Jahre 1630 erfolgien Tod. Den nunmaligen Cod. Begin. 
1259 hai die E5nigin Christina wohl kaum erhalien, bevor sie nach 
ihrer Abdankung (1654) ihr Beiseleben anfing. In dem dazwischen liegenden 
Zeitraum kdnnen wir also die Besiizer des Manuskrìptes nicht angeben. 
Yon Christinas Todesjahr an (1689) lag die Handschrifi fast unbeachtei 
im Vatikan. Nur Bernhard Montfaucon (1655 — 1741) hai sie auf 
seiner Beise nach Italien 1698 — 1700 eingesehen und die Titel der beiden 
Werke in einer yerktLrzien und ungenauen Form abgeschrieben'); diese 
druckte dann Heilbronner im Jahre 1742 ab, ohne cine Ahnung davon 
zu haben, daB Montfaucons „Ioannis Yornerii Neuburgensis de Trian- 
gulis Sphaericis et Meteoroscopiis^' mit den beiden verschoUenen Werken 
des ihm wohlbekannien Ioannes Wernerus Norimbergensis identisch 
seien.') 

Bas Schicksal von Werners Dreiecksbtichem ist ein rechi irauriges. 
Wàre das Werk nur im Jahre 1557 gedruckt worden, wenn auch in seiner 
unvoUendeien Gestalt, so ware es doch zu rechter Zeii gekommen und 
baite irotz Fehler und Màngel seinem Autor Buhm und Ehre gebracht. 
Dann w&re das Schicksal dieses Werkes dasselbe wie das von Begio- 
montans Dreiecksbùchem geworden. 

Ùberhaupi fìndet man cine sonderbare Àhnlichkeit, wenn man das 
Geschick vergleicht, das diesen beiden Arbeiten begegnete. Begiomontan 
(1436 — 1476) hinterlieB wie Werner sein Werk in unvoUendeier Gestalt. 
Wie Werner baite er die Btickweise auf seine eigenen Saize nicht in 
Ordnung gebracht. Die vier ersten Biicher batte er kaum fertig redigiert; 



einander im Jahre 1676 in Wittenberg trafen, wenn man nach Brahes ÀuBerungen 
nrteilen soli. Siehe Tycho Brahe, Astronomiae instauratae progymnasmata, 
Uraniburgì-Pragae 1602, S. 686ff. 

1) Ans S. 46, 66, 90, 116 und 152 derselben Publikaiion gebt hexvor, dafi 
Tycho Brahe sehr eifrìg bemùht war, die Hinierlassenscbaften des Paul Witiich 
zu erhalien, und zwar hebi er besonders hervor: „Copernicum ^tts et quae de 
triangulis conscripsiV^ (8.90). Auch derHinierlassenschafbBheiicus* sucht er hab- 
haft zu werden (8. 152). Yielleicht hoffte er in den Manuskripien der beiden 
Forscher Material zu der von ihm (vg] S. 168, Note 1 oben) beabsichiigten Publi- 
kaiion ùber die Dreiecksaufldsungen zu finden. 

2) Bernardus de Montfaucon, Bibliotheca Biblioiheearum manascriptorum 
nova I, Parisiis 1789, S. 88, d. h. Bibliotheca Beginae Sveciae 1157. 

3) Heilbronner, Htstoria mcUheseos universae, Lip8iael742. ygl.S.518 — 514 
mit 8. 548 und im Index III „yorneriu8" mit „Werneru8^\ 



172 Anhang. 

das fEbifte Lag nur in Materie yor.^) Ebenso verhielt es sìch mit Werners 
Arbeit: druckfertig war nichts davon; Buch II und m waren ihrer Voli'' 
endung am n&chsten, Bach I weniger durchgearbeitet und Bucb lY offenbar 
nur skizzemnafiig entworfen \md dessen Satze weder in Form nocli in 
Inhalt fertig. Die beiden ersten S&tze (IV, 1 — 2), wo die prosthapha^ 
retische Methode begrilndet wird, tragen deshalb auch deutlich das Geprfige 
einer Unbeholfenheit und nnvolIstS.ndigkeit, die w&hrend des Vorschreitens 
des Bucbes sich allmahlich yerlieren. 

Bechi sonderbar ist es, dafi Werner, der sonst gem scine Quellen 
zitiert und in der Sph&rìk auBer Euklid, Theodosios, Menelaos und 
Geber auch Georg y. Peurbach neunt, mit keiner Silbe die Dreiecks- 
bilcher des Begìomontan erwàhnt, obgleich er den Begiomontan in 
seiner Publikation yom Jahre 1514 zitiert und offenbar auch seine Dreiecks- 
bflcher kennt. In einem daselbst abgedruckten Brief an den Eardinal Matthaus 
Lang aus dem Jahre 1513 erzahlt er selbst yon dem Schicksale des Werkes.^ 
Er mochte nicht, sagt er, aus seinen Bemtlhungen dasselbe Besultat er- 

1) Siche A. y. Braunmùhl, Vorlesungen uber Geaehkhte der Trigono- 
metrie I, Leipzig 1900, 8.180. — Derselbe, Nassir Eddin Tùsi und Regio- 
montcm. Nova Ada, AbJtandl. der Kais. Leop.-Carol. Dewtechen Akad. der Nahir- 
forscher, Bd. 71, Nr. 2, Halle 1897, S. 64 und 64. — Vffl. auch SchCners Vor- 
rede za der Editio princepa yen Begiomontans Werk: loannes de Begio 
Monte, De Triangulia omnimodis libri quinque^ Nùmberg 1688. 

2) Wernei-B Sammelband yom Jahre 1614, fol. i^^: „ne idem lucubrationibus 
forte meis accidere posset, quod Ioannis de Begiomonte opuBculis yideo con- 
tigisse. Hic relictae a se chartaceae suppellectilis accipere successorem merait 
yirum quendam latine gxaeceque iuxta eradi tum, sed dum in humanis ageret, 
melancolico ueque adeo epiritu cìrcamBessum , ut libros eiuBdem Ioannis et 
opera non solum nemini communicaret, verum buìb arcis et pluteis arctissime 
cfauBOB custoditosque , ne conspici quidem permitteret. Idem ante decenninm yita 
fanctuB eandem librorum operumqoe posBessionem saia commendavit fidei com- 
missariiB et tutoribus litterarum omnium certe expertibus, hi siye pestilenti in- 
yidiae lue, bìtc nimia ducti cupiditate, quod eadem opera et libros sperarent 
magno disirahi posse pretio, suis abditissimis reconditos scriniis demoliendi tere- 
dinibus blaptisque band minimum profecto compararunt laborem. Et quod absque 
ingenti mentis angore reminisci dicereque nequeo ; ezimia quaedam et astronomica 
organa, quae ipse loannes de Begiomonte magnis sumptibas inunensoque 
labore ex auricbaleo suis elaborayit fabrefecitque manibus, prohdolor malleis 
contusa prò aere vendita fuere caldario. Nemo igitur erit omnium, qui cum hanc 
vel audiyerìt aut legerit litterarum studiorumque iacturam, non yehementer doleat. 
Id tamen nos tum maxime consolari quibit, quod idem loannes de Begio- 
monte lucubrationes suas, quarum editionem indice in publicis gymnasiis ac 
palestris litterariis emisso fiierat polli citus, semiplenas mutilasque reliquit, prae- 
sertim geographiae CI. Ptole[maei] novam interpretationem atque eiusdem geo- 
graphiae primi libri commentationem, quam ego ex integro componens, uti prae* 
fatua fueram, compievi edidique. Denìque libros quinque de sphaericia 
omnimodisque trìangulis a se tumultuarie nulloque recto ordine ser- 
vato, velut in prima rerum inventione fieri solet, perscriptos, con- 
stat morte praeventum imperfectos reliquisse, neque aliis pierisque 
opuBCulis a se inchoatis ob immaturum sui obitum ultimam imposuisse manum, 
uti ex eorandem inventario apertius licet cernere, quae si imperfeeta ac mutila 
in publicum nunc proferantur nescio, an studiosis forte magis obesse possent 
quam prodesse/* — Dieso Worte werfen auch Lìcht ùber Werners Ptolemaios- 
ùbersetzung und Ptolemaioskommentar, deren Grundlage hinterlassene Manuskripte 
des Begiomontan bildeten. 



é. Textgescliichte. 173 

langen wìe Regiomontan, dessen hìnterlassene Arbeiten niclit in den 
Besitz eìnes klassisch gebìldeten Mannes kamen, sondem in die Hande eìnes 
Sonderlings, der, solange er lebte, den Nachlafi àngstlich verschlossen hìelt. 
Dieso Worte sind auf Begiomontans Gònner, den Nùmberger Patrizìer 
Bernhard Walther (1430—1504) gemtlnzt. Nach dessen Tod aber, fàhrt 
Werner fori, wnrde der kostbare Nachlafi, Handschriften sowie Instnunente, 
verkauft und zerstreut. Der einzige Trost ist, daB mehrere der hinter- 
lassenen Werke, darunter auch die DreiecksbtLcher, iinvoUendet und 
yersttbnmelt waren, einige Yon ihnen in solchem Umfange, dafi sie den 
Studierenden etwa mehr Schaden als Nutzen brìngen wùrden, wenn sie in 
dieser Gestalt herausgegeben worden waren. 

Yor dem Jahre 1504 hai Werner also sicher keine Gelegenheit gè- 
habt, die Hinterlassenschaften des Begiomontan einzusehen; und wie sehr 
er sich darùber geargert hai, spttren wir noch in den zitierten Worten. Ffir 
Werner, der in erster Beihe Astronom und Geograph war und alltaglich 
mit Problemen der sphàrischen Astronomie und der phjsischen Geographie 
arbeitete, die er ohne eine spharische Trigonometrie nicht lOsen konnte, 
war es in der Tat argerlich, daB das einzige Werk dieser Art in derselben 
Stadt yerschlossen lag, wo er, der sich als geistiger Erbe des Begio- 
montan fóhlte, wohnte. 

Nach dem Jahre 1504 wurden die Dreiecksbiicher des Begiomontan 
ihm aber zuganglich; und aus Johann SchÒners (1477 — 1547) Vorrede^.) 
zu der ersten Ausgabe derselben wissen wir, daB Willibald Pirckheimer, 
der Werners Freund und bester G5nner war, sie nach Walther s Tod kaufte, 
yielleicht — wagen wir zu erraten — um sie dem Werner zur Verfttgung 
zu stellen. 

Da Werners Sph&rik nach dem Jahre 1505 (ygl. S. 134 & 157) redigiert 
ist, so mtlssen wir also annehmen, daB er bei deren Ausarbeitung Gelegenheit 
gehabt hat, das Werk des Begiomontan nach Belieben zu benutzen; ja 
wir sind zu der Annahme geneigt, daB eben die Eenntnis dieses Werkes 
ihn veranlaBte, scine Sphaiik zu schreiben; denn in Werners oben zitierten 
Worten spùren wir nur allzu deutlich, daB Begiomontans Dreiecksbiicher, 
als er sie endlich zu sehen bekam, ihn tauschten. Ihren Hauptinhalt kannte 
er schon aus den Werken Menelaos', Ptolemaios', Gebers und aus dem 
Kommentar zu Ptolemaios' Syntaxis, den Georg v. Peurbach und 
Begiomontan geschrieben hatten.^) Auch fand er in dem Werke lange 
nicht diejenigen praktischen Berechnungsmethoden, fOr die er Gebrauch 
hatte. Zudem war das Werk ebenso unmethodisch und ungeordnet als 
unvollstandig. 

Unter diesen Umstanden versteht man recht wohl, daB Werner be- 
schloB, die Sache besser zu machen, und zwar die Lehre von den Eugel- 

1) Vgl. oben S. 172, Note 1. 

2) Ygl. A. T. Brannmùhl, Vorlesu/ngen Uber Geachichte der Trigonometrie 
I, Leipzig 1900, 8. 124ff. — Derselbe, Nasstr Eddvn Tusi und Begiomontan, 
Nova Ada, AhhancU, der Kais. Leop.-CaroL Deutschen Akad. der Natur- 
forseher, Bd. 71, Nr. 2, Halle 1897, S. 68 — 61 und 66. Hier wird zuerst Regio- 
montans Abh&ngìgkeit yon Menelaos, Al-B&ttani und Geber nacbgewiesen, 
und durch Yergleich mit Naslr-Eddin-Tùsi wird Begiomontan auf den 
rechten Platz geateUt. 



X74 Ashang. 

dreiecken ganz nea au&ubanen, stati das Werk seìnes grofien Vorg&ngers zn 
verbessem. Wenn er dadurch etwa die Drucklegang von Regiomontans 
Werk verzògert hat, so hat ìhn allerdings eine schwere Nemesis getroffen. 

Ist diese Auffassung die rìchtige, so ìst es begreiflich, dafi man in 
Werner 8 Bucb nìrgends sichere Spuren eìnes Quellenzusaminenhanges mit 
dem des Eegiomontan entdecken kann, wenn auch die Nomenklatur imd 
Ausdrucksweise, die Anwendung von sin und sin vers mit Auslassung der 
anderen trigonometrÌBcben Funktionen uns ahnen lassen, daB Regiomontan 
den Werner mehr beeinflufite, als dieser selbst wtLnschte. Wenn es sich 
so verhalt, yerstehen wir auch, dafi Werners zweites und drittes Buch, 
die er nacb den Anzeichen des Ciberlieferten Textes zuerst ausgearbeitet hat 
(vgl. S. 144), am meisten an Begiomontan erìnnem und nirgends wirk- 
Ùche Neubildungen flber dessen Werk hinaus aufweisen; nur in der Sjste- 
matik, in der Ausscheidung aller Spezialfàlle leisten sìe etwas Neues, wenn 
auch lange nichts vollst&ndiges. 

Bei der Ausarbeitung dieser beiden Bùcher (LE und in) mufi Werner 
aber eingesehen haben, dafi er, um die Spezialfàlle der Dreiecksauflòsungen 
richtig zu imterscheiden, gezwungen war, die Eìnteilungsprinzipien der ver- 
schiedenen Dreiecksformen festzustellen \mà die Formen klarzulegen; und so 
entstand denn sein erstes Buch, das trotz alien Fehlem und Mangeln eine 
wirkliche Neubildung war. 

Obgleich nun Werner so selbstandig arbeitete, dafi seine Abh&ngigkeit 
von Begiomontan schwer nachzuweisen ist, so ist dennoch die Vermutung 
erlaubt, dafi Werners Dreiecksbùcher frtLher von denen des Yorgangers 
mehr abhangig waren, als wir es dem ùberlieferten Texte ansehen kOnnen, 
dafi Werner aber in seinem Werke wissentlich alles tilgte, was dem 
Begiomontan direkt entlehnt war. Im Sammelband vom Jahre 1514 
fìndet sich nàmlich, wie wir oben (S. 154) sahen, eine Stelle, wo Werner 
sagt, dafi er den nachfolgenden Beweis dem dritten Buche seiner Sphàrik 
entlehnt habe (mutuatus fui). Der betreffende Satz — einen Winkel eines 
schiefwinkligen sph&rischen Dreiecks durch die drei Seiten zu finden — be- 
fand sich jedoch, wie wir sahen, nicht im dritten, sondem im vierten 
Buch, aber mit einem anderen Beweis als dem im Sammelband angefOhrten. 
Was aber letzteren betrifft, so macht v. Braunmtlhl darauf aufìnerksam, 
dafi er mit Satz 34 in Regiomontans viertem Buch identisch ist. ^) Es 
liegt also die Annahme nahe, Werner habe ursprtbiglich den Beweis des 
Begiomontan benutzt und ihn im dritten Buch angebracht, spater aber 
einen neuen Beweis gefunden und den Satz nach Buch lY disloziert. 

Diese Annahme wird uns sofort glaubwUrdiger, wenn wir beachten, 
dafi der neue Beweis oder vielmehr die neue Dreiecksauflòsung in der Auf- 
stellung des prosthapharetisch gebildeten Cosinussatzes besteht; denn die 
natfirliche Entwìckelung ist eben die, dafi Werner urspriinglich samtliche 
Auflosungen des schiefwinkligen Dreiecks in einem Buche (Buch IQ) 
sammelte und die Beweise des Begiomontan benutzte, d. h. soweit 
mdglich mit Zerlegung in rechtwinklige Dreiecke operierte, und in dem 



1) A. ▼. Braunmùhl, Vorìtsungen aber GesckichU der Trigonometrie I, 
Leipzig 1900, S.129 und 185. 



4. TeztgeBchichte. 175 

einen Fall, wo die Zerlegung nicht zum Ziele ftUirte, dem Yorganger 
folgte. Erst spater folgte dann die Entdeckung, daB eben dieser Fall sicb 
viel leichter iQsen lafit durch den von Begiomontan nach Al-Bàttani 
aufgestellten Cosinussatz (Satz V, 2), und noch spàter erfolgt die Umbildung 
dieses Satzes, welche die eben bei diesem Falle friiher recht scliwerfàllige 
Bereclmung so geschickt erleichterte, d. h. die Erfìndung der Prosthaph&rese. 
Und nun kommt es ganz natfirlich, daB Werner vorlaufìg das dritte Buch 
unverandert laBt und es zitiert, indem er dock immer hinzufiigt, er habe 
eine neue, leichte Berecbnungsmethode erfunden, und gleichzeitig kùmmert 
er sicb weniger um die drei ersten Btlcher, sucbt aber auf alle Weise 
die Anwendung der neuen Metbode auf mehrere Falle auszudehnen, um 
auf diese Weise Material zu zwei neuen BtLcbern (Buch IV und V) zu 
erbalten. 

Gelegentlich hat er dann den SchluB des dritten Buches, der zu viel 
an Begiomontan ennnerte, gestrichen, d. h. in erster Beihe den erwahnten 
Fall mit dessen fOr die Berechnung wenig geeignetem Beweis, dann aber 
aucb den umgekehrten — eine Seite durcb die drei Winkel zu finden — , 
der zwar durch Zerlegung in zwei recht winklige Dreiecke, aber nicht durch 
die Qrtmdformeln derselben, sondem durch einen speziellen Satz gelòst wurde.^) 
Dieser Satz fehlt namlich yoUstandig in dem ùberlieferten Wemertext, und 
selbstyerstandlich ist es niemals Werners Absicht gewesen, den einen Fall 
der schiefwinkligen Dreiecke ungelSst zu lassen; vielmehr gehdrte dieser Satz 
zum Bereich des verschoUenen oder nie redigierten ftinfken Buches, wo er etwa 
prosthapharetisch wie Dogma VII inTjchoBrahes handschrifklicher Triangu- 
lorum planorum et sphaericorum Praxis Arithmetica gelSst werden solite.*) 

Durch dies Gemisch von Dislokationen und UnvoUendetheit, das den 
Text entstellt, erklart sich auch der Umstand, daB der eine Fall der 
AuflOsung schiefwinkliger Dreiecke — eine Seite durch den gegenùber- 
liegenden Winkel und die beiden anderen Seiten zu finden — zwei- 
mal Yorkommt. Einmal wird dieser Fall namlich im dritten Buche, 
Satz 1 — 10 durch Zerlegimg in rechtwinklige Dreiecke gelòst, zweitens aber 
prosthapharetisch durch den Cosinussatz im vierten Buch, Satz 10 — 17. 
DasS er die Dubletsatze HI, 1 — 10 nicht gestrichen hat, kommt einfach 
daher, daB er dann das ganze dritte Buch batte umarbeiten mùssen. Jedoch 
hat er sicher daran gedacht, sie yor der Drucklegimg des Textes zu streichen. 

Ist diese ganze Betrachtungsweise der stufenweisen Entstehimg yon 
Werners Buch die richtige, so hat der Yergleich mit Begiomontans 
Dreiecksbùchem uns so weit geholfen, daB die Textgeschichte, wenn nicht 
in jeder Einzelheit, so doch in den Hauptztigen recht klar daliegt. 



1) Ygl. Begiomontan, Buch lY, Satz 38. Siehe A. v. Braunmùhl, Nassir 
Eddin Tusi und Begiomontan, Nova Acta, Abhandl. der Kais. Leop.-Carol. 
Deutsehen Akad. der Naturforschery Bd. 71, Nr. 2, Halle 1897, S. 62. 

2) Ygl. Studnickaa Faksimile, Pragae 1886. Ygl. A. v. Braunmùhl, Vor- 
lesunaen «&«• Geschichte der Trigonometrie I, Leipzig 1900, S. 181, 192 und 201. 
— Ygl. damit H. G. Zeuthen, Geschichte der Mathematik im 16. wnd 17. Jàhr- 
hundert, Leipzig 1908, S. 114. 



5, Ùbersicht des Textmhaltes. 

In der nachfolgenden Tabelle Uber die S&tee in Werners de triangulit 
BptMericia ist: 

C = Coppe rnicns, De revolutUmibus orhium coelesHum, Ntimberg 1648. 

£ « I^fnfioma in Almagestum Ptolemaei, Yenedig 1496; ygl. S. 184. 

6 » Geber filine Affla, De astronomia libri IX, Nùrnberg 1634; vgl. S. 184. 

M » Menelans, Sphaerica, Oxford 1768; vgl. S. 184—186. 

N » Na88Ìruddin-eUTon88j, Tratte du quadriUUère, Gonstantinople 1891. 

=: Georgin8 Ioachimn8 Eheticn8 & L. Valentinus Otho, Opus pala- 
Unum de triangulis, Nea8tadt 1696. [Pan II:] De triangiUis globi. 

P = Ptolemaeu8, Syntaxis mathemaHca, Leipzig 1898 — 1908. 

B = Ioanne8 de Regio Monte, De triangulis omnimodis libri 5, Nilrn- 
berg 1688. 

T » Tycbo Brahe, Triangidorum planorum et sphaericorum praxis arithmetica, 
Prag 1886. 

U « Nicolan8 Raymarne Urens, Fundamenium astronomicum, Strafiborg 1588. 

[] » wird Yon Werner nicbt bewiesen oder nicht anedrùcklich gesagt. 

= implizite, d. h. nicht ala Satz formnliert. 

Die Yerteilnng der Figarenbnchstaben ist der trbersichtiicbkeit wegen in 
der Tabelle einheitlich gemacbt, so dafi die Figarenbnchstaben der letzteren die 
des Textes nicht genau wiedergeben. 



'i 



6. Ùbersicht dea TextinhalteB. 



177 



Bnoh I. 

Diskussion dea sphàrischeu Dreiecks. 
(ABO aphàrÌBches Dreieck mit Seiten a, ò, e.) 



Satz. 


Wenn 


BO ist 


Vgl. 


1 


B—G—90^ 


6— c — 90» 


G 1,111,8. NV,nr,ii-Tninv. 

&/3-y.RIV,8M&6».Oin,l. 


2«) 


JB— 6 — 90» c<90« 


A — a—so* 


Gì, 1111, u RIV,6»&7». 
Olii, 18 & 88— 89. 


4 


ò — e < 90* 


B — C<90» 


MI, 2 RIV,10inv.CI14, 
IX. Olii, lemma ni. 


5 


b — c>90* 


B — C>90« 


Mr,2. RIV,lliiiv.CI,14, 
IX. Om, lemma HI. 


8 


< < 

< 

> 
A— 90^ 6>90« c<90* 

> - 

> > 


< < < 

< 
> 

a>90» J}>90"' C<90'' 

- > - 

< > > 


MI, 21. GI,11^ NV,m, 
IV,lemma.RIV,4». QUI, 
lemma I & 84. 


6») 


Gì, 111-8. om, 82. 


7 


GI,11'. RIV,4*. Om,86. 


8 


Oni,88. 


9 


GI,11«. RIV,4«. Om,36. 


10 


< < 

= < 

-4<:90* b 90* e 90® 


< 1 


P>1 

L<J 




NV, m, IV lemma, 
om, 46. 


11 


< > < 

a 90" B 90» G 90" 


om, 44 


12 


> < 

> - 


r>i 


> < 


om, 48. 


18 


< > < 


om, 46. 


14 


< < 
< 

A>W 6>90<' c<90» 

> - 

> > 




< < 


MI, 21. OHI, 68. 


15 


> < < 

a>90» B^90« 0—90" 
> > > 


m, 66. 


16») 


om, 60. 


17 


om, 67. 


18 




> > 


om, 69. 


19-20») 


EonatrnkbTe Hfllfs&tze. 




21 


< 

C<90» b 90* 

B— 90» > 

C— 90» 


< < 

a 90^ A 90* C<9D'» 
> > 

6 — 90* 


MI, 22. Gì, 11", 15. R IV, 

6»&7» om,4o. 


22*) 


GI,llis,i6. RIV, 6»&7» 

om, 42. 


28*) 


Gì, 11*. RIV, 4\ 


24*) 


< < 

- < 

Br<90* c>90'' 6<90'» 

> - 

> > 


> > > 

< < < 

> PI > 

< L<J < 

a^90Mr^l90»C^90« 

< < > 


om, 62. 


26*) 


OHI, 60. 


26*) 


om, 64. 


27*) 


OHI, 61. 


28») 


> 
< 




^ 




< 




om, 68. 



Abbdlgn. z. Ckioh. d. maih.Wi8s. XXIV. 



12 



\ 



178 



Anhang. 



Satz. 


Wenn 


80 Ì8t 


Vgl. 


29 


< < 

< - 

B>90» c<90'» ò>90» 

- > 
> > 


< < < 

< < < 


MI, 22. Om, 64. 


30*) 


om, 62. 


31») 


a^90M 


P>1 

L<J 


90®C<90® 


om, 66. 


82*) 


> > > 
< < < 


om, 68. 


88 


> 
< 

< 


> > 
< < 


om, 66. 


84 


= < 
- > 

a <90« B<90« Ò<90« 

> > 

> < 


< < 


GI,ll».RIV,88,«.0m,71. 


86 


< > > 

^^90* 6<90® c<90® 

1 > > 

> > > 
< < < 


GI,ll«.RIV,8«.5 0m,74. 


86 


om, 77. 


87 


om, 88. 


38») 


om, 80. 


89 


- < 

- > 
a— 90«J5 90* C 90« 

< < 

> > 


- - < 

- - > 

A 90* b 90" e 90» 

> < < 

> > > 


GI,ll».RIV,88,«.Om,70. 


40 


GI,11>.RIV,8«,B.0III,73 


41 


om, 76. 


42 


om, 82. 


48 


- < 

a>90« JB 90* C 90* 
< < 

> > 


> > < 

A 90» 6 90» e 90» 

> > > 
< < < 


GI,ll».RIV,83,e.OIII,72. 


44 


GI,11».RIV,8«.5.0III,76. 


46») 


om, 78. 


46») 


> 
< 


> > 
< < 


om, 84. 


47 


< 

B— 90*> C<90« b 90« 

> 


< 


< < 

A A/\0 ^ rkfxù 


Gì, 111», 15. RIV,6«&7>. 
om, 88 


60 


a 90" -A jyv e »U' 

> > < 


Gì, lli8,i«. RIV,6»&7*. 
om, 89. 


48 


< 

JB<90« 0—90* fe— 90® 

> 


a^90® ^^90® c^90® 
fìxiatieren nicbt 


om, 94. 


49*) 


GI,ll».RIV,8«.«.Om,9S. 


61*) 


GI,ll».RIV,8»,6.0m,96. 


62») 


< 

5<90® C<90« 6—90® 

> 


> > > 
< < < 

o>90» ^>90» c<90» 
> > < 


om, 99 


68 


RIV, 14 om, 98. 


64 


RIV, 14. om, 100. 


66») 


< 
B>90® C>90* 6—90® 

> 


exiatiert nicht 
a>90» A>90* c>90* 


RIV, 18. om, 108. 


66 


om, 107. 


67 


> 
< 


> 
< 


> 

: < 


om, 109. 



5. Vbersicht dea Textmhaltee. 



179 



Satz 


Wenn 


BO ìst 


Vgl. 


68») 


< 

< 

< 

a<90* 

< 
> 


< 

< 

< 
6—90* 

> 

> 
> 


< 

> 
c>90* 

> 

> 
> 


V V AVA A A A 

co 

o 

V V AVA A A A 

CO 

o 


V V AV\/ V V AV 

co 
o 

e 


NVJTT, Vn. RIV,9inv. 
Om, 116. 


69 


Nv, m, IV. om, 118. 


60 


NV, III, IX. OHI, 117. 


61 


Nv, m, VI. OHI, 116. 


62 


NV, m, vui. om, iis. 


6S 


NV, III, V. om, 114. 


67 


NV, m, X. om, 119. 


64 


a-^h- 


< 
= c— 90* 

> 




< 

A—B—G—W 

> 




66 


NV,m,I&ainv.Om,110. 


66 




68 


B<90<> 


(7>90* 


6<90* 


a ^90» ^?*90» 


c^90* 


OTTI, 106. 



1) Nicht genan bo formnliert, wie es die Tafel zeigt. 

2) Mebr spezìalisiert ala in der Tafel. 
8) Satz oder Beweis falBch. 

4) Zweidentig abgefafit. 



Bnoh n. 
1. Allgemeìner Teìl. 

Die spharisch-trigonometriBclien Grandformeln. 



Satz 


Bagt 


Vgl. 


1 


^«-J-5-?-' B0ÌBt|_^(HùlfBatz) 




2 


_, A e E . . DA E . 

Ji-S^Hfllfsatz) 




8 


9ÌnABr^8ÌnBC, wenn AB + BC = 190^, d. h. 
sm(180®-a) = fiina 


(M)(P)(E)(R)(N).UIU,13. 


4—6 


Menelaos' Satz (Transverfialensatz) in der Ebene, 

2 Falle 


PI, 18. NII. ET, 9— 10. 


6—7 


HùlfBatze zu Menelaos' Satz anf der Engel 


PI, 13. N1II,I, I. EI, 
11-14. 


8—9 


Menelaos' Satz (Transversalensatz) anf der Engel, 

2 Falle 


MIII,1. PI, 13. NIV, 
II -III. EI, 16—16. 


10 


Wenn in den apharischen Dreiecken ABC und 
A^B^C^ A ^ A^ und 0=0^ oder C+(7i = 180*, 

. ^ sin e sin e. 

BO ist — . — = . *- 

stna sma^ 


Min, 2. 



180 



Anhang. 



Saiz. 


In dem bei C rechtwìnkligen sph&rischen 
Dreieck ABC mii den Seiien a, ò, e ist: 


Vgl. 


11 


— — s — — — d. h. Grrondformel I, Ereatstheorem 
stna sin A (regola 4 quantitakam) 


(M). GÌ, 12-13. NV,V, 
139-166. E 1, 18*. R IV, 

15-16. CI, 14, in. 01, 

16, 21-23 & 39. 


12 


9inc sin {90*— a) 
8inb~8Ìn{90*^A) 


(M). NV,V,161 162. 
Én, 33. 01, 18& 20. 


13 


sin {90^— a) Hntot , . ^ ,- , ^tt 
— ,^^a — f « . ^^^- -^ d. h. Gnmdformel Ili 
«fn(90®— e) 8tn(90^—b) 


(M). Gì, 16. NV,V,168 
-159.E I,19,coroll.&II,l. 
R1V,19. 0,1.28. 


14 


«n(90«-a) sintot . . ^ ,. , •- 
8tn{9Q''—A) stnlf 


(M). Gì, 14. NV,V, 159 
—160. E1V,18&V,14. 
01, 24—25. 


15 


Wenn f = ^, «o ist ^'^ = D (Halfsate) 


E 1,19. 


16 


Wenn ^ - ^ , so iat ^. - C (Hùlfeatz) 





Eb fehlen aUo die Gnmdformeln II, IV, VI dea rechtwinkliffen Dreiecks und 
alle Gnmdfonneln dea achiefwinkligen, danmter der Sinnaaatz (N V, V, p. 156 — 158. 
BIV,7). Der CosmnBaatz folgt in Bach IV. 

2. Spezieller Teil. 

Die Aofldsnng dea rechtwinkligen sphàrisclien Dreiecks. 
{ABC lechtwinkligea [(7=90^ aph&rìacfaea Dreieck mit Seiten a, 6, e) 



Satz 


Gre- i mi i .^. 
geben finden, ^"^""^ 


Vgl. 


17*) 


Aj e 


a 


n, 11 


NV,vn,ivi.». Riv,27«. on i&iv I m. 
ci,i4,i\T Tiv um,iv,v. ^"' ^ * ^^» ^—^ 


18 


a, e 


A 


11,11 


Nv,vn,ii,i. Riv, 25». Qji jy- jy 5- xjj 

TE. Um, IV, IIL ^"i^v«AV, A AH. 


19") 


A,b 


B 


n, 17 


NV,vn,vi,«. Riv,27». ci,(.j.nj. jy yn-TX 
i4,ivi. Tin. uin,iv,vi.^^^*^^'^" ^• 


20 


a, e 
a, e 


b 


n, 13 


NV,VII,Ii.». RIV, 251. Qj. jy . jy 
[TI?] Um,IV, m. ^AAiAV^lV, A AlL 


21 


B 


II, 20 & 18 


NV,vn,ii,«. RIV, 25». oniv&rv x-xn 
TU. u III, IV, m. ^"»^^ * ^^' A— Au. 


22 


a, b 


e 


II, 11 


"" Vi"' u m ^iW' ^°'^ * i^' ™-^- 


23*) 


Ab 


e 


TT,14&11 


NV,Vn,Vl.i. RIV,278. CI,QUJU- jy yy rj 

i4,iv8. Tin-v. um,iv,vL ^^^^ « ^^^ vu-ia. 


24 


J., a 


b 


II, 11 & 20 


NV,vii,nii,«.Riv,27i.ci,Qjj n&rv IV vi 

14,IV5. TIV. DIII,IV,IV.^^' 11&1V, IV Vi. 



1) Ea fehlen alao drei Falle: Gegeben A, e: zn finden B, b (NV,Vn,IVi,8. 
RIV, 27». C 1, 14, IV 8, 9. T IV U HI, IV, V. U, I & IV, I— III.); Gegeben A,b:za 
finden a (NV, VII, VI,». R IV, 27*. CI, 14,1V8. Tlfl— V. UIII,rV,VI. 0n,m& 
IV, VII -IX). 



J 



6. ITlteiaicht dea Teztinhaltes, 



181 



Satz. 


Ge- 
geben 


zu 
finden 


dnrch 


Vgl. 


86 


a, 6 


A,B 


TT,22&11 


^W°ù'Si,^i^:ir on,yMy,xm-.xiy. 


26 


A, a 


e 


n, 11 


NV,VII,mi.«.RIV,27i. CI, Qjj jj - jy ^_^ 


27 


A, a 


B 


II, 26, 
20 &18 


NV,vn,mi.>.iiiv,27i.ci,QjTn&iv IV vi 
u,iv«. TIV. um,iv,iv. ^^^*^^'^^ ^^• 


28 


A,B 


a,h,c 


n,24,26& 
IToder 20 


NV,Vn, VII»». R IV, 26. Q,j VlJKrTV YV YVT 

CI,U,V. TV. UIII,IV,L^^'^^*^^'-^^~'^^^- 



Buoh m. 

Die Anflosniig des schiefwinkligen sphàrisclien Dreiecks 
durch Zerlegung in rechtwinklige Dreiecke. 

{ABC schiefwinkliges sphàrisches Dreieck mìt Seiten a, &, e.) 



Satz. 


Wenn 


80 

findet 
man 


dnrch 


indem man 
anwendet 


Vgl. 


1 


il<90* 


c<6<90* 
c<90»— 6 


a 


A,b^c 


n,lloderl7,20&22 




2 


n,ii 




S 


<j<90«<6 


II, 11, 24 & 22 


NV,VII, P. 
RIV, 28. 


4 


e— 90<><6 


11,22 


6 


90*<c<6 


111,1 


CI, 14, XP. 
TVI. 

uni, vm 


6 




c<6<900 


n, 17, 20 & 22 


7 


1 
A>90» 


c<90«~-& 


n, 11 


OIL. 
[cfr. 1V,10-17.] 


8 


c<90*<6 


n, 11, 20 & 22 


9 




e— 90«<6 


11,11 




10 


90''<c<6 


m,6 




11 


^<90« 


c< a <90« 


b 


A, a, e 


II, 11 & 20 




12 


a< e <90« 


II, 11 & 20 




13 


c< a — 90« 


II, 11 & 20 


• 


14 


a< e — 90» 


n, 11 & 20 




16 


c<90"<a 


n, 11 & 20 


Ny,vn, n». 

RIV 29—80. 


16 


a<90«<c 


II, 11 & 20 

n, 11 & 20 


CI, 14, XP. 


17 


^>90« 


c< a <90« 


uin, x-xi. 
on.. 


18 


c< a —90® 


11,28 




19 


c<90«<a 


II, 17, 20 & 22 




20 


e— 90<><a 


n, 20 




21 


c>90« a>90<» 


n, 22, 11, 20 & 26 





182 



Ànhang. 



Satz. 


Wenn 


BO 

findet 
man 


durch 


indem man 
anwendet 


VgL 


22 


^<90« 


c< 6 <90« 


JB, C 


A^b^c 


n, 17, 20, 22, 18 & 25 




23 


e < 90^»-- 6 


n, 26 




24 


c<90«<6 


II, 17, 20, 18 & 26 




26 


e— 90«<6 


II, 25 


N V, vn, I» 


26 


90®< e <b 


U, 17, 20&26 


RIV, 28. 
CI, 14, XP. 


27 


A>dO^ 


c< 6 <90« 


II, 17, 20, 26 & 18 


um, vm. 

Oli,. 


28 


c<90° b 


m, 23 


29 


e < 90®< 6 


DI, 22 




30 


e — 90»<6 


III, 28 




81 


90«< e <6 


m, 24 




32 


< 
^<90« C<90'» 6-^^90'» 

> 


a, e 


Ab,C 


n, 17, 20, 18 & 28 




33 


II, 23 & 17 


Nv, vn,iii». 


34 


II, 17, 21, 28 & 20 


RIV, 81. 

CI 14 xn* 


85 
36 


< 
^>90« (7>90^ 6- 90<> 

> 


III, 82 
III, 88 


uni,xiii 
om,. 


37 


III, 84 




88 


< 
^<90« C<90<» a--90« 

> 


6, e 


A, a,C 


II, 17, 26 & 20 




39 


II, 26 & 20 




40 


II, 17, 26 & 20 




41 


A > 90* C> 90® a 90'> 

> 


II, 26 & 20 


NV, VU,IV'. 


42 


II, 26 & 20. m, 88 


RIV, 82 

CI, 14, xni 


43 


< 
/^<90» C>90<> a = 90° 

> 


m, 38 


Tvin. 
um, }L&xn. 


44 


in, 89 


om,. 


45 


m, 40 




46 


/l>90<> C<90« a 90® 

> 


m, 41 




47 


III, 42 




48 


< 

u4<90<> C<90*' 2)— 90*> 

> 


J5 




Ab,C 


II, 17, 20, 18 & 19 




49 


II, 11 


NV, vn,m». 

RIV, 31. 

CI, 14, xn». 


60 


n, 17, 21 & 19 


61 


< 
^<90« O>900 6-^90" 


III, 60 


Tvn 
UHI xm 


62 


III, 49 


OHI,. 


58 




-> 


III, 48 





6. Ùbenioht dea TextinhalteB. 



183 



Satz. 


Wenn 


BO 

findet 
man 


durch 


indem man 
anwendet 


Vgl. 


54 


< 
^<90« (7<90<^ a — 90^ 

> 


B 


A^OyC 


n,17,21,27,20&25 




56 


n, 27 




56 


II, 17 & 27 


Nv, vn, IV». 

R IV, 32. 

CI 14 xn«. 


57 


^<90« C>90« a — 90» 

> 


UI, 54 


58 


in, 55 


TVlil. 


59 


m, 56 


UHI, X& XII. 


60 


A>90^ C<90<> a — 90« 

> 


m, 56 


Olir,. 


61 


III, 55 




62 


III, 54 





Es fehlen also: B, C durch A, a, e (NV, VII, U». RIV, 29-80. CI, 14, XI". 
uni, X-XI. On,) nnd a(, 5, e) dnrch A, B, C (N V, VII, VI». RIV, 38. CI, 14, XV. 
Uin, Xm. OV,). B(,A,C) durch a, 6, e folgt in Bnch IV. 

Bnoh IV. 

Die AafloBung des schiefwinkligen aphàrischen Dreiecks durch den 

prosthapliaretisch nmgebildeten Gosinnssatz. 

(ABC Bchiefwinkliges sphlLriBcheB Dreieck mit Seiten a, &, e.) 



Satz. 


Wenn 


BO 

findet 
man 


dnrch 


• 

indem man anwendet 


Vgl. 


1 


HìilfBatz: C nnd sin (90^— b) anf die c-Ebene zn projizieren 






c<a<90'^-c[d.h.6<90T 


B 


a,b,c 


J {«n(90»-a+c) «n(90<> e a)} 




2 


«n(90»-&)-wn(90«-c-a) 

sin tot 






~ sinver8(lS0''-B) 




8 


< 
e— a [d.h.6— 90«] 


IV, 2, 4, 5 je nachdem 

90»-a=90»-c — 45» *)oder 11,11 

< 




4 


[c<]a — 90«-c[d.h.ò<90»] 


^«»n2c «nto* 






«w (90®- 6) ~ «ni?er»(180»-5) 


NV,vn,v». 


6» 


90«-c<a<90» 


6<90® 


-J {«n(90»-a+c)+«n (a-(90»-c))} 

«n(90»-6) + «in (a -(90»- e)) 

sin tot 
'^ sin vera (ISO^-B) 


RrV,84&V, 

2 — 4. 
CI, 14,XU1. 
TIX. 

cni,vn& 




5 — 90<> 


J{j»«(90» a+c)+8in(a (90»-c))} 


ni, IV, 

Postai 


5« 


«m(a- (90» -e)) 

sin tot 


OIV,. 




" sinversilSO'^-B) 






6>90« 


i{«w(90» a+c)+«n(a-(90»-^))} 




5» 


«n(a-(90»-c))-«n(6-90») 

sin tot 






^ sin vera (ISO^-B) 




6 


c<90«a — 90* 


< 
6 — 90» 

> 


n, 26 




7 


c<90»a>90* 


IV, 2 5 




8 


e— 90»a>90« 


IV, 6 




9 


c>90«a>90» 


IV, 2-5 







184 


Anhang 


. — 6. 


Cbernchi des Textìnhaltes. 




SaU. 


Weiin 


80 ■ 

findet dmch 
num 


indem man anwendet 


VgL j 




c<a<90»~c[d.h.&<90T 

1 


1 


sinM 




10 


9in vers (190*— B, 

J-{«fi(90*-.a+c)-«ii(90»-c-a)} 








1 


"" ««(do»-6)-«Mi(90*~c-a) 




11 


e- a 


b 




IV, 10, 18, 13 je nachdem 
90»-a=90»-c^46»i; odern,17 




12 


c<a— 90*-c 


sin tot \sintc 






sinver8{190*-B} ~ «*i(90«-6) 


NV,VII,Ii 
BIV, 28. 1 

ci,hxi| 

T VL 1 

uiiiyml 
m, ivi 

PoftnL 1 


13» 


90»-c'$-<^* 


[Ò<90T 


sin tot 

sinver8{190*—B) 
Wsin (90»- a+ey\-sin(a-(W-c))) 

"" »»(90*-6)+»n(a-(90»-c)) 


18» 


[6 - 90*] 


ò = 90» 


OD,. 1 




[&>90T 


sin tot 


[cfr. m 1 


18» 


8Ìnver8(190*-B) 

J{«n(90*-a+c)+«ii(a -(90«-c))} 


i-ioi 




«••(a-(90»-c))-«n(6-90*) 




14 


c<90* a~90* 
c<90« a>90« 


B^90« 


n, 17 




15 


IV, 10 18 




16 


C--90» a>90» 


IV, 14 




17 


c>90* a>90* 


rV, 10—13 





1) W&brend IV, 2, 10, 12, 13 so abgefafit eind, dafi IV, 3 & 11 jedenialla 
fonnaliter nie alB_Speziah&lle derselben aufgefaflt werden kOnnen, bo kann IV, 8, je 
Dachdem a=^c^46^ÌBt, als Spezialfall toh IV, 4 — 5 betrachtet werden, obwold 
deren Corollarien deutlich zeigen, dafi nnr mit der MGglichkeit c<Ca gerechnet 
wìrd, und die MOglìcbkeit a » e in den Beweiflen nicht beracksichtigt wìrd. 

In IV, 11 Boll es wie in IV, 8 heifien: 90«-o-90«-c^46«. Der Text ziegt-, dafi 

Werner selbst diesen Febler begangen bat, weshalb er nicht korrigieri werden 
konnte. 





Druckfehlerberichtigung. 


Seite 


Zeile stebt: 


BoU beifien: 


16 


3 inequales 


inaeqnaleB 


25 


18 segni entnm, bitariam 


, segmentum bifariam 


83 


25 AÈ et BC 


AB et AC 


121 

• 


15—16 oportuit, OBtendere 


oportuit OBtendere. 



Draok tou B. G. Tenbner in Dretden 



Enriques, Federigo, ordenti. Professor an der Universitàt zu Bologna, Fragen der 
Elementargeometrie. Aufsatze Ton U. Arnaldi, E. Baroni, R. Bonola, 
B. Calò, G. Castelnuovo, A. Conti, E. Daniele, F. Enriques, A. Gia- 
comini, A. Guarducci, G. Vailati, G. Vitali gesammelt und zusammen- 
gestellt. Deutsche Ansgabe von Dr. Hermann Fleischer. IL Teil: Die geo- 
metrischen Aufgaben. Ihre Ldsung und Losbarkeit. Mit 135 Figuren 
im Text. [Xn u. 348 S.] gr. 8. 1907. In Leinwand geb. n. jfù9,— Teil I 
befinilet sich in Vorbereitung. 

Hnklid und die sechs planimetrischen Bùcher. Mit Benutzung der Textausgabe 
von Heiberg. Von Dr. Max Simon, Professor an der Universitat StraBburg i. E. 
Mit 192 Figuren im Text. [VII u. 141 S.] gr. 8. 1901. geh. n. JC 6.— 

Euler. Leonhard. Festschrift zur Feier des 200. Geburtstages Leonhard 
£ u 1 e r 8. Herausgegeben vom Vorstande der Berliner Matbematischen Gesellscfaaft. 
PV u. 137 S.] gr. 8. 1907. geh. n. JC b.— 

Vortrag, gehalten am 8. Miirz 1907 in der Naturforschenden Gesellscbaft 

zu GOrlitz von Dr. Wilhelm Lorey, Oberlehrer am Gynmasium zu Gorlitz. 
[20 S.] 8. 1907. geh. n. .H —.80. 

Galilei, Galileo, Dialog ùber die beiden haupts&chlichsten Weltsysteme^ 
das Ptolemà^ische und das Kopernikanische. Aus dem Italienischen iibersetzt 
underiautertvonEmil StrauB. [LX XXIV u. 586 S.] gr. 8. 1891. geh.n. Jfc 16.— 

Gaufi. Cari Friedrich, Werke. Herausgegeben von der Kffl. Gesellscbaft der 
Wissenschaften in Gòttingen. 10 Bande, gr. 4. kart. 
Band I: Disquisitiones arithmeticae. 2. Abdr. [478 S.] 1870. n.JC20.— 

— II: H6here Arithmetik. 2. Abdr. [528 S.] 1876. n. JK 20.— . Nach- 

trag z. ersten Abdr. des 2. Bandes. [33 S.] 1876. n. JC 2.— 

— III: Analysis. 2. Abdr. [499 S.] 1876. n. JC 20 — 

— IV: Wahrecheinlichkeitsrechnung n. Geometrie. 2. Abdr. [492 S.] 

1880. n. ^« 26.— 

— V: Mathematische Physik. 2. Abdr. ["642 S.] 1877. n. JC 25.— 

— VI: AstronomischeAbhandlungen. 2.Abdr. [664S.] 1874. n..,*:33.— 

— VII: Theoria motus und Theoretisch-Astronomischer NachlaB. 

[660 S.] 1906. n. Jù 30.— 

— Vni: Fundamente der Geometrie usw. [IH u. 458 S.] 1900. n. Ut 24.— 

— IX: Geodiitische Nachtr3.ge zu Band IV; insbesondere Hannoversche 

Gradmessung. [IV u. 528 S.] 1903. n. JC 26.— 

Band X wird biographische Angaben und interessanto Stttcke des Brìefwechsels bieten. 

und' Wolfg. Bolyai, Briefwechsel. Mit Unterstiitzung der Kgl. 

Ungarischen Akademie der W'issenschaften herausgeg. von Franz Schmid t uud 
Paul Stackel. [XVI u. 208 S.] 4. 1899. In Halbkalblederband n. JC 16.— 

Gilbert, Dr. Otto, Geh. Regierungsrat, Professor in Halle. Die meteorologiscben 
Theorien des griechischen Altertums. Von der Kgl. Bay erischen Akademie 
der Wissenschaften mit dem Zographospreise gekrOnt. Mit 12 Figuren im Text. 
[V u. 746 S.] gr. 8. 1907. geh. n. JC 20.—, in Halbfiranz geb. n. JC 22.50. 

Jacobi,C.G. J.,undM.H. Jacobi, Briefwechsel. Herausgegeben von Dr.W.Ahrens 
inMagdeburg. Mit 2 Bildnissen. [XX u. 282 S.] gr. 8. 1907. geh. n. «.^ 6.90, 
in Leinwand geb. n. JC 7.50. 

Koenigsberger, Dr. Leo, Professor an der Uni versi t^t Heidelberg, Cari 
Gustav Jacob Jacobi. Festschrift zur Feier der hundertsten Wiederkehr 
seines Geburtstages. Mit einem Bildnis und dem Faksimile eines Briefes. 
[XVni u. 554 S.] gr. 8. 1904. In Leinwand geb. n. JC 16.— 

Cari Gustav Jacob Jacobi. B.ede zu der von dem internationalen 

Mathematiker-KongreB in Heidelberg veranstalteten Feier der hundertsten 
Wiederkehr seines Geburtstages, gehalten am 9. August 1904. Mit einem Bild- 

Jacobis. [H u. 40 8.] 4. iy04. geh. n. JC 1.20. 
r.jiz, G. W., nachgelassene Schriften physikalischen, mcchanischen 
und technischen Inhalts. Herausgegeben und mit eriaut. Anmerk. versehen 
roti Dr. E. Gerì and, Professor an der Kgl. Bergakademie zu Klausthal. Mit 

} Figuren im Text. [VI u. 256 S.] gr. 8. 1906. geh. n. .*: 10.— 

^dOhefskij, N. I., imaginilre Geometrie und Anwendung der imagi- 

laren Geometrie anf einige Integrale. Aus dem Russiscben iibersetzt 

und mit Anmerkungen herausgegeben von Dr. Heinrich Liebmann, Professor 

"1 der Uni versi tat Leipzig. Mit 39 Figuren im Text und auf einer Tafel. 

:i u. 187 S.J gr. 8. 1904. geh. n. .fC 8.— 



MùUer, Dr. Conrad H., in Gòttingen, Studien zur Geschichte der Mathematik, 
insbesondere dee niathetnatischen Unterrichts an der UniveraitM^t Gòttingen im 
18. Jahrhundert Mit einer Einleitung: tTber Gharakter und Umfang hiatoriscbet 
Foracbung in der Mathematik. (Sonderabdruck ans dem XVIII. Heffc der Ab- 
handlungen zur Geschichte der mathdnatischen Wissenscbaften mit EiuecbluO iiirer 
AnwenduTigen. Begrundet von Moritz Canto r.) [92 S] gr.8. 1904. geh.n.,iK2. — 

Mùller, Dr. Felix, Professor inFriedenau, Zeittafein zur Geschichte der Mathe- 
matik, Physik und Astronomie bis zum Jahre 1500, mit Hinweis anf die 
Quellen-Literatur. [IV u. 104 S.J gr. 8. 1892 In Leinwand geb. n JC 2 40. 

Vocabulaire Mathématique, fran9ai8-allemand et allemand*fran9aÌB. 
MathematiBchesVokabuiarium, franzòsisch-deutsch und deut-sch-franzOsisch. 
Enthalteud die Kiinstausdrucke aus der reinen und angewandten Mathematik. 
[XV u. 816 S.] Lex.-8. 1900/1*J01. In Leinwand geb. n. .fC 20.— 

Karl Schellbach. Riickblick auf sein wissenschaftliches Leben. Nebst 
zwei Briefen aus seinem Nachlafi und Briefen von Jacobi, Joachimsthal und 
Weierstrafi. Mit 1 Bildnis Karl Schellbachs. [86 S.j gr.8. 1906. geh. n. UKl 2 . 80. 

Neumann, Franz, gesammelte Werke. In 3 B9,nden. II. Band. Bei der 
Herausgabe dieses Bandes sind tiltig gewesen die Herren: E. Dorn (Halle), 
0. E. Meyer (Breslau), C. Neumann (Leipzig), C. Pape (fraher in Kònigsbergi, 
L. SaalschiUz (KOnigsberg), K. Von der Muhll (Hasel), A. Wangerin (Halle), 
H. Weber (Strafiburg). Mit einem Bildnis Franz Neumanns aus dem 86. Lebens* 
jahre in Heliograviire. [XVI n. 620 S.] gr. 4. 1906. geh. n. JC 36.— 

Budio, Dr. F., Professor am Polytechnikum zu Zilrich, Geschichte des Problems 
von der Quadratur des Zirkels von den ^testen Zeìten bis auf ungere 
Tage. Mit vier Abhandlungen (in deutscher Ùbersetzung) iiber die Kreismessnng 
von Archiniedes, Huygens, Lambert, Legendre. Mit Figuren im Text. 
[Vili u. 166 S.] gr. 8. 1892. geh. n. JC 4.—, in Leinwand geb. n. JC 4.80. 

Simon, Dr. Max, Professor an der Universiiiit Strafiburg i. E., iiber die Entwick- 
lung der Klementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert. Berìcht erstattet 
der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Mit 28 Figuren im Text. [Vili u. 278 S.] 
gr. 8. 1906. geh. n. u^ 8. — , in Leinwand geb. n. JC 9, — 

Suter, Dr. Heinrich, Professor am Gjmnasium zu Zurich, die Mathematiker 
und Astronomen der Araber und ihre Werke. A. u. d. T.: Abhand- 
lungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften mit Eiuschlufi ihrer 
Anwendungen. Begrundet von Moritz Canto r. X. Heft. [IX u. 27« S.] gr. 8. 
1900. geh. n. .4C 14.— 

IJrkunden znr Geschichte der Mathematik im Altertum. 1. Heft: Der Bericht 
des Simplicius iiber die Quadraturen des Antiphon und des Hippo- 
krates. Griechisch unddeutsch von Ferdinand Kudio. Mit einem historiechen 
Erlauterungsbericht als Einleitung. Im Anhange ergànzende Urkunden, verbunden 
durch eine Obersicht iiber die Geschichte des Problemes von der Kreisquadraiar 
vor Euklid. Mit 11 Figuren im Text. [X u. 184 S.] 8. 1907. kart. n. .4C 4.80. 

Weber, Dr. H., Professor in Strafìburg, und Dr. J.Wellstein, Professor in Strafiburg^ 
EucyklopUdic der Elementar-Mathematik Ein Handbuch fQrLehrer und 
Studierende. In 3 Bandcn. gr. 8. I. Band. Elementare Algebra und Analysis. 
Bearbeitet von H. Weber. 2. Auflage. Mit 38 TextBguren. (XVLII u. 64Ò S.] 
1906. In Leinwand geb. n. ^^9.60. II. Band. Elemento der Geometrie. Bearbeitet 
von H. Weber, J. Wellstein und W. JacobsthaL 2. Auflage. Mit 251 Text- 
figuren. fXII u. 690 S. | 1907. In Leinwand geb. n. JC 12.— III. Band. An- 
gewan<lt« Elementar- Mathematik. Bearbeitet von H. Weber, J. Wellstein 
und R H. Weber (Heidelberg). Mit 358 Textfiguren. [XIH u. 666 S.] gr. 8. 
1907 In Leinwand geb. n. ^^iC 14. — 

Wolffing, Dr. Ernst, ProfcBsor an der Kgl. Technischen Hochschule zu ... 

mathematischer Bucherschatz. Systematischea Verzeichnis der wichtigi 

deutschen und anslìlndischen Lehrbucher und Monographien des 19. Jahrhund \ 

auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften. In zwei Teilen. I. T( 

Reine Mathematik. Mit einer Einleitung: Kxitische Ùberaicht tlber 

bibliographischcn Hilfsmittel der Mathematik. [XXXVI u. 416 S.] gr 

geh. n. .k 14. — , in Leinwand geb. n. o€ 15. — 

Zeuthen. Dr. H. Gr., Professor an der Universitat Kopenhagen, Geschi^ 
Mathematik im 16. und 17. Jahrhundert. Deutsch von Raphael 
fVIII u. 434 S.] gr. 8. 1908. geh. n. ^iC 16.—. in Leinwand geb. « ^ '' 



DER MATHEMATISCHEiT 



ABHANDLUNGEN ZUR GESCHICHTE 
WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN 
BEGRtNDET VON MORITZ CANTOR • HEFT XXIV. 2 



IOANNIS VERNERI 

DE TEIANGULIS SPHAEKICIS 

LIBRI QUATUOR 

DE METEOROSCOPIIS 

LIBRI SEX 

CUM PROOEMIO 

GEORGH IOACHIMI RHETICI 



n 

DE METEOROSCOPIIS 

HEEAUSOEOEBEN YOK 

JOSEPH WÙRSCHMIDT 

UNTBB BENUTZUNa DEE VOEARBEITBN VON 

Db. a. BJORNBO 



MIT EINEM VOEWORT VON EILHAED WIEDBMANN 

UND 97 PlttUEEN IM TEXT 




LEIPZIG UND BERLIN 
ORUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER 

1913 



n 



JAN 16 1914 



ji ATLSwearruND 



ALLE BECHTE, EINS0HLIS8SLI0H DES CBEBSETZUN&aBBOHTS, YOBBBHALTKN . 



II 



lOANNIS VERNERI 
DE METEOROSCOPIIS 



LIBRI SEX 



Vorwori 

A. A. BjOrnbo hat im Jahre 1907 das erste der beiden bedeutungs- 
voUen Werke von Johannes Werner, n&mlich „De triangulis sphaericis^\ in 
Yortrefflicher Weise herausgegeben. Dabei bai er alle zur Oharakteiisìerang 
der Handscbrìft ndtigen Angaben gemachi, sowie die Textgeschichte beider 
Werke bebandelt. An den Text dea ersten Werkes schliefit sicb unmittelbar 
das zweite groBe Werk „De Meteoroscopiis'^ an ; von ìhm war auf Eosten der 
Kdniglich Bajerischen Akademie der Wissenschaften in Mtlnchen eine weifi- 
scbwarze Photographie hergestellt worden, nach der A. A. Bjdrnbo eine Ab- 
schrifb gemacht hat; zugleich hat er einige wenige der durcbweg fehlenden 
Fìgoren erg&nzt. Ein unerbittliches Schicksal hat den hervorragenden Kenner 
der ftlteren Mathematik yor der Vollendung dieser wie zahlreicher anderer 
Arbeiten der Wissenschaft entrissen. In trefflicher Weise hat J. L. Heiberg 
seine Yerdienste in der Bibliotheca mathematica gewtlrdigt. 

Anf meine Anregung ist dann yon der E. B. Akademie der Wissen- 
schaften, die sich zun&chst an mich wandte, das von BjOrnbo hinterlassene 
Material Herrn Dr. Wflrschmidt ùbergeben und diesem dessen Bearbeitung 
anyertraut worden. Um die Arbeit von Werner allgemein zuganglich zu machen, 
schìen es Herrn Dr. Wtlrschmidt zweckmafiig, nicht dem lateinischen Text eine 
wortliche Ùbersetzung beizugeben, sondern den Inhalt der einzelnen Sfttze und 
Beweise, erl&utert durch Figoren, in modemer, mathematischer Sprache, aber 
in engem AnschluB anWerners Behandlungs weise darzustellen. Aufierdem hat 
Herr Dr. Wtlrschmidt zum SchluB in einem Wdrterbuche, welches das von 
Bj6rnbo fdr den ersten Teil gelieferte ergftnzt, die selteneren Worte zu- 
sammengestellt. 

Der Math.-Phys. Elasse der Akademie, durch deren Eintreten fQr die 
Weiterfahrung der Bjdmboschen Arbeit die Veròflfentlichung dieser Schrift 
groBenteils ermoglicht wurde, sei besonders Dank ansgesprochen. 

Erlangen, im Juli 1912. 

E. Wiedemann. 



JOANNIS VERNEEI NOEIMBERGENSIS 

DE METEOEOSCOPIIS. 

LIBER PRIMUS. 
Designatio circnlomm sapheae per demonstrationes. 

Propositio prima. 

Qualem sphaericae designationis inscriptionem sapheae in- 
strumentum in supposito plano figuret estendere. 

In praesenti opere tria vocabula, fìguratio scilicet atque repraesentatio prò- 
iectioque, apud Matheseos Autores usurpata, quam plurimum idem significant, 
quorum unumquodque nomine exprimitur. 

Omnes | autem circuii atque puncta in spliaera designati super plano 185^ 
sphaeram eandem tangente ab aliquo eius puncto proici repraesentarique dicun- 
tur, quibus alii circuii similes ac numero pares, in eodem plano descripti siini- 
lia exercent officia. 

Sed ipsam spbaeram, cuius plana buiusmodi fit repraesentatio, sic inscri- 
bamus. 

Sit data spbaera AB CD, cuius centram E, diametrus vero AC, cuius 
poli extremitatesqpie A et ^ puncta, per quàe circulus describatur ABCDj 
quem alias circulus super centrum transiens BFD perpendiculariter secet. 
Igìtur per primum Tbeodosii librum*) uterque magnus erit circulus, et ipsi 
pariter spbaeram A B CD in quadrantes quatuor, seipsos vero in duobus punc- 
tis B et D perpendiculariter et per aequa distinguunt. 

Hanc deinde spbaeram planum aliquod, videlicet | GLI, tangat in punc- 1S6' 
to C. Semicirculus etiam BD per F punctum per aequa scindatur, et posito 
JB polo super eo designetur circulus AFC, qui per eundem^) Tbeodosii 
primum magnus est circulus, cuius quadrans ^C in partes secetur LXXXX. 
Per earundemque sectionum notas singulas atque per duo puncta B et D tan- 
quam polos circuii describuntur singuli, qui per eundem Tbeodosii eiusdem 
spbaerae magni erunt circuii, quos ego inclinatos ideo nuncupo, quoniam a 
duobus polis A et C inclinantur. 

Exempli gratia sit quadrantis FC nonagesima pars arcus FG.^) Igitur 
per puncta trìa B, G, D iuxta Tbeodosii praeceptum in primo circulus de- 
signetur, quem inclinatum dieta ratione vocabo. Pari quoque de causa singuli 
reliqui circuii per duo puncta J? et D ac reliquas destinctiones nonagesima,s 
singulas designati nuncupantur inclinati. 

<^) ^gl* Tbeodosii sphaerica, ed Nizze I, 6. b) Hs. bat eum. 

c) Hs. bat FA. 

Abhdlgn. s. Gesoh. d. math. Wisi. XXIY S. 1 



2 Liber primns. 

186^ GirculuB BFD \ per hjpothesim erectus est ad circulum ABCD^ cum 
^ et C sint eius poli, quem in subiecto plano CL sic repraesentabo. 

Imagìnabor enim ex puncto A per B punctum rectam produci lineam 
ABLy qnae sit ex parte L indefinita, quam rarsns intelligam ita moveri, 
quatenus omnia puncta circuii BFD pertransiens ad punctum B redeat, unde 
moveri coeperat. 

Talis ergo motus lineae ABL conicam genera 7Ìt superficiem, cnius 
communem cum plano CL sectionem, quae sit curva linea LN^ dico esse 
proiectionem sphaerìci circuii BFD in plano CL proiecti. Fari modo cunctos 
inclinatos iam descriptos proici seu repraesentari super plano CL intelligamus. 
187' Dividatur iterum circuii AB\C quadrans B C per aequas nonaginta partes, 

et puncto B posito polo super eo per singula quadrantis eiusdem divisionum 
puncta circuii aequidistantes designentur, qui quoque per li7po[thesin)] et 
definitionem aequedistabunt circulo AFC, 

Hos autem aequidistantes pari quasi forma, velut super inclinatis dictuin 
est, in subiecto plano CL repraesentabimus, ut horum aequidistantium unus sii 
circulus HK^ circulum AB CD secans super duobus punctis H et f, qui qui- 
dem aequidistans in supposito plano (7X, sicut antea dictum fuit, proici cogi- 
tabitur, producta scilicet ex puncto A per K punctum recta linea usque in / 
punctum et de parte I indefinita, quam rursus intelligam continuo haerentem 
circulo HK circumvolvi, donec redeat in puncto if, unde moveri coeperat | 
197^ Huius itaque lineae motu conica iterum emersit superficies, cuius oom- 

munis cum plano CL sectio, quae sit MI^ repraesentat si ve proicit super plana 
CL aequedistantem HK, Pari modo reliquos aequedìstantes in sphaera J.^(7 
iam designatos accipiamus figurari. Et sicut antea inferiorem spbaerae qua- 



DE METEOROSCOPnS. 

ERSTES BUCH. 

1. Proposition. (Fig. 1.) 

Allgemeine tjbersicht ftber die Projektionen der wichtigsten 
Kreìse einer Engel auf cine Tangentialebene an die Kugel. Defini- 
tion der Saphea. 

Die Zeicbenebene schneide aus der gegebenen Kugel den grOfiten Ereis 
AB CD mit dem Mittelpunkt E aus. Der zu ihm senkrechte gr5Bte Halbkreis 
sei BFD. Beide teilen die vordere Halbkugel in 4 Quadranten. Die zumDurch- 
messer ^J^Csenkrecbte Tangentialebene im Punkte C sei LCNj femer werde 
noch der Halbkreis durch F^ den Halbierungspunkt des Halbkreises BFDy 
nnd die Achse AFC gelegt. 

Teilt man FC in 90^ und legt durch einen in diesem Quadranten gè- 
legenen Punkt, etwa 6^, und den Durchmesser BD eine Ebene, so schneidet 
diese aus der Kugel einen grofiten Kreis aus, der gegen den Kreis BFD gè- 
neigt (inclinatus) ist. (Beisp. FG^ 1®.) 

Zieht man die Oerade ABL, die die Tangential(Projektions)ebene in L 
schneidet, und bewegt ^ìe so, daB AB auf dem Kreis BFD sich bewegt, so 



Liber prìmus. 



dnntem BDC [per] inclinatos inscrìpsimus, atque eos in subiecto plano 
proiecimiis, ita et reliquam spbaerae AB CD quartam inferiorem per inclina- 
tos inscribemns ; eos itaqne descriptos in eodem plano CL proici cogitabimns. 

Non aliter duos circulos AB{] et AFG in supposito plano imaginabimur 
per dnas rectas alteris suis extremitatibns snper A *) puncto, et reliquis eamm 
portionibas per duos circnlos ABC et AFC circnmlatis, ita^ ut singula eorum 
puncta percnrrant, | donec eosdem circulos itenim in puncto A tangant velut 188' 
prius, quando moveri coeperant. 

Tali namque motu duo circuii ABC et AFC atque quicumque alii per 
polos A et C venientes per rectas in principio sui motus datam sphaeram in 
polo A tangentes, et in singulis huiusmodi circulis circumlatas, donec eandem 
sphaeram ut ante tangant, in plano substrato proicientur. 

Inscrìptae itaque spbaerae dimidium superficiebus duabus, videlicet circuii 
BFD atque plani suppositi (7X, contentum atque praemissa ratione super 
plano CL proiectum nobis sapheae declarabit effigiem. Nam imago baec sic 
inscrìptae spbaerae in tali proiectione spper plano CL relieta graeca nuncu- 
patione saphea vocabitur, quam Latinus declarationem aut figurationem sen 
designationem ac etiam repraesentationem non inepte nuncupabit. 



188^ 



Propositio secunda.*) 

Omnìs magnus in sphaera circulus, ab una suae diametri ex- 
tremitate proiectus in plano eandem sphaeram tangente super 
altera eiusdem diametri extremitate recta proveniet linea. 

a) Ha. hat secttnda korr. aus prima. 



beschreibt sie einen Kegel, und ihr Scbnittpunkt mit der Projektionsebene eine 
^ekrOmmte" Linie LN, die Projektion von BFD. 

Teilt man den Quadranten BC ^ 

in 90^ und zieht durch einen seiner 
Punkte einen Parallelkreis EH zu 
AFCy so beschreibt die Projizie- 
rende dieses Parallelkreises yon A 
aus gleichfalls 
einen Eegei, imd 
die Projektion 
ist die gekrdmm- 
te Linie IM. 

Die Pro- ^ 

jektion des Krei- 

ses.^J9(7Distdie 

Gerade LCN, 

ebenso sind die 

Projektionen aller gròBten Ereise durch A C (Merìdiankreise) Gerade, die durch 
C gehen. 

Die Projektion des Kreises BFD (Àquators) ist der Ereis LNj der 
JSaphea^' genannt wird. 




Mg. 1. 



4 Liber primus. 

Maneat eadem praecedentis schematis dispositio, et iatelligamos, ut ante, 
lineam AKJ ex parte / indefìnitam super puncto A in superficie circuii AB CD 
ita circumagi, ut omnia puncta circuii ABCD percurrat. 
189*^ In hac autem revolutione linea | AKJ superfìciem circuii ABCD nus- 

quam deserit. Ergo sequitur, ut huiusmodi revolutionis motu non nisi planum 
exoriatur. Igitur plani AKJ linea circumacta generati cam plano CL oom- 
munis sectio per tertiam un decimi dementorum Euclidi s erit linea recta; qaod 
est propositum. 

Propositio tertia. 

Omnis circulus, cui axis sphaerae perpendiculariter super- 
instat, proiectus ab uno polorum eiusdem axis in plano sphaeram 
eandem in altero eius polo tangente per circulum idem designa- 
bitur. 

Sit sphaera ABC, cuius axis J.C; et in eius superficie designatus esto 
189^ circulus BFDE, \ ad cuius superficiem axis AC perpendiculariter instet in 
puncto Lj atque sphaera ABCD plano ICK tangatur in polo C. Dico cir- 
culum BFDE proiectum de polo A super plauum fCiT circulum rursus evenire. 

Producantur itaque in circulo BFDE duo*) diametri J?2> et J5JF, ut sors 
ipsa tulerit, qui^) per defiaitionem circuii transeunt per centrum circuii B FDE, 
quod iuxta primum Theodosii libram est punctus L, Deinde de polo A qua- 
•tuor rectae, scilicet ABI, AFH, ADKet AEG per puncta quatuor BFDE 
protrahantur, quousque singuli terminentur in plano ICK, in quo etiam duae 
rectae trabentur IK et GH, quae necessario invicem secabuntur in polo C. 

Xam axis AC transit per iam extensa per L centrum circuii BFDE. 
Igitur duorum trìangulorum AIK et AG H superficies invicem secabuntur 
190' super axi BC; quare consequens est, ut sectio duarum linearum IK et GH \ 
sit in polo C 

Idem quoque constat per 18 uad ecimi dementorum, cam iuxta eandem 
uterque duorum triangulorum AGU et AKI ad planum GK erigitur; atqui 
ex dieta bypotbesi acper 14 eiusdem undecimi circulus BFD aequedistat plano 
ICK', igitur per 16 eiusdem undecimi elnnentorum diameter BD lineae IK^ 

a) Hs. hat duae. b) Hs. hat qaae. 



2. Propositiou. (Fig. 1.) 

Die Projektion jedes grOfitenKreises der Kugel von einem End- 
punkte eines seiner Durchmesser auf die Tangentialebene der 
Kugel im anderen Endpunkte des Durchmessers ist eine Gerade. 

Die Gerade AKI werde so bewegt, dafi K den Kreis ABCD durchl&uft 
und A fest bleibt, sie bescbreibt also eine Ebene (die Zeichenebene). Der Scbnitt 
derselben mit der Tangentialebene LK ist die Gerade LN, 

3. Proposition. (Fig. 2.) 

Die Projektion jedes senkrecht zu einem Durchmesser (Achse) 
stehenden Kreises (Parallelkreis) von einem Endpunkt der Aohse 
(Poi) aus, auf die Tangentialebene im anderen Poi ist ein Kreis. 



Liber prìmus. 



et lineae GH diameter EF aequedistat; quare per 4 sextì eorundem eletnen-- 
tarum proportio semidia[ine]tri BL ad lineam IC et FL 8emidia[me]tri ad 
CH rectam, item semidiametri DL ad CK lineam atque FL semidia[me]trì 
ad CG rectam, cuinslibet earum ad suam comparem proportio est, sicut AL 
particula axis ad totam AC axim. Cum autem quatuor hae semidiametri per 
defixdtionem snnt sibi invicem aequales, ergo permutatim arguendo quatuor 
lineae CG, CI, CH et CK aeque probantur. 

Igitur posito C centro et super eo insta quantitatem cuiuslibet quatuor 
linearum CI, CG, CK et CH circulo descripto propositum per 9 quarti eie- 
fnentorum Eu[clidis] erit manifestum. 



Propositio quarta. i9o^ 

Circulum magnum in sphaera designatum atque respectu 
poli axis alicnius super eum inclinati proiectum in plano, cui 
idem axis in altero eius polo perpendiculariter superinstat, cir- 
culum rursus evenire. 

Sit sphaera data ABC, cuius centrum E'^ axis vero AB supra magnum 
circulum in sphaera designatum CFDM inclinatus atque super planum KBH 
in puncto B perpendiculariter erectus. Dico, circulum CFDM in subiecto 
plano KBH respectu poli J. repraesentatum circulo fìgurari, quod sic ostendetur. 

Per maximas itaque declinationes axis ^^ et circuii CFD magnus descri- 
batur circulus ACBB^ qui per primum Theodosii de sphaericis ad circu- 
lum I CFDM erigitur. In circulo quoque (7JP2)Jlf duae diametri CD et FM 191' 
ad rectos angulos super centro E se intersecantes protrahentur. Deinde a polo 
A per puncta quatuor (7, F, 2), M rectae quatuor ACH, AFG, ADK, AML 
producantur occurrentes subiecto plano in punctis quatuor JET, G, K, L. 

Linientur etiam duae rectae HK et LG, quae necessario a se invicem 
secantur in polo B. Nam duae superficies duorum triangulorum AKHetAGL 
ad se mutuo sunt erectae ex defìnitione et bjpothesi praemissa; earum quoque 
commnnis sectio axis est AB. Cum igitur intersectio duarum linearum HK 
et LG in utramque superficierum duorum triangulorum AKH etALG reperia- 
tur, necessario sequitur, ut intersectio duarum linearum HK et LG sit in polo 
B, cum nullum aliud punctum sit utrique triangulo et duabus lineis HK et 



Man zieht in dem Parallelkreis^jPD J5J 
zwei beliebige Durchmesser BD und EF. 
Die Projektionen der Punkte B, F, D und 
E 8ind die Punkte J, H, K und G. Da die 
Durchmesser des Parallelkreises parallel den 
Durchmessem des Projektionskreises sind, 
und somit auch die Halbmesser, so ist das 
Verhfiltnis der Halbmesser z. B. LB : CI 
^^ALiAC. Da die Halbmesser des Par- 
allelkreises einander alle gleich sind, so gilt 
dies auch fUr die projizierten Halbmesser; 
folglich ist die Projektion ein Kreis. 




Tìg. 2. H 



Q Liber prìmuB. 

GL commune praeter polmn B. Duae quoque superficies duorum triaugulorum 
191^ AHK et AGL su {per planum HBK eiiguntur, yelut notum est per defini- 
tionem plani erecti super aliam planam superfìciem atque 18 uudecimi eie- 
mentorum. At cum etiam altera ad alteram ex hjpothesi sit erecta, consequens 
est, ut quatuor anguli, qui fìunt a duabus lineis HK et GL circa punctum B 
sint recti singoli, sed duorum angulorum CAD et CAM^) uterque etiam 
rectus per 31 terti dementorum Euclìdis probatur. Atqui tres lineae AE^ 
EF et E31 per sphaerae definitionem sibi inyicem aequantur, erit per 4 ac 
3 2 primi dementorum uterque angulorum AFE et A ME recti medietas. Ex hjpo- 
thesi autem duae lineae MEF etGBL sibi aequidistantes probantur. Igitnr per 
29 primi eiusdem uterque angulorum AGB et ALB recti, concludetur me- 
dietas. Arguendo igitur permutatim et per 4 sexti rectaBG^ BL rectae probabi- 
192' tur aequalis, et per sextam primi dementorum tam recta BG quam recta BL 
aequatur ari A B. At per octayam sexti eorundem dementorum et dictas h jpo- 
theses idem axis AB inter duas lineas HB et BK medio loco proportionalis 
habetur. Igitur per communem scientiam utraque linearum BG et BL erit 
inter BH et BK rectas medio loco proportionalis; ergo, si protrahantur rectae 
quatuor HG^ GK, KL, LH, duo anguli circa G et L puncta facti per 8 
sexti dementorum recti sunt; quare divisa linea HK per aequa in puncto N, 
atque super eo centro posito secundum quantitatem NH aut NK rectae cir- 
culus designetur, ipse per conversam 31 tertii demmtorum Euclidis transibit 
quoque per duo puncta G et X; ergo per nonam quarti eorundem conclude- 
mus circulum CFDM subiecto plano HBK figuratum circulo GKLH re- 
praesentari; quod fuit propositum. 
192*' At forte nobis obiciet aliquis, puncta solum | quatuor C, jP, i>, M cir- 

cuii CFDM per circulum GKLH in plano KBH descriptum contineri. Sed 
ego punctum quodlibet aliud circumferentiae CFDM intra circumferentiam 
circuii GKLH proici quoque sic ostendam. 

Sit punctus 0, quem ex circumferentia CFDM respectu poli A super 
plano supposito KBH proiectum adversarius in circumferentia GKLH com- 
prehendi neget. 



a) Ha. hat LAM, 



4. Proposltioii. 

Die Projektion eines gròfiten Kreises aus einem Poi einer 
gegen ihn geneigten (nicht senkrecht stehenden) stehenden Achse 
auf die Tangentialebene im anderen Poi ist ein Ereis. 

Man zieht die beiden zueinander senkrechten Durchmesser CD und MF 
des zu projizierenden groBten Kreises CMDF. {CD ist die Projektion dar 
Achse auf die Ebene des Kreises.) Die Projektionen der Endpunkte C, JSf, 2> 
und F sind die Punkte JET. X, K und G. Aus der Ahnlichkeit Ton Dreiecken 
folgt, daB BL^-'BG-^AB. Da <^ Ou42> = 90^ so ìat HBBK-^AB^, 
also àuch ^BL^^BG\ somit <^ HLK - ^ HGK - 90®. 

Halbiert man nun HK durch N und beschreibt um N einen Kreis mit 
dem Radius NKy so geht dieser durch L und 0, und ist die gesuobte Pto- 
jektion. 



Liber primus. 7. 

Igitur protrahaatur rectae quaiiior, inprimis diameter OEQ in circula 
<JFDMj deinde de polo A per et Q puncta rectae duae AOP et AQR 
plano iZ*^ IT occurrentes super P et 12 punctis prot[r]acta demam recta PB, 
^uam transire per polutn B facile probabimus. 

Nam trìa latera trianguli APR cum azi AB in eadem superficie scilìcet 
trianguli AQO consistunt, quo quidem per secnndam un decimi élementarum 
perspicuum est, et PB latus com,mmiis sectio est superficierum duarum 198'' 
«cilicet trianguli APB atque plani HBK, Angulus antem PAB per 31 tertii 
elementorum rectus esse probatur, quod patet descripto magno AOB, Igitur 
per 8 sexti eorundem axis AB inter rectas duas BP et BB medio loco prò- 
portionalis habetur. Igitur per 1 eiusdem sexti, quod fit ezPi? in ^i2 aequabi- 
tur quadrato axis AB, Sed id àequum est etiam ei, quod ^t ez BH in BK 
per eandem 17. Quare per communem scientiam: „quae sunt uni et eidem 
aequalia, inter se sunt aequalia", quod fìt ex .BP in BB aequatur ei, quod 
^ en BH ìxi BK. Ergo per conversam 34 tertii elementorum duo puncta P 
et i2, quae respectu poli A repraesentant in plano HBK, puncta duo et Q 
etiam in circumferentia circuii QKLH reperiuntur, quod adversarii falsae re- 
pognat assertioni; igitur propositum constat esse yerum. 

Correlarium. 

linde perspicuum est, centra inclinatorum omnium super plano datam 
sphaeram | tangente proiectonim in communi sectione plani eiusdem atquo 198*' 
planae superficiei per polos, a quibus tales circuii super eadem sphaera desig- 
nati declinant, euntis atque ad eosdem et ad subiectum planum eandem sphae- 
ram tangens perpendiculariter erectae reperiri. 



Propositio quinta. 

Si datam sphaeram in uno eius polo planum aliquod tetigerit, 
atque aliquis ex minoribus eiusdem sphaerae circulis, cuius ffU' 
perficies, in qua designatnr, ad idem planum sit erecta, eundem 
quoque minorem circulum ab altero eiusdem sphaerae polo in 

GegentLber dem Einwand, 
•der Kreìs gehe nur durch dieso 4 
Punkte, wird ^zeigt, daB die Pro- 
jektion P eines beliebigen Punk- 
tes des grdfiten Ereises auf dem 
Projektionskreis liegt. 

Aumerkang. 

Die Projektionen der Mittel- jr 
punkte aller „geneigten^^ grofiten 
Ereise liegen auf dem Schnitt der 
Tangentialebene mit der zu ihr 
«nd za den grofiten Ereisen senk- 
rechten, durch den Eugelmittelpunkt und die Pole gehenden Ebene. 




8 



Liber prìmus. 



eodem sphaeram datam tangente plano proiectum circulo item 
fignrari. 

Sit ergo sphaera ABCj cuius centrum 2>, quazn quidem sphaeram planum 
194' BML tangat in pnncto B^ et axi | BDA protracto designetur in eadem 
sphaera unuB ex minoribus circulis EHFG, cuius superfìcìes erigatnr ad pla- 
num BML. Dico itaque circuì um minorem EFG in plano BML ex polo 
A proiectum alio figurato reddi circulo, quod sic demonstrabitur. 

Sit ergo parvi circuii EFG polus C, per quem et punctum B contactus 
magnus inscribatur circulus ^^Csecans circulum minorem EFG in pimctis 
duobus E et F] eritque per primum Th^odosii de sphaeris superficies cir- 
cuii ABC dia minorem circulum EFG erecta, et per 18 undecimi éUmenUh- 
rum Euclidis ad planum BML idem ABC circulus erigitur. Nam et dia- 
meter ipsius ^D^ ad idem planum BML ex hypothesi et primo Theodosii 
perpendicularis. Deinde ex polo C vA D centrum sphaerae d9.tae recta ducatur 
secans superficiem circuii minoris EFG in puncto 7, quod per primum Theo- 
dosii centrum est circuii eiusdem EFG. Duae quoque diametri EIF et 
1 W Q j£f •) ad rectos angulos | secantes se linientur, **) eritque diameter EIF 
communis sectio duorum circulorum ABC maioris et EFG minoris circuii. 
^'JjPest perpendicularis ad planum BML\ nam axìs ADB ad idem planum 
BML erigitur, quare per conversam octavae undecimi duae lineae ADB et 
EIF diametrus parvi circuii EFG aequedistant. Protrahantur posthac rectae 
quatuor a polo A per quatuor puncta E, if, F, G minoris circuii EFG 
occurrentis plano BML super punctis singulis, quae sint AEK^ AHP, AFM 
et AGO. Dico itaque puncta quatuor if, P, M, in eodem reperiri circulo^ 
per quem super plano BML circulus minoT E HFG proicitur, quod ita demon- 
strabitur. 

Rectae duae protrahantur, quae sint OL et LP, unam rectam constitu- 



a) Ha. bat GLH. 



h) Ha. hai lingentur. 



6. Proposition. (Pig. 4.) 




Fig. 4. 



Die Projektion eines zur Projektionsebene senkrecht st^he: 
den Kreises (Parallelkreises) ist ein Ereis. 



Liber primns. 9 

entes; oam hae pariier sunt communis sectio superficiei triangnli AGH et 
plani BML. Cum autem ex hypothesi recta d/lT perpendicularìs sii ad super- 
ficiem magni circuii ABC^ ipsa quoque erigitur ad superficiem trìanguli { 195' 
ABK. Triangulus enim ABL et magnus circulus ABC*") in eadem constì- 
tuuntur superficie, quare per 18 undecimi élementorum Euclidis sequitur, ut 
superficies trìanguli AOP erigatur etiam ad eandem superficiem ABK. At- 
qui plana superficies BMLeT hjpothesi ac praeostensis ad planum quoque 
trianguli^^f erìgitur, concomitabitur, ut communis sectio scilicet linea OLP 
duarum superficiemm plani BML et trìanguli AOP^) sit etiam perpendicu- 
larìs ad planum trìanguli ABK. Igitur per sextam undecimi élementorum 
Euclidis duae rectae lineae OLP et (r J^ aequedistant. Ex puncto deinceps 
L erìgatur perpendicularìs LN secans latus ^ JST trianguli ABK in puncto N. 
Secare enim necesse est. Nam ipsa erìgitur a communi sectione duaru^i super- 
ficierum trìanguli ABK et plani BML ad se invicem erectarum, et angulus 
A KB per dictam hypothesim et 32 primi élementorum recto minor est. Igitur 
per penultimam petitionem eiusdem recta LN ^) | et latus A K^ cum ambae sint, 195' 
ut probatum est, in eodem plano, a se mutuo secabuntur. Denique producan- 
tur lineae duae AM et LN in continuum et rectum, haec quidem ex parte JKf, 
illa vero in parte X, donec concurrant in puncto i2; eas enim in eandem par- 
tem productas concurrere necesse est per dictam penuTtimam petitionem primi 
élementorum Euclidis. Cum angulus RLM ex hjpothesi rectus sit, angulus 
vero LMR recto minor; suus enim aequalis AMB per 32 prìmi élementorum 
eiusdem et hjpothesi recto minor probatur. Rectae autem quatuor XO, XP, 
LN et LB sunt sibi invicem aequales; illarum namque cuiuslibet ad semidi- 
ametrum parvi circuii EHFG per 4 sexti intercedente 29 prìmi dementorum 
proportio est, sicut recta AL ^à AI rectam. Igitur per novam quinti eorun- 
dem, ipsas esse pares perspicuum est, nisi forte diameter EIF et recta NLE 



a) Ha. hat ABC. b) Ha. hat F. e) Ha. hat LN con. ana NL. 

Man zieht den Kreis ABC durch den Berùhrungspunkt B und den „Por* 
C des zu projizierenden Kreises EHFG. Die Projektionen der Punkte JE, Hy 
F und G von A aus sind die Punkte M, 0, K und P. OP und MK schneiden 
sich in L und stehen aufeinander senkrecht. 

Zieht man LN A. BMK, so schneidet es AK in N, AM in R. Dannist 
LO = LP^B LN^ LB, da, flir jedes sein Verhaltnis zum Halbmesser des 
Parallelkreises =AL:AJ ist. 

Da ^ AKB + ^ BAK - 90® und <^ CAD 46°, so ist ^ AKB + 
<^ CAK = 46®. Nun ist ^ AKB = <^ CAM. Also ^ AKB « 46® — 
4: CAM =- <^ BAM', folglich A ABM ^ A KLN ^ A MLlì. Also 
KL : LN ^LB: LM ^LN: LM. D& LO = LP '^ LN,so gilt diese Pro- 
portion auch ftlr diese. Der weitere Schlufì ist wie bei der vorigen Proposition. 

▲nmerkuug. 

Die Mittelpunkte aller Parallelkreise liegen auf dem Schnitt der Tan- 
gentenebene und der durch die Pole der Parallelkreise gelegten, zur Tangenten- 
ebene senkrechten Ebene. 



10 Liber primaa. 

non esseat aequedistantes. Àt ipsae per praemissas hjpotheses et sextam un- 
ise*" decimi | eorundem dementarum aeqaedistant. Atqul ex hypothesi angulos 
ABK rectus est, et per 32 primi dementarum dao anguli BAK et AKB^) 
aequant unum rectum angulum; et angulus CAD per eandem 32 et 5 primi 
eorandem recti dimidium est. Igitar dao angoli AKB et CAK erunt pariter 
etiam recti medie tas. At per 26 tertii dementarum atque bypotheses dictas 
duo anguli KA C et OA M sunt aequales. Igitur per comma nem scieatiam, ai 
ab aeqaalibus aequalia demas, qaae remanent, suat aequalia anguli duo AKB 
et BAM sibi inyicem aeqaantor. Cam aatem duorom anguloram KLN et 
ABM ei. bjpotbesi uterque sit rectas, consequitur per 32 primi et qoartam 
sexti elemenU)rum triangulos duos. ^^itf et KLN fere similes. Triangolos 
quoque LMR per 15 et per 29 primi eorandem bis repetitam atque praemis- 
sas bjpqtbeses probatur aequiangulus triangulo ABM\ quare per definitionem 
ISG"" et quartam sexti simiiis eidem; ergo per 20 | eiusdem sexti duo triangoli KLN 
et LMR sibi invicem sunt similes; igitur per definitionem proportio lateris 
LK &d LN latus trianguli NKL erit sicut LB lateris ad ZJIf latus trian- 
guli LMR. At LR recta per praemissa rectae LN aequatur; ergo per defini- 
tionem tres rectae KL^ LN et LM sunt continue proportionales. Cum aatem 
linear um LO et LP utraque fuit ostensa rectae Z^aeqoalis, utralibet earum 
per commanem scientiam erit etiam continue proportionalis inter KL et LM 
rectas. Qaare si protraxerimus rectas quatuor MO^ KO^ KP et PMy dao an- 
guli super punctis duobus et P facti per 8 sexti dementarum Euclidis at- 
que per prius ostensa recti erunt. Divisa igitar recta KM per aeqoa super 
S puncto, et descripto circulo iuxta intervallum MS aut KS ipse per conver- 
sam 31 tertii elementarum circulus minor EHFCr ex polo A in subiectom 
197' planum BML proiectus alio figurabitur circulo, quod erat ostendendum. | 

Corrolarlnm. 

Hinc etiam nobis manifestabitur, aequidistantium omnium in subiecto 
plano proiectorum centra reperiri in communi sectione planae superficiei per 
polos eorum aequidistantium, quos idem ex spbaera repraesentant, euntia at- 
que eiusdem subiecti plani, cui eadem superficies perpendìcalariter etiam super- 

instat. 

Propositio sexta, 

Diametrum limitis, boc est circuii sapbeae, designationem 
continentis axi spbaerae, cuius inscriptionem sapbea figurai, da- 
plam esse. 

Sit ergo spbaera AB CD, cuius centrum E^ axis AC, poli AetC puneta, 
atque sphaeram datam planum FGìn polo tangat. Spbaericae itaque super- 
ficiei circulus magnus AB CD inscribatur per ^ et C polos evadens; et super 

a) Nacb AKB hai Hs. rectus est et per 32 gestrichen. 

6. Proposition. (Fig. 5.) 

Die Projektion des Àquatorkreises, der sogenannte „Grenz- 
kreis^', bat einen doppelt so groBen Durcbmesser als die Kugel. Der 



Liber primus. 



11 



«isdem A et C polis alius ei[u]sdem spbaerae circulus BHD inscribatar, cir- 
<;iilum AB CD super i? et 2> pimctis secans, perque | centrum sphaerae means, 197^ 
qui ex definitione magnus quoque sphaerae circulus eiusdem, atque ad circu- 
ium AB GB perpendicularìs esse convincitur. Et prot[r]acta BED diametro 
«liae rectae duae ABF et ADG- ex polo A demittantur, quousque ob vieni 
plano FG in punctis JP et G^; tractam itaque rectam FG per O polum opor- 
tet evadere. Nam circulus AB GB et triangulus AFG in eadem plana con- 
sìstunt superficie,*) cnius communis cum plano FG sectio est recta FG. Cum 
«utem polus G ex hypothesi super eadem locetur sectione, necesse est, ut idem 
polns G rectam FG possideat, nisi quis audeat asserere, duarum planarum 
superficierum se mutuo seoantium communes duas esse sectiones, cui ékmen- 
iorum undecimi tertia resistit oronino. Linea itaque FG per aequa super C 
polo scinditur; nam cum ex hjpothesi et definizione quatuor anguli circa cen- 
trum E duabus sphaerae diametris AG et BB comprehensi recti sunt singuli, 
per quartam itaque ac 32 primi étementorum \ quilibet angalorum quatuor 198' 
BAE, ABÉ, EAB et ADE recti 
medietas esse probatur; quare per 28 
primi duae rectae BB et FG sibi ae- 
quedistant; ergo per 29 eiusdem qui- 
libet duorum angulorum AFGetAGG 
recti medietas esse probatur. Quare per 
quartam eiusdem primi utralibet dua- 
rum linearum GF et GG aequalis AC 
axi convincitur; ergo per communem 
8cientiam: ^'quaecunque uni et eidem 
sunt aequalia, inter se sunt aequalia'' 
duae rectae GF et GG aequantur sibi 

invicem. Igitur super G designato^) iuxta alterius earum quantitatem circulo 
€r ipse per tertiam huius super plano FG figurabit circulum BHB, cuius dia- 
meter, velut iam ostensum est, diametri circuii FG subdupla convincitur. 
Gonstat ergo propositum. 

FG autem circulum sapheae limitem non incongrue vocabimus, quia si- 
cut BHB circulus super sphaera AB GB limitat seu terminai sphaericam ex 
prima huius inscriptionem, sic quoque circulus FG super plano FG sapheam, 
qnae illius est inscriptionis figura, limitat terminatque. 




Fig. 6. 



Propositio septima. 

Inclinatos designandi modum estendere succinctum. 198' 

Maximus ergo limes, intra quam sapbea inscribenda est, circulus esto 
ABCBy qui duabus distinguatur diametris AC et BBin quadrantes quatuor 
AB^ BGj GB^ BA\ centrum eiusdem circuii sit E signum^ super quo extra 



a) Hs. hai superfieiei. 



b) Hb. hat designata. 



Beweis folgt unmittelbar aus den an der Figur ersichtlichen àhn- 
lichen Dreiecken. 



12 Liber primas. 

circulum AB CD alius linietur circulus ab eodem spatio medi! recedens cul- 
mi prò gradi bus annotandis; praeter hunc super eodem centro tertius circum- 
scribatur circulus. a proximo circuLo duplo spatio aut panlo plus recedens, in 
quo quidem intervallo numerus graduum inscribendus est, quae inscriptio fiat, 
aneto graduum numero per quinque, procedendo usque ad 90 atque eodem 
numero inchoato a*) B et utrimque apud J et (7 bis finito, simili modo a^) 

199' J) usque in A et C puncta bis descrìpto. Itaque quilibet quaidrantum AB^ 
BC^ CD et AD ntuneris 90 inscribatur. Deinde semidiameter A E per aequa 
in puncto F scindatur, et super eo centro posito circulus occultus AHEG 
designetur, in quo lineetur diameter GFH, scindens diametrum AFE ad an- 
gulos rectos. His itaque duabus diametrìs circulus AHEG distinguitur in 
qnadrantes quatuor, quorum quilibet deinceps in partes 90 dividatur, aut satis 
erit, buiusmodi circuii dimidi am circumferentiam velut arcum®) HAG in iales 
partes 90*) distinguere. 

Posthaec ex puncto A versus G punctum una sumatur pars, si sapheam 
banc ad sin gulos gradus, aut earundem partium binee, si ad binós, aut temae, 
si ad ternos componere velimus. 

Sumamus igitur, quotcunque libuerit partes, atque in finem sumptae par- 
tis seu partium ponamus M literam; productis deinde occultis rectis tribus 
scilicet diametro MFJ et rectis AML et AJKy donec occurrant diametro 

199^ BED circuii AB CD in utramque partem per | centrum et directum erectae 
super punctis K et L. Itaque linea KL per aequa super puncto N divisa, 
et iuxta intervallum alterius rectae KN aut LN circulus designetur, cuius 
particula intra circulum ABCD cadens tingatur colore aliquo, ut sit mani- 
festa; quidquid autem de inscripto circulo extra limitem ABCD ceciderit^ sit 
occultum aut penitus omittatur; eo namque nobis opus non erit. Hoc pacto 
quoslibet inclinatos prò quoslibet gradus saltem 90 portionibus designabimus, 
propositos videlicet gradus prò inscribendis inclinatis, ut antea, numerantes 
inprimis super quadrante AG en puncto A versus G punctum; posthaec, ut 
monitum est, agendo, velut id in subiecta declarabitur figura. 

Descriptis ergo inclinatis prò medietate ADC circuii ABCD^ haud alia 
ratione inclinatos figurabimus super semicirculo ABC^ usurpando quadrantem 
AH^ velut iam utebamur quadrante AG circuii AGEF. 

200'' At hoc etiam compendio bic uti poterimus, | sumendo scilicet semidiame- 

trum alicuius inclinati ex praemissa doctrina descripti circini officio. Itaque 
per circinum sic extensum in alio semicirculo ACB inolinatum alium parìs 
designabimus officii, posito scilicet uno circini pede super A punctum, altero 
vero eius pede mobili quidem translato in lineam ED ex parte indefinitam, 
atque illic eo fixo reliquo eius pede, qui modo in A punctum ponebatur, etiam 
circumducto, quousque in semicirculo ACB alius nobis exaretur inclinatus. 

Ut si hoc praecepto velim super semicirculum A CB paris inclinatum of- 
ficii describere, cuius inclinatus AKC habetur ex praemissa doctrina intra 
semicirculum A CD designatus. Igitur extensis circini cruribus ad semidiame- 
trum inclinati AKC iam designati, locato deinde circini sic extensi pede uno 



a) Hs. bat a corr. aus A. b) Hs. hat a corr. aus A, 

e) Hb. hat arcum am Rande aus eirculum korrigiert. 
d) Us. hat 90 am Rande aus IBO korrigiert. 



• Libei primus. 13 

in pimctum Aj sed pede ipsius altero ED lìneae in D parte indefinitae appli- 
cato, velnt in puncto P, atqne priori circini pede extra punctam A circumlato 
ìnclinatum AOC saper semicircolo ABC liniatum habebimus se cantera semi- 200^ 
diametrum BE circuii ABC in puncto 0; quod erat ostendendum. Sed hic 
modus designandi inclinatos sic demonstrabitur. 

Sit sphaera QR8T, quam ex prima huius inscriptam saphea praesens 
AB CD figurare debeat; axisque sphaerae datae sit QS] eadem quoque spbaera 
plano VSX super S polo tangatur; circulos etiam per Q et 8 polos designo- 
tur, qui sit QIìST, At per praemissam quindecimamque quinti dementoì-um 
Euclidis et communem scientiam: 'Wculi sunt aequales, quorum aequantur 
diametri", duo circuii AG EH et QB8T probantur aequi. Ex circulo etiam 
QR8T arcus QB arcui AM, sumatur aequalis, et in eodem circulo protracta 
diametro Ì2T, quae necessario habetur etiam aequalis diametro MJ circuii 
AGEHy productis quoque lineis duabus QRX et QTV, donec plano VSX oh- 
▼i«nt in punctis X et F, liniata demum recta FX, quae, ut prius, per 8 po- 
lum de necessitate meabit, describatur | etiam circuius JRT a polis Q et 8 ^OV 
quantitate arcus QB inclinatus, circulum QB8T secans super 2^ et T punctis. 

Oum autem per definitionem recta Y8X in subiecto plano repraesentefc 
diametrum BTy ergo per quartam huius ac eius correlarìum circuius, cuius 
eadem recta Y8X diameter fuerit, circulum B T repraesentabit. Eandem autem 
VSX rectam dico fore parem diametro KL inclinati AKC prò saphea AB CD 
iam designati, quod sic patebit. 

Nam duo trianguli AEK et QSV aequilateri et aequianguli per 26 pri- 
mi dementorum probantur. Latus enim A E trianguli AEKp&r est lateri QS 
trianguli QSV. Et angulus AEK aequalis angulo QSV-^ uterque enim ex 
hjpothesi rectus est. Angulus denique EAKper 26 tertii dementorum aequa- 
lis est angulo VQS. Ergo latus EK trianguli A EK aequatur lateri S V trian- 
guli QSV, Haud secus recta EL probabitur aequalis*) SX rectae. Quare per 
conmiunem scientiam tota | VSX par erit toti KEL, SOl*" 

Ergo descriptus circuius, cuius diameter fuerit VSX recta, par erit cir- 
culo AKC, et eorum uterque figurabit ex sphaera QBST inclinatum TB\ 
quod erat ostendendum. 

Unde demum liquet, omnium inclinatorum sapheae AB CD inscribendo- 
ram centra super BD diametro consistere, quod eadem diameter repraesentet 
planae superficiei circuii QBST et plani VSX communem sectionem VSX. 
Quare illatum correlarium haud est ad concludendum difficile.^) 

Corrolarium. 

Hinc etiam exit pei*spicuum, nobis sufficere prò inclinatis inscribendis 
semicirculum AG E diyisum fuisse in 180 partes. Notandum insuper est, ve- 
lut idem etiam patet ex praemissa, singulos inclinatos, si iuste designabuntur, 
oportere per duo puncta A et C transire. Quod autem per A punctum trans- 
eant, manifestum est per 31 et eius conversam tertii elementorum Euclidis, 
cum angulus circa punctum A prò | singulis inclinatis eyeniat rectus. At ip- 202'' 

a) Hs. hat 8 V trianguli . . . próbahitur aequalis am Rande hinzagefdgt. 

b) Hb. hat difficilae. 



14 



Liber prìmos. 



S08 incHnatos super C punctum transire, constabit ex tertìa eonindem. Id de- 
nìque silentio praetereundum non est, diametrum B'D prò omnibus inclinatisi 
eomm portiones intra circulum AB CD comprehensas, aequaliter necessario 
partire, quod ex eadem tertia tertii liquet; sed id demonstrasse fortasse super- 
Yacaneum yìdebitur. 

Alius et aptior modus designandi indinatos. 

Quod haec septima proponit, aliter commodius atque brevi- 
US sic fiat. 

Diviso*) limitis seu circuii AB CD quadrante quolibet in gradus 99, ve- 
lut infra traditum est, deinde a puncto A versus B computatis tot gradibus, 
quot inscribendus debeat significare inclinatus, et ad huius computationis exi- 
20S^ tam ponatur Y^) nota. Totidem etiazn gradus numerenjtur a ponete C ver- 
sus D punctum, exitosque numerationis huius litera Z°) signetur. Deinde re- 
gola ex parte una supra punctum A^ de parte vero alia Y punctum applicata^ 
eiusdem regulae sectio cum diametro BD ej, utraque parte indefinita puncto 
L notetur. Bursus apposita regula super A et Z punctìs, iterum eiusdem 
sectio cum diametro BD signetur puncto K. Itaque linea KL divisa in ae- 
quas partes super N puncto, atque secundum intervallum JTJVaut X^lineae 
super N centro posito circulus linietur KL. Dico enim, esse propositum in- 
clinatum atque super A et C puncta necessario evadere, quod sic estendami 



a) Hs. bat Divisto. 

e) Hs. bat L korr. in Z. 



b) Hb. bat ponaturij statt ponatur Y. 



7. Proposition. (Fig. 6.) 

Eonstruktion der Projektion von grOBten Kreisen, die gegen 

die Acbse geneigt sind. 

Gegeben ist die Projektion 
des Àquators, die Sapbea, die 
noch von 2 Kreisen umgeben ist, 
auf denen die Teilung in 360^ 
angebracbt ist. Man halbiert den 
Radius A E und ziebt uro den 
Halbierungspunkt F den Kreia 
AG EH. Von J. tr&gt man den 
Bogen A M (= dem Winkel, um 
den der zu projizierende Kreis 
vom Poi entfemt ist) ab, àeht 
MFJ, AML und AJK, die 
den Durcbmesser BD in L bzw. 
K scbneiden. Dann wird ftber 
LK ein Kreis gescblagen (Mittelpunkt K)^ der durcb A und C geht. Der 
Kreisbogen ACK ìsi die gesucbte Projektion. (Es kommt nur der Tei! inner- 
halb der Sapbea in Betracht.) 

Der Beweis wird mittels der auf der Projektionsebene und dem „ge- 




Fig. 6 



Liber prìmus. 



15 



208' 



Sii ergo in praesenti figura pusctus T secido lìneae AML et circuii 
AB CD, productaque AJK, donec ocurrat circumferentiae AB CD in puncto Z, 
protractis etiam semidiametris EY et ZE. Cum autem per definitionem si- 
milium arcuum duo arcus, scilicet A Y circuii ABCDetAM circuii A G EH^ *) 
sunt similes, ergo quotb) graduum quadrantis A Q- fùerit arcus AM, tot etiam 
graduum quadrantis AB erit arcus AY, Quod autem duo arcus ^F et CZ 
8unt aequajles, sic liquebit: 

Nam per eandem definitiooem arcus CZ similis est arcui EI. Igitur ex 
permutata proportionalitate arcus AY aequabitur arcui CZ\ nam per 15 pri- 
mi et 26 tertii élementorum Euclidis duo arcus ^Jlf et EI sibi mutuo ae- 
quantur; constat ergo propositum. 

Itaque perspicuum erit, duas semidiametros ^Y et ZE unam esse rec- 
tam per 14 primi eorundem dementorum, 

Inclinatos igitur circulos per gradus circuii AB CD certius quam per 
gradus circuii AGEH inscribemus, cum priores posterioribus siot maiores. 

Sed aliquis adhuc forte dubitabit duas semidiametros ^Y et EZ unam 
esse rectam atque hac de re negabit duos angulos CEZ et AEY tanquam 
contrapositos aequari. Ergo hic ampliori declarationi erit indulgendus: 

Duos aDgulos FAJ et AJF trianguli AFJ aequos nemo esse inficiabi- 
tnr; nam per definitionem circuii duo latera ^ JP et FJ aequantur. Pari modo 
angnlus AZE probabitur aequalis | angulo FAZ*^ ergo duo anguli AIF et 208"^ 
AZE pares sunt; igitur per 28 primi dimeniorum duae lineae FJ et EZ 



a) Ha. hai AG OH. 



b) Ha. hat quod. 



neìgten^' Kreis senkrechten, die Achse enthaltenden Ebene geftlhrt, in der die 
einzelnen Seiten und Winkel gleich denen der Figur sind. 

2. Art der Konstruktion. (Fig. 7.) 

Der Neigungswinkel gegen den Poi wird an der Sapbea selbst yon A aus 
gegen B hin abgetragen (Bogen ^ Y = Bogen CZ, YJ^Z Durchmesser) und 
die Geraden AY und AZ bis zum 



Schnitt mit BD gezogen. Die Scbnitt- 
punkte sind L und JST; flber LK wird 
mit dem Mittelpunkt in N ein Elreis 
gechlagen, der durcb A und C gebt 
und der gesucbte Projektionskreis ist. 

Es sei in Fig. 6 Y der Scbnitt der 
Creraden AML mit dem Kreis AB CD, 
Z der Geraden A JK, dann ist Bogen 
AJ abnUch Bogen AM, d. h. <^ AE Y 
— -^ AFM — dem Neigungswinkel. 
Ebenso ist ^ CEZ « ^ EFJ, folg- 
Hch auch ^AEY^^ CEZ, d. h. 
YE und EZ bilden ein e Gerade, (was 
nocb ausfCQirlicber bewiesen wird.) 

Die 2. Konstruktion hat den Yorzug gròfierer Genauigkeit vor der ersten^ 
da der Bogen des Neigungswinkels an dem gròBeren Kreis genauer aufgetragen 
werden kanu, als an dem kleineren. 




Pig. 7. 



16 Liber primus. 

aequidistant; ergo per 29 dao anguli AFJ et FEZ aequantur. Haud alitar 
duo angoli AFM et AEY probantur aequales. Sed duo anguli AFM et AFJ 
per 13 primi duobus rectis aequantur. Ergo per communem scientiam: ^^quae 
uni et eidem sunt aequalia, inter se sunt aequalia'' etiam duo anguli A ET 
et AEZ duobus aequantur rectis; ergo per 14 primi eletneniarum duae semi- 
diametri E Y et EZ sunt etiam una recta; quare per 15 primi eorundem an- 
gulus AEY^) est aequalis angulo CEZ; et per definitionem arcus A Y aequa- 
lis arcui CZ: quod erat declarandum. Nunc itaque omnis cessat dubitare. 

Propositio octara. 

Qua ratione prò plano subiecto aequidistantes compendiose^) 
figurentur edocere. | 

^^^' Descriptis itaque per praemissam inclinatis omnibus prò singulis aut 

quotlibet gradibus, nunc tractandum est, quo pacto quilibet aeqoidistantes 
tumultuarie brevissimeque debent designari. 

Sapheae itaque limite, sicut docuit, distincto in quadrantes quatuor, quo- 
libet deinde quadrante in gradus 90, protractis diametris duabus perpendicn- 
lariter se secantibus AC, BD*,^) et sicut in praecedenti figura divisimus A E 
semidiametrum per aequa, ita nunc semidiametrum BE per aequalia in poncto 
B secabimus et super eo centro posito iuxta interyallom BB aut BE par- 
vum Huiemus semicirculum*) jB1^^£, cuius circumferentia per aequa div^idatur 
in puncto S\ et uterque quadrans BS et ES in partes secetur aequas 90. 

Propositum esto aequedistantem designare, qui gradu uno yel quotlibet 
iuxta suam repraesentationem recedat a diametro BED. Igitur propositae 
gradus distantiae inprimis computabimus in quadrante BS ex B versus sig- 
num S, atque ad ezitum eius posita JP nota, cui ex quadrante E8 pari arcu, 
^04*^ scilicet EG sumpto, | protrahemus lineas duas BFJ et BGH, occurrentes 
diametro AC utramque in partem indefinitae in punctis J et H, Lineaque HJ 
per aequa in puncto K divisa, et K posito centro, super eo iuxta intervallum 
lineae UK aut lineae JK*/ circulus LHM describatur, secans circulum AB CD 
in punctis L et M. Quod si nullus intervenerit error, duo arcus BL et DM 
invenientur aibi invicem aequales, et eorum uterque arcui BF 2kVit EG similis. 
Non aliter reliquos aequedistantes in eodem semicirculo BCD perficiemus. 

Sed paris of fieli aequidistantem in alio semicirculo, scilicet BAD^ ita 
designabimus: 

Si in duobus eodem sumptis arcubus BK^) et DP, quorum uterque ar- 
cui BL aut DM aequatur, et circini cruribus, ut prius, ad aequidistantis') 
L HM descrìptionem extensis, posito altero eius pede vel in P vel in N punc- 
tum, et altero ad semidiametrum A E ex xitr&qae sui parte indefinitam appli- 
cato, firmatoque infra Q notam, ab priori crure circumducto designatum igi- 
tur in semicirculo BAD habebimus aequedistantem^) paris offici! una eteadem 
206 'circini ex tensione describi posse; quod sic demonstrabitur. 

a) Ha. hat AEV. 

h) Hr. hat compendiosae. e) Hs. hat AB CD statt AC, BD. 

d) Hs. hat semi' ùber der Zeile hinzugefùgt. 

e) Hs. hat BN korr. aus BM. f) Hs. hat aequedistantes. 
g) Hs. hat aequedistantes. 



Liber primiis. 17 

Sit spbaera TFXF, quam quoque per primam huius ìnscriptam hac 
praesenti saphea AB CD repraesentare intendimus. 

