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Full text of "Journal de mathématiques élémentaires [et spéciales]."

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JOURNAL 



DE 



MATHÉMATIQUES 

ÉLÉMENTAIRES 

A L*USA6B 

DES CANDIDATS AUX ÉCOLES DU GOUVERNEMENT 
ET DES ASPIRANTS AU BACCALAURÉAT ÉS-SCIENCES 

Publié sous la direction 
de M. DE LON6GHAMPS 

PROFESSEUR DE MATHiMATIQUBS SPÉCIALES AU LTCIb SAINT-LOUIS 

PUBLICATION FONDÉE EN 1877 PAR M. BOURGET 

5°^« SÉRIE 
VINGT-ET-UNIÈME ANNÉE 




No 1. — Janvier 1897. 

PARIS 

LIBRAIRIE CH. DELAGRAVE 

15, RUE SOUFFLOT, 15 

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JOURNAL 



DE 



MATHÉMATIQUES 

ÉLÉMENTAIRES 



SUR LES CERCLES BITANGENTS AUX CONIQUES 

Par M. A. TlMot 

{Suite, 1896; p. a65) 




28. — Lemme. Toute droite passant par un des points d'in- 
tersection de deux circonférences les rencontre de nouveau en 
deux points dont les diamètres se coupent sous le même angle 
que lés circonférences. 

Soient jB,C(/î^. i3) les points où deux circonférences de centres 
et (y sont rencontrées de nou- 
veau par une droite contenant un 
de leurs points d'intersection A ; 
l'angle BBC des deux diamètres 
BO, CO sera égal à celui des deux 
rayons OA^ C/A. En efifet, le pre- 
mier est supplémentaire de la 
somme des angles OBA, OCA, 
et, le second, de celle des angles ^*fif- ^^ 

OAB, OAC. 

Lorsque les deux circonférences seront orthogonales, les dia- 
mètres BO, CO seront perpendiculaires entre eux. 

29. — Lemme. Si deux cercles en coupent un troisième or^ 
thogonalement et suivant des cordes parallèles, leurs centres 
de similitude coïncident avec ceux des cercles décrits sur ces 
cordes comme diamètres, la coïncidence se faisant d'un centre 
de similitude directe avec un sens de similitude inverse. 

Soient, sur une même droite, les centres 0, C7, C (fig. i4) de 
trois circonférences dont la seconde et la troisième ont, pour 
rayons, les tangentes C^ et C'u4.' menées à la première. Il s'agit 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES iL^MENTAIRES 




de montrer que les centres de similitude des deux dernières cir- 
conférences s'appliquent sur ceux 
des cercles qui ont pour diamètres 
les cordes communes AB, A'ff. 

Ces deux derniers centres de 
similitude se trouvent en X et F, 
à la rencontre de CC avec A' A 
et avec AB\ Soit D le second 
^^' ^^ point d'intersection de A' A avec 

la circonférence de centre C; tirons CD et OA'. 

D'après le lemme précédent appliqué aux deux circonférences 
de centres et C et à la droite A'D, qui passe par un de leurs 
points d'intersection Aj CD sera perpendiculaire à OA', et, par 
conséquent, parallèle à C'A\ Les rayons CD, C'A' des deux cir- 
conférences de centres C et C étant ainsi parallèles et dirigés en 
sens contraires, DA' contiendra le centre de similitude inverse 
de ces deux circonférences ; il se trouvera donc en X. On démon- 
trerait d'une manière analogue que le centre de similitude directe 
est en Y. 



30. — Si Von décrit des circonférences ayant chacune pour 
diamètre la distance des centres de similitude de deux cercles 
bi-tangents, taxe non focal de la conique sera taxe radical 
commun de toutes ces circonférences prises deux à deux, et les 
foyers seront les nœuds de l'une quelconque d'entre elles par 
rapport à cet axe. 

Le point étant le centre de la conique, F et F' les foyers, 
décrivons la circonférence de centre 
et de rayon OF. 

Si la conique est une ellipse^ en 
menant, par les centres H, H' {fig. 1 5) 
des deux cercles bi-tangents, les 
cordes GO^^ G'0\ perpendiculaires 
à FF'f et joignant leurs extrémités, 
nous obtiendrons, en X, Y, les 
centres de similitude, car les rayons 
des deux cercles sont proportionnels 
à HGj ITG' [18]. Or, d'après ces constructions, Y est la polaire 




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JOURNAL DB MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 



de Xpar rapport à la circonférence F(T6^'i^ ; donc JT, F sont 
conjugués harmoniques de.P', F'. De là résultent les conséquences 
suivantes : on a OX,OY=c^\ la circonférence FGG'F' coupe 
orthogonalement le cercle qui serait décrit sur XY comme dia- 
mètre et tous les cercles analogues ; les tangentes menées de à 
ces cercles sont égales à c; pris deux à deux, ils ont, pour axe 
radical, la perpendiculaire élevée en sur FF ; enfin, par rap- 
port à cette perpendiculaire, les nœuds de l'un quelconque d'entre 
eux sont F et F'. On peut encore remarquer que le rayon de 
chacun de ces cercles est moyenne proportionnelle entre les dis- 
tances de son centre aux foyers. 

Si la conique est une hyperbole, les rayons des cercles bi-tan- 
gents seront proportionnels aux tangentes JIG, H'G' {fig. 16) 
menées des centres H^ H' à la circonférence décrite sur FF" 

comme diamètre [18], de 
sorte que les centres de si- 
militude seront les mêmes 
que ceux des cercles de 
centres H^H' et de rayons 
HG, H' G'. Or, ces derniers 
coupant la circonférence 
FGG'F' orthogonalement et 
*^* ^ suivant des cordes parallèles 

GG^^ G'G'^y leurs centres de similitude coïncident avec ceux des 
cercles décrits sur ces cordes comme diamètres [29]. On se trouve 
ainsi ramené au cas précédent. 

Le foyer de la parabole est équidistant des centres de similitude 
de deux quelconques des cercles bi-tangents. En effet, F,F' 
{fig, i5) étant conjugués harmoniques de X, F, si F s'éloigne à 
l'infini, iï^se placera au milieu de XY. 




31. — Etant donnée une moitié d'ellipse limitée par le petit 
axe, ou une branche d'hyperbole, ou une parabole, imaginons 
que le centre H d'un cercle bi-tangent, placé sur le prolongement 
de la droite qui joint le sommet A au foyer F, vienne à se dé- 
placer en se dirigeant dans le sens FA. Le saillant S^ conjugué 
harmonique de H par rapport à F y F' se dirigera en sens con- 
traire, et la droite des contacts, polaire de S par rapport au cercle 



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6 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

principal, marchera à la rencontre de S, c'est-à-dire dans le 
même sens que H. La rencontre se fera en A, avant que ff n'ar- 
rive au foyer ; on aura alors [22] 

a a ^' 

p désignant le paramètre de ta conique. Le cercle bi-tangent sera 
le cercle osculateur en A. 

Ensuite, il n'y aura plus, à proprement parler, de cercle bi- 
tangent, puisque la droite sur laquelle devraient s'effectuer les 
contacts ne rencontrera plus ni le cercle ni la conique. Néan- 
moins, aux divers points de Taxe compris entre le centre du 
cercle osculateur et le foyer, correspondent encore des cercles, ou 
des droites, jouissant des propriétés ci-dessus établies ; nous allons 
maintenant nous occuper de ces cercles, parce qu'ils se présentent 
d'eux-mêmes dans la résolution et la discussion des problèmes 
sur les cercles bi-tangents aux coniques. (A suivre). 

DEUX PROBLÈMES GÉNÉRAUX 

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE 
Par M. Ch. RHehel» élève à TÉcole Normale supérieure. 

Considérons un couple de points A» et B». Si P et Q sont deux 
points du plan, nous désignerons par a>„ l'angle aigu des droites 
A„P et B„Q et par X„ le rapport des longueurs A„P et BnQ. 

On peut résoudre par une méthode très simple le problème 
général suivant : 

I. — Étant donnés trois couples de points A^ et B^, A, et Bj, 
Ag et Bg, trouver deux points P et Q, connaissant les nombres 
a>j et Xj et deicx quelconques des quatre autres nombres to^ et X^, 
Wj et Xg. — Chacun des couples peut se réduire à un point double 
et les deux couples Aj et Bj, Ag et Bg peuvent être confondus. 

Supposons le problème résolu, et construisons le triangle BjQa^, 
semblable au triangle A^PA^ et semblablement orienté. L'angle 
des droites A^A, et B^a, est égal à co^ et le rapport des longueurs 
AjA, et B^a^ ^^^ ^S^^ h \. La position du point a^ est donc 
connue. Il y à quatre positions du point a^. 



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JOURNAL DE MATHBMATIQUBS ÉLÉMENTAIRES 7 

La droite a^Q fait avec la droite AjP l'angle to, ; d'ailleurs, la 
droite BgQ fait avec cette même droite l'angle Wj. Donc, l'un des 
angles 6^ des deux droites a^Q et B^Q est égal à la somme ou à la 
différence des angles ^ù^ et (o^. 

D'autre part, on a 



Mais 



par suite 






De même, construisons le triangle B^Qa,, semblable au triangle 
AjPAj et semblablement orienté. L'angle 9, des droites «,0 et 
B3Q est égal à la somme ou à la différence des angles <ù^ et <>>„ et 
l'on a 

«,Q _ X, 

Il y a quatre positions du point a3; mais, à une position du 
point ttg, correspond une seule position du point a,. 

On voit ainsi que si les deux nombres a>^ et X^ et si deux des 
quatre nombres to^, 1^, Wg, \ sont connus, deux des nombres 
6j, 63, p2, p3 le sont aussi. Un lieu de Q, si l'un des deux nombres 
63 et 63 est donné, se compose de deux circonférences passant par 
les points Bj et a^ ou B3 ou a^, et, si c'est l'un des deux autres, 
d'une circonférence. Le point Q s'obtient en définitive par l'in- 
tersection de deux circonférences. On déduit bien facilement la 
position du point P de celle du point Q. Remarquons que tout 
point Q, ainsi obtenu, n'est pas nécessairement une solution du 
problème. 

Un autre problème général est le suivant : 

II. — Étant donnés deux couples de points ApBj, et AgjBg, 
trouver deux points P et Q, connaissant les nombres to^ et X^, 
Vun des nombres w^ et \ et sachant que le point Q est sur une 
ligne donnée. 

On connaît encore dans ce problème l'un des deux nombres 6^ 



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8 JOURNAL DB MÀTH^ifÀTlQUBS éLéMBNTÀlRES 

et p, et ainsi un second lieu du point Q qui se compose ou d'une 
circonférence ou de deux circonférences. 

Voici des cas particuliers qui ont déjà été traités par divers 
auteurs. 

1® Supposons que les points A^ B^ soient coofondus en un 
point et que la ligne qui contient le point Q soit une circonfé- 
rence, ayant le point pour centre. Nous avons alors les deux 
problèmes suivants : 

On donne deux points Ag et B^. Un triangle OPQ tourne au- 
tour de son sommet fixe y et Von demande de placer ce triangle 
de façon que Vangle des droites PA^ et QB^ soit égal à un angle 
donné ou de façon que le rapport des longueurs FA^ et QB^ soit 
égal à un rapport donné. Ce sont les deux problèmes dont 
M. Girardville a donné, ici même, en juillet 1893, une solution. 

2^ Supposons que le point F soit assujetti à être sur une droite 
passant par Ag. Alors Q est sur une droite connue passant par B^. 
Supposons, d'autre part, que les points A^ et B^ soient confondus 
en un point 0. On a alors le problème suivant qui constitue la 
question 2477 du journal de M. Vuibert (année 1890): 

On donne un angle et deux points A4 et B^ sur les deux côtés 
de cet angle. Placer un segment PQ limité aicx côtés de Vangle^ 

A P , 

de façon que le rapport tj^ soit égal à une quantité donnée et 

que Vangle sous lequel on le voit, d'un point donné 0, soit égal à 
un angle donné. 

3** Supposons enfin que Ai et B^ soient confondus en un point 
et que P soit assujetti à être sur une droite passant par ce 
point. Alors Q est assujetti à être aussi sur une autre droite con- 
nue, passant par 0, et Ton a Ténoncé de la question 2 494 du 
même journal (année 1890) : 

On donne un angle et deux points Aj et Bj dans son plan. 
Trouver un segment PQ de direction donnée, limité aux côtés 
de Vangle, et tel que Vangle des droites AgP et BjQ soit égal à 
un angle donné. 



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JOUBNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



RELATIONS MÉTRIQUES 

ET TRIGONOMÉTRIQUES 

ENTRE LES ELEMENTS LINEAIRES ET ANGULAIRES 

DU QUADRILATÈRE INSCRIT COMPLET 

Par M. Leeocq, ancien professeur au Lycée d'Avignon. 



 



S 



1. — On ne peut contester Tavantage d'un recueil de formules 
relatives au triangle, donnant, en fonction de ses côlés, les divers 
éléments qui en dépendent, tels que : hauteurs, bissectrices mé- 
dianes, rayons des cercles inscril, circonscrit, ex-inscrits... etc. 

Dans le même ordre d'idées, il a paru intéressant et utile de 
rassembler les formules relatives au quadrilatère inscrit. On a été 
très sobre d'explications, et, le plus souvent, on n'a fait qu'in- 
diquer la marche suivie pour les établir, afin de ne pas soustraire 
au lecteur le plus clair de son bé- 
néfice, celui de les calculer lui- 
même. 

Pour éviter des répétitions inu- 
tiles, on a complété parfois des 
séries de formules par l'adjonction 
de résultats ultérieurement justi- 
fiés; une parenthèse et un renvoi 
servent, en ce cas, d'indication. 

Le quadrilatère ABCD sera com- 
plété par les points de rencontre 
des côtés opposés, et par la troi- 
sième diagonale SQ. 

On posera : 



». 

\ 




AB = a, 

BO=b, 
CD =c, 



— a-+-b-\-C'\-d = 2(p — a), 

a — b -{- c -\- d =^ 2(p — 6), 

a -{- b — c -^ d = 2{p — c). 

a -^ b -h c — d = 2{p — d), 

1. 

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10 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 



BD == n, k}z=zac-\- bd, 
SQ = {i, l^ = ad-^bc, 



d où 



h^-hk^ = (a-^d)(b-]-c), 
h^^k^ = (a — d)lb^c), 
;iH-A2 = (a+ft)(c?4-c), 
P -^k^ = la — b){d-'C), 
l^^h' = (a-hc)(d-hb), 
l^—h^ = la — c)(d--b), 
a -h c — (rf 4- &) = e, 

R, rayon du cercle circonscrit ; 

S, surface du quadrilatère ; 

f, la ligne qui joint les milieux des diagonales. 

Les autres éléments seront désignés dans la suite, suivant leur 
ordre d'introduction. 

Nota. — Les angles A, B, C, D, S, Q sont les angles intérieurs 
du quadrilatère et T désigne Tangle AID. 

centre du cercle circonscrit = SOQ. 

Les figures sont établies dans les hypothèses 

« >c, d^ b, et e > 0. 

Incidemment, on vérifiera les formules, en leur faisant ex- 
primer les résultats géométriques connus sur les quadrilatères, 
propriétés qui figurent dans les traités de géométrie, ou dans les 
exercices qui y sont proposés. 

Cette monographie n*est qu'une sorte de statistique de formules 
relatives au quadrilatère inscrit complet. 

2. — Problème. Déterminet^ la relation qui existe entre les 
troisièmes côtés de deux triangles qui 
ont un angle commun, en fonction 
des côtés qui comprennent cet angle» 
Soit A Tangle commun aux deux 
triangles AM N et kmn. 
Posons : 

AM = B, AN = C, 
Am = bf AN = c, 
MN = A, mn = 8 ; 




Fig. 2 



abaissons les perpendiculaires MQ et mP ; on a 
fr^J-^'I-^'ÏA? d'ailleurs: 



AQ 
AP 



B 

b 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 11 

d'où, en éliminant AP et AQ, 

hcti^ — BCâ2 = (B6 — Ce) (Bc — Ch). 

Corollaire. — Si les droites MN et mn sont ou parallèles ou 

anti-parallèles, le second membre est nul, et Ton a, dans ce 

cas, 

6cA2 = BC82. 

Observation, — Si les côtés B, G et è, c de deux triangles com- 
prennent des angles supplémentaires, la relation des troisièmes 
côtés devient 

2)cA-2 -f- BCa^ = (B& -i- Ce) (Bc + C6). 

Application (fig. i). — Celle dernière formule appliquée aux 
couples d'angles supplémentaires B et D ou A et C, donne ; 

h^m^ = kH\ 

d'où 

mn = k\ et ^ = ^. 

3. — Problème. Connaissant les côtés de deux triangles ABC 
et ADC situés de part et d'autre du côté commun AC, calculer la 
distance BD. 

Soient a, b, c, c?, les côtés du 
quadrilatère considéré ABCD et 
m, n ses diagonales ; abaissons les 
perpendiculaires DP et BQ sur AC. 
On a : 

^2 _j_ *^2 ^2 



AP = 



CQ = 



2m ' 

b^ -\- m^ — a\ 

2m ' 




d'où 



et 



Kig. 3 



PU = 



a^ -\-d^ — b^— d^ 
2m 



n^ = PQ'^ fî^ + '-^^y = PQ^ 1 4(ABCD)^ 



m' 



^m^n^ = {a^ -+- c^ — b^ — df + i6SS 
S désignant Taire du quadrilatère. 



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3 



12 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

Application, — Soit : mn = ac ~{- bd, on trouvera : 
i6S2 = A{ac -h bd)^ — (a^ + c> — 6^ _ ^a^^ 
= 1 6(p — a) (p — h)[p — c) {p—d). 

4. — Théorème de Ptolémée. — Prenons AE = CD et menons 
EF parallèle à AD jusqu'à la diagonale AC. 

Le triangle AEF est égal à BCD ; achevons le parallélogramme 
AEFL et faisons Tangle BGG=ÂCD. 

Prenons aussi FN = BG ; on aura 
AN =DG et menons LM parallèle à EN. 

Les triangles FEN et AEN sont res- 
pectivement égaux à BCG et DCG ; les 
quadrilatères EBCN et LDMC sont ins- 
criptibles, et Ton en déduit : 

ac = mANy 
hd = mAM ; 
d'où 
ac'^bd = m(AM -i- AN) = m(BG -i- GD) = mn. 

5. — Distances, aux quatre sommets, du point de rencontre I 
des diagonales. 

On mènera par I des parallèles à DA et BA et Ton obtiendra 

ÏA^ÏB^IC^ID^^ 

ad ha cb de hV 

Soient H et K les milieux des diagonales, on trouve 
„, 7n{ad — bc) ^. n{cd — ab) 




Fig.4 



d'où 



_ a c{d^ — b'^f + bd(a^ — c^f 

On trouvera aussi : 

' . -m'^ _k%a^ ^ c^) {d' +¥) 



ÎA -hlB +TC -i-TD 



hH^ 



et, pour calculer deux côtés opposés, en fonction des deux autres 
et des didgonalesjon a les formules : 



{mn — bd) (bn — dm) 
bm — dn ' 



[mn — bd) (bm — dn) 
bn — dm 

{A suivre). 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES étiMENTAlRES 13 



SUR UNE DIFFICULTÉ 

DANS LA DISCUSSION DES INEGALITES 
Par M. Elgé. 



Lorsqu'une inégalité 

(i) f{a,b,c, ...)>o, 

a lieu quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres a, b, 
c, ... ; si Tune d'elles entre au second degré dans /"(a, ô, c, ...), 
la méthode élémentaire, indiquée partout, peut se résumer 
ainsi. 
Ayant posé 

/•(a, ô, c, ...) = Aa^ -I- 2Ba +C, 

on observe que le trinôme en a doit rester invariable de signe ; 
son discriminant AG — B^ doit donc être positif quelles que 
soient les valeurs de 6, c, ... ; c'est une première vérification qui 
doit être faite tout d'abord. Puis, le signe étant invariable, il 
reste à reconnaître que A est toujours positif. On est ainsi ramené 
à discuter les deux inégalités 

AC — B^ > 0, 
A>o; 

si celles-ci sont vérifiées pour toutes les valeurs des paramètres 
&, c, ... ; alors (i) est une inégalité démontrée, 

La difficulté que nous voulons signaler, difficulté qui se pré- 
sente assez fréquemment, tient aicx restrictions que l'on doit 
faire, dans certains cas, sur les valeurs attribuées aux lettres. 

Prenons un exemple, pour mieux préciser cette difficulté. 

On propose de démontrer que pour toutes les valeurs posi- 
tives de a, b, c, on a (*) 

(i) Sabc <(a -h b) (b -h c) (c -h a). 

(') Nouvelle correspondance mathématique, 1880, p. i4o. On pei^ aussi 
déduire la propriété en question de l'identité 

Sabc + a{b — c)2 -j- b{c - a)^ + c{a — ô)» s: (a + è) (è + c) (c + a), 

facile à vérifier. 



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14 JOURNAL DE MATHéMATlQUBS ELEMENTAIRES 

Cette inégalité s'établit sans difûcullé en observant {loc, cit.), 
que Ton a 



\^ca< 



2 

c -h a 



2 

et, par suite, 

abc < (^ -^- ^) (^ -^ ^) (^ + ^) . 
8 

La démonstration suppose que a, 6, c représentent trois quan- 
tités positives; les inégalités qui lui servent de base ne sont 
exactes, en effet, que dans cette hypothèse. 

Mais, sans utiliser la considération que nous venons de rap- 
peler, considération qui conduit au résultat cherché par une voie 
rapide et élégante, supposons qu'on veuille faire la discussion de 
rinégalité (i), par la méthode classique, résumée au § 1. 

Nous serons alors conduit aux calculs suivants. 

L'inégalité (i) peut s'écrire : 

(2) a%b 4- c) 4- a{b^ -h c^ — ebc) -h bc{b -h c) > 0. 
Le discriminant A du trinôme, est 

A = —(«2 + c2 — bcy -f- Abc{b -h c). 
On a, d'ailleurs, par une transformation facile, 

(3) A = •— (*' — libc -h c*) {b — cy. 

Celte quantité A n'est pas toujours positive; le premier 
membre de (2) n'est donc pas toujours d'un signe invariable. 

On observera d'abord, pour établir que l'inégalité (1) a lieu 
pour les valeurs positives de a, &, c, que le coefûcient de a^, la 
quantité b -\- c, est positive. 

Le théorème en question sera donc démontré si, dans la même 
hypothèse, a, b, c positifs, on fait voir que A est positif. Si les ra- 
cines de l'équation en a 

(4) a\b -h c) 4- a(62 4- c^ — 6bc) 4- bc{b 4- c) = 

sont imaginaires, A est certainement positif ; mais nous suppo- 
sons, au contraire, qu'elles sont réelles et positives. Le produit 



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JOURNAL DB MATHBMANIQUBS ELéMËNTAlRBS 45 

est positif et égal à 6c ; la somme est 

66c — b^ — c\ 



elle doit être positive. Le dénominateur étant positif, on doit 
avoir 

6ÔC — b^ — c^ > G. 

En supposant que cette condition soit remplie, que bj c varient 
arbitrairement, mais par valeurs positives, on a, a fortiori 

b^ -h c^ < \\bc. 

Ainsi A est positif et, par suite, les racines de (4) sont imagi- 
naires. L'inégalité (2) se trouve ainsi vérifiée; mais pour les va- 
leurs positives de a, 6, c, uniquement. 

SECONDE NOTE 

SUR LES CERCLES RADICAUX ET ANTI-RADICAUX 
Par M. Juan J. Dnran-Lorlga 

Commandant d'Artillerie à la Gorogne. 



Dans l'article précédent (*), nous avons considéré la circon- 
férence radicale comme le lieu géométrique des points tels que 
leurs puissances par rapport à deux cercles fixes (0) et (0^) soient 
égales et de signes contraires ; nous avons vu que le susdit cercle 
a pour centre le milieu du segment qui joint les centres des cir- 
conférences en question, et que son rayon p était donné par la for- 
mule 

On comprend bien la possibilité de résoudre le problème in- 
verse, c'est-à-dire, étant données deux circonférences (0) et (p), 
trouver une autre circonférence qui, jointe à (0), ait pour cir- 
conférence radicale (p) que nous appelons circonférence anti-radi- 
cale de (0) par rapport à (p) ; mais avant d'entrer dans cette 
investigation, nous amplifierons un peu ce que nous avons dit par 
rapport aux circonférences radicales dans l'étude précitée. 

C) Voyez J. E. 1896, p. 78. 

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16 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES JÊLÉMENTAIRBS 

Il faut remarquer, d'abord, que les deux circonférences données 
et la circonférence radicale faisant partie d'un faisceau de cercles, 
étant posé que les trois circonférences appartiennent à un sys- 
tème coaxial, elles auront les propriétés de ces systèmes et Ton 
pourrait faire dériver leur étude de la géométrie projective, bien 
que nous ayions voulu la présenter sous une forme plus élémen- 
taire. 

La considération de circonférences radicales nous permet la 
discussion des rapports des coefficients pour que deux circon- 
férences soient orthogonales, prenant comme fondement, que si 
deux cercles sont orthogonaux, la circonférence radicale passe 
par leurs centres et réciproquement. On vérifiera donc dans le 
cas d'orthogonal i té cette condition nécessaire et suffisante, que 
les coordonnées du centre d'un des cercles vérifient l'équation du 
cercle radical. 

Soient les équations des cercles orthogonaux 

x^ H- y^ + 2-^^ + 2% H- C = G, 
x^ -^-y^ -\- iMx -h 2B'y h- C = o ; 

le cercle radical a pour équation 

2(^2 -t- y^) -4- 2(A -4- M)x -f- 2(B -h B')y -h C -h C = o, 

les coordonnées du centre d'un des cercles, (par exemple, du pre- 
mier) sont : — A et — B, et par suite on a 

2(A2 + B2) — 2(A 4- kl)k — 2(B -H B')B -t- C -t- C = 0, 

qui se réduit à la relation connue 

2(AA' -h BB') = C -H C. 

Lorsque les équations des cercles sont écrites en coordonnées 
barycen triques, ce procédé permettra facilement de rechercher si 
deux cercles sont orthogonaux, surtout quand on connait a priœ^i 
les coordonnées du centre d'un des susdits cercles. Proposons- 
nous par exemple, de démontrer que le cercle de Longchamps 
(voyez J. S., i886 p. 5;) est orthogonal par rapport aux cercles 
potentiels. Nous appelons cercles potentiels ceux qui sont décrits 
des milieux des côtés comme centres avec des rayons égaux aux 
médianes correspondantes (voyez P. M. vol. v, p. 70), nous avons 
en effet : 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 17 

Équation du cercle de Longchamps 

(a + p -H y) («^a + ^*P -H c*y) — a^?^ — b^a.^ — c^ap = o. 

Éqtcation du cercle potentiel (Pa) 

— Pa (a -^ P -H ï) (P + ï) — «*Py — **«Y — c*ap = o. 

Équation du cercle radical 

Nous avons appelé ^a ^^ quantité 

^,2 ^ ^2 _ a2 
2 

Comme le centre de (Pa) est le milieu du côté a, ses coor- 
données barycentriques sont représentées par a = o et p = y, et 
par conséquent 

2P(62p 4- c^p — 2pa?) — 2a2p2 ^ o, ctc, ctc. 

Si Tune des circonférences se réduit à un cercle-point, la cir- 
conférence radicale aura pour rayon 

et lorsque les deux cercles restent réduits à des cercles-points, 
la circonférence radicale sera toujours imaginaire et aura pour 
rayon 

d / — 

11 faut observer que Ton peut généraliser la notion de cercle 
radical lorsque le rapport des puissances a une valeur — . 

Tous les cercles ainsi obtenus font partie d'un faisceau de 
cercles ayant beaucoup de propriétés communes. 

Le théorème classique : si l'on a trois cercles et qu'on les 
combine deux à deuœ, Vaxe radical des circonférences radi' 
cales de deuœ groupes l'est du troisième^ sera également évi- 
dent quoique la notion de cercle radical soit généralisée et par 
conséquent : 

Si Von a trois circonférences et que Von trace les radicales 
de detcx groupes, quel que soit le rapport des puissances , tous ces 
cercles font partie du même faisceau. 



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18 JOURNAL DE MATHEMATIQUES éLéMENTÀIRES 

Nous dirons finalement, que l'on peut étendre la notion de 
cercle radical aux sphères et aux cercles tracés sur une surface 
sphérique. (A suivre). 

NOTICE HISTORIQUE 

SUR LA GÉOMÉTRIE DE LA MESURE 
Par M. Aubrj 

{Suite f voir 1896, page 271) 

SECONDE MÉTHODE d'ARGHIMÈDE 



Cette méthode, qui a été appelée par échelons, a servi à 
Archimède à mesurer les conoïdes, les sjihéroïdes et Vhélice (*). 
Elle consiste principalement à diviser la surface, ou le corps à me- 
surer, par des droites ou des pians parallèles et équidistants et 
à construire sur chaque section, comme base, deux rectangles ou 
prismes, Tun inscrit à la figure, l'autre circonscrit. Si Ton connaît 
la loi qui régit la grandeur des sections, en fonction de leur dis- 
tance à la base inférieure, en additionnant les deux séries de rec- 
tangles ou de prismes, on aura deux limites Je la grandeur 
cherchée, Tune en dessus, Tautre en dessous. La différence de ces 
deux limites peut devenir aussi petite qu'on veut, en augmentant 
le nombre des sections; pourvu toutefois que celles-ci soient tou- 
jours croissantes ou toujours décroissantes, de la base au sommet. 
Donc, si Ton sait trouver la somme des sections équidistantes et la 
limite vers laquelle tend cette somme, on aura, par là même, la 
surface ou le volume cherché. 

Archimède n'applique pas cette méthode aux surfaces, mais 
cette extension est si naturelle qu'on peut la considérer comme 
s'étant présentée en même temps à l'auteur de la méthode. Il en 
a donné une autre extension à la quadrature des courbes déter- 
minées par une relation entre leurs coordonnées polaires. Nous en 
parlerons plus loin. 

Le principe de la première méthode d'Archimède n'était en 
somme qu'un théorème sur les limites et les ingénieuses applica- 
tions qu'il en a faites ne pouvaient guère suggérer une méthode 

(*) Il nomme ainsi ce que nous appelons aujourd'hui paraboloïde et hy' 
ptrboloïde de révolution, ellipsoïde de révolution et spirale d* Archimède, 



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JOURNAL DB IIÀTH^IIÀTIQUBS KLilfBNTAlRBS 



19 



générale. La seconde, au contraire, est éminemment suggestive : 
elle devait conduire à la conception de la géométrie analytique — 
par la représentation graphique des valeurs d'une fonction con- 
tinue au moyen d'abscisses et d'ordonnées, — quand les idées se 
furent tournées vers l'analyse et qu'on se fut attaché à perfec- 
tionner le calcul algébrique. Elle est l'origine immédiate du calcul 
intégral. Aussi, à cause de sa fécondité, a-t-elle été plus prisée et 
plus étudiée que la première, qui néanmoins est beaucoup plus 
remarquable encore, à cause de la plus grande difficulté du sujet 
et des moyens simples et variés qu'il y met en jeu. 

Voici un extrait de son traité des conoïdes et des sphéroïdes. 

I. — Considérons un nombre quelconque de quantités se sur- 
passant également d'une quantité égale à la plus petite : la plus 
grande^ répétée un même nombre de fois est plus petite que le 
double de la somme de ces quantités et plus grande que le double 
de ces mêmes quantités sauf 
la plies grande. 



III. — Les côtés des carrés 
B, T,.,.{fig. \^) se surpas- 
sant également d'une lon- 
gueur égale à celle du plus 
petite ajoutons-y des rec- 
tangles de mêmes bases qice 
ces carrés et d'une hauteur 



fl 



e 
j_ 

A 



Fig. i4 



égale A. Considérons un nombre égal de rectangles ayant la 
hauteur partagée en quatre parties 6. I, K, A, telles que 

e==I = — , K = - =3« ^^ rapport . -■ ^ est com- 
pris 1* entre celui de la surface de la seconde figure à celle de la 
première et 2® entre celui de la même figure et la première^ en 
retranchant de celle-ci le carré B et le rectangle correspondant. 
Cet énoncé correspond à la relation 

n{na -f- A) 



{a -f- A) a -H (aa -H A) 2a -i- ... -H {na -H A) na 



> 



na 



;>i 



A na -^ (a H- A) a -H 

2/^ 3" 



n{na •+- A) 



[{n — 1) a -h A](n — 1) a' 



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20 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES J&lAmBNTAIRES 



Nous ne rapporterons pas la démonstration d'Archimède : on 
peut en prendre une idée J. S. 1895, p. 11 3, où nous traitons, 
d'après Archimède, un cas particulier de la précédente. 

(F.) XXI. — Considérons un segment de conoïdey ou bien un 
segment de sphéroïde plus petit que le demi-sphéroide : on peut 
lui inscrire un solide et lui en circonscrire un autre tels que leur 
différence puisse être supposée plus petite qu'une grandeur 
donnée quelconque. Soit le segment ABr {fig, i5) tournant au- 
tour de Taxe BA ; par des bissections de l'axe Ba répétées un 

nombre suffisant de fois, on pourra 
toujours obtenir une série de cy- 
lindres extérieurs et une autre de 
cylindres intérieurs, comme Tin- 
dique la figure, et tels que la dif- 
férence des deux solides soit dans 
la condition demandée, puisque 
cette différence est égale à celle 
des deux cylindres ayant pour 
rayons AA et 6P, laquelle peut 
évidemment être rendue aussi petite qu'on veut. 

Par la suite, nous désignerons sous le nom de théorème 
d^ Archimède la très importante pro- 
position que nous venons de rappor- 
ter, et dont la généralisation à un 
solide quelconque est immédiate, 
ainsi que son analogue pour les sur- 
faces. 

XXlï. — Môme théorème concer- 
nant un conoïde ou sphéroïde coupé 
obliquement à l'axe {fig, 16. 



r 


n 


J" 


' s 


y 


\ 


•h 


\ 


1 


. \ 


F 


^ 



Fig. i5 




Fig. 16 



XXIII. — Un segment quelconque de conoïde rectangle ou 
parabolique vaut la moitié '^ du cylindre circonscrit. Supposons 
le segment > 4^ • circonscrivons et inscrivons comme dans (F) 
deux solides (/î^. 17) dont la différence soit plus petite que l'excès 
du segment sur <J^, a fortiori, le solide inscrit sera > ^, Or, le 
cylindre inscrit correspondant au rectangle E Z, par exemple, 



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JODRHAL DB MATSàfATIQUIS iuÎMKNTAmBS 



21 







-fc 




^7 

r 


—\ 



r. 



Fig. 17 



est à celui produit par HZ comme : 

AZ' _ BZ ^ AA 
P2^-"BA-"SZ- 

Donc, le cylindre total circonscrit au segment est au solide in- 
^ scrit comme la somme des lon- 

gueurs IIË, PZ,. . est à la somme des 
longueurs TEy ûZ,... c'est-à-dire, & 
cause du principe I, plus grand que 
2. Ainsi ^ serait plus grand que le 
solide inscrit, conclusion contra- 
dictoire avec ce qu'on a supposé 
tout à rheure. 

Supposons le segment < ^ ; on 
peut supposer que l'excès du solide circonscrit sur le solide inscrit 
est inférieur à celui de ^ sur le segment. On en conclut que le 
solide circonscrit est < V. On fera voir, comme tout à l'heure, que 
le cylindre inscrit est au solide circonscrit comme la somme des 
droite» AA, ÏIE, PZ,... à celle des droites Aa, TE, UZ,..., c'est-à- 
dire ]>> 2. Ainsi on aurait V plus petit que le solide circonscrit, ce 
qui contredit la supposition. 

XXXIV. — Même théorème pour un segment coupé oblique- 
ment.J 

XXVII, XXVIII, XXIX. — Théorèmes analogues pour les seg- 
ments droits ou obliques du conoïde obtus angle ou hyberbolique 
et du sphéroïde. La démonstration est tout à fait semblable à celle 
de XXXIII, sauf qu'elle emploie le théorème lïl au lieu du 
théorème I (*). 

* Il y aurait lieu de s'étonner qu'Archimède n*ait pas employé pour 
quarrer la parabole le théorème I, qai menait plus naturellement à cette 
quadrature qu'à la cubalure du paraboloïde, si on ne s'apercevait, par la 
lecture de ses œuyres, que la découverte de cette quadrature a précédé 
celle de la cubature des conoldes. Il a dû la découvrir, fortuitement, par 
la statique, essayer d'appliquer sa méthode aux sections coniques et ima- 
giner les conoldes pour lesquels il a reconnu le besoin de nouvelles 
méthodes. L'ordre dans lequel ses découvertes ont été faites — ou tout au 
moins divulguées, — parait être le suivant : centres de gravité, quadra- 
ture de la parabole, cylindre et sphères, hélioea, conoldes et sphéroïdes. 



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22 JOURNAL DE MÀTfflSlfATIQUBS BLillENTÀIRBS 

Les mêmes principes sont employés par Archimëde pour la 
mesure de ThéUce. En effet, à la courbe AD {fig, 18), menons 
des rayons OA, OB,... faisant des angles 
égaux entre eux, et décrivons les arcs cir- 
culaires Ap, «By, ôCS,.- Si la courbe ne 
coupe qu'une fois chacun de ces arcs, la 
surface du secteur AOD est comprise entre 
celles des sommes des secteurs circulaires 
AOp, BOy, G08 etaOB, hOC. cOD. Or, la p. ^^ 

différence de ces deux sommes, qui est 

égale à surf, a^ — surf. c8, peut être rendue aussi petite que 
possible, en bissectanl successivement les angles en 0, et en 
répétant la même opération. 

Dans l'hélice, les rayons sont en progression arithmétique; 
par suite, les secteurs circulaires représentent les carrés des 
termes de cette progression. La surface de l'hélice s'obtiendra 
donc à l'aide du théorème III. {A suivre). 



BIBLIOGRAPHIE 



Arnaudeau (A.), ancien Élève de l'École Pol y technique, Membre agrégé 
de rinstitat des Actuaires français, Membre de la Société de Statistique 
de Paris. — Projet de Table de triangulaires de i à iOO 000, suivie 
d'une Table de réciproques des nombres à cinq chiffres de i à 100 000 
et d'une Table de sinus et tangentes naturels yariant de So" en So", de 
oo à 900, avec texte explicatif. Grand in-8 de xx-4i pages; 1896. 2 fr. 

Ces tables présentent un intérêt général et même international en ce 
sens qu'elles sont destinées, dans la pensée de l'Auteur, aux écoles pri- 
maires et secondaires pour remplacer les logarithmes et la trigonométrie 
et permettre cependant de simplifier les calculs d'arithmétique et pouvoir 
se livrer à des mesures agraires. 

Ces Tables sont calculées en entier et formeront un Volume de 538 pages 
numériques qui se vendra i5 fr., et dont la présente brochure n'est qu'un 
extrait et un spécimen. 

MM. les Professeurs trouveront un attrait tout particulier à enseigner 
l'usage de ces Tables par suite de Texactitude des résultats et du choix 
nombreux des triangulaires conduisant tous au même produit. 



Outpe les renseignements pratiques qu'il contient chaque année, VAn- 
nuaire du Bureau des Longitudes pour 1897 renferme des articles^ dus 
aux savants les plus illustres, sur les Monnaies, la Statistique, la Géogra- 
phie, la Minéralogie, etc., enfin, les Notices suiyantes : Notice sur le 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES JÊLEMENTAIRES 23 

mouvement propre du système solaire; par M. F. Tisserand. — Les 
rayons cathodiques et les rayons RÔntgen; par M. H. Poincaré. — Les 
époques daiM V Histoire astronomique des planètes ; par M. Janssen. — 
Notice sur la quatrième Réunion du Comité international pour V exécu- 
tion de la Carte photographique du Ciel ; par M. F. Tisserand. — Notice 
sur les travaux de la Comm,ission internationale des étoiles fondamen- 
tales ; par M. F. Tisserand. — Discours prononcé aux funérailles de 
M. Hippolyte Fizeau; par M. A. Cornu. — Discours prononcés aux 
funérailles de M, Tisserand ; par MM. H. Poincaré, J. Janssen et 
M. Lœwy. — Travaux au mont Blanc en 1896; par M. J. Janssen. 
In-i8 de v-918 pages avec 2 Cartes magnétiques. (Paris, Gauthier-Villars 
et fils, 1 fr. 50). 



QUESTION 697 



SotatloB, par M. Goyens 

On donne un plan et un point fixes. Par 0, on mène un plan 
arbitraire et une perpendiculaire à ce plan. Sur cette droite, 
on prend des points à des distances de égales à la distance 
du point à Vintersection du plan arbitraire et du plan fixe. 
Quelle est la surface (S) lieu des points ainsi obtenus, lorsq'uon 
fait varier le plan arbitraire, (Mannheîm). 

Solution, — Soient B le plan fixe, G le plan arbitraire, OP la 

perpendiculaire sur B, Le plan 

C qI "-,^^ MOP est perpendiculaire aux 

/ ^Àc' — plans B et G, donc à leur inter- 

X / \\ section ; il coupera G suivant 01 

\ S. ~T !~7\ perpendiculaire à cette inlersec- 

V fs/ )c \ t'on. Soit MQ perpendiculaire 

>» N'^"^ -^ sur OP. ^_ 

^9^ QOM = 90*» — POl = OIP. 

Donc les deux triangles rectangles MOQ et OPl sont égaux 
comme ayant Thypoténuse OM = 01 et un angle aigu égal ; donc 
QM = OP = constante. Ainsi, le point M décrit un cylindre droit 
ayant QP pour axe et OP pour rayon. 

Nota. — Solutions diverses par MM. ~Droz Farny ; Francis Dauzats, 
soldat au 5 1* de ligne ; H. L'Uuillier. 



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24 JOURNAL DE MATRBHATIQUES iubUNTAlilES 



QUESTIONS PROPOSEES 



789. — Construire un triangle ABC, connaissant la différence d 
de deux côtés &, c, les longueurs de la médiane nia et : soit la hau- 
teur h relative au côté a, soit le rayon r du cercle inscrit. 

(A. Schiappa Monteiro), 

790. — Deux circonférences A,A' se coupent aux points A, 6, 
la tangente à A, en A, coupe A' en C ; la tangente à A', en ce 
même point A coupe A en D. Soit D' le symétrique de D par rap- 
port à A. Démontrer que la circonférence CAD' a son centre sur 
la perpendiculaire élevée en A, à AB. {G. L.) 

791. — On considère un triangle ABC; soient : G le point de 
Gergonne correspondant au cercle inscrit ; 6a,G6,Gc ceux des cercles 
ex-inscrits. 

1** La droite GGa coupe BC en A' : démontrer que A A' et les 
droites analogues BB',CC' concourent au point réciproque du 
centre du cercle inscrit. 

2*» La droite G^Gc rencontre BC en A* ; le point A" et les points 
analogues B^jC sont en ligne droite. {G. L.) 

792. — On considère, sur une parabole P, un point A tel que la 
normale A, en ce point, soit inclinée de 45® sur Taxe de P ; A coupe 
Pen un second point B. Soit M un point pris arbitrairement sur A. 

1° La circonférence décrite sur AM comme diamèlre coupe la 
parabole, abstraction faite de A, en deux points C,D situés sur 
une parallèle à A. 

2* La droite CD touche la circonférence décrite sur MB comme 
diamètre. {G. L,) 

Nota, — La question proposée sous le n® 786 est connue, comme nous 
le fait observer M. Boutin : Voyez Bos {Éléments de Trigonométrie ruti- 
ligue f 2« édition, p. 176,) 



Le Directeur-gérant, 

G. DE LONGCHAMPS. 



SAINT-AIIAND (cHER). — IMPROIERIE SCIENTIFIQUE ET LITTÉRAIRE, BUSSIÂRB FRÈRES. 

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JOURNAL DB MATHÉMATIQUES ÉlÉMENTAIRIS 



25 



SUR LES CERCLES BITANGENTS AUX CONIQUES 

Par M. A. TlM«t 

{Suite, 1897, P^ST^ 3) 



CERCLES BITANGENTS A CONTACTS IMAGINAIRES 

32. — Reproduisons, sur la figure 17, les tracés et la notation 
de la figure 2, puis H^ étant un des points dont nous venons de 
parler, répétons, en partant de Ui, les constructions que Ton a 
effectuées en partant de H, c'esl-à-dire menons H^D^ perpendi- 
culaire à la tangente arbitraire TU; marquons Qj, iii'» Vi et Jj, 
aux points oii elle rencontre MF, MF', MO et MP ; enfin, de Vj, 
abaissons, sur Taxe, la perpendiculaire VjKj, rencontrant M P en 
Pi et MU en Ui, 

Appelons A la droite UiVi, et r le cercle qui a pour centre H,, 
et dont les nœuds, par rapport à TU, sont les points ih» û\« ^ 
rayon de ce cercle est la moyenne proportion nel'e entre H^Ûi et 
HjQ\ [7] ; sans modifier en rien un raisonnement qui a déjà été 
employé [18], on conclura de laque ce rayon esl, avec la moyenne 











M^ 




^ 




^^^--^^^ 


\"^'^">-l 


Vi 


, ^^^^-^ X 


\^ 


Hf*'S. 




T' 


o\ uk 


y \ 


^ 


Fig. 17 




"^ 


\ 



proportionnelle entre HjF et H^F', dans le rapport de 6 à c. 

33. — Les lignes OH^y OKi, H^Ki (fig, 17), sont proportion- 
nelles aux lignes MI*, MP„ Ï4P1 ; celles-ci le sont aux lignes Mï, 

JOUQNAL DE MATH. ÉLÉM. — 1897. 2 



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26 



JOURNAL DE IIÀTHEMATIQUBS ELKMKNTAIBES 



MP, IP, car le rapport deMIj à MI et celui de MPià MP sont tous 
deux égaux au rapport de MV, à MV. D'un autre côlé, les lignes 
iMI, MP, IP sont proportionnelles à OH, OK, HK, par conséquent 
[22] à cS aS 6^ On a donc 



OH, 



OK, 



h^ 



H,K. 



34. — Soit S| {fig, 17), le conjugué harmonique de Hj par 
rapport aux foyers, lequel se trouvera situé entre F et le sommet 
voisin ; le premier des trois rapports ci-dessus sera égal à OS, ; 
donc, il en sera de même du second, et Ton aura 

OK, . OS, = a\ 

ce qui prouve que la droite A est la polaire de S, par rapport au 
cercle principal. Elle l'est aussi par rapport à la conique, puisque 
la conique est bitangenle à ce cercle et qu'ils ont, pour droite des 

contacts, l'axe sur lequel se 
trouve S, [1]. Enfin, elle l'est 
par rapport au cercle T; en effet, 
menons S, G, {fig. 18) tangente 
à la circonférence de diamètre 
FF'; tirons H, G,, qui sera per- 
pendiculaire à FF' ; tirons aussi 
OG,. Le point de rencontre de A avec Taxe étant toujours désigné 
par K,, on aura [33] 

HjKj = -^ OH,, 




et, dans le triangle rectangle OG,S,, 
H,S, 



d'où 



Ml 

OH,' 



h'' 



H,K,.H,S,= ~H,G,^=.f,n,F.H,F; 



ainsi, le produit des distances de H, à S, et à A est égal au carré 

de rayon de r [32] ; A est donc la polaire de S, par rapport à r. 

Si la conique, au lieu d'être une ellipse, comme le suppose la 

figure 18, élait une hyperbole, la démonstration serait la même, 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



27 



si ce n*est que la tangente à la circonférence de diamètre FF' 
devrait être menée par U^, et alors Sfix serait perpendiculaire 
à FF'. 

35. — On voit que les cercles r et les droites A, définis pro- 
visoirement au moyen d'une tangente à la conique, ne dépendent 
pas de cette tangente, et possèdent une partie des propriétés des 
cercles bitangents et des droites des contacts. Pour être en droit de 
leur attribuer les autres, il suffira maintenant de leur étendre 
celle qui nous a servi de point de départ, c'est-à-dire de démontrer 
que tout point de A a même polaire par rapport à F et à la conique. 

Les lettres déjà employées ayant toujours la même signification, 
soient de plus Z^ (fig. 19), un point quel- 
conque de KjVj ou A, et Z, Tintersection 
de OZj avec KV ; tirons HZ et U^Z^ ; ces 
deux lignes seront parallèles, puisque les 
rapports de OH à OH^ et de OZ à OZ, 
égalent l'un et l'autre celui de OV à OV,. 
Les polaires de Z et Z, par rapport à la 
conique sont parallèles parce que Z et Z^ 
se trouvent sur un même diamètre ; mais 
la première coïncide avec celle de Z par 
rapport au cercle bilangent de centre H 
[1], laquelle est perpendiculaire à HZ ; 
donc la polaire de Zj par rapport à la co- 
nique est perpendiculaire à HjZ,, comme celle du même point par 
rapport à r ; d'ailleurs toutes deux passent par S^ puisque Zj est 
sur A, et que S^ est le pôle de A par rapport à r et par rapport 
à la conique ; donc elles se confondent. 

36. — La proposition qui a été établie [23] sur la longueur de 
la corde commune à une conique et un cercle bitangent n'a plus de 
sens lorsqu'il s'agit des cercles T. Cependant, pour la leur rendre 
applicable, il suffit, dans l'énoncé, de substituer, à cette longueur, 
celle de la perspective, prise du centre de la conique et effectuée sur 
la tangente au sommet, de la corde que la conique intercepte sur 
la polaire du centre der par rapport à la circonférence des foyers. 
Nous entendons ici, par circonférence des foyers, celle qui est 
décrite sur la dislance focale comme diamètre. 




Fig- 19 



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28 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



Soient S^ {fig, 20 et 21) le conjugé harmonique du centre de 
r par rapport aux foyers, K^ celui de S^ par rapport aux sommels 





Fi g. 21 

A, A'. Menons, dans le cas de l'ellipse, la demi-corde S^E {fig. 20) 
du cercle principal, ainsi que la langenle K,E, ou, dans le cas de 
l'hyperbole, la demi-corde KjE (fig. 21) et la tangenle S^E. Pre- 
nons le point de rencontre 1 de la conique avec la perpendiculaire 
en S^ à Taxe AA', puis celui J, de 01 avec la tangente en A. Il 
s'agit de démontrer que le rapport de AJ à R,E est celui de 6 à a. 
On a, dans les deux cas, 

AJ _ OA _ OE ___ KjE 

Sji"~os; """Us^"" s^E* 

car les deux triangles EK^Sj, OES^ sont semblables ; il vient donc 

A£_SJS 
kiE ~ S,l ' 

or, le dernier rapport est celui de 6 à a [23]. 

37. — Le rayon de r diminue à mesure que le centre se rap- 
proche du foyer ; en même temps A s'éloigne du sommet. Quand 
le centre atteint le foyer, le rayon devient nul, et A se trouve être 
la polaire du foyer par rapport au cercle principal et par rapport 
à la conique. 

Si Ton adopte Tusage habituellement suivi dans des cas analo- 
gues, on conservera aux cercles r le nom de cercles bilangenls 
et aux droites A celui de droite des contacts ; seulement, on dira 
que les points de contact de ces cercles avec la conique sont ima- 
ginaires. 

Les points de Taxe que nous n'avons pas encore considérés sont 
ceux qui, dans Tellipse, se trouvent sur les prolongements de la 
ligne des foyers, ou, dans l'hyperbole, entre les deux foyers. Ils 



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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES éLEMBNTAIRES 29 

sont aussi les centres de cercles jouissant de propriétés particu- 
lières, succeptibles d'être démontrées géométriquement ; mais, en 
ce qui les concerne, nous nous bornerons, pour le moment, à 
cette indication. 

PROBLÈMES 

38. — Voici les énoncés de plusieurs problèmes auxquels les 
propriétés ci-dessus établies fournissent des solutions géomé- 
triques. Actuellement, comme dans tout ce qui précède depuis 
le paragraphe 7, il ne s'agit encore que de cercles bitangents de 
première espèce, à contacts réels ou imaginaires. 

Décrire une circonférence bitangente à une conique donnée, 
connaissant son centre, ou son rayon, ou l'un de ses points, ou 
l'une de ses tangentes. 

Construire les éléments (Tune conique bitangente à un cercle 
donné, connaissant trois points de la courbe, ou deux points avec 
la tangente en l'un de ces points, ou deux tangentes avec l'un 
des points de contact, ou trois tangentes. 

Construire les éléments d'une conique bitangente à deux cer- 
cles donnés, connaissant un point de la courbe, ou une tangente. 

Construire les éléments d^une conique bitangente à trois 

cercles donnés. 

(A suivre), 

SECONDE NOTE 

SUR LES CERCLES RADICAUX ET ANTI-RADICAUX 
Par M. Junn J. Dnran-Lorlga 

Commandant d'Artillerie à la Corogne. 
(Suite; 1897, voir p. i5) 



u 

Passons à l'étude de ce que nous avons appelé précédemment 
cercles anti-radicaux. 

Etant données une circonférence (0) et la radicale (p), on peut 
déterminer (0') circonférence anti radicale de (0) par rapport à 
(p). En prenant une distance pO' = Op, on obtiendra son centre 



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30 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELéMENTAlRES 

0' ; pour calculer son rayon, il faut déterminer R' d'après la for- 
mule qui donne la valeur de p ; on a donc 

si nous appelons d la dislance Op. 

Pour que la circonférence (0') soit réelle, on doit avoir 



• 2p^ 

En supposant 



«w^ 



2(p-2 4- d') — R2 = 0, 

la circonférence anli-radicale se réduit à un cercle point. 
Etant données les équations de deux circonférences (C) et (C) 
a;i ^yi -^ 2Aj; -+■ 2By 4- C = o, 
œ^ -\-y^ -h ik'x -h 2B'y -h C = o, 
la circonférence anti-radicale de (C) par rapport à (G) est repré- 
sentée par : 

a;» + y2 4. 2(2A' — A)x -+- 2(28' — B)y -H 2G' — C = G. 
Quand il s'agit de coordonnées barycentriques, on a 
(c) (a -h P + ï) (wa -i- vp 4- tv^) — «2pY — b^cL^( — c^ap = o, 
(e') (a -H P -+- ï) (^'a + ^'P + «^*'ï) — «^Pï — ^'^«Y — ^^ap == o, 
et, pour la circonférence anli-radicale de (C), par rapport à (C), 

(aH-p-t-Y)[(2w'— w)a+(2v'— ?;)PH-(2t4;'— 2^)7]— a^PY— ô2aY~-c2ap=o. 

Lorsqu'une des circonférences dégénère en cercle point, le 
rayon de la circonférence anti-radicale de (0) par rapport à un 
point p a pour valeur 

W = \/2d^ — R\ 

d étant la dislance Op ; son centre, sur Op, est à une distance 
00' = 20p. 

La circonférence anti-radicale sera réelle, réduite à un point, 
ou imaginaire, selon qu'on supposera 

2d I R\/5. 

Si réqualion de la circonférence est : 

cc^ -i- y^ -\- •^A.x -+■ 2Bî/ 4- C = 0, 

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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 3i 

a et b étant les coordonnées du point p, on aura pour équation 
de la circonférence anti-radicale de (0) par rapport à p, 

œ^ -h y^ — 2(2a -h A)x — 2(26 4- B)y 4- 2(a^ -h b^) — C = p. 

Lorsque la circonférence a son cenlre à l'origine et que le point 
p est sur Taxe des x, à une distance c?, Téquation est : 

a;2 _^ y2 ^^^ _^ 2C?^ 4- R2 = o. 

De l'expression donnant la valeur du rayon R' de la circonfé' 
rence an ti- radicale, nous déduisons : 

2(R-2 4- R'2) = ÔCF', 

11 en résuie, que les points de contact des tangentes communes 
à une circonférence et son anti-radicale par rapport à un point 
sont, quatre à quatre, sur deux droites qui coupent la ligne 00' 

R^ 
en un même point dont la distance à est égale à -^ . Ainsi, ce 

point est le pied de la polaire de p par rapport à (0). De plus, ces 
droites sont inclinées de 4^** sur la ligne de centres et les tan- 
gentes menées d'un point quelconque de ces droites aux circonfé- 
rences (0) et (0') sont en relation harmonique, 

ËnQn, si la circonférence (0) reste fixe et que le point C se 
meuve sur la ligne 00', l'enveloppe des cercles anti-radicaux est 
l'hyperbole équilatère correspondant à l'équation 

x' — y^ = RK 

11 est évident que toutes les circonférences qui passent par les 
points H et K où l'anti-radicale (0^) coupe la ligne de centres, 
sont aussi anti-radicales de (0) par rapport au point p, mais nous 
appelons particulièrement anti-radicale celle qui a son centre 
sur Op. {A siiivi^e). 



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32 JOURNAL DE UATHKMÀTIQUBS élibMBNTAIRES 

RELATIONS MÉTRIQUES 

ET TRIGONOMÉTRIQUES 

ENTRE LES ELEMENTS LINEAIRES ET ANGULAIRES 

DU QUADRILATÈRE INSCRIT COMPLET 

Par M. Lccocq, ancien professeur au Lycée d'Avignon. 

(Suite, 1897 ; p, 9). 



6. — Longueurs des segments appartenant au pMmèlre du 
quadrilatère complété. 

G A ^'^ QD_ h'b gp_ l'b gn__ h'd . 

QA=,-^. QB=^> Q^=5^' 0^=^- 



Expression de la troisième diagonale 



2 ^ ^i;2 ) ?[^_. ^ ^d l /JphH' 



{ai _ c^yi -^ i^d' — ô^)^ \ — (a' — c-Y{cl^ — b'y 
d'où 

SQ' = SA X SB -i- QA X QD. 

Ainsi, la somme des puissances des points S et Q, par rapport 
au cercle 0, est égale à fi^. A l'aide de ces expressions et du théo- 
rème de Ménélaiis, on vérifiera facilement que chaque diago- 
nale est divisée harmoniquement par les deux autres. 

7- — Réciproquement ; si, dans un triangle SAQ, on mène 
deux droites SD et QB telles que : 

SQ' = SA.SB H- QA.QD, 

le quadrilatère ABCD est inscriptihle {fig, 5). 

En effet, faisons passer une circonférence par A,D,S qui cou- 
pera SQ en un point P tel que : 

QA.QD = QP.QS, 
il en résulte : 

SA.SB = SP.SQ, 

et les quatre points A,B»P,Q sont aussi sur une même circonfé- 



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33 




'«""•".u. r.K «,,„, ,;^^^, 



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34 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

rence. On en déduit : 

BQP = HAP = SDP, 

donc PCDQ est inscriptiblo. 

De même : _ _ ^ 

D8P = DAP = UBP, 

et BSPC est aussi inscriplible, el, par suile : 

BCD = BSP -f- PUd = 2^ — a. 

8. — Distances du point P aux sommets A,B,C,D. 

Les triangles PB A et PCD sont semblables, el de même les 
triangles PBC et PAD, ce qui donne : 

PA PB PC PD 1 / . , s 

-— r = -T- = -~r- = -j- := —.(voir nO 10). 

ad oa ch de 2/ ^ ^ 

On a donc aussi : 
PA PB PC PD PO R hl , . , ^ 

JÂ = Tïï = Te = Td = -R = OT = W ( ^^^ ' *' " ^ ") • 

On voit que PI est une bissectrice commune des angles APC et 
BPD. D'autre part : 

bps=ïïpO = a, 

APS = CPU == D ; 

par suite, IP est perpendiculaire à SQ. 

9. — Du point to ; formule de PI. 

La demi-circonférence, décrite sur SQ, rencontre la perpendi- 
culaire PI en un point to ; on a 

'^^ = SA.SB = SC.SD = SP.SQ = ^'^'^^ 



Q7^3=QA.QD = QB.QC = QP.QS: 



hH^ac 



PI, bissectrice du triangle BPD, a pour expression 

^Sabcd 

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PI = 



JOUn.VAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 35 

à cause de l'identité 

10. — Position du centre par rapport à SQ — fonnufes de 
PO et de CI — relation entre R et S. 
I^s triangles ÎAO et IPC sont semblables, car 

CAO = CAD — OAT) = (^ ~ (i'''^-- ACD) =CBD 4-ÂBU-- 1'*' r^^ 
CBA — i'^' = CPS — i'» = CPl. 

Les quatre points A,0,C,P sont sur une même circonférence et 
par conséquent : 

AP -h CP _ PO 
m ^ R ' 

On prouverait, de même, que BODP est inscriptible, d'où 

BP -h DP _ PO 
n ~~ R * 
D'autre part : 

os' = R^ 4- SA.SB, 

C)Q' = R* + QA.QD; 
d'où 

015' _ ôs = QA.QD — SA.SB = Qi;i' — Si;;' = Qp' — sp'. 

Ainsi le centre est sur la perpendiculaire PI. 

Il est facile d'élablir que la tangenle menée du point P au cercle 
est égale à Pw ; en outre, la similitude des triangles AOI, ICP 
fournit 

^, _ ahcdli^ _ k^f 

^* — hH^ X Pi ~" 2S ' 

et, en vertu de la relation 

4RS = hkU 



on a 



P0 = ^', et R* = OP.OI. 



Ces résultats sont connus; on sait en effet que le point 1 est le 

p6le de la droite SQ par rapport au cercle 0. 

{A suivre). 



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36 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 



UNE NOUVELLE DÉMONSTRATION 

DU THÉORÈME DE PYTHAGORE 
Par M. Brand. 




Sur les deux côtés ceib de Tangle droit d'un triangle rectangle 
ABC, on construit les carrés BADE et GAFG dont on trace 

les diagonales. 
>kT Les droites OA et AO 

sont dans le prolongement 
Tune de Taulre. 
. La demi- circonférence 
décrite sur BC, ou a, 
comme diamètre, coupe 
00' en un point N. 

On a BN= NG = ?, 

2 

car NAC = 45^ 
Donc, si on tire les droites BJ^ et NC, le triangle BNC est rec- 
tangle isoscèle. Les triangles rectangles OBN et O'CN sont égaux. 
Si on remarque que la hauteur NP du triangle ANC est égale 

(i^insi qu'il est facile de le voir) à ^ , on pourra écrire 

surf. NO'C = surf. AO'C — surf. ANC, 
b^ h h — c ch 

7 2* 2 4^' 

c'est-à-dire que surf. NO'C = i surf. ABC, ou surf. ABC= surf. 
OBN 4- surf. NO'C. 

Dès lors, en soustrayant du quadrilatère OBCO' : d'une part, la 
surface du triangle ABC ; et, d'autre part, la somme des surfaces 
OBN et NO'C, on aura deux résultats équivalents, c'est à-dire que 

surf. BNC = surf. OAB + surf. ACO'. 
En multipliant les deux membres par 4, on a 

«2 =r ftS H- C«. 



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JOURNAL DE MATHBUATIQUES éLÉUENTAIREg 37 

PROBLÈME DE GÉOMÉTRIE PRATIQUE 

par M. Alfred Bertezéne. 

Par tin point A, mener une droite qui aille passer par le 
point de rencontre M de deux droites A, bJ qu'on ne peut pro- 
longer. 

Ce problème a été traité de bien des façons diverses. On en 
trouve notamment une solution par la règle dans la Géométrie 
de la règle et de Véquerre de M. de Longchamps (p. 3i). 

Voici une solution qui est aussi 
très simple ; mais elle exige l'em- 
ploi de la règle et du compas. 

Du point A, comme 'centre, dé- 
crivons un cercle quelconque qui 
coupe les droites données. Traçons 
les diagonales du quadrilatère 
BCDE, qui se coupent en un point 
P. Prolongeons CE, BD jusqu 'à 
leur rencontre en P' et menons 
PP'. C'est la polaire du point M. 
La perpendiculaire S, abaissée ' 

du centre A, sur PP', passe par M. 

Remarque. — On peut toujours disposer du rayon AE de 
telle sorte que la corde ED (ou la corde CB) étant très petite, CE 
et BD se rencontrent dans les limites de l'épure. Au besoin, on 
mènerait en E et en D deux perpendiculaires sur AE, AD. Ce 
seraient deux tangentes dont la rencontre à proximité fournirait 
le deuxième point de la polaire. 



SUR UN THEOREME DE M. LEMOINE 

Par M. Jorge F. d'AYllIes. 




M. E. Lemoine a démontré (J. E. 1896, p. i64), que, dans un 
triangle dont les côtés sont a, &, c, si F est le point de contact du 
cercle de Feuerbach avec le cercle inscrit et F' le point où la 



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38 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

tangente en F louche i ellipse d'aire maxima inscrite au triangle, 
on a 

FF' = — i (6 — c) (c — a ) {a— b) 

a ' a* -h 6^ "H c^ — bc — ca — ab' 

Soit ABC un triangle tel que a > è >> c ; si est le centre du 
cercle circonscrit, T Je centre du cercle inscrit, H Torthocentre, 
on peut donner une expression simple de l'aire du triangle |OIH. 
En effet, on a, dans le triangle ABC, 

p„, ___ 1 (b — c){a^ c) (a — b) 

2 (a^ -+-62 + &') — {bc -hca-i-aby 

et d'après un théorème de M. Sondât (N. A. question i593), si r 
représente le rayon du cercle inscrit au triangle ABC, on a : 

OIH = (^ — ^0 (^ — c)(a — 6) 

D'ailleurs, en représentant par 8 la quantité 4R + r, où R est le 
rayon du cercle circonscrit, on a . 

a^ -f- 6^ -h c^ == 2(p2 — ,.8), 



et comme 
il vient 



bc -^- ac -\- ab = (p^ H- r8), 






NOTICE HISTORIQUE 

SUR LA GÉOMÉTRIE DE LA MESURE 
Par M. Anbry 

{SuitCf voir 1897, page 18) 



P APPUS 



Après Archimède, on ne voit guère parmi les Anciens que 
Pappus qui se soit occupé de la Géométrie de la mesure, au moins 
comme recherches originales. 

C'est à lui qu'on doit la transformation des procédés d'Archi- 
mède relatifs au mesurage de la sphère, tel qu'on l'enseigne 
encore aujourd'hui, sauf qu'il y fait usage de la méthode d'exhaus- 

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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



39 



'ion. Celte démonstration emploie, comme ou sait, les mêmes 
moyens pour la surface et pour les volumes : la considération d'un 
triangle isoscèle tournant autour d'une droite de son plan. 

Pappus a donné la quadrature d'une surface sphérique limitée 
par une courbe définie ainsi qu'il suit : le quart de circonférence 
PB {fig, 19) fait une révolution complète autour du rayon PO, 
en partant de la position PKA, tandis que le point M, d'abord en 
P, se meut le long du 
même arc PR, ce qui 
donne une courbe PMM'A. 
On peut présenter la dé- 
monstration ainsi : avec 
le rayon CO, égal au côté 
du carré circonscrit au 
grand cercle, décrivons le 
quadrant CND. Le rayon 
OM rencontre l'arc PA en 
K ; traçons le petit cercle 
KML qui coupe la courbe 
PMM'A en M. Supposons que R et R' sont deux divisions consé- 
cutives de la circonférence ARBA en parties égales. 

On a 




I^ig- 19 



fus eau PM m 
seciTORR' '' 



m PL 



donc 



OR^ 



1=2, ROR' = 4.KOK'8.NCiY; 



secL ROR' __ 8. OR 
sec t. NCn 



CN- 



De ces égalités, on tire 



fuseau ?}im 8. PK 



sect. NCw 



CN 



Les divisions dont nous avons parlé déterminent dans la sur- 
face sphérique PMA et dans le segment CND des polygones sphé- 
riques inscrits et circonscrits à la manière d'Archimède, et dont 
les aires peuvent par conséquent différer aussi peu qu'on le veut, 
en bissectant de plus en plus les arcs RR', RW... 11 s'en suit que 
l'aire comprise entre la courbe PMM'A et l'arc PA égale le qua- 



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40 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLBMËNTA1HE9 

druple du segment CND. Or, la surface de l'hémisphère égale celle 
du secteur COD ; donc le reste de la surface, limité par la courbe, 
égale le triangle COD, lequel égale le carré du rayon OP. 

Cette démonstration, si remarquable, a été présentée d'une 
manière plus générale par Mac-Laurin (A Treat. ofFhix,) : le 
point M parcourt le quadrant PB, tandis que ce même quadrant 
fait une fraction quelconque de tour (*). La courbe PMM' avait 
déjà été ainsi généralisée, quarrée et rectifiée par Guido>Grandi 
(voir J. S. 1893, p. 176), qui lui avail donné le nom de Clélie 
{Flores Geom,) en Thonneur de la comtesse Clelia Grillo Bor- 
romeo, à qui ce livre était dédié. Un autre cas particulier remar- 
quable de ces courbes est la vivianien7ie ou cyclocylindrique, 
qui a lieu quand le quart de circonférence parcourt un quart de 
tour seulement pendant que le point M parcourt le quadrant PB. 

Probablement, pour ne pas compliquer sa figure, Pappus ne 
trace que les lignes correspondant aux divisions qu'il indique : il 
se contente de rappeler la méthode d'Archimède (F) : c'était un 
premier pas vers la simplification de la méthode d'exhaustion 
appelée des indivisibles. 

C'est Pappus qui a énoncé le premier les deux théorèmes dits de 
Guldin, et il serait de toute justice qu'ils portassent son nom, 
d'autant plus que Guldin ne les a pas plus démontrés que lui. 

La méthode d'exhaustion a été employée chez les Modernes 
principalement par Commandin, Lucas, Valerius, Neper, de la 
Faille, Guldin, Cavalieri, Boberval, Fermât, Torricelli, Léotaud, 
G. de Saint-Vincent, Pascal, Huygens, Tacquet, Lalouvère, 
James Gregory, Newton, Viviani, Nicolas, Guido-Grandi, Mac- 
Laurin et enfin Legendre, dans la célèbre Géométrie duquel on a 
cru devoir remplacer certaines démonstrations imitées des An- 
ciens par d'autres plus courtes, mais assez peu rigoureuses pour 
un traité classique de géométrie. 

(A suivre). 



(•) Ce cas général se ramène d'ailleurs au cas particulier de Pappus : 
il est facile de se rendre compte que deux de ces surfaces sont entre 
elles comme les angles dont tourne le quadrant mobile, jusqu'à ce que le 
point M arrive au bas de ce dernier. 



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JOURNAL DB UATHÉUATtQUKS ÉLBIIBNTAIRBS 41 

EXERCICES DIVERS 

Par M. A. Boulin. 



488. — Combien peut-on former de nombres différents de n 
chiffres, en n'employant que 3 chiffres, ces 3 chiffres figurant 
dans chacu7i des nombres F 

On trouve la formule : 

^=3. îî^îi— 1> + a(a« _ ,) »(» - i) (n - a) 

1.2 ' ^ ' 1.2.3 ' 

+ 3(a3_,)»^»-'>'»-^^)(»-l)+a(a*-i)"<»-'»»-?;<V-^'<"-^>+... 

I«2«^«^. I.2.j,L^.3 

OÙ l'on prend seulement les n — 2 premiers termes. On l'obtient en cher- 
chant le nombre des arrangements qui contiennent /i — 2 fois l'un des 
chiffres et une fois chacun des deux autres ; puis n — 3 l'un des chiffres, 
deux fois l'un des deux autres et une fois le troisième, etc.. et faisant la 
somme. 
Pour n = 3, \, 5, 6 

on a a? = 6, 36, i5o, 54o,.... 

489. — Des jetons portent sur chaque face un numéro, de 
telle sorte que le côté pile et le côté face constituent les deux 
moitiés d'un domino. Pour le jeu ordinaire s'arrétant au 
double-six et comprenant 28 dominos, il y aura 28 jetons cor- 
respondants, le blanc étant figuré par 0. On suppose que le jeu 
s'arrête au double n — 1. Ceci posé, on jette ces jetons comme 
des dés, et on demande de vérifier les propositions suivantes : 

n(n -f i) 
1** Le nombre des coups possibles est .-2 a . 
vl"* La somme des points mis à chaque jet est comprise entre 
"(n^-0 ,, n(n«-i) 
6 ^^ 3 • 
30 Le nombre de manières d'amener un total de points p, 
compris çfans les limites précédentes est le coefficient de xp dans 
le développement de 

nfng — i) 
2"x 6 (x -h i)°-*(x^-|- i)"-2(x3 H- 1)"-' (x"-^ 4- 1). 

4° Si Von supprime les n jetons qui correspondent aux n 
doubles, le nombre de manières d'amener un total déterminé p 
de points est le coefficient de xp dans le développement de : 

n(n — i) (n — 2) 
X 6 (x 4- l)n-l(x« H- lf-\x^ H- if'^ (x"»"^* -f- l). 



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42 JOURNAL DB MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 



EXERCICES (•) 

1. — Deux angles droits ont leurs sommets en o, leurs côtés 
rencontrent une droite donnée en a,b, pour Vun, et en a',b', 
pour Vautre. Le point p étant le pied de la perpendiculaire 
abaissée de o sur la droite donnée^ si aa' = a'p, démontrer que 
bb' = pb. 

2. — Les sommets d'un rectangle dominé sont o, a, b, c. Du 
point on abaisse sur la diagonale ac la perpoidiculaire ol. 
Cette droite rencontre les côtés du rectangle aux points m, n. 

Démontrer que ^ = — -f- -- . 
ol om on 

3. — On donne un rectangle et un point o sur Vune de ses 
diagonales. La somme des carrés des distances de ce point aux 
extrémités de Vune des diagonales est égale à la somme ana- 
logue pour Vautre diagonale. Démontrer que cette propriété est 
vraie aussi, lorsque le poiiit o est absolument quelconque, 

4. — On donne une circonférence de cercle et deux poiiits a,b. 
Par le point Aj on mène une transversale. Par les deux points 

oie elle coupe la circonférence donnée et par le point h on fait 
passer un cercle. Démontrer que lorsque la transversale tourne 
autour du point a les cercles afialogues à celui-ci passent par 
un même point, 

5. — On donne un angle a de so7nmet o. Du point m pris sur 
sa bissectrice, on abaisse sur ses côtés les perpendiculaires mp, 
mq ; démontrer que Vaire du quadrilatère o ^ m qest égale à 

2 . 

om sin a 



(•j Nous croyons rendre service aux Professeurs en indiquant sous ce 
titre des sujets de devoirs destinés aux commençants, mais nous n'en 
insérerons pas les solutions. Nous prions nos correspondants de nous 
adresser, de temps à autre, quelques énoncés de cette nature, signés ou 
non. Ceux-ci nous ont été adressés par M. Mannhbim qui porte depuis 
longtemps à ce Journal un intérêt dont, profitant de l'occasion, je suis 
heureux de le remercier ici. G. L. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 43 

6. — Sur les cordes d^un cercle comme diamètres, et dans 
des plans perpendiculaires à cette courbe, on décrit des cercles: 
à quelle surface appartiennent-ils ? 

7. — Par les points d'un cercle d'une sphère donnée, on 
mène des parallèles à une droite fixe, elles rencontrent de non- 
veau la sphère : à quelle courbe appartiennent ces points de 
rencontre ? 

8. — A quelle courbe appartiennent les points d'une sphère 
cToii l'on voit sous U7i angle droit un seg7nent fixe donné ? 



BIBLIOGRAPHIE 



Cours d'Aloèbre élémentaire conforme aux derniers programmes de 
l'enseignement classique et de l'enseignement moderne, par J. F. (Alfred 
Marne» à Tours ; Gh. Poussielgue, à Paris ; 1896J. 

Il y a aujourd'hui des baccalauréats en si grand nombre, des examens 
de genres si divers, qu'il parait difficile de composer un livre en vue de 
telle ou telle préparation particulière ; il faudrait les multiplier par trop. 
Le mieux est d'écrire un livre élémentaire, sur TAlgèbre par exemple, 
comme celui que nous signalons ici à toute l'attention de nos lecteurs, en 
visant Venseignement général de l'Algèbre élémentaire. Par contre-coup, 
si le livre est bien ordonné et suffisamment étendu, et c'est le cas de 
l'Algèbre en question, il pourra sans peine être utilisé, pour les prépara- 
tions particulières, à la variété infinie ! 

L'auteur me permettra-t-il une légère critique? 

Lorsque, à la page i58, il parle des équations réciproques du quatrième 
degré, il distingue — je sais que cette distinction a été faite par d'autres — 
des équations réciproques de première et de deuxième espèce. 11 n'y a, à 
bien envisager la chose, comme le faisaient les anciens auteurs (Mayer et 
Choquet notamment, si ma mémoire ne me trompe pas) qu'une seule équa- 
tion réciproque du quatrième degré : 



Aa?* + Ba?3 + 0« + Bka; -f- Ak^ = 



dans laquelle k est un paramètre quelconque. On peut donner à k les va- 
leurs + I, — I, et beaucoup d'autres ; mais cela ne constitue pas des 
genres difi^érents et qu'il soit nécessaire de distinguer en deux espèces. 

J'ai vu avec plaisir que l'auteur maintenait l'introduction des dérivées 
et les premières notions de la Géométrie Analytique, dans l'ensemble des 
connaissances qu'on doit aborder dans le cours de mathématiques élémen- 
taires. Un vent de réaction qui, il faut Tespérer, ne durera pas, en même 
temps qu'il touchait gravement les programmes d'admission à l'Ecole 
Polytechnique, a fait supprimer ces matières de l'enseignement des can- 
didats à l'École de Saint-Cyr. On peut souhaiter en se plaçant au point 



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44 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

(le vue scientifique, vraiment trop oublié au milieu de ces réformes 
regrettables, que cet enseignement soit bientôt remis au niveau scientifique 
auquel il avait été placé et qui permettait de Juger les candidats sur un 
terrain autre que celui de la mémoire ; un terrain meilleur, je persiste à 
le croire. G. L. 



Parmi les publications récentes, nous signalons à nos lecteurs : 

i» Le Bulletin de la Presse. — Ce journal insère tout ce qui, au point 
de vue professionnel, peut intéresser les Publicistes, les Directeurs pério- 
diques et les Imprimeurs. 

Son programme comporte, outre une série d'articles de fond, la législa- 
tion et la jurisprudence, — la liste des nouveaux journaux parus, — les 
modifications apportées aux anciens, — des éludes sur la presse, à l'étran- 
ger, — des causeries pratiques sur la presse, l'imprimerie et la publicité, 
— les documents relatifs aux syndicats de la presse, — les journaux et 
imprimeries à vendre, — les offres et demandes d'emplois, etc. 

Cette publication bi-mensuelle est le complément naturel du Guide de 
la Presse^ « Bibliographie annuelle des journaux et périodiques », l'ou- 
vrage est le plus complet du genre. 

Demander des spécimens gratuits des deux publications à M. Ë.-G. 
Raymond, 21, quai Saint-Michel^ Paris. 

a® L'Écho du Public, — Cette publication est inspirée par la même idée 
que celle qui a présidé à la fondation de V Intermédiaire des chercheurs 
et curieux et, plus récemment, à celle de V Intermédiaire des Mathé^ 
maticiens, h Écho du Public est un instrument d'information sur toutes 
les choses : littérature, sciences, arts, théâtre, curiosité pure, etc.. 11 
parait tous les samedis (Prix : fr. 10; abonnement : un an : 6 francs; 
six mois : 3 fr. 50. 54» R'ue de la Victoire^ Paris), 



BACCALAUREATS 



Académie de Gaen. 

1° Questions au choix : (a) Définition d'une fraction irréductible. 
Montrer que la condition nécessaire et suffisante est que les deux termes 
soient premiers entre eux. Combien y a-t-il de fractions irréductibles 
inférieures à l'unité et ayant pour dénominateur 48? 

(b) Théorie de l'extraction de la racine carrée à moins d'une unité. 

(0) Somme des carrés des n premiers nombres entiers. 

20 Problème, — Étant donnée une parabole dont le foyer est en F, 
d'un point M de la courbe on abaisse la perpendiculaire MP sur son axe : 
montrer comment varie le volume du cône engendré par la révolution du 
triangle MPF autour de son côté PF, lorsque le point P se déplace sur la 
parabole à partir du sommet. 

Académie de Glermont. 

lo Questions au choix : (a) Volume engendré par un segment de cercle ; 

(b) Intersection d'une droite et d une parabole ; 

(c) Propriétés de la tangente à la parabole. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 45 

20 Problème. — Etant donné un Irièdre trirectangle OXYZ et un point 
A sur OX, demande de déterminer sur OY et sur OZ des points B, C tels 
que la sphère circonscrite au tétraèdre OABG ait un rayon donner et que 
le volume du tétraèdre OABG ait une valeur donnée b^. Calculer ensuite 
Taire du triangle ABC. On prendra OA = a. 

Académie de Grenoble. 

lo (^testions au choix : (a) Etablir la formule : 

cos (a + J) = cos a cos b — sin a sin b ; 

{b) Etant donnée tg a, trouver tg ^; 

(c) Résoudre un triangle, connaissant les trois côtés. 

2© Problème, — A l'intérieur d'un triangle ABC, dont les côtés sont 
a, b, 0, et dont la hauteur AD = A, on mène une parallèle EP à BC, à 
une distance AG = a; du sommet A ; on prolonge ËF à l'extérieur de 
longueurs EH = EA, FI = FA, et on joint HB, IC. On demande : lo d'ex- 
primer en fonction des données et de x Taire du trapèze HBCI; n^ de 
déterminer la valeur de ûp pour laquelle cette aire est maxima. 

Académie de Lille. 

lO Questions au choix : (a) Divisibilité de a;"' + a'" par x -\- a. 
{b) a?"» — a"» est toujours divisible par a? — a. 

__ ) ; en déduire la formule qui 

donne la somme des termes d'une progression géométrique. 

2<» Problème. — On connaît la petite base d'un trapèze isoscèle et la 
somme b des deux côtés non parallèles. Déterminer la grande base 2x et 
la hauteur y, de telle sorte que l'aire du trapèze soit égale à celle d'un 
carré de côté m. — Discuter. 



QUESTION 693 

Solution par M. A. Droz-Farny. 

On considère une parabole P, de sommet 0. On fait towmei% 
dans son plan, autour de 0, d'un angle droit, la parabole P; 
soit Q sa nouvelle position. Les deux paraboles P, Q ont un seul 
point réel commun A ; sur OA comme diamètre, on décrit une 
circonférence A. Par un point M, arbitrairement choisi sur A, 
on mène des parallèles aux axes des paraboles P e/ Q ; elles les 
rencontrent respectivement aux points p et q. Démontrer que le 
triangle pMq est isoscèle» (G. L.) 

Les paraboles P et Q ont respectivement pour équalions 

y2 =rr 2pJ7, et 07* = ^pij. 



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46 



JOURNAL DE MATHéMATlQUES ELEMENTAIRES 



Elles se coupent en un point A tel que OA est incliné de 45'» 

sur les axes de P et de Q ; 
les coordonnées de A 
sont donc évidemment 

et le cercle A aura pour 
équation 

ou 

(I) x^ -\- y^ — ipx — 
%py = o. 

Soit M un point de A ; 
M^ rencontre en B l'axe de P et soit pG l'ordonnée de p ; on aura 




Mp = OC — OA 



= ^!i._OB = — -OB. 

2p 2p 

m' 



MB — ^B==MB — — -. 

^ 2p 

Or, d'après l'équation (I) du cercle A 



OB 

2p 



MB 



np 



OB — MB = ; 



donc 



Mp = Mq, 



QUESTION 694 

Solution par M. A. Droz-Farny 

Plaçant le pôle d'une transformation par rayons vecteurs ré- 
ciproques au sommet Q d'un triangle donné abc, on prend les 
transformés a', b' des sommets a, b. Démontrer que le trans- 
formé du centre o du cercle inscrit au triangle abc est, sur la 
droite co, le centre du cercle ex-inscrit au triangle a'cb'. 

(Mannheim). 

Soient d*abord o et o^ les centres du cercle inscrit et ex-inscrit 
dans l'angle c au triangle ahc\ on sait que l'on a : 



p — c 
co = ^ , 

cos - 

9. 



COi 



_- p . 



; d'où co.coi = 



p(p — c) 



ahy 



cos 



cos^ 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



47 



résultat qui confirmerait déjà le théorème de M. Mannheim, dans 

le cas particulier d'un module de transformation k^ = ah. 

Il en résulte : 

c 



ah . cos 



(1) 



co, = 



p — c 

Soit maintenant k^ le module d'une transformation par rayons 
vecteurs réciproques ; on aura : 



ca' = 



ah' = 



ch' = 

ck^ 
ah ' 

2 



k' 



donc 



et par conséquent 



co' = — = 
co 



/=4 

^ ah 



k' cos - 



(p — c) k' 
ah 



A:* cos ? 



ah cos - 



p — c ah{p' — &) p' — c' ' 

Ainsi, d'après la formule (I), o' est le centre du cercle ex- 
inscrit dans l'angle c au triangle a'cb\ 

Solution par M. L'Huillibr. 



Traçons le cercle (w) circonscrit à cob, cercle qui a pour 
centre le point w où la bissectrice de l'angle a rencontre 
la circonférence abc et la tan- 
gente b^x)^, en by à ce cercle. Tra- 
çons, de même, le cercle circon- 
scrit à abc et la tangente ht en 
6 à ce cercle. On a évidemment 



c6a)4 = , cht 



b, 



donc le cercle (w) bissecte l'angle 
en b de bc et du cercle circon- 
scrit. 

Dans une transformation quelconque par rayons vecteurs réci- 
proques de sommet c, l'inverse o' de o est Tintersection de co avec 




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48 



JOURNAL DB M ATHBMÀTIQUBS étéMBNTAlRRS 



l'inverse du cercle (w). L'inverse du cercle circonscrit esl Ja droite 
cih' et la droite inverse de (<») est la bissectrice de l'angle exté- 
rieur de a!Vc, 



QUESTION 698 

Solnti^ii, par M. Francis Dauzats, soldat au 5i^ de ligne. 



On donne le point et la surface (S) de la question 697 (*). 
Par 0, on mène %tn plan arbitraire et une perpendiculaire à ce 
plan. Sur cette droite, on prend des points à des distances de 
égales aux distances de ce point à l'intersection du plan arbi- 
traire de (S). 

Quelle est la surface lieu des points ainsi obtenus, lorsqu'on 
fait varier le plan ordinaire? (Mannheim). 

La surface S est un cylindre de révolution dont Taxe passe par 
0. Les plans déterminent des ellipses dont les demi-axes sont les 
distances considérées. Soit OX la perpendiculaire au plan ABCD. 
i'' En portant OM = CO, le petit axe de Tellipse étant égal au 
rayon OA' du cylindre, le lieu de M est la sphère décrite de 
comme centre et inscrite dans le cylindre (sphère tangente au plan 
donné dans la question 697). 

2« En portant ON = OA, N' étant la 
projection de N sur l'axe, on voit facile- 
ment que ON' = OA'. Donc le lieu de N 
se compose des deux plans tangents à la 
sphère précédente aux intersections avec 
Taxe (soit, le plan donné dans la ques- 
tion 697 et son symétrique par rapport 
àO). 

Nota. — Solutions diverses par MM. Droz- 
Farny ; GoYENS ; H. L'Huillibr. 




(•) Voyez la solution de celte question, p. a3. 



Le Directeur-gérant, 

G. DE LONGCHAMPS. 



SA»T»AMAlfD (cHEB). — IMPRIMERIE SCIENTIFIQUE ET UTTÉBAIBE, BUSSIÀRE FRÉRR8. 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 49 

SUR LES GEllCLES BITANGENTS AUX CONIQUES 

Par M. A. TImoC 

{Suite^ 1897, P»&« 25) 

GBBCLES BITANOBNTS DE SECONDE ESPKCB 

39. — Ce sont les cercles bitangenls dont les centres se trouvent 
sur le second axe ou axe non focal. La circonférence de chacun a 
tous ses points extérieurs h la conique, et les tangentes à celle-ci 
la rencontrent. 

Un cercle étant donné ainsi qu'une droite qui le coupe, nous 
appelons nœuds les deux points qui, situés sur le diamètre per- 
pendiculaire à la droite, ont leurs dislances à cette droite égales à 
la moitié de la corde interceptée. On verra plus loin ce qui nous 
autorise à désigner ces points sous un nom déjà affecté a d'au- 
tres [7]. 

La moitié de la distance des nœuds est moyenne proportionnelle 
entre les distances de son milieu aux extrémités du diamètre qui 
les contient. 

Deux circonférences qui se coupent ont les mêmes nœuds par 
rapport à leur axe radical. 

40. — De chaque nœud on voit^ sous un angle droit, la por- 
tion de la droite comprise entre Fun quelconque de ses points et 
la symétrique, par rapport ait 

milieu de la corde interceptée, a b e j> e' C 

de la polaire de ce point. 

Soient A {fig, 22) un point de 
la droite, BG la corde comprise ^ 

dans le cercle, D le milieu de BC. Fig. 33 

Sur la perpendiculaire en D àBC, 

portons Dw égal à BD ; o» sera Tun des nœuds. Supposons que E 
soit le conjugué harmonique de A par rapport à B, G ; prenons DE' 
égal à DE; IL s'agit de démontrer que Tangle AwE' est droit. 
Or, de BD^ = AD. DE, BD = Dw et DE == DE', on conclut 
Dw* = AD.DE', de sorte que le triangle AwE' est rectangle en on 

41. — Si Von joint Vun des nœuds d'une tangente à une 
conique et d'un cercle bitangent i"" avec le point d'intersection 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉM. — 1^97. 3 

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50 JOURWAL DE MATHéifATIQUBS ÉLÉMENTAIRES 

de la tangente et de la droite des contacts, 2« avec le symétrique 
du point de contact de cette tangente par rapport au milieu de 
la corde qu'elle détermine dans le cercle, les deux lignes ainsi 
obtenues seront perpendiculaires entre elles [6, 40]. 

42. — Le lieu des nœuds d'une même tangente à la conique 
par rapport aux divers cercles bitangents se compose de deux 
droites passant par le point de contact. 

Soient (fig. 23) le centre de la conîque, MT la tangente en 
M, H le cenlrB d'un cercle bitangent, C Tune des extrémités de la 

corde qu'il intercepte sur MT, 
U et V les points de rencontre 
de la droite des contacts avec 
MT et avec MO. La perpendi- 
culaire menée de H à MT pas- 
sera par V ; sur cette perpen- 
diculaire prenons Dw égal à 
CD ; w sera Tun des nœuds. 

Le cercle venant à changer, 
maïs M restant fixe, les trian- 
gles DMV, DUV conserveront 
leurs angles, de sorte que DU 
variera proportionnellement à DM ; il en sera de même de Dw, 
puisque Ton a Dw =CD et CD*=DM.DU [6]. Le rapport de Dw à 
DM étant constant, Tangle DMw Test aussi, et to décril une droite 
issue de M. 

48. — Les droites lieux des nœuds d'une même tangente par 
rapport aux divers cercles bitangents coupent taxe non focal 
en deux points situés, avec les foyers, sur une même circonfé- 
rence. 

Pour construire les deux droites, on peut se servir d'un cercle 
bîlangent quelconque; prenons, à cet effet, le cercle principal. Il 
intercepte, sur la tangente MU {fig. 24), une corde GC, dont les 
extrémités sont les pieds des perpendiculaires abaissées des foyers 
F, F' sur MU, et dont le milieu D est le pied de la perpendiculaire 
abaissée du centre 0. Portant, sur cette dernière, les longueurs 
Dw, Dw' égales à CD, on aura, en w, w', les nœuds du cercle par 




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JOURNAL DE If ATHésfATlQUBS ÉLÉMKNTAIIIBS 



51 



rapport à MU; si l'on tire ensuite Mu), Mo»' (*) jusqu'à leurs inter- 
sections en Z, Z' avec Taxe nonfocal, Z, 11 seront les points dont 




Fig. a4 

il s'agit dans Ténoncé. Il faut prouver que ces points sont de côtés 
différents de 0, et que c est moyenne proportionnelle entre OZ 
elOZ'. 

Menons ME parallèle au second axe ; prenons, sur la tangente, 
le symétrique M' de M par rapport à D, et joignons-le à a> ainsi 
qu'à o)' ; U désignant le point où la tangente rencontre Taxe 
focal, qui sert ici de droite des contacts, si Ton tire (oU, l'angle 
UwM' sera droit [41]. Supposons d'abord OD < CD; w sera sur 
le prolongement de DO, et Z au-dessous de ; alors on aura 

DcùU << DOU. Le premier de ces angles est égal à DMc», par 
(*) w^ est placé sur MZ', au point marqué u par une erreur de la figure. 



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52 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉL1&MBNTAIRES 



suite à DM(o' ; le second est égal à DME ; on a donc DMw' < DME, 
ce qui exige que Tl soit au-dessous de 0. Au contraire, pour 
OD > CD, (0 et Z se trouveront au-dessus de FF'; on aura 
DwÛ > Î50r, d*où DMV > DME, et 7/ sera au-dessous de 0. 

Soient maintenant I et 1' les points d'intersection de M'w et de 
MV avec le second axe; abaissons ÏJ perpendiculaire sur OD. Les 
triangles semblables OU, ODU donnent OD.OJ = DU.IJ, et, les 
triangles Uto, DUw, a)D.a)J=DlJ.lJ ; il vient donc OD.OJ=wD.wJ, 
Ainsi, entre les lignes OJ, coj, il y a non seulement même diffé- 
rence 0(o qu'entre les lignes ooD, OD, mais aussi même rapport, 
par conséquent les deux premières sont respectivement égales aux 
deux autres, d'où résulte OJ = wD = CD. Menons, par F, une 
parallèle à CD jusqu'à sa rencontre en G avec OD; on aura aussi 
FG = CD ; les deux Iriangles rectangles OU, OFG seront égaux, 
et il viendra 01 = OF == c. On démontrerait de même l'égalité 
or = c. 

Enfin, les triangles OwZ, OwT étant respectivement semblables 
à OIV, 01(0, on a 



OZ = c 



d'où résulte 



Oo) 
Ow" 

OZ.OZ' 



OZ' ---=. c 



44. — Le centre d'un cercle hitangent, le saillant et les deux 
points de contact du cercle et de la conique se trouvent, avec les 
foyers, sur une même circonférence. 

Soient {fig, 25) le centre de la conique, S, S' et H, H' les 
points de rencontre des deux axes avec la 
tangente et avec la normale en un point L 
de la courbe ; H, H' seront les centres. S, S' 
les saillants de deux cercles bitangenls d'es- 
pèces différentes ayant un point de contact 
commun en L. Les triangles semblables 
OHH', OSS' donnent OH'.OS' = OH.OS. Le 
second produit étant égal à à c^ [19], il en 
sera de même du premier; on a donc 

OH^OS' == c\ 




Fig. 25 



ce qui démontre la proposition énoncée. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 53 

45. — De L {fig. 26), abaissons, sur les axes, les perpendicu- 
laires LK, LK'. A cause de la simililude des triangles OHH', 
HKL, H'K'L, les lignes OH', OK', H'K' sont proportionnelles à 
OH, HK, OK, par conséquent [22] h c^, ô% a^. Si donc on désigne 
par h'j k\ s' les dislances du centre de la conique au centre du 
cercle bi langent de seconde espèce, à la corde des contacts, au 
saillant, et, par 8^ celle du centre du cercle à la corde des con- 
tacts, on aura, en tenant compte de la relation du paragraphe 

précédent, 

«2 h^ c^ 

Quant aux deux rayons H'L, HL, ils sont entre eux dans le rap- 
port de a^ à b^. 

On voit que la droite des contacts est, dans l'ellipse, la polaire 
du saillant par rapport au cercle décrit sur le petit axe comme 
diamètre, ce qui résulte d'ailleurs [1] de ce que ce cercle est bi- 
tangent de première espèce, avec le second axe pour droite des 
contacts. Lorsque la conique est une hyperbole, la droite des con- 
tacts est symétrique, par rapport au centre, de la polaire du sail- 
lant dans le cercle de rayon b concentrique à Thyperbole. 

Ce que nous venons de dire du saillant et de la droite des 
contacts s'applique à tout point du second axe et à sa polaire par 
rapport à la conique. On en conclut que, pour un cercle bitangent 
donné, le saillant et le milieu de la corde des contacts sont les 
seuls points du second axe ayant, dans ce cercle, la même polaire 
que dans la conique. La démonstration du § 5 se trouve ainsi 
complétée. {A suivre), 

RELATIONS MÉTRIQUES 

ET TRIGONOMÉTRIQUES 

ENTRE LES ELEMENTS LINEAIRES ET ANGULAIRES 

DU QUADRILATÈRE INSCRIT COMPLET 

Par M. Lccoeq, ancien professeur au Lycée d'Avignon. 

(Suite, 1897 ; P* 32}. 

11. — De quelques problèmes et conséquences. 
A Paide de ce qui précède, on pourra résoudre facilement les 
problèmes qui suivent. 



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5i JOURNAL DÉ MATHÉMATIQUKS ÉLEMENTAIRBS 

Construire un quadrilatère inscriptible, connaissant : 

1° a, h, c, d\ 

2° 6, d, 7rt, 71 ; 

3^ R, SA X SB, QA X QD, a; 

4° SA X SB, QA X QD, a, 6; 

5° SA X SB, QA X QD, ft, d\ 

6- QA XQD, e/, a, 6; 

7° h\ k\ l' et R ou S. 

Les premières formules du ii° 6 conduisent aux égalités : 

lA __ e^.QB ID __ d.Qc 
IC"" 6.U0' IB TJJX' 

SA __ c^.QA Se _ c^.QD 
SB—ft.UB' SD""6.UC' 

De ces égalités, il résulte que si QAD est fixe el si QA, QD, QC, 
QB sont constants, lorsqu*on fait tourner QcB autour de Q, les 
points I et S décrivent des circonférences. 

En considérant AD et BC comme les diamètres de deux cercles 
perpendiculaires au plan de la figure {fig. i), la circonférence de 
diamètre BC engendre, en tournant autour de l'axe perpendi- 
culaire, de tracé Q, la surface d'un tore, et la circonférence dé- 
crite par le point S est. le lieu géométrique des points de vue d'où 
les perspectives des méridiens d'un tore sur un tableau fixe pas- 
sant par son axe sont un seul et même cercle. 

Si) étant donilé Taxe radical de deux cercles et 0', on fait 
tourner l'un d'eux d'un angle quelconque autour de cet axe, de 
manière à lui faire occuper la position 0", les deux cercles et 0" 
appartiennent à un même cône, et le lieu de son sommet est une 
circonférence. 

12. — Du point de rencofitre L des bissectrices des angles S 
et Q du quadrilatère complété (fig. 5). Formules de SL et QL. 
Les propriétés des bissectrices d'un triangle conduisent à 

BE^ _ AF/ _ a _ a 

h'' ~ l''~ 
BG^ rx\ __ 



>8' 



(« 


+ c) (rf -4- 


i>) 


~ V -+- l* 


b 

(a H- c) (d -\- 


~b) 


h 








Diflitizedby Vj( 



JOURNAL OK UATHEUATIQOBS ELBMENTAIIIBS 00 

Cb), __ DE^ _ C ___ C 

l' ~" h* ~" (a -+- c) (rf -f- i») -" A« -h ;" 

AG _DG' _ d _ d 

n ~ /«• ~" (a + c) (c? -f- 6) "" A» + ;*' 

ç,r,_ 2dhl\/(p — b)(p^d) ^.p _ 2bhl\/{p — b){p-^d) 
^- (a^c)(d*-b') ' ^^» - (a -+- c) (ei* - 6*) ' 

nn^_ 2hl\/(p-b)(p^d) ei _ A^^(p-6)(p~(<) 

* "" (a H- c) (rf + 6) ' ^"^ "" (a -h c) (d — h) ' 

^t^; _ lahl v/(p — g) (;? — c) _ acA/v/(p — g)(p — c) 

^*'- (éf -t- 6) (a* - c») ' «^- (^-H6)(ai-c«) ' 

ET _ ^^^ ^/{P — a)(p — c) ^1 _ A/V^(p — a)(p — c ) 
*"" (a-hc)(rf^-6) ' ^*^'- (a — c)(rf-4-6) • 

Oa vérifie aisément que : 

ainsi l'angle SLQ est droit, résultat connu. Le quadrilatère 
E|G,E'G' est donc un losange dont le côté et la hauteur C sont 
donnés par les formules : 

^_ hkl ^ _ 2hlS 

— (a-hc)(rf-h6)' ^ "" A:(a -h c) {d -h b)' 

Nota. — Les côtés du losange sont parallèles aux diagonales 
du quadrilatère. 
Corollaire. — Le point L coïncide avec o) si on Ta : 

a -h c — (c? -h 6) = e = 0. 

13. — Rappel des déterminations trigonométriqiies des 
angles de la fig. 5 A, B, C, D, I, S, Q. 



2/' 

„„ „ ftt ^ C» — a' — cP 
cos C _ ^p 


c» -h rf' — a» — &» 
cosD= ^^, 


C08^_ ^ 


^^B^y/Çp-cHp-tf), 


'2 l ' 


co«» -V(P-«)(P-*); 



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56 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

,i„ A ^ s/{p-à){p-d) ^.^ B ^ v/(p-a)(p-6) 

2 Z ' 2 h ' 



2 / ' 2 à ' 

t., A _ 4 / (;> - a) (P -^ ,„ B __ J (p - g) (p -ry) 
^ 2 — V (p — 6;(p — 6-)' '^ 2 — V (p_c)(p — rf)' 

^o 2 \ ^p_a)(p — dy ''« 2 — V(p — a)(p — 6)' 
^"«* = ^F • ^^«S = ^j^, >-, 



cos i = ÛE^J') iP^ZzA) , cos ? = (d-^b)^(p-b)ip-d) 
2 /. '2 /// ' 

cos Q-- (^-^^)v'(^ — «)(P--^) . 
2 ^/ 



sin I = V^(P - «) (P - g) gin § ^ (^-^)V^(P-fl)(P-c) 
2 K ' 2 hl 

sin Q _ (^-c)^(p-b){p^d) ^ 
2 a; ' 



"^2 (a-Hc)v/(p — «)(p..— c)' 

14. — Coordonnées des sommets du quadrilatère par rapport 
aux deux droites LQ et LS, comme axes. Coordonnées de I. . 

Soient x^y^(A); a)^y^(B); x^y^{G); ^^^^^(D); ces coordonnées. 
On trouvera : 



^i _ ^2 =£^^:¥a. = V^(p — q)(p — c) 

— dm — bn bm dn k(d 4- b) ' 

.Vi ^Ui ^Jh^ jyj^ ^ v/(p _ ^) (p ^ çg) 

— am an cm — en k(n -h c) 

Les dislances du point L aux quatre sommets seront données 

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JOURNAL DB MATHIÎUATIQUES iLBUBNTAIRBS 57 

par : 

m* 

{t^-cï^p - ^) (p - rf) + m-'jip - «) (p - e) 

^ IV 

" (âU)\p - «)(P - c) + („-^)'(P - ^) (P - cO 

ni^ 

~ (a-T-c)'(P - ^) (P - '0 + (rfT^JCP - «) (P - e) 

n* _i_ 

~ (5^/(P-«)(P-«) + (7^)'(P-^)(p-'^)~ *^ ■ 

Les coordonnées de I sont : 



_ bd(a-c)s/(p-a){p-c) gys^^p») 



^= — ^^ ^Tjf^, rr^^ ^t OU 



/ll{d-^b) ' "" sv^- 



i-^i «2R2 



a' 



>(yo/rn° 17) 



•^ ~ hl{a + c) ' ^ 0-2^2 — a^pa 

16. ^ Coordonnées du centre 0. 
On établit d'abord les égalités 

Og' = R* — _ rfa, OG. = R« — — 6S . 

ÔF' = R» — — a\ Ôè;' = R« — — c«; 

7nn * mn 

on en déduit : 

(a-c)hl ^^ ïP^(5^ + «^) ] 

4(^^ 4-0^) v/(p-a)(p-c) SY - «'P' ( (n- 16, 17, 

(rf-5);i^ o„_ MP'-i-Y^) ( 18). 

^ 4(« + c)v^(p-6)(p~rf) 8V-«^pO 

Si le quadrilatère est en même temps circonscriptible, on a 
OL = 0(0 dont l'expression devient : 

-c7 — ; — ^tj r\» ou \i 8 4ûi (n 16» 17» 18). 

2S(a -h c) (c? 4- 6)' o*Y — * P » /» / 

(-4 suivre). 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉ.\f. — i897. 3- 

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58 JOURNAL DB MATHEMATIQUES àlÀUKVTkinEB 

UNE QUESTION D'ANALYSE INDÉTERMINÉE 

Par M. Dclannoy. 



Vune quelconque des équations 

2P±l= t'\ 2/=» ih 2 = t'\ e±.U^ = Af'\ 

est impossible en nombres entiers (P. F. Teilhbt) (*). 

Dans ses Élémentsd* Algèbre {édliioa 1798, t. Il, §247, p. 355), 
Euler a démontré que Téquation x^ ±y^ = 2z^ est impassible, 
si ce n*est dans le cas évident y = x. 

