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TYPOGRAPHIE
SDMOND MONNOYKR
LE HAKS (Sartbe)
©
LA
GÊOMËTRi ANMTIOll
D'AUGUSTE COMTE
NOUVELLE ÉDITION PRÉCÉDÉE
DE LA
Q
GEOMETRIE DE DESCARTES
PARIS
UBRAIRS
44, Rue Chauveau-Lagarde
RTO-DE-JANEIRO
F. BRIGUIET A Ci*
LIVRARIA INTERNACIONAL
16<&18,RuA Nova do Ouvidor
1894
iu
LA
GÉOMÉTRIE mumm
D'AUGUSTE COMTE
•^^ - ^
NOUVELLE EDITION PRECEDEE
DE LA
A >
GEOMETRIE DE DESCARTES
PARIS
LTBRAIRE
14, Rue Chauveau-Lagarde
RIO-DE-JANEÏRO
F. BRIGUIET & G'»
LIVRARIA INTEFINACIONAL
i6&18,RrANovADoOuviDOK
1894
LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
D'AUGUSTE COMTE
» _ ^
Précédée de la GEOMETRIE DE DESGA.11TES
LA ISÉOHËTHIi;.
e deux autres, en trouver une quatrième qui soit à l'une
i deux comme l'autre est & Tuoité, ce qui est le même
i multiplication ; ou bien en trouver une quatrième qui
l'une de ces deux comme l'unité est k l'autre, ce qui est
me que la division ; ou enPm trouver une ou deux, ou
!urs moyennes proportiomielles entre l'unité el quelque
ligne, ce qui est le même que tirer la racine carrée, ou
ne, etc. Et je ne craindrai pas d'introduire ces termes
imétique en la géométrie, afin de me rendre plus intel-
La M taUpliuUon.
Soit, par exemple, AB (/î^./) l'unité,
et qu'il faille multiplier BD par BC,
je n'ai qu'à joindre les points A et C,
^ puis tirer DE parallèle à CA, et BE est
^ le produit de cette multiplication.
La DItUIou,
bien, s'il faut diviser B E par BD, ayant joint les points
», je tire AC parallèle k DE, et BC est le produit de cette
m.
L'Extmotlon d» 1« raoins oairto.
s'il faut tirer la racine carrée de GH {fig. S),i6lm
I en ligne droite FG, qui est l'unilé. el divisant FH en
deux parties égales au point K, du
centre K je tire le cercle -FIH, puis
élevant du point G une ligne droite
jusques à 1 à angles droits sur FH,
''■»■ *■ c'est GI la racine cherchée. Je ne
en ici de la racine cubique, ni des autres, à cause que
u-lerai plus commodément ci-après.
LIVRE rRBMlKR.
Gomment on p«at user de ohiffres en géométrie.
Mais souvent on n'a pa&besoifi .de tracer aiiis\ces lignes
sur le papier, et il suffi l de les désigner par quelques lettres,
chacune par une seule. Comme pour ajouter la JigneBD à.QH,
je nomme l'une a et Tautre 6, et écris a + 4 ; et a — b pour
soustraire b de a; et ab pour les multiplierTunè par l'autre ;
et -T pour diviser a par 6 ; et aa ou a* pour multiplier a par
soi-même ; et a* pour le multiplier encore une fois par a, et
ainsi à l'infini ; et \/ «* -j- 6», pour tirer la racine carrée de
a* -f- **; ©t ^C.a? — 6* + «è*, pour tirer la racine cubique
de «• — fr' 4" «62^ et ainsi des autres.
Où il est à remarquer que par a', ou 6', ou semblables, je t
ne conçois ordinairement que des lignes toutes simples,
encore que pour me servir des noms usités en l'algèbre je les
nomme des carrés ou des cubes, etc.
U est aussi à remarquer que toutes les parties d^une même
ligne se doivent ordinairement exprimer par autant de dimen- 1
sions Tune que l'autre, lorsque l'unité n'est point déterminée \
en la question, comme ici a^ en contient autant que ab^ ou
b* dont se compose la ligne que j'ai nommée
mais que ce n'est pas de même lorsque l'unité est déterminée,
à cause qu'elle peut être sous-entendue partout où il y a trop
ou trop peu de dimensions : comme s'il faut tirer la racine
cubique de a^b^ — ft, il faut penser que la quantité a*6* est
divisée une fois par l'unité, et que l'autre quantité b est multi-
pliée deux fois par la même.
Au reste, afin de ne pas manquer à se souvenir des noms
de ces lignes, il en faut toujours taire un registre séparé à
<
4 LA GÊOMÉTUE.
mesure qu'on les pose oa qo'on les change, écriTint par
exemple:
AB = i, e'esi-à-dire AB égal à i .
BD » 6, etc.
SI ÊÊCtA ▼anlr anx é^natiaiia tpsA
Ainsi, Tonlant résoudre quelque problème, on doit d'abord
le considérer comme déjà fait, et donner des noms à toutes
les lignes qui semblent nécessaires pour le construire, aussi
bien à celles qui sont inconnues qu'aux autres. Puis, sans
considérer aucune différence entre ces lignes connues et
^ inconnues, on doit parcourir la difBculté selon Tordre qui
montre le plus naturellement de tous en queUe sorte elles
I dépendent mutuellement les unes des autres, jusques à ce
qu'on ait trouvé moyen d'exprimer une même quantité en
deux façons, ce qui se nomme une équation; car les termes
de Tune de ces deux façons sont égaux à ceux de l'autre. Et
on doit trouver autant de telles équations qu'on a supposé de
lignes qui étoient inconnues. Ou bien, s'il ne s'en trouve pas
tant, et que nonobstant on n'omette rien de ce qui est désiré
en la question, cela témoigne qu'elle n'est pas entièrement
déterminée. Et lors on peut prendre à discrétion des lignes
connues pour toutes les inconnues auxquelles ne correspond
aucune équation. Après cela, s'il en reste encore plusieurs, il
se faut servir par ordre de chacune des équations qui restent
aussi, soit en la considérant toute seule, soit en la comparant
avec les autres, pour expliquer chacune de ces lignes incon-
nues, et faire ainsi, en les démêlant, qu'il n'en demeure
qu'une seule égale à quelque autre qui soit connue, ou bien
dont le carrée ou le cube, ou le carré de carré, ou le sursolide,
LIVRE PREMIER. 5
OU le carré de cube, etc., soit égal à ce qui se produit par
l'addition ou soustraction de deux ou plusieurs autres quan-
tités, dont Tune soit connue, et les autres soient composées
de quelques moyennes proportionnelles entre Tunité et ce
carré, ou cube, ou carré de carré, etc., multipliées par d*au-
très connues. Ce que j'écris en cette sorte :
ou 2^ = — a« + **»
ou z' «» + a%^ + *'^ — <?'»
ou 2* «=» fl^ — c^z + rf*, etc.;
c*est-à-dire z, que je prends pour la quantité inconnue, est
égale à h; ou le carré de z est égal au carré de b moins a
multiplié par z ; ou le cube de z est égal à a multiplié par le
carré de z plus le carré de b multiplié par z moins le cube
de c; et ainsi des autres.
Et on peut toujours réduire ainsi toutes les quantités
inconnues à une seule, lorsque le problème se peut construire
par des cercles et des lignes droites, ou aussi par des sections
coniques, ou même par quelque autre ligne qui ne soit que
d*un ou deux degrés plus composée. Mais je ne m'arrête point
à expliquer ceci plus en détail, à cause que je vous ôterois le
plaisir de l'apprendre de vous-même, et l'utilité de cultiver
votre esprit en vous y exerçant, qui est, à mon avis, la prin-
cipale qu'on puisse tirer de cette science. Aussi que je n'y
remarque rien de si difScile que ceux qui seront un peu ver-
sés en la géométrie commune et en l'algèbre, et qui prendront
garde à tout ce qui est en ce traité, ne puissent trouver.
C'est pourquoi je me contenterai ici de vous avertir que,
pourvu qu'en démêlant ces équations, on ne manque point à
se servir de toutes les divisions qui seront possibles, on aura
infailliblement les plus simples termes auxquels la question
puisse être réduite.
LA GKOXKTRie.
Qaal* sont !«■ problënuB plu».
1 elle peut être résolue par la géométrie ordinaire,
i en ne se serrant que de lignes droites et circu*
Jes sur uoe superficie plate, lorsque la dernière
ira été entièrement démêlée, il n'y restera tout au
carré inconnu, égal à ce qui se produit de l'addi-
)ustraction de sa racine multipliée par quelque
maue, et de quelque autre quantité ausd connue.
GomiMat lia ma résolTent.
ette racine, ou ligne inconnue, se trouve aisément;
lar exemple
a' — oa 4. i»,
iangle rectangle NLM {fig. 3) dont le côté LH est
idne carrée de la quantité connue b*, et l'autre LN
moitié de l'autre quantité connue qui étoit mulU-
pliée par z, que je suppose Être la
ligne inconnue ; puis prolongeant HN,
la base de ce triangle, jusques à 0,
en sorte que NO soit égale à NL, la
toute OM est 2, la ligne cherchée;
"et elle s'exprime en cette sorte :
ai y^ => — ay -\- £*, et que t/ soit la quantité qu'il
ir. Je fais le même triangle rectangle NLM, et de'
S j'ûleNPégaleàNL, et le reste P M est y, la
chée. De façon que j'ai
y— l«+y !«•+»;.
LIVRE PREMIER.
2b/7 £t tout de même si j*aTois
a:^ Bs — as? + 6«,
PM seroit a:*, çl j'aurois
a:-y-|a+y|7+7;
et ainsi des autres.
3 Enfin, si j*ai
«»=aj5 — 6^
je fais NL {fig. 4) égale à 5 a, et LM égale à J, comme
devant ; puis, au lieu de joindre les points MN,
je tire MQR parallèle à LN, et du centre N,
par L, ayant décrit un cercle qui la coupe aux
points Q et R, la ligne cherchée z est MQ,
ou bien MR ; car en ce cas elle s'exprime en
deux façons, à savoir
FtV. 4.
2 ^
et
\l\ «* - *'.
Et si le cercle, qui ayant son centre au point N passe par
le point L, ne coupe ni ne touche la ligne droite MQR, il n'y
a aucune racine en l'équation, de façon qu'on peut aàlsurer I
que la construction du problème proposé est impossible. <
Au reste, ces mêmes racines se peuvent trouver par une
infinité d'autres moyens, et j'ai seulement voulu mettre ceux-
ci, comme fort simples, afin de faire voir qu'on peut cons-
truire tous les problèmes de la géométrie ordinaire sans faire
autre chose que lé peu qui est compris dans les quatre figures
aumtff'WiirffTié: ^nr aatreneat is leoaiBit »s pis la pêne
iiâM# SôOft Sût cffoiiûfiTe qa'îls anxt pont ta
ttétlwt^ p0«r ks trsnrver rûotes. ■ois çl li^
El M pMt k TOir an» f«>ft claîremaii et ce foe P^fj a
flM an eomamteinetit de son Mpdèiiie lîTre, ocu après s*èlre
arrêta qn^^u fempt à dénombrer toat ce qoi aToîi été écril
en géométrie par ceox qm Faroîent précédé, il parle enfin
d'orne qaeili/>a qnH dit qoe ni £oclide« ni ApoDooins, ni
aiuron anire, n'aroieni sn entièrement résoudre ; et voici ses
fliota^l) :
Quem autem dicit (Apollonius in ienio tibro locum ad
tre$ et quatuor lineas ab Euclide perfeetum non esse^
mque ipse perfkere poterat, neqtte aliquis alius; sed
neque paululum quid addere iis, qux Euelides scripsit,
per va tantum conica, qtœ usque ad Euclidis tempora
prsemomtrata sunt, etc.
Et un peu aprë» il explique ainsi quelle est cette question :
At locuH ad très et quatuor lineas, in quo {Apollonius)
magnifiée se jactat, et ostentat, nulla habita gratia ei,
qui prius ncripserat^ est hujusmodi. Si positione datis
tribun rcctis lineis ab uno et eodem ptincto, ad très lineas
in datis angulis recta linese ducantur, et data sit pro-
portio rcctanguli contenti duabus ductis ad quadratum
reliquêS : punctum contingit positione datum solidum
{\) }$ «lU |»)ttlAI II voriilon UUn« qw le tfxte frer, ttn que ehacan l'entende jHns
•iiImMl.
LIVRE PREMIER. 9
locum, hoc est unam ex tribus conicis sectionibus. Et si
ad quatuor rectos lineas positione datas in datis angulis ■
lineâs ducantur; et rectanguli duabus ductis contenti ad
contentum duabus reliquis proportio data sit : similiter
punctum datam coni sectionem positione continget. Si
çuidem igiiur ad duas tantum locus planus ostensus est,
Quod si ad plures quam quatuor^ punctum continget
locos non adhuc cognitosj sed lineas tantum dictas;
qnales autem sinty vel quam habeant proprietatem, non
constat : earum unam^ neque primam, et quse manifes-
tissima videtur, composuerunt ostendentes utilem esse,
Propositiones autem ipsarum Aa? sunt.
Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas lineas
qiiinque ducantur rectse lineas in datis angulis, et data
sit proportio solidi parallelepipedi rectanguli^ quod tribus
ductis lineis continetur ad solidum parallelepipedum
rectangulum^ quod continetur reliquis duabus, et data
quapiam linea, punctum positione datam lineam con-
tinget. Si autem ad sex, et data sit proportio solidi tribus
lineis contenti ad solidmn, quod tribut reliquis contine-
tur; rursus punctum continget positione datam lineam.
Quod si ad pluresyuam sex, non adhuc habent dicere,
an data sit proportio cujuspiam contenti quatuor lineis
ad id quod reliquis continetur, quoniam non est aliquid
contentum pluribus quam tribus dimensionibus.
Où je vous prie de remarquer en passant que le scrupule ^ ^
que faisoient les anciens d'user des termes de Tarithmétique
en la géométrie, qui ne pouvoit procéder que de ce qu'ils ne
voyoient pas assez clairement leur rapport, causoit beaucoup
d'obscurité et d'embarras en la façon dont ils s'expliquoient ;
car Pappus poursuit en cette sorte :
Acquiescunt autem his, qui paulo ante talia interpre^
10 LA GÉoménuE.
taii sunt; neque tmum aliquo paeto eomprehensibile
sêgnifieantes quodhis eantmetur. Lkebii autem ptr con-
JtmeUu frmpoTiUmes hxe, et dieere^ et denumstrare uni^
verse in dietis proportiamiiMs^ atque his m bwÊC modum.
Si aà aliquo puncto ad positione datas reetas Bneas
dueaniur rectm Hneœ in datis angulis, et data sitpropor^
tio conjttncta ex ea, quam habet una duetarwn ad tmam,
et altéra ad alteram, et alia ad aliam, et reliçua ad
datam lineam^ si sint septem; si vero octo, et reliqua ad
reliquam : punctum continget positione datas Kneas. Et
similiter quotcumque sint impares vel pares muititu-
dine, cum hœc^ ut dixi^ loco ad quatuor lineas respon-
deant^ nullum igitur postterunt ita ut linea nota sit^ etc.
La ([aesUoD donc qui avoit été commencée à résoudre par
Euclide et poursuivie par Apollonius, sans avoir été achevée
par personne, étoit telle : Ayant trois ou quatre, ou plus
grand nombre de lignes droites données par position ; pre-
mièrement on demande un point duquel on puisse tirer autant
d'autres lignes droites, une sur chacune des données, qui
fassent avec elles des angles donnés, et que le rectangle con-
tenu en deux de celles qui seront ainsi tirées d'un même
point, ait la proportion donnée avec le carré de la troisième,
s*il n*y en a que trois; ou bien avec le rectangle des deux
autres, s'il y en a quatre; ou bien, s'il y en a cinq, que le
parallélipipède composé de trois ait la proportion donnée avec
le parallélipipède composé des deux qui restent, et d'une
autre ligne donnée; ou s'il y en a six, que le parallélipipède
composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélipi-
pède des trois autres ; ou s'il y en a sept, que ce qui se pro-
duit lorsqu'on en multiplie quatre Tune par l'autre, ait là
raison donnée avec ce qui se produit par la multiplication des
troi^ autres, et encore d'une autre ligne donnée; ou s'il y en
LIVRK PREMIER. il
a hint, que le produit de la muIUplîcation de quatre ait la
proportion donnée avec le produit des quatre autres; et ainsi
cette question se peut étendre à tout autre nombre de lignes «
Pais à cause qu'il y a toujours une infinité de divers points
qui peuvent satisfaire à ce qui est ici demandé, il est aussi
requis de connoître et de tracer la ligne dans laquelle ils doi-
vent tous se trouver. Et Pappus dit que lorsqu'il n*y a que
trois ou quatre lignes droites données, c'est en une des trois
sections coniques ; mais il n'entreprend point de la déterminer
ni de la décrire, non plus que d'expliquer celletf où tous ces
points se doivent trouver, lorsque la question est proposée
en un plus grand nombre de lignes. Seulement il ajoute que
les anciens en avoient imaginé une qu'Us montroient y être
utile, mais qui sembloit la plus manifeste, et qui n'étoit pas
toutefois la première. Ce qui m'a donné occasion d'essayer
si, par la méthode dont je me sers, on peut aller aussi loin
qu'ils ont été.
Réponse à la question de Pappus.
Et premièrement j'ai connu que cette question n'étant pro-
posée qu'en trois, ou quatre^ ou cinq lignes, on peut toujours
trouver les points cherchés par la géométrie simple, c'est-k-
dire en ne se servant que de la règle et du compas, ni ne fai-
sant autre chose que ce qui a déjà été dit; excepté seulement
lorsqu'il y a cinq lignes données, si elles sont toutes paral-
lèles : auquel cas, comme aussi lorsque la question est pro-
posée en 6, ou 7, ou 8^ ou 9 lignes, on peut toujours trouver
les points cherchés par la géométrie des solides, c'est-à-dire
en y employant quelqu'une des trois sections coniques;
excepté seulement lorsqu'il y a neuf lignes données, si elles
sont toutes parallèles : auquel cas, derechef , et encore en 10«
12 LA GÉOMÉTRIE.
il, 12 OU 13 lignes, on peut trouver les points cherchés par
le moyen d'une ligne courbe qui soit d'un degré plus com-
posée que les sections coniques; excepté en treize, si elles
sont toutes parallèles : auquel cas, et en 14, 15, 16 et 17, il y
faudra employer une ligne courbe encore d'un degré plus
composée que la précédente, et ainsi à Tinfîni.
Puis j'ai trouvé aussi que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre
lignes données, les points cherchés se rencontrent tous, non
seulement en l'une des trois sections coniques, mais quelque*
fois aussi en la circonférence d'un cercle ou en une ligne
droite; et que lorsqu'il y en a cinq, ou six, ou sept, ou huit,
tous ces points se rencontrent en quelqu'une des lignes qui
sont d'un degré plus composées que les sections coniques, et
il est impossible d'en imaginer aucune qui ne soit utile à cette
question ; mais ils peuvent aussi derechef se rencontrer en
une section conique, ou en un cercle, ou en une ligne droite.
Et s'il y en a 9, ou 10, ou 11, ou 12, ces points se rencontrent
en une ligne qui ne peut être que d'un degré plus composée
que les précédentes ; mais toutes celles qui sont d'un degré
plus composées y peuvent servir, et ainsi à l'infini.
Au reste, la première et la plus simple de toutes, après les
sections coniques, est celle qu'on peut décrire par l'intersec*
tion d'une parabole et d'une ligne droite, en la façon qui sera
tantôt expliquée. En sorte que je pense avoir entièrement
satisfait à ce que Pappus nous dit avoir été cherché en ceci
par les anciens ; et je tâcherai d'en mettre la démonstration
en peu de mots, car il m'ennuie déjà d'en tant écrire.
Soient {fig. ô) AB, AD, EF, GH, etc., plusieurs lignes don-
nées par position, et qu'il faille trouver un point, comme C,
duquel ayant tiré d'autres lignes droites sur les données,
comme CB, CD, CF et CH, en sorte que les angles CBA, CDA,
CFE, CHG, etc., soient donnés, et que ce qui est produit par
LIVRE PREMIER.
13
la multiplication d'une partie de ces lignes soit égal à ce qui
est produit par la multiplication des autres, ou bien qu!ils
aient quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point
la question plus difficile.
Gonunmit on doit poser les tormea pour vonir à l'éiiaatioa
de cet exemple.
Premièrement, je suppose la chose comme déjà faite, et
Fig, 5.
pour me démêler de la confusion de toutes ces lignes je
considère l'une des données, et Tune de celles qu'il faut
trouver, par exemple AB et CB, comme les principales et
auxquelles je tâche de rapporter ainsi toutes les autres. Que
le segment de la ligne AB, qui est entre les points A et B, soit
nommée x ; et que BC soit nommé y ; et que toutes les
autres lignes données soient prolongées jusques à ce qu'elles
coupent ces deux aussi prolongées, s'il est besoin, et si elles
né leur sont point parallèles ; comme vous voyez ici qu'elles
coupent la ligne AB aux points A, E, 6, et BC aux points
R, S, T. Puis à cause que tous les angles du triangle ARB
sont donnés, la proportion qui est entre les dotés AB et BR
est aussi donnée, et je la pose comme i^ zkb^ de façon que
hx hx
AB {fig. 6) étant x, BR sera —, et la toute GR sera y -j ,
14
LA' GEOMETRIE.
à cause que le point B tombe entre G et R.; car si R tomboit
bx
entre G et B,CR seroit y — — ; et si G tiJmbort entre Bet R,
bx
GR seroit — y + — . Tout de mèiM lés trois angles du
triangle DRC sont donnés, et par conséquent aussi la pro-
portion qni est entre les côtés CR et CD, que je pose comme
— , CD sera -^ A :
z z z'
Après cela, pource que les lignés AB, AD et ËF sont données
par position, la distance qui est entre les points A et E est
aussi donnée, et si on la nomme Zr, on aura EB égal k k-^-x;
mais ce seroit k — â: si le point B tomboit entre E et A ;
et — A + a: si E tomboit entre A et B. Et pource que les
angles du triangle ESB sont tous donnés, la proportion de
WJSW:
de js à c, de façon que CR étant y + '-j-, CD sera ~ + ^^
Fig. 6.
BE à BS est aussi donnée, et je la pose comme de z à £f, si
1 . T^o , dk + dx ^ , , , -_ zy 4- dk 4- dx
bien que BS est ■ , et la toute CS est -^-^ = ;
z z
zt/ ■""" dk "— dx
mais ce seroit -^ , si le point S tomboit entre
B et G; et ce seroit ^^^ "^ — , si G tomboit entrç
z
B et S. De plus les trois angles du triangle FSG sont donnés,
et ensuite la proportion de CS à CF, qui soit comme de zke.
UYRE PREMIER. i
w
et la toute GF sera -^-^ — -r — • . En même façon AG
que je nomme / est donnée, et BG est / — or, et à cause du
triangle BGT, la proportion de BG à BT est aussi donnée^ qui
soit comme de z à /, et BT sera —, et CT = ^-^ '—,
' z z
Puis derechef la proportion de CT à CH est donnée à cause
du triangle TCH, et la posant comme de :^ à g, on aura
^3
4«
Et ain^i vous voyez qu*en tel nombre de lignes données par
position qu'on puisse avoir, toutes les lignes tirées dessus du
point G à angles donnés, suivant la teneur de la question, se
peuvent toujours exprimer chacune par trois termes, dont i^. </<' /ct
Tun est composé de la quantité inconnue y y multipliée ou t y/tv J^ -
divisée par quelque autre connue ; et l'autre de la quantité
inconnue a:, aussi multipliée ou divisée par quelque autre
connue ; et le troisième d'une quantité toute connue ; excepté
seulement si elles sont parallèles, ou bien à la ligne AB,
auquel cas le terme composé de la quantité x sera nul , ou
bien à la ligne GB, auquel cas celui qui est composé de la
quantité y sera nul, ainsi qu'il est trop manifeste pour que je
m'arrête à l'expliquer. Et pour les signes + et — qui se joi- ,
gnent à ces termes, ils peuvent être changés en toutes les
façons imaginables.
Puis vous voyez aussi que, multipliant plusieurs de ces
lignes Tune par l'autre, les quantités x et y qui se trouvent
dans le produit n'y peuvent avoir que chacune autant de
dimensions qu'il y a eu de lignes à l'explication desquelles
elles servent^ qui ont été ainsi multipliées ; en sorte qu'elles
n'auront jamais plus de deux dimensions en ce qui ne sera
produit que par la multiplication de deux lignes ; ni plus de
16 LA «ÉOMÉTRIE.
trois, en ce qui ne sera produit que par la molIlplîcaUoii de
trois, et ainsi à l'iaflni.
Gommuit oa tronv* tpam ce problèms «st plsu, lorwpi'il
a'Mt point prapM4 «n pins d« cinq lignas.
De ptosvàcaase que poar déterminer le point C, il n'y a
qu'une seule conditiou qui soit requise, h savoir que ce qui
est produit par la multiplication d'un certain nombre de ces
lignes soit égal, ou, ce qui n'est de rien plus malaisé, ait la
proportion donnée i ce qui est produit par la multiplication
des autres ; on peut prendre à discrétion l'une des deux quan-
titéa inconnues x ou y, et chercher l'autre par cette équation,
en laquelle il est évident que, lorsque la question n'est point
I proposée en plus de cinq lignes, la quantité x, qui ne sert point
! à l'expression de la première, peut toujours n'y avoir que
[ deux dimensions; de façon que, prenant une quantité connue
pour y, il ne restera que x' = + ou — ax -{- ou — 6'; et
ainsi ou pourra trouver la quantité x avec la règle et le com-
pas, en la façon tantât expliquée . Mf me, prenant successive-
ment inriuies diverses grandeurs pour la ligne y, on en trou-
vera aussi iniinies pour la ligne x, et ainsi on aura une inlt-
nité de divers points, tels que celui qui est marqué C, par le
moyen desquels on décrira la ligne courbe demandée.
Il se peut faire aussi, ta question étant proposée en six ou
plus grand nombre de lignes, s'il y en a entre les données qui
soient parallèles à AB ou BC, que l'une des deux quantités x
ou y n'ait que deux dimensions en l'équation, et ainsi qu'on
puisse trouver le point C avec la r^gle oL le compas. Mais au
contraire si elles sont toutes parallèles, encore que la question
ne soit proposée qu'en cinq lignes, ce point C ne pourra ainsi
être trouvé, à cause que la quantité x ne se trouvant point en
LIYRB PREMIER. 17
toute réquation, il ne sera plus permis de prendre une quan-
tité connue pour celle qui est nommée y^ mois ce sera elle
qu'il faudra chercher. El pource qu'elle aura trois dimensions,
on ne le pourra trouver qu'en tirant la racine d'une équation
cubique, ce qui ne se peut généralement faire sans qu'on y
emploie pour le moins une section conique. Et encore qu'il y
ait jusques à neuf lignes données, pourvu qu'elles ne soient
point toutes parallèles, on peut toujours faire que l'équation
ne monte que jusques au carré de carré ; au moyen de quoi on
la peut aussi toujours résoudre par les sections coniques, en
la façon que j'expliquerai ci-après. Et encore qu'il y en ait
jusques à treize, on peut toujours faire qu'elle ne monte que
jusques au carré de cube; ensuite de quoi on la peut résoudre
par le moyen d'une ligne, qui n'est que d'un degré plus com-
posée que les sections coniques, en la façon que j'expliquerai
aussi ci-après. Et ceci est la première partie de ce que j 'a vois
ici à démontrer; mais avant que je passe à la seconde, il est
besoin que je dise quelque chose en général de la nature des
lignes courbes.
DBfiGARTBs. — Géomitrie, 3
18 LA GÉOMÉTRIE.
LIVRE SECOND.
DE LA NATURE DES LIGNES COURBES.
Quelles sont les lignes eoarbes qu'on peut recevoir en
géométrie.
Les anciens ont fort bien remarqué qu'entre les problèmes
de géométrie, les uns sont plans, les autres solides et les
autres linéaires, c'est-à-dire que les uns peuvent être cons-
truits en ne traçant que des lignes droites et des cercles; au
lieu que les autres ne le peuvent être, qu*on n'y emploie pour
le moins quelque section conique ; ni enfin les autres, qu'on
r ; .. n'y emploie quelque autre ligne plus composée. Mais je m'é-
. ' tonne de ce qu'ils n'ont point outre cela distingué divers
[ degrés entre ces lignes plus composées, et je ne saurois com-
prendre pourquoi il les ont nommées mécaniques plutôt que
géométriques . Car de dire que c'ait été à cause qu'il est besoin
■ de se servir de quelque machine pour les décrire, il faudroit
; rejeter par môme raison les cercles et les lignes droites, vu
I qu'on ne les décrit sur le papier qu'avec un compas et une
[ règle, qu'on peut aussi nommer des machines . Ce n'est pas
\ non plus à cause que les instruments qui servent à les tracer,
étant plus composés que la règle et le compas, ne peuvent
' être si justes; car il faudroit pour cette raison les rejeter des
I mécaniques, où la justesse des ouvrages qui sortent de la main
j est désirée, plutôt que de la géométrie, où c'est seulement la
LIVRE SECOND. 19
justesse du raisonnement qu*on recherche, et qui peut sans j
doute être aussi parfaite touchant ces lignes que touchant les)
autres. Je ne dirai pas aussi que ce soit à cause qu'ils n'ont
pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes, et qu'ils
se sont contentés qu'on leur accordât qu'ils pussent joindre
deux points donnés par une ligne droite, et décrire un cercle
d'un centre donné qui passât par un point donné ; car ils n'ont
point fait de scrupule de supposer outre cela, pour traiter des
sections coniques, qu'on pût couper tout cône donné par un
plan donné. Et U n'est besoin de rien supposer pour tracer
toutes les lignes courbes que je prétends ici d'introduire,
sinon que deux ou plusieurs lignes puissent être mues l'une
par l'autre, et que leurs intersections en marquent d'autres;
ce qui ne me parolt en rien plus difficile. Il est vrai qu'ils
n'ont pas aussi entièrement reçu les sections coniques en leur
géométrie, et je ne veux pas entreprendre de changer les
noms qui ont été approuvés par l'usage ; mais il est, ce me
semble, très clair que, prenant comme on fait pour géométri-
que ce qui est précis et exact, et pour mécanique ce qui ne
l'est pas, et considérant la géométrie comme une science qui
enseigne généralement à connoître les mesures de tous les
corps, on n'en doit pas plutôt exclure les lignes les plus com-
posées que les plus simples, pourvu qu'on les puisse imaginer
être décrites par un mouvement continu, ou par plusieurs qui )
s'entre-suivent, et dont les derniers soient entièrement réglés *
par ceux qui les précèdent; car par ce moyen on peut tou-^
jours avoir une connoissance exacte de leur mesure. Mais
peut-être que ce qui a empêché les anciens géomètres de rece-
voir celles qui étoient plus composées que les sections coni-
ques, c'est que les premières qu'ils ont considérées, ayant par
hasard été la spirale, la quadratrice et semblables, qui n'ap* '
partiennent véritablement qu'aux mécaniques, et ne sont •
\
'i r
20 LA GÉOMÉTRIE.
• point du nombre de celles que je pense devoir ici être reçnes,
à cause qu'on les imagine décrites par deux mouvements
séparés, et qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse
■ mesurer exactement; bien qu'ils aient après examiné la con-
cbolde, la cissolde, et quelque peu d'autres qui en sont, tou-
tefois à cause qu'ils n'ont peut-être pas assez remarqué leurs
propriétés, ils n'en ont pas fait plus d'état que des premières ;
ou bien c'est que, voyant qu'ils ne connoîssoient encore que
peu de cboses toucbant les sections coniques, et qu'il leur en
restoit même beaucoup, touchant ce qui se peut Taire avec la
règle et le compas, qu'ils ignoroient, ils ont cru ne devoir
point entamer de matière plus difOcile. Hais pource que j'es-
père que dorénavant ceux qui auront l'adresse de se servir du
calcul géométrique ici proposé, ne trouveront pas assez de
quoi s'arrêter toucbant les problèmes plans ou solides, je
crois qu'il est à propos que je les invite h d'autres recherches,
où ils ne manqueront jamais d'exercice.
Voyez les lignes AB, AD, AF et semblables (fig. 7), que je
suppose avoir été décrites par l'aide de l'instrument YZ,qni est
composé de plusieurs règles tellement jointes que celle qui est
marquée YZ étant arrêtéesur la ligne AN, on peut ouvrir et
fermer l'angle XYZ, et que lorsqu'il est tout fermé, les points
UVRE SECOND. 21
B, C, D, E, F, G, H sont tous' assemblés au point A ; mais
qu'à mesure qu'on Touvre, la règle BC, qui est jointe à angles
droits avec XY au point B, pousse vers Z la règle CD, qui
coule sur YZ en faisant toujours des angles droits avec elle ;
et CD pousse DE, qui coule tout de même sur YX en demeu-
rant parallèle à BC ; DE pousse EF, EF pousse FO, celle-ci
pousse GH, et on en peut concevoir une infinité d'autres qui
se poussent consécutivement en même façon, et dont les unes
fassent toujours les mêmes angles avec YX et les autres avec
YZ. Or, pendant qu'on ouvre ainsi Tangle XYZ, le point B
décrit la ligne AB, qui est un cercle ; et les autres points D,
F, H, où se font les intersections des autres règles, décrivent
d'autres lignes courbes AD, AF/AH, dont les dernières sont
par ordre plus composées que la première, et celle-ci plus
que le cercle ; mais je ne vois pas ce qui peut empêcher qu'on
ne conçoive aussi nettement et aussi distinctement la descrip-
tion de cette première que du cercle, ou du moins que des
sections coniques ; ni ce qui peut empêcher qu'on ne con-
çoive la seconde, et la troisième, et toutes les autres qu'on
peut décrire, aussi bien que la première ; ni par conséquent
qu'on ne les reçoive toutes en même façon pour servir aux
spéculations de géométrie .
La façon de distinguer tontes les lignes courbes en
certains genres, et de connoître le rapport q[n'ont tons
lenrs points à cens des lignes droites.
Je pourrois mettre ici plusieurs autres moyens pour tracer
et concevoir des lignes courbes qui seroient de plus en plus
composées par degrés à l'infini ; mais pour comprendre en-
semble toutes celles qui sont en la nature, et les distinguer
par ordre en certains genres, je ne sache rien de meilleur
que de dire que tous les points de celles qu'on peut nommer
fi LA GÉOMÉTRIE.
géométriques, c*est-à-dire qni tombent sous qnelqne mesure
précise etexacte, ont nécessairement qnelqae rai4>ort à tous les
points d*nne ligne droite, qui peut être exprimée par quelque
équation, en tous par une même ; et que, lorsque cette équa-
tion ne monte que jusqu'au rectangle de deux quantités indé-
terminées, ou bien au carré d'une même, la ligne courbe est
du premier et plus simple genre, dans lequel il n'y a que le
cercle, la parabole, l'hyperbole et l'ellipse qui soient com-
prises ; mais que lorsque l'équation monte jusqu'à la troi-
sième ou quatrième dimension des deux, ou de l'une des
deux quantités indéterminées (car il en faut deux pour expli-
quer ici le rapport d'un point à un autre), elle est du second ;
et que lorsque l'équation monte jusqu'à la cinquième ou
sixième dimension, elle est du troisième ; et ainsi des autres
à llnfini.
Comme si je veux savoir de quel genre est la ligne EC (fig.8).
que j'imagine être décrite par l'intersec-
tion de la règle GL et du plan recti-
ligne CNKL, dont le côté KN est indé-
finiment prolongé vers C, et qui, étant
mu sur le plan de dessous en ligne
droite, c'est-à-dire en telle sorte que
son diamètre KL se trouve toujours ap-
pliqué sur quelque endroit de la ligne B A
prolongée de part et dautre, fait mouvoir circulairement
cette règle GL autour du point G, à cause qu'elle lui est
tellement jointe qu'elle passe toujours par le point L. Je
choisis une ligne droite comme AB, pour rapporter à ses
divers points tous ceux de cette ligne courbe EC ; et en cette
ligne AB je choisis un point comme A, pour commencer par
lui ce calcul. Je dis que je choisis et l'un et l'autre, à cause
qu'il est libre de les prendre tels qu'on veut; car encore qu'il
L
LIVRE SECOND. 23
y ait beaucoup de choix pour rendre Téquation plus courte
et plus aisée, toutefois eu quelle façon qu'on les prenne, on
peut toujours faire que la ligne paroisse de même genre, ainsi
qu'il est aisé à démontrer. Apr^s cela prenant un point à
discrétion dans la courbe, comme C, sur lequel je suppose
que Tinstrument qui sert à la décrire est appliqué, je tire de
ce point C la ligne CB parallèle à GA, et pource que CB et BA
sont deux quantités indéterminées et inconnues, je les nomme
Tune y et Tautre x\ mais afin de trouver le rapport de Tune
à Tautre, je considère aussi les quantités connues qui déter-
minent la description de cette ligne courbe, comme GA, que
je nomme a, KL que je nomme ô, et NL, parallèle à GA, que
je nomme c ; puis je dis, comme NL est à LK, ou o à 6, ainsi
CB ou y est à BK, qui est par conséquent - y\ et BL est
•y — 6, et AL est a: -f- "^ y — *• ^^ plï^s, comme CB est à
LB, ou ^ à - y — 6, ainsi AG ou âf est à LA ou a: + - y — ô;
c c
de façon que, multipliant la seconde par la troisième on
produit — y — a6 qui est égale à a:y + - y* — ^, qui se
c c
produit en multipliant la première par la dernière : et ainsi
Véquation qu'il falloit trouver est
ex
y« ™ cy — - y + ay — ac,
de laquelle on connoit que la ligne EC est du premier genre,
comme en effet elle n'est autre qu'une hyperbole.
Que si, en Tinstrument qui sert à la décrire, on fait qu'au
lieu de la ligne droite CNK,ce soit cette hyperbole, ou quelque
autre ligne courbe du premier genre, qui termine le plan
CNKL, l'intersection de cette ligne et de la règle GL décrira,
24 lA ctonÉniB.
an lien de Thyperibole EC, une aatre ligne cooriie qui sera
d'un second genre. Comme si CSK est nn cercle dont L soit
le centre, on décrira la première conchoîde des anciens ; et
si c*est nne parabole dont le diamètre soit KB, on décrira la
ligne conrbe qne j'^ tantôt dit être la première et la plus
simple ponr la question de Pappus, lorsqu'il n*y a que cinq
lignes droites données par position ; mais si au lieu d*une
de ces lignes courbes du premier genre, c'en est une du se-
cond qui termine le plan CNKL, on en décrira, par son
moyen, une du troisième, ou si c'en est une du troisième,
on en décrira une du quatrième, et ainsi à TinOni, comme il
est fort aisé à connoltre par le calcul. Et en quelque autre
façon qu'on imagine la description d'une ligne conrbe,pourvu
qu'elle soit du nombre de celles que je nomme géométriques,
on pourra toujours trouver une équation pour déterminer
tous ses points en cette sorte.
Au reste, je mets les lignes courbes qui font monter celte
équation jusqu'au carré de carré, au même genre que celles qui
ne la font monter que jusqu'au cube; et celles dont l'çquation
monte au carré de cube, au même genre que celles dont elle
ne monte qu'au sursolide, et ainsi des autres : dont la raison
est qu'il y a règle générale pour réduire au cube toutes les
difficultés qui vont au carré de carré, et au sursolide toutes
celles qui vont au carré du cube ; de façon qu'on ne les doit
point estimer plus composées.
Mais il est à remarquer qu'entre les lignes de chaque genre,
encore que la plupart soient également composées, en sorte
qu'elles peuvent servir à déterminer les mêmes points et
construire les mêmes problème8,il y en a toutefois aussi quel-
ques-unes qui sont plus simples, et qui n'ont pas tant d'éten-
due en leur puissance ; comme entre celles du premier genre,
outre l'ellipse, l'hyperbole et la parabole, qui sont également
UVRE SECOND. 25
composées, le cercle y est aussi compris, qui maaifeslement
est plus simple ; et entre celles du second genre, il y a la
conchoîde vulgaire, qui a son origine du cercle ; et il y en a
encore quelques autres qui, bien qu'elles n'aient pas tant d'é-
tendue que la plupart de celles du même genre, ne peuvent
toutefois être mises dans le premier.
Suite de rexpUcation de la question de Pappu^ miee au
livre précédent.
Or, après avoir ainsi réduit toutes les lignes courbes à cer-
tains genres, il m'est aisé de poursuivre en la démonstration
de la réponse que j*ai tantôt faite à la question de Pappus ;
car premièrement, ayant fait voir ci*dessus que, lorsqu'il n'y
a que trois ou quatre lignes droites données, l'équation qui
sert à déterminer les points cherchés ne monte que jusqu'au
carré, il est évident que la ligne courbe où se trouvent ces
points est nécessairement quelqu'une de celles du premier
genre, à cause que cette même équation explique le rapport
qu'ont tous les points des lignes du premier genre à ceux
d*une ligne droite ; et que lorsqu'il n'y a point plus de huit
lignes droites données, cette équation ne monte que jusqu'au
carré de carré tout au plus, et que par conséquent la ligne
cherchée ne peut être que du second genre, ou au-dessous ;
et que lorsqu'il n'y a point plus de douze lignes données,
l'équation ne monte que jusqu'au carré de cube, et que par
conséquent la ligne cherchée n'est que du troisième genre,
ou au-dessous ; et ainsi des autres. £t même à cause que la
position des lignes droites données peut varier en toutes
sortes, et par conséquent faire changer tant les quantités
connues que les signes + et — de l'équation, en toutes les
façons imaginables, il est évident qu'il n'y a aucune ligne
26
LA GEOMETRIE.
courbe du premier genre qui ne soit utile à cette question,
quand elle est proposée en quatre lignes droites ; ni aucune
du second qui n*y soit utile, quand elle est proposée en huit ;
ni du troisième,quand elle est proposée en douze ; et ainsi des
autres : en sorte qu^il n'y a pas une ligne courbe qui tombe
sous le calcul et puisse être reçue en géométrie, qui n'y soit
utile pour quelque nomi>re de lignes.
Solution de cette question quand elle n'est proposée qu'en
trois ou quatre lignes.
Mais il faut ici plus particulièrement que je détermine et
donne la façon de trouver la ligne cherchée qui sert en cha-
que cas, lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites
données ; et on verra, par même moyen, que le premier
genre des lignes courbes n'en contient aucunes autres que
les trois sections coniques et le cercle.
Fig. 9,
Reprenons les quatre lignes AB, AD, EF et GH {fig. 9) don-
nées ci-dessus^ et qu'il faille trou ver une autre ligne en laquelle
il se recontre une infinité de points tels que C, duquel ayant
tiré les quatre lignes CB, CD, CF et CH, à angles donnés sur
UVRE SECOND. 27
les données, GB multipliée par CF produit une somme égale
à CD multipliée par CH ; c'est-à-dire, ayant fait
CB-y. CD », "y + ^"^, cf^m±Ë^±Jf^,
et rji - y^y + /W - fy^
réquation est
ez^ — cgz* *
au moins en supposant ez plus grand que cg^ car s'il éloit
moindre il faudroit changer tous les signes + et — . Et si la
quantité y se trouvoit nulle ou moindre que rien en cette
équation, lorsqu'on a supposé le point G en l'angle DAG, il
faudroit le supposer aussi en Tangle DAE, ou EAR, ou RAG,
en changeant les signes -j- et — selon qu'il seroit requis à cet
effet. Et si en toutes ces quatre positions la valeur de y se
trouvoit nulle, la question seroit impossible au cas proposé.
Mais supposons-la ici être possible, et pour en abréger les
termes, au lieu des quantités > ^ f "" — — -, écrivons £m'
ez* — cgz'^ *
,. , cfejs^ + cfgz — bcgz , . 2n
et au lieu de = , écrivons — ; et ainsi nous
esr — cgz^ z
aurons
y> = ^my - ^ xy + *£^fe^*£^,
* ^ z ''^ ez» — cgz^ '
dont la racine est
y^tn-!îf + l/^a_^i^ . ^' I bcfglx-bcfgz^
2 ^V 2 ^ z^ ^ ez^ — cgz"
et derechef pour abréger, au lieu de — ^î^ A *£/£f_
z ^ ez"" — cgz^'
écrivons o ; et au lieu de — _ ^ ^'^ ■, écrivons ^ ; car
«8 ez^ — CQz^ m
28 . LA GÉOMÉTRIE.
ces quantités étant toutes données, nous les pouvons nommer
comme il nous plaît : et ainsi nous avons
z y m '
qui doit être la longueur de la ligne BC, en laissant AB ou x
indéterminée. Et il est évident que la question n*étant pro-
posée qu'en trois ou quatre lignes, on peut toujours avoir de
tels termes, excepté que quelques-uns d'eux peuvent être nuls,
et que les signes -f et — peuvent diversement être changés.
Après cela je fais Kl égale et parallèle à BA, en sorte
qu'elle coupe de BC la partie BK égale à m, à cause qu'il y a
ici + ^ ; et je Taurois ajoutée en tirant cette ligne IK de
l'autre côté, s'il y avoit eu — m ; et je ne l'aurois point du
tout tirée, si la quantité m eût été nulle. Puis je tire aussi IL,
en sorte que la ligne IK est à KL comme z est à n ; c'est-à-dire
Tl
que IK étant ar, KL est - x. Et par même moyen je connois
z
aussi la proportion qui est entre KL et IL, que je pose comme
Tl d
entre n et a ; si bien que KL étant - x, IL est - x. Et je fais
z z
que le point K soit entre L et C, à cause qu'il y a ici a: ;
z
au lieu que j'aurois mis L entre K et C, si j'eusse eu
Tl Ti
+ - ^ ; et je n'eusse point tiré cette ligne IL, si - a: eût été
z z
nulle.
Or, cela fait, il ne me reste plus pour la ligne LC que ces
termes
LC-ym« + oa: + |^a:«,
d'où je vois que s'ils étoient nuls, ce point C se trouveroit en
la ligne droite IL ; et que s'ils étoient tels que la racine s'en
M
LIVRE SECOND. 29
pût tirer, c'est-à-dire que m^ et - x^ étant marqués d*un
même signe -f- ou — , o* fût égal à 4pm^ ou bien que les
termes m* et ox^ ou ox et - 2:' fussent nuls, ce point C se
m
trouveroit en une autre ligne droite qui ne seroit pas plus
malaisée à trouver que IL. Mais lorsque cela n'est pas, ce
point C est toujours en Tune des trois sections ou en un
cercle dont Tun des diamètres est en la ligne IL, et la ligne LC
est Tune de celles qui s'appliquent par ordre à ce diamètre ;
ou au contraire LC est parallèle au diamètre, auquel celle qui
est en la ligne IL est appliquée par ordre ; à savoir si le terme
- x^ est nul, cette section conique est une parabole ; et s'il
est marqué du signe -|-, c'est une hyperbole ; et enfln s'il est
marqué du signe — , c'est une ellipse, excepté seulement si la
quantité a^m est égale à pz^^ et que l'angle ILC soit droit,
auquel cas on a un cercle au lieu d'une ellipse. Que si cette
oz
section est une parabole, son côté droit est égal à —, et son
diamètre est toujours en la ligne IL ; et pour trouver le
point N, qui en est le sommet, il faut faire IN égale à — : et
oz
que le point I soit entre L et N, si les termes sont -^m^-^-ox ;
ou bien que le point L soit entre 1 et N, s'ils sont + m' — ox\
ou bien il faudroit que N fût entre I et L, s'il y avoit — m' + ox.
Mais il ne peut jamais y avoir •— m^, en la façon que les
termes ont ici été posés. Et enfin le point N seroit le même
que le point I si la quantité w? étoit nulle ; au moyen de quoi
il est aisé de trouver cette parabole par le premier problème
du premier livre d'Apollonius.
Que si la ligne demandée est un cercle, ou une ellipse, ou
one hyperbole, il faut premièrement chercher le point M qui
30 LA GÉoxénoB.
en est le centre, et qni est tonjoors en la ligne droite IL; on
, ûom ^,
on le trouve en prenant -^ — pour W, en sorte que si la
quantité o est nulle, ce centre esl justement au point L Et si
la ligne cherchée est un cercle ou une ellipse, on doit prendre
le point M du môme côté que le point L, au respect du point I,
lorsqu'on a + oar; et lorsqu'on a — ox, on le doit prendre
de l'autre. Mais tout au contraire, en Thyperbole, si on a — ox^
ce centre M doit être vers L ; et si on a -|- ox^ il doit être de
l'autre coté . Après cela le côté droit de la figure doit être
4mpz^
V a' ^ a'
lorsqu'on a -j- m», et que la ligne cherchée est un cercle ou
une ellipse; ou bien lorsqu'on a — m^, el que c'est une
hyperbole. Et il doit être
4mps^
lo'^z'^ 4mji
\ 1^ ai
si la ligne cherchée, étant un cercle ou une ellipse, on
a — m»; ou bien si étant une hyperbole, et la quantité o^
étant plus grande que 4mp, on a + m^. Que si la quantité
oz
m» est nulle, ce côté droit est — ; et si ox est nulle, il est
^ a '
v^
4mpz^
Puis, pour le^cuté traversant, il faut trouver une ligne qui
soit à ce côté droit comme a^m est kpz^] à savoir si ce côté
droit est
le traversant est
lo^z^ 4mpz^
LIVRE SECOND
31
Et en tous ces cas le diamètre de la section est en la ligne
IH, et LC est l'une de celles qui Ini est appliquée par ordre.
Si bien que, faisant MN égale à la moitié du côté traversant,
et le prenant du même côté du point M qu'est le point L, on
a le point N pour le sommet de ce diamètre ; ensuite de quoi
il est aisé de trouver la section par les second et troisième
problèmes du premier livre d'Apollonius.
Mais quand celte section étant une hyperbole, on a 4- m',
et que la quantité o^ est nulle ou plus petite que Apm, on
doit tirer du centre M la ligne MOP parallèle à LC, et CP
parallèle à LM, et faire MO égale à
^w
i
4p
Fig. 40^
OU bien la faire égale à m si la quantité ox est nulle ; puis
considérer le point 0 comme le sommet de cette hyperbole,
dont le diamètre est OP, et CP la ligne qui lui est appliquée
par ordre, et son côté droit est
\/
4a^m^ a^o^vn? ,
>as*
et son côté traversant est
si
4m^ —
p^z"
o^m
P
32 Là
eicepté qoand oz est siiHe, car alors le cûlé droit est r- ,
et le trarenant est 2m ; et ainsi il est aisé de la tronTor par
le troifième problème da premier lirre d'Âpolloniiis.
de toot ee qoi ▼icnt f êtra
Et les démonstrations de toot ceci sont éridenles; car
composant un espace des quantités qae j'ai assignées pour le
côté droit, et le IraTersant, et pour le segment dn diamètre >X
ou OP, sui%'ant la teneur du ii% du iâ* et dn 13* théorème
du premier livre d*Apollonitts, on trouvera tous les mêmes
termes dont est composé le carré de la ligne CP, ou CL, qui
est appliquée par ordre à ce diamètre. Comme en cet exemple,
ôtant IM qui est - — , de NM qui est
^ 2pz ^
am
^V o^ + 4mp.
j'ai IN, à laquelle ajoutant IL qui est - x, j'ai NL qui est
a com . am
i^+i)5^V^''*+^»'P;
et ceci étant multiplié par - V^ o' -f 4mp^ qui est le côté
Cv
droit de la figure, il vient
X y o« + 4mp — ^^ 1/ 0^ + 4mp + ^" + ^ m»,
pour le rectangle, duquel il faut ôter un espace qui soit au
carré de NL comme le côté droit est au traversant, et ce
carré de NL est
x« pz^ ^ pz^ ^ ' ^ ^ 2p^z^ ^ pz^
a^om^y^ ^ , ^
LIVRE SECOND. 33
qu*il faut diviser par a*fn et multiplier par pz^^ à cause que
ces termes expliquent la proportion qui est entre le côté tra-
versant et le droit, et il vient
ohn om
ce qu'il faut 6ter du rectangle précédent, et on trouve
m^-^- ox — i^ x^
m
pour le carré de CL, qui par conséquent est une ligne appli-
quée par ordre dans une eUipse, ou dans un cercle, au seg-
ment du diamètre NL.
Et si on veut expliquer toutes les quantités données par
nombres^ en faisant par exemple EA b 3, AG ss 5^ AB «^ BR>
ES = i BE, GB = BT, CD = | CR, CF = 2CS, CH = | CT,
z z «>
et que Tangle ABR soit de 60 degrés, et enfin que le rectangle
des deux CB et CF soit égal au rectangle des deux autres CD
et CH ; car il faut avoir toutes ces choses a6n que la question
soit entièrement déterminée; et avec cela, supposant AB = 2:,
et CB sa y, on trouve par la façon ci-dessus expliquée
y ^ «s 2y — ^ + ^ — ^f
1 / 3
y = i — 2^+y* + ^ — 4 ^*v
si bien que BK doit être 1, KL doit être la moitié de Kl; et
pource que Tangle IKL ou ABR est de 60 degrés, et KIL qui
est la moitié de KIB ou IKL, de 30, ILK est droit. Et pource
1 /3
que IK ou AB est nommée x, KL est - a:, et I L est a: W -
et la quantité qui étoit tantôt nommée z est 1^ celle qui
/3
étoit a est t / -, celle qui' étoit m est 1, celle qui étoit o.est 4,
34 Là
\ 3 /Î6
et celle qui étoit p est -, de façon qa*oii a w ~ pour IM,
/Î9 3
et W _ pour NM : et poorte qae àhn^ qui est ^ est ici égal
à pz*, et qae Tangle ILC est droiU on trouve que la ligne
courbe NC est un cercle. Et on peut facilement examiner
tous les autres cas en même sorte.
Qaals «ont les lieiur plans et solides, et Is façon de les
An reste, à cause que les équations qui ne montent que
ja0qu*au carré sont toutes comprises en ce que je viens d'ex-
pliquer, non seulement le problème des anciens en trois et
quatre lignes est ici entièrement achevé, mais aussi tout ce
qui appartient à ce qu'ils nommoient la composition des lieux
solides, et par conséquent aussi à celle des lieux plans, à
cause qu'ils sont compris dans les solides : car ces lieux ne
sont autre chose, sinon que, lorsqu'il est question de trouver
quelque point auquel il manque une condition pour être
entièrement déterminé, ainsi qu'il arrive en cet exemple,
tous les points d'une même ligne peuvent être pris pour
celui qui est demandé : et si cette ligne est droite ou circu-
laire, on la nomme un lieu plan ; mais si c'est une parabole,
ou une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme un lieu so-
lide : et toutefois et quantes que cela est, on peut venir à une
équation qui contient deux quantités inconnues, et est pa-
reille à quelqu'une de celles que je viens de résoudre. Que
si la ligne qui détermine ainsi le point cherché est d'un degré
plu» composée que les sections coniques, on la peut nommer,
en même façon, un lieu sursolide, et ainsi des autres. Et s'il
manque deux conditions à la détermination de ce point, le
lieu où il se trouve est une superficie, laquelle peut être tout
LIVBE SECOND. 35
de même ou plate, ou* spfaérique, ou plus composée. Mais le 1
plus haut but qu'aient eu les anciens en cette matière a été
de parvenir à la composition des lieux solides ; et il semble
que tout ce qu'Apollonius a écrit des sections coniques n*a
été qu'à dessein de la chercher.
De plus, on voit ici que ce que j'ai pris pour le premier
genre des lignes courbes n'en peut comprendre aucunes autres
que le cercle, la parabole^ l'hyperbole et l'ellipse, qui est tout
ce que j'avois entrepris de prouver.
Qaelleest la première et la plue simple de toutes les lignes
courbes qui servent en la question des anciens quand
elle est proposée en cinq lignes.
Que si la question des anciens est proposée en' cinq lignes
qui soient toutes parallèles, il est évident que le point cherché
sera toujours en une ligne droite; mais si elle est proposée en
cinq lignes, dont il y en ait quatre qui soient parallèles, et
que la cinquième les coupe à angles droits, et même que
toutes les lignes tirées du point cherché les rencontrent aussi
à angles droits, et enfin que le parallélipipède composé de
trois des lignes ainsi tirées sur trois de celles qui sont paral-
lèles soit égal au parallélipipède composé des deux lignes
tirées, l'une sur la quatrième de celles qui sont parallèles, et
l'autre sur celle qui les coupe à angles droits, et d'une troi-
sième ligne donnée, ce qui est, ce semble, le plus simple cas
qu'on puisse imaginer après le précédent, le point cherché
sera en là ligne courbe qui est décrite par le mouvement
d'une parabole, en la façon ci-dessus expliquée.
Soient par exemple les lignes données AB, IH, ED, GF,
et GA {fig, il), et qu'on demande le point C^ en sorte que
tirant CB, CF^ CD^ CH et CM h angles droits sur les données,
le parallélipipède des trois CF, CD. et CH soit égal à celui des
36
den astres CB M CM, el d'iiBC trobièiiw qui soit AI. Je
pose CB » y, CM B X, Al OD AE «a GE a a: de bcon qae
Fif. n.
le point G étant entre les lignes AB et DE, j'ai CF» 2a —y,
CD— a — y, etCHay+ a; el multipliant ces trois l'une par
l'autre, j'ai y' — îcy* — c'y + 2û* égal au produit des trois
autres, qui est (L^. Après cela je considère la ligue courbe CEG,
I que j'imagine être décrite par l'inlersectiou de laparaboleCKN,
qu'on fait mouvoir en telle sort« que son diamètre KL est
t toujours sur la ligne droite AB, et de la règle GL qui tourne
1 cependant autour du point G en telle sorte qu'elle passe
] toujours dans le pUn de cette parabole par le point L. Et je
fais KL B- a, et le cAté droit principal, c'est-k-dire celui qui
se rapporte k l'essieu de celte parabole, aussi égal à a,
et GA ■» ia, et CB ou MA = y, el CM ou AB — x. Puis à
cause des Iriaogles semblables GMC et CBL, GM qui est
ia — y, est à MO qui est x, comme CB qui est y, est & BL
qui est par conséquent ■■■ Et pource que KL est a,
BK est a — - — i_ ou bien — y — xy ^^ ^^^^ pource
%a—y "ia — y
LIVRE SECOND. 37
que ce même BK, étant un segment du diamètre de la
parabole, est à BC qui lui est appliquée par ordre, comme
celle-ci est au côté droit qui est a, le calcul montre que
y* — 2ay' — «^ + 2a* est égal à axy ; et par conséquent
que le point C est celui qui étoit demandé. Et il peut être pris
en tel endroit de la ligne CEG quon veuille choisir, ou aussi
en son adjointe cEGCy qui se décrit en même façon, excepté
que le sommet de la parabole est tourné vers Fautre côté, ou
enfin en leurs contreposées NIo, nIO, qui sont décrites par
rintersection que fait la ligne 6L en l'autre côté de la para-
bole KN.
Or^ encore que les parallèles données AB, IH, ED et GF, ne
fussent point également distantes, et que GA ne les coup&t
point à angles droits, ni aussi les lignes tirées du point C vers
elles, ce point C ne laisseroit pas de se trouver toujours en
une ligne courbe qui seroit de même nature : et il s'y peut
aussi trouver quelquefois, encore qu'aucune des lignes don-
nées ne soient parallèles. Mais si lorsqu'il y en a quatre ainsi
parallèles, et une cinquième qui les traverse, et que le parai-
lélipipède de trois des lignes tirées du point cherché, l'une
sur cette cinquième, et les deux autres sur deux de celles qui
sont parallèles, soit égal à celui des deux tirées sur les deux
autres parallèles, et d'une autre ligne donnée : ce point cher-
ché est en une ligne courbe d'une autre nature, à savoir en
une qui est telle, que toutes les lignes droites appliquées par
ordre à son diamètre étant égales à celles d'une section coni-
que, les segments de ce diamètre qui sont entre le sommet et
ces lignes ont même proportion à une certaine ligne donnée,
^lue cette ligne donnée a aux segments du diamètre de la sec-
tion conique, auxquels les pareilles lignes sont appliquées par
ordre. Et je ne saurois véritablement dire que cette ligne soit
moins simple que la précédente, laquelle j'ai cru toutefois
38 LA GÉOMÉTRIE.
devoir prendre pour la première, à cause que la descripiion
et le calcul en sont en quelque façon plus faciles.
Pour les lignes qui servent aux autres cas, je ne m'arrêterai
point à les distinguer par espèces, car je n'ai pas entrepris de
. dire tout ; et, ayant expliqué la façon de trouver une infinité
de points par où elles passent, je pense avoir assez donné le
moyen de les décrire.
Quelles sont les lignes courbes qu'on décrit en trouvant
plusieurs de leurs points, qui peuvent être reçues en
géométrie.
Même il est à propos de remarquer qu'il y a grande diffé-
rence entre cette façon de trouver plusieurs points pour tra-
jcer une ligne courbe, et celle dont on se sert pour la spirale
P ^ let ses semblables; car par cette dernière on ne trouve pas
indifféremment tous les points de la ligne qu'on cherche,
mais seulement ceux qui peuvent être déterminés par quelque
mesure plus simple que celle qui est requise pour la compo-
ser; et ainsi, à proprement parler, on ne trouve pas un de ses
points, c'est-à-dire pas un de ceux qui lui sont tellement
propres qu'ils ne puissent être trouvés que par elle ; au lieu
qu'il n'y a aucun point dans les lignes qui servent à la ques-
tion proposée, qui ne se puisse rencontrer entre ceux qui se
déterminent par la façon tantôt expliquée. Et pource que cette
façon de tracer une ligne courbe, en trouvant indifféremment
plusieurs de ses points, ne s'étend qu'à celles qui peuvent
aussi être décrites par un mouvement régulier et continu, on
ne la doit pas entièrement rejeter de la géométrie.
Quelles sont aussi celles qu'on décrit avec une corde, tpjd
peuvent y être reçues.
Et on n'en doit pas rejeter non plus celle où on se sert d'un
fil ou d'une corde repliée pour déterminer l'égalité ou la dif-
UYRE SECOND. 39
férence de deux ou plusieurs lignes droites qui peuvent être
tirées de chaque point de la courbe qu'on cherche, à certains
autres points, ou sur certaines autres lignes à certains angles,
ainsi que nous avons fait en la Dioptrique pour expliquer
Tellipse et Thyperbole; car encore qu'on n'y puisse recevoir
aucunes lignes qui semblent à des cordes, c'est-à-dire qui
deviennent tantôt droites et tantôt courbes, à cause que
la proportion qui est entre les droites et les courbes n'étant
pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les
hommes, on ne pourroit rien conclure de là qui fût exact et
assuré. Toutefois à cause qu'on ne se sert de cordes en ces
constructions que pour déterminer des lignes droites dont on
connolt parfaitement la loQgueur, cela né doit point faire
qu'on les rejette.
Que pour troaver toates les propriétés des lignes courbas
il saint de savoir le rapport qu*ont tons leurs points à
oeux des lignes droites, et la façon de tirer d'autres
lignes qui les coupent en tous œs points à angles droits.
Or de cela seul qu'on sait le rapport qu'ont tous les points
d'une ligne courbe à tous ceux d'une ligne droite, en la façon
que j'ai expliquée, il est aisé de trouver aussi le rapport qu'ils
ont à tous les autres points et lignes données ; et ensuite de
connoître les diamètres, les essieux, les centres et autres
lignes ou points à qui chaque ligne courbe aura quelque rap-
port plus particulier ou plus simple qu'aux autres; et ainsi
d'imaginer divers moyens pour les décrire, et d'en choisir les
plus faciles ; et même on peut aussi, par cela seul, trouver
quasi tout ce qui peut être déterminé touchant la grandeur
de l'espace qu'elles comprennent, sans qu'il soit besoin que
j'en donne plus d'ouverture. Et enfin pour ce qui est de toutes
les autres propriétés qu'on peut attribuer aux lignes courbes,
eu tff-
40
dles ne dépendoil que delagnndeiir des an^es qo^eUes font
avee quelques antres lignes. Hais lorsqu*on peut tirer des
lignes droites qui les coupent à an^es droits, aux points où
elles sont rencontrées parcelles avec qui eUes font les angles
qu*on vent mesurer, ou, ce qne je prends ici pour le même,
qui coupent lenrs contingentes, la grandeur de ces angles n^est
pas plus malaisée à trouTer qne s'ils étoient compris entre
denx lignes droites. C'est pourquoi je croirai avoir mis ici
tout ce qui est requis pour les éléments des lignes courbes,
I lorsque j'aurai .généralement donné la façon de tirer des
'• lignes droites qui tombent à angles droits sur tels de leurs
j points qu'on voudra choisir. El j'ose dire que c'est ceci le
I problème le plus utile et le plus général, non seulement que
i je sache, mais même que j'aie jamais désiré de savoir en
I géométrie.
Façon générale pour trouTar des lignes droites, qui cou-
pant lea courbes données ou lenrs oontingentas, à angles
droits.
Soit CE {fig. i2) la ligne courbe, et qu'il faille tirer une
Aj M .-^P
Fig, m,
m
ligne droite par le point C, qui fasse avec elle des angles
droits. Je suppose la chose déjà faite, et que la ligne cher-
chée est CP, laquelle je prolonge jusqu'au point P, où elle
rencontre la ligne droite 6A, que je suppose être celle aux
points de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne CE ; en
sorte que faisant MA ou CB e» y, et CM ou BA *» a:, j'ai quel-
tlYRE SECOND. 41
que équation qui explique le rapport qui est enlre x eiy; puis
je fais PC =» 5, et PA = r, ou PM = t; — y; et à cause du
triangle rectangle PMC, j*ai 5', qui est le carré de la base,
égal à j:> + ^^ — 2t;y + y *, qui sont les carrés des deux
côtés ; c'est-à-dire j'ai
ou bien
et par le moyen de cette équation, j'ùte de l'autre équation,
qui m'explique le rapport qu'ont tous les points de la courbe
CE à ceux de la droite GA, Tune des deux quantités indéter-
minées x ou y; ce qui est aisé à faire en mettant partout
au lieu de x, et le carré de cette somme au lieu de a:*, et son
cube au lieu de x*j et ainsi des autres, si c'est x que je veuille
ôter ; ou bien si c'est y, en mettant en son lieu
et le carré ou le cube, etc., de cette somme au lieu de y^ ou
y*, etc. De façon quïl reste toujours après cela une équation
en laquelle il n'y a plus qu'une seule quantité indéterminée
X ou y.
Comme si ce CE est une ellipse, et que MA soit le segment
de son diamètre, auquel CM soit appliquée par ordre, et qui
ait r pour son côté droit et g pour le traversant^ on a, par le
treizième théorème du premier livre d'ApoUoniuS;
x^^sary y', d'où ôtant a:*,' il reste
^ — t;* 4- 2t?y — y* = ry y\
on bien
«t . qry^iqvy+qv^^qs^
'
42
LA GÉOMÉTRIE.
car il est mieux en cet endroit de considérer ainsi ensemble
tonte la somme que d'en faire une partie égale à Tautre.
^^\ [Tout de même si CE {/ig. iS) est la ligne courbe décrite
par le mouvement d*une parabole ea la
façon ci-dessus expliquée (page 22), et
qu'on ait posé b pour GA, c pour KL,
et d pour le côté droit du diamètre KL
en la parabole, Téquation qui explique
le rapport qui est entre x ^iy est
Fig. 13. •
y3 — ôy* — cdy + àcd + dxy = 0,
d*où ôtant :iron a
y3 — Jy2 — cdy -j- bcd + dy y/s^ — v* + %vy — y* «== 0;
et remettant en ordre ces termes par le moyen de la multi-
plication, il vient
ye _ 2dy« + (6» — 2crf + rf«) y* + (4icrf — 2ePt)) y»
+ (c»d^ — d}s^ + rfV — 2i'crf) y» — 2dc»cPy + i*c«rf*=0,
et ainsi des autres?
r ' ■
l^:dL 1 Même, encore .que les points de la ligne courbe ne se rap-
portassent pas en la façon que j'ai dit à ceux d'une ligne
droite^ mais en toute autre qu'on sauroit imaginer, on ne
• • • .»
laisse pas dç. pouvoir toujours avoir une telle équation.
Gomme si CE [fig, i4) est une ligne qui ait tel rapport aux
trois points F, G et A, que les lignes droites tirées de chacun
de ses points comme C jusques au point F, surpassent la
UYQE SECOND. 43
ligne FA d'une quantité qui ait certaine proportion ilon-
née à une autre quantité dont OA surpasee les lignes
tirées des mêmes points jusques à G. Faisons &A sa i,
AF B=3 c, et prenant à discrétion le point C dans la
courbe, que la quantité dont CF surpasse FA, soit à celle
dont GA surpasse GC, comme (f à e; en sorte que si cette
quantité qui est indéterminée se nomme z, CF est c -f- z,
et GC est é — - z. Puis posant MA = y, GM est b — y, et
FM est c '\-y,^ih cause du triangle rectangle CMG, ôtant le
carré de GM du carré de GC, on a le carré de CM, qui est
puis ôtant le carré de FM du carré de CF, on a encore 1q carré
de CM en d^autres termes^ à savoir z^ + ^z — 2cy -^y* ;
et ces termes étant égaux aux précédents, ils font connoitre y
ou MA, qui est
dH^ + 2cePz — eH^ + "ibdez
26ûP + 2ccP
et substituant cette somme au lieu de y dans le carré de CM,
on trouve qu*il s*exprime en ces termes :
bd^z^ + gg^g' + Sferf^i? — ^bcdez ,
bd^ + crf* ^ ^ •
Puis supposant que la ligne droite PC rencontre la courbe
à angles droits au point C, et faisai^t PC =» ^ et PA ea t;
comme devant, PM est v — y\ et à cause du triangle rectan-
gle PCM, on a ^* — v* + 2uy — y* pour le carré de CM, ou
derechef, ayant au lieu de y substitué la somme qui lui est
égale, il vient
I*+ ■ 3 , 1 1 = 0
Ort»-t- ce»H- c*tf-
pour Féquation que nous cherchions.
'
44 LA GÉOMÉTRIE.
Or^près qu'on a trouvé une telle équation, au lieu de s'en
servir, pour connoltre les quantités x, ou y, ou z^ qui sont
déjà données, puisque le point C est donné, on la doit em-
ployer à trouver v ou ^, qui déterminent le point P qui est
demandé. Et à cet effet il faut considérer que si ce point P
est tel qu'on le désire, le cercle dont il sera le centre, et qui
passera par le point C, y touchera la ligne courbe CE sans la
couper; mais que si ce point P est tant soit peu plus proche
ou plus éloigné du point A qu*il ne doit, ce cercle coupera la
courbe, non seulement au point C, mais aussi nécessairement
en quelque autre. Puis il faut aussi considérer que lorsque ce
cercle coupe la ligne courbe CE, Téquation par laquelle on
cherche la quantité x ou y, ou quelque autre semblable, en
supposant PA et PC être connues, contient nécessairement
( deux racines qui sont inégales. Car par exemple, si ce cercle
coupe la courbe aux points C et E (fig. iô), ayant tiré EQ
parallèle à CM, les noms des quantités indéterminées xeXy
conviendront aussi bien aux lignes EQ et QA qu'à CM et MA;
puis PE est égale à PC à cause du cercle, si bien que cher-
chant les lignes EQ et Q A, par PE et PA qu'on suppose comme
données, on aura la même équation que si on cherchoit CM
et MA par PC, PA; d'où il suit évidemment que la valeur
de X ou de y, ou de telle autre quantité qu'on aura supposée,
LIVRE SECOND. 43
sera double en cette équation, c'est-à-dire qu*il y aura deux
racines inégales entre elles, et dont Tune sera CM, l'autre EQ,
si c'est X qu'on cherche, on bien Tune sera MA et l'autre QA,
si c'est y\ et ainsi des autres. II est vrai que si le point E ne
se trouve pas du même côté de la courbe que le point C, il
n'y aura que Tune de ces deux racines qui soit vraie, et l'au-
tre sera renversée ou moindre que rien : mais plus ces deux
points G et E sont proches l'un de l'autre, moins il y a de
différence entre ces deux racines; et enfin elles sont entière-*
ment égales, s'ils sont tous deux joints en un, c'est-à-dire si
le cercle qui passe par C y touche la courbe CE sans la
couper.
De plus il faut considérer que lorsqu'il y a deux racines
égales en une équation, elle a nécessairement la même forme 1
que si on multiplie par soi-mème/la quantité'^qu'on y suppose
être inconnue, moins la quantité connue^qui lui est égal^
et qu'après cela, si cette dernière somme n'a pas tant de
dimensions que la précédente, on la multiplie par une autre
somme qui en ait autant qu'il lui en manque, afin qu'il puisse
y avoir séparément équation entre chacun des termes de
l'une et chacun des termes de l'autre.
Comme par exemple, je dis que la première équation trou-
vée ci-dessus, à savoir
doit avoir la même forme que celle qui se produit en faisant
t égal à y, et multipliant y — e par soi-même, d'où il vient
y* — 2^ -}- ^1 en sorte qu'on peut comparer séparément
chacun de leurs termes, et dire que puisque le premier qui
est jf^ est tout le même en l'une qu'en l'autre, le second qui
est en Tune 2l£ L4, est égal au second de l'autre qui
LA GÉOMÉTRIE.
; d'où cherchant Id quanlilé v qui est la U^e PA,
^al k y, oa A V = y — - y -i- ^ r. "El ainsi on
rouvep s par le troisième terme e' = —:
*" q-r
ce que la quantité « délenmDe assez le point P^ qui
que noas cherchiouB, onaa pa&besoin de passer
i même la seconde équation trouvée ci-dessus, à
' 4- (i* — 2cd + (P) y' + {ibcd — id^v) y*
ctd* — tb*cd + rf*v' — rf»sï) y» — 26c»rf*y + * Vrf* ,
moitié' forme que la somme qui se' produit lorsqu'on
-iey -\-é* par y* + /y* + ff»y* + A'y + **
(A* — 2f A* -f- c'ff») y» + (e'A* — 2ffA*) y + e*A* ;
[ue de ces deux équations j'en tire six autres qui
connottre les six quantités f, g, A, ;t, v et s. D'où il
se à entendre que, de quelque genre que puisse être
lurbe proposée, il vient toujours par cette façon de
lutant d'équations qu'on est obligé de supposer de
qui sont inconnues. Hais pour démCler par ordre ces
, et trouver enfin la quantité v, qui est la seule dont
in, et k l'occasion de laquelle on cherche les autres,
miërement par le second, terme chercher f, la pre-
quantités inconnues de la dernière somme, et on
/•=2e— 2è.
UYRE SECOND. 47
Puis par le dernier, il faut chercher k^ la dernière des quan«
tités inconnues de la même somme, et on trouve
Puis par le troisième terme, il faut chercher g^ la seconde
quantité, et on a
^2 = 3<?* — 4d(? — tcd + b^ + df^
Puis par la pénultième, il faut chercher A, la pénultième
quantité, qui est
A* =
«« e*
Et ainsi il faudroit continuer suivant ce même ordre jusques
à la dernière, s'il y en avoit davantage en cette somme ; car
c'est chose qu'on peut toujours faire en même façon.
Puis, par le terme qui suit en ce même ordre, qui est ici
le quatrième, il faut chercher la quantité v, et on a
^~~dP rf^ "^ rf* "rf "^ ^ "^ "rf ^ e^ ■" e' '
ou mettant y au lieu de e qui lui est égal, on a
^^ cP~ d^ ^ d^ d'^^'^T^y^ y'
pour la ligne AP.
Et ainsi la troisième équation, qui est
a la même forme que
48 LA GÉOKÊTnte,
en supposaat f égal \ z^ si bien qu'il y a derechef équation
entre — 2/ ou — 2a, et
■ibcd* — "ibcde — SctPu — 2&rfet)
irf* + Cf* + «*« — rf*» '
d'où on connolt que la quantité v est
bcd^ — bcde + bfPz + ce*z
cd* + ôrfe — e'z + d»s '
C'est pourquoi, composant la ligne KV [fig. /6) de «ette
Fig. f6_
Gomme égale \ v, dont toutes les quantités sont connues, et
tirant du point P ainsi trouvé, une ligne droite vers C. elle y
coupe la courbe CE à angles droits ; qui est ce qu'il falloit
faire. Et je ne vois rien qui empêche qu'on n'étende ce pro-
blème en mCme façon à toutes les lignes courbes qui tombent
sous quelque calcul géométrique.
Même il est h. remarquer, touchant la dernière somme,
qu'on prend à discrétion pour remplir le nombre des dimen-
sions de l'autre somme lorsqu'il y en manque, comme nous
avons pris tantôt y* + f\^ + j'y* + A*y + A*, que les
signes + et — y peuvent être supposés tels qu'on veut, sans
que la ligne v ou AP se trouve diverse pour ceta.comroe vous
pourrez aisément voir par expérience ; car s'il falloit que je
m'arrêtasse à démontrer tous les théorèmes dont je fais quel-
que mention, je serois contraint d'écrire un volume beaucoup
plus gros que je ne désire. Mais je veux bien en passant vous
LIVRE SECOND.
49
avertir que l'invention de supposer deux équations de
même forme, pour comparer séparément tous les termes de
Tune à ceux de Tautre, et ainsi en faire naître plusieurs d'une
seule, dont vous avez vu ici un exemple, peut servir à une
infinité d'autres problèmes, et n'est pas l'une des moindres
de la méthode dont je me sers.
Je n'ajoute point les constructions par lesquelles on peut
décrire les contingentes ou les perpendiculaires cherchées^
ensuite du calcul que je viens d'expliquer, à cause qu'il est
toujours aisé de les trouver, bien que souvent on ait besoin
d'un peu d'adresse pour les rendre courtes et simples»
Exemple de la constmotion de oe problème en la eon-
ohoïde.
Comme par exemple, si DC (fig. / 7) est la première con-
choide des anciens, dont A soit le pôle et BH la règle, en
sorte que toutes les lignes droites qui regardent vers A, et
sont comprises entre la courbe CD et la droite BH, comme
DB et CE, soient égales, et qu'on veuille trouver la ligne CG
qui la coupe au point C à angles droits, on pourroit, en cher-
chant dans la ligne BH le point par où cette ligne CG doit
passer, selon la méthode ici expliquée, s'engager dans un
calcul autant ou plus long qu'aucun des précédents : et tou-
DucàRTBs. — Géométrie, 4
90 LA eco:
tefeb la eoustractioii qniderroitaiirts en ètredédnte est fort
nmple; car il ne fant çne prendre CF en la ligne droite CA, et
la laire égale à CH qni est perpendinilaire sor HB ; pois da
point F tirer FG parallèle à BA et fcale à EA; an moyen de quoi
on a le point G, par leqnd doit passer GG la ligne cherchée.
TtWfiîtwthmt do qostro miwfooiii jawras dTomlen ^pii
àrqpUqae.
An reste, afin qne toqs sachiez que la considération des
lignes courbes ici proposée n'est pas sans nsage, et qu'elles
ont diverses propriétés qni ne cèdent en rien à celles des
sections coniques, je veux encore ajouter ici l'explication de
certaines ovales que vous verrez être très utiles pour la théo-
rie de la catoptrique et de la dioptrique. Voici la façon dont
je les décris :
Premièrement, ayant tiré les lignes droites FA et AR
{fig. /j), qui s'entrecoupent au point A, sans qu'il importe
Fig. 48,
à quels angles, je prends en Tune le point F à discrétion,
c*eBt*à-dire plus ou moins éloigné du point A, selon que je
veux faire ces ovales plus ou moins grandes, et de ce point
LIVRE SECOND.
51
F, comme centre, je décris un cercle qui passe (pielque peu
au delà du point A, comme par le point 5 ; puis de ce point
5 je tire la ligne droite 56, qui coupe Tautre au point 6,
en sorte que A6 soit moindre que A5 selon telle proportion
donnée qu*on veut, à savoir selon celle qui mesure les réfrac-
tions si on s'en veut servir pour la dioptrique. Après cela je
prends aussi le point 6 en la ligne FA du côté où est le point
5, à discrétion, c'est-à-dire en faisant que les lignes AF et GA
ont entre elles telle proportion donnée qu'on veut. Puis je
fais RA égale à GA en la ligne A6, et du centre G décrivant
un cercle dont le rayon soit égal à R6, il coupe Tautre cer-
cle de part et d'autre au point i, qui est Tun de ceux par où
doit passer la première des ovales cherchées. Puis derechef
•
du centre F je décris un cercle qui passe un peu au-deçà ou
ou au delà du point 5, comme par le point 7, et ayant tiré la
ligne droite 78 parallèle à 56, du centre G je décris un autre
cercle dont le rayon est égal à la ligne R8, et ce cercle coupe
celui qui passe par le point 7 au point 1, qui est encore Tun
de ceux de la même ovale ; et ainsi on en peut trouver au-
tant d'autres qu'on voudra, en tirant derechef d'autres lignes
parallèles à 78, et d'autres cercles des centres F et G.
Pour la seconde ovale il n'y a point de différence, sinon
qu'au lieu de AR {fig. 19) il faut de l'autre côté du point A
Fig, 19.
LA &ËOKÉTRIE.
dre AS égal à AG,et que le rayon du cercle décrit ducen-
r, pour couper celui qui est décrit du centre F et qui passe
le point S, eoit égal à la ligne S6, ou qu'il soil égal k S8,
Bsl pour couper celui qui passe par le point 7, et aïusi
ïulres ; au moyen de quoi ces cercles s'entre-coupenl
points marqués 2, 2, qui sont ceux de cette seconde
B A2X.
mr la troisième et la quatrième, au lieu de la ligne AG il
prendre AH {fig. 2 i et Si) de l'autre côté du point A,
Lvoir du même qu'est le point F ; et il y a ici de plus à
rver que cette ligne AH doit être plus grande que AF,
elle peut même fitre nulle, en sorte que le point F se
ontre où est le point A en la description de toutes ces
BS. Après cela les lignes Ait et AS étant égales à AH,
■ décrire la troisième ovale A3Y, je fois un cercle du
re H, dont le rayon est égal à S6, qui coupe au point 3
i du centre F, qui passe par le point 5 ; el un autre
, le rayon est égal \ S8, qui coupe celui qui passe par le
t 7 au point aussi marqué 3, et ainsi des autres. Enfin,
■ la dernière ovale, je fais des cercles du centre H, dont
ayons sont égaux aux lignes R6, US, et semblables, qui
lent les autres cercles aux points marqués A.
) pourroit encore trouver une infmité d'autres moyens
■ décrire ces mftmes ovales ; comme par exemple, on
tracer la première W {fîg. 20), lorsqu'on suppose les
• • •»
LIVRE SECOND. 53
lignes FA et AG être égales, si on divise la toute FG au point
L, en sorte que FL soit à LG comme A5 à A6, c'est-à-dire
qn*eUes aient la proportion qui mesure les réfractions. Puis
ayant divisé AL en deux parties égales au point K, qu'on
fasse tourner une règle comme EF autour du point F, en
pressant du doigt C la corde EC, qui étant attachée au bout
de cette règle vers E, se replie de C vers K, puis de* K de re-
chef vers C, et de C vers 6, où son autre bout soit attaché,
en sorte que la longueur de cette corde soit composée de celle
des lignes 6A,plus AL, plus FE, moins AF ; et ce sera le mou-
vement du point C qui décrira cette ovale, à Timitation de ce
qui a été dit en la dioptrique de Tellipse et de Thyperbole ;
mais je ne veux point m'arrèter plus longtemps sur ce
sujet.
Or, encore que toutes ces ovales semblent être quasi de
même nature, elles sont néanmoins de quatre divers genres,
chacun desquels contient sous soi une infinité d'autres genres,
qui derechef contiennent chacun autant de diverses espèces
que fait le genre des ellipses ou celui des hyperboles ; car
selon que la proportion qui est entre les lignes A5, A6, ou
semblables, est différente, le genre subalterne de ces ovales
est diSérent ; puis selon que la proportion qui est entre les
lignes AF et AG ou AH est changée, les ovales de chaque
genre subalterne changent d'espèce ; et selon que AG ou AH
est plus ou moins grande, elles sont diverses en grandeur ;
et si les lignes A5 et A6 sont égales, au lieu des ovales du
premier genre ou du troisième, on ne décrit que des lignes
droites ; mais au~iieu de celles du second on a toutes les hy-
perboles possibles, et au lieu de celles du dernier toutes les
ellipses.
54 LA GtOMÉTBIB.
ptvprIéAte de cêb vwmlham tondunt las rèflwriima «i 1
Outre cela, en chacune de ces ovales, il faot considérer
denx parties qui ont diverses propriétés ; à savoir en la pre-
mière, la partie qni est vers A 'Jig. 1 S] , fail qoe les rayons
qoi étant jdans Tair viennent dn point F, se retournent tous
vers le point G. lorsqu'ils rencontrent la superficie convexe
d'un verre dont la superficie est iAI,etdans lequel les ré-
fractions se font telles que^suivant ce qui a été dit en la diop-
trique, elles peuvent toutes être mesurées par la proportion
qui est entre les lignes A3 et A6 ou semblables, par Taide
desquelles on a décrit celte ovale.
Mais la partie qui est vers V fait que les rayons qui vien-
nent du point G se réfléchiroient tous vers F, s*ils y rencon-
troient la superficie concave d'un miroir dont la figure fût
iVi, et qui fut de telle matière qu*il diminuât la force de ces
rayons selon la proportion qui est entre les Ugnes A5 et A6 ;
car de ce qui a été démontré en la dioptrique, il est évident
que, cela posé, les angles de la réflexion seroient inégaux,
aussi bien que sont ceux de la réfraction^ et pourroient être
mesurés en même sorte.
En la seconde ovale la partie 2A2 {fig. i9) sert encore pour
les réflexions dont on suppose les angles être inégaux ; car
étant en la superficie d'un miroir composé de même matière
que le précédent, elle feroit tellement réfléchir tous les rayons
qui viendroient du point G, qu'ils sembleroient après être
réfléchis venir du point F. Et il est à remarquer qu'ayant fait
la ligne AG beaucoup plus grande que AF, ce miroir seroit
convexe au milieu vers A, et concave aux extrémités; car
telle est la figure de cette ligne, qui en cela représenté plutôt
un cœur qu'une ovale.
^^'
LIVRE SECOND.
55
Mais son autre partie X2 sert pour les réfractions, et fait
que ]es rayons qui étant dans Tair tendent vers F, se détour-
nent vers G en traversant la superficie d'un verre qui en ait
la figure.
La troisième ovale sert toute aux réfraetions, et fait que
les rayons qui étant dans Tair tendent vers F {fig. 21), se
vont rendre vers H dans le verre, après qu'ils ont traversé sa
superficie dont la figure est A3Y3, qui est convexe partout,
excepté vers A où elle est un peu concave, en sorte qu'elle a
la figure d'un cœur aussi bien que la précédente ; et la diffé-
rence qui est entre les deux parties de cette ovale consiste en
ce que le point F est plus proche de Tune que n'est le point H,
et qu'il est plus éloigné de l'autre que ce même point H.
En même façon la dernière ovale sert toute aux réflexions,
et fait que si les rayons qui viennent du point H (fig. 22)
Fig. Si
LA GÉoaÉmB.
reneontroient la superficie concaTe d*im miroir de même
matière que les précéd^its, et dont la figure fût A4Z4, ils se
réfléehiroient tons rers F.
De façon qn*on peut nommer les p<Hnts F et G on H les
points brûlants de ces orales, à Texemple de ceux dés ellipses
et des hyperboles, qui ont été ainsi nommés en la Dioptri-
qne.
IMmoaatmtioB des prapriétkm de eea orales toiioàant les
réflazioBS st réfractions»
J'omets quantité d*autres réfractions et réflexions qui sont
réglées par ces mêmes ovales, car n'étant que les converses
ou les contraires de celles-ci, elles en peuvent facilement être
déduites. Mais il ne faut pas que j'omette la démonstration de
ce que j*ai dit ; et à cet effet prenons, par exemple, le point C
(fig. /6) à discrétion en la première partie de la première de
ces ovales ; puis tirons la ligne droite CP qui coupe la courbe
au pointe à angles droits, ce quiôslfacile par le problème précé-
dent ; car prenant b pour AG,c pour AF, c + z pour GF,et sup-
posant que la proportion qui est entre d et e, que je prendrai ici
toujours pour celle qui mesure les réfractions du verre pro-
posé, désigne aussi celle qui est entre les lignes A? et A6 ou
semblables, qui ont servi pour décrire cette ovale, ce qui donne
b -^ j^z pour CG, on trouve que la ligne AP est
bccP — bcde + bcPz + ce^z
cdP + bde — eH + d^z ^
ainsi qu'il a été montré ci-dessus (p. 48). De plus, du point P
ayant tiré PQ à angles droits sur la droite CF, et PN aussi à
angles droits sur CG, considérons que si PQ est à PN comme
d est à et c'est-à-dire comme les lignes qui mesurent les
LIVRE SECOND. 57
réfractions du verre convexe AC, le rayon qui vient du point
F au point C, doit tellement s y courber en entrant dans ce
verre, qu'il s'aille rendre après vers G, ainsi qu'il est très
évident de ce qui a été dit en la Dioptrique. Puis enfin voyons
par le calcul s'il est vrai que PQ soit à PN comme d esike.
Les triangles rectangles PQF et CMF sont semblables ; d'où il
suit que GF est à CM comme FP est à PQ, et par conséquent
que PF étant multipliée par CM et divisée par CF est égale à
PQ. Tout de même les triangles rectangles PNG et CMG sont
. semblables ; d'où il suit que GP multipliée par CM et divisée
par CG est égale à PN. Puis à cause que les multiplications
ou divisions qtii se font de deux quantités par une même ne
changent point la proportion qui est entre elles, si PF multi-
pliée par CM et divisée par CF est & GP multipliée aussi par CM
et divisée par CG, comme d est à ^, en divisant l'une
et lautre de ces deux sommes par CM, puis les multi-
lipliant toutes deux par CF et derechef par CG, il reste FP
multipliée par CG qui doit être à GP multipliée par CF,
comme d est à e. Or par la construction FP est
bcd* — bcde + bdPz + ce^z
c +
ou bien
PP
cd^ + bde — é^z + d^z '
bcd? + c^d^ + bd^z + cd^
cd^ -f bde — eH + d^z '
et CG est * — ^«5 si bien que, multipliant FP par CG, il vient
IM^ -f hcVP + b^d^z + bcd^z — bcdez — cHez — bdez^ — cdeii^
cd^ + bde'^eH + d^z '
puis GP est
. bcdî^ — bcde + bd^z + c^z
ccP + bde — e^z + cPz '
ou bien
b^de + bcde — be^z — c^z
rrf" + bde — e^z + (Pz '
l
58 LA GÉOMÉTRIE.
et CF e%i c + z; à bien qu'en multipliant 6P par CF il
vient
b?cde+ bc^e + Mez + bcdez — beé^z — c^e^z — be^z* — ce^z^
cd^ + bde — e^z + dPz
Et pource que la première de ces sommes divisée par d est
la même que la seconde divisée par e^ il est manifeste que
FP multipliée par CG, est à GP multipliée par CF, c'est-à-dire
que PQ est à PN comme d est à e^ qui est tout ce qu'il falloit
démontrer.
Et sachez que cette même démonstration s'étend à tout ce
qui a été dit des autres réfractions ou réflexions qui se font
dans les ovales proposées, sans qu'il y faille changer aucune
chose que les signes + et — - du calcul ; c'est pourquoi cha-
cun les peut aisément examiner de soi-même, sans qu'il soit
besoin que je m'y arrête.
Mais il faut maintenant que je satisfasse à ce que j'ai omis
en la Dioptrique, lorsqu'après avoir remarqué qu'il peut y
avoir des verres de plusieurs diverses figures qui fassent aussi
bien l'un que l'autre que les rayons venant d'un même point
de Tobjet s'assemblent tous en un autre point après les avoir
traversés ; et qu'entre ces verres, ceux qui sont fort convexes
d'un côté et concaves de l'autre ont plus de force pour brûler
que ceux qui sont également convexes des deux côtés; au lieu
que tout au contraire ces derniers sont les meilleurs pour les
lunettes. Je me suis contenté d'expliquer ceux que j'ai cru
être les meilleurs pour la pratique, en supposant la difficulté
que les artisans peuvent avoir à les tailler. C'est pourquoi,
afin qu'il ne reste rien à souhaiter touchant la théorie de cette
science, je dois expliquer encore ici la figure des verres qui,
ayant l'une de leurs superficies autant convexe ou concave
qu'on voudra, ne laissent pas de faire que tous les rayons qui
".-wT^p.-r -" i~
UVRE SECOND.
59
viennent vers eux d'un même point, ou parallèles, s'assem-
blent après en un môme point; et celles des verres qui font
le semblable, étant également convexes des deux côtés, ou
bien la convexité de Tune de leurs superficies ayant la propor-
tion donnée à celle de l'autre .
Gommant on p^ut faire un Terre entant convexe ou conoaTO,
en l'une de ses superfloies, qu'on voudra qui rassemble à
un point donné tous les rayons qui viennent d'un autre
point donné.
Posons pour le premier cas, que les points G, Y, G et F
{fig. 2S et 24) étant donnés, les rayons qui viennent du
Fig. 23,
C
^
Ç5s--
A\M
)y^~i' h
N
c
F
■
•
point G\>u bien qui sont parallèles à 6A se doivent assembler
au point F, après avoir traversé un verre si concave, que Y
étant le milieu de sa superficie intérieure, Textrémité en soit
an point G, en sorte que la corde GMG et la flèche YM de Tare
CYG sont données. La question va là, que premièrement il
faut considérer de laquelle des ovales expliquées la superficie
60 LA GéOKÉTRIE.
du verre YG doit avoir la figure, pour faire que tous les rayons
qui étant dedans tendent vers un même point, comme vers H,
qui n*est pas encore connu, s*aillent rendre vers un autre, à
savoir vers F, après en être sortis. Car il n'y a aucun effet
touchant le rapport des rayons, changé par réflexion ou réfrac-
tion d*un point à un autre, qui ne puisse être causé par quel-
qu'une de ces ovales; et on voit aisément que celui-ci le peut
être par la partie de la troisième ovale qui a tantôt été mar-
quée 3A3 [fig. ^/), ou par celle de la même qui a été mar-
quée 3Y3, ou enfin par la partie de la seconde qui a été mar-
quée 2X2 {fig. 19). Et pource que ces trois tombent ici sous
même calcul, on doit, tant pour Tune que pour l'autre, pren-
dre Y {fig. 25 et 24) pour leur sommet, G pour l'un des
points de leur circonférence, et F pour l'un de leurs points
brûlants; après quoi il ne reste plus à chercher que le point
H qui doit être l'autre point brûlant. Et on le trouve en con-
sidérant que la différence qui est entre les lignes FY et FG
doit être à celle qui est entre les lignes H Y et HG comme dest
à ^, c'est-à-dire comme la plus grande des lignes qui mesu-
rent les réfractions du verre proposé est à la moindre, ainsi
qu'on peut voir manifestement de la description de ces ovales.
Et pource que les lignes FY et FG sont données, leur différence
l'est aussi, et ensuite celle qui est entre H Y et HG, pource que
la proportion qui est entre ces deux différences est donnée.
Et de plus, à cause que YM est donnée, la différence qui est
entre HH et HG l'est aussi ; et enfin pource que GM est donnée,
il ne reste plus qu'à trouver MH le côté du triangle rectangle
GMH dont on a l'autre côté GM, et on a aussi la différence qui
est entre GH la base et MH le côté demandé ; d'où il est aisé
de le trouver : car si on prend k pour l'excès de GH sur HH,
n* i
et n pour la longueur de la ligne GM, on aura —, — - k
. -^Tv — «-r
"»
LIVRK SECOND. 61
pour MH. Et après avoir ainsi le point H, s'il se trouve plus loin
du point Y {fig. 24) que n'en est le point F, la ligne CY doit
être la première partie de Tovale du troisième genre, qui a
lantùt été nommée 3A3 [fig. 2i), Mais si HY (fig, 25) est
moindre que FY : ou bien elle surpasse HF de tant, que leur
différence est plus grande à raison de la toute FY que n'est e
la moindre des lignes qui mesurent les réfractions comparée
avec d la plus grande, c'est-à-dire que faisant HF sa c, et
HY = c + A, dh est plus grande que ^ce + eh, et lors CY
doit être la seconde partie de la même ovale du troisième
genre, qui a tantôt été nommée 3Y3 [fig. 21) : ou bien dh
est égale ou moindre que 2ce + eh, et lors CY (Jig, 23) doit
être la seconde partie de l'ovale du second genre, qui a ci-
dessus été nommée 2X2 {fig. i9) : et enfin si le point H
(fig. 25) est le même que le point F, ce qui n'arrive que
lorsque FY et FC sont égales, cette ligne YC est un cercle.
Après cela il faut chercher CAC l'autre superficie de ce
verre, qui doit être une ellipse dont H soit le point brûlant, si
on suppose que les rayons qui tombent dessus soient paral-
lèles; et lors il est aisé de la trouver. Mais si on suppose
qa'ils viennent du point 6, ce doit être la première partie d'une
ovale du premier genre dont les deux points brûlants soient G
et H, et qui passe par le point C ; d'où on trouve le point A
pour le sommet de cette ovale, en considérant que GC doit
être plus grande que GA d'une quantité qui soit à celle dont
HA surpasse HC, comme dke; car ayant pris k pour la diffé-
rence qui est entre CH et HM, si on suppose x pour AM, on
aura x — k pour la différence qui est entre AH et CH ; puis si
on prend g pour celle qui est entre GC et GH qui sont données,
on aura g + x pour celle qui est entre GC et GA ; et pource
que cette dernière ^ + a; est à l'autre x — k comme (/est à e,
on a ge + ea;= dx — dk.
62 LA GÉOMÉTRIE.
oo bien =^= pour la ligne x ou AU, par laquelle on
a — t
détermine le point A qui étoit cherché.
Gomment on pont faire nn Terre qni ait le même effet que
le précédent, et qne la eonvezité de l'une de aea auperfll-
eiea ait la proportion donnée avec celle de l'antre.
Posons maintenant ponr l'autre cas, qu'on ne donne que les
points G, C et F ifig. 24)^ avec la proportion qui est entre les
lignes AM et YM, et qu'il faille trouver la figure du verre ACY
qui fasse que tous les rayons qui viennent du point G s'as-
semblent au point F.
On peut derechef ici se servir de deux ovales dont Tune AC
ait G et H pour ses points brûlants, et l'autre CY ait F et H
pour les siens. Et pour les trouver, premièrement, supposant
le point H, qui est commun à toutes deux, être connu, je
cherche AM par les trois points G, C, H, en la façon tout
maintenant expliquée, à savoir, prenant k pour la différence
qui est entre CH et HM, et g pour celle qui est entre GC et GM,
et AC étant la première partie de Tovale du premier genre,
j'ai ^ — pour AM ; puis je cherche aussi MY par les trois
points F, G, H, en sorte que CY soit la première partie d'une
ovale du troisième genre ; et prenant y pour MY, et f pour la
différence qui est entre CF et FM, j'ai f -\-y pour celle qui est
entre CF et FY; puis ayant déjà k pour celle qui est entre CH
et HM, j'ai k + y pour celle qui est entre CH et HY, que je
sais devoir être k f + y comme e est à rf, à cause de Tovale
f^ d^
du troisième genre, d'où je trouve que y ou MY est '--z ;
puis joignant ensemble les deux quantités trouvées pour AM
Qg m1» f^
et MY, je trouve ' ^ pour la toute AY : d'où il suit que.