Datae igitur sphaerae axis sit T F, per cuius polos T et V circulum T VX 
inscriptum esse intelligamus. Eandem quoque sphaeram planum VZ<it tangat 
-super polo V. Deinde ex circumfereotia 2' VX Y duo sumantur arcus TY et 
VX aequales duobus arcubus BF et EG circuii BEG super saphaeae ABCD 
semidiametro BE descripti. Tales autem arcus aequos sumere possimus [!] 
•omnino; nam ut in praemissa duo circuii TVXY et BEG àe necessitate pares 
esse probantur. 

Cogìtemus igitur per F et X puncta fuisse descriptum aequidistantem 
X Y, per cuius polos veniat circulus TVXY^ et protractis rectis duabus TXZ 
-et TYà:^ quonsque occurrant subiecto plano super *) Z et dt punctis, producta 
-quoque Zét^ atque circulo | super plano VZ<t d escripto, cuius ipsa Zét fuerit 205'' 
diameter. Dico eum parem esse designato iu proposita sapbea aequedistanti 
MHL'^ quod sic ostendam. 

Protracta inprimis linea Z F, iterum, ut in praemissis, probabimus, duas 
lineas ZV et Zéb pari ter unam esse rectam. Ergo triangulum T V<t per 26 
primi élemmtorum aequilaterum atque aequiangulum triangulo BEI habebi- 
mus. Nam ex bypotbesi angulus BEI aequatur angulo TV<S:\ uterque nam- 
que per definitionem rectus est. At angulus VTét trianguli T Vdt per 26 tertii 
elcmeìfUoirum par est angulo EBI trianguli BEI. Et latus BE trianguli 
jBEI par est per hypothesim et sextam huius lateri TF trianguli TV et. Er- 
go triangulum BEI constat esse aequilaterum triangulo TV(t, 

Haut dissimili probabimus ratione, rectam VZ aequam esse EH rectae. 
Igitur ex communi scientia; "si ab aequlibus aequalia demas" Zdt recta | ree- 206' 
tae HI par habebitur. Ergo per communem scientam, qua novimus, acquari 
€Ìrculo8; quorum pares fuerint diametri, circulus Zdt aequabitur eìrcuìo MHLj 
-quod est propositum. 

Denique declaraodum est, ut, quemadmodum in spbaerica descriptione 
arcus sphaerici limitis proximis quibusque comprebensi aequedistantibus sibi 
invicem aequantur, ita quoque super sapheae ipsius limite scilicet ABCD 
eirculo fieri, ut duo arcus eiusdem ABCD limitis duobus proximis conclusi 
aequedistantibus quibusque pares babeantur. 

At prò huius demonstratione intenti literarum numerus nos iam defecit. 
Tali ergo utamur cautione, ut cum in maioribus pridem ac eas acceperimus 
£guris, nuDC prò principaU utamur effigie. 

Sit ergo limes sphaericae descriptionis circulus bcd^); eiusdem Sphaerae 
TVX centrum sit a. Ex circumferentia itaque òcdduo sumantur aequi | ar- 206^ 
•cus atque continui de et e/*, qui ex circumferentia bed separentur, tribus aeque- 
distantibus per puncta tria d, e, f designatis, atque super plano YZd: posito 
centro super V punctum circulus describatur gh ex spbaera TVX repraesen- 
tans circulum bcd. Ex polo itaque T per d, e, /"puncta tres rectae Tdg, Teh 
et Tfi demittantur occurrentes plano FZ in circumferentia ghij quas per defini- 
tionem et praesentem hypothesim eidem obviare necesse est. Huic igitur cir- 
cumferentiae super tribus occurrant punctis g, h et i. Dico ergo, duos arcus gh 
et hi duobus arcubus de et e f fore similes, sibi vero aequales. Quod sic patebit. 



a) Hs. hat super zweimal. b) Hs. hat Bcd. 

Abhdlgn. s. Oetch. d. math. Wisi. XXIV 8. 2 



18 



Liber primus. 



Ducantar [in] sphaera TVX semidiametri tres ad^ ae et af. Protralian- 
207' tnr item tres in circulo ghi semidiametri Vg, Vh,Vi. \ Cam autem axis TV 
per hypothesim duabus snperfìciebus duorum circulomm bcd et ghi perpen- 
diculariter instet, eorundum circulorum superficies per 14 nndedmi demento- 
rum aequedistant. Quare per 28 primi elemeniorum daae semidiametri ad et 
Vg aequedistant. 

Item a e et Vg, similiter quoque af et Ti, probantur aequedistare. Ergo 
per 10 undecimi angulus da e aequatur angulo gVh. Pari modo angulus dae 
ac^puabitur angulo gVh. Pari modo angulus eaf aequabitur angulo hVi\ ergo 
per definitionem similium arcuum gh arcus est similis arcui de, et arcus hi 
similis arcui e/*. Ergo permutatim, sicut arcus duo de et ef ex hjpothesi 
aequantur, ita quoque arcus gh et hi pares erunt; quod est intentum. 

Item quoque ac eodem probaremus modo, si super circumferentia bcd 
pares et discontinui sumerentur arcus. | 

Alins et certlor modus designandl aequedislaiites. 

Eorumdem quoque aequedistantium inscriptio fiet commodius per circu- 
lum AB CD. Nam inprimis propositos gradus aequedistantis designandi com- 
putabimus super quadrante BC ex B versus C ad computationis finem posito 
L puncto. Pari deinde graduum summa super quadrante CD ex 2> in C *) 

a) Hs. bat DMC Btatt D in C. 



207^ 



8. Proposition. (Pig. 8—10.) 

Konstruktion der Projektion 
der Parallelkreise (za einem Meri- 

diankreis). 

Man ziebt flber dem Halbmesser BJS 
der Saphea den Kreis mit dem Radius 
BR^ RE und macht BF^EQ = dem 
Winkelabstand des zu projizierenden Par> 
allelkreises von der Achse. Dann zieht 
man BF und BG, die die Linie AEC 
in 1 und U schneiden. Der Kreis ùber IH^ 
dessen Mittelpunkt K ist und der die 
Sapbea in L und M schneidet, ist die gè- 
suchte Projektion. 




D 



Die Konstruktion fQr den ent- 
sprechenden Parallelkreis in der 
anderen Kugelh&lfte. 

Man macbt BN'^BL^^PD, nimmt 

den Radius jBl J in den Zirkel und schlagt 

damit durch N und P einen Kreis, dessen 

Mittelpunkt auf AC liegt. 

Der Beweis (Fig. 9) wird mittels der auf dem zu projizierenden Kreis 

und der Projektionsebene senkrechten Ebene gefQhrt, in der gleiche Winkel und 

Strecken wie in Fig. 8 vorliegen. 



I 

Fig. 8. 



Liber primiu. 



19 



recensita, ad huiusque numerationis exitom facta M nota. Posita ergo regala 
super B %i L punctis ipsins cnm diametro A C utrimque indefinita communem 
sectionem puncto I signabimus. Applicata deinde regula supera et iKf punctis ^) 
eins cnm diametro A C incidentiam H nota signabimus. Et IH recta per aequa 
in I puncto K divisa, super eo centro posito iuxta spatium alterum IK aut 208' 
HK limato drculo LHM constabit propositum, quod ita liquet. 

Scilicet scito super L nota circulo AB CD per rectam BFI^ protracta 
deinceps BG ex parte 6r, donec circumferentia AB CD occurrat in puncto M^ 
erit itaque per definitionem similium arcuum arcus BL circuii AB CD similis 
arcui BF circuii BFGy et per eandem definitionem arcus DM circuii AB CD 
similis arcui EG, Igitur ex permutata proportionalitate arcus BL erit aequa- 
lìs arcui DM. Ergo dato eodem graduum numero et sive supra cìrcumferen- 
tiam BFG sive supra circumferentiam AB CD dieta ratione computato, eun- 
dem aemper aequedistantem liniabimus. 

Hic autem designandorum monus aequedistantium priori certior est, { 
quoniam gradus circuii AB CD longe maiores sunt gradibus circuU BFG^ qua 208"^ 
de re per eundem circulum^J?C7D operantes inscrìbendo aequedistantes minus 
fiallemur. 



a) Hs. hat punctis applicata statt punctis. 

b) Ha. hat eius komgiert aus eie. 



Anbangsweise virird noch mìttels fthnlicber Dreiecke bewiesen (Fig. 10)^ 
dafi gleicben BQgen auf dem Aquator gleicbe BGgen auf der Sapbea entsprecben. 

2. Art der Eonstruktion. (Fig. 8.) 

Man macbt BL ^^ MD » dem Winkelabstand des Parallelkreises von 
der Aebse und ziebt die Geraden BL und BM^ die die Linie AC in Jund H 




Fig. 9. 

sdmeiden. IH wird durch K halbiert und 

der Ereis um K mit dem Badius KI=^ ^^ „ 

gezogen. Der Beweis ergibt sicb aus der „Àhnlicbkeit*^ der Bdgen, d. b. Gleicb- 

beit der Winkel im kleinen und groBen Kreis. 

Diese Methode ist wieder genauer als die erste, da sie sicb des grofien 
Kreises bedient. 

2* 



20 Liber prìmiu. 

Propositio nona. 

Praedìctos in sapbea circnlos, tum inclioatos, tum aequedi- 
stantes, alia quadam ratione, auxilio scilicet quorundam numero- 
sam designare. 

In praemissa et antepraemissa de super plano aliquo inscribendis tam 
inclinatis quam aequidistantibus Tiam quandam geometrìcam patefeci. Sed si 
cuipiam libeat, eadem, quae praemissae docuerunt, numerorum adminiculo per- 
209' ficere, quo quLsque suum citìus assequatur, no tum atque incboatum sapheae 
opus celerius absoWat, illi profecto, ni fallor, vigiliae laboresque mei non 
deerint. Idem denique operam deditam me lusisse non penitns autamabit,*) 
qui subiectos numeros ex antea demonstratis auxilioque tabulae dimidiataram 
cordarum, quas astronomi modemiores sinus appellitant, quarum manma 
seu sinus maximus boc est: semidiameter circuii complectitur 10000000, com- 
puto quodam elicui accuratissimo. 

Talis autem supputationis rationem nolui silentio praeterire, quarnvis 
illa cuique in arithmeticÌ3 geometricisque rudimentis mediocriter exercitato per 
praemissa theoremata per se patent. Ne tamen ea lectorem primis matbemati- 
cae cunabulis non satis institutum lateat, eorundem quoque numerorum inven- 
tionem declarandam bic esse putabam. 

Bepetamus itaque scbema huius septimae propositionis, et nostrum sit 
209"" intentum, primae tabu lae numeros contegere. 

Igitur arcus CZ unum coroprebendat gradum, et proponamus rectam EK 
computare in partibur, quarum ED semidiameter limitis sapbeae 60 continet. 

Igitur cum ex hypotbesi triangulus AEK notorum sit angulorum, eius 
quoque cognoscentur latera. Nam angulus AEK rectus est; angulus vero 
EAKej, bjpothesl et 19 tertii elemerUarum gradum dimidium continet Ideo 
per 32 primi eorundem angulus AKE gradus babet 89, min. XXX, quorum 
duo recti faciunt 180. 

Si denique supera puncto iuxta quantitatem lateris AK trianguli AEK 
cogitemus circulum esse designatum^ ideo per definitionem latus A K trianguli 
AEK sinus erit integer, latus vero EK sinus minutiarum XXX, latus autem 
A E sinus graduum LXXXIX, min. XXX. At iuxta sinuum tabulam, cnius 
210' sinus totus babetur partium 10000000, latus AK \ erit 10000000, latus 
AE partium earundem erit 9999619, latus autem ^JT babebit similes partes 
87265. Sint igitur 9999619 numerus primus, 87265 numerus secundus, 
numerus vero tertius sit 60 iuxta numerum partium semidiametri A E. Quod 
si velimus EK notam quoque habere in eisdem partibus, quarum semidiameter 
AE continet 60, igitur iuxta regulam de quatuor numeris proportionalibus 
ad inveniendum aliquem illorum ignotum^ quae super 20 septimi clementorum 
Euclidis fundatur, multiplicabimus tertium cum secundo, et summam prò- 
ductam per primum partiemur, et numerus bac exiens divisione huiusmodi^) 
proportionalitatis quartus erit terminus. Ibi namque proportio primi numeri 
ad secundum et tertii ad quartum una est, videlicet sicut lateris AE ^ latus 
EK trianguli AEK 



a) Ha. bat autumnabit. b) Ha. hat modi ùber die Zeile binsugefiigt. 



Liber primus 21 

Summa autem, quae ductis secundi numeri in tertium prodacitur, erit ibi 
5235900, qnae cum | a numero primo longe superetur, atque idcirco per eun- 810^ 
dem partiri non valeat, igitur eadem iterum*) per 60 multiplicata — in tot 
enim minutias unam sexagesiman semidiametri A£ subdivido — excrescet 
numerus 314154000, quibus per numerum primum partitis ezìbunt minutìae 
XXXI fere aut paulo amplius unius sexagesimae semidiametri A E. Tanta 
itaque latus EK habetur ex sexagesimis A E semidiametri; quod erat osten- 
demdum. 

Non aliter alios ìnveniemus tabulae primae numeros. 

Secundam vero tabulam hoc componemus computo. Septimae propositi- 
onis figura rursus assumatur, in qua arcus A Y unum quoque gradum conti- 
seat. Atqui yelut in eadem septima buius declaratum est, angulus L AK eit 
rectus. Igitur per 8 sexti demtnionifn triangulus E AL similis est triangulo 
AEK. Ergo angulus | ALE^) par est angulo^) EAK^ et angulus EAL 211'* 
aequalis angulo AKE. Igitur, si super L posito centro iuxta AL ciiculuni 
imaginabimur descriptum, erit latus A E per definitionem sinus gradus dimi- 
dii, latus vero EL triangoli ALE sinus supplementi dimidii gradus, hoc est 
graduum LXXXIX, min XXX. Quare per eandem tabulam sinuum hjpote- 
nnsa AL erit 10000000 partium, et earundem EL erit 9 999619; sìmilium 
quoque A E latus inyenitur 87265. Sed nostrum est intentum cogncscere magni- 
tudinem EL lateris in partibus, quarum E A latus supponitur esse sexaginta. 
Igitur 87 265 partes lateris ^^ primus sit numerus, 60 partes eiusdem loteris 
sectindus, et tertius numerus sit 9 999 019. Facta igitur opera tione in prae- 
missis tradita, quartus exibit numerus | 6875 et min XXII^) fere; tanta ergo 211^ 
est EL recta in partibus, quarum A E seroidiameter habet*) 60. 

His deinde 31 uumeris additis, quanta scilicet reperitur EK earundem 
partium, constabit tota LK in eisdem partibus 6875 minutae LUI fere. 

Ideo nota erit diameter inclinati gradui uni servientis, et huius aggregati 
dimidinm, scilicet partes 3437 min. LYI fere, inclinati eiusdem est semidia- 
meter. Hoc itaque dimidium prò tabula secunda primus erit numerus; pari 
ratione reliquos eiusdem tabulae numeros inveniemus. 

Nunc ad declarandos tertiae tabulae numeros accedamus, ubi schematae 
oetayae huius contemplando nobis opus erit. 

Ideo causa exempli proponamus computare semidiametrum aequedistan- 
ti8 uno gradu a centro sapheae remoti. 

Sit ergo in praedicto schemate arcus BL gradus | unus, quorum circum- 212'' 
ferentia AB CD possidet tota 360. Et consilium est investigare rectam HI^ 
quae est diameter aequedistantis MHL prò uno gradu distantiae a centro E 
servientis. 

Itaque ciun triangulus BEI ex notis exstat angulis, igitur laterum eius 
proportio cognoscetur. Nam ex bypotbesi 19 tertii elemenforum angulus EBI 
habet gradus LXXXIX, min. XXX, et angulus BEI ex bjpothesi quoque rec- 
tus est. Igitur per 32 primi elementorum angulus BIE comprehendit ex eis- 
dem gradibus dimidium. Quare, ut prius, latere BI 10000000 partium sup- 



a) Hb. hat igitur in iterum korrigiert. b) Hb. hat^ZJ^ korrigiert aus AKE. 
e) Hb. hat triangulo statt ang%5o, d) Statt XXI. Weiter unten ricbtig. 
e) Hb. hat habetur. 



22 Liber prìmaB. 

positO; per dlctam sinuum tabolam latus ET continebit earundem 9999619, 
BE vero latus ex eisdem partibus babebit 87265. Sed quia latus BE divi- 
ditur etiam in partes 60, et in eisdem partibus desideramus quoque latus 

212^ EI I cognoscere^ igitur 87265 primus sint numerus, et 60 secondus numems 
et prò tertio numero sint 9999619. Operando ergo iuxta prius traditam 
proportionalitatis regulam quartus exibit numerus 6875, min. XXT,*) qui in 
dedaratione secundae tabulae quartus quoque erat numerus. Quare patet 
quartum numerum praesentis ostensìonis eundem esse cum quarto numero ae- 
cundae declarationis,^) qaod bine etiam liquet. 

Quoniam triangulns BEJ schematis octavae aeqoilaterus semper erit tri* 
gono AEL schematis septimae propositionis, modo suppositis BL et AT ar- 
Cttbus aequalibns, sic enim per 26 primi elementorum propter A E et B E latera 
aequalia aequilaterì atque aequiangnli iidem trianguli probantur. 

Sed redenndum est ad id, unde paulo ante dilapsa fuit oratio. Demamus 
igitur ex EI latore in partibus 60 lateris BE constituto, hoc est ex quarto 
numero iam invento, EH rectam, qaae ex bjpothesi et prìmae tabulae prae- 
missa dedaratione constat min. XXXI fere. Earundem partium reliquum eiit 

213' 6874, min. 50, quantitas scilicet diametri ^/ aeqnedistantis MHL propositi, 
quorum dimidinm erit 3437, min. 25, semidiameter eius aeqnantis, primus 
yidelicet numems tertiae tabulae; qnod est intentum. 

213^ Dispositlo Tabulae. 

2t4' I Ut autem numeris bis quispiam uti rite queat, recta quaedam snmatnr 

semidiametro maximi sapbeae limitis, hoc est velut in praecedente figura, còx- 

a) Vgl. oben. b) Hb. hat declinationis. 



9. Proposition. 

Numerische Berechnnng derProjektionen der geneigtenEreise 
und der Parallelkreise. 

1. Geneigte Ereise (Fig. 6). Es sei die Neigung des Ereises, also der 
Bogen CZ^ =- 1^ Qesucht ist die Strecke EK^ wenn der Halbmesser ^D» 60 
gesetzt wird. 

Da CZ = 1 ^ so sind die Winkel des Dreiecks AEK.^^A^W.^E'^ 
90^ ^ ^i2 — 89^ 30'. Setzt man AK (die Hypotenuse) — 10000000, so 
ergibt'sich: JIì;=- ^ JT sin 89® 30' = 9999 619, -E^— ^ JT- sin 30' = 87266. 

Setzt man nun AE ^ ^0 Einh., so ist EK in diesen Einheiten = 60 • 9999^0 

Femer ist gesucht der Radius des Projektionskreises in gleichen Einheiten. 
Zu diesem Zweck wird zunftchst EL berechnet. EL » ^L • sin 89® 30' also 
wenn AL « 10000000 gesetzt wird, =• 9999619, AE = AL • sin 30' == 

1) Der Verfasser batte wohl die Absicht, spAter eine Tabelle der Werte toh 
EK hensustellen, wenii GZ immer nm 1^ zonimmt. 



Liber primns. 23 

culi AB CD semidiametro aequalìs, qnae in sectiones aequas sexaginta partia- 
tuTy ex qua circìni officio capiamns minutias 31 unius sexagesimae dictae 
iineae iam divisae prò aeqnidistantibtis et inclinatis circnlis unius gradus inter- 
vallo a centro E distantibus, cirdnique sic extenti, uno pede immobili intra 
dati circuii AB CD centmm E defìxo alterum transferamus ad quatuor semi- 
diametros A E, EC, EB, I^E], atque signatis super eas punctis singulis, 
deinde drcini officio de linea iam divisa prò inclinatis et aequidistantibus a 
centro E graduum duorum intervallo recedentibus partem unam, cum minutiis 
trìbus earundem sexagesimarum sumentes eas ut antea transferamus ad eos- 
dem semidiametros limitìs AB CD. 

Hoc itaque operis quousque prosequamus, quoad earundem semidiametro- 
rum ex praemissa tabula quamlibet in 90 distìnguamus intervalla, quamvis 
inaequalia, velut apparet, si modo tam inclijnatos quam aeqnedistantes prò 814' 
singulis intendamus inscribere gradibus. 

Sin autem proximos quosque sive inclinatos sive aequidistantes ad gra- 
duum spatia duorum designare nostra sit intentio, nos igitur oportebit in prae- 
ooissa numerorum tabula nnmerum unum semper intercalare ac transilire, quo 
fit, ut in singulis semidiametris*) illis divisionum huiusmodi intervalla 45 
distinguemus et inclinatos aut aeqnedistantes 45 tantum, quorum quilibet a 
proximo duabus secedat partibus sapbeae inscribemus. 

Qua de re lectorem ulterius edocere nisi penitus geometrìae rudem omnino 
videtur supervacaneum. Sic ergo praecedentis tabulae numeralis usus est de- 
claratus. 

Numeralium vero tabularum sequentium prior inclinatorum continet semi- 
diametros in partibus sexagesimis semidiametri maximi limitis. 



a) Ha. hat semi darCLbergeschrieben. 



87265. Setzt man wieder AE = 60 Einh., so ist J5?X « 60 • ^^^^r- — 6^75 

Hieraus ergibt sich der Durchmesser LK des Projektionskreises zu 6875 
?1 4- ?A ==6875 ^ Einb., und der Radius zu 3437 ^ Einh. - 3437 Einh. 

59 Minuten.') 

2. Parallelkreise (Fig. 8). Der Winkelabstand des Parallelkreises von 
der Achse sei 1^ Gesucht ist der Durchmesser HI des Projektionskreises. 
Die Ableitung geschieht in analoger Weise wie oben; das Resultat ist: HI =» 
EI—EH^ 6875 TI. 21 Min. — 31 Min. = 6874 TI. 50 Min., also der Radius 
X/=3437 TI. 25 Min.») 

Das Eapitel schliefit mit einem Hinweis auf die Eonstruktion des Kreises 
mit dem Zirkel und auf die Yerwendung von Tabellen, die nur von 2 zu 2 
Grad die Werte angeben. 



22 32 

1) Hs. hat - und ^^. 
' 60 60 

2) Hierher gehòrt die nicht ausgefiihrte Tabelle II fClr die Radien der Pro- 
jektionskreise. 

3) Der freigelassene Haum von ca. 2 Seiten war fiir die 3 Tabellen bestimmt. 



24 



Liber primus. 



In primis itaque per eandem tabulam habetur semidiameter a centro JET 

recedentis spatio unius gradua, in partibus talium sexagesimarum 343737^) 

^15' cum minutiis 56. Deinde inclinati ab eodem centro E recedentes gradibus 

duobus semidiameter ponitur earundem partium 1719 cum minutiis 14, etita^ 

de reliquia inclinatorum semidiametris. 

Non secus quoque numeralis tertia singulorum aequedistantium semidia- 
metros in eisdem semidiametri ipsius limitis AB CD partibus sexagesiraìs 
patefaciet principium numerorum pari sumens ratione. Hunc autem laborem^ 
ni me fallat opinio, tanquam frustra susceptum nemo sane unquam, praeser- 
tim sideralis studiosus scientiae, improbabit, ubi potissimum sibi constabit^ abs- 
que horum numerorum praesidio, prolixa valde ac taediosa incertae palpatio- 
nis indagine, bas semidiametrorum magnitudines oportere inyestigari. 



IO 



70 



Propositio decima. 

Pro sapbea regulam fabricare artificiosam. 

SIS*" Igitur aliqua | recta, quae «ii AB^ sapbeae limitis semidiametro sumatar 

aequaHs, et in punctis ^ et ^ in partem unam duae rectae AC et BJ) e:L 

punctis D et C indefinitae perpendiculariter erigantur. Ad 
eandem quoque partem rectae protrahentur aliae ad lineam 
quidem AB aequidistantes, apud duas vero rectas AC et 
BD terminatas, quarum prima àe AB recta medii quan- 
titate culmi, secunda vero DC priori duplo aut madori re- 
1^ cedat spatio; tertia deinde a praecedente pati distans inter- 
vallo; item quarta ab ista spatio, quantum est culmi dòmi- 
^ dium abiens; rursus quinta de priori recedens, quantum sii 
culmi medietas, quae prò decore, et non ipsius regulae ne- 
cessitate trahitur; postbaec sexta linea dimidii latitudine 
culmi ab antecedente propria recedens;^) postremo septima^ 
quae de sua propinqua duplo vel ampliori removeatur inter- 
vallo. 

His lineis septem protractis AB recta en \ Aìn B per 
praemissam aut antepraemissam distinguatur, quemadmodum 
aliqua quatuor semidiametrorum sapbeae limitis ex eius centro usque in cir- 
cumferentiam fuit divisa. Deinde ex punctis huiusmodi divisionis singulis rectae 
parvulae AC et BD rectis aequedistantes usque ad proximam quidem rectam^ 
de quinque vero in quinque puncta per duo spatiola, idest usque ad secundam 



216 




Pig. 11. 



a) Hs. bat 343737 statt 3437, 



h) Hs. bat secedens. 



10. Proposi tlon (Fig. 11—12). 

Herstellung eines „kunstlichen" Lineals zum Gebraucb an der 
Saphea. 

Die LaDge des Lineals ist gleicb dem Halbmesser der Sapbea; auf ihm 
sind verschiédene Einteilungen angebracbt, namlicb 1. eine Teilung in 90 gleiche 



Liber prìmus. 



25 



lìneam rectae AB aeqmdistantem protrahantur, atque in secando*) hoc spa- 
tiolo numenis partium seu graduam de quinque in quìnque usque ad 90 atra- 
mente^) Tel minio vel alio quovis signetur colore. Posthac qnartum spatiolum 
Inter tertiam et quartam iam protractas aequedistantes in aequas dividatur 
pariicnlas 60, utraque linearum et tertia et quarta in sectiones aequas distincta 
60, et protractis ut prius lineis parvulis AC rectae aut BD aequedistantibus 
de singulis quidem divisionibus, in quarto spatiolo inter tertiam et quartam 
rectam tantum | de quivis vero particulis per tertium 
etiam spatium protractis, boc est, usque ad secundam 
Tecte^e AB aequedistantem in bocque tertio intervallo, 
banun numerus partium, quivis earum coUectis in- 
scribatur progrediendo ah AC recta versus £2) rectam. 
Hae quidem particulae sexagesimarum regulae 
nomen babeant. Alia deinceps linea diametro maximi 
sapbeae limitis sumatur aequalis, quae sitEG^ et bac 
per medium divisa in F puncto, supra quo centro 
posito iuxta intervallum EF vel FG semicircnlus 
lìnietur ERG, cuius circumferentia per aequas secta 
partes in H puncto recta FH protrabatur, distincto 
etiam utroque quadrante, et EH et GH^ in particulas 
90, ad bina earum et parilia puncta, quorum unum 
sit in quadrante uno, alterum vero in altero*^) qua- 
drante, boc est, ad talia puncta duo, quae de G et E 
punctis super circumferentia EHG arcubus aequalibus 
removeantur, applicata regula, eiusque sejctiones cum 
FH recta singulae notentur, ita quoque recta FH 
in partes 90 distinguuntur, quae circini officio deinde 
in quintam transferantur rectam rectae A B iam du- 
dum aequedistanter protractam initio facto ex. AC 
recta versus BD lineam progrediendo, velut eaedem 
partes super linea FH de puncto F in H punctum 
procedunt, atque protractis in quinto spatiolo rectis, 
ut ante AC^ parvulis AC et DB aequedistantibus, 
per quinque vero particulas usque in septimum pro- 
ductis spatium, cui barum numerus partium en AC recta versus BD rectam 
procedendo, velut ante, A C inscribatur. Begula itaque in descriptione sua com- 
plebitur, cui circa punctum A latitudinem duorum culmorum de regulae ip- 





90 


60 














80 






70 




SO 






60 


50 






70 






50 




60 


40 








40 




50 


30 








30 




40 




90 


20 








20 




20 


10 








10 




IO 























Fig. 19. 



a) Zu erwarten w9jre tertio, 
e) H. bat altero erg&nzt. 



b) Ha. bat at{r amento. 



216^ 



Teile bzw. in 18 (d. b. die 5. Teilstricbe ausgezogen), 2. eine Teilung in 60 
gleicbe Teile, 3. eine Teilung in 90 ungleicbe Teile, die dadurcb gewonnen 
wird, dafi man (vgl. Fig. Il) die 90 Teilpunkte zweier benacbbarter Quad- 
ranten der Sapbea paarweise verbindet. Die Scbnittpunkte dieser Yerbindungs- 
linien mit dem die beiden Quadranten trennenden Radius sind die gesucbten 
Teilpunkte. (Die Abstande der Teilpunkte vom NuUpunkt wacbsen propor- 
tional dem Sinus.) 



217' 



26 Liber primaa. 

sius materiae, de qua fabrìcata fuit, pars relinquator quaedam, qmdquid vero 
217'' extra eandem ac rectam AB extìterit, absciiL{datur omne praeterea, qaod ultra 
septimam aequedìstantem, ac duas rectas AC et BD repertum fderìt, am- 
putetur. 

Hoc itaque pacto regola consumata in puncto A mediante clayìculo quo- 
dam ipsius sapheae centro accuratius infigatur, ita quod ipsa super sapheae 
plano commode sine impedimento circnmferatur. 

Ipsa namque regula engeret prò quibuslibet arcubus eorum eì^ 

culorum, qui per sapheae polos evadunt, a quibus saphea de sphaerae talis 
inspo .... figuratur. Huiusmodi enim circuii super hac repraesentatione per 
secundam huius lineae deveniunt rectae, et per 7 aut eius sequentem. 

Eae autem rectae in gradus dividuntur, velut aliqua semidiametronun, 
quae super saphea protrahuntur; sic demum sapheae perfecimus effìgiem, circa 
cui US fabricam hucusque primus huius operis libellns omnis ferme yersabatur, 
qui iam optimi dei ductu dauditur felicissime. 



JOANNIS VERNERI ISTORIMBERGENSIS ^is- 

DE METEOROSCOPIIS. 

LIBER SECUNDUS. 
Primi Meteoroscopu constrnetio. 

Propositio prima. 

Limitem sapheae designare et in suas debitas partes dis- 
tribuere. 

Super plano aliquo sive in materia,*) si ve in aere, sive in quacnmque 
alia materia solida et firma, quae ob aeris varias dispositionum qualitates non 
immntetur facile aut inflecta|tur cnrvarique possit, circnlas quidam AB CD ^^^^ 
saper E centro ntcnmque describatur, qui limes non incongrue appellari potè- 
rit. Extra hunc alius calami latitudine a priori distans designetur, post himc 
secundus, tertius a secundo per paulo latius habens intervallum prò numero 
graduum inscribendo describendus est. Hi tres circuii in quatuor dividantur 
quadrantes. 

Id hoc fiet pacto: In limite AB CD dimetiens, utcnmque AC agatur, 
qui quoque in utramque partem AC in directum elongetur, quousque ezterio- 
res quoque biduos circulos bifariam metiatur. Deinde in eodem limite dia- 
meter trahatur alia BED dimetientem AC super E centro ad rectos secans 
angnlos, quae in utramque etiam partem ipsorum B^ D signorum eiecta reli- 
quos etiam circulos erterio^'es partiatur. | 

His itaque duobus dimetientibus AC, BD limes una cum dnobus extimis ^11^ 
orbibus in quatuor secabitur quadrantes. Horum quisque in 90 aequas dis- 
tribuatur particulas, quibus graduum sunt nomina. Deinde regula aliqua, in 
parte una super E centro firmata transferatur pars eius altera super singula 
divisionis huius signa, ab A videlicet incboando versus B progrediendo, et 
unumquemque ad ipsius regulae situm virgula quaedam fiat atramente a limi- 
te inchoans in medium desinens orbem, sed quotiens ad quintum quodque per- 
venias punctum, eadem virgula per duo spatia, id est, usque ad extimum ac 
tertium orbem est trahenda. 

Deinde graduum inscribatur numerus in singulis quatuor quadrantibus, 
inchoando circa 2), B signa progrediendo ìnprimis inscribendi numeri auctione 
versus | A, ab eisdem signis B, D initium sumendo procedatur versus C sig- 219"^ 
num. Scribendum est autem in utramque partem ipsorum B, D versus A, C 
signa progrediendo inprimis [quinque], posthaec decem, denique XV et sic 
deinceps aucto inscripto numero per quinarium^ quousque circa A, C signa ex 
utraque parte nonaginta descripseris gradus. Haec autem numeri inscriptio, 



a) Hs. hat materie. 



28 Liber Becundus. 

velut admonuì, in secundo intervallo, id est inter medium et extimum fiat 
circulum^ et perfecta erit limitis designatio distrìbutioqne, veluti in snbiecta 
patet figura. 

Propositio secunda. 

Quatuor semidiametros limitis in partes secare. | 

220' Quatuor limitis AB CD semidiametri AE^ BE^ CE^ DE ita secentur: 

Figatur ipsa regula in una sui parte super B signo, altera vero sui pars 
applicatur ad punctum primi gradus quadrantis J.2), et signetur communis*) 
regulae et dimetientis AC sectio puncto quodam. Deinde in eodem quadrante 
regula ponatur supra punctum gradus secundi, rursusque, ut ante, communis 
sectio regulae atque dimetientis AC^) signetur puncto quodam. Id itaque fiat^ 
donec deinceps perventum est ad octuagesimi noni®) gradus punctum inclu- 
sive. Ipsa igitur semidiameter ^JE^ in 90 particulas, et hi inaequales, erit 
concisa. 

Hae deinde divisiones in reliquas semidiametros BE^ CE^ DE cireini 
officio sunt transferendae, posito scilicet pede cireini firmo, atque immobili 
220^ in E centrum, | alteroque mobili extento ad proximum E centro punctum, eo- 
que in tres semidiametros EB^ EC, ED circumlato in singulis singula signen- 
tur puncta. Hoc itaque continuandum est opus, donec quaevis trium semidia- 
metrorum EB, EC, ED ad instar ipsius A E fuerit insecta. Huius quidem 
operis demonstratio subiecta declaratar figura. 

Eadem quoque semidiametrorum AÈ^ EB, ECj ED sectiones per tabukm 
numeralem propositionis nonae libri primi fieri possint hoc modo. 

Sumatur quaedam recta linea FG aequalis semidiametro limitis AB CD, 
quae in 60 particulas aequales secetur, ex bis officio cireini sumantur minu- 
tiae 31, et transferantur ad quatuor semidiametros, scilicet cireini pede uno 



a) Us. bat ac. b) He. bat quinti statt noni 

e) Hs. bat conis, am Rande als communis erkl&rt. 



DE METEOROSCOPIIS. 

ZWEITES BUCH. 
Konstruktion des ersten Meteoroskops. 

1. Proposition. 

Zeicbnung und Einteilung der Sapbea. 

Auf Holz oder Erz oder sonst ein festes Material irìrd ein Kreis gè- 
zeichnet tmd von 2 konzentriscben Ereisen umgeben. Der Raum zwischen dem 
ersten und zweiten Kreise wird in 90® in jedem Quadranten geteilt, die Teil- 
stricbe von 5® zu 5® werden in den Raum zwischen dem zweiten und drìtten 
Kreise verlàngert 



Liber Becnndus. 



29 



[supra] E limitis centrum fìxo, reliquo mobili in quatuor semidiametris EA^ 
EB, EC^ ED I quatuor signando pancia. Sic igitur eosdem semidiametros 221*' 
habebis prò gradu uno signatos. Rursus extende circinum ad partem unam et 
minutias tres unius eadem FG recta linea, uno itemm circini ita extensi, 
pedo in E centrum defixo et altero mobili signabis quatuor semidiametros li- 
mitis AB CD. Non aliter erit deinceps agendum iuxta tabulam eandera, prò 
reliquis 90 graduum divisionibus, et si recte fueris operatus, invenies horum 
quatuor semidiametrorum easdem prioribus sectiones nonaginta. 

Propositio tertia. 

Intra descriptum supra limitem singulorum graduum orbes 
inclinatos designare. 

Igitur dimetiens BD ipsius limitis in utrasque | partes ad infinitum et 221'' 
rectum protrabatur. Deinde per singula sectionum signa dimetientis ^2> et 
duas A^ C dimetientis AC extremitates singuli describantur circuii, quorum 
centra, yelut ex 7. propositione primi libri patuit et eius correlano, universa 
in dimetiente BD utrimque in infinitum eiecta consistunt. 

His itaque circulis descriptis semicirculus AB CD limitis uterque, vide- 
llcet ABC et CD A, 90 continebit inclinatos orbes descriptos. 

Aliter quoque eosdem et facilius inscribere aliquis poterit inclinatos iuxta 
propositionis traditionem nonae primi libri. Ibi namque demonstratus est mo- 
dus inscribendorum indinatorum nunc tradendus. 

Alter igitur in limite AB CD semicirculorum ABC^ CD A in 90 aequas 
partiatur sectiones. Deinde regulae parte una in A vel C signo firmajta, reli- 
qua ipsius pars ad singula divisi semicirculi signa feratur, punctisque com- 
munium sectionum regulae et dimetientis BD ita utrimque in infinitum pro- 
tracti signatis, ea scribendorum sunt centra indinatorum orbiuuL Postbaec 
circini pede uno in aliquod eorundem punctorum posito reliquus ad A vel C 
signum extendatur describaturque portio circuii, in A incboans inque C signo 
desinens, ea vicem eius geret orbis inclinati, quem centrum, super quo de- 



222> 



2. Proposition. 

Teilung der 4 Halbmesser der 
Sapbea (Fig. 13). 

Man verbindet den Punkt B mit den 
einzelnen Graden dea Quadranten AD. 
Die Scbnittpunkte mit A E teilen diesen 
Halbmesser in der gewùnscbten Weise. 
Mittels des Zirkels wird die Teilung auf ^ 
die anderen Halbmesser fibertragen. Die 
Aufgabe kann aucb mittels der in Bucb I 
Prop. 9 zu gebenden Tabelle (1) gelost 
werden, indem man die in der Tabelle gè- 
gebenen Werte von EK von E aus auf 
den 4 Halbmessem auftrftgt. (L&nge des 
Halbmessers = 60 TI.) 




Plg. is» 



30 



Liber Becundns. 



scrìptua est, indicai, itaque circino sub eiusdem eztensioms spatio manente pes 
eiu8 scriptoreus super A aut C locatur, alter vero in aliam partem dimeti- 
entis BD figatur. Iterumque in reliquo limitiB semicirculo aequalis priori 
portio describatur circuii, qui in eodem limitis semicirculo eiusdem geret ordi- 
222'' nem, priori inclinato descripto. Pari demum ratione prò singulis inclina|torom 
orbium centris reliquis ceteros describes inclinatos singulos, pares in dnobus 
semicirculis, yelut iam pridem admonui, et complebitur sapheae descriptio in 
orbibus inclinatis. 

Tertius quoque modus inscribendi inclinatos habetur ex tabula numerali 
propositionis nonae libri primi. 

Sume rectam lineam FG^ quae semidiametrum dati limitis quinquagies*) 
et octies in se contineat, id est babeat ad minus 3438 partes aequales, quan- 
tas ipsius limitis semidiameter continet 60. Ex eisdem partibus eiusdem lineae 
rectae FG numera 3437 et minutias 56 unius, et ad totidem partium inter- 

j^ capedinem extende circini crura, pedeque 

ipsius uno in A aut C signum locato, al- 
tero autem in diametrum utrimque prò- 
ductam B D primum ex parte 2> fixo, ipsmn 
pedem , qui nunc in A Tel C signum fige- 
batur, circumagendo describe circuii ■ poi^ 
j. tionem intra ipsum limitem ab A inchoan* 
tem et in C desinentem. Eodem rorsns 
circini pede super C manente, alterom 
transfer in reliquam diametri BD partem 
Bj ut prius, eodem pede ibidem defixo ex 
C in A reliquum circumgerendo describe 
circuii portionem in C inchoantem et in 
A intra limitem AB CD desinentem. Sic 
itaque apud dimetientem B C duos utrim- 
que descrìpsisti. Pari ratione circini cruribus ad easdem partes 1719, minutias 
14 eiusdem rectae lineae FG extensis describe duos inclinatos in utroque limitis 
J.^(7D semicirculo singulos, veluti iam factum fuit. 

Similiter et reliquos inclinatos, usquequo in utroque semicirculo limitis 

AB CD compleat 89, quantum prò singulis inclinatis circini crura extendi 

conveniat, ipsa numeralis tabula propositionis nonae primi 'libri te commone- 

223"" bit, si numeros et in eorum fronte factas inscriptiones diligenter | inspidas. 

Nam primo scriptus ad laevam numerus inclinationem continet eius inclinati. 



228' 




a) Ha. hai tricies. 



3. Proposition. 

Konstruktion der Projektionen der geneigten Kreise. Sie wìrd 
nacb Buch I Prop. 7 ausgef&hrt; es enthalt jeder der beiden Halbkreise 90 
„geneigte". 

2. Methode (Fig. 14). Man teilt einen der beiden Halbkreise, z.B. ABC 
in 90 gleicbe Teile und verbindet die Teilpunkte mittels des Lineals mit A 



Liber Becimdns. 31 

quem descrìpturus es, et iuxta eum a dezfcris in eodem versu apparebit nume- 
ras partiiun, quibus extendi conyenit circìni crura, quod fuit bactenns osten- 
dendum. 

Propositio quarta. 

Intra datum limitem parallelos delìneare. 

Descriptìs itaque intra datiun limitem AB CD inclinatis consequens est, 
ut tradam, paralleli*) qualiter inscribendi sint. 

Igitur per propositionem secundam divisis quatuor semidiametris ìpsius 
limitis AB CD descrìbe circuii portionem per tria puncta, quorum unum est| 
in semidiametro AE^ ipsi A proximum, reliqua vero duo eidem A in circum- 224'' 
ferentia AB CD utrimque proxima, quorum utrumque ab A signo distat, quan- 
ta est peripheria gradus unius. Sicque manente circino aequalem quoque de- 
scrìbe circuii sectionem circa C signum, posito scilicet imo circuii pede in punc- 
tum circumferentiae ABC a, polo C per gradum unum distans, et altero in 
semidiametrum EC in partem C productam defixo. In utrisque itaque semi- 
drculis 90 descrìbantur paralleli. 

Sic enim saphea, quoad parallelos, quoque perficietur. 

Aliter quoque eosdem parallelos eidem dato limiti inscrìbes per modum, 
qui in propositione^) octava primi demonstratus est, ponendo scilicet regulam 
in parte una super D punctum, et alteram eiusdem partem super signum F 
qnadrantis ^B, et intersejctionem regulae et dimetientìs AC signa G litera. 224^ 

Deinde in quadrante AD sume H signum gradu distans uno a puncto A^ 
et, ut ante, super D, H signis applicata regula rursus eius et dimetientìs com- 
munis sectio sit I. 

Ipsa igitur IG recta linea bifarìam secetur in K signo, coque centro 
sumpto iuxta intervallum IK vel KG circuii portio FGH descrìpta necessarìo 
yeniet etiam per F^ H signa. Itaque circino manente unoque eius pede posito 
in punctum circnmferentiae BCD distans a (7^) gradu uno et reliquo circini 
pede intra diametrum AC ex parte C defìxo, par circuii portio in semicirculo 
BCD describatur. Habebis itaque in utrìsque limitis ipsius AB CD semicir- 
culis singulos parallelos iuxta A^ C signa singulos signifìcantes gradus. 

Pan ratione | ceteri prò reliquis gradibus inscrìbendi sunt paralleli, velut 225*' 
id ex subiecta figuratione perspicuum est. 

In hac praesenti disposinone igitur illa semidiametrorum distinctio seu 
diyisio in secunda propositione tradita non erìt necessaria. 

a) Ha. hat pararelìi. b) Hs. hat nocbmals: qui in prapoaitione. 

e) Hb. hat AC statt aC, 



oder O. Die Scbnittpunkte dieser Verbindungslinieu mit BD sind die Mittel- 
punkte der gesuchten Kreise, die dann leicht mittels des Zirkels durch A und 
C gezogen werden konnen. Ebenso ftbr den zweiten Halbkreis. 

3. Methode. Die Radien der Kreise werden der Tabelle in Buchi Prop. 1> 
entnonmien und mittels des Zirkels die Mittelpunkte yon A aus und dann die 
Kreise selbst konstruiert. Die Radien werden yon eìner Geraden abgetragen,. 
die mindestens 58 (3438 : 60) mal so groB als der Durchmesser der Saphea. 
ist, da der Radius des ersten geneigten Kreises 3437 TI. 56 Min. ist. 



32 



Liber secunduB. 



^26^ 



226' 



Postea tertias iDScribendoram parallelorum modus ex ntunerali tabula 
propositionis nonae primi libri trahitur. Nam divisa recta linea, yelnt in ter- 
tia propositione admonetar, sunaptisque A^ C signis perinde atque polis, igi> 
tur prò distantia cuiusque paralleli ab A^ C polis circini distendantnr crura ad 
partes totidem, quot*) in tabula memorata numerali iuzta distantiam datam 
in numeris comprebenduntur. Nam tale distensi circini spatium scribendi erit 
paralleli semidiameter. 

Deinde | circini sic extensi pedo uno ad terminum assumptae circa A^ C 
polos distantiae posito, et reliquo, velut antemonitum est, in dimetientem A C 
utrìmque protractam defixo in duobus semicirculis BAD^ DCB singuli descrì- 
bantur paralleli. 

Hic modus brevis expeditusque plurimum habetur. Non enim, velut in 
primis descrìptionibus, laboriosum semidiametri dati paralleli scrutinium re- 
quiritur, sed quatuor limitis dati quadrantibus in gradus distinctis, et una 
recta linea per aequales particulas ipsis semidiametri limitis partibus divisa, 
parallelus propositus illieo describetur. Hic ergo modus parallelos inscribendi 
est aptissimus. Secundus autem primo aptior. 

Parallelis quoque demum descriptis, ipsius sapheae | effigies omnino est 
completa, cuius usum et utilitates^ quia nonnulli alii iam pridem utcumque 
enarraverunt, consulto in hoc meo opusculo praeterire sub silentio decrevi. 

Propositio quinta. 

Meteoroscopium primum et ipsius regulam construere. 

Ex sapbea igitur descripta unum sume^), velut AB E, quadrantem, qui 
primum est meteoroscopium. Quod si sapheae descriptionem eius tanta gratia 



a) Ha. bat quod. 



b) Ha. hat summe. 



4. Proposition. 

Konstruktion der Projektionen der Parallelkreise 

1. Methode. (Fig. 15). Man legt Kreise 
durch je drei Punkte, n&mlich durch die beiden, 
um die gewUnschte Zahl von Graden von A ent- 
femten Punkte auf der Saphea und den dieser 




ng. 16. 




D 



Liber Becnndus. 33 

susceperìs, satis erit tibi parallelorum inclinatorumque portiones ad A E, EB 
latera quadrantis AB E terminare, posthabita videlicet ulteriori descriptione. { 

Ita enim in sequenti libro sapheae descriptums sum utilitates, et prò eis 226"^ 
inquirendis babendisqiie sapheae ipsius dumtaxat quadrante sit opus, quamvis 
alii eanmdem enarrationes utilitatum sibi totam usurpent limitis orbem, quod 
abs re quidem non evenit. In esplicando enim sapheae usu et commoditate 
aliam illi, aliam ego secutus sum rationem. 

Qoapropter nemo mihi yitio dabit, rem, ab aliis*) ante me multifaria 
prosecutam^) commentatione, a me quoque novo tractari commentario, cum 
fere omnes diversis fulciamur considerationibus, ncque eisdem prò varia uti- 
litatum investigatione viis ingredientes. Velie suum cuique est, et rerum dis- 
color usus. 

Sed nunc est redeundum ad id, unde paulo lapsa est oratio. Ad idem igitur 
meteoroscopium ezercendum, quadam egemus regula, cuius tajlis est constructio. 227' 

In aliquo plano tabulae cuiusdam ex materia solida firmaque et ob va- 
riam aeris qualitatem non facile mutabili^) protrahe reotam lineam AB ae- 
qualem alteri laterum AE^ EB quadrantis ABE\ ^n A m B signum per 
secundam propositionem dividatur, quemadmodum aliqua quatuor semidìame- 
trorum sapheae ex centro E usque in limitem seu circumferentiam divisa fuit, 
et fiat ad instar cuiusdam scalae descriptio, scilìcet iuxta AB^ protrahendo 
aliam rectam lineam ipsi AB parallelam atque ab eadem calami distantem 
latitudine, deinde secundam parallelam ampliore spatio a priori parallela rece- 
dentem prò numero graduum inscribendo. 

Postea educendo perpendiculares parvas ab ipsius AB divisionum signis 
singulis usque ad primam parallelam, sed de quinque | punctis quibusque 227^ 
protrahes easdem perpendiculares usque in secundam parallelam. 

a) Hb. hat alias. b) Hb. hat proseeutos. e) Ha. hat mut<ibilem. 



Zahl entsprechenden Punkt auf dem nach Buch II Prop. 2 geteilten Halb- 
messer A E. 

2. Methode (nach Buch I Prop. 8) (Fig. 16). Man verbindet D mit dem 
Punkt Fy der den gewùnschten Oradabstand von A hat. Schnittpunkt mit dem 
Durchmesser A G ist G, Ebenso erh&lt man mittels des entsprechenden Punktes H 
{AF ^ AB) den Schnittpunkt L IG ist dann der Durchmesser des gesuchten 
Kreises. 

3. Methode (nach Buchi Prop. 9). Man entnimmt die Badien der Kreise 
der Tabelle bzw. einer Hilfsgeraden wie in Buch II 3. Prop. 3. Methode. Diese 
Methode ist die genaueste. Von den beiden anderen ist die z^eite die bessere. 

5. Proposition. 

Konstruktion des zum ersten Meteoroskop geh5rigen Lineals. 

Aus festem Material wird ein Lineai hergestellt, dessen L&nge gleich dem 
Sapheahalbm esser ist und auf ihm cine Teilung, ebenso wie auf diesem, an- 
gebracht. Die Teilstriche von 5 zu 5 sind lànger ausgezogen und die Zahlen 
beigeschrieben. Mit dem einen Endpunkt wird es im Mittelpunkt der Saphea 
drehbar befestìgt. 

Abhdlgn. z. Geech. d. math. Wiss. XXIV 2. 8 



34 Liber secundaB. 

9 

Denique inter primam et secundam parallelam gradamn inscrìbe nime- 
ram, incipiens ab A signo versus B progrediendo, in primis qmnque, deinde 10, 
tertio 1 5, sicqne posterius aucto numero per quinarium usque ad gradus LXXXX. 
Postremo circa punctum A parvam relique portiunculam, ut foramen fieri 
possit oìrculare, cuius centrum sit A signum. Reliqnis extra A B rectam et 
seeundam parallelam partibus ipsius tabulae amputatis complebitnr ipsius igi- 
tur regulae coDstructio, <]^uae in foramen, cuius centrum fnit A signum, cum 
parvulo davo figatur intra E centrum quadrantis, ita, ut ipsa expedite volli 
valeat. Consumatum itaque habebis primum meteoroscopium, cuius coll8tra^ 
tionis demonstrationem primus explicavit liber. 

Verum propter ultimam utilitatem, videlioet de bora per solis altitudinem 

S28' invenienda, et alia | quaedam problemata, opus erìt etiam scala sinuum, coios 

compositio posterius tractabitur, propositione sexta libri quarti, quae illinc ad 

tw hanc assumatur regulam. 



JOANNIS VERNERI NOEIMBEEGENSIS 229 

DE METEOROSCOPnS. . 

LIBER TERTIUS. 
Primi Meteoroscopii usiis. 

Hypotheses. 

Circuii illi,*) qui super communi circumferentiae ac unius lateris secti- 
one in meteoroscopio concurrentes ad altemm eius latus abeant singuli, incli- 
nati dicentur, quod inclinatos circulos in sphaerae superficie designatos re- 
praesentent. 

Illos yero super bis transversos atque sese vicissim non secantes, quo- 
rum alii maiores, quidam vero minores videntur, aequedistantes appellabo, 
quoniam iidem circulos super spbaera aequedistantes figurant. 

Alterum denique meteoroscopii buius latus, super quod videlicet inclinati 
de communi eorum | concursu descendunt, basim decrevi nominare. 220' 

Circnmferentiam autem meteoroscopii eiusdem quadrantem, quod quartam 
circnlaris perìpberìae partem contineat, band iniuria nominabo. 

His sic expositis cunctas organi buius commoditates explicabo brevius 
etiam, quam restante dici valeant. Sed id in primis esse admonendum arbitror, 
nonnullas propositiones nec uno tantum modo absolvi posse, cum acquando 
idem propositum pariter et aequedistantibus et inclinatis enodabitur, nonnum- 
quam vero solis aequedistantibus, quandoque etiam modis utrisque aliter. 
Ubi autem id usu veniet, quid tunc fieri doceat, non silebo. Nunc rem ipsam 
invocato mazimi optimique dei nomine tractandam suscipio. 



a) Ha. bat eireuha iUos. 



DE METEOROSCOPnS. 

DMTTES BUCH. 

HypotheseiL 

Die Projektionen der geneigten Ejreise werden selbst gleicbfalls „geneigte^' 
Kreise genannt, ebenso die Projektionen der Parallelloreise (aequidistantes) 
gleicbfalls Parallelkreise. Definitìon von Basis und Quadrant 

8* 



36 



Liber iertins. 



Propositio prima. 

Pro praesenti organo varium ac multiplicem aperire introitum. 

Pro Meteoroscopii huius usa scire nos oportebit diversos introitus nume- 
ro duodecim. 
230*^ Quomm primus est, quando portionibus duo|rum arcuam oblatis ioae- 

iqualibus earum maiorem, si super quadrante ab ipsius organi basi inchoando 
numeraverìmus, et ad huius numerationis exitom posita regala, per minorem 
arcam inter aeqaidistantes computatum, tertium ex regula trabentes arcam, 
quem idem illinor inter aequedistantes numeratus ostendit. Ut sint dati duo 
arcus inaequales, quibus hoc pacto ad meteoroscopium ingredi iubemur, grm- 
dus XXV et XII grados. Igitur posita regula super gradus XXV quadrantis, 
et grados XII a basi quadrantis sursum computati, moz inter aequedistantes 
indicant nobis ex regula, in primo scilicet ipsius spatio, partes seu gradus 
quasi XXIX et semis. 

Secundus introitus est, quando datis arcubus duobus, uno eorum saper 
quadrantem numerato, et ad huius numerationis fìnem accomodata regola, 
per alterum super regulam numeratam, tertius arcus inter aeqaidistantes nobis 
offertur. Ut sit arcus unus gradus XXV, alter vero arcus gradus XII; igitur 
super eorum altero in quadrante numerato applicata regula, et reliquo in ea- 
dem regula computato inter aequedistantes arcus tertius apparet gradus 4 mi- 
nutias L,*) seu fere gradus 5. 

a) Hs. hat I. 



1. Proposition. 

LOsung Ton 12 Fundamentalaufgaben (introitus) mìttels des 
1. Meteoroskops (Fig. 17). 

Hierbei wird in einem rechtwinkligen sph&rischen Dreieck aus zwei be* 
kannten Stùcken ein drittes bestimmt. Die Seiten des Dreiecks seien il (Hjpo- 

tenuse), a und d, der der Seite 6 gegen&berliegende 
Winkel sei e. Im allgemeinen wird a, wie die Figor 
zeigt, an der Basis, l am Lineai und t am Quadranten 
abgelesen, S ist durch den zugehorìgen Parallelkreis 
bestimmt, ebenso wie a durch den „geneigten Kreis^^ 
oder Meridian. 

1. €legeben: £ = 25^ Resultat: X — 29^®. 

d- 12^ 

Man stellt das bewegliche Ende des Lineala aof 
25^ am Quadranten und sucht den Schnittponkt mit 
dem Parallelkreis 12®; auf dem Lineai wird dann 29 1- 
abgelesen. Entsprechend werden auch die folgenden Aufgaben mechanisch gelòsi. 

Die numerische Losung ergibt sich aus sin X = ^^^ zu 29^28', zeigt also, 




Fig. 17. 



sin fi 



dafi das mechanische Verfahren innerhalb der Ablesegenaoigkeit den richtigen 
Wert gibt. 



liber tertios. 87 

Teridus ìntroitus fit, quando datis duobus aroubns | inaequalibns, uno eomm 280* 
super basi a centro versus quadrantis peripheriam computato, et per relìquum inter 
aequìdìstantes super eo inclinato, qui prìorem arcum super basi numerato ter* 
minat ascendendo numerantes, ac ex regula super talis numerationis finem 
applicatae, tertiam reperimus arcum. Ut si cum gradibus XXVn et XII gradi- 
bus praesens fieri debeat introitus; ig^tur uno eorum arcuum, velut admoni- 
tom est, computato, alterum vero arcum, scilicet graduum XII, super inclinato 
priorem arcum graduum XXVII in basi terminante si computaverimus, et ad 
finem numerationis huiusmodi regula diligenter accomodata tertiam habebimus 
ex eadem regula graduum summam XXIX et semis fere. In boc tertio introitu 
nihil refert, utrum praepositorum*) arcuum super basi computemus. Semper 
enim idem invenietur. 

Quartus introitus fit, quando, velut praemittitur, praepositis dnorum ar- 
cuum numeris, unus super basi, alter vero super inclinato accipitur, tertium ex 
quadrante inter basim et regulam comprehensum trabimus.^) Ut sint prae- 
positi arcus gradus XXVII et gradus XII. Si enim gradus XXYII super basi 
computaverimus, erit tertius®) ex quadranjte gradus XXY minutae XX fere. SSi* 
Si yero XU gradus super basi sumpserimus, erit arcus tertius fere gradus 
LXVIII minutae XX. 

Quintus introitus fit, datis arcubus duobus, quando unum in regula nu- 
meratnm applicamus aequedistanti, qui eorum alterum significata tertium ca- 



a) Ha. hat praepositum. b) He. bat trahimus koir. aus /octmiM. 

e) Hs. hat certiuB. 

# ■ -■ - - ■■ - - ■ ■- ■■IP ■■II— M — ■ .. — ■ -■ — ■ ■ ■ m ■■ — - ^^ ■ ■■■ ■ — 

2. Gegeben: e » 27^ Resultat: i^ » 5^ 

l = 12<>. 
Aus sin J » sin 6 • sin A ergibt sich d » 5^2'. 

3. Gegeben: a « 27^ Resultat: A = 29^^ 

ó « 12®. 

Aus cosX »" cosa ' cosd ergibt sich A» 29^22'. a und S kdnnen bei dieser 
Aufgabe vertauscht werden. 

4. Gegeben: a) a « 27®, Resultat: 6 = 25® 20'. 

d-12®. 
b) a = 12®, Resultat: e — 68® 20'. 

rf=-27®. 
Aus tg€ = tg^rsina ergibt sich e — 25® 5' bzw> 67®48'. 

5. Gegeben: A =« 12®, Resultat: $ — 25®. 

d« 5®. 

Hierbei ist sine » ~^~T ) ^® Aufgabe-ist die gleiche wie Aufgabe 1, eben- 
80 das gew&hlte Zahlenbeispiel. 

6. Gegeben: a) e = 30®, Resultat: a - 22®. 

A - 25®. 



88 Liber tertiuB. 

pientes ex quadrante inter basini et regalami comprehensum. Sicùt duo arcos, 
quorum unue sit gradua XII, alter gradus V, quod si super regulam grados 
duodecim computaverimus, et huius computationìs termino regula super reli- 
quum inter aequedistantes numeratum diligenter applicata tertius ex quadrante 
reddetur arcus grad. XXV fere. 

Sextus introitus est, quando datis numeris duobus, super uno illorum in 
quadrantis peripheria numerato, posita regula, reliquum in eadem regula nu- 
merantes, et per inclinatum, qui eum[?] directe ad basim descendentes, eum acd- 
pimus numemm, qui super basim centro et eodem inclinato clauditur. Ut sint 

SSl"" propositi numeri XXX et XXV, si super | XXX in quadrante regulam accomo- 
daverimus, per reliquum sumemus ex basi gradus XXII. Sin autem contn 
fecerimus, habebimus ex basi gradus XXVU et quasi semis. 

Septimus introitus est^ quando propositis duobus arcubus unum eonun 
super regula computatum ad alterum inter aequidistantes numeratum per roga- 
lam accomodantes tertium, qui centro et inclinato prìorem propositorum nu- 
merorum terminante clauditur, ex basi sumimus. Ut sint propositi graduimi 
numeri XXX et XIIII, ergo gradibus XXX per regulam super XlHl inter 
aequedistantes appHcatlB tertium ex basi nnmerum obtinebimus graduam 
fere XXVH. 

Octavus introitus fit, datis arcubus duobus et super unum eonun in 
quadrante numeratum posita regula, per alterius vero super basim computati 
finem inclinatus evadens quaesitum in regula numemm tertium ostendet Ut 
si posuerimus regulam supra gradus XXV quadrantis et supra basim gradibus 

232' XX computatis, per inclinatum, qui eos in basi terminat gradus, ex | regala 
XXn sumimus, qui tertium perhibent numerum. Ac si gradus XX in qua- 
drante atque gradus XXV supra basim numeravimus, tertius emerget numerai 
graduum XXVI et semis fere. 

b) f = 26®, Resultati a — 27i^^ 

l - 30®. 
Aus tga =» igk'COBE ergibt sicb a = 22®0' bzw. 27®37'. 

7. Gegeben: ; — 30®, Resultati a — 27®. 

d - 14®. 

Aus cosa = i ergibt sich a ^ 26® 48'. 

cosa ® 

8. Gegeben: a) « — 25®, Resultati A — 22®. 

a « 20®. 
b) B = 20®, Resultati l — 26^-®. 

a - 25®. 
Aus tgX = tga I cose ergibt sich k « 21® 53' bzw. — 26® 23'. 

9. Gegebeni a) f « 25®, Resultati ò = 9®. 

a -= 20®. 
b) s - 20®, Resultati d = 8® 40'. 

a « 25®. 
Aus tgd — tg€ Sina ergibt sich (J — 9®4' bzw. 8® 46'. 



Liber tertìas. 39 

Nonus ìntroiius est, quando datis dnobus arcubus atque iaxta praeoe- 
4entem ìntroitam numeratis, tertinm ex inclinato, qui altenun eorum in basi 
numeratam tenninat, accipimns, oompatemus, nt prins, gradus XXY in qua- 
drante et gra. XX supra basim, et ex inclinato gra. XX saper basim terminante 
inter eandem basim et regolam tertius exhibebitnr nnmerus gradunm ferme £X. 
Si vero contra fecerimus, gradus excipiemus YIII minutias XXXX fere. 

Decimus introitus fìt, oblatis numeris dnobns, et uno etiam super basi, 
altero in regula recensito. Deinde regala ipsa sensim vel levata vel depressa, 
donec finis computati super eam numeri inhaereat inclinato priorem nume- 
rum super basim terminanti; arcus enim quadrantis | ipsa regula et basi com- 232*^ 
prebensus, quaesitum ostendet numerum. Sint ergo duo arcus, quorum unus 
gradus XX, alter vero gradus XXII complectatur. Deinde puncto regulae grad. 
in ea XXII tenninante paulatim aut sublato aut submisso quoque, usque in- 
sideat inclinato ex basi gradus XX claudenti mox ex quadrante, inter basim 
et regulam tertius proditur numerus graduum XXV. 

Undecimus introitus fit, quoties, ut in praecedenti introitu, duobus arcu- 
bus computatis tertium accipimns ex inclinato inter basim et regulam conclu- 
simi. Itaque praemissis duorum arcuum numeris XX et XXII, ut praecedens 
admonet introitus, computatis tertius numerus invenitur grad. IX et ferme 
minutiarum X. 

Duodedmus introitus fit, quoties duobus arcubus propositìs, super uno 
eorum in quadrante regula posita, per altenim vero consideremus eum incli- 
natum, qui per communem vadit sectionem aequidijstantis eundem alterum 2SS' 
numerum significantis, ut regala, et prius, applicata in eundem igitur inclina- 
tum et centram super basi tertius apparebit numerus. Velut si propositi duo 
arcus fuerunt gradus XXXXI et gradus XXTTTI, bis boc modo in meteorosco- 
pium missis, accipimns ex basi gradus XXXI minutas fere XX. 

10. Oegeben: a — 20^ Besultat: e — 25^ 

Aus cose » tga:tgX ergibt sich £ ^ 25^44'. 

11. Gegeben: il — 22^ Resultati d « 9^10'. 

a « 20^ 

Aus cos J =" ergibt sicb ó = 9® 21'. 

008 a ® 

12. Gegeben: « = 41^ Besultat: a — 31<>20'. 

ó — 23^ 

Aus sina ■=• tgJ:tg£ ergibt sicb a =■ 29^14'. 

Am Scblusse macht der Yerfasser noch darauf aufmerksam, dafi man auch 
die Minuten durcb passende Teilung des Raumes zwiscben aufeinanderfolgenden 
Graden ablesen kSnne, indem man filr 15' ein Yiertel, f(ir 12' ein Fiinftel usw. 
nebme. 

Da diese Aufgaben im folgenden stets wiederkehren, sei bier nocbmals 
«ine ZusammenstelluDg gegeben: 



40 Liber tertiae. 

Inter hos autem introitus duodecim nuUus alteri consentita praeter prì- 
mum et quintnm, qui, quamyis in operatione sint diversi, in tertio tamen arca 
reperto concordant; utroque enim idem nobis exhibebitur ai-cus. 

Saper quolibet denique praemissorum introituum, quotiens nnus ant 
uterque numeroiTim introitaalinm non integris tamen consistit numeiis, sed 
etiam minutias complectitne, ea tunc utemur cautela, ut eisdem minutìis ad 
LZ comparatis notemus. Quanta de LX sint portio, tantam quoque sectionem 
de spatio inter duos vel inclinatos yel aequidistantes prozimos, in quo finis 
infcroitualis numeri ceciderit, assumamus. Velut si minutiae XV integris gia- 
238^ dibus accesserint, quarta buiusmodi | spatii sumenda erit, quoniam XV qua- 
drans sunt ex LX. Si XII minutiae superent, quìntum spatii occurrentis inxta 
aestimationem nostram accipiemus, quoniam XII de LX quinta pars existunt, 
si XX, tertium; si XXX, dìmidium; si XXXX, duo tertia; si L minutiae cres- 
cant, quinque sezta; si X, seztum unum ipsius occurrentis spatii luxta introi- 
tualem numerum opinione nostra computemus. Et id in omnibus usu veniet 
propositionibus. 

Propositio secunda. 

Cuiuslibet puncti super orbita solari propositi eum ab ae- 
quatore recessum^ quem aiunt declinationem, prope yerum dime- 
tiri. 

Igitur maximam solis declinationem,^ quae nostra deprebenditur aetate, 

gradus ferme XXIII minut. XXVIII, quadrante computatam, cum arcu solarìs 

284' itineris | dato puncto atque proxima aequalitatis notae concluso, per introi- 



Nr. 


Gegeben 


Gesucht 


AuflOsung 


1. 


ó,t 


X 


sin A =« nnd:8ine 


2. 


£, i 


ó 


sind » sin£*sinil 


3. 


a, ó 


X 


cosX » cosa-cosd 


4. 


a, 6 


B 


tg6 ==tgd:sina 


5. 


(J, X 


e 


sine B= sin<^:8ÌnX 


6. 


A, £ 


a 


tga » tg>l-cos€ 


7. 


X, ò 


a 


cosa» cosìlicosd 


8. 


a, 6 


X 


tgÀ »- tgaicoSB 


9. 


a, 6 


d 


tgó — tge-sina 


10. 


A, a 


B 


cos€ — tga:tgil 


11. 


X, a 


s 


cosd» cosil:cosa 


12. 


S,B 


a 


Sina»" igdiigB. 



2. Proposltion. 

Bestimmung der Deklination eines Punktes der Sonnenbahn 
(Ekliptik). 



Liber tertìus. 41 

tmn II.*) meteoroscopìo demergamus, arcus itaque repertus intentum prae- 
^tabìt. 

Ut autem, qood praeceptio haec admonet, cognitu sit facilins, cupiat 
qaìspiam ezperìri, quanta sit declinatio capitis seu initii geminorum, is per 
praemissam doctrinam illieo deprehendet quaesitam declinationem esse qaasi 
gradumn XX et minutiarom XII, facto scìlicet introita secando cum gradibus 
yxm minutiis XXVIII mazimae declinationis atque gradibus LX; tanto enim 
arcn geminorum caput ab puncto yemalis aequalitatis removetur. 

Propositio tertia. 

Oblata declinationi respondens ex solari via punctnm inda- 
gare. 

Igitur per primum aut quintum introitum maxima solis declinatio cum 
declinatione proposita buie organo committatur; arcus enim extractus propo- 
situm ab | solvet. 284^ 

Sit ergo declinatio oblata gradua XX minutiae Xlf. Ea cum gradibus XXUI 
minutiis XXVIII meteoroscopio demersa gradns nobis reportabit LX; tot igitur 
qaaesitus punctus ab altero aequinoctiorum aequalitate recedit. Verumtamen, 
cum in signifero quatuor huiusmodi puncta reperiantur, hoc pacto non poteri- 
mus definire, cui ex illis talis declinatio debeatur, nisi nobis dixerit aliquis, 
qaam zodiaci quartara propositum possideat punctum. Eamm autem quarta- 
rum una est vemalis, quae de arietis inchoaus in cancri principium exit, alia 
aestiyalis, quae bine capiens initiun? capite terminatur librae, tertia deinde 

a) Hb. hat U koir. aus ITI. 




Es sei in Fig. 18 À die Lange eines Punktes der Ekliptik 
(Abstand vom Frtlhlingspunkt auf der Ekliptik gemessen), ó die 
DekUnation dieses Punktes und s der Winkel zwiscben Àquator 
imd Ekliptik (Ekliptikscbiefe; e » 23® 28"), dann erb&lt man 
die Deklination ó durcb Aufgabe 2 (sin ^ » sin e sin k), Zum Be^ 
spiel ergibt sich f&r das „capat seu initium^^ der Zwillinge (l =» 60®) 
d — 20® 12'. [recbnerisch 20® 10']. Fig. is. 

3. Proposition. 

Umkebrung der vorigen Aufgabe; Bestimmung der L&nge eines 
Punktes der Ekliptik aus der Deklination. 

LOsung mit Aufgabe 1. (sin il «» sin d : sin s) Als Beispiel wird das 
gleiche wie oben gegeben und dabei darauf hingewiesen, dafi noch der Qua- 
drant des Tierkreises, in dem der betreffende Punkt liegen soli, angegeben sein 
mu6, da sonst der einen Deklination 4 L&ngeo entsprecben kònnen. 

4. Proposition. 

Bestimmung der maximalen Deklination der Sonne d. h. der 
Ekliptikscbiefe aus Deklination und Rektaszension eines Punktes 
des Tierkreises. 



42 Liber tertiiu. 

autumnalìs, quae de principio librae incipiens initio capricorni finitar, postre- 
ma est hiemalis inde inchoans et in arietis caput exiens. 

Propositio quarta. 

Exhibita signiferi portione cum eius declinatione maximum 
solis ab aequatore recessum scrutari. 

2S5' Quod si datus zodiaci arcus ab capite arietis | inchoans quadrante minor 

fuerit, ipse numerorum introitualium nnus erit. Sin autem maior, minor tamen 
semicirculo, ipse semicirculo demptus introitui nnmerum aptum relinqaet. Quod 
si semicirculo superetur, quadrantibus tamen tri bus minor, eodem semicirculum 
dementes reliquum numerum prò introitu nostro servemus. Ubi autem tres 
excedit quadrantes, datae signiferi portionis arcum ex gradibus CGCLX sire 
signis duodecim auferentur, reliquum servemus iterum prò uno interyallimn 
numerorum, cum quo et declinatione proposita prìmus aut quinus fiat intrei- 
tus. Sic enim maxima soHs prodibit declinatio. 

Yeluti si proposita sit declinatio graduum XX cum minutis XII duobns 
signis ab arietis capite incboatis debita, et nostra fuerit intentio maximam 
solis declinationem reperire. Igitur per primum aut quintum introitom gradui 
LX cum gradibus XX minutiis XII propositae declinationis meteoroscopio com- 
mittamus, ilio *) namque quaesita solis maxima declinatio reddetur grados 
XXni et semis fere. 

Propositio quinta. | 

Cuiusvis arcus solaris orbitae, qui de puncto aequinoctii ver- 
235^ nalis inchoet, gradus aequatoris, quibus ipse in horizonte recto 
peroritur, investigare. 

Quod si datus signiferi arcus a capite arietis initium habuerit, et qua- 
drante fuerit inferior, eum cum maxima solis declinatione supra quadrantem 
numerata per sextum meteoroscopio introitum inducamus. Kumerus enim ita 
repertus, intent^km praebebit ascensionem rectam. Ut si propositum fiierit in- 
venire arcum aequatoris, qui toti arietis signo secundum hoiìzontem rectum 
cooriatur. Ergo per introitum sextum maximam solis declinationem in qua- 



a) Bc. modo. 



Losung mit Aufgabe 5 (sin e » sin d : sin il). Das Beispiel ist das 
gleicbe. Ist 18O®>A>90^ so wird der Winkel 180*^ — i benutzt, ftr 
270^ >X> 180® : l — 180^ ffir 360® > A > 270^ 360® — L Duo signa 
= zwei Tierkreiszeicben wird an Stelle von 60*^ gebraucht; XII signa =« 360^ 

5. Proposition. 

Bestimmung der Bektaszension eines Punktes des Tierkreises 
aus seiner Lftnge. 

Losung mit Aufgabe 6. (tg a — tg A., cos b), 
Beispiel: l = 30<^; a « 28<^. (Numerisch 27<^ 64'). 



Liber tertins. 43 

drante numeratam cum gradibus XXX signi arietis meteoroscopio si immittamus, 
ascensio recta gradaum quasi XXVIII emergit; quod est propositam. 

Idem quoque qer solos conficiemus aequedistanteSy facto scilicet introita 
aut primo ant quinto per dati arcus complementum atque complementum de- 
clinationis puncti | zodiaci eundem arcmn terminantis; complementum namque 286" 
arcua extracti propositi arcus signiferi recta erit ascensio. 

Bepetam ergo signum arietis, cuius ascensionem rectam inyenire desidero, 
declinatio puncti arietis signum terminantis est per secundam huius ferme 
gradaum XI minutiarum XXX, quibus demptis quadranti *), hoc est gradibus 
LXXXX, reliquum, scilicet grad LXXVIII et semis, cum gitkdibus LX, comple- 
mento scilicet oblati arcus, per primum aut quintum introitum organo buie im- 
mittemus; gradus elicio LXII, quorum complementum, scilicet gradus JULVlII, 
quaesitam iterum praestabit ascensionem rectam. Complementum autem eum 
▼eco arcum, qui relLnquitur dempto arcu aliquo de gradibus LXXXX. Ubi 
vero proposita zodiaci portio quadrantem circuii superaverit, semicirculo tamen 
minor, ipsum de semicirculo auferentes residui rectam ascensionem insta 
praemissum praeceptum quaeramus, qua de semicirculo sublata quaesita relin- 
qaetor ascensio recta. Quod si datus signiferi arcus semicirculum excedens 
minor fuerit tribus quadran'tibus, ergo ipsi semicirculus dematur, et reliqui 236^ 
quaeratur ascensio recta, quae semicirculo rursus addita rectam, ^) quae pete- 
batur, constabit ascensionem; ablata demum zodiaci portione, maiore quidem 
qaadrantibus trìbas, ipsa gradibus CCCLX, id est toti circulo, sublata residui 
denique arcus iuxta praeceptum iam traditum, recta inveniatur ascensio, qua 
dempta toti circulo propositum item constabit. 

Blud tamen neminem puto latere, quod quadrans zodiaci ex aequinoctio 
vernali principium habentis in horizonte recto cum aequatoris quadrante 
perorìatur, at semicirculus zodiaci, inde quoque exorti cum semicirculo aequa- 
toris et quadrantes eius tres ab eodem vernali aequinoctio inchoati prò ascen- 
sione recta tres habeant aequatoris quadrantes. 

Proposltlo sexta. 

Ascensione proposita recta de vèrnalis aequinoctii puncto 
principium babente signiferi arcum, qui ascensioni huiusmodi 
debeatur, elicere. 1 287'' 



a) Hs. hat quadrantibus. b) Ha. bat rectamque korr. in rectam. 

Andere Art der Losung (per solos aequedistantes). Man sucht 
zuerst die Deklination ó des Punktes mit Aufg. 2 (sind »- sinc • sinX) (»11^ 30', 

numeriscb 11^ 29'). Dann wendet man Aufg. 1 auf die Komplementwinkel von 

(cos X\ 
C08a = j\ und erhftlt so den Komplementwinkel von a; es 

werden somit hier 90^ — A. und 90^ — ó am Quadranten gemessen und 

90^ — a am Lineai abgelesen. Die Elimination von d aus den Gleichungen 

coB X cos X 

cos a = - i und sin d =» sin £ • sin A ersibt cos a = — ,- r- =:zz -^ oder , wie 

co«^ ^ |/l — 8Ìn«£8ÌnU 

oben, tg a «s tg il • cos £. Beispiel wie oben; (^"-11® 30'. 

FQr die Fftlle k > 90^ werden wieder die obigen Begeln gegeben. 



44 Liber tertias. 

Igitor CQm maxima solis declinatioDe aique cnm datae rectae asoen- 
sionis arcu supra basim computato, introitns fiat octavus, qui namque sic ex- 
oipitur arcus quaesitum ostendet. Haec quidam ita fiunt, dum proposita reeta 
ascensio quadrantem non excesserit. Yelut si ascensio recta fuerìt graduom 
XXVin, ea supra basim computata cum gradibus XXIII minutis XXVIII per 
introitum octayum meteoroscopio si committatur, intentum emerget graduom 
XXX zodiaci, quibus data competit ascensio recta. 

Alitar vero propositum per solos aequedistantes sic expedietur. Imprìmis 
secundo introitu per declinationem solis maximam in quadrante computatam, 
atque complementum ascensionis rectae, si ipsa quadrante fuerìt inferìor, ar- | 
cus extrahatur, quo de gradibus LXXXX dempto, reliquum cum ascensione 
recta primo yel quinto introitu meteoroscopium repetat; elicitus itaque arcus 
est signiferi portio, cui data respondet ascensio recta. 8it ergo, ut ante, recta 
ascensio grad. XXVIII; cum eius itaque complemento graduum LXII atque 
287^ maxima solis declinatione grad. XXO et | semis fere super quadrante nume- 
rata secundns fiat introitus, arcuque invento de gradibus LXXXX snblato reli- 
quum cum ascensione recta grad. XXVIII primo vel quinto introitu meteoro- 
scopio si rursus immittatur, elicitur nobis quaesita zodiaci portio graduum ferme 
XXX; quod est intentum. 

Quando vero dabitur ascensio recta quadrante maior, minor tamen semi- 
circulo, ea semicirculo detrabatur, et residui debitus investigetur ex dieta 
doctrina signiferi arcus, qui semicirculo iterum sublatus propositum re- 
linquet. 

At si data recta ascensio fuerìt maior semicirculo, minor tamen quadran- 
tibus tribus, ipsi semicirculus auferatur, cum reliquo arcus signiferi velut ante 
quaeratur, quo dimidiae cìrcumferentiae adiecto rursus constabit intentio. 

Ubi demum datus ascensionis arcus rectae, quadrantes tres superaTerit^ 
ipse toti circulo dematur, quo iterum, ut prìus, zodiaci arcus inyeniatur, qui 
toti circulo sublatus arcum relinquit, qui de zodiaco datae ascensioni rectae 
competit. Id quoque neminem fugiat in horizonte recto quadrantem aequatoris 
238' zodiaci quartae deberi semicirculum quoque semicirculo et quadrantes | tres 
tribus quadrantibus cooriri, ipsos scilicet computando de punctis aequinoctia- 
libus. 



6. Proposition. 

Bestimmung der Lànge eines Punktes des Tierkreises aus 
seiner RektaszensioD. 

LòBung mit Aufgabe 8 (tg il » tg a : cos e). Beispiel a «= 28^, A»30^ 

Andere Art der Losung (per solos aequedistantes). Man wendet 
auf 6 und 90^ — a Aufg. 2 an und erbftlt einen ^ (p (sin ^ » sin £ cos a), dann 

auf 90° — 9 und a Aufg. 1 (oder 5) und erbftlt k [sinÀ» j. Die Elimi- 

nation von 9 aus den beiden Gleicbungen ergibt: sin il — » - — =rr— - oder^ 

yi — sin'e cos'a 

wie oben, tgil«tga:cos£. Das Zablenbeispiel ist das gleiche, jedoch der 

Hilfswinkel nicbt angegeben. 



Liber tertios. 45 

Propositlo septima. 

Lunae latitudìnem explicare. 

Si itaque argumentum latitndìnis lunae quadrante minus fuerìt^ ipsum 
cam gradibus in quadrante computatis mazimae latitudinis lunae organo prae- 
senti committamus per secundum introitum. Quod enim ita consurget, latitudo 
lunae quaesita erit. Ut sit argumentum latitudinis lunae graduum XXXXV, 
eos cum gradibus Y maximae latitudinis lunae, supra quadrantem numeratis 
per secundum introitum meteoroscopio immergens excipio gradua DI et semis; 
tanta est ergo latitudo lunae prò subiecto latitudinis argumento, et septentri- 
onalis ascendens. 

Ubi autem boc argumentum quadrantem excesserit, minus tamen semicir- 
culOy ipsum de semicirculo dematur, . | et cum reliquo atque gradibus V lati- 288^ 
tudo lunae, ut prius, investigetur, quae erit septentrionalis descendens. Quando 
vero idem argumentum semicirculum superat, minus tamen quadrantibus tribus, 
et semicirculum demamus, cum residuo atque gradibus V, ut prius, agendum 
est. Sicque reperta lunae latitudo meridiana vocabitur ascendens. 

Hoc ipso denique argumento gradibus CCLXX, id est quadrantibus tribus 
maiore ipsum toti circulo detrabatur, et cum residuo atque gradibus V lati- 
tudo lunae, yelut ante, investigata meridiana descendens appellabitur. ^ 

Eodem argumento nullo aut semicirculo nulla babebitur lunae latitudo; 
quare tunc luna constituetur vel in capite vel in cauda draconis, cum autem 
ipsum fuerit quadrans aut quadrantes tres, tunc eadem lunae latitudo maxima 
est graduum V, hic quidem septentrionalis, illic vero meridiana, quando scilicet 
hoc argumentum tres amplectitur quartas. 

Propositio oetaya. | 239' 

Punctum in zodiaco finiens arcum, qui ascensionem suam ree- 
tam maxime superet, invenire. 

Ad boc itaque faciendum, ille notetur aequedistans, qui tot a basi recedat 
^adibus etminutiìs, quot^) solis maximae declinationis complementum continet. 

a) Ha. hat quod. 

7. Proposition. 

Bestimmung der Breite des Mondes, (Fig. 18). 

Bezeicbnen wir die Breite des Mondes mit /3, scine maximale Breite d. b. 
den Winkel zwiscben Mond- und Erdbabn mit /5^ (=• 6®) und seinen Abstand 
vom Schnittpunkt der Mond- und Erdbabn, das „argumentum latitudinis^', mit 
q>^ so gilt: sin9«sin/3:sinj3^. Die Aufgabe wird desbalb mit Aufg. 2 gelòst. 

Beispiel: 9 = 45 ^ /3«3^® (numeriscb 3^32') (septentrionalis ascen- 
dens, f&r 190^>9)>90^ sept. descendens, ftir 9 im 3. Quadranten meri- 
diana ascendens, im 4., meridiana descendens). Fùr 9 = oder » 180^ wird 
/3 »*0 d. h. der Mond stebt im Dracben oder im 180^ entfernten Punkt (caput 
vel cauda draconis); far 9 — 90^ oder «270^ wird |3=»6®, d. h. gleicb der 
maximalen Breite. 



46 liber tertins. 

Deinde regula basi iam diu removeatur, aat eidem appropinqnet, quonAque 
notatus aequedìstans tantum ex regula secet arcnm, quantoB est arcos iile qua- 
draniis meteoroscopii inter eandem regulam et basim comprehensus. Talis enim 
arcns ita coaequatus utrumque declìnatioiiis complementum erit quaesiti puncti. 

Et ut res ipsa cognitu fìat facilior, sumamus maxìmae soUs eomplemen- 
• tum declinatìonis graduum ferme LXV^I minutiamm XXX. Consideremus post 
haec aeqaedistantem tot gradua et minutias signantem, regulam coi admo- 
veatur et removeatur, yelut ipsa res admonebit, donec aequedistans modo eon- 
289^ sideratus ex regula tot gradus et minutias secet, qnot*) inter eandem | r^- 
Iam et basim ex meteoroscopii quadrante claudtmtur. Talis autem numenis 
bine inde coaequatus reperitur graduum ferme LXXTTI minutiarum XX, com- 
plementum scilicet declinationis puncti ex signifero quaesiti, qoare puncti eius- 
dem declinationem constat esse quasi graduum XVI minutiarum XXXX. 

Igitur per tertium buius punctum tale distat ab alterutra sectionum ae- 
quinoctialium gradibus fere XXXXVI, id est signo uno et gradibus XVI; com 
autem sectiones buiusmodi aequinoctiales in signifero sint duae, liquebit inesse 
zodiaco puncta talia quatuor. 

Propositio nona. 

Arcu zodiaci cnm sua recta ascensione coacervato utrumqne 
ab altero discernere. 

Igitur per praemissam maximus quaeratur excessus, quo quaepiam signi- 
feri portìo suam poterit exsuperare rectam ascensionem, deinde snpposito tali 



a) Hg. hat quod. 



8. Proposition. 

Bestimmung des Punktes im Tierkreis, filr den die Differenz 
L&nge — Rektaszension ein Maximum ist. 

Obne weitere Begriindung bestimmt der Verfasser die Deklination des be- 
ti-effenden Punktes mit dem Meteoroskop so dafi cos^ d =» cos e ist. Die Bedin- 

gungsgleicbung ist A — a Maximum, d. b. ,. — - = oder j~ ™= 1 ? *08 der 

di 
Gleicbung dèr 8. i^ufgabe tgX » tgcr : cose folgt durcb Differenzieren — 17 

oder, da ;^ « 1 ist, cos*>l = cos*a cosf. Nun ist aber nack 



C08*a 008 8 ^ da 

Àufg. 3: cos^A ^ cos'a cos'd, also folgt tats&cblicb cos'^ *= cose. £r findet 
d » 16^40' (die Becbnung ergibt 16^ 44') und hieraus nacb Aufg. 3 (cosi 
= cos a cos d). >l = 46^ oder 1 signum und 16^ (die Becbnung ergibt 46^ ISO- 
Am ScbluB erfolgt nocb ein Hinweìs, daB es 4 Punkte im Tierkreis gibt, die 
dieser Bedingung genùgen. 

9. Proposition. 

Von einem Punkt des Tierkreises ist die Summe seìner LSnge 
und seiner Rektaszension bekannt; die beiden OrCfien sind zu be- 
stimmen. 



Liber tertius. 47 

aggregato, minore quam sìt quadrans, alìoquin prò { blema hoc ad solvendom 240* 
per praesens organum frustra susciperetur, ipsmn cnin ezcesso per praeceden- 
tem reperto, ad instmmentoin primo vel quinto mittatur introitu, nomeros 
itaque repertus erìt differentia portionis zodiaci sub dato contento aggregato 
et snae ascensionis rectae sub eodem comprehensae, qua propositae summae 
sublata rectae ipsius ascensionis duplum relinquatnr. 

Hnins igìtur dimidiom residui ascensio erit recta, cui si reperta iungatur 
differentia, signiferi petitus emerget arcus. Yelut si aggregatum fuerit gradu- 
imi LYm, et nostra sit intentio arcum zodiaci de sua ascensione recta dis- 
cemere. Igìtur mazimo tali per praemissam sumpto alìus arcus ex zodiaco et 
suae rectae ascensionis ezcessu graduum II et semis fere atque cum data 
somma graduum LVni per prinium aut quintum introitum intra organum hoc 
demisso reportabitur nobis arcus graduum II, qui demptus aggregato propo- 
sito graduum LXVIII relinquit gradus LVI, quorum dimidium, scilicet gradus 
XXYin, sint ascensio recta, cui gradus II inventae differentiae additis emer- 
gont gradus XXX, arcus scilicet signiferi, cui talis ascensio recta gradu. XXYHI 
convenit. 



Propositio dedma. 

Ortus amplitudinem cuìustìs in zodiaco puncti super quo- 240^ 
libet horizonte perscrntari. 

Ortus amplitudo caelestis alicuius puncti praesentem habentis ortnm est 
arcus horizontis ab aequinoctiali exortu, usque in illam horizontìs notam com- 
putatus, super qua propositus caeli punctus oritur. At occasus amplitudo oom- 
patatur ab occasu aequinoctiali usque in punctum horizontis occiduum, super 

Fftr den in der Yorigen Proposition bestimmten Punkt ist die Differenz 
L&nge — Bektaszension Aq— a^» 2^^ (die Bechnung ergibt 2^32'). Hieraus 
findet man fnr den Punkt dieser Aufgabe die entsprechende Differenz X — ce 

mit Aufg. 1 oder 6, d. h. man lOst die Oleichung --/,—,— ^ «= sin (ÌL — Oq). 
In der Tat ist '^(^-« ) ^ <g^ <^o^«~ ^ 8m(I + «) 

8in(i+a) tgXcotga + 1 oder, da tgX« tgcicos £, SO ist 

, ;, , — i — r-7 , also konstant, femer ist sin L. nach Aufg. 1 =» — : — - 

■lll(I+«) 1 + COB*' ' ^ ® Bm« 

ri — COS t 

oder nach der 8. Proposition =-^ — : und ebenso cosa^ nach Aufg. 12 =« 



V 



■in* do 



em'i Vsm'e — l-4-co8« Vi — cosa i . , ^ 

5 — - — : — = = - — ; , also sm ÌL » COS aa oder 

cos^o yco8«-8Ìn« "ne ' ^ o 

«in (a^ + «o) ^ 1; mithin gilt die Beziehung ^^(x^-^ =* »» (^^ — «o)- 

AIs Beispiel wird gegeben k + a '= 5Sj hieraus findet man il — a » 2^ 
und somit A » 30® und a » 28^ 

10. Propositioii. 

Bestimmung der Morgenweite fùr einen Punkt des Tierkreisea 
unter beliebiger geographischer Breite tp (Fig. 19). 



48 Liber tertius. 

quo caelestifl punctus inferius accedit hemisphaeriiim, prò eodem caeli pnncto 
ortas amplitudo eadem est cum amplitudine occasus. 

Omne caeli punctum super horizonte dato continet ortum et occasun, 
declinatioDem habens minorem complemento elevationis polaris super horìzon- 
tem eundem. 

Si vero dati sideris seu puncti declinatio coaequatur elevationis polaiis 
complemento, ipsum sidus aat pnnctus propositus borizontem lambens atterit 
241" et in eodem temporis momento occasom babet et ortum. Quando | autem 
maior fuerit complemento regionalis altitudinis ipsa sideris declinatio, nullns 
eidem Sideri seu cuius [?] nec alteri pnncto caelesti, quod declinatione sna com- 
plementum altitudinis polaris superet, vel ortus vel occasus continget. 

Per secundam itaque buins inventa dati puncti declinatio cum comple- 
mento polaris elevationis per primum aut quintum introitum meteoroscopii 
immittatur, arcus itaque compertus intenta erit ortus amplitudo, septemtrioBa- 
ria quidem, si datum punctum septemtrìonalem possideat declinationem^ anstrina 
vero, si eadem declinatio fuerit austrina. 

Velut si prò principio cancri scire cupiamus amplitudinem ortivam super 
borizonte patrio, videlicet Norimbergensi, cuius latitudinem a quamplurimis 
matbematicis diligenter exquisitam constat esse graduum XXXXIX*) minu- 
tiarum XXVII fere, quorum complementum est graduum XXXX min ut. XXXIH 

Datus vero zodiaci punctus declinationem babet ferme graduum XXIU 
minutiarum XXIII seu semis. His ergo duobus arcubus intra meteoroscopinm 
241^ per primum aut quintum missis introitum quaesita | nobis redditur amplitudo, 
quasi graduum XXXVIII minutiarum XY. 

Eodem denique modo cuiusvis alterius caelestis pimcti super dato hori- 
zonte orientis et occidentis, ortus et occasus amplitudo reperìtur, saltem punc- 
tus ipse notam teneat declinationem. 



a) Hb. bat XXXIX. 




Die Morgenweite wird vom Ostpunkt (aequi- 
noctialis exortus, Scbnitt des Horìzonts mit dem 
Àquator) aus, die Abendweite vom Westponkt aus 
gegen Norden oder Sttden gez&blt, je nacbdem 
die Deklination des Punktes positiv oder negativ 
ist. Wenn d < 90® — 9 (^ « g«ogr. Breite), so 
gebt der Punkt auf und unter, ftlr d — 90® — 9, 
fallen Auf- und Untergangspunkt zusammen 
^«- ^*- (ji = 90 ®), ist J > 90 ®— «p, so bat er keinen Auf- 

gangs- und Untergangspunkt, d. b. er ist zirkumpolar. 

Ist die Deklination des betreffenden Punktes und die geograpbiscbe Breite 
des Ortes gegeben, so wendet man auf d und 90® — <p Aufg. 1 (oder 5) an, 

d. b. man bildet . ,f"^/ — r- =- sin 11. Im A 2 OD ist 02 = u, ZD^ i, 

^ = 90® — 9, ^ D « 90®, also sin d = sin (90® — 9) • sin ft. Als Beispiel 
wird die geograpbiscbe Breite von NtLmberg 9 =» 49® 27' und das Stembild 



Liber tertiuB. 49 

Propositio undecima. 

Ex subiecta ortas amplitudine zodiaci punctum eandem pos- 
sidens elicere. 

Igitnr cum amplitudine ortiva super regulam computata regionariae la- 
i:itadinis complementum introitu secundo*^) intra praesens organum demerga- 
mus, ezceptum itaque arcum declinationem sciamus eius in zodiaco esse puncti, 
cui talis ortus amplitudo debetur. Verumtamen adhuc latebìt nos, cui signi- 
feri puncto eadem declinatio respondeat, nisi qaoque fuerit expressum, quam 
indagandum zodiaci punctum quartam obtìneat. 

Sit ergo datus ortus amplitudo super horizonte patria sive Norimbergensi 
^pradnum XXXVIII minutiarum XV, quam cum complemento latitudinis patria 
^radibus XXXX minutiis XXXIII | in quadrante numerata meteoroscopii per 242^ 
secundum^) introitum inducens excipio inde gradus ferme XXIII et semis, 
maximam scilicet solis declinationem, propterea, si data ortus amplitudo sep- 
temtrionaria fuerit, ipsa principio cancri debetur, sin autem austrina, capricorni 
conyeniet capiti. Ubi demum eiusdem amplitudinis ortivae denominatio nobis 
<^labitur, assertio nostra penitus erit anceps et incerta. 

Hic etiam alia opus erit cautela, quando scilicet inventa declinatio maxi- 
mam solis declinationem superat; ita namque liquebit propositam ortus ampli- 
tudinem nuUi signiferi puncto posse competere. 

Propositio duodecima. 

Gaelestis alicuius puncti declinatione^) atque ortus amplitu- 
•dine cognita latitudinem regionis, in qua talis eius amplitudo 
contingit, agnoscere. 

Quinto igitur aut primo introitu cum amplitudine dati ortus atque cum 
declinatione proposita meteore | scopium ingrediamur, et arcu ita reperto de 242' 

a) Ha. hat quarto. b) Hs. hat quartum. e) Ha. hat declinationem. 

des Krebses, dessen Deklination ^ = 23® 23' (!) rund — 23|® betragt, gewahlt; 
das Eesultat ist a = 38^16' (num. 37^50'). 

11. Proposition. 

Bestimmung der Deklination eines Punktes des Tierkreises 
aus seiner Morgenweite. 

L5sung mit Aufgabe 2 (sin J = sin ft cos 97). Als Beispiel wird das 
gleiche wie in der vorigen Proposition gegeben. Ist das Azimut ndrdlich, so 
entspricht ihm eine positive Deklination, dem sudlicben cine negative. 

12. Proposition. 

Bestimmung der geogr. Breite aus Morgenweite und Deklina- 
i;ion eines Punktes des Tierkreises. 

Losung mit Aufgabe 1 oder 5 , cos 9? ==» -: — . Beispiel das gleiche wie 

in Prop. 10 und 11. 

Abhdlgn. s. Qesoh. <L math. Wìbs. XXIY 8 4 



50 Liber tertius. 

gradibus LXXXX subiracto relìquum erit latitado regionis, in qua talis orfcos 
amplitudo accidìt. 

Yelut si nobis ortiva daretur amplitudo graduum XXXYIII minatianim 
XY cum declinatione solis maxima graduum XXIII et semìs, arcubus ergo eù- 
dem per primum aut quintum introitum meteoroscopio immissis offerentur 
nobis grad. XXXX minut. ferme XXXUI, quorum complementum, gradus sci- 
licet XXXXIX minut. XXVII, quaesitae regionis habetur latitudo. 

Propositio Xin. 

In horizonte quolibet arcum semidiurnum cuiusvis puncti 
super ecliptica dati manifestum efficere. 

Ergo puncti propositi declinatione per secundam buius inventa ipsaqae 
cum regionis latitudine*) intra meteoroscopium duodecimo introitu immissa 
nobis arcus quidam reddetur, quo quadranti superaddito, si declinatio fuerit 
borealis, aut eidem sublato, si ipsa meridionalis fuerit, intentum proveniei 

Sit ergo propositum in horizonte patrio numerare arcum semidiurnum, 
248^ qui I fìt sole cancri caput possidente; eius igitur puncti in zodiaco per secun- 
dam huius declinatio invenitur graduum XXXIII et ferme semis, quam cum 
complemento latìtudinis horizontis dati, scilicet graduum XXXX minutiarum 
XXXIII, per duodecimum introitum meteoroscopio commendans recipio gradua 
XXX cum minutiis ferme XXX, quibus quadranti aggregatis (nara declinatio 
septentrionaria subicitur) quaesitus excrescet arcus semidiumus graduum CXX 
minutiarum XXX. 

Sin autem sole capricorni caput obtinente idem iubeamor efficere, ergo 
cum idem zodiaci punctus eandem maximam solis habeat declinationem au- 
strinam, arcum iam inventum graduum XXX minutiarum XXX quadranti de- 
mere opoi*tebit, reliquum scilicet graduum LX minutiarum XXX quaesitus arcus 
erit semidiurnus. 

Idem aliter fìt per solos aequedistantes- Inprimis amplitudo ortiva puncti 
in zodiaco dati quaeratur per decimam huius, quae gradibus LXXXX detraha- 

a) Eb mufi heifien: cum complemento latitudinis. 

13. Proposition. 

. Bestimmung des halben Tagbogens aus Deklination und geogr. 
Breite. 

Im A ZOD (Fig. 19) ist OD=^t— 90^ wenn t der halbe Tagbogen 
ist, also ist: sin (t — - 90®) « tg 9 tg rf. Wendet man Aufg. 12 auf 6 und 90®— <p 
an, so ergibt sich ein Winkel, den man zu 90® addieren oder von 90® sub- 
trahieren muB, um den halben Tagbogen zu erhalten, je nachdem die Dekli- 
nation nSrdlich (positiv) oder stLdlich (negativ) ist. 

Beispiel: d = 23^®, 9 ^ 49® 27', t = 120® 30' (numerisch 120® 33'), 
mr J = — 23^® folgt < = 69® 30'. 

2. Methode (per solos aequedistantes). Man sucht zuerst die Morgen- 

(ai TI J^ \ 
sin (i = J, wendet auf 90® — fi und 90®— à 



I 

j 



Liber tertius. 51 

tur, residuum cum complemento declioatìonis puncti eiusdem, primo vai quinto 
introitu ad meteoroscopium mittatur, arcusque inventus gradibus item LXXXX 
snbtrahatur, reliquum quadranti coacervetur, si propositi ex zodiaco puncti 
declinatìo fuerit borealis, ant eidem quadranti dematur | data prò eodem zo- 248' 
diaci puncto declinatio, si faerit austrina; quod enim sic excipitnr, arcus se- 
midiumus erit, qui quaerebatur. 

Ut si cupiam, prò regione patria semidiumum arcum prò capite tauri 
perquirere. Igitur dati puncti ortus amplitudinem per decimam huius inven- 
tam gradus ferme XVIII minutias XV quadranti demens, reliquum graduum 
Ti XXi minutiarum XXXXV cum complemento declinationis puncti eiusdem per 
secundam buius reperto quasi grad. LXXVIII min. XXX per primum aut quin- 
tom introitum meteoroscopio inducens, accipio gradus ferme LXXVI, quorum 
complementum graduum XIV quadranti adiciens cupitum confiabo semidiur- 
num arcum graduum ferme CIV •) 

Idem quoque propositum tertio sic absolvetur. Solis etiam aequedistan- 
tibus babita inprìmis per praesentem differentia maximi semidiumi, qui con- 
tingit principio cancri atque semidiumi aequinoctialis, qui prò omni regione, 
in qua sol in boris XXTV oritur et occidit, quadrans est, quam quidem diffe- 
renti am in quadrante sumptam cum ascensione recta eius in zodiaco arcus, 
quo datum signiferi punctum ab aequinoctio proximo recedit, per quartum in- 
troitum meteoroscopio committamus, arcus enim sic | elicitus differentia ha- 244^ 
botar arcus semidiumi quaesiti et aequinoctialis semidiurni, qua quadranti 
iuncta, si datus punctus acciperem [?] in medietate signiferi boreali, centra vero 
eadem dematur, si punctus idem semicirculum signiferi possideat meridionalem ; 
hoc namque pacto propositum constabit. 

Sit ergo, ut prius, inveniendus f^emidiurnus prò tauri capite ad patrium 
horizontem; differentia igitur maximi semidiumi, et semidiumi aequinoctialis 
per praesentem habetur gradus ferme XXX et semis. Ascensio recta intervalli, 
quo tauri principium ab aequinoctio verno, cui propius est, recedit, per V huius 
habetur gradus ferme XXVIII, quibus supra regulam computatis cum eadem 
differentia grad.XXX et semis per quartum introitum meteoroscopio commen- 

a) Ha. bai C. 



Anfgabe 1 oder 6 an fsin(>« . /qqo ZT^) » ^^^ ist 180®—^ oder q der ge- 

snchte Tagbogen, je nachdem d positiv oder negativ ist. 

Beispiel: Ftlr das Stembild des Stieres ist (i^lS^lò' nach Prop. 10 
und <5«11®30'. Hieraus ergibt sich ^ = 76^ also, da ^ positiv ist, ^==180® 
— 76*=104^ 

3. Me th od e. Es sei der halbe Tagbogen der Sonno am Iftngsten Tage 
f^ bekannt, also sin (t^ — 90*^) =» tg 9 tg t, die Rektaszension des Punktes sei a; 
diann ist fnach Aufg. 12) sina»tgd*cotge; bieraus ergibt sich wenn man 

igS^^^l^-^^ und tg£ = ?^?^^^-^^^setzt,sin(<-90«)=sinas^ 

Dies wird mit Aufg. 2 gelòst. (Der Text hat 4.) 

Beispiel: <^= 120^^ a = 28® gibt «-90®- 13|® (num. 13^470, 
also /— 103^®. 

4* 



52 Liber tertiua. 

datis gradus ferme XIII et semis nobis restituentur, differentia scilicet aeqni- 
noctialis semidiurni, et semidiomi investigandi, quae iuxta praesens praecep- 
tum addita gradibus LXXXX, propositas arcus semidiorniis habetur gradus 
CHI et semis, quod quasi invento priori concordat; diversitas est in gradu di- 
midio, quae non evenit ob fallacem banc inquirendi scientiam, sed propter in- 
244" strumen|toram incertitudinem, quibus nisi magna fiant admodum, yeritas 
ipsa nobis ad unguem raro disenti tur, de quo lectorem ipsum tam in praesenti 
quam in posterioribus propositis admonitum volo. 

Propositio XIY. 

Modum convertendi gradus et eorum minutas in horas et ea- 
rum minuta, et e contrario compendiosum tradere. 

Propositos itaque gradus quotcumque, si libeat in horas ac earum mina- 
tias con vertere, convenit eos per qulndecim dividere; numerus enim eziens 
horarum ostendet numerum, si qui vero gradus quindecim pauciores, cum 
eorum etiam minutis bac divisione facta superfluant, gradus quidem per IV 
multiplicentur, productusque numerus horarum minutias indicabit, ac prò mi- 
nutis XV unius gradus una minutia ceteris horarum minutiis addatur toties, 
quoties id fieri poterit, reliqua vero graduum minuta, quindecim paudora 
per IV ducantur, summaque producta secunda monstrabit horaria. Ut prò- 

246^ po|sitis gradibus C cum minutis XXXXVIII eos sic in horas et earum minutias 
convertemus. Primum namque partientes G gradus per quindecim, tot enim 
aéquatoris gradus horam unam motu primo revoluti componunt, horae integrae 
sex exibunt gradibus X remanentibus, quibus quater ductis horae unius minu- 
tiae XXXX producantur, minuta vero XXXXVIII gradus unius per praeceden- 
tem doctrinam minutias horae III cum secundis XTT constituunt. Ergo gra- 
dus C, minuta XXXXVIII dabunt horas VI minutias XXXXIII*) secunda XII; 
quod est propositum. 

Sed forte non omnis lector in aritbmeticae rudimentis adeo habetur ezer- 
citatus, quod tamen ad astronomiam^) maxime spectat, ut propositionem hoc 
modo perfìcìat. Igitur, quo hunc multiplicandi et dividendi laborem lectori 
arithmeticis parum imbuto tollam, et propositum illieo conficiatur, prò prae- 
senti negotio subiectam contexi in tabulam, in qua dexter versus descendens 
propositorum graduum numerum eorumque minuta continet, et e regione quot- 
libet graduum propositorum, in transversa linea ad laevam horae ac horamm 
minutiae gradibus eisdem aequivalentes habentur inscriptae, gradnsque ipsi 

246" super versu tali descendente usque ad OLXXX protenduntur, quibus | ad sum- 

a) Hs. bat XXXUI. b) Ha. hat astronomiam. 



14. Proposition. 

• Verwandlung von Zeitmafì in BogenmaB. 

Beispiel: 100^8' = 6** 43"* 12'. Fiir die „im Rechnen nicht bewan- 
derten" Leser batte der Verfasser die Absicbt, eine Tabelle herzustelleii.M 
Weiteres Beispiel, das an die vorige Prop. anschlieBt: 103^® =« 6^ 64% also 
der ganze Tagbogen = 13^48". 

1) Fùr die Tabelle wurde 1 Seite der Hs. frei gehalten. 



j 



Liber teiiius. 53 

mum borae XIE competunt. Quod si eandem tabulam cnm minatiis graduum 
ingrediamur, in versa quidem proximo, borarum minntae, in sequentì vero 
seconda scribentur, velai inscrìptio bortabitur. 

Hio opas exemplo fore negotio boc praesertim ex patente. 

Capientes autem boras et borarum minutias atque secunda in gradus et 
eorum minata commutare, multiplicabimus datom borarum numeram per qain- 
decim, et prò quibusvis borariis minutiis qaataor gradum unum et prò minutia 
horaria una minuta gradas quindecim et prò secandis borariis quatuor minu- 
timi onum gradus et prò secundo borario gradas secunda quindecim. 

Ut si velim boras VI minutias borae XXXXIII cum secundis borariis 
daodecim convertere in gradus aequinoctiales atque graduum fractiones, igitur 
horas VI duco per quindecim et crescunt gradus aequatoris LXXXX. Minutiae 
borariae XXXX decem faciunt gradus minutiae III borariae minata gradus 
constitaunt XXXXY, secunda boraria XII minuta III gradus effìciunt. His 
itaqae congregatis quolibet generi suo veniunt gradas aequatoris C minata 
XXXXVIII. Sed I baec citius ef&ciuntur ex subscriptis tabulis. In quaram 246^ 
primam intrandum cum boris convertendis in primo versa ad dextram scriptis, 
atqae e regione qaotlibet earum versus la èva m gradas babentur eisdem boris 
debitis. 

Pari modo ad minutiarum tabulam ingrediamur in dextro versa descen- 
denti cam propositis minutiis secandis borariis ac e diverso convenientes eis- 
dem gradus et eorum fractiones ceterae non latebunt. Ai baec ipsae tabularum 
inscrìptiones patefacient lucidius. | 

Per bas itaqae tabulas seu per praesentem propositionem et praemissam 246" 
prò dato solis loco magnitudinem cuiuslibet propositi diei scire poteris. In- 
ventum enim arcum semidiumum in boras a borarium fractiones convertentes 
mediam propositi diei quantitatem babebimus, qua duplicata tota eiusdem 
diei magnitudo constabit, velut eo die quo sol tauri possidet initium, in patria 
regione per praemissam semidiumus arcus babetar graduum CIII et semis, 
qaibus per tabulam primam borae VI, minutiae LUI reepondent. Ecce dimi- 
diom propositi, diei, quibus geminatis tota diei buius excrescet quantitas, 
liorarum XIII minutiarum XXXXVIII. 

Propositio XY. 

In aliqaa regione quantolibet die proposito latitudinem re- 
gionis eiusdem numerare. 

Quanto dies noeti suae coaequatur, propositio baec ; ad solvendam frustra 247^ 
soscipitur^ qaod quidem aequinoctioram contingit tempore; sed alibi declina- 
lo. Proposition. 

Bestimmang der geogr. Breite aus der L&nge des Tagbogens. 

Die Ldsung versagt f f\r t =• 90*^. Es ist tg <p ^ sin (t — 90®) : tg ó, als . 
L6sang mit Aufgabe 8. Beispiel: t =« 103|®, d— ll|", 9 — 49^30'. 
S. Metbode (per solos aequedistantes). Man bestimmt zuerst die Morgen- 

weite (cos fi =« cos ó sin t) mit Aufgabe 2, dann bieraus (cos <p =- -r — )die . 



54 Liber tertiue. 

iionem solarexn eiusdem diei, yelat aequidisiantes oomputatam com differentia 
praesentis semidiumì, atque semidiarni aequinoctialis, per octavuin *) introitum 
organo nostro committamus, arcamque sic exceptam de gradibus LXXXX de- 
mentes latitadinem relinquemus quaesitam. 

Sole igitur ìnitium possidente tauri, dies in aliqua regione horas complec- 
titar XIII cum minutiis XXXXVIII. Libeat nunc agnoscere, quanta sit eiusdem 
regionis latitudo, qnare solis declinationem, quae per secandam huius habetur 
ferme grad. XI et semis, cum differenza huius semidiumi et semidiurni aequi- 
noctialis graduum XIII et dimidiì, iuxta pi*aesentem doctrinam introitu octayo ^) 
ad meteoroscopium missa gradus XXXX cum minutiis XXX nobis offeruntur, 
quibus ex quadrante sublatis desiderata remanebit latitndo graduum XXXXIX 
et ininutorum ferme XXX. 