Il est facile, en suivant le mode de démonstration d'Ëuier, de 
démontrer également l'impossibilité de 

20?' ± 2^' = 8^^ ou â?' ± y' = iz^. 
Posons 

^-j-^ =Py "-~~ = 9, d'où œ=p-hq, y = p — q\ 
^3 _,_ ys -- 2p(p« 4- 3g''). 
Il faut prouver que celte quantité ne peut être égale au qua- 
druple d'un cube, ou que — (p* -h 3g^), ne peut être un cube. 

Il y a deux cas à considérer, suivant que p est ou n'est pas 
multiple de 3. 

1* p n'est pas divisible par 3. 

On réduira js* -^ '^q^ en cube en posant 

p = i{t^ — ^u% 
q = 3u(t^ — w«). 

Il faut encore que - ou - (f H- 3u) (t — 3u) soit un cube. Ces 

trois facteurs^ étant premiers entre eux, doivent être chacun un 
cube. 

Si < -h 3u = /*' et < — 3u = g^, il vient 

2t:^r -^ 9'» 



{*) Les deux premières parties de ce théorème ont été posées en ques* 
lion, sous le n^' 749i ^^^^^ V Intermédiaire des Mathématiciens où cette 
solution n'a été que très sommairement indiquée^ faute de place. 



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JOUHNAL DU MATHÉMATIQUKS JÉLÉMBNI'AIRES o9 

OU 

et on aurait deux cubes beaucoup plus petits, dont la somme 
serait le quadruple d'un cube. 
2<» jo = 3r, la formule devient 



^(9r« + 3^«) = ^(3r» + î«). 



2 N^ z / 2 

On transforme 3^'* 4- q^ en cube, en posant 
g = (t^ — 9M«)^ 



d'où 



Y = ^7 7 (^ - w')- 



Il faut que — (^ H- w) (/ — u) soit un cube. Comme ces trois 

facteurs sont premiers entre eux, il faut que chacun soit un 
cube. 
Soit 

d'où 2U =^ P ^ ff^, ou 4 — = /* ff'^. 

Mais - doit être un cube; nous aurions, en bien plus petits 

nombres, deux nombres dont la différence serait le quadruple 
d'un cube. 

Puisqu'on ne peut assigner, en petits nombres, des cubes 
tels que leur somme ou leur différence soit le quadruple d'un 
cube, il est clair que cela n'a pas lieu non plus pour les grands 
nombres. 



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60 JOURNAL DB MATRBMATIQUBS éLéUENTAlRES 

SECONDE NOTE 

SUR LES CERCLES RADICAUX ET ANTI-RADICAUX 
Par M. Jonn J. Doran-Lorlga 

Commandant d'Artillerie à la Corogne. 
(Suite; 1897, voir p. 29) 

Si nous cherchons les circonférences radicales du faisceau que 
Ton obtiendrait, et de la circonférence donnée, elles passeront par 
le point p, d'où il suit que l'on aura les susdites lignes en joi- 
gnant un point quelconque du diamètre perpendiculaire à HK 
avec le centre ; puis, en prenant comme centre le milieu I de 
cette droite et pour rayon la distance Ip. 

Si la circonférence (0) dégénère aussi en un cercle point, nous 
aurons à trouver la circonférence anti-radicale d'un point par 
rapport à un autre point p ; il est facile de voir, qu'il suffira, pour 
l'obtenir, de prolonger Dp d'une longueur pO' = Op. On a ainsi 
le centre 0' ; le rayon R' aura pour valeur c^/â ; il en résulte, par 
conséquent, que la circonférence anti-radicale d'un point par rap- 
port à un autre point est toujours réelle et que ces deux points 
sont inverses par rapport à la circonférence. 

Si le point reste fixe et que l'autre se meuve sur la ligne Op, 
l'hyperbole équilatère H, enveloppe des cercles anti-radicaux, que 
nous considérons dans le cas où nous associons une circonférence 
et un point, dégénère dans ce cas en deux droites qui ont pour 
équation 

y = ±x; 

ce sont les asymptotes de l'hyperbole H. 

Puisque deux points et la circonférence anti-radicale sont tels 
que les susdits points sont les points limites, nous pourrions 
citer plusieurs propriétés correspondantes ; nous nous borne- 
rons à énoncer la suivante, que nous aurons à utiliser dans la suite. 

Si Von Joint un point quelconque A, duplan, aux detto) points 
et pel que, sur les extrémités de AO et Ap, on élève des perpen- 
diculaires, ces droites et la polaire de A par rapport à la cir- 
conférence anti-radicale correspondant aux points 0, p, sont 
concourantes. 

Si Ton veut trouver le lieu géométrique des points d'intersec- 



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JOURNAL DIS MATRÉ&fATIQUBS ÉL^MBNTAIRBS Gl 

tion de ces droites, lorsque A décrit une certaine ligne, il faudra 
avoir recours aux formules suivantes, bien faciles à obteoir, 

œ = d — X, y= ^ Ç' ^ ; 

en appelant d la distance Op, et en prenant pour axes cartésiens 
la droite Op et la perpendiculaire en 0. Ces formules font voir 
que si le point A décrit une droite passant par 0, le point corres- 
pondant décrit une autre droite, perpendiculaire, en 0, à la pre- 
mière. Lorsque le point A décrit une droite parallèle à Taxe des y, 
le point correspondant décrit une autre parallèle. 

Si le point décrit une parallèle à l'axe des x, l'autre point dé- 
crit une parabole. Tout cercle qui passe par Op se correspond à 
lui-même. A la parabole ayant pour équation x^ = 2py, corres- 
pond une hyperbole, etc.. 

Etant donnée une circonférence (0^, sur un de ses diamètres, 
il n'y a que deux points et p (ou les symétriques par rapport à 
G'), tels que le cercle anti-radical de par rapport à p soit (0'). 
Nous pourrions nommer ces points, ainsi liés à chaque circonfé- 
rence du plan, points radicalement associés à la susdite circon- 
férence. Si Ton ne fixe pas le diamètre, dans ce cas les lieux 
géométriques de et p sont deux circonférences concentriques à 
la proposée ; le rayon de Tune est double de celui de l'autre et celui 
de (0') est, par rapport à ceux-ci, la moyenne proportionnelle. 
Nous pourrions donner aussi à ces cercles la dénomination de cer- 
cles radicalement associés à {&). D'ailleurs, et en vertu de ce 
que nous venons de dire, on peut déduire la proposition suivante. 

On considère une circonférence de centre et ses deux cir- 
conférences radicalement associées, et Von trace un rayon quel- 
conque oabc (a, 5 et c sont les points où il coupe successivement 
les trois circonférences). Si nous joignons un point quelconque 
A du plan aux points a et c et que nous élevions des perpendi- 
culaires, en ces points, aux droites obtenues, les perpendiculaires 
et la polaire de A par rapport au cercle donné sont concou- 
rantes. 

Si Ton prend en particulier le point A sur la circonférence 
donnée (0) il en résulte cette autre proposition. 

Les perpendiculaires aux extrémités des droites qui joignent 
un point A d^une circonférence aux extrémités d'un tnéme 



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G2 JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

rayon des circonférences radicalement associées se coupent sur 
Il tangente en k à la circonférence primitive ; par conséquent, 
cette tangente est le lieu géométrique des intersections de toutes 
les perpendiculaires relatives au point A. 

Si les coordonnées de deux points A et A' sont respectivement 
a et by a' et h' Téquation de ia circonférence anti-radicale de A 
par rapport à A' est : 

jjï ^_ y2 _l_ 2(a — 'ia')x H- 2(6— 26')y + 2(a'* H- 6'*)— (a* 4- ft^)= o. 

{A suivre), 

NOTICE HISTORIQUE 

SUR LA GÉOMÉTRIE DE LA MESURE 
Par M. Anbry 

{Suite, voir 1897, P*8^® ^) 

MÉTHODE DES INDIVISIBLES 

Les grecs, amoureux du plastique, n'avaient pas su dégager 
ridée de l'infini. Leur système cosmique rétrécissait l'univers, 
comme leur mythologie rétrécissait la nature; Leucippe et Démo- 
cri te, qui avaient imaginé les atomes et proclamé l'existence de 
mondes sans nombre, n'avaient obtenu qu'un succès relatif ; la 
méthode d'exhauslion contenait bien, en germe, la méthode infini- 
tésimale, mais — pour se mettre à l'abri des disputes des rhéteurs, 
— ils n'en avaient pas exprimé le principe, et à chaque fois qu'ils 
l'employaient, il fallait recommencer toute la période des dé- 
monstrations. Satisfaits des résultats particuliers obtenus à l'aide 
de ce merveilleux instrument, ils n'avaient pas cherché à le rendre 
plus simple et plus commode. 

Mais, au xvi® siècle, le sentiment de l'infini se faisait jour et 
gagnait d'autant plus de terrain que, — sous l'influence du pro- 
digieux souffle de vie qui animait la production des savants de la 
Renaissance, — on commençait à s'attaquer à la Scolastique, — 
cette roue majestueuse tournant à vide, — et que la raison, se 
révoltant contre l'autorité d'Aristote, tentait de rejeter les bé- 
quilles avec lesquelles il avait voulu qu'elle se promenât à sa 
suite. Bernard Palissy ramène la philosophie à l'étude de la na- 
ture ; Galilée crée la méthode expérimentale ; l'invention du 



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JOURNAL DE MATHéMATIQUES JÊLJÉMBNTAIRBS 63 

télescope et du microscope rend palpable, pour ainsi dire, Texis- 
tence de rinfiniment grand et de Tinfiniment petit; Tinfini ma- 
thématique, qu'on voyait déjà dans les écrits d'Oresme et de Cusa, 
est devenu familier aux esprits. C'est alors que naquit la méthode 
des indivisibles, 

KEPLER 

On peut considérer Kepler comme Tauleur de cette méthode. 
Servi par une puissante faculté de travail et une imagination 
brillante et aventureuse, il avait osé concevoir comme accessible 
à l'esprit humain^ la découverte des lois du mouvement des corps 
célestes et entreprendre cette recherche, qu'il put mener à bonne 
fin, en déduisant de l'observation et d'immenses calculs d'essai 
les lois qui portent son nom, — les plus générales que nous con- 
naissions dans la nature — lois alors empiriques, il est vrai, 
mais dont Newton a révélé plus tard l'exactitude. 

Le génie novateur de Kepler a aussi ouvert à la Géométrie des 
horizons nouveaux particulièrement dans la partie dont nous re- 
traçons l'histoire. S'étant occupé incidemment de l'évaluation de 
la contenance des tonneaux, il imagina {nova stereometria do- 
liorum^ Linz, 16 15), de considérer les corps produits par la révo- 
lution des sections coniques — non plus autour de leur axe, ce 
qu'avait fait en partie Archimède — mais autour d'une droite 
quelconque de leur plan, ce qui lui donna quatre-vingt-sept solides 
nouveaux, auxquels il imposa des noms spéciaux et dont il essaie 
de trouver la cubature. Le grand nombre de problèmes qu'il 
s'était proposés — et qu'il ne résout du reste que pour le cas du 
cercle et d'une ellipse dont un des axes est parallèle à l'axe de 
rotation, — l'amenèrent à chercher la simplification des méthodes 
connues. Il aborde franchement l'idée de l'infini : ainsi la circon- 
férence est un polygone d'une infinité de côtés; le cercle est 
composé d'une infinité de triangles ayant pour sommet commun 
le centre, pour hauteur, le rayon, et pour bases les côtés infini- 
ment petits de la circonférence. La sphère peut être considérée 
comme l'assemblage d une infinité de cônes ayant leur sommet 
commun au centre et leurs bases formées des parties infiniment 
petites de la surface sphérique. 

Mais sa méthode repose surtout sur l'idée de la transformation 



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64 JOURNAL DE MATHEMATIQUES JELEMENTAIRES 

des figures et l'emploi de la proposiiioo générale suivante, que 
nous appellerons théorème de Kepler^ bien qu'il ne Tait pas 
énoncé formellement, et encore moins démontré. 

(G) Si deux solides compris entre deux plans parallèles sont 
tels qu'un plan quelconque parallèle entre les deua? p^^emiers 
coupe les deux solides suivant deux sections égales, ces deux 
solides ont des volumes égauio. Cette proposition peut se dé- 
montrer aisément à l'aide du théorème d'Archimède (F) et du 
théorème d'Ëudoxe (A), en montrant préalablement que deux 
cylindres de même hauteur et à bases quelconques mais égales 
sont égaux. L'extension est facile au cas où le plan sécant déter- 
mine des sections en proportion conslante, ainsi qu'à celui de 
deux figures planes comprises entre deux parallèles et telles 
qu'une transversale parallèle quelconque y détermine deux seg- 
ments proportionnels. 

Nous avons dît que Kepler a trouvé le volume produit par un 
cercle ou une ellipse tournant autour d'une parallèle quelconque 
à un axe (annulum^ aujourd'hui tore^ si la droite est extérieure, 
et malum si elle est intérieure). Voici, par exemple, l'ingénieuse 
construction qu'il donne pour ce dernier cas. Sur le demi-cercle 
ou la demi-ellipse (fig. 20) (*) comme base, construisons un cy- 
lindre droit que nous couperons par un plan passant par l'axe 
AC et le point E situé sur la génératrice BË à une hauteur BE 
égale à la circonférence ayant BD pour rayon. Un plan quel- 
conque M{im, parallèle au plan EBD, coupe ce solide suivant un 
triangle égal au cercle ayant am pour rayon. Par conséquent, ce 
solide et celui, — sphère ou sphéroïde, — produit par la révo- 
lution de ABC autour de AC sont dans le cas du théorème (G) et 
sont par conséquent égaux. Par la parallèle MP à AC, me- 
nons deux plans Mir, MNP, l'un perpendiculaire, l'autre paral- 
lèle au plan ABC. Le volume proposé produit par la révolution 
de MNP autour de MP égale le solide MPNE; en effet, menant le 
plan STR parallèle au plan EDB, on voit que SR égale la circon- 
férence ayant TR pour rayon. Or, le solide MPxNE se déduit du 
solide AECB en en retranchant d'abord deux fois le solide AMfjtm 



(•) Nous avons substitué à la figure donnée par Kepler, une autre 
figure, plus claire et plus complète. 



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JOURNAL DE MATHénATIQUES KLBMKNTAIRB8 65 

égal au volume obtenu en faisant tourner le segment A fxm autour 
de sa flèche, volume qu^Archimède a appris à mesurer; ensuite 
le prisme p^iM ; enfin le cylindre MicBN. 

On comprend que les esprits durent être frappés de la simpli- 
cité des procédés de Kepler et qu'on dût essayer de les étendre et 
d'établir ses principes sur des bases rigoureuses. Aussi voit-on 
Guldin, G. de Saint-Vincent, Cavalieri, Descartes, Fermât, Ko- 
berval, Tacquet, Pascal, s'inspirer des idées lumineuses contenues 
dans l'ouvrage de Kepler. 

(A suivre). 

EXERCICES 

9. — En un point H d^une ellipse^ de centre 0, on mène la 
normale sur laquelle on prend deux longueurs MN, MN' égales 
au demi-diamètre OM', conjugué de OM. On prend aussi sur la 
normale en M', deux points Np N', tels que M'N^ = M'N'j = OM. 
Montrer que si N et Nj sont situés chacun du même côté de la 
tangente en M et de la tangente en M' : 

1® La somm£ des carrés des côtés du quadrilatère NN'N^N, est 
constante et égale à la somme des carrés des axes de t ellipse 
donnée ; 

2® Lorsque M se déplace sur Vellipse donnée, chacune des 
droites NN, et N'N', enveloppe un cercle. 

10. — Rendre rationnelle Véquation 

b«(ax) ^ — a2(by) ^ = a*b2[(ax) ^ -+- (by) ^]' . 

11. — On considère une parabole P et une droite D parallèle 
à Taxe de P. Soient M un point quelconque pris sur D et AB la 
corde polaire de P par rapport à M. Montrer que : \^ le lieu dic 
centre du cercle circonscrit au triangle MAB est une droite 
perpendiciùlaire à taxe; 2* le lieu de C orthocentre du triangle 
MAB est une ligne droite passant par le sommet de la parabole. 

12. — Soient A', B', G les pieds des hauteurs d'un triangle 
ABC. On prend sur chacun des côtés le point conjugué harmo- 

(•) Par M. Barisien. 

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6G JOURNAL Dli MÀTHÉUATIQUIBS éuhlBNTAlRBS 

nique du pied de la hauteur par rapport aux extrémités du 
côté : soient A", B\ C ces points. 

Montrer que : 

1* Les droites AA', BB'' et Cd sont concourantes; 

2^ Les droites BB', AA'^ et CC sont concourantes; 

y Les droites CC', A A' et BB* sont concourantes; 

4® Calculer faire du triangle formé par les trms droites 
AA^ BB', ce, en fonction des côtés du triangle ABC. 



13. — Calculer à o,ooi près l'expression (*) 

— 1. 



ir^Xe^ 



TT^Xe'^ 



CORRESPONDANCE 



Extrait d^ une lettre de M. A. Mannheim Par un point 

fixe 0, on mène un plan normal à une surface [m] en un point m 
de celle surface. Dans ce plan, on élève, du point o, une perpen- 
diculaire à om, et l'on porte sur cette droite le segment om^ égal 
k om. Lorsqu'on fait varier la position du point m sur [m], le 
point Wj se déplace sur une surface [mj, qui est la surface apsi- 
date de [m]. 

Il résulte de cette définition et de la solution de la question^697 
(page a3) que Vapsidale d^un plan (P), par rapport à un point 
arbitraire o est un cylindre de révolution dont Taxe est la per- 
pendiculaire abaissée de o sur (P) (**). 

La solution de la question 698 (page 48) montre que Vapsidale 
de ce cylindre de révolution^ par rapport au même poinl; 0, se 
compose à*une sphère de centre o, du plan (P) et de son symé- 
trique par rapport à o. 

Les questions 697 et 698 conduisent donc à ce résultat : 

Si un cylindre de révolution est l'apsidale d'un plan, ce plan, 
seul, n'est pas Tapsidale de ce cylindre. 

D'une façon générale, j'ai montré (***) que, contrairement à ce 
qui avait été dit : Si A est Capsidale de B, cette dernière surface 

{*) On trouvera une valeur voisine de 0,06. 

(**) La solution de la question 697 donne aussi la réponse à la question 
942 posée dans V Intermédiaire des Mathématiques. 
('•*) Comptes-rendus de l'Académie des Sciences, i5 juin 1896. 



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JOURNAL DB MATHBliATlQUB» BUBMBNTAlRBS 67 

n'est pas Vapsidale complète de A, par rapport au même pôle, 
ou encore : Beitx surfaces ne peuvent être apsidales Tune de 
Vautre, 



BACCALAUREATS 

(AVRIL 1896}. 



Académie de Lyon. 

lo Questions au choix : (a) Décomposer le trinôme a?* 4- px^ + ^ en un 
produit de deux trinômes du second degré ; 

{b) Exposer la théorie des annuités ; 

(c) Progi'essions géométriques ; sommation des termes d'une telle pro- 
gression. Entre deux nombres donnés a et 6 insérer n moyens géomé- 
triques. 

30 Problème (obligatoire). — On donne une sphère dont le rayon 
R = 4« et l'on demande de trouver le rayon de la base et la hauteur de 
cône de volume minimum circonscrit à cette sphère. 

Académie de Montpellier. 

Calculer les côt^s d'un triangle isoscèle connaissant : l'aire xle ce trian- 
gle et la surface totale du cône qu'il engendre en tournant autour 4e sa 
hauteur. Discuter. 

Académie de Nancy. 

lo Questions au choix: (a) Démontrer que toutes les lignes trigonomé- 
triqu.s de l'arc a s'expriment rationnellement en fonction de tang ^; 

{b) Connaissant tang a, calculer sin - . — Discuter. 

(c) Résolution trigonométrique de l'équation du second degré, 
a® Problème, — Etudier la variation du quotient : 
2ix* — Sx — 5 , 
14^7' — ^ix — i5 
quand x varie d'une façon continue de — 00 à -f ^ • 

Académie de Poitiers. 

i» Questions au choix: (a) Démontrer les formules d'addition pour le 
sinus et pour le cosinus. 
{b) Connaissant tang a, calculer tang- . — Discussion. 

(c) Démontrer qu'entre les angles et les côtés d'un triangle quelconque 
existent les relations 

a = 6cosC-|-ccosB, 
b = cos A + « cos C, 
= a cos B -f 6 cos A. 
Déduire de là les formules : 

a* = 6* 4- c* — 2bG cos A, 
5» = <>• 4- «• — ^oa cos B, 
0» = a* -f ô» — 2ab cos C, 



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68 JOURNAL DB MATHÉMATIQUES ÉLEMSNTA1RB8 

ao Problème, — Une pyramide régulière a pour base un carré. Dans 
chacun des triangles isoscèles qui forment les faces latérales, on représente 
la base par aa, les autres côtés par y, la hauteur opposée au côté sa par h, 
la hauteur opposée aux côtés y par x. Calculer a?, et calculer le cosinus de 
Tangle plan qui mesure Tangle dièdre de deux faces latérales. Comment 
varie cet angle lorsque h décroît à partir de -f <30? 

Académie de Rennes. 

lO Questions au choix : (a) Dans quel cas dit-on que des relations entre 
plusieurs variables sont distinctes? Combien y a-t-il de relations dis- 
tinctes entre les six lignes trigonométriques d'un même angle ? Les trouver 
et montrer pourquoi elles sont distinctes. En déduire les valeurs de sin x 
et de cos x en fonction de tg x. 

Ib) Calculer sin ~ et cos - en fonction de sin x. Discuter. 

(c) Résoudre un triangle connaissant deux côtés et Tangle opposé à l'un 
d'eux. Discussion. 

Problème. — On forme : 1° le carré de la somme des carrés des deux 
entiers consécutifs a^ a — i, a® le carré du double aa du plus grand 
de ces deux nombres ; montrer que dans la division de ces deux carrés, 
la partie entière du quotient et le reste sont aussi des carrés. Si a est le 
nombre qui suit immédiatement un carré, le reste est le carré qui suit 
immédiatement le quadruple du quotient. 

Académie de Toulouse. 

Aux extrémités A et B d'un diamètre d'une circonférence donnée de 
rayon R et de centre 0, on mène les tangentes AC et BD à cette circon- 
férence et l'on désigne par C et D les points d'intersection avec une tan- 
gente CD de la circonférence. lO Démontrer que le triangle COD est rec- 
tangle et que AG X BD = R* ; a® Déterminer la tangente CD de manière 
que l'aire du trapèze ACDB soit équivalente à celle d'un carré de côté 
donné a; 3» Déterminer le minimum de l'aire du trapèze ACDB lorsque 
la tangente CD, menée au cercle, varie. 

QUESTION 703 

Solotloa par M« Rbbeiz (Lycée du Puy). 



Si dans un triangle ABC on suppose b = 2C, la bissectrice 
extérieure de l'angle A est parallèle 
à la média7ie issue dttsommet B. 

En efTet, traçons BD parallèle à AI. 
On sait que le triangle BAD est isoscèle. 
Donc D est le milieu de AC. 

Nota, — Solutions analogues par MM. Jorge d'AviLLEZ, Plakhowo, 

E. FouGART, Angel Bozal Obbjbro, à Madrid, Droz-Farny, L'Huillibr, 

F. Dauzats, Goybns. 




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JOURNAL DK MATHÉMATIQUES ÉLÉMUNTAIRES 



69 



QUESTION 705 

Solution par M. L'Huillier. 

A, B, P étant trois points donnés et D une droite /î.ve, on con- 
sidère toutes les coniques V passant par les deux points K,\\ et 
pour lesquelles P est le pôle de D : 

\^ Les secondes cordes comimmes aux coniques Y et à une 
conique V menée par les points A et B, passent par un point 
fixe M. 

2° Lorsque la conique T' varie, le point M engendre une ligne 
droite, (V^*' F. Prime). 

Projetons la figure de façon que les points A et B deviennent 
les points cycliques, les 
coniques r se transfor- 
ment en cercles y ayant 
même axe radical à sa- 
voir la parallèle kd k 
égale distance de o? et 
p. La conique r' devient 
un cercle quelconque y' 
et la corde commune ce 
passe par un point fixe 
u) sur Taxe radical des d 
cercles y- 

Si y' varie, u> décrit 
l'axe radical des cercles y. 

Nota, — Autres solutions de MM. P. Dauzats, Droz-Farny, Soller- 
TiNSKY, en prenant pour base de la démonstration le théorème dil à 
Sturm (si trois coniques ont une corde commune, les trois autres cordes 
sont concourantes). 




QUESTION 683; 

Solatlon, par M. A. Droz-Farny. 



Les points remarquables du plan d^un triangle qui se cons» 
truisent avec le plus de simplicité sont : le centre du cercle cir- 
concrit qui n^exige que douze opérations élémentaires, le centre 
de gravité et Vorthocentre qui en exigent seize. Montrer quon 
peut construire le point de Nagel, dont les coordonnées normales 



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70 JOURNAL DB UATH^UATIQUBS éLÉySNTAIBES 

sont : ^ ^ , ^~ > ^ ^ e^ le point M ^la* a pour coordon- 

u O C 

nées noi^males -, r— ^f -* Cun et l'autre aussi 

a h c 

avec seize opéi^ations élémentaires, et qu'il en est de même des 
transformés continus de ces deux points. La démonstration peut 
se déduire presque iminédiatemmt de la valeur donnée des coor- 
données. (E. Lemoine). 

Les coordonnées normales du point N de Nagel élant^^^, etc., 

si l'on prend en coordonnées cartésiennes pour axes des x et des y 
respectivement les côtés CB et CA du triangle de référence ABC, on 

a immédiatement pour les coordonnées x= a , y = b 

p'^ p 

d'où X — y = a — 6, ce qui détermine une droite contenant N 

et parallèle à la bissectrice 
de Tangle ACB ; on aurait 
de même une droite conte- 
nant N et parallèle a la 
bissectrice de Tangle ABC. 
On en déduit la construction 
suivante : de A décrivons la 
circonférence A(a) qui coupe 
AC et AB en L et U. Opéra- 
tion (3Ci -t- C3). 
Décrivons de C la circonférence C(CL) qui coupe CB en M, et de 

B la circonférence B(BL') qui coupe BC en M'. Op : (40^ -t- 2C3). 

Les droites LM et L'M' se coupent en N. Op : (4Ri + ^^s)* 

Op : totale [4R, -H 2R, -H 7C4 -h 3C3I. 

Simplicité 16; exactitude 11 ; deux droites cl trois cercles. 

Pour le point M, on trouverait a? = ^ «, y = ^i 

d'où œ — y = h — ûtet des formules analogues pour les trans- 
formés continus de ces deux points. Les constructions géomé- 
triques sont donc analogues. 




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JOURNAL DB llÀTBéifATIQUBS KLiUBMTAlilBS 71 

QUESTION 701 

8«lnaoa» par M. H. L'Huillibr. 

Résoudre et dicuter Véquation 

sîn'^a? -h 008*^0? == a. 

{E. If. Barisieti), 
On a sin*» h- cos'a? = i, 

élevant au carré 

sin*j? -f- cos*a: = i — 2 si n'a? co8*.r. 

Mullipliant meinbre à membre, on a 

sin^a? -f- cos'a? =1 — 3 sin^x cos*ar ; 

multipliant membre à membre les deux dernières, on a 

8În*®ir -h 008*^07 =1 — 5 sin^o? cos'o? -^ 5 sin^o? cos*a?. 

L'équation proposée se réduit à 

sin^ao? — 4 8in*2X = — (flf — 1), 

équation bicarrée dont la discussion n'offre aucune difficulté. 
Nota, — Solution analogue par M. Plackowo. 

QUESTrONS PROPOSÉES 



798. — D'un point 0, pris arbitrairement sur le plan d'un 
triangle donné, on mène une parallèle à Tun des côtés de ce 
triangle et l'on prend l'barmonique conjugué de par rapport 
aux points où elle coupe les deux autres côtés. Les points obtenus 
ainsi sur les parallèles menées de aux trois côtés du triangle 
appartiennent à une même droite. {Mannheim). 

794. — On donne une circonférence de cercle et l'un de ses dia- 
mètres. D'un point M de la circonférence on abaisse sur ce dia- 
mètre la perpendiculaire MP, que l'on partage en M' dans un 
rapport donné. On mène la droiie M'T, qui joint le point M' au 
point T où la tangenie en M au cercle rencontre le diamètre 
donné. De l'un des points où H'T coupe le cercle on lui élève une 



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72 JOURNAL DE MATHEMATIQUES éLéUENTAiRBS 

perpendiculaire. Cette droite coupe le diamètre en un point F 
qui est le même, quel que soit M sur le cercle : c'est ce qu'on 
propose de démontrer sans considérer l'ellipse, lieu de M', et sans 
utiliser les propriétés correspondant à cette considération. 

(Mannheim). 

795. — Quelqu'un place une somme inconnue X dans une en- 
treprise. Chaque année il retire unesomme A qui lui est nécessaire 
pour vivre et, malgré tout, cette entreprise rapporte chaque année ^ 
de ce qui reste, quelle est la somme X, sachant qu'au bout de n 
années ^, le capital X a été doublé. {Elgé), 

796. — Etant donné un triangle AOB rectangle en ; on 
prolonge OA au-delà du point A de la longueur A A' = OB, et on 
prolonge OB au-delà du point B de la longueur BB' = OA. Mon- 
trer que l'hypoténuse AB est vue du point milieu de A'B' sous 
un angle droit. {E. N. Barisien), 

797. — Dans tout triangle ACB, rectangle en C, on a les rela- 
tions suivantes entre les rayons des quatre cercles tritangents au 
triangle ACB. 

{Les lettres a, b, c, p ont leur signification habittcelle), 

r^ -+- n = c, 
2rc=p, 

r -\-rc = a '\-h, 

r + ra H- n -*- l'c = 2J0, 

r -^-Va-^r^^^zz rc, 

1 1 2 2 

r Te a b' 

{E. N. Barisien). 



Le Directeur-gérant, 

G. DE LONGCHAMPS. 



fAINT-AMAND (CBEA). — IMPRIMERIE ftCIENTIFIQUE ET LITTÉRAIRE, fiUSSIÂRE PR&RBS. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLéMENTAlRES 73 



SUR LES CERCLES BITANGENTS AUX CONIQUES 

Par M. A. TiMot 

{Suite, 1897, page 49) 




46. — Pour tout cercle bitangent, la demi-corde principale 
d*un point quelconque de Vellipse^ ou la tangente menée â!un 
point quelconque de t hyperbole, est, avec la distance du même 
point à la droite des contacts, dans le rapport de c à h. Nous 
entendons, par corde principale d'un point intérieur à un cercle, 
celle dont ce point occupe le mi- 
lieu. 

Soient (Jig, 26) le cenire d'une 
ellipse, H celui d'un cercle bitan- 
gent, KU la droite des contacts, 
rencontrant en K Taxe non focal, 
M un point quelconque de la 
courbe, MU la tangente en M. 
L'intersection U de cetle tangente 
avec la droite des contacts appar- 
tiendra à la polaire de M par rap- 
port au cercle (4); cetle polaire sera 
donc la perpendiculaire UX abais- ' Fig. 26 

sée de U sur HM. Puisque M est à l'intérieur du cercle, X sera en 
dehors ; 'de ce dernier point, on pourra mener, au cercle, deux 
tangentes, dont les points de contact seront les extrémités de la 
corde principale de M. L'un de ces points de contact étant C, le 
triangle rectangle CHX donnera CM = MH.MX. 

Abaissons, sur KU, MU, les perpendiculaires MP, HD ; soit 1, 
leur intersection. Les points D, X appartiennent à la circonférence 
qui serait décrite sur HU comme diamètre, et l'on a MH.MX 
-= MD.MU. De même, dans la circonférence de diamètre lU, on 
aurait MD.MU = MLMP. Il vient donc CH' = MLMP. 

Maintenant, si l'on tire OM, cette ligne passera par le point de 
rencontre V de HD avec KU [4], d'où il suit que les lignes MI, 
MP sont proportionnelles à OH, OK, par conséquent [45] à c', 6'. 
On a ainsi 

MI = p MP, d'où CM = I MP. 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉlf. — 1897. 4 

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74 JOURNAL DE MATHEMATIQUBS BLAMENT AIRBS 

Si la courbe est une hyperbole, M se trouvera en dehors, et X 
en dedans, du cercle; le point de contact de la tangente issue de 
M sera Tune des extrémités de la corde principale de X, et Ton 
pourra appliquer, à cette tangente, la démonstration ci-dessus. 

De la propriété qui vient d'être établie, il résulte que la droite 
des contacts est l'un des axes de similitude de trois cercles ayant, 
pour centres, trois points quelconques de la conique, et, pour 
rayons, des longueurs égales ou proportionnelles aux cordes prin- 
cipales de ces points, si la courbe est une ellipse, aux tangentes 
qui en sont issues, si la courbe est une hyperbole. 

47. — Un point étant intérieur à un cercle bitangent dans 
le cas de V ellipse [extérieur dans le cas de V hyperbole), suivant 
qu'il sera intérieur ou extérieur à la conique, il y aura un 
rapport plus grand ou plus petit que celui de c àh entre la 
demi-corde principale de ce point {la tangente qui en est issue) 
et la distance du même point à la droite des contacts, 

£n effet, pour les divers points d'une perpendiculaire au second 
axe, la distance à la droite des contacts est la même, tandis que, 
le point s'éloignant du pied de la perpendiculaire, sa distance au 
centre du cercle augmente, par conséquent sa corde principale di- 
minue (ou la tangente qui en est issue augmente). 

Si, dans le cas de Tellipse, la perpendiculaire au second axe 
menée par un point extérieur ne rencontre pas la courbe, son pied 
sera encore celui de ses points auquel correspondra le plus grand 
rapport; or, pour lui, le rapport sera plus petit que pour le som- 
met voisin, car, de ces deux points, c'est le second dont la corde 
principale est vue, du milieu de la corde des contacts, sous l'angle 
le plus grand. 

48. — La propriété du § 16 a ici son analogue. 

Il en est de même, lorsque la conique est une hyperbole, de la 
propriété du § 17, laquelle permet de construire un cercle bitan- 
gent à cette hyperbole et tangent à une droite donnée. Mais, dans 
le cas de Tellipse, les tangentes au cercle ne rencontrant pas la 
courbe, c'est à une autre propriété qu'il faut avoir recours : 

Deux lignes parallèles se trouvant tangentes, tune à une 
ellipse. Vautre à un cercle bitangent, on prolonge, jusqu^ù, la 
seconde^ le rayon de t ellipse, mené au point de contact de la 



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JOURNAL DR MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 7;j 

première, et, on prend, dans cette ellipse, la polaire du point 
dHntersection, On prolonge ensuite les rayons elliptiques des 
extrémités de la corde polaire jûsqu^à leur rencontre avec la 
tangente à la conique. La demi-longueur de la portion de 
droite ainsi déterminée sur cette tangente sera dans le rapport 
de c àh avec la distance, à la droite des contacts, du point 
dont on a pris la polaire. 

Soient {fig, 27) le centre de l'ellipse, H celui du cercle, K le 
milieu de la corde des contacts, lequel est situé sur le prolon- 




gement de HO, AB la tangente au cercle en un point A, Y Tinter- 
section du rayon AH avec la droite des contacts. Le point M de la 
conique où la tangente est parallèle à AB se trouvera sur OV [4]; 
soit B l'intersection de AB avec le prolongement de OM. La polaire 
de B par rapport au cercle, c'est-à-dire la perpendiculaire AG 
abaissée de A sur HB, rencontre la droite des contacts en un 
point D qui appartiendra à la polaire de B par rapport à Tel- 
lipse [4] ; celle-ci sera donc la parallèle menée par D à AB ; elle 
rencontrera les droites AH, BH, BO et la courbe en des points E, 
L, R et S. Prolongeons OS jusqu'à son intersection T avec la tan- 
gente en M à Tellipse, et abaissons BP perpendiculaire sur KV. H 
faut démontrer que le rapport de MT à BP est le même que celui 
de ckh. 

Les lignes AB, £R étant parallèles, on a 

AV.RV = BV.EV. 



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76 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMBNTAIRRS 

De ce que D, E, H, K sont sur une même circonférence, on 
conclut 

EV.HV = DV.KV. 

Construisons la polaire de D, qui est la même dans le cercle et 
dans Tellipse [1]; ce sera la perpendiculaire abaissée de B sur 
DH ; soit G le point où elle coupe DE ; désignons par I et J ceux 
où la parallèle menée par V à AB rencontre BG et BH. Les seg- 
ments GL, LR sont proportionnels à IJ, JV. Dans cette propor- 
tion, on peut remplacer GL par AB, car DE, BH étant deux des 
hauteurs du triangle ADH, la troisième hauteur passera par L, de 
sorte que, si Ton tire AL, cette ligne sera perpendiculaire à HD 
ou parallèle à BG, et ABGL sera un parallélogramme. D'après 
cela, la proportion peut s'écrire 

AB.JV = IJ.LR. 
Les lignes IV, GR étant parallèles, on a 

BR.GI = BG.RV. 
Les triangles semblables BJV, BLR donnent 

BV.LR = BR.JV, 
et les triangles ABU, HJV, 

AH.JV = AB.HV. 

Abaissons BX perpendiculaire sur le second axe HK, et VY sur 
AD. Par les triangles semblables BIIX, DVY, on aura DV.BX 
:= BH.VY, et, par les triangles ABH, AVY, qui sont aussi sem- 
blables, BH.VY = AH.AV ; il vient donc 

DV.BX ==AH.AV. 

EnGn, les triangles OBX, OKV donnent 

OB.KV = OV.BX. 

Multipliant membre à membre les égalités mises à la ligne dans 
ce paragraphe, on obtient OB.GI.JV = OV.BG.IJ, relation entre 
les segments déterminés, sur les côtés du triangle BIV, par les 
points 0, G, J, et qui prouve que ces trois points appartiennent à 



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JOURNAL DE MÀTBÉUATIQUES ÉLÉHBNTÀIRES 77 

uoe même droite. Tirons celte droite. Dans le triangle OGR coupé 
par JY, qui est parallèle à GR, nous aurons 

OV.GR = OR.JV. 

Menons OW perpendiculaire à HV. Les deux quadrilatères ho- 
molhétiques ABPV, OKVW donneront 

OK.AB = OW.BP, 

et, les triangles semblables OHW, HKV, 

OW.HV=OH.KV. 

De V, abaissons, sur BX, la perpendiculaire VZ, et tirons AZ. 
Si, sur BV comme diamètre, on décrivait une circonférence, elle 
passerait en A, en P et en Z, de sorte que les angles VAZ, BVP 
sont égaux comme ayant pour mesure les moitiés des arcs sous- 
tendus par les cordes égales VZ, BP ; mais les angles AVZ, RDV 
étant aussi égaux, les triangles AVZ, DRV sont semblables. On 
en conclut, VZ étant égal à BP, 

DR.AV = DV.BP. 

Puisque BG est la polaire de D dans l'ellipse, D et G sont con- 
jugués harmoniques par rapport aux deux extrémités de la corde 
interceptée sur DG ; cette corde a son milieu en R, et RS en est la 
moitié, on a donc 

RS' = DR.GR. 

De même, puisque DE est la polaire de B, les points B et R 
sont conjugués harmoniques par rapport à M et au point diamé- 
tralement opposé, et Ton a 

Ôm' = OB.OR. 

Si Ton multiplie membre à membreles égalités mises à la ligne 
depuis le commencement de ce paragraphe, sauf les cinq pre- 
mières, et si Ton observe que OH, OK sont proportionnels à 
cS b^ [45], et OM, OR, à MT, RS, on obtiendra une relation qui 
ne sera autre chose que la relation à démontrer, dont on aurait 
élevé au carré les deux membres après l'avoir mise sous forme 
d'égalité de produits. {A suivre). 



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78 JOURNAL DE MATHéMATIQUBS iLjbfBNTÀIRKS 

RELATIONS MÉTRIQUES 

KT TRIG0N0MÉTRIQUI5S 

ENTRE LES ELEMENTS LINEAIRES ET ANGULAIRES 

DU QUADRILATÈRE INSCRIT COMPLET 

Par M. Leeoeq, ancien professeur au Lycée d'Avignon. 

(Suitg, 1897 ; p. 53). 



16. — Données relatives aux axes de coordonnées rectangu- 
laires. 
Soit un losange EfiJS/& ; posons : 

LEj = LE' = a 

LGi = LG' = p, 

et prenons sur les diagonales prolongées, considérées comme axes 
de coordonnées, LQ = y LS = S. 

Les droites SEi SE' et QGi QG' forment en se coupant un qua- 
drilatère inscriptible ABCD. 

Les formules : , ^ ..— = r'y '-==?==--- = r*, représentent les 

distances du point L aux droites SE^ et QGj de sorte que la rela- 
tion : 

(note i) = , ^' , 

ou ' = ^ savoir : a -^ c = d -h b. 

v/y^-'62 y/a' — P' 

s'applique au quadrilatère à la fuis inscriptible et circouscriptible. 

17. — Coordonnées des points A, B, G, D, et formules des 
côtés a, b, c, d. 

(A) ^i - - Sy - ap ' 2/i---s^_^p » 

^(^ - P ) ,, _ P5(Y -tL5) 

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(B) ,r. = - ""^(^ — P> « _ P^(t + ") 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES BLéMENTAIRBS 79 



d'où: 


_ P8(Y - a) 
y' - 8y - «p ' 


2^* - 8y + ap ' 




^ 2aY5(5 — p) v/p» + y' 
^ 2aY8(8 + p) v'P^ + Y' 


qu'on peut écrire : 

a 


b 


P(Y + a) V^g^ 4- 8^ 
c 


a(8 - P) v/p» + Y" 
0? 2y8 



P(Y — a) v/g^ + 8^ g(8 -h P) v/F=Mp ^V — «'?'' 
et Ton trouvera réciproquement : 



(a — c) (c? — ô) {^(p — a) (p — c) 

P ^ ï 

(a— c)(c?~ô)v/(/)~&)(p— G?) (û?-&)(a-hc)v/(;) — a)(p — c) 

hl 

~ {d -h 6) (a — c) v/ôr~~&yXp"— T) ■" (S^^^c^) (c^2 _ py 

Ce tableau permettra de transformer les formules fonctions de 
a, 6, c, rf en formules fonctions de g, p, y» 8 et inversement. 

18. — Exemples de quelques transformations. 



m : 



12 


8aPY»6«(8Y — ap) \fa^ + 8^ t/p^ 


1 ^-^2 




(8V - «^P)^ 
8apY»8« (8y + ap) \/a» H- 8» \/p« 




l* 


+ Y^ 




(g^Y* — a'P")' 


'» 


2y8 \/ti^ 


-h p2 2y8 v/a^ -f- ii' 
ap ' ''^ SY-t- «S ^ 


/M §Y -H *P 
n "■ 8y — gp ' 

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•8' 



80 JOURNAL DB IIATHBMATIQUIS l^LéMBNTÀlIlKS 

(ne.) S = 5,4î^^.^^ = .,XP(.) 

_ y8 y/g» + P' y /g' + S» \/WTT* 
??"> — «»^« -• 

Soit X l'angle de Lto avec SQ, on a : 



Ptû _ LP' == 



Vabcd — S 



pp, ^ ;>e(a — c) (d — &) ^ ^i^^^gi _4_ g8) _ aiga (g, _,_ ^,) 

4A« + c) (d + 6) .g,^, _ ,,p,) t/^rqrs» > 

d OU 

f ^ > — 4(S — \/^m) (a -+- c) (e/ -H b) 

{a ^c){d~- h) [{a -4- cf — (c^ -h 6)«] 

_ 4(S — y/^O) (g ^c\(d^ b) 
2pe (a — c) (rf — b) • 

Cette expression de tg X devient indéterminée par l'hypothèse 
6 = puisque alors S = \/abcd. 

Sa vraie valeur, donnée par la position de la tangente en w au 
cercle de diamètre SQ est : 

ac{d — by — bd(a — cy . 
2(a ^c){d — b) \/âbcd 
Pour lever Tin détermination, on se servira de : 

i6S2 = (2a — e) {2b -4- e) (2C — e) {^d -h e). 
en ne gardant que les premières puissances de e. 
On trouvera encore : 

(A = v^82 ^ ^\ 

sp ^ 7 V + a^) (§^ - p^) 

n Comme conséquence de la^ormule S = a/" x LP', on trouvera que 
1 aire d un trapèze isocèle est quadruple de celle du triangle ayant pour 
sommets : les milieux des diagonales, et le point de rencontre des côtés 
non parallèle^. ^ 



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JOURNAL DB MATHéuATIQUES éLéMRNTAIRBS 81 

19. — Coordonnées des milieux des diagonales et direction 
demi. 

tt^Y I g^Y 

* ^Y — «^ * milieu de la \ * "" ^Y + «P ' 

aâ8 diagonale BD \ q^q^ 

yi = — 8y —a? ' f ^* ^ 8Y-+-ap ' 

d'où ( ,__ g^p^Y 

~ = ~ = - , milieu de HK ^ ^ _^^ *^ 

donc, cette droite passe par L et est parallèle à la direction symé- 
trique de SQ par rapport à LS ; elle passe donc par le milieu M de 
SQ. Le point L partage HK dans le rapport des diagonales, car : 





SH = 


Y y/Si- 


-4 


, QH = 


8y/Y* + 






SK = 






, QK = 


8y + 




d'où 






SH 

SK- 


QH m 
OR— n* 







donc SL est bissectrice de HSK est QL, de HQK. 

La circonférence décrite sur SQ comme diamètre est le lieu des 
points tels que le rapport de leurs distances aux points H et K 

est égal à —, et si l'on prend, sur LM prolongée, MT = ML, la 

droite HK est divisée harmoniquement par les points L et T. 
Abscisse à l'origine de SK ou a'. 
Ordonnée à l'origine de QC ou p' : 

„,_ hl{d—h)\/{p — a)(p--c) ^, hl{a^c)s/{p-h)(p — d) 
— (a -+- c){d -+- hy ' P— (a -I- c)« (c^ -h 6) 

Les points conjugués F, F', intersections des diagonales avec 
QL sont liés par la relation MF. MF' = îj et, comme, d'autre 

part, MH. MK = ^ les quatre points H, K, F, F' sont sur une 
même circonférence. {A suivre). 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉll. — 1897. 4. 

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82 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 

SECONDE NOTE 

SUR _LES CERCLES RADICAUX ET AXTI-RADIGAUX 
Par M. Jonn J. Dnran-Lorlga 

Commandant d'Artillerie à la Corogne. 
(Suite et fin ; 1897, voir p. 69) 

La considéra tioQ des circonférences radicales et anti-radicales 
dans la géométrie de Iriangle, appliquée à des circonférences ef- 
fectives ou évanouissantes, nous conduirait à des faits bien inté- 
ressants, comme nous l'avons observé précédemment dans l'article 
cité. 

Nous nous bornerons à étudier, comme application très simple 
les circonférences anti-radicales d'un sommet d'un triangle par 
rapport à un autre. 

Soit ABC le triangle proposé et supposons son périmètre par- 
couru dans un certain sens, par exemple, dans Tordre alphabé- 
tique, nous trouverons la circonférence anti-radicale de A par 
rapport à B, de 6 par rapport à C, et de G par rapport à A ; nous 
les désignerons, respectivement, par 

(C.).(A.) et (B.). 

Nous obtiendrons les centres des circonférences, en prolongeant 
les côtés (dans le sens que Ton considère) d'une longueur égale à 
eux-mêmes; quant aux rayons, ils auront pour valeurs, cv/2, 
av^^et hs/^. 

Cherchons l'équation du cercle (Aj). 

Nous savons que dans la forme indiquée par M. de Longchamps 
(J. S. 1886, p. 57) l'équation de tout cercle est 

(a H- p -h y) (î^a 4- vp -h w{) — a^p-f — h^%-^ — c^ap = o, 
u, V et Wj étant les puissances des sommets du triangle par rap- 
port au cercle que l'on considère. 

Dans le cas où nous sommes placé l'on a : 

w = 2Ô2 — ç2^ ^ -_- 2a*, ti; = — a}\ 
Inéquation du cercle (AJ est donc 
(a-hp-i-Y)[(2&2 — c2)aH-2a2p_a2Y] — a2pY_j2aY_c2ap = o. 

D'une manière analogue, ou par permutation circulaire, l'on 
obtiendra celles de (Bj) et (CJ. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 83 

Si Ton veut avoir le centre radical de (Aj), (Bi) et (CJ on écrira 

a : p : Y = a^Pa - b^Pb - C%, 
Il coïncide donc avec le centre du cercle circonscrit. 
Calculons le rayon du cercle orthotomique. 
La puissance de par rapport à (AJ est 

da' — 2 «•, 
mais comme 

Oâ| = R2 ^ 2a\ 

il en résulte que le cercle orthotomique a pour rayon R, et coïn- 
cide avec le cercle circonscrit. 

On devait prévoir ce résultat en observant que les sommets 
étant les points limités du faisceau auquel appartiennent les 
cercles anti-radicaux, la circonférence^ passant à la fois par les 
Irois sommets, doit être orthogonale à ces cercles; c'est donc la 
circonférence orthotomique de (Aj), (Bi), (CJ. 

Les polaires du centre du cercle circonscrit par rapport aux 
cercles que nous étudions, passent par les sommets du triangle 
tangentiel (*) car les perpendiculaires à OB, OC et OA en leurs 
extrémités se coupent sur les points en question. 

Les polaires dont nous parlons partagent les côtes du triangle 
fondamental dans le rapport de 2 : i. 

La polaire du sommet A par exemple, par rapport au cercle 
(Ai) passe par le point A' symétrique de A par rapport au centre 
du cercle circonscrit, parce que les perpendiculaires en B et C aux 
côtés AB et AC se coupent en A'. 

Les points B et C étant inverses par rapport au cercle {A^) il 
en résulte, que si nous traçons, par C, une corde quelconque mn 
dans ce cercle, les points m, n, B et Aj sont concycliques. 

Comme les points H et K (points où le côté BC coupe le cercle 
(Aj) sont conjugués harmoniques par rapport à B et C, on a : 

HB ,- 

par conséquent, pour un point quelconque n de la circonférence 
(Aj) on a : 

nB = nnC . 

O C'est le triangle forme par les points associés au point de Lemoine. 

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84 JOURNAL DB MATHÉMATIQUES ÉlIÉMBNTAlRSS 

Ainsi, cette circonférence est le lieu géométrique de points 1 
tels que le carré de IB soit le double du carré de IC. 

Les polaires d*un sommet quelconque du triangle par rapport 
aux cercles (Aj), (Bj) et (CJ sont concourantes. 

Les polaires d'un des points de Brocard, par rapport aux cir- 
conférences que nous éludions, passent par le point diamétrale- 
ment opposé de la circonférence adjointe correspondante. On peut 
vériûer un fait analogue, si Ton considère les centres isogones et 
les cercles de Torricelli. 

Si sur OAj, OBj et OCj, comme diamètres, on décrit des circon- 
férences, celles-ci sont les radicales du cercle circonscrit et des 
cercles (AJ, (BJ et (CJ. Ainsi on voit d'une autre manière que les 
axes radicaux de ces derniers passent par 0. Les puissances des 
sommets du triangle par rapport aux cercles de Neuberg et aux 
cercles {A^), (Bj) et (CJ sont égales et de signes contraires; par 
exemple, la puissance de C par rapport à Na est égale, au signe 
près, à celle de C par rapport à (Aj), c'est, pour ce motif, que les 
circonférences radicales des cercles énoncés passent par les som- 
mets du triangle fondamental. 

L'équation de ces cercles radicaux, par exemple, celle du cercle 
qui correspond à (Na) et (A J est : 

(i) (a-hp-hT)[(2Ô* — c»)a-i-3a*p]— aa^pY— 2ft*aY — 2C*ap = o. 

Si nous voulons calculer le rayon p de la circonférence (i), il 
suffira de substituer dans la formule 

les valeurs 

R = a v^â, R' = f V^cot'w — 3, ^ = f V^9 -f- cot^w, 

on trouve ainsi 

a 

9 = r cosec w. 
4 

L'on pourrait obtenir aussi ce résultat en faisant observer que 
la droite qui joint C au centre du cercle radical est parallèle et 
égale à la moitié de BN^. 

Les axes radicaux des cercles de Neuberg et des cercles (AJ, (B^) 



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JOURNAL DB UATHJSMÀTIQUB8 ÉLBMENTAlilBS 85 

et (CJ passent par les sommets du premier triangle de Brocard 
(points semî-réciproques du point de Lemolne) et coupent les 
côtés du triangle fondamenlHl dans le rapport a : i. Par exemple, 
l'axe radical de (N^) et {A^), passe par le sommet Aj dont les coor- 
données sont 

a : p : Y = û^ : c^ : ft*. 

Les polaires du point de Tarry par rapport aux cercles {A^), 
(B|) et (C,), concourent au point de Slelner. 

Le triangle des centres A^ B^ C^ est triplement homologique 
avec le fondamental ; A, B, C étant les centres d'homologie et les 
côtés du premier étant les axes de cette homologie. 

Entre les côtés du triangle Aj B, C, on a 

â;BÎ -h B^îî -+- IQîll = 7 (a* -h 6* -+- c% 

c'est-à-dire que la puissance totale du premier triangle est sept 
fois celle du second. 

La polaire du sommet B par rapport au cercle (A J est la per- 
pendiculaire à BC au point C; les axes radicaux des mêmes élé- 
ments sont les médiatrices. 

Dans le cas particulier ou dans un triangle on a 

(Aj) devient le cercle d'Apollonius. 

Si le périmètre est parcouru en sens contraire, il en résultera 
d'autres cercles (Aj), (Bj) et (C,) ayant des propriétés analogues à 
ceux des (AJ, (B^) et {C^). De la combinaison des uns et des 
autres on peut déduire d'autres propriétés; par exemple, les 
centres radicaux de (N^), (Aj), (AJ : (N^), (Bj), (B^) etc., sont les 
sommets du premier triangle de Brocard. 

L'on pourrait citer plusieurs autres propriétés ; mais nous nous 
réservons pour un troisième article l'exposition des applications à 
la géométrie du triangle, en particulier, qui se déduisent facilement 
de la considération et des propriétés des cercles radicaux et anti" 
radicatuv. 



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86 



JOURNAL DE MATHESJÀTIQOBS ÉLBMENTAIRBS 



UN PROBLÈME DE GÉOMÉTRIE PRATIQUE (*) 

Inscrire dans un quadrant de cercle un carre dont Vun des 
côtés soit parallèle à la corde de ce quadrant. 

Soit D le milieu de AC ; traçons BD et, de B comme centre, 
décrivons Tare Ca; des points B, A, comme centres, avec une 
ouverture de compas égale à la corde Ca, traçons les arcs u, v, 
qui donnent les points p, 8 sur Tare BSA ; p8 est le côté du carré 
cherché. 

Pour le démontrer, abaissons DG perpendiculaire sur AB ; nous 

observerons d'abord que BG 
= 3AG. 

En effet, la bissectrice CS de 
BCA coupent BA en P, on a 

AB = 2AP, AP = 2AG; 

donc AB = 4AG. 

Pour établir que p8EF est un 
carré, il faut prouver que, 
comme conséquence de la con- 
struction indiquée, on a 

2EM = MN, ou ON = 3EM. 

Les deux triangles rectangles DGB, 8NC doivent être semblables; 
les angles cd, «p de la figure doivent donc être égaux. Or, on a 




-i- cp = e' -i- 



7t 



mais 6 = 6', donc cp = w ; etc. 

Remarque, — De celte construction, on déduit, comme Ta fait 
d'ailleurs observer l'auteur de cette question, une démonstration 
géométrique de Tégalité 

arctg--harctg5==^. 



(•) Extrait, avec traduction libre, du Journal the Educational Times 
(no du I" février 1897). Cette construction a été proposée sous le n» i3 3o6, 
par M. Sanjana. La présente traduction nous a été obligeamment commu- 
niquée par M. Brocard. ^* L« 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELéMRNTAIRES 



87 



NOTICE HISTORIQUE 

SUR LA GÉOMÉTRIE DE LA MESURE 
Par M. Anhrj 

{Suite, voir 1897, page 62) 



GAVALIERI 

La recherche de. la solution des problèmes de Kepler parait 
avoir conduit Gavalîeri, dès 1629, à la découverte de sa méthode 
des indivisibles {Geometria indivisihilihus contirmoi^um, Bo- 
logne, i635). Du moins, — malgré la grande généralité de ses 
figures et de ses applications, — il l'emploie seulement à quelques- 
uns de ses problèmes. Elle est le corollaire naturel du théorème 
d'Archimède : au lieu de diviser la figure plane (ou solide en un 
nombre fini de parallélogrammes (ou de cylindres) inscrits et 
circonscrits d'égales hauteurs, il la suppose produite par le mou- 
vement d'une droite (ou d'une surface 
plane), transportée parallèlement à elle- 
même, en changeant à chaque instant de 
forme et de grandeur, suivant une loi 
qui caractérise la figure; ou, si l'on veut, 
il la considère comme divisée en tranches 
infiniment minces, qu'il appelle des indi- 
visibles, comme si elle était composée de 
droites (ou de surfaces planes) superpo- 
sées. Ainsi, la surface (ou le volume) de 
cette figure est, par définition, la somme 
de toutes les droites, omnes lineœ (ou de 
toutes les sections, omnia plana) de la figure, parallèles à une 
direction {régula) donnée. Gavalieri n'entend pas, évidemment, 




[Fig. 20 ; appartenant à la 
p. 64, oubliée par er- 
reur de mise en pages]. 



(*) Guldin {De oentro ffravitatis, Vienne, i635), dans le but de mesurer 
les solides de révolution que n'avait pu traiter Kepler, avait imaginé d'y 
employer les théorèmes qui portent son nom. D'ailleurs, il ne les démontre 
pas : la démonstration a été donnée par Antonio Rochas, élève de Gava- 
lieri. 

Depuis, Leibniz a remarqué que les théorèmes dits de Guldin s'appliquent 
à un mouvement quelconque de la figure mobile. 



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88 



JOURNAL DR MATHéMA.TIQUBS ELP.MKNTAIRBS 



par là, la somme des drolles (ou des sections) elles-mêmes, mais 
celle des parallélogrammes (ou des cylindres) de hauteur infini- 
ment petites, qui ont ces droites (ou ces sections) comme bases. La 
surface (ou le volume) de cette figure s'obtiendra donc en recher- 
chant ]a somme des droites (ou des sections) de cette même Qgure. 
Comme cette somme est infinie, — ce qui ne mène à aucune con- 
clusion raisonnable» — Cavalieri a recours à un artifice renouvelé 
d*Archimède, et qui consiste à comparer cette somme infinie à une 
autre également infinie, ce à quoi il arrive en prolongeant chaque 
tranche jusqu'au rectangle (ou cylindre) total circonscrit à la figure 
proposée (fig, 21) : au lieu de la surface (ou du volume) S.MN, il 

n a qu'à rechercher le rapport |. , = 2 -^^ 

Il emploie aussi fréquemment l'expression : la somme des 

carrés {pmnia quadratà) de telle 
figure plane. Il entend par là la 
somme des carrés des droites de 
cette figure parallèles à une direc- 
tion donnée, et cette définition doit 
s'entendre comme la précédente. 
Nous donnerons de Timportànt 
ouvrage de Cavalieri le résumé des 
propositions les plus intéressantes, 
en nous servant pour plus de commodité des notations actuelle- 
ment employées. 




^..^ ^-^y 




Fig. 



GEOM. INDIV. 



LIB. II 



Iir. — Deux figures planes {ou solides) sont entre elles comme 
les sommes de leurs droites (ou de leurs plans). Conséquence de 
la définition des indivisibles. 

(H.) IV. — Soient deux figures planes (ou solides) comprises 
entre deux droites (ou deux plans) parallèles. Si une droite 
{ou plan) quelconque parallèle aux premières détermine dans 
les deux figures des lignes (ou des plans) qui soient toujours 
dans le même rapport, il en est de même des surfaces (ou vo- 
lumes) des deux figures considérées. Id. Applications à l'ellipse 
et au sphéroïde. 



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JOURNAL D£ MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRBS 



89 



Ce théorème important, extension de celui de Kepler (G)^ se 
démontre rigoureusement à l'aide du théorème d'Archimède (F). 

V, Vï. — Les parallélogrammes sont en raison composée de 
celles {sont comme les produits) des hases 
et des hauteurs. Soient les deux parallélo- 
grammes : AE, FH (fig, 22). On a 

AE _ CP p M _ GM 

DM~"PN ' FH~MH' 

d'où, en multipliant 




Fîg. aa 



AE 
FH 



CP DE 
PNMH- 



XV. — Les figures planes semblables sont comme les carrés 
des lignes homologues. Conséquence de lll. En effet, les droites 
parallèles à une même direction dans les deux figures sont comme 
deux dimensions homologues; or, ces droites étant équidîstantes 
dans les deux figures, leurs nombres sont dans le rapport des 
dimensions perpendiculaires à la direction considérée. 

XVII. — Les solides semblables sont comme les cubes des 
lignes homologues, Id. Même démonstration. 

XIX. — La diagonale CF {fig, 2,3) d*un parallélogramme le 
^Y divise en deicco triangles égaux. Prenons 
HF = MC et menons des parallèles à CD ; 
on a HE = MB, donc toutes les lignes des 
deux triangles sont égales, et on peut écrire 

S.HE _ 1 

Fig. a3 
XXIV. —Menons la diagonale EC du parallélogramme AEGC 
{fig, 24) : la somme des carrés des droites 
du parallélogramme est triple de celle des 
carrés des droites du triangle CEG. Me- 
nons les médianes BF, DH, et soit RV une 
transversale parallèle à EG. On a 

RT« -t- TV^ = 2.RS» + 2.STS ^ \. ]. 

donc la somme des carrés des droites de AEC, augmentée de celle 





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90 JOURNAL DB MATHéMA.TlQUBS éLlbfENTÀIRES 

des carrés des droites de CEG, est égale à la somme du double 
des carrés des droites du parallélogramme EB, du double des car- 
rés de celles de BMC, et du double des carrés de celles de MFE. 
Par suite, en divisant par 2, on aura 

S(carrés des dr. de CEG) = 
2:(carrés des dr. de EB) 4- 2:(carrés des dr. de BMC et de MEF). 

Or, on a 

S(RS^) __ S(RS'^) _ 1 
2(RV«)'~2(4.RS«)""4' 

d'un autre côlé, les droites ST de l'ensemble des triangles BMC, 
EMF, étant moitiés de celles TV du triangle CEG, disposées dans 
un autre ordre, leurs carrés en sont le quart, et on a 

22(ST«) _ 1 
2:(TV2) ~4* 
Il s'ensuit qu'on a 

2(carrés des dr. de CEG) = 

, (carrés des dr. de AG) -f- -? S(carrés des dr. de CEG), 

d'où 

s.TV^ _ 1 (*) 
S.RV^ '~' 3 • 

(Voir la note 111). Il suit de là que la pyramide est le tiers du 
prisme circonscrit, puisque les côtés des diverses sections horizon- 



(*) Gergonne a déterminé par des moyens analogues la position du 
centre de gravité du triangle. Prenons les milieux 
M» N, P {fig, 25) des côtés ; on peut admettre comme 
axiome que les figures semblables ont leurs centres 
de gravité semblablemeut placés. Appelons A la sur- 
face de chacun des triangles AMN, MBP, MPN, NPC; 
8, la distance de leur centre de gravité à leur base; 
ef, la distance analogue du grand triangle^ et h sa 
hauteur. On a, en prenant les moments par rapport 
àBC 




.AS = a(^. + Ô W AÔ + A^'i - s) + Aô 



et 6 = -. 



d'où - , V . .^ ^ %' 



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JOURNAL DE MATHBMATIQUBS ÉLÉMENTAIRES 91 

taies croissant comme celles d*un triangle, les sections croissent 
ellles-mêmes comme leurs carrés. 
On peut aussi en tirer la quadrature de la parabole, etc. 

XXX, XXXI. — Partageons le parallélogramme AF {fig. 26) 
en deuœ parties par la transversale EC : 
la som/m£ des rectangles HN.NO des 
droites du trapèze DC et du triangle 
C£F, est à celle des rectangles HM.MO 

comme DE à - DE -h i DF. En effet, on 

a, d'après XIX et XXIV, 

2(HN.N0) _ £(HO.ON) 2:(0N») _ 
siHHT.MÔ) ~" 2:(DE.EF) 2:(DE.EF) ^ 
DF S.ON EF i:(ON^) _ DF EF 

DEsTEF DF i:(EF^) ~ 2.DE 3.DE* 

{A suivre). 




EXERCICES 

14. — Démontrer Fidentité suivante à 6 variables indépen- 
dantes {somme de 6 carrés égale identiqicement à une somme de 
5 carrés) : 

(a« 4- d*)» H- (b2 4- e«)2 -i- (c^-f- P)2h- (ac + ce H- ea)*-f- (bd H- df -f- fb)* 

H- (ab 4- bc -h cd H- de -f- ef -h fa)^ 

s:(a»H-d2-|-bf-hce)»H-(b^-f-e*H-ca-hdf)'-+-(c«H-P-i-db-Hea)2 

4- (ab H- cd H- ef)^ H- (af H- ed 4- cb)«. 

15. — Mettre sous la forme d^une somme de 3 carrés, les po- 
lynomes suivants : 

2X* 4- 3x=^y^ 4- 6y* (2 solutions), 
2X* 4- x^y* 4- 2y* (3 solutions), 
2x* 4- 6x»y« 4- 3y* (3 solutions), 
2X* 4- 5x*y* 4- 2y* (4 solutions). 

(•) Par M. Jan Cyanb (i4 à 17) ; par.M. Djk»-Farny (18 à ai). 

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92 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

16. — Démontrer que le polynôme ax* 4- 6x*y* -h ay* est : 
1° la somme de 2 carrés; 2® la somme de 4 carrés (6 solutions), 

17. — Mettre le cai^^é d'une somme de 4 carrés soies la forme 
d'une somme de 5 carrés (3 solutions), 

18. — Z)et/.r cercles e/ 0' 5on^ tangents extérieurement en A. 
iSoi^ BB' une tangente commune; une sécante variable passant 
par A coupe la circonférence en G et la circonférence (y en G; 
BC et B'C se coupent en P. On demande le lieu du point de 
Lemoine du triangle CPG. 

19. — Construire, des trois sommets d'un triangle rectangle, 
comme centres, trois circonférences qui se coupent deux à deux 
orlhogona lemen t . 

20. — D'un point P d^une ellipse on mène le diamètre PA et 
une carde PB. Soit G le pôle de AB, démontrer que CO est pa- 
rallèle à PB. 

21. — Soit une circonférence variable de centre tangente 
en P à une ellipse donnée et qui coupe cette dernière suivant le 
diamètre AOB. Lorsque le point P se meut sur Vellipsey quelle 
est V enveloppe de AB et quel est le lieu du centre ? 

BACCALAURÉAT 

(LETTRES'MA THÉ MA TIQ UES) 
(Juillet 1896) 

Académie d'Aix (Faculté de Marseille). 

(A) On donne un tétraèdre S ABC dont l'arôte SA est perpendiculaire 
au plan ABC. 

En égalant les valeurs du carré de BG tirées de chacun des deux 
triangles ABC et SBC, on obtient une relation que l'on demande d'abord 
de former. 

Ensuite, en introduisant l'arête SA et les angles BSA et CSA, on peut 
transformer celte relation'en une autre où Centrent plus que des ligues 
trigonométriques. On demande de faire ce calcul. 

On^donne enfin AS^et AB, et Ton demande de calculer~AC,de^ manière 
que les deux angles BAC et BSG soient égaux tous les deux à un^même 
anfifle donné.] 

(B) On considère tous les. triangles inscrits dans un cercle, de rayon R, 
ayant pour base une même coràe AB = R. 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES BLlÊMENTAIRES 93 

On demande le maximum et le minimum de la médiane issue du point 
A. On demande aussi quelles sont les surfaces des triangles pour lesquels 
cette médiane est maximum ou minimum. 

(C) On considère tous les quadrilatères ABCD (A, G sommets opposés ; 
AB = AD = a : cB = cD = aa). 

lO Dans chacun d'eux on peut inscrire un cercle de rajon R ; 

2° Connaissant AC = b, trouver BD ; 

30 Aire de ABCD, connaissant R : calculer AC ; et déduire le maximum 
de R. 

On donne deux cercles intérieurs l'un à l'autre dont les rayons sont R 
et r. Le cercle de rayon r passe par le centre A du cercle de rayon R. 

Au point A on mène la tangente BG au cercle de rayon r, et par les 
points B et C, où cette tangente coupe le cercle de rayon R, on mène des 
tangentes BE et CE au cercle de rayon r. Ces tangentes se coupent en un 
point Ë. 

i^ Calculer, en fonction de R et r, la tangente trigonométrique de 
l'angle BCE ; 

20 Calculer, en fonction de R et r, la distance AE du point E au centre 
A du cercle de rayon R; 

30 R étant donné, déterminer r de manière que le point E soit sur le 
cercle de rayon R ; 

4® Au point H diamétralement opposé au point A sur le cercle de 
rayon r, on mène la tangente MM à ce petit cercle. Cette tangente coupe 
la grande circonférence aux points M et N. Par ces points M et N, on 
mène à la petite circonférence des tangentes MP et NP qui se coupent en 
un point P. Démontrer que ce point P est sur la grande circonférence si 
r a été déterminé en fonction de R de manière que le point E indiqué 
plus haut soit sur la grande circonférence. 

BIBLIOGRAPHIE 



Henri de Sarrauton. — L'heure décimale et la division de la circonfé' 
rence. Brochure de 64 pages. Librairie E. Bernard et C>«. Paris, 53 ter, 
quai des Grands-Augustins. 

La réforme proposée par M. de Sarrauton est certainement la plus pra- 
tique de toutes celles qui ont été proposées dans ces derniers temps con- 
cernant la façon de compter les heures et la division de la circonfé- 
rence. 

Toutes les qualités de cette réforme sont fort bien exposées dans la 
note de M. Adolphe Carnot, jointe au mémoire, lequel a d'ailleurs reçu 
l'approbation de la Société géographique d'Oran, dont le président est le 
Lieutenant-Colonel Derrien, bien connu par ses travaux de géographie. 

Contentons-nous de dire ici que M. de Sarrauton propose de compter 
les heures de o à a4 ^^^^ interruption de midi à midi, à partir d'un mé- 
ridien universel qui toucherait le cap Vert. La circonférence serait divisée 
en 240 degrés, avec minutes et secondes centésimales. Les heures, tout 
comme les degrés, seraient divisées en minutes et secondes centésimales, 
ce qui faciliterait beaucoup les calculs des astronomes, des navigateurs et 
des géodésiens. 

Tout en appréciant au point de vue scientifique les idées de M. de Sar* 



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94 JOUBNAL DB MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 

raaton, il est cependant à craindre qu'il en soit de cette réformé comme 
de beau<*oup d'autres. J/habitude et la routine triompheront une fois de 
plus de la logique et du bon sens. 

C'est ainsi que la division de la circonférence en 36o degrés, qui est 
toujours adoptée par les marins et les astronomes, ne l'est pas par les 
géodésiens, qui, depuis Laplace, emploient la division en 4oo grades. 

La nouvelle division de M. Sarrauton nécessitant le changement des 
horloges, la réfection des instruments d'astronomie et de géodésie, ainsi 
que l'impression de nouvelle tables de logarithmes, il est certain que 
cette réforme ne saurait être que progressive (•). 

Mais il est à souhaiter que, dès à présent, cette réforme soit mise en 
pratique dans les écoles et dans les grands services publics. E. B. 



Choix d'épurés de obométrie descriptive bt de géométrib cotée, à 
l'usage des candidats à l'École spéciale militaire de Saint-Cyr, à l'École 
navale et à Tlnstilut agronomique, et des élèves de la classe de Mathé- 
matiques élémentaires, par L. BécouRT, professeur aux Lycées Condor^ 
cet et Carnot. 
(i volume cartonné in-4°, de 28 planches ; Hachette : Prix, 6 francs). 

Le recueil d'épurés que M. Bécourt publie aujourd'hui à la librairie 
Hachette nous semble venir à son heure. Les examens des Écoles spéciales 
comportent tous une épreuve de géométrie descriptive, et cette partie de 
l'examen écrit est, particulièrement, redoutée des candidats, qui ne sa- 
vent comment la traiter pour avoir une note convenable, de laquelle peut, 
quelquefois, dépendre l'admissibilité. 

11 manquait donc aux élèves se présentant à Saint-Cyr, k l'École Navale 
ou à l'institut agronomique, un guide leur apprenant à faire l'épure exigée 
à l'examen. L'ouvrage de M. Bécourt vient combler cette lacune. Le pro- 
fesseur qui a écrit ce livre est, depuis longtemps, chargé d'apprendre aux 
candidats dont nous venons de parler, comment ils doivent traiter cette 
épreuve ; il est pleinement qualifié pour donaer des conseils à cette caté- 
gorie d'élèves, et les explications des épures d'examen données dans son 
livre constituent assurément le meilleur des conseils que l'on puisse 
donner aux candidats. 

Mais, en outre des 27 épures expliquées et construites dans le recueil 
complet nous devons signaler les conseils pratiques pour la solution gra- 
phique d'un certain nombre de problèmes qui se présentent constamment 
dans la construction d'une épure et qu'il est indispensable de parfaite- 
ment posséder. Enfin, M. Bécourt a pris la peine de terminer son recueil 
par une collection d'exercices, dont quelques-uns ont été donnés aux 
examens ; les autres ont été exécutés et contrôlés, avant que l'énoncé n'en 
fût admis dans Touvrage ; ceè questions fourniront aux professeurs, et 
aux élèves studieux, d'excellentes épures pour la préparation aux exa- 
mens. Avec toutes ces qualités, l'ouvrage de M. Bécourt mérite le succès ; 
nous le lui souhaitons de grand cœur. 

(*) Une GommissioD s'occupe, en ce moment, de eette intéressante question (voir le n* do 
Temps du 4 mars 1897). La numération des heures de à 24, d'après l'article cité, aurait 
été adoptée par eette commission. Cr. L. 



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JOURNAL DB MATHillATlQUES ELEMENTAIRES 95 

Nous signalons aussi à l'attention de nos lecteurs les Leçons db Méca- 
nique à l'usage des candidats à l'École spéciale militaire de Saint-Cyr, 
par M. X. Antomari, ancien élève de l'École Normale, Agrégé des 
Sciences Mathématiques» Docteur es -sciences, professeur en Mathémati- 
ques spéciales au Lycée Carnot (Paris, Librairie Nony). 

Cet ouvrage, comme tous ceux que M. Antomari a écrits, se recom- 
mande particulièrement par Tordre parlait qui est donné aux matières 
exposées, la rigueur des démonstrations, et la très grande clarté qui les 
accompagne. G. L. 

QUESTION 696 

Solntioa, par M. A. Boutin. 

Trouver toutes les sohitions entières des devx équations indé- 
terminées : 

X' -h 2^ = W^, 
^2 2y = r^, 

dans lesquelles x, y, u, v, scnxt des inconnues. 

(E. Lemoine). 
Par addition^ oa a 

ax^ z= u^ -f- v^. 

Dans le Journal de Mathématiques Élémentaires, année 1896, 
p. 12, Exercices divers, n® 356, celte équation est complètement 
résolue par l'identité : 

(aa^ — b^y H- (2a^ -h b' — iaby =: 2{2a^ — 2ab -+- b^, 

qui détermine u, Vy x, en fonction des indéterminées nouvelles 
ttf b. 

On en déduit : 

y = 2ab(2a — b) (a — b). 

Nota. — M. Plackowo résout la question en partant de l'identité 
a(»8 -f 3r2)a s: {pi — ^s + ^àpq)^ + tp2 — grî — 2pq)K 

QUESTIONS PROPOSÉES 



798. — Les cercles G et G' se coupent au point A où leurs tan- 
gentes sont t et tf, et au point B. Une droite quelconque menée 
par A coupe C et en G' en M ou M'. Les projections orthogonales de 
M sur t' et de M' sur t sont sur un même cercle avec les points A 
et B. (M. d'Ocagne). 



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96 JOURNAL DB MATHRMATIQURS I^LRMfSNTAIRRS 

799. — On donne deux cercles C, C'qui se coupent en o. Parce 
point, on mène une transversale arbitraire qui rencontre C en a 
et C en a'. Du point a, on mène la droite at parallèlement au 
rayon de G qui passe par a' : démontrer que, lorsque la transver- 
sale tourne autour de o, la droite at reste tangente à une circon- 
férence de cercle. {Mannheim)» 

800. — On donne une série de cercles qui se touchent en a et 
une autre série de cercles qui se touchent en h. Démontrer que le 
lieu des points de contact de ces cercles est formé de deux circon- 
férences de cercles qui se rencontrent à angles droits en a et 6. 

{Mannheim). 

801. — Trouver l'aire de Tennéagone ayant pour sommets les 
neuf points remarquables du cercle d'Euler. (A > B > C) (*). 

(Scholarships, Qtieen*s Collège^ Cambridge^ 1896). 

n 

802. — (n — 1) î ^ — ^3— est divisible par n (impair). 

a 
{Scholarships, St. John* s Collège, Cambridge, 1896). 

803. — Du sommet h d'un triangle donné abc, on mène des 
parallèles aux hauteurs de ces triangles, issues de a et de c. 

Ces parallèles et ces hauteurs forment un parallélogramme. 
Démontrer que la médiane du triangle abc, qui est issue de b, 
est perpendiculaire à la diagonale de ce parallélogramme, qui ne 
contient pas b, {Mannheim). 



(*) Cette question et la suivante nous ont été communiquées obligcam* 
ment par M. W. J. Orebnstreet. M. A. 



Le Directeur-gérant, 

G. DE LONGCHAMPS. 



SAIKT-AMA9D (cRBB). — IMPMMKAU SCIE^tTIFIQVE ET LITTÉBAUtB, BUKSIÉRE PBiMS. 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES éL^MBNTAIRES 



97 



SUR 



LES CERCLES BITANGENTS AUX CONIQUES 

Par M. A. Tisaot 

{Suite, 1897, page 73) 



49. — Le rayon d'un cercle hitangent est, avec la distance du 
centre de ce cercle à un foyer de la conique, dans le rappoiH in- 
verse de V excentricité* 

Soient {fig. 28) le centre de la conique, F, F' les deux foyers, 
H le centre du cercle, S le saillant, KL 
la demi-corde des contacts. La circon- 
férence circonscrite au triangle rect- 
angle HLS passe en F [44]. Dans 
cette circonférence, les carrés des deux 
cordes HL, HF sont entre eux comme 
les projections HK, OH sur le diamètre 
HS, c'est-à-dire comme a^ est à c* [46]. 
On a donc, en appelant ^^ le rayon HL, 



K ::^i- 



r' = - HF. 

c 



Fig. 28 



D'après cela, dans tout cercle bitangent, les diamètres qui pas- 
sent par les foyers ont leurs extrémités sur les tangentes a la co- 
nique menée aux sommet de l'axe focal, 

La distance du centre du cercle à un foyer, le rayon de ce cercle, 
îa demi-corde principale du foyer, dans le cas de l'ellipse (la tan- 
gente issue du foyer, dans le cas de Thyperbole) ont des longueurs 
proportionnelles à c, a, h. 

Quand le cercle varie, la corde principale du foyer, dans le cas 
de l'ellipse, est vue, du centre du cercle, sous un angle constant, 
et le cercle lui-même, dans le cas de l'hyperbole, est vu du foyer 
sous un angle constant. 

- 50. — Dans Vellipse, la demi-corde des contacts est dans le 
rapport de bl àh avec la moyenne proportionnelle entre les dis^ 
tances du milieu de la coi^de aux sommets du petit axe. 

La démonstration est analogue à celle qui a été donnée à propos 
des cercles bitangents de première espèce [23]. 

Dans l hyperbole, la demi-corde des contacts est dans le rap- 



JOURNAL DE MATH. tlÀU. 



1897. 



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98 



JOURNAL DE MATHEMATIQ0M*ÉLiMKNTAlRK8 



port de Si à h avec la distance, du milieu de la corde au point 

de taxe focal situé à la distance b du 
centre de la conique. 

Soient {fig. 3o) ce centre, H celui 
du cercle, S le saillant, KL la demi- 
corde des contacts; sur Taxe focal, 
prenons OB = h. 

Puisque KL est symétrique, par 
rapport à 0, de la polaire de S dans le 
cercle de centre et de rayon h [45], 
on a TÏB' = OK.OS, ce qui prouve que 
le triangle BKS est rectangle ; le triangle 
HLS Test aussi; ces deux triangles 
donnent 

kl" = HK.KS, M' = OK.KS, 




Fig. 39 



d'où 



bk' 



HK 
OK 



a" 



I KL_a 
®^ BK"~6- 



51. — On peut s'appuyer sur la propriété du § 46 pour tracer 
une circonférence passant par un point donné et bitangente de se- 
conde espèce à une conique donnée, à moins que la conique ne 
soit une ellipse, et que la perpendiculaire abaissée du point donné 
sur le second axe ne la rencontre pas. Dans ce cas, on fera usage 
d'une autre propriété, en vue de laquelle nous allons d'abord dé- 
montrer le lemme suivant. 

Lemne. — La distance mutuelle de deux points, dont Vun se 
trouve sur une circonférence donnée, est moyenne proportion^ 
nelle entre lès distantes de Vautre au centre et au symétrique du 
conjugué de cet autre par rapport à la circonférence, Vaxe de 
symétrie étant la perpendiculaire abaissée du premier point sur 
le diamètre payant par le second. 

Soient (Jig. 3o) le centre du cercle, A, B deux points con- 
jugués harmoniques par rapport aux extrémités d*un diamètre 
CD, M un point quelconque de la circonférence. Menons MP 
perpendiculaire à CD, et, sur CD, prenons PA' égal à PA, PB' 
égal à PB; enGn joignons M aux points 0, A, A', B, G. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉL^MBNTAIRBS 



99 




Fig. 3o 



On a ÏMD = AMC -4- CSO; mais AMC == BMC parce que MG 
est bissectrice de Tangle AMB, et ËMO 
= OCM parce que le triangle OCM est îsos- 
cèle ; il vient donc ÏMO = BMC H- OCH 
= OEM = XB^. Il suit de là que les trian- 
gles AMO, AB'M sont semblables et donnent 

Am" = AO.AB'. 

On aurait de même, par les triangles BMO, 
BA'M, 

BH' = BO.BA; 

BA' est du reste égal à AB'. 

On peut remarquer que le rapport de 

2 - 3 

AM à BM est le même que celui de AO à 
BO, et que l'on a aussi AM.BM = OM.AB'. 

Si, du centre d'une ellipse, on prend, sur la tangente en Vun 
des sommets du petit aœe, la perspective de la demi-corde po- 
laire d^un point du prolongement de cet axe intérieur à un cercle 
hitangent, et si Von mène, dans ce cercle^ la demi-corde princi- 
pale du même point, enfin, si Von construit un triangle rec- 
tangle ayant, pour côtés 
de Vangle droit, les deux 
lignes ainsi obtenues, Ihy» 
poténuse de ce triangle 
sera dans le rapport de c 
à h avec la distance du 
point considéré à la droite 
des contacts, 

SoientO(/î^. 3i)le centre 
de l'ellipse, B l'un des som- 
mets du petit axe, H le 
cenlre d'un cercle bi tan- 
gent, S le saillant, K l'in- 
tersection de OB avec la 
droile des contacts, C l'un 
quelconque des points si- 
tués à l'intérieur du cercle sur le prolongement de OB. Menons la 




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100 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 

demi-corde principale CD, et, dans l'ellipse, la demi-corde polaire 
EG de C. La polaire de C étanl la même dans Tellipse et dans le 
cercle décrit sur le petit axe comme diamètre [1], EG passera par 
le point de contact 1 de ce cercle avec la tangente issue de C. 
Elevons en B, sur le second axe, la perpendiculaire BL jusqu'à sa 
rencontre en L avec OG. Il s'agit de démontrer que le rapport de 
BL* H- CD^ à CK' est celui de c« à bK 

Appelons J le point où 01 coupe BL. Les lignes BL, BJ sont 
proportionnelles aux lignes EG, El, et celles-ci le sont ha, b [50]. 
Mais, à cause de l'égalité des triangles OCl, OBJ, on peut, dans la 
proportion, remplacer BJ par CI; si ensuite on élève au carré, il 
viendra 

BL'_cf 
'â^ ~ b^ 

Tirons DK, et, sur le second axe, prenons CK' égal à CK. Puisque 
S et K sont conjugués par rapport au cercle bitangent, on aura, 
en vertu du lemme, M' = HK.SK', d'où [45] 

dk'_ ok.sk^ 

et, par conséquent, 

BL' -i- Dk' _ Cï' -h O K.SK^ 

a^ ~ b' " * 

Menons OT tangente au cercle décrit sur KK' comme diamètre. 
Le triangle rectangle OIG donne 



ou 



Cl' = oc' — b\ 
ci' = De' — OK.OS, 



puisque K, S sont conjugués par rapport au cercle de centre 
et de rayon b [45]. De là résulte 

Ci' 4- OK.SK' = Uc' -- OK.OK' = Uc' — Ôt' = CK*, 
et, enfin, 

BL' -^ DR' _ CK' _ 51' + CD' 



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JOUBNÀL DE MATHAmàTIQUBS ÉLÉMENTAIRES 101 

52. — Les droites des contacts d'une conique avec un cercle 
hitangent et avec un système de deux tangentes se coupent en 
Vun des sommets des sécantes communes au cercle et au système 
des deux tangentes. 

La droite qui joint les deux sommets des sécantes communes 
est la polaire, par rapport au cercle, du point d'intersection des 
deux tangentes; de plus, la droite quejoint ce dernier point à l'un 
des sommets est la polaire de l'autre dans le cercle et dans le sys- 
tème des deux tangentes. Cela posé, on peut adapter, au cas ac- 
tuel, le raisonnement du § 25. 

53. — Ici se placeraient deux autres propriétés dont les énoncés 
et les démonstrations se déduisent, par analogie, de ce qui a été 
dit sur les cercles bitangenls de première espèce [26], [27]. 

54. — Les centres de similitude de deux cercles bitangents 
se trouvent^ avec les foyers, sur une même circonférence. 

Cela résulte de ce que les distances d'un foyer aux centres des 
deux cercles donnés sont proportionnelles aux rayons. 

On voit que le lieu des foyers des coniques hitangenles à deux 
cercles donnés^ de seconde espèce, est la circonférence qui a pour 
diamètre la ligne joignant les centres de similitude des deux 
cercles, {A suivre). 



NOTE SUR L'ARITHMETIQUE BINAIRE 

Par M. Ed. Colllf non. Inspecteur général des Ponts-et-Chaussées, en retraite. 

L'Arithmétique binaire a été imaginée, dit-on, par Leibniz ; il 
est du moins le premier, parmi les Modernes, qui en ait reconnu 
les propriétés. En réalité, la numération binaire remonte beaucoup 
plus haut. Sans aller jusqu'à Fo-hi, le fondateur de l'Empire 
chinois, qui en avait fait usage pour une énigme devenue célèbre, 
on peut observer que la division des quantités en deux, en quatre, 
en huit parties égales, est le plus simple, le plus élémentaire de 
tous les modes de fractionnement, et qu'elle a été longtemps 
adoptée, qu'elle l'est encore dans certains pays, pour les subdivi- 
sions des poids et des autres unités de mesure. 

La numération binaire a pour base le ixomtoe deux, et n em- 



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102 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

ploie que les chiffres i et o. La suite des nombres naturels, 
représentés dans la numération décimale par les notations 

123456789 10.., 

se trouve représentée de la manière suivante dans la numération 
binaire : 

1 10 11 100 101 110 m 1000 1001 1010... 

L'inconvénient du système binaire, outre celui de ne pas cor- 
respondre à l'usage de la numération parlée, résulte du grand 
nombre de chiffres nécessaires pour représenter un nombre, 
même quand il est médiocrement grand. Nous chercherons 
d'abord à nous rendre compte approximativement du nombre de 
chiffres et 1 qui entreront dans l'expression d'un nombre donné 
N, supposé écrit dans le système décimal. 

Ce nombre se trouve, dans la série des puissances de 2, entre 
deux puissances consécutives, 2"*-* et a***, lesquelles, dans le sys- 
tème binaire, sont représentées par l'unité suivie de m — 1 zéros 
ou de m zéros. Le nombre N, supérieur à la première limite, 
inférieur à la seconde, aura donc dans le système binaire m 
chiffres, comme a*"*"*. 

Comparons le nombre m au nombre m' de chiffres qu'a l'entier 
N dans le système décimal. Ce nombre m' est au plus égal au 
nombre de chiffres décimaux de 2*", puisque 2^ > N. Appelons p. 
ce nombre de chiffres. Pour l'évaluer, cherchons la caractéris- 
tique du logarithme tabulaire de 2"*, c'est-à-dire la partie entière 
du produit 

m X P,3oio3oo. 

Nous avons 

K= 1 4- E(m X o,3oio3oo), 

en désignant par E l'entier contenu dans le produit entre paren* 
thèses. Le nombre de chiffres binaire de 2*" est 

fx' = i 4- m. 

Pour le nombre a»*», le rapport ^ tend, lorsque m augmente, vers 

la limite o^3oio3oo, soit, en prenant pour cette limite une valeur 
un peu trop basse, vers ^. Pour les grands nombres la représen- 



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JOURNAL OB MATHEMATIQUES BLÉMBNTAIRBS 103 

tation binaire exigera donc environ les y du nombre des chiffres 
de la représentation décimale. La règle peut être étendue approxi- 
mativement à tous les nombres. 

Prenons pour exemple le nombre 8568, qui se transforme dans 
l'expression binaire 

10000101111000. 

Nous avons i4 chiffres binaires contre 4 chiffres décimaux. Les 
Y de 4 donneraient i3 ^; le résultat est approché par défaut. La 
règle conduira suivant les cas à un résultat trop faible ou trop 
fort; mais Terreur sera toujours faible, et le résultat permettra 
d'apprécier l'espace réclamé par l'écriture binaire des nombres. 
Prenons les trois puissances successives de 2, 

2** = 16384 2" = 32768 2*« = 65536. 

Elles s'expriment toutes par cinq chiffres décimaux. Les y de 5 

donnent au produit 16 k. Or, ces nombres exprimés dans le 
système binaire demanderont le premier i5 chiffres, le second 
16, le troisième 17. 

NUMÉRATION BINAIRE 

Les chiffres d'un nombre qu'on écrit dans le système dont la 
base est 5, sont les restes successifs obtenus en divisant par b le 
nombre proposé et les quotients qui s'en déduisent. Lorsque b 
est égal à 2, les divisions se font intuitivement sans qu'il soit utile 
de poser le diviseur. Il suffira donc de placer dans une colonne 
verticale les dividendes successifs, dont chacun sera la moitié du 
précédent, et de poser en regard de chaque dividende le reste, 
o ou 1, qu'il faut en retrancher pour que la division par 2 se 
fasse exactement. On s'arrêtera à un diviseur moindre que la 
base, et qui sera le propre reste de sa division par b. Ce sera ici le 
nombre 1. 

Prenons pour exemples les nombres 36o, 15827, 33875. 

On disposera les calculs de la manière suivante : 



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104 



JOURNAI. DK MATH^ATIQVIS iublBNTAIRBS 



36o 





i8o 





90 





45 


I 


3a 





II 


I 


5 


I 


a 





I 


I 



58a7 


I 


79ï3 


ï 


3966 





1978 





989 


I 


494 





a47 


I 


ia3 


I 


61 


I 


3o 





i5 


I 


1 


1 


3 


I 


I 


I 



33875 


z 


16937 


I 


8468 





4a34 





aii7 


I 


io58 





539 


I 


a64 





i3a 





66 





33 


I 


16 





8 





4 





a 





I 


z 



On aura donc, en écrivant de gauche à droite les chiffres con- 
tenus dans la colonne des restes, prise en remontant, 

(36o)io = (101101000), 
(i58a7),o = (luioiiioiooii), 
(33875),o = (looooioooioiooii)j. 

Si les nombres binaires ont beaucoup de chiffres et tiennent 
beaucoup de place, les chiffres significatifs qu'ils renferment ont 
la moindre valeur possible, puisqu*ils sont tous égaux à 1. 

L'écriture se simplifie notablement, au point de vue des chiffres 
significatifs, quand on admet les chiffres pris négativement. On a 
en effet l'identité 






a — 



= 2" 



Si donc on trouve dans un nombre binaire un groupe formé de 
n unités consécutives, on pourra toujours remplacer ce groupe 
par une unité de Tordre immédiatement supérieur à l'unité la 
plus haute qu'il renferme, à prendre négativement Punité de 
l'ordre le plus bas, et à écrire des zéros à la place de toutes les 
unités intermédiaires. On aura par exemple 

un 11 = 1000001, 

en plaçant le signe — au-dessus du chiffre pour conserver les po- 
sitions relatives des unités des différents ordres. 



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JOURNAL DE MÀTHéMATIQUES iliMBlfTAlRBS 



f05 



Celle notation une fois adoptée, on en déduit diverses réduc- 
lions qui simplifient nolablement l'écriture des nombres. 
On aura, par exemple, 

(û), = 'i— 1 = 1 =(oi), 
(i Oa = — 2 4- 1 = — 1 = (oi), 
(1111)3 = (Tool), 
(111111)3 = (101001)2 
(1 111111 i)j = (100100001)3. 

Si nous reprenons les exemples de transformation donnés plus 
haut, il viendra, on appliquant les réductions indiquées, 

(36o)iQ = (101101000)2 = (110101000)3 = (1010101000)3 
(16827)40 = (11110111010011)2 = (100011001011101)2 

= (100001001010101)3 
(33875)jQ = (100001 000 101 001 1)2 ==(10000 1000101010 1)3. 

Le résultat Qnal que Ton obtiendra sera un nombre binaire où 
les chiffres 1, pris positivement ou négativement, seront séparés 
par un ou plusieurs zôros. L'emploi des unités négatives conduit 
ainsi à des nombres binaires dans lesquels, sur n chiffres écrits, 

il y a au plus - ou chiffres sfigniQcatifs, suivant que n est 

pair ou i mpair. 

L'opération inverse, qui consiste à revenir d'un nombre binaire 
donné au nombre décimal égal, se fait aisément à l'aide d'une 
table des puissances de 2. 



2» . . 


T? 

I 


210 . 


. . 1024 


220. . . 1048576 


21 . . . 


2 


2» . 


. . 2048 


221 






2097152 


22 . . 


4 


212 . 


. . 4096 


222 






4194304 


23 . . 


8 


2*3 . 


. . 8192 


223 






83886o8 


2* . . . 


16 


2i* . 


. . 16384 


22* 






16777216 


26 . . 


. . 32 


2l5 . 


. . . 32768 


225 






335544:^2 


26 . . 


. 64 


2*6 . . 


. . 65536 


226 






67108864 


2^ . . 


. 128 


2*7 . 


. . i3i072 


227 






134217728 


28 . . 


. 256 


2I8 . 


. . 262144 


228 






268435456 


2» . . 


. . 5l2 


2l9 . 


. . 524288 


229 
230 






536870912 
. 107374 1824 



JOURNAL DE MATH. ÉLEXf. 



i897. 



5. 



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106 



JOURNAL DB MATHEMATIQUES ^ELEMENTAIRES 



Gomme 2**^ est supérieur à un milliard, un nombre entier de 
9 chiffres, écrit dans ce système décimal, pourra donc être repré- 
senté, dans le système binaire, avec 3o chiffres au plus. 11 est 
rare qu'on ait à introduire dans les calculs des nombres aussi 
considérables. (A suivre). 



NOTES GEOMETRIQUES 

SUR LE PENTAGONE ET LE DÉCAGONE RÉGULIERS 
Par A. DroB-Famy. 



Dans un premier article sur le pentagone régulier {Journal de 
Mathémaiiqtces Élémentaires, année iSgS, page 193), j'ai montré 
comment on pouvait construire géométriquement, avec la règle 
et le compas, sur une droite donnée AB, comme côté, un penta- 
gone régulier. 

Soit ABCDE le polygone demandé. On sait que les diagonales 

DA et DB divisent 
l'angle EDG en trois 
parties égales de 36* 
chacune. Donc AB 
est aussi le côté du 
décagone régulier 
dans la circonférence 
décrite, de D comme 
centre, avec DA 
comme rayon. On a 
donc ainsi un pro- 
cédé de construction 
du décagone régu- 
lier sur une ligne 
droite donnée comme 
côté. 
La remarque pré- 
cédente va nous fournir une seconde solution du problème. 

Décrivons de A, comme centre, avec AB comme rayon, une 
circonférence et portons sur cette dernière les cordes BK = KL 
= LE = AM; AM étant le grand segment du côté AB divisé en 
moyenne et extrême raison. 




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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 107 

D'après un théorème bien connu, AM sera le côté du décagone 
inscrit dans cette circonférence et, par conséquent, Arc BE = 3.36** 
= 108** ; £ est donc un sommet du pentagone cherché. 

En se basant sur la construction de la division en moyenne et 
•xtréme raison donnée par Mascheroni dans sa Géométrie du 
compas, il est facile d'obtenir le pentagone régulier en n'utilisant 
que le compas. 

De A comme centre avec AB comme rayon décrivons une cir- 
conférence ; sur cette dernière portons à partir de B les cordes 
égales BF = F^ = ^H = HI = AB. 

De B et H comme centres avec Bg comme rayon décrivons les 
arcs ^0 et FO qui se coupent en et enfin de ^ et J comme 
centres avec AO comme rayon traçons deux arcs de cercle qui se 
croisent en M sur AB. Il suffira de porter sur la circonférence les 
cordes BK = KL = LE = AM. E sera un sommet du penta- 
gone. 

Il est facile de démontrer la construction de Mascheroni. Po- 
sons AB = a; on a B^ = HF = fl/3, donc dans le triangle 
rectangle OAB : OS = (a^Y — a* = 2aS OA = a^. La corde 
auxiliaire gl coupe le rayon AH en P, on a : 

PH* = iw^y - (î^)' = ^ PM = f /5 , 

et, par conséquent 

AM = 2 (v/5 — 1), 

relation qui prouve l'exactitude de la construction. 

Remarque, — AO est le côté du carré inscrit dans la circonfé- 
rence. 



UNE DEMONSTRATION 

DU THÉORÈME DE PYTHAGORE 
Par M. liolkow, professeur h l'École reale de Saint-Pétersbourg. 



Prenons la Ggure classique et aux points B, C, élevons, à BC, 
des perpendiculaires BD, CE dans la direction opposée à celle 
que ToQ considère habituellement. Nous observerons d'abord que 

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108 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



la figure BCDE est un carré. En effet, le triangle MBD a ses côtés 

perpendiculaires à ceux 
..«-^\ de ABC el, comme BM 

= BA, ces triangles sont 
égaux ; on a donc BD=BC, 
On voit, de même, que 
CE = BG. 

Cela posé ; si, de la 
figure BMPQCB on re- 
Iran che les trois triangles 
égaux BMD, DPE, CQE, 
il reste le carré construit 
surBC. 

Si, de cette même figure, on retranche ABC el le rectangle AP, 
il reste les deux carrés construits sur AB et sur AC. Or, le rec- 
tangle AP et le triangle ABC représentent trois triangles égaux à 
BLD; donc, etc.. 




UN PROBLÈME DE GÉOMÉTRIE PRATIQUE 

(<• •olnllomf voir page 86). 

Inscrire dans tm quadrant de cercle un carré dont Vun des 
côtés soit parallèle à la corde 
de ce quadrant. 

On a ME = MC, par suite 
N8 est le tiers de NC. 

Il suffit donc de partager le 
segment PA en trois parties 
égales et de mener la droite, 
issue de C, qui passe par le 
point de division le plus rap- 
proché de P : celte droite coupe 
le cercle donné au point 8, etc.. 
"" (M). 




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JOURNAL DB MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 



109 



SUR L'EQUATION asmx + bcosa> = c. 
Par M. F. J. Vaea (•) 



1. - Prenons (fig. i) (") OA = «, AB = b, alors ^ est la tan- 

a 
geote de AOB; cet angle est 

donc Tangle auxiliaire. 

Décrivons de comme cen- 
tre un cercle de rayon R, pre- 

nons OC = R-, et menons 

par le point C, DD' parallèle à 
OB. Alors, les angles DOA et 
D'OA satisfont à l'équation 
donnée. 

En effet, si l'on mène DF 
parallèle à CO, on a : 




Fig. I 



et 



DE = R sin DOE, 
EF = ^..OE. 



ou 



EF = -.RcosDOE. 
a 

Mais DF = DE -+- EF = CO ; donc R sin DOE 4- ~ R cos DOE 

a 



= R 



on a 



et 



sin DOE 4- b cos DOE = c. 
De même : si D'F' est parallèle à CO, on a D'E' == R sm D'OE, 

E'F' = QX-OE' = ^ (- R cosD'OE). 



(•) Extrait d'une brochure publiée à Gorînchem (Hollande), en 1896, inti- 
tulée Etude Goniométrique. 

(••) Par un défaut graphique de la {fig. i), le point D n'est p&& repré- 
senté, avec une exactitude suffî,9ante, comme appartenant au cercle. 



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110 

Or. 
finalement : 

ou 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 



DT' = D'E' — E F = CO ; 



R sin D'OE 4- - R cos D'OE = - 
a a 



a sin D'OE h- h cos D'OE = c. 



2. — Comparaison des constructions connues {*). 
Traçons (flg. 2) la tangente en A' ; elle coupe DD' en D^ ; puis 
menons D^E parallèle à DO, et DjF pa- 
rallèle à D'O, ce qui revient à déplacer 
le secteur OD'D de façon que vienne 
en Dj, et DD' le long de OB, alors on a 
la solution de M. Droz-Farny. Dans la 
construction de M. Lauvernay, il suffit 
de tracer le cercle BD en son entier pour 
voir qu'elle est tout-à-fait égale à celle 
de M. I^moine. La première se termine 
par le tracé du cercle BD ; l'autre dé- 
bute par ce tracé. L'autre cercle employé 
dans ces deux constructions est le cercle circonscrit au triangle 
OD'D ; la droite D'D cherchée est la cordé commune des deux 
cercles. 

Les équations des deux cercles sont : 

(0 




Fig. 2 



x^ -hy^ = c», 



(^-^) + (y-î«)=î(«' + n 



l'équation de l'axe radical est donc : 

(3) bœ'hay = cK 

Les équations (i) et (3) conduisent à la solution de M. de 
Longchamps (loc. cit.). 



-(*) Voyea Journal, 1896^ pp. 5, 69, 84. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUBS BLBMENTAIRSS Hl 

RELATIONS MÉTRIQUES 

ET TRIGONOMÉTRIQUES 

ENTRE LES ELEMENTS LINEAIRES ET ANGULAIRES 

DU QUADRILATÈRE INSCRIT COMPLET 

Par M. Lecoeq, ancien professeur au Lycée d'Avignon. 

(Suite, 1897 ; p. 78;. 



20 (*). — Des bissectrices limitées SG^, SG', QG^ QG' et des 
droites qui joignent les milieux des côtés opposés, 

SG. — 8 — S — 2^^/(a — c) )/{p --à)(p — d) 
oui — o p— (a^ - c^) {d^ — b') ' 



SG' — 8 -^ S — 2c^^^(a -- c) V(p -^b){p — d) 
ou — -t- p — (a^ — &') (d-' — ô^) ' 

QE'=Y_a = 



(a^ — c') (d-' — ô^) 

_ 2chl(d — b) ^{p ^a){p — c) 
— (a'^ — c*) {d' — 62) 

2aA/(</ — b) \/{p — a){p — c) 

(«2 _ c^) (^:» _ 62) 

Droite joignant les milieux de AB et CD 



coefQcient angulaire cotff - , 

" m -\- n ° 2 



(•; Le point L, dont il a été question dans les paragraphes précédents, et 
dont l'importance est manifeste, occupe comme on l'a vu, sur HK, une 
position déterminée par le rapport des diagonales ; il se trouve encore situé 
sur quatre droites définies passant par les sommets du quadrilatère. £n 
effet, des formules antérieurement établies (§ 16), on tire : 



a8 S 






Par conséquent : 

Si Von prolonge les deux côtés d'un angle du quadrilatère , A par 
exempUy d*une longueur égale au côté opposé^ la diagonale, issue de A, 
du parallélogramme construit sur les lignes a + c e^ d + b, ainsi for- 
mées, passe par le point L ; Vaire du quadritatère ABGD est double de 
celle des triangles ayant ces lignes pour bases, et le point L pour som- 
met opposé. 



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112 



JOURNAL DB MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

direction symétrique de QI, ou £^, 
longueur - sjm^ H- n^ — imn cos J. 



Droite joignant les milieux de AD et BC 

coefGcient angulaire colg - , 



direction symétrique de ST, ou -j» 

longueur - ^m^ 4- w* 4- imn ces I . 
2 

11 serait facile de vérifier avec les coordonnées des milieux des 
quatre cotés que les deux droites précédentes passent par le 
milieu de HK, et que SH, SK et QH, QK sont symétriques par 
rapport à SL et QL, ce qui est du à Tantiparallélisme des côtés 
opposés du quadrilatère. 