UVRE SECOND. 63
de quelque C4)té que soit supposé le point H, cette ligne AY
est toujours composée d*une quantité qui est à celle dont les
deux ensemble GG et CF surpassent la toute GF, comme e, la
moindre des deux lignes qui servent à mesurer les réfractions
du verre proposé, est à rf — e la différence qui est entre ces
deux lignes, ce qui est un assez beau théorème. Or, ayant
ûnsi la toute AY, il la faut couper selon la proportion que
doivent avoir ses parties AM et MY ; au moyen de quoi, pource
qu'on a déjà le point M, on trouve aussi les points A et Y, et
ensuite le point H par le problème précédent. Mais auparavant
il faut regarder si la ligne AM ainsi trouvée est plus grande
que -^ — , ou plus petite, ou égale. Gar si elle est plus
a — e ^
grande, on apprend de là que la courbe AG doit être la
première partie d'une ovale du premier genre, et GY la pre-
mière d'une du troisième, ainsi qu'elles ont été ici supposées ;
au lieu que si elle est plus petite, cela montre que c'est GY
qui doit être la première partie d'une ovale du premier
genre, et qqe AG doit être la première d'une du troisième;
enfin si AM est égale à -y^ — , les deux courbes AG et G Y
a — e
doivent ^tre deux hyperboles.
On pourroit étendre ces deux problèmes à une infinité d'au-
tres cas que je ne m'arrête pas à déduire, à cause qu'ils n'ont
eu aucun usage en la dioptrique.
On pourroit aussi passer outre et dire (lorsque l'une des
superficies du verre est donnée, pourvu qu'elle ne soit que
toute plate, ou composée de sections coniques ou de cercles)
comment on doit faire son autre superficie, afin qu'il trans-
mette tous les rayons d'un point donné à un autre point aussi
donné ; car ce n'est rien de plus difficile que ce que je viens
d'expliquer, ou plutôt c'est chose beaucoup plus facile à cause
64 LA GÉOMÉTRIE.
que le chemin en est ouvert. Mais j'aime mieux que d'autres
le cherchent, afin que s'ils ont encore un peu de peine à le
trouver, cela leur fasse d'autant plus estimer l'invention des
choses qui sont ici démontrées.
Gomment on peut appliquer oe qui a été dit ici des lignes
courbes, décrites sur une superficie plate, à celles qui se
décrivent dans un espace qui a trois dimensions.
Au reste je n'ai parlé en tout ceci que des lignes courbes
qu'on peut décrire sur une superficie plate ; mais il est aisé
de rapporter ce que j'en ai dit à toutes celles qu'on sauroit
imaginer être formées par le mouvement régulier des points
de quelque corps dans un espace qui a trois dimensions : à
savoir, en tirant deux perpendiculaires de chacun des points
de la ligne courbe qu'on veut considérer, sur deux plans 'qui
s'entre-coupent à angles droits, l'une sur Tun et l'autre sur
l'autre ; car les extrémités de ces perpendiculaires décrivent
deux autres lignes courbes, une sur chacun de ces plans,
desquelles on peut en la façon ci-dessus expliquée déterminer
tous les points et les rapporter à ceux de la lignS droite qui
est commune à ces deux plans, au moyen de quoi ceux de la
courbe qui a trois dimensions sont entièrement déterminés.
Même si on veut tirer une ligne droite qui coupe cette courbe
au point donné à angles droits, il faut seulement tirer deux
autres lignes droites dans les deux plans, une en chacun^ qui
coupent à angles droits les deux lignes courbes qui y sont aux
deux points où tombent les perpendiculaires qui viennent de ce
point donné ; car ayant élevé deux autres plans, un sur chacune
de ces lignes droites, qui coupe à angles droits le plan où elle
est, on aura l'intersection de ces deux plans pour la ligne droite
cherchée. Et ainsi je pense n'avoir rien omis des éléments
qui sont nécessaires pour la connoissance des lignes courbes.
LIVRE TROISIÈME. 65
LIVRE TROISIÈME
DE LA CONSTRUCTION DES PROBLÉMSS QUI SONT SOUDES
OU PLUS QUE SOUDES.
De qa^lles lignes conrbes on pent se servir en la cens-
traction de chaque problème.
Encore que toutes les lignes courbes qui peuvent être
décrites par quelque mouvement régulier doivent être reçues
en la géométrie, ce n'est pas k dire qu'il soit permis de se
servir indifféremment de la première qui se rencontre pour
la construction de chaque problème, mais il faut avoir soin
de choisir toujours la plus simple par laquelle il soit possible
de le résoudre. Et même il est à remarquer"que par les plus
simples on ne doit pas seulement entendre celles qui peuvent
le plus aisément être décrites, ni celles qui rendent ]a cons-
truction ou la démonstration du problème proposé plus facile,
mais principalement celles qui sont du plus simple genre qui
puisse servir à déterminer la quantité qui est cherchée.
Exemple touchant l'invention de plusieurs moyennes
proportionnelles.
Comme, par exemple, je ne crois pas qu'il y ait aucune
façon plus facile pour trouver autant de moyennes propor-
tionnelles qu'on veut, ni dont la démonstration soit plus évi-
dente, que d'y employer les lignes courbes qui se décrivent
DucAKTis. — Géométrie. 5
par l'instrumenl XYZ (Jig. S5) ci-dessns expliqué. Car, vou-
lant trouver deux moyennes proportionnées entre YA et YE,
Fig. is.
H ne faut que décrire un cercle dont le diamètre soit YE, et
pource que ce cercle coupe la courbe AD au point D, YD est
l'une des moyennes proportionnelles ctiercliées, dont la
démonstration se voit h l'œil par la seule application de cet
instrument sur la ligne YD; car, comme YA ou YB, qui loi
est égale, est à YC, ainsi YG est à YD, et YD à YE.
Tout de même pour trouver quatre moyennes proportion-
nelles entre YA et YG,ou pour en trouver six entre YA et YN,
il ne Tant que tracer le cercle YFti qui, coupant AF au point
P, détermine la ligne droite YF qui est l'une de ces quatre
proportionnelles; ou YHN qui, coupant AH au point H,
détermine YH l'une des six; et ainsi des autres.
Mais pource que la ligne courbe AD est du second genre, et
qu'on peut trouver deux moyennes proporlionnellea par les
sections coniques qui sont du premier; et aussi pource qu'on
peut trouver quatre ou six moyennes proportionnelles par des
lignes qui ne sont pas de genres si composés que sont AF et
AH, ce seroit une faute en géométrie que de les y employer.
Et c'est une faute aussi, d'autre côté, de se travailler inutile-
ment i vouloir construire quelque problème par un genre de
lignes plus simple que sa nature ne permet.
LIVRE TROISIÈME. 67
D« la nature des éqaatiloiia.
Or, afin que je puisse ici donner quelques règles pour évi-
ter Tune et Vautre de ces deux fautes, il faut que je dise
quelque chose en général de la nature des équations^ c'estrà-
dire des sommes composées de plusieurs termes partie con-
nus et partie inconnus dont les uns sont égaux aux autres, ou
plutôt qui, considérés tous ensemble, sont égaux à rien : car
ce sera souvent le meilleur de les considérer en cette sorte.
Combien il peat y avoir de racines en chaque é<|natipi{.
Sachez donc qu'en chaque équation, autant que la quantité
inconnue a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses
racines, c'est-à-dire de valeurs de cette quantité ; car, par
exemple, si on suppose x égale à 2, ou bien x^ — 2 égal à rien ;
et derechef x =: 3, ou bien x — 3 = 0; en multipliant ces
deux équations
a: ^ 2 — 0, et a: — 3 = 0,
Tune par l'autre, on aura
x» — 5a: + 6 = 0,
ou bien
ara = 5j: — . g,
qui est une équation en laquelle la quantité x vaut 2 et tout
ensemble vaut 3. Que si derechef on fait
ar — 4 = 0,
et qu'on multiplie cette somme par
a:" — Sar + 6 = 0,
on aura
a^-'9x^ + 26a: — 24 = 0,
qui est une autre équation en laquelle x, ayant trois dimen-
sions, a aussi trois valeurs, qui sont 2, 3 et 4.
68 LA GÉOUÉTRIE.
QutUes sont les fausses racines.
Hais souvent il arrive que quelques-unes de ces racines
sont fausses ou moindres que rien ; comme si on suppose que
X désigne aussi le défaut d'une quantité qui soit 5, on a
a: + 5 = 0,
qui, étant multiplié par
a:* — 9a:" + 2&C — 24 = 0,
fait
X* — 4a:» — 19a:* + 106x — 120 « 0
pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à savoir
trois vraies qui sont 2, 3, 4, et une fausse qui est 5.
Goxnment on peut diminner le nombre des dimensions
d'nne équation lorsqu'on connolt quelqu'une de ses
racines.
Et on voit évidemment de ceci que la somme d'une équa-
tion qui contient plusieurs racines peut toujours être divisée
par un binôme composé de la quantité inconnue moins la
valeur de l'une des vraies racines, laquelle que ce soit, ou
plus la valeur de Tune des fausses; au moyen de quoi on
diminue d'autant ses dimensions.
CSomment on peut examiner si quelque quantité donnée
est la valeur d^une racine.
Et réciproquement que si la somme d'une équation ne peut
être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue
+ ou — quelque autre quantité, cela témoigne que cette autre
quantité n*est la valeur d'aucune de ses racines. Comme cette
dernière
a:* — 4a:* — 19a:a + 106a: — 120 « 0
^T'S-^
^r «« J
LIVRE TROISIÈME. 69
peut bien être divisée par x — 2, et par x — 3, et par x — 4,
et par x + 5, mais non point par â? + on — aucune autre
quantité ; ce qui montre qu'elle ne peut avoir que les quatre
racines 2, 3, 4 et 5.
Combien il peut y avoir de Traiee racines en cha<iae
équation.
On connoit aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies
racines et combien de fausses en chaque équation : à savoir
a y en peut avoir autant de vraies que les signes + et — s'y^ V^^v i^ ./-
trouvent de fois être changés, et autant de fausses qu*il s'y | u <r
trouve de fois deux signes + ou deux signes — qui s'entre- j
suivent. Comme en la dernière, à cause qu'après + ^^ il y a
— Ax^, qui est un changement du signe + en — , et après —
19ar2 il y a + i06x, et après + 106x il y a — 120, qui sont
encore deux autres changements, on connott qu'il y a trois
vraies racines; et une fausse, à cause que les deux signes —
de 4J!:' et i9a^ s'entre-suivent.
Comment on iait que les fanasse racines d'une é<{nation
deviennent vraies, et les vraies fausses.
De plus, il est aisé de faire en une même équation que
toutes les' racines qui étoient fausses deviennent vraies, et
par même moyen que toutes celles qui étoient vraies devien-
nent fausses, à savoir en changeant tous les signes + ou —
qui sont en la seconde, en la quatrième, en la sixième, ou
autres places qui se désignent par les nombres pairs, sans
changer ceux de la première, de la troisième, de la cinquième,
et semblables qui se désignent par les nombres impairs.
Gomme si, au lieu de
4- a:^ — 4r' — 19:r* + 106.r — 120*= 0,
on écrit
+ jr* + 4a:' — 19ar« — 106a: — 120 = 0,
on a une équation en laquelle il n'y a qu'âne vraie racine qai
est 5, et trois faasses qui sont 2, 3 et 4.
" isnt on pevt kagmsntar ou diminuer !•■ raolnaa
d'ane éqURtlea nuu los oonnoltro.
, sans connottre la valeur des racines d'une équation,
eut augmenter ou diminuer de quelque quantité
il ne faut qu'au lieu du terme incoDun en supposer
qui soit plus ou moins grand de cette même quan-
e substituer partout en la place du premier.
le si on veut augmenter de 3 la racine de cette équa-
x* + Ar» — 19x» ~ 106x — 120 — 0,
•endre y au lieu de x, et penser que cette quantité t/
grande que x de 3, en sorte que y — 3 est égal h x;
a de a:* il faut mettre le carré de y — 3, qui est y* —
et au lieu de x* il faut mettre son cube qui est y* —
ly — 27 ; et enRn, au lieu de x^ il faut mettre son
carré qui est y* — 12y* + 54;/' — 108y + 81. Et
crivaot la somme précédente en substituant partout
1 de x, on a
y^ - 12y» + 54y* - 108y + 81
+ 4y» — 36y* + lOSy — 108
— IV + my — m
— 106y + 318
— 120
yt_ 8y»- y*+ 8y =0,
y — 8y»— y + 8=0,
de racine qui étoit 5 est maintenant 8, à cause du
3 qui lui est ajouté.
LIVRE TROISIÈME. 71
Que si on veut au contraire diminuer de trois la racine de
cette même équation, il faut faire y + 3 =■ a:, et y* + 6y +
9 sa x^, et ainsi des autres, de façon qu*au lieu de
x^ + lx^ — i9x« — 106a: — 120 — 0,
on met
y* + 12y» + 5V + 108y + 81
+ 4y» + 36y« + 108y + 108
— 19y* — 114y — 171
— 106y — 318
— 120
y* + 16y»+ 71y^— 4y— 420 = 0.
Qu'en augmentant les vraies racines on diminue les
fausses, et au contraire.
Et il est à remarquer qu'en augmentant les vraies racines
d^une équation on diminue les fausses de la même quantité,
ou an contraire en diminuant les vraies on augmente les
fausses; et que si on diminue, soit les unes, soit les autres,
d'une quantité qui leur soit égale, elles deviennent nulles; et
que si c'est d'une quantité qui les surpasse, de vraies elles
deviennent fausses, ou de fausses vraies. Comme ici, en aug-
mentant de 3 la vraie racine qui étoit 5, on a diminué de 3
chacune des fausses, en sorte que celle qui étoit 4 n'est plus
que 1, et celle qui étoit 3 est nulle, et celle qui étoit 2 est
devenue vraie et est 1, à cause que — 2 + 3 fait + 1 : c'est
pourquoi en cette équation
y» — 8y* — y + 8 = 0
il n'y a plus que trois racines, entre lesquelles il y en a deux
qui sont vraies, 1 et 8, et une fausse qui est aussi 1 ; et en
cette autre
y* + 16y» + 71y» — 4y — 420 — 0,
72 LA GÉOMÉTRIE.
il n'y en a qu'une vraie qui est 2, à cause que + 5—3 fait
+ 2, et trois fausses qui sont 5, 6 et 7.
Gomment on pont 6ter le seoond terme d'une équation.
Or, par cette façon de changer la valeur des racines Bans
les connottre, on peut faire deux choses qui auront ci-aprèâ
quelque usage. La première est qu'on peut toujours ôter le
second terme de l'équation qu'on examine, à savoir en dimi-
nuant les vraies racines de la quantité connue de ce second
terme divisée par le nombre des dimensions du premier, si
l'un de ces deux termes étant marqué du signe +, l'autre est
marqué du signe — ; ou bien en l'augmentant de la même
quantité, s'ils ont tous deux le signe + ou tous deux le
signe — . Comme pour ôter le second terme de la dernière
équation qui est
y^ + 16y» + 7iy» — 4y — 420 = 0,
ayant divisé 16 par 4, à cause des quatre dimensions du
terme y*, il vient derechef 4; c'est pourquoi je fais z — 4 =>
y, et j'écris
j5* — 16^1+ 962J> — 256^+ 256
+ i6z» — 192z« + 768z — 1024
^ 71JK« — 568z + 1136
- 4z+ 16
— 420
z^ —25^*— 60«— 36—0
où la vraie racine qui étoit 2 est 6, à cause qu'elle est aug-
mentée de 4; et les fausses, qui étoient 5, 6 et 7, ne sont
plus que 1, 2 et 3, à cause qu'elles sont diminuées chacune
de 4.
UVRE TROISIÈME. 73
Tout de même si on veut A ter le second terme de
a* — 2ax* + (2a^ — c^) x^ — 2a*x + a* « 0,
i
pour ce que divisant 2a par 4 il vient - a, il faut faire
i
« -f - a = ar, et écrire
z
z^ + 2^5» + . «2^3 + -.a»z + ^- a*
— 2az' — 3 a^z» — ? a'js — 1 a*
2 4
+ 2a>^« + 2a»z + ^ a'
1
•4
— 2a*z — a*
t i •
et si on trouve après la valeur de z, en lui ajoutan ^a on
aura celle de x.
Comment on peut faire cpie tontes les fausses racines d*nnè
équation deviennent irraies sans que les vraies devlen-
nant fausses.
La seconde chose qni aura ci-après quelque usage est qu'on
peuttoujours,en augmentant la valeur des vraies racines d'une
quantité qui soit plus grande que n*est celle d'aucune des
fausses, faire qu'elles deviennent toutes vraies, en sorte qu'il
n'y ait point deux signes + ou deux signes — qui s'entre-
snivent^ et outre cela que la quantité connue du troisième
terme soit plus grande que le carré de la moitié de celle du
second. Car encore que cela se fasse lorsque ces fausses
74 LA GÉOMÉTRIE.
racines sont inconnues, il est aisé néanmoins de juger à peu
près de leur grandeur et de prendre une quantité qui les sur-
passe d'autant ou de plus qu'il n'est requis à cet effet.Coinnie
si on a
ar*+ /w;»- Ùn^x* + 36n»ar«— 2i6n*a:>+ 1296n»x— 7776n«=«0,
en faisant y — 6n = a; on trouvera
+
n\ — 30naJ 4. 360n3/ - 2160nV + 648an») — 7776n«
— 6n«ï + 144n» - 1296n* + 5184n»( — 7776n«
+ 36n». — 648nA + 3888n*( — 7776n«
— 648nA + 3888n*( — 7776n«
— 2i6n^^ +• 2592n»l — 7776n«
+ 1296nV — 7776n«
— 7776n«
y«-35ny» +504nV -3780nV +\b\20n*y^ — 27216n»y = 0.
Où il est manifeste que 504 n^, qui est la quantité connue du
35
troisième terme, est plus grande que le carré de - n, qui est la
moitié de celle du second. Et il n'y a point de cas pour lequel
la quantité dont on augmente les vraies racines ait besoin à
cet effet d'être plus grande, à proportion de celles qui sont
données, que pour celui-ci.
Gomment on lait que toutes les places d'ans éq[i&ation
soient remplies.
Mais à cause que le dernier terme s'y trouve nul, si on ne
désire pas que cela soit il faut encore augmenter tant soit
peu la valeur des racines, et ce ne sauroit être de si peu que
ce ne soit assez pour cet effet ; non plus que lorsqu'on veut
accroître le nombre des dimensions de quelque équation, et
faire que toutes les places de ces termes soient remplies,
comme si, au lieu de j:* — ic» 0, on veut avoir une équa-
tion en laquelle la quantité inconnue ait six dimensions et
LIVRE TROISIÈME. 75
dont aucun des termes ne soit nul, il faut premièrement
pour
écrire
a* — 6x^.0 ;
puis, ayant fait y — a «a âr, on aura
où il est manifeste que, tant petite que la quantité a soit
supposée, toutes les places de Téquation ne laissent pas d*ètre
remplies.
Gomment on pant mnltiplier on diviser les racines sens
les connoître.
De plus on peut, sans connoître la valeur des vraies racines
d'une équation, les multiplier ou diviser toutes par telle quan-
tité connue qu*on veut ; ce qui se fait en supposant que la
quantité inconnue étant multipliée ou divisée par celle qui
doit multiplier ou diviser les racines est égale à quelque au-
tre ; puis multipliant ou divisant la quantité connue du se-
cond terme par cette môme qui doit multiplier ou diviser
les racines, et par son carré celle du troisième, et par son
cube celle du quatrième, et ainsi jusques au dernier.
Gomment on réduit les nombres rompus d'une équation
à des entiers.
Ce qui peut servir pour réduire à des nombres entiers et ra-
tionnaux les fractions, ou souvent aussi les nombres sourds
qui se trouvent dans les termes des équations. Gomme si
on a
V ^ -r 27 -^ 27 ^3 '
76 LA GÉOMÉTRIE.
et qu*on veuille en avoir une autre en sa place^ dont tous les
termes s'expriment par des nombres rationnaux, il faut sup-
poser y == a: \/ 3, et multiplier par V/ 3 la quantité connue
du second terme qui est aussi ^3i et par son carré qui est 3
26
celle du troisième qui est —, et par son cube qui est 3 V/3
celle du dernier qui est ce qui fait
27i/3'
9 r» • • 26 8 ^
Puis si on en veut avoir encore une autre en la place de
celle-ci, dont les quantités connues ne s'expriment que par
des nombres entiers^ il faut supposer z &= 3y, et multipliant
26 8
3 par 3, — par 9 et - par 27, on trouve
*7 y
a» — 9sï 4- 26« — 24 = 0,
où les racines étant 2, 3 et 4, on connolt de là que celles de
3' * '' l
2 4
l'autre d'auparavant étoient -, i et -, et que- celles de la
première étoient
?v/3, ^v/3 et g v/3.
Gomment on rend la quantité connue de l'un des termes
d'une équation égale à telle autre qu'on veut.
Cette opération peut aussi servir pour rendre la quantité
connue de quelqu'un des termes de l'équation égale à quelque
autre donnée, comme si ayant
x^ — b^x + c' = 0,
on veut avoir en sa place une autre équation en laquelle la
LIVRE TROISIÈME. 77
quantité connue du terme qui occupe la troisième place, à
savoir celle qui est ici b^ soit 3a'» il faut supposer
V "ôT' P^^
puis écrire
Que les racines tant vraies que fausses peuvent être
réelles ou imaginaires.
Au reste, tant les vraies racines que les fausses ne sont pas
toujours réelles, mais quelquefois seulement imaginaires,
c'est-à-dire qu'on peut bien toujours en imaginer autant que
j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois
aucune quantité qui corresponde àcelles qu'on imagine;'comme
encore qu'on en puisse imaginer trois en celle-ci,
a:» — ar» -f 13a: — 10 = 0,
il n'y en a toutefois qu'une réelle qui est 2, et pour les deux
autres, quoiqu'on les augmente ou diminue, ou multiplie en
la façon que je viens d'expliquer, on ne sauroit les rendre
autres qu'imaginaires.
La rédaction des équations cubiques, lorsque le problème
est plan.
Or quand, pour trouver la construction de quelque pro-
blème, on vient à une équation en laquelle la quantité in-
connue a trois dimensions, premièrement, si les quantités
connues qui y sont contiennent quelques nombres rompus,
il les faut réduire à d'autres entiers par la multiplication
tantôt expliquée ; et s'ils en contiennent de sourds, il faut
aussi les réduire à d'autres rationnaux autant qu'il sera pos-
LA GÉOMÉTRIE.
e, tant par cette même multiplication que par dirers an*
: moyens qui sont assez faciles k trouver. Puis examinant par
re toutes les quantités qui peuvent diviser sans fractioa le
lier terme, il faut voir si quelqu'une d'elles, jointe avec la
ntité inconnue par le signe -|- ou — , peut composer un bi-
le qui divise toute la somme ; et si cela est,le problème est
1, c'est-à-dire il peut-être construit avec la règle et le
ipas ; car, ou bien la quantité connue de ce binôme est la
ne cherchée, ou bien l'équation étant divisée par lui se
lit à deux dimensions, en sorte qu'on en peut trouver
ïs la racine par ce qui a été dit au premier livre,
ar exemple, si on a
y* _ 8y' — 124y» — 64 =» 0,
ernier terme qui est 64 peut être divisé sans fraction par
:, 4, 8, 16, 32, 64 ; c'est pourquoi il faut examiner par
re si cette équation ne peut point Être divisée par quel-
m des binômes if — 1 ou y* + 1, y* — 2 ou y' + 2,
- 4, etc. ; et on trouve qu'elle peut l'être par y' — 16 en
e sorte :
-*- ï' — %' — 124î/* — 64 = 0
-j'-Sj'- kf-
-16
0 — 16j/<_428i/'
— 16 — 16
B commence par le dernier terme.et divise — 64 par — 16,
|ui fait 4- 4 que j'écri^ dans le quotient ; puis je multiplie
par + y*, ce qui fait + 4y* ; c'est pourquoi j'écris — 4^*
UVRK TROISIÈME. 79 !
I
I
en la somme qu'il faut diviser, car il y faut toujours écrire
le signe + ou — tout contraire à celui que produit la multi-
plication ; et joignant — i24y* avec — 4y*, j'ai — i28y* que
je divise derechef par — 16, et j'ai + 8y* pour mettre dans
le quotient ; et en le multipliant par y^, j'ai — - Sy* pour
joindre avec le terme qu'il faut diviser, qui est aussi — 9y* ;
et ces deux ensemble font — 16y* que je divise par — 16, ce
qui fait 4- y* pour le quotient et — y* pour joindre
avec + y*, ce qui fait 0 et montre que la division est ache-
vée. Mais s'il étoit resté quelque quantité, ou bien qu'on
n'eût pu diviser sans fraction quelqu'un des termes précé-
dents, on eût par là reconnu qu'elle ne pouvoit être faite.
Tout de même si on a
y« 4- a* 1 y* — a* j y* — a^ ]
— 2cM + c* ) — 2aV» = 0,
— aV.^
le dernier terme se peut diviser sans fraction par a, a*, a*+ c\
a' + oc*, et semblables ; mais il n'y en a que deux qu'on ait
besoin de considérer, à savoir a^ et a^ + c*, car les autres,
donnant plus ou moins de dimensions dans le quotient qu'il
n'y en a en la quantité connue du pénultième terme, empê-
cberoient que la division ne s'y pût faire. Et notez que je ne
compte ici les dimensions de y* que pour trois, à cause qu'il
n'y a point de y*, ni de y', ni de y en toute la somme. Or en
examinant le binôme y^ -^ a^ — c^ = 0, on trouve que la
division se peut faire par lui en cette sorte :
— y« — 2cH y
0 — 2ûM
|r_«a,» ru
« i if n^fA { n rA /.a
c» i *» — arc ^ — or — c
— a« — c« ^ a« — c*
4- y* +2a^ j .+ a^ . _^
80 LA GÉOMÉTRIE.
ce qui montre que la racine cherchée est «* + c*, et la
preuve en est aisée à faire par la multiplication.
Oaels proUèmes sont solides lorsque réqaation est
cnbiqae.
Mais lorsqu'on ne trouve aucun binôme qui puisse ainsi
diviser toute la somme de Téquation proposée, il est certain
que le problème qui en dépend est solide ; et ce n'est pas
une moindre faute après cela de tâcher à le construire sans
y employer que des cercles et des lignes droites, que ce seroit
d^employer des sections coniques à construire ceux auxquels
on n'a besoin que de cercles : car enfln tout ce qui témoigne
quelque ignorance s'appelle faute.
La réduction des équations qui ont quatre dimensions,
lorsque le problème est plan. Et quels sont ceux qui sont
solides.
Que si on a une équation dont la quantité inconnue ait
quatre dimensions, il faut en même façon, après en avoir ôté
les nombres sourds et rompus, s'il y en a, voir si on pourra
trouver quelque binôme qui divise toute la somme en le
composant de Tune des quantités qui divisent sans fraction le
dernier terme. Et si on en trouve un, ou bien la quantité con-
nue de ce binôme est la racine cherchée, ou du moins,
après celte division, il ne reste en Téquation que trois di-
mensions, ensuite de quoi il faut derechef l'examiner en la
même sorte. Mais lorsqu'il ne se trouve point de tel binôme,
il faut, en augmentant ou diminuant la valeur de la racine,
ôter le second terme de la somme en la façon tantôt expliquée,
LIVRE TROISIÈME. 81
et après la réduire à une autre qui ne contienne que trois di-
mensions ; ce qui se fait en cette sorte : au lieu de
-f- a:* ... px"^ ... qX ... f es3 0,
il faut écrire
+ y« ... 2py* + (pa ... 4r) ya — g» «« 0.
Et pour les signes + ou — que j^ai omis, s'il y a eu + p
en la précédente équation, il faut mettre en celle-ci + 2p,
ou s'il y a eu — jp, U faut mettre — 2p ; et au contraire s'U y
a eu 4- r, il faut mettre — 4r, ou s'il y a eu — r, il faut
mettre + 4r ; et soit qu'il y ait eu + 5^ ou — ç, il faut tou-
jours mettre — ;^ et + p^, au moins si on suppose que x^
et y^ sont marqués du signe +, car ce seroit tout le con-
traire si on y supposoit le signe — .
Par exemple, si on a
-}- a:* — 4^:» — ar -f- 35 = 0,
il faut écrire en son lieu
y« — 8y* — 124ya — 64 — 0,
car la quantité que j'ai nommée p étant — 4, il faut mettre —
8y^ pour %py* ; et celle que j'ai nommée r étant 35, il faut
mettre (16 — 140) y^, c'est-à-dire — 124y« au lieu de (p» —
4r) y» ; et enfin q étant 8, il faut mettre — 64 pour — y*.
Tout de même, au lieu de
+ x^^ Vla^ — 20a: — 6 = 0,
il faut écrire
+ y«_34y* + 313y«— 400= 0;
car 34 est double de 17, et 313 en est le carré joint au qua-
druple de 6, et 400 est le carré de 20.
Tout de même aussi au lieu de
4. 2* 4. /l a2 — A z^ — (a« H- ac^) ^ + fg «* — | ^^^^ ^ ^-
DitcAKTBS. — Gé4fméirie. G
LA CÉOM^Rie.
it écrire
[a^ — 2c*} y* 4- {c* — a*) y* — a<
DeBt
— c*, et/)* est 2 a* — aV 4
ifln — }* est — a* — îaV — o'c*.
près que l'équaltOQ est ainsi réduite à trois dinieiisioDS,
ut chercher la valeur de y* par la méthode déjà expli-
! ; et si elle ne peut èlre trouvée, on D'à point besoin de
;er outre, car U suit de là inrailliblement que le problj^me
solide. Mais si on la trouve, on peut diviser par son
en la précédente équation en deux autres, en cbacune
[uelles la quantité inconnue n'aura que deux dimensions
ont les racines seront les mfimes que les siennes ; \ sa-
, au lieu de
+ ar' ... pj:* ... jx... r = 0,
ut écrire ces deux autres
+ x» + yx+-ï»...-p... 1 = 0.
t pour les signes + et — que j'ai omis, s'il y a + p en
lation précédente, il faut mettre + -p en chacune de
3S-ci, et — =p s'il y a en l'autre — p\ mais il faut mettre
'- en celle où il y a — yz, et — J^ en celle où il y a + yx,
qu'il y a 4- y en la première ; cl au conli-aire, s'il y a — ç,
ut mettre -
' ."
UVRE TROISlàME. 83
OÙ il y a + yx. Ensuite de quoi il est aisé de connoiire toutes
les racines de Téquation proposée, et par conséquent de
construire le problème dont elle contient la solution, sans y
employer que des cercles et des lignes droites.
Par exemple, à cause que faisant
y* — 34y* -t- 3i3y« — 400 — 0
pour
x* — 17a:* — ÎQar — 6 = 0,
on trouve que y^ est 16, on doit, au lieu de cette équation
4- ^ — Ho:* — 20a: — 6 =0.
écrire ces deux autres
4- a:* — 4a: — 3 — 0,
et
4- a:^ 4- 4a: -f ^ = 0,
1
car y est 4, ^ y* est 8, p est 17, et y est 20, de façon que
Et tirant les racines de ces deux équations, on trouve toutes
les mêmes que si on les tiroit de celle où est a:*, à savoir, on^
en trouve une vraie qui est v/7 4- 2, et trois fausses qui sont
v/7 — 2, 2 + /l, et 2 — v^2.
Ainsi ayant
a:*^lx^—Sx+ 35 = 0,
pource que la racine de
y6 __ gy* _ 424y« — 64 = 0
est derechef 16, il faut écrire
a:3 - 4a: + 5 = 0
et
a:* + 4a: -f 7 = 0 i
2y
lonree qa'on De troare ancone racine, ni vraie ai fausse, en
deux dernières é^nations, on coonoit de là que les quatre
réqnation dont elles procèdent sont imagioaires, et
le problème pour lequel on l'a trouvée est plan de sa na-
, mais qu'il ne sauroit en aucone façon £tre construit, i.
le que les quantités données ne peuvent se joindre.
oui de mfime ayant
+ ([ a' - c») ** - (a» + flc») 2 + ^ «* - I «"c» = 0,
rce qu'on trouve a' + c* pour y', il faut écrire
s* + v'a* 4- c*2 + 2 a* + X o 'i/a* + c* =■ 0,
t - a /o» + c\
1 on connott que la valeur de z est
*/a» + c'- y/^
i
1
lource que nous avions fait ci-dessus s + - a =- x, nous
UYRE TROISIÈME.
85
apprenons que la quantité Xy pour la connoissance de laquelle
ndus avons fait toutes ces opérations, est
+ ia + V^j77ï7~v/jc»-|a» + |av/^'T?.
Exemple de Taeage de ces rédnctioiie.
Hais afin qu*on puisse mieux connottre Tutilité de cette
règle il faut que je rapplique à quelque problème.
Si le carré AD [fig. ^6) et la ligne BN étant donnés, il faut
prolonger le côté ÀC jusques à E, en sorte que EF, tirée dé
E vers B, soit égale à NB : on apprend de Pappus, qu'ayant
premièrement prolongé BD jusques à 6, en sorte que DG soit
égale à DN, et ayant décrit un cercle dont le diamètre soit B6,
si on prolonge là ligne droite AC, elle rencontrera la circon-
férence de ce cercle au point E qu'on demandoit. Mais pour
ceux qui ne sauroient point cette construction, elle seroit
assez difficile à rencontrer; et^ en la cherchant par la méthode
ici proposée, ils ne s*aviseroient jamais de prendre DG pour
la quantité inconnue^ mais plutôt CF ou FD, à cause que ce
sont elles qui conduisent le plus aisément à Téquation ; et
lors ils en trouveroient une qui ne seroit pas facile à démêler
sans la règle que je viens d'expliquer. Car posant a pour BD
ou CD, et c pour EF, et x pour DF, on a CF = a — ar, et
LA GÉOMÉTRIE.
ima CF on a — x eet à FE ou c, ainsi FD ou j: esl à BK,
par conséquent est , Puis \ cause du triangle réc-
rie BDF dont les cdtés sont l'an x eL l'autre a, leurs
rés, qui sont x* + a*, sont égaux à celui de la base, qui
-j ■,; de Taçon que. multipliant le tout par
- tax + a*, on trouve que l'équation est
X* — tax' + 2a*a;* — ïa*x + a* = c* a;*,
bien
j* — 'iaa* -^ (%a*— c*) a? ~'ia*x + a* — 0;
)n connolt par les règles précédentes que sa racine, qui
la longueur de la ligne DF, est
•„ + v'l'.' + r'-v'l«'-î«'-t
)ue si on posoît BF, ou CE, ou BE, pour la quantité incon-
s, OD viendroit derecbef à une équation en laquelle il y
'oit quatre dimensions, mais qui seroit plus aisée à démè-
, et on y viendroit assez aisément; au lieu que si c'éloit DG
on supposât, on viendroit beaucoup plus dinicilemeot à
[uatiOD, mais aussi elle seroit très simple. Ce que je mets
pour vous avertir que, lorsque le problème proposé n'est
nt solide, si en le cherchant par un chemin on vient à une
latioa fort composée, on peut ordinairement- venir !i une
s simple en le cherchant par un autre.
le pourrois encore ajouter diverses règles pour démêler les
lations qui vont au cube ou an carré de carré, mais elles
oient superflues ; car lorsque les problèmes sont plans on
peut toujours trouver la construction par celles-ci.
LrVRE TROISIÈME. 87
Règle générale pour rédnire les équations qni passent le
carré de carré.
Je pourrois aussi en ajouter d'autres pour les équations qui
montent jusques au sursolide^ ou au carré de cube, ou au
delà, mais j'aime mieux les comprendre toutes en une, et dire
en général que, lorsqu'on a tâché de les réduire à même
forme que celles d'autant de dimensions qui viennent de la
multiplication de deux autres qui en ont moins, et qu'ayant
dénombré tous les moyens par lesquels cette multiplication
est possible^ la chose n'a pu succéder par aucun, on doit s'as-
surer qu'elles ne sauroient être réduites à de plus simples;
en sorte que si la quantité inconnue a trois ou quatre dimen-
sions, le problème pour lequel on la cherche est solide, et si
elle en a cinq ou six, il est d'un degré plus composé, et ainsi
des autres.
Au reste, j'ai omis ici les démonstrations de la plupart de
ce que j'ai dit, à cause qu'elles m'ont semblé si faciles que,
pourvu que vous preniez la peine d'examiner méthodiquement
si j'ai failli, elles se présenteront à vous d'elles-mêmes; et il
sera plus utile de les apprendre en celte façon qu'en les
lisant.
Façon générale pour construire tons les problèmes solides
«réduits à une équation de trois ou quatre dimensions.
Or, quand on est assuré que le problème proposé est solide,
soit que l'équation par laquelle on le cherche monte au carré
de carré, soit qu'elle ne monte que jusques au cube, on peut
toujours en trouver la racine par l'une des trois sections coni-
ques, laquelle que ce soit, ou même par quelque partie de
l'une d'elles, tant petite qu'elle puisse être, en ne se servant
I reste qoe de lignes droites et de cercles. Hais je me con-
Dterai ici de donoer une r^le générale pour les trouver
ntes parle moyen d'une parabole, à cause ({u'elle est en
lelqne façon la pins simple.
Premièrement, il faut Ater le second terme de l'équation
oposée, s'il n'est déjà nul, et ainsi la réduire à telle forme
«*■■ ... eqtz ... a*q,
la quantité inconnue n'a que trois dimensions ; ou bien à
Ue
«* — ... apz* ... tfqz ... 0*r,
elle en a quatre; on bien, en prenant a pour t'onité, à telle
2»=z...pz...5, (
àteUe
î*^ ...p3? ... qz ... r.
Apris cela, supposant que la parabole FAG [fig. S7) est
jà décrite, et que son essieu est ACDKL, et que son cdté
oit est a ou 1 dont AC est la moitié, et enfin que le point C
t an dedans de cette parabole, et que A en est le sommet ;
faut faire CD — > - p, et la prendre du mCme côté qu'est le
int A au regard du point C, s'il y a + jd en l'équation; mais
LIVRE TROISIÈME.
89
s'il y a — jD, il faut la prendre de Taulre côté. Et du point D,
ou bien, si la quantité p étoit nulle, du point C [fig, 28) il
faut élever une ligne à angles droits jusques à E, en sorte
1
qu'elle soit égale à - g. Et enfin du centre E il faut décrire
le cercle FG dont le demi-diamètre soit AE si Téquation n'est
que cubique, en sorte que la quantité r soit nulle.
tl;
'• /
^
■■• / •
•
/ ^
/ ^
y
f ""
t>^
Fig. 98.
Fig. %9,
Mais quand il y a -f r û faut dans cette ligne AE [fig. 27)
prolongée prendre d'un côté AR égale à r, et de l'autre AS
égale au côté droit de la parabole qui est 1 ; et ayant décrit
un cercle dont le diamètre soit RS, il faut faire AH perpendi-
culaire sur AE, laquelle AH rencontre ce cercle RHS au point
H qui est celui par où l'autre cercle FHG doit passer. Et quand
il y a — r, il faut, après avoir ainsi trouvé la ligne AH {fig,29)^
inscrire AI qui lui'*5oit égale, dans un autre cercle dont AE
soit le diamètre, et lors c'est par le point I que doit passer
FIG le premier cercle cherché. Or ce cercle FGpeut couper ou
toucher la parabole en un, ou deux, ou trois, ou quatre points,
desquels tirant des perpendiculaires sur l'essieu, on a toutes
les racines de l'équation tant vraies que fausses. A savoir si
la quantité g est marquée du signe -f, les vraies racines
LA GÉOMÉTntE.
'ont celles de ces perpendiculaires qui se trouveponl du
ime côté de la parabole que E le centre du cercle, comme
■ ; et les autres, comme GK, seront fausses. Hais au con-
lire, si cette quantité q est marquée du signe —, les vraies
ronl celles de l'autre cùlé, et les fausses ou moindres que
m seront du cAlé où est E le centre du cercle. Et enfin si ce
rcle ne coupe ni ne tourbe la parabole en aucun point, cela
noigne qu'il n'y a aucune racine ni vraie ni fausse en l'équa-
n, et qu'elles sont toutes imaginaires. En sorte que cette
;le est la plus générale et la plus accomplie qu'il soit possi-
I de souhaiter.
Et la démonstration en est fort aisée; car si la ligne GK
g. 27), trouvée par cette construction, se nomme z, AK
:a z', à cause de la parabole en laquelle GK doit élre
>yenne proportionnelle entre AK et le C(>lé droit qui est 1 ;
EM qui est s* — : p — -, dont le carré est
à cause que DE ou KM est - q, la toute GM est s -f g,
nt le carré est
:;» + yz + - ç";
assemblant ces deux carrés on a
, , 1,1,1 1
ur le carré de la ligne GE, à cause qu'elle est la base du
angle rectangle EMG.
Mais à cause que cette même ligne GE est le demi-diam^re
^x'":"^"
^
UVRE TROISIÈME. 91
du cercle PG, elle se peat encore expliquer en d'autres termes,
1 il
à savoir ED étant r y, et AD étant 5 p 4- -, AE-est
\/
1,1,1 1
à cause de Tangle droit ADE ; puis HA étant moyenne pro-
portionnelle entre AS qui esl 1 et AR qui est r, elle est \/r ;
et à cause de Tangle droit EAH, le carré de HE ou EG est
1,1,1 1
si bien qu'il y a équation entre cette somme et la précédente,
ce qui est le même que
et par conséquent la ligne trouvée GK qui a été nommée z
est la racine de cette équation, ainsi qu^il falloit démontrer.
Et si vous appliquez ce même calcul à tous les autres cas de
cette règle en changeant les signes + et — selon Toccasion,
vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu'il soit
besoin que je m'y arrête.
#
L'invention de deux moyennes proportionnelles.
Si on veut donc, suivant cette règle, trouver deux moyennes
proportionnelles entre les lignes a et q {fig. ^^), chacun sait
que posant z pour Tune, comme a est à z, ainsi z h-,
z* z^ z^
et - à —; de façon qu'il y a équation entre g et —, c'est-à-dire
Et la parabole FAG étant décrite, avec la partie de son
9â
LA GÉOMÉTRIE.
essieu ÂC qui est ^ a la moitié du côté droit, il faut du point C
élever la perpendiculaire CE égale à - ç, et du centre E par A,
décrivant le cercle AF, on trouve FL et LA pour les deux
moyennes cherchées.
lia façon de diviser on angle en trois.
Tout de même si on veut diviser Tangle NOP {fig. 30), ou
bien Tare ou portion de cercle NQPT en trois parties égales.
Fig. 30.
faisant NO = 1 pour le rayon du cercle, el NP c= y pour la
subtendue de Tare donné, et NQ = z pour la subtendue du
tiers de cet arc, l'équation vient
z^ = 3z — q.
Car ayant tiré les lignes NQ, OQ, OT, et faisant QS parallèle à
TO, on voit que comme NO est à NQ, ainsi NQ à QR, et QR à
RS; en sorte que NO étant 1, et NQ étant z, QR est z\ et RS
N
UVRE TROISIÈME. 93
est z'; et à cause qu^il s'en faut seulement RS ou z^ que la
ligne NP qui est q ne soit triple de NQ qui est z, on a
q = 3z — i',
ou bien '
z» = 3;5 — y.
Puis la parabole FAG étant décrite, et CA la moitié de son
1 3
côté droit principal étant -, si on prend CD =-,et la perpen-
1
diculaire DE = 5 Îî 6t que du centre E par A on décrive le
cercle FkgG, il coupe cette parabole aux trois points F, g et G,
sans compter le point A qui en est le sommet; ce qui montre
qu'il y a trois racines en cette équation, à savoir les deux GK
et gk qui sont vraies, et la troisième qui est fausse^ à sa-
voir FL. Et de ces deux vraies c'est gk la plus petite qu'il faut
prendre pour la ligne NQ qui étoit cherchée ; car l'autre GK
est égale à NV la subtendue de la troisième partie de l'arc NVP,
qui avec l'autre arc NQP achève le cercle. Et la fausse FL est
égale à ces deux ensembles QN et NV, ainsi qu'il est aisé à
Yoir par le calcul.
Ctae tous leq problèmes solides se peuvent réduire 'à ces
deux constructions.
Il seroit superflu que je m'arrêtasse à donner ici d'autres
exemples, car tous les problèmes qui ne sont que solides se
peuvent réduire à tel point qu'on n'a aucun besoin de celte
règle pour les construire, sinon en tant qu'elle sert à trouver
deux moyennes proportionnelles, ou bien à diviser un angle
en trois parties égales, ainsi que vous connoîtrez en considé-
rant que leurs difficultés peuvent toujours être comprises en
des équations qui ne montent que jusques au carré de carré
ou au cube, et que toutes celles qui montent au carré de carré
94 LA GÉOMÉTRIE.
se réduisent au carré par le moyen de quelques autres qui ne
montent que jusques au cube, et enfin qu'on peut 6ter le
second terme de celles-ci ; en sorte qu'il n'y en a point qui ne
se puisse réduire à quelqu'une de ces trois formes :
z'— — jDz + y,
«» =- + pz + q.
Or si on a z' = — pz -{- y, la règle dont Cardan attribue
l'invention à un nommé Scipio Ferreus nous apprend que la
racine est
Gomme aussi lorsqu'on a z' = 4- pz 4- ç', et que le
carré de là moitié du dernier terme est plus grand que le cube
du tiers de la quantité connue du pénultième, une pareille
règle nous apprend que la racine est
D'où il paroit qu'on peut construire tous les problèmes dont
les difficultés se réduisent à Tune de ces deux formes, sans
avoir besoin des sections coniques pour autre chose que pour
tirer les racines cubiques de quelques quantités données,
c'est-à-dire pour trouver deux moyennes proportionelles entre
ces quantités et l'unité.
Puis, si on a z* e=» + joz H- q, et que le carré de la moitié
du dernier terme ne soit point plus grand que le cube du tiers
de la quantité connue du pénultième^ en supposant le cercle
NQPV dont le demi-diamètre NO soit \ ^p, c'est-à-dire la
«^
LIVRB TROISIÈME. 95
moyenne proportionnelle entre le tiers de la quantité donnéep
et Tunité, et supposant aussi la ligne NP inscrite dans ce
cercle qui soit -^, c'est-à-dire qui soit à l'autre quantité don-
née q comme Tunité est au tiers de p, il ne faut que diviser
chacun des deux arcs NQP et NYP en trois parties égales, et
on aura NQ la subtendue du tiers de Tun^ et NV la subtendue
du tiers de Tautre, qui jointes ensemble composeront la
racine cherchée.
Enfin si on a 2* = /)z — q, en supposant derechef le cercle
►it ^Ip> et i''«™-*- ^^ -=* ^^
NQPV dont le rayon NO soit \ ^p, et Tinscrite NP soit — ,
NQ la subtendue du tiers de Tare NQP sera Tune des racines
cherchées, et NV la subtendue du tiers de l'autre ai*c sera
Tautre. Au moins, si le carré de la moitié du dernier terme
a'est point plus grand que le cube du tiers de la quantité
connue du pénultième; car s'il étoit plus grande la ligne NP
ue pourroit être inscrite dans le cercle, à cause qu'elle seroit
plus longue que son diamètre, ce qui seroit cause que les deux
vraies racines de cette équation ne seroient qu'imaginaires, et
qu'il n'y en auroit de réelle que la fausse^ qui, suivant la règle
de Cardan^ seroit
V^c. 1 y+ V'iy.-ip» + \/g. iy-V-?^--
2^ ^ 4^ 27^ 2^ ^4^ 27
^nP'
La façon d'exprimer la valeur de toutea les racines des
équations cnblques, et ensuite de toutes celles qui ne
montent que Jusques au oarré de carré.
Au reste, il est à remarquer que cette façon d'exprimer la
valeur des racines par le ri^port qu'elles ont aux côtés de
certains cubes dont il n'y a que le contenu qu'on connoisse,
96 LA GÉOMÉTRIE.
n'est en rien plus intelligible ni plus simple que de les expri-
mer par le rapport qu'elles ont aux subtendues de certains
arcs ou portions de cercles dont le triple est donné; en sorte
que toutes celles des équations cubiques qui ne peuvent être
exprimées par les règles de Cardan, le peuvent être autant ou
plus clairement par la façon ici proposée.
Car si, par exemple, on pense connoître la racine de cette
équation
JS3 = — yjS 4. p,
à cause qu'on sait qu'elle est composée de deux lignes dont
i
l'une est le côté d'un cube duquel Je contenu est - q^ ajouté
IL
1 1
au côté d'un carré duquel derechef le contenu est -q^ — ô^-P^
et l'autre est le côté d'un autre cube dont le contenu est la
1
différence qui est entre 5 y et le côté de ce carré dont le con-
1 i
tenu est - y* — sâ-P*^ ?^^ ^^^ ^^^^ ^® qu'on en apprend par
la règle de Cardan. Il n'y a point de doute qu'on ne connoisse
autant ou plus distinctement la racine de celle-ci
en la considérant inscrite dans un cercle dont le demi-dia-
mètre est V r p, et sachant qu'elle est la sublendue d'un arc
3(7
dont le triple a pour sa subtendue — . Même ces termes sont
V
beaucoup moins embarrassés que les autres, et ils se trou-
veront beaucoup plus courts si on veut user de quelque chiffre
particulier pour exprimer ces subtendues, ainsi qu'on fait du
chiffre v/C. pour exprimer le Côté des cubes.
Et on peut aussi ensuite de ceci exprimer les racines de
toutes les équations qui montent jusques au carré de carré
\
LIVRE TROISIÈME. 97
par les règles ci-dessus expliquées ; en sorte que je ne sache
rien de plus à désirer en cette matière : car enfin la nature de
ces racines ne permet pas qu'on les exprime en termes plus
simples, ni qu'on les détermine par aucune construction qui
soit ensemble plus générale et plus facile.
Poiirc[uoi les problèmes solides ne peavent être constmits
sans les sections coniques, ni cens qui sont plus composés
sans quelques autres lignes plus composées.
11 est vrai que je n'ai pas encore dit sur quelles raisons je
me fonde pour oser ainsi assurer si une chose est possible ou
ne lest pas. Mais si on prend garde comment, parla méthode
dont je me sers, tout ce qui tombe sous la considération des
géomètres se réduit à un même genre de problèmes, qui est
de chercher la valeur des racines de quelque équation, on
jugera bien qu'il n'est pas malaisé de faire un dénombrement*
de toutes les voies par lesquelles on les peut trouver, qui soit
suffisant pour démontlrer qu'on a choisi la plus générale et la
plus simple. Et particulièrement pour ce qui est des problèmes
solides, que j'ai dit ne pouvoir être construits sans qu'on y
emploie quelque ligne plus composée que la circulaire, c'est
chose qu'on peut assez trouver de ce qu'ils se réduisent tous
à deux constructions, en l'une desquelles il faut avoir tout
ensemble les deux points qui déterminent deux moyennes
proportionnelles entre deux lignes données, et en l'autre les
deux points qui divisent en trois parties égales un arc donné ;
car d'autant que la courbure du cercle ne dépend que d'un
simple rapport de toutes ses parties au point qui en est le
centre, on ne peut aussi s'en servir qu'à déterminer un seul
point entre deux extrêmes, comme à trouver une moyenne
proportionnelle entre deux lignes droites données, ou diviser
DucAiTis. — Géoméirie. 7
98 LA GÉOMÉTRIE.
en deux un arc donné; au lieu que la courbure des sections
coniques, dépendant toujours de deux diverses choses, peut
aussi servir à déterminer deux points différents.
Hais pour cette même raison il est impossible qu'aucun des
problèmes qui sont d'un degré plus composés que les solides,
et qui présupposent Tinvention de quatre moyennes propor-
tionnelles, ou la division d'un angle en cinq parties égales,
puissent être construits par aucune des sections coniques «
C'est pourquoi je croirai faire en ceci tout le mieux qui se
puisse, si je donne une règle générale pour les construire, en
y employant la ligne courbe qui se décrit par l'intersection
d'une parabole et d'une ligne droite en la façon ci-dessus
expliquée; car j'ose assurer qu'il n'y en a point de plus simple
en la nature qui puisse servir à ce même effet, et vous avez
vu comme elle suit immédiatement les sections coniques en
cette question tant cherchée par les anciens, dont la solution
enseigne par ordre toutes les lignes courbes qui doivent être
reçues en géométrie.
■
Façon générale pour oonstmire tous les problèmos réduits
à une éq[aation qni n'a point plus de six dimensions.
Vous savez déjà comment, lorsqu'on cherche les quantités
qui sont requises pour la construction de ces problèmes, ou
les peut toujours réduire à quelque équation qui ne monte
que jusques au carré de cube ou au sursolide. Puis vous savez
aussi comment, en augmentant la valeur des racines de cette
équation, on peut toujours faire qu'elles deviennent toutes
vraies, et avec cela que la quantité connue du troisième terme
soit plus grande que le carré de la moitié de colle du second ;
et enfin comment, si elle ne monte que jusques au sursolide,
on la peut hausser jusques au carré de cube, et faire que la
LIVRE TROISIÈME.
99
place d'aucun de ces tennes ne manque d'être remplie. Or,
afin que toutes les difficultés dont il est ici question puissent
être résolues par une même règle, je désire qu'on fasse toutes
ces choses, et par ce moyen qu'on les réduise toujours à une
équation de telle forme,
et en laquelle la quantité nommée q soit plus grande que le
carré de la moitié de celle qui est nommée p. Puis ayant fait
la ligne BK {fig. Si) indéfiniment longue des deux ct^tés, et
Fig. SI.
du point B ayant tiré la perpendiculaire AB dont la longueur
^^^ â P^ ^ '^^^ ^^^^ ^^ P^^^ séparé décrire une parabole,
comme CDF, dont le côté droit principal soit
^,
y/u ^
que je nommerai n pour abréger. Après cela, il faut poser le
plan dans lequel est cette parabole sur celui où sont les
1
100 LA GÉOMÉTRIE.
lignes AB et BK, en sorte que son essieu DE se rencontre
justement au-dessus de la ligne droite BK; et ayant pris la
partife de cet essieu qui est entre les points £ et D égale à
, il faut appliquer sur ce point E une longue règle en
telle façon qu'étant aussi appliquée sur le point A du plan de
dessous^ elle demeure toujours jointe à ces deux points pen-
dant qu'on haussera ou baissera la parabole tout le long de la
ligne BK sur laquelle son essieu est appliqué ; au moyen de
quoi Tintersection de cette parabole et de cette règle, qui se
fera au point C, décrira la ligne courbe ACN, qui e^t celle
dont nous avons besoin de nous servir pour la construction
du problème proposé. Car après qu'elle est ainsi décrite, si on
prend le point L en la ligne BK, du côté vers lequel est tourné
le sommet de la parabole, et qu'on fasse BL égale à DE, c'est-
à-dire à — — ; puis du point L vers B qu'on prenne en la
t
même ligne BK la ligne LH égale à 1, et que du point H
^n y] u
ainsi trouvé on tire à angles droits du côté qu'est la courbe ACN
la ligne HI dont la longueur soit <r- H + - _ qui
pour abréger sera nommé — ; et après, ayant joint les points L
et I, qu'on décrive le cercle LPI dont IL soit le diamètre, et
qu'on inscrive en ce cercle la ligne LP dont la longueur soit
\/
s -hp y ^ ; puis enfin du centre I, par le point F ainsi
n*
trouvé, qu'on décrive le cercle PCN.
Ce cercle coupera ou touchera la ligne courbe ACN en au-
tant de points qu'il y aura de racines en l'équation, en sorte
que les perpendiculaires tirées de ces points sur la ligne BK,
— » r- :-
LIVRE TROISIÈME.
iOi
comme CG, NR, QO, et semblables, seront les racines cher-
chées, sans qu'il y ait aucune exception ni aucun défaut en
cette règle. Car si la quantité s étoit si grande à proportion des
autres jo, y, r, /, et w, que la ligne LP se trouvât plus grande
que le diamètre du cercle LI, en sorte qu'elle n'y pût être
inscrite, il n'y auroit aucune racine en l'équation proposée
qui ne fût imaginaire ; non plus que si le cercle IP étoit si
petit qu'il ne coupât la courbe ÂGN en aucun point. Et il la
peut couper en six différents, ainsi qu'il peut y avoir six
diverses racines en l'équation. Mais lorsqu'il la coupe en
moins, cela témoigne qu'il y a quelques-unes de ces racines
qui sont égales entre elles, ou bien qui ne sont qu'imagi-
naires.
Que si la façon de tracer la ligne AGN par le mouvement
d'une parabole vous semble incommode, il est aisé de trou-
ver plusieurs autres moyens pour la décrire : comme si,
ayant les mêmes quantités que devant pour AB et BL {fig. 3^),
Fig- st.
et la même pour BK qu'on avoit posée pour le côté droit prin-
cipal de Ta parabole, on décrit le demi-cercle KST dont le
102 LA GÉOMÉTRIE.
centre soit pris à discrétion dans la ligne BK, en sorte qu'il
coupe quelque part la ligne AB comme au point S ; et que du
point T où il finit on prenne rers K la ligne TV égale à BL ;
puis ayant tiré la ligne SV, qu'on en tire une autre qui lui
soit parallèle par le point Â, comme AC, et qu'on en tire
aussi une autre par S qui soit parallèle à BK, comme SC, le
point C où ces deux parallèles se rencontrent sera Tun de
ceux de la ligne courbe cherchée. Et on en peut trouver en
même sorte autant d'autres qu'on en désire.
Or la démonstration de tout ceci est assez facUe ; car,
appliquant la règle AE (Jig. SI) avec la parabole FD sur le
point C, comme il est certain qu'elles peuvent y être appli-
quées ensemble, puisque ce point G est en la courbe AGN
qui est décrite par leur intersection, si CG se nomme y,
6D sera ^^ à cause que le côté droit qui est n est à CG
comme CG à GD ; et ôtant DE qui est — — , de GD , on a
pn
2 1 — pour GE. Pms, à cause que AB est à BE comme
n pn
CE est à GE, AB étant \ », BE est^^ — î— .
2^' 2n . ny
Et tout de même en supposant que le point C {fig. 32) de
la courbe a été trouvé par l'intersection des lignes droites SC
parallèle à BK, et AC parallèle à SV, SB qui est égale à CG
est y\ et BK étant égale au côté droit de la parabole que j'ai
nommé n. BT est ^ , car comme KB est à BS, ainsi BS est
à BT. Et TV étant la même que BL, c'est-à-dire ^ ^,
pn
v* 2 Vu
BV est ^ !- — ; et comme SB est à BV, ainsi AB est à BE,
n pn
LIVRE TROISlàME. 103
py \/ U , ,
qui est par conséquent ^ — - — comme devant, d'où on
zfi fiy
voit que c'est une même ligne courbe qui se décrit en ces
deux façons.
Après cela, pource que BL et DE {fig. 31) sont égales, DL
et BE le sont aussi; de façon qu'ajoutant LH qui est .. -,
py Vu
kDL qui est ^^ — - — t on a la toute DH qui est
py Vu t
2n >iy;^2nV/w'
«/*
et en ôtant 6D qui est ^ , on a GH qui est
py Vu t _y«
2n ny "^2nV^w ^'
ce que j'écris par ordre en cette sorte,
— y' + 9 py* + -77= — Vu
GH 1 ^VJL ^
ny
et le carré de GH est
Et en quelque autre endroit de cette ligne courbe qu'on
yeuille imaginer le point G, comme vers N ou vers Q, on
trouvera toujours que le carré de la ligne droite qui est
entre le point H et celui où tombe la perpendiculaire du point.
C sur BH, peut être exprimé en ces mêmes termes et avec les
mêmes signes + et — .
104 LA GÉOMÉTRIE.
Wl t
De plus, HI étant -, et LH étant l IL est
w 2/1 \/u
s/
n* 4n'M
à cause de Tangle droit IHL ; et LP étant
\/
IP ou IC est
sJ
m? . t^ s p v/w
71* ''^ 4n'M n* n
8 '
à cause aussi de Tangle droit I^L. Puis ayant fait CM perpen-
diculaire sur IH, IM est la différence qui est entre HI et H M
ou CG, c'est-à-dire entre — et y, en sorte que son carré
toujours
7? ~ n» + ^ '
qui étant 6 té du carré de IC, il reste
An*u n* n* n^ ^
pour le carré de CM, qui est égal au carré de GH déjà trouvé.
Ou bien en faisant que cette somme soit divisée comme
Tautre par rA/\ on a
— nY + 2my' -— p vuy* —sy^+ — y'
AU
puis remettant
— =• y* + yy* — 7 P^* pour n^y\ et ry» + 2 v/wy* -f -^^— -y»
v/w ^ 2 v/w
pour im y' ; et multipliant Tune et l'autre somme par nV^n a
LITRE TROISIÈME. 105
égala
c'est-à-dire qu'on a
y^ — py^ + qy' — rf + sy^ — ty + u^ 0.
D'où il paroît que les lignes CG, NR, QO, et semblables,
sont les racines de cette équation qui est ce qu'il falloit dé-
montrer.
L'invention de quatre moyennes proportionnelles.
Ainsi donc si on veut trouver quatre moyennes propor-
tionnelles entre les lignes aei b ayant posé x pour la pre-
mière, r équation est
afi — a^b = 0, ou bien x^ — a^bx = 0.
Et faisant y — a = a:, il vient
y' — 6ay* -[- i5ay — 20a'y» -|- 15ay — (6a» -f a*b)y
+ ei» -1- a*6 = 0 ;
c'est pourquoi il faut prendre 3a pour la ligne AB, et
v/
««• + «'* ^ 6«.
y/ a* + ab
pour BKoule côté droit de la parabole, que j'ai nommé n, et
r- \/a* + ab pour DE ou BL. Et après avoir décrit la ligne
nourbe ACN sur la mesure de ces trois, il faut faire
2n \/a* -t- ab
106
LÀ GÉOMÉTRIE.
et
10/1 n^
et
.
I8a* + 3a»6
2n« y/a^ + ah'
"LP = - i/lSa» + 6a /û« + ab ;
car le cercle, qui ayant son centre au point I passera par le
point P ainsi trouvé, coupera la courbe aux deux points G et
N, desquels ayant tiré les perpendiculaires NR et CG, si la
moindre NR est ôtée de la plus grande CG, le reste sera x^
la première des quatre moyennes proportionnelles cherchées.
Il est aisé en même façon de diviser un angle en cinq par-
ties égales, et d'inscrire une figure de onze ou treize côtés
égaux dans un cercle, et de trouver une infinité d'autres
exemples de cette règle.
Toutefois il est à remarquer qu'en plusieurs de ces exemples
il peut arriver que le cercle coupe si obliquement la parabole
du second genre^ que le point de leur intersection soit difficile
à reconnoitre, et ainsi que cette construction ne soit pas
commode pour la pratique ; à quoi il seroit aisé de remédier
en composant d'autres règles à l'imitation de celle-ci, comme
on en peut composer de mille sortes.
Mais mon dessein n'est pas de faire un gros livre, et je
tâche plutôt de comprendre beaucoup en peu de mots, comme
on jugera peut-être que j'ai fait, si on considère qu'ayant
réduit à une même construction tous les problèmes d'un même
genre, j'ai tout ensemble donné la façon de lesréduire à une
infinité d'autres diverses, et ainsi de résoudre chacun d'eux
en une infinité de façons ; puis outre cela, qu'ayant construit
tous ceux qui sont plans en coupant d'un cercle une ligne droite,
et tous ceux qui sont solides en coupant aussi d'un cercle une
parabole, et enfin tous ceux qui sont d'un degré plus com-
LI7HE TftOISIÈlfE. 107
posés en coupant tout de même d'un cercle une ligne qui n*est
q[ue d'un degré plus composée que la parabole, il ne faut que
suivre la même voie pour construire tous ceux qui sont plus
composés à Tinfini : car,en matière de progressions mathéma-
tiques^lorsqu'on a les deux ou trois premiers termes,il n'est pas
malaisé de trouver les autres. Et j'espère que nos neveux me
sauront gré, non seulement des choses que j'ai ici expliquées,
mais aussi de celles que j'ai omises volontairement, afin de
leur laisser le plaisir de les inventer.
FIN.
-^w^ ^ * . .,
TABLE DES MATIÈRES
LIVRE PREMIER
DES PROBLÈMES QU'ON PEUT CONSTRUIRE SANS T EMPLOYER QUE
DES CERCLES ET DES LIGNES DROITES
Comment le calcul d'arithmétique se rapporte aux opérations de
géométrie 1
Comment se font géométriquement la multiplication, la division et
rextraction de la racine carrée 2
Conlment on peut user de chiflires en géométrie • 3
Gomment il faut venir aux équations qui senent à résoudre les
problèmes 4
Quels sont les problèmes plans, et comment ils se résolvent 6
Exemple tiré de Pappus 8
Réponse à la question de Pappus. 11
Comment on doit poser les termes pour venir à l'équation en cet
exemple 13
Comment on trouve que ce problème est plan lorsqu'il n'est point
proposé en plus de cinq lignes lô
LIVRE SECOND
DE LA NATURE DES LIGNES COURBES.
Quelles sont les lignes courbes qu'on peut recevoir en géométrie.. 18
La façon de distinguer toutes ces lignes courbes en certains genres,
et de connoUre le rapport qu'ont tous leurs points à ceux des
lignes droites 21
Suite de l'explication de la question de Pappus mise au livre pré-
cédent 25
Solution de cette question quand elle n'est proposée qu'en trois ou
quatre lignes 26
Démonstration de celte solution 32
Quels sont les lieux plans et solides, et la façon de les trouver
tous 34
Quelle est la première et la plus simple de toutes les lignes courbes
qui servent à la question des anciens quand elle est proposée en
cmq lignes .*. 35
110 TABLE DES MATIÈRES.
Quelles sont les lignes courbes qu'on décrit en trouvant plusieurs
de leurs points qui peuvent être reçus en géométrie.. — . 38
Quelles sont aussi celles qu'on décrit avec une corde qui peuvent
y être reçues 38
Que, pour trouver toutes les propriétés des lignes courbes, il safiit
de savoir le rapport qu'ont tous leurs points à ceux des lignes
droites ; et la façon de tirer d'autres lignes qui les coupent en tous
ces points à angles droits 39
Façon générale pour trouver des lignes droites qui coupent les
courbes données ou leurs contingentes à angles droits 40
Exemple de cette opération en une ellipse et en une parabole du
second genre 41
Autre exemple en un ovale du second genre 43
Exemple de la construction de ce problème en la conchoïde 49
Explication de quatre nouveaux genres d'ovales qui servent à
l'optique 50
Les propriétés de ces ovales touchant les réflexions et les réfrac-
tions 54
Démonstration de ces propriétés S6
Gomment on peut faire un verre autant convexe ou concave en
Tune de ses superficies qu'on voudra, qui rassemble à un point
donné tous les rayons qui viennent d'un autre point donné 59
Gomment on en peut faire un qui fasse le même, et que la con-
vexité de l'une de ses superticies ait la proportion donnée avec
la convexité ou concavité de l'autre 6i
Gomment on peut rapporter tout ce qui a été dit des lignes courbes
décrites sur une superficie plate, à celles qui se décrivent dans
un espace qui a trois dimensions, ou bien sur une superficie
courbe 64
LIVRE TROISIÈME
DE LA CONSTRUCTION DES PROBLÈMES SOLIDES OU PLUS
QUE SOLIDES.
De quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de
chaque problème 65
Exemple louchant l'invention de plusieurs moyennes proportion-
nelles ,65
De la nature des équations 67
Combien il peut y avoir de racines en chaque équation 67
Quelles sont les fausses racines 68
Comment on peut diminuer le nombre des dimensions d'une équa-
tion, lorsqu'on connoît quelqu'une de ses racines 68
TABLE DBS MATIÈRES. iil
Gomment on pent examiner si quelque quantité donnée est la valeur
d'une racine 68
Combien il peut y avoir de vraies racines dans chaque équation. . . 09
Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies, et les
vraies fausses 69
Comment on peut augmenter ou diminuer les racines d'une équa-
tion 70
Qu'en augmentant ainsi les vraies racines on diminue les fausses,
ou au contraire 71
Comment on peut ôter le second terme d'une équation 72
Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies sans que
les vraies deviennent fausses 73
Comment on fait que toutes les places d'une équation soient
remplies 74
Comment on peut multiplier ou diviser les racines d'une équation. 75
Comment on 6te les nombres rompus d'une équation 75
Comment on rend la quantité connue de l'uti des termes d'une
équation égale à telle autre qu'on veut 76
Que les racines, tant vraies que fausses, peuvent être réelles ou^
imaginaires 77
La réduction des équations cubiques lorsque le problème est plan. 77
La façon de diviser une équation par un binôme qui contient sa
racine 78
Quels problèmes sont solides lorsque l'équation est cubique 80
La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le
problème est plan ; et quels sont ceux qui sont solides 80
Exemple de l'usage de ces réductions 85
Règle générale pour réduire toutes les équations qui passent le
carré de carré 87
Façon générale pour construire tous les^problèmes solides réduits
à une équation de trois ou quatre dimensions 87
L'invention de deux moyennes proportionnelles 91
La division de l'angle en trois 92
Que tous les problèmes solides se peuvent réduire à ces deux
constructions 93
La façon d'exprimer la valeur de toutes les racines des équations
cubiques, et ensuite de toutes celles qui ne montent que jusques
au carré de carré 95
Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les
sections coniques, ni ceux qui sont plus composés sans quelques
autres lignes plus composées 97
Façon générale pour construire tous les problèmes réduits à une
équation qui n'a point plus de six dimensions . ^ 98
L'invention de quatre moyennes proportionnelles 105
FIN DE LA TABLE.
TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
DE
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
A DEUX ET A TROIS DIMENSIONS.
8
La présente édition est entièrement conforme à
Védition de 1843, sauf certaines corrections néces-
saires de calcul.
4 894.
PARIS.— IMPRIMERIE DE FAIN ET THUNOT,
IMPRIMEURS DE L'UNIVERSITÉ ROYALE DE FRANCE,
Rue Racine, 28, près de l'Odéon.
r w
TRAITE ELEMENTAIRE
DE
GËONËTBIE ANALYTlOUfi
A DEUX ET A TROIS DIMENSIONS,
COHTBIlAirr
TOUTES LES THÉORIES GÉNÉRALES DE GÉOMÉTRIE ACCESSIBLES
A l'analyse ordinaire,
PAR M. AUGUSTE COMTE,
aoci£D élèTC de l'École polytechnique, répétitear d'analyse transcendante et de méeaniqve
rationnelle à cette École, et examinatetr des candidats qui s'y destinent,
autenr du Système de Philosophie positive.
PARIS.
CARILIAN-GCEURY et V<« DALMONT, ÉDITEURS,
LIBRAIRES DES CORPS ROYAUX DES PONTS ET CHAUSSÉES ET DES MINES,
Quai des Augusllns, n<» 30 et 41.
MARS 1843.
u
^ Jî
\
^^'
AVERTISSEMENT DE L'AUTEUR
L*ensemble de ce traité n'exige strictement d'autres
connaissances préalables que celles qu^bn peul aisément
acquérir en une première année d'études mathématiques
convenablement dirigées , comprenant successivement :
1^ quinze leçons environ sur Tarithmétique proprement
dite; ^ trente leçons sur la partie vraiment usuelle de
Falgèbre, composée de Texamen complet des deux pre-
miers degrés, de la formule du binôme, du calcul des
radicaux, de la théorie des deux progressions les plus
simples, et de la théorie des logarithmes^ complétée par la
résolution des équations exponentielles correspondantes ;
3^ trente leçons sur la géométrie élémentaire, judicieuse-
ment assistée du calcul algébrique dans les cas qui le récla-
ment naturellement; A^ quinze leçons sur la trigonométrie
complète^ sans excepter la résolution des triangles sphé-
riques; 5"* dix leçons sur les éléments de la géométrie
descriptive; 6* enfin, vingt leçons sur la statique élémen-
taire. Ces deux dernières parties ne sont même ici qu'ac-
cessoirement supposées : Tune, soit pour certaines formules
de langage qui m'ont paru propres à éclaircir le discours,
soit, surtout, par l'aptitude qu'elle développe à spéculer
nettement dans l'espace; l'autre, envers quelques notions
accessoires, encore moins indispensables. Une très-active
pratique journalière de l'ensemble de l'enseignement ma-
thématique, individuel ou collectif, continuée sans inter-
ruption depuis Tannée 1816, m'autorise à prononcer qu'un
tel préambule sufBt pleinement à une étude satisfaisante
de la géométrie analytique, quand on s'y borne aux théo-
ries vraiment accessibles à l'analyse ordinaire. Chaque
nouvelle année d'expérience me confirme davantage dans
la conviction qu'il y a beaucoup plus d'utilité didactique à
retirer d'une lumineuse application de cette étude géomé-
TI ATERTISSEMEXT DE L AUTEUR.
tiîque à celle de l'algèbre supérieure, que de la réaction
seeondalre de celle-ci sur certaines parties de la première,
réaction qni doit d^aillenrs finalement résulter d*une judi-
cieuse révision générale, dont aucun mode d'enseignement
ne saurait dispenser. Non seulement, les intelligences ordi-
naires n*ont pas, à • mes yeux, besoin d une préparation
plus étendue que celle ci-dessus définie, afin de suivre
avec fruit les leçons des professeurs qui me feraient Thon-
neur de prendre ce traité pour guide; mais j'ose même
assurer que cette initiation sufBrait aussi aux esprits
heureusement organisés qui voudraient isolément étudier
ici la géométrie analytique, sans aucun secours étranger.
Ce petit ouvrage résulte d'une sorte de loisir très-passager
dû à Tintermittence philosophique qui devait naturellement
avoir lieu chez moi entre la récente terminaison de mon
système fondamental de philosophie positive et le prochain
début des gi*ands travaux dont j'y ai posé les bases. Tous
ceux qui savent combien je me suis activement occupé,
pendant un quart de siècle, à régénérer l'ensemble de
l'enseignement mathématique, en connexité spontanée avec
l'élaboration générale à laquelle j'ai consacré ma vie,
m'avaient depuis longtemps sollicité de publier au moins
la partie de mes leçons qui se rapporte aux éléments de la
géométrie analytique, comme relative au degré le plus
important, le plus difficile, et le plus imparfait de Tinitia-
tion mathématique, où l'on peut dire, en effet, sans au-
cune exagération, que, après deux siècles entiers, l'ad-
mirable conception de Descartes n'a pas encore suffisamment
pénétré, puisqu'il semble toujours destiné essentiellement
à l'étude spéciale des sections coniques. Mais, quelque
honorable que dût me sembler un tel vœu, les exigences
supérieures de ma grande entreprise philosophique m'a-
vaient constamment interdit jusqu'ici la possU)ilité d'y sa-
tisfaire. Je viens de profiter, à cet effet, d'un premier
intervalle disponible, qui peut-être ne se reproduira ja-
mais, pour écrire ce traité élémentaire pendant les trois
mois que dure annuellement mon cours oral de géométrie
analytique dans l'un des principaux établissements destinés
AVERTISSEMENT DE L AUTEUR. VII
à la préparation polytechnique, l'institution spéciale fondée
à Paris par M. Laville.
Outre d^inévitables communications partielles, sponta-
nées ou provoquées, qui, depuis plusieurs années, ont fait
indirectement pénétrer, dans renseignement ordinaire de
la géométrie analytique^ quelques-unes de mes innova-
tions, et indépendamment des indications formelles que
contient, à ce sujet, le tome premier de ma Philosophie
positive, publié en 1830, le plan/et même Tesprit de mon
système didactique ont été directement caractérisés, en
1836, par un programme spécial de Tensemble de mes
leçons annuelles, alors lithograp)iié pour Tusage journalier
de mes élèves, et dont j'ai toujours facilité la propagation
extérieure. La première moitié de ce programme est natu-
rellement devenue, avec quelques améliorations secon-
daires, la table raisonnée des matières de ce traité, où elle
peut utilement diriger une rapide révision générale, puis-
que la filiation de toutes les idées s'y trouve sufOsammenl
indiquée, ainsi que Tobjet propre de chacun des 168 para-
graphes dont ce volume est composé. J'ai pensé qu'il ne
serait point inutile, même pour ceux qui ne connaissent pas
mon enseignement oral, de joindre à cette table la se-
conde moitié d'un tel progi'amme, relative à des leçons
que je n'aurai peut-être jamais la faculté de publier. Cette
indication caractéristique peut surtout acquérir une véri-
table importance envers l'enseignement du calcul différen-
tiel, qui constitue certainement, après la géométrie ana-
lytique, la partie la plus décisive et jusqu'ici la plus
imparraite de l'initiation mathématique : le plan et l'esprit
des leçons que je fis, sur ce sujet, à l'École polytechnique,
en 1836, se trouvent ainsi suffisamment appréciables. On
peut, en un mot, regarder l'ensemble de ce progi'amme
comme donnant une juste idée générale de la destination
propre à chacune des cent vingt leçons que je fais annuel-
lement, du 1" novembre au 1" mai, dans l'établissement
ci-dessus désigné.
La publication actuelle comportera, j'espère, une cer-
taine efficacité individuelle, soit pour offrir une direction
Tin AVERTISSEMENT DE L* AUTEUR.
systématique à la tendance instinctive de quelques jeunes
intelligences à se dégager suffisamment d*une désastreuse
routine scolastique, soit aussi pour seconder les efforts
spontanés de quelques judicieux professeurs qui sentent
dignement la nécessité de régénérer un ordre d*études où,
malgré tous ses inconvénients naturels et ses vices acciden-
telSy il faut certainement voir, sous le double aspect logi-
que et scientifique, le premier degré indispensable de toute
initiation graduelle à une saine philosophie générale. Mais,
à cela près, mon appréciation approfondie de noire situa-
tion intellectuelle ne me permet aucunement de penser
que cette tentative partielle et isolée puisse aujourd'hui
suffire à neutraliser les déplorables influences didactiques
inhérentes à tout notre régime scientifique, dont les dan-
gers se trouvent naturellement plus prononcés en mathé-
matique que partout ailleurs, en vertu de rindépendance
plus complète qui caractérise ces spéculations préliminaires,
où Tempirisme dispersif et Taversion des vues d'ensemble
devaient, eu ce siècle, plus spécialement prévaloir, comme
je l'ai pleinement établi dans mon grand ouvrage. Quel-
que nécessaire que soit donc devenue déjà, aux yeux
d'un grand nombre de bons esprits, surtout en France, la
rénovation radicale de cette phase initiale de l'éducation
positive, qui réalise si rarement jusqu'ici son éminente
aptitude logique, je connais mieux que personne llntime
solidarité qui rattache désormais une telle régénération à
tous les autres besoins essentiels de la raison humaine, de
manière à ne pouvoir Atre suflisamment accomplie que
sous l'ascendant ultérieur d'une nouvelle philosophie gé-
nérale, émanée enfin de la science elle-même, conformé-
ment au bul invariable de tous mes travaux quelconques.
C'est seulement ainsi que pourra graduellement prévaloir
le véritable esprit d'ensemble, sans lequel aucun enseigne-
ment ne saurait être convenablement dirigé.
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
A DEUX DIMENSIONS.
PREMIÈRE PARTIE.
* ^
INTRODUCTION GENERALE.
CHAPITRE PREMIER.
Notions fondamenlales.
1. La géométrie analytique^ telle que Descaries Ta fondée,
est essentiellemeat destinée à généraliser le plus possible les
diverses théories géométriques, d'après leur intime subordina-
tion à des conceptions analytiques, en soumettant les différentes
questions à autant de méthodes uniformes, nécessairement
applicables à toutes les figures convenablement définies ; soit
qu'on se borne à la géométrie plane, qui doit ici constituer
T\olre première et principale étude, soit que Ton considère,
comme nous le ferons ensuite, des surfaces quelconques.
Pour mieux apprécier cette destination caractéristique, il faut
d'abord reconnaître que la plupart des recherches géomé-
triques, et surtout les plus importantes, quoique le plus sou-
vent limitées primitivement & certaines figures, conviennent
également, par leur nature, à toutes les formes imaginables
de ligne ou de surface. Telle est évidemment, par exemple,
la détermination des tangentes^ pareillement essentielle envers
2 GÉOMÉTRIE PLANE.
toutes les courbes, comme servant de base à leur comparaison
avec un système convenable de droites. Il en est certainement
de même à regard des questions directement relatives à la me-
sure de retendue, et qui constituent Tobjet final desspéculations
géométriques ; soit qu'il s'agisse d'estimer la longueur d'une
courbe, ou l'aire qu'elle termine, ou le volume qu'engendre
sa rotation, etc., il n'y a pas de forme qui ne doive donner lieu
à une semblable recherche. Les questions vraiment limitées à
certaines figures, et qui ne comportent pas de généralisation
réelle, n'offrent presque jamais qu'un intérêt très-secondaire,
à moins qu'elles ne constituent, comme il arrive souvent, de
simples modifications particulières d'une considération pleine-
ment générale {*). Cette généralité spontanée des principales
recherches géométriques étant ainsi nettement reconnue, elle
doit naturellement faire désirer une équivalente généralité
dans les méthodes correspondantes. Or, telle est surtout Tim-
mense supériorité de la géométrie moderne, constituée à l'état
analytique par la conception fondamentale de Descartes. Avant
cette rénovation décisive, les questions géométriques ne com-
portaient, en effet, que des solutions spéciales, où le même
problème devait être résolu de nouveau dans tous les cas
connus, sans qu'on pût utiliser en aucune manière, faute d'une
appréciation directe et abstraite, ce qui leur était nécessaire-
ment commun. Par exemple, les moyens qu'employait la géo-
métrie ancienne pour mener les tangentes aux sections coniques
(*) Dans l'état présent de la géométrie, cette remarque ne rencontre
peut-être d'exception importante qu'envers la seule théorie des foyers,
que nous reconnaîtrons être vraiment bornée aux sections coniques,
sans admettre, à l'égard de toute autre courbe, aucun équivalent effectif.
Mais, même en ce cas, malgré la spécialité naturelle d'un tel sujet, son
extension directe à trois courbes d'ailleurs fort distinctes y doit faire
attacher presque autant de prix à une convenable généralité de méthode,
que si cette recherche pouvait s'étendre à des lignes quelconques.
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 3
ne servaient nullement, Bi ce n'est comme exercice logique,
à faciliter cette recherche envers la cis8o!de, la spirale, la
cycloïde, etc., dont chacune a ultérieurement exigé, à cet
égard, de nouveaux efforts toujours particuliers, jusqu'à ce
que Tanalyse cartésienne ait enfla élevé le système des spécu-
lations géométriques à son véritable état philosophique, en y
instituant une harmonie durable entre retendue des méthodes
et celle des questions.
Cette grande conception ayant jusqu'ici trop peu pénétré dans
l'enseignement ordinaire, la géométrie analytique n'y est com-
munément appréciée que comme propre à présenter l'étude des
sections coniques sous une nouvelle forme, dont la supériorité
effective, si on devait se borner à un tel cas, serait assurément
très-contestable. Mais, quelque vicieuse que soit une exposition
où les méthodes géométriques adhèrent trop étroitement aux
cas particuliers qu'on y a eus trop exclusivement en vue, elle
ne saurait altérer l'entière généralité qui caractérise sponta-
nément les théories analytiques, et que je m'efforcerai ici de
faire directement ressortir, comme constituant leur principale
valeur, à la fois scientifique et logique. Dans l'ancienne géomé-
trie, aucune question ne pouvait jamais être vraiment épuisée,
puisqu'il restait toujours à y traiter une infinité de nouveaux
cas, exigeant souvent d'aussi grands efforts que pour l'institu-
tion d'un nouvel ordre de recherches. La géométrie cartésienne,
au contraire, instituant une meilleure économie de nos forces
spéculatives, ne regarde comme vraiment importante que la
création de nouvelles méthodes générales, applicables à des
sujets encore intacts, et dont la spécialisation envers certaines
formes ne peut plus offrir que des diflicultés secondaires.
2. Suivant une telle appréciation, ce système final de la
science géométrique devrait être rationnellement désigné par
la dénomination de géométrie générale, comme je l'ai proposé.
4 GÉOMÉTRIE PLANE.
depuis longtemps, dans le tome premier de mon Système de
philosophie positive. Mais, vu la haute importance qu'on doit
toujours attacher, surtout pour renseignement élémentaire, à
conserver, autant que possible, les expressions consacrées, à
moins qu'elles ne soient radicalement impropres, je crois de-
voir ici employer habituellement la qualification ordinaire de
géométrie analytique, en écartant Xoutefois avec soin le titre
trop imparfait, et malheureusement encore plus usité, d'appli^
cation de f algèbre à la géométrie. En expliquant convenable-
ment cette dénomination d'analytique^ on y peut voir, en effet,
le résumé de Tensemble des attributs qui caractérisent la nou-
velle géométrie, quoique une telle désignation ne ée rapporte
spontanément qu'à la nature des moyens employés, sans rap-
peler suffisamment l'appréciation du but, qui n'est ainsi indi-
qué que d'une manière indirecte, d'après son harmonie intime
et nécessaire avec la marche annoncée. L'espèce d'équivoque
qui s'attache naturellement au mot analyse et à ses divers déri-
vés, suivant qu'on l'envisage dans sa spéciale acception mathé-
matique ou dans son universelle signification logique, ne sau-
rait même empêcher une semblable destination ; car il est aisé de
reconnaître, en principe, comme le développement de la science
nous le fera de plus en plus sentir, que les méthodes propres
à cette généralisation finale des théories géométriques doivent
tire éminemmenianaly tiques, selon les deux sens de ce terme.
En considérant d'abord le sens spécial, qui s'étend à l'en-
semble de la mathématique abstraite, il est certain que les
théories géométriques ne peuvent être convenablement généra-
lisées que d'après des conceptions analytiques, puisque la par-
tie abstraite de chaque question est, au fond, la seule qui soit
susceptible, à l'aide d'un judicieux isolement, d'une solution
vraiment uniforme, en tant que seule réellement commune à
toutes les figures imaginables. Soit qu'on envisage la détermi-
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 5
nation des tangentes ou celle des quadratures, etc., on recon-
naît aisément que, les résultats devant nécessairement différer
dans les diverses courbes, aucune autre voie que celle de l'a-
nalyse ne pourrait suffisamment séparer et convenablement
traiter ce que le sujet offre d'essentiellement uniforme au milieu
d'une inévitable diversité. Cette aptitude naturelle des concep-
tions analytiques peut même s'étendre jusqu'à indiquer de pré*
cieux rapprochements entre des questions générales vraiment
distinctes ; ce qui constitue assurément la plus haute généralisa-
tion possible, que nulle autre marche ne saurait permettre. Les
géomètres ont ainsi découvert, par exemple, dès l'origine de
la géométrie analyffque, comme je l'expliquerai en son lieu,
l'identité fondamentale des diverses recherches relatives à la
mesure de retendue, et qui peuvent désormais se transformer
les unes dans les autres, soit qu'il s'agisse de rectifications ou
de quadratures, ou même de cubatures ; c^est d'après une com-
mune appréciation analytique que pouvaient seulement être
saisies des relations aussi remarquables, très-propres au perfec*
tionnement mutuel de ces différentes études. Sous ce premier
aspect fondamental, la géométrie générale est donc très-juste-
ment qualifiée d'analytique.
Mais il ne faut pas que, suivant une tendance trop com*
tnune, cet usage pleinement légitime conduise, en prenant la
forme pour le fond, à incorporer vicieusement à la vraie géo->
métrie analytique des spéculations qui ne sauraient lui appar-*
tenir, parce qu'elles n'offrent point la généralité qui seule la
caractérise essentiellement, quelque étendu et même indispen-
sable que puisse y être d'ailleurs l'emploi du calcul algébrique.
C'est ainsi que tant de géomètres ont si vainement contesté à |
Descartes l'originalité de sa grande rénovation, sous prétexte j
que, longtemps* avant lui, l'algèbre avait déjà fourni certaines '
solutions géométriques. On voit aussi, d'après la même mé-
6 GÉOMÉTRIE PLANE.
prise, annexer trop souvent encore à la géométrie analytique
la simple trigonométrie, malgré le judicieux exemple de
Legendre, qui, suivant une irrécusable indication historique,
Tavait laissée à la suite de la géométrie élémentaire, dont elle
constitue évidemment Tinséparable complément, en tant que
pareillement relative à un problème purement spécial, quoique
d'ailleurs d*une importance capitale. Une telle confusion, qui
semble dogmatiquement consacrée encore d'après une vicieuse
division scolastique entre les problèmes déterminés et les pro-
blèmes indéterminés (comme si toutes les questions géométri-
ques n'étaient pas, chacune selon son genre, nécessairement dé-
terminées, soit qu'on y cherche un point, use ligne ou même une
surface), s'oppose radicalementà toute saine appréciationdu vé-
ritable esprit de lagéométrieanalytique. II serait même impossi-
bledela distinguer ainsi deranciennegéométne,oti l'on emploie
aussi, presque dès les premiers pas, le calcul algébrique, quoi-
que son ofQce y soit ordinairement moins étendu, et qu'il y soit
surtout appliqué sous des formes beaucoup moins convenables,
/ d'après la théorie des proportions, qui y constitue, comme pro-
cédé logique, l'équivalent très-imparfait de notre algèbre ac-
tuelle. Nous aurons fréquemment occasion de reconnaître, con**
trairement à cette grossière opinion, que des théories géométri*
ques peuvent être éminemment analytiques malgré que le calcul
y intervienne fort peu, tandis que d'autres spéculations, où il a
beaucoup de part,ne méritent nullement une telle qualification.
Si l'on passe maintenant à la seconde acception scientifique
du mot analyse et de ses dérivés, conformément à l'usage uni-
versel et M'explication étymologique, une appréciation encore
trop méconnue peut faire aisément sentir que, à ce nouveau
titre, la géométrie générale doit èti*e éminemment analytique,
c'est-à-dire procéder par décomposition. Car les questions n'y
étant presque jamais composées que d'un très^petit nombre
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 7
d^éléments uniformes, dont les diverses combinaisons effectives
sont, au contraire, extrêmement multipliées, la généralité des
solutions ne peut y être obtenue que d'après la séparation abs-
traite des différentes conditions élémentaires, seules suscep-
tibles d'être traitées, chacune à part, sous un point de vue gé-
néral. Au contraire, Tesprit de la géométrie ancienne était
toujours essentiellement synthétique, et par suite spécial, puis-
que les diverses conditions de chaque problème y restaient en-
visagées surtout dans leur ensemble, malgré Tusage accessoire
de ce qu'on avait nommé Y analyse géométrique^ qui toutefois
doit être historiquement envisagée comme un premier achemi-
nement logique vers le système moderne, quoique l'absence
des conceptions algébriques, qui seules permettent de fixer une
telle séparation et d'en poursuivre les conséquences, dût pri-
ver cette marche, plus prônée que pratiquée chez les géomètres
grecs, de sa principale efficacité.
Cette double appréciation conduit à sentir que la nouvelle
méthode géométrique instituée par Descartes a pour caractère
essentiel, en isolant chaque condition d'un problème, de l'assu-
jettir à une solution pleinement générale, d'après une conve-
nable réduction du concret à l'abstrait* La qualification à' ana-
lytique a surtout le mérile de rappeler, à ceux du moins qui
s'en forment une juste idée, un tel esprit fondamental, que
je ferai soigneusement ressortir en toute occasion opportune.
3. D'après les indications précédentes, la révolution radicale
opérée dans le système des études géométriques par l'avéne^-
ment de la géométrie analytique doit être regardée comme Té^
poque la plus décisive pour le développement total de cette
science, dont la constitution philosophique était jusqu'alors si
insuffisante et si précaire, malgré d'admirables découvertes spé<^
ciales. Mais, en outre, il y faut même reconnaître le pas le plus
décisif que pût jamais faire l'ensemble des spéculations mathé-
8 GÉOMÉTRIE PLANE.
matiques, aussi bien abstraites que concrètes. Car, suivant une
réaction nécessaire, ce rapprochement fondamental entre les
notions géométriques et les conceptions algébriques, quoique
n'ayant été d'abord institué qu'en yue de perfectionner la géo-
métrie, qui a fait ainsi, depuis deux siècles, plus de progrès
réels que pendant la longue suite de tous les siècles antérieurs,
a été peut-être encore plus favorable au perfectionnement de
l'analyse mathématique, dont les plus puissantes créations
sont, en effet, dues à cette heureuse influence logique. Non-
seulement les recherches analytiques ont ainsi trouvé spontané-
ment à la fois une alimentation inépuisable et une intéressante
destination, sans lesquelles la répugnance naturelle de Fesprit
humain pour les abstractions trop indéterminées en eût rendu
le progrès extrêmement lent et d'ailleurs presque stérile ; mais,
de plus, suivant une influence plus spéciale et plus profonde,
l'intervention des considérations géométriques parmi les spécu-
lations analytiques y a souvent suggéré directement d'heureuses
inspirations fondamen tales,comme l'ensemble des saines études
mathématiques le constate si hautement aujourd'hui. Une telle
réaction scientifique est essentiellement propre à la géométrie,
qui, à ce titre, ne cessera jamais de constituer la principale
partie de la science mathématique. La mécanique rationnelle,
quoique aussi éminemment analytique que la géométrie, est
d*une nature trop compliquée pour comporter une semblable
influence» Elle a, sans doute, pareillement fourni à l'analyse un
nouveau champ et une nouvelle destination, mais non pas de
nouvelles lumières. Bien que les équations abstraites puissent
être conçues, sans doute, comme représentées par des mouve-
ments tout autant que par des figures, cette interprétation trop
pénible ne saurait devenir la source d'aucune véritable indica-
tion analytique.
Conformément à la similitude nécessaire qui, pour l'esprit
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 9
humain, doit évidemment exister, en tous genres, entre la
marche essentielle de Téducation individuelle et celle de révo-
lution collective, Tétude de la géométrie analytique doit aussi
constituer naturellement la phase la plus décisive, et par
suite la plus difficile, de chaque initiation mathématique. Les
notions élémentaires de la géométrie et les conceptions rudi-
mentaires de l'algèbre, qui jusqu'alors avaient dû sembler
tout à fait indépendantes les unes des autres, et même radica-
lement hétérogènes, malgré quelques relations spéciales, con^
tractent, défi ce moment, une alliance intime et indissoluble,
première base de leur commune extension, et qui tend de plus
en plus à faire concevoir l'ensemble, autrement incohérent,
des spéculations mathématiques comme susceptible d'une véri-
table unité. Aucune autre partie de l'enseignement mathéma-
tique ne saurait donc mériter autant la sollicitude rationnelle
des professeurs et l'active attention des élèves.
4. Pour procéder convenablement à l'exposition directe de
la conception fondamentale d'après laquelle Descartes a consti-
tué la géométrie analytique, il faut d'abord expliquer une
méthode préliminaire, où ce grand philosophe n'a eu essen-
tiellement qu'à systématiser les inspirations spontanées de
la raison commune, et sans laquelle la transformation radicale
des considérations géométriques en considérations analytiques
n'eût jamais été possible.
L'analyse mathématique ne peut spéculer que sur des idées
de grandeur ; cependant il existe, en outre, dans la géométrie,
deux autres catégories logiques, non moins naturelles que la
première, l'une relative à la forme, l'autre à la position : il
est donc préalablement indispensable, en géométrie analytique,
de ramener les pensées de forme et de situation à de simples '
notions de grandeur, seules immédiatement susceptibles de
devenir numériques. Or, la solution générale de cette difficulté
e
iO GÉOICÉTRK PLA!fE.
préliminaire exige d*abord qu'on la réduise autant que pos-
sible, en ne s'y occupant que des idées de situation, dans
lesquelles on peut évidemment faire toujours rentrer les idées
de forme; puisque la forme d'un corps quelconque, pouvant
résulter constamment de la disposition mutuelle de ses parties,
sera nécessairement définie d'après la situation de tous ses
points. C'est ainsi que, dans notre système de géométrie analy-
tique, la position est seule immédiatement formulée par nos
équations, d'où la forme peut ensuite ressortir indirectement,
à l'aide des combinaisons convenables. Une telle marche doit,
sans doute, offrir, comme nous le reconnaîtrons bientôt,
quelques véritables inconvénients, puisque la forme d'un objet
est, en elle-même, indépendante de sa situation; mais cette
manière de procéder n'en est pas moins inévitable en géométrie
analytique, sous l'indispensable réserve des moyens généraux
destinés à permettre, suivant nos explications ultérieures, de
dégager les diverses indications relatives à la forme des cir-
constances étrangères propres à la seule situation.
Toutes les idées élémentaires de situation étant naturelle-
ment réductibles à la simple position d'un point, il suffit donc
d'expliquer, à ce sujet, comment ce dernier cas peut être
ramené à de pures considérations de grandeur. On y parvient
aisément, sous beaucoup de modes divers, d'après ce qu'on
appelle des systèmes de coordonnées, c'est-à-dire à l'aide
des deux grandeurs géométriques, soit linéaires, soit angu-
laires, etc., qui, sur un plan, déterminent, par leur combi-
naison, le point correspondant^ relativement à certains repères-
flxes et communs.
Afin de mieux apprécier cet indispensable artifice élémen-
taire, il y faut voir la simple généralisation philosophique du
procédé spontanément suggéré à tout bon esprit par la néces-
site de définir la situation d'un point sans pouvoir le montrer,
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. il
nécessité qui conduil toujours à l'inévitable emploi des rensei-
gnements numériques. Si le point proposé doit appartenir à
une ligne connue d'avance des deux intelligences entre les-
quelles s'opère une telle communication, un seul de ces ren-
seignements sufDt évidemment à remplir cette indication, par
exemple en assignant la distance plus ou moins grande du
point variable à un point fixe de la même ligne. Ce cas est
nécessairement le plus simple de tous ceux que peut offrir la
réduction des idées de position aux idées de grandeur : mais il
importe de le concevoir distinctement; car il est la base de
tous les autres plus compliqués. Quand le point cherché doit
seulement .faire partie d'une surface donnée, ce qui arrive
toujours en géométrie plane, la combinaison de deux rensei-
gnements de ce genre devient alors indispensable, Tun pour
indiquer la ligne qui doit le contenir, et l'autre pour l'y distin-
guer de tout le reste de sa circonférence : la dénomination de
coordonnées rappelle heureusement l'insuffisance isolée de
chacun des deux éléments de détermination, qui ne deviennent
efficaces que par leur concours. Enfin, dans le cas le plus
étendu et le plus difficile, lorsque le point peut indifféremment
appartenir à toutes les régions de l'espace, sa situation ne peut
être ainsi caractérisée qu'en combinant trois de ces conditions
de grandeur, comme nous le reconnaîtrons spécialement en
géométrie à trois dimensions.