Hoc ipsum per aequedistantes solos ita fiet; datae scilicet declinationìs 
complementum cum complemento differentiae eorundem semidiumorum per in- 
247' troitum secundum ^) meteoroscopio inducamus, | extractique arcus complemen- 
tum, quod ortus amplitudo est puncti zodiaci, sub quo dies proposita fìt, cum 
data solari declinatione per primum aut qointum introitum meteoroscopio riir- 
sns immittamus. Arcus enim sic extractus, si de LXXXX gradibus auferatur, 
investigatam relinquet regionis latitadinem. 

Sit igitur, ut prius, sole initium tauri tenente dies borarum XIII minut. 
XXXXVIII; quare ut huius regionis latitudo perspicua fiat, complementum 
differentiae semidiumi praesentis diei et semidiurni aequinoctiidis graduum XIII 
et semis, cum complemento declinationis graduum LXXVIII et semis *^) per 
introitum secundum") meteoroscopio committendnm est. Hoc itaque pacto 
gradus excipiuntur LXXI et semis, quibus ex quadrante sublatis gradus relin- 
quuntur XYIII minut. XXX, qui sunt ortus amplitudo prò die dato; qua com 
solis declinatione graduum XI et semis introitu primo aut quinto ad meteo- 
roscopium remissa gradus exibunt XXXX cum minutiis ferme XXX, quorum 
complementum graduum XXXXIX ^) minut. XXX latitudo est, quam quaere- 
bamus. 



a) Hb. hat tertium. b) Hb. hat tertio. e) Ha. hat quartam. 

d) Nach semis die Worte cum complemento gestrichen. e) Hb. hat quartam. 

e) Hb. hat XXXIX. 



geogr. Breite mit Aufgabe 1 oder 5. Beispiel: t = 103^®, ó =■ H^®, f* — 
71^^ (p - 49® 30'. 

16. Proposltion. 

Bestimmung der obliqua ascensio bezw. descensio fdr einen 
Punkt der Ekliptik. 

Die A. 0. bzw. D. 0. eines Punktes der Ekliptik ist der Bogen zwiscben 
Ostpunkt und Fruhlingspunkt in dem Moment, in dem dieser Punkt aufgeht, 
bzw. zwischen Friihlingspunkt und Westpunkt, wenn der Punkt untergeht 

Ist der halbe Tagbogen /, die Bektaszension a, so ist die ascensio obliqua 
« q: (/ _- 90»)^ die descensio obliqua a±{t— 90®). Beispiel: t = 103® 30', 
« - 28®, ^0-14® 30', DO = 41® 30'. 



Liber tertius. 



65 



Propositio XVI. 

Cuiuslibet in zodiaco arcus initium ab aequinoctio yeriiali24B' 
sumentes obliquam yel ascensionem vel descensionem in qualibet 
regione numerare. 

Quare prò puncto datum ex zodiaco arcum terminante differentiam eins 
:semidiumi, et semidiurni aequinoctialis per XIII problema per quaesitam asQen- 
sioni rectae propositi arcus auferaraus, si tale punctum propositum tenninans 
Arcum borealem signiferi semicirculum possederit, aut eandem differentiam ip- 
si rectae ascensioni coniung^mus, si hoc ipsum propositi arcus finale puhctiim 
medietatem zodiaci tenuerit austrinam, quod itaque huiusmodi vel oblatione 
yel additione coUigitur, dati arcus obliqua erit ascensio, descensionem autem 
contraria comparabimus ratione. 

Propositum ergo sit inyenire ascensionem obliquam signi arietis in bori- 
zonte patrio. Eius signi recta ascensio per quintam huius habetur ferme, gra- 
daum XXVIII, at per XIII huius differentia semidiurni aequinoctialis atqué 
semidiurni prò fine arìetis est ferme gradus XIII et semis, quam auferentes 
ex gradibus XXVm ascensionis rectae relinquemus obliquam ascensionem in 
horizonte patrio graduum ferme XIIII min. XXX, eadem quoque dififerentia 
semidiumorum, eidem rectae ascensioni graduum XXVIII adiecta signi arie- 
tis prò eodem horizonte patrio descensio conflabitur obliqua graduum XXXXI 
in in ut XXX; quod erat intentum. 

Propositio XVII. 

Ex data obliqua ascensione alicuius orientis ex ecliptica 
puncti medium caeli supra terram definire. ' 

i 

Quadrantem ergo de oblata subtrahamus ascensione obliqua, ei quoque 
additis integri circuii gradibus CCGLX, si alioquin ablatio haec fieri nequeat, 
et residuum erit ascensio recta MG super terram, qua per sextam huius in 
signiferi arcum conversa, propositum habebitur. { 249*^ 

Ut si datur obliqua ascensio alicuius nascentis in patrio solo ex signifero 
puncti graduum XXXII, bis igitur gradibus CCOLX additis, atque de hac sum- 
xna gradibus quadrantis LXXXX sublatis erit reliquum gradus OOGII 'ascensio 



17. Proposition. 

Bestimmung der Mitte des Himinels 
^M. G.) d.h. der Bektaszension und L&nge 
des gerade kulminierenden Ekliptik- 
punktes aus der ascensio obliqua des ge- 
rade aufgehenden Punktes. (Fig. 20.) 

In Fig. 20 ist a^^, = M'^N'O + OV 
— 270** + AO.,bzw. «^^^ = 90® — ^0, wenn 
Fzwischen M' und SB liegt. Aus cr^^ erhftlt 
man dann nach Prop. 6 il^^ ^ . 




Fig. 90. 



56 * Liber teitìns. 

M. C. recta, cui per sezt&m huìus ex orbe signifero respondet arcus ab capite 
arietis usque in caput aquarii numerans, id est signa zodiaci decem ; qaod erat 
ostendendum. 

Propositio XVin. 

Angulum ex concursu eclipticae et meridiani provenientem 
circa quotlibet ipsius eclipticae punctum agnoscere. 

In signis semicirculi eclipticae ascendentis, qui a principio capricorni in- 
choans in caput cancri fìnitur, angulus talis inventus erit borealis orientalis. ; 
249' Et ut rem ipsam summarie dicam, principio capricorni in meridiano 

constituto talis incidentiae angulus septemtrionalis orientalis quadrans est 
Deinde idem sensim minuitur, quousque par fiat maximae declinationis solìs 
complemento, quod contingit arietis capite meridianum obtinente. Deinde rur- 
8US augetur, quousque cancri principium ad meridianum pervenerit, quia tunc^ 
velut prius in principio capricorni, quadrans quoque fìat. 

Ab hoc autem initio cancri per reliqua sex signa medietatis signiferi de- 
scendentis eundem incidentiae seu concursus angiilum inveniemus orienlalem 
austrinum, qui de capite^ cancri usque in principium librae minuitur in dies, 
usquequo fiat par complemento maximae solis declinationis, ab initio autem 
librae in principium capricorni, usque ad quadrantem iterum crescet. 

Pro hoc igitur angulo inveniendo ad organum intrabimus primo aut quinto 
ìntroitu cum complemento maximae declinationis solis et declinationis *) puncti , 
^^^ eclipticae dati; arcus itaque repertus angulum, qui petebatur, ostendet. 

Sit ergo puncti dati finis noni gradus tauri, cui per secundam buius com- 
petit declinatio graduum XIIII minut. XXX fere, cuius complemento graduum 
LXXV minut. XXX cum complemento maximae declinationis solis graduum 
LXVI et semis per introitum primum aut quintum destinato ad ipsum meteo- 
roscopium angulus reportabitur graduum LXXI minut. XX fere, qui borealis 
appellabitur, quoniam semiciróulum eclipticae ascendentem possidet. 

Eiusdem quoque concursus seu incidentiae angulus alia deprebendetor 
via, facto scilicet introitu primo aut quinto, per intervallum zodiaci, quod 
puncto signiferi dato atque proximo aequinoctiali puncto, et eiusdem inter- 

a) In der Hs. fehlt maximae declinationis solis et. 

18. Proposition. 

Bestimmung der Neigung der Ekliptik gegen die Meridian* 
ebene, wenn die Deklination des gerade kulminìerenden Punktes 
der Ekliptik gegeben ist. 

Kulminiert der Steinbock, so ist der Neigungswìnkel 17 » 90^, dann nimmt 
er ab bis auf 23^^ (= e), was eintritt, wenn der Widder kulminiert^ hieraaf 
wacbst er wieder auf 90^ bis zur Kulmination des Erebses und nimmt 
wieder bis auf 23-|® ftbr die Kulmination der Wage ab. In Pig. 20 ist: MM' = (J», 

•«^ F = f, -^ itf « r^, also ist sin 7^ = — d. h. man bestimmt ^, indem 

man Aufg. 1 oder 5 auf 90® — « u. 90® — d^ anwendet. Beispiel: d = 14* 
30', ri = 71® 20' (nuraerisch 71® 18'). 



Liber teitiaB. 57 

Talli rectam ascensionem ex quinta huias acceptam, numerus enìin hac ratione 
nobìs oblatus itemm eundem patefaciet angulum. 

Sit ergo M. C. punctus tauri caput, qaod a prozimo distat aequijnoctio 250* 
Temo gradìbuB XXX signi arietis, quorum per quintam huius ascensionem rec- 
tam grad. XXYin fere cum gradibus XXX introitu primo aut quinto intra 
meteoroscopium demergens ezcipio angulum huiusmodi concursus, capitis scili- 
cet tauri, cum meridiano graduum ferme LXX et tertii sive minutorum XX. 

Propositio XIX. 

Cuìuslibet in signifero puncti meridianam super horizontem 
datum elevationem cognoscere. 

Aequinoctionmi tempore, hoc est in punctis zodiaci aequinoctialibus, quae 
sont arietis et librae principia, meridianam hanc eleTationem scimus esse parem 
regionariae latitudini s complemento. Sed puncto dato semicirculum signiferi 
borealem occupante ipsi regionariae latitudinis complemento proposito puncti 
declinationem quidem adicimus, | in altero vero signiferi medietate, scilicet 261' 
anstrina, puncto hoc constituto eandem declinationem subtrahimus, ut meri- 
diana scilicet dati in signifero puncti constet eleTatio. 

Ut si yelim capitis tauri meridianam habere altitudinem prò patrio hori- 
zonte; huius in signifero puncti declinatio per secundam huius est fere gradu- 
um XI et semis, quibus complemento patriae latitudinis grad. XXXX min. 
XXXin adiectis ipsa producetur elevatio meridiana prò tauri capite graduum 
ferme LII min. Ilf. 

Sit iterum propositum prò capite piscium meridianam altitudinem in eo- 
dem horizonte perscrutari; ex eadem secunda huius declinatio capitis piscium 
est ferme graduum XI et semis, quibus patriae latitudinis complemento 
demptis altitudo remanebit meridiana petita graduum XXIX minutarum XXX; 
quod rursus intentionem absolvit nostram. 

Propositio XX. 

Data Tel ascensione vel descensione | obliqua in qualibet re- 251' 
gione cognitae latitudinis, modo eiusdem ascensionis aut descen- 



2. Methode: In Fig. 20 ist: VM^ A^, VM'^^ a^, sin v « -. -- d. h. 

man wendet Aufgabe 1 oder 5 auf a^ u. A^ an. Beispiel: A,;< » 30^, 
a^ = 28®, fi « 70^ 20' (num. 69<> 52'). 

19. Froposition. 

Bestimmung der Ealmiuationsh(xhe eines Punktes des Tier- 
kreises. 

Ftbr die Tag- und Nachtgleiche ist die Hòhe des Kulminationspunktes 
Ji » 20^ — 9?, im allgemeinen A «= 90® — y -f- <J, wobei d pos. oder neg. ge- 
nommen wird. Beispiel: filr den Stier ist 3 = 11|^ 90* — 9 =- 40® 33', h 
= 52® 3'; ^ =» — 114®, 90® — 9 «= 40® 33', h = 29® 30'. 



58 Liber tertiiu. 

flionis initium de vernali aequalitate sii sumptum, zodiaci arcam 
in eiasdem regionis horizonte cum illa per ortum indagare. 

Nulla ergo data vel ascensione vel descensione in subiecto horizonte ca- 
put arietis oiium aut occasum tenere scimus, quae si dimidius ftierit circulas, 
initium librae qnaesitum zodiaci finit arcum. At eadem vel ascensione vel de- 
scensione oblata quantalibet alioqnin arcum ei debitum sic investigàbimns ac 
inprimis ìntentum absolvemus de ascensione, atque deinceps prò descensione 
idem agemus. 

Igitur ex XVII huius M. C. prò data obliqua inquiratur ascensione, post- 

262^ haec ex antepraemissa concursus sea incidentiae angulus prò M. C. reperto 
etiam innotescat. Cognoscamus demum per praemissam einsdem M. C. prò 
subiecta regione meridianam altitudinem; meteoroscopium itaque octaro in- 
troitu ingrediamur cum altitudine meridiana M. C. atque angulo concursus sen 
inoidentiae supra quadrantem numerato, numerumque sic exceptum arcui zo- 
diaci inter signorum *) initium et M. C. comprehenso detrahentes, si M. G. ali- 
um zodiaci teneat semicirculum, subtrahendo quidem punctum zodiaci oeciden- 
tale, addendo autem orientale cognoscemus, at occidentali zodiaci puncto cog- 
nito punctum orientale nos latere nnllatenus poterit, etenim alterum alteri 
per diametinim opponitur, pari quoque ratione orientali noto non ignoralùmns 
accidens ex signifero punctum. 

Proponatur ergo ascensio obliqua gradus XXXII, cui zodiaci arcus est 
inveniendus, qui eidem in Horizonte patrio cooriatur; tunc itaque prò M. C. 

1S52' per XVn | huius capitis aquaiii reperitur. Angulus vero concursus einsdem 
M. C. cum meridiano per antepraemissam constat fere gradibus LXXVIII mi- 
nutis XXXX, M. 0. altitudo meridiana per praemissam erit quasi gradus XX 
minuta XXI; cum qua et angulo praedicto meteoroscopium octavo ingredieos 
introitu grad. LXII min. XV fere percipio, quiebus demptis ex arcu zodiaci 
inter signorum initium, et M.C. cadente, nam M.C. in semi circulo signiferi ascen- 
dente constituitur, signa zodiaci remanent VII grad. XXVII min. XXXX V fere, qui- 

a) Nach signorum hat Ha. zodiaci gestri chen. 



20. Proposition. 

Bestìmmung des Bogens zwischen dem kulminierenden und 
dem aufgehenden Punkt derEkliptik aus der ascensio obliqua (des 
tiufgebenden Punktes) (Fig. 21) und damit der Lftnge des aufgehes- 
den Punktes (Fig. 20). 

Aus AO ergibt sich Um = 270®+ AO nach Prop. 17, iy nach Prop. 18. 
die Hohe von MC km nach Prop. 19. Dann erhftlt man den Bogen zwischen 
MC und dem gerade untergehenden Punkt der Ekliptik MU mit Aufg. 8. 
^tg Q = igh : cos 7})] der Bogenabstand zwischen dem Friihlingspunkt u. MC 
ist 270^ -\- AO^ also der Abstand des gerade untergehenden Punktes e == 270^ 
+ AO-Q, Erstes Beispiel: AO — 32^ MC « 302^ ^ « 78® 40', h - 
50® 21'. Resultat ^ =- 62® 15' (nnm. 62® 5'), a ^7 signa 27® 45' — 237* 
45' (statt 239® 45'). Zweites Beispiel: AO =- 202®, MC ^ 111® (statt 
112®) 7] = 81®, h — 62® 33'. Resultat: q ^ 85® 45' (num. 85® 22' = 2 



Lì ber tertius. 



59 



bus in signifero de sìgnorum inìtio computatis ex scorpio grad. constat XXVII 
min. XXXXV occidisse, quae in ortu grad. XXYII cnm idìd. XXXXV tauri 
eonstituentnr; quod est propositam. 

Alia mrsus ascensio detar obliqua in eodem horizonte grad. CCII. Itaque 
per XVII M. G. erit gradus XXI cancri fere^ angulus concursus incidentiaeTe 
per antepraemissam grad. LXXXI, altitudo autem M. C. meridiana grad. LXll 
min. XXXTIT, cum qua super basi computata | et angulo incidentiae de 253' 
praesenti organo per Vili introitum elicio grad. LXXXV min. XXXXV, hoc 
-est signa duo grad. XXV min. XXXXV fere. His ergo M. C. adieetis, quoniam 
ipsom in descendenti signiferi dimidio constituitur, summa proveniet signorum 
VI grad. XVI min. XXXXV, quibus inter signa et eorum partes distrìbutis 
liquebit cum data ascensione obliqua, ex librae signo perortos fuisse supra eun- 
<dem horizontem patrium grad. XVI min. XXXXV; quod rursus est intentum. 

Haec quoque propositio solis absolretur aequedistantibus. Ingrediamur 
«rgo instrumentum nostrum secundo introitu cum complemento altitudinis 
merìdianae atque cum angulo incidentiae extracti. Deinde arcus complemen- 
tum cum altitudine meridiana primo aut quinto introitu ad meteoroscopium 
remìttatur; arcus demum itaque repertus M. G. dematur ipso medietatem signi- 
feri possidente ascendentem, aut eidem adiungatur reliquum zodiaci medieta-' 
tem tenenti, quodque sic eveniet. Arcus erit zodiaci datae respondens obli- 
•quae ascensioni. Sit iterum data prò horizonte patrio obliqua ascensio grad. 
XXXn. Igitur cum complemento altitudinis | merìdianae M. G. grad. LXIX'25S' 
min. XXXIX et cum concursus angulo grad. LXXVIII min. XXXX supra 
quadrantem numerato per introitum secundum ad meteoroscopium mihi ingre- 
-dienti gradus offeruntur ferme LXVII, cum quorum complemento grad. XX Ili 
•et cum altitudine meridiana grad. XX min. XXI prìmo aut quinto introitu in- 
strumentum idem repetens invenio grad. LXII fere cum quarto gradus; quibus 
B. M. C. ablatis relinquuntur de scorpii signo occidisse grad. XxVli min. XXXXV, 
ut prius inyentum est. Inde quoque orìens eclìpticae punctus innotescet in * 
grad. XXVll min. XXXXV tauri; quod est intentum. 

Sit demum ascensio data grad. GGII. Meteoroscopium igitur intrando 



«igna 25^45', also (hier ist die Summe 
zu nehmen) cr = 196® 45'« 6 signa 
16^45'. 

2. Methode (per solos aeque- 
^istantes). Man wendet auf 90® — h 
a. ri Aufgabe 2 an (sin x '^ cos h sin 17), 
dann auf A u. 90® — % Aufgabe 1 oder 5 

/sin p «- -): das Resultat ist wieder ^ 

^ ^ 008 X 

•der obige Winkel q. Beispiel: AO ^ 
32®, 90®- i^ = 69®39', i? - 78® 40'. 
Besultat: % = 67® (num. 66® 50') und 
Q « 62® 16' (num. 62® 62'); das wei- 
tere wie oben. Zweites Beispiel: 
^0=-202® -Jj^Sl®; hieraus %=-27® 
und ^ «- 86® 45' wie oben. 




Fig. 21. 



} 



60 Liber tertias. 

cum complemento inventae altitudinis M. G. atqae cmn angulo concursus 
praedicto grad. LXXXI per introitum secundom reperimus ferme grad. XXVII; 
horum complementum graduam LXIII cum altitadiiie meridiana grad. LXII 
primo aut quinto introita intra meteoroscopinm remittentes excipimus, ut 
prius, quasi grad. LXXXV cum minutis XXXXV, quibuB medio caeli congre- 
254' gatis emergunt, ut ante, signa VI grad. XVI min. XXXXV quae | datae obli-^ 
quae ascensioni de zodiaco cooriuntur; quod est iterum propositum. 

Propositio XXI. 

Quod praecedens subicit via, quam Ioannes de Regiomonta 
ostendit, inquirere. 

Ascensionem obliquam, quae nobis proponìtur, habeamus, perinde atqn» 
rectam, cui arcum ex zodiaco competentem per VI huius discamus, horum arca- 
um scilicet initio sumpto de puncto aequinoctii vemalis. Non ignoremos etisiDt 
per secundam huius declinationem puncti arcum zodiaci iam inventum termi- 
nantis; eius quoque puncti a proximo aequinoctio recessus cognitus esto, cuius 
per quintam hnius ascensio recta nos lateat minime, quam deinde cum suo 
arcu zodiaci primo aut quinto introita areae praesentis organi conimittentes, 
arcum quendam excipiemus, qui primum vocetur inventum. 
SSò"" Si I huiusmodi eclipticae punctum terminale medietatem zodiaci \>ccupet 

descendentem, aut eodem arcu de gradibus CLXXX detracto, si punctus idem 
terminalis ascendenti eclipticae insideat semicircolo, et primum nobis inventum 
iterum relinquetur, accedamus postbaec intra meteoroscopinm cum inventa 
declinatione atque cum elevatione polari per introitum secundum; arcus itaque 
a nobis inventus secundum statuatur inventum; facto deinceps introitu primo 
aut quinto cum complemento buius inventi secundi atque cum polaris altitu- 
dinis complemento, arcus hac via repertus tertium appelletur inventum, quod 
* primo detrabatur invento, et residuum cum secundi complemento inventi meteo- 
roscopio per secundum destinetur introitum; arcusque inventus gradibus aofe- 
ratur LXXXX; cum reliquo demum atque cum invento secundo per piimum 
aut quintum introitum meteoroscopio incidentes, arcum excipimus, quo ad- 
iecto ad arcum eclipticae, quem ab initio per datam ascensionem obliquam, per- 
inde atque rectam, inveniebamus, si punctus talem zodiaci arcum t^rminans 
teneat semicirculum signiferi ascendentem, aut eodem dempto, si idem punctus 

21. Proposition. 

Methode des Johannes Begiomontanus zur L5sung der ver- 
hergehenden Aufgabe (Fig. 21). 

Man betrachtet die gegebene ascensio obliqua a^ als recta und sucht ta 
«1 (bzw. 180® — a/) die zugehSrigen Werte À^ und S^. (ìm AVO Disi VO^a^y 

VB ^ X^yOD ^ ò^. Dann bildet man sin 7 « . . * (Aufg. 1, / = inventum 

Blu A« 

primum, im A YBO ìst -^ VDO — J), sin II = sin ò^ • sin tp (Aufg. 2, im 
A BOB ìst BO^Ó^,^H= 90^ <^ = 9^, DIT « 7i), sin III^ ^*J^ 
(Aufg. 1, im A HOB ist ^ D =- III), ferner I ± III^ v {y^^HDV 



Liber tertins. 61 

in altera reperìatur zodiaci medietate, et liquebit intentum. Ibi tum hoc etiam 
poterimus uti compendio, ut residuam tertii inven|tl, de primo subtracti et 256' 
super quadrante numeratum cum invento secundo intra meteoroscopium intro- 
itu mittentes octavo. Postremum hunc arcum extrahamus*), quo iuncto vel sub- 
tracto arcu zodiaci ab initio reperto liquebit intentum. 

Repetam eiusdem Ioannis exemplum, sub quo proponitur ascensio obliqua 
^rad. CCXXXII min. XXX Vili, cui ad horìzontem, in quo polus^borealis ele- 
yatur grad. XLYIII., explorandus est arcus zodiaci coascendens. Praesenti ita- 
que ascensioni tamque rectae de signifero conveniunt gradus XXV scorpii, quo- 
rum terraìnus ex autumnali aequinoctio removetur gradibus zodiaci LV, quibus 
ascensio recta per quintam huius ferme est grad. LII min. XXXX. 

Ilis itaque duobus arcubus ad meteoroscopium primo aut quinto introitu 
missis gradus redduntur ferme LXXVII, qui prìnium dicantur inventum, quo- 
niam punctus eclipticae grad. XXIII scorpii claudens in eius semiclrculo con- 
stituitur descendenti. Deinde introitu secundo idem ingressus instrumentum 
cum declinatione finis vicesimi quinti gradus scorpii grad. XIX et min. IIII at- 
que cum altitudine polari gradium XXXX Vili per introitum secundum excipio 
inventum grad. quasi XIII min. XXXX, cuius complemento grad. LXXVI | min. 256^ 
XX cum complemento polaris altitudinis gra.. XLIII per quintum aut primum 
introitum ad meteoroscopium remisso tertium prodibit inventum grad. XXXXIII 
min. XXXXV fere, quo dempto grad. LXXVII, inventi soilicet primi, relin- 
qauntur gradus XXXIII min. XV ferme, quos cum complemento inventi secundi 
grad. LXXVI min. XX secundo introitu intra meteoroscopium relegans reci- 
pio gradus XXXTI, quoi*um complemento grad. LVIII cum invento secundo 
grad. XIII min. XXXX primo aut quinto introitu ad meteoroscopium remisso 
arcus reddetur grad. XVI min. XXX fere, quibus ex grad. XXV scorpii dimi- 
nutis relinquuntur ex scorpii signo grad. VIII min. XXX; quod est intentum. 

Propositum itaque absolvere utroque laboramus modo, qui tamen in praece- 
denti traditur, meo quidem iudicio et brevior et facilior videtur, utro igitur 
utamur, nostra prodibit intentio. 

Àrcus demum zodiaci prò data descensione respondens invenitur, dempto de- 
scensioni datae semicirculo atque cum reliquo per praesentem aut per praemissam 
arcum eclipticae quaesitum semicirculo rursus adicientes habebimus intentum. | ^^^' 

a) Hs. hat exttrahamus. 
— ISO^—ZDH), 8Ìnrc«sinv.cos/J(Aufg.2, imA£DHìst^2^dO^—x), 

TT 

endlich %ìny = ^5if (Aufg. 1, im A 2BH ist y = ZD); dann ist (in Fig. 20) 

COB OC 

£V^3i^±y. 

Statt zu bilden siu x = j r und sin y =» — kann mau auch direkt 

eoa II ^ eoa x 

bilden: tg y ■» tg JJ: cos v (Aufg. 8); dies folgt namlich aus 

ain II 

sm y = —z — -r r^:-^ — 

yl — 8Ìn*V 008*1/ 

Beispiel: a^ = 232<^ 38 ', 9? = 48^ Resultate: Àj = 235 ^ Aj - 180® = 55 ^ 
«1 — 180®«62U0'; di«19U', /=-77^ JJ«.13<>40', J7J=« 43*45', 
X « 32^ y - 16® 30', X^ — y « 218<^ 30' « 8« 30 des Skorpions. 



62 Liber tertius. 

Fropositio XXn. 

Caeli medium quocumque tempore post merìdiem dato rimari. 

Verum solis locum prò tempore dato ex motuom tabulis addiscamus. Cuius 
ex quinta huius ascensi o recta quaeratur, subiectum deinde tempus per hnios 
XÌÌTI in gradus commutemus aequatoris, et eisdem rectae solis ascensioni coacer- 
vatìs recta medii caeli producitur ascensio, qua demum M. C. per sextam huius 
non latebit. At non huius obliviscamur cautionis, hoc soilicet aggregato circu- 
lum, id est gradus CLX, superante. Nam bis ex eo sublatis reliquum M. C. 
ascensionem manifestabit rectam. 

Velut sole in partibus XXYI collocato leonis post meridiem aliquem horis 
X min. XXXI jubear M. C. reperire; igitur per XIII huius, hoc tempus dabit 
in aequatore gradus CLVII min. XXXXV. His adiectis rectae solis ascensioni, 
quae per quintam huius habetor fere grad. CX XXXVIII min. XVI, summa 
proYeniet grad. CCCVI min. I, cui per VI huius respondent in M. C. seu in hori- 
267*^ zonte I recto grad. UI min. XXXXII aquarii; quod erat ostendendum. 

Fropositio XXIU. 

Quocumque momento post meridiem aliquem exhibito super 
quovis notae latitudinis horizonte ascendens signiferi punctum 
investigare. 

In hoc etiam, quemadmodum in praemisso problemate, solis opus habe- 
mus vero loco. 

Ad propositum itaque momentum M. C. recta quaeratur ascensio, coi à 
quadrans adiungetur, obliqua proveniet ascensio horoscopantis, scilicet ex zodiaco 
puncti, quare per XX et eius sequentem huius ascendens signiferi punctum 
non latebit. 

Quemadmodum solis cursu compiente partes V piscium, actis post meri- 
diem horis XVII min. XXXXI horoscopans, si velim zodiaci punctum super 



22. Proposition. 

Bestimmung des gerade kulminierendenSternbildesderEklip- 
tik, wenn die Lftnge und der Stundenwinkel der Sonne bekanntist. 

Zun&chst verwandelt man den Stundenwinkel (^ (nach Prop. 13) in Grade, 
und bestimmt aus der Lange nach Prop. 6 die Bektaszension der Sonne a,; 
die Summe a^ + t^ ist die Bektaszension a des kulminierenden Punktes, dessen 
L&nge X sich aus Prop. 6 ergibt. Beispiel: A, = 26® des LOwen =— 146^ 
t^ = 10*31*» « 157^45'. Hieraus a, = 148^16' (num. 143^40'; der Ver- 
fasser bestimmt fftlschlich tg a, = tg A, : cos e statt tg a, = tg À, • cos s) a, + i, 
=- a == 306® 1', ;i — 303® 42' (num. 303® 42') d. h. es kulminiert der Punkt, 
dessen Lànge 3® 42' des Wassermanns ist. 

23. Proposition. 

Bestimmung der Lànge des gerade aufgehenden Tierkreis- 
zeichens aus der Rektaszension und dem Stundenwinkel der Sonne. 

Man bestimmt zunUchst nach Prop. 22 die R. A. des kulminierenden 
Punktes (a), und nach Prop. 19 scine H5he h, Dann ist a + 90® die ascensio 



Liber tertiiifl. 63 

horizonte patrio cognoscere, per praemissam igìtnr M. C. habet grad. IIII, quo- 
rum rectae ascensionis gradìbus COXXXXII, qua|drante coniuncto ascensio 257' 
resnltat obliqua graduum CCGXXXII, quibus per XX et suam sequentem prae- 
sentis operis ascendens invenitur graduum VII aquarii, qui meae momento 
geniturae quasi perorti fuere. Propositum itaque patet. 

Propositio XXim. 

Idem per boras et earum minutias ab occasu sumptas iuxta 
integri morem horologii, quo Italia et quaedam nationes aliae bac 
utuntur aetate, perscrutar!. 

Datum ab occasu tempus per XIIQ buius in aequatorìs gpradus conversum 
adiciatur ascensionibus obliquis puncti in signifero solis sedi per diametrum 
oppositi coacervata itaque summa obliquam reddet ascensionem horoscopantis 
in signifero puncti, qui demum per XX et snam sequentem buius innotescet. { ^^^' 

Ut si velim post occasum solis in fine grad. VII aquarii constituti ad 
pairium borizontem boris VII min. XXXI oriens zodiaci quaerere punctum, 
loco buius solis per diametrum grad. VII leonis obicitur, cui per XVI buius 
ascensio invenitur obliqua ad eundem borizontem grad. CVI min. XXXX fere, 
bis additis gra. CXÌI min. XXXXV boras VII min. XXXI efificientibus, ascen- 
sio producetur obliqua boroscopii quaerendi graduum COXIX min. XXV, qui- 
bus prò borìzonte patrio grad. XXVIII et semis librae cooriuntur fere; quod 
est intentum. 

Propositio XXT. 

Omni jnomento post meridiem aliquem dato solis elevationenk 
super quemlibet borizontem discutere. 

Ibi a meridiano distantia solis opus est, quam per buius decimam quar- 
tam reperiemus boris et earum minutiis, quibus oblati tempus momenti a. 

obliqua; bieraus findet man nacb Prop. 20 die gesucbte Lange X^» Beispielr 
a, « 335^ i^n^ 41"». Resultate: a =- 242«, h = 4®, A. 0. = 332^ Àv ^ 307®. 

24. Proposition. 

Ldsung der gleicben Aufgabe, wenn die Lànge der Sonno (k^ 
and die seit ibrem Untergang verstricbene Zeit {t^) gegeben ist^ 
Metbode, wie sie in Italien benutzt wird. 

Beispiel: <^— 7®3l', A, — 307®. Das Beispiel wird nur angedeutetr 
X, — 180® « 327®; die A. 0. dieses Punktes ergibt sicb nacb 16. zu 106® 40" 
(dafi der Tagbogen aus 14 bestimmt wird, wird nicht gesagt); dann ist A. 0. + 1^ 
=- 106® 40' + 112® 45' « 219® 12 der gesucbte Winkel Av. 

25. Proposition. 

Bestimmung der Hdbe der Sonne, wenn die geograpbiscbe- 
Breite, die Deklination und die Meridiandistanz d. b. der Stunden-^ 
winkel gegeben sind. (Fig. 22). 



64 



Liber tertias. 



268' merìdie ante vel posterìus removetur in gradas atque eorum minutia oonver- 
si8. Quae quidem diatantia vel quadrantem aequabit aut eo minor erit aut 
maior, et horum quotlibet praeter postremum bifarìam continget, scilicet sol* 
vel declinationem possidente aliqnam vel nuUam. Distantia namque quadrante 
maior non eveniet, nisi sole borealem babente declinationem; si sol quidem 
declinationis careat recessu, non multo negotio propositum absolvemus. Immo 
per brevissimum perstrìngemus computum. Nam babitam dati momenti a 
meridie distantiam ex gradibus LXXXX minuentes reliquum cum complemento 
regionariae latitudinis per introitum secundum meteoroscopio destinemns; ips» 
enim altitudo dolis apparebit subito. 

Velut si solis aequatorem tenentis snpra patrium borizontis cupiam alb- 
tudinem duabus post merìdiem horis auxilio huius organi numerare, horae duae 
2b9^ per XniI huius gradus distantiae ipsius XXX praebent cum complemento gra- 
duum LX, atque cum complemento latitudinis regionis patriae meteorosco- 
pium secundo ingrediens introitu mox recipio desideratam solis altitudinem 
graduum XXXIIII min. X fere. Sole autem semicirculum zodiaci percurrentc 
borealem, quod proponitur, paulo difficilius explorabitur, excepto solis unico 
situ per distantiam ante meridiem grad. LXXXX posito, quo facilitar aeque, 
ut ante, quando declinationibus sol ipse carebat, eius supra horizontem datom 
invenietur altitudo. Meteoroscopium enim secundo accedentes introitu cum 
altitudine polari atque cum solis declinatione quaesita solis altitudo nos nequa- 
quam latebit. 

Ut sole geminorum caput tenente prò regione patria quadrans sit ipsa 
distantia; igitur iuxta praemissam doctrinam meteoroscopio incidens cum 
patrialatitudine atque declinatione solis ferme grad. XX min. XII investigatam 
259'' reperio solis altitudinem grad. XV min. X fere. | 

Quando autem diatantia haec fuerìt inferior, ingrediendum est ad orga- 
num hoc cum distantiae complemento super basim accepto atque solis declma- 
tione per torti um introitum, arcusque repertus primum dicatur inventum; regola 
quoque sic manente per introitum quartum alius exceptus arcus inventum 



Zunachst wird der Fall J = behan- 
delt; dann ist sin A = cosg>cos<. Dement- 
sprechend wird Aufg. 2 auf 90® — qp und 
90®— t angewandt Beispiel: <jp — 49®27, 
<=2*«30®. Resultati A «34® 10' (num. 
34® 10'). 

Ein zweiter Spezialfall ist « =« 90® ftr 
cine beliebige Deklination; dann ist sinA=* 
sin g> ' sin 6. Losung gleichfalls mit Aufgabc 2 
«ir q> und d, Beispiel: tp = 49® 27', d- 
20®12'. Resultat:/i=«15®10'(num.l5®12'). 

Ldsung des allgemeinen Falles : Man bil- 
det cos J — cos J • sin t (Aufg. 3, im A P£T 
ist <^T« 90®<^P= ^ P2;— 90®— ^, 
^Tr=90® — /), dann cosi/— cotgJcotgi 
(Aufg. 2, im A P£T ist PT - 90® -li), x -^ Il + 90®— <p(90® — a? - 
ZT ^ PT -- PZ ^ (90® — II) " (90® — g>)), endlich sin * — sin i • sin J 




Fig. SS. 



Liber tertins. 65 

nominetur secundum, quo adiuncto ad regionarìae latitudìnis complementum, 
si 8olÌ8 declinatìo sit borealis, aut eodem invento secundo gradibus et minutis, 
si qua Gontinet, eiusdem complementi detracto constituta declinatione solis 
austrina. Qui enim hac via comperitur arcus, cum invento primo per secun- 
dum introitum meteoroscopio destinandns est, et qaaesita solis altitudo mani- 
festabitar. 

Sole rursiis geminorum caput occupante fiat, ut oupiam boris quataor 
ante vel post meridiem patriae horizontis elevationem solis in venire, meteore- 
scopium itaque intrans, velut hoc sonat praeceptam, cum solis declinatione grad. 
XX min. XTT atque cum complemento disl^intiae meridianae graduum LX 
inprimis elicio primum inventum grad. XXXV min. XXXXV; deinde inventum 
secundum graduum | XXXVI min. XX fere, cui si patriae latitudinis adiciam 269^ 
'complementum gradus congregantur LXXVI cum minutis LUI, quibus et primo 
invento iuxta praeceptum hoc organo nostro remissis solarìs altitudo reddetur 
grad. XXXm min. XXXX fere, 

Ubi demum proposita distantia superaverit aequatoris quadrantem, 
eam quadranti dementes residuum cum declinatione solarìs intra organum 
in ter aequidistantes numerata per tertium introitum committamus prìus invento 
comperto primo. Deinde regula sic firmata secundum quarto introitu inven- 
tuna excipientes, et ab eo complementum polaris altitudinis deducamus. Deni- 
que per hoc aggregatum*) atque primum inventum introitu secundo solariB ex- 
ibit altitudo. 

Sol itaque constituatur, ut antea, sub geminorum initio, et intentio sit 
eius altitudinem supra nativum solum, id est horìzontem Norimbergensem eli- 
cere horìs ante postve merìdiem eiusdem civitatis septem, quae per XIIII huius 
gradus efficiunt solarìs paralleli GV, quibus quadrante dempto reliquum gra- 
duum XV supra basim numeratum cum declinatione solis introitu tertio ad 
meteoroscopium inferens prò invento primo aocipio gradus fere XXV | regula 260' 

a) Hs. hat aggrediatur. 



(Aufg. 2, im ùiETZ ist ZS^ 90® — A). Beispiel: 9 = 49027', d- 
20^12', <-4*« 60®. Resultat: /« 35^46', //« 36<>20', x ^ 76^53', // « 
33 * 40'. 

Zweites Beispiel (far / > 90®): q> = 49® 27', S = 20® 12', t^7^^ 106®. 
Dann ist zu nehmen < — 90® « 15®; es ergibt sich / = 25®, 7J = 55® 10', 
X — II- (90® - 9) =- 14® 37', h = 5® 50'. 

2. Metbode (per aequedistantes). Man bildetcos/^sin^-cosd (Auf- 

gabe 2, 90® — i -= 2:r, wie oben), sin x - ^|^ ^ (Aufg. 1 , 90® - x' - PT), 

/r=-(90®-g))±a;(90®-J/' = ZT=PT-PZ=(90®-ic)-(90®-9)), 
sin A = sin 77 . sin / (Aufg. 2, im A Z Ti: ist Z2: = 90® — h, wie oben). 

Beispiel: g> «. 49® 27', d « 20® 12', t ^ 2^ ^ 30®; Resultat: 7« 72®, 
«— 23®, 77- 63® 33', /* = 51® 49'. 

Zweites Beispiel (fùr ^> 90®): e= 7*» = 105®, sonst die gleicben Daten. 
Resultat: man verwendet 180®— <— 75®, 7=25®, ir=.54®45', 77— 90®— 9 — x 
— 14® 12', A- 5® 50'. 

Abhdlgn. s. 0«Mh. d. math. Wùs. XXIV 3. 5 



66 Liber tertiuB. 

deìnde sic quiescente per ìntroitom qaartiim ìnventom eztrabitar secnndnm 
gradunm LV et min. X fere, qnibns eiosdem latitudinis regionafiae con^le- 
mento subtracto gra. XTTTT cum min. XXX Vii fere relinqauntur. Bis demum 
cum invento primo grad. XXV per introitum secundum ad organum hoc re- 
missis altitudo prodibit quaesita graduum V et min. L fere. 

Aeqnedistantibus quoque idem sic efficiemus. Etenim prò distantia mi- 
nore gradibns LXXXX ingrediendnm est in primis cum eadem distantia et 
cum declinationis complemento ad meteoroscopium per introitimi secundnm, 
arcus itaque compertus, si gradibus anferatur LXXXX , primmn relinquit in- 
yentum, quo cum ipsa solis declinatione illic per quintum aut primum introi- 
tum remisso numems quidem prodetur, qui declinatione constituta boreali pò- 
laris altitudinis complemento congregatus aut eidem sublatus, si solis austnna 
fuerit declinatio, secundum conficiet inyentum, per quod demum atque inven-' 
tum primum introitu secundo solis ezibit altitudo. 

Quaeramus itaque solis altitudinem supra patrium solum sub initio gemi- 
norum constituti prò horis a meridie duabus, quae per XUil huius distantiam 
260"" reddnnt grad. XXX, quam cum complemento declinationis | grad. LXIX min. 
XXXXYUI meteoroscopio per introitum inducens secundum gradus exeipio 
XXVJil, quorum complementum gra. LXII, inventi scilicet primi, cum solis 
declinatione grad. XX min. illuc primo aut quinto introitu si remittatur, grad. 
eliciuntur XXTÌI, quibus complemento polaris altitudinis adiunctis partes emer- 
gent LXin min. XXXIII; eas demum per secundum introitum inferentes meteo- 
roscopio solis elevationem inveniemus grad. LI min. XXXX fere. 

Dìstantiam deìnceps a meridiano positam maiorem gradibns LXXXX sub- 
trahamus semicirculo, reUquum cum declinationis solaris complemento per 
introitum secundum meteoroscopio inferentes arcum excipimus, qui quadranti 
detractus primum relinquit inventum, cum quo deinde atque cum ipsa decli- 
natione introitu primo aut quinto organum hoc ingredientes arcum quondam 
trahamus, cui si polaris altitudinis complementum detrahatur, secundum rema- 
net inventum, quod cum invento primo illuc secundo introitu deductum solis 
altitudinem nobis reportabit. 

Sole igitur geminorum caput iterum obtinente ad eundem horizontem 
patrium nunc intendo solis altitudinem reperire computatis horis ante vel post 
meridiem septem, quae per XIIII huius distantiam constitnunt graduum CV. 
261' Hi3 itaque quadrantem superantibus et idcirco a semicirjculo sublato gradus 
remanent LXXV, quos cum solaris declinationis complemento grad. LXIX min. 
XXXXYin per introitum secundum meteoroscopio immittens gradus aodpio 
LXV, quorum complementum graduum XXV primum dicitur inventum, quod 
deinde cum declinatione solari graduum XX min. XII primo aut quinto introita 
illuc demersum gradus exhibebit LTTTI et min. XXXXY fere, quibus detraeto 



26. Proposition. 

Bestimmung der Sonnenhdhe nach Johannes Begiomontanua 

Man bildet cosZ— sin^cos9 (Aufg. 2, im APZU ist^ ET- 90*, 

^ P = ^, PZ - 90^ - q>, UZ = 90'» - J), dann sin« - ^ (Aufg. 1, im 

APZU ist PU « 90^— x), II^Ó± (90® - re), (je nachdem i < 90* ìsi, 



Liber tertius. 67 

polarìs altitudmìs complemento secundum relinquetur inventum graduom Xim 
min. Xn, qoibns demum cum invento primo per introitum secmidam remissis 
altitudo Bolis offeretur quasi graduimi Y min. L. In ceteris autem solis siti- 
bus opus hoc nihil refert a praecedentibus. 

Propositio XXTL 

Eandem solis altitudinem alia quadam via, cui Joannes de 
Begiomonte ingreditur, rimari. 

Sole igitur in aequatoris declinatione constituto distantiaque gradibus 
LXXXX maiore posita eam ex semicirculo minuamus, per reliquum autem et 
polarìs altitudinis complementum secundo introitu numerus est ezcìpiendus, 
qno grad. LXXXX detraete primum remanet inventum, quo deinde | atque 261'' 
regionis latitudinem per prilnum aut quintum introitum arcus habebitur, cui 
si detrazerimus solarìs complementum declinationis, residuum secundum erìt 
inTcntum. Cum bis demum inventis duobus secundo introitu solis elicitur alti- 
tado. In regione, cuius latitudo est grad. XXXXVIII, ut illius utar ezemplo, 
sit distantia a merìdiano grad. CV, quibus aequales horae septem Constant 
sole in principio geminorum constituto. Quare de grad. CLXXX subtrahens 
gradus CV relinquo graduum LXZV, cum quibus atque complemento regio- 
narìae latitudinis graduum XLII secundo introitu meteoroscopium ingrediens 
accipio grad. XXXX min. Y fere, quibus quadranti demptis primum restabit 
inventum grad. XXXXIX min. LY fere, quos deinceps ad organum cum regi- 
onis latitudine grad. XXXXYIII deportanti mibi per primum aut quintum 
introitum numerus*) offertur grad. LXXYII min. XXXXY fere, quibus si gra- 
dus LXIX min. XXXXYIII complementi solaris declinationis abstulero, secun- 
dum remanebit inventum graduum YU min. LYII. Cum bis itaque duobus 
iuTentis, primo videlicet et secundo, per secundum introitum quaesita solis 
altitudo mihi manifestabit grad. Y min. XXX fere Sin autem a merìdiano 
distantia quadrante minor extiterìt, ergo | cum ea et complemento polarìs alti- 262' 
tudinis secundo introitu meteoroscopium ingrediamur, arcuque reperto grad. 
LXXXX detracto residuum erìt inventum prìmum, quod deinde cum altitudine 
polarì per introitum prìmum aut quintum reddet nobis arcum, cuius comple- 
mento solis declinationi addito, si borealis ipsa fuerìt, aut ex eodem comple- 
mento eadem declinatione sublata, secundum prodibit inventum. Haec demum 
inventa duo quaesitam solis altitudinem secundo monstrabunt introitu. Cuius 
etiam prò regione subiecta per eundem exhìbetur exemplum tale. 

Sit itaque sol, ut ante, in capite geminorum ^ cum distantia merìdiana 
graduum LX, id est horarum aequalium quatuor, cum qua et polarìs altitudinis 

a) Hb. hat nttmerans. 



90<> — //- UZ^P^-PU^^O^-ó—dO^-x) und sin/* « sin J- sin /J 
(Aufg. 2, wie oben). 

Beispiel: g> « 48», d — 20^12', t = 105®. Resultati I - 49<>56', 
xm. 77<>45', 11^ 7^57', /i = 5®30'. 

Zwòites Beispiel (t < 90®): ^ = 60®, sonst die gleichen Daten. Resul- 
tati / - 64® 50', a; =- 65® 30', // « 90® - a? -f ^ - 48® 42', /* - 34® 40'. 

6* 



68 Lìber tertiu8. 

complemeoto graduum XXX XTT per introitom secundum arcus extrahitor grad. 
XXXV min. X fere, cuius complementum grad. LIIU min. L prò primo habeatnr 
invento, quod deinde cum regionaria latitudine grad. XXXXVm quinto aut 
primo introitn porrigit nobis ex organo praesenti grad. LXV min. XXX fere, 
cuius complementum grad. XXIIII min. XXX fere solis declinationi grad. XX 
min. XU addito secundum producetur inventum graduum XXXXHII min. 
XXXXII fere, quibus intra meteoroscopìum introitu secundo cum invento primo 
missis solis resti tuetur altitudo grad. XXXIIII et min. XXXX fere. In aliis 
262'' autem solis sitibus | a praecedentis traditione ipse non recedit; quare eam in 
praesenti repetere supervacaneum iudicabam. 

Propositio XXYII. 

Solis in semicirculo eclipticae boreali constituti altitudinem 
horizontalem in circulo magno per verticem dati horizontis atqoe 
eiusdem duas cum aequatore sectiones eunte computare. 

Id est solis elevationem supra datum borizontem numerare, quando ipse 
gradibus LXXXX seu boris sex a meridie removetur. Hoc problema latebit 
neminem, quicumque praemissae declarationem accuratius inspexerit, in ea 
praecipue parte, qua traditum est, quali ter sole borealem tenente declinationeDi 
atque a meridiano gradibus LXXXX seu boris aequalibus sex recedente ip- 
sius altitudo supra datum debeat inveniri borizontem. 

Propositio XXYin. 

268'' Distantiam solis horizontalem a c\r|culo verticali cognoscere. 

Verticalis circulus is est, qui per verticem horizontis atque utrasque eius 
cum aequatore sectiones evadit, ab hoc circulo solis distantia dicitur a pleris- 
que azimut arabico nomine; ad eam igitur agnoscendam per declinationis so- 
iaris complementum atque per solis a meridiano distantiam secundo introitn 
arcus quidem inveniatur, cum quo deinde atque complemento altitudinis solis 
alius arcus primo aut quinto compertus introitu extrahatur, quo gradibus 
LXXXX dempto azimut seu distantia solis a circulo verticali remanebit. 

Velut ad horizontem patrium aequalibus boris quatuor a meridie solis 
motu geminorum principium occupante eiusdem azimut scire cupiens accipio 
ex XXV huius aut antepraemissa solis altitudinem supra eundem horizontem 
prò dato momento graduum XXXTTT et min. XXX. Deinde secundo introita 



27. Proposition. 

Bestimmung der Sonnenhohe an dem durch Zenit, Ost* und 
Westpunkt gelegten Vertikalkreis. 

Man lost die Aufgabe der 25. Prop. fìir den Fall i — 6** =- 90^ 

28. Proposition. 

Bestimmung des Azimuts der Sonno. 

Das Azimut wird hier von Osten bzw. Westen aus gezfthlt (PigJ 22). Bs 
ist im A PZ^ cosa : sin^ «= cosd : cosh. Man wendet auf 90*^ — ó und t Aufg. 2 



Liber tertiue. 69 

per complementum declinationÌB solaris grad. LXIX min. XXXXVIII atque 
distantiam datam graduum LX arcus quidam habebitur grad. LIIII mio. XXX, 
quo cum solaris altitadinis complemento grad. LV min. XXX per introitum 
qnintum ani primnm grados eliciuntur LXXXn min. XV fere, quibus qua- 
miranti detra|cti8 quaesita relinquitur solis azimut, idest a circulo verticali ^^^'^ 
distantia, quae semper meridionalis habetur da£a solis altitudine superante 
altitudinem eiusdem in circulo verticali, septemtrionalis vero, solis altitudine 
minore, quam sit eius altitudo super circulo verticali; ad id ergo explorandum 
praemissa erit consulenda. 

Propositio XXIX. 

Angulum ex borizontis et dati eclipticae puncti coincidentia 
concursuque compaginatum agnoscere. 

Duo sunt anguli huiusmodi, orientalis et occidentalis. Orientalis est, qui 
in orientali hemìsphaerio signifero clauditur et horizonte, occidentalis, qui cir- 
cnlis eisdem*) in occidentis plaga comprehenditur. 

Librae si principium oriatur, angulum bunc polaris altiiudinis comple- 
mentum et maxima solis declinatio conflabunt. Arietis autem initio surgente 
talis angulus remanebit subtracta complemento regionariae latitudinis maxima 
solis declinatione, sed dato | puncto alibi in ecliptica constituto, angulis ille 264*' 
ita per[s]crutandus est. Etenim puncto tali orientali^ septemtrionalem eclip- 
ticae semicirculum possidente, ipsius portio medio caeli et puncto oriente com- 
prebensa semicirculo detrahatur; reliquumque cum altitudine meridiana M. C. 
per XIX huius quaesitae, intra meteoroscopium introitu primo aut quinto mis- 
STun reportabit angulum, qui quaerebatur. At si ascendens zodiaci punctum 
in meridiano signiferi reperiatur semicirculo, arcus zodiaci de M. G. altitudine 
meridiana quinto aut primo introitu quaesitum rursus exhibebit angulum. 

Sin autem prò puncto zodiaci dato velimus angulum buiusmodi occiden- 
talem babere, invenire necesse est angulum talem orientalem prò puncto eclip- 
ticaO; quod priori dato per diametrum opponitur. Nam quantocunque angulo 
quispiam signiferi punctus oritur, cam tanto etiam eidem per diametrum op- 
positus occidit, et centra. 

Velut caput tauri cum tanto oritur angulo, quanto ipsi per diametrum 
oppositum scorpii principium occidit, et e contrario. In patrio itaque borìzonte 264^ 
perortis^) ex tauri signo gradibns XXIX min. X propositum esto angulum 

a) Ha. hftt eiusdem, b) Hs. hat parortis. 

Bill X 

an (jsinx — cosd • sin^, x =■ £T\ dann auf x und 90® — h Aufg. 1 (coso =- -. , 

<2;ZT= 90® — a). 

Beispiel: ^-4*', ^=-20*12', // =« 23®30'. Resultat: jc = 54®30', 
a— 7® 45'. 

29. Proposition. 

Bestimmung des Winkels zwiscben Ekliptik und Horizont, 
wenn ein bestimmter Punkt des Tierkreises gerade aufgeht. 

Es ist ein dstlicber und ein westlicber Winkel zu unterscbeiden. 



70 Libar tertiaB. 

huiusmodi oognoscere. Igìtur per XVI et Xvii huius medinm caeli erit ferme 
prìnoipium aquarìi, cuins altitudo meridiana per XIX hutns inTenitar quasi 
graduum XX min. XXI, subtracto deinde arcn zodiaci inter M. G. et oriens 
zodiaci punctum comprehenso de semicircnlo, ut ante admonetor, remanent 
gradua LX min. L, qui cum altitudine meridiana grad. XX min. XXI introita 
primo aut quinto dabunt fere grad. XXIIII, qui sunt anguH quantitas' quaesti. 
Item quoque angulus alia quadam ratione sic invenitur. Per XVIJI hniiis 
notus 8it angulus, qui ex eclipticae atque meridiani fit concursu circa daton 
oriens zodiaci punctum; huius etiam puncti per secundam huius declinatio 
cognoscatur, quae gradibus LXXXX dematur. Reliquum itaque cum altitudine 
poli si primo aut quinto introitu intra organum boc mittatur, arcus emerge!, 
qui praemisso incidentiae angulo demptus horizontalem prò puncto dato relin- 
quet incidentiae cum horizonte angulum. 
866' Yolens igitur ad eundem borizontem laborare prò | eodem angulo in- 

yeniendo gradibus XXIX cum minutis X de*) tauro exortis; buius itaque 
puncti datum arcum ex tauri signo terminantis, angulum concursus eius cam 
meridiano inverno per XYni buius grad. fere LXXVni min. XXX. Intraos 
deinde ad meteoroscopium primo introitu aut quinto, cimi complemento decli- 
nationis eiusdem puncti gradus LX min. XXXUII atque cum patria latitudine 
grad. XXXXIX min. XXVU exctpio gradus Lim et semis fere, quos ubi prae< 
misso concursus angulo detraxerim, angulus remanebit, qui quaerebatur grad. 
XXIIU fere, quod iterum nostram efficit intentionem. 

Si propositus signiferi punctus arietis capiti yicinius accesserit, qui si 
librae initio fuerit propinquior, arcum iam inventum addamus angulo concui^ 

a) Hs. hat d. t. 



Wenn die Wage aufgebt, so ist dieser Winkel x^90^ — (p + e^ beim 
Aufgang des Widders % = 90® — 9 — f . 

Allgemeiner Fall. Man bestimmt zun&cbst den Bogen tf; »- £M {M ist 
der gerade kulminierende Ekliptikpunkt) nacb Prop. 16 und 17 und die (mit- 

tàglicbe) Hobe k dieses Punktes. Dann ist sin % = -. — -, d. b. man wendet 

Aufg. 1 an. 

Beispiel: Àv-59^10', Ajr-300®, //jf«20®2l', t/; = ZJtf- 240*50'; 
JSM—lSO^^QO^òO', Z"-^^^- I^en westUchen Winkel erbalt man, wenn 
man den òstlicben flir den yon dem gegebenen um 180® entfemten Ekliptik- 
punkt bestimmt. 

2. Metbode. Man bestimmt nacb Prop. 18 den Winkel rj zwiscben Eklip- 

sin ri — — y ) , dann mit Aufgabe 1, auf q> und 90*—^ 

angewandty (sino;»---^] einen Winkel x. Es ist nicht ersicbtlicb, wie der 

Yerfasser zu dieser Ableitung kommt. Der im Beispiel angegebene Wert fSr 
90® — d wUrde einer unmdglicben Deklination entsprecben. Dann ist der gè- 
sucbte Winkel z==t? — a?. 

Beispiel: 1 = 69® 10', i?«78®30', 90®- d *« 60®34', 9-.49®27', 
;r«54®80', x«24®. 



Liber tertìns. 



71 



sns eolìpticae cum meridiano, cuius demde aggregationis somma de semicirculo 
snblata relinquit propositum; hac itaque ratìone nostram obtinebimus ìnten- 
tionem, de orientalis ìncidentiae angulo meridiani cum ecliptica, quem si de 
aliquo zodiaci puncto super occidua horizontis medietate oognoscere velimns, 
lune talis occidentalis incidentia erit quaerenda prò eclipticae puncto, qui per 
diametrum dato examussim opponitur, velut doctrina praecedens admonei 
Hniusmodi enim angulus repertus prò puncto | dato erit occiduus. Haec itaque 266^ 
se habent latitudine regionis maximam solis declinationem excedente, quid 
autem deinceps foret agendum in libello problematum latius admonebo. 

Propositio XXX. 

Angulum ex signifero ac elevationis circulo constitutum 
orientali zodiaci puncto cognito perdiscere. 

Dati ergo puncti, circa quod talis constituitur angulus, horizontalem alti- 
tndinem per XXV aut eìus sequentejn capiatur, cum qua et dati puncti vel ab 
ascendente yel occidente zodiaci puncti, utri eorum datum punctum vicinius 
accesserit, distantia supra regulam computata decimus fiat introitus, arcuque 
reperto patebit intentum. Sit ergo punctus super horizontem patrium datus, 
qui grad. XVI arietis finiat, apud quem angulus ex ecliptica et altitudinis cir- 
culo compositus esto investigandus oriente geminorum gradu ^Y. Eiusdem 
puncti ab ascendente, cui ipsum magis accedit, distantia graduum habetur LIX, 
oum qua et cum dati puncti supra eundem ho|rizontem elevatione grad. XYTTTT 266' 
per introitum decimum meteoroscopium accedenti mibi gradus offeruntur 
LXXini cum minutis XX, qui sunt quantitas anguli quaesitì. 

Idem quoque solis invenietur aequedistantibus boc pacto; cum duobus 



30. Proposltion (Fig. 23). 

Bestimmung des Winkels zwischen Ekliptik und Hdhenkreis 
(Vertìkalkreis d. Zenit, Ost- und Westpunkt) aus der Lftnge und 
H(She des genau im Osten stehenden Punktes der Ekliptik und der 
Lftnge des gerade aufgebenden Punktes. 

Die Differenz der beiden Lftngen ergibt 
den Abstand des Punktes 2^ vom Punkt 2^. 
Dann ist cosv = igh^:tg(k^ — X^). Also L6- 
sung mit Anfgabe 10. 

Beispiel: ^l-16^1,-75^ *,= 24^ 
V — 74*20'. 

2. Methode (per aequedistantes). Man 
wendet Aufg. 1 auf 90®— {^%—h) ^°^ 90*— /< 

an(BÌn«-^^^^^^)(ic«90*~2;i0). Dann 

A / • cosa; \ 

auf 90"— a: und A,— li(sinv= ^~/V~.x ))' 

Beispiel: 1, — li -59*, A «24*, x^ 
34^0^ v = 74* 20'. Fig. «8 




72 Liber tertias. 

complementiB, distantiae scilicet et eleyationÌ8, primiis aut qnintiiB fiat introitiu. 
Deinde cam arcus inventi complemento atque cam ipsa distantia primns ani 
quintus itermn fiat introitas. Quod enim ita coUigetur, desideratus erit angulns. 
Velut in praemisso videbimus exemplo, prò quo datae distantiae compie- 
mentnm grad. XXXI cam altitudinis dati puncti complemento grad. LxVl 
primo aut quinto introitu nobis mittentibus gradus restituuntur XXXIIII et 
semis, quorum complementum grad. LV et semis cum praemissa distantia 
eodem primo aut quinto introitu remittentes quaesitum excipimus angulum, 
yelut ante, grad. LXXIIII et min. XX fere. 

Proposltio XXXL 

Portiones horizontales, quas horarii circuii de horizontis pe- 
,ripheria resecant, explicare. | 

266' Girculos eos appello borarios, quorum per mundi polos euntium proxinù 

quique quindenis in aequatore gradibus a se recedunt, qui quoque idcirco 
nuncupationem ab boris sortiuntur, quod tempus, quo quidem primo motu gra- 
dus in aequatore revolvuntur, aequalis efficitur bora una, sive de meridie, sive 
a solis aut ortu yel occasu borarum fiat supputatio, quovis igìtur modo illamm 
fiat computus, ut propositum absolvamus, earum a meridie recessus discatnr. 
Ipsis itaque initium de meridie sumentibus horizontales buiusmodi por- 
tiones duo, quas claudunt borarum circuii, bac praecipue via deprebenduntur. 
Ipsa namque regula super latitudinis regionariae complementum in quadrante 

31. Proposition. 

Bestimmung der durcb die Stundenkreise (Kreise durcb die Welt^ 
acbse, die um je 15^ voneinander absteben) auf dem Horizont abge- 
scbnittenen Bogen. 

Man stellt das Lineai auf 90^ — 9 am Quadranten und bestimmt die 
Scbnittpunkte der inclinati 15®, 30® mit dem Lineai. Es ergeben sidi: 

Tab. 1. Werte Wemers Tab. 2. Berecbnete Werte 



1" 


11» 6' 


l» 


11» 30' 


2" 


32*» 45' 


2" 


23» 41' 


3" 


37» 


S" 


37" 14' 


4" 


52'» 45' 


4" 


52» 46' 


5'' 


71» 


5" 


70» 35' 



Aus Fig. 24 ergibt sicb tg .^ = tg ^ . sin q>. Hieraus berecbnen sicb die 
Werte der zweiten Tabelle. 

Konstruktion eines „Horologium solare''. 

Die Konstruktion gebt aus Fig. 25 ber ver; die Teilung gescbiebt ent- 
sprecbend der Tabelle vom Puukte A aus nacb recbts und links. Dann wird 
ein Winkel MNO^cp so auf dem Horolog befestigt, dafi scine Ebene senk- 
recbt dazu stebt, der cine Scbenkel mit der Linie A E und der Scbeitel N mit 
dem Mittelpunkt E zusammenf ftllt. Der Scbatten des anderen Scbenkels zeigt 
dann die Sonnenzeit an. 



Liber tertius. 



73 



posita mclìnatos, qui de quadrantis perìpheria quindenis distai partibus, eum 
eìiLBdem quadrantis circumferentia eos separabit ex regula horìzontis*) gradus, qui 
post aut ante meridiem horae uni debentnr. Deinde inclinatus ab quadrantis 
perìpheria gradi. XXX remotus cum eadem periphejria eodem penitus modo ^e?** 
ex regala segregabit horìzontis gradus horis duabus ante vel post meridiem 
sumptis convenientes, et ita de reliquis horarìis huiusmodi arcubus agendum est. 

Ut autem id cognita facilius fiat, propone tales borarum portiones super 
horizonte scrutari patrio. Regula ìgitur super patriae latitudinis complemento 
grad. XXXX min. XXXIII in praesentis organi quadrante posita primum qui- 
dem prò arcu unius horae comperio gradus XI min. VI, prò bons duabus eius- 
dem horizontis gradus XXXII min. XXXXV fere, prò horis tribus partes 
XXX Vn, prò quatuor horis gradus LII min. XXXXV, prò horis quinque par- 
tes horizontales LXXI fere. Habitis bis numeris band multo labore conficie- 
mus horologium solare. 

Hoc modo circulus A B CD^ ouius centrum E super planitie quadam sive 
in marmore, sive aerea ta|bula seu assere bene planato designetur, cuius cir- 267^ 
camferentia duabus protactis diametris AC ^i BD^^ in quatuor distinguatnr 
quadrantes. Ipsamque quadra AB per aequas XC secetur partes atque dia- 
metro A C supposita tanquam meridiana linea unus circini pes intra punctum 
affigatur, alter mobilis in peripheriam quadrantis AB translatus usque ad 
grradus XI min. VI extendatur; ibique nota F posita. Idem deinde circini pes 
mobilis in circumferentiam quadrantis A D moveatur ad eiusque contactum G 



a) Hb. hat horizontis korr. auB horizontalis. 



b) Hb. hat BC. 



2. Methode der Eonstruktion der gesuchten B5gen auf dem 
Horizont (per aequedistantes). Man wendet Aufg. 2 auf t und 90^ — q> 





Tig. S4. 



Fig. 16. 



an (sinrc — sin i . cos qp (90 ® — a; — ^ THS)), Dann Aufgabe 1 auf 90 ® 
und 90® — < (sin (90® — A)'^cost: cosa;). 

Beispiel: <-.l^» = 16®, 9) = 49®27', a; = 8®40', A^llH\ 



74 Liber teHius. 

signum scribatur. Protactis postbaec duabas rectis EF et EG duae consta- 
bant borarum lineae, quarum una borae undecimae ante meridiem, altera prì- 
mae post eundem borae serviet, baud secus iayentis aaxiliantibus numerìs 
ceterarum describemus borarum lineas; BD autem diameter duas ostendet 
boras, sextam*) scilicet ante meridiem, et sextam post eundem. Huius namqne 
circuii AB OD puncto A nostris admoto pectoribus, notaque BA deztris, 
signo vero D ad laevam posito semidiameter EB sextae borae ante meridiem, 
ED vero semidiameter borae sextae post meridiem serviet. | 

268' At quartam et quintam boram ante meridiem atque septimam horam et 

octavam post meridiem sic liniabimus defixo uno circini pede intra B pone- 
tum, altero in peripberia BA extenso super horae septimae antemeridianae 
punctum, eodem quoque pede revoluto ad circumferentiam quadrantis BCM- 
que nota H posita circini etiam non^) mutati pedem unum locemus ad punc- 
tum D, altero circumferentia quadrantis CD admoto punctus unus signetor. 
Defixo iterum uno circini crure super B puncto reliqnum extendamus super 
peripberiam quadrantis AB bà borae octayae lineam eodemque revoluto in 
perìpberiam quartae BC atque puncto K signato, transferemus circinum sic 
extensum cum uno eius crure intra D punctum, alteroque circumferentiae 
quadrantis CD applicato nota L scribatur, protactis demum de centro E ree- 
tis quatuor ad puncta quatuor H^ 7, K, L atque borarum numerìs, ut deoet, 

2^8^ adnotatis apud singularum lineas borarum, sic videlicet, | ut iurta pimctom 
E quatuor scrìbuntur, circa H quinque, sic continue numeros augendo®) nsque 
ad XU, qui luxta punctum A scrìbantur. Post baec circa Q unitas ponator 
et ad proximo sequentem lineam borarìam binarìus, qui numerus borarìus con- 
tinuo crescat usque ad Vili sicut octonarìus prope L notam scribatur. 

Postremo planus sumatur angulus MNO aequalis altitudini polari, velnt 
prò numerìs borarum praemissis, qui sit aequalis grad. XXXXII min. XXXII [!]. 
Is tamen prò diversis borìzontibus differentium [?] latitudinem in die8[?] varia- 
tur, cuius apex N super E borologii umbilico firmetur; eiusdem vero angnli 
MNO planum ad lineam merìdianam A E perpendicularìter eiigatur. Ilaqne 
tandem praesens scioterìcon consumabitur borologium, eius usua is erìt: De- 
scrìpta linea merìdiana super plano aliquo firmiter quiescente, ad borizontìs- 

a) Hs. bat teptam. b) Nacb non bat Ha. das Wort pasiH geairicben. 

e) Ha. bat numero saugenao. 



32. Proposltion. 

Bestimmung der Abscbnitte der Stundenkreise auf dem Verti* 
kalkreis. 

Aus Pig. 24 folgt: tg IT « tg < • cos g) (Aufg. 6). 

Die erbaltenen Werte sind: Die berecbneten: 

t H 

1^ 9® 53' 

2*» 20® 34' 

3>^ 33® 2' 

4"» 48® 24' 

6"^ 67® 36' 



t 


H 


l^ 


9® 30' 


2»» 


20® 30' 


3»» 


32® 45' 


i^ 


48® 


6>» 


67® 30' 



Liber iertiuB. 75 

qne posito aequedìstantìam, cui deinceps meridìanae lineae diameter A C boro- 
logli bniufl sic applicetor, ut ab Illa nec ad dextram neque ad sinistram de- 
clinet. Pnuctus quoque A seu semidìameter AE^ quae meridionalem indicai 
horam | pectus nostrum ad merìdiem conversum aspiciat^ per horologiumque ita ^^9' 
loeatione sol ipse irradians singulas indicabit nobis horas. Nam umbra anguli 
nunc erecti, moz ostendet intra lineas horarias praesentìs momentum temporis. 

Sed post longam digressionem revertor ad ìUud, de quo prius oratio de- 
fluzerat; boc quoque propositum aequedistantibus sic fiet: Nam organum ip- 
snm ingredientes cum boris a merìdie in gradus resolutis atque cum regio- 
nariae latitudinis complemento secundo introitu quondam comprebendimus 
arcum, quo LXXXX gradibus ablato arcus quidam remanet, qui per introitum 
primum aut quintum cam complemento intervalli borarii arcum nobis porriget, 
quo LXXXJL gradibus ablato propositum relinquetur. 

Velut in eodem horìzonte prò una bora a merìdie talem borìzontis por- 
tionem reperire volens ingredior introitu secundo cum gradibus XV borae uni 
debitis atque cum complemento patrìae latitudinis grad. XXXX min. XXXIII 
et offendo gradus VTITT min. | XXXX fere; borum complemento grad. LXXX ^69"" 
min. XX cum complemento borae unius in gradus resolvere grad. LXXY; 
deinde per introitum primum aut quintum gradus eliciuntur LXXVIII min. 
Lnn, quibus quadranti detractis quaesitus borìzontis arcus relinquitur grad. 
XI min. VI. 

Propositio XXXn. 

Portiones arcuales, quas borarii circuii ex orbe verticali se- 
parante), computare. 

Posita itaque regula in quadrante super regionìs latitudinem moz incli- 
natns ille quindenis gradibus a quadrantis perìpberìa discedens cum eadem ez 
regula, velut in praemissa dictum est, portionem separabit uni borae ante vel 
post merìdiem numeratae debitum, parì quoque modo inclinatus grad. XXX ab 
eadem quadrantis circumferentia recedens ez regula secabìt verticalis portionem 
circuii boris duabus ante aut post merìdiem sumptis com petentem et inclina- 270' 
tus grad. XXXXY portionem boris trìbus convenientem praebebit et ita de ce- 
terìs circuii verticalis portionibus agendum est. 

a) Hs. bai siperans. 



Mittels dieser Werte wird ein dem Vertikalkreis ansprecbendes Horolog 
koDstmiert, das zu dem ersten und seiner Merìdianlinie senkrecht gestellt wird. 

2. Metbode (per aequedistantes). Man wendet auf t und q) Aufg. 2 
an (sin a; == sin ^ • sin tp, ìm A PZS ist ^ PSZ = 90® — x\ dann auf 90® 

— « und 90® - < Aufg. 1 (cos fl" - ^ì . Beispiel: ^ - 1^ - 15®, tp = 

49® 27', a?- 11® 20', fl^- 9® 30'. 

33. Propositioii. 

Bestimmung der Abscbnitte der Stundenkreise auf einem gegen 
den Horizont geneigten dnrcb und TTgebenden Ereise (Neigungs- 
winkel <^). 



76 Libei tertinB. 

Ut autem id intellectn fiat luoidius, propone yerticalìs *) cìrcoli portiones 
ad patrium horizontem prò horis singnlis a meridie recensiids inquirere. Appli- 
cata igitor regula patrìae latitudini super quadrantis peripheria, comperio talis 
portionis arcum prò bora una graduum ferme VTTTT min. £KX, prò horis duabus 
a meridie grad. XX min. XXX, prò tribus horis grad. XXXII min. XXXXV, prò 
quatuor horis grad. XXXXVUI minuto nullo, prò horis quinque grad. LXVll 
min. XXX. His itaque numeris pari ratione, velut in praecedenti traditum èst, 
sciotericum conficiemus horologium, cuius scilicet usus omni serviet loco, cuias 
latitudo fuerit grad. XXXXTX min. XXVII; ita tamen, ut eiusdem horologii 
planum ad horizontem perpendiculariter erigatur atqne e regione meridiei sit 
positum, ita, quod meridiana linea eidem sit perpendicularis. | 
270^ Aequedistantibus idem quoque persolvemus, in primis facto introito se- 

cundo cum latitudine regionis atque cum horarìa de meridiano distantia, deinde 
cum arcus extracti complemento atque complemento eiusdem distantiae bora- 
riae primus aut quintus fiat introitus, arcum itaque compertum ex LXXXX 
gradibus auferentes reliquum prò investigata yerticalis circuii portione teneamns. 

Yelot prò una bora post aut ante merìdiem sumpta per introitnm ingre- 
diens secundum cum grad. XV et latitudine patriae regionis graduum XXXXIX 
min. XXVll excipio partes XI min. XX, quorum complementom graduum 
LXXXin min. XX XX cum horariae distantiae complemento grad. LXXV per 
primum aut introitum quintum meteoroscopio remittens accipio grad. LXXX 
et semis, quibus quadranti detractis quaesita relinquitur yerticalis circuii 
portio graduum IX et semis fere; haud aliter agimus prò ceteris horis. 

Propositio XXXIIL | 

271' Tales horarum arcus in circulo super horizontis planum in- 

clinato quidem, ad meridianum autem erecto, dinumerare. 

Huiusmodi formam domiciliorum perbibent tecta in merìdiem exposita, 
quae ad horìzontis declinantur planam superficiem. 

Talis inclinationis angulum complemento polaris eleyationis adiciamus. 
Quod si aggregatom hoc quadrans extiterìt, ipsum erìt nobis inutile, quod 
eyeniet quidem angolo inclinationis regionis latitodinem aequante. 

Sin autem idem aggregatum gradus exsuperat LXXXX, ipsum semidr- 
culo detrahetur reliquum erit servandum. Sic quoque aggregatum idem ser- 

&) Hs. hai verticulis. 



LCsung ist gleicher Weise wie Prop. 


32, nur tritt (ygl. Fig. 24) an die 


Stelle yon 90® - 9) der Winkel 90®— 9 


+ <y d. h. tg H. — sin (90® - 9 + 


a) • tg t Die gefundenen und berechneten Werte sind flir a «• 15®. 


t E, (gef.) 


H^ (ber.) 


1*» 8® 16' 


8® 37' 


2^ 18® 15' 


18® 5' 


3*» 29® 4' 


29® 80' 


4»» 44® 10' 


44® 25' 


b^ 64® 45' 


64® 39' 



Liber tertius. 77 

vandum est, eo gradìbus LXXXX minore, super quod in quadrantis peripheria 
numeratum regula ponatur et iuxta praecedentis aut antepraemissae doctrinam 
qnaesitae horanim portiones ex eadem regula percipientur. 

Sit ergo planum, quod super meridiano erectum quidem, ab horizonte 
autam patrio gradibus inclinetur XV, eius igitur patriae la|titndinis compie- 271^ 
mento graduum XXXX min. XXXUI congregatis excrescunt gradus LV min. 
XXX, quo iuxta praecedentium doctrinas, posita scilicet regula ^) in quadran- 
Ì3a peripheria super grad. LY min. XXXIII, comperìo prò una bora de meridie 
computata grad. Vili min. XXI, prò duabus horis grad. XVIII min. XY, prò 
tribus boris gradus XXIX min. mi, prò horis quatuor gradus XXXXIIII min. 
X, prò quinque horis grad. LXUII min. XXXXY. 

Aequedistantibus id etiam sic fiet, inprimis introitu secundo per praemissum 
vel aggregatum vel residuum, atque cum horaria distantia, deinde per extracti 
arcus complementum atque complementum horariae distantiae primo aut quinto 
introitu. Arcus enim nunc eUcitus quadranti sublatus intentum monstrabit. 

Yelut si secundus fìat introitus cum grad. LY min. XXXUI praemissi 
aggregati atque cum horaria distantia grad. XV, offerentur grad. XII min. X 
fere; complementum. | grad. LXXVU min. L cum complemento distantiae 272*^ 
horariae grad. LXXV primo aut quinto inti'oitu illuc remissam nobis exhibebit 
gradus LXXXI min. XXXXY, quibus quadranti sublatis remanent grad. Vili 
min. XV; quod iterum est intentum. 

Propositio XXXIIIL 

Magni alicuius in sphaera orbis super horizontem erecti qui- 
dem, ad meridianum vero inclinati, cognito' huius ìnclinationis 
angulo, eiusdem quoque cum aequatore inclinationem explorare. 

Cognita dati orbis super meridianum inclinatione ipsius et aequatoris 
inclinationem sic cognoscemus; facto scilicet introitu octavo cum ipso Ìncli- 
nationis angulo atque cum regionis latitudine supra basim numerata quidam 
praebebitur arcus, quo denuo cum eadem latitudine per introitum quintum aut 
primum ad meteoroscopium misso quaesitum | nanciscemur angulum. Arcus 272"" 
antem primo repertus est serrandus; eo namque consequenter indigebimus. 
Hic autem arcus primum vocetur inventum et est brevior aequatoris portio 
dato circulo atque meridiano comprehensa. 



a) Hb. hat regula korr. aus doctrina. 



2. Methode (per aequedistantes) ebenso wie oben. Filr den Fall 
(T 8» g> erhttlt man keine Ldsung. 

34. Proposition. 

Bestimmung des Winkels zwischen dem Àquator und einer 
Ebene, die auf dem Horizont senkrecht steht und mit der Meridian- 
ebene einen Winkel a bildet. 

Aus Fig. 26 folgt: cos ip = sin a cos q>. Der Verfasser bildet jedoch zu- 
erst tg 7 » tg g) : cos a (Aufg. 8, im A ZM' H ist ZH =« J, nach dem Text 



78 



liiber iertìiu. 



Sii ergo datns circulos^ qui ad patrìum horizontem erìgatar, ad maridi- 
anum vero ìnclinetnr, graduum LXXV qnantitate. Volens itaque propositom 
angnlum reperire, organmn ipsom ingredior cum dato angolo ineUnationis 
grad. LXXY et cum datae regionis latitudine grad. X^TYYTY min. XXYil 
super basim numerata, per octavum scilicet introitom, et invenio grad. LXX 
min. XXXXV fere, qui prìmum fìiit inventum atque seryandnm est; nam eo 
sequens propositio opus habebit. Gum hoc deinde invento atque cum eadem 
latitudine grad. XXXXIX min. XXVII per pnmam aut quintam introitum an- 
gulus, qui quaerebatnr, patebit gradus LU min. XV fere. 

Id etiam aeqnedistantibus sic fiat. Inprimis faciamus introitum secundum 
cum dato inclinationis angulo atque complemento latitudinis; deinde inventi 
arcus complementum atque complementum datae incHnationis meteoroscopio 
remittamus per primum aut quintum introitum, exceptique arous complemen- 
278' tum '. primimi dicatur inventum, quo demum atque ipsa altitudine polari per prì- 
mum rursus aut quintum introitum investigatae inclinationis angulus constabii 

Velut in praemisso circulo, cuius a meridiano *) inclinationis angalns 
grad. LXXV subicitur, volens prò patria regione dati circuii atque aequatoris 
inclinationem reperire meteoroscopium accedens secundo introitu cum grad. 
LXXV et complemento patrìae latitudinis grad. XXXX min. XXXHI invenio 
gradus XXXVIII min. XXXXV fere, quorum complementum, scilicet gradus 
L min. XV^ atque dati anguli seu inclinationis complementum graduum XT 
primo aut quinto introitu illuc remittens arcum excipio, cuius complementom 
primum vocatur inventum, et est fere graduum LXX min. XXXXV; agendo 
ulterius iuxta doctrinam praemissam angulus quaesitus habebitur, ut ante, gra- 
duum Ln min XI. 

Froposition XXXT. 

Portionis horarias orbis in spbaera magni, cuius planum ad 
273'' meridiani quidem superficiem | inclinetur, ad horizontem vero 
erigatur invenire. 



a) Nach meridiano hat Hb. das Wort indinationis gestrichen. 




wftre jedoch I » HM) dann sin ^ 



Fig. S6. 



" Bini 

(Aufg. l), warum dieser Umweg gewfthlt wird, 
ist nicht ersichtlich. 

Beispiel: g> - 49® 27', a =» 75®. Re- 
sultati 7=70®45', iff — 62®15'. Numerisch 
ergibt sich 7- 77®3l', tj; - 61®6'. 

2. Methode (per aequedistantes). 

Man bildet sino; »- sina • cosq» (Aufg. 2Ì; 
anstatt jedoch zu schlieBen, ifi — 90® — x, bil- 
det der Verfasser cos J' «— — — und sin * =* 

coB a; ^ 

sin qp 
sin 7* 



liber tertius. 79 

Habemna ergo primum inventum praemissae atque inclìnationem orbis 
dati cam aeqiiatore,.cum qua et cum invento primo praemissae super basim 
computato introìtus fiat octayus, aut cum eodem invento primo praemissae 
supra basim computato atque cum elevatione polari tertius fiat introitus, utro- 
libet enim modo quispiam ingreditur, idem semper ezcipiet, exceptusque arous 
primum huius inventum appelletur, et est brevior dati orbis arcus, inter com- 
manem eius cum aequatore sectionem et meridianum comprehensus. 

Pro buius ìgitur arcus prima a meridiano portione boraria reperienda 
gradns XV addamus complemento primi inventi praemissae et cum aggregati 
huius complemento supra basim numerato atque cum aequatoris inclinatione 
per praemissam reperta octavus fiat introitus, arcusque, qui reperitur, primo 
huius invento detractus quaesitam relinquet portionem horariam, band aliter 
reliquae borarìae reperi|entur portionis. Nam primi praemissae invento com- 274'* 
plemento toties quindenis inveniamus gradus, per quot boris borariam portio- 
nem sdre desideramus, et cum aggregati buius complemento deinde prò bora 
una, ut prius agentes, intentum babebimus. 

Idem autem longe facilius sic efficietur; nam inclinatio aequatoris per 
praemissam inventa supra quadrantis circumferentiam computetur, superque 
regala ad finem eius applicata inventum buius primum numeretur, atque indi- 
natus ille notetur, qui per buius inventi super regula iam numerati terminum 
transeat, ab eo versus meteoroscopii latus totìens quindenos numerabimus in- 
clinatosi singulos saltem gradus repraesentantes, quot borarìae portiones ex 
primo buius invento invenirì poterint. 

Ut si fuerìt oblatus magnus in spbaera circulus super merìdianum patrì- 
um inclinatus quantitate graduum LXXY; in eo propositum esto borarias in- 
venire portiones. Inventum buius primum ex praemisso est fere grad. LXXYIL 
min. L et per praemissam dati circuii ab aequatore inclinatio graduum babe- 
tur Ln min. XV super quijbus in quadrantis perìpberìa numeratis, applicata 274"" 
regnla et in ea primum buius inventum numeretur, atque a fine buius numera- 
tionis versus latus quadrantis inter circulos inclinatos quindeni computentur 
gradus. Nam inclinatus bunc computum claudens cum inclinato, qui eidem 
initium dedit ex regula quendam separabit arcum ex eodem circulo dato uni 



Beispiel: 9 = 49® 27', a - 7ò^. Resultati x « 38® 46',/= 70®45' 
^ — 52® 11'; es folgt aber t/; = 90® — a; « 51® 16' (num. 51® 6'). 

35. Proposition. 

Bestimmung der Abscbnitte der Stundenkreise auf einem zum 
Horizont senkrecbten und gegen den Meridian geneigten Kreis 
(Fig. 27). 

Man bildet igl^tgipieosa (Aufg. 8, im AZAB ist <^Z«a, Zji=g), 
ZB^I)^ dann cosir = (Aufg. 7, im A ABZ ist x — AB) oder sin a; 

— sin/' Sina (Aufg. 2). Dann \9,i y =^ x — t = AB — AB =*= BD (oder wie 
derVerfasser scbreibt y = 90® — (90® — a; -|- ^), ferner tg^-^tgyrcosi/; (Aufg. 8, 
im A ZBD ist ;? = £B). Dann ist der gesucbte Abschnitt v = I—z=^ ZB 

— ZB = ZZ, 



80 liber tertioB. 

a merìdie conTenientem horae; pari modo ceterae horariae portìones iayenìen- 
tur. Hac itaque via unico contextu omnes inveniemus horarum portiones in 
primo huins invento contentas. 

Velut prò una bora a meridiano numerata grad. X min. XX, prò Loris 
doabus partes XXTTI min. XL, prò tribus horìs gradua XXXX min. XX, prò 
quatuor horis gradua LXI min. XXXV. Sed ne prima buina doctrina cuipiam 
difficilis appareat^ ea tali declarabitur exemplo. Sit enim, ut ante, circulns 
datua, euiua ad meridianum inclinatio conatituatur graduum LXXY. Huius igi- 
tur circuii, ut priua, ad aequatorem inclinatio erit grad. LII min. XV, primum- 
qne praemissae inventum conatat gradibua LXX min. XXXXV, atque propo- 
STò** situm eato borariam portionem merìdiajno proximam, et in primo buiua in- 
vento grad. LXXVn min. L contentam computare. Igitur complemento primi 
praemiaaae inventi addo gradua XV, aggregatum erit grad. XXXIUI min. 
XV, cum quorum complemento grad. LV min. XXXXV aupra baaim numera- 
to et cum inventa aequatoris inclinatione per octavam introitum comperio 
grad. LXVII min. XXX, quibua ex primo buiua invento demptia quaeaita poi^ 
tio relinquit boraria grad. X min. XX. 

Idem etiam aolia effìciemua aequediatantibua. Nam complemento primi 
praemiaaae inventi, totiena iterum quindenoa addamua gradua, quot borarom 
portionem buiuamodi babere cupimua, ac cum boc aggregato atque cum incli- 
natione aequatoria per praemiaaam inventa per aecundum introitum meteore- 
acopium oonaultantes arcum recipimus, quo ex grad. LXXXX dempto reliquum 
cum aggregati praemiaai complemento per primum aut quintum introitom 
illuc remittatur, arcumque boc modo auaceptum primo buiua invento detra- 
bentea borariam relinquemua portionem. 
276'' Eato rursua intentio ad patrium borizontem in | eodem circulo dato prò 

una a meridiano bora portionem borariam investigare. 

Igitur complemento primi praemisaae inventi gradua addo XV, eritque 
aggregatum boc grad. XXXIV min XV, cum quibua et cum praedictae incli- 
nationia angui o grad. LII min. XV per aecundum introitum excipio gradua 
XXVI min. X, quorum complementum grad. LXIII min. L cum aggregati 
praemiaai complemento graduum LV min. XXXXV per primum aut quintum 



Beiapiel: <p « 49^ 27', a = 75<^. 1^77^ bO\ if; = 62^15'. 

Die Tabelle entb&lt die angegebenen und die berecbneten Werte fUr die 

einzelnen Stunden. 

t V V ber. 

1^ 10^20' 10*^48', 

2^ 23® 40' 23M6', 

3»» 40^20' 40^12', 

4»» 61«35' 61<>13', 

ò^ -=- 84<>32'. 

2. Metbode (per aequediatantea). Man wendet Aufg. 2 auf 90®— jf 
und 1/; an (sin m = eoa y • ain tp, im A -BD2^ iat -«^ 2 = 90** — u), dann Aufg. 1 

auf y und 90® - « (sin z = ^^) • 



Liber tertias. 



81 



introitam praebebit mibi gradus LXVII min. XXX, quibus primo invento*) 
sublatis quaesita portio remanebit boraria grad. X min. XX. 

Atqiii bora quinta plemmqne et aliae borae boc pacto non possnnt ba- 
beri, quod tnnc potissimum accidit, quando primum praemissae inventum minus 
fuerit gradibus quindenis ad propositum boranim numerum multiplicatis. Ilio 
igitnr primo praemissae invento ex istis ablato reliquum cum aequatorìs in- 
dinatione supra quadrantem sumpta per octavurn introitum meteoroscopio 
commissum tribuet arcum, qui primo buius invento iunctus investigatam com- 
pónet dati circuii portionem. 

Ut in tali exemplo invenienda sit bora|na portio quinque conveniens ^76' 
horis, quae grad. LXXY effìciunt; differentìa primi praemissae inventi et gra- 
dìium LXXY constat grad. TÌTJ min. XV; cum bis itaque et aequatoris inclina- 
tione, graduum LII min. XV supra quadrantis peripberiam computata per in- 
troitum octavum gradus exibunt VI min. XXXXV, quibus primo buius invento 
oongregatÌB quaesita prodibit boraria portio grad. LXXXIIII min. XXXV. 

Hoc ipsum quoque fiet ipsis aequedistantibus; intrando scilicet per introi- 
tum quintum cum eiusdem differentiae complemento et aequatoris indinatione, 
deinde facto introitn primo aut quinto cum arcus reperti complemento atque 
cum eadem differentia; nam portio deprebenditur, qua primo buius invento 
adiecta propositum constabit Haec bactenus ostensa sunt de breviore dati 
circnli poitione, quam in praesenti primum buius inventum appellare libuit, 
eam inquam dati circuii portionem, quae meridiano et borisonte conclusa me- 
ridionali plagae vel ab occidente vel ab oriente appropinquai | 

Sed nunc declarandum est, qualiter longior orbis dati portio, idest reliqua 
eiusdem dati circuii portio, quae ab eodem meridiano usque ad reliquam eius- 
dem cum aequatore sectionem extenditur, ni arcus sit borarios secanda. Primo 
igitur praemissae invento prò bora una de meridie gradus XV adiunguntur, prò 
doabus a meridie boris grad. XXX, prò tribus boris grad. XXXXV, idest totiens 
eidem primo praemissae invento quindeni congregentur gradus, quot borarum a 
meridie desiderabimus babere portionem. Siquidem aggregatum boc circuii qua- 



276^ 



a) Hs. bat quadranti. 



Der Fall t « 5^ (bei dem t>x, und 
deshalb v^I-\-e ist) wird eigens bebandelt. 
iP — 6® 43', V = 84<> 35'. 

Um den zweiten Scbnittpunkt der Stun- 
denkreise mit dem gegebenen Ereise zu be- 

tif y 

rechnen, ist zu bilden w — a: + i, tge^^ -— -- 
una V — iP — J. 

1. Beispiel: f « l^ y« 85«45', if- 
87* 40', V - 9® 50' (num. 9® 42'). Ebenso 
per aequedistantes; Resultat z^9^iO\ 

2. Beispiel: <, - 2^ y, = 100^45', 
dann wird l80^ — y, = 79^15' verwandt; 
Ldsung per aequedistantes: i/»18^45' 
(nuDL 19® 11'). 

Abbaigli. I. Oeioh. d. math. Wiu. XXTV 8. 




g2 Liber tertiaB. 

drante minus faerit, cum eo sapra basim numerato atqae cum incliaatione aequa* 
torìs per praemissam inventa ìntroitas fiat octayiis; ex arouque comperto, si 
primnm buius inventum dematur, portio remanebit horafia, quam qaaerebamns. 

Ut in eodem circulo dato si velimns primum babere arcum a meridie in eius 
longiore portione contentum, primum praemissae inventum augendum est grad. 
277*^ XV, eritque aggregatum boc grad. LXXjXV min. XXXXV, cum quibos et aequa- 
toris inclinatione gra. LIT min. XV supra quadrantem recensita per octavnm 
introitum gradus producuntur LXXXVU min. XXXX, quibus, si primum liaius 
auferatur inventum, erit reliquum graduum IX min. L fere; portioscilicet boraria. 

Sed idem aequedistantibus ita fiet. Nam eiusdem aggregati complemento 
et aequatoris inclinatione per introitum secundum*) arcus elicitur, quo gra- 
dibus LXXXX detracto arcus relinquitur, qui cum ipso aggregato per primum 
aut quintum introitum arcus demum nobis exbibebitur, cuius complementum 
ostendet propositum. 

Velut in praemisso exemplo complementum talis aggregati est fere grad. 
UH min. XV, cum quibus et gradibus LII min. XV aequinoetialis inclinationis 
per introitum secundum fere gradus III cum minutis XX excipiuntur^ quorum 
deinde complementum grad. LXXXVI min. XXXX cum ipso aggregato grad. 
LXXXV min. XXXXV per primum aut quintum introitum producet nobis 
gradus LXXXVU min. XXX fere. Quibus si primum huius inventum dematur, 
remanebunt grad. IX min. XXXX, quaesitae sdlicet borariae poitionis. 
277"" Sin autem, quod ex Aggregatione quindenorum graduum | atque primi 

praemissae inventi coUigitur, supra quadrantem creverit, ipsi quadrans dema- 
tur, residuum cum aequatoris inclinatione per introitum secundum meteoro- 
scopio conunittatur. Reperti deinde arcus complementum cum eiusdem com- 
plemento residui per primum aut quintum introitum restituet nobis arcum, quo 
gradibus LXXXX detracto, reliquum vero primi buius inventi complemento si 
coniungatur, portio boraria iterum extabit quaesita. 

Propositimi esto iuxta problema boc prò duabus a meridie boris arcum 
borarium in longiore dati orbis portione perscrutari, bis igitur quindenis gra- 



a) Hb. bat sékundi. 



Um die Werte fiir die weiteren Stunden zu finden, bildet man tgjf, 
-= tgjp, cos ì|; (Aufg. 6), im vorliegenden Palle: ^, = 64^ addiert hierzu 16 • 
und erb&lt so y, = 79^ dann mit Aufg. 8 tgz^ und bieraus v,. Ebenso fur 
v^ usw. 

Die Tabelle entb&lt die gefiindenen und berecbneten Werte: 



t 


V gef. 


V ber. 


1^ 


9U0' 


9^2' 


2 


18<>46' 


19^1' 


3^ 


28^45' 


29®13' 


^^ 


44<>25' 


40^46' 


5^ 


64<>45' 


64<»59' 


Q^ 


19^ 


83^7' 


7h 


95<>35' 


95^28' 



Libar tertiuB. 



83 



dibus prò duabus koris primo praemissae invento additis erit aggregatum 
graduam C min. XXXXY, quibns ablato quadrante relinquuntur gradns X 
min. XXXXV, quos cum aeqoatoris inclinatìone grad. LII min. XYI per in- 
troitam secnndum meteoroscopio commendans excipio gradua Vm min. XXXI, 
quorum complemento grad. LXXXI min. XXX cum praedicti complemento re- 
sidui gradus LXXIX min. XV per introitum primum aut quintum illuc remisso 
gradus producentur LXXXm et semis, quibus quadranti sublatis | gradus XVI ^78' 
min. XXAJL residuant, et eisdem cum primi huius inventi complemento con- 
gregatis quaesita constabit horaria portio grad. XVIII min. XXXXV fere. 

Pro singulis autem horis, ut ante, singulas buiusmodi portiones horarias 
unico contextu sic inveniemus, si dempto primo buius invento ex integris 
horaram portionibus ipsum proxime superantibus atque residui complementum 
in regula super aequatoris inclinationem in quadrante posita numeretur. Ac 
deinde, velut prius, ab inclinato per finem dicti eiusdem complementi transeunte 
prò singulis boris continuis quindenos computemus versus quadrantis latus indi- 
natos, buiusmodi autem computatio eo usque continetur, quousque id fieri queat. 

Sic enim ex regula inter inclinatos quindenis a se gradibus distantes 
quaesiti borarum arcus apparebunt, qui singuli*), si de quadrantibus singulis 
demantur, et eorum residua seu complementa primi buius inventi adiciantur, 
earundem borarum portiones borariae a meridie computabuntur, seu a meri- 
diano initium I babebunt. 

Velut in praemisso exemplo duarum portio borarum a meridie super lon- ^^S"" 
gìorem il]am dati circuii portionem sumptarum est ex prius inventis grad. XVIII 
min. XXXXV, quibus detraete primi buius inventi complemento erit reliquum 
grad. VI min. XXX, cuius complementum grad. LXXXIII min. XXX si nu- 
meravero supra regulam in quadrantis peripberia aequatoris inclinationi ap- 
plicatam, eundem arcum in regula finiet septuagesimus nonus inclinatus, prae- 
sertim inclinatis organo boc ad singtilos gradus descriptis, cui proxime quin- 
denis distans gradibus est sexagesimus quartus, qui prò tertia a meridie bora 
secabit ex regula gradus LXXIII et semis. 



a) Hs. bat singvii korr. auB singulis. 



36. Proposition. 

Bestimmung des Winkels zwi- 
schenÀquator und einem Kreise, der 
mit dem Meridian den Winkel a^, mit 
dem Horizont den Winkel a, bildet 
(Pig. 28). 

Man bildet sin/» . (Aufg. 1, im 

ama, ^ ® ' 

Dreieck^@D ist: -^ D =*= Oj, <^-4 — «g» 
A© - 90<* - /), dann cos // - ~^ 

BUI (t 

(Aufg. 1 , D^ = 90^ — //). Hierauf sin x 
«??^(Aufg.l,imA^©i>ist SD- 
90*^ — X, also ZJJ^x). Dann ist DiH' = 




Fig. 28. 



6' 



84 Liber tertiiiB. 

Postbaec est inclìnatiui XLIX, qui ex regala prò quarta a merìdie hon 
separabit gra. LII min. L; quarto prò quinta^) bora XXXTTTI inclinatus ex 
memorato arcu praebebit grad. XXXXVII min. XXX; quinto prò sexta hon 
XIX inclinatus ostendet grad. XXK min. XY; postremo prò septima bora per 
279' quartum inclinatum exbibentur gradus | VI min. XXX. Horum arcuum oom- 
plementis singulis si grad. XVIII min. XXXXV coacerventur, babebimus prò 
bac longiore dati circuii portione prò singulis a meridie boris portioiies ho- 
rarias singulas. 

Velut prò bora una grad. IX min. XXXX, prò boris duabus grad. XVIII 
min. XXXXV, prò tribus boris grad. XXVIII min. XXXXV, prò quatuor hoiis 
grad. XXXXnn min. XXV, prò quinque boris grad. LIIII min. XXXXV, 
prò sex boris grad. LXXIX min. nulla, prò septem boris grad. LXXXXV min. 
XXXV. 

Proposltlo XXXYL 

Dato orbe in spbaera magno, ad quem non tam borizon, quam 
• meridianus inclinetur, cognitis eorundem ad illum inclinationibus 
eiusdem quoque orbìs inclinationem cum aequatore perscrutarL 

27 9"" Primus igìtur fìat aut quintus introitus cum com|plemento inclinationis 

meridiani et inclinatione borizon tis; extractus itaque arcus primum sit inven- 
tum; id autem borizontis portio est inter duas eius conclusa sectiones, quanun 
idem borìzon unam cum orbe dato, alteram vero cum aequatore, communem 
babet. Cum buius deinde primi complemento inventi atque cum inclinatione 
meridiana primus aut quintus rursus pateat introitus; arcusque utro boc elici- 
tus introitu quadranti demptus secundum relinquit inventum^ cum quo et cam 
invento primo si per primum aut quintum rursus introitum meteoroscopio 
incidamus, arcum excipiamus; qui si comple[me]nto regionariae latitudinis 
par fùerit, propositum absolvere non potuerìmus. Eodem vero arcu latitudinis 
complementum aut excedente aut econtra minus, ergo de malori tollatur, ac 
cum residuo et inclinatione meridiani secundus fiat introitus; arcus quidam 
excipitur, quo quadranti detraete residuum cum inclinationis meridianae com- 
plemento per primum aut quintum introitum arcum nobis porriget; eius com- 
plementum tertium dicatur inventum, et est aequatoris meridiano et dati orbis 

280' circulo comprebensus. Cam buius demum tertii inventi com|plemento atque 
cum comple[me]nto inclinationis meridianae per primum aut quintum introi- 
tum nostram babebimus intentionem; baec est dati circuii seu orbis cum ae- 
quatore inclinationem. 

a) Hs. bat gutnto korr. aus pritnam. 



± {ZM'— ZUfj = ± (x — 9?) oder ip = 90®— Dif'- 90<> — a; + <p. Nnn 
bildet man sin y = sin i/; • sin a^ (Aufg. 2, im A DM'B ist <^ 5 = 90*— Jf? 
d. b. = dem gesucbten Winkel ij). Der Verfasser bildet jedocb weiterhin 

cos III =* - - — -, III vai dann ^^BC^^ dem Bogen des Àquators zwiscben dem 

Scbnittpunkt mit dem Ereis und dem Mendian. Der gesucbte Winkel tj ergibt 

sieh rtickwarts aus sin i? =» - J;^ d. h. ij = 90® — y. 

' eoa III ' ^ 



1 



Liber tertiuB. 85 

Velut si magnus aliquis in sphaera ciroulus detur, ad quem meridìanus 
quidem grad. LXXV, horizon vero gradibuB XXXX declinet, atque propooatur 
a quopiam inclinationem eiusdem orbis cum aequatore perBcrntari. 

Per praemissam ergo doctrinam ingredienti mihi ad meteoroscopium cum 
pariibus LXXV meridianae inclinationis atque cum inclinatione horìzontis gra- 
duum XXXX offeruntur grad. XXIII min. XXXXV, inventum scilicet primum, 
quo ex partibus LXXXX sublato reliquum erit graduum LXYI min. XV, cum 
quibus deinde et partibus LXXV iuxta dictam praeceptorum partes accipio^) 
LXXI cum minutiis XXX ferme, quorum complementum, scilicet partes XVIII 
min. XXX, secundum perhibent inventum, cum quo et gradibus y^ITT min. 
XXXXV, primi scilicet inventi, meteoroscopium iuxta primum aut quintum 
mrsas introitum ingressus extraho gradus quasi LII; ex hoc itaque arcu^), 
nam is patriae latitudinis complementum superai, eiusdem latitudinis | com- 280^ 
plemento detracto gradus XI cum minutiis XXVQ remanebunt, cum quibus et 
complemento meridianae inclinationis iuxta praecedentem doctrinam gradus 
excipiuntur XV min. XXX ferme, cuius complementum prò tertio habeatur in- 
vento. Sed priori arcu grad. XV min. XXX cum inclinationis meridianae com- 
plemento per primum aut quintum introitum ad meteoroscopium remisso in- 
clinalo qnaesita deprehenditur graduum ferme LXXVE, quod fiiit propositum, 
et id hoc modo solis constat aequedistantibus, opusque hoc ab illa via, quam 
inclinati ostendunt, unius tamen introitus differt compendio, quapropter eam 
haud iniuria brevitati consulens praetereo. 

Proposltio XXXYII. 

Supradictam aequatoris inclinationem cum declinatone hori- 
zontali atque cum horizontis arcu, qui duobus suarum comprehen- 
ditnr sectionum punctis, quorum unum cum aequatore, alterum 
vero cum orbe dato comjmune possidet, investigare. 88r 

Igitur meteoroscopium consulemus cum dato horizontis arcu et inclina- 
tione horizontali iuxta secundum introitum. Arcus enim sic®) elicitus inven- 
tum esto primum; cum huius deinde complemento atque complemento dati 
arcus horìzontalis primus aut quintus fiat introitus; extractique complemen- 
tum arcus secundum appellatur inventum, cum quo et horizontis arcu dato 
itemm iuxta primum aut quintum introitum tertius elici atur arcus, cui latitu- 
dinis regionarìae complementum detrahatur, si maior eodem complemento fuerit. 



a) Hs. hat accipio korr. aus excipio. b) Ha. hat arcu korr. aus gradu. 

e) Hs. hat si. 



Beispiel: a^ « 75®, a,- 40^g)- 49® 27'. Resultati /« 23^45® (num. 
23^45'), //=18®30' (num. 18^38'), a; «52® (num. 52® 30'. Nun bildet der 
Verfasser i/; = a; — 90® -F 9 = 11® 27' an Stelle von tp = 90® — a? -j- g) « 88® 3' 
und erhalt aus diesem Wert 7/7= 74® 30', 7? « 76®. 

37. Proposition. 

Bestimmung dieses Neigungswinkels, wenn die Neigung des 
Kreises gegen den Horizont a, und der Bogen am Horizonte zwi- 



86 Liber terliai. 

aut econtra latitudinis complementum arcui baie auferatur, si is eodem comple- 
mento yinoatur; par enim esse non poterit. Nam ita nulla continget elevatio 
polaris mundi supra circalum datum*), atque frustra tentabimus sequentes 
propositìones duas buius ausilio perficere. Quidquid enim sic nobis yel praebe- 
bitur additione vel subtractione tertium dicatur inventum, cum quo et comple- 
ssi'' mento inventi primi secundus si fiat introitus, atque cum arcus excepti com pie- 
mento necnon et cum primo invento primus aut quintus introitus si fiat^ arcns 
babebitur, cui quartom sit nomen inventi. 

Sed boc etiam inventum breviter indagabimus cum invento primo super 
basi numerato atque cum invento tertio per introitum octavum, at prior inqui- 
sitio solis fit aequedistantibus. 

Hic enim modus imico nos relevat introitu. Hoc autem inventum quar- 
tum aequatorìs est portio duabus sui sectionibus interiacens, quarum nnun 
cum dato circulo, alteram cum horizonte commimem possidet; cum eo demam 
invento quarto cumque primo inventu per primum aut quintum introitimi 
nostrum vocabimus intentum. 

Sit ergo datus in spbaera circulus magnus, cuius supra patrium incli- 
natio sit borìzontem grad. XXXX. Arcus autem borizontis inter eundem dr- 
culum et punctum borizontis, qui ortui vel occasui debetur aequinoctiali, àt 
grad. XXIII min. XXXXV. Igitur iurta praemissam praeceptionem inventum 
primum erit graduum XV, et est meridianae inclinationis complementum. In- 
'idS** ventum autem secundum grad. XVIII min. XXX. Sed tertium inventum 
constabit grad. XI min. XXV il. At quartum inventum erit ferme grad. XV 
min. XXX, cum quo demum atque invento primo quaesitae quantitas inclina- 
tionis ìnvenitur grad. LXXVI fere; quod est intentum. 

Proposltio XXXVm. 

In bemispbaerio superiori cuiusdam magni supra sphaeram 
orbis, ad quem non tam meridianus, quam borizon inclinetur, co- 



a) Hs. hat datum korr. aus ? 



scben dem Westpunkt und dem Scbnittpunkt des gegebenen Kreises, 
mit ibm a gegeben ist (Pig. 28). 

Man bildet sin / = sin a» • sin a (I ^ 90® -— BDM'). cos // »=■ 

^ ^ " cosi 

{II « 90® — AD), sin X - ^^ (x - 90® — SD - ZD). Nacb dem Ver- 

fasser ist nun zu bilden (III = + a; — 90® -{- (p). Es ist aber zu nehmen: 

III = 90^—DAM'^90^±{x-(p). Dann sin y = sin IH • cos I{y = 90®-5) 

und sin 7 F = - oder direkt mittels Aufgabe 8 : tg / K = tg J : cos ///; 

IV « 90® — BM' = 2B-B. Endlich ist sin ri = -^^/rr ■ Auch bier wfirde un- 

' sm IV 

mittelbar folgen t/ = 90® — y. 

Beispiel: a, = 40®, a « 23® 46'. Resultat: / - 16®, JJ « 18® 30', 
III ^ 11® 27', IV « 16® 30', ri - 76®. 



Liber tertius. 



87 



282' 



gnito utriusqne inclìnationis angulo contingentes in eodem orbe 
arcus horarios computare. 

Igitnr ex antepraemissa inclinatio aequatons cum orbe dato reperta cum 
tertìo eiusdem invento sapra basim numerato per òctavum introitum si mittam 
ad organum, arcus prodibìt, qui primum huius appelletur inventum; et est 
portio dati circuii bre|YÌor meridiano et aequatore comprehensa. 

Ut sit datus orbis seu circulus, qui ad meridianum inclinetur grad. LXXV, 
ad borìzontem vero grad. XXXX; ad inveniendom igitur primum huius inven- 
tum reperio inprimis per antepraemissa[m] dati orbis inclinationem ab aequa- 
tore grad. LXXVI, et eiusdem antepraemissae tertium inventum est grad. LXXIIII 
min. XXX; cum bis itaque per hanc praeceptionem primum huius inventum 
iuvenitur grad. LXXXVI min. XXX. 

Idem etiam solis inveniemus aequedistantibus; facto inprimis introitu 
secundo cum complemento tertii antepraemissae inventi et cum inclinatione 
aequatoris; posthaec arcus extracti complementum cum tertio antepraemissae 
invento meteoroscopio per primum aut quintum introitum si remittamus, pri- 
mum huius prodibit inventum. 

Ut in eodem ezemplo in primis huius secando introitu ingrediens cum 
aequatoris inclinatione grad* LXXVI atque cum complemento tertii anteprae- 
missae inventi grad. XY min. XXX in venie grad. ferme XVI; cum horum deinde 
complemento grad. LXXmi atque cum tertio antepraemissae invento grad. 
LXXim min. XXX per primum aut quintum introitum idem | organum repe- ^^3' 
tens exdpio primum huius inventum grad. LXXXVI min. XXX fere. Ipsum 
autem primum huius inventum sic in horarias est distinguendum portiones. 
Pro hora namque una post vel ante meridiem sumpta gradus XV addantur 
complemento tertii antepraemissae inventi atque cum huius aggregati, si minus 
ipsum quadrante fuerit, complemento et cum aequatoris inclinatione super 
qaadrantem numerata per octavum introitum arcus eliciatur, quo dempto ex 
invento huius primo reUnquitur portio unius a meridie horae, quam primum 
huius inventum continet. 

Ut sit, velut pridem, datus orbis tam ad meridianum, quam ad horizontem 
inclinatus, sitque declinatio ipsius ad hunc quidem gradum LXXV, ad Ulum 



38. Proposition. 

Bestimmung der Schnittpunkte 
dar Stundenkreise mit einem gegen 
Horizont und AquatorgeneigtenKrei- 
se (Neigungswinkel a^ und a^) Fig. 29. 

Man lòst zunftchst die Aufgabe der Prop. 
36. (Die mit ròmischen Zahlen bezeichneten 
Winkel von 36 sind mit einem ' versehen.) 
Dann bildet man (Aufg. 8) : tg J =« tg ///' : 
cos fi\ {BM' — ///', I^=>BD^ dem Bogen 
des Kreises zwischen Meridian und Àquator.) 

Beispiel:Oi=-75Sag = 40^ >?«76^ 
Iir-^^ 74^30', J= 86^30'. Man kann I 
auch per aequedistantes finden; man bil- 




Fig. 99. 



88 Liber teriàos. 

vero partiam XL. Inclìnatio igìtar aequatoris per antepraemissam partitim 
reperìtur LXXVI. Inventum quoque tertium eiusdem habetnr gradaum LXXIXQ 
min. XXX. Sit ergo propositum reperire arcmn in breyiore dati circuii por- 
tione uni a meridiano debitum horae; igitur complemento tertii antepraemissae 

283"" inventi partes XV iungantur. Erit | ergo collectum graduum XXX et semìs. 
Cum eorum itaque complemento, scilicet partibus LIX et semis, super baaim 
numerato et inclinatione aequatoris grad. LXXVI iuzta introitum octayum 
ad meteoroBcopium ingressus partes offendo LXXXII min. XXI, quibus demptis 
ex primo huius invento grad. LXXXVI min. XXX partes relinquentur llli min. 
XV, portio quaesitae videlicet horae. Sed horaria haec intervalla in primo 
huius invento contenta facilius ita unicoque reperientur contextu; posita vide- 
licet ragula super aequatoris inclinatione in quadrante numerata, deinde ab 
eo inclinato, quo supra regulam primum huius inventum terminatur, XV ver- 
sus instrumenti umbilicum gradibus numeratis buiusque numerationis termino 
per inclinatum, qui eundem oontinet exitum, regulae collato ex ea quaesitus 
arcus horarius non ignorabitur. 