On trouvera aussi la relation : 



MH 
MK 



m" 



n' 



a • 



21. — Éléments du triangle SOQ. 

Le point I est le point de rencontre des hauteurs, de sorte que les 
angles SIQ et sont supplémentaires. 
Soit II le pied de la hauteur QIIj, 
Ij le pied de la hauteur SlI^, 
Coefficients angulaires des droites 



QO 
so 

SI 

QI 



a — c) 



jd — h) / {p — a){p — c) _ 0^ 
{d-hb)\ (p—b)(p — d)~ 8y' 

: -4- c) (rf + &) / (p — a) (p -^) _. «T 
— c){d — b)\ {p — b) (p — d)~p' 



a + c) (rf + b) /(p —b)(p — d) 
a — c) {d— b) V (?> — a)lp — c) 






a — c) 



c) 



{d-b) / (p-b){p-d) _ _ p' 
(d + b)\ {p — a)(p~c)- ^' 



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JOURNAL DK MATHiUATIQUES ÉLÉMINTAUIBS 113 

distances OQ, OS, IQ, IS 



""""45^* a — c V (p — a) (p — c) ~ Sy — a»p» ' 

„<,_A£ a-¥c j S'y' + P* _ y(8^ + ««) /S'y» -^ p* 
"°~48Y'd — 6V(p — 6)(p -d)~ 6«Y« — a'p» ' 

,rt ._ ac(rf + 6)/(p— a)(p— c) ., v/8»y'+ P* _ 8(y'— a')v^S»Y'-<-P* 
^" — A;(a — c) ^ ?ï^ — S'y» — a»p» ' 

,Q 6d(a+c)/(p— &)(p -rf) ,, t/8V+a* _ Y(8'-p')V^8V-ha* 
'* — U(d — h) ^ 8y ~ S'y" — a*p» ' 

hauteurs QI| et SI, 

"*' - S(a» _ c') (d» - 6») (a + c) ^ ^ ay + P* ' 

«51 - ft'P(a — c) t/(p — a) (P — cj ^ Sy 
• "" S(a» — c») (S — 6») (d H- V) ^ v^8V-t-a*' 

lignes trigonométriques de l'angle SÔiJ = 0, 

. ^ 82^2 __ «202 

sîn = ^ ^ 



22. — Distances au centre et longueurs de Ci e/ Gj cordes du 
cercle interceptées sur QIi ^^ Slj. 

Remarque, — La circonférence décrite sur SQ comme diamèlre 
passe par les points S« Q, L, o), I^, I, et les pieds des hauteurs 
abaissées des sommets S et Q dans les triangles {h. S), {d^ S); (a, Q) 
et (fit û)* Le rapport des distances de chacun de ces dix points aux 

milieux H et K des diagonales et égal au rapport — . 

{A suivre). 



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H4 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES ]£LéMBNTAlRR8 



NOTICE HISTORIQUE 

SUR LA GÉOMÉTRIE DE LA MESURE 
Par M. Anbrj 

{Suite^ voir 1897, page 87) 




GEOM. INDIV. — LIE. III 

I. — Soit le segment circulaire ou elliptique DEM (fig, 27) ; 
la somme des carrés des droites CN est à celle des cai^^és des 

droites CM comme EB 4- 3.BR a 6.BR, ou bien 
OB H- ER à 6.BR. En effet, d'après la proposi- 
tion précédemment démontrée 

EB BR 
Z(CN') _ S(RC,CE) _ 6 "^ 2 
^^-S(RBBE)- BR • 

Corollaire I. — Il suit de là que le segment 
sphérique (ou elliptique) est au cylindre de môme base et de même 
hauteur dans le rapport qui vient d'être indiqué. Par exemple, si 

le plan sécant passe par le centre 0, ce rapport devient g-^y^ = ^ : 

la demi sphère (ou le demi sphéroïde) est donc égale aux deux tiers 
du cylindre circonscrit. 

Ce théorème n'est pas applicable à la sphère entière : le suivant 
n'a pas la même limitation. 

Corollaire II. — On remarquera que, en menant les cordes 
DE, EP, on a 

i:(CM^)""3' 

ainsi, la demi sphère (ou le demi sphéroïde) est moyenne arithmé- 
tique entre le cône inscrit et le cylindre circon- 
scrit, 

II. — Au segment de cercle ou d'ellipse BM 
{fig, 28), circonscrivons un rectangle DN, on a 

i:(Ïl') _ 3.BA.A0 
^(3f^)~BM(M0 + 0A)- 

Démonstration analogue à la précédente. 




Fig. a8 



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JOURNAL DB MATHiMÀTIQUES BL^MBlfTAlIlBS 



i15 



De là un nouveau moyen de comparer la sphère (ou le sphé- 
roïde) au cylindre circonscrit. 

V. — Soit DBF un demi cercle {ou une demi ellipse) (fig. ag). 
Circonscrivons-lui le rectangle AF et ti- 
rons les droites AE, CE : pour toute trans* 
versale XG, on a 



xg' = zl« 



yr\ 



Y\r 


r/£\ 


r 


' \ 






D E 


F 



Fig. 29 



La démonstration est facile. 

Cœ^ollaire. — Il 8*ensuit que la tranche 
de sphère (ou de sphéroïde) égale la difiérence des tranches cor- 
respondantes du cylindre et du cône. De là une nouvelle cubature 
partielle ou totale extrêmement simple de ces deux corps (*). 

^ ^ XIIÎ. — Circonscrivons un rectangle OV {fig. 3o) 
au quadrant de cercle [ou d^ ellipse) OGD, il s'agit de 
déterminer le rapport de ^(IF^) à ^(EF^). On a 

IP' = EF'-hEI' — 2.EF.IF, 
Fig. 3o donc 



S 



il 



2.EI 

Ê7EF 






s(Tf') _ ^ ^ 2(11) 

2(EF') S(EF') 

Corollaire, — Le rapport qu'on vient 
de trouver est celui des solides produits 
par la révolution du quadrant et du 
rectangle autour de DV. Le premier de 
ces solides s'appelle apeoc, 

XIV, XVI, XVII. — Considérons la d 
figure formée d'un cercle {ou d'une 



2 surf. ODIC 

ô — a 



rect. OV 



.^ 


^^ 




/^ 


r. X. 


Y 


V 


V 


G 



Fig. 3i 



C) Oa tire de là le théorème général suivant : 

(1) Si trois solides de même hauteur sont tels que les sections du pre- 
mier et du second soient ensemble égales à celle du troisième, le volume 
de ce dernier est égal à la somme des deux autres. Ce théorème, consé- 
quence du théorème d'Ârchimède, s'applique à un nombre quelconque de 
solides On Tétend immédiatement aux surfaces. 

La méthode de cubature résultant de cette remarque a été retrouvée 
récemment (voir 1© Traité de Géom, de F. I. C), ainsi que plusieurs de 
exiles qu'il nous reste à exposer. 



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116 JOURNAL DE MATHéâlATlQUES ELEMENT AIRES 

ellipse) ME {fig. 3i) el du rectangle circonscrit HF prolongé en 
NO. // faut trouver les rappoi^ts 

sÇTx') z(SX*) S(SX' — TX') 
2(YXV 2(YXV 2:(ST') 

Comme TX» = XY» -h YT^ — a.XY.YT, le premier rapport 
est égal à 

ÂG' 1(W) S.YT _ a /AGy surf. MGE 

^ "^ XD' S(YV^) "" ^ ^^YX — ^ "^ 3 \ÂP/ "^ rect. MO ' 

On a ainsi la mesure du tgmpanum, produit par la révolution 
de la figure CMGEO autour de CO. 

Le second cas se traite de même et donne la mesure de la basis 
colvmnaris, produite par la révolution de la figure CMBEO au- 
tour de CO. 

Le troisième rapport peut s'écrire 

AP 2:.ST _ AP 2.ST Z(RV') 
i(if)"'BïÎ2:HV2(ST") 

AP cercle ou ell. 3 ^ AP cercle ou ell. 

~" ^ BG rect. HF ï ""^ BG rect. HF ' 

Ce rapport est aussi celui du volume de Yannulus produit par 
la' rotation du cercle (ou ellipse) ME autour de CO à la sphère (ou 
sphéroïde), produite par le même cercle (ou ellipse), tournant 
autour de ME. 

Quand celte dernière figure, au lieu de tourner autour de CO, 
tourne autour de NF, on a Yannulus strictics. 

Cavalieri donne ensuite, par les mêmes moyens, la mesure du 
solide produit par un segment circulaire (ou elliptique), d'abord 
autour de sa corde : i^ dans le cas où le segment est plus grand 
qu'un demi-cercle (ou ellipse), solide appelé malum roseum (ou 
cotoneum) ; 2® dans le cas où il est plus petit, ce qui donne un 
solide appelé malum citrium (ou bZim) ; ensuite, autour d'une 
parallèle à sa corde ; puis, par une ellipse tournant autour d'une 
parallèle quelconque, ou d'une parallèle à cette tangente. Il ter- 
mine en indiquant plusieurs autres sujets de recherches : solides 
produits par une ellipse tournant autour d'un diamètre (pzVww), ou 
autour d'une parallèle à ce diamètre (malum paradisum ou 
ficus, suivant les cas). 



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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 



117 



GEOM. INDIV. — LIB. IV, V ET VI 

Nous citerons du quatrième livre : 

I. — Le segment de parabole est égal aicx deux tiers du pa- 
rallélogramme circonscrit. En effet, on 
a {fig. 32) 

NM _ QB' _ NP' 



donc 



XXI. 



S.NM 

SJ?ÏÏ 



2(NF ) 
S(ËH') 



1 
3* 




Le conoïde parabolique est égal à la tnoitié du 
cylindre circonscrit. En effet 

;3 



donc 



II" 



XY 
EH' 



IX 



2(1M ) _ S.TX 

2(ïl") ~ 2im 



Nous avons présenté les deux démonstrations avec la simplicité 
qu'elles comportent : elles sont obtenues chez lui par des détours 

pénibles et embarrassés. Le reste 
du livre IV concerne les solides 
produits par la révolution d'un 
segment parabolique autour d'un 
diamètre, comme ST {fig, 33), 
c'est-à-dire la recherche des va- 



K..-^N 


'^^^^Q 


/ 


\ 



Fig. 33 



leurs des rapports suivants, ST étant en dehors du segment, ou 
en dedans, ou le coupant en U : 

2(MS') i:(Ôs') S(ÂÎS' — Mô') 
2(PsV 2(NSV 2(NS') 

Ces solides sont Vapex parabolicus, Vacerwcs^ le semiannu- 
lus^ etc. 

Dans le cinquième livre, il donne d'abord des théorèmes ana- 
logues k ceux du précédent, mais concernant l'hyperbole, et dont 
on restituera sans peine les énoncés et les démonstrations. Nous 
ne retiendrons que le suivant, à cause de sa simplicité. 



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118 



JOURNAL DB MATHÉMATIQUES BLÉMKNTAIRBS 



XXV. — Mesure du tympanum hyperbolicum produit par un 
segment d'hyperbole MAN, toui*nant 
autour de taxe non transverse. On 
a {fig. 34) 




Le volume est donc égal à la somme 
d'un cylindre et d'un cône aisément 
déterminables (*), 
Dans le sixième livre, Cavalieri ramène ainsi la quadrature de 
la spirale d'Archimède à celle de la parabole. 

Soit la parabole OMA {fig. 36), telle que la 
tangente OB soit égale au rayon, et l'ordonnée AB 
à la circonférence génératrice de la spirale. A 
l'ordonnée MP, correspond un secteur élémentaire 
de la spirale, qui aura un rayon égal à OP. On a 
donc 




Fig. 36 



surf, spirale __ Sfsect. OP) _ 2:(0P') 
surf, parab. ~ i:(ord. MP) "" 2.MP ' 



(•) 11 est surprenant que cette extension du théorème V du livre III 
n'ait pas été suivie de celle relative au conoïde hjrperbolique d'Archi* 
mède (à deux nappes). On a en effet 

HP* = PT* + ÛP*' 

ce qui montre que ce conolde est de même égal à un cône et un cjrlindre. 
Cavalieri trouve péniblement les sommes des carrés 
des ordonnées de l'hyperbole par sa méthode habi- 
tuelle. 

En général, soient deux droites OA, OB {fig. 35) 
coupées en K et L par une perpendiculaire à AB. Si 
on prend 

P B Pm' =.- PK^ + PL* et ¥m = FE* — PK*. 

Fig. 35 

les lieux de M et de m sont deux coniques telles que, 
tournant autour de AB, les cercles décrits par PM et Pm seront respec- 
tivement la somme et la différence de ceux décrits par PL et PK. Le 
volume est donc la somme ou la différence de deux cônes. 

Dans le cas où les deux droites OA, OB sont également inclinées 
fur AB, le lieu de m est un conoïde parabolique. De là un nouveau 
moyen de le meiurer. 




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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 1 1 9 

puisque MP = CFP . La surface retranchée dans le cercle est donc 
égale au segment parabolique OAB (*). 

(A suivre), 

BACCALAURÉAT CLASSIQUE ET MODERx\E 

[LETTRES-MATHÉMATIQUES; 3 Avril 1897). 

Académie de Paris 

i« Problème obligatoire : On considère la somme Si des n premiers 
nombres entiers, et la somme S2 de leurs carrés. On demande comment 
varie le rapport de S2 au carré de Si, quand n croit, par valeurs entières, à 
partir de Tunité. 

2» Questions à choisir : (a) Connaissant sin a calculer sin ^^ et cos -. 

(b) Résoudre un triangle connaissant ses trois côtés. 

(c) Résolution trigonométrique de Téquation du second degré. 



ENSEIGNEMENT MODERNE 

(LETTRES-SCIENCES) 



Problème : Une droite FF de longueur 2c étant donnée, on décrit une 
circonférence sur cette droite comme diamètre et on considère les deux 
points F et F comme les foyers d'une ellipse qui coupe la circonférence 
précédente On propose : 

lo D'établir Téquation qui permet de calculer ou de construire le demi- 
grand axe a de cette ellipse, en supposant que le rectangle ABCD, inscrit à 
la fois dans le cercle et dans Tellipse, ait une surface donnée K^. 



(*) G. de Saint-Vincent et Gavalieri ont étudié les nombreuses analogies 
de la spirale d'Archimède et de la parabole, en représentant la première 
comme une parabole enroulée autour de son sommet G suivant cette loi : 
si M est un point quelconque de la spirale, on décrira du centre Tare 
circulaire MP coupant Taxe polaire en P, et on prendra perpendiculaire- 
ment à ce même axe la longueur P(i= arc MP : le lieu de \l est une para- 
bole. 

Il était aisé de tirer de là la correspondance des constructions de la 
tangente aux deux courbes, Tëgalité du secteur compris entre les rayons 
vecteurs de deux points de la spirale, et de la surface comprise entre les 
ordonnées des points correspondants dans la parabole. 

Il y avait même lieu de croire que les arcs correspondants sont de 
même égaux. Cette propriët(^, énonc<^e d'abord par Roberval, vers i644> & 
été démontrée par Pascal en i658 par la méthode des Anciens. Wallis en 
a donné une démonstration plus simple, qui revient à celle que nous 
avons fait connaître, J. S. 1893, p. x45. 



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120 JOURNAL DB IfATHéMATIQtîBS ÉLÉMENTAIRES 

a<» De faire connaître les conditions de possibilité du problème et, pour la 
limite supérieure de K^ ainsi trouvée, d'exprimer la valeur de a. 

30 De calculer le rapport de la valeur limite E^, à Taire de Tellipse cor- 
respondante. 

Questions à choisir : (a) Définition complète des six lignes trigonomé- 
triques; former le tableau de leurs variations quand Tare croit de o à an. 
Courbes représentatives. 

(h) Énoncer et démontrer le théorème des projections. 

(c) Établir les formules des lignes trigonométriques relatives à TaddlUon 
des arcB. 

EX ERCICE S 

22. — Trois cercles égaux passent par un point 0, Détnontrer 
que le segment de droite qui réunit les points d^ intersection de 
deux de ces cercles, supposés fixes, avec le troisième, est de gran- 
deur constante et a toujours la même direction, quelle que soit 
la position de ce detmier cercle autour de 0. (M), 

23. — On donne un cercle et detix cordes quelconques. 

Par les extrémités de chacune d'elles, on leur élève respecti- 
vement des perpendiculaires : démontrer que le point de ren- 
contre des diagonales du parallélogramme, ainsi obtenu, est au 
centre du cercle donné, (M). 

24. — On donne un triangle abc et la parallèle menée de h à 
ac. Du milieu m de ac, on mène une droite arbitraire qui coupe 
cette droite en l et bc au point p. Démontrer que la droite, qui 
Joint le point 1 au milieu de ab, partage en deux parties égales 
le segment hp? (M). 

25. — Par le point c, commun à deux cercles de centres o el 
o', on fait passer une droite, qui coupe en a le cercle de centre 
o et en V Vautre cercle. On prend le point m où se coupent les 
droites ao, bo' : on demande le lieu de ce points lorsque ab tourne 
autour de c. (M). 

26. — Dans une circonféi^ence de cercle, on mène les cordes 
ab, bc, cd, puis de parallèle à ab et eî parallèle à bc. Démontrer 
que fa est parallèle à cd. (M). 

Le Directeur-gérant, 
G. PB LONGCHAMPS. 

SAIirr-AMAND (CBUl). — IMPmHKfiU SCIEXTIFIQVX ET LITTÉRAIBE, BUSSlâllB-F]iBBSS. 

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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ^Ll^MENT AIRES i2i 



SUR 

LES CERCLES BITANGENTS AUX CONIQUES 

Par M. A.TlMot 

(Suit*, 1897, page 97) 



CERCLES BITANGENTS A CONTACTS IMAGINAIRES 

55. — Tout point du second axe de Thyperbole est le centre 
d'un cercle bitangent. Il n'en est pas de même dans Tellipse; 
les valeurs 

h' = 1', K' = «' = 6, S' = r' == Ç 

correspondent au cercle osculaleur de cette courbe en l'un des 
sommeis du petit axe, mais, si, pariant d'un point plus éloigné 
du centre de la conique que le centre de ce cercle, on effectue les 
constructions résultant des §§44 et 45^ on trouvera un saillant 
qui serait intérieur à l'ellipse, et une droite des contacts qui 
lui serait extérieure. Le point considéré ne sera donc le centre 
d'aucun cercle bitangent. 

De ce point, abaissons, sur une tangente à la courbe, une per- 
pendiculaire, dont nous prendrons les intersections avec les deux 
droites lieux des nœuds, par rapport à la tangente, des cercles bi- 
tangents à contacts réels ; ensuite, du même point comme centre, 
décrivons un cercle ayant pour nœuds, par rapport à la même 
tangente, les intersections ainsi obtenues ; ce sera l'un des cercles 
qui seronts dits hitangents à contacts imaginaires. Nous appel- 
lerons droite des contacts la parallèle à Taxe focal menée par le 
point de rencontre de la perpendiculaire abaissée du centre du 
cercle sur la tangente avec la droite qui joint le point de contact 
de cette tangente au centre de l'ellipse. 

56. — En réalité, le cercle et la droite sont indépendants de la 
tangente à l'aide de laquelle ils ont été provisoirement définis. 

Démontrons d'abord que le rayon du cercle, comme celui d'un 
cercle à contacts réels, est, avec la distance de son centre au 
foyer, dans le rapport de a à c. 

Soient {fig, Sa) le centre de l'ellipse, F l'un des foyers, MT la 

JOURNAL DB MATH. iLÉM. — 1897. 6 

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122 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES El^ENTAIRES 



tangente en un point quelconque M de la courbe, H le centre d'un 
cercle bitangent à contacts imaginaires, HD la perpendiculaire 

abaissée de H sur MP, 
^^^ ^^^ ti) rinlerseciion de HD 

avec l'un des lieux de 
ntBuds de MT par rapport 
aux cercles à contacts 
réels. Si, sur MT, nous 
prenons DG égal à Do>, 
C sera, d'après la déGni- 
tion, un point de la cir- 
conférence du cercle bi- 
tangent à contacts ima- 
ginaires, et ce cercle aura 
pour rayon CH. 11 faut 
prouver que le rapport de 
CH à FH est celuide akc. 




Fig. 3, 



Menons OE et FG perpendiculaires à MT ; G appartiendra à 
la circonférence du cercle principal, et si, sur OE, nous pre- 
nons EJ égal à la demi-corde KG, J sera Tun des nœuds de ce 
cercle par rapport à MT, de sorte que les trois points J, M, w se 
trouveront en ligne droite [42], Menons aussi la normale MN jus- 
qu'à sa rencontre avec Taxe HT. A cause de la similitude des 
triangles DMc», EJM, les lignes Dw, EJ sont proportionnelles aux 
lignes DM, EM ; celles-ci le sont à HN, ON, parce que DH, MN, 
OE sont parallèles ; on a donc Dw. ON == EJ. HN. 

Le quadrilatère OFGT étant inscriptible, les angles OGE, OFT 
sont égaux, et les triangles rectangles de mêmes noms don- 
nent EG. FT = OF. OG. 

Enfin, soient Y le point d'intersection de HX, perpendiculaire 
à FT, avec NY, parallèle à OF, et Z le quatrième sommet du rec- 
tangle HNYZ. Les triangles HNY, OFT étant semblables, on 
aura HN. OT = OF. NY. 

Si Ton multiplie membre à membre les trois égalités précé- 
dentes, en observant que Dw est égal à CD, EJ à EG, NY à HZ, 
et OF* à ON. OT, il viendra CD. FT = OG. HZ. 

Menons GR perpendiculaire à OF. Le quadrilatère OFGT étant 
inscriptible, ainsi qu'il a déjà été dit, TFG est égal à TOG, par 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES éL^MBMTAIRBS 



123 



conséquent à OGR, et les triangles FGT, OGR sont semblables. 
Les triangles FGR, DHT le sont aussi. De cetle remarque et de la 
relation du précédent alinéa, résulte 



CD 
HZ 



OG 
FT 



GR 
FG 



DH 
HT* 



L*égalifé du premier rapport au dernier montre que les deux 
triangles rectangles CDH, HTZ ont l'angle droit compris entre 
côtés proportionnels ; donc le rapport de leurs hypoténuses est 
égal à chacun des rapports extrêmes, et aussi au second, de sorte 
que Ton a 

CH.FT = OG.TZ. 

De ce que les lignes NF, HX sont parallèles [44], puis, de ce 
que les triangles HTX, HNY sont semblables, on conclut que les 
produits HT. FX, HX. NY ou HX. HZ sont tous deux égaux 
à HN. TX, par conséquent égaux entre eux. H en résulte que HX, 
FX sont proportionnels à HT, HZ, et que les triangles rectan- 
gles HTZ, FHX sont semblables, ce qui donne 

HX. TZ = FH. HT. 

Enfin, on a, par les triangles HTX, OFT, 
OF. HT = HX. FT. 

Pour obtenir la relation que Ton voulait démontrer, il n'y a 
plus qu'à multiplier membre à membre les trois égalités de pro- 
duit mises à la ligne dans le présent paragraphe, on y remplaçant 
OF par c, et OG par a, 

57. — Nous allons main- 
tenant faire voir que la droite 
des contacts, telle qu'elle a été 
définie au § 55, peut s'obtenir 
par les mêmes constructions 
que dans le cas des contacts 
réels. 

Soient KV {fig. 33) cette 
droite, 0, F, F' le centre et les 
foyers de Tellipse, H le centre 
du cercle, S le second point d'intersection de l'axe OH avec la 




Fig. 33 



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124 JOURNAL DE MATHEMATIQUES J^LEMENTAlRES 

circonférence FHF'. On aura OH. OS = c^ D'ailleurs, par un rai- 
sonnement analogue à celui qui a été fait sur les cercles bilan- 
gents de première espèce à contacts imaginaires [33], on peut 
démontrer que OH, OK, HK sont proportionnels à c^, 6^, a* ; il 
vient donc 

DH ~" OK — HK ~ "^• 

De là il suit que la droite KV est la polaire de S dans le cercle 
décrit sur le petit axe comme diamètre et dans l'ellipse. Elle l'est 
aussi dans le cercle bitangent, car de : 



HS=Qjj^, HK = ^OH, 



on conclut 



HS. HK = ^, HF' = r' 



r désignant le rayon du cercle. 

Il reste a démontrer que tout point de KV à la même polaire 
dans ce cercle et dans l'ellipse. Le raisonnement serait le même 
que celui qui a été employé lorsqu'il s'agissait des cercles de pre- 
mière espèce [35 1. 

Nous renverrons au § 36 par une propriété analogue à celle 
qui y a été établie, et au § 38 pour les énoncés de problèmes. 

{A suivre), 

NOUVELLES DÉMONSTRATIONS 
d'un théorème de m. mannheim 



Le cercle inscrit dans Vangle abc, et qui est tangent intérieur 
rement en s au cercle circonscrit au triangle abc, touche les 
côtés cb, ba aux points a, ^ : le milieu i du segment ay est le 
centre du cercle inscrit au triangle abc. Le point s est un centre 
de similitude des deux cercles qui se touchent en ce point. La 
droite sol rencontre le cercle abc au point a' homologue de a. La 
tangente en a' au cercle abc est alors parallèle à ab, par suite le 

{*) Communiquées par M. Mannheim. 

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JOURNAL DE MÀTHéAlATlQUES BLiMENTAIRBS 



125 



point a' est le milieu de Tare bctlc; de même y' est le milieu de Tare 
a^à. Les droites aa', c^' se coupent alors au point i centre du cercle 
inscrit au triangle abc, La figure ahc-^'s^'a étant un hexagone in- 
scrit dans le cercle ahcj les points de rencontre a, i, y des côtés de 
cet hexagone sont en ligne droite. Ainsi i est sur ay, et comme ce 
centre i est aussi sur la bissectrice de l'angle au sommet du 
triangle isoscèle aôy, ce point est le milieu de la hase ay de ce 
triangle. 

Autrement, — Supposons démontré, comme précédemment, que 
9! et y' sont les milieux des arcs sous- tendus par hc, ha. Le point 
de rencontre t des tangentes a'/, 
^t étant l'homologue de &, il est 
situé sur la droite sb. Les droites 
a7, a'6, aY, a'j forment un fai- 
sceau harmonique, par suite a6, 
parallèle à d't, est partagée en 
deux parties égales par aY (*)• La 
droite ay, parallèle à aY, puisque 
c'est son homologue contient alors 
le symétrique i de b par rapport 
à aY. Ce point symétrique est à 
la rencontre de la circonférence 
décrite de a' comme centre avec 
a'6 pour rayon et de la circonfé- 
rence dé crite de y' comme centre 
avec ih pour rayon, c'est donc le 
centre du cercle inscrit au 

triangle abc. On voit ainsi que ce centre i est sur aY le pied de la 
perpendiculaire abaissée de h sur cette droite : c^est donc le milieu 
de aY. 

Autrement. — Appelons circonférence C une circonférence de 
cercle qui passe par les extrémités des côtés d'un triangle et qui 
rencontre à angles droits la bissectrice intérieure issue du sommet 
opposé à ce côté. On sait quune circonférence C contient les 
centres du cercle inscrit et du cercle ex^inscrit situés sur cette 
bissectrice. 




(•) Cette droite n'est pas tracée sur la figure, ni la droite sht. 



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126 JOURNAL DE UATHÉMATIQUES ÉLBUBNTAIRBS 

Transformons par inversion cette propriété. Prenons pour pôle 
d'inversion le sommet b du triangle considéré. Soient a, c les in- 
verses des autres sommets de ce triangle. Le cercle ex-inscrit dont 
]e centre est sur la bissectrice intérieure issue de 6, a pour inverse 
le cercle asy. Comme l'inverse du centre de ce cercle ex-inscrit 
est sur ay et sur la bissectrice de l'angle a&Yt il est alors le milieu 
i de ay. Mais la transformée de la circonférence C qui contient le 
centre du cercle ex-inscrit, est une circonférence C qui passe par 
a, c et i, comme cette courbe doit couper la bissectrice bi au centre 
du cerle inscrit, on voit que ce centre est le milieu î de «y. 

NOTE SUR L'ARITHMÉTIQUE BINAIRE 

Par M. Ed. Colllgnon, Inspecteur général des Pont8-et-Ghaassées,en retraite. 
{SuitCf V. 1897 ; p. 101). 



Passons à la représentation des fractions. 

Les nombres binaires 0,1, 0,01, 0,001, 

représentent les fractions -, -=, «, ; 

généralement, l'unité à la suite de n — 1 zéros placés après la 
virgule, représente, dans le système binaire, la fraction -^. 

Pour exprimer dans le même système une fraction quelconque^ 
- par exemple, on procédera comme pour la conversion en frac- 
tion décimale, sauf qu'au lieu de multiplier par 10 les restes 
successifs pour les diviser ensuite par 7, on devra les multiplier 
par 2. L'opération s'effectue comme il suit : 



1 



-Z_ 



X 2 0,001001001... 

2 

X 2 

4 

X_2 

8 



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JOURNAL DB MATHéuATIQUBS lÊLtfMISNTAIIIKS 127 

La période du quotient se dessine au troisième chiffre après la 
virgule, puisque ]*opération ramène le reste i, égal au numérateur 
de la fraction donnée. Le quotient est la traduction dans le 
système binaire de la progression géométrique 

8"*" 8^ "^8»"*" 



dont la somme est en effet égale & ~ . 

Si Ton suit la même marche pour la fraction — , on trouve le 
développement 
1 

— = 0,000011110000111100001111.... 

ce que l'on peut écrire aussi, en admettant les chiffres négatifs, 



1 ^ ^ _ 

— = 0,000100010001000100010001. 
17 



Le premier développement correspond à la progression géomé- 
trique 

i- = i5x(j, + 5k + ;^ + -..); 

le second à la progression 

17 "^2* 2«"*"2»^ 2i6-^— •» 

et la division y aurait directement conduit si l'on avait pris par 
excès le quotient lorsque le dividende partiel est égal à 16; on 
obtient alors un reste négatif égal à — 1. 

On opérerait de même sur une fraction dont le numérateur 
serait différent de l'unité. On trouve par exemple 

4 

- = 0,0111000111000 

9 



= 0,1001001001. 



1111 



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A 



128 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



OPERATIONS SUR LES NOMBRES ENTIERS 

De toutes les opérations de rarithmétique, la plus difficile et la 
plus sujette & erreur est Tadditlon, lorsqu'il s'agît d'ajouter un 
grand nombre d'entiers. Si ces nombres sont écrits dans le système 
binaire, il n*y a aucune difficulté pour trouver le total des unités 
contenues dans une même colonne verticale, car cette opération, 
qui constitue l'addition à proprement parler, revient ici à compter 
le nombre des chiffres i qui figurent dans chaque colonne. La 
difficulté commence lorsqu'on doit écrire le total obtenu, et re- 
porter aux colonnes suivantes les unités d'ordre supérieur qu'il 
renferme. Car le report suppose le total traduit dans le système 
binaire, ce qui ne peut se faire instantanément, sauf pour des 
nombres très petits. Aussi l'addition binaire, tout en étant une 
opération des plus simples, en théorie, entraine-t-elle fréquemment 
des hésitations et des erreurs dans la pratique. L'emploi des 
chiffres négatifs tend à la faciliter, en réduisant les totaux partiels, 
et en clalrsemant les chiffres significatifs des nombres sur lesquels 
on doit opérer. 

La soustraction se ramène à l'addition , lorsqu'on admet les 
chiffres négatifs, en changeant le signe de tous les chiffres com- 
posant le nombre à soustraire. 



EXEMPLE D ADDITION : 

10 10100 101 

10010101010 

101010010010 

somma l 1001001 1101 

ou bien 1010010100101 



EXEMPLE DE SOUSTRACTION : 

100101010101 

ToiOOlOlOlO [ nombre changé d. 
iT 1 Oolll l_ri r I "S°« 5 * •J«"'«'- 
oa bien 1 100 1001 01 1 
ou encore 10 100 100 1001 



La multiplication binaire n'est qu'une addition, puisque chaque 
produit partiel, formé en multipliant par le chiffre i, est la 
reproduction pure et simple du multiplicande lui-même, qu'il 
suffit d'écrire à la place convenable. Bien entendu, il faut tenir 
compte des signes si l'on a admis des chiffres négatifs. On voit que 
l'arithmétique binaire résout le problème que s'est propose l'in- 
venteur des logarithmes : elle ramène la multiplication à l'adcH- 



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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 129 

tlon, mais c'est au prix d'un développement un peu long des 
nombres à multiplier et du produit auquel on parvient. 

L'opération la plus simple est la division. Elle se fait dans le 
système binaire sans aucun tâtonnement, puisque l'on connaît 
d'avance le seul muUipIe du diviseur dont on puisse faire usage» 
à savoir le diviseur lui-même. Il convient, pour éviter toute diffi- 
culté, de ne pas admettre au dividende et au diviseur les chiffres 
négatifs. 

EXEMPLE DE DIVISION I 
lOllOlIl I 1101 



"noTj î I 1110 

10011 I 

ilol ! 



1 1 1 I 
oa biea 1 1 o 1 



101 



Le quotient est 1110 = tooio, et le reste est l'unité. Pour don- 
ner un exemple de multiplication binaire, nous nous arrêterons 
un moment sur Télévalion d'un nombre au carré. Au lieu d'écrire 
le nombre avec les chiffres binaires, mettons en évidence les 
puissances de 2 dont le nombre N se compose, et supposons qu'on 
ait 

N = 2* -h 2? + 2^ 4- 4- 2^ 

Le carré de N sera égal à l'expression 

N« = 2^* 4- 2 X 2*+ P -t- 2^P 4- 2 X 2« + ^ 

4-2X2^+^4-2^^^ 

= 22--4-22«+P+'; 

la première somme comprend autant de termes que l'expression 
de N^ mais avec des exposants doublés ; la seconde, une série de 
puissances de 2, dont les exposants sont les sommes des exposants 
donnés pris deux à deux, avec addition d'une unité. Si n est le 
nombre des puissances de 2 dont la somme forme le nombre N, 
l'expression de N^ contiendra avant toute réduction n termes de 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉM. — i897. 6. 

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130 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

la Torme 2^*, et -^—"^-^ fermes de la forme 2*+ ^+ '. L'en- 
2 

semble se prête en général à des réductions importantes, lorsqu'il 

renferme plusieurs puissances de 2 égales, et plusieurs puissances 

conséculives. Si Ton a par exemple trois termes 

2I* _|- 2'^ -\- 2^2 X 2, 

on observera que 

2^2 X 2 = 2»^ 2*» X 2 = 2*S 2»* X 2 = 2*8 

et ces trois termes se fusionnent en un terme unique, 2^-\ 
Soit à élever au carré le nombre 

N = 2"^ -h 2^ H- 2* -I- 2^ H- 2 4- 1, 

traduction du nombre binaire loiioiii =: loiooiooi. Le carré 
de ce nombre correspondra les termes suivants : 



«13 



N' = 



2" 

2^ -H 2' -f- 2'* 

-h 2' H- 2" -h 2-* 



= 2** H- 2*^ -i- 2^2 _^ 2^« X 2 -f- '2*^ + 2^ -+- 2^ X '->^ 

^2^4- 2*^ X 2 + 2^ X2 

^2^H-2*X2 
! 



+ 2' 



2*'^ -f- 2-' H- 2' H- 2« -h 

c*est-à-(lire le nombre 1000001011010001 
== 1000010101010001. 

Dans cet exemple, pris au hasard, le nombre N et son carré N- 
ont le même nombre de chiffres significatifs, quand on se borne 
aux chiffres positifs. 

Caractères de divisibilité d'un 7i07nbre hi7iaire par un nombre 

2}remier p > 2. 

Le nombre N est exprimable par une somme de puissances de 2. 



2* 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 131 

Supposons que les termes de la somme soient tous positifs, de 
sorte qu'on ait l'égalité 

N = 2« -h 2? -h 2r H- ... -h 25. 

le reste de la division de N par p sera congru (mod. p) à la 
somme des resles fournis par les divers termes 2», 2p, ... 28; Si 
Ton considère la suite des puissances de 2, on observe que les 
resles de la division par p de ces puissances successives sont assu- 
jettis à une loi de périodicité. Le théorème de Fermai montre en 
effet que Ton retrouve le reste 1 quand on divise parp la puis- 
sance de 2 dont le degré est ^ — i, comme quand on opère sur 
2^ = 1 ; dans cerlains cas, on retrouve le reste 1 pour un expo- 
sant moindre, diviseur de p — 1. Au-delà, les restes se repro- 
duisent périodiquement. 

Prenons pour exemple le nombre ^ = 7. On aura pour les 
puissances 2°, 2*, 2^ les resles 1, 2 et 4; et ces restes se repro- 
duiront au-delà dans le même ordre, de sorte qu'on pourra poser 
d'une manière générale 

23k-}-i ^ 2 > (module 7). 

Que Ton donne donc un nombre écrit dans le système bi- 
naire, 100111010011, ce nombre est égal à la somme 

ail _j_ 2» -H 2" -h 2^ -h 2* -h 2^ -h 2^ ; 

et en se reportant au lableau des restes, on voit qu'elle est congrue 
à la somme 

4-+-4 + 24-1 -h24-2-i-i^2 (module 7). 

On aurait pu opérer sur le nombre écrit plus simplement avec 
des chiffres négatifs. On aurait trouvé 

loiooloioioi = 2^^ -f- 2^ — '1^ -i- 2* -h 2- — 2^ 
^4 -i-i— iH-2-h4— 1 
^9 ^2 (module 7). 

{À suivre). 



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132 



JOURNAL DE MATHBMATIQDE8 ÉLÉUBNTAIRRS 



SUR LA 

CONSTRUCTION DES RACINES DE L'ÉQUATION 

a \g X -^- b colg œ=c. 



Dans l'ouvrage de M. Vaes (Ooniometrischê Sttidie ; n® 1 1 , 
p. 17), ouvrage que nous avons signalé précédemment, (p. 109) 
on trouve une construction des racines de Téqualion 

(1) a tg a? -4- 6 cotg x = c. 

J'indiquerai d'abord cette construction. 

Soient A, A' deux diamètres rectangulaires dans un cercle r de 

rayon 6. 

Prenons CG=«, 
OF = Gel,surFG 
comme diamètre 
décrivons un demi- 
cercle qui coape la 
tangente, en C, à 
r aux points 
E, E'. Les angles 
EGC=.V,E'G(Î=^^ 
sont les racines de (1). 

On a, en elîet, 

GE.CE'=CO.CG, ou 
et, par conséquent, 

(2) igx'. tg.7/: 

On a, aussi, 

(3) CE 4- CE' = OF, ou flr(tg a;' -+- Ig ^ = c. 

Les relations (2), (3) prouvent que tg a?', Ig x" sont les racines 
de (1). 

En posant tg j; = ^, Téquation (1) prend la forme 

az^ — cz -^h = Oy 

et leproblème qui nousoccupe est identique au problème classique, 
problème dans lequel on propose de construire les racines d'une 
équation du second degré. On sait comment on réalise cette con- 




a igœ'.a Ig x" = a.h\ 



b 
a' 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 133 

struction et comment on ia ramène à un problème de géométrie 
élémentaire : trouver deiix lignes y connaissant leur somme et 
l'aire du rectangle construit avec ces deux lignes. 

Les équations (a), (3) montrent comment M. Vaes, dans le tracé 
que nous venons de résumer, a réalisé la construction élémentaire 
que nous venons de rappeler. 

On peut, d'ailleurs, de ce tracé, comme Ta montré M. Vaes(/oc. 
cit.), déduire la condition de réalité des racines de l'équation (i). 

En faisant connaître cette solution, j'ajouterai quelques réflexions 
portant sur les équations trigonométriques, envisagées à un point 
de vue général. 

A chaque équation Irigonométrique, ou algébrique, correspon- 
dent, pour trouver les valeurs de l'inconnue, des tracés en nombre 
infini ; il y a lieu de rechercher les plus simples d'entre eux ; qu'on 
se place au point de vue géométrographique, ou à un autre; au 
point de vue pédagogique notamment, dont la simplicité peut être, 
je crois, ainsi définie : le tracé le plus simple est celui que les 
élèves compi^ennent avec ^effort d'attention le plus faible el 
qu'ils retiennent le plus facilement. 

Pour se rapprocher de cet idéal, il faut chercher des tracés 
méthodiques, découlant d'une idée applicable à un groupe déter- 
miné de problèmes. Ces tracés varient sans doute avec les divers 
exemples proposés ; mais ils se rattachent à un point central d'où 
découlent, avec la variété inévitable, inhérente à chacun d'eux, 
les solutions particulières qu'ils comportent. 

Prenons le problème du tracé graphique des racines d'une é.iua- 
tion trigonométrique ; quelle est l'idée générale qui domine sa so- 
lution? En désignant par i^, V les deux lignes trigonométriques 
qui entrent dans l'équation considérée (il n'y en a jamais plus de 
deux, si l'on utilise les formules fondamentales de ]a trigonomé- 
trie), on aura donc une relation f(u, v) = o. Mais, entre u, r, 
existe une certaine égalité ©(w, v) = o. 

Alors, en prenant deux axes Ot/, Ot;, on obtiendra le tracé 
cherché en construisant, dans ce système, les deux courbes qui 
correspondent aux équations /*= o, <p = o. 
Ainsi pour l'équation 

(i/) a sin X -^ b cos x = c, 

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I3i JOURNAL DIS MATHÉMATIQUES ELP.MKNTAIRBS 

la méthode conduit, systématiquemenJ, à construire une droite A, 

(\) ^ au -{- bv — c = o, 
el un cercle F, 

(F) ^ u^ -h v^- — i = o. 

C'est ainsi que nous avons élé conduit à la solution que rappe- 
lait M. Vaes {Journal^ p. uo) 

Si nous prenons maintenant l équation (i), la méthode que nous 
indiquons ici nous conduit à poser (*) 

a Ig A- = Uy b \gy =rz V, 

et à considérer les deux équations 

u — V =z c, uv = ab. 

Dans ces formules a, b^ o, sont des lignes données; on est ainsi 
ramené, par une voie naturelle, au problème classique rappelé 
plus haut. 

On sait d'ailleurs que le problème qui correspond à (i) peut 
être ramené à celui qui correspond à Téquation (r') puisque 
l'équation 

ai^ X -^ b colg x= c, 
peut s'écrire 

c sin 2X -h (a — b) cos 2X = a -i- b. G. L, 

rr„T7j = ■ r, ■■,■ , , , ' ■ i- T--a ^a 

RELATIOiNS MÉTRIQUES 

ET TftIGONOMÉTRIQUKS 

ENTRE LES ELEMENTS LINEAIRES ET ANGULAIRES 

DU QUADRILATÈRE INSCRIT COMPLET 

Par M. Lccocq, ancien professeur au Lycée d'Avignon. 

(Suite^ 1897; P' *")• 



23. — Fonmiles relatives au point ^ et à son conjugué N\ 
La point N de rencontre de IP et de la circonférence est 
le centre commun des cercles inscrits dans les triangles 



(•) Cette idée et quelques-unes des applications qui s'y rattachent, notam- 
ment la résolution graphique des équations Ti), (i') ont été exposées par 
nous dans le Bulletin Scientifique ; 1889, p. 60 à 66. 



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JOURNAL DU MATHÉ&IATÎQUBS éLEMBNTAIRBS 135 

BPD et APC. La position de ce point est déicrmînée par la 
relation : 

PN ht ,, , ,v 2^/-IP 

et 

p^, 'iSabcd 



fhî(hl -+- 2k/) ' 

et celle de son conjugué N' par 

PN' ht ,, , ,v/ 2A/*1P 

_ = __, dou ^^=^-^.^ 

el 

pv, 2Sabcd 

"" pil{hl ^~ikj) ' 

On peut vérifier que : Px\. PiV = PO. PI = ¥^\ 
Les coordonnées du point N sont : 

^^ ^a^c)[k{d-^by—2p il] ^ _^ (d — b)[k{a-^cy — 2f fd] 
Sf{b-^d)\^{f^aJ^-^~cy '^~ Sf{a-^c)^/{p-b)(p-r;ry 

D'autre part : 

bPT) = 2^»^ — 2A, APÏ5 = 2^^' — 2D, 

BPl = DPl=irf'' — A = OÏÏÎ, API = CP1=: !'''• — D = OAI, 

on déduit de là les distances \„i et A„du centre aux diagonales. 

A,„ = R cos D, A„ = R cos A ; d où : 

di • -A • rinrk Kin a 2Sabcd COS A 
u cercle inscrit a BPD : NP cos A = yjrjrrj -Uf^y 

j I • «il ir»/^ XTO n 2Sa6cc?cosD 

rayon du cercle inscrit à APC : NPcosD= . . , . — -r^, 

rayon du cercle circonscrit à BPD : 



2 sin 2A* 
m 



rayon de cercle circonscrit à APC : — = — -p:. 
•^ 2 sm 2D 

24. — De quelques coefficients angulaires; iangenies irigo- 
nométviqiies des angles A, B, C, D ; tangentes des angles que les 
diagonales font avec les côtés, 

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136 JOURN4L DB MATHKMATIQUBS éLéuENTAlRES 

On a: 

SI 



SH 
SK 
QH 
QK 



0* 
^2 ' 



a{J 



so 
Ql 
QO 



OY 









IgB 



p2 



rr 



_ — (5-r + gp) 
- ar-p5 ' 



tg(^) = tg(;rc)= ^^^. «g(m.6) = fg(n,rf)= ?^^. 

tg{^)=ig(;i:6)=fcf), tg(m;c)=fg(;^)=^^. 

25. Rayons des cercles tangents à trois côtés consécutifs : 
1® intérieurs pa>P6»Pc,Prf; 2* extérieurs p'af9'b,9\y?'d (l'indice cor- 
respond au côté intermédiaire touché par le cercle). 

9a _. 9b 

a(p —- a) {d -^ h) cos^ - h{p ^ h) {a '\- c) sin* - 



?c 



9d 



c{p — c) {d -\- b) cos* - d (p — d)(a -h c) sin 



2 I 

in* — 



p. 



p» 



a(p — c) (rf + 6) cos* - b(p — d) {a -h c) sin' - 



c(p — a) (d -\- b) cos^ - d(p — b) {a -h c) sin* - 



- {a-+- c) (d -h b) sin I 



Soient : U6,U'5,U<2,U'<i les centres des cercles situés sur SL. 
Vfl,V'a,Vc,V'c les cercles des cercles situés sur QL. 



i.v« — , «' V p _ c (a H- c) (rf -t- 6)' 



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JOURNAL DE MATHéuATIQUES ÉLÉMBNTAmBS t37 



"" 2 \ P 



C £ 



p — a (a -^ c) (rf -h by 



LU5 - - ^^V^ZTJ (a -+. c) (c^ + 6)' 



""^ '^ — 2 '^^ V p — a (a -+- c) (d H- 6)' 

2 V jo — c (a -H c) (rf -H 6) 

Ces formules font connaître les éléments linéaires des quadri- 
latères inscriptibles obtenus par les rencontres des bissectrices in- 
térieures ou extérieures de ABCD ; savoir : UbU^YaVc et U'tU'dV'aV'c 
dont les éléments angulaires sont d'aillenrs connus. 

Rayons des cercles circonscrits aux triangles aQ, ^S, cQ, rfS. 



Comme épreuve des formules ci-dessus et de celles qui donnent 
les coordonnées du centre en fonction de a, p, y» ^> ^^ propose de 
vérifier l'identité suivante dans laquelle on sait que : 6^ = a^ -+- p^ 
et fi«=:p«-HT*: 

^ e'Yfji ( e»Ytx 4«Py ? 

- p(T« - a») ^ P(Y» - a») ïO^-aH^^' 

qui a été obtenue en appliquant la formule d'Euler D*=R(R — 2r) 
au triangle résultant de l'hypothèse 6 = o ou 8 = P (coïncidence 
des points B, C, S, T et P). 

En remplaçant ddnscëtlëldêntité f/ par '--* }x, on aura cerié qui 
convient au cercle ex-inscrit tangent au c6(é rf. 



/Google 



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138 JOURMAL DB MATHEMATIQUeS ÉLEMKXTAIRBS 

Quant à celle qui répond à rex-inscrit qui touche a, on trouvera : 

et si euGn, dans cette dernière, on remplace [x par — (x on aura 
celle qui convient au cercle ex-inscrit tangent au côté c. 

[A suivre). 

NOTICE HISTORIQUE 

SUR LA GÉOMÉTRIE DE LA MESURE 
Par M. Jkuhrj 

(Suite, Yoir 1897, page ii4) 



TORRIGELLI 

Presque en même temps que Cavalieri, Roberval avait imaginé 
également une méthode de mesurage identique à la sienne, et 
qu'il avait découverte par la lecture approfondie des œuvres d'Ar- 
chimède. Comme les travaux de Roberval n'ont été publiés que 
près de soixante ans après ceux de Cavalieri, ils n'ont guère con- 
tribué au progrès de la Géométrie de la mesure que par Fémula- 
tion qu'ils ont produite chez Pascal (*). Nous en dirons autant de 
certains écrits de Fermât. 

11 n'en est pas de même de l'opuscule de Torricelli : Quadratura 
parabole (Florence, i644)« où il montre une nouvelle manière 
d'employer la méthode des indivisibles. Nous allons traiter, d'après 
lui, la mesure du cercle et celle du cône, de la sphère et du solide 
produit par une hyperbole éguilatère tournant autour de son 
asymptote. 

La surface (Tun cetxle est égale à celle d'un triangle rectangle 
dont les côtés sont respectivement égaux au rayon et à la cir- 
conférence. Soient le cercle et le 
triangle reclangle OAB (fig.^y)j qui 
,^^^ sont dans ce cas. Menons dans Iq 

B A triangle, et parallèlement à AB, la 

^is* ^7 droite quelconque MP, qui est égale 

(*) Non8 en dirons un Hiot plus loin, e^ Parlant de PmcaI. 




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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES BLBMBMTAIRBS 139 

à la circonférence de rayon OP. Toutes les droites du triangle 
sont ainsi égales aux circonférences du cercle : de là le théorème. 

Un cône circulaire droit égale le tiers du cylindre circonscrit. 
Supposons d'abord le rayon égal à la hauteur (fig. 38), sur te 
cercle MN produit dans le cône par une section 

parallèle à la base AB, construisons un cylindre '"^ ^ 

QN, dont la surface latérale sera égale au cercle 

HN ; par suite, la somme des surfaces latérales 

de tous les cylindres analogues, c'est-à-dire le 

volume concave ADSBC, est égal à la somme *^' 

des cercles MN, c'est-à-dire le cône SAB, lequel est donc le tiers 

du cylindre. 

Soit maintenant un cône quelconque A : considérons le cône B 
de même hauteur et dont le rayon de la base est égal à cette même 
hauteur. Les sections de A et de B à des hauteurs égales sont 
dans un rapport constant, qui est aussi celui des sections des cy- 
lindres circonscrits. Donc, 

A cyl. cir. à A 

B "~ cyl. cir. à B 

comme B est le tiers du cylindre qui lui est circonscrit, il en est 
de même de A. 

La démonstration de Torricelli n'est pas tout à fait celle que 
nous venons d'exposer. Il considère, d'emblée, un cône quelconque, 
ce qui lui donne 

MQ_QS 

AD~SD' 
d'où 

MQ.QS _ US' MQ.Q8 _ AD _ ,, 

AD.SD-^»' ^" 'W"""^"'"' 

Or, les tranches enroulées les unes autour des autres et consti- 
tuant le solide creux désigné tout à Theure ont une épaisseur égale 
à celle des tranches empilées du cône, leurs nombres sont comme 
SD à AD ; par conséquent 



£(tr. MQ) AD SD 

BttriK5^SDïD"=' 



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140 



JOURNAL DE MATHÉUATIQUES ELEMENTAIRES 



il 8*ensuit que, dans tous les cas, le cône est égal au reste du cy^ 
lindre. 

La sphère équivaut à la moitié du cône dont la hauteur et le 
rayon sont égaux au diamètre de la sphère. On a {fig, 89) 

MP2 = SP.PC = KP.KH 

donc le cercle MN est égal à la moitié de la surface latérale du cy- 
lindre KG, et par suite, la somme des 
cercles tels que MN, ou la sphère, égale 
à la moitié de la somme des surfaces 
cylindriques analogues, ou le cône (*). 
Le solide produit par la révolution 
de Vhyperhole équilatère AM {fig, 4o) 
tournant autour de tasymptote OS 




A H 



Fig. 39 



M/SV 



\N 



est égal au cylindre AB, A désignant le sommet. On a en effet 

MP.MS = SE' ; 

ce qui montre que la surface latérale du cylindre MP a une valeur 

constante, qui est celle du cercle, base du 

cylindre AD. On peut supposer autant de 

tranches analogues à MP que de tranches 

circulaires composant le cylindre AD; et, de 

plus, comme CO =CA, les premières de ces 

tranches auront une hauteur égale à celle 

des deuxièmes. Donc le solide proposé est 

égal au cylindre, quoi que Taire de la surface génératrice soit 

infinie. 

C'est à Torricelli qu'est due la formule donnant l'expression 
du volume d'un solide en fonction des bases supérieure, médiane 
et inférieure, quand les sections de ce solide sont des coniques. 
(Voir la noie IV). {A suivre). 



c p o Q 1) 

Fig. 40 



(•) Torricelli avait déjà donné {De sol, sph.) une démonstration rigou- 
reuse par la méthode des Anciens du volume de la sphère. Dans cet ouvrage, 
écrit probablement avant qu'il ait connu la Geom. indiv. de Cavalieri, il 
démontre ce volume par la même méthode que celle de la proposition V du 
livre III de ce dernier ouvrage, en. décomposant la sphère, le cylindre et le 
cône en tranches d'égales hauteurs, en se servant du théorème d'Archimède. 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUBS ÉLÉUBNTAIRBS 141 



BIBLIOGRAPHIE 



ELÙiBifTS DB GéoMBTRiB do A. Amiot ; nouvelle édition^ entièrement refondue 
par F. Yiirrijoux {Librairie Delagrave, 1897). 

Au moment où, comme j*ai d& Tannoncer récemment à M. Delagravc, l'état 
de ma santé me force, à mon très vif regret, à quitter la direction de ce 
Journal, il m'est particulièrement agréable de rendre compte, ici, de cet 
ouvrage. En effet, sur la première page de ce livre, je trouve, réunis par 
une heureuse coïncidence, trois noms qui me touchent h des titres divers ; 
mais, tous les trois, bien profondément. Amiot, c'est avec le vieux traité 
de Legendre, le premier livre de Géométrie que j'ai lu, aux premiers jours 
de mon instruction mathématique ; M. Vintéjoux, c'est le nom du collègue 
aimable, de Tami si s&r que j'ai appris à estimer toujours un peu plus 
depuis vingt ans; M. Delagrave, enfin, l'éditeur de ce livre, l'homme auquel, 
soit par ma collaboration au Journal de mathématiques ^ soit par les ou- 
vrages que j'ai publiés chez lui, je suis attaché depuis longtemps, et par des 
liens si sympathiques. On comprend que, tous ces souvenirs ne peuvent 
me pousser, dans l'analyse de cet ouvrage, qu'à un jugement absolument 
optimiste ; mais je le formule sans réserve, sans avoir à craindre que les 
sympathies que je viens de rappeler puissent me conduire h l'exagéra- 
tion ; le livre actuel est, dans son genre, une perfection. 

La caractéristique de l'ouvrage d' Amiot, le côté original qui a fait son 
succts, un succès qui a résisté à l'usure attristante des années, c'est 
l'excellence du plan qu'il a conçu pour écrire son livre ; notamment, cette 
division en leçons, division faite avec l'habileté qui pouvait appartenir au 
professeur incomparable qu'était Amiot. 

M. Vintéjoux a eu mille fois raison de ne pas toucher à cette caractéris- 
tique et de conserver le plan original de l'ouvrage ; ce plan est parfait. Que 
fallait-il pour remettre la Géométrie d'Amiot dans le courant pédagogique 
moderne ? Au fond, bien peu de chose, n fallait simplement, complétant 
l'œuvre que M. Vintéjoux avait entreprise déjà en 1880, et menée à bien, 
ajouter, tout en maintenant le plan général, quelques développements 
plaçant la Géométrie d* Amiot au niveau des perfectionnements qui ont été 
introduits, en ces dernières années, dans l'enseignement de la Géométrie 
élémentaire. C'est ce qui a été fait excellemment, dans un style simple, clair 
et bien français. 

M. Vintéjoux, en me causant dernièrement de ce livre dont l'apparition 
était prochaine, m'a donné toutes les raisons (excellentes, mais trop longues 
à exposer ici) pour lesquelles il n'a fait ni la citation de noms d'auteurs, 
ni l'indication de certaines sources scientifiques auxquelles il a puisé le fond 
de quelques démonstrations. 

n m'a prié pourtant, sachant que je me proposais, avant de quitter le 
Journal, le pledsir de consacrer quelques lignes à l'analyse de cet ouvrage, 
de signaler deux emprunts qu'il a faits au Journal de mathématiques élé- 
mentaires. 



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142 JOURNAL DB MATHéUATIQUBS ÉLéUBNTÀlftBS 

On trouvera, p.p. ^7 et suivantes, le développement de la théorie relative 
au déplacement des figures égales dans Tespace. Le sujet est délicat et Ton 
sait qu'il n'a pas toujours été exposé avec toute la rigueur voulue. Ckitte 
rigueur existe complètement dans le chapitre que nous signalons, et dont 
les premiers paragraphes ont été inspirés par un article de M. Tarry {loe, 

cit. y 1895, p. 79). 

Enfin, M. Vintéjoux m'a encore prié de faire savoir que la démonstration, 
à ]a forme près, du théorème II de la page 55 1 est empruntée h un article 
de M. Dorlet {loc, cit., 1894, p. 240- 

On trouvera à la fin de Touvrage, que nous signalons aux élèves comme 
un guide excellent et d*une parfaite clarté, un chapitre consacré à la géo- 
métrie du triangle ; géométrie qui, aujourd'hui, malgré quelques oppositions 
dues à des préventions qui ont fini par s'éteindre, a pénétré dans l'ensei- 
gnement élémentaire. Peut-être le chapitre est-il un peu court, et il m'a 
semblé qu'il gagnerait h être complété dans la future édition. 

Mais je sais que l'ouvrage d'Amiot est avant tout un livre qui doit rester 
simple. Il n'a aucune prétention à l'encyclopédie, il ne vise pas à donner 
tous les résultats, mais seulement ceux qui doivent être mis en première 
ligne et qui peuvent être considérés comme indispensables ; c'est proba- 
blement pour se conformer h cet esprit général du livre que le chapitre en 
question se trouve quelque peu écourté. G. L. 



EXERCICES 



27. — Le cercle qui passe par les centres des cercles ex-in- 
scrits à un triangle a pour centre le symétrique du centre du 
cercle inscrit par rapport au centre du cercle circonscrit. 

(M). 

28. — Les bissectrices intérieures des angles d*un triangle 
abc sont les hauteurs du triangle qui a pour sommets les points 
oii ces bissectrices rencontrent le cercle circonscrit abc. (M). 

29. — On donne deux circonférences de cercles dont Vune a 
son centre o sur Vautre. Par o, on mène une transversale qui 
rencontre en courbes Vune en a, Vautre en b ; par le milieu de 
ab, on élève une perpendiculaire à cette droite : démontrer que 
cette perpendiculaire reste tangente à un cercle, lorsque la 
transversale tourne autour de o. (M). 

30. — Bans un triangle A oit HO est parallèle à BC : 

\^ la droite qui joint le sommet A au syinétrique de \ relative^ 
m£nt à BC est perpendiculaire à HI ; 



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JOURNAL DE MATHÉMATIQUBS BLÉUBNTAIRKS 143 

2* dans ce triangle ^ aucun des angles ne peut être obtus; 
Vangle A est toujours compins entre les deux autre^f, il ne peut 
varier qu'entre 60** et 90® ; 

y si Vangle (BC, HOJ est désigné par 9, on a : 

. CO8 A — 2 cos B cos C tg B [g G — 3 

*« ^ - sin (B - C) — TprUIl^ ' 

_ b^co8C-hc *co sB — a ^ _ (b ^ — ç^ f - h a» (b^ - i- c' — aa«) 
^ "? ~" abc sin (B — C) "" 48(6=* — c^) 

_ a*[3(b« -^ c» — a^) — 4b»] __ [i^R' — ('^a' H- b» 4- c)]ig A 
"" 4S(b* — c*) ~" b* -j- c* 

(Bernés). 

81. — Résoudre T équation 

a cos* ç b sin*© 1 

î — . _|- ï r=: -, 

a — b-i-x b — a-+-x 2 

(E. N. Barisîen). 

32. — On donne deux circonférences concentriques (C) et (C). 
On pi^end un point fixe \^ sur (G); une tangente mobile à (C) 
coupant (C.) en \ etB; le lieu de Vorthocentre du triangle PAB 
est un cercle. (H. L'Huillîer). 

38. — En supposant a > b, on a toujours 
V^4a* — 2b« — v^a« — b* > a. 

Interpréter cette inégalité par la considération d'une ellipse 
dont les axes ont pour longueur 2a et 2b. (E. N. Barîsien). 

QUESTIONS PROPOSÉES 



804. — On donne un triangle asb. Dans Tangie asb on inscrit 
un cercle tangent en a à a^ et un cercle tangent etibhibs: déniion- 
trer que ces courbes interceptent des segments égaux sur ab, 

(Mannheim). 

805. — On donne un triangle abc et un point o de son plan. 
Extérieurement au triangle aob, on mène la bissectrice de Tangle 



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144 JOURNAL DB MATHEMATIQUES éLéMBNTAIRBS 

aoh, cette droite coupe ah en un certain point. On a de même des 
points sur ac, hc : démontrer que ces trois points sont en ligne 
droite. {Mannheim). 

803. — La médiane hm d'un triangle donné ahc est rencontrée 
en d par la perpendiculaire élevée, à a&, au milieu de ce côté : on 
mène la droite ad. De même, on a une droite ce qui joint c au 
point où hm est rencontrée par la perpendiculaire à hc élevée au 
milieu de ce côté. 

Les droites ad et ce se coupent en o. Démontrer que les droites 
hOy hm sont également inclinées sur ha et hc. {Mannheim), 

807. — On mène la droite qui joint le sommet h d'un triangle 
donné ahc au milieu de la hauteur de ce triangle, qui est issue 
de a. 

Cette droite coupe ac en un point d*oii Ton mène une parallèle 
à ah et Ton obtient le point (f à sa rencontre avec hc. 

De même en employant la hauteur qui part de c on obtient un 
points sur a&. Démontrer que ed est perpendiculaire à la médiane 
issue de 6. {Mannheim). 

808. — Du milieu de Thypoténuse d'un triangle rectangle, on 
lui élève une perpendiculaire. Cette droite rencontre en deux 
points les bissectrices de Tangle droit de ce triangle : démontrer 
que les distances de ces points aux côtés de Tangle droit sont 
égales : l'une, à la demi-somme, l'autre, à la demi-différence de 
ces côtés. {Mannheim), 

809. — Un triangle donné a pour sommets a, &, c et pour 
angles a, p, ï. 

Démontrer que le lieu d*un point m, tel que 

ma sin aa -h inh sm 2p -+- tnc sm 2 y = consl^®, 
est un cercle concentrique au cercle ahc. (Mannheim), 



Le Directeur-gérant, 

G. DE LONGCHAMPS. 



BAItrr-AMAlTD (cHIR). — IMPBIMKKIB SCIENTIFIQUE «T LITTÈBAUI, BCSSlAaB WMÈKZB, 



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JOURNAL DB MATHéllATIQUBS illÊMBNTÀIRBS 



145 



SUR 



LES CERCLES BITANGENTS AUX CONIQUES 



Par M. A. TIaaot 

{Suitey 1897, P*fi^« ïai) 



CONIQUES BITANOBNTB8 A UN llÀMB CERCLE 

58. — Lorsque deux coniques sont hitangentes à un même 
cercle^ deitcc de leurs sécantes communes formsnt, avec les droites 
des contacts^ un faisceau harmonique. 

Il résulte en effet des propriétés établies [14 et 46] que chaque 
point commun aux deux coniques fait partie du lieu des points 
dont les distances aux droites des contacts ont entre elles un rap- 
port donné. 

Ce rapport sera égal à l'unité si le cercle bitangent se trouve de 
même espèce pour les deux coniques, et que celles-ci soient sem- 
blables entre elles ; alors chacune des deux sécantes coïncidera 
avec la bissectrice de Tun des angles des droites des contacts, et 
leur angle sera droit. 

59. — LcL polaire réciproque d'une conique par rapport à un 
cercle bitangent est une conique. 

Soient H {fig. 34) le centre du cercle, KU la droite des contacts, 
M un point quel- 
conque de la conique, 
MU là tangente en ce 
point, HD la perpen- 
diculaire abaissée de 
H sur MU. M' le point 
de HD où se trouve le 
pôle de MU par rapport 
au cercle. On veut dé- 
montrer que le lieu de 
M' est une conique. 

Nous supposerons 
d'abord que le cercle ^ 

bitangent soit de pre- 
mière espèce; alors MU ne le rencontrera pas et M' lui sera 

JOURNAL DE MATH. lÎL^M. — 1^97. 7 j 

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146 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

intérieur. Joignons, aux points D et H, Tune des extrémités C de 
]a corde principale de M\ laquelle est la corde polaire de D. Dans 

le triangle rectangle CDH, nous aurons CM' = M'D.M'H. La po- 
laire de M dans le cercle doit passer par M' ; elle doit aussi passer 
par U [4] ; elle sera donc UM', d*où il suit que UM' est perpendi- 
culaire à HM ; soit D' le point de rencontre de ces deux lignes. De 
M', abaissons, sur KU, la perpendiculaire MT' et appelons V son 
intersection avec HM; dans les deux circonférences qui seraient 
décrites sur HU et sur TU comme diamèlres, ou aurait M'D.M'H 
= M'D'.M'U et M'D'.M'U = MT.M'P'. 

Il vient donc 

CF' = MT.M'F. 

Le saillant S doit se trouver sur la polaire double de U [1]. De 
plus, étant le centre de la conique, les trois lignes MO, DH, KU 
doivent concourir en un point V [4]; soit E Tintersection de la 
première avec M'F ; sur les parallèles EF,OS, on aura 

M'r _ HS M'E _ OH 
M^""OS' HT'— M' 
De ce que KU est la polaire de S dans le cercle bitangent, on 
conclut HK.HS = r»^, r étant le rayon de ce cercle ; on a aussi [21] 
HK.OS = b^y de sorte que le rapport de ES à OS est celui de v« 
à b^. Quant au rapport entre OH et HK, il est le même qu'entre 
c^ et à^ [22] ; il vient donc 

WV _ r^ M'E __ c« 

WË^b^' MT'"~6^' 

d'où 

M'r = ^* MT'. CM' = ^ M'F. 

Ainsi le rapport de CM' à MT' est constant. On peut toujours 
construire une ellipse dans laquelle ce rapport soit celui de la 
demi-distance focale c' à la moitié b' du petit axe, et qui, de plus, 
admette comme cercle bitangent de seconde espèce le cercle donné, 
avec KU comme droite des contacts. D'après les propriétés établies 
[47 et 48]y cette ellipse sera le lieu du point M\ 

Lorsque KU rencontre le cercle, c'est-à-dire lorsque les points 
de contact de celui-ci avec la conique primitive sont réels, on voit 
de suite que la polaire réciproque touche le cercle en ces mêmes 



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JOURNAL DB MATHfiMA.TIQUBS ÉLÉMENTAIRES 147 

points. Comme d'ailleurs UM', polaire de M, est tangente à la 
courbe en M', et que UM est perpendiculaire à UM'» le centre 0' 
doit se trouver sur la droite joignant M' au point d'intersection V 
de HM avec KU [4]. Il en sera ,de même dans le cas des con- 
tacts imaginaires, puisque le point 0' ainsi déterminé divise HK 
en parties proportionnelles à MI', M'P', par conséquent à cV*, b^, 
par conséquent à c'*, b'*. 

Les foyers seront les intersections de la perpendiculaire élevée 
en 0', sur HK, avec la circonférence décrite sur HS comme dia- 
mètre [45]. Les sommets du petit axe seront les pôles des tangentes 
aux sommets de Taxe focal de la courbe primitive. Les éléments 
linéaires de la nouvelle courbe satisferont d'ailleurs aux relations 

a'^ _ 6" __ c" _ ^,Q 
HK — WR — UE^^^' 

Supposons maintenant que le cercle directeur delà transforma- 
tion soit un cercle bi tangent de seconde espèce. La tangente UM à 
la conique le rencontrera; de M' on pourra lui mener une tangente, 
et si, au point de contact, on place la lettre C, qui servait tout-à- 
l'heure à désigner une extrémité de la corde principale, on pourra 
établir, sans rien changer à la démonstration précédente, que le 
rapport de M'C à M'P est constant. Ici le centre du cercle ne se 
trouve plus nécessairement à l'intérieur de la conique primitive, 
et^ quand il y aura des tangentes au cercle issues de ce point, 
elles fourniront, dans la transformée, des points à Tinfini. Le lieu 
peut donc être une ellipse, une parabole ou une hyperbole, si la 
conique primitive est une ellipse. Lorsque celle-ci sera une hyper- 
bole, la polaire réciproque sera aussi une hyperbole. 

Problèmes. — Construire les éléments d'une conique bitan-- 
gente à un cercle donné, connaissant un point et deux tangentes; 
ou bien une tangente et deu^ points, 

{A suivre). 



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148 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

NOTE SUR L'ARITHMÉTIQUE BINAIRE 

Par M. Ed. Collifaoa, Inspecteur général des Ponts-et-CSiaussées, en retraite. 
[Suite, V. 1897 ; p. laô). 



PARTAGE d'une QUANTITÉ EN PARTIES ÉGALES 

Certaines quantités peuvent être aisément divisées en deux par- 
ties égales, en 4» en 8,.f suivant les puissances de 2, tandis qu'il 
n'existe pas de méthode rigoureuse pour les diviser en 3^ en 5, et 
7... parties. Il en est ainsi, par exemple, pour un arc de cercle. 
L*emploi de la numération binaire donne dans ce cas unesolution 
approximative du problème, et l'erreur commise peut être rendue 
aussi petite qu'on voudra. 

Soit proposé de partager une quantiCé en P parties égales^ P 
étant un nombre impair donné, égal au produit de facteurs pre- 
miers npq,.,, U suffira de diviser la quantité en n parties égales, 
l'une de ces parties en p parties, Tune de celles-ci en q parties, et 
ainsi de suite jusqu'à l'épuisement des facteurs de P. Nous n'avons 
donc à nous occuper que du partage en n parties égales, n étant 
un nombre premier impair. 

Formons les puissances successives de 2, et soit 2^ la plus pe- 
tite puissance qui, divisée par n, laisse un reste égal à l'unité. La 
différence 2^ — 1 sera divisible par n, et soit n! le quotient, de 
sorte qu'on ait 

nn! = 2^ — 1. 
On en déduit 



1 n! J\^ j^ 1 



ce qui donne le développement de la fraction - en fraction binaire, 
développement périodique, dont les valeurs successives expriment 
la fraction - avec autant d'approximation qu'on veut, et sous 
forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de a. 
Au lieu de chercher le plus petit exposant qui rende 2^ — 1 di- 
visible par «, cherchons l'exposant minimum qui rende a^ -h 1 

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JOUHNÀL DE MATHEMATIQUES ELléMENTAIRES 149 

divisible par n, et soit 

nn^ = 2^ -{- i, 
n' étant un quotient entier. II en résulte 

n — a«^ -H 1 "" ^ i^aH- "" a^i* ■♦- ^ ■" ^ ■*" —• j» 

Série à termes alternativement positifs et négatifs, qui donne un 
autre développement binaire de la fraction - . Ici, encore, la somme 

d'un nombre entier de périodes exprime approximativement - , 

avec autant d'approximation qu'on le veut, par une fraction dont 
le dénominateur est une puissance de 2; des bissection succès 
sives, répétées [i fois pour chaque terme, feront donc connaître 
par leur somme algébrique la quantité cherchée alternativement 
par défaut et par excès. 

Le tableau suivant résume pour les petits nombres les résultats 
des deux méthodes, et permet d'écrire immédiatement les déve- 
loppements dont on peut avoir besoin. 



î 


al* 


al*- I 


aH-+ I 


I 


a 


I 


3 


a 


4 


3 


5 


3 


8 


7 


9 = 3» 


4 


16 


i5 = 3 X 5 


17 


5 


3a 


3i 


33 = 3 X II 


6 


64 


63 = 7 X 9 


65 = 5 X i3 


7 


ia8 


ia7 


lag = 3 X 43 


8 


a56 


a55 = 5 X 3 X 17 


257 


9 


5ia 


5ii = 7 X 73 


5i3 = 19 X 33 


10 


ioa4 


ioa3 = 3 X II X 3i 


ioa5 = 5* X 4i 


II 


ao48 


ao47 = 23 X 89 


2049 = 3 X 683 


la 


4096 


4095 = 3^ X 5 X 7 X i3 


4097 = 17 X a4i 


i3 


819a 


8191 


8193 = 3 X a73i 


i4 


16384 


16383 = 3 X 43 X ia7 


16385 = 3 X 5 X 1091 


i5 


3a768 


3a767 = 7 X 468i 


33769 = 32 X II X 33i 



En s'aidant des nombres inscrits dans ce tableau, on pourra 



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150 JOUBNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

écrire immédiatement les séries qui représentent le développement 
binaire de certaines fractions - dont le dénominateur figure au 
tableau. 

Des nombres inscrits dans la colonne 2^ — 1, on déduira les 
développements en progression géométrique à termes tous posi- 
tifs : 

1 * , 1 * 1 , 

7 2' a^ 2' 2*2 

qui correspondent à la fraction binaire 0,001001001... ; 
^ = ,3x(^ + ^, + i + ^ ^-•••) 

= (0,0000001011100000010111 )^ 

= (0,0000101001 I 0000101001 I ...)|. 

Si Ton prend les nombres de la colonne 21* -4- i, les développe- 
ments présenteront des ternies alternés : 

2_ 1 L -i_ J L 

17 ""2* 2«"^2" 2" "^ ••• 

= 0,0001 I 0001 I 0001 I oooT.... 

J_ (j_^ L-L-J *_1_ \ 

19 ""^^U* 2*«"^2»^ i^+-7 

= 0,000011011 I ooooiroir I ... 

= 0,000100101 I 000100101 I ..., 

= 0,0000011 I ooooolT I ... 

= 0,0000101 I 0000101 I ... 

557 "" ? ■" 2^ "^ 2^ "" ?■* "*" •" 
= 0,00000001 00000001 I .... 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES ÉLéMENTAIRBS 151 

UopératioD, arrêtée à un certain terme de la série, conduit à 
une valeur approchée de la fraction cherchée, avec un reste. Si 
ce reste est suffisamment petit, il arrivera fréquemment dans les 
applications qu'on pourra le diviser en n parties égales sans 
erreur appréciable, ce qui complétera la solution. 

Supposons par exemple qu'il s'agisse de diviser en sept parties 
égales un arc de cercle, plus petit qu'un quadrant. On cherchera 
par des bissections successives la valeur du huitième, du soixante- 
quatrième, du cinq-cent-douzième de l'arc donné. La somme que 
l'on obtiendra en réunissant les trois parties que l'on vient d'ob- 
tenir représentera la fraction 

i 2. J__ll 
8 ■*"64 ■^5ia~5i2 

de l'arc donné. La différence avec le septième que Ton cherche 
est égale à 

1 __ _7^ 1^ 

7 5i2 7 X ^12* 

Elle est donc égale au septième de la plus petite partie obtenue, 
et il suffirait d'ajouter à la somme la septième partie du dernier 
arc qui la compose, pour avoir une correction rigoureuse de la 
solution approximative. Or, le cinq cent douzième de l'arc donné 
est assez petit, pour que, au point de vue pratique, on puisse le 
partager en sept parties égales à la façon d'un segment recti- 
ligne. On obtiendra en définitive une valeur très approchée, sinon 
rigoureuse, du septième de l'arc donné. 

{A suivre). 

RELATIONS MÉTRIQUES 

ET TRIGONOMETRIQUES 

ENTRE LES ELEMENTS LINEAIRES ET ANGULAIRES 

DU QUADRILATERE INSCRIT COMPLET 

Par M. Lecoeq, ancien professeur au Lycée d'Avignon. 

(Suite, 1897 ; p, i34). 



25. — Autre calcul des diagonales du quadrilatère ABGD 
(fig. 5). 

Soit ABGD le quadrilatère inscriptible : construisons le rectangle 



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152 JOURNAL DK MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

J^J^JjJ^ dont les sommets ont pour coordonnées ih a, ± p, et 
soit T le point de coordonnées y, 8. 

Les quatre sommets A, B, C, D sont sur les droites TJ^, TJ,, 
TJ3, TJ4 et l'on a : 

TA _ TG _ aï 
TJ; — IT, "Sy — ap' 

TB _ TD _ 8y 

tj; — vj,~-8y^-«P' 

doù 

AT _ CT __ BT _ DT __ 8y 

ÂT3 — cj; — Bj; — Î33; — ap' 

donc les diagonales du quadrilatère ABCD sont parallèles aux 
cùtés du losange Ë^G^E^G' ; on en déduit : 

m 8y n §Y 

3^""8y — «P' J^~"8y + «P' 
_ 48^K«^ + P) m _ §Y + «P 
^^— 82^2 __ «2^2 » ^ — 8^«.ap- 

On voit immédiatement sur la ligure que la droite TL qui 
passe par le milieu M de SQ passe aussi par les milieux des dia- 
gonales AC, BD, et Ton vérifie que : 

LH _ TH 
LR — TK- 

Exercice proposé, — R et r étant les rayons de deux cercles 
intérieurs Tun à Tautre, de centres et u), et 1 la distance des 
centres, démontrer que si Ton a : 

on peut inscrire dans le premier une infinité de quadrilatères 
ABGD circonscrits au second. 

Le lieu des points S et Q est la polaire du point fixe I de ren- 
contre des diagonales, qu'on déterminera par les relations : 

R2 — A» 



P = 



2A 

d'ailleurs StoQ est droit. 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELlâMBNTAIRES 153 

Les périmètres et les surfaces des quadrilatères sont propor- 
tionnels à /*. 

Le produit des diagonales est constant, égal à iv, . ^ • 

26. — Problème. Calculer les côtés d'un quadrilatère in- 

scriptible et circonscriptible, connaissant les trois diagonales 
m, n, [1. 
Posons : 

a -h c = 2X, d où a =x -h y, 
a — c = ay, b = x — ;r, 

d -h b = nx, c = jr — y, 

d — b = 2z, d = X -^ z, 

on trouver, les équations : 

2x^ — y* — z^ = mn, 
œ^ -h yz m 
x^ — yz n 

(œ' ^ yH^) [{x^ - y V -h {oo' - ^%'] _ , 

d'où 

^ z m — n 

œ' X w -4- n* 

i m — n y j (HLnJiy 
(y\\ (^y= ^\ mn )^ '^^[m-^nj 
\xj \xl ^ _^ / m — n y , 

\ wn / 

M^m« problème. Autre solution. — On posera : 

^S^l«p =^- S^ + a? -^' 

Py §a condition de 

y/y» -H 8« = jx, et ^ps -h T* ~ V^^' "^ «' circonscriptibilité. 
Soit : 

I = tg ♦» - *« ?» 

on aura : 

(m + «) tg 2<p = (m — n) tg a^)^, 

| jt4(^» — n») tg ay _ mW tg a<V /^ m -h n X' 
1 -h tg« a<p "" 1 H- tg« aiV\ m — nj' 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉM. — 1897. 7, 

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154 JOUBNAL DB MATHBUATIQUB8 âLéMBNTAlBRS 

d'où 

OD pourra donc déterminer tous les éléments de la construction. 

27. — Problème. Consti*uire un quadrilètre inscriptihle et 
circonscriptible, connaissant les quatre côtés, entre lesquels on a 
la relation : 

a -h c = d -hb, ou Péquivalente , ^^ = , 
On se servira des relations ci-dessous (n^ 17) 



ï 



a a — c* p d — b* 
Ces trois égalités donneront : 

p _ V^ I = ±±J ^ = y/dbid-^-b) 
^~ yjâc' a^a— c' S yj-^a — b) 

Gela étant, on prendra une longueur arbitraire pour a, et on 
construira p, y> ^' ^ ^^^ fournira le moyen d'obtenir un quadri- 
latère semblable à celui que l'on chercbe ; le reste est facile à 
saisir. 

Autres exemples, — Déterminer les éléments d'un quadrilatère 
inscriptible et circonscriptible, connaissant R, m et le rayon r du 
cercle inscrit ; ou bien R, r et /*, etc.. 

{A suivre), 

EXERCICES SUH LES TRIANGLES PÉDALES 

Par M. Fraïuseaco Femurl. 



Dans les relations citées plus loin, nous adopterons les notations 
suivantes : 

M désigne un point quelconque du plan du triangle ABC, et 

a, p, Y ^^^ coordonnées barycentriques par rapport à ABC ; 
A représente l'aire de ce triangle ; 



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JOUBNAL DB lIATBéuAriQUBS BI.élUNTAIRB8 155 

M,, Hg, M, sont les points harmoniquement associés à M; leurs 
coordonnées sont, respectivement ( — <t,?,t), («, — P,y), (*.?> — i) ; 

M', H',, M',, M', représentent les points complémentaires, et 
M", M',, M",, M', les anticomplémentaires de H, M^, M,. M, ; 

»» »t» »j. »a '®8 sommes « + p-t-Y, — «4-^-+-^»" — P + T. 

«H-P — y; 

p(M),.... ajt)(M) les aires (positives ou négatives (*) du triangle 

pédale et du triangle antipédale de M,.... 

1. — On trouve : 

(I) i'(M) + iKM,) + p(M.) + p(M,) == o, 

(III) ap(M) + ap(M,) -+- ap{M,) + ap(M,) = o, 

/lyx 1 1 1 1 a 

^' ^ ap(M) "^ 5^^ "+" ap(M,) "^ ap(M,) A ' 

(p(M).«p(M') = A', 

'^ |a;»(M).i,(M')=AS 

(VI) ap(MO -+- ap(M'.) + «P(M',) + ap(M',) = 4A. 

(^") ^-^S^)5^-+-S]rô^"' 

(VIII) jKM') + P{ii\) + i>(M',) + 1>(M",) = - »A. 

(*^) ^)-+-^+^)+^ = "- 

2. — Les sommes analogues relatives à i)(M'), -tëik» ap(M'), 
— ^rrp? ont des expressions compliquées. La plus simple est la 



(•) L'aire d'un triangle ABC supposé placé sur un plan horizontal est po- 
sitive ou négative, selon qu'une personne, qui, par hypothèse, parcourt le 
périmètre du triangle dans le sens ABC placé au-dessus du plan, a tou- 
jours la surface de ce triangle à sa gauche ou a sa droite. 

Par l'expression triangle pédale d'un point M, par rapport au triangle 
ABC, on désigne le triangle A'B'C, dont les sommets A', B', C sont, respec- 
tivement, les points où les droites AM, 6M, CM rencontrent les côtés 
opposés BC, CA, AB du triangle ABC ; et par triangle antipédale d'un 
point M, par rapport au triangle ABC, le triangle A"B"C'', par rapport auquel 
ABC est le triangle pédale de M. 



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156 JOURNAL DB MATHiMÀTlQUCS lÊLéMBNTAlRBS 

suivante : 

En particulier, si H est le barycentre 6 de ABC, on a 

ïiife + ^èv) "^ «p^ ^ «^) = - ï • 

et si M ebt le centre I du cercle inscrit à ABC, 

S. — Des relations analogues existent entre les carrés et les 
produits deux à deux de ces mêmes triangles ; les plus simples 
sont : 

(XI) . ap«(M) -h ap\M^) + o/>»(M,) -|- piJ»(M,) 

(™) i.(M,).p(M,) + p(M,)!^(M,)-^p(M.)!p(M.) 

_ _ r («-P)(P--r)(ï-«) r 
L aap-yA J ' 

(XIII) p(M',) .p(M%)+p(M'.).p(M',)+p(M',).i<M'.)=^''''''-'- 



l6a»PV ' 
(X\\) ' . I .' _ I '_, 1 _ 64a'P«Y»(«'+p»-hY') 

(XV) ap(M',) . ap(M',) -H ai,(M'.) . ap (M',) -h aj,(M',) + ap(M'.) 

r A(a - p) (p - If) (7 - «) 1' 

L aaPf J » 

<^^^) ap(M,) . ap(M,) "^ ap(M,) . ap(M,) ^^ ap(ti,) . ap(M,) 



i6A*a»PY ■ 
En particulier, si M est le point G, on a : 

i'(G'.) • pCC,) + P(G'.) • P(G'.) +P(G\) . p(G'.) = ^\ 



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JOURNAL DB MATHÉMATIQUES ÉLiEmBNTAIRES 157 

et, si M est au point I, 

ap\l) + ap»(l,) + ap»(I,) + ap\i,) = ^^^), 

I . » , 1 _ ( (a-b)(b-c)(c-a) \* 

WJW,) pa.)p(i,) MU) Kl.)" \ 3«*cA / 

p«(v) + P'(v-) +i''(vO +P\vO = ?!m£L+Èl+£l). 

ap(I'0 . ap(l',) -H ap(I'0 + ai>(I',) + ap{\\) . apQ\) 
_ / A(a — 6) (» — c) (c — a) Y 
~ \ iabe I ' 

i i_ i (a+64-c)'= 1 

a/j(l.);ap(I,)-^ap(l,).ap(l,)^ap(I,).ap(I,) a'W (aRr)»- 

4. — Les relations (VI), (VII), (VIII), (IX), (XIV), (XV), (XVI) 
dérivent immédiatement de (II), (1), (IV), (III), (XI), (XII), (XIII) à 
l'aide de V. Les autres se déduisent des formules connues par des 
calculs qui n'offrent d'autres difficultés que certaines longueurs, 

SUR LES FIGURES SEMBLABLES 

Par F. J. 



A diverses reprises, le Journal de Mathématiques Élémen- 
taires et Spéciales a traité du déplacement des figures égales et 
des figures semblables (**), mais il y a lieu, croyons-nous, de 
signaler diverses propriétés de ces figures. 



(*J V* ^a» v*i ^c désignent les points du groupe de Nagel. (Voyez, Rouché, 
Géom, p. 468). 

(•) 1891. J. M. S. Page 193. Sur les centres de similitude, par A. Pou- 
lain. — 1894. J. M. E. Page 3. Sur les centres de rotation, par A. Pou* 
LAIN, — Page 196. Piège cinématique, par G. Tarry. — Page 24 1. Note 
sur les figures semblables, par Dorlet. — 1895. J. M. S. Pages 12 et iSg. 
Sur les figures semblables, par F. J. — J. M. E. Page 79. Sur le déplace- 
ment des figures semblables y p^r G. Tarry. Page loi. Sur les axes de 
rotation, par G. Tarry. — Page 195. Détermination du centre de simili- 
tude de deuop figures directement semblables, par F, J. — 1896. J. M. B. 
Pages 191 et 19a. Questions 753, 764, 755, par G. Tarry, 



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i58 JOURNAL DB M ATHlÊMATIQUBS éu&MBNTAIRBS 

FIGURES DIRECTBMBNT SEMBLABLES 

Théoi^èrne, — Lorsqu'on a deux figures directement semblables 
dans un même plan, et qu'on divise dans le même rapport en 
A,, Bg, G^,„, les droites AA|, BB^, GC|, etc., qui joignent deux à 
deux les points homologues, on obtient une figure A^B^C,... sem- 
blable aux deux premières ('). 

On peut dire : Deux figures directement semblables, situées 
dans un même plan, peuvent être considérées comme étant deuof 
positions d'une même figure mobile, qui varie de grandeur, 
mais en restant semblable à elle-même, pendant que chacun de 
ses points décrit une trajectoire rectiligne (**)• 

Les figures planes homothétiques ne sont qu'un cas particulier 
de la question précédente. 

Théorème, — Si trois couples de points homologues A,Aj, B,Bn 
C,Cj de deux figures directement semblables à trois dimensions 
F,F^ sont dans un même plan P, on peut considérer les deux 
figures données comme étant deux positions d'une même figure 
mobile, qui varie de grandeur, mais en restant semblable à elle- 
même, pendant que chacun de ses points contenus dans le plan P, 
décrit une droite sur ce plan, tandis que tout point extérieur, D 
par exemple, décrit un arc d'hyperbole DD^ dont le plan est per- 
pendiculaire au plan P, et dont la projection dd^ est l'axe non 
transverse de la courbe. 

FIGURES INVERSEMENT SEMBLABLES 

Lorsqu'on projette sur une parallèle aux bissectrices intérieures, 
les points homologues de deux figures inversement semblables, 
on obtient deux ponctuelles (***) directement semblables ; tandis 



. (*) Le théorème est connu : les N. A. M. viennent de le rappeler, 1896, 
page 369. 

(**) Nous ne considérons pas de la Spirale logarithmique considérée 
comme trajectoire de chaque point, puisque nous en avons parlé ailleurs : 
(J. M. S. 1895 ; pages la et 159). 

(•*') Ponctuelle est employé dans le sens indiqué par Crbmona, dans sa 
Géométrie projectile, 

'_ Deux ponctuelles directement ou inversement semblables, sur une 
même droite, admettent un point double. 



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JOURNAL DB If ATHéMATlQUÉS itéMENT AIRES 159 

que sur une parallèle aux bissectrices extérieures, on a deux 
ponctuelles inversement semblables. 

Théorème, — i® Le lieu des points qui divisent les droites de 
jonction des couples de points homologues de deux figures inver- 
sement semblables, en segments additifs dans le rapport de simi- 
litude, est une droite parallèle aux bissectrices des angles formés 
par les côtés homologues. 

Cette droite peut être nommée : Droite des divisions propor- 
tionfielles intérieures, 

2® Deux figures inversement semblables, situées dans un même 
plan, admettent aussi une droite des divisions proportionnelles 
extérieures, 

3® Les deux droites des divisions proportionnelles sont orthogo- 
nales ; leur point de concours est \^ point double des deux figures 
inversement semblables. 

A"* Cas particulier, — Deux figures inversement égales n'ad- 
mettent à distance finie, qu'une seule droite des divisions propor- 
tionnelles : c'est la droite intérieure; on peut la nommer droite 
des milieux (*). 

La droite extérieure passe à Tinfini et il en est de même du 
point double. 

5® Application à deux circonférences situées dans un même 
plan. 

On sait que le lieu des points dont les distances S et o' aux 
centres et 0', sont dans le rapport des rayons r et r', est le 
cercle qui a pour diamètre le segment I£ déterminé par le centre 
intérieur I d'homothétie et par le centre extérieur E ; or, le cercle 
lE est le lieu des points doubles des circonférences et 0', consi- 
dérées comme directement ou comme inversement semblables (**), 
car les deux droites orthogonales des divisions proportionnelles 
(3) passent respectivement par les centres d'homothétie ï, E. 



n L'appellation droite des milieux est due à Chaslbs, dans le cas de 
deux ponctuelles égales, sur deux droites différentes; il convient de 
garder ce même nom, dans le cas plus général de deux figures inverse- 
ment égales. 

(••) La première partie de la proposition, pour direetement semblables, 
est bien connue : mais il n'en est pas de même, croyons-nous, de la 
seconde. 



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160 JOUBNAL DB MATHÉIIATIQUBS ELEMENTAIRES 

FIGURES PLANES SEMBLABLES, NON SITUEES DANS UN MÀMB PLAN 

L'étude de deux figures planes semblables situées dans des 
plans parallèles, se ramène facilement à celle de deux figures 
semblables situées dans le même plan. 

Théorème, — i** Lorsque les figures sont directement sem- 
blables, et qu'on joint deux à deux les couples A, A^ ; B, B^ ; 
C, Cj... des points homologues, tout plan parallèle aux plans 
donnés, détermine une figure A^B^Cg... directement semblable 
aux proposées (*). 

2° Le lieu des points A,, B,, C,... qui divisent AAi, BB^, CCj... 
dans le rapport de similitude de deux figures ABC..., A^B^Ci 
inversement semblables, situées dans des plans parallèles, est 
une droite, soit que les segments soient additifs ou soustractifs. 
Les deux droites sont orthogonales. 

3^ Deux figures semblables ABC..., A^B^C^... situés dans deux 
plans concourants P et P^ participent à la fois, aux propriétés des 
figures d'un même plan, directement et inversement semblables; 
ainsi : 

Les points A,, B,, C,... qui divisent AA^, BB^, CC^... en seg- 
ments additifs dans le rapport de similitude, sont dans un même 
plan Q ; en projetant Aj, B^... sur les plans P et Pj par des droites 
parallèles à l'une des bissectrices de Tangle plan qui mesure le 
dièdre PP^, on obtient des projections directement semblables 
aux figures données. 

De même pour les points qui divisent AAi, BBj... en segments 
soustractifs. 

Soit R le plan qui contient les points de division ; les traces 
q, r des plans Q et R sur P sont orthogonales entre elles ; il en 
est de même des traces q^ et r^, sur P^. Les plans Q et R se 
coupent suivant une droite parallèle aux projetantes qui donnent 
des figures directement semblables abc et A^B^C^. 

Pour démontrer cet intéressant théorème, il suffit de projeter 
ABC... sur le plan P^, à Taide de parallèles aux bissectrices b et 
6' de l'angle plan qui mesure le dièdre PP^. 



(*) Question connue ; voir N. A. M., 1896, page 369. 

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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 161 

L'une des projections abc. par exemple, est directement sem- 
blable à AjB^Cj..., taudis que l'autre projection a'b'cf... est inver* 
sèment semblable à la même figure Â^B^C|... Remarque analogue 
pour les projections de A^B^C^... sur le plan P. 



NOTE DE GEOMETRIE 

Par M. DabonUi, professeur au collège de Barcelonaette 



Théorème. — Si une droite est perpendiculaire à deux droites 
tracées par son pied dans un plan, elle est perpendiculaire à toute 
autre droite tracée par son pied dans le même plan. 

Soient le pied de la droite OD et OA, OB deux droites du plan, 
perpendiculaires à OD. Soit OG 
une troisième droite menée par 
dans le plan. 

Coupons OA, OB et OC par une 
transversale ABC. Il suffit de mon- 
trer que, si S est un point quel- 
conque de OD, la longueur CS ne 
peut pas être égale à CO. 

En effet, s'il en était ainsi, les deux triangles ACS et ACOdans 
lesquels on aurait 






CS = CO AC = AC 


AS>^ 


donneraient : 






ACS > ACO. 




Pour la même raison on aurait 






BCS > BCO. 




Donc 








ACS-+-BCS>ACO 


-t-BCO, 


inégalité 


visiblement impossible. 





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162 JOURNAL DB MATHBUATIQUES ELéUENTAlRBS 

■aa— g— B^aMaaBB=asgs8 - , ■ ' , ■ ■ i , ■ 1 

NOTICE HISTORIQUE 

SUR LA GÉOMÉTRIE DE LA MESURE 
Par M. Jkmhrj 

{Suite j voir 1897, P*?® i^^ 



G. DE SAINT-VINCENT 

Bien que dans ses démoDslratioDs, Grégoire de Saint-Vincent 
emploie la méthode d'exhaustion, il peut être considéré comme un 
de ceux qui ont le plus contribué au progrès de la méthode des 
indivisibles, et même comme un de ses promoteurs. Si son célèbre 
Opits geometricum n'a été publié qu'en 1647, les théorèmes qu'il 
contient avaient été divulgués en partie dans les leçons qu'il pro- 
fessait à Rome, à Prague et en Belgique depuis plus de vingt-cinq 
ans. Ses découvertes, plus encore que celles de Cavalieri, procè- 
dent du théorème de Kepler et de la méthode de transformations 
de figures. 

Dans le septième livre de son ouvrage, Tauteur développe une 
méthode très féconde de cubature, qu'il appelle Ihcctus plani in 
planum ; et dans le neuvième, il applique cette méthode à la me- 
sure de différents solides, entre autres à celle des onglets, qui 
n'avait pas encore été donnée. 

OPUS GEOM. — LIB. VII 

Définition. — Soient deux figures planes A, B, de même hau- 
teur (fig. 4i}- Menons à égale hauteur les droites GH, KL, puis 

relevons GH en K perpendiculairement 
au plan de B et achevons le rectangle 



f 7 \ 7 dont ces deux droites ainsi placées sont 

\ i / \ deux côtés adjacents. En répétant cette 

Fig, ^, construction pour toutes les droites de 

A et de B parallèles à la base, nous 

obtiendrons un certain solide. Ainsi si A est un cercle et B un 

rectangle, le solide obtenu sera un cylindre. 

On désignera cette opération par l'expression A ductum in B 
ou GH ductum in KL. 



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JOURNAL DK IfATHÂUATIQUBS ELÉ&fBNTAIRES 



163 



Si les deux figures sont identiques, on dira A ductum in se (*), 

Le plus souvent, comme dans la (fig. ^2), 
les deux surfaces sont terminées par uoe 
droite perpendiculaire aux bases, comme 
AB : on relève alors Tune des deux figures, 
comme on fait en géométrie descriptive, la 
droite AB faisant l'office de ligne de terre. 

I. — Le carré ditctum in se produit un cube {fig. 43). 

II. — Si Vun de ces carrés est remplacé par un triangle rec- 



Fig. 42 



/; 


/ 




/■; i 


^ 








H 




/ ^ 


z 


/^ 




Fig. 43 

tanglej le résultat est un prisme triangulaire {fig. 44). 

111. IV. V. — Le triangle rectangle ductum inse produit une 
pyramide à base carrée {fig. 45)« Si Vun des triangles est re- 
tourné {fig. 46) on obtient une pyramide triangulaire qui est la 
moitié de la première, 

XVI à XXVII. — Elude des corps produits par le cercle (/î^. 47) 





ft njL 



Fig. 45 Fig. 46 Fig. 47 

HL ductum in 5C,GH in 5e,GH in GL,GH in HL,HM in se^ GK in HM. 



(•) G. de Saint- Vincent lui-môme et Pascal ont remplacé ductum in par 
multiplié par; Quetelet le traduit par projeté sur ; M. Max. Marie a créé 
l'expression duit sur. Aucun de ces mots n*est exact ou complet, il fau- 
drait une expression qui pût se rendre par redressé et promené sur, comme 
duotérifféy mais nous avons reculé devant ce néologisme dans un travail 
biBtorique. 



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164 



JOURNAL DB MÀTHillATIQUES éuMKNTAlRBS 



I 


< 


) 






A 


1, 


"^^\ 


G r 






R 


X 


o 






S 


\ 




K 




T 




B 



Fig. 48 



XL, — Considérons la surface comprise entre une courbe 
quelconque DB, concave ou conveœe, et un angle droit dominé A 
ou G {fig. 48) : on peut toujours lui inscrire une série de rec- 
tangles dont la surface en diffère moins que d'une quantité 
donnée quelconque a. Divisons AB en un 
certain nombre de parties égales telles que 
le rectangle KG soit plus petit que a et 
menons par les points de division des pa- 
rallèles, qui rencontrent la courbe en G, 
F, E,.... : le problème sera résolu. En 
effet, la somme des rectangles OL, PR, 
QS,... KT est égale au rectangle KG, et 
par conséquent plus petite que a. Or, cette somme est elle-même 
supérieure à celle des triangles mixtilignes DOG, GPF,... donc a 
fortioiH le triangle mixtiligne DBA diffère de la surface OGPFQEK 
de moins que a. De même le triangle mixtiligne DBG diffère de la 
surface LGRFSETG de moins que a. 

XLVI. — Soient quatre surfaces planes d'égales hauteurs AB 
(fiff- 49)- Si pour une transversale perpendiculaire* quelconque 

n IL 

GL, on a m = r^^ le solide provenant 

de Gl ductum in Hl est égal à celui de 
Kl ductum in IL. Ge théorème est un 
corollaire de celui que nous avons désigné 
sous le nom de Kepler. L'auteur le dé- 
montre explicitement comme nous l'indiquons par les théorèmes 
d'Archîmède et d'Eudoxe (*). 



T 



L. 



w 



\ I 



Fig. 49 



XL Vif. — Par les extrémités du diamètre AB {fig. 5o) me- 
nons les tangentes AG, BD égales à ce même diamètre, et tirons 
BG, AI), on aura 

demi-cercle ductum in se = tri. AGB ductum in tri ABD 
On a en effet 

GI.IK = BI.IA = IH«. 



(*) n hii échappe dans cette démonstration le mot tn/fnt, mais il a soin 
de le traduire par Texpression en nombre gu^/conç^te^ .*« dncantur infinités 
(hoc est qiiot cnmque) œquidistantes,... > 



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JOURNAL DB HATHEMATJQUBS BLÉMENTAIRKS 



165 



Le premier solide est représenté {fig. 5i). Il est égal, d'après ce 

qui précède, à ua tétraèdre facile à'me- ^ ^ , ^ 

surer.Nous le retrouverons plus loin (*). 





Fig. 5o Fig. 5i 

XLVllI à LXX. — Mesures d'autres corps déduits du cercle, et 





M r 



Q,AÀy/i^ 


s/ji/fi/p 


^^^ 


(/jy 



c 



Fig. 56 




Fig. 57 




Rg. M 


-^ 


^ 




//) 


^ 


l/y 


^ 


Lz 


v\\ 



Fig. 59 



Fig. 60 



{*) n va sans dire que la tranche HI âucium in se comprise entre deux 
plans parallèles quelconques est égale à la tranche correspondante du ter 
traèdre. Cette remarque s'applique à tout ce qui suit. 



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166 JOURNAL DB MATHEMATIQUES BLAMENT A1RBS 

indiqués par les relations suivantes : 

(/î^.52) ig.ih=ik.il=Ir', pq.hk=ûh', mVîK Wk.im 

(/S(7.53) GK' = GH.GL, GI.IK = Hl.IL 

{fig. 54) GI.IL = M} 
(fig. 55) HI.IM = GI.IL, HL.LM = GH.IL, GH.HL = HÏ.DE 

LXX à GLXVIII. — Même chose pour le segment de parabole 
dont la flèche est égale à la demi corde 

{fig.56) GH.HL=KP, GP=Hl« -+- K\\ et autres semblables 

(fig.Sy) 6I.GK=GH.GL, GK.GL=GI.AB, GK.RL=HI.AB 

(figM) GH.LM=KL.NP, KL.PQ=GL.MP, GK.LP=GL.MP, 

(/îy.59,6o)GL.LP=KL.AB, FG.LP=GL.PQ, GP2=AB«-hKL.AB; 

relations analogues. 

Certaines de ces relations s'étendent à une parabole quelconque. 

On a ainsi la mesure d'un grand nombre de nouveaux solides, 
parmi lesquels plusieurs sont remarquables (*). 

{A suim^e), 

EXERCICES 

Par M. Bowlln 



440. — Trouver tous les nombres tels que leur carré plus 
leur cube soit un carré, et que le double de leur cube soit égale- 
ment un carré f 

On doit avoir simultanément : 

a?3 -f- a?* = y', aa?' ^ z^ ; 
par suite a? + i = K*, x = ap*, 

d'où ap« 4- I = K». 

G*est réquation de Pell, bien connue, qui donne : 

i^o = o i^i = 2 Pî = 12 P3 = 70 ''*''Pn = 6pn-i — Pn-t, 

d'où 

a?o = 0, â?! = 8, x^ r= a88, a?3 = 9 800.... 



iTn = 36j?n-i + a?«-2 *-- lav'ayn-i . a?n-a* 



(***) L'hyperbole fournirait la matière d'un grand nombre d'études du 
môme genre. 



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JOURNAL DB AIATHBMATIQUES ELBMENTAIRBS 167 

441. — On ne saurait trouver quatre entiers en p^^ogression 
arithmétique et tels que la somme de leurs quatrièmes puis- 
sances, soit une quatrième puissance (*). 

442. — On ne saurait trouver : ni 6, ni g, ni lo, ni 1 1 entiers 
consécutifs, tels que la somme de leurs quatrièmes puissances 
soit une quatrième puissance, 

443. — On ne saurait trouver six entiers en progression 
arithmétique de raison r (r étant de la forme : 2*3^) tels que la 
somme de leurs quatrièmes puissances soit une quatrième puis- 
sance. 

4AA. — La somme des puissances n" de dix entiers consécu- 
tifs quelconques est toujours terminée par 5 ; sauf «i n = 4»^» 
alors cette somme est terminée par 3. 

445. — Les nombres étant écrits dans le système de hase p, 
(p premier) la somme des puissances n®" de p nombres consécu- 
tifs est toujours terminée par zéro, sauf si n est de la forme : 
(p — Oy î ^iors cette même somme est terminée par p — i. 

Il suffit de démontrer le théorème pour les ^i — i premiers nombres et 
les p — I premières puissances, ce qui se fait aisément. 

446. — Le chiffre des dizaines de ii% i3°, i5", 17", 19"*, est 
de la même parité qite n. 

447. — a étant un entier quelconques 

est terminé par ou 4, suivant que a n'est pas ou est de la 
forme Sm -+- 1. 