Les couples de coordonnées employés, à cet effet, pour la
géométrie plane, peuvent être tirés d'une foule de construc-
tions différentes, dont il importe ici de concevoir nettement les
principales. Celle de toutes qui, sans être, sous divers aspects,
la plus naturelle, mérite certainement, à tous égards, la pré-
férence universelle qu'elle a empiriquement obtenue dès l'ori*
gine de la géométrie analytique, consiste à déterminer la ^'
position d'un point par ses distances à deux droites fixes, le
12 GÉOMÉTRIE PLANE.
[plus souvent reclangulaires. Si le point M (fig. 1) doit être sur
un plan, à des distances données a^ib des deu^axes OY,OXf
il sera évidemment placé à Tunique rencontre des deux paral-
lèles menées à ces axes selon ces distances respectives, et dont
chacune le contiendrait indifféremmentd'aprèsla considération
isolée de la condition correspondante .L'une de ces coordonnées^
MP, qu'on peut utilement supposer verticale, porte -habituelle-
ment le nom d'ordonnée^ tandis que l'autre, MQ, qu'on se
figtfrerait alors horizontale, est communément qualifiée d'aô-
scisse^ sans que cette diversité soit d'ailleurs aucunement moti-
vée entre des éléments homogènes. On facilitera beaucoup la
comparaison de ces distances variables selon les diverses posi-
tions du point, en comptant chacune, en OQ ou OP, sur l'axe
correspondant, toujours à partir de l'intersection fixe 0, ainsi
justement nommée Yorigine commune des deux coordonnées.
Enfin, quant au discours algébrique, un usage très convenable
fait désigner constamment chacune d'elles par la petite lettre
analogue à la grande qui marque l'extrémité de son axe, lequel
} réciproquement prend souvent, à ce titre, le nom familier
[ d'axe des x ou des y, selon la coordonnée variable qui s'y rap-
porte. Si, comme il arrive quelquefois, les deux droites fixes
n'étaient pas rectangulaires, les deux distances resteraient tou-
jours mesurées, pour chaque axe, parallèlement à l'autre, et
dès lors sous une obliquité égale à leur inclinaison mutuelle,
sans que l'opération subît d'ailleurs aucune autre modification.
A la vérité, d'après ce premier système de coordonnées, les
idées de grandeur semblent d'abord ne pouvoir pas suffire
entièrement à remplacer les idées de situation. Car, si lé point
proposé peut se trouver, suivant le cas le plus ordinaire, in-
différemment placé, sur le plan, dans les quatre régions que
séparent les deux axes, il pourra certainement, avec les mêmes
coordonnées, occuper, outre la position primitive M, les trois
PREMIÈRE PARTIE^ GUAPITRE PREMIER. 13
autres positions symétriques M', M", ou M" ', que rien ne parait
pouvoir numériquement en distinguer. Mais^ comme Tune ou
l'autre de ces coordonnées se trouve alors comptée, sur son
axe, à l'inverse du sens primordial, cette difficulté préalable,
qui eût radicalement entravé Tessor de la géométrie analytique,
en obligeant, pour éviter une inextricable confusion, à y re-
noncer au système le plus favorable, a été complètement sur-
montée, par l'incomparable fondateur de la nouvelle constitu-
tion géométrique, d'après un beureux usage général de sa
grande découverte en philosophie mathématique sur la repré- I
sentation spontanée de l'opposition de sens par l'opposition des
signes -}- et — dans toute relation de l'abstrait au concret,
pour chaque grandeur qui, comptée suivant une direction fixe,
comporte une inversion nettement caractérisée. J'aurai ci-des-
sous l'occasion d'indiquer expressément le véritable esprit de
cette notion fondamentale, presque toujours vicieusement en-
seignée. En se bornant ici à l'appliquer convenablement, elle
fait aussitôt disparaître notre ambiguïté élémentaire : pourvu
qu'on ait toujours égard au signe -{■• ou — de chaque coor-
donnée aussi bien qu'à sa valeur, il n'y aura jamais la moindre
incertitude sur la région correspondante au point proposé ; elle
sera dès lors distinguée des trois autres par une combinaison
propre des deux signes simultanés.
Le seul système de coordonnées qui soit quelquefois usité, à
défaut du précédent, en géométrie analytique, est peut-être,
quoique beaucoup moins convenable que celui-ci, le plus na-
turel de tous, comme offrant la plus simple combinaison des
deux idées primordiales de longueur et de direction. C'est celui
que l'on qualifie habituellement de jDo/afre, par contraste au
premier, communément appelé rectiligne^ en spécifiant ainsi
désormais deux dénominations trop vagues en elles-mêmes. II
consiste à déterminer la position d'un point sur un plan d'après
14 GÉOMÉTRIE PLANE.
sa distance à un point fixe et Tangle qu'elle y forme avec une
droite fixe : la coordonnée linéaire porte ordinairement, sui-
vant Tusage astronomique, le nom de rayon vecteur^ la coor-
donnée angulaire n'a pas reçu de titre spécial. Emprunté à la
géométrie céleste, ce système émane primitivement d'une ten-
dance universelle, dans les plus simples considérations géogra-
phiques, à comparer spontanément les divers lieux leiTestres
d'après la combinaison de leurs distances avec leurs directions.
Un point M (fig, 2) y est déterminé par Tin tersection d'un cer-
cle variable, ayant pour centre fixe le pôle 0, et d'une droite
mobile autour de ce pôle : les coordonnées corre6pondantes,que
nous noterons habituellement u et o, déterminent, pour chaque
position. Tune le rayon de ce cercle, l'autre l'inclinaison de
cette droite sur Taxe 0^. On doit remarquer que la seule
grandeur des deux coordonnées suffit ici à l'entière détermina-
tion du point, sans qu'il faille leur attribuer aucun signe,
même pour distinguer suffisamment la position M de son op-
posée M', où l'angle ç, toujours compté en pareil sens, comme
en trigonométrie, a certainement changé de valeur, par un ac-
croissement de 180*. Mais nous reconnaîtrons bientôt que, loin
de constituer un motif de préférence, cette propriété du sys-
tème polaire devient au contraire très-défavorable à sa des-
tination analytique.
Outre ces deux systèmes, seuls usités,il en existe évidemment
une infinité d'autres, mais dont l'office est purement provisoire
I ou accidentel. Leur considération n'a d'importance logique
qu'afin d'éviter de trop restreindre, suivant la tendance sco-
lastique, cette première notion fondamentale. C'est ainsi que,
par exemple, on déterminerait la position d'un point sur un
plan d'après ses distances à deux points fixes, par l'intersection
•
de deux cercles à centres fixes, dont les rayons variables con-
stitueraient les coordonnées correspondantes. De même, on y
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 15
pourrait employer les directions combinées des droites qui, de
deux points fixes, aboutiraient au point cherché, alors résulté
d'une intersection rectiligne, suivant deux coordonnées angu-
laires, mesurant les angles de chacune de ces lignes mobiles
avec Taxe qui joint les deux pôles. En un mot, il n*y a pres«
que aucune construction plane qui, convenablement envisa-
gée, ne puisse donner lieu à quelque système de coordonnées,
et souvent à plusieurs, en y considérant les divers éléments
linéaires, angulaires, ou même superficiels, qu*elle peut rat^
tacher à la position d'un point, et dont toute combinaison
binaire serait réciproquement susceptible de le déterminer.
Dans un système quelconque, le point mobile est toujours
nécessairement placé à la rencontre de deux lignes, droites ou
courbes, dont toutes les conditions déterminantes sont fixes,
exeepté une seule qui, en variant, indique la coordonnée cor-
respondante. Ainsi, les divers systèmes doivent d'abord être
distingués entre eux par la nature des lignes qu'ils emploient.
Mais cette appréciation ne saurait suffire, puisque des systè-
mes très différents peuvent souvent introduire des lignes pa-
reilles : il y aurait, par exemple, une infinité de systèmes mé-
ritant d'être appelés rectilignes, si Ton donnait ce nom à tous
ceux oîi un point résulte de Tin tersection de deux droites;
comme l'indique, entre autres, outre le système rectiligne or-
dinaire, décrit en premier lieu, le système, doublement angu*
laire, qui a terminé notre énumération sommaire. On doit
donc, en outre, soigneusement considérer le mode de variation
de chacune des deux lignes élémentaires, et ne regarder comme
vraiment identiques que les systèmes de coordonnées qui, em-
ployant les mêmes lignes, les font aussi varier suivant la même
loi, en sorte que toutes les conditions fixes de détermination
soient exactement communes aux deux cas comparés.
5. Cet indispensable préambule, sans lequel les idées géomé-
16 GÉOMÉTRIE PLANE.
triques ne sauraient devenir réductibles à des idées numéri-'*
ques, nous permet de procéder maintenant à l'exposition di-
recte de la conception fondamentale d'après laquelle Descartes
a constitué la géométrie analytique, en établissant une intime
harmonie mutuelle entre les lignes et les équations.
Quand un point se déplace arbitrairement sur un plan,
ses deux coordonnées changent indépendamment Tune de
Taulre. Mais si, dans son mouvement, il suit un trajet ri-
goureusement déterminé, de forme d'ailleurs quelconque, ces
deux variables ne sauraient plus être envisagées comme indé-
pendantes entre elles. L'une d'elles, en effet, suffit alors pour
déterminer le point, à l'égard duquel la ligne proposée tient
lieu de celle qui correspondrait à l'autre coordonnée. Celle-ci
ne peut donc prendre, en ce cas, que des valeurs subordonnées
à celles de la première, dont elle devient ainsi analytiquement,
suivant le langage des géomètres, une véritable fonction^ d'ail-
leurs assignable ou inassignable, caractérisée par une équation
convenable entre ces deux variables. Or, comme cette équation
traduit exactement la condition d'un tel trajet, elle est juste-
ment nommée équation de la ligne correspondante,puisqu'elle
en constitue une rigoureuse définition analytique, qui ne sau-
rait convenir à aucune autre figure, où, la même valeur de
Tabscisse devant procurer une valeur différente à l'ordonnée,
leur relation doit nécessairement changer aussi.Cette inévitable
correspondance entre la ligne et l'équation est même, à certains
égards, trop intime, en tant qu'affectée par la situation comme
par la forme : car, d'apnès ce principe, l'équation doit évi-
demment subir un changement quelconque quand la ligne ne
fait que se* déplacer sans changer de forme ni de grandeur;
d'où résulte la nécessité de règles analytiques expressément des-
tinées ci-dessous à dissiper une telle confusion, d'ailleurs né-
cessairement résultée de ce que les idées de position sont seules
PREmÉRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 17
immédiatement susceptibles d^expression algébrique. Ainsi, Té-
quation d'une ligne, en tout système, n'est autre chose que la
relation constante qui existe nécessairement entre les coordon-
nées variables du point décrivant, par cela seul que la ligne est
rigoureusement définie d'après une propriété commune à tous
ses points.
Le principe général d'une telle correspondance ne saurait
être convenablement apprécié, si on n'envisage les idées d'^-
quation ou de fonction de la manière la plus étendue, et si on
n'évite soigneusement de confondre la conception, toujours
possible, de chaque équation avec sa formation effective^ sou-
vent très difficile, et quelquefois inaccessible. Il existe, sous ce
dernier aspect, une très grande différence entre les diverses
définitions dont une même ligne est susceptible. Par exemple,
la définition élémentaire du cercle, comme lieu des points
équidistants d'un point fixe, se traduit aussitôt, d'après le
simple théorème de Pythagore, en l'équation y^+a:'=r', entre
les coordonnées rectilignes de l'un quelconque de ses points,
relativement à deux axes rectangulaires menés de son centre.
Au contraire, la définition transcendante de cette même courbe,
comme ékint celle qui, sous le même contour, renferme la
plus grande aire, exige l'intervention de la plus haute analyse
pour faire obtenir l'équation. L'ensemble de la géométrie pré-
sente, même aujourd'hui, beacoup d'exemples de courbes dont
Téquation proprement dite n'a pu encore être formée, et à l'é-
gard desquelles on peut, en outre, quelquefois assurer que
cette formation exigerait nécessairement l'introduction de nou-
velles fonctions analytiques.
Il importe de remarquer déjà que cette correspondance fon-
damentale entre les lignes et les équations ne saurait, par sa
Mlure, offrir aucun caractère absolu, qui affectât exclusive-
ment, dans tous les cas, certaines relations analytiques à cer-
18 GÉOMÉTRIE PUNE.
laines formes géométriques. Car, une telle harmonie est éTÎ-
demment subordonnée au système de coordonnées que Ton a
choisi. Si donc une habitude invétérée conduit^ par exemple,
à lier intimement entre elles les idées de ligne droite et d'équa-
tion du premier degré ou de section conique et d'équation du
second degré, cela tient uniquement à l'emploi trop exclusif du
système rectiligne, auquel se rapportent ces liaisons. Dans
d'autres systèmes, ces mêmes lignes prendraient évidemment
de nouvelles équations, dont la composition analytique sem-
blerait souvent dépourvue de toute analogie avec les premiè-
res, quoiqu'il dût pourtant exister entre elles, malgré toutes
les variations possibles, une certaine affinité algébrique plus
ou moins difficile à discerner, d'après leur commune source
géométrique.
Nous devons enfin soigneusement signaler ici^ en principe,
comme propriété essentielle de cette correspondance de l'équa-
tion à la ligne, pour chaque système de coordonnées, son in*
dépendance nécessaire de la diversité des définitions propres à
une même figure. Quoique l'équation résulte inévitablement
de la définition, elle n'est cependant pas susceptible de varier
avec elle, si la ligne n'éprouve aucun changement réel ; puis-
que les mômes abscisses devront toujours correspondre aux
mômes ordonnées, tant que la succession des points n'aura pas
effectivement changé, sous quelque nouvel aspect qu'elle
puisse 6tre envisagée. Rien n'est plus propre que ce remarqua-
ble privilège à faire dignement ressortir combien l'équation
caractérise profondément la vraie nature invariable de la ligne
correspondante, au milieu de la variété presque indéfinie de
ses attributs géométriques. En même temps, cette identité né-
cessaire de l'équation, de quelque définition qu'elle provienne,
doit présenter, en géométrie analytique, une importante desti-
nation habituelle, en y permettant de reconnaître ainsi, d'une
- I -•.
PRBBaÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 19
manière sûre et uniforme, l'équivalence effective des déOnitions
qui auront conduit à la même équation, et qui^ sans cet heu-
reux intermédiaire, auraient souvent offert beaucoup d' obsta-
cles à un rapprochement décisif.
6. Après avoir ainsi caractérisé, en sens direct, la concep-
tion fondamentale de la géométrie analytique, il faut maintenant,
pour achever <}e s'en faire une juste idée générale., Tapprécier
aussi en sens inverse, quant à la représentation des équations
a deux variables par les lignes planes correspondantes.
Cette peinture des équations résulte de la construction facul-
tative de chacune de leurs solutions. Que, dans une équation
quelconque, résolue ou non résolue, y = if{œ) ou/'{a:,y) = 0,
lAf \ ,,,\y etc., comme exprimant les coordonnées
d un point dans un système quelconque, par exemple rectili-
gne : ces diverses solutions pourront dès lors être géométri-
quement représentées par autant de points M, M', M'\ etc.
(A?* 3), dont la succession resterait arbitraire si ces couples
n'avaient aucun caractère commun, mais qui, au contraire,
formeront une ligne nettement déterminée en vertu de leur
uniforme propriété de convenir. à une même équation, qui con-
stituera spontanément la définition algébrique de cette ligne,
de manière à la distinguer rigoureusement d'avec toute autre.
Envisagée quant à Téquation d'où elle provient, une telle ligne
en constituera ce qu'onnommele/t^t/^^om^/rt^t/^, dont l'étude
ultérieure fera nécessairement découvrir d'autres propriétés
spéciales, susceptibles de lui fournir divers modes de généra-
lion, plus ou moins éloignés de celle source analytique. La
plupart des courbes aujourd'hui considérées n'ont pas effecti-
vement d'autre origine ; aussi sont-elles habituellement nom-
20 GÉOMÉTRIE PLANE.
mées par leurs équations mêmes, sauf le très-petit nombre de
celles que divers motifs ont conduit à désigner sous des déno*
minations particulières. On conçoit, en effet, avec quelle ex-
trême facilité on a pu dès lors imaginer une infinité de courbes
nouvelles, assujetties à des définitions rigoureuses, tandis que
Tancien régime géométrique ne comportait, à cet égard, que
des ressources fort limitées, même pour la plus^ féconde imagi-
nation.
Sous ce second aspect général, encore plus évidemment que
sous le premier, la correspondance fondamentale des lignes aux
équations est nécessairement relative à la nature du système de
coordonnées adopté. De la même équation, on pourrait certai-
nement tirer une infinité de lignes difl'érentes, en se bornant à
changer convenablement ce système. Ainsi, par exemple, Té-
quation y = ax^ qui, en coordonnées rectilignes, représepte
une ligne droite, produirait, au contraire, en coordonnées
polaires, une spirale composée d'une infinité de circonvolu-
tions croissantes, comme le lecteur peut le constater aisément.
Toutefois, quelque variées que puissent être de telles peintu-
res^ il faut sans doute que ces diverses figures conservent entre
elles une certaine analogie intime, jusqu'ici peu appréciée,
d'après leur commune origine algébrique.
Quant à Tindépendance, ci-dessus signalée, de chaque équa-
tion relativement à la diversité des définitions propres à la ligne
correspondante, elle est ici remplacée, en quelque sorte, par
Tindépendance équivalente de chaque lieu géométrique envers
les différentes formes, souvent très-distinctes et fort multipliées,
que comporte son équation. Cette seconde propriété générale,
quoique moins sentie que la première, n'a pas, au fond, moins
d'importance. Elle devient surtout la base essentielle de la haute
destination logique dont la géométrie analytique est susceptible
pourleperfectionnementdesspéculationsalgébriques.Lacourbe
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 21
d'une équation présente, en effet, rineslimable avantage de
constituer spontanément un résumé très-expressif de l'ensem-
ble des comparaisons auxquelles peut donner lieu la marche
générale des solutions de cette équation: or, cette marche, qui
caractériseessentiellementréquation correspondante, au milieu
des innombrables transformations dont elle est susceptible, ne
saurait être indiquée par aucun signe analytique, et se trouve-
rait même, sans cette lumineuse peinture, profondément dis-
simulée sous les détails algébriques que rappelle directement
la composition de Féquation. Telle est la source élémentaire
des indications fondamentales d'après lesquelles l'heureux em-
ploi des considérations géométriques a tant concouru, depuis
deux siècles, & perfectionner les conceptions analytiques.
7. Cette double explication générale de Tintime harmonie
naturelle que la grande conception de Descartes a définitive-
ment organisée entre les idées de ligne et les idées d'équation,
caractérise déjà le véritable esprit et la principale difficulté de
la géométrie analytique. Toutes les lignes qui peuvent être le
sujet des recherches de la géométrie plane étant ainsi repré-»
sentées, dans un système convenable, par autant d'équations,
chaque phénomène géométrique qui s'y rapporte devient dès
lors susceptible d'expression analytique, soit qu'il concerne les
affections isolées de chacune des lignes proposées ou leurs rela-»
lions mutuelles* Sous ce premier aspect, il s'agit surtout, en
géométrie analytique, de découvrir l'équivalent analytique de
chaque considération géométrique. Réciproquement, toute
équation abstraite, du moins à deux variables, étant aussi re-^
présentée de la même manière par une courbe correspondante,
il n'y a pas de modification algébrique qui ne doive comporter
une certaine interprétation géométrique, dont la découverte
constituera habituellement, sous ce second aspect, la difficulté
essentielle de la géométrie analytique. On voit donc que tous
22 GÉOMÉTRIE PLANE.
les efforts y doivent principalement consister à développer et à
perfectionner sans cesse cette double relation alternative entre
Tabstrait et le concret, dont la pensée cartésienne constitue le
principe fondamental.
8. Quels que soient les éminents avantages, à la fois logiques
et scientiflques, propres à cette admirable conception, dont ce
traité fera de plus en plus ressortir la puissance et la fécondité,
il importe maintenant, pour en avoir pleinement ébauché l'ap-
préciation générale, de signaler ici sommairement ses imperfec-
tions essentielles,maissansnousoccuperd*yremédier,en évitant
toutefois de les concevoir comme nécessairement irréparables.
Sous le premier des deux aspects fondamentaux ci-dessus
expliqués, la représentation analytique des lignes est actuelle-
ment imparfaite, en ce sens que l'équation, excédant quelque-
fois la stricte définition, convient à tout Tensemble de chaque
ligne, lors même que la génération proposée est restreinte à
une portion déterminée. En cherchant, par exemple, Téquation
rectiligne ou polaire du lieu du sommet d'un angle invariable
dont chaque côté passe en un point fixe, elle se trouvera vi-
cieusement convenir à la totalité du cercle correspondant, quoi'^
que la définition ne convienne cependant qu'àunarclimité, qui
pourra même être fort petit, si l'angle est très-obtus : la plupart
des solutions de l'équation ne se rapporteraient point alors à
l'angle proposé, mais à son supplément. De même, pour citer
un cas encore plus sensible, en considérant le lieu du sommet
d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse glisse entre deux
axes rectangulaires, l'équation indiquera deux droites indéfini-
ment prolongées, tandis que cette génération ne saurait évi-
demment s'appliquer qu'à une portion déterminée de chacune
d'elles. Cette altération par excès est, sans doute, beaucoup
moins vicieuse que ne le serait une altération par défaut, la-
quelle est nécessairement impossible ici; mais elle n'en consti-
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 23
tue pas moins un grave inconvénient de noire système actuel de
géométrie analytique, puisque certaines définitions géomé-
triques n'y sont pas algébriquement traduites avec une scrupu-
leuse fidélité, faute de savoir prendre en considération analy-
tique les restrictions qui leur sont inhérentes. C'est sm*to ut dans
Tapplication de l'analyse aux phénomènes thermologiques que \
cette imperfection a dû se faire sentir, en y entravant l'étude |
spéciale des lois de réchauffement et du refroidissement pour
les cas linéaires où, comme il arrive très-souvent, on ne doit
considérer qu'une partie limitée de chaque ligne. Aussi est-ce à
rimmorlel fondateur de cette nouvelle théorie, principale créa-
tion mathématique propre au siècle actuel, que la géométrie
doit la solution effective de cette difficulté fondamentale, qu'on
avait jusqu'alors jugée insurmontable. Mais, quoique Fourier ait
ainsi introduitdeséquations qui ne représentent réellement que
des parties assignables de chaque ligne, cette importante modi-
fication a exigé des complications analytiques qui doivent em-
pêcher jusqu'ici, et peut-être toujours, de la rendre vraiment
usuelle et surtout élémentaire. Nous devons donc nous résigner
finalement à l'acceptation actuelle d'une telle imperfection,
sans nous enquérir ici du remède, sauf les précautions spéciales
qui, en chaque cas opportun, pourront nous garantir des fausses
indications qu'elle susciterait.
Une de ses conséquences générales consiste à ne savoir pas ^
non plus représenter analytiquement un contour discontinu, par
exemple, le périmètre d'un triangle ou d'un autre polygone. En
géométrie analytique, la composition des lieux se traduit natu-
rellementpar la multiplication de leurs équations, pourvu qu'on
ait d'abord pris la précaution indispensable d'y tout réunir en
un seul membre, sous la forme usitée/(x,y)=0: car un produit
étant nul par cela même qu'un de ses facteurs l'est, à moins
que l'autre ne devint accidentellement infini, et ne pouvant
24 GÉOMÉTRIE PLANE.
d'ailleurs être autrement annulé, il est évident que le lieu géo-
métrique de Téquation / {x,y) X ? 0^,^) = 0 consiste dans
Tassemblage des deux lignes séparément issues des équations
f [x^y) = 0, <p [x^y] = 0. D'après cela, si des équations repré-
sentaient des portions de ligne, on pourrait, par leur produit,
représenter le contour discontinu qui résulterait de leur juxta-
position. MaiS; dans le système actuel, on ne pourrait, au con-
traire, en multipliant ensemble, par exemple, les équations des
trois côtés d'un triangle, nullement former une équation qui
fût restreinte à son périmètre ; elle conviendrait aussi à tous les
points situés sur les prolongements indéfinis des divers côtés.
Ainsi la lacune de notre géométrie analytique, relativement aux
parties de ligne, s'aggrave beaucoup d'après ses suites néces*
saires envers les contours composés, dont la considération doit
naturellement s'offrir en divers cas importants, surtout en ther-
mologie mathématique. La conception analytique de Fourier a
remédié au second inconvénient de la même manière qu'au pre-
mier, et d'ailleurs indépendamment du principe de la multipli-
cation, mais toujours par des procédés trop pénibles pour être
admis dans l'enseignement élémentaire de la géométrie géné-
rale, que nous continuerons à concevoir grevée de cette double
imperfection naturelle.
Sous le second aspect fondamental, la représentation des
équations par les lignes correspondantes doit être jugée babi"
! tuellement imparfaite, en ce sens qu'on n'y tient compte que
des seules solutions réelles, sans aucun égard aux solutions ima-
ginaires, qui néanmoins en restent abstraitement inséparables,
et qui souvent sont bien plus nombreuses^ au point de consti-
tuer quelquefois l 'unique réponse que comporte l'équation,
même en n'attribuant que des valeurs réelles à la variable in-
dépendante, suivant un usage d'ailleurs déjà contraire à l'en-
tière généralité analytique. 11 ne faut pas croire cependant que
« PREMIERE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. *io
rimagiaarité de ces solutions doive, en principe, leur interdire
nécessairement toute interprétation géométrique, puisqu'elles
ont entre elles des relations très-appréciables, aussi bien géo-
métriquement qu'algébriquement ; sauf la précaution très-fa-
cile de tracer différemment la partie du tableau total qui les con-
cerne, par exemple en la ponctuant. C'est ainsi que l'équation
X* -f- y* =3 1 qui, dans le mode ordinaire, n'est représentée
qu'entre a: = — 1 etx = -}-l, par le cercle 0 A (fig. 4), pro-
duirait, en outre, l'hyperbole BCB'C, si l'on convenait de
construire, abstraction faite du facteur commun v/ — 1, les or-
données imaginaires qui correspondent à toutes les autres ab-
scisses réelles. Mais une semblable peinture des solutions ima-
ginaires ne saurait convenir jusqu'ici qu'à un petit nombre de
cas suffisamment simples, en dehors desquels l'imperfection né-
cessaire de l'analyse mathématique empêchera probablement
toujours de compléter convenablement la représentation géo-
métrique des équations (*). Nous regarderons donc aussi cette
seconde lacune générale comme inhérente à notre système ac-
tuel de géométrie analytique, et nous en subirons les consé-
quences naturelles, sans nous occuper ici du remède.
Celle de ces conséquences qu'il importe le plus de prévoir
déjà consiste dans l'altération que reçoit ainsi, en certains cas,
le principe fondamental posé ci-dessus sur la représentation
nécessaire de tout& équation par une ligne. En effet, si l'équa-
tion n'admet qu'une seule solution réelle, comme par exemple,
X* -}- y'«=0, qui n'est satisfaite que par x^=^0,y = 0, ou si elle
(*) Un jeune géomètre, M. Marie, ancien élève de TÉcoIe polytechnique^
vient de concevoir celte peinture des solutions imaginaires d^une manière
plus profonde et plus générale que dans aucune des tentatives antérieures)
de façon à obtenir quelquefois d'heureux rapprochements inattendus, et
sans se faire d'ailleurs aucune grave illusion sur la réalisation usuelle
d'un tel perfectionnement.
10
26 GÉOMÉTHIË PLANE.
n'en comporte qu'un nombre limité, elle ne produira géomé-
Iriquemenl qu'un pareil nombre de points, qui pourraient même
provenir aussi d'une infinité d'autres équations, en sorte que
la figure sera loin dès lors de caractériser effectivement l'équa-
tion correspondante. Quand l'équation ne comportera aucune
solution réelle, elle n'aura plus aucune sorte de lieu géomé-
trique, et cette commune fin de non-reccvoir, relative non à la
nécessité mais à notre impuissance, enveloppera confusément
une foule d'équations qui, analytiquement^ sont très-distinctes
entre elles, comme a:'-f y'-^-i=O,x*+y*+^==0,x*-f-y*^-l=0,
y*-|-^s=0, etc. D'après une telle lacune, certaines modifica-
tions analytiques ne comporteront aucune interprétation géo-
métrique ; c'est ainsi qu'on ne changerait nullement le lieu
d'une équation en la multipliant par Tune quelconque des pré-
cédentes, quoiqu'elle fût alors algébriquement dénaturée.
9. Pour achever d'éclaîrcir autant que possible cette exposi-
tion élémentaire de la conception fondamentale propre à l'en-
semble de la géométrie analytique, il reste maintenant à indi-
quer une importante considération générale, trop méconnue
jusqu'ici, qui mettra dans un plus grand jour la correspon-
dance nécessaire entre les idées de ligne et les idées d'équation,
en faisant sentir que non-seulement chaque définition rigou-
reuse d'une courbe doit pouvoir donner lieu à une équation
correspondante entre telles coordonnées qu'on voudra, mais
qu'elle-même constitue ' déjà une première équation de la
courbe, relativement à un certain système de coordonnées,
en harmonie convenable avec cette définition. Toutefois, afin
d'éviter, à cet égard, toute confusion et toute exagération, il
faut d'abord restreindre une telle remarque aux seules défini-
tions qui indiquent une génération de la ligne proposée, de
manière à fournir aussitôt une description par points ou par
un mouvement continu, restriction qui n'altère point la gêné-
r-* - «
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 27
ralité intrinsèque d'une telle observation, puisqu'une courbe
quelconquecomportenécessairementdesemblables définitions,
lors même qu'elle ne serait d'abord définie que d'après une
propriété caractéristique qui ne serait point explicative,
comme, par exemple, la propriété isopérimètre du cercle,
ci-dessus rappelée. Sauf cette unique réserve, il est aisé de
comprendre qu'on ne peut spécifier la génération d'une courbe
que suivant quelque relation immédiate, ordinairement très-
shnple, entre certaines coordonnées naturelles qui s'y rap-
portent : les difficultés qu'on éprouverait d'abord à sentii* cette
évidente nécessité ne pourraient tenir essentiellement qu'à
une manière trop étroite d'envisager la notion générale des
systèmes de coordonnées, et cesseraient dès qu'on attribuerait
communémentà cette conception préliminaire toute l'extension
philosophique que nous lui avons donnée précédemment. Par
exemple, la définition élémentaire du cercle constitue sponta-
nément l'équation polaire de cette courbe t^=ar, en prenant le
pôle au centre ; sa définition comme lieu du sommet d'un angle
invariable v dont chaque côté passe par un point fixe, se traduit
immédiatement par l'équation «p — ^^ = «, entre les coordon-
nées angulaires qui mesurent les inclinaisons variables des
côtés mobiles sur l'axe fixe ; la définition de l'ellipse ou de
l'hyperbole comme lieux d'un point dont la somme ou la diffé-
rence des distances à deux points fixes demeure constante,
donne aussitôt l'équation u ±: t=c^ dans le système de coor-
données qui détermine la position d'un point d'après ses
distances aux deux points fixes proposés ; la génération com-
mune des trois sections coniques par le mouvement d'un point
dont les distances à un point fixe et à une droite fixe sont
constamment proportionnelles, fournit sur-le-champ l'équa-
Uon w*«=wi/, dans le système, moitié rectiligne, moitié polaire,
qui correspond à cette définition : il en est de même envere les
28 (;ÉOMÉTRIE PLANE.
courbes Iransceiidanles, ainsi que nous aurons lieu de le consta-
ter spécialement sur la définition ordinaire de lacycloïde, et en
plusieurs autres cas. Userait maintenant superflu de multiplier
davantage de telles vérifications, que j'aurai soin de signaler
ensuite en chaque cas opportun. On conçoit aisément, en prin-
cipe, que la génération d'une ligne ne saurait être définie
qu'en spécifiant la loi du mouvement du point décrivant : or,
cette loi ne comporte de définition précise que d'aprèfs une cer-
taine relation entre* les deux mouvements quelconques, soit de
translation, soit de rotation, dans lesquels on décompose le
mouvement proposé ; cette relation, envisagée sous un autre
aspect, constituera donc l'équation naturelle de la ligne consi-
dérée, par rapport au système de coordonnées correspondant,
qui variera avec la ligne, et surtout avec la définition. Cette
considération générale, inconnue avant moi, rend plus évi-
dente l'harmoniefondamentale entre les lignes et les équations,
en dégageant spontanément sa notion philosophique de toute
difficulté relative à la formation effective de chaque équation
cherchée : car, si, d'après ce principe, toute courbe a directe-
ment une équation en un certain système de coordonnées, on
ne saurait plus douter qu'elle ne doive également en comporter
d'équivalentes en tous les autres systèmes, sauf les obstacles
que pourra présenter l'accomplissement de la transition.
En même temps, on apprécie ainsi en quoi consiste essentiel-
lement l'embarras .qu'offre souvent l'établissement des équa-
tions. Il ne pourrait jamais susciter aucune grave difficulté, si
l'on avaittoujours le choix du système de coordonnées, puisque
l'équation s'obtiendrait aussitôt en adoptant celui qui convien-
drait à la définition proposée. Mais, par des motifs qui vont
être ci-dessous indiqués, on doit communément s'astreindre à
un système uniforme prescrit d'avance, et surtout au système
rectiligne proprement dit, qui n*estpas constamment, ni même
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 29
habituellement, le mieux adapté à la formation des équations.
On voit donc que la principale difficulté qui soit propre à cette
formation doit consister, en général, dans le passage du
système primitif et naturel à ce système définitif et artificiel.
Cette appréciation comporte une grande utilité pratique dans
loute la géométrie analytique, en foiirnissant Tunique conseil
efficace que puisse admettre cet inévitable préambule, qui, de
sa nature, ne saurait ôtre assujetti à aucune méthode systéma-
tique. Il faut, en effet, diaprés cela, toujours partir de cette
équation spontanée inhérente à chaque définition, et diriger
ensuite tous les efforts spéciaux vers Télimination de ces coor-
données primitives, à l'aide des deux relations que Ton décou-
vrira entre elles et les coordonnées définitives ; en employant
d'ailleurs quelquefois, à titre d'auxiliaire, suivant l'esprit
ordinaire des recherches mathématiques, un système intermé-
diaire, ou même plusieurs, n'ayant alors d'autre destination
que de faciliter cette indispensable transition. Une judicieuse
application de ce conseil général, sans dissiper la difficulté,
souvent très-grande, que présente la formation des équations,
tendra du moins à prévenir la vicieuse déperdition de forces
qui résulte si fréquemment, à cet égard, de tentatives empi*
riques et désordonnées, dont le succès serait presque impos-
sible.
10. La considération précédente nous conduit naturellement
à compléter enfin notre exposition fondamentale, par Tappré-
ciation générale des motifs qui ont mérité, en géométrie analy-
tique, au système rectiligne proprement dit, la préférence
universelle que lui a justement accordée jusqu'ici un usage
essentiellement spontané, mais qui doit désormais résulter
d'une comparaison rationnelle.
Pour que cette discussion soit lumineuse et décisive, il im-
porte d'y séparer d'abord les deux aspects élémentaires dont la
30 GÉOMÉTRIE PLANE,
nouvelle géométrie présente la combinaison permanente ; car
le choix proposé doit être fort différent selon qu'on envisage
la représentation analytique des lignes ou la peinture géomé-
trique des équations.
Sous le premier aspect, provisoirement isolé, aucun système
de coordonnées ne saurait, évidemment, mériter une préfé-
rence invariable, soit quant à la facilité de former Téquation
de chaque ligne, soit quant à la simplicité de Téquation obte-
nue : puisque, d'après le numéro précédent, c'est tantôt dans
un système et tantôt dans un autre que chaque définition four-
nit aussitôt une équation très-simple. L'usage prépondérant du
système rectiligne ne saurait donc résulter nullement de ce
premier ordre de motifs, qui conduirait à choisir successive-
ment chacun des autres systèmes imaginables, pour les cas
auxquels leur nature les adapterait.
Mais il n'en est plus ainsi sous le second aspect, qui mani-
feste clairement une supériorité constante et nécessaire de ce
système envers tout autre, en ce qui concerne la représenta-
tion géométrique des équations, quant à la facilité et h la
netteté d'une telle peinture, et, par suite, quant à sa princi-
pale efficacité logique. Cet avantage résulte d'abord de la
nature des lignes employées, puisque les points y sont évidem-
•
ment déterminés par l'intersection des plus simples lignes
possibles. Toutefois, cetle première explication serait insuffi-
sante ; car il existe, comme nous l'avons déjà reconnu, une
infinité d'autres systèmes de coordonnées où Ton n'introduit
également que des lignes droites. Il faut donc, pour préciser
convenablement une telle discussion, avoir aussi égard au
mode de variation de ces lignes ; ce qui achève de mettre en
évidence cette supériorité générale du système ordinaire : en
effet, le déplacement d'une droite, par une pure translation,
parallèlement à un axe fixe, constitue certainement la plus
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 31
grande simplicité possible dans une image géométrique qui^
par sa destination, doit toujours contenir quelque élément
variable. On peut donc regarder ce système comme étant
nécessairement celui où Ton se représente le mieux la cor-
respondance élémentaire entre le mouvement du point et la
variation numérique de ses coordonnées ; d*où Ton doit con-
clure son aptitude supérieure à l'interprétation géométrique
de toutes les considérations analytiques.
En prolongeant davantage cette appréciation, on peut mémo
expliquer la préférence habituellement accordée, dans Tusagc
du système rectiligne, à l'emploi d'axes rectangulaires. Ce
choix ne tient point essentiellement à la notion plus familière
d'une telle inclinaison, ni d'ailleurs aux simpliflcations analy-
tiques qu'elle comporte souvent, mais qui, en certains cas,
appartiendraient^ au contraire, à d'autres angles. Suivant un
motif à la fois plus constant et plus profond, cette disposition
des axes doit être envisagée comme la plus convenable à la
représentation géométrique, qui ne pourrait autrement s'ac-
complir ordinairement d'une manière aussi fidèle. En effet,
des axes rectangulaires partagent le plan en quatre régions
exactement identiques, entre lesquelles le lieu géométrique,
qui presque toujours en occupe plusieurs, ne pourra présenter
de diversités graphiques que celles qui proviendront des solu-
tions correspondantes de l'équation proposée. Au contraire,
avec des axes obliques, chacune de ces régions n'est égale qu'à
son opposée et diffère de son adjacente, où la peinture de
l'équation sera altérée par l'emploi d'une nouvelle obliquité,
indépendamment de toute source analytique. Si l'on considère,
par exemple , une équation où le changement de signe de
Tabscisse n'influe point sur l'ordonnée, comme a:^4-y*e=l,
^ + y* = li c'C'ï la courbe, alors étendue dans les quatre
rt*gions, devrait naturellement, pour peindre fidèlement
32 GÉOMÉTRIE PLANE.
réquation, y offrir quatre parties symétriques, susceptibles
d'une parfaite coïncidence : or, cette condition, spontanément
remplie avec des axes rectangulaires, ne saurait Têtre suffisam-
ment avec des axes obliques, qui, n'égalant ces quatre por-
tions que deux à deux, indiqueront une vicieuse diversité là où
l'équation prescrit une entière identité ; un tel tableau serait
alors peu propre à faciliter les spéculations analytiques, sui-
vant sa principale destination logique, puisqu'on ne pourrait
l'employer qu'en s'y tenant sans cesse en garde contre une sem-
blable discordance.
L'ensemble de l'appréciation précédente explique suffisam-
ment l'usage qui s'est conservé, depuis Torigine de la géométrie
analytique, de préférer habituellement, à tout autre système de
coordonnées, le système rectiligne et rectangulaire, le seul
dans lequel seront ici construites nos diverses théories géné-
rales. Mais on conçoit aussi que, malgré sa supériorité con-
stante pour la discussion géométrique des équations, il doive
être quelquefois abandonné envers certaines courbes, afin d'é-
viter la trop grande complication des équations correspon-
dantes. Dans les applications concrètes de la géométrie ab-
straite, on peut d'ailleurs employer spécialement d'autres
coordonnées sans avoir même en vue la simplification des
équations, et uniquement comme susceptibles d'une meilleure
interprétation physique : c'est ainsi que les astronomes ont été
conduits à préférer habituellement les équations polaires, à
l'égard de courbes dont les équations rectilignes seraient pour-
tant plus simples,
11. Le système polaire étant jusqu'ici le seul réellement
usité quand on renonce au système rectiligne, il importe de
spécifier envers lui la comparaison générale que nous venons
d'établir, en faisant ressortir les imperfections élémentaires qui
le rendent très peu propre à une convenable peinture des
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 33
équations, outre la moindre facilité, et par suite la moindre
netteté que présente, à cet égard, sa nature opposée à celle de
l'autre système, d'après les motifs ci-dessus indiqués. On doit
reconnaître, en effet, que,, sous deux aspects essentiels, il
ne comporte pas même une entière fidélité, en ce sens que des
solutions analytiquement distinctes y sont quelquefois repré-
sentées par un même point, sans que le tableau géométrique
puisse alors tenir aucun compte de leurs différences numéri-
ques. Cette confusion élémentaire a d'abord lieu quand une
même valeur de l'ordonnée linéaire correspond à deux valeurs
de l'ordonnée angulaire qui diffèrent entre elles de quatre an-
gles droits, ou de tout multiple entier de 36(y, ce qui peut
souvent survenir, et, par exemple, toutes les fois que l'équa-
tion proposée contient seulement des fonctions trigonométriques
de l'angle-: en de tels cas, la nature du système polaire em-
pêche certainement la représentation géométrique de ces di-
versités numériques ; ce qui ne peut jamais exister avec des
coordonnées rectilignes, ni même d'après beaucoup d'autres
systèmes. Aussi le système polaire est-il justement réservé,
d^ordinaire, pour les équations qui contiennent l'angle algébri-
quement, comme celles des spirales, et doit-il être spéciale-
ment évité envers celles qui n'en renferment que des fonctions
périodiques. Mais une semblable confusion se manifeste, d'une
manière encore plus grave, sous un autre aspect plus universel,
d'après l'impuissance nécessaire du système polaire pour re-
présenter géométriquement les différences de signe -f- ou — ,
quand elles n'affectent que le rayon vecteur. Le besoin, propre
au.système rectiligne, d'attribuer des signes aux coordonnées,
afin d'y compléter les déterminations élémentaires, a été heu-
reusement converti, par Descaries, en une précieuse aptitude à
peindre géométriquement ce genre important de diversités
analytiques. Au contraire, l'indépendance même d une telle
34 GÉOMÉTRIE PLANE.
obligation, qui semble d'abord devoir constituer un avantage
du système polaire, y est réciproquement devenue la source
nécessaire d'une imperfection capitale, en y empêchant essen-
tiellement une telle représentation. Toutefois, la vraie nature
de cette grande loi de Descartes y permet encore la peinture du
signe envers celle des deux variables que Tangle représente,
puisqu'il suffit alors de compter Tangle en sens contraire de
celui qu'on a affecté à ses valeurs positives. Mais si le change-
ment de signe se rapporte au rayon vecteur, la construction
polaire n'en pourra certainement tenir aucun compte, une telle
longueur, dont la direction change continuellement, n'étant
pas susceptible d'une véritable opposition de sens. C'est à tort
que Ton croit quelquefois l'avoir représenté, en portant les va-
leurs négatives de chaque rayon vecteur à l'opposé de la di-
rection qu'on leur eût attribuée, d'après l'angle correspon-
dant, si elles eussent été positives, comme OM' comparé à
OM (Jig, 2). 11 est clair, en effet, que OM' ne correspond pas
réellement à l'angle ®, mais à la valeur 180° -}- cp, qui, suivant
ce mode, ne pourrait plus trouver, sur la ligure, aucune place
distincte. Une telle erreur provient sans doute de l'habitude
trop exclusive d'équations polaires où cette opposition de va-
leurs n'est point assez marquée^ à cause de fonctions purement
trigonométriques de <p. Mais il suffirait de considérer, par
exemple, les équations des spirales t/=â(p, 2/^ = ^9, 1/9»= âr,
w=a?, etc., pour sentir aussitôt l'inconvenance générale d'une
telle interprétation.
Comme cette dernière explication, quelque rationnelle
qu'elle soit spontanément, se trouve néanmoins directement
contraire à un usage scolastique devenu très-commun, il im-
porte de rappeler incidemment, à ce sujet, le véritable esprit,
>' aujourd'hui trop méconnu, de la grande loi découverte par
\ Descartes sur la destination concrète du signe + ou — ■ dans les
PREMIÈRE PARTIE, CMAPiTRË PREBUER. 35
relations analytiques. U faut d'abord reconnaître que cette pro-
position capitale de philosophie mathématique n'est réellement
démontrée encore que d'après desimplesvérifications spéciales,
sans aucune appréciation directe et générale : seulement ces vé-
rifications sont maintenant beaucoup plus multipliées, et sur-
tout plus variées, qu'elles ne pouvaient l'être pour Descartes,
dont le génie analogique fit surgir cette admirable induction de
l'heureux rapprochement d'un très-petit nombre de cas. Les
géomètres actuels se montrent même quelquefois, il faut l'a-
vouer, moins avancés, à certains égards, sous ce rapport, que
ceux du dix-septième siècle; en ce que, répugnant trop à une
logique purement inductive, ils prennent souvent, à ce sujet,
des vérifications très-bornées pour de vraies démonstrations.
Peut-être faut-il penser d'ailleurs qu'une telle proposition ne
comporte pas d'explication à priori, et doit toujours rester
fondée sur de pures inductions, sans que sa certitude en soit
toutefois affectée : du moins l'impuissance radicale des efforts
tentés, à cette fin, depuis deux siècles, et quelquefois par des
esprits supérieurs, autorise beaucoup une semblable opinion.
Quoique la science mathématique soit celle de toutes où l'ex-
trême simplicité du sujet comporte le plus l'emploi prépondé-
rant des déductions, il n'y saurait pourtant être tout à fait ex-
clusif, et quelques notions capitales y doivent sans doute
demeurer, comme celle-ci, purement induclives. En accep-
tant, du moins quant à présent, cette irrécusable nécessité, il
faut s'attacher surtout à bien reconnaître le vrai sens général,
ordinairement très-confus, de cette grande loi cartésienne, qui
consiste en ce que toute véritable inversion, dans les grandeurs [
concrètes qui en sont susceptibles, se traduit analytiquement '
par le changement de signe des valeurs abstraites correspon-'.
dantes : c'est à dire que, l'équation d'un phénomène quelconque
avant été formée pour un seul état de ces diverses grandeurs,
36 GÉOMÉTRIE PLANE.
toutes les autres dispositions^ souvent très multipliées (selon la
puissance de 2 qu'indique leur nombre), qui pourront résulter
de leurs inversions combinées, se trouveront exactement corres-
pondre à des équations déduites de la première d'après les seuls
changements de signe convenables, en sorte que Tuned^elles,
suffisamment interprétée, pourra condenser toutes les au-
tres. Sans insister ici sur les avantages, aussi évidents qu'émi-
nents, de cette découverte fondamentale, surtout entièrement
indispensable à Tcxistence de la géométrie analytique, on doit
sentir que cette loi interdit Tinterprétalion concrète du signe
envers les grandeurs qui, comptées suivant des directions va-
riables, ne sauraient comporter une véritable opposition de
sens ; car, dès que le changement de signe est reconnu expri-
mer Tinversion, il ne peut plus comporter aucune autre attri-
bution, sous peine de n'avoir qu'une destination vague et même
arbitraire. Que signifie, par exemple, la prétendue différence
de signe entre les rayons vecteurs OM, OM' appliquée à l'en-
semble des directions ? Elle revient évidemment à supposer po-
sitifs les rayons au-dessus de l'axe 0®, et négatifs ceux au-des-
sous : or, la distinction ainsi établie entre ces deux classes est
factice et illusoire, comme ne tenant qu*à l'interposition de cet
axe ; concevons supprimée cette vaine séparation, et il n'y aura
certainement pas plus de différence réelle entre OM et ON, qu'on
affecte alors de signes contraires, qu'entre OM et OK, auxquels
on donne pourtant le même signe; ce qui fait aussitôt ressortir
combien un tel usage est radicalement contraire à toute judi-
cieuse interprétation de la loi du signe concret.
12. Après avoir entièrement exposé la conception fondamen-
tale propre à Tensemble de la géométrie analytique, il reste à
compléter ce chapitre préliminaire par deux explications indis-
pensables, d'ailleurs spontanément corrélatives, d'abord sur
la vraie théorie de l'homogénéité géométrique , et ensuite
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 37
sur la consiruction élémentaire des formules algébriques.
La grande loi de rhomogénéité, la plus étendue de toutes
celles que comporte jusqu'ici la philosophie mathématique,
puisqu'elle s'applique nécessairement à toute relation quelcon-
que de l'abstrait au concret, reste encore très mal conçue
ordinairement, quoique j'en aie suffisamment établi, il y a
treize ans, dans le tome premier de ma Philosophie positive,
le véritable esprit général. Pour expliquer ce fait remar-
quable que toute équation ayant un sens géométrique, et spé- j
cialetnent linéaire, est constamment homogène^ c'est-à-dire,
dans le cas le plus usuel, que tous les termes y sont naturelle-
ment du même degré algébrique, on se borne presque toujours
à remarquer cette circonstance évidente envers les relations
initiales que l'on regarde avec raison comme la source, plus ou
moins éloignée, de toutes les relations possibles entre lignes,
et qui sont essentiellement réductibles au théorème de Pytha-
gore sur le triangle rectangle et à celui de Thaïes sur la pro-
portionnalité des côtés entre deux triangles équiangles, propo-
sition qui, d'ailleurs, comprend logiquement l'autre. D'après
cette remarque incontestable sur l'homogénéité des équations
primitives^ et en admettant que ni les transformations ul-
térieures de chacune d'elles ni leurs combinaisons mutuelles
ne peuvent jamais altérer un tel caractère, on aurait suffi-
samment démontré qu'U doit s'étendre aussi aux déduc-
tions les plus lointaines. Mais cette supposition très^gratuite
est certainement vicieuse; sinon quant aux transformations, du
moins quant à certaines combinaisons; par exemple, lorsqu'on
ajoute deux équations homogènes de degrés différents, leur
somme ne constitue nullement une équation homogène. Il res-
terait donc à expliquer pourquoi les déductions géométriques
ne conduisent jamais à de tels assemblages; ce qui serait assu-
Irément plus difBcile que d'établir directement la loi générale de
38 GÉOMÉTRIE PLANE.
riiomogénéité. Ceux qui ont senti ce vice radical de Texplica-
tion la plus usitée, mais sans remonter pourtant jusqu'au vrai
principe philosophique de toute cette théorie, ont été conduits
à altérer essentiellement la loi elle-même, pour l'adapter à
rinsufiisance de leur démonstration, en y introduisant une al-
ternative qui, au fond, détruirait radicalement le sens effectif
de la proposition. On fait ainsi consister maintenant le théo-
rème de rhomogénéité en ce que toute équation géométrique
est nécessairement homogène, ou^ du moins, la somme de
plusieurs équations homogènes. Avec un pai*eil énoncé, la pro-
position devient évidemment insignifiante : car, quelle est Té-
quation, écrite au hasard par un algébriste, qui ne puisse être
conçue décomposée en équations homogènes, d'après la seule
précaution d'y grouper convenablement les termes ? 11 est cer-
tainement impossible que ceux qui entendent ainsi la loi de
l'homogénéité fassent aucun usage réel des précieux moyens de
vérification continue qu'elle est surtout destinée à fournir spon-
tanément dans toutes les applications possibles de l'analyse ma-
thématique.
13. Sans nous arrêter davantage à cette vicieuse doctrine,
procédons directement à la véritable explication. Elle repose
tout entière sur cet unique principe, aussi général qu'évident :
Texactitude de toute relation concrète, soit géométrique, soit
même mécanique, ou physique, etc., étant nécessairement in-
dépendante de la grandeur de l'unité ou des unités qu'on a in-
troduites pour l'évaluation numérique, l'équation correspon-
dante doit rester inaltérable quand on y fait subir, à chacune
des quantités élémentaires, la variation résultée du changement
d'unité, et qui consiste à les multiplier toutes par un môme fac-
teur arbitraire. Afin de mieux apprécier les conséquences ana-
lytiques d'une telle propriété envers les équations algébriques
proprement dites, où il faut surtout la spécifier, il importe de
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 39
distinguer deux casgénéraux, selon que la relation ne contient
que des grandeurs d'une seule espèce, ou qu'elle en renferme
à la fois de plusieurs sortes distinctes.
Dans le premier cas, le plus commun en géométrie analyti-
que, en supposant, pour fixei;^ les idées, qu'il s'agisse, par
exemple, d'une relation entre lignes, tout se réduit à bien ap-
précier l'effet isolé du changement proposé sur chaque terme de
l'équation. Or, en rendant m fois plus grands tous les facteurs
qui expriment les lignes considérées, il est aisé de reconnaître
d'ahord que tout terme du premier degré se trouvera aussi mul-
tiplié par m, quelle que soit sa forme algébrique, non-seulement
quand il est rationnel et entier, comme 3a, - a^na^ etc., mais
o
. 1 »i 1 r i- • ^^ abcd ^
aussi lorsqu il est fractionnaire, comme — , — :?— , etc., ou
môme irrationnel, comme
V «*^ V/ f ; ' V/ > \/abcde, etc.,
en estimant toujours le degré suivant les règles ordinaires de
l'algèbre ; sauf l'indispensable précaution de n'y jamais compter
que les facteurs vraiment linéaires, sans aucune participation
de ceux qui, à divers titres, ne sont pas altérables par le chan-
gement d'unité. Cela posé, chacun des termes de degré supérieur
deviendra ainsi, avec une forme quelconque, m*, m% m*, etc.,
fois plus grand, selon qu'il sera du 2"", 3"% 4'»% etc., degré, en
tant que produit d'un pareil nombre de facteurs du premier de-
gré. En résumé^ tous les termes d'un même degré, quelle que soit
leur dissemblance algébrique, varieront alors en même raison,
et tous ceux de degrés différents, quelque similitude que puisse
offrir leur composition, se trouveront inégalement multipliés.
On voit parla que l'équation ne pourra supporter sans altération
la modification proposée, que d'après une exacte parité de degré
40 GÉOMÉTRIE PLANE.
en Ire tous ses termes : ce qui constitue la partie la plu s usuelle de
laloi d'homogénéité ,en ce qui concerne les équations algébriques
proprement dites. Quant aux équations dites transcendantes,
c'est-à-dire exponentielles,iogarithmiques, etc., le même prin-
cipe fondamental y fournirait d'équivalentes conditions analyti-
ques, sous des formes variables avec la nature des fonctions, et
qu'il serait superflu, surtout en ce traité, de spécifler d'avance.
En considérant maintenantlesecond cas général, il peut offrir
deux modes très-distincts, selon que les diverses unités hétéro-
gènes sont indépendantes entre elles ou subordonnées Tune à
l'autre. Si elles n'ont aucune liaison nécessaire, comme il ar-
rive, en géométrie, pour les relations à la fois linéaires et an-
gulaires, la loi d^homogénéité conservera évidemmentle môme
sens fondamental, mais avec une plus grande variété de pres-
criptions que dans le premier cas, puisque tous les termes de-
vront alorsprésenter le môme degré, soit qu'on y compte uni-
quement les facteurs linéaires, ou seulement les facteurs angu-
laires, ou simultanément les deux sortes, en vertu du change-
ment correspondant de chacune ou de plusieurs de ces unités
indépendantes. Mais quand, au contraire, les unités doivent,
quoique hétérogènes, conserver une subordination déterminée,
la loi se trouve nécessairement modifiée, en ce que l'on n'y
peut plus estimer le degré de chaque terme, suivant l'usage
purement algébrique, d'après la simple énumération uniforme
des facteurs convenables : il faut alors apprécier ces divers
facteurS) selon leurs sources respectives, en leur appliquant
une certaine pondération analytique, dérivée de la liaison pri-
mitive des unités. Pour formuler cette pondération dans les
équations géométriques, où peuvent coexister des longueurs,
des aires, et des volumes, il suffit de reconnaître que l'enchaî-
nement des trois unités s'y trouve nécessairement tel que, la
première devenant m fois plus petite, la seconde le devient m*
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 41
fois, et Taulre rr? fois. D'après cela, Phomogénéilé doit alors
exister en comptant chaque facteur superficiel comme deux, et
chaque facteur solide comme trois, facteurs linéaires. Quoique
. ce mode diffère essentiellement du précédent, sa nature égale-
ment déterminée le rend tout aussi propre à fournir spontané-
ment, en géométrie, d'utiles vérifications algébriques.
Dans le cas le plus usuel, celui des relations entre lignes,
il reste à comprendre comment l'homogénéité peut quelquefois
cesser effectivement, ainsi que les formules trigonométriques
en offrent beaucoup d'exemples. Or, cette cessation ne provient
jamais, comme en trigonométrie, que d'avoir choisi pour
unité l'une même des lignes à considérer, qui, dès lors expri-
mée par le nombre 1, ne compte plus parmi les facteurs qui
participent à l'estimation du degré, d'après l'usage naturel de
négliger toujours numériquement le facteur 1, soit en multi-
plicateur, soit en diviseur. Le degré de chaque terme qui ren-
»
ferme cette ligne se trouvant ainsi altéré, tandis que celui des
termes où elle n'entre pas n'a point changé, on conçoit que
l'homogénéité algébrique n'existera plus. Elle continuerait à
subsister, si on tenait compte convenablement du facteur 1 ;
mais alors on perdrait évidemment tout l'avantage analytique
que comporte un tel choix de l'unité, toujours destiné à sim-
plifier les formules, et il serait préférable d'adopter une unité
nettement distincte des lignes en relation.
Suivant une telle appréciation, il est aisé de sentir, récipro-
quement, que si, en partant d'une équation ainsi altérée, on
désire la rétablir dans son état primitif, il sufQt, d'après la
loi d'homogénéité, d'user du droit numérique d'introduire à ^./^.^ ,-^
volonté le multiplicateur ou le diviseur 1, de manière à rame-
ner tous les termes, en comptant ces facteurs 1, à tel degré
commun qu'on voudra : en y remplaçant ensuite, pour plus de
clarté, ce signe 1 par une lettre indéterminée, l'équation sera
11
42 GÉOMÉTRIE PLANE.
nécessairement revenue à la forme qu'elle aurait eue d'abord,
relativement à une unité indépendante des lignes considérées.
L'usage ordinaire équivaut, sans doute, à la règle précédente,
mais surchargée d'un circuit très-superflu et souvent pénible,
tenant àla notion trop imparfaite qu'on se forme communément
de la loi d'homogénéité. En général, je ne crains pas d'assurer
que toute difficulté relative, soit à la conception de cette loi,
soit à son application, sera spontanément dissipée, par tout
lecteur intelligent, en remontant convenablement jusqu'au prin-
cipe fondamental qui domine l'ensemble de cette théorie^ sans
qu'il faille ici insister davantage sur de semblables explications.
14. Après avoir suffisamment établi la loi d'homogénéité, il
faut terminer enfin cet indispensable préambule général, en
indiquant sommairement les règles élémentaires de la construc-
tion des formules algébriques, rendues préalablement homo-
gènes, suivant le mode précédent.
La construction d'une formule consiste à remplacer les opé-
rations numériques qu'elle prescrit, pourl'évaluation de l'incon-
nue correspondante, par un système équivalent d'opérations
graphiques, qui, en assemblant convenablement les lignes
proportionnelles aux nombres donnés, fasse sortir de cette ,
figure une ligne proportionnelle au nombre cherché. Il im-
porte, dès ce moment, d'éviter de confondre cette construction
des formules avec la construction des équations^ qui constitue
une question beaucoup plus difBcile et plus importante,
laquelle serait actuellement prématurée, et se trouvera soi-
gneusement traitée à la fin de notre étude. Dans la construction
des équations, il s'agirait, en effet, de substituer des équiva-
lents graphiques, non seulement aux évaluations numériques,
mais aussi et surtout aux transformations algébriques, souvent
impossibles, qu'exigerait la résolution analytique des équations
correspondantes : tandis que nous regardons ici toutes les
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 43
équations possibles comme résolues, et ne laissant plus à
accomplir qu'une simple détermination arithmétique, que nous
voulons remplacer par une détermination géométrique. Une
telle substitution, quand elle n'exige pas des figures trop com-
pliquées, doit être, sans doute, très-convenable, en géométrie
analytique, pour y faciliter et y perfectionner Tinterprétation
finale des résultats algébriques. Mais, envers les formules un
peu composées, elle exigerait un tel assemblage de lignes que
la solution s'en trouverait plutôt obscurcie qu'éclaîrcie : aussi
se dispense-t-on souvent d'exécuter ces constructions, même
quand elles seraient strictement possibles, et se borne-t-on à
concevoir, en général, la ligne cherchée d'après l'évaluation
numérique, accomplie ou môme seulement projetée, de la for-
mule correspondante. Néanmoins, il est indispensable de con-
naître les règles, d'ailleurs très-simples, de cette opération
élémentaire, sauf à en diriger toujours l'usage d'après une
judicieuse appréciation des convenances de chaque cas.
15. Si, dans ces figures artificielles, on pouvait admettre
indifféremment toutes les lignes, il ne saurait exister aucune
formule qui ne fût évidemment susceptible d'une construction
quelconque, soit avec les lignes déjà usitées, soit à l'aide de
lignes nouvelles, expressément imaginées à cette seule fin
comme les anciens Tout souvent fait. Mais, suivant un antiq
usage, qui mérite d'être soigneusement respecté, on ne juge,
d'ordinaire, pleinement satisfaisantes que les constructions où
entrent seulement des lignes droites et des cercles ; aucune
autre courbe n'étant, en effet, assez facile à décrire pour y
devenir vraiment usuelle, excepté en quelques occasions spé-
ciales, dont la plupart appartiennent même davantage à la
construction des équations qu'à celle des formules proprement
dites, suivant nos explications ultérieures. Or, ainsi conçue, la
construction des formules est nécessairement restreinte, par
iqu4 '"" •■
44 GÉOMÉTRIE PLANE.
cette obligation géométrique, à des cas peu variés, tous rela-
tifs aux fonctions purement algébriques, qui môme, quand elles
sont irrationnelles, ne doivent pas contenir de radicaux autres
que ceux du second degré ou leurs dérivés. Le point de vue
général où nous place la géométrie analytique explique aussi-
tôt une telle nécessité, dont les anciens avaient péniblement
senti le poids naturel, sans pouvoir en comprendre la source
rationnelle. Elle résulte, en effet, de ce que, par la nature des
équations propres à la ligne droite et au cercle, comme on le
verra ci-après, la combinaison de ces deu\ sortes de lignes ne
peut jamais correspondre à d'autres fonctions que celles-là.
Conformément à une telle condition générale, examinons
maintenant les modes élémentaires de construction propres aux
divers cas algébriques de cette dernière espèce, et d'abord en ce
qui concerne les formules rationnelles.
Quand elles sont entières, et, par conséquent, du premier
3 p
degré, leurs termes étant de la forme 2a, 5a, - a, na, - a, etc.
peuvent être aisément construits, soit immédiatement, soit par
répétition, soit d'après le théorème deslignes proportionnelles:
ensuite;leur addition et leur soustraction se transformeront fa-
cilement en juxtaposition et superposition des longueurs cor-
respondantes.
S'il s'agit de formules fractionnaires, et que le numérateur
comme le dénominateur en soient d'abord monômes, la con-
struction élémentaire d'une quatrième proportionnelle suffira
spontanément pour le cas le plus simple, a: = — , où l'as-
semblage convenable des lignes c, a, é, suivant la règle
connue, déterminera aussitôt la ligne x {fig. 5). Or, toute au-
tre fraction de ce genre est réductible à celle-là, à l'aide de quan-
tités auxiliaires, susceptibles chacune d'une semblable con-
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER 45
,. ^ abcd ab cd
slruction. Car si j: = — r:- , on pourra poser a: ■= — X -7- ;
dès lors, une quatrième proportionnelle permettant de substi-
tuer au premier facteur — une ligne auxiliaire e', la formule
e'cd
deviendra x = -r— , avec diminution d'une unité dans le
fg
nombre des facteurs, de part et d'autre. Dès lors, la répéti-
tion convenable de cette réduction produira un nouvel abais-
sement de degré, et ainsi de suite, jusqu'à ce que le dénomina-
teur soit ramené au premier degré, comme dans le cas élémen-
taire, sans jamais exiger d'autres constructions que celles de
quatrièmes proportionnelles, en nombre total égal au degré
primitif du dénominateur.
Quand le numérateur et le dénominateur sont polynômes, il
faut les rendre monômes à l'aide de certaines lignes auxiliaires,
destinées adonner à toutes les parties du numérateur les mêmes
facteurs qu'à l'une d'entre elles, sauf un seul convenablement
choisi, et pareillement envers le dénominateur; d'après
quoi, leur composition géométrique ne dépendra finalement
que de juxtapositions ou superpositions. Soit, par exemple,
abcde + fghik — Imnpq
X = -^ r =-2. ; on posera
rstu — noch
fghih==^bcde\lmrvpq==abcde' ' ^rstu;==abcd' ynoch^=»abçd " ,
chacune des lignes auxiliaires e\e'\d\d'\ étant évidemment
déterminable par une suite de quatrièmes proportionnelles : dès
lors, écartant les facteurs communs, on aura j:s=-^7{ — -771— 1
a — «
dont la construction ne présente plus aucune difficulté. Le
nombre total des quatrièmes proportionnelles dépendra tout àla
fois du nombre des termes et du degré de chaque polynôme^ de
46 GÉOMÉTRIE PLANE
manière à devenir très-considérable dans les cas un peu com-
pliqués.
Passant maintenant aux formules irrationnelles du second
degré, on doit regarder la formule x = \/ab comme seule sus-
ceptible de construction immédiate, diaprés la figure élémen-
taire destinée à tracer une moyenne proportionnelle ; on rem-
placera ainsi la multiplication et Textraction indiquées par des
équivalents graphiques, d'où résultera (fig, 6) la ligne x. Or,
tous les autres cas de ce genre, quelque compliqués qu'ils puis-
sent ôtre, sont nécessairement réductibles à celui-ci, à l'aide
des deux sortes de transformations qui viennent d'être expli-
quées, soit quant à l'abaissement du degré dans les fractions,
soit pour la composition des polynômes. Toutes les formules ir-
rationnelles du second degré pourraient ainsi être construites
finalement d'après des quatrièmes proportionnelles relativesàla
fonction placée sous chaque radical, en les faisant suivre d'une
moyenne proportionnelle relative au radical lui-même. L'em-
ploi du théorème de Py thagore serait donc, à la rigueur, con-
stamment évitable. Cependant son judicieux usage conduira
quelquefois, pour la composition des polynômes, à des con-
structions plus simples.
Afin de condenser sur un seul exemple l'application des di-
verses règles ainsi relatives à la construction élémentaire des
formules algébriques, soit à construire a: = V/ ^ .
^ c—y/d
On commencera par rétablir l'homogénéité, d'où
4 /af* + e^ \/bi
a: = y }z=-y î désignant l'unité.Construisant ensuite
c — y/di
les deux radicaux partiels \/biy \/di par autant de moyennes
proportionnelles h et A*, et remarquant qu'ici les termes du
numérateur ont déjà naturellement deux facteurs communs,
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 47
on aura x =1/ « X , ■ Dès lors, après avoir formé a+A
par juxtaposition et c — k par superposition, puis tracé une qua-
trième proportionnelle m à c — A, î, et a -f A, ar résultera fina-
lement d*ui^e moyenne proportionnelle entre i et m.
J'engage les commençants à s'exercer spontanément sur
d'autres exemples, sans toutefois y perdre trop de temps.
CHAPITRE IL
Principaux exemples préliminaires de la formation des équations de
diverses lignes d'après leur génération^ et première ébauche de la
discussion géométrique de ces équations.
16. La conception fondamentale de la géométrie analytique,
quoique directement établie dans le chapitre précédent, ne se-
rait pas suffisamment comprise, si, après cette indispensable
exposition générale, nous ne consacrions pas soigneusement le
chapitre actuel àrendre spécialement familière cette intime har-
monie mutuelle entre les lignes et les équations, par une con-
venable gradation d'exemples caractéristiques . Us seront d'ail-
leurs choisis de manière à faire déjà connaître au lecteur les
principales courbes auxquelles nous devrons ensuite appliquer
les théories essentielles de la géométrie analytique.
Avant tout, il importe d'établir une formule élémentaire ex-
trêmement usuelle pour déterminer la distance de deux points
d'après leurs coordonnées, d'abord et surtout rectilîgnes, puis
même aussi polaires. Une telle considération doit naturellement
être si fréquente dans la plupart des opérations de géométrie
analytique, que, en la formulant ici isolément, on évitera
ensuite de nombreuses et fastidieuses répétitions incidentes.
En coordonnées rectilignes, il suffira de mener, par le point
48 GÉOMÉTRIE PLANE.
le plus bas M' [fig. 7), une parallèle à Taxe des x jusqu'à la
rencontre N de l'ordonnée du point le plus élevé M' ', pour con-
cevoir aussitôt la distance cherchée (/comme le troisième côté
d'un triangle M' NM", dont les deux autres M" N, M'N, sont
respectivement égaux aux différences, y" — y' ,x*'—x\ des
coordonnées correspondantes, et forment un angle N supplé-
mentaire de celui des axes. Dès lors, si les axes sont rectangu-
laires, ce qui est le seul cas vraiment usuel, le théorème de Py-
thagore fournira aussitôt cette formule : la distance de deux
points équivaut à la racine quarrée de la somme des quarrés
des différences de leurs coordonnées respectives^ ou, en style
algébrique,
Quand les axes sont obliques, il faut évidemment, d'après la
règle trigonomé trique convenable, ajouter sous le radical le
double produit des deux différences parle cosinus de l'angle des
axes, ou 2 (y' ' — y ') [x' ' — x') cos 6.
Au sujet de cette formule indispensable, le lecteur devra
soigneusement vérifier, mais seulement pour les axes rectan-
gulaires, comment la loi du signe permet de condenser en une
expression unique les quatre cas qui résulteraient naturelle-
ment, comme l'indique la figure, des trois autres dispositions
que pourraient offrir les deux points. Puisque cette grande loi
générale ne repose vraiment jusqu'ici que sur de simples véri-
fications spéciales, il importe de ne point les négliger dans tous
les cas caractéristiques et très-usuels, quoiqu'il ne convienne
pas cependant de les trop multiplier, ce qui finirait par altérer
notablement l'utilité réelle d'une telle règle.
En coordonnées polaires, on voit aussitôt {fig. 8) que la
distance cherchée constitue le troisième côté d'un triangle, où
les deux autres côtés sont naturellement les deux rayons vec-
teurs u'\ u\ et comprennent un angle égal à la différence des
PREinèRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 49
coordonnées angulaires 9",«p': d'où résulte immédiatement la
formule
d = \/u"^+ w'a— 2m"w' cos (<p" — 9'),
où le sens de la soustraction angulaire est évidemment indiffé-
rent, d*aprës la nature des cosinus, tout comme pour les
soustractions linéaires propres à la formule rectiligne, quoique
par un autre motif analytique.
Cette double formule préliminaire étant maintenant établie,
procédons d'abord à la plus simple formation des équations,
«
soit rectilignes, soit polaires, qui conviennent aux deux seules
lignes déjà 'étudiées en géométrie élémentaire, et dont la
discussion devra, en conséquence^ nous arrêter peu.
17. 1*' EXEMPLE. Équations de la ligne droite. Les coor-
données rectilignes doivent être, par leur nature, éminemment
favorables à la recherche de Téquation générale de la ligne
droite. Il suffit alors d'envisager cette ligne comme le lieu des
points dont les distances à deux axes fixes sont en raison
constante, soit que ces distances se mesurent perpendiculaire-
ment ou sous toute autre inclinaison commune. Une telle pro-
priété donne aussitôt Téquation rectiligne de toute droite pas-
sant à l'origine. Quand elle n'y passe pas, coftime DD' {fig. 9),
qui coupe Taxe des y en B, à la distance b de l'origine, il est
aisé de ramener ce cas général au précédent, en comptant les
ordonnées à partir de l'horizontale BK, ce qui revient à les
diminuer toutes de b. Alors, pour un point quelconque M de
la droite, le rapport ^ est constant. En le nommant a, et
résolvant Téquation par rapport à y, l'équation générale de la
ligne droite sera
y:=zax + by
qui coïncide évidemment avec l'équation complète du premier
degré à deux variables. La constante a, égale au rapport de
50 GÉOMÉTRIE PLANE.
MQ à BQ, dépendra de la direction de la droite, d'après
Tangle a qu'elle forme avec Taxe des x. Elle sera, suivant le
principe fondamental de la résolution des triangles, égale à la
tangente trigonométrique de cet angle, . dans le cas le plus
usuel, où les axes sont rectangulaires. Mais, s'ils sont
obliques, le même principe indiquera a comme exprimant,
en général, le rapport des sinus des deux angles formés par la
droite avec les deux axes des x et des y, ou -: — ; r.
^ sm(ô--a)
Le lecteur devra se rendre extrêmement familière, par un
exercice fréquent et varié, la signification géométrique de
toutes les circonstances algébriques propres à cette équation
fondamentale, qui représentera successivement toutes les
droites du plan, en y attribuant aux constantes arbitraires
a et 6 les valeurs convenables. D'abord, le nombre, nulle-
ment accidentel, de ces constantes correspond géométrique-
ment au nombre de points par où doit passer une droite pour
que son cours entier soit déterminé. Ensuite, la loi de l'homo-
généité indiquerait seule, indépendamment de la figure, que
la constante b doit être linéaire et a angulaire (*)
Réciproquement, si l'on examine, en coordonnées recti-
lignes, abstraction faite des notions précédentes, le lieu
(*) Si a était envisagé comme linéaire, en tant qu'une tangente trigono-
métrique l'est en effet, l'équation ne serait plus homogène; mais cela pro-
viendrait évidemment d'avoir pris pour unité le rayon trigonométrique.
Il faudrait alors rétablir riiomogénéité, en écrivant, suivant la règle,
a
y = — X ■\- b.
r
On doit donc préférer habituellement de concevoir a comme une simple
fonction abstraite de l'angle a; c'est pourquoi je lui ai, depuis longtemps,
appliqué la dénomination caractéristique de coefficient angulaire, qui
commence maintenant à devenir spontanément d'un usage universel.
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME 51
géométrique de réquation générale du premier degré h deux
variables, on en fera aisément surgir la ligne droite. En y
dégageant p, sous la forme y =^ ax + b^ cette équation
indique d'abord, par sa composition, une ligne illimitée à
droite et à gauche, continue^ et d'une seule branche; puisque
toute valeur, positive ou négative, de la variable indépen-
dante X fournit constamment une valeur réelle, finie, et
unique, pour la variable dépendante y. Mais ces caractères,
évidemment trop vagues, ne sauraient constater suffisamment
la nature rectiligne (*) du lieu. On dissipe rationnellement
toute incertitude à cet égard en concevant l'équation sous la
forme = a, qui indique les ordonnées, préalablement
diminuées de b, par le transport de Taxe OX en 6K, comme
proportionnelles aux abscisses : ce qui caractérise aussitôt la
ligne droite. La constante b étant la valeur de y pour a: = 0,
représente donc nécessairement la distance derorigine au point
où la droite rencontre Taxe vertical. Quant à la constante a,
évidemment angulaire, elle détermine aussitôt l'angle du lieu
avec l'axe horizontal, suivant la loi tang a «= a, si les axes
sont rectangulaires : en les supposant obliques, on aurait
- — sa a, d'où, en dégageant trigonométriquement
sm (6 — a)
l'angle a d'après la formule qui développe sin (6 — a) , il est
(*) Quand a et 6 sont spécifiés en nombres, celte appréciation finale ressor-
tirait matériellement de la construction correcte d'un grand nombre de solu-
tions particulières exactement évaluées : les commençants ne doivent pas
dédaigner, soit pour la ligne droite, soit pour le cercle, ou môme pour quel-
ques autres cas bien choisis, Tusage provisoire de ces vérifications gros-
sières, qui, malgré leur évidente insuffisance mathématique, ont llieureux
privilège de mieux familiariser d'abord avec le sentiment élémentaire de
l'harmonie fondamentale entre les lignes et les équations, ainsi réduitàune
simple intuition physique, consti tuant le plus haut degré possible de clarté .
52 GÉOMÉTRIE PLANE.
aisé de déduire la loi, plus générale, mais plus compliquée,
a sin 0
1 + a cos 6
qui comprend la précédente, lorsqu'on y fait 6 = 90^.
Si maintenant on demande Téquation générale de la ligne
droite en coordonnées polaires, il est facile de sentir que la
nature de ce second système est presque aussi favorable à une
telle recherche que celle du premier. Car, on aurait aussitôt
Téquation évidente ^ = a, pour une droite qui passerait au
pôle. Or, quand elle en passe à une distance d sur Taxe 0^
[fig, 10), le caractère géométrique est toujours le môme, c'est-
à-dire que la corde tirée d'un point quelconque M du lieu au
point donné D, où ce lieu coupe Taxe, forme ici avec cet axe
un angle constant a, tandis qu'elle aurait, en toute autre ligne,
une inclinaison variable. Seulement cette déQnition se formule
alors plus péniblement que dans le premier cas. Mais on l'ex-
prime aisément d'après le principe de la résolution des triangles,
qui traduit immédiatement cette propriété par l'équation
polaire
d sin a
u =
sin (ç — a)
Elle contient, comme l'équation rectiligne, deux constantes
arbitraires, à raison du nombre de points qu'exige la détermi-
nation de la ligne ; on sent que cette circonstance analytique se
reproduirait nécessairement en tout autre système de coordon-
nées. Ces deux constantes sont encore ici. Tune linéaire, l'autre
angulaire ; parce que l'idée générale d'une ligne droite com*-
prend, par sa nature, à la fois une idée de distance et une idée
de direction. Quelquefois, à la constante linéaire ef, on substi*
tue la plus courte distance/) de la droite au pôle; ce qui donne
à l'équation la forme, un peu plus simple.
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 53
P
sin (^ — a)
Outre rinfériorîté générale du système polaire sous l'aspect
géométrique, on voit que Téquation de la ligne droite y est
analytiquement beaucoup moins convenable, comme étant .
transcendante envers Tune des variables, quoique algébrique
à regard de Tautre. Aussi cette équation est-elle très-peu
usitée.
18. ^ EXEMPLE. Equations du cercle. La définition élé-
mentaire du cercle, comme lieu des points équidistants d'un
point fixe, fournit aussitôt son équation, soit rectiligne, soit
polaire, d'après notre formule préliminaire pour la distance de
deux points quelconques. On a ainsi, en coordonnées recti-
lignes, et avec des axes rectangulaires, Téquation générale
ou, en développant, ordonnant et transposant,
y> + ar» — 2 6y — 2aa:+(é» + a" — r») = 0,
a et 6 désignant l'abscisse et l'ordonnée du centre, r le rayon.
Le nombre de ces constantes, pareillement linéaires, confor-
mément à la loi d'homogénéité, se trouve encore ici spontané-
ment conforme au nombre de points qu'exige la détermination
d'un cercle.
Sous chacune de ces formes, et surtout sous la seconde,
cette équation constitue un type extrêmement usuel pour recon-
naître le cercle, dans un tel système de coordonnées, quelle
que puisse être sa source géométrique, conformément à Tes-
prit fondamental de la géométrie analytique. On reconnaît
ainsi, en sens inverse, que, afin qu'une équation représente
un cercle, il ne suffit pas qu'elle soit du second degré. Il faut,
en outre, ces deux conditions, indispensables et suffisantes :
54 GÉOMÉTRIE PLANE.
i» que le terme où les deux variables sont mêlées y manque;
2® que les deux autres termes du second degré y aient le même
coefficient. Moyennant cette double obligation, Téquation, qui
ne contiendra plus que trois coefficients arbitraires, deviendra
toujours exactement assimilable au type précédent ; et le déve-
loppement de cette comparaison déterminera les éléments
algébriques du cercle correspondant.
Quand les axes sont obliques, la formule des distances fournit
aussitôt Téquation plus compliquée
[y — *)*+ [x — af + 2 (y — 6) (ar — a) cos 6 = r>,
ou
y2-|- a:*4" 2 cos 0. a:y — 2 (6 + a cos 6) y — 2 (a + é cos 6)a: +
(6*+ a^+ 2ab cos ô — r*) = 0.
La première des deux conditions ci-dessus formuléespour qu'une
équation du second degré soit circulaire, est alors seule modi-
fiée, sans toutefois changer de nature. Elle consiste toujours
en ce que le terme en xy doit avoir un coefficient déterminé :
seulement sa valeur fixe, au lieu d*être 0, correspond mainte-
nant^ en général, au double du cosinus de Tangle des axes,
quand on a préalablement ramené à Tunité le coefficient com-
mun des deux termes en y^ cix^. Suivant cette relation, prise
en sens inverse, une équation du second degré, où les deux
carrés awaient des coefficients égaux, pourrait représenter un
cercle, quoique les variables n'y fussent pas séparées. Mais
cela n'arriverait que pour des axes dont l'inclinaison aurait un
cosinus égal à la moitié du coefficient du terme où les variables
sont mêlées. Sous toute autre obliquité, le lieu géométrique
serait une autre courbe fermée, ultérieurement appréciée, qui
naturellement devrait ainsi comprendre le cercle comme cas
particulier.
En revenant aux axes rectangulaires, seuls vraiment usuels
il convient de remarquer deux formes spéciales qu'y prend l'é-
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 55
qnation rectiligne du cercle. Quand le centre est sur Taxe des x^
b étant nul, Téquation devient
Si on suppose, en outre, que le cercle passe à Torigine, on
aura a=r, et le terme constant disparaîtra ; comme cela doit
avoir lieu, en pareil cas, pour une courbe quelconque, afin
que son équation puisse être satisfaite par les coordonnées de
l'origine a: = 0, y = 0, dont la substitution n'y laisse subsister
que le terme indépendant des deux variables. En ayant égard à
cette nouvelle simplification, Téquation prend finalement la
forme remarquable
dont l'interprétation géométrique se vérifie directement, puis-
que l'ordonnée M P (/îy. 11) devient ainsi une moyenne propor-
tionnelle entre l'abscisse OP et le reste AP du diamètre 2 r,
suivant une propriété bien connue du cercle.
Dans le cas où le centre serait à l'origine, a et 6 s'annule-
raient à la fois, et l'équation serait alors >
conformément à l'indication immédiate de la figure. Cette der-
nière forme est, à tous égards, la plus convenable ordinaire-
ment, lorsqu'on a le libre choix des axes.
Quant à l'équation polaire du cercle, elle est évidemment,
d'après la formule des distances,
u^—'^au cos (<p— a) + [a^—r^) « 0,
en nommant a et a les coordonnées, linéaire et angulaire, du
centre. Le seul cas particulier qu'il importe d'y signaler est
celui où le cercle passe au pôle : alors as5= r, et le terme indé-
pendant de M disparaît, ce qui doit, à priori, arriver, en pareil
caS; à toute autre équation polaire, afin que «^ = Oy satisfasse,
56 GÉOMÉTRIE PLANE.
quel que soit ç. On peut alors abaisser toujours d'une unité le
degré en u de cette équation, par la suppression du facteur
commun superflu. A Tégard du cercle, si Ton fait^ en outre,
passer Taxe au centre, Téquation devient finalement
w = 2 r cos <p
forme très-simple, dont la vérification géométrique peut aisé-
ment se faire directement, en considérant que, d'après un
théorème connu,le triangle OM A {fig, 12) est ainsi constamment
rectangle.
19. 3® EXEMPLE. I^jquation du lieu d'un point dont la somme ou
la différence des distances à deux points fixes demeure constante.
Quoique cette définition comprenne deux cas distincts, leur
grande analogie analytique doit ici les faire traiter simultané-
ment, sauf la juste appréciation de leurs différences nécessaires,
soit géométriques, soit algébriques.
Discutons d'abord sommairement, autant qu'il convient à la
nature du système, l'équation spontanée u±:t = m, entre les
coordonnées primitives du point décrivant M par rapport aux
deux pôles F et F' (fig. 13). Il faut, avant tout, considérer que,
dans un tel système, chaque solution de l'équation fournit néces-
sairement deux points Met M', symétriquement placés relative-
ment à l'axe FF', d'après la double intersection des deux cercles
correspondants. Ainsi, toute équation relative à ce système indi-
quera naturellement un lieu symétrique par rapport à cet axe.
En outre, l'équation actuelle ne changeant point après l'échange
mutuel des deux coordonnées, il est aisé d'en conclure que la
courbe sera pareillement symétrique(*), autour de la perpendi-
culaire GG' menée au milieu de FF'.
(*) Il peut être utile, pour abréger le discours, d'avertir, dès ce mo-
ment, que celte symétrie d'une courbe autour d'une droite, s'exprime
PREMIÈRE PARTIE, CXL\PITRE DEUXIÈME. 57
Toute discussion relative à ce système doit être soigneuse-
ment subordonnée à une restriction élémentaire qui lui est
propre, et dont ni le système rectiligne, ni le système polaire
ne sauraient nullement offrir Téquivalent. Elle consiste évidem-
ment en ce que toutes les solutions réelles de Téquation n*y sau-
raient être géométriquement représentées, puisque les deux
cercles ne se couperaient pas si leurs rayons étaient ou trop pe-
tits ou trop différents, comparativement à Tintervalle^ fixe de
leurs centres : en le nommante?, la figure ne pourra admettre
que les solutions conformes aux deux inégalités u -(-/>(/,
u — / <(f, ce qui constituerait d'ailleurs une grave imperfection
spéciale de ce système, si sa nature ne le rendait déjà radicale-
ment impropre à une heureuse peinture des équations. L'ap-
préciation effective de cette double restriction permanente déter-
mine, en chaque cas, les limites finales entre lesquelles doivent
être comprises les valeurs admissibles des deux coordonnées.
Après ces notions générales, que j'appliquerai désormais
sans les reproduire, examinons d'abord Téquation u + t=zm.
Ici, la condition u + t>d^ sera spontanément satisfaite, à
moins que m n'eût été pris inférieur à d^ ce qui constituerait
une définitioncontradictoire.Ondoit donc seulementconsidérer
la restriction u — t <d^ qui, en y rapportant uh t^ assigne
1 1
- (m — d) pour limite inférieure de /, et, par suite^ â (^ + ^
pour limite supérieure de u. En vertu de la symétrie algébri-
que, chacune de ces limites convient aussi à l'autre coordon-
née. Comme, entre ces limites, toutes les solutions seront évi-
demment admissibles, la courbe sera certainement fermée et
continue. Les points N et N', où elle coupera l'axe GG', et dont
souvent en nommant la droite axe géométrique, ou axe de figure, ou
même simplement axe de la courbe.
19
58 GÉOMÉTRIE PLANE.
1
les coordonnées seront toutes deux égales à ^ m, se trouveront
nécessairement les plus éloignés de Taxe FF'. Quant aux points
A et A', où elle rencontrera ce dernier axe, ils seront, l'un le
plus près, l'autre le plus loin, de chacun des pôles F et F'. En
lui attribuant, suivant une règle logique (*) qu'il importe de se
vendre déjà familière, la figure la plus simple qui puisse satis-
faire à Tensemble des renseignements obtenus, on aura la
courbe ÀNA'N', sauf confirmation ou infîrmation ultérieure :
elle porte habituellement le nom à'ellipse.
' Quant à l'équation u — t^=^m^ dont le lieu se nomme hyper*
bole^ la condition u — t<ds'Y trouvera, au contraire, sponta-
nément satisfaite, à moins de contradiction entre les données.
C'est donc de la restriction w + /> rf que proviendront ici
les limites de u et de /, lesquelles, par conséquent, seront seu-
1 i
lementinférieures. Leurs valeurs - {d — m), - (rf+ ^)i déter-
mineront les points A, A', où la courbe rencontrera Taxe FF',
et qui seront alors placés entre les deux pôles F, F' (fig. 14).
Au-dessus de ces limites, les deux variables pouvant croître
indéfiniment et à la fois, la courbe sera nécessairement illimitée.
(*) Cette maxime, directement conforme au véritable esprit philoso-
phique, est fort importante pour la discussion géométrique des équations,
où il convient de former, aussitôt que les documents analytiques le per-
mettent, une première hypothèse .sur la figure générale du lieu corres-
pondant, afin d'accélérer sa détermination rigoureuse, en dirigeantplus
nettement les comparaisons ultérieures; pourvu toutefois que l'on se
Uenne toujours disposé à modifier «ette supposition initiale autant que
le progrès de la discussion pourra l'exiger, jusqu'à ce qu'il ne reste plus
aucune incertitude réelle sur la figure finale. Lors môme que celle-ci devra
être beaucoup plus compliquée que celle supposée d'abord, la simplicité de
l'hypothèse provisoire n'en sera pas moms propre à mieux conduire Ten-
semble de la discussion ; tant que les motifs de complication n'auront pas
été suffisamment dévoilés, il serait peu judicieux d'introduire une autre
figure, dût-elle être accidentellement plus rapprochée de la véritable.
PREMIÈRE PARTIE) CHAPITRE DEUXIÈME. 59
en tons sens, adroite de A et à gauche de A'. Mais elle ne pourra
pas couper son second axe GG', u ne pouvant jamais devenir
égal à ^ : et, afin que ces variables puissent conserver entre
elles la différence constante m, il est clair aussi que le lieu ne
rencontrera pas non plus les parallèles à cet axe qui s'en écar-
teraient trop peu, jusqu'à une distance qu'il serait superflu de
fixer ici, et que l'équation rectiligne indiquera spontanément.
En même temps qu'indéfinie, cette courbe sera donc disconti-
nue^ de manière à contraster totalement avec la forme propre
au premier cas.
Pour procéder maintenant à la formation de l'équation rec-
tiligne, il suffit évidemment d'employer notre formule préli-
minaire des distances, qui remplaceraaussitôtles coordonnées
primitives par les coordonnées définitives, à quelques axes qu^on
veuille rapporter l'une ou l'autre courbe . C'est ici le lieu de
remarquer que l'ébauche de discussion qui vient de résulter de
l'équation naturelle indique d'avance les axes les plus propres
à simplifier l'équation cherchée, d'après l'influence analytique
de la double symétrie du lieu autour des droites FF' et GG'.
Si, en effet, on les prend pour axes, cette propriété géométri-
que obligera l'équation à supporter sans altération le change-
ment de signe de y quant à la première, ou de x quanta la se-
conde : ce qui exige évidemment l'absence des puissances im-
paires de la variable correspondante ; tandis que, envers des
axes dirigés au hasard, lesexposants impairs se seraient mêlés
aux pairs. On a donc déjà la certitude d'obtenir, avec de tels
axes, une importante simplification de l'équation demandée.
C'est, autant que possible, en vue d'une semblable réduction
permanente que les axes doivent être, en général, choisis, et
non d'après les motifs secondaires relatifs à l'abréviation passa-
gère des calculs qu'exige la formation de l'équation ; ou, du
moins, ces derniers ne doivent être pris, à cet égard, en con-
60 GÉOMÉTRIE PLAIŒ.
8idération décisive que seulement à défaut des autres, qui, en
effet, ne sont pas toujours sufDsamment sensibles.
En exécutant, envers ces axes FF' et GG' {fig. 13 et 14),
d'après la formule des distances, le passage des coordonnées
primitives aux coordonnées définitives, on obtient l'équation
rectiligne
qui, par la suppression des radicaux, suivant le mode ordi-
naire, sans aucun vain artifice algébrique, devient enfin
4
Les deux courbesy paraissent confondues, puisque la dispa-
rition des radicaux semble avoir ôté toute trace de la distinction
des deux cas. Mais, au fond^ malgré leur inévitable analogie
analytique, la différence des deux déflnilions est tout aussi
marquée dans cette équation rectiligne que dans Téquation na-
turelle. Car nous avons déjà reconnu que, pour Tellipse, m
surpasse nécessairement d^ tandis que Tin verse alleu pour Thy-
perbole. Ainsi, le coefficient de x^ passe du positif au négatif,
en substituant la seconde définition à la première. 11 est aisé de
reconnaître qu'un tel changement, parfaitement semblable &
celui qu'éprouve alors l'équation naturelle, représente fidèle-
ment le contraste géométrique des deux courbes.
En effet s'il s'agit de l'ellipse, on aura ainsi
Or, le facteur constant sous le radical étant positif, y ne sera
réel qu'autant que le facteur variable conservera ce même si-
1
gne, ce qui exige que x ne surpasse pas ^ m, à droite ou à
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 61
gauche ; en sorte quela courbe esthorizontalement compriseen-
tre ce et DD' [fig, 13). Comme y varie d'ailleurs en sens in-
verse de a;, il est clair que les points N, N' où la courbe cou-
pera Taxe des y seront les plus éloignés de Taxe des x^ à la
hauteur "V^ m^-^d^. L'ellipse sera donc renfermée dans le rec-
tangle CDD'C, et du reste continue entre ces limites, puisque
les valeursdey etde^pourront diminuer autant qu'on voudra.
Dans le cas de Thyperbole, il conviendra d'écrire
afin que le facteur constant soit positif, ce qui, obligeant
l'autre à l'être aussi, assignera à a? la limite inférieure 5 m,
sans aucune limite supérieure: ^croîtra des lors avec a:. Ainsi,
la courbe, discontinue entre les verticales CD, CD' [fig, 14),
sera d'ailleurs indéfinie au delàde chacune d'elles, dans le sens
des deux axes à la fois.
On voit comment l'équation rectiligne confirme et perfec-
tionne les indications déjà fournies par l'équation naturelle sur
la figure générale de ces deux courbes. Mais elle est surtout
propre à compléter une telle détermination, en dissipant l'in-
certitude qui nous reste encore au sujet du sens effectif de la
courbure. Rien jusqu'ici ne décide, en effet, si les quatre par-
ties égales dont l'ellipse est composée sont, suivantnotre hypo-
thèse, concaves vers l'axe des or, ou convexes, ou même tor-
tueuses. Les documents déjà recueillis pourraient convenir
également à ces diverses figures, et pareillement pour l'hy-
perbole. À la vérité, une considération préjudicielle tirée du
degré de l'équation rectiligne trancherait spécialement cette
difficulté, en indiquant que le lieu actuel ne saurait être coupé
62 GÉOMÉTRIE PLANE.
en plus de dénie points par aucune droite : car, inéquation delà
ligne droite étant toujours du premier degré, sa combinaison
avec celle d'une courbe quelconque fournira nécessairement^
en général, pour les abscisses des points communs, une équa-
tion de même degré que celle-ci; ce qui indiquera une limite
supérieure, mais souvent trop grande, comme on le recon-
naîtra bientôt, du nombre d'intersections. Une telle notion
dissiperait ici toute incertitude, en excluant évidemment toute
autre figure que celle déjà supposée. Mais il serait peu con-
forme à l'esprit éminemment général de la géométrie analy-
tique, d'éluder ainsi la difOculté actuelle d'après une considé-
ration spéciale, qui deviendrait presque toujours insufRsante
envers d'autres courbes, quoiqu'il convienne, au reste, de l'u-
tiliser dans les cas qui le comportent. Nous devons donc, pour
caractériser déjà la discussion géométrique des équations,
écarter ce document accidentel, et décider la question proposée
par une méthode plus ou moins applicable à une courbe quel-
conque, malgré qu'elle ne puisse guère être maintenant aussi
simple que les moyensultérieurement résultés d'une étude plus
approfondie.
Afin de transformer ces considérations géométriques pu-
rement relatives à la forme en de simples considérations de
grandeur, seules directement accessibles aux comparaisons
analytiques, il faut ici, comme à tout autre égard, faire inter-
venir les considérations de position, toujours naturellement
destinées à ménager de telles transitions. Il suffit de remarquer,
en effet, que, si le quart d'ellipse AMN [fig, 13) est concave
vers l'origine, il sera placé au-dessus de sa corde AN, tandis
que, s'il doit être convexe, il se trouvera, au contraire, au-
dessous: et enfin, alternativement d'un côté et de l'autre, en cas
de sinuosité. Or, cette distinction du dessus au dessous devient
aisément réductible à de simples idées de grandeur, en compa-
PREMIERS PARTIE, GHAPITRB DEUXIÈME. 63
rant, à abscisse égale, rordonnée MP ou y de la courbe avec
Tordonnée KP oujs delà corde; la question proposée reviendra
finalement à discerner laquelle de ces deux variables surpasse
Tautre. En calculant z d'après les deux triangles semblables
APK et AON, on trouve
d'où
1 . /m* Z,
: y \: ^m — X : y — ^ a?.
wf
Il suffit de décomposer— — a:^ en (|^ m — x) (i m-\-x\ pour
constater aussitôt que y surpasse z dans toute l'étendue de la
comparaison proposée, La courbe est donc certainement con-
cave vers ses axes.
Envers Thyperbole, cette méthode a besoin d'une importante
modification, qui en complique nécessairement Tusage, puis-
qu'une corde unique semble ne pouvoir plus suffire à l'appré-
ciation du quart de courbe, alors indéfini. Mais on surmonté
toujours cette nouvelle difficulté en attribuant à la corde AH
[fig, 14) une extrémité indéterminée H^ dont Tabscisse x' doit
rester arbitraire, coquine fera que surcharger l'expression de
l'ordonnée auxiliaire KP ou z\ la comparaison, d'ailleurs
restreinte à une abscisse x moindre que x\ décidera laquestion
tout aussi sûrement, quoique plus péniblement, que dans le
premier cas, la corde AH pouvant ainsi, d'après l'indétermina-
tion de x\ représenter à la fois toutes les cordes possibles me-
nées de A. La similitude des triangles AKP, AHQ assigne à %
la formule
64 GÉOMÉTRIE PLANE.
d'où
: y :: V^'-\rn^ (?=tS)' V^^^^
m^
Or, en simplifiant ce rapport autant (][ue possible, on recon-
naîtra facilement que y surpasse z tant que x reste moindre que
x\ tandis que ce serait l'inverse pour x > x\ ce qui constitue
une double confirmation décisive du sens d*abord supposé à la
courbure de Thyperbole.
A l'égard d'une courbe quelconque, fermée ou indéfinie, la
méthode précédente pqurra toujours, sous l'un ou l'autre de
ses deux modes, dissiper irrévocablement une pareille incerti-
tude. Mais, quoique le principe en soit, sans doute, pleine-
ment général, l'exécution en devient souvent impraticable en-
vers les équations un peu compliquées ; ce qui fera bientôtsentir
le prix des procédés plus perfectionnés que nous trouverons
ensuite. On ne doit pas moins hautement apprécier déjà cette
remarquable transformation d'une question de forme en une
pure question de grandeur.
20. 4' EXEMPLE. Équation du lieu d'un point toujours équidis*
tant d'un point fixe et d'une droite fixe. Cette courbe, appelée
parabole^ compose, avec les deux précédentes, le genre de
figures si célèbre, depuis les Grecs, souS" le nom de sections
coniques^ et qui constituera, dans la dernière partie de notre
étude, la principale spécialisation des théories générales delà
géométrie plane.
L'équation naturelle, moitié polaire, moitié rectiligne, est
ici Uf=Bt, entre les distances variables du point décrivant au
pôle Fetàl'axeBG (fig. 15). D'après la nature d'un tel système
où chaque point est déterminé par la rencontre d'un cercle
ayant toujours son centre en F avec une droite MM' toujours
parallèle àBG, toute équation y représentera nécessairement
un lieu symétrique autour de la perpendiculaire DL menée de
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 65
F sur BC. En outre, cette intersection n'étant pas constamment
possible, ce système impose aussi, comme le précédent, des
conditions restrictives, puisque le rayon variable de ce cercle
doit surpasser la distance variable de son centre à cette droite.