Posthaec a principali inclinato pari ratione inter ipsos inclinatorum arcus 
grad. LX transitis duarum a meridie horarum portionem regula commonstra- 
bit et ita de reperiendis ceterarum a meridie horarum portionibus. In eodem 
primo huius contentis agendum erit; hac ergo via iuxta praemissum exem- 

284' plum prò una a meridie bora ex primo huius invento partes obtinent UH cum 
minu. XV, prò horis duabus partes IX min. XLIX, prò tribus horis gradus 
XVin min. L, prò horis quatuor gradus exibunt XXXVIII cum minutiis XXX. 
Idem quoque sic aequedistantibus fiet. Facto scilicet introitu secundò 
cum aggregato ex partibus horariis atque complemento tertii antepraemissae 
inventi et cum inclinatione aequatoris; ac deinde cum extracti arcus comple- 
mento et cum complemento dicti aggregati iuxta primum aut quintum introi- 
tum ingredientes arcum offendemus, quo sublato partibus primi huius inventi 
quaesita relinquetur horaria portio. 

Velut in exemplo praecedenti, si cum praemissae aggregationis stimma 
grad. XXX et semis atque cum inclinatione aequatoris meteoroscopium acce- 
dens partes excipiam XXIX min. XXX ac cum eorum deinde complemento 
graduum LX et semis et cum complemento praemissi aggregati partium LIX 
et semis iuxta primum aut quintum introitum idem organum repetiero, partes 



det sin ic =- cos III' • sin ri (Aufg. 2, a; = 90® — D) und sin 7 = ; Bei- 

spiel: a;=- 16^ 1=86® 30'. 

Es ist M'K'^ t^l^^lh\ also BK « BM' - M'K'^ 74® 30'— 15® 
« 69® 30'. (Der Verfasser bildet 90® — III' + 15' und dann hiezu das 
Komplement.) Man bildet igBE^igBKi qo^ki (Aufg. 8), dann ist DE « 
BD — BE^ der einer Stunde entsprechende Abschnitt. Beispiel: BK=- 
69® 30', 51; -=82® 21', ì)jE;=4®16'(I). Die Losung erhftlt man direkt 
mit dem Meteoroskop, wenn man i/ am Quadranten, BM' und BK an der 
Basis und BE und BB Km Lineai miBt. Ebenso f!ir 2^ 3^ 4^^. Besultat: 
2^:9®49', 3^:18®60', 4^:38®30'. Oder auch hiefar per aequedi- 
stantes; d. h. man bildet nicht direkt tg^^ =>= ì^BK : cos »}, sondem ersi 



Liber tertias. 89 

offerentur LXXXTÌ cnm minntìis XV, quibus ex primo huius invento sublaids, 
TÌdelioet ex partìbus LXXXYI*) min. XXX, remanent iterum { , yelut prins, ^^^^ 
partes mi min. XY, quae uni a merìdie horae pertdnent; pan modo reliqna 
horarum spatìa repenentnr, addendo scilicet complemento tertii antepraemiseae 
inventi, prò horìs duabus a merìdie grad. XXX, prò horìs trìbns grad. XXXXV, 
prò quatuor horis grad. LX, prò quinque demum horis grad. LXXV. Ergo 
cum tali aggregato, si quadrante faerìt ipsum inferìuB, sic erìt agendum. At, 
ubi quadrantem excesserìt, quadrante eidem coaceryationis summae detracto 
cum reliquo atque cum aequatoris inclinatione supra quadrantem computato 
iuxta introitum octayum arcus extrahitur, quo ad prìmum huius inyentum 
iuncto propositarum a merìdie horarum portio conflabitur. 

Velut in praecedenti problemate partibus horarum quinque, gradibus scili- 
cet LXXY^), complemento tertii antepraemissae inventi coniunctis proveniet 
huius aggregationis numerus graduum LXXXX min. XXX; eidem quoque modo 
detractis partibus XG erìt reliquum min. XXX, cum quibus ferme coUigo gra. 
n min. XY. 

Hìs itaque prìmo huius invento coacervatis partes crescunt LXXXYHl 
min. XXXXY, quae sunt quaesita quinque horarum portio. | 886' 

Denique idem aequedistantibus ita fìet; facto introitu secundo cum eius- 
dem residui complemento atque cum aequatoris inclinatione; ac deinde cum 
extracti arcus complemento atque cum eodem residuo iuxta prìmum aut quin- 
tnm introitum arcus exceptus primoque huius invento additus nostram exhi- 
bebit intentionem. 

Ut in proximo exemplo einsdem residui complementum est gradus LXXXIX 
min. XXX; cnm quibus atque cum aequatoris inclinatione grad. LXXYI partes 
elioiuntur quasi LXXYI; cum horum deinde complemento grad. XIIII^) et cum 
eodem residuo grad. semis arcus excipitur grad. Il min. XY, quos, si primo 
huius invento addidero, partes crescent LXXXYIII min. XXXXY ^), ut ante; 
quod iterum est propositum. 

Plurìbus ita horarum portionibus par erìt ratio inveniendis. Quod si opus 
hoc continuaverìmus usque ad horas XII, non latebunt nos reliqua horarum 

a) Ha. hat LXXXY korr. ans LXXXII. b) He. hat LXX. 

e) Hs. hat XIY korr. aus XXX X. d) He. hat LXXXY. 



sin è — cos KB ' sin ty (| - 90® - <^ BEJB:), dann sin BE == "^^f^; Bei- 

spiel: 1 = 29^30', 5^=82^15', BE^4.^1b'. 

Fflr den Fall BM' < t ist zu bilden BK = t ~ BM' und auf diesen 
Winkel Aufgabe 8 anzuwenden; DjEJ ist dann =» DB + EB, Beispiel: 
< « 6h - 75*; BM' - 30', BE = 2® 16', BE - 88M6'. Oder wieder per 
aequedistantes. 

Dann gibt der Yerfasser eine Reihe, die f&r einen anderen Kreis (dessen 
Neigungswinkel aber nicht angegeben sind) gelten 1^:3® 23', 2**: 6^ 40', 
3*» : 10^40', 4>» : 16 M5', h^ : 25^10'; Q^ : 43^40', 7^ : 12®(!) 

Pflr den Fall BK =- t — BM' > 90® ist zu rechnen mit 180® — BK. 
Beispiel: ^- lli> = 165®; 180®- BK =^ 30', DE=- 15'+ 90®+ 86®30' 
» 176® 45'. Oder wieder per aequedistantes. 



90 Liber tertiae. 

intervalla in reliquo eiusdem dati orbis semicirculo contenta. Nam ea ex ilio- 
rum diametro collocata pares borarum sortientur portìones. | 

285'' Poteris denique bic, si penitos bebeti non sis ingenio, per praemiBsmn 

compendium ad unicum meteoroscopii ingressum omnes talea borarios areos 
colligere; quo fit, ut praemisso problemate prò alio semicirculo prò bora ana 
a meridie gradus inveniamus in min. XXIII, prò duabus boris partes VI cum 
min. XX XX, prò tribus boris gra. X min. XXXX, prò boris quatuor partes 
XVI min. XV, prò quinque boris gradus XXV min. X, prò boris sex partes 
XLin min. XXXX, prò septem boris partes XII [?] min. nuUum. 

Verum ita est agendum ipso aggregato semicirculum non excedente; qnod 
ubi contigerit, eìdem aggregato semicii*culus erit demendos, et residui compie- 
mentum supra basim numeratum cum ipsius aeqoatoris inclinatone per octaviun 
introitum arcum exbibebit, quo ex grad. LXXXX dempto atque reliquo ad qua- 
drantem et prìmum buius inyentum pariter accepta coniuncto propositomemerget. 
Ut si nostra fìierit intentio boris i>ost meridiem undedm datis in eodem 
orbe portionem borariam computare; igitur aggregatum ipsom ex grad. CLXXX 

886' et semis | constabit. Eis ergo si semicircolus detrabatmr, erit gradus semis reli- 
quus, cuius itaque complementum partium LXXXIX et semis supra basim com- 
putatum cum ipsius aequatoris inclinatione introitu octavo praebebit mibi ferme 
grad. LXXXIX cum quartis tribus unius, quibus quadranti detractis erit reliquum 
min. XV. His ergo primo buius invento et quadranti pariter adiectis erit summa 
baec grad. CLXXVI min. XXXXV, quaesita scilicet portio horarum undecim. 
Idem quoque solis efSciemus aequedistantibus; misso scilicet residuo ilio, 
cum aequatoris inclinatione per secundum introitum ad meteoroscopinnu arcus 
itiD[][ue deprebensi complemento cum eiusdem residui complemento ad meteoro- 
scopium per primum aut quintum introitum reducto quendam deinde yenabi- 
mur^) arcum, cuius complemento ad primum buius inventum et quadrantem 
pariter adiuncto nostra demum resultabit intentio. 

Velut in eodem problemate residuum illud post semicirculi ex ilio aggre- 

286"" gato detractionem, relictum est gradus semis | , qui cum inclinatione aequato- 
ris partium LXXVI per introitum secundum poniget nobis min. XXXX, quorum 
complementum grad. LXXXIX min. XX cum complemento eiusdem residui 
grad. LXXXIX et semis dabit per primum aut quintum introitum grad. LXXxix 
et min. XXXXV; boc complemento min. XV ad primum buius inventum et 
quadrantem pariter adiecto excrescet portio quaesita grad. CLXXVI min. XXXXV, 
boris scilicet 11 conveniens. Ad si tale aggregatum semicirculus fuerit ad unguem 
quadrans, primo buius invento congregatus ostendet propositum. 

Propositio XXXIX. 

Propositi magni in spbaera orbis, ad quem pariter horizon et 
meridianus inclinentur, portiones borarias cum borizontis incli- 
287' natione cognita cum eius quoque agnita | portione inter aequa- 
torem et orbem datum comprebensa prope veritatem supputare. 

Opus boc a praecedenti parum variat; nam ibi quartum antepraemissae 
inventum in praecedenti dicitur complementum tertii antepraemissae inventL 



a) Hb. bat venabimur korr. aas venabitw. 



Liber tertine. 91 

Per antepraemissam itaqne inclinatio quaeratur aequatoris ad datum circu- 
Itun, cam qua videlicet incliiiatione ac oum quarti antepraemissae inventi 
complemento supra basim numerato arcus quidam per octaYum extrabatur 
introitum, qui primnm buiuB 8it inventum. 

Velut in solo patrìae sit datus orbis aliquis magnos, cuius planum non 
tantum ad merìdianum, yerum etiam ad horizontem patrìae einsdem pariter 
inclinetur, borizontali quidem inclinatione constitata graduum XXXX; borìzon- 
tis vero portione comprehensa inter eins cam aequatore sectionem et oblatum 
circulum posita grad. XXIU min. XXXXV, propositmn | esto eundem circu- 287'' 
Inm datum in portiones secare borarìas. 

Igitur in prìmis per antepraemissam reperìo aequatorìs inclinationem 
ferme graduum LXXVI. Inyentum autem eiusdem antepraemissae quartum 
partium fere XY et min. XXX. Cum buius itaque inventi complemento grad. 
LXXniI et semis supra bat^im, yelut praedpitur, recensito atque cum aequa- 
toris inclinatione per octaymn introitum prìmum buius ezcipio inventum partes 
fere LXXXVI et semis. 

Idem quoque primum buius inventum reperìtur aequedistantibus, ita facto 
inprimis introitu secundo per aequatorìs inclinationem atque quartum ante- 
praemissae inventum arcusque comporti complemento cum quarti antepraemissi 
inventi complemento ad meteoroscopium per primum aut quintum introitum 
remisso prìmum buius prodibit inventum. 

Yelut in eodem exemplo meteoroscopium per introitum secundum ingre- 
dienti mihi cum quarto antepraemissae invento gradus XY et semis atque cum 
inclinatione aequatorìs grad. LXXYI offerunltur gradus ferme XYI, quorum sas*" 
complementum graduum LXX1TÌTT cum complemento quarti antepraemissae in- 
venti grad. LXXin et semis per primum aut quintum remittens introitum col- 
ligo primum buius inventum fere partium LXXXYI et semis, quo babito ad 
propositum descendamus absolvendum. 

Addamus igitur quarto antepraemissae invento prò singulis propositarum 
borarum partes quindenas, ita, ut prò una a merìdie bora grad. XY, prò dua- 
bus duplum, prò trìum borarum spatio trìplum, boc est gradus adiciantur 
XXXXY, ac ita deinceps prò quaviB bora quindenos adicendo partes, quo 
denique aggregato LXXXX gradibus ablato, si minus ipsum quadrante fuerìt, 
et reliquo super basim recensito atque cum aequatoris inclinatione iuxta in- 
troitum YTH intra meteoroscopium misso arcus eztrabitur, qui prìmo buius in- 
vento demptus relinquet intentum. 

Ut si prò orbe dato velim unum eius a mejrìdie borarìum arcum in bre- 888^ 
viorì eius portione deprebensum in venire; igitur quarto eiusdem antepraemis- 
sae invento grad. XY et semis adicio partes XY. Hoc denique aggregato grad. 
XXX et semis. *) gradibus LXXXX sublato partes remanent LIX cum minutiis 
XXX, cum quibus atque cum inclinatione praemissa dicto modo gradus in- 
verno LXXXn cum quarto. His demum ex primo buius invento sublatis desi- 
derata remanebit borarìa portio grad. mi min. XY fere. 

Idem quoque sic aequedistantibus babebitur. Facto scilicet introitu se- 
cundo cum eodem aggregato atque cum aequatorìs inclinatione arcusque boc 
modo quaesiti complementum cum complemento praemissi aggregati prìmo aut 



a) Kaob gemis bat Ha. die Worte adicio partes gestrìcben. 



92 Lìber tertini. 

quinto ìntroitu ad meteoroscopium remìttatur. At arous ìam denuo repertns 
primo huius invento sublatus propositam relinqnit. 

Velut in eodem problemate ipsum aggregatam, quod habetur grad. XXX 

289'' min. XXX, cum aequatoris inclinatìone | grad. LXXVT, si secando introita 
committatur organo praesenti, partes exibunt XXIX min. XXX. Hamm deinde 
complementum graduum LX et semis cum ipsius aggregati complemento grad. 
LIX et semis*) reportabit nobis per primum ant quintam introitom grad. 
LXXXII et quartum fere, qnibns ex primo huius invento sublatis quaesìta 
portio relinquitur horaria grad. mi et quarti fere. Non est alitar laboran- 
dum prò pluribus boris. 

At hniusmodi horarias portiones, quas primum huius inventum continet, 
longe faciliori perquiremus indagatione; posita vìdelicet regula in quadrante 
super aequatoris inclinationem; atque si, velut in praecedentibus traditnm foit, 
ab eo inclinato, qui primum huius inventmn super regulam ab meteoroscopii 
umbilico versus eius perìpheriam numeratum terminat, quindenae partes versus 
eundem umbilicum prò singulis horarum portionibus inter ipsos indinatos re- 
censeantur, ipsi namque inclinati, qui tales quindenarum partium supputationes 
faciunt, quaesitas horarum portiones ex regula illieo tumultuarieque manifestant. 
Hac itaque via prò unius horae a meridie portione partes prodibant mi cum 

289'' quarto, prò horis duabus | grad. IX min. XXXXV, prò horis tribns partes 18 
min. L, prò quatuor horis partes XXXVIII min. XXX. Ubi vero idem aggregatam 
gradus exsuperat LXXXX, ipsi aggregato partibus demptis XC reliquum in basi 
computatum cum aequatoris inclinatione meteoroscopio iuxta introitum octa- 
vum si committatur, reddet nobis arcum, quo acervato partibus inventi haius 
primi crescet intentum. 

Velut in praemisso problemate, si velim horarum quìnque a meridie 
portìonem ex eo propositi orbis medietate, in qua primum hoius inventam con- 
stituitur, invenire, iungo igitur gradus LXXV prò quinque horis quarto ante- 
praemissae invento; eritque aggregatum hoc partium XG min. XXX; a quibns 
si minuam quadrantem, erit reliquum grad. semis, qui cum aequatoris inclina- 
tione grad. LXXVI supra quadrantem computata iuxta introitum octavum 
offert nobis partes duas cum quarto, quibus ad primum huius inventum coa- 
cervatis conflabitur quinque a meridie horarum portio grad. LXXXVm min. 
XXXXV; quod est intentum. 

Hac quoque computandi ratione poterimus alias a meridie horarias por- 

290' tiones in reliqua dati orbis medietate contentas investigare. | Nam arcus htr- 
rarii prò hoc semicireulo reperti sunt illis in altera dati orbis medietate, 

a) Nach semis hat Hb. die Worte cum ipsius aggregati geetrichen. 



39. Proposltion. 

Bestimmung der Schnittpunkte der Stundenkreise mit einem 
Kreise, wenn dessen Neigung gegen den Horizont und der Bogen 
am Horizont zwischen dem Schnittpunkt mit dem Kreis und dem 
Westpunkt gegeben ist. 

Man bestimmt, wie in Prop. 37 den Meridianwinkel a, den Neigongs* 
winkel gegen den Àquator rj, und den Bogen zwischen Aquator und Merìdian 
BC ^ 90® — IV. Das Zahlenbeispiel ist das gleiche; die Resultate sind: 



Liiber tertìus. 



93 



ex diametro p'ositis aeqnales singnlis. Igìtur hac via incedemns prò reliqùa 
dati orbis medietate in horarìos arcus partienda, quousqae praemissum aggre- 
gatìim semicircolo fueiit inferius. Huiusmodi etiam horarum arcus unico re- 
periemas introita; posita scilicet regula supra aequatoris inclinationem in qua- 
drante censitam; illud quoque residuum, quod relinquitur detracto quadrante 
de ilio aggregato, quod grad. LXXXX proxime superat, ab meteoroscopii um- 
bilico Yersus eius peripheriam super basim computatur; atqne ab inclinato nume- 
rationis huius exitum claudentem quindenis gradibus prò horis singulis inter 
ceteros inclinatos versus eandem peripheriam recensitis mox ipsi inclioati eo- 
rundem quindenorum graduum numeratorum concludentes singuli quaesitas 
horarum ostendent portiones. 

Yelut in exemplo saepius repetito tale residuum fuit gradus semis. Igì- 
tur iuxta praemissam hanc doctrinam reperio prò horis VI a meridie grad. 
CXXXV min. nullo, prò horis Vili partes CLXTTT et min. | XXXX, prò novem 290^ 
horis grad. GLXIX cum min. XV, prò X horis grad. CLXXIII et min. XV. 
Verumtamen hos arcus inprimis ex meteoroscopio non elicimus, sed alios quos- 
dam, quorum cum primo huius invento coacervatorum tales procreantur arcus. 
Velut prò horis VI invenimus partes XLVm et semis, prò septem horis grad. 
LXVin et quartum unius, prò horis Vili grad. LXXVU et quartum unius, 
prò novem horis grad. LXXXII cum quartis tribus, singulis ad prìmum huius 
inyentum adiectis praecedentes emergunt arcus. 

Sed quando prìmum illud aggregatum, de quo in primis habita est men- 
tio, semicirculum supergreditur, ipsi ergo semicirculus auferatur, residuique 
Gomplementum supra basim numeratum cum aequatoris inclinatione iuxta in- 
troitum octavum arcum nobis praebebit, cuius complementum, si summae pri- 
mo huius invento atque quadrante constanti superaddatur, propositarum rur- 
sns horarum a meridie in subiecto circulo portionem habebimus. 

Velut in orbe dato si yelim horarum XI a meridie portionem extrahere, 
conìungo igitur prò undecim horis undecies quindenas partes, idest centum et 
LXV grad., ad quartum antepraemissae inventum. Excrescetque omnisque haec 
summa in gradus GLXXX min. XXX, quibus semicirculo sublatis erit reliqua 291" 
pars huius semis, cuius complementum grad. LXXXIX et semis exhibebit no- 
bis iuxta praeceptionem hanc grad. LXXXIX cum minutiis XXXXV, quibus ex 
quadrante subtractis min. XXXXV relinquuntur. His ergo additis summae 
ex quadrante et primo huius invento compositae proveniunt partes CLXXVI 
cum minutiis XXXXV, quas quaesita horarum XI portio continei 

Quae paulo sunt ante tradita solis efficere parallelis seu aequedistantibus, 
id ergo in primis agemus, ipso eodem aggregato quadrantem superante quidem, 



t 


KG 


KC ber. 


t 


KC 


KC ber. 


1^ 


4M5' 


4® 37' 


7h 


154® 45' 


154® 10' 


2h 


9® 45' 


9® 20' 


8»^ 


163® 40' 


163® 8' 


S^ 


18® 50' 


22® 40' 


9^ 


169® 15' 


168® 42' 


4^ 


38*30' 


39® 35' 


10*^ 


173® 15' 


172® 65' 


b^ 


88M5' 


88® 34' 


11^ 


176® 45' 


176® 23' 


Q^ 


135® 0' 


135® 24' 


12»» 


180® 


180® 



94 



Libar tertiui. 



291' 



292« 



minore yero, quam sii semicirculus, posito. Igitnr ìpsum semicircolo detrahatnr 
residuum, cum aequatoris inclinatione iuxta secundum introitam meteoroscopio 
committendam est, arcusque comperti complementum cum complemento eiasdem 
residui per primum aut quintum introitum eidem organo remissum reportabit 
arcum, quo ad primum huius inventum adiecto nostrom habebimus intentioneno. 

Velut in eodem orbe dato propositum sit borarum sex a meridie portio- 
nem invanire horariam; adiectis ergo sexies quindenis partibus, hoc est grad. 
LXXXX, ad quartum antepraemissae inventum erit buius aggregationis summ& 
grad. GV et semis, quibus semicirculo detractis erit reliquum partium LXXim 
min. XXX, cum quibus atque cum aequatoris *) inclinatione comperio gradus 
LXrX min. XV, quorum complementum partium XX min XXXXV cum com- 
plemento praemissi residui grad. XV et semis per primum aut quintum introitum 
partes elicio fere XLIX et semis, quibus primo buius invento congregatis pro- 
posita crescet borarum portio graduum CXXXV min. nullo, quemadmodum 
paulo prius inventum est. 

Postquam autem primum aggregatum illud semicirculo maius extiterìt, 
ei semicirculus detrahatur, reliquum et aequatoiis inclinationem secundo introi- 
tu ad meteoroscopium committentes arciun excipimus, cuius complemento eum 
complemento prìoris residui ad idem instrumentum remisso, per primum scili- 
cet aut quintum introitum, arcus prodetur, quo ex grad. LXXXX sublato resi- 
duoque ad grad. LXXXX et primum buius inventum pariter adiecto ipsa oon- 
stabit intentio. 

Velut in eodem orbe | propositum esto borarum undecim portionem com- 
putare; borae itaque XI gradus aequatoris tribuuntur CLXV. His quarto 
antepraemissae invento concervatis erit aggregatum partium CLXXX et semis, 
quibus subtracto semicirculo remanet gradus semis. £o igitur cum aequatoris 
inclinatione per secundum introitum ad instrumentum commisso gradus anius 
duo fere praebentur tertia, hoc est min. XXXX, cuius complementum partium 
LXXXIX min. XX cum complemento eiusdem residui grad. LXXXTX et semis 
per primum aut quintum introitum grad. elicio LXXXIX cum minutiis 



a) Nacb aeqiuUoris hat Ha. das Wort eiretUo gestrichen. 




Fig. so. 



40. Proposition. 

Bestimmung der geograpbiscben 
Breite aus Lange und ascensio obliqua- 
des aufgebenden Punktes des Tierkrei- 
ses. (Fig. 30). 

Man bestimmt mit Prop. 2 die Deklina- 
tion 2D » S des gerade aufgebenden Punktes 
Zy mit Prop. 5 scine Rektaszension DV ^=^ ce. 
Xst F = a^, die ascensio obliqua, so bildet 
man a — a^ = Jh -DO und wendet Aufg. 4 auf 
d und a — «i an (ctg 9 = tg d: sin (of — «j), 
(p^^nOZ. Beispiel: A — 90® = 3signa, 
«1 = 59^22'. Resultat: a=- 90®, a — ai 
« 30^^33' (1), d = £, 9 = 49®30'. 



Liber tertius. 95 

XXXXY, quomm complementum minutiaruin XV ad quadrantem at- 
que ad primuin hnìus inventum pariter aooepta coniunctum constituit grad. 
GLXXVI min. XXXXV, qui snnt qnaesita horarum XI portio; hoc demom uno 
dati orbis semìeirculo in horarios arcus distincto alterius semicirculo horaria, 
velut dictum est, partitio nobis non celabitur. Sed si principale illud aggre- 
gatum semicirculo par ad unguem fiierit, primo huius invento quadrans adda- 
tur; propositumque nostrum erit perspicuum. | 

Propositio XXXX. 292^ 

Àlicuius signiferi arcus cogniti de signorumque computati 
principio proposita ascensione obliqua per eam, quanta sii eius 
latitudo regionis, in qua talis ascensio contingit, succinctim per- 
qnirere. 

Per secundam ergo buius declinatio reperiatur eius puncti, qui datum in 
zodiaco claudit arciun. Propositae deinde ex signifero portionis per quintam 
huius rectam sciamus ascensionem, qua si minor fuerit ascensioni datae ob- 
liquae detracta vel econtra obliqua si minor baec fuerit rectae, sublata quidam 
relinquitur arcus, qui super basim nostri numeratus organi cumque declina- 
tione iam pridem inventa per introitum quartum organo eidem commissus 
arcum referet, qui grad. LXXXX submotus quaesitam residuabit latitudinem. 

Ut ab initio arietis ^) trium signorum obliqua sit ascensio grad. LIX min. 
XXII. I Eorum quoque signorum ascensio recta quadrans est. Harum autem 293'' 
aacensionum dìfferentia est partium XXX min. XXXIII, quae super basim 
recensita et cum ipsa declinatione solis maxima, quae propositi ex zodiaco ar- 
cus fini debetur, iuxta meteoroscopium per introitum quartum missa tribuet 
nobis grad. XXXX min. XXX fere, quibus ex quadrante sublatis desiderata re- 
linquetur latitudo partium XLIX min. XXX; quod est intentum. 

Idem quoque solis efficitur aequedistantibus. Facto scilicet introitu se- 
cundo cum ipsius differentiae complemento atque cum complemento ipsius de- 



a) Hb. hat arietis korr. aus latitudinia. 



2. Methode (per aequedistantes). Man bildet sin a; » cos (a — a^) 
- co8 6 (Aufg. 2, £0 = 90® — x) und cos 9 =- — (Aufg. 1). Beispiel: x 

41. Proposltion. 

Bestimmung der geograpbischen Breite aus den Lftngen zweier 
Punkte des Tierkreises und ihrer ascensio obliqua (Fig. 31 u. 32). 

Die ascensio obliqua des zweiten Punktes ist nicht wie gewòhnlich auf 
den Fruhlingspunkt, sondem auf den ersten Punkt bezogen. 

Oegeben ist Aj, 1^ und A^^CC, Man bestimmt zunttcbst nach Proposi- 
tion 2 und 6. a^ , «j und dj , dj . Dann ist C'JD =*=«! — aj — -4 = 9=»<^ C'PD. 

Man bildet: sin / =» cos dj sin ^ (/ = B'F im A B'FF)y dann sin a; =^ j 

(PF^ 90^— x) und x — d^^ II {II = FA), Hierauf: sin y « cos II • cos / 



96 



Libei teriiuB. 



elinationis, arcusque reperti complemeDtuin cum ìpsa declinatione per primiun 
aut quintum introitom referet nobis complementum qaaesitae latitudinia, quo 
grad. LXXXX sublato ipsa remanebit latìtado. 

Ut in eodem exemplo complementum dìfferentiae aficensionom habetur 
grad. UX min. XXVIl, complementum yero declinationis eiusdem est grad. 
LXVI min. XXX. 

Haec ergo per introitum secundum exhìbebunt grad. LU min. XX fere, 
293^ quorum deinde complementum partium | XXXYil min. XXXX oum ipsa decli- 
natione subiecta grad. XXIII min. XXX per primum aut quintum introitum 
gradus ofifert XXXX et ferme min. XXX, quibus de quadrante sublatis qoaeti- 
ta relinquitur latitudo partium XLIX min. XXX. Verum bis modis propositnm 
semper absolvemus, dum ascensio, quae proponitur, obliqua semìcirculum non 
aequayerit. 

Proposito XXXXL 

Sin autem obliqua datur ascensio, quae cuipiam signiferi per- 
tineat portioni, cuius termini fuerint altrinsecus cogniti, alibi 
quoque, quam ex capite arietis inchoatae, latitudinem quoque re- 
gionis, in qua contingit ascensio talis, manifestam efficere. 

294' Proposito^) zodiaci arcu, cuius fines altrinsecus | aequaliter ab altero sol- 

stitiorum removentur, ascensio recta par obliquae erit ascensioni, eorundem 
quoque finium declinationis necessario pares esse probantur. Quamobrem tale 
problema incassum suscipimus ad solvendum. 

Sin autem puncta duo, quae arcum signiferi proposi tum finiunt, a punctis 
solstitiaUbus per imparia recesserint intervalla atque ambo eùndem eclipticae 

a) Hb. hat propositio. 




Flg. 81. 

(B'A^ 90°— y), sin^ 
sin 9 » sin iei • cos d^ (90® 




sin/ 



coay 

q> = DO A), 



{e^^B'AF^^DAO) und endUch 



Liber tertiiu. 97 

semicircnlam vel borealem yel austarinum posaideant, igitur per secundam hnias 
eorum dedinationes addiscamus, qnae per hanc*) hjpothesìm ìmpares sunt, per 
quintum quoque eiusdem propositae signìferi portionis recta non nobis desit 
ascensio, quam auferamus ex obliqua, si haec minor fìierit, aut econtra, si illa 
fnerit minor; ezcessus igitur alterius ad alteram eamm yocetur diiferentia, 
quam cum complemento maioris declinationis per secundum introitum meteoro- 
scopio inferentes primum excipiemus inventum, ouius oomplementum cum nu- 
merosiori declinatione primo aut quinto introitu ad meteoroscopium remittentes 
deque reperto arcu, si declinatio minor, auferatur, secundum relìnquitur inyen- 
tum, cum cuius complemento atque cum complemen|to primi inventi meieoro- ^^^'^ 
scopium secundo ingredientes introitu quendam ezcipimus arcum, cuius comple- 
mento et primo invento ad meteoroscopium primo aut quinto remissis introitu 
quidam prodibit arcus, qui cum minoris declinationis complemento per introi- 
tum secundum quaesitam manifestabit regionis latitudinem. 

Ut arcus zodiaci proponatur graduum XXX Ym, qui de fine XXVI gra- 
dua arietis incboans in quarto geminorum exeat gradu, qui horizonte perorìa- 
tur àliquo cum aequatoris gradibus XXV et min. LUn. 

Sit ergo in voto huiusmodi horizontis latitudinem perscrutari. Recta pro- 
positi arcus ascensio per quartam huius invenitur quasi grad. XXXVII min. 
Lini, cui si data diminuatur ascensio obliqua, partes remanent XIL 

Propositus autem zodiaci arcus in termino principali tenet declinationem 
borealem graduum ferme X, cuius oomplementum partium LXXX, in fine vero 
eiusdem plagae declinationem obtinet grad. XXI, cuius oomplementum partium 
LXTX, quod cum differentia duarum ascensionum graduum XII introitu secun- 
do I praebebit primum inventum partium XI min. X fere, cuius oomplementum 295'' 



a) Ha. hat hans. 



Beispiel: A,«64^ A, - 26^ J - 26® 54'. Resultati ^i-21®, tf,-10®, 
tti-62^ a,-24«6', ^-12^ /=11»10', a?-21«30', JJ-11»30', y-74^ 
^ — 36^30 (num. 46®!) 9 -44® 15' (num. 44® 15'). 

Eigens wird der Fall behandelt, dafi die cine Deklination nòrdlich (+) 
und die andere sftdlich (— ) ist. Ist die sùdliche Deklination ó^, so ist sie mit 
dem negativen Vorzeichen in Recbnung zu ziehen, d. h. es ist JJ =» a; -|- ^3. 

Beispiel: À,-346®, Ai-64®, ^=.44®42'. Resultate d, 5®39', ^1-21®, 

«t-«i-74®52', ^=-30®, 7-27®50', a?=-24®, J/-29®32', y-50®20', 
— 47® 20', 9 - 46® 60'. 

42. Proposition (Fig. 33). 

Bestimmung der L&nge eines gerade aufgebenden Tierkreis- 
seicbens aus seiner Morgenweite und der L&nge des gerade kul- 
minierenden Tierkreiszeichens. Bestimmung der geographischen 
Breite. 

Die Morgenweite ist fElr jeden Ort, filr den fp>0 ist, > als die Dekli- 
nation. Im Falle Ajf »- 90® oder — 270® ist die Morgenweite fi»0. 

AbhdlgB. a. GeMli. d. math. Wlii. XXIV 2. 7 



98 Liber tertiua. 

gràd. LXXVlLi min. L cum maiori declinaiàone grad. XXI primo aat quinto 
introitu ad meteoroscopium item translatom gradua ofiert XXI cum min. fere 
XXX; quìbus minori sublata declinatione relinquantor partes XI et semis, ee- 
candum videlicet inyentam, cuins complementum partium LXXVlii min. XXX 
cum complemento inventi primi grad. LXXVlii min. L iuxta introitimi secun- 
dum exbibet partes LXXIUI fere. His ergo de quadrante sublatis XYI rema- 
nent gradus, quos cum primo invento partium XI min. X per primum aut 
quintum introitum ad meteoroscopium remittens ezcipio gradus fere XXXV et 
semis, quos demum cum minoris complemento declinationis per secundum re> 
legane introitum deprehendo investigatae latitudinem regidnis partium XJUULUJl 
et quarti ferme unius. 

Sin autem unus datae signiferi portionis terminus borealem occupet pi»- 
gam, reliquo super austrinam constituto signiferi medietatem, igitur cum du- 
296'' arum ascensionum differentia et cum bo|realis declinationie complemento se- 
cundus fiat introitus, primumque inventum compertus arcus esto^ cuius com- 
plementum cum eadem boreali declinatione per primum aUt quintum introitala 
porrigat nobìs arcum *) alìum, qui austrinae coniunctus^ declinationi sununam 
constituat, quae secundum appelletur inyentum, quo de gradìbus LXXXX de- 
traete, reliquum cum inventi primi complemento per secuódum introitum or- 
gano buie immittamus, repertpque arcu LXXXX gradìbus ablato residuum 
etiam cum primo invento per primum aut quintum introitum meteoroscopio* 
inferentes arcum excipimus, quo demum cum austrinae complemento declina- 
tionis iuzta introitum secundum ad meteoroscopium illato scrutatae latitudo 
regionis non latebìt. 

Ut si datus signiferi arcus gradus LXXVIII^ cui concedat initium grad. 
XYI piscium, eundemque arcum quartus geminorum gradus fìniat. Huiusmodi 
autem zodiaci portio in aliqua peroriatur regione cum gradibus aequatoiis 
XXXXrni et min. LH. 

Esto igitur propositum investigare regionis eiusdem latitudinem. Prinoi- 

pium autem arcus dati declinat ab aequatore in austrum gradibus V min. XXXU; 

296' finis I vero borealem possidet declinationem^) grad. XXI. Becta ascensio est 



a) Ha. hai arcum korr. aua arcuB. b) Hs. bat latitudiaem. 

Man bestimmt nacb Prop. 18 aus Xm tmd clm den l^eigungswinkel zwi- 

scben Ekliptik und Meridian t^. Dann ist im A-2^JlfS sino; «=" . (Aùfg. 1, 

X - ZM) und k -h 360® = ^ir + 180® — «, wenn Air >.180® oder il — Àjc + a?» 
wenn lif< 180®. 

1. Beispiel: Xjr=330®, ^— 31® 30'. Besultat: t? = 77®50', ««60®45', 
X- 89® 15' -29® 16' des Stieres. 

2. Beispiel: Ajf — 150®, ^-14® 5'. Besultat: i? •*- 77®50', a;-83®,20', 
A « 238® 20' «^ 23® 20' der Wage. 

Zur Bestimmung der geogr. Breite sucbt man nacb Prop. 2 die De- 
klination è-, dann ist (im A 2:a7))sin(90® — g)) ^"^^^ C^u^. 1). ' 



Liber iertins. 



99 



partìum LXXHII min. UI; doariim ascensionnm diiSérentia est gradunm XXX, 
quam emù declinationis complemento borealis intra organam inzta quartum 
mittens introitum ezcipio primum inventum partium XXYII min. L, cmus 
postbaec complementum grad. LXU min. X cum declinatione boreali gra. XXI 
iuxtar primum aut quintum introitum instromento inferens, elìcio partes fere 
XXTTÌT, quibus cum austrìna collectis declinatione secundum prodibit inventum 
grad. XXIX et min. XXXII, quorum complementum partium LX min. XX Vili 
cum primi complemento inventi par. LXII min. X iuxta secundum exbibebit 
introitum partes fere L cum minutiis XX, quibus ex quadrante sublatis reli- 
quum partium XXXIX min. XXXX cum primo invento grad. XXYII min. L 
per primum aut quintum introitum gradus prodet XXXXVII cum mi. XX, quo 
demum arcu atque complemento declinationis austrinae grad. LXXXIV min. 
XXX per introitum secundum iam pridem diuque investigata egredietur lati- 
tudo grad. XXXXYI et minutorum fere L, ad quam datus zodiaci arcus cum 
obliqua, quae proponebatur, ascensione peroritur. 

. Yerum quando | exbibitae signiferi portionis termini ab punctorum altero 296^ 
aequinoctialium ad paria videlicet altrìnsecus abeant intervalla, dimidium pro- 
positi eclipticae arcus medietatem ascensionis obliquae possidebit datae. 

Quamobrem cum dimidio propositae signiferi portionis atque cum obla- 
tae ascensionis obliquae dimidio ad investigandum, quod quaeritnr, iuxta 
praemissae progrediamur doctrinam. 



Propositlo XXXXir. 

Dato medio caeli cum partibus amplitudinis ortlvae punctum 
imprimis ex signifero horoscopans ac per eum postbac ipsius lati- 
tudinem regionis apprehendere. 

Proposita regio latitudinem possidet, quotiens boroscopi ortiva amplitudo 
eiusdem superat declinationem. Nam baec declinatione bac minor esse nequit; 
etenim regione nullam obtinente latitudinem, ortus amplitu|do declinationem 297' 
ascendentÌB adaequat. Capite quoque cancri vel capricorni medium caeli te- 
nente propositlo frustra conficitur. At medio caeli aliud possidente zodiaci 
punctum prò XVJLLL buius coincidentia M. caeli cum meridiano inprimis quae- 



9 



1. Beispiel: X« 89*15', ó-«20®2', 
.49®. 

2. Beispiel: l - 233*20', 6 « 9*5', 
9-49*. 

2. Metbode zur Bestimmung der 
geogr. Breite. Man béstimmt (im A I!M@) 



cwx 



lfS-90*-y aus siny«-^ (Aufg. l). 



smfi 



Dann ist ZM = y und tp = ZM' — t/ ± Ìm- 

1. Beispiel: x - 60*45', y - 69*12', 
^if-20*12', 9-49* 

2. Beispiel: x =- 83*20', y - 28*48', 
Jjf-20*12', 9-49*. 



4 

1 \y^^S^ 


? 




X 7" O' 




^/_>/^ 


\^y. 


i3^ 



100 Liber teitinB. 

ratur, cum qua et cum ortivae complemento amplitudiniB iuzta primtim aut 
quÌDtum introitum arcus extrahatar, qao partibus CLXXX, id est sex semicir- 
cali signis dempto, si borealis fuerit talis incidentia, reliquiim M. caeli conti- 
nuatum adiectamque; horoscopaos prodet zodiaci punctum. 

Sin autem incidentia M. C. cum meridiano fuerit austrina, reperixis arcus 
medio adìciendus est, quo tandem aggregato non latebit ascendens. 

Ut dato medio caeli in aquarii capite cum amplitudine ortiya g^nid. 
XXXI min. XXX propositum esto horoscopans eclipticae punctum investigare. 
Per XVni huius incidentia medii caeli cum meridiano borealis reperitnr par- 
tium LXXYII min. L, cum quibus et complemento amplitudinis ortirae, sd- 
297'' licet graduum LYIII min. XXX, gradns offendo LX min. XXXXV |, id est 
signa duo min. XXXXV; quo arcu de signis sex dempto nam praemiasae an- 
gulus incidentiae borealis est, remanent signa tria grad. XXIX min. XV, qui- 
bus M. C. adiectis invenio perortos grad. XXIX min. XV tauri; quod est in* 
tentum. 

Rursus esto propositum leonis exordio M. C. possidente cum amplitudine 
ortiya graduum Xlin min.V horoscopans eclipticae punctum perscrutarì; medii 
caeli autem incidentia cum meridiano, velut ante babetur, grad. LXXVn min. L; 
cum ea igitur atque cum complemento amplitudinis ortivae grad. LXXY mi. 
LY per primum aut quintum introitum iterum ingressus excipio signa II grad. 
XXni min. XX, quibus M. C. additis — nam austrina est incidentia — per- 
spicuum erit de libra perortos fuisse grad. XXin min. XX; quod rursus est 
intentum. 

. Sic ergo prima propositionis huius liquet particula. Ut autem ipsa regi- 
onis habeatur latitudo, igitur ex huius secunda horoscopi quaeratur declinatio, 
quae cum ipsius ortus amplitudine per primum aut quintum introitum arcum 
298' exhibebit, quo ex partibus XC detraete regionaria relinquetur | latitudo. 

Yelut perortis partibus XXIX min. XY tauri declinatio reperitur grad. 
XX min. n, quibus cum ortus amplitudine grad. XXXI min. XXX per primum 
aut quintum introitum partes offeruntur XXXXI, quibus quadranti sublatis 
ipsa relinquitur latitudo grad. XXXXIX. Pe[r]ortis deinde grad. AXill min. 
XX librae declinatio reperitur grad. Vili mi. Y; quibus cum amplitudine ortus 
partium XTTTT mi. Y primo aut quinto introitu partes elicui XLI, quarom com- 
plementum grad. XXXXIX quaesita est latitudo. 

Aliter etiam eadem invenitur latitudo cum complemento eius arcus, qui 
per complementum amplitudinis ortivae datae atque per M. C. incidentiam in- 
venitur — nam huiusmodi complementum cum ortus amplitudine primo aut 



43. Proposition. 

Bestimmung der geogr. Breite aus der Lftnge des kulminieren- 
den und der des aufgehenden Zeichens des Tierkreises. (Fig. 32 tt.33.) 

Man bestimmt nach Prop. 18 den Winkel 97; dann ist, wenn UM'^fn der 
Bogen zwischen den beiden Punkten des Tierkreises ist, cos<p » sin fi sin 1}. 
(Unrichtig; Beispiel fehlt.) 

Andere Ldsung. Man bestimmt nach Prop. 5 die Bektaszension von 
Miaji; dann ist die ascensio obliqua horoscopi 0F*=« a^ « «jf + 90®. Dann be- 
stimmt man nach Prop. 5 die Rektaszension des gerade aufgehenden Punktes 



Llber tertini. 101 

quinto introita intra meteoroscopium missum praebebit nobis arcum, cui si 
dedinatio M. C. dematur, si ipsius incidentia fuerit boreali s, aut eidem arcui 
eadem declinatio addator, si talis incidentia fuerit austrina, et quaesitam ha- 
bebimus | regioni* latitudinem. 298^ 

Yelut in primo exemplo hniusmodi arcus est gradus LX min. XXXXY, 
quibus ex quadrante sublatis erit reliquom grad. XXIX min. XY, quibus cum 
amplitudine ortiva horoscopi data grad. XXXI min. XXX per primum aut 
quintam introitum meteoroscopio commissis grad. ezibunt LXTX min. XU, 
quibus declinatione M. C. — hoc est prìncipii aquarii — gradus XX min. XU 
demptà quaesita remanet latitudo partium XLIX, yelut ante fuerat inyenta. 
Declijiationis autem diminutio eam ob rem facta fuit, quia angnlus incidentis 
medi! eaeli cum meridiano fuit borealis. 

Eandem quoque regionis latitudinem comperiam per arcum in secundo 
exemplo inyentum grad. LXXXIII min. XX. Huius namque complemento grad. 
YI min. 7CXXX atque data ortus amplitudine grad. Xim min. Y per primum 
aut quintam introitum grados prodibunt XXYIII min. XXXXYIII, quibus cum 
M. C. declinatione grad. XX min. XU aggregatis — nam M. C. incidentia ftiit 
austrìna — cresount grad. XXXXTX quaesitae latitudinis, qua rarsus pars pro- 
positionis haiufl seconda liquet. | 

Propositio XXXXm, S99- 

Horoscopo medioque caeli cognito regionis producere latitu- 
dinem. 

Ergo zodiaci portionem, quae medio caeli atque horoscopo interoipitur, 
si quadrante minor existat, aat eadem ex semicirculo dempta, si maior qua- 
drante fuerit, reliquum cum incidentia M. C. et meridiani per XYIU huius in- 
yenta intra meteoroscopium secundo mittatar introita; arcus itaque repertns 
ex quadrante sublatus ortiyam horoscopi dati relinquit amplitudinem, qua 
deinde erit operandum. 

Yelut in praemissa commonui, hic exemplo non erit opus, cuius copiam 
in praecedenti exhibui propositione. Si quis ergo exemplarem efflagitayerit de- 
clarationem, ei praecedens consulenda est doctrina. 



Badam propositio 811111 | aliter qnoqno sdo flet. 299^ 

Quaesitae per quintam huius M. C. ascensioni rectae gradus adiciantur 
LXXXX, et aggregatum erit ascensio obliqua horoscopi, cuius quoque per quin- 



DV'=^as und bildet OD = A = a^ — a^ . Femer ermittelt man nach Prop. 2 

die Deklination ^v des Punktes £. Dann ist im A 027D cotsro) >» -^-^ 

® ^ sin A 

(Aufg. 4). 

Beispiel: Xjf= 300^ X^- 69^15'. Resultat: aj^- 302® 12', «1-32^2', 

a^— 57* 1', A - 24® 49', ds^ 20® 2', (p = 49®. 

L5sung per aequedistantes. Man bildet cosp»cosAco84^(Aufg. 2) 
und dann cos 9 — - — (Aufg. 5). 

Bei3piel: A -24® 49', ^-31® 30', 9-49®. 



102 Liber teriioa. 

tum huius reota innoteBcat ascensio. Hanim igitnr ascendentifl ascennomun 
differentia sumpta cum eiusdem horoscopii declinatione super inclinatis nu- 
merata per quartum introitum intra meteoroscopium mittatur, acoeptosque 
arcus quaesitae latitudìnis erit complementum, qno gradibns LXXXX sublato 
regionis latitudo relinquitur. 

Ut capite aquarii medium caeli tenente in aliqua regione perortì sint 
gradua XXIX min. XY tauri, M. G. recta ascensio per quintum huius inyeni- 
tur fere grad. COOII min. XQ, quibus addito quadrante constabit obliqua ho- 
roscopi ascensio grad. XXXH min. XIL Eiusdem ascensio recta est per qaìn- 
tam huius grad. LVU mi. I. Harum ascensionum differentia habetur partinm 
300' XXIV I min. XXXXIX; per secundam huius. Horoscopus deolinationem babet 
grad. XX min. II, quibus dicto modo intra meteoroscopium missis complemen- 
tum quaesitae latitudinis resultat grad. XXXXI, quibus ex grad« LXXXX sab- 
latÌB ipsa remanet latitudo grad. XXXXIX; quod est intentnm. 

Idem quoque solis efficiemus aequedistantibus; habita duplicis ascensionis 
differentia ascendentis zodiaci puncti, quod horoscopum dixi, velut praecedens 
admonet doctrina, eius itaque complementum cum complemento dedinationis 
horoscopi secundo introitu intra organum mittentes aroum elioimus, cuius com- 
plementum ortiva est amplitudo eiusdem horoscopi; quam cum declinatione ipsins 
ascendentis quinto aut primo introitu ad meteoroscopium remittentes excipimns 
latitudinis complementum, quo LXXXX gradibus ablato ipsa relinquitur latitudo. 

Velut in eodem exemplo differentia duarum ascensionum horoscopi est 
grad. y^mi min. XXXXIX, cuius complementum cum declinationis comple- 
300* mento ipsius horoscopi grad. LXIX min. LVIII | secundo introitu ad meteoro- 
scopium inducens extaiho partes LVni et semis, quorum complemento grad. 
XXXI et semis, qui scilicet horoscopi ortiya amplitudo, et ipsa declinatione 
horoscopi grad. XX min. Il primo aut quinto introitu colligo partes XLI fere, 
quarum complementum graduum X7CXXTX est latitudo quaesita. 

Propositio xxxxnn. 

Horizontalem solis ab orbe verticali recessum, quem arabica 
azimut plerique nominant, quo libet explorare momento. 

Sit ergo nobis cognita imprimis horaria solis a meridiano remotio, quae 
si horis sex sive quadrante minor fuerit, ipsa cum complemento solaris decli- 
nationis meteoroscopio per secundum ingeratur introitum, arcusqne inventos 
301' cum complemento deinde solaris altitudi|nis per XXV aut XXVI huius com- 
pertae per primum aut quintum introitum meteoroscopio remittatur, arcusqne 
iam demum inventi complementum solis azimut ostendet. 

Velut si sol fuerit in capite geminorum, et propositum fuerit in patrio 



44. Proposition. 

Bestimmung der Entfernung der Sonno vom Vertikalkreis, des 
sogenannten „Azimuts" (Fig. 34). 

Ist der Stundenwinkel ^ < 90^ so bildet man sin a; ^ sin ^ eoa ò (Au^. 2, 
im A P£T ist TS^x.^T^ 90«), dann cos A - 5^ (Aufg. ò) A ist 
dann das gesuchte Azimut (vom Ost- bzw. Westpunkt aus gemessen.) 



Liber tertiuB. 



103 



horìzonte azimut eius invenire horis qnatuor ante yel post merìdiem; hoc tem- 
pore solis altitado supra patrium horizontem est fere grad. XXXIIII min. XXXX. 
Per seeundUm vero bnius solis declinatio est grad. XX min. XII. Deniqae qna- 
tuor horae distantìae solis a meridie praebent in aequatore grad. LX, quos 
cum praemissae deolinationis complemento grad. LXIX min. XXXX Vili per 
introitum seoundum meteoroscopio committens accipio partes LIEEI min. XX, 
quas deinde onm complemento altìtudinis solis supra patrium horizontem grad. 
LY min. XX per primum aut quintum introitum illuc remittens excipio gra- 
dua LXXXn, quibus ex quadrante sublatis remanent grad. Vili, quibus sol 
prò dato tempore a verticali ciroulo recedit. 

Sin autem data solis distantia a merìdie ad unguem sex constiterit horis, 
igitor primus aut quintus ad meteoroscopium fiat introitus cum complemen- 
tis I duabus, declinationis videlicet atque altìtudinis solis, arcusque elicitus 801' 
quadranti demptus iterum relinquit intentum. 

Sit ergo, ut prìus, sol in geminorum prin- 
cìpio atque sex a meridie horis ad patrium ho- 
rizontem solis altitudo grad. XV min. VII. Igi- 
tur cum complemento altitudinis eius*) grad. 
LXXim min. LIII atque cum declinationis com- 
plemento grad. LXIX min. XXXX per primum 
aut quintum introitum meteoroscopio incidens 
elìdo partes LXXVI cum minu. XXX, quibus 
quadranti sublatis relinquuntur grad. Xm et 
semis, solis videlicet a circulo verticali recessus, 
qui quaerebatuT. 

Ubi demum huiusmodi distantia solis a 
meridiano sex superaret horas eadem semidrculo 
detracta cum relìquo et solis altitudine perinde, 
atque dictum est, propositum confioiemus. 

Ut sole geminorum exordium obtinente sit eius ad patrium horizontem 
altitudo grad. VI min. X. Distantia vero a meridie horarum VII, quae gradus 
effìciunt CV, quibus quadrantem exsuperantibus eos ex semicirculo diminuens, 
usqne habeo reliquum gra. LXV, cum bis igitùr et complemento declinationis 
solaris I grad. LXIX min. XXXX Vili inverno iuxta introitum secundum partes S02' 
fere LXV, quibus demum cum complemento altitudinis grad. LXXXUl min. 
L quinto aut primo introitu ad meteoroscopium remissis gradus offeruntur 
LXYI fere, quos auferens ex quadrante quaesitam relinquo solis a circulo verti- 
cali remotionem grad. XXIHI; quod est intentimi. 

a) Hb. hat eius korr. aus huius. 




Flg. 84. 



Beispiel: l — 60^ t ^ 4»^ vor oder naoh Mittag. Kesultat: *= 34® 40®, 
ó =• 20® 12', X =- 54® 20', A =- 8®. 

Fiir den Pali t ^ 6^ ist die LOsung einfach: — ^ =■ cosA, 

Beispiel: X =» 60®, t — 6^ Resultati A — 13^®. 

Im Palle <> 90® wird mit dem Winkel 180® — < gerechnet 

Beispiel: k - 60®, A = 6® 10', t ^ 7\ x ^ 65®, A « 24®. 



104 Libar tertiiii. 

Propositio XXXXY. 

Cniusvis latitudine loci cognita, quanto tempore quaelibet si* 
gniferi portìo yerticalem praetereat orbem. 

Si propositam libeat sdre in orientali eiusdem yerticaliB orbis parte, igitnr 
ad regionis latitadinem, qnae par sit complemento latitadinis proposiiae, de- 
scensiones obliqnae qaaerantur per XYI prò debita zodiaci portione, qnae post 
haec in horas et eamm minuta*) per XllìT conversae quaesitum exbìbebimt 
tempns. 8in autem propositum sdre cnpiamns in occidentali eiusdem Terti- 
802^ calis circuii parte ascensiones obliquae prò eadem data signiferi portione | ad 
latitudinem, quae datae regionis latitudinis complemento coaequetur, ìnvenien- 
dae sunt, quae ut prius per Alili hnins in boras atque earum minutias con- 
versae rursns intentum patefaciunt. 

Ut volens agnoscere, quanto tempore verticalem patrìae circulum in oriente 
totum arietis signum praetereat, ut in regione, cuius latitudo fderìt grad. XXXX 
min. XXXIII, per XVI huius inverno descensionem arietis obliqoam partinm 
XXXVn min. LIO, quae per XTIII buius temporìs spatium praebent boranim 
II minntiarum JLXXl secundorum XXXII. Tanto igitur tempore totum arietis 
signum in patria in verticali peroritur circulo; volens autem scire, quantum 
tempus aries totus absmnat in eiusdem circuii verticalis occasu, per XVI huins 
qnaero ad latitudinem grad. XXXX min. XXXm ascensionem obliquam, qu&m 
inverno partium XVII min. LllII, quibus per XIIII buius de tempore compe- 
tunt bora I mi. XI secund. XXXVI, quibus totus aries firmamenti eonvet- 
sione verticalem circulum in occasu pertransit. 

Propositio XXXXYI. 

303' Duorum locorum, quibus eodem momento | asoendens commune 

cum diversis caeli mediis fuerit cognitum differentiam longitu- 
dinum atque polares altitudines inquirere. 

a) Hb. hat minuta korr. ans minuta$. 



46. Proposition. 

Bestimmung der Zeit, in der ein Teil des Tierkreises durcb den 
Vertikalkreis bindurcbgebt. 

Fùr den Ostlicben Tei! bestimmt man nacb Prop. 16. die descensionea 
obliquae und verwandelt sie in Zeitmafi. FOr den westlicben Teil die ascen- 
siones obliquae. 

Beispiel: g> » 40^33'. Aufgabe: wielange braucbt das ganze Stembild 
des Widders? Besultat: 

1. flir den SstUcben Teil: dd^ = 37^53'— 2'*31"'32». 

2. far den westlicben Teil ««j -= 17® 54'— l'»ll»36». 

46. Proposition. 

Bestimmung der Làngendifferenz und der geograpbischen 
Breiten zweier Orte, fùr die derselbe Stern gleicbzeitig aufgeht. 
(Bekannt ist femer an beiden Orten Im)- 



Liber t-ertiaB. 105 

Differentia longitadinìs eorondem locorum deprehendetor rectis medii 
caeli ascensionibas unins loci sublatis ex reeta M. 0. ascensione loci alterius; 
sed eorondem locomm latitudines per XXXXHi hnins non ignorabimus. 

Ut sint dno loca einsdem momenti tempore prò conminni horoscopo possi- 
dentia caput cancri. TTnius autem borum locorum M. C. sit gradus V min. L 
piscinm, alterius vero M. C. sit gradus XXYII min. XXXyVIII aquarii. At 
gradus Y min. I piscium recta ascensio est gradus CCCXXXYI min. LVII, 
sed gradus XXYII min. XXViil aquarii ascensio recta constat gradibus COCXXIX 
mi. LIX. Sublata itaque minore de maiore quaesita remanebit longitudinis 
dìfferentia grad. YI min. LYIII, quod quidem est pars buius propositionis 
prior. In hoc itaque problemate' ille locus orientalior babetur, ouius M. C. 
iuzta signonim successionem fiierit posterius. Yelnt bìc | locus, cuius M. C. 303^ 
babet grad. Y min. I piscium, est orientalior altero. 

Deinde per XXXXIII buius locus, cuius M. C. tenebat grad. Y min. I 
piscium, babet latitudinem fere grad. XXXX min. XXXXY, alteri autem loco, 
cuius M. C. grad. XXYII min XXYIIl aquarii, erit regionaria latitudo fere 
grad. XXXXYm min. L; quod est propositum. 

Propositio XXXXYH. 

Duorum locorum notas babentium latitudines cum communi 
einsdem momenti boroscopi cognito longitudinis eorum differen- 
tiam babere. 

Igitur per XYI buius communis boroscopi prò utriusque latitudine loci 
quaeratur obliqua ascensio, minori ergo dempta de maiori desiderata rema- 
nebit longitudinis differentia. Eorundem itaque locorum erit orientalior ille, 
qui prò communi boroscopo maiorem sortitur ascensionem obliquam. 

Sint I ergo loca duo, quae prò communi boroscopo caput babeant cancri^ 304' 
et unius latitudo sit gra^ XXXXO, alterius vero partium IL, et per XYI 
huius obliquam ascensionem initii cancri prò latitudine graduum XXXXII repe- 

Die Langendifferenz ergìbt sicb als Differenz der Rektaszensionen der 
beiden M; die Breiten aus Prop. 43. 

Beispiel: Horoskop i^« 90^ l^ - 335®!', l^ = 327^8'. Resultat: 
oj — 336<»57', a, =- 329® 59^ Lftngendifferenz A « 6® 58'. Der Ort ist der 
Ostlicbere, dessen l das grOBere ist. Nacb 43 ergibt sicb 97^ = 40® 4 5', 
V, - 48® 50'. 

47. Propositioii. 

Bestimmung der L&ngendifferenz zweier Orte verscbiedener 
(bekannter) Breiten und mit „gemeinsamem Horoskop'^ 

Man bildet die Differenz der nacb Prop. 16 bestimmten ascensiones ob- 
iiquae. 

Beispiel: Horoskop A^= 90®, (p^ = 42®, 9), — 49®. Resultat: ofi=-66®57', 
a, - 69®59'. ^ =- «1 — a, - 6®58'. 



106 Liber tertius. 

rimus gradus LXVI min. LVII, prò latitadine vero grad. IL*) asoensionem 
obliquam horoscopi eiusdem reperimus grad. LIX min. LIX. Hanim ergo ascen- 
sionum excessus graduum VI min. LVlil erit petita longitadinìs differeniia. 
Locus demum, cuius latitudo foit grad. XXXXEL^), est orientalior. Nam eius 
obliqua ascensio prò communi horoscopo reperta est numetosior. 

Proposltlo XXXXYin. 

Oblatis duobus locis latitudines suas cum longitudinis diffe- 
rentia notas habentibus, sit ne communis eiusdem momenti horo- 
scopus exactius investigare.' 

804^ Quando data loca diversos possidentia meiidianos duas habuerint latitudi- 

nes, quarum utraque complemento maximae solis declinationis aut par aut 
superior extiteiit, eis potest accedere, ut communi participent horoscopo; ve- 
rum quoniam loca talia propter horrorem intemperati gelu omnibus inepta 
sunt habitationibus, velut a multis iam nostrae aetatis hominibus exploratom 
est, de illis modo cura non erit ulla. Sin autem proposita loca fuerint com 
duabus latitudinibus aequalibus, quarum utraque fuerit eodem complemento 
inferior, atque sub diversis locata meridianis, illa nullo unquam tempore com- 
munem habebunt horoscopium. Ubi vero sub eodem locantur meridiano utmm- 
que punctorum signiferi aequinoctialium una primi motus conversione parti' 
cipant in ortu communi Postquam demum loca dua nobis afferuntur cxun 
suis latitudinibus disparìbus et utrisque maximae solaris declinationis comple- 
mento minoribus diversos denique sortita meridianos; de illis propositionem 



a) Hb. hat XXXIX. b) Hb. hat XXXXI. 



48. Proposition. 

Untersuchung der Frage, ob zwei Orte B'estimmter geagraphi- 
scher Breite und Lftngendifferenz das gleicbe Horoskop haben 
kònnen. 

Wenn die beiden Breiten grOBer als 90^ — e sind, so ist es mòglich. Be- 
weis: die Morgenweiten des Stemes an den beiden Orten sind sicherlich kleiner 
als die dem Aufgang des Erebses oder Steinbockes entsprechenden maximalen 

Morgenweiten ft^, die durch die Gleicbung sinft^ *-> bestimmt ist. Ist 

|[A^ = 90® d. h. far (p^ und g)^ > 90 — f, so ist es mòglich, dafi sie beide 
gleich sind; ist aber eine der beiden Breiten z. B. y^ < 90 — «, so ist f*<[f*sa <C90* 
und mdglicherweise ^^ (zwar < ft^j, aber) > ft^. 

Haben beide Orte die gleicbe Breite, so ist es unmòglich. 

Der allgemeine Fall wird zunftchst fiir den Fall, dafi der Ort mit klein^rer 
Breite der Òstlichere ist, folgendermafien behandelt. 

Zunftchst wird die maximale Morgenweite fnr den Ort q>^ {fp^ > q)^ be- 
stimmt aus sin fi^ » * Dann mufi die Morgenweite des Stemes jeden- 

COB ^. 

falls kleiner sein als jii^. 



Liber tertius. 



107 



hanc, quando écilicet locru minoris laidtadinìs altero habet se orìentalior, ita 
perfidemus. Intrandmn est enim inprìmis ad meteoro|80opiam pxìmo aat quinto 806' 
introita cum maxima solis declinatione atque cum maioris latitudinis comple- 
mento, arcnsqne hoc modo elicitus erit amplitudo ortns initii cancri vel capri- 
comi prò latitudine maiori, quam quidem ortivam amplitudinem servabimus 
tanquam argumentum, cuius intuita tandem discememus, possitne propositio 
haec fieri an non. 

Ingrediamar praeterea introitu eecundo cmn minoris latitudinis comple- 
mento atque cnm differentia longitudinis data, pòrrectus itaque arcus primum 
9Ìt inyentum, cuius deinde complementnm cum minori latitudine primo vel 
quinto introitu illuc remissam tribuet nobis arcum, qui maiori demptus lati- 
tudini secundum relinquit inyentum, cuius denique complemento atque comple- 
mento primi inventi per introitum secundum arcus egreditur, qui partibus 
LXXXX sublatus tertium residuat inyentum, quod si cum invento primo per 
primum aut quintum organo remittatur, arcus ezibit, qui conferendus yocetur, 
quique si servatae ortus amplitudini coaequetur, data loca unico dumtaxat 
horoscopo in una firmamenti conversione communicabunt. Sin autem minor 
duobus, si maior nulla | unquam participabunt horoscopo. 806^ 

Velnt datis duobus locis et unius scilicet occidentalioris latitudo sìt grad. 
XXXXIX, alterius vero pactum XLU. Sed sit differentia longitudinis grad. VI. 
De eis ergo volens efficere propositum cum complemento grad. XXXXI maioris 
latitudinis atque cum maxima solis declinatione per primum aut quintum in- 
troitum ad instrumentum ingredior et accipio prò eadem latitudinem*) ortivam 
solstitialium zodiaci punctorum amplitudinem graduum ferme XXXIIII et^min. 



a) Hs. hat laMudine. 



BerechnungderMorgenweite. 
In Figur 36 sind die beiden Bezugs- 
sjsteme (Poi, Àquator, Horizont 1, 
Horizont 2) gezeichnet. Die gesuchte 
Morgenweite fi^ ist nichts anderes als 
die Entfemimg y des beiden Horizonten 
gemeinsamen Schnittpunkt6s2Jvom Ost- 
punkt 0| des Horizontes 1 » 0^ 2^. Sie 
wird auf folgende Weise gefunden. Man 
bildet: sin J »» cos q)^ sìnt, wobei t die 
Langendifferenz und 90®— J—<^PTgi, 

ist; dann Bina?- —^^ (flj-PT), JJ- 

' COB I ^ '^ 

g>^ — X ^ T3li, cos III — cos I cos // 
{III^^%m,), siny-^^^. 

(2:Stti-90® — y). 

Beispiel: q>^ = 49^ <p, — 47^ 
^=6^ Resultat: f*^i=- 34^40', J- 4^20', JJ- 6« 45', JJJ- 8^ y« 35®. 
Nun sagt der Verfasser f&lschlich, da dieser Winkel y < ^„a sei, sei der ge- 
suohte Fall hier mQglich! 




Fig. S6. 



108 Liber tertìns. 

XXX, quos servo tanquam hnins propositionis argomentum. Deìnde per introi- 
tum secandum cum complemento mìnoris latitudinis partinm XXXXYHI atqae 
cum differentia longitudinis data graduum VI ingredienti mihi primum offer- 
tur inventum grad. UH min. XX, cnm hoìns complemento grad. LXXXY 
min. XXXX atque cum minori latitudine meteoroscopium repetens quinto aut 
primo introita produco partes XLII min. XV, quibus maiori latitudini sublatis 
secundum relinquitur inventum grad. VI min. XXXXV, quorum complemento 
partium LXXXm min. XV cum inventi primi complemento grad. LXXXV 
min. XXXX per secundum ingressus introitum excipio partes LXXXTT fere, 
306' quibus quadranti | detractis tertium remanet inventum grad. Vili. His demum 
cum invento primo partium lEDL min. XX primo vel quinto introitu ad orga- 
num remissis, arcus prodibit conferendus, quasi grad. XXXV, qui servato colla- 
tus argumento seu ortivae amplitudini et eam non exsuperans indicat propo- 
sitionem hanc fieri posse. 

At loco maioris latitudinis posito orientaliori eadem propositio sic fiet. 
Intrandum est imprimis cum complemento minoris latitudinis et cum maxima 
solis declinatione ad organum ipsum primo aut quinto introitu, arcusque com- 
pertus ortiva erit amplitudo alterius solstitialium punctorum prò latitudine 
minore, quae quidem ortus amplitudo velut prìus illa tanquam prò argumento 
teneatur propositionis; secundus deinde fiat introitus cum maioris latitudinis 
complemento atque cum subiecta longitudinum differentia, compertusque arcus 
primum esto inventum, quo LXXXX gradibus subiato reliqnum praeterea cum 
latitudine maiore primo aut quinto introitu illuc remissum quendam praebe- 
bit arcum in sublata minori latitudine secundum relinquetur inventum, cuius 
complemento atque complemento inventi primi per secundum introitum qui- 
306"" dam | nobis excutietur arcus, quo partibus XC detracto tertium remanet inven- 
tum, quT) cum invento primo per introitum primum aut quintum postremo ad 
meteoroscopium misso conferendus reportabitur arcus, per quem idem, velat 
ante dictum est, faciemus indicium, utrum propositio fieri possit, an non. 

Sint, velut prìus, loca duo, quorum differentia longitudinum esto grad. 
VI, et latitudo unius orientalioris, sciUcet grad. XXXX ì X, alterìus autem par- 
tium XLn. Inprìmis ergo erìt amplitudo solstitialium ortus punctorum prò 
minori latitudine partium XXXII min. XXXV fere, quibus servatis per secun- 
dum deinde introitum cum maioris latitudinis complemento grad. XXXXI at- 
que cum differentia longitudinum data grad. VI introitu secundo prìmum elido 
inventum partium III min. XXXXV, cuius postbaec complemento grad. LXXXVI 



Analog wird der Fall, daB der Ort mit gròBerer Breite der 9stlichere isi, 

behandelt. (gp, > g>«): sin u « = , sin J «= cos g>, sin t. sin a; = — ~ , 

\^i ^ ^2/ rmx co8<yj, ' ginJ ^^* 

II ^^ q>^ — X, cos III === cos I cos //, sìd y = -. — ™ • 

Beispiel: (Pi=49^ <pj = 47^ t= 6®. Resultat: jit^- 32*35'. J— 3*45', 
II '^^ 7^0'. J/J— 6^ y = 41®. Da y > j[t^, ist der gesuchte Fall nicht 
mòglicb. 

i9. Proposition. 

Bestimmung des gemeinsamen Horoskops ftlr zweì Punkte 
verschiedener Breite und L&nge. 



Liber tertìuB. 109 

min. XY atque latitudine ipsa maiore per primum aut quintum introitnm par- 
tes XLIX Gum minu. fere decem prodentur, quibus sublata minore latitudine 
secundum residuatur inventum grad. VII min. X, quos ex quadrante subtrahens 
relinqno partes LXXXTT min. L, quibus et complemento inventi primi | par- 807' 
tium LXXXVI min. XY iuzta introitum secundum grad. fere LXXXIIH prod- 
ibunt; bis ex quadrante subtractis tertium remanet inventum grad. VI, quo 
tandem atque invento primo grad. UE min. XXXXY per primum aut quintum 
introitum conferendus exit arcus partium XLI, conferendus scilicet ad prius 
inventam atque servatam ortus amplitudinem, qua superata ab arcu boc con- 
ferendo nobÌ8 ostenditur propositionem banc in praemisso non posse fieri ex- 
empio. 

Yidetur ergo Joannes de Regiomonte circa hoc propositum in canonibus 
super tabulis suis primi mobilis fuisse hallucinatus, cum ipse bunc modum 
banc propositionem solvendi tanquam universalem posuerit, qui tantum nobis 
serviat, quando locus maioris latitudinis orienti exponatur seu loco altero 
fuerit orìentalior. Si enim inquisitio baec esset generalis iam denuo idem ex- 
emplum locis scilicet transpositis fieri quoque posse demonstraretur. Sed,con- 
trarium conclusimus. 

Propositio XXXXIX. | boi- 

Locis duobus latitudines cum longitudinum differentia cog* 
nitas habentibus atque communi participantibus boroscopo ip- 
sum hoc horoscopi punctum perscrutari. 

Si data loca unico participant ascendente, et locus maioris latitudinis 
fuerit occidentalior altero, communis horoscopus erit cancri caput. Sin autem 
idem locus latitudinis maioris fuerit orientalior, ascendens locus ambobus com- 
mune capricorni constituatur principium. Ubi vero data loca duplici parti- 
cipaverint boroscopo, atque locas maioris latitudinis comparatione loci alterius 
occidentalem tenuerit situm, tunc talia signiferi puncta datis locis communiter 
orientia borealem possidebunt zodiaci semicirculum, eaque a cancri capite in 
utramque partem aequaliter recedent, atque iddrco aequales sortientur decli- 
nationes. Loco denique maioris latitudinis tenente orientalem alterius loci 
consideratione positionem, | ergo proposita loca gemino participant boroscopo, 808' 
et uterque in meridionali signiferi reperietur hemicjclio ab puncto solstitii 
brumalis pari secedens intervallo locisque ambobus; eam ob rem par erit de- 
clinatio, velut ante paulo dictum est. 

Ist der Ort grdfierer Breite der westliche und babau beide Orte ein ge- 
meinsames Horoskop, dann ist es der Erebs, ist der Ort der dstliche, so ist 
es der Steinbock. Haben sie zwei gemeinsame Horoskope, so sind diese vom 
Krebs bzw. vom Steinbock gleichweit entfemt, haben somit gleiche Deklina- 
tionen. 

Aus dem oben bestimmten y ergibt sich die Deklination durch sinef^^» 
8Ìn|f>cos9j (fùr den ersten Fall) bzw. sind|«->siny •cos^i (fOr den zweiten 

Fall), dann die Lftngen aus sinA«-- — . 

Beispiel: y-35^ Ji-22®, A -70® bzw. «110®. 



110 liber taitLus. 

Ea namque pnncta sic invenientor. Inprimis itaque ad meteoroscopium 
ingrediamor per introitam secandmn com numero seu arcu conferendo ex 
praemissa conperto atque cum complemento latitudinìs maioris, si locus eins 
faerit occidentalior, aut cum complemento latitudinis minoris, si locus maioris 
latitudinìs fuerit occidentalior, quodque altero modorum homm colligitnr, cimi 
maxima solis declinatione per primum aut quintum introitum meteoroscopio 
mittatur, arcuque comporto ex grad. LXXXX sublato residuumque a capite 
cancri bine quidem iuxta, inde vero centra signorum seriem numeratum com- 
munes oblatis locis patefaciet horoscopos, si modo maioris latitudinis locus 
occidentalior extiterit. Sin autem orientalior, band dissimili eiusdem residui 
ab initio capricorni facta numeratione participati locis utrìsque datis prodi- 
bunt horoscopi. 

Velut propositis locis duobus, unus*) babet latitudinem graduum XXXXlX, 
alter yero, qui reliquo propius orienti concedat, grad. JLXXXTT latitudinem 
308^ possideat, | eisque longitudinum diiferentia sit grad. VI, quibus quidem loois 
per praecedentem constat duplicem reperiri posse conununem eiusdem inyentì 
boro9Copum. Sit igitur in noto geminos tales boroscopos inyenire. Numerus 
conferendus ex praemissa compertus habetur grad. XXXY, quo cum comple- 
mento latitudinis maioris grad. XXXXI ad meteoroscopium per introitum se- 
cundum misso communis declinatio utriusque boroscopi prodibit partium XXII, 
quibus deinde atque maxima solis declinatione per quintum aut primnm in- 
troitum elicio grad. LXX, quibus ex quadrante snblatis partes XX remanent 

His utrimque a cancri capite numeratis, yelut paulo admonetur ante, quo- 
niam locus maioris latitudinis occidentalior subiciebatur, inyenio commimes 
boroscopos partes X geminorum et partes XX cancri;^) quod est propositnm. 

Nemo igitur dubitet, Jobannem de Begiomonte conterraneum mente et 
banc et praemissam diminute tractasse declarationemque ipsarum non prò rei 
exigentia consumasse. 

Propositio L. I 

309' Quanta sit polaris elevatio supra positionis circulum alicuins 

in aequatore puncti per eius a dato meridiano distantiam rimari. 

Positionis circulus iuxta Ptolemaei sententiam in suo Tetramerismo est, 
qui per datum caeli punctum sive per designatam stellam atque per dnas 
meridiani et horìzontis sectiones eyadit. Distantia verq a meridiano aequatoris 
arcus est puncto proposito atque meridiani orbe conclusus. Obseratis aliquan- 



a) Hs. bat unius, b) Naob eaneri bat Ha. das Wort eapUe geetrìoheiL 

50. Propositlon. 

Bestimmung der Hòbe des Poles ùber dem Positionskreis eines 
Punktes im Àquator aus seiner Meridiandistanz. 

Der Positionskreis ist der durch den Stem und die beiden Scbnittpunkte 
des Meridians mit dem Horìzont gelegte Kreis, die Meridiandistanz der anf 
dem Àquator gemessene Abstand des Stemes vom Meridian HM'^^^fL^ die 
„H5be des Poles**, der Abstand des Poles yom Positionskreis (Fig. 36). 



J 



Libar tmrtìiii. 



Ili 



poflf 



iisper caeteris meteoroscopìì forìbus per tres dmntazat eius ianuas hactenus 
ingressi faimus; ita dos admonente negotioram dignitate, cum res ipse meo 
qiiidem iudicio nnmerosos ob introitus commodius breviujsque nequiverant ex- 
pliCftrL Sed ad institutum redeo, unde paolo lapsa est oratìo. 

Praemissa igitur distantia semper ab ea numeretur meridiani parte, vei 
superna Tel infema, utrì punctum [ oblatum seu stella proposita vicinius ac- 809* 
cesserit, quare consequens est eandem dìstantiam quadrante nnnquam esse 
superiorem; par enim quadranti docet punctum ipsum seu stellam datam hori- 
zontis cobaerere, tunc ergo frustra liberandum est borizonte praesertim punc- 
tum seu stellam propositam locante. 

Ceterum distantiam babitam supra 
basim numerantes atque cum regionariae 
latitudinis complemento per quartum in- 
troitum meteoroscopio inducentes arcum 
elicimos, quo ex grad. LXXXX dempto 
reliquum nostram patefaciet ìntentionem. 

Ut in regione, cuius latitudo fuerit ^j 
partium XLIX, sit dati in aequatore puncti 
sìve stellae a meridiano distantia talis 
grad. XXXT et semis. Cum ea igitur supra 
basini numerata cumqùe datae latitudinis 
complemento partium XLI quarto introitu 
producuntur fere grad. LIX, quibus ex 
quadrante sublatis partes XXXT residuant, 
quae sunt polaris supra propositum posi- Fig. se. 

tionis circulumelevatio. 

Idem quoque solis aequedistantibus ita fiet. Ingrediemur igitur inprimis 
introitu secundo cum complemento | distantiae cumque regionis latitudine ac 810' 
deinde cum extracti arcus complemento cumque complemento regionariae lati- 
tudinis per primum aut quintum introitum arcum extrahamus, quo grad. LXXXX 
detracto reliquum inyestigatam polarem manifestabit elevationem. 

Velut in eodem problematè distantiae datae complementum graduimi 
LVllI et semis cum subiectae regionis latitudine grad. XXXXIX secundo in- 
troitu intra meteoroscopium mittens exoipio partes fere XL, quibus ex qua- 
drante demptis gradns remanent L, quos cum eiusdem latitudinis complemento 
partium XLI per primum aut quintum introitum ad organum reducenti mihi 
partes ofFeruntur fere LIX, quarum complementum grad. XXXT quaesitae po- 
sitionis elevatio est polaris. 




Der Verfasser bildet einfacb cotgTr — . (Aufg. 4). Fùbrt man den 

Hilfswinkel P92i?» jlf'@2J»^' ein, so ist sin7r«sin^-sin/i', femer cosg) 
a» tgffrcotgfi', die Elimination yon fi' ftihrt zu obiger Gleicbung. 

Beispiel: 9 — 49^ fi =«31^^, « = 31<^. 

Lòsung per aequedistantes: coso;» cos fi sin 9, coste — 

Beispiel: (wie oben), ic»=50^ «=-31^ 



COBX 



113 



libar tertìus. 



PropoBitio LI. 

Polarem elevationem supra positìonis orbem caelestis ali- 
310^ cuius pnncti extra aequatorem sumpti cognita non solum ip8iiii| 
declinatione, yerum etiam meridionali distantia perquirere. 

In praesenti talis esto distantia meridiana, qualis in praecedentì subid- 
tur; quae si a M. C. supra terram sumitur quadranteque minor fiierit, ipsa 
supra quadrantem numerata cum datae, si borealis fuerit, deolinationis com- 
plemento ad meteoroscopium secundo mittatur introitu, atque sic firmata regala 
dua reperìemus inventa. Nam introitu secundo producitnr arcus, qui pnmnm 
erit inventum; deinde per introitum sextum secundus accipitur arcua, de quo 
complementum latitudinis regionariae auferentes aut contra reliquum erìt in- 
ventum secundum. Sin autem idem arcus eiusdem latitudinis complemento 
coaequetur, inventum primum cum regionis latitudine secundo introitu proferet 
arcum, qui erit investigata poli supra circulum positionis elevatio. Quod si 
non acciderit, inventum secundum supra quadrantem computetur atque cum 
inventi primi complemento per sextum introitum meteoroscopio inducator, 
SII' elicitique arcus comjplementum cum regionis subiecta latitudine per secundum 
introitum meteoroscopio rursus introductum desideratum exhibebit poli saprà 
circulum positionis elevationem. Ubi vero data distantia declinatione subiecta 
septemtrionaU quadrantis arcum impleat, igitur suppositae regionis latitado 
supra basim recensita cum complemento datae deolinationis introitu quarto ad 
meteoroscopium introducta praebebit arcum, qui cum eadem latitudine introi- 
tu secundo quaesitam porriget poli supra positionis circulum elevationem. 

Denique, si distantia subiecta maiore quam sint gradus LXXXX dedi- 

natio quoque septentrionalis fuerit, hoc est, si distantia quadrante minor borea- 

ìs deolinationis ab M. G. sub terra numeretur; ergo talis distantia cum com- 



61. Propositioii. 

Bestimmung der Hohe des Poles Uber dem Positionskreis ffir 
einen Stern, dessen Deklination und Meridiandistanz bekannt ist 





Fig. 87. 



Fig. 88. 



J 



Liber tertiiu. 



113 



plemento declìnationis sapra regolam recensito per secundum imprimis introi- 
tum meteoroscopio indacta proferet arcum, qui primum sit inventum. Sicque 
firmata regala secandas edacatar arcas introita sexto, qoi si latitudini regio- 
nis par faerit, stella ipsa horizonti cohaerere sig^ificatur, et lijqaet intentam. Sll^ 
Sin aatem idem arcus regionariae latitudini faerit vel inferior vel maior, igi- 
tar eios et latitadinis regionariae differentia sompta, quae secandum est inven- 
tam, sapra basim computetur, atqae cam invento primo per introitum quar- 
tam meteoroscopio immittatar, coUectom itaqae arcnm cum subiectae regionis 
latitudine per secundum introitum postremo inducentes petitam accipiemus 
polarem elevationem. Non aliter agendum erit cum austrina latitudine et 
distantia dati puncti caelestis ab imo terrae, idest ex medio caeli subterraneo 
namerata, idqae operis ab superiori nullo paenitas differt discrimine, nisi 
qaod distantia cum decUnatione boreali ex medio caeli saprà terram compu- 
tatar, qaae, ubi quadrantem vicerit, semiciroulo detrahitur, reliqaum prò di- 
stantia a meridiano tenendum est. Distantia vero cum decUnatione austrina 
de medio caeli subterraneo numeratur, quae quadrantem quoque superans auf- 
fertor semicircalo distantiae vicem residuo gerentem. Nane de quolibet di- 
stantiae genere praemissi ordinis serie singula contexam exempla, qaod aatem 
praeter institatum morem, ad qaamlibet praecedentis doctrinae partioalam, 
saum I non continue subiecerim exemplum, ideo factum est, ne studiosus lector Zl2' 
proi>08Ìtam efficere subito contendens prolixa exemploram verbositate moretur, 
quo DQiinas eam praemissae doctrinae*) particulam suo convenientem proposito 
inyeniat. 

Inprimis ergo sit distantia a M. G. sapra terram gradaum XXXIX min. 
XX cam declinatione boreali graduum XXX XÌT vel sit eadem distantia a M. C. 
subterraneo data cum declinatione austrina totidem etiam graduum, et propo- 

a) Ha. hat doetrinaìae. 



1. Fall, fi supra terram gemessen, d positiv (Fig. 37). Man bildet sin J 
= sinficosJ (Aufg. 2, 90®— / 
»- Wm im A 982)2;), dann tgx 
— cotg d • cos ft (Aufg. 6, a; =- PT 
im A PT2), X — (90® - 9) = 
FT—PZ ^ ZT^IL Ist a?- 
90**— 9, d. h. II — 0, so erhftlt 
man den gesuchten Winkel it aas 
sin n "- sin /• sin^) (Aafg. 2, tt » PQ 
im A 31PQ). Ist aber IJ^ 0, so ^ 
bildet man cotg^ » cotg /• cos JZ 
(Aufg. 6, y - <^ T312; im A T912?) 
and endlich sin^e »» siny . sin 9 
(Aa%. 2, TT - PC im Ù31PQ). 

2. Fall, fi =• 90®, d positiv 
(Fig. 38). Man bildet tgy = ^^ 



(Aufg. 4 Pi;— 90^ — 6) and sinjr 
— siny • sin^) (Aufg. 2). 

Abhdlgn. M. OMdL di aftfli. Wlu. XXIY S. 





t 




^^\ 




X y^ ■ — ^ 


r~~V5^ 


\/___^^.^^ 


>^^^lx^ 


»\ 1 



Fig. 39. 



114 Liber tertias. 

sitmn esto in regione, cui polus septemtrionalis elevatur partibus XXXXIX*), 
reperire polarem positionis elevationem prò tali stella seu caeli pnncto, eui 
tanta distantia a meridiano ciun subiecta declinatione competit. 

Igitor facta in primis secondo introitu oum data distantia sapra qua- 
drantem numerata grad. XXXI X min. XX cumque suppositae dedinationis 
complemento partium XLYHI primum elicitur inventum grad. XXYIII. Sic- 
que regula perseverante per sextum ingrediens introitum secundus elicitur ar 
812^ cus partium XLI, | quo regionariae latitudinis complementum acquante inyen- 
tum primum cum subiecto regionis latitudine secundo introitu meteoroseopio 
illatum positionis exhibet elevationem graduum XX et min. XXXX fere. 

Sit aliud exemplum: prò stella, cuius^) distantia gra. XXX a M. G. supra 
terram cum declinatione boreali grad. XXVI aut cum tanta etiam ad austmm 
declinatione, tantae quoque distantiae a M. C. subterraneo numerata proposi- 
tum esto eiusdem stellae positionis elevationem invenire polarem. 

Igitur cum proposita distantia grad. XXX supra quadrantem numerata 
cumque ipsius dedinationis datae complemento grad. LXIIII ingrediens inpii- 
mia per introitum secundum eliclo primum inventum grad. XXVI min. XXXX. 
Sicque regula firmata per sextum introitum secimdus excipitur arcus grad. LXl 
fere, quo complemento latitudinis exsuperante ipsi eidem complemento sublato 
secundum relinquitur inventum partium XX, quod deinde supra quadrantem 
818' nnjmeratum atque cum inventi primi complemento per sextum introitum 
meteoroseopio remissum reportat gradus LXII min. XXX, atque cum ipsa regio- 
nis latitudine grad. X XXXIX per introitum secimdum petita supra positionis 
circulum polaris exibit elevatio partium XX et min. XX fere. 

Sit denique sidus aliquod, cuius a meridiano distantia quadrans, com 
declinatione boreali vel austrina constituetur grad. XXX; propositumque esto 
septentrionalis poli elevationem supra positionis eius circulum numerare in 
regione, cuius latLtudo fuerit grad. XXXXIX. Quam si supra basim reoensnero 
atque cum complemento partium LX datae dedinationis introitu quarto ad meteo- 
roscopium deinde induxero, gradus LXYI cum minutiis XXXX prodibunt, qnìbos 
cum ipsa regionis latitudine per introitum secundum denuo introductis quaesita 
supra positionis circulum polaris extrahitur elevatio grad. XXXXTÌT et min. L. 

Punctus demum caelestis proponatur, cuius a medio caeli supra terram 
distantia fuerit grad. GXXXXV cum boreali declinatione grad. XV vel cum 

a) Ha. hat XXXIX. b) He. hat cuitna. 



3. Fall, fi sub terra gemessen, d. h. >90®, d positiv (Pig. 39). Analog 
Fall 1, nur muB gesetzt werden II '^x — 9; ist o;»^, so steht der Stemim 
Horizont. Femer ist zu bilden tgj^ — tgJ:sinJ/ (31T« JJ, TZ^I, y- 

Entsprechend werden die Falle behandelt, bei denen die Deklination 
negativ ist. 

Beispiele. 1. |t4« 39*20', d « 42® (oder beide negativ), 9 » 49*^. 
Resultate: 7-28», a; = 41<^= 90«--9, jr= 20*40'. 

2. ^ = 30*, 6 « 26*, tp = 49*. Resultate: 7= 26*40', x = 61*, //- 
20*, y « 62 * 30', n - 20* 20'. 

3. ^«90*, J = 30*, 9) = 49*. Resultate: 2/ =«66*40', TT — 43*50' 



Lib«r tertìns. 115 

È 

totidem partìbus austrinae declinationis distantia pari grad. | GXXXXY de 818^ 
M. C. Bubterraneo numerata. Igitur hao distantia de semicirculo snblata residunm 
erìt partium XXXV, quibos snpra qnadrantem numeratis atque com propositae 
declinationis complemento grad. LXXV ad meteoroscopium illatis ìntroitu qui- 
dem secundo primum educitur inventum grad. XXXIII min. XXXX, per sextum 
antem introitum exit arcns fere partinm LXXTT, eisque latitudine regionis dempta 
secondum relìnquitur inventum graduum fere XXm, quibus exinde snpra ba- 
sim recensitis atque cum primo inventu partium XXXTTT min. XXXX per 
quartum introitum organo inductis partes exeunt LX inventi tertii, quas de- 
mnm cum subiectae regionis latitudine grad. XXXXIX per introitum secun- 
dum meteoroscopis ingerens polaris ezibit elevatio partium XL min. XXXX 
fere, quam bactenus scrutabar. 

Propofiitlo LII. 

Qnod praecedens pollicetur alia quadam via, quamvis longin- 
quiori, per solos videlicet aequedistantes, investigare. 314' 

In bac, velut in praecedenti, dati puncti seu stellae distantia meridiano 
prò declinatone boreali sumatur ex M. G. supra terram. Sed prò declinatione 
austrìna computetur a M. C. sabterraneo, buiusmodi demum distantiam in ae- 
qnatore numeramus, velut ante; quo autem pacto reperìatur, non est praesen- 
tis instituti. Nec enim lectorem in primis astronomiae cunabulis erudire in 
noto fìiit. 

Dato igitur aliquo puncto caelesti aut stella quapiam cum ipsius declinatione 
cognita, de qua propositum fiierit poli mundi supra circulum positionis eius 
elevationem invenire. Cognoscamus ergo dati puncti seu stellae a medio caeli 
saprà terram aut subterraneo, velut admonebatur, recessum; qui si quadrante 
minor fuerit, ipsum cum complemento subiectae declinationis per introitum 
secundum meteoroscopio inferentes primum eliciamus inventum; buius deinde 
complementum cum ipsa declinatione primo aut quinto ad organum ipsum in- 
troita suggerentes secundum excipimus inventum, quod latidudine regionis 
anferentes, si minus ea fuerit, aut econtra minorem latitudinem ex ipso tollen- 
tea invento secundo reliquum et inventi primi compie |mentum secundum du- ÒW 
camas introitum *), compertumque arcum quadranti detrahentes tertium relin- 

a) Hi. hat imtroUu. 



52. Froposition. 

Lòsung der vorigen Aufgabe per solos aequedistantes. 

Qegeben ist die Meridiandistanz des Stemes MI) ^ ii und scine Dekli- 
nation ZD — d. (Fig. 37.) Man bildet sin / « sin ^ cos d (90® — / - SBl? 

im A S32:i>, l'^ZT), dann sin 77= "° ^ (7J=- ^ J^aST- <^ -TSBD im 

A£fBiD\ q> — II "^ X -^ MZ - MT ^ ZT), cos 777 - sin a? cos 7 (777 = 

912: im A 3iZT\ sin 77 = ^."°J^ (77 - <^ P31Z im A T^IE und endlich 

TT — sin 77 . sin 9) (tt = P^ im A ^PQ), 

8* 



116 Liber iertina. 

quimus inTentnm, quo cnm invento primo per primum ant quintom intraitnm 
ad meteoroscopinm reducto quartom ezibit inventum, quod demnm cam datae 
regionis latitudine per introitom secundum meteoroscopio illatnm prodit polarom 
elevationem supra datum positionis drculum. At invento secando subiectam 
regionis latìtudinem aeqoante, inventum primum atque regionis latitudinem, 
perinde ac inventum quartum, eandemque prìdem usurpantes latìtudinem 
quaesitae poli supra positionis drculum elevationem cognoscemus. 

Ipsa deinde distantia quadrantem aequante secundus fiat introitus cum 
regionariae latitudinis complemento atque cum ipsa declinatìone, arcuque oom- 
perto de LXXXX gradibus ablato reliquum habeatur tanquam tertìum in- 
ventum, atque declinationis oomplementum perinde ac inventum aestimemus 
primum eisdemque arcubus prò duobus inventis, primo seilicet tertìo uten- 
tes et praemissam sectantes doctrinam ad indagatam praeveniens poli eleva- 
tionem, quam datum caeli punctum seu stella supra suum positionis obtinet j 

315' circulum. Denique distantia quadrantem exsuperante ipsa semicirculo auf era- 
tur, residuum cum subiectae declinationis complemento per introitum secundum 
meteoroscopio inductum ostendet arcum, qui sit inventum primum, cuius deinde 
complemento cum ipsa declinatione per primum aut quintum introitum iUnc 
reducto secundum prodibit inventum, quo regionariae latitudinis oomplemen- 
tum aequante propositum punctum cadeste aut stella in subiectae regionis 
horizonte sedem obtinet; et habetur intentimi. 

Nam eiusdem stellae polaris elevatio supra positionis suae circulum erìt 
regionis latitudo. Sin autem hoc secundum inventum regionariae latitudinis 
complemento dispar extiterit, ipsius atque complementi eiusdem differentia 
sumatur, Auferendo seilicet minorem arcum de maiorì, huius itaque differen- 
tiae complementum cimi primi complemento inventi per secundum ingerator 
introitum arcusque productus quadranti dematur, et tertium residuat inven- 
timi, quo et invento primo, ut prius, elicitur inventum quartum; ipsumqne 
deinceps opus a doctrina inprimii tradita nullatenus recedil | 

315^ Esto stella quaepiam declinationis vel austrinae vel borealis grad. XXYI 

cum distantia a meridiano partìum XXX. Haec autem distantia prò modulo 
seu parte declinationis sumpta sit, velut ab initio commonui, et sit intentio 
per gradus XXXXIX latitudinis polarem elevationem supra positionis circolum 
numerare; per secundum ergo introitum cum declinationis huius complemento 
partium LXIUI atque cum data dìstantia grad. XXX primum capio inventum 
partium XXVI et min. XXXX, cuius deinde complemento et data declinatiose 
grad. XXVI per introitum primum aut quintum prò invento secondo grad. 
XXIX et semis eliciuntur, quibus regionariae latitudini detractis partes rema- 
nent XIX cum minutiis ferme XXX, per quas et per primi complemenkun 
inventi grad. LXTTI min. XX arcum secundo deprebendo introitu partium XVII 



Wenn II ^^ fp ist, so bildet man gleich sin 7t = sin J • sin 9) (da, wie aus 
der Figur hervorgeht, IV — I wird). 

Wenn ^Lt =» 90® ist (Fig. 38), bildet man gleich cos III «= sin d cos y 
(III « 312; im A 31P2:) und betrachtet 90® — d als J, d. h. man bildet, wie 

oben, sin IV — » -: — ffv imd sin 9r =» sin IV • sin q>. 
' sin III ^ 

Ist endlich ^ > 90® (Fig. 39), so bildet man sin (180® — ^) coad^ 



Liber tertins. 117 

min. XX, qaibus quadranti sublatis tertinm relinquitur inventnm grad. LXII 
min. XXXX, quo et invento primo partium XXYII min. XXXX per primom 
ani qnintum introitom gra. XXVII cum min. fere XXXX prò quarto capimus 
invento, quo demnm atque regionis latitudine per introitum secundum ipsa 
polaris educitur elevatio gra. XX min. XX; qua nostra constat ìntentio. 

Sit aliud caeli | punctum cum declinatione vel boreali vel austrina grad. 316' 
XXXXII, et eius a meridiano distantia sit, velut monebam, grad. XXXYlil. 
Sit ergo in voto propositum efficere prò regione, cuius latitudo fuerit grad. 
XXXXIX. *) Igitur cum data distantia partium XXXVIII atque cum 
declinationis complemento per introitum secundum prò invento primo prod- 
eunt grad. fere XXVII, quorum complementum partium LXIII cum ipsa de- 
clinatione grad. XXXXn primo vel quinto introitu secundum producunt in- 
yentum fere partium XLIX; quibus regionis subiectae latitudinem aequantibus 
igitur inventnm primum cum eadem regionis latitudine secundo porrigit in- 
troitu partes quasi XX, quae sunt polaris elevatio supra datum positionis cir- 
culum investigata. 

Sit item sidus aliquod, cuius declinatio sive borealis sive austrina fuerit 
graduum XXXX, distantia vero de meridiano sit quadrans, et propositum esto 
ad latitudinem grad. XXXXIX eiusdem sideris elevationem polarem supra po- 
sitionis eius circulum in venire; per introitum secundum cum ipsa declinatione 
grad. XXXX atque cum datae regionis latitudine gradus eliciuntur XXIMI 
min L fere, quorum | complementum partium LXV min. X, si tanquam 816^ 
tertium sumatur inventum, cum datae declinationis complemento grad. L ad 
instar inventi primi positi per introitum primum aut quintum prodet gradus 
fere LVII et semis, quibus prò invento quarto sumptis atque ipsa regionis 
latitudine per introitum secundum polaris egreditur elevatio quaesita partium 
YYYTX et semis fere. 

Gaelestis demum pimctus proponatur, cuius distantia de meridiano iuxta 
procedentem cautelam sumpta sit grad. CXXXV, declinatio vero vel borealis 
vel austrina grad. X, et cordi sit de puncto eodem propositum efQcere; resi- 
duum igitur distantiae semicirculo detractae erit grad. XXXXV, quos cum de- 
clinationis complemento per introitum secundum organo ingerens ezcipio pri- 
mum inventum fere partium XXXXlILi et min. XX, cuius complemento grad. 
XXXXV min. XXXX atque declinatione graduum X per quintum aut primum 
introitum secundum exit inventum partium XIIII min. XV, quibus regionarìae 
latitudinis complemento detractis grad. remanent XXVI cum min. XXXXV. 

Horum deinde complemento partium LXQI min. XV atque inventi primi 
complemento grad. XXXXV min. XXXX per introitum secundum gradus exeunt 



a) He. hat XXXIX. 



sin I (90« - / « 2;SB im A SB-TJ)) und sin II = ^^, wie oben. {II « -^ 

ZV^B im A ZSBD.) Ist nun 77 « 90® — 9, so steht der Stem im Horizont, 
und die Polh5he Uber seinem Positionskreis ist die geograpbische Breite. Ist 
aber 77 ^ 90® — 9), so bildet man ± (77— (90® — 9)) = a; « M'T — 
M'3t — 9lTund oca 777= cos x cos 7 (777 « 312? im A 81SB2;) und nun, 

wie oben, sin IV — -.- ^fj- usf . 
' 8in m 



118 Liber tertìm. 

317' LUI cum min. XY fere, | quibus quadranti sublatìs tertiam relinqnitnr in- 
ventum partium XXXVT min. XXXXV, quibus et invento primo grad. XXXXlTI 
min. XX per primum aut quintum introitum prò invento quarto *) gradu 
ostenduntur fere LIX. His tandem atque latitudine regioni^ grad. XXXXIX 
intentum, poli elevationem, secundo^) fere colligìmus introitu partium XXH 
et min. X fere. 

Proporitio LIIL 

Poli subiecta septemtrionalis altitudine supra quempiampo- 
sitionis circulum, quantus sit aequatoris arcua ab eodem positio- 
nÌ8 circulo atque meridiano comprehensns, esplorare. 

Igitur facto introitu decimo cum data poli elevatìone supra circdun 
positionis in basi recensita cumque regionis latitudine, arcus itaque comparti 
complementum ostendit propositum. 
317'' Ut regione, cuius latitudo fuerit grad. XXXXIX, | aliquis positionis dr- 

culum habeat polarem elevationem grad. XXXII. Uis ergo supra basim com- 
putatis cum latitudine regionis partium XLIX partes eliciuntur LVll min. X, 
quarum complementum grad. XXXII min. et L est arcus quaesitus. 

Item sic aequedistantibus efBciemus; meteoroscopium ingrediamur per 
introitum primum aut quintum cum regionis latitudine atque cum altitadine 
polari supra datum positionis circulum, arcuque invento gradibus LXXIX 
detraete, relìquum deinde cum complemento polaris altitudinis supra cùrcalum 
positionis primo vel quinto item introitu arcum praebebit, quo partibos XC 
subiate^) liquet intentum. 

Velut in regione, cui polus mundi aquilonaris elevatur grad. XXXXÌX, 
sit intentio nostra propositum efficere prò circulo positionis, cui polus idem 

a) Hb. hat secundo. b) Ha. hat quarto. e) Hs. bat suolata. 



Beispiele: 1. * — 26^ ft — 30^ g> — 49*. Resultate: J— 26*40', 
//- 2H^ 7/J- 62MO', JV - 27® 40', n - 20® 20'. 

2. *-42^ ^-38^ 9-49«. Resultate: /-27«, JJ -49«-y, 
n - 20®. 

3. * - 40®, (i - 90®, q> - 49®. Resultate: III ^ 65® 10', /- 90* 
— d - 50®, IV « 57^®, it - 391®. 

4. |ii« 135®, *-= 10®. Resultate: 7- 44® 20', 77— 14® 15', «« 
26® 45', 777- 36® 45', 7 K=- 59®, 7t - 40® 10'. 

63. Proposition. 

BestimmuDg des Bogens auf dem Aquator zwischen Meridian- 
und Positionskreis aus der geogr. Breite und der PolhOhe ùber 
dem Positionskreis (Fig. 36). 

Man bildet sin r - ^— (Aufg. 10). 

Beispiel: (p - 49®, n = 32®, r - 32® 50'. 

Lòsung per aequedistantes: cos x — . , cos r ■- — • 



i 



Liber teiiins. 



119 



paridbas XVII elevatnr; facto ergo primo aut quinto introita cum subiectae 
regionis latitudine grad. XXXXIX atque cum data poli supra positionis cir- 
colum elevatione grad. XVII, cum complemento subiectae supra positionis 
circulum altitudine grad. LXXIU rursus aut quinto remissam introitu grad. 
LXXIIII fere, quorum complementum partium XVI quaesitus habetur arcus. | 



Propositio Lnn. 318" 

Domicilia caeli duodecim iuxta JohannisdeBegiomonte tradi- 
tionem constituere. 

Inprimis igitur duae polares elevationes supra duos positionum oirculos 
per L buius sunt inveniendae. Una ad positionem puucti unius aequatoris 
ab datae regionis meridiano gradibus XXX ^) recedentis, altera prò alterius 
positione puncti et in ipso aequatore etiam sumpti partibusque LX^) ab eo- 
dem meridiano distantis. Prior itaque polaris elevatio^) duobus inserviet domi- 
bus, XL^^ scilicet atque tertiae, posterà vero duobus quoque domibus, XII '"^ sci- 
licet atque secundae, accomodabitur. 

Hae autem polares elevationes in una regione semel inventae semper 
eidem manebunt, atque eam ob rem sunt seryandae. Hac denìque duplici et 
polari positio.num duarum elevatione reperta prò tempore dato M. C. caeli 818^ 
supra terram per XXQ buius inveniatur, cuius ascensioni rectae [per eandem 
repertae gradus XXX iungantur et aggregatum boc obliqua erit ascensio do- 
mus undecimae, cui deinde aggregato partes item XXX coacerventur, excre- 
scensque sunmia obliqua constituatur ascensio domicili! duodecimi, buius pro- 
ximae coacervationis multitudini partibus adiectis denuo tricenis obliqua con- 
fiabitur ascensio prò ascendente zodiaci puncto, eidem denique^) ascensioni 

a) Hb. hat LXXXX. b) Hs. bat XC. e) Ha. bat éleoatio korr. auB devationis, 
d) Nach denique hat Hs. das Wort puncto gestrichen. 

64. Proposltton. 

Eonstruktion der li „nim- 
melswobnungen*' nach Johan- 
nes Regiomontanus (Fig. 40.) 

Man bestimmt zunftchst 2 Pol- 
h5hen fOr 2 Positionskreise, die auf 
dem Àquator einen Bogen von 30^ 
bzw. 60® abschneiden. Der erste 
dient febr das 11. und 3. Hans, der 
zweite fùr das 12. und 2. Hans. Aus 
der L&nge und dem Stundenwinkel 
der Sonne bestimmt man nach Prop. 
22 Lftnge Xm und Bektaszension ajf 
von M (— 10. Haus). um + 30® ist 
dann die asc. obi. des 11. Hauses, 
tfjr + 60® des 12. Hauses, ajf + 90® 
des 1 . Hauses oder des „Horoskops^ usf . vig. 40. 




120 Idber tertiiu. 

paries bi trìcenaa congregentur, obliqua secondi ascensio domicilii*) eonata- 
bit, cui postremo XXX gradibns adiectìs obliquas tertìi asoensiones obtiiiebi- 
mus domicìlii, undecimae quidem et tertiae domns, obliqois ascensLonibiis iuta 
priorem poli elevationem ascensionibus yero duodecimae atque secimdae per 
bosteriorem in signiferi arcus singnlatim oonversis. 

Guspìdes ergo qnaeratur domorum undecimae scilicet duodecimae et 86- 
condae tertiaeque constabunt. At boroscopi ascensiones per snbiectae regionis 
latitudinem in signìferi portionem convertemus^ reliqua reperiemns domidli- 
orum principia per inyentarum cuspidum diametros, nndedmae namque domui 
819' quinta per diametrum opponitur et duodecimae sexta, seoundae | octava, et 
tertia nonum a regione collocatur domicilium. 

Ut autem praemissa cognitu fiant faciliora, boc declaranda sunt exem- 
pio. Sol ipse post aliquem meridiem boris X min. XXXI unius borae in parte 
XX VI leonis vebatur; esto ad id momenti propositum duodecim caeli cuspides 
seu domiciliorum initia prò regione, cuius babetur latitudo partìum XXXXTX, 
iuxta banc institutionem erigere. Igìtor per L buius duas inverno polares eie- 
yationes, quarum una est grad. XXX atque domibus duabus, undecimae ter- 
tiaeque, inseryiet, altera yero grad. XXXXV ac domiciliis quoque duobus, XQ*^ 
scilicet ac secundo^), accomodata. Hi denique numeri polares duo ad latìta- 
dinem partium XLTK. non yariantur unquam. Ideo repertos semel eos esÀem 
regio perenni mandat memoriae. Pro dati deinde momenti tempore M. C. per 
XXn buius inyenitur gradus 1111 aquarii, cuius ascensio recta graduom babe- 
tur CCOYI et min. XYI fere, cui XXX partibus adiectis ascensionis demos 
undecimae partium COCXXXYI min. XYI emerget fere, quibus denoo XXX 
gradibus adiectis partes GCGLXYI cum mi. XVI excrescont, quibus integra 
circuii revolntione, quae partibus constat CCGLX, sublata, residunm erit par- 
si g** timn VI min. XVI, quae sunt ascensiones domus duodecimae. His mrsas 
adiunctis grad. XXX ascensiones boroscopi consurgent obliquae partìum XXXVI 
min. XVI. His si XXX item gradus adicero domicilii secundi, constìtuentor 
ascensiones partium LXVI min. XVI, quibus demum eisdem xxx partlboa 
coniunctis ascensionis babeto domus tertiae partium XGVI mi. XVI. 

Nunc secundum doctrinam praemissam ascensionibus obliquis duonun 



a) Hs. hat domieais. b) Hs. bat XI»<> ac UHio. 



Die „Spitzen" der Hauser d. b. die Schnittpunkte der Ekliptik mit den den 
einzelnen Hausem entsprecbenden Positionskreisen 11) » 30^, 12) » 60^ 
1) =, 90® = Horizont, 2) « 60®, 3) « 30") werden mit Prop. 20 bestimmt 

Beispiel: t - 10*» 31», A, = 144®, q> = 49®. Resultate: «^ - 30' 
Tt, c= 46®, Xm - 304®, UM - 306® 16 ', a^, - 336® 16', a^^ = 6® 16', «, - 36* 
16', a, = 66® 16', a, - 90® 10'. X^^ - 326|®, Xj, = 12®, k^ - Horos- 
copus == 644^®, A, =» anaphora ascendentis =« 92®, Ig «= cataphora 108^®. 

65. Proposition* 

Bestimmung der yon denjenigen Positionskreisen aof dem 
Àquator abgeschnittenen Sttlcke, die den Qoadranten des Verti- 
kalkreises in 3 gleicbe Teile teilen (Fig. 41). 



Liber tertkiB. 



121 



domìcilionun, andedmi atque tertii, iurta polarem eleyationem graduuin XXX 
per XX huins conversìs in duos signiferi aroas coUigo inprimis prò undecimi 
domidlii cuspide partes XXVI et semis aquarii fere et tertiae cnspidis partes 
XVJLll et semis aquarii fere et tertiae cuspidis partes XVIII et semis cancri. 
Deinde ascensionibus obliquis duorum domiciliorum, duodecimi atque secundi^ 
iuxta polarem eleyationem partium XLV in signiferi arcus per eandem con- 
versis reperio cuspidem duodedmae domus in grad. XII arietis, secundae vero 
domus partes II cancri; obliquis demum ascensionibus horoscopi iuxta polarem 
eleyationem seu regìonis latitudinem subiectae partium XLIX iuxta eandem 
XX commutatis in signiferi arcum inyenio boroscopum in grad. UN et quasi 
semis geminorum supra positum borizontem emersisse. 

Nunc autem, quae dieta stmt, summarie repetam. Regium dolmiciHum 320' 
ex aquarii signo partes quatuor possidet. Undecimum partes XXVI et semis 
eiusdem, duodedmum ab boroscopo domicilium tenet arietis partes XH, horos- 
copas babet partes ULLL et semis geminorum, ascendeotis anapbora cancri grad. 
n, catapbora eiusdem partibus XVIII et semis eiusdem cancri constituuntur; 
ceteras caeli cuspides bis inyentis ignorabit nemo, qui fontes m*aniae prìdem 
deliberayerìt, summis yix labris etiam admotis. 



Fropositio LV. 

Distinctis in tres aequas partes singulis ex circulo yerticalis 
quadrantibus, qui horizonte dato et eius meridiano separantur, et 
designatisperduaquaeque cuiuslibet quadrantis sectionum puncta 
duobus positionum circulis inter eos conclusas aequatoris | por- 320^ 
tiones numeris agnoscere. 

His igitur aequatoris portionibus in uno eius quadrante compertìs ipsae 
quoque in reliquis quadrantibus non latebunt. Nam illae compares yidelicet 
comparibus aequantur sibi inyicem; ut aequatoris ea portio, quam borizon et 
proxlmus supra eimi positionis drculus comprebendit, par est illi aequatoris 
portioni, quam idem borizon et proxlmus infra eum positionis circulus pari 
yerticalis interyallo circuii ab eodem secedens concludunt, et ita de reliquis 
aequatoris particulis huiusmodi. 

Propositum igitur esto illam aequatoris reyelare portionem, quae dato 



Der Bogen, den der ZF=— rj^=- 30* gegen den 
Meridian geneigte Positionskreis auf dem Aquator 
abscbneidety beiBt nacb Regiomontanus ^^intersti- 

COtflT T 

tium des 10. Hauses*^ Man bildet cotg iha^ — -^— ^- 

^ ^^^ eoa qp 

(Aufg. 8, im A M^N ist ^ - MN). 