EXERCICES 

Par M. Bornés 



I. — Si p, Y sont les projections de B, C sur la bissectrice de 
l'angle A du triangle ABC, les parallèles à AB, AC menées par 
^9 y se coupent sur la symédiane issue de A. — Même propriété 
pour la bissectrice extérieure. 

O Cet énoncé supprime la restriction de TEzercice 809. 

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168 JOURNàL DE MATHEMATIQUES JBiJmBNTAIRBS 

II. — Si, P étant un point quelconque du cercle ÂBO, les 
droites AP, BP, CP rencontrent BG, CA, AB en a, p, y, que ay 
rencontre AC en p', et que ap rencontre AB en y' 5 ïa droite pY 
passe par le point de Lemoine. 

III. — Sur le côté BC du triangle ABC on porte CB^=a k la 
suite de BC, et BC^ = a à la suite de CB. Si AA^ est la corde du 
cercle ABC parallèle à BC, que B^A^ rencontre AC en p et que 
CjA^ rencontre AB en y> les deux points p, y sont en ligne droite 
avec le milieu de BC et avec le point de Lemoine. Ces points p, y 
sont aussi sur les parallèles à BC menées par les points. où la 
médiatrice de BC rencontre AB, AC. 

IV. — Sur la droite qui joint les milieux de AB, AC on prend 
un point quelconque M. Si les droites qui joignent B et C au 
poinl M' isogonal de M rencontrent AC, AB en p, Yi i& droite Py 
passe par le point de Lemoine. 

' V. — Si par le point de lemoine du triangle ABC, on mène 
une parallèle à BC qui rencontre AB, AC en p, y et que p', y' 
soient les conjugués harmoniques de p, y relativement à AB, AC, 
les deux droites Cp', B/ se coupent au point où la médiane, issue 
de A, rencontre le cercle ABC. Si L est ce point et que A' soit la 
symétrique de A relativement à L, les droites By, Cp se coupent 
sur le cercle BCA'. 

VI. — E, F étant deux points quelconques pris Tun sur le côté 

AC, l'autre sur le côté AB du triangle ABC, la droite menée par 

a' 
Ç qui divise BE dans le rapport — r-^ et la droite menée par B 

qui divise CF dans le rapport ^ se coupent au point de Le* 

moine. Noter le cas particulier à CE = a et BF = a, et le cas 
particulier où CE — -j-, BF = -. (Les sens positifs de CE, BF 
sont CA, BA). (A suivre). 

Le Directeur-gérant, 

G. DE LONGCHAMPS. 

•Anrr-AiiAND (ohu). — iMPMdmn BcinrrifiQUB bt uniKAiRS, bvssiArk fiéiiks. 

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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



169 



SUR 

LES CEllCLES BITANGENTS AUX CONIQUES 

Par M. A. TiMot 

[Suite, 1897, page i^^) 



CONIQUES BITANGENTES A DEUX CERCLES 

60. — Il ne s'agit plus ici que des coniques pour lesquelles les 
deux cercles bitangents sont d'espèces différentes. Leurs centres 
appartiennent à la circonférence qui a pour diamètre la ligne des 
centres des deux cercles. 

Pour Vune qicelconque de ces coniques, le point d'intersection 
des deux droites des contacts est l'un des nœuds des deux cercles 
par rapport à leur axe radical, et les saillants se trouvent, avec 
Vautre nœud, sur une même pe)^pendiculaire à la ligne des 
centimes. 

Soit il {fig, 35) le point de rencontre des droites des contacts 
de l'une des coniques avec les deux cercles. 
Ce point doit avoir la même polaire dans 
chaque cercle que dans la conique; il aura 
donc la même polaire dans les deux cercles. 
• Ainsi, il se trouvera sur la droite qui joint 
leurs centres H, H'; déplus, Q^ étant Tin- 
lersection de cette droite avec la polaire 
commune, et r, r' désignant les deux rayons, 
on aura 

(1) HQ.HÛi = r\ Hïi.H'ûi = r'K 

D'après cela, la circonférence décrite sur 
Qûj comme diamètre, couperait orthogo- 
nalemeot les deux cercles ; le milieu de QC2^ 
appartient donc à leur axe radical, et leurs 
nœuds, par rapport à cet axe, sont û et ûi. 

Quant aux saillants, chacun se trouve sur la polaire, par rap- 
port à la conique, du point de rencontre Î2 des droites des con- 
tacts ; or, on vient de voir que celle polaire est la perpendiculaire 
élevée en ûi sur HH'. 

11 y a lieu de se demander si, pour toutes les coniques bilan- 

JOURNAL DE MATH. lÉLÉM. — 1897. 8^ j 

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Fig. 35 



170 JOURNAL DE UATIUSyATiQUBS KLilIBNTAlRBS 

génies aux deux cercles, c esl ie même nœud qui sert de point de 
concours aux droites des contacts, ou si ce point de concours se 
trouve, pour les unes en Û, et, pour les autres, en U^. Supposons 
Jes deux cercles extérieurs l'un à l'autre, et considérons deux co- 
niques particulières formées, la première par une des tangentes 
extérieures aux deux cercles et une des tangentes intérieures, la 
seconde par la même tangente extérieure et l'autre tangente inté- 
rieure. Pour la première, le point de rencontre des droites des 
contacts sera en dedans de Tun des cercles ; pour la seconde, il 
sera en dedans de l'autre cercle; les deux points ne sauraientdonc 
coïncider. De là nous concluons qu'il y a bien deux groupes de 
coniques pour l'un desquels les droites des contacts partent du 
nœud û, tandis que, pour l'autre, elles partent du nœud û^. 

Dans les trois paragraphes suivants, nous n'envisagerons de 
chaque groupe que les coniques dont l'axe focal passe par le centre 
du même cercle, H par exemple; nous verrons ensuite comment 
elles se trouvent liées à celles dont l'axe focal passe par le centre 
de l'autre cercle. 

61. — Les coniques d'un même groupe sont semblables entre 
elles. 

Considérons une conique du groupe (û) dont Taxe focal soit OH 
(/î^. 35); abaissons, sur OH, OH', les perpendiculaires ÛK, ÛK'. 
Par suite de la similitude des triangles OHH, HKû, H'K'Û, les 
lignes H'û, Hû, HH' sont proportionnelles aux lignes OK, HK, 
OH ; celles-ci le sont à a% ^>^ c^ [22J ; on a donc 

^^ înï~Hû'~Hïr' 

ce qui démontre la propriété énoncée. 

Si l'on joint û à l'un des points de rencontre de deux coniques 
du groupe, on obtiendra une ligne qui sera bissectrice de l'angle 
formé par les droites des contacts de chaque cercle avec les deux 
coniques [58]. L'un des couples de sécantes communes à ces deux 
coniques sera donc orthogonal et aura son sommet en û. 

Pour une conique du groupe (ûj) dont Taxe focal passerait aussi 
par H, on aurait 

CKS -^ — Ai _ _£i! 

^'^ ll'Ûi~"lllii~HIl'- 



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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 171 

Si l'on mulliplie membre à membre les égalités (2) et (3), en 
ayant ép^ard aux relations (1), il viendra 

aa^ bbi cci 

d désignant la distance des centres des deux cercles. 

.(A suivre). 



NOTE SUR L'ARITHMETIQUE BINAIRE 

Par M. Ed. CoUignon, Inspecteur général des Ponts-et-Ghaussées, en retraite. 
(Suite et fin, v. 1897 î P» '48). 

PARTAGE DE LA CIRCONFÉRENCE 

On sait inscrire dans le cercle, avec la règle et le compas, des 
polygones réguliers de 3, 4ï 5» 6, 8, 10, 12, i5, 17... côtés. On 
peul aussi combiner entre elles ces diverses divisions de la circon- 
férence, de manière à réaliser d'autres divisions. C'est ainsi, par 
exemple que le pentédécagone se déduit de Tbexagone et du 
décagone par la relation 

i^ j^ \_ 

i5~6 10* 

Proposons-nous de diviser la circonférence en soixante parties 
égales. On y parviendra en prenant le quart du quinzième. On 
peut aussi y arriver en combinant d'autres fractions de la circon- 
férence entière. Décomposons 60 en deux facteurs premiers entre 
eux, la X 5, et posons 

60 5^12' 

07 et y représentant des nombres entiers. On en déduit 

12a; -h 5y = 1, 

équation dont la solution générale est, en appelant t un nombre 
entier quelconques positif ou négatif, 

jr = 5< — 2, 
y =zS — 12t. 

Nous aurons la solution qui admet les moindres nombres en 



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172 JOURNAL DE MATUÉàlA TIQUES ÉLÉMENTAIHES 

valeur absolue en posant ^ = o. Il viendra 

X = — 2, y = 5, 
et Ton a 

1 5 2 

6o 12 5* 

Mais on peut aussi déconnposer 12 en deux fadeurs premiers 
entre eux, 12 = 3 X 4, et poser, 

— = ^H->, ou bien 4^ -h 3îi = 5. 
12 6 4 

On trouvera pour solution générale 

z = 31' ^ 1, 
w = 3 — 4^', 

et la solution la plus simple, pour ^' = 0, est ^ = — 1, w = 3, 
c'est-à-dire 

i2""4 3' 

ce qui conduit à poser en définitive 

j__3__j, _ 2 
60 "~ 4 3 5* 

En partant de la décomposition de 60 en ses facteurs i5 et 4> 
puis en décomposant de même i5 en deux facteurs 3 et 5, on 
arriverait à une autre décomposition : 

L— ^__ i_i 
6o~~5 3 4* 

On obtiendra donc le côté du polygone régulier de 60 côtés en 
combinant par voie d'addition algébrique les arcs sous-tendus par 
les côtés du triangle équilatéral, du carré et du pentagone régu- 
lier. 

La division de la circonférence en 60 parties égales est utile 
pour l'inscription des minutes sur le cadran d'une borloge. 
Examinons comment l'opération devrait être dirigée pour obtenir 
Tare d'un degré, ou pour inscrire dans le cercle le polygone régu- 
lier de 36o côtés. Ou décomposera la fraction ^^ en fractions 
simples, ayant pour dénominateurs les facteurs de 36o, premiers 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES i73 

entre eux deux à deux : 

36o = 5 X 8 X 9» 
et on trouvera par l'analyse indéterminée, en adoptant la plus 
simple solution, 

36o""5 8 9* 

On sait diviser géométriquement la circonférence en cinq par- 
ties égales et en huit parties égales, mais on ne peut la diviser en 
neuf. On peut, il est vrai, la partager en trois, et il restera à 
subdiviser en (rois parties égales Parc sous-tendu par le côté du 
triangle équilaléral. Ici la solution peut être fournie par Tarithmé- 
tique binaire, en appliquant le développement 

3 "^ 2^ "^ 2* "^ 2« "^ •*• 

= 0,01010101... ; 

ce complément de la solution est seul approximatif. 

Soit proposé de parlager une circonférence en parties propor- 
tionnelles à des nombres entiers donnés jo, q, r,.... 

Soit S:=p -i- q -{- r -\- ... la somme des nombres donnés. Le 
problème est ramené à partager la circonférence en S parties égales. 

Si le nombre S rentre dans ceux pour lesquels le partage du 
cercle puisse se faire géométriquement, la question est immédiate- 
ment résolue. Supposons, par exemple, qu'on demande de partager 
le cercle en trois parties proportionnelles aux nombres 3, 4 et 5. 
La somme S est égale à 12, et il suffira d'inscrire dans le cercle le 
dodécagone régulier. La solution sera donnée par les arcs qui sont 
sous-tendus respectivement par les côtés du carré inscrit, du 
triangle équilatéral, et du dodécagone régulier étoile. 

Si S n'est pas le nombre de côtés d'un polygone régulier ins- 
crîplible, on pourra toujours trouver un multiplicateur entier x 
tel, que le produit Sx soit égal à 2'^ — 1, {x étant un exposant 
entier qui reste à déterminer. Puis on substituera à la fraction ^ 

la fraction ; elle conduit à un développement binaire, qu'on 

2^ — 1 
peut arrêter à un terme suffisamment petit, à titre d'approxima- 
tion. 



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174 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉlÉMKNTAIHES 

Pieiioûs pour exemple le partage d'une circonférence en trois 
parties proportionnelles aux nombres 6, 7 et 8. La somme de ces 
nombres est 21 = 3 X 7« Pour trouver une puissance de 2 qui, 
divisée par 3 et par 7, laisse pour reste l'unité, il faut aller 
jusqu'à 2* = 64 ; car 63 est divisible à la fois par 3 et par 7. Nous 
poserons donc 

» __j__!iiî!_,/» . 1 . » ^ \ 

ÎI — ¥^^ T — ^\7« "^ ?5 "^ 5" "^ -7 



= 0,000101000101. 



fraction qui montre comment doivent être dirigées les bissections. 
Voilà la méthode directe. Mais dans le cas particulier observons 

que les parties cherchées sont — , -Z-, — , et que la seconde 

-Z- = - . Par conséquent, la seconde des parties cherchées est l'arc 

sous-tendu par le côté du triangle équilaléral. Cette partie est 
connue exactement d'avance. Il reste alors à partager propor- 
tionnellement aux nombres 6 et 8 les deux tiers de la circonfé- 
rence. Ces nombres donnés sont proportionnels à 3 et 4» dont la 
somme est 7. 11 suffit donc de diviser Tare en sept parties égales, 
ce qui se fera par l'application du développement binaire 

1 1 . I 1 

- = —a H- -ï -t- -g -H ... = 0,001001001... 
7 2' 2" 2' 

^ prolongé autant qu'on le voudra. 

RELATIONS MÉTRIQUES 

ET TRIGONOMÉTRIQUES 

ENTRE LES ELEMENTS LINEAIRES ET ANGULAIRES 

DU QUADRILATÈRE INSCRIT COMPLET 

Par M. Leeocq, ancien professeur au Lycée d'Avignon. 

(Suite, 1897; p. i5i). 



28. — Lieux géométriques. 

Si SLQT étant fixe, on fait varier a et p, p étant une fonction 
connue de a, les quatre sommets du rectangle i^^^hK ^^ déplace- 



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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 175 

ront sur des courbes délerminées, et les quatre sommets du qua- 
drilatère ABCD, sur des courbes corrélatives. 
Du n® 17 on tirera : 

Pour le point C 

"^-(ï--)(S-yr ,,„, "-5^y> 

(ï - ^)P — (0 — y)* = ïy — ^^> P = -^; 

pour le point A 

(y - 0^)3 - (8 - y)« = 8x - Yy, P = -:^: 

pour le point B 

/^- (Y-.)(8-,)' ,,„, ' — 8-.y' 

(ï - *)P + (8 - y)« = W - 8a;. P = f^î 

pour le point D 

„ 8-fxti 8a7 

(y _ x)P H- (8 - y)« = 8a: - Yy. p = _A; 

aux solutions conjointes qui donnent a et P en fonction de y et x, 
on ajoutera 

<p étant une fonction connue, et l'on aura immédiatement l'équa- 
tion du lieu, savoir 

Y— a: n S — y/ 
exemple : le point J^ décrit la droite : 

a B 

les lieux décrits respectivement par C, A, B, D auront pour équa- 

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176 JOURNAL 0£ MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 

lions : 

(C) AYt/2_i_ABj'2/4-B8x2 — A7(B-i-o)y— B8(AH-Y)^-f-ABaY=o, 

(A) A^y^ — k^xy -h BSj;^ h_ Ay(B — l)y -h Bo(A — 7>r— ABoy= o , 

(B) Avy2_,_ABj:2/ — BoA^2__AY(B-ho)î/— Bô(A— Y)a7-+-ABoY=o, 

(D) AY2/2_ABjrî/--Bô;r«-i-Av(B — o)2/h-Bo(Ah-y)x— ABoY=o- 
Autre exemple : si 

p étant une constante, les quatre points A, B, C, D parcourent 
les différents arcs d'une même courbe dont l'équation est 

8^a?^ yY __ 2 

c'est ce qui arrive en général pour toute fonction de a et p renfer- 
mant des puissances paires de ces coordonnées. 

Nota. — On vérifiera que si l'un des sommets se trouve sur le 
cercle de centre et de rayon R, les trois autres sommets sont 
sur le môme cercle. 

Récriproquement, si Ton donne la courbe parcourue par l'un 
des sommets du qudrilatère, on trouvera celle engendrée par l'un 
des points J. 

Exemple. — Pour que G soit assujetti à parcourir la ligne 
droite 

^ . y 

il faut que les coordonnées a, p du point Ji satisfassent à l'équa- 
tion (AB — AS — BY)ap H- A8yP h- BSy» — ABÔy = o. 
Autre exemple : soit 

on aura : 

YV(ô — p)2 4- 82p2(Y — a)« = p2(8Y — ap)2. 

On peut de même trouver les lieux de points autres que les 
sommets et qui se rattachent au quadrilatère. 
Par exemple les coordonnées du centre étant : 

c2p2 _ 82^2 » y — Qjapa __ 8-^Y^ ' 



on en déduit : 



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JOURNAL DB UATHéMATIQlIBS BtéuRNTAIRIS 177 

d'où 

a- = , 

X — f 

P -y-8' 
de sorte que si, par exemple^ on donne : 

le lieu du point sera représenté par 

y* — I- ^Tw -+- â?2 _|_ r — ^ y _^ r l. x -— p^ = o. 

Comme point rattaché au quadrilatère, ou pourra choisir son 
centre de gravité dont les coordonnées sont : 

^~ 3(8V — a^p^)» 

' 3(aY--a^P')' 

Remarque. — Enfin, le point T lui-même peut être mobile, et 
Ton trouvera de nombreux lieux géométriques, en variant les con- 
ditions disponibles. 

Observation générale, — Les formules établies dans ce travail 
sont presque toutes calculables par logarithmes ; encore les autres, 
telles que celles de LA, LB, LC, LD (n° i4) n'exigent-elles qu'une 
légère transformation. On peut donc choisir facilement des exer- 
cices de calcul logarithmique dans le cours des pages qui pré- 
cèdent. [A suivre), 

NOTICE HISTORIQUE 

SUR LA GÉOMÉTRIE DE LA MESURE 
Par M. Anbry 

(Suite, voir 1897, page 162) 



OPUS GEOM. — LIB. IX 

On appelle onglet (ungula) le solide déjà remarqué par Kepler, 
et obtenu en coupant un cylindre par un plan passant par un dia» 
mètre du cercle de base. 

JOURNAL DE MATH. ÉlÉil, — 1897. 8. 

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178 



JOURNAL DK MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



V. — Dans la hase d'un demi-cylindre y inscrivons un triangle 
isoscèle; dans les deux segments, deux triangles également isos- 
cèles y et ainsi de suiie. Le prisme ayant pour hase le polyèdre 
ainsi formé différera du demi- cylindre aussi peu qvCon voudra. 
Démonstration analogue à celle de la proposition II du livre XII 
d'Euclide. 

VI. — La même construction faite dans un onglet donnera 
lieu à la m^me conclusion, 

VII. — Les volumes de deux onglets produits dans un même 
cylindre sont comme leurs hauteurs. Supposons les deux onglets 
sur la même base : les prismes inscrits dans chacun de la manière 
indiquée plus haut (V et VI) seront dans la proportion indiquée. 
D'après le théorème d'Eudoxe, il en est de même à la limite des 
deux onglets, à cause de VI. 

Remarque, — On a vu (lib. VÏI, prop. XLVII), que le solide 
représenté (/î^. 61), et formé de deux onglets retranchés par des 
plans à 45** est égal au tétraèdre ayant pour base un demi-carré 
dont le côté est égal au diamètre, et la hauteur égale à ce même 
diamètre. L'onglet à ib° est donc égal à la moitié du même té- 
traèdre. Par conséquent, d*Hprès\lUy un onglet qtielconque est 
égal au douhle du tétraèdre qui lui est inscrit. Aussi, à présent, 
par le mot onglet, nous entendrons l'onglet à 45®, le volume de 
l'onglet quelconque s'y rapportant par une simple proportion. 

XX. — Le solide produit par le demi-cercle ductum in se 
(fig, 61) est à un autre semhlahle comme les cuhes des diamètres. 
Conséquence de VI et du théorème d'Eudoxe, 

XXI. — Coupons V onglet EDFd {fig, 61, ^%)par un plan AB 

ab perpendiculaire 
à la hase et parallèle 
au diamètre EF : 
Vonglet est à la par- 
tie retranchée 
3 




Fig. 61 
= KM.KN = KM(2.0G 




à AC . 



DAadbB comme OE 

On a 

KL^ = KA.KR 
KM) = KW -h KM.GC, 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



179 



donc le solide produit du cercle ductum in se égale celui du seg- 
ment AMB ductum in se augmenté du cylindre ayant ce segment 
pour base et GC pour hauteur. Ou bien, en prenant moitié, Ton- 
glet du demi-cercle ALB égale l'onglet du segment AMB plus le 
cylindre ayant ce segment pour base et OC pour hauteur. 

De là la mesure de l'onglet abd formé sur un segment par un 
plan à 45^, et par suite de celui formé par un plan quelconque. 

CoroL I. — Si BA est le côté de V hexagone t la partie de Vonr 
glet retranchée par le plan BAa est double de celle retranchée 
par les plans EAa, FB&. De plus, le volume du solide restant est 
égal aux trois quarts de celui de Vonglet. 

CoroL 11. — L'onglet est égal à la 7noitié du cylindre ayant 
pour hase la parabole inscinte dans le demi-cercle et une hauteur 
égale aie rayon, 

XL. — Considérons les arcs circulaires égaux BP, PE, ED,.. 
DC {fig. 63), et abaissons les ordonnées 
PK,...GG \ona 

PB. PK -t- PJKPK -H El) -h PB(EI H- 
+ PB(DH -+- CG) = AP.BG. 

En effet, d'après un théorème donné Fig. 63 

par Pappus pour la mesure de la sphère, 

soient les deux demi-cordes CG, DH (fig. 64) et le diamètre per- 
pendiculaire OG ; menons le diamètre DK et la 

^ perpendiculaire CL à DH : les triangles CIL et 

CDK sont semblables et on a 





CD 
CK 



CL 

rr 



Fig. 64 



On voit que c'est le théorème XXII d'Archi- 

mède, démontré autrement. 

{A suivre). 



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180 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉxMENTAIRES 

EXEHCiCESO 

Par M. Bernèfl 



VII. — Si D, D' sont deux points quelconques pris sur BC 
dans le triangle ABC et qu'on divise AD dans le rapport jrrr 

par une droite issue de C, et AD' dans le rapport nry , par une 

droite issue de B, ces deux droites se rencontrent au point de 
Lemoine. Cas particulier où Ton prend CD = b, BD' = c ; cas 

c^ b^ 

particulier où BD' = — et CD = — . (Le sens BC est supposé le 

sens positif BD'; le sens CB est le sens positif de CD). 

VIII. — Un point D étant donné sur le côté BC du triangle 
ABC, déterminer sur AC un point E et sur AB un point F tels que 
si a est la rencontre de BE, GF, ^ celle CF, AD, y celle de AD, 
BE, les trois droites Aa, Bp, Cy soient parallèles. 

IX. — Le cercle décrit sur le côté BC du triangle ABC comme 
diamètre coupe AC, AB en B^jC, et M est le milieu du segment 
de la droite B^C^ compris entre BC et la parallèle à BC menée par 
A. La droite isogonale de BM relativement à l'angle B coupe CA 
en p, et la droite isogonale de CM relativement à Tangle C coupe 
AB en y» Démontrer que la droite Py P^S's® P*** ^® P^^"^ <1®^®" 
moine et par le centre du cercle ABC. 

X. — i** La droite qui joint les pieds des symédianes issues de 
B et C, celle qui joint les pieds des hauteurs issues des mêmes 
points, et celle qui joint les points où les rayons BO, CO du cercle 
ABC coupent AC, AB sont concourantes. 

1^ Si M est le point de concours, les isogonales de BM, CM rela- 
tivement aux angles B, C rencontrent AC, AB sur la droite d'Euler 
OH. Généraliser. 

XI. — On considère un triangle ABC et la circonférence cir- 
conscrite. Un point D étant donné sur celle-ci, déterminer sur 
AB, AC deux points E, F tels que si a est la rencontre des circon- 
férences AGE, ABF et p, Y les points où ces mêmes circonférences 

C) Voyez p. 167. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 181 

rencontrent AD, les deux circonférences AB?, ACy soient tan- 
gentes à Aa. 

XII. — Dans un triangle ABC, les tangentes en A, B, C au cercle 
ABC rencontrent les côtés opposés en L, M, N ; les parallèles h 
AL par B et C coupent AC, AB en X, X' ; les parallèles à BM par 
C et A coupent BA, BC en jx, jx' ; et les parallèles à CN par A et B 
coupent CB, CA en v, v'. Démontrer : i° que les triangles AXX\ 
B[i[i', Cvv' sont équivalent au triangle ABC, et aussi les triangles 
LCX, LBV, MAfx, MC|Ji', NBv, NAV. 2° Que les droiles |jiv', vV, Xjx' 
sont parallèles à la droile LMN et que leurs longueurs sont pro- 
portionnelles à a^f b^, c*, les distances MN, NL, LM étant propor- 
tionnelles à b^ — c*, c"^ — a^y à^ — 6^ 3^ Que les cercles Ap/, 
BvX', CX(i' ont leurs centres w, w', w" respectivement sur les mé- 
diatrices de BC, CA, AB et que leurs rayons sont proportionnels 
à a, b, c. 4° Que le triangle aPy formé par les intersections deux 
à deux des droites Ato, Bw', Gtù" (dans Tordre habituel) est inver- 
sement semblable à ABC. 5** Que si D, E, F sont les intersections 
de îJLv', vV, \^ avec BC, CA, AB, les droites AD, BE, CF sont pa- 
rallèles; et si S est le point de Steiner, ces droites sont isoto- 
miques de AS, BS, CS relativement à BC, CA, AB. 

XIII. — Dans un triangle ABC, on mène par A un couple quel" 
conque de droiles isogonales relativement à A, par B un couple 
quelconque de droites isogonales relativement à B, et par C de 
même un troisième couple. On coupe ces trois couples en a, a' ; 
P> P'î Y» y' par trois droites parallèles. Démontrer que les tan- 
gentes en A, B, C avec trois cercles Aaa', Bpp', Cy-y' renconirent 
le cercle ABC au même point. 

XIV. — Sur les côtés AB, AC d'un triangle ABC on suppose 
deux points E, F situés sur une parallèle à BC. Sur BF on prend 
deux points P, P' isotomiques relativement à BF et sur CE deux 
points Q, Q' isotomiques relativement à CE. Les droites CPj BQ 
se coupant en T, et les droites CP', BA' en T', démontrer que 
AT, AT' sont isotomiques sur BC. 

XV. — E, F étant supposés quelconques sur AB, AC, on prend 
sur BF deux points P, P' et sur CE deux points Q, Q'. Les droiles 
CP, BQ se coupant en T, et les droites CF, BQ' se coupant en T', 



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182 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

démuulrer que la condition pour que AT, AT' soient conjuguées 
harmoniques relativement à AB, AC et que les deux rapports 
anharmoniques (BFPP'), (GEQQ') soient égaux et de signes con- 
traires. Plus généralement on a : A,BCTr = (BFPF) : (GEQQ'). 

XVI. — Dans un triangle ABC, M étant la rencontre de la mé- 
diatrice de AB et de la perpendiculaire en G à AO, N celle de la 
médiatrice de AG et de la perpendiculaire en B à AB, démontrer : 
1^ que MN est perpendiculaire à la symédiane issue de A et passe 

3 
aux -j de la corde interceptée sur cette symédiane par la circonfé- 
rence ABC. 2® Les côtés MN, NA, AM du triangle AMN sont pro- 
portionnels aux médianes du triangle ABC, et le centre du cercle 
ABC est le centre de gravité du triangle AMN. 3^ Les points où BM 
est coupé par la médiatrice de AG et CN pur celle de AB sont équi- 
distants de BC. Expression de cette distance en fonction de a,&,c. 

XVII. — 1** La droite qui joint rorthoeentre H d'un triangle ABC 
au milieu du côté BC est perpendiculaire à la droite AL conjuguée 
harmonique de AH relativement à AB, AC. a'» Si, R étant le rayon 
du cercle ABC, on porte sur AH dans le sens AH une longueur 

aR* . . 

AF égale à ^tt > la droite qui jomt F au centre du cercle ABC 

est perpendiculaire sur la conjuguée harmonique de AO relative- 
ment à AB, AC. 

XVIII. — Sur les trois côtés d'un triangle ABC BC, GA, AB on 
suppose trois points l^ m, n satisfaisant aux relations : 
t^m.Bn = AB.AG 
An.GZ =BG.BA 
BZ.Awi == GA.GB 
où les longueurs sont considérées en grandeur et ligne. 
1° Montrer qu'ils satisfont aussi aux relations 



AC AB 
km An 
BA B/ 



1 Am "^ An ' 



GB CA 

et que l'un de ces points reste arbitraire. 



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JOURNAL DR UATHEMATIQUBS ÉLÉMRNTAIRES 183 

2^ Les droites A^, Bm, Cn sont concourantes, et quand l, m, n se 
déplacent, l'isogonal de ce point de concours parcourt la droite de 
Lemoîne. 

3^ Les deux circonférences qui passent par ^ et sont tangentes 
Tune en B à BÂ, l'autre en C à CÂ ; celles qui passent par m et 
sont tangentes en G à CB, en A à AB ; celles qui passent par n 
et sont tangentes en A a Ac, en B à BC, se coupent en un même 
point P situé sur la circonférence ABC. Les distances de P 
aux trois sommets À, B, C sont données par BC.PA = Am.PB 
= — An.PC, ou encore — B/.PA == GA.PB = Bn.PC, ou C/.PA 
= — Cm. PB = AB.PC, et la distance de P à /, m, n sont don- 
nées par 

j,, PB.PC p PC.PA ^ PA.PB 

Ces relations sont des équipollences, c'est-à-dire qu'elles expri^ 
ment une propriété angulaire en même temps qu'une propriété 
métrique. 

XIX. — Sur les trois côtés BC, CA, AB du triangle ABC on sup- 
pose trois points Zj, m,, n, satisfaisant aux relations 

AC^AB_BA BC CB CA __ ^ 

Am, "^ Ani ~ ^' Bn, "^ m, "" ^ ' C/^ "^ Cm^ """ 

1° Montrer que l'un d'eux reste arbitraire, et qu'ils sont tous 
les trois sur une ligne droite qui passe parle centre de gravité G 
du triangle ABC. 

2» Si °, i, j désignent les valeurs des trois rapports .^— * 
■jrp, ^-^ dont le produit est égal à l'unité, on a 

g.G^i 6.Gm^ cGn^ 

a - p - f • 

3* Plus généralement, si par un point fixe Q(a?j, j/|, z^) on trace 
une droite quelconque qui coupe BC, CA, AB en l^, m^, 7?^ on a 
la relation 

a\Anj Am,/ 6\B/[ Bn,/ c\Cmj C/,/ abc 

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184 JOURNAL DE MATHEMATIQUES KLKMBNTAIRBS 

et 

0^ Qnii Qn^ 

Dans ces relalious BG, GA, AB représentent l'orientation positive 
des longueurs comptées sur ces droites, où a, p, y ont la même 
signification. 

XX. — L, M, N étant trois points en ligne droite situés sur les 
côtés BC, CA, AB d'un triangle ABG. 

1° Les tangentes en A, B, C aux trois cercles AMN, BNL, CLM 
rencontrent le cercle ABG en un même point S. Et si les parallèles 
menées par A, B, C à la droite LMN rencontrent les côtés opposés 
en Ap Bj, Cj, les distances SA, SB, SG sont inversement propor- 
tionnelles à ûT.AAj, è.BBj, c.GG. 

•2° Les trois cercles AMN, BNL, CLM coupent le cercle ABG en 
un même point P, et Ton a 

g.PA _ &JPB _ c^ 
MN ~" NL — LM • 

3° On a aussi les relations : PA.PL = PB.PM = PG.PN. Et ces 
relations sont des équipoUences, c'est-à-dire qu'à la propriété mé- 
trique qu'elles expriment s'ajoute celte propriété angulaire : que 
les angles A PL, BLM, GPN ont môme bissectrice. 

Si la droite LMN est la droite de Lemoine, le point S est le point 
de Steiner ; et si LMN est la droite qui joint le point de Lemoine 
au centre du cercle ABG, le point S est le point de Tarry. Plus 
généralement, si deux positions de la droite LMN font un certain 
angle cp, l'arc du cercle ABG qui est compris entre les deux posi- 
tions correspondantes de S est égal à 2cp. 

XXI. — Par B et G, on fait passer un cercle to qui coupe en D la 
droite de Lemoine du triangle ABG. AD coupe le cercle t» en E et 
le cercle ABG en L. Si M et N sont les points où les cercles AGE, 
ABE coupent respectivement AB, AG. 

1*^ Les parallèles menées par M, N à AG, AB^ se coupent sur BC, 
en un point P ; 

2° Les cercles LBP, LGP sont tangents, le premier à AB, le se- 
cond à AG; et les cercles MBP, NGP sont tous les deux tangents 
au cercle ABC. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 185 

XXII. — Un cercle de rayon arbitraire ayant pour centre le 
sonamet A du triangle ABC coupe BG en D, E. Les symétriques 
de D, E relativement à AB pour Tun, à ACpour l'autre sont D\E', 
et les droites CD\ BE' rencontrent AB, AC en F, G. Démontrer 
que, le 4^ sommet du parallélogramme construit sur AF, AG 
étant L, AL est la symédiane de ABC et que la polaire de L relati- 
vement au cercle passe par le centre du cercle ABC. 

XXIII. — étant le centre du cercle circonscrit à ABC, et les 
perpendiculaires en à AO, BO, CO rencontrant les trois symé- 
dianes de ABC en K, K', K", démontrer que la somme algébrique 
des projections de AK, BK', CK'' sur une droite quelconque du 
plan est égale à zéro. 

XXIV. — D, D', D' étant trois points pris sur les côtés BC, CA, 
AB de ABC, démontrer que la condition pour que la somme algé- 
brique des projections de AD, BD\ CD" sur une droite quelconque 
du plan soit égale à zéro est que D, D', D" divisent respectivement 
BC, CA, AB suivant un même rapport. 

XXV. — Les trois droites AD, BD', CD'' de la question précé- 
dente se coupant deux à deux en Ai, Bi, Ci (dans Tordre habi- 
tuel), trouver la condition pour que AD, AD', AD'' soient propor- 
tionnels aux côtés BiCi, CiAi, AiBi du triangle AiBiCi. Maximum 

B C 
et minimum du rapport -^ . 

XXVI. — Al, Bi, Cl étant définis comme dans la question précé- 
dente, trouver la condition pour que la somme des projections de 
AAi, BBi, CCi sur une droite quelconque du plan soit égale à 0. 

XXVII. — Un point D étant donné sur BC en détermine deux 
autres D', D" sur AC, AB par la condition que les trois aires 
AD'D", BD"D, CDD' soient équivalentes et de même sens. 

XXVIII. — Si Ton désigne par — K, — K', — K" les trois rap- 
ports suivant lesquels les trois points D, D', D" divisent respec- 
tivement BC, CB, AB et qu'on pose 

( 1 + K' -h K'K'' = e, f 1 H_ KK' -h K^K'K' = t, 

j H- K" -h K'K = 6', et ) 1 -+- K'K* -f- KK'^K" = f, 
/ 1 + K H- KK' =6", ( 1 -+- K'K H- KK'K'^ = t\ 

Démontrer : i** Que dans le triangle DD'D" et dans le triangle 



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186 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

ABC le cenlre des dislances proportionnelles des sommets affectés 
des coefûcients (i + K)e, (i -h K')6', (i -+- K^)6'' est le même. 
2* Si AjBjC^ est le triangle formé par les intersections de AD, 
BD', CD'' le centre des distances proportionnelles des sommets 
affectés des coefûcients 6/, 6'/', ^"t" est le même pour A^BjC^ que 
pour ABC. En particulier si K = K' = K* le centre de gravité 
est le même dans les trois triangles ABC, DDW, A,B,C,. 

XXIX. — On considère un triangle ABC et le point A' symé- 
trique de A relativement au milieu de BC : i° Le cercle C(è) et le 
cercle ACA' se coupent en p sur la symédiane issue de A', le cercle 
B(c) et le cercle ABA' se coupent en y sur la même symédiane. 
2° p\ y étant les intersections de C(ô), B(c) avec la médiane, les 
quatre points p, y> P', t' sont sur une même circonférence qui a 
pour centre K'^^ Si I est la rencontre de Cp, By et M celle de 
Cp\ By', les points I et I' sont sur la circonférence BCA' et 
AI =: AF. Les triangles lyP, FPY sont, Tun directement, l'autre 
inversement semblables à CAA'. 

XXX. — Dans un triangle ABC, les perpendiculaires abaissées 
du milieu D de BC sur AB, AC rencontrent AB, AC en 8, l' ; D8 
rencontre la médiane BE en P et D8' la médiane CF en Q : i** a, a' 
étant les rencontres de AP, AQ avec BC, les droites 8a, 8'a' passent 
par le symétrique A' de A relativement à D. 2° La parallèle à AD 
menée par Forthocentre et la droite PQ rencontrent BC en deux 
points qui sont conjugués harmoniques relativement à BC. 
3** LMsotomique P' de P relativement à BE est sur la médiatrice 
de AB, et Tisotomique Q' de Q relativement à CF est sur la mé- 
diatrice de AC. 4° CP', BQ' se coupent sur le rayon AO du cercle 
ABC, et CP, CQ sur la droite isotomique de AO relativement à BC. 
5** Si dans un triangle A^BjCj construit avec les trois médianes 
AD, BE, CF pour côtés, on considère les points P'j, Q'j définis 
comme F, Q' et que 0^ soit le centre du cercle A^B^Cj, le rapport 
suivant lequel CjP'^, BjQ', divisent A^O^ est égal au rapport sui- 
vant lequel AO est divisé par CP, BQ'. 

{A suivre). 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 187 

EXERCrCES 

Par M. A. Bootla 



448. — Dans la suite de Fibonacci, oà u^ = o, les nornWes : 
u*i6n-s» u*i8ii-i» ^*i5n+i» *^*i8n+2> ^<^^^ terminés par Vunité. 

449. — AjBjC^ étant le triangle podaire d^un point quel- 
conque M du plan d'un triangle ABC ; les droites de Newton 
des quadrilatères MB^CjA, MAjC^B, MA,BjC, sont trois droites 
concourantes. 

Ces droites concourent aa centre M' du cercle circonscrit à AiBiCi, M' 
est le milieu de MMg (M2 inverse de M dans ABC). On peut remarquer 
que M et M' sont deux points inverses dans le triangle qui a pour sommet 
les centres des cercles circonscrits aux quadrilatères considérés. 

450. — S,| étant la droite de Simson relative à un point 
quelconque M de la circonférence circonscrite à un triangle 
ABC, le centre de cette circonférence, si on mène par 0^ 
{centre du cercle des neuf points) une droite parallèle à OM et 
de même sens, elle rencontre en M, la circonférence des neuf 
points; soient enfin. A,, Bj, C, les milieuœ des côtés de kBG. Les 
côtés de ce triangle ABC et S^^ forment un quadrilatère dont la 
droite de Newton est N^^. Démontrer que ; 

10 Mj est sur S^ ; 

ao S,( et N^ sont rectangulaires ; 

30 N^ est la droite de Simson de M^ par rapport au triangle A^BiCi. 

11 en résulte que si M décrit la circonférence circonscrite à ABC, 
N„ enveloppe une hypocycloïde à trois rebroussements. 

451. — La droite harmoniquement associée à un point quel- 
conque M du plan d'un triangle forme avec les côtés de ce 
triangle un quadrilatère complet ; si M décrit une droite^ la 
droite de Newton de ce quadrilatère pivote autour dun point 
fixe. 

452. — Les côtés d^ un pentagone quelconqt^ pris quatre à 
quatre de toutes les manières possibles forment cinq quadrila* 
tères. Démontrer que les cinq droites de Newton correspondant 
à ces quadrilatères concourent en un même point. 



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18S JOURNAL DK MATHEMATIQUES étEMENTAlRES 

On pourrait appeler ce point : point de Newton du pentagone. 
Si ABC est un triangle coupé par deux transversales quelconques dont 
les équations sont (en coordonnées barycentriques) : 

les droites de Newton des quadrilatères formés par le triangle et cha- 
cune de ces transversales ont pour équations : 

S»(Pi + Yi — «i) = o, 2a(p2 + V2 — «2) = o. 
Ces droites se coupent au point : 

a ^ ? ^ . ^ . „ 

ai(p2— T2)— a2(Pi— Yi) Pi(Y2— a2) — P2(Yi — «i) Yi(*2— ?2) — Y2(ai--Pi) ' 

On constate aisément que les trois autres droites de Newton passent par 
ce point. 

On en déduit que les côtés d'un hexagone quelconque pris quatre à 
quatre de toutes les manières possibles, forment quinze quadrilatères, 
dont les quinze droites de Newton concourent cinq par cinq en six points. 

453. — On Joint un point M de la circonférence A, circonscrite 
à tin triangle ABC, aux trois sommets de ce triangle; on mène 
les droites qui joignent respectivement les milieux des côtés de 
ce triangle aux milieux des droites MA, MB, MC. Démontrer que : 

1** Ces trois droites concourent en un même point M'. 

^° Le lieu géométrique de W quand M décrit A est la circon- 
férence des neuf points du triangle qui a pour sommets les 
milieux des côtés de ABC. 

3** La droite qui joint M' au milieu de 00g est parallèle à OM 
et en est le quart. 

Prenons pour triangle de référence le triangle AjBiCi qui a pour 
sommets les milieux des côtés de ABC; soient en coordonnées barycen- 
triques aj, pi, Yi» 1®8 coordonnées de M. On a la relation : 

Téquation d*une des trois droites considérées est : 

p ^ 2Pi + «1 + Yl 

Y 2Yi4-ai + pr 
les trois droites analogues se coupent donc au point : 

l - ï_ 



3«i + Pi + Yl 2P1 + «i + Yl 2Yi -f «1 -f- pr 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 189 

d'où 

^ ^ «1 + Pi H+yi Pi + Tl 

L'équation du lieu de M' s'obtient en éliminant : aj, Pi, y^ entre (i) et 
(2), ce qui donne : 



z 



>+>-. =°- 



a 



cercle des neuf points de AiBiGi. 
Le 3* se vérifie aisément. 
On peut généraliser par projection. 

454. — Si une droite passe par un point fixe^ la droite de 
Newton du quadrilatère formé par cette droite et un triangle 
ABC, enveloppe une conique inscrite dans le triangle qui a pour 
sommets les milieux des côtés de ABC. 

*i» Pi» ïi étant les coordonnées barycentriques du point fixe, on trouve 
pour équation de Tenveloppe : 



v'ailP + T - «) + V^Pi(a - P 4- Y) + V/Ti(a -|- p - y) = o. 

455. — à. et à! étant les dislances de deux poiiits fixes à une 

droite A, si on établit entre d et à! une i dation linéaire, telle 

que : 

Ad -\- Bd' = C, 

la droite A enveloppe une circonférence dont le centre est sur la 
lig7ie qui joint les points fixes. 

Soient pour axes, la droite des points fixes, et une perpendiculaire en 
son milieu, aa étant la distance de ces points ; on a les relations : 

X cos a -|- y sin a = p, 
k.{p — a cos a) + B(jp + ût cos a) = C, 
d'où pour équation de l'enveloppe : 

2 , / A~B\2 G' 

456. — da,db, de, étant les distances des sommets d*un triangle 
à une tangente quelconque au cercle circonscrit^ démontrer la 
relation : 

av^ 4- b\/di -h c/d^ = o. 

457. — Les distances d et à! de deux points fixes F, F\ à une 
droite étant liées par la relation : 

Ad^ 4- Bd'2 _^ cdd' = kS 



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190 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

démontrer que cette droite enveloppe une conique dont un des 
axes est dirigé suivant FF\ 

Si C = 0, A = B = I, que aa^ soit la constante et ac la distance des 
points fixes, on peut dire : 

L'enveloppe des droites telles qus la somme des carrés de leurs 
distances à deux points fixes est constante est un ellipse [ou une 
hyperbole) dont taxe focal est perpendiculaire au 7nilieu de la 
droite FF', 2C est la distance des foyers, 

458. — On considère un faisceau de2n~h i droites : A,, Aâv 
à^n + i) concourantes en un même point H, et numérotées dans 
tordre oit on les rencontre dans un même sens de rotation. D'un 
point quelconque A, de ^^ on abaisse sur ^^ une perpendiculaire 
qui rencontre A3 ^^ A3, de A3 on abaisse une perpendiculaire 
sur A4 qui rencontre Av en A-, de A^ sur Ag une perpendiculaire 
rencontrant A, en A^, etc. Démontrer que le [contour polygonal 
ainsi formé se ferme de lui-même et constitue un polygone con- 
vexe c?e an H- 1 côtés. 

Au moyen de Ai H, et des angles successifs que les droites A forment 
entre elles, on calcule aisément tous les éléments de ce polygone. 

459. — Soient M, Mj, deux points inverses dans le triangle 
ABC ; on a : 

MA.sin BMC = MjA.sin BM,G == f(a, b, c), 
A un facteur constant près, si M et M2 désignent : 
et H, f{a, b, c) = sin aA, 

K et G, f{a, b, 0) = m', (m, médiane relative à a) 
I, f(a, 5, 0) = cotg ^, 

V «♦ V //^ A -\ cos CA — 3oo) 
y et V2, /(a, b, c) = \ 

Û et Q! (points de Brocard), /"(a, ô, <?) = -L, 

a 

460. — V, étant le premier centre isogone d'un triangle ABC, 
démontrer qiœ si par O^y on mène des parallèles à AVj, BVj, 
CVg, ces droites sont les tangentes aicx points de rebroussement 
de rhypocycloïde, enveloppe des droites de Simson. 

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JOURNAL DIS MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 11) l 

Les points Ai, B^, C^ du cercle circonscrit qui ont pour droite de 
Simson ces tangentes de rebroussement, sont tels que OAi, OBi, OCi, 
sont respectivement parallèles à AV2, BV2, GV2. 

461. — Soient ai, h^, Cj, les pieds des bissectrices intérieures 
d'un triangle ABC ; 07i projette a^ respectivement en Bj et Cj, 
respectivement sur AB et AC ; les droites analogues à B,C, dé- 
terminent le triangle A'B'C. — Démontrer que : 

1® Les triangles ABC, A'B'G sont homologiques; 

2° P étant le centre d*homologie, Vinverse Pg de P dafis le 
triangle ABC est situé sur 01, et partage cette distance dans le 
rapport : 

fil- ^ 
PjO — R ' 

3° a^, pj, Yi él^^l les projections de I sur les côtés de ABC, les 
droites A' oL^y B'p^, C'yj, concourent en un point M, situé sur PI. 
On trouve en coordonnées normales pour équation de BjCi : 
— a?(i + cos A) -f y cos B + -3- cos G = o, 
d*où pour équation de AA' : 

— y(i + 2 cos B) + z{i -{- 1 cos G) = o. 
Les droites telles que AA', concourent donc au point : 
(P) x{i 4- 3 cos A) = y (i + 2 cos B) = ^ (i + 2 cos G). 

L'équation de A'a^ est : 

X cos A(cos G — cos B) — y(i + cos B) (i + cos B + cos G) 
+ z(i -\- cos G) (i -+- cos B -)- cos G) = o. 

Les droites analogues concourent donc au point M, dont les coordonnées 
normales sont : 



;ir ; y : j- = (i + cos B + cos G) (i + cos A -f- cos B + cos G + a cos B cos G) : 



462. — Un triangle équilatéral A'B'G' se déplace en restant 
inscrit dans un cercle fixe ; P est un point fixe quelconque du 
plan. Les droites PA', PB', PC, rencontrent une seconde fois la 
circonférence en A, B, G. Démontrer que le lieu géométrique de 
Vorthocentre de ABC est une circonférence. 

Le lieu géométrique du centre de gravité et du centre du cercle des 
neuf points de ABG, est également une circonférence. 



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192 JOURXAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

483. — n étant u?i entier positif quelconque t démontrer que : 



3n _|_ ^2a + 3 çst divisible par 


i3, 


2n_^33n+2 


— 


7» 


3n ^_ 28»» + S 


— 


11, 


a»-+-5.27s^+* 


— 


17» 


a» 4- 3Tn+9 


— 


19, 


a^ + ô-as^^t-s 


— 


23, 


^n ^ 3170+ U 


— 


29» 


3^ _!_ 25n+lt 


— 


29. 


2" + 278^+ « 


— 


3i, 


31 _|_ ^ISn + 9 


— 


37, 


2f -H 2*»°+*^ 


— 


43, 


7^ _}_ 27n + 6 


— 


11, 


^n _^ ^lln+6 


— 


i3, 


511 _^ ^150+8 


— 


17» 


3n _!_ 720 + 11 


— 


23, 


7" -h ll5^+« 


— 


i3, 


50+3^ IjSn+i 


— 


17» 


1320+1 _|_ 1180+4 


— 


17» 


l3n_^ 31711+9 


— 


19- 



On peut trouver uae infiaité de relations du même genre. 

Ces propositions peuvent se démontrer d'une manière uniforme : soit 
en constatant que les résidus sont complémentaires par rapport au mo- 
dule ; soit en vérifiant la proposition pour les premières valeurs de n, et 
ensuite montrant que la proposition supposée vraie pour n est vraie pour 

QUESTION PROPOSÉE 

810. — Le point est le centre du cercle circonscrit au triangle 
abc et a', h' sont les pieds des hauteurs de ce triangle, issues de 
a, h : 

i^ aoh\ hoa' sont équivalents; 2® Le triangle aoh et le quadri- 
latère oa'ch' sont équivalents? {Mannheim). 

Le Directeur-gérant, 
G. DE LONGCHAMPS. 

SAINT-AMAND (CHER). — IMPRIMBRIB SCIENTIFIQUB ET LITTÉRAIRE, BUSSIARB FRÈRES. 

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JOUBNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENT AIRES 193 

SUR 

LES CERCLES BITANGENTS AUX CONIQUES 

Par M. A. TImoI 

(Suite, 1897, page 169) 



62. — Dans chaque groupe, le lieu des foyers est une ctrcoïi- 
fêrence concentrique au cercle hitangent de seconde espèce. 

Soit F {fig, 35) l'un des foyers; on a [49] 

H'F ==«?-'; 
H'F est donc constant. 

Cette expression de H'F donne, avec la seconde des égalités (i) 
et Tune des égalités (2), 

ÎTf' = HH'.H'Û, ; 

ainsi, le rayon du lieu est la tangente menée de H' à la circonfé- 
rence décrite sur HQi comme diamètre. 

63. — Soit S' [fig, 35) le saillant correspondant à Tune dos 
coniques et au cercle bitangent de seconde espèce ; soit G la pro- 
jection du centre sur HH'; menons 01 parallèle à celte dernière 
ligne jusqu'à sa rencontre en l avec S'û^. Les deux droites HH', 
S'û, étant perpendiculaires entre elles [60], les triangles sem- 
blables OHH', OIS' donneront HH'.OI = OH'OS'. Dans le premier 
produit, on peut remplacer 01 par Gûi; quant au second, il est 
égal à c^ [44] ; il vient donc 

HH'.Gûj = c\ 

ce qui permet de compléter les relations (2), et d'écrire 

y^) H'û "~ HÛ ~" HÏT "" ^"*' 

D'après cela, si, sur la circonférence HH', on a choisi ou déter- 
miné le point qui doit servir de centre à la conique, il sera facile 
de construire les éléments linéaires de cette conique. 

64. — De deux cercles bitangents à une conique et n'ayant pas 
leurs centres sur le même axe, celui de première espèce est inté- 
rieure l'autre, dans le cas de l'ellipse; il lui est extérieur dans le 
cas de l'hyperbole. 

JOURNAL DE MATH. ÉL^M. — 1897. 9 



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194 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



Géométriquement, il n*y a donc pas de conique bi tangente à 
deux cercles qui se coupent. 

Si Tun des cercles enveloppe Tautre, toutes les coniques bitan- 
genles seront des ellipses dont Taxe focal passera par le centre du 
plus petit. Elles formeront deux groupes dont chacun ne con- 
tiendra que des courbes semblables entre elles. Le lieu complet de 
leurs foyers se composera de deux circonférences concentriques au 
plus grand des deux cercles. 

Dans le cas de deux cercles extérieurs, toutes les coniques sont 
des hyperboles. Pour une première série d'entre elles, Taxe focal 
passe par le centre de Tun des cercles ; pour la seconde série, il 
passe par le centre de Tautre. En changeant, dans les égalités (4), 
H en H', et réciproquement, on voit que la seconde série est for- 
mée des hyperboles conjuguées à celles qui entrent dans la pre- 
mière. Dans chaque série, il y a deux groupes dont chacun ne 
contient que des courbes semblables entre elles. Le lieu complet 
des foyers se compose de quatre cercles, deux à deux concentriques. 

65. Problèmes. — Construire les éléments dhtne conique bi- 
tangente à deux cercles donnés, sachant de plus qu'elle doit être 
concentrique à Vun — ou lui être osculatrice — ou passer par 
un point donné — ou avoir pour tangente une droite donnée, 

{A suivre). 



NOTICE HISTORIQUE 

SUR LA GÉOMÉTRIE DE LA MESURE 
Par M. Aubrj 

(Suite^ voir 1897, page 177) 



XLL — Dans la hase AFB {fig. 65) dhui onglet, inscrivons un 
polygone régulier BCD...F, et cou- 
pons-le par les plans pei^endiculaires 
BCc, CDdc, DEed,... La surface laté- 
rale du prisme ainsi formé a pour 





î 




E 


i 


^ 




^ 


h 




A 


? < 




► ï 



/5Z±J^ 



Fig. 65 

Ee-i- 



Y)d 



mesure 



9B.AG 



En effet, cette surface 



s exprime par 

(F?-i-E£)BC-i-(E£-f-Da)BC+^ 



...)bc=.( 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



195 



CoroL — Si la demi circonférence (fig. 63) est divisée en un 
nombre quelconque d*arcs égaux BP, PE,...MA, on a d'après XL 

AB.AP 



PK4-ErH-...-+-MN = 



2. PB 



Donc la surface tolale du prisme (XLl) a pour mesure 
(fig. 65) C). 



AB.AH 



XLII. — A la base AFB d'un onglet (fig. 66), circonscrivons 
un segment de polygone régulier RQPNMB : la surface latérale 
du tronc de prisme circonscrit à V on- 
glet et ayant ce segment pour base a 
pour mesure, déduction faite du 
triangle BMm correspondant au côté 

BM, V expression — '- — . Désignons 









Fig. m 



par les petites lellres correspondances 
les intersections des arêtes du prisme 
avec le plan sécant, la surface indiquée a pour expression 

ÛR(F? -h Ee -+- D8 -+- Cy). 

On est encore ramené à XL. 

CoroL — La surface latérale du prisme total moins les deux 
triangles BMm, AS^ est donc toujours égale à la moitié du carré 
du diamètre. 

XLV. — La surface latérale de l'onglet est égale à la moitié 
du carré du diamètre. Conséquence des deux propositions précé- 
dentes. Démonstration par la méthode d'exhaustion. 

XLVL — La partie de la surface latérale de l* onglet corres- 
pondant à Varc CB {fig. 67) a pour mesure la moitié du rec- 



(•) Soit le centre de l'arc BC (fig. 63) : on aura pour la somme des 
prismes triangulaires tronqués POB, EOP, DOE, COD 

tri.OPB(^+SL^Jf+l£+5-^+M+Çoj=OB^(,.PK+xEI+3.DH+CG), 

d'où une autre manière de calculer le volume du prisme inscrit dans un 
segment d*onglet, et par là le volume de Tonglet lui-même. 



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196 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 




Fig. 67 



G D 



tangle de AB et de B^. De là, la mesure de la surface de ^l'onglet 
Q^„.~^^-n correspondant à un segment CD. 

LIV. — Les surfaces latérales de deux 
onglets sont comme leurs hauteurs. Consé- 
quences de XLT et de XLII. 

On a ainsi le moyen de mesurer le volume 
et la surface de tous les onglets construits sur le demi-cercle ou un 
segment quelconque et par un plan quelconque. 

CCV. — Mesure du cylindre parabolique et du segment de 
parabole. Soit le segment parabolique quelconque ABC {fig. 68) ; 

on a GI.GL = GR', 

donc le cylindre parabolique produit par GI ductum in GL est 
égal à la pyramide résultant de GK ductum in se. 
Celte pyramide étant égale au tiers du prisme GL 
ductum in se, il en est de même du cylindre. Le 
prisme et le cylindre ayant des hauteurs égales, 
la base du premier est donc le triple de celle du 
second, donc la surface AICD vaut le tiers du rec- 
tangle AC. 

LXXXVL — Deux onglets déterminés dans un cylindre para- 
bolique par deux plans d'égales incli- 
naisons sont comme les cinquièmes 
puissances de leurs cordes. Soient ADC, 
ALK {fig. 69) les bases des deux on- 
glets. Divisons HK et BC proportion- 
nellement en Q et P, puis menons des 
plans perpendiculaires qui déterminent 
dans les deux onglets les triangles sem- 
blables QNn, BMm. Le reste s'achève 
sans difficulté à cause de 




Fig. 68 




Nn 
Mm 



NQ 
MP 



KQ.QL 
CP.PB' 



Il tire de cette proposition la mesure de Tonglet parabolique par 
des transformations trop longues pour qu'elles puissent être indi- 
quées ici. 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



197 



GXXIX. — Dans deux demi-ellipses AB inscrivons deux seg- 
ments de paraboles a, b : les sphéroïdes provenant de A et de B 
sont entre eucv comme les produits des segments paraboliques 
multipliés respective7nent par les demi-axes des ellipses. On a en 
effet (fig. 70). 



MF 

w 



AP.PG 
"2 — AO.OG '' 



PN 

BO 



d'où MP' = PN.OB, 




Fig. 70 



donc le solide de la demi-ellipse ABC ductura in se est égal au 
cylindre ayant la parabole pour base et OB 
pour hauteur. 

Or, le solide formé par une surface 
duclum in se est à celui produit par la ré- 
volution de cette même surface comme le 
rayon du cercle est à sa circonférence. La 
proposition est donc démontrée. 

De cette remarque, — nouveau corollaire du théorème de Kepler, 
— découlent un grand nombre de mesures de corps nouveaux. 

Inutile d'ajouter que la proposition CXXIX ramène la mesure 
de la Iranche de sphéroïde à celle d'une tranche sphérique. 

CLV. — Le conoïde parabolique est au cône inscrit co^nme trois 
à deux. En effet, on a {fig, 71) 

GK' = HK,BD, 

le reste de la démonstration s'achève à l'aide de 
la remarque précédente. 

^'^' '^^ GLXXXIX. — Mesure du conoïde hyperbo- 

lique. Considérons le cône asymptotique 
MON du conoïde PGQ {fig, 72); chaque 
section de ces deux solides détermine une 
couronne circulaire MKNQP, dont la sur- 
face est constante, puisque PK=PM=AG : 
le volume concave produit par la révolu- 
tion de CAMP a ses sections égales à. celles 
du cylindre AS, et par suite il lui est égal. 

CXGVIl. — A Vecctrémité G de Vaxe de 





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198 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 




f ellipse AB (fig^ 73), menons une tangente AC, construisons 
Vhyperhole CB, et tirons CB : le conoîde pro- 
duit par la révolution de l'hyperbole est égal 
à la somme du cône produit par la droite CB 
et du sphéroïde produit par Vellipse AB. 

CXCV11I,GC,CC1V. — Coupons un cène 
circulaire quelconque par un plan MPN, 
parallèle à la génératrice SB : la partie 
SMNP du cône est au tétraèdre SMNP 
comme 4^3 {fig. 74). Si TR est une autre 
section parallèle à la première, les deuœ 
parties du cône SMNP, SQTR sont comme 

NP est àTR ^ de sorte que si BR = AP, ces 
deu^ parties sont égales, 

{A suivre). 




EXERCICES 

Par M. Bontin 



464. — On considère le tableau : 











i37 






49 
45 

4i 














65 


61 


^7 


53 








69 


17 


i3 


9 












73 

77 


21 


1 


5 








25 


29 


33 


37 
97 


io5 










81 


85 


89 


93 


lOl 

























qui comprend tous les nombres impairs de la forme : 4ii -}- i, 



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JOURNAL DE MATHiEmATIQUES ÉLÉMENTAIRBS 199 

disposés dans leur ordre 7iumérique, en tournant toujours dans 
le même sens. Démontrer que : (le tableau est supposé illimilé). 

i^ La grande diagonale 1-9 contient les carrés de tous les 
nombres impairs; 

2° La seconde grande diagonale 1-17, ou i-33, contient^ d^une 
part, des carrés de nombres pairs, ces carrés augmentés d'une 
unité; d'autre part, les carrés diminués de trois unités des 
autres nombres 2^airs ; 

3° La diagonale 5-45, prolongée indéfiniment dans le sens 
5-45 ne contieîiC aucun 7iombre premier. 

Ces nombres sont compris dans la formule : 

i6n} + 24n + 5 = {\n + i) {^n + 5). 

4° La diagonale 21-77, i^idéfi7ii77ient prolongée dans ce sens, 
ne contient aucun no7nb7^e premier. 

Les nombres de cette ligne sont de la forme : 

i6n^ + 4on + 21 = (4n + 3) (4n + 7)- 

5<> La diagonale 97-105, i7idéfiniment prolongée daTis ce sens, 
ne contient, à partir de io5, aucun nomby^e premier. 

Ces nombres sont compris dans la formule : 

i6n^ + 88n + io5 = (4?i + 7) (4»* + i5). 

6** La diagonale 1 37-65, indéfiniment prolongée dans ce sens, 
ne contient, à partir de 65, aucun nombre premier. 

Les nombres de cette diagonale sont de la forme : 

i6n^ + 72n + 65 = (4n + 5) (4n + i3). 

y* L* oblique i-85, indéfiniment prolongée dans ce sens, ne 
contient aucun nombre premier. 

Les nombres de cette oblique sont de la forme : 

64n^ + 2on + I = (4n + (i6n + i). 
On peut multiplier indéfiniment les propositions de ce genre. 



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200 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

465. — On construit le tableau : 



67 
75 

79 
83 


63 


59 


55 


5i 




19 

23 


i5 
3 


II 


47 




7 
35 


43 
39 




27 

87 


3i 




91 


95 


99 





qu'on prolonge indéfiniment ; il est analogue au précédent, 
mais tous les nombres sont augmentés de deux unités. 

i^ La diagonale 3-35, prolongée indéfiniment dans ce sens y ne 
contient (sauf 3) aucun nombre premier. 

Ces nombres sont de la forme : 

(4n + i) (4n + 3). 

^^ La diagonale \5'63, prolongée indéfiniment dans ce sens, 
ne contient aucun nombre premier» 

Ces nombres sont de la forme : 

(4n + 3) (4n + 5). 

On peut multiplier indéfiniment ces propositions négatives. 

En disposant de la même manière les termes d'une progression arithmé- 
tique quelconque, on peut former une infinité de tableaux analogues aux 
précédents, et multiplier les remarques analogues. Ces tableaux ne révèlent 
rien quant à la distribution ou loi des nombres premiers. 

466. — A\Uour d'un point P, pris dans le plan d'une civco7i- 
férence de centre 0, tournent deux sécantes dont Vangle reste 
constant. La droite qui joint les milieux des portions de sécantes 
comprises à F intérieur du cercle enveloppe une circonférence 
dont le centre est le milieu de OP. 

Démonstration géométrique élémentaire. 

467. — On considère un faisceau de trois droites : OA,OB,OC, 
faisant entre elles des angles de 120^; par un point quelconque 
M de leur plan, on mène trois droites parallèles aux pi^emières 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLéMKNTAlRBS 201 

et les rencontrant en Aj, Aj, B,, B^, Gp C^. Ces points sont les 
sommets de deux triangles équilatéraux égaux entre eux, leur 
côté est égal à OM. Ces deux triangles sont symétriqices par 
rapport au milieu de OM. 
Démonstration géométrique élémentaire. 

468. — On prolonge dans un même sens de rotation^ et d*une 
longueur égale à eux-mêmes y les côtés d'un carrée les extrémités 
de ces lignes sont les sommets d'un nouveau cat^é sur lequel on 
agit comme sur le précédent, et ainsi de suite. Démontrer qu'au- 
cun des carrés successifs ainsi obtenue n'a ses côtés parallèles à 
ceux du carré primitif . 

Le rapport des angles des côtés avec une direction fixe est incommen- 
surable. 

469. — Si et h étant des angles quelconques, vérifier la for- 
mule : 

a(. - tg a te b)' ^ ^^^^,^ _^ ^^^.^^ (. - tg a tg b) 

C08 (a -|- D) 

+ (tg a + tg b) (tg a sec^b + tg b sec*a). 

470. — AjBjCj est le triangle podaire d'un point M(x,,yj,Zj) 
du plan du triangle ABC. On mène par A, B, G, des parallèles 
respectives à B,Gj, AjG,, B,A, ; ces parallèles déterminent un 
second triangle A'B'C. On demande les coordonnées normales 
du point P, centre d'homothétie de AjB^Gj et A'B'G'. 

On trouve : 

X y 

<^i + y\ co« G) (a?i + z^ cos B) "~ b{y^ + œx cos C) (y^ -|- z^ cos A) 

_? 

c(-«^i + X'i cos B) [zi + yi cos A)' 

Si M est 0, P est G. 

Si M est I, P est le point : 

a b c 

a? : y : ^ _ ^ ^ ^^g ^ — j _^ ^^^ g _ ^ _^ ^^^ ^. 

Si M est H, P le point : 

X y z 

a tg A ~" ïlg^ ~ (? tg C* 

Si M est K, P est le point (coordonnées barycentriques) 



JOURNAL DB MATH, ixisi. — i897. 9. 

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202 JOURNAL DE MATHBMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

471. — Lieu des perpendiculaires abaissées d'un point quel- 
conque M d'une droite passant par le centre d'une ellipse sur la 
polaire de M. 

Le lieu est une hyperbole équilatère de même centre que l'ellipse et 
dont une asymptote est le diamètre con)ugné à OM. 
Théorème analogue pour l'hyperbole. 

472. — ^ et y étant des entiers premiers entre eux; les 
nombres de la forme : x' ±: ay', n'admettent aucun des facteurs 
pi'emiers : 7, i3, 19, 3;, 61. 

473. — X, y, z, étant des entiers premiei^s : 1** avec i3 ; 2® avec 
7 ; les nombres de la forme : x' ih y' zh z^ ne sont pas divisibles : 
i^ par i3; 2"^ par 7. 

474. — xet y étant premiers entre eux^ les nombres de la 
forme : x*^ dz 2y* n'admettent pas le facteur premier 11. 

475. — A, B, G, étant les angles d'un triangle^ 6 l'angle de 
Brocard de ce triangle; vérifier l'identité : 

5(cotg^6 — 1)2 cotg*A — 4 cotg e^ cotg'^A = cotg'ô — 5 cotg*e 
-h 10 cotg^ô — 10. 

476. — M étant un point d'une hyperbole équilatère de centre 
0, N le point oit la normale en M rencontre l'axe non trans- 
verse; démontrer que Von a : OM = MN. 

477. — étant le point de rebroussement d'une cardioïde, 
M un point quelconque de la courbe^ N, le point oii la normale 
en M rencontre l'axe; démontrer que Von a : OM = ON. 

478. — L'équation : x* — px H- q = o ayant ses racines en- 
tières et positives : 1® V expression : ^^ ' — q est la somme 

de deux triangulaires', 2° V expression w (p -i- q -H 1) est en- 
tière et est le produit de deux triangulaires, 

479. — L'équation : 

x^ — AjX»-* -+- AaX°-2 — Ajx'»-^ -H ... ± An = 0. 



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JOURNAL DE MATHéllATIQUBS BLéMBNTAlRIS 203 

ayant toutes ses racines entières et positives, démontrer que : 

1© i\ 1 1 — A^ est la somme de n triangulaires. 

2® ^expression : 

^(i+A.+A, + -f-A„), 

est entière et produit de n triangulaires. 
Ce qui généralise la proposition 478. 

480. — On considère la suite : 

Uo =1, Ui = X Ua = XUn.i + Un-2- 

Démontrer que x* est une fonction linéaire de Uq, Ui, U2*- t^», et qiie, 
par suite, un polynôme entier en x de degré n est une fonction linéaire 
entière de : Uq* t<i» ^2 ^h* 

(Pour le développement de u» et Téquation différentielle à laquelle 
cette quantité satisfait, voir : /. E, 1896, pages 109 et 129, Ex. 386 et 387). 

On trouve : 

X = Ui 

ir* = «2 — Wo 

a?' = «3 — 2Wi 

a?* = W4 — 3w2 + 2Wo 

;/ = Mg — 4W3 + 5Ui 

a?* = Wg — 5w4 + 9W2 — 5t#o 

a?' = t*7 — 6W5 4- 14^8 — 14^1 

a?* = Mg — 71*6 + 20W4 — 28M2 + i4tto 

On peut remarquer que dans le développement de a?'* par rapport aux 
indices décroissants de u, les signes sont alternativement positifs et né- 
gatifs, que le dernier terme de a?'** a le même coefficient, en valeur abso- 
lue, que le dernier terme de a?*" ~ * ; que les développements de a?*" et de 
ar*** + * ont le même nombre de termes ; le développement de x^^ ne com- 
prend que des u d'indice pair; celui de a?^** ' * que des u d^indice impair. 
Si l'on dispose les coefficients, abstraction faite de leur signe, en un ta- 
bleau analogue au triangle arithmétique, le coefficient de u , dans le 
développement de a?" est égal au coefficient de t* dans a?**"*, augmenté 
du coefdcient de v , dans le même développement de ^„_,; on peut 
donc prolonger aisément le tableau précédent. On trouve d'ailleurs pour 



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204 JOURNAL DB MATBBIIAT1QUE8 ÉljbfBNTAllUBS 

le développement de x^ la formule : 

»" = «„-(»- ')«„. , + ^ (» - 3)«„., - ^^^=^ (n - 5)u„.. 

»(n-iH»ziH) („_,)„ n(n-i)(n-a)(»-3) 

' x.a.3.4 " n-8 i.a.3.4-5 «-10 ' 

dont la loi est manifeste. 

481. — Si N est entier terminé par 6 ou 8, le chiffre des cen- 
taines rfô N* est impair. 

Si N est terminé par Vuniléy le chiffre des mille de W est le 
même que c elui qui termine le carré du chiffre des dizaines 
deN. 

Si N est terminé par 9, le chiffre des mille de N^ n*est ni 2, 
ni 3, ni 7, ni 8. 

Si N est terminé par 2 ou 4, l^ chiffre des centaines deN^ est 
pair. 

Deux nombres N et N' étant terminés par 1, 3, 7 ow 9, et tels 
que le chiffre de leurs dizaines soit 2K pour Vun et 2K-M pour 
Vautre; le chiffre des centaines de N^ est de N'^ est le même. 

482. — La somme des carrés des n premiers nombres, et la 
somme des n premiers triangulaires ne sont jamais terminées 
par un des chiffres : 2, 3, 7 ow 8. 

483. — Vérifier V identité : 

4» + i 1 1.4. .4" 



sin*2° + *a sin^a cos^a cos^2a "*' cos*2^a' 

484. — Vétnfier Videntité : 

cotga 8'^+^cotg 2°-^^a 

sin^a sin^2^+ *a * 

= tg a sec*a -h 8 tg 2a sec^2a h- ... -+- 8°lg 2"a sec^2'*a. 

485. — A, B, C, étant les angles d'un triangle ^ on a les iden- 
tités 

a» 4(2c«'g a) (^co'g'A) - 32cotg*A= (2 cotg a)*- 6. 
3''3(2;tgA)(2«g'A)-22tg'A=(2tgA)'-62tgA. 

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JOURNAL DB UATHiMATlQUBS ÉLÉHBNTAIRBS 205 

486. — A, B, C, étant les angles d'un triangle, résoudre 
V équation : 

1 . 1 . ^ ^ L 

x-+-cotgA x-+-cotgB x-+-cotgc cotg A. colg B. colg c — x* 

. 487. — Résoudre Véquation : 

(x _ a) (x — b) (x — c) (x — d) (x — e) 
= (x 4- a) (x -H b) (x 4- c) (x 4- d) (x 4- e). 

488. — Résoudre Véquation : 

• X 

4 sin^ - (cos X 4- 2 cos ax -H 3 cos 3x -+- 4 cos \x) = 5 cos 4x. 

489. — Résoudre Véquation : 

4 sîn^ - (sin x -i- 2 sin ax 4- 3 sin 3x -4- 4 sîn 4x) = 5 sin ^x. 

490. — Résoudre Véquation : 

a(x2 4- i)* -h bx(x2 4- 1)8 4- cx«(x« 4- i)^ 4- hx\x^ -H + a\*= o. 

491. — Résoudre Véquation : 

(x 4- a 4- b)»^ = (a 4- b — x)* 4- (x 4- a — b)*^ 4- (x 4- b — a)^ 

492. — Résoudre Véquation : 

(x 4- a 4- b)' = (a 4- b — x)' 4- (x 4- a — b)' 4- (x + b — a)''. 

493. — Résoudre Véqtuition : 

(b 4- c — a 4- x)« 4- (c + a — b 4- x)« 4- (a 4- b — c 4- x)« 

4- (a 4- b H- c — x)« = (a 4- b + c 4- x)« 4- (a 4- b -— c— x)« 

4- (b 4- c — a — x)« 4- (ca 4- c — b — x)». 

494. — Résoudre Véquation : 

(b -h c — a 4- x)* 4- (c 4- a — b -h x)« 4- (a 4- b — c -h x)« 

4- (a 4- b 4- c — x)* = (a 4- b 4- c 4- x)' 4- (a + b — c — x)* 

4-(b4-c — a — x)*4-(a4-c — b — x)*. 

495. — Résoudre Véquation : 

( a 4- 2b) (2a 4- b ) 3(3a4- 2b) (2a -f- 3b) 
x4-a4-b X — a — b 

4- (2b — a) (3b — 2a) (3b — a) (3a — 2b)(2a--b)(3a— b) _ 
(a — b) (X 4- a — b) (a — b) (x — a -h b) — ^- 



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206 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



496. — Eliminer Fangle a entre les équations 
X sin a -4- y cos a = a tg a. 



X cos a — y sin a = 



cos*a ' 



497. — Vraie valeur, pour b tendant vers a, des expres- 
sions : 

sin°a — sin^b 



A = 
B = 



cos^a — cos^'b ' 

sin"a — sin^ b 

"tg^T— tg"b" ' 

tgma — tg'^b 



cotg'^a — cotg°b' 

498. — A, B, G étant les angles d'un triangle y résoudre les 
équations : 

1* sin A sin (A — x) 4- sin B sin (B — x) -h sin G sin (G — x) = o 
2° sin A sin (B h- x) sin (G H- x) -+- sin B sin (A -+- x) sin (G -h x) 

-H sin G sin (A + x) sin (B -h x) = o, 
3» tg (A 4- x) tg (B + x) H- Ig (G 4- x) tg (A 4- x) 
H-tg(B4-x)tg(G + x)=i. 

499. — Résoudre Véquation : 

(x — a) (x — b) (x — c) (x — d) (x — e) (x — i) 
= (x -H a) (x -h b) (x -+- c) (x 4- d) (x 4- e) (x 4- f). 

500. — Résoudre Véquation : 



BOL — 





— 1 a 


b 


X 






a 1 


1 


— 1 






b —1 


1 


1 


= 0, 




X 1 — 


- 1 


1 




Résoudre l'équation . 










1 


1 


1 






1 — 1 


a 


b 






1 a — 


- 1 


X 


= 0. 




1 b 


X 


— 1 


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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉUËMBNTAIRBS 207 

502. — Résoudre V équation : 

x*(a — b) -+- x(b* — a*) -h a*b — b*a = o. 

503. — Résoudre Véquation : 



1 



7±,, , 534 _ io84 . 649 _ 



X — a X — 2a X — 3a x — 4a x — 5a 

EXERCICES 

Par M. Bernés. 

(Suitef V. 1897; P- ^^)« 



XXXI. — On considère un triangle ABC et le cercle circonscrit. 
Une sécante menée par A coupe BC en D et le cercle en E ; les po- 
laires de E relativement aux cercles A(c), A(b) rencontrent celte 
sécante en e, e'. Démontrer que D divise BG et ee' suivant un même 

rapport. Si désigne ce rapport, en conclure la relation 

mb^ 4- nc^ = (m -H n)AD.AE. 

XXXII. — Si deux points D, D' se déplacent sur BC sous la con- 
dition de rester symétriques l'un de l'autre relativement à un point 
fixe I de BC, la somme AD.AE 4- AD'.AE' reste constante et réci- 
proquement (E, E' étant les rencontres de AD, AD' avec la circon- 
férence ABC). Quel doit être le point fixe I pour que cette somme 
soit nulle? 

XXXIII. — Si T est la rencontre de BC et de la tangente en A au 
cercle ABC, et que les points D, D' variables sur BC soient con- 
jugués harmoniques Tun de l'autre relativement à T et à un point 

fixe I de BC, la somme .p. . ^ h- .^, . ,,/ est constante et réci- 
proquement. 

XXXIV. — Si la condition à laquelle on assujettit D, D' est que 
TD.TD' soit constant, le produit (AD.AE) (AD'.AE') est aussi cons- 
tant, et réciproquement. Que sont AD et AD' dans le cas où la 
valeur constante du produit est égal à b^c^ ? — Montrer que sup- 
poser constant le produit TD.TD' revient à supposer constante 
l'aire du triangle AD^D', où D, est symétrique de D relativement 
à la bissectrice de Tangle A. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

XXZV. — Etant donné un triangle ABC et sur BC un point 
variable D. i** Trouver le lieu de la rencontre du cercle qui passe 
par B et D, tangent à BÂ ; et du cercle qui passe par C et D, tan- 
gent à CA. 2® Si ces deux cercles coupent AD en a, a', démontrer 
que le point E où AD rencontre la circonférence ABC divise aa' 
dans le rapport suivant lequel D divise BG. 3** Montrer que les 
circonférences ABa, ACa' sont tangentes. 

XXXVI.— AD, AD' sont deux droites isogonales dans le triangle 
ABC; les deux circonférences qui passent par D et A et sont tan- 
gentes Tune à AB l'autre à AC coupent BC en p, y, et les circon- 
férences analogues relatives à D' coupent BC en p', y. i<* Démontrer 
que les dislances Py» PY sont égales et de même sens : leur 

. (m -h nYAB^ , . . , m . 
expression commune est ^^ ^ , en désignant par le 

rapport suivant lequel D divise BC. 2° Si à D, D' on substitue 
leurs conjugués harmoniques relalivement à BC, les distances 
PP', yy' conservent la même valeur, mais changent de sens. Cas 
particulier où D est le milieu de BC. 

XXXVII. — Etant donné un cercle to, d'un point fixe A de ce 
cercle comme centre on décrit un cercle de rayon p variable qui 
coupe le premier en B et de B comme centre avec le même rayon 
un cercle qui coupe le cercle A en M, M'. 1® Lieu de M et M' lorsque 
p varie. 2° Si B' est la seconde rencontre des cercles to et A et que 
C et G soient les points où B'M, BW coupent la circonférence w, 
les distances MC, M'C sont invariables. 

XXXVIII. — Un triangle ABC est inscrit dans un cercle 0. Par 
B et C on trace deux cordes quelconques BB^» CC^ qui coupent 
AC, AB en p, y- Lieu de la rencontre des droites Bfi^J Py» Même 
question en substituant au cercle une conique. 

XXXIX. — Etant donné un triangle ABC, par A et B on trace 
un cercle quelconque qui coupe AC en p, BC en m ; par A et C on 
trace un autre cercle quelconque qui coupe AB en y et BC en n. 
Lieu de la rencontre des cercles APy, Amn. 

XL. — Par le sommet A du triangle ABC on trace une sécante 
quelconque coupant BC en a et le cercle ABC en a' ; par A et B on 
fait passer un cercle quelconque qui coupe BG en p et AC en p'. 
Lieu de la rencontre des cercles AaP, Aa'P'. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 209 

XLI.— On considère un triangle ABC et le cercle inscrit 0. Deux 
sécantes quelconques menées par B et G se coupent en a et ren- 
contrent AG, AB en M, N; les tangentes au cercle menées par M 
N se coupent en p. Démontrer que la droite ap passe par un point 
fixe. 

XLII. — Par les sommets A et B d'un triangle ABC on fait 
passer un cercle quelconque qui coupe BG en 7n, et par A et G un 
cercle qui coupe BG en n. La droite Am coupe le second cercle en 
p, et la droite An coupe la première en q. Démontrer que le cercle 
kpq passe par un point fixe. 

XLIII. — Sur le côté BG d'un triangle ABC on construit un 
triangle isoscèle LBG ; et on trace par A et B un cercle to tangent 
àBL, par A et G un cercle w' tangent à CL. i® Lieu de la rencontre 
de ces cercles, lorsque L se déplace. 2® Si T est la rencontre des tan- 
gentes au cercle ABC en B et G, et que par Aon trace deux droites 
coupant CD en P, w' en P', et dont Fangle (AP, AP') est égal à 
Tangle (BT, BL) et de même sens, démontrer que la droite PP' 
passe par un point fixe. 3° Si cette droite coupe de nouveau w en 
Q, o)' en Q' faire voir que les cercles APQ', AQP' sont tangents au 
cercle ABC. 

XLIV. — On joint les sommets B, C d'un triangle ABC aux deux 
extrémités M, N d'un diamètre du cercle ABC. La perpendiculaire 
en A à AG est coupée en \i, v par CM, GN; et la perpendiculaire en 
A à AB est coupée en }a', v' parBM, BN. Démontrer que les droites 
\i\l\ W sont perpendiculaires à BG, que m, n étant les rencontres 
de ces droites avec BG, An et AM sont deux droites isogonales, et 
de même \m et AN. De plus, les distances Am, An sont propor- 
tionnelles à AM, AN ; et les dislances |jlv, |jlV sont dans le 

rapport - . 

XLV. — On considère un triangle ABC et l'un des cercles I 
tangents aux trois côtés. Trois droites concourantes élant tracées 
par A, B, C qui coupent les côtés opposés en A^, B^, G^, et les 
tangentes au cercle I menées par A^, B,, Gj se coupant en a, p, y 
(dans l'ordre habituel), démontrer que Aa, BP, Gy rencontrent 
BG, CA, AB en trois points en ligne droite. 



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210 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 



XL VI. — On considère deux triangles ABC, A,BjCi dont les 
côtés homologues BG et BjCj, CA et C,Aj, AB et AjBj se coupent 
en D, E, F, et le triangle ay? qui a pour sommets les intersections 
de BC^ et CB„ CAi et AC„ ABj et BA^. 

1° Faire voir que si les trois droites AjDjBjE, CjF concourent, 
les trois conjuguées harmoniques de Aa, B^, Gy relativement aux 
angles A, B, G concourent aussi au même point que les premières 
et réciproquement. 2® La condition de ce concours est que les trois 
points où AAj, BBj, GGj rencontrent BG, GA, AB soient en ligne 
droite. 

XL VII. — D, E, F étant définis comme dans la question pré- 
cédente et les coordonnées normales de A^, B^, Gi, relativement au 
triangle ABC pris pour triangle de référence, étant (x^, t/j, z^), 
(^2» 3/2» ^2)» (-^3» t/iy -2^3)» montrer que la condition pour que les 
trois droites AD, BE, GF concourent, peut prendre la forme 



(!/i^2'^3 + ^1^^22/3) 



•r, 


Vi 


^i 


a;, 


Ui 


Zi 


^3 


Vi 


^3 



— 2X^y,z,x^y,z^œ^y,z^ ------ 



1 


1 


1 


^ 


Vi 


Zi 


1 


1 


1 


5; 


y-i 


z. 


1 


1 


1 


^3 


yl 


^z 



En conclure que si AA^, BBj, CGi coupent BG, GA, AB en trois 
points en ligne droite, la condition de concours de AD, BE, CF 
est que les deux triangles ABC, A^BiG^ soient inscrits dans une 
même conique ; et réciproquement si Ton suppose les deux triangles 
inscrits dans une même conique, la condition de concours de AD, 
BE, GF est que AAi, BBj, GGj coupent BG, GA, AB en trois points 
en ligne droite. 

XLVIII. — Si deux triangles ABG, AiB^Gi sont tels que les 
droiles qui joignent les sommets homologues AAi, BB^, GG^ cou- 
pent les côtés opposés du premier en trois points en ligne droite et 
les côtés opposés du second aussi en trois points en ligne droite, 
les six sommets A, B, G, A^B^Gi sont situés sur une même co- 
nique ; et réciproquement si ces six sommets sont sur une même 
conique et qu'en même temps les trois points de rencontre avec les 
côtés opposés de l'un des triangles soient en ligne droite, les trois 
points de rencontre de ces droites avec les côtés opposés de lautre 
sont aussi en ligne droite. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 2il 

XLIX. — Si dans la question précédente, le triangle ABC étant 
pris pour triangle de référence, Ix h- my -\- 7iz ^=o est Téquation 
de la droite déterminée par les rencontres de AAt, BBi, CCi avec 

BC, CA, AB, - -I H -- = «t l'équation de la conique que Ton 

suppose passer par les six sommets, i^ Montrer que la droite dé- 
terminée par les rencontres AAj, BBj, CC^ avecBjCj, C^Ai, AiBj, 
a pour équation hl^x -\- Mm^y -4- Nn^^ = 0.2® Les côtés homo- 
logues de ABC, AiBiCj se coupant en D, E, F, les droites AD, BE, 

CE concourent en un point situé sur la conique — i 1 — =0 

X y z 

et sur la conique 7 — 1 h — = 0. Et les droites A, D, B, E, 

C, F concourent en un point situé sur la conique — 1 1 — = 

et sur la conique 1 1 = 0. 

X y z 

L. — Si deux triangles ABC, AiBiC^ soiit circonscrits à une 
même conique et que D, E, F étant les points de rencontre des 
côtés homologues BC et B^Cp CA et C^A^, AB et AiBi, les trois 
droites AD, BE, CF soient concourantes. 1° Il en est de même des 
droites A, D, B, E, C, F. 7,^ Les points où AA^, BBj, CCj rencon- 
trent BC, CA, AB sont en ligne droite, et aussi les points où ces 
lignes rencontrent B^C^ CiAi, AjBj. 

3^ Les six sommets A, B, G, Ai, Bi, Ci sont situés sur une même 
conique. 

4® Si ABC étant pris pour triangle de référence {œ^, yi, z^ est 

1 * 

le point de concours de AD, BE, CF et (L^)^ -+- (My)^ -h 
1 

(N^)* = 0, Téquation de la conique tangente aux six côtés, le 

point de concours de A, D, B, E, C, F est (Lx^S M?/,S ^z^^)\ 

les rencontres de AAi, BBj, CCi, avec BC, CA, AB sont sur la 

droite \^ — tti — ^^^ = 0, et leurs rencontres avec BiCj, Ci Ai, 

AiBi sur la droite ^ jtî ^-- = 0; enfin la conique circons- 

ente aux deux triangles a pour équation > — * ^ ^, :=o. 



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212 JOURNAL DE MATHéMATlQURS ELEMENTAIRES 



EXERCICES 



34. — On a un point fixe sur chacun des côtés d'un angle 
donné A. On 'place A dans une position arbitraire en faisant 
toujours passer ses côtés par les points qu'ils contiennent, La 
droite^ qui réunit les points de rencontre des côtés de ces deux 
angleSy passe par un même point quelle que soit la position 
donnée à A. (M). 

35. — xjn triangle est partagé en deux parties équivalentes 
par les droites qui vont du centre du cercle circonscrit aux ex- 
trémités d'une hauteur, (M). 

36. — On donne un tétraèdre abcd tel que les perpendicu- 
laires abaissées de a et de h sur cd se rencontrent en g sur cette 
arête, Déinontrer que les plans qui passent par le centre de la 
sphère circonscrite au tétraèdre et respectivement par les droites 
ab, ag, hg partagent le tétraèdre en deux parties équivalentes. 

(M)- 

BIBLIOGRAPHIE 



GioHiTRiB DIRIGÉE par G. Fontené. Agrégé de l'Université, professeur au 

Collège Rollin. 

Je m'étais promis de rendre compte, avec quelques détails, de ce livre 
qui, dans les quelques pages qui le composent, renferme tant de choses 
utiles. Mais le temps me fait défaut en ce moment pour faire cette ana- 
lyse avec le soin qu'elle mérite et, avec ce numéro, cesse ma collaboration 
au Journal. J'adresse ici, à ce propos, à tous ceux qui m'ont soutenu dans 
la tâche que je n'abandonne pas sans un très vif chagrin, l'expression de 
mon affectueuse reconnaissance. 

Je me borne donc à dire que l'ouvrage de M. Fontené, bien ordonné, claire- 
ment rédigé, résume, d'une façon qui me parait propre à éclairer les esprits 
les plus rebelles, les principes, aujourd'hui classiques, relatifs à Torien- 
tation des figures. On ne peut faire une certaine Géométrie, si les élé- 
ments qui composent la figure considérée : les droites, les circonférences, les 
plans, ne sont pas orientés. Tout le monde en tombe d'accord, et l'on 
sait qu'il faut donner, pour qu'une figure de géométrie soit bien définie, 
en même temps que ses éléments géométriques, l'orientation qu'ils doivent 
avoir. 

On écrit AB pour exprimer que le segment AB est orienté de A vers B, 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 213 

c'est-à dire pour exprimer que les segments considérés, sur la droite indé- 
finie qui passe par les deux points A, 6, sont comptés comme positifs quand 
ils sont parcourus dans le sens du mobile partant de A pour aller eu B. 
Cette notation est lourde et elle me parait inutile. Comme je l'ai dit à 
M. Fontené, et il partage je crois cette opinion, en écrivant AB, sans autre 
signe, on peut convenir, une fois pour toutes, que cela veut dire chemin 
parcouru sur la droite orientée par le tnobile allant de A vers B. Du 
moment que la droite est orientée, il y a superfétation à écrire ÂB ; mais il 
faut que la convention soit formelle et qu'on inculque aux élèves la diffé- 
rence essentielle qu'il convient de faire entre les deux écritures AB, BA. 

G. L. 

BACCALAURÉAT 

DE l'enseignement SECONDAIRE MODERNE 

(LETTRES-SCIENCES) 

Académie de Paris. 

(Session de juillet 1897). 

Problème obligatoire. — On donne un cône circulaire droit, dont la base 
a pour rayon R et dont la hauteur est h. On propose de couper ce cône 
par un plan de façon que la section soit parabolique, et de déterminer le 
point du diamètre de base perpendiculaire à la trace du plan sécant par 
lequel il faut conduire ce plan sécant pour que la section ait une surface 
maxima. Faire ensuite à main levée l'épure de la section en plaçant la base 
du cône sur le plan horizontal de projection et en inclinant la trace horizon- 
tale du plan sécant de 45*^ sur la ligne de terre. 

Questions à choisir. — 1° Inégalité des jours et des nuits. 

2° Lois de Kepler. — Principaux astronomes avec leurs découvertes. 

3° Mesure du temps. — Jour solaire vrai ; jour solaire moyen. 



BACCALAUREAT CLASSIQUE 

(LETTRES'MA THÉMA TIQ UES) 

(PRBMIÈRB session). 

Problème obligatoire. — Soient a, b, c les côtés d'un triangle, p le 
demi-périmètre ; A, B, G les volumes engendrés par la rotation du triangle 
autour de chacun de ses trois côtés (A par exemple sera le volume engen- 
dré par le triangle tournant autour du côté a). On donne A, B, C et Ton 

demande de calculer : i© les rapports ^ = a, - = p, - = y ; 2° les trois 
côtés a, b, c. 

Questions à choisir. — i© Démontrer qu'un nombre est décomposable 
d'une manière et d'une seule en facteurs premiers ; a® théorie du plus 
grand commun diviseur ; 3o démontrer que la racine carrée d'un entier qui 
n'est pas un carré par fait est incommensurable. 



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214 



JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



(deuxième session). 

Problème obligatoire. — Couper une sphère de rayon R par un plan 
situé à une distance œ du centre, de telle façon que Faire de la section 
faite par ce plan dans la sphère soit égale h, m fois la différence des aires 
des deux calottes sphériqnes déterminées par le plan sur la surface de la 
sphère. Discussion. 

Questions à choisir. — i» Propriété de la tangente à la parabole. Dé- 
monstration. 

a» Propriété de la sous-normale de la parabole. Démonstration. 

3<> Mener à une parabole une tangente par un point donné du plan de la 
courbe. Discussion. 



QUESTION 700 

SolaCloa» par M. Francis Datjzats, soldat au 5i« de ligne. 



On do7i7ie un irimigle ABC; 5wrBC, dans le sens BC, oji porte 
BB' = t ; sur CA dans le sens CA, A A' = t. En supposant t va-- 
riable, trouver le lieu décrit par le point de concours des droites 
AB', BA'. 

Ce lieu est une droite -y ; elle rencontre AB en y. En considé- 
rant les points analogues a',p', on demande de démontrer que 
les trois poinis sont en ligne droite, (G. L.) 

i° Les rayons AB' et BA' se correspondent homographiquement. 

Le lieu de P est donc une co- 
nique. Pour ^ = 0, on voit que 
la droite AB fait toute entière 
partie du lieu. Donc, en dehors 
de cette droite, le lieu est une 
seconde droite y. 

2° Les points M et N où y 
coupe BC et AG sont tels que 

BM=AC=Ô AN=BC=a. 

D*après le théorème de Mene- 




laûs, on a : 
7B 



MB 
MC 



NC 



,, , y'A 



^, carMC = NC. 



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JOURNAL DK MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 215 

De même, on aurait 

a'C ■" c ' P'A "~ a • 
„ a'B p'C y'A 

ce qui prouve que a'PY sont en ligne droite. 

Nota. — Solutions diverses par MM. Goyens ; L'Huillier ; Droz-Farny. 

■-■ ■■■ I 

QUESTIONS PROPOSÉES 



811. — Dans tout triangle rectangle, le rayon du cercle cir- 
conscrit au triangle formé par les centres des trois cercles exin- 
scrits, a pour longueur Thypoténuse du triangle donné. 

{E. N, Barisien). 

812. — On donne un triangle abc et le cercle qui lui est cir- 
conscrit. D'un point p, de ce cercle, on élève une perpendiculaire 
à la droite pa, elle coupe bc en a'. De même, on a un point b' sur 
ac. Démontrer que la droite a'b' passe par le centre du cercle. 

(Mannheim). 

813. — On considère un triangle rectangle BAC, Taxe radical 
du cercle circonscrit et du cercle inscrit forme avec les côtés AB, 
AC de l'angle droit BAC un triangle dont Taire est dans un rap- 
port constant, quel que soit le triangle rectangle considéré BAC, 
avec Taire du cercle inscrit. G, L, 

814. — Un triangle de grandeur invariable se déplace de façon 
que deux de ses sommets restent sur deux droites données et que le 
troisième sommet reste sur un plan parallèle aux deux droites : 
on demande le lieu de ce troisième sommet? {Mannheim). 

815. — La circonférence décrite sur le côté BC du triangle 
ABC, comme diamètre, coupe la hauteur AA' du même côté de BC 
que le sommet A, en a. On aura, de même, sur les autres hauteurs, 
les points p et -y. Les droites By et Cp se coupent en a'. Soient, de 
même, les points p' et y'. Les triangles ABC et a'PY sont homolo- 
giques; le centre d'homologle est le centre du cercle circonscrit 
au triangle a^y. (Broz-Famy). 



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216 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

816. — On considère tous les quadrilatères harmoniques ABCD 
dans lesquels AB est fixe, CD passant par un point fixe P de AB. 
Lieu des sommets C, D? {Droz-Famy), 

817. — On donne une circonférence G et la tangente A au point 
A. Soit A' le point de 0, diamétralement opposé à A. 

On construit une parabole P variable dont le foyer F est sur G 
et qui admet A comme directrice. 

Quel est le lieu géométrique des points d'intersection de la 
corde FA' avec P? {Droz-Famy). 

818. — Etant donné un triangle ABC, le cercle exinscrit dans 
Tangle A a son centre en 0^ et touche le côté BC en A'. Montrer 
que la droite O^A' et les droites analogues G^B', 0^' concourent 
au centre du cercle circonscrit au triangle G^G^G^.. 

{E.-N, Barisien), 

819. — Les droites qui Joignent le centre I du cercle inscrit à 
un triangle ABC aux sommets de ce triangle, rencontrent le cercle 
circonscrit en A',B',C'. Démontrer la relation 

lA' IB' \G 

= « = r = ^R' 



. A~" . B~" . (J 

sin — sin -- sin — 

2 2 2 

R étant le rayon du cercle circonscrit. (E,-N. Barisien), 

820. — Soient le centre G et deux diamètres fixes rectangu- 
laires A A' et BB' d'un môme cercle. Gn considère deux rayons 
variables perpendiculaires GC et GD. 

1° Le lieu du point de rencontre M des droites AC et BD est un 
cercle 2. 

2° Le Heu du point de rencontre M' des droites A'C et B'D est le 
cercle 2. 

3* Le lieu du milieu de MM' est un cercle. 

4° La droite MM' passe par la projection de C sur BB' et par la 
projection de D sur A A'. 

5° Les quatre points M, M', C, D et G sont sur un même cercle. 

(E,'N, Barisien). 

Le Directeur-gérant, 
_^ G. DE LGNGCHAMPS. 

SAflTT-AMAND (CHBR). — IMPRIXBRIE SCIB^TTIFIQUB ET LITTÉRAIRE, BUSSIÉRE FRàRBS. 



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JOURNAL 

MATHÉMATIQUES 



r _^_ 



ELEMENTAIRES 



AVIS AUX LECTEURS 



Les lecteurs sont informés que la direction de ce journal a 
passé des mains de M. de Longchamps aux mains d'un comité 
composé de professeurs éminents des Ecoles spéciales, Lycées et 
Collèges de Paris, et présidé par M. Georges Mariaud, directeur 
des études à l'Ecole préparatoire Saint-Georges et professeur à 
rinsiitut Commercial. 

M. de Longchamps avait mis au service de celte publication, 
fondée depuis plus de 20 années, son activité si dévouée et sa 
compétence si éclairée : mais son éloge n'est plus à faire auprès 
de ceux qui l'ont suivi dans son œuvre. 

La nouvelle Direction saura montrer un dévouement égal; 
M. Mariaud tient à l'affirmer ici, au nom du Comité et en son 
nom. Elle s'attachera à accroître encore l'intérêt de cette publi- 
cation destinée aux jeunes gens qui préparent des examens et 
concours. 

C'est ainsi que pour répondre à un besoin réel, né de la diffé- 
rence devenue profonde entre les divers genres d'examens et 
concours roulant sur les Élémentaires, il a été décidé que les 
questions proposées par le Comité seraient désormais classées par 
genres d'examens et concours. Cette modification inaugure une 
idée nouvelle et ne peut qu'être d'une grande utilité aux divers 
groupes de candidats. 

Voici le nouveau plan de ce journal. 

PREMIÈRE PARTIE 

Questions proposées par le Comité aux candidats : 

1° A V Ecole spéciale militaire de Saiiit-Cyr; 

2° A l'Institut iiational agronotnique ; 

3° Au Baccalauréat lettres inaihèniatiques ; 

4° Aux Ecoles d" agriculture ; 

5° Aux Ecoles de commerce, 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉM. — 4897. 1 



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^ JOUHNAL DK MATHEMATIQUES ÉLF.MKNTAIMKS 

DEUXIÈME PARTIE 

Solutions dans le ménie ordre des questions proposées da?is 
les nutnéros précédents, suivies 'du nom des personnes ayant 
résolu les questions, 

TROISIÈME PARTIE 

Questions diverses, théories et démonstrations nouvelles rela- 
tives aux élémentaires, 

CORRECTION DES COPIES 

Mais il ne suffit pas aux divers groupes de candidats d'êire 
guidés chacun séparément dans la route spéciale qui conduit au 
but; il faut encore, quand il s'agit dun concours, que les can- 
didats à un môme concours puissent périodiquement compare)- 
les progrès accomplis. Le Comité s'est aussi préoccupé de satis- 
faire à ce desideratum : il corrigera, annotera, classera et retour- 
nera franco les copies de ceux qui s'abonneront à la Correction 
et traiteront les questions mensuelles proposées dans le journal. 

Ce classemenl des copies venues des dix'ers points de la France 
sera pour le candidat le renseignement le plus précieux. Cette 
idée heureuse a rencontré l'adhésion de tous ceux à qui elle a 
déjà été communiquée. 

Le Président du Comité, 

Georges MARIAUD. 



Nota. — Voir, pour l'abonnement à la Correction des copies, 
à la fin du fascicule. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



PREMIÈRE PARTIE 

Questions proposées par le Comité aux Candidats 

I. — A L^ÉCOLE SP ÉCIALE MILITAIRE S^-CYR 

ÉCRIT 

MATHÉMATIQUES 

1. — On considère tous les triangles qui ont un sommet A 
commun, la bissectrice AD de Tangle A invariable de grandeur 
et de position et dont le cercle circonscrit passe par un troisième 
point fixe F de la droite AD ; 

1° Démontrer que dans tous ces triangles le produit de la hau- 
teur par le diamètre du cercle circonscrit est constant ; 

2° Trouver le lieu du milieu du côté opposé au sommet A; 

3° Trouver le lieu du point de rencontre des médianes ; 

^ Construire le triangle connaissant, outre les trois points A, 
D, F, soit la grandeur de Tangle A, soit la longueur du côté 
opposé ^^, 

!2. — Dans un triangle ABC on donne l'angle B = 3o®, le 

rapport - = m et la distance ^ entre les pieds des bissectrices des 

angles intérieur et extérieur du sommet A. Calculer le côté c, et 
coQslruire géométriquement ce triangle. 

ÉPURE 
3. — Un cône droit a pour base une circonférence de rayon 
9 centimètres et de centre s, 
située dans le plan H ; s qu'on 
placera au centre de la feuille 
est aussi la projection du 
sommet dont la cote est de 

Un prisme a pour base 
un carré placé aussi dans 
le plan H et dont le côté 
mn = g*''", 2 est défini par 
les distances de m aux 
parallèles menées par s aux côtés du cadre : am = 2 centimètres, 




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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



^m = 2''",5 ; et par la dislance à 5 de rintersection K, sK = 6'''",2. 
La direction des arêtes du prisme en projection est nb qui fait 
angle de 32^ avec sp ; leur pente = 1/2. 

On demande de trouver l'intersection du prisme et du cône et 
de représenter le cône traversé par le prisme, celui-ci étant sup- 
posé enlevé. Tangentes aux points remarquables. 

CALCUL TRIGONOMÉTRIQUE 

4. — On donne 

A= 242,728 

B = 3'x%'5f 

C= 110°32'20". 

QUESTIONS AYANT ÉTÉ PROPOSÉES A UORAL 

5. — Etant donnés 2 axes rectangulaires et une circonférence 

tangente à ces axes par le 
point on mène une sécante 
faisant un angle a avec Taxe 
des a? ; déterminer une corde 
parallèle à Taxe des y 
et rencontrant la sécante 
en un point H tel que 

Prendre pour inconnue 
OK = X. 
6. — Calculer les angles 
d*un triangle connaissant a, B — C = a et la surface = tn^. 
H. — Résoudre et discuter Téquation 

^2 — 2j; + log a = 0. 




II. — A LINSTITUT NATIOiNAL AGRONOMIQUE 



MATHÉMATIQUES 

8. — Etant donnée une circonférence de centre 0, à quelle dis- 
tance X de faut-il prendre un point P tel que si Ton mène de 
ce point les deux tangentes PA et PB au cercle ; le cercle 0' tan- 
gent à ces deux droites et à la circonférence ait pour surface i^m^. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 5 

9. — Calculer les 3 côtés d'un triangle rectangle connaissant la 

somme q r.b^ des volumes engendrés par le triangle en tournant 

successivement autour des côtés de l'angle droit et la somme m^ 
des surfaces du triangle et d'un rectangle de hauteur a ayant pour 
base le segment intercepté sur l'hypoténuse par les points de con- 
tact des cercles ex-inscrits dans les deux angles aigus. 
Discuter. — Examiner en particulier le cas de a = b, 

10. — Calculer en se servant des logarithmes la valeur de^r 
donnée par 

Cr (i H- rY 

^ — (i H_r)'»__ i' 

pour C = 38 5oo, r = o,o35, n = lo. 
Dire quelle est cette formule. 

PHYSIQUE ET CHIMIE 

!!• — 1** Sur l'un des plateaux d'une balance on a placé un 
vase contenant une dissolution saline de densité i,5 et on afaitla 
tare pour établir l'horizontalité du fléau. 