Afin de mieux apprécier Tinfluence actuelle de cette obligation
générale, il faut d'abord remarquer que, d'après l'équation
tt s3 2, elle sera toujours satisfaite à droite du point F^ et ne
pourra jamais Tètre à gauche de BC, ou même du milieu A de
FD, qui constituera donc la limite de notre courbe à gauche de
F. Mais, à partir de ce point A, la parabole s'étendra indéfini-
ment vers la droite, en s'éloignant également de F et de BC,
sans aucune discontinuité, puisque la condition de rencontre
sera dès lors spontanément4*emplie.
D'après* cette discussion préliminaire, il convient, évidem-
ment, en passant à l'équation rectiligne, de prendre la droite
DL pour Tun des axes rectangulaires, en vertu de la symétrie
déjà appréciée analytiquement au numéro précédent. Quant au
second axe, il n'existe pas de semblable motif, et les documents
les plus immédiats ne semblent d'abord indiquer aucun point de
DL comme une origine spécialement susceptible de simplifier
l'équation cherchée. En faisant donc ce choix, d'ailleurs peu
important, d'après des considérations de moindre poids, rela-
tives à la seule formation de cette équation, nous prendrons
la droite BC elle-même pour l'axe des y. Le passage du système
primitif au système définitif devient ainsi très-facile, puisque
Tune des coordonnées naturelles / est conservée, avec un sim-
ple changement de nom, et que l'autre u s'exprime aussitôt
en coordonnées rectilignes, suivant la formule des distances.
On obtient ainsi l'équation rectiligne
on d désigne l'intervalle FD du point fixe à la droite fixe. Il
66 GÉOMÉTRIE PLANE.
est aisé de constater que la discussion générale de cette équa-
tion, où la variable x ne peut jamais être négative ni inférieure
i
à - 1/, mais sans être assujettie à aucune autre condition,confirme
exactement les indications géométriques de Téquation naturelle.
En outre, son degré seul suffirait, comme au numéro précé-
dent, pour démontrer spécialement la concavité constante de
la courbe vers son axe ÂL. Mais on peut aussi décider aisément
cette question d'après la méthode générale déjà appliquée à
l'ellipse et à l^hyperbole. Car, en considérant la corde indéter^
minée AM, dont l'extrémité M aurait une abscisse arbitraire x\
soû ordonnée KP ou js, correspondante aune abscisse quelcon-
que X moindre que x\ se calculera facilement à l'aide des
triangles semblables AKP, AMH, d'où il résultera *
2a: — rf
Or, il s'ensuit évidemment, en simplifiant le rapport, que y
surpassera z tant que x restera inférieur à x', et au contraire
en sens inverse : ce qui démontre pleinement la justesse de
notre figure.
Au sujet de cette équation, on peut remarquer, en l'écrivant
sous la forme
y'^^d(x^^^dy
i
que le binôme x—'dy deviendrait monôme si on transportait
l'origine en A. D'après un tel choix, l'équation devient finale-
ment
y^^^dx
qui constitue nécessairement l'étatle plusconvenabledeTéqua-
tiondelaparabole.Cemotif de préférence eût été facile à pré-
voir, en considérant que, l'origine A étant sur la courbe, l'é-
PRniÈRE PABTIEy CHAPITRE DEUXIÈME. 67
quafion y doit perdre son terme constant, suivant une remar-
que déjà signalée ; mais j'ai cru devoir, pour les commençants,
écarter d'abord cette réilexion,comme trop minutieuse eu égard
à sa faible importance.
Quoique la forme générale de la parabole doive sembler ici
fort analogue à celle d'une demi-hyperbole, je dois pourtant
avertir ici que l'on découvrira bientôt, entre ces deux figures,
des différences d'aspect très-appréciables en tout tracé judi-
cieux, même grossier.
21. 5* EXEMPLE. Équation du lieu tf un point également éclairé
par deux lumières données j dont la clarté iéerott inversement
au carré de la distance. Si a et ^ désignent les intensités con-
nues des deux lumières, cette définition fournit aussit<3t l'équa-
tion naturelle — = - , entre les distances variables du point
%■
décrivant M au deux foyers lumineux  et B {fig, 16). Il en
résulte u «= mt^ en nommant m le rapport constant y -. Les
conditions restrictives propres à ce système [voy. le n' 19) assi-
d d
gnent à / les limites, supérieure et inférieure^ ; et — r-
° '^ m— 1 m+1
d'où résultent celles de k, et entre lesquelles toutes les valeurs
sont évidemment admissibles. Ainsi, la courbe est fermée et
continue, d'ailleurs symétrique autour de AB, par la nature
du système.
En prenant cette droite pour axe des x, d'après les motifs
déjà appréciés, et plaçant l'origine en A, sans prétendre que
cette position soit la plus propre à simplifier Téquation recti-
ligne, on trouve aussitôt
(a — é)y* + (a — ô) a:' — "iadx + acP = o.
A l'inspection d'une telle équation^ on reconnaît immédia-
tement le cercle, d'après le double caractère établi au n"* 18.
68 GÉOMÉTRIÇ FhAjm,
En achevant de la comparer au type correspondant, on voit
que le centre est sur Taxe des x, comme la symétrie Texigeait,
à une distance « =» 7; le rayon r =» jy ab. On peut dès
lors constater aisément que la plus faible des deux lumières est
toujours intérieure au cercle^ et la plus forte toujours exté-
rieure. Je crois devoir faire ici remarquer, en sens inverse,que
deux lumières quelconques pourraient être constamment pla-
cées, Tune en dedans, Tautre au dehors, d'un cercle donné au
hasard, de manière à Téclairer également ; car,de ces formules,
on déduirait, réciproquement, si r était connu, d'abord
a — b JZjf
d e= . . — r, et par suite, a c= r i / - ; ce qui permettrait,
y ab \ b
quel que fftt r, de poser les deux lumières conformément à la
condition proposée.
Dans le cas ie a^ssb, les valeurs de a et de r deviendraient
infinies ; ce qui, au fond, indiquerait la disconvenance spéciale
du type adopté. Si, en effet, on remonte alors àTéquation du
lieu, on y voit disparaître les termes du second degré, et ia
ligne change réellement de nature, suivant Téquation du pre-
mier degré — 'iadx + ad^ = 0, ou a: = ^ rf> qui indique la
droite CD, équidistante des deux lumières, comme le cas
l'exigeait.
Quoique cette question nous offre un premier exemple inté-
ressant des ressources générales que fournissent nécessairement
les équations pour reconnaître les courbes malgré la diversité
de leurs définitions, il convient pourtant de remarquer ici que
Tétude spéciale de la définition actuelle aurait aisément permis
de discerner la vraie nature du lieu. Car, en marquant, sur
Taxe AB, les deux points F et F', où il doit couper la courbe
cherchée, et considérant que la propriété donnée se réduit,
en écartant toute circonstance physique^ à la proportionnalité
PREMIÈRE PARTIE^ CHAPITRE DEUXIÈME. 69
constante des distances variables MA et MB^ on aurait les deux
proportions
MA : MB : : FA : FB,
MA:MB::F'A:F'B,
qui, d*après un théorème connu, conduisent à envisager les
deux droites MF, MF' comme les bissectrices continues des
deux angles supplémentaires AMB, NMB ; d*où il résulte que
l'angle FMF' est constamment droit, ce qui fait aussitôt recon-
naître le cercle, en indiquant d'ailleurs sa plus simple con-
struction.
Le cercle précédent convenant indistinctement à tousles plans
menés par les deux points lumineux, sans jamais changer de
centre ni de rayon, il peut être utile de noter enfin que, si on
demandait, en général, le lieu de tous les points de l'espace
qui seraient également éclairés, on trouverait aussitôt une sur-
face sphérique, ayant le même centre et le même rayon que
notre lieu plan. Dès lors, Tintersection de cette sphère par un
plan quelconque, ou par toute autre surface donnée, déter-
minerait la courbe d'égale clarté sur la surface correspondante,
de manière à résoudre la question proposée dans ibutes les
variétés qu'elle comporte.
22. 6*' Exemple. Équation du lieu (Tun point dont le produit des
distances à deux points fixes demeure constant. Dans le système
naturel, identique à celui des n^* 19 et 21 , l'équation est ut=^m^ .
La nature du système indique, comme en tout autre cas, un
lieu symétrique autour de la droite qui joint les deux pôles A
elB {fig, il). En outre, l'équation ne changeant point par
réchange mutuel des variables, la courbe doit être pareillement
symétrique autour de la perpendiculaire CD au milieu de AB.
On conçoit aussi que les restrictions propres à ce système indi-
quent ici une courbe fermée, en assujettissant chaque variable
à deux limites déterminées, dont l'exacte appréciation ressortira
70 GÉOMÉTRIE PLANE.
toutefois beaucoup plus nettement de Téquation rectiligne.La
forme la plus simple qui puisse correspondre à l'ensemble de
ces premiers renseignements offre une grossière ressemblance
avec Tellipse, au point d'avoir été même systématiquement
prise pour elle dans une célèbre aberration astronomique.
En passant au système rectiligne, d'après les axes AB et CD,
dont la supériorité analytique est déjà motivée, on trouve aisé-
ment, par la formule des distances, Téquation
où d désigne la demi-distance des deux points fixes. Quoique
du quatrième degré, cette équation peut être facilement réso-
lue, et donne la formule
dont la discussion, plus compliquée qu'en aucun cas antérieur,
constitue la seule difficulté et le principal intérêt d'un tel exem-
ple : j'y ai d'ailleurs écarté le second signe du radical partiel,
comme ne pouvant jamais fournir d'ordonnées réelles.
Il est d'abord aisé de sentir que la portion négative de la fonc-
tion placée sous le radical général finira par l'emporter de plus
en plus sur l'autre, à partir d'une abscisse sufQsamment grande,
pour laquelle, le terme constant de chacune d'elles devenant
sensiblement négligeable vis-à-vis du terme variable, la pre-
mière tend à varier proportionnellement à x^ et la seconde à
X seulement.La courbe est donc toujours bornéedanslesensho-
rizontal, et par suite aussi dans le sens vertical, l'accroissement
de y étant subordonné à celui de x. Pour trouver la limite su-
périeure de x^ il faut égaler les deux parties opposées de la
formule, ce qui déterminera, de chaque côté, l'intersection, K
ou K', de la courbe avec son axe horizontal^ d'après l'équation
(df' -t- a^Y = 4rf^ x^ H- m*.
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 71
Mais, cette équation étant du quatrième degré, sa résolution
fournit, outre le couple cherché a:' = ±: \/rri^ + ^i qui ne
présente aucune difficulté et ne comporte aucune distinction,
un second couple ar" =± v/cP — m*, jusqu'alors entièrement
imprévu, et dont Fappréciation indique aussitôt que la courbe
ne saurait offrir toujours la même forme suivant les diverses
relations de m à cf. Car, si m surpasse d^ ce couple devra être
rejeté comme imaginaire, et la fonction sous le radical général,
ne pouvant s'annuler qu'une seule fois pour x positif, l'or-
donnée sera constamment réelle depuis or «a 0, qui donne, en
effet, y = ±: \/nf^ — rf*, jusqu'à la limite supérieure de a:,
conformément à la figure 17. Mais, quand, au contraire, m
est inférieur à (f, cette fonction, s'annulant deux fois de chaque
côté, ne peut être positive que dans l'intervalle entre x' et x", en
sorte que le lieu, qui coupe alors quatre fois son axe horizontal,
et ne rencontre plus son axe vertical, devient discontinu, et
se compose nécessairement de deux ovales égales et séparées
(fig. 1 8) , sans rien préj uger d'ailleurs sur les formes précises.Entre
ces deux cas nettement tranchés,se place naturellement l'hypo-
thèse moyenne m = rf, qui, suivant une règle logique univer-
•
selle, aussi importante que méconnue, ne doit être conçue que
d'après les deux extrêmes qu'elle doit lier, et surtout ici d'après
le second, en y supposant diminué graduellement l'excès de d
sur m ; l'écartemenl des deux ovales décroît simultanément,et,
à la limite, elles deviennent enfin contiguës (fig> 19j. Telles
sont les trois formes distinctes que comporte le lieu actuel : le
centre 0 de la courbe s'y trouve placé tantôt en dedans, tantôt
en dehors, ou enfin sur sa circonférence.
Dans les deux derniers cas, la considération du degré suffi-
rait à démontrer spécialement que le sens de la courbure est
conforme à nos suppositions, sans lesquelles le lieu pourrait
offrir plus de quatre points en ligne droite. Mais ce motif de-
72 GÉOMÉTRIE PLANE.
viendrait insuffisant pour le premier cas, où le degré ne serait
pas incompatible avec une forme inverse du quart de
courbe KL. Quoique Tanalogie analytique doive alors natu-
rellement disposer à y étendre la disposition reconnue envers
les deux autres, cette présomption légitime n'y saurait dispen-
ser d'une rigoureuse appréciation. En y appliquant la méthode
générale qui nous a jusqu'ici réussi facilement, on confirmera
la figure supposée, mais avec des embarras algébriques tenant
à la complication de l'équation actuelle, et très propres à faire
déjà sentir le besoin de moyens plus perfectionnés.
Afin que l'image de ces trois courbes soit, dès ce moment,
aussi nette que possible, je crois devoir indiquer ici, à leur
égard, par une utile anticipation, une propriété qui en éclair-
cira beaucoup la notion, quoique la démonstration en doive
êti*e renvoyée à la géométrie à trois dimensions. Elle consiste
à envisager ces courbes comme les diverses sections planes
d'un tore y surface facile à concevoir, et fréquemment employée,
d'après sa génération par un cercle tournant autour d'un axe
extérieur. Si le plan coupant, contenant d'abord l'axe, s'en
éloigne parallèlement, il déterminera, en premier lieu, la
section tracée fig, 18, jusqu'à ce qu'il vienne à toucher la par-
tie inférieure du tore, ce qui donnera la courbe fig, 19, après
quoi la section, devenant continue, prendra la forme indiquée
fig, 17. Ces trois courbes pourront donc être commodément
qualifiées de sections toriques.
23 . 7' EXEMPLE. Equation du lieu £ un f oint dont les distances
à un point fixe et d une droite fixe sont toujours propor-
tionnelles. Quand le rapport constant n est l'unité, cette défi-
nition coïncide avec celle du n^ 20, en sorte que la parabole
doit ici constituer un cas particulier, sur lequel il serait super-
flu d'insister.
L'équation spontanée u =» n/, entre les distances varia-
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 73
bles MF et MQ [fig, 20), indiquera d^abord, comme au n* 20,
par la nature du système, un lieu toujours symétrique autour
de la perpendiculaire FD menée du point fixe F à la droite
fixe BC. Pour avoir convenablement égard aux conditions
restrictives, considérons d'abord les valeurs de t supérieures
à cf, qui correspondent à des parallèles telles que MM' à droite
de F: alors leur distance au centre F des cercles de construc*
tion étant /— d, la condition d'intersection t — d <,Uy déjà
indistinctement satisfaite, quelque grand que soit /, si le rap-
port donné n est égal à Tunité, le sera, à plus forte raison,
pour n > 1. Mais, si n est inférieur à 1, cette inégalité assi-
d
gnera, au contraire, à t une limite supérieure r , qui mar-
quera, sur Taxe du lieu, le point A' le plus éloigné de F et
de BC. Dans ce cas^ la courbe sera donc limitée à droite de F,
Entre ce point et BC, la distance de la parallèle au centre
devient d — ^ et la condition de rencontre, d — ^ *< m, in-
dique pour t une limite inférieure j-j-- , évidemment com-
mune à toutes les hypothèses, et qui déterminera en A Tinter-
section nécessaire du lieu proposé, quel qu'en soit la forme,
avec son axe naturel FD. Enfin, de l'autre côté de BC, la
courbe, qui ne pourrait y pénétrer si n était égal à 1, en sera
encore plus évidemment exclue pour n < 1 ; mais elle pourra
s'y étendre, et même indéfiniment, dans le cas de n > 1, qui,
jusqu'alors confondu avec celui de la parabole^ commence ainsi
à s'en distinguer nettement. Afin de mieux apprécier cette
diversité, considérons une de ces dernières parallèles NN' : sa
distance au centre des cercles sera exprimée par t ••{- d^ ei la
condition d'intersection t +d <u imposera, à èe genre de
valeurs de /, la limite inférieure — j , correspondante à une
seconde rencontre A" du lieu avec son axe, et à partir de
18
74 GÉOMÉTRIE PLANE.
laquelle la courbe « interrompue eulre A et A ", s'éloignera à
l'infini.
D'après l'ensemble de cette discussion préliminaire, la défi-
nition actuelle comprend donc, comme la précédente, trois
courbes nettement distinctes : d'abord, pour n a» 1, la para-
bole, limitée à gauche de F et illimitée à droite ; ensuite
pourn < 1, une courbe , fermée et continue, commençant
en A et finissant en A' ; enfin^ pour n > 1, une courbe illimi-
mitée et discontinue, dont les deux parties s'étendront indéfini-
ment, l'une à droite de A, l'autre h gauche de A".
Le passage à l'équation rectiligne ne présente pas plus de
difficulté ici qu'au n9 20. En adoptant, par les mêmes motifs,
les mêmes axes FD et BG, on aura Téquation
yi + (1 — n«) x^— âdir + d« = 0.
Sa discussion ne ferait que confirmer la distinction ci-dessus
établie. Mais, en écartant le cas de n «a 1, déjà examiné, son
appréciation peut nous offrir un nouvel intérêt,comme exemple
très remarquable de reconnaissance analytique d'une courbe.
En effet, outre que les cas de n < i et n > i nous ont indi-
qué des figures générales évidemment analogues à celles des
courbes du même degré considérées au n° 19 sous les noms
d'ellipse et d'hyperbole, la comparaison algébrique des équa-
tions correspondantes vient constater l'équivalence fondamen-
tale des définitions qui les ont fournies, malgré leur grande
diversité géométrique. Car, l'équation trouvée au n^ 19 étant
écrite sous la forme
sa confrontation avec la précédente montre qu'elles ne diffèrent
essentiellement que par la présence dans celle-ci d'un terme
du premier degré en x qui manque à l'autre. Or, comme nous
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÉUE. 75
savons, en principe, que Téquation d'une ligne peut changer
par suite de son simple déplacement, sans aucune variation de
forme ou de grandeur, il reste à décider si une telle diversité
algébrique ne proviendrait pas uniquement d'une différence
de situation des axes envers la courbe commune. Cette diffé-
rence ne saurait porter sur Taxe des x^ autour duquel le lieu
est dans les deux cas, pareillement symétrique : mais l'autre
axe ne présente point la même parité ; puisque la symétrie qui
existe aussi autour de lui d'après la seconde équation est cer-
tainement incompatible avec la première.Ilfaut donc examiner
finalement si celle-ci ne pourrait pas perdre sou terme distinc-
tif — 2rfar en déplaçant convenablement Forigine le long
de FD. Un tel déplacement équivaudra algébriquement à y
changer ar en x' + A, si A désigne l'avancement indéterminé
de l'origine actuelle D dans le sens DA\ En opérant c^tte
transformation, il est aisé de voir que les deux termes du pre-
mier degré en x' se détruiront mutuellement, pourvu qu'on
d
prenne h = -j, ce qui place cette nouvelle origine à droite
ou à gauche de BC, selon que n est iférieur ou supérieur à i,
en 0 ou 0 ', toujours au milieu de AA' ou de AA". L'équation
ainsi modifiée
devient rigoureusement assimilable à celle du n^ 19, comme
ayant évidemment la même forme, et offrant d'ailleurs une
équivalente généralité, puisqu'elle contient un pareil nombre
de constantes arbitraires. On ne peut donc plus douter de
l'identité des lieux, et, en achevant la confrontation algé-
brique, de manière à passer indifféremment d'un système de
constantes à l'autre, on établira, entre ces deux définitions,
une exacte transition mutuelle, soit que Ton prenne
76 GÉOMÉTRIE PLANE.
ou en sens inverse,
2dn 2n'd
^== 1 s et a = r r.
Le mode de distinction entre Tellipse et Thyperbole qui, au
n® 19, consistait en m> d' ou m < rf',est ici maintenu,sous
une forme évidemment équivalente, en supposant n < i
ou n> 1.
Pour utiliser autant que possible ce rapprochement remar-
quable, il convient de le poursuivre, en particulier, jusqu'à
décider si le point fixe de la définition actuelle coïncide avec l'un
de ceux relatifs à Tancienne. Or, il suffit, à cet effet, de les rap-
porter tous à une origine qui doive être nécessairement com-
mune aux deux systèmes, telle que le centre 0, où se croisent
les axes géométriques du lieu, droites dont l'identité ne saurait
être douteuse. La difficulté se réduit donc à comparer OF
ou A — d avec i d'; ce qui démontre pleinement la coïncidence
des deux sortes de points fixes. Dès lors,- la duplicité propre à
celui du n® 19 se trouve r -voir aussi convenir au point actuel,
et, par suite, à la droite r )rrespondante ; comme Tindiquait
d'ailleurs la symétrie du lieu autour du second axe G6' mené
du centre 0.
Cet exemple de comparaison algébrique entre deux défi-
nitions a plus d'importance que celui du n^ 21 relatif au cercle,
soit par la difficulté beaucoup plus grande de saisir géométri-
quement l'équivalence des deux générations, soitd'aprèsla mo-
dification algébrique qu'il a fallu apporter à l'une des équations
avant de les assimiler, suivant une marche qui sera bientôt
systématisée.
La nature, moitié rectillgne, moitié polaire, du système de
coordonnées inhérent à cette définition, y rend le passage à
Téquation polaire tout aussi facile que la formation de l'équa-
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 77
lion rectiligne. Comme cette équation polaire des trois sections
coniques est utile à connaître, je crois devoir la déduire ici de
Téquation naturelle u =^nt, en plaça .t le pôle au point fixe F
et comptant les angles à partir de FA . L'une des coordonnées
primitives u est alors conservée : quant à Tautre /, il suffit de
la concevoir en DP pour reconnaître aussitôt qu'elle équivaut
à {/-|- 1/ cos f ; ce qui conduit finalement à Téquation polaire.
nd
1 -^ n cos cp
Elle indiquera un lieu illimité ou fermé, selon que la valeur
1
de uy pourra ou non devenir infinie, ce qui exige cos 9 s» - ;
il
hypothèse inadmissible pour n < i , mais acceptable en tout
autre cas, conformément à la distinction déjà établie.
24. 8« Exemple. Equation de la conchoïde. On appelle ainsi,
depuis les Grecs, le lieu d'un point dont la distance à une droite
fixe BC demeure constante, en Testimant selon des rayons con-
vergents vers un point fixe A (/îg. 21). Son équation naturelle
est donc MN onz^^c. Elle indique d'abord que la courbe est
évidemmentsymétriqueautourdelaperpendiculaire KK' menée
du point fixe à la droite fixe. Nous voyons ensuite que la plus
courte distance MP du point décrivant M ou M' à la droite BC
devra sans cesse diminuer,d'après l'invariabilité del'hypoténuse
MN, à mesure que l'angle N deviendra plus aigu, et propor-
tionnellement à son sinus, qui équivaudrait toujours à MP si
la constante c était prise pour rayon trigonométrique. Ainsi,
d'une part, le maximum de MP devant se trouver en K et K'
sur l'axe AO, les deux branches, supérieure et inférieure, de
la courbe seront constamment renfermées entre les horizontales
correspondantes. D'une autre part, et c'est icila plusremarqua-
ble singularité d'une telle définition, chacune de ces branches,
dans son cours horizontal indéfini, se rapprochera continuelle-
78 GÉOMÉTRIE PLANE.
ment de BC,à tel degré qu'on voudra, mais sans pouvoir cepen-
dant l'atteindre jamais, car MP ne saurait s'annuler rigoureuse-
ment, quelque aigu que devienne l'angle N ; en sorte que BC ne
pourra être censé rencontrer la courbe qu'à l'infini. Cette nou-
velle relation géométrique, d'après l'aquelle la droite est ordi-
nairement qualifiée éPasymptote de la courbe, nous fournira
bientôt le sujet d'une importante théorie générale, comme
très propre à mieux caractériser la forme des lignes qui en sont
susceptibles. On sent, en effet, dès ce moment, que toute
courbe doit finir par être convexe vers son asymptote, sans
quoi elle la couperait nécessairement.
Cette discussion préliminaire indique aussitôt les axes rec-
tangulaires les plus favorables à la simplification de Téquation
rectiligne. Un motif de symétrie, dont l'appréciation algébrique
nous est déjà familière, conduit d'abord à prendre AKK' pour
l'un des axes. Quant à l'autre, l'asymptotisme de BC ne saurait
permettre aucune hésitation. Sans doute, l'influence algébrique
de cette nouvelle relation géométrique n'est ni aussi facile à
prévoir ni même aussi considérable que celle de la première.
Hais on conçoit pourtant, sauf à mieux préciser ultérieurement
un tel apperçu, que, en prenant cette asymptote BC pour axe
des x^ l'équation, devant ainsi donner a; = oo pour y = 0,
devra manquer, à cet effet, ou de tous les termes en x seul, ou,
au moins, de ceux du plus haut degré ; de manière à devenir
nécessairement plus simple qu'avec un axe quelconque.
D'après ce choix des axes, le passage de l'équation natu-
relle à l'équation rectiligne résulte aussitôt de la comparaison
des triangles AON et MPN, qui conduit, en nommant d la
distance AO, seconde donnée de la définition, à l'équation
que la suppression du radical élèverait au quatrième degré. On
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 79
voit que, selon nos doubles prévisions, x n'y entre point à des
puissances impaires ni séparé de y. En y dégageant x, sous la
forme.
on retrouve immédiatement les limites verticales de la courbe,
son cours horizontal indéfini, et son asymptotisme envers Taxe
des X. Le seul document nouveau que nous offre cette équa-
tion résulte de ce que la valeur de x, déjà annulée pour
y,«=3 ±: c, peut Têtre aussi pour y = d, quel que soit c; ce
qui indique le point A comme appartenant au lieu. Dans la'
figure actuelle,, où d surpasse c^ ce point se trouve isolé du
reste de la courbe, puisque les valeurs de y intermédiaires
entre c et (f ne sont pas admissibles : c'est un accident géomé-
trique qui n'a réellement d'étrange que sa nouveauté, et qui
peut d'ailleurs être aisément conçu, soit algébriquement, soit
même graphiquement. Quand, au contraire^ d est inférieur
à c, ces ordonnées de c à (f donnent des abscisses réelles,
d'abord croissantes, puis décroissantes, en tant que nulles aux
deux extrémités de cet intervalle : la partie supérieure de la ^
courbe est donc modifiée, et prend alors la forme indiquée
fig, 22, l'autre partie n'éprouvant d'ailleurs aucun grave
changement. Enfin, ixd^^c^ cette position fermée addition-
nelle AHKH', après un rétrécissement continu, s'effacera tota-
lement, conformément à la fig^ 23. C'est ainsi que l'équation
rectiligne dévoile spontanément une distinction nécessaire, que
la définition primitive était peu propre à indiquer. Il existe
donCy en réalité, trois sortes de conchoïdes, comme trois sortes
de sections toriques et de sections coniques.
Quoique cette équation dût susciter beaucoup d'embarras
algébriques à la seule métHode générale que nous connaissions
déjà pour déterminer analytiquement le sens de la courbure.
80 GÉOMÉTRIE PLANE.
le lecteur pourra constater aisément, à cet égard, l'exactitude
des suppositions ici figurées, d'après une suffisante combinaison
de la définition, et surtout de Tasymptotisme qui en dérive,
avec la considération du degré obtenu : il sera même facile de
déterminer spécialement, en chacun des trois cas, la vraie
direction de la tangente en K, ainsi qu'en &' ; ce qui achèvera
de dissiper, à cet égard, toute incertitude.
25. 9* EXEMPLE. Équation du lieu du sommet d^un angle
invariable dont chaque côté passe toujours par un point fixe.
L'équation naturelle est ici 9 — ^ = v, entre les inclinaisons
variables des deux côtés de Tangle donné v sur la droite
qui joint les deux points fixes A et B {fig. 24}. Elle indique
aussitôt un lieu limité, puisque, les deux coordonnées an-
gulaires ne pouvant ainsi devenir jamais égales, les deux droi-
tes mobiles ne seront, en aucun cas, parallèles, et par suite
le point décrivant M ne pourra point s'éloigner indéfiniment de
AB. La courbe doit d'ailleurs être symétrique autour de la
perpendiculaire CK menée au milieu de AB; car, l'équation ne
change pas en substituant à chaque inclinaison le supplément
de l'autre, de manière à passer de M en M'. L'équation étant
satisfaite par 4/^=^0 et 9 b» v, le lieu passe en A, et pareillement
en B : il est aisé de sentir que cette valeur de ^ y marque la
direction delà tangente correspondante; puisque l'angle MAX
tend vers cette limite v^ à mesure que le point M se rapproche
indéfiniment du point A, conformément à la définition générale
des tangentes.
Pour passer à l'équation rectiligne, d'après les axes AB et
GK, spontanément indiqués par cette discussion préalable, il
convient de mettre d'abord l'équation naturelle sous la forme
trigonométrique, surtout en y prenant les tangentes des deux
membres, ce qui donne
i-ftangf tang^'
PREinÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 81
Dès lors, les triangles rectangles MAP et MBP conduisent ai-
sèment à exprimer ces deux tangentes par — ^ et — j-j, d dé-
signant la demi-distance des deux points fixes A et B, et m la
tangente de Tangle donné v. On obtient ainsi Téquation recti-
ligne.
où Ton reconnaît aussitôt, conformément à l'indication géomé-
trique, un cercle dont le centre est sur Taxe des y, en un point
C tel que Tangle ACO y soit égal à Tangle donné, le rayon étant
d'ailleurs égal à GA.
26. iO« EXEMPLE. Équation de la dssùxie. On nomme ainsi,
depuis les Grecs, une courbe dérivée du cercle en y tirant,
d'un point fixe A (fig. 25) de la circonférence, une sécante quel-
conque, prolongée jusqu'à sa rencontre en C avec la tangente
opposée BK, et portant, sur cette sécante, à partir de ce point
fixe, une distance AM constamment égale à sa partie extérieure
GN, comprise entre la tangente et le cercle. L'équation natu-
relle est donc AM=aGN, entre ces deux longueurs variables.
Elle indique d'abord un lieu évidemment symétrique autour de
AB. De plus, la courbe commence en A, où sa tangente est
nécessairement AB, limite irrécusable de la direction MA, à
mesure que le point décrivant M se rapprocherait de A. Inté-
rieure d'abord au cercle donné, elle le coupera vis-à-vis son
centre, en D et D', et s'en dégagera ensuite de plus en plus,
quand l'angle variable MAB surpassera 45®. Mais^ en s'éloi-
gnant du cercle, elle s'approchera continuellement de la tan-
gente BK, d'après l'équation MG = AN, qui indique la distance
oblique MC, et à plus forte raison la distance perpendiculaire
MH, comme pouvant diminuer autant qu'on voudra, sans
pourtant devenir jamais rigoureusement nulle. La droite BK
est donc une asymptote de la courbe, qui d'ailleurs ne saurait
82 GÉOMÉTRIE PLANE.
la dépasser. Cette discussion conduit évidemment à la forme
tracée sur la figure, sauf les chances accoutumées de sinuosité
entre le pôle A et Tasymptote BK.
Le passage de Téquation naturelle à l'équation rectiligne pré-
sente, dans cet exemple, une circonstance nouvelle, qu'il im-
porte de remarquer, d'après l'utilité notable qu'on y trouvera
à introduire, comme intermédiaire, l'équation polaire autour
du point A, qui résulte presque immédiatement de la pre-
mière, et qui conduit également à la seconde. D'abord, l'une
des coordonnées naturelles MA, est précisément le rayon vec-
teur i/ du point M; quant à l'autre, NG, elle constitue, rela-
tivement à l'angle 9, une sorte de ligne trigonométrique inusi-
tée, égale à l'excès de sa sécante AC sur son cosinus AN, eu
égard à l'angle droit ANB, et en prenant AB pour rayon tri-
gonométrique. On forme ainsi l'équation polaire
2r ^ ^ sin^9
u =* 2r cos 9 = 2r ^,
coscp cos 9
où r désigne le rayon du cercle donné. Dès lors le passage à Pé-
quaUon rectiligne se fera sans difficulté, d'après le triangle rec-
tangle AMP, relativement aux axes, déjà motivés, AB et AY.
Cette équation sera finalement
y».
2r — x
Il est aisé d'y retrouver les indications géométriques déjà obte-
nues. Quant au sens de la courbure, encore indécis pour les
parties moyennes, le degré seul de l'équation confirmerait suf-
fisamment notre hypothèse, en indiquant l'absence de toute in-
flexion, afin que la courbe ne puisse jamais ofTrir plus de trois
points en ligne droite. Mais, d'ailleurs, on peut ici appliquer
aisément la méthode générale employée jusqu'à présent, en
considérant la corde indéterminée AM ' , dont l'extrémité a une
PREMIÂRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 83
abscisse arbitraire x\ L'ordonnée LQ ou z de cette corde, dé-
duite de la comparaison des triangles ALQ et AMT', sera ex-
primée par x 1/ 5 ,^ en sorte que
d'où il résulte, conformément à la forme supposée, que ^ sera
moindre que Zy tant que x restera inférieur à x' .
A cette définition primitive de la cissoïde, il convient de
joindre ici, d'après Newton, une génération remarquable par
un mouvement continu. Elle consiste, après avoir prolongé le
diamètre AB [fig. 26) d'une longueur AF égale au rayon, à faire
mouvoir un angle droit, dont un côté est de la longueur AB, de
telle manière que, son côté indéfini passant toujours en F,
l'extrémité L de son côté défini IL doive décrire la perpendicu-
laire DOD' : alors le milieu M de ce côté décrit nécessairement
la cissoïde. Car, l'égalité des triangles rectangles FLI et FLO,
où, par construction, FO = IL, donne FI = LO ce qui con-
duit à reconnaître l'égalité des triangles FEI et LEO, d'où il
résulte FE =» LE, et, par suite AE e=> EM, puisque AF et ML
sont tous deux égaux au rayon du cercle. Dès lors, la droite
AM devenant parallèle à FL, les triangles ACB et FLO seront
égaux, d'où BC «> OL, et, par suite, LC, égal et parallèle à OB
ou AO. On reconnaît ainsi l'égalité constante des triangles isocè-
les AON etCLM, et, en conséquence, des longueurs AN et CM,
ce qui équivaut à AM = CN, caractère primordial de la cissoïde.
Cette seconde définition pourrait fournir un utile exercice de
géométrie analytique, que je recommande aux commençants,
quand ils seront assez avancés pour surmonter les difficultés
qu'elle offre à la reproduction directe de l'équation rectiligne,
ce qui deviendra suffisamment possible dès la fin du chapitre
suivant.
84 GÉOMÉTRIE PLANE.
27. Userait maintenant superflu de prolonger davantage la
série d'exemples préliminairesquej*aijugée indispensable pour
rendre déjà convenablement familière la conception fondamen-
tale de la géométrie analytique. Toute la suite de notre étude
offrira d'ailleurs beaucoup d'occasions naturelles d'en indiquer
d'autres de plus en plus difficiles. Du reste, le lecteur peut ici
les multiplier spontanément, avec d'autant moins d'embarras
que la plupart des définitions ci-dessus considérées peuvent en
suggérer aisément de nouvelles ; c'est ainsi, par exemple, que
celles de la conchoîde et de la cissoïde pourraient être facilement
généralisées en y substituant, pour l'une à la ligne droite, pour
l'autre, au cercle telle courbe qu'on voudrait. Je crois seulement
devoir encore signaler ici, mais sans aucun examen, quelques
définitions propres à fournir d'utiles exercices.
On doit surtout remarquer la double suite de courbes que
Descartes a tirées du cercle. Les unes, fermées, se forment
d'abord en projetant sur un rayon quelconque la projection
de son extrémité sur un diamètre fixe ; en redoublant la même
construction envers la courbe ainsi obtenue on en déduit une
nouvelle, et pareillement à l'infini. Quant aux autres, qui sont
illimitées, on formela première en prenant, sur chaque rayon, le
point dont la projection sur le diamètre fixe appartient àla per-
pendiculaire menée à ce rayon de son extrémité ; chacune des
autres courbes de cette suite se déduit de la précédente selon le
même mode graphique, indéfiniment applicable. Ces deux
séries de lignes fournissent des exemples intéressants d'équa-
tions rectilignesde tous les degrés pairs, les uns simplement, les
autres doublement. En y substituant au cercle primitif une
courbe quelconque, on pourra saisir, en général^ le mode ana-
lytique invariable suivant lequel son équation polaire produira
celles des deux suites correspondantes : la subordination des
équations rectilignes en résultera facilement.
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 85
Je signalerai encore le lieu des points dont la somme des
carrés des distances à divers points fixes du plan demeure
constante. Le lecteur y reconnaîtra aisément un cercle dont le
centre coïncide avec le centre de gravité du système des
points donnés, supposés tous de même poids.
Enfin, j'indiquerai Tespëce la plus simple d'épicycloïde
plane, c'est-à-dire, le lieu d'un point de la circonférence d*un
cercle invariable qui roule sur un cercle fixe, de pareil rayon,
et qui, en même temps, tourne autour de son centre avec une
égale vitesse. Suivant que les deux mouvements sont contraires
ou conformes, le lieu est ou un cercle aisé à vérifier, ou une
courbe remarquable du quatrième degré. Cette équation se
formera facilement en introduisant, comme variable auxiliaire,
la direction de la ligne des centres. On pourra constater ainsi,
sans traiter formellement le cas général, trop compliqué, où les
deux cercles seraient inégaux, que le degré de Téquation y dé-
pendrait dû rapport de leurs rayons.
CHAPITRE m.
Théories préliminaires relatives : !<> à la ligne droite ; 2* à la transposition
des axes.
28. Pour compléter cette indispensable introduction à Ten-
semble de la géométrie analytique, il ne nous reste plus qu'à
exposer deux théories préliminaires extrêmement usuelles, sans
lesquelles Texplication des méthodes générales qui doivent con-
stituer notre principal objet se trouverait fréquemment inter-
rompue par des considérations incidentes, dont la reproduction
superflue y deviendrait bientôt aussi gênante que fastidieuse.
Théorie analytique de la ligne droite. Elle consiste essentiel-
lement à trouver les deux coefficients, linéaire et angulaire,
86 GÉOMÉTRIE PLANE.
propres & Téquation de chaque droite, quand, au lieu d'èU'e
immédiatement donnés, ils doivent résulter de tout autre mode
élémentaire relatif à la détermination de la droite cherchée,
d'après des conditions purement rectilignes. Judicieusement
réduite à ce qui concerne sa vraie destination pour Tensemble
de la géométrie analytique, cette théorie préliminaire se com-
pose seulement de trois questions essentielles, dont les combi-
naisons pourraient ensuite se multiplier beaucoup, mais sans
offrir presque jamais aucune utilité réelle.
i^ Équation d'une droits passant par deux points donnés. Spé-
cialement envisagée, cette question ne constitue, au fond,
qu'un simple problème de trigonométrie, où il s'agit, d'après
les distances de deux points M' et M" (fig. 27) aux deux axes
OX et OY, d'obtenir l'angle « formé avec OX par la droite qui
les joint, et la distance b où elle coupe OY. En nous bornant,
pour caractériser une telle solution, à y considérer ici le coef-
flcient angulaire, qui représente tang a, si les axes sont rec-
tangulaires, le triangle M' M" N l'exprimera aussitôt par ^^ — ^/,
formule qui convient également au cas des axes obliques, en
considérant la signiflcation trigonométrique que prend alors ce
coefficient.
Mais, sans insister davantage sur ce mode spécial, il faut
surtout envisager la question proposée comme un simple cas
particulier du problème général qui consiste à faire passer une
ligne d'espèce déterminée par un nombre suffisant de points
donnés. Quoique cette recherche ne doive pas encore être for-
mellement examinée, il convient néanmoins de sentir déjà que
la marche analytique qui va maintenant l'accomplir envei*s la
seule ligne droite, comporterait nécessairement la même effi-
cacité si, au. lieu de l'appliquer à l'équation y = or -j- ô, on
considérait toute autre équation générale.
PREMIÈRE PARTIE., CHAPITRE TROISIÈME. 87
Ce principe évident consiste en ce que, lorsqu'une ligne
passe eu un point donné, les constantes arbitraires de son
équation doivent satisfaire à la relation fournie par la substitu-
tion des coordonnées propres à ce point. Ainsi, la condition re-
lative au point M' assujettirait déjà les constantes inconnues a
et 6 à la relation
y' = ax' +i,
qui insuffisante à les déterminer, permet de les subordonner
Tune à Fàutre. On y rapporte communément le coefficient li-
néaire au coefficient angulaire, demeuré seul arbitraire dans
l'équation de la droite, qui devient alors
y—y'=a{x — x%
formule très-usuelle, et fort expressive, qu'il importe de re-
tenir. En considérant maintenant le second point M", on aura,
entre a et 6, une seconde relation y' ' = ax' ' -}- 6, qui, combinée
avec la précédente, les déterminera complètement, suivant la
v"--v'
nature géométrique du problème. On trouve ainsi ««— ^ ^
X — X
Le coefficient angulaire d'une droite passant par deux points
donnés est donc égal au rapport entre la différence de leurs
ordonnées et celle de leurs abscisses, conformément à la
solution tr|gonométrique. Il en résulte l'équation
dont la seule composition indique clairement le passage de la
droite aux deux points. Dans le cas particulier où ces deux
pointsseraient simplement ses intersections avec les deux axes,
on aurait, par exemple, x' =? a, y' =0, et a:" «» 0, y"= 6;
l'équation prendrait la forme
qu'il peut être utile de remarquer.
88 GÉOKÉTRIE PLANE.
Un troisième point étant évidemment superflu, son intro-
duction ferait naître une relation conditionnelle entre ses coor-
données a:" ' , y ' ", et celles des deux premiers, afin que Téqua-
tion déterminée d'après ceux-ci pût lui convenir aussi. On au-
rait ainsi, pour chaque nouveau point, la condition analytique
y —y _ y — y .
x'"—x' '^ x'' — x"
ou, en langue vulgaire, pour que plusieurs points soient en
ligne droite il faut que les diflférences de leurs ordonnées soient
proportionnelles à celles de leurs abscisses.
2^ Angle de deux droites, d'après leurs équations. Comme
cette seconde question est, par sa nature, particulière à la
ligne droite, elle ne saurait comporter aucune solution vrai-
ment analytique, comparable à la précédente. En n'y voyant
donc qu'un simple problème de trigonométrie, on peut d'abord
le résoudre aisément dans le cas, seul usuel, des axes rectan-
gulaires, d'après ce principe évident que l'angle de deux
droites équivaut à la différence de leurs inclinaisons sur une
ligne commune. Alors, en effet,'les coefficients angulaires pro-
pres aux deux équations données,
y = ax -^ b, y ^== a'x + b\
représentant les tangentes des angles a et oc' {fiff. 28), celte rela-
tion générale v = a — a' donne aussitôt
a — a'
tang V = — ;,
i-f- aa
Si les deux droites doivent être rectangulaires, tang v devra
devenir infinie, ce qui exige la relation très-usuelle aa'-|-i=»0,
i
d'où a' = : en sorte que, dans ce cas, les deux coeffi-
cients angulaires sont réciproques et de signe contraire ; con-
formément à l'évidente indication spéciale de la figure, où
PREMIÈRE PARTIE; CHAPITRE TROISIÈME. 89'
Fun des angles devient ainsi le supplément du complément de
l'autre.
Avec des axes obliques, on n'aurait plus tang a ea a, mais
plus compliquée
{a — a') sin 6
tang V =
i + aa' + (ût + «') cos ô'
dont il faut éviter de se surcharger la mémoire, comme n'of-
frant aucune utilité réelle.
3® Intersection de deux droites données. Ce problème con-
sistant à trouver, d'après les constantes propres aux équations
de deux droites données,
y = ew: -}- ô, y' = a'a: -f- b\
les coordonnées de leur point commun, on peut certainement
l'envisager comme une question trigonométrique, relative à
la résolution de la figure rectiligne qui résulte de l'assemblage
spontané des diverges grandeurs connues. Mais, outre cette
voie spéciale, qu'ilsufflt ici d'indiquer, cette troisième question
comporte évidemment, comme la première, une entière géné-
ralisation envers des lignes quelconques, et c'est seulement
ainsi que la recherche devient vraiment analytique. Les coor-
données despoiats d'intersection se distinguant algébriquement
de celles des points particuliers de chaque lieu par leur apti-
tude exclusive à vérifier simultanément les deux équations,
leur détermination résulte donc, en général, de l'opération
analytique qui assigne les solutions communes à ces équations
simultanées. Dans le cas actuel, ce travail algébrique ne pré-
sente aucune difficulté, et foui*nit
b' — b ab'-a'b
^ "^z — T^y ^~^ — :;r'
a — a a — a
14
90 GÉOMÉTRIE PLANE.
pour les coordonnées du point cherché. Mais, an lien de rete-
nir ces formules, il sera plus commode ordinairement d'en
reproduire Téquivalent envers chaque système de droites : le
principe est seul important. On conçoit, en outre, que cette
opération conduira à formuler la condition analytique du con-
cours de trois droites en un même point, puisqu'il faudra alors
exprimer que les coordonnées du point d'intersection de deux
d'entre elles conviennent à la troisième.
Tels sont les seuls éléments essentiels qu'il faille admettre
dans la théorie analytique de la ligne droite, communément
surchargée de questions superflues, qui n'offrent qu'une com-
binaison, rarement utile, de ces trois problèmes fondamentaux.
J'y joindrai seulement celle de ces questions composées, qui,
soit comme type, soit à raison de son utilité ultérieure, mérite
une soigneuse appréciation .
4® Distance d'un point donné à une droite donnée. Cette déter-
mination exige évidemment que l'on forme l'équation de la
perpendiculaire indéfinie menée du point M' {fig. iS), dont les
coordonnées sont x\ y*, à la droite NA, ayant pour équation
l/tsssax-\'b^ei qu'on en déduise les coordonnées de leur inter-
section K : la formule des distances conduira dès lors à l'ex-
pression de la longueur cherchée M*K ou p. D'après la pre-
mière de nos trois questions élémentaires, Téquation de la
droite M'K, en tant que passant par M', est
y — y' = a' {x — x').
En tant que perpendiculaire à la droite donnée, on a, suivant
1
le second problème, a' >=> . Si dès lors, conformément à la
troisième question, on calcule, sans aucun vain artifice algé-
brique^ les coordonnées du point de rencontre N, on en déduira
finalement, pour la distance demandée, la formule, utile à
retenir.
J
PREKIÉRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 91
La solution irigonométrique y conduirait directement avec fa-
cilité, d'après le triangle rectangle NKM', où Tangle M' est
égal à celui dont a est la tangente ; car, Thypoténuse de ce
triangle peut être regardée commela différence entre l'ordonnée
y' du point donné et rordormée correspondante ax' -{-bie la
droite proposée.
Outre cette question composée^ seule importante à men-
tionner, le lecteur peut s'exercer utilement sur quelques autres
combinaisons plus ou moins complexes. Je citerai surtout la
formuleremarquablequi exprime Taire d'un triangle d'aprësles
coordonnées rectilignes de ses sommets. En partant de la règle
géométrique ordinaire, on pourra déduire de ces coordonnées,
par des calculs peu compliqués si les axes sont rectangulaires,
la base et la hauteur du triangle, d'où résultera finalement
conformément àllndication géométrique directe, en concevant
le triangle M 7d "M"' (Jlg. 29) comme la somme des deux tra-
pèzes MT'M"P"etM"P"'M"P"diminuée du trapèze M'P'M"'?'".
Les commençants pourront aussi s*exercer, avec quelque
utilité, sur la théorie analytique de la ligne droite, en y véri-
fiant algébriquement plusieurs théorèmes, déjà vulgaires géo-
métriquement^ sur les convergences des trois droites qui peu-
vent résulter des trois côtés d'un triangle de diverses manières :
i^ comme perpendiculaires menées des sommets opposés ;
2^ comme joignant leurs milieux à ces sommets ; 3^ comme
leurs perpendiculaires en ces milieux ; 4^ enfin, comme bissec-
trices des trois angles. Tout le mérite de ces exercices élémen-
taires consistera dans l'heureux choix des axes, qui simplifiera
beaucoup des calculs autrement fastidieux. Au reste, après
92 GÉOMÉTRIE PLANE.
avoir calculé^ envers des axes communs, les coordonnées, en
général fort distinctes, de ces quatre intersections, on pourra
compléter cette opération en reconnaissant ainsi que trois d'en-
tre elles sonttoujoursen ligne droite; proposition géométrique
dont la démonstration directe serait embarrassante, mais qui
d'ailleurs est fort oiseuse.
29. Théorie de la transposition des axes. Cette seconde théorie
préliminaire, plus importante que la précédente, a pour objet
propre de déterminer les modifications que comporte Téquation
rectiligne d'une figure quelconque par suite du changement des
axes correspondants. Il suffit, à cet effet, d'exprimer, en gé-
néral, les coordonnées d'un point arbitraire relativement aux
anciens axes d'après ses coordonnées par rapport aux nouveaux
axes. La substitution ultérieure de ces formules invariables dans
chaque équation considérée y spécifiera l'influence analytique
d'une telle transposition, qui, en elle-même, se rapporte à un
point isolé, à quelque ligne qu'il puisse ensuite appartenir. Or,
l'établissement de ces formules ne constitue directement qu'un
simple problème trigonométrique, dont la solution n'offre au-
cune difficulté essentielle. Mais, avant de s'en occuper^ il im-
porte de caractériser nettement la double destination générale
de cette théorie indispensable, très-imparfaitement appréciée
d'ordinaire. Il faut, pour cela, considérer séparément ses deux
relations nécessaires avec la conception fondamentale de la géo-
métrie analytique, soit en ce qui concerne la comparaison des
lignes d'après leurs équations, soit quant à la simplification
algébrique de chaque équation isolée.
Sous le premier aspect, la théorie de la transposition des
axes est directement destinée à décider si la diversité actuelle
de deux équations indique une véritable distinction entre les
lignes correspondantes, ou si seulement elle tient à une simple
différence de situation : ce qui doit radicalement dissiper une
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 93
source fréquente de confusion que nous avons reconnue,
dès Torigine, naturellement inhérente à notre système de géo-
métrie analytique, où les idées de position sont seules immé-
diatement exprimables. Car, en faisant subir à Tun des deux
lieux comparés une transposition d'axes indéterminée, on réu-
nira, dans un même type algébrique, toutes les modiQcations
que le déplacement de cetle ligne pourrait apporter à son
équation. Sidonc les deux lieux coïncident réellement, il faudra
que cette équation, ainsi généralisée, puisse comprendre Tautre
comme cas particulier^ en disposant convenablement des con-
stantes arbitraires relativesàla situation des nouveaux axes pour
identifier les.termes par lesquels ces deux équations différaient
d'abord. Quand, au contraire, aucun système de valeurs réelles
de ces diverses constantes ne pourra sufBre à une telle identifica-
tion, on aura pareillementconstatéqueles deux lieux sont réel-
lement distincts. Les constantes ainsi introduites seront, en
général, au nombre de quatre, deux linéaires, relatives au
déplacementderorigine, et deux angulaires, indiquant la direc-
tion des nouveaux axes : mais, comme, dans cette comparaison,
rinclinaison des axes ne doit paschanger, ces deux dernières ne
seront pas alors simultanément arbitraires ; en sorte que les
formules de tranposition ne renfermerontici que trois données
vraiment disponibles.
Relativement àla simplification spéciale d'une équation isolée,
nous avons eu, au chapitre précédent, plusieurs occasions de
reconnaître l'influence notable que peut exercer, à cet égard,
le choix des axes. Or, d'un autre côté, les définitions géomé-
triques sont souvent impropres à indiquer directement les axes
les plus favorables : les cas que nous avons examinés feraient
concevoir, à cet égard, des espérances fort exagérées, si on
ne les jugeait pas, sous ce rapport, comme de véritables excep-
tions. Il faut donc, en général, penser quel'équation rectiligne
94 GÉOMÉTRIE PLAN£.
d'une courbe pourra fréquemment ne pas avoir d'abord la
forme la plus simple donleUe soitsusceptibleà raison du choix
des axes. Cela posé, la théorie actuelle fournit un moyen cer-
tain de découvrir toujours les axes les plus convenables, quel-
que compliquée que puisse être Téquation primitive. En effet,
il sufBt d'y opérer une transposition totalement indéterminée
pour découvrir aussitôt la situation des axes propres à y faire
disparaître certains termes dont les coefficients contiendront
les constantesarbitraires ainsiintroduites.Ces quatre constantes
seront ici pleinement disponibles, puisque rien n'oblige alors à
maintenir Tancienne inclinaison des axes, qui peut bien n'être
pas toujoursla plus propre à simplifier Téquation. Néanmoins,
l'avantage de conserver des axes rectangulaires ayant ordinai-
rement plus de prix que la faculté d'enlever un terme de plus
en disposant de leur obliquité, les formules de transpositionne
contiendront le plus souvent que trois constantes arbitraires^
comme dans leur première destination.
Quoique ce second but de la théorie actuelle soit, par sa na-
ture, aussi général que l'autre, il a réellement une moindre
importance dans l'ensemble de la géométrie analytique. Car,
la découverte de l'identité des courbes^ malgré la diversité des
équations, est également précieuse envers toutesleslignespos-
sibles. Au contraire, la simplification de chaque équation d'a-
près un choix convenable des axes ne saur^t offrir le même
intérêt pour tous les cas ; puisque la faculté qu'on acquiertainsi
d*ôter au plus quatre termes à toute équation devient nécessai-
rement moins efficace à mesure que le nombre total des termes
augmente par l'accroissement du degré. L'appréciation com-
mune repose trop exclusivement, à cet égard, sur la considé-
ration des courbes du second degré, dont les équations peuvent
perdre par là jusqu'aux deux tiers de leurs termes, ou la moitié
en maintenant la rectan^larité des axes ; tandis que, dès le
PREUÉRB PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 95
quatrième degré, ou même le troisième, la simplification cor-
respondante n'a plus qu'une faible importance, du moins par
rapport à Fensemble des cas, quoique chaque degré pltérieur
présente d'ailleurs certaines occasions d'utiliser notablement
une telle faculté analytique.
Après ces explications générales, relatives à la seule difficulté
essentielle de la théorie actuelle, il est aisé de procéder à ré-
tablissement direct des formules de transposition. H convient
toutefois d'y distinguer le déplacement de Torigine et le chan-
gement de direction des axes ; quand ces deux cas auront été
formulés séparément, le cas général en découlera spontané-
ment, si l'on conçoit les deux transpositions comme successives
au lieu d'être simultanées. Cette décomposition est d'ailleurs
très-conforme à la nature du sujet, en ce qu'elle permet d'ap-
précier distinctement les modifications analytiques relatives à
la simple translation des lieux et celles, plus profondes, qui
résultent de leur rotation.
Supposons donc qu'il s'agisse d'abord de passer des axes OX
et OY {fig. 30) à un système parallèle ayant son origine en 0'.
L'inspection de la figure indique aussitôt les formules
a: = a:' 4- û, y « y + 6,
où a et ( désignent les anciennes coordonnées de la nouvelle
origine, en ayant soin de leur attribuer, en chaque cas, les
signes convenables, sans lesquels ces formules ne sauraient être
suffisamment générales. On voit, par leur compositiou, que non-
seulement le degré d'une équation ne pourra jamais éprouver
ainsi aucun changement, comme il était aisé de le prévoir, mais,
en outre, que les modifications analytiques correspondantes
ne pourront jamais affecter les termes de plus haut exposant.
Considérons, en second lieu, le passage des axes OX et OY
{fig. 31) à d'autres axes OX' et OY', différemçQcnt dirigés au-
96 GÉOMÉTRIE PLANE.
tour de la même origine. Pour rapporter les coordonnées an-
ciennes MP et OP aux nouvelles MP' et OP', à Taide des don-
nées angulaires, la difficulté trigonométrique consiste à résou-
dre le quadrilatère OPMP\ d'après deux côtés et les angles.
Tout l'artifice de cette solution réside en une heureuse décom-
position des côtés inconnus MP et OP en deux parties plus ai-
sément appréciables, par les parallèles P'R et P*Q qui leur
sont menées de P', artifice d'autant moins difficile à retenir qu'il
est essentiellement analogue à celui qu'on emploie communé-
ment pour établir les formules de sin {a db b) et cos (a dz b) .
On a ainsi
a: = OR H- P' Q, y = P' R -f- MQ,
et dès lors on est assuré de la solution^ puisque ces quatre in-
connues auxiliaires appartiennent à deux triangles OP'R et
P'MQ, dans chacun desquels on connaît directement un côté
et les angles. En exécutant l'opération trigonométrique, on
trouve les formules
3:'sinr+y^sinY^ a:'8in(Y-X')4-y^sin(Y>-Y0
^"" sin Y ' ^"" sin Y
où les grandes lettres désignent les angles formés parles axes
correspondants avec l'ancien axe des ar. Cette notation expres-
sive, émanée decelledeCarnotpourlagéométrieàtroisdimen-
sions, dérive, au fond, de l'universelle notation géométrique
des angles, en y supprimant, comme inutiles, d'abord la lettre
relative au sommet identique de tous les angles considérés, et
ensuite celle qui indique leur côté commun.
La composition de ces nouvelles formules montre que le
changement de direction des axes ne peut pas non plus altérer
le degré d'une équation, suivant une appréciation naturelle
qui dispose à regarder, en général, ce degré comme consti-
tuant un caractère essentiel de chaque courbe : mais on voit
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 97
ici que la rotation d^unecourbe pourra modifier tous les termes
de son équation, sans excepter ceux du plus haut exposant,
que la simple translation ne pouvait atteindre.
Pour changer à la fois Torigine et la direction des axes, il
sufQt d'introduire un système auxiliaire, ayant même origine
que Tun des deux systèmes comparés et même direction que
Tautre. En combinant ainsi les deux sortes de formules, on
obtient aussitôt les formules de transposition les plus complètes
_a:'sinX+y'sinY^ _3:'sin(Y-X')+ y' sin (Y-Y')
sm Y sm Y
qui circonscrivent exactement Tiplluence générale que le sim-
ple déplacement d'une ligne quelconque peut exercer sur son
équation.
Gomme les axes primitifs sont presque toujours rectangu-
laires, il importe de remarquer la simplification qu'éprouvent
alors ces formules. En y supposant Y = 90®, elles prennent la
ïorme très-symétrique,
y = a;' sin X' 4- y' sin Y', a; = a:* cos X' + y' cos Y',
si l'origine n'est pas changée. Les nouveaux axes étant aussi le
plus souvent rectangulaires, on aura, en outre. Y' — X' = 90**,
d'où Y' = 90® + X' ; et, par conséquent, les formules de-
viennent
y = a:' sin X' -|- y' cos X'; ar = a:' cos X* — y' sin X'.
On retient aisément l'opposition de signes qui altère la symétrie
de ces dernières formules, d'aprèsla considération évidente que
la fonction y^ -f x^ doit alors demeurer invariable, comme
relative à la distance du point à la commune origine, pareille-
ment exprimable dans les deux systèmes rectangulaires : car,
on conçoit ainsi la nécessité d'un tel contraste algébrique, dont
le sens effectif peut ensuite se spécifier nettement, en ayant
igÊrâ^ sur la figore, à Flijpotliise pafficafiire x' «->0. Ces
f6Biifif|iics ont d^Mtant. pins dlntéfèt ^picccs iofioMlesdoifgat
Un, an fond, lei pins nsndles.
Afin de mienx earactériser déjà la prindpile destinaticm
générale des fonnnles précédentes, a^Iiqnons4es à la recon-
naissance de l*identité des conrbes refRiésenlées par les daix
équations
y« + ar* — i,y* + a* + 6x»^ = 2,
dont la différoice affecte même les termes dn plnshant degré.
Le calcul prescrit peut id s^abr^r beaucoup, en remarquant
que Torigine est alors le centre commundes deux courbes, évi-
demment symétriques Tune et Tautre autour des deux axes. Si
donc les deux courbes coïncident réellement, leurs équations
doivent èite identifiables par une simple rotation des axes, sans
déplacer aucunement Torigine. On substituera, par consé-
quent, dans la première, les formules
x^^x' cos X' — y* sin X*, y^^x* sinX' -f- y' cos X',
ce qui lui fera prendre la forme
y'*+sin*X'
sin* X'
+ C08*X*
+ 4 Bin» X' cos X'
— 4 cos» X' sin X'
x'*+ 12 sin» X' cos« X'
x'*y'
-f cos* X'
a:'» y» + 4 sin X* cos» X* | a:' y '» = 1.
— 4cosX'sin»X'
En la comparant à la seconde, après avoir rendu le premier
coefficient égal à Tunité, pour éviter toute condition superflue,
on voit que leur identification exige d'abord la disparition des
deux derniers termes, d'où résulte la relation unique
4 sin X' cos X' (sin* X' — cos» X') = 0.
Les facteurs sin X' et cosX' n'y pouvant être annulés, puisque
les axes ne seraient pas changés, la valeur de X' résultera du
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 99
troisième^ qui donne X* =» 45». On s'assurera aisément que
cette hypothèse satisfait aux autres conditions d'identification.
Ainsi la seconde courbe n*est réellement que la première qui
aurait tourné d'un demi-angle droit.
30. Quoique le passage du système rectiligne au système
polaire constitue, par sa nature, en géométrie analytique, une
opération très-différente de celle dont nous venons d'établir
les lois, puisqu'il s'y agit d'un vrai changement de système, et
non d'une simple modification de constantes, c'est ici néan-
moins qu'il convient le mieux de poser les formules, indispen-
sables à connaître, qu'exige une telle transformation, qui
d'ailleurs a ordinairement besoin d'être précédée d'une transpo-
sition d'axes, destinée à la faciliter autant que possible. Nous
supposerons, en effet, que les axes du système rectiligne sont
rectangulaires, que l'un d'eux coïncide avec Taxe polaire, et
que leur origine est placée au pôle. Quand ces conditions préa-
lables ne seront pas remplies, elles constitueront une difSculté
préliminaire, aisément levée, en chaque cas, d'après les for-
mules précédentes. Ce préambule simplifie beaucoup, etmème
caractérise mieux, l'opération propre au vrai changement de
système. Les ancienneset les nouvelles coordonnées d'un point
quelconque appartiennent alors & un même triangle rectangle,
qui fournit aussitôt, pour passer du système rectiligne au
système polaire, les formules très-simples
X sa ti cos f , y (=3 1^ sin <p,
ou, en sens inverse,
M = \/ y» 4- ar», tang <p — ^.
D'après leur nature, on voit que les équations qui seront al-
gébriques dans l'un des systèmes deviendront nécessairement
transcendantes dans l'autre, et que l'influence réciproque aura
100 GéOMÉTRIE PLANE.
lieu quelquefois, ce qui définit nettement le contraste analjrti-
que de ces deux systèmes, et caractérise l'aptitude spéciale de
chacun d*eux envers certaines courbes, quoique beaucoup d'é-
quationsdoiventd'ailleursyétrepresqueégalementcompliquées.
31. La première partie de notre étude étant maintenant com-
plétée, le lecteur peut désormais en saisir convenablement le
plan systématique, qui n'eût pas été d'abord suffisamment ap-
préciable. Ce préambule indispensable constitue une introduc-
tion fondamentale à Tensemble total de la géométrie plane :
quelque extension analytique qu'elle puisse ultérieurement re-
cevoir, toutes les notions s'y rapporteront toujoursà la concep-
tion générale que nous avons ici directement établie, puis
éelaircie par des exemples suffisants, et enfin appuyée des
moyens préliminaires convenables. Dès lors, la formation des
méthodes générales qui constituent l'objet essentiel de la géo-
métrie analytique se trouve maintenant assez préparée pour
que nous devions y procéder immédiatement, sans nous préoc-
cuper encore d'aucune application spéciale : telle sera la des-
tination delà seconde partie. Mais, après avoir ainsi appris à
résoudre, envers une courbe quelconque, chacune des ques-
tions analytiquement accessibles, il restera à combiner, dans
la troisième partie, ces diverses conceptions d'abord isolées,
afin d'apprécier, en général, comment leur connexité mu-
tuelle peut faire surgir graduellement des diverses équations
l'ensemble des figures correspondantes. Ainsi, la seconde partie
se rapportera surtout à la géométrie générale; la troisième
sera essentiellement relative à la géométrie comparée. Enfin,
pour achever de préciser autant que possible l'harmonie fon-
damentale entre les lignes et les équations, constituée dans la
première partie, et développée dans les deux autres, il faudra
réserver une quatrième et dernière partie à l'application spé- •
ciale de ces méthodes universelles envers certaines courbes
PREMIÉRB PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. iOi
choisies, où Tidée mère de la géométrie analytique devra rece-
voir une élaboration complémentaire, destinée à caractériser
sa modification finale d'après les convenances de chaipie cas.
Tel est le nouveau plan didactique que j'ai trouvé le pluspro-
pre à faire dignement ressortir Tunité philosophique que doit
offrir désormais Tensemble de la géométrie plane, en manifes-
tant la participation distincte de chacune de ses parties essen-
tielles à Tessor continu de la grande pensée que Descarteslui a
donnée pour base invariable-
n importe de sentir que ce plan rationnel n'est, par sa na-
ture, aucunement restreint à la branche élémentaire delà géo-
métrie analytique, quoique nous devions ici la considérer
exclusivement. La première partie est nécessairement aussi
complète maintenant qu'elle doive jamais Tètre, quel que soit
le progrès ultérieur de la géométrie plane. Quant à la seconde,
et par suite à la troisième, elles seront actuellement limitées
par l'imperfection de nos connaissances analytiques, qui ne
permettent pas d'aborder suffisamment plusieurs importante^
recherches géométriques : mais elles ne feront plus tard que
s'étendre davantage, quand une analyse supérieure rendra
graduellement accessibles des questions qu'il faut écarter ici.
Il en sera de tnême essentiellement pour la quatrième partie,
où, faute des procédés analytiques convenables, nous ne pour-
rions immédiatement entreprendre l'étude spéciale de plusieurs
courbes intéressantes, auxquelles on pourra ultérieurement
appliquer les diverses méthodes générales. Notre plan ne devra
donc jamais subir aucune altération essentielle, quelle que
puisse être ensuite l'extension réelle des moyens analytiques,
d'où résultera seulement son développement continu. Ainsi,
pour convertir cette étude élémentaire de la géométrie analy-
tique, en un système complet de géométrie, qui n'a jamais été
institué ni même conçu jusqu'ici, il suffirait d'y joindre couve-
i02 GéOMÉTSIB PLARB.
naUement, comme jeFai indiqaédans le tome I" de ma Phibn
Sophie positive^ les diverses classes de qaestions géométriques
qui correspondent anx divers degrés principaux de Tanalyse*
transcendante, tandis que nous devons maintenant nous réduire
aux spéculations suffisamment accessiUes à la seule analyse
ordinaire.
SECONDE PARTIE. 103
SECONDE PARTIE.
THEORIES GÉNÉRALES DE GÉOMÉTRIE PLANE, SUFFISAMMENT
ACCESSIBLES A l' ANALYSE ORDINAIRE.
32. Ces théories sont au nombre de sept, savoir :
i^ La théorie du nombre de points nécessaire à la détermi-
nation de chaque espèce de courbes ;
2^ La théorie des tangentes ;
3^ La théorie des asymptotes ;
i"" La théorie des diamètres ;
5® La théorie des centres;
&" La théorie de la similitude des courbes ;
7<* La théorie des quadratures, et, par suite, des rectifica-
tions et des cubatures.
A Texception de la seconde, de la troisième, et de la sep-
tième, elles peuvent être complètement établies par l'analyse
ordinaire, sans qu'une analyse supérieure doive réellement y
ajouter jamais rien d'essentiel. Quant à ces trois théories,
l'analyse transcendante est vraiment indispensable pour leur
procurer une entière généralité. Ce n'est qu'à l'aide du calcul
différentiel que la théorie des tangentes, et par suite celle des
asymptotes, qui en constitue, au fond, un appendice naturel,
peuvent être étendues à toutes les courbes actuellement expri-
mables par nos équations. De même, la théorie des quadra-
tures exige, encore plus fréquemment, l'emploi du calcul inté-
gral. Mais, quoique ces trois théories ne puissent, en effet,
104 GÉOMÉTKIE PLANE.
recevoir ici toute la plénitude dont elles sont susceptibles, il
n'en reste pas moins indispensable de lesytraitersous un point
de vue général, sans les rendre vicieusement adhérentes à
aucun des cas particuliers qu'elles pourront actuellement em>
brasser. Outre l'avantage philosophique d'une telle exposition,
seule conforme au véritable esprit delà géométrie analytique «
il est certain que, même envers la dernière théorie, la moins
accessible, par sa nature, à l'analyse ordinaire, on s'exagère
communément l'office de l'analyse transcendante, qui n'a pu
réellement que perfectionner des recherches antérieures à sa
formation, et qui l'ont même historiquement déterminée.
Notre théorie des tangentes, sans rien exiger au delà des plus
simples éléments d'algèbre, s'étendra immédiatement à toutes
les équations algébriques proprement dites, du moins après
certaines préparations, à la vérité quelquefois gênantes. Sans
comporter une telle extension directe, notre théorie des qua-
dratures embrassera pourtant des cas assez variés pour qu'il
convienne beaucoup de les ramener ici aune marche commune,
à laquelle l'analyse transcendante n'aurait ultérieurement qu'à
fournir des moyens de formulation et de développement mieux
adaptés à la nature du sujet. A l'un et à l'autre titre, ce pre-
mier état didactique de la géométrie générale se trouve histori-
quement représenté par la phase géométrique, très-mémo-
rable quoique peu prolongée, qui s'est accomplie entre Des-
cartes et Leibnitz, sous les efforts convergents de Fermât, de
Wallis, et d'Huyghens. Du reste, autant il importe d'attribuer
ainsi à l'analyse ordinaire toute la portée géométrique dont
elle est vraiment susceptible, autant il faut éviter de l'exagérer
puérilement par une imitation plus ou moins déguisée des
méthodes essentiellement infinitésimales.
Toutes les théories ci-dessus énumérées conviennent évidem-
ment à des courbes quelconques, sans aucun mélange de théo-
SBGONDE PARTIE. 105
ries purement spéciales. J'ai renvoyé à la quatrième partie une
théorie souvent qualifiée indûment de générale, celle des
foyers, qui est nécessairement particulière aux courbes du
second degré.
Quant à Tordre que j'ai établi entre ces diverses théories, j'y
ai d'abord considéré leur dépendance, et ensuite la facilité
ainsi que la perfection respectives. Tous ceux qui s'exerceront
à changer cet arrangement didactique reconnaîtront aisément,
j'espère, qu'il ne comporte réellement aucune modification
essentielle^ ni même utile. Dans un traité directement relatif
au système total de la géométriegénérale,tantélémentaireque
transcendante^ il importerait beaucoup de suivre rigoureuse-
ment Tordre rationnel, que j'ai depuis longtemps établi au
tome l" de ma Philosophie positive^ et qui résulte' naturelle-
ment des diverses sortes de moyens analytiques propres à Ten-
tière appréciation de chaque théorie géométrique, suivant
qu'elle dépend seulement de l'analyse ordinaire, ou qu'elle
exige Tun des trois principaux degrés de complication succes-
sive de l'analyse transcendante, bornée d'abord & Temploi du
calcul différentiel, poussée ensuite, envers d'autres questions,
jusqu'aux différentes branches du calcul intégral ; et enfin,
quant aux plus difficiles recherches, étendue même jusqu'au
calcul des variations. Mais, ici, où nous ne considérons que
les études géométriques plus ou moins accessibles à la simple
algèbre, il ne peut exister aucun semblable motif d'assujettir
cet arrangement provisoire à une règle invariable, dont la
discussion offrirait maintenant aussi peu de consistance que
d'utilité.
16
1
I
i
II
106 GÉOMânUE FLAJNB.
CHAPITRE PREMIER.
Théorie da nombre de points nécessaire à Tentière détermination de
chaque espèce de courbes.
33. Quoique le principe général d'une telle règle doive être
aussi ancien que l'idée noère de la géométrie analytique, jepuis
assurer que, quand j'entrepris, il y a vingt-cinq ans, de régé-
nérer renseignement mathématique,cette théorie n'était encore
ni formulée» ni même conçue, dans son ensemble, en sorte
que je dus alors la construire directement. Malgré sa grande
simplicité^ çei important sujet élémentaire continue aujour-
d'hui à être habituellement enveloppé de confusion et d'incer-
titude, au point que des géomètres, d'ailleurs habiles, y
commettent <[uelquefoifl de graves erreurs, faute d'en avoir
convenablement systématisé l'étude fondamentale.
Logiquement envisagée^ cette première théorie est éminem-
ment propre à fournir le type spontané de la perfection que
comportentles méthodes de la géométrie analytique, soit quant
à leur généralité, qui s'étendra ici à toutes les équations pos-
sibles, soit quant à leur facilité, le plus souvent poussée, à cet
égard, jusqu'à dispenser presque de tout calcul effectif. Néan-
moins, un tel modèle donnerait une idée exagérée de ce qui est
communémentréalisable,sionespéraitmalàpropospouvoirob-
tenir des règles aussi satisfaisantes envers des sujets plus difficiles.
Pour déduire, de l'équation d'une courbe d'espèce donnée,
le nombre de points qu'exige sa détermination totale, à la fois
de position et de grandeur, il faut, avant tout, établir soigneu-
sement une distinction fondamentale, ordinairement très-mal
SECONDE PARTIE, CHAPITRÉ PREMIER. 1Û7
conçue, entre le cas où Ton a directement Téipiation la plus
générale correspondante à la définition proposée et celui où l'on
ne connaît d'abord qu'une équation plus ou moins particfdière.
Ces deux dénominationssontici destinées à indiquerqueFéqua-
tion convient à toutes les situations possibles de la courbe, ou
qu'elle est restreinte à certaines situations^ quelquefois même
à une seule. Ainsi les équations y^+a:"— 26y— 2ar+(6*-f-^*
^r*)«BO, et j/'^ax-^'bj sont les plus générales du cercleet delà
ligne droite, tandis que les équations ya-|-x*™r*,yfe=iaa;, sont,
au contraire, particulières envers les mêmes lignes. On con-
fond encore trop souvent l'équation la plus générale de chaque
espèce de courbes avec l'équation la plus étendue du degré cor-
respondant ; ce qui est presque toujours erroné, même pour le
second degré, où l'équation la plus générale du cercle, aussi
bien que celle plus compliquée de la parabole, sont loin de
coïncider avec le type analytique le plus complet : à mesure
que le degré s'élève, ces cas se multiplient davantage, comme
on le sentira bientôt, comparativement aux autres.
D'après l'explication précédente, l'équation la plus générale
de chaque espèce de courbes est, en tout système de coor-
données, nécessairement unique. Mais, au contraire, l'équation
peut être plus ou moins particulière, selon qu'elle correspond
à des situations plus ou moins déterminées : c'estainsi que, par
exemple, y*+a:*— 2ar+a*— r*=0, constitue évidemment une
équation du cercle qui n'est ni la plus générale ni la plus par-
ticulière. Le degré de particularité s'estimera analytiquement
d'après le nombre de constantes arbitraires que perd alors
l'équation la plus générale : en sorte que les deux équations
aucercley*+a?*=8r3,y^=2r;r — x*, quoique distinctes, sont éga-
lement particulières, en tant que relatives à des positions aussi
restreintes. On aura lieu de reconnaître ci-dessous que cette
diminution variable du nombre de constantes arbitraires com-
108 GÉOHÉTRIE PLANE.
porte nécessairement une limite commune à toutesles courbes,
dont Féquation la plus étenduenepeutjamais perdre ainsi plus
de trois constantes.
34. Cela posé, considérons d'abord le cas où Ton connaît
Féquation la plus générale de la courbe proposée : c'est le seul
auquel doive se rapporter directement une telle détermination;
puisque cette équation est ici censée, en chaque occasion,
immédiatement donnée, le problème consistant alors à trouver,
pour les constantes arbitraires qu'elle contient, un système de
■
valeurs propre à faire passer la courbe par les points indiqués.
Soit donc
/(x^y, a, ô, c, d,,.,) = 0,
cette équation, où les inconnues sont les constantes, quelquefois
nommées géométriquement paramé^re^, d'ailleurs linéaires ou
angulaires, etc., «qui doivent distinguer la courbe demandée
d'avec toute autre de la même espèce. Tout point M' par où
cette courbe devra passer assujettira ces constantes à la relation
f[x\y'a, b, c, rf,...)c=»o,
résultée de la substitution de ses coordonnées spéciales x' eiy'
au lieu des coordonnées variables x et y. Ainsi le problème ne
sera déterminé qu'autant que le nombre de ces conditions, ou
des points qui les fournissent, se trouvera exactement égal à
celui des constantes cherchées. Néanmoins, en se hâtant de
rédiger, sous cette forme spontanée, notre règle fondamentale,
on risquerait souvent de commettre de graves erreurs, en
exagérant, quelquefois beaucoup, le nombre de points déter-
minant. Car, il peut arriver que les constantes arbitraires ren-
fermées dans l'équation la plus générale soient plus nombreuses
que les termes distincts quiles contiennent. Outre qu'une telle
circonstance peut fréquemment résulter des transformations
algébriques, elle peut aussi provenir de la nature même des
SECONDE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 109
définitions. Si, par exemple, on considère le cercle comme la
conrbe également éclairée par deux lumières, et qu'on place
au hasard les axes rectangulaires, son équation générale con-
tiendra certainement cinq constantes arbitraires, qui n'entre-
ront pourtant que dans trois termes. De même, et à un plus
haut degré, Téquation générale du cercle pourrait renfermer
un nombre quelconque de constantes, en cherchant le lieu
d'un point dont la somme des carrés des distances à divers
points fixes, aussi multipliés qu'on voudra, demeure inva-
riable. Or, en tous cas de ce genre, il est évident que le nom-
bre des constantes arbitraires indiquerait mal celui des points
déterminants, parce que les valeurs partieUesdeces constantes
ne sont alors nullement nécessaires pour que la courbe soit
pleinement individualisée, pourvu que l'on connaisse seule-
ment les valeurs collectives des divers groupes algébriques
suivant lesquels elles constituent les coefficients vraiment dif-
férents, et dont le nombre effectif doit ici indiquer la véritable
solution du problème proposé. Sans cette indispensable restric-
tion, les diverses transformations, soit analytiques, soit géo-
métriques, pourraient faire indéfiniment varier un caractère
qui doit être essentiellement fixe. La règle fondamentale que
nous cherchions doit donc finalement consister à opérer, sur
Téquation générale donnée, une double énumération, en y
comptant séparément etle nombre de ses constantes arbitraires
et le nombre des termes distincts qui les contiennent : le moin-
dre de cesdeux nombres sera toujours celui des points qu'exige
la détermination de la courbe correspondante; s'ils étaient
égaux, on adopterait leur valeur commune. C'est ainsi, par
exemple, que le cercle sera analytiquement reconnu détermi-
nable d'après trois points, de quelque définition que procède
son équation générale. 11 importe d'ailleurs de remarquer, en
principe, au sujet de cette règle, que, par la nature de la
iiO GÉOMÉTRIE PLANE.
question, elle convient également à tons les systèmes possibles
de coordonnées. C'est la seule théorie générale de géométrie
qui comporte un tel privilège, éminemment propre à en faci-
liter Tapplication.
35. Supposons maintenant que, suivant le cas le plus fré-
quent, la courbe proposée ne soit d'abord caractérisée analyti-
quement que par une équation plus ou moins particulière en
coordonnées rectilignes, comme la plupart des courbes intro-
duites dans la première partie de ce traité. Le seul moyen uni-
versel de connaître alors le nombre de points déterminant con-
siste à en déduire Téquation la plus générale, en y opérantune
transposition d'axes indéterminée, par la substitution des for-
mules
x^=^x' cos.X' — y' sin. X'-f- a, ys=x*sin.X'-}-y'cos X +é,
si les axes sont rectangulaires. Quelque particulière que puisse
être Téquation primitive, et quand même elle ne conviendrait
qu'à une seule situation, une telle transformation Taura tou-
jours assez généralisée, puisque la position de la courbe à
regard des axes y sera devenue tout à fait quelconque, pourvu
que Ton compte ay b, et X' comme trois nouvelles constantes
entièrement arbitraires. Cesecpndcas étant dès lors rentrédans
le premier, il suffira d'appliquer convenablementla règle fon-
damentale, de la même manière que si Téquation la plus géné-
rale eût été directement donnée.
La stricte exécution d'une telle opération exigerait souvent
de longs calculs pour ledéveloppement algébrique de la substi-
tution prescrite, quandles exposants seraient un peu considé-
rables . Mais il importe de reconnaître que Ton pourra fré-
quemment se dispenser d'accomplir cette substitution, en se
bornant à l'indiquer, ou même à la concevoir. Car, on n'a
réellement besoin ici de l'effectuer que pour la double énumé-
ration qu'exige notre règle envers l'équation généralisée . Or,
SECONDE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. iil
de ces deux dénombrements, le premier, celui des constantes
arbitraires, peut évidemment toujours être fait d'avance, puis-
qu'il se réduira nécessairement à augmenter de trois le nombre
indiqué par Téquation particulière donnée. Quant au dénom-
brement des termes distiacts, il ne serait certainement prati-
cable sans incertitude que d'après raccompljfssement effectif
d'une telle généralisation analytique ; mais nous savons, en
principe, qu'il ne devient réellement indispensable qu'autant
que ce nombre de termes se trouvera inférieur au nombre
total des constantes. Ainsi, la première énumération, toujours
immédiatement facile, indiquera d'abord, en un cas quel-
conque, une limite supérieure du nombre de points demandé,
cequidéjàpeutètre quelquefois fort précieux: mais, en outre,
cette indication deviendra souvent définitive, lorsque^ sans
connaître exactement le nombre effectif des termes propres à
Téquation généralisée, un premier aperçu de l'ensemble' du
calcul aura procuré la certitude que ce nombre ne serait pas
moindre que celui des constantes, tant primitives qu'intro-
duites.
En appliquant cette explication à la plupart des exemples
cités dans notre première partie, il sera aisé d'y découvrir le
nombre de points déterminant des courbes correspondantes,
quoique connues seulement par des équations particulières et
même uniques, qu'il serai)ourtant superflu de généraliser for-
mellement. C'est ainsi que l'équation du n^ 19
cy + (c^— cP) a?= ^* (c» — £?)
indique évidemment une courbe exigeant au plus cinq points
pour sa détermination, et avec la certitude que ce nombre
n'est pas trop considérable, puisque, sans exécuter la substi-
tution, on reconnaît aussitôt que les constantes c, cf, eta,d, X'
entreraient effectivement dans cinq termes distincts. On doit
/^
112 GÉOMÉTRIE PLANE.
toutefois remarquer, sur ce premier exemple, que le cas du
cercle efoiO, fait exception à la justesse de cet aperçu ; car,
Tune des constantes étant alors donnée, il en resterait encore
quatre, ce qui excède le vrai nombre des points. L*anomalie
tiendrait ici algébriquement à ce que, par une réduction spé-
ciale, que manifesterait seule l'exécution du calcul, les trois
termes autres que ceux du second degré contiendraient exclu-
sivement les quatre constantes arbitraires ; géométriquement^
l'exception proviendrait de ce que Téquation particulière ne
manque alors de généralité que relativement à Torigine, et
non quant à la direction des axes rectangulaires qui, en ce cas,
y pourrait être quelconque, en sorte que cette équation serait
suffisamment généralisée par un simple déplacement indéter-
miné de Torigine, qui n'élèverait qu'à trois le nombre total des
constantes arbitraires. Quelque satisfaisante que soit assuré-
ment cette explication exceptionnelle, la nécessité d'y recourir
et l'usage qu'on y fait des lumières déjà acquises sur une courbe
tant étudiée, doivent faire sentir avec quelle circonspection il
faut appliquer l'abréviation indiquée, et combien il importe,
en général, de se résigner à l'exécution du calcul prescrit,
quand les motifs de dispense ne présentent pas une parfaite évi-
dence. On conçoit d'ailleurs que, envers un grand nombre de
courbes, certaines définitions peuvent quelquefois donner des
équations particulières trop surchargées de constantes arbi-
traires. Mais ces diverses sortes de restrictions propres à notre
considération abréviative n'empêchent nullement qu'elle ne
soit^ en beaucoup d'autres cas, aussi certaine que commode.
Par exemple, l'équation commune des trois sections coni-
ques, trouvée au n® 23,
y' + (l—n») ar« — 2dx+ rf»— 0,
indique aussitAt, et sans aucune incertitude, que le nombre de
SECONDE partie; CHAPITRE PREMIER. 113
points déterminant est cinq pour l'ellipse et hyperbole, mais
seulement quatre pour la parabole, puisqu'alors n <» 1.
On trouvera pareillement, et avec encore plus d*assurance,
TU le degré supérieur, d'après Téquation des sections toriques
(n<^), que ces courbes sont déterminables par cinq points,
sauf celle que caractérise Tégalité des deux données linéaires,
et qui, à ce titre, n'en doit exiger que quatre. Pour la con-
cholde (n® 24), le nombre de points déterminant sera égale*
ment 5, avec la même réduction dans le cas analogue d'égalité.
Enfin, l'équation de la cissoïde (n'^G)
yr
2r — X
montrera, sans plus d'embarras, que cette courbe est détermi»
née par quatre points.
Il serait également facile de constater, sur de nouveaux
exemples,comprenant une infinité de courbes distinctes, que
les équations de la forme
y^^BMoaf^^ ou y«=a aa^-\- 6,
indiquent toujours des courbes exigeant, les unes quatre points,
les autres cinq, pour leur détermination: le motif de dispense
algébrique sera d'autant plus évident que les exposants m et n
seront plus élevés. On conçoit d'ailleurs que la théorie actuelle
est déjà aussi complètement applicable aux équations dites
transcendantes qu'à celles qualifiées spécialement d'algébri-
ques, sauf les difficultés analytiques correspondantes. C'est
ainsi que la même méthode, pareillement simplifiée, démon-
trerait, d'après les équations particulières
y r=a to*, y = a sin te,
quelenombredespointsdéterminant y estencore égal à5.
Sans multiplier davantage ici de tels exemples, lerapproche-
114 GÉOMÉTRIE PLANE.
ment^àlafoisanalytiqne et géométrique, de tous les cas cités
suggère aussitôt cette réflexion générale que le nombre de
points nécessaire & la détermination d^une courbe ne dépend
point essentiellement du degré, ni même delà nature, de son
équation, et pas davantage de sa figure essentielle. Nous trou*
vous surtout une exacte parité, à cet égard, entre des courbes
qui, sous tout autre aspect, ne semblent offrir aucun caractère
commun. Cependant une identité aussi importante ne doit pas,
sans doute, rester isolée. L'ensemble de mes méditations sur la
géométrie comparée^ dont Tétude, à peine ébauchée, est encore
si mal conçue, m*a depuis longtemps conduit à penser que les
courbes qui exigent le même nombre de points pour leur dé-
termination présentent, par cela même, beaucoup d'autres
propriétés communes. Mais Tétat présent de la science n'a ma-
nifesté jusqu'ici, à cet égard, que l'exacte parité ainsi assurée
à ces diverses courbes quelconques, dans la géométrie, trans-
cendante, quant aux degrés de contact ou d'osculation qu'elles
comportent envers toute autre figure : encore même cette ana-
logie nécessaire est-elle communément très-mal appréciée.
36. Afin de compléter notre règle fondamentale, il reste à y
caractériser l'indispensable modification qu'elle doit éprouver
lorsque, parmi les points que l'on fait concourir à la détermi-
nation de la courbe, on introduit quelque point singulier; c'est-
à-dire, suivant l'acception géométrique la plus étendue, un
point distinct de tous les autres par une propriété précise,
d'ailleurs quelconque, à laquelle on a égard; soit que ce point
appartienne, en effet, à la circonférence de la courbe, comme
un point d'inflexion ou derebroussement, etc., soit même, en
général, qu'il y adhère, intérieurement ou extérieurement,
comme un centre, ou un foyer, etc. De quelque manière que
s'opère la singularisation, chaque point de ce genre devra
toujours compter pour deux points ordinaires, parce qu'il don-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 115
nera lieu à deux équations de condition. S'ilestsur la courbe^
il faudra, outre la condition commune
/(z'y',a,*,c,d...)"=0,
considérer aussi la relation quelconque
qui formulera sa propriété caractéristique. Quoique cette se-
conde équation puisse être fort différente de la première, elle
participera tout autant à la détermination des inconnues a, 6,
r, d, etc., qui se trouveront ainsi tout aussi liées que d* après
deux points ordinaires. Lorsque le point singulier n* appartient
pasàla circonférence de la courbe, il faut concevoir, en gé-
néral, que, par cela même qu'il est unique, ses propres coordon-
nées a, 6, doivent dépendre, d'une manière déterminée, des
constantes qui spécifient la courbe, suivant deux fonctions,
a = ç [a^b^c^ rf...), 6 s=5s «j/ (a, 6, c, rf...),
dont la forme sera, dans chaque cas, exactement assignable^
d'après Téquation de la courbe, et le caractère du point. Donc,
réciproquement, Tindication de ces deux coordonnées assu-
jettit ces constantes, quand elles sont inconnues,;à deux condi-
tions distinctes, qu'on peut envisager comme tenant lieu,
pour leur détermination, de deux points quelconques de la
courbe.
On peut aisément vérifier cette loi uniforme sur toutes les
lignes introduites dans la première partie, et dont les définitions
contiennent des points évidemment singuliers. Si, d'après la
découverte, déjàaccomplie, deleur nombre ordinaire de points
déterminant, on examine, par contraste, la réduction spéciale
qu'il éprouve spontanément quand on y mêle ces points excep-
tionnels, il sera facile de constater successivement, suivant les
définitions respectives, que le centre du cercle, ^ue chacun
116 GÉOMÉTRIE PLAlfE.
des points fixes inhérents à Tnne on à Tantre génération des
sections coniqnes, que chaque point analogue propre à la no-
tion des sections toriques ou de la conchoïde, ou de la cis-
soïde, équivaut toujours effectivement, pour la détermination
delà courbe, àrobligation de passer en deux points arbitraires.
La seule dérogation apparente à Tuniformité de cette loi ad-
ditionnelle, semble devoir résulter d*abord deTinégale pluralité
des propriétés des divers points singuliers. Ainsi, parexemple,
un même pointpeut quelquefois être un centre et im pointd*in-
flexion : les sommets de Tellipse, primitivementdéfinispar sa
rencontre avec ses axes, sont aussi caractérisés parunetangente
perpendiculaire au rayon correspondant, et ils se distinguent
également comme points de plus grande ou de moindre courbure.
Entouscescas, on peut croire que Tintroduction de tels points
singuliers fournira de nouvelles équations de condition, à me-
sure qu'on formulera leurs diverses propriétés, en sorte qu'ils
tiendraient ainsi lieu, dans la détermination delà courbecher-
chée, tantôt de deux, tantôt de trois, ou de quatre, etc. points
ordinaires. Mais il est aisé de sentir que cette objection géné-
rale est purement spécieuse. On peut d'abord l'écarter par une
considération préjudicielle tirée de l'évidente absurdité qu'offri-
rait ainsi la variation continue dunombrede points déterminant
propre à chaque courbe par la découverte, toujours possible,
de nouvelles particularités envers les points déjà singularisés,
àmesure que l'étude spéciale de la courbe serait plus avancée.
Un examen direct fait ensuite sentir, en principe, que, par
quelque caractère précis qu'un point singulier ait été primiti-
vement défini et formulé, toute autre propriété quelconque
qu'on en découvrirait ultérieurement ne saurait fournir aucune
condition vraiment distincte; d'après l'enchaînement, sensible
ou inaperçu, général ou spécial, qui existerait nécessairement
entre les deux attributs géométriques, les relations analytiques
SECONDE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 117
correspondantes se trouveraient, en chaque cas , essentiellement
équivalentes ; en sorte que la multiplicité de ces conséquences
ne contribuerait pas davantage à déterminer les constantes
cherchées que Téquation initiale d'où elles pourraient toutes
dériver, plus ou moins péniblement.
37. Pour procurer toujours à la théorie actuelle toute la per-
fection effective dont elle est susceptible, il faut enfin expliquer
comment le principe analytique sur lequel elle repose unifor-
mément devient souvent applicable sans connaître encore
aucuneéquationrectiligne, même particulière, de la courbe
proposée, et en consultant uniquement sa définition géomé-
trique. On en concevra la possibilité si l'on considère que
Téquation ne sert ici que comme base d'un dénombrement qui
peut quelquefois être sufQsamment accompli d'après la seule
définition. Car, si le nombre total des constantes arbitraires
propres à Téquation générale se détermine toujours aisément
par une équation particulière, il se déduit encore mieux de la
définition même. Il sufQt, pour cela, d'y analyser exactement
les diverses données géométriques qu'elle indique commeindis-
pensables à l'entière détermination de la courbe : chaque point
fixe qu'elle contiendra introduirait certainement, par ses coor-
données, deux constantes arbitraires dans l'équation la plus
générale, à laquelle il faut sans cesse se reporter mentalement ;
il en sera de même pour chaque droite fixe, à cause de ses
deux coefficients angulaire et linéaire ; chaque cercle entière-
ment donné qui s'y trouverait ferait naître ainsi trois cons-
tantes ; chaque longueur ou chaque angle une seule, etc. Cette
nouvelle abréviation de la règle fondamentale aura la même
légitimité et offrira aussi la même chance d'erreur que celle
précédemment appréciée, puisqu'elle repose sur le même motif
analytique. On trouvera donc toujours ainsi une limite supé-
rieure du nombre depoints déterminant. Quand elieneserapas
^1^ GÉOMÉTRIE PLANE.
cr^ élevéet ce qui correspond au cas analytique où le nom-
V^ eflécUf des termes de Téquation générale ne se trouverait
^vait inférieur à celui des constantes, on le reconnaîtra géo-
ttit.Uriquement si la définition proposée est assez simple pour
tju'on puisse s'y assurer que les changements simultanés des
diverses données ne pourraient jamais se compenser de manière
)i ne faire aucunement varier la courbe.Cette condition est fa-
cile à vérifier envers les définitions déjà citées du cercle, des
sections coniques, des sections toriques, de la conchoïde, et
de la cissoîde, où Ton connaîtrait ainsi le nombre de points
déterminant indépendamment de toute équation, en parfaite
conformité avec le résultat analytique. Pour la signaler ici en-
vers une définition nouvelle, où Téquation ne nous est réelle-
ment pas connue encore, j'indiquerai la q/cloîde ordinaire,
engendrée par un point de la circonférence d'un cercle roulant
sur une droite fixe, à partir d'une certaine position, et tour-
nantsimultanément autourdeson centre avecla mèmevitesse:
la méthode précédente conduit aussitôt à reconnaître, sans la
moindre incertitude, qu'une telle courbe est déterminable
d'après quatre points. Afin de mieux apprécier cet extrême
perfectionnement de la théorie actuelle, il faut d'ailleurs sentir
que la définition proposée pourrait n'être pas même purement
géométrique : pourvu qu'elle soit précise, et que, du reste,
elle se prête suffisamment àl'analyse prescrite, elle conviendra
pareillement à une semblable distinction. Qu'il s'agisse, par
exemple, de la ligne suivant laquelle un poids doit descendre
pour arriver le plus promptement possible d'un point donné à
un autre point donné : quoique celte définition transcendante
soit uniquement dynamique et très-difficile à mettre en équa-
tion,notre méthodesubsidiaireyindiquedéjàclairement quatre
points déterminants; ce qui sera ultérieurement confirmé
quand on y aura reconnu la cycloïde.
SECONDE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 119
La grande facilité propre à ce perfectionnemeût final de
notre règle fondamentale, doit ici faire insister davantage sur
le danger, ci-dessus caractérisé en principe, qu'offrirait, en
beaucoup de cas, son intempestive application, quand le
nombre effectif des termes de l'équation générale se trouverait
inférieur au nombre ainsi prévu des constantes introduites.
Cette circonstance analytique correspondrait géométriquement
à la possibilité de faire varier à la fois plusieurs des données
inhérentes à la définition proposée, sans que la courbe en éprou*
vàt aucun changement réel, soit de forme, soit même de situa-
tion. Or, de tels cas, quoique fréquents, sont difficiles à cons-
tater clairement d'après la seule définition, surtout envers
des courbes peu étudiées ou très-compliquées ; et, quand une
foison lésa reconnus, il est presque toujours impossible d'y
réduire convenablement la limite supérieure d'abord obtenue
ainsi pour le nombre de points déterminant. Il est aisé d'en
citer quelques exemples caractéristiques, même envers le
cercle, la courbe la plus simple et la mieux connue: telle est
sa définition comme courbe également éclairée par deux lu-
mières, qui indiquerait aussitôt cinq points déterminants,
parce que les deux points fixes, et le rapport donné, pour-
raient varier conjointement, comme je l'ai montré au no21,
sans que la courbe changeât aucunement ; telle est aussi sa dé-
finition comme segment capable, où les deux points fixes et
l'angle donné pourraient certainement changer de manière à ne
pas affecter du tout le cercle correspondant; telle est, enfin,
éminemment sa définition, déjà citée, comme lieu d'un point
dont la somme des carrés des distances à divers points fixes
demeure constante. On peut ainsi juger des difficultés souvent
insurmontables que susciteraient de semblables inconvénients
envers des courbes plus compliquées et moins connues ; surtout
enconsidérantque la recherche du nombre de points détermi-
120 GÉOHÉTRIS PLANE.
nant doit être naturellement, à raison de sa simplicité supé-
rieure, le premier sujet d'études envers la plupart des lignes.
La règle analytique du n^ 34 est donc finalement la seule qui
comporte une universelle efficacité, et rien ne saurait dispenser
d'y recourir en général. Mais les inconvénients irrécusables
que présente, en beaucoup d'occasions, l'abréviation subsidiaire
que je viens d'expliquer n'altèrent nullement son heureuse ap-
titude envers les cas très-Aombreux où les conditions nécessaires
de sa légitime application se trouvent être suffisammentremplies.
En terminant ici l'exposition de cette première théorie géné-
rale, il importe de remarquer que, quoique nous n'y ayons
considéré d'autres conditions de détermination des courbes que
celles de passer par des points donnés, comme étant maintenant
les seules que nous sachions uniformément formuler, cepen-
dant l'ensemble des règles précédentes s'appliquera nécessaire-
ment à toute autre sorte de conditions géométriques, expri-
mables chacune par une seule équation, à mesure que nous en
apprendrons ultérieurement la représentation analytique; ce
qui devra beaucoup augmenter la portée et l'utilité des divers
principes que nous venons d'établir.
CHAPITRE II.
Théorie des tangentes.