Beispiel: 9)-49^ ftio-^O^éS' ftlr rj^- 
30*. Die anderen findet man folgendermafien: Man 

bUdet (fttr r^ - 30*) cotg fi - ^^'^^ ; dann ist 

f*i, — 90*— fi — SB JT das interstitium des 1 2. Hau- 
808, und fi^j — 90* — f*u — fHo — ^^ ^*3 des 
11. Hauses. 




Flg. 41. 



122 I<iber Urtiat. 

meridiano atque propinquo deprebensa positionìs circnlo, qtii cnm eodem meri- 
diano trìcenas ex verticali circnlo partes complectdtur. 

Hunc aeqaatoris arcum Johannes de Begiomonte saper tabnlis directorus 

interstitiam decimae domus appellat Hoc autem interstitiam sic myeniemus; 

facto scilìcet introitn octavo cnm gradibus LX sapra basim nomeratìs atqne 

321' cnm subiecta regionis latitadine, extractì enim | arcas eomplementnm nostrun 

patefaciet intentionem. 

Ut in regione latitudinis XXXXIX partium, si veUrn decimae domns in- 
terstitiam habere, ingredior ad meteoroscopium introita octayo cam gradibus 
LX sapra basim compntatis atque cum dieta latitudine gradunm Xxxxlx et 
excipio partes LXIX min. XV, quibus ex quadrante sublatìs quaesiti remanent 
interstitii partes XX min. XXXX Yfere. Arcum autem illum aeqnatoris, qnem 
interstitium domus XI "^ idem Joannes yocat, sic reperiemus. Facto scUicet 
introitu octavo cum grad. XXX supra basim recensitis atque cum supposìta 
regionis latitudine arcuque comperto, qui domus duodecimae dicatur intersti- 
tium, de partibus complementi interstitii domus dedmae pridem inventi sub- 
traete reliquum erit interstitium domus undecimae. 

Yelut prò numerando undecimae domus interstitio ad regionem, cuius la- 
titudo fuerit partium XLIX, ad organum accedens introitu octavo cum grad. 
XXX supra basim computatìs atque cum subiectae regionis latitudine partiom 
XLIX partes elicio XLI min. XX fere, quas nuncupo duodecimae domus inter- 
321^ stitium, quibusque demptis de interstitii do|mus decimae complemento gra- 
dunm LXIX min. XV partes remanent XXVII min. LVI fere, quae nominentur 
interstitium domus undecimae hactenus investigatum. 

Haec eadem domiciliorum interstitia solis etiam aequedistantibus sic con- 
stabunt. Nam prò interstitio domus decimae meteoroscopium inprinds consn- 
lemus introitu secundo cum gradibus XXX atque cum latitudine subiectae re- 
gionis, ac deinde iuxta primum aut quintum introitum cum excepti arcos 
complemento atque cum gradibus LX meteoroscopium repetentibus nobis qui- 
dam offertur arcus, quem si ex quadrante toUamus, desideratum dedmae do- 
mus relinqoitur interstitium. 

Ut si in regione latitudinis partium XLIX decimi domicilii proponam 
interstitium numerare. Igitur ingredienti mihi per introitum secundum grad. 
XXX atque cum data latitudine partium XLIX excipio partes XXII; cum ea- 
rum deinde complemento grad. LXVIII atque cum partibus LX primo aut 



Beispiel: ^j, = 42® 20', ft^ — 27® 56'. Die Summe mufl 90® geben, also 
gentLgt die Bestimmung der 2 interstitia fijg und fAj,. 

Lòsung per aequedistantes. sin x —> sin r^^ • sin 9, oos jitio *~ '* 



cobo; 



Ebenso sin y = sin r,2 • sin q> und sin ftjj «= — • Berecbnung: x = 22* |»]o 

- 20® 45'; y - 40® 40', ^„ =• 42® 20', fi^^ = 27® 66'. 



56. Proposition. 

Eonstruktion der 12 Himmelswohnungen nach Gampanus. 

Man bestimmt zun&cbst die Interstitien des 10., 11. und 12. Hauses nach 
der vorigen Proposition, dann nach Prop. 10 die Polhohen filr den Positionf- 



i 

ì 



Liber teriiiis. 123 

qainto introita milii rorSìiB accedenti partes exhibebuntor LXIX min. XY, qui- 
bns ex quadrante demptU partes relinquuntur XX min. XXXXV, decimae 
scilicet domns interstitinm. Pari ratione interstitium | domus XII"^ perqui- 822' 
remns, quod demum undecimae domus interstitium liquebit. Meteoroscopium 
enim introita secundo inprimis accedentes cum grad. LX atque cum subiectae 
regionis latitudine; postea yero cum extracti arcua complemento et gradibus 
XXX iuxta primum aut quintum introitum ad idem organum accedentes XIP^ 
domus exoipiemus interstitium, quod si complemento interstitii domus decimae 
toUamuS; imdecimae domus interstitium residuabii 

Velut accedenti mihì secundo introitu ad meteoroscopium cum grad. LX 
atque cum regionaria latitudine partium XLIX min. XXXX, quarum comple- 
mento partium XL min. XX atque gradibus XXX partes demum primo vel 
quinto introitu prodibunt XXXXII*) min. XX, quae sunt XII ™^ domus inter- 
stitium. Quibus tandem de complemento interstitii domus decimae sublatis 
partes remanent XXVII mi. LYI, quae undecimae sunt domus interstitium. 

Id etiam silentio non est praetereundum trium domiciliorum tria haec 
interstitia quadrantem coaequare; unde liquet, quod babitis duobus eorum, et 
tertium non ignorabitur. | Nam per subtractionem duorum cognitorum inter- 822^ 
stitionum pariter ex grad. LXXXX tertium quoque notum relinquetur. 

Propositio ITI. 

Duodecim caeli cuspides seu domicilii iuxta Campani et quo- 
rundam aliorum opinionem erigere. 

Igitur primum interstitia tria domorum trium, decimae scilicet undeci- 
mae atque XII"^, per praemissam reperiantur, quae ad eandem regionem semel 
inrenta cuncto temporis inserviunt momento. Ideo semel inventa custodiantur 
accuratius. Deinde per L huius polaris non desit nobis elevatio supra positi- 
onis drculum prò eo aequatoris puncto, qui a subiecto meridiano domus in- 
terstitio decimae recedat. Hic autem polaris numenis undecimae domus habeat 
cognomen. 

Post haec per eandem alia inveniatur eleyatio polaris supra positionis 
circulum eius | in aequatore puncti, qui ab eodem distet meridiano per eum 828'' 



a) Ha. hat XXXI. 



kreis, der auf dem Àquator das Interstitium des 10. Hauses abscbneidet, die 
sogenannte ^Polzahl des 11. Hauses", und ebenso die Polzahl des 12. Hauses. 

Denn berechnet man, wie oben, L&nge I^q und Rektaszensìon 0^^ von itf, 
dann ist a^^ » a^^ -j- fi^^ die asc. obi. des 11. Hauses, a^^ ™ <^ii 4- fhi des 12., 
"1 ^^ ^1% "t" f*ii ^®8 Horoskops, «j « a^ + f^, des 2., «3 = «j + f*ii des 3. Hauses. 
Nun werden bieraus die Lftngen, wie oben, berechnet; A^j und A3 mit der Pol- 
zahl des 11. Hauses, X^^ und X^ mit der des 12., l^ direkt. 

Beispiel: 9 « 49®, t — lO'^Sl", A,=- 144<>. Resultate: ti^^^^O^U^ 
fi^i« 27^56', |»i, = 42®2l'; n^^^22^10\ tt^, «40®49'; A^o *= 304«, «,o 
— 306<>16'; «11 = 327^ a„-'354®66', «^-37^ 7, a,«77<>36', «3 = 105^32'. 

Hieraus: À^ - 318«, A^, - 351^ X^ - 64^^ A, - 98^40', Aj - 113« 



124 Liber tertiuB. 

arcum, qui constai ex duobus interstitiis, decimi scilicet atqne nndecimi do- 
micilìi. Sitque polari buie numero duodecimae domuB cognomentom. Hi quo- 
que numeri polares prò eadem regione semel inventi, quemadmodum praemissa 
domorum interstitia, nullo unquam variantur tempore; igitur et ipsi memoriae 
mandentur perenni. Delude per XXII huios prò subiecti momento temporis 
M. C. supra terram eiusque recta ascensio constent, cui decimae domus adi- 
ciatur interstitium, ipsumque boc aggregatum obliqua oonstituatur asoensio 
cuspidis undecimae, cui item domus undecimae interstitium addatur, et summa 
baec erit XIP^ domus ascensio obliqua. His depique domus XII*^* intersti- 
tium iungatur, et collectum hoc ascensio sit obliqua ipsius boroscopi. Hnie 
rursus interstitio XII™** domus coniuncto ascensiones emergent obliquae se- 
cundi ab boroscopo loci. Huius demum ascenslonis numero domus undecimae 
congrego tur interstitium. Consurget itaque ascensio obliqua tertii ab boroscopo 

323"" domicllii. Horum postremo domicilio | rum obliquas ascensiones iam inventas 
per XX buius in arcus eclipticae convertamus, et in primis duas obliquas 
ascensiones, undecimae*) scilicet et tertiae domus, iuzta polarem numerum un- 
decimae domus, deinde ascensiones obliquas duodecimae atque secnndae domus 
per numerum polarem duodecimae domus, boroscopus vero, id est signiferi 
punctus supra regionis emergens borìzontem, et sua obliqua constabit ascensio 
iuxta subiectae regionis latitudinem. 

Velut in regione, cui polus septemtrionalis gradibus elevatur TYYYTY^ 
propositum esto boris X min. XXXI post meridiem aliquem sole in grad. 
XXIV ^) leonis constituto duodecim caeli domicilia iuzta Campani constmere 
opinionem. Ergo per praemissam interstitium domus decimae partium babe- 
bitur XX et min. XXXXUil et interstitium domus undecimae grad. XXVII 
min. LVI; interstitium deniqu^ domicilii Xn°* grad. XXXXH*) min XXL 
Numerum quidem polarem domus undecimae grad. XXQ min. X, numerum 
yero polarem duodecimae domus partes XL min. XXXXIX coUigimus; prò 

324' data deinde bora per XXII buius M. 0. supra terram deprebenditur grad. ini 
aquarii, cuius per eandem ascensio recta reperitur partium CGCVI min. XVI, 
quibus adiecto interstitio domus decimae, ascenslonis obliquae domus XL"** 
excrescent grad. GOCXXVU*^) min. nullo. His addito undecimae domus inter- 
stitio partes ascenslonis obliquae domicilii duodecimi consurgent GCCLIIII 
min. LVI. Ad eas denique iuncto duodecimae domus interstitio obliquae pro- 
dibunt ascensiones boroscopi partium XXX Vii*) min. XVH, quibus adiecto 
Xn™^ rursus domicilii interstitio ascensio coacervabitur obliqua secundi ab 

a) Hb. bat undecima, b) Hb. bat XXVI. e) Hb. bat XXXXl. 

d) Hb. bat CCCXXVI. e) Hb. bat XXXVI min. XVI. 



67. Proposition. 

Konstruktion der 12 Himmelsbauser nacb der gew5bnlicben 
Methode. 

Man bestimmt die Lftnge des gerade aufgebenden Punktes des Tierkreises 
nacb Prop. 23 imd seinen balben Tagbogen t nacb Prop. 13, femer die Lange 

kiQ und Bektaszension a^^ yon M. Dann ist c^u = <Vio ~h t ^* ^ ^^ ^^* Hauses, 



j 



Liber tertias. 125 

boro8copo loci grad; LXXYIL min. XXXVI, quibns demnm aggregato undeci- 
mae domus interstitio domus iertiae obliqua conflabitur ascensio grad. CV et 
min. XXXn. 

Hìb ascensionìbns obliquis iuxta praemissam doctrìnam in arcus zodiaci 
conyersis obtinebimus prò domo undecima partes XVm aquarii, prò XII* grad. 
XXI piscium, prò ascendente partes ITTI et semis geminorum, prò secundo ab 
boroscopo loco grad. Vili min. XXXX cancri, prò domo tertia grad. XYTTT 
cancri. His itaque compertis reliqua innotescent domicilia; quod est proposi- 
tum. I 

Propositio LTII. 324^ 

Buodecim caeli domus iuxta veterem yulgatumque morem in- 
stitnere. 

Igitur subiecto temporìs momento per XXTTT huius punctum zodiaci com- 
perìatur orientale, cuius per XIII huius arcus accipiatur semidiurnus; medium 
quoque coeli supra terram per XXII innotescat; arcum deinde semidiurnum 
horoscopantis eciipticae puncti tres in partes scindamus aequas, quarum quae- 
libet ipsius erit semidiumi tertium, quo cum ascensionibus M. C. rectis addito 
rectae consurgent ascensiones undecimi ab boroscopo loci. His eodem tertio 
rursus adiimcto domicilii duodecimi rectae resoltent ascensiones, quibus denique 
hoc ipsum tertium item adiectum horoscopi constituet ascensiones rectas. Post- 
haec idem arcus semidiumi tertium ex LX grkdibus auferamus, et tertia se- 
minoctumi pars | eiusdem horoscopi remanebit, qua cum eiusdem horoscopi ^^^^ 
rectis ascensionibus aggregata tertii ab boroscopo loci rectae non latebuut 
ascensiones, rectis demum his ascensionibus singulorum domiciliorum prìdem 
inventis in zodiaci portiones*) per YI^) huius conyersis domiciliorum^) sex, 
una cum M. C. pridem reperto initia constabunt, quibus per diametrum oppo- 
siti sex alii ex signifero puncti reliqua sex domiciliorum exordia declarabuni 

Yelut in regione, cuius latitudo fuerit graduum XXXXIX, si velim per- 
hebo percurrente gradum quintum piscium iiixta hunc yeteris aequatoris mo- 
dum duodecim caeli domus aedificare. 

Igitur per XYTTT huius aut eius sequentem prò dato tempore comperio 
in boroscopo partes VII aquarii fere, cuius ex Xill arcus semidiurnus est fere 
graduum LX VII min. XV, et per XXII M. C. supra terram invenitur fere gra- 
duum TIIT^) sagittarii, cuius ascensio recta est fere partium CGXUI min. Vili; 

a) portùmes hat Hs. zweimal. b) Ha. hat XX. 

e) pridem . . . domiciliorum hat Hs. zweimal, daa zweite Mal gestrichen. 

d) Hs. hat mi korr. aus LX (?). 



^'if "■ *^ii + tt ^^8 ^2- Hauses, a^ = a^, + des Horoskops; t' = 180® — t ist 

der balbo Nachtbogen, also «^«=«1+ die R. A. des 2. Hauses, ci^='oc^+ ^ 

des 3. Hauses. (Der Verfasser bildet: «j = «i + 60®— g J • Mit Prop. 6 wer- 

den nun dieso Rektaszensionen in L&ngen verwandelt. 

Beispiel: 9=49®,A,=336® Resultate: ;ii(Horoskop) =307®,f=-67®15', 

Z,«244®, «,=-242® 8', |«22®25', «^-2(34*33', a^^ = 2SS^5S\ ai=309®23', 



\ 



126 Liber tortini. 

quibas si coacervavero praemissi semìdiami tertìiim) idest grad. XXII mio^ 
326^ XXV I rectae ascensiones undeoimae domus exorescent partium CCLXJJil miii. 
XXXin. His eodem quoque tertìo coniuncto rectae ascensiones Xn*"^ domus 
exibunt grad. CCLXXXVI min. LVIII; quibus boc eodem tertio rorsus aggre- 
gato partes emergunt CCCIX min. XXUI*), rectae scilicet ascensiones hon>- 
scopi, dempto nane hoc tertio ex partibus LX reliquum erit gradunm XXXYU 
mina. XXXV, quos si boroscopi rectis adiecero ascensionibus secundi ab boro- 
scopio loci rectae resultabunt ascensiones partium GCOXLVI nùn. LYIII, ad 
quas demum eisdem gradibus XXXYII com min. XXXV additis et ex aggre- 
gato integrum exsuperante circulum gradibus GCGLX sublatis relinquentur 
partes XXTTTT min. XXXUI, rectae scilicet ascensiones tertii ab horoscopo loci 
Hoc praesertim ac generaliter admonendum est, quotiens aggregatum aliquod 
partes GCCLX, idest integram circuii peripheriam, superaverit; ex eodem 
aggregato bis eisdem GGGLX partibus ablatis reliquum erit intentum, et e- 
centra, si ex arcu proposito arcum quondam aliam subtrahere iussi nequeamus, 
arcui dato circulus accommodandus est. 

Eisdem demum ascensionibus rectis in signiferi arcus per VI huius com- 
826' mutatis I invenio cuspidem domus undecimae partium XXV sagittarii, domus 
duodecimae initium grad. XV min. XXXX caprìcomi, boroscopium partes VII 
aquarii, cuspidem secimdi ab horoscopo loci grad. XV min. XXXXV piscium, 
initium postremo tertii ab horoscopo loci grad. XXVI mi. XX VII arietis. His 
cognitis et reliqua domicilia non ignorabuntur; quod est propositum. 

Propositio LYin. 

Vero sideris alicuius loco atque eius latitudine cognita decli- 
nationem ipsius ab aequatore, nec non et eclipticae gradum, quo 
subiectum sidus caelum mediat, invenire. 

826"^ Stellae in alterutro solstitiorum puncto coUocatae latitu dinem cum maxi- 

ma solis declinatione congregabimus, si eiusdem fuerit denominationis seu par- 
tis, aut alteram ex altera subtrabemus, si in diversas yergant partes; et resi- 
duum sui totius denominationem sortitum erit quaesita declinatio. 

Sed sidere locato in capite arietis aut librae secundus fìat introitus com 
complemento maximae declinationis solis atque cum latitudine data; arcus 
enim sic elicitus declinationem praebebit eiusdem partis, cuius est latitudo. 

Sed alibi sedem habente sidere, igitur distantia sideris ab alterutro aequi- 
noctiaiium punctorum, utri vicinius ipsmn accesserit, supra basim computata 
cum subiecta latitudine iuxta tertium introitum meteoroscopio conmùttatur, et 
arcus elicitus prìmum vocetur inventum, sicque manente regula per introitum 

e) Hs. hat lU. 



a,-346®58', a, -24^33'; k^^^26ò^, k^^^2S5^iÒ\ X^^SOl^ i,-345«45', 



Xs— 26«17'. 



58. Proposition. 

1. Bestimmung der Deklination 6 eines Sternes aus seiner 
Lange A und Breite j3 (Pig. 42). 



Liber tertius. 127 

quartmn alitis extrahatur arcua, qui secundum esto ìnyentum, qnod eandem 
semper cum subiecta latitudine sortitur denominationem, ut si latitado fuerit 
borealis appellata, secundum inventum quoque boreale dicendum est, Illa vero 
merìdìonalem seu austrinam babente nuncupationem eandem etiam secundum 
Ìnyentum*) suscipit | austrinae seu meridionalis plagae appellationem; ergo 827" 
secundum inventum cum nomine suo diligentur observandum est; quod si locus 
ipsius sideris in semicirculo signiferi constituatur eiusdem nominis, quod secun- 
dum inventum pridem servatum sortiebatur, ipsum cum maxima solis declina- 
tione coacervatum constitnet quaerendae dedinationis argiunentum, eiusdem 
quoque nominis seu appellationis aut borealis aut meridionalis, quam ipsa 
possidet latitudo vel inventum secundum. Sin autem semicirculus signiferi, 
verum stellae seu dati sideris locum continens appellationem habuerit diver- 
sam a denominatione ipsius inventi secundi, boc est, si stellae locus borealem 
signiferi teneat, inventum secundum sit austrinum aut econtra secundo invento 
boreali constituto semicirculus signiferi stellae datae locum continens sit au- 
strinus, ergo maxima solis declinatio secundo detrabatur invento, vel contra 
secundum inventum maximae solis declinationi dematur; quodque reliquum 
est, declinationis argumentum item vocetur sortiens denominationem a suo tote, 
cnius erat pars seu residuum; invento autem | secundo maximam solis decli- 827'^ 
nationem acquante datum sidus ab aequatore declinationem babebit nuUam, 
saltem ipso invento secundo diversae deuominationis ab eadem declinatone 
constituto. Zodiaci autem semicirculum borealem dico eum, qui ex capite 
arietis incboans per successum signorum in librae principium finitur. Nam per 
eum sol discurrens ab aequatore declinationem possidet borealem, alter vero 
signiferi semicirculus, qui ab librae principio incboans iuxta signorum seriem 
in caput arietis terminatur, austrinus appellatur, quod in eo sol demorans 
austrinam ab aequatore recipit declinationem, quapropter maxima solis decli- 
natio suam sortitur denominationem a semicirculo zodiaci verum stellae locum 
continente. Ad postremum ergo praemisso declinationis argumento atque in- 
Yento primo per introitum secundum diu investigatam obtinebimus declina- 
tionem eiusdem partis seu denominationis, cuius fuerat declinationis argu- 
mentum. 

At eodem argumento quadrantem acquante inventum pri'mum desidera- 328*' 
tum exhibebit declinationem. Quod si maius quadrante argumentum idem 
faerit, ipsum semicirculo detrabatur, reliquo perinde ac declinationis argumento 
utamur. Idem quoque reliquum eandem servabit denominationem cum suo 
aggregato, quod pridem semicirculo detrabebatur. At sidus nuUam possidens 
latitudinem ab ecliptica sortitur declinationem, quam verus babet ipsius locus. 



a) Nach mvenium bat die Ha. die Worte quoque boreale dicendum est ge- 
ftrìcben. 



SpezialfSlle: 1. À = 90®; 6 = p — e. 

2. il =■ 0®, sintf =» cosf -sin/J. 

Allgemeiner Fall: Man bildet: cos J= cosi • cos^ (Aufg. 3. J« VZ 
im A V2D), und tg JJ= ^ (Aufg. 4, II^^ZVD ìmAZVD). Dann 
ist das „argumentum declinationis^' Ad =* MN = e ± J/, je nacbdem j3 pò- 



128 



Libar teztiiis. 



Haeo demum tali dedarantur exemplo. 

Velut dato sidere, cuius verufl in signifero locus sit grados XV tauri; 
latitado vero borealis gradaum XXVI min. XX, et propositum esto declina- 
tionem dati siderìs ab aequatore computare. Igitnr ingrediens ad organom 
cum distantia subiecti sideris ab initio arietis, quod est punctas aeqnalitatis 
vernalis, grad. XXXXV supra basim numerata atque cum ipsa declinatioDe 
graduum XXVI per tertium introitum elicio gradua L min. L fere prò invento 
primo; itaque manente regula iuxta introitum quartum denuo redeunti mihi 
gradus offeruntur XXXV, secundum videlicet inventimi borealis denominationis; 
828^ nam | et data latitudo borealis fnerat. Cum autem signeferi semicirculos stellam 
ipsam coUocans sit quoque borealis, igitur maximam solis declinationem ad- 
dens secundo invento etìam borealis cognomenti constituo declinationis argn- 
mentum partium LXVIII min. XXX seu semis fere, cum quibus deinde atque 
cum invento primo grad. L min. L per introitum secundum quaeditam depre- 
hendo declinationem partium XLI min. XX, cuius pars borealis habetur. Nam 
et eius argumentum boreale constituebatnr. 

Aliter etiam deprehendemus ip[s]am declinationem per solos aequedistan- 
tes. Meteoroscopium enim ingredientes cum datae latitudiniB complemento at- 
que cum distantia sideris ab altero punctorum solstitialium, utri eorum locns 
sideralis accesserìt vicìnius, per secundum introitum elioimus arcum, cuius 
complementum esto inventum primum, cum quo deinde atque cum ipsa latitu- 
dine sideris iuxta introitum primum aut quintum organo reincidentes secun- 
329" dum accipimus | inventum, quod, ut ante traditum est, latitudinis habet appel- 
lationem vel borealem vel austrinam, quod quidem secundum inventum maxi- 
mae solis declinationi iungamus aut detrabamus vel ex eodem invento secundo 
ipsam maximam solis declinationem auferamus. 

Velut praecedens admonuit praeceptio, ut scilicet declinationis argumen- 
tum eluceat, quod demum argumentum cum invento primo iuxta secundum 




sitiv oder negativ ist, und sind » 
sin-^D • sin J (Aufg. 2, d = ZF im 

A £ VP). 

Ist II ^ By so ist die Dekli- 
nation d » 0; ist Ad °" 90, so ist 
d =- J, ist ^ > 90*, so rechnet man 
mit 180®-^/). 

Beispiel: l « 45^ (3 - 
26^20. Resultat: J— 50*^50',/J 
-36^ ui/)- 68^30', d- 41*20'. 

LOsung per aeqnedistan- 
t e 8. Man bildet: cos J »« cos § cos i, 

Bini 

sin JJ ■= ^^ zrr^r::^ odcr 



wie oben, dann sin II 



( 



Fig. 42. 



yi — C08*/J C08»l 

. , J\. 



ttrB 

tg J/— -r - wie oben 



Liber tertiai. 



129 



introitum optatam praebebit declinatìonem eiusdem partis aut borealis aut 
austrìiiae, cuìus argmnentum declinationis habebatur. 

Velut oblato sìderis eiusdem vero loco, in grad. XV tauri cum boreali 
latitudine partium XXVI intentum esto ipsius ab aequatore declinatìonem hac 
ìuTestigare yia. Igitur cum distantia veri loci ab puncto solstitii aestivalis, 
cum ipsum sidus astat propius, grad. XXXXV atque cum complemento latitu- 
dinis graduum LXDI min. XXXX*) introitu secundo partes eztraho XXXIX min. 
fere X, quorum complementum graduum L min. L | primum est inventum, ^^^^ 
quod deinde cum ipsa latitudine grad, XXVI per introitum primum aut quin- 
tum rursus inducens seoundum invenio inyentum partium XXXV fere, quod 
eius partis seu denominationis est borealis. 

Velut subiecta constituebatur latitudo, atque propositus sideris locus 
septentrionalem seu borealem signiferi possidet semicirculum, igitur secundum 
inventum addens maximae solis declinationi constituo declinationis argnmen- 
tum partium LVIII et semis, quod demum cum invento primo per secundum 
item introitum inductum desideratam exhibebit declinationem borealem quo- 
que partium XLI et min. XX fere; quod est intentum. Itaque prior huius 
propositi pars liquei 



Seennda vero propositlonia hninsi pars. 

De gradu videlicet zodiaci reperìendo, quo datum sidus medium obtinet 
caeli, innotescet facto introitu vel primo vel quinto cum complemento decli- 
nationis inventae, atque | cum primi complemento inventi et arcus tracti com- SSC 
plementum rectae vocetur ascensionis argumentum, quod quidem recta est as- 
censìo eius arcus eclipticae, qui puncto caeii meditationis atque proximo aequi- 
noctii puncto comprehenditur. Hoc autem rectae ascensionis argumentum sem- 



a) Hb. hat IiXTÌTT. 



Beispiel: À-45^ |i-26« 20'. 
Resultat: J= 50*50', 77= 35^ 
^ — 68*30', d-41^20'. 

2. Bestimmung der L&nge 
des gleichzeitig mit einem ge- 
gebenen Stern kulminierenden 
Tierkreispunktes (Pig. 43). 

Man bildet — ^ =- cos -4.^: (7= 

2?F, ò^-^UA, A^ VA); A heifit 
argumentum rectae ascensionis. = 
Bektaszension von M (in Fig. 43). 

Wenn A — 90* ist, so ist Jtf 
entweder der Widder oder die Wage, 
da dann ^ — i ± ^ ist. 

Ist A — , so bildet man (Fig. 44) 

^f-cos^(^-F^ ira AZAV), 

COBO ^ ^ 

Abhdlgn. B. Oeaoh. d. mftth. Wlra. XXIV S. 




Fig. 43. 



9 



130 liber tertiiu. 

per habetnr in eadem caeli quarta cum vero stellae loco, quando dediiuL' 
tionis argumentum per superiora repertum quadrante fuerìt inferius. 

Quod si declinationis argumento*) quadrans aequetur, atque verus siderii 
locus eclipticae possideat ascendentem semicirculum, caput arietis eiìt prò dato 
sidere caeli mediatio. Sin autem idem sideris locus dedinationis argnmentA 
quadrantem acquante descendentem signiferi tenuerit semicirculum, librae ini- 
Uum praebebit dato Sideri caeli mediationem. 

At declinationis argumento quadrantem superante inyentos rectae asoen- 
sionis arcus, hoc est rectae ascensionis argumentum yems sideris locus eundem 

S30^ quidem possidebunt eclipticae semicirculum, sed rectae | ascensionis argumen- 
tum in alium caeli migrabit quadrantem. Ubi demum verus dati sideris loeas 
caput arietis aut librae possiderit, ascensionis rectae argumentum yenabimur 
in^oitu yel primo yel quinto cum datae latitudinis complemento atqae cum 
complemento declinationis inventae. Nam ipsius arcus hoc pacto deprehensi 
complementum iterum erit rectae ascensionis argumentum, quod cum decli- 
natione aut latitudine boreali monstrabit a puncto aequinoctiorum altero, qtd 
obiecto Sideri locum praebebat, punctum caeli mediationis in austrina repenri 
signiferi medietate, cum declinatione autem yel latitudine meridionali in boreali 
signiferi semicirculo. Et, ut praeceptio haec latius intelligatur, dico, quod decli- 
nationis argumento grad. LXXXX minore, quando locus sideris yerus yeniam 
zodiaci possiderit quartam, argumentum ascensionis rectae iam ascensio erit 

38 r recta, eius zodiaci arcus ab initio signorum in punctum caeli medijationis nume- 
rati, et si idem stellae locus aestivam tenuerit zodiaci quartam, rectae ascen- 
sionis argumentum semicirculo demendum est, et remanebit eadem ascensio 
recta, sed sidere in autunmali eclipticae quarta constituto rectae ascensionis 
argumentum semicirculo iungimus, ut talis recta resultet ascensio. In hiemali 
demum zodiaci quarta idem argumentum integrae circuii peripheriae, idest 
grad. CCGLX, dementes rectam elicimus asceusionem, qua demum per VI huius 
in zodiaci arcum conversa punctum caeli mediationis investìgatum non delites- 
cet. At declinationis argumento quadrantem aequante signorum principium tri- 
buet punctum caeli mediationis, si locus sideris ascendentem zodiaci semicirculum 
occupaverìt, aut librae principium, si descendens signiferi tenuerit dimidinm. 
Sin autem eodem declinationis argumento quadrantem exsuperante verum siderì. 
Postremo, si tale declinationis argumentum quadrantem superaverit loco 
sideris ascendentem signiferi medietatem possidente, rectae ascensionis argu- 
mentum grad. CCCLX desideratam relinquet asceusionem rectam constitata 

381^ scilicet sideris boreali latitudine, vel idem rectae ascensionis argujmentum recto 
erit ascensio dati sideris seu caeli mediationis, si latitudo stellae fuerit austrina. 

a) Ha. hat complemento. 

Es werden zur Bestimmung der B. A. a selbst aus ihrem Argument A 
folgende Falle unterschieden: 1. Ist -4 < 90* d.h. der Stem £ im Fr^lings- 
quadranten des Tierkreises, dann ist a » ^. 2. ^ im Sommerquadranten, 
a «= 180* — ^. 3. 2;im Herbstquadr., « = 180* + ^. 4. 2?im Winterqaadr., 
a =« 360* — A. Die Rektasz. a wird zum SchluB nach Prop. 6 in die entspr. 
L&nge verwandelt. - 

Ist ^ » 90* und 2 auf der „steigenden" H&lfte des Tierkreises, so ist 






Liber tertìne. 



131 



sedem descendens eolipticae semioircalns exhibuerit, ipso rectae ascensionis 
argomento grad. CLXXX coniecto recta oaeli mediationis ascensio prodìbit sub- 
iecta latitudine boreali, vel semicirculo detractum austrinam obtinente sidere 
latitudìnem rectae ascensionis residuabìt arcum, quo rursns per VI buius in 
zodìaco caeli mediationis ostendetur punctns loco tandem sideris in capite 
arietis aut librae reperto. Idem rectae 
ascensionis argumentum recta erit as- 
censio, si stellae locus principium fuerit 
arietis cum austrina latitudine yel decli- 
natione ant idem rectae ascensionis argu- 
mentum grad. CGCLX detrabatur stellae 
loco caput arietis tenente cum boreali 
yel declinatione yel latitudine. Sin au- 
tem librae principium yerum Sideri lo- 
cum praebuerìt ipsum rectae ascensionis 
argumentum semicirculo iungamus. Si 
yel latitudo yel declinalo fuerit borealis, 
aat ab eodem deman tur semicirculo, si 
yel latitudo yel declinatio constituatur 
austrina, et rectam babebimus ascen- 
sionem puncti caeli mediationis, qua 
qnidem ascensione in signiferi arcum 
per VI buius conyersa punctus caeli- 
mediationis non ignorabitur. Et bic modus inyeniendae rectae ascensionis prò 
dato sidere tanquam prioris est dedaratio. 

Uniyersae autem praeceptiones boc unico possunt estendi exemplo. 

Detur sidus idem in fine grad. XY tauri constitutum cum latitudine bore- 
ali grad. XXYI, et esto propositum zodiaci punctum reperire, quo sidus idem 
meridianum possideai Ergo ingressus primo ant quinto introitu cum comple- 
mento dedinationis per praemissa repertae grad. XXXXI min. XX atque cum 
complemento inyenti primi extraho gradns LVII et semis. His ex quadrante 
snblatis recta remanet ascensio partium XXXII et semis, quibus per VI buius 
respondent ex tauri signo grad. IIII min. XXXXV fere; nostra itaque constat 
intentio. Sed si yerus sideris locus alterum ex solstitialibus punctis occupa- 
verìt, idem enim yerus sideris locus atque punctus caeli mediationis. 




Fig. 44. 



832< 



Propositio LIX. 

Vero stellae loco atque latitudine declinationero eius ab ae 
quatore alia sciscitari yia. 



832' 



a — 360® — -4, wenn j3 positiy, a — ^, wenn j3 negativ ist. Ist ^ > 90® 
und £ auf der „fallenden Halfte", so ist a — 180® + ^» wenn j3 positi v, und 
a =- 180® — J., wenn p negatiy ist. 

Ebenso wird aucb der Fall ^ » 90® bebandelt. 

Beispiel: A^« 45®, /3 - 26®. Resultati S - 41® 20', a - ^ - 32|®, 
l =» 34® 45'. 

9* 



132 Liber teztiiu. 

Uno solstitialium punctoroin datum sidus locante declìnatìonem eiusdem 
puncti, hoc est maxìmam solìs declinationem et latitudìnem sideris simnl aoer- 
yemus pari denominatione utriusque snbiecta, yel maxìmam solis declinationam 
ex siderali latitudine demamus aut centra sideris latitadinem ex maxima solis 
declinatione, utra scilicet minor obtigerit ex maiori Si hae diversa soscepe- 
rint cognomenta, namqne ipsius astri prodetur ab aeqnatore declinatio, quasi 
congregatione fuerimns aucupati, suarum nomen babebit partium. Sin autem 

388' ablatione | illam proderimus maioris yel latitudinis yel maximae solis declina- 
tioniSf cui scilicet residua est, denominationem accipiei 

Ubi antem astri locus altero inciderit aequinoctialium pnnctonun meteo- 
roscopium ingrediamur introitu secundo cum sideris latitudine atqne cum 
maximae solis declinationis complemento, arcus itaque compertus quaesita eiit 
declinatio, eius quidem declinationis, cuius et ipsa fuerat latitudo. Sed astro 
in ecliptica praeter baec puncta collocato distantiam eius ab altero ponctoram 
solstitialium, utri scilicet yicinuis accesserit, cum maxima solis declinatione 
introitu secundo intra organum mittamus. Itaque arcus extractus primiun 
esto inyentum. Deinde primo aut quinto introitu per huius inyenti primi 
complementum atque per solaris complementum declinationis maximae quon- 
dam extrahentes arcum, quem ex partibus XC demamus, et reliquum erit in- 
yentum secundum, boreale quidem, si locus astri semicirculum eclipticae pos- 

888*^ sederit borealem, austrinum yero, si austrinam | ipse signiferi tenuerìt medior 
tatem. Hoc ergo secundum inyentum et sideris latitudo in unam eongregentnr 
summam, si unius extiterit denominationis aut minus de maiori tollamus; 
si yariis appellentur cognomentis; quod itaque yel ablatione yel additione 
colligimus, haud iniuria declinationis argumentum appellabitur; quod, obi 
congregatione constituitur, cognomen cum suis babebit partibus commune. At 
eo detractione prodito sui totius seu maioris arcus, cui per ablationem releo- 
tum est, appellabitur cognomento. Quod quidem argumentum, si quadrante 
minus extiterit, cum complemento primi inyenti per introitum secundum ipsam 
dati sideris declinationem nobis porrìget, cui et eidem declinationis argumento 
communis erit appellatio. 

Nullo autem proyeniente declinationis argumento, quod aocidit, quando 
inyentum secundum et astri latitudo magnitudine pares fuerint, diversarum 

884' sortitae partium cognomenta; quare sidus ita, ut in aequatòre | collocatum 
conyincitur. At astro nullam possidenti latitudinem tantae tribuemus declina- 
tionis interyallum, quantum eius locus ab aequatòre continet recessum. 



59. Proposition. 

Bestimmung der Deklination eines Sternes nach einer anderen 
Metbode (Fig. 45). 

Hat der Stem die Lftnge 90° oder 270® (Solstitien), so ìbì ò^±(fi + A 

bat er die Lftnge 0° oder 180° (Àquinoktien), so ist sin/3 • cosf >— sind (Aufg. 3). 

Hat der Stern eine beliebige Lttnge X, so bildet man sin/-» cosi* sin f 

(Aufg. 2, 20^-I^^VAE im A VAE), dann cosI/ = ^ (Aufg. 1, 

II =— E A in A yAE\ uud j3 + J/= ZA — argumentum declinationis. Dann 
ist sin J "» sin arg • cosJ (Aufg. 2, d » ED im A 21 DÀ), 



Liber tertiui. 



133 



Deinde secondum inventum multi hac deprehendimt ratione; sideris enim 
diatantiam ab alterutra sectLonum aeqninoctialinm, perinde ac rectam osor- 
pant ascensionem eique portionem signiferi competentem per rectamm ascen- 
sionum tabnlas exquirunt. Declinaidonem quoque finì eiusdem arcua ecliptìoae 
debitam ezplorantes eam secundum etiam appellitant inventum, quod arcus 
est circuii latitudinalis inter aequatorem et signiferum comprehensus omnino- 
que concordat cnm secundo invento per praemissam elicito; igitur nihil refert, 
utra perquiras via secundum inventura, quod non incongrue declinationis radix 
a plerisque dicitur. 

At declinationis argumento quadrantem aequante primi complementum 
inventi declinationis arcus erit necessario eiusdem partis, cuius habetur decli- 
nationis argumentum. | Eodem autem declinationis argumento LXXXX gradus Sd4^ 
excedente ipsmn ex semicirculo detra- 
hatur atque cum reliqno et cum primi 
complemento inventi secundum facientes 
introitum desideratam excipiemus dati 
sideris declinationem eodem cognomen- 
to,^) cuius est declinationis argumentum. 

Hos duos posteriores modos Joannes 
de Begìomonte in canonibus primi mo- 
bilis siluit. Sed hnmanam considerantes 
iinbecillitatem,homini veniam facile con- 
cedemus. Non enim omnia possumus 
omnes, atque prius inventis facile quis- 
que superaddit. 

Nunc praeoepta haec ezemplariter 
estendere tentemus. Esto sidus aliquod 
in capite aiìetis cum latitudine boreali 
grad. VI, cuius declinationem in venire 
cupiens ingredior per introitum secun- 
dum^) cum data latitudine graduum VI atque cum maximae solis complemento 
declinationis et accipio huius declinationem sideris borealem quoque grad. V 
et semis. 

Aliud esto sidus in gradibus XV tauri, cum lati|tudine aquilonari partium 336" 




Fig. 46. 



a) Hb. hai cogmento. 



b) Ha. hat quartum. 



Ist arg^O, so liegt der Stem ìm Àquator. II kann auch folgender- 
mafien gefunden werden: Man betrachtet den Abstand des Stemes von einem 
der Àquinoktialpunkte wie eine Rektaszension und sucbt die zugehdrige Lànge, 
d. Il man betrachtet J^F als BA. a und sucbt VA'^X^; dann bestimmt man 
die diesen GrOfien entsprecbende Deklination d', die identisch mit II ist und 
aucb als radix declinationis bezeichnet wird. 

Ist arg = 90^ so ist sin tf — cos J, d. h. d^ 90^ — /. 

Ist arg > 90*^, so rechnet man mit 180® — arg. 

Beispiele: 1. À-O®, /J-G^ Resultat: ^ — 5^®. 

2. 1-45^ /3 = 7®; Resultate: J- 16*20', Il^ilV, arg-24|®, 
d — 23U0'. 



134 Liber tertiuB. 

septem. Eìus itaque declinationem quaerens ezeroeo secundum introitum cum 
distantia snbiectae sideris a capite cancri, cui propius astat, et cum maziint 
solis declinatione grad. XXm et semis et primum comperio inventum partìum 
XVI et min. XX fere, quarum*) complementum gradunm LXXITf min. XXXX 
cum maximae declinatìonis complemento solaris per primum aut quintnm in- 
troitum inducenti mihi partes offeruntor LXXII et semis fere; quibus ex qua- 
drante sublatis inventum remanet secundum grad. XVII^) et semis, borealb 
quidem cogn omenti, quondam astri locus septentrionalem signiferi possidet semi- 
circulum, )iinc invento secimdo latitudinem astri partium VII etiam borealem 
adiciens constituo declinationis argumentum grad. XXilll et semis fere, etiam 
borealis cognomenti, quod postremo argumentum et primi complementum in- 
venti per secundum introducens introitum intentam deprehendo declinationem 
SSò"" grad. XXm et min. XXXX | fere, borealis quoque appellationis, velut ipsius 
est declinationis argumentum. 

Denique prò variis eius inveniendi modìs singulas subicere formnlas 
exemplares consulto neglexi; arbitrabar enim sermonis compendio lectorem 
gaudere plurimum ingeniique eius acrimoniam super vacaneo verbositatis tn- 
multu vehementer obtundi. 

Denique exemplo uno doctrìnas praemissas satis superque declarari posse; 
eo namque offìciosus lector manuductus innumeras poterit exemplaree subiec- 
tiones absque ullo negotio vel curiose fìngere vel oblatas expeditius enodare. 

Propositio LX. 

Signiferi punctum, quo sidus propositum in caeli medio seu 
386' meridiano quojlibet collocatur, perdiscere. 

Dato Sideri unum ex solstitialibus possidenti punotis idem quoque puno- 
tum prò oaeli mediatione concedatur. Sed astro aliunde verum habente locnm 



a) Ha hat quartutn. b) Ha. hat XVI. 



60. Proposltion. 

Bestimmung des Tierkreiszeichens, das gleiobzeitig mit einem 
gegebenen Stern kulminiert (Fig. 46). 

Steht der Stern in einem der Solstitialpunkte, so kulminiert dieser selbst 
gleichzeitig mit dem Stern. 

Hat der Stern eine beliebige Stellung, so betrachtet man scine Lllnge als 
Bektaszension und bestimmt die zugehdrige Lftnge r nach Prop. 6; sie heifit 

radixrectaeascensionis(r»B F-4')» dann bildet man -^ '^coax(x'^AÀ\ 

^ >" COBO ^ ' 

S = £A\ arg =«= £A) und a, = r + a; == VA' Ht: AA\ Endlich sucht man 
nacb Prop. 6 die zu o:^ gehOrige Lftnge X^, 

Ist arg -=90®, so ist auoh a: = 90®, ist arg > 90*, so bildet man 
BÌn(a^-9 0^^3^(QQ0^^)^da,^(900 + rr)±r. 

l8tX=-0® oder — 180^ so bildet man ^^'5 — cosa?, und e8ista,=180®±ir. 

' COBd ' * -*- 



J 



Liber terfciuB. 



135 



in ecliptica, igitur signìferi portionem inter veram eius locum atque arietis 
initium comprehensam perinde atque rectam existimemus ascensionem aroomque 
zodiaci buie congmentem ascengioni per VI hnius addiscamus, quem nonnulli 
radicem rectae appellant ascensionis, qui pridem arcus seorsum est senrandus. 

Deinde cum dati sideris (in) complemento declinationis per praecedentem 
inyentae atque cum complemento argumenti declinationis ex praemissa quoque 
comporti, si hoc ipsum argumentum quadrante minus extiterit, primus aut 
quintos fiat introitus, arcuque comperto de LXXXX gradibus ablato reliquum 
a plurìmis nuncupatur arcus transitus stellae per caeli medium, quem iunga- 
mus rectae ascensionis radici pridem servatae sidereo loco semicirculum sig- 836^ 
niferi descendentem possidente cum declinatione boreali vel eodem sideris loco 
ascendentem tenente zodiaci semicirculum cum declinatione meridiana. Sin 
antem astri locus semicirculum eclipticae descendentem occupet, cum declina- 
tione meridiana, vel ascendentem, cum declinatione boreali, tollamus eundem 
arcum seu differentiam transitus stellae per caeli medium ex servata rectae 
ascensionis radice, et proveniet nobis recta dati siderìs ascensio. Qua denique 
per sextam buius in arcum signiferi conversa*) intentum nos penitus non latebit. 

Et si, quando ex ipsa congregatione plures quam CCOLX gra. excreverint, 
ipsis ex tali congregationis summa sublatis quaesita remanebit ascensio recta. 

At si differentia transitus per caeli medium de rectae ascensionis radice 
tolli nequeat, eidem radici rectae ascensionis integrum accomodabimus circu- 
Imn, idedt grad. CGCLX; deinde buie aggregato | fiat imperata subtractio, 387' 
qnodque relinquetur ascensio sit recta, quam quaerebamus. Verum declinatio- 
nis argumento grad. LXXXX constituto differentia transitus stellae per caeli 
medium quadrans quoque probabitur. Sin autem idem argumentum LXXXX 
gradus exsuperaverit, ei quadrantem dementes reliquum atque sidereae decli- 
nationis complementum primo vel quinto introitu inferamus arcuque comperto 
LXXXX gradibus adiecto desiderata constituetur differentia transitus stellae 



a) Ha. hat conversa korr. aus eanversam. 

Ist endlich |3 » 0, so ist die Lange 
des Stemes gleich der L&nge des mit ihm 
kulminierenden Punktes des Tierkreises. 

Beispiel: k « 42^ § = 11^ 
Resultate r« 44^^30', arg«27<>5', 
ó — 26» 45', X - 8^^ a, - 35^ A, « 
37^30'. 

Ldsung der Aufgabe nach 
Begiomontanus. 

Man bildet zunftcbst r, dann 7, wie 
in Prop. 69. (^ VAE = 90^ — i), 

femer sin JJ' =« ?^f (ZT- -^ AZA' 

im A ui £A^ und sin re »<■ sin II' sin arg. 
Dann wie oben. 






Fig. 46. 



136 lÀber tertiai. 

per caeli medium-, qna rectae ascensionìjs radici detaracta Tel addita, veliit prae- 
cedens admonet praeceptio, dati siderìs asoensio prodibit recta. Sed astro Te- 
rum tenente locum in librae yel arietis capite illam sectabimur doctrìnam, 
quae in antepraemissa traditur; intrando scilicet primo vel quinto introitu cum 
sidereae latitudinis complemento atque cum eiusdem siderìs complemento de- 
clinationis inventusque arcus ex quadrante demptus differentiam huiuscemodi 
transitus stellae per caeli medium residuabit, quam aufer ex grad. COCLX 

337^ sidere caput arìetis obtinente | cum declinatione boreali, vel sidere declinationis 
borealìs initium librae possidente eandem dilTerentiam semicirculo adde. Nam 
tunc stella principium arìetis obtinente integer circulus, idest partes GCGLX, 
erunt tanquam rectae ascensionis radix. Astro autem libra[e] initium occu- 
pante semicirculus prò tali radice sumendus est. Qua de re quamlibet austmm 
sortiatur declinationem, cuiusvis etiam denominationis iam traditam sectantes 
doctrìnam ad rectam dati siderìs deducemur ascensionem. Ad postremum sidere 
nuUam usurpante latitudinem tantum eius rectam reperìemus ascensionem, 
quantam yerus eius locus sortitur, idemque signiferì punctus verum stellae 
locum atque caeli mediationem praebebit. 

Pro dictorum uberìore declaratione hoc proponatur exemplnm. Sit i^- 
quod sidus, cuius verus locus duodecimo tauri gradu teneatur cum latitudine 
boreali partium XI, et propositum esto eiusdem siderìs in ecliptica punctmn 

338" reperì 're, cum quo ipsum cuilibet insideat merìdiano; fingens igitur reoessum 
loci sideralis ab arìetis initio grad. XXXXII tanquam rectam ascensionem per 
sextam huius arcum zodiaci eidem correspondentem accipio partium XLIUI 
min. XXX, quae sunt radix ascensionis rectae prò sidere dato et ex praemissae 
doctrìna declinationis argumentum constat gradibus XXVII min. V, et per 
eandem ipsa declinatio borealis partibus XXV min. XXXXV, quarum comple- 
mento grad. LXini min. XY atque argumenti declinationis complemento pai^ 
tium XLII min. LV per introitnm prìmum aut quintum comperìo grad. LXXXl 
et semis, quorum complementum grad. VTII et semis prodit differentiam tnui- 
situs stellae per caeli medium. 

Haec autem differenza radici rectae ascensionis oblata, nam declinatio 
est borealis, recta dati siderìs ascensio remanet grad. XXXV, quìbus ex signi- 

338^ fero praebentur grad. VII min. XXX taurì; quod est intentum. | 

At iuxta doctrìnam Jobannis de Begiomonte buiusmodi differentia tran- 
situs stellae per caeli medium prolixiorì constabit indagine, quae trìplici habe- 
bitur introitu, mirumque in modum miror, cur praecedenti super canonibus 
primi mobilis compendio non fuerìt usus, certae inscitiae non imputabimus, 
cum illud ob sui facilitatem tantum virum latere non potuit, sed suae doctrìnae 
praecepta propter pulcbrìtudinem, quamvis diffìciliora, buius compendii prae- 
tulit levitati. 

At autem eandem differentiam secundum illius veneremur mentem; in- 
prìmis iuxta prìorem institutionem radix ascensionis rectae propositi siderìs 
innotescat. Deinde, velut in praecedenti, prìmum constet inventum ingrediendo 
meteoroscopium secundo introitu cum maxima solis declinatione atque eum 
dista^tia siderìs ab altero punctorum solstitialium, utrì siderìs locus accesserìt 



Die verschiedenen mdglicben Spezialfàlle werden'analog wie in Prop. 59 
behandelt. 



j 



Liber tertìnB. 137 

propioB. Hoc deinde primum inventum cnm complemento Bidente declinationis 
primo vel quinto introita secundum proferat inventum, quod demum cum 
declinationis argumento differentiam transitus stellae per caeli medium secundo 
prodocet introitu. | 

Qua quidem differentiae iuxta praemissam utendum est rationem, ut recta 889' 
sideris emergat ascensio. Sed loco sideris alterum occupante punctorum ae- 
quinoctialium maxima solis decìinatio prò primo sumatur invento. Sideris vero 
latitudo, quacunque constiterit denominatione, prò argomento declinationis 
accipiatur, ac deinceps erit procedendum iuxta praemissam praeoeptionem; si- 
deris autem umbilico signiferum occupante idem zodiaci punctus prò vero 
sideris loco atque prò caeli mediatione sumendus est. Argumento praeterea 
declinationis quartara circuii partem exsuperante ipsum ex semicirculo detra- 
hator, reliquum et sideris decìinatio per primum aut quintum introitum pro- 
ducet arcum, cuius complemento atque complemento declinationis per primum 
aut quintum rursus introitum arcus exibit, qui et illud residuum argumenti 
declinationis de semicirculo per secundum introitum nobis arcum porrigent, 
quem ex semicirculo tollentes relinquimus dijfferentiam transitus stellae per 
caeli medium, qua secundum traditam utentes admonitionem rectam sideris 
ascensionem non ignorabimns. | 389^ 

Tali demum ascensione recta in signiferi arcum per sextam huius com- 
mittata punctus caeli mediationis quoque perspicuum erit. At si declinationis 
argumentum quadrans constituatur, differentia transitus stellae per caeli me- 
dium quadranti quoque par erit 

Sit igitur exempli causa sidus aliquod secundum verum eius locum in 
grad. XI tauri cum declinatione boreali graduum XII, de qua propositum esto 
inprimis invenire rectam eius ascensionem et consequenter eclipticae punctum, 
quo idem sidus meridiano insidet, primum e^go per antecedentes propositiones 
invenio declinationem septemtrionalem partium XXVI min. L, declinationis 
autem argumentum grad. XXVII min. L et per doctrinam praesentis propo- 
sitionis radicem ascensionis rectae grB,à. XXXXUl min. XXX fere. 

Postliaec cum maxima solis declinatione grad. XXUI. min. XXX atque 
cum distantia loci sideralis a capite cancri, cui vicinius babetur, per introi- 
tum secundum ingressus primum reperio inventum graduum XV min. X, cum 
quibus atque cum declinationis complemento partium LVm min. X per ' 
primum aut quintum introitum radicis extraho secundum inventum grad. XVII 840' 
min. XV, quos cum declinationis argiuxiento partium XXVII min. L secundo 
inducens introitu per M. G. transitus accipio differentiam graduum Vii min. 
XXXX fere, quibus ab ascensionis radice sublata sideris dati rectae relinqui- 
tur ascensio partium XXXV min. L. His ex signifero per sextam huius com- 
petunt gradus Vili et min. XV fere de signo tauri; quod est intentio nostra. 
Sic enim punctum eclipticae, quo subiectum sidus meridiano adhaeret, perspi- 
cuum est. Quicquid autem agendum erit prò inveniendis siderum et declì- 
nationibus et caeli mediationibus*), item quoque accommodare poterimus qui- 



a) Ha. hat meditcttonibus. 

Beispiel: l - 41^ /S « 7«. Resultat: d = 26^50', arg - 27^50 
48^30', I- 16® 10', ir- 17^5', x = 7U0', a,- 35*60', i, = 38«15'. 



138 Liber tertìns. 

buslibet caeli punotis, praesertim dum vera illorum loca latitudinesqne nos 
non lateant. 

Propositio LXI. 

Data caelestis alicuius pancti declinatione cum eclipticae 
3^0^ puDcto, quo I ipsum in caeli medio baerei, verum eiusdem locum 
atque ab ecliptica latitudinem reperire. 

Punctorum altero solstitialìum dato caelesti puncto sea Sideri looam caeli 
mediationis praebente, si declinatio siderìs et deolinatio caeli mediatìonis ean- 
dem habuerit denomination em, maior ex minore dematnr; reliquum erìt latitado 
quaesita eiusdem denominationis seu partis, cuius erat declinatio dati siderìs, 
si eadem declinatio sideralis maior fuerat. Sin autem idem residuum fiierit 
maximae solis declinationis et locus caeli mediationis sit caput cancri, iam 
reperta latitudo erit austrina, principio autem capricorni dato Sideri locom 
caeli mediationis praebente buiusmodi residuum maximae declinationis sobs 
erit latitudo quaesita, borealis quidem denominationis. At eisdem declinationi- 
bus, siderìs scilicet et loci caeli mediationis, hoc est alterìns punctorum sol- 
841' stitialium I diyersas habentibus denominationes, altera declinatio alteri iun- 
gatur; aggregatum latitudo erit quaesita sortiens eam denominationem, quam 
babebat sideralis declinatio. 

Sed si alter punctorum aequinoctialium siderì seu caelesti puncto propo- 
sito locum caeli mediationis exhibeat, secundus fiat introitus cum comple- 
mento maximae declinationis solis atque cum data siderìs declinatione, inven- 
tus itaque arcus erìt latitudo, quam desiderabamus eiusdem partis seu denomi- 
nationis, cuius fuerat declinatio ipsa sideralis. 

Alibi in ecliptica loco caeli mediationis constituto id in primis est notan- 
dum, quod eodem caeli mediationis loco septemtrìonalem signiferì semicircu- 
lum occupante maxima solis declinatio borealem obtinebit denominationem. 
Sed caeli mediatione austrinum signiferì semicirculum possidente solis eidem 
maximae declinationi cognomentum trìbuatur austrìnum; boc praemisso inten- 
tum sic babebimus. 



61. Proposltioii. 

Bestimmung der L&nge und Breite eines Sternes aus seiner 
Deklination und der L&nge des mit ibm gleicbzeitig kulminieren- 
den Tierkreiszeicbens (Fig. 47). 

Eulminiert einer der beiden Scisti tialpunkte, so ist p ^^ ± (6 ± Sj). 

Kulminiert einer der beiden A quinok tialpunkte, so bildet man 
sin/3 =. cosfi-sind (Aufg. 2, es ist im A PjP'^, PP' ± P£, PP' -^ h 
PZ « 90« - d und P' E^ 90® - j5). 

Fùr einen beliebigen Punkt sucbt man zun&cbst die Rektaszension au 
von M (=a= A = 180^ — a in der Fig. 47) und bildet cos d • cos aji «= sin / 

(Aufg. 2, ^ E^%0^ — I \m l^AE^), ferner sin IJ « ^ (Aufg. 1, 

II = -^ Ezi^ A ìm A E=^ A\ dann ist das argumentum latitudinis '^Il^t 
— <^ ^ =A= J^j endlicb bildet man sin arg • cos J =• sin j3 (Aufg. 2, j3 — EB 
im A EB =^). 



Liber teitini. 



139 



Primnm yìdelicet per introitum | secundum ingrediendo cum compie- 341^ 
mento declinationìs atque cum ascensione recta eins arcus zodiaci, qui dato 
caeli mediationis puDcto atque proximo solstìtiali puncto clauditur, arcusque 
sic elicitos primnm erìt inventum, cuius deinde complementum et ipsa decli- 
natio sideris per primnm ant quintum introitum prodet inventum secundum, 
quod scilieet inventum secundum ad maximam solis conferatur declinationem, 
quibus eodem*) cognomento repertus alterum mìnus ex altero dematur malori. 
Quod si residuum fuerit sideralis declinationis, cum ea parem sortiatur deno- 
minationem. Sin autem hoc ipsum residuum ex maxima solis decHnatione re- 
linquitur, cognomentum acquiret maximae solis declinationi contrarium. Se- 
cundo vero invento denominationis constituto alterius a maximae solis decli- 
nationis cognomentum, alterum alteri est aggregandum, quicquid ergo vel de- 
tractione vel aggregatione colligimus, latitudinis vocetur argumentum ; id tamen 
oblivioni I non committamus; idem scilieet argumentum, si colligatur additione 842' 
sortiri eam denominationem, quam sideralis obtinet declinatio. Quod quidem^) 
argumentum, si quadrante minus existat, cum complemento inventi primi meteo- 
roscopio ìnducentes secundo introitu din petitam extrahemus latitudinem eius- 
dem partis, cuius est argumentum. Sin autem hoc latitudinis argumentum 
quadranti par fìierit, complementum inventi primi desiderata erit latitudo eius 
dem quoque partis, cuius est argumentum ; ipso denique latitudinis argumento 
constituto maiore,quam sit quadrans, ipsum semicirculo detrahatur,reliquum cum 
complemento inventi primi per introitum secundum producet nobis quaesìtam la- 
titudinem eiusdem partis seu denominationis, quam latitudinis habet augmentum. 
Quod si nullum latitudinis habeatur argumentum, quod evenit subtrahendo in- 
ventum secundum paris quantitatis | ex maxima solis declinatione, tunc datus 842"^ 
caeli punctus seu datum sidus in eoliptica reperitur et nullam obtinet latitudinem. 
Prolixum esset admodum prò varia latitudìnarìi argumenti procreatione, prò 
eius quoque diversa quantitate, singula contexere exempla. Sed satis superque 
duco, si unico demonstrem exemplo, quae prò multis ante verbis praeceperam. 



a) Hs. hat eadem, b) Nach quidetn hat Ha. declinatio gestrichen. 



Die verschiedenen FSlle der Vor- 
zeichen werden wie fruher behandelt; 
ist arg — 90^ so ist |3 = 90® — J, ist 
arg = 0®, so ist auch (? = 0. 

Beispiel:A-36®16',d-=27020'. 
Eesultate: 90® — a,- 67 ^ J=48®, 
/J = 43® 30', arg = 20®, j3 =- 13® 10'. 

Die Lange des Stemes fìndet man 



sin J 



90' 



dann aus sin i — — 3 (Aufe. 1 

— A=-=&»J?imA«fi= ZSy, auch hier 
werden die F&lle je nach den Quadran- 
ten unterschieden. 

Beispiel: fi » 13®10\ Resultati 
k - 40®. 




Flg. 47. 



140 Liber tertìnB. 

Igitur esto sidus, quod merìdianum possideat ctun grad. V min. XV tauri; 
borealìs autem declinatio eìusdem sideris sit grad. XXVII min. XX, asoensio 
recta, arcus zodiaci inter caeli mediationiB punctnm atque oapnt cancri, coi 
pnnctuB caeli mediationis accesserit, propius est grad. LVII; cum hac ìgìtnr 
atque cum subiectae declinationis complemento grad. LXQ min. XXXX per 
introitum secundum ingressns partes elicio XLVUl, inventum scilioet prìmum, 
cuius complementnm grad. XXXXTT cnm proposita declinatione partium XXVII 
min. XX per prìmum aut quintnm indncens introitum secundum reperìo in- 
ventum grad. XXXXIJI min. XXX, quibus maxima solis declinatione detracta, 
348' remanebit latitudinis | argumentum grad. XX, borealis quoque denominationis, 
quam habet ipsa decUnatio. Denique cum eodem latitudinis argumento atque 
cum complemento inventi primi per secundum rursns introitum ingressns bore- 
alem quoque latitudinem excipio partium Xm min. X fere. Arbitror itaque 
prìmam propositi constare particulam. 

Secunda vero propositionis fauios pars hoc habebitur compendio.. 

Per prìmum enim aut quintnm introitum cum complemento latitadinis 
inventae atque cum invento primo ex praemissis accepto distantiam elicimus 
veri loci stellae ab altero punctorum solstitialium; haec autem distantìa semper 
habetur in eadem quarta zodiaci cum puncto caeli mediationÌB, quando lati- 
tudinis argumentum quadrante minus extiterìt, locus erìt siderìs verus, puncto 
caeli mediationis ascendentem occupante signiferì semicirculum, aut principium 
librae, puncto eiusdem caeli mediationis descendentem tenente medielÀtem 
eclipticae. 

Ubi vero latitudinis argumentum quartam circuii exsuperat, inrenta di- 
stantia in aliam eclipticae transibit quartam; manebit tamen in eodem semi- 
843"^ circulo vel descendente vel ascendente. | At signiferi quartas eas definio, qua- 
rum singulae ab altero aequinoctialium punctorum inchoantes in alterum sol- 
stitiorum, idest in caput cancrì vel caprìcomì, finiunt. 

Bepetamus igitur exempli causa proximum sidus, et propositum esto ve- 
rum eius in signifero locum inv^enire; eiusdem sideris latitudo ex prìus inven- 
tis est grad. XIII min. X fere, quorum complementnm partium LXXVI min. 
L cum praecedenti invento primo grad. XXXXVIII per prìmum aut quintum 
introitum profert nobis fere quaesitam distantiam grad. L. Cum autem lati- 
tudinis argumentum quadrante minus extiterìt, verus stellae locus atque eius- 
dem punctum caeli mediationis in eadem eclipticae quarta vernali consistere 
necessario probantur; quare iuxta praecedentem doctrinam iam reperta distan- 
tia grad. L a cancrì capite centra signorum successionem numerata, siderìs 
huius verum locum ostendet grad. X taurì; quod est propositum. 

Proposltio LXn. I 

344' Praecedentis intentum iuxta Johannis de Begiomonte tradi- 

tionem cognoscere. 



62. Proposltlon. 

Ldsung der vorbergehenden Aufgabe nach Johannes Regio- 
montanus (Fig. 47). 



Liber tertiiiB. 141 

In primis ergo inyestìgamus, habeatne propositom sidus seu datum caeli 
punctum latitadìnem ab ecliptica nec ne, ut incassum non laboremns. Nam 
sì declinatio dati sideris declinatioqne pnncti caeli mediationìs pares sortian- 
tur numeros similis denominationnm, idem sidus dedinatione carere atque in 
signifero sedem habere probabitur, in eodem scilicet puncto, quem caeli occu- 
pat mediatilo. 

Sin autem sideris propositi declinatio aut numero par non fuerìt aut 
denominationem dissùnilem babuerìt cognomento declinationis puncti eclipticae, 
quo datum sidus caelum mediat, hoc ipsum sidus ab itinere solari omnino li- 
qnet discedere. Sidus aut in altero solstitialium punctomm caelum medians 
idem quoque punctum prò vera usurpabit sede; at declinatio puncti solstitia- 
lis adiungatur declinationi sideris, si diversarum fuerint partium, aut | minor Sii"" 
declinatio ex maiore tollatur, et utraque via sive additionis sive subtractionis 
ipsam obtinebimus latitudinem, quae si congregatione quaesita fuerit sideralis 
declinationis denominationnm servabit. Sin autem detractione latitudo decli- 
nationis babebit cognomentum, si sideralis declinatio maximam solis dedina- 
tionem excesserit, aut eadem*) latitudo nomen maximae solis declinationi con- 
trarium sortietur, si latitudo relieta est ex ablatione sideralis declinationis de 
maxima solis dedinatione. Ubi vero propositum sidus cum altero punctomm 
aequinoctialium meridiano adhaeserit, absque aliqua dedinatione ipsum sidus 
seu caeli punctus in eodem puncto aequinoctiali verum sibi locum sine latitu- 
dine vendicai. 

Pro alìis vero siderum sitibus ita laborandum erit; etenim per XYIII 
hnins angulus meridiani et eclipticae ad punctum caeli mediationis proveniens 
reperiatur. Deinde dedinationem puncti caeli mediationis per U huius non 
ignoremus, nec dati sideris nos lateat declinatio. Quae si eadem donemur appel- 
latione, alteri altera detrabatur; ubi vero dissimili» fuerint denominationis si- 
mul addantur, | quodque vel detractione vel additione, velut ipsa res adbor- 845' 
tatur, eveniet, cum angulo prius accepto per secundimi introitum organo com- 
missum optatam propositi sideris latitudinem nobis exhibebit; quae si punctus 
caeli mediationis in boreali constiterit eclipticae semicirculo, semper erit bore- 
alis, quando sideris declinatio existens aquilonaris superat dedinationem pimcti, 
quo sidus idem meridiano cobaeret; alioquin austrilia constituatnr latitudo. 

Pari ratione puncto caeli mediationis meridionalem eclipticae semidrcu- 
lom possidente cum dati dedinatione sideris quoque meridionali et dedinatione 
puncti caeli mediationis exsuperante latitudo sideris erit meridiana, sed sem- 
per alioquin aquilonaris. 

At verum sideralis loci situm tali doctrina perquiremus ascensionem reo- 
tam per V huius acquisitam, quae scilicet competat arcui signiferi inter vici- 
nius punctum solstitiale et inter punctum caeli mediationis comprehenso atque 
complementum declinationis subiectae stellae meteoroscopio per secundum im- 

a) Nach eadem hat die Hb. das Wort deélinatio gestrichen. 



Die speziellen F&Ue werden wie oben unterschieden. Im allgemeinen 
Fall sucht man zunachst nacb Prop. 18 den Winkel r} zwischen Meridian und 
Ekliptik und nach Prop. 2. die Deklination Óm von M, Dann bildet man d T <^jr 
und hat nìnfi =- sin {ó =F Óm) • sin iy (Aufg. 2, fi ^ B£ im A IJBM). 



142 Liber iertiiui. 

846^ mittantur introitum; arcus itaque collectus itemm cam prius | inventae lati- 
tudìnis complemento per primum aut qnintum introitum commissmn repor- 
tabit nobis distantiam veri loci sideris ab altero punctorum solstitialiam, ntrì 
scilicet caeli mediatio vicinius accesserit. Quod si yerus stellae locus eandem 
cum puncto caeli mediationis obtinnerìt quartam, ergo prius inventa distanza 
computata de viciniori puncto soLstitiali versus punotum caeli mediationis 
subieotum producet nos ad verum eiusdem sideris looum. Signiferi vero qaar- 
tae non, prout sors tulerìt, acdpiantnr, sed eas solum assumamus, quae qnat- 
tuor eclipticae cardinibus, idest duobus aequinoctialibus et duobns ponctis di- 
stinguuntur tropicis. Utrom autem verus sideris locus cum puncto caeli me- 
diationis eundem sibi vendicet eclipticae quadrantem an diversas, tali pericolo 
cognoscemus; ascensionem rectam, qua non multo ante utebamur, sìmul cum 
complemento maximae declinationis solaris per secundum induoentes introitum 
arcum elicimus, quo ex grad. LXXXX detracto reliquum et maximam solis 

346' declinationem per primimi | aut quintum introitum rursus meteoroscopio in- 
ferentes arcum excipimus, cuius complementum vocemus argumentum locale. 
Huic itaque argumento locali sideris conferamus declinationem; caeli namqne 
mediationis puncto aquilonarem eclipticae vendicante semicirculum cum dadi- 
natione boreali quantalibet aut cum declinatione meridiana, minori tamen quam 
sìt argumentum locale, punctus caeli mediationis atque verus sideris locus in 
eodem signiferi quadrante constituentur. Sed austrina declinatione argumen- 
tum locale vincente, puncto scilicet mediationis septemtrionalem signiferi vendi- 
cante semicirculum, aut in austrina zodiaci constituto medietate puncto caeli 
mediationis cum boreali declinatione locale argumentum itendidem exsuperante 
punctus caeli mediationis et vdrus sideris locus diversos nancisoentur signiferi 
quadrantes. At puncto caeli mediationis meridianam eclipticae possidente 
medietatem cimi declinatione quantalibet quoque meridiana vel cum declina- 
tione septentrionali, minori tamen argiunento locali punctus caeli mediationis 

346^ atque verus sideris locus eandem | signiferi vendicabunt quadram. At decli- 
natione boreali sideris in austrina zodiaci medietate, punctum caeli mediationis 
babentis argumentum acquante locale vel austrina declinatione idem argumen- 
tum acquante cum caeli mediatione septemtrionalem zodiaci semicirculum 
tenente, igitur verus sideris locus in alterutro reperietur aequinoctiomm. Nam 
si caeli mediatio ascendentem signiferi tenuerit medietatem, caput arietis prò 
vero dati sideris habeatur loco. Sin autem descendentem, principium librae 
verus erit locus. Ut autem praemissa intelHgantur lucidius, unum proferam 
exemplum. 



Die L&nge wird folgendermafien bestimmt. Man sucbt nach Prop. 5 die 
Bektaszension aj^ (=^ -4. = 180® — a) und bildet cos a; = cos ^ cos au (Aufg. 2, 

900 — a;==^2?imA=^ ZA) und sin l «. ^5 (Aufg. 1, a: - 90® - I 

der vorigen Metbode). 

Zur Bestimmung, ob der Stem im gleichen Quadranten der Ekliptik wie 



sme 



M liegt, bildet man: cos y = sin a • cos « (Auf. 2) und cosZ « - — (Aufg. 1, 

oder es ist ctg X -» tg £ : cos a); ist dann M auf dem nSrdlichen EkUptikhalb- 
kreis und Òm entweder positi v oder negati v, aber kleiner als Z, das argnmen- 



i 



Libar tertins 143 

Sit sidus caelum medìans cum grad. XV aqaarii habensque declìnatioDem 
aquilonarem grad. LXVII; et propositum esto verum eius in signifero locmn 
atque latitudinem ab orbita solari reperire. 

Angnlus itaque ex ecliptica et circulo declinationis in puncto caeli me- 
diationis proveniens per XVIII hnius invenitur fere partium LXXIII, et per 
secundam huius declinatio puncti caeli mediationis repejntur fere grad. XVI 847' 
min. XX, austrìnae quidem partis. Atqui snbiecti sideris declinatio in oontra- 
riam vergit aequatoris partem. 

Ideoqne bac cum illa congregata constituit summam partium LXXXUI 
min. XX, quas cum praemìsso angulo partium LXXIII per secundum intro- 
ducens introitami quaesitam elicio latitudinem graduum LXXI min. XXX^I 
fere iuzta traditam praeceptionem, borealis quoque denominationis. 

Sed verum sideris locmn sic investigabo. Ingrediens enim imprimis per 
introitum secundum cum complemento*) subìectae declinationis partium XXT IT 
atque cum ascensione recta eius arcus eclipticae, qui puncto caeli mediationis 
atque proximo interdpitur puncto solstitiali per introitum secundum inferens 
meteoroscopio produco gradus XVI cum minutiis XXXX fere, qui deinde cum 
complemento pridem inventae latitudinis partium XVIII et min. XX per pri- 
mum aut quintum introitum^) producunt grad. LXVI cum minutiis XX, di- 
stantiam scilicet veri loci ab altero punctorum solstitialium; ex praemissis 
liquet, verum stellae locum et punctum caeli mediationis eandem semper ob- 
tinere signifero mejdietatem vel ascendentem vel descendentem ; cum autem 347^ 
prò subiecto sidere punctus caeli mediationis ascendentem possideat eclipticae 
medietatem, idest eam, quae ab capite capricorni principium sumens iuxta 
sìgnorum seriem in cancri caput terminatur, necessario probabimus verum 
dati sideris locum in eadem reperiri zodiaci medietate. Sed dubitemus, utri 
solstitialium punctorum verus buius sideris locus magis appropinquat, quod 
ut exploremus, locale reperiendum est argumentum. Igitur per praemissam 
doetrinam ad organum secundo ingrediens introita cum praemissa recta ascen- 
sione grad. XXXXVn et semis atque cum maximae declinationis solaris comple- 
mento grad. LXVI et semis elicio partes XLII et min. XXX fere, quarum 
complementum grad. grad. XXXXVII et semis cum maxima solis declinatione 
per primom aut quintum introitum illuc reducens excipio grad. XXXIII, qui- 
bus ex quadrante sublatìs locale remanet argumentum partium LVII, quod 



a) Nach complemento bat die Ha. das Wort seetmdwn gestricben. 

b) Die Ha. hat das Wort introitum zweimal. 



tam locale, so ist der Stem im gleichen Quadranten; ist aber Òm negati v, aber 
> X, oder M auf dem siidl. Halbkreis und Óm positiv und > X, so ist der 
8tem in einem anderen Quadranten. Ftbr M auf dem sudi. Halbkreis und Sm 
entweder negativ oder positiv und < L liegt der Stem wieder im gleichen 
Quadranten. Ist M auf dem sudi. Halbkreis und d positiv und = L oder M 
auf dem ndrdl. Halbkreis und d negativ und »> X, so ist die Lftnge des Stemes 
0® oder 180®. (Die geometrisehe Bedeutung von L ist nicht ersichtlich.) 

Beispiel: l^ - 315^ 6 - 67®. Resultate: ij = 73®, Óm ^ - 16®20', 
<y-^jr-83®20', |5=71®41'; a? = 16® 40', ajf - 47® 30', y-42®30', 
X=«57® A = 23® 41'. 



144 Lib«r teitius. 

848' Cam subiecta declinatio sideris ex8u|peret, igìtar yerus huìns siderìs locas is 
alterum eiusdem semicircnli ascendentìs dimidium, Ben in aliam totius eclipti- 
cae quartam migrabit; ergo prìdem inventa distantia grad. LXYI min. XX de 
principio cancri contra signonim suocessum computata verus subiecti siderìs 
locus inyenietur in grad. XXTTT min. XXXXI arietis; qood est propositum. 

Proposltlo LXnL 

Cognita sideris alicuius latitudine atque puncto signiferi 
cognito, quo sidus idem possidet meridianum, declinationem ab 
aequatore cum vero ipsius loco revelare. 

Per XYIU huius angulus quaerator, qui fit ex meridiano et ediptica in 
dato caeli mediationis puncto, quem quidem angulum cum ipsa latitudine per 
348^ primum aut quintum introitum meteoroscopio inferentes aroum ezcipiemus, 
qui cum data latitudine parem possidet denominationem, et ipse sit inventum 
primum. Deinde per secundam huius quaeramus etiam puncti caeli mediationis 
datae declinationem, quam, si eiusdem partis fuerit cum invento primo aggre- 
gantes habebimus sideris declinationem desideratam. Ubi vero puncti caeli 
mediationis declinatio inventumque primum diversa nanciscuntur cognomenta, 
igitur minus maiori detrahatur, residuum erit declinatio quaesita serrans 
denominationem maioris numeri. 

Postquam ex hjpothesi punctus caeli mediationis cognìtus est, per prae- 
missum aut antepraelnissam verus sideris locus nobis quoque manifestabitor. 

At eundem verum locum alia quadam ratione sic investigabimus; meteo- 
roscopiam ingredientes per primum aut quintum introitum cum complemento 
latitudìnis sidereae atque cum complemento inventi primi arcum elicimus, 
quem detrabentes quadranti reliquum appellabimus differentiam transitus side- 
849' ris per caeli medium. Verum haec non est eadem cum ea difjferentia transitus 
sideris per caeli medium, de qua prius mentio est habita. Nam haec est arcus 
zodiaci, illa vero quaedam aequatoris portio. Sed ad id redeundum est, unde 
paulo ante lapsa fuit oratio. Eandem differentiam iungamus in zodiaco ad 
punctum caeli mediationis, si ipsum in medietate signiferi locetur ascendente, 
cuius latitudine boreali, aut in eclipticae semicirculo descendente tum latitu- 
dine*) meridionali, contra vero hanc differentiam transitus sideris per caeli 
medium loco puncti caeli mediationis auferamus, si punctus idem caeli media- 
tionis ascendentem occupet eclipticae semicirculum cum latitudine^) meridio- 
nali; contra vero hanc differentiam transitus sideris per caeli medium loco 
pimcti caeli mediationis auferamus, si punctum idem caeli mediationis ascen- 
dentem occupet eclipticae semicirculum, cum latitudine meridionali vel descen- 



») Nach IcUittédine hat die Ha. die Worte boreali aut in edipHeae semicireyìo 
deseendente eestrichen. 

b) Nacn latitudine hat die Hs. das Wort horeetli gestrìchen. 

63. Propositlon. 

Bestimmung der Deklination und der Lftnge eines Sternes, 
wenn seine Breite und die Lànge des mit ihm kulminierenden Tier- 
kreiszeichens gegeben ist (Fig. 47). 



Liber tertius. 145 

dentem zodiaci medietatem cmn latitudine boreali, ut yerus stellae locus mani- 
festetur, quo demum haec praeceptio fìat intellectu facilior. 

Hoc unico utar exemplo. 

Esto ut caeU mediatilo prò sidere aliquo sit gradus XXTTI scorpii cum 
latitudine septemtrionali gradutim XXXTÌTT min. X; per XVDI huius angulus 
meridiani | et eclìpticae in puncto caeli mediationis proveniens invenitur grad. 349^ 
LXXY et min. XY fere, quos cum subiecta latitudine partium XXXIQI min. 
X per primum aut quintum introitum inferenti mihi prìmum porrigitur inven- 
tum grad. XXXV et semis fere, septemtrionalis cognomenti. Nam et subiecta 
latitudo septemtrionalis est. Sed per secundam huius declinatio puncti caeli 
mediationis eiusdem merìdionalis babetur grad. XVIII min. XXXIIII fere, quos 
iuxta praemissam doctrinam primo auferens invento partium XXXV et semis 
ipsam relinquo sideris declinationem quoque septemtrionalem grad. XVI min. 
LVI. Posthaec cum complementis duobus, latitudinis scilicet atque inventi 
primi, quorum primum est grad. LV min. L, secundum vero grad. LTTTT et 
semis, per primum aut quintum introitum inferens elido gradus LXXX min. 
XX fere; quibus ex quadrante demptis di£ferentia remanet transitus sideris per 
caeli medium partium IX min. XXXX, quibus ex loco caeli mediationis detrac- 
tÌB verus sideris locus reHnquitur grad. XJlI min. XX scorpii; quod est intentum. 

Sed in praesenti problemate seu propositione sciendum | est, quod data 360' 
latitudioe boreali maiore, quam sit complementum maximae declinationis Sola- 
ris, cum puncto caeli mediationis immediate signiferi meridionali vel proposita 
latitudine meridionali maiore, quam sit maximae declinationis solaris comple- 
mentum, cum puncto caeli mediationis collocato in medietate signiferi septem- 
trionali propositum dupliciter posse determinari, nisi subiecta latitudo maxima 
fderit inclinatio circuii declinationis supra zodiacum; tunc enim problema uno 
tantum absolvemus modo. 

Imprimis namque unam sideris dati reperiemus declinationem demendo 
declinationem puncti caeli mediationis ex invento primo per praecedentia per- ' 
quisito; quae quidem sideralis declinatio eiusdem erit cognomenti, cuius lati- 
tudo proposita. Deinde declinationem alteram inveniemus in eodem proposito, 
iuncta scilicet declinatione puncti caeli mediationis cum invento primo et ag- 
gregatum auferendo de gradibus CLXXX; quod enim sic remanserit, in tali 
proposito rursus quoque poterit esse declinatio sideralis, pari etiam cognomento^ 
quo et latitudo censetur subiecta. | Verum prò diversa declinatione non idem 360^ 
verus reperietur sideris locus. Nam si declinatio sideralis primo sumatur modo, 
verus sideris eiusdem locus omnino per praecedentem deprehendetur doctrinam. 
Sin autem posteriori modo sideralis constiterit declinatio, dìfferentia transitus 
sideris per caeli medium cum complemento inventi primi atque cum comple- 
mento subìectae latitudinis ex tradita praeceptione perquiretur, et ipsa est 
eadem cum priori sive pridem reperta, quae deinde semicirculo sublata veram 
reUnquit differentiam transitus sideris per caeli medium, quam iuxta prae- 



Nach Prop. 18 bestimmt man rj und bildet dann sin / = -r-^ (Aufg. 1, 

I^^SM im ^ZBM). Dann sucht man nach Prop. 2 die Deklination Òm 
von ilf. Die gesuchte Deklination des Stemes ist^«J+tfjf. Die weitere 
Ldsung ist die der vorigen Propositionen. 

Abhdlgn. %. Getoh. d. math. Wiss. XXIV 8. 10 



146 Liber tertius. 

missas, si usarpemus cautelas, ad yemm sideris locum prò declìnatione eius 
secundo reperta deducemur. 

Hanc propositi ambiguitatem doctus ille mathematicus Joannes de Begio- 
monte sub silentio quoque praeteriit, et si sui temporis astronomorum*) facile 
princeps evaserit, at venia donandus est — non enim singuli possumus alia — 
res ipsa hoc liquebit esemplo. 

351' Sit aliquod | astrum, ciiius caeli mediatio fuerat grad. XXV min. VI aqua- 

rii eiusque borealis latitudo partium LXYIII, et esto propositum inyenire dedi- 
nationem ipsius ab aequatore atqae yemm eius locum; angulus ex meridiano 
atque signifero proyeniens in puncto caeli mediationis dato per XVIII huius 
erit fere grad LXXI cum tertio seu min. XX, quos com subiecta latitudine 
partium LXVIII inducens elicio primum inventum grad. LXXViU. At decU- 
natio puncti caeli mediationis per secundam huius habetor fere partium XITI 
min. X, qua primo invento sublata prima remanet sideris dati declinatio grad. 
LXTTTI min. L borealis quoque partis; etenim latitudo ad borealem subicitur 
plagam. 

Deinde ipsam banc declinationem partium XUI min. X; quibus ex semi- 
circulo sublatis altera in eodem proposito relinquitur declinatio grad. LXXXYIII 
min. L. Postremo ad meteorcscopium ingrediens per primum aut qointom 

BòV introitum cum complemenjto inventi primi partium XII atque cum comple- 
mento subiectae latitudinis graduum XXII excipio gradus XXXIIII min. XX, 
quos auferens ex quadrante relìnquo di£ferentiam transitus^) sideris per caeli 
medium partium LY min. XXXX, quas addens supra locum caeli mediationis 
ad verum sideris prò prima declinatione locum deduco in grad. XX min. 
XXXXVI arietis. Eadem quoque differentia de semicirculo sublata remanent 
partes OXXIIII [min.] XX, quibus iterum additis loco caeli mediationis dato 
prò declinatione altera vems habebitur locus in grad. XXIX min. XXVI gemi- 
norum. Liquet igitur hoc unum propositum dupliciter absolutum fuisse; cur 
Vkutem id conti ngat, ex libro problematum innotescet. 



a) Ha. hat astronimorum. b) Hs. hat transitui. 



C08 I 

Andere Methode. Man sucht cosA = — 3 (Aufgabe 1, I^^BM im 

A B2M)'^ I wird als differentia transitus sideris per caeli medium bezeichnet. 
Dann ist il = ± {Xm ± A) (je nach der gegenseitigen Lage). 

Beispiel: Ajr« 233^ /3 = 34<>4'. Resultate: 77 « 75» 15', J- 35|^^ 
tfj^=18«34', d= 16^56', A = 9H0', A- 223^20'. 

AuBer d = J — dji ist auch d' — 180® — (/+ ^m) ©ùie mogliche Losung; 
dann mufi man A wie oben bilden, hierauf A'» 180» — A und statt mit A nun 
mit A' k' bestimmen. 

Beispiel: Xm^ 325»6', /3 — 68». Resultate: ri = 71»20', /« 78»r 
djr= 13» 10, d = J-djf=54»50', ò' - 88» 60', A - 55» 40', X - 20»46V 
;i'=-89»26'. 



sma^ 



Der Winkel zwischen Meridian und Tierkreis wird aus sin«=«-^— ^ 

* sin 4.^ 

^Aufg.l)be8timmt;ij, = 324»6', 360«— ijf = 34»54', ojr=33« ij-TC^VÓ 



i 



Liber tertius. 



147 



Maximam autem circuU dQclinationis cum signifero inclinationem ad prae- 
sens problema sic demnm explorabimus. Cum oamque zodiaci aroum, qui 
puncto proposito caeli mediatiouis atque propinquo alterius aequinoctii puncto 
clauditur, cum sua recta ascensione meteoroscopio primo vel quinto introitu 
inferentes qnaesitam excipiemus inclinationem. Velut in praemisso exemplo 
caeli mediatio prò dato subicitur | sidere in grad. XXV min. VI aquarii. Ergo ^^^' 
signiferi port-ìo inter hanc caeli mediationem et viciniorum aequinoctii punc- 
tum comprehensa erit grad. XXXIIII min. LIIII, quorum per Y huius recta 
erit ascensio fere partium XXXUI; bis per primum aut quintum introitum 
illatis investigata prodibit inclinatio grad. fere LXXVI et semis. 

Propositio LXniI. 

Obliquam vel ascensionem vel descensionem cuiusvis in caelo 
puncti seu sideris cognitae non tam longitudinis quam latitudinis 
ad horizontem datum suceintim esplicare. 

Igitur per LYIII et eam sequentes recta propositi sideris ascensio quae- 
ratur atque declinatio, quae si regionariae complemento latitudinis coaequetur, 
sidus I firmamenti conversione lambet borizontem eodem temporis oriens mo- 862^ 
mento atque occidens, et si declinatio baec fuerit subiecta septemtrionalis, idem 
sidus a nobis semper videbitur. Si vero austrina, praeter unicum momentum 
ortui et occasui commune perpetuo nobis occultabitmr. At declinatione sideris 
inventa boreali, regionariae tamen latitudinis exsuperante complementum, sidus 
ipsum supra datum horizontem nunquam vel occidens vel oriens semper mora- 
tur et idcirco nobis perpetuo cernetur. Sic quoque contra continget, dum 
regionariae complementum latitudinis declinatio superans austrina subicitur; 
etenim tale sidus omni nos modo latebit. 

Ubi demum stellae declinatio minor dabitur, quam sit regionariae comple- 
mentum latitudinis, ipsa quidem stella ad horizontem subiectum vicissim ori- 
tur atque occidit. Ergo quod proponitur, perficiemus, elevationis scilicet pola- 
ris complemento cum subiectì sideris declinatione ad organum per primum 



64. Proposition. 

Bestimmung der ascensio 
bzw.descensio obliqua eines Ster- 
nes aus seiner L&nge und Breite 
(Fig. 48). 

Man bestinmit zunachst nach 
Prop. 58 ff. die Eektaszension a und ^ 
die Deklination è des Stemes (Speziai- 
mie: ^^90®--g>, der Stem ist zir- 
kumpolar, 6^ — (90® — 9): der Stern 
ist hochstens einen Augenblick am Ho- 
rìzont sichtbar oder tiberhaupt nicht). 

Man bildet dann sinu = ~ 

^ 008 g? 

(li — Morgenweite = £0] 912: = 90® 




Flg. 48. 

10* 



148 Liber tertius. 

aut quintom introitum misso; nam arcus ita coUectas dati sideris ortos an^ii- 
tudo, cuius deinde complementum cmn subiectae deelinationis complemento 

853' per piimum aut quintum introitum rursus illatom | referet arcom; quo de 
grad. LXXXX sublato reliquam ascensionalis erit differentia, qua rectae ascen- 
sioni detracta, si borealis, aut eidem adiecta, si faerit anstrina declinatio; quod 
enim sic constabit, obliqua dati sideris erit ascensio, sed ipsam desoensionem 
ratione renabimur opposita; nam ascensionalis differentia, quae modo iunge- 
batur, nunc demetur, et econtra. 

Esto yerus alicuius stellae locus grad. XIIl scorpii cum latitudine boreali 
partium XXIIII min. X. Cuius in patria regione obliquam quaerere intendo 
et ascensionem et descensionem. Dati itaqne sideris ascensionem rectam constai 
esse partium GCXXX et min. XXXV fere; declinatio autem eiusdem borealis 
gradu. XVI min. LVI;^) ingrediens igitur iuxta primum aut quintum introitum 
cum patriae complemento latitudinis grad. XXXX min. XXXDI atque cum ipsa 
declinatione grad. XVI min. LVI partes excipio XXVI min. XXXX, ortìvam 
videlicet sideris amplitudinem. Cuius deinde complementum grad. LXIII mino. 
XX et deelinationis complementum partium LXXUI min. IIII primo aut quinto 

358^ inferens introitu | reperio partes XLIX min. XX, quibus quadranti sublatis 
differentia remanet ascensionalis grad. XX min. XXXX; quibus rectae pridem 
inventae subtractis ascensioni (nam subiecta declinatio borealis est) obliqna 
dati sideris ascensio relinquitur partium GCIX min. LV, centra yero eodem 
ascensionali differentia eidem rectae ascensioni congregata descensio consnrget 
obliqua graduum CCLI min. XV; quod est intentum. 

Propositio LXT. 

Signiferi punctum, quo subiecta stella in borizonte supposito 
vel oritur vel occidit, indagare. 

Si subiectum sidus longitudinis atque latitudinis fuerit cognitae, per 
praemissam ipsius sideris prò subiectae regionis latitudine obliquam qaaeramus 
36 i' vel ascensionem, si ortum scire veUmus, vel descensionem, | si occiduum signi- 
feri punctum desideramus, et utramque earum per XX huius aut eius sequentem 
in partes signiferi vertentes propositum babebimus utrumque, idest signiferi 

a) Ha. bai LVI korr. aus LXI. 



— 1[* im AP9Ì2:), ferner cosA =-^ (A =- 2)0 im AZDO). Dann ist a^- 

a^A, dj=a + A. (A wird als ascensionalis differentia bezeicbnet) 

Beispiel: À = 223®, /3 = 24®10'. Resultate: a — 230'35', d« 16*^56; 
f^ = 26^0', A = 20U0', «1 « 209<>65', rf^ = 2bl^U\ 

65. Proposition. 

Bestimmung des Tierkreiszeicbens, das gleichzeitig mit einem 
gegebenen Stern auf- oder untergebt. 

Man bestimmt nacb Prop. 64 die ascensio bzw. descensio obliqua des 
Stemes und nacb Prop. 20 ff. den ibr entsprecbenden Bogen der Ékliptik 
(r - V2'). 



Liber tertius. 149 

punctum, quo idem sidus cooritnr, et signiferi punctum, quo sìmul pariterque 
data stella petit octsasum. 

Esto stella, cuius longìtndo seu verus locus in zodiaco sit graduum Xm 
scorpii, et latìtudo eius borealis partium XXIIII^) min. X. Gupiens ìtaque 
signiferi punctum reperire, qui una cum data stella peroritur, inverno primum 
per praemissam ascensionem eius obliquam grad. CCIX min. LV, quae per 
XX huius aut eius sequentem in arcum zodiaci conversa redduntur signa sex 
grad. XXI min. XXXXII librae. Bursus intendens invenire signiferi punctum, 
quo idem sidus occidit, obliqua descensio per praemissam constabit partibus 
COLI min. XV; quae si per XX huius aut eius sequentem in signiferi com- 
mutentur arcum, reperio signa Villi**) grad. Villi min. XXXXTX, quibus ean- 
dem ab signorum initio numerabis, indicabitur nobis datum sidus occidere cum 
grad. IX min. XXXXIX capricorni; quod est intentum. ! 

Propositio LXTI. 354^ 

Caelestis alicuius puncti seu cuiuslibet sideris agnito vero 
loco atque latitudine sitne ipsum dato momento supra terram aut 
subter eam succinctum breviterque definire. 

Igitur iuxta doctrinam antepraemissae considerandum est, utrum datum 
sidus oriatur occidatque an non ; quod si non oriatur, ergo non occidet, quare 
de ipso propositum fhistra con£ciemus. Ubi vero compertum habemus illam 
oriri occidereque, igitur per praemissam duo zodiaci capiamus puncta, quorum 
uno peroritur, altero vero petit occasum. Ad idem quoque tempus oblatum 
horoscopum, idest orìens eclipticae punctum, per XXTTT huius discamus, quo 
cognito punctus occiduus non ignorabitur, cum is orienti per diametrum oppo- 
natur. Si enim sideris | subiecti borealis declinationis seu etiam meridionalis ^^^ 
dieta duo puncta, ortus scilicet [et] occasus in eo signiferi semicirculo reperiun- 
tur, qui ab occidente inchoans secundum signorum seriem in horoscopum termi* 
natur^ ipsum sidus supra horizontem locabitur. Sin autem eadem puncta eius- 
dem sideris ambo pariter in reliqua signiferi medietate constiterint, ipsum 
sidus subter horizontem constituetur. Quod si sidus idem prope occidentiam 
reperiatur, et punctus, quo datum sidus occidit, praecesserit occidens punctum, 

a) Hs. hat. XXXnU. b) Hs. hat Vlim. 



Beispiel: ;i=-223^ j3==24<^ 10'. Kesultate: Oj» 209 ^55', r^ = 201^42', 
ci -251® 15', r^- 279^49'. 

66. Froposition. 

Untersuchung, oh sich ein gegebener Stern zu gegebener Zeit 
tìber oder unter dem Horizont befindet. 

Die Spezialf&Ue sind, wie in Prop. 64 die, dafi der Stern entweder zirkum- 
polar ist, oder itb: den betr. Ort Uberhaupt nicht aufgeht. 

Im allgemeinen Fall bestimmt man nach Prop. 65 die Tierkreiszeichen, 
mit denen der Stern gleichzeitig auf- bzw. untergeht, r^ und r^, femer fùr die 
gegebene Zeit das Horoskop, d. h. das gerade aufgehende Zeichen des Tier- 
kreises h. Es sei H das Horoskop, H' der um 180® entfemte Punkt. Liegén 



150 Liber tertius. 

indicabitur tunc nobis ipsum sìdus infra horizontem latere. Sin autem pnnctas 
sideris ocoidnus occidentem sequitur ipsum, tunc sidus supra horizontem repe- 
rietur. Pari quoque modo ducamus, sitne subiecta stella supra horizontem 
aut infra eum, duobis eius puuctis, quorum altero peroritur, altero vero peroc- 
cidit, prope horoscopium repertis. Nam si punctus signiferi, quo subiectum 
sidus oritur, horoscopum antecesserit, ipsum sidus supra terram necessario con- 
866^ stituetur. Sin autem | adhuc concomitabitur, idem sidus subter horizontem 
manens comprobabimus. 

Yelut si alicuius sideris oriens zodiaci punctus fuerit in grad. XXI min. 
XXXXTT librae, occiduus vero punctus eiusdem in partibus IX min. XXXXIX 
capricorni, et in horizonte, cuius latitudo fuerit grad. XXXXIX, prò dato tem- 
pore sit horoscopus prìncipium aquarii. Oum autem dati sideris puncta duo 
signiferi, cooriens scilicet et occiduum, in semicirculo signiferi superiori per- 
maneant, notum erit datAm stellam supra horizontem morari. 

Ponamus item sidus aliud, cuius ortus in eodem horizonte fiat cum grad. 
IX mi. XXXXIX cancri, occasus vero cum grad. XXI min. XXXXII arietis; 
et sit eius declinatio meridionalis grad. XVI min. LYI; prò subiecto quoque 
tempore scorpii principium oriatur; atqui occiduus dati sideris punctus in in- 
feriori residet hemisphaerio, quamvis ortivus eiusdem sideris in superiori ma- 
neat, ipsum sidus subter horizontem collocari constabit. ' 

Propositio LXYII. 

566" Cuiuslibet sideris seu puncti caelestis | arcum semidiurnum 

et seminocturnum investigare. 

Igitur per doctrinam in LXIIII huius traditam ascensionaUs acdpiatur 
differentia ipsaque quadranti coniuncta, si subiecti sideris seu puncti declinatio 
fuerit borealis, aut ex quadrante diminuta, si declinatio sit austrina; quod 
itaque huiusmodi differentiae ascensionalis aut aggregatione vel diminutione 
coUigitur, quaesitus erit arcus semidiurnus, qui quoque semicirculo snblatns 
arcum seminocturnum relinquit. 

Ut si dati sideris seu puncti caelestis declinatio borealis fuerit grad. XVI 



nun r^ und r^ beide auf dem Kreisbogen H' FJEf, so steht der Stem ilber dem 
Horizont, liegen sie auf dem anderen Halbkreis, so steht der Stem unter dem 
Horizont. Steht der Stem nahe dem westlichen Horizont imd geht er vor It 
unter, so steht er unter, geht er nach H* unter, ùber dem Horizont; steht er 
nahe dem òstlichen Horizont und geht er vor H auf, so steht er ùber dem 
Horizont und umgekehrt. 

1. Beispiel: r^ = 201 ^ 42', r^ = 279® 49', g) = 49^ ^ - 300®. Resultat: 
Stem tiber dem Horizont. 

2. Beispiel: r^ - 99^9', r^ = 21<>24', d = — 16^56', 7* = 210^ 
Resultat: Stern unter dem Horizont. (Da r^<210®— 180® ist.) 

67. Proposition. 

Bestimmung des halben Tagbogens und Nachtbogens eines 
Sternes. 



Liber tertias. 151 

min. LVI; igìtur per LXIIII huius différentia ascensionalis erìt graduum XX 
mL XXXX; quibus aggregatis quadranti erit arcus semidiumus grad. CX min. 
XXXX. Eadem quoque différentia ascensionali sublata quadranti sideris eius- 
dem arcum relinquit seminoctumum partium LXIX mi. XX, eiusdem etiam de- 
clinationis partium XVI min. LYI partem subiciamus austrinam^ et contra no- 
bis accidet, eadem provenienti différentia ascensionali { , ut, quod prìdem erat ^^^^ 
arcus seminoctumus, nunc arcus semidiumus constituetur, et contra; ergo li- 
quet propositum. 

Propositio Lxyni. 

Utrum stella qnaepiam hemisphaerìum possideat orientale 
<&n occidentale subiecto temporis momento, perscrutari. 

Orientale hemisphaerìum eam appello caeli partem, quae ab imo terrae 
incipiens per horoscopum eundo in medium caeli supra terram numeratur, 
reliquum autem hemisphaerium, quod a medio caeli supra terram inchoans 
transeundo per occidentem in imum terrae computatur, occidentale nuncupo. 
Igitnr ad dati temporìs momentum per XXII huius ant eius sequentem me- 
dium caeli supra terram inveniatur, non desit etiam nobis per LYIU et eius 
sequentes re | età siderìs ascensio sen potius caeli mediatio, qua habita conside- 367*' 
randum est, utrum caeli mediatio dati siderìs hemisphaerìum eclipticae teneat 
orientale an occidentale, quod tandem ex praemissa definitione facile patescit; 
quare nostram consequemur intentionem. Idem quoque nanciscemur proposi- 
tum comparando rectam sideris ascensionem, ad duas rectas ascensiones, medii 
caeli scilicet supra terram et imi terrae. 

Nam si recta siderìs ascensio rectam imi terrae ascensioni naturali numera- 
tionis serìe comitans ascensionem rectam medii caeli supra terram procedat, 
datum sidus absque dubìo occidentale occupat hemisphaerìum. At eadem recta 
siderìs ascensione rectam quidem medii caeli supra terram naturali ordine 
<K)ncomitante rectamque imi terrae ascensionem praecedente nobis ostendetur 
subiectum sidus orìentale possidere hemisphaerìum. 

Ut si sidus aliquod etiam caelum mediet cum XXIII scorpii, velimque 

Man bestimmt nach Prop. 64. A, die différentia ascensionalis. Ist S 
positiv, so ist der halbe Tagbogen ^ = 90® + A, ist d negativ, * « 90® — A. 

1. Beispiel: ó = 16® 56'. Resultat: A ^ 20®40', t = 110® 40'. 

2. Beispiel: d « - 16® 56'. Resultat: A - 20® 40', t - 69® 20'. 

68. Proposition. 

Untersuchung, ob sich ein Stern zu gegebener Zeit auf der 0st- 
lichen oder westlichen Halbkugel befindet. 

Man bestimmt nach Prop. 22 die Lange Xm des zu der gegebenen Zeit 
kulminierenden Punktes der Ekliptik, die Lftnge Aj des 180® entfemt liegen- 
den Punktes J (imum terrae) und nach Prop. 58 die Lllnge il des gleichzeitig 
mit dem Stern kulminierenden Ekliptikpunktes; ist dann 1 < Ajf und > Xj^ so 
ist der Stern auf der westlichen Halbkugel und umgekehrt. 



152 Liber teriiua. 

prò aliquo momento, quodcumque dabitur, scire, utnim snbiectum sidus orien- 
tale teneat hemisphaerìnm an occidentale, per XXII huius aut eius sequentem 
prò aliquo subiedd temporis momento M. G. supra terram inveniatur grad. 
867^ I aquarii, igitur imum terrae gradus erìt I leonis; cnm autem suppositi siderù 
caeH mediatio signorum successionem intra imam terrae et medium caeli supra 
terram con^tituatur; ergo idem sidus occidentale caeli hemisphaerium possidere 
necessario convincimus; quod est intentum. 

Propo8itio LXIX. 

Quod problemate sesto et sexagesimo docetur, alia quadam 
via rimari. 

Ad explorandum igitur, utrum datus caeli pimctus seu stella supra datimi 
horizontem (ne) subtenetur an subter eundem deprimatur, inyestigabimus in> 
primis per antepraemissam subiecti pimcti seu sideris arcum tam semidiumiun 
quam seminoctumum. 

Deinde per praemissam caeli hemisphaerium, quod idem punctum sidnsre 
possideat, non ignorabimus etiam rectam sideris ascensionem, quam per LVJLU 
et eam sequentes addiscemus. Si enim ipsum sidus orientale tenuerit hemi- 
868' sphaerium, ascensio recta medii caeli supra terram | siderìs ascensioni rectae 
subtrahatur, hocque residuum arcui semidiumo superante datum sidus supra 
terram coUocari scimus. Sin autem residuum ipsum arcum yincat semidim*- 
num, subiecta stella subter horizontem locabitur. 

Ubi vero datum sidus occiduum possiderit hemisphaerium, igitur ascensio 
recta imi caeli ex ascensione recta sideris auferatur, reliquumqne ab arcu semi- 
noctumo superatum indicat nobis subiectatn stellam subter horizontem morarL 
Sin autem arcus seminoctumus ab eodem reliquo excedatur, stellam ipsam sea 
quodvis datum punctum, prò quo hanc suscepimus inquisitionem, supra terram 
attolli necessario concludemus. 

Yelut sit alicuius sideris, quod caelum mediat grad. XXm scorpii in 
regione, cuius*) latitudo grad. XXXXIX, arcus semidiumus partium OX min. 
XXXX. Igitur iuxta doctrinam antepraemissae seminoctumus arcus erìt grad. 
LXIX min. XX. Deinde prò dato alicuius temporis momento medium caeli 

a) Hs. hat eius. 

Oder man bestimmt die Bektaszensionen: ajf von Jf, aj des 180^ ent- 
femt liegenden Punktes J und a des mit dem Stern kulminierenden Ekliptik- 
punktes. Ist a < ajr und > aj, so ist der Stern auf der westlichen, ist a > ffjr 
und < a/, auf der Ostlichen Halbkugel. 

Beispiel: À = 233% JLjf = 301®, Xj = 121^ Resultati Stern auf der 
westl. Halbkugel. 

69. Proposition. 

Andere Lòsung der Aufgabe von Prop. 66. 

Man bestimmt nach Prop. 67 den halben Tagbogen des Stemes, dann 
nach Prop. 68 die Halbkugel, auf der er sich befindet, und nach Prop. 58 C 
seine Bektaszension or. 



Libei tertius. 153 

supra terram sit grad. I aquari!; ergo imum terme erit grad. I leonis, estoqne 
propositmn discutere, sit ne idem sidus supra terram aut subter eam positum. 
Igitnr per antepraemissam dati siderìs arcua semidiumus erit grad. | CX min. 868"^ 
XXXX, arcus autem seminoctnmus grad. LXIX min. XX, et per quintum huius 
ascensio recta imi caeli constat grad. GXXm min. XIIII, quam aufero ex recta 
dati siderìs ascensione grad. CCXXX min. XXXV. Quoniam idem sidus per 
antecedentem occidentis obtinet hemisphaerìum, et remanent partes GVII min. 
XXI, quibus arcum seminoctumum superantibus consequens erìt, ut datum 
sidus supra horìzontem datum collocetur; quod est propositum. 

Propositlo LXX. 

De qualibet stella, in quo sit caeli domicilio*) gsnstituta, 
ipsis domiciliis vel iuxta lohannem de Begiomonte yel iuzta Cam- 
panum aut Gasulum Bagusinium erectis, sciscitari. 

Pro regione igitur aliqua ad datum temporìs momentum duodecim caeli 
domiciliis iuxta loannem^) de Begiomonte | constitutis nanciscamur^) igitur SDU'^ 
inprimis caeli mediationem siderìs per LVIII huius aut eius sequentes; duo 
quoque pimcta, quorum altero datum sidus orìtur, altero peroccidit. Si enim 
caeli mediatio siderìs medio caeli supra terram coaequatur, datum sidus decimi 
ab horosoopo loci tenet initium. Sin autem siderìs caeli mediatio imo terrae 
fuerìt par, ipsum sidus terrae imum partiliter tenet. At signiferì puncto, quo 
subiectum sidus perorìtur, boroscopium coaequante ipsum sidus ad subiectum 
temporis momentum orìtur atque orìentalem horìzontis semicirculum partiliter 
occupai Die deinde eclipticae punctus, quo sidus simul occidit, ab initio sep- 
timi ab horoscopo loci non differens indicat nobis sidus septimi loci princi- 
pium tenere atque occiduum horìzontis semicirculum partiliter obtinere. Hoc 
ìtaque iudicium sic se habet prò cardinibus quatuor principalibus. Sed quoad 
reliqua domicilia, immo quoad omnia generaliter, talis erìt consìderatio nobis 
agenda. 

Per LIU enim huius duae polares elevationes nobis innotescant, unde- 
cimi scilicet atque duodecimi loci, per L quoque huius aut eius sequentes 
subiecti puncti caelestis aut siderìs agnoscamus elevationem polarem | supra 359* 

a) Hb. hat domieilia. b) Hs. hat Ioannes. e) He. hat ncutcamus. 

Ist er auf der 5stl. Halbkugel, so bildet man a — «jf. Ist a — crjf > ^, 
so ist der Stem ùber dem Horìzont und umgekehrt. Ist er auf der westl. Halb- 
kugel, so bildet man a — a/. Ist a — a/> 180 — t, so ist der Stem tlber 
dem Horìzont und umgekehrt. 

Beispiel: A = 233^ 9 = 49«, <= 110^40', 180^ — ^—69^20', 
Àjf— 301^ À/-121^ Besultat: «/= 123^14', a-220<^35', a - «/ 
«. 107^21 > 180® — ^ also Stem ftber dem Horizont. 

70. Proposition. 

Bestimmung, in welchem „Haus^^ sich ein Stern befindet, wenn 
die H&user nach Johannes Begiomontanus oder nach Gampanua 
oder nach Oasulus von Bagusa bestimmt sind. 



154 Liber t6rti^8. 

suae positionis circulum, per eas quoque propositiones, quae paulo ante sunt 
positae, non nos lateat data stella seu caeli punctus orientalene teneat hemi- 
sphaeriam an occidentale, et utrum supra horizontem aut infra eundem con- 
fitituatur. Denique polarem elevationem undecimi domicilii aliis quoque tri- 
bus competere, tertio scilicet domicilio at quinto nonoque. Polarem vero ele- 
vationem duodecimi ab horoscopo loci tribus etiam aliis cuspidibus, secundae 
videlicet ac sextae atque octavae, fore communem. 

Quod si prò supposito sidere caelive puncto alio nulla suae positionis 
inveniatur polaris elevatio, ipsumque 'Bidus aut quod vis caeli punctum, cuius 
gratia intendimus propositum confìcere, supemum caeli teneat hemispha^rium, 
initio decimi ab horoscopo loci partiliter inhaerere necessario convincitur. Sin 
autem idem sidus aut caeli punctum subiectum in subterraneo moretur caeli 
hemisphaerk), ipsum sidus ex necessitate imum terrae possidebit. Ubi yero 
reperta prò dato sidere elevatio regionis latitudini fuerit aequalis, et ipsum 

^60' sidus in I orieutis hemisphaerio collocetur, boroscopum quoque partiliter obti- 
nebit, aut occasum, si in occiduo caeli hemisphaerio datum sidus babuerit 
locum. 

Postquam autem sidus nec in medio caeli supra terram, nec in imo terrae^ 
ncque vel horoscopum vel occasum tenuerit, consideranda est caeli quadra, 
quam idem sidus occupat; quae si subterrestris orientalis fuerit, quod evenit, 
cum sidus ipsum in orientali hemisphaerio atque in hemisphaerio superno una 
simul constituetur, ergo datae stellae polaris elevatio supra suae positioms 
cii'culum est comparanda cum duabus poli elevationibus, undecimi scilicet et 
duodecimi loci; quod si poli sideralis elevatio polari elevationi undecimi loci 
ooaequetur, ipsum sidus undecimum locum partiliter obtinet. Sin autem duo- 
decimi loci elevationi par fuerit, in duodecimo loco partiliter locari convincitur. 
Quod si poli sideralis elevatio in eadem quadra sidere constituto maior fuerit 
polari elevatione decimi loci, minor vero*) undecimi loci, sidus in decima domo 
platice locabitar. Sin autem maior elevationi polari, undecimi, minor vero 

ZQO" quam duodecimi loci | elevatio, sidus ipsum undecime loco platice constitue- 
tur. At eadem sideris elevatione polari duodecimi loci elevationem superante, 

a) decimi loci, minor vero fehlt in der Hb. 