Au-dessus du vase on suspend par un fil fin un fragment de 
platine, de manière à ce qu'il plonge constamment dans le liquide. 
L'horizontalité du fléau sera-t-elle dérangée? Que faudra-t-il faire 
pour la rétablir sachant que le platine a pour densité 21 et que le 
fragment pèse 76^^,6. 

l^m — 2^ Qu'est-ce que l'état hygrométrique de l'air? Comment 
l'obtient-on par l'Hygromètre de Regnault que l'on décrira d'abord 
sommairement. 

3° Préparation du phosphore blanc. Fabrication des allumettes. 



III. — AU BACCALAUREAT 
LETTRES MATHÉMATIQUES 



MATHÉMATIQUES 

13. — 1'® (Obligatoire). On coupe un tétraèdre quelconque 
ABCD par un plan parallèle aux côtés opposés AB et CD ; 

1** Démontrer que la section EFGH faite par ce plan dans le 
tétraèdre est un parallélogramme. 



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6 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



2° Démontrer 



que 



EG . EF 



AB^CD 



reste constant quand le plan 

EFGH se déplace parallèle- 
ment aux côtés. 

3® Trouver la position du 
plan pour laquelle la surface 
du parallélogramme est maxi- 
mum. 

14. — 2"*® (au choix) I. 
Théorie du plus grand com- 
mun diviseur de 2 nombres 
par la division. 

15>. — II. Si un nombre 
N divisant A et :B donne 
des quotients premiers entre 
eux, N est le plus grand 'commun diviseur de A etB. 

16. — III. Tout nombre qui divise le produit de deux autres 
et est premier avec Tun d'eux divise Tautre. 




PHYSIQUE 
PREMIERE QUESTION (Obligatoire) 

17. — Les deux poids de la machine d'Atwood sont de 
io5 grammes chacun; le poids additionnel est de 3 grammes. 
Avec quelle vitesse le poids descendant atteindra-t-il le curseur 
plein placé à i™,65. 

DEUXIÈME QUESTION (Au cJlOix) 

18. — I. Calculer l'accélération dans la machine d'atwood. 

19. — II. Démontrer à Taide de la machine d'atwood que les 
accélérations sont proportionnelles aux masses. 

SÎO. — III. Machine de Morin. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



IV. — AU BACCALAUREAT 
DE L'ENSEIGNEMENT MODERNE 



MATHEMATIQUES 

PREMIÈRE QUESTION {Obligatoire) 
!^1. — Etant donné le polynôme 

trouver la relation qui doit exister entre jo et q pour que ce poly- 
nôme soit divisible par {x — a)^ 

DEUXIÈME QUESTION [Au Choix) 

î^2. — 1. Démontrer la propriété de la tangente à Fellipse. 

!5Î3. — II. Lieu des symétriques d'un foyer par rapport aux di- 
verses tangentes à Tellipse. 

SÎ4. — III. Lieu des points tels que les 2 tangentes à l'ellipse 
issues de chacun deux soient perpendiculaires Tune à l'autre. 

PHYSIQUE 

PREMIERE QUESTION (Obligatoire) 

îl^o. — Un vase cylindrique de verre ayant 2 centimètres carrés 
de section intérieure est suspendu par son fond à l'extrémité d'une 
tige de fer verticale longue de o°',75 dont Tautre extrémité est 

fixée en un point A. 

Quel poids de mercure faut-il y verser pour que le centre de 
gravité de cette masse de mercure reste à une distance constante 
de A. 

Coefficient de dilatation linéaire du fer 0,000012, 

» du verre 0,000008, 

Coefficient de dilatation absolue du mercure 0,00018. 

Densité du mercure à 0° = i3,6. 

DEUXIÈME QUESTION {Au choix) 

26* — I. Lunette terrestre. 
ST. — II. Lunette de Galilée. 
28. — m. Télescope de Newton. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



V. — AUX ECOLES D'AGRICULTURE 



PREMIERE QUESTION 

ÎI^O. — On a un terrain rectangulaire dont on peut faire un 
nombre exact de lots de i5o, 120 et 180 mètres carrés. La surface 
totale est inférieure à 20 ares. 

1° Quelles sont les dimensions de ce terrain, sachant que sa 
longueur est double de sa largeur. 

2° On a vendu ce terrain et on a placé à 4 1/2 7o ^® P^*^ ^^ 
vente. Au bout de 2 ans el 4 mois on a retiré, capital et intérêts 
compris, la somme de 23 868 fr. Quel est le prix du mètre carré ? 

DEUXIÈME QUESTION 

30. — On donne une pyramide régulière à base carrée dont le 
côté a 12 centimètres; l'arête a une longueur de 20 centimètres; 
on coupe le solide par un plan parallèle à la base et la section ob- 
tenue a une surface de 11 025 mètres carrés. 

Calculer 1° la surface latérale de la pyramide à un centimètre 
carré près ; 2° le volume à un centimètre cube près de la petite 
pyramide 

TROISIÈME QUESTION 

31. — Calculer par logarithmes la valeur de x donnée par 



^ = (^(29,85)2 X V/(17,53^). 



VI. — AUX ECOLES DE COMMERCE 



1 27 r 7 

32. — Calculer à — près \ ^ . 

1 1 * 5 

33. — Un billet payable dans 54 jours escompté en dehors et 
en dedans au taux de 3 7^ a donné 1 fr. 20 comme différence des 
deux escomptes. On demande la valeur nominale du billet. 

34. — Déterminer un nombre de 3 chiffres sachant : 1° que le 
chiffre des dizaines égale celui des unités ; 2° qu*en ajoutant 42 au 
double du nombre, on obtient le nombre renversé; 3° que si on 
met le chiffre des dizaines à la place de celui des centaines et ré- 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



9 



ciproquement on obtienl un nombre quî^ augmenté de 27, égale 
le nombre renversé. 

35. — Calcul logarithmique. — Calculer 



V 2\/3 



DEUXIEME PARTIE 

Pour mémoire, — Celte partie du nouveau plan ne pouvant 
être remplie qu'à partir du n° 2 de novembre. 



TROISIÈME PARTIE 

Questions diverses 

ÉCOLE SPÉCIALE MILITAIRE 

CONCOURS DE 1897 
Solatlon, par M. le Chanoine Heboul, licencié es -sciences mathématiques. 



I. — On donne dans un triangle ABC l'angle A, le côté h et le rapport 
-^ = K du côté a à la médiane correspondante m. 

Calculer le côté c. — Discuter. 

II. — On donne trois points fixes A, B, C en ligne droite; on considèi^e 
une circonférence variable passant par les points B et C ; on mène par le 
point A les deux tan- 
gentes AT, AT' et la 
corde des contacts 
TT'. On demande : 

lO Les lieux géomé- 
triques des milieux 
des côtés du triangle 
ATT'; 

a° Le lieu du centre 
du cercle circonscrit 
à ce triangle ; 

30 Les lieux des 
points d'intersection 

de la tangente AT avec chacune des deux tangentes parallèles à la 
droite ARC. 




A - -~, 



JOURNAL DE MATH. i\À^, — 4897. 



\. 



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10 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

1. — Les équations du problème sont évidemment ; 



a 
m 


= 


K, 














a,^ 


= 


ft* 


+ 


C^ 


— 


^bo 


cos 


A, 


am" 


+ 


^ 

2 


= 


b' 


+ 


c*. 







En remplaçant, dans la seconde équation, a^ par m^K* et m* par 
?li-i-îi, on a pour calculer o : 

(A) „« + ?MKl±iL£2lA + 6^ = o. 

K — 4 

Le terme connu b^ étant positif, c pour être acceptable doit être réel et 
positif, c'est-à-dire que Ton doit avoir : 

(I) (K^ + 4)*cos2A - (K^ - 4)' > o, 

cos A 

Il faut remarquer que l'inégalité (i) donne pour cos A, une valeur 
absolue inférieure à l'unité. 

Cela posé, faisons sur A les deux hypothèses : A < 90, A > 90. 

lo A < 90. L'inégalité (2; impose la condition K^ < 4» et l'inégalité (i) 
se réduit à : (K* + 4) cos A + K^ — 4 > o, 
ou : 

A ». 4 - K* 

Si cette condition est satisfaite le problème comporte deux solutions, si 
elle ne l'est pas le problème est impossible, 
a» A > 90. L'inégalité (2) impose la condition K* > 4. et l'inégalité ( 

se réduit à : (K^ + 4) cos A — (K^ — 4) > ^ 
ou : 



cosA>g-p;. j 

Gomme précédemment, le problème comporte 2 ou v solutions selon q 
cette condition est ou n'est pas satisfaite. 
Remarque. — Dans la discussion, nous avons supposé K v^ 4* ^J* si 

posant K^ = 4, l'équation (A) se réduit à : 2bo{K^ + 4) cos A = o, d' 
cos A = o. Le triangle donné est rectangle et l'on a pour une vale\ 
indéterminée. On pouvait du reste prévoir ce résultat. Dans tout triang 
rectangle, en effet, le rapport K'^ vaut 4. | 

2. — i» Soit le centre de la circonférence variable, lequel se troij 
sur la perpendiculaire élevée au milieu K de BG. Posons AK = j 
BK = 5 et joignons le point aux points A et T. [ 

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sii 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 11 

Considérons le point I milieu de TT' comme intersection de OÂ et de 
TT', le triangle rectangle AOT donne : 



AIX 


AO 


=ÂT^ 








= AB X 


AC, 






= a^- 


6'. 



Le produit est constant, le point décrit la perpendiculaire KO, le 
point J décrira donc la figure inverse, c'est-à-dire une circonférence pas- 
sant au pôle A et au point F (intersection de la droite fixe ABC et de la 
droite mobile TT', ce point F est fixe). AF est le diamètre de cette circon- 

2 . r2 

férence et a pour valeur ~ — . 

a 

Considérons le point I' milieu de AT. On a évidemment : 

^^> _ AT ^ y/g^ — 6' 
a 2 

Le lieu décrit par le. point V est donc une circonférence de centre A et 

de rayon , 

Le lieu décrit par le point Y milieu de AT' est évidemment la même 
circonférence. 

20 Le centre u> du cercle circonscrit au triangle ATT' se trouve à l'in- 
tersection de AD et de la perpendiculaire l'w élevée sur le milieu de AT. 
Gela posé, les triangles semblables ATO, AVtù donnent : 

Ao) _ Al ' _ I 
AD ~ Al ~ 2* 

A étant considéré comme centre d'horaothétie et - comme rapport, (o 

décrit une droite perpendiculaire à la droite fixe ABC. 
30 Soient M le point de rencontre des deux tangentes au cercle mobile 

et ER une perpendiculaire à ABC telle que Ton ait : DR = Va^ — b^» 
La tangente MD et MT, issues du point M, étant égales : 

DR = MA, 
d'où : 

MR = MA. 

Le point M décrit donc une parabole ayant le point A pour foyer et la 
droite ËR pour directrice. 

EPURE 

Une sphère est tangente au plan horizontal en un point A ; elle 
passe par un point B qui a pour côté 72™™ et qui se projette en un 
point b h une distance de A égale à 96"°"*. (Placer A et ô sur une 
droite distante de 11 5™" du bord inférieur de la feuille, A à 20™°* 
à gauche du milieu de cette droite et 6 à gauche de A). 



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12 JOURNAL DE MATHEMATIQUES éLÉMBNTAlRES 

Considérer le plan P mené, parle point A, perpendiculairement 
au rayon OB, et le triangle équilatéral CDE inscrit à la section de 
cette sphère par ce plan, en plaçant horizontalement le côté DE 
de manière que sa cote soit inférieure à celle de G. — Sur la per- 
pendiculaire en G, au plan P, prendre un point S de cote égale à 
240'»». >^ 

La sphère étant supposée "bjN^ue, représenter la portion de son 
volume comprise dans le trièdré 4^nt les arêtes sont les droites 
indéBnies SG, SD, SE. 

CALCUL LOGARITUMÎeUE 
Résoudre un triangle connaissant les trois c^lés 

a = 2698 6 = 2333 c=V?43 
Formules : 




S = v/p(p — a) (p 

P 

*«7=^^' *^ï=.^^' 'S^=^c 

p = 3y3y; i> — «=1139; p — b = iioi; p — c=ii( 

log^ = 3,67262 colog p = 4,42648 

log (p — a) = 3,06662 colog (p — a) = 4,94343 

log (p^b) = 3,14737 colog (p^b)= 4,86263 

log (p — c) = 3,07700 colog (p — c) = 4,92300 i 

Log S = ^ logp + log (;) — fl) 4- log(p '-b)-h log (p — c)= \ 

= 6,42671 ^ 

S = 2 671 200 mètres carrés 
log r = log S-h colog ^ = 2,86417 : 

A - 

log ^8- = log r -+- colog (p^a)= 1,79767 A = 64°i3'2o' 

log »g - = log r 4- colog {p--b) = 1,70682 B = 63«67'46'' 

G - 

log tg ~ = log r + colog (p — c) = 1,77719 C == 6i«48'54'' 

Le total est bien A -i- B -H G = 180® 

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roUBNAL DB MATHEMATIQUES KLEMENTAIRiSS 



13 



SOLUTION DES QUESTIONS 

Du Concours 
d'admission de 1897 à l'Institut National Agronomique 

MATHÉMATIQUES 

PREMIÈRE QUESTION 

Par la circonférence d'un cercle de rayon r on fait passer 
une sphère que Von coupe par deux plans P et P' parallèles au 
plan du cercle donné et situés de part et d^autre à une distance 
h de ce plan, 

1® Trouver à quelles conditions on peut déterminer le rayon 
R de cette sphère de façon qu'elle soit coupée par chacun des 
deux plans P et V et déterminer les limites entre lesquelles 
varie R ; 

2® Évaluer le volume du segment sphérique déterminé par les 
plans P et F et la sphère. 

1® Il est tout d'abord évident qu'il faut R > r. Cette condition 
peut d'ailleurs se déduire par le calcul. Soient o) le centre du 
cercle donné, ixJ et w* ceux des cercles de section, S etS' les pôles 
communs decescercles, ona 

w. s: 

0)2 -H wS' = 2R ^^^ 

0)2 X toS' = r^ 

0)2 et 0)2' sont donc racines 
de l'équation 

X» — 2RX 4- r» = 

dont les racines seront 
réelles si 

R2 _ -y,2 ^ 

ou 

R> r. 

D'autre part, pour qu'il y 
ait possibilité d'intersection avec les deux plans d'une sphère 
menée par la circonférence o) il faut qu'on ait (o)2 étant < o)2') 

/i < 0)2 
ou 

A < R — Oo) 




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14 JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

OU 



< y/r^ + Oto^ — 0(1 



Le deuxième membre est variable, mais a pour maximum r 
(pour Oo) = o, c'est-à-dire quand la sphère décrite est concen- 
trique à la circonférence donnée). Donc, pour qu'il y ait double 
intersection possible il faut : h <^r. 

Exprimons maintenant la condition pour que la double inter- 
section ait lieu. 

h doit être inférieur à wS et à wS' ce qui exige que l'on ait 

f{h) = ^2 __ 2R/i -4- r2 > G 
d'où 





R<^ 




Les limites de 


variation de R sont donc 




r<R< 


K' H- r^ 



avec cette condition de possibilité du problème : ^ < r. 

2* Soient p et p' les rayons des sections P et P' : le volume du 
segment est : 

V = i TT^Â?^ + i 7ra)'a)'^(p2 + p'^) 

ou en remplaçant w'o)'' par ih 

V = I ttA» + izh{f = p'2) 



or 

p2 = "ÔP" — W' = R2 — (^i 4- v/R2 — r^f 



P^ 



d'où 



et 



9' 

p2 -U p'2 = 2R2 _ (2^2 + 2R2 — 2r^) = 2(^2 — /l*) 



V = I TT^S + 2uA(r2 — ^2) 



V = I ^A(3r2 — ^2). 

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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



15 



DEUXIÈME QUESTION 



AO 



Sur une droite indéfinie on prend un point tel que ^ = K^ 

et de comme centre, on décrit un cercle ayant pour rayon 
la moyenne géomé- 
trique entre OA et 
OB. Évaluer le rap- 
port jTR , M étant un 

point quelconque de 
ce cercle. 

D'après l'énoncé 
on a 



AO 

m 



MO 

bo- 




Donc les deux triangles AOM et MOB sont semblables comme 
ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels. Donc on 
a : 



MA' 
MB' 






AÔ' 



d'où 



AO X BO BO 



MA 
MB 



= K. 



CALCUL LOGARITHMIQUE 

TROISIEME QUESTION 

Calculer la valeur numérique de h — G, G étant donné par la 



formule 



sachant que 



C = (liJZ^ 



ixt 



|x = 0,0001818, X = 0,0000184 

^=16, h = 'j3(j°''^,i 

(on se servira de tables logarithmiques). 
On a 

1 -f- It 



h — C = h 



fx/- 



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16 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 



Sous cette forme on reconnail la formule de correction de la 
hauteur barométrique relative à la température. (Physique de 
Drion et Fornet, page 2o5). Substituant on a 

, p ^^^ , 1 + 0,0000184 X i6 
7i-C = 736,1 ^ ^ 0^^001818 X i6- 



Calcul de 1 -4- U. 

et d'où 
et 

Calcul de 1 -h [it. 

d'où 

et 

dès lors 



Log 16 = l,204l2 

Log 0,0000184 = 5,26482 

Log 1 -h X^ = 4,46894 

It = 0,0002944 

1 -I- X^ = 1,0002944* 

Log 16 = l,204l2 

Log 0,0001 8 i8 = 4,26969 

Log [1^ = 3,46371 

lit = 0,0029088 
1 -t- ji< = 1,0029088 



' 1,0029088 

Prenant les logarithmes, on a 

Log {h — C) = log 736,1 H- log 1,0002944 + colog 1,0029088 
Log 736,1 = 2,86694 
Log 1,0002644 = 0,00128 
Colog 1,0029088 = 1,99866 

2,86688 
^ — C=:736 

PHYSIQUE 

Un aérostat du volume de 60 mètres cubes est complètement 
rempli d'hydrogène dont là densité, par rapport a Tair, est de 0,007. 
On demande quel doit être le poids de Tenveloppe et des acces- 
soires pour qu'il puisse atteindre une hauteur où la pression est 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 17 

de 1 52 millimètres et Ja température de 60^ (on ne tiendra pas 
compte de la poussée de Tair sur les accessoires), 
soit X kilos le poids de l'enveloppe; la température initiale n'étant 
pas indiquée, nous devons la supposer de o**. Il n'est pas indiqué 
non plus si le ballon est ouvert pour éviter la rupture de l'en- 
veloppe sous la pression de l'hydrogène quand le ballon monte. 
Il s'agit ici d'un problème purement théorique dont l'énoncé 
semble au contraire écarter cette hypothèse. 

Écrivons donc que la poussée de Tair à la hauteur et à la tem- 
pérature considérée est au moins égale au poids de l'aérostat, le- 
quel poids reste constant. 

60 X S X ^—^ X 1,293 > 60 X 1,293 X 0,07 -+- X 

07 < 60 X 1.293(1 X ;^ — 0,07) = 11^04. 



RELATIONS METRIQUES 

ET TRIGONOMÉTRIQUES 

ENTRE LES ELEMENTS LINEAIRES ET ANGULAIRES 

DU QUADRILATÈRE INSCRIT COMPLET 

Par M. Lecoeq, ancien professeur au Lycée d'Avignon. 

(Suite, 1897 j P' Ï74)» 



Note 1 

Cette note se rattache au paragraphe 16. 

^ \/'^bcd __ \/'^rV^' V^F^+? y/o^ — p-^ y/y' — g^ 
® S ~" [ a^.^» _ a'P ' 

on conclut : 

ahcd — S' __ (oi\^o^)(?'--hf)(r'^ — r"') [(d — by — (a — cy] 

r' et r" étant les dislances de L aux côtés opposés ; a, c ou b, d. 

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18 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

On a donc 

ahcd — S" __ j r'' — r^') (a -h d -- b — c) (d -{- c — a —b ) 

Ainsi S = sjabcd dans l'un ou l'autre des cas suivants : 

1® Si r' = ^'^ (quadriialëre inscriptible et circonscriptible). 

2°Si^-l-c = a4-2>, ou a -^ d^=b -^ c (inscriptible). 

En particulier si, par les foyers d'une ellipse, on fait passer un 
cercle qui la coupe en quatre points réels, F un des quadrilatères 
symétriques inscrits déterminés aura pour surface la racine carrée 
du produit des quatre rayons vecteurs. 

Note 2 

Maximum de la surface du quadrilatère ABCD [fig. 5) les 
points S, Q e^ restant fixes. 

Soit 0' le milieu de 01 et 01 = 2r. 

(71? = $ (TML^ç M0' = D ettgo = .r, 

la surface S = 2/* X LP' devient : 



S = i[x sin (? + ç) y/r- — D^sin-cp, 

r » r 

o varie de — arc sin ïv à -4- arc sin tt de droite à gauche. 

L'équation du maximum est : 

tg $(D^' — r')x^ — (2D^ — r>2 __ tg Ç (D^ h- r^)x -\- r^ = o, 

pour j; = le premier membre se réduit à -h r^. 

Le maximum ne correspond pas à o = 0, ce qui est évident a 

,7" 

priori, car depuis = — arc sin j^ jusqu'à o, les deux facteurs 

/"et LP' augmentent tous les deux. Or, pouro = o la différentielle 
d{f) est nulle ou au moins du second ordre, tandis que c/(LP') est 
du premier. 

L'angle OMO', valeur particulière de o, est donné par 

r _ D ^^^ rcosÇ 



sin ? cos (; -h o) D -h r sin $ 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 19 

posons enfin 

f ^ j, , X C05 Ç 

jT = X d ou OD = 



D"~ """ "^"i-HXsmî' 

et l'équation devient : 

tg î(i — X>5 — (2 — X>2 _ tg î (i 4_ X> -+- X^^ = 0. 

Substituons à j: la valeur particulière ci-dessus, on trouvera 
le résultat essentiellement négatif, quel que soit î, de o à x et 
sous la condition : r <^D 

^ t<D^j^)Jrjh_D_sinJ) 
D(D -+- r sin }f 

Donc, la position- du maximum est intermédiaire entre celle où 
l'une des diagonales est le diamètre sur PO du cercle circonscrit, 
et celle où les diagonales sont rectangulaires ; mais elle ne corres- 
pond pas au cas où le quadrilatère serait circonscriptible ; autre- 
ment dit : c'est dans Tangle OMO', en dehors duquel se trouve le 
point u), que tombe la direction de la droite qui, partant de M, 
coupe le cercle de diamètre 01 aux milieux des diagonales du 
quadrilatère maximum. (Excepté le cas où SP = QP). 

CERCLES ET DROITES ALLOTROPES 

Par M. A.Tissot 

{Suite, 1897, page 193) 



66. — Tout point du second axe d'une conique est le centre 
d'un cercle bitangent à contacts réels ou imaginaires. Il en est de 
môme de ceux des points du premier axe qui, dans l'ellipse, se 
trouvent entre les deux foyers, ou, dans l'hyperbole, sur l'un des 
prolongements de la distance focale. Il nous reste à considérer les 
autres points du premier axe. 

Appelons cercle allotrope tout cercle ayant un de ces points 
pour centre, et dont le rayon soit, avec la moyenne proportion- 
nelle entre les distances du même point aux foyers, dans le rap- 
port de 6 à 0. Prenons, comme 5az7/awiûZ/o<ro/?e, le conjugué 
harmonique du centre du cercle par rapport aux foyers, et, comme 
droite allotrope, la st/polaire du saillant, c'est-à-dire la symétrique 
de sa polaire par rapport au centre du cercle. On peut établir les 



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20 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

propriétés des lignes ainsi définies par une méthode analogue à 
celle qui a été suivie dans l'étude des cercles bitangenls de pre- 
mière espèce à contacts imaginaires [3Sî] ; c'est pourquoi nous 
nous bornerons à énoncer, sans démonstration, les principales 
d'entre elles. A cet effet, nous sommes encore obligés d'avoir re- 
cours à une locution nouvelle, celle à' ëlongation d'un 'point par 
rapport à un cercle : nous désignerons ainsi la longueur de la 
droite joignant ce point à Tune des extrémités du diamètre per- 
pendiculaire à celui sur lequel il est situé. Quant aux nœuds 
d' èlongation d'une droite et d'un cercle, ce seront les extrémités 
de la corde commune aux circonférences qui ont pour centres les 
divers points de la droite, et, pour rayons, les élongations de ces 
points. 

La sy polaire, dans un cercle allotrope, de tout point de la droite 
al lotrope. correspondante, coïncide avec la polaire du même point 
dans la conique, et passe par le saillant. 

Le pôle d'une droite quelconque par rapporta la conique et le 
sypôle de la même droite par rapport au cercle sont en ligne droite 
avec le saillant. Nous entendons, par sypôle d'une droite, le sy- 
métrique, par rapport au centre du cercle, du pôle de cette droite, 
ou le point dont elle est la sypolaire. 

La polaire d'un point quelconque du plan dans la conique, et la 
sypolaire du même point dans le cercle se coupent sur la droite 
allotrope. 

De chacun des nœuds d'élongation d'une tangente à la conique 
par rapport à un cercle allotrope, on voit sous un angle droit la 
portion de cette tangente comprise entre le point de contact et la 
droite allotrope. 

Le lieu des nœuds d'élongation d'une même tangente à laconique 
par rapport aux divers cercles allotropes se trouve sur les droites 
dont chacune passe par le point de contact et par l'un des foyers. 
Il constitue les portions de ces droites non occupées par le lieu des 
nœuds [7] de la même tangente et des cercles bi tangents. 

Il y a un rapport constant, égal àTexcentrité, entre l'élongation 
d'un point quelconque de la conique par rapport à un cercle allo- 
trope et la distance du même point à la droite allotrope correspon- 
dante. 

Si l'on décrit des circonférences dont chacune ait, pour diamètre, 

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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 21 

la portion de Taxe focale comprise entre les centres de similitude 
de deux cercles allotropes, le second axe de la conique sera Taxe 
radical de deux quelconques de ces circonférences, et les foyers 
seront leurs nœuds [7] par rapport à cet axe. 

DE L'ÉLOxNGATION 

61f^ — Les notions qui vont suivre ne sont pas étrangères à la 
théorie des cercles bitangents aux coniques: une fois admises, 
elles permettraient d'exposer cette théorie un peu plus simple- 
ment ; en outre, elles conduisent à étendre, avec des énoncés con- 
venablement modiQés, certaines propriétés des cercles bitangents 
et des cercles allotropes à d'autres cercles ayant aussi leurs centres 
sur les axes. 

DIVISIONS SYHARMONIQUES 

68. — Nous disons que deux segments d'une môme droite for- 
ment une c?{i;mow ST/Tiar/wo/zi^we, lorsqu*en substituant, à une 
extrémité de Tun, son symétrique par rapport au milieu de Tau Ire, 
on obtient une division harmonique. Le segment primitif est celui 
qui ne se trouve pas modifié par cette substitution ; l'autre est le 
segment secondaire. Par exemple, sur la droite qui passe par le 
centre d'un cercle et par un point donné, ce point, sa sypolaire et 
la circonférence déterminent une division syharmonique, dans la- 
quelle le diamètre intercepté constitue le segment primitif. 

Dans toute division syharmonique, les deux segments empiètent 
l'un sur l'autre, et le milieu du segment primitif se trouve toujours 
sur le segment secondaire. 

69« — Le produit des distances aux extrémités dit segment 
secondaire est le même pour 
les deux extrémités du seg- 
ment primitif. 

Soient AB {fig. 36) le seg- 
ment primitif, son milieu, 

CD l'autre segment. Ci le symé- r 5 o /(L 3 ô^ 
trique de C par rapport à 0. 
Les points C^, D étant conju- ^^o- ^^ 

gués harmoniques de A, B, les distances BC^, BD sont propor- 




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22 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

tionnelles à ACj, AD. Remplaçant, dans la proportion, BCj par 
son égal AC, et ACi par son égal BC, on obtient 

AC.AD = BG.BD. 

Réciproquement, si les deux segments AB, CD empiètent Ton 
sur Tautre, et si Tégalité précédente se trouve satisfaite, AB sera 
le segment primitif et CD le segment secondaire d'une même divi- 
sion syharmonique. 

70. — La moitié du segment primitif est moyenne propor- 
tionnelle entre les distances de son milieu aux extrémités de 
Vautre segment. 

On a en effet [fig, 36) ÔX' = OC,. OD et OCi = OC ; 
d'où résulte 

ÂO' = OC.OD. 

Réciproquement, si le milieu de AB se trouve sur CD, et si 
OA est moyenne proportionnelle entre OC et OD, le segment CD 
formera avec AB une division syharmonique. 

7 1 • — La corde commune aux circonférences décrites sur les 
deux segments comme diamètres est égale au segment primitif, 
et passe par le milieu de ce segment. 

Au point {fig. 36), élevons, sur AB, la perpendiculaire 01 
égale à OA. D'après la propriété précédente, 01 est moyenne pro- 
portionnelle entre OC et OD ; le point I appartient donc à la cir- 
conférence décrite sur CD comme diamètre. 

Le segment secondaire est toujours plus grand que le segment 
primitif. 

Kit. — Le carré de la moitié du segment secondaire est 
moyenne arithmétique entre les carrés des distances du milieu 
de ce segment aux extrémités du segment primitif. 

Soit 0' {fig. 36) le milieu de CD ; tirons O'I. On peut d'abord 
remarquer, dans le triangle rectangle 010', que le carré du demi- 
segment secondaire est la somme des carrés du demi-segment pri- 
mitif et de la distance mutuelle des milieux des deux segments ; 
ainsi l'on a 

wî = oa' -+- m'\ 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 23 

Le point 0' se trouvera tantôt sur OB, tantôt sur le prolonge- 
ment de OB; dans chacun des deux cas, l'une des longueurs 
OA, 00' sera égale à la demi-différence et l'autre à la demi-somme 
des distances D'A, O'B ; il vient donc 

2 

K*l» — Problèmes : Connaissant un segment d'une division 
syha'ï^no?iique ainsi qu'une des extrémités ou lemilieu de Vautre 
segment, construire ce dernier. 

Deux segments étant donnés sur uîie droite, en construire un 
troisième qui forme, avec eux, deux divisions syharmoniques , 
ou, avec Vun, une division harmonique, et, avec Vautre, une di- 
vision syha'i^monique . 

L'énoncé du second alinéa comprend cinq problèmes distincts, 
dont trois admettent chacun une solution unique. Les deux autres, 
quand ils sont possibles, admettent chacun deux solutions sus- 
ceptibles de se confondre ; ces derniers sont ceux dans lesquels un 
des segments donnés, et un seul, doit jouer le rôle de segment 
secondaire. Le milieu du segment cherché se trouve alors sur une 
circonférence, lieu des points ayant des puissances égales et de 
signes contraires par rapport à deux cercles, ou par rapport à un 
cercle et à un point connus. 

Deux segments secondaires d*un môme primitif empiètent 
toujours l'un sur l'autre. 

{A suivre) 



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24 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

CORREGTJON 
ET CLASSEMENT DES COPIES 



Le Comité du journal corrige, annote, classe et retourne franco 
les copies que les abonnés à la Correction des copies lui enver- 
ront mensuellement. Les copies et épures doivent être envoyées 
franco de port dans le mois qui suit la publication des questions 
proposées au journal par le Comité. 

Prix de l'abonnement a la correction. . 10 fr. »» 

Peuvent s'abonner non seulement les abonnés du journal, mais 
encore tous ceux qui désireront prendre part à la correction 
comparative. 

Les copies et le montant de Tabonnement doivent être adressés 
à M. Mariaud, président du Comité, 3 rue Duban, Paris-Passy. 

Nota. — Tous les modes de payement sont admis : mandats- 
poste français, chèques, timbres poste... 

M. Mariaud se tient à disposition des lecteurs du Journal de 
Mathéinatiques et des abonnées à la correction tous les semedis 
de 7 heures à ii heures du matin à son domicile, pour tous ren- 
seignements relatifs aux examens, concours et Ecoles du Gouver- 
nement. 

On peut demander ces renseignements par correspondance. 

Le Président du Comité, 
Georges MARIAUD. 



Le Directeur-gérant, 

Georges MARlAUD. 



SAIST-AMAND (CHEr), IMPRIMERIE SCIENTIFIQUE ET LITTÉRAIRE, BUSSIÉRE FHÈRES, 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELBMBNTAIRRS 25 

PREMIÈRE PARTIE 

Questions proposées par le Comité aux Candidats 

I. - A L^ÉCOLE SPÉCIALE MILITAIRE S^-CYR 



ECRIT 

MATHEMATIQUES 

36. — On donne une circonférence et deux rayons rectan- 
gulaires fixes OA el OB. On considère un rayon variable OC qui 
décrit l'angle AOB et sur lequel on prend OM égal à la distance 
CD de G à OA. 

On demande : 

1^ Le lieu de M; 

2*» Le lieu de Tinlerseclion des médianes du triangle OBM. 

37. — On donne une surface conique de révolution à deux 
nappes dont le demi angle au sommet est 6o®. On la coupe par 
deux plans perpendiculaires à Taxe et dont la dislance est h. On 
obtient ainsi un tronc de cône. Calculer la dislance œ du sommet 
à la base la plus éloignée^ sachant que le volume de ce tronc est 
dans un rapport donné m avec celui de la sphère dont le diamètre 
est h. Discussion. 

ÉPURE 

38. — Cadre 27 centimètres sur 4^ centimètres, a^ parallèle 
aux grands côtés du cadre ; 

aX = 5 millimètres ; a^ = 65 millimètres ; ^5 = 90 milli- 
mètres ; ©Y = 38 millimètres ; co = 34 millimètres. 

Un cylindre a pour base dans le plan horizontal un cercle o. 
Les génératrices ont leurs projections horizontales parallèles koh ; 
àb étant le côté du pentagone régulier inscrit. 

Un prisme a pour base dans le plan horizontal un carré inscrit 
dans la circonférence c; un des sommets du carré est le point 0. 
Les projections des arêtes sont perpendiculaires à oh, ces deux 
solides sont limités à un même plan horizontal passant par le 
point M situé sur la génératrice du cylindre qui passe en h, la 
projection tn de M est telle que &m == 18 centimètres. 

JOURNAL 0E MATH. ÉLÉM. — 1897. 2 

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26 JOURNAL DB MATHÉMATIQUES ELBMBNTÀIRBS 

Un pian parallèle aux arêtes du prisme et aux génératrices du 
cylindre a sa trace horizontale parallèle à a^. 

1® On demande de représenter la projection horizontale deTen- 
semble des deux solides formant un seul corps opaque. 

2° On représentera le cylindre enlaillé en le transportant paral- 
lèlement aux petits côlés du cadre de i3o millimètres. 

3° On représentera le prisme enlaillé en le transportant parallè- 
lement aux grands côtés du cadre de 2i5 millimètres. 

4" On représentera le solide commun transporté de 2i5 milli- 
mètres parallèlement aux grands côtés du cadre et de 120 milli- 
mètres parallèlement aux petits côtés. 

CALCUL TRIGONOMÉTRIQUE 

1* La projection d'un segment de droite ayant 12 84i",5o pour 
longueur, mesure 8 210*", 63 ; on demande de calculer l'angle du 
segment avec Taxe de projection. 

2° Un point B a pour coordonnées 

a? = 2 84i'",35, 
y = io432",5o. 
On demande de calculer les éléments du triangle AOB. 

QUESTIONS AYANT ÉTÉ PROPOSÉES A L'ORAL 
A résoudre: par les candidats 

40. — Peut-on mener une sphère tangente aux six arêtes d'un 
.tétraèdre. — Discussion. 

41. — On donne une demi-circonférence de diamètre AOB. Sur 
le diamètre Afi ou sur son prolongement on donne un point S, 
déterminer dans la demi-circonférence une corde CD, parallèle à 
AB, et telle que les surfaces engendrées par la rotation, autour de 
AB des droites SC et CD soient proportionnelles. — Discussion. 

II. — A L'INSTITUT NATIONAL AGRONOMIQUE 

MATHÉMATIQUES 

42. — Etant donnée une circonférence tangente aux deux côtés 
d*un angle de 60° mener une troisième tangente qui forme avec 



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JOURNAL DE MATHÉMATIQUBS ELEMENTAIRES 27 

les deux au 1res une surface égale à ôttR^. Discussion. — Cas du 

maximum et du minimum. 

LÉOPOLD Massif, 

Professeur à la 
« Société d'enseignement moderne ». 

43. — Inscrire dans une sphère un cône ayant pour base AB 
et dont le volume soit égal à celui du segment ABCD. 

44. — Calculer à 0,001 près le rapport 

sin 75* -f- sin 3o 
sin 75 — sin 3o* 

PHYSIQUE ET CHIMIE 

45. — Un ballon de volume V renferme un gaz de densité d 
h la pression H. Un second ballon de volume V renferme un autre 
gaz de densité d' à la pression H'. On met les deux ballons en 
communication et Ton demande de calculer : 1^ la force élastique 
du mélange, 2^ le rapport entre les poids des deux gaz qu'il 
contient. 

Données numériques : 

V = 10' V = 3^ d= 1 (air), d' = 0,069 (hydrogène) 
H = 38o millimètres, H' = 2 atmosphères. 

46. — Définition de la densité des corps solides. — Méthode 
du flacon pour la déterminer. 

47, — Préparations et usages du soufre, 

■■■■■.■; 

m. — AU BACCALAURÉAT 
LETTRES MATHÉMATIQUES 



MATHÉMATIQUES 

48. — {Obligatoire). Etant donnée une progression géométrique 
de raison 07, on considère trois termes consécutifs de cette pror 
gression. On fait leur somme puis de cette somme on retranche le 
terme du milieu. Etudier la variation du rapport de la première 
expression à la seconde quand j; varie. 

49. — {Au choix). Théorie du plan incliné. 

50. — Conditions de sensibilité et de justesse de la balance. 

51. — Bascule de Quintenz. 



/Google 



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28 JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

PHYSIQUE 

57. — (Obligatoire), Deux sphères mélalliques, dont les den- 
silés sont 5 et lo ont même poids P dans le vide. On les suspend 
aux extrémités d*un levier et on les fait plonger dans J'eau. Quel 

doit être le rapport j, des deux bras de levier pour qu'il y ait 

équilibre. 

58. — (Au choiûo). Démontrer le principe d*Archimède. 
50. — Conditions d'équilibre des corps flottants. 

60. — Détermination expérimentale du volume d'un corps 
solide. 

IV. — AU BACCALAURÉAT 
DE L^ENSEIGNEMENT MODERNE 



MATHEMATIQUES 

61« — {Obligatoire), œ variant de — oo à -h o©, étudier les 
variations de : 

ix^ — 8a? -h 7 

5n* -h 4^ -h 2 * 

62. — (Au choix). Composition de deux forces parallèles et de 
sens contraires. 

63. — Valeur en grandeur et en direction de la résiiltanle de 
deux forces concourantes. 

64. — Montrer qu'un couple ne peut avoir de résultante. 

PHYSIQUE 

65. — {Obligatoire). Un aréomètre à graduation uniforme 
(genre Baume) marque o degré dans l'eau pure à o degré, 4o de- 
grés dans un certain liquide de densité 1^62 à la même tempéra- 
ture. A quelle division affluera-t-il dans ce dernier liquide à la 
température de 60 degrés? 

Le coefficient de dilatation cubique du verre est 0,000026 ; celui 
du liquide o,ooo836. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 29 

On néglige les effets de capillarité et Ton admet que la densité 
de Teau à o° ne diffère pas sensiblement de i. 

66. — {Au choix) a). Spectres solaires. — Spectres des diffé- 
rentes sources lumineuses. 

b) Chaleur rayonnante. — Emission, réflexion, transmission et 
absorption. 

c) Principes de la photométrie. — On donnera un exemple de 
comparaison de deux sources lumineuses^ au moyen d*un photo- 
mètre seulement. 



V. BACCALAURÉAT (LETTRES. — SCIENCES) 



MATHÉMATIQUES 
Ql. — [Obligatoire) a et b, étant les coordonnées d'un point M 



et 



(0 


(a -+- a)i» -1- (a -f- 36 -H 5)y + 3 = 0, 


(«) 


(a -+■ 2)a? — (2a -h ô — 2)y — 2=0, 



les équations de deux droites rapportées aux mêmes axes rectan- 
gulaires, trouver le lieu des positions que doit occuper le point M 
dans le plan pour que ses coordonnées mises dans les équations 
(i) et (2) les deux droites qu'elles représentent soient parallèles. 
Trouver les coordonnées du point M pour lesquelles les deux droites 
coïncident. 

68. — {Au choix), i^ Définition d'une fonction continue d'une 
variable et démontrer que la fonction y = ax^ -^ bx -hc est con- 
tinue de — 00 à -h 00 . 

2° Indiquer comment on représente une droite et un plan en 
géométrie cotée, et, trouver l'intersection d'une droite et d'un plan 
donnés en projections colées par leurs échelles de pente. 

3® Ramener à un système de trois forces passant par trois points 
choisis arbitrairement dans un corps solide, un système de n forces 
appliquées en différents points de ce corps solide. Puis ramener ce 
système de trois forces à un autre de deux forces dont l'une passe 
par Tun des trois points précédents. 



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30 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLEMENTAlflEfi . 

PHYSIQUE 

69. — {Obligatoire), On manœuvre le piston d'une machine 
pneumatique. Le récipient est rempli d'air à la pression de 760 mil- 
limètres de mercure et à la température de 0°. Le volume de 
ce récipient est de 7530 centimètres cubes. On demande : 1° le 
poids de Tair extrait quand la pression est réduite à 84 milli- 
mètres; 2° le poids de Tair contenu dans le récipient à la même 
pression (poids du litre d'air à 0°, sous la pression de une atmos- 
phère : 18^293. 

KO. — {Au choix), 1° Lois de la chute des corps et machine 
d'Atwood ; 

2" Pendule. — Applications ; 

3° Poids spécifiques des solides. 

VI. — AUX ÉCOLES D^AGRICULTURE 



71. — a) Dans un hôtel des monnaies on a frappé de la mon- 
naie d'argent pour une valeur de 100000 francs. Les — de cette 

fabrication sont en pièces de 5 francs, au titre de 900 millièmes, le 
reste est fabriqué en pièces divisionnaires. On demande : 1° le 
poids de l'argent pur employé; 2° le montant des frais de fabrica- 
tion des pièces de 5 francs au tarif de i''^,5o par kilogramme 
d'argent monnayé. 

K^. — b) Les volumes engendrés par un rectangle tournant 
successivement autour de ses côtés sont de 10 mètres cubes et de 
19 mètres cubes. Trouver la longueur de la diagonale de ce rec- 
tangle. 

7 3. — c) Calculer par logarithmes 



œ : 



^=zr^ /372V 

V 2,3o 0,00 1. l -V) 
^8P43 



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JOUfiNAL DE MATHÉMATIQUES KLBMENTAIRBS 3t 



VII. - AUX ECOLES DE COMMERCE 



ÉCOLES SUPÉRIEURES DE COMMERCE RECONNUES PAR l'ÉTAT 



CONCOURS D ENTREE DU II OCTOBRE 1897 



COMPOSITION DE MATHEMATIQUES 

(3 heures) 



I. — ARITHMETIQUE 

I. Trois lingots d'argent ont pour titres î 0,96 pour le premier, 
0,80 pour le second et o,53 pour le troisième. 

Le poids du premier lingot et le poids du second sont propor^ 
tionnels à 4 6t à 5. 

Le poids du troisième lingot est triple du poids du second lingot. 

Les trois lingots fondus ensemble forment un lingot total 
pesant 2880 grammes. 

On demande : 

1° Quel poids de cuivre ou quel poids d'argent pur faut-il ajou- 
ter au lingot total pour fabriquer un alliage pouvant servir à 
frapper des pièces de 1 franc en argent ? 

2" Quel sera le nombre de pièces de 1 franc frappées ? 

n. Un commanditaire a placé dans une maison de commerce 
une certaine somme d'argent à intérêts simples à un certain 
taux. 

Si la commandite était retirée au bout de 1 1 mois, le comman- 
ditaire toucherait 69 664 francs. Si la commandite était retirée 
au ' bout de deux ans et demi, le commanditaire toucherait 
73 920 francs. 

Calculer la somme placée et déterminer le taux du placement. 

Nota. — La résolution de ces problèmes par l'arithmétique est 
obligatoire; toute solution algébrique sera considérée comme 
nulle. Les candidats sont astreints à faire figurer tous les calculs 
en marge de la copie. 



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32 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

II. — ALGÈBRE 

Démontrer que féquatioa 

x^ — \\x '\- 1% œ — 4 



est une identité. 



^ — 9^ -+- 1-4 oc — 2 

lU. — CALCUL LOGARITHMIQUE 

^ /r 6878^ X v^^:^ T 

y [^ X 725^ X V^^;678 J 

Chaque candidat calculera cette expression avec Tapproximation 
que comporte la table dont il se sert. 

Il sera tenu compte de la bonne disposition et de Tordre des 
calculs. 



DEUXIÈME PARTIE 



Pour mémoire. — Cette partie sera remplie à partir du pro- 
chain numéro. 



TROISIÈME PARTIE 



Questions diverses 

CERCLES ET DROITES ALLOTROPES 

Par M. A. Tlssot 

{Suite^ voir le numéro d'octobre) 



L'ÉLONGATION PAR RADIANT 

'74« — Un point, dit radiant^ et un cercle fixe étant donnés, 
nous appelons èlongation d'un point variable le rayon du cercle 
qui a ce point pour centre, et dont Taxe radical, par rapport au 
cercle fixe, est issu du radiant. Pour chaque position du point va- 
riable, Taxe radical est déterminé, puisqu'il doit être perpendicu- 
laire à la droite passant par ce point et par le centre du cercle fixe. 



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JOURNAL DÉ MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 33 

Lorsque l'axe radical rencontre le cercle fixe, réiongation est 
égale à la droite qui joint le point variable à Tune des extrémités 
de la corde d'intersection. Supposons que l'axe radical soit exté- 
rieur au cercle fixe ; construisons leurs nœuds [7], lesquels de- 
vront être les mêmes que pour Taxe radical et le cercle variable. 
Si le point variable est en dehors du cercle ,nodal, c'est-à-dire du 
cercle décrit sur la ligne des nœuds comme diamètre, la tangente 
menée de ce point à ce cercle donnera Télongation. Dans le cas 
contraire, au lieu de considérer l'élongation, qui serait imaginaire, 
nous considérerons, sous le nom de corde d'élongation^ la corde 
principale du point variable dans le cercle nodal. Dans les deux 
cas, la puissance du point variable par rapport à ce cercle sera sa 
puissance d^élongation, ^ 

L'élongation sera dite centrale lorsque le radiant occupera 
le centre du cercle fixe. Le mode particulier d'élongation ainsi 
défini est celui que nous avons déjà rencontré dans l'étude des 

cercles allolropes [66]. 

"75. — Vaxe radical de deux cercles variables passe par le 
radiant. 

Ces deux cercles, avec le cercle fixe, ont en effet le radiant pour 
centre radical. 

Il suit de là que, si le point variable décrit une ligne droite, les 
cercles variables, pris deux à deux, auront le même axe radical. 
Lorsque l'un d'entre eux sera rencontré par cet axe, ils le seront 
tous, et aux mêmes points, que nous appellerons nœuds d'élan- 
galion. On peut obtenir ces nœuds en abaissant, du radiant, une 
perpendiculaire sur la droite des points variables, et prenant ses 
intersections avec la circonférence qui a son centre au pied de 
cette perpendiculaire. Les nœuds une fois construits, pour avoir 
l'élongation d'un point quelconque de la droite, il suffira de le 
joindre à l'un des nœuds. 

76* Lbmne. — L'axe radical de deux cercles est èquidistant 
des polaires de leurs centres, la polaire du centre de chaque 
cercle étant prise par rapport à l'autre cercle. 

En effet, la distance du milieu de la ligne des centres à Taxe 
radical et la distance du même point à la droite équidistante des 
deux polaires sont toutes deux égales au demi-quotient de la 
différence des carrés des rayons par la distance des centres, 

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34 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 



W. — Qua7id le radiant et le centre du cei^cle fixe se trou- 
vent sur une même perpendiculaire à la droite des points 
variahlesy les nœuds cTèlongation forment une division harmo- 
nique avec le centre du cercle fixe et le symétrique, par rapport 

au radiant, du 
pôle de la droite 
dans ce cercle. 

Soient 0(/î^. 37) 
le centre du cercle 
fixe, AM la droite 
des points varia- 
bles, A le pied de 
et la perpendicu- 
laire abaissée de 
sur AM, R le ra- 
diant, RS la per- 
pendiculaire élevée 
en R sur OA. Les 
nœuds d'élonga- 
tion û, iY se trou- 
veront sur la cir- 
Fig. 3; conférence variable 

de centre A, c'est-à-dire celle qui, avec le cercle fixe, aurait pour 
axe radical RS. Soient encore P le point de rencontre de OA avec 
la polaire de A dans le cercle fixe, et P' le symétrique de P par 
rapport à R. D'après le lemne précédent, P' appartiendra à la 
polaire de dans la circonférence variable de centre A ; les points 
Q, 11' de cette circonférence sont donc conjugués harmoniques des 
points 0, P'. 

TS. — Quand le radiant et le centre du cercle fixe se trou- 
vent sur une même perpendiculaire à la droite des points varia^ 
blés, on voit sous un angle droit, de chaque nœud d^élongàtion, 
la portion de la droite comprise entre Vun quelconque de ses 
points et la symétrique, par rapport au radiant, de la polaire de 
ce point. 

La polaire d'un point quelconque M {fig. 87) de la droite AM 
serait la perpendiculaire abaissée de P sur OM ; sa symétrique par 
rapport à R sera P'M' perpendiculaire aussi à OM ; M' étant le 




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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÇLEMENTAIHES 



33 



point de rencontre de FM' avec AM, il s'agit de démontrer que 
Fangle MqM' est droit. Puisque les deux segoienls ÛQ', OP' sont 

conjugués harmoniques [77], on a AQ = AO.AP' ; mais les deux 

triangles semblables AOM, AMT' donnent AO.AF = AM.AM' ; il 

- , a 
vient donc A.Ù = AM.AM', ce qui prouve que le triangle MQM' 

est rectangle en Q. 

79. — Les nœuds tels qu'ils ont été définis à propos des cercles 
bitangcnis de première espèce [7], à propos des cercles bitangents 
de seconde espèce [39], enfin à propos des cercles allolropes [66], 
répondent à trois positions particulières du radiant sur la perpen- 
diculaire menée à la droite des points vdriables par le centre du 
cercle fixe. 

i^ La droite AM (Jîg. 38) étant extérieure au cercle, prenons son 
pôle P pour radiant. Les tangentes aux extrémités de toute corde 
passant par P se coupant sur AM, Télongation d'un point quel- 
conque de AM sera la tangente menée de ce point au cercle fixe. 

Ici, les nœuds ii, Q' sont conjugués harmoniques de 0, P [77]. 
Ils le sont aussi des extrémités C, D du diamètre perpendiculaire 
à AM, car, B désignant l'une des extrémités de la corde princi- 
pale de P, ou, ce qui revient au 
même, le point de contact de l'une 
des tangentes issues de A, on aura 

ÂÏî'-=AB'=:AC.AD. 

De chaque nœud, on voit sous 
un angle droit la portion de la 
droite comprise entre l'un quel- 
conque de ses points et la polaire 
de ce point dans le cercle [78]. 

2® La droite AM (fig, 39) ren- 
contrant le cercle, prenons, pour 
radiant, le pied A de la perpendi- 
culaire abaissée, sur cette droite, 
du centre du cercle fixe. L'élon- 
gation de A sera la demi-corde 
principale AB, et les nœuds se 
trouveront en Q, Q', à des distances Fig. 39. 

de A égales à AB. Ils formeront avec éjt le symétrique, par rap- 




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36 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES I^LÉMENTAIRES 



port à A, du pôle P de AB, une division harmonique [77] ; par 
conséquent ils occupent les extrémités du segment primilif dans 
une division syharmonique dont le segment secondaire est OP. 
Ils jouent le même rôle dans une autre division syharmonique 
ayant, pour segment secondaire,le diamètre CD perpendiculaire à 
AM. On a en effet ÂQ^ = ÂB* = AG.AD. 

De chaque nœud, on voit sous un angle droit la portion de la 
droite comprise enlre Tun quelconque de ses points et la symé- 
trique de la polaire de ce point par rapport au pied de la perpen- 
diculaire abaissée du centre du cercle ùxe sur la droite [78]. 

3*^ Quelles que soient les positions relatives de AM {fig. 4o) et du 
cercle iiKe, prenons, pour radiant, le centre de ce cercle, ce qui 

correspond à Télongation centrale. 
Si B est l'une des extrémités du 
diamètre parallèle à AM, Télon- 
gation de A sera égale à AB, et les 
nœuds û, ù' se trouveront à des 
distances de A égales aussi à AB. 
Soit P le pôle de AM; prenons 
OP' = OP; Q, Çl' seront conjugués 
harmoniques de 0,v F [77] ; ils 
forment donc une division harmo- 
nique avec le centre du cercle et le 
sypôle de la droile. La ligne Q,£l', 
qui les joint, est aussi le segment 
secondaire d'une division syhar- 
monique ayant pour segment pri- 
mitif le diamètre CD perpendi- 

2 

culaire à AM ; on a en effet UC" = 
= Ub' = Oû.OÛ'. 

De chaque nœud, on voit sous 
un angle droit la portion de la 
Fig. 4o- droite comprise enlre Tun quel- 

conque de ses points et la sypolaire de ce point dans le cercle [78]. 
80. — L'emploi des nœuds nous a facilité la démonstration 
des propriétés des cercles bilangents aux coniques; il conduit à 
la résolution de divers problèmes relatifs à ces cercles ; enfin, il 




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JOURNAL DE MÂTHËMATÎQUBS ÉLÉMENTAIRES 37 

fournit des réponses immédiates aux questions dans lesiquelles il 
s'agit des élon gâtions de deux points seulement ou de celles de 
plusieurs points appartenant à une même droite. Pour énoncer 
plus rapidement quelques-unes de ces questions prises comme 
exemples, nous supposerons que la droite ne rencontre pas le 
cercle^ et que le radiant coïncide avec le pôle de cette droite, de 
sorte que Télongation de chaque point sera la tangente qui en 
est issue. 

Démontrer que la distance de deux points est comprise entre la 
somme et la différence des tangentes menées de ces points à un 
même cercle. 

Étant donnés deux cercles et une droite, trouver le point de 
cette droite pour lequel la somme des tangentes menées aux deux 
cercles est la plus petite possible, et celui pour lequel la différence 
des tangentes est la plus grande possible. 

Démontrer que le carré de la distance de deux points situés 
chacun sur la polaire de l'aulre par rapport à un cercle est 
égal à la somme des carrés des tangentes issues de ces deux 
points. 

Former la relation qui doit exisler entre les dislances mutuelles 
de trois points en ligne droite et les longueurs des tangentes me« 
nées de ces points à un même cercle. 

81. — Le lieu des points d'égale élongation par rapport ^ 
deux cercles fixes est une droite perpendiculaire à celle qui joint 
les deux radiants. 

En eflet, considérons deux points du lieu, les cercles variables 
décrits de ces points comme centres avec leurs élongations pour 
rayons, enfin ladroile qui les joint. L'axe radical des deux cercles 
variables doit contenir les deux radiants [75] ; deux points quel- 
conques du lieu se trouvent donc sur une même perpendiculaire 
à la droite des radiants. 

Dans le cas des élongations centrales, le lieu des points d'égale 
élongation est symétrique de l'axe radical des deux cercles donnés 
par rapport au milieu de la dislance de leurs centres. 

Les lieux des points d'égale élongation par rapport à trois cer- 
cles et à trois radiants pris deux à deux se coupent en un même 
point. 

L'intersection des deux axes radicaux qui correspondent à tout 



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38 



JOURNAL OB MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 



point d'égale élongation par rapport à deux cercles fixes se trouve 
sur Taxe radical de ces deux cercles. 

Lorsque les deux radiants se confondent, tout point du plan a 
la même élongation par rapport à deux cercles donnés, ou aucun 
point ne jouit de cetle propriété, suivant que le radiant commun 
est ou non situé sur Taxe radical des deux cercles. 

82. — Lorsque deux circonférences sont orthogonales, il y a 
égalité entre la puissance d'un point quelconque du plan par 
rapport à l'une et la puissance d'élongation du môme point par 
rapport à Vautre et ati centre de la première pris comme 
radiant. 

Soient (fig, 4i) le centre de la première circonférence, 0' 

celui de la seconde, M le 
point considéré. Du radiant 
0, abaissons, sur O'M, la 
perpendiculaire ON et sup- 
posons d abord que cette per- 
pendiculaire rencontre la se- 
conde circonférence ; si E est 
un des points d'intersection, 
M aura pour élongation ME. 
Les deux cercles se coupent orlhogonalement, 0' appartient à Taxe 
radical du premier et du point E ; cet axe radical est donc O'N, et, 
comme O'N contient M, la distance ME sera égale à la tangente 
menée de M à la première circonférence. 

Supposons maintenant que ON (fig. 42) ne rencontre pas la 
seconde circonférence. Imagi- 
nons le cercle nodal qui se rap- 
porte à cette circonférence et à 
ON, c'est-à-dire celui qui a N 
pour centre, et, pour rayon la 
tangente menée de N à la dite 
circonférence. Ce cercle et le pre- 
mier des deux cercles donnés 
coupant orthogonalement le se- 
cond, leur axe radical doit pas- 




Fig. 41. 




Fig. 42 



ser par 0' ; il est donc O'N, et contient M. D'après cela, M à 
la même puissance dans le premier cercle donné et dans le cercle 



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JOURNAL DBS MATHBlfATlQUES ÉUSBfBNTAlRKS 



39 



nodal ; or, sa puissance dans le cercle nodal est précisément sa 
puissance d'élongation par rapport au second cercle donné et au 
radiant [T41. 

83. Deux circonférences étant décrites, Vune sur le segment 
primitify l'autre sur le segment secondaire d'une division 
syharmonique comme diamètres, il y aura égalité entre Vélon- 
gation centrale d'un point quelconque du plan par rapport à 
la première^ et Vèlongation du même point par rapport à la 
première, et Vèlongation du même point par rapport à la 
seconde et au centre de la première pris comme radiant. 

Soient AB {fig, 43) le segment primif, son milieu, CD le 
segment secondaire, 01 
la demi-corde commune 
aux deux circonférences, 
laquelle passe par [70] 
Ce point sert de radiant 
pour les deux élongations 
et il est situé sur Taxe 
radical des deux cercles ; 
donc les deux élongations 
sont égales [81]. Fig. 43 

84. — Tout point de V axe focal d* une conique, indéfiniment 
prolongé, est le centre d*une infinité de cercles à chacun des- 
quels coi^^espondent un point et une droite tels que, le point 
étant pris pour radiant, il y ait un rapport égal à Vexentricilé 
entre Vèlongation, par rapport au cercle, d'un point quelconque 
de la co-nique et la distance du même point à la droite. 




{À suivre). 



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CORRECTION 
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Le Comité du journal corrige, annote, classe et retourne /ra/îco 
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On peut demander ces renseignements par corres- 
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Le Président, 

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Le Directeur-gérant, 

Georges MARIAUD. 

SAINT- AMAXD (cHER). — IMPRIMBRIE SCIENTIFIQUE ET LITTÉAiJRC, BUSSlâBB FRÈRES. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLBMENTAIABS 41 

PREMIÈRE PARTIE 
Questions proposées aux Candidats 

I. - A L'ÉCOLE SPÉCIALE MILITAIRE S^-CYR 



MATHEMATIQUES 

74. — Résoudre le système : 

x^ — y ixy = a\ 
if — X \Jœy == b^. 

Léopold Massip, 

Professeur à la 

« Société d'enseignement moderne ». 

7o« — Trouver le lieu des points d*où l'on voit trois sphères 
données sous un même angle donné. 

ÉPURE 

IQ. — Un cercle de centre dans le plan de comparaison est 
la base d'un cylindre oblique limité au plan vertical qui passe par 
CC, (CCi parallèle aux petits côtés du cadre). On donne le point 
B dans le plan de comparaison. Ce point est l'un des sommets du 
losange, circonscrit au cercle. On considère le prisme formé par 
les quatre plans tangents au cylindre et passant par les quatre 
côtés du losange ; 2^ un cylindre horizontal d'axe AAj (A A, paral- 
lèle aux petits côtés du cadre) est tangent au plan vertical CCi et 
limité à deux plans perpendiculaires au plan vertical qui passe par 
SSi (SSj parallèle aux petits côtés du cadre et placé suivant le pe- 
tit axe de la feuille) et inclinés de 3o'* sur le plan de comparaison. 
On demande l'intersection du cylindre horizontal et du prisme ; 
2° la construction d'un point d'intersection et de la tangente en ce 
point. 

Données numériques : Cadre, 27 centimètres sur 45 centimètres 
S et Sj sont sur les côtés du cadre, l'axe du cylindre est situé dans 
un plan vertical perpendiculaire à SSj et part du point 0, 
OtD== Oico = o™,i3 (o) sur SS^ tel que 00, soit perpendiculaire 
à SSJ. 

Le rayon du cercle est de 2 centimètres 5 millimètres BBi 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉM. — 1897. 3 

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42 JOURNAL DB MATHEMATIQUES BLÉMiCNT AIRES 

perpendiculaire à SSi égale 17 cenlimèlres, B^Si = 8 centimètres 
(Sj à droile de la feuille et sur le côté du cadre). La pente de Taxe 
du cylindre est 1. La côte de Taxe AAi du cylindre horizontal 
est inférieure de 3 centimètres à la côte du point Oj (0^ étant la 
trace de l'axe 00^ sur le plan vertical GCi. Le rayon du cercle ho- 
rizontal est G", 045. Léopold Massif. 

CALCUL TRIGONOMÉTRIQUE 

HH. — Etant donnée Téquation : 

89785 = 89624,67 cos œ H- 24508,75 sin x. 

On propose : 1° d'établir une formule logarithmique qui fasse 
connaître toutes les valeurs de l'arc x. 

2® De calculer ces valeurs à moins de — de seconde, en écar- 

10 ' 

tant celles qui ne sont pas comprises dans le premier quadrant. 

QUESTIONS POSÉES A L'ORAL 

78. — Soit un carré. On le divise en quatre petits carrés par 
des parallèles aux côtes tracées suivant les axes ; dans l'un des 
quatre carrés on inscrit un cercle tangent aux quatre côtes. Ce 
cercle représente un trou fait à l'emporte-pièce et si Ton suppose 
la figure en métal, trouver le centre de gravité du système. 

70. — Résoudre l'équation 

sin* X — sin^ x -h 2m sin^ x — sin x -f- 1 = o. 

Discuter la nature des racines de cette équation suivant les di- 
verses valeurs de m. 

IL - A L'INSTITUT NATIONAL AGRONOMIQUE 

MATHÉMATIQUES 

HO» — Déterminer les côtés d'un trapèze de périmètre donné, 
inscrit dans une circonférence donnée de manière que l'un de ces 
côtés parallèles soit un diamètre de la circonférence. Discuter la 
solution trouvée. 

81. — Déterminer les maxima et minima des fonctions : 

3x — 2 „ ' 4 3^7^ -h i a a 

X — o H- 



ôa?'-^ -h 1 œ — 5' 5œ — 3' œ a -i- x' 

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JOURNAL DBS MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 43 

S9. — Calculer les racines de l'équation 

log (yœ — gy + iog (3^ — 4)' = 2. 

PHYSIQUE ET CHIJ^llE 

83. — Un tube de verre ayant à Tintérieur la forme d'un cy- 
lindre a un diamètre intérieur de 2 millimètres a 0** et renferme 
une colonne de mercure, dont la longueur à cetle température est 
de 2 décimètres. On demande quelle serait à la température de 20® 
la nouvelle longueur de la colonne liquide. 

Le coefficient de dilatation cubique du mercure est - ^ , celui 

du verre ^^ . 

38 700 

84. — Combien faut-il mettre de fer et d'acide sulfurique mo- 
nohydraté, dans des tonneaux à moitié pleins d'eau pour préparer 
100 mètres cubes d'hydrogène saturé d'humidité à 22® sous la 
pression de 766 millimètres. La force élastique maximum de la 
vapeur d'eau à 22° est de 19°"", 6. Quel est le poids du sulfate de 
fer cristallisé que l'on peut obtenir par Tévaporation de la liqueur. 

QUESTIOiNS POSÉES A L'ORAL 

85. — On donne une circonférence et une tangente à cette cir- 
conférence au point A, on mène la corde BC parallèle à la tangente 
en A. Des points B el C on abaisse des perpendiculaires sur la 
tangente en A, et on détermine ainsi un rectangle dont l'un des 
côtés est BC, déterminer la corde BC de façon que ce rectangle ait 
un périmètre donné. Discuter Téquation obtenue. 

III. — AU BACCALAURÉAT 
LETTRES MATHÉ MATIQUES 

86. — (Obligatoire) : On considère l'arc d'une circonférence de 
438°*,35, intercepté par l'angle au centre de 45° et on le fait tour- 
ner autour de l'un des rayons qui le limitent. Calculer : 1° l'aire 
de la zone engendrée; 2* le volume du secteur sphérique; 3** le 
volume du segment de la sphère. 

SU» — (Au choiûc) : Théorie du treuil. 

88. — Centre de gravité d'un arc de cercle. 

89. — Théorème de Varignon. 



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44 JOURNAL DE MATHEMATIQUES IÊLÉMBNTAIRBS 

PHYSIQUE 

00. — (Obligatoire) : On a ua cylindre d'acier de 22 centimètres 
de longueur qu'on voudrait lester avec un cylindre de platine de 
même diamètre de manière qu'il se tint verticalement flottant 
dans du mercure, la partie non plongée du cylindre d'acier n'étant 
que de 2 centimètres. 

Quelle longueur faut-il donner au cylindre de platine ? 

01 • — {Au choix) : Lunette astronomique. 

02. — Grossissement de la loupe. 

03. — Détermination du centre optique dans les différentes 
lentilles. 

QUESTIONS POSÉES A L'ORAL 

04. — Vérifiez que si x, y, ^ sont en progression arithmétique, 
il en est de même de œ^ -{- xy -\- y^y x^ -\-xz-\- z^^ y^ ^yz ~>r z^, 

05. — Maximum et minimum de V^i -\- œ -{- v/i — ô?. 

IV. - AU BACCALAURÉAT 
DE RENSEIGNEMENT MODERNE 



06. — (Obligatoire) : Sur une droite AB de longueur a, on 
prend un point M à la distance AM = x. On construit sur AM le 
triangle équilaléral AMN ; puis on élève en N la perpendiculaire 
NP sur MN et, en B la perpendiculaire BP sur AB. Calculer Taire 
du quadrilatère ANPB. Cette surface passe- t-elle par un maximum 
ou un minimum quand le point M varie entre A et B? 

07. — (Au choix) : Etablir la formule qui donne le volume du 
tronc de pyramide triangulaire à bases parallèles. 

08. — Volume du tronc de prisme. 
00. — Mesure des angles dièdres. 

PHYSIQUE 

100. — (Obligatoire) : Un morceau de fer, plongé dans un 
vase plein d'eau en a fait sortir dix grammes ; mis dans un vase 
plein.de mercure, il y flotte en déplaçant 78 centimètres cubes de 
ce dernier liquide. On demande le poids, le volume, la densité du 
morceau de fer. 

101. — (Au choix) : Décrire la sirène. 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES ÉLéMENTAlRBS 43 

102. — Intervales musicaux. — Gamme. 

103. — Vibrations transversales des cordes ; lois expérimen- 
tales. 

QUESTIONS POSÉES A L'ORAL 

104. — Simplifier l'expression : 



* 2 2 1 

,x*^ -\- x^ y'^ — ixij^ 




* l i 4: 

X* -\- tjx^ — œif — y^ 




105. — Résoudre : 




X — a œ — h X 


07 -4- a — h 


i^ H- Aah -+- 36^ a^^ab— ^h'^ "" a^ — 96^ 


a}-h^ah-^'àb'^' 



V. BACCALAUREAT (LETTRES. — SCIENCES) 



1 06. — {Obligatoire) : Construire les lignes qui correspondent 
aux formules 

107. — {Au choix) : Intersection d'une droite et d'une para- 
bole. 

108. — Théorème de Dandelin. 

100. — Projection orthogonale du cercle. 

PHYSIQUE 

110. — {Obligatoire) ; On demande quelle différence il y a 
entre le poids de 10 litres d'air sec à la température de 10° et à la 
pression de o'",76 et le poids de 10 lilres d'air sec à la température 
de i5° et à la pression de o",75. Le litre d'air sec à 0** et à la pres- 
sion 0^,76 pèse 1^^293, le coefficient de dilatation de l'air est 
de 0,00367. 

11 1. — {Au choix) : Machine pneumatique. 
11». — Siphon. 

113. — Electromètre de Thomson. 



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46 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



VI. — AUX ECOLES D'AGRICULTURE 



1 14. — Une lampe modérateur dépense 28 grammes d'buile 
par heure et donne une lumière égale àcellede 6 bougies environ. 
L'huile vaut i'',6o le kilog; la mèche et l'entretien coulent o^',oo4 
par heure ; 4B5 grammes de bougie donnent 5o heures d'éclairage 
et coûtent i'',4o. 

A-t-on avantage de se servir de la lampe modéraleur? et de 
combien par heure ? 

2* Une personne qui n'a besoin que de la lumière donnée par 
une bougie perdrait-elle en faisant usage de la lampe modérateur? 
et combien par heure? 

1 15. — Les rayons de la lune, de la terre, et du soleil étant 

3 
proportionnels aux nombres — , 1 et 708,6, trouver le rapport des 

distances du centre de la terre au centre des deux autres astres, 
lorsque Ton suppose les centres de ces 3 globes sur l'axe d'un 
cône de révolution qui leur est tangent; considérer le cas où les 
trois astres sont tangents à une même nappe, et celui où la terre 
étant située dans une nappe les deux autres astres sonl dans la 
nappe opposée. 

1 16. — Calculer par logarithmes 



x= —-.0,2358791/(0,01119)3 



VIL — AUX ECOLES DE COMMERCE 



117. — Un homme âgé de 3o ans possède une maison valant 
200 000 francs, qui rapporte, tous frais déduits 5 Y^ de sa valeur. 
Or, chaque année il dépense non seulement son revenu, mais 
encore il emprunte 2 000 francs à 5 Yo- Cet homme est mort à l'âge 
de 72 ans. On demande combien de temps il a encore vécu après 
sa ruine complète? 

Nota. — La résolution des problèmes par V arithmétique est 
obligatoire; toutesolution algébriqueest considérée comme nulle. 
Les candidats sont astreints à faire figurer tous les calculs en 
marge de la copie, 

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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 47 

118. — Algèbre : Transformer l'expression : 



^x^ -{' X -{- 1 — V^2^^ -^ œ'^ -\~ 2X 

en un autre qui ne contienne que deux radicaux simples. 
1 10« — Calculer par logarithmes 



[ 4^^573,892 — 3V^678 .92 I ' 
45v/63456 — 3v/6,789 J 



DEUXIÈME PARTIE 



Ont résolu les questions du numéro d'octobre : 

I. A l'École de Saint-Cyr. — MM. de Géransac à Rouen, Martinard à 
Périgueux, Laplanche à Perpignan (tout Texamen), Dubuy à Rodez, Paul 
Lion à Tarbes (la question de mathématiques), Bardin à Lille a envoyé 
une épure exacte, Tarnyés à Figeac, Vincent à Beauvais (calcul trigonomé- 
trique). 

IL A l'Institut Agronomique, — MM. Vaucant à MontpelUer, Teysserac 
h Cambrai, Albeski à Brest, Mironyl à Bastia (tout Texamen), Maurice 
Destins (la question 10 seulement). 

III. Au Baccalauréat Lettres Mathématiques. — MM. Maurice Destins, 
Lugan à Liège, Mock Léon à Blois (tout Texamen). 

IV. Au Baccalauréat de V Enseignement Moderne, — MM. Vicq à Flau- 
jac, Brunel à Périgueux, ïrespoux à Gap (tout l'examen), Maurice Destins 
(la question 21). 

V. Aux Écoles d'Agriculture. — MM. Paulin Duval à Agen (tout 
l'examen), Tassart à Nancy, Martin à Hozelerauck (le calcul loga- 
rithmique). 

Nota, — Les solutions de ces questions seront données quand le classe- 
ment des abonnés à la correction des copies sera terminé. 



TROISIÈME PARTIE 



CERCLES ET DROITES ALLOTROPES 

Par M. A. TIssot 

(Suite et fin, voir le numéro de novembre) 

Pour construire un de ces cercles, connaissant le point de 1 axe 
qui doit lui servir de centre, il suffit de mener à la conique un 



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48 JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

cercle bitangent, à contacts réels ou imaginaires, ayant son centre 
sur le même axe, et laissant en dehors de lui le centre donné. La 
tangente au cercle bitangent issue de ce dernier point sera le 
rayon du cercle demandé. On prendra comme radiant le centre 
du cercle bitangent, et, pour droite correspondante, celle des con- 
tacts de ce cercle avec la conique [82]. 

Il y a une propriété analogue pour les points du second axe. 
Ici le rapport constant au lieu d'être égal à Texcentricité sera celui 
de c kb. De plus, s'il s'agit d'une ellipse, ce n'est pas l'élongation 
qui devra figurer dans l'énoncé, mais la demi-corde d'élongation ; 
enfin, il y aura exception pour les points compris entre les 
sommets du petit axe. 

Revenons aux cercles qui doivent avoir leurs centres sur Taxe 
focal. Pour construire chacun d'eux, au lieu d'un cercle bitan- 
gent, on peut employer un cercle allotrope; les extrémités du 
diamètre de ce cercle perpendiculaire à l'axe donneront des points 
du cercle demandé [83]. La droite qui correspondra au cercle 
obtenu sera une droite allotrope, par conséquent située en dehors 
ou en dedans de l'intervalle des deux directrices suivant que la 
courbe sera une ellipse ou une hyperbole; le contraire avait lieu 
pour les droites de la première solution. 

Supposons encore que l'on donne deux droites perpendiculaires 
à Taxe focal, l'une entre les directrices, l'autre en dehors de l'in- 
tervalle de ces directrices. A chaque droite, faisons correspondre 
un point tel que les distances du centre de la conique à ce point 
et à la droite soient entre elles dans un rapport égal au carré de 
l'excentricité ; puis, construisons le cercle bitangent et le cercle 
allotrope dont chacun a pour centre l'un des points ainsi obtnnus. 
Sur l'axe, déterminons un segment qui soit conjugué harmonique 
du diamètre du premier cercle et syharmonique secondaire du 
diamètre du second cercle; enfin, sur ce segment comme dia- 
mètre, décrivons une troisième circonférence. Par rapport à cette 
circonférence et à l'un ou à l'autre des deux points, pris mainte- 
nant comme radiant, l'élongation d'un point quelconque de la 
conique sera, avec la distance du même point à la droite corres- 
pondante, dans un rapport égal à l'excentricité. 

La construction du segment à déterminer se trouve ici simplifiée 
parce que son milieu doit être équidistant des deux droites don- 



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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 49 

nées. Lorsque ces droites se trouvent toutes deux en dedans ou 
toutes deux en dehors de l'intervalle des directrices, la question 
se ramène encore à Tun ou à l'autre des problèaies énoncés § 73. 

ÉLONGATlOxN PAR POLAIRE 

85. — Au lieu d'assujettir Taxe radical du cercle fixe et du 
cercle variable à passer par un point fixe, on peut lui imposer 
une autre condition, par exemple celle d'être la polaire du point 
variable par rapport à un cercle donné concentrique au cercle 
fixe, et que nous appellerons le cercle de base. 

Dans l'élongation par radiant, le lieu du pied de Taxe radical 
variable, c'est-à-dire le lieu de Tintersection de cette droite avec 
la ligne joignant le point variable au centre du cercle fixe, était 
toujours une circonférence. Ici, ce lieu sera une transformée 
par rayons vecteurs réciproques de la courbe des points va- 
riables. 

Si le cercle fixe est pris pour cercle de base, la puissance d'élon- 
gation d'un point quelconque [74] sera égale à sa puissance dans 
ce cercle. Comme élongation ou comme corde d'élongalion, on 
retrouve alors, suivant que le point est extérieur ou intérieur au 
cercle, la tangente ou la corde principale déjà considérées à propos 
des cercles bitangents. L'élongation centrale correspond à un 
cercle de base de rayon nul. 

86. — Uaœe radical de deux cercles variables passe par le 
centre du cercle fixe. 

Quel que soit le mode d'élongation, les élongations de deux 
points déterminés peuvent être assimilées à des élongations par 
radiant, le radiant étant pris à l'intersection des deux axes radi- 
caux correspondants ; ici, ce sera le pôle, par rapport au cercle de 
base, de la droite qui joint les deux points. La perpendiculaire à 
celte droite menée par le pôle sera donc Taxe radical des deux 
cercles [75J. Or, cette perpendiculaire contient le centre commun 
du cercle de base et du cercle fixe. 

De là résulte, dans le cas de points variables situés en ligne 
droite, l'existence de nœuds d'élongation analogues à ceux du 
§ 75. Lés propriétés des § 77 et 78 leur sont applicables, 
pourvu qu'au radiant, pris comme centre de symétrie, on substitue 
le pôle de la droite dans le cercle de base. 



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30 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELBMBNTAIRBS 



S7.- 



Le lieu des points de mêine élongation par r appoint à 
deux cercles fixes est une per- 
-^^^ pendiculaire à la ligne des cen* 

"''n^ très, 

La démonstration serait paral- 
lèle à celle du § 8 1 . 

11 reste à examiner le cas où 
les deux cercles seraient concen- 
triques. Appelons r, r' leurs 
rayons, S, S' ceux des cercles de 
base, e, s' les élongations d'un 
point quelconque M {fig. 44) par 
rapport aux deux cercles. Soient 
leur centre commun et N Fin- 
tersection de OIMi avec la polaire 
de M dans le cercle de rayon S. 
On aura ê^ = iBN' = r^ — m\ 



M 




N 

Fig. 44 
d'où, en remplaçant MN par la différence entre OM et ON, et 
observant que le produit OxM.ON est égal à S% e^ = DH^ -h r^ — 28^ 
On a de même s'2 = OH^ -h r"^ — txS'S^ ; suivant donc que la con- 
dition 

r^ — r'^ = 2(8-2 _ s'2 

sera ou non remplie; tout point du plan aura la môme élongation 
par rapport aux deux cercles ou aucun ne jouira de cette propriété. 
88. — On déduit trois circonférences ayant pour centre 
commun le milieu du segment secondaire d'une division sy har- 
monique, et passant, chacune des deux premières par une extré- 
mité du segment primitif, la troisième par les extrémités du 
segment secondaire. Celle-ci étant prise comme cercle de base, 
la puissance d'élongation par polaire de tout point du plan 
relativemefit à Vune des deux premières circonférences sera 
égale à la puissance du même point dans Vautre. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIBES 51 

Ea effet, la notation du paragraphe précédent étant conservée, 
il viendra ici 

S2 _ 1(^.2 _^ ,.2) [-7Î5J, S' = r' [85], 

et la condition d'égalité entre les deux élongations se trouve satis- 
faite. 

S9« — On décrit trois circonférences concentriques dont la 
troisième ait pour rayoti la moyenne proportionnelle e7itre la 
plus courte distance des deux autres et la portion de droite 
allant du centre commun au milieu de cette plus courte dis- 
tance. La troisième circonférence étant prise comme cercle de 
hase^ Vélongation par polaire d'un point quelconque du plan 
relativement à la plus grande des deux premières sera égale à 
Vélongation centrale du m&me point par rapport à Vautre, 

En effet, on a ici 

S2 = i(r^ — r'^), S' = o[85], 

et la condition du § 87 se trouve satisfaite. 

On peut intervertir les rôles des deux circonférences, c'est-à- 
dire prendre Télongation centrale relativement à la plus grande ; 
seulement, pour l'autre circonférence, il faudra alors substituer, 
à Télongation par polaire, Télongation par sypolaire, dans la- 
quelle on adopte, pour Taxe radical correspondant à chaque point 
variable, la sypolaire de ce point dans le cercle de base. 

Les deux modes d*élongation, par polaire et par sypolaire, 
jouissent de propriétés analogues. 

De ce paragraphe et du précédent, on peut tirer des consé- 
quences relatives aux coniques^ ainsi que nous l'avons fait en 
partant des § 8!2 et 83. Ici, chacun des cercles que Ton aura à 
considérer sera concentrique avec le cercle biiangent ou avec le 
cercle allotrope correspondant. 

ÉLONGATlOxN PAR INDICE 

90. — Pour terminer, nous dirons quelques mots d'un troi- 
sième mode d'élongation, celui dans lequel il y aurait un rapport 
constant, appelé indice, entre les distances du centre fixe à l'axe 
radical et au point variable. Ici, le lieu du pied de Taxe radical 
sera homothétique de celui du point variable. 



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pZ JOURNAL DB MATHByATIQUES ELEMENTAIRES 

Les deux lieux se superposent lorsque Tindice est i ; alors, 
pour tout point intérieur au cercle fixe, 1 elongation se confond 
avec la demi-corde principale du point dans ce cercle ; et, pour 
tout point extérieur, la demi-corde d'élongation est égale à la 
tangente menée au cercle. Dans les deux cas, la puissance d'élon- 
gation du point et sa puissance dans le cercle fixe sont égales et 
de signes contraires. 

En annulant Tindice, on retrouve Télongation centrale. 

L'indice étant désigné par X, appelons r le rayon du cercle fixe. 
La puissance tt d'élongation d'un point M situé à une distance z 
du centre de ce cercle sera donnée par la formule 

Considérons un second cercle fixe de rayon r', et soit X' Tindice 
correspondant. Si X' est égal à X, le lieu des points d'égale elonga- 
tion par rapport aux deux cercles sera une droite perpendiculaire 
à la ligne des centres. Il en sera de même, quels que soient X et 
X', du lieu des points pour chacun desquels le rapport des puis- 
sances d'élongation égale celui de 2X — 1 à 2X' — 1. Dans tout 
autre cas où le rapport des puissances d'élongation devra resler 
constant, le lieu des points variables sera une circonférence. 

Nous allons maintenant supposer que les deux cercles sont con- 
centriques. Soit d'abord X > -. Appelons p la puissance de M 

dans le second cercle; on aura p = z^ — 1^^; si donc on prend 
r = r' V/2X -^1 , il viendra n = — (2X — i)p, quel que soit M. 

Soit ensuite X négatif ou positif et plus petit que - . La formule 

ci-dessus s'écrira, si on y met les signes en évidence, et si Ton y 
remplace tc par le carré de l'élongation e, 

£2 = r^ -4- (1 — 2X);r2. 

Appelons tq l'élongation centrale de M dans le second cercle ; on 
aura r^^ = z^ H- r''^ ; si donc on prend r = rVi — 2X, il viendra 
e = r, v^i — 2, quel que soit M. 

Pour tirer de là des conséquences relatives aux coniques, il 
suffit de regarder successivement r' comme le rayon d'un cercle 
bi tangent et comme le rayon d'un cercle allotrope. Ainsi : 

A tout cercle ayant son centre sur l'axe focal^ correspondent 



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JOURNAL DB MATHé&fATIQUES ELEMENTAIRES 53 

une droite et un indice tels quHl y ait un rapport constant 
entre Vélongation ou la demi-corde d'élongation, d\in point 
quelconque de la conique par rapport au cercle, et la distance 
du même point à la droite. 

La droite est perpendiculaire à Taxe focal, et les distances du 
centre de la conique au centre du cercle et à la droite ont entre 
elles un rapport égal au carré e^ de rexcenlricité. 

Si l'on appelle r le rayon du cercle, g la moyenne proportion- 
nelle entre les dislances de son centre aux foyers, et si Ton pose 

c r 
h g' 

le rapport constant dont il est question dans l'énoncé sera égal 
à \ï.e. 

Dans le cas de Tellipse, c'est la demi-corde d'élongation ou 
Télongation elle-même, qui doit figurer au numérateur de ce rap- 
port, et Ton doit prendre comme indice -(i -h [a^), ou -(i — fx^), 

suivant que le centre se trouve ou non, entre les foyers. Le con- 
traire a lieu dans le cas de l'hyperbole. 

Avec un énoncé convenablement modifié, la propriété subsiste 
pour les cercles ayant leurs centres sur le second axe de la co- 
nique. 

LA GÉOMÉTRIE DU COMPAS 

Par M. Eng. Duboals» professeur au collège de Barcelonnette 



Je me propose de démontrer très simplement et très élémentai- 
rement que le compas suffit aux constructions que Ton effectue 
ordinairement avec la règle, l'équerre et le compas, et que Ton 
peut même s'interdire l'usage d'arcs tangents pour déterminer des 
points. Pour cela, remarquons que l'équerre est inutile, comme 
on sait. Alors comme la règle et le compas ne servent qu'à déter- 
miner des points par des intersections de circonférences et de 
droites, il suffit de donner des procédés pour trouver ces points 
d'intersection. 

Les données ne seront que des points, soit considérés pour eux- 
mêmes, soit pour déterminer des lignes. 



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5i 



JOURXAL DIS MATHBMATIQUBS ELRMKNTAIRBS 



Cela posé nous divisons la démonstration en deux parties. Dans 
la première le compas est supposé illimité. Dans la seconde il est 
limité et les problèmes sont ainsi rendus pratiques. 

PREMIÈRE PARTIE 

Préliminaires. — i^ Prendre le symétrique d'un point par rap- 
port à une droite (Facile). 

2** Trouver le quatrième sommet D du parallélogramme A BCD, 
autrement dit : mener par le point C pris pour origine un segment 
équipollent à AB (Facile). 

3® Doubler un segment et par suite le multiplier par un nombre 
entier. 

Soit AB le segment. Soit C un point quelconque. Menons CD 
équipollent à AB, puis BE équipollent à CD. AE est double de AB. 
Une autre solution est tirée de l'inscription de l'hexagone ré- 
gulier. 

3<* Trouver la quatrième proportionnelle à trois longueurs a^h^c, 

i" Cas. — 2a > è ; a > c. Avec a 
pour rayon décrivons une circonfé- 
rence (0). Menons les cordes AB et AC 
égales kb et c (Cg. i). Soit D le symé- 
trique de A par rapport à BC. La lon- 
gueur cherchée est AD. 

En effet, les angles ABD et ADC 
sont égaux comme doubles de ABC. 
Comme d'autre part les triangles ABD 
et ADC sont isoscèles, ils sont semblables. 

Donc -T- = xn c® ^"^ démontre la proposition. 

2" Cas. — 2a n'est pas à la fois inférieur à 6 et à c. On prend pour 
AO dans la figure précédente un multiple de a tel que la cons- 
truction devienne possible. Alors si OA = na, on a : 




Fig. I 



na 
b 



c 
AD 



ou -r = 



C 

nK\y 



La ^^ proportionnelle qui est AD est facile à construire (3®). 
4" Reconnaître si trois points sont sensiblement en ligne droite. 
Qji reconnaît qu'il en est ainsi à ce que, en cherchant le symé- 
trique d'un des points par rapport à la droite déterminée par les 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 55 

deux autres, on est amené à décrire des arcs sensiblement tan- 
gents. 

5** Reconnaître si une droite CD est sensiblement perpendicu- 
laire à une droite AB. 

On cherche si le symétrique de C par rapport à AB est sensible- 
ment sur CD. 

PROBLÈMES FONDAMENTAUX 

1° INTERSECTION DE DEUX DROITES AB ET CD 

i" Cas, — AB et CD sont les côtés égaux d'un trapèze isoscèle. 
Supposons AC > BD. Soit M le point cherché. Menons AEéqui- 

FP FD 
pollent à BD (2**). On a ^j< = — qui permet de construire BM 

(3°). On trace de B et D comme centres des cercles de rayon BM 
et on prend celui de leurs points communs qui est sur AB (4®). 

2® Cas. — AB et CD sont les diagonales d'un trapèze isoscèle 
(Construction analogue). 

y Cas. — Droites quelconques, non sensiblement perpendicu- 
laires (Voir 5°). 

On remplace une des droites par la symétrique de l'autre par 
rapport à elle, et on est ramené 
à l'un des deux premiers cas. 

4** Cas. — Droites perpendi- 
culaires ou presque perpendi- 
culaires {fi g. 2). 

On mène DE équipollent à 
AB (2**). On peut même mul- 
tiplier DE de manière que CE 
devienne aussi oblique à AB 
que Ton veut. On cherche le 
point F commun à AB et CE. 
Si M est le point cherché, on a 

CE _ DE _ CD 
CF~FM""CM' 





■A 


c 


M 


\ 


< 


' 


IK 



p 



Fig. 2 



ce qui permet de construire FM et CM. On aura ensuite le point 
M par deux arcs exactement ou sensiblement orthogonaux, ce qui 
constitue une très bonne méthode. Pour choisir convenablement 
celui des deux points que Ton trouve, on utilise le n* 4« 



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56 JOURNAL DK MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

20 INTERSECTION DE DEUX CERCLES 

Nous sommes mainlenanl en élat de construire un cercle pas- 
sant par trois points et le problème indiqué est alors immédiate- 
ment résolu. 

3« INTERSECTION D'UNE DROITE ET D'UN CERCLE 

i" Cas, — La droite ne passe pas par le centre. 

On cherche le centre du cercle, et, cela fait, il est facile de tracer 
le cercle symétrique du cercle donné par rapport à la droite. H 
coupe le premier aux points cherchés. 

CORRECTION 
ET CLASSEMENT DES COPIES 



Le Comité du journal corrige, annote, « classe s et retourne 
« franco s les copies que les abonnés à la « Correction des copies > 
lui enverront mensuellement. Les copies et épures doivent être 
envoyées « franco » de port dans le mois qui suit la publication 
des questions proposées au journal par le Comité. 

Prix de l'abonnement à la correction. . iO fr. s» 

Peuvent s'abonner non seulement les abonnés du journal, mais 
encore tous ceux qui désireront prendre part à la correction 
comparative. 

Les copies et le montant de l'abonnement doivent être adres- 
sés à M. MARIAUD, président du Comité, 61, rue de Passy, 
Paris-Passy. 

NOTA. — Tous les modes de paiements sont admis : mandats- 
poste français, chèques, timbres-poste... 

M. Mariaud se tient à la disposition des lecteurs du c Journal 
de Mathématiques » et des abonnés à la correction tous les 
samedis de 7 heures à 11 heures du matin à son domicile, pour 
tous renseignements relatifs aux examens, concours et Ecoles 
du Gouvernement. 

On peut demander ces renseignements par correspondance. 

Le Président, 

Georges MARIAUD. 



Le Directeur-gérant, 

Georges MARIAUD. 

BAIMT-AIIAND (CUER). — UPRIIIBBIE gCIENTIFIQUE ET LITTÉSAIM, BUSSliRE FRÂltES. 

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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES KLKMENTAIRES 57 

PREMIÈRE PARTIE 
Questions proposées aux Candidats 

I. — A L^ÉCOLE SPÉCIALE MILITAIRE S^-CYR 



I !20. mathématiques. — Résoudre un triangle ABC, 
connaissant un côté a, la diûérence P des angles adjacents à ce 
coté et sachant que le sommet A est situé sur une droite xy 
donnée de position. Léopold Massip, 

Professeur de Mathématiques spéciales 
à l'Ecole Saint-Gtoorges. 

lîîi. — On donne deux circonférences tangentes extérieure- 
ment de rayon R et r. On mène la tangente commune AB (A sur 
la circonférence de rayon R et B sur celle de rayon r). Soit C le 
point de contact des deux circonférences, on forme le triangle 
ACB. Démontrer que ce triangle est rectangle et exprimer ses 
côtés en fonction de R et de r. Léopold Massip. 

122.. Epure. Cône et prisme. — i° Le cône est 
de révolution. Son sommet est projeté horizontalement en S 
et est situé à 200 millimètres au-dessus du plan horizon- 
tal. L'axe du cône est projeté horizontalement suivant la 
droite SO ; le point en est la 
trace horizontale. Le demi r#J5^^ 
angle au sommet du cône est 
de i5 degrés. On demande : 
1° de déterminer, d'après ces 
données, Tellipse de base du 
cône sur le plan horizontal. 
Le prisme est oblique, sa base 
sur le plan horizontal est un p- ^ 

triangle équilatéral inscrit 

dans un cercle dont le centre est le point C et dont le diamètre est 
de ii5 millimètres. Un des sommets a du triangle est à Textré- 
milé du diamètre perpendiculaire à Taxe du cône. Les arêtes sont 
inclinées à 4^* sur le plan horizontal et en projection horizontale 

Lire à la quatrième page de la couverture les 
conditions relatives à la correction et à l*al^on- 
nement des copies. 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉM. — 1897. 4 

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i)0 JOUnNAL DE MATHEMATIQUES ËLRMENTAIRES 

elles sont perpendiculaires sur la projection horizon laie de Taxe 
du cône. On demande de déterminer Tintersection du cône et du 
prisme et de représenter en projection horizontale seulement le 
cône entaillé par le prisme. 

1*3. Calcul trlgonométrique. — Calculer les angles 
et le surface d'un triangle ABC, connaissant les trois côtés : 
a = 3245 b = 5879 c = 5783. 

(Concours de 1897). 
1 2'4. Questions posées à l'oral. — Rendre calculable 
par logarithmes les expressions : 

1 H- tg a, 1 4- tg-fl, 1 H- Ig^rt, 1 + tg*a. 

125. — Discuter la fonction : Y = 



Résoudre Tinéffalité : "^ 



a x^a- 



II. — A L INSTITUT NATIO NAL AGRONOMIQUE 

126. AI athéiiia tiques* — On inscrit un cylindre dans 
une sphère donnée, éludier la variation du volume du solide 
formé par ce cylindre surmonté à Tune de ses bases par Thémis- 
phère de même rayon que cette base. 

127* — Calculer 07 donné par la formule : 

X z={o.-^ hy (m) (m — 1) (m — 2) {m — n -f- 1) 

y 1. 2. 3....n 
en se servant des logarithmes sachant que 

a:=b 6=: 35 m=:i5 w = 8 q=L'j. 

1 28, Physique et eliîmle. — Un tube barométrique 
dont le sommet s'élève à 76 centimètres au-dessus du niveau de la 
cuvette supposée très large contient de Tair sec qui occupe au- 
dessus du mercure dans le tube une longueur de 10 centimètres. 
On introduit dans le tube un liquide qui se volatilise entière- 
ment et sature l'espace x occupé finalement par le mélange d air 
et de vapeur. Déterminer a?. La pression extérieure est équilibrée 
par 76 centimètres de mercure et la force élastique maximum de 
la vapeur à la température de l'expérience par 10 centimètres de 
mercure. 

Donner les préparations du soufre, indiquer ses préparations 
physiques et les usages de ce corps. 



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JOURNAL DB MATHKMATIQUKS ELEMENTAIRES 59 

139. Questions posées à ToraL —• Trouver sin ~, 

connaissant tga, 

130. — On donne un triangle rectangle, on partage Thypo- 
thénuse en in parlies égales. Trouver la résultante du système 
de forces partant du sommet de Fangle droit et aboutissant aux 
points de division de Thypothénuse. 

m. — AU BACCALAURÉAT 
LETTRES MATHÉMATIQUES 



131 • (Obligatoire), — On donne un cercle et deux dia- 
mètres perpendiculaires OX et OY. On demande de mener une 
tangente AB (A sur OX, B sur OY), de façon que l'on ait 
OA -h OB = am. Minimum de m. 

132. (Au choix). — Recherche des divisions d'un nombre. 
Un nombre divisible séparément par plusieurs nombres 

entiers, premiers entre eux, est divisible par leur produit. 

Exposer les principes sur lesquels reposent la recherche du 
plus petit commun multiple de plusieurs nombres donnés. 

133. Physique. (Obligatoire). — Dans une pompe aspi- 
rante la course du piston est de o'",5o et la longueur du corps de 
pompe est égale à 3 décimètres carrés. 

Quelle doit-être la hauteur du tuyau d'aspiration pour que la 
pompe soit amorcée dès le premier coup de piston. Section du 
tuyau d'aspiration i5 centimètres carrés. Quel est l'effort que Ton 
doit faire pour soulever le piston lorsque la pompe est en mouve- 
ment. 

1 34. (Au choix), — Mélange des gaz et des vapeurs. 
f 34bi», -« Mélange des gaz. 

Déterminer la force élastique de Tair contenu dans un récipient 
après n coup de piston quand ce récipient est en communication 
avec la machine pneumatique. 

135. Questions posées à l'oral. — Diviser 
Aq^»" h- Aj^c»»-*...-^ A^i.jO? -\- hrn par a? -h a 

et déterminer la loi du quotient. 

Montrer que le système d'équation A = e B = o est équiva- 
lent au système m\ -f- >?B r= o et A = ^. 



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60 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

IV. - BACCALAURÉAT 
DE L'ENSEIGNEMENT MODERNE 



1 36. — Une droite AB de longueur donnée a dont les extré- 
mités s'appuient à la fois sur les doux côlés d'un angle donné 
POS = a peut occuper une infinité de positions. On demande 
quelle est celle pour laquelle la surface latérale du tronc de cône 
qu'elle engendre en tournant autour de Taxe perpendiculaire 
à OP atteint une valeur donnée irma. Examiner spécialement le 
cas où l'angle a est de 6o degrés et déterminer le maximum de 
cette surface. 

137. {Au choix), — 1® Résoudre un triangle connaissant deux 
côtés et l'angle opposé. 

1° Résoudre un triangle connaissant les trois côlés. 

3° Problême de la carte. (Sujets donnés à Alger). 

138. Physique. — Un baromètre est enfermé dans un 
large tube de verre scellé à la lampe. A l'instant de la fermeture 
la hauteur de la colonne est 76 centimètres et la température 
i5 degrés. Calculer la hauteur de la colonne lorsque la tempé- 
rature est de 4o degrés. 

Coefficient de dilatation du mercure ttt- 

555o 

Coefficient de dilatation de l'air o, oo366. On ne tiendra pas 
compte de la dilatation du verre. 

\ 39. {Au choix), — i**Décrjre et interpréter les expériences qui 
conduisent aux notions de potentiel et de capacité électrique. 

2° Condensation élictrique. 

3° Enoncer les lois fondamentales des courants. Unités pratiques 
d'intensité, de résistance et de force électromotrîce. 

140. Questions posées à. Toral. — Déterminer a et 5 
de manière que le maximum et le minimum de l'expression 

^ — ^^ — ^ 

au lieu pour â? = 2 et pour x — 3. 

141. — Condition nécessaire et suffisante pour que trois 
nombres A, B, C soient les termes de rang m, n et p, d'une même 
progression arithmétique. 



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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 61 

V. BACCALAURÉAT (LETTRES. — SCIENCES) 



142. — Appliquer les propriétés des dérivées à la résolution 
de la question suivante : de toutes les boîtes cylindriques fermées 
de n^iéme surface totale Tza'^, Quelle est celle qui présente la plus 
grande capacité? Quelles sont les dimensions de celle dont la 
capacité serait d'un hectolitre et qui remplirait les conditions de 
maximum indiquées. 

143. {Au choix), — Etant donnés deux points sur la ligne de 
terre, un point dans le plan vertical et un point dans le plan 
horizontal, faire passer une sphère par ces quatre points. Déter- 
miner son centre et son rayon. 

IL Placer une sphère de rayon donné R de manière qu'elle soit 
tangente à la fois au plan horizontal, au plan vertical et au plan 
donné par ces traces LKP. 

m. Etant donnée une droite ah a'b' et une sphère oo', mener 
par la droite un plan qui coupe la sphère suivant un cercle de 
rayon donné r. 

144. Physique et chimie^ {Au choix), —1. Transforma- 
tion du travail en chaleur. — Principe de l'équivalence. — 
Détermination de l'équivalent mécanique de la chaleur. — Expé- 
rience de Joule. 

II. Principe delà machine à vapeur : condenseur, son utilité. 
Mouvement du tiroir : détente. Puissance d'une machine. Unité 
pratique. Unités C. Cj. S. 

m. Densité des gaz ; sa détermination par la méthode de 
Regnault, dans le cas ou le gaz n'attaque pas les métaux. Com- 
ment varie Is densité d'un gaz avec la température et la pression ? 

145. {Obligatoire), — On donne n éléments de pile identiques 
dont la résistance intérieure est r. Quelle doit être la résistance 
extérieure R pour qu'il n'y ait aucun avantage à les associer en 
série ou en batterie 

On donne r = 2 ohms, R = 10 ohms. Quelle est la disposition 
la plus avantageuse. 

146. Questions posées à l'oral. — Vraie valeur de 



.T"* 1 



lorsque i:c tend vers 1. 



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62 JOURNAL DR UATBÉMATIQUËS ÉLÉMENTAIRES 

117. — Résoudre l'équation : 

a H- jc 6 -h .r 5 

b -^ X a -{-X 2 

VI. _ AUX ÉCOLES D'AGRICULTURE 



148. Arithmétique. — Un spéculateur achète un pré à 
raison de 5,ooo francs Thectare. Après l'acquisition il s'aperçoit 
que son pré contient 8 décamètres carrés de moins que ce qu'il 
a payé; néanmoins' il ne fait aucune réclamation, car il trouve 
l'occasion de le céder de suite au prix de 6o francs l'are (conte- 
nance exacte). En faisant cette vente il gagne 12 ^/^ sur cequ'il a 
déboursé. Calculer la contenance réelle du pré et calculer ses 
dimensions sachant qu'il est rectangulaire et que sa diagonale 
vaut 170 mètres. 

1 49. Géométrie. — Une pyramide a pour base un triangle 
ABC, dont les côtés AB, AC, BC, valent respectivement 26 déci- 
mètres, 3 mètres et 2°*, 80. Son sommet S est sur la perpendicu- 
laire menée par H (H centre du cercle circonscrit au triangle ABC) 
au plan ABC et AS = i'",8o. Calculer le volume de cette pyra- 
mide en décimètres cubes et calculer sa surface totale en mètres 
carrés. 

150. Pliysique et chimie. — I. Poids spéciGque des 
gaz. 

II. Hydrogène sulfuré. Sulfures. 

VIL - AUX ÉCOLES DE COMMERCE 



loi. Composition facultative de comptabilité. — 

(2 heures), l. Comparer le rôle du commissionnaire en marchan- 
dises et du courtier en marchandises. — Ducroire. 
IL Etablir le bordereau d'escompte suivant : 
Le 10 octobre 1897, i*^n^is en compte courant à la « Banque 
Centrale » : 

1** 988^45 Bordeaux. . . à vue; taux du change: p. (pair); 
2° 3ll^2oS*-Hippolyte(min.5oo)2o oct. — 70 c/ 

3° l285^4o 3i déc. — 25 c/ 

Taux d'escompte : 4 i/4 P- 0/0 (calculer par les nombres) ; 
minimum d'escompte pour effets à vue ou trop courts : 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 63 

10 jours pour les effets payables dans les chefs-lieux de dépar- 
tement. 

1 5 jours pour les effets payables dans les chefs-lieux d'arron- 
dissement. 

20 jours pour les effets payables dans les autres localités. 
Commission 3 p. Yo* 

IIÏ. Opérations à passer au Journal (parties doubles) en 
autant d'articles que ci-dessous : 

1® Acheté des marchandises des suivants : 

i<> Arbel. ., 5, 800^ 

2® Leroy 3,65o 

3° Au détail, payé comptant .... 260 

9,700 
2° Mon règlement avec Arbel : 

1** Espèces. . 1,000^ 

2° Mon billet à son ordre 1,200 

3^ Ma remise en 2 effets i,83o 

4° Escompte , 116 

5° Chèquesur mon banquier E.Jarry et G'® i,654 

5,800 
3° Ecritures de la même opération chez Arbel. 
4® Négocier au comptant chez E. Jarry et C*^ : 

Effet n° 1275, nominal 1260^00 

Agio i9'9t> 

Encaisse le net. . 1240, 10 
I5!2* Arittimétique. — La betterave blanche de Silésie 
donne 7 Vo ^^ son poids en sucre, i^ Quelle superficie faudra-t-il 
ensemencer dans un terrain qui produitapproximalivement 3^^125 
de cette espèce de betterave par mètre carré, pour fournir la 
quantité de betteraves nécessaire à la fabrication de 87,500 kilo- 
grammes de sucre. 2^ Quelle serait la valeur des betteraves à 
raison de i6^'"',5o les 1,000 kilogrammes. 

153* Alg^èbre* — Trouver deux nombres dont la somme 
soit 12 et le produit 35. 

Résoudre x (y -i- z) =^ a 

y {.V -f- z) -- b 



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f)i JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMRNTAIRKS 

I 54, — Calculer x donné par la formule : 



v/88,io' 



3/ —gX 7999 J^lM 



DEUXIÈME PARTIE 



Ont résolu les questions du numéro de novembre : 

I. A V École de Saint-Cyi\ — MM. de Géransac ^ Rouen, Martinard à 
Périgueux, Laplanche à Perpignan, Marcenac à Gahors, Balitrand h Tours, 
Bessières Raymond à Tulle, Louis Cazal h Decazeville, Henri Laffite à 
Moissac, Jean Loûys à Aurillac, Paul Boyer à Pithiviers (tout l'examen), 
Dubuy à Rodez, Paul Lion à Tarbes, René Riche à Nice, Léon Polin à Meu- 
don, Tamyés à Figeac (la question de Mathématiques), Bardin à Lille, 
Colas, Vicq h Flaujac (l'épure), Vincent à Beauvais, Maréchal à Paris, Le- 
fèvre à Paris, Baudel à Paris (le calcul trigonométrique). 