38 . Cette importante théorie, base nécessaire du rapproche-
ment fondamental entre les figures curvilignes et les figures
rectilignes, repose tout entière sur une convenable définition
de la tangente. Dans sa première acception géométrique, ce
terme a été longtemps limité au cercle, où il désigne simple-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 121
ment une droite qui n'a avec la courbe qu'un seul point com-
mun. Il y aurait alors un vrai pléonasme à ajouter que tous
les autres points de la droite doivent être extérieurs à la
courbe, puisque cette circonstance résulte évidemment de la
condition primitive, non-seulement envers le cercle, mais
aussi quant à toute autre courbe fermée et non sinueuse. Tou-
tefois, ce caractère additionnel deviendrait, en d'autres cas,
indispensable, afin de distinguer suffisamment la tangente de
certaines droites ne rencontrant, comme elle, la courbe qu'en
un seul point; ainsi qu'on le voit, par exemple, dans la para-
bole, pour les parallèles à Taxe. Quoiqu'un tel complément
rende la notion initiale susceptible d'une assez grande exten-
sion, en permettant de l'appliquer à toutes les courbes, bien
plus nombreuses qu'on n'a coutume de le supposer, qu'aucune
droite ne saurait couper en plus de deux points, il est néan-
moins aisé de reconnaître que ce caractère primitif, ne peut
nullement devenir la base d'une définition vraiment générale.
Car, en beaucoup de cas, cette unité d'intersection ne constitue
point une condition, soit nécessaire, soit suffisante, tendant à
déterminer la tangente. Dans lacissoïde, par exemple (fig, 32),
la tangente en un point quelconque M coupera la courbe en un
second point N ; tandis que, au contraire, on pourra mener
de M une infinité de droites différentes, qui n'auraient que ce
seul point commun avec la courbe, sans qu'aucune d'elles
assurément fût tangente : on voit même que cette condition ne
saurait alors donner lieu à aucune question précise ; c'est ce
qu'offriraient presque toujoursles courbes ayant plus de deux
points en ligne droite. Mais, malgré cette évidente impossi-
bilité de conserver, en général, l'acception initiale du mot
tangente, les lois du langage et de lapensée imposent l'obliga-
tion de ne la changer que par une judicieuse extension, qui
reproduise spontanément le caractère primitif pour les cas
16
122 GÉOMÉTRIE PLANE.
particuliers auxquels on Tavait destiné d'abord : cette impor-
tante prescription philosophique doit être soigneusement respec-
tée envers toutes les conceptions scientifiques qui dérivent de
notions vulgaires, afin de maintenir toujours la continuité et
l'harmonie logiques, qui seraient gravement troublées par une
arbitraire altération technique des expressions communes. La
définition générale de la tangente, telle qu'on la conçoit main-
tenant, satisfait pleinement à cette condition indispensable.
Elle consiste à considérer la tangente comme la limite vers
laquelle tend une sécante dont Tun des points d'intersection
supposé mobile se rapproche indéfiniment de l'autre supposé
fixe, jusqu'à ce qu'ils se confondent exactement. Si Ton conti-
nuait ensuite la rotation, l'intersection mobile passerait au
delà de l'intersection fixe; en sorte que, en chaque point d'une
courbe quelconque, la direction tangentielle sert de ligne de
démarcation entre les directions qui coupent d'un côté de ce
point et celles qui coupent de l'autre côté. Quelque multipliées
que puissent être les intersections, on n'en doit ici combiner
que deux, puisque deux points suffisent pour déterminer une
droite : la confusion finale des deux premières ne décide rien
envers les autres, dont la coïncidence avec elles ne saurait
être facultative, et constituera, en effet, dans la suite, le
caractère propre de certains points exceptionnels.
On peut maintenant apprécier ce qu'une telle définition
générale conserve spontanément de la notion initiale : car,
envers une courbe quelconque, la tangente, ainsi conçue,
aura nécessairement un point commun de moins que les droites
qui en ont le plus ; par conséquent, pour toutes les courbes
qui ne sauraient offrir plus de deux points en ligne droite, la
tangente se trouvera caractérisée, en effet, par l'unité d'inter-
section, suivant la conception primitive, dont tout le vice
consistait donc en une trop grande restriction. Cette généralisa-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 123
lion s'accomplit d'ailleurs d'une m anière parfaitement conforme
à la destination fondamentale de la théorie des tangentes dans
le système total de la géométrie ; puisque l'indispensable rap-
prochement entre les figures curvilignes et les figures recti-
lignes, base naturelle des principales spéculations géométri-
ques, suppose toujours qu'on ait d'abord déterminé la loi sui-
vant laquelle varient les directions des côtés du polygone que
l'on substitue mentalement à la courbe, ce qui résulte évidem-
ment d'une semblable considération des tangentes.
Mn de prévenir toute incertitude sur une notion aussi capi-
tale, il importe enfin d'y apprécier spécialement la nécessité
d'opérer la coïncidence caractéristique des deux intersections
par la rotation de l'une autour de l'autre, et non d'après leur
commune translation parallèlement à la position primitive.
Ces deux modes seraient, sans doute, le plus souvent équiva-
lents; mais ils ne sauraient l'être toujours : ce qui suffit pour
que leur dictinction doive être soigneusement introduite dans
la définition générale. Lacissoïde en offre un exemple très-sen-
sible, si l'on considère en particulier le point de rebrousse-
men! 0, où la tangente OB résulte de la rotation de OK jusqu'à
ce que K et 0 se confondent; tandis que les perpendiculaires
à OB, eti se i^pprochant de plus en plus de 0, y produiraient
aussi là coïncidence de leurs deux intersections, sans y être
nullement tangentes : on voit même que cette coïncidence pro-
venue de la translation ne déterminerait, au point de rebrous-
sement, aucune direction précise; puisqu'un tel attribut y
appartiendrait indifféremment à une infinité de directions
obliques.
39. La définition fondamentale étant suffisamment établie, il
faut maintenant concevoir la théorie des tangentes comme
composée d'abord d'une question principale, consistant & déter-
miner, en chaque point d'une courbe, la direction de sa tan-
124 GÉOMéTRIE PLANE.
gente, et ensuite de plusieurs questions accessoires qui, quoi-
que également générales, ne constituent, au fond, que des
conséquences ou des transformations de la première. C'est sur
celle-ci exclusivement que portera ici le défaut actuel de géné-
ralité de notre théorie analytique, bornée aux ressources de
Talgèbre élémentaire : mais la manière dont toutes les autres
s'y subordonnent sera déjà traitée aussi complètement que pos-
sible; en sorte que l'extension ultérieure de la méthode des
tangentes, à Taide d'une analyse plus élevée, pourra être
réduite à la question principale, sans qu'il soit nécessaire d'y
considérer spécialement les questions accessoires.
D'après notre définition^ si l'on conçoit d'abord, par le point
donné {x'y y'), une droite qui ccupe la courbe, en un second
point (x*\ y"), son coefficient angulaire sera ^7; — ^, : la re-
cherche proposée consiste donc à trouver la limite vers laquelle
tend ce rapport à mesure que les coordonnées variables^:" et y"
se rapprochent indéfiniment des coordonnées fixes x' et y'. Si
l'on y posait aussitôt l'hypothèse extrême, a:"= a:', y " = y', il
deviendrait indéterminé, parce qu'on n'y a eu encore aucun
égard aux conditions qui ôtent l'équivoque naturellement
inhérente à cette coïncidence, et qui résultent de la situation
continuelle des deux points sur la courbe donnée f {x^ y) =0.
Ainsi, la difficulté du problème se réduit essentiellement à cette
question purement algébrique : utiliser les deux équations de
condition, f{x\y')*=Oeif{x'\ y")=0, de manière à trans-
former la fraction ^, — ^ en une autre équivalente qui ne
puisse plus devenir indéterminée, quand on y supposera
x*'^ax' et y"B=sy'. Cette transformation une fois accom-
plie, l'évaluation de ce rapport, pour cette hypothèse finale,
déterminera immédiatement l'expression générale du coeffl-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈHE. 125
oient angulaire de la tangente, propre à la courbe proposée.
On surmonte cette difficulté algébrique, en retranchant les
deux relations Tune de l'autre, afin de mettre en évidence, dans
chaque partie de cette relation composée,
/(^">r)-/(a:'yO = o,
ou le facteur y" — y' ou le facteur x" — x'^ de manière à dé-
gager ensuite aisément le rapport cherché. Mais, pour expliquer
convenablement cette opération, naturellement fondée sur la
divisibilité connue de a» — b^ par « — ô, il faut maintenant
spécifier la composition de Téquation proposée, que nous sup-
posons algébrique, rationnelle, et entière, d'ailleurs d'un degré
quelconque. En n'y mentionnant qu'un seul terme général de
chaque espèce, son type sera :
Ay»» + Bar» + CxPy^ + D =- 0,
en sorte que notre relation composée devient
A (y"*»— y'*») + B (ar"»— X'») + C {x''P y''^—x'v yV) =-0.
La transformation proposée, n'y offre quelque difficulté que
relativement au dernier terme, qui n'est spontanément divisible
ni par y*' — y' ni par a:" — x\ Or, la nature algébrique de ce
terme, où les deux variables sont mêlées, suggère aussitôt
l'artifice préparatoire d'après lequel il devient aussi convenable
que les autres, en portant à le regarder comme tenant lieu de
l'ensemble de deux termes distincts^ Tun analogue à ceux en y,
l'autre à ceux en a:, suivant la décomposition évidente
ar"P y'V — x'P y'V «= X''V (y'V — y'^) + yV [x''P — x'P),
qui transforme la relation primitive en
A (y"« — y'«) + B (a:"« — a:'«) + C x''v (y"9 — yV)
+ C y'9 {x''P — x'P) = 0.
Tous les termesyétantmaintenantdivisiblesou par y" «—y' ou
126 GÉOMÉTRIE PLANE,
par X" — x\ on en déduit aussitôt, d'après les règles connues,
La transformation proposée étant ainsi accomplie, il suffit de
poser maintenant y" = y' et x" ==» x' pour que cette fraction
détermine immédiatement le coefficient angulaire de la tan-
gente,
tang a = — ^j^y,«_i _,_ ycy'^-* a:'/»'
Au lieu de .rjetenir cette formule, ou d'en renouveler la recher-
che spéciale sur chaque exemple, il convient d'y saisir algébri-
quement le mode de dérivation de ses termes envers ceux de
l'équation primitive. Un premier aperçu comparatif montre
d'abord que les termes en x^ de cette équation ont seuls influé
sur le numérateur de ce résultat, et les termes en y sur le
dénominateur : quant aux termes en a; et ^ ils ont influé des
deux parts, mais toujours comme uniquement relatifs tantôt
& a: et tantôt à y. On voit ensuite que la dérivation a consisté à
multiplier, en chaque terme de l'une ou l'autre espèce, le
coefficient par l'exposant et à diminuer cet exposant d'une
unité. Telle est donc la loi générale suivant laquelle le coefll-
cient angulaire de la tangente résulte de l'équation rectillgne
de a courbe correspondante, dans tous les cas ci-dessus carac-
térisés.
On en simplifie, beaucoup l'énoncé et la notation par l'usage
élémentaire d'une grande notion analytique, dont la haute im-
portance géométrique va être bientôt appréciée directement,
outre sonimmédiate efficacité comme moyen d'expression: c'est
celle des dérivées proprement dite^. Ce nom, devenu spécial
depuis Lagrange, désigne, envers chaque fonction quelconque
d'une seule variable, le coefficient de la première puissance de
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 127
raccroissement de la variable dans le développement de Tac-
croissement de la fonction selon les puissances de celui de la
variable. Quand la fonction contient. deux variables, elle com-
porte naturellement deux dérivées distinctes, suivant que Ton
considère le changement exclusif de chacune d*elles, en traitant
Tautre comme une simple constante. D'après ces explications,
il est aisé de constater que la loi précédente peut s'énoncer
ainsi : le coefficient angulaire de la tangente est égal au rapport^
changé de signe^ entre les deux dérivées du premier membre de
r équation proposée ^ relatives, l'une à Vahscissey Vautre à F or-
donnée, du point de contact. Car, chacune des parties de notre
formule de tang a constitue évidemment, d'après la définition
précédente, la fonction dérivée de la partie correspondante de
Téquation primitive. La dérivée d'une somme étant d'ailleurs
nécessairement équivalente à la somme des dérivées de ses par-
ties, il est clair que la même loi de formation conviendrait
aussi au cas où l'équation eût renfermé plusieurs termes de
chaque espèce, chacun d'eux ayant séparément participé au
résultat comme son type unique. Nous allons bientôt recon-
naître que cette énonciation définitive de la règle des tangentes
ne constitue pas seulementune commode abréviation usuelle de
la loi algébrique ci-dessus obtenue, mais qu'elle exprime déjà
le mode le plus général pour la formation du coefficient angu-
laire de la tangente envers une courbe quelconque, sauf la
difliculté de trouver les dérivées de l'équation correspondante.
Quant à la notation analytique de cette même règle, il suffit
d'y appliquer aussi le mode éminemment simple et lumineux
que Lagrange a introduit pour les fonctions dérivées, en modi-
fiant seulement par un accent les caractéristiques des fonctions
primitives ; en sorte que /" (ar),ç' (ar), ^' (x), etc., désignent suffi-
samment lesdérivéesrespectivesde/(a:),ç(a:),iKx), etc. Envers
les fonctions à deux variables, il convient d'y distinguer les
Ji"
128 GÉOMÉTRIE PLAIŒ.
deux dérivées, non d'après le mode trop incertain que Lagrange
avait déduit du déplacement de Taccent, mais à Taide d'une
sorte d'adjectif analytique, consistant à placer, en indice, au
bas de la caractéristique^ le nom de la variable considérée :
ainsi, fx (x, y) et fy (a:, y) indiqueront les deux dérivées de
•
f [x^y], relatives, l'une à ar, l'autre à y. De cette manière,
notre loi des tangentes pourra être analytîquement formulée par
cette expression, très-concise et pourtant fort claire,
fy[^y y)
où aucune des indications essentielles n'est réellement omise.
On pourra même, après une suffisante habitude, augmenter
familièrement son laconisme sans altérer nullement sa netteté,
en faisant seulementporter sur l'indice adjectif la mention spé-
ciale du point de contact^ ce qui permettra de supprimer les
parenthèses, où il est trop lourdement indiqué. Aussi écrirons-
nous souvent cette loi sous la forme rapide
tang.«« — '— ,
fy
où rien ne pourrait être supprimé sans introduire aussitôt une
confusion radicale.
40. A ce mode éminemment élémentaire d'établir la règle
des tangentes, je crois devoir en joindre un second qui, sans
excéder d'avantage, au fond, les premières notions algé-
briques^ permet déjà de démontrer suffisamment l'entière
généralité de cette loi géométrique, sous la seule réserve des
difficultés analytiques que nous offrirait actuellement son appli-
cation effective au delà des cas que nous venons de considérer.
Il repose sur la convenable appréciation d'un artifice envisagé
d'oitlinaire comme purement spécial, mais qui, mieux jugé,
peut aisément devenir la base d'une véritable méthode générale.
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 129
C'est celui par lequel on trouve commodément la valeur du
coefQcient angulaire de la tangente quand le point de contact
est situé àToxigine des coordonnées^ en évaluant, dansTéqua-
tion de la courbe donnée, le rapport - pour are» 0, ce qui est
le plus souvent très-facile. Si, par exemple, d'après Téquation
de la cissoîde
^ "^ 2r — a:'
on veut connaître la direction de sa tangente à Torigine, on
aura
X V 2r — a: '
ainsi la limite du rapport de l'ordonnée àrabscisseindéflniment
décroissante est ici 0, en substituant or «> 0, ce qui montre la
tangente alors confondue avec Taxe de la courbe, conformé-
ment au résultat fourni déjà (n® 26) par la définition.
Une te]}e considération peut évidemment conduire à trouver
la loi générale du coefficient angulaire de la tangente en un
point quelconque d'une courbe : car, il suffit de transporter
l'origine en ce point {x' y'), sans changer d'ailleurs la direc-
tion des axes ; ce qui oblige à changer a: en x' -}- -2: ety eny '-|-y
dans l'équation proposée / (x, y) = 0, qui devient alors
Toute la difficulté, afin de retrouver ainsi la règle des tan-
gentes, consiste à bien discerner les seuls termes de cette nou-
velle équation qui doivent être pris en considération quand on
évalue - pour a; «= 0, y = 0, en écartant avec soin ceux qui, ne
•1/
pouvant exercer à cet égard aucune influence, compliqueraient
inutilement cette appréciation analytique. Or, il est évident
130 GÉOMÉTRIE PLANE.
que, si on développe Téquation selon les puissances croissantes
de X et de y, sous la forme
A+ Ba: + Cy + Dx^ + Eocy + Fy» +,etc., = 0,
le terme A indépendant de x et de y y coïncidant spontanément
avec/ {x\ y), se trouvera annulé suivant Thypothèse indi-
quée, et que, après avoir ensuite tout divisé par x^ dans la vue
d'introduire le rapport cherché, Téquation, devenue
B + C ? + Dic + Ey + Ff?^)y +, etc., = 0,
X \xi
ne conservera, lorsqu'on y posera a: =0, y=0, que ses deux
premiers termes : en sorte que, à îa limite voulue, le rapport
- sera exprimé par — =, sans dépendre aucunement des
termes d'un degré supérieur au premier. Si maintenant on
rapproche ce résultat de la définition précédente des dérivées,
on reconnaîtra aisément, avec un peu d'attention, surtout en
ayant soin, pour plus de clarté, de n'opérer que l'une après
l'autre les deux substitutions primordiales a:' +a: ety'4-y>que
ces coefficients B et G des premières puissances de j; et de y
constituent précisément les dérivées respectives du premier
membre de l'équation primitive relativement à a: et y, où l'on
aurait, bien entendu^ remplacé les coordonnées générales a:, y
par les coordonnées spéciales a:', y' du point de contact. Ainsi se
trouve directement établie la loi fondamentale des tangentes,
qui ci-dessus n'était encore qu^in simple résultat de calcul, alors
limité aux seuls cas considérés, mais désormais étendu, du
moins en principe, à toutes les équations possibles, sauf la
difficulté purement analytique de trouver les dérivées conve-
nables.
41. D't^rès les seules connaissances algébriques qu'exige ce
traité, ces dérivées ne pourront être immédiatement formées
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 131
que pour des fonctions algébriques proprement dites, qui soient
en outre rationnelles, et même entières, ou, en d*autres termes,
exclusiTement composées de simples puissances des variables.
La dérivation y consistera donc toujours à multiplier chaque
coefficient par l'exposant correspondant, et à diminuer celui-ci
d'une unité ; ce qui reproduira textuellement la formule ob-
tenue spécialement au n® précédent. Mais, quoique ces cas
soientles seuls où nous puissions ici déterminer immédiatement
les tangentes, la loi fondamentale de cette théorie géométrique
n'en est pas moins déjà complètement établie, en ne laissant
plus à désirer que Textension ultérieure des notions analytiques
sur la formation effective des dérivées.
Quand les équations données, quoique algébriques, seront
irrationnelles ou fractionnaires, notre règle des tangentes
pourra, même dans son état actuel, y devenir finalement ap-
plicable, mais seulement après les préparations plus ou moins
pénibles destinées à enlever les dénominateurs et les radicaux.
Si Ton a, par exemple, l'équation
*^ r
on ôtera d'abord le dénominateur en écrivant
icy B=a 1 ±1 a; y/il
et puis le radical en isolant et carrant, ce qui donnera, après
avoir développé et transposé, l'équation
x«y« _ x» — 2x'y + 1 =" 0.
C'est uniquement alors que nous pourrons immédiatement ap-
pliquer la règle des tangentes, d'où il résultera ici
3x* — 2x1/* + 2y
où l'on pourra, d'après l'équation primitive, mettre y en a:
de manière & obtenir finalement
132 GÉOMÉTRIE PLANE.
1
tang. « = — -, +
Dans les cas semblables, rimperfection actuelle de nos con-
naissances analytiques sur Tapplication effective de la règle des
tangentes consiste à ne pouvoir obtenir directement cette ex-
pression définitive, à laquelle nous n'aboutissons que par un
circuit algébrique plus ou moins laborieux, faute de savoir
prendre immédiatement les dérivées des fonctions proposées. Il
convient que le lecteur sente déjà, d'après quelques exercices
spontanés, ces divers embarras algébriques, qui caractérisè-
rent, à cet égard, Tétat de la géométrie analytique entre Des-
cartes et Leibnitz, et dont Tappréciation croissante constitua
Tun des principaux stimulants qui poussèrent àllnvention de
Tanalyse transcendante. Les difficultés relatives aux dénomi-
nateurs sont toujours bientôt surmontées : mais il n'en est nul-
lement ainsi pour celles que suscitent les radicaux. Si 6n pou-
vait partout, comme dans l'exemple précédent, ôter ceux-ci
en les isolant successivement afin d'élever ensuite aux puis-
sances correspondantes, une telle préparation ne serait pas
très-gênante. Mais cette marche n'est pleinement efficace
qu'envers un radical unique, et ne s'applique aux radicaux
simultanés qu'autant qu'ils sont du second degré seulement;
encore faut-il, même alors, qu'il n'en coexiste pas plus de
cinq : en tout autre cas, la suppression des radicaux exige
l'intervention des pénibles méthodes d'élimination propres aux
équations algébriques d'un degré quelconque, dont l'usage de-
vient presque toujours impraticable.
Pour faciliter, en beaucoup d'occasions, l'application de
notre règle des tangentes, il convient enfin d'y remarquer que
si l'équation proposée est résolue par rapport à y,.sous la forme
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 133
la loi générale se simplifie, et devient tang. a^a (p' (a:), la dé-
rivée relative à y étant ici i. Ainsi le coefficient angulaire de la
tangente est toujours exprimable par la dérivée de la fonction
qui représente l'ordonnée ; ce gui nous permettra, dès ce mo-
ment^ de le former plus aisément, quand cette fonction sera de
l'espèce de celles dont nous savons actuellement trouver les
dérivées.
Au sujet de ce principal problème, ainsi qu^envers les re-
cherches secondaires qui vont s'y rattacher, il est presque su-
perflu d'avertir expressément que toutes les solutions relatives
aux tangentes conduisent aisément à celles qui concernent les
normales, c'est-à-dire les perpendiculaires qui leur sont me-
nées des points de contact; quoique cette nouvelle forme d'une
telle étude puisse d'ailleurs en augmenter souvent, sous l'as-
pect algébrique, les difficultés spéciales, elle ne saurait exiger
jamais aucun nouveau principe géométrique.
42. La question fondamentale de la théorie des tangentes
étant désormais suffisamment traitée, considérons maintenant
la manière générale d'y rattacher successivement, selon leur
complication croissante, les diverses questions accessoires qui
peuvent en être envisagées ou comme des conséquences ou
comme des transformations.
Il faut d'abord examiner le cas où l'on demande une tangente
parallèle à une droite donnée. On connaît alors la valeur spé-
ciale du coefficient angulaire de la tangente, et il s'agit d'en
déduire réciproquement les coordonnées correspondantes du
point de contact. Notre règle fondamentale, qu'il faut seule-
ment ici appliquer aune destination inverse, fournit aussitôt
le moyen de mettre le problème en équation. Si f[x^y) = 0 est
l'équation de la courbedonnée, et y^= ax+b celle de la droite
proposée, on aura donc ainsi, entre les coordonnées inconnues
x\ y* du point du contact cherché, la relation
134 GÉOMÉTRIE PLANE.
qui, combinée avec la condition nécessaire / [x' y') «= 0, dé-
terminera ces inconnues, sans que la question puisse jamais
offrir d'autres difficultés que celles de Texécution algébrique.
Qu'il s'agisse, par exemple, de la courbe y^ = j;', et qu'on
veuille lui mener une tangente parallèle à la droite y =3 x, les
équations seront, en supprimant les accents inutiles,
4 8
d'où U résultera x == - et y =5;:- pour le point où la tangente
est inclinée à 45®. Quand le problème sera impossible, on le
reconnaîtra ainsi, comme de coutume, en trouvant des coor-
données imaginaires, ou tout au moins infinies si la direction
donnée appartenait à la limite des tangentes d'une courbe
indéfinie.
Supposons, en second lieu, qu'on demande une tangente
passant par un point extérieur donné. En renversant encore le
problème fondamental, on introduira les coordonnées incon-
nues du point de contact, d'après lesquelles l'équation de la
tangente serait
4.»= — f'xjx', y')
^-^ — Mï\7r^''~*^
où il faudra exprimer la condition de passer au point donné
(€, a), ce qui fournira la relation
pour déterminer, conjointement avec la condition spontanée
f (x\y') = 0, les deux inconnues x' et y'. Dans la courbe
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 135
y^z=i 3? on trouverait ainsi x\ et par suite y\ d'après
Téquation
a:'» — 6oca:'^ + Qa^j:' — 46» = 0,
qui ne peut plus présenter que des difficultés d'algèbre.
43. Considérons maintenant une troisième question générale
qui, quoique semblant purement préparatoire, mérite d'être
soigneusement séparée, soit à raison de son importance propre,
soit en vertu du nouvel aspect sous lequel elle conduit à envi-
sager l'ensemble de la théorie des tangentes : c'est celle où Ton
se propose de trouver la relation constante entre le coefficient
angulaire et le coefficient linéaire de tonte droite y = aar + ô
tangente à une courbe donnée, indépendamment de la position
particulière du point de contact. Une fois obtenue^ cette rela-
tion caractéristique pourra indifféremment concourir à déter-
miner, suivant les cas, ou la droite ou la courbe.
On peut d'abord envisager cette nouvelle recherche comme
une simple conséquence de la question fondamentale. Car, en
introduisant encore, à titre d'auxiliaires provisoires, les coor-
données x' et %f du point de contact indéterminé, on exprimera
la coïncidence de la droite proposée avec l'une des tangentes
de la courbe / {x^ y) = 0, d'après les deux formules d'identi-
fication
/y fv
il ne s'agira plus que d'éliminer x' et y' entre ces deux équa-
tions et la condition spontanée f[x\ y') = 0, ce qui fournira
la relation demandée entre a et 6. Soit, par exemple, la courbe
y« = ar^ : on aura
AX j, oX
136 géométrie: plane.
et l'éliminalion donnera aisément 6 = — ô^ î ®^ sorte que Té-
quation
Ko?
représentera i*ensemble des tangentes de cette courbe^ sî a y
reste arbitraire, et successivement chacune d'elles suivant les
valeurs spéciales de ce coefficient angulaire.
Cette manière de découvrir la condition cherchée est, par sa
nature, aussi générale que la méthode des tangentes d'où elle
dérive, et offrira même le plus souvent, outre cette pleine
généralité intrinsèque, une moindre difficulté d'exécution qu'au-
cune autre. Mais il n'en importe pas moins de caractériser ici
soigneusement un second mode, non moins général en prin-
cipe, quoique d'une application ordinairement plus pénible
et moins étendue. Indépendant de la règle primitive, cet autre
mode pourra, réciproquement, d'après l'intime connexité
naturelle des deux questions, en reproduire finalement l'équi-
valent essentiel. C'est même sous une telle forme que la théorie
des tangentes fut analytiquement créée par Descartes. Bien
que l'usage ait ensuite justement conduit à préférer la forme
mieux exprimable que nous avons expliquée d'abord, cet
ancien mode conserve encore, en certains cas, une haute uti-
lité scientifique, indépendamment de son importance histo-
rique.
Il repose sur le principe des racines égales, immédiatement
dérivé de la définition des tangentes. Si une droite y c= aa: -f 6
touche une courbe / (a:, y) = 0, l'équation
f{x,ax-\' 6)=«0
qui détermine les abscisses des points communs doit alors offrir,
entre deux de ses racines, une égalité caractéristique, qui,
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 137
algébriquement formulée, fournira la relation deakb propre
à distinguer toute tangente d'avec une simple sécante.L^obliga-
tion de n'envisager que deux racines égales résulte évidemment
de la vraie notion des tangentes, où deux points doivent seuls
être combinés ; on conçoit, au reste, algébriquement, qu'un
plus haut degré de multiplicité établirait, entre a et 6, plu-
sieurs relations ; ce qui est manifestement contraire à Tesprit
de la question, où ces constantes, quoique liées, doivent rester
chacune indéterminée. Quand l'égalité de deux racines entraî-
nera celle d'un plus grand nombre, cette circonstance, néces-
sairement exceptionnelle, constituera naturellement le carac-
tère analytique de cei*tains points singuliers.
Toute la difQculté étant ainsi réduite à exprimer,dans l'équa-
tion précédente, une telle égalité, cette question analytique est
facile à résoudre^ indépendamment de toute théorie spéciale
d'algèbre, en déterminant, à la manière de Descartes, la con-
dition de divisibilité du premier membre de cette équation en x
par un facteur du second degré carré (x — A)^, comme on le
faisait avant la naissance de la théorie des racines égales pro-
prement dite, dont l'intervention ultérieure sera d'ailleurs
ordinairement beaucoup moins favorable qu'on n'a coutume de
le supposer à la simplification effective des calculs. Le moyen
le plus naturel, et presque toujours le plus commode, de for-
muler cette divisibilité caractéristique, consiste, comme on
sait, à accomplir la division, pour annuler identiquement le
reste du premier degré. On obtiendra ainsi deux équations,
entre lesquelles il faudra éliminer l'indéterminée auxiliaire A,
qui représente ici l'abscisse du point de contact ; le résultat de
cette élimination constituera la relation cherchée. En opérant
ainsi sur la courbe y^ «=» a:*, on retrouvera, mais plus pénible-
ment, la condition ci-dessus obtenue.
Quoique le principe de cette seconde méthode comporte évi-
n
GÉOJléTRIE PLANE.
138
Ht une entière généralité, son expression analytique est
sentiellement bornée aux équations algébriques proprement
rendues même préalablement rationelles et entières,
dans une équation transcendante, ou simplement irration-
elle on ne saurait aujourd'hui comment découvrir directe-
ment la condition de l'égalité de deux racines. A.insi, la pre-
mière méthode,ultérieurementapplicabIeàtoutesleséquations,
est en général, préférable, bien que le lecteur ne puisse ac- •
tuellement l'employer qu'avec les mêmes restrictions que pour
la seconde. Toutefois, celle-ci mérite d'être soigneusement
étudiée, outre l'importance généraledu principe correspondant,
à cause des facilités analytiques qu'elle présente quelquefois,
quoiqu'elle soit, tout compensé, habituellement plus pénible.
Elle ofTre surtout un grand avantage envers les courbes
du second degré, puisque la condition d'égalité s'y exprimera
immédiatement d'après une formule très-élémentaire, sans
exiger ni la division, ni surtout l'élimination subséquente, qui
constituent les plus grands embarras algébriques de cette mé-
thode.
De quelque manière que soit traitée cette importante question
du contact indéterminé, elle fournit aussitôtle moyen de mettre
en équation le problème général de géométrie qui consiste à
mener une tangente commune à deux courbes données : puisque,
en formulant ainsi chacune des conditions du problème, on
établira les deux équations propres à déterminer le coefBcient
angulaire et le coefficient linéaire de la droite cherchée. Qu'on
demande, par exemple, la tangente commune aux deux courbes,
ya = a:», ya4-a:« = i,
on aura d'abord, pour la première, la condition de contact déjà
obtenue ô= — — ; quant à l'autre, il convient évidemment de
2 1
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 139
préférer la seconde méthode, qui donnera finalement la condi-
tion b^^=^a'^ + i: telles sont donc alors les deux équations du
problème ; en y éliminant b^ tout dépendra enfin de Téquation
16a« — 729a^=729,
réductible au troisième degré, et qui ne comportera, confor-
mément à la figure, qu'un seul couple de valeurs réelles de a.
44. Passons maintenant à la plus vaste et la plus difficile de
ces questions accessoires, en cherchant d'abord, par la géné-
ralisation du problème précédent, la condition analytique d'un
contact indéterminé entre deux courbes quelconques. Hais ici
il faut, avant tout, et c'est en cela que consiste, en principe,
la seule difficulté propre à cette nouvelle recherche, il faut^
dis-je, caractériser soigneusement ce qui constitue le contact
de deux courbes.
Rien n'empêche, sans doute, d'étendre immédiatement à une
ligne quelconque la définition du n® 38 relative à la tangente
proprement dite, en concevant, par exemple, un cercle passant
en deux points distincts de la courbe donnée, et considérant la
limite vers laquelle il tend quand le point mobile se rapproche
indéfiniment du point fixe. Mais il existe évidemment, entre
les deux cas, cette différence radicale que , toute ligne droite étant
déterminée d'après deux points, tandis qu'un cercle ne Fest pas,
une telle limite sera essentiellement précise envers la première
ligne, et au contraire vague, sans être arbitraire, quant à la
seconde : on pourrait^ par exemple, choisir à volonté le rayon
du cercle, et alors seulement sa situation extrême deviendrait
aussi déterminée que celle de la droite. Si, au lieu d'un cercle,
on considérait une parabole, dont la détermination exige un
point de plus, la limite d'une telle relation serait encore plus
indéterminée et ainsi progressivement à l'égard de courbes
où le nombre de points déterminant croîtrait peu à peu. Ce
140 GÉOMÉTRIE PLANE.
mode primordial de définir le contact de deux courbes, d'après
une sérvile imitation de ce qui convient à la ligne droite,
constitue donc une notion géométrique nécessairement impar-
faite et même confuse, pour tout autre cas que celui qui en a
fourni le type spontané. Le seul moyen général de compléter
convenablement une telle notion, en lui imprimant toujours
un caractère pareillement déterminé, consiste, suivant la
grande conception de Lagrange, à imiter plus judicieusement
la définition initiale, en y remplaçant, dans chaque cas, le
nombre deux des points coïncidents par celui qui correspond à
rentière détermination de la ligne introduite, trois quant au
cercle, quatre envers la parabole, etc. C'est ainsi que, comme
toutes les autres idées scientifiques, Tidée de contact, d'abord
absolue, parce qu'on n'en avait apprécié qu'un seul cas, devient
essentiellement relative, et comporte divers degrés de pléni-
tude, ordinairement qualifiés aujourd'hui cC oscillations. Mais
cette manière, seule vraiment philosophique, de concevoir,
d'après Lagrange, la théorie générale des contacts des courbes,
ne peut être convenablement suivie que par l'analyse transcen-
dante, sauf l'indication ci-dessous du mode selon lequel l'ana-
lyse ordinaire pourrait, en certains cas, l'ébaucher. Nous de-
vons donc, après en avoir posé ici le principe géométrique, en
renvoyer la constitution analytique à la géométrie transcen-
dante,et nousborner maintenant à considérer envers les courbes
ce degré élémentaire de contact déjà familier à l'égard de la
ligne droite, et seul pleinement accessible à la préparation ana-
lytique que ce traité ^xige du lecteur.
Ainsi conçue, la recherche de la relation, alors aussi unique
que dans le n» précédent, entre les constantes arbitraires de
deux courbes,
par suite d'un contact indéterminé, devient aussitôt une consé-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 141
quence naturelle de notre question fondamentale. Car, il ré-
sulte évidemment des définitions respectives, que les deux
courbes ont dès lors en un même point une même tangente.
Introduisant donc, comme auxiliaires, les coordonnées x eiy
du point de contact, elles devront vérifier, outre les deux
équations proposées, la condition
A ?V
qui exprime, d'après cela, la coïncidence des deux tangentes.
Si donc, entre ces trois équations, on élimine ces coordonnées,
on obtiendra finalement la relation demandée. Qu*on cherche
par exemple^ la liaison de ah b propre à rendre la courbe in-
déterminée
xy^=^€ix + fyy
tangente à la courbe déterminée
y'^ = x\
il faudra donc éliminer xeXy entre ces deux équations et Té-
quation
2y X — b'
Celle-ci donne aussitôt a? = ô + 2ay — 2y*, qui, substitué
dans y^j==' x^ fera trouver aisément y, et par suite a:, en a et ô :
on n'aura donc qu'à porter ces expressions dans la première
i
équation, et Ton trouvera finalement la relation ô = — - a*.
Ici, comme au n' précédent, la question comporte évidem-?
ment un second mode de solution, d'après le principe des ra-
cines égales. Une fois y élimiiié entre les deux équations pro-
posées, il suffira de formuler, de lamême manière que ci-dessus,
l'égalité de deux racines dans cette équation finale propre aux
abscisses des points communs. Pour les courbes qui viennent
142 GÉOMÉTRIE PLANE.
ax
d'être considérées, on aurait, suivant la première, y «a ,
et Téquation finale serait
a:a — (a« + 26)a: + 6» = 0,
qui reproduit aisément la relation déjà obtenue par Tautre
méthode . L'application habituelle de ce second mode donnerait
lieu à une simple extension des réflexions suffisamment indi-
quées au n® précédent envers les contacts rectilignes.
La principale propriété théorique de cette dernière méthode
consisterait à nous permettre déjà de caractériser analytique-
ment, dans les cas où elle est applicable, les divers degrés de
contact,.dont j'ai tout à l'heure établi l'appréciation géomé-
trique. Car, le principe des racines égales n'a besoin, pour
cela, que d'une suffisante extension, en considérant alors l'é-
galité, non plus seulement entre deux racines de l'équation
finale, mais entre trois, ou entre quatre, etc., d'après la divi-
sibilité par [x — A)* ou [x — A)*, etc,, selon qu'on chercherait
le cercle, ou la parabole, etc. , susceptible du plus intime con-
tact possible avec la courbe donnée. Il est aisé de sentir que
l'on obtiendrait ainsi toujours autant d'équations qu'il en fau-
drait pour déterminer la courbe osculatrice, sauf une seule
constante arbitraire qui servirait à la faire passer ensuite, si on
le jugeait convenable, par un point particulier. Mais l'analyse
transcendante fournira ultérieurement, à cette fin, des moyens
bien plus commodes, même envers les courbes algébriques^
auxquelles convient exclusivement le mode que je viens d'in-
diquer.
En revenant au simple contact ordinaire formulé par une
seule relation, on conçoit que les conditions de ce genre pour-
ront désormais contribuer à la détermination des courbes con-
jointement avec leur passage en certains points, unique phéno-
mène géométrique donl Texpression analytique nous était pri-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 143
mitivement possible : cette participation sera d*ailleurs toujours
assujettie à la théorie fondamentale du chapitre précédent,qui
vient de recevoir ainsi sa première extension générale. U sera
maintenant facile, quand le nombre des contacts, rectilignes ou
curvilignes, sera par là jugé suffisant, de mettre en équation
ce problème géométrique très-étendu et fort difBcile, résultat
définitif de notre théorie des tangentes : déterminer une courbe
d'espèce donnée tangente à certaines courbes entièrement don-
nées. Quoique les relations ainsi obtenues pour calculer les
paramètres inconnus de la courbe cherchée doivent être sou-
vent inextricables, môme dans le cas d*un cercle tangent à trois
courbes peu compliquées, une telle considération n'en est pas
moins éminemment propre à faire dignement apprécier l'ad-
mirable généralité qu'ont acquise les spéculations géométriques
sous un judicieux ascendant des conceptions analytiques, d'a-
près la grande rénovation cartésienne.
45. Après avoir sufiisamment expliqué la théorie des tan*
gentes, il nous reste à considérer un exemple caractéristique
qu'elle nous offre spontanément de l'aptitude naturelle des
conceptions géométriques à perfectionner, à leur tour, les
spéculations analytiques, en y facilitant, par une lumineuse
représentation, la découverte des principes essentiels, comme
je l'ai indiquée, en général, au début de ce traité. Il s'agit de
l'importante détermination des moxtma eiminima pour les fonc-
tions d'une seule variable, dont nous aurons d'ailleurs besoin
bientôt à divers égards, et que cette heureuse intervention va
déjà nous permettre d'étendre à des cas beaucoup plus variés et
plus difficiles que ne semblent le comporter les connaissances
analytiques purement élémentaires exigées ici du lecteur.
Mais, avant tout, il faut caractériser soigneusement la nature
générale de cette recherche, et même ensuite résumer sommai-
rement les moyens préalablement fournis, à ce sujet, par l'a-
nalyse ordinaire.
144 GÉOMÉTRIE PLANE.
Les dénominations usitées sont très-propres à bien rappeler
en quoi consiste ce genre de questions, car elles indiquent une
idée de plus grande ou moindre valeur qui^ convenablement
définie, distingue, en effet, ces états remarquables. Une fonc-
tion ne comporterait réellement ni maximum ni minimum si
elle était toujours croissante ou toujours décroissante à me-
sure que sa variable augmente, même quand elle tendrait indé-
finiment vers une limite assignable. Mais si, comme dans la
plupart des cas réels, la fonction est tantôt croissante et tantôt
décroissante, chaque passage de Tun à l'autre sens sera mar-
qué par un état maximum quand la fonction cessera d'augmen-
ter pour commencer à diminuer, ou par un minimum au cas
contraire. Ces états critiques sont donc nécessairement alterna-
tifs, en sorte que tout maximum tombe entre deuxminima, et
tout minimum entre deux maxima. On voit ainsi que la valeur
maximum d'une fonction est en effet la plus grande, non de
toutes absolument, ce qui est fort rare, mais seulement depuis
le minimum précédent jusqu'au minimum suivant, et de même
pour la valeur minimum : c'est pourquoi Tusage a consacré ici
remploi des dénominations latines, dont la traduction littérale
indiquerait une vicieuse définition.
Dès l'origine des spéculations mathématiques abstraites ou
concrètes, de telles recherches se présentent fréquemment.
Mais l'analyse ordinaire ne fournit, à ce sujet, que des res-
sources peu étendues. Sa marche propre consiste alors à traiter
la question du maximum ou minimum de chaque fonction/ (or)
comme un cas particulier de la question qui consisterait à lui
faire acquérir une valeur quelconque n : dès lors, si l'on peut
résoudre algébriquement l'équation f {x) = n, la discussion de
la formule x^<f{n) indiquera les limités de n en deçà ou en
delà desquelles x cesserait d'être réel, et par suite on aura
aussi les valeurs correspondantes àef{x). Quoique ce principe
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 145
soit^ sans doute, pleinement général, Textrême imperfection
de la résolution algébrique des équations en borne infiniment
Tusage, quand Téquation proposée dépasse les quatre premiers
degrés ; ce moyen élémentaire n'est même vraiment usuel
qu*autant qu^elle n'excède pas le second degré, auquel cas ce
procédé est ordinairement le plus commode.
A la vérité, l'algèbre supérieure perfectionne beaucoup cette
méthode primitive, en assignant un caractère direct et spécial
pour les valeurs de n qui séparent ainsi, quant à x^ la réalité
de l'imaginarité. Ce caractère, d'abord indiqué spontanément
par les formules du second degré, consiste dans l'égalité néces-
saire des deux valeurs de x susceptibles de devenir tantôt
réelles et tantôt imaginaires. On peut, en effet, concevoir géné-
ralement, d'après la nature de la question, que l'état d'égalité
correspondant aumaximum ou minimum distingue toujours ce
passage delà réalité à l'imaginarité. Il suffit, pour cela, de
remarquer que la fonction reprend nécessairement, après le
maximum ou le minimum, les mêmes valeurs qu'auparavant,
avec ou sans symétrie : ainsi, tant que la valeur n n'est pas le
maximum ou le minimum, il lui correspond deux valeurs
distinctes de x si elle est possible, et ce couple devient imagi-
naire si elle est hors de la limite ; à la limite même, ces deux
valeurs coïncident, parce que l'état de n est alors unique.
D'après cette considération fondamentale, le maximum ou le
minimum de n se trouve donc caractérisé directement par la
propriété de faire acquérir deux racines égales à l'équation
f [x) — n = 0 : ce qui permet à l'analyse ordinaire de détermi-
ner ces valeurs principales sans avoir nullement besoin de
résoudre cette équation, en se bornant à y formuler, comme je
Tai ci-dessus indiqué, l'égalité de deux racines. On divisera
donc son premier membre par {x — A)^, et le reste, identique-
ment annulé, fournira deux équations tendant à déterminer n
146 GÉOMÉTRIE PLANE.
et en même temps A, qui, loin d'être ici un auxiliaire superflu,
constitue précisément la valeur cherchée de x.
Mais, quelque précieux que soit en lui-même un tel progrès
de la méthode primitive fournie par l'analyse ordinaire pour la
détermination des maxima et minima, il se trouve naturelle-
ment borné aux fonctions algébriques à la fois rationnelles et
entières. Or, Tintervention des courbes va nous permettre
d'aller déjà beaucoup plus loin, outre que c'est d'elle qu'émane
historiquement la première notion générale du principe précé-
dent, quoiqu'on puisse le concevoir aujourd'hui d'une manière
purement abstraite .
Imaginons donc la fonction /(a:) représentée par l'ordonnée y
d'une courbe dont x est l'abscisse {fig, 33). La seule inspection
générale d'un tel tableau fait aussitôt saisir un caractère propre
à déterminer directement les points M", M', M'", etc. où la
courbe^ auparavant ascendante, devient descendante, ou réci-
proquement, en considérant la marche correspondante des
tangentes. Tant que la courbe monte, la tangente fait avec
l'axe un angle aigu ; cet angle est, au contraire, obtus quand la
courbe descend : or, dans le passage de l'un à l'autre cours, à
l'instant précis du maximum ou du minimum, l'angle est
0 ou 180^, et la tangente se trouve parallèle à l'axe. Ainsi la
recherche de ces points rentre dans la question,ci-dessus trai-
tée (n* 41), où il s'agit de mener, à une courbe donnée, une
tangente parallèle à une droite donnée. On obtiendra donc les
valeurs de x propres au maximum ou au minimum en annu-
lant le coefficient angulaire de la tangente, qui est ici f [x).
Les notions d'algèbre supposées dans ce traité ne permettront
la formation directe de cette équation caractéristique /'(a:)=0
qu'autant que la fonction proposée sera, d'abord algébrique,
et aussi rationnelle et entière. Mais, outre que la règle fonda-
mentale est ainsi complètement découverte, sauf les connais*
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 147
sances analytiques qu*exigerait son application totale, nous
pourrons déjà Tutiliser, comme la loi des tangentes d*où elle
dérive, envers les fonctions fractionnaires ou môme irration-
nelles, d'après les préparations plus ou moins pénibles dont
nous y avons reconnu la nécessité provisoire.
Un tel caractère est, philosophiquement, d'autant plus con-
venable qu'il constitue l'expression directe d'une remarque
générale fréquemment suggérée par les divers phénomènes
naturels qui présentent des exemples familiers de maximum ou
de minimum, tels que les changements de la hauteur du soleil
dans le cours de la journée, llnégale durée des jours ou des
nuits aux différentes saisons, etc. En tous cas semblables, les
observateurs judicieux ont toujours senti que l'état de maxi-
mum ou de minimum se trouve spontanément distingué des
états antérieurs ou postérieurs par une sorte de station spéciale,
que rappellent quelquefois les dénominations consacrées, sur-
tout quant aux saisons. Or, cette disposition stationnaire est
heureusement exprimée d'après notre méthode géométrique,
qui indique alors la direction de la courbe comme parallèle à
Taxe.
Quoique ce caractère fondamental, et la règle analytique
correspondante, doivent également convenir au maximum et
au minimum, il ne faut guère craindre que l'on soit ainsi
exposé à confondre ces deux cas extrêmes, qu'on séparera
presque toujours sans difficulté, soit d'après les indications
suggérées par la nature de la question, soit au plus par une
sommaire discussion des valeurs voisines : en sorte que cette
inévitable coexistence ne constitue, en réalité, aucun grave
inconvénient delà méthode précédente. Toutefois, en prolon-
geant davantage l'appréciation géométrique, on découvrirait
aisément un caractère secondaire propre à distinguer le maxi-
mum du minimum. Nous avons déjà noté que la marche de
148 GÉOMÉTUB FLAXE.
la tangente est inverse de Tnn à Tantre cas; poisqne son incli-
naison passe, dans le premier, de Faign à Tobtns, et an con-
traire dans le second; par sniie, son coefficient angulaire passe
dn positif au négatif, elpuis réciproquement. Si doncPonimagine
la courbe auxiliaire y = /* (<2:), dont ce coefficient deviendrait
l'ordonnée, elle traversera Taxe aux divers points cherchés,
mais en descendant pour le maximum, et en montant pour le
minimum, comme l'indique la partie ponctuée de la figure. La
distinction demandée consistera, par conséquent, en ce que la
tangente à cette seconde courbe devra faire avec Taxe un angle
obtus lors du maximum et aigu lors du minimum : ainsi son
propre coefficient angulaire, naturellement exprimé par la se-
conde dérivée delafonctionproposée,seranégatifdanslepremier
cas et positif dans le second. On pourrait même, en redoublant
remploi de cet artifice géométrique, apprécier aussi Thypothèse
intermédiaire, où f [pc) s'annulerait, s'il ne convenait pas de
restreindre ici cette théorie à ce qu'elle offre de vraiment essentiel.
46. Enfin, pour mieux sentir, à ce sujet, combien la géomé-
trie y peut éclairer l'analyse, il faut remarquer que la considé-
ration des courbes nous indique spontanément la double im-
perfection radicale que présente nécessairement la méthode
précédente, et qui d'ailleurs n'altère aucunement son impor-
tance, aux yeux des bons esprits qui, suivant une tendance
aujourd'hui trop rare, reconnaissent l'impossibilité nécessaire
de faire jamais acquérir à nos règles quelconques, même ana-
lytiques, une perfection absolue. D'abord, le caractère ainsi
indiqué par l'équation fondamentale, tang. a =» 0, /^ (a:) = 0,
n'appartient pas exclusivement aux points où l'ordonnée est
maximum ou minimum : il pourrait convenir aussi à des points
d'inflexion tels que M', M" {jp,g. 34), si la courbe y était conve-
nablement tournée.Ce cas est d'autant plus possible que,comme
l'indique la f,g, 33, il existe toujours quelque inflexion entre
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 149
chaque maximum ou minimum et les minima ou maxima qui
le comprennent, et rien n'empêche que Taxe ne puisse être
placé parallèlement à la tangente correspondante, quoique cette
coïncidence doive être exceptionnelle. Sous cet aspect, Téquation
f (ar)=0 peut donc contenir des racines étrangères àla question
proposée, et dont le mélange exigera, en chaque cas semblable,
une discussion spéciale plus ou moins pénible. Mais un in-
convénient beaucoup plus grave de ce caractère fondamental
consiste à pécher aussi par défaut, comme la considération
géométrique le dévoile nettement, en supposant une courbe
susceptible de rebroussement, sans que l'ordonnée y soit pour-
tant multiple. Dans les points N' etN" {fig, 34), l'ordonnée est
certainement maximum ou minimum, tout aussi bien qu'en K'
et K", et cependant la tangente^ au lieu d'y être parallèle àl'axe,
comme en ceux-ci, lui est perpendiculaire. C'est en vain que,
pour garantir aux méthodes analytiques une perfection absolue,
nécessairement interdite à nos conceptions quelconques, on a
imaginé des distinctions sophistiques, d'après lesquelles il n'y
aurait pas maximum ou minimum en N' etN" : il est clair que
la définition abstraite de ces deux états convient tout aussi litté-
ralement à ces deux ordonnées qu'à celles de K' ou K"; sans la
figure il serait impossible de faire sentir la diversité des deux
cas. Il est plus judicieux, en reconnaissant avec franchise que
la méthode établie est, à cet égard, imparfaite, de remarquer
que les courbes de ce genre, spéculativement aussi admissibles
que d'autres, doivent toutefois s'offrir très-rarement dans
Texpression géométrique des lois naturelles,parce que les chan-
gements brusques,géométriquementreprésentésparlesrebrous-
sements,y sont, quoique possibles, éminemment exceptionnels,
envers tous les ordres réels de phénomènes ; ce qui doit rendre^
au fond, peu regrettable une telle imperfection.
47. Avant d^abandonner l'étude des tangentes, je crois devoir
150 GÉOMÉTRIE PLANE.
caractériser sommairement la méthode, historiquement re-
marquable, par laquelle Roberval, tout en combattant, avec une
aveugle obstination, la grande rénovation cartésienne, rendit,
à sa manière, un témoignage involontaire du besoin de géné-
ralisation qui préoccupait alors Tesprit mathématique, en ten-
tant un effort, plus estimable qu'heureux, pour constituer,
sans le secours des conceptions analytiques, une théorie gé-
nérale des tangentes.
Cette méthode consiste à concevoir le mouvement du point
qui décrit la courbe proposée comme continuellement décom-
posable en deux autres, dont les directions et les vitesses rela-
tives soient exactement assignables : la tangente devient alors
suivant la loi des mouvements composés, la diagonale du pa-
rallélogramme construit, selon ces deux directions, avec des
côtés proportionnels à ces deux vitesses. Par exemple, la pre-
mière définition de Vellipse(n^ 19) montre que le point décrivant
s'y éloigne autant de Tun des points fixes qu'il se rapproche de
l'autre : on le concevra donc attiré par l'un d'eux et repoussé
par l'autre avec des forces égales, et la règle de Roberval assi-
gnera aussitôt, pour la tangente, la bissectrice de l'angle que
fait l'une des droites avec le prolongement de l'autre; ce que
nous trouverons plus tard exactement conforme aux résultats
analytiques. SU s'agissait de Thyperbole, cette considération
indiquerait la bissectrice même de l'angle des deux distances,
puisque celles-ci augmenteraient alors ou diminueraient à la
fois, et d'ailleurs toujours également. Quant à la parabole, la
méthode de Roberval y conduirait aisément, d'après la défini-
tion du n® 20, à la bissectrice de l'angle formé par les deux
distance^ constamment égales. Enfin, pour citer aussi une
courbe transcendante, à laquelle on doit d'ailleurs s'étonner
historiquement que Roberval n'ait pu appliquer convenable-
ment sa règle, considérons la cycloîde ordinaire {fig, 3S), oti,
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIEME 151
suivant la génération déjà citée, le point décrivant M est natu-
turellement animé de deux mouvements^ Fun de translation,
parallèlement à la base ÂB, l'autre de rotation, dans le sens
de la tangente MK au cercle correspondant : puisque Tare MN
est constamment égal à la distance AN, les deux mouvements
élémentaires ont encore ici la même vitesse ; la tangente doit
donc coïncider avec MT, bissectrice évidente de Tangle KML.
Les heureuses applications que comporte quelquefois cette
méthode ne doivent faire aucune illusion sur sa généralité
propre, qu'on ne pourrait réaliser qu'en recourant aux con-
ceptions analytiques, de façon à reproduire, sous une autre
forme, notre règle primitive des tangentes, sans que Tinter-
vention de ces considérations dynamiques en eût d'ailleurs au-
cunement amélioré la formation. Car, en imaginant ainsi le
point décrivant animé, en général, de deux mouvements, l'un
horizontal, l'autre vertical, la difficulté d'estimer le rapport
des vitesses consistera toujours à déterminer abstraitement la
limite du rapport entre l'accroissement de l'ordonnée et celui
de l'abscisse, à mesure que la seconde position du mobile se rap-
proche indéfiniment de la première : puisque, si le mouvement
peut être supposé uniforme dans un sens, horizontalement par
exemple, il ne saurait l'être aussi verticalement, à moins que
le trajet ne fût rectiligne; ce qui obligera, pour mesurer la
vitesse correspondante, à considérer l'élévation verticale d'un
point qui tende à se confondre avec le point donné. On revient
donc ainsi nécessairement, et d'après une conception plus pé-
nible parce qu'elle est moins directe, à ce problème analytique
qui constituera toujours la difficulté fondamentale de la théorie
générale des tangentes : évaluer la limite vers laquelle tend
le rapport de la différence des ordonnées à celle des abscisses,
entre deux points d'une courbe donnée dont l'un se rapproche
indéfiniment de l'autre.
1
152 GÉOMÉTRIE PLANE
Il ne faut point, au reste, mentionner cette méthode de Ro-
berval sans signaler soigneusement les graves erreurs que
pourrait déterminer son application irréfléchie. En considé-
rant, par exemple, la définition du cercle (n° 21) comme lieu
d*un point dont les distances à deux points fixes sont en raison
constante, une telle règle semblerait assigner, pour la tangente,
tout aussi clairement que dans les cas déjà cités, la diagonale
du parallélogramme construit sur ces deux distances : et ce-
pendant il est aisé de reconnaître que cette construction serait
entièrement fausse. De môme, la définition commune aux trois
sections coniques {n9 23) paraîtrait aussi indiquer une tangente
dirigée suivant la diagonale du parallélogramme déterminé par
les deux distances constamment proportionnelles : or, ce ré-
sultat, exact pour la parabole, serait certainement erroné pour
Tellipse ou Thyperbole. Ces exemples montrent suffisamment
que la méthode de Roberval, outre son inaptitude évidente à
une vraie généralisation, ne deviendrait même rigoureuse
que d'après certaines précautions, à l'égard desquelles ceux
qui désireraient une plus complète appréciation pourront uti-
lement consulter le travail spécial de M. Duhamel, où ce sujet
accessoire est essentiellement épuisé. 11 serait ici superflu d'in-
sister davantage sur une conception qui n'offre réellement
aujourd'hui qu'un simple intérêt historique.
CHAPITRE III.
Théorie des asymptotes.
48. Ce terme est naturellement destiné à qualifier deux
lignes quelconques qui tendent continuellement Tune vers
SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 153
Tautre^ de manière à se rapprocher autant qu'on voudra, sans
cependant pouvoir jamais s'atteindre. Mais onl'emploie presque
toujours comme substantif, pour désigner surtout les droites
qui présentent envers certaines courbes une telle relation. Les
asymptotes reclUignes sont, en. effet, les seules dont la détermi-
nation puisse contribuer beaucoup à faire mieux connaître les
courbescorrespondantes. Elles sont directement propres à dissi-
per toute incertitude sur le sens de la courbure d'une courbe
dans la majeure partie de son cours, puisque la courbe doit
nécessairement être toujours convexe vers son asymptote, à
partir du point où la tendance se caractérise,!c'est-à-dire dès la
dernière sinuosité : une courbe qui se rapprocherait indéfini-
ment d'une droite en lui tournant sa concavité, ne saurait évi-
ter de la traverser.
Outre ce motif fondamental de restreindre amsi la recherche
des asymptotes, il faut d'ailleurs reconnaître que cette question,
si on l'envisageait dans toute son étendue, serait d'une nature
beaucoup trop vague pour comporter jamais aucune solution
vraiment générale. Car, deux lignes asymptotes d'une troisième
pouvant toujours l'être aussi l'une de l'autre, toutes les courbes
susceptibles d'asymptotes rectilignes peuvent, par cela même,
être disposées de telle manière que chacune d'elles soit asymp-
tote des autres, en faisant convenablement coïncider leurs
asymptotes respectives. H ne saurait donc exister aucun type
d'équation assez général pour embrasser réellement toutes les
asymptotes curvilignes d'une courbe donnée, puisqu'il s'en
trouve nécessairement parmi les courbes algébriques de tous
les degrés possibles, et pareillement parmi les courbes transcen-
dantes de toute espèce. Si on a cru quelquefois posséder des
méthodes analytiques propres à une telle destination, c'est cer-
tainement faute d'avoir assez compris l'étendue nécessaire de
cette question. La recherche ne peut devenir suffisamment pré-
18
154 GÉOMÉTRIE PLANE.
cise qu'autant que Ton spécifie dans quelle sorte de courbes
ou dans quelle forme d'équations on choisit les asymptotes. Or,
ainsi conçuela détermination des asymptotes curvilignes résulte
naturellement, au moins en ce qu'elle peut offrir de vraiment
utile, delà théorie des asymptotes rectilignes, comme- on le
reconnaîtra à la fin de ce chapitre.
Cette dernière théorie étant donc, à ce double titre, la. seule
qui doive essentiellement nous occuper, il faut maintenant
expliquer les deux méthodes très-distinctes, quoique nécessai*
rement équivalentes, que comporte son institution, soit d'après
la théorie des tangentes, soit indépendamment. Mais, avant
tout, pour éviter des discussions superflues, il convient de
remarquer que les asymptotes parallèles aux axes coordonnés
peuvent d'abord être spécialement obtenues sans difficulté,
como^çlapreinière partie de ce traité nous en a offert quelques
exemples spontanés, en reconnaissant, presque à Tinspection
de Téquatâon proposée, que l'une des variables y devient infinie
d'après une certaine valeur finie de l'autre ; sous la réserve
tputefoiç des explications que j'aurai naturellement lieu d'indi-
quer ci-dessous sur le vrai sens général d'une telle condition
analytique.
49. En rapprochant convenablement la définition des asynip-
tot^s de celle des tangentes, il est aisé de sentir que toute
asymptote constitue la limite nécessaire d'une suite correspon-
dante de tangentes, ou, en d'autres termes, peut être envisagée
comme une tangente dont le point de contact s'est éloigné à
l'infini ; car, en même temps que ce point s'approche ainsi de
l'asymptote, la direction de la tangente, déterminée par la
coïncidence finale qui la caractérise, tend évidemment h se
confondre aussi avec celle de l'asymptote ; pourvu d'ailleurs
qu'on n'applique jamais une telle comparaison qu'à partir de la
dernière sinuosité, où l'asymptotisme commence réellement à
SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 155
se mmifester. Tel est le principe, éminemment simple et géné-
ral, de la première méthode des asymptotes, la seule pleine-
ment universelle, parce qu'elle comporte naturellement la
même extension que la méthode des tangentes, dont elle offre
seulement une nouvelle application. On voit ainsi que, pour
déterminer le coefficient angulaire et le coefficient linéaire
propres à Tasymptote, il suffit de supposer infinies les coor-
données du point de contact dans les deux formules relatives à
une tangente quelconque, conformément au chapitre précédent,
/F /y
les valeur s correspondantes de a et 6 feront connaître Texistence ,
le nombre,et la situation des asymptotes cherchées. Quant au
cas d'impossibilité, il faut bien distinguer, suivant Tesprit de
la question, entre les courbes fermées et les courbes indéfinies.
Pour les premières, si, par inadvertance, on y poursuivait
une recherche évidemment contraire à leur nature, ce calcul
en avertirait machinalement en attribuant à a et 6 des valeurs
imaginaires, puisque la supposition de Tune des variables infi-
nie y rendrait Vautre imaginaire. Mais, envers les courbes
indéfinies, qui seules comportent raisonnablement une telle
étude, la valeur extrême de a ne saurait être imaginaire, ni,
par suite, celle de b ; car, soit que la courbe ait ou n'ait pas
d'asymptotes, il existe alors une limite nécessaire de la direc-
tion des tangentes, d'ailleurs toujours utile à connaître. L'exis*
tence ou l'absence des asymptotes sera donc annoncée par la
cohérence ou l'incompatibilité entre ces valeurs réelles de a et
de 6 : en termes plus précis, les asymptotes obliques seront
ainsi indiquées ou interdites suivant que l'on trouvera h fini ou
infini.
Si, dans l'usage de cette méthode, les commençants éprou-
vaient d'abord quelque difficulté à calculer directement les
156 GÉOMÉTRIE PLANE.
hypothèses a: «^ qo , y eaoo , ils pourraient en éluder aisément
rembarras, d*après la précaution algébrique de transformer
i 1
préalablement ar et y en - et - , afin de supposer ensuite / = 0,
t/=sO, quand la formule aurait été ainsi convenablement pré-
parée. L'habitude d'un tel expédient finira d'ailleurs par indi-
quer spontanément le moyen de s'en dispenser, en faisant
bientôt ressortir les principes relatifs à la substitution directe
de l'infini, laquelle, quoique moins simple que celle de zéro,
consiste essentiellement à ne conserver, dans chaque formule
algébrique, que le terme du plus haut degré.
Cette première méthode des asymptotes n'offre vraiment*
d'autre grave inconvénient analytique que la difficulté très-fré-
quente de discerner ainsi les valeurs extrêmes de â; et de 6, qui
s V présenteront souvent sous une forme d'abord indéterminée,
soit ^, ou ^, ou tout autre symbole équivalent. A la vérité, l'a-
nalyse transcendante fournit ensuite des procédés propres à
compléter une telle solution, en dissipant presque toujours une
semblable équivoque. Mais, outre que l'obligation d'y recourir
complique alors la détermination, les faibles connaissances al-
gébriques que j'exige ici du lecteur nous en interdisent l'usage ;
en sorte que cette imperfection naturelle doit actuellement en-
traver beaucoup l'application d'une telle méthode, d'après le
peu de portée des artifices que fournit, à cet égard, l'algèbre
élémentaire. Sans doute, il serait vicieux de regarder cet in-
convénient comme strictement propre à la question présente ;
car,il est inhérent à toute évaluation quelconque des formules
analytiques, et pourrait aussi survenir pour 'une situation finie
du point de contact. Toutefois, il faut reconnaître que, surtout
Buvers les équations algébriques proprement dites, que nous
considérons ici principalement, des coordonnées infinies occa-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 187
sionneront plus fréquemment que d'autres ce grave embarras.
Le seul conseil général qui, sous ce rapport, convienne main-
tenant au lecteur, consiste à réduire d'abord, dans chaque for-
mule à évaluer, les deux variables xei j/k une seule, d'après
Téquation proposée, et à préparer ensuite l'expression de ma-
nière que la variable indépendante n*y entre que d'une seule
manière, ce qui ne sera possible que dans les cas sufQsamment
simples : quand cette dernière condition aura été remplie, Tin-
détermination cessera nécessairement.
Soit, par exemple, l'équation commune des trois sections
coniques (n"" 23)
y« + (1 — n») ar« — 2dar -}- di =n 0.
On aura ici
d + {n^ — i)x ,. x(d + (n*--i)x)
Rapportant tout à or, il vient
d + (n* — l)a: dx — (P
Il suffît de diviser par x les deux termes de chaque fraction
pour que cette unique variable n'y entre plus que d'une seule
manière, de façon à dissiper toute indétermination; car, alors
v/»'-+'i-(r \/»-'+Kâ-{r
comme - devient nul quand x est infini, on trouve enfin, sans
équivoque
a = itv/^' — 1, b
Vn* — l'
158 GÉOMÉTRIE PLANE.
Suivant notre appréciation générale, ces valeurs ne sont
imaginaires que dans Tellipse, où n est inférieur à i. Pour
rhyperbole, où n> 1, elles indiquent 'deux asymptotes symé-
triquement placées envers Taxe de la courbe et s'y croisant au
centre, ainsi que le lecteur peut aisément le constater. Quant à
la parabole, où n&=« i, la valeur de a est nulle, ce qui assigne
Taxe comme la limite unique de la direction des tangentes;
mais b devient infini, ce qui constate Tabsence d'asymptotes.
Considérons encore Téquation
On y trouve
d'où
— a:* . 1
H ■=* T"=r, et 6 = — ,.
La seconde formule ne présente aucune équivoque, et donne
b =0 pour y = çgi . Quant à la première, il suffît encore d'y tout
diviser par ar^, en écrivant
a =
\/(à-'y
X n'entrant alors qu'une seule fois, on trouvera aussitôt,
d'après ar= oo , û = — i. Ainsi, l'équation de l'asymptote est
finalement y =» — x^ qui indique la bissectrice du second angle
des axes.
Quoique ces exemples pussent faire illusion sur la facilité de
surmonter les inconvénients algébriques propres à cette pre-
mière méthode des asymptotes, il serait superflu de les multi-
plier ici davantage, puisque nos réflexions générales ont déjà
çufB^amment caractérisé de tels embarras, dont la troisième
SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME, 159
partie de ce traité nous fournira de fréquentes occasions de
sentir spécialement la granité.
50. C'est surtout comme spontanément dégagée d'une telle
imperfection pratique, que se recommande, envers les courbes
algébriques proprement dites, la seconde méthode des asymp-
totes, qu'il faut maintenant expliquer. Directement indépen-
dant de la théorie des tangentes, le principe de cette méthode
consiste à voir, dans toute asymptote, une droite dont dèui
intersections avec la courbe se sont éloignées à l'infini. Pour
bien apprécier cette conception,. il faut envisager séparément
l'influence d'une telle hypothèse envers chaque intersection. Sî,
dans la courbe BG(/îg'. 36), dont AD est l'asymptote, on consi-
dère une sécante quelconque M'M", tournant autour de M', de
telle manière que M" s'en éloigne indéfiniment ; il est clair qUe,
à la limite M'N, au delà de laquelle le second poiiit M" reparaî-
trait sur l'autre partie de la courbe, la droite sera devenue
parallèle à l'asymptote : quand le point M" sera à l'infini, il
appartiendra, en effet, indifféremment à la courlle età l'asymp-
tote. Ce premier mouvement, exactement inverse dé celui qui
produit les tangentes, détermine donc, en chaque point quel-
conque de la courbe, une direction fixe, parallèle à l'asymp-
tote, ou, plus généralement, à la limite de la direction des tan-
gentes. Or, si maintenant on fait aussi varier le point M , en
opérant une pareille rotation en un point de plus en plus éloi-
gné sur la courbe, et par suite de plus en plus rapproché de
l'asymptote, il en résultera une droite qui, toujours parallèle à
celle-ci, tendra à se confondre avec elle, comme d'après une
translation directe. Ainsi, l'asymptote constituera naturelle-
ment la limite finale des sécantes dont deux intersections ont
disparu àl'inflni. La nécessité de se borner à deux intersections,
sans rien préjuger sur les autres quelconques, résulte ici,
comme dans la théorie des tangentes, du nombre de points
160 GÉOMÉTRIE PLANE.
propre à déterminer une ligne droite. Un seul point à Tinfini
commun avec la courbe ne caractériserait pas suffisamment
l'asymptote, en tant que pouvant également convenir à toutes
ses parallèles ; mais trois points seraient superflus, etne sau-
raient même être facultatifs, pas plus qu'envers la tangente : la
disparition ou la persistance du troisième point après Téloigne-
ment des deux premiers dépendra de ce que, suivant les cas,
la droite ainsi obtenue serait également asymptote ou simple-
ment sécante envers une autre partie de la courbe proposée.
Il suffit de rapprocher une telle conception de celle qui sert de
base à la première méthode, pour sentir aussitôt l'équivalence
nécessaire des deux principes : puisque, d'après la coïncidence
finale qui définit les tangentes, une tangente dont le point de
contacts'éloigneindéfinimentconstituenaturellementunedroite
ayant à Tinfini deux points communs avecla courbe. Mais, afin
de mieux apprécier ce rapprochement fondamental, il importe
de partir d'abord du contraste préliminaire ci-dessus carac-
térisé, quand la première intersection a seule disparu, et en
éclaircissant d'ailleurs le discours par l'exclusive mention des
courbes qui ne comportent pas plus de deux points en ligne
droite. Nous avons ainsi reconnu que, en chaque point d'une
courbe indéfinie, il existe nécessairement deux directions très-
distinctes selon lesquelles une droite ne coupe qu'une seule fois
la courbe : Time, celle de la tangente, variable d'un point à
un autre, laisse toute la courbe adjacente d'un même côté ;
l'autre, parallèle à l'asymptote, ou à la limite de direction des
tangentes, est toujours la même en tous les points, et pénètre
dans la concavité de la courbe : la première résulte d'une rota-
tion qui rapproche indéfiniment l'intersection mobile de l'inter-
section fixe ; la seconde provient d'une rotation inverse, qui,
au contraire, écarte indéfiniment l'une de l'autre. Or, ces deux
modes si différents d'établir l'unité d'intersection tendent à se
' SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 161
confondre, à mesure que le centre commun de ces deux rota-
tions opposées s'éloigne de plus en plus ; et les deux limites
partielles coïncident nécessairement quand ce point est à Tin-
fini. Telle est l'explication générale de Téquivalence fonda-
mentale de deux conceptions qui, sous un certain aspect, sem-
blent d'abord contradictoires.
Quoique cette nouvelle manière d'envisager les asymptotes
coïncide géométriquement avec la précédente, la forme qui lui
est propre conduit à une méthode analytique très-différente de
la première, et ordinairement bien plus commode, mais seule-
ment envers les courbes algébriques. [1 suflit ainsi, en effet,
pour déterminer les deux coefficients de l'asymptote cherchée
y = oar -|- 6, d'éliminer y entre cette équation et celle de la
courbe donnée / (a:, y) t=3 0, afin de constituer l'équation
finale,
de façon que deux de ses racines deviennent infinies ; ce qui
fournira deux relations, d'après lesquelles on calculera a et 6.
Mais, quoique ce principe soit pleinement général, on ne sau-
rait prescrire aucune règle fixe quant à la manière de formuler
une telle condition analytique, soit à l'égard des équations
transcendantes, soit même envers les équations algébriques
surchargées de fonctions fractionnaires et surtout irration-
nelles. C'est seulement pour les équations rationnelles et en-
tières, d'un degré quelconque d'ailleurs, et de la forme,
Ajr« + Barw-i -f Cj:«-2 + etc.. + K^ -|- L = 0,
que l'on peut nettement caractériser d'avance l'existence de
deux racines infinies, en y concevant x remplacé par -, afin
de ramener ce cas à celui des racines nulles. Le lecteur le
moins exercé aux spéculations algébriques pourra ainsi consta-
162 GÊOMémiE PLANE.
ter aisément qa*une première racine infinie suppose annnlé le
coefficient du plus haut degré, et que 'chacune des autres exige-
rait l'annulation de Tun des coefficients suivants, d'après
Tordre naturel des exposants. En développant de cette manière
Téquation f{x^ aa:+ 6)«=>0, on obtiendra donc les deux con-
ditions
A = 0, B = 0,
propres à déterminer a et b. Si leur accomplissement entraîne
exceptionnellement l'annulation d'un ou plusieurs des coeffi-
cients suivants C, D, etc., l'asymptote obtenue se trouvera
convenir aussi à autant de nouvelles parties de la courbe.
L'entière appréciation de cette méthode et sa judicieuse appli-
cation exigent également que l'on s'attache à bien interpréter
chacune de ces deux conditions algébriques. D'après sa forma-
tion, la première, A = 0, sera naturellement indépendante
de 6, tandis que l'autre le contiendra avec a ; ce qui pourra
faciliter beaucoup l'évaluation successive des deux inconnues.
On voit que cette circonstance algébrique correspond à l'impor-
tante remarque géométrique ci-dessus expliquée, que la dispa-
rition de l'une des intersections, en laissant subsister l'autre,
détermine la direction fixe de la droite, quel que puisse être
son coefficient linéaire ;en sorte que l'indépendance nécessaire
du coefficient angulaire envers celui-ci se trouve ainsi confir-
mée analytiquement, outre son évidence directe. Cette sépara-
tion spontanée des deux parties de l'opération est donc pleine-
ment conforme àla nature de la question, et constitue l'un des
principaux avantages de la méthode actuelle. Judicieuse-
ment utilisée, elle tend à simplifier extrêmement les cal-
culs dans un grand nombre de cas. Si, en effet, on procède
d'abord à l'évaluation propre du coefficient angulaire de
l'asymptote, suivant l'esprit d'une telle recherche, on pourra
former l'équation correspondante, A = 0,en substituant seule-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 163
ment y = ax, puisque, b n'y devant pas entrer, elle sera la
même que pour 6 ^ O. Or, cette substitution monôme, très-
facile à pratiquer, et d'après . laquelle on déterminera a par
Tannulation des termes du plus haut degré, équivaut réelle-
ment à ce que renferme d*utile une méthode mal à propos qua-
lifiée de nouvelle, où Ton cherche Ja limite du rapport - pour
y eix infinis, sauf à calculer ensuite, quant au coefficient
linéaire, la limite correspondante àey — o^ ; il est aisé de
sentir que cette prétendue innovation ne constitue qu'un simple
changement de forme dans Tancienne méthode ; et que cette
récente transformation, très-défavorable envers le coefficient
linéaire, n'offre véritablement, à Tégard même du coefficient
angulaire, aucune utilité qui mérite une mentionplusspéciale.
Il importe d'autant plus de séparer ainsi habituellement les
deux parties de la recherche des asymptotes, que la détermi-
nation propre du coefficient angulaire correspondant constitue,
par sa nature, une question commune à toutes les courbes in-
définies, avec ou sans asymptotes, indiquant, pour chacune
d'elles, la limite, toujours utile à connaître, de la direction
des tangentes. Enfin, il faut aussi remarquer que cette pre-
mière notion offrira seule, en beaucoup de cas, une véritable
difficulté ; parce qu'une judicieuse discussion préalable de l'é-
quation, ou même de la simple définition, imposera souvent
aux asymptotes possibles des restrictions spontanées relative-
ment à leur coefficient linéaire^ dont il sera dès lors superflu
de s'occuper distinctement. C'est ainsi, par exemple, que la
double symétrie de l'hyperbole nous avertit aussitôt que, si
cette courbe a des asymptotes, elles doivent se croiser symé-
triquement au centre ; en sorte qu'il suffira de déterminerleur
coefBcient angulaire, par la simple substitution de ax au lieu
d'y dans l'équation ci-dessus considérée^ ce qui reproduira très-
aisément le résultat déjà obtenu.
164 GÉOMÉTRIE PLANE.
En appliquant Tensemble de cette seconde méthode des
asymptotes à Téquation
y' + x'^i.
on aura l'équation finale
(a» + i)x' + 3a^x^ + 3ab^x + (6» — 1) = 0,
d'où
a» + 1 = 0, et 3a»6 = 0 ;
ce qui conduit k a = — 1, et 6 = 0, conformément à la pre-
mière méthode. On voit ici que l'autre terme en x s'annule
simultanément, en sorte que la troisième racine ne peut alors
éviter d'être pareillement infmie ; ce que nous reconnaîtrons
plus tard spécialement conforme à la nature de cette courbe,
où l'asymptote s'adapte également aux deux parties.
Soit encore l'équation
'y* + ^ + 32ry=.i;
on y trouve les deux conditions
û« + 1 = 0, 3a^ + 3a = 0,
qui donnent «= — 1, 6 = 1 ; et, par suite, l'asymptote est
y + ^= 1 -on reconnaîtra semblablement qu'elle convient
aussi à toute l'étendue de la courbe.
51. Quoique les deux méthodes générales que nous avons
successivement établies soient les seules vraiment usuelles que
nous devions appliquer habituellement aux courbes algébri-
ques, il ne sera pas inutile à l'instruction logique du lecteur
de considérer sommairement une autre méthode qui semble
d'abord très-distincte des deux précédentes, et qui, mieux ap-
préciée, ne constitue, au fond, qu'une transformation, d'ail-
leurs nullement avantageuse, de notre seconde méthode. Cet
exemple caractéristique pourra contribuer à faire éviter cette
déplorable fécondité, qui, portant essentiellement sur le style
SECONDE PARTIE, GHAnTRE TROISIÈME. 165
analytique sans atteindre réellement la pensée géométrique, en-
combre trop souvent les ouvrages mathématiques d*une vaine
répétition de la même notion sous des formes diverses, dont la
plupart doivent être écartées.
Le principe de cette troisième méthode reposerait sur Tin-
fluence algébrique de la coïncidence de Tasymptote cherchée
avec Tun des axes des coordonnées. Si Taxe des x est asymp-
tote, Téquation, devant fournir deux valeurs infinies de ar pour
^ ss 0, devra manquer des deux termes en x du plus haut ex-
posant. Quand cette condition ne sera pas spontanément rem-
plie, elle indiquera que Taxe actuel n*est point une asymptote
de la courbe proposée : mais on conçoit qu'un tel effet analy-
tique résulterait du choix de Tasymptote pour axe. Donc, en
opérant, dans l'équation donnée, /"(x, y) = 0, une transpo-
sition d'axes totalement indéterminée, cette substitution,
/ {x' cos r + y' cos Y'+ a, x' sin X'+ y' sin Y'+ 6) = 0,
permettra de discerner les valeurs des constantes introduites a,
6, X', Y', propres à Taccomplissement de cette condition, d'a-
près l'annulation des coer&cients totaux des deux plus hautes
puissances de x seul ; et l'asymptote cherchée se trouvera dé-
terminée.
En considérant l'ensemble de cette opération analytique, on
sent d'abord qu'elle contient d'inutiles complications, puis-
qu'elle ne fournit que deux équations pour calculer desincon-
nues qui semblent y être au nombre de quatre. Cela tient à ce
que le caractère adopté exige seulement que l'asymptote soit
prise pour axe des x^ sans rien prescrire envers l'autre axe, ce
qui permet et même prescrit de ne point changer celui-ci, en
sorte que l'on peut et doit supposer Y'=90<* et a = 0 ; la dispo-
nibilité de ces deux constantes ne saurait faciliter en rien l'ac-
complissement effectif des conditions convenables, et surchar-
166 GÉOMÉTRIE PLANE.
gérait inutilement les calculs. L'équation précédente se réduit
donc, au fond, à
/ [x' cos X', X' sin X' + j^' + €) = 0.
Or, comme on n'y doit finalement considérer queles termes
en a:' seul, on pourrait encore faciliter leur formation en posant
d'avance y' =s 0, ce qui donnera, en dernier lieu, Féquation
f [x' cos X', X' sin X' -}- 6) = 0,
où il s'agit d'annuler les coefficients des deux termes prépondé-
rants, afin de déterminer les inconnues X' et 6, qui représen-
tent le coefficientangulaire et le coefficient linéaire de l'asymp-
tote cherchée. Ainsi dégagée de toute superfluité algébrique,
cette opération équivaut évidemment à former les deux équa-
tions propres àla seconde méthode, avec cette unique innova-
tion, nullement favorable, que l'angle X' y entrera mainte-
nant par son sinus et son cosinus, au lieu de sa seule tangente.
Cette appréciation finale d'une méthode qu'un vain appareil
analytique présente d'abord très- spécieusement comme dis-
tincte, peut suggérer aux élèves et auxprofesseursd'utilesrap-
prochements semblables envers plusieurs autres questions,
qu'il ne convient pas de mentionner ici.
52. Aucune de nos deux méthodes n'étant arrêtée par l'in-
détermination des coefficients dans les équations proposées,
pourvu que les exposants soient spécifiés, chacune d'elles, ap-
pliquée en sens inverse, conduit aisément à formuler les con-
ditionsanalytiquesderasymptotisme entre une courbe, donnée
seulement d'espèce, mais inconnue de grandeur ou de posi-
tion, et une droite eptièrement donnée. 11 suffira de chercher,
d'après l'équation proposée,
f [x, y, a, 6, Y, ô, etc.) «= 0,
les coefficients angulaire et linéaire de l'asymptote correspon-
SECONDE PAQTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 167
dante, suivant celle des deux méthodes que Ton croira devoir
préférer^ et d'en égaler l'expressioa aux valeurs respectivement
indiquéespar la droite donnée. On forfhera ainsi deux relations
tendant à déterminer les constantes inconnues de la courbe a,
6, fi etc., conjointement avec d'autres conditions déjà formu-
lées, comme des passages ou des contacts : on vérifie ici que
toute asymptote équivaut à deux points pour la détermination
d'une courbe quelconque, selon Tesprit de notre première
théorie, qui reçoitmaintenantune nouvelle extension générale.
L^opération est donc la même que lorsqu'il s'agissait de trouver
l'asymptote : il n'y a maintenant de changé que la destination
ultérieure des deux conditions obtenues, où il n'est plus indis-
pensable alors, si l'on emploie la seconde méthode, de dégager
les coefficients de l'asymptote.
Cette question conduit naturellement à la recherche des
asymptotes curvilignes d'espèce donnée, dans le cas, seul
vraiment usuel, où les courbes proposées seraient toutes deux
susceptibles d'asymptotes rectilignes, en y constituant alors la
coïncidence de ces asymptotes. Il est d'abord évident que, si la
courbe donnée a une asymptote, la courbe cherchée en devra
admettre aussi, sans quoi leur asymptotisme mutuel serait con-
tradictoire. Gela posé, un tel asymptotisme pourra toujours
être conçu comme consistant en ce que les deux courbes com-
portent une asymptote commune, etparconséquent cette ques-
tion rentrera dans la précédente, après avoir d'abord déter-
miné l'asymptote de la courbe donnée. Si f{x, t/)==>0 désigne
son équation, <p (a:, y, a, ê, y^ etc.) =sO celle delà courbe cher-
chée, enadoptantla deuxième méthode, on substituera préala-
blement y «== oo: -f- 6 dans la première, afin de calculer, àl'or-
dinaire, les valeurs de a ei b propres à l'asymptote ; quand
elles seront obtenues, on fera la substitution déterminée
y *B>aa:-|-&dans laseconde équation, et l'annulation des deux
168 GÈamtnoE pljuck.
plus hantes puissances v formulera les conditions
rasymptotisme proposé, qui, ainsi conçu, ne contribuera jamais
que comme deux points k la détermination de la courbe cher-
chée. L^introductionderasymptote commune, ultérieurement
éliminée, aura finalement senri à faciliterbeaucoup la forma-
tion de ces deux relations.
53. Il ne reste plus maintenant qu'à considérer les conditions
d*asymptolisme entre des courbes qui ne comportent pas d'a-
symptote rectiligne, et qui cependant peuvent être souTent
asymptotes Tune de Tautre, comme il est aisé de le faire sentir
par quelques exemples. C'est ainsi que deux paraboles égales,
placées sur le même axe, sont nécessairement asymptotes l'une
de l'autre, d'après leur seule définition : la comparaison de
leurs équations le confirme d'aiUeurs très-clairement en mon-
trant qu'il existe alors une différence constante entre les carrés
de leurs ordonnées, et, par suite, une différence indéfiniment
décroissante entre ces ordonnées elle-mêmes. On trouverait
pareillement que les deux courbes
sont nécessairement asymptotes l'une de l'autre ; ce qui com-
prend une infinité d'exemples distincts quoique analogues,
d'après l'indétermination des exposants p et q.
Le principe fondamental de notre seconde méthode s'adapte
également à la recherche directe des asymptotes curvilignes,
pourvu qu'ony définisse convenablementPasymptotisme. Cette
affection géométrique doit, en effet, autant que celle du contact^
dont elle offre, au fond, une pure modification générale, être
regardée comme susceptiblede degré, suivant les explications
du n^ 44, où il suffit ici de remplacer la coïncidence des inter-
sections par leur éloignement à l'infini. Une droite, toujours
déterminable d'après deux points, ne comporte envers une
SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 169
courbe quelconque, que le moindre asymptotisme, corres-
pondant à deux intersections infinies. Mais une parabole, dé-
terminée seulement par quatre points, serait susceptible, à
l'égard des mêmes courbes, d'un asymptotisme plus prononcé,
où quatre intersections disparaîtraient. Ainsi le mode ordinaire
suivant lequel est posé le problème des asymptotes ne saurait
être suffisamment précis qu'envers la seule ligne droite, et
constituera, pour tout autre genre d'asymptotes, une recher-
che nécessairement indéterminée. En s'y bornant, il suffira
donc d'éliminer y entre les équations des deux courbes con-
sidérées,
/(^t y) = 0, 9 {x, y, a, €, Y, etc.) = 0,
et d'annuler les deuxpremierscoefficients de l'équationflnale ;
ce qui fournira deux relations entre les constantes inconnues
a, 6, Yi etc. de la seconde courbe. Un tel asymptotisme ne
contribuera encore que comme deux points ordinaires àla dé-
termination ultérieure de cette courbe.
Quoique ce procédé soit généralement applicable aux courbés
algébriques, on conçoit que son usage deviendra souvent
impraticable, à cause des difficultés analytiques que suscite
l'élimination fondamentale, quand les deux équations sont
assez compliquées pour qu'on ne puisse Taccomplirpar substi-
tution ; ce qui oblige de recourir aux méthodes, spéculative-
ment suffisantes, mais habituellement impraticables, que four-
nit, à cet égard, l'algèbre supérieure. Tel est le principal
motif qui doit faire sentir l'importance de la solution ci-dessus
expliquée envers les courbes susceptibles d'asymptotes rectili-
gnes ; et où cet utile intermédiaire permet d'éluder heureuse-
ment ces graves embarras algébriques.
Pour que la recherche des asymptotes curvilignes devînt,
en chaque cas, aussi précise que celle des asymptotes rectili-
gnes, il faudrait *y pousser toujours l'asymptotisme jusqu'au
19
170 ' GÉOMÉTRIE PLANF,.
degré marqué par le nombre de points déterminant, comme je
l'ai expliqué, au n* 44, à Tégard du contact. Alors, par
exemple, la parabole asymptote serait celle dont les quatre
intersectionsavec la courbe donnée s'éloigneraient simultané-
ment àrinflni ; ce qui fournirait quatre conditions nécessaires,
d'après l'annulation des quatre premiers coefficients de Téqua-
tion finale correspondante, où quatre racines devraientàla fois
devenir infinies. En rapprochant convenablement ces deux
grandes questions géométriques, on reconnaît que la même
équation permet de formuler, tantôt chaque degré de contact,
tantôt chaque degré d'asymptotisme, en y exprimant qu'un
certain nombre de racines deviennent tantôt égales, tantôt
infinies, la seconde relation y étant d'ailleurs bien plus facile
à constituer que la première.
54. Afin de ne rien omettre d'usuel relativement à cette
troisième théorie générale, ilnous reste ày considérer sommai-
rement, à titre de méthode subsidiaire propre à certains cas,
un artifice analytique assez étendu ; quoique son importance
aitété vicieusement exagérée, son judicieux emploi comportera
quelquefois une véritable utilité, pour trouver commodément
diverses asymptotes, tantôt rectilignes, tantôt curvilignes. 11
repose sur la décomposition de la fonction, algébrique ou tran-
scendante, qui exprime l'ordonnée d'après l'abscisse, en deux
parties dont Tune s'anéantisse quandl'abscisseydevientinfinie;
l'autre partie représente dès lors l'ordonnée d'une ligne néces-
sairement asymptote de la proposée. Si, en effet, on a
et qu'on suppose ç (oo ) = 0, il est clair que la différence de
cette ordonnée à celle de la ligne z = f (x) ne peut s'annuler
pour X infini sans devoir finir par décroître indéfiniment pour
des valeurs croissantes de x. On conçoit qu'il en serait ainsi, à
SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 171
plus forte raison, si leséquations, au lieu de contenir yeizkld, \
première puissance, en renfermaient d'égales puissances quel- »
conques; puisque Tasymptotisme existerait alors, d'après une
remarque antérieure, quand même la différence des seconds
membres, au lieu de diminuer, resterait constante : ce qui
pourra augmenter un peu la portée de cet artifice, en n'obli-
geant pas à dégager totalement y. Il faut d'ailleurs reconnaître
que, si la fonction 7 (x) est composée de plusieurs termes, on
en pourra joindre telle partie qu'on voudra à la fonction f(x)^
sans altérer aucunement la remarque fondamentale, et de
manière à obtenir de nouvelles asymptotes. Mais il est évidem-
ment indispensable de ne laisser dans la fonction 9 {x) aucun
terme autre que ceux qui s'annulent pour x infini.
A l'égard des équations algébriques, que nous devons ici
avoir essentiellement en vue, cette fonction 9 (x)se composera
de puissances négatives, soitentières, soit même fractionnaires.
11 n'en pourra point exister quand l'ordonnée sera une fonction
rationnelle et entière de Tabscisse.En tout autre cas, leur intro-
duction sera spontanée ou deviendra facultative, en dévelop-
pant convenablement les quotients ou les radicaux, suivant
les règles de division ou d'extraction. Quoique ces développe-
ments doivent ordinairement faire naître une suite infinie de
pareils termes, cette circonstance ne saurait, évidemment,
opposer aucun obstacle à ladéterminationdes asymptotes cor-
respondantes; pourvu qu'on n'y omette aucun des termes à
exposants positifs, on y pourra comprendre autant et aussi peu
qu'on voudra des autres. Par exemple, envers l'équation
y» -j- a:3= 1 , considérée ci-dessus, on aurait y = — \/a^ — 1 ,
et Textraction de la racine ne donnerait que le terme x affecté
d'exposant positif; ce qui reproduirait aussitôt l'asymptote
y =3 — X, déjà obtenue.
Outre sa restriction évidente, cet expédient analytique est
172 GÉOMÉTRIE PLANE.
surtout imparfait en ce que la nature des asymptotes n'y sau-
rait être facultative, en sorte que le plus souvent il indiquerait
des courbes fort oiseuses, sans déterminer les asymptotes rec-
tilignes, qui seules peuvent habituellement offrir un véritable
intérêt. Mais iUmporte néanmoins de connaître un tel ai*tiQce,
pour en faire un judicieux emploi dans les cas qui le permet-
tront, comme nous aurons lieu d'en citer ultérieurement quel-
ques exemples remarquables, au delà même des équations du
second degré, trop exclusivement considérées à cet égard.
CHAPITRE IV.
Théorie des diamètres.
55. Longtemps borné au cercle, pour y désigner toute droite
passant au centre, ce nom indique maintenant, envers une
courbe quelconque, la ligne, quelquefois droite, mais ordinai-
rement courbe, qui y réunit les milieux d'une suite de cordes
parallèles ; définition qui, dans le cas du cercle, reproduit spon-
tanémentlanotionprimitive. ATégard des courbes susceptibles
d'offrir plus de deux points en ligne droite, chaque corde ne
joindra jamais que deux points ; seulement elle présentera alors
autant de milieux qu'il existera de combinaisonsbinaires entre
toutes ses intersections : ce qui pourra souvent faire prévoir
une limite inférieure du degré de Téquation du diamètre, alors
habituellement supérieur à celui de Téquation donnée.
Quoique les divers diamètres relatifs aux différents systèmes
de cordes d'une même courbe ne soient pas toujours d'une
même espèce géométrique, au point que les uns peuvent être
de simples droites, tandis que les autres sont des courbes plus
SECONDE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 173
compliquées que la première, ils comportent néanmoins une
commune équation, où le coefDcient angulaire de ces cordes
reste indéterminé, en sorte que ses valeurs spéciales y pro-
duisent tous les diamètres particuliers, quelque distincts qu'ils
puissent être, d'après Tinfluence analytique plus ou moins
intime de cette constante caractéristique. C'est une telle équa-
tion générale qu'il s'agit maintenant de déduire de celle de la
courbe proposée.
Bien qu'il convienne de traiter ici cette nouvelle théorie
géométrique avec toute la généralité possible, il faut cependant
reconnaître que, par sa nature, elle ne saurait offrir, comme
les théories précédentes, et aussi comme les suivantes, un égal
intérêt envers toutes les courbes. En effet, l'étude des diamètres
ne contribue réellement à faire mieux connaître chaque courbe
que quand ces lignes sont beaucoup plus simples que celle qui
les engendre, et surtout lorsqu'elles sont droites. Or, au con-
traire, les diamètres constituent presque toujours, comme on
le sentira ci-dessous, des courbes plus compliquées que celle
, d'où ils proviennent; et c'est seulement envers les courbes du
second degré qu'ils deviennent indistinctement rectilignes (*).
. Cette théorie n'a donc pas, en général, autant d'importance géo-
métrique que les six autres traitées dans cette seconde partie.
On peut l'instituer d'après deux méthodes analytiques bien
distinctes, quoique également générales, au moins envers les
courbes algébriques. Tune très-naturelle et fort directe, mais
d'une application trop pénible, l'autre trop artificielle et trop
détournée, mais finalement plus usuelle.
56. La première méthode, facile à concevoir, consiste à for-
muler spontanément chacune des conditions de la définition,
en introduisant, comme variables auxiliaires, sauf leur élimi-
nation ultérieure, les coordonnées x'y y\ etar", y'\ des deux
(*) Voir la note 1 rectificative à la fin du volume.
174 GéOMETBIE PLATEB.
extrémités d'une qaelconquedes cordes conâdérées. En nom-
mant / et ti les coordonnées indétominées d^on point do dift-
mètre, et m lecoeflirieotangnlaîre des cordes coiTgai|KHidantes,
on ania d*al>ord ainsi les trois équations fixes
^ a: -far y'+y' y''— y'
auxquelles se joindront naturellement, en chaque cas, les deux
équations spéciales
exprimant que les points introduits appartiennent à la courbe
donnée / [x^ y,)^=' 0. Il suffira donc d'éliminer, entre ces
deux groupes d*équations, les quatre variables auxiliaires
x\y'yX'\ y\ pour obtenir aussilôlFéquation finaleç (/,ii,m)=0,
propre à Tensemble des diamètres considérés. Quoique le pre-
mier groupe ne se compose que adéquations du premier degré,
la double éliminationà laquelle devraprésiderle secondgroupe
deviendra souvent presque impralicable, quand la courbe don*
née sera d*un degré un peu élevé, même avec un petit nombre
de termes. On sait d'ailleurs que Textrème imperfection de
l'analyse mathématique ne permettrait presque jamais une
pareille opération envers les courbes transcendantes^ si une
semblable recherche y pouvait offrir un véritable intérêt.
Un seul exemple caractérisera sufBsamment cette méthode,
sauf ses embarras analytiques, qu'il est aisé de concevoir en
général, et que le lecteur devra spécialement sentir par quel-
ques exercices spontanés. Soit la courbe y = x* ; les deux
équations variables seront ici y' = a:'*, y" =a:"' : en y ayant
égard, les équations fixes deviendront
2/= a:" -fa:, ^u = x"^ + x\ m^x'^+ x''x' + x'^,
entre lesquelles il reste à éliminer x' <e). .x"< Or cette élimina-
J
SECONDE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 175
lion s'accomplira aisément par substitution, d'après la combi-
naison des deux équations extrêmes, qui donne
m
il en résulte finalement, pour l'ensemble des diamètres, l'é-
quation
y =3 ZCLX — &r',
en reprenant la notation habituelle des coordonnées, quand
elle ne comporte plus d'équivoque.
Si l'on voulait seulement exécuter un semblable calcul en-
vers les courbes y = j:* ou y* = a:', fort peu différentes de la
précédente, on éprouverait des difficultés algébriques très-
considérables.
57. Tout l'artifice de la seconde méthode repose sur cette
observation évidente que les deux extrémités de chaque corde
acquièrent nécessairement des coordonnées égalesausigne près
quand on place l'origine des axes au point correspondant du
diamètre. Ainsi les points du diamètre peuvent être récipro-
w
quement caractérisés par cette aptitude analytique, qui ne
saurait convenir à d'autres. Si donc on opère, dans l'équation
donnée / (a?, y) «= 0, un déplacement d'origine indéterminé,
par la substitution accoutumée à^t-{- XQiu-^-y hM lieu de a:
etj^, il faudra chercher la relation entre t et m propre à rendre
la nouvelle équation f[t + ^, w + y)= ^ susceptible de four-
nir pour a:, et dès lors pour y^ deux valeurs égales au signe
près, quand on y supposera y c=i mx^ équation de la corde
correspondante. En conséquence, la question consistera fina*
lement, après avoir changé, d'abord a: en ^ -|- a: et 3/ en
u -|- mar, à découvrir la condition d'une telle opposition algé-
brique entre deux racines de l'équation
f[t'\-x,U'\- mx) = 0,
où / et w figureront, à titre de constantes arbitraires, parm^
176 cÉraÉnoK
les diren coefSdents. Or poor r^sondre ce problème d*al-
gèbre, n suf^de constitoerb dlrisibllité du premi^ mem-
bre de cette équation par un bÎDome dn second degré j^ — c^.
L'élimination de l'indéterminée aoxîliaire s« çni désigne ki
Tabscisse spéciale da couple de points considérés, entre les
deux éqnations que fonmira l'annulation accoaUunée dn
reste da premier degré, conduira à la relation cberchée
f ft, tf, 171; «» 0. qui, géométriquement enrisagée, constitae
Téquation générale des diamètres de la combe proposée.