Man bestimmt zun&chst die mit dem Stem gleichzeitig aufgehenden, kul- 
minierenden und untergehenden EkliptikbOgen r^, r^ und r^. 

Ist Vjc^^Im (d. b. » der L&nge des gerade kulminierenden Ekliptikpunktes), 
80 steht der Stem im Anfang des 10. Hauses, ist rj^ =« 180® + Xjf — kj^ so 
steht er partiliter im „imum terrae", ist r^ =» dem Horoskop k (d. h. «= derL&nge 
des gerade aufgehenden Ekliptikpunktes), so steht er partiliter im Ostlichen 
Halbkreis des Horizonts, ist r^^h^ 180®, so steht er im Anfang des 1. Hauses 
und partiliter im westlichen Halbkreis des Horizonts. 

Im allgemeinen Fall sucht man nach Prop. 53 die beiden Polhohen 
des 11. und 12. Hauses und nach Prop. 50 ff. die Polhòhe ùber dem Positions- 
kreis des Stemes, und untersucht, ob der Stem auf der ostlichen oder west- 
lichen Halbkugel und ùber oder unter dem Horizont sich befindet. 

Ist die Polhòhe des Sternes » Nuli und der Stem Uber dem Horizont, 
so steht er partiliter im Anfang des 10. Hauses, ist er unter dem Horizont, 



Liber tertius. 155 

minore tamen, quam sit regionis latitudo, sidus in duodecima domo platice 
locari conclndemns. 

Sed sidere posito in quadra super terrestri occiduaque, quod accidit, 
quando sidus datum simul supra terram atque in hemisphaerio locabitor 
occiduo, tunc fere idem est habendum indicium de situ sideris yel partili vel 
platico in septima yel octava vel nona domo. 

Sidere posthaec quadram occidentalem subterraneam occupante, quod 
evenit, quando sidus simul sub horizonte atque in occiduo caeli hemisphaerio 
ponitur, idem agemns, quod actum est sidere in quadra orientali superterrestri 
supposito. Nam sicut illic sideris polarem elevationem comparavimus ad duas 
elevationes polares undecimi et duodecimi loci, sic quoque ibi sideris elevatio 
polaris conferenda est ad easdem elevationes polares, velut ipsae competunt 
quinto et sexto loco. | 

Dato demum sidere in quadra orientali subterranea constituto, quod acci- ^^^' 
dit sidere subter horizontem collocato atque simul orientale possidente hemi- 
sphaerium, quare tunc sideris polarem elevationem, eisdem polaribus eleva- 
tionibus undecimi et duodecimi loci respectu secundae tertiaeque domus, eo 
modo, qui dictus est, conferemus, atque intentum nobis non celabitur. 

Haec universa meo quidem iudicio sunt adeo perspicua, ut nuUis exem- 
ploi'um elucubrationibus arbitrar indigere, cum ea^ velut existimo, vel commo- 
4ius vel strictius praecipi nequeant. 

Non aliter quoque discernemus, in quo caeli domicilio subiectum coUocetur 
sidus, domiciliis scilicet erectis iuxta Campani aut Gasuli opinionem; eodem 
namque modo sideris polarem elevationem comparabimus cum duabus poli eleva- 
tionibus undecimi et duodecimi domicilii iuxta Campanum et Gasulum constituti. 

Propositio LXXL 

De quolibet sidere seu alio quocunque cae,li puncto dato domi- 861'' 
oiliis iuxta veterem morem iam constitutis, quod eorum idem si- 
dus aut partiliter aut platice teneat explicare. 

Hanc domorum constituendarum rationem in LVII huius enarravi, stellam 
autem et quodque aliud caeli punctutn in aliquo domicilio locari partiliter 

im Anfang des 4. Hauses (im imum terrae). Ist scine PolhQbe «» der geo- 
graphischen Breite <p, und der Stern auf der òstlichen Halfte, so steht er parti- 
liter im Anfang des 1 . Hauses, im Horoskop, ist er auf der westlichen Halfte, 
im 7. Hause. 

Ist der Stern „unterirdiscb und 5stlich^' und scine Polhohe gleich der des 
11. bzw. 12. Hauses, so steht der Stern partiliter im 11. bzw. 12. Hause; ist 
£eine Polhohe gr5fier als die des 10. Hauses, aber kleiner als die des 11, so 
steht er platice im 10. Haus, ist sie gr5Ber als die des 11., aber kleiner als 
die des 12, so steht er platice im 11. Haus. 

In gleicher Weise werden die 3 anderen Falle untersucht. 

71. Proposltion. 

Bestimmung der Lage eines Sternes in den Himmelshausern 
iuxta veterem morem. 



156 Libei tertins. 

intelligo, cum illius cuspides, hoc est ÌDitium possideat. Platice vero in aliquo 
domicilio locabitur, cum ipsa domicilii nuUius obsidet exordium. 

Ut autem intentum conficiamus, per LVllI et eas sequentes subiectae 
stellae seu puncti caelestis dati mediatio caeli perquiratar. Quae si cuspidi 
alicnius domus similis faerit, in eadem ipsam partiliter consistere liquebii 
Sin autem prò eodem sidere inventa caeli mediatio iuxta signiferarum partinm 
seriem cnspidem aliquam comitetur, cuspidem proxime suocedentem antecedens, 
362'' ergo perspicuum erit, ipsam stellam | seu punctum caelestem datum in eo 
domicilio, cuius cuspidem sideralis ipsa caeli mediatio comitator, platicam obti- 
nere positionem; ne hoc quidem problema exemplarì luce desiderat illustrali 

Propositio LXXU. 

Utrum stellae duae ant plures eandem mundi quartam ex quar- 
tis quatuor per meridianum atque horizontem segregatis eodem 
occupantes tempore in eodem collocentur positionis circulo an 
non, succinctim investigare. 

Igitur cuiuslibet earum de quodcumque fuerit buiusmodi coniunctioiùs 
suspicio, polarem elevationem per L aut eius sequentem capiamus, quotcnm- 
362'' que ergo siderum pares sortiuntur polarium elevati onum numeros, ea '■ in eodem 
positionis coniungi circulo non dubitemus, quaecumque vero polares elevationes 
habuerìnt dispares, ea nulla coniunctionis societate foederarì certum erit. Haec 
adeo sunt facilia, ut ampliorem non exposcant declarationem. 

Propositio LXXm. 

Quemvis significatorem aut quodcumque caeli punctum ad 
quemlibet locum iuxta signorum ordinem dirigere. 



Steht ein Stern im „AnfaDg eines Hauses*\ so sagt man, er stehe „P^' 
liter^^ in dem Hause, wenn nicht, „platìce^'. 

Die H&user konstruiert man nach Prop. 57, dann sucbt man r^ nach 
Prop. 58. Ist r j^ =• A,, des iten Hauses, so liegt der Stern partiliter im iten 
Hause. Ist A^_i < rjr < À,., so liegt er platice im (i — l)ten Hause. 

72. Proposition. 

Untersuchung, ob zwei oder mebrere Sterne, die auf der glei- 
cben Viertelskugel (durcb Meridian und Horizont begrenzt) liegen, 
aucb auf dem gleichen Positionskreis liegen. 

Man sucbt nacb Prop. 50 die Polh6ben; sind diese gleicb, so liegen die 
Steme auf dem gleichen Posititionskreis. 

73. Proposition. 

Bestimmung der „directio" eines „significator"^) oder irgend- 
eines Punktes des Himmels fùr einen gegebenen Ort der Ekliptik. 

1) ,^OthonÌB Brunfelfiii de Diffinitionibus et terminis Aatrologiae libelias isar 



Liber teitins. 157 

Quid dìrectio vel quod sit significatorem dirìgere, saperracaneum arbitror 
hic explanare, com id Ptolemaeus in suo Tetramerismo copiose tradiderit, idip- 
sum etiam in ludo suo Pannonico Ioannes de Begiomonte repetens proposito 
themate laculentum usque adeo effecerit, ut res haec latius enarrari nequeat. 
Sed ad intentionem propositi redeundum est. | 

Significatore itaque horoscopum partiliter obsidente ad subiectam regionis 363" 
latitudinem significatoris ipsius obliquam quaeremus asoensionem loci, ad quem 
dirigere yelimus, quem idem Ioannes de Begiomonte promissorem appellat. 
Detracta deinde significatorìs ascensione de promissoris ascensione reliquum 
quaesitam ostendet directionem, qua erìt utendum, velut Ptolemaeus et Hali^), 
conimentator eius, Alchabitius ^) quoque et ceteri autores astrologici praecipiunt. 

At significatore occiduas partes caeli partiliter obtinente prò eiusdem 
regionis latitudine obliquam significatorìs descensionem obliquae promissorum 
descensioni detrabentes petitam relinquimus iterum directionem. In caeli au- 
tem medio supra terram aut in imo terrae ipso significatore partiliter consti- 
tuto rectis ascensionibus significatorìs et promissoris utamur, perinde atque 
obliquis iam usi fuimus. 

Postquam autem nobìs constiterìt significatorem non locarì in aliquo car- 
dinum quatuor, idest vel in ascendente vel occidente, aut in medio caeli, aut 
in imo terrae. Quare per L huius aut eius sequentem poli elevationem supra 368^ 
positionis circulum ipsius significatorìs inquiramus, iuxta quam utrìusque, signi- 
ficatorìs scilicet et promissorìs, obliqua sumatur ascensio, si bemisphaerium 
orientale significator, aut obliqua descensio, si occidentale possideat. Detracta 
deinde, ut prìus, significatorìs ascensione vel descensione ex promissorìs ascen- 
sione vel descensione ipsam habebimus directionem. 

Propositio LXXIin. 

Significatorem centra signorum successum dirigere. 



Stebt der Punkt partiliter im Qoroskop, so bestimmt man scine ascensio 
obliqua und ebenso die des gegebenen Ortes, der von Begiomontanus als 
„possessor^ bezeichnet wird. Die Differenz dieser beiden Aszensionen ist die 
gesuchte directio. 

Geht der Punkt gerade unter, so recbnet man mit den Deszensionen, 
kulminiert er, mit den Bektaszensionen. 

Hat er cine beliebige StelluDg, so bestimmt man die PolhOhe ùber dem 
Posìtionskreis nach Prop. 50, und hierzu die ascensiones bzw. descensiones obli- 
quae des significator und possessor und bildet ibre Differenz. 

gogicus". Basel 1561, gìbt folgende Definition des ,,sìgnificator** : Significator regni, 
pianeta, qui plures potioresque praerogativas in medio cardine hahet. 

1) È ali, arabisch 'Al! b. Ridwàn vgl. H. Sater, Die Matbematiker and Astro- 
nomen der Araber und ibre Werke. p. 103. Nr. 232. 'Ali yerfafite einen Kom- 
montar znm Quadripartitum dea Ptolemaus, der lateinìscb berausgegeben wurde. 
Yenedig 1493 und 1619. 

2) AlcbabitiuB, arabisch 'Abd al 'Aziz b 'Otmàn b. 'Ali, Abn'1-Saqr, 
al-Qabìsi, nS^heres vgl. H. Suter a. a. 0. p. 60. Nr. 132. Werner meint wobÌ die 
von Joannea Hispalensis ina Lateiniache ùbersetzte Schrìft: Alchabitii Abdilazi liber 
introductorìus ad magiaterìum indiciorum aatrorum interprete Joanne Hiapalenai. 
Gedruckt Yenedig 1486. 



158 Uber tertinB. 

SignifìcatoTÌs directio ad promissoria locam contra signorum successionem 
in eo tantum refert ab eius directione, quae iuxta signorum computatur ordinem, 
quod utriusque, tam significatoris, quam promissoris ascensiones et descensiones 
364"" siye rectae sive obliquae | bic ad promissoris ìnveniuntur positionem. Qua- 
propter opposita contingit ratione ascensionem seu descensionem promissoris 
ex ascensione descensioneve significatoris auferri, ut desiderata residuet di- 
rectio. 

Proposito LXXT. 

Ad quod eclipticae punctum quovis anno proposito significa- 
toris directio iuxta signorum ordinem sit prolapsa, perspicuum 
facere. 

Geniturae tempus, boc est aonos a nativitate salvatoris nostri computatos 
et usque ad subiectae geniturae momentum excurrentes, ab annis eiusdem 
Domini salvatoris nostri proposito tempore currentibus auferamus atque prò 
quolibet differentiae buius anno gradum unum et prò quibusque quinis minu- 
364 "" tis mensem unum | significatoris vel ascensioni vel descensioni, prout eius 
expostulaverìt situs, adicientes obtinebimus vel ascensionem vel descensionem 
eius arcus in ipsa signiferi peripberia contenti, quo tandem deducemini in 
cognitionem puncti, ad quem proposito anno directio fuit dilapsa. Nam ean- 
dem vel ascensionem vel descensionem differentiae buius aggregatone compo- 
sitam iurta polarem significatoris elevationem ex XX aut XXI buius in eclip- 
ticae arcum convertentes babebimus intentum. 

Sed ne fortassis baec doctrina ob sui brevitatem lectori paulo videatur 
obscurior, igitur eam tractabo latius. Significatore namque in boroscopo parti- 
liter constituto praemissam ascensionis summam prò subiectae regionis latitu- 
dine ad signiferi reducamus arcum; et babetur intentum. 

Sin autem significator occiduum geniturae cardinem possidente ipsa suimua 
constituetur obliqua descensio, quae iuxta eandem poli elevationem in signi- 
feri portionem mutata iteram liquet pro]20SÌtum. | 
365*' Quod si in medio caeli aut imo t«rrae significator partiliter inveutos 

fuerit, ergo praefatae summae aggregatum recta erit ascensio, quae per quin- 
tam buius in zodiaci arcum conversa nostram patefacìet intentionem. 

Alibi autem signifìcatorem locato consideremus diligenter, utrum ex hemi- 
spbaeriis orientalene an occidentale ipse possideat. Si orientale, tunc eadem 



74. Proposltion. 

Bestimmung der directio „contra signorum successum'S 

Man bestimmt die Aszensionen des significator und possessor zum Positions- 
kreis des possessor und bildet wieder die Differenz. 

75. Proposition. 

Bestimmung der Ànderung der directio. 

Man bildet die Differenz der beiden Jabre, fEb* die die Yorrfickxmg der 
directio bestimmt werden soli, und recbnet f&r jedes Jahr einen Orad und 
fiir jeden Monat 5 Minuten. Dann addiert man diese Grofie zur Aszension des 



Li ber tertius. 159 

aggregationìs summa obliqua erìt ascensio; qua demum per XX aut XXI huìus 
in ecliptìcae portionem conversa liquebit ìntentio. 

Quod 8i dabuntnr anni ab momento genitnrae usqne ad propositam ali- 
cuios diei horam recensiti, utendum est illis, perinde atque differentia prae- 
missa. Nam hoc annomm numero vel ascensioni vel descensioni significatons 
aggregato, velut res ipsa postulaverit, et aggregationis buius summa, ut ante, 
in signiferi mutata portionem nostra manifestabìtur intentio. Hic opus quo- 
que nullo erit exemplo. | ^^^^ 

Piopositio IXXVI. 

Datis annis a geniturae alicuius momento exactis, quo signi- 
ficatoris directio contra signorum ordinem pertingat, explicare. 

Rectae itaque signifìcatoris ascensioni subiectus annorum detrahatur nu- 
merus, residuum deinde per sextam buius in signiferi commutetur portionem, 
qua per LXVIU buius addiscemus, fìniatur, ne idem residuum in orientali an 
occidentali bemispbaerio; eó namque desinente intra bemispbaerium orientale, 
ex eodem recta medii caeli ascensio dematur, et reliquum erit distantia ab 
superterrestri meridiani dimidio; quae etiam distantia, si quadrantem supera- 
verit, ea semicirculo sublata reliquum erit distantia eiusdem residuarii finis, 
a subterraneo meridiani dimidio, cum eadem igitur distantia per L buius, 
si I careat significator declinatione, aut per Ll^), declinationem si possideat ^^^' 
significator, atque cum eadem significatoris declinatione polaris excipiatur 
elevatio, iuxta quam per XVI buius obliqua signifìcatoris accipiatur ascensio, 
cui subiectus annorum numerus auferatur, et reliquo prò eadem pòli elevatione 
in arcum zodiaci commutato liquebit proposìtum. 

Non multo aliter agendum est eodem residuo finem babente in occiduo 
caeli bemispbaerio. Nam imi terrae ascensiones rectae ex eodem residuo, ut 
pridem, subtrahuntur, reliquum, si quadrante minus extiterit, prò distantia 
finis residui a meridiano erit babendum. 

Sin autem idem residuum quadrantem exsuperaverit, eo ex grad. CLXXX 
sublato, quod remanet idonea erit distantia, cum qua et declinatione signi- 
ficatoris, si quam ipse possideat, per LI aut per L, si declinatione idem careat, 
polaris quaerenda est elevatio, et prò sua ratione descensionem significatons 

a) Ha. hat L. 



significator und verwandelt den erhaltenen Bogen nach Prop. 20 in einen 
Ekliptikbogen. 

76. Froposition. 

Bestimmung der Ànderung der directio contra signorum or- 
dinem. 

Man subtrabiert den den Jabren entsprecbenden Bogen (j) von der Rekt- 
aszension des significator (a,), verwandelt den Rest nach Prop. 6 in einen Eklip- 
tikbogen (ilj,) und entscheidet^durch Vergleich mit Xmi ob der Endpunkt auf 
der Ostlichen oder westlichen Halbkugel liegt. Dann ist (a, — j) — um die 
Meridiandistanz (t) dieses Punktes. Aus Prop. 51 ergibt sich dann aus dieser 



160 Liber tertiua. 

obliqaam scrutemur, cui inyentae subiectus dematur annorom numeras, et 
366"" reliquo prò | descensione sumpto obliqua, et ipsa per XX huìus aut eius se- 
quentem in arcum signiferi conversa quaesitus innotescet zodiaci punctus, in 
quem retroactis annis directio contra signorum successionem fuerat prolapsa. 
Quod praeceptum tali declarabitur exemplo. 

Sit in genitura quapìam ad regionem, cui polus mundi septentrionarìus 
attollitur grad. XXXXIX, medium caeli grad. il Li min. Vili sagittarii, cuius 
ascensio erit partium CGXLII min. Vili fere, imum autem terrae constitaetur 
in partibus ILLI min. Ym geminorum, cui recta numerabitur ascensio partium 
LXII et min. Vili fere. Sitque significator iuxta medium caeli in partibus IQ 
capricorni, cuius meridionalis ab aequatore est grad. Y declinatio. Nunc ei^ 
Yolens esplorare, ad quod zodiaci punctum eiusdem significatoris directio con- 
tra solaris itineris seriem anno geniturae XXX currente proveniat. Igitur 
ascensiones significatoris rectas per Y huius invenio partium CCLXXm min. 
367' XYII, quibus sublato triginta annorum, qui | completi sunt, numero erit re- 
liquum grad. CGXXXXIII min. XYII, quibus tanquam rectae ascensioni per 
YI huius signiferi accommodabitur arcus, quem sib signorum initio numera- 
tum gradus sextus terminat sagittarii, quo liquet praemissum residuum par- 
tium CCXLHI min. XYII in orientis hemisphaerio finin, cui deinceps residuo 
detractis rectis medii caeli ascensionibus relinquitur pars una cum minutiis IX, 
quae cum quadrantem non exsuperant, finis eiusdem residui a meridiano di- 
stantiam exhibebunt, cum eadem distantia partis I^) et min. IX, atque cum 
praemissa declinatione grad. Y per LI huius invenio polarem elevationem gra- 
dus unius et min. XXX, ad hanc elevationem poli prò ITE gradibus capricorni 
sive prò ipso signifìcatore subiecto obliquam invenio ascensionem partium 
CCLXXiiU min. XXII, quibus prò prò annis XXX grad. demens XXX relìnquo 
partes GGXLIIII min. XX il. His prò inventa poli elevatione per XX huius aut 
eius sequentem in signiferi arcum conversis arcus prodetur, quam finiunt grad. 
Y min. XXXXY sagittarii, quo praeteritis a geniturae momento annis XXX 

a) Ha. bat X. 

Meridiandistanz (f) und der Deklination des significators (d^^ die Polhòhe (n) 
und hieraus mit Prop. 16 die ascensio obliqua des significator (a^). Dann 
bìldet man a — a^ — j imd verwandelt noch a in den entsprechenden Ekliptik- 
bogen A. 

Beispiel: 9?«49», Aj^=244^8', «jf = 242^8', Ij- 64^8, «/— 62»8', 
A, = 273^ d^ « 5®, j - 30. Resultate: a. «= 273» 17'(1), a, -i=- 243«17', 
Al «246^ t^aM — (cc^-j)=-l'^9\ tt = 1«30', ai«274<^22', a^—j^a 
«244» 22', A — 245» 45'. 

77. Proposition. 

Bestimmung der Bektaszension und Deklination, sowie der 
Lange und Breite eines Sternes aus seiner Hdhe, seinem Azimut 
(Meridiandistanz) und der Lange von M. (Fig. 49.) 

Steht der Stern im Meridian, so ist J == A*— (90» — q)). 
Im allgemeinen Fall bildet man: cos I ss sin .^ • oosh (Aufg. 3, I = 
j;SSB im A-SSBlOi dann tg II — tg 7* : cos -4 (Aufg, 4, Il^^HfBii: im 



Liber tertitts. 



161 



directio sìgnifìcatorìs propositi coninra zodiaci seriem fuit progressa; quod est 
intentio. 

Propositio LXXVIL 

Cognita sideris aliculus supra quemlibet horizontem altitu- 
dine, ad idem quoque momentum et caeli medio atque eiusdem 
sideris a meridiano recessu horizontali eìus ascensionem quoque 
rectam atque ab aequatore declinationem, bis demum yerum si- 
deris locum, tam in longitudine, quam in latitudine, explorare. { 

Subiecti sideris meridianum possidentis comparanda est altitudo regio- 368' 
nariae latitudinis complemento. Quod si altitudine sideris ezsuperetur, ipsum 
ex ea sublatum sideris declinationem relinquit borealis denominationis. Sin 
autem sideralis altitudo idem non excesserit complementum, eoque minor ex- 
titerit, tunc altitudo sideralis eidem complemento sublata sideris rursus decli- 
nationem relinquit, quae ad austrinam quidem caeli partem declinet. 

At sidere extra meridianum collocato cum distantia ex eodem, quo minor 
sit quadrante; igitur intrandum est ad ipsum organum tertio introitu cum 
distantiae complemento supra basim recensito atque cum data sideris altitu- 
dine; arcus itaque ìnventus esto inventum primum; sicque manente regula per 
quartum introitum secundum accipiamus inventum, quod regionariae latitudi- 
nis complemento detrahamus, si eo minus extiterit, aut econtra regionariae 
latitudinis complementum secundo demamus invento, si ipsum maius fiierit 
eodem | complemento; quod ita relinquitur, cum invento primo per introitum 368^ 
secundum quaesitam prodet nobis declinationem, borealem quidem, si secundum « 
inventum extiterit maius regionariae latitudinis complemento, meridionalis vero, 
si complementum idem secundo superius extiterit invento. At ubi secundum 
inventum regionariae latitudinis aequabitur complemento, sidus ipsum in aequa- 
toris obtinet peripheria sedem. Prorsus itaque cuncta idem sidus privabitur 
declinatione. Data deinde distantia quadrantem acquante sideris altitudo cum 
regionis latitudine per introitum secundum declinationem nobis exhibebit sep- 



AH^£), x^ II -(90^-9)!, und 
fiind=:sina;sinI(d = -£2> im Ò.ZD'SS), 
S bat das Vorzeichen von x. 

Ist II = 90® — 9, so ist d = 0. 

Ist -4 = 90®, so bildet man sincJ™ 
sin A • sin 9? (Aufg. 2, es wird I = ^ und 
a; = ^, da II — 90®). 

Ist il>> 90®, so ist zu setzen: x =« 
n + 90® — 9>. Ist a; < 90®, so ist wieder 
sin ^ "^ Sina; • sin I; ist a; = 90®, so ist 
J « I, ist endlich a; > 90®, so recbnet 
man mit 180®— x. 

Beispiel: // = 77®, 9 =« 19®, A=^ 
60®, Ajf=»19®. Resultate: I==79®, n=- 



83 



42®, d 



41®. 



Abhdlga. ■. Gmoh. d. m»th. Witt. XXIV 2. 




162 Libex tertìuB. 

temtrionalem. Denique distantìa ipsa quadrant^m exsuperante, id est, si ea 
gradas LXXXX excesserit, igitar ipsi quadrantem demamus, reliqnum supra 
basim computatum cum altitudine per tertium inferentes introitum elidamus 
inprimis inventum primum, deìnde sic regula quiescente quarto introitu secun- 
dum comprehendamus inventum, quod regionariae latitudinis deinde iungatur 
complemento. Hoc denique aggregatum, si quadrante minus extiterit, cum in- 

869' yen to primo per secundum introitum declinationem educet nobis desideratam. 
At eodem aggi*egato quadrantem aequante tunc primum inventum praestabit 
declinationem, cum antem aggregatum boc gradus LXXXX supera veri t, ipsum 
demendum est semicirculo; reliquum vero deinde cum invento primo per in- 
troitum secundum quaesitam praebebit declinationem; quoties denique distan- 
tia a meridiano borizontalis quadrantem exsuperaverìt, declinatio semper bo- 
realem sortietur appellationem. 

Esto igitur exempli causa sidus aliquod datum, cuius altitudo*) constat 
grad. LXXVn supra borizontem^ cuius latitudo sit parti. XLIX. Distantia 
deinde borizontalis inter circulum altitudìnis atque meridianum comprehensa 
sit graduum sexaginta. Eiusdem denique sideris caeli mediatio sit in gradu 
arietis XIX completo. Propositum esto sideris buius declinationem perscrutali. 
Quare cum datae distantiae complemento graduum XXX super basim recensito 
per tertium ingrediens introitum excipio primum inventum fere partium LXXIX, 

869'' sicque manente regula secundum inventum graduum LXXXIli quarto | nan- 
ciscor introitu; deinde buie secundo invento grad. LXXXIII complementum 
regionariae latitudinis auferens relinquo grad. XXXXII, quibus demum atque 
invento prìmuo partium LXXIX per introitum secundum quaesita prodibit 
declinatio, borealis quidem appellationis, grad. XXXXI fere; quod est intentum. 
Eandem deinceps declinationem solis aequedistantibus sic investigabimus; 
ipsam namque distantiam quadrante roinorem cum datae altitudinis comple- 
mento per secundum inferamus introitum, inventique arcus complementum prò 
primo conservetur invento; quod deinde cum ipsa subiecti sideris altitudine 
primo aut quinto si introducatur introitu, secundum proferet intentum, quod 
regionariae latitudinis complemento sublatum aut contra, minus scilicet a 
maiori, reliquum cum invento primo intromissum secundo meteoroscopii in- 
troitu praebebit nobis declinationem quaesitam, borealem quidem, si secundum 

870'' inventum superius fuerit regionariae latitudinis compie | mento, austrinam vero, 
si contra complementum regionariae latitudinis exsuperaverìt inventum secun- 
dum. Ubi vero distantia baec borìzontalis quadrantem coaequaverit, operabi- 
mur inxta traditionem praemissam. 

At eadem distantia quadrantem excedente ipsam semicirculo demamus^ 
reliquum cum altitudinis complemento per secundum inducamus introitum in- 
ventique arcus complementum prò primo rursus conservetur invento; quod 

a) Hs. bat latUudo. 



Ldsung per aequedistantes. 



Ist A < 90®, so bildet man cos I = sin il • cos h (Aufg. 2, wie oben), dann 
sinll = -j — j (Aufg. l), endlicb, wie oben, x und sin ^ = sin a; • sin L Die 
Falle -4 ^ 90® werden wie oben bebandelt. Beispiel ebenso. 



Liber tertius. 163 

deinde cum ipsa altitudine primo aut quinto illatum introiti! secundum porriget 
inventom, quod complemento regionariae latitudinis addamns; aggregatum 
deinde hoc, si quadrante minus eztiterit, cum primo invento per secundum 
inducentes introitum declinatio nos non latebit. 

At eodem aggregato LXXXX grad. aequante, ut dictum est, declinatio 
primum aequiparabit inventum. Sin autem hoc ipsum aggregatum quadrante 
fuerìt superìus, eo gradibus | CLXXX subtracto residuum cum invento primo 370^ 
per introitum secundum desideratam prodet declinationem. 

Quando itaque subiecta distantia quadrantem ezsuperaverit, borealem 
semper invenemus declinationem. 

Exemplnm itaque praecedens repetamus, in quo sidus subiciebatur cum 
altitudine grad. LXXYll supra borizontem, cuius latitudo partium XLIX, cum 
distantia vero borizontali grad. LX, et iterum sit intentio sideris eiusdem re- 
perire declinationem. Ergo secundo ingrediens introitu cum data distantia 
grad. LX atque cum complemento sideralis altitudinis partium Xlll excipio 
fere grad. XI, quorum complementum partium LXXIX primum statuens inven- 
tum cum ipsa altitudine grad. LXXVII primo vel quinto inferam introitu et 
habebo inventum secundum partium LXXXIII; ex eis auferens regionariae la- 
titudinis complementum grad. XXXXI partes relinquuntur XLII, quas demum 
cum invento primo per secundum inducens introitum petitam produco decli- 
nationem borealis denominationis grad. XXXXI; quod rursus est intentum. { 

Sed rectam demum ascensionem sic reperiamus. 371' 

Fiat introitus prìmus aut quintus cum complemento inventi primi et cum 
complemento repertae declinationis; arcus itaque inventus medii caeli dati 
rectis ascensionibus adiciatur, si distantia borizontalis fuerit minor quadrante, 
et ipsum sidus orientale possideat caeli bemisphaerium, aut sidere idem occu- 
pante hemisphaerium cum distantia quadrantem exsuperante, dum ipsum 
aggregatum ex complemento regionariae latitudinis et invento secundo qua- 
drantem excesserit; aut idem arcus inventus ex subiecta caeli medii recta as- 
censione auferatur ipso sidere possidente occidentale hemisphaerium cum 
distantia minore grad. LXXXX aut etiam malore, dummodo aggregatum ex 
complemento latitudinis regionariae atque invento secundo quadrantem ex- 
cesserit. 

Quando autem distantia borizontalis quadrante fuerit maior atque idem 
aggregatum quadrante minus, inventus arcus rectis ascensionibus imi caeli 
detrahendus est, si hemijsphaerium orientale stella possideat, aut adiciendus, 871^ 
si teneat occidentale; ita namque subiecti sideris recta proferetur ascensio. 
Ubi demum distantia borizontali maiore, qaam sit quadrans, supposita memo- 
rata aggregationis summa quadrantem aequaverit, prò dato sidere punctus 
caeli mediationis erit caput arietis, si stella hemispherium possideat orientale 
et datum caeli medium in medietate zodiaci constiterit ascendente, sin autem. 



Bestimmung der Bektaszension. 

t*Qa T 

Man bildet sin 3/ « ^^ (Aufg. 1, SB-D = 90® - y, AB ^ y). Dann ist 

cr » ajr 4* y, wenn ^ •< 90® und der Stern auf der Ostlichen Halbkugel, femer 
wenn A > 90®, der Stern auf der dstlichen Halbkugel und x > 90®. 

11* 



164 



Liber tertiuB. 



in descendente, librae principium prò dato sidere caeli mediatioiiem locabit 
Contra yero continget, si obseiratum sidus in occidente hemispherio sedem 
. habuerit. Nam tunc M. C. descendentem possidente zodiaci semicircnlam arietù 
caput Sideri praebebit locam caeli mediationis, medietAtem vero eclipticae 
ascendentem obtinente medio caeli librae initium prò dato sidere caeli media- 
tionem locabit. 

Habitis itaque rectis ascensionibus per sextam huius punctum eclipticae, 
quo datum sidus meridiano insidet, non ignoremns; quo cognito demum catn 
872' declinatione eius | quoque nota per LXI buius tertia hnius propositi pars nos 
non efPugiet. Sciemus namque per eandem LXI verum sideris subiecti in sig- 
nifero locum et ab ecliptica latitudinem, quod tandem erit intentum. 

Haec ita se habent, quando regio, in qua talem fecimus obseryationem, 
latitudinis fuerit septemtrionalis. Nam si polum conspexerit aostrinom, prae- 
cedentis operis traditionem prò declinatione atque recta invenienda sideris 
ascensione penitus imitabimur. Sed eo tantum refert opus ipsnm, ut, ubi in 
regione borealis latitudinis borealem reperimus declLnationem, ibi prò austrina 
regione contra declinationem inveniemus austrinam yicissimque prò austrina 
septemtrionalem. 

At loco nostrae sideralis inspectionis subter aequatòrem posito intentum 
hac investigabimus via. 
872"^ Cum igitur aequatoris circulus in eodem loco per verti cem eius ingrediens 

sublime separet caelum in duas partes aequaliter, quarum altera in septem- 
trionem, altera vero in aostrum spectet horizonte per polos etiam mundi pro- 
deunte, quare horizontalis distantia sideris ab aequatore per organum aliquod 
sumpta cum ipsius altitudinis complemento ad meteoroscopium secundo in- 
feratur introito. Arcus itaque repertus quaesita statuetur declinatio, septem- 
trionalis quidem, si distantia horizontalis ab aequatore fuerit borealis, austrina 
vero erit declinatio, si distantia huiusmodi in austrum ab aequatore vergai. 
At rectam ascensionem eiusdem sideris ita inveniemus, primo enim aut quinto 
introitu meteoroscopium petentes cum complemento declinationis inventae at- 




a 



Fig. 50. 



« ajf — y, wenn der Stem auf 
der westlicben Halbkngel und A <90*, 
femer wenn -4 > 90®, aber auch x > 
90® isi • 

Ist u4 > 90® und X < 90®, so ist 
€t ^ ccm àiPì j® nachdem der Stem 
auf der dstlichen oder westlicben Halb- 
kugel sich befindet. 

Ist endlich ^ > 90® und a; - 90®, 
so wird a — «jr ± 90®, je nach der Lage 
des Stemes. 

Die Lànge und Breite des Stemes 
werden nach Proposition 6 und 59 be- 
stimmt. 

Fur eìnen Ort stldlicher geogn- 
phischer Breite kehren sich die Ver* 
zeichen von ó um. 



Liber tertìn». Ig5 

qae cnm altitadine subiecta comprehendemas arcum, cnius complementam ad- 
datar ascensioni rectae medii caeli, si distantia horizontalis orientem inspiciat, 
aut dematnr, si occasum, hac deinde ascensione recta per «extam huius prò 
dato sìdere caeli mediatio prodibit. | 

Deniqne per LVI huius yerum eius locum, tam in longitudine, quam in 378' 
latitudine, comperiemus, quod erat propositnm. 

Esto igitor in regione quapiam aequatorì supposita medium caeli cancri 
principiiun, quando sideris alicuius observati fuerat altitudo grad. LX cum 
distantia horizontali in septemtrìonem vergente partimn XXX atque cum 
distantia horizontali ab aequatore grad. etiam XXX; quaesitam elicio decli- 
nationem partium XTTTT min. XX septemtrionaream, quoniam horizontalis distan- 
tia septemtrionalis subiciebatnr. 

Rursns primo yel quinto ad meteoroscopium remeans introita cum repertae 
declinationis complemento graduom LXXV min. XXXX atque cum subiecta 
sideris altitudine partium LX refero gradus LXIII et min. XX fere, quorum 
complementam partium XXVI min. XXXX additum quadranti — nam tanta 
est M. G. ascensio recta — prodacuntur partes CXVI et min. XXXX, ascensio 
scilicet recta mediationis caeli prò dato side ire; quibus itaque compertis 878^ 
reliqua, quae proponuntur, per sextam et LXI huius deinceps non ignora- 
bimus. 

Propositio LXXTin. 

Veris duoram siderum aut aliorum caeli panctorum locis, 
tam in longitudine, quam in latitudine, cognitis eorundem inter- 
stitium eratinare. 

Interstitium hoc magni circuii arcus est siderum daorum umbilicis con- 
closus. Cum antem proposita sidera eundem zodiaci punctum obtineant, eorun- 
dem latitudinalis sumatur differentia, si utrumque latitndinem eiusdem partis' 
obtìnaerit; talis enim differentia siderale praebebit interstitium. At si stellae 

Ist die geographische Breite « (Fig. 50), so bildetman, wenn H^^ ^93 
» der Horìzontaldistanz des Sternes Tom Àquator ist, 6in<^ >- sin J7-cosA 
(Aafg. 2) (90® — d = P-S in APZH)-, S ist positiv, wenn H nach Norden ge- 
messen ist. 

Bildet man cos^ — — ^ (Aafg. 1, y — -41^), so ist a = «jf ± y. 

Beispiel: ;Ljr«:90®, A = 60®, ^—60®, JET- 30® (gegen Norden) 
^— 14® 20', y- 26® 40' a- 116® 40'. 

78. Proposltion. 

Bestimmang des Abstandes zweier nach Lànge and Breite he- 
kannter eterne. 

Es sei der Abstand *» t, die Breiten und Langen j3^, ^^ und k^^ X^, 

1. Ist il] »> Ag, so ist « » /3j ~ |S|. Dabei konnen p^ and ^^ positiv oder 
negatiy sein. 

2. Ist ft «=» /Jj — 0, so ist i = Xj — k^' 



( 6 Libei tertìns. 

sic positae in eodem eclipticae loco latitudines habuerint ad diversas plagas, 
974*^ igitur latitudinibus earam | iuDctis ipsum emerget interstitium. 

Sed ipsis atellis in ecliptica positis absque ulla latitudine looorum diffe- 
rentia praebebit earam interstitiam. Sideribus autem suppositis aequalium la- 
titudinum eiusdem denominationis, secundo igitur introitu ingrediendum est 
ad meteoroscopium cum dimidio longitudinalis differentiae atque cum alterius 
latitudinum complemento, arcusque reperti^) duplum prò siderali senretur 
interstitio. 

Yelut subiectis duabus stellis, quarum unius sedes habeatur in fine quio- 
d ecimi gradus arietis, altera vero fìnem possideat quindecimae partis tauri 
Esto quoque, ut utriusque latitudo vel boreaUs vel austrina grad. XXVI am- 
plectatur. Igitur secundo ingrediens introitu cum diflférentiae longitudinalis 
dimidio partium XV atque cum complemento communis latitudinis grad. LXim 
reperio partes Xm et semis, quibus duplicatis interstitium resultat quaesitum 
grad. XXVn. 
874"^ Sin autem subiectorum siderum diyersae fuerint et | ad eandem signiferi 

plagam latitudines, verorum tum locorum differentia LXXXX gradibus minore 
consti tuta, igitur cum di£ferentia hac atque cum breyioris latitudinis comple- 
mento per introitum secundum organo incidentes primum elicimus inventum. 
Cum eius deinde complemento atque cum minore latitudine per introitum 
primum aut quintum alius a nobis exoipiatur arcus, quo malori latitudini de- 
traete reliquum statuatur inventum secundum, cuius demum complemento cum 
primi complemento inventi per introitus secundi^) ianuam intra meteoroscopium 
remisso arcus profertur, quo gradibus LXXXX**) detraete siderale relinquetur 
interstitium. 

Velut datis duobus sideribus, ex quibus alterum ex arietis signo quintae- 
decimae partis termino insideat cum latitudine vel boreali vel austrina grad. 
XXVI, alterum vero in jQne quinti decimi gradus tauri locum babeat cum la- 
875' titudine denominationis e|iusdem grad. XXXX. Ut ergo de bis sideribus habeam 
propositum, ad organum ipsum secundo inti*oitu imprimis accedens cum mi- 
noris latitudinis complemento grad. LXIIII atque cum verorum locorum diffe- 

a) Ha. hat reperti korr. aus cotnperti. b) Hb. hat quarti. 

e) Ha. hat LXXXX korr. aus LXXXXIL 



3. Ist |3j«(32 = (S, so bildet man sin-^- = sin ^— ^.sin(90®— /J). 
(Aufg. 2.) 

Beispiel: X^ « 15®, ;l, = 45®, |3 « + 26^ Resultat: ^^~^^ = 15^ 
i=27^ 

4. Ist ft > ft, aber beide positi v, und A^ — ilj = il < 90*^, so bildet 
man (Fig. 51) sinl = cos j?^ • sinÀ (Aufg. 2, I = Z^S ira A PSH^), dann 

sino? =» — j (Aufg. 1, a; = ^jiS, zieht man JBj2^j = y, so gilt cosjSj • cosi 
== cosy, cosi • cosa? = cosy, hieraus cosa; = — ^— ^j: — , hieraus ergibt sich, 
wenn man X mit sini = » eliminiert, sin a; ■■ — -J-|, dann n«=fl, — x 

008 p, ' CCS I /' '^^ 

(Il = ^1 8) und endlich cos » = cos I • cos II (Aufg. 2, i^Z^Z^ìm A ZiZ^S). 



Liber teriias. 



167 



rentìa grad. XXX primum excipio inventum partium XXVI min. XXX fere, 
quibus ex partibus XC sublatis atqne cum reliquo graduum LXIII min. XXX 
cumqne minori latitadìne primo vel quinto introita meteoroscopium repetenti 
mihi partes offeruntur XXIX et semis fere, quibus ex latitudine maiori sublatis 
secundum remanet inventum grad. X et min. XXX. Horum demum complemento 
oum inventi primi complemento iuxta instrumentum hoc per introitum secun- 
dum demerso partes offeruntur LXI min. XXXX, quibus quadranti detractis 
interstitii diu investigata quantitas relinquitur partium XXYHI cum tertio 
unius, quod oportuit reperire. 

Diversis deinceps latitudinibus ad eandem plagam | oblatis cum différen- 376^ 
tia verorum locorum quadrantem acquante secundus fìat introitus cum utrisque 
latitudinibus, arcus itaque repertus, si gradibus LXXXX detrahatur, interstitium 
relinquit quaesitum. 

Yelut si una stella fuerit in arietis exordio cum latitudine vel austrina 
vel boreali grad. XXVI, altero vero in cancri principio cum eiusdem partis 
latitudine grad. XXXX. Harum itaque volens' interstitium computare, secundo 
introitu ingredior cum utrisque latitudinibus et partes excipio XVT cum min. 
XV fere, His quadranti detractis gradus LXXIII min. XXXXV interstitii de- 
siderati remanent. 

Denique différentia longitudinali prò siderìbus suppositis subiecta malore, 
quam sit quadrans, minore vero, quam semicirculus, subtrahendus est quadrans 
longitudinis differentiae, reliquum et complementum maioris latitudinis per 
introitum secundum meteoroscopio introductum | primum proferat inventum, STC" 
ouius complemento atque maiori latitudine per primum aut quintum introitum 
arcus ducatur, qui secundum esto inventum, cuius deinde complemento et la- 
titudine minore per introitum secundum arcus tertii reperiatur inventi, cuius 
complemento atque minoris latitudinis complemento per primum aut quintum 
introitum arcum reperiamus, quo sublato de grad. LXXXX quartum remane- 
bit inventum, quo iuncto ad inventi primi complementum erit haec aggrega- 
tionis summa inventum quintum, cuius demum complemento atque comple- 
mento tertii inventi secimdus si fìat introitus, arcum obtinebimus, quo ad qua- 
drantem coniecto quaesitum constabit interstitium, et ita faciendum est, quando 
inventum primum fuerit maius invento quarto. 



Beispiel: Ai = 15®, ft = 26^ Aj-45^ i52-40®. 
Eesultate: 1 = 26^30', x « 29^^^ II — 10^30', % =- 
28^20'. 

5. Ist jJj ^ /Jj ^^^ >L— 90^, so bildet man cosi 
— sin j5i. sin /?, (Aufg. 2, im A P-^i 2^ ist < P = 90<>). 

Beispiel: l^^O, /3l-26^ 1,-90^ /3,= 40^ 
Resultat: i = 73*>45'. 

6. Ist j3i > /^a und 90® < A < 180^ so bildet 
man (Fig. 52) sinl = sin(X — 90®) • cosjJi, (Aufg. 2, 
B^B^ = À, ^i-T, = l3i, Z^B^ « I 4- 90®), sinn -= 

~ -^1 (Aufg. 1, n « ^ 2?! J?s, ^i), sin m = cos H • sin /3j 

^^® *" POS R 

(Aufg. 2, m - Z,i)), cos IV = -^ (Aufg. IV = 




pig. «I. 



168 Liber tertìus. 

At si quartum inventam primo par faerit, ipsius interstitii arcns qua- 
drali tem aequabit; qnare itenun nostra constabit intentio. 

Ubi vero primum inventum minus faerit invento quarto, qnintum inven- 

tum*grad. LXXXX snperabit necessario; igitur ex invento quinto qoadrantem 

STd"" au!feramus, reliquum com inventi tertii complemento per introitnm secunduro 

sextmn producet inventum, quod quadranti detrabentes propositum relinquimns. 

Sint ergo sidera duo, quorum unum in arietis capite sedem teneat cam 
latitudine partium XXX, alterum in principio virginis verum babeat locum 
cum latitudine partìs eiusdem grad. LX et propositum esto reperire interstitiam 
unius ad alterum; igitur per introitam secundum ingrediens cum maioris lati- 
tudinis complemento partium XXX atqae cum grad. LX, quibus differenza 
longìtudinis quadrantem superat, inverno primum inventum partium XXV 
min. XXX, cuius deinde complemento gi'ad. LXIIII et semis atque cum maiorì 
latitudine partium LX per primum aut quintum introitum deprehendo secnn- 
dum inventum grad. LXXTTT et semis, cuius demum complemento grad. XYI 
min. XXX et minori latitudine partium XXX elicio introitu*) secundo^) in- 
377' ventum tertium grad. Vili, quorum complemento partium LXXXII atqae 
minoris latitudinis complemento per primum aut quintum introitum partes 
produco LXI, quibus ex partibus XC detractis quartum remanet inventam 
grad. XXIX. Quod si primi congregavero inventi complemento, quintum ex- 
crescet inventum partium XGm et semis. Quibus quadrante detracto gradas 
remanebunt HI et semis; eìs demum et inventi tertii complemento partium 
LXXXII per introitum secundum produco grad. m cum min. XX, quibos de- 
nique quadranti sublatis quaesitum relinquitur interstitium partium LXXXVI 
min. XXXX°); quod est intentum. 

Quod si longitudinum differentia maiore grad. LXXXX, minore tum 
grad. CLXXX proposita sidera pares habuerint ad eandem plagam latitudines, 
haud secus agendum est atque posita minore differentia longitudinum, quam 
sit quadrans, aequis ad eandem quoque partem latitudinibus. 

Ubi vero longitudinis differentia semicirculum impleverit, latitudines si- 

a) He. hat introitum. b) Us. hat secu/ndo korr. aus secundum. 

e) Ha. hat XXX 



D^j), V - IV + (90<» - I) (V = i;^!) - Zi J9, - D-B,), sin (t - 90*) = 
cos m • cos V (Aufg. 2, i — -Si 2;,) (bierbei ist I > IV, dann ist V < 90*). 

Ist I « IV, so ist V « 90** und somit i = 90®. 

Ist I<IV, so ist V>90® und sin VI - sin (V — 90®) • sin ffl, 
t « 90® - VI. 

Beispiel:i3i-60®, /5,-.30®, Xi-=150®, ;i,-0®. Resultate: I=25®80', 
n = 73^®, m = 8®, IV = 29®, V ^ 93^®, VI « 3®20', % « 86®40'. 

7. Ist 90® < ;i < 180® und /Jj — ft, so ist der Fall wie oben, wenn 
X < 90® und ft = /^j. 

8. Ist À« 180®, so ist i= 180® — (/3i H- /?,), wenn /J^ und /J, das gleiche 
Vorzeicben baben. 

Haben ^^ und fi^ verscbiedene Vorzeicben, so ist in diesem Falle: i^^i 
+ 180® - Pr 

9. Ist X < 180® und /J^ =» — /3j, so ist cos y — cos/Sj • cos y* 



Liber tertìus. 169 

demm iungantur, sì eiasjdexD faerìnt appellationis. Hoc itaque aggregatum 377^ 
semÌGÌrcnlo sublatom quaesiti relinquit interstitii quantitatem, breviorem vi- 
delicet. 

At tali longitndiiiis differentia snbiecta cum latitadinibos diversae 4^110- 
minationis, igitur latitadinum altera semicircolo sublata arcum relinquit, quo 
alteri latitudinum addito quaesitum rursus interstitium constabit. Hoc itaque 
pacto alterum interstitiorum vel brevius Tel prolizius habebitur; utro posthaec 
eorum de grad. CCGLX^) sublato reliquum manifestat interstitium. 

Huiusmodi enim interstitia, duo pariter accepta partes integri circuii 
CGCLX continent. Sed datis duorum siderum latitudinibus aequis ad diversas 
ab aequatore plagas cum longitudinis differentia^), quae minor sit semicirculo, 
igitur ea per aequa scindatur, et eius dimidii complementum cum complemento 
alterius latitudinum per secundum si deducatur introitum, arcus quijdam prò- 378'' 
dibit, quo ex LXXXX grad. ablato et eo, quod remanet, duplato nobis consta- 
bit inventum. 

Sint ergo causa exempli duo sidera longitudinis habentia dìfferentiam 
grad. OXX et alteimm quidem latitudinem teneat borealem partium LX, alterum 
vero totidem obtineat graduum latitudinem austrinam. Volens ego illorum 
invenire interstitium, sumo longìtudinalis differentiae dimidium grad. LX 
eosque quadranti detrahens et residuum partium XXX cum paris latitudinis 
complemento grad. quoque XXX per secundum inducens introitum comperio 
partes XUII cum minutiis XX fere, quibus quadranti sublatis gradus remanent 
LXXV min. XXXX. 

His demum duplatis interstitium, quod desiderabatur, resultat grad. GLI^ 
mi. XX. 

Diversis vero siderum datorum latitudinibus ad varias eclipticae partes 
oblatis, cum differentia longitudinali LXXXX °) gradibus minore, igitur se- 
cundus fìat introitus cum eadem longitudinis differentia atque cum comple- 
mento latitudinis austrinae ac deinde | primus exerceatur aut quintus introitus, 378"^ 



a) Nach CCCLX hat Hb. die Woxte continet, sed daiis d'uorum siderum (vgl. 
!) gestrichen. 

b) Hs. bat differentiae. e) Ha. hat LXXXXX. 



Beispiel: X = 120®, /S^ = — ft =- 
60^ Resultat % = 150<*20'. 

10. Ist ;L < 90*^ und haben /J^ und 
/?! entgegengesetztes Vorzeicben, es sei 
z. B. ^3 negatiy, so bildet man, wie oben, 

sin I ae cos Q^ sin A, sin a? = >» dann 
^* ' cos I ' 

abor n — 90® — ic -f 90<* — i^i, und 

8inni« cosI-cosH, endlich t—in-f-90®. 

Ist n — 90®, so wird auch i = 90®. 

Ist II > 90®, so bildet man cos i =» bY^ ^*** **• 

cos I. sin (n — 90®). 

Beispiel: l^ = 70®, /S^ « 60®, X, - 0®, /5, - 40®. Resultate: I = 46^ 
X « 68|®, II - 61®40', m - 25® 20', % = 115® 20'. 




170 Liber ieitios. 

cum extracti arcus, qui prìmum dicatur inventum, complemento atque cum 
latitudine austrina, repertìque arcus complementum borealis addatnr latita- 
dinis complemento, et hoc aggregatum esto secundum inventum, cuius denique 
complemento atque inventi primi complemento per secundum rursus ìntroitmn 
arcus quidam eliciatur, qui sit inventum tertium; quod si quadranti iungatur, 
quaesitum constabit interstitium. . 

Sin autem secundum inventum quadi^ans evenerit, necesse est, ut inter- 
stitium siderale quadranti etiam sit acquale; ubi vero id quadrantem ex5ape- 
raverit, et grad. LXXXX sublatos et cum residuo atque cum complemento primi 
inventi arcus secundo introitu repertus auferatur quadranti; reliquum erìt inter- 
stitium, quod quaerebatur. 

Sint ergo sidera duo, quorum unum in arietis capite, cum austrina lati- 
tudine partium XL, alterum vero in fine gradus decimi geminorum constitua- 
379" tur, cum latitu dine boreali grad. LX, erit idcirco longitudinis eomm differentia 
partium LXX; et propositum esto ipsorum in venire interstitium; igitur per 
introitu m secundum cum eadem differentia longitudinis atque cum austrinae 
latitudinis complemento grad.L inventi primi reperio quanti tatem grad.XXXXVl, 
quorum deinde complemento partium XLniI atque latitudine austrina grad. 
XXXX per primum introitum aut qnintum prodeunt partes LXVIII cum tertio 
unius, quorum complementum grad. XXI min. XXXX addens borealis comple- 
mento latitudinis secundum constituo inventum, partium LI min. XXXX, qua- 
rum demum complemento grad. XXX VIU min. XX atque primi complementi 
inventi per introitum secundum prò invento tertio partes exibunt XXV et 
min. XX, quadranti quibus adiectis investigatum proditur interstitium grad. 
CXV min. XX; quod est intentio. 

Ubi deinceps in aequalibus latitu dinibus ad diversas eclipticae partes sub- 
37 9"" iectis differentia | longitudinis excedat quadrantem, minor tamen semicireulo, 
eadem auferenda est semicireulo, reliquum cum austrinae latitudinis comple- 
mento per introitum secundum proferat inventum primum, cuius deinde com- 
plemento atque ipsa latitudine austrina per primum aut quintum introitum 
reperiatur arcus quidam, quo grad. LXXXX dempto et, quod remanet, secundum 
esto inventum. Quod si borealis complemento latitudinis exsuperatum fuerit 
aut e centra, ipsum ex ilio auferatur, et e centra, si secundum inventum borea- 
lis latitudinis complemento maius extiterit, ac deinde residui complemento 
atque complemento inventi primi per introitum secundum arcus extrahatur 
inventi tertii, quo LXXXX grad. adiecto interstitii (quod quaerebatur quanti- 
tas) erìt perspicua. 

At secundo invento complementum borealis latitudinis aequante inventum 
SSO** primum semicireulo dematur, et constabit rursus intentum prò ubejriori prae- 
ceptionis huius declaratione. Haec exemplarìs esto forma. 

Sint data duo sidera, quorum unum caput arietis cum austrina latitudine 
grad. XXXX possideat, alterum vero cum boreali latitudine partium LX leonis 
initium, et proponamus borum siderum reperire interstitium; longitudinis 

11. Ist 90® < ;i< 180^ ft positiv und jSg negativ (Fig. 53), so bildet 
D)an sinl = cos/3j • sin (180®— à), (Aufg. 2, I == H^S, U^SiB^B^ =- -5,2^: 

-B,P'), dann sinx =- ^^^- (Aufg. 1, jr — B^S^ zieht man B^^Z^ — y, so ist 



Libei tertius. 171 

differentia idoìrco gradumn exit CXX, quibtis ex seinicirculo sublatis residuum 
LX grad. quibus et complemento latitudinis austrinae grad. L per introitom 
secundum prò invento primo grad. XXXXI et semis inverno, quorum deinde 
complemento partiam XLYIII et semìs ipsaque latitudine austrina per primum 
aut qnintum introitum partes elicio LIX cum min. XX,*) quarum complemen- 
tum grad. XXX min. XXXX, secundum scilicet inventum, quoniam ipsum bo- 
realis latitudinis exsuperat complementum, ex eo subtrahatur, eritque differen- 
tia haec min. XXXX, quibus quadranti detractis partes remanent LXXXXIX 
cum min. XX^ quibus | et inventi primi complemento grad. XXXXVm et senùs 380"" 
per introitum secundum prò invento tertio partes elicio XLIII min XXV fere. 
His demum quadranti congregatis habebo grad. CXXXYIII min. XXXX; quod 
est intentum. 

Latitudinibus demum inaequalibus non ad eandem signiferi plagam subiec- 
tis cum longitudinis differentia quadrantem acquante secundus fìat introitus 
cum latitudinibus duabus, septemtrionali scilicet atque austrina, arcus itaque 
repertus et quadranti coniunctus exhibebit propositum. 

Dentur exempli gratia sidera duo, de quibus unum arietis initium cum 
austrina latitudine partium XLV, alterum vero cancri caput cum latitudine 
boreali grad. LXIII, propositumque sit brevissimum Inter data sidera reperire 
intervallum. Ibi longitudinis differentia quadranti par est, quare iuxta doctri- 
nam hanc | secundo introitu cum latitudine boreali grad. LXIEE atque cum 381' 
latitudine austrina partium XLV productis gradibus ferme XXXIX, eos adde 
quadranti, et siderale crescet intervallum partium OXXIX; quod oportebat in- 
venire. 

Haec bactenus disseruisse prò datis stellis latitudinem ambabus pariter 
habentibus arbitror suffìcere; quaecumque enim tales duae propositae fuerint, 
de ipsis iuxta praeceptionem banc problema confìcere potenmus; sed, ut tra- 
ditio haec plenior atque profectior babeatur, paucula sunt annectanda, quibus 
sciUcet propositum confìciamus, de quibuslibet duabus stellis, quarum altera 
latitudinem obtineat, altera vero careat, sibi in signiferi peripheria sedem 
eligens. Quod si in signiferi sideribus longitudinum differentia fuerit examussim 
quadrans, erit, ut eorum quoque intervallum quadranti par inveniatur, quam- 
obrem propositionis huius intentum non de eis igno rabitur. 381^ 

Postquam vero longitudinum differentia quadrante subiciatur inferior, 
igitur per introitum secundum cum talis differentiae complemento atque cum 
complemento latitudinis alterius sideris arcus extrabatur, quo grad. LXXXX 
detraete interstitium, quod querimus, relinquitur. 

Denique tali longitudinum differentia quadrantem exsuperante, altero 
scilicet datorum siderum latitudinem dumtaxat obtinente longitudinali differen- 
lina quadrans subtrahendus est. 

Nam residuum cum latitudinis complemento per introitum secundum 
quendam producet arcum, qui grad. LXXXX coniectis desideratum exhibebit 

a) Ha. hat XX korr. aus X. 

C08 y = sin o; cos I =» cos Ba • cos >l, hieraus sin a: = - >-, wenn man k elimi- 
^ »^» ' cosi ' 

niert),n-aj — 90^£i=,n — (90<>-/3i)| (e^82^=2:j^B^ + B^S^x + fii), 

und endlich sin III = cos^? cosi, woraus » — 90® + IH. 



172 



Liber tertìns. 



intervallum; prò hac traditione nnam arbitror satis esse demonstrationem 
exemplarem. 

Sint itaque duo sidera, qaomm unum in arietis capite sedem absque 
latitudine teneat, altenun vero in leonìs initio vemm sibi delegerit locùm cam 

882'' latitudine grad. XXXX, et propositum | esto hoc ipsum, quod proponitur, inter 
sidera haec ìnteryallum reperire. Gum autem haec longitudinum differentia 
grad. contineat GXX et eam ob rem quadrante maior comprobetnr, ìgitur tollens 
ex ea quadrantem, hoc est grad. LXXXX, relinquo grad. XXX, quibus atque 
complemento subiectae latitudinis, quod grad. L impletur, per introitum secon- 
dum comprehendo partes XXII cum tertio. His deinde adiectis quadranti re- 
sultant grad. GXII et tertium unius, quibus investigatum interstitium erit 
perspicuum. 

In hoc denique problemate subiectionibus exemplorum hac de re praeter 
morem institutum fui immoratus, quo de ipso praemissae traditiones fierent 
intellectu lucidiores, quarum intelHgentia nos opus habemus, cum illae negoiio 
astronomico admodum sunt necessariae, nec enim absque praesentis traditioni- 
bus amplecti consequive nonnulla facile poterimus. Id etiam silentio non est 

382"" praetereun dum, quod ex proposito brevissimam inter oblata sidera duo inter- 
stitii distantiam comperimus. Si quis autem longissimam habere cupiat, hanc 
integro detrahat circulo, idest partibus CCOLX, et residuam desiderio suo satis- 
faciet. Quantum autem canon loanni^ de Begiomonte in proposito praesenti 
super tabulis primi mobilis tenuens existat ac mutilus, nemo inficiabitur, qui 
scriptum hoc meum super eodem problemate et illius relegerit ac utrumque 
diligenter taxaverit; multa namque comperiet illic deesse, quorum scientia, 
cum sit valde utilis et necessaria, autores illius taciturnitate immo tempore 
potius obmitti non debuerunt omnino. 

PropoBitio LXXIX. 

383" Quamlibet propositi sideris radiajtionem rationabili quadam 

via naturaeque potissìmum congruenti succinctim explicare. 



Ist n = 90®— /5i, so ist i=180<>-L 
Beispiel:;ll«120^i3l==6O^A,-0^ 

p^ 40 '^. Resultate: I = 41^^ E == 

30U0', a; = 40', m = 43*40', t-lSSUO'. 

12. Ist X — 90®, und p^ und ft ent- 
gegengesetzten Yorzeichens, so bildet man 
sin (i — 90®) = sin /S^ • sin J3, (Aufg. 2, 
im APZ^Zf ist 2:iP2:, ==90^ Pi^, =- 
90^ + ft, P-2:i = 90«+j3i). 

Beispiel: A^-O, ft«— 46«, ;Lj«90®, 
/3, = 63®. Resultat: i « 129®. 

13. Spezielle Falle. /5, « 0. 
Ist Al — A, = 90®, so ist auch i « 90® 

Ist il — Ag < 90®, so ist cos i = cos A • cos ^j. 

Ist Al — Ag > 90®, so ist sin (i — 90®) •= sin (A — 90®) • cos/Sj. 

Beispiel: Ai - 120®, ft « 40®, A, = 0®, ^g^O®. Resultat: t«112i^ 




Liber teridus. 



173 



De hac siderum ratione loannes de Begiomonte super ludo Pannonico 
oanonum problemate postimo quaedam non inepte attingere videtur, quae 
consulto nunc brevitati consulens praeterire decrevi, quibus ìpse hanc radìa- 
tionis yiam^ de qua modo sum dicturus, aliarum rationibus opinionum non im- 
merito praeferre deliberavit. 

Est ergo sciendum iuxta hunc rationabilem radiationìs modum tetra- 
gonus aspectus sive in laevam sive in dextram versus a vero sideris loco, 
quantacmnque detnr eius a signifero latitudinis magnitudo, per quadrantis 
submovet spatium. At si datum sidus latitudine careat, radius ipsius sive 
dexter sive laevus*), sextilis quidem partibus LX, trigonus vero duplo huius- 
modi spatio, id est, gradibus | GXX, a vero eiusdem sideris loco secedere in 883^ 
ecliptioa, oppositum denique per diametmm ab sideris in signifero sede di- 
stare. At stellae latitudine gradus amplectente LX sextilis eius radius in vero 
ipsius loco terminabitur. Denique dato sidere latitudinem possidente circuii 
jquidem sextante minorem, cum eiusdem latitudinis complemento atque cum 
grad. XXX primus aut quintus fiat introitus , arcus itaque productns et qua- 
dranti detractus arcum sextilis radiationis prò eodem sidere relinquit, hoc ipso 
quoque arcu grad: LXXXX coniuncto trigonae quantitas radiationis emerget. 
Habitis ergo bis arcnbus et a vero sideris loco in laevam atque dextram com- 
putatis in zodiaco sextiles eius et trigonae radiationes constabunt. 

Velut si stella quaepiam verum locum in tauri. principio possideat cum 
latitudine grad. XX, propositum fuerit sextiles eius atque trigonas radiajtiones 884' 
in zodiaco numerare. Igitur cum latitudinis complemento grad. LXX atque cum 
partibus XXX per primi aut quinti introitus portam ingressus excipio gradus^) 
XXXII min. XV fere, quorum complementum partium LVIL min. XXXXV sex- 
tilis definit radiationis quantitatem. Eodem arcu grad. XXXII min. XV cum 
grad. LXXXX congregato trigonae prodibit arcus radiationis partium CXXII 
min. XV. 



a) Ha. hat ìevis. 

b) Ha. hat gradus korr. aus griiduuin. 



79. Propositlon. 

Untersuchung der „radiatio'^ eines gegebenen Sternes (Fig. 54). 

Ftlr einen Stem beHebiger Breite sind die tetra- 
-goni aspectus 90^ nach rechts und links entfemt. 

Ftlr einen Stem mit der Breite Nuli ist der radius 
«extilis 60^, der radius trigonus 120® von ihm auf der 
Ekliptik entfemt, das „oppositum^^ 180®. 

Ist die Breite 60®, so ist die Stelle des radius 
sextilis B- der Lftnge des Sternes. 

Ist die Breite p < 60®, so bildet man sin q = 




Flg. u. 



COBI? ' 

dann ist q^ = 90® — q der Bogen der „sextilis radiatìo" 
^^=* 90®4- ^ der „trigona". 

Beispiel: X « 30®, p = 20®. Resultat: ^,=- 77® 45', q^ - 122® 15'; 
radiatio sextilis sinistra: X + q^^ 107® 45', dextra il — ^, » 302® 15', trigona 
sinistra: A + p^ « 152® 15', dextra l-Qt^ 267®45'. 



174 Liber teiiias. 

His denique radiationum numerìs in laevam et in deztram a vero siderìs 
loco recensitis radiatio sextilis sinistra constituetnr in grad. XXVII min. 
XXXXY geminorum. Deztra vero in grad. II min. XYI piscium, sed trigona 
radiatio sinistra quidem in partibus II min. XY virginis, deztra vero in grad. 
XXVII min. XXXV sagittarii diflFondettir. | 

884^ Propositio LXXX. 

An subiecta duo sidera quampiam obtineant radiationem, per- 
scrutari. 

Propositum hoc est intelligendum de sideribus habentibns vera loca, tam 
in longitudine, quam secundum latitudinem cognita; his itaque suppositis per 
LXXYIII huius eorum quaeratur interstitium. Quod si partes LX continuerìti 
sextili radiatione, si grad. LXXXX, tetragona, si denique OXX partes, trìgona 
sciemus eadem sidera sese complecti. Sin autem eorum idem interstitium 
CLXXX impleverit partes, ipsa diametra coniungi radiatione comprobantor. 
Haec usqae adeo sunt facilia, ut nullo indigeant exemplo. 

Propositio LXXXI. | 

385' Aeqnationem octavae sphaerae, quanta sit subiecto momento 

iuxta tabulas Alpbonsi supputare. 

Pro tempore dato medium motum accessus et recessus ex illis Alpbonsi 
tabulis addiscamus, qui si grad. LXXXX minor inveniatur, aptus est subiecto 
negotio. Sin autem maior, nondum tamen attingens semicirculum, ipso eidem 
detrabatur semicirculo, reliquum prò ìntroitu erit quoque idoneimi. 

Quod si motus idem recessus et accessus partes CLXXX vicerìt et trìbns 
quadrantibus inferìor, ei semicirculus auferatur, reliquum rursus est servandum, 
perinde atque introitu nostro conveniens, ubi vero motiis ille tres exsnperaverìt 
quadrantes, eo gradibus CGCLX sublato residuum est reponendum. 

Quiscumque igitur numerus aliquo borum modorum nobis obtigerit, cum 

grad. VUII per introitum secundum quaesitam exbìbebit aequationem, adden- 

886^ dam quidem, quando motus recessus fuerit mi nor semicirculo, subtrabendnm 

vero, quando maior. Yelut si talis motus accessus et recessus offeratur grad. 

80. Proposition. 

Untersuchung, ob zwei Sterne in einer „radiatio" steben. 

Man bestimmt nach Proposition 78 ibren Abstand t. Betr&gt er 60 ^ so 
steben sie in der radiatio sextilis, ftbr 90^ in der tetragona, fór 120^ in der 
trìgona und fQr 180** in Opposition. 

81. Proposition. 

Bestimmung der „aequatio octavae sphaerae^' nach den Tafein 
Yon Alphons. 

Man entnimmt den „medius motus accessus et recessus*^ =» fi den Alpbonsi- 
nischen Tafein. Ist ^>90^ so nimmt man 180®—/*, ist ft>180^ fi— 180®, 



Liber tertius. 175 

LX, igìtur Cam grad. LX atqne cum partibus IX secundo introita meteoro- 
scopium ingressas exdpio partas VII com min. XXXXVII fere, quae sunt in- 
vestigata spbaerae octavae aeqnatio. 

Propositio LXXXIL 

Aequatìonem octavae sphaerae secundum opinionem ipsìus 
Thebit numerare. 

Igitar mediam motum accessus et recessus octavae sphaerae iaxta suam 
tabalam inprimis cognoscamus eamque minorem quadrante servemus, quo 
qaadrantem exsuperante ac minore gradibùs CLXXX ipsùm ex semicirculo 
demamus, residuum tamquam idoneum prò introitu nostro reponamus. Eidem 
etiam medio motui semicirculum exsuperanti, tribus tamen quadrantibus in- 
feriori, semicirculas auferatur, reliquum est quoque reponendum; at medium 
motam recessus et accessus, quadrantes tres vincentèm ex totius | circuii perì- 386' 
pheria subtrahamos, quodque renianserìt, est rursus servandum. Arcus itaque 
quicumque reposìtus per introitum secundum cum grad. IIII et min. XIX me- 
teoroscopio commissus reddet nobis arcum quendam, qui deinde cum grad. 
XXni et XXXXYI min. per primum aut quintum introitum introductus referet 
nobis quaesitam aequationem, addendam quidem, quando motus medius accessus 
et recessus minor fuerit semicirculo, minuendum vero, quando maior. 

Ut si motus trepidationis offeratur grad. LXVII et propositum fuerit, 
eidem oongruentem reperire aequationem. Ergo cum eodem trepidationis seu 
accessus et recessus motu medio atque cum grad. IIII et min. XIX per intro- 
itum secundum ingrediens excipio grad. IIII. Quibus deinde atque partibus 
XX ni min. XXXXVI per primum aut quintum introitum elicio gradum unum 
cam min. XXX fere; quod est intentum. 

Propositio LXXXni. 

Sideris latitudine carentis apparitionis | occultationisve ar- 886^ 
cum cum arcu visionis eius indagare. 

lohannes de Begiomonte in Epitomate suo super librum octavum Alma- 
gesti auctoritate Ptolemaei sufiPultus arcum visionis eum vocat, qui in circulo 

ist endlich /li > 270^, 360^ — fi. Dann ist die gesuchte „aequatio" a gegeben 
darch sin a «= sin jit • sin 9 ^. 

Beispiel: ^ = 60^ a « 7<>47'. 

82. PropositioD. 

Bestimmung der aequatio octavae sphaerae nach Thebit.^) 

RITI X 

Man bildet Sina? =» sinf*- sin4®19 und sina= --^«Ovipm Beispiel: 
^«67^^=4, a«l«30'. """^^ ^^ 

1) Thebit, arabisch Tàbit b. Qurra b. Marwàn, Abù'l Hasan, al-Harrani 
vgl. H. Suter a. a. 0. p. 84. Nr. 66. Wahrscheinlich bezieht sich Werner auf die 
lateinisch erhaltene Schrift; ,^Liber thebit de motu accessionis et recessioniB**. 
Parifl (9885), Oxford (Cat. Mas. Angl. T. I. P. I. 6667). 



176 



Liber tertius. 



verticali per centrum solis subter horizontem constituti transeonie inter solare 
centram atque horizontem comprehenditar, arcnm vero apparitionis appellai 
eam zodiaci portionem, qui ab initio sideralis apparationiB vero apparentis 
sideris loco et vera solis sede dandìtur. Sed occultationis ai^cuin defìnit eam 
signiferi particolam, quae occultati sideris loco vero atque vero solis secundum 
occultationis primum momentum intercipitur. Gum autem huiosmodi arcus prò 
387' eodem sidere quam plurimam diversificatur, prò vario ipsius loco in ecliptijca, 
niinc cum latitudine, nunc vero sine latitudine, quod tamen de planetis dico, 
eundem quoque vel occultationis vel apparationis arcum non tam prò planetis, 
quam etiam fixis sideribus iuxta diversas regionum latitudines variarì necesse est 

Quare non absentaneum arbitror fore, si quaedam paucula de apparitione 
et occnltatione siderum in hoc etiam opere perstringam, quamvis non ignorem 
Ptolemaenm occultationum apparitionumve tabulas prò planetis ad suum clima 
condidisse, ipsae tamen iudicio plurimorum astronomicorum^) pamm probari 
videntur, cum ille variatióni vel aeris vel regionum nequaqnam sufficiant 

In praesenti quoque proposito indigemus singulis visionam arcubus prò 
subiectis sideribus singulis. Sed quo pacto illos facile nancisci poterimus, 
Ioannes de Begiomonte super epitomate almagesti libro octavo abunde trac- 
387"" tavit. Eosdem | autem arcus prò planetis GL (!) Ptolemaeus in olimaie Alex- 
andrino certis deprehensis inspectionibus in dicto libro sui Almagesti literarom 
memoriae commendavit, prò Saturno scilicet grad. XI, prò lovis sidere partes X, 
prò Marte grad. XI et semis, prò Venere partes V, prò Mercurio grad. X. 

His itaque praemissis ad huius propositionis doctrinam absolvendam me 
nunc commento. Cum itaque fuerit propositum nobis aliquod sidus latitudine 
carens cum suae visionis arcu cognito, ut eius vel apparitionis vel occultatio- 
nis arcus inveniatur; ergo per XXIX angulus incidentiae horizontis etedipticae, 
qui in dato sideris loco contingat, quaeramus. Quo deinde et subiecto visionis 
arcu per primum aut quintum introitum desideratus vel apparitionis vel occul- 
tatfonis arcus prodibit. 



a) Ha. hat cLStroninwrum, 




Flg. 55. 



88. Proposition. 

Bestimmung des arcus appa- 
ritionis und occultationis eines 
Sternes in derEkliptik aus ihrem 
arcus visionis (Fig. 55). 

Nach Begiomontanus ist der arcus 
visionis (v) der Abstand der unter dem 
Horizont stebenden Sonno vom Bori- 
zont auf dem HObenkreis geniessen, der 
arcus apparitionis (A) der Bogen aof 
der Ekliptik zwiscben der Sonne uod 
dem gerade aufgehenden Stern, der 
arcus occultationis (^U) der Bogen zwi- 
scben der Sonne und dem gerade unter- 
gebenden Stern. 






Liber tertiua. 177 

Id autem diligenter advertendum est, quod, si apparitioiiem quaeramus, 
praedictns incidentiae angulus in semicircalo borizontis orientali | sumendus 888' 
est, sin autem occnltationeni, in occidentali. 

Velnt si posito Saturno in capite arietis sine latitudine quapiam velini 
eius apparitionis arcum notum facere in regione, cuius polus mundi arcticus 
elevatur grad. XXXXIX min. XXVII, quanta scilicet habetur poli eiusdem eie- 
yatio supra solum patrium. Angulus incidentiae signiferi et borizontis in eadem 
regione per XXIX est fere grad. XYII min. Ili, arcus autem visionis Saturni 
ex praedictis constat partibus XI. His demum arcubus duobus per primum aut 
quintum introitum extraho apparitionis arcum in grad. XXXXI min. XXX. 
Volens autem occultationis arcum elicere invenio per eandem XXIX angulum 
horizonte et ecliptica contentum super capite arietis in semicirculo borizontis 
occidentali grad. LXlill min. ITE, quibus et arcu yisionis grad. XI, ut ante, 
per pnmum aut quintum introitum deprehendo occultationis arcum grad. XII 
et XX minutorum. | 

Propositlo LXXXini. 888^ 

Dato sidere in quacumque signiferi parte oonstituto cum la- 
titudine aliqua eius aut apparitionis aut occultationis arcum nu- 
merare. 

Quaeramus ergo inprimis per LXV huius zodiaci punctum, quo datum 
sidus aut oritor, si apparitìonem velimus, aut occidit, si occultationem. Deinde 
per XXTX huius habeatur etiam angulus ex horizonte et ecliptica super puncto 
sideralis ortus occasusve compagìnatus, ortus quidem, si apparitionem quaeri- 
mus, occasus vero, si occultationem. 

Post haec prìmus aut quintus fiat introitus | cum yisionis arcu atque 389' 
cum angulo incidentiae borizontis signiferique ad punctimi sideralis ortus facto, 
si desideremus apparitionem, yel apud occasus punctum creato, si occultationem 
sideris inyenire yelìmus; arcus itaque compertus sublatus ei arcui, qui yero 
sideris loco atque puncto ortus, si apparitionem, yel occasus pimcto, si occul- 
tationem quaerimus, clauditur, aut econtra, dempto yidelicet arcu minori de 

Die Werte yon v sind nach Ptolemaeus filr die einzelnen Planeten: 

Satum 11 
Jupiter 10 
Mars 11^ 
Venus 5 
Mercur 10. 

Man bestimmt nach Proposition 29 den òstlichen oder westlichen Winkel 
r}2 bzw. ri\ zwischen Ekliptik und Horizont, dann ist 

sin J. = -. (Aufg. 5) 

sin V 
sm U ' 



smi], 

Beispiel: l des Saturnio®, 9=.49®27'. Eesultat: i?8-.17®5', r=ll^ 
A - 41 •so', rj^' « 64<^3', U^ 12^20'. 

Abhdlgn. s. GMoh. d. math. Wìm. XXiy 2. 12 



178 



Liber tertins. 



malori, quaesìtum yel apparìtionis vel occultatioiiis arcum relìnquit, ipsa scilicet 
latitudine sideris subiecta boreali; quae si fuerit austrina, prorsus iidem arcus 
dno pariter aggregentur, ut vel apparìtionis vel occultationis arcmn habeamas. 
Eie quoque, velut in praecedenti, lector est quisque admonendus, quod si prae- 
missus angulus per XXIX quaesitus quadrante maior provenerìt, eodem grad. 
CLXXX sublato reliquum buie negotio conveniet. 

Velut in hoc exemplo, sit Io vis astrum cum latitudine boreali min. 
XXXXVI in fine yicesimi gradus leonis, yolens ig^tur eius apparìtionis arcum 
889'' inyenire ad patrii soli | latitudinem inverno per LXV huius esse perortos 
cum orìente love grad. XIX min. XX leonis. Sed per XXIX huius angulum 
in ortivo hoc lovis puncto signifero et horìzonte comprehensum partium LYI 
min. XXXXT fere, quas cum visionis arcu grad. X per primum aut qointum 
introitum inferens excipio grad. Xli min. X fere, quibus auferens min XXXX, 
quae reperìuntur inter ortivum lovis punctum et verum ipsius locum, remane- 
bit arcus apparìtionis partium XI min. XXX, quod est intentum. 

At occultationis arcus non multo aliter reperìtur per angulum oocìduam 
puncti subiecti siderìs. 

Propositio LXXXY. 

Quod in praecedenti proponitur, alia quidem et prolixiori via 

investigare. 

In primis itaque intrandum est per prìmum aut quintum introitum cum 
^^' regionaria latitudine et comlplemento sideralis declinationis, arcus hoc pacto 



84. Propositlon. 

Bestimmung des arcus apparitionis und occultationis fur 
irgendeinen nach L&nge und Breite bekannten Stern (Fig. 56 u. 57), 

Man bestimmt nach Proposition 65 
den Punkt Xx des Tierkreises, mit dem 
der Stern gleichzeitig auf- bzw. unter- 
geht, imd nach Proposition 29 den Win- 
kel iji bzw. 1} 2 zwischen EkLiptik und 
Horizont. Dann bildet man sino; =:» 

, ferner l — iU, dann ist (Fig. 

56 u. 57) j1 =- Ire — (i — JU)|, wenn 
/3 positiv, J. «=» a? + (il — Xr), vfonn § 
negativ ist. 




Fig. 56. 




AB 



Fig. 67. 



Beispiel: A (des Jupiter) -= 140®, § =- 47^ Resultate: A,-= 139*20', 
56Ur, V « 10«, X - 12M0', X-Xr^ 40', A « ll^SO'. 



Liber teiiius. 



179 



repertus esto ìnyentam primìim. Deinde per introìtum secundum iniroducamus 
distantiam siderìs ab altero punctorum tropicorum, utrì propinquius ipsom ac- 
cesserìt, bac vìdelicet distantia quadrantem non exsuperante cum maxima solis 
declinatione repertns itaque arcns secundum esto inventum, quod per prìmum 
mrsus aut quintnm introitum cum complemento declinatioois sideralis reddat 
nobis arcum, qui adiungatur invento primo, si yerus sidens locus ascendentem 
signiferi semicirculum possederit, aut dematur, si descedentem signiferi semi- 
circuluin possederit.*) Utrum igitur fecerimus, tertium prodibit inventum, quod 
introitu secundo cum sideralis latitudinis complemento deductum reddat nobis 
arcum, cuius complementum inventum quartum dicatur, et est augulus ecliptica 
et horìzonte compaginatus in puncto signiferi, cum quo subiectum sidus vel 
oiitur, si apparitionem aut occultationem matutinam quaerimus, vel occidit, si 
occultationem aut apparitionem vespertinam velimus. 

Hoc deinde quartum inventum cum siderali latitudine primo aut quinto 
introita illatum prodet inven|tum quintum, quo demum cum invento tertio ^^0^ 
per introitum secundum deducto sextum producetur inventum, et est arcus 
eclipticae vero siderìs loco et horìzonte comprebensus. 

Post haec visionis arcus cnm invento quarto per prìmum aut quintum 
introitum inferatur et septimum exibit inventum, quod est signiferì arcus horì- 
zonte et nondum perorti solis umbilico conclnsus. 

Postremo auferamus sextum inventum ab invento septimo aut contra, 



a) Hb. hat nochmals: aiU dematur, ai descendentem. 



85. Proposìtion. 

Andere Ldsung der vorhergehenden Aufgabe (Fig. 58). 



Man bildet sinl = 



sin (p 

008 <^ 



(1 = 



^DZOimADIlO), sin II «sin A • 
BÌaB{dO^-IL^^BFVìmABFV, 

90^- A^> = 5 F) Sina; =?^ (x = 

/ C08 & ^ 

^ FBD im AFBD), IH - a; ± I 
(jenachdem £ auf dem aufsteigenden 
oder fallenden Ekliptikbogen ist) (ni ^ 
= ^ B2T im A BZT), cos IV = 
sin ni • cos 13 (IV = t^j, = <^ 2JTB\ 

«^ ^ = ^Sv (^ - -2;T im A ZTB), 
sin VI = sinVsinni (VI = ^Tim 
A ZTBl sin Vn - £^^ (VU = Bo- 
gen zwischen Horìzont und Sonne), A 

VI- vn|. 

Ist A =■ 90 ^ so ist za bilden: sino; 
Ist A =- 0^, so ist I == ni usw. 




COB<^ 

sin s 



Fig. 68. 



, in = x 4^ I usw. 



1) A ist der Abstand vom n&chsten Solititialpmikt. 



12 



180 Liber tertius. 

mìnus scilicet a malore, et relìnquitur arcus apparitìotiis vel occultationis, quod 
oportebat inyenire. 

Verum quando subiectum sìdos altero insteterit aeqmnoctionun pancto^), 
primi inventi arca ingrediendum est primo yel quinto introita cum sideralis 
complemento declinationis atque cum maxima solis declinatione, arcus itaque 
collectus invento primo vel addatur, si yeros siderìs locus arietis caput ex- 
891' titerit, vel dematur, si librae fuerit principium; hoc namque | pacto prodibit 
arcus, quo doinceps perinde atque tertio utamur invento. 

Postquam autem subiectum sidus vero suo loco possederit caput vel cancri 
vel capricorni, primum inyentum tertii vices inventi supplebit; ceterum, ut 
prìus, agendum est; has duas cautiunculas ille doctus mathematicus loaones de 
Begiomonte in canonìbus primi mobilis, nescio, qua in curia, praetermisit. Tertio 
est quoque caveudum, quod ipse tamen diligenter etiam persecutus est, quando 
sidus nuUam omnino declinationem obtinuerit, quia tunc regionis iatitado 
primum inventum, reliqua prò traditi praecepti operabimur institutione. 

Sit igitur exemplum tale. Sidus lovis occupet finem gradua vicesimi 
Leonis^) cum latitudine boreali min. XXXXVI; volo igitur prò patria latitu- 
dine lovis apparitionis arcum reperire; ergo per LVili huius aut eius sequentes 
891^ huius sideris declinationem reperio grad. XV min. XXXUI | borealem quoque; 
eius itaque complementum partium LXXm min. XX VII cum patrii soli latitudine 
grad. XXXXIX min. XXVII per primum aut quintum inferens introitum, exdpio 
inventum primum grad. LU, rursus ingredienti mihi posthaec cum huius sideris 
a capite cancri dìstantia partium L atque cum maxima solis declinatione grad. 
XXin min. XXX per introitum secundum partes offeruntur XVII min. XXXXV 
prò secundo invento, cum quo deinceps atque cum complemento declinationis 
sideralis primo aut quinto introitu partes excipio XVIU min. XXXV. quibus in- 
vento primo detractis tertium relinquitur inventum grad. XXXTTT min. XXV. 

His deinde atque complemento latitudinis partium LXXUll min. XX VII 
per introitum secundum arcus elicitur, quo grad. LXXXX detracto quartum 
remanet inventum partium LVI min. XXXX, quibus demum atque subiecti 
sideris latitudine introitu primo aut quinto quintum proditur inventum partis 
892' unios, qua posthaec atque invento tertio grad. XXXlTT min. XXV | per in- 
troitum secundum sextum constabit inventum fere minutiorum XXXX. 

Exercens postremo primum aut quintum introitum cum visionis arcu par- 
tium X atque cum invento quarto^) grad. LVI mi. XXXX arcum exdpio par- 
tium Xn min. X, quibus invento sublato quaesitus relinquitur visionis arcus 
grad. XI et semis; quod oportuit in venire. 

a) Hs. hat pu, .do korr. aus prae . .to, b) Ha. hat Leonis korr aus /oris. 
e) Hs. hat quarto korr. aus primo. 

Ist ò = 0^, so ist 1 — 9 usw. 

Beispiel: l des lupiter « 140^, /3 = 46^ Resultate: d« 15^33', 
I - 62^ A = 60«, t = 23^30', H = 17^45', x - 18<>35', IH - 33*25', 
IV - 56<>40', V « 1», VI = 40', VII « 12<>10', A « ll^^». 

86. Proposltlon. 

Bestimmung, zu welcher Zeit ein gegebener Stern ^de sub- 
radiis solaribus" sichtbar oder unsichtbar wird. 



Liber tertìus. 181 

Propositio LXXXVI. 

Tempus, quo datum sidus de snbradiis solaribns vel apparet 
vel occultatur, invenire. 

Sciendom igitur est, planetas tres superiores et sidera fixa unìcam dnm- 
t«zat obtinere de subradiis solarìbus apparìtionem, matutinam yidelicet, quando 
ab eis sol recedens concedìt eos ab hominum oculìs matutìno tempore prìmum 
conspici, I imam solam quoque occultatioDem, quae id tempus appellatur, quando 392^ 
propter solis vìcinìtatem sidera haec ab humano aspectu amplius conspici post 
occasum solarem atque in crepusculo vespertino desinunt. 

Igitur ob solis propinquìtatem planetae tres superiores cum sideribus 
fixis duo tantum patiuntur, scilicet matutinam apparitionem et vespertinam 
occultationem, et. in praecedentibus -problematis talem feci sermonem praecep- 
tionis, ac si de solis loquerer sideribus non erraticis atque planetìs tribus 
superioribus, eandem tamen doctrinam Veneri etiam et Mercurio non difiicnlter 
accomodabimus. Nam haec sidera duas sibi vendicant apparitiones atque occul- 
tationes duas, matutino enim tempore per solis ab eis recessum incipiunt ap- 
parere vicissimque per eorum ad solares radios accessum occultarì. 

Vespere quoque et serotino tempore sideribus eisdem eadem contingont. 
Has quidem siderum vel erraticorum vel non errantium passionem | Georgius 89S' 
Purbachius in Tbeoricis suis copiose luculenterque tractavit. Qui latius illas 
intelligere cupiat, ei necesse est libellum illum de Tbeoricis eiusdem autoris 
repetere. 

Denique prò Venere et Mercurio matutinae vel apparìtionis vel occulta- 
tionis arcus per doctrinas praecedentium problematum eo reperiuntur modo, 
qui traditus est de apparitione, quae in tribus superioribus planetis semper 
est matutina. 

Serotinas vero ac vespertinas Veneris et Mercurii passiones ea reperimus 
doctrina, quae de oocultatione in praecedentibus traditur. Nam utroque siderum 
homm solem antecedente atque sub radiis constituto solarìbus, si ipsum sole 
tardiorìs fuerìt motus, tunc evenire poterit, ut matutino tempore in aliquo die 
viderì incipiat, quod quidem visionis initium a plerisque apparìtio seu ortus 
appellatur matutinus. Sin autem matutino tempore vel Venere vel Mercurio 
ante solis ezortum apparente et Y^^^s ^t Mercurìus | sole velociorìs cursu ad 383^ 
eius coniunctionem festinaverìt obque solis propinquitatem mane viderì con- 
spicique desinerìt, tunc dicimus aut Venerem vel Mercurium, utrì hoc ipsum 
acciderìt, occultarì per occasum matutinum. Pan modo ratiocinemur de Ve- 
nerìs et Mercurii vespertina vel apparìtione sive exortu vel occultatione occa- 
suve. Si haec duo sidera sole iuxta signiferì partes et successionem fuerint 

Die drei oberen Planeten und die Sonne besitzen eine apparìtio de sub- 
radiis solarìbus, „wenn die sich von ihnen entfemende Sonne gestattet, daB 
sie morgens gesehen werden", und eine occultatio, „wenn sie wegen der Sonnen- 
n&he nach Sonnenuntergang und in der Abendd&nmerung nicht mefar gesehen 
werden kOnnen/' 

Venus und Merkur dagegen besitzen zwei apparìtiones und zwei occultationes. 

Ist der arcus apparìtionis bzw. occultationis gleich dem Bogen zwischen 
Stem und Sonne, und geht der Stern morgens vor der Sonne auf, so hat er 



182 Liber tertins. 

posteriores, eonun enim altero sub radiìs solaribns latente et sai motus accele- 
ratione solis decursmn exsaperante postque solis occasum conspici incipiente 
ipsnm a plerisque astronomis*) orui dicitur orta respectivo. Centra vero, si 
' duae steÙae Yenens et Mercnrii ant earom altera, post solis occasum serotino 
tempore visa fderit, et eam ob sui cursus tarditatem solare lumen velociori 
mota inseqnens occupat subito et abscondit ab aspectu nostro, tnnc iam 
cognoscimns eandem occultari vespertino occasu. 
S94' Bis itaque demonstratis ad propositi declara|tionem venio. 

Si enim arcus ille, quem in praecedentibus aut apparitionis aut occulta- 
ti onis appellavi, solis et propositi sideris aequaverit verorum motuum inter- 
capedinem, et sidus idem mane ante solem oriatnr, tunc ipsum die eodem vi- 
detur ortu matutino. 

Sin autem vespere eodem sidus vero motu solem sequatur, ipsum occidere 
prohibetur occasu vespertino. De stellis fixis et tribus planetis superioiìbus 
loquor, quod Veneri et Mercurio etiam, ut dictum est, accommodari potest. 
Solis autem et subiecti sideris verorum locorum distantia minore, quam sit in- 
ventus arcus aut apparitionis aut occultationis, ut prius cognoscemus appro- 
pinquantis qtiidem soli sideris occultationem praetenisse, a sole vero recedentis 
stellae futuram esse apparitionem; ubi autem haec verorum motuum solis et 
suppositi sideris differentia prius reperto vel apparitionis vel occultationis 
arcu maior eveniat, sidere quidem solis accedente propinquitati, occultationem 
894^ futuram esse, centra vero eodem solis vicinia refugijente, apparitionis ortom 
augurabimur praetenisse. 

Denique si verorum locorum solis et sideris intercapedinis excessum, supra 
occultationis aut apparìtioms arcum, aut centra huius supra illam, prò stella 
quidem directa per diurnorum superationem motuum diviserimus, prò regressa 
vero per eorundem accervationem motuum, exibit dierum numerus, qui nostrae 
inter considerationis momentum et diem quaesitae vel apparitionis vel occul- 
tationis apprehenditur. 

Pro praesenti doctrina tale subiciatur exemplum. 

Anno salutiferae incamationis domini nostri salvatoris MDY currente 
die X luHi in meridie iuxta tabulas Alphonsi verus solis locus fuit grad. JLXil 
mi XXXX cancri, lovis autem locus fuerat partium XX min. XI leonis cum 
latitudine boreali min. XXXXVI fere. Ob .solis itaque ac lovis vicinitatem 

a) Ha. hat astronimis, 

einen sichtbaren ortus matutinus; gebt er nach der Senne unter, so hat er 
keinen sichtbaren occasus vespertinus. 

Ist der arcus apparitienis bzw. occultationis gròfier als der Bogen zwischen 
Stem und Senne und n&hert sich der Stem der Senne, so ist die oecultatio 
schon frilher erfelgt, entfernt er sich aber von der Senne, so wird die apparitio 
erfolgen. 

Ist der arcus apparitionis bzw. occultationis kleiner als der Bogen zwischen 
Stem und Senne, und nAhert sich der Stem der Senne, se wird die oecultatio 
erfolgen, entfernt er sich von ihr, so ist die apparitio schon frfiher erfolgt. 

Die Zahl an Tagen zwischen dem Beobachtungstag und dem Tage der 
apparitio oder oecultatio erhttlt man, wenn man die Differenz des Bogens 



Liber tertins. 183 

tunc siuipicabar lovem non multis ante diebus occasu vespertino sub solarìbns 
radìis latnisse, qnam ob rem secundum praecedentis doctrinam, at de hac fierem 
certior, prò love occultationis arciun | inveneram grad. XXIX et min. fere 895' 
XXXXn, quibus detracta verorum motuum solis et lovis dififerentia grad. XXIII 
min. XXXI fùit reliquum partimn VI min. IX, quae partita secundum supera- 
tionem diurni motus solis supra diumum lovis motum exibant dies Vm cum 
quinta diei, quo deprebendi lovis astnim ante dies Vili latuisse occasu ves- 
pertino; pari ratione prò similibus aliis problematis erit agendum. 

Hinc quoque liquere poterit, eum omnino decipi, quicnmque tales propo- 
sitiones Ptolemaei tabulis, quas ipse in libro tertio decimo magnae compositi- 
onis scriptas reliquit, absolvi arbitrabitur, buiuscemodi namque vel occultati- 
onem vel apparitìonem arcus diversos variosque reperiri semper necesse est, 
tum propter multiplices eolipticae ac horizontis inclinationes, tum vero prò 
ipsius aeris, quem prorsus visionis nostrae modulus comitatur, varia in singu- 
lis climatibus dispositione, nonnunquam denique pariter ob utmmque. 



Propositio LXXXTn. 396^ 

Locis duobus longitudines latitudinesque cognitas habentibus 
unius ad alterum itinerarium cognoscere intervallum. 

In praesenti ac etiam subsequenti telluris orbem. suppone fere consumma- 
tae rotimditatis. Itinerarium vero spatium, quod inter assignata loca duo clau- 
ditur, portìonem imaginor magni super spbaerica telluris superfìcie designati 
circuii locìs eisdem*) interceptam. 

Sub boc namque circulo geographi suum viatores iter autumnant con- 
ficere. 

Proposita itaque loca, si eundem teneant meridianum, eorundem latitu- 
dinis accipiatur differentia, si uterque latitudinem eiusdem partis obtinuerit; 
differentia namque hac | locorum praebebit interstitium. 396' 

At locis sub eodem meridiano positis, latitudines si ab aequatore in di- 
versas abeant plagas, eorum itinerarium interstitium iimctis emerget latitu- 
dinìbus. 

Sed locis duobus subiectis aequas obtinentibus in eandem partem latitu- 
dines, igitur secundum agamus introitum cum dimidio longitudinalis differen- 

a) Hb. hat eisdem korr. aus eiusdem. 

zwìscben Stem und Sonne und dem arcus apparitionis bzw. occultationis durcb 
die Summe bzw. Differenz der t&glioben Bewegungen des Sterns und der 
Sonne teilt. 

Beispiel: Am 11. JuU 1505 12^ hat die Sonne die Lange Ì5= 112^40', 
lupiter Ìl/= 140*^11', j3j=«.46', arcus occultationis — 29^42', arcus occul- 
tationis — (à/— ks) = 29<>42' -- 23^31' (0 = 6®ll'. d « 8|^, d. h. lupiter 
batte vor acht Tagen seinen occasus vespertinus. 

87. Proposition. 

Bestimmung des Abstandes zweier nacli Lftnge und Breite be- 
kannter Orte der Erde. 



184 Liber tertius. 

tiae, atque cum alterius latitudinum complemento, arcus itaque reperti duplum 
prò itinerario locorum servemus interstitio. 

Yelut suppositis locis duobus, quorum uterque latitudinem obtineat vel 
borealem vel austrinam grad. XXVI. Eorum quoque longitudinalis dìfferentia 
esto partium XXX. Cum earum ergo dimidio grad. XV atque cum commiinis 
latitudinis complemento grad. LXJJil reperio partes XIII et semìs, quibus du- 
plicatis iter resultat quaesitum grad. XXVII. 

Ubi vero loca duo dabuntur diversas ad eandem partem habentia latitn- 
dines, longitudinum tamen differentiam grad. LXXXX minorem, ig^tur cum 
396^ differentia hac atque cum minoris complemento latitudinis, | per introitum 
secuudum organo incidentes primum elicuimus inventum. Cum eius deinde 
complemento atque cum breviore latitudine per introitum primum aut quintum 
alius a nobis excipiatur arcus, quo maiori latitudini detracto reliquum statu- 
atur inventum secundum, cuius demum complemento cum primi complemento 
inventi per introitus secundi ianuam remisso arcus proferatur, quo gradibus 
LXXXX detracto locale rursus interstitium relinquitur. 

Veluti volens interstitium urbis Bomae atque soli patrii, hoc est Norim- 
bergensis civitatis investigare, suppone iuxta Ptolemaei autoritatem urbis Romae 
iuxta longitudinem esse grad. XXXVI et tertii fere, at latitudiuem partium XLI 
min. L. Tantam enim, cum Romae agerem, multiplici perdidici exper[i]mento, 
et Plinii confirmat autoritas de umbrarum ratione parallelorumque distinctioDe 
pertractans. 

Sed Norimbergae latitudo reperitur iuxta recentiores observationes par- 
897' tium XLIX min. XXVII. Huius denique et urbis Romae longitudinum | diffe- 
rentiam tum per eclipses, tum vero per itinerariam profectionem deprehendi 
grad. VITI fere. 

Eandem tamen Ioannes de Regiomonte novem supposuit graduum, sed eo 
non obstante sumo eam secundum observationem meam grad. Vili, cum quibus 
et cum brevioris latitudinis complemento, partium XLVTCL min. X meteore- 
scopium introitu secundo ingrediens primum excipio inventum grad. V min. L. 
Cuius deinde complemento grad. LXXXITTT min. X et breviore latitudine par- 
tium XLI min. L per primum aut quintum introitum prodibunt partes XLII 

Die Aufgabe, fOr die die Erde als vollkommene Kugel betrachtet wird, 
ist voUkommen analog der in Proposition 78 behandelten Aufgabe. 

1. ^1 =« Ag; i = ft — ft (/^i Tiiid ft positiv oder negativ), 

2. /5i - /?8 = §; sin y = sin y • sin (90^ - |3). 

Beispiel: § = 26^ X = 30^ i - 27®. 

3. ft > ft und beide positiv, ferner A < 90®; sinl «» cos §^ sin A, sin a; = 

— nr , II = jS, — a;, cos i « cos I • cos II. 
008 1 ' ri j 

Beispiel: ft = 49® 27' (Nttmberg), /3,= 46®50' (Rom), lj=- 36^^ 

i = 8®. I«5®50', a;=-42®15', II = 7®12', t = 9®20'. Um die Entfernung 

in italieniscben Meilen zu erbalten^ multipliziere man mit 62^; man erh&lt 

584 italieniscbe Meilen =» 140 deutsche Meilen (1® = 16 deutsche Meilen) 

= 4666 Stadien (l® =- 500 Stadien). 



Liber tertius. 185 

min. XV, quibus prolixiorì latitudini detractis secundum relinquetur inventum 
grad. VII min. XII fere. Huius demum complemento partium LXXXU min« 
XXX XVIII atque inventi primi complemento per introitum secundum partes 
exibunt LXXX min. XXXX fere, quibus quadranti detractis remanent grad. IX 
min. XX, quibus scilicet Norimberga Germaniae civitas ab urbe Eoma recedit; 
quod est intentum. 

Si quis autem boc intervallum per miliaria cupiat noscere Italica, bis 
ducat grad. IX et XX min. seu tertium unum gradus unius, per LXII et 8emis.| 897^ 
Nam et tot milia passuum componunt gradum unum circuii magni in telluris 
superfìcie descrìptì. Ait enim Plinias ex antoritate Eratosthenis passus CXXV 
stadium unum conficere, mille autem passus milliare italicum. Sapponamus 
ergo secundum Ptolemaeum*) uni gradui convenire stadia GCCCC. Notandum 
est etiam iuxta multorum opinionem germanicum milliare par esse leucae, qua 
Galli et Hispani sua metiuntur itinera. Necessario sequitur, ut grad. I ter- 
restris effìciat millia passuum LXII et semis, quare totius itineris inter Bomam 
et Norimbergam magnitudo complectitur millia passum DLXXXIIII fere. Sed 
praebendo grad. uni milliaria germanica XV idem iter ex eisdem milliaribus 
constituetur GXXXX fere, sed iuxta graecam itìnerum observationem venient 
fere stadia IDI MD CCLXVI. 

Diversis deinceps daorum locorum latitudinibus ad eandem plagam obla- 
tis cum differentia longitudinum quadrantem acquante secundus fiat introitus 898' 
cum utrìsque latitudinibus. Arcus itaque repertus, si grad. LXXXX detrahatur, 
interstitium relinquit quaesitum. 

Velut suppositis duobus locis, uno cum latitudine vel austrina vel boreali 
grad. XXVI, altera vero cum eiusdem partis latitudine grad. XXXX, eorum 
autem longitudinis differentia sit quadrans. Volens igitur itinerarium compu- 
tare intervallum, secundo introitu ingredior cum utrisque latitudinibus, exci- 
pioque partes XVI cum min. XV fere. His quadranti detractis gprad. LXXIII 
min. XXXXV desiderati remanent interstitii. 

Deinde differentia longitudinali prò subiectis locis, quam sit quadrans, con- 
stituta maiore, minore tamen quam semicirculus, ergo quadrans differentiae 



a) Ha. hat Ptoìemaei, 



4. p^ ^ ft, il «« 90®; cos i =« sin/^i • sin j3g. 
Beispiel: /Si- 26^ i5,= 40^ * = 73^45'. 

5- ft >p2, 90®<X<180®; sin I- sin (A -90®) cosici, sinn = ^'^\ 

sinin=-cosn.sinj3„ cosIV-^^\^!, V = IV + (90®- I); sin(i — 90®) 
= cos m . eoe n • (fiir I > IV). '''' 

I « IV; V = 90® = i. 

I<IV; V>90®; sin VI — sin (V — 90®) • sin HI, i - 90®- VI. 

Beispiel: /S^ = 60®, (5, — 30, ;L = 150®; wie oben. Res. i « 86®40'. 

5. j3j = j5, = /3, 90® < ;L < 180®, ebenso wie 2. 

6. X - 180®; i - 180®— (ft + ft) far gleiche und i^fii + 180® — /3, 
far verscbiedene Vorzeichen von /S^ und jSj. 

7. A < 180®, i?i «= — |5,; cos -^ = cos jSj cos -r- Beispiel wie oben. 



186 Liber tertius. 

longitudinum auferendus est; reliquum et complementum maiorìs latitudinis 
per introitum secundum meteoroscopio introductum primum proferat ìnventum, 
cuius complemento atque malore latitudine per primum aut quintum introitum 

BSS"" arcus educatur, qui secundum esto inventum, cuius deinde { complemento atque 
latitudine minore per introitum secundum arcus tertii reperiatur inventi, cuius 
complemento atque minoris latitudinis complemento per primum aut quintum 
introitum arcus inveniatur, quo sublato de grad. LXXXX quartnm remanebit 
inventum, quo iuncto ad indenti primi complementum erit haec aggregationis 
summa quintum inventum; cum cuius demum complemento atque ciim com- 
plemento inventi tertii secundus si fiat introitus, arcum obtinebimus, quo ad 
quadrantem coniecto quaesitum constabit intervallom. Foret itaque faciendum, 
quando inventum primum fuerit quarto maias invento. At si quartum inven- 
tum primo par fuerit, ipsius interstitii arcus quadrantem aequabit, quare rursos 
nostra liquebit intentio. 

Ubi vero primum inventum minus fuerit invento quarto, quintum inven- 
tum gradus exsuperabit LXXXX, igitur ex invento quinto quadrantem aufera- 

899' mus, reliquum cum inventi | tertii complemento per introitum secundum sextiun 
producet inventum, quod quadranti detrahentes propositum relinquimus. 

Sint ergo loca duo, quorum unus latitudinem possideat partium XXX, 
alter*) habeat eiusdem partis latitudinem grad. LX, et propositum esto reperire 
itineris intervallum alterius ad alterum, subiecta tamen prius longitudinum 
differentia partium GL. Igitur per introitum secundum ingrediens cum maioris 
latitudinis complemento partium XXX atque cum partibus LX, quibus diffe- 
rentia longitudinum quadrantem supergreditur, reperio inventum primum ex 
partibus X^V et min. XXX constare, quarum deinde complemento graduam 
LXnU et semis atque malori latitudine partium LX per primum aut quintum 
introitilhi secundum deprehenditur inventum grad. LXXIII et semis, quorum 
deinde complemento partium XVI et semis et minori latitudine partium XXX 
per secundum introitum eliclo inventum tertium grad. Vili, quorum comple- 
mento partium LXXXII atque minoris latitudinis complemento per primum 

399"^ aut quintum introitum partes | produco LXI, quibus ex grad. LXXXX detractis 
quartum remanet inventum grad. XXIX. Quod si primi congregavero inventi 
complemento, quintum excrescet inventum partium XOIII et semis, quibus 
quadrante detracto gradus remanebunt tres et semis. Eis demmn et inventi 
tertii complemento partium LXXXm per introitum secundum produco grad. 
ni et min. XXX, quibus denique quadranti sublatis quaesitum itineris relinqui- 
tur intervallum partium LXXXVI min. XXXX; quod est intentunu 

Quod si longitudinum differentia proponatur maior grad. LXXXX, minor 
tum grad. CLXXX, subiectaque loca pares babuerint ad eandem plagam lati- 



a) Hs. hat alterum. 



8. X < 90®, j3j positiv, j3j negativ; sin I = cos /3j -sin Jl, smx ^ ^ , 

II«900— a;+900-|3i, sinin^cosIcosH, «* = HI -f 90® (ftlr II<90*^). 
n = 90®; i - 90®. 

n > 90®; cos a = cos I . sin (H — 90®). 
Beispiel: wie oben. 



Liber tertius. 187 

tudines, haud secus agendum est, ac si longitudinum differentia subiceretur 
quadrante minor, paribus etiam subiectis ad eandem plagam latitudinibns. 

Ubi demum longitudinum differentia semicirculum impleverit, locorum 
latitudines, sì eiusdem faerint appellationis, simul | aggregentor. Hoc itaque 400' 
aggregatum semicirculo sublatum, petitum relinqait intervallum. 

At tali longitudinum. differentia subiecta cum latitudinibns diversarum 
denominationum, igitur latitudinum altera semicirculo sublata arcum relinquet, 
quod ad reliquam latitudinum adiecto intervallum, quod quaerebatur, iterum 
patebit. 

Sed datis duorum locorum latitudinibns aequis ad diversas ab aequatore 
partes cum lougitudinum differentia, quae minor sit semicirculo, ea igitur per 
aequa scindatur, et eius dimidii complementum cum complemento alterius la- 
titudinum per secundum si deducatur introitum, arcus quidam prodibit, quo 
ex LXXXX grad. oblato et eo, quod remanet, duplicato nostrum liquebit in- 
tentum. 

Sint ergo causa exempli loca duo longitudinis habentia differentiam par- 
tium CXX, et utrumque latitudinem obtineat grad. LX, alterum quidem versus 
austrum, alterum vero boream | versus. iOO"" 

Volens ergo illorum invenire interstitium sumo longitudinalis differentiae 
dimidium grad. LX, quorum complementum partium XXX cum parìs latitu- 
dinis complemento grad. quoque XXX per secundum inducens introitum com- 
perio partes XTTTI cum min. XX fero, quibus quadranti sublatis gradus remanent 
LXXV min. XXXX. His demum geminatis intervallum, quod desiderabatur, 
constabitur grad. GLI min. XX. 

Deinceps autem locorum duorum latitudinibns oblatis ad varias aequato- 
ris partes cum differentia longitudinali grad. LXXXX minore, igitur secundus 
fìat introitus cum eadem differentia atque cum complemento austrinae latitu- 
dinis ac deinde primus aut quintus exerceatur introitus cum arcus extracti, 
qui primum dicatur inventum, complemento atque austrina latitudine reperti- 
que arcus complementum borealis addatur latitudinis complemento, et hoc 
aggregatum inventum esto secundum. Cum huius denique | complemento atque 401*^ 
cum inventi primi complemento per secundum rursus introitum arcus quidam 
eliciatur, qui tertium sit inventum. Quod si quadranti iungatur, quaesitum 
constabitur interstitium. Sin autem secundum inventum quadrans evenerit, 
necesse est locale intervallum quadranti quoque par esse. 

Ubi vero illud quadrantem exsuperaverit, ei grad. LXXXX sublatis et 
cum residuo atque cum complemento inventi primi arcus introitu secundo re- 
periatur, qui quadranti sublatus relinquit intervallum, quod quaerebatur. 

Sint ergo loca duo, quorum unus*) austrinum possideat latitudinem par- 



a) Hs. hat unum. 



9. 90® < A < 180®, jSi positiv, |3j negativ; sinl« cos/Sjj- sin (180® — A) 
cos n =- ^5_l^ , ir « II - (90® - j5i), sin III « cosa; cosi, * = 90® + m. 

Il=90®-j3i; i=180®-L 
Beispiel wie oben. 



188 Liber tertiiu. 

tium XL, alter') borealem graduum LX, sitque longitudinis eonun partium 
LXX, et propositum esto itinerìs eorum reperire intervallum. 

Igitur per introitum secundum cum eadem di£ferentia longitudinis atque 
austrinae latitudinis complemento grad. L inventi primi reperio quantitatem 
401^ grad. XXXXVI, quorum deinde complemento partium XLIIII et austaina la|ti- 
tudine grad. XXXX per primum aut quintum introitum prodeunt partes LXVIEI 
cum tertio unius, quorum complementum grad. XXI min. XXXX addens bore- 
alis complemento latitudinis secundum constituo inventum partium LI min. 
XXXX, quarum demum complemento grad. XXX Vili min. XX atque primi 
complemento inventi per introitum secundum prò tertio invento partes exibunt 

XXV et min. XX^ quadranti quibus adiectis investìgatum proditur interstitiiun 
grad. CXV et min. XX, quod intendebam reperire. 