IL A l'Institut Agronomique, — MM. Vaucant à Montpellier, Teysserac 
à Cambrai, Albeski à Brest, Mironyl à Bastia, Maurice Destins, Léon Rou- 
quette à Cahors, Rivière à Moissac, Sauzely à Perpignan (tout l'examen). 

III. Au Baccalauréat Lettres Mathématiques. — MM. Maurice Destins, 
Lugan à Liège, Mock Léon à Blois, Chanut Alphonse à Toulouse, Ramel à 
Vienne (tout l'examen). 

IV. Au Baccalauréat de V Enseignem,ent Moderne. — MM. Vicq à Flau- 
jac, Brunel à Périgueux, Trespoux à Gap, Maurice Destins (tout l'examen). 

V. Aux Écoles d'Agriculture. — MM. Paulin Duval à Agen, Tassart à 
Nancy, Martin à Hozelerauck; Hagener à Lille (tout l'examen). 

Nota. — Les abonnés à la correction des copies trouveront dans la troi- 
sième partie de nombreuses questions résolues qui pourront les fortifier 
dans la préparation de leurs examens. 

BIBLIOGRAPHIE 



Cours de Géométrie Descriptive de M. ^oxi^wiDi, professeur au lycée Bcffon et 
au lycée Garrot. — Maison et C'% éditeurs, 120^ boulevard Saint- 
Germ^ain. 

Dans sa préface, M. Roubaudi s'exprime «ûnsi : « Les procédés de la Géo- 
métrie Descriptive étant fondés sur la transformation des figures par pro- 
jection, il était naturel de donner dès le début les principes de cette méthode 
qui sont utilisés dans la suite. J'en ai déduit la notion des éléments à l'in- 
fini, indispensable en Géométrie descriptive ». Cette phrase indiquant une 
innovation dans les méthodes d'exposition, employées jusqu'à ce jour, pour 
l'enseignement de la Géométrie Descriptive, nous avons lu l'ouvrage de 
M. Roubaudi avec la plus grande attention. L'exposition claire des méthodes 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 65 

et Tordre qui règne dans ce livre en font un outil précieux, entre les 
mains de ceux qui veulent apprendre la géométrie de Monge. 

Les figui*es sont faites de façon à servir de modèle de trait aux élèves 
qui désireraient faire des épures soignées. C'est donc avec plaisir et con- 
viction que nous recommandons cet ouvrage à tous ceux qui préparent des 
examens où figure un programme de Géométrie Descriptive. G. M. 



SOLUTION DES QUESTIONS \ ET 2 (copie d'élève) 

071 considère tous les triangles qui ont un sommet A commun^ la bis- 
sectrice AD de Vangle A invariable de grandeur et de position et dont le 
cercle circonscrit passe par un 3^ point fixe E de la droite AD : 1° Dé- 
montrer que dans tous les triangles le produit du diamètre du cercle 
circonscrit par la hauteur est constant ; 20 Trouver le lieu du milieu 
du côté opposé au point A; 3° Trouver le lie^u du point de rencontre des 
médianes; 40 Construire le triangle connaissant les points A, D, F et 
soit la grandeur de A, soit la longueur du côté opposé BC. 

I» Nous voulons démontrer que Ton a : -iRha == bc. Or, d'après un lliéo- 
'rème connu on a : ÂD^ = iKha — BD x BC, mais BD.DC — AD x DF. Or, 
A, D, F sont fixes ; donc AD x DF est constant 

nWha = IVD" + AD X DF = K2 = constante. 

20 Si on abaisse la perpendiculaire du point F (milieu de l'arc BC) sur la 
corde BC elle passe par le milieu M de ce côté. Le 
point M se trouve donc sur la circonférence dé- 
crite sur DF comme diamètre. La réciproque est 
facile à étudier. 

30 Le lieu du point de rencontre des médianes 
est une circonférence homothétique à la circonfé- 
rence décrite par le point M (évident). 

4° Construisons le triangle connaissant l'angle 
A, les points A, D, F. Supposons le problème ré- 
solu. Soit BC mis en place on a : 

BD X DC = AD X DF = K^ 
un premier lieu de B est le côté ^VX de l'angle et 

un premier lieu de C est AY, un 2« lieu de C est la figure inverse de AB le 
centre d'inversion étant D et le module — K^ construction : on a BE x DC 
= DA X DF. Je mène DE perpendiculaire à AX. Je trace la circonférence 
passant par A, E, F, elle coupe DE en E' et l'on a : DB x DC = DA x DF 
= BE X DE', la circonférence inverse est donc la circonférence décrite sur 
DE' comme diamètre, elle coupe AY en deux points C et C" qui répondent 
h la question. Raymond de Saint-Roman. 

2° Dans un triangle ABC on donne B = 3o, le rapport - = m et la dis- 
tance X entre les pieds des bissectrices intérieure et extérieure de l'angle A, 
calculer C et construire le triangle. Posons 

MC = 3, MN = .i?, MB = ?/, = ?', BN = y'. 




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66 JOURNAL DK MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

On a 

Xm" = ^c — ?y, aT\" = ?y — bc, 

^ = h+-c' 2' = 61--' «-^î.---,;- y =5- 



A 



En outre, les deux bissectrices AM et A>' sont rectaugulaii-es, on a : 

A MX" = âm"^ + â:\\ 

doù 

\ ' ^ = 0-3: — 5 (on suppose 0- > r-;. 

v( f Mais on a ■ = m, on a donc rt? = —^ , dou a :== 

^^ jf c * m- — I 

Fig. 3 IZ^i^li^' . On a : 6^ :^ a? -4- r^ — ac/c cos 3o, i^ — «2 + c^ — ac, 
or, ^2 = «iSo2 donc ^nSc^ ^ (>^<'^ — ir-^'- ■ ^.2 _ <2!!lj:rJ}£±\ Cette équa- 

tion est divisible par 7n'- — j, il revient : 4»wV2 — anuvo — {m- — 1).'/- = o. 
Jiéalilc. m'Kri -}- !^{m- — i)./.- > o ."iiu- — 4 > o 

^ v'5 

Raymond de Saint-Roman. 



TROISIÈME PARTIE 



LA GÉOMÉTRIE DU COMPAS 

Par M. Dubottls (suite et fin, xq\t le uumém de décembre)! 

2« Cas. — La droite est déterminée par le centre du cercle (0), et un 
point A {fig. 3). Menons la tangente AB au cercle. Pour cela, nous aurons à 
prendre le milieu de AO et nous serons amenés à construire un point C 
équidistant de A et de O. 

Traçons le cercle de centre C passant par A, et soit 1) le point diamé- 
tralement opposé à A obtenu par l'inscription de l'hexagone régulier. Déter- 
minons sur ce cercle la corde AE égale à AB. Le cercle décrit du point D 
comme centre et passant par E coupe le cercle donné aux points cherchés 
PetQ. 

En effet, la puissance du point A par rapport au cercle do centre D est 

. 2 

AE , car AE étant perpendiculaire au rayon DE est tangent à ce cercle. 

— 2 2 

Or, AE est égal à AB . Donc le point A a môme puissance par rapport aux 

deux cercles et, par suite, il est sur leur axe radical, ce qui démontre la 
proposition. 

DEUXIÈxME PARTIE 

Problème I. — Soient A, B, C trois points tels que la distance AC puisse 
être prise' au compaê, AB ne le pouvant pas. Mener BD équipoUent à CA. 



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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 67 

On intercale entre AG et le point B une suite de parallélogrammes suc- 
cessifs de côtés suffisamment petits. 

Problème II. — Trouver le milieu de 
AB. 

On remplace AB par un segment Cl) 
plus petit et déterminé comme dans le 
problème précédent. CD a même milieu 
que AB. On continue mnsi jusqu'à ce 
qu'on 8Ût un segment suffisamment petit. 

Problème III. — Rendre possibles les 
constructions de la i^« partie. 

On prend un centre d'homothétie S. 
On réduit la figure formée par les don- 
nées dans le rapport —, n étant assez 

grand pour que le problème puisse se 
traiter sur la nouvelle figure avec le compas donné. On y arrive par le 
problème II. La constiuction étant faite sur hi seconde figure, on l'am- 
plifie par homothétie dans le rapport —, au moyen du centre S et le 

problème est achevé. 

Remarque. — Quand le compas est suffisamment grand, on voit, en repre 
nant les raisonnements de la première partie, que l'on peut toujours arriver 
droit au but sans hésitation. 

Mais si le compas n'est pas assez grand on rencontre une difficulté. Pour 
résoudre les problèmes auxiliaires, il faut faire des tâtonnements. Cet 
inconvénient n'est pas grand quand on peut embrasser d'un coup d'œil 
toute la figure, car alors les simples notions do direction et de distance 
permettent de diriger convenablement les opérations. Dubouis. 

■ ■ ■ — * 

QUESTION 672 
Solution, par M. Y. Cristescu, Ingénieur à Bucarest 




On donne les relations : 
(tg .^' -f tg y) tg (a- + y) = .tg Z/ + tg 3) tg (2/ + 0) - (tg : +- tg ^^ tg (z + a), 
on demande d'isoler les inconnues, c'est-à -dire tirer des relations en ques- 
tion les suivantes : f(af) = f{y) — f{z). (G. L.). 
Les relations proposées peuvent être écrites : 

(tg X + tg y)2 ^ (tg y + tg ^)2 ^ (tg ^ 4- tg x)^ 
I — tg ^ tg y I — tg y tg ^ I — tg 5 tg A- • 
Si l'on retranche, d'après une propriété connue, le deuxième rapport du 
premier, le troisième du deuxième et le premier du troisième, terme à 
terme, on obtient, si l'on supprime les facteurs communs aux numérateurs 
et aux dénominoteurs : 
tg ^ + 2 tg y + tg ^ ._. tg y + 2 tg ^ -f tg X ^ tg - + 3 tg ./• + tg y 
tg y tg ^ tg ,27 - • 

Si 1 on fait la somme dès numérateurs et des dénominateurs, on trouve 



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68 JOURNAL DE XIATHéuATIQUBS ELKMBNTAIRBS 

que ces rapports sont égaux à 4. On en rDnclut que l'on a les équations : 
<g y + tg J = a tg .r, 
Ig * -h Ig j: r^ -2 Ip y, 
Ig *'' + tp y = 2 Ig s. 
Ces trois équations forment un système indéterminé, car si Ton ajoute 
deux d'entre ces équations, on obtient la troisième. Elles donnent 
tg .^ = tg y = tg j, ou .r = kr. ~{- y — k'T. -f j, 
ce qui résout la question. V. Cristecu. 

QUESTION 600 
Kolatlon par M. H. Dell.\(: 

I. — Pour qu'une droite L soit ra.re rie similitude (ou droite double, d'un 
syHénie de deux polyèdreu semblables P,P', il faut et il suffit que toutes 
Us arêtes homologues soient rerues, àparlirdeLy se us des angles diédrts 
égaux chacun à chacun et ranges dans le même ordre. 

Si on 7ke considère pas tous les points de Vespace comme rattachés ù V 
et P', 1/ peut y avoir e.vception. 

h\ CONDITION EST NÉCESSAIRE 

On supi)ose la droite L axe de similitude ; donc, par une notation autour 
de L on peut amener P' à être homothétique de P par rapport à un certain 
point de L. Aloi-s les arêtes homologues sont vues, à partir de L, sous des 
angles dièdres identiques, si l'homothétie est directe, ou opposés i)ar l'arête 
»i elle est inverse. Donc avant la notation ces ai-êtes étaient vues sous des 
angles égaux et rangés dans le même ordre. 

Remarque. — Dans le cas de la similitude inverse il y a suivant L deux 
rayons homologues, l'un de P et l'autre de P', dirigés en sens contraires. 
Pour juger de l'ordre des éléments dans chaque figure, il faudrait deux 
obser\'ateurs placés de la même manière par rapport à ces figures, c'est-à- 
dire en sens contraires le long de L. Par suite, ils verraient les dièdres 
égaux des deux figures rangés dans un ordre iuA-erse. Mais renoncé n'ad- 
met qu'un observateur. 

LA CONDITION EST SUFFIS.VNTE 
Ou s'appuiera sur le lemme suivant, facile à démontrer : 
Par une droite donnée L et tous les somtnets A, B, C d'un polyédreV on 
fait passer des plans \ par un jioint a pris dans le plan (L, Aj on inéne 
ab parallèle à AB et lim,itée au plan (L, B ;) on mène de même ac paral- 
lèle à AC et limité au plan (T., C) etc. ; démontrer que les points a, b, c, 
formant un nouveau polyèdre p homothétique à P par rapport à un point 
de h. 
L'homothétie j^^ut être directe ou inverse. 

Cela admis, je fais tourner le polyèdre P' autour de L de manière que le 
feuillet CSA) vienne se placer sur le feuillet (S,A) ; d'après l'hypothèse le 
feuillet «L,B'> se placera sur (L,B), le feuillet (L,C')sur fL,C). etc. Soit p cette 
nouvelle position de P'. Par un sommet A du polyèdre P, non situé sur L, 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES KLÉMBNTAIRKS 69 

je mène dos droites parallèles aux arêtes A'IV, A'C de la figure j), et je les 
arrête aux i)lans (L,B), (L,C) ... D'après le lemme je forme ainsi une nou- 
velle figure P" homothétique à D par rapport à un point de L, et le rapport 
d'homotétie est égal au rapport donné 5 . Donc ce polyèdre P" est semblable 

à P' et par suite à P, et le rapport de similitude est ^ = -h i. Ces deux 

polyèdres P", P sont donc directement égaux. Je dis de plus qu'ils coïnci- 
dent. Dans le polyèdre P je considère avec AB d'autres droites égales par- 
tant aussi de A et limitées au plan <L,B). Cela est possible puisqu'on sup- 
pose tous les points de l'espace rattachés à la figure P. Ces droites forment 
un cône droit ayant pour sommet A et pour hauteur la droite AI perpen- 
diculaire au plan (L,B). Ces droites ont pour homologues dans P' puis dans 
p, puis dans P" des droites aussi toutes égales entre elles. Gomme par hypo- 
thèse ces droites nouvelles sont vues, à partir de L, sous des angles dièdres 
égaux h ceux de leurs homologues dans P, elles sont vues toutes sous un 
angle égal à ALB en grandeur et en sens ; donc elles sont aussi limitées au 
plan (L,B) ; elles forment donc aussi un cône droit ayant pour hauteur Al. 
Les deux cônes de P et de P" étant égaux, coïncident, mais cela ne suffit 
pas pour démontrer la coïncidence de P et P". Cela pi*ouve que la droite AI 
perpendiculaire au plan(L,B) représente deux droites homologues coïncidentes 
des figures P, P". On verra de même que la perpendiculaire AH, abaissée du 
point A sur un autre plan (L,C) passant par L. représente aussi deux droites 
homologues coïncidentes des figures P,P". Donc le triangle AÏH représente 
deux faces homologues coïncidentes des deux figures P, P", Puisque dé'jh 
ces figures sont directement égales, elles coïncident. 

Donc enfin le polyèdre p est homothétique de P par rapport à un point 
de L ; par suite P' tournant autour de L est devenu homothétique à P par 
rapport à un point de L ; cela prouve que L est l'axe de similitude des deux 
figures P, P'. c. q. f. d. 

Exception. — Cette démonstration suppose que à partir de A on peut me- 
ner plus d'une perpendiculaire sur les plans passant par L. 

Si on ne considérait pas tous les points de l'espace comme rattachés à P, 
il pourrait se faire qu'il n'y eût qu'une perpendiculaire partant de A, et 
alors le théorème serait en défaut. C'est ce qui arrive si la figure P se ré- 
duit à une pyramide dont la base passe par L. En effet, prenons deux py- 
ramides semblables dont les bases sont situées d'une manière quelconque 
dans le même plan. Tout plan passant par les deux sommets coupe le plan 
de la base suivant une droite L, d'où l'on voit les arêtes des pyramides sous 
des angles égaux, et cependant ce n'est pas un axe de similitude. 

D y aurait encore exception dans le cas de deux polygones semblables 
plans. L'intersection des deux plans jouit de la propriété énoncée sans être 
axe de similitude. C'est que dans ce cas la figure P" n'existe pas. 

II. — Pour qu'un point soit le centre de similitude (ou point double) du 
système de deux polyèdres semblables P, P' il faut et il suffit que, de 
ce point on voit les arêtes homologues sous des angles égaux chacun à 
chacun. 



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70 JOURNAL DB MATHBlf ATIQUBS ÉLBMBNTAIRKS 

LA CONDITION EST NÉCESSAIRE 

Si le point <t est centre de similitude, en faisant tourner F d*an angle 
convenable autour d'un axe passant par c, on peut rendre ce polyèdre ho- 
niothétique de P soit directement soit invei*sement. Dans les deux cas on 
voit alors les arêtes homologues sous des angles égaux : donc il en était de 
même avant la notation. 

Cette première partie prouve qu'il existe toujours un i)oint remplissant 
les conditions de l'énoncé. 

LA CONDITION EST SUFFISANTE 

Les droites partant de c et allant aux sommets de P, P' forment deux 
angles polyèdres que l'on peut décomposer en trièdres, qui auront leurs faces 
t'gales chacune à chacune d'après l'hypothèse. Dans les couples de trièdres 
les éléments sont toujours rangés dans le même ordre ou toujours dans 
l'ordre inverse. On ne pourrait pas avoir le même ordre dans un couple 
et l'ordre inverse dans un autre. Supposons par exemple deux couples ayant 
une face commune (aABC, çA'B'C) et ((tABD, (jA'B'D' , les deux premiers 
ayant le même ordre et les deux autres l'ordre inverse. Je fais coïncider 
aA'B'C avec (tABC ; alors les arrêtés aD', çD deviennent symétriques par 
rapport à la face commune : donc les arêtes CD, CD' ne peuvent pas être 
vnes du point a sous des angles égaux, ce qui est contre l'hypothèse. 

Les angles trièdres et par suite les angles polyèdres de P et de P' sont 
directement ou inversement égaux. On peut donc amener l'angle polyèdre 
de P' à coïncider avec cehii de P dans le premier cas, ou avec l'angle 
opposé par le sommet dans le second en lui faisant exécuter une rotation 
convenable autour d'un axe passant par le sommet commun <t. Je désigne 
par p cëtle nouvelle position P' : elle est semblable à P et le rapport de 
similitude est p. Parle sommet A, homologue du sommet A', je mène des 
droites AB", AC respectivement ijarallèles aux arêtes A'B', A'C de jj, et je 
les limite aux rayons (xB, (jC. Je détermine ainsi des sommets d'un nouveau 
polyèdre P" qui est évidemment semblable à />, et le rapport de similitude 
est p. Donc les deux polyèdres P, P' sont semblables entre eux et leur rap- 
port d'homothétie est - = -f- i ; donc ces deux figures sont directement 

égales; je vais démontrer de plus qu'elles coïncident. 

En même temps que la droite AB je considère dans P la droite AB, égale 
h, AB et limitée aussi au rayon aB. Cela est possible puisque tous les points 
de l'espace sont rattachés à P. Dans la figure P" les droites homologues AB', 
AB" sont égales entre elles, et les triangles homologues ABB,, AB"^'! sont 
égaux. De plus, la droite AB" doit être vue du point a sous un angle égal 
à AïB, en grandeur et en sens ; donc rexlrèmité B'j se trouve sur (jB. Les 
deux triangles isoscèles égaux ABB,, AB'Bi ayant même sommet et leurs 
bases sur une même droite doiA'ent coïncider ; mais on ne sait pas si AB* 
tombe sur AB ou AB,. Ce qu'il y a de certain c'est que les hauteurs des 
deux triangles sont des droites homologues coïncidentes suivant AI. On 
verrait de même qu'une autre droite AH perpendiculaire sur un autre rayon 
çC représente deux droites homologues de P et P". Ces deux figures direc- 



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JOURNAL DR MATIIKMATIQUES ÉlÉMENFAIRES 71 

tement égales ont donc deux triangles homologues coïncidents ; donc elles 
coïncident. 

On voit donc que p est lioino thé tique à P par rapport au point <t ; par 
suite P' peut être rendue homothétique à P par rapport au point «r par une 
rotation autour d'un axe passant pav ce point. Donc ce point a est bien le 
point double, ou centre de similitude des deux polyèdres P, P'. 

ExcEpTiox. — Il peut y avoir exception lorsque du point A on ne peut 
abaisser qu'une seule perpendiculaire sur les rayons partant du point a. 
C'est ce qui arrive lorsque les deux figures se réduisent à deux triangles 
semblables dont les bases passent pur le point <7. 

III. — On donne deux droites L, L' situées d'une manière quelconque 

dans l'espace, deux points A, A' situés sur ces droites et un rapport p ; 

mener un plan P parallèle à un plan donné Q qui cotipe les deu.c droites 

A'M' 
en deux points M, M' tels que Von ait -.-^v = p. 

Si on fait déplacer le point M sur L, le point M' se déplace sur L' dans 
un sens que l'on suppose connu, et trace une division semblable à celle de 
M ; il s'agit de faire passer le plan cherché par deux points homologues de 
ce système. 

Sur les droites L, L' je mettrai des flèches dans les sens ou les divisions 
semblables vont en croissant, si p est positif. Si p est négatif il faut changer 
le sens d'une des deux flèches. J'appelle angle des droites l'angle formé par 
deux demi-droites partant d'un môme point et étant parallèles à L,L' et 
dans les sens des flèches. J'appelle bissecteur des droites le plan perpendi- 
culaire au plan de cet angle et contenant la bissectrice de l'angle. 

L'axe de similitude du système formé par les deux divisions semblables 
doit être tel que par une rotation convenable de L' autour de cet axe, cette 
droite L' devienne parallèle à L, les flèches ayant le même sens. Il faut 
donc que cet axe fasse des angles égaux avec les flèches des droites, et 
par suite qu'il soit parallèle à leur bissecteur. 

1° Je suppose que le plan donné Q soit perpendiculaire au bissecteur des 
droites. Soit V la projection de L' sur le plan passant par L et parallèle à 
L', et OZ la bissectrice de l'angle /'OL ; c'est la trace du plan bissecteur des 
droites. Du point j'abaisse sur le plan Q une perpendiculaire Ox\ elle est 
contenue dans le clan bissecteur, et par suite fait des angles égaux avec les 
droites données L, L'. On peut donc prendre Ox pour axe de similitude du 
système formé par les deux divisions semblables et la droite double Ox. 
Soit P le plan cherché, parallèle à Q, coupant les droites aux points homo- 
logues M, M'. Comme ce plan est perpendiculaire à l'axe de similitude et 
qu'il contient les deux points homologues M, M' c'est le plan double du sys- 
tème. De là cette construction. 

Je tire la corde AA', je la divise au point a dans le rapport donné p et 
par ce point a je mène un plan parallèle au plan donné Q ; c'est le plan 
cherché. 

2° Le plan donné Q n'est pas perpendiculaire au plan bissecteur. 

Je remarque que les droites L, L' et les cordes AA', BB', CC qui joignent 
leurs points homologues définissent une paraboloïde hyperbolique. Pour 



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72 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

définir ce pamboloïde je puis conserver L et remplacer L' par une autre 
génératrice L" ; je choisis celle-ci de manière que le nouveau plan bissecteur 
de Tangle formé par L et L" soit perpendiculaire à Q, et je retombe sur le 
premier cas. 

IV. — On donne dans Vespace deux angles égaux xAjj x'A'y' et une 
droite 1 dans le plan du premier : mener un plan, parallèle à 1, qui en 
coupant les Jalons des deux angles détermine deux triangles semblables 
ayant un rapport de similitude égal au nombre donné p. 

Dans l'angle x\y je forme un triangle AKC dont la base BG soit parallèle 
à /, et dans l'angle x'Xy' je forme un triangle semblable en prenant 
A'IV = p . AB el A'C = p . AC. J'ai ainsi défini complètement un système 
de deux figures semblables. Cependant il y aurait ambiguïté si le triangle 
ABC était isosrèle avec BG pour base. Le plan cherché coupant les plans 
donnés suivant MN parallèle h BG et M'>' parallèle à B'G', doit être paral- 
lèle au plan de ces deux droites. La question est donc ramenée à constmire 
un plan parallèle à un plan donné, et coupant les deux droites homologues 
ABjf, X'IXx' eu deux points homologues : c'est le problème précédent. 



QUESTION 700 



Par le sommet A d'un angle donné BA(], on mène une droite quelconque 
et Ton construit les paraboles P^, Pg tangentes, l'une aux droites AB, 5. 
l'autre, aux droites AG, 6 et qui admettent toutes deux un point donné F 
pour foyer. Si jjj, p^ sont les points où ces paraboles touchent leur tan- 
gente commune 8, on demande de démontrer que l'angle 2)iFp2 est constant. 

Vve F. Prime. 
Solulion, par M. A. Droz-Farny 

Si d'un point A quelconque on mène deux tangentes AB et AC h. une jja- 
rabole de foyer F, on sait que l'angle FBA = FAG ; conséquence évidente 
du théorème bien connu que la circonférence circonscrite à un triangle cir- 
conscrit à une parabole passe par le foyer de celte dernière. On aura donc : 

angle F/)., = FAG 
angle Fp.A = FAB , ,. 

Vp^Yp.X = BAC ï^^"'^ soustraction. 

< P\^P^ = BA.C. C. 0. F. D. 

A. D. F. 
Ont résolu les mêmes questions : MM. Ernest Foucart, Francis Dauzats, 
L'huillier, Sollerskinskv . 



Le Directeur-gérant, 

Georges MARFâUD. 



SAINT-AMAND (cUEr). — IMPBIMERIB SCIENTIFIQUE ET LITTÉRAIRE, BUSSIÉRE FRÈRES. 



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JOURNAL DB JIATIIEUATIQUB8 ELBUBNTAIflBS 



73 



PREMIERE PARTIE 

Questions proposées aux Candidats 

I. - A L'ÉCOLE SP ÉCIALE MILITAIRE S^-CYR 

l«S«S. — Aux extrémités du diamètre AG d'un cercle 0, oh 
mène les tangentes AB et CD, et des 
points B et D, les autres tangentes BE 
et DF qui se coupent en M ; on tire enfin 
les droites DE et BF qui se rencontrent 
en N. 

Démontrer que les droites BD, FE et 
AC se coupent en un même point 1 et 
que MN est la polaire de ce point. 

Déterminer le lieu des points M et N 
lorsque : 
AB 



CD 



ou AB XCD, ou ABdbCD sont constants. 




H. Lecocq, ancien professeur de FUniversité, 
156* — On donne une circonférence et on demande de trou- 
ver une corde AB telle qu'en abaissant la per- 
^ X X^ pendicu taire AC on ait en menant 01 perpendi 




9 
Fig. 



culaire à CB on ait 

surf ABC 



= m. 



surf COI 

Edouard Drouet. 
157. Epure. Pyramide et cylindre. — La pyramide 
SABCD a sa base ABCD dans le plan de projection. 
A = go', AB = 90 millimètres, AD = CD = 100 millimètres 

BC = 1 15 millimètres — ABCD 
est un quadrilatère convexe. Hauteur de la pyramide : Sa milli- 
mètres. Plus courte distance de SD et AB : 70 millimètres 
SD = 95 millimètres. S se projette intérieurement à ABCD. 

Le cylindre de révolution a pour axe CS et pour rayon 5 centi- 
mètres. 

Lire à la quatrième page de la couverture les 
conditions relatives à la correction et à Tabon- 
nenient des copies. 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉM. — 1898, 5 



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74 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

1® Représenter la partie de la pyramide extérieure au cylindre. 

2® Déterminer les points les plus bas des sections faites par les 
faces SAB et SAD. 

Note. — On pourra prendre la trace horizontale du cylindre 
pour directrice du cylindre à la condition de l'avoir déterminée 
exactement. 

158. Calcul. — On donne les 3 celés d'un triangle : 
a = 25 648"^ h = 32 907^" = 29 763™. 

Calculer les 3 angles, la hauteur CH et la surface du triangle. 

150. Questions d^oral. — Conditions de divisibilité d'un 
polygone entier f [ce) par (a? — ay et {x — af. 

Barbarin, 
professeur au Lycée de Bordeaux. 
160« — On trace un cercle de rayon R. Deux cercles de rayon 
R' et R'' tels que R = R' -h R* sont tangents intérieurement en 
A et en B au cercle de rayon R. Ces deux cercles se coupent en E. 
Démontrer que Tare AB sur la grande circonférence égale la 
somme des arcs AE -f- EC. 

IL - A L'INSTITUT NATIONAL AGRONOMIQUE 

161. Afathémallques. — Une suite de sphères homo- 
gènes ce C en nombre illimité et tangentes extérieurement 

sont inscrites dans un même cône de révolution dont Touverture 
est 2(1). La distance a du sommet S du cône au centre C de la 
3phère la plus éloignée est connue. On demande : 1^ D'exprimer 
au moyen de a et de (o la distance x du sommet du cône au centre 
de gravité de l'ensemble des sphères ; on devra trouver en parti- 
culier que pour 10 = 3o®, x= y^. 2** Ce que devient x pour 

j: ±=: et pour to = 0. V Démontrer que quand w varie dé à 
90® 0? va toujours en augmentant. 

1Ô3. — Dans un solide formé de deux cônes égaux appliqués 
l'un contre l'autre par leurs bases on propose d'inscrire le 
cylindre dont la surface totale soit maximum. 
"163. — Calculçr par logarithmes : 

X = y/itR* (R' -H R'' H- s/WW\ 

pour R ^ 3", R' = o™,oi2, R" = 9",99. 



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JOURNAL bfi MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 75 

164. Physique et chimie. — Dans un appareil de Morin 
le cylindre a trois mètres de haut, il fait exactement un tour en 
une seconde. Sur sa surface sont tracées loo génératrices équi- 
distantes. Combien le poids en rencontrera^t-il en tombant dans 
sa chute ? — Construction d'un thermomètre, déplacement des 
points et loo. — Enoncer les systèmes cristallins et donner 
des exemples à chaque cas. 

III. — AU BACCALAURÉAT 
LETTRES MATHÉMATIQUES 

165. Mathématiques. — {Obligatoire) Trouver par les 
progressions la somme des nombres renfermés dans la table de 
multiplication si on la prolonge jusqu'à loo fois loo. 

166. — {Au choix) Propriété de la tangente à Phélice. 
Démontrer la relation entre le carré d'une corde (d'une para- 
bole) perpendiculaire à l'axe et sa dislance au sommet. 

Mener à une ellipse une normale parallèle à une direction 
donnée. 

167. Physique* — [Obligatoire) 8 litres d'hydrogène à une 
pression correspondant à 74 centimètres de mercure sont mélan- 
gés avec 3 litres d'oxygène, à une pression correspondant à 76 
centîmèires de mercure, les deux gaz étant à une température de 
14°. Le volume total est réduit à 10 litres. A quelle température 
faut-il porter le mélange pour que la pression devienne la pression 

initiale de l'oxygène. CoefGcient de dilatation des gaz : — ^ . 

168. — {Au choix) Photométrie, photomètres de Bouguer, 
de Bunsen, de Foucault, de Runford, de Wheatslone. 

Lois de la réfraction ; démonstration expérimentale. 

Etablir la formule des miroirs convexes (convention de signes). 

IV. — BACCALAURÉAT 
DE L'ENSEIGNEMENT MODERNE 



160« Mathématiques. ~* {Obligatoire) Les trois angles 
d*un triangle forment une progression géométrique dont la 
raison est 1/4. Quels sont ces angles ? 

169>*». — {Au choix) Calculer sin aa, cos aa, ïg aa, limite 

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76 JOUBNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

de 5iîL^ quand œ tend vers o. Tranformer en produit la somme 

X 

de deux cosinus. 

170. Physique. — {Obligatoire) Un projectile est lancé 
de bas en haut avec une vitesse de 3oo mètres par seconde. On 
demande à quelle hauteur il s'élèvera. 2^ Au bout de combien de 
temps reviendra-t-il à son point de départ. 

170 *»>•• — (Au choix) Loi de Mariotte ; manomètre ; mélange 
des gaz et des vapeurs. 

V. BACCALAURÉAT (LETT RES. — SCIENCES) 

171. — Démontrer que les trois points ABC de coordonnées 
A (a? = 1 î/ = 2), B (^ = 2 y = y), C (x = 3 y = i) sont 
en ligne droite. 

2® Former Téqualion de la droite qui passe par les points 
A (x = y = 2), B (a? = 3 y = 0). 

17!2« — (Au choix) Lois de Kepler; inégalité des saisons. 

Calendrier ; projection de Mercator. 

173* Physique. — Dans un récipient contenant de Tair 
sec à la pression 766, on fait le vide jusqu'à la pression œ. On 
ouvre le robinet et on fait entrer de Thydrogène jusqu'à ce que 
le mélange ait de nouveru la pression 755. On fait de nouveau le 
vide et on fait arriver de nouveau de l'hydrogène jusqu'à la 
pression de 766 mîllimèlres. Quelle doit êlre la valeur de a?, pour 
que le poids de l'hydrogène soit 1/10 du poids de l'air avec lequel 
il esl mélangé. 

174. — (Au choix) Bobine de Ruhmkorff ; éclairage élec- 
trique ; microphone. 

VL — AUX ÉC OLES D ^AGRICULTURE 

175. — Un piélon pari à 8 heures du matin, il fait 1 kilo- 
mètre en 9 minutes, il se repose 3 minutes après chaque kilo- 
mètre. A quelle heure sera-t-il rejoint par un courrier qui part 
dans le même sens à midi, fait 9 kilomètres à Fheure et se repose 
20 minutes chaque fois qu'il a parcouru 20 kilomètres. 

Vazou. 

176. — Trois bateaux partent du même point le même jour. 
On demande dans combien de jours ils repartiront ensemble 



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JOURNA.L DE MATHéMA.TIQUES ÉLéMENTAlRES 77 

sachant que le premier part de ce point tous les cinq jours, le 
deuxième tous les sept jours et le troisième tous les onze jours. 
t77. — Calculer x donné parla formule : 

____ v/3789 — y/29023 -H V/7Ô89 -- y/0,0007 

X — — .» 



VIL — AUX ECOLES DE COMMERCE 

1 78. — On doit à une personne i4 720 francs, à la fin de chaque 
année on lui donne 2000 francs. Pour combien de temps sera-t- 
elle entièrement payée, le taux d'inlérét étant 6 °/o. 

179. Algèbre. — Résoudre ix — Z\j = l^z 

1 1 1 

. -\ h - = 10. 

X ]i z 

180. — Calculer x donné par la formule : 

A»/ 



v/ 



J/(o,oo23/ X [v^7^92i - v/2378 }•' 



DEUX IÈME P ARTIE 

BlBLlOGRAPfHE 



GouBS DE Géométrie Descriptive, par Emile Martin et Félix Pernot, à la librairie 
' des sciences générales, 53, rue Monsieur le Prince, 53. 
Ce nouveau cours de Géométrie répond à un besoin. Le programme de 
Saint-Cyr exigeant l'emploi (presque exclusif; de la Géométrie cotée, il était 
nécessaire, de mettre entre les mains des candidats, un ouvrage clair pou- 
vant les guider dans cette voie. Mieux que personne, MM. Martin et Pernot 
étaient désignés pour rédiger un cours répondant à cette nécessité. Anciens 
élèves de l'École Polytechnique, professeurs tous les deux dans les meil- 
leures écoles préparatoires de Paris, ils ont apporté dans ce travail la mé- 
tliode scientifique qui caractérise en France renseignement donné dans nos 
grandes écoles, et l'expérience du professeur. D'ailleurs, l'emploi simultané 
des trois méthodes (méthode cotée et méthodes de Monge) est une innovation 
qui rend de réels services et aux maîtres et aux élèves. Nous recomman- 
dons cet ouvrage avec plaisir et conviction aux candidats à Saint Gyr et 
Navale. Jusqu'à présent, pas un livre répondant h leurs programmes n'a été 
rédigé avec cette clarté et cette hauteur de vue qui distingue renseigne- 
ment de MM. Martin et Pernot. G. M. 



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78. 



JOUItKAL DE MATHÉUATIQUE9 ÉLÉUENTAIRBS 



SOLUTION DE LA Q UESTION 37 

On donne un© sarface conique de révolution à deux nappes dont le 1/3 , 
angle au sommet est de 60°. On la coupe par deux 
plans perpendiculaires à l'axe et dont la distance est 
h On obtient ainsi un tronc de cône. Gedculer la dis- 
tance œ du sommet à la base la plus éloignée, sachant 
que le volume de ce tronc est dans un rapport donné- 
m avec celui de la sphère dont le diamètre est h. Dis- 
cussion. 
Il faut trouver x tel que 

V. tronc 

'ir^- = m. 




Nous avons : 



Vol. sphère " 

y^ (ÂB^ + CD2 — AB.CD) 
_ -_. = ^. 



X v/5 



CD == X tg 3oo, 
AB = (A — ar) v/3 
en portant dans la valeur de m on a : 

Z{h — X)^ 4- 3;»» — Zxih — a?) 

^= 4P 

d'où réqnation : 

(i) 9d?2 — 9^07 + h^^ — 4»^) = o. 

Discussion: 

i») pour que les racines soient réelles, il faut : 

36mA2 _ ig^2 > o, ou m — 2 > o ; 

2°) produit = ^2(3 — 4^^) dont le signe est celui de 3 — fynx ; 

30) somme = ^9 toujours > o. 

Nous remarquons queues racines de l'équation (i) sont les deux distances^ 
OB et OD car si x est racine h — j? est aussi racine. 

Comme la somme est au > o la plus grande racine est positive. 11 faut 
que m soit > 2 pour que les racines soient réelles, le produit est donc < o, 
nous voyons qu'elles sont de signes contraires, et que la plus grande dé- 
pend du sens adopté sur la droite BD. E. Drouet. 

SOLUTION DE LA QUESTION 42 

Par M. Léopold nasslp, professeur de Mathématiques Spéciales 

à l'École Saint-Georges 

Etant donné une circonférence tangente aux deux côtés d'un angle 
droit f mener une troisième tangente qui forme avec les deux autres un 
triangle maximum ou minimum. 

Considérons la tangente supérieure BC : si nous relevons le point B sui- 
vant la ligne AB, le triangle formé augmente jusqu'à devenir infini quand 
la tangente est parallèle à AB ; si nous éloignons le point C suivant AC, la 
même chose arrive ; donc le triangle a passé par un minimum, et comme 
tout est symétrique des 2 côtés, il aura lieu pour la tangente à 45°. 



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JOURNAL DQ ^lATHéMATIQUBS ÉLÉMENTAIRES 



79 




Fig. 4 



De même AMN passe par un maximum dans le même cas, 

Pour traiter par le calcul 
soit : AB = y, AG = 07 

et posons 
(i) xy == ?u2. 

On a BF = y — R CE = a; — R. 

Donc 

(2) ^ -{- y ^— 2R)2 = a?2 -f- y'^. 

Cette équation renferme les 2 cas ; car elle ne change 
pas quand on y remplace a? — R et y — R par R — x 
et R — y. 

L'équation se simplifie et s'écrit : 

ixy + 4R2 = 4R(^ + y) 

OU ^ + R = ^ + y. 

Donc 07 et y sont les deux racines de l'équation 

^2 _ /r ^- ^j ^ + ni2 = G. 
Pour que ces racines soient réelles, il faut que l'on ait 

ou wi* — i2R-2»n2 + 4R* > o. 

Décomposons en facteurs : 

I m2 — 2R2(3 + 2 >/l)\ \ m2 — 2R2(3 — 2 v^2)| > o 
ce qui exige que Ton ait 

m2 — 2R2(3 — 2 v'2} < o, 
ou m2 -- 2Rî(3 + 2 v^2) > o. 

La première condition donne le maximum m^ = 2R2(3 — 2 v'i) 
et la seconde le minimum ni^ = 2R2(3 + 2 v^2) 
or et y sont égaux entre eux et à 

m2 + 2R2 
4R 
ce qui donne pour les valeurs maxima de iri^ : 

^ = y = R(2 — V'2) 

et pour la valeur minima : o? = y = R(2 + v'2). Léopold Massip. 



SOLIITION DE LA QUESTION 74 
Par M. Léopold Massip, professeur à l'École préparatoire Saint-Georges 



X' — y yfôcy = a2 
y2 — X >Jxy = b^, 
a?* •*- «2 = y \/xy 

y2 .i« Ô2 _ ^ ^'^' - • 

multiplions membre à membre 

^2y2 -. ^2^2 — b-ixi + an^ = a?2yî, 



Résoudre 



on a : 



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80 JOURNAL DB MATHBMATIQUBS BUBIIENTAIRES 

d'où : a2y2 _j_ h'2xî — a^b^ = o, 

d'où ô2(a?2 — «2) = __- a2y2 

de même {x^ — a*)* = a?y3, 
on a : a?2 — o2 = — -^-, 

remplaçant : ^v^f- = .ry^ d'où : -r^ = x. 

Remplaçant dans a^y^ -\- b^x^ — a'^b^ = o, 

on a : «V + b'^(-^'\ — a^b^ = o, 

d'où y2(66 + aS; = 6» 

y' = p-qr-^-6 ^' = 6«"T^- Léopold Magslp. 

SOLUTION DE LA QUESTION 83 



-x('+3irwo)==^^ 



Un tube de verre , ayant à l'intérieur la forme d'un cylindre droit à 
base circulaire, a un diamètre intérieur de a millimètres à o® et renferme 
une colonne de mercure dont la longueur à cette température de o*, est 
de a décimètres. On demande quelle serait à la température de ao^, la 
nouvelle longueur de la colonne liquide. Le coefficient de dilatation cu- 
bique du mercure est de -rrr- 1 celui du verre de ~ — . 
5 55o 36 700 

Solution. — Le volume de mercure à zéro a pour expression en milli- 

mètres cubes, it x aoo. A la température de ao», on a -it X aoo x tt^ • 

A la même température, la base du cylindre de mercure est devenue 
a x a \ _ ^ ^ 11614 
11610* 

La hauteur actuelle de ce cylindre est exprimée, en millimètres, par 
la fraction 

200 x r--i X — iv— . 
50^) II 610 

Le calcul, effectué par logarithmes, donne pour la hauteur deman- 
dée aoon»m,65. Léopold Massip. 

TROIS IÈME P ARTIE 

NOTE SUR LA DROITE DE THOMAS SIMPSON 
Par M. Grand, professeur à l'École Saint-Georges 

Le théorème de Simpson employé dans la théorie des transversales n'est 
qu'un cas particulier d'un théorème plus général ainsi conçu : 

Si on mène dans le plan d*un triangle ABC une transversale quelcon^ 
que apY et qu'aux points ainsi déterminés on mène des droites faisant 
avec les côtés adjacents des angles égaux, 07i obtient un triangle A'B'C 
semblable à ABC ; et, de plus, ai on joint les sommets homologues, ces 



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JOURNAL DB MATHÉUATIQUES ÉLÉMBNTA1RB9 



8t 




Fig. 5 



trois droites concourent en un même point situe' à Pintersection des cer- 
cles circonscrits aux deux triangles. 

En effet, le quadrilatère A^A'y est inscriptible, puisque l'on a : 
C^A' = ArA*. 

Par suite, A' = A, on démontrerait que B = B* et C = C. 

Les deux triangles ABC et A'B'C sont donc semblables. 

De plus, si nous joignons AA' et BB' qui se rencontrent en un point 0, 
nous voyons que le quadrilatère BaB'y 
étant inscriptible, on a : B'Ba = oyB' . 

De même, ^A^A' étant inscriptible, 
on a : JkK' = pvA* = Ffià. 

Le quadrilatère OABG est donc inscrip- 
tible, et le point se trouve sur le cercle 
circonscrit au triangle ABC. 

Il est de toute évidence que. Tinter- 
section de BB' et GC se trouvant sur ce 
même cercle ne peut se trouver qu'au 
point 0. 

De plus, A'B'C étant réciproque de 
ABC, le point appartient aussi èi son cercle circonscrit. Il est donc à Tin^ 
tersection de ces deux cercles. 

Réciproquement, Etant donnés 2 cercles se coupant en et un triangle 
ABC inscrit dans le premier , si on joint les sommets A, B, C au point 0, 
on forme le triangle A'B'C semblable à ABC. Les côtés homologues se 
coupent en des points «Py ^^ ligne droite et sous des angles égaux. 

En effet, on a : CP = À'ÔF même mesure. 

C = AÔB même mesure. 

D'où G = C 

De môme, A = A', B = B' ; les deux triangles sont semblables. 

Il en résulte que le quadrilatère AyA'B par exemple est inscriptible, et 
que l'on a : ABy = ÂA'y 

De même pour r^CC, et on a : 

îpC = ïCC = OG^B' = OA^ = TA'V. 

Les angles ApY et ogC étant égaux, «p et PY coïncident en direction. 

Donc aPY est une ligne droite. 

De la considération des quadrilatères inscriptibles tels que ApA'y, on 
déduit : Cp" = X^ et CpA' = Cip. 

Les angles sous lesquels se coupent les côtés homologues sout donc égaux. 

Remarque : Si les angles égaux ont une valeur égale h un droit, on aie 
théorème de Simpson, et la droite «Py est la droite de Simpson. 

Grandy Professeur de Mathématiques (Paris). 



NOTE DE TRIGONOMETRIE par M. Rafalli (Lycée de Pau) 

En seconde moderne, pour résoudre un triangle connaissant deux côtés et 
l'angle compris, le programme prescrit de démontrer géométriquement les 



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82 JOURNAL. DB MATHEMATIQUES éLRMENTAIRBS 

forniules de résolution. Dans les ouvrages, aetuellement entre les mains des- 

•D r> 

A élèves, on construit sur le triangle Tangle — — - 

et on en tire les formules. Mais on a encore besoin 



c 



^^^^^s. ®t 011 ®û tire les formules. Mais on a encore 

^^x**^*^^ / \ >v d'une autre construction pour la formule 

^f"^ 3> es J_=^ ^ tg 450 = ^); où tgm = ^^. 

Fis 6 
° Il me semble que la méthode suivante est 

plus facile à retenir. 

Soit ABC un triangle, on suppose connus 6, c et A. Soient AD, AE les bis- 
sectrices intérieure et extérieure de l'angle A. Je considère le triangle ABD 
et f écris la relation des sinus, 

BD __ Ç 

J'obtiens iiFDÂB:"" sin ADB' 



Or BI> = rf"c' ADB = 90-^. 



La relation devient donc 


{b + c) sin 1 — cos 


d'où 


(ô + c}sin^ 


(I) 


''" cos«-^ 
a 



c 



En écrivant de même la relation des sinus dans le triangle ABE on obtient 
la 2® formule 

(b — c) cos - 
(2)-:.-. a, = — — g-.--^-^. . . 



sm 

2 



En divisant (i) et (2; membre h membre on obtient enfin 

m B — C 6 — c . A 

(3) :. Tg— - = ^-_^^^cotg-. 

Les formules (i) (2) (3) résolvent le problème. 

Dans la dernière, supposons le triangle rectangle, elle devient en rempla- 
çant B par 90 — C 

Tg (450 - C) = 1^, où Ton a tg C = ^. 

C'est la formule employée dans le cas où l'on connaît non pas b et c, mais 
log b et log c. 

SOLUTION DE LA QUESTION 708 

On projette un point P d'une corde focale FCD d'une parabole sur les 
tangentes aux extrémités, de cette corde. Démontrer que la. droite qui joint 
ces projections est uoe tangente à la. parabole. (Liucien Wvy). 

SOLUTION . 

Les tangentes aux extrémités C, D de la corde focale sont perpendicu- 



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JQUBXAï. DE MATHEMATIQUES BLEMJBKTAIRBS » 83 

lûres et Ton sait que le sommet A de l'angle droit qu'elles forment' eët! 
situé sur la directrice. 

Si par le point P on mène des parallèles à ces tangentes elles déter- 
minent deux points, G' sur la tangente en G et D' sur la tangente en D, 
tels que G'D' est tangente à la parabole ; comme G', D' sont lés projections 
orthogonales de P sur les tangentes, la question est démontrée. 

Pour déterminer le point de contact de la tangente G'D' on mène la 
médiane correspondante au sommet A du triangle AGD; cette médiane 
coupe la tangente G'D' en un point E, si Ton prend sur cette tangente 
C'F = D'E, le point F est le point de contact. Jorge F. d'AviUez. 

Solutions exactes par MM. Ernest Foucart, Droz-Farny, L'Huillier, 
Francis Dauzats, St-Goyens. 

THÉORÈME DE KEMPE par M. Ernesto h Montevideo. 

On donne un losange ABGD, un point sur une de ses diagonales ; on 
forme ainsi un quadrilatère AOGD à. diagonales rectan- 
gulaires ; sur OG considéré comme côté homologue de 
GD, on. construit un quadrilatère OGLM semblable à 
DAOG, prouver que la droite AM est perpendiculaire 
sur AB. 

DEMONSTRATION 

Puisque MOGL est semblable h GOAD> les angles cor- 
respondants de ces quadrilatères sont égaux. 
Faisons 
BAC = OMG = a ; OAC = OCA = CML =: 6, 

C PML = 




AOG = 


= MLG = 


= f]PXC 


= d, 






(APC 


= h. 


Lsoscèle ; donc OMA = 


OAM = 6 + rf. 


OMA -h OML -t- LMP 


= adr, 




b+d+a+ 


b -\- c 


= adr., 





Le triangle MOA est isoscèle ; 
On a aussi 
ou 
ou encore 
(i) * aô H- a -f- «^ -h c = ndr. 

Mais . 2b -^ f = adr et h -^ o = f, 

(i) devient successivement 

2b -\- a -^ d -{- c == 2b -\- f ou a -{■ d -\- c = f, 
ou enfin a + d + c=zh-{-o, ce qui donne a -{- d =z h. 
Donc BAP = APC. 

A cause des parallèles AB et DG, on a aussi BAP 
= APD. 
Par suite APC = APD. 

Chacun de ces deux angles vaut donc idr. 
Donc AP est perpendiculaire sur DCet par suite 
sur sa parallèle AB,. 
On donne un triangle ABC ; on trace BD que divise 
AC en deux parties AD = m ; DC = n ; du même point B on porte sur 




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84 JOURNAL DB MATHBMÀTIQUES BLÉMENTÀIRES 

BG une longueur BL = s, et sur BA une longueur BF = p ; on trace LF. ' 
Dons quel rapport la droite BD divise-t-elle la sécante LF î 

SOLUTION 
Les deux triangles BFE, BEL ayant même hauteur sont entre eux comme 
leur base. 
On a donc |g = |J. 

Dautre part, on peut écrire «^ = »^^. et «^ = m4^- 

En multipliant entre eux ces deux rapports, et en se rappelant que 

r»r. = — - , on obtiendra successivement 
ABD m 

BFE BDC _ BF^BE.BD^BC _ p^ 

BEL ^ BÀD "~ AB.BD:BE.BL "~ s.c 

FE n pa 
ou w, X = ^- . 

EL m se 

D'où 

, . FE mp a 

^^^ EL — us • c' 

Rbmarques : I — Pour BD médiane, m = n, et le rapport (i) devient 

^ ^ EL 6' • o' 

II. — Si, en même temps que m = n, on a aussi p = *, il vient 

^^^ EL - c • 

Ce qui justifie le théorème connu : 

La médiane BD d'un triangle ABC coupe la corde FL d'un arc décrit du 
sommet B et limité aux côtés du triangle en deux parties FE, FL dont le 
rapport est inverse de celui des côtés AB, BC. 

III. — Pour 5 = a, le rapport (i) se réduit à vT]~ lïf * 

Il semble bon d'établir directement cette propriété à cause des consé- 
quences qu'on en peut tirer. 
âg^i On donne un triangle ABC ; on trace BDqui divise 

"■^^^ ** AC en deux parties AD = wi, DG = n; on trace 

aussi CE qui divise AB en deux parties AE = q, 
* * p fi t EB = ;?. 

FF DP 
Fig. 9 Déterminons les rapports j,^ , p^ , F étant le point 

de rencontre des lignes BD et CE. 

SOLUTION 

^ BEF EF 

On peut écririre immédiatement gpp ~ fc • 

^ . BEF BE.BF BDC BD 

On a aussi g^ = g^^, ^-p^ = Bp. 

En multipliant entre eux ces deux derniers rapports, il vient 
M:F BDC _ BE.BF.BD _ p 
BFC ^ BAD ~" BA.BD.BF "" c ' 



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JOURNAL DE MATHÉUATIQUKS KLÉMBNTAIRBS 



85 



Comme wp-^ = 



mp 

ne ' 



C^) 



EF , BDC n , .. , EF ^^ 9i p 

t>ôn = fTs» et T>-ri\ = — , on obtient ^^ x -- =-, 
BFC FC* BAI) m FC «ï c 

D'où 

r ^ KF 

On aurait de même 

^ ^^ m-pb' 

Remarques. I. — Joignons A au point F si le point H où AE rencontre BC 
divise cette ligne en deux parties BH = s, HG =: r, on aura aussi 

HF pr ns 

AF qa ma' 
Dans ce cas, on aurait 

DF çn r)n HF P!^ _ ^£ 

FB pb ^4» ' FA T qa ma' 
II. — Si le point F était extérieur au triangle ABC, on obtiendrait les 
mêmes relations (4)* en employant les mêmes notations. 
Ainsi pour BE =p, AE = ^, AD = ?n, DC = n, BM = s, 
CH = r, on aura 

('♦ >\WC~ nc^ c' Y^'^ pb ^ sb ' Yk~ qà~ ma' 
Démontrons-le pour l'un de ces rapports, par exemple 

EF 

FC* 

BEF _ EF BEF __ BE.BF 
GBF — FC' BAD " BATBD' 

BDC __ BD 

BFC ■" BF* 



rn ( EF _ mp _ *£ 
^^^ J FC"~ ne ~ rc' 



On a comme auparavant 



BEF 




BDC 



par 



il vient 



BFC P^'* BC ®^ BXO 
mp 

ne ' 



Multipliant entre eux ces deux rapports, simplifiant ; 

EF n _ p EF 

FC • wi ~ c\ *^" FC 
CONSÉQUENCES 

I. — L'un quelconque des rapports (4) et (4^^*) donne 

mpr = nsq. 
Ce qui démontre le théorème de Céva. 

II. — Ces relations peuvent aussi s'employer pour démontrer le théorème 
de Ménélaûs. 

i^p Cas, — La sécante EFD coupe deux côtés et le prolongement du troi- 
sième. Soit le triangle ABC et la sécante AD. Joi- 
gnons BD, AF. 
Les relations (4) donnent 

CF _ HDJ^C _ AE.CD 

bf — bh.ad — bèjTd' 

On en tire H = AE^D 

BH ÂCIBE- 
Ce qui donne 
CE _ AE.CD ^ AG _ AE.CD 

BF — âoé ^ ad — bë:âd- 




^^^ 



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86 JOURNAL DK MA.THÉMAT1QUB8 KLKMBNTAIRE8 

Donc CF.BE.AD = BF.AE.CD. 

a« Cas. - La sécante EDF coupe le prolongement des trois côtés. Soit le 
triangle ABC et la sécante ED. Traçons AF. On a 
BC _ ED.A B BF _ ED.AB + DF.AE 

CF — DF.AE ^^ CF "~ ECÂË ' 

AC _ AB.EF AD _ AB.EF + BE DF 

CD - BE.DF ^^ CD - IBËTDF ' 

BF _ CD ED.AB + DF.AE BE.DF 




CD __ ED.AB + DF.AE 

^ \r\ — - -- — ^^^ -^ ^ '^ 



CF '^ AD 



DF.AE 



AB.KF + BÊ.DF 



BE ED.A B 4- DF.AE 
ÂE ^ AB.EF + BE3F' 



ou 
on 



Mais ED.AB -f DF.AE = AB.EF -f- BE.DF. 
Car, en le supposant vrai, on obtiendrait 
DF.AE — DF.BE = AB.EF — AB.ED, 

DF(AE — BE) = AB(EF — ED), 
DF.AB = AB.DF, ce qui est évident. 



Ainsi donc 



BF CD 
CF ^ AD 



BE 
AE* 



ou BF.CD.AE = CF.AD.be. 



Le théorème de Ménélaiis se trouve ainsi vérifié. 

lU. — Soit F, le point de rencontre de deux médianes CE, BD. Dans ce 

b c 



m = n 



P = 9 



On aura 



EF _ mj) '2 _ I 

F^ 710 m.c â' 
De même, en appelant F', le point où la médiane AH' rencontrerait CE, 
on aurait aussi BH' = s' = H'C = r'. Et on obtiendrait également 



EF'^£V^1j^i 
FC r'c s'c 2* 

Donc le point F' se confond avec F. Et les trois médianes se coupent au 
même point. 

ÈF + FC _ I + 2 3 ^ FC 2 

— FC~" - ~T~ 2 ^^'^ CE - 3' 

et ce point est situé aux q de chacune d'elles à partir du sommet. 

IV. >- Soit encore F le point de rencontre de deux hauteurs BD, AH et 
appelons F, le point de rencontre des hauteurs BD et CE'; cette dernier» 
divisant le côté AB en deux parties AE' == q\ BE', = p'. 

Les triangles semblables CE'B et ABH donnent^ = ^. 



De même 



AHC et BDC 
ABD et AEG 



a' 



En les multipliant on obtient p'rm = snq' ou -— - = ^ . 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 87 

Mais, en appliquant les relations (4) précédentes, on a 
FD _ î*m , FD _ qn' 

BP —~^ . ^. W" p'à' , . . 

En remplaçant 2L^ par s^ valeur — , il vient gp = ^ • 

F'D FD 
Donc gpï = g= et F' se confond avec F. Par suite, les trois hauteurs 

d'un triangle se coupent au même point. 
Remarque. — On trouverait facilement les relations suivantes : 
BD _ aga//^ + 2a2ç2j_ ^èSçâ ^ gi — f,i ,. ci 
ËF "~ '.ib-^ («^ + c-^~- 62) 

CE _ 2 a«6^ + uggç^ -f ^b^c^ — a ^> -~ ^ 4^ — ^4 
FË ~ '2C^ (a^ + *2 __ c'2) 

AH __ a gg^g + Q a2c2 -j. ^^2^2 ^ g» _ ^4 -_ g» 
ÂF ~ 2g2 (62 _p cT— g2) 

V. — Soient BD bissectrice de B, AH bissectrice de A, CE' bissectrice de C, 
F le point de rencontre des bissectrices BD et AH, F' le point de rencontre 
de BD et CE'. Les relations (4) donnent : 

PD _ 9' m . F'D _ q' n 
BF-*T ®^ W'-p'l^ 
(en appelant g' et p' les deux segments de AB, m et n ceux de AC, r et s 
ceux de BC), 

^ ' r b g' b ma 

On a = - ; \< = -; ~ = - ; 

se p a no 

m m c . n n a 

— - — ou -1- = ; — et ~ - — - ou 7- = i — ^ . 

n -\- m b a -{- c m -\- n b a -\- c 

Parsaite ^^ * . __^_ = * 

Bbca + oo+C 

F'D A g 6 



BF' a ' a -\- c a + c 

FD F'D 
Donc gp = ôp; , et F' se confond avec F. Par conséquent, les trois bis- 
sectrices d'un triangle se coupent au môme point. 

RsHAnQUES. I. — Les segments des bissectrices seront exprimés par les 
rapports suivants : - - 

FD _ b BD _ g + 6 -f c 

BF — g -f c ^^ BF ~ a -{- c * 

^^ — g n„ ^5 — g -f- ^ + c 

CF "" g + 6 ^^ ÈF ~~ a -\- b * 
FH _ g AH _ g + ^> 4- c 

AF — 6 4- c ^^ AF ~ 6 -h c * 
II. — On démontrerait de même que les 
bissectrioes de B et des angles extérieurs en A et en G se coupent au même 
point. En appelant F ce point on aurait de même 

FD __ b 
BF g -\- c 
et en appelant F' le point de rencontre de la bissectrice de A et de celles 




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88 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

des angles extérieufs en fie!) en C; F' le point de rencontre des bissectrices 
de C et. des angles extérieurs en A et en B, on aura les trois relations : 

FD _ b FD b BD _ a±_c_b 

BF — arn? *^^^ BD — a + c — 5 ^'^ BF "" a + c 
FH _ _«_ F;H _ a AH & + c — « 

I AF' ~~ b + c ^^^ AA ~ ô + c — a ^^ ÀF' b -j- c 

FT. _ FE c_ CE « + * — ^ 

Cr — ^r+l ^" CE ~ a b — c^^ cr " «~+ *~" • 

VI. — (4) et (4»>is) donnent 



EF.FD.HF mpr _7isq 



Hermano Emesto. 



NOTE BIBLIOGRAPHIQUE 

SUR LES PROBLÈMES d'aLGÈBRB 

De MM. Henri Neveu et Charles Cochez 



La librairie Larousse met en vente les Problèmes d'Algèbre h l'usage des 
candidats à Saint-Cyr. L'autorité acquise par les auteurs de ce livre 
(MM. Henri Neveu et Charles Cochez) en tout ce qui concerne les matières 
de Texamen à TEcole spéciede militaire de Saint-Cyr, doit encourager les 
élèves et les candidats, qui désirent passer brillamment leurs examens, à 
prendre connaissance de ce recueil. L'ordre et la clarté qui y régnent le 
distinguent de tous les recueils similaires. En un mot c'est un ouvrage bien 
fait que nous signedons avec plaisir à l'attention des professeurs et des 
élèves. G. M. 



Le Directeur-gérant, 

Georges MARIAUD. 



gAIMT-AllAVD (cBBK). IMPBIIIBBIX SCIBNTIFIQUK ET LITTBRAIBS, BUSSIÉAK rataSB. 



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JOUBNAL De MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES B9 

PREMIÈRE PARTIE 
Questions proposées aux Canilidats 

I. - A L'ÉCOLE SPÉCIALE MILITAIRE S^-CYR 



181« — 1^ Inscrire dans un triangle ABC rectangle en A une 
droite B'C de longueur K s'appuyant sur AB et AG et telle que, 
en menant en G et B' les perpendiculaires aux côtés AB et AC 
ces perpendiculaires se coupent en A' sur BG. — Solutions algé- 
brique et géométrique. Variation de la surface A'B'GMorsque K 
varie. 

a" On donne deux circonférences G et G' de rayon R et R'. 
Mener par leur centre S de similitude directe une droite sur 
laquelle la circonférence G intercepte une corde BD = ^ et cal- 
culer la corde B'D' interceptée sur celte même droite par la cir- 
conférence G'. 

Charles Gcchez. 
Professeur du Cours de Saint-Cyr à l*Ecole 
préparatoire Saint-Georges. 

182. Epure. — Le sommet d'un cône de révolution de 
côte 12 se projette au centre de la feuille. La circonférence de 
base a o,o5 de rayon, ce cône est limilé par un plan horizontal 
de côte 20. Un point G de côte 12 situé à une distance o,o5 du 
sommet se projette sur la parallèle aux petits côtés du cadre 
passant par le centre de la feuille. Par le point Gj, passent trois 
plans, le premier a sa trace horizontale tangente au cercle de 
basç en un point Gj diamétralement opposé au point G. Le 
deuxième a sa trace parallèle à la précédente et passe par le point 
0. Gette trace rencontre la base du cône aux points BD. Le troi- 
sième plan a sa trace passant par B et le milieu de Parc BS. 
Solide commun au cône et au trièdre ainsi défini. 

Iiéopôld Massip, 
Professeur de Mathématiques Spéciales 
à l'Ecole Saint-Georges. 

Lire à la quatrième page de la couverture les 
conditions relatives à la correction et à l'abon- 
nement des copies. 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉM. — 1898. 6 

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90 JOURNAL DR UATHÈiàÀTlQVS» BUBMKNTAIBBS 

183. Calcul trigonométrique. — Résoudre un triangle 
connaissant 

a = 8344,27 à = 5862,55 C = i28*47'35'. 

184. Questions d*oraL — a) Trouver le cercle dans 
lequel on ne peut entrer. 

b) Déterminer la hauteur d'un triangle dont on connaît les 
trois côtés mais dont l'intérieur est inaccessible. 

c) Calculer le rayon de la sphère connaissant les rayons des 
deux bases ainsi que sa hauteur. 

II. - A L'INSTITUT NATIONAL AGRONOMIQUE 

185. — A l'intérieur d'une circonférence on donne un point 
P. £n ce point se trouve une balle élastique. Dans quelle direc- 
tion faut-il lancer cette balle pour qu'elle revienne à son point 
de départ après avoir frappé trois fois la circonférence ? 

Solution algébrique et géométrique. 

Léon Bach, 
expert-géomètre à Cahors. 

186. — Si dans un triangle on a : —. — g = 2 cosC le triangle 

est isocèle. 

187. — Calculer par logarithmes 

_ Am (1 -f-a)P 

pour A = 385oo a = o,o38 ^=11 p = o,o35. 

188. Physique el Chimie. — Un baromètre a été 
observé à deux époques différentes et a donné 770 millimètres 
à 25** et 760 millimètres à 5**. 

On demande le rapport entre les deux hauteurs corrigées. 

III. — AU BACCALAURÉAT 
LETTRES MATHÉMATIQUES 

180* Mathématiques. — Couper un cône par un plan 
de façon que la section elliptique ait une aire maximum. 

190. (Au choix). — a) Résolution trîgonométrique de l'équa- 
tion du second degré. 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 91 

b) Limite de quand x lend vers zéro. 

c) Problème de la carie. 

100^'^« Physique. — Deux miroirs AB et CD inclinés ont 
leurs faces réfléchissantes en regard ; un rayon lumineux se réflé- 
chit d*abord sur AB suivant IH puis sur CD suivant HR. Démon- 
trer que l'angle 8 formé par la direction du rayon incident avec 
celle du rayon deux fois réfléchi est toujours double de l'angle a 
des deux miroirs. 

191. {Au choix). — a) Rosée, pluie, neige. 

b) Hygromètre de condensation. 

c) Ëbullition, distillation. 

IV. - BACCALAURÉAT 
DE L'ENSEIGiNEMENT MODERNE 



102. Mathémaliques. — Déterminer a de manière que 
les deux équations 

ax^ — (5H-a)â?H-6 = o 2ax^ — (5a -h i) a? h- 6 = o 
aient une racine commune dont on donnera la valeur. 

19Î8*'*. {Au choix). — a) Condition nécessaire et suffisante 
pour qu'un angle droit se projette suivant un angle droit. 

b) Projection d*Une hélice sur un plan parallèle à l'axe. 

c) Projection d'un cercle. 

193. Physique. — Trouver la longueur d'un tuyau d'orgue 
ouvert dont le son fondamental est à l'unisson avec le diapason 
normal. 

i93***. (Au choix). — a) Notions très sommaires de photo- 
graphie. 

b) Notions générales sur les phénomènes d'émission, de 
réflexion, de transmission de la chaleur rayonnante. 

c) Composition de la lumière blanche. 

V. BACCALAURÉAT (LETTRES. — SCIENCES) 

Trouver la dérivée de 

\/a -+- X -H y/g — x 

^ v/a -+- X — v^a — x' 
y = ^ sin. 07 -f- cos.j; 



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92 JOURNAL DK MATHÉMATIQUES iLÂMENTAlRES 

194*'»« (Au choix), — a) Formule d'addition des arcs. 

b) Duplication et bissection des arcs. 

c) Théorème des projections. 

1 95. Physique. — Un tuyau fermé de o"*,5o de longueur 
donne l'harmonique 3. Quel est le rang de cet harmonique dans 
l'échelle musicale. 

195^'*. (Au choix), — a) Machine d'Atwood. 

b) Pendule. — Applications. 

c) Densité des gaz. 

VI. — AUX ÉCOLES D'AGRICULTURE 



190* — Le colza d'hiver rend en moyenne 32 y^ ^^ son 
poids d'huile et la navelte d'été 3o ®/o» l^ans une fabrique on a 
obtenu avec 4 700 kilogrammes de graines dos deux espèces 
1 468 kilogrammes d'huile. 1* Combien a-t-on employé de kilo- 
grammes de graines de chaque espèce ? Combien a-t-on obtenu 
d'huile de chaque espèce ? 

f 9T. — Quelle est la surface d'un trapèze dont la hauteur a 

12 mètres elles bases 48"',5o et 25. 

^378» + yfî^i H- {/6745 

198. — Calculer x ^ — j= , 

^0,0012 H- v^7777 — j/o,oo5o 

VIL - AUX ÉCOLES DE COMMERCE 



199* — Pour obtenir une tonne de fer brut une usine em- 
ploie 1 i3o kilogrammes de fonte à i3o francs la tonne et 760 
kilogrammes de houille à 32 francs la tonne ; elle paie en outre 
12 francs pour la main-d'œuvre; elle a produit 2777630 kilo* 
grammes de fer brut ; on demande ce qu'elle a dû dépenser en 
tout tant pour la fonte que pour le combustible et la main- 
d'œuvre. 

200. Algèbre. ~ Vérifier l'identité 

(a} H- 6» -+- ahy s: a» (a -t- hf -t- 6* (a -h hf -h à'h^. 

SOO^'** — Même calcul qu'au numéro 198. 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES ÉLÉMBNTAIIIBS 93 



DEUXIEME PARTIE 



BIBLIOGRAPHIE 



Récréations et Problèmes de Mathématiques des temps anciens et mo- 
dernes, par W. W. Rausb Ball, traduites par J. Fitz-Patbick (Librairie 
scientifique A. Hermann, 8, rue de la Sorbonne). 
Quelques pédagogues ont soutenu qu'il y a deux manières d'enseigner 
les mathématiques : La première consistant, comme on le fait en France, h 
énoncer les théorèmes pour les démontrer ensuite, en évitant une objection 
de la part de Télève. La seconde, employée par quelques professeurs anglais, 
consisterait h émettre des idées fausses pour permettre aux élèves de les 
discuter, à faire des fautes de calcul ou de raisonnement habilement 
cachées, lesquelles conduisent à la démonstration de choses absurdes afin 
de laisser aux jeunes intelligences le plaisir et le soin de découvrir l'erreur. 
Nous rappelons ces procédés à propos des Recréations Mathématiques que 
M. Fitz-Patbick vient de traduire. 

La lecture de cet ouvrage nous a fort intéressé. Les quelques problèmes 

de géométrie où l'auteur démontre qu'un segment de droite égale la droite 

entière, que tous les triangles sont isoscèles sont habilement établis et la 

sagacité du lecteur est fort exercée. 

Les carrés magiques, les problèmes des jeux, le problème des huit reines, 

des quinze écolières sont des chapitres à lire; ils intéresseront et les 

gens du monde, et les mathématiciens. Nous recommandons la lecture de 
cet ouvrage h tous les élèves des classes de sciences, même aux candidats 
à Polytechnique, Centrale, Normale ; elle ne peut que leur délier l'esprit, 
et eDe leur montrera quelle critique il faut apporter dans les raisonne- 
ments, quelle attention il faut donner au calcul. G, M, 

Nota. — Lire dans le Journal de Mathém/itiques Spéciales l'article 
blibliographique consacré à La Mathématique de Laisaut (Librairie Carré 
et Naudf 3, rue Racine). 

SOLUTION DE LA QUESTION 106 
Par Eiéonce Gerlach, à Digne 



Construire a? = Va — ^/'S- 

Ecrivons x = t V^a — v/3 {t = i). 

Décrivons le cercle de rayon t = i. Prenons M milieu de OA'. BB' per- 
pendiculaire en M = v^ = A'B". Rabattons A'B" en AD, AD = 2 — v/3 et 
on a â; = t /ÂD, x^ = e.AD, x est donc une moyenne proportionnelle 
entre t et AD. On mène I tangent au cercle OD et AI = x. 

Construire x =a/ ^"^^ » on a ^r = t i A- "^ ^r (* = 0- Décrivons 

V ^3 — va V v^3 — v'a 

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94 JOURNAL DB MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

le cercle de rayon I. Gonstmisons de même v^3, joignons OB et traçons OD 





Fig. I 



Fig. 2 



perpendiculaire à OB, DB = v^. Rabattons BD en BD', CD' = v^3 + v^. De 
môme CD" = v/B — v^â et on a a? = « i/^^t», ^ = ^D*' 

SOLUTION DE LA QUESTION 121 
Par Crut 



On donne deux circonférences tangentes extérieurement de rayons R 
et r. On mène la tangente commune AB (A sur la circonférence de rayon 
R tft B sur celle de rayon r). Soit C le point de contact des deux circon- 
férences : on forme le triangle ACB. Démontrer que ce triangle est rec- 
tangle et exprimer ses côtés en fonction de R et r. Léopold Massip, 

Soient et 0' les centres des cercles de rayons R et r, I le milieu de AB. 
La tangente en C aux deux circonférences passe par le point I. On a donc 
CI = lA = IB, ce qui indique que le point C est situé sur la circonférence 
de diamètre AB. Le triangle ACB est donc rectangle en C. 

Calculons d'abord l'aire du triangle ACB. Soit H la projection de C sur 
CH__ r _R_R — r_R — CH_R — CH 

es 



AB. On a 



OS "" ÔS ~ R 4- r — OS — es •" R * 
La comparaison du 4® et du 6^ rapport donne immédiatement 



CH = 



aRr 



On a aussi IB = v^- 



R + r 
On a donc pour l'aire S du triangle ACB 

S = CHxIB = ?^L^ 
n en résulte que les côtés AG et CB sont donnés par les équations 
AC.CB = ^q^, ÂC' 4- CB' = 4Rr. 



= i.AC.CB. 



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JOURNAL DK MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 95 

On endéduit(AC + CB)2=»-^+v^^^ (AC-CBp^^Rî:^^-,^'^ 
et, par suite, les trois côtés du triangle ACB s'écrivent 

v'R + r v'R + r 

(Crut). 

TROISIÈME PARTIE 



Questions <liverses 

Un quadrilatère articulé, plan et vertical, repose, par son côté AD = d 
sur une droite horizontale. Les côtés a, b, c, d ont une section infini- 
ment petite, et des poids proportionnels à leurs longueurs, e étant le 
poids de Vunité, 

Démontrer que si l'on a la relation : 

Ka -f b) cos A __ (c 4- b) cos D 

d sin A — c sin (A -f D) "* d sin D — a sin (A -|- D) ' 
le quadrilatère est en équilibre. 

Calculer les réactions Q ei Q' détruites aux points A et D. 

Et vérifier que, dans la position d'équilibre, le centre de gravité du 
périmètre mobile & ■\- h -\- c est le 
plus haut [équilibre instable) ou le 
plus bas possible [équilibre stable ; 
figure symétrique par rapport à 
rhorizontale) eu égard aux m,ou- 
vements compatibles avec les arti- 
culations du système. 

lo Soit ABCD la figure d'équiUbre 
du quadrilatère articulé et vertical, 
reposant par son côté d sur Thori- 
zontale fixe AD. Prolongeons les côtés 
opposés AB et DC jusqu'à leur ren- 
contre en S. Les conditions d'équi- 
libre ne seront modifiées en rien, si l'on suppose que SBA et SCD soient 
rigides. 

Or, le poids ae appliqué au milieu M de AB peut se décomposer en - as 

appliqué en A, détruit par la fixité de l'horizontale, et en ^ ae appliqué en 
B. Parallèlement, le poids ce appliqué en P, milieu de CD, se décompose 
en - ce, détruit en D, et en - ce appliqué en C. 

Soit I le point d'application de la résultante des trois forces verticales 
-- , - et 5e ayant respectivement leurs points d'application en B, G et N 




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96 JOUBNAL DE MATHIEU A TIQUB8 éL^HENTAlRES 

milieu de BG. Pour que cette résultante soit détruite, il faut que la verti- 
cale menée par S passe par I ; les composantes Q et ^Q' de ce poids 

^ {a + c -\- a6)e, suivant les directions SA et SD seront détruites sur BA 

et CD par les réactions égales et contraires. 
^ IB LH c -f 6 ;,. . 

, X LH LK d — a cos A — c cos G 

^'^ c + b'^ a + b~' a -\- o + nb ' 

H et K étant les projections de B et G, d'autre part : 
SL = LA tg A = LD tg D, 
d'où (a cos A -f- LH tg A) = (c cos G + LK) tg D, 

en remplaçant, dans cette dernière, les expressions de LH et LK tirées 
de (i), on arrivera, après simplifications, à Téquation proposée. 
On calculera Q et Q' par les relations 

cos D cos A sin (A + D) 

Les réactions totales développées en A et D sont donc respectivement : 

Q dirigée suivant AS, composée avec la force verticale — - ae, et Q' dirigée 

suivant DS, composée avec la force verticale — - ce. 

2° Actuellement déformons le quadrilatère selon les mouvements compa- 
tibles avec les articulations, lesquels, pour B ou C, se réduisent h une 
rotation autour de A ou D. Remplaçons par x et y. les angles variables 
BAD et GDA, et désignons par Y la distance à AD du centre de gravité du 
périmètre pesant a + b -\- c. En prenant les moments par rapport à AD, 
on aura, après suppression du facteur commun e, 

Y(a + c-\-^b) = al sin x + j^?jm^j±JL!iE^) + c ^ sin y 

= ^ (û- + *) sin a? 4- ^ (c + 6) sin y, 

d'où en prenant la dérivée des deux membres par rapport à une variable 
indépendante dont x et y seraient fonctions : 

2{a-^ c + 2b) -^ = a{a + à) cosx ^-\- c{c + b) cos y ^. 

Mais X et y sont liées par la relation : 



(2) d — a cos X — cos y = Vb^ — (a sin a? — c sin y)2, d'où 

dx dv (asina?— osiny)(acosa?^-ccosy^^) 

(3) asin ^ 5^ + c sin y J^ = 3 ^ ^ ^^ , 

^ ^ du^ ^du d — ûtcosa? — ccosy » 

or, le maximum ou le minimum de Y satisfont à : 

(4) a{a + ô) cos a?^^ + o[c + ô) cos y ^^ = 0. 

en éliminant le rapport ^ = -^ entre (3) et (4) on arrivera bien à l'éqna- 

^ . (g -f &) cos a? (c -f 6) cos y 

d sin a? — c sin(a? + y) "~ d sin y — a sin (x + y) ' 



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JOURNAL ÛE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 97 

la même que Téquation proposée. Cette dernière, jointe à (3), fera connaître 
les angles a? et y, c'est-à-diré Télément de la figure d'équilibre. 

H. Lecocq. 
ancien professeur au lycée d'Avignon. 

Etant données quatre droites AB, BC, CD, DE, déterminer la position 
d'un point P (fig. a) tel que les symétriques Pj, Pg, Ps, P4, de P par rap^ 
port à ces lignes soient sur une même droite. 

Le problème inverse qui consiste à trouver la position des quatre droites, 
connaissant le point P et les quatre points Pj, P2, P3, P4 se résout immé- 
diatement en menant des perpendiculaires au milieu de PPi, PP2, PP3 et PP4. 

Pour découvrir la solution du problème proposé, cherchons d*abord le 
lieu géométrique des points P {fig. i) dont les symétriques P^, P2, Ps, par 
rapport aux trois droites données AB, BC, CD soient en ligne droite. 
. Observons d'abord que les points B, G et £ point de rencontre de AB et 
DC, font partie du lieu, puisque, dans ces positions, P coïncide avec deux 
de ses symétriques, et il est facile de démontrer que le lieu cherché est la 
circonférence circonscrite au triangle BEC. En effet, soient Oi, O2, O3, les 
symétriques de par rapport aux côtés BC, CE et BE de ce triangle ; dé- 
crivons, de ces points comme centres, des circonférences égales h. la pre- 
mière; elles se couperont en un point I, point de rencontre des trois 
hauteurs du triangle BEC. 

Par le point I menons une droite quelconque qui rencontre en Pi, P2, Ps 
les circonférences Oi, Og, O3 et soit P le symétrique de Pi par rapport àBC. 
Les figures OIO2C et OiIOgB sont des losanges. Tirons OiPi et menons O2H 
et O3K parallèles h, cette ligne, les droites CH et BK seront égales et paral- 
lèles h, IPi- n résulte de là que l'arc PiIC, ou son symétrique PC est égal & 
l'arc CHP2 ; donc P est le symétrique de Pg par rapport à CD. On verrait 
de même que P est le symétrique de Ps par rapport à BA. La propriété est 
donc démontrée. 

Cela étant, la solution du problème proposé se trouve aisément. Considé- 
rons {fig. 3) les trois premières droites AB, BC et CD, et menons le cercle 
circonscrit au triangle BEC ; puis, les trois droites BC, CD, DE et menons 
le cercle circonscrit au triangle CFD. Soit P le point de rencontre des deux 
circonférences décrites; P est le point cherché, car Pi, Pj, P3, d'une part, 
et P2, P3, P4, d'autre part sont en ligne droite; donc les quatre points 
P, , P2, Ps, P4 le sont. Cette ligne passe par les points de rencontre M et N 
des trois hauteurs de chacun des triangles BEC et CFD. H. Lecocq. 

CoBouADiB L — Si d'un point quelconque de la circonférence circonscrite 
à un triangle on abaisse des perpendiculaires sur les trois côtés, les trois 
pieds sont en ligne droite. 

Cobollàibb n. — Si du centre du cercle circonscrit à un quadrilatère 
inscriptible on abaisse une perpendiculaire OP sur la troisième diagonale, les 
pieds des perpendiculaires abaissées de P sur les quatre côtés du quadrila- 
tère sont en ligne droite. 



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98 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

NOTE DE MÉCANIQUE 

Par M. Léopold Massip, professeur de Mathématiques spéciales 

à l'Ecole préparatoire Saint-Georges 

Les élèves retiennent fort peu la démonstration du parallélogrtunme des 
forces : nous proposons la démonstration suivante qui nous semble plus 
simple : soit la force AB contenant 3 fois la force OB. Décomposons la force 
OA en trois forces égales h OB appliquées en 0, Oj» O2; les forces OBet OOi, 
étant égales ont une résultante dirigée suivant OB'. Je transporte le point 









^ 

I 



Fig. 4 



d'application de cette force en B' suivant B'R'. En B' je remplace la lorce 
B'R' par deux forces B'B" et B'O'. Je transporte la force B'O' suivant OiB' et 
la force B'B" suivant BB'. Je recommence la môme opération pour chacune 
des forces O1O2 et O2OA. Léopold Massip. 

APPLICATION DES RELATIONS MÉTRIQUES 

ET TRIGONOMÉTRIQUES ENTRE LES ELEMENTS LINEAIRES ET ANGULAIRES 
DU QUADRILATÈRE INSCRIT COMPLET 

Par M. H. Lecocq 

Les données oc, ^, y, 8» qu'elles soient primitives ou consécutives, et dé- 
pendant alors, par les tableaux du n^ 17 des côtés du quadrilatère ou des 
autres éléments tels que diagonales et angles qui en sont des fonctions con- 
nues, permettent de résoudre, par des procédés plus réguliers et uniformes, 
les différents cas de détermination de la figure ; la construction finale est 
alors des plus simples et toujours la même, lorsqu'on a réussi à résoudre 
les inconnues ou variables a, p, y, 8 en fonction des constantes qui carac- 
térisent l'espèce du cas proposé. 

Mais la multiplicité des éléments considérés et introduits simultanément 
dans un problème posé amène parfois ce résultat qu'une relation, ignorée 
a priori, entre les quatre constantes nécessaires h la détermination du 
quadrilatère inscrit rend ce problème indéterminé, ou le transforme en 
question de lieux géométriques pour les quatre sommets, ou pour tout 
autre point lié au quadrilatère, et que ces mêmes lieux géométriques, di- 



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JOURNAL DBS MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 99 

rectement cherchés, sont identiques lor8qu*on donne trois de ces constantes 
sur quatre, quelle que soit celle qu'on laisse de côté. 

Les exemples qui suivent feront mieux comprendre ces considérations. 

lo Problèmes déterminés. 

I. — Données : a + c, d + *, S et • 
On aura les relations suivantes, n» 17. 

et d'ailleurs : - = cotg - ï = cotg ^ 

on en déduit : 

eo,(^)cos(^) 
. = (. + *) sinQtg|x—L^^|a4-^. 

p = (a+ 0) sin I tg S X ^ sinSsinO ' ' 

,^(a + o)sin|x \ lJ,^^\ ' f , 

rt cos ( ] cos I — i— ^ ) 

6 = (d 4- ô) sin 9 X ^ ^ { . ^ ^ ^ 

^ ' ' 2 sm S sm Q 

En laissant de côté le facteur commun à, ces expressions, on pourra cons- 
truire facilement un quadrilatère semblable au proposé, et une application 
dliomothétie fera le reste. 

II. — Données a + c, d + i, m et n. 

S 
On peut ramener ce cas au précédent en prenant pour auxiliaires - et - 

qui sont liées aux données par les relations : 

(m + n)2 — (m 4- w)2 /cos^ ? + cos2 9\ — i^mn cos2 | cos» ~ = o 

(a + c)« cos» - + (d + 6)2 cos« ^ = (m + n)2 
d'où l'on tirera cos ^ et cos - ; en y remplaçant cos ^ et cos -^ par 

I + cos S . I 4- cos ,. ,,, .^. !.. X S 

— *— . et — ! 2s on aura, au heu d équations bi-carrées en cos - 

et cos ^, des équations du second degré en cos S et cos Q. 

On peut encore résoudre la question de la manière suivante. Des tableaux 
no 17 et du no i8, on tire : 

- . 4p Sr2 v/s2 -f gj 4oi52Y v/p2 + Y2 

W -6 2^2 _ oT^a - = « + c (2) ^ S3^2 1 a2pr - = tf + ^. 

^^^ 62y* _ a2p^ = ^ (4) 52y2 _ «2^2 — ^' 

posons P = a:, î =: y, ? = -r, 



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fOO J0URN4L DB M ATR^ll ATIQUB8 l^UfalENTAIRES 

et divisons membre h membre les équations (3) et (4) ; (i) et (3) ; (a) et (4) ; 

on aura : 

(^) — = ^^^ 

^' ' zy m — n' 

et en éliminant x des deux suivantes, on obtiendra : 

(6) (m - n)y fCT^ = (a + c) y/r + (^^ZJ^\^,% 

c) (- + -) v/^ + {^-lY^' = (^ + ^) y/' + (^^) V^^ 

de cette dernière on tirera z^ qui, substitué dans (6), fournira : 
(d + ô)2(m— w) V— (w» + w)a[(a + o)«+ (d-h6)2— 4nin]y24.(a^^.)2(nt 4-n)2=o 
et l'équation en z sera : 

(m — n)2[(m -f n)2— (a + c)2]^* - (m — n)«[(a + o)2 + (d-f ô)2— 4mn]^2 
+ (m -h n)2[(w -(. n)2 — d 4- 62] — o. 
Les données doivent nécessairement vérifier les inégalités géométriques 

m-f-^>« + o m •\- n "> d -\- b. 

On devra en outre, pour la réalité des racines, poser les inégalités 

(a -h c)2 -f (d + ô)2 — 4mn > o 

me2 4- 4jî8n — 4wi'*(*w + »*) > o 

dans cette dernière 2|î représente le périmètre (a + <?) + (^ + *) et 

« = (^ + c) - (d + *). 

III. — Données : w, n, /* et la droite 01 = 1 qui joint le centre aa 
point de concours des diagonales. 
On aura les quatre équations suivantes : 

(0 Sy-afT- === *^ w êr + ap - ** 



... a«?r8v^SïT~^_^ ,,^ Sr(a2 + P«) v^82 + y2 



de (x) et (3) on déduit : 



ap w — n "^ (m + w)' 



^"'"^ . et onfin. de fi^ Sv = ,"^'"Y 



ensuite de (3) y/P+Y» = _^:^ et enfin, de (4^ ^^ = 3A(m' - »^ ) 



on en conclut les couples a, p et Y» S, savoir ; 

a : 



a m + 



.(v/' + J-v/^) 



' 2 v'm* — n»\V »n* — n''' "•" A V "ï* — »ï* A/ 
^ — à v'm2"^::ni2\ V m2 — n2 + A =^ V ^ï^î^^^^T^» A/ 

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JOURNAL DB MATH1CMÀT1QUJ&8 fiLiAIENTÀlRBS iOI 

ao Problèmes pseudo>déterminés. Equation de condition. Lieux géomé- 
triques des sommets ou 'd'autres points liés au quadrilatère. 

On cite un philosophe de Tantiquité dont rintelligence était si pénétrante 
qu'il apercevait en un instant toutes les conséquences d'une question posée, 
en sorte que, pour lui, les distinctions' établies ci-dessus eussent été abso- 
lument inutiles. Bien que cet état d^esprit soit fort enviable, il n'est nulle- 
ment nécessaire, les progrès de la solution conduisant au même résultat. 

rV. — Données m, n, S et 0» 

Gomme dans l'exemple précédent, les données m et n donnent : 





(a) ,^ + p = ^^_^^^, 


D*ailleurs on a 
On en conclut : 


et (4) 1 = tg % 

te Q — "* — " 
" a ~ wt + n 



cette relation entre les quatre constantes m, n, § et Q réduit le système 
d'équations distinctes à trois ; en leur adjoignant les expressions des coor^ 
données x et y d'un des sommets en fonction de a, p, Y* ^ (^^ 17). On aura 
alors cinq équations entre lesquelles on pourra éliminer ces variables et 
l'on obtiendra l'équation du lieu. 
On trouvera de la sorte, pour A (signe inférieur) et G (signe supérieur) 

ï{m + n)2 + (m — n)2cotg*|ly2 ± 3(^12 _ ^2) /cotg | + cotg | j xy 

r ^1 tn2r(m +n)2-(m-n)2cotg|cotg^l 
+ [(m+n)H(m-n)2cotg2|Ja;2 1 ^^^ ^ ^^, J=o 

pour B (signe supérieur) et D (signe inférieur) 

[{m + n)2 + (m — n)2 cotg2 ^y^ dr 2(m2 — n^) /cotg | - cot« 8) ^ 

- -, n2 (m + n)â-fm — n)2cotg-cotgy 
+[(m-fn)2+(m-n)2cot2|J^2 L ^^^ _^ ^^, ^ ^=0. 

On voit que les points A, B, G. D décrivent les périmètres de secteurs 
orthogonaux d'ellipses ayant pour centre commun le point L. Le lieu de 
est une ellipse rapportée h son centre et h ses axes. 

V. — Données : ^ , r , w et n 

comme ci-dessus, on peut écrire de suite : 

ï| = ^±.It v/oi2 4. 02 = ^^ 

ap m — n ' "^ w -f- n 

et le tableau 17 donne : 



a , d . 



ï = £ZJ = M -f = t 



a a 



T 



= N 



o ' S-' 



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102 JOURNAL DE MATHKMATiQUBS ÉLÉMENTAIRES 

Il en résulte : - = gj^— ^ 

cette équation donne lieu aux mêmes remarques que dans IV et Ton trou- 
vera pour lieux de A (signe supérieur) et G (signe inférieur) 

et, pour les lieux de B (signe supérieur) et D (signe inférieur) 




Le lieu de I a pour équation 

^' j_ y^ __ m2 

+ /M2- ,\2-4(MN+ 1)2- 



riT-^r (ï^r 



Le lieu du centre de gravité a une équation de même forme. 

30 Lieux déterminés. 

On donne trois équations distinctes entre a, ^, Y* ^ ^^ ^^^ paramètres 
indépendants, et l'on y joint les expressions des coordonnées a? et y d*un 
sommet du quadrilatère, ou de tout autre point déterminé de cette figure, 
fonctions elles-mêmes de a, p, Y» ^ et de constantes données. On se trou- 
vera 'ainsi dans le même cas que dans 20 après la découverte de l'équation 
de condition. Il est bon d'observer que ce dernier genre de relations mérite 
spécialement le titre de ce mémoire. 

— Nous faisons suivre ces quelques applications, rapidement résolues, de 
l'énoncé d'autres cas variés qu'on traitera aisément par des équations du 
second degré ou bi-carrées. 

Quand le lieu s'est trouvé trop compliqué, on a supprimé la mention : 
lieu, à la suite de celle : équation de condition. 

La surface S sera distinguée de l'angle S. 

Les angles désignés, par A'B'C'D' sont ceux d'où l'on voit respectivement 
les côtés a, 6, Cy d des deux sommets opposés, et qui sont déterminés par : 
t^,^>_ P(Y-f« ) tKB'-"^i=i) tffC'-KïZl^ tirD'-?<i±l> 

lo Poblèmes déterminés 20 Problèmes pseudo-déterminés 

données A, D, w, n (Equation de condition-lieu) 

A, D, m et un côté A, D, m, R — 

A, D, m, / A, m, n, R — 

A, D, m, S m, n, jx, ^ (Equation de condition) 

A, m, n et un côté A, n, R, / — 

A, m, n, / b, d, B', D' — 

A, m, n, S ^ ^ . ^ ^, . 

m n S R Lieux géométriques 

m, n\ s', / A', m, C 

A, D, / et un côté wi, n, î 

A, D, m et un côté a, [3 et y = 8 ou Y X 8 ou A, B,.C, D, ou A', B', C, D'. 

A, D, R et un côté «, Y et 6 = p ou 6 x p — 



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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 103 

A, D, S, 6 a, 8 et g = Y OU p X Y ou A, B, C. D ou A', B', C, D:î 

A, D, /, S p, Y et a = 8 ou a X 8 — 

A, D, R, / p, 8 et a = Y ou a X Y — 

A, m, R, / Y» ^ ^'^ « = P <>^ * X P- 

(Lieux) Autres conditions. On donne : 

6, Y et e 

a = p, p = Y et SQ passant par un point fixe 
6, \L et EiGi parallèle à SQ 

EiGi passant par un point fixe; GiQi et EiS parallèles à des droites 
données. 
Autres questions. 

— 8 et Y étant constants ; a, p variables ; si le lieu du point Ji est repré- 

sente par ap = constante ou ^ = constante, les tangentes en J, et en 

G aux points correspondants sont parallèles. 

— Déduire de l'expression S = a/" x LP' (en supposant que Q s'écarte h 
rinfini de A, sur la droite AD par exemple) que Taire d'un trapèze isoscèle 
est quadruple de celle du triangle ayant pour sommets les milieux des dia- 
gonales et le point de rencontre des côtés non parallèles. 

— A déduire du n*» 8. Si l'on considère deux hyperboles ayant un loyer 

commun P ; pour directrices deux droites quelconques AG et BD qui se 

coupent en I (Jîff, 5) et même paramètre (rapport des distances au foyer et 

h la directrice) ; les intersections de chacune des directrices par l'autre 

hyperbole seront quatre points situés sur une môme circonférence. Le para- 

R 
mètre a pour expression y . 

Ges propriétés subsistent» sous les mêmes conditions, pour deux ellipses 
ou deux paraboles, et les cordes communes aux deux courbes sont situées 
sur Tune ou l'autre des bissectrices des angles formés par les directrices. 

— Si l'on prolonge les deux côtés d'un angle du quadrilatère, A, par 
exemple, d'une longueur égale au côté opposé, la diagonale, issue de A, du 
parallélogramme construit sur les lignes a -\- c et d -\- b ainsi formées, 
passe par le point L. De là un moyen facile pour obtenir ce point. 

H. Lecocq 
, ancien professeur de l*Université (Avignon). 

CONDITIONS DE DIVISIBILITÉ 

d'un POLYNÔME ENTIER f(x) PAR (oH — a)^ ET (x — a)* 
MÉTHODE ÉLÉMENTAIRE 

Par M. Barbarin, professeur au lycée de Bordeaux 



I. — Divisibilité par (x — a)2. 
Soient 

f{aj) s: Ao^y" -|- Ai^'^i + Aait?'"-^ -f + Am^^x + A« 

A(^J =: Bo^r^i -f B^ar-^ + + B„.-i 

le polynôme proposé et le quotient de sa division par a; — a ; on a identi- 



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104 JOURNAL OB MATHAMATIQUBS £LKMBNTAIR£8 

quement, pour toute valeur de x 

nx) = (0? - a)f,{x) + f{a). 

Pour que f(x) soit divisible par (a? — a)>, il faut et il suffit que f{x) 
fi{x) soient séparément divisibles par x — a, ou que Ton ait à la fois 
(i) r(a) = o AW = o. 

D*après la règle de la division des polynômes, on a 



a?«-3 + .... -I- Aoa^-i 
-f Aia'"-^ 



A (or) s: Aoo;— « + Aoa 1 a7«-2 -|- Aoa2 
+ Al I + Aia 

+ As 

donc, en ajoutant les résultats numériques liffne jpar lignes 
fi{a) = mAQ*^*a + (m — i)Ai'^^a + (m — 2}A2a"— 8 + •••• + aAin-2<» + A*"-*. 

Envisageons le nouveau polynôme 
/"(^) ^ mAo-T*^* + (m — iWiO?"-* ^ (,^ _ a^Aga?'"-^ ^ .... ^ :iA„^2^ + A*,-i 
chacun de ses termes peut se déduire du terme du même rang dans f{x) 
par le procédé mécanique que voici : Multiplier le coefficient du terme 
considéré de f(x) par Vexposant de x que ce terme contient, puis retran- 
cher I à Vexposant de x. Appelons ce calcul une dérivation^ et disons que 
f'{x) est le dérivé de f{x). L'identité des conditions 

AW = o r{à) = o 

prouve que fi{x) et f{x) sont en même temps divisibles par a? — a; donc 
le système de conditions (i) équivaut au suivant 

(2) /-(a) = fia) = o. 

Pour qu* un polynôme f(x) soit divisible par (x — a) 2, il faut do7ic et 
il suffit que ce polynôme et son dérivé s^annulent ensemble pour x = a. 

II. — Divisibilité par (a? — a) 3. 

Pour que f{x) soit divisible par {x — af il faut et il suffit que f{x) soit 
divisible par a? — a, et A(^) par (^ — a) 2; de là, en appelant A'W 1® po- 
lynôme dérivé de A'W P*^ ^^ règle citée plus haut, le système de conditions 

f{a) = o, A (a) = o, A'(») = o, 
ou, ce qui est identique, 

(3) f{a) =z 0, f'{a) = o, A'(«) = o, 
or 

A'W = (wi — OAoa^—î + Aoa 1 (m - 2)a?'"-3 + Ao^a 
+ Ai I -f Al» 



(m— 3)a?«-*-f ... H-Aott-^-î 

+Aia"-3 
+ A2 +A2a"-* 

+A-2 
en ajoutant les résultats numériques ligne par ligne, on a encore 






2 

car les coefficients numériques qui accompagnent AqAi.... sont des sommes 
d'entiers consécutifs. (A suivre), 

Barbarin, 
professfliur au Lycée de Bordeaux. 



Le Directeur-gérant, 

Georges MARIAUD. 



•▲UT-AMAXD (CUBB). IMPMMKRU ICIEVTiriQVI ET LITTKItAIBS, BUtSliM mÙl 



TKRAiBs, BUtsiiM mùn. 
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JOURNAL DE MATHéllATIQUES ÉLÉMENT AIUBS 105 

PREMIÈRE PARTIE 
Questions proposées aux Candidats 

I. — A L'ÉCOLE SPÉCIALE MILITAIRE S^-CYR 



SOI. Matliématiques. — i)Dans un triangle ABC la base 
AB est fixe. On demande le lieu de G tel que 

tg ~ -H tg - = cotg A. 

2) On donne un demi-cercle de diamètre AB = 2R. On pro-^ 
pose de trouver sur ce demi cercle un point M tel que, le projetant 
sur AB ou P on ait AP 4- PM = 1,1 élant une quantité donnée. 

Charles Gcchez. 

202« Epure. — On donne un triangle ABC dans un plan de 
côte 12 AG = o"",io, AB = 0,08, BG = 0,012. Ce triangle est la 
base d'un tétraèdre dont on connaît Taréle AS = o",ii, l'arête 

SB = o",i3, et la pente ^ du plan de la face SBC. Un cylindre 

horizontal dont Taxe passe par S a ses génératrices parallèles au 

côté AG. On demande le solide restant du tétraèdre entaillé par le 

cylindre. Léopold Massip. 

S03« Calcul trigonométrique. — Calculer les angles 

X compris entre o et i8« donnés par la formule 

. a sin 3 — ô sin a 

tg 2a? = — . — £ f—-. — 

^ a sm p H- ô sm a 

dans laquelle on fait 

a = 4627",55, b = 3944,"68. 

a==5i«57'44", 

? = 63» 18' iy". 
904. Questions d'oral. — 1) On donne un triangle ABC. 
Sur le prolongement de BG on donne un point M. Déterminer 
sur AG un point M tel qu'en menant par ce point la parallèle DE 
à BG on ait DE = DM. 

Lire à la quatrième page de la couverture les 
conditions relatives à la correction et à l'abon- 
nement des copies. 

JOURNAL DE MATH, ÉLJÉM. — 1898. 7 

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\ 

106 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLRMKNTAIRB8 

2) Conslruîre un triangle rectangle connaissant la bissectrice 
de l'angle aigu B et la longueur MC, M étant le pied de la bissec- 
trice sur le côté AC (A ou sommet de Tangle droit). 

^1 " . ■ — 

II. - A L'INSTITUT NATIONAL AGRONOMIQUE 



205. Mathématiques. — i)Un cône de hauteur^ est ins- 
crit dans une sphère de rayon R, à quelle dislance x du sommet 
du cône faut-ii mener un plan parallèle au plan de sa base pour 

que Taire de la section faite dans le cône soit le « de Taire de la 

section faite dans la sphère par le même plan. 

2) Si dans un triangle j^-p = « ^ .. le triangle est rectangle 

ou isocèle. 

!iî06. — Calculer par logarithme 

123 p 

quand a = 2221,43, 6 = 6635,48, 

m = i5, w=ii, ^ = 7. 

207. Physique. — On prisme BAC dont Tangle réfrin- 
gent A est connu, est rencontré perpendiculairement à Tune de 
ses faces par un rayon lumineux RI qui se réfracte en H suivant 
HS. On mesure la déviation § que le rayon subit par cette réfrac- 
tion. Déduire de la connaissance des angles A et S la valeur de 
Tindice de réfraction de la substance du prisme. 

207*'^ Chimie. — Phosphore et ses questions allotro- 
piques. 

IIL — AU BACCALAURÉAT 
LETTRES MATHEMATIQUES 



S08. Mathématiques. — Une pyramide SABCDE a pour 
base un pentagone régulier dont le côté est a, les autres arêtes de 
la pyramide sont aussi égales à a. On demande de calculer : 
i<* le volume de la pyramide, 2" le rayon de la sphère circons- 
crite, 30 les lignes Irigonométriques de Tangle plan du dièdre SA. 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 107 

{Au choix), a) Volume du tronc de pyramide à bases paral- 
lèles. 

b) Tangente à une ellipse par un point exlérieur. 

c) Démontrer les théorèmes qui conduisent au volume de la 
sphère. 

209. Physique. — Un baromètre est enfermé dans un large 
tube de verre scellé à la lampe. A l'instant de la fermeture, la 
hauteur de la colonne est de 76 centimètres et la température 
de i5**. Calculer la hauteur de la colonne quand la température 
est de 4o°. On ne tiendra pas compte de la dilatation du verre. 

(Au choix), a) Brouillards, nuages, rosée, pluie, neige. 

b) Photométrie. 

c) Electricité athmosphérique. 

IV. - BACCALAURÉAT 
DE L'ENSEIGNEMENT MODERNE 



SIO. Mathématiques. — Une sphère est posée sur un 
plan horizontal. Sur le même plan repose par sa base, un cône 
droit dont la hauteur est égale au diamètre de la sphère. On 
demande de couper ces deux corps par un plan horizontal de 
telle sorte que les sections soient entre elles comme deux nombres 
donnés. 

{Au choix), a) Résolution directe de Téquation du second 
degré. 

b) Etablir la somme, le produit, la différence des racines d'une 
équation du second degré. 

c) Résolution de Téquation bicarrée. 

Î8I !• Physique. — Un tuyau fermé de o",6o de longueur 
donne Tharmonique 3. Quel est le rang de cet harmonique dans 
l'échelle musicale ? 

{Au choix), a) Marche des rayons lumineux dans un miroir 
concave. 

b) Marche des rayons lumineux dans la lampe et grossissement. 

c) Expériences de Newton sur la décomposition de la lumière. 



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108 JOURNAL DB MATHBMATIQUBS BLB1IENTAIRE8 

V. BACCALAURÉAT (LETT RES. — SCIENCES) 

212. mathématiques. — Etudier les varialîoDs de la 
fonction 

y _ X^ -1-1 

x^ — ix -^y 

{Au choix), a) Explication des différentes méthodes de nivelle- 
ment. 

h) Ombre d'une sphère. 

c) Ombre d'un cône. 

21 3« Physique. — On donne 5o éléments de Danîell dont 
la force électro-motrice est de i volt et la résistance de i ohm 
montés en série. On demande combien on pourra alimenter de 
lampes à incandescence montées en dérivation, ces lampes étant 
de 5o volts, ayant une résistance à chaud de 5o ohms et exigeant 

pour leur fonctionnement un courant de - ampère. 