Celte méthode, quoique sourent pénible, sera beaucoup
moins laborieuse que la précédente, comme n'exigeant qu'une
seule élimination, au lieu de deux, entre des équations de degré
supérieur, malgré que leur composition doire y être plus
compliquée qu'auparayanL
Soit, par exemple, la conri)e y =x*. En y substituant /+x
et u + ^^9 ^^ ^^^ ^^ ^ ^^ 9) OQ ^ finalement Téqnation
a:* + 4/j:» + 6/*j:* + :4/» — m; x+i7* — ti) = 0,
où fl s*agit d'exprimer ladirisibilité par 2^ — «', ce qui donne,
en accomplissant la dÎTision, les deux équations
L'élimination de a' y conduit aisément à Téquation générale
des diamètres
i^xh/ = n^ + i6mx^ — ^Lx*,
beaucoup plus compliquée, comme on Toit, que celle de la
couri>e primitive.
Envers les combes du second degré, cette seconde méthode
comporte spontanément une extrême simplification que nous
devons remarquer déjà. On y est alors dispensé, en effet, delà
division, et surtout de rélimination consécutive, qui en con-
stitue le principal embarras algébrique. L*équation en x étant
SECONDE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 177
seulement du second degré, la condition analytique fondamen-
tale V devra directement consister dans Tabsence des termes
du premier degré. Tout le calcul se réduira donc, en ce cas, à
la simple substitution préalable de ^ + a: et w + mx au lieu de
X eiy; Téqu^tion générale des diamètres résultera aussitôt de
l'annulation du coefficient total de la première puissance de x.
58. Pour * procurer convenablement à Tétude effective des
diamètres toute Futilité qu'elle comporterait dans la géométrie
comparée, il importerait beaucoup de pouvoir suffisamment
constituer la théorie inverse qui nous permettrait de ne
poursuivre une telle appréciation géométrique qu'envers
les courbes dont les diamètres offriraient une assez grande
simplicité, qui maintenant ne saurait être facultative. Ce
retour de Téquation commune des diamètres à celle de la
courbe primitive constituerait donc, en général, une question
plus intéressante que la recherche directe. Mais, dans Tétat
présent de la science, nos ressources sont, à cet égard, comme
je vais l'expliquer, extrêmement bornées, par suite d'une grave
lacune analytique, d'ailleurs très-f&cheuse en plusieurs autres
occasions.
La nature éminemment simple et directe de la première
méthode, la rend seulepropreà une telle inversion, qui semble
devoir s'y borner à substituer les formules fixes dans l'équa-
tion donnée ^ (^ u, m] = 0 pour l'ensemble des diamètres.
Mais, quoiqu'ayant ainsi éliminé les coordonnées du diamètre,
et introduit celles delà courbe, on ne saurait envisager ce ré-
sultat
n~2— ' -1—' p— pj=0'
comme constituant réellement l'équation de la courbe primi-
tive, parce qu'il s'y trouve à la fois deux points indéterminés
de cette courbe, au lieu d'un seul. Néanmoins, on en déduirait
178 GÉOMÉTRIE PLANE.
aisément réquation cherchée, si l'on y pouvait séparer ces
points, en sorte que chaque membre se rapportât à un couple
unique de coordonnées : car, les deux couples y devant tou-
jours entrer spontanément de la même manière, cetle équation
prendrait la forme
qui indiquerait qu'une certaine fonction des coordonnées con-
serve une valeur invariable en passant d'un point quelconque
delà courbe demandée à un autre point quelconque; l'équa-
tion de cette courbe serait donc finalement
la constante c y devant rester naturellement arbitraire, puis-
que chaque système de diamètres peut correspondre à une in-
finité de courbes distinctes, quoique analogues.
Toute la difficulté réelle de la théorie inverse des diamètres
se réduit donc finalement à ce problème purement analytique :
deux groupes de variables entrant identiquement dans une
équation donnée^ transformer cette équation afin que chaque
membre n'y contienne qu'un seul groupe. Mais l'analyse ac-
tuelle ne présente réellement aucun principe propre à instituer
ce calcul de séparation. On ne sait jusqu'ici séparer les groupes
qu'autant qu'ils ne coexistent pas dans les mêmes termes : il
suffit alors de transposer convenablement d'un membre à
l'autre, suivant la règle analytique la plus élémentaire. Il est
aisé de sentir combien rarement pourront suffire des ressources
aussi étroites.
Pour en citer un seul exemple caractéristique, proposons-
nous de trouver la courbe dont tous les diamètres sont des
lignes droites, perpendiculaires aux cordes correspondantes,
et convergeant en un même point, où nous placerons l'origine.
L'équation des diamètres sera ici
t -{• mu = 0,
SECONDE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÉXE. 179
qui fournit, entre deux points quelconques de la courbe cher-
chée, la relation,
Or, comme les termes où les points seraient mêlés s'y détruisent
spontanément^ une facile transposition Tamène aussitôt à la
forme
ce qui donne finalement, pour la courbe demandée, Téquation
a:» 4- yi = c^
où Ton reconnaît, conformément à la nature du cas, un cercle
de rayon arbitraire.
59. La grande complication habituelle des calculs relatifs à
la formation de Téquation générale des diamètres, même en
suivant la meilleure marche, et Tévidente inutilité d'une telle
recherche envers la plupart des courbes, doivent faire attacher
beaucoup de prix à une commode détermination spéciale des
diamètres rectilignes, seuls ordinairement susceptibles d'un
véritable intérêt, sans être obligédeles déduire de cette équa-
tion commune, où ils seraient d'ailleurs nécessairement com-
pris. Or, il est facile d'instituer cette importante méthode sub-
sidiaire^ d'après les formules relatives à la transposition des
axes, en se fondant sur TinQucnce analytique des diamètres
rectilignes, quand on prend chacun d'eux pour axe des abscisses
avec des ordonnées parallèles aux cordes correspondantes. La
seule définition des diamètres conduit aisément à reconnu tre,
comme j'ai eu plusieurs occasions de l'indiquer dans la première
partie de ce traité, que l'équation doit alors renfermer seule-
ment les puissances paires de l'ordonnée, afin que les valeurs
de celle-ci puissent être deux à deux égales au signe près pour
chaque valeur de l'abscisse, suivant un caractère essentielle-
180 GÉOMÉTRIE PLANE.
ment analogue à celui qui forme la base de la seconde méthode
générale. Une telle aptitude analytique pouvant donc suffire
à caractériser les diamètres rectilignes, on les obtiendra, par
une transposition d'axes indéterminée, d'après les formules
a: = a:'cos X'+y'cos Y '+ a, y = ar' sinX' + y'sin Y'+ 6,
si les anciens axes sont rectangulaires, en cherchant à disposer
des constantes angulaires ou linéaires ainsi introduites pour
anéantir, dans Téquation proposée, tous les termes distincts
relatifs aux puissances impaires de y' résultées de cette substi-
tution. Quand des valeurs réelles et finies de ces diverses con-
stantes auront pu remplir toutes ces conditions, la courbe
proposée admettra des diamètres rectilignes, envers chacun
desquels on connaîtra ainsi un point, sa direction, et celle des
cordes correspondantes. Au cas contraire, Tabsence de tels
diamètres sera pareillement constatée.
Comme ce caractère analytique ne dépend aucunement de la
position de Torigine, pourvu qu'elle reste sur le diamètre, on
pourra, pour abréger les calculs, supprimer Tune des con-
stantes lijiéaires a ou 6, sans diminuer réeUement la faculté de
satisfaire aux conditions proposées, puisque cela revient à placer
Torigine à l'intersection du diamètre cherché avec l'un des
axes actuels. Ainsi, les constantes arbitraires introduites sont
toujours seulement au nombre de trois, et ne permettront par
conséquent d'annuler à volonté que trois des puissances im .
paires de la nouvelle ordonnée. Si donc l'équation donnée en
contient davantage^ le problème sera ordinairement impos-
sible. C'est ce qui a lieu dès le troisième degré, où les condi-
tions seraient déjà au nombre de quatre, à cause des termes
en y\x* y\ a:'*, et y'*; cette disproportion se prononce en-
suite de plus en plus, à mesure que le degré s'élève. En consi-
dérant, à cet égard, l'ensemble des courbes algébriques, on
SEGONDB PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 181
voit donc que l'existence des diamètres rectilignes, sans jamais
être impossible en aucun degré, devient de plus en plus excep-
tionnelle au delà du second. Mais, pour celui-ci, les conditions
y étant seulement au nombre de deux, le problème est, au
contraire, indéterminé, et il existe une inûnité de diamètres
rectilignes, ou plutôt ils le sont tous ; puisque, la direction
des cordes restant arbitraire, on pourra encore suffire aux
conditions convenables d'après la seule disponibilité des deux
constantes, angulaire et linéaire, propres au diamètre corres-
pondant.
Une telle méthode de détermination spéciale des diamètres
rectilignes conduit aussitôt, d'après une légère modification, à
déterminer aussi les aices géométriques proprement dits, c'est-
à-dire, les droites autour desquelles une courbe est symétrique ;
car ces droites constituent évidemment de simples diamètres
rectUignes, qui ne se distinguent des autres que par leur per-
pendicularité aux cordes correspondantes. On aura suftisa'm-
ment égard à cette circonstance caractéristique, en employant,
dans la substitution fondamentale, les formules
a; = ar'cosX' — y' sin X'-f-a, y = a:' sin X'+ y'cosX'-f 6,
où l'on a exprimé la rectangularité des nouveaux axes. Les
conditions ordinaii*es ne pourront donc ici être remplies qu'à
l'aide des deux constantes arbitraires relatives à l'axe cherché :
en sorte que l'existence de tels axes sera, en général^ encore
plus exceptionnelle que celle des autres diamètres rectilignes ;
leur situation deviendra même déterminée pour le second
degré, sauf le seul cas du cercle, où cette anomalie analytique
est aisément explicable.
Quand l'axe d'une courbe a été trouvé, et qu'U est placé de
manière à la rencontrer, cette intersection constitue une espèce
remarquable de points singuliers, dont la vraie nature dépend
182 GÉOMÉTRIE PLANE.
ensuite de la direction correspondante de la tangente. D*après
la symétrie supposée, cette direction ne peut être, évidemment,
que celle de Taxe ou sa perpendiculaire, à moins qu'il n*y ait
deux tangentes symétriquement placées autour de Taxe . Le
point cherché sera donc un point de rebroussement dans le pre*
mier cas, un noefud dans le dernier, et ce qu'on nomme un
sommet dans Tautre cas.
CHAPITRE V.
Théorie des centres.
60. Pour étendre conyenablen\,ent cette dénomination géo-
métrique, longtemps bornée au cercle, il suffit de restreindre à
]a seule comparaison binaire des points directement opposés la
notion d'équidis tance, d'abord absolue, qui en constitue le
caractère essentiel ; en sorte que le centre d'une courbe est, en
général, le milieu de toutes les cordes qui y passent, quelles
que soient d'ailleurs leurs longueurs relatives. Un tel point est
nécessairement unique dans les courbes algébriques proprement
dites, que nous devons ici avoir principalement en vue, puis-
qu'elles ne peuvent offrir qu'un nombre limité de points en ligne
droite. Mais, au contraire, celles des courbes transcendantes
qu'une droite peut couper en une infinité de points présenteront
quelquefois une infinité de centres, comme nous aurons lieu,
par exemple, de le constater ci-dessous envers les courbes
y = sin «, y = tang x.
Il serait superflu d'insister ici sur l'importance évidente d'une
telle recherche, puisque la détermination du centre d'une
courbe, ou même la certitude qu'elle n'en comporte pas, doi-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME. 183
vent certainement contribuer beaucoup à mieux indiquer sa
figure générale.
Cette question admet, en général, deux méthodes trës-dis-
tinctes ; Tune très-naturelle, mais trop compliquée, qui la rat-
tache à Tétude des diamètres ; Tautre plus indirecte, mais bien
plus simple, et seule vraiment usuelle, qui lui est spécialement
propre.
61. Le principe de la première méthode consiste à regarder
le centre d'une courbe comme le point de concours nécessaire
de tous ses diamètres quelconques : car, en rapprochant les
deux définitions, on conçoit aussitôt que, si une courbe a un
centre, chacun de ses diamètres y devra passer ; et, réciproque-
ment, si tous les diamètres d'une courbe ont un point commun,
ce point sera, par cela même, le centre de la courbe. Sous cet
aspect^ la théorie analytique des centres consisterait à juger,
d'après Téquation générale des diamètres delà courbe proposée,
formée suivant les règles du chapitre précédent, si ces divers
diamètres convergent indistinctement en un point unique.
Quand cette convergence se fait à Torigine des coordonnées, la
seule inspection de Téquation des diamètres Tindique aussitôt,
par l'absence constante du terme indépendant des deux varia-
bles. C'est ainsi, par exemple, que, pour la courbe y ««a:', l'é-
quation générale des diamètres, obtenue au chapitre précédent,
y=3ma;— 8x', montre que son centre est à l'origine, puisque,
quel que soit m, le diamètre y passera toujours. Mais, lorsque
ce concours s'opère en un point quelconque du plan, un calcul
spécial, et souvent pénible, devient indispensable à sa mani-
festation. Il faut alors attribuer au paramètre angulaire m. qui,
dans Téquation générale, distingue les divers diamètres, deux
différentes valeurs indéterminées m' et m", et chercher ensuite
les coordonnées du point commun à ces deux diamètres quelcon-
ques, qui peuvent représenter toutes les combinaisons binaires
184 GÉOMÉTRIE PLANE.
des diamètres proposés. Si les valeurs de ces coordonnées comp
munes, simplifiées autant que possible, deviennent finalement
indépendantes de m' et m", la courbe aura un centre, dont ces
valeurs détermijieront la position, puisque Tuniverselle con-
vergence des diamètres y sera ainsi constatée. Quand, au con-
traire, on aura reconnu que ces valeurs ne peuvent être ren-
due^ indépendantes de m' et m'\ comme il arrivera le plus sou-
vent, chaque couple de diamètres ayant alors son intersection
propre, il sera certain que la courbe manque de centre.
Soit, par exemple, la courbe y* — j::y -|- ar = 0. En y appli-
quant la seconde méthode des diamètres, on trouvera aisément
fyioc — 1
que leur équation générale est y =■ . Or, si Ton y fait
successivement m »= m\ m^m'\ on trouve d'abord que l*ab-
scisse commune est — r, fraction indépendante de m"
m — m
et m\ et toujours égale à 2 : mais il faut, en outre, s'assurer
d'un pareil caractère envers l'ordonnée correspondante, que
Ton trouve, en effet, exprimée dès lors par - — ; 7. La
courbe a donc un centre, dont l'abscisse est 2 et l'ordonnée i.
Considérons encore la courbe y* — ^xy + a:* — ar =» 0.
i
L'équation générale des diamètres est ici y = a; + a 5- ^*
seule inspection montre que tous les diamètres sont des droites
parallèles ; d'où il suit aussitôt que la courbe manque de
centre.
Une telle méthode deviendra souvent presque impraticable
au delà du second degré, puisque, outre la formation, fré-
quemment pénible, de Téquation générale des diamètres, qui
n'a d'ailleurs, en elle-même, aucune autre utile destination
géométrique, elle exige une élimination oi^nairement très-
I
SECONDE PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈIIE. 185
laborieuse, entre des équations qui sont toujours plus compli-
quées que celle de la courbe donnée. Je n'ai donc mentionné ce
premier moyen que comme conséquence naturelle de la théorie
établie au chapitre précédent. C'est uniquement d'après la
seconde méthode qu'on devra procéder habituellement à la
détermination des centres.
62. De la seule définition du centre, il réstdte aussitôt que,
si on prend ce point pour origine des coordonnées, quelle que
soit d'ailleurs la direction ou l'inclinaison des axes, tous les
points de la courbe auront deux à deux des coordonnées égales
et de signe contraire ; en sorte que l'équation ne devra pas
changer quand on y changera simultanément les signes des
deux variables : il est pareillement évident, en sens inverse,
que la vérification d'un tel caractère analytique permet d'assu-
rer que l'origine correspondante est le centre delà courbe. Tel
est le principe général sur lequel repose la méthode la plus
propre à la recherche des centres. C'est ainsi que, à la simple
inspection des équations y = «*, y =» sin a;, y = tang a;, on
reconnaît que ces courbes ont pour centre l'origine des coor-
données. Quand le changement de x en — a: et y en — y altère
l'équation proposée, cela peut tenir ou bien à ce que la courbe
manque réellement de centre, ou bien à ce qu'il est placé
ailleurs qu'à l'origine. Mais, comme une telle propriété analy-
tique est toujours possible envers une certaine origine si la
courbe a effectivement un centre, on dissipera totalement cette
incertitude d'après un déplacement d'origine indéterminé, en
substituant x -^a eit/ + b su lieu de x et y, afin de disposer
des constantes arbitraires a et 6 ainsi introduites pour que
l'équation supporte sans altération le changement simultané du
signe des deux variables. Lorsqu'une telle condition sera con-
venablement satisfaite , la courbe aura un centre, dont les
valeurs correspondantes de a et 6 détermineront la position :
80
■
(
186 GÉOMÉTRIE PLANE.
quand, au contraire, aucun système de valeurs réelles et finies
de ces deux constantes ne rendra Téquation susceptible d'une
telle aptitude, on sera pareillement assuré que la courbe
manque de centre.
Cette méthode, aussi simple que générale, ne convient pas
moins aux équations transcendantes qu'aux équations algé-
briques. On peut ainsi constater, par exemple, envers les
courbes y ss*" sin «, y «= tang «, que tous les points, en nombre
infini, où elles coupent Taxe des x, constituent autant de véri-
tables centres ; puisque, en y plaçant Torigine, par la substi-
tution de a; 4- 7t, X + 2ir, ... 05 + me, au lieu de x, chacune de
ces équations continuera à jouir de la propriété analytique qui
caractérise le centre : ces courbes étant, en effet, composées
d'une infinité de parties identiques, d'après la périodicité des
fonctions correspondantes^ il serait géométriquement impos-
sible de trouver, à cet égard, aucun motif de préférer une
quelconque de ces intersections à toutes les autres.
En considérant spécialement les courbes algébriques, on y
peut formuler davantage la méthode des centres, si Ton appré-
cie d'avance l'influence générale du changement de signe des
deux variables sur les quatre sortes de termes qu'elles peuvent
contenir, suivant les types Ax», By», CxPyï, D. Les deux pre-
miers changeront de signe ou resteront inaltérables selon que
l'exposant de leur unique variable sera impair ou pair. Quant
aux termes où les variables coexistent, la règle sera encore la
même, en estimant le degré, comme de coutume, par la somme
des deux exposants : car, si ce degré est impair, Tun des fac-
teurs n'aura pas varié, et le changement, de signe de l'autre
entraînera celui du produit ; si, au contraire, le degré est pair,
ou aucun des facteurs n'aura varié, ou ils auront à la fois
changé de signe, en sorte que le produit ne sera jamais altéré.
Il résulte de cette appréciation que Téquation ne pourra sup-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE aNQUIÈME. 187
poriersans altération le changement élémentaire qui caractérise
le centre qu'autant que ses divers termes seront tous de degré
impair ou tous de degré pair, en comprenant le terme constant
parmi ceux de degré pair. C'est donc à faire disparaître les J
termes de degré impair, si Téquation est de degré pair, ou les
termes de degré pair, si son degré est impair, qu'il faudra desti-
ner le déplacement d'origine propre à déterminer le centre,
puisque d'ailleurs le degré de l'équation ne saurait varier.
Si l'on envisage l'ensemble des cas, cette méthode indique
aussitôtque Texistence d'uncentre est normale dans les courbes
du second degré, où il faudra enlever ainsi seulement les deux
termes du premier degré, ce qui sera ordinairement possible en
disposant convenablement des deux constantes arbitraires aeib:
ce ne sera que par exception que la courbe manquera de centre,
quand les valeurs de ces constantes deviendront infinies. Mais,
au contraire, dès le troisième degré, et ensuite toujours davan-
tage, les courbespourvues de centre constituent nécessaii*ement
une exception de plus en plus rare à mesure que le degré
s'élève, parce que le nombre croissant des conditions à remplir
y excède progressivement le nombre fixe des quantités dispo-
nibles.
Quant à la situation générale du centre, il résulte de cette
méthode que, dans toutes les courbes de degré impair, le centre
est inévitablement placé sur la courbe, puisque, en y transpor*
tant l'origine, le terme indépendant des deux coordonnées
figure alors parmi ceux qui doivent disparaître. La suppression
de ce terme n'étant pas obligatoire lorsque le degré est pair, le
centre pourra donc, en ce cas, ne plus appartenir à la circon-
férence de la courbe, sans qu'une telle position y soit d'ailleurs
impossible.
63. Tous les calculs qu'exige la méthode précédente pouvant
également s'accomplir malgré l'indétermination, non des ex-
188 GÉOMÉTBIE FLANE.
posants, mais des coefficients, on pourra l'appliquer, en sens
inverse, à formuler les conditions nécessaires pour qu'une
courbe, connue seulement d espèce, ait son centre en un point
donné. Si a et 6 désignent les coordonnées de ce point, il
suffira d'opérer, dans Téquation proposée /(a:,y,ot,6,y,S,...)=^,
la substitution alors déterminée de x-^a et y + d au lieu de
X et y, afin d*annuler ensuite le coefficient total de chacun des
termes qui doivent ainsi disparaître ; ce qui fournira autant de
relations propres à spécifier, conjointement avec d'autres con-
ditions quelconques, les constantes inconnues, a, ^, y, B^ etc.
Ces relations seront, par exemple, au nombre de quatre dans
une équation du troisième degré, où il faudra supprimer les
trois termes du second degré et le terme constant ; ellesde vien-
dront de plus en plus nombreuses à mesure que le degré s'é-
lèvera.
Au sujet d'un tel accroissement, il importe de dissiper l'ob-
jection très-naturelle qu'il semble d'abord présenter contre le
principe général, établi au premier chapitre de cette seconde
partie, sur la manière dont les points singuliers^ quelle que
soitleur nature, contribuent nécessairement à la détermination
des courbes. Selon ce principe, le centre d'une courbe, en tant
que point singulier, ne devrait jamais compter que pour deux
conditions déterminantes; tandis que, suivant notre apprécia-
tion spéciale, il paraît devoir en fournir quatre dans le troi-
sième degré, six dans le quatrième, etc. Mais cette apparente
contradiction ne résulte que d'un jugement trop confus, où Ton
attribue à la situation donnée du centre ce qui provient uni-
quement de sa simple existence, alors plus ou moins excep-
tionnelle. Dans le troisième degré, par exemple, l'existence du
centre, en quelque lieu qu'il se trouve, exige deux relations
entre les coefficients de l'équation générale ; ces relations, qui
complètent la définition de la courbe, doivent y être toujours
SECONDE PARTIE^ CHAPITRE SIXIÈME. 189
prises eh considération, quand même son centre ne serait pas
connu ; de même que, en sens inverse, Tabsence de centre four-
nirait une condition déterminante envers une courbe du se-
cond degré. Si donc la courbe du troisième degré que Ton
considère est, en effet, du petit nombre de celles qui ont un
centre, comme cela doit être pour qu'une telle question soit
raisonnablement posée, ces deux conditions se trouveront iden-
tiquement satisfaites, et la position du centre donné ne fournira
véritablement que deux relations entre les paramètres inconnus.
Mais, si, au contraire, on n'avait pas ainsi spécifié la courbe
proposée, et qu'on se fût borné à indiquer son degré, tout en
lui imposant un centre, ces deux premières conditions, indé-
pendantes de la situation spéciale de ce centre, quoiqu'alors
elles ne fussent plus identiques, ne représenteraient qu'un
simple complément de définition, indispensable à la nature du
problème, et servant à développer suffisamment une circons-
tance trop implicitement supposée dans l'énoncé. En un cas
quelconque, la position particulière assignée au centre ne four-
nira jamais, par elle-même, que deux relations déterminantes,
conformément à la théorie fondamentale du chapitre premier.
CHAPITRE VL
Théorie de la similitude des courbes.
64. La notion de similitude convient évidemment, par sa
nature, à toutes les figures possibles, envers lesquelles les
observateurs les plus étrangers à la géométrie rationnelle
emploient journellement les qualifications de semblables ou
dissemblables, en y attachant un sens, vague et confus peut-
être, WÊtM ma tend ftiilî<liii»l jvite. Qnaid les
ie foot ^édaksBeat emparés de cHIe coQceptîoa uûrersdk el
ywlaafe pour la srvtéfltttîser conraul^eiiieiit après FaToir
netlétneot anal jiée, ils ont dû coosidérer premièranail les
figures parement reetnignes. doQl les éléments sont directe-
ment i^rédaLIes, ainsi que les lois de leur assemblage. Cest
là qne la similiUide se montre sTec nne pleine éTÎdence comme
consistant dans Tégalité des angles respectifs et la proportion-
nalité des c6tés bomolognes : tonte rélaboraticm scientifique
n'a pu confister, à cet égard, qu'à réduire an moindre nombre
posrible les conditions d'une telle définition on a^urédation,
d'abord enyers les triangles, et ensuite pour les polygones qud-
conques, suivant les explications de la géométrie élémentaire.
Mais il s'agit maintenantd'étendrecônvenablementaux diverses
conrbes planes ces notions primordiales, afin de découvrir,
en chaque cas, les conditions prédses de la similitude, on de
constater que Tidentité d^espèce n'exige aucune relation parti-
culière ; question dont il serait superflu de faire ici ressortir
expressément la haute importance.
Au premier aspect, une telle extension semble ne pouvoir
s'opérer, en général, que d'après l'analyse transcendante, qui,
en considérant les courbes comme des polygones d'une infinité
de côtés infiniment petits, permettrait d'y exprimer distinc-
tement l'égalité directe des angles et la proportionnalité des
cAtés, sans être alors arrêté par la nature infinitésimale des
uns et des autres. Hais un examen plus approfondi de cette
importante théorie géométrique conduit à reconnaître que
l'analyse ordinaire suffit réellement à l'instituer d'une manière
tout aussi générale et beaucoup plus commode. Il faut seule-
ment, pour cela, choisir convenablement, parmi les propriétés
essentielles des polygones semblables, celles qui sont suscepti-
bles de devenir immédiatement appréciablesenversles courbes,
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIËHE. 191
sans exiger la considération de cAtés infiniment petits et d*an-
gles infiniment obtns, et en réduisant rinéyitable notion de
rinflni & n'influer que sur le nombre des sommets, à Tégard
desquels Tuniformité de leur caractère analytique permet aisé-
ment de surmonter une telle difficulté, d'après le simple
examen d'un point indéterminé, propre à les représenter tous,
suivant un artifice logique déjà familier, k beaucoup d'autres
titres, en géométrie analytique.
On ne peut d'abord employer à cet indispensable office la
proposition fondamentale, tropexclusivementmentionnée dans
l'enseignement habituel de la géométrie élémentaire, sur la dé-
composition des polygones semblables en triangles semblables.
Car, en l'étendant aux courbes, cette décomposition offrirait,
comme la définition primitive elle-même, quoiqu'à un moindre
degré, l'inconvénient capital d'obliger à considérer des angles
et des côtés infinitésimaux. Mais, la théorie de ta similitude
des figures rectilignes fait'aussi connaître, à leur égard, deux
autres propriétés générales, dont chacune est, par sa nature,
éminemment propre à s'étendre aux courbes, comme sponta-
nément exempte d'un tel vice; de manière à pouvoir fournir
ensuite, plus ou moins commodément, un fondement suffisant
à la théorie analytique que nous voulons constituer ici.
65. D'après la première de ces propriétés, les contours sem-
blables ont leurs divers sommets déterminés par des triangles
respectivement semblables ayant tous, dans chaque figure, une
base commune ; et réciproquement deux figures ainsi construites
seront nécessairement semblables, quel que soit le rapport de
ces deux bases homologues. Les côtés et les angles de ces trian-
gles artificiels, indépendants de lafigureproposée, restant natu-
rellement finis quand le polygone devient infinitésimal, rien
n'empêche d'étendre aux courbes un tel caractère, avec la seule
obligationdel'y Vérifier envers un point indéterminé, comme le
192 GÉOMÉTRIE PLANE.
permet toujours runiformité de la définition, géométrique ou
analytique, afin d'éviler l'embarras direct d'un nombre infini
de points. C'est ainsi, par exemple, qu'on démontrerait aisé-
ment la similitude constante de deux cercles, surtout en y pre-
nant pour bases deux diamètres respectifs ; puisque les triangles,
dès lors constamment rectangles, se trouveraient spontané-
ment semblables, en ne comparant entre eux, suivant Tesprit
de ce théorème, que des points pour lesquels un des angles à
la base offrirait, de part et d'autre, la même grandeur.
Il ne sera pas difficile de formuler analytiquement cette pre-
mière théorie, quand on aura d'abord convenablement adopté
des bases homologues, dont le choix pourra presque toujours
influer beaucoup sur la simplification des calculs. Soient
A [x, y) = 0, /a (Xy y) =0, les équations des deux courbes
données, de même espèce, AMBN, A'M'B'N', {fig, 37), dont
il faut apprécier la similitude. Après y avoir choisi deux bases
homologues, AB, A'B', par exemple, on mènera, par une
extrémité A de la première base, une droite AM formant avec
elle un angle arbitraire, ayant une tangente indéterminée m ;
ce qui n'offre aucun embarras, suivant la théorie analytique
de la ligne droite. Calculant ensuite les coordonnées du point
M où elle coupe la courbe, on en déduira, conformément à la
même théorie préliminaire, la tangente de l'inclinaison de la
base AB sur la droite BM qui joint son autre extrémité B à
cette intersection : cette tangente sera finalement une fonction
déterminée de la constante arbitraire m. Une seconde fonction
analogue de la même constante résultera d'un pareil calcul
envers l'autre courbe. Dès lors, les angles en A et A' ayant été
pris égaux, la similitude exigera la coïncidence de ces deux
fonctions, quel que soit m, afin d'exprimer l'égalité nécessaire
des angles en B et B',et par suite la similitude continuelle des
triangles MAB, M'A'B', envers un point quelconque de chaoue
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 193
courbe comparé k son homologue de Tautre. Ainsi, les rela-
tions que pourra exiger une telle identification entre les con-
stantes des deux équations proposées constitueront aussitôt
les conditions de similitude propres aux courbes correspon-
dantes : et, si celles-ci devaient être toujours semblables, par
cela seul qu'elles appartiendraient à l'espèce donnée, on le re-
connaîtrait aussi^ en constatant alors Tidentité spontanée des
deux fonctions obtenues.
Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de deux ellipses ou
de deux hyperboles, d'après la définition du n° 19. En prenant
pour bases respectives des deux séries de triangles les lignes,
OA, OA', {fig. 38), évidemment homologues, qui joignent
chaque point fixe A ou A' au centre correspondant, et conce-
vant ces lignes superposées, les équations des deux courbes,
relativement aux axes accoutumés, seront
4 4
et leur parfaite analogie permettra de n'exécuter qu'envers
l'une seulement le calcul prescrit. Menant donc de 0 une
droite arbritairement inclinée sur la base OA, son équation
sera y^samx^ et les coordonnées de son intersection M avec la
courbe seront
c^+^^cP
La tangente de l'inclinaison de la base sur la droite qui joint ce
point M à sa seconde extrémité A, ne sera ici que le coefficient
angulaire de cette ligne MA; et, par suite, on aura fina-
lement
me y/c^ — ûP
tang.9 =
c c> — *— d v/w>c»4- c^ — rf«
194 GÉOMÉTRIE PLANE.
Diaprés un pareil résultat envers Tautre courbe^ il faudra,
pour la similitude, (ja'on ait identiquement
c^c^ — dP cy/&*—d*
quel que soit m : or il est aisé de constater qu'une telle iden-
c c'
tité exige la condition - = — , 11 n'y a donc d'ellipses ou
d'hyperboles semblables que celles où les deux dimensions men-
tionnées dans cette dé6nition sont respectivement proportion-
nelles.
Considérons encore l'exemple de la parabole, d'après la dé-
finition du n* 20. En prenant pour bases les droites OF, OF'
{fig. 39) qui joignent chaque point fixe au sommet, et faisant
d^ailleurs coïncider les axes et les sommets des deux paraboles,
on mènera encore, de l'origine 0, une droite hrbitrairey=7war,
dont l'intersection M avec la première parabole y* '=^^dx don-
2rf 2rf
nera.r e» — j,, y = — .En joignant ce point M à l'autre extré-
2rf
mité F de la base, on aura tang. <p =Sj ;j. Or, ce résultat ne
771^"' 2
saurait changer en y remplaçant d par d' pour l'autre para-
bole, puisqu'il est évidemment indépendant de d. Donc, deux
paraboles sont toujours semblables entre elles, comme deux
cercles. H serait aisé de constater aussi, d'après l'équation
y^<'=';z , en choisissant convenablement les bases, qu'il en
est encore de môme de deux cissoîdes. Au reste^ en rappro-
chant ces trois cas de similitude spontanée, on conçoit, àpriori,
qu'une telle relation est inévitable en toute espèce de courbe
dont l'équation pourra être réduite à ne contenir qu'une seule
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 195
constante arbitraire : car, s'il y pouvait exister une condition
quelconque de similitude, elle tendrait alors à déterminer cette
unique constante; en sorte que la courbe semblable à la pro-
posée se trouverait ainsi individualisée, ce qui serait évidem-
ment absurde.
Une telle institution analytique de la théorie générale de la
similitude des courbes planes n'offre d'autre défaut essentiel
que la trop grande complication des calculs qu'elle exige, quand
il s'agit d'équations peu simples, et lorsqu'on ne peut choisir
assez commodément les bases homologues. Aussi adopterons-
nous finalement, à ce sujet, un autre mode, fondé sur une pro-
priété plus aisément formulable.
66. Cette seconde propriété générale des contours semblables
se rapporte à la situation parallèle dans laquelle ils peuvent
toujours être placés, d'aprèsl'égalité nécessaire des inclinaisons
respectives ; puisqu'il sufQt de tourner un seul côté parallèle-
ment à son homologue, pour que tous les autres se dirigent
d'eux-mêmes parallèlement aux leurs. Or, ainsi disposées, on ^
sait que, vu la proportionnalité des côtés, les deux figures ofrr
frent aussitôt l'universelle convergence des droites qui y joi-
gnent touslespoints homologues enunpointunique,quelquefois
appelé centre de similitude^ quoiqu'ilfût mieux nommé centre
d'homologie. Enfin, les longueurs de ces droites comptées de*
puis ce point jusqu'à l'une et à l'autre figure sont alors entre
elles dans un rapport constant, égal au rapport linéaire des
deux contours. Réciproquement, deux figures ainsi construites,
& partir d'un point quelconque, seront nécessairement sem-
blables, soit qu'on ait placé les points homologues en partageant
proportionnellement tous les rayons, soit qu'on les ait déter-
minés successivement d'après le parallélisme des cordes corres-
pondantes. La condition fondamentale pour l'extension spon-
tanée aux figures curvilignes est encore ici évidemment remplie.
196 GÉOKÉTRIE PLANE.
puisqu'on évite ainsi directement toute considération infinitési-
male, autre que celle relative au nombre des points à comparer,
qui ne constitue, car sa nature, aucune difficulté essentielle.
On reconnaît, par exemple, aussitôt, d* après ce second mode, la
similitude constante de deux cercles,commeunesuite nécessaire
de la définition ordinaire : il suffit de les concevoir concen-
triques.
Géométriquement envisagée, une telle propriété offre le grave
inconvénient de mêler les relations de situation aux notions
de similitude qui, en elles-mêmes, n'en sauraient dépendre.
Mais ce mélange n'est, au contraire, nullement vicieux sous
l'aspect analytique. Gomme les idées de situation sont seules
immédiatement exprimables par nos équations, suivant les
explications initiales de ce traité, c'est à raison même d'une
telle réduction des conditions de forme aux relations de posi-
tion que celte seconde théorie de la similitude s'adapte plus
commodément que la première à l'institution analytique.
Il suffit pour cela de concevoir les deux courbes semblables
AMBN, A'M'B'N', {fig. 40), disposées parallèlement, comme
le'constaterait, par exemple, le parallélisme de deux lignes ho-
mologues AB, A'B', et de supposer l'origine des coordonnées
placées au centre de similitude ou plutôt d'homologie corres-
pondant & cette situation. On voit alors que les coordonnées
MP, M'P', et DP, O'P' de deux points homologues quelconques
M et M' seront nécessairement en raison constante. Si donc
xeiy satisfont à Tune des équations, mx et my devront, par
celaméme,satisfaireàrautre,enprenantconvenablementlacon-
stantem.Lesdeux équations proposées /i (a?, y)=0, /'2(ic,y)=0r,
devront ainsi coïncider, en changeant dans l'une d'elles x en mx
et y enmy. Tel est le principe éminemment simple delà meil-
leure théorie analytique de la similitude des courbes.
A la vérité, si la vérification d'un pareil caractère analytique
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 197
constate évidemment la similitude des courbes correspondantes,
on ne saurait toujours assurer, en sens inverse, que sa non-
vérification démontre leur dissemblance effective ; car cela
pourrait aussi provenir de ce que les deux figures ne seraient
pas actuellement parallèles, ou même seulement de ce que la
présente origine des coordonnées ne se trouverait pas au centre
convenable. Mais, quoique ce mélange primordial entre les re-
lations de position et celles de forme doive exiger, eti général,
comme je vais l'expliquer, de nouvelles opérations analytiques
pour dissiper une telle incertitude, il n'en faut pas moins re-
connaître que, dans beaucoup de cas, le principe précédent
pourra immédiatement suffire, lorsque Tétude préalable de
Tespèce de courbes proposée aura déjà garanti Taccomplis-
sement de cette double condition préliminaire relative à la
seule situation ; ce qui sera presque toujours facile quand cette
question arrivera en temps opportun.
Si, par exemple, il s'agit de deux ellipses ou hyperboles,
d'après la définition du ii9 19, il est évident que les deux
équations
se rapportent à deux axes semblablement placés envers les
deux courbes, dont chacune est symétrique autour de chacun
d'eux ; en sorte que, en cas de similitude, les deux courbes
sont certainement déjà dans la disposition parallèle, et l'ori-
gine au centre d'homologie correspondant. Changeant donc,
pour la première, x en mx et y en wy, et disposant les équa-
tions de manière à éviter toute condition superflue, il faut
identifier les deux équations
198 GÉOMÉTRIE PLANE.
d'après une valeur convenable de la constante m. Or, on fait
coïncider leurs seconds membres en prenant m = 1 / >
ce qui détermine le rapport linéaire des deux courbes. Mais la
comparaison des premiers membres montre clairement que la
// //'
relation - == -^ est nécessaire et suffisante pour la similitude,
c c
comme rtfVait ci-dessus^ indiqué la première méthode.
Dans le cas de la parabole, en prenant les équations
yî ss=2d!a7, y^ «=2rf'a:, on est évidemment assuré encore que
les deux conditions préliminaires relatives à la situation sont
suffisamment remplies, d'après la coïncidence spontanée de
deux lignes caractéristiques, Taxe et la tangente au sommet,
avec leurs homologues. Il devient alors facile de constater
ainsi, plus commodément que par l'autre méthode, que les
deux courbes sont toujours semblables. L'opération ne serait
pas plus pénible envers deux cissoîdes.
67. Il reste maintenant à compléter analytiquement cette
théorie définitive de la similitude des courbes envers les cas,
possibles mais peu usuels, où, faute de renseignements préala-
bles, les deux équations données ne seraient pas de nature à
supposer Taccomplissement des conditions préliminaires rela-
tives à la situation. On conçoit, en général, que l'usage conve-
nable des formules propres à la transposition des axes devra
suffire pour ramener ces cas aux précédents.
Supposons d'abord, afin de simplifier cette extension gra-
duelle, que les courbes soient encore disposées parallèlement,
mais que l'origine des coordonnées ne soit plus placée au centre
de similitude correspondant^ comme dans la figure 41. Il suffit
de remarquer ici que la propriété analytique fondamentale,
établie au n^ précédent, n'exige pas que les deux courbes
soient rapportées à la même origine, et qu'elle aurait néces-
SECOKDB PARTIE, CHAnTRE SIXIÉHEw 199
Bairement lieu, de la même manière, envers deux origines
seulement homolognes. Par conséquent, il existera une cer-
taine origine 0' , aisée à déterminer géométriquement, pour la-
quelle la seconde équation /a (^,y)=aO devra coïncider avec la
première, d'après le changement caractéristique de x en mx et
y en my. Au lieu de calculer d'avance, suivant la construction
naturelle, la position de ce point placé envers la seconde courbe
comme Torigine primitive 0 envers la première, il vaut mieux
qu'elle ressorte finalement de l'opération analytique elle-
même. On se bornera donc à opérer, pour Tune des courbes,
un déplacement d'origine indéterminé, et on tentera ensuite de
faire coïncider les deux équations f\ (ma;, my) =0, ft (x + «i
y4.6)8saO, d'après des valeurs convenables des trois constantes
arbitraires m, a, et 6, qui représentent, d'une part, le rap-
port linéaire des deux courbes, d'une autre part, les coor-
données du point homologue, envers la seconde, à la position
de l'origine actuelle dans la première. Les relations nécessaires
à cette identification constitueront les conditions de similitude
cherchées, si toutefois on est d'avance suffisamment assuré du
parallélisme effectif des deux courbes proposées.
Considérons enfin le cas le plus général, où les deux courbes
ne seraient pas même parallèles, comme dans la figure 42. En
construisant sur A'B', homologue de AB, un triangle semblable
au triangle OAB, il déterminerait d'abord un point 0' placé
envers la seconde courbe de la même manière que l'origine ae-
tuelle 0 envers la première. Si, en ce point, on place des axes
O'X',0' Y', faisant avec A'B' les mêmes angles que les axes pri-
mitifs OX, OY font avec AB, il est clair, en généralisant, au-
tant que possible, la conception de la propriété fondamentale
du n^ précédent, que l'équation de la seconde courbe relati-
vement à ce nouveau système d'axes ne devra, en cas de simi-
litude, différer de celle de la première que par le changement,
200 GÉOMÉnUB FLAHE.
toujours également caractéristique, de x en mx et y en my.
Ainsi, sans chercher d'avance la situation de ce système, on
opérera, dans Tune des équations, une transposition d'axes
indéterminée, portant à la fois sur la direction et Torigine,
mais en conservant la même inclinaison, et on examinera s^il
devient possible d'identifier les deux équations
/î(a;cosX'— y'sinX'+a, rc sinX -f ycosX -l-6)=0, ft(ifix,my)=0,
en disposant convenablement des quatre constantes arbitraires
m^ay b, etX', dont les valeurs, nullement étrangères à la
question, détermineront le rapport linéaire des deux courbes,
et feront en même temps connaître exactement en quoi con-
siste la diversité effective de leurs situations actuelles. Toutes
les relations indispensables à une telle coïncidence constitue-
ront ici des conditions nécessaires pour la similitude des deux
courbes proposées, dont la disposition mutuelle est maintenant
tout à fait quelconque.
68. Quelque théorie analytique, ou même géométrique, que
Ton croie devoir employer relativement à la similitude des
courbes, il importe de sentir, en général, qu'on devra surtout
la diriger, en chaque cas, vers la détermination du nombre
nécessaire des conditions distinctes; car, c'est en cela que con-
siste réellement la principale difficulté d'une telle étude. Aus-
sitôt que ce nombre est connu, il ne faut plus attacher qu'une
importance secondaire à la forme actuelle sous laquelle se pré-
sente ainsi chacune de ces conditions de simililude^ qui, par la
nature du sujet, comporte nécessairement beaucoup de trans-
formations ultérieures, toujours assujetties d'avance à un
principe commup. Ce principe, résumé final de toutes les pro-
priétés relatives aux figures semblables, consiste dans l'uni-
verselle proportionnalité et dans l'égale inclinaison des diverses
droites homologues qu'on y peut respectivement considérer; ce
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÉKE. âOi
qui constitue une simple extension de la définition élémentaire,
dès lors indistinctement appliquée à tontes les droites quel-
conques^ transversales ou latérales, inhérentes à chaque figure.
Toute condition de similitude pourra prendre ainsi deux sortes
de formes, Tune linéaire, l'autre angulaire, suivant qu'on la
concevra comme relative à une proportion de longueurs ou à
une égalité d'angles, chacun de ces modes comportant d'ail-
leurs autant d'énoncés distincts que l'on pourra instituer de
combinaisons binaires entre des droites caractéristiques. Mais
ces diverses expressions, de l'une ou l'autre espèce, seront, par
leurnature,essentiellementéquivalentes,quoiqueplusoumoins
convenables, et il faut s'habituer à les échanger directement,
selon les convenances propres à chaque cas, sans jamais se
préoccuper, à cet égard, d'aucune rédaction exclusive. Si donc
la méthode analytique ne présente pas d'abord les conditions de
similitude sous une forme suffisamment nette, comme il devra
arriver le plus souvent, il faudra peu s'en inquiéter, puisque
la nature des courbes proposées fournira immédiatement des
énoncés presque toujours préférables, pour peu qu'elles aient
été préalablement étudiées. Or, cette réflexion générale est
éminemment propre à simplifier beaucoup, dans la plupart des
cas, l'application effective de la théorie de la similitude. Car, en
se bornant ainsi à en déduire surtout le nombre des conditions,
on pourra souvent se contenter du simple aperçu des calculs
prescrits, sans avoir besoin de les accomplir strictement. Par
exemple, d'après la théorie générale du n* précédent, il est aisé
de sentir, envers deux équations complètes du second degré,
contenant cinq termes variables, que les courbes correspon-
dantes exigeront seulem eut une con dition de similitude, puisque
le nombre de termes à identifier n'excède alors que d'une
unité le nombre universel des constantes disponibles pour cette
coïncidence. Quant à la nature de cette unique condition, l'en-
91
203 GÉOMÉTRIE PLANE.
tière exécution du calcul ne ferait que la présenter sous une
forme pénible, qu'il est inutile de connaître : nous examinerons
plus tard les divers énoncés spéciaux, linéaires ou angulaires,
qu'il conviendra d'y appliquer directement.
69. Afin de perfectionner davantage la théorie générale de
la similitude des courbes planes, il y faut maintenant joindre
une importante considération subsidiaire, qui, judicieusement
appliquée, dispensera souvent de toute opération analytique,
en permettant de déduire immédiatement la solution de la seule
défluition des lignes proposées. Cette méthode auxiliaire repose
sur rheureux aperçu, indiqué parClairaut dans ses éléments de
géométrie, et suivant lequel deux figures semblables ne dif-
fèrent que d'après l'échelle sur laquelle elles sont construites,
en sorte qu'un simple changement d'échelle pourrait toujours
les rendre superposables. Quoique Glairaut n'y eût en vue que
les figures rectilignes, ce judicieux énoncé convient également,
sans aucune préparation spéciale, aux diverses figures curvî-
lignes. On doit le regarder comme l'expression la plus concise
de tousles rapprochements géométriques auxquels la similitude
peut donner lieu.
D'après un tel principe, le travail à accomplir sur chaque
définition proposée d'une espèce de courbe, afin d'y découvrir
les conditions de similitude, consistera à y bien séparer d'abord
les données, linéaires ou angulaires, indispensables à la gran-
deur de la courbe d'avec celles qui n'affecteraient que sa situa-
tion, et ensuite à réduire les premières au moindre nombre
possible. Cette double préparation présente quelquefois, surtout
sous le second aspect, des difficultés insurmontables, pour
certaines définitions, envers lesquelles on ne pourra éviter, à
ce sujet, l'emploi ultérieur de la méthode analytique, qui con-
serve donc nécessairement son privilège exclusif d'une entière
généralité. Mais, quand ces deux conditions préliminaires auront
SECONDE PARTIE, CHAnTRE SIXIÈME. 203
été suffisamment remplies, le principe de Clairaut fournira
aussitôt la solution demandée. Car, si la grandeur de la courbe
est ainsi déterminable d'après une seule dimension, toutes les
courbes de cette espèce sont nécessairement semblables entre
elles, puisque le simple changement d'échelle pourrait les faire
coïncider, en identifiant leurs dimensions respectives. Quand
il faudra plusieurs données distinctes et indépendantes^ la si-
militude exigera autant de conditions qu'U existera de ces élé-
ments moins un, et chacune d'elles consistera naturellement
dans la proportionnalité des lignes considérées, ou dans l'éga-
lité des angles introduits, sauf à lui attribuer ensuite toute autre
forme, linéaire ou angulaire, que l'on jugerait préférable,
suivant la faculté de transformation expliquée au n* précédent.
Alors, en effet, le changement d'échelle ne pourra identifier
qu'une seule dimension respective, et les courbes ne seront
semblables que si cette première coïncidence entraine ceUe de
tous les autres éléments, ce qui suppose évidemment l'univer-
seUe proportionnalité des longueurs proposées ou l'égalité
mutuelle des angles considérés. On voit qu'une telle marche
revient, en d'autres termes, à déduire les conditions de la simi-
litude de celles de l'identité, en considérant, d'une part,quele
nombre des unes doit toujours être inférieur d'une unité à
celui des autres, et, d'une autre part, que les diverses égalités
linéaires simultanément prescrites par celles-ci doivent se
changer en simples proportionnalités pour celles-là.
Cette méthode subsidiaire ferait aussitôt découvrir la simili-
tude constante, déjà constatée analytiquement, dans les divers
cas du cercle, de la parabole, de la cissoïde, etc. : elle nous
apprend, en outre, que la même relation s'étendraaux courbes
qui dériveraient de ces premières d'une manière déterminée,
d'ailleurs quelconque, comme à l'égard du cercle, la cycloïde,
répicycloïde, lescourbes de Descartes (n*'26),etc. Au contraire,
204 GÉOMÉTRIE PLANE.
les ellipses OU hyperboles, d'après la définition dun* 19, ne se-
ront semblables qu'autant qu'il y aura proportionnalité entre
les deux longueurs, évidemment indépendantes et irréducti-
bles, qui y déterminent la grandeur de la courbe, abstraction
faite de la situation. La définition commune des trois sections
coniques (n^ 23) exigera ainsi, pour la similitude, Tégalité du
rapport spécifique correspondant. Envers les définitions de la
conchoîdeou des sections toriques, on trouvera, sans plus
d'embarras, des résultats analogues.
Les conditions préliminaires propres à garantir le succès de
cette méthode subsidiaire sont de la môme nature que celles
relatives à la méthode correspondante que comporte aussi la
théorie du nombre de points déterminant : seulement, ce
préambule indispensable est ici plus difficile et plus incertain
envers quelques définitions, pareillement antipathiques à ces
deux procédés supplémentaires; puisqu'il faut maintenant
opérer, en outre, une séparation, souvent délicate, et quelque-
fois impossible, entre les idées de grandeur et les idées de po-
sition. C'est ainsi, par exemple, que les définitions du cercle,
soit comme segment capable, soit comme lieu des points dont
les distances à deux pôles sont constamment proportionnelles,
ne permettraient nullement de constater, par ce moyen, la simi-
litude nécessaire de tous les cercles, puisqu'elles semblent
exiger deux données distinctes pour déterminer la grandeur de
la courbe, quoiqu'une appréciation ultérieure, que l'équation
peut seule, en général, diriger sûrement, doive montrer qu'il
n'y a d'indispensable, à cet égard, qu^une certaine combinaison
unique de ces deux éléments en apparence irréductibles. Mais
l'irrécusable évidence des erreurs que pourrait produire, en-
vers des courbes peu étudiées ou trop compliquées, l'applica-
tion irréfléchie de cette méthode subsidiaire ne saurait altérer
son incontestable efficacité dans les cas qui s'y adaptent suffi-
samment.
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈME 205
CHAPITRE VII.
Tlyâorie des quadratures.
70. Il serait ici superflu de faire expressément ressortir la
haute importance générale d'une telle théorie, directement re-
lative aux questions sur la mesure de l'étendue, où réside sur-
tout la destination finale deFensembledesétudesgéométriques,
dont toutes les autres parties ne constituent, à cet égard, que
des préambules indispensables, soit pour préparer la solution
effective, soit pour diriger l'application ultérieure. Outre la
mesure des aires planes curvilignes, cette théorie comprend,
en général, les trois ordres de questions fondamentales dési-
gnées sous les dénominations caractéristiques de quadratures^
rectifications, et cubatures, expressions très-propres à rappeler
la transformation définitive de Taire proposée en un carré, de
la circonférence donnée en une droite, et du volume considéré
en un cube, résultat naturel de toute mesure géométrique. Une
judicieuse prépondérance du point de vue analytique aconduit
les géomètres modernes, ainsi que ce chapitre l'expliquera, à
concevoir ces diverses recherches générales comme essentielle-
ment équivalentes, au point de pouvoir rentrer à volonté les
unes dans les autres, tandis que la géométrie ancienne n'avait
pu saisir entre elles qu'une vague et insuffisante analogie. Mais
le titre de cette grande théorie doit cependant rester toujours
tiré du problème des quadratures, qui constitue la forme sous
laquelle cette commune question est le plus simplement acces-
sible aux procédés analytiques.
206 GÉOMÉTRIE PLANE.
De tels problèmes sont aujourd'hui conçus, d'une manière
trop exclusive, comme ne pouvant être jamais traités que par
l'analyse transcendante. Quoique cette analyse soit, sans doute,
indispensable à leur solution dans les cas un peu compliqués,
ce n'est point d'elle que dérive réellement l'ébauche, même
analytique, de cette théorie générale. On a maintenant trop
oublié la phase rapide, mais impérissable, que présente l'his-
toire de la géométrie moderne depuis la fondation de la géo-
métrie analytique par Descartes jusqu'à la découverte de
l'analyse infinitésimale par Leibnitz. Dans ce mémorable
intervalle, plusieurs géomètres, et surtout Wallis, ont heu-
reusement concouru à développer et à systématiser de plus
en plus la théorie générale des quadratures par les seules
ressources de l'analyse ordinaire ; et c'est principalement
pour perfectionner ces premiers efforts que le calcul inté-
gral a été ensuite créé, tandis que le progrès de la théorie
des tangentes conduisait au calcul différentiel. Il importe
beaucoup que la marche individuelle de l'initiation géomé-
trique reste toujours conforme à cette gradation spontanée
du développement historique, en caractérisant ici avec soin
les moyens que comporte, à cet égard, l'analyse élémen-
taire, et qui, quoique plus bornés qu'envers toutes les ques-
tions antérieures, sont cependant bien plus étendus qu'on
ne le suppose maintenant, sans altérer d'ailleurs cette indis-
pensable exposition par aucune vaine introduction déguisée de
l'analyse transcendante.
Pour poser le problème des quadratures sous la forme la
mieux accessible à toute analyse, il faut réduire les aires à
mesurer au simple trapèze curviligne MPM'P' {fig. 43), com-
pris entre deux ordonnées quelconques MP, M'P' et les parties
interceptées PP', MM*, tant de l'axe, que de la courbe propo-
sée. La quadrature d'un tel espace conduira aisément à celle du
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈME 207
segment proprement dit, renfermé entre un arc de la courbe et
sa corde, en procédant par soustraction envers le trapèze rec-
tiligne correspondant. Ce segment une fois mesuré, on pourra
évaluer, en général, Taire de tout polygone formé arbitraire-
ment d'arcs de courbes, analogues ou hétérogènes : car, après
avoir estimé le polygone rectiligne qui résult^ait des cordes
de tous ces arcs quelconques, il suffira évidemment d'y ajouter
les segments concaves et d'en ôter les segments convexes. Nous
pourrons même le plus souvent simplifier encore un peu la
forme du problème fondamental, en nous bornant à y carrer le
triangle rectangle curviligne AMP, qui conduira au trapèze
M'P'MP, en retranchant Tun de l'autre les deux espaces trian-
gulaires relatifs aux deux ordonnées extrêmes.
Gela posé, l'esprit général de la méthode des quadratures,
spontanément manifesté par le grand Archimède envers quel-
ques cas caractéristiques, dès le premier essor des hautes spé-
culations géométriques, consiste à concevoir l'aire curviligne
demandée comme la limite vers laquelle tend une certaine aire
rectiligne^ inscrite ou circonscrite, à mesure que ses parties
deviennent indéfiniment plus nombreuses et plus petites;
puisque les figures rectilignes sont seules immédiatement appré-
ciables. Si, par exemple, on divise, pour plus de facilité, la
base AP' ou PP' du segment proposé en n parties égales, et
quel'on élève les ordonnées correspondantes yi, ya, ya, etc., en
menant ensuite de l'extrémité supérieure de chacune d'elles
une parallèle à l'axe prolongée jusqu'à la suivante, on substi-
tuera à l'aire AMT' ou M'P'MP la somme d'un pareil nombre
de rectangles ainsi formés, et la limite de cette somme
X
* (yi+y2+y3«--+y)^ quand n augmente à l'infini, détermi-
nera Taire cherchée. Toute la difficulté d'une telle recherche
consiste donc à découvrir, en chaque cas^ Texpression de cette
208 GÉOMÉTRIE PLANE.
limite, pour laquelle les anciens n^ont possédé que des res-
sources purement spéciales, toujours trës-bornées, comme
envers leurs autres spéculations géométriques. Du point de
vue analytique, on congoit, en général, que cette limite com-
mence constamment par se présenter sous une forme entière-
ment indéterminée, 0 X « , — , ou tout autre symbole équiva-
lent, lorsqu'on introduit brusquement Thypothëse de n infini,
sans avoir eu sufBsamment égard à l'équation proposée. Ainsi,
sous cet aspect, la question fondamentale des quadratures est
toujours réductible finalement à un simple problème d^analyse,
consistant à transformer, d'après la loi des ordonnées envers
les abscisses, la fraction -^ — ^ — ^^ — - en une autre équiva-
lente, qui ne devienne pas indéterminée pour n infini : de
même que nous avons vu la recherche des tangentes se réduire
h un problème analogue sur la fraction ^7^ — ^ ; seulement la
X — a?
transformation actuelle présente, par sa nature, beaucoup plus
d'embarras que l'autre.
L'analyse ordinaire ne peut immédiatement surmonter cette
difQculté caractéristique qu'à l'égard des seules courbes, dites
paraboliques, où une puissance quelconque de l'ordonnée est
proportionnelle à une autre puissance quelconque de l'abscisse.
Nous supposerons même d'abord que l'une des coordonnées ne
se trouve qu'à la première puissance, en sorte que l'équation
soit y = axf^. Toutefois, d'après ce cas primordial, l'heureux
principe d'extension posé par Wallis nous permettra de procé-
der ensuite à l'entière solution du problème envers beaucoup
d'autres courbes.
Ce cas fondamental peut être traité suivant deux modes très-
différents, qu'il faut ici successivement expliquer, l'un plus
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈME. 209
simple, mais plus borné au fond, Tautre plus difficile, mais
beaucoup plus étendu, et seul finalement susceptible d'une
vraie généralité.
71. Dans le premier mode, la fonne de la solution consiste à
chercher le rapport entre les deux segments complémentaires
OMP et OMQ (fig, 44), reposant sur les deux axes. La connais-
sance de ce rapport conduira aussitôt à la détermination du
segment proposé OMP, puisque la somme des deux segments
équivaut au rectangle connu OMPQ, formé par les deux coor-
données extrêmes.
Pour trouver ce rapport, concevons substituée à chaque
segment une suite convenable de rectangles, selon la construc-
tion ci-dessus indiquée, mais sans fixer encore le mode de suc-
cessioii des sommets intermédiaires M*, M", M'", etc., dont le
nombre doit seulement toujours rester indéfini. L'esprit de
cette première méthode consiste surtout à profiter d'une telle
faculté afin de simplifier l'expression du rapport des deux
suites, de telle manière que sa limite devienne distinctement
appréciable. En nommant:r' et y', a;" et y", etc., les coordonnées
intermédiaires, R et r, R' et r' etc., les deux sortes de rectan-
gles partiels, le premier rapport élémentaire sera évidemment
exprimé par la formule - «= —^ L Si, d'après Téquation
proposée y =» oa:», on y élimine les ordonnées, elle devient
R a?'**""! [x X*)
d'abord — = ^ — r-— . Or, la nature de la question exige
évidemment la suppression du facteur commun x — x\ qui,
s*annulant & la limite, laisserait indéterminé le rapport partiel,
et par suite le rapport total. Après l'avoir ô té, on a
210 GÉOMÉTRIE PLANE.
R' R"
Les autres rapports partiels -7, -»;, etc., seraient exprimés par
r r
des formules analogues, procédant pareillement selon les puis-
sauces de — ,, -^7;, etc. Pour en déduire le rapport total
X X
R + R- + R' + etc. ., , ■ ...
— j- — r-p — „ ! ■ ' , il faut remarquer, et c est en cela que
# "y" I ~T~ / ~|~ eic.
consiste Tartifice fondamental de cette première méthode, que
sa formation deviendrait très-simple si ces divers rapports élé-
mentaires pouvaient devenir égaux entre eux, puisque le rap-
port des sommes coïnciderait alors avec celui des parties. Or,
cette égalité est ici pleinement facultative, comme exigeant
X X* x'
seulement la relation -- =9 -- = — - , etc. ; ce qui revient à
X X x" ^
distribuer tellement les points intermédiaires M', M", M'", etc.,
que leurs abscisses, et par suite leurs ordonnées aussi^ décrois-
sent en progression géométrique, sans fixer d'ailleurs la raison q
de cette progression, de manière à pouvoir multiplier indéfini-
ment ces sommets, en rapprochant q de Tunité, qui constitue
sa limite. Dans cette hypothèse, on a donc
R4-R'4-R"4-etc. 1
r + r' + 7'" + etc. ^'«•-i+y*»— 3«j_gr«— 8,.,-j_y-|-l'
En passant à la limite, où 9^ = 1, il en résulte aussitôt, pour
le rapport cherché des deux segments OMP et OMQ, la for-
S 1
mule - = -, qui, d'après leur somme évidente, conduit flna-
s m
1
lement à la loi géométrique S = — ;— 7 xy^ d'où dériverait
immédiatement la quadrature graphique, et ensuite à la loi
analytique S «= — -— , sur laquelle il importe davantage d'ar-
rêter notre attention. Ony voit que, pour déduire, de la fonction
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈME. 211
relative à rordonnée, celle qui exprime l'aire, il suffit ici d'aug-
menter d'une unité Texposant de la première et de la diviser
par cet exposant ainsi augmenté. Cette opération algébrique
étant précisément l'inverse de celle qu'exigerait la formation
de la fonction dérivée proprement dite, on peut donc finale-
ment rédiger celte loi analytique des quadratures sous cette
forme plus concise : la fonction relative à l'ordonnée est la dé-
rivée de celle relative à l'aire. L'analyse transcendante montre
d'ailleurs qu'un tel énoncé ne constitue pas seulement, comme
nous devons le penser d'abord, un mode plus succinct d'exprimer
le résultat algébrique de la solution actuelle, mais qu'il ren-
ferme directement l'expression la plus générale de la loi fonda-
mentale des quadratures, qui, dans une courbe quelconque,
consiste, en effet, en ce que l'ordonnée est toujours la dérivée
de l'aire.
Tout lecteur judicieux a sans doute déjà senti spontanément,
dans l'exposition précédente, l'analogie remarquable que pré-
sente cette première méthode élémentaire des quadratures avec
la première méthode élémentaire des tangentes, de manière à
saisir une véritable affinité analytique entre les deux princi-
pales de nos théories générales, qui, en effet, ne peuvent l'une
et l'autre être convenablement généralisées que d'après une in-
tervention, essentiellement équivalente, quoique très-distincte,
del'analvse infinitésimale. Ou tre la conformité fondamentale, ci-
dessus indiquée, entre les deux problèmes analytiques corres-
pondants, on voit que l'élaboration algébrique repose pareille-
ment sur la division de a"» — b^ par a — 6, et que les deux résul-
tats s'accordent naturellement à introduire en géométrie, sui-
vant deux voies différentes, la grande considération des dé-
rivées.
Afin d'étendre, autant que possible, cette première méthode,
il faut maintenant expliquer la mocHfication algébrique d'après
212 GÉOMÉTRIE PLANE.
laquelle le même artifice géométrique permet d*aborder avec
autant de succès le cas plus général de Téquation .V**»: ox", les
deux exposants y étant entiers et positifs, mais d'ailleurs quel-
conques. En y dégageant l'ordonnée, le rapport élémentaire
- devient alors
r
1 n^
R a^ x''^{x — x')
^^ ^^i^^ - *_ _ t. •
x\a^ 3^ — a^ x'^f
La seule difficulté nouvelle consiste ici dans Timpossibilité
immédiate d*enlever le facteur qui, à la limite, annule simul-
tanément les deux termesde cette fraction. Or^ un tel embarras
se dissipe aisément d'après une simple préparation algébrique,
qui consiste à se défaire des exposants fractionnaires, suivant
l'expédient ordinaire, en posant x «= /"•, x' =» /'*», sa^s qu'U
faille d'ailleurs se préoccuper du sens géométrique des varia-
bles auxiliaires t et /', qui vont prochainement disparaître.
Cette transformation donne aussitôt la formule
R _ r» (/» — t'^)
où l'on peut dès loi^ enlever, comme ci-dessus, le facteur vi-
cieux t — 1\ d'où
R __ t'^ (/«»~i + P^^ r+ -f t'^^)
r "" r« (/«-i -f /«-« /' + ^'«-1) '
Cette expression ne dépend, au fond, ainsi que dans le premier
cas, que du rapport
77, suivant la loi
H (
\ w— 1 / / \ w— 2
) +(?) + +'
r+[T+ +'
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈME. 213
D'après une telle préparation, les rapports partiels deviendront
t t' t"
encore égaux, si Ton suppose - = -, = —, etc., ce qui re-
It t V
vient, de même qu'auparavant, à faire décroître les coordonnées
intermédiaires en progression géométrique. On aura donc, pour
le rapport total, l'expression
R4-R'+R''+, etc. gw-i -f ym-8 ^ j^i
r + r'+r"+, etc. ™y«-i -f-j^'«-2+ ^i'
S fïi
qui, à la limite, donne - = — , d'où il résulte, géométrique-
m
ment^ S = , xy^ ce qui conduit aussi commodément que
ci-dessus à la quadrature graphique, et ensuite analytique-
1 fi
mentS= Ce dernier résultat montre clairement que
-+1
m
la loi de formation algébrique d'abord établie sur l'équation
y = ax^^ pour y passer de l'ordonnée à l'aire, s'étend exacte-
ment à l'équation y^ =» oo;", en mettant celle-ci sous la même
forme à l'aide des exposants fractionnaires, envers lesquels on
opérerait comme s'ils étaient entiers. Ainsiles deux cas de qua-
drature auxquels cette première méthode est immédiatement
applicable aboutissent finalement à un même énoncé analy-
tique.
72. La seconde méthode consiste à traiter directement la
question analytique qu'introduit naturellement le problème des
quadratures,suivantlaformulegénéraleS=a:[ '^V^'" y\
(n® 70), en cherchant l'expression de la somme des valeurs que
prend la fonction relative à l'ordonnée pour une suite de va-
X X X X
leurs -, 2 -, 3—, n -, de la variable: ce qui équivaudra,
T* 7h Tm Tt>
214 GÉOMÉTRIE PLANE.
dans chaque cas, à la sommation d'une certaine suite de nom-
bres. Sous cet aspect, la sommation des suites acquiert aussitôt
une haute importance géométrique, puisque, dès qu*on est par-
venu à sommer une suite quelconque, on en peut déduire
immédiatement la quadrature d'une certaine courbe. Malheu-
reusement nos connaissances à ce sujet sont, même aujourd'hui,
et seront nécessairement toujours fort imparfaites, d'après la
grande difQculté que présente ce genre de spéculations analy-
tiques, quand on s'écarte des plus simples progressions. Aussi
le principal vice de cette marche, éminemment naturelle et
pleinement générale, qui fut essentiellement celle de Wallis et
de ses contemporains, consiste-t-il à exiger inutilement la re-
cherche complète d'une telle sommation, quoique son expres-
sion totale ne doive pas influer sur le résultat demandé, puisque
la plupai*t des termes disparaîtront à la limite, sans que néan-
moins nous puissions actuellement dégager les seuls qui doivent
réellement affecter cette limite, qui constitue pourtant Tunique
objet du problème des quadratures. Le privilège essentiel de
l'analyse transcendante, consiste, à cet égard, à aborder direc-
tement la détermination exclusive d'une telle limite, abstrac-
tion faite de la sommation effective, qui présente beaucoup
plus de difficultés, et qui n'est vraiment accessible qu'en un
bien plus petit nombre de cas. Mais ici nous devons accepter
la question avec toutes les complications superflues qu'elle pré-
sente naturellement, et apprécier ainsi les ressources que
comporte, à cet égard, l'analyse la plus élémentaire envers les
courbes de l'espèce y = ûtx"», où m est entier et positif; sauf
toutefois à écarter, dans l'exposition, l'inutile développement
des termes de la formule sommatoire qui se montreraient évi-
demment dépourvus de toute influence sur la limite cherchée.
Dans ce cas, on a S = aar«»+' ' ■ — ,
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈIR. 215
et la question consiste à sommer les m^^^ puissances des nom-
bres. naturels 1, % 3 n; afin de comparer cette somme à
n«+^ pour prendre la valeur de ce rapport quand n est infini.
Quoique cette recherche algébrique n*exige réellement rien au
delà des premiers éléments d'algèbre, on n*a pas coutume en-
core de Ty traiter ; en sorte que, si je ne l'expliquais ici succinc-
tement, je craindrais de n'être point assez compris du lecteur qui
n'aurait strictement reçu que le degré précis de préparation
analytique proclamé d'abord indispensable à l'étude de ce traité.
Pour déterminer, en général, la somme des m^^ puissances
d'une suite de n nombres a^b^c^ A, /, en progression arith-
métique, dont la raison est r, il suffit d'élever à la puissance
m + i chacune des relations caractéristiques
è=û5-f r, c = 6 + ''i /= A 4- r,
qui définissent la progression, et d'ajouter ensuite tous ces dé-
veloppements. Car, en désignant par Sm+ii Sm^ Sm— i.... Ss, Si,
la somme des termes proposés élevés chacun à la puissance que
marque l'indice, on aura ainsi, après avoir ôté SijH-ii commun
aux deux membres, une relation fondamentale
fm-hi_flm+i_(y,_i)r*«+ic=(yn-fi)r(Sm--f"') + ^^j"f^^ra
1.2
(Sm-i — /«-!) + ^ \^3 (S«-2 - /"»-«)+ etc.
entre la somme cherchée et toutes les sommes analogues rela-
tives aux puissances antérieures. Si donc on part de Si, déjà
connu, ou même de So, dont la valeur est immédiate, on pourra
former ainsi successivement les expressions de S2,S3,etc. , jusqu'à
telle puissance qu'on voudra. Dans la progression considérée ici
1, 2, 3, 4 n, cette relation se simplifie et devient
(w + l)m(m— 1) ,_
âl6 GÉOMÉTRIE PLANE.
Quoique ce moyen pût certainement conduire à sommer des
puissances spéciales même très-élevées, il serait difficile d'en
induii*e la loi générale propre à un exposant m indéterminé.
Mais, en réfléchissant à la destination actuelle d'une telle som-
mation, nous y pouvons aisément saisir la seule partie qui
puisse influer sur la quadrature proposée. Car, soit par la na-
ture de la question, soit même d'après la relation précédente,
il est d'abord facile de sentir que S^ sera une fonction de n du
degré m -}- i. Or, comme nous devons la comparer à n»H-i, il
est clair que le seul terme de cette formule qui doive réellement
afTecter la limite cherchée est celui du plus haut degré, puis-
que toutes les autres parties du rapport s'annuleront pour n
infini, en tant que contenant finalement n en dénominateur.
La question algébrique étant ainsi réduite à la recherche de ce
terme unique, la relation précédente le montre évidemment
égal à 7 ; en sorte que la limite du rapport — 77 sera cer-
i
tainement 7 : d'où il résulte, relativement à notre auadra-
m+i ^
ture, la formule S = -, conformément à la première mé-
thode (*).
73. Après avoir établi, par Tune ou l'autre des deux méthodes
précédentes, la quadrature des courbes paraboliques, l'analyse
ordinaire peut déduire, de ce cas fondamental, beaucoup d'au-
tres quadratures, à l'aide du lumineux principe dû à Wallis
sur la réduction des polynômes aux monômes. Ce principe évi-
dent consiste en ce que, si l'ordonnée de la courbe proposée
(*) Quelque élémentaire que soit réellementune telle exposition, les com-
mençants auxquels elle offrirait quelques difficultés, pourront utilement
réclaircir en se bornant à y considérer d'abord les cas particuliers les plus
simples m = 2, m a 3|pour revenir ensuite au cas de l'exposant quelconque.
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈME. 217
est décomposable en plusieurs autres, suivant la loi constante,
y = y' + y " - y^\
on aura, envers les aires correspondantes aux ordonnées par-
tielles, la même relation àFaire totale S = S' + S" — S" ', pourvu
que tous ces segments soient d'ailleurs estimés entre les mêmes
limites latérales : en sorte que quand ces ordonnées auxiliaires
appartiendront à des courbes déjà quarrables, il en résultera
aussitôt, sans aucun effort, la quadrature de la courbe pro-
posée. En effet, les rectangles de même base étant proportion-
nels à leurs hauteurs, on conçoit que cette subordination existe
d'abord entre les rectangles élémentaires, par suite entre les
sommes respectives d'un pareil nombre quelconque de ces di-
vers éléments, et enfin entre les limites correspondantes à ces
sommes. On pourrait dire, plus généralement, que si la rela-
tion de la courbe composée aux courbes simples contenait aussi
des coefficients constants, comme y=ay'+ôy" — cy", la
même dépendance existerait encore entre les aires convenables
D'après cetimportant principe, évidemment applicable à un
nombre quelconque de parties, la quadrature des courbes para-
boliques conduit aussitôt à celle de toutes les courbes où For-
donnée seraitcomposéed'unesommede puissances deFabscisse,
sans excepter d'ailleurs le cas des exposants fractionnaires,
auxquels la règle primitive a été étendue au n** 71. En attri-
buant à ce principe toute son extension logique, jusqu'à l'ap-
pliquer à une infinité de termes, nous pourrions même en
déduire déjà, sous une certaine forme, à la vérité très-impar-
faite, la quadrature de toutes les courbes algébriques, au
moins quand l'ordonnée y peut être dégagée. Car, à quelque
fonction algébrique qu'une telle résolution ait donné lieu, on
pourra toujours, soit par division ou par extraction, suivant
ss
218 GÉOMÉTRIE PLANE.
qu'elle sera fractionnaire ou irrationnelle, la transformer en
une série indéfinie plus ou moins régulière, procédant selon
les puissances positives, et même entières, de l'abscisse ; de
façon à pouvoir ensuite, d'après le principe de WaUis, en
déduire, suivant la quadrature primordiale, une autre série
relative à Taire cherchée. Les moyens plus perfectionnés que de
plus complètes connaissances algébriques fournissent pour cette
transformation analytiquepourrontd'ailleursfaciliterbeaucoup
une telle opération, en faisant mieux saisir la loi de chaque
série. Enfin, si Ton considère que les fonctions transcendantes
elles-mêmes sont aussi susceptibles d'un pareil développement,
on concevra que l'usage convenable du principe de Wallis peut
conduire^ à cet égard, l'analyse ordinaire jusqu'à exprimer en
série Taire d'une courbe quelconque. Quoiqu'une telle expres-
sion soit sans doute peu satisfaisante, il faut s'accoutumer dès
ce moment à regarder cet expédient comme souvent indispen-
sable, non-seulement à l'analyse ordinaire, mais encore à
Tanalyse transcendante, qui, en multipliant beaucoup les cas
où la loi de quadrature est assignable en termes finis, ne pourra
cependant jamais aborder que d'après les séries la plupart des
questions de ce genre.
Le plus heureux usage que puisse comporter cette introduc-
tion des séries, consiste à n'y voir qu'un simple intermédiaire
pour mieux découvrir la formule finie, lorsque la série obtenue
ne présente que le développement d'une fonction déjà connue.
Bien que ces cas doivent être fort rares, nous en pouvons citer
ici un exemple important, qui va procurer une nouvelle exten-
sion à notre règle primordiale de quadrature, et, par suite
aussi, ouvrir de nouvelles voies à Temploi ultérieur des séries,
en y permettant Tadmission des exposants négatifs. Soit à
quarrer la courbe y=aa:— »*, envers laquelle il convient de
modifier un peu la position antérieure de la question, en évi-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈME. 219
tant de compter Taire à partir de a: =3 0, qui rend alors y
inOni : nous supposerons donc que le segment commence, par
exemple, à a: = i. Toutefois, afin de ne pas changer les habi-
tudes antérieures, où les règles algébriques de quadrature se
rapportent toujours à une aire partant de Taxe des y, il faudra
transporter cet axe à la position correspondante à cette abscisse
initiale ; ce qui se réduit à changer, dans Téquation proposée,
X en i-^x. On a alors y=a (1 + ^)'""*; et, en développant
suivant la loi du binôme,
y = a\i^mx+^-^:^x^ 1.2.3 ^^^+etc.].
En opérant la quadrature, d'après le principe de Wallis, on
trouve la série
/ w , m[m-\-i) - w(m+i)(w+2) ^. \
Or, en la considérant avec attention, il est aisé d'y reconnaître
le développement de (i+a:)"""'"**^, où Ton aurait ôté le premier
terme 1, et ensuite le facteur — m + i- U en résulte donc une
expression finie de Taire cherchée, qui, en revenant à Tan-
cienne origine des abscisses, se trouve enfin représentée par la
formule
a (a:-»H-i ^ i)
— m + i
Eu égard àTorigine actuelle des aires, ce résultat consiste évi-
demment.à étendre aux exposants négatifs la règle de quadra-
ture précédemment démontrée envers Téquation y = ac»,
quand m était supposé positif.
74. Telles sont les ressources essentielles que présente réel-
lement Tanalyse ordinaire pour aborder, à un certain degré, la
théorie des quadratures proprement dites, en évitant d'y exa-
gérer puérilement sa portée effective par une vaine imitation^
220 GÉOMÉTRIE PLANE.
plus OU moins dissimulée, des procédés vraiment émanés de
l'analyse transcendante.il faut maintenant expliquer successi-
vement les divers rapprochements fondamentaux qui étendent
beaucoup Futilité géométrique des moyens analytiques quel-
conques relatifs à la mesure des aires, en permettant d'y ra-
mener aussi la mesure des longueurs et celle des volumes.
La manifestation définitive de ces relations nécessaires con-
stitua, vers le milieu de Tavant-dernier siècle, Tun des pre-
miers résultats naturels de Theureuse révolution que Descartes
venait d'opérer dans le système des spéculations géométriques,
en y faisant convenablement prévaloir les conceptions analy-
tiques, qui ont permis une généralisation auparavant impos-
sible. Aussi ces importantes relations vont-elles ici s'établir avec
toute la généralité désirable, sans exiger aucunement l'analyse
transcendante, qu'on y croit mal à propos indispensable au-
jourd'hui, quoique sa création ait été historiquement très-
postérieure à leur découverte.
Considérons d'abord la rectification des courbes planes. La
marche générale de la solution s'y présente aussitôt comme évi-
demment analogue à celle du problème des quadratures, puis-
que la difficulté consistera ici à discerner la limite delà somme
des éléments rectilignes, tels que m m' (fig. 45), composant le
polygone inscrit que l'on substitue à l'arc proposé, MM,
compris entre les ordonnées M'P' et MP. Mais un examen plus
approfondi montre aisément que l'on peut établir, sous le rap-
port analytique, une véritable identité entre les deux recher-
ches, en ramenant la rectification d'une courbe quelconque à
la quadrature d'une autre, liée à la première suivant une loi
constante. Il suffit pour cela de chercher l'expression générale
del'élémentcurviligne d'après l'élément pp' ou mw del'abscisse.
En nommant a l'angle m'mji^ qui, à la limite, devient évi-
demment l'inclinaison de la tangente en m sur l'axe, on aura
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈME. 221
mm'^h séc a. Or, cette formule permet d'envisager Télément
liâéaire proposé comme numériquement équivalent à l'élé-
ment superficiel d'une certaine courbe auxiliaire K*K dont
l'ordonnée serait représentée par la fonction qui, envers la
courbe donnée, indique la sécante de l'inclinaison de la tan-
gente, en sorte que l'on pourra déduire son équation, d'après
la règle des tangentes, de celle de la courbe proposée, suivant
la loi y = ^ i + (/'(x) )', si j/ =?= /" (x) est l'équation primitive.
Une telle assimUation élémentaire détermine la même relation
entre les sommes d'un pareil nombre d'éléments respectifs, et
par suite entre les limites de ces sommes. Ainsi l'arc cherché
M'M équivaudra numériquement au segment K'P'KP. Si donc
la quadrature de la courbe auxiliaire est accessible aux mé-
thodes connues, elle fournira aussitôt la rectification de la
courbe proposée.
Qu'il s'agisse, par exemple, de rectifier le cercle y^-\-3^=r^,
X
On aura ici tang a »== , et dès lors la courbe auxUiaire, sui-
y
vaut laloi précédente 2==>séc a, aura pour équation 2^'
yr^-x*
Cette courbe du quatrième degré n'étant pas actuellement
quarrable par nos méthodes, si ce n'est en série, la question
proposée ne comporte maintenant qu'une pareille solution.
L'extrême imperfection où nous avons dû laisser ci-dessus
la théorie des quadratures proprement dites nous permettrait
rarement d'accomplir ainsi les rectifications, vu la trop
grande complication que la nature de cette loi de transforma-
tion devra communément introduire dans l'équation de la
courbe auxiliaire, même d'après une très-simple équation pri-
mitive. Mais le problème des rectifications doit être, en gé-
néral, réputé plus difficile que celui des quadratures, et beau-
coup moins souvent susceptible d'une solution satisfaisante,
.\ù GÉOMÉTRIE PLANE.
v ,v quelques moyens analytiques qu'on puisse râborder.
;c Jvi* pourtant citer ici un exemple remarquable, où, par
uao compensation analytique éminemment exceptionnelle, la
coui'be auxiliaire devient réellement plus simple que la courbe
proposée : c'est celui de la courbe y*=x', où Ton trouve, pour
la courbe auxiliaire, Téquation 2i = V^ "'^i^' î^^' ^^^^
sous la forme ^^==1(^ + 0) U^dique évidemment une para-
bole aisément quarrable d'après la règle élémentaire dun" 71,
assignant au segment les ^ de Taire du rectangle des coordon-
nées extrêmes. On doit seulement remarquer, à ce sujet, que la
parabole actuelle a son sommet à-f en arrière de Taxe des y,
à partir duquel cette règle estime Taire, et d'où nous voulons
aussi compter Tare cherché : il faudra donc, de l'expression
habituelle du segment variable, retrancher main tenant celle du
segment fixe qui s'étend de ce sommet à cet axe ; ce qui donnera
finalement pour là rectification proposée, la formule
= (^ + §)v/^ + ?-F7-
75. En passant maintenant à la mesure des volumes, nous
devons ici, pour ne pas sortir réellement de la géométrie plane,
considérer seulement les corps engendrés par la révolution
d'une courbe plane autour d'un axe situé dans son plan. Après
les corps cylindriques et coniques, dont la mesure résulte im-
médiatement de celle des prismes et des pyramides, ces corps
ronds constituent le cas le plus simple et aussi le plus usuel :
sa juste appréciation générale suffit d'ailleurs à caractériser
nettement le véritable esprit de la méthode fondamentale des
cubatures, quoiqu'on puisse s'y borner, comme envers les
quadratures et les rectifications, k une seule décomposition
SECONDE PARTIE, GHAnTRE SEPTIÈME. . 223
élémentaire ; tandis que les volumes les plus compliqués exi-
geraient deux décompositions consécutives afin de se résoudre
en éléments directement évaluables.
Proposons-nous donc de mesurer le volume produit par le
segment curviligne quelconque M'MPP' {fig. 46), tournant
autour de Taxe des x. Les éléments naturels de ce corps se-
raient d'abord les troncs de cône résultés des trapèzes élémen-
taires dont Taire génératrice est immédiatement formée. Mais
de même que, à chacun de ces trapèzes mm'p'p, on peut
substituer le rectangle correspondant mnp'p^ un motif sem-
blable autorise également à remplacer ces éléments coniques
par les simples cylindres qu^engendreraient ces rectangles ;
puisque chaque tronc de cône est évidemment compris entre
deux cylindres, un extérieur et Tautre intérieur, qui, à la
limite, coïncident exactement, comme les rectangles généra-
teurs m'qpp' et mnp'p. D'après cela, l'élément du volume
cherché aura pour mesure wy'A. Or, en omettant le facteur
constant ir, cette expression peut être attribuée à l'élément
superficiel d'une courbe auxiliaire G G dont l'ordonnée corres-
pondrait au carré de la fonction de l'abscisse qui représente
l'ordonnée de la courbe donnée. Ainsi^ en raisonnant comme
au n^ précédent, on reconnaîtra, sans aucune difficulté, que la
quadrature de cette nouvelle courbe, entre les limites propo-
sées, représentera numériquement la cubature demandée,
pourvu que le résultat en soit finalement multiplié par le
rapport connu de la circonférence au diamètre. La loi J5=y*,
suivant laquelle la courbe auxiliaire dérive ici de la courbe
donnée, montre clairement que cette seconde extension fonda-
mentale de la théorie des quadratures est plus favorable que
la précédente ; puisque la quadrature finale doit èlre alors bien
plus souvent accessible à nos méthodes actuelles, d'après la
simplicité comparative de là nouvelle équation.
224 GÉOMÉTRIE PLANE.
Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'obtenir ainsi la me-
sure du segment sphérique,en partantderéquationy'-f"^'=^^i
du cercle générateur. Dans ce cas, la courbe auxiliaire est une
simple parabole z=r^ — x^, aisément quarrable suivant notre
règle élémentaire, et qui donne St=r*aî — ^ , d'où il résulte,
pour le volume cherché, la formule \ s^izlr^x — - L où le
segment est naturellement compté du centre, et qui conduirait
aisément à l'expression du segment compté de la surface. Au
reste, celui-ci s'obtiendrait directement en représentant le cercle
générateur par l'équation y^=2rx—a;^, d'où la môme méthode
déduirait, sans plus d'embarras, la formule V = wo:^ !?• — -xl
Chacune de ces formules, d'après Thypothèse x^=ir, détermi-
nerait l'hémisphère, de manière à reproduire spontanément,
4
pour la sphère totale, l'expression élémentaire - tc r*, dont la
o
démonstration pourrait logiquement être ajournée jusqu'à ce
degré actuel de l'initiation mathématique, quoiqu'il convienne
d'ailleurs, à tous égards, de maintenir l'usage de faire connaître
beaucoup plus tôt un tel résultat géométrique.
Considérons encore le cas du tore, engendré par la révolu- "
tion du cercle ABDE {fig. 47), dont le centre C est sur l'axe
des y, autour de l'axe des x. L'équation du cercle est alors
(y— .ô)«-|-j!:«=r*, et il en résulte, pour la courbe auxiliaire,
l'équation
j5 = ^a + H — a:a±2ftV/ r^ — x* ,
où le double signe correspond à la duplicité actuelle des or-
données MP et M'P relatives à une même abscisse. Il importe
ici de sentir que, si on appliquait aveuglément la règle ordi-
naire à l'une ou à l'autre de ces deux fonctions, on n'obtien-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈME. 225
drait pas, en étendant le résultat aux limites horizontales du
corpsproposé, la vraie mesure du tore, mais celle seulement
ou du corps produit par Tespace circulaire concave HADBK,
d'après la première, ou de celui que produirait Taire convexe
HAEBK : un instant de réflexion directe sur l'origine de la re-
lation fondamentale suffira pour le faire bien comprendre au
lecteur. Or, le tore étant évidemment équivalent à la différence
de ces deux volumes, on voit qu'il faut maintenant quarrer
séparément les deux courbes auxiliaires, et ensuite retrancher
le second résultat du premier. Dans cette soustraction^ les
termescommuns,d'ailleurs, aisémentquarrables, devraient dis-
paraître, en sorte qu'il serait superflu de s'en occuper : au
contraire, les termes distincts se doubleront, d'après l'opposi-
tion des signes, et tout se réduira finalement, selon le principe
de Wallis, à quarrer la courbe îs = ^ r^ — x^^ sauf à multiplier
le résultat par 4i_, outre le facteur habituel ir en dernier lieu.
Nous ne pourrions maintenant opérer qu'en série cette quadra-
ture définitive, qui est évidemment celle du cercle générateur,
s'il s'agissait d'un segment torique quelconque. Mais, envers
le tore entier, le résultat en est déjà connu, suivant la règle
élémentaire relative à l'aire du cercle, et qu'il faudra ici ap-
pliquer au demi-cercle. On trouvera ainsi la formule finale
V= âic'ir', parfaitement conforme à la loi générale de Guldin
sur la mesure de tout corps rond par le produit de Taire
génératrice et de la circonférence que décrit son centre de
gravité.
Un tel exemple méritaitici une appréciation spéciale, comme
propre à caractériser la manière dont il faudra modifier la
méthode fondamentale quand la figure proposée, au lieu de
s'étendre inférieurement jusqu'à Taxe, suivant notre hypo-
thèse ordinaire^ sera circonscrite entre les deux parties d'une
même courbe, ou d'ailleurs entre deux courbes distinctes, dont
2^ GÉOMÉTRIE PLANE.
les ordonnées, différeraient d'après un mode analytique quel-
conque, au lieu de n'être distinguées que par le signe d'un
radical.
76. Procédons enfin Ma dernière extension générale de notre
théorie des quadratures, en l'appliquant à la mesure de la sur-
face courbe qui entoure les corps ronds que nous venons de
cuber. On est alors obligé de conserveries éléments coniques
engendrés par les côtés élémentaires mm'{fig. 46)dela courbe
donnée, sans pouvoir aucunement leur substituer les éléments
cylindriques correspondants aux parallèles m'n ou m'q^ entre
lesquelles l'élément naturel n'est plus compris. Un élément
quelconque de Taire cherchée sera donc ici mesuré par âwAy
séc a, en ayant égard à l'expression du n®74 pour le côté mm\
a désignant toujours l'inclinaison de la tangente sur l'axe.
D'après une telle formule, une marche semblable à celle déjà
employée envers les deux autres extensions fondamentales,
conduit aisément à reconnaître que la quadrature de la sur-
face courbe proposée se réduit à celle de l'aire plane cor-
respondante à une courbe auxiliaire dont l'équation se dédui-
rait de celle de la courbe donnée suivant la loi ;s = y séc a :
il faudra seulement multiplier cette aire par le facteur con-
stant 2 ic.
La loi de transformation générale est ici plus compliquée
qu'en aucun autre cas ; par suite, cette troisième classe de
recherches doit être finalement regardée comme la moins acces-
sible à nos méthodes actuelles, et même aux moyens pluspar-
faits que fournit l'analyse transcendante. Je ne puis guère citer
ici d'autre cas intéressantoù elle devienne complètement appli-
cable que celui de la sphère, où, par une compensation émi-
nemment exceptionnelle, les radicaux propres aux deux
facteurs y et séc a, au lieu de se combiner, comme de coutume,
se détruisent mutuellement ; en sorte que, contre l'usage
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈME. 227
normal, la ligne auxiliaire se trouve alors plus simple que la
ligne donnée. En partant de Téquation y*B= 2rx — or*, afin
d'obtenir naturellement la zone à une seule base, on trouve
r
séc a B= - ; ainsi la ligne auxiliaire est ici z = r, c'est-à-dire
y
une simple parallèle à Taxe : il en résulte, suivant nos
règles, la formule S= 2 « rx, parfaitement conforme à la loi
connue.
Dans lecas du tore (/!g.47),ontrouveraitaisément, d'après la
même équation qu'au numéro précédent, la courbe auxiliaire
br _^
»= — ±:r.
En étendant sa quadrature jusqu'aux limites horizontales du
tore entier, le signe supérieur correspondrait à Taire résultée
de la demi-circonférence concave ADB, et le signe inférieur à
celle qu'engendrerait la demi-circonférence convexe AEB . L'aire
cherchée dépendra donc de la somme des deux quadratures^
sur laquelle le terme distinct ±r ne saurait influer, en sorte
que tout se réduit à doubler le résultat correspondant à l'équa-
br
tion z = — . Or, quoiqu'elle échappe directement à nos
méthodes élémentaires, sauf le recours aux séries, il est aisé
de sentir que, en y omettant le facteur 6, cette quadrature
coïncide avec celle qu'a exigée, au n* 74, la rectification du
cercle, laquelle nous est déjà connue envers la circonférence
totale, qui se rapporte ici à l'ensemble du tore. D'après cet
utile rapprochement, on trouve aisément la formule finale
S= 4 n^r ; conformément à la seconde partie de la loi de
Guldin sur la quadrature de tout corps rond suivant le produit
du contour générateur par la circonférence que décrit son
centre de gravité. Tl ne faut pas négliger d'ailleurs de remar-
228 GÉOMÉTRIE PLANE.
quer, au sujet d'une telle solution, cet exemple évident de Tef-
ficacité naturelle, même spéciale, du point de vue analytique
pour le perfectionnement des diverses notions géométriques à
Taide des nouvelles liaisons abstraites qu'il établit entre elles,
et qui permettent de faire souvent rentrer les unes dans les
autres des questions qui devaient d'abord sembler hétérogènes.
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 229
TROISIÈME PARTIE.
DISCUSSION GÉOMÉTRIQUE DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
A DEUX VARIABLES.
CHAPITRE PREMIER.
Considérations générales.
77. A la manière dont jusqu'ici on s'est borné à concevoir
cette j^arlie essentielle de la géométrie plane, elle constitue
seulement Papplication générale de l'ensemble des méthodes
que nous venons d'établir àla détermination caractéristique de
la vraie figure d'une courbe d'après son équation. Sans exiger
proprement aucun nouveau principe, cette partie ne se distin-
guera ainsi de la précédente que par la combinaison spontanée
et continue des diverses théories qui ont été ci-dessus consi-
dérées séparément, et qu'il faut maintenant faire concourir à
l'appréciation progressive des formes correspondantes aux dif-
férentes équations, en apprenant surtout à perfeclionner les
unes par les autres ces indications distinctes, qui pourront
souvent se suppléer mutuellement. C'est dans le sentiment fa-
milier d'une telle solidarité générale que consiste la principale
utilité de cette nouvelle élude, communément très-imparfaite,
et à défaut de laquelle on ne saurait pourtant obtenir qu'une
insufQsante manifestation du véritable esprit de la géométrie
analytique.
230 GÉOMÉTRIE PLANE.
Pour caractériser d'abord convenablement la marche fonda-
mentale que doit toujourssuivre la discussion géométrique des
équations, il y faut distinguerici deux degrés essentiels néces-
sairement consécutifs, Tun relatif à l'ordonnée, Tautre à la
tangente. Le premier degré, base indispensable de l'ensemble
de la discussion, consiste surtout, non à examiner minutieuse-
ment quelques points pai*ticuliers, comme on a coutume de le
faire presque au hasard, mais à saisir nettement le mode gé-
néral de variation derordonnéed^aprèsTabscisse. Cette appré-
ciation se compose essentiellement de deux parties successives,
l'une où Ton détermine d'abord entre quels intervïdles l'or-
donnée sera réelle, l'autre où l'on discute ensuite en quel sens
et avec quel signe varie sa grandeur pour chaque intervalle de
réalité, sans plus s'occuper de ceux où elledevientimaginaire.
On connaît ainsi, en premier lieu, si la courbe e&t limitée ou
illimitée, continue ou discontinue ; en second lieu, si elle est
ascendante ou descendante, et si elle traverse ou non les axes
coordonnés. Chacune de ces deux parties delà discussion fon-
damentale de l'ordonnée donne lieu d'ailleurs le plus souvent à
un complément naturel, consistant à déterminer, autant que
possible, les points particuliers où s'opèrent ces différents pas-
sages de la réalité àl'imaginarité, de l'ascension à la descente,
d'un côté de l'axe à Vautre côté. Il convient alors de résumer
l'ensemble de cette première appréciation par la figure la plus
simple qui puisse convenablement satisfaire aux divers ren-
seignements ainsi obtenus ; suivant l'important précepte logi-
que, mentionné dans la première partie de ce traité, sur la né-
cessité d'introduire le plus promptement possible une hypothèse
propre à lier tous les documents déjà recueillis, saufà la mo-
difier ensuite d'après de nouvelles informations.
Quoique cette discussion de l'ordonnée puisse quelquefois
suffire à caractériser nettement la vraie figure générale d'une
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 231
courbe, cependant elle laissera presque toujours, sur le sens
effectif de sa courbure, une incertitude radicale, qui ne saurait
être dissipée que par un second degré de discussion, relatif au
mode de variation de la tangente dans les diverses parties de la
ligne. La méthode naturelle que nous avons d*abord employée
pour décider si une courbe est concave ou convexe vers un axe,
en comparant son ordonnée à celle d'une corde convenablement
choisie, conduirait le plus souvent à des calculs beaucoup trop
compliqués. Or, celte comparaison spontanée entre deux fonc-
tions distinctes peut être maintenant remplacée par une com-
paraison équivalente, non moins générale, mais bien plus fa-
cile, entre les valeurs successives d'une même fonction, celle
qui exprime, en chaque point, le coefficient angulaire de la
tangente correspondante. Car, en supposant, pour mieux fixer
les idées, que l'ordonnée croisse avec Tabscisse, il est clair que,
si la courbe est concave vers Taxe, Tinclinaison de la tan-
gente diminuera toujours, avec ou sans limite d'ailleurs, à
mesure que la courbe s'élèvera ; tandis que, si la courbe est
convexe, cet an|le ira, au contraire, en augmentant. Quand
la courbe descend, le symptôme se trouve inverse, mais pa-
reillement décisif : l'angle, dès lors obtus, que fait la tangente
avec l'axe se rapproche ou s'éloigne de l'angle droit à mesure
que l'abscisse augmente, suivant que la courbe est concave ou
convexe. Ainsi, le mode général de variation du coefficient
angulaire de la tangente est toujours propre à déterminer le
vrai sens de la courbure, sans qu'il convienne d'ailleurs d'ar-
rêter d'avance, à cet égard, aucune formule spéciale, qui ne
saurait également s'adapter aux diverses applications.
Ce seconddegré général de la discussion géométrique des équa-
tions indique d'abord certains points remarquables, qui com-
plètent naturellement la discussion de l'ordonnée, en faisant
connaître les maxima ou minima des deux variables simulta-
232 GÉOMÉTRIE PLANE.
nées, d'après les tangentes parallèles aux axes, comme je Tai
expliqué) en principe, en exposant Tapplication de la théorie
des tangentes à cette importante recherche analytique. Mais,
outre ces points, qui appartiennent proprement au premier
degré de discussion, la marche des tangentes introduira spon-
tanément la détermination d'une autre sorte de points, qui s'y
rapporte spécialement, ceux où la courbure change de sens.
Quand une courbe est sinueuse, chacune de ses inflexions ^^
trouve, en effet, caractérisée, d'aprèsTexplication précédente,
par un état maximum ou minimum de la fonction qui mesure
rinclinaison de la tangente sur Taxe ; puisque c'est alors que
cette fonction passe de Taccroissement au décroissement, ou
en sens inverse selon la position de la figure. On pourra donc
découvrir ces points d'inflexion en appliquant au coefficient
angulaire de la tangente les méthodes que Ton jugera conve-
nables pour en déterminer les maxima ou minima. Suivant les
principes que nous avons établis à ce sujet, on pourrait consi-
dérer le caractère analytique de ces points comme consistant,
en général, dans l'annulation de là seconde dérivée de la fonc-
tion relative à l'ordonnée, sous la réserve habituelle des excep-
tions propres à cette théorie. Mais, soit que nous puissions
immédiatement appliquer un tel caractère, soit que, comme il
arrivera le plus souvent, nous soyons forcés de suivre, à cet
égard, les détours algébriques, déjà expliqués, qu'impose la
faible instruction analytique exigée dans ce traité, ce sera
toujours d'après une semblable considération géométrique que
nous procéderons ici à la recherche de ces points remar-
quables.