Ubi deinceps inaequalibus latitudinibus ad diversas ab aequatore plagas 
subiectis longitudinum differentia quadrantem excedat^ minor tamen semicirculo, 
eadem gradibus CLXXX est auferenda, reliquum cum austrinae latitudinis com- 
plemento per introitum secundum proferat inventum primum, cuius deinde 
complemento atque latitudine austrina per primum aut quintum introitum qui- 

402' dam j reperiatur arcus, quo grad. LXXXX dempto reliquum secundum esto 
inventum. Quod si borealìs complemento latitudinis exsuperetur aut econtra, 
minus ex maiori detrahatur, si secundum inventum borealis latitudinis com- 
plemento maìus extiterìt, ac deinde residui complemento atque complemento 
inventi primi per introitum secundum arcus extrabatur inventi tertii, quo grad. 
LXXXX coniecto intervalli, quod petebatur, quantitas erit perspicua. 

At secundo invento complementum borealis latitudinis acquante inventuBi 
primum semicirculo dematur, ac iterum constabit intentio. 

Pro hac doctrina tale sit exemplum: Loca duo sunto, quorum unns^) 
austrinam teneat latitudinem grad. XXXX, alter vero septentrionalem partium 
LX, longitudinumque differentia graduum esto CXX, quibus ex semicirculo 
sublatis erit residuum grad. LX; quibus et complemento latitudinis austrinae 

402"^ grad. L per introitum secundum prò inven to primo grad. XXXXI et semìs 
inverno, quorum deinde complemento partium XLVIII et semis ipsaque latitu- 
dine austrina per primum aut quintum introitum partes elicio LIX min. XX, 
quainim complementum grad. XXX min. XXXX, secundum scilicet inventum, 
quoniam maius est boreaUs latitudinis complemento, igitur boc ex ilio demptum 
remanent min. XXXX, quibus quadranti detractis partes relinquuntur LXXXIX 
cum min. XX, quibus et inventi primi complemento grad. XXXX VITE et semis 
per introitum secundum prò invento tertio partes excipiuntur XLVJll min. 

XXVI fere. His demum quadranti congregatis babeo grad. CXXXVUI min. 
XXXX, quod est intentum. 

a) Ha. hat aìterum. b) Hs. hat unus korr. aus uniiu. 

10. ;L « 90®, /5i positiv, /5j negativ; sin(« — 90®) =- sin/5iSÌn/J,. 
Beispiel wie oben. 

11. /Sg = 0; Al — Ag = 90®; i = 90®. 

Àj — A, < 90®; cos i = cos A • cos ^^ . 
Aj — A, > 90; sin (t - 90®) = sin (A — 90®) cos p^ . 
Beispiel wie oben. 



Liber tertius. 189 

Latitndinibus postremo inaequalibus non ad eandem partem sabiectis 
cum longìtudinum differentia quadrantem acquante secundus fìat introitus cum 
latitudinibus duabus. Arcus itaque | compositus et quadranti coniunctus ex- 403' 
hibebit propositum. 

Sint igitur exempli gratia loca duo, quorum unius austrina latitudo sit 
partìum XLV, alterius vero borealis grad. LXIII, estoque intentio itineris inter- 
vallnm Inter data reperire loca; subiecto scilicet quadrante prò longitudìnum 
differentia, igitur secundo introitu cum latitudine boreali grad. LXUI atque 
cum austrina latitudine partium XLV producens grad. fere XXXIX eos adicio 
quadranti, crescetque locorum intervallnm partium CXXXTX, quod oportebat 
inyenire. 

Haec hucusque de locis latitudines habentibus; nunc de locis bis dicen- 
dum est, quorum alter aut uterque latitudine careat; quod si locus unus lati- 
tudinem obtinuerit, altero subter aequatorem examussim posito cum longitu- 
dinum differentia quadrantem aequante necesse est, ut intervallam locale sit 
etiam quadrans, longitudinum autem differentia grad. LXXXX inferiore, igitur 
per introitum secundum cum talis complemento differentiae atque | cum alterius ^^^^ 
loci latitudinis complemento arcus extrahatur, quo grad. LXXXX detracto inter- 
stitinm, quod quaenmus, relinquitur. 

Denique huiusmodi longitudinum differentia quadrantem exsuperante, al- 
tero scilicet datorum locorum latitudinem tantum obtinente, longitudinali 
differentiae quadrans subtrahendus est, residuum cum latitudinis complemento 
introitu secundo quendam producet arcum, quo grad. LXXXX congregato de- 
sideratmn exhibebitur intervallum. 

Datis autem locis sub aequatore positis aliud non erit itineris intervallum, 
quam ipsa longitudinum differentia; prò praesenti doctrina unicum dumtaxat 
exemplum esse satis arbitror. 

Sint ergo loca duo, quorum unius latitudo fuerit grad. XXXX, alterius 
sedes aequatori subiciatur, sitque differentia longitudinis eorum grad. CXX, et 
esto propositum iter ipsum inter haec loca di | metiri. Tollens igitur ex diffe- 404' 
rentia longitudinum quadrantem relinquo grad. XXX, quibus deinde atque 
snbiecta latitudinis complemento grad. L per introitum secundum deprebendo 
partes XXII cum tertio, bis adiectis quadranti gradus prodeunt CXII cum 
tertio unius, quibus postremo investigatum itineris intervallum perspicitur. 

Quantum in hoc etiam problemate Ioannes de Begiomonte in canonibus 
super primo mobili defecerit, nemo nesciet, qui cum illius commentis haec 
mea contulerit, milliarìa demum aut stadia cognoscat^) et gestiens praedicta 
repetat. 



a) Ha. hat cognosce. 



88. Propositlon. 

Bestimmung des L&ngenunterscbiedes zwiscben zwei Orten 
und der Breite des einen Ortes aus ibrem Abstand, der Breite des 
anderen Ortes und seinem Bichtungswinkel (Azimut). 

Der Bichtungswinkel r ist der Winkel des Abstandes mit dem Meridian. 



190 



Liber tertias. 



Propositio Lxxxym. 

Si itinere inter data loca cognito latitudo noscatur alterius 
404' tantum loci, cui notus positionis subicitur angulus, | eorumlongi- 
tudinis differentiam atque alterius loci latitudinem patefieri. 

Subiectum iter vel in millibus passuum yel stadiis aat lencìs aat in qui- 
buscnmque aliis itinenun mensuris in gradus reducatur iuxta doctnnam in 
pr accedenti traditanL 

Deinde si locorum alter aequinoctiali subiciatur, rectusque fiierit positio- 
nis anguluB, quantacumque itineris subiecta quantitate reliquus quoque locus 
sub aequinoctiali poni necessario convincitur, longitudinum etiam differentìa 
itineri coaequabitur; locorum autem altero subtus aequatorem posito quantitas 
itinens par fuerit quadranti, et positionis angulus quadrante minor, igìtur 
eodem angulo de grad. LXXXX dempto reliquum erit latitudo alterius loci, 
septentrionalis quidem, si*) viae processus ab aequinoctiali ad septemtrionem 
405' vergebat, meridionalis vero, si versus | austrum, ac longitudinum differentìa 
quadrane necessario constituetur 

Deinde loco dato subter aequatorem posito cum positionis angulo grad. 
LXXXX minore sive acuto, igitur secundus fìat introitus cum itineris arca et 
cum dati complemento anguli, arcus itaque compertus alterius loci l&titudo 
constituatur, facto deinde introitu primo vel quinto cum complemento latitu- 
dinis iam repertae atque cum arcus itinerarii complemento arcus exibit, quo 
gi*ad. LXXXX detracto quaesita longitudinum relinquitur differentia. 

Ut duorum locorum alter aequatori subiciatur, alter vero ad septentrio* 
nem accedat, prioris ad bunc iter contineat grad. XXXVI cum positionis angulo 
partium XV, propositumque sit latitudinem alterius loci et longitudinum diffe- 
rentiam invenire; secundo igitur introitu per complementum dati anguli grad. 
XXY et iter subiectum grad. XXXYI alterius invenio loci latitudinem partium 
XXXIIII min. XXXX; deinde per introitum primum aut quintum cum itineris 
complemento grad. LIIU atque cum inventae latitudinis complemento partium 
495^ LY min. XX invenio gradus LXXIX, quibus quadranti detractis grad. XI re- 
manent, qui sunt longitudinum differentia, quam investigabam. 

Si de locis subiectis alter sub aequatore iaceat, apud quem positionis 
angulus fuerit rectus, atque unius ad alterum itineris longitudo supra qua- 
drantem protendatur, ergo secundus fiat introitus cum anguli dati complemento 
atque cum eo arcu, qui remanet itinere gradibus CLXXX detracto, arcus ita- 

a) Hb. hat sic. 



1. /?! = 0, r =« 90®. /3g = 0, ;i = i. 



2. i3i = 0, r<90^ i«90® (Fig. 59); 
Resultate: jSg = 90® — r, A = 90®. j3, ist je 
nacb der Ricbtung von i positiv oder negativ. 

3. |3i = 0, r < 90® (Fig. 60.). sin /3,« 

. . , , 008 t 

sm t ' cos r und cos A = ^ ■ 

cosp, 

Beispiel: è-36®, r=16®, /J,= 34®40', 

1-11®. 





Fig. 69. 



FUr. 60. 



Liber tertius. 191 

que compertus alterìus erìt loci latìtudo, septemtrioDalis quidem, sì in septem- 
trione iter vergai, austrina*), si ad austrum aspiciat; subtrahatur deinde qua- 
drans itineris quantitati, reliquum cam latìtudinis ìam inventae complemento 
per primum aut quintom ìntroitum reddet nobis arcum, qui quadranti coniunctus 
longitudinum differentiam constituet. 

Ut duorum locorum alter esto subiectus aequatori cum positionis angulo 
grad. XXXVI, viae spatium inter haec loca duo contineat grad. CXX^), et sit 
intentio alteiius latijtudinem loci atque longitudinum differentiam inyenire. 405^ 
Igitur subtracto itinere grad. CXX de semicircnlo grad. remanent LX, quibus 
et dati anguli complemento per introitum secundum excipio quaesitam latitu- 
dinem partium XLIIII et semis; gradibus deinde LXXXX ex itinere sublatis 
gradus relinquntur XXX, qui ciun repertae latitndinis complemento partium 
XLV min. ^XX per primum aut quintum introitum produnt grrad. XXXXIIII 
min. XXXXX, quadranti quibus adiectis longitudinis ezibit differentia partium 
CXXXim et min. XXXXV fere. 

Si propositonun duorum locorum alter aequinoctiali subiciator, apud quem 
positionis angulus quadrante maior fuerit, itinere unius ad alterum grad. LXXXX 
coaequante, fìet longitudinis differentia quadrans. Deinde si detrazerìmus angulo 
dato quadrantem, "erìt residuum alterìus loci latitudo in eam plagam deflexa, 
in quam iter praecipue dirìgitur. 

Subiecto itaque subter aequatorem aliquo loco, inter | quem et aliam ab 406' 
aequatore in septemtrìonalem plagam locatum itineris obsenrati longitudo ex 
amussim grad. contineat LXXXX, angulus autem positionis partes amplectatur 
CXXVII; dico igitur longitudinum differentiam inter haec loca constare qua- 
drantem, sublatis deinde ex anguli buius quantitate grad. LXXXX relinquitur 
alterìus loci latitudo partium XXXVII, quod est intentio. 

Denique locorum altero, ut iam subter aequatorem posito cum positionis 
angulo quadrantem excedente, si spatium itinerarìum hoc grad. etiam LXXXX 
exsuperaverìt, igitur itineris arcus ex semicirculo abiciatur, residuum cum arcu, 
qui relinquitur, dato positionis angulo grad. LXXXX detractis per introitum 
secundum praebebit nobis alterìus loci latitudiuem septemtrìonalem, si quidem 
profectio fuerìt in borealem ab aequatore plagam, merìdionalis autem erìt 
latitudo, si in austrìjnam; auferamus deinceps ex itinerìs arcu quadrantem re- ^06^ 
liquum, et inventae latitudinis complementum introitu primo vel quinto prò- 



a) He. hat aiMtrinam. 

h) Nach CXX hat Hb. die Worte de setnicircuìo grad. remanent (vgl. unten) 
gestrìchen. 



4. |3j « 0, r < 90^ ♦ > 90®. Resultati sin /3, — 

gin (180® - i) cos r und sin (;L - 90®) - ^^""^l^p^^"^ • 

Beispiel: r- 36®, $-120®. /?, = 44^®, A = 
134® 45'. 

5. ft - 0, r > 90®, i - 90® (Pig. 61). k = 90®, 
|3, =«r- 90®. 

Beispiel: r - 127®; /5, - 37®. 



«^ 




192 



Liber iertiuB. 



ducat nobis arcum, qui quadranti coniectus quaesitam longitudinum differentiaiii 
componet. 

Sint igitur loca duo, et eorum altero sub aequatore sedem suam statuente 
positionis angiQus ibidem obtineat partes CXXTÌÌT, iter autem inter eadem. 
grad. 0X1, et propositum esto alterius loci latitudinem cum longitudinum 
differentia reperire; abiecto igitur itineris arcu de grad. CLXXX erit reliquum 
grad. LXIX; sublatis deinde angulo buie grad. LXXXX partes remanebunt 
XXXHn, quae residua duo per introitum secundum ipsam offerunt latitudinem 
partium XXXI et min. XX eius partis, in quam contingit profeetio. 

Ex itineris arcu deinde quadrans auferatur, eht itaque reliquum grad. XXI, 

qui cum inyentae latitudinis complemento partium LVIII min. XX XX. per in- 

407^ troitum aut prìmum aut | quintum reddunt grad. XXHII min. XXXXV fere, 

bis cum quadrante congregatis longitudinalis resultat difiPerentia partium (JXUJI 

min. XXXXV, quod oportebat invenire. 

Post haec, si factus apud locorum alterum quadrante minoris latitudinis 
angulus LXXXX gradibus inferior eztiterit, itinere quoque non exsuperante 
quadrantem, secundum exerceamus introitum cum subieetae latitudinis com- 
plemento atqne cum angulo dato, repertus itaque arcus prìmum esto ìnventum. 
Deinde prìmus aut quintus fìat introitus cum huins inventi Complemento atqne 
cum subiecta latitudine, arcus itaque coUecti complementum prò secondo ser- 
vetur invento, id si par itineri fuerìt, ipsnm cum latitudinis complemento per 
prìmum aut quintum introitum manifestabit desideratam longitudinis differen- 
tiam, ipsum quoque prìmum inventum, si quadranti detractum fuerìt, alterìus 
408' la|titudinem loci relinquet. 

At secundo invento minore, quam itineris arcus extiterìt, boc ex ilio de- 
matur, residumn tertium sit inventum, cuius complementum cum primi com- 
plemento inventi secundo introitu producet, quo loci latitudinem manet alterìus, 
cuius deinde complemento atque invento tertio eodem per primum aut quintum 
introitum arcus exibit, quo duplicato longitudinis differentia prodetur, si resi- 
duum hoc, quod tertium sit inventum, invento secundo par fuerìt, id est, si 
secundum inventum itineris dimidium fuerìt, sin autem idem inventum tertium, 
quod scilicet relinquitur, quando secundum inventum itinerì detrabitur, invento 
secundo fuerìt impar, ergo cum repertae latitudinis complemento atque cum 



6. j3i = 0, r > 90^ t > 90®. Resultat: sin |3j — sin (180® — t ) sin 
90<');sina-90)- -^Ì-/"V 



(r- 



C08|7, 

Beispiel: r = 124®, ♦ =- 111®. /3, = 31®20', X = 114®45'. 

7. Pi < 90®, r < 90®, i < 90® (Fig. 62). Re- 
sultat: sin I = cos j3, - sin r (I = PL) cos II = — ~l 




TT 

Ist i = n, so ist sin k = ^ und p^ 



90®— L 



Vig*. 68. 



IstII<i, soistm=.t — n(=X2i) und sin /5, 
« cos I • cos m(j32 « 90®— P2f). Pemer, wenn ITI 

-= n ist, sin ;r =- — ^- ( -TT = -^-P-^L). Ist aber 
' 2 cos ^, \ 2 V 



Liber tertius. 193 

invento tertio per primum aut quintum introitum arcus extrahatur, qui prò 
quarto invento servandus est, deinde iterum primus aut quintus fiat introitus 
cum complemento latitudinis suppositae atque cum invento secundo, arcus 
itaque collectus invento quarto coniectus longitu|dinum difEerentiam iterum 408^ 
constituet, sed invento secundo itinerarium exsuperante spatium ilio ex hoc 
ablato reliquum esto tertium inventum, cuius complemento atque primi com- 
plemento inventi per introitum secundum loci latitudo alterius educetur, deinde 
primo vel quinto introitu per complementum subiectae latitudinis atque per 
secundum inventum arcus emanabit, qui quartum vocetur inventum. Postea 
primum rursus aut quintum agamus introitum cum complemento latitudinis 
alterius loci modo repertae cumque tertio invento; arcus itaque compertus 
quarto iunctus invento iterum petitam conflabit longitudinis differentiam. 

Proponantur igitur exempli gratia duo loca, sitque unius eorum latitudo 
grad. XXXXI, alterius vero ad alterum via contineat grad. XXX, positionis 
autem angulus apud locum subiectae latitudinis esto grad. LXX, et sit intentio 
alterius loci latitudinem invenire atque longitudinis differentiam. Sejcundo 409' 
igitur introitu per subiectae latitudinis complementum grad. XXXXYmi atque 
angolum dat. grad. XXXXV min. X prò primo producuntur invento, cuius deinde 
complemento partium XLIIII min« L atque data latitudine grad. XXXXI per 
introitum primum aut quintum arcus exibit graduum LXYIII min. XXX, qui 
quadranti detractus relmquit prò invento secundo partes XXI et semis, quibus 
ex itineris arcu sublatìs tertium remanet inventum grad. Vili et semis, quorum 
demum complemento partium LXXXI min. XXX atque primi complemento in- 
venti grad. XXXXnn min. L per secundum introitum loci alterius exibit lati- 
tudo grad. XXXXV et min. X unius, quorum complementum partium XLTTT 
min. L cum invento tertio per primum aut quintum introitum prodit inventum 
quartum partium XII et min. XY, primo rursus aut quinto introitu per com- 
plementum subiectae latitudinis grad. exeunt XXIX min. XXXXV, quibus quarto 
congregatis invento longitudinis differentia quaesita constituetur partibus 
XLn fere. 

Sed ubi latitudo alterius loci quadrante minor subicitur cum itinere 
LXXXX gradibus inferiore et posijtionis angulus rectus fuerit, hoc est grad. 409^ 
LXXXX complectatur, ergo seoundus fiat introitus cum itineris complemento 

ni > II, so bìldet man sin IV « 3- (IV = iP2L) und sina?=« 5- 

<. ' COfl p, ^ ^^ COB Pi 

{x =- Zy^PL), dann ist X = IV + a;. 

Ist n > i, so ist II — i = ni, sin jSj = cos IH • cos I, sin IV' « ^ 

(ir» Z,PL\ sinrc'- ^J {x' = Z,FL\ X = IT + /. 

Beispiel: ft — 41®, »-30®, r«70<>. Resultat: 1-46^10', 
II = 21^^ m - ^\ ft = 45^10', IV = 12015', X = 29^45', 
X - 42«. 

8. §^<^0^, i < 90^ r =- 90® (Fig. 63). sin j3, -» cos i sin /J^, Ao^ i 

cos B fi 

Beispiel: /^i- 42®, i - 35®, r =- 90®. Resultat: |3a= 33® 10', ^ 

X =- 43^®. Fig. 68. 

Abh. I. 0«Mh. d. niftth. Wisf. XXIV 9. 18 




ti 



194 liber tertina. 

atque cum subìecta latitadìiie, arcus itaque compertus loci alterìus exit latitado 
partis eiusdem, in quam et subiecta recedebat latitudo; longitudinis autem 
differentia quinto aut primo proyeniet introita cum iam repertae latitudinis 
complemento atque cum subiecto viae spatio. 

Velut sint loca duo, et unius eorum latitudo complectatur grad. XXXXTT, 
itineris quoque longitudo partes habeat XXXV, positionis autem aogulus apud 
locom subiectae latitudinis obtineat grad. LXXXXI, propositumque sit alterius 
latitudinem loci et utriusque longitudinum reperire dififerentiam. Igitor per 
introitum secundum cum itineris complemento grad. LV atque cum latitudine 
supposita partium XLII loci reperitur alterius latitudo grad. XXXIil min. X, 
quorum deinde complementum partium LVI min. L cum subiectae profectionis 

410' arcu grad. XXXX per primum aut qoìntum introitum qaaesita patebit | longi- 
tudinum di£ferentia grad. XXXXTTT et semis fere. 

At utroque, quam itinere, tam nota loci alterius latitudine grad. LXXXX 
minore supposita cum angulo positionis obtuso, igitur eodem ex gradibus CLXXX 
sublato residuum cum arcu datae viae per introitum secundum producat in- 
ventum primum, cuius deinde complemento atque itineris complemento per 
primum aut quintum introitum arcus procedat, quo ad suppositae comple- 
mentum latitudinis coniuncto secundum emerget inventum, quo quadrantem 
compiente alter locorum subter aequatorem constitui necessario comprobatur, 
primum itaque inyentum longitudinum differentia. 

Sin autem inyentum secundum quadrante permanserit inferius, igitur 
complementum inyenti primi atque complementum inyenti secundi praebebit 
introitu secundo quaesitam alterius latitudinem loci, secundo denique inyento 
quadrantem exsuperante quadrans eidem auferatur, residuum cum inyenti primi 
complemento inyestigatam exhibebit latitudinem, quae tamen in aliam migra- 

410^ bit aequatoris partem. | 

At prò posterìoribus bis inyenti secundi modis longitudinis differentìam 
reperiemus introitu primo yel quinto per prius inyentae latitudinis comple- 
mentum atque per inyentum primum. 

Sit ergo suppositi loci latitudo grad. XX atque positionis angulus yersus 
locum alterum partium CXXV, arcus itineris inter eadem loca grad. XXXX, 
estoque propositnm alterius locorum latitudinem inyenire; igitur dato positio- 
nis angulo grad. CLXXX sublato erìt residuum partium LIIII, cum quibus 
atque cum dato itineris arcu grad. XXXX per introitum secundum arcus primi 
proditur inyenti grad. XXXI min. XX fere, cuius deinde complemento partium 

9. /3i < 90^ i < 90^ r > 90^ (Pig. 64). Re- 
sultati sin I «= sin (180® — r) sin ♦, (I = lì^X), sin a? 

"-cofì-'(^-»^'--^i^)' n-900-ft + x(II 

= XP). 

Ist n = 90^ so ist j3, = 0, A — L 

Ist II < 90®, so ist sin /5, = cos I • cos IL 

Ist n > 90®, so ist sin |3,— cos I • sin (n - 90') 

(/5<0). ^^ 

Ferner ist bierbei: sin il =-» — 5- • 
Fig. 64. cos p. 




Liber tertius. 195 

LVJil min. XXXX atque datae viae complemento grad. L per ìntroìtum quin- 
tum gradus exeimt LXllI et semis, quibus subiectae latitudìniB complemento 
partium LXX coniectis secundum componitur inventum grad. CXXXUI min. 
XXX, quibus quadrante sublato erìt residuum partium XTjTTT et semis. 

Bis demum atque primi complemento inventi grad. XXXVIII min. XXXX 
per introitum secundum alterius latitudo loci egreditur | partium XXXVI, 411' 
quorum denique complemento grad. LIIII atque invento primo per pnmum 
aut quintum introitum desiderata longitudinis exiit differentia partium fere 
XXXX. 

Praeterea, si quadrante latitudinem vincente propositum positionis etiam 
angulo grad. LXXXX minore itineris arcus quadranti par extiterit, ergo se- 
cundum agamus introitum cum angulo dato atque cum suppositae complemento 
latitudinis, arcus itaque compertus inventum esto primum, quo grad. LXXXX 
sublato, si residuum cum subiecta latitudine per primum aut quintum introi- 
tum ingeratur, arcus prodibit, cuius complementum secundum esto inventum, 
quod deinde cum primi complemento inventi per introitum secundum educet 
latitudinem quaesitam loci, scilicet alterius ad eandem aequatoris plagam. 

Posthaec agamus primum aut quintum introitum cum suppositae com- 
plemento latitudinis atque cum invento secundo; arcus itaque coUectus prò 
invento tertio servetur, per eundem quoque primum vel quintum introijtum 411"^ 
cum latitudinis iam repertae complemento cumque secundi complemento in- 
venti ingredientes arcum deprehendimus, quo ad inventum tertium congregato 
ipsa constituetur longitudinum dififerentia. 

Igitur ex propositis locis alter babeat latitudinem grad. XXXX IX, angulus 
apud eundem constitutus esto grad. LX, iter vero quadrans, propositumque sit 
alterius latitudinem loci cum longitudinis differentia numerare; igitur per in- 
troitum secundum cum dato angulo grad. LX cumque subiectae complemento 
latitudinis inventum primum erit partium XXXTTII et semis. Deinde introitu 
vel primo vel quinto per buius inventi complementum grad. LV et semis per- 
qne latitudinem suppositam gradus eliciimtur LXVI, quibus quadranti detractis 
secundum resìduat inventum partium XXI HI, quo et subiectae latitudinis com- 
plemento graduum AXXXI atque secundo invento per primum aut quintum 
introitum prò invento tertio grad. exeunt LIX et semis, nursus eodem introitu 
primo vel quinto partes emergunt LXXVI | fere, quibus ad inventum tertium 412' 
aggregatis longitudinum differentia resultat grad. CXXXV et semis. 



Beispiel: ft « 20^ r « 125^ i « 40®; Re- 
sultat: I = 31®20; a? = 63^^ H « 133^30', i3,« 
36 ^ ;i«40^ 

10. /Si < 90^ r < 90^ i = 90® (Fig. 65). 
8ÌnI = sinr.cos/5i(I-Pi) cos n « ?^, (11 = 
.^ X), sin /?, = sin n • cos I (90® — jS^ — PZ^), 

Pemer : sin III = «- (EQ *^ 2^ PL) , sin re = o 

TT 008 Pi ^ 1 '' ' *'- 

^_Pi^ (x = ipx), A = in + X. 




196 Liber tertius. 

Proposltio LXXXIX. 

Duorum propositorum locorum, si cognitae fuerint latitudines 
cum positionis angulo prope alterum eorum, noto longitudinis re- 
perire differentiam. 

Nota loci utriusque latitudine cum positionis angulo per praemissam longi- 
tudinem differentia latere non poterit. 

Proposltio LXXXX. 

Quocumque die, si solis supra quemcumque horizontem offe- 
412^ ratur altitudo, horam ante vel | post meridiem investigare. 

Igitur prò vero solis loco propositae diei per XV huius semidiumi re- 
periatur arcus, qui quadrante minor semper est sole meridionalia signa sea 
austrìncun zodiaci medietatem perambulante, maior autem quadrante in borea- 
libus signis seu septentrionali signiferi semicirculo sole constituto, sed qua- 
drans erit utriusque aequinoctiorum tempore. 

Post haec per XIX prò loco solis meridiana eius altitudo reperiatur, quae 
in sexto regulae spatiolo numerata e regione finis buius numerationis, in quarto 
spatiolo regulae partes quaedam invenientur sexagesimae, quarum multitudo 
primus yocetur numerus, pari modo ad ipsam regulam, ut prius, intrando cum 
praesenti solis altitudine sexagesimae partes ex quarto capiantur spatiolo, quae 
summa secundus nuncupatur numerus. 
413' Deinde advertendum est, utrum semidiumus | quadrantem aequet, an eo 

fuerit Tel maior vel minor; qui si quadrante fuerit inferior, eo quadranti 
sublato reliquum in sexto regulae spatiolo quaeratur, et e regione ipsius in 
quarto regulae spatiolo sexagesimarum numerus acceptus, qui horariuni Tooe- 
tur argumentum, ex LX numero dematur; residuum tertius erit numerus, qao 
in secundum ducto summaque producta in primum divisa quartus exibit nu- 
merus, quo rursus ad argumentum horarium iuncto hocque aggregatum, si in 
quarto regulae spatiolo computetur, e regione ipsius in spatiolo sexto graduam 
reperitur numerus, qui si de quadrante tollatur, gradus relinquuntur, quibus 

Beispiel: |3, = 49^ r=-60^ i-90^ Resultat: 1 = 34^®, n = 24«, 
III « 69^0^ a; = 76^ À = 135^^ 

89. Proposition. 

Bestimmung der LUngendifferenz zweier Orte aus ihren Brei- 
ten und dem Ricbtungswinkel. 

Die Aufgabe ist in der vorigen, in der X aus jS^, r, jS^ berecbnet wird, 
mit bebandelt. 

90. Proposition. 

Bestimmung der wahren Sonnenzeit aus der Sonnenbòhe 
(Fig. 66). 

Man sucbt zunacbst den balben Tagbogen t^ nach Proposition 15, daon 
die KulminationsbObe h nach Proposition 19. 



Liber tertius. 



197 



revolutìs sol ad meridianum proveniet, sì eius altitudo sumpta fuerit ante 
merìdiem, aut tot gradìbus a meridiano recessit, si post merìdiem altitudo faerit 
accepta, quibus demum per Xm buius in horas et earum minuta conversis 
nostra prodetur intentio. 

Yelut die XXIX decembris altitudo solisante meridiana sit grad. IX in 
regione, cuius | latitudo partium XLIX. Sol itaque ilio die ad eandem regio- ^^^^ 
nem, quasi in grad. XVIII capricorni quotannis constituitur; altitudo itaque 
meridiana solis habetur ferme partium XVIII min. XXXX, quibus in sexto 
regulae spatio computatis de quarto spatio sexagesimae XIX cum tertio unius 
respondent, quae prò primo serventur numero. Sed grad. IX altitudinis prò- 
positae in sexto spatio computatae de spatio quarto competunt sexagesimae IX 
et tertia duo, quae secundus erunt numerus, sed per XIII huius arcus semi- 
diumus est grad. LXI et semis fere, quibus ex quadrante sublatis remanent 
gradus XXVm et semis, quibus ex regulae sexagesimis competunt XX Vili 
fere, et bis borarii argumenti cognomen impositum esto, sublato de LX resi- 
duum erit XXXII sexagesimarum, quae tertium perbibent numerum, quo iuxta 
praemissam doctrinam in novenarium et duo tertia, qui secundus est numerus, 
ducto summa proveniet CCCIX et tertia; bis per numerum primum, scilicet 
XIX, partitis quartus exibit numerus XVI unitatum. His argumento borario, ^1^' 
videHcet XXVTQI sexagesimarum, quae per sextum et quartum regulae spatium 
indicant nobìs gradus XXXX VII cum quarto unius fere, quorum complemen- 
tum grad. XXXXTT min. XXXXV est aequinoctialis portio, revolvenda quidem, 
donec sol meridianum possideat, eas autem per XIHE buius borae duae cum 
minutiis LI respondent, quod est intentum. 

At arcu semidiumo quadrantem excedente numerus tertius alia quadam 
ratione investìgabitur. Nam ipsi quadrans aufertur atque reliquo in reg^ulae 
sexagesimas, velut traditum est, converso ipsum prò argumento servetur borario, 
cui numeris LX iunctis tertius conflabitur numerus, quare deinde iuxta tradi- 
tionem praedictam quartus exibit numerus, quo argumentum coaequante bora- 
rium indicabitur nobis boras sex ad merìdiem esse futuras, si solis altitudo 
fuerìt antemeridiana, vel totidem boras a merìdie praeterìtas, si postmerìdiana. 

Sin autem | quartus numerus argumentum borarìum superaverìt, ex eo 414^ 



Mittels des ,,Lineal8^^ bestimmt man dann l '== sin h^(j= S^F^ und 
Il « sin A (= SF^ das Lineai gibt 60mal so grofie Werte, da der sin 90^ = 
60 TI. gesetzt ist), femer, wenn f^< 90®, sin (90® — t^, das argumentum 

borarìum H {H =^ NM = cosO» und IH = 1 — IT, 

(da er mit 60mal groBeren Zablen 

rechnet, bildet er 60 — iJ), III 

== S„,M - NM «= S^N, hierauf 

IV = ?-j- (da AS^F^N 
ASFQ, so ist IV =5$ 




m m 



rvj 



Fig. 66. 



SF_ 

Si TP 

. S„^N), IV + 2Z(= MN+SQ = 
MÒ) uud sucbt endlicb den Win- 
ket ty dessen cosinus = IV -[- iZ" 

ist (MO = cos S^S = cos t). 




Fig. 67. 



198 Liber tertiuB. 

illud auferendum est, et reliquo per sextum ac quartum regalae spatìmn in 
grad. commutato eoque arcu quadranti dempto residuum erit numerus graduum 
aequatorìS; revolvendus quidem, priusquam sol meridianum possideat, altitudine 
solis proposita antemerìdiana, vel revolutus sole a meridiano prolabente. 

Ubi demum quartus numerus ab argumento superetur borano, is ex ilio 
dematur, reliquum per quartum et sextum regulae spatium in gradus oonTer- 
sum indicabit nobis, quot gradibus aequatoris sol ab hora sexta ante vel post 
meridiem prò altitudinis exigentia disteterit, quo deinde arcu per xml in 
horas et borarum minutias commutato atque eisdem horae sex sì coarcerventiu-} 
totum tempus yel ante meridianum Tel post meridianum conflabitur, yelut so- 
lans admonaerit altitudo. | 
416' Exempli causa sit sol aliqua die proposita in principio geminorum, alti- 

tudo solis ante vel post meridiem sumpta contineat grad. XXXVI in regione, 
cui mundi polus borealis grad. TTXXXÌX subtollitur, eo die per XHI arcus 
semidiumus est grad. CXV, et per XIX huius altitudo solis meridiana reperìtur 
fere grad. TjXT min. XX, cui de regulae sexagesimis competunt LII et duae 
tertii fere unius, quae primus sunt numerus, altitudini vero propositae de 
sexa&fesimis eisdem XXXV cum uno tertio unius conyeniunt, quae prò secundo 
teneantur numero. Tertius autem numerus in hoc proposito invenitur arcui 
semidiumo gradibus LXXXX sublatis, et reliquum grad. XXY per quartum et 
sextum regulae spatium in regulae sexagesimas computatum porriget nobis 
argumentum horarium earundem sexagesimarum XXV cum quart-o unius, cui 
LX congregatis numerus constituetur tertius partium LXXXV cum uno quinto, 
denique iuxta praemissam doctrinam^) numero hoc in secundum multiplicato 

productoque in primum partito quartus elicietur numerus, similium partium 

26 

LVn cum rvg, quod paulo plus habetur septima unius. | 

416^ His argumentum superantibus horarium eo detraete partes sexagesimae 

XXXI cum — remanent» quibus in quarto regulae spatio computatis e regione 

in sexto grad. XXXII aut plus paulo videbimus, quorum complementum grad. 
LVin indicat nobis, quantum sol a meridiano removetui*. His autem grad. 
LViU de tempore per Alili respondent horae tres cum minutiis Lll unius, 
quod est propositum. 

Subiecto rursus solis loco in geminorom capite in eadem regione sit eius 
altitudo supra eundem horizontem grad. XV min. X, quibus sexagesimae XV 
cum quatuor quintis debentur, secundus scilicet numerus. 

Numerus autem piimus idem, ut ante, manet partium sexagesimarum LH 

a) Ha. hat praemiasae doctrinae» 

Beispiel: Am 29. Dezember sei A=- 9®, A^ = 18*40'. Resultate: I = 
9i(sin^ ==91:60), H = 19-J^, ^^=61^^ ^=28, m = 32, IV — 16, 
IV + H- 44, 9 - 47^^^ ^ = 42*45'= 2*^61» 

Ist <>90*, so bildetman sin(^— 90*) -IT, H+1 = m, IV ==5^. 

Irt IV = ^, so ist * = 90*= 6^ 

Ist IV > iZ, so ist are sin (IV— IT) = tp und 90*— 9? = f. 

Ist IV < fl, so ist arcsin (H — IV) = 9 und ^ « 9> + 90*. 



j 



Liber teriiuB. 199 

et tertiorum duomin, prò tertio denique numero eandem. summam, ut prius, 
obtìiiebiinus sezagesimas LXXXV et quintum unius, ergo per praecedentem 
doctrìnam numerus prodibit quartus sezagesimarum XXV et semis. At argu- 
mentum horarium idem oum eodem die etiam perseverat, nunc quoque sexa- 
gesimarum est XXV et quartL Cum autem ei quartus numerus fere | sit aequa- 416' 
liSy concludìmus id temporìs altitudinìs observatae horis ferme sex a meridie 
removeri, quod rursus est propositum. 

Sit demum solis altitudo grad. IX in eodem die et regione; scUicet gra- 

dibus IX sexagesimae debentur quasi IX cum quintis duobus, quae secundum 

2 
exhibent numerum, primus autem numerus, ut ante hac, est partium 52 et r , 

tertius quoque numerus idem, ut prius, sexagesimarum LXXXV ^) cum quinto. 
Quare per antecedentem doctrìnam numerus quartus erit earundem partium 

15 et rr fere, quibys horario sublatis argumento partes remanent X cum una 

vicesima, quae indicant grad. IX et dimidium, qui constituunt minutias XXXVlXl 
horae unius, quae si horis aequalibus VI congregentur, tempus emerget, quo 
sol prò altitudine observata distat a meridie. 

Quod si semidiumus arcus aequaverit quadrantem, borae diei per accep- 
tam solis altitudinemmaiori compendio reperiuntur; intrando scilicet | meteoro- 416^ 
scopium per primum introitum aut quintum cum regionarìae latitudinis com- 
plemento cumque deprehensa subiectae observationis altitudine, arcus enim, 
qui sic colligitur, per Xl 1 U tempus ostendet elapsum ab exortu solis usque in 
observatae altitudinis momentum, si solis altitudo fuerit antemeridiana, vel 
futurum usque in occasum, si postmeridiana. Quod si tempus idem de sex 
auferatur horis, praesentis momenti recessus a meridie relinquetur. 

Velut aequinoctiorum tempore semidiurnus in omni ferme regione qua- 
dranti par est, et propositum esto in regione, cuius latitudo graduum habetur 
XXXXIX per altitudinem solis grad. XXX tempus diei reperire. 

Igitur cum regionarìae complemento latitudinis grad. XXXXI atque cum 
subiecta solis altitudine grad. XXX per introitum primum aut quintum ingressus 
comperio grad. XXXXIX cum minutiis XXXXV ferme, qui de tempore prae- 
bent horas tres min. XIX unius, tantum itaque tempus exactum est ab solis 
exortu usque ad observatae momentum altitudinis, si ea fuerit antemeridiana, 
vel I in occasum solis futurum, sì postmeridiana, quod etiam tempus sex 417' 
demptum horìs relinquit horas duas min. XXXXI ante vel post meridiem, velut 
solaris admonebit altitudo. 



a) Hs. hat rvrsua korr. aus demum. b) Ha. hat LXXXVIIL 

Beispiel: X,= 60^ h =- 36^ t^^ 115^ 7*^=- 61^20'. Resultate: 
I - 52|, II - 35^, J5r = 25}, HI = 86}, IV - 57-^ ~ 57}, IV - IT « 
31M> 9 = 32^ ^=58^-3^52». 

1^=60®, A = 15^10'; Resultate: = 151, I «= 52}, m = 85}, IV 
= 25}, IT— 25}, also nahezu IV = H, folglich t == 6^ 

X^- 60®, h = 9®. Resultate: II « 9}, I = 52}, IH « 85}, IV- 15}, 
ir— IV = 10,^, 9^ =- 9}®- 38", t = 6^38°». 



200 Libei tertìus. 

Ex bis tandem horas diei vel noctis prò cuiuslibet morae regionis ac ho- 
rarum initio numerandarum undecimque vel a merìdie vel ab occasn sumpto 
nullum erit ìnveniendi negotium, nìsi peritiae sideralìs penitua esperti. 

Sciendum quoque prò eadem numeralis diei spatio numerum primum et 
tertium cum horamm argumento non yarìarì; baec etiam circa solstitìa per 
multos dies parum mutari, circa aequinoctia yero sensibilem fere diebus alterius 
variationem percìpere. 

Denique noctis boras eodem ferme deprehendimus modo per stellas fixas 
noctu nobis apparentes. Nam observatis earum altitudinibus earundem a meri- 
diano distantias, quemadmodum de sole dictum est, inveniemns cum arcubus 
semidiumis atque meridiana earum altitudine, 
^l?"" Hanc autem distantiam addajmus intervallo, quod ab observato sidere et 

sole comprebenditur, si ipsum in occidentali bemispbaerio constituator, aut 
eidem intervallo distantiam eandem conferamns siclere orientalem caeli partem 
occupante; utro namque modo post meridiem recessus constabit. Hoc autem 
sideris atque solis intervallum reperitur sublata sidens ascensione recta ex 
recta solis ascensione eidem additis grad. CCCLX, si detractio non poterit 
alioquin fieri; bic arbitror exemplo non opus esse, cum id eix praecedentibus 
satis pateat. 

Propositio LXXXXL 

Ex praemissa tribus numeris proportionalibus inventis aliter 
quartum cuiusdam instrumenti recti linearis auxilio compendi- 
ose*) subiungere. | 

418' Id eam ob rem proposui, ut praecedens propositio brevins explicetur, utqae 

arithmeticae radimentis non satis exercitatis minus oberrare contingat. 

Pro boc autem proposito trìgonica quaedam fiat designatio; sumamus in 
plano quopiam rectam AB quantamlibet^ quae vel in LX vel in centum et 
quinque aut in quotvis aeqnas scindatnr partes. 

At in praesenti negotio, si eam in GXX ad maximum diviserimus partes, 

a) Hs. hat compendiosite. 

Ist t « 90^, so kann man die Aufgabe folgendermafien lòsen; man bildet 
sin T = (Aufff. l\ dann ist ^ = 90® — t. 

COB qp ^ o '^ 

Beispiel: 9 = 49^ /? = 30®. Resultat: t == 49®45' = 3^*19"^, i^ 
2® 41'. 

Die Stunden der Nacht kònnen in gleicber Weise aus Stembòben bestimint 
werden, indem man den Abstand Sonne — Stem (Differenz der Bektaszensionen) 
zur geftindenen Zeit t addiert bzw. von ibr subtrahiert. 

91. Proposition. 

LSsung der Proportion a:b « c:x. 

Zur mecbanischen Losung wird eintriangulusproportionalis verwandt, 
dessen Einteilung und Konstruktion aus der Fìgur ersicbtlich ist (Fi^if. 68). 
Man zahlt a von C aus auf CA {CA — a), dann h von dem Endpunkte 



Libar tertius. 201 

sic enim omni serviet regioni, quod et obtingere poterit, ea in paudores par- 
tibus CXX incisa, geminato videlicet eias usn, velut ex sequentibus videbitur, 
postea de pnncto A sive perpendiculariter aut qualitercumque contingat AG 
recta protrahatur in totidem distincta sectiones, recta deniqne BC protrahatur, 
quae totidem quoque teneat particulas aequas, quot vel recta AC yel AB 
possidet. 

In duabus demum rectis AC et BC puncta dua singuiis rectis parìlìter*) 
a Cpuncto recedentibus colligabimus, quae erunt | cum^JB recta pares numero 418^ 
sectionum atque inter se pariter aequìdistantes. Ex punctis quoque lineae 
BC 2Ld puncta divisionum rectae AB singula pari modo singulae producantur 
rectae, quae AC sibique invicem aequedistabunt. 

Postremo extra hunc triangulum ABC iuxta latus eius AC divisionum 
numerus ab nota C inchoando scrìbatur, collectis simul quivis sectionibus, nu- 
merum videlicet inscriptum per quinque augendo usque ad GV, pari modo fiat 
infra lineam AB^ ut numerus partium ab A versus B progrediendo signetur. 
Sic tandem organi huius consumabitur perfectio, quod tiiangulum proportìo- 
nalem rìte nuncupabimus, quoniam per ipsum datis numerìs tribus quartum 
subicere quibìmus, ad quem tertius habeatur velut primus ad secundimi; per 
secundum enim sexti singuli transversae cum conterminis sibi portionibus la- 
teris AC sunt in eadem proportione, transversas quoque ipsae descendentes 
in pares quantitate sectiones distinguunt, unde liquet etiam huius ofifìcium 
tiianguli; utijlitas eius summatim haec est, inventis per praecedentem numeris 419' 
tribus, eorum primum computabimus, secundum particulas lateris ^C7 a C in 
A punctum numerando, et huius numerationis fini contermina trans versalis, 
alterum iuxta particulas suas numerum reddat et eius numeri secimdi termino, 
punctoque C regula applicata atque ipsa sic manente numerabimus tertium in 
latere AC. Denique in transversali eiusdem numeri fini contermina quartus 
inter latus ^0 et regulam apparebit. 

Ut sit primus numerus XXXXV, secundus XXX, tertius C; computatis 
igitur XXXXY supra AC lineas ac deinde in transversali, quae eorum fini 
contermina est XXX numeratis atque ad horum exitum supraque C punctum 

a) Nach pariliter hat Ha. das Wort aequidist gestrichen. 

A' aus auf der Transversale (b^'A'B') und legt ein 
Lineai in die Richtung CB'. Zahlt man dann wiederum 
e auf der Sei te CA von C aus {CC ^^ c)^ so schneidet 
das Lineai auf der von C ausgehenden Transversale x 
ab (a; = CD). 

Beispiel: a = 45,* 6 = 30, e— 100, a? — 66|. 

Ist e > als die Seite A C, so bildet man 
zun&chst a : 6 = (e — -4. C) : y , dann a : ò = 

ACiZy dann ist re = y + -e^- 

Beispiel: a = 45, ò =- 30, e = 129, 
AC = 105, y « 16, ^ = 70, rr = 86. 

FQr die Anwendung des Instruments in ^^^^ 
Verbindung mit dem Meteoroskop ist die gè- ^^ ^0 40 60 80 100 120 B 
eignetste Teilung die in 120 Teile. Fig. 68. 




202 Liber tertins. 

applicata regula sìcque firmata centum numerus in latere AC mrsus recen- 
seatur, mox habebimus in transversali contermina inter latas AC et regolam 
quartam numerum LXVI unitatum cum tertiis duobus. 

Notandum est etiam, quod, quando numerus tertius ezsaperaverit multì- 

419^ tudinem sectionum | lateris AC, tunc ex ipso lateris AC multitudo est snb- 
trahenda, reliquum quoque prò tertio teneatur numero, prò quo quartus, velai 
traditum est, numerus inveniatur, qui servandus est postea, summa partium 
lateris AC prò tertio subiciatur numero, cui etiam iuxta eandem doctrìnam 
quartum reperiamus numerum proportionalem, qui iam prìdem reperto quarto 
numero congregatus componit numerum quartum, quem quaerebamus. 

Ut, quemadmodum prius, numerus primus esto XXXXY, secundus XXI, 
tertius GXXIX; quibus CV nimieros egredientibus, igitur ex CXXTX detraho 
CV, et remanent XXIIII, quibus prò numero quarto XVI congnxunt. At CV 
prò quarto numero respondent LXX. His ergo coacervatis crescunt LXXXVI, 
integer yidelicet numerus quartus, ad quem se babent CXXiX, quemadmodum 
XXXXV ad XXX, primi scilicet numeri ad secundum. | 

^SO' Ignorandum quoque non est quodlibet trìum laterum trianguli ^BO non 

in pauciores partium debere partibus eis*), in quas semidiameter seu regula 
ipsius meteoroscopii aequaliter scinditur, ut si illa in LX distinguatur aequas 
partìculas, boc quoque in LX scindatur pariles sectiones. Quod si latns trìan- 
guH huius in duplas numero aequaUbus partibus regulae distinctum fuerit, 
illas semper posse suocere per simplicem ipsius trianguli ingressom ad omn^ 
regiones, quare si regulae longitudo, quae ex umbUico usque ad circumferen- 
tiam sapheae semidiametro par fuerit, in LX distinguuntur particulas, quod- 
libet laterum trigoni proportionalis in CXX sectiones est partiendum, et pari 
modo de ceteris regulae seetionibus. 

Si quem autem duplicis introitus non taederet, is posset trigoni latera 

420^ siagula in pauciojres etiam quam CXX secare. Denique in praesenti negotio 
primus numerus LX nunquam supergreditur, secundus primo semper erit minor, 
tertius est ambiguus, etenim Ì3 primo quandoque minor habetur, aliquando 
par, nonnunquam vero maior, nunquam tamen CXX exsuperabit. | 



a) Ha. hat eie korr. aua etW. 



J 



IOANNIS VERNERI NORIMBERGENSIS ^^i 

DE METEOROSCOPnS. 

LIBER QUARTUS. 
Secundi Meteoroscopii coastructio. 

Propositio prima. 

Magnus super sphaera circulus per polos minoris ìngrediens 
secat eum ad rectos angalos, hornm quoque sectio communis erit 
diameter minoris circuii, quam azis eiusdem separat in centro per 
aeqna. 

Sit in sphaera AB CD minor circulus AG \ de- /f \ \^ ^^^ 

signatus, per cuius polos B eiD magnus ingrediatur 
circulus ABGBy duoque circuii AB CD et AC se- 
centur a se invicem super recta AC Dico eos sibi vi- ^{ 
cìssim ad rectos insistere angulos, atque rectam AC 
diametrum esse minoris circuii AC] ducto deinde BD 
axi circuii AC, et esto centrum eius nota E. Dico 
axim BD diametrum circuii ^ in centro E per aequa 
distinguere. ^*^- ^^• 

Haec universa per Theodosii librum primum de sphaericis sunt perspicua, 
qui eorum cupiat ostension^m, inde flagitet. 

Propositio seeunda. 

Propositi circuii dato arcui, qui semicirculo minor extiterit, 
sinum rectum subtendere. 

DE METEOROSCOPIia 

VDBRTES BUCH. 
Eonstrnktioii des zweiten Meteoroskops. 

1. Proposition. 

Eìn gròBter Kreis auf einer Kugel, der durch die Fole eines 
beliebigen Ereises geht, schneidet diesen rechtwinklig und die 
Schnittlinie ist der Durcbmesser dieses Kreises und wird durch 
die Achse halbiert (Pig. 69). 

Zum Beweis vgl. Theodosius lib. I de sphaericis. 




204 Liber qnartas. 

Rectus sinns est dìmìdia corda dupli arcus. 
422' Sit ergo propositus circulus ABCD^ cujius centrum E^ in quo detur 

arcus AB semicirculo minor. Nam duplo maioris chorda protrahere non est 
per definitionem sìnus, cum totus circulus in duos tantum semicirculos ad 
summum separari valeat, qiiibus ex circuii perìpheria sublatis nihil erit reliquum. 
Huic ergo AB arcui intentio sit in sinum rectum subtendere. 

Sumamus igitur arcum^D -p^rem AB arcui, protractaque linea recta^D 
erit ipsa per definitionem corda totius arcus BAD, Diametrus deinde AEC 
producatur separans cordam BD super puncto F, 

Dico BF rectam sinum esse rectum arcus dati ABy quod ita demonstra- 
bitur. Protractis duabus lineis rectis BC et CD^ quae sunt sibi vicissim pares, 
nam cordae sunt duorum arcuum BC et CI), qui per praesentem suppositio' 
nem sunt pares, ergo per XXIX tertii elementorum duae cbordae BC et CD 
422^ sunt aequales; postea duo anguli | BCF et DCF aequantur, cum ipsi super 
aequos arcus AB et AD consistant per XXVII tertii eUmeniorum EucUdis-y 
ergo per IIII primi eorundem duorum triangulorum B CF et D CF duo latera 
^2^ et FD erunt aequalia propter commune latus CF utrique triangulo. 

Cum autem arcus BAD duplus ex suppositione fuerit arcui AB^ cuius 
chorda BCD^ et huius dimidium, velut ostensum fuit, est Linea BF^ constabit 
ergo propositi circuii dato arcui, qui semicirculo minor extiterit, sinum rectum 
subtendisse, quod oportuit ostendere. Quod si BD chorda secuerit diametnun 
AEC super E centro, tunc per definitionem circuii BD chorda in centro E 
per aequa secabitur; quare per definitionem sinus recte propositum erit effectum. 



Propositlo tertift. 

423*' Ex proposita recta portionem aequalem sinui recto propositi 

similis arcus quadrante minoris in eo circulo, cuius ipsa fuerit 
semidiameter, resecare. 

Sit data linea recta AE^ et super eius altera extrema nota E iuxta inter- 
vallum A E designemus AB CD circulum, cuius ABC arcus quadrans esto, 
sitque arcus B C proposito similis et eius residuo AB par accipiatur arcus AD, 
protractaque corda BD, quae rectam A E secet super G signo, dico portionem 
EG lineae rectae A GÈ aequalem esse sinui recto arcus BC^ quod ita per- 
spicuum erit; protracta inprimis EC semidiametro, et per praecedentem arcui 
B C sinus rectus BF subtendatur, qui necessario terminabitur in signo F super 
CF semidiametro. Cum autem ex praesenti subiectione arcus ABC quadrans 



2. Proposition. 

Eonstruktion des sinus rectus eines Win- 
kels (Fig. 70). 

„Der sinus rectus ist die halbe Sehne des doppel- 
ten Bogens." 

Zum Beweise zieht man B C und DC. Dann ist ^ C 
= I>(7 als Sehnen gleicher B6gen, '^BCF^^DCF 

(Eucl. III. 2 7) (Peripheriewinkel), al&oBF^FD (EucL 

Fig. 70. I. 4, ahnliche Dreiecke), d. h. die 8ehne wird halbiert 




Libar quartus. 



205 



sii, erit angulus AEC rectus, et per modum | demonstrandì praemissam, qui- 423^ 
lìbet quatuor angulorum circa G punctum rectus; pari modo probabitur angu- 
lus BFE rectus. Igitur per XXYIII primi elementorum quadrangulum BGFE 
aequedistantium erit laterum, ergo per XXXIIII primi eorundem BF sinus 
rectus ipsius arcus BC par est EG portioni lineae rectae AE] igitur ex 
proposita recta portìonem aequalem sinui recto et cetera; quod erat demon- 
strandum. 



Propositio quarta. 

Quod praecedens proponit per subscriptam numeralem tabu- 
lam aliter efficere. 

In hac tabula omnium arcuum, qui ab gradu uno inchoantes in LXXXX 
fmiunt sinus recti describuntur in sezagesimis totius, qui quadranti circuii 
subtenditur. 

Quod si ex data recta linea sinum rectum iubeamur | resecare, ipsam in 424' 
aequas 60 partes separabimus atque deinceps non erit difficile intentum praestare. 

Nam cum arcu proposito ad praemissam tabulam ingressi in linea gra- 
duimi e regione comperimus partes sezagesimas atque minuta earum, quibus 
ez data linea pridem desectis intentio liquebit. 

Ut quando velimus ex proposita recta, quae sit AB prò gradibus XXII 
sinum rectimi abscindere, igitur tabulam ascendens e regione grad. XXLL in- 
Tenio partes XXII minu. secunda. 

His numeratis super datam rectam in particulas 60 aequas divisam com- 
putus talis ab signo A versus B deductus terminetur super C nota; erit igitur 
AG portio sinus rectus, qui quaerebatur. 

Eiusdem^) autem tabulae compositio facilis habebitur ex tabula sinuum, 
quae maximum in partibus 60000 subicit, eam autem hac potissimum ratione 
condidimus, quod in organis ad usum nostrum | accomodis nulla linea recta 424^ 
nisi admodum magna ^) in totidem partes secari poterit, cum autem recta talis 
nulla penitus in instrumentis inveniatur, cuius magnitudo 60000 particulis 
suSiceret, coactus fui sinus huiuscemodi in minores reducere numeros, eis pene 
proportionales, hoc yidelicet pacto. Nam 60000 ad 1000 in ea sunt habitu- 
dine, qua 60 ad unitatem, ergo, quotiens in eadem tabula prò sinu quopiam 



a) Ha. hat Eniusdem statt Eittsdem, 

b) Yor TMigna hat Hs. das Wort vel gestrichen. 



3. Proposition. 

Konstruktion des sin eines gegebenen Bo- 
gens<90® auf demHalbmesser des zugehdrigen 
Kreises (Pig. 71). 

Der Bogen sei CBy dann ist 6rJ^ der gesuchte 
sinus. 

Zum Beweise wird gezeigt, daB GÈ '^ BF ist 
(EucLI, 28 u. 32, BFEG ist ein Rechteck). 



^. 




F 


y 






^ 


G 





lig. 71. 



206 Liber quartas. 

scriptos reperi 1000 numeros*), tot scripsi sexagesimas partes maximi seu in- 
tegri sinus. At quotiens 100, totiens addidi minu. 6. 

Ex hac enim suppositione 1000 numeri competunt uni sexagesimae parti 
sinus integri, 100 autem pars sunt decima ex 1000. Atqui intentio est unam 
sexagesimam totius sinus rursus in minut. 60 dividere atque minutiam in se- 

426' cunda 60 ac ita deinceps. Ideo prò qui , buslibet^) centenariis senas adied 
minutias, ut videlicet prò centum 6, prò ducentis duodecim, prò trecentÌB decem 
et octo minutias, parique ratione de reliquis agendo centenariis. Sex enim nu- 
meri de 60 pars sunt decima, quemadmodum 100 de 1000, velut in subscrìpts 
patet tabula. Pro singulis autem 10 numeris adieci secunda sena tricena, quo 
fit, ut prò denariis duobus numeraverim minutiam I, secunda Xn^), prò tribus 
minutiam unam secunda 48, et ita pari ratione usque ad 100, velut ex se* 
quanti liquebit tabula. 

Denique manifestum nunc est, decem unitatibus 60000 partium integri 
sinus de eios sexagesimis competere. Secunda igitur iuxta decuplae proportìo- 
nis exigentiam singulae unitates deposcunt secunda 3 et tertia 36. Quapropter 
unitatibus duabus secunda 7 et tertia XII*') respondebunt, tribus vero secunda 

426^ 10 tertia 48, imitatibus autem quatuor | secunda 14 tertia 24, velut ex sub- 
scripta tabula perspicuum erit. 

Fropositio quinta. 

Meteoroscopium secandum designare. 

Sumendus est itaque quadrans ex circulo AB super centro C descripto, 
qui sìt quadrans ABC^ et protractis ex C duabus semidiametris AC et BC 
circumferentia AB quadrantis ABC in aequas LXXXX partes dividatur. 
Deinde per secundam singulorum LXXXX arcuum quadrantis AB dh gradu 
imo incipientium per unitatis differentiam naturali serie ^) crescentium singuli 
protrahantur sinus, ita videlicet, ut horum arcuum sumator initium ab A nota 
426' progrediendo in B signum, | eritque protractorum sinuum maximus BC^ qui 



a) Hs. bat 1000 aus 10000 korr. b) Hs. hat quibutìtbet korr. ans gu/ìbusdem, 
e) XII feblt in der Hs. d) He. hat seriae. 



4. Froposition. 

Benutzung der Sinustafeln zur Konstruktion des sinus auf der 
in 60 Teile geteilten Geraden. 

Da in der (nicht mitgeteilten) Tabelle der sin 90®= 60000 gesetst ist, 
so ist zu setzen: 60000 proportional der Lftnge der ganzen Strecke, 1000 
proportional 1 Teil der Strecke. Die Teile werden in 60 Minuten, diese in 60 
Sekunden und diese in 60 Tertien geteilt, also ist 100 proportional 6 min., 
200 proportional 12 min. nsf., 10 proportional 36 sec, 20 proportional 1 min. 
12 sec, 30 proportional 1 min. 48 sec. usf., endlich 1 proportional 3 sec. 36 
ter., 2 proportional 7 sec. 12 ter., 3 proportional 10 sec. 14 ter, 4 propor- 
tional 14 sec. 24 ter. 



Liber qnartus. 



207 



subtendit peripherìam AB, Hi denique sinus necessario terminabuntur ad qua- 
drantds latus AC per m tertii dementorum et defìnitionem sinus. 

Postea extra circumferentiam AB alia super centro C circumgiretur AB 
priori calami latitudine distans prò gradibus signandis, extra quem postremo 
tertia designetur circumferentia de secunda latiori spatio recedens prò partium 
numeris scribendis, velut in designatone primi meteoroscopii est admonitum, 
positaque regula secundum partem unam super centrum C ex alia parte supra 
singulas divisiones peripheriae AB parvulae protrahantur lineae intra peri- 
pheriam ^^ et proximam desinentes, sed de quinque in quinque puncta usque 
ad extimum circulum, denique numeri notentur a B usque in A punctum scri- 
bendo in primis quinque, deinde decem posthaec | quindecim, ac sic deinceps ^^^' 
usque ad nonaginta, quae prope A signum describantur. 



Propositio sexta. 

Regulam prò meteoroscopio secundo fabricare. 

Igitur super plano in aliqua solidaque constanti materia rectam protra- 
bamus lineam DE aequalem alteri quadrantis laterum AC aut BC eamque 
per tertiam aut quartam ita secemus, ut omnium arcuum ab gradu uno in- 
choantium ac deinde naturali serie gradus unius auctu usque in LXXXY cres- 
centium rectos sinus contineat, smnendo ex ea inprimis DFy sinum gradus 
unius, deinde DQ^ sinum graduum duorum, et ita de reliquis sinibus, ita, ut 
DE tota nonagesimus existat sinus ipsius quadrantis. 

Posthaec buiuscemodi regulae DE sectionibus nu|meri adscribantur ex ^^'^' 
D in E punctum, ut, ubi quinque finiant, quinque, ubi decem, 10, ubi 15 
segmenta, 15 numeri, et ita deinceps, ut iuxta signiun E LXXXX adnotentur. 

His sic inscriptis circum notam D latitudine unius culmi ex materia, in 
cuius plano recta DE protracta fuit, modicum relinquatur spatiolum, univer- 
sum reliquum, quidquid extra DE rectam etiam designatos numeros reliquum 
est, abscindatur, factoque parvo foramine terete in D puncto ipsa regula in eo 
cum davo notando, cuius spissitudo foraminis conca vitatem onmi ex parte 
aequaliter attingat, super C signum quadrantis ABC fìgatur, ita, ut ea fa- 
cillime circumagi valeat-, secundum itaque meteoroscopium erit completum. 



5. Propositìon. 

Konstruktion des zweiten Meteoroskops (Pig. 72) 

Die Konstruktion ist aus der Figur ersicbtlicb; 
die Basis ist nach sin geteilt. 

6. Proposition. 

Konstruktion des Lineals ftlr das zweite 
Meteoroskop. 

Das Lineai wird ebenso wie die Basis nach sin 
geteilt und im Mittelpunkt des Meteoroskops drehbar 
befestigt. Aufierdem erbalt das Lineai nocb eine zweite 
Teilnng in 60 gleiche Teile. 




mg. 7S. 



208 Liber quartuB. 

Eius demum utilitas communio est cum primo, quotiens problemata tertii 
427^ libri solis de|terminantur aequedistantibus. Singuli denique sinus quadrantìs 
ABC sìngulorum semidiametros aequant circulorum parallelorum, qui super 
sphaera, cuius maximus orbis aeqoalis foret ciroulo quadrantis ABG^ Telut 
iidem paralleli in sphaera aliqua eorum supra A polo descripti fuissent, itaque 
A C dimidius axis haberetur, et quilibet sinus semidiameter correspondentis 
sibi paralleli, yelut ex prima liqnet. 

At ut idem meteoroscopium omni conveniat problemati sphaerico siderali- 
que eidem regulae talis adicienda est partitio. Duae quaedam rectae lineae 
calami dimidii latitudine ab sese recedentes de reota linea atque sibi in^i- 
cem paralleli protrahantur, atque ex DE punctis agantur perpendìculares duae 
secantes tractas lineas rectas earundemque linearum portiones intra easdem 
perpendiculares deprehensae in 60 aequas particulas dividantur protractisque 
rectis lineis parvulis et paralleHs ad scalae similitudinem earum numeruB, ut 
428' antea dictum est, | adscribatur progrediendo ex D in ^, et completa est ipsa 
regula, cuius forma tibi subicietur. Sitque partitio buiusmodi scala secunda. 



IOANNIS VERNERI NORIMBERGENSIS 

DE METEOEOSCOPnS. 

LIBER QUmTUS. 
Tertii Meteoroscopii constructio. 

Fropositio prima. 

Sectionis diametri, apud quam arcuum aequis differentiis sese 
superantium sinus terminantur, quo circuii centro magis appro- 
pinquant, eo sunt remotìoribus maiores. 

Sit circulus AB CD, cuius diameter AF, et ipsius arcua AB sinum prò- 
trahamus BL secantem | diametrum A Fin puncto Z, quam ex definitione sinus 428"" 
et praesenti subiectione atque per tertiam tertii dementorum Eucidis ad angu- 
los secabit rectos, separemus praeterea ex eodem semicirculo ABCDEF ar- 
cum ABC, cuius sinus CM protractus per easdem perpendicularìter insistit 
super diametrum AF super M signo, et protracta diametro EOG secante dia- 
metrum AF super centro ad angulos rectos, sitque arcus DE par BG ar- 
cui, sinusque DM subtendens arcum AB CD secet diametrum AF super N" 
nota. Dico NO particulam diametri AOF esse maiorem LM, quod patebit 
producto CM sinu recto, quousque circumferentiae circuii AB CD occurrat, 
obviet in signo H, protractis deinde BH et DG rectis duae perpendiculares 
deducantur, BJ quidem super CM sinum et Df super sinum EO, 

Atqui per XX VII tertii eorundem ehmentorum angulus DGK par est 
angulo BHJj et angulus DKG ex subiectione par angulo | BJH] uterque 4^9" 
enim rectns est; igitur per quartam sexti eorundem elementorum proportio 
DG^ ad i)jr erit sicut BH &à BJ. Ergo permutatim DG ha BHsìcmì DK 
ad BJ. Sed DG maior est ipsa BH ex communi sententia dictante eiusdem 
circuii arcuum maiorem longiori corda subtendi, igitur per XIIU quinti de- 

DE METEOEOSCOPIIS. 
FCNFTES buch. 

Konstraktion des dxìtten Meteoroskops. 

1. Froposition. 

Bestimmt man die zwischen den sin zweier Winkel (deren 
Differenz konstant ist) liegenden Abschnitte auf der Basis, so sind 
diese um so grOfìer, je gr5Ber die Winkel sind, d. h. cosa— -cos^ 
wàchst mit wachsenden Winkeln, wenn a — j3 « const. (Fig. 73). 

Abh. s. Oesch. d. mftth Wiis. XXIV 9. 14 



210 



Liber qaìntns. 



429' 



menforum Euclidis DK recta ezsuperat BJ^ at per XXXIHI primi eonindem 
DK par est ON et BJ aequalis ipsi LM, Ergo sectiones diametri, apud 
quam arcuum aequis differentiis sese superantium, ut supra, quod decuit 
estendere. 

Unde etiam liquet eam diametri AF particulam, qua cuius alterum ex- 
tremum circuii centrum fuerit qualibet, remotiorum fore longiorem. 

Manifestum denique fit, quod trium arcuum, quorum quilibet quadrante 
minor existat, si secundi ad primum excessus par extiterit, differentìae tertii 
ad secundum primusque fuerit minimus, | et tertius eorum maximus, differen* 
tiam sinus secundi arcus super primi sinum esse maiorem excessu sinus maxi- 
mi arcus tertii supra sinum secundi. 



Propositio secnnda. 

Similium arcuum recti sinus eam possident babitudinis ratio- 
nem, quam diametri circulorum, in quibus sìmiles sumpti sunt 
arcus, eodem si conferantur ordine. 

In duobus circulis BC et FG duo similes sumantur arcus, in hoc quidem 
BC^ in ilio autem FG^ et ex centro A circuii BC rectae duae trahantur AB 
et AC, et ex puncto B super -4. (7 recta perpendicularis BD submittatur. Pari 
modo ex centro E circuii 2^ 6r ad eius circumferentiam rectae duae descendant 
EF et EG atque a signo F perpendicularis FH super EG rectam produca- 
430' tur. Erit itajque per defìnitionem ipsius sinus intercedente tertia tertii élemen- 
forum Euclidis recta BD sinus ipsius arcus BC et FH sinus ad arcum FG, 
Dico igitur, proportionem BD sinus ad FH sinum esse sicut diametrum dr* 
culi BC Q,à diametrum circuii FG, quod ita perspicuum erit. Nam per de- 
fìnitionem similium arcuum angulus BAD trianguli ABD aequalis est 
angulo FEG trianguli FEH, et angulus BDA par angulo EHF^ ut^rque 
enim rectus; igitur per XXXII primi élemeniorum Euclidis triangulus ABD 
aequiangulus triangulo EFH. Ergo per quartam sexti eorundem proportio 
sinus BD ad sinum FH erit sicut semidiameter AB circuii ^C ad semidia- 



In Fig. 73 sei BC^DE, BL 
CM\DN\EO±AF, BJ±CH, DK 
±EG, BB^jmìst^DGK^^BHJ 
(EucL, in, 27), ^DKG^^BJS 
— JR (nach Konstr.), also DGiDK-^ 
BHiBJ (Euol., VI, 4, ahnUche Drei- 
ecke) oder DGiBH^ DK : BJ. Nun 
ìst DG>BH, also auch (Eucl. V, 14) 
DK > BJ und, da DK « ON una 
BJ^ LM (Eucl. I, 34, Eeclitecke) OK 
>LM, 

Sind drei Winkel a, p, y (a àer 
kleinste und y der gr5Bte) gegeben, und 
ist /3 — a — y — |S, 80 ist sin /3 — sin or 
> sin y — sin /?. 







Liber qnintas. 211 

metmm EF circuii FG. Ergo per XV quinti dementorum^ sicut totins diametri 
circuii BC 2.0, totum diametrum circuii FG^ quod est propositum. | 

Propositlo tertia. 430' 

Si propositi sinus diametris suorum circulorum fuerint pro- 
portionales, ipsi simìles arcus subtendunt. 

Haec praecedentis est conversa ipsiusque manente figuratione. Dico, si 
fuerit sinus J^D ad sinum FH sicut diameter circuii BC Vià diametrum cir- 
cuii FG, erit arcus BC similis arcui JP6r; erit itaque ex hypothesi et communi 
scientia, si ab aequalibus proportionibus pares auferas, relinquentur aequales, 
proportio AB semidiametri 2ABD sinum sicut EF semidiametri ad FH sinum. 

Atqui angulus ADB par est EHF, uterque enim ex hypothesi rectus, 
igitur per VII sexti elementorum angulus BAC aequalis est angnlo FEG, 481' 
Ergo per definitionem similium arcuum BC arcus similis est FG. Ergo, si 
propositi sinus diametris suorum circulorum fuerint proportionales, ipsi simi- 
les arcus subtendunt; quod est ostendendum. 

Propositlo quarta. 

Magnis duobus in sphaerica superficie circulis ad se invicem 
inclinatis, si circumferentiae unius eorum recta quaedam in uno 
sui extremo cohaerens ita ipsius peripheriam giret, ut ipsi ex re- 
liquo sui termino indefinita ad alterius superficiem circuii con- 
tinue perpendiculariter insistat, necesse fiet ab ea in huius plano, 
supra quod erigitur, curyam de|signari lineam, quae circularis 4S1^ 
non fit, quam etiam communis datorum sectio circulorum per aequa 
inscindat. 

Sint super data sphaera circuii duo ABCG et AHC ad se vicissim in- 
clinati. In circulo ABCG linea recta BD cohaerens in puncto B^) et ex 

a) B fehlt in der Ha. 



2. Proposition. 

Die in zwei verschiedenen Kreisen konstruierten sin eines 
Winkels yerhalten sich wie die lìurchmesser beider Kreise. 

Dies folgt immittelbar aus der Ahnlichkeit der Dreiecke. 

3. Proposition. 

Sind die an zwei Kreisen gemessenen sin den Durchmessern 
proportional, so geh5ren sie zu gleichen Winkeln („ahnlichen 
B6gen"). 

Umkehrung von Proposition 3. 

4. Proposition. 

Sind zwei grdfite Kreise einer Kugel gegeneinander geneigt, 
und bewegt sich eine durch die Peripherie des ersten Kreises 

14» 



212 



Liber quintus. 



parte D indefioita ita in circulo ABCG- revolvatur, ut super circuii AHC 
planum in sui circnitione perpendicularis esse nunquam desinat, donec io 
perìpherìa circuii ABCG- punctum B revolutionem compleat, ad idem circoli 
eiusdem signum, unde ipsa mover! coeperat. 

Esto igitur, ut recta BD super plano circuii AHC designaverit curvam 
lineam ADGF, Eam dico non esse circularem et diametro AC^ quae commu- 

*32' nis est sectio duorum | circulorum AHC et ABCG per aequa secari. 
Primum ita perspicuum fìet^). 

Sit centrum sphaerae subìectae punctus E^ atque in circulo AHC per 
centrum E recta DEF trahatur ad diaraetrum AC perpendicularis secans 
curvam ADCF bine super D signo, illic vero in F nota, et ex D et J'puiic- 
tis duae perpendiculares ad planum AHC in diversas partes edacantur, donec 
circumferentiae ABCG in notis B et G occurrant, ex priori namque supposito 
eas occurrere necesse est, protractisque duabus BE, GÈ probabo in primis 
rectam DEF in puncto E per aequa divisam esse; nam per XYIU undecimi 
denientorum Eiiclidis duorum triangulorum BEH et FEG uterque ad pla- 
num circuii HA C erigitur, cum autem diameter AC ex b jpothesi sit perpea- 

432^' dicularìs ad communes sectiones duarum superficierum duorum trìangulorom 
EFG et BDE cum plano circuii AHC, consequens est per definitionem per- 
pendicularis diametrum AEC a.d duas rectas BE et GÈ fore perpendicularem, 
quare per definitionem duorum circulorum a Theodosio libro primo de 
sphaeris traditam^ si ve per definitionem plani super planum inclinati ab Eu- 
clide libro XI elementorum positam angulus BED par erit angulo FEG'^ 
uterque enim per definitionem eandem quantitas est inclinationìs duorum cir- 
culorum ABCG et AHC. At ex subiectione angulus BDE par habetor 
angulo EFG\ nam uterque rectus subicitur; recta vero BE par est EGr. 
Igitur per XXVI primi éiementoì-um trìangulus BED triangulo EFG aequi- 

43»"^ laterus probatur. Ergo recta D^par est | EF. Atqui duae rectae DFetAC 
intra peripheriam curvae AB CD terminatae super JEJ puncto per aequa vicis- 
sim secantur, ergo per conversam quartae tertii elementorum Euclidis ne- 
cessario comitabitur, si ^ ^ CF linea curva fuerit circularis, ut nota E sit 
eius centrum. At duarum rectarum DE et EF utraque longe minor est A E 

a) Hb. hat fiet korr. auB erit 




Fig. 74. 



gebende Gerade so, daB sie stets anf 
dem zweiten Kreise senkrecbt steht, so 
scbneidet sie aus diesein eine Eurve 
aus, die kein Kreis ist, und durcb die 
Scbnittlinie beiderKreise halbiert wird 
(Fig. 74, ElUpse). 

Zunacbst wird die Kongmenz der Drei- 
ecke BED und G^jEJi^ bewiesen, hieraus folgt: 
FE-^ED, femer DE<EA, also kann die 
Kurve kein Kreis sein. 

Dann wird, wieder aus der Gleicbbeit dei 
einzelnen Stùcke, gezeigt, dafi AC die Eurve 
balbiert. 



Liber quintus. 



213 



aut eìus aequali ECj quare per definitìonem circuii consequens est lineam 
ABCF non esse circnlarem. Qnod autem DE Tel eius aequalis EF recta 
minor sii AE^ par est BE^ quae per penultimam primi elementorum Euclidis 
potentior est recta D^ in quadrato JBD, igitor per communem scientiam BE 
maior habebitur DE recta, ergo A E linea vel eius aequalis EC superabit 
rectam DE^ igitur et rectam EF, quod inprimis oportuit ostendere. 

Deinde praemissum est curvam ABCF a diametro ^C per aequa secari, 
quod ita li|quebit Subiecta nota E super diametro AC alibi, quam in datae ^^^^ 
sphaerae centro, et manente huius schematis eadem figuratione, eisdem etiam 
suppositionibus recta DE semper eodem modo probabitur aequalis FÉ. Quare 
AF portio in curva ADCF aequalis erit portioni AD. 

Nam anguli super eas consistentes circa punctum E recti sunt, et duae 
lineae A E et DE comprehendentes portionem AD aequales sunt duabus lineis 
A E et EF concludentibus portionem AF; pari ratione DE et (71^ portiones 
probantur aequales. Ergo ADC par erit AFC portioni per communem sci- 
entiam: „magnitudines sunt aequales, quae ex aequalibus consistunt partibus'^ 

Idem aliter ita constabit: Nam per XXIII primi dementorum Euclidis 
DE et EG rectae sunt linea una et per secundam partem tertiae tertii eorun- 
dem in E puncto per aequajlia divisa, cum ex prius ostensis super eam AC 484' 
recta perpendiculariter incidat; igitur arcus AB probabitur aequalis arcui AG, 
Ergo portio AF curvae lineae ADCG par erit AD'^ nam earum utraque per 
aequalem arcum circuU ABCG pari modo describitur, eadem denique ratione 
DC portio aequabitur CF. Igitur ADC aequabitur AFC portioni. Nam utra- 
que semicirculi peripherìa pariformique ratione creàtur. Ergo communis duo- 
rmn cifculorutn ACG et AHC sectio AG secat curvam lineam ADCF per 
aequa, quod secundo decuit ostendere. 

Propositio quinta. 

Si in subiecti circuii plano curva talis iuxta praemissam fuerit 
designata, et ab eiusdem ac circularis | peripberiae communi dia- 434^ 
metro quotlibet perpendiculares in eandem partem usque ad cir- 
cuii circumferentiam educantur, ipsas omnes curva linea propor- 
tionaliter secabit. 



5. Proposltioii. 

Die zwischen dem grofien Halbmesser 
und der Peripherie einer Ellipse gelege- 
nen Abschnitte einer Senkrecbten zum 
Halbmesser verbalten sich wie die zu- 
gehòrigen Abschnitte (halben Sehnen) 
zwischen Durchmesser und Peripherie 
des der Ellipse umschriebenen Kreises 
(Fig. 75). 

Zum Beweis wird auf einer Kugel gezeich- 
net (Fig. 76): Der Kreis ANOB (der umschr. 
Kreis), der Kreis ACDB, dessen Projektion auf 




Fig. 76. 



214 



Liber qaintas. 



Sit ergo circulus ANOB, cuius diameter AB, et in eius plano iuxta 
praemissam curva linea AJKB lineetur. Deinde super diametro AB signa 
duo sumantur L et itf, ex quibus in eandem partem usque ad circumferentiam 
circuii ANOB duae perpendiculares egrediantur LJN et MKO secantes 
curvam AJKB in punctis t/"') et JT, peripheriae autem ANOB incidentes 
super ^ et notis. Dico portionem perpendicularis LJN ad suam particulam 
436' LJ I fore, sicut MKO perpendicnlarem ad suam portionem KM^ quod sic exit 
manifestum. 

Nam circulum ANOB tamquam magnum super aliqua sphaera designa- 
tom intelligentes in eadem describemus circulum quoque magnum AEFB ad 
planum circuii ANOB erectum, deinde alium magnum ACBBy qui circulo 
ANOB talis sit inclinatus, sub quo curva AJKB fuerit procreata, et saper 
B polo secundum arcum BN designabimus circulum NOE secantem circulum 
AC DB super C, circulum vero AEFB super E notam. Iterum super eodem 
B polo iuxta intervallum BO arcus alius designetur, circulus ODE secans 
circulum AG DB in D, circulum vero AEFB in Ignota, protractisque lineis 
quatuor DK^ FM^ CJ et EL duae perpendiculares etiam prodncantur, CG 
quidem super | E^ i, DH vero super JP, Jf, erit perpendicularis autem CG 
aequalis LJ rectae. Nam per primum librum theodosii de sphaerids uterque 
duorum circulorum ODE et KCE erectus est ad circulum ANOB per XIX 
undecimi dementorum et subiectionem praemissam, duae rectae EL et FM erì- 
guntur ad planum circuii ANOB. At per definitionem creationis curvae 
AJKB duae rectae CJ et DK &à eiusdem quoque circuii planum eriguntur, 
ergo per VI eiusdem undecimi duae lineae EL et CJ sunt parallelae, per 
eandem quoque D^* et FM aequedistant. Sic quoque per eandem CG et LJ 
sunt parallelae. Ergo per XXXTTTT primi eorundem CG par est i»/" et Dii^ 
ipsi KM rectae coaequalis. Atqui per secundum librum Tkeodosii de sphae- 



436 



a) J fehlt in der Hs. 




ANOB die Ellipse AJKB ist, 
der Kreis AEFB ± ANOB, 
ferner die Kreise NOE und MDF. 
Daon ist K die Projektion von 
i), J von C, L von E und M 
von F. 

Man zieht diese vier Verbin- 
dungslinien, ferner DHJ^MF 
und CG JL LE. 

Dann wird bewiesen, daB 
CJ\EL und DK\\FM ist Da 
ferner CG || LJ ist, so folgt CG 
— LJ und DH^KM. Nunjst 

D JET = sin I)> und (7ff - sin ci:, 

DF und CE sind ahnliche Bogen, 
die zu den Halbmessem MKO 
bzw. LJN gehSren, also folgt 
LJi MK = LJN\ MKO. 



ì 



Liber quintoB. 



215 



ticis arcns CE circoli ECN similis est arcui DF \ circuii FBD, et per pri- 
mam libri tertii atque praesentes subiectiones linea recta LJN semidiameter 
«st circuii ECN atque recta MNO semidiameter circuii FBO et BH recta 
sinus est arcus DF et linea recta CG sinus est arcus CE, Igitur per secun- 
dum huins intercedente XY quinti demerUoìnm Euclidis proportio sinus CG 
ad sinum J)H erit sicut*) semidiametri X «7*^ circuii ECNtid semidiametrum 
MNO circuii FDO, quare per iam ostensa proportio LJ&à MK est sicut 
semidiametri LJN circuii ECN ad semidiametrum MKO circuii FDO\ igi- 
tur, si in subiecti circuii plano curva talis iuxta praemissam fuerit designata 
ac ab eiusdem et circularis peripheriae communi diametro; quod oportuit 
ostendere. | 

Fropositio sexta. 486* 

Lineis rectis quotlibet propositis totidem pares ad instar ali- 
cnius in partes divisae partire. 

Quod propositio XII sexti élementorum Eudidis de sìngulis, id ego de 
quotlibet lineis rectis demonstrare intendo. 

Sit ergo AB recta per E et D puncta trifariam divisa, atque in similes 
partes animus est secare duas rectas B et S. Igitur rectae AB super B signo 
angulariter lungo, velut sors tulerit^ rectam BC et protracta linea AC con- 
cludo triangulum ABC atque ex C nota per XXXI | primi élementorum Eu- 487' 
didis erigo CG rectam lineam rectae AB aequidistantem et ex parte G in- 
definitam, deinde officio circini en CG recta seco CF lineam, quae sit aequa- 
lis S^ ex eadem quoque CG separo CG^ quae rectae B sit aequalis, protracta 
deinde B C recta ex parte B in continuum et rectum, quousque libeat, in no- 
tam J^ sic, ut tota sit CBJ^ posthaec per eandem XXXI primi élementorum 

a) Hs. hat sicut korr. aus sinus. 



6. Proposition. 

Gegebene Strecken ebenso zn teilen wie cine gegebene ge- 
teilte Strecke (Fig. 77). 

Die gegebene geteilte Strecke sei AB^ die Teilstriche E und Z); die za 
teilenden Strecken seien S und B. T 

Man tràgt an der willkUrlich gè- 
vrShlten Spitze des Dreiecks ABC 
parallel zm AB die Strecken CF = S 
und CG=^B an, ebenso in einem be- 
liebigen Punkt J der verlftngerten Ge- 
raden CBJ die Strecken JK^ S und 
JL — i?; dann zieht man KF und 
L ff, die die Verlangerung von AC in. 
M und T schneiden. Dann zieht man 
JlfiVund TO parallel znAB.àieJC 
in N und schneiden; dann ist MN 
= S und OT =^ B^ was leicht zu he- Hg. 77 




^16 Liber qaintas. 

lìneae AB aeqnedìstans JKL recta ducatur, ex qua deniqne officio circuii 
linea JKL^ quae sii aequalis R rectae abscindatur. Ac deinde eidem reseco 
rectam JJT, quae sit S lineae compar. Aliae quoque duae FK et GL pro- 
ducantur, quantum FK secet AC ex parte A in longum protractam, si fuerit 

487^ opus, super signo Jf, eandem denique recta GL | scindat super Tnota. Post^ 
haec in linea CBJ ex puncto C*) etiam in continuum et longum protracta^ 
quantum satis erit, sumo CN aequalem FM rectae et CO, quae par sit GT. 
Protractis quoque MN et OT rectis ostendam OT parem esse B rectae et 
lineam ilf ^ aequalem rectae S, Nam duae rectae KL et CFG ex supposito 
aequedistant. Gumque CF par sit JK et JL aequalis CG, consequens erit 
ex XXXin primi elementortim duas rectas FK et GL aequedistantes fere 
BCJ rectae, igitur per eandem TO par erit JKL rectae. Quare per commn- 
nem sententiam et praesentem subiectionem ipsa probatur aequalis esse R 
rectae. Non aliter concludemus MN rectam parem esse ipsi lineae S. 

438' Praeterea productis CE et CD rectis, qoarum CE dividat | OT in signo 

Q et MN super X nota, CD vero secet OT super P puncto, rectam autem 
MN super V. Dico, rectas duas, TOj quae probata est R aequalis et MN 
parem S rectae, ad instar AB separatas esse, quod de recta OPQT ita lique- 
bit. Nam ipsa rectae AB est parallela*) per XXXIU et XXX primi elemeniù' 
rum Eudidis, ideo per XXIX et XXXII triangulus BEC erit aequiangDlos 
triangulo COQ. Igitur per quartam sexti eorundem proportio BEad OQ erit 
sicut BC ad CO. Haud dissimilem quoque rationem probabimus esse inter 
BD et OP et inter AB et OT^ igitur permutatim arguendo proportio AB 
ad BE est, sicut OT ad OQ, et sicut BE fuerit ad BD, ita erit OQ ad OT, 
Ergo perspicuum est, rectam OT, quae R rectae par subicitur, ad instar AB 
rectae divisam esse. Idem etiam et eodem liquebit modo de recta ^Jlf aequali 
S rectae fieri in signis X et V. Denique per rationem penitus similem in- 
numeras alias rectas ad instar AB distinguemus. Ergo lineis rectis qnotlibet 
propositis totidem pares ad instar alicuius in partes divisae partivi, quod volui 
decere. 

Propositio septlma. 

Si duae lineae rectae intra circulum aliquem protractae fu- 
erint non sese intersecantes atque ex circumferentia circuii eius- 



a) Ha. hat J. b) Hs. hat pararélla. 



weisen. Zieht man nun ^Ound DO, so scbneiden diese 
MN bzw. TO in den Punkten Z und K bzw. Q und P, 
die die gesuchten Teilpunkte sind. Beweis aus der Àbn- 
licbkeit der Dreiecke. 

7. Proposition. 

Zwei sich nicht schneidende Sehnen eines 
Kreises, die aus der Peripberie gleiche Bogen 
ausscbneiden, sind parallel (Fig. 78). 

Fig. 78. Die gleichen Peripheriewinkel CAD und BCA 




I 

ì 



Liber quintus. 217 

dem duos pares arciis utrinmqueseparay6rint,ipsae suntparallelae 
sibi ìnvicem. | 

Sit circulus ABCD^ inter qnem rectae duae BC et AD productae de ^S9' 
eiusdem circoli peripheria abscindant arcus duos aequales AB et DC. Dico 
duas lineas AD et BC parallelas esse, qnod sic exit perspicumn. 

Protracta videHcet recta AC erunt enim per XXVI tertii elementorum 
coaltemi anguli duo ACB et CAD aequales. Ideo per XXVII primi elemen- 
forum Eudidis duae rectae AD et BC erunt parallelae. Igitur, si duae lineae 
rectae intra circulum aliquem protractae fuerint, non sese intersecantes etc; 
quod oportuit estendere. 

Propositio octaya. 

Si duarum rectarum utraque cum diametro duos pares ex 
peripberia | circuii resecet, ita, quod quatuor ili! arcus vicissim 439*^ 
fuerint aequales, ipsas pares esse oportet. 

Sit ergo circulus ABCD^ cuius diameter AD, et ex semicirculo AB CD 
duo sumantur arcua AB et CD aequales. Item ex reliquo semicirculo DEFA 
duo arcus DJEJ et FA pares, protractisque lineis rectis BC ei EF dico eas 
aequas esse; quod^) sic constat. 

Nam ex communi sententia, si ab aequalibus aequalia demas, quae re- 
linquuntur, paria sunt, duae rectae BC et EF aequos subtendunt arcus. Ideo 
per XXVIII tertii elemento} um duae rectae BC et EF sunt aequales. Ergo, 
si duarum rectarum utraque cum diametro etc; quod oportuit ostendere. 

Non aliter propositionem ostendemus, si duae hniusmodi lineae cum dua- 
bus diametris pares arcus ex subiecta peripberia reseceni | 

Propositio nona. 440' 

Intra eiusdem circuii peripberiam multis rectis lineis vicis- 
u- sim aequedistanter protractis, si aliqua recta per centrum veniens 
earum unam in aequa scindat, reliquas aequaliter dividere ne- 
cesse est. 

Esto circulus AB CD, intra cuius peripberiam aliquot lineae protraban- 
tur parallelae, AB, CG, DE, quarum AB per rectam HGJK per centrum 

a) Hs. hat quo. 



sind zugleicb Wechselwinkel an den Parallelen AD 
Tind BC. 

8. Proposition. 

Zwei Sebnen, die mit dem Durcbmesser 
gleicbeBogen aus der Peripberie ausscbneiden 
sind einander gleicb (Fig. 79). 

Es sei ii = l)^ « I)ì; — FjL Dann ist BC — 
180®—/^ — C7)=»J\È— 180®--ÌF---Ei). JBOund 
FÉ sind somit als Sebnen gleicber Bogen einander gleicb. Fig. 79. 




218 



Liber qaintus. 



440' 



G- venientem in paria diyidatur super ITsigno, productaque GHìn longum, donec 
secet etiam CF et DE rectas, hanc quidem in J nota, illam Taro super £, dico 
rectam FC super J et DE super K per aequa fois se divisam, quod ita patebit. 
Nam GH super AB perpendiculariter instat per III tertii demeniarum 
Eudidis, igitur per XXIX primi dementorum eorundem, sicut per definì- 
tionem perpendicularis angulus AHG rectus est, ita quoque duorum angulo- 
rum FJG et E KG uterque rectus est. Ergo per eandem tertiam tertii recta 
HGJK separat aequaliter utramque linearum FJC et EKD^ hanc quidem 
super «7*, illam vero super K nota. Idem quoque non aliter ostenderetur de 
pluribus parallelis. Ergo inter eiusdem circuii peripberiam multis rectis lineis 
vicissim aequedistanter protrac tis, si aliqua per centrum veniens earum unam 
in aequa scindat, etc. quod oportuit estendere. 



Propositio decima. 

Curvam lineam, qualem quarta buius procreare docet, trans* 
441' euntem | per extrema diametri subiecti circuii et per punctum inter 
ipsius peripberiam atque inter eandem diametrum assignatum 
yerisimiliter designare. 

Sit ergo subiectus circulus AEBF, cuius assignata diameter sit AB^ 
inter quam et circuii peripberiam datus sit punctus (7, per quem atque per 
diametri extrema ^ et ^ propositum esto describere modo quodam verìsimili 
curvam lineam, cuius creatio ex quarta buius traditur. Ergo per XII primi 
élementarum ex signo C perpendicularis CD producatur ad diametrum AB, 
quae utrimque continuata in longum secet peripberiam circuii AEBF in 
punctis duobus E et F^ sic, ut tota sit ECDF secans diametrum AB super 
D nota. Quae si fuerit centrum circuii AEBF, consequens erit, ut EDF 
4iV sit etiam diameter circuii | AEBF soìnd&as dimetientem AB er suppoflitìoiie 
super centro D ad angulos rectos. Ideoque circulus AEBF separabitur in 
quadrantes quatuor A E, EB, BF et AF, quorum quisque in quotlibet aequas 
numero et magnitudine dividatur particulas, quae quanto plures fuerint, tanto 
accuratius proposita baec curva linea design abitur. 

Deinde singula puncta semicirculi AEB cum singulis semicirculi AFB, 
quae in eandem partem paribus arcubus ej. E et F notis abeant lineis, velat 
si punctum G tanto arcu recedat ab E versus A, quanto punctus J ab F 




Fig. 80. 



9. Propositlon, 

Wird von den parallelen Sebnen eines Krei- 
ses cine von einemDurcbmesser balbiert,sower- 
den es alle ùbrigen (Fig. 80). 

Der Beweis ergibt sicb nacb EuJcL IH 3 daraus, daB 
^AHG - ^FJG = ^EKG^ 90^ ist. 

10. Propositioii. 

Konstruktion einer Ellipse (Fig. 81). 

Die grofie Acbse sei ADB, die kleine Acbse CBP. 
Macbt man GE^JF^ EK = FM, so sind GJ und 



i 



Liber qaintns. 



219 



usque eandem partem. Ideo ipsa continuanda sunt per QJ rectam, pari modo 
K et M signa aequalibus arcubus abeuntia versus B notam per KM rectam 
collìgentur. Huiusmodi autem lineae per septimam vicissim sani parallelae.*) 
Omnes quoque eas dimetiens ABD per aequa dividi t per IX, per octavam 
deuique quaelibet duae | cum diametro EF aequos arcus abscindentes ex peri- 442" 
pheria AE^ BF sibi sunt aequales, velut si arcus EG aequetur EK^ arcus- 
que JF arcui FM^ per eandem duae lineae rectae GJ et KM pares erunt. 

Harum parallelarum dimidia dua per VI secentur, quemadmodum ECD 
divisa est in puncto (7, ad id autem faciendum non erit nécesse singula di- 
midia seorsum dividere. Sed satis erit illa sic distinguere, quae continentur 
sub uno quadrantum quatuor, velut sub quadrante ADE^ ita tamen, ut pro- 
portionales particulae horum dimidiorum sumantur ab diametro ADB versus 
circumferentiam AEBF\ unde patet proportionalem talem particulam in uno 
dimidio repertam sufficere aliis tri bus coaequalibus; ut, si duae parallelae 
GHJ et KLM fuerint aequae et ^jB* proportionalis pars ìpsius, GH ipsa 
quoque pertinebit tribus aliis dimidiis aequalibus HJ^ KL et | LM, 442* 

Haec autem ex bis reliquis etiam abscindatur, et sit ipsa HQ in HJ^ 
OL super KL et Z 12 in dimidio LM^ hoc itaque pacto in reliquis fiat dimidiis. 

Sit demum portio DPex semidiametro BF aequalis ipsi CD, His postre- 
mo punctis per rectas lineas proximis duabus quibusque colligatis, dico prò- 
positae curvae verisimilem constare effigiem. Nam, si per signa tria A^ C, B 
iuxta quartam penitus esset creata, ipsa per quintam et praesentem subiectio- 
nem permearet singulas horum dimidiorum sectionum notas. 

Quod si lineae rectae huiuscemodi in sectionum signa colligantes parvae 
fuerint, plurimum ipsae a conterminis Inter proxima puncta particulis, curvae 
lineae verae nullo ferme saltem sensibili distabunt discrimine. 

Hanc autem ideo proposui, quoniam difficile fuerat ex quarta talem cur- 
vam in plano aliquo describere. | 

Propositio undecima. 443' 

Meteoroscopium tertium describere. 

Per quintam libri quarti meteoroscopio secundo descripto latus eius BC 
dividatur ad similitudinem divisionis, qua latus A C per sinus omnes seu paral- 

a) Hs. hat pararellae. 



MK gleich und parallel und schneiden den Durch- 
meBser ADB ^ auf dem sie senkrecht steben, in Hund 
L. Setzt man nun HN: HO '=^ DCiDG, so ist iV 
ein Ponkt der Ellipse, ebenso Q, B und 0, wenn HN 
= HQ^LB^ LO gesetzt wird. 

In gleicher Weise werden moglichst viele EUip- 
senpunkte koDstruiert und verbunden. 

11. Proposition. 

Konstruktion des dritten Meteoroskops. 
Ebenso, wie beim zweiten Meteoroskop A C, wird 





ù 


y^ 


J 


? 


r 


i 


^ 


1 


■ 

c 


1 


A 


\ 


K 




D 




2 1 


\ 


V 


<? 


P 


1 


V 




J 


rV.^ 


"^ 


7 


H 



Flg. 81. 



220 



Liber qaintuB. 



lelas lineas partitur, ìd est latus B C partìatur ex C in ^ per tertiam quarti, 
ut ìpsum ab uno gradu in LXXXX progrediendo universorum arcunm integris 
gradibns constantiom sinus contineat rectos. 

Deinde per singula barum sectionum sìgna et per pnnetum A singulae 
describantur curvae lineae, quales IIU et X buius producere docent. 

Bis itaque descriptis atque in centro C regula coninncta, velut in se- 
443' cundo tneteoroscopio, tertium complebitur. | 

Sit DE aequalis ipsi A C iuxta rectorum sinuum rationem divisa, mrsns 
DF et FÉ sìnt aequales, et earum utraque iuxta rectorum sinuum rationem 
divisa coniungantur portionnm puncta ipsius DF cum punctis similis divisio- 
nis ipsius EF. 

Erunt itaque convexae bae rectae lineae recti sinus earum circumferen- 
tiarum, quarum circuii semidiameter aequalis extiterit ipsi DE rectae lineae 
atque parallelae. Et a puncto ad partitionis puncta ipsius DE convexae rec- 
tae lineae dividerit parallelas ipsius DE tkd similitudinem di visionis ipsius DE, 
Regula denique meteoroscopii buius eadem est, quae praecedentis. 



BC nacb sin geteilt und dann durcb A, B und die einzelnen Teilstriche von 

AC die EUipsen konstruiert (Fig. 82). 

Femer wird ein gleicbseiti- 
ges Dreieck DEF konstruiert, 
dessen Seiten (« AC) gleicb- 
falls nacb sin Teilstricbe geteilt 
sind und durcb die von DF und 
EF die Farallelen zu DE ge- 
zogen (Fig. 83). 

Das Lineai ist ebenso wie ff 
beim zweiten Meteoroskop. Fig. ss. 





IOANNIS VERNERI 
DE METEOROSCOPnS. 

LIBER SEXTUS. 
Quarti Meteoroscopìì constractio et osns. 

Froposltio prima. 

Quartnm meteoroscopiam construere. 

• 

In superiorìbus libellis Illa tractata fuere curvarum lÌDearum meteoro- 
scopia, quibus propositio aliqua duobus aut pluribus etiam ìngressibus confìci- 
tur, et quae reddant quaesita non aliter, quam investigato prius aliquo angulo. 
Nunc autem in praesenti libro trademus compositionem | et usum eius meteo- ^^4* 
roscopii ex eisdem curvis lineis et unico introitu vel duplici ad summum, 
quamlibet propositionem exhibeat notam. 

luxta doctrinam igitur primi libri sapheae dimidium velut ABC descrip- 
tum esto. Deinde semidiametro DE velut EB diviso per singula divisionis 
huiusmodi*) puncta, et per extremitates dimetientis AC^ videlicet per signa 
A^ Cy iuxta propositionem decimam quinti libri singulae curvae describentur 
lineae \xx Aj C punctis terminatae, quibus ita descriptis quartum construitur 
meteoroscopium, cuius effigies hic subicitur. 

Hoc itaque organnm, quanto maius exstructum est, tanto ampliori com- 
moditate et minori fallacia problematibus absolvendis inservìet. 



Propositio seeunda. **^' 

Regulas quarti meteoroscopii fabricare. 

Begulamenta quartum meteoroscopium duo postulat, unum quidem sim- 
plex et ab omnì penitus divisione immune ac ipsius meteoroscopii dimetienti 

a) Das Wort huiuamodi hat Hs. am Rande hinzngefugt. 

DE METEOKOSCOPIIS. 

SECHSTES BUCH. 

1. Proposition. 

Eonstruktion des vierten Meteoroskops. 

Der Radius EB und ED wird wie beim ersten Meteoroskop geteilt 
und durch die Teilstriche und A und C werden Ellipsen gelegt. 



222 Liber seitas. 

ad minimum aequale, aut parum eo maius longiusculumqne; altemm vero 
semidiametro aequale aut paulo maius, in quotlibet aequas partes divisum et, 
quo in plures minoresque, eo magis erit proposito nostro commodum aptumque. 
Ego autem portionem proposìtionem eiusdem regulae, scilicet semidia- 
metro ipsius organi aequalem, distribui in GXX partes. Facta igitur tali divi- 
sione iuxta easdem partes, ut moris est, numeri conscribantur, coUectisqae 
Yidelicet qui vis partibus singuli annotentur numeri, velut in dividundis regu- 
446' lamentis praemissorum meteoroscopiorum facere consuevimus; itaque injscrip- 
tis secundum quarti meteoroscopii regulamentum complebitur; ut autem huias- 
modi regulae nobis nullam ingerant fallaciam, opera danda est, ut sìnt rectis- 
simae praesertim in eis lateribus, quorum frequens usus in determinandis in- 
diget propositionibus. 

Propositlo tertla. 

Quarti meteoroscopii intrpitus aperire. 

Ad idem meteoroscopium iidem quoque possint fieri introitus, qui et ad 
antecedentia, quos simplices quidem dico, quod per eos unico accessu exhibi- 
tum nobis problema ex eisdem praecedentibus meteoroscopiis inveniatur. 

Fiunt autem huiuscemodi simplices introitus in praemissa meteoroscopia, 
quoties propositum constat triangulo sphaerico unum rectum babente angu- 
446^ lum; cum autem quadrans praesen|tis meteoroscopii nibil difPerat a primo; est 
enim ipse sapbeae quadrans — manifestum est igitur, ad talem quadrantem 
ex organo hoc, id est ex quarto meteoroscopio assumptum, omnes primi or- 
gani posse fìeri introitus adhibita quadam regula simili regulamento primi 
meteoroscopii, quod, si ea non habeatur, uti poterimus regulamento huius se- 
cundo ita, ut, quando arcus aliquis iubetur super regulam computari, ipse 
in semidiametro BE ex JE centro versus B punctum numeretur, extremoque 
uno ipsius regulamenti secundi, unde sectionum incipit numerus, supra E 
centro applicato reliquaque totius parte ipsi BE semidiametro adiuncta punc- 
tus regulamenti huius suppositus termino arcus supra EB semidiametro iam 
prìdem numerato memoriae mandetur; ipse namque eandem praestabit eom- 
moditatem, quam paris a centro distantiae punctum regulae primi meteo- 
roscopii. 

Non aliter quoque reperiemus, quantum arcum huius regulae data portio 
446^" repraesentat; | ea namque supra EB semidiametro iam dicto modo applicata 
quaesitum aperiet arcum. 

Velut sit talis arcus graduum XXX. Secundo igitur regulamento ipsi 
BE semidiametro, sicut praecipitur, applicito reperìuntur partes fere 31 eius- 
dem regulamenti competere gradibus XXX. 

Exempli gratia sit arcus propositus graduum XXXX, et semidiameter EF 

2. Proposltion. 

Konstruktion der Lineale des vierten Meteoroskops. 

Das erste Lineai ist gleich oder etwas grSfìer als der Durchmesser der 
Saphea, und hat keine Teilung, das zweite ist gleich oder etwas grSfier als 
der Halbmesser und in beliebig viele gleiche Teile, etwa in 120, geteilt. 



Liber sextug. 223 

ex partibus regulae contineat 120. Propositum esto invenire, quot eamndexa 
partium regulae aequent datam semidiametri EB particulam eosdem gradns 
XL sigDificantem. 

Regula igitur ipsi semidiametro EB^ ut praecipitur, applicita partes ip- 
sius fere reperiuntur, vicissim vero partes XLIIII pari ratione convertemus in 
gradus XL. 

At organum hoc^ idest quartum meteoroscopium, peculiares obtinet in- 
gressus, qui praedictorum comparatione ferme sunt compositi, quod unico in- 
gressu ipsum datum solvatur problema, cum alioque duplici aut triplici vix 
introitu ex praemissis meteoroscopiis defiiùri posset, qui universi in sequenti- 
bus declarabuntur theorematibus. | 

Theorema primnm. ui^ 

Ex dato trigono sphaerico tribus lateribus cognitis fuerit in- 
tentio quemlibet angulorum trium cognoscere. 

Sit datus trigonus spbaericus GFH trium notorum laterum datusque 
angulus GFH^ quem notum quoque oportet reddere in eis partibus, quarum 
maximi orbis eiusdem spbaerae cìrcumferentia CGGLX possidet, quas quidem 
partes astronomorum vulgus graduum appellat nomine. 

Id autem lector est admonendus, ut facta mentione in sequentibus de 
trìangulo spbaerico intelligat eundem ex sectionibus magnorum eiusdem spbae- 
rae orbium componi; sed eo regredior^ unde parum lapsus sum. 

Ex circumferentia limitis huius meteoroscopii ab A signo duae sumantur 
portiones | aequales, ex semicirculo quidem ABC portio AJ, vero ADC seo- 447^ 
tio AK] earumque utraque .sit similis FG lateri trigoni GFH, Deinde prima 
regula super /, K signis apposita eius cum diametro AC communìs sectio 
signetur L litera. 

Haec autem sectio ad paralellas meteoroscopii huius diligenter compara- 
tur, ignorari etiam nullo literarum elemento adscrìpto facile non poterit, nul- 
lum tamen lateat, quod in sequentibus initium secundi regulamenti et prae- 
dictam sectionem L littera promiscue denoto rursus ex semicirculo ABC sectio 
AJM numeretur similis FH^) lateri trigoni dati FGff, prima super JT, M 
signis apposita eius et diametri AC sectio sit N, parallelus autem per idem 
N signum veniens sit NO. 

Posthaec ex KL recta linea portio LP sumatur significans arcum simi- 
lem lateri GH et extremitate una ipsius | regulae secundae super L signo 448'' 
posito et tota alioqui rectae lineae KL applicita intervallum XP in eadem 
regula iuxta eius particulas et divisiones notetur. 



a) Hs. bat H korr. aus M. 



3. Proposition. 

Fundamentalaufgaben des vierten Meteoroskops. 

Zunftcbst kSnnen, da der Quadrant der gleiche ist, alle Fundamental- 
aufgaben des ersten Meteoroskops mit ihm gel5st werden; nur mu6 man ein 
Lineai wie beim ersten benutzen, oder mittels des an den Halbmesser EB an- 



224 Lìber Beztua. 

Huins antem accepti intervalli eztremitate una supra L puncto firmata, 
altera vero eztremitate circum volata, donec tangat NO parallelom in signo 
Q^ per quod inclinatus AQC ostendit, quantus sit angulus GFH, Nam ipsis 
inclinatis in eodem meteoroscopio quarto ad singulos inscriptis grados quotns 
AQC inclinatus ab AEC dimetiente fuerit, tot gradus continebit angulos 
GFH propositus, quod erat inveniendum. 

Yelut in hoc exemplo sit latus FGr gradus XLI, GH eorundem Lim, 
HF grad. LXIX min. XL; suppositis igitur partibus secundae regulae 120 
aequalibus semidiametro limitis, hoc est circuii ABCD recta linea ZPgrad. 
448^ Lini significans seu ei aequalis LQ earundem | ipsius regulae partium est XL 
fere; iuzta igitur hanc traditionem procedendo NO parallelus fere est XXIX 
ipsius organi e^, AQC inclinatus est fere octavus et quinquagesimus ab AEC 
dimetiente. 

Igitur angulus GFH erit fere gradus LVIII, quod oportebat invanire. 

Huius praecepti haec est demonstratio. Recta linea JK bifariam secatar 
in L signo per A E diametrum. Ex hjpothesi namque duae sectiones AK^ 
AJ ipsius peripheriae ABCD sunt aequales. Igitur super L centro secundam 
inter valium KL circulo JKR descripto ipse transibit per J quoque signnm, 
protracta deinde KAR recta linea apud circumferentiam circuii KJB. termi- 
nata et communis séctio peripheriae JKB et rectae lineae KNM sit S punc* 
tum. Quod si circulum JKB tamquam rectum aliquem, sive ut aequinoctia- 
^49' lem intelligamus, in planisphaerio AL recta linea | repraesentat erga aeqoi- 
noctialem JKB arcum quendam similem arcui JB, Is autem per definitionem 
similium circuii sectionum similis est utrique duarum sectionum AJ^ AKdr- 
cumferentiae ABCD. 

Nam duae JB^ JA eundem communem angulum rectilineum JKB in 
duabus circumferentiis JKB^ ABCD constitutum subtendunt, et ideircoipse 
JB^ AJ^ AL sunt similes. Igitur in planisphaerio, cuius rectus cìrculus seu 
aequinoctialis fuerit JKB circulus, recta linea AL signifìcat magni orbis sec- 
tionem similem AK arcui, sed ex hjpotbesi AK sectio similis est FG lateri. 
Ergo AL recta in planisphaerio, cuius aequinoctialis est JKB^ repraesentat 
magni orbis sectionem similem GF lateri. Rursus, quia ex hjpothesi KL 



gelegten zweiten Lineals zu dem gegebenen Winkel a den zugeh(}rigen Wert 
tg— bestimmen. 

Beispiel: a = 30^ I «- 31; (se. : 120); a = 40^ % — 44. 

Dann aber kann eine Reihe von Aufgaben mit ihm einfach gelOst werden, 
zu deren LQsung man beim ersten Meteoroskop mehrere Fundamentalauf- 
gaben anwenden muBte. 

1. Theorem. 

BestimmuDg eines Winkels eines sphàrischen Dreiecks aus 
den drei Seiten (Fig. 84). 

Gegeben sei das spharische Dreieck GFH^ gesucht der Winkel GFH. 
Man macht AJ==^ AK ^^ FG und verbindet J mit K\ der Schnittpunkt 
mit AC ist L, Dann macht man AJM =^ FH, zìeht KM^ der Schnittpunkt 



Liber seztaB. 



225 



semidìameter similiter divisa est ipsi EB, semidiameter et ipsa significat qua- 
drantem circuii magni per polos aequinoctialis JKR euntis, qui per primam . 
primi libri | propositionem recta semper proveniet linea. Sed, ut partes EB 449'' 
semidiametri gradua signifìcant orbis magni per polos aequinoctialis, quem 
figurat circulus ABCD^ euntis, ita partes semidiametri KL respectu JKB 
circuii Igitur ex hjpothesi PL recta linea in planisphaerio, cuius aequinoc- 
tialis JKR, repraesentat arcum similem GH latori. 

Et quoniam duae portiones AJM, BJ8 duorum circulorum ABCD^ 
JKR per definitionem similium arcuum sunt similes — eundem namque an- 
gulum rectilineum MKB in eorum circumferentiis constitutum subtendunt, 
et arcus AM qt hypothesi similis est FH lateri — ergo portio RJ8 ipsius 
circuii JKR similis est FH lateri. At NO parallelus in eodem planisphaerio, 
cuius aequinoctialis JKB^) respectu A^ C polorum descriptus ex omnibus 
magnis orbibus per eosdem polos descriptis inter suam circumferentiam et inter 
A \ polum resecet circumferentias similes singulas ipsi AM arcui, ergo etiam 450' 
similes FH laterL Quare AQ sectio ipsius inclinati AQC circuii portionem 
in eodem planisphaerio, cuius aequinoctialis JKRj significat similem ipsi FH 
lateri. At quia AL, LQ rectae lineae et AQ repraesentant arcus aequalium 
circulorum, videlicet magnorum descriptorum in sphaera, cui pertinet JKR 
planisphaerium, igitur circulorum sectiones per AL^ LQ rectas lineas figu- 
ratae in ea sunt ratione, qua est latus^) FG ad latus GH^ et arcus signatus 
sectione AQ 9A arcum repraesentatum recta linea AL est, ut BF ad JP6r, 
et idem arcus AQ sectione fìguratus ad arcum recta linea LQ repraesentatum 
sub ea est ratione, qua FH ad HG. Igitur in planisphaerio, cuius aequinoc- 
tialis JKR^\ exhibebitur nobis quantitas anguli LAQ similis angulo GFH, 
quod oportuit estendere. 