{Au choix), a) Enoncé des lois fondamentales des courants. 

b) Bobine de Ruhmkorff. 

c) Galvanoplastie. — Dorure. — Argenture. 

VI. — AUX ÉCOLES D'AGRICULTURE 



SÏI4. — Pour creuser un puits les ouvriers demandent i cen- 
time pour le premier mètre, 2 centimes pour le deuxième. L'eau 
étant trouvée à 17 mètres de profondeur. (Combien coûte le forage 
du puits. 

215. — Calculer la surface d'un triangle équilatéral de 6 

mètres de côte. 

Ç^7777 X rê666 + y/^ 

ai6# — Calculer x = -— TriHrr • 

3775 -+- 1/9684 

31 T* — Quelle serait la valeur au change d'un objet d'or du 
poids de 4^8 gammes et au titre 0,920. Le kilofi:ramme d'or pur 
vaut au change 3437 francs. La valeur du cuivre faisant partie de 
l'alliage sera considérée comme nulle. 

218. Alg^èbre. — Quelle valeur faut-il attribuer à p et à Q 
pour que x^ -+- 1 soit divisible par a?' -h p<r -f- ç, 

»1 8W». — Même calcul qu'au n« 9i 6. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 109 



DEUXIÈME PARTIE 



BIBLIOGRAPHIE 



Manuel d*analyse chimique appliquée à V examen des produits indus- 
triels et commerciaux y par Emile Fledrbrt, docteur es- sciences, professeur 
remplaçant du cours de chimie industrielle au conservatoire national des 
Arts et métiers. — Georges Carré et G. Naud, éditeurs, 3, rue Racine, Paris. 
— I volume in-8o carré de 682 pages avec ici figures. — Prix : 12 fr. 

En écrivant ce livre, l'auteur a cherché à : i* Exposer, en les soulageant 
de tous les détails théoriques et pratiques qui ne sont pas rigoureusement 
utiles, les méthodes générales d'analyse minérale qualitative et quantitative 
et ranalyse organique élémentaire ; 

20 Eviter des recherches trop longues à ceux qui sont pressés par le 
temps ou qui n'ont pas pour cela des connaissances suffisantes, en ne don- 
nant, pour l'examen de chaque produit soumis au contrôle chimique, qu'une 
seule méthode, au plus deux, devant conduire rapidement et sûrement au 
résultat qu'on envisage ; 

30 Réunir dans un même cadre, ainsi qu'on pourra s'en rendre compte en 
jetant un coup d'œil rapide sur la table des matières, l'étude des produits 
les plus im^portants en même temps que les plus divers qui peuvent se 
rencontrer dans le laboratoire du chimiste industriel : Produits métalloï- 
diques et métalliques, engrais minéraux et organiques, produits végétaux 
et animaux, boissons fermentées, etc., etc. 

On trouvera souvent intercalés à la fin de chaque chapitre des tableaux 
donnant les résultats d'application des méthodes développées dans le , texte 
et empruntés aux tableaux originaux des auteurs. 

SOLUTION DE LA QUESTION 161 
Par M. ITazou 

Problème. — Une suite de sphères G, G', G".... en nombre illimité et tan- 
gentes extérieur em,ent sont inscrites dans un même cône de révolution dont 
Vouverture est 20). La distance a du sommet S du cône au centre G de la 
sphère la plus éloignée est connue. On demande: 1° éT exprimer au m,oy en 
de a et de w, la distance x du som,met du cône au centre de gravité de 
Vensemhle des sphères. On devra trouver en particulier que^ pour 

3q 
(I) = 3oo, X = 7^ a j 2* ce que devient x pour (ù = o et pour w = 900 ; 

30 de montrer que quand w varie de o*» à 90°, x va toujours en augmen- 
tant. 

Désignons par r le rayon de la sphère G et par r^, r^^.rn les rayons des 
sphères successives supposées au nombre de n. Soient a, x^^x^... Xn, les 
distances des centres de ces sphères au sommet du cône, toutes ces sphères 



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ItO JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

étant inscrites dans le cône on a 

r = a sin (0 
j rj = a?! sin w 
(i) lr^^=. X'i sin w 



r» = Xn, sin w 
Les sphères étant tangentes entre elles successivement on a 

^1 + n + »• = » 
J ^72 + ^2 + rj = a?i 
(q) < ^3 + »^3 + »^2 = ^2 



Désignons par x la distance du sommet du cône au centre de gravité de 
l'ensemble des sphères, en appliquant le théorème des moments par rap> 
port au sommet du cône on a 

(3) (r^ + ri3 -f ra^... + rj^)x = ar^ -\- a^jr^s -f a^^rz^ + ... + XnTn^ 
en remplaçant dans (3) les r par leurs valeurs données par (i) il vient 
sin8(o(a3 + x^^ -f- x^^ + ... + ar„3) z= (a* + a?|* + ... + Xn^) sin^w. 
... _ g* -\- Xj*' 4- a? 2* + »»■ + ^n* 

^^^ "^ - a» + ^1-'^ + ^2^+ ... + ^«3* 

Or, en tenant compte des relations (i), les égalités (q) peuvent s'écrire 
a7i(i + sin w) = a (i — sin w) 
iTgfi + sin w) = ;r,(i — sin w) 
^3(1 + sin *»>) = ^2(1 — sin (1)) 



Xn(i -\- sin w) = Xn~i(i — sin w), 
ce qu'on peut mettre sous la forme 







X, 




I 


— 


sin 


0) 






a 




I 


+ 


sm 


(0 


■;5) 




Xs 
X.y 
Xn 

[ X,,ri 


= 


u 
u 
u 








d'où 


l'on 


déduit 













u en posant 



I 



I + sin 0) 



xi = au, x.y = au^, .... Xn = au"". 
Mais u est une quantité plus petite que i car w est toujours plus petit 
que 900, le numérateur et le dénominateur de l'expression précédente con- 
tiennent donc des progressions géométriques décroissantes de raisons w* et 
tt3, si donc on suppose que n augmente indéfiniment on a 



a 


i' 


I - 


- u^ 


+ 


au3 - 

I) . 


-I) 


I 

I - h3 

a{u —• 


- I 



f6) X = g(^ — I («-^ + u + i) _ _a("2j:L u + i) 

(w — i) (w + i) («2 +1) ~~ (m + i) (u2 -f i) • 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES ili 

Pour u) = 30°, comme sin w = - , on a 
I I 

2 3 1 

W = — 



2 2 



par suite 



i3 



a 



Pour w = o, on a M = I, il faut alors nous reporter à l'expression géné- 
rale de la valeur de x 

_ a(i -f u4 -^ ^8 4. .., -I- ^4n) _ g X (n + i) ^ ^ 
I + w3 + ... -t- t«3" n + I 

Pour u> = 90°, t« = o on retrouve encore a? = a. 

Mais si au lieu de supposer brusquement w = o, on suppose que Ton 
fasse tendre w vers o, alors u reste encore plus petit que i , quoique tendant 
vers I à la limite et l'on peut alors chercher la limite de la valeur de x en 
cherchant la limite de la valeur (6), on a alors 

, 36 

lem X ~r • 
4 
De même si l'on suppose que w tende vers 90° sans jamais l'atteindre, u 
tend vers o, la formule (6) donnerait comme limite de a?, lem a? = a. 

Mais afin de voir nettement comment varie x quand w varie de + s à 
90 — n, nous allons faire un changement de variable. 
Posons (0 = 90 — a, alors on a 

I — cos a . « a 

u = — i =tg2 — 

I + cos a *^ 2 

quand a varie de o à 90°, a varie de 90° à o, or tg2 — décroit de i à o 

quand a varie de 90** à o ou quand <Ji varie de 0° à 90°, si l'on pose 

w = -, ^ variera de i à Too. 

En faisant ce changement l'expression (6) devient 

_ ag{^2 -f 4r + i) _ a(^3 -f- ^« -f- ^) _ J, 1___\ 

^- (^ + i) {z^+ ,)-^.3 + ^2^^_|.j -^[' ^34.^2 + ^4. 1) 

Sous cette forme, on voit que x augmente quand z varie de i à l'infini 
et pour z = 00, on retrouve bien x = a. M. Vazou, 

SOLUTIOiN DE LA QUESTION 175 
Par M. ¥azoa 



Projection. — Un piéton part à 8 heures du matins il fait i kilomètre 
en 9 minutes et il se repose 3 minutes après chaque kilomètre A quelle 
heure sera-t-il rejoint par un courrier qui part dans le même sens à 
midiy fait 9 kilomètres par heure et se repose 20 minutes chaque fois 
quHl a parcouru 20 kilomètres. 



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112 JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

Nous allons chercher le nombre de kilomètres parcourus au moment de 
la première rencontre, c'est-à-dire lorsque le courrier et le piéton se trou- 
vent ensemble pour la première fois. 

La première rencontre peut se faire dans Tune des trois hypothèses 
suivantes : 

i^ A la fin d'un repos du piéton; 

a<* Lorsque le piéton est en marche ; 

3° Pendant Vintervalle d*un repos ; 

lO Supposons d'abord que la rencontre ait lieu à la fin d'un repos du 
piéton, le nombre de kilomètres parcourus est alors un nombre entier que 
nous désignerons par x et que l'on peut écrire 

X = 2oy -{• z y entier > o 

z — > o et < 20 
on peut remarquer en effet que lorsque le courrier se met en marche le 
piéton a parcouru 20 kilomètres. 

En tenant compte des repos, le piéton fait i kilomètre en 12 minutes et 
comme la rencontre se fait à la fin d'un repos, le temps écoulé depuis le' 
départ du piéton est = à (2oy + -«^) X 12. 

D'autre part, puisque le courrier fait 9 kilomètres en 60 minutes, pour 

60"^ 
parcourir i kilomètre, il met — et pour parcourir 20 kilomètres en tenant 

compte du repos il met 

60 X 20 , 20 X 60 20 X 23 

9 9 3 ' 

et pour parcourir 2oy + ^ il mettra 

20 X 23 ,60 4^oy I 30-3- 2o(23y -f- z) 

^5 2/ + -^ ^ - -3- + 3- - 3 

comme il est parti 4 heures = 240 minutes en retard, on aura donc l'équation 

(aoy + z) X la = a^o + ?2Jii^y .tî) 

36(20y + z) ~ 720 + 20 (23y + z) 
20 X i3y + i6î = 720 
65y -\- ^z = 180 

4" 



d'où ,= l^S^^ = 45 - i6y - I 



z devant être entier, il faut nécessairement qu'on ait -^ = u, 
d'où 5- = 4w, y = 45 — 65 w. 

Or, il n'y a aucune valeur de u entière, positive ou négative, qui donne 
pour y et z des valeurs positives et pour z une valeur inférieure à 20. La 
première rencontre ne peut donc avoir lieu à la fin d'un repos. 

20 La première rencontre a lieu lorsque le piéton est en marche (ceci 
comprend le cas particulier où la rencontre aurait lieu au commencement 
d'un repos). 
La distance parcourue par le piéton peut être représentée par 
X = 2oy -f jr -f t> y entier > o 

z — > o et < 20 

V fraction de kilomètre -< i 



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JOURNAL DB IIATHBMATlQUES SLEUBNTAIRBS 113 

Ne iais-}e pas ici nne pétition de principe en supposant v commensurable 1 
(Je démontre plus loin que v est commensurable). 
Le temps mis par le piéton h parcourir a; est donc égal à 
(aoy H- *) X la + 9^ 
le t^mps mis par le courrier est égal à 

30 X a3y , 6o (^ + v) = , ^ . . . 
3 "^ "q 3 ^^(^^y + 5- -f v) 

nous aurons l'équation 

\ . / . 20(23y 4- z -\- v) 
[loy + *) X 12 -f 9^ = 340 H ^^-?j -î— ' 

36(2oy -\- z) -\- 271? = 720 4- 2o(23y '\- 2 -\- v) 
20 X i3y + 16^ + 7V = 720. 
Cette équation exige que 7V soit entier, donc v est commensurable. 
Posons 7V = Y, nous aurons 

65y + 4^ = 180 — ï = 180 — 5. ' 



T ne peut prendre que les valeurs i, 2, 3, 4. 5, 6, 7 puisque v < i par 
suite 6 = î qui doit être entier ne peut prendre que la valeur i correspond 

àY = 4etv=2. L'équation devient 

65y + 4^' = 179 



£ devant être entier, U faut nécessairement que ^ T = m, 



par suite y = 4w — i 

^ = 61 — 65m. 
Or, il n'existe aucune valeur entière de u, positive ou négative qui donne 
pour y et r^ des valeurs entières positives et pour z une valeur inférieure 
à 20. La première rencontre ne peut donc avoir lieu lorsque le piéton 
est en marche. 
3<> La rencontre a lieu dans un intervalle de repos du piéton. 
Le piéton a alors parcouru un nombre entier de kilomètres 
X = 2oy 4" ^ "" I + I 
l'intervalle de temps écoulé depuis le départ du piéton est égal h 
2oy + 2^ — 1)12 4-9 + 6 6<3 minutes 

Temps mis par le courrier = ?^a_ î^Jxljv 

on aura Téquation * 

(2oy 4-^-i)xi2 + 94-e = ^Q^^^y + ^) 4- a4o 

36(2oy 4- ^ — 1} 4- 27 4- 36 = 2o(23y 4- jr 4- 720 
20 X i3y 4- i6j — 9 4- 36 = 720, 
de cette équation on déduit que 36 doit être entier, donc 6 est commensu- 
rable. 



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114 JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

Posons 36 = Y Y < 9 

4(65y + 4^) = 729 — ï 
65y + 4-f = 182 -f ^^ 

I — Y 

_.^«i = 8 doit être entier Y = i ~ 4S« 
4 
Y doit être entier, > o et < 9, il n'y a que les valeurs 6 = o et S ^ — i 
qui donnent par y des valeurs convenables 

8 = 0, Y = i. ® = ^ 

Pour Y = I, on a 65y -h 4<j = i8q 

z = i8'j — • 65y ,c ^ , 1 — y 

Posons ^ T y =r M, 

4 
d'où y = 1 — 4w = a(i — aw) 

5^ = 45 — 33 (i — 2m) + w = i3 -f 65m. 
Il n'y a que la valeur m = o qui convienne et qui donne 
y = a, ^ == i3 
par suite a? = 4o + i3 = 53 kilomètres. 

Pour Y = 5 on a 

65y + 4? = 181 

^ = ^-^ = 45-16^ + ^. 

Posons 



d'où y = i — 4^» ^ == 39 + 65m. 

Aucune valeur de u ne donne pour y et -^ des valeurs convenables. 

Ainsi donc la première rencontre a lieu lorsque le courrier a parcouru 
53 kilomètres, par conséquent le piéton a parcouru à partir de midi 33 ki- 
lomètres. 

Temps mis par le courrier pour atteindre le piéton 

"° ^ f + '^ = î^^ = '-^= 393" + 5 = «NSî" T = fiN^Î-'.^o.. 

Telle est l'heure de la première rencontre. 

Le courrier continue son chemin et a encore 7 kilomètres à faire avant 
de s'arrêter. Pour parcourir ces 7 kilomètres il mettra un temps égal à 

2 d-heure = 1^^ = 12^ = li2 = 46m + ^^ = 46«.,4o. ; 

il se repose 20 minutes, par conséquent se remet en marche 66", 4o" = i^,6«n,4o» 
après avoir rencontré pour la première fois le piéton. 

Cherchons l'espace parcouru par le piéton pendant cet intervalle de temps. 
Tout d'abord le piéton ne s'est pas i^emis en route au moment même où il 

était atteint par le courrier. Comme 6 = -V > il est reparti 2™ ^ après la 

rencontre, par conséquent il faut déterminer l'espace parcouru par le piéton 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 415 

pendant un temps égal h 

66» + ^ — /a + 5) = 64 mètres, 

il a donc parcouru 5i^ + ^ de kilomètre, la distance qui le sépare du cour- 
rier au moment du départ de celui-ci est donc égale h 

.K -. (5 + |\ = a - 4 = L4 ^ ,R + 5 
' \ 5/ 99 ^9 

Lorsque le courrier a parcouru 20 kilomètres et qu'il va partir de nou- 
veau le temps écoulé est égal h 

60 X 20 , /lOO , ^ 00 I I I cam I I 

— ^ 1_ 30 = ^ + ao"» = i33 + ^ + 30 = 153" + g. 

Cherchons l'espace parcouru par le piéton pendant ce temps. Tout d'a- 

5 
bord il achève de parcourir sa fraction - de kilomètre en 5 minutes, puis 

il se repose 3 minutes, par suite il nous reste à déterminer l'espace par- 
couru en i53 + ^ — 8« = i45'a + ^ = 3*» 24«» + i» + i . 

Cet espace est égal à lo^ + a^ + (l X 3) = la»^ + ^ . 

il a donc parcouru en tout 12^ 4- A + - = i2>^ + ^, 

37 ^ 9 ^ 27 ' 

la distance qui sépare le piéton du courrier au moment du départ de celui- 
ci est donc égale àao--(i2+~^j=8 — ^=7-1 , 

la distance qui le sépare du courrier au moment où celui-ci va repartir a 

donc augmenté de 7 + - — /i + -\ = 6 — ^ =1 5»^ + ~. 
^ 27 \ ^ 9; 37 ^27 

Cette augmentation de distance se reproduit h chaque nouveau départ du 

courrier, par conséquent le piéton ne rejoindra jamais le courrier. 

M. Vazou. 

" ' ■ ' il " ■ ' ~ ' ' - ■ " 

TROISIÈME PARTIE 



CONDITIOiNS DE DIVISIBILITÉ 

d'un polynôme ENTIER f{x) PAR {x — a)^ ET {x — of 
MÉTHODE ÉLÉMENTAIRE 

Par M. Barbarin, professeur au lycée de Bordeaux 
{Suite f voir n© de Mars, p. io3) 

Envisageons cette fois le polynôme 

f{x) :=: m{m — i)AqX^^ ^ (^m -^ 1) (m — a)Xiûir*'^ + .... + 2X^-3 
la règle, de dérivation le tire de f'{x) ; c'est donc le dérivé du dérivé de f{x) 
ou le deuxième dérivé de f{x). Par suite 

A'(a) = o r(a) = o, 
sont d«s conditions identiques exprimant que fix) et f\x) sont ensemble 



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116 JOURNAL DB MATHEMATIQUES ^LéMBNTAIRBS 

divisibles par j? — a, et le système (3) équivaut au suivant 

(4) Aa) = o, rW = o, /» = o. 

Pour qu'un polynôme f(x) soit divisible par (x— a)^, il faut donc et il 
suffit que ce polynôme ^ son premier dérivé f (x)i et son second dérivé 
f (x) s*annulent ensemble pour x = a. 

Eajemple. — Prouver que : 
f (x) :s a?*" -+- * — (an -f i)a?" + * + {'^^ + i)-^* — i ®st divisible par 
(x — i)3 (Catalan) 

/"(a?) s: (an + i^x^» — (an 4- i) (n -f i)a?* -f (an + i}wj(?''-i 

:s (an + i)a?'*-i[a?" + * — (»» + i)^ + w] 
f'{x) is (an -f ijanjtr*'-» — (an + i) (n + i)na?"-* + (an + i)n(n— i)a?»-2 

:s (an + i)na?"-2[!M;'* + * — (^ + i) a? + ^ — i] 
on voit immédiatement que 

Ai)=o. /'(i)=o, /''(i) = o 
la proposition est donc démontrée. 

Extrait d*une correspondance 

PROPRIÉTÉS DES PUISSANCES CONSÉCUTIVES 

DBS NOMBRES 

Voici, Monsieur, quelques observations personnelles que je viens vous 
soumettre, eUes ont trait aux puissances consécutives des nombres. 

Il y a déjà cinq ou six ans j'avais composé une table des carrés de i à 
xooo après avoir fait cette remarque, qui, ainsi que je m*en rendis compte 
par la suite, n'était pas nouvelle, que le carré de deux nombres consécutifs 
égale le carré du premier nombre, augmenté de la différence entre le carré 
de ce nombre et son carré précédent, le tout augmenté de deux. 

Plus tard, j'en déduisis qu'il devait y avoir une propriété semblable pour 
les cubes, je finis par trouver, après d'assez longues recherches, le rapport 
existant ; et enfin, dernièrement, je concluais que toutes les puissances 
consécutives devaient avoir des propriétés similaires. Or, voici les résultats 
que j'ai obtenus. 

fl • Toutes les puissances des nombres consécutifs sont dans un rapport 
constant, 

t. Ce rapport constant se trouve ^ élant donné une puissance u, à la 

n^ DIFFERENCE ENTRE LES PUISSANCES CONSÉCUTIVES, Ct H CSt égal ttU PRODUIT DB 

TOUS LES NOMBRES DEPUIS I jusqu'a u. Il cst toujours invariable pour une 
même puissance quels que soient les nombres sur lesquels on opère, 
pourvu, bien entendu, que ce soit toujours des nombres consécutifs. 

S. On voit donc que ce rapport se complique d*une manière constante 
au fur et à mesure que l'on opère sur des exposants plus élevés, et pour 
une puissance quelconque, on pourra prévoir le nombre constant et le 
rang différentiel où il se trouvera sans avoir besoin de le chercher en 
faisant toutes les différences. 



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JOURNAL OB MATHJBMATIQUBS éuSMENTAlRBS 



117 



4. Les puissances des nombres consécutifs ont à la a^ differehce dbb 

«OMBRES DIVISIBLES PAR TOUS LES NOMBRES PREMIERS DEPUIS I JUSQU*A l'eXPOSAUT DE LA 
PUISSANCE. 

5. Les derniers chiffi-es qui terminent les puissances d'un même 
nombre sont les mêmes à 4 puissances d'intervalle et ne diffèrent que 
pour les 10 premiers chiffres et les 4 premières puissances. 

TABLEAU DES 10 PREMIÈRES PUISSANCES DBS NOMBRES DE 1 A 10 



I 


2 


3 


4 


5 


I 


I 


I 


I 


I 


2 


4 


8 


16 


32 


3 


9 


27 


81 


248 


4 


16 


64 


256 


I 024 


5 


25 


125 


625 


3x25 


6 


36 


216 


1296 


7776 


7 


49 


343 


2401 


16807 


8 


64 


5l2 


4496 


32768 


9 


81 


729 


6 56i 


59 049 


10 


100 


I 000 


10 000 


100 000 ♦ 


I 


2 


6 


24 


120 


E 


E 


1 


E 


E 


6 


7 


8 


9 


ro 


I 


I 


I 


I 


I 


64 


128 


256 


5l2 


I 024 


729 


2187 


6 56i 


19683 


59 049 


4096 


16 384 


65 536 


262 144 


I o48 576 


i5 625 


78125 


390 625 


I 953 125 


9 765 625 


46 650 


279936 


I 679 616 


10 077 696 


60 466 176 


117 649 


823 543 


5 724 801 


40 353 607 


282 475 249 


262 144 


2 097 l52 


16777 216 


134217 728 


I 073 74 1 824 


53i 44i 


4782969 


43 o56 721 


387 420 489 


3 486 784 401 


I 000 000 


10 000 000 


100 000 000 


I 000 000 000 


10 000 000 000 


720 


5o4o 


4o32o 


362880 


3 628 800 


E 


E 









N. B. — J'ai fait suivre d'un e les puissances sur lesquelles j'ai vérifié 
toutes les propriétés ci-dessus énoncées. 



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118 



JOURNAL DE MATHEMATIQUBS ÉLéuBNT AIRES 



Exemple. — Pour la 5« puissance, je dis que le nombre constant sera 
1X2x3x4x5= 120, 
qu'il se trouvera à la 5« différence, de plus que les chiffres qui vont ter- 
miner les puissances des nombres seront ceux qui terminent la i»*® puis- 
sance (5 — 4 = i)» c'est-à-dire i, a, 3, 4 o. 

De plus, h, partir des a® différences, nous trouverons des nombres divi- 
sibles par I X a X 3 X 5, soit, par 3o 



Premières 


Cinquièmes 


Premières 


Deuxièmes 


Troisièmes 


Quatrièm«s 


Cinquièmes 


Puissances 


PuisMuces 


diiTérences 


différences 


lilirérences 


différences 


différences 


I 
a 


I 
3a 


3i 


180 








3 


a43 


an 


570 


390 


36o 


g 


4 


ioa4 


781 


i3ao 


750 


480 


120 JS 


5 


3ia5 


aïoi 


a55o 


ia3o 


600 


120 § 


6 


7 776 


465i 


4380 


i83o 


720 


120 ^ 


7 


16807 


9o3i 


6930 


a55o 


840 


120 m 


8 


3a 768 


15960 


10 320 


3390 


960 


120 g 


% ^ 


59049 


a6a8i 


14670 


4350 






10 


100 000 


40951 










terminaison des derniers 




diTisibilité 


par I, a, 


3 et 


5 


chiffres 













Voici ce que je voulais faire connaître, vous voyez, Monsieur, que c'est 
peu de chose en réalité, mais si cela peut être utile à quelqu'un, j'en serai 
très content. Henri Tricoire. 



QUESTION 709 
Solution, par M. Ernest Foucart. 



' On donne un triangle rectangle AOB ; on projette le sommet sur 
Vhypoténuse AB en C ; puis^ G sur OA, en 0'. La parallèle menée par 
0', à AB, et la parallèle à OB, tracée par le milieu de 00', se coupent en 
un certain point R ; OR renconti^e AB en S. 

Démontrer que la perpendiculaire élevée en R à OR et la parallèle à 
OA, menée par S, se coupent sur OB. (G, L.) 

Le point R est évidemment le milieu de la parallèle h AB limitée à OA 
et OB ; donc S est milieu de AB. La distance SS^ de S à OB est alors 

~. Soit 0B = a ABÔ = «. 
a 

Un calcul immédiat donne 
SSi 



OA a , 
— = - tg a, 
a a *^ ' 



a CCS a ' 



80 = 



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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 119 

Donc SR.SO = SSi, ce qui montre que la perpendiculaire menée de Sj h 
OR passe en R. C.Q.F.D. 

Solution exacte de MM. A. Droz-Farny, Rebeiz, L'huillier. 

, ■ I, ,. .,.1 ,■:: : j i - ■ ;■;■ - r ' ■.„■ ■■ fl 

QUESTION 710 



On considère une circonférence A, un diamètre AB, et un point M 
sur A. Soil H la projection de M sur AB ; projetons H en K, sur AM. La 
perpendiculaire élevée à KH, en son milieu^ rencontre en T la tangente 
en A, au point M. On trace TK et^ en K, on lui élève une perpendicu- 
laire qui coupe AB en un certain point N. 

Démontrer que NH est le quart de AH. (G, L.) 

Solution, par M. A. Brd2-Farny 

La perpendiculaire élevée en C sur KH en son point milieu rencontre MB 
en D, et MH en I. Comme angle TMB = BMH = A le triangle TMI est 

isoscèle et MT = MI = — . 

3 

TK rencontre MB et MH respectivement en F et F ; les triangles MDT et 

KM 

MKH étant semblables on a : DT = — et, par suite de la similitude des 

triangles TDE et KEM, DE = — . E est donc le centre de gravité du 

triangle MTI et, par conséquent, MF = FI ; donc MF = ^. 

Or, les triangles MKH et HKA sont semblables et comme angle 

AH 
doncNH = ~. 

4 
A. Droz-Farny. 



MKF = HKN les droites KF et KN son homologues, donc NH = ^ 



Solution exacte H. L'huillier. 



QUESTION 713 



Soit donné un triangle dont les côtés sont a, b, c; si m^, m^^ m.^ sont 

les m^édianes bj, b2, bg, les segments non consécutifs déterminés sur les 

côtés par les bissectrices et Si, s.2, S3 les sy médianes du triangle, on a : 

amibi a maba amab., _ (a^ + t>^) (b» + c^) (a^ + c^) 

Si • S2 '83 (a -h b) (b + c) (c + a) 

Georges F. d'Avillez. 
Solution y par A. Droz-Farny 
Supposons dans le triangle ABC, la droite AM = mi prolongée jusqu'en 
D où elle rencontre la circonférence circonscrite et soit AE = s^; les 
triangles ABD et AEC sont semblables ; donc c : mi + MD = si : b. Or, 

^,+MD=m,+ ^—=i^:^=-^-(et par conséquent : 1)^=-^ • 

On sait en outre que b^ segment adjacent au côté c sur BC a pour valeur 

, ac ^ ^ , ab . hc 

h = r-r-., de même b., == —j-r et c, = 



I — ?—' , uc lUfiue C/.i = ; — r ci U-y — j . 

ô-|-c' ^ a -\- b ^ a-j-c 



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120 JOURNAL DR MATHRMATIQURS iLEMBNTAIRBS 

nen résulte : ^î^îA . ^n^ . -^m^ ^ (a^ +^«) (^« -f c') ic\-\- f\ 

*i *2 *8 (a + *)(* + c) (c 4- a) 

iîemargtee. — Si b^^ b^, b^ représentent les longueurs des bissectrices 
R étant le rayon du cercle circonscrit au triangle on trouve : 

m^ m^ mjfis ^ {a^ + b^ ) {b^ + c^) (c^ + a^) p^ 
«1 ' *2 * *3 (a + *)(* + c) (c + a) 4R ' 

A. D. F. 
Solution de MM. Angel Bozal Obejen à Madrid, L'huillier, Pla- 
khowo. 

SOLUTION DE LA QUESTION 714 



Si trois nombres positifs x, y, z, sont tels que 

j? + y + -3- = I, 

démonirer que 

^^ + y^ + -s-* - (^' + y' + ^') > eary^-. 

Llnégalité (i) peut s'écrire 

I — 2J?y — aajy — aya* — i + 3a?^y + 3a?y^ + ^x^s + 3a?^^ + ^y'^- 

ou 3a?y (a: -f y) + 3a?^ (a? + ^) + 3yz (y + ^) — aa:y — aa?^ — aya- > o, 
ou encore, en considérant que a? + y + s^ = i, 

3ary (i — z) •{- Sa?; (i — y) -f ^yi" (i — a?) — aary — aa?^ — ay^ > o, 
c'est-à-dire 

ary -f ^^ + y^ — aayy^ > o, 
inégalité qui nous donne la relation 

(a) — h - H — > a. 

Cette dernière inégalité est donc équivalente à (i). Si nous remplaçons 
les numérateurs par leur valeur (a? + y + s), il vient : 

^ + y + -g- ^ ^ + y + -g _^ x-\-y-\rZ ^ ^ 



^" 



y 

a? ^ y ^ ^ '^ ' 
ce que l'on peut écrire 

Or, chacune des expressions entre parenthèses est supérieure ou égale 
à a. En effet, supposons œ ';> y. Soit y =^ x — r. {A suivre). 



Le Directeur-gérant, 

Georges MARIAUD. 



SAIXT-AIIAKD (cher). IMPRIMERIE SCIENTIFIQUE ET LITTERAIRE, BUSSIÉRE FRÈRES, 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



121 



PREMIÈRE PARTIE 
Questions proposées aux Candidats 

I. - A L'ÉCOLE SPÉCIALE MILITAIRE S^-CYR 



2i9« Matiiématiques. — Construire un triangle connais- 
sant Tangle A, la somme 6 4- c = ^ des côtés AB et AC et la 

hauteur BH = ^ abaissée de B sur AC. 

Vazou. 

Résoudre un triangle connaissant l'angle A, la somme b-^c=l 
des côtés AB et AC et la hauteur AH = h abaissée de A sur BC. 

Vazou. 

Lieu des points tels que leurs polaires par rapport à deux 
cercles fixes soient rectangulaires. — Discussion. Massip. 

220. Epure. — Un parallélogramme ABCD situé dans le 
plan horizontal est défini par les médianes Awt =o,i 2, Bn = o,i 5, 
CP = 0,08 du triangle ABC, placer A à 0,1 1 du bord gauche de 
la feuille et Am suivant la parallèle aux grands côtés de la feuille 
et au milieu. Un prisme de base ABCD a ses arêtes inclinées 
à 4^° sur le plan H. Sur Tarète issue de A se trouve un point 
projeté en t tel que A^ == 20 centimètres. Une sphère de rayon 
0,08 est tangente en ce point à Tarète AT. 

Intersection du prisme et de la sphère en limitant le prisme au 
plan tangent horizontal à la partie supérieure de la sphère. 

Massip. 

221* Calcul trigononiétrique. — Résoudre un triangle 
a = 8457,27, b = 5967,55, c = i3i*47'35\ 

222. Questions d'oral. — Construire un tétraèdre con- 
naissant la base ABC et les angles ASB, ASC et la hauteur du 
tétraèdre. 

Construire y/y = ^a -\- x -\- \/a — x, 

II. - A L'INSTITUT NATIONAL AGRONOMIQUE 

Calculer les rayons des bases d'un tronc de cône de hauteur h, 
connaissant son volume V égal à celui d'un cône de rayon a et de 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉM. — 1898. 8 



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122 JOURNAL DB MATHBMATIQUBS ÉLÉMBNTAIRBS 

hauteur h et sa surface totale égale à la surface d'un cercle de 
rayon m. Vazou. 

Calculer les côtés d'un triangle connaissant les rayons r, r' et 
la bisseclrice a. Construction géométrique. Vazou. 

Calculer les côtés 6 et c d'un triangle connaissant a, r^^ r'^. 
Construction géométrique. Vazou. 

224. — Calculer par logarithme x donné par la formule 

i/a X it -h 27: 

X = — ^5/ — pour a = i845. 

(i+a)^2a 

225. Physique et Chimie. — \jn cône droit en fer dont 
Taxe est vertical et l'angle au sommet 35® flotte sur du mercure 
dans lequel il s'enfonce de 5o millimètres. Calculer sa hauteur 
(densité du fer 7,8, du mercure i3,6). On verse ensuite sur le 
mercure un deuxième liquide, de manière à recouvrir le cône. Il 
ne s'enfonce plus dans le mercure que de 49 millimètres. Calcu- 
ler la densité du second liquide. 

' • • ■■'■■■■ , ,1 j. ■ -n 

III. — AU BACCALAURÉAT 
LETTRES- MATHÉMATIQUES 

226. Mathématiques. — a) Coupez un cône par un plan 
tel que la section hyperbolique ait une surface maximum. 

{Au choix) a). Etablir sin {a H- h) et cos {a -f ■ h\ 

h) démontrer les relations —. — r- = -: — fj = -: — 7= = 2R, 
^ sm A sin B sm G 

c) établir la formule a} z=ih^ -\- c^ — 26c cos A. 

22*7. Physique. — Un projectile est lancé de bas en haut 
avec une vitesse de 3oo mètres par seconde. On demande : i® à quelle 
hauteur il s'élèvera; 2° au bout de combien de temps reviendra-t- 
il à son point de départ g = 9™,8i. 

{Au choix) à). — Vapeurs saturantes et non saturantes. 

b) Loi de Mariotte. 

c) Fusion et surfusion. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 123 

IV. — BACCALAURÉAT 
DE L'ENSEIGNEMENT MODERNE 



228. mathématiques. — Calculer la somme des carrés 
des racines de Téquation 

x^ — (3â -h }))x -h 2a^ -h Zah — 26- = 0. 

(Aw choix). — a) Différentes constructions de la tangente 
extérieure à deux cercles. 

h) Cas de similitude des triangles. 

c) Propriété de la bissectrice intérieure et extérieure d'un 
angle d'un triangle. 

220* Physique. — Dans un récipient contenant de Tair 
sec à la pression 766 millimètres, on fait le vide jusqu'à la pres- 
sion Xy on ouvre le robinet et on fait entrer de l'hydrogène jus- 
qu'à ce que le mélange ait de nouveau la pression 755, on fait de 
nouveau le vide et on fait arriver l'hydrogène jusqu'à la pression 
755 millimètres. Quelle doit être la valeur de x pour que le 
poids de l'hydrogène soit Yio ^^ poids de l'air avec lequel il était 
mélangé. 

{Au choix). — a) Photométrie et principaux photomètres. 

h) Expériences de Newton sur la lumière. 

c) Phénomènes de chaleur rayonnante. 

V. BACCALAURÉAT (LETTRES — SCIENCES) 



230. — Etudier par la méthode des dérivées les variations de 
la fonction 

a?^ H- 1 

y 



x^ --^x -\-y 

{Au choix). — a) Etablir les formules 

tg {a -\- h) et tg {a — h). 

h) Calculer tg - connaissant tg a, 

c) Résoudre a sin a? 4- 6 cos â? = c. 

23 !• Physique. — Dans une pompe aspirante la longueur 
du corps de pompe est de 1 mètre. Sa section hdc et celle du 
tube d'aspiration V^ de celle (}u corps de pompe. Calculer la 

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124 JOURNAL DU MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

longueur que doit avoir le tube d'aspiration pour que le premier 
coup de piston amène l'eau au bas du corps de pompe. 
(Au choix). — a) Lois du mélange des gaz. 

b) Lois de la dissolution. 

c) Lois de la fusion, parler de la sur fusion. 

VI. — AUX ÉCOLES D^AGRICULTURE 



232. — Pour la nourriture du bétail loo kilogrammes de 
bon foin équivalent à 260 kilogrammes de pommes de terre 
crues; 3oo kilogrammes de ces dernières à 110 kilogrammes de 
luzerne; 90 kilogrammes de luzerne à 4oo kilogrammes de 
betteraves; 3oo kilogrammes de betteraves à io5 kilogrammes 
de seigle. Quelle quantité de foin équivaut à 1200 kilogrammes 
de seigle? 



^5998 X ^75680 + t/253o 
233. — Calculer x = 



VIL — AUX E COLES DE COMMERCE 

834. — Un homme occupé aux travaux des champs n'a pas 
besoin de plus de i^8o par jour de vin contenant 8* degré d'al- 
cool par litre. D'après cela, quelle dépense inutile fait un homme 
qui consomme deux litres de vin à 12° d'alcool et lui revenant à 
48 francs l'hectolitre. 

235. — Vérifier l'identité : 

(«2 -H 62 -H aby =: a\a 4- by -h b%a 4- bf -h a^b\ 

«35W». — Calculer cc = 



3 v/^ -H 4 v/2375 ' 



DEUXIEME PARTIE 



BIBLIOGRAPHIE 



G. Lazzeri et A. Basseni. Élementi di Geometria. Livorno Giusti. 
Prix : 5 Lires. 

Le plan adopté dans cette géométrie a déjà été inauguré chez nous par 
quelques auteurs, notamment en géométrie analytique. U consiste à rap- 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 125 

procher les parties correspondantes de géométrie plane et de géométrie 
dans Tespace. Ce plan est contraire aux programmes officiels italiens ; mais 
il n'est pas toujours nécessaire d'obéir aux programmes et le succès du 
livre que nous signalons le montre clairement. 

Nous regrettons toutefois que la seconde édition de cet ouvrage ne donne 
pas, comme la première, le volume et la surface du tore, la théorie des 
centres et des axes. Quoiqu'il en soit, nous le signalons à l'attention de nos 
collègues qui veulent savoir quelles idées président à l'enseignement des 
mathématiques hors de nos frontières. G. M. 

Lieu géométrique des points tels que le rapport de leurs tangentes à 
deux cercles donnés soit constant. Vérifier que ce lieu est une circonfé' 
rence; déterminer la position du centre et la grandeur du rayon. 

Soient A et B les centres des deux cercles de rayons R et R', et I le 
milieu de AB ; cherchons sur la ligne des centres un point H tel que en 
menant les tangentes HD, HE, on ait : 

Hp_ m 
HÊ ~" n ' 
et posons IH = x. Le point H sera déterminé par l'équation : 

. {d + x)^ - R2 _ m2 

^^ (d — x)^ — R'-^ ~" n2 ' 

qui, étant du second degré, convient h un second point K. 

L'équation devient : 

X^ — 2d{ ç, ' a ]X + d' -\ ^ h = 0. 

\m2 — n^l ' ' m2 — n^ 




Soit le milieu de HK, on a, par la demi-somme des racines : 
^ ^ \m2 — n^j* 

ce qui permet de déterminer la position du point 0. 
Décrivons sur HK comme diamètre une circonférence, et posons HK=2p. 
De la différence des racines de l'équation, on déduit : 

p. = a. - d. + î^^^ = OA.OB + 0^:^- 0M\ 

Actuellement, il est facile de démontrer que la circonférence HMK est le 
lieu cherché. En effet, soit M un point quelconque; tirons MA, MB et 
abaissons la perpendiculaire MP sur AB. 



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126 JOURXAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 

Appelons T et T' les tangentes menées de M aux cercles R et R', on 
aura : 

T* = AM^ — R = ÂH* X MM^ + 2AH.HP — R2 

= (d + a - p)2 -f QpHP -f 2p;d + a — p^HP — R2 
= ;ci 4- a)2 + p2 — 2p(d + a) + -i'd -f aHP — R2 

ou 

^3; T2 = OÂ* + p2 — apOA -f 2OA.HP — R2 

et de même 

T'2 i=: BM' — R'2 = BH^ + MH^ — 2BH.HP — R'2 

= (p — a -h d)2 4- 2pH.P — 2p(p — a + d)HP — R'2 
= (d-o)2 4.p2 — a(a — a)p-|-2(a — d)HP — R'8 
ou 

(4) T'2 = ÔB^ + p2 — 2pGB 4- 2OB.HP — R'2 

de (3) et (4) on conclut : 

n2T2 ^ ÔaIoB + OB.pg — 2p.0A.0B + 2OA.OB.HP — R2.0B 
w2T'2 ôB^OA + 0A.p2 — 2p0A.0B -f 2OA.OB.HP — R'20A 
et, par suite, en vertu de Texpression trouvée pour p2 

n2T2 = m2T'2 ou î, = ~ . 
1 n 

Co lieu servira à la résolution du problème suivant ; 

Trouver un pohit tel que les tangentes menées dp ce j^oint à trois 
circonférences données soient proportionnelles à trois lignes don- 
nées m, n, p. 

La relation (2) appliquée à chacun des trois côlés du triangle ABC 

obtenu en joignant les centres A, B, C fournira trois points 0, 0' 0" en 

ligne droite, et les rayons p' et p" seront donnés par : 

'1 n'r nn . O'B.R"^ — OGR'* 
p ^ = CO B H g^ , 



,-.^o-co-x+'rA.KL-^^\ 



H. Lecocq. 



I. — Déterminer, dans le plan d'un triangle ABC, un point tel que 
les angles OAB, OBC et OCA soient égaux et calculer leur expression 

commune [fig. i). 

On voit de suite que les angles COA, AOB 
et BOC sont respectivement égaux à 2** — A, 
1^ — B et 2'' — C, en sorte que le point 
est déterminé par les trois axes décrits sur 
les côtés CA, AB, BC et capables des angles 
2-* — A, 2'' — B et 2** — C. 

Il y a un second, point 0' pour lequel les 
angles O'AC, O'AB et O'CB sont égaux, et ce 
point est à la renconti*e des segments décrits sur CA, AB, BG et capables 
des angles 2* «^ C, 2^ — A et a^ — "B. 




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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLE&IENTAIRE8 127 

Soit OAB = a? et tg a? = w, on aura 

OA ^ _0B^ PB ^ _0C^ OC _ OA 

sin (B — X) sin x ' sin (C — x) sin ce ' sin (A — a?) sin x 
d'où sin^a? = sin (A — x) sin (B — x) sin (G — a?}, 

et 1*3 = (sin A — M cos A) (sin B — w cDs Bj (sin C — « cos C) 
et, par suite : 

(i) (i + cosAcosBcosC)m3— (cosBcosCsinA + cosAcosCsinB + cosAcosBsinC)w2 
+ (sin B sin G cos A + sin A sin C cos B + sin A sin B cos C)u — sin A sin B sin G =0, 
or A + B + C = a-* d'où sin (A + B + C) = o et cos (A + B -f C; = - 1 , 
en développant ces deux dernières égalités, on trouve : 
I + cos A cos B cos C = sin B sin G cos A -f sin A sin G cos B + sin A + sinB cosC 
sin A sin B sin G = cos B cos G sin A + cos A cos G sin B + cos A cos B sin G, 
et l'équation (i) peut s'écrire : 

(w2 4- i) [(i — cos A cos B cos G) u — sin A sin B sin C] = o 
qui a deux racines imaginaires m = =b j et une réelle : 

sin A sin B sin G 

i-fcosÀcosBcosG* 
Les rapports entre OA, OB et OG seront donnés par 
OA _ OB _ OC 
bH " c^a ~ aH ' 
II. — Etant donnés les quatre angles A, B, G, D d'un quadrilatère, 
on mène par un point quatre droites OA, OB, OG, OD faisant entre 
elles les angles consécutifs AOB = 2** — A, BOG = î** — B, COD^a**— G, 
et DOA = 2*' — D. Déterminer les rapports qui doivent exister entre 
OA, OB, OG, 00 pour que les angles OBA, OCB, ODG et OAD soient 
égaux, et calculer leur valeur oom" 
mune {fig. 2). /^^^ 

Posons, comme ci-dessus, OBA = a? et \ !.. ..^C 

tg a? = w ; on aura : 

sin X sin (A — a?) 
"OÂ 
sin a? 
OB" '■ 

OG' ' 

sin X 

~ÔD" '~~ OA" 

d'où sin*a7 = sin (A — a?) sin (B — x) sin (C — x) sin (D — x), 

ou 
w* — (sin A — w cos A) (sin B — m cos B) (sin G — w cos G) (sin D — w cos D)= o. 

Cette équation développée devient : 
(2) ( I — cos A cos B cos G cos D) m* + (L cos cos cos sin) w3 — v (cos cos sin sin) u^ 
+ (E cos sin sin sin) m — sin A sin B sin G sin D = 0. 
Dans chacune des sommes L, on doit affecter chaque facteur trigono- 
métrique d'une des lettres A, B, G, D, sans répétition, de façon à complé- 
ter toutes les combinaisons possibles ; mais 

A4-B + q4-D = 4- 





OB 




sin 


œ- 


■x) 




Og 




sin 


(C- 


X 




01) 


' 


sin 


(D- 


X) 




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128 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

d'où sin (A + B + C + D) = o, cos (A + B + C + D = + i. 
En développant ces deux dernières égalités, on trouve 
S cos cos cos sin = £ sin sin sin cos 
Z cos cos sin sin = S sin sin sin sin = 2 cos cos cos cos — i = 
sin A sin B sin C sin D + cos A cos B cos C cos D — i. 
L'équation (2) devient alors : 
(m2 -|- i) I (i — cosAcosBcosCcosD)w2 -|- Scoscoscossin — sinAsinBsinCsinDj = o, 
qui a deux racines imaginaires w = db i et deux autres racines données 
par 

(3) (i— cosAcosBcosCcosD)M2-|-(£coscoscossin)M — sin A sin B sin G sin D—o. 
Si le quadrilatère est inscriptible, on a : 

. _, sin A sin B 

VI — COS'^A COS^B 

La dé lermi nation de u permet de calculer les rapports de longueur des 
droites OA, OB, OC, OD. 

III. Généralisation de la question, — En désignant les angles du poly- 
gone par AiA2A3....A„, on aura d'abord : 

(4) Al + A2 + A3 -f .... A„ = i\n - 2), 
d'où sin (Aj + Ag -f A, + .... + A„) = o 

et cos (Al + A2 + A3 + .... + A„) =: ± I selon que n est pair ou 

impair. 
Or 

(5) sin (Al 4. A2 -f- A3 -h .... -h A„) = SC„.iSi - SC-sSa + SC^-gSa 

— • SCn«7S7 -f- ...» 

et 

(6) cos (Al -f- A2 -h A3 + .... + A„) = SC„ — LCn-oS., -f SC„-4S4 

— LCn-gS(5 + .... 

le terme général ± L C„-;,Sp indique que la somme doit être étendue à n 
facteurs trigonomé triques, savoir p sinus et n — p cosinus, en épuisant 
toutes les permutations des n lettres AiAoAo.-.An dont p seront affectées 
de sinus, et les n — p autres, de cosinus. 

L'équation générale du problème est : 
w''=(sinAi — wcosAi)(sinA2 — wcosA2)(sin A-^— WCOSA3' (sin A» — wcosA»*). 

Or, en vertu de la relation (4) ou des deux (5) et (6j qui s'en déduisent, 
le degré de l'équation (7) peut s'abaisser à {n — 2), car le premier membre 
est alors divisible par {u^ + i), comme dans les cas précédents. 

C'est ce qu'on pourra aisément vérifier, quel que soit «, pair ou impair. 
En effet, dans le premier cas, l'équation (7) devient : 

(8) (S C„-i)m» — w«-i2C„.iSi + w"-22Cn-2S2 — w'-32:C„.3S3 

+ m22C2S„.i — wSGiSn-i + 2S„ = o 
et les relations (5) et (6) deviennent : 

(9) 2C„-iSi — 2C„.3S3 + 2C„-5S3 — 2Cn.7S7 = o. 

(10) SCn — 2C„-2S-2 + 2G„-4S4 — SG^.gSe = + i- 

Or, en remplaçant u- par — i dans la somme des termes de degré pair, 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 129 

cette somme est nulle d'elle-même, en vertu de lo, que n soit multiple de 
4, ou multiple de 4 plus 2. 

En mettant u en facteur commun dans les termes de degré impair, on 
aura, dans la parenthèse, une somme de termes de degi-é pair qui, pour 
w2 = — I, s'annulera en vertu de (9}. 

Si d est impair, Téquatioii (8) devient : 

(11) iZCn -h l)?*** — W"-lSC„-iSi + M«-2VC„-2S2 — tt^-a SCn-gSa 

— w^vC.,S„-2 + mSCiS„-i — SS» = 0. 
La relation (9) reste la même, mais (10) se change en : 

(12) 2Cn — ZOn-i^i + 2C„.4S4 — SCn-cSe = — I 

et l'équation (11) sera aussi vérifiée par u^ = ^' len raison de (9) et de (12). 

H. Lecocq. 

Trouver, dans le plan d'un triangle ABC un point lel que les 
triangles OAB, OAC, et OBC soient isopérimètres. 
Soit a > 6 > c. 

Prenons pour inconnues OAC = x et OA = y. On doit avoir 
y + 6 = ft + OB 
y + c = a + OC 
d'où y + OC = c -f OB, 

or OB = v'c^ + y^ — 2cy^ôs (A — œ) 
OC = >Jh^ -\- y 2 __ aôy cos x. 
Les équations du problème sont donc : 
( {a — bf^ — 2(a — b)y =: c2 — icy cos (A — x) 
f (a — c)2 — 2(a — c)y = ^>2 — 2by cos x, 
d'où 

(.) cos (A - ^) = '''-(--'»' +A^^ . 

^ ^ ^ ^ Qcy 

On éliminera x par la relation 

cos (A — x) z= cos A cos a? -f sin A sin x 

ce qui conduit à l'équation du second degré ci-dessous, dans laquelle 

,^2 = 02 _ (a _ c)2 = 4(p _ a) {p — c) 

n2 = c2 — (a — 6)2 = 4(p — a){p— b) 

{?^) 4 î b\a — ô)2 + c^{a — c)2 — ^bc{a --b^^a^ c) cos — A — 62c2sin2A \ y 

-f 4 \ b^n^{a—b) + c2m2(a- — c) — bcm^a — 6) cos A — bcn'^[a — c)cos A j y 

-f 62;i* _|. c2m* — 2Ôcm2n2 cos A = o. 
qu'on peut écrire, pour abréger, 

4My2 + 4Ny + P = o. 
Le dernier terme : 
P=:(ô;i2— cm2)2 + 46om2H2 sin2^= i6(^_a)2J(ô — c)2(p — a)2-|-4ô2c2sin*^| 
est positif^ quel que soit le triangle ABC. 




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130 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

JS peut s'écrire : 

et, en vertu de l'hypothèse a > 6 > o est également positif. 

D'autre part, en remplaçant aôc cos A par b^ -\- c^ — a^, on a : 
M=a4+ô*+c*+a6c(a+64-c)— <ïô(a2+ô2)_«c(a2+c2)-.ôc(2»2+c2}---6-2c2sin»A. 

Soit S l'aire du triangle ; on sait que : 
_ a* — 6* — c* + 2a*62 _|- aa2c2 + 2*202 — igs» et 62c2sin2A == 4S2, 
d'où 
M=2a262-|-2a2c243^2o2+ôc(a2— 6?— 0»)+a6(oî~a2_^,2)4.ojc(ô2-a2— C2)— 20S2 

M=2a»6«sin2- _|. 4a»c28in2 5 + 4ô«c2sin2^ — 20S2, ou enfin 

M=4S2(tg2^ + tg25 + tg2Ç-~2] 

= 4 I (P - <^)HP - à'^) + iP- à/KP - c)^ +(P- b)\p - c}2 - 2S2 \ 
La formule N'^ — mP, par un calcul qui présente plus de longueurs que 
de difficultés, se réduit à : 

N2 ._ MP = 6463c3sin2A sin2^(j3 — a}2(^ — h) {p — c) z= H^. 

On voit donc que les racines de l'équation (3) sont toujours réelles ; mais 
pour qu'elles soient acceptables, il faut qu'elles soient telles que cos x et 
cos \X — x) soient moindres que i en valeur absolue, et comme y est 
essentiellement positif, il suffit que y soit supérieur à la plus grande des 
quantités {p — b) ou {p — c), c'est-à-dire seulement y "> (p — c) en vertu 
de l'hypothèse a > 6 > c. 

La discussion est donc très simple, puisque N et P sont positifs. 

lo Si M est positif; pas de solution car les racines sont toutes deux né- 
gatives. 

2« Si M est négatif ; racines de signes contraires. La racine positive sera 
acceptable si elle est plus grande que p — 0. 

Application numérique (proportion de la figure) 

a = 6, M = — 3i4,75, N = 919,6, P = 11 106, 

ô = 5, 

c = 4, y = 4,77, X = 32050'. H. Lecocq. 

SOLUTION DE LA QUESTION 714 

{Suite, voir n^ d'avril, p. 120) 



La première de ces expressions pourra s'écrire 

^ — e , y_±j 

X ^ y ' 
Or, cette dernière expression est forcément supérieure h 2, elle est en 

effet égale à 3 + i - L , 

quantité supérieure à 2 puisque x est plus grand que y. 

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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 131 

On résonnerait de même dans le cas où Ton aurait â? < y ; si a; = y, 

il est évident que - + ^ est égal à a. 
y *^ 

On démontrerait de la même manière que (^+^)6t(^^'v) ^^^^ 

supérieurs à 2. Donc la somme de ces trois expressions est supérieure à 6. 

C. Q. B. D. 

Remarque, — L'inégalité (2) exprime une propriété qui peut s'énoncer 
ainsi : 

Si la somme de trois nombres est égale à Tunité, la somme de leurs 
inverses est plus grande que s. 

Cette propriété peut être facilement généralisée. On démontrerait, en 
effet, de la même façon que nous venons de le faire pour trois nombres, 

que si Ton a n nombres, a, ô, 0, m, tels que a -\-h-\-c-\- -\-m = i 

on a la relation 

â- + î + 5 + + 4>»*- 

Cette propriété conduit elle-même à une propriété encore plus générale, 
qui s'en déduit immédiatement : 
Si la somme de n nombres est égale à a, la somme de leurs inverses est 

supérieure à — . 

'^ a 

(Remarquons que dans le cas de a = ô = c = = m, cette relation 

devient ' + i + - + + — = ^ ; de même que, dans les cas parti- 

a c ma ^' '^ 

culiers examinés plus haut, on aurait - + i + - + -f — = »**> 0^ 

a c m 

x ' y ' z 
Solution de MM. de la Vaissiôre, A. Droz-Parny, Saint-Goyens, 
Alfredo Schiappa Manteira, Plakhowo, Svéchnicoff, Georges 
Stambolieff. 

QUESTIONS PROPOSÉES 



Si, dans un triangle, la droite d'Euler est parallèle au côté BC, étant le 

centre du cercle circonscrit, N le centre de gravité du périmètre du triangle, 

h la hauteur correspondante au côté BG et r le rayon du cercle inscrit, 

_2 Or' — h^ 
on a ON = ^g • 

(Jorge F. d'Avillez). 

Soient deux cercles dans le plan et un point quelconque A ; on prend la 
polaire de ce point A par rapport aux deux cercles. Ces polaires se coupent 
en M. On joint A et M. Soit P le milieu de la longueur AM. Démontrer que 
le point P est toujours situé sur l'axe radical des deux cercles quelle que 
soit la loi de déplacement du point A dans le plan. 

^^ Léopold MaMip. 



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132 JOORN/IL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

Un cercle variable 0" intercepte sur deux circonférences données et 0' 
de rîiyons R et R', deux cordes égales de longueur donnée ^l ; 

1° Lieu de l'intersection des cordes interceptées (axe radial de et 0'; ; 

2° Lieu du centre 0' pour les cinq positions relatives des cercles et O' 
(hyperbole ou ellipse). H. Lecocq. 

On donne deux couronnes circulaires auxquelles on mène des cordes pa- 
rallèles AB, A'B' tangentes aux cercles intérieurs. 

Lieu des points de rencontre des droites AA', BB' ou AB', BA' qui joignent 
leurs extrémités (quatre cercles). H. Lecocq. 



Etant donnés un cercle et un point P dans son plan ; mener un dia- 

PA 
mètre AB tel que le rapport p^ soit donné et égal à un nombre X. 

Vazou. 



Etant donnés deux cercles et 0', trouver un point P tel que si l'on 
mène de ce point des tangentes PM, PM' aux deux cercles, l'une de ces 
tangentes PM ait une longueur donnée / et que l'angle PMPAT ait une 
valeur donnée V. Vazou. 

Etant donnés une droite x'x et un point A dans son plan, déterminer 
sur œ'x une portion de droite BG de longueur donnée a qui soit vue du 
point A sous un angle donné. Vazou. 

Etant donnés un cercle et un point A dans son plan, mener à ce cercle 
une tangente CB de longueur donnée a, telle que la droite AM joignant le 
point A au milieu de BC ait une longueur donnée m. Vazou. 

Etant donnés un cercle et un point A dans son plan, mener à ce cercle 
une tangente CB de longueur donnée a et qui soit vue du point A sous un 
angle donné. Vazou. 



Le Directeur-gérant, 

Georges MARIAUD. 



fAINT-AMAND (cHER). UIPRIMBRIE SCIENTIFIQUE ET LITTÉRAIRE, BUSSIÉRB FRÈR». 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 13^ 

PREMIÈRE PARTIE 

Questions proposées aux Candidats 

L - A L'ÉCOLE SPÉCIALE MILITAIRE S^-CYR 



236« Mathématiques. — Dans un cercle de rayon R 
placer trois cordes de longueurs données a, p, y de manière à ce 
que le triangle formé par leurs intersections soit semblable à un 
triangle donné ayant A, fi, G pour angles. — Expression des 
côtés, de la surface et du rayon du cercle circonscrit. — Cas par- 
ticulier du triangle équilatéral. H. Lecocq. 

237. — Déterminer dans le plan d'un triangle ABC un point 
tel que pour les trois triangles OAB, OAC, OBC, le produit des 
trois côtés soit le même. H. Lecocq. 

238. Epure. — Dans le plan horizontal de côte 0, on donne 
un cercle de rayon o,o5 centimètres et tangent à la parallèle aux 
grands côtés du cadre passant par le centre de la feuille. Le point 
de contact o) étant ce centre même. Le point S tel que OioS=:o,i5 
centiniètres est la projection du sommet du cône de côte o,i5 cen- 
timètres. Un prisme pentagonal régulier est horizontal, son arête 
supérieure passe par le point S et est parallèle aux grands côtés 
du cadre. — Intersection de ces deux corps. Masslp. 

238^^*. Calcul trigonométrique. — Résoudre un 
triangle connaissant a= 25 678'°,45, 2>= 76 238,48, C=25M5'56"7. 

230. Questions d'Oral. —- On donne deux parallèles A 
et B. Sur A on prend deux points a et p sur B un point y. On 
joint Py* 0" demande de tracer par a une sécante telle que la 
somme des triangles soit maximum au minimum. 

IL - A L'INSTITUT NATIONAL AGRONOMIQUE 



240. Mathématiques* — Calculer les côtés d'un triangle, 
connaissant r', r" ei a -^ b = L Construction géométrique. 

Vazou. 

Calculer et construire les côtés d'un triangle, connaissant i*", W^' 
et B — C. Vazou. 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉM. — 1898. 9 



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134 JOURNAL DK MATHlbMATIQUBS éLÂMBNTAIRBS 

Construire un triangle, connaissant a, b -^ c = l et la lon- 
gueur a de la bissectrice de A. Vazou. 

241 • — Calculer par logarithmes 

y/l 845 -H it — 71T 
^■"(i -h i842)V5pg^' 

242. Physique et Chimie. — A Tun des plateaux d'une 
balance hydrostatique, on suspend, par un Ql de poids négligeable, 
un morceau de zinc plongeant dans de l'eau ; le poids de ce zinc 
dans l'air est de 200 grammes. 

A l'autre plateau, on suspend de la même façon un morceau de 
platine plongeant dans du mercure. 

1** Tout l'appareil étant à la température de ©•, quel doit être le 
poids du morceau de platine pour que la balance soit en équilibre 
d'elle-même, sans poids ni tare? 

2® La température de tout le système étant alors portée à 5o®, 
quel poids doit-on mettre pour rétablir l'équilibre, et dans quel 
plateau de la balance ? 

Données : Densité de Teau à 0° 0,999871 ; 



— du mercure h o» 

— du zin à o<> . . 

— du platine à 0° . 

— de Teau à 60° . 



13,596; 
6,8 
21,16; 
0,988a. 



Coefficient de dilatation absolue du mercure entre o® et 100^. T^^ ' 

— — linéaire du zinc 0.0000294 ; 

— — — platine 0,0000087. 

III. — AU BACCALAURÉAT 
LETTRES- MATHÉ MATIQUES 

243. Mathématiques. — On donne Téquation 
(2 cos a — i)x^ — 4^ 4- 4 cos a 4- 2 = G, 
désignant un angle aigu. 

1^ Pour quelles valeurs de a les racines sont-elles réelles? 

2^ Quels sont les signes des racines pour ces valeurs de a? 

3° Rendre le produit des racines calculable par logarithmes. 

(Aîi choix). — a) Démontrez les théorèmes relatifs à la théorie 
du plus fi^rand commun. 

b) Théorie de l'extraction de la racine carrée. 

c) Caractères de divisibilité par 3 et 9. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLiSmENTAIRES 135 

244* Physique. — Un tube cylindrique de longueur L est 
ouvert à ses deux extrémités. Une partie, de longueur l, est 
plongée verticalement dans une cuve à mercure. On ferme alors 
et on maintient fermé avec le doigt l'orifice supérieur du tube, 
puis on élève verticalement le tube tout entier jusqu'à ce que la 
partie inférieure cesse de plonger dans le mercure de la cuve. On 
demande de caculer la longueur x comprise entre les niveaux que 
le mercure occupait dans le tube dans la première et dans la 
seconde position. On désigne par H la hauteur du baromètre pen- 
dant Fexpérience. 

Application ( i* L = o™,85, l = o",32, H = 0^,74. 
numérique. | 2* L = o",8o, l = o"*,6o, H = o",8o. 

{Au choix). — a) Bouteille de Leyde — batteries. 

b) Foudre — paratonnerres. 

c) Aimants naturels et artificiels — pôles. 

IV. — BACCALAURÉAT (LETTRES — SCIENCES) 

245. Mathématiques. — Calculer les coordonnées du 
point A symétrique du point B par rapport à un point C, B a 
pour coordonnées a, P ; C a pour coordonnées y, S. 

{Au choix). — a) Centre de gravité d'un trapèze, d'un prisme. 

b) Réduction d'un nombre quelconque de forces appliquées à 
un corps solide d'abord, à trois, puis à deux. 

0) Condition d'équilibre d'un corps solide libre sollicité par un 
nombre quelconque de forces. 

245bi8. Physique. — Le courant produit par une pile de 
100 éléments Bunsen passe dans un circuit extérieur dont la ré- 
sistance est égale à 10 obms. On demande quelle sera l'intensité 
du courant si Ton dispose les 100 éléments en 4 séries de 35 cha- 
cune, associées en batteries. Comment faudrait-il disposer les 
éléments pour rendre maximum l'intensité du courant? — Force 
électromotrice d'un élément Bunsen : 1,9 volt; résistance inté- 
rieure de cet élément : 0,1 ohm. 

^/gSter (^Au choix). — a) Pendule et applications. 

b) Machine d'atwood et lois de la chute des corps. 

c) Densité des gaz. 



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130 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

V. — AUX ÉCOLES D^AGRICULTURE 



246« Arithmélique. — Une personne avait placé une 
somme à 5 ^/^. Elle Ta retirée au bout d'un an et du capital réuni 
aux intérêts elle a fait deux parts. Le tiers est employé à acheter 
de la renie à 4 \U 7o ^" cours de m, ce qui donne un intérêt 
annuel de 35o. Les deux tiers qui restent sont placés à 3 Vo ^^ 
donnent 6o3 francs d'intérêt par an. On demande quelle somme 
cette personne avait d'abord placée et quel est le cours du 3 Yo- 

a46W-. -> Calculer œ - /j/ '^^^^^^ . 
^ t: X \/6 754 



VI. — AUX EC OLES D E COMMERCE 

24*7. Arithmétique. — Une roue qui a i4 dents tourne de 
5 dénis en 9 secondes. Une autre roue fait 21 tours pendant que 
la première en fait 25. Combien les deux roues feront-elles de 
tours en 3 heures 4o minutes et 3o secondes. 

848. Algèbre. — Résoudre 20? -{- 2\/a^ -^ x^=: , . 

va* H- 0?* 




a48W». _ Calculer : x = y V^; 678 -h \/y5 628 . 

DEUXIÈME PARTIE 



BIBLIOGRAPHIE 



Cours de Géométrie Descriptive. — Géométrie Cotée h l'usage des candidats à 
Saint-Cyr, par J. Caron, ancien élève de l'Ecole Normale supérieure, 
agrégé des Sciences Mathématiques, directeur des travaux graphiques à 
l'Ecole Normale supérieure, professeur de Géométrie descriptive. — Li- 
brairie Féliœ Alcan, loS, boulevard Saint-Germain. Prix : 6 francs. 

Le nouveau programme de Saint-Cyr a fait faire des progrès à la Géo- 
métrie cotée jusqu'ici trop dédaignée. Après les remarquables ouvrages que 
nous avons déjà signalés, d'autres ont vu le jour, beaucoup sont sous 
npesse. M. Caron, dont tous les professeurs et tous les élèves connaissent 
oéj^ la Géométrie Descriptive h l'usage des classes de Spéciales vient, avec 
l'autorité qui s'attache h son nom, de faire paraître sa Géométrie Cotée. 

Le texte en est clairement rédigé, les figures y sont nettes ; de nombreux 
exercices théoriques et numériques intéresseront les candidats et les forti- 



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JOURNAL DES MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 137 

fieront dans leurs études. L'ouvrage est divisé en quatorze livres et chaque 
livre en chapitres. Ces derniers, dans les différents paragraphes qui les 
composent, renferment toutes les questions. Pour que nos lecteurs s'en 
rendent comptent, nous allons leur détailler le livre X, par exemple, relatif 
aux surfaces de révolution : 

CHAPITRE I 

I. Propriétés des surfaces de révoluUons. 

II. Déterminer un point d'une surface de révolution. — Plan tangent 
en ce point, 

III. Contours apparents. 

CHAPITRE II 

I. Plan tangent parallèle à un plan donné. 

II. Points brillants. 

III. Plan tangent ayant son point de contact sur une parallèle donnée. 
rv. Plan tangent ayant son point de contact sur un méridien donné. 

G. M. 

TROISIÈME PARTIE 



QUESTION 716 

Démontrer que : 

a^b2 (az 4- b^) i 

(a*sin2e + b2cos2e)-*(a*sinie + b^cbs^e) ~~ a^b^ a'»sin29 + b^cos^e 

_ (a^ 4- b^) I I 

a2b2 aSsin^e + b^cos^O a^sin^e -f b2co82e)2* 

E.-N. Barisien. 
Solution, par A. Droz-Farny. 
Représentons respectivement par A, B, C les trois termes de droite; on a : 
\ _ R _ (^- + ^^)-vV^sin2Q 4. 62cos29) — (a ^ -[- b'^) a^^ir^ -f 6»cos26^ 
""" aV)\a''fAri't^i-\- b*co»m (a^sinàô -{- b'kos'^'^) 

_^ ,^2 _|_ 52 _ _ 

■"" (ft*sin-9 '+ ^•côV2'6}\â2sin^'0 + ^^"cos^O/ 
r — (g» + 62) (ft2sin2Q 4- ô2cos26) — (a^8in26 -f 6*cos26) 
A — B — L _ ' ygin29"_^ b^côs^) ùi^àn^b + ^>^cos-^9)2 

~ (a2sin29"-f ô2cos29.2"(aVsin^Ô -f ^»+cos29)* 

A. Droz-Famy. 
Solutions exactes de MM. Plakhowo, Stambolieff. 

QUESTIONS 717 ET 718 

111. — Comment peut-on écrire immédiatement les carrés des 
nombres de la forme loa -\- 5 et looa + 5? (a < 10). 

Jean Negretzu). 
118. — Les carrés de nombres de la forme loa + 5, looa + 5 et 



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138 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 

I oooa -h 5 étant supposés formés, comment peut^on écrire immédiate- 
ment les racines carrées. 

(Généralités) (Jean Negretzu). 

Elevons le nombre loa + 5 au carré, nous aurons looa^ + looa + aS. 
Prenons maintenant loo comme diviseur commun, — nous aurons 
ioo(a2 -j- a) + a5, ou iooa[a + i) + a5; cela veut dire que si le nombre 
est loa + 5 pour former son carré, il ne faut que multiplier le nombre a, 
par son suivant et écrire à la fin 25. 

Si nous avons looa + 5 élevons ce nombre au carré, nous aurons 
10 oooa2 + I oooa -«|- a5. Prenons maintenant loo comme diviseur commun, 
nous aurons ioo(iooa2 -f loa) + a5, ou ioo[ioa(ioa -j- i)l -f aS. Ainsi le 
carré du nombre looa = 5 sera égal à ioa(ioa' •{■ i) et à a5 écrit à sa 
droite. Si nous avons i oooa + 5, élevons ce nombre au carré, nous aurons 
looooooa^ + 10 oooa + 25- Prenons de nouveau loo comme diviseur 
commun, nous aurons ioo(iooooa2_|-iooa)-|-a5 ou iooriooa(iooa4-i)] + 25. 

Ainsi on peut généraliser ce problème en disant que tout nombre, ayant 
à sa gauche un nombre quelconque suivi de quelques zéros et terminé par 
un 5, élevé au carré, sera égal au nombre de ces dizaines, multiplié par ce 
même nombre augmenté d'une unité, et ayant a5 à sa droite. 

Si nous avons maintenant looa + lob + 5, et si nous relevons au carré, 
nous aurons (looa + loi)^ 4- io(iooa + loh) +25= looooa + 2 ooo& 
+ ioo62 ^ I oooa + looô + 25 ; prenant loo comme diviseur commun, 
nous aurons ioo(iooa2 _j- 206 + 62 _j_ loa + è) + 25 ; où, prenant a -\- b 
comme diviseur commun, nous aurons ioo[(ioa -\- b) {a -{- b -\- i)l -f 25. 

Si les carrés de ces nombres sont formés comme par exemple : 
iooa(a -h i) + 25, alors on pourra écrire tout de suite la racine carrée de 
ce nombre. 

a désigne les distances, cela veut dire que si a est multiplié par a H- i, 
la racine carrée de ce nombre sera loa + 5, — et ainsi de suite. 

La racine carrée du nombre ioo[ioa(ioa + i)] + 25, sera : looa -f- 5; 
sa racine carrée du nombre ioo[(ioa + 6) (loa + 6 -|- i)] + 25 sera 
looa + lob + 5, en suuposant bien entendu que a < 10 et que b < 10. 

N. Plakhowo. 

Solution exacte : M. L'Huillier. 

QUESTION 719 
Solution, par M. A. Boutin 

Dans tout triangle T â^ sommets A, B, C : 

I» Le produit des distances d^un sommet aux quatre centres des cercles 
tangents aux trois côtés est égal au produit des carrés des deux côtés 
aboutissant au sommet considéré. 

2° Le produit des douze distances de cha>cun des centres des cercles 
tangents aux trois côtés de T est égal à la quatrième puissance du pro* 
duit des trois côtés. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 139 

3° Le produit des segments interceptés par les sommets de T sur les 
côtés du triangle formé par les centres des cercles inscrits à T est égal 
au carré du produit des trois côtés de T. 

4<* Le rayon du cercle circonscrit au triangle formé par trois quel- 
conques des quatre centres des cercles taugents aux côtés de T est égal 
au double du rayon du cercle circonscrit à T. 

5<» Uaire du triangle formé par le centre des cercles ex-inscrits à T 
est équivalente au produit du périmètre de T par le rayon de son cercle 
circonscrit, 

6° Les aires des triangles formés par les centres des quatre cercles 
tangents à T sont inversement proportionnelles^ chacune au rayon du 
cercle tangent dont le centre n*est pas un sommet du triangle. 

70 On considère le triangle dont un des sommets est le centre du 
cercle ex-inscrit dans l'angle A et les autres sommets sont B et C. 

On considère les deux triangles analogues. Le produit des aires do 
ces trois triangles^ multiplié par le produit des rayons de leurs cercles 
circonscrits j est égal au cube de Vaire de T, multiplié par le cube du 
rayon de son cercle circonscrit. (E.-N. Barisien). 

i» Des formules connues : 

A A . A ' .A 

cos - cos - sin sm - 

222 2 

On tire : 

Ai.Ar.Ai".Ar = P^P - '^^ \- \^P - i> = b-^cK 

sin2- cos2- 

2 2 

2° Le produit des douze distances en question, d'après le paragraphe 
précédent, est : bH'^.a^c'^.a^b^ = a*6V. 

30 Br.Br.Ar.Ar.cr.ci' = {P-a^P-mP-oY ^ ^,^,^,^ 

8in2- sin2- sina!^ 
222 

40 I est l'orthocentre du triangle ITI ', donc les quatre triangles obtenus 

en prenant trois quelconques de ces points pour sommets ont même cercle 

circonscrit ; son diamètre a pour valeur : 

XT 4^ ^® 2 

SH-f = AT = *^- 

cos - 

2 

50 L'aire considérée a pour expression : 

- ir.ri " sin r = SR^cos - cos 5 cos ^ = 2i)R. 

2 2 2 2"^ 

6o On a, comme au paragraphe précédent : 

A A 

bc cos - cos - , 

ÎT"!'" __ i ^ B _ ^ 

" ^ ~" 2 • B C ~" abc B C "^ 2r' ' 

cos - cos - — . a cos - cos - 

2 2 2 2 2 



d'Où 



ÎIl' .r' = irr.r" = = irr.r ' ^ =.2RS — ip^r = ITT'.r. 

2 



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140 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

70 Le produit de Taire d'un des triangles considérés par un rayon de son 

cercle circonscrit a pour expression : 

a.l'B.rC a.p — b) (p — c) 

"^ ~ /T B " "C""' 
^ 4 sm - sin - 

d'où, pour la quantité cherchée : 

abc (p — a)Hp — b 2(p — c,2 a^b^c^ ««iot 

^^ sin2^.8in25.sin2? ^^ 

3 3 2 

Solutions : MM. L'Huillier, L. Goyens, A. Droz-Farny. 

QUESTION 721 
fik»latioa, par M. Ernest Foucart 



Montrer que si les trois côtés a, b, c d*un triangle vérifient la rela^ 
tien 5(a2 + b2 -f c2) = 6(bc + ca + ab), 

le centre de gravité du triangle est situé sur la circonférence du cercle 
inscrit. E.-N. Barisien. 

L'équation du cercle inscrit est 



(l) y COB - VX = G. 

On a co 

(i) peut donc s'écrire 



On a cos»^ = («.iAi4J*_+^z:i^ , 

3 [\0C 



l \a A- b ■\- c ^ (6 -f- c ■ 
'è -h c — a 



»« 2 v/"T6c 

Les coordonnées du centre de gravité étant inversement proportionnelles 
aux côtés correspondants, ce point sera sur le cercle inscrit si 

V^ fb~-Ç~c — a I 

Zà V — Wo — ^ = °' 

c'est-à-dire si 7 ^6"+ c -^'a = o, 

ce qui, tous calculs faits, donne 

5(a2 4- 02 ^ c2) = 6{bc -\- ca -\- ab). 

Cest la relation indiquée. 

Solutions exactes de MM. Boutin, Jorge F. d'Avillez, A. Droz- 
Farny, L. Goyens, Plakhowo, L'Huillier, Francis Dauzats. 

QUESTION 722 

i^ Dans le triangle rectangle isoscèle, si le rapport de l'hypoténuse au 

oôté est compris entre ^ et^-, il est compris entre ^ , ^^ et °^ , ^° . 
^ nq ^ p-|-qm + n 



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est 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 141 

20 Dans le triangle équiîatéral, si le rapport de la hauteur au côté 

compris entre ~ et ? il est compris entre ^Î^M^^ et jJP "^ ^^ . 
n q ^ 4(m4-n) 4(P + q) 

lo Le rapport est \/i. Supposons | > V2 et cherchons a, ?, y, 3 tels que 

ïi' + Se < '^' 
On déduit de cette inégalité 

V > ? ~ S Va 

^ Y V^^ — a ' 
Elle sera satisfaite si l'on a 

^^7= < n/2, 

YV^2 — a 

ou P — 2Y + v^ (a - S)< o. 

En particulier, le i»' nombre s'annule si 

a = S, T = I, p = 2. 
Si donc on a I > v'2, on a aussi ^^ -^ ^ 3 < y^â. 

2° Le rapport est ~ . Nous avons à chercher les valeurs de a, p, y» ^ 

telles que si *^ < V?, on a ^^ + ^i^ < ^' 

on en déduit ^ < illjZ^, 

'^ 2a — Y v/3 ' 

et on doit avoir i^-JZli^ ? ^ ^Z? , 

2a — Y v'^> ^ 
o« bien 2 v^3 (6 — a) + 3Y — 4P > o. 

En particulier, le premier nombre est nul si l'on a 

a = S, Y = 4. ? = 3. 

Si donc, on a ^ < ^, on a aussi ^r^^:^ < "^ . 

On vérifie également que les valeurs a = 6 = 4, Y = 3, p =;; i de 
l'énoncé satisfont à l'inégalité précédente. H. L'Huillier. 

QUESTION 723 
SolatloD, par M. Jorge d'Avillez 

En désignant par hj, h2, h^ les hauteurs relatives aux côtés BC, CA, 
AB d'un triangle ABC; par rj, r2, r3 les rayons des cercles e^inscrits 
correspondants, on a [notations ordinaires\ 

Dair Daglou. 

On sait que r, = JP^r> - h^'p ~ o) 



*i = ^ SP\P — (^) iP — b) {P — ^, 

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142 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

donc (ri\*^ «!_ l'i-rl' 



irs 



et. de même {^J = ^^, = -^-%;:^^-'. 



te)" 



On aura alors 



& + fè)' + i^S = ir.::^:iL± y.-r^^ + ^.-n^ 



4'' 
donc 

te)'+fer-te)*=-'-^'-"--'"-i;; 



En substituant ci-dessus les formules connues 

,.^2 ^ r.,' 4- r^a = i6R2 _ ,.1 — (a-î -|- b^ -\- c^), 
a'i -f > 4- c2 = 2p2 _ 2r2 — 8Rr, 
rj -I- r.2 + î'a = /jU + r, 
on a finalement 

[hj +[ej +[hj - — ^« • 

Solutions exactes : MM. Plakhowo, Boutin. 



QUESTION 725 
Solntloiiy par Svéchnicoff à Ouralsk 



2 — 2r(r| -f- r.j -}- r o.'> 



ie« perpendiculaires élevées respectivement aux côtés AB et AC dw 
triangle ABC par /«* sommets B et C coupent y Vune au point B', Vautre 
au point C, Za bissectrice intérieure de Vangle BAC. Démontrer que le 
cercle tangent en K à AB, et passant par B\ et le cercle en A à AC et 
passant par C *e coupent sur la m,édiane issue de A. 

(M. d'Ocagne). 

Soient P et Q les centres de ces cercles et B" et C" les milieux des droites 
AB' et AC Les triangles semblales APB" et AQG" donnent ÂP : ÂQ = ÂF : ÂC'% 
d'où Ton a AP : ÂQ = ÂB' : AC'. Les triangles semblables ABB' et ACC 
donnent AB' : A(T' = AB : AC. Ainsi, on a ÂP : AQ •= c : b. Continuons 
la droite CA et prenons Â5 = ÂC. Alors BAD = PAQ. Les triangles APQ 
et ABD sont semblables. Il en résulte que AQP = ÂDB. Soit M le point 
d'intersection des circonférences P et Q. BAM = QAM = QAB = (goo — AQP) 
— (900 — BAC) = fiAC — AQP = BAC — ADB = < ADD. Donc, la droite 
AM est parallèle h BD et le point M est situé sur la médiane du triangle 
ABC issue de A. 

Solutions exactes : Ernest Foucart^ A. Droz-Famy, Francis 
Dauzats, L'Huillier. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 143 

QUESTION 726 
Solution, par Ernest Foucart 

Soit ABCD U7i quadrilatère dont les diagonales se coupent en à 
angle droit. Les perpendiculaires élevées en A à AB et en G à CD se 
coupent en H ; les perpendiculaires élevées en B à AB et en D à CD se 
coupent tin I. Les symétriques du poi^t H par rapport à A et G sont a et 
e, du point I par rapport à B et H^ h et d. On prend les isotomiques 
«, p, Y, 6 des points C, D, A, B respectivement par rapport aux segments 
OA, OB, OC, OD. Démontrer que les droites aa, bp, cy, dS sont perpendi- 
culaires à la direction commune des droites otp et "^B, 

(M. d'Ocagne). 

Démontrons que «a est perpendiculaire à ap (démonstrations analogues 
pour les autres cas}. 

Soit ÂBO = 6, CDO = 6'. 

On a HCA = 6, AHG = 6 — 6'. 

Le triangle AHG donne alors 

* 4 XT A /^ sin 6' 

Xa = AH = AC -. — 77k S'x' 

sin (6 — 6 ) 

Le triangle «0,3 donne 

(I) ^8?«^ = â) = CD- 

On sait que dans un triangle quelconque, on a (notation habituelle; 

. „ c — 6 cos A 
cote B = — T — . — T — . 
® b sin A 

Cette formule, appliquée au triangle Aaa, donne 

. , V- OC -h AC -^^ilL£_,- cos 8 

col g Am = A« - Au c osaAa sm (6 - 6') 

Aa sin aAa aC ^^" ^ «in 6 

sin (6 — 6') ^^^ ^ 
,.pSin(e— 6') ^ . . 

, -r-- __ ^sinôsiiïô' -^'^^co^ë^ _ OC(cotg6'— cotg6)+ACcotg6 
cotg Axa - -ç^ j^ 

«of„ iT- AO cotg 6 + OC éotg 6' BO + OD BD 
cotg Aaa = -^"ic — -^- = — ?c— = ÂC 

(3) cotg Aaa = 5^. 

La comparaison de (i) et (2) montre que ap et ax sont rectangulaires. 

C.Q.F.D. 

QUESTION 727 
Solution, par Ernest Foucart 

Soient a, b, c les sommets d'un triangle^ le cercle inscrit à ce triangle 
et le centre de ce cercle. On mène à une tangente quelconque T, elle 
rencontre la droite oa en un point d'où Von mètie une autre tangente 
à 0. Cette dernière droite rencontre en a le côté du triangle opposé au 



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144 JOURN4L DB llATHélfATIQUBS ELBUBNTAIRBS 

tommet a; on obtient de même, avec T, les points ^ et y sur les deux 
autres côtés du triangle. Démontrer que les points «, p, *( appartiennent 
à une droite qui passe par le centre o. (Mannheim, • 

Soient a\ b\ o\ les points de contact de avec bc, ca, ab\ a^, 6|, C| les 
points de contact avec O des tangentes qui déterminent les points a, ^, Y' 
m le point de contact de T. Les droites mau '>nb^, tnci sont respectivement 
parallèles à b'o, ca\ ab'. Il est alors facile de voir que b^c = VT'i 
f^ z=z ï^. Donc aia', bxb\ c\p' sont parallèles. Les points a, ?, f sont 
évidemment sur une même droite passant par o et perpendiculaire à la 
direction commune de ces droites. 

Solutions exactes : MM. Francis Dauzats; A. Droz-Farny; L'Huil- 
lier. 

QUESTION 728 



Etant donnés trois tiombres positifs x, y, z tels que x + y -f z == i ; 

on a : i« x^i — x; + y^fi — y) -f z2;i — z) > 6(i — 2x}Ci — ay)(i —- az;; 

(i — 2XJ (I — ay) (i — 2ZJ -^ * 

30 xyz > i,. J,-F. d'Avillez. 

Il faut prouver que (i — aj?) (i — ay) (i — a») < xyz. Si nous rempla- 
çons Tunité par .c -\- i/ -\- 3^ nous aurons à prouver que 

■>' -f y + •) (^ -f - — y; (3 + y — .-^) < ^y«. 

Développons le premier nombre ; nous aurons : 

JC'^Z -j- yj2 _|_ 2y _|_ ,y2^ _|_ j;y2 _|. a;^2 __ 3^^^ _ ^3 _ yl _ ^3 <^ j^y^^ 

on, en simplifiant, nous aurons 

3x1/3 + .r» + ^3 4_ y3 > :e7j;^ 4- .^ + yj(y + z) -\- xy{x + y), 
ot si nous avons Tinégalilé (a) 'Sxyz < x^ + y^ + ^^» ce qui peut être 
prouvé facilement et en retranchant cette inégalité de la proposée, nous 
aurons a(A'3 + y'^ -f z'^) > X3{x + ^) + y«(y + -) + •<?y(^' + yj. 
ce qui est facile à démontrer directement, puisque x- + y- > aoyy, et, 
maintenant, en multipliant cette inégalité par x -{- y^ nous aurons 
x^ + 1/3 + a;y;>7 + y) > aA-y^o? -f y. 
En simplifiant x'^ + y=J > ^y(^ + y) ; 

et de même y3 + o-' > yj(y + ^), et ^^ >|- ^3 > -^xi^z -f ar). 
Ajoutons ces inégalités membre à membre 

3(^,3 + y3 4. ;r3) > xy{x + y) + y*(y + *) 4- ^^(* + ^), 
et si cette inégalité est vraie, nous aurons l'inégalité à prouver 

(i ~ ix) (i — ay) (i — 32") < xys ; 
ef nous aurons 

lo .f2(i — u?; + y-i(i — y) + z'^{i — -î) > è(i — uo?) (i — ay) (i — iz) ; 
et par là est résolue partiellement la question 1704, proposée par M. Weill 
dans les Nouv. An. 1893. 

•*» / — -tM» — y) ï "T." > 8; maisi celle inégalité n'est pas juste si 
(I — '2X){ï — ay; (i — 23) "^ ' '^ ^ ' 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 145 

Tun des facteurs du dénominateur devient négatif, puisque le quotient 
devient aussi négatif et qu'une quantité négative ne peut jamais être plus 
grande qu'une quantité positive. Quant à 

Elevons au cube Téquation de condition, nous aurons 

.r3 _|_ y3 4. ;j3 _|_ 3 [^2(y + j) + y%a' + -) + -^(.^ ^ y,] 4. bxyz = I 

Cela veut dire que bxyz < t3 [072(1 — x) -{- y'(i —y) -\- z^{i — s)], 
et puis, comme il a été prouvé que 

bxyz < xHi - ./.•) -f y2(i — y) + «2(j _ ^)^ 
en multipliant cette inégalité par 3, nous aurons 

iSxyj < 3 p + (i -x) y\i - y) + ;î2(r - z)], 

ajoutons ces inégalités, nous aurons i[\xyz < i, où xyz < ~. 

J'ai dit que l'inégalité (a) est facile à démontrer 

x^ -\- y^ > 3^^ ; .^^ + ^^ > 2yî ; *'- + x'^ > u^.r, 
ajoutons ces inégalités, nous aurons en simplifiant 

A-2 H- y2 _^ 4r2 > ^y + y^. ^ ;.^^. 

Multiplions cette inégalité par x -{■ y -\- Zy nous aurons en simplifiant 

.r3 -j- 2/^ -h ^^ > 3a7y4r. 

Plakhowo. 

Solutions exactes : MM. L'Huillier, Alfredo Schiapper (Monteîro). 

A B f* I 

Dans tout triangle on a sin - sin ®^" r ^ g » ^^ quand l'égalité a lieu 

le triangle est équilatéral. 

. A . B . Ci-p— à)(p — b){p ^ c) 
sm - sin - sin \r—---'-^—^ — LA/_. _ ' 
222 abc * 

= (^ + p — g) (g -f g — ^) (a 4- 6 — ç) 

et nous avons démontré que abc > (6 -f c — a) (c + a — ô) (a -f 6 — c), 
cela veut dire que sin — sin « ^^^ â < g * ®*' ®* ^® triangle est équilatéral, 
a = 6 = c. Alors le numérateur devient égal au dénominateur et 

. A . B . C I «, , ,. 

sin j sin - sm - = g. Plakhowo. 



QUESTION 730 
Solntlon, par Svéchnicoff 



Rendre rationnelle Véquation 

I 2 2\* / 2 l\ 

\x-^ -\- y'^l — \a2.r3 -f è2y3y = g. 

E.-N. Barisien. 



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14G JOURNAL DE MATHEMATIQUES étÉMENTAIRES 

On trouve successivement 

82 i4 23 22 

œ^ -f 4y3a72 + by-^x^-\- 4^2^.3^ y3— a2a?a— J2y3= o 

2 2 4a?v 

x^(x^ + 4y2 _ «2) -f y a(4a72 4- y2 _ ^2) = _ Ôy3 3, 

.^2(a?5 + 4y2_>a2)'»4-y2{4.r'+y2_62^3_i8y2^2(^2 4.4y2_.a2j(4a72 4.y2__J2) 



SOLUTION DE LA QUESTION 742 



Soit donné un triangle ABC et soient Aj, B^, Cj, /e* points on les mé- 
dianes coupent le cercle circonscrit au triangle ABC. Si S et Sj repré^ 
sentent les surfaces des triangles homologiques ABC et A, B, C, on a la 

relation ^i = fa2 + b2+ c2^3 

g [2(b2 -h c2; — a2][a(a2 + c2; — b2][2(a2 + b2) ~ c2] . • 

Jorge F. d' A.villez. 
Soient M le point de rencontre des médianes du triangle ABC : A', B', C 
les pieds des médianes ; »««, nit, wic, les longueurs des médianes AA*, BB', 
ce On sait que 

^4 4 4 

Le triangle MAB et MAiB^ sont semblables. On a donc pour le rapport de 
leurs surfaces 



(2) 



y^ ma + AjA'n 

^ïaT = ^2 = ^2 = ^|2 



MAtBt ^ ma/ ^ (MA' 4- A^A ')2 ^ V3j^' 



Or, AiA' 4- AA' = CA' + A'B, AjA' -\- ma = -, . 

Donc Al A' = i-g- , et comme MB = .y m*, l'expression (2) devient 

MAjBt^ ^ 9(4m.2 ■!■ 3a2)2 

MAB 576m„2^^2 • 

Mais, d'après (i) 4wi„2 4. 3^1 = ^{a^ 4- 62 4- c2). 
Donc MAiB, _ 9(a 2 4- ^' + c^^ 

MAB 1 44*^1 «^^'ift' 

Or, MAB = ^ AA'B = ?; 

par conséquent. 

En faisant la somme des trois aires MAjBi, MAjCi et MBiG,, on a 

g ^ ^S{a'+b'-]-cV \ I I I I 3S 'a24.^24.c2)2(^n«24-m624-ntc2) 

* i44 [m«2mi2 "T" m„2mo2 "^ wii^fw/^ J TJ^wiTmi^mT ' 

En remplaçant w„, wt, me par les valiMirs (i), on trouve l'expression 
proposée. 



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JOURNAL DB MATHÉMATIQUES ÉLÉMBNTAIRRS 147 

Remarque, — On trouve aussi que 

A]6^ , AjCi , 6|G| 3S| 
AB AC BC ^ 

(E.-N. Barisien). 
Solutions exactes : MM. Ernest Foucart, Francis Dauzats, L'Huillier. 

QUESTION 743 
SolntloD, par Ernest Foucart 



Vinveï'se de la longueur commune des demi-droites^ issues du point 
de Jérabek d'un triangle, est égale à la somme des inverses des côtés du 
triangle. (Jorge F. d'Avillez). 

Les coordonnées du point de Jérabek sont 

— ?? a(6 -{- c) —he 
a ho -\- ca -{- a6' 
_ aS b(c 4- g) — c a 
^ ~~ h hc ■\-'ca ^ ah' 

aS c{a •\- h) — ah 

c hc •\- ca -\- ah' 
La longueur de la demi-droite issue du point d'abcisse x étant donnée 
par la formule 

I ^ 4S 

/ a(2S — axy 
on a pour la demi-droite issue du point de Jérabek 

\ bc -\- ca -i- ab I 

Solution exacte : Francis Dauzats. 

SOLUTION DE LA QUESTION 756 
Par Jorge F. d'ATiUcx 



ABC est un triangle isoscèle. On abaisse sur la hase la perpendiculaire 
AH. Sur cette droite^ on a le centre du cercle inscrit au triangle ABC 
et le point D où elle rencontre le cercle circonscrit à ABC. 

Démontrer que si AO est double de HD le triafigle ABC est équilatéral, 

Mannheim. 
SOLUTION 

Si AO = 2HD, on a, en substituant les valeurs connues 



* V "^ = 4R - 2A.. 
R étant le rayon du cercle circonscrit et ha la hauteur AH. 
On a encore 

h * /¥^E^ = ^" _ 4^ r= «-^^ — 4S^ 
Y 2Ô -f- a — S a ôS * 



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donc, comme 


l'on 


a 


S = ^ v/46^ - «* 

^ lih — a _ a2 


il vient 






et 






6- 2« — 0) = -r . 



On a donc l'égalité 

\h^ — l^ab'^ + a2i2 = aS 
laquelle est vérifiée par b == a ; donc, le triangle est équilatéral.. 

Jorge F. d'Avillez. 
Solutions exactes : MM. Jeunet^ Plakhowo, Brand, A. DrozFarny, 
Goyens. 

QUESTIOiNS PROPOSÉES 



L'aire du triangle ayant pour sommets les projections du centre de gra- 
vité sur les côtés est égale à -* --^— ^ , ^ 2 ^ » 

a, ft, c et S désignant les côtés et Taire du triangle donné, 

(E.-N. Barisien). 

Soient : A', B', C les pieds des bissectrices intérieures du triangle ABC ; 
le point de concours de ces bissectrices; A", B", C" les milieux de AA', 
BB', ce ; S et ip la surface et le périmètre du triangle ABC ; 2 la surface 
du triangle A")V'C". Démontrer les relations 

s = èA^M^çç: ^ p^. OA-.OB-.OC-, 

ibp 25- 

(E.-N. Barisien). 

Soient : A', B', C les pieds des bissectrices intérieures 'd'un triangle ABC; 
leur point de concours ; A", B% C" les milieux des bissectrices AA', BB', 
ce ; p, r, R, le demi-périmètre, le rayon du cercle inscrit et le rayon du 
cercle circonscrit au triangle ABC, S' l'aire du triangle A'B'C Démontrer 
les relations AA'.BB'.CC = 4i3.S', 

OA.OA'.OA'.OB.OB'.OB'.OC.OC'.OC" = 4Bl!^ == ^^^ . 

p^ o^ 

(E.-N, Barisien). 

Soient : S le centre des symédianes d'un triangle ABC; A', B', C les 
projections du point S sur les côtés BC, CA, AB. Montrer que les trois 
triangles OB'C, OC'A', OA'B' sont équivalents. (E.-N. Barisien). 



Le Directeur-gérant, 

Georges MARIAUD. 



SAIHT-AMAKD (CHKR). IUPRIIIERIB SCIENTIFIQUE ET LITTÉRAIM, BCSSIÈnS FRÈRES, 



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i 



JOURNAL DE MATHEMATIQURS ELéMBNTAlRBS 149 

PREMIÈRE PARTIE 

Questions proposées aux Candidats 

I. - A L'ÉCOLE SPÉCIALE MILITAIRE S^-CYR 

240. Matliéniatiques. — On donne une parabole de 
sommet S, de foyer F. Sur Taxe on prend un point E tel que FE 
soit égal aux deux tiers de FS. Au point tel que FO = FE 
(0 entre F et S) on élève la perpendiculaire à l'axe. On joint le 
point E au point mobile [i parcourant cette perpendiculaire. La 
droite qui joint D et fi (D, intersection de Taxe et de la direc- 
trice) rencontre la parabole en v. On joint et v qui rencontre 
E(A en M. Lieu du point M quand le point (i décrit la perpendicu- 
laire élevée en à Taxe de la parabole. Léopold Massip. 

240 **•. — On donne un demi-cercle de diamètre AB. On 
trace une corde variable CD parallèle à AB. On projette G en E 
sur AB. On joint E, D. Du point B on abaisse la perpendiculaire 
BI sur ED. On prend le milieu M de BI et on tire EM. Déter- 
miner la position de CD telle que le triangle EBI soit maximum. 
Déterminer la position de CD telle que EM soit perpendiculaire 
àBL 

250. — Décrire au milieu de la feuille une circonférence de 
centre S et de R = 7 centimètres et mener dans cette circonfé- 
rence 3 rayons faisant entre eux consécutivement des angles 
de i2o'. 

Le point S et les extrémités a, b, c, des rayons ont respective- 
ment pour côtés : 

Ces 3 droites SA, SB, SC déterminent un trièdre dont on 
demande de trouver les 6 éléments. 

2* Le trièdre et le PH forment un tétraèdre que Ton construit 
et on demande de déterminer la sphère inscrite dans le tétraèdre, 
ainsi que la plus courte distance de deux droites opposées. 

3* On mène dans l'intérieur de ce tétraèdre un plan N à chaque 
face et à une distance de cette face = 8 centimètres, on enlève 
les petites pyramides ainsi détachées par chacun des plans et on 
demande de représenter le solide restant. 

La sphère inscrite sera tracée en rouge. 

JOURNAL DE MATH. ELÉM. — i898. 10 

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150 JOURNAL DK MATHéMATlQUBS KLéMBNTAIRBS 

250 ^^m Calcul trlgonométrlque* — Résoudre un 
triangle connaissant : 

h = ia2"»,75. a = i825«,45, A = 28'>3i'4o'5. 

250 ^^m Questions d*oral. — Démontrer que la surface 
d'un trapèze est égale au produit de Tun des côtés non parallèles 
par la distance à ce côté du milieu du côté opposé. 

IL - A L'INSTITUT NATIONAL AGRONOMIQUE 



251. Mathématiques, — I. Résoudre un triangle rec- 
tangle en A connaissant le périmètre ap et Tangle B au moyen de 
formules calculables par logarithmes. 

Cas particulier B = 6o**. 

251 **•• — Résoudre Téquation : 

cos 207 H- i(2m — 5) cos a? -+- 3 = o 
et discuter en faisant varier m. 

251 *«'• — lU. Maximum et minimum de : -^ . 

sin X 

252. Calcul logarithmique. •— Calculer 



œ = 



v/v^ 



231478 -H 75781 



2,4789—1,665 -h 1825 

253. Physique. — Un tube recourbé ABCDE se termine 
par deux branches verticales cylindriques ÂB et DE et dont les 
diamètres ont respectivement 6 centimètres et 1 centimètre. On 
verse du mercure dans le tube jusqu'à ce que le niveau M dans 
la branche DE soit à 3o centimètres de l'extrémité E, puis on 
achève de remplir le tube DE avec de Teau. On demande de 
déterminer qualle sera alors la position de la surface de séparation 
du mercure et de Teau dans le tube DE. On place ensuite dans le 
tube ÂB un cylindre du poids de 4 kilogrammes reposant sur la 
surface du mercure et faisant fonction de piston. On demande de 
déterminer la nouvelle position de la surface de séparation de 
Teau et du mercure dans le tube DE. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENT AIRBS 151 

III. — AU BACCALAURÉAT 
LETTRES- MATHÉMATIQUES 

254. Mathématiques* — On donne un demi-cercle AGB, 
de rayon R ; sur la tangente AT perpendiculaire au diamètre AB, 
on porte AM tel que AM = oo, puis, du point M, on mène la tan- 
gente MG. On demande : 

1^ De calculer en fonction de R et de x les distances du point G 
au diamètre et à ia tangente ; 

a** De déterminer x de manière que ia somme de ces deux dis- 
tances soit égale à une longueur donnée m, telle que GD + AD=m. 
— Discussion. 

Au choix) : Mesure du temps ; jour solaire vrai ; jour solaire 
moyen. 

2* Sujet : Lois de Kepler ; inégalité des saisons. 

3® Sujet : Détermination de la longitude et de la latitude. 

255. Physique. — Ëtant donné un aéromètre de Beaumé 
pour liquides plus denses que l'eau, on constate que si on vient 
à en augmenter le poids de a grammes en introduisant de la gre- 
naille de plomb à son intérieur, il s'enfonce dans l'eau pure 
jusqu'à la division 1 5 de la tige. 

Sachant qu'une dissolution de sel marin contenant 85 parties 
d'eau et imparties de sel a une densité de 1,1 14> on demande 
quels sont pour cet aéromètre : son volume jusqu'au zéro de la 
tige : le volume d'une division ; son poids initial. 

Au choix) : 1" Sujet : Microscope. 

2® Sujet : Lunette astronomique. 

3® Sujet : Lunette de Galilée. 

Dans ces trois sujets, il faudra construire les images, indiquer 
la marche des rayons, définir et mesurer la puissance. 

IV. — BACCALAURÉAT (LETTRES — SCIENCES) 

256. Mathématiques. — Deux barres homogènes, de 
mêmes matières et de mêmes dimensions transversales AB, GD, 
peuvent tourner librement en leurs extrémités A et G autour de 
deux charnières horizontales I et J qui traversent une tige AG. 

On sait que ce système pesant est en équilibre dans un même 



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152 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

plan vertical lorsque les barres AB, CD horizontales sont réunies 
par la tige AC verticale et par un fil F vertical et que la barre 
AB est supportée par un fil F dont la droite prolonge celle du 
fil F', en rasant l'extrémité B de la barre AB. 

On regarde le poids de la tige AC comme négligeable, et on 
demande de calculer : 

CD 

i* Le rapport ^ de la longueur des deux barres ; 

2* La tension du fil F, la tension du fil F' et la compression de 
la tige AC estimées en prenant comme unité de force le poids de 
la barre AB. 

Au choix, a) Construire les intersections d'une droite donnée 
par ses projections et d'une sphère donnée par son rayon et par 
les projections de son centre. 

b) Construire langle de deux plans donnés par leurs traces. 

c) Construire l'angle de deux droites données par leurs 
projections. 

257. Physique. — Entre deux conducteurs A, B supposés 
sans résistance sont disposés 3 groupes de 2 lampes à incan- 
descence dont la résistance individuelle est de i*^",5. Ces conduc- 
teurs sont reliés aux deux pôles d'une batterie de 4 éléments de 
pile dont la force électromotrice et la résistance individuelles sont 
respectivement i^"**,^ et o®*^,5. Parmi les 3 arrangements ra- 
tionnels de ces 4 éléments, en existe-t-il qui détermineront un 
courant plus intense ? Quelle sera alors la quantité de chaleur 
rayonnée par seconde dans chaque lampe ? 

Au choix) i*"" Sujet : Capacité électrique mesure, au moyen de 
Télectromètre de la capacité d*un condensateur. 

2* Suiet : Effets calorifiques des courants. — Loi de Joule. 

3® Sujet : Eclairage électrique. 

V. — AUX ÉCOLES D'AGRICULTURE 



258. Arithmétique. — Deux robinets A et B sont ajustés 
à un réservoir. On ouvre A, on laisse couler le quart du liquide ; 
puis on ouvre B, et le réservoir achève de se vider par les deux 
robinets en 1 heure 1/4. 

Si on avait d'abord laisser couler B pendant une demi-heure et 



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^OUBNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 153 

ensuite ouvert le robinet A, le réservoir aurait achevé de s'épui- 
ser en 1 heure -, par les deux robinets. 

Quel temps faudra-t-îl à chaque robinet, coulant seul, pour 
mettre le réservoir à sec. 

258 w». — Calculer x = / . / 1^^, 

VI. — AUX ÉCOLES DE COMMERCE 



250. Aritlimétique. — Uoe personne avait placé une 
somme à 5 y^. Elle Ta retirée au bout d'un an et du capital 
réuni aux intérêts elle a fait deux parts. Le tiers est employé à 
acheter de la rent^ 4ï5 Vo ^^ cours de iio, ce qui donne un 
intérêt annuel de 35o francs. Les deux tiers qui restent sont 
placés en rente 3 Vo ®^ donnent 6o3 francs d'intérêt par an. On 
demande quelle somme cette personne avait d'abord placée et quel 
est le cours du 3 7o' 

859 w». Algèbre. — Résoudre : 

log 07 -h log l^ == 2 

250 t«^ Calcul logarithmique (voir 258 ^i"). 