A ces deux degrés essentiels de la discussion géométrique
seule accessible à l'analyse ordinaire, Tanîilyse transcendante
en joindra ultérieurement un troisième, destiné à compléter le
second, comme celui-ci aura déjà complété le premier, en
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 233
appréciant le mode général de variation de la courbure, consi-
dérée, non plus seulement dans sa direction concave ou con-
vexe, mais aussi dans son intensité plus ou moins grande.
Nous ne pourrons ici instituer, à cet égard, qu'une première
ébauche, nécessairement vague et imparfaite, en examinant
les changements plus ou moins rapides qu'éprouve rinclinaison
de la tangente. Là où cet angle variera beaucoup dans un petit
intervalle, nous jugerons la courbure très prononcée en géné-
ral ; quand, au contraire, il changera peu entre deux sinuosités
fort écartées, nous conclurons aune faible courbure. Mais ces
insufBsantes indications, les seules que fournisse, à ce sujet,
l'analyse ordinaire, ne sauraient d'ailleurs nous permettre
nullement ni de mesurer ces inégalités de courbure, ni de
distinguer ce qui s'y rapporte aux divers points de chaque
branche. C'est Punique aspect sous lequel nos figures devront
ici rester ordinairement indécises, jusqu'à ce que l'analyse
transcendante ait mis le lecteur en état d'aborder une telle
appréciation, où elle est essentiellement indispensable.
Les diverses indications géométriques relatives à nos diffé-
rentes théories générales viendront d'ailleurs se grouper spon-
tanément, selon leur nature, autom* de l'un ou de l'autre de
ces deux degrés nécessaires que nous venons de distinguer dans
la discussion des équations. A la discussion fondamentale de
l'ordonnée, se rattachera naturellement, quandil y aura lieu,
la considération des diamètres ainsi que celle des centres. De
même la discussion complémentaire de la tangente conduira
habituellement à la détermination des asymptotes, quand l'exa-
men de l'ordonnée ne les aura pas directement indiquées.
Suivant ces explications générales sur la marche nécessaire
de la saine discussion géométrique des équations, cette troi-
sième partie essentielle de notre étude doit surtout consister en
une suite d'exemples convenablement choisis, propres à bien
9S
234 GÉOMÉTRIE PLANE.
caractériser rapplication familière de ces principes incontes-
tables, qui, comme tous les préceptes logiques, malgré leur
immédiate évidence, ne sauraient être suffisamment appréciés
que d*aprës un judicieux exercice. Toutefois, afln d'éviter
d'inutiles développements, je me bornerai ici aux exemples
susceptibles de faire nettement ressortir les diverses difficultés
d'un tel travail, en les coordonnant d'ailleurs de manière à
permettre aisément la formation de nouveaux cas, dont je ré-
serverai ensuite au lecteur l'examen spontané. Rien n'est plus
propre que de pareils exercices, bien conçus et bien dirigés,
non-seulement à faire profondément sentir le vrai génie de la
géométrie analytique, mais aussi à réaliser directement cette
universelle préparation logique qui constitue, au fond, la
principale utilité finale de l'initiation mathématique. Car, une
telle élaboration tend spécialement audéveloppementrudimen-
taire de l'esprit d'ensemble, jusqu'ici trop rare chez les géo-
mètres, en habituant à faire exactement converger toutes les
diverses déterminations analytiques vers un même résultat
synthétique, d'abord confusément entrevu, etensuite graduel-
lement ébauché, à mesure que les renseignements s'accumu-
lent, en necompliquantjamais l'hypothèse primitive qu'autant
que Pexige la nécessité de satisfaire à toutes les informations
recueillies.
78. Pour diriger le choix rationnel des exemples successifs
qui doivent ici caractériser la discussion géométrique des
équations algébriques, il serait nécessaire d'établir des prin-
cipes généraux sur la classification naturelle des courbes cor-
respondantes. Or, c'est là que se manifeste, chez les esprits
convenablement préparés, l'extrême imperfection actuelle de
cette troisième partie essentielle de la géométrie analytique,
qui, sous ce rapport, n'est pas encore sortie de l'enfance ; à
tel point que la plupart des géomètres, même éminents, n'ont
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 235
pas seulement compris jusqu'à présent quels sont, à cet égard,
les vrais besoins de la science, faute d'une disposition philoso-
phique qui ne peut être, à ce sujet, suffisamment développée
que sous des inspirations logiques émanées des plus hautes
parties de Tétude des corps vivants, unique source spontanée
des véritables principes relatifs à la théorie universelle des
classifications quelconques.
Dès Torigine de la géométrie analytique, les habitudes algé-
briques ontinvolon tairement conduit à classer les courbes planes
d'après les degrés de leurs équations rectihgnes, sans qu'on ait
jamais examiné directement si ce classement empirique peut
aucunement satisfaire aux conditions essentielles que la raison
impose en une telle opération. Il est néanmoins évident, en
principe, que les motifs qui, en algèbre, ont insph*é et main-
tenu une telle classification ne sauraient nullement sufQre pour
la transporter en géométrie. Car, ils se rapportent essentielle-
ment à la difficulté croissante que doit nécessairement offrir, à
mesure que le degré s'élève, la résolution des équations, objet
final des spéculations algébriques. Or, cette distinction ne com-
porte, par sa nature, aucune importance géométrique, puisque
le lieu d'une équation est^ comme nous l'avons reconnu au
début de ce traité, radicalement indépendant de sa forme ac-
tuelle : en géométrie, l'équation est habituellement conçue ré-
-solue, sans qu'il faille s'y enquérir aucunement de l'embarras,
. purement analytique, que peut susciter la réalisation d'un tel
projet. Le degré d'une équation n'a, par lui-même, d'autre
influence géométrique que d'indiquer une limite supérieure du
nombre de points en ligne droite que comporte la courbe cor-
respondante. Mais cette considération, qui pourrait acquérir une
véritable importance, en signalant le nombre des sinuosités, si
une telle indication était plus précise, ne peut nullement de-
venir un principe de classement, vu son incertitude radicale.
236 GÉOMÉTRIE PLANE.
Il existe, par exemple, dans tous les degrés pairs, des courbes
que, comme les sections coniques, aucune droite ne saurait
couper en plus de deux points.
CetteinsufQsance nécessaire du classement empirique adopté
spontanément par les géomètres pour les courbes algébriques
est aisément vérifiable en plusieurs cas décisifs, quoique Tétude
comparative de ces diverses figures ne soit pas encore conve-
nablement instituée, ni même judicieusement conçue dans
son ensemble. On peut, en effet, constater souvent qu'un tel
classement rompt directement toutes les analogies essentielles,
et qu'il conduit aussi à de vicieux rapprochements. Dans tous
les degrés, et sans môme excepter le second, les vrais analo-
gues géométriques de chaque courbe se trouvent fréquemment
parmi des lignes de beaucoup d'autres degrés, tandis que celles
du degré correspondant en diffèrent, au contraire, essentielle-
ment : double confirmation, spontanément développée dans
toute cette troisième partie, de l'inanité radicale d'un tel clas-
sement. Malgré l'habitude invétérée, transmise, sous de nou-
velles formes, des anciens aux modernes, qui rapproche essen-
tiellement l'ellipse, d'une part de la parabole, et d'une autre part
de l'hyperbole, nous allons spécialement reconnaître, au cha-
pitre suivant, que, si l'on considère l'ensemble des rapports,
sans se préoccuper d'aucun rapprochement exclusif, les véri-
tables affinités géométriques de la parabole ou de Thyperbole
existent surtout envers certaines courbes dispersées parmi tous
les degrés algébriques, bien davantage qu'envers les courbes du
second degré. Plus on méditera sur ce grand sujet de philoso-
phie géométrique, à peine entrevu jusqu'ici, mieux on sentira-
que la classification des courbes planes d'après les degrés de
leurs équations n'est pas plus rationnelle, au fond, que ne le
serait.une classification zoologique fondée sur la couleur ou sur
la taille, etc., indépendamment de toute profonde comparaison
organique.
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 237
Malheureusement, Tétat présent de la géométrie ne permet
pas de remplacer encore ce vain classement empirique par une
conception vraiment rationnelle. Depuis Descartes, on a dû
s'occuper exclusivement de constituer, sous son inspiration
fondamentale, la géométrie générale proprement dite, en
établissant les méthodes analytiques, élémentaires ou transcen-
dantes, propres aux différentes recherches auxquelles toute
figure géométrique peut donner lieu. Quant à ce qu'on doit
nommer la géométrie comparée, qai ne peut résulter que d'une
application comparative de Tensemble de ces méthodes aux
diverses formes possibles, Fexîstence n'en est pas même soup-
çonnée encore : elle ne pourra d'ailleurs être conçue que lors-
qu'une plus forte éducation philosophique aura suffisamment
introduit chez les géomètres le sentiment, développé jusqu'ici
par les seuls naturalistes, du véritable esprit de la théorie lo-
gique des classifications quelconques ; comme je Tai établi en
divers lieux de mon Système de philosophie post/ive. J'explique-
rai soigneusement, dans la dernière partie de ce traité, com-
ment la grande conception de Monge sur les familles de surfaces
a commencé spontanément à ébaucher la constitution directe
de la géométrie comparée. Mais ce germe fondamental, d'ail-
leurs si mal apprécié jusqu'ici, et dont Lagrange seul a digne-
ment pressenti l'importance, ne convient réellement qu'aux sur-
faces, et ne saurait fournir aucune indication relative aux
courbes. Ainsi, sous cet aspect capital, je ne puis ici que si-
gnaler, dans la géométrie actuelle^ une immense lacune géné-
rale, habituellement inaperçue. L'ordre fondamental de con-
ceptions géométriques qui est naturellement propre à cette
troisième partie essentielle de notre étude, et qui pourrait lui
procurer à la fois tant d'intérêt philosophique et tant d'exten-
sion scientifique, nous manque donc encore totalement.
Dans une telle situation, l'impossibilité évidente d'adopter
238 GÉOMÉTRIE PLANE.
ici le classement empirique des courbes algébriques suivant les
degrés de leurs équations rectilignes, nous impose l'inévitable
obligation de recourir à un expédient provisoire, pour coor-
donner nos divers exemples de discussion géométrique d*aprës
un principe analytique qui, sans pouvoir réellement suffire,
puisse toutefois, judicieusement employé, nous mieux guider
que cette vaine considération primitive. J'ai cru devoir
adopter, à cet effet, la distinction fondée sur le nombre des
termes, mais sans retendre au delà de quatre, nombre total
des diverses sortes de termes propres aux équations algébri-
ques. Nous discuterons donc d'abord les équations binômes,
ensuite les équations trinômes, et enfin, sous le nom d'équa-
tions polynômes, toutes celles qui contiennent plus de trois
termes, quel que soit d'ailleurs leur nombre, qui dès lors n'a
plus, en général, aucune haute importance géométrique. Mais,
en utilisant une telle distinction, le lecteur ne devra jamais
oublier qu'elle répose sur un principe radicalement insuffisant,
qui ne peut aucunement dispenser de l'élaboration ultérieure
d'un sujet aussi difficile qu'important, dont je voudrais surtout
rappeler ainsi la destination caractéristique. Cette classifica-
tion provisoire ne sera vraiment satisfaisante que pour notre
premier ordre, où nous allons, en effet, reconnaître les seuls
exemples bien constatés jusqu'ici de l'existence des familles
pleinement naturelles parmi les courbes planes.
TROISIÈME PARTIIS, CHAPITRE DEUXIÈME. 239
CHAPITRE IL
Courbes binômes.
79. Cette première classe comprend nécessairement deux
sortes d'équations : les unes, de la forme y» = oa:», composées
d'un terme en y et d'un terme en x\ les autres, de la forme
yff>â:"B= a, contenant un terme en ^r et y avec un terme constant.
Quoique le second type puisse algébriquement rentrer dans le
premier, en supposant négatif l'un des exposants, ladistinction,
sous quelque forme analytique qu'on la conçoive, n'en est pas
moins indispensable sous l'aspect géométrique. Il en résulte
deux familles de courbes essentiellement différentes, qu'on
désigne communément par les dénominations de paraboles et
d'hj/perbolesy empruntées aux genres les plus simples et les
mieux connus.
Etudions d'abord la première famille, où la courbe est en-
gendrée par un point dont les distances à deux axes rectangu-
laires varient de telle manière que deux de leurs puissances
soient constamment proportionnelles. De toutes les définitions
de courbes, c'est assurément celle qui diffère le moins de la dé-
finition analytique de la ligne droite, qui s'y trouverait même
comprise en cas d'égalité entre les deux exposants. Aussi, en
considérant l'ensemble des aspects géométriques, pourra-t-on
reconnaître que ce groupe de courbes planes est, au fond, le
plus simple et le mieux connu. Pour l'apprécier convenable-
ment, il faut distinguer deux cas essentiels, selon que les expo-
sants sont tous deux impairs, ou l'un pair et l'autre impair ;
ils ne peuvent d'ailleurs être simultanément pairs.
240 GÉOMÉTRIE PLANE.
Dans le premier cas, représenté par le type y2»H-i 4, ax^'^^^
d'où y = X lax^-^^. la discussion fondamentale de Tor-
"V
donnée montre aussitôt que la courbe est toujours illimitée en
tous sens et continue, puisque les racines impaires ne sont ja-
mais susceptibles d'imaginarité. En même temps, ces racines
ne comportant qu'une seule valeur réelle, de même signe que
la puissance correspondante, la courbe se composera de deux
branches opposées, situées dans les deux régions impaires du
plan ou dans les deux régions paires, selon que le paramètre
a sera positif ou négatif. Ces deux parties seront, du reste, par-
faitement identiques, puisque le changement simultané du
signe des deux coordonnées n'altère nullement l'équation, en
sorte que la courbe aura pour centre l'origine, qui sera d'ailleurs
un point d'inflexion : la langue géométrique manque ici d'un
terme propre à qualifler cette identité entre deux branches
opposées, qui coïncideraient d'après un double repli de la i)gure
successivement selon chaque axe; tandis que le mot symétrie y
est depuis longtemps consacré à désigner l'identité entre deux
branches adjacentes, susceptibles de coïncidence par un seul
pli. Enfin, chacune de ces deux moitiés de la courbe s'éloi-
gnera continuellement des deux axes à la fois, quoiqu'avec une
inégale rapidité, suivant la grandeur relative des deux expo-
sants. Mais, conformément aux réflexions générales du chapitre
précédent, on voit que cette première discussion laisse entiè-
rement indécis le sens de la courbure dans l'une ou l'autre
branche, qui pourrait être indifféremment concave ou convexe
vers l'axe des or, ou même très-sinueuse, sans cesser de satis-
faire à l'ensemble des documents ainsi directement émanés de
Tordonnée. On ne peut dissiper cette incertitude que d'après
l'examen de la tangente. En appliquant la règle ordinaire, on
(2n + i) ax^
trouve ICI tang a = ^- — '. ;, ^ ; mais, comme rr et y va-
^ (2m + 1)2/2»' ^
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 241
Tient en même sens, on ne peut juger la marche d'une telle
fonction sans y tout rapporter à la variable indépendante, ce qui
donne tang a = ^ , , a'w+i x ^w+i . Cette fonction sera évi-
2fii-f-i
demment toujours croissante ou toujours décroissante,selon que
n sera supérieur ou inférieur à m. Ainsi, la courbe est con-
stamment convexe vers Taxe correspondant au plus haut expo-
sant, et qui constitue sa première tangente : elle n'a jamais
d'autre sinuosité que celle relative à son centre, conformément
à la figure 48, où Ton a supposé n^m. La valeur extrême de
tang a étant ainsi nulle ou infinie, on conçoit d'ailleurs que
cette courbe ne saurait avoir aucune asymptote rectiligne; car,
elle n'en pourrait dès lors admettre que de parallèles à l'un
des deux axes, ce qui ne peut s'accorder avec son extension
indéfinie suivant chacun d'eux. Une telle courbe, quel que soit
son degré, ne pourra jamais être coupée qu'en un ou trois
points par aucune droite, sauf ses tangentes qui auront avec
elle deux points communs, l'un de contact, l'autre d'intersec-
tion. Les valeurs des deux exposants m et n ne sauraient évi-
demment exercer qu'une influence secondaire sur sa forme
générale, en sorte que toutes les courbes ainsi obtenues, d'a-
près tous les exposants possibles, constitueront certainement
un même genre pleinement naturel. On ne pourra point cepen-
dant les concevoir de mtma espèce, si, comme la raison l'exige,
on définit l'espèce, en géométrie comparée, d'après la simili-
tude rigoureuse des figures correspondantes. Il n'y aura donc
une véritable identité d'espèce, entre deux courbes de ce genre,
qu'autant que les deux exposants y présenteront les mêmes
valeurs quelconques, sans aucune autre diversité qye celle du
paramètre a.
Considérons, maintenant, le cas où l'un des exposants est
pair et l'autre impair, suivant le type yaiwa-, ^j^sn+i^ d'où
^2 GÉOMÉTRIE PLANE.
Sm
yB=s±^ ax^^^. L'ordonnée devient alors susceptible d'ima-
ginarité, et ne peut être réelle qu'autant que a: a le même
signe que a : ainsi la courbe est limitée dans un sens et
illimitée dans l'autre. En même temps, ebaque ordonnée
réelle a nécessairement deux valeurs égales au signe près ;
en sorte que la courbe se compose encore de deux branches,
mais placées dans les deux régions adjacentes, et d'ailleurs
parfaitement symétriques autour de Taxe qui les sépare,
chacune d'elles s'éloignant, du reste, continuellement des
deux axes à la fois. Telles sont les indications fondamentales
que fournira toujours ici la marche générale de l'ordonnée,
quelles que soient les valeurs des deux exposants m etn. Mais
la discussion de. la tangente va dévoiler la nécessité de distin-
guer, dans ce cas qui paraît unique, deux genres vraiment
différents, selon que le degré de l'équation sera pair ou impair.
Car, on obtient alors, pour le coefficient angulaire de la tan-
gente, l'expression finale tang a = —r — ^**" ^ . Si
donc l'équatioû est de degré pair, c'est-à-dire si 2m surpasse
27i-}-l, l'exposant total de a: y étant négatif, cette fonction sera
indéfiniment décroissante, et la courbe tournera constamment
sa concavité vers son axe, qui constituera sa première normale,
comme dans la parabole proprement dite, qui appartient évi-
demment à ce genre. Quand, au contraire, le degré de l'équa-
tion sera impair, la fonction croîtra continuellement et sans
limite, en sorte que la courbe deviendra toujours convexe vers
son axe qui lui sera tangent. L'origine sera un sommet pro-
prement dit dans le premier cas, et un point de rebroussement
dans le second. Du reste, ces deux sortes de courbes ne sau-
raient comporter davantage que celles du genre primitif,
l'existence d'aucune asymptote rectiligne: elles sont d'ailleurs
évidemment dépourvues de centre. On aura donc les deux
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 243
formes générales indiquées par les figures 49 et 50, selon que
l'exposant pair sera supérieur ou inférieur à l'exposant impair.
La première, quel que soit son degré, ne peut être coupée en
plus de deux points par aucune droite, en sorte que les tan-
gentes n'y rencontrent qu'une seule fois la courbe ; dans la
seconde, toute droite coupera en un ou trois points, et chaque
tangente en deux points : ces diversités géométriques sont en
pleine harmonie avec la notion algébrique relative au nombre
constamment pair des racines imaginaires.
Tels sont les trois genres parfaitement naturels qui com-
posent la famille des paraboles, où chaque courbe ressemble
certainement davantage, sous les divers aspects essentiels, à
toutes celles du même groupe qu'à aucune de celles d'un autre
groupe, sans nul égard au degré, dont la faible influence géomé-
triqueestréellementbornée àlaseule détermination des espèces,
conformément aux réflexions générales du chapitre précédent.
80. La seconde famille des courbes binômes ne diffère de la
première qu'en ce que la raison directe des deux puissances
constamment proportionnelles s'y trouve changée en raison in-
verse. Mais ce simple changement analytique détermine, sous
l'aspect géométrique, une diversité très-prononcée entre les
hyperboles et les paraboles. Supposons d'abord, comme dans
l'autre cas, que les deux exposants soient impairs, ce qui
correspond ici aux hyperboles de degré pair, suivant le type
ajîn+i y2«.-hi c= a, d'où y = y ^jip-
La discussion fondamentale de l'ordonnée sera la même qu'au-
paravant, quant à la réalité et au signe ; en sorte que la courbe
se composera encore de deux branches opposées et identiques,
ayant toujours l'origine pour centre. Mais, en ce qui concerne
la grandeur, la marche sera évidemment inverse; puisque
244 GfeOMÉTRIE PLANE.
Tordonnée décroît ici lorsque Tabscisse augmente, et récipro-
quement, sans que ces variations admettent d'ailleurs aucune
limite : chacun des axes est donc alors une asymptote de la
courbe. Quant au sens de la courbure, déjà indiqué par ce
double asymptotisme pour la majeure partie du cours, il est
aisé de reconnaître qu'il ne changera jamais : car, on a
tang a = — - — r— - ; et, par suite, ce coefficient angulaire
diminue continuellement si x augmente ; ce qui exclut toute
sinuosité, conformément à la figure 51.
Ce premier genre comprend évidemment Thyperbole pro-
prement dite, quand les deux exposants sont égaux, en sorte
que Téquation soit réductible à la forme .5cy=a, qui serait
nécessairement celle de l'hyperbole ordinaire, définie au n° 19,
si on prenait pour axeè les deux asymptotes que nous lui avons
déjà reconnues, comme nous l'expliquerons d'ailleurs spécia-
lement en son lieu. Dans cette espèce primordiale, Téquation
présente une propriété très-remarquable, qui ne saurait au-
trement exister, en vertu de sa symétrie parfaite entre les deux
variables. Il importe de remarquer ici, à cette occasion, qu'un
tel caractère analytique indique, en général, la symétrie géo-
métrique de la courbe correspondante autour de la bissectrice
du premier angle des axes: car, tous les points étant ainsi sus-
ceptibles deux à deux de coordonnées réciproques, on en con-
clut aisément que leurs distances à l'origine sont deux à deux
égales et d'ailleurs pareillement inclinées sur cette bissectrice,
envers laquelle ils se trouvent donc symétriquement disposés.
Comme, en outre, l'équation actuelle ne change pas non plus
en changeant y en — a: et a: en — y, un semblable raison-
nement prouve que la courbe est aussi symétrique autour de
la seconde bissectrice, conformément à l'identité générale des
deux branches. On ne peut douter que jcette double symétrie
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈliE. 245
«
ne soit particulière à Thyperbole du second degré : car, d'après
la pai'ité nécessaire qui doit toujours exister entre les deux
asymptotes, ces deux bissectrices sont évidemment les seuls
axes que puisse comporter aucune hyperbole de degré pair ;
or, elle ne saurait certainement les admettre qu'en cas d'égalité
des deux exposants.. Ainsi, les idées de symétrie que rappelle
spontanément cette espèce primitive doivent être entièrement
écartées pouy s'élever convenablement à la vraie notion géomé-
trique du genre correspondant (*).
Examinons maintenant le second genre d'hyperboles, où les
deux exposants sont l'un pair et l'autre impair, en sorte que
l'équation est alors de degré toujours impair, suivant le
type y^^ a:2«+i ;:= Q^ qui donne y = ± i/ -r^,- Comme
dans le second cas des équations paraboliques, la courbe
se composera de deux branches égales et adjacentes, symé-
triquement disposées autour de l'axe des x. De même que
ci-dessus, chacune d'elles aura encore pour asymptotes les
deux axes. Quant à la marche des tangentes, elle n'offrira
évidemment aucune diversité essentielle, d'après la formule
{*) Au sujet dé cette espèce exceptionnelle, il convient d'éclaircir ici une
contradiction apparente, relative au nombre de points déterminant, qui,
d'après l'équation a;nym=a, doit toujours se borner à quatre dans toutes les
courbes hyperboliques, comme dans les courbes paraboliques, conformé-
ment à )iotre théorie fondamentale; tandisque, d'une autre pari, nous l'a-
vons spécialement reconnu égalàcinq pour Thyperbole ordinaire. Mais
ce défaut d'accord tient uniquement à ce que nous ne considérons ici
que des hyperboles à asymptotes rectangulaires ; et, si les axes étaient
obliques, l'angle des asymptotes n'en serait pas moins donné : ce qui
doit naturellement diminuer d'une unité le nombre des conditions déter-
minantes, qui s'élèverait, en effet, à cinq, envers toutes les hyperboles,
si l'on regardait comme indéterminée l'inclinaison de leurs asymptotes.
La même explication dissiperait aussi la contradiction analogue que
semblerait offrir ici la théorie de la similitude.
246 GÉOMÉTRIE PLANE.
2n + 1 y
tanga=»— — ~ -, qui continue à exclure toute sinuosité,
conformément à la figure 52. Telles sont les seules différences
fondamentales qui puissent avoir lieu entre les hyperboles de
degré impair et celles de degré pair : leur distinction peut se
résumer par Tabsence ou l'existence d'un centre.
Nous devons remarquer ici que ce second cas des courbes
hyperboliques ne comporte nullement la division qu'a exigée
le cas analogue des courbes paraboliques, d'après l'ordre de
grandeur des deux exposants. Car, cette distinction, sans au-
cune influence sur la marche générale de l'ordonnée, ne se
rapportait qu'à la tangente, dont le coefficient angulaire
devient ici toujours décroissant, quel que soit celui des deux
exposants, pair ou impair, qui surpasse l'autre. Ainsi, la fa-
mille des hyperboles ne comprend réellement que deux genres,
quoique celle des paraboles en contienne trois. Dans le premier
genre, de degré pair quelconque, aucune droite ne peut
couper l'hyperbole en plus de deux points ; dans le second, de
degré impair, l'hyperbole admet trois points en ligne droite :
il faut d'ailleurs, en chaque cas, avoir égard aux restrictions
nécessaires relatives, d'une part, aux tangentes, de l'autre,
aux parallèles aux asymptotes.
Envers ces deux genres d'hyperboles, il convient, pour en
mieux concevoir la forme, de déterminer le point le plus rap-
proché de l'origine actueUe, où se croisent toujours les deux
asymptotes. Mais, au lieu d'appliquer à la fonction x^-^-y^y qui
exprime le carré de cette distance, la méthode générale des
minima, après y avoir réduit les deux variables à une seule
conformément à l'équation donnée, on obtiendra une solution
beaucoup plus simple en employant ici un principe géomé-
trique de minimum qui, quoique particulier à ce genre de
questions, n'en mérite pas moins d'être soigneusement ap-
TROISIEME PARTIE^ CHAPITRE DEUXIÈME. 247
précié, à cause de son utilité prononcée en beaucoup d'occa-
sions. C'est le principe évident que le plus court chemin d'un
point à une ligne quelconque, d'abord droite et puis courbe,
lui est toujours perpendiculaire; ce qui ne saurait certainement
offrir aucune difficulté quand le point appartient, comme
dans le cas actuel, à la convexité de la courbe. D'après cela,
le caractère analytique du point cherché consistera simplement
en ce que le coefOcient angulaire de la tangente et celui du
rayon y soient réciproques et de signe contraire, suivant
la loi ordinaire (n® 28). Si donc x» y»»= « désigne, en gé-
néral, l'équation d'une hyperbole quelconque, du premier ou
du second genre, le point le plus rapproché de l'intersection
des asymptotes y sera déterminé par l'équation — - =3 - , d'où
lit X y
^= V'"» ^^ ^^ indique aussitôt la direction du rayon
correspondant, et dès lors les coordonnées spéciales du point
cherché. On voit ainsi que ce point remarquable ne peut
jamais être équidistant des deux asymptotes, sauf dans l'hy-
perbole du second degré, où m=an : il sera toujours plus rap*
proche de l'asymptote relative au plus fort exposant; ce qui
est pleinement conforme à nos réflexions antérieures sur la
symétrie.
Toutes les courbes de la famille des hyperboles sont^ comme
celles de la famille des paraboles, exactement quarrables
d'après nos méthodes actuelles. En partant de l'équation pré-
m\x m — 1/
cédentea:«y^"=a,on trouve ainsi S=a , pour
-- +1
m
l'aire comptée à partir de x=^i. Il est digne de remarque que
cette aire, étendue jusqu'à chacune des deux asymptotes, est
toujours finie d'un C(Mé et infinie de l'autre. Car, en faisant.
248 GÉOMÉTRIE PLANE.
dans cette formule, les deux hypothèses ar=0, a: e=x, qui
correspondent à ces limites, le terme variable y devient d'abord
nul et puis infini, ou réciproquement, selon que son exposant
est positif ou négatif, c'est-à-dire, suivant que m est supé-
rieur ou inférieur à n : d où il résulte que Taire indéfiniment
prolongée a constamment une valeur finie versTasymptote re-
lative au plus haut exposant, tandis que sa valeur totale est,
au contraire, infinie vers Tasymptote à laquelle se rapporte le
moindre exposant. Pour Thyperbole ordinaire, où les deux
exposants sont égaux, la formule devient indéterminée, ce qui
tient à un changement de naturedela fonction correspondante,
comme je l'expliquerai spécialement en son lieu : nous recon-
naîtrons alors que ces deux segments soQt pareillement infinis.
Cette première classe de courbes, paraboliques et hyperbo-
liques, la seule jusqu'ici où les conditions nécessaires d'une
classification vraiment rationnelle se trouvent suffisamment
remplies, doit être envisagée comme offrant le type le plus
satisfaisant de la discussion géométrique des équations. On voit
ainsi comment la nature des termes d'une équation binôme
range aussitôt la courbe correspondante dans la famille des
pai*aboles ou dans celle des hyperboles, et comment ensuite
l'appréciation comparative des deux exposants détermine aisé-
ment auquel des trois genres de la première ou des deux genres
de la seconde appartient le lieu proposé. Une telle ébauche
spontanée, quoique bornée au cas le plus simple, peut déjà
indiquer au lecteur intelligent ce que deviendra sans doute un
jour la géométrie comparée, quand cette nouvelle face univer-
selle de la science géométrique, si méconnue maintenant,
aura été réellement constituée d'après les conceptions générales
qui lui sont propres.
TROISIÈHE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 249
CHAPITRE III.
Courbes trinômes.
81. Le principe provisoire qui, à défaut de tout autre fina-
lement convenable, nous sert ici à classer géométriquement les
équations algébriques, d'après le nombre et la nature de leurs
termes, cesse déjà d'offrir une suffisante rationalité à partir
même des équations trinômes, où Ton n'a plus la certitude
qu'il conduise à instituer des groupes pleinement naturels,
comme dans le chapitre précédent. Néanmoins^ sa judicieuse
application y est encore très-utile pour coordonner et varier
les divers exemples qui doivent y caractériser les principales
difficultés relatives, en général, à la discussion géométrique
deséquations.Trop peu prononcées envers lescourbesbinomes,
ces difficultés doivent être surtout étudiées dans cette seconde
classe, dont Texamen complet suffira certainement au lecteur
pour apprendre convenablement à bien discuter les équations
à deux variables ; ce qui constitue maintenant le but essentiel
de cette troisième partie de la géométrie plane, puisque l'im-
perfection actuelle de la science nous oblige d'ailleurs à y
renoncer encore aux spéculations supérieures de géométrie
comparée que j'ai dû me borner à y faire entrevoir.
Gomme les diverses catégoriesgéométriquessonticiàla fois
plus nombreuses et plus étendues qu'à l'égard des équations à
deux termes, il ne nous sera pas possible d'épuiser, aussi plei-
nement qu'au chapitre précédent, l'appréciation détaillée de
chacune d'elles. Je me bornerai à compléter cet examen pour
la plus simple catégorie, comprenant un terme relatif à chaque
94
250 GÉOMÉTRIE PLANE.
variable et un terme constant.Quant aux autres plus compli-
quées, où les cas se multiplieraient davantage, j'indiquerai
seulement un petit nombre d'exemples caractéristiques, laissant
au lecteur à poursuivre spontanément, d'après les mêmes dis-
tinctions, de telles séries d'études, dont les développements
propres nous entraîneraient beaucoup trop loin, sans compor-
ter d'ailleurs aucune suffisante utilité, soit scientifique, soit
logique. Au reste, tous les exemples considérés en ce chapitre,
quoique relatifs à des exposants déterminés, afin de mieux fixer
les idées en facilitant les calculs, seront toujours traités de
manière à constituer autant de types des cas analogues que
produiraient d'autres exposants quelconques assujettis aux
mêmes conditions.
Dans la première classe des équations trinômes, sous la
forme y»»4-^w:*=*»l®s deux exposants peuvent d'abord être
simultanément impairs, et alors égaux ou inégaux : considérons
un exemple de chaque sorte.
Premier exemple. Soit l'équation y'4-^=*4- Pour rendre
cet exemple plus intéressant, j'y ai supposé, outre l'égalité
des exposants, celle des coefficients, en sorte que la courbe
devient ainsi symétrique autour de la première bissectrice ;
mais j'engage d'avance le lecteur à ne pas attacher trop d'im-
portance à cette particularité, dont l'absence maintiendrait
essentiellement, à cette seule symétrie près, la figure générale
que nous allons reconnaître ; comme on pourra d^ailleurs le
constater aisément d'après un autre exemple comparatif où cet
accident n'ait pas lieu.
La formule y = v/^ — ^' montre d'abord que, Pordonnée
étant toujours réelle et unique, la courbe sera illimitée en tous
sensetcontinue.Quanto: est positif, l'ordonnée reste positive
et décroissante de i à 0, tant que x ne dépasse pas la valeur
TROISIÈBIE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 251
1, après laquelle Tordonnée devient négative, et dès lors
indéfiniment croissante : x négatif la rend constamment positive
et la fait croître sans limite. Ainsi la forme la plus simple com-
patible avec l'ensemble de la discussion de l'ordonnée serait
ta courbe ponctuée de la figure 53.
D'après le coefB6ient angulaire de la tangente, tang a = j,
les tangentes en A et B sont certainement perpendiculaires aux
axes correspondants, en sorte qu'il y a sinuosité : en C, sur
la bissectrice qui sert d'axe à la courbe, on a tang as= — 1,
et ce point est par conséquent un sommet. La courbe est d'ail-
leurs toujours concave vers l'origine depuis A jusqu'à B,
puisque cette fonction continue évidemment à croître entre
ces limites. Au delà, on n'en peut plus apprécier la marche
que par sa réduction à une seule variable, sous la forme
tang a = , Or, en divisant les deux termes par a^,
—1
on a tang a = ~> et l'on reconnaît aussitôt que
v/('-l.ï
cette fonction, nécessairement d'abord décroissante, à partir de
.r=s 1, qui la rendait infinie, ne cesse jamais de diminuer, en
tendant vers la limite — 1, qui indique la direction de la se-
conde bissectrice. Il en est de même, en sens inverse, pour x
négatif, en sorte que cette limite est commune aux deux par-
ties, qui, après les inflexions A et B^sont dès lors indéfiniment
convexes vers cette seconde bissectrice, où il est aisé de recon-
naître l'asymptote de la courbe, comme j'ai déjà eu l'occasion
de l'expliquer. Ainsi comprise entre une tangente et une
asymptote parallèles, cette courbe à double inflexion est main-
tenant assez caractérisée, outre sa symétrie autour de OC. Sa
courbure est évidemment beaucoup plus prononcée entre les
252 GÉOMÉTRIE PLANE.
deux sinuosités, que dans tout le reste de son cours; puisque
ce faible intervalle fait varier de 90 degrés la direction de la
tangente, que le prolongement indéfini de la courbe change
ensuite seulement de 45®. En y cherchant, d'après le principe
spécial employé au chapitre précédent, le point le plus rappro-
ché de Torigine, d'où partent déjà les trois normales OA, OC,
OB, il est clair que les deux extrêmes doivent correspondre à
un minimum puisqu'au delà il y a accroissement, et celle du
milieu à un maximum, comme le confirment leurs grandeurs
respectives. Cet exemple nous offre Toccasionnaturelle de com-
pléter cet utile principe géométrique, en y remarquant que le
chemin normal, toujours minimum quand il part de la con-
vexité, est, au contraire, tantôt minimum et tantôt maximum,
en partant de la concavité, suivant la position du point de dé-
part sur la normale correspondante : cette distinction, directe-
ment évidente envers le cercle, présente d'ailleurs, à l'égard
d'une courbe quelconque, de véritables difficultés que l'analyse
ordinaire est peu propre à surmonter, et dont le lecteur doit
ici ajourner la solution générale.
Il serait superflu d^ établir expressément que l'ensemble de
la discussion précédente convient essentiellement à toutes les
courbes du genre ^»H-i-f- ^z«»»+i =ai, avec de simples nuances
secondaires résultées du degré.
Deuxième exemple. Supposons maintenant l'équation
y6^x'=i, où les deux exposants impairs sont inégaux. Cette
différence ne saurait influer sur la marche générale de l'or-
donnée. Quant à la tangente, on a tang a = — — ^, et de A à
B[fig. 54), lafonction procède comme ci-dessus, avec les mêmes
inflexions, sauf la position de la normale intermédiaire. Mais,
au delà de B, on a ici
tanga
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 253
~ 3a:* — 3
cette fonction s'annulant pour a; infini,la courbe, constamment
concave vers Taxe des rc, ne comporte plus d'asymptote de ce
côté. En changeant le signe de x, on obtient la même valeur
extrême : ainsi, après l'inflexion A, où la tangente est paral-
lèle à cet axe, la courbe, d'abord convexe, finit aussi par deve-
nir concave, et sans asymptote possible. Il existe donc à gauche
une nouvelle inflexion, correspondante au minimum de la
fonction ■ — ^ ■ — : si 1 on y applique la me-
thode que nous avons établie, on trouvera sans difficulté
;rc=3y/5, pour l'abscisse de ce point remarquable. Cette troi-
sième inflexion et l'absence d'asymptotes distinguent profon-
dément cette courbe d'avec la précédente, en caractérisant
l'influence irrécusable de l'inégalité des deux exposants.
Au sujet de cette première comparaison, je dois en général,
recommander au lecteur de ne pas se borner, comme on l'a
toujours fait jusqu'ici, à discuter isolément chacune des équa-
tions qui lui serviront successivement d'exercices, mais de
comparer ensuite judicieusement les résultats de chaque dis-
cussion avec ceux des cas antérieurs qui seront suflisamment
analogues. Cette appréciation Comparative augmentera beau-
coup l'utilité logique d'une telle étude géométrique, qui, ainsi
conduite, pourra, d'après un petit nombre d'exemples bien
choisis, faire profondément sentir le véritable esprit de cette
partie essentielle delà géométrie plane. Pour garantir la pleine
efQcacité de semblables comparaisons, il faut toujours les
rendre parfaitement nettes, en s'y assujettissant, comme dans
les expériences physiques bien instituées, à ne jamais compa-
254 GÉOMÉTRIE PLANE.
rer entre eux que des cas géométriques différant sous un seul
aspect analytique, dont l'influence finale sera ainsi distincte-
ment caractérisée.
Troisième exemple. Considérons maintenante cas des deux
exposants pairs, en les supposant d*abord égaux, suivant
l'exemple y*+^*=^i où Tégalité simultanée des deux coeffi-
cients entraine d'ailleurs accidentellement la double symétrie
de la courbe autour des deux bissectrices. D*après la formule
y = ± v/i — ^1 la courbe, déjà symétrique autour des
deux axes coordonnés, est évidemment fermée et continue,
entre les limites + 1 et — 1 suivant chaque axe; de manière à
être contenue dans le carré ÀBA'B' {fig. 55). Quant à la tan-
gente, son coefficient angulaire montre clairement que
.y
chacun des octants identiques* dont la courbe est composée est
toujours concave vers son centre, et que les huit points où elle
rencontre ses quatre axes géométriques constituent autant de
sommets; en sorte qu'elle est finalement inscrite dans un octo-
gone quasi-régulier. Aux deux extrémités de chaque octant,
la distance au centre est évidemment, d'après le principe des
normales, maximum suivant OC et minimum suivant OB,
puisque d'ailleurs on peut reconnaître aisément que OC sur-
passe OB.
Outre la comparaison de cet exemple avec le premier, afin
de bien saisir la grande influence géométrique de k substitu-
tion des exposants pairs aux exposants impairs, il est naturel
de comparer la courbe actuelle avec le cercle y> -j- x^ = I ,
dont il semble d'abord difficile de la bien distinguer géométri-
quement. Quanta l'ordonnée, on reconnaît ainsi sans incerti-
tude que la courbe est circonscrite au cercle, puisque la fonc-
tion v/1 — oc* surpasse toujours, entre 0 et 1, la fonction
v/l — x^ : le maximum d'écartement est sur les bissectrices.
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 255
La marche des tangentes confirme cette diversité, en montrant
que les huit sommets sont les seuls pointsde notre courbe où se
reproduise le caractère constant de la tangente au cercle, d*ètre
partout perpendiculaire au rayon correspondant. On pourrait
donc se figurer grossièrement cette courbe, et les diverses
courbes analogues y* + ^* ■= ^^ y' + ** = *> ctc« comme
provenues d'une sorte d*uniforme dilatation thermométrique
d'un cercle métallique encastré dans un châssis non-dilatable
ABA'B' qui, empêchant Téloignement des sommets correspon-
dants, produirait un écartement croissant jusqu'au milieu de
chaque intervalle.
Quatrième exemple. Pour avoir complètement apprécié le
cas des deux exposants pairs égaux entre eux, il faut y consi-
dérer, comme nouvel exemple, Téqualion y^ — fl;* = l, où
l'opposition des signes détermine une profonde différence géo-
métrique, qui ne pouvait exister envers des puissances im-
paires, susceptibles de changer ainsi par suite d'une simple
transposition d'un côté à l'autre de l'un des axes coordonnés.
Ce contraste doit êtreessentiellement analogue à celui que nous
avons vu, dans la première partie de ce traité, résulter d'un
pareil motif algébrique entre l'ellipse et l'hyperbole. Il consiste
surtout en ce que la courbe, au lieu d'être fermée et continue,
devient illimitée et discontinue; les deux bissectrices, au lieu
d'être des axes, deviennent des asymptotes : la courbure de
l'ensemble de la courbe est donc, à tous égards, beaucoup
moins prononcée que ci-dessus.
Cinquième exemple, Supposonsmaintenant que les deux ex-
posants pairs soient inégaux, comme dans l'équation y^'\-x^=^i^
qu'il faudra naturellement comparer à y'^-\-x^z=ii et à y*+a;*=:l .
L'ordonnée, dont la marche générale y sera essentiellement
conforme à ceUe de ces deux cas, y aura d'ailleurs une valeur
constamment intermédiaire, en sorte que la courbe se trouvera
256 GÉOMÉTRIE PLANE.
circonscrite au cercle et pourtant inscrite à celle de Is, figure^^.
Quant à la tangente, elle ne comporte ici d'autre remarque
essentielle que celle relative à la normale moyenne entre OA et
OB, qui cessera dès lors de coïncider avec la bissectrice^ con-
formément au défaut de symétrie selon OC.
Sixième exemple. Considérons encore, à ce sujet, l'équation
y« — a;* = i, qui devra être géométriquement comparée,
d'une part à la précédente, d'autre part à y* — a;* = l. En-
vers celle-ci, la différence consistera surtout dans l'absence
d'asymptotes rectilignes, d'où résultera une courbure totale
plus prononcée. Il serait aisé de constater ici l'asymptotisme
avec les deux paraboles f/^='±s?; mais il contribuerait peu à
éclaircir la figure générale de la courbe.
56p/t^^^x6mpfe.Passonsenfinaucasoùlesdeux exposants
sont l'un pair et l'autre impair, en supposant d'abord que
celui-ci l'emporte, comme dans l'exemple y' + «» = !, qu'il
faudra surtout comparer à y*+ a:'= 1 . La formule y =±v/i — ^
indique la limitation de la courbe à droite en A {fig. 56), où
d:= i, et son extension indéfinie à gauche, en restant d'ail-
leurs toujours symétrique autour de OX. D'après le coefQcient
angulaire de la tangente — 9—1 la courbe est évidemment
toujours concave vers l'origine entre A et B ou B' : le principe
des normales apprendra aisément que le point de cette partiele
plus éloigné de l'origine a pour abscisse - ; cette distance
maximum excède si peu les minima égaux OA et OB, que de
B en B' la courbe diffère à peine d'un demi-cercle. Mais, au
— 3;r' —3
delà, tang a = :z= = : or, cette fonc-
/^'+^ Wi+l
lion, d'abord nulle aux inflexions B etB\ augmente continuel-
TROISIÈUE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 257
lement et sans limite à mesure que x croît négativement. Ainsi,
la partie gauche indéfinie, beaucoup moins courbée que la par-
tie droite, quoique dépourvue d*asymptote, est toujours con-
vexe vers Taxe des abscisses.
9
Huitième exemple. Il ne reste plus, pour avoir rapidement
apprécié tous les cas essentiels de cette première catégorie
d'équations trinômes, qu'à y supposer un exposant pair supé-
rieur à un exposant impair, suivant l'exemple y ♦-f^™*» î^i
devra surtout être comparé au précédent et au premier. La
marche générale de l'ordonnée y est évidemment la même que
ci-dessus. Quant à la tangente, elle n'offrira non plus aucune
différence importante du côté des x positifs. Mais, dans la
partie gauche indéfinie, on aura
tang a =
Or, la fonction sous le radical, d'abord infinie pour a:=^0, le
devient encore pour a;= oo ; en sorte que, dans l'intervalle,
l'angle a commence par augmenter^ mais finit bientôt par di-
minuer continuellement jusqu'à zéro. Ainsi la courbe, primi-
tivement convexe à gauche, comme dans le cas précédent, ne
tarde pas à devenir toujours concave, et enfin parallèle à l'axe,
sans comporter d'ailleurs d'asymptote. Outre le couple d'in-
flexions B et B', il en existe donc un second, peu éloigné du
premier, et provenu du degré actuellement pair. Pour trouver
sa position précise, il faut obtenir le minimum de la fonction
—-3- — ~ — -U . En l'égalant à une ordonnée auxiliaire z,
ar
il faudra, suivant notre méthode^ chercher une tangente
parallèle à l'axe des x dans la courbe correspondante;
ce qui fournira, d'après la règle ordinaire, la condition
I
258 etoTKtnoE vlaxe.
te* -^ IftE» + te* = Sx'z. Ayant ôté la solution x = 0 déjà
connue , il vient , en snbstitnant la définition de z ,
9x*^ iar» + 9= -^-^ — ^ ■^. Cette éqnaUon finale
est très facfle à résoudre, â Ton remarque qu'elle peut être
mise sous la forme 9 te* + i)*«= — — "T : car, en suppri-
me*
mant le facteur commun inutile à la question, elle deyient
8 fx* + 1)
9 = -p- — -; d'où résulte aussitôt x =^% et, par suite,
y = y/3^ a = 150^, pour le point cherché.
82. La seconde catégorie des équations trinômes comprend
celles où, les deux variables restant encore séparées, Tune
d'elles entre à la fois dans deux termes et l'autre dans un seul.
Cette coexistence de trois exposants doit éyidemment y multi-
plier bien davantage les distinctions géométriques qu'envers le
groupe précédent, borné à la comparaison de deux exposants.
Aussi me réduirai-je ici à caractériser, par quelques exemples
choisis, un petit nombre de ces cas, laissant au lecteur à dis-
cuter spontanément tous les autres; ce qu'il pourra main-
tenant exécuter sans guide, d'après l'ensemble des habitudes
déjà contractées sur la discussion géométrique des équations.
Premier exemple. Considérons d'abord la courbe ty^^x* — x,
où les trois exposants sont impairs. Par cela même, l'ordonnée
y étant toujours réelle et unique, le lieu sera illimité et con-
tinu : ses deux branches auront d'ailleurs l'origine à la fois
pour centre et point d'inflexion, et chacune d'elles coupera
l'axe des x, à droite ou à gauche, à la distance i. Entre 0 et 1,
l'ordonnée, nulle aux deux extrémités de cet intervalle, sera
d'abord croissante et puis décroissante, son maximum corres-
pondant à x= i/-, suivant la règle des dérivées, ici immé-
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 259
diatement applicable sans difficulté : au delà, Tordonnée change
de signe, et croit dès lors indéfiniment de part et d'autre, con-
formément à la figure 57. L'examen du coefficient angulaire de la
tangente, tang a^s^Zœ^ — 1, ne laisse aucun doute sur le sensainsi
assigné partout à la courbure, ni sur Tabsence totale d'asymp-
totes : la tangente au centre se confond évidemment avec la
seconde bissectrice ÂA'.
Une comparaison peu approfondie pourrait disposer à con-
fondre une telle forme avec celle qui convient au premier genre
des paraboles. Mais un examen plus attentif fera clairement
ressortir la différence essentielle des deux cas, d'abord analy-
tiquement, puis géométriquement. Il sufHt, pour cela, de rap-
porter la courbe actuelle aux deux bissectrices, qui s'y trouvent
évidemment placées, d'après l'ensemble de la discussion pré-
cédente, comme les axes propres à ce genre. Les formules de
x'+y' y' x'
transposition seront alors x = ir- , y = - — z— , ce qui
Y^ y/2
donneraréquation3-'*+3a;'^y'+3a:'y'*+y''--^y'=0,dontla
différence très-prononcée avec celles du chapitre précédent
interdit aussitôt tout pareil rapprochement.
Outre cet exemple, où l'exposant impair de l'ordonnée est
égal au moindre exposant de Tabscisse, il fitudrait, pour aviDir
vraiment apprécié tous les cas à triple exposant impair, en
considérer quatre nouveaux où le premier exposant serait suc-
cessivement égal au plus grand des deux autres, puis supé-
rieur à celui-ci, ensuite compris entre les deux, et enfin infé-
rieur au plus petit.
Deuxième exemple. Supposons maintenant que, Tunique
exposant de l'ordonnée demeurant impair, les deux exposants
de l'abscisse deviennent pairs, en prenant, comme seul
exemple, parmi tous les cas divers que comporterait cette
condition, l'équation très-simple y = a;' — a:*. Après avoir di-
260 GÉOUÉTRIE PLANE.
rectement reconnu Tillimitation et la continuité du lieu, ainsi
que sa symétrie autour de VaXe des ^, il est aisé de constater
que l'ordonnée , nulle poura:=Oeta:«=l,et positive dans l'in-
tervaUe, y atteint son maximum ^ poura;=» 4 /^ • quand elle
a traversé l'axe des abscisses, la courbe s'en éloigne indéfini-
ment. Mais sa vraie figure est plus compliquée que ne l'indi-
que d'abord cette discussion fondamentale. Car, en examinant
la marche des tangentes, d'après la loi tang a == 2a; — Aa:^,
on aperçoit que, outre le maximum, la tangente est aussi di-
rigée suivant l'axe à l'origine, qui est donc un sommet, et
non un point de rebroussement : par suite, il doit exister une
inflexion dans l'intervalle. On la déterminera en cherchant le
maximum de tang «, ce qui donne immédiatement l'équation
2-12x2=0, d'où r = ± y/^, y =^, et tanga= ? y^.
La courbure éprouve ainsi de fortes variations dans l'inter-
valle ACBOB'C'A' (fig. 58), au delà duquel la direction de la
tangente ne subit pas jusqu'à l'infini un changement total de
30°, puisque, en A et A', on a tang a = q; 2 : il n'existe d'ail-
leurs, évidemment, aucune asymptote.
Troisième exemple. Comme exemple unique du cas où les
trois exposants sont pairs, discutons l'équation y^ =3 a:* — a:*.
L'ordonnée, réelle seulement de 0 à i, atteint son maximum
4 pour la même abscisse que ci-dessus; en sorte que la courbe,
symétrique autour des deux axes, et ayant son centre à l'ori-
gine, est contenue dans le rectangle ABB'A'C'C [fig. 59).
i — ±x?
Quant à la tangente, d'après la loi tang a == — . , il est
v/i — x^
clair que tous les C()tés de ce rectangle touchent la courbe, les
uns une fois, les autres deux fois. Il faut surtout remarquer,
à cet égard, ce qui concerne le centre, où tang oc »=> ^ 1 indique
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÉMB. 261
deax tangentes distinctes, dirigées suivant les bissectrices;
comme le confirmerait d'ailleurs la considération spéciale du
rapport - . Cette nouvelle propriété a fait donner le nom de
nœud à ce point exceptionnel, déjà doublement remarquable
ici, à titre de centre et de point d'inflexion. L'ensemble d'une
telle discussion ne peut laisser aucun doute sur la figure gé-
nérale de cette courbe, que sa forme a fait appeler lemniscate.
Sa courbure est évidemment beaucoup moins prononcée, en
général, du nœud 0 au maximum B que de là au sommet A ;
puisque le premier intervalle, quoique supérieur au second,
produit une variation totale moitié moindre dans la direction
de la tangente.
En substituant, à cette équation^ l'équation inverse
yissx* — a:', il faudrait surtout remarquer, outre le change-
ment accoutumé d'un lieu fermé et continu en un autre illi-
mité et interrompu, le nouveau caractère qu'y prendrait le
centre, toujours placé à l'origine. On voit que ce point, loin
de réunir plusieurs branches distinctes, se trouverait isolé de
tout le reste de la courbe, dont il continuerait cependant à faire
partie, comme le foini conjugué de laconchoïde. Si l'on géné-
ralise davantage un tel contraste géométrique, il est aisé de
sentir que, en toute équation de la forme
■
les abscisses propres à confondre les deux valeurs de y, non
par l'annulation de la fonction placée sous le radical, mais par
celle du facteur qui le précède, indiqueront des nœuds ou des
points isolés selon qu'elles rendront positive ou négative la
première fonction f {^), puisque les ordonnées voisines seront
dès lors tantôt réelles et tantôt imaginaires. Ainsi, quelque
^â GÉOMÉTRIE PLANE.
opposées que soient géométriquement ces deux sortes de points,
le même caractère analytique pourra leur convenir, avec une
simple nuance relative seulement au sens d'une certaine iné-
galité. Leur différence, quant à la tangente, consistera en ce
que son coefficient angulaire, toujours double en TunetTautre
cas, restera réel pour le premier et deviendra imaginaire pour
le second ; comme le confirme aisément l'exemple précédent.
Quoique le type analytique que je viens de formuler soit loin
d'offrir, à cet égard, toute la généralité convenable, il est
pourtant propre à étendre déjà les idées du lecteur sur l'oppo-
sition de ces deux points singuliers, autant que le comporte et
l'exige ici notre initiation géométrique.
Quatrième exemple. Pour signaler les cas où, l'exposant de
l'ordonnée restant pair, Tun de ceux de l'abscisse devient im-
pair, considérons enfin la seule équation yacsar* — a:*. La
courbe, tout entière à droite, ne s'y étend que de l'origine
jusqu'à â; sa 1, symétriquement autour de Taxe, au-dessus di^*
quel sa plus grande hauteur correspond, suivant la règle des
3 3 -
dérivées, à a: = r, d'où y = .^ V^ 3 ; ce qui la renferme dans
4 16
le rectangle OBAB'(/îi7.60).On a ici tang a= — , en sorte
2y
que les trois côtés BC, B'C et CC, touchent la courbe : mais,
quant au quatrième, en 0 la direction de la tangente semble d'a-
bord indéterminée. En la cherchant, soit par la substitution de
l'ordonnée, qui donne tang a == — - — W- , soit d'à-
près la considération spéciale du rapport ~, il est aisé de recon-
naître que la tangente initiale coïncide avec l'axe des abscisses.
Si donc, des deux points où cet axe coupe la courbe,run  est
un sommet proprement dit, l'autre 0 constitue un point dere-
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. . 263
broussemeni. Ainsi^ entre 0 et B ou B\ il doit exister un
double point d'inflexion, dont Tabscisse unique correspondra
au maximum de tang a, ou à celui de la fonction — ^r -^
1 — X
suivant Tesprit des transformations propres à la théorie des
maxima, où Ton a toujours le droit de modifier, pour plus
de simplicité, les fonctions proposé.es, pourvu que les maxima
ou minima ne cessent point de correspondre aux mêmes va-
leurs de la variable indépendante.
83. En introduisant, dans les équations trinômes, un terme
où les deux variables soient mêlées, on y forme une troisième
catégorie générale^ qui, pouvant comporter jusqu'à quatre
exposants simultanés, doit nécessairement offrir encore plus
de diversité que la précédente. J'en examinerai seulement
deux exemples très-simples, Tun de degré impair, l'autre de
degré pair.
Premier exemple. Soit d'abord la courbe a;* — x y^= i.
D'après la formule y = ±: i / x^ , elle s'étend indéfini-
ment à droite, depuis or =» i, en s'éloignant sans cesse de son
axe : à gauche, l'ordonnée, infinie pour a; = 0, ce qui indique
l'asymptotisme de l'axe des y, doit premièrement décroître;
mais elle ne tarde pas à augmenter, puisque les accroissements
du terme x^ l'emporteront bientôt sur les diminutions du terme
-, et ensuite elle croit jusqu'à l'infini. En considérant de plus
près la marche générale de cette fonction, on aperçoit aisé-
. ment, suivant la méthode subsidiaire des asymptotes, que les
deux bissectrices y = i: y/x'^ constituent deux autres asymp-
totes, placées au-dessous de la partie droite de la courbe et
au-dessus de sa partie gauche. L'ensemble de ces documents
ne laisse ici, vu le degré, aucune incertitude sur l'absence
264 GÉ0MÉTRI6 PLANE.
«
totale de sinuosités et de rebroussements, sans qu'il soit réel-
lement nécessaire de consulter la tangente, sauf pour le
minimum d*y, ainsi déterminé par l'équation 3a:* — y>a=30,qui
le place sous un angle de 120^ autour de Torigine, au point
/i /27
j:=i/-i y^Bsi/ ---. Si Ton cherche les points les plus rappro-
chés de Torigine, où concourent les trois asymptotes, il est aisé
de constater, d'après le principe des normales, et en écartant la
solution y =0 correspondante au sommet Â^ qu'ils se trouvent
sur les rayons dont le coefflcient angulaire est v/5, un peu
au-dessus des minima B et B' de l'ordonnée. Ainsi, la figure
61 caractérise exactement la forme générale de la courbe.
Deuxième exemple. Considérons, en second lieu, la courbe
y» — x*i/^==sx^^ OÙ y =±: — =z= . Évidemment comprise entre
les asymptotes x »= 1 , eix = — 1 , elle estillimitée dans le sens
vertical, d'ailleurs continue, et symétrique autour des deux
axes. Au centre, celte formule indique, d'après le rapport ^,
X
l'existence d'un nœud, où la courbe touche les deux bissec-
trices; en sorte qu'il serait encore superflu ici d'examiner la
marche des tangentes pour constater la justesse delà figure 62.
Quant à la courbure, d'abord croissante, puis décroissante, de
chaque quart de courbe, elle doit être, en général, peu pro-
noncée, d'après la faible variation totale qu'y éprouve la direc-
tion des tangentes.
84. La dernière catégorie des courbes trinômes, celle dont
la discussion complète exigerait la plus grande diversité de
cas, comprend les équations les plus compliquées, où les va-
riables sont mêlées dans deux termes, le troisième étant dès
lors constant. Je m'y bornerai, comme eïivers la précédente.
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIEME. 265
à deux exemples choisis, Tun de degré impair, Tautre de degré
pair.
Premier exemple. SoilTéqualion rcya+y^''***^ ^^^^ symé-
trie des deux variables indique déjà une courbe symétrique
autour de la première bissectrice. La discussion de l'ordonnée
1 ^ /i ,1
^ 2 V 4 ^ X
offre ici une nouvelle circonstance préliminaire qu'il importe
1
de remarquer, en ce que la partie rationnelle — - or, qui pré-
cède le double radical, appartient à une droite qui, à raison
d'une telle relation algébrique, doit couper en leur milieu
toutes les cordes verticales du lieu; puisque, pour obtenir les
deux points correspondants à chaque abscisse, il faudra égale-
ment porter, de part et d'autre de cette droite, la valeur du
radical commun. Ainsi, outre sa symétrie suivant BOB' qui la
î -
coupe ëïi C où X = i/- , la courbe aura pour diamètre la
droite OA, qu'elle rencontre en A où z = — \/4, et dont la
considération permettra de réduire la discussion essentielle de
l'ordonnée & celle du seul radical. Or, ce radical, infini d'abord,
de manière à indiquer l'asymptotisme de l'axe vertical, ne
tarde pas à devenir croissant, et dès lors sans limites, puisque
i
Taugmentation du terme -a;* doit bien tôt y surpasser le décrois-
4
i
sèment du terme - , qui influe de moins en moins sur la valeur
X
totale. En négligeant ce dernier terme, suivant l'esprit de la
méthode subsidiaire des asymptotes, on trouve, autour de
1 i
rorigine,deuxnouvellesasymptotesy= — -x±-x,dontrune
20
1
266 GÉOMÉTRIE PLANE.
coïncide avec Taxe des abscisses^ et l'autre avec la seconde bis-
/l 1
sectrice. A gauche, le radical devient 1/ - x^ , et la courbe
▼ 4 ar
se trouve interrompue entre l'asymptote OY et la verticale en
A, au delà de laquelle elle s*étend indéfiniment et sans discon-
tinuité : mais les deux valeurs de Tordonnée sont alors égale-
ment positives, en sorte que le lieu ne pénètre pas dans la
troisième région du plan, et se trouve d'ailleurs au-dessous de
Tasymptote oblique, dont l'ordonnée y surpasse la sienne, qui,
à droite, l'emportait. Quoique cet exemple soit l'un des plus
difficiles que puisse offrir la discussion géométrique des équa-
tions peu compliquées, le lecteur judicieux ne tardera pas à
sentir que la figure 63 indique la seule forme générale propre
à satisfaire à l'ensemble de ces renseignements divers. L'exa-
men de la tangente, suivant la formule tang a = — -- ( ^ , ) »
X \zy ~p xj
n'est indispensable ici qu'envers quelques points remarquables.
En C, sur l'axe du lieu, onatang a = — 1 , ce qui confirme quf^
ce point est un sommet; en A, sur l'autre diamètre rectiligne,
la tangente est verticale. Pour trouver le minimum de y dans
la partie droite et inférieure, il faut poser y + ^^=0, d'où ré-
sulte aussitôt la direction du rayon correspondant, et ensuite
a T
X = i/^ ; en sorte que ce point D est sur la même verticale
que le sommet G de l'autre branche. Quant au point le plus
rapproché de l'origine, le principe des normales fournit aisé-
ment l'équation
m' + 2m2— 2w — 1 = 0,
relativementau coefficient angulaire de son rayon. Quoiquedu
troisième degré, celle équation est facile à résoudre, en utili-
sant la connaissance antérieure de l'une des trois normales
cherchées, la bissectrice OC, qui y indique la racine m = 1,
TROISIÈME PARTIE^ CHAPITRE TROISIÈME. 267
dont la vérification algébrique est d'ailleurs évidente, en
écrivant (m"— l)+2m(/w— i)=o. Après l'avoir ôtée, il reste
l'équation m'+3m+l=0, qui détermine sans difficulté les
deux autres directions, OE et OF.
Deuxième exemple. Considérons enfin, comme dernière
courbe trinôme, celle qui résulte de Téquation ar'y^— ary*=l,
1
où yt=-i- — A droite, le lieu commence à l'asymptote
^x[x —1)
a>=i, au delà de laquelle il s'étend indéfiniment, en se rappro-
chant toujours de Taxe des abscisses, qui lui constitue une
seconde asymptote, aussi bien qu'un axe. Vers la gauche, il
n'y a aucune interruption, et les deux axes sont asymptotes.
L'ensemble de la courbe est donc nécessairement conforme à la
figure 64, puisque le degré empêche d'ailleurs toute sinuosité
entre les asymptotes.
Une telle discussion conduit naturellement à soupçonner
l'entière identité des quatre parties de la courbe. Pour s'en as-
surer, il suffit évidemment d'examiner si le point C, situé au
milieu de l'intervalle où l'axe coupeles deux autres asymptotes,
est réellement le centre du lieu ; ce qui se réduit à y trans-
porter l'origine, afin de voir s'il en résulte la disparition
spontanée du terme de degré impair; ce qui arrive effective-
ment. L'équation devient ainsi
i
«V— !»*■=- Il
de manière à rentrer dans la catégorie précédente. Cette nou-
velle équation serait donc préférable pour l'étude ultérieure
de la courbe. En l'appliquant à la recherche du point le plus
rapproché du centre, le principe des normales y donne la con-
Axv X
diU(»n . ' . = -, d'où, après avoir ôlé lé facteur superflu,
âx^ — 1 y '^
268 GÉOMÉTRIE PLANE.
il résulte y«= x* — -, et, par suite, ( ^* — 7 ) = 1 î ainsi, en ce
i - 1 -
point, on a ,r == - v/3, 2^ := 1, et tang a = — - v/^. On confir-
merait aisément ce résultat par la recherche directe du mini-
mum de x^-fy', d'après la méthode algébrique la plus élé-
mentaire, qui serait ici très-praticable.
CHAPITRE IV.
Courbes polynômes
85. Dans Tétat d enfance où se trouve aujourd'hui la géo-
métrie comparée, le principe provisoire qui nous a précédem-
ment servi à classer les courbes algébriques, et qui ne pouvait
être pleinement satisfaisant qu'envers les seules équations
binômes, cesse d'offrir aucune véritable importance géomé-
trique, quand les équations contiennent plus de trois termes.
Aussi, pour ces équations plus compliquées, faut-il nous bor-
ner ici à quelques exemples choisis indépendamment de tout
classement, et uniquement destinés à faire sentir comment le
mode de discussion géométrique caractérisé par les chapitres
précédents peut s'étendre à toutes les autres équations algé-
briques.
Premier exemple. Considérons d'abordlacourbey*=^2 (r^r
D'après la formule y = ± x ^1 ^, le lieu, symétrique
autour de l'axe des abscisses, est limité à droite par l'asymp-
tote j:=1, et ne dépasse pas à gauche son intersection avec
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. "269
Taxe, à la distance 1 de Torigine. II se compose donc de deux
parties qui se réunissent à Torigine, Tune à gauche, fermée
de toutes parts, Taulre à droite illimitée, verticalement.
Le coefficient angulaire de la tangente ' y est finalement
tang a = -^ =z= ; il devient infini pour ar = ±: 1, et
prend, à l'origine, la double valeur ±: 1, d'ailleurs indiquée
d'avance par le rapport - : ainsi, des deux points A et 0 [fig^^o] ,
où la courbe rencontre son axe, le premier est un sommet,
le second un nœud, où elle touche les deux bissectrices, au-
dessus desquelles s'élève ensuite de plus en plus son cours
indéfini. Quant au point culminant de la partie gauche, il
correspond à l'équalion l+a:s=a:', quidonnea:= — qIv/^""^)»
après avoir écarté la racine positive, comme excédant les
limites horizontales du lieu. On ne peut donc plus conserver
aucun doute sur la forme générale de la courbe. Sa courbure,
très-prononcée dans la portion BAB', Test beaucoup moins
dans le reste de la partie fermée, etdiminueencore davantage
dans la partie indéfinie. Gomme le centre devrait être sur la
courbe, en vertu du degré impair, et en môme temps sur l'axe
des abscisses, à cause de la symétrie, il est clair que cette
courbe n'en comporte pas, puisqu'il devrait être plucéenO ou
en A, contrairement à Tensemble de la discussion.
2x "* ic^
Deuxième exemple. Soit maintenant l'équation y*= — 5 r,
X* — 1
/ X (^ x)
doù y=dt Kl ', 77-: — tt; î cette décomposition en fac-
leurs est ici destinée à mieux caractériser la marche générale
de l'ordonnée. A droite, chaque terme de la fraction renferme
un facteur positif, en sorte que y ne sera réel qu'autant que
270 GÉOMÉTRIE PLANE.
les autres facteurs ^—x eix — 1 auront le même signe, ce
qui restreint x entre i et 2, puisque ces facteurs ne sauraient
d'ailleurs deyenir simultanément négatifs. Cette partie de la
courbe ne commence donc qu'à Tasymptote CC {fig. 66), et
se termine à son intersection B avec son axe. Vers la gauche,
/ X Ix 4-2)
on aurait y =a i / ., . . 77 — r^ ^U par conséquent, la
courbe ne s'étendrait que de Torigine jusqu'à l'asymptote
â;sa — 1. D'après le coefBcient angulaire de la tangente,
x^— X + i
tang a = "j .. j.^ -. ■ , ^.1 il est aisé de constater
° (1 — x^) v/(2a; — x^) [x^ — 1)
que les points B et 0 sont des sommets : ainsi, depuis chacun
d'eux jusqu'à l'asymptote correspondante, chaque partie de la
courbe doit offrir une inflexion, dont le calcul serait ici très-
laborieux. La courbe ne saurait d'ailleurs avoir de centre,
puisqu'il ne pourrait être qu'en Â, milieu entre ces deux
sommets, ce qui est évidemment contraire à la discussion.
Toutefois les deux parties, droite et gauche, du lieu semblent
jusqu^à présent fort analogues. Pour en mieux saisir la vraie
relation, il faut y comparer deuxordonnées placées, sur chaque
portion, à la même distance du sommet correspondant, en
faisant successivement a:=2 — ^, a;= — /; d'où il résulte dV
^^'^ y' - (i-,)(3-:/r '' '"'^^'^ ^ ~ (î=hhï=ô- ''^'"
2 + /
traction faite des facteurs communs, la seconde fraction j—f— .
surpasse évidemment la première, comme ayant à la fois, pour
/<i, un plus grand numérateur et un moindre dénominateur :
donc la partie gauche s'élève davantage que la partie droite.
Troisième exemple. Considérons encore la courbe y=x±:
y/ 5x2 — 6a; — x^. Le terme rationnel, placé devant le radical
carré, y indique, comme au n^précédent, pour lescordes ver-
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 271
ticales,un diamètre rectiligne, coïncidant ici avec la première
bissectrice, qui coupe le lieu aux trois points x^=0, â: = 2,
3. En décomposant la fonction irrationnelle, afin d'en
mieux juger la marche, on a y = a: dz \/x (x — 2) (3 — x). Dès
lors, la courbe ne peut s'étendre à droite que de la seconde à
la troisième intersection avec son diamètre, de A enB {fig. 67).
Mais à gauche, les deux premiers facteur*^ étant toujours né-
gatifs, et le dernier toujours positif, la valeur du radical sera
constamment réelle et croîtra sans limites. Ainsi la courbe se
compose de deux parties, Tune à droite fermée, l'autre à
gauche indéfinie, séparées par un intervalle vide, de 0 à A.
Le maximum d^écartement delà première envers son diamètre
se déterminera aisément en annulant la dérivée de Sar' — 6a: — x^;
5 + \/7
ce qui donnera z = — ^ — , l'autre racine se rapportant à
une ordonnée imaginaire : en construisant la valeur corres-
pondante du radical, on renfermera cette portion du lieu entre
deux parallèles au diamètre. Quant à la tangente, on trouve
lOx— 6 — 3a;»
finalement, d'après nos règles, tang a = 1 -f- /^ , . , î
Y OX^ — OX — X*
ce qui confirme la position de ces deux tangentes, et la verti-
calité de celles en 0, A et B. Cette fonction devenant infinie
pour a: =: 00 , comme le montre la division des deux termes
par a;', on reconnaît ainsi tout à la fois l'absence d'asymptote
et l'existence d'une double inflexion à gauche, dont la position
précise exigerait un trop long calcul, aussi bien que celle du
roaximunl ou minimum de l'ordonnée adroite. Pour que ces
sinuosités soient conciliables avec le degré, qui interditici plus
de trois points en ligne droite, il suffit que la tangente s'y
trouve dirigée de manière à ne pas couper la partie fermée du
lieu.
Quatrième exemple. Soit, en dernier lieu, l'équation
272 GÉOMÉTRIE PLANE.
î^* — âx'y'— fl:*+l=0, dont la forme indique aussitôt une
courbe symétrique autour des deux axes, avec l'origine pour
centre. D'après la formule y =i; y x^ d: v/2ic* — i, il faudra
d'abord s'assurer de la réalité du radical partiel, ce qui exige
seulement a; > \/ 0'» mais on voit ensuite que, si le premier
signe de ce radical donne toujours une ordonnée réelle et in-
définiment croissante, il n'en saurait être de môme du signe in-
férieur, qui rendra bientôt y imaginaire, à partir de la valeur
x=l, correspondante à y=0. Ainsi, le très-petit intervalle
4 iT
horizontal de i/ ^- à i exige ici une appréciation spéciale^ puis-
que l'ordonnée s'y trouve quadruple, tandis qu'elle est seule-
ment double dans tout le reste indéflnide la courbe. En consi-
dérant pour plus de clarté, cette courbe comme naissant en Â,
à sa rencontre avec son axe, il faudra donc concevoir le point
décrivant s'avîançant d'abord vers Taxe vertical jusqu'en B,
d'où il s'en éloigne ensuite à l'infini, conformément à la figure
68. A mesure que x augmente, la valeur du radical partiel
tend à se confondre avec x^v/^; ce qui indique, autour du
centre, deux asymptotes rectUignes, dont le coefficient angu-
laire est rfc \/ 1 -}- yj\. Quoique leur existence décide suffisam-
ment du sens de la courbure dans la majeure partie du lieu,
l'examen de la tangente est pourtant indispensable, surtout
2 (d^^ j-i i/2\
enverslapartieBAB'.Or,onaicitanga= ^ ^ ^ ^^, donclatan-
gente est verticale en A où y=0 et enB où y=ir ; en sorte que,
dans l'intervalle, il existe une inflexion, dont le calcul serait
d'ailleurs trop pénible. En rapportant tout à x, il vient
X (2a;^ + ^2x* — l)
tang a == "~~— — — Si l'on divise les deux
\/2x*— 1 V^ a;2 + v/2i*^^
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 273
termes par x^ afin de supposer x infini, celte formule devient
2 +
tangot =
0-1
0-pVW^
2+\/2
sa valeur extrême est ce qui reproduit, sous
une autre forme, la direction déjà trouvée pour l'asymptote,
dont le coefQcient linéaire serait d'ailleurs reconnu nul en com-
plétant l'opération, quand même la symétrie ne Teût pas in-
diqué d'avance. Quand au point le plus rapproché du centre, le
X ( !X^'\'lfl\ X
principe des normales donnera ici la condition - ( -z — ~ )= -,
^ ^ yW—t/J y
qui n'admet évidemment d'autre solutionque y=0, ou le som-
met A, à partir duquel la courbe s'éloigne donc continuelle-
ment de son centre, même dans la partie AB, où elle s'avance
vers l'axe vertical : il est aisé de vérifier, en effet, que la dis-
tance OB surpasse un peu OA.
Cet exemple extrême est propre à faire sentir la nécessité
d'accorder quelquefois une attention spéciale à de petits inter-
valles pour discuter convenablement certaines équations : les
principaux accidents géométriques se passent ici entre A etB;
au delà, la courbure est évidemment très-faible, puisque la
direction de la tangente ne varie pas de 45*^ dans tout le reste
indéfini de la courbe. On sent toutefois que l'existence de tels
intervalles est toujours indiquée par une judicieuse apprécia-
tion de la formule qui exprime l'ordonnée ; en sorte que de pa-
reils cas n'autorisent nullement à contracter, en général, ces
babitudesaveuglémentminutieuses qui s'opposent trop souvent
aujourd'hui à toute saine discussion des courbes algébriques.
274 GÉOMÉTRIE PLANE.
Il serait ici superflu d'examiner géométriquement un plus
grand nombre d'équations polynômes : je laisse au lecteur àen
multiplier spontanément les exemples, auxquels chacun pourra
maintenant appliquer sans difficulté les principes que nous
avons désormais assez caractérisés. Afin d'éviter les embarras
algébriques trop supérieurs à Tinstruction analytique exigée
dans ce traité^ j'ai considéré exclusivement des équations fa-
ciles à résoudre, au moins quant à l'une des variables. Mais,
après avoir assez étudié la haute algèbre, il conviendra de pour-
suivre, sur quelques exemples bien choisis, la discussion géo-
métrique des équations algébriques, sans y dégager aucune
coordonnée. Je recommanderai spécialement, à cet égard, la
courbe remarquable que Descartes th'a de l'équation j^+Zxy
-fx^=0. Un très-petit nombre de cas analogues dans les degrés
supérieurs caractérisera suffisamment les nouvelles difficultés
géométriques qui résultent alors de notre impuissance algé-
brique, en évitant d'ailleurs avec soin de susciter, à ce sujet,
des calculs trop compliqués, dont la fastidieuse influence alté-
rerait beaucoup la principale utilité logique de tels exercices.
86. Quand la géométrie comparée, jusqu'ici à peine entrevue
par quelques esprits philosophiques, aura été rationnellement
constituée d'après ses véritables principes, on pourra rendre
bien plus profitable la discussion géométrique des équations
en y introduisant habituellement les questions inverses, au-
jourd'hui trop peu accessibles, qui consistent à composer des
équations correspondantes à des formes générales arbitraire-
ment données. Ces nouveaux problèmes, toujours profondé-
ment indéterminés, ne peuvent être maintenant abordés avec
quelque succès que dans lescas les plus simples. Je crois pour-
tant devoir ici en indiquer un exemple, afin de signaler au lec-
teur intelligent le genre d'exercices le plus propre, sans doute,
à faire promptement approfondir l'ensemble de la géométrie
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 275
analytique. Supposons qu'il faille composer une équation algé-
brique dont lelieu puisse ressembler à la coùrbede la figure 69.
En conceyant Torigine. placée au sommet 0 et Taxe des ab-
scisses confondu avec Taxe de la courbe, il sera facile de former
Téquation de manière à satisfaire aux conditions de symétrie et
f ix)
d'asymptotisme, en lui donnant la forme y^ = S\ » pourvu
que le numérateur s'annule avec x et que le dénominateur,
devenant infini pour :r =00 , soit d'un plus haut degré, la frac-
tion devant d'ailleurs conserver toujours le signe de l'abscisse.
Toutes ces indications seraient simultanément remplies, par
exemple, d'après la formule
où les trois coefficients, supposés toutefois positifs, demeurent
encore indéterminés. Une telle fonction assurera, du reste,
l'existence d'un point culminant, analogue à A, et dès lors
aussi celle d'une inflexion B entre A et l'asymptote. Ainsi, les
diverses conditions essentielles de la figure sont simultanément
satisfaites par cette équation, où la disponibilité des constantes
a, 6, c, permettra maintenant de remplir les indications numé-
riques relatives à la position et à la hauteur du point culmi-
nant. Car, l'indétermination de ces coefDcients n'empêche pas
d'appliquer complètement ici la règle des tangentes, qui don-
neratanga= ^ — , où Ton voitd'ailleurs
'i[bx^+c)}/ax[bx^+c)
que l'origine est, en effet, un sommet, suivant l'exigence de
y
la figure, et comme l'indiquait déjà le rapport -. On trouve
X
ainsi a: t= * /^ y s=a 4 / ^' pour les coordonnées du
Mb' y'ibc
point culminant. Après Tavoir convenablement placé, on
276 GÉOMÉTRIE PLANE.
pourra disposer encore d'une conslante, en faveur d'une seule
condition relative au double point d'inflexion. Si Ton adoptait
l'équation plus compliquée
y*'
03?
6a::*+ca:»+rfar*-f C5: + /'
on pourrait, outre les prescriptions précédentes, remplir aussi
toutes les indications propres à l'inflexion B, B', soit quant à
ses coordonnées, soit quant à la tangente correspondante :
Tune de ces nouvelles constantes resterait même disponible
pour quelque autre intention géométrique.
CHAPITRE V.
Discussion spéciale des équations du second degré.
87. Après avoir suffisamment caractérisé, dans les chapitres
précédents, la discussion générale des équations algébriques,
il faut maintenant compléter cette étude en indiquant spéciale-
ment, par un exemple convenable, la manière d'apprécier tous
les cas géométriques que peut offrir un genre particulier d'é-
quations, suivant les diverses hypothèses relatives aux coeffi-
cients indéterminés qui s'y trouvent. Tel est ici le principal
objet de la discussion spéciale à laquelle nous allons soumettre
les équations du second degré, et qui d ailleurs formera, pour
l'ensemble de ce traité, une transition naturelle de cette troi-
sième partie à la quatrième, où nous devons étudier particuliè-
remenl les courbes de ce degré. Quoiqu'une pareille analyse
ait été aussi opérée par Newton envers le troisième degré, et
même par Euler îl l'égard du quatrième, ces deux cas condui-
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME. 277
sent àdes dîstinclions tellement compliquées^ et surtout si nom-
breuses, qu'il ne convient point de les introduire, & cette fin,
dans renseignement élémentaire, où le second degré constitue
sous ce rapport, un type très-sufGsant et complètement appré-
ciable, qui n'aurait d'autre inconvénient que de donner une trop
faible idée des difficultés propres à cet examen complémentaire,
si sa facilité exceptionnelle n'était pas d'avance aisément ex-
plicable.
Cette appréciation spéciale serait, par sa nature, très-peu
propre à manifester, suivant un vicieux usage scolastique, les
vrais principes généraux de la discussion géométrique des équa-
tions ; car^ les particularités relatives à ce degré y aplanissent
spontanémentpresque tous lesobstacles essentiels que nous ont
offerts ci-dessuslesautreséquationsalgébriques.Mais,ayantdéjà
appris, sur des exemples convenables, à surmonter ces diffi-
cultés fondamentales nous pourrons maintenant utiliser pleine-
ment, sans aucun scrupule, ces simplifications exceptionnelles,
dont la judicieuse introduction, loin de compromettre une étude
générale désormais assez caractérisée,doit ainsi réagir,au con-
traire, sur son perfectionnement total, en y indiquant Theu-
reux emploi des circonstances particulières quiavaient dû être
précédemment écartées.
88. Afm que le nombre des coefficients de Téquation géné-
rale du second degré se trouve exactement conforme aux con-
ditions de la détermination, je supposerai toujours Tun d'eux
égal à Tunité, en faisant toutefois tomber cette particularité
sur le terme le moins important, pour diminuer autant que
possible rinconvénient de ne pouvoir ainsi représenter immé-
diatement le cas où ce terme manque, inconvénient d'ailleurs
bien moins grave qu'une fausse insinuation habituelle sur le
nombre de points déterminant. L'équation étant donc
ay^+bxy+cx'^+dy+ex=i ,
t ■-.■
278 GÉOMÉTRIE PLANE.
Texpression de Tordonnée y est
{bx+d)
On voit d'abord ici, comme en plusieurs cas antérieurs, que
la partie rationnelle indique un diamètre rectiligne pour les
cordes parallèles à Taxe des y. Mais cette indication prélimi-
naire acquiert maintenant beaucoup plus d'importance qu'en
aucun autre exemple, si Ton réfléchit qu'elle correspond à l'é*
quation la plus générale de ce degré, tandis que jusqu'ici elle
ne s'était manifestée qu'envers des types algébriques très-parti-
culiers relativement aux degrés respectifs. Une telle équation
ne pouvant éprouver aucun changement de forme d'après un
déplacement quelconque du lieu, qui n'y produirait que de
nouveaux coefficients, il s'ensuit que cette propriété géomé-
trique doit, au fond, convenir alors à tous les systèmes de
cordes, puisque les ordonnées pourront toujours leur être
supposées parallèles en tournant suffisamment les axes. On
découvre ainsi, dès le début, indépendamment de toute théorie
des diamètres, le caractère peut-être le plus remarquable qui,
dans l'ensemble delà géométrie comparée, doive distinguerles
courbies du second degré, comme ayant, en tout sens, des dia-
mètres rectilignes. Par un raisonnement inverse convenable-
ment approfondi, on poun^ait d'ailleurs se convaincre qu'une
telle propriété est, en effet, pleinement caractéristique, en tant
qu'exclusivement relative à ces courbes (1).
La discussion générale de l'ordonnée, encore plus fondamen-
tale ici qu'envers tout autre cas, étant ainsi réduite au seul
examen du radical, qui indique la distance verticale de la
courbe au diamètre, on est aussitôt conduit à y distinguer deux
hypothèses nécessairement différentes,d'abord an alytiquement,
puis géométriquement, selon que ce radical affecte une fonction
(1) Voyez la noie 1 rectificative à la fin du volume.
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME. 279
de degré impair ou de degré pair, c'est-à-dire suivant que la
constante composée 6* — Aac est ou n*est pas nulle. Dans la
première supposition, la courbe ne rencontrera qu*une seule
fois ce diamètre^ et par suite tous les autres ; puisque, comme
ci-dessus, cette remarque doit, au fond, convenir, d'après la
généralité de Téquation actuelle, à un diamètre quelconque :
dans la seconde, au contraire, le diamètre rencontrera deux
fois la courbe ou pas du tout. Il est clair, àpriari, que la marche
générale de l'ordonnée ne saurait être la même en ces deux cas.
Considérons d'abord le premier, où l'on a
{bx + d) 1
y = - —^ - 2^ v/2 [bd - ^ae) x + {d^+ Aa).
Le seul terme variable du radical devant alors changer de signe
en même temps que x, cette fonction sera toujours réelle d'un
côté du point de rencontre de la courbe avec son diamètre^ et
toujours imaginaire de l'autre côté, suivant le signe du coeffi-
cient bd — 2ae : dans la partie réelle, sa valeur croîtra indéfi-
niment en s'éloignant de ce point. Ainsi, ce premier cas cor-
respond à un lieu limité horizontalement d'un côté et illimité
de Tautre, sans aucune limite parallèle au diamètre. Nous le
désignerons brièvement sous le nom de parabole^ déjà employé,
dès le deuxième chapitre de cet ouvrage, envers une courbe
qui appartient évidemment à ce type ; sauf à démontrer bien-
tôt, par la voie ordinaire de la coïncidence des équations, que,
réciproquement, toute courbe du second degré bornée dans un
sens et indéfinie dans l'autre constitue effectivement une para-
bole proprement dite, engendrée par un point toujoui*s équi-
distant d'un point fixe et d'une droite fixe.
Supposons maintenant que la fonction sous le radical soit du
second degré, et imaginons que, pour faciliter la discussion,
oir l'ait décomposée, comme en divers cas antérieurs, en deux
facteurs du premier degré. On aura alors
280 GÉOMÉTRIE PLAXE.
{bx + d)
y - - '—^ ± - /(*=»- Aac) (X - x^) {x - x").
x' et x" désignant les racines correspondantes à l'annulation du
radical^ el^ par suite, caractérisant les deux intersections de
la courbe avec son diamètre. Ici surgit évidemment la né-
cessité d*une nouvelle distinction, selon que le facteur constant
b^ — 4ac est négatif ou positif, ce qui, obligeant les deux fac-
teurs variables à être tantôt contraires, tantôt conformes de
signe, doit nécessairement affecter beaucoup la marche géné-
rale de l'ordonnée. Dans le premier de ces deux nouveaux cas,
la courbe sera certainement Comprise entre les ordonnées des
points où elle rencontre le diamètre, et d'ailleurs continue,
puisque toute valeur de x inférieure à x" et supérieure à x'
rendra y réel. Son écartement du diamètre sera, en outre, inévi-
tablement limité ; et le maximum du produit (x—x') {x* — ar),
qui le détermine, correspondra au milieu de ces deux inter-
sections, d'après un théorème familier d'algèbre élémentaire,
relatif aux produits dont la somme des facteurs est constante.
Ainsi, la courLe est alors renfermée dans un parallélogramme,
formé par deux ordonnées et deux parallèles au diamètre :
nous la qualifierons à'ellipse, sauf à justifier ci-dessous la par-
faite convenance de celte dénomination, en ramenant l'équa-
tion actuelle au type qu'elle rappelle.
Enfin, quand i* — Aac est positif, la marche générale du
radicaldevientessentiellementinversedela précédente; puisque
l'ordonnée ne sera jamais réelle entre x=x' et.r = a:", et le
deviendra toujours, au contraire, en deçà de l'une des inter-
sections ou au delà de l'autre : la courbe pourra d'ailleurs
maintenant s'écarter à l'infini de son diamètre. Ce lieu sera
donc à la fois illimité en tous sens et discontinu, comme l'Ay-
perbole proprement dite, dont nous lui appliquerons déjà le
nom, que nous reconnaîtrons bientôt rigoureusement con-
venable.
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME. 281
Telles sont les distinclions successives d'après lesquelles la
discussion fondamentale de l'ordonnée démontre naturellement
que toute équation du second degré représente géométrique-
ment une "parabole, une ellipse, ^ou une hyperbole, selon
que la constante composée b^ — Aac est nulle, négative, ou po-
sitive. Ce caractère analytique doit donc toujours persister
quand la courbe se déplace arbitrairement, quoique les coeffi-
cients a, d, c puissent alors changer. Il importe de remarquer,
dès l'origine, que le premier cas s'offre spontanément comme
plus distinct des deux autres que ceux-ci ne le sont entre eux :
cette comparaison sera confirmée, dans la quatrième partie de
ce traité, par l'ensemble des propriétés de ces trois courbes.
La seule considération du degré suffit ici, indépendamment
de tout examen de la tangente, pour déterminer le sens de la
courbure, en indiquant que le lieu doit toujours être concave
vers son diamètre, afin de ne jamais présenter plus de deux
points en ligne droite.
89. Complétons maintenant cette appréciation fondamentale,
en considérant successivement les équations du second degré
sous les divers aspects généraux propres aux théories géomé-
triques que nous avons établies.
Quant au nombre de points déterminant, notre distinction
principale se soutient évidemment en indiquant quela détermi-
nation de l'ellipse ou de l'hyperbole exige cinq points, tandi^^
que quatre suffisent envers la par&bole, puisque l'une des
constantes arbitraires, a, 6, c, peut alors disparaître de l'équa-
tion, d'après sa subordination spéciale aux deux autres.
Relativement aux tangentes, on a ici
by + 2cx 4- e
tang a = — '^ , , — r^\
° 2ai/ + bx+d
mais la discussion de cette formule, actuellement inutile pour
9ê
282 GÉOMÉTHIfi PLANE.
discerner le sens de la courbure, ne présente quelque Intéï'èt
qu'enver& les points propres à annuler son numérateur ou son
dénominateur, en indiquant les tangentes parallèles aux axes.
Encore le résultat pourrait-il même en être aisément prévu :
car, les tangentes verticales, par exemple, correspondent à
2ûy + bx + rf*= 0^ ce qui constitue précisément l'équation
du diamètre relatif à des cordes verticales ; il s'ensuit donc que,
à sa rencontre avec la courbe, la tangente est parallèle à ses
cordes. Cette rémarque, également convenable au numérateur,
peut être facilement' étendue à un diamètre quelconque, d'après
la considération lumineuse que nous avons déjà employée sur
la généralité' géométrique de Téquation actuelle. Or, ainsi
agrandie, cette relation constante des tangentes aux cordes
constitue^ sous un autre aspect, une suite nécessaire, de la
direction de la courbure,' indiquée par le degré; puisque,' -là
où le lieu coupe un diamètre, la tangente ne pourrait cesser
d'être parallèle aux cordes correspondantes, qu'autant qu'il y
aurait rebroussement, ce qui est évidemment impossible.
En appliquant ici Tune quelconque de nos deux métbodes
générales pour la détermination des asymptotes rectilignes, ou
même la méthode subsidiaire, d'aprèsTextractiond^tla racine,
on trouvera, sans difficulté, la double équation
Les deux coefficients y sont imaginaires quand ô^ — 4ac est né-
gatif, comme le cas l'exigeait géométriquement. Us sont réels,
mais incompatibles, si V^ — 4ac= 0; en sorte que la parabole
n'a pas non plus d'asymptote : toutefois, la courbe étant alors
indéfinie, la valeur du coefficient angulaire y indique, suivant
nos principes généraux, la limité constante de la direction des
tangentes. L'unité d'une telle limite montre que les deuxbran^
TROISIÈME PARTIE!, CHAPITRE CINQUIÈME. 283
ches de là courbe, autour de chaque diamètre, tendent à de-
venir parallèles entre elles à mesure qu*elless*en écartent. On
doit d'ailleurs remarquer que cette commune direction est pré-
cisément celle du diamètre déjà obtenu, d'après le coefficient
angulaire— —, également convenable aux deux cas. Mais cette
relation pouvait être aisément prévue, puisque les diamètres
ne rencontrent alors qu'une seule fois la courbe, ce qui est ici
le caractère, en un point quelconque, des droites parallèles à
la limite de là direction des tangentes. Un tel rapprochement
conduit donc à penser que tous lés diamètres de la parabole
doivent être parallèles entre eux, comme nous le vérifierons
ci-dessous.
Quant à Thyperbôle, Téquation précédente y indique évi*
demment deux asymptotes toujours distinctes, dont l'intersec-
tion correspondrait aux coordonnées
2ae — bd 2crf — be
^~b'- Aac' ^ '^ b^ — Aac'
que nous verrons bientôt convenir au centre, conformément
aux exigences géométriques, qui ne sauraient permettre de
placer ailleurs une telle rencontre. Cette diversité de limite
entre les directions des deux parties de Tliyperbole séparées
par chaque diamètre intérieur, constitue la principale diver-
sité gi^aphique propre à empêcher de confondre jamais l'aspect
d'une parabole avec celui d'une demi-hyperbole, quelque
gi'ossier que ][>uisse être leur tracé, pourvu qu'il soit judi-
cieux.
Si maintenant on considère les courbes du second degré re-
lativement aux diamètres, on y trouvera aisément, d'après
notre seconde méthode, l'équation générale
[bm + 2c\ _ (dm -f- e\
y~ Wm + b)^ Uam-l-i/'
284 GÉOMÉTRIE PLANE.
qui indique, en tous sens, des diamètres rectilignes. Mais cette
commune propriété essentielle avait été ci-dessus prévue, in-
dépendamment de toute théorie des diamètres. Nous avons
aussi déjà reconnu le parallélisme nécessaire des diamètres de
la parabole, que cette équation confirme facilement, en y re-
marquant que, d'après la relation è^= 4 oc, le coefficient an-
gulaire du diamètre devient indépendant de celui m des cordes
correspondantes. Quant à Tellipse ou Thyperbole, on pourrait
ainsi constater la convergence de tous leurs diamètres en un
point unique ; mais elle sera mieux annoncée ci-dessous par la
détermination du centre. Le plus heureux usage que Ton
puisse faire ici de Téquation précédente, consiste à remployer
spécialement, d'après la nature rectiligne de tous les diamètres,
pour trouver les axes de la courbe, en évitant la transposition
d'axes indéterminée qu'exige, en tout autre cas, une telle re-
cherche, selon nos explications générales. Il suffit, en ^effet,
de disposer de m afin que le diamètre devienne perpendicu-
laire à ses cordes, suivant la condition ordinaire
2am -f- b
tn = ■= ; — ;r-
, ou m^ + 2 l^—r^) m — i = 0,
qui indique deux directions rectangulaires constamment pos-
sibles, et d'où résultent les deux droites autour desquelles
toute courbe du second degré doit être symétrique. Cependant,
en achevant le calcul, on.remarquera que, dans le cas parabo-
lique. Tune de ces valeurs est inadmissible, en tant que ren-
dant infini le coefficient linéaire du diamètre correspondant;
en sorte que la parabole n'est symétrique qu'en un seul sens,
comme l'exigeait évidemment sa figure générale. On pourra
également constater ainsi que l'ellipse est rencontrée par ses
deux axes, et l'hyperbole par l'un seulement, conformément
aux conditions géométriques de continuité ou discontinuité.
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME. 285
La méthode des centres conduirait ici aux coordonnées rap-
portées ci-dessus, qui sont toujours réelles, et d'ailleurs finies
pour Tellipse ou Thyperbole. Devenant infinies pour la para-
bole, elles y confirment Tabsence de centre qu'indiquait déjà
sa figure générale, et vérifient en même temps le parallélisme
précédemment reconnu entre tous ses diamètres.
Enfin, si Ton applique à deux courbes quelconques du second
degré
ay^ + 6^ + ca:* + rfy + ^^ =» 1
ay + 6'^ + 0'^ + d'y -f e'a: — 1
notre théorie générale de la similitude, il faut substituer, dam
la première équation,
X' cos X' — y' sin X' + a et x' sin X' + y' cos X* + 6
au lieu de x et y, afin de Tidentifier avec la seconde, où Ton
aurait d'abord changé x en mx' et y en my\ Mais, sans qu'il
soit nécessaire d'exécuter ce long calcul, on voit aussitôt qu'il
ne conduira qu'à une seule relation, comme nous l'avons de-
puis longtemps remarqué. Cela posé, la recherche de cette
unique condition de similitude pourra, suivant nos principes
généraux, s'accomplir directement sous diverses formes équi-
valentes, soit linéaires, soit angulaires, dont la plus conve-
nable me semble être ici relative à l'égalité d'inclinaison des
deux asymptotes, qui, envers chaque lieu, constituent certai-
nement deuxlignes homologues. L'équation ci-dessus rapportée
donne, pour un tel angle, la formule tang y ^=» ■ . :
a -^ c
ainsi la condition de similitude est
(6* — 4ac) {cC + cj — (ô'» — Ka'c') {a -f c)«— 0.
Elle devient constamment identique dans le cas parabolique;
en sorte que deuxparabolessontnécessairement toujours sem-
286 6É0MÉTRIK PLANE.
blables. La similitude spontanée de deux cercles s'y.véri&e aussi
aisément, d'après le double caractère correspondant.
Quoique la considération géométrique d'où dérive si commo-
dément cette condition semble particulière à Thyperbole, le
résultat doit être étendu, sans aucun scrupule raisonnable^ aux
deux autres cas, puisque celui qu'on avait d'abord en vue ne
se distingue analytiquement par aucune relation précise ten-
dant à restreindre la généralité de Téquation. Même envers les
équations elliptiques, où les coefficients angulaires des deux
droites considérées deviennent imaginaires, si Ton interprète
ces coelBcients en y changeant le signe du radical commun^ ce
qui ne saurait altérer la relation finale, on donnera naissance
à deux droites, qui, pour n'être plus alors des asymptotes, n'en
constitueront pas moins toujours, envers les deux courbes, des
lignes certainement homologues, dont la vraie destination géo-
métrique, indifférente à une telle appréciation, sera d'ailleurs
ultérieurement expliquée.
90. Pour compléter la discussion spéciale des équations du
second degrés il nous reste à considérer les divers cas singuliers,
spontanément écartés ci-dessus, où, quoique offrant le carac-
tère analytique de l'une des lignes précédemment examinées,
elles ne représentent réellement aucune courbe. Cette appré-
ciation complémentaire estici d'autant plus intéressante, qu'elle
pourra indiquer les anomalies relatives à toutes les autres équa-
tions algébriques, envers lesquelles nous n'avions pu nulle-
ment ébaucher auparavant un tel examen.
Envisageons d'abordles équations paraboliques, où, 6* — Aac
s'annulant, l'ordonnée est exprimée par la formule
[bx + d)
Tant que hd — ^ae n'est pas nul, il en résulte une parabole.