Alitar. 

Manente dispositione prioris figurae oportebit rursus alia 
quadam ratione angulum GFH in partibus seu gradibus, quorum 



450^ 



a) Ha. hat JKR korr. au8 



b) Hb. hat latius. 



e) Hs. hat KB. 



mit AC ist N. NO ist parallel zu LK. Schneidet 
man nun auf LK LP= GH ab und zieht um L den 
Ereisbogen mit dem Badius LP bis zum Schnitt Q 
mit NO^ so gibt die durch Q gehende Ellipse die GroBe 
des Winkels FGH an. 

Beispiel: FG^^1\ GH^ 54«, HF^ 69U0'. 
Resultat: iP = i^ « 64® - 40 TI.; NE = 29 TI, 
AQC'^òS. Ellipse, also <^ GFH^ 58®. 

Beweis. Beschreibt man um L mit dem Radius 
LK einen Kreis, so ist dieser die Projektion eines 
Parallelkreises auf der Eugel; sein Schnittpunkt mit 
KNM sei S. AL jist dann die Projektion eiues Kreis- 

bogens = JR* JR ist aber, was leicht zu beweisen, 
— AJ=^ AK=FG, LK ist Projektion eines Qua- 

Abhdlgn. s. 0«ich. d. nutth. Win. XXIY, S. 




Fig. 84. 



15 



226 Liber sextus. 

integra unius circuii circumferentia subicitur CCCLX, efficere 
cognitum. 

Sit igitur, ut in praesenti descriptione, LQ sumpta ex: secando regula- 
mento aequalis LP arcum indicante similem l^^lateri, sed AL circumferen- 
tiae alicuius signìficet sectionem FG lateri similem, ut antea fuerat snppo- 
situm, arcus vero AM iam sit similis GH lateri. In ipso quoque secundo 
45 1*" regulamento tot sumantur partes, quae sint | LQS partes aequent KL rectam 
lineam^ sitque earundem partium L punctus extremitas una, P vero extremitas 
altera, et primo regulamento super LS^) signis applicito secet circumferen- 
tiam limitis AB CD in puncto T, quo cadente in ter J et C signa, angulus 
GFH obtusus est seu recto maior, quantum est circumferentiae alicuius seg- 
mentum simile portioni JT. 

Quare cognito JT peripheriae AB CD segmento anguli 6r i^if magnitudo 
non ignorabitur, quod erit intentum. 

Sin autem T signum ceciderit inter K et J [?] puncta, eiusdem magnitudo 
anguli GFH recto minor est, quantum est arcus similis ipsi segmento JT. 

Huius itaque segmenti partium numero ex LXXXX sublato relinqnitur 
quantitas anguli GFH, qua rursus patebit propositum. 

Sit in dato trìgono spbaerico, ut ante, latus FG grad. XLI, 6r^ latus 
grad. LXXXI, FH grad. LXIX et semis, et oportet anguli GFH invenire 
magnitudinem. 
461'' Numeratis | igitur utrimque circa A in circumferentia AB CD grad. XLI 

et ad exitum huiusmodi numerationis positis signis cT, K atque super eis prima 
regula eius iterum et semidiametri A E sectio notetur L puncto. 

Deinde eiusdem regulamenti una extremitate in K signo defisa, reliqua 
in semicirculo ABC firmetur ad exitum grad. LXXXI, quos latus GH conti- 
net, horum autem graduum finis sit M punctus, ipsum autem regulamentum 
secet A C dimetientem super N signo, quod, quia duobus quasi medium inter- 
cidit parallelis, quarum superior in organo gradibus XXXIIII, inferior grad. 
XXXV adscribatur, punctus igitur N indicat parallelum NO medium esse int«r 



a) Hb. hat KS. 



dranten des Parallelkreises, also ist PX die Projektion eines Bogens ^^ GH 
Da ferner EJSf^AJM (Bògen ùber gleichem Winkel) ist, so entsprìcht 
fiJS (bezogen auf den Kreis JKR) der Seite FH Ebenso ist NO die Pro- 
jektion eines Bogens, der der Seite FH entsprìcht, und somit auch AN. Somit 
ist auch AQ die Projektion eines Bogens FH und daher AQ gegen AN oder 
AL um den Winkel geneigt, den die durch Q gehende Ellipse, die Projek- 
tion eines gegen den Kugelmerìdian geneigten Kreises, angibt. 

2. Gegeben ist GF ^ AJ, FH-^LP und GH-=^AM] gesucht der 
Winkel GFH (Fig. 85). 

Die Konstruktion ist zunftchst wie bei 1; um aber den Winkel GFH za 
finden, zieht man den Ereis um L mit dem Radius XP, der die Linie ^^0 in 
Q schneidet; zieht man IjQ, so schneidet es den Kreis um L mit dem Radius 
LK in S. Die Verbindungslinie KS schneidet die Perìpherie AB in T. Dann 
ist 90 + JT der gesuchte Winkel. 



Liber Bextus. 



227 



dictos parallelos, et Inter curvas lìneas semicircnli ADC^ numeratis super 
recta linea KL grad. LXIX et eemis et fini numerationis hnius P litera notato 
atque secundo regolamento ipsi LK^ ut dictum fuit, applicito, erit XP*) ae- 
qualis regulamenti secundi partibus LUI et semis, tota vero eisdem partibus 
LXXVni fere, uno ìgitur regulamen|ti huius extremo in L firmato et eiusdem 462' 
altero puncto Q partes LUI ferme terminante in NO parallelum translato 
ponatur prima regula in una eius parte super K signo, altera vero in secundi 
regulamenti punctum, quod sit 8^ partes 78 terminans translata secat ex li- 
mite meteoroscopii huius, hoc est ex circumferentia AB CD, arcum AT gra- 
duum L. 

Et quoniam punctum T cecidit inter J et B signa recedens ab gradibus 
IX, igitur angulus GFH quaesitus complectitur grad. LXXXXIX, quorum 
angulus rectus sphaeralis continet LXXXX, quod est intentum. 

Huius autem secundi modi absolvendi problematis talis est demonstratio. 
Sitque inprìmis T signum inter J et C puncta sumptum. Et quoniam ex 
hjpothesi duae rectae lineae AL^ LQ in planisphaerio, cuius JKR fuerit 
rectus, significant duo latera GF^ FH et paralleli NO distantia a polo simili s 
est GH lateri per hypothesim, igitur inclinati AQC sectio AQ indicat arcum 462'' 
similem ipsi GH lateri propositi trigoni, ergo ALQ angulus angulum reprae- 
sentat aequalem ipsi GFH sphaerico angulo et protracta AC diametro in 
partem A, quosque secet JKB orbem in V puncto, et quoniam EAY recta 
linea secat KLJ super L ad angulos rectos, igitur circumferentia /iJVqua- 
drans est totius orbis JKB, at per definitìonem similium arcuum duae sec- 
tiones circulares JT, JS similes sunt propter eundem angulum rectilineum 
JKT in circumferentiis duabus ACBD, JKB communi ter constitutum et 
ab eisdem sectionibus JT, JS subtensum et JT sectionis ratio ex hjpothesi 
ad sui circuii quadrantem cognoscitur, quare et JS sectionis ad sui circuii 
quadrantem ratio nota erit. Ergo totus arcus SBV Sid totam circumferen|tiam 463"^ 
JKB notam habebit rationem. Igitur angulus ALQ ^d quatuor rectos cogni- 
tae erit rationis, sed, velut ostensum est, angulus ALQ rectilineus similem 



a) Hs. hat LD. 



Beispiel:JFG=41^6;^iy«8l^2^lr«69^^ 
Resultate: LQ = 53^T\. LS = LK=78Tl, AT 

Im Beweis wird zunachst, wie bei 1 gezeigt, 
dafì AL GF, JLQ FH und AN GH entspricht, 
also auch ALQ dem gesuchten Winkel GFH. 

Dannist ALQ='90^±JS=^90^±JT, 

Anwenden l&fit sich diese L5sung (1 und 2) 
nur, wenn LQ<^IjO. 

3. (Fig. 86). Man verlftngert im A FGH 
FG bis Z, so daB JPZ=180® ist, ebenso GH bis 
X, so dafi ebenfalls GX=1S0^', dann bestimmt 
man nach 1 oder 2 den ^HFX, dann ist GFH 



tm:b 




228 



Liber seztus. 



sphaerico GFH dato repraesentat angulum. Ergo angulus QFH sphaericus 
quoque cognitus est, quod fuit demonstrandum. 

Rursus T punctus sit Inter «7, K sigDa. Idem quoque eodem modo demon- 
strabitur. Tunc enim 8 punctum deveniet in quadrantem J V orbis JKR^ et 
sectio JS rursus similis erit JT sectioni, propter eundem angulum JKT^ quem 
aterque arcuum JS^ JT subtendit, et quoniam arcus JT notus est, ergo et JS, 
Igìtur et quantitas anguli JLS^ quare et reliquus de recto uno, angulus ALQ 
yidelicet, cognoscitur, ergo et sibi similis GFH notus est, quod oportuit 
ostendere. 
463'' Verum iste secundus modus huius demonstrationis, | quando LQ maior 

extiterit ipso LO intervallo, theorema per hoc IIII. meteoroscopium non con- 
ficitur, nisi in eo paralleli siot scripti egredientes limitem AB CD. 

AUter. 

Latus GF^) in partem jP producatur usque in X, ut circum- 
ferentia GFX sit semicirculus. Sic quoque GH in partem If prò- 
trahatur, donec fiat semicirculus, qui necessario finitur etiam in 
X signo. 

Duo autem arcus FG^ GH ex hjpothesi sunt cogniti. Ergo duo FX, 

XH arcus cognoscuntur; reliqui namque sunt ex semicirculis GFX^ GHX^ 

quare trigonum sphaericum HFX trium est notorum laterum; cognito igitur per 

454' primam { aut secundam scientiara sive demonstrationem huius problematis HFX 

angulo cognoscitur GFH angulus ex semicirculo seu duabus rectis reliquus. 

Hic autem inquirendi problematis modus tertius, velut et in subsequenti- 
bus, idcirco ponitur, ut si problema ipsnm commode primo modo fieri nequeat, 
saltem secundo fiat modo, et est tamquam cautio quaedam. 

Corrolarium. 

Quod si propositus angulus recto maior extiterit, per primam 
scientiam seu demonstrationem eius magnitudinem definire non 
poterimu-s. Nam ABC semicirculus in sua latitudine quadrantem 
tantum continet. 

Quare secundam aut tertiam demonstrationem sive scientiam oportebit 
adorirì, ut propositam conficiamus quaestionem. | 

a) Hb. hat LE. 



Anmerkung. 1. ist nur dann zu gebrauchen, wenn der gesachte 
Winkel ^ 90® ist. 

4. Sind die beiden dem gesuchten Winkel anliegenden Seiten 
gleich {AB ^ AC^a,BC--- ò, ^BAC — jJ), so ist 

p sm 




sin 



2 



2(Aufg.l)(Fig.87). 



Bina 



Fig. 86. 



Beispiel: a = 30®, 6 = 18^ |S-37<>. 

X Sind die drei Seiten ungleich (6 > e, <^ a ^ 

gesucht, Fig. 88, so bildet man sin /» tga ootg h 




Liber seztus. 229 

Alitar. 454^ 

Ex dato triangulo sphaerico tribus lateribus datis, quo pacto 
qailibet angulus cognoscatur, alia quadam ratione investigan- 
dum est. 

Quod si datum angulum, qui investigandus sit, aeqna contineat latera, 
latus igitur appositum investigando angulo bifariam scindatur, dimidium cum 
altero duomm reliquorum laterom per primum aut quintum introitom primo 
aut secundo meteoroscopio immissum reddet nobis sectionem, cuius duplum in- 
dicata quod quaeritur. 

Velnt in triangulo ABC sphaerico duorum latermn ABy AC \ utrumqne 466^ 
sit grad. XXX, basis BC sit graduum XVm, quaerendusque fuerit angulns 
BAC aequis contentus lateribus; dimidimn ergo BC basis est grad. IX, qui 
cum gradibus XXX alterius laterum BAC angulum ambigentium primo aut 
secundo meteoroscopio immissi producunt per primum aut quintum introitum 
grad. XVin et semissem, quorum duplum, videlicet grad. XXXVII, qui definiunt 
angulum BAC quaesitum. 

At tribus lateribus sibi invicem inaequalibus ingrediendum est ad idem 
meteoroscopium per XII *)^ introitum cum maiori duorum laterum, quae in- 
yestìgandum angulum comprebendunt, atque basi extractaque portione reliquo 
duorum laterum, quae quaerendum^) angulum complectuntur, acquali in priori 
situ manente regula, quasi cum eisdem numeris introitualibus elicita per pri- 
mum aut quintum ingressum peripherìa, qui scrutajbatur, angulum ostendet. 456^ 

Ut in triangulo ABC secundae figurationis, cuius latus ^^ grad. XXXÌTTT 
et dimidii, AC autem partium L, basis vero BC graduum sit XXXVm min. 
L, quaeratur angulus BAC^ Facto igitur ingressa duodecimo cum grad. L, 
maiori videlicet latenuu angulum BAC continentiura atque cum basi BC 
grad. XXXYIII min. L proditur latus AB rursus, id est grad. XXXIUI et 
semissae. 

Perseverante igitur regulamento quasi per introitum primum aut quintum 
cum latere AC et basi BC exit angulus BAC grad. LV fere. Ubi demum 
circumferentia primum extracta minori laterum, quae scrutandum angulum 
complectuntur, aequalis non evenerit, ergo investigandus est arcus, qui per 
duodecimum ingressum inprimis cum minori latere anguli quaerendi, deinde 

a) Nach XU hat Hs. meteoroscopium gestrichen. 

b) Nach quaerendum hat Hs. laterum gestrichen. 

* SITI fÈ 

(Aufg. 12), ist nun / =» e, so bildet man sino = -.-, 

(Aufg. 1). In diesem Falle ist nftmlich jS — 90® 
(Mg. 88). 

Beispiel: a =38» 50', 6 = 50^ e - 
34^®. Resultati / = 38^50', « = 55®. 

Den allgemeinen Fall sucht der Yerfasser ^ 
folgendermaBen zu losen. „Man sucht eìnen 
Winkel x auf, der so groB ist, dafì die Win- 
^ kelsumme 9 -}- tf; =» b wird, wenn costp = 

tgX' cotgc und costf; » tga; • cotga sein solP^ ^g, 99. 





230 Libar sextus. 

456' cum base, hoc est cum latere, quod eidem observatur angolo, duos educai ar- 
cus, uDum scilicet cum base, alterum cum eodem minori latere, qui pariter 
sumpti constituant latus maius seu reliquum eiusdem trianguli. 

Talis autem arcus necessario minor est utroque duorum laterum, quibus 
scrutandus comprehenditur angulus, quod fieri potest palpitante quadam ten- 
tatione, accipiendo scilicet, ut libet arcum aliquem, ea tamen lege, ne alterum 
dictorum arcuum exsuperet, qui si iuxta votum non fuerit sumptus, cum for- 
tassis duae peripheriae per ipsum extractae vel amplius aut minus conflaverint 
simili, coniunctae maximo propositi latere trianguli, ergo alius accipitur arcus 
priore minor, si aggregatum tale maximo latere maius extiterit, aut minores 

456'' eadem aggregationis sum|ma minor longissimo trianguli latere contigerit. 

Hac itaque cautela accaratius animadversa et tali bentatione aliquoties 
repetita tandem in arcum, qui desideratur, incidemus, nec frequens haec in- 
vestigationis huius replicatio aliquem ab opere quasi ob laborum multitudinem 
prolixo et difficili deterreat, quae si brevi committetur exercitationi non in hoc 
plus temporis, quam in aliis absumetur eiusdem theorematis operationibus at- 
que modis. 

Velut in tertia fìguratione triangulus ABC habeat latus AB grad. XXVI 
min. L, latus A C grad. L, J? C vero basis grad. XXX« Quaerendo igitur angulum 
BAC per duodecimum introitum cum -4.C, CB lateribus extrahuntur grad. 

457'* XLII, plures illis in latere AB contentis, ergo praemissa tentajtione seu in* 
quisitione iam tradita talis arcus invenitur grad. Xm min. XL, quoniam cum 
ejs et grad. XXX basis B C per XII reperiuntur primum grad. XX VIL Deinde 
cum eisdem grad. XIII min. XL et cum grad. XXVI min. L per eundem in- 
gressum prodeunt grad. XXIII, qui grad. XXVII pridem repertis additi con- 
fìciunt grad. L aequales lateri A (7, quod quidem signum est grad. XITE min. 
XL iuste inventos fuisse; facto demum primo vel quinto introitu cum gradibus 
XXVI min. L lateris AB et cum grad. XIII min. XL exibit angulus BAC 
grad. XXXII fere, quod erat investigandum. 

Hic demum praesentis theorematis modus, si aliter propositio ad hoc 
theorema pertinens obtinere non poterimus, tum ob coactam linearum vicini- 
tatem et propter spatiorum gradus signifìcantium coartatam nimis strictitu- 
dinem, cum ob parvitatem arcuum, quibus problema investigandum erit, epe- 

8111. X 

(Fig. 89). Dann ist sina « . (6 ist hierbei die gr5Bere der dem Winkel a 

anliegenden Seiten). 

Die Aufgabe kann auf diese Art nur empirisch gelòst werden, indem man 
far einen willkurlichen Winkel x die Winkel q> uud tf; sucht und ihre Summe 
mit h vergleicht; und dann x entsprechend grofier oder kleiner wfthlt. 

Beispiel: (?=26<^50', Z> = 50^ a = 30®. Resultat: /«42^ a;=-13^40', 
9«23^ if; = 27«, « = 32^ 

Mit dieser Aufgabe kann die Zeitbestimmung aus der Sonnenhohe oder 
die Entfernungsbestimmung zweier Punkte ausgefìihrt werden. 

5. Losung mittels des dritten Meteoroskops (Fig. 90). 
Gegeben sei das A MNO, gesucht der Winkel MJSfO. Man macht 
AD-=MN, DE^MO, verbindet B mit C und macht DF^DE. Femer 



Liber lextns. 



231 



Tationem nostram in huiusinodi propositis numquam frustrabitur, modo non 
desìi mediojcrìs quaedam diligentia. 

Denique hoc pacto data solis altitudine supra horizontem quempiam 
diei horam yel elevatione stellae fixae tempora noctis inveniemus. Datis etiam 
duonim locorum latitudinibus atque itinerario spatio vel longitudinum diffe- 
rentiam yel positionis venabimur angulum atque innumera paene proposita, 
tum in astronomico, tum in geographico, congruenter absolvemus negotio. 



467^ 



AUter. 

Secus idem efficietur per meteoroscopium tertium adhibita 
regula particulatim divisa, qualis illa huius habetur quarti meteo- 
roscopii. 

Sit ergo meteoroscopium tertium, velut quadrans ABC^ cuius centrum C, 
basi» AC*)^ et esto datus triangulus MNO sphaericus | habens latera tria 458' 
MNj NOj OM data seu cognita, et fuerit propositum reperire ex tertio meteo- 
roscopio ABC quantitatem anguli MNO^ sumenda igitur est AB scotio si- 
milìs alteri duorum laterum MNO angulum complectentium. Esto autem, ut 
AD sectio similis sit MN lateri, deinde NO latori reliquo similis sit DE 
sectio et volubilìs norma ipsius meteoroscopii super C centro infixa signo D 
accommodetur, atque in ea signum assumendum est, quod sit F^ ita, ut CF 
portio repraesentet complementum ipsius sectionis BF, Posthaec extremitas 
illius regulae pridem divisae in particulas utcumque 0, quae, quanto fuerint 
minutiores, tanto accuratius propositum absolves problema, super F signum, 
reliquo ad F signum applicato et posito AH segmento simili MO lateri tri- 
goni MNO^ sitque ipsius ^ITperipheria, dupli dimidia basis HJj quam astro- 
nomorum vulgus sinum appellai rectum, et ego aequedistantem seu paTallelum 458^ 
dixi, secans normam FFG super K signo, particulis itaque regulamenti FFG 
Inter F, K signa comprebensis memoriae commendatis ipsa norma FFG super 
aequedistantem seu parallelum circumferentiae AP aequalis NO sumptae appli- 
cetur ita^), ut F punctum semidiametro AC cobaereat, K vero inter eandem 



a) Hs. hat BC. 



b) Hb. hat ita korr. aus itaque. 



sei AH^MO^ EJ BC^'^ sin Alt). Dann schneiden sich 
FF und AH im Punkte K, Dann macbt man AP = NO 
und zieht die Parallele z\x BC durch P, der Scbnittpunkt 
mit der Geraden A C sei F', macbt man nun i^JT =* FK, 
so gebt durch K die Ellipse AKL und -^ MNO =- 
^BAL^PK". 

Beispiel: MN =^2Q^òO\ JV^O = 50^ MO^ 30^. 
Resultai: C7F-40, K'P^32^. 

Falli K aus dem Meteoroskop beraus^ so verlangert 
man das an HJ angelegte Lineai durch ein zweìtes. 

In Slbnlicber Weise wird noch cine Modifìkation dieser 
Methode gegeben, jedocb ohne Zahlenbeispiel und ausfUhr- 
licheren Beweis, sondem zum Beweis auf ein sp&teres liber 
problematum verwiesen. 




Fig. 90. 



232 



Liber sezins. 



et peripheriam A DB locetur in eadem parallelo, et per K signum descendat 
ìnclìnatus AKL^ inter eundem namque et peripheriam ADB iuxta numerum 
inclinatomm liquebit angulus MNO quaesitus. 

Velut sub recto latere Jlf^ grad. XXVI min. L, NO grad. L^ MO grad. 
XXX; ìgitnr sectio AC grad. erit XXVI min. L, quos MN latas continet, et 
DE grad. L, velut latus NO et portio CF normae CFD grad. XL, quan- 
tum videlicet est complementum laterìs NO^ et perìpheria AH continebit 
grad. XXX. 

469' Quare portio KP paralleli FKP indi|cat angulum MNO grad. XXXH 

complecti, quod fnit inveniendum. 

Hic tamen cautelis quibusdam utendum est prima, quando intersectio 
communis K paralleli HJ et regulamenti EFG ceciderit extra meteorosco- 
pium ABC, igitur accomodanda est regula alia ipsi HKJ parallelo, quae sua 
longitudine coniungatur normae EFG buiusque et normae EFG communis 
sectio mraus sit Kj deinceps erit, ut prius, agendum. 

Secunda cautela: quod si D^ perìpberia tam brevis fuerit, ut in ea DE 
sectio numerari non possit, igitur meteoroscopii regula super D signo, ut ante, 
posita norma EFG ad rectos angulos ipsi CD regulae apud F signum appli- 
cetur, quod facile fieri poterit, si ex utroque latere eadem regula CD similes 
babuerit sectiones, et EFG norma in utroque regulae CD latere super pan- 
libus applicata particulis, et idem, ut prius, obtinebimus propositum. | 
459^ Quamvis iam dictus modus satis sit certus, attamen ad deelinandas prae- 

missas cautiunculas aut alteram ex eis aliam propositum conficiendi babebimus 
scientiam, quae talis est. 

Sit, ut prius, arcus AP aequalis NO lateri trianguli MNO et ipsius AP 
parallelus seu sinus rectus sit PQ*)j subiectione tamen hac praehabita, quod 
latufl**) NO longius sit latere MN, auferatur MN ex NO residuoque simili» 
esto perìpberia AB et super normali EFG FÉ sectio sit aequalis PQ paral- 
lelo, et puncto E normalis eiusdem super B applicitur F reliquus punctus 
segmenti EF ipsius normalis EFG contingàt ipsius meteoroscopii regiilam 



a) Hb. bat PK. 



b) Hb. bat ìatius. 



2. Theorem. 

Bestimmung der dritten Seite eines sphari- 
schen Dreiecks aus zwei Seitea und dem cinge- 
scblossenen Winkel. 

1. (Fig. 91.) Das Dreieck sei GFH, die bekannten Sei- 
ten FG und FH. Man macht AJ^AK'^ FG, AM-^FHy 
zieht KM, femer NO JL, die dem Winkel GFU ent- 
sprechende Ellipse sei AQC, sie scbneidet NO in Q, Ver- 
bindet man dann LQ, so ist LP^LQ gleicb der 3. Drei- 
eckseite GH, 

Beispiel: GF^U\ FH^Q9\^, GFH^òS^, LQ 
= 40 TI. = 54^ 




Fig. 91. 



Liber sextns. 



233 



CD itaque, ut CF eius particula repraesentet perìpherìam similem comple- 
mento lateris NO^ sicque firmato normali EFG sumatur AH peripheria si- 
milia basi MO insuperque eius parallelo | HJ applicata alia regula, si eadem 460' 
parallelus HJ nondum secuerit EFG- normale et communi s sectio aut appli- 
catae regulae aut paralleli HJ cum normali EFG sit K^ rursusque in nor- 
mali EFG FK segmento memoriae commendato FKE ipsi PQ parallelo 
adaptato, ut F signum signoque Q supponatur, et E ipsi P. 

His itaque dispositis inclinatus per K signum yeniens ostendet quaesitum, 
Telut praemissa docet praeceptio, et sic, si placeat, exemplaris ostensio prae- 
cedens repetatur. Yeritas huius pendet in eo, quod sinus rectus EB peripheriae 
ad sinum rectum BH circumferentiae est sicut EFG addita in rectum ex 
parte G^ quod est iuter G et communem sectionem dimetientis BCm partem 
C producti, et KFG normalis in G partem acti, quod posterius in libro prò- 
blematum latius explicabitur, par est ostensio praecedentis doctrinae. 



Theorema secnndnm. 460' 

Dati spbaerici trigoni duobus lateribus notis anguloque ab 
eis contento reliquum latus cognoscere. 

Sit datus trigonus FGH et, ut ante suppositum fuit, AL similis suma- 
tur ipsi FGj sectio vero AM circumferentiae ABC similis latori FH, et in- 
clinatus cum diametro ac continens GFH angulo aeqnalem sit AQC secans 
parallelum NO in signo Q, atque una regularoenti secundi eztremitate super L, 
reliqua eius portione super Q puncto posita partibus eius inter L et Q puncta 
comprehensis ex ipsa KL recta linea aequalem sume LP. 

Quot enim gradus ipsa LP \ exhibet, tot etiam comprehendet latus GH 461'' 
Ergo dati spbaerici trigoni duobus etc; quod oportuit ostendere. 

Sit igitur in dato trigono latus GF grad. XLI, FH grad. LXIX et semis, 
angulus vero GFH grad. LVIII, parallelus itaque NO in organo hoc erit 
ferme XXIX, et recta LQ in regulamento continet partes fere XL, quibus 
aequalis LP sumpta indicat inter curvas lineas GH esse grad. LTTTT, quod 
oportuit ostendere. 



2. (Fig. 92.) Man macht AJ^FG, so daB AL die 
Projektion von AJ wird, XP- FH, JT^± (GFH— 90») 
je nachdem GFH^90^ ist, zieht KT und schneidet KT 
mit dem um L mit dem Radius LK gezogenen Kreis in S, 
dann schneidet LS den um L mit dem Radius LP gezogenen 
Kreis in Q. Durch Q zieht man die Parallele NQ zu KJ, 
und verbindet K und N, KN schneidet die Peripherie AB 
in M und es ist AM=^ GH, 

1. Beispiel: FG^ 41^ FH^ ^^\ ^ GFH^ 58<^. 
Resultat: 69^-®« 53 TI., Z§« 78 TI., JT- 32^ AM 

-= 64®. 

2. Beispiel: FG^4.l\ FH^(Ò^^, GFH^99^, 
Resultat: (hierbei ist GFH^ 90®). Man konstruiert ebenso 




Fig. 9t. 



234 Liber sextus. 

AUter. 

Bepetatur figura praecedens. 

In dato igitur trigono FGH duobus lateribus 6rjP, FH cognitis, angulo 

461^ quoque GFH, oportet in venire, quot gradus habeat | GH latus. AL igitur 

assumatur dicto modo, ut significet arcum similem lateri FG^ et LP similem 

ipsi FH. Ex regulamento deinde secundo super X^'rectam applicito sumatur 

aequalis ipsi LP, quae sit LQ et IjS aequalis ipsi LK, 

Quod si angulus GFH recto, id est grad. LXXXX, minor fuerit, eo ex 
gr. LXXXX sublato rcliquum a puncto / versus K censeatur in circumferentia 
limitis AB CD et ad fìnem huius computationis ponatur T litera, firmataque 
regula prima super K, T signis, secundum vero regulamentum in L puncto re- 
volvatur, donec S signum primam contingat regulam, et parallelus, cui in- 
haeret Q punctus, sit NQ 0. Signum quoque N", ut ante, A C dimetiens teneat 
Denique primum regulamentum K, N punctis applicitum secet peripheriam 
462' AB CD super M signo, | erit igitur AQ sectio inclinati AQC similis AM 
sectioni semicirculi ABC. 

At quia totus trigonus ALQ similis est iuxta praedictas demonstrationes 
primi theorematis trigono FGHy et AQ similis ipsi GH lateri, ergo AM sec- 
tio similis est ipsi GH lateri. At ^Jlf portio peripberiae ABC cognita est 
Igitur et GH latus trigoni FGH cognoscitur, quod oportuit invenire. 

Ubi vero angulus GFH rectum seu gradus LXXXX superaverit, igitur 
ex eis quadrante sublato relictis ex peripberia JC similis auferator sectio JT 
ac deinceps omnino procedatur, ut iam dictum fuit, et nostram aucupabimur 
intentionem. 

Exempla ostensionis uberioris gratia subtexantur, in triangulo J'GfTduo 
462* la tera FG, FH notaque sint, angulum GFH notum continentia, sitque latus 
GF grad. XLI, latus FH grad. LXIX et semis, angulus autem GFH grad. 
LVin, et oportet reperire latus GH. Igitur gradibus LXIX et semissi rectam 
lineam per X, P signatis competunt partes fere LUI ipsius regulamenti secundi, 
et notentur, LQ ipsi vero LK aequalis sit in eodem regulamento LS^ et est 
partium LXXVni earundem. At angulo GFH, quia est grad. L Vili et id circo 
recto minor, eo ex grad. LXXXX sublato gradus remanent XXXII, quibus in 
peripherìa JAK similis sit JT. Prima ergo regula signis JT, T superimposita 
et secundo regulamento in L punctum defixo, reliqua ipsius parte, donec 5 
signum tangat primam regulam, idest K, T, circumlata notetur parallelus jN'O, 
468' cui videlicet Q \ signum regulamenti secundi insistit, et a primo rursus regu- 
lamento ad K, N puncta translato secetur ABC periphèria super M puncto, 
erit igitur AM sectio graduum fere LIIII. Cui quidem sectioni, cum GH la- 
tus sit simile, notum ergo erit latus GH, graduum videlicet LIIII, quod opor- 
tuit invenire. 

Rursus in triangulo quodam sphaerico FGH latus FG grad. XLI et la- 
tus FH grad. LXIX et semis contineant angulum GFH grad. LXXXXIX, et 
sit intentio reperire, quot gradibus constet latus GH. Et quoniam angulus 
G FH graduum est LXXXXIX, idcirco recto maior, igitur ex eo gradibus LXXXX 

• 

wie oben. LP ^ 53^; XJT^ 78^. Zuletzt zieht man KN, das ABC in M 
schneidet AM =GH-= 81^ 






Libei seztus. 235 

sublatis relinquuntur grad. IX, quibus similis osto arcus JT ia peripheria 
JBC sumptus, applicita regula prima punctis JT, T, erìtque, ut ante, in regula - 
mento secando LP^) fere partium Lm et tota LQS seu sua aequalis LPK^) 463^ 
earondem partium LXXVIII. Igitur secundo hoc regulamento super L firmato 
et reliqua eius parte in S signo ad KT rectam lineam sive ad primam regu- 
lam traducta incidit punctum Q in eum parallelum, qui inter tricesimum quar- 
tum et tricesimum quintum fere medius est. Sitque ille, sicut ante dictum 
fuit, NO, atque primum regulamentum ad K signum in parte una et in reli- 
qua in signum N, quod dimetiens A C semper obtinet, positum secat semicir- 
culum ABC super puncto M, Et quia sectio AM similis est laterì GHj re- 
periturque ferme grad. LXXXI, igitur et latus GH graduum est LXXXI, quod 
fuit inveniendum. 

AUter. 

Hic autem tertius inquirendi modus yel {tertius praecedentis iGi*" 
theoromatis praecedentium modorum quasi quaedam est cautela. 

In proposito igitur trigono sphaerico latera GF, 6r 2f producta in semi-, 
circulos inteligantur GFX, GHX\ eos autem semicirculos esse liquidum est, 
' 60 quod GF et GH latera magnorum orbium eiusdem spbaerae sectiones sunt. 

Et quoniam GF latus notum est, ergo reliquum FX ex semicirculo co- 
gnoscitur, at angulo GFH cognito notus est etiam reliquus ex duobus rectis 
angulus HFX, 

lam rursus obtinemus triangulum FHX duorum laterum FH, FX no- 
torum, quae notum comprehendunt angulum HFX, Quare per primam vel 
secundam inquisitionem arcus HX cognoscitur, quare et HG reliquus ex se- 
micirculo notus est, qui perinde ac latus obtenditur angulo GFH cognito. 

Igitur dati sphaerici etc. 

Theorema tertium. 464"^ 

Dati trianguli sphaerici duobus lateribus eorumque uni an- 
gulo opposito reliquum latus agnoscere. 

Trianguli sphaerici FGH duo latera FG, GH sint nota. Angulus quo- 
que GFH scitus et lateri GH oppositus, oportebit iam latus jPZT perspicuum 
efQcere. 

Sumatur AL similis lateri FG et LP similis GH lateri. Deinde in se- 
cundo regulamento LP rectae lineae sumatur -aequalis LQ regulamento itaque 
super L firmato*') transferatur Q signum ad eum inclinatum, qui significet an- 
gulum GFH, sitque ille AQC. \ 

Consideramus parallelum etiam per Q punctum euntem, sitque NQ pò- 465*^ 
nentes N signum in AC dimetiente, velut ante; iniciamus deinde JT, N signis 
primum regulamentum perìpheriam semicirculi ABC secans in itf signo. Erit 



a) In der Hs. fehlt P. b) Ha. hat LPQ. e) Hs. hat formato, 

3. Man macht GFX^ GHX^ 180® und berechnet im Dreieck HFX 
die unbekannte Seite HX-, GH^^ ISO^-HX. 



236 



Liber sextus. 



igitur AM sectio eiusdem peripheriae similis sectdoni AQ ipsius inclinati AQC. 
Ai AQ similis est lateri FH^ yelut patet ex demonstratione primi theorematis. 
Similis igitur erit AM sectio FH lateri, sed AM sectio, quanta sit, perspid- 
tur. Latus ergo FH in sua magnitudine notum est. 

Dati igitur trianguli sphaerici duobus laterìbus notis eonunque uni an- 
gulo opposito reliquum agnoscitur latus, quod oportuit ostendere. 

Huius tale est exemplum: 

In trigono sphaerico FGH FG quidem latus habeat gradus XU, GÈ 
vero latus LIIII gradus, angulus GFU lateri GH oppositus gradus contineat 
^eò"" LVJJJ, et propo|situm sit, magnitudinem lateris FH perspicuam efficere. 

Sumpta igitur AL simili gradibus XLI, quos FG latus obtinet, et XP 
simili ipsi FH lateri sumpta capiamus ex secundo regulamento LQ aequalem 
ipsi XP, eritque LP grad. LIIII lateris GH^ repraesentans fere partibus XL 
ipsius regulamenti secundi aequalis, quo super L firmato, Q vero ad inclina- 
tum grad. LYIII significantem traducto Q punctus locabitur in parallelo fere 
vicesimo nono, qui sit NQO, 

Denique prima regula KN signis applicita secat circumferentiam ABC 
in M signo, habet itaque AM sectio grad. LXIX et semissem, quibus quoque 
FH latus conficitur, quod oportuit invenire. | 

466' Alitar. 

In triangulo sphaerico FGH, velut ante, duo latera FG*") GH 
innotescant simul et angulus GFH. 

Sit igitur AL latus, ut prius simile lateri FG, Et subinde assumatur 
parallelus NQO, qui contemplatione signi N secet ex omnibus inclinatis circa 
A portiones singulas ipsi GH lateri similes, idem autem parallelus invenitnr 
sumpta AM sectione semicirculi ABC simili lateri 6r^ et KM punctis appli* 
cito regulamento primo dimetientem A secante in signo N, parallelus itaque 
per N signum descriptns est, qui quaeritur, videlicet NQO. 

Postea si angulus GFH recto minor fuerit, eo ex gradibus LXXXX sub- 
lato^) reliquum computetur in peripberia JAK ab / puncto versus K nome- 
466^ rando, ad huius itaque numeri exitum T signum ponatur | atque in secondo 
regulamento LS sii aequalis ipsi XJT et prima regula KT sigpis imposita et 

a) Hb. hat FFG, b) Ha. hat sublatis. 



3. Theorem. 

Berechnung der dritten Seite eines spharischen 
Dreiecks aus zwei Seiten und dem gegenùberliegen- 
den Winkel. 

1. Gegeben FG, GH und ^ GFH (Fig. 93). Man macht 
AL — Projektion von AJ^FG und XP« GH. AQC sei die 
dem ^ GFH entsprechende Ellipse, die von dem um L mit 
dem Éadius LP gezogenen Ereis in Q geschnitten wird. Dann 
zieht man NO durch Q parallel zu JL, femer die Linien KNy 
die die Peripherie ABC in M schneidet; dann ist AM 
AQr^FH. 




Fig. 93. 



Liber seztuB. 



237 



secundo regulamento in L defilxo signam S transferatur in primum regolamen- 
tum, communisque sectio ipsius LS et paralleli NQO sit Q ac ipsi LQ per 
subiectionem ex X^ aequali XP snmpta inter corvas lineas in puncto P ap- 
parebit nobis arcns, cui similis est FH^ igitur TH latus notum erit. Ergo dati 
trianguli spbaerici duobus laterìbus nobis . . . 

At ubi angulus GFH recto fuerit superior, eidem gradus LXXXX de- 
mantur, residuo in peripheria^) JC similis sumatur JT. Deinde, ut prius agen- 
dum est, et patebit intentum. 

Velut in priori exemplo lateri FG graduum XLI similis existat AL, 
latus autem GH grad. LIIII et parallelus respectu K signi gradus LUII re- 
praesentans, scilicet NQO fere XXX, | angulus 6r jPff gradus LYIII continens; 467*^ 
quia minor est recto, ex LXXXX, igitur gradibus auferantur gradus LVIII-, 
reliquum sit gra. XX XQ, qui ab J versus K numerati desinunt in T puncto. 
Est autem LS aequalis ipsi LK sumpta partium LXXVIII fere; prima igitur 
regula ipsis KT signis imposita et secunda in L firmata et signo S ad pri- 
mam regulam traducto parallelus NQO secat secundum regulamentum velut 
in Q signo. Est itaque LQ partium LIII fere, quibus aequali XP sumpta ipsa 
repraesentat gradus LXIX et semissem fere, quantum scilicet erit latus FH^ 
quod oportuit ostendere. 



Theorema quartnm. 

Propositi trianguli sphaerici notis duobus lateribus cogni- 
tum angulum | comprehendentibus utrumlibet ex reliquis angulis 467' 
perspicuum fieri. 

Sit datus trigonus sphaericus FGH duo pojssidens latera cognitarum 
magnitudinum FG, FH continentia GFH angulum quoque notum. Proposi- 
tum esto angidum FGH notum quoque efQcere. Igitur lateri FG similis 
sumatur AL portio dimetientis AC, et per modum dictum in secunda demon- 
stratione praemissi theorematis inveniatur parallelus NQO contemplatione K 
signi secans ex omnibus inclinatis circa A signum portiones singulas similes 
ipsi JPlTlateri, et inclinatus ^Q (7 angulum daudens aequalem ipsi GFHhn- 
gulo secet parallelum NQO super Q signo, subinde regulamentum secundum 



a) Hs. hat periaphaeria. 



Beispiel: FG^-41^ GH=^ òé^, ^GFH^ ÒS^. Re- 
sultati XP= 64<>- 40 TI., AM^ 69^^ 

2. Man macht (Fig. 94) AL =» Projektion Yon AJ^FG, 
AM'^ GH, zieht die Linie KM, die die Achse AC in N 
schneidet, und sdeht NO\\KJ. lst^GFH<90^, so macht 
man JT = 90^^ — <^ GFH, zieht die Linie KT, die den Kreis 
JSKin S schneidet. Dann schneidet LS NO in Q und es ist 
LQ-^LP=- FH Entsprechend verfahrt man, wenn ^ GFH 
>90« ist, mit GFH-dO^, 

Beispiel: FG^U^, GH^ 54:^, ^GFH^bS^, Re- 
sultate: AN^ 30 TI., QL « 53 TI. « 69^^ 



àf B 




Fig. 94. 



238 Liber Beztas. 

468' habeos LS aequalem ìpsì LK signis X, Q accommodatur { et prima regula Jr,<S 
sìgoìs ìmposita secet peripherìam semicircali ABC in T pnncto. Quod si ad 
JA circumferentiam ceciderit, erit angalus FGH acutus et similis perìplienae 
relictae JT sectione sublata ex grad. LXXXX sectioni. 

Sin autem T piinctuin m JC peripherìam contigerit numems gradaum 
JT sectione contentorum recto angulo, id est grad. LXXXX coniunctus acer- 
yabit graduum summam ipsi FGH angulo similem. Quare angulus idem rur- 
sus erit manifestus. Est enim tot gradaum, quot^) praedicta summa constitnitur. 

Yelut in exemplo triangulus sphaericus FGH duo possideat nota latera 
FG, FH. Sitque FG latus grad. XLT, FH vero grad. LXIX et semis. Haec 
autem angulum GFH contineant notum grad. LVIIL Oportet igitur angulum 
468' FGH notum quoque effi|cere; parallelus itaque NQO contemplatione ìpsius 
K signiiicans grad. LXIX et semi., quos FH latus habeat, est fere YXTX et 
inclinatus AQC est LVIIL Nam angulus GFK ex bypothesi gradus LVUI 
complectitnr, et ipsi LK aequalis in secundo regnlamento LS partium est 
LXXVm fere. 

Gommunis autem sectio paralleli NQO, et inclinati AQC sit Q punctus, 
eodem itaque secundo regnlamento Z, Q signis applicato prior regula K, S 
punctis accommodata secat peripheriam JC super T signo, erit itaque arcus 
JT graduum fere IX, et quoniam T signum contigerit in peripheiia JC, igi- 
tur angulus FGH continet gradus LXXXXIX, quod oportuit in venire. 

Theorema quintnin. | 

469' Dati trianguli sphaerici duobus lateribus manifestis perspi- 

cuo quoque angulo notorum alteri opposito laterum angulum no- 
tis lateribus comprehensum agnoscere. 

Sit datus triangulus FGH duo latera FG, FH nota continens et simul 



a) Hb. hat quod. 



4. Theorem. 

Bestimmung eines Winkels eines sph&rischen Dreiecks aus 
zwei Seiten und dem eingescblossenen Winkel (Fig. 94). 

Gegeben: FG, FH, <^ GFH, Gesucht <^ FGH Man macht wieder 
-4X=»proj. FG, AM=^FH, zieht die Linie AM, àie AC in. N schneidet, 
und macht NQO | KJ-, AQC entspreche dem <^ GFH. Dann zieht man die 
Linie LQ, deren Yerlangerung den Kreis um L mit dem Badius LK in 8 
schneidet. KS schneidet dann die Peripherie ABC in T und -^FGH^ 
dO^ -\- JT. 

Beispiel: FG^Al^, FH^69i^,^ GFH ^5S^. Resultat: ^ JV- 29*, 
AQC^ 58^ LS^ 78 TI., JT^9^, FGH^ 99®. 

5. Theorem. 

Bestimmung eines Winkels eines sph&rischen Dreiecks aus 
zwei Seiten und dem einer Seite gegenùberliegenden Winkel 
(Fig. 93). 



Liber sexbiB. 239 

angnlnm FGH notum, quantus ergo*) sit angulus GFH, manifestum quoque 
iam oportebit e€Qcere. 

Sit igitur AL sìmilìs ipsi FG lateri trianguli FGH dati, parallelusque 
NQO secet respectu K signi circa punctum A ex ipsis inclÌDatis portiones 
singulas similes ipsi FH lateri, et circa L punctum angulus ALS similis esto 
FGH angolo et communis sectio ipsius secundi regulamenti LS aequalem 
habentis ipsi LK et paralleli NQO sit Q inclinatus, igitur per Q transiens 
declarabit magnitudinem anguli GFH, quem oportuit invenire. 

Velut in praesenti trigono latus FG sit grad. XLI, FH yero latus | grad. *^^^ 
LXIX et semis, et angulus FGH grad. LXXXXIX, et sit intentio nostra in- 
venire, quantus sit angulus GFH. Sumpta itaque AL similiter ipsi FG la- 
teri et angulo ALS aequali angulo FGHy idest gradibus LXXXXIX, et par- 
aUelas NQO respectu K repraesentet grad. LXIX et seinis, quos FH latus 
complectitur; erit igitur communis sectio regulamenti secundi et paralleli 
NQO punctus Q. Inclinatus itaque per eandem sectionem veniens est LVIU, 
igitur angulus GFH gradus LVIII amplitudine sua complectitur, quod erat 
inveniendum. 

Theorema sextnm. 

Dati sphaerici trigoni cognitis duobus lateribus et angulo 
uni eorum opposito reliquum angulum, qui reliquo lateri obici- 
tur, inquirere. 

Sit talis triangulus spbaericus FGH^ duoque | eius latera FG, FH, et 470' 
angulus FGH sii notus, invenire quoque oportet, quantus sit angulus FHG, 
Ergo per quintum theorema pateat angulus GFH^) notis lateribus compre- 
hensus, quo subinde per quartum theorema angulus GHF excutietur. 

Ut in exemplo superiori trigonus habeat duo latera FG, FH cognita, 
latus quidem FG grad. XLI, FH vero eorundem LXIX et semis, cognitus 

a) Das Wort ergo ùber der Zeile mit erster Hand. b) Hb. korrigiert aus M. 

Gegeben: FG,FH,^FGH, Gesnohi^^GFH 

Man macht wieder ^X = proj. FG, AM^FH, zieht KNM, NO LK, 
femer ALS^^ FGH (d. h. man macht JT^± (FGH— 90"), und zieht die 
Linie KT, die den KreìsJSK in S schneidet), zieht femer die Linie LS, die NO 
in Q schneidet. Die EUipse durch Q gibt dann den gesuchten Winkel GFH, 

Beispìel: FG^ 41^, FH^Q9i^,^FGH=^d9^. Resultat; C— 58". 

a. Theorem. 

Bestimmung des einer bekannten Seite gegenùberliegenden 
Winkels aus zwei Seiten und dem der anderen bekannten Seite 
gegeniiberliegenden Winkel. 

Gegeben: FG, FH, ^ FGH GesucM: <^ FHG. 
Aus Theorem 5 bestimmt man den ^ GFH, dann aus Theorem 4 den 
Winkel FHG. 

Beispiel: ^61^=- 41", i^if^ 69^", ^FGH^99^. Resultat: ^GFH 
^5S^,^FHG^Ò4i^. 



240 liiber sextus. 

quoque angulus FGH esto graduum LXXXXIX, et sit intentio angalum FHG 
etiam liquidum reddere; per quìntum theorema angulus GFH est grad. LVULL. 
Igitur per quartum theorema angulus FHG erit quasi graduum XLIIII 
et semis, quod est intentio. Ergo dati sphaerici trigoni etc. 

Theorema septimnm. 

470^ Dati trianguli sphaerici duos ha|bentis angulos cum latere 

interposito notos, utrumlibet reliquorum laterum fiet perspicuunL 

Bursus triangulum FGH perspicuos habeat angulos duos GFH^ FGH 
et inter eos latus FG quoque sit manìfestum. Duonim laterum igitur FH^ 
GH utrumlibet etiam liquebit. Sumatur ergo AL similis ipsi FG^ et angu- 
lus LAQ aequalis angulo GFH, angulus vero ALS aequalis angulo FGH 
et secundum regulamentum habeat KQS rectam lineam et communis sectio 
regulamenti LQS et inclinati AQC sii punctus Q. 

Et quoniam angulus LAQ notus est — ex hjrpothesi enim aequalis an- 
gulo GFH — pari modo innotescit ALQ. Nota igitur erit sectio §, quare 

471' et parallelus NQO, \ quot gradibus contemplatione ipsius K puncti inserviat, 
innotescet. Igitur et quod existat graduum AQ portio inclinati AQC patebit. 
Subinde liquet latus FH^ cui similis est AQ sectio, sitque LP simul ipsi 
LQ aequalis. Perspicuum itaque erit, quot graduum ipsa LQ habeat signifi- 
cationem. Atqui LQ peripheriam repraesentat similem ipsi G^^ lateri, ergo 
et latus GH clarebit. Utrumque igitur laterum JPJT, GH imica inquisitione 
manifestatum est. Ergo dati brianguli sphaerici duos etc. 

Sit igitur trigonus talis FGH, habens duos angulos notos FGHj GFH^ 
angulum quidem GFH grad. LVIII, angulum vero FGH graduum LXXXXIX, 
latus autem FG inter eosdem existens angulos grad. XLL Sit ergo AL si- 
milis gradibus XLI, et ALQ angulus aequalis grad. LXXXXIX, id est angulo 

471'' FGH aequalis, et LAQ angulus aequalis gradibus LYUI, ; quos angulos GFH 
complectitur, hoc est assumatur AQC inclinatus, qui sit ab ^C dimetiente 
numero LVIII, iam Q sectio communis ipsius regulamenti LQS et inclinati 
AQC perspicua est et data. At per eam veniens parallelus NQO est in or- 
dine quasi XXIX, qui collatione sui ad punctum K significat gradus fere LXIX 
et semis, quibus sectio AQ similis perhibetur ipsi FH latori simiHs existens. 
Igitur latus FH erit cognitum in gradibus LXIX et senùssae; rectam autem 
lineam L Q secundum regulamentum ostendit constare quasi partibus XL, quibus 

^ LP aequalis sumpta perhibet latus GH esse quasi graduum LIIII. Utrumque 
igitur latus FH, GH trianguli FGH est liguidum, quod oportebat* estendere. 



7. Theorem. 

Bestimmung der ùbrigen Stficke eines sphftrischen Dreiecks 
aus einer Seite und den heiden anliegenden Winkeln 

Gegeben: FG, ^ GFH una ^FGH Gesucht: FHxmà GH{Fìg.9à). 

Man macht J.X = proj. F(r, ALS ^^ FGH (in der oben angegebenen 
Weise) und schneidet KST mit der dem <^ G^FJETentsprechenden EUipse^QC 
in Q. Hieraus ergeben sich die ubrigen StUcke; OQN\\JK und so weiter. 



Liber sextua. 241 

Theorema octayum.l 

Trianguli sphaerìci duos notos habentis angulos subtensum 472' 
Inter eos latus cognìtum reliqnus quoque angnlus patebit. 

Sìt datus sphaericus trìgonus FGH duos habens notos angulos FGH^ 
GFHj et latus FG Inter eosdem protensum quoque liquidum. Dico, quod 
reliquus angulus FHG quoque perspicietur. Ergo per praecedens septimum 
theorema reliquorum laterum trigoni FGH alterum innotescat, et sit illud 
FHf quo cognito constituetur triangulum FGH bina possidens perspicua 
latera FG, JF'i/' angulum Grl^J? liquidum etiam ex hjpothesi comprehendentia. 

Quare per theorema quartum angulus FHG^) clarus quoque prodibit. 
Igitur trianguli sphaerìci duos notos habentis angulos FGH, GFH subten- 
sumque inter eosdem latus FG cognitum | reliquus quoque angulus FHG 472*^ 
perspicuus est, quod oportuit estendere. 

In trìangulo igitur sphaerico FGH dato angulus GFH sit graduum 
LVm, angulus vero FGH grad. LXXXXTX, latus autem FG grad. XLI; iam 
oportet angulum FHG quoque in iisdem gradibus notificare. 

Per praecedens theorema septimum latus FH gradus habet LXIX et se- 
missae. Igitur in trìangulo FGH duobus laterìbus FG, FH notificatis per 
theorema quartum angulus FHG eorundem graduum est fere XLIII et dimi- 
dii, quod est intentum. 

Corrolarinm. 

His octo theorematibus deinceps aperiantur multa honestis- 
sima problemata, cum in negotio ipsius geographiae, tum etiam 
astronomiae. 

Estque in praesenti organo exquirendorum problematum modus facilis | et 473*' 
promptus. 

Si quidem cum omnia singulis tantum introitibus aut ad summum du- 
plici discutiuntur, in ceteris vero plurìma eorundem problematum trìplici aut 
quadruplici et nonnunquam etiam quintuplici exhibentur introitu, quod stu- 
dioso investigatori oh hanc inquisitionis prolixitatem stomachum facile poterìt 
gignere atque praedictis meteoroscopiis contemptum afPérre. 

Verumtamen sunt nonnulla problemata, quae ex praemissis organis com- 
modius, quam in hoc solvuntur, quae hic etiam consulto praetermittere censui. 

a) Ha. hat FGH. 



8. Theorem. 

Bestimmung des dritten Winkels eines spharischen Dreiecks 
9.VLS einer Seite und den beiden auliegenden Winkeln. 

Gegeben: ^FGH, ^GFH, FG. Gesucht: ^FHG. 

Man bestimmt nach Theorem 7 die Seite FH, dann nach Theorem 4 
den ^FHG. 

Beispiel: <^G^FJ?=58^ ^FGH^^^\ FG ^ 4.1\ Resultati 
FG - 69^^ ^ FHG = 43^«. 

Abhdlgn. b. Oesoh. cL m»th. WUs. XXIV, S. 16 



242 Liber sextuB. 

Sed de theorematibus, quantum ad praesentis organi ingressum sufficit 
satis, iam ipsa problemata sunt treniter explicanda. 

Principium geographìcis iure tribuetur, quorum causa praesens organum 
473"" praecipue fuit a me excogitatum. | 

Problema prininm. 

Exhibitis duorum locorum latitudinibus atque spatio itineris 
cognito longitudinis differentia perspicua prodibit. 

Et quoniam duarum latitudinum complementa differentiam longitudinis 
complectentia, si loca illa pariter vel in septemtrionem vel in austrum ver- 
gant, iunguntur in eodem mundi polo, et eadem itineris intervallum in reliquis 
connectit partibus. 

Igitur trigonum sphaericum ex magnorum circulorum portionibus com- 
pactmn lateribus tribus exhibetur simul liquidis, ut nos angulum a duobus 
eorum comprehensum, videlicet differentiam longitudinis defìniamus, id autem 
a nobis facile fìet ex primo theoremate. | 
474' . Sit ergo unus locorum 6r, alter H, iter GHj sectio magni circuii in super- 
ficie terrae polus mundi borealis I\ et duarum latitudinum complementa sectiones 
duae circulorum magnorum FG, FU, quibus et itinere (?^ perspicuo angulus 
GFH, idest differentia longitudinum eorundem locorum G, i/, per theorema pri- 
mum prodibit cognita, quia iam constituitur trìangulus sphaericus trium noto- 
rum laterum, et angulus a binis eorum contentus proponitur investigandus. 

Ut si latitudo ipsius G loci contineat grad. XLIX; quare complementnm 
eius, id est latus FG trigoni FGH existit grad. XLI^ et locus A babeat lati 
tudinem grad. XXX et semis, igitur eius complementum FH relinquitur gra- 
duum LXIX et semis*), iter autem GII comprehendat stadia 27000, quibus 
474^ si Ptolemaeo crejdimus, LIIII aequantur. Ergo ex primo tbeoremate angulus 
GFH^ id est quaesita longitudinum differentia, praebetur nobis fere graduum 
LVIII, quod oportuit investigare. 

Ubi autem exbibita loca non in unam ab aequatore plagam secesserint, alte- 
ri us loci latitudo quadranti, idest LXXXX gradibus, addatur, qua aggregationis 
summa et alterius latitudinis complemento atque itinere, ut prius, est utendum. 



a) Hs. hat die Worte igitur . . . bis semis doppelt. 



1. Problem. 

Bestimmung der LUngendifferenz zweier Orte aus 
ihren Breiten und ihrem Abstand (Fig. 95). 

Im spharischen Dreieck FGH ist F der Poi, G und H 
die beiden Orte, l'G^ = 90^ — /3i, FH^^O^—^^, GH-^i, 
X^^ GFH (Tbeorem l). 

Beispiel: ft = 49^ §^ =- 30^®, i = 27000 Stadien - 
54», 1=58®. 

2. Problem. 

Bestimmung des Neigungswinkels eines von zwei Orten aus 
ihren Breiten und ihrem Abstand. 




Liber sexttis. 243 

Quoties autem in geographìcis hi8 problematibus mundi polos appello, ea 
terrenae superfìciei pnncta intellìgantur, ex quibus* axis mundi proyeniet, ac e 
regione et diametrum sibi ìnvicem obiciuntur ipsos quoque magnos cìrculos, 
in quìbus spatia itineraria et latitudinis ac eorum complementa numerantur, 
in eadem curva telluris superfìcie describi. 



Problema secundnm. 

Cognitis duorum latitudinibus locorum atque itinere alter 476' 
inclinationum angulus revelabitur. 

Duorum latitudines locorum F^ H sint cognitae, atque eorum iter FH^ et 
propositum esto angulum inclinationis apud F locum notum fieri, rursusque 
mundi polus in eadem plaga constìtutus sit 6r, et complemeutum latitudinis 
loci F sit JP 6r, et GH complementum ipsius loci H\ iam constituto trigono 
sphaerico FGH notorum laterum quaeritur, quantus sit angulus GFH, quo 
scilìcet definitur inclinatio seu diverticulum itineris FH a meridiano FG. 

Est enim angulus inclinationis itineris apud alterum locorum, qui loci 
meridiano atque itinere apud eiusdem loci yerticem iungitur. 

Sit item exempli gratia F loci latitudo grad. XLIX, igitur FG eiusdem 
complementum erit grad. XLI et la|titudo loci /fgrad. XX et semis; ergo eius ^''^^ 
GH complementum grad. LXIX semis constituetur, iter autem FH stadia 
27000 complectatur, quae iurta Ptolemaei sententiam, qui singulis gradibus 
magni circuii quinquagena tribuit stadia, implent gradus TJTT T. 

Ergo per primum theorema angulus itinerarii diverticuli apud F locum 
ferme gradus LXXXXIX sortietur, quod erat investigandum. 

Ita ipsum problema fìt, quando locorum latitudines in eandem aequatoris 
partem abierint; quando autem in diversum constituentur, tunc uni latitudi- 
num grad. LXXXX iungantur, cum bac deinde summa et cum alterius latitu- 
dinis complemento perinde ac duarum complementis latitudinimi fiat inquisitici 
et patebit quaesitum. 

Problema tertium. 

Duorum latitudinibus locorum atque diffejrentia longitudi* *''^' 
num datis dimetiemur itinerarium interstitium eisdem compre- 
hensum locis. 

Im A FGH ist G der Poi, F und H die beiden Orte, G^l'»- 90® — /Jj, 
GH^ 90® - 1^8, « - GFH (Theorem 1). 

Beispiel: ft = 49®, |3, = 20^®, i=54®, « = 99®. 

3. Problem. 

Bestimmung des Abstandes zweier Orte aus ihren Breiten und 
ihrer Lllngendifferenz. 

Im A FG^^ sind die einzelnen Sttlcke wie beim Problem 1. L5sung mit 
Theorem 2. 

Beispiel: ft = 49®, j32«20|, A = 58®, * = 54®. 

16* 



244 Lìber sextus. 

Sint data loca G^ JET, quibus latitudinam complementa sìnt FG, FH, 
subiecto YÌdelicet F prò mundi polo, ita, ut angulus GFH sit differentia lon- 
gitudinum, quibus cognitis perspicuum quoque ^i GH iter per secundum 
theorema; constituitnr enim trìgonus sphaericus FGH duo latera FGj FH 
nota continens liquidum comprebendentia angolum GFHj idest differentiam 
longitadinum subiectam, et quaeritur tertium latus, idest iter GH, 

Sit igitur exempli causa FG complementum graduum XLI et FU com- 

plementum grad. LXTX et semis, différentia longitudinum GFH LYIH in- 

venietur per secundum theorema, GH iter gradus LULii, idest stadiorom 

476^ 27000, I quod oportebat invenire; quod si latitudines in diversum abeant, fiat, 

ut ante, in secundo problemate. 

Problema quartum. 

Duabus latitudinibus differentiaque longitudinum itineris ab 
altero locorum diverticulum quantum sit, agnoscere. 

Sit locorum unus Gr, alter H^ eorumque latitudinum complementa FG, 
FH, différentia longitudinum GFH. Sit itaque propositum iter GH, iam 
intentio erit reperire, quantns sit FGH angulus, idest diverticulum itineris 
GH 9k loco G, Et quoniam iam constitutus est sphaericus trigonus FGHàm 
altera FG, FH possidens perspicua liquidum comprebendentia angulBm 
477' GFH, I idest subiectam longitudinum differentiam, et ex reliquis angulis unos 
quaeritur. Ergo ex tbeoremate quarto patebit propositum. 

Sit exempli causa FG complementum latitudinis loci G grad. XLI et 
FH complementum latitudinis loci H grad. LXIX et semis; angulus vero 
GFH différentia iongitudinis grad. LVIII, igitur per quartum theorema angu- 
lus FGH, qui est diverticulum itineris GH, invenitur fere grad. LXXXXIX, 
quod oportuit reperire; quando autem latitudines diversas aequatoiis partes 
fuerint sortitae, observanda est praeceptio eadem in secundo problemate tradita. 

Problema quintnm. 

Perspicuis duabus latitudinibus atque itinerario diverticulo 
spatium manifestabitur itinéris.| 

477^ Sint loca duo F, U, et alter mundi polus G complementum latitudinis 

ipsius F loci sit FG, et GH complementum sit latitudinis ipsius H loci, et 



4. Problem. 

Bestimmung des Neigungswinkels des einen Ortes aus den 
Breiten und der Lttngendifferenz zweier Orte.' 

LSsung mit Theorem 4. 
Beispiel: wie oben; a = 99^ 

5. Problem. 

Bestimmung des Abstandes zweier Orte aus ihren Breiten 
und dem einen Neigungswinkel. 

LOsung mit Theorem 3. 

Beispiel: i3i = 49^ ?^^i^^, a-58^ t=-69J[-^ 



Liber eexias. 245 

GFU angulus sit diverticnlum itineris FH circa F locum; quaerìtur nunc 
FH iter. Et quia trigonus sphaericus constituitur FGH habens duo latera 
FG^ GH liquida cum angulo GFH alteri locorum ab verso, igitur per tertium 
theorema iter FH prodetur. 

Ut si FG complementum latitudinis loci F fuerit graduum XLI, et GF 
complementum latitudinis H loci extiterit grad. LIIII, et diverticuli angulus 
GFH circa F locum comprehendat gradus LVlil, erit per idem tertium theo- 
rema iter FH ferme grad. LXIX et semis, quod erat declarandum. Hic quo- 
que priorum problematum cautela obseryanda est. 

ProMema sextuin. 

Duae latitudines atque diverticnlum | manifestum differen- 478' 
tiam longitudinum notificant. 

Sint ergo duo loca G, H, et ipsius G complementum latitudinis sit FG, 
et ipsius H latitudinis complementum FH, et itineris GH diverticulum circa 
locum G sit FGH angulus cum duarum complementis latitudinum notus. 
Dico, quod GFH angulus, idest di£Ferentia longitudinum eorundem locorum, 
quoque innotescet. 

lam constitutus est trigonus FGH habens duo latera FG, FH cum 
angulo FGH alteri eonim obverso cognita. 

Igitur per theorema quintum GFH angulus, idest quaesita differentia 
longitudinum, excutietur. 

Esempli causa loci G latitudinis complementum FG sit grad. XLI et 
loci H complementum latitudinis sit FH graduum LXIX et semissis. Diverti- 
culum autem itineris GH circa G locum sit angulus FGH grad. LXXXXIX; 
erit igitur per doctrinam theorematis quinti | angulus GFH, idest quaesita 479^ 
longitudinum differentia, grad. LYIU, quod oportuit investigare, ncque in prae- 
senti problematum antecedentium cautela traditur oblivioni, quoties scilicet 
assnmptae latitudines in diversum ab aequatore abeant. 

Problema septimum. 

Duabus locorum latitudinibus atque positionis seu diverti- 
culi itinerarii angulo uno dato angulum positionis circa locum 
alterum inquirere. ^ 



6, Problem. 

Bestimmung der Langendifferenz aus den Breiten und dem 
Naigungswinkel. 

Losung mit Theorem 5. 

Beispiel: ft==49^ /32 = 20i^ «=99^ A- 58®. 

?• Problem. 

Bestimmung des zweiten Neigungswinkels aus den Breiten 
und dem einen Neigungswinkel. 

Ldsung mit Theorem 6. 

Beispiel: wie das vorhergehende; «' = 43-5®. 



246 Liber seztus. 

Sint duo loca 6r, lì perspicuas babentia latitudines, quarum complementa 
sìnt FG^ FH. Angulus autem posìtionis seu diverticulì itinerariique quoque 
FG-H cognitus. Dico, quod angulus FUG alterius divertdcnli itinerarii circa 
479' H locum non latebit, quoniam ex bypothesì trìgonus iam con|stituitur FG-H 
duo latera FG^ J"//" liquida continens et angulum FGHyim eorum oppositum 
quoque cognitum; igìtur per sextum tbeorema dati spbaerici trigoni cognitis 
duobus lateribus et angulorum eorum opposito reliquus angulus, qui relicui 
lateri obicitur, agnoscetur. Angulus quoque FGH itineiiirii diverticuli iuxta 
K locum innotescet. 

Yelut sit G loci latitudinis complementum FG grad. LXIX et semìs. 
Angulus autem positionis FGH grad. LXXXXEX*, igitur per sextum tbeorema 
alterius positionis angulus iuxta H locum erit fere grad. XLIII et semis, quod 
oportuit investigare. 

Problema octaTum. 

Liquida duorum locorum unius latitudine atque itinere et 
longitudinum differentia perspicietur quoque positionis angulus 
circa cognitae latitudinis locum. { 

MV Inter duo loca F, H cognitum iter sit FH et cognitae loci F latitudinis 

complementum sit FG et H loci latitudinis complementimi esto GF^ differen- 
tia vero longitudinum sit angulus FGH notus. Dico, quod diverticulnm iti- 
neris FH circa F locum, idest GFH^ etiam liquebit. Gum autem G sit mundi 
polus, erit itaque GH sectio magni super eadem sphaera circuii complemen- 
tum latitudinis loci 7/, aut saltem composita ex quadrante et latitudine loci 
H^ sidus loca F^ H non ad eandem aequatoris plagam situm babuerint; iam 
itaque constructum est triangulum sphaericum FGH duo babens latera JFG^ 
FH perspicua et FGH anguli, idest subiectam longitudinum differentiam, 
alteri eorundem laterum obiectam. 

Igìtur per quintum tbeorema GFH angulus, idest quaesitum itìneris 
FH circa locum F diverticulum, patebit. 

Velut in exemplo sit FG complementum latitudinis loci F grad. XLI, 
480' iter FH inter duo loca JP\ H grad. LIIII. | Differentia autem longitudinum, 
idest FGH angulus, grad. LVITI. Igitur per praedictum tbeorema GFH an- 
gulus, idest diverticulum itineris FH circa F locum, erit grad. LXXXXIX, 
quod oportuit investigare. 



8. Problem. 

Bestimmung des Neigungswinkels des einen Ortes aus seiner 
Breite, der L&ngendifferenz und dem Abstand der beiden Orte. 

L5sung mit Tbeorem 5. 

Beispiel: ^i = 49®, i = 54^ A = 58®, a-99«. 

9. Problem. 

Bestimmung der Breite eines Ortes aus der Breite des anderen 
Ortes, der Langendifferenz und dem Abstand der beiden Orte. 



Liber sextus. 247 

Problema nonum. 

Latitudine unius loci et differentia longitudinum atque iti- 
neris intervallo patebit alterius loci latitudo. 

Inter duo loca 6r, H itinerarium spatium GH patet, et 1^6r complemen- 
tum latitudinis loci G quoque liquidnm, differentia vero longitudinum sit an- 
gulus GFH etiam perspicuus, et FH latitudinis loci H complementum, quod 
quaeritur. Eo namque comparato liquebit et latitudo loci H. 

Et quia iam constituitur trigonus FGH, duo cognita habens latera 
FG, I GH et uni eorum oppositum angidum GFH quoque manifestum; igitur 480*^ 
per tertium tbeorema FG complementum latitudinis loci H cognoscetur, et 
consequenter latitudo loci H non ignorabitur. 

Esto igitur FG complementum latitudinis loci G graduum XLI. Iter 
vero GH stadiorum 27000*), idest grad. LIIII. Differentia vero longitudinum, 
hoc est angulus GFH^ graduum LVIII. Erit igitiu: complementum latitudinis 
loci H grad. LXTX min. XXX fere. Ergo et quaesita latitudo loci H est grad. 
XX et semis, quod oportuit investigare. 

Problema deeimum. 

Latitudine itinere et angulo positionis apud locum cognitae 
latitudinis alterius loci cognoscitur latitudo. | 

Duo loca sint P, If, quibus comprehensum iter sit FH notum, et latitu- 481' 
dinis loci F complementum FG. Pateat quoque angulus autem positionis seu 
itineris FH diverticulum apud F locum, sit GFH etiam manifestum. Dico 
latitndinem loci H quoque cognoscì, et quoniam constituitur iam sphaericum 
triangulum FGH habens duo latera JF'G, FH et angulum eisdem contentum 
GFH cognitum, igitur complementum GH loci H ex secundo theoremate 
quoque cognoscitur; quare tandem latitudine loci Jf, quod erit intentum. 

Sit GF complementum latitudinis loci F grad. XLI interque JP, H loca 
comprehensum iter FH sit grad. LXIX et semis, eiusdem autem itineris circa 
JF' locum cognitae latitudinis diverticulum, videlicet angulus GFH sit grad. 
LVIII. Igitur per secundum theorema GH complementum latitudinis loci H 
erit fere grack LIIII, quare latitudo quaesita constabit grad. XXXVI, quod 
oportebat quaerere. 



a) Hs. hat 2700. 



Losung mit Theorem 3. 
Beispiel: wie das vorhergehende. 

10. Problem. 

Bestimmung der Breite eines Ortes aus der Breite und dem 
Neìgungswinkel eines anderen Ortes und dem Abstand beider Orte. 

Losung mit Theorem 2. 

Beispiel: ^^ = 49^ a = 58^ i = 69^^ §^ = 36^ 



248 Liber sextus. 

Problema XI. 

481^ Latitudine, itinere et diverticulo itineris apud locum ignotae 

latitudinis eadem fiet perspicua. 

Sint duo loca F^ Gy quorum iter FG notum, et G locus cognitae sit la- 
titudinis, cuius complementum GH, diverticulum autem itineris FG iuxta 
locum JP quoque pateat. Dico latitudinem loci F etiam patere. 

Et quoniam iam constructum est triangulum FGH duobus constans notis 
lateribus FG^ GH, quomm uni notus opponitur angulus GFH^ igitur per 
tertium theorema latus FH^ idest complementum latitudinis loci JP, innotescet, 
qua tandem eiusdem loci F latitudo prodetur, quae fuit exhibenda. 

Sid iter FG duobus locis JP, G comprehensum grad. XLI, complementum 

latitudinis loci G grad. LITII, diverticulum itineris FG iuxta JP locum, idest 

482' angulus GFH^ grad. LVIII. Igitur ex tertio tlieo|remate FH complementum 

invenietur fere grad. LXIX et semis. Quare eisdem de quadrante sublatis re- 

linquitur quaesita latitudo grad. XX et dimidii, quod fuit prodendum. 

Problema Xn. 

Latitudine, itinere et diverticulo eiusdem apud locum cogni- 
tae latitudinis iuxta locum quoque reliquum ipsius itineris agno- 
scetur positio. 

Sit duobus comprehensum locis iter FG liqnidum, et loci F latitudo 
cognita, cuius complementum FH et iuxta JP locum itineris FG positio, idest 
angulus GFH notus. Dico et reliquum itineris FG iuxta G locum positionem 
fieri manifestum. 

Et quoniam constitutum est sphaericum triangulum FGH duo possidens 
482"^ ex bypothesi perspicua latera FG^ FH li quidum comprehendentia angulom 
GFHy igitur per quartum theorema angulus quoque JPtì^JETmanifestus exhibe- 
bìtur, quod erat quaerendum. 

Sit duobus F, G locis determinatum iter JP6r grad. XLI et FH comple- 
mentum latitudinis loci F contineat grad. LXIX et semis, FG autem itineris 
diverticulum, idest angulus GFH, sit grad. LVIII. Igitur per idem quartum 
theorema reliqua itineris FG positis circa G locum, idest angulus FGHj erit 
grad. LXXXXIX fere, quod erat inveniendum. ^ 

11. Problem. 

Bestimmung der Breite eines Ortes aus seinem Neigungswin- 
kel, der Breite des anderen Ortes und dem gegenseitigen Abstand. 

LOsung mit Theorem 3. 

Beispiel: i = 41^ ft - 36^ a = 58^ p^ - 20^^ 

12. Problem. 

Bestimmung des Neigungswinkels eines Ortes aus der Breite 
und dem Neigungswinkel des anderen Ortes und der gegenseitigen 
Entfernung. 

L5sung mit Theorem 4. 

Beispiel: wie das vorhergehende; a — 99 ^ 



1 



Liber sextus. 249 

Problema XIII. 

Cognito itinere et positionum eius duarum angulis alterius 
liquebit latitudo loci. 

Duobis locis JP, G conclusum iter esto FG notum et hnius apud eadem 
loca duae positiones [ sint duo anguli GFH, FGH quoque manifesti. Dico 483' 
utriusque locorum F, G latitudinem perspicuam fieri. 

Sit igitur intentio loci F latitudinem inprìmis aperire, cuius complemen- 
tum GJB. 

Et quoniam iam ezhibitum est trìangulum duos habens angulos GFH^ 
FGH cum latere inter eos FG perspicuo, igitur per septimum tbeorema latus 
FHy idest complementum latitudinis loci jP, manifestum erit, quo tandem 
quaesita*) latitudo innotescet. Duobus itaque locis F^ G contentum iter FG 
sit gradus XLI, et eius diverticulum in F quidem loco sit grad. LVIQ, apud 
G vero grad. LXXXXIX; ergo per idem tbeorema septimum latus FH, idest 
complementum latitudinis loci F^ erit fere grad. LXIX et semis. Quare ipsius 
loci F latitudo quaesitae erit graduum fere XX et dimidii, quod fuit investi.- 
gandum. 

Problema XIin. 

Quobus diverticulis et itinere perspi|cuo longitudinum diffe- 488' 
r<)ntia manifestabitur. 

Fateat ergo iter FG duobus comprebensmn locis F, G et eiusdem duo 
diverticula seu duarum positionum anguli GFH^ FGH. Dico, eorundem quo- 
que locorum F, G difiFerentiam longitudinum FHG liquidam fieri. Et quia 
constructum est trìangulum FGH duos babens angulos GFH^ FGH et latus 
FG inter eos notum, igitur per octavum tbeorema angulus FHG reliquus, id 
est investigata longitudinum differentia, liquebit. 

Sit ergo iter FG grad. XLI, angulus seu diverticulum GFH grad. LVIII, 
alterum vero diverticulum, idest angulus FGH, grad. LXXXXIX. 

Igitur per idem octavum tbeorema differentia longitudinum FGH erit 
fere graduum XLIII et dimidii, quod erat reperiendum. 



a) Nacb quaesita bat Ha. das Wort erit gestrieben. 



13. Problem. 

Bestimmung der Breiten zweier Orte aus ibren Neigungs- 
winkeln und dem gegenseitigen Abstand. 

LQsung mit Tbeorem 7. 
Beispiel: wie das vorbergebende. 

14. Problem. 

Bestimmung der L&ngendifferenz aus den beiden Neigungs- 
winkeln und dem Abstand. 



LQsung mit Tbeorem 8. 

Beispiel: wie das vorbergebende; X = 43^®. 



250 Liber eextus. 

484' Problema XV. 

Itinere duabusque diverticulis eius utralibet latitudinum 
patebit. 

Duobus ergo locis F^ G intercipiatur iter notum F^ G suaque cognita 
retinens utraque diverticula FGH, GFH. Dico latitudinem utriusque locorum 
F, G quoque notam fieri. 

Sit autem intentio latitudinem loci F elucubrare, cuius latitudinis coni- 
plementum sit FH. 

Rursusque intelligatur constructum triangulum sphaericnm FG Htenens 
duos angulos FGH, GFH et inter eos FG latus notum. Igitur per septimum 
theorema FH complementum innotescet, quo deinde quaesita F loci latitado 
clarebit, quod oportuit in venire. 

Velut itinere FG existente grad. XLI, cuius unum diverticulum iuxta F' 
484*^ locum sit angulus GFH grad. LVIII, alterum vero ad locum G sit | angulus 
FGH grad. LXXXXIX. Igitur per eiusdem theorema septimum FH comple- 
mentum latitudinis loci F comperietur grad. LXIX et semis, qui ex LXXXX 
sublati relinquunt investigatam latitudinem grad. XX et semis, quam oportuit 
invenire. 

Problema XVI. 

Itinere duobusque diverticulis longitudinum innotescet diffe- 
rentia. 

Duoque itaque loca F, G notum teneant iter JP^r et notos positionis 
angulos utriusque GFH, FGH. Dico, quod eorundem locorum FG longitu- 
dinum diversitas fiet manifesta, sitque illa angulus FHG. 

Igitur constructo trigono FGH sphaerico duos angulos GFH, FGH 
et notum inter eos FG latus habente per octavum theorema liquebit reliquus 
angulus FHG, idest explorata longitudinum diversitas. 
486' Velut si FG itineris longitudo fuerit grad. XLI, cuius apud JF" locum 

positio, idest angulus GFH, grad. LVIII, reliqua positio ad G locum angulus, 
scilicet FGH, grad. LXXXXIX. Veniet igitur angulus FHG, idest quaesita 
longitudinum diversitas, per idem octavum theorema grad. XLIII') et semis, 
quod oportuit invenire. 



a) Ha. hat XLIIII. 



15. Problem. 

Bestimmung der Breiten aus den beiden Neigungswinkeln und 
dem Abstand. 

LSsung mit Theorem 7. 

Beispiel: wie das vorhergehende; ^j « 20^®. 

16. Problem. 

Die Aufgabe ist identisch mit Problem 14. 



Liber Bextns. 251 

Problema XTII et geographieum. 

Perspicua longitudinum differentia anguloque positionis eius 
loci, cuins latitudo cognoscitur, alterius quoque patescet loci 
latitudo. 

Sint duo loca (r, H^ quibus intersit GH^ habens ad G locum notae posi- 
tionis, angulum FGH^ ipsiusque loci G latitudo sit cognita, cuius comple- 
mentum FG et angulus GFH esto prò posita longitudinum diversitas, et FH 486^^ 
complementum latitudinis loci //. Dico, quod eiusdem loci H latitudo nota 
etiam fìet. 

Et quoniam ìam constitutum est trìangulum sphaericum duos notos ex 
hjpothesi habens angulos GFH^ FGH et inter eos latus FG, igitur per sep- 
timum theorema cognoscetur latus FH, hoc est complementum latitudinis 
loci H, quo deinde quaesita loci H latitudo non ignorabitur. 

Velut si FG complementum latitudinis loci G sit grad. XLI, et diverti- 
culum FGHgrhà. LXXXXIX, longitudinumque differentia GFH gr&à. LYIÌI. 
Igitur per septimum idem theorema FH complementum latitudinis loci H erit 
grad. LXIX et dimidii, qui de LXXXX sublati relinquunt investigatam latitu- 
dinem loci H graduum XX et semis, quod oportuit explorare. 

Quod si arcus FH quadrante maior inveniatur, ipsi gradibus LXXXX 
detractis reliquum erit quaesita latitudo ad alteram aequatoris partem nume- 
rata. I 

Etsi plura geographica supersint disciplinae problemata, consulto tamen 486' 
ea praeterivi, quoniam ex antecedentibus meteoroscopiis longe congruentius, 
quam ex praesenti, possint explanari. 

Igitur quicumque eorum habuerit opus, illic eadem agnoscet. 

Problema XVUI. 

Elevatione poli, solis declinatione et altitudine data, horam 
diei cognoscere. 

His itaque tribus manifestis perspicientur quoque complementa tria, ele- 
vationis polaris scilicet, altitudinis solis et eius declinationis.- Haec autem 
complementa tria sphaericum constituunt triangulum trium notorum laterum. 
Igitur per primum theorema complementis duobus regionariae, videlicet lati- 
tudinis et declinationis solis | complexus angulus, idest solaris recessus a 486^^ 



17. (Geographisches) Problem. 

Bestimmung der Breite eines Ortes aus der Langendifferenz, 
dem Neigungswinkel und der Breite des anderen Ortes. 

Losung mit Theorem 7. 

Beispiel: jjj = 49^ a = 99^ X = 58^ j^g = 20^^ 

18. Problem (1. astronomisches). 

Bestimmung der Tageszeit aus PolhOhe, Deklination und Hohe 
der Sonne. 



252 Liber sextus. 

meridiano iuxta aequatoris tempora, hoc est gradus innotescet, quo quìdem 
recessu diei hora non ignorabitur, nndecumque horarum computus inchoetur. 

Yelut si fuerit intentio horam diei reperire in regione, cui poli eleyatio 
sive ipsius latitudo sìt gi'aduum XLIX, sitque solis altitudo supra eiusdem 
regionis horizontem graduum XXXYI et solis declinatio grad. XX min. XX. 

His itaque datis seu cognitis eorum quoque complementa sunt perspìcua. 
Ergo polaris elevationis complementum sit arcus FG^ et est grad. XLI, solaris 
altitudinis complementum esto portio G IT grad. LIIII, et complementum decli- 
nationis, idest grad. LXIX min. XL, sit FH. 

Triangulo ìgitur sphaerico ex tribus notis lateribus iam constructo per 
primum theorema patebit angulus GFH in gradibus LVIII fere, quantus sci- 
licet est quaesitus solis a meridiano datae regionis recessus iuxta aequatoris 
tempora, quod oportuit invenire. 



487' Problema XIX et astronomicum secundum. 

Latitudine regionis et solari declinatione altitudineque solis 
a meridiano recessum iuxta gradus finitoris invenire. 

Hunc solis a meridiano recessum astronomorum vulgo iuxta Chaldaeorum 
Arabumve sermonìs idioma nunc inolevit azimut appellari. Ergo posterius 
eiusdem solis recessus verticalem solis angulum aut distantiam a meridiano 
horizontalem nuncupare decrevi, quod is circa verticem constituatur. 

Sit igitur F mundi vertex seu polus aquilonius, FG sectio meridiani si- 
milis complemento regionariae latìtudinis, et portio FH similis complemento 
487^ solaris declinationis , et his FG^ FH sectionibus | notis ex hypothesi angulas 
quoque liquidus continetur GFH; ipse namque ex hypothesi iuxta horam 
datam solis distantia est a meridiano, et quaeritur angulus FGHy angulus so- 
lis videlicet verticalis. Igitur iam construitur triangulum sphaericum FGH 
dua possidens cognita latera FG^ FH, perspicuum quae complectantur angu- 
lum GFH 

Ergo per quartum theorema angulus FGH, idest quaesitus circa finitoris 
verticem solis angulus, innotescet. 

Velut in regione latitudinis grad. XLIX sole declinationem habente grad. 
XX min. XXX et a meridiano distantiam horarum III min. LII, idest grad. 
LVIII. Si praemissus solis circa VBrticem angulus investigetur, erit ergo FGr 
complementum regionariae latitudinis grad. XLI, et FH complementum solaris 
declinationis grad. LXIX min. XXX, et angulus GFH solis a meridiano iuxta 



LSsung mit Theorem 1. 

Beispiel: 9 = 49®, 7/ = 36®, d = 20^20', f = 58'. 

i£h^ 19. Problem (2. astronomisches). 

Bestimmung des Azimuts der Sonne auf PolhShe, 
Deklination und H6he (Azimut « 180® — Vertikaldistanz). 

Losung mit Theorem 4. 
Fig. 96. Beispiel: wie das vorhergehende ; v = 9 9 ®. 




Liber aextus. 253 

subiecta horarum momenta | grad. LVIII. Igitur angulus FGH, solis vide- 488' 
licei yerticalis, per quartum theorema inyenietur fere grad. LXXXXIX, qaod 
oportuit investigare. 

Problema XX et astronomicum tertium. 

Altitudine solis et declinatione horaque diei verticalis angu- 
lus ipsius solis elucescet. 

Id per antecedentia meteoroscopia solvetur apertius. Poterit idem nihi- 
lomìnus et per praesens explicari. 

Sit mundi vertex septemtrionalis G^ fìnitoris autem vertex H^ solaris alti- 
tndinis complementum sectio FII. Eiusdem denique complementum declina- 
tionis sit sectio FG^ et GH meridiani portio complementum regionariae lati- 
tudinis. 

Et quia iam | extat sphaericus triangulus FGH duo ex hypothesi con- 488^ 
tinens nota latera FH^ FG atque angulum FGH oppositum lateri FH^ igi- 
tur per sextum theorema FHG angulus solis verticalis prodetur. 

Velut altitudine solis grad. quidem XXXVI, declinatione vero grad. XX 
min. XXX, et distantia solis a meridiano, idest angulo FGH, iuxta subiectum 
tempus grad. LVIII, idest horas III min. LII; erit igitur FG solaris altitu- 
dinis complementum graduum LIDI, et complementum declinationis FG grad. 
LTTTX min. XXX. 

Igitur per sextum theorema angulus FHG circa fìnitoris verticem reperi- 
tur grad. LXXXXIX, quod oportebat exhibere. 

Problema XXI et astronomicum quartum. 

Solis et altitudine et declinatione horaque diei regionis lati- 
tudinem cognoscemus. 

Sit G mundi polus, // fìnitoris vertex et F solis centrum; igitur ex de- 
finitione et praesenti hypo thesi sectio FG erit complementum solaris decli- 489' 
nationis et HF eiusdem complementum altitudinis, denique FGH angulus 
tempus exprimit, quo sol a meridiano recediti et quaeritur GH meridiani 
portio, idest complementum latitudinis regionariae. 

Et quia construitur triangulum sphaericum FGH duo possidens latera 
FGj FH et angulum FGH notum FH lateri patenti oppositum. Igitur ex 
theoremate tertio latus HG liquidum prodibit complementum sub ter elevatio- 
nis polaris. 

20. Problem (3. astronomisches). 

Bestimmung des Azimuts der Sonne aus Hohe, Deklination 
und Tageszeit (Stundenwinkel). 

Losung mit Theorem 6. Beispiel: wie das vorhergehende. 

31. Problem (4. astronomisches). 

Bestimmung der Polhòhe aus Hohe, Deklination und Stunden- 
winkel der Sonne. 

Losung mit Theorem 3. 



254 Liber Bextas. 

Velut si latus FG complementmn declinationis existat grad. LXIX min. 
XXX et Solaris altitudinis complementum FH grad. LIIII, distantiaque solis 
a meridiano iuxta datum tempus, idest angulus FGH^ grad. Lviil seu hora- 
rum ni min. LII. 

Igitur per idem theorema tertinm HG latus, idest complementum quae- 
sitae latitudinis regionariae, manifestum erit in grad. XLI fere, quo ex grad. 
LXXXX sublato ipsius regionis latltudo relinquitur grad. XLIX, quod oportuit 
invenire. 
^^^' Idem quoque de | quibuscumque stellis datis earum supra horizontem 

altitudine et declinatione atque horis, quibus a meridiano disteterit, pari ratione 
comparabimus. 

Problema XXII et astronomieimi quintnm.*) 

Eegionis latitudine et declinatione horaque diei, solis supra 
finitorem qualiter altitudo prodeat. 

Esto polns mundi sublimis jP, et complementum regionariae latitudinis 
FG^ solaris autem declinationis complementum estolli/, et G^^comjplemen- 
tum solaris elevationis supra finitorem subiectum, et GFH angulus indicat 
horarium solis a meridiano recessum. 

Et quia iam constituitur trigonus sphaericus FGH habens duo latera 
FG^ FH cognita, et angulum GFH ab eis comprehensum, igitur per secun- 
dum theorema latus GH angulus GFH subiectum innotescet, ipsum autem 
est complementum quaesitae solaris altitudinis. 

Igitur regionis latitudine et declinatione solis horaque diei solis altitudo 
supra finitorem prodita est, quod oportuit ostendere. 

Velut in hoc exemplo sit FG regionariae latitudinis complementum grad. 
XLI, et FH complementum solaris declinationis grad. LXIX et semis, et hora- 
rius solis a meridiano recessus grad. LVIII, qui scilicet determinat angulum 
GFH, erit itaque GH complementum quaesitae elevationis grad. prope UIII, 
quibus ex grad. LXXXX detractis desiderata solis altitudo supra datum finito- 
rem relinquitur grad. XXXVI, quae fuit investiganda. | 

490"" Problema XXIII et astrouomicum sextum. 

Regionis latitudine et declinatione solis atque hora diurna 
angulum solis verticalem invenire quo pacto deceat. 

a) Ver dem Wort quintum hat Ha. dae Wort quartum gestrichen, und nach 
quintum die folgenden Worte (vgl. Probi. XXI): Solis et altitudine et declinatione 
horaque diei regionis, latitudinem cognoscemus. Sit G mundi polus H finitoris vertex. 



22. Problem (5. astronomisches). 

Bestimmung der Sonnenhòhe aus Polh5he, Deklination und 
Stundenwinkel. 

Losung mit Theorem 2. Beispiel: wie das vorhergehende. 

23. Problem (6. astronomisches). 

Bestimmung des Azimuts aus Polhòbe, Deklination und Stun- 
denwinkel. 



Liber Bextus. 255 

Esto rursns mundi polus sublimis F^ complementom solaris declinationìs 
FH et reliqua, ut in praecedenti problemate subiciantur. 

Ergo per quartum theorema in trìgono sphaerico FGU continente duo 
latera FG^ FH cognita et angulum GFH ab eis comprehensum, angulus HGF 
perspicuus erit, quo ex semicìrculo sublato reliquum solis alter est a meridiano 
verticalis recessus. Ergo in regionis latitudine et declinatione solis, ut supra. 

Yelut si FH solaris declinationis | complementum fuerit grad. LXIX et 491' 
semis et complementum regionariae latitudinis FG grad. XLI et borarius solis 
a meridiano recessus, angulus scilicet GFH^ grad. LVUI. Igitur per quartum 
theorema angulus HGF, idést borizontalis solis a meridiano remotio, prope 
constabit grad. LXXXXIX. 

Quod si reliquum eius verticalem desideras, subtractes grad. LXXXXIX 
ex semicirculo; remanebit residuus angulus verticalis grad. LXXXI, quod opor- 
tuit invenire. 

Problema XXIIII et astronomicum septimum. 

Altitudine polari et declinatione solis eiusque horizontali a 
meridiano distantia solaris super datum finitorem elevatio mani- 
festabitur. 



Esto mundi polus arcticus JP, complementum datae regionariae latitudinis 491' 
FH, et GH complementum solaris elevationis supra horizontem subiectae 
regionis. 

Et quia ex bypothesi constitutus est trigonus FGH babens duo latera 
GFH nota et angulum FHG, igitur per tertium theorema HG latus liquebit. 
Id autem est complementum solaris ad defìnitorem elevationis, quae quaere- 
batur. Ergo altitudine polari et declinatione solis eiusque horizontali a meri- 
diano distantia etc. 

Velut si jP6r complementum declinationis solaris fuerit grad. LXIX et 
semis, et complementum regionariae latitudinis FH grad. XLI, et borizontalis 
a meridiano distantia, idest angulus FHG, grad. LXXXXIX, erit igitur per 
dictum theorema tertium latus HG, idest complementum elevationis quaesitae, 
graduum prope Lini. 

Quare et ipsa solaris ad horizontem suppositum elevatio graduum XXXYI, 
quod oportuit reperire. 



Problema XXV et astronomicum octaYum. *^2' 

Elevatione polari et declinatione solis ipsiusque a meridiano 
distantia horizontali bora diei declarabit. 



Losung mit Theorem 4. 

Beispiel: wie das vorhergehende; J. = 81^ 

24. Problem (7. astronomìsehes). 

Bestimmung der Sonnenh5he aus PolhQhe, Deklination und 
Azimut. 

LSsung mit Theorem 3. 
Beispiel: wie das vorhergehende. 



256 Liber sextus. 

Sii rarsus mundi vertex supemns jP, complementam*) FH^ angolus solis 
vertìcalis FGH, 

Et quoniam nunc exstat triangulns habens duo latera GF^ FH^) nota et 
FGH angulum ex hjpothesi, igitur per quintum theorema notis comprehensus 
lateribus angulus GFH, idest horarius solis a meridiano recessus, patebìt 
Ergo elevatione polari et declinatione solis ipsiusque a meridiano distantia 
borizontali bora diei declarabitur. 

Ut si FG complementum regìonariae latitudinis fuerit grad. XLI, et FH 

complementum solaris declÌDationis grad. LXIX et semìs, angulus autem FGH 

492^ verticalis grad. LXXXXIX, | erit per quintum tbeorema angulus GFHy idest 

borarius solis a meridiano recessus, grad. fere LYIII, quod oportuit inyenire. 

Problema XXYI et astronomlcum IX."") 

Latitudine regionis et solis altitudine boraque diei angulus 
solis verticalis patebit. 

493' Polus mundi superior esto 6r, polaris elevationis complementum FG et 

complementum altitudiuis solis ad subiectum finitorem sit FHj borarius solis 
a meridiano recessus FGH angulus. 

Et quoniam completum est triangulum spbaerale duo perspicua possidens 
latera ex hjpotbesi FG, FH et alteri eorum angulum obversum FGH^ igi- 
tur per quintum tbeorema angulus GFH liquebit, idest quaesita solis a meri- 
diano distantia borizontalis; ergo latitudine regionis et solis altitudine boraque 
diei angulus solis verticalis patebit. 

Ut si FG complementum polaris elevationis sit grad. XLI, FH comple- 
mentum solaris elevationis grad. LIIII et borarius solis a meridiano recessus 
FGH gr&d, LVin, erit per quintum tbeorema angulus GFH gnA, LXXXXIX, 
idest quaesita solis a meridiano distantia, quam oportuit invenire. 



a) Hier fehlt dedinatùmis, b) Hs. bat GFH, 

e) In der Hs. stebt Problema XXYI nacb XXYU, wie es *au8 den Folienan- 
gaben am Rande ersicbtlicb ist; durcb die Bucbstaben a und h wird aber die 
ricbtige Reibenfolge angegeben. 



25. Problem (8. astronomisches). 

Bestimmung des Stundenwinkels aus Polbòbe, Deklination 
und Azimut. 

Losung mit Tbeorem 5. 
Beispiel: wie das vorbergebende. 

36. Problem (9. astronomisehes). 

Bestimmung des Azimuts aus Polb5be, Sonnenbòbe und Stun- 
denwinkel. 

Losung mit Tbeorem 5. 
Beispiel: wie das vorbergebende. 



Liber sextus. 257 

Problema XXTII et astronomieum X. 498^ 

Elevatione polari solisque verticali angulo et horaria ipsius 
a meridiano distantia supra finitorem subiectum eius altitudo 
reperitur. 

Esto borealis mondi vertex 6r, complementum polarìs elevationis FG, 
horaria solis a meridiano remotio angulus FGHj at horizontalis eius ab eodem 
meridiano distantia angulus GFH. 

Completo itaque trigono FGH duos liabens angulos notos FGH, HFG^ 
et inter eosdem coUocatum latus FG'^ igitur per septimum theorema latus FH 
liquebit, complementum scilicet quaesitae solis altitu|dinis. Ergo elevatione ^d^' 
polari solisque verticali angulo et horaria ipsius a meridiano distantia ad 
horìzontem subiectam ipsius quoque altitudo reperitur, quod oportuit estendere. 

Ut si regiotiariae latitudinis complementum FG fuerit graduum XLI et 
horarius solis a meridiano recessus FGH angulus grad. LVULL, horizontalis 
vero GFH angulus grad. LXXXXIX, igitur per septimum theorema latus FH^ 
idest complementxun solis supra finitorem altitudinis, grad. LNII fere prodibit, 
quod oportuit investigare. 

Problema XXYELI et astronomieum undeeimnm. 

Latitudine regionis et solis altitudine ipsiusque a meridiano 
distantia verticali horam perspiciemus diurnam. 

Manentibus praecedentis problematis subiectionibus et hypothesibus com- 
pletoque trigono sphaerico possidente latera duo FG, FH cognita et angn- 
lum eis comprehensum GFH, per quartum igitur theorema reliquus angulus 
FGHy idest horarius solis a meridiano recessus, prodetur; ergo latitudine 
regionis et solis altitudine etc., quod oportuit indicare. 

Yelut si complementum | polaris elevationis fuerit grad. XLI et altitu- 494^ 
dinis solaris complementum grad.LIIII, angulus autem verticalis soHs FGH 
grad. LXXXXE^, igitur per^) quartum theorema horarius solis a meridiano 
abscessus invenietur prope grad. LVlLL, quod fuit perscrutandum. 

a) Ha. hat pre statt per. 



27. Problem (10. astronomisebes). 

Bestimmung der Sonnenhdhe aus PolhÒhe, Azimut und Stun- 
denwinkel. 

L^sung mit Theorem 7. 
Beispiel: wie das vorhergehende. 

28. Problem (11. astronomiscbes). 

Bestimmung des Stundenwinkels ausPolhohe, Sonnenh($he und 
Azimut. 

L5sung mit Theorem 4. 
Beispiel: wie das vorhergehende. 

Abhdlgn. I. Oesch. d. math. WIbi. XXTV, 2. 17 



260 



Wfirterbuch. 



inolescere 

inscitia 

intercalare 

intercapedo 

interstitiam 

ìntroituB 

inyestigator 

itentidem 

lambere 
lenca 

longinsculuB 
IncalentuB 

mediare 
mediatìo 
minium 
mutilns 

novenariuB 
nuncupare 

oberrare 

oblivio 

obserare 

obtnndere 

obvertere 

occiduuB 

occultatio 

orbita 

organmn 

paiam 

palpatio 

pariformiB 

pariliB 

partiliter 

pecnliarìs 

peritia 

permutatim 

perstringere 

plaga 

platice 

prolixas 



anwachsen 

Un^erstand, Unwissenheit 

einschaltexi 

Unterbrechung 

Zwiflchenranm 

Eingang, Yorspiel 

Erforscher 

wiederholt, immer wieder 

lecken, Btreifen 

= leuga gallische Meile 

(lieue) 
ziemlich 
recht hell, anselmlich 

halbieren 
Mitte 

Bergzinnober 
yeratCiinmelt 

auB neon bestehend 
nennen, benennen 

hin und ber irren 

VergeBsen 

verriegeln 

abBtumpfen 

sich binwenden 

untergehend 

Verbergen 

Wagengeleis, Bahn 

Instrument, Werkzeug 

offen, bekannt 

BetaBtung 

gleicbfdrmig 

gleich, gleichfdrmig 

teilweise 

eigentamlich 

Erfahnuig 

nmgekehrt 

Btreifen 

Gegend, DiBtrikt 

im allgemeinen 

reichlich 



ratiocinari rechnen, ùberlegen 
r^gulamentum J 



relicuuB 
rimari 

saphea 

Bchema 

Bciothericon 

BcriptoreuB 

Bcratari 

Bcmtiniam 

serotinuB 

Bignifer 

Bignificator 

stomachuB 

Btrictitndo 

Bubtendere 

Bubter 

snbtexere 

BabtuB 

Baccingere 

Bnccinctim 

BUccinctuB 

BuffaltoB 

Bummatim 

BupervacaneuB 

Bapputatio 

tacìtomitaB 

tarditaB 

taxare 

tenuere 

teres 

tingere 

transilire 

tranBverBUB 

trepidalo 

trìfariam 

umbilicuB 
ad ungaem 
uBurpare 

rerboBitaB 

yicinia 

YÌCÌB8Ìm 

yindicare 

virgnla 

volubilis 



sa reliquus 

zerBpalten, dorchforBchen 

Grenzkreis 

Figur 

cxiod'riQixóvy Sonneuuhr 

Schreibrohr 

dnrchforschen 

DorchBuchung 

Bp&t 

TierkreiB 

Bezeichner 

Schlund, ùbertr. iìrger 

Enappheit 

daronter aich ausdehnen 

unterhalb 

anweben, anBchliefien 

unten 

aoBBtatten 

kdrz 

fertig, bereit 

T. Boffalcire anterfltùtzen 

den Hauptsachen nach 

ùberflùBBig 

AuBrechnung 

Schweigen 

LangBamkeit 

ermitteln 

vermindem 

gedreht, gerundet 

beBtreichen 

ùberBprìngen, ùbenchrei- 

ten 
querliegend 
Unruhe 
dreifach 

Nabel, Mittelponkt 
bis aufs Haar 
handhaben 

Weitlftufigkeit, Ge- 

Bcliw&tzigkeit 
Nachbarsc^aft 
wiedemm; dagegen 
in Ànspruch nehmen 
Rute, Stab 
drehbar 



Beriohtigang* 

Infolge eines VerBebenB Bind einige Fehler in der Numerierung der Seitea 
der HandBchrift stehen geblieben: 

Yon S. 49 bis 54 mùssen Btets r und v vertauscht werden ; S. 66 Z. 15 geh5rt 
248"" an den Rand; von S. 55 Mb 60 ÌBt ebenfallB r und v zu vertauBchen; von 
S. 60 biB 64 mufi es heiBen: 254% 255% . . . 258^ Btatt 256% 256^, . . . 25»\ 



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Verlag von B.G.Teubner in Leipzig und Berlin, 

XII. Heft. ILGurtse, Urkxmden sur Gesohlohte der Hathematik Im Mlttelalter und der 
Renaissance. I. Teil: I. Der ^ber Embadorum" dei BaTasorda in der Ùbersetsung dea 
Plato Ton TìyoU. II. Der Briefweoheel Begiomontana mit Oioyanni Bianchini, Jacob von 
Speier and Christian Bdder. Mit 197 Figuren im Text. [X n. 886 S.] 1902. n. «^ 16.— 

XIII. Heft. M. G n r t a e, Urknnden sur Gesohiohte der Mathematik im Mittelalter und der Benaissance. 
II. Teil : III. Die «Praotica Geometrìae" dea Leonardo Mainardi aus Cremona. — lY. Die 
Algebra des Initini Algebras ad Ylem Geometram magistrum snam. Mit 117 Flgnren im 
Text. [IV a. SdS S.] 190». n. JC U.— 

XIY. Heft. A. A. BJ Ambo, Studien aber Menelao*' Sphftrik. Beitrige aur Gesehichte der 
Sphftrik nnd Trigonometrie der Griechen. — H. Suter, Naohtr&ge und Berichtigongen su 
f,Die MathematLker nnd A stronomen der Araber und ihre Werke". — K. B o p p , Antoine Aznauld, 
dergrofieAman]d,alsMathematiker. Mit 113 Fig. im Text [VIEI n. 387 S.] 1902. n. «M:16.— 

XT. Heft. P. Sauerbeok, EtnleHong in die analyt. Geometrie d. hòh. algebraisohen Kurven. Nach 
den Methoden von Jean Pani de Goa de Malres. Mit 76 Fig. im Text. [VI tu 166 S.] 1902. n.JiS.-^ 

XYI. Heft. I. Teil. E. WOlffing, mathematischer Baohersohats. Systematisches Yeraeiohnis 
der wìchtigsten deutachen nnd aasl&ndischen Lehrbiloher und Monographien des 19. Jahr- 
hunderts auf dem Gebiete der mathematisohen Wissenschaften. In iwei Teilen. I. Teil: 
Beine Mathematik. Mit einer Einleitnng: Krìtisohe Ùbersioht tlber die bibliographlsohen 
Hilfsmittel der Mathematik. [XXXYI n. 416 S.] 190.1. Geh. n.JiU.—, geb. n. JC15.—. 
II. Teil : Angewandte Mathematik. [In Yorbereitnng.] 

XYII. Heft. H. G. Zenthen, Geschichte der Mathematik im 16. nnd 17. Jahrhnndert. [YIH 
a. 484 S.] 1903. Geh. n. JC 16.—, geb. n. JC 17.— 

XYI II. Heft. J. L. Heiberg, MathematUohes zu Aristotele!. — G. H. Mflller, Studien sur 
Gkfichichte der Mathematik, insbesondere dea mathematischen Unterrichts an der UniverBit&t 
GOttingen im 18. Jahrhnndert. Mit einer Einleitnng: tTber Charakter und Umfang hiatorischer 
Forschung in der Mathematik. — B. Lindt, das Pxlnxip der yirtuellen Geaohwindigkeiten, 
aeine Beweiae und die UnmOglichkeit aeiner Umkehrung bei Yerwendung dea Begriffa „Gleioh- 
gewicht einea Maaaenaystems". Mit 84 Figuren im Text. [II u. 196 8.] 1904. n. .^ 6.— 

Sonderabdruck. C. U. M 11 1 1 e r , Studien sur Geschichte der Mathematik, inabea. dea mathe- 

matiachen Unterrichta an der Universitftt GOttingen im 18. Jahrhnndert. Mit einer Einleitnng: 
Ober Charakter und Umfang historischer Forschung in der Mathematik. [94 S.] 1904. n.JCi.— 

XIX . Heft. Lobatsohefskijs imaginitre Geometrie und Anwendung der imagin&ren Geometrie 
auf einige Integrale. Aus dem Bussischen Ubersetat und mit Anmerkungen herausgegeben 
Ton H. Liebmann. Mit 89 Figuren. [XI u. 188 8.] 1904. n. ^8.— 

XX. Heft. In 8 StOcken. 1. StQck. F. Mailer, Karl Sohellbaeh. Rtlckbliek auf sein -wisaen- 
Bohaftliohea Leben. Nebst zwei Schriften ana aeinem Kachlafi und Brìefen Ton Jacob!, 
Joachimsthal und Weierstrafi. Mit 1 BUdnis. [86 S.] 1905. n. •/£2.80. 

2. Stflck. K. Bopp, die Kegelachnitte dea Gregoriua a St Yincentìo in Terglolchender 

Bearbeitung. Mit 829 Figuren im Text. [HL u. 228 S.] 1907. n.JClO.— 

3. St&ck. S. Bothenberg, geachichtliohe Daratellung der Entwicklung der Theorio 

der alngulftren LOsungen totaler DifFerentialgleiohungen von der ersten Ordnung mit z-wei 
rariablen GrOfien. Mit 5 Figuren im Text. [90 8.] 1908. n. «^8.60. 

X XI. Heft. Leibnisens nachgelasaene Schriften phyaikaliachen, meohaniachen und tochnlsohen 
Inhalta. Herauag. u. mit erlftut. Anmerk. vera, y . E. G e r 1 a n d. [YI u. 256 S.] 1 906. n. ^ 10 . — 

XXII. Heft. Briefwechsel zyrisohen C. G. J. Jacobi und M. H. JaoobL Herausgegeben yon 
W.Ahrena. Mit 2 Bildnissen. [XX u. 282 S.] 1907. Geh. n. J£ 6.90, geb. n../^ 7.50. 

XXIILHeft. K.Hering, das200j&hrigeJubilftumderDampftaia8ohine 1706—1906. Einehistorlsch- 
teehnlich-virtaohaftliohe Betrachtung. Mit 13 Fig. im Text. [lYu. 58S.] 1907. n..^l.60. 

XXI Y. Heft. Joannla Yerneri de triangulia aphaezioia libri quatuor, de meteoroacopiia 
libri sex cum procemio Georgil Joachimi Bhetiol, herausgegeben yon A. A. BJOrnbo. — I. De 
triangulia aphaorida libri quatuor. Mit 1 Bildnia Wemera, 12 S. Fakaimlle dea Titela 
aowle der Einloitung zu der Orìginalausgabe Gracau 1557 und 211 Figuren im Text. [Ili 
u. 184 8.] 1907. n. Ji 9.— II. De meteoroacopiia libri YL 

XXY. Heft. Featachrift sur Feier dea 200. Geburtatagea Leonhard Eulera. Herauagegeben 
yom Yoratande der Berliner Mathematischen Gesellschaft. Mit 2 Bildnissen 
Eulers. [lY u. 137 S.] gr. 8. 1907. n. ..^5.— Inhalt: G. Yalentin, L. Buler in 
Berlin. — A. Knoser, Euler und dio Yariatìonsreohnung. — F. Mtlller, Obor bahnbreohende 
Arbeiten Eulers aus der reinen Mathematik. — E. Lampe, aur Entatehung der Begriffe 
der Exponentialfouktion und der logarithm. Funktion eines komplexen Argnmonts bei L. Euler. 

XXTI.Heft. 1. Stock. A Haerpfer, die Probleme von Hausen und Snelllus. [22 fl.] ldlO,n.JCl.— 

2. Stttck. B. Lind, liber das letzte Fermatsche Theorem. [43 8.] 1910. n. J( 2.— 

8. Stock. A. A. BjOrnbo und Seb. Yogl, Alkindi, Tideus und Pseudo-Euklid. Drei 

optisohe Werke. Mit Textfiguren. [176 S.] 1912. Geh. n. JC IO.— 

XXYII. Heft. F. Mailer, FOhrer dnrch die mathematische Llteratur. Mit besonderer BerOok- 
siohtigung der historisch-wichtigen Schriften. [X u. 252 S.] 1909. Geh. n.Jtl. — , geb. n.JCS. — 

XXYIII. Heft. Y. Mikami, Mathematical Papers from the far East. Wlth 15 Figures. [YI u. 
280 S.] 1910. Geh. n. M 10.—, geb. n. M 11.— 

XXIX. Heft. Festschrift sur Feier des 100. Geburtstages Eduard Kummers. Mit Briefen 
an scine Mutter und an Leopold Kronecker. Herausgegeben yom Yorstande dex Berliner 
Mathematischen Gesellschaft. Mit 1 Bildnis Kummers. [lY u. 108 S.] 1910. Geh. n. M 4.— 

XXX. Heft. Y. Mikami, the deyelopement of mathematics in China and Japan. Mit 67 Fi- 
guren. [Yin n. 847 S] 1912. Geb. n. M 18.—, geb. n. JC%0.— 

In Yorbereitnng: Drach, Histoire des Sciences Mathématiques en France au XlXe siede. — 
Maofarlane, Yorlesungen aber britische Mathematiker des 19. Jahrhunderts. — WO 1 f f i n g , 
Mathematischer Bflcherschats. II. 

Sie Sammlung wlrd fortgesetzt. Beitrftge erbittet B.G.Teubner in Leipzig.