DEUXIÈME PARTIE 

BIBLIOGRAPHIE 



Sur la polaire d'un point par rapport à une conique^ par A. Tissot. 

Librairie Ch, Delagrave, i5, rue Soufflot. 

Les lecteurs de ce Journal se souviennent de l'étude qui fut insérée, 
sur la polaire d'un point par rapport à une conique. Cette étude avait 
pour but, principalement, de démontrer géométriç[uement des propriétés 
déjà connues sans doute, mais dont, la démonstration, véritablement 
élémentaire, n'avait pas encore été donnée ; en second lieu, d'établir 
quelques nouvelles propriétés. On se souvient quelle ingéniosité et 
quelle élégance M. Tissot a rencontrées dans son travaU. Ce travail 
n'est évidemment pas classique et avant sa publication dans le Journal 
de Mathématiques , peu d'élèves avaient des notions exactes sur le nœud 
et le saillant ; mais il montre que fort heureusement pour notre pays et 
son enseignement, il y a encore des hommes qui aiment la Mathema- 



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154 



JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



tiquô (comme diraient Pascal et M. Laisant) poar la Mathématique elle- 
môme. M. Tissot est un de eeux-là. Il est bon qu'en dehors des heures 
d'enseignement, des professeurs, sans se préoccuper de Fesprit étroit de 
programmes, trop souvent mal faits, cherchent des méthodes, des idées 
nouvelles, dont eux ou leurs collègues meubleront Tesprit de leurs 
élèves. C'est cette recherche, quelquefois longue et toujours patiente, qui a 
permis, chez nous, d'élever le niveau des études scientifiques ; c'est le tra- 
vail personnel de nos maîtres qui a soutenu la réputation de nos grandes 
écoles ; mais pour cela il faut des qualités intellectuelles d'un ordre supé- 
rieur, et la patience dans les recherches mathématiques ne suffit pas, c'est 
là surtout malgré, l'autorité de Buffon, que le génie n'est pas qu'une longue 
patience. A l'imagination, h Tinitiativë, h la hauteur de vues, à la déduc- 
tion prompte et rapide, que doivent posséder tous les véritables mathémati- 
ciens, il faut joindre encore les qualités nécessaires pour coordonner tous ces 
faits, toutes ces vérités, pour les présenter sous leur vrai jour, à de jeunes 
cer> eaux encore peu habitués à ces raisonnements, pour les enseigner enfin. 
M Tissot possède à un haut degré toutes les qualités, et bien d'autres 
encore, que nous venons de signaler. Aussi engageon^nous les lecteurs de 
ce journal à relire attentivement le travail de ce maître ; ils y gagneront 
d'y voir leur esprit se développer, ainsi que la puissance de leur raison- 
nement. G. M. 



SOLUTION DE LA QUESTION 155 



Aiujc extrémités du diamètre, AC d'un cercle 0, on mène les tangentes 
AB = y et CD = u, et des points B et D, les autres tangentes BE et DF 

qui se coupent en M; on tire en^ 
suite les couplés de droites DE, 
BF ; CE, AF; AE, CF, qui se cou- 
pent respectivement en N, Q et L. 

Démontrer que les points M, N, 
Q et L sont sur la polaire du 
point I de rencontre de BD avec 
AC, et que la droite FE pa^se par 
ce point. 

Déterminer les lieux décrits par 

les points M, N, Q et L lorsque : 

AR 

^ OU AB X CD 

ou AB ± CD sont'constants. 

y -\- u 




i« On a 



AI 

c-r 



OI-fR 



= - d'où 01 = R 



V — u 
P étant le pied de la polaire de I, on sait que OP.OI = R2, et par suite, 

OP = R ^ 



V -\- u' 
Soient 3ot et a^ les angles CDF et ABE; les triangles rectangles OCD et' 



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JOURNAL DB MATHBMÀTIQUE8 BLBMBNTÀIRBS 153 

OAB donneront : 

tg« = | tgp=5 d'où tg,. = _^ et tgap = ^?5.^g,. 

Les coordonnées rectangulaires de E (a?', y*) et de F(x\ y") par rapport à 
01 comme axe des a? et à Torigine sont donc : 

U' = B0O8ap = R?i^ U- = _Rc08a« = -RH^^- 



A l*aide de ces coordonnées, il est facile de vérifier que les quatre points 
M, N, Q et L sont sur la polaire ar = R —^ — et que les coordonnées de 
ces points sont : 
(.) MP = HÎLiR? NP = "".If' - 7) QP=^^ LP = -2^: 

Incidemment, on voit que M est le milieu de QL et centre du cercle cir- 
conscrit au quadrilatère QFLE. 

Obsbrvation. — Si t« et o sont de sens contraires, le pôle I devient inté- 
rieur, et la polaire, extérieure. 

a® Lieux géométriques. — Première condition : - = m. 

Puisque - est constant, BD coupe AC en un point fixe I, et comme OP 

est aussi constant, les points M, N, Q et L parcourent la polaire de ce 
point. 

Deuxième condition : — uv = m^. 

Les équations des lieux géométriques cherchés résulteront de l'élimina- 
tion des variables te et r entre 

R(t? — u) « 

X — -^ — i •' uv = m«, 

r + t* 

et l'expression (ij de l'ordonnée correspondante. On trouvera ainsi pour 

(M) l'ellipse l^mV^y^ + (w» -f R^)^^^ = R^C^i^ -f R*)^ 

(N) l'ellipse 4R6y2 ^_ „t2(3R2 — m2)2a?2 = m2R2(3R2 — ni2)2, 

(Q) l'ellipse R«y2 4. ni2jr2 = t^2R2, 

(L) l'ellipse m2y2 + R2a72 = r4. 

Troisième condition ; v -f u = m. — On éliminera t* et t? entre : 

R(» — u) , 

X = -i — ' i t? 4- M = m, 

1? -f t* 

et l'une des équations (i), ce qui donnera pour : 

(M) la parabole 4R2my = 4R* + m2(R2 — x^\ 

(N) le lieu i6R6y = ni(R2 — x'^) [laR* — w2(R« — a?2)], 

(Q) la parabole 2R2y = m(R* — x^)^ 

3lR2 



(L) la parallèle à 01 


y = 


m ' 








Quatrième conditton 


• V — u : 


= m. 


— On éliminera 


uet 


V entre : 


X 


R(î?- 


u 


V •— u =£ m, 







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156 JOURNAL DE MATHEMATIQUES J^LEMENTAIRBS 

et Tune des équations (i), ce qui conduira pour : 

(M) à rhyperbole ^Kmxy + (m» — 4R»}a?2 = m«R« 

(N) au lieu i6K^x^y = m(R2 — x^) [iaR2a?« — m2(R2 — a?2)], 

(Q) h l'hyperbole aRa?y -h ma?» = mR*, 

(L) à la droite y = — a?. H. Lecocq. 

SOLUTION DE LA QUESTIOiN 236 

Dans un cercle de rayon R, placer trois cordes de longueurs données 
«, P, Y '^^ manière à ce que le triangle formé par leurs intersections soit 
semblable à un triangle donné ayant A, B, G, pour angles. Expression 
des côtés, de la surface et du rayon du cercle circonscrit. Cas particulier 
du triangle équilatéral. 

Posons m = %/r2 — ^ n = v/r^ — ^ p = y/^^ — ? 

m, n, p étant les distances du centre aux cordes données. 

Décrivons de ce point trois circonférences concentriques de rayons m, n 
et p. Menons une tangente quelconque BG à la première, et aux deux autres 
des tangentes faisant avec cette droite des angles donnés B et G, on ob- 
tiendra ainsi un triangle ABG répondant à la question. 

Soient H, K, L les trois points de contact des côtés BG, AG, AB, on aura, 
par projections : 

AK = AL 008 A + p siïi A. 
AL = AK cos A -|- n sin A 
d'oCi 

AK = J^ "t" ^ CQS A ^^ _ n -f i? cos A 
sin A sin A * 

on trouverait de même les expressions de BL, BH et de GH, GK d'où, pour 
les trois côtés a, 6, c du triangle ABG, en posant : 

m sin A + n sin B -f- ;? sin G = Q 

sin B sin G sin A sin G sin A sin B* 

S=__-2i___ Vi= -Q 

3 sin A sin B sin G i sin A sin B sin G* 

Si le triangle est équilatéral, on a : 

S = (w + n + p)h/Z ^j j^ ^ \i{m + n -^ p) ^ 
3 3 

H. Lecocq. 

m Lt m * M 

SOLUTION DE LA QUESTION 237 



Déterminer^ dans le plan d*un triangle ABG, un point tel que^ pour 
les trois triangles OAB, OAG, OBC, le produit des trois côtés soit le même. 
On supposera, dans la figure, a > b > c. 



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JOURNAL DE MATHEMilTIQUES ÉLÉMBNTAI|IBS 157 

n faut donc que : 

a X OB X OC = 6 X OC X OA = c X OA X OB 
OA OB OC 

Soient et 0' les points de partage de BC en raison inverse de AC et AB ; 

le point sera sur la circonférence de diamètre DD', et son centre I peut 

ôtre déterminé par les rapports : 

DB _ DC _ _a__ D'B ^ 5^5 _ _ g 

b c b -{■ b c h — c* 

,, , IC c^ . ,j. abc 

d ou ^ = ^ et ID = 



m-b '"' ^"-è2-^=-c-2- 

Pareillement^ on trouvera sur AC et AB les centres H et K de deux 
autres cercles, de rayons ^ - ^ et g , ^ sur lesquels se trouvera encore 

le point 0. 
Il y a deux solutions symétriques par rapport h la droite IHK. 

Etant donné un triangle ABC, le point symétrique du point de con- 
cours I des trois hauteurs par rapport au centre du cercle circonscrit est 
tel que, pour les trois triangles OAB, OAC, OBC, la somme des carrés des 
trois côtés est la même. 

En effet, abaissons OP et IQ perpendiculaires sur AC, on aura : 
AP = CQ et AQ = CP. 

D'autre part : 





(5Â^- 


oc' 


= PI' 


-PC* = 


= CQ* 


-AQ* 


= Cb' 


-AB* 


d'où 
et, par 


suite 


Oï' 


oa' 


+ âb' = 
+ Sb* = 




+ cb' 


H-OB* 


H. Lecocq. 



TROISIÈME PARTIE 

QUESTION 760 
Solntlon, par Ernest Foucart 



Etant donné un cercle C, de rayon R, d*un point A de la circonférence 

comme centre on décrit un cercle C de rayon K qui rencontre C en P et 

P', et un cercle C de rayon K" qui rencontre C en Q et Q'. Calculer les 

aires des triangles APQ et APQ' en fonction de R, R', R*. 

E. N« Barisien, 

Nous supposons R" > R'. Le théorème de Ptolémée donne 

aR.PQ = RV4R* — R'^ - RVfRî - R'^, 

^ ç, .jy^ R' R'.PQ RV{R2 — R'2 _- R'v/4R* — H'* 
Or S. APQ = — p-- = -^^2 • 



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158 JOURNAL DB MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

De même 

G Apn' — R'R'PQ' _ RV4R2 — R'2 - }- RV4R2 ^Tr^ 

^•^^ - 4R ■" âP • 

Solutions exactes : MM. Francis Dauzats, L'HuilUer, Goyens, 
Plakhowo. 

Q UESTION 7 62 

762. — Un angle droit xOy est coupé par deux droites parallèles AA' 
et BB'. (A, B sont sur Ox; A', B' sur Oy). La perpendiculaire abaissée de 
sur la direction des parallèles considérées rencontre : AA' en P ; BB' 
en Q; on suppose B'Q = AO. 
Démontrer que si l'on prends sur Ox, OH = QB, on a 

tg HA'O = tg^AA'O. E.-N. Barisien. 

OH = AO tg HA'O ; AO = AO tg AA'O. 
Multiplions ces égalités membre à membre, nous aurons 
AO.OH = A'OHg HA'O. tg AA'O, 

■ , , * TT4'A AO.OH 

dou *8H^^ = Fon7Tô- 

Mais comme OB' = A'O et OB = HO, cela veut dire que 

0Q2 = BQ.OB' = A'O.AH ; QO = QB'. tg AA'O, 
et QO2 = QB'2tg»AA'0, 

et alors nous aurons 

t. HA'O - AQ'-tg AA'O 

-^ = tang AA'O ; tg HA'O = tg«AA'0, 

ce qu'il fallait démontrer. N. Plakho'wo. 

Solutions exactes : MM. Ernest Foucart, Francis Dauzats, A. Droz- 
Farny, Svecknicoff, L. Goyens, L'Huillier. 

SOLUTION DE LA QU ESTION 763 

Le centre du cercle orthogonal aux trois cercles exinscrits à un trian^ 
gle F est distant du centre du cercle des neuf points du même triangle 
F de la longueur _. ^^^^T^;. (E .N. Barisien). 

On sait que le cercle circonscrit au triangle anticomplémentaire de F est 
orthogonal aux trois cercles exinscrits ; il a pour centre Torthocentre H de 
F. La distance de Torthocentre de F au centre du cerde circonscrit au 
même triangle est donnée par la relation connue 
OH = V'RCR — ar). 

Le centre w du cercle des neuf points étant le milieu de la droite OH, on 
a la distance cherchée 

u>H = iy/R(R-ar). 

(Jorge F. d'Avillez. 
Solutions exactes : L'Huillier, A. Droz-Famy, Franûis Dauzats. 



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JOURVAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 



159 



Si d'un point quelconque M de Vaxe radical de deux cercles et 0', 
on mène les quatre tangentes égales MA, MB, MG, MD, le point de ren- 
contre des diagonales du quadrilatère inscrit ABCD coïncide, quel que 
soit le point M avec le centre U d'homothétie interne {si et 0' sont 
extérieurs Vun à Vautre), ou externe (si et 0' sont intérieurs Vun à 
Vautré), 

Soient et 0' extérieurs l'un à Tautre. 

Remarquons d'abord que les côtés AD et BC passent par le centre d'ho- 
mothétie externe S de et de 0' ; car A et D d'une part, ou B et G d'autre 




part, sont les points de contact de cercles tangents] à et 0' intérieure- 
ment ou extérieurement, h cause des triangles isocèles AMD et BMG. 

Les côtés AB et GD passent par les deux points fixes . I et L qui sont, 
pour et 0' les pôles de l'axe radical ; leur ^point de rencontreJN appar* 
tient au même axe, puisque : 

NA X NB = ND X NG. 

Soient Q le milieu de 00' = ad; R et R' les rayons de et 0' ; T 
l'expression commune des tangentes menées de M ; e, celle des tangentes 
menées de N et 0, celle des tangentes menées de P : posons MP = m^ 
NP = ». On a d'abord : 

PÔ^ — P^^ = 00' X aPQ = 4d X PQ = R« — R'2- 

R2 _ R'2 



d'où 
d'ailleurs 



01 = 



R2 

PD 



O'L: 



PQ = 

R'2 
Ô'P 



4d 



-^ PI X PO = PL X PO'. 



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160 JOURNAL DE MATHEMATIQUES éLEMENTAlRES 

D*ua autre côté, des triangles semblables MPO et NPI, on déduit : 

^ = ~ d'où inn = PI X PO = 62. 
ri n 

Il en résulte : 

T2 = ME X MO = MP X MN = m{m + n) = m2 + 62 

«2 = NÀ X NB = NO^ — R2 = n2 + PÔ" — R = ^2 _|. 92 = 

= n{m -h w) = NP X NM. 

Si donc on prend PH = PK = 6, les deux circonférences de centres 

M, N et de rayons T, t passent par les deux points fixes H et K et sont 

orthogonales. 

Du centre M du cercle circonscrit au quadrilatère ABGD, abaissons MG 

perpendiculaire à la troisième diagonale NS qui est la polaire du point de 

rencontre des diagonales intérieures. Soit U l'intersection de MG avec 00' ; 

on a : 

MU X MG = MP X MN = T2 

donc U est le point de rencontre des diagonales. 

Or, je dis que U est aussi le centre d'homothétie interne de et 0' ; en 

effet, on a, par la similitude de PUM et NPS : 

m = PS ^^^ P^ = PS 
et, si Ton désigne par a, p, y, 8 les intersections de et 0' par la ligne 
.des centres, on aura, en partant de : 

62 = (d -f PQ)2 — R2 

ft2 - «g X jây X gy X ^S pc _ (R + R) ay X ?B 

" - im ^^ - 4^(R — R') 

avec les données ci-dessus, et en se servant de : 
os_ o;s __ ad 

R ~ R' ~ R — R' 
on vérifiera facilement que 

û^, = ^,. H. Lecooq. 

Dans tout hexagone inscrit^ les points de rencontre de chacun des 
côtés non consécutifs avec la diagonale qui joint les extrémités des côtés 
contigusy sont trois points en ligne droite. 

Dans tout hexagone circonscrit, les droites qui joignent chacun des 
trois sommets non consécutifs au point de rencontre des côtés contigu^ à 
ceux qui les déterminent ^ se coupent en un même point. 

Soit Oj 0203040500 un hexagone circonscrit au cercle 0, de rayon R, et, 
dans le même ordre, Sj (entre Oj et O2), S2S3S4S5S6 les points de contact, 
sommets de Thexagone inscrit dans le môme cercle. 

Des sommets OjOaOg comme centres, avec OjSi, O3S3, OgSjj comme 
rayons, décrivons trois cercles dont les centres de similitude externe 
M(Oi et O3), N(03 et O3), P(05 et Oj), sont en ligne droite, et qui ont pour 
centre radical le point 0. 

D'après le théorème précédent, les trois droites SiSg, 8583 et O1O2 qui 
passe par le point de rencontre «T2 des diagonales du quadrilatère ; SiSiSgSe • 
concourent au point M. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 161 

De même les trois droites 838;, SgSg et OsO^j qui passent par le point de 
rencontre g^ des diagonales du quadrilatère S3S4S5S2 concourent au 
point N. 

Et enfin les trois droites SgSs, S1S4 et O1O5 qui passe par le point de 
rencontre o^ des diagonales du quadrilatère S3S6S1S4 concourent au 
point P. 

La propriété est donc démontrée. 

D'autre part, puisque o^^^^Vq sont les centres de similitude interne des 
couples de cercles Ofi^, OsOg et OgOi, il en résulte que les points 
(j-;, (Te ©t M ^ 

*T2, ^6 et N V sont en ligne droite. 
ff2, ff4 et P ) 

Il en serait de même pour les cercles O2O4O6 qui fournissent une autre 
droite (centres de similitude externe), et pour les centres de similitude 
interne 0203^5 considérés deux à deux. 

La seconde partie se déduit de la première par les propriétés des pôles et 
polaires réciproques. 

Du théorème précédent on conclut encore que O^Os passe par 72) ^2^4 
par (Ts..., etc. 

Et que chacune des trois lignes O1O4, 020g, OsOe passe par un des 
sommets du triangle déterminé par les trois droites 8^84, 8285 et 8385. 

Remarque. — Les résultats formulés dans ce même théorème permettent 
de passer facilement du théorème de Pascal à celui de Brianchon et réci- 
proquement, au moyen des figures inverses. En effet, considérons les 
cercles Oj, O4 de rayons Oi8i et O4S4; les cordes de contact 8384 et 8iSç 
concourent en un point a' de leur axe radical ; soit a l'intersection de Oa' 
avec O1O4, on a : 

Oa X Oa' = R2. 

Les points correspondants |à, p' ; y, Y relatifs aux droites 020g et O3O6 
donneront de même 

Op X Op' = R2 

Oy X OY = R2. 
Ainsi les points a, p, y oi^* pour inverses a', P', "(' ; si donc ces derniers 
sont en ligne droite (théorème de Pascal), les droites O1O4, O2O5 et O3O6 
concourent en un même point (théorème de Brianchon), et réciproquement. 

H. Lecocq. 

REMARQUES 

COHCEBNAlfT LES FORMULES FONDAMEirTALES DE LA TRIGONOMETRIE 

par M. Escary, professeur au Lycée de Foix 

I 

Les formules de l'addition des arcs en trigonométrie, savoir : 

, , ( cos (a 4- b) = cos a cos ô — sin a sin b 

il) { \ I / 

( sm ( a + *) = sin a cos i -f- sin è cos a 
peuvent être établies par trois méthodes qui, en apparence, sont différentes, 
mais qui, au fond, découlent des mêmes principes comme cela doit être et 



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162 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

comme il est facile de le démontrer. Dans la première méthode, fondée sur 
la similitude, c'est-à-dire sur l'interprétation arithmétique des constructions 
de la géométrie, on établit d'abord pour le premier quadrant que ces deux 
formules sont de véritables identités, ou des égalités de même espèce que 
(a) (a 4- è)2 = a2 -f aaô -f b^ 

où les deux membres conduisent à des valeurs numériques égales pour 
toutes les valeurs réelles de a et de b. 

Ce point établi, on applique les résultats obtenus dans les variations des 
lignes trigonométriqnes h celles de ces lignes qui figurent dans les éga- 
lités (i). On sait d'ailleurs que ces variations sont uniquement déduites de 
l'arithmétique et des conventions relatives aux signes de la géométrie de 
Descartes. On constate ainsi successivement, non seulement que les égalités 
dont il s'agit subsistent, mais encore qu'elles conservent la même forme 
quand la somme des arcs se termine au second, au troisième ou au qua- 
trième quadrant, et cela, quelles que soient les valeurs des arcs aetb dont 
la somme est comprise entre et ax. Enfin, en ayant égard à la périodicité 
on démontre, toujours au moyen des mêmes variations des lignes trigono- 
métriqnes, que les premiers membres des égalités (i) donnent les mêmes 
résultats numériques que les seconds, lorsque a, i, et par suite leur somme 
passent d'une manière continue par toute l'échelle des grandeurs • en sorte 
que, ces deux égalités uniquement composées de fonctions transcendantes 
sont absolument analogues, ou plutôt de même espèce que l'égalité (2) ex- 
clusivement composée de quantités algébriques. 

Telle est l'essence de la démonstration, due à Lagrange, si je ne me 
trompe, des formules fondamentales de la trigonométrie, qu'on trouve dans 
la plupart des traités écrits sur cette matière. On voit que cette solution a 
toute la généralité, ou toute l'étendue que la question comporte. 

n 

Les formules (i) qu'on peut déduire de la suivante : 
(3) cos (a — b) =z cos a cos b -}- sin a sin h 

ont été établies par Cauchy, d'après Catalan, ou par Sarrus, d'après M H 
Fajon (Journal de Vuibert, 1892, p. 86), au moyen des mêmes principes et 
avec la même généralité, à l'aide d'une méthode dont l'exposition exige 

moins de détails et qui, par 
J^ ^ conséquent, conduit plus ra- 

pidement au but. 

Soient les cercles de 
rayons égaux à l'unité. ANM 
un arc égal à a, AN un arc 
égal à b, et par suite NM 
égal à a — i. Si Ton cons- 
truit le sinus MP de l'arc a 

are. ,e sinus m et le cosinus OQ a. V.rct eL^^Z Zs^kZ 
cosmus OR de l'arc „ - *, les deux triangles rectangle: Àmc ^t ÏsÏ 



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JOURNAL DE MATHËMATIQUES ELEMENTAIRES 163 

donnent, dans le premier cercle, l'égalité double suivante : 

MN^ = (sin a + sin J)2 + (ces b — ces a)2 = 2 [i + cos (a — b)] 
et dans le second, la suivante : 

m? = (sin a + sin è)* + (cos a + cos 6)2 = 2 [i + cos (a — b)]. 

D'où Ton conclut dans les deux cas, et en ayant égard aux signes deMP, 
ou de sin a, de OP, ou de cos a, de OQ ou de cos ô, de OR ou de cos (a — 6). 

cos (a — 6) = cos a cos 6 -f sin a sin b, 
ce qui est précisément la formule (3). * 

La construction des triangles BMN et CMN, au moyen desquels la for- 
mule (3) a été établie, est toujours possible et reste la même quand les extré- 
mités des arcs a et 6 se terminent à l'un quelconque des quatre quadrants. Il 
suffit donc pour achever d'établir sa généralité d'avoir égard à la périodicité. 

Ces deux solutioDS ne diffèrent donc pas essentiellement l'une de l'autre, 
cependant, la seconde est plus élégante parce que la discussion réclamée 
par la considération successive des quatre quadrants, s'y trouve supprimée. 

Elles emploient les mômes éléments géométriques puisés aux mêmes 
sources, c'est-à-dire sans l'interprétation des constructions de la géométrie 
au moyen des opérations de l'arithmétique. 

m 

La méthode dite des projections est aujourd'hui la seule exigée par les 
programmes de l'enseignement secondaire en France pour établir les mêmes 
formules. Elle est considérée par les étudiants comme étant moins nette, 
moins limpide que les précédentes. Il nous semble que cela tient h ce que 
le point de départ de la démonstration qui en résulte et qu'on donne dans 
les Traités de trigonométrie est un peu éloigné des principes dont on y fait 
usage. Et ce n'est qu'en y portant une certaine attention qu'on voit com- 
ment, au moyen des raisonnements employés, et sans avoir égard aux dé- 
monstrations précédentes, les égalités (i) dont il s'agit, composées de fonc- 
tions transcendentes, sont des identités ou des égalités de même espèce que 
régalité algébrique (2). 

En se reportant aux excellentes leçons de trigonométrie de Briot et 
Bouquet, on voit que ces deux auteurs font découler la démonstration des 
identités (i) de la considération d'un polygone plan (et il pourrait être 
gauche), analogue au polygone des forces de la statistique, et qui résulte 
de la composition d'un système de forces appliquées à un point matériel et 
ayant des directions quelconques. Ils considèrent en même temps le côté 
qui le ferme et qu'ils appellent la résultante. Ils imaginent ensuite que le 
polygone et la résultante sont parcourus par un mobile à partir de leur 
origine commune. Ce mobile part ainsi, dans l'un et dans l'autre cas, d'un 
même point pour aboutir à un même second point. Us projettent ces deux 
chemins ainsi parcourus sur le même axe et ils concluent que les deux 
résultats sont identiques, ce qui est vrai* Mais la solution étant ainsi pré- 
sentée à cette distance du point de départ de la statique et dans un ordre 
d'idées bien différent de celui qui fait l'objet de la trigonométrie, on ne voit 



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164 JOURNAL DE MATHéMATIQUBS éLéMBNTAIRBS 

pas bien les raisons de cette identité et pour bien s'en rendre compte, il est 
nécessaire de remonter h ce même point de départ. 

On sait que dans la statique les opérations au moyen desquelles on par- 
vient h former des identités sont purement géométriques, et que c'est par 
des constructions géométriques qu'on est amené à faire effectuer & toutes 
les forces appliquées h un point, sauf à Tune quelconque d'entre elles, des 
translations convenables, ce qui conduit aux polygones dont nous venons 
de parler et aux côtés qui les ferment. Ces polygones et ces côtés consti- 
tuent des quantités géométriques formant de véritables identités, c'est-à- 
dire des quantités pouvant être substituées les unes aux autres. 

Maintenant, la traduction en langage algébrique de ces identités qui ont 
une forme géométrique, se trouve fondée sur la solution du problème in- 
verse suivant : « Décomposer une force donnée en deux ou trois autres 
ayant des directions assignées h l'avance. » On peut prendre ces directions 
absolument quelconques à partir du point d'application de la force donnée, 
et par conséquent rectangulaires. En décomposant ainsi à l'aide du paral- 
lélogramme ou du parallélipipède des forces, toutes les forces appliquées au 
même point pris pour origine, ainsi que leur résultante, en deux ou trois 
autres ayant les directions données, on remplace l'identité géométrique 
dont nous venons de parler, par deux ou par trois autres identités ayant 
un sens arithmétique et absolument analogue â celles qui naissent de l'ad- 
dition algébrique; car par cette décomposition, on est ramené à une nou- 
velle composition des forces qui coïncide avec l'addition algébrique. Dans 
les ouvrages de trigonométrie, on se borne à considérer la projection du 
polygone des forces et celle de la résultante sur un seul axe, et on égale 
la somme des projections des différents côtés à la projection de la résul- 
tante. Si la résultante est nulle, ou que le polygone se ferme, le second 
membre de l'identité est nul. Tels sont les principes dont on parait faire 
implicitement usage dans les traités actuels de trigonométrie pour établir 

les formules (i). 

IV 

Mais la discussion précédente met sur la voie pour arriver aux mêmes 
formules à l'aide d'une méthode indépendante de la statique et uniquement 
fondée sur la définition donnée en géométrie 
plane, de la projection d'une droite sur une 
autre droite, rapprochée de l'arithmétique, de 
la variation des lignes trigonométriques, et 
enfin, de la multiplication algébrique. 

Soient en effet deux axes rectangulaires œ'x 
et y'yy une droite OA, d'abord de longueur 
constante, mais absolument quelconque et sa 
projection OB sur Ox, On a l'identité purement 
arithmétique : 

(4) OB = OA X ^ . (A suivre). 

Le Directeur-gérant, 
Georges MARIAUD. 

saiht-amaiid (cnbr). ihnumuii scnKTiriQUi n uttéraim, bussiAiib rBiiu. 

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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ULEMENTAlRKS 165 

*""■'■'■"■-'■'■'■"■''' - ■ -- - ■ ■ ' • ■'- 

PREMIÈRE PARTIE 
Questions proposées aux candidats 

I. — A L'ECOLE SPÉCIALE MILITAIRE S^ -CYR 

{A cette époque de Vannée beaucoup de nos abonnés nous 
demandent des questions pouvant être posées à l'oral; nous 
leur en donnons dans ce mirnéro, un certain nombre ayant été 
demandés plitsiêurs fois). 

260. — Trouver la somme des n premiers nombres entiers. 
Trouver la somme des carrés des n premiers nombres entiers. 

Etudier les variations de la fonction : 

y = sin^o? — sin a? -h i. 

Couper une pyramide par un plan parallèle à la base de façon 
que le volume de la petile pyramide partielle soit le septième du 
volume du tronc de pyramide restant. 

!iî6i* — DéGniiion et calcul du volume du segment sphérique. 
On donne un triangle ABC, trouvçr un point M sur la base BC, 

tel que MA = MB X MC. Examiner successivement le cas où 
le point M est extérieur au segment BC et le cas où le point M 
est intérieur au segment BC. 

Résoudre Téquation : sin 3x =. cos x, 

262. — Construire en géométrie cotée Tangle d'une droite et 
d'un plan donnés par leurs échelles de pente. 

Résoudre et construire un triangle, connaissant la longueur a 
d'une bissectrice et les longueurs l et m des segments qu'elle 
détermine sur le côté opposé. 

On donne la projection abc de d'un polygone plan et les cotes 
des trois sommets aôc, on demande les cotes des deux autres 
sommets d e. 

263* — On donne sur une droite trois points A, B, C, construire 
le conjugué harmonique du point Cpar rapport aux points A et B. 

On donne un triangle ABC, trouver un point S de l'espace d'où 
Ton voit les côtés AB, AC, CB, sous un angle droit. Nombre de 
solutions. Calculer les côtés SA, SB, SC du trièdre trirectangle 
ainsi obtenu. 

264« — Mener à l'ellipse une tangente par un point donné. 

JOURNAL DE MATH. ÉLKM. — 1898. H 



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166 JOURNAL DE MATHBMATIQUBS ]£lÉMBNTÀIRBS 

Trouver parmi les pyramides à base carrée, ayant même arête a, 
celle doat le volume est maximum. 

265* — Construire un tétraèdre régulier dont on donne trois 
sommets et le centre. 

Résoudre le système : x -h y r= a sin^o? -h sin^y = b. 

266. — Résoudre un triangle connaissant log bj log c et A. 
Trouver une normale commune à deux cylindres de révolution. 
Incidemment : peut-on toujours mener à un cylindre un plan 
tangent parallèle à un plan donné? 

On donne une sphère impénétrable et un point A sur cette 
sphère; construire le point A' diamétralement opposé au point A 
sur ta sphère. 

Dans un triangle ABC on donne la hauteur b issue du sommet 
A et les segments m et n que celte hauteur h détermine sur le 
côté BC, on demande de calculer Tangle A. 

267. — Construire en géométrie cotée la perpendiculaire 
commune à deux droites. 

Etudier la fonction : y = \/a^ — œ^. 

On donne un triangle ABC; trouver à Tintérieur de ce triangle 
le point M tel que Ton ait : 

aire MB C _ aire MAC _ aire MAB 
. 1 "" 2 " 3 

268. — En supposant b^ ^ ac <C o, étudier le signe de 
l'expression ax^ -h 9.bx -h c, quand œ varie de — » à -h oo. 

DéQnilion de la pyramide régulière. Par quelle longueur faut-il 
multiplier la surface latérale de la pyramide pour obtenir son 
volume? 

On donne dans un triangle les côtés b,c et la surface — ; calcu- 
ler les autres éléments du triangle. 

tSGO. — Résoudre un triangle connaissant 6,c,A. Calculer la 
surface. 

Trouver l'angle de deux plans en géométrie cotée. 

270* Physique. — Comment est constitué un. galvano- 
mètre? Comment Taiguille est-elle rendue asiatique? Quelle est 
l'action de la bobine sur Taiguille supérieure? Action de la partie 
supérieure de la bobine sur l'aiguille inférieure? Quelle est donc 
Tutilité de la seconde bobine introduite ? Si les deux aiguilles 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRE» 167 

étaient également aimantées qu'arriverait-il? Pourrait-on mesu- 
rer Tin tensi té du courant avec un tel appareil? A quoi pourrait 
servir l'appareil ? 

Qu'entend-on par projection sléréographique ? Quels sont les 
grands avantages de la projection sléréographique? Montrer 
qu'elle conserve les angles. 

271. — Qu'entend-on par électrolyse ? Quelles sont les lois de 
l'électrolyse ? Comment se fait la décomposition des sels de 
cuivre ? Principe de la galvanoplastie. 

Parler du phosphore. — Quelles sont les propriétés de ce corps? 
Où le trouve-t-on ? A quoi emploie- t-on le phosphore ? 

I272* — Parler de la lunette astronomique. Qu'appelle-t-on 
foyer d'une lentille ? Ecrire la marche des rayons dans la lunetfe 
astronomique. Qu'entend-on par champ d'une lunette astrono- 
mique ? Conserve-t-on dans la lunette tout le champ susceptible 
d'avoir? Dans ce champ, toutes les parties de l'image sont-elles 
également éclairées? Examiner l'image au point de vue de son 
éclairement, d'un point situé sur le bord du champ. 
!4(73. — Lecture d'une carte d'Etat-Major. 
ÎÎ74. — Quelles sont les lois de la chute des corps ? Calculer le 
temps que met un corps en tombant d'une hauteur h. Quelle 
sera la vitesse acquise par ce corps, au bas de sa chute? Suppo- 
sons qu'à ce moment le corps rencontre la surface d'une masse 
d'eau, combien mettra-t-il à parcourir une longueur l dans cette 
masse, en supposant la résistance de l'eau nulle? 

Qu'est-ce que l'ammoniaque? D'où retire-t-on industriellement 
ce gaz? Que donnent comme résidu les eaux d'épuration ? 

II. — A L'INSTITUT NATIONAL AGRONOMIQUE 

275. Mathématiques* — Le moment de la résultante de 
plusieurs forces parallèles à un plan est égal à la somme des 
moments des composantes. Démontrer le théorème pour les 
moments de deux forces parallèles et de leur résultante par rap- 
port à un point de leur plan. 

Citer les diverses expressions de l'aire d'un triangle en trigono- 

,..-., . oi a^sin B sin B 

metrie. Démontrer que b = : — ^ . 

^ 2sinA 



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168 JOURNAL DE MÀTHiEmàTIQUBS BLBMBNTAIRBS 

Résoudre le système : < , ^ , ^ ^ 

1 ^ + // — (^ -+- y) = ^• 

SS76« — Définir l*axe radical de deux circonférences. Démon- 
Irer que le lieu des points d'égale distance par rapport à deux 
circonférences est bien une droite. 

Ou donne une droite par ses deux projections ; trouver les 
angles qu'elles font avec les plans de projection. 

Caractère de divisibilité d'un nombre par 9. 

Calculer tg 2a connaissant tg a. — od et a?" étant les racines de 
a?2 4-^07 -h g = former une équation qui admette pour racines 
(a?' -h odj et (d — oi'f, 

277. — Parler des éléments qui servent de base au système 
métrique. Quelle différence essentielle existe entre les mesures 
de volume et les mesures de capacité? 

Calculer sin a et cos a connaissant tg -. 

Trouver une progression arithmétique de 4 termes connaissant 
la somme de ces termes et celle de leurs inverses. 

278. — Réduction de plusieurs fractions au même dénomina- 
teur. Obtenir le plus petit numérateur commun. 

Calculer sin 2a connaissant sin a et cos h. 

Construire la courbe : v == . 

^ 1 — X 

279* — Définir le centre de gravité d'une aire plane. Indi- 
quer un procédé pour trouver le centre de gravité de Taire d'un 
polygone quelconque. En quoi consiste le théorème des moments? 
Détermination du centre de gravité au moyen de ce théorème. 

Etablir, entre les éléments d*un triangle, la relation : 

a = 6 cos C -1- c cos B. 

Utiliser le théorème des projections pour obtenir une formule 

générale. Quelle formule obtiendrait-on en projetant le contour 

du triangle sur un axe faisant un angle a avec l'un des côtés ? — 

!a? -H y H- ^ = û 
^^ -+- y^ -H -?' = «2 
j;3 _^ y3 _^ ^3 __ ^3^ 

280* Chimie^ — Pourquoi a-t-on mis le soufre et l'oxygène 
dans la même famille des métalloïdes? Sulfocarbonates. 
SS81* — Anhydride azotique. Sa préparation. Propriétés. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 169 

Acide bromhydrique. Préparation. Comment peut-on recueillir 
le gaz bromhydrique sec ? Peut-on le dessécher avec de l'acide 
sulfurique? Peut-on préparer Tacide bromhydrique par l'action 
du brome sur certaines matières organiques chauffées? Proprié- 
tés de l'acide bromhydrique. — Sulfure de carbone. Préparation. 
Usages. 

!4^82. — Hydrogène. Préparation de l'hydrogène. Méthode 
générale ; décomposition de Teau par un mêlai facilement oxy- 
dable. — Attaque d'un métal par de Tacide étendu. Action de 
Facide chlorhydrique sur le zinc. Impuretés. Purification. 

Iode. Préparation. Propriétés. Action de l'iode sur les dissolu- 
lions alcalines. 

Chlorure de silicium. Préparation. Propriétés du chlorure de 
silicium. Son action sur l'eau. Est-ce un corps solide, liquide ou 
gazeux ? Action du chlorure de silicium sur l'alcool. Action de 
l'hydrogène sur le tétrachlorure de silicium. 

!283« — Bioxyde d'azote. Préparation. Propriétés. Est-ce un 
composé stable? — Acide chlorydrique. Préparation. Quelle est 
la préparation industrielle ? Quels sont les appareils dans lesquels 
s'effectue la réaction? Comment se forme le sulfate neutre et 
dans quelles conditions? Propriétés de l'acide chlorydrique. 

Bore et acide borique. Préparation. D'où provient le borate de 
chaux? Quelle est la formule de l'acide borique? Préparation du 
borax. Comment peut-on passer de l'acide borique au biborate de 
soude ? 

!284. — Synthèse de l'eau. Eudiomètre. Autres méthodes. 

Hydrosulfite et hyposul fi le de sodium. Préparation de l'hydro- 
sulfite de sodium. Comment peut-on séparer l'hydrosulfite du 
sulfite et du bisulfite qui se forment en même temps? Comment 
peut-on distinguer l'hydrosulfite du bisulfite? Propriétés de l'hy- 
posul fi te et ses usages? Que donne-t-il traité par un acide? — 
Hydrogène arsénié. Préparation. Action de l'hydrogène sur 
l'anhydride arsénieux. Comment distingue- t-on les taches u'arse- 
nie des autres taches métalliques? 

ftSS. — Sulfure de carbone. Préparation du sulfure de car- 
bone. Analogies du sulfure de carbone et de l'acide carbonique. 
Sulfo-carbonates. 

9SQ. Physique* — Loi de Mariotte. Enoncé de la loi. Véri- 



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170 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

fication. Celte loi est-elle exacte? Les gaz s'en écartent-ils beau- 
coup? Dans quel sens s'en écartentils? Y a-t-il beaucoup de gaz 
qui se compriment moins que ne l'indique la loi de Mariotte? 

Lunette de Galilée. Marche des rayons dans l'appareil. Quels 
sont les avantages de la lunette de Galilée? 

287. — Hygrométrie. Qu'appelle-t-on état hygrométrique? 
Peut on trouver l'élat hygroméirique si on connaît la tension de 
la vapeur d*eau et l'humidité de l'air? Comment peut-on mesu- 
rer l'état hygrométrique ? Hygromètre de condensation ? Hygro- 
mètre d'Alluard. Est-ce un hygromètre très précis? 

Qu'entend-on par électrisalion par influence ? Dans quel cas la 
quantité d'électricité qui se développe sur le corps influencé est- 
elle égale à la quantité d'électricité contenue sur le corps influan- 
çant ? Cylindre de Faraday. 

288. — Aérostat. Théorie de l'aérostat en négligeant le volume 
des accessoires. En supposant l'aérostat plein et fermé, calculer 
le moment où le ballon s'arrêtera? Pourra-t-on calculer à priori 
la hauteur que l'on pourra atteindre? L'aérostat est-il d'ordinaire 
fermé ? — Microscope composé. Description de l'appareil. Cons- 
truction de l'image d'un objet. Marches des rayons. L'oculaire se 
trouve-t-il au gros bout ou au petit bout ? Mesure du grossisse- 
ment. 

III. — AU BACCALAURÉAT 
LETTRES- MATHÉMATIQUES 

289. Hlafhémaliques. — i®"* sujet : Tout déplacement 
d'une figure plane de forme invariable, dans son plan, se ramène 
à une rotation ou à une translation. 

2® sujet : Inscription dans un cercle du décagone régulier. 

3* sujet : Mesure de la surface d'un rectangle. 

Obligatoire : Deux forces P et Q appliquées à un corps solide 
font entre elles un angle a. Trouver leur résultante R et les 
angles que fait sa direction avec celle des deux forces données :. 
(application) P = iî'^^î^S ; Q = 2^^649 ; a = 75»3i'5'. 

290. Physique. -- i'''' sujet : Définition de la déclinaison 
et de rinclinaison. 

2* sujet : Courants thermo-électriques. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 171 

y sujet : Induction électrique. Expériences fondamentales. 

Obligatoire : Un corps est lancé verticalement dans le vide 
et de haut en bas, avec une vitesse égale à 20 mètres par seconde. 
Au bout de quel temps sa vitesse sera-t-elle devenue égale à 
4o mètres? Quel espace aura-t-il parcouru alors ? 

IV. — BACCALAURÉAT (LEITRESSCIENCES) 



201. Mathématiques. — i^*" sujet : Théorie de la balance 
de Quintenz. 

2" sujet : Une figure plane qui ne sort pas de son plan peut 
passer de Tune de ses positions donnée à une rotation exécutée 
autour d'un axe perpendiculaire au plan de la figure et convena- 
blement choisi (le démontrer). 

y sujet : Qu'est-ce que le jour solaire vrai ? Qu'est-ce que le 
jour solaire moyen ? Expliquer leurs définitions. 

Obligatoire : Un point situé dans le point vertical de projec- 
tion est défini par ses projections m, m'. On demande de repré- 
senter une droite qui, passant par ce point, fera respectivement 
avec le plan horizontal et le plan vertical des angles donnés a et 
P (xy est la ligne de terre). 

202. Physique. — i" sujet : Poids spécifique des solides 
et des liquides. 

2® sujet : Notions expérimentales du potentiel et de la capacité 
électro-statique» 

3* sujet. : Densité des gaz. 

Obligatoire : Une bille roule sur un plan parfaitement poli et 
suivant la ligne de pente de ce plan. Le plan est incliné de 45"* 
sur l'horizon. Calculer l'accélération du mouvement de la 
bille connaissant l'accélération g des corps pesants en chute 
libre (g = 9,809). 

V. — AUX ÉCOLES D'AGRICULTURE 



203* Arithmétique. — Partager 12061 francs entre trois 
personnes âgées l'une de 32 ans, la seconde de 26 ans et la troi- 



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172 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES 

sième de 16 ans, de manière que leurs paris soient inversement 
proportionnelles à leurs âges. 

1 



Calculer x 



y 6992 V 784'i 



VI. — AUX ECOLES DE COMMERCE 



294* Algèbre* — Résoudre le système : 

!-— 3a7 -h %y -h 6^* = G 
— X — iy^ -h \iz^ = — 4 
— 207 4- 6t/2 __ 3^2 zr^ __ 5. 

tlî05. Arithmétique. — Trois ouvriers A, B, C ont un ou- 
vrage à faire, A et B ensemble pendant quatre jours feraient les 
5 de l'ouvrage. — B et C, ensemble pendant huit jours, feraient 
les ^. A et C pendant cinq jours feraient ensemble les 7. 

On occupe A seul pendant deux jours, B seul pendant six jours. 

Combien C seul meltra-l-il à terminer Touvrage? 

DEUXIÈME PARTIE 



ÉCOLE SPECIALE MILITAIRE SAINT-CYR 
(concours de 1898) 

I. — Déterminer les deux bases d'un trapèze rectangle connaissant sa^ 
hauteur h, sa surface - hm et le produit k^ d9 ses deux diagonales. — 
Discuter. 

Soit ABCD le trapèze dont les angles droits sont en A et D. Désignons . 
les bases AB et CD par x et y, et la surface du trapèze par S. On a 

]- /irw = S et, par conséquent (i) a? -}- y = m. 
D'autee part, AC.BD = k^, 

ou V^A2 4- y2. y/jn^l — Xi, 

OU, élevant au carré (a) x^y'^ + ^12(^2 _j_ y2) + ^i = ^4. 
Nous avons donc à résoudre les équations (i) et (2). Or 
x^ -{• y"^ = {x -{• y)^ — 2xy = m^ — 2xy, 
de sorte que (a) donne l'équation suivante en (xy) 

x'iyi — ih'^xy + h^m^ — A* + A* = o. 
D'où (2) xy = /i2 i v^*^ — K^'^. 



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JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 173 

On est donc ramené au problème connu de trouver deux longueurs x et 
y, connaissant leur somme (i) et leur produit (a). 
L'équation qui donne à la fols ^ et y est 

X2 — mX + 7i2 i yjli- — hhn-^. 

D'où Ci) *''' \ *n ^ V^m2 — 4/^2 dr 4 y/^— A^m^ 

Le problème semble comporter quatre solutions • il n'en a en réalité que 
deux» par suite de la symétrie des variables x et y. 

La discussion provient du signe de chacun des radicaux de (3 . Elle est 
donc des plus faciles. 

La condition de réalité du petit radical est 

A* > ;t2m2, ou A2 > 2S. 

Celle du grand radical est 4 v^Â* -- hMn^ < m2 ~ 4^2^ 
ou i6(A« — /i2»w2) < (m2 — 4/i2)2, 

qui revient à 16A* < (m2 — 4^2;i ^ 16^2^2, i6;t* < (m2 -f 4/12)2, 

ou 4*2 < Wl2 4- 4^2, 

et A2 < *'J- + /i2. 

4 
Voici maintenant sous forme de tableau, le détail de la discussion. — 
Remarquons d'abord que si l'une des valeurs x et y est négative, les points 
B et C se trouvent alors de part et d'autre de la hauteur AD et le trapèze 
ABCD est alors un trajièze de seconde espèce. 

1° A* < 7i2m2 2 trapèzes imaginaires. 

Aa < .jS. 

a) A*>/t* — h'^m- k*<C h^-{- h-m* , -j trapèzes de i''^ espèce. 
,« . 1 ,v , . ,, .« , ,. ,,. ,, -. ^ I trapèze de i*"® espèce. 

f réduit a un triangle. 

( a) w < 2/t I trapèze imaginaire. 

< 0) ni = 9A I carre. 

" ^ { c) TYi ';> ih r trapèze réel. 

4° A2 > -,- 4- /t2 2 trapèzes imaginaires. 

50 A2 < -^ — \- h' 1 trapèzes réels. 

(dans les mêmes conditions que dans -jo). 
60 A2 =z — — \- h- I carré et un trapèze réduit à 1 triangle. 

II. — 071 donne deux droites de Vespace, AX et BY orthogonales entre 
elles et ayant AB pour perpendiculaire commune. On prend sur AX une 
longueur variable AM et sur BY une longueur BN égale à AM. 

lo Démontrer que la sphère qui a MN pour diamètre passe par les 
points A et B. 

(*' Ce trapèze sera réel si m > a^v'â, imaginaire si m < 2W2, et un 
carré si m = aAv^a. 



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174 



JOURNAL DE MATHEMATIQUBS ELEMBNTAIRBS 



3° Trouver le lieu du centre de cette sphère, 

3® Démontrer que le plan tangent en X à cette sphère passe toujours 
par une certaine droite fixe. 

4® Démontrer que la droite MX reste parallèle à un certain plan fixe, 
1° Soient : P la projection du point N sur le plan mené par AX parallèle- 




ment à BY, C le milieu de AK, I le milieu de MN, H la projection de I sur 

PM. Il en résulte que . IH ^ ^ — - = AC. Le triangle AIB est donc 

isoscèle ; et lA = IB. Il reste à démontrer que IB = IM = IN. 
Posons AB = d et AM = B>' = j?. Le triangle rectangle MPN donne 



2 2 2 

MiN^ = ISP + PM 



= d2 -h 'ÂM -f AP") = rf2 -f 1X1 ^ 



et 



(I) 



LM" 



MX _ d^ , A-i 

D'autre part, le triangle rectangle ICB donne 

Îb'- = rc- + CB- = AH" 4- CB^ = (âM^ -h HmO -h CB^ 



d^- x^ , d2 

4" = T+-4- 



(2) IB' = a-2-" ^ 

En composant (i) et (2), on a bien IM = IB. 

20 Le point I, centre de la sphère ABMN, est toujours situé dans e plan 
fixe mené par le milieu C de AB perpendiculairement à AB, et dans ce plan 
le lieu est une droite. 

3» Le plan tangent en A coupe le plan APM, suivant la droite AU per- 
pendiculaire à AU. Cette droite est fixe^ puisqu'elle est la bissectrice exté- 
rieure de Tangle MAP. 

4« Le plan MNP est toujours parallèle au plan ABU : la droite MN sitnée 
dans ce plan est donc toujours parallèle au plan fixe ABU. 

E.-N. Barisien. 



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JOURNAL DK MATIIKMATIQUES ELEMENTAIRES 



175 



TROISIÈME PARTIE 



DE LA SCOTIE OU DE L'ARC RAMPANT 



Ces courbes servent, en architecture, à raccorder deux horizontales ou 
deux verticales. Elles sont h deux ou à plusieurs centres. 

lo Scotie à quatre centres. Construction (A. Tronquoy, dessin linéaire 
géométrique, i^e partie, 1878, Delagrave). 

« Soient données les parallèles A A' et BB'. Des points A et B et d'un 
« troisième A' pris à volonté, menez les perpendiculaires AC, BF et A'B' ; 
« divisez A'B' en trois parties 



k 



yfO 



« égales, et menez C'C paral- 

« lèle à A'A ; du point C avec 

« un rayon GA décrivez l'arc 

« AM ; divisez CM en trois 

« parties égales et portez de C 

« en D le tiers de CM; puis, du 

« point D, avec la distance DM 

« décrivez l'arc indéfini MX ; 

« prenez la corde de la moitié 

« de l'arc AM et portez cette 

« longueur de M en N ; alors 

« joignez ND et divisez cette 

« ligne en quatre parties éga- 

« les; portez l'un des quarts 

« de D en Ë et de ce point 

« comme centre décrivez l'arc 

« >T ; portez ensuite EN de B 

« en I et tracez lE ; enfin élevez 

« sur le milieu de lE une per- 

« pendiculaire dont l'intersection avec BF donnera le centre F de l'arc PB 

« qui terminera la scotie ». 

La scotie ainsi déterminée dépend de deux éléments linéaires, savoir de 
A'B' on XQ = h distance des horizontales, et de BQ = a. 

Les trois premiers centres C, D, E et les rayons CA, DM, EN ne dépendent 
que de h, et l'on a, en posant : NDM — x, PEN = y, BFP = s. 

CA=:^., DM = ^»^\ EN = *^^^, 
3 9 ' 3 ' 

— _l_ pp = ^* _i El _ ^h 

9 ^ 




et encore FP = — -f 



FE = — -h 
9 ^ 



(?) 



+ 



El 



Le premier arc AM est un quadrant, et ACM = go». 
D'autre part, soit H le milieu de l'arc AM ; il vient : 

-à- sin ^2— = — sm - , 
3392' 



MH; 



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176 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

d'où sin - = ? sin 4^ = ^ V^a - v^a. 

Le calcul donne : x = 33o2i'3o". 

Les autres arcs NP et PB répondant aux angles NEP = y et PFB = z 
dépendent de h et de a. On trouvera d'abord : 

LC == ED sin x =. ~ sin x 

9 

EL — DC + DK = - + ED cos x, 

_> 9 

puis : Êî" = EG" + (LQ — IB)2 =.(a — EL)2 + (LQ — E5;2 

Êf- =. (« _ ?J^ cos2|)' + ^;^ (i + sin ar)2. 

2^ .,0? 

^ a cos^ 

D'ailleurs ; EG = El cos - , d'où cos %\ , 

' 2* 2 El ' 

on tirera de là s en fonction de x et du rapport v . 

D'autre part : 90^ 4- a? + 3/ + j = 180°, 

d'où y = 90 — (ic + 3-) = ^S^ig'iS" — z. 

On voit en outre que 
BPN = BPF + ÉPN = '^2j=_f + ^^JZjy = x35o + ^ = i5io4o'45". 

Le point de raccord P est donc sur l'arc décrit sur BN et capable de 
i5io4o'45". Ce résultat est indépendant de la position du centre E, de sorte 
que les deux derniers arcs pourraient se raccorder en tout autre point de 
l'arc de ce segment. 

2° Courbe à deux centres AMnB. 

Décrivons sur AB la demi-circonférence AnQB. Tout point n de cette 
courbe peut servir de raccordement à deux arcs dont l'un, tangent en A, 
ayant son centre en un point quelconque G de AQ et l'autre, tangent en B, 
ayant son centre au point de rencontre 9 de nC avec BF. 

La seule particularité de l'arc rampant est de raccorder deux verticales, 
tandis que la scotie raccorde deux horizontales ; les constructions sont 
donc identiques. H. Lecocq. 

QU ESTION 731 

Deux droites ^ et A' sont perpendiculaires à une droite A" et la ren- 
contrent en A et B. On considère deux cercles C 6?£ G', le premier tan* 
gent à ^ et A", le second tangent à A' et A" : ces deux cercles sont de plus 
tangents entre eux en M. La droite BM rencontre A ^n A' et la droite 
AM rencontre A' en B'. Montrer que AX' et BB' sont respectivement égaux 
aux diamètres des cercles G et G'. (E.-N. Barisien). 

Solution, par A. Droz-Farny. 

Soient Y, Y'» ^ ^^^ projections de G, G', M sur A". La tangente commune 
aux deux cercles^ coupe Yï' ^^ >on point milieu D et on aura dans le triangle 

rectangle CDC' : DM = "Qf- = vW'y donc AB = R -|- R' + WM\ 



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JOURNAL DB MATHRMATIQUES ËLKMKNTAIRRS 



217 



TABLE DES MATIÈRES PAR ORDRE MÉTHODIQUE, 1897 



Arithmétique et Algèbre 

Une question d'analyse 
indéterminée, par M. De- 
lannoy ,'>8 

Note sur l'arithmétique 
binaire, par Ed. Colli- 
gnon .... 101, 120 

Sur une difficulté dans la 
discussion des inégali- 
tés, par Elgé .... 13 

Géométrie 

Sur les cercles bitangents 
aux coniques , par 
A, Tissot, 3, 25, 49, 73, 

97, 121, 145, 169, 193 

Cercles et droites allo- 
tropes, par A. Tissot. 19, 

32, 47 

Deux problèmes de géo- 
métrie élémentaire, par 
Charles Michel .... 6 

Note sur les cercles radi- 
dicaux, par Juan Duran 
horiga ... lo, 29, 60 

Nouvelle démonstration 
du théorème de Pytha- 
gore, par Brand ... 36 

Problème de géométrie 
pratique , par Alfred 
Bertezené 37 



Pag»i 

Sur un théorème de M. Le- 
moine, par Jorge F. d'A- 
villez 37 

Un problème de géométrie 
pratique 86 

Note géométrique sur le 
pentagone et le déca- 
gone régulier , par 
A. DroZ'Farny. , . . 106 

Une démonstration du 
théorème de Pythagore. 107 

Problème de géométrie 
pratique 108 

Démonstration d'un théo- 
rème de M. Mannheim . 124 

Note de géométrie, par 
Dubouis 161 

Sur les figures semblables. 157 

Sur les triangles pédales, 
par Francesco Ferrari . 1 54 

La géométrie du compas, 
par Dubouis 53 

Trigonométrie 

Relations métriques et tri- 
gonométriques entre 
les éléments linéaires et 
angulaires du quadrila- 
tère inscrit complet, 
par H. Lecocq. 9, 32, 
53, 78, 111, 134, 151. 174 



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218 



JOrRNAL DR MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 



Pagei 

109 

132 

44 

45 
4t 



Sur réquation a sin x -f 
6 cos a: = c, par F.-J. 
Vues 

Sur la construction des 
racines de réquation 
a tg ar -f- 6 cotg x = c, 
par G, L 

Baccalauréats 

Caen, Clerraont .... 

Grenoble, Lille. 45, 67, 

92, 119, 213, 4, 5. 27, 

28, 29, 43, 44, 

Examens de Saint Cyr. 3, 

23, 

Examens de llnstitut na- 
tional agronomique. 4, 

26, 41 

Mélanges et Gorrespon- 
dances 

Notice sur la géométrie de 
la mesure, par M. Au- 
bry, 18, 38, 62, 87, 114, 

138, 162, 177, iU 

Solution de la question 
697 23 

Solution des questions 

789, 790, 791, 792 . . 24 

Exercices divers, par 
M. A. Boulin .... 41 



Page» 

Solution des questions 

693, 694, 698 ... . 45 
Correspondance .... 66 

Exercices 65 

Solution des questions 

703, 705, 683, 704. . . 68 
Questions proposées de 

793 à 797 71 

Exercices 91 

Solution de la question 

696 95 

Questions proposées 798 à 

803 95 

Exercice . . . 120, 142 
Questions proposées 804 à 

809 143 

Exercices par M. Boulin, 

166, 180 
Exercices, par M. Bernés. 

167, 187 
Questions proposées 810 . 192 
Exercice par M. Boulin . 198 

» » Bernés . 207 

)) » M. M . . 212 

Question résolue 700 ., . 214 
Questions proposées de 

811 à 820 215 

Solution du concours de 

Saint-Cyr (1897) ... 7 
Solution du concours de 

l'institut agronomique . 13 



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JOURNAL DB M ATHélfATIQUES ELEMENTAIRES 



219 



TABLE ALPHABÉTIQUE DES NOMS D'ADTEDRS 



AuBRY, 48, 38. 

AVILLEZ, 37. 

Brand, 36. 
Bertezene, 37. 

BODTIN, 41. 

Barisien. 

Bernes. 

Cyane. 

gollignon. 

duran-loriga, 15, 29. 

Droz-Farny, 23-45. 

Dauzats, 23-48. 

DUBOUIS. 

Elgé, n. 

Francesco Ferrari. 
F. J. 



Goyens, 23. 

Lecocq, 9, 32, 9. 

L'HuiLLiER, 23, 47. 

Lemoine. 

Michel, 6. 

Mannneim, 23. 

Massif. 

Ocagne (d'). 

Placrhowo. 

Rebeix. 

Reboul. 

schiappa monteïro, 24. 

TissoT, 3, 25, 3. 

Vaes. 

Walkow. 



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ST«AMAND, CHER. — iMPRIIfERIB BUSSiftRE FRÈRRS 



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JOURNAL DE MATHKMATIQIIKS ÉLBMBNTAIRRS 177 

Dans le trapèze CYC'y' on a : 

V = 'r'=rT^- ^^'^ ][;;^ = Rr+"R" 

_ R2 4- RR' 4- aRy^RR' 
et Am = g-p-j^; 

On trouverait de même : Mm = ^ 



R + R- 

n««« . ♦« ^r**v, M^ 2R' aR' 

Donc : tg MAwi = -r— = —^z = xn » 

d'où 13B' = aR', de môme AA' = aR. 

Solutions exactes : Ernest Foucart, Georges Daly, Svéchnicoff, 
Rebeix, L'Huillier. 

QUESTION 740 
Solution j par Ernest Foucart 



La tangente en un point M d*une parabole, de sommet 0, rencontre 
Vaxe de la parabole en T et la tangente au sommet en T. 

La droite A menée, par 0, parallèmenl à la tangente MTT', rencontre 
la parallèle menée par T, à OM, en P, et fa parallèle menée par T à OM, 
en F. 

Quand le point M parcourt la parabole, le point P, le point P' et le mi- 
ieu de PP' décrivent chacun une parabole. (E.-N. Barisien). 

L'ordonnée de M rencontre A en Mj. 

On a OP' = OMi OP = ZOMi. 

Le lieu de Mj est évidemment une parabole de sommet de paramètre 
égal au quart du paramètre de la primitive. Il est alors évident, d'après les 
relations précédemment écrites, que les différents points considérés décrivent 
des paraboles. 

Solutions exactes : L'Huillier, Francis Dauzats. 

SOLUTION DE LA QUESTION 742 



Soit donné un triangle ABC et soient Aj, Bj, Cj, les points où les mé- 
dianes coupent le cercle circonscrit au triangle ABC. Si S et Sj repré- 
sentent les surfaces des triangles ABC et Afifii on a la relation 

Si (a2 + b2 4- c2) 

S ~" [aib2 -f c2) — a2] [a(a« + c«; — b2] [a(a2 + b2) — c^] • 

Jorge F. d'Avillez. 

Si nous désignons par A^BiCi les points de rencontre des médianes avec 

le cercle circonscrit, et par G le centre de gravité du triangle, nous avons 

GAiBi _ GA^Bj. 

GAB ~~ GA.GB ' 

n. a ,,„ a GAiBi GA, GB, 
mais GA, = .» r>i„, GB = ^ nib, ou t^r ~ >"~ 



:\ 



9 



m„mi, 



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178 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

Si nous désignons le milieu du côté BC par A^, le milieu du côté AC par 
Bi, et le milieu du côté AB par C2, alors la ligne GA = GA2 -f A^Aj, 
mais par le théorème de Stewart nous avons 

^,2 4. c2 == y/i[b'^ + c^) — a^.AAy 

^'""'^ ^^' " v/2(62 + c2) - a'2 ' 

et si nous retranchons de AA„ AAj, nous avons A1A2, 

_ I _a2^ _ 3fl2 -f- 4ma^ 

ou GAi — ij m« + ^^^ — j2^^^ 

Dans le triangle BGG, d'après un théorème connu, nous avons 

d'où at = I [:i(m62 + m.2) - mf\, 

en mettant au lieu de a'-i sa valeur, nous avons 

GA, = -^^ . 

De la môme manière GBi = ^^ • 

Ainsi nous avons 

GA.Bj 4 ^a' + '^^^ + ^«')' 4 ^ m. - ^^---L±J?^*!-±-^/- 

"GAB^ = 8m.lïï; ï^ '*'"^' ~ ^m.2m.2 

De la môme manière nous aurons les deux autres quotients 
GAïC, . GBjCi 

" GAC^ ^^ GBG ' 
GAiBt _ GAjBi _ m«2 + m^^ + m.'-^)^ 
"^*^* 3GÂB"~'ABG ■" 37m„2r7iA*^ 

GAiGj __ GAiÇi GBiGi _ GBjA 

^^* 3GÂC — ":VBC ' 3GBG "~ ABC ' 

Faisons la somme de ces trois quotients, il vient 

mais m„2 + m.2 + m^s = ^ (a2 + 62 4, ^2) 

ou (rn„2 -f r>î,2 4. ,>,;2)3 ^ V (a> + 62 4, e?2)3 

^«2^62^.2 = J. [a(62 4. c2) - «2] [2'a2 4- c2) - 6?] [2(a2 4- 62) _ c2j 

en mettant ces valeurs au milieu du dénominateur et du numérateur, il 

vient 

Si _ a^ + b^ + c2,2 c O F D 

S f-2(ô2 4_ c2j _ «2] [2(a2 4_ ,.2- _ ^,2] [a(,,2 4. ^2 -~ c2] ^' «^ "^^ *"• 

N. Plakhowo. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 179 



QUESTION 745 



Etant donnés trois points M, A, B, démontrer que pour obtenir Visoto- 
wique du conjugué harmonique de M sur AB, on peut appliquer le théo- 
rème suii^ant. 

Soient C, C les points de la perpendiculaire élevée au milieu de AB, 
d'où Von voit AB sous un angle droit', la circonférence paissant par Qi, G , 
M coupe AB au point cherche. G. L. 

Solution, par A. Droz-Farny 

Soient 0, le point milieu de AB, M' le conjugué harmonique de M par 
rapport fi AB et \i son isotomique ; on a d'après une propriété bien connue 

OM.OM' = DâI 
D'après la construction indiquée GC étant Taxe radical des deux circon- 
férences ABC et MG{x'G' on a aussi 

OM.Ojx = OA.OB = ÔÂ^ 
donc Ojx = OM' G. Q. F. D. 

Solutions exactes : N. Plakhowo, Ernest Foucart. 

QUESTION 747 
Solution par M. A. Boutin 



On donne un triangle ABG ; en B^ on élève BA' perpendiculaire à BA ; 
en G, CA" perpendiculaire à GA. On mène par A une transversale AA'A", 

telle que A soit le milieu de A' A", et Von ttace Aa perpendiculaire à 
A'A*. 

Démontrer que Aa et les droites analogues B?, Gy sont concourantes, 

(Gr. L.) 
Soient a?, y, l, les angles : BAa, GAa, et la longueur AA' = AA". On a : 
= / sin .07 h =z l sin y, 
,, , sin X c 

La droite A«, est donc telle que les distances d'un de ses points aux côtés 
qui comprennent l'angle A, soient proportionneUes à ces côtés; c'est la sy- 
médiane issue de A. Les trois droites analogues sont donc concourantes au 
point de Lemoine de ABC. 

Solution exacte : A. Droz-Farny. 

QUESTION 750 



Toute sy médiane AK d'un triangle ABG rencontre le cercle de Brocard 
en un second point D, tel que cette symédiane est bissectrice de Vangle 
BDG, et cet angle BDG est double de Vangle A. fE. Lauvernay). 

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180 JOUKNAL DE MATHÉMATIQUES BLRMKNTAIRBS 

S^olntlon et déTeloppemcint», par A. Droz-Farny 

Construisons les deux cercles adjoints tangents en A aux côtés AC et AB 
et passant respectivement par les sommets B et C du triangle ABC. Ces 
cercles se coupent en D. Les droites AD et BD coupent la circonférence cir- 
conscrite au triangle en E et F ; tirons enfin EF et CD. 

De par la construction on a d'abord : angle DAC = DBA = AEF donc AC = EF; 
angle BAD = ACD = DFE. 

Les triangles ADC et DEF sont donc égaux et par conséquent AD = DE. 

Les triangles ADC et BDA étant directement semblables, on trouve : i® que 
le point D est le point double des figures directement semblables construites 
sur CA et AB ; 2" les perpendiculaires abaissées de D sur les droites homo- 
logues AC et BA étant dans le rapport de ces deux longueurs, AD est la 
symédiane issue de A ; 3° OD étant perpendiculaire sur AE, D appartient à 
la circonférence de Brocard, décrite sur OK comme diamètre ; 4° angle 

BDE = DBA + DAB = A 
de même CDE = A. 

La droite AD est donc bissectrice de l'angle BDC. Mais ici le théorème de 
M. Lauvernay doit être rectifier dans ce sens que 

BDC = 2A si A est aigu ou droit. 
A =: 36oo — aA si A est obtenus. 

50 Les points BODC sont sur une même circonférence. 

Solution exacte : M. Seunet. 

QUESTIONS PROPOSÉES 



A'B'C est le triangle médian du triangle ABC. A"B"C" le triangle formé 
par les tangentes au cercle circonscrit de ABC. Les six points dlntersection 
des côtes non-correspondantes de ABC, A'B'C sont sur la même conique. 

(Trinity, Cambridge). 

P est un point quelconque dans le plan du triangle ABC, PL, PM, PN les 

LM 

perpendiculaires sur les côtés. Trouver le lieu de P, si j-v est donné. 

(Trinity, Cambridge). 

ERRATUM 

Numéro de Juin page 148, dernière ligne, lire triangle S'B'C, SC'A', SA'B' 
au Ueu de ÔB'C, OC A', OA'B'. 



Le Direcleur-géraat, 

Georges MARiAUD. 



SAIWT-AMAMD (CMWl). IJiPWMBBlt SCIEKTIFIQU» IT LITTÉBAIM, B»»«é*t PKBKBI. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 181 

PREMIÈRE PARTIE 

Questions proposées aux Candidats 

I. - A L'ÉCOLE SP ÉCIALE MILITAIRE S^-CYR 

206. — Mener par une droite un plan langent à une sphère. 
Faire l'épure en géométrie cotée. 

Transformer en un produit de deux facteurs réels du deuxième 
degré le trinôme bicarré : o?^ -h a?' -h i . 

Dans un triangle isocèle, on connaît la base et la hauteur rela- 
tive à cette base, calculer les rayons des cercles inscrit et circons- 
crit. 

On donne un cercle de centre et un point A intérieur à ce 
cercle, mener par ce point A une corde CAB telle que 

AB — AC = h 
l étant une longueur donnée. 

îtOO"*'*. — Dans un cercle donné, inscrire un décagone régu- 
lier concave ou convexe. 

Déterminer m de manière que l'équation x^ — mœ 4-7=0 
ait une racine et une seule comprise entre 1 et 2. 

On donne deux segments de droite AB, CD, dans un même 
plan, on demande le lieu des points P tels que les deux triangles 
PAB, PAG soient équivalents. 

296 ^®'*. — Lecture de la carte d*état-major. Comment 
oriente-l-on une carte à l'aide d*une boussole ? Que représente le 
bord droit de la carte d'Etat-Major ? Que faut-il connaître pour 
faire rorientation avec la boussole? Définir le méridien magné- 
tique. Quelle est la déclinaison de Paris? 

206 q««ter. — Comment compose-t-on deux forces parallèles 
et de môme sens ? de sens contraires ? 

Parler du cuivre. Quelles sont ses propriétés ? Quels sont les 
alliages courants du cuivre? Parler du laiton. Quelle est la com- 
position du laiton? Quelle est la proportion de cuivre et de 
zinc ? Composition du bronze. Quels avantages font utiliser ces 
deux alliages ? A quelle température se forge le laiton ? 

207. — Parler du passage de l'état solide à Pétat liquide. 
Tous les corps fondent-ils de la même façon ? Citer des corps qui 
fondent en passant par Tétat pâteux. Comment se comporte la 

JOURNAL DE MATH. ÉLÉM. — 1898. 12 



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^°^ JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

fonte de fer quand on la chauffe ? Enoncer les lois de la fusion. 
Indiquer approximativement quelques températures de fusion : 
étain, soufre, phosphore. Qu'indique la deuxième loi de la fusion? 
Quelle est la chaleur de fusion de la glace? Est-ce qu'on ne peut 
faire passer un corps de 1 état solide à Tétat liquide que par la 
chaleur? Comment se fait-il que la pression fasse fondre la glace? 

IL - A L'INSTITUT NATIONAL AGRONOMIQUE 

298. mathématiques. — Pour quelles valeurs de a le- 
quation : a;-^ — 2 (a — 3) j; 4- a^ ^ i = o a-t-elle ses racines 
réelles. Indiquer pour chacune de ces valeurs les signes des 

racines. Construire la courbe : y = a? 73? -^ 10 

^ (a? — 1)2 

208 *'•• — Calculer par logarithmes : 

y^i845 -H TT — 77r 

"^""(i -h 1842)759667' 
298ter. Physique et Chimie. — Un tube contenant 
du mercure est renversé sur une cuve remplie du même liquide ; 
le mercure s'élève à 55 centimètres au-dessus du niveau dans le 
vase, et laisse un espace de 45 centimètres rempli d'air. Quel 
sera le volume de Tair quand les surfaces seront sur un même 
plan horizontal; la pression athmosphérique égale 76 centi- 
mètres. 



IIL — AU BACCALAURÉAT 
LETTRES- MATHÉMATIQUES 

299. Mathématiques. — On demande ce que devient 
l'expression 1 - i -^ ^ _ I3 _|_ J_ 

quand le nombre a supposé positif et supérieur à 1 s'approche 
indéfiniment de 1 . 

{Au choix) a). — Théorèmes sur les forces parallèles. 

h) Théorème de Varignon. 

c) Théorie du treuil (ordinaire et différentiel). 

299W». Physique. — Quel volume faui-il attribuer à un 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 183 

ballon gonflé avec un gaz de densité 0,547 P^^^ ^"'^^ puisse à 
o^ et à 760 millimètres enlever 200 kilogrammes et posséder une 
force ascensionnelle de 10 kilogrammes. 

(Au choix). — a) Recherche de la tension maxima de la vapeur 
d'eau . 

b) Chaleur rayonnante. 

c) Densité des gaz. 

IV: — BACCALAURÉAT (LETTRESSCIENCES) 

300. Mathématiques. — Calculer les coordonnées du 
point A symétrique du point B (a?j 3/1) par rapport au cercle 
x^ -j^y^ = R». 

(Au choix), — a) Eclipses de lune, 

b) Eclipses de soleil. 

c) Inégalité des saisons. 

300W». Physique. — Un objet éclairé est à une distance 
de 23 décimètres d'un tableau blanc sur lequel on veut projeter 
son image. En essayant une lentille on trouve qu'on peut lui 
donner deux positions pour lesquelles la projection a lieu et que 
ces deux positions sont à une distanc Tune de l'autre égale à /161. 
On demande la distance focale de la lentille. 

(Au ch^ix). — a) Expérience d'GErstœd. 

b) Electroscope à feuilles d'or. 

c) Galvanomètres. 

V. — AUX ÉCOLES D'AGRICULTURE 



301. Arithmétique. — Trois libraires vendent le même 
ouvrage d'après les conditions suivantes : 

Le premier fait une remise de 25 % sur le prix fort ou prix 
marqué de l'exemplaire ; 

Le deuxième accorde seulement 19 1/2 7o de remise, mais 
donne i3 volumes pour 12 ; 

Le troisième fait une remise de 22 1/2 ^/^^ sur le prix marqué, 
sans treizième, et accorde en outre un escompte de 3 i/i ^/^^ du 
prix réduit, à l'acheteur au comptant. 



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184 JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

Lequel des trois offre» à Tacheleur au comptant, les coaditioos 
les plus avantageuses? 

30 fw». — Calculer x z=z 




VI. — AUX ECOLES DE COMMERCE 



{Les modifications récentes apportées aux programmes d'en- 
trée indiqueîit pour ces Ecoles une composition de géométrie). 

302« Arithmétique. — Un négociant qui a emprunté 
10 000 francs pour un an à raison de 6 7o trouve au bout de 
quelque temps à emprunter la même somme à 4 Vs Vo- ^^ ^o^" 
séquence, il rembourse le premier préteur, et à la fin de l'année 
il a payé en tout 512^*^,50 d'intérêts. 

Combien de temps a-t-il gardé l'argent du premier préteur. 

302 **•• Algèbre. — Résoudre le système 
(a? -h y) (x' 4- y') = 888, 
(^-î/)(^'-î/')^48. 

302 ^^^. Géométrie. — Dans un cercle de 26 mètres de 
rayon, on mène perpendiculairement au diamètre une corde de 
24 mètres. Quelles sont la longueur des deux segments formés 
par la corde sur le diamètre. 

DEUXIÈME PARTIE 

INSTITUT NATIONAL AGRONOMIQUE 

(concours de 1898) 

Solutions, par M. Léopold Massip, professeur de mathématiques 
spéciales h l'Ecole préparatoire Saint-Georges 

Première question. — Etudier les variations de y == ■ ^» . ^ — ' * 

•^ X* + X — I 

lorsque x prend toutes les valeurs possibles. — Donner une représenta- 
tion graphique de la fonction : 

^^ y = ^'2+^ri'^ j« ^^ '• ^'(8 - y) + ^(9 - y) + (y- i4;=-o. 

Exprimons la réalité des racines cela donne : 

(9-y)2-4(8~y)(y- i4)>o. 



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JOURNAL DB MATHéMATIQUÉS ÉLÉMENTAIRES 



185 



Développons les calculs, cette inégalité donne : 

Calculons les racines du trinôme : 5y2 — io6y -f- Sag — o et rappelons 
que ce trinôme est positif, c'est-à-dire prend le signe de son premier terme 
pour les valeurs de y non comprises entre les racines, ces racines sont : 



y' 


53 + v^(53)'i JL 


-5 


X 529 


f) 






7/ 


53 — v^(53)2 - 


-5 


X 629 



On voit que y' est un minimum et que y" est un maximum. Remar- 
quons que pour ces valeurs y' et y" de y on a a? = — ^ ^ ^ ce qui donne 

sensiblement x •= — o,4o4» ^ = 12,404. 

Les valeurs de x qui retident y nul sont les racines de l'équation 

8^2 _|_ 9ji7 _ i4 == o 

il est facile de calculer ces racines. 

Les valeurs de x qui rendent y infini sont les racines de 1 equalion 
X' -\- X — 1=0. 

Remarquons, ce qui est nécessaire, que les polynômes Sx- + 90; — i4 et 
X'-\-x — I n'ont pas de facteurs communs. 

Donnons à a? la valeur zb oo. La valeur de y est 8. 

Ajoutons aux valeurs trouvées pour y celle de y pour x = c formons le 
tableau qui donne les valeurs de x et de y, nous aurons les éléments né- 
cessaires et suffisants pour construire la courbe demandée. 



X 

y 



— 00 


— 2 


-I- v/5 


o,4o4 





- i-f v/5 







2 


6 








=F «> 


i3,i7 
minimum 


i4 


— 00 


8 



i2,4o4 



+ 00 



8,o39 
m.axim.u^n 
Léopold Massip. 
Deuxième onESTiON. — Calculer les côtés d'un trapèse isocèle circonscrit 
à un cercle de rayon R sachant que le volume engendré par ce trapèze 
lorsqu'il tourne de sa plus grande hase est égal à 8i:aR2. — Discussion. 
Soient x, y, z les trois côtés consécutifs du trapèze isoscèle. On a dans 
le cas actuel de la question : 

(0 f •+"^ = y- 

Abaissons une hauteur du trapèze on en conclut : 



(2) 



= R2. 



Pour évaluer le volume engendré décomposons le trapèze en un rectangle 
(de base x et de hauteur iz) et en deux triangles rectangles (l'hypothénuse 

étant y et les côtés de l'angle droit égaux à 2R et à (l — * j ceci nous 
donne l'équation : 

(3) 



L'équation 



3* + 20? = 6a. 
- H — =^ y donne {z -\- x^ ■■ 



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186 JOURNAL DB MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

L'équation : y2 _ ^^ "" ^^^ = 4R2 donne {z — x)* = 4y2 — 16R2. 

On en conclut que ; œz = 4R2 ou a^.aa? = 8R2, cette équation rapprochée 
de z -\- 2X = 6a montre que z et 2^ sont racines de X2 — QaX + 8R2 == o. 

Pour que les racines de cette équation soient réelles il faut et il suffit 
que 9a2 _ 8r2 ^ o, 

d'où a>^^ 

la discussion s'achève facilement. Léopold Hassip. 

SOLUTION DE LA QUESTION 205 



i) Un cône de hauteur h est inscrit dans une sphère de rayon R, à 
quelle distance x du sommet du cône faut^il tnener un plan par^al- 
lèle au plan de sa base pour que Vaire de la section faite dans le cône 
soit le ^ de Vaire de la section faite dans la sphère par le même plan. 

La hauteur du cône étant A, sa génératrice sera h^ = iVih ou hh = y/aRA 

et ^ = v^âR]^ cos ç d'où cos 9 = -=. ou sin 9 = 4 /-=-^^ — = , 
^ ^ VuKh V2R — A* 

Le rayon de la base du cône sera égal à A tg 9 = \'h(QiK — h). 

La section faite dans la sphère par un plan parallèle à la base de la cône 
aura pour rayon \fxC2K — x). Si nous désignons par x la distance du som- 
met à la section faite par le plan alors la section faite dans le cône aura 

pour rayon y/'^(3EZZE). 

Gomme le pldn est parallèle à la base les deux triangles semblables nous 

- _ / ^(2R — x ) 
donnent ^ ~" y 3A(2R — A) ' 
Elevant cette égalité au carré et divisant l'égalité par -^ il vient : 

X 2R — X 

h ~ 3(2R — h) ' 

d'où nous obtenons pour la valeur à.e x : x = g— _ . 
2) Si dans un triangle J^-^ = |Jh^ ^® triangle est rectangle ou isoscèle. 

En remplaçant tg B = ^^ et tg C = |~-g U vient : 

sin B 

cos B _ sin^B cos C __ sin B 

sin C "" sin^C cos B sin C * 

cos G 
Or, cette dernière égalité ne peut exister que pour sin 2Î = sin 2B, B = C ; 
ou cos B = sin G. 

Dans le premier cas le triangle est isoscèle, dans le second cas il est rec- 
tangle. Natalie Ohotnikoff. 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLéMENTAIRBS 187 

SOLUTION DE LA QUESTION 153 



Trouvez deux nombres dont la somme soit 12 et le produit 35. 

Le produit 35 peut être décomposé en deux facteurs d'une seule manière 
5 X 7 = 35 ; la somme de ces facteurs est 12 ce qui prouve que les nom- 
bres 5 et 7 satisfont à la question. 

Ou a? + y = 12, a7y = 35 d'où les valeurs de j? et de y sont les racines 
d'une équation de second degré. 

X^ — 1257 + 35 = G 

= 6 i I 





x= 6±v^36 — 35 




A'i = 7 ; J72 = ^ 


OU 


Xi = 5; x.y = 7. 


Résoudre 





^(y + ^) = «' 

y(x + 5) = 6 
z(x + y) = c. 
En retranchant la troisième égalité de la deuxième il ^4cnt 
a?(2/ — -)=* — c 
divisant la première égalité par l'égalité trouvée nous avons : 

^ — ! — = -i d ou zc - —, — V ; X 

y — j — c a -\- o — c' 

puis retranchant la deuxième égalité de la première et en divisant la troi- 
sième égalité par l'égalité trouvée, nous avons : 

— '— ^ = 7 dou y = — -. V X. 

X — y a — b -^ a -\- c — b 

Mettons les valeurs de a; et de y dans la première équation 

ce, = (*-±4^ + -i^^") = a, 
\a + b -^ C a-\-o—b/ ' 

d ou .r- = ., , ^ r et J? = d= \ / -^ -^: '- . 

2(6 -h c — a) V 2(6 + — a) 

Pour avoir les valeurs de y et 4^ il ne faut faire qu'unejpermutation tour- 
nante des lettres a, b etc , 

, /b'^ — (0 — «r- ^ , /c2 — (a — 6)2 

ou y = ±y/-^-~_jA_-— -^^ et .^^iy_^--i__J.. 

Natalie Ohotnikoff, 
élève au gymnase Arsenielf à Moscou. 

TROISI ÈME P ARTIE 

REMARQUES 

CONCKIUVANT LES FORMULES FONDAMEIH'ALES DE LA TRlGOIfONÉTRIE 

par M. Escary, professeur au Lycée de Foix 
{Suite, V. p. 161) 

Nous allons la transformer en y introduisant la trigonométrie ; et à cet 

OB 

effet, nous allons suivre les variations du rapport >rr quand l'angle a = AOB 



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188 



JOURNAL DE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 



a 


OB 





+ I 




> 


it 


— I 


3tc 

2 


'o 


2ir 


-1 



varie de à air. Ces variations, données par le tableau ci-con- 
tre, sont précisément celles du cosinus de l'angle a, et la 
géométrie permet ensuite de démontrer que ce même rapport 
est effectivement égal à cos a, car si du point comme 
centre, avec l'unité pour rayon, on décrit un arc de cercle 
MN, les deux triangles semblables OMP et OAB dont la 
construction est toujours possible, donnent 

OB 

^=cos«, 

et l'identité (4) se transforme en la suivante : 

(5) OB = OA cos a, 

qui se trouve ainsi rattachée aux variations des lignes trigo- 
nométriques, non seulement pour les quatre quadrants, mais encore pour 
toutes les valeurs imaginables d'un arc réel. 

Maintenant, si dans l'identité (5) où la longueur OA est supposée cons- 
tante et se comporter comme le rayon d'un cercle, lequel est toujours po- 
sitif, on la suppose variable, et par suite susceptible de passer par zéro et 
de changer de signe, cela n'empêche pas cette même égalité (5) d'être une 
identité, à la condition d'y regarder cette longueur OA comme une quantité 
algébrique, et d'adopter par suite, pour la détermination du signe dans le 
second membre, la règle des signes de la multiplication algébrique. L'éga- 
lité (5) qui a de cette manière un sens arithmétique et à la fois algébrique, 
est une égalité de même espèce que 

{a — 6)2 = ai — lab -\- 62 
puisqu'elle ne renferme, comme cette dernière, que les principes dont on 
fait usage dans cette partie de l'algèbre qui a pour objet de former des 
identités. 

De là résulte immédiatehienl, par une généralisation facile, l'identité 
suivante : 

(6) AB cos a -1- BC cos p -[- tlD cos y + DE cos ô -f EF cos s = 

A'B' cos a' + B'C cos p' + CT cos 7' = AF cos X 
où a, p, T» S> 2, )^ et «', P', Y' sont les angles dont les sommets supposés 
transportés au centre du cercle qui sert habituellement à définir et à étudier 
les lignes trigonométriques, sont tous comptés h partir de l'origine et dans 
le sens positif comme cela doit être, car la projection sur X'X de la ligne 
polygonale ABCDEF parcourue dans le sens indiqué par les flèches, est ma- 
nifestement égale à celle de AF parcourue dans le sens AF, et do la ligne 
AB'C'F parcourue dans le sens AB'G'F. De là encore cette nouvelle identité : 

(7) AB cos a -f BC cos p + CD cos Y + DE cos 6 + EF cos e + FA co8n= o 
où la même ligne brisée est supposée fermée et parcourue dans le sens 
ABCDEF et dans laquelle les angles sont encore comptés de la même ma- 
nière, c'est-à-dire dans le sens regardé habituellement comme positif, dans 
les variations des lignes trigonométriques. 

Les deux identités trigonométriques (6) et (7), nées de la définition de la 
projection d'une droite sur une autre, rapprochée à la fois de Tarithmé- 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



189 



tique, de la variation des lignes trigonométriques, et de la règle des signes 
de la multiplication algébrique, constituent les deux résultats généraux 




que nous voulions obtenir et que l'on trouve dans les différents ouvrages 
de trigonométrie qui ont paru depuis un certain nombre d'années. 

Ces formules reçoivent des applications diveases et nombreuses, surtout 
dans le domaine de la géométrie. Nous allons appliquer la formule (6) à la 
détermination du cos et du sin de la somme de deux arcs a et 6, connais- 
sant les sin et les cos de ces deux derniers. 

Soient le cercle de rayon égal à i . A l'origine de l'arc a et celle de la 
somme a -\- h\ puis, supposons que l'on ait AM = a, MN = ô, AMN = a-\-h. 

Construisons le sin NP et le cos OP de l'arc a -f 6, et ensuite le sin NQ 
et le cos OQ de l'arc b, en prenant le point M pour origine de ce dernier 
arc. Les projections des deux contours OPN et OQN sur la direction Ox étant 
identiques à la projection de ON sur la même direction, sont identiques 
entre elles. Or, en observant que OP := — cos 
(a. + *) est négatif, ainsi que OQ -= — cos 6, la 
projection de OPN sur Ox se réduit à — cos (a + b) 
cos ir, et celle de OQN à — cos 6 cos (a + 'n) + 

sin 6 cos (a + -|. 

En observant que l'on a cos ir = — i 
cos (a + ir) = — cos a, cos ( a + - | = — sin a 
on a finalement Pidentité : 

cos (a -f ô) = cos a cos 6 — sin a sin b. 

En projetant les mêmes contours sur Oy, c'est-à-dire sur la direction po- 
sitive de l'axe des y, le premier donne, en observant encore que NP = — sin 
(a + *) ©st négatif, — sin (a -f b) cos ir ; et le second, — cos b cos 

(^ + 3 — " 2) *» d'où l'on conclut : 

sin {a -\- b) = sin a ces 6 -f sin 6 cos a. 




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190 JOURNAL DE MÀTHéMATiQUES éLÉMBNTAIftBS 

On constate aisément que, en appliquant la même formule (6), on retrouve 
constamment les identités (i), toujours avec la même forme et les mêmes 
signes pour toutes les valeurs réelles des arcs a et b. 

Escary, professeur au lycée de Foix. 

EXTRAIT D'UNE CORRESPONDANCE 



Monsieur, 

J'ai l'honneur de vous soumettre une remarque au sujet des puissances 
successives des nombres dont certaines lois vous ont été communiquées par 
l'un de vos correspondants. 

La manière qui a servi à opérer étant toute de tâtonnements, il vaut 
mieux y substituer une méthode mathématique qui, étant tout à fait ri- 
goureuse, satisfait entièrement l'esprit. 

Voici comment on peut opérer : 

i» Considérons d'abord la suite des nombres entiers à la puissance i, et 
soit a un nombre quelconque on peut écrire : a a -\- i a + a a -}- n. 

Il s'agit de savoir si l'accroissement est constant pour tous les termes ; 
pour cela prenons la dérivée des nombres par rapport à a ; on aura : 
da d(a 4- i) d(a + n) 

da da da 

Ainsi, pour obtenir un terme quelconque, il suffit d'ajouter i au précé- 
dent. 

2<) Soit maintenant la suite des carrés des nombres. Si a est un terme 
quelconque, on aura : a^ (a + i)2 (a + 3)2 {a + n)-. 

La dérivée première de ces quantités sera : 

da-^ d{a +1)2 , , , d(a + n)^ / , x 

Gomme cette dérivée est encore fonction de a, il faut effectuer la dérivée 
seconde des quantités primitives 

d2a2 dm ^^ d^a + n)2 d2(a -\- n 

Ainsi, le terme constant 2 x i s'obtient au moyen d'une dérivée seconde 
et pratiquement^ il faudra feiire deux soustractions successives pour le 
trouver. 

Ire Soustraction 2* Soustraction 



Exemples 



3-^- 4 

3^= 9 
4 42 = i6 



9 

Examinons enfin le cas de la 3^ puissance. 
On aura la suite : a^ (a + i)^ (a -{- 2)3 (a -f n)3. 
La dérivée première de ces quantités sera 



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JOURNAL DB MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 191 

Pour faire disparaître a, il faut prendre la dérivée seconde, puis la déri- 
vée troisième, ce qui donne successivement : 
Dérivée seconde : 

^'=3xaxa ^J(?±j)»=3x.X(a + .) ^!(^i'=3 x ax (a+ n) 

et dérivée troisième : 

^=3x.x.; £i^^^=3x.x.; ^i<^i^' =3 x . x . 

Le terme constemt est donc 3 x 2 x i ; comme il faut recourir à une dé- 
rivée troisième pour l'obtenir, il faudra faire une triple soustraction. 

/ nombres cubes l^** soustraction 2* soustraction 3* soustraction 

I i^ = I 



Exemples \ 



2 Qp = H 12 

ic) 6 

3 33 =27 ' 18 
37 6 

4 43= 64 ^4 

61 6 

I 5 53 = 125 3o 

\ 91 6 

En général, pour la nieme puissance, il faudra prendre la n^em© dérivée 
ce qui donnera le produit : 1.2.3.4. {'^ — i)^ POur terme constant et prati- 
quement, le nombre des soustractions sera égal à n. 

Henri Gay-Lancermin. 

SOLUTION CORRIGÉE DE LA QUESTION 763 



Une confusion ayant eu lieu dans la solution de la question 763 publiée 
dans ce journal, page i58, voici la solution exacte : 

On sait que le centre N du cercle inscrit au triangle complémentaire de 
F est le centre du cercle orthogonal aux trois cercles exinscrits. Soit le 
centre du cercle circonscrit à F, G le centre de gravité, H l'orthocentre et I 
le centre du cercle inscrit ; on sait que 0, G, w, H sont en ligne droite et de 
même N, G, I. De plus, ON est parallèle à HI, et on a aussi IG = 2GN, 

HI = 2ON, donc (oN = - 01, w étant le centre du cercle des neuf points. 



Or, on a 01 = \/h{R — 2rj, 

donc ^^ = l v/R(R — 2r). Jorge F. d'Avillez. 

Pour les quelques questions qui suivent^ le lecteur est prié de faire 
la figure et de se rapporter aux énoncés dans le Journal de Mathémati- 
ques élémentaires. 



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\i 



192 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ÉLÉMENTAIRES 

SOLUTION DE LA QUESTIOxN 733 
par L'Huillier 



1» On a ^ij" = j^ = -^1 d'où Dd = a. Le lieu est la parallèle à Ox 
h la distance a. 
30 On « Ee Ae AE MM' 

ou en supprimant le 3» rapport r^T^?^ — = ^ = -™-^ n^-4^-^' 
*^*^ CM + aa a OM -}- a OM -j- aa' 

donc Ee = Ae + a = Oe. 

30 Projetant a sur Ox au point aj, on a Aa, = aG — a, aai = OG et 
le triangle Aoaj donne (ôG — aY + ÔG" = ôÂ* + ÔM^ = ÔG^ -f a2. 

ou Ôg'^ = aa.aG. 

. ._«» 2 •' (i^ 

Soit a le milieu de OA, on a : aO' -\- aX = aaa H ; 

or HD^ = ÔG^ + ^G" = ÂG" + aa.ôG.ôX^ = âSt' = ÔG" + a^. 
et âD-f-âA==aââ+ — =^ aôG + aa.aG + a-, 

et enfin ôâ = ( ôG" + - | . 

d'où aoL = aG 4- ~. 

' a 

Le lieu est donc une parabole de foyer a ayant pour tangente au sommet 
Oy. 

4° AO' et MB sont respectivement symétriques de AO et MO par rapport 
h AM, donc AO' est perpendiculaire sur MB et égale à a. On a 

O'M.O'B = a2 ou OM.GC = a2 = a.GM §m "^ ^* 
Le point A, est fixe et OAj = a. H. L'Huillier. 



SOLUTION DE LA QUESTION 735 
par L'Huillier 

D faut trouver un i)oint G tel que PC + QC soit maximum. La question 
se ramène immédiatement à trouver le point de contact d'une ellipse de 
foyers P et Q tangente au cercle. Alors CO est bissectrice de l'angle PCQet 
la tangente en G rencontre AB en T conjugué harmonique de par rap- 
port aux points P et Q. 

Le problème n'est possible que si le point T est en dehors de la demi- 
circonférence, c'est-àdire si (Vp + nn "^ S^' 

RBMARonB. — J'ai pris P et Q de part et d'autre de 0, sinon le point cher- 
ché serait évidemment une des extrémités du diamètre AB. Dans le cas où 
P et Q sont d'un même côté de 0, le problème (dont la solution est identique 



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JOURNAL DE MATHisiÀTlQUES ELEMENTAIRES 193 

à la précédente, en remplaçant l'ellipse par une hyperbole) serait : Trouver 
un point G tel que la différence de ses distances aux points P et Q soit 
minimum. H. L'Huillier. 

QUESTION 737 (J. M. E., p, 143) 

Solution 

Les deux forces BD et CD ont pour résultante aA'D. Donc en M nous 
aurons deux forces : qDO et aA'D. On voit facilement que leur résul- 
tante sera aA'O. Les neuf forces se réduisent donc à trois : aA'O, 2B'0, 

2C'0. 

Cherchons la résultante des forces OA', OB', OC. Formons le contour 
OA'B'iC'j. OC l'est la résultante. OC'i passe visiblement par le milieu de 
B'jC, donc pour le centre de gravité G de OB'^C. Or, la médiane passant 
par C dans OB'^C coïncide avec celle passant par C dans A'B'C puisque 
OB'i et A'B' se coupent en leurs milieux. Donc G est le centre de gravité 
de A'B'C et aussi de ABC. De plus, OC'i = 30G. 

Donc la résultante des neuf forces considérées sera dirigée suivant GO et 
aura une longueur égale à GOG. 

Pour que les forces se fassent équilibre il faut que et G coïncident. 

Francis Dauzats. 

QUESTION 738 (J- M. E., p. 143) 

Soludon 

En joignant tous les points A au point B on a un système de forces 
concourantes dont la résultante passe par B et par le centre des moyennes 
dislances des points A {ce qui est facile à établir). En faisant de même 
pour tous les points B nous aurons une série de forces concourantes au 
ceyitre a des points A. 

Ces forces ont elles-mêmes une résultante passant par le centre des 
moyennes distances |â des points B. La résultante agira donc suivant a p. 
Elle sera égale à la somme algébrique des projections des forces sur a^. 

Or, si aa'a'.,. hh'h" sont les projections des points sur ajâ la somme des 
projections sur «^ de ABA'BA"B... est m.<xb si m est le nombre des points 
A. Donc la somme des projections de toutes les forces sera : m.oib + m.fxU 
+ m.oib" + ... 

Or, db + «^' + aô"... = n.ap si n est le nombre des points B. 

Donc la résultante sera une force appliquée suivant a^ et égale à mn 
fois cette distance. Francis Dauzats. 

QUESTION 748 (/. M, E., p. 168) 

Solution^ par Francis Dauzats 

Soient H V orthocentre de ABC, B'C les pieds des hauteurs issues de B 
et Ci et l le milieu de AH. 



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194 



JOURNAL DB MATHBMATIQUBS ÉLÉMBNTAIRBS 



Le quadrilatère complet AB'HC'BC a les milieux IMN de ses diagonales en 
ligne droite. Donc MN ne passe par A que si elle se confond avec la hau- 
teur qui devient alors médiane. Le triangle est par suite isoscèle. 

Fr. Dauzats. 



Vaire du triangle ayant pour sommets les projections du centre de 
gravité sur les côtés est égale à * — ^ — '^iûi'r~ — ♦ **^» c 6rt S désignant 
les côtés et Vaire du triangle donné. EI.-N. Barisien. 

Soit G le centre de gravité. A', B', C les pieds des perpendiculaires 
abaissées de ce point sur les côtés ; les angles A et B'GC étant supplémen- 
taires, les triangles B'GC et ABC donnent 5!|5' GB'.GC 



bc • 
Or, on a, en représentant par /««, lu, hc les hauteurs du triangle 



GA 



GB' = 



, _ ha 

~ "3 
B'GC _ 4S2 

~s~ — ^^& 

A'B'C _ 452 

" S 



GC 



/le 

3 



et 2S = aha 



el de même 



g;ga; ^ _4S2 



bhb 
A'GB' 



chc, 
4S2 



""S"" - ^â^i 



donc 

..«^ 482/ II I \ 4S2/ a2 + 62 + &i \ 

et fmalement ABC = Y \ a^J — ) 

Jorge F. d'Avillez. 



Soient A', B', C les pieds des bissectrices intérieures du triangle ABC ; 
le point de concours de ces bissectrices ; A", B", C" les milieux de AA', 
BB', ce ; S «t 2p la surface et le périmètre du triangle ABC; S la sur- 
face du triangle A"B"C", Détnontrer les relations 

E.-N. Barisien. 
La surface du triangle S par rapport au triangle de référence ABC, est 

^1 ?/j -1 I 
x., 2/2 ^2 

^3 y-i -3 1 

où (a?!, yi, ^1), (a'2, Vi, -2)' (^:i> ^3» ^3) sont les coordonnées normales des 
trois sommets A", B", C". 

S S S s 

y^ = - — 



donnée par la formule S 



Or, on a a?i = - 



ahc 
8S2 



6 + c 



Vi ■■ 



X.2 



donc 



^, aJbc 

- — 8S2 



a 

S 



a 4- c 

S 
â +6 



2/3 = ^_p^' 

S __S_ 

b + c b + c 

S S 

b a -\-~c 

_S S 

a ^ h c 



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JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 



195 



2 = 



abc^ 



I 

a 

I 

a -\- c 



b -\- c à -\- c 

I I _ 

b a -\- c 

I £ 

c 



a -\- b a -\- b 
En développant ce déterminant, on trouve après réductions 

aôcS 



(I) 2 = 

Si la, h, le sont les 
connue S 



donc 



AA'.BB'.CC = 



2(6 + c) (c + a) [a + b)' 
bissectrices intérieures de ABC, on a la formule 
^ lahlJib + c) (c + g) {a 4- b) 
Sabop 



(b H- c) (c -|- a) (a -j- b) ' 
En comparant cette formule avec (i), on trouve 

AA'.BB'.CC 



Or, OA" == OA 
et encore 

On aura de même OB' 
et 



2 = ■ 



iQp 



OA" = ^"(^ + c — P) _ ^a(P — Q^) 

^p 3jp 

/fe(p — 6i OC" = lc {p — c) 

3^9 3|) 



OA-.OB-.OC" = bbhlE-^)^- ») (P - "). 



Mais 
donc 
On aura alors 

(3) 



[P- 



a) (p — b) (p — c) = jpr2 

IMlcr^ 



OA'.OB'.OC" = 

lahlc 



8jy-i 



-^.OA".OB".OC" = ^^ = S. 

3S2' |6jp 

Jorge F. d'Avillez. 



QUESTIONS PROPOSEES 



Soient A', B', C les pieds des hauteurs d'un triangle ABC et H son ortho- 
centre. On prend le symétrique A" de A' par rapport au milieu de BC, et 
les points analogues B" et C". Montrer que les droites AA", BB', CC" con- 
courent en un même point et calculer les distances de ce point aux trois 
côtés du triangle ABC. (E.-N. Barisien). 

Soit ABC un triangle donné dont les côtés sont a, b, c (a y b y^^ c), 
S Taire, r et R les rayons des cercles inscrit et circonscrit. 

Représentons par Sj l'aire du triangle formé par l'orthocentre et par les 
centres des cercles inscrit et circonscrit. Soient : S l'aire du triangle dont 
les sommets sont les pieds des hissectrîces intérieures, Sp S2j Sa les aire» 



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196 JOURNAL DE MATHEMATIQUES ELEMENTAIRES 

des triangles dont les sommets sont le pied d'une bissectrice intérieure et 
les pieds des deux bissectrices extérieures issues des deux autres sommets. 



V r2St2 



Démontrer la relation ^ir-^— ^- = ^ôùr 



(Jorge F. d'Avillez). 



Soit donné un triangle équilatéral et une droite A située dans son plan ; 
si a, j3, Y sont les distances des sommets h la droite, on a la relation 

a(a - » + p(? _ Y) + Ï(Y - a) = J a^ 

a étant le côté du triangle. (Jorge F. d'Avillez). 

Soit ABC un triangle donné, A A' = la la bissectrice intérieure de l'angle 
A, Z'„, t'a les segments lA, lA' déterminés sur cette bissectrice par le centre 
I du centre inscrit, r le rayon de ce cercle. Démontrer les relations 

2bc cos A . _ la cos A _ 2;?2 

Ta ^"^""^^-^ ÎTa J-^- 

Jorge F. d'Avillez. 

Arithmétique. — Si N = a.*è.PcT....A'^ démontrer que la somme des 
exposants qui figurent dans tous les diviseurs de N, décomposé en lac- . 
teurs premiers est égale à : 

(g + i) (p + i ) (T + i)...(ff + i) (a+ P+ ... +.^) ^ 

2 

Fontebasso. 

{Suppleniento al periodico di mathematica). 

Démontrer que pour n entier et positif l'expression : (32".5*"-«-2 + i) 
(83.H-2 _|_ 83n+i ^ i) est divisible par 1898. Castelli. 

{Supplemento al periodtco di mathematica). 

Trigonométrie. — Démontrer la relation 
i« sin2a + sin2(a -\. h) ■}- sin2(a + 2/1) -f- ... -f sin2[a + (n — i)A] 

^ sin nh cos [2a + (n — î)h'\ • 
2 sin h 

20 cos2a + cos2(a + A) + cos2(a + 2^) + ... + cos2(a + (^ — i)h) 

,1 sin nh cos [2a + (n — i)/i] 

2 ' sin h 

Celestri. 

(Supplemento al periodico di mathematica). 



Le Directeur-gérant, 

Georges MARIAUD. 



SAIMT-AMAHD (CHER). IMPRIMERIE SCIENTIFIQUE ET I.lTTÉRAIftE, BUSSIÈRE l'RÈBES. 



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^Wl -rd 



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r^t. 




4ll^