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE GINQUTÈME. 287
suivant notre discussion fondamentale. Les cas exceptionnels
doivent donc s*y rapporter à l'annulation de cette seconde
fonction des coefficients, d'où résulte, en effet, une formule du
premier degré
qui ne saurait jamais convenir à une courbe, et qui indiquera
deux droites parallèles, ou une seule droite, ou Tabsence to-
tale de lieu géométrique, selon que la troisième constante com-
posée rf* +4 a sera positive, nulle^ ou négative. A ces trois cas
singuliers, correspondent, pour Téquation primitive, les
formes .
qui sont directement caractéristiques, comme rappelant la dé-
composition spontanée du premier membre de l'équation en
deux facteurs du premier degré, dont les termes variables
coïncident, et dont les termes constants sont tantôt inégaux,
tantôtégaux, ettantôtimaginaires. Tous les. degrés cpmporte-
raient évidemment, par de semblables motifs analytiques, des
exceptions analogues, sauf les modifications plus variées rela-
tives au nombre des facteurs.
Dans les équations ellipti^iues^ où 6* — Aoeesl négatif, nous
avons discuté la formule
(bx + d)
■ V = -' ^ ' ±-y/b^--ia€){x-x'){x:^x")
quand les deux racines auxiliaires x' et x" sont réelles et iné-
gales, c'est-à-dire lorsque le polynôme
a [ae^ + crf* — bde + kac — b\
formé de Tensemble des coefficients, est positif : c'est le cas
nônnal del'elUpse. Supposons: donc maintenant que cette eondi-
288 GÉOMÉTRIE PLANE.
lion ne soit pas remplie, et d'abord que ces deux constantes de-
viennent égales, en vertu de l'annulation de ce polynôme. On
aura alors
et Téquation ne comportera d'autre solution réelle que celle
relative à a:*» or', qui fait disparaître le radical imaginaire : en
sorte que le lieu géométrique se réduira au seul point
(bx' + (t) %ae^bd icd—be
Suivant les explications fondamentales placées au début de
ce traité, il serait plus exact de regarder Téquation comme ne
pouvant être sufDsamment représentée, par suite du défaut de
peinture des solutions imaginaires : car ce point unique pourra
d'ailleurs conserver la même position dans une infinité d'hypo-
thèses difTérenles sur les coefficients^ a, 6, c, rf, ^, ainsi assujettis
seulement à trois relations pour chaque situation donnée de ce
prétendu lieu. En remontant à la composition correspondante de
l'équation primitive, on y reconnaît la forme
{y + px + qf + {y + p'x + q'f = 0,
qui borne directement les solutions réelles au seul point com-
mun aux deux droites y +P^ + y = 0 ety +p'a; -|-y'«=:0.
Rien de pareil ne saurait a voir lieu dans aucun degré impair,
d'après la notion algébrique relative à l'existence nécessaire
d'une racine réelle en toute équation de degré impair à une
seule inconnue. Mais tous les degrés pairs comporteront des
accidents analogues, et avec plus de variété, d'après le type
général
qui, manifestant l'impossibilité de détruire Tun par l'autre deux
TROISIÈME PARTIE, GHAPITRB CINQUIÈME. 289
groupes toujours positifs, indiquera, comme seules solutions
réelles, les coordonnées communes aux deux lignes /(:r, y) =«0
et 7 [x^ y) c=i 0. Dans le second degré, où ces lignes doivent
être droites, il n'en peut résulter qu'un point unique. En un
degré plus élevé, où elles pourront devenir courbes, ces points
isolés pourront se multiplier davantage, jusqu'à une limite
toujours déterminée par le nombre des intersections possibles.
Ainsi, par exemple, une équation du quatrième degré pourrait
ne fournir géométriquement qu'un seul point, ou bien en
donner deux^ trois et même quatre, suivant les relations des
deux courbes f(x^ y) = 0,<p (ar, y) =«0, alors du second degré,
et pouvant offrir jusqu'à quatre points communs sans se con-
fondre.
Nous pouvons ensuite supposer que, dans une équation ellip-
tique, les constantes auxiliaires x* et x" soient imaginaires,
c'est-à-dire que le polynôme a (ae^ + cd^ — àde -\-A ac — é*),
positif pour le cas normal, devienne négatif. En reprenant la
formule
y ^-^^ :t^V{à'-iac){x-a:-){œ-x"),
on sait, parla théorie algébrique des équations du second degré,
que la fonction [x — x') (ar— x") reste alors constamment po-
sitive, quelle que puisse y être la valeur de x. Donc, b^ — A ac
étant négatif, on voit que maintenant l'ordonnée sera toigours
imaginaire; en sorte que l'équation n'aura plus aucun lieu
géométrique, mais suivant un tout autre mode analytique que
dans les équations paraboliques ci-dessus assujetties à la même
anomalie. Ce cas, géométriquement exceptionnel, pourra être
algébriquement aussi fréquent que le cas normal, en prenant
des coefficients au hasard, puisqu'il n'exige entre eux aucune
relation précise, et qu'il se distingue seulement par le sens,
d'abord imprévu, d'une certaine inégalité. La composition cor-
290 , . atOKÊTRIE. PLANE.
refipondante de Téquation primitive est nettement reppésentée
par la formule
[y+px + q? + (y + P'x + ?')*+ A* = 0,
qni montre directement Timpossibilité d'aucune solution réelle,
même en annulant les deux parties variables.
Toutes les équations de degré pair comporteraient évidem-
ment une semblable anomalie géométrique, suivant le type
(/{^> y)f+ (?(^, y)r+(+ (^, y))^+ etc... + **« o.
Considérons enfin les cas singuliers propres aux équations
hyperboliques, où è* — ^ac est positif. D*aprèslamême formule,
y (i^ ^ ^V/(ô._4ac) {X-X-) {x-x"),
nous avons reconnu l'hyperbole quand les constantes x' et x"
sont réelles et inégales. Supposons-les maintenant égales, selon
rbypothèsea(ae" -^ctP—bde+Aac — ^*)«=«0. La formule de-
vient, comme ci-dessus.
(*^±^ :±: (£ll£l) V/ é^ZôTc.
^ 2a ■" 2a
Hais le changement de signe de 6^ — 4ac y produit un effet
géométrique très-différent, quoique pareillement singulier ; car,
l'ordonnée est alors, au contraire, toujours réelle ; en sorte que
Téquation admet encore un véritable lieu, à la fois continu et
indéfini. L'anomalie consiste donc ici en ce que ce lieu, cessant
d'être curviligne, se compose de deux droites, qui concourent
nécessairement, au point dont Tabscisse esix'. En remontant
à l'état correspondant de Téquation primitive, on y reconnaît
la forme
{y + px + qf ^{x+p'y + qj^ 0,
qui indique aussitôt une décomposition exc^ptiomieUe , en Aeux
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE GINQUIÊME. ^91
focteurs du premier degré, relatifs à deux droites non paral-
lèles. Tous les autres degrés, pairs ou impairs, seraient évi-
demment susceptibles d'accidents analogues.
Si les constantes a:' et x" deviennent imaginaires, en suppo-
sant négatif le polynôme a (ac* 4- ccP — ôcfe+4û(r — 6*), il est
aisé de reconnaître que ce cas n'est nullement singulier envers
les équations hyperboliques, quoiqu'il ait dû Têtre pour les
équations elliptiques. Car^ Tinvariabilité du signe de la fonction
placée sous le radical de y constitue alors l'ordonnée en état
constant de réalité, de manière à faire également naître une
courbe indéfinie. On pourrait seulement craindre d'abord que
ce lieu ne cessât ici d'être discontinu, puisque l'interruption
horizontale, primitivement constatée entre x ^a or' et 2: >=> o:"^
disparaît ainsi nécessairement. Mais il suffit de penser à la si-
gnification géométrique des constantes^' et x'' pour reconnaître
que cette diversité n'indique réellement aucune modification
de forme, et ne tient qu'à un simple accident de situation. En
effet, ces racines déterminant les intersections de la courbe
avec le diamètre correspondant aux cordes verticales, leur
imaginante actuelle montre que ce diamètre, et par consé-
quent ses parallèles trop rapprochées, cessent de rencontrer
le lieu, dont la discontinuité se retrouve alors suivant les
perpendiculaires à cette droite. Il n'existe donc géométrique-
ment aucune différence effective entre ce cas et celui qui nous
a servi de type fondamental. On voit que toute leur diversité
consiste en ce que la courbe coupe ou ne coupe pas un certain
diamètre. Comme la forme générale de l'hyperbole indique
évidemment que, du centre placé dans sa convexité, partent
indifféremment dest diamètres propres à rencontrer la courbe
et d'autres qui ne sauraient l'atteindre, suivant les directions
des cordes correspondantes, il est clair que cette distinction
reste purement relative à la situation de l'hyperbole envers
^2 GÉOMÉTRIE PLANE.
les axes actuels. Ainsi, ce troisième cas des équations hyper-
boliques n'est réellement pas plus singulier que le premier.
Leur distinction est tellement insignifiante, qu'ils pourront
aisément coexister, en comparant les deux modes de résolu-
tion de réquation, où a: et y peuvent être alternativement
dégagés. Car, dans la formule analogue,
X ^-^^ ±^V/(6'-4a<:)(y-y)(y-y),
il est aisé de constater que le polynôme d'où dépend la réalité
ou Timaginarité des nouvelles constantes auxiliaires y' et y" ne
diffère de celui que nou$ avons considéré envers x' et a:" que
par le changement du facteur monôme a en ^, le facteur com-
plexe n'éprouvant aucune modilication : or, a et c pourraient
ici être opposés de signe, en sorte que l'imaginarité de l'un des
couples coïnciderait avec la réalité de l'autre ; tandis que, si
l'équation était elliptique, a et c auraient nécessairement le
même signe, et ces deux hypothèses ne sauraient coexister,
comme l'exigeait d'avance leur incompatibilité géométrique.
En résumant l'ensemble de cette discussion complémentaire,
on voit que, selon des caractères déterminés : 1® les équations
paraboliques comportent trois anomales distinctes, où elles
représentent deux droites parallèles, ou bien une seule droite,
ou enfin n'admettent aucun lieu ; 2^ les équations elliptiques
offrent deux cas singuliers, suivant que le lieu s'y réduit à un
point, ou disparaît totalement; 3^ enfin, les équations hyper-
boliques ne présentent qu'une seule exception géométrique, où
le Heu dégénère en deux droites convergentes.
91 . U ne nous reste maintenant qu'à considérer les équations
du second degré sous un dernier aspect général, en y étudiant
les simplifications qui peuvent y résulter d'un heureux choix
des axes rectangulaires. Nécessairement plus prononcées qu'en
TROISIÈME PARTIE, CHAPITRE ONQUIÊHE. 293
aucun autre cas, comme je Tai indiqué, en principe, au n^ 30,
ces réductionsconslitueront d'ailleurs la préparation immédiate
de Télaboration spéciale à laquelle doit être consacrée la qua-
trième partie de ce traité, envers les trois courbes que ce cha-
pitre a caractérisées.
Pour mieux apprécier ces modifications analytiques, il faut
les partager en deux classes : Tune, relative au déplacement
des axes rectangulaires autour d'une même origine quelconque,
est essentiellement commune à tous les cas ; Tautre, qui se
rapporte au simple changement d'origine, produira des effets
distincts selon que Téquation sera ou non parabolique.
La première simplification, qui est évidemment lapins im-
portante^ comme affectant les termes du plus haut degré, doit
surtout consister à séparer les variables. Outre que le terme où
elles sont mêlées est ordinairement le plus gênant, il pourra
disparfidtre sans queTéquation cesse de représenter indifférem-
ment les trois courbes, tandis que, si Tun des carrés manquait,
b^ — \ac étant dès lors toujours positif, Téquation ne pourrait
jamais être qu'hyperbolique. Substituons donc, au lieu de
X et y, dans l'équation générale
ay^ + ^^ + ^^* + rfy -|- ea; t=» 1,
les formules
x^=mx* cos X' — y' sin X', y ==» a:' sin X' + y' cos X',
afin de disposer de l'angle X' de manière à annuler le coefficient
total du terme en x' y\ Il en résulte la condition
2 (a — (î) sin X'cos X'+ ô cos'X'— ô sin^X'—O,
ou, en introduisant la tangente,
tang» X'— 2 ^^~^^ tang X'— 1 = 0.
Cette équation montre que la transformation sera toujours
^4 GÉOMÉTRIE PLANE.
possible," et que ie système rectnnguldre propre à y ôatisfaîre
sera nécessairemeilt unique, puisque les deux valeut^ de
tang X' conviendront évidemment à deux droites p'erpeiiâicn-
laires entre elles : il n'y aurait indétermination que dans lé cas
du cercle, où le double caractère 6 = 0, a = ^, rendrait
Téquàtion totalement identique, conformément àttx exigences
géométriques. Si, sans accomplir immédiatement cette réduc-
tion, on en voulait seulement constater la possibilité constante,
on y pourrait parvenir, d'une manière moins directe, mais
plus commode; en introduisant d'abord Tangle 2X', à Tégard
duquel la condition primitive donnerait aussitôt '
tang 2X'
c — a
formule simple, et facile à retenir, qui d'ailleurs reproduirait
aisément celle de tangX', d'après la règle trigonométrique
ordinaire.
Au reste, la seule appréciation géométrique d'une telle
transformation suffirait pour la représenter d'avance comme
possible et déterminée. Car, quand les variables sont séparées,
les deux diamètres immédiatement résultés delà résolution de
l'équation par rapport à y ou à ^, et qui correspondent à des
cordes parallèles aux coordonnées respectives, devientient né-
cessairement parallèles aux axes opposés, et dès lors perpendi-
culaires à leurs propres cordes. Ainsi, les axes rectangulaires
susceptibles d'une telle propriété doivent être parallèles aux
axes géométriques de la courbe, dont l'existence constante, au
moins pour l'un d'eux, et la détermination unique, sauf envers
le cercle, garantissaient à priori qu'il existerait toujours, au-
tour d'une origine quelconque, un seul système d'axes rectan-
gulaires susceptible de permettre la séparation des variables.
TROISIÈME PARTHS, CHAPITRE CINQUIÉlfE. 295
Toute é<|uatiDnâti second degré étant ainsi constamment ré-
ductible à la forme
considérons les simplifications ultérieures que pourra lui faire
éprouver, envers les termes inférieurs, un changement corn-
venable d'origine, sans altérer désormais la nouvelle direction
des axes. Il faut, k cet effet, distinguer deux cas, selon que
Téquation est parabolique ou non parabolique, c'est-à-dire
suivant que la courbe manque de centre ou eii admet un. Dans
le premier cas, le caractère invariable b^ — 4 ac = 0 indique
d'abord que le terme en a:j/ ne peut s'annuler sans queTun dès
carrés ne doive spontanément disparaître. Enversles nouveaux
axes rectangulaires, l'équation est donc alors, par exemple,
Le déplacement d'origine n'y peut tendre qu'à supprimer le
terme du premier degré en y et le terme constant, afin que
les deux variables continuent à y coexister. On peut aisément
vérifier, en exécutant cette facile opération analytique, qu'une
telle réduction est, en effet, toujours possible, à moins que a
ou e ne soit nul, ce qui n'aurait lieu que dans l'un des cas sin-
guliers appréciés au n** précédent. L'interprétation géométrique
indique clairement cette possibilité permanente : puisque la
disparition dû terme dy suppose qu'on a pris pour axe des
abscisses l'axe géométrique de la parabole, et celle du terme
constant que l'origine est placée sur la courbe ; en sorte que
les deux conditions seront à la fois remplies en transportant
l'origine à l'unique sommet que comporte alors le lieu. C'est
ainsi que toute équation parabolique du second degré est fina-^
lement réductible à la forme
296 GÉoxénuE puuœ.
en assignant anxaxes rectangnlairesnne direction elnne posi-
tion convenables. Une telle rédoclion constante ne saorait
maintenant laisser aucun doute sur la parfaite identité de la
courbe correspondante avec celle que nous avons spécialement
qualifiée de parabole dans la première partie de ce traité.
Quand Téquation
ay* -L ex" -f d'y -f ^x =3 i
sera elliptique ou hyperbolique, il sera facile d'y enlever les
deux termes du premier degré, en transportant Torigine au
centre, dont Texistence est alors reconnue d'avance. Ainsi,
toute semblable équation du second degré pourra prendre fina-
lement,envers les deux droites rectangulairesautour desquelles
la courbe est symétrique, la forme
qui rend désormais irrécusable la coïncidence des lieux géomé-
triques correspondants avec les courbes introduites, dès le dé-
but de notre étude, sous les noms spéciaux d'ellipse et d'hy-
perbole. C'est le type analytique que nous devons habitueUe-
ment préférer pour la théorie particulière de Tune ou l'autre
figure. Toutefois, si l'on désirait conserver aux équations ellip-
tiques ou hyperboliques la faculté de devenir aussi parabo-
liques, ce qui, quoique rarement convenable, peut néanmoins
faciliter certaines opérations communes aux trois courbes, U
faudrait, comme ci-dessus, transporter l'origine au sommet,
alors tantôt quadruple et tantôt double; ce qui ramènerait
l'équation à la forme
y^z=2mz + na^,
indiquant la parabole, l'ellipse, ou l'hyperbole, selon que n
serait nul, négatif, ou positif.
Nous avons toujours supposé jusqu'à présent que les nou-
TROISIÈME PARTIE, CHARTRE CINQUIÈME. 297
veaux axes demeuraient rectangulaires, ainsi que Texige or-
dinairement la simplification de Tétude géométrique, quoique
cette obligation ôte la faculté d'enlever à Téquation un terme
de plus. Mais, afin de compléter ici l'appréciation générale des
réductions que comportent les équations du second degré d'après
un choix convenable des axes coordonnés^ il faut examiner
enfin les modifications plus profondes qu'y pourrait produire
la double disponibilité de leurs directions, suivant, les for-
mules
a>=x'cos X'+y'cosY', y^ssor'sinX'+y'sinY',
qui permettraient d'annuler simultanément deux des trois
termes du second degré. Ces termes ne sauraient être que les
deux carrés ; sans quoi l'équation serait parabolique, auquel
cas une telle réduction aurait déjà été mieux accomplie, avec
des axes rectangulaires. Or, quand les deux carrés auront dis-
paru, l'équation présentera nécessairement le caractère hyper-
bolique. Ainsi, une telle réduction est impossible pour l'ellipse,
dont l'équation ne peut jamais admettre moins de trois termes.
Mais elle convient évidemment à l'hyperbole, à cause de ses
asymptotes. Car, en dirigeant l'un des axes coordonnés paral-
lèlement à Tune d'elles, on sait que l'équation doit manquer
du carré correspondant ; en sorte qu'on éliminera simultané-
ment les deux carrés, en prenant, autour d'une origine quel-
conque, des axes parallèles aux deux asymptotes. Il est aisé de
vérifier, en effet, par l'exécution de la substitution indiquée^
que les deux équations, d'ailleurs naturellement identiques,
qui détermineront les angles X' et Y' d'après cette double
condition, assigneront & leurs tangentes des valeurs exacte-
ment égales à celles ci-dessus rapportées quant aux coeffi-
cients angulaires des asymptotes. Si, en outre, on place l'ori-
gine au centre, l'équation de l'hyperbole sera finalement ré-
ductible à la forme
S7
29B GÉOMÉTUE PIA^K.
aimoDçaiit ansâtAt une conribe asjmptotiqoe an deux axes,
qui ne soaieat redangalaires qa*aatant qa*on aurait eo
d*abord c «= — a. Qaoiqae leur obliquité ordinaire doire s'op-
poser à l'emploi habituel d'nne telle équation, il n en est pas
moins très-remarqnable qne Thyperimle s<Mt sosceptihie,
comme la parabole, mais suivant un tout autre mode analy-
tique ou géométrique, d*une équation simplement binôme,
tandis que l'équalion de l'ellipse doit toujours être au moins
trinôme. Cette différence nécessaire, imparfaitement qipréciée
jusqulci, conduira peutrétre un jour, dans la constitution
rationnelle de la géométrie comparée, à rapporter l'ellipse et
lliypeii>oIe à des familles de courbes vraiment distinctes, mal*
gré la grande analogie que vont nous offrir, à beaucoup
d'égards, leurs propriétés respectives.
QUATRIÈME PARTIE. 299
QUATRIÈME PARTIE.
ETUDE SPÉCIALE DES COURBES DU SECOND DEGRÉ.
92. La discussion géométrique des équations n'étant, par sa
nature, qu'une première ébauche fondamentale de Tensémble
des attributs propres aux courbes correspondantes, la troisième
partie de ce traité vient réellement de caractériser l'application
combinée de nos diverses théories essentielles àl'étude générale
des courbes algébriques. Mais, pour que notre appréciation
graduelle du véritable esprit de la géométrie analytique puisse
acquérir enfln toute la netteté et la précision convenables, il
faut maintenant spécifier davantage cette application^ envers
quelques-unes des courbes ainsi considérées. Ce but logique
sera suffisamment atteint par une étude judicieuse des princi-
pales propriétés des trois courbes remarquables qui résultent
des équations du second degré; outre la haute utilité scienti-
fique d'une telle connaissance, d'après l'usage capital de ces
figures dans les parties élémentaires de la philosophie natu-
relle, et surtout en astronomie.
D'après le nouveau plan qui caractérise cet ouvrage, une
pareille étude ne saurait y offrir aucune difficulté essentielle,
puisque nous n'avons plus qu'à y appliquer spécialement des
principes généraux pleinement établis ; ce qui permettra ici
d'abréger beaucoup ce travail, quoiqu'en y comprenant plus de
propriétés de ces trois courbes qu'on n'a coutume d'en consi-
300 GÉOMÉTRIE PLAHE.
dérer. Toute rattention du lecteur devra s'y concentrer sur la
simplification spontanée de nos méthodes universelles, et sur
l'heureuse interprétation de leurs résultats particuliers. C'est
ainsi que cette dernière partie de la géométrie plane doit con-
courir, à sa manière, à développer le sentiment fondamental
de rharmonie nécessaire entre les conceptions analytiques et
lesnotions géométriques, qui constitue Tunité philosophique de
notre enseignement. Sans la réaction logique qui doit résulter
ici de ce complément spécial, les théories générales, dans
lesquelles consiste surtout la géométrie analytique, resteraient
affectées d'une sorte d'uniformité machinale, qu'il importe
beaucoup de corriger, en manifestant, sur quelques exemples
caractéristiques, le genre de modifications qu'elles doivent
subir pour s'adapter le mieux possible aux convenances de
chaque cas.
Quelque satisfaisant que soit, à cet égard, le choix des
courbes du second degré, il faut y reconnaître franchement
une inévitable imperfection historique, consistant dans le dé-
faut radical d'originalité d'une telle application ; puisque les
principales propriétés que vont nous offrir analytiquement les
sections coniques ont été réeUement découvertes, par des voies
toutes différentes, vingt siècles avant que cette élaboration
pût y être opérée. Cette considération est ici destinée surtout à
expliquer d'avance le peu de spontanéité que le lecteur pourra
remarquer envers certaines notions, que le mode moderne eût
difficilement dévoilées, et qu'il a dû se borner essentiellement à
vérifier, quand l'ancienne étude de ces courbes a été reprise
d'après les méthodes analytiques introduites par la grande
rénovation cartésienne. Au reste, ce grave inconvénient didac-
tique peut être aujourd'hui suffisamment évité envers les plus
importants théorèmes, que l'analyse ferait naturellement décou-
vrir, s'ils étaient encore ignorés : il ne reste vraiment inévi-
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 301 *
table que pour quelques propositions accessoires, qui, quoique
remarquables, et même utiles, pourraient presque être écar-
tées sans altérer essentiellementla principale destination d*une
telle étude. Toutefois, cette sorte de fausse position logique
exigerait peut-être, afin de mieux atteindre le but propre de
cette quatrième partie de la géométrie plane, qu'on y comprît
aussi Tappréciation spéciale de quelques courbes algébriques
assez compliquées pour n'avoir pu être convenablement exami-
nées sous Tancien régime géométrique. Un traité sommaire de
la cissoide me semblerait pouvoir suffire à cet oflice ; et je me
réserve de le joindre à une autre édition de cet ouvrage, si ce
nouveau système d'enseignement de la géométrie analytique
obtient Tassentiment des professeurs judicieux.
CHAPITRE PREMIER.
Théorie des foyers et des directrices.
93. Avant de procéder directement à l'étude spéciale de
chacune des trois courbes du second degré, il faut établir, sous
un aspect commun, la seule théorie nouvelle que nous n'ayons
pas encore traitée, et qui, étant réellement particulière à ces
lignes, ne devait point, en effet, figurer parmi les théories
vraiment générales auxquelles était consacrée la seconde partie
de cet ouvrage. Quand ce préambule immédiat sera convena-
blement construit, Tappréciation successive des principales
propriétés de la parabole, de Tellipse, et de Thyperbole n'exi-
gera plus qu'une simple application judicieuse d'un ensemble
de méthodes pleinement élaboré.
30â GÉOMÉTRIE PLANE.
f
On ignore essentiellement quelle fut, dans Tétude originale
des sections coniques, la véritable source des notions relatives
aux foyers, qui durent constituer historiquement Tune des
plus anciennes découvertes sur ce sujet et la base de la plupart
des autres. La refonte analytique de cette étude a fait sentir aux
géomètres modernes le besoin d*un point de vue commun pro-
pre à lier entre elles les idées, jusqu'alors trop diverses, que
présentaient, à cet égard, la parabole d'une part, Tellipse et
l'hyperbole de l'autre. Telle est la principale destination de la
définition, d'abord purement algébrique, qu'on applique main-
tenant au /bj/er d'une ligne du second degré, en appelant ainsi
un point dont la distance à un point quelconque de la courbe
est une fonction rationnelle des coordonnées variables de celui-
ci {*). Mais, quoique cet artifice puisse immédiatement sufQre
pour procéder uniformément à la détermination des foyers dans
les trois courbes, il ne saurait remplir assez les conditions es-
sentielles d'une véritable définition, si, suivant un usage trop
ordinaire, on ne s'attachait pas à faire convenablement res-
sortir l'interprétation géométrique de ce caractère analytique.
Gomme cette corelation générale constitue le nœud principal
de toute la théorie des foyers, il importe ici de l'établir soigneu-
sement.
Quand la formule \/ (y — €)* + (^ — «)^i exprimant la dis-
tance du foyer cherché à un point quelconque du lieu, sera
devenue une fonction rationnelle des coordonnées variables,
cette fonction ne pourra être que du premier degré, envers
n GeUe définition est souvent altérée par une restriction vicieuse, con-
sistant à imposer cette obligation de rationalité envers Tune des coor-
données seulement; ce qui ne convient, comme on le verra ci-dessous,
qu'à certaines équations du second degré : la distance ne peut ôtre
généralement rationnelle qu'en fonction des deux coordonnées à la fois.
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 303
une courbe du second, sous la forme px+qy+r. Op, une telle
expression peut toujours être envisagée géométriquement
comme représentant un multiple déterminé de la distance du
point variable à une certaine droite ûxey=Aa:+A:. Car, cette
distance serait exprimée, d'après la règle du n® 29, par la
fonction ^ — . qui, multipliée par une constante m,
deviendrait exactement identique à la précédente, en prenant
en sorte que l'équation de la droite ainsi introduite, étant dès
lorspa?+yy+r=0, se formerait en annulant l'expression
rationnelle de la distance au foyer. D'après l'indispensable in-
troduction d'une telle droite, ordinairement nommée dtr^c^rtce,
la définition primitive du foyer devient vraiment géométrique,
et consiste à concevoir toute courbe du second degré comme le
lieu d'un point dont les distances variables à un point fixe et à
une droite fixe demeurent constamment proportionnelles. Ré-
ciproquement, cette notion géométrique reproduit aussitôt le
caractère analytique primordial, puisque cette proportionnalité
indique évidemment que la première de ces deux distances est
aussi rationnellement exprimable que la seconde.
Une telle explication fondamentale réduit la détermination
générale des foyers et des directrices dans les courbes du
second degré à mettre l'équation du lieu sous la forme
V (j:— a)>-f-(y— 6)« = /)a: + qy + r,
qui résulte immédiatement de cette définition, désormais à la
fois analytique et géométrique. Or, cette transformation n'of-
fre aucune difficulté en la concevant en sens inverse, c'est-
à-dire, en ramenant ce nouvel état de l'équation au mode or-
dinaire
ay^ + bxy+€x^+dy+ex=i^
304 GÉOMÉTRIE PLATfE.
moyennant les cinq conditions de coïncidence
9^ — 1 2»(7 . »« — 1
2(g + yr) _ 2(«+;?r)
«a+ea_^2 -^' a2 4,gi_^2
qiii détermineront suffisamment les cinq constantes inconnues
«1 ^t Pi ?» ^> relatives au foyer et à la directrice, ainsi qu'au
rapport ^ p^ + y', qui spécifie la courbe proposée. La distinc-
tion primordiale entre les trois courbes du second degré oflre
des symptômes équivalents dans les deux formes de Téquation ;
car,lecoefficientcomposé6'— 4acéquivauticià4 {p*+q^ — 1);
en sorte que le lieu sera parabolique, elliptique, ou hyper-
bolique, selon que le rapport spécifique \/ p^+ q^ sera égal,
inférieur, ou supérieur à Tunité, conformément à la discussion
directe et spéciale du n" 23.
94. Outre ce mode naturel de la double théorie des foyers et
des directrices, il importe d'en concevoir un second, qui,
quoique moins propre ordinairement à Tusage effectif, offrira
ici le grand avantage logique de familiariser déjà le lecteur avec
l'un des plus puissants artifices généraux de l'analyse mathéma-
tique, communément réservé jusqu'à présent aux plus hautes
spéculations géométriques et surtout mécaniques, sous le nom
à^méthodedefimultiplicateurSy^%^evL\\A\em%ïii due àLagrange.
En considérant analy tiquement la question proposée comme
consistant à rendre un carré parfait la fonction
(«-.a)»+(y-6)2
d'après la relation que l'équation primitive
ay^+ bxy+cx^ + dy+ex—i^^Q
établit entre les deux variables, la principale difficulté provient
de ce qu*on'ne saurait avoir ordinairement égard à cette liaison
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE PREIHER. 305
parla simple substitution de ^ en â; ou xeny ; puisque la con-
dition proposée ne peut être remplie, en général, qu'autant
que la formule de distance continue à renfermer simultané-
ment les deux variables, ainsi que j'aurai lieu d'ailleurs de
l'expliquer spécialement ci-après. Cependant, une telle substi-
tution semble d'abord le seul moyen de prendre en suffisante
considération la subordination fondamentale de ces variables.
Dans cette perplexité, il devient indispensable de généraliser,
à cet égard, les conceptions ^habituelles, en s'élevant à la no-
tion du mode analytique le plus étendu que puisse comporter
l'appréciation d'une semblable dépendance. Il consiste ici à
ajouter à la fonction {x — a)*+(y — ^)^» î^î doit devenir un
carré parfait, en prenant convenablement a et 6, un multiple
indéterminé de celle qui doit être nulle en vertu de la liaison
des deux variables, et à traiter ensuite celles-ci comme si elles
étaient pleinement indépendantes, de manière à convertir la
question proposée en ce simple problème d'algèbre : rendre un
carré parfait le polynôme à deux indéterminées
(x-a)^ + {y^e)^ + k{ay' + bxt/+cx^'+ dy + ex •- 1),
d'après certaines valeurs des constantes a, 6 et ^. Cette re-
cherche algébrique pourrait s'opérer de plusieurs manières,
comme dans le cas analogue très-connu envers un polynôme
en X seul. Mais, au lieu de procéder par l'extraction de la ra-
cine, il est préférable d'employer, surtout ici, la méthode des
indéterminées de Descartes, enassimilant le polynôme proposé
à un carré artificiel (jt>a;-f-gy+^)*- Or, si l'on développe les
six conditions ordinaires d'une telle coïncidence, on sentira
aisément que, en y éliminant d'abord le multiple auxi-
liaire A, géométriquement superflu, on retombe nécessairement
sur les cinq relations directement établies au n* précédent pour
la détermination des constantes a, 6, et />, q, r. Ainsi, ce se-
306 GÉOMÉTRIE PLANE.
cond mode équivaut finalement au premier, sauf un nouveau
circuit analytique, étranger à la recherche géométrique.
Quoique, par ce motif, cette marche ne doive pas être ici
employée habituellement, j'attache beaucoup de prix à l'occa-
sion qu elle m'offre de caractériser, en un cas élémentaire suffi-
samment important, le grand artifice d'analyse qui lui sert de
base. Cet artifice, qui n'a jamais été conçu directement jusqu'ici
dans son entière généralité, consiste à ramener, en tout pro-
blème analytique, le cas de la dépendance des variables à celui
de leur indépendance, en ajoutant, à la fonction qui constitue
le sujet de la condition proposée, un multiple indéterminé de
celle qui doit s'annuler d'après la liaison des variables considé-
rées. D'abord introduite par Euler danslaplus haute théorie des
maxima et mtnfma, cette conception générale est ensuite devenue ,
pour Lagrange, Tun des plus précieux moyens de la mécanique
analytique. Son légitime usage reposera partout,comme ci-des-
sus, sur ce qu'une telle ad jonction, qui alorsn'altère pas l'état de
la fonction proposée, confond en un seul mode toutes les ma-
nières possibles d'avoir égard à la relation donnée, et permet,
en conséquence^ de traiter désormais les variables comme in-
dépendantes.
95. Après avoir établi, sous l'une ou l'autre forme géné-
rale, la théorie fondamentale des foyers et des directrices, il
faut la concevoir, en sens inverse, comme propre à formuler
toute condition géométrique relative soit au foyer, soit k la di-
rectrice, soit à leur relation mutuelle : ce qui lèvera d'avance,
envers les courbes du second degré^ les difficultés essentielles
que peuvent offrir les problèmes quelconques où l'on introduit
de telles conditions.
Si la courbe doit avoir un foyer donné, on supptsera con-
nues les constantes «et 6 dans les cinq équations déterminantes
du D^ 93, où Téliminationdep, q^ r conduira dès lors aux deux
ODATRIÉME PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 307
relations cherchées entre les coefOcientsa, 6, Cj rf, e, communes
à toutes les courbes de même foyer, et propres à déterminer
chacune d'elles conjointement avec d'autres prescriptions quel-
conques. Mais, au lieu de formuler distinctement ces condi-
tions, on n'aura souvent besoin que du type analytique qui leur
correspond pour l'équation du lieu, ainsi réduite à ne contenir
que trois constantes arbitraires. Or, ce type pourrait être direc-
tement formé, sans ce long calcul, d'après l'équation fonda-
mentale
{x — a)î»+ (y — 6)»= [px + ?y + ^)^
relative à la propriété focale des courbes du second degré, et
où il suffirait alors d'attribuer les valeurs convenables aux
coordonnées a et 5 du foyer, en concevant indéterminées les
autres constantes/?, g, ty propres à la directrice et au rapport
spécifique.
Quand la courbe aura une directrice donnée y = Aa: + A,
on joindra, aux cinq formules du n®93, les conditions — ^ = A,
=s A, et l'élimination des cinq constantes a, 6, p, g, r,
fera découvrir les deux relations correspondantes entre les
coefficients de l'équation proposée. Si on veut directement
constituer celle-ci d'après cette obligation géométrique, elle
sera naturellement
(a; _ a)a-f- (y — 6)î»=» m^y — hx^kf,
en supposant indéterminées les trois constantes a, 6, m, rela*
tives au foyer et au rapport spécifique.
Lorsque, au lieu d'être entièrement donné, le foyer devra
seulement appartenir à une ligne connue /(x, y)BaO, il suffira
de joindre aux cinq égalités fondamentales la condition cor-
respondante /(a, 6)=sO, pour que l'élimination des cinq con-
308 GÉOMÉTRIE PLANE.
stantes a, 6, jo, y,r, permette d'obtenir la relation convenable
entre a, b, c, d^ e. Dans le second mode de solution, on
emploierait la liaison proposée entre a et 6 à rapporter l'une de
ces constantes à Tautre ; ce qui permettrait de restreindre
suffisamment l'équation focale, de manière à n'embrasser que
les courbes susceptibles d'un tel accident.
Pareillement, si la directrice joa;+9'y+r=0, sans être
totalement donnée, devait toucher une certaine courbe, ou
remplir telle autre condition équivalente, aboutissant à une
relation spéciale entre /), y, r, cette nouvelle égalité rendrait
possible l'élimination des cinq constantes ordinaires,de manière
à manifester la liaison correspondante descoefQcientsprimitifs.
Sous la seconde forme, une telle égalité permettrait de rappor-
ter l'une des constantes p, y, r, aux deux autres, de manière
à restreindre convenablement l'équation fondamentale.
On procéderait de môme envers des conditions qui, au lieu
de se rapporter isolément au foyer ou à la directrice, concer-
neraient leur disposition mutuelle. Quelle que fût la prescrip-
tion géométrique, aussitôt qu'elle serait directement formulée
entre les constantes relatives au foyer et à la directrice, elle
pourrait être ainsi convertie, soit en une liaison équivalente
des coefficients primitifs, soit en une restriction correspondante
du type focal. Il est superflu d'avertir que, si les axes sont
disponibles, leur choix judicieux pourra faciliter beaucoup
l'accomplissement de ces diverses opérations analytiques.
Au sujet de ces questions composées, qui comportent une
grande variété, je crois devoir seulement m'arrêter ici à une
mention spéciale envers celles qui concernent les conditions de
similitude ou d'égalité des courbes du second degré. Suivant
nos principes généraux, la définition focale indique évidem-
ment que deux courbes de ce genre ne seront semblables qu'au-
tant que le rapport constant V^jo^+y' y aura la même valeur ;
OUATRIÉME PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 309
et c'est pourquoi je le qualifie habituellement de spécifique.
L'égalité des deux courbes exigera, en outre, la coïncidence des
distances respectives du foyer à la directrice, représentées par
la formule ^ ~ . D'après cela, si on voulait formuler
la similitude des deux courbes
ay^ + ô-^ry + co:' + rfy + car = 1
«y + Vxy^ c'a:a+ rf'y+ e'x^ 1,
il faudrait identifier les deux expressions correspondantes de
P* + y^î préalablement déduites des cinq relations du n« 93, et
on devrait ainsi reproduire la condition que nous avons déjà
obtenue, au dernier chapitre de la troisième partie, par une
voie beaucoup plus simple. Quant à TégaUté des deux courbes,
il faudrait d'ailleurs exprimer aussi Tidentité des deux valeurs
Da -f- û'ê -j- r
correspondantes de la formule^- — ; et on retrouverait,
mais plus péniblement, les deux relations que fournirait di-
rectement laméthode générale pourla superposition analytique
des courbes quelconques, d'après la coïncidence de leurs équa-
tions par une transposition d'axes convenable. En l'un ou
l'autre cas, cette méthode spéciale conviendrait mieux sous sa
seconde forme, par une juste restriction immédiate de l'équa-
tion focale. Car, en posant \/ />^4- ?^=^, et r"T"y JJI_ ^ ^^
on formerait aussitôt l'équation
relative aux courbes semblables; ou envers les courbes égales,
Téquation plus particulière
96. Pour compléter suffisamment la théorie des foyers et des
310
directrices, il reste à j apprécier ime méthode subEÎfiaîre,
qui résulte spontanément d'tme judicieuse modi^cition de la
méthode fondamentale envers certaines équations dn seocnd
deçré, d'antant plos importantes à considérer ici séparément
qa^elles comprennent les cas asnels auxquels nous devrons
spécialement appliquer une telle théorie dans les chantres
suivants.
En considérant Téquation focale
(X — a; « + ry — e}» = (px + çy + r}»,
en voit que le terme en xy sV trouvera communément tant
que /i et 7 ne seront pas nuls, c'est-à-dire, géométriquement
quand la directrice ne sera parallèle à aucun des axes coordon-
nés. C*est pourquoi la distance au foyer ne peut être générale-
ment rationnelle qu'envers les deux variables à la fois, comme
je Tai ci-dessus annoncé afin de prévenir une vicieuse routine.
Mais, pour toute équation du second degré où les variables
sont séparées, on voit ainsi que la directrice est toujours per-
pendiculaire à Tun des axes géométriques de la courbe, con-
formément à la discussion directe du no ^, et la distance de-
vient rationnelle en fonction d'une seule coordonnée. D'aprfes
cela, on pourra procéder alors plus simplement à la détermi-
nation du foyer, et ensuite de la directrice, en ayant égard à
Téquation de la courbe par la substitution naturelle de y en x
ou X en y dans la formule
(X — a)« -f (y — €)»,
qu'il s'agira finalement de rendre un carré parfait, quand on
Taura convenablement développée par rapport à Tunique va-
riable conservée. Or, celle question algébrique ne saurait offrir
aucune difliculté essentielle, ni exiger aucun calcul péoible.La
fonction ainsi formée sera d'abord irrationnelle ordinairement :
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÊICE. 311
il faudra donc y détruire préalablement un tel obstacle analy-
tique, ce qui tendra à déterminer Tune des deux constantes
a, S ; l'autre se déterminera ensuite d'après la condition élé-
mentaire pour les carrés trinômes.
Cette méthode subsidiaire, dont nous ferons naturellement
un grand usage, n'a d'autre inconvénient propre que Tincerti-
tude primitive sur le vrai sens de la directrice, que Ton sait
seulement devoir être alors parallèle à Tun des deux axes coor-
donnés. Il en résulte algébriquement Tobligation d'exécuter
alternativement les deux substitutions de y en :z: et de x en y,
qui doivent d'abord sembler indifférentes, et dont une seule
pourtant convient à la solution actuelle^ laquelle pourrait donc
échapper à l'adoption arbitraire d'une substitution unique.
Hais, malgré cette double opération algébrique, une telle mé-
thode n'en constituera pas moins habituellement, envers les
cas qui s'y rapportent, une utile simplification de la marche
générale.
CHAPITRE II.
Théorie de la parabole.
97. L'équation y^ =» mx^ la plus simple de toutes celles
dont la parabole soit susceptible, est d'abord très-propre à don-
ner une idée fort nette de la forme générale de cette ligne. Sa
discussion directe montre que la courbe, symétrique autour de
Taxe des a:, s'étend indéfiniment dans le sens des abscisses de
même signe que la constante m, que nous supposerons habi-
tuellement positive, sans jamais pénétrer de l'autre côté de
312 GÉOMÉTRIE PLANE.
Taxe des y, et en s'écartant de plus en plus des deux axes à la
fois, mais moins rapidement du premier que du second.Outre
que le degré indique déjà suffisamment la direction effective de
la courbure, le coefficient angulaire de la tangente, tanga = -- ,
constate évidemment que la parabole est toujours concave vers
son axe, auquel elle tend graduellement à devenir parallèle,
quoiqu'elle n'y parvienne jamais exactement ; en sorte que ses
deux branches divergent de moins en moins entre elles tout en
s'écartant de plus en plus, et seraient parallèles à Tinfini.
Cette tendance continue, et l'absence correspondante d'asymp-
totes rectilignes, doivent empêcher de jamais confondre, même
à l'œil, l'aspect d'une parabole avec celui d'une demi-hyper-
bole, quelque grossier que soit leur tracé respectif : la cour-
bure totale est, par suite, plus prononcée dans la première
figure que dans la seconde, puisque l'ensemble de son cours y
fait varier davantage la direction de la tangente.
Si l'on voulait ainsi construire réellement les divers points
du lieu, il suffirait de combiner avec chaque abscisse une or-
donnée égale à la moyenne proportionnelle entre cette abscisse
variable et la longueur constante m, qui caractérise indivi-
duellement chaque parabole, et qui, à ce titre, est spéciale-
ment qualifiée de paramètre. Réciproquement, on peut obte-
nir, sur une parabole déjà tracée, la grandeur effective de son
paramètre, presque aussi facilement qu'on trouve graphique-
ment le rayon d'un cercle, en le concevant, d'après l'équation
fondamentale y' = mx, comme la distance à l'axe de l'extré-
mité de la corde menée du sommet sous un angle de 45^. Tout
autre point du lieu déterminerait également celte constante,
y*
suivant la loi 7n= — ; mais celui-ci offre l'avantage d'une
construction beaucoup plus simple, qui mérite de devenir
QÙATRIÈliE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 313
amilière, pour que Timage du paramètre ne se sépare jamais
de celle de la courbe.
Enfin, la parabole étant, après le cercle, la plus simple de
toutes les courbes, il convient de remarquer, au sujet de cette
équation, le mode facile d'après lequel on pourrait déduire
Tune de l'autre, en se rappelant que les longueurs des diverses
cordes circulaires menées d'un même point sont liées à leurs
projections sur le diamètre correspondant de la même manière
que les ordonnéesparaboliquesdépendent de leurs abscisses. Si
donc on prolongeait les ordonnées NP d'un cercle relative-
ment à un diamètre quelconque OCA (fig. 70) de manière à
les rendre égales aux cordes correspondantes ON, les points H
ainsi obtenus formeraient une parabole, dont le paramètre
serait égal au diamètre du cercle, et qu'un tel tracé étendrait
seulement jusqu'au point D, qui, suivant l'indication précé-
dente, sert à marquer commodément le paramètre. On conçoit
d'ailleurs qu'une telle relation de la parabole au cercle, pleine-
ment conforme à la commune absence de condition de simili-
tude, ne contredit pas réellement notre notion sur le nombre
de points déterminant ; puisque la position de la parabole doit
alors exiger une constante de plus que celle du cercle, afin de
fixer le point d'où procède cette construction.
98. Après cette interprétation directe de l'équation simplifiée
de la parabole, considérons successivement les diverses pro-
priétés caractéristiques qui, suivant nos méthodes générales, en
constituent des conséquences plus lointaines, en commençant
par les propriétés focales.
Les variables se trouvant séparées dans l'équation y^=ma:,
il faut 7 appliquer la méthode subsidiaire expliquée & la fin du
chapitre précédent, pour déterminer le foyer par substitution
de y en a: ou, réciproquement, dans la fonction [x — ay
+ (y— ^)* ou
314 GÉOMÉTRIE PLANE.
d*=.a:» + y«— 2otx — 26y + (««+6»)
qui doit ainsi devenir on carré parfait. Parla première snbsti-
tution, on a
ce qui montre d'abord que le foyer doit être sur Taxe, afin que
cP soit' rationnel par Tannulation de 6. Gela posé, la fonction
devient J!:*+(m — 2a)a:+a*; et, en y appliquant la condition
i
connue pour les trinômes carrés, on trouve a «» j m. Il existe
donc, en effet, sur Taxe de la parabole, un unique foyer, à
une distance du sommet égale au quart du paramètre. Sa
distance rationnelle à un point quelconque de la courbe devient
1
ainsi d^^x -\' - fn\ et^ en Tannulant, on voit que la direc-
4
trice est une perpendiculaire à Taxe, pareillement éloignée du
sommet, mais en sens inverse : le rapport spécifique V/ J»*+ g*
est ici évidemment égal à Tunité. Tel est le mode pleinement
naturel suivant lequel, la notion générale de foyer une fois
admise, l'analyse fait graduellement ressortir de l'équation des
courbes du second degré limitées d'un côté et illimitées de
l'autre leur conception géométrique comme engendrées par un
point toujours équidistant d'un point fixe et d'une droite
fixe.
Si, an contraire, on substituait x en y, on ne pourrait que
confirmer, sous une autre forme, les résultats précédents. On
aurait alors, en effet,
Quoique cette fonction soit spontanément rationnelle, la con-
dition préalable 6 = o n'y est pas moins indispensable pour
qu'elle puisse devenir carrée : car, sa racine devant être du
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 315
second degré, doit d'ailleurs manquer du terme du premier
degré, puisque le polynôme lui-même n*en contient pas du
troisième. D'après cette première détermination, la fonction se
réduit au trinôme ^^ + ( * — ^ — Vy» -|- a^, qui, en achevant
ropération, reproduira, aussi clairement que ci-dessus^ la
i
condition a =» - m. Ce second mode algébrique de la méthode
auxiliaire des foyers n'aboutit donc, comme on devait le pré-
voir, qu'au retour du premier résultat, sous une forme d'ail-
leurs peu convenable, puisque la fonction cf, étant alors du
second degré, ne comporterait plus directement l'interprétation
géométrique qui constitue la principale base d'une telle
théorie.
Pour se mieux familiariser avec la position du foyer, et par
suite de la directrice, il faut remarquer que son abscisse con-
vient à une ordonnée parabolique qui ep est le double, et
d'ailleurs égale au demi-paramètre. De là résultent de nou-
velles manières d'envisager le paramètre d'une parabole, soit
comme la corde perpendiculaire à l'axe menée du foyer, soit
comme la double distance du foyer à la directrice.
Il serait superflu d'insister ici sur les facilités évidentes que
procure la propriété focale de la parabole pour décrire cette
courbe par points ou par un mouvement continu.
99. Parmi les nombreux problèmes relatifs à la détermina-
tion de la parabole d'après des conditions propres au foyer ou
à la directrice, et dont la solution analytique ne saurait main-
tenant oSrir aucune difOculté essentielle aulecteur suffisamment
imbu de nos principes généraux, je me bornerai à considérer
spécialement, soit à titre d'exemple caractéristique, soit à
raison de son utUité réelle, celui où l'on donne, avec deux
points de la courbe, son foyer ou sa directrice.
316 GÉOUÉnOS PLAKB.
Dans le premier cas, cette question de géométrie abstraite
comporte une précieuse destination astronomique, ponr déter-
miner le coars d'one comète diaprés deux positions observées,
en adoptant l'henrense approximation paraboliqne spéciale-
ment appliquée par Newton à la seule partie de rori[>ite qui
puisse être habituellement visible. Supposons donc qu'il s'agisse
de faire passer en deux points donnés une parabole ayant un
foyer donné, qui, en une telle application céleste, serait le
soleil. La propriété focale fera trouver aisément une solution
graphique, consistant àconstruire d'abord la directrice, comme
tangente commune aux deux cercles qui, ayant leurs centres
respectifs en ces deux points, se couperaient à ce foyer : cette
droite une fois trouvée, Taxe, le sommet, et le paramètre delà
parabole en résulteront sans difficulté. On obtiendra ainsi deux
paraboles, ordinairement très-diflérentes de position et même
de grandeur, entre lesquelles les indications astronomiques dis-
siperaient facilement toute indécision. Cette construction in-
dique d'ailleurs, conformément à la nature du problème, que
la question ne saurait offrir d'autres cas d'impossibilité que ceux
qui tiendraient à la coïncidence de l'un des points donnés avec
le foyer ou à la situation des deux points en ligne droite avec le
foyer et du même côté.
La solution analytique ne peut présenter aucun embarras,
puisqu'elle se rapporte à des conditions déjà spécialement for-
mulées. Si les axes sontdisponibles, on la simplifiera beaucoup
en plaçant leur origine au foyer donné, et dirigeant l'un d'eux
vers l'un des points donnés. On aura alors l'équation
oùle caractère parabolique donne d'abord lareleMonp^+qh^i,
Quant aux deux autres conditions propres à déterminer les
constantes inconnues p, q, r, elles seront, d'après les deux pas-
sages,
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 317
x"'= + (pa;" + r)».
Comme les premiers membres de ces équations, relatifs aux
distances u' etw" de ces points au foyer, sont entièrement con-
nus, on pourra ramener ces deux équations au premier degré,
sous la forme
px' + qt/' + r ssu'
et dès lors ony rapportera facilement peiqi. r^ qui se déter-
minera finalement par une équation du second degré, résultée
de la condition primordiale p>+ $^' = 1.
A l'occasion de ce problème, je crois devoir établir sommai-
rement une importante notion de philosophie mathématique,
jusqu'ici très-confuse, sur la nature des divers symptômes ana-
lytiques de Timpossibilité, qu'une aveugle routine algébrique
conduit trop souvent à croire indistinctement annoncée par l'i-
maginarité des inconnues, quoique le mode doive nécessaire-
ment varier suivant les cas. D'après Tharmonie fondamentale
qui doit toujours régner, en mathématique, entre les apprécia-
tions concrètes et les indications abstraites, on peut constam-
ment prévoir de quelle manière l'impossibilité devra être ana-
lytiquement manifestée, suivant une judicieuse discussion
spéciale, destinée à discerner si les conditions qui la caractéri-
sent sont vagues ou précises; c'est-à-dire, en d'autres termes,
si elles correspondent à une simple inégalité ou aune véritable
relation d'égalité. L'analyse conduira nécessairement, dans le
premier cas, àdesvaleursimaginaires,à moinsque les valeurs
négatives ne fussent pareillementinadmissibles, ce qui arrive
rarement en géométrie. Quant au second cas, le symptôme
analytique devra changer de nature, et consistera en certaines
valeurs réelles spécialement exclues du sujet; le plus souvent.
318 GÉOMÉTRIE PLANE.
cette exclusion déterminée' se bornera aux valeurs nulles ou
■
infinies. Tel est le principe philosophique qui doittoujours do-
miner la discussion effectivedes solutions analytiques relatives
à un ordre quelconque de recherches concrètes.
En rappliquant à la question actuelle, on reconnaît aussitôt
que tous les cas d'impossibilité y sont dénature précise, et qne,
par conséquent, leur indication algébrique doit résulter de va-
leurs réelles inadmissibles. Si l'inconnue principale est r, qui
désigne géométriquement la distance du foyer à la directrice, il
n'y aura d'exclusion que pour les valeurs 0 et œ . C'est donc par
Tune d'elles que l'impossibilité sera toujours annoncée,et jamais
d'après Hmaginarité, quoique l'équation en r soit du second
degré. L'examen de la solution graphique montre d'ailleurs
que cette indication résultera ici de valeurs nulles, et non de
valeurs infimes. J'engage le lecteur à confirmer algébrique-
ment une telle prévision rationnelle.
Relativement à ce premier problème, il convient de remar-
quer, mais uniquement pour l'application astronomique, l'u-
tile simpliflcation que recevrait la solution analytique, si Tony
employaitl'équation polaire de la parabole autour du foyer,
établie au n^23, et qui dispenserait spontanément de formuler
la condition la plus diflicile. Avec les notations actuelles, cette
équation serait
\ m
1 — COS ((p + a)'
■
enla modifiant, suivant l'esprit delà question, de manière à
diriger arbitrairement l'axe polaire. Le passage de la courbe
aux deux points donnés fournira aisémentla détermination des
deux constantes^ linéaire et angulaire, propres à ce type analy-
tique, et qui fixent, l'une la grandeur, l'autre la direction, de
la parabole cherchée. En conduisant l'axe polaire vers l'un de
ces points, on aurait ainsi les deux relations
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 319
t/ «= t = — rr— :, U —
i — COS (ç' + a)' i — COS «*
d'où, en éliminant m, on conclura, pour l'angle a, réqualion
trigonométrique
1 — COS a ti"
i — co8(9'+a) w'
dont la résolution se simplifiera beaucoup en introduisant les
demi-angles, et fera connaître la double inclinaison de Taxe de
la parabole sur un tel axe polaire.
Supposons maintenant que le foyer donné soit remplacé par
la directrice ; la solution graphique se renversera facilement,
en construisant le foyer d'après Tintersection des cercles déjà
considérés, et dont les rayons seront alors les distances des
deux points à la directrice donnée. Il en résultera encore deux
paraboles inégales, quoique parallèles. Quant aux cas d'impos-
sibilité, ils y consisteraient d'abord dans le passage de la
directrice à l'un des points donnés, ou dans sa perpendicularité
à la droite qui les joint'; mais, outre ces hypothèses relatives à
des conditions précises,laquestioncomporterad'autres excep-
tions, de nature vague, lorsque, par exemple, la dii*ectricè
tombera entre ces deux points, ou, en général, si ceux-ci sont
trop écartés.
La solution analytique sera très-simple, si la disponibilité
des axes permet de prendre la directrice donnée pour l'un
d'eux, en dirigeant l'autre vers l'un des points donnés. Dans
cette hypothèse, l'équation focale devient
etles deux passages y déterminerontaisément les coordonnées
inconnues du foyer d'après les relations
«»+€«— 2aa:'— 2êy'+ y'*=0, ol^+ 62— 26y"+ y"*=0;
dont la soustraction fournirait une équation du premier degré
320 GÉOMÉTRIE PLANE.
en a et 6, de manière à conduire promptement à une équation
finale du second degré en a, par exemple, distance du foyer à
la directrice. La première classe de cas d'impossibilité s*y an-
noncerait naturellement par des valeurs nulles, et la seconde
parTimaginarité.
En supprimant Tun des deux points donnés, chacun des deux
problèmes précédents deviendrait indéterminé,toutefois suivant
la juste mesure qui comporte la recherche des lieux géométri-
ques ; en assignant, non des positionsfixes, mais d'invariables
trajets, aux divers points inhérents à la parabole. Le lecteur
pourra donc, à ce sujet, s'exercer à découvrir des lieux plus
ou moins remarquables, surtout ceux du sommet, ou du point
paramétrique.
100. Considérons maintenant les propriétés de la parabole
quant aux tangentes. En un point quelconque {x\ y') de la
courbe ^^e=3 ma:, la tangente aura pour équation, suivant la
théorie générale.
Pour en déduire sa construction, il suffit d'y chercher, en
faisant y = 0, Tabscisse du point où elle rencontre Taxe, et
on trouve 5? = — x'\ en sorte que ce point T [fig. 71), et le
pied P de l'ordonnée sont toujours équidistants du sommet. On
énonce communément ce résultat en disant que, dans la para-
bole, IdiSOUS'tangente TP est constamment double de Tabscisse
du point de contact. Mais la forme la plus remarquable sous
laquelle il puisse être présenté, consiste à reconnaître que la
sotis-nonnale PN est toujours égale à la moitié du paramètre :
car, en toute courbe, le triangle rectangle TMN montre que
l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre la sous-normale
et la sous-tangente, d'où PN = ^ ; or ici TP = 2ar', donc
QUATRIÈHE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 321
NP = ^, =" — . De là résulte, en sens inverse, une nouvelle
manière d'envisager le paramètre de la parabole, ainsi rattaché
à une tangente quelconque, comme double de la sous-normale.
Au sujet de ce théorème, il convient de remarquer une
conséquence spéciale, relative à la première ébauche spontanée
d'une importante notion géométrique, que l'analyse transcen-
dante peut seule d'ailleurs convenablement établir. En considé-
rant une normale de plus en plus voisine de Taxe de la para-
bole, on voit ainsi que le point N où elle le coupe, quoique se
rapprochant toujours du sommet, a pour limite le point G,
deux fois plus éloigné que le foyer F ; cette extrême position
deviendrait donc ici le centre du cercle qui, suivant l'indication
générale du n^^ 44, aurait en 0 le plus intime contact avec la
courbe. Sous un autre aspect, le chemin normal dirigé suivant
Taxe, à partir d'un point situé dans la concavité delà parabole,
serait un minimum ou un maximum selon que ce point de dé-
part se trouverait avant ou après cette limite G.
Le théorème fondamental que nous venons de remarquer, sous
diverses formes, pour la tangente à la parabole, acquiert une
nouvelle importance géométrique quand on le combine avec
la propriété focale. Car, cette relation OT=OP, donne aussitôt
i 1
FT ou OT -f- - m= FM ou a:' + - m : donc les angles opposés
4 4
PMT et MTF sont constamment égaux. Ainsi, la tangente à la
parabole est la bissectrice de l'angle formé par les deux droites
menées du point de contact, l'une au foyer, l'autre perpendi-
culairement à la directrice. En remarquant d'ailleurs que ces
deux droites MF et MQ sont constamment égales, il s'ensuit
que la tangente est toujours perpendiculaire sur le milieu de
la droite FQ, qui joint le foyer à la projection du point de
contact sur la directrice : ce milieu devant sans cesse tomber
322 OÉOHÉTRIB PLANE.
en K, on voit aussi^comme nouvelle forme de la même relation,
que les projections du foyer sur les diverses tangentes forment
une ligne droite, qui est la tangente au sommet.
Physiquement envisagée, diaprés la loi générale de la ré-
flexion de la lumière ou de la chaleur, cette importante pro-
priété géométrique explique directement l'idée de concentration
calorifique que rappelle spontanément le nom de foyer. Car,
tout rayon de lumière ou de chaleur qui tomberait sur la pa-
rabole, parallèlement à son axe, devrait ainsi se réfléchir tou-
jours vers le foyer, pour maintenir Tégalité nécessaire entre
les angles de réflexion et d'incidence formés avec la tangente.
De la parabole, cette propriété s'étendrait évidemment au
parabololde résulté de sa rotation autour de son axe : en sorte
qu'un tel miroir est propre à concentrer en un point unique
la chaleur que reçoit sa concavité totale dans une même
direction, sauf l'inévitable afFaiblissement qu'occasionne toute
réflexion. En sens inverse, un semblable réflecteur est souvent
employé, surtout pour les phares, à rendre parallèles tous les
rayons qui divergent d'un même point; ils peuvent d'ailleurs
être ultérieurement concentrés en un autre point, d'après une
seconde réflexion analogue, conformément à une célèbre expé-
rience thermologique.
Quant à l'usage purement géométrique d'une telle propriété,
elle offre directement l'avantagé de s'adapter indifféremment à
la construction de la tangente, dans les trois cas élémentaires
qui s'y rapportent communément, selon que l'on donne le point
de contact, ou la direction, ou un point extérieur. Pour le
premier cas, il suffit d'élever une perpendiculaire sur le mi-
lieu K de la droite FQ précédemment définie. Il est aisé de
vérifier spécialement, à la manière des anciens^ qu'une teUe
perpendiculaire aura, en effet, hors de la parabole tous ses
points autres que M; puisque l'un quelconque N d'entre eux.
i
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 323
se trouvant ainsi éqoidistant de F et de Q, sera nécessairement
plus rapproché de la directrice que du foyer, et dès lors exté-
rieur à la courbe.La détermination des tangentes à la parabole
ne pouvait donc, sous cette forme^ offrir aux anciens aucune
difficulté essentielle, aussitôt qu'ils ont pu procéder diaprés la
propriété focale, qui, dans leur mode d'étude, a dû consti-
tuer, à tous égards, le principal obstacle propre à la théorie
des sections coniques.
Si maintenant on veut tracer une tangente parallèle à une
droite donnée, la droite FQ se trouvera immédiatement déter-
minable, et par suite la construction précédente s'appliquera
également, sans même que l'intervention graphique de la pa-
rabole soit indispensable pour marquer le point de contact,
qui sera sufBsamment assignable d'après sa projection Q sur la
directrice. Quant à la solution analytique du même problème,
elle consisterait d'abord à trouver l'ordonnée, et dès lors
l'abscisse, du point de contact, en renversant la loi primor-
TU
diale tang a = — . Mais on peut aussi traiter directement cette
question, d'après le principe des racines égales, en cherchant
la relation du coefficient linéaire au coefficient angulaire qui
rend la droite y =3 oa: + 6 susceptible de toucher la courbe
772
yî B=i mx : on trouve alors 6 = -- ; d'où résulte l'équation
qu'il importe de remarquer comme la plus propre à caractéri-
ser une tangente quelconque à la parabole, quand la nature
des questions exigera que cette tangente soit surtout considérée
suivant sa direction et indépendamment de son point de contact.
Enfin, lorsque la tangente doit partir d'un point extérieur
N, la droite FQ peut encore se retrouver aisément, puisque le
324 GÉOMÉTRIE PLANE.
point Q, toujours situé sur la directrice, est d'ailleurs à une
distance de ce point N égale à NF; en sorte qu'il résultera de
l'intersection de la directrice par le cercle décrit du centre N
avec le rayon NF. Cette rencontre^ nécessairement double, si
le point donné N est vraiment en dehors, déterminera donc les
deux droites sur les milieux desquelles doivent être perpendi-
culaires les tangentes cherchées, dont la construction s'achè-
vera dès lors comme ci-dessus. On peut remarquer, à ce sujet,
que si le point N appartenait à la directrice, ces deux droites
auxiliaires, et par suite les deux tangentes, seraient nécessai-
rement rectangulaires : ce qui permet d'envisager la directrice
comme décrite par le sommet d'un angle toujours circonscrit
à la parabole.
La solution analytique du même problème ne présente aucune
difficulté, d'après les explications générales du n* 41, pour
trouver les coordonnées du point de contact, en combinant les
deux équations
Maissi, sans opérer l'élimination, on voulait construire le ré-
sultat en coupant la parabole donnée parle lieu qui correspon-
drait à la première équation où x' et y' deviendraient variables,
il faudrait d'abord la transformer à l'aide de la seconde, afin
d'éviter le lieu parabolique qu'elle fournirait spontanément.
Ainsi réduite au premier degré, cette équatiom
mx' — 26y' + i/ia = 0
représenterait la droite qui joindrait les deux points de contact
cherchés. Il n'est pas inutile d'y remarquer : 1** que le point
où elle rencontre Taxe de la parabole resterait invariable si le
point de départ des deux tangentes se déplaçait perpendiculai-
rementàcetaxe, et aussi envers une autre parabole ayant même
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 325
axe et même sommet ; puisque l'abscisse — a de ce point est in-
dépendante de 6 et de m ; 2*^ que son intersection avec Taxe des
y ne changerait pas si le point de départ se déplaçait en ligne
droite avec le sommet ; 3° que la direction de cette corde des
contacts demeurerait la même si ce point donné se déplaçait
parallèlement à Taxe. Ces petites remarques offrent, intrinsè-
quement, peu dlntérêt, et encore moins d'importance : mais
elles peuvent servir à rendre plus sensible aux commençants
l'exacte interprétation géométrique des résultats algébriques,
considérés même relativement aux éléments qui n'y entrent
pas.
Au sujet d'une telle construction des tangentes menées d'un
point extérieur à la parabole, je dois signaler une propriété
plus essentielle, commune aux trois courbes du second degré,
et tendant à déterminer directement la corde des contacts,
d'après deux sécantes quelconques tirées du point donné. En
joignant, d'une part latéralement, d'une autre part diagonale-
ment, leurs quatre intersections avec la courbe, il en résultera
deux couples de droites, qui, par leurs rencontres respec-
tives, détermineront ^malement deux points, toujours situés
sur cette corde, et dès lors suflîsants pour la tracer, de ma-
nière à en déduire les tangentes cherchées : ce qui constitue
certainement, à cet égard, la plus convenable de toutes les
solutions graphiques où l'on fait intervenir la courbe. Gomme
la rencontre des lignes transversales ne saurait jamais manquer,
le théorème conserverait toute son efficacité si les lignes laté-
rales devenaient parallèles, puisque la droite cherchée aurait
alors la même direction. Je laisse au lecteur l'exécution, et
même l'institution, des calculs un peu longs qu'exige la dé-
monstration analytique de cette proposition remarquable, dont
l'origine effective est peu connue. Le principal embarras con-
sistera à décider si, dans le choix des axes les plus propres à
ibj^îAîIvi 4w trol* c^crii» dfi second desré y*=« «ix -i- nx^,
»a&f à r>vœf ll^er les f/pallons des d^qx sécanUs r":i;alfs: os,
as ^/Ltrkire. aT«>lr essei.liel>me!:t en me kssB^Gfiealkms
nrUlh «r« à c^ deci droites, scrtoot en les prenanl pomr axes, à
la t^ar^ d'eroployer earers la courbe l'éqnalioii la plus ^ôié-
ralç «y* 4- 6zy — ca:* + <fy-r » = i- ^ceUedâibéntkMi
pr^a]a>/.e eèt bear^osement accomplie, ert exercice analjtîqiie
d^ittkirz pea laborieux.
101. Parmi les nombreux problèmes auxquels peat donner
lieu la coosidéralioD des tangentes à la parabole, je me bor-
nerai à signader spécialement, comme types, la détermination
d*ane parabole d'après deux tangentes, ou nne seule et nn
pjinl« conjointement avec le foyer on la directrice. La solution
graphique consistera surtout, de même qu'au n* 99, à con-
struire d'abord la directrice ou le foyer. Si la parabole, ayant
un foyer donné, doit toucher deux droites données, il est aisé
de voir que chacune d*elles indiquera un point de la directrice,
en prenant, par rapport à elle, le point symétrique du foyer ; â
Tune de ces tangentes était remplacée par un point, la direc-
trice devrait toucher le cercle qui, y ayant son centre,passerait
au foyer : on aura donc, en l'un ou l'autre cas, la directrice, et
par suite tout ce qui concerne la parabole, en joignant deux
points, ou en menant d un point une tangente à un cercle ;
rimpossibilité proviendrait, dans la première question,de con-
ditions précises, tendant à faire passer la directrice au foyer,
et, dans la seconde, elle pourrait, en outre, résulter de condi-
tions vagues, relatives à la situation du point intérieurement
au cercle. Quand la parabole devrait, au contraire^ admettre
une directrice donnée, chaque tangente indiquerait un lieu du
foyer, savoir la droite formant avec elle un angle égal à celui
qu'elle-mftme ferait avec cette directrice ; et dès lors le foyer
QUATRIÉHE PARTIE, GHAPITRB DEUXIÈME. 327
résulterait aisément ou delà rencontre de deux pareilles droites,
ou de rintersection de l'une d'elles par le cercle tangent à la di-
rectrice qui aurait pour centre un point donné de la courbe.
La solution analytique de ces problèmes ne saurait mainte-
nant offrir aucune difficulté d'institution, d'après nos principes
généraux, ni même aucun embarras d'exécution,en choisissant
convenablement les axes : les indications précédentes y feront
d'ailleurs aisément prévoir la nature algébrique des divers
symptômes d'impossibilité,que les commençants pourront uti-
lement vérifier. Si, par exemple, la directrice est donnée, et
qu'on y place l'axe des y, l'équation de la pai*abole sera, comme
au n^ 99,
y« — 2êy — 2aa: -I- (6* -f a») = 0.
Dès lors, pour y formuler le contact d'une droite y r=^ax sur
laquelle on aurait choisi l'origine, le principe des racines égales
fournira la relation
2a6=(a" — l)a.
En écartant toute autre condition, la parabole serait indéter-
minée, mais susceptible de lieux, parmi lesquels cette relation
indique spontanément celui du foyer : il est aisé d'y reconnaître
la droite ci-dessus introduite. Ce cas est remarquable par la
nature uniformément rectiligne de tous ces lieux ; comme le
lecteur peut facilement le constater en passant analytiquement
de ce lieu immédiat du foyer à ceux qui en dériveraient, plus
ou moins indirectement, pour le sommet, le point paramé-
trique, etc. Une remarque générale, utile à signaler ici, à
cause de son efficacité en divers autres cas analogues,explique
aussitôt cette particularité, d'après le principe géométrique
qui sert de meilleure base à la théorie analytique de la simili-
tude des courbes : car, les courbes ici comparées étant toujours
semblables, d'ailleurs placées parallèlement à cause de la di-
328 GÉOMÉTRIE PLANE.
rectrice commune, et ayant, en outre, pour centre évident de
similitude ou d'homologie l'intersection de cette directrice avec
la commune tangente, tous les lieux qui s'y rapporteront
seront nécessairement des droites dirigées vers ce point.
Le plus intéressant, à tous égards, des lieux très-multipliés
que produirait la parabole considérée quant à ses tangentes,
consiste dans la cissoîde, résultée de la projection du sommet
sur les. tangentes.En discutant directement une telle définition,
il est d'abord aisé dV reconnaître une courbe nécessairement
symétrique autour de Taxe de la parabole, commençant au
sommet où elle touche cet axe, et finissant à la directrice qui loi
est asymptote : cette dernière condition résulte de ce que, la
projection d'une distance étant au plus égale à sa longueur^la
projection du sommet sur une tangente quelconque ne peut
jamais s'écarter de celle du foyer, que nous savons appartenir
toujours à la tangente au sommet, que d'une quantité au plus
égale à la distance du sommet à la directrice ; une telle prévi-
sion est d'ailleurs en harmonie avec la notion de la directrice
comme lieu des intersections des tangentes rectangulaires. Si
maintenant on cherche l'équation du lieu proposé, soit d'après
l'équation de la tangente relative au point de contact, soit
d'après celle qui se rapporte à sa direction, on trouvera très-
facilement l'équation y* = , — , où l'on reconnaît aussitôt
*C I ' Â 771
la cissoîde annoncée. En renversant cette importante liaison
entre deux courbes que l'on croit d'ordinaire fort hétérogènes,
on pourrait déduire la parabole de la cissoîde, comme tangente
au système des perpendiculaires menées, en chaque point de
celle-ci, aux cordes parties de l'origine : mais cette inversion
où il. faudrait analytiquement revenir de l'équation générale
des tangentes paraboliques y = ax-\- — k celle de la courbe
Ad
quatrième: partie, chapitre deuxième. 329
correspondante exigerait nécessairement l'analyse transcen-
dante. Au reste, une telle connexité mutuelle doit peu étonner
entre des courbes qui, au fond, découlent d'une même source
géométrique; puisque nous avons remarqué, aiï début de ce
chapitre, que la parabole peut dériver du cercle tout aussi di-
rectement que la cissolde, quoique, suivant une tout autre
loi.
Quant aux lieux, en quelque sorte inverses, résultés, au
contraire, du déplacement de la parabole elle-même envers
certaines tangentes. Je me bornerai à considérer, comme type,
celui qui correspondrait au sommet d'une parabole invariable
mue de manière à toucher constamment deux droites fixes,
que je supposerai, pour simplifier, rectangulaires. L'apprécia-
tion directe d'une telle définition indique aisément une courbe
symétrique autour de ces deux droites, et même de leurs bis-
sectrices, surtout en considérant que la directrice doit, àraison
de la perpendicularité de ces tangentes, passer toujours à leur
intersection : un examen plus attentif démontre aussi que ces
deux droites doivent être asymptotes dulieu cherché, puisque,
leur rectangularité ne permet à chacune de contenir le sommet
qu'autant que l'autre s'en éloigne à l'infini. Pour trouver l'équa-
tion du lieu, la marche la plus analytique consisterait àpartir
de l'équation focale de la parabole, afin d'y formuler les deux
contacts et ensuite le paramètre. On abrégera un peu l'opéra-
tion si, plaçant les axes selon les deux droites fixes, on re-
marque le passage nécessaire delà directrice à l'origine : l'équa-
tion sera ainsi
[x — ^y+{y - 6)2 = [px+qt/Y
en y supposant p^ + 5'* = 1 , vu le caractère parabolique. Il suf-
fira dès lors d'y exprimer le contact avec l'un des axes, ce qui
donnera larelation(i—p*)S*=^2aa,Quantau paramètre donné
89
330 GÉOMÉTRIE PLANE.
m, en le concevant double de la distance du foyer à la direc-
1
trice, on aura la nouvelle condition pa + ç^==:^j7î^ qui, com-
binée avec les deux précédentes, permettra d'éliminer/) et y,
en conservant « e{ ê. Le lieu du foyer étant ainsi trouvé, on
en déduira celui du sommet, en regardant ce point comme
situé à la fois sur la courbe et sur la perpendiculaire menée du
foyer à la directrice.
Un autre mode, moins complètement analytique que le pré-
cédent, mais plus simple, et d'ailleurs assez général pour être
imité envers toute autre courbe invariable mue autour de deux
droites flxes, consisterait à procéder par inversion,' en suppo-
sant la parabole immobile, afin de chercher, d'après sa plus
simple équation, la relation constante entre les distances de
son sommet, de son foyer, ou de tout autre point singulier, à
deux tangentes rectangulaires quelconques. En prenant, pour
Tune d'elles, Téquation y == aar -f- t-i a^ors éminemment con-
venable, celle de l'autre serait donc y = x --. Leurs
a A
distances x\ y', à l'origine, qui deviendraient finalement,
envers les axes déjà indiqués, les coordonnées du lieu du
sommet, seraient exprimées par les deux formules
m ^ ma
X =—=:, y =
entre lesquelles l'élimination du coefficient variable a fourni-
rait aisément Téquation cherchée.
Cette seconde solution, dont le principal avantage consiste à
dispenser spontanément de formuler l'invariabilité delà courbe
mobile, pourrait ôtre présentée sous une autre forme, essen-
tiellement équivalente, d'après les formules relatives à la
transposition des axes, en exprimant, dans l'équation y^=mx
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 331
ainsi généralisée, les deux conditions de contact envers les
nouveaux axes; ce qui permettrait, par Télimination des trois
constantes auxiliaires, d'obtenir une équation finale entre les
nouvelles coordonnées d'un point quelconque dont les anciennes
seraient connues. Mais cette transformation analytique du
mode précédent diminuerait sa simplicité, sans pouvoir, au
fond, rien ajouter à sa généralité réelle.
• 102. Tous les problèmes sur les tangentes peuvent suggérer
autant de nouvelles questions enverslesnormales. Quoique ces
dernières recherches soient nécessairement assujetties aux
mêmes principes que les premières, ce qui dispense d'y insister
beaucoup ici, leurs résultats seront cependant plus compliqués;
ainsi, par exemple, tandis que le lieu des intersections des
tangentes rectangulaires est, pour la parabole, une ligne
droite, celui qui correspond aux normales respectives est une
courbe, que j'engage le lecteur à chercher. Je me bornerai à
considérer spécialement le plus important de ces nouveaux
problèmes, consistant à mener une normale par un point quel-
conque du plan. Sa solution analytique revient à déterminer le
point correspondant de la parabole, d'après l'équation de cette
— 2y'
courbe combinée avec la condition y' — ê = ^ {x' — a), qui
exprime le passage de la normale au point donné a, 6. On
trouve ainsi, pour l'ordonnée d'incidence, l'équation du
troisième degré
qui indique algébriquement l'existence d'une seule normale ou
de trois, selon les relations des données a, €. Ces deux cas or-
dinaires seront séparés par le cas exceptionuel de deux nor-
males, correspondant à l'égalité de deux des racines de cette
équation. En cherchant la relation entre a et ê nécessaire pour
332 GÉOMÉTRIE PLANE.
celle égalilé, soil d'après la mélhode employée ao n* 43, soit
soiyanl tout autre mode algébrique, on trouvera, plus ou
mo'ms commodément, Téqualion
27m \ 2/
Son lieu géométrique déterminera une courbe d'un côté de Ia«-
quelle il pourra partir trois normales, tandis que de l'autre on
n'en pourra mener qu'une seule: il est d'ailleurs facile d'éviter
toute méprise à cet égard, même indépendamment des notions
algébriques spéciales, en considérant que si détail assez petit,
et surtout nul, on pourrait certainement tirer trois normales.
Ainsi, la première région est située entre les deux branches de
cette courbe auxiliaire, et tout le reste du plan présentera
l'autre cas. La courbe, aisée à reconnaître, appartient au
troisième genre de la famille générale des paraboles (n^ 79],
puisque l'équation devient binôme en transportant Torigine en
6 {fig. 71), où commence nécessairement le lieu HGH' : il est
facile de constater que sa rencontre avec la parabole correspond
à une abscisse OL octuple de celle du foyer.
Une sufTisante appréciation de la définition précédente peut
conduire naturellement à la plus importante propriété de celte
courbe auxiliaire, consistant en cequ'elle touche toutes lesnor-
males de la parabole, comme l'indique déjà l'équation envers
la première d'entre elles, ou l'axe. Car, si l'une d'elles péné-
trait dans sa concavité, il partirait évidemment plus d'une nor-
male de tous les points qui s'y trouveraient compris; puisque,
outre celle-là, il en existerait au moins une autre, correspon-
dante à la moitié adjacente de la parabole : or, cette coexis-
tence deviendrait directement contraire à la destination géomé-
trique d'un tel lieu, de la concavité duquel nous venons de
constater qu'il ne saurait émaner jamais qu^une seule normale.
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 333
Au reste, il serait aisé de vérifier analytiquement une telle
propriété, en cherchant d'abord la relation entrer et b propre
à rendre une droite indéterminée y=éw:+é normale à la pa-
rabole y^^=^mx, d'après Tassimilation à Téquation primitive de
— 22/'
la normale y — y' == ^ [x — x'j, en procédant comme au
n** 43 pour les tangentes. L'équation générale des normales à
la parabole deviendrait ainsi finalement, envers Torigine G,
i
y^sr^ax — 2^*^'' et dès lors on pourrait sans difficulté consta-
ter, par les voies ordinaires, que, quel que soit a, cette droite
16
touche constamment la courbe auxiliaire y* = — — x^
D'après une telle propriété, chaque point de ce lieu pourrait
être conçu comme Tintersection de deux normales infiniment
voisines, conformémentà ce que nous savions déjàpourle seul
point initial (n° 100), Il en résulterait donc aussi, envers un
point quelconque de la parabole, la détermination du cercle le
plus tangent possible, précédemment obtenu à l'égard du
sommet seulement. C'est ainsi que l'analyse ordinaire peut
ébaucher, en certains cas, une éminente recherche géomé-
trique, d'ailleurs essentiellement réservée, par sa nature, à
l'analyse transcendante, sans laquelle cette question ne saurait
ordinairement acquérir la netteté et la précision qu'elle a pu
ici présenter exceptionnellement au sujet de la parabole.
103. Il faut maintenant apprécier une troisième série de
propriétés essentielles de la parabole, celles qui concernent ses
diamètres : les principales d'entre elles ont déjà été signalées,
dans la troisième partie de ce traité, d'après Téquation la plus
générale ; en sorte qu^il suffira d'indiquer ici comment elles
ressortent, d'une manière plus simple et plus nette, de Téqua-
tion spéciale y'^^=nix. En y appliquant notre seconde méthode
334 GÉOMÉTRIE PLANE.
des diamèlres, ou même la première, elle conduit très-aisé-
ment à Téquation ^w^^m^ pour un diamètre quelconque,
correspondant à des cordes dont le^ coefficient angulaire est a.
On voit ainsi directement que tous les diamètres de la parabole
sont des lignes droites, parallèles à son axe. Réciproquement,
toute parallèle à Taxe est un diamètre, relatif à des cordes pa-
rallèles à la tangente menée de son unique intersection avec la
tn
courbe; cara = ^, indique le coefiîcient angulaire de la
tangente qui correspond à une ordonnée u. L'axe est donc le
seul diamètre perpendiculaire if ses cordes, et tous les autres
sont de plus en plus obliques aux leurs à mesure qu'ils s'é*
loignent de lui.
Quand il s'agit de déterminer la parabole d'après des condi-
tions relatives aux diamètres, il faut considérer que chaque
diamètre donné, isolément de ses cordes, indique seulement la
direction de l'axe; en sorte que la multiplicité de tels diamèlres
ne saurait constituer aucune restriction nouvelle. Mais il n'en
est plus ainsi lorsqu'on donne en môme temps la direction des
cordes correspondantes : alors, chacun de ces diamètres fournit
une relation distincte tang a = ;-=■, entre sa distance A à Taxe
2A
inconnu et l'obliquité a de ses cordes; une seconde relation
semblable tang a' =» r-r-, déterminerait aisément m, aussi bien
que h et h\ dont la différence est connue, et égale à la dis-
tance des deux diamèlres donnés. Après avoir ainsi obtenuTaxe
et le paramètre de la parabole, il ne resterait d'arbitraire que
la position spéciale de son sommet, que de telles conditions ne
sauraient jamais fixer; puisque toutes les paraboles égales
placées sur le même axe ont nécessairement tousleurs diamètres
communs envers les mêmes systèmes de cordes: si, dans ce cas,
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 335
on donnait, en outre, un^point de la parabole, ou une tan-
gente, il serait aisé de compléter sa détermination.
On peut facilement prévoir la forme que prendrait Téquation
de la parabole, en choisissant pour axes un diamètre quel-
conque et la tangente correspondante. Car, cette condition
devant exclure tous les termes contenant la première puis-
sance de Tordonnée, le caractère parabolique 6* — Aac = 0
exigerait d'ailleurs que, vu Tabsence des x' t/\ lesrc'^ man-
quassent aussi; enfin, la position de l'origine sur la courbe
supposerait la disparition du terme constant. Parmi les six
termes propres aux équations. du second degré, il n'en pour-
rait donc subsister que deux, et l'équation conserverait né-
cessairement la môme forme y ^ = m'x' qu'à l'égard des axes,
qui ne se distinguent, à cet égard, que par leur rectangularité.
Il serait d'ailleurs facile de prolonger cette prévision jusqu'à
déterminer d'avance la valeur du paramètre variable m' d'après
la position du diamètre correspondant^ indépendamment de
tout calcul de transposition d'axes : car, il suffirait ainsi de
connaître les nouvelles coordonnées d'un seul point; or, cela
ne présente aucune difficulté envers le sommet, à l'égard
duquel la construction des tangentes donne aussitôt x'=a^ et
y' =s y/b^-{- Aa\ a et i désignant les anciennes coordonnées de
l'origine actuelle ; d'où m' = m*+ Aa. Toutes ces indications
seront aisément vérifiées en exécutant, suivant les formules
ordinaires, le passage des anciens axes aux nouveaux, dont
l'un donne X' = 0, et l'autre tang Y' =t= — . La loi relative à la
variation du paramètre m' revient évidemment à le concevoir
toujours comme quadruple de la distance de l'origine corres-
pondante au foyer ou à la directrice ; en sorte que le para-
mètre principal m est le moindre de tous, en tant qu'il corres-
pond à l'origine la plus rapprochée du foyer : il fallait bien
336 GÉOMÉTRIE PLANE.
d'ailleurs que raugmentation continue de ce coefficient com-
pensât Tobliquité croissante des axes qui s*y rapportent.
Cette nouvelle équation de la parabole doit nécessairement
conduire aux mêmes résultats que Tancienne, pour toutes les
déterminations qui n'exigent pas la rectangularité des axes. Il
faut surtout le remarquer envers la tangente^ quant à l'exten-
sion qu'acquiert ainsi le théorème fondamental : la sous-tan-
gente est double de l'abscisse. La possibilité de l'appliquer dés-
ormais à un diamètre quelconque, facilitera la construction de
la tangente, d'abord quand le point de contact est donné, et
ensuite dans les deux autres cas élémentaires. Mais la loi
remarquable propre à la sous-normale ne comporte pas une
pareille généralisation, parce qu'elle suppose des ordonnées
perpendiculaires .
Afin de résumer commodément l'ensemble des principales
propriétés de la parabole, il convient de les appliquer à une
question, d'ailleurs utile, dont toute la difficulté réside dans
leur judicieuse combinaison. Elle consiste à reconstruire tous
les éléments géométriques d'une parabole d^aprè^ne portion
tracée de sa circonférence. Quel que soit cet arc, on y pourra
toujours mener deux cordes parallèles, dont les milieux dé-
termineront d'abord un diamètre, et par suite la direction de
l'axe, en sorte qu'il suffirait de trouver un point de celui-ci.
Or, le foyer peut être aisément obtenu; car, la parallèle à ces
cordes menée h l'intersection de ce diamètre avec l'arc donné
devant être tangente, la propriété caustique de la parabole in-
diquera aussitôt une droite allant au foyer cherché : une
seconde tangente, et dès lors un second lieu semblable, sera
facile à construire, soit de la môme manière, soit parla sous-
tangente. Le foyer étant ainsi trouvé, on en déduira aisément,
l'axe, le sommet, la directrice, et le paramètre.
104. Pour compléter l'étude de la parabole, il ne reste plus
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 337
qu*à y considérer ce qui concerne sa quadrature, à laquelle
nos méthodes conviennent directement. D'après la règle géné-
rale du n° 71, le segment parabolique OMP (fig, 72) sera les
deux tiers du rectangle OMPQ, formé par les coordonnées
extrêmes, et le segment OMQ en sera le tiers. Sous cette
dernière forme, ce résultat pourrait être directement obtenu,
sans recourir à la méthode analytique, à Taide d'une compa-
raison spéciale que je dois signaler. Elle consiste à remarquer
que, les abscisses croissant ici comme les carrés des ordonnées»
les éléments rectangulaires du segment OMP suivent la même
loi que les éléments prismatiques d'une pyramide d'égale
hauteur, pareillement décomposée en tranches équidistantes. Il
suffit d'étendre cette constante analogie aux limites respectives
des deux sommes élémentaires, pour en conclure que la qua-
drature du segment parabolique équivaut numériquement à la
cubature d'une pyramide de même hauteur et de base numéri-
quement équivalente : dès lors, la règle connue sur la mesure
de la pyramide conduit aussitôt à celle de ce segment, d'après
le tiers du produit de sa base par sa hauteur, conformément à la
théorie analytique.
Archimède a découvert cet important résultat sous une forme
qui mérite d'être conservée, en considérant l'aire ONM, com-
prise entre l'arc parabolique OM et sa corde. Cette aire se dé-
2
duit aisément du segment OMP = - a:y, en retranchant le
i
triangle OMP ou r xy. Or, au lieu de comparer le reste
1
- xy au rectangle OMPQ, Archimède avait été naturellement
conduit à introduire le triangle NOM, de même base OM que le
segment, et dont le sommet N était placé au point où la tan-
gente est parallèle à cette base commune, c'est-à-dire à Tinter-
338 GÉOMÉTRIE PLANE.
section de la parabole avec le diamètre correspondant à la
corde OM ; ce point N était alors assez justement nommé le
sommet propre du segment parabolique ONM. En opérant cette
comparaison, le lecteur reconnaîtra sans difficulté que ce seg-
4
ment estles - du triangle correspondant. L'utilité permanente
d'un tel énoncé consiste dans son extension spontanée à Taire
HIL comprise entre un arc quelconque de parabole et sa corde.
Quelle que soit Torigine H de cet arc, il suffit, en effet, de con-
cevoir la courbe rapportée au diamètre et à la tangente qui y
passent : comme Téquation conserve alors la forme primitive
y^=mx^ le rapport déduit de celle-ci reste encore applicable,
puisque la méthode des quadratures n'exige d'ailleurs nulle-
ment la rectangularité des axes. Ainsi, le segment parabolique
1 4
HIL est toujours les - du triangle HIL de môme base et de
ô
môme sommet.
Notre théorie des quadratures fournit aisément la mesure des
principaux volumes produits par la révolution de la parabole,
soit que le segment OMP tourne autour de OX, ou le segment
OMQ autour de OY. Suivant la loi de réduction z=y^y la pre-
mière cubature dépend de la quadrature de la ligne 2=7/m: ;
d'où il résulte, d'après la règle ordinaire, V = — -. En compa-
rant ce volume à celui du cylindre produit par la révolution
du rectangle OMPQ, on énonce géométriquement ce résultat
en disant que le paraboloïde est la moitié du cylindre de
même base et de môme hauteur. Quant au volume engendré
par le segment convexe OMQ autour de la tangente au sommet,
il convient, afin de ne pas altérer sans motif la notation habi-
tuelle de notre règle, où l'axe de révolution était supposé
coïncider avec celui des a;, de renverser la situation et l'équa-
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME 339
lion de la parabole. Dès lors, d'après réquatlon a:^="my,la loi
de réduction donne ici s -= — t pour la courbe auxiliaire, dont
la quadrature doit déterminer le volume cherché, qu'on trouve
ainsi exprimé par V = — ^. Pareillement comparé au cylindre
circonscrit, il en est seulement le cinquième.
De ces dei}xcubatures, également accessibles à nos méthodes
actuelles, la première avait seule été accomplie par Archimède,
et Ton peut assurer que la géométrie ancienne ne permettait
pas de trouver la seconde : ce qui est très-propre à faire
sentir la supériorité de la marche analytique, qui, même avec
des ressources aussi bornées que celles ici employées à cet
égard, comporte spontanément une variété d'application géo-
métrique, nécessairement interdite aux plus éminents efforts
du génie antique.
La combinaison de ces deux résultats permettrait de déter-
miner aisément, d'après la règle de Guldin, le centre de gra-
3
vile du segment OMP, dont les coordonnées seront ainsi ari = - ^ ,
5
3
CHAPITRE III.
Théorie de Tellipse.
405. Une fois ramenée à la forme/) a:^ + yy^=l, p et g^
étant positifs, l'équation de l'ellipse indique très-clairement
la figure générale de cette courbe, composée de quatre parties
identiques, s'étendant d'un axe à l'autre, en se rapprochant
du second à mesure qu'elle s'éloigne du premier. Entre ces
340 GÉOMÉTRIE PLA5E.
deax limites, la distance an centre augmente on diminue sans
cesse; en sorte que les sommets de Tellipse sont les points les
plus rapprochés on les plus éloignés dn centre, comme le con-
firme d*aillears la marche des tangentes, d*après le coefficient
angulaire tang « = — ^ , nul ou infini aux extrémités de cha*
que quart.Parcemotif,les diamètresrectangulairescorrespon*
dants à ces sommets sont justement qualifiés de grand axe et
petit axe. On facilitera habituellement l'interprétation géomé*
trique de Téquation, en les y introduisant comme coefficients,
à la place des constantes purement abstraites p et q. En dési-
gnant leurs moitiés par a et 6, qui indiquent donc les pins
grandes valeurs des coordonnées respectives, on aura j!>= —,
i
^ esB -—, et Téquation s'écrira
z z
î- -4- 1:. = 1 ou a^-U' + dV= a*ô^
or 0-
Ces deux dimensions caractéristiques, dont le rapport est^le
même dans toutes les ellipses semblables, sont nécessairement
inégales, à moins que Tellipse ne devienne circulaire : nous
supposerons communément a > b.
Si Ton voulait déduire de cette équation la description de la
courbe par points, il suffirait de dégager y = - V^ «* — x\ pour
CL
construire cette formule par les moyens ordinaires. Mais cette
construction peut s'accomplir sous une forme également simple
et lumineuse, qu'il importe d'apprécier, en comparant Tor-
donnée de l'ellipse, à abscisse égale, avec celle z du cercle cir-
conscrit, dont le grand axe seraitle diamètre. Car, on aurait ainsi
y : z :: b : a;
d'où il suit que l'ellipse dérive du cercle eny diminuant propor-
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 341
tionnellemeat toutes les ordonnées relatives à un même diamè-
tre. Une telle réduction s'opère spontanément quand on pro-
jette le cercle sur un plan, que Ton peut toujours supposer,
pour plus de facilité^ mené du centre : puisque, en rapportant
les deux courbes au commun diamètre, résulté de Tintersectioa
de leurs plans, les ordonnées de la seconde seront les projec-
tions de celles de la première sous une même obliquité, dont
le cosinus indiquera le rapport des deux axes de Tellipse ainsi
produite. Le même cercle diversement projette peut donc faire
naître des ellipses de toute forme, mais non de toute grandeur,
leur grand axe étant toujours égal à son diamètre.
Si Ton comparait Fellipse au cercle inscrit, ayant pour dia-
mètre le petit axe, on trouverait également, à ordonnée égale,
un rapport constant entre les abscisses a: et t : en sorte que
Tellipse dérive du cercle en y augmentant proportionnellement
toutes les ordonnées relatives À un même diamètre, aussi bien
qu'en les diminuant.
D'après cette double comparaison, la construction de Tellipse
par points,quand ses deux axes sont donnés, s'opère facilement
à l'aide des deux cercles correspondants. Il suffît de prolonger
chaque parallèle à l'un ou à l'autre des axes jusqu'au cercle cir-
conscrit, et de projetter ensuite sur elle Tintersection du cercle
inscrit avec le ravon mené de cette extrémité.
m
Une simple transposition de la proportion précédente,
y : \/a^— x* : : ô : a, conduit à une autre description de l'ellipse ,
par un mouvement continu fort simple. Car, en l'écrivant
y: b:: y/if—- x^ : a,
elle indique directement que, dé chaque point de Tellipse, où
peut mener, entre les deux axes, une droite dont les deux
parties seraient invariablement égales à h et a. Ainsi, récipro-
quement, quand une droite invariable glisse entre deux axes
342 GÉOMÉTRIE PLANE.
rectangulaires, chacun de ses points décrit un quart d'ellipse,
dont les demi-axes sont respectivement égaux aux parties oppo-
sées de sa longueur : il serait aisé de vérifier spécialement que
le milieu décrit, en effet, un cercle.
Cette ancienne génération de l'ellipse doit être aujourd'hui
envisagée comme un cas particulier d'une description re-
marquable, qu'il faut ici caractériser sommairement. Pen-
dant qu'une droite invariable glisse entre deux axes rectangu-
laires, un point quelconque qui s'y trouve invariablement lié
décrit aussi bien une ellipse que les deux points mêmes de la
droite. Comme on peut toujours supposer ce point générateur
déterminé par ses distances aux deux extrémités de la droite
mobile, la question revient à trouver le lieu d'un sommet d'un
triangle invariable dont les deux autres sommets décrivent deux
lignes données, que nous supposons ici consister en deux droites
rectangulaires, afin de nous borner au seul cas intéressant d'une
recherche analytique, d'ailleurs facile à généraliser. En prenant
pour axes ces deux droites, d'après l'évidente symétrie de l'en-
semble du lieu autour de chacune d'elles, et introduisant,
comme coordonnées naturelles, ou à titre de variables auxi-
liaires, l'ordonnée 6 et l'abscisse a des extrémités de la base a
du triangle donné on aura pouréquation spontanée 6*+a'sa«a',
d'oti il faudra éliminer a et 6 d'après les distances 6 et c du
point décrivant aux deux extrémités de cette base, suivant les
conditions évidentes [x — a)2 + y2=ac^, (y— 6)^+3:^=6'. Uen
résulte sans difficulté l'équation rectiligne.
dont le second membre deviendrait monôme en introduisant
l'angle au sommet, suivant la relation trigonométrique ordi-
naire. Cette équation prend ainsi la forme la plus commode
X v/c* --y% + y ^t^ — a:* = 6c cos A.
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 343
La suppression des radicaux rélèverait au quatrième degré :
mais, comme chacun d'eux n'affecte qu'une seule variable, il
suffirait, pour la discussion, d'en écarter un seul, par exemple
le premier, ce qui donnerait l'équation
c^x'^ = c^b^ cos^ A -f %2 _ 2èc cos Ay \/b^ — x^,
d'où l'on tire aisément la formule de l'ordonnée
c cos A v/6^ — x^ ± \/c'^x^ — d^x'^ cos^ A
y .
Il importe ici de remarquer l'accident analytique survenu au
second radical, qui devient évidemment rationnel, et égal à
ex sin A. Cette circonstance indique algébriquement que notre
équation du quatrième degré est réellement décomposable,
contre la nature ordinaire des équations à deux variables, en
deux facteurs du second degré ; d'où résulte géométriquement
la duplicité du lieu cherché, qui, loin de constituer une véri-
table courbe du quatrième degré, ne se compose donc que de
l'assemblage de deux ellipses. Un tel caractère, où réside le
nœud principal delà question actuelle, y était d'ailleurs facile
à prévoir, en pensant à la double situation que peut évidism-
ment prendre le triangle donné autour de chaque position de sa
base :en sorte que cette indication nécessaire eût suffisamment
annoncé un couple d'ellipses, aussitôt que le calcul avait pu
signaler une équation finale du quatrième degré. En poursui-
vant l'analyse précédente, on trouve facilement
b'h/'^ + c^a:^± 2bc sin kxt/ ==» b^c^ cos^ A
pour la double équation elliptique. On en conclut^ d'après les
règles établies dans le dernier chapitre de la troisième partie,
que ces deux ellipses concentriques sont égales et symétrique-
ment placées autour des axes coordonnés, conformément aux
exigences géométriques d'une telle génération : la formule
344 GÉOMÉTRIE PLANE.
^bc sin A.
tang 2X' =» ± — — —^ qui détermine les directions respec-
tives de leurs axes principaux, confirme directement celte dis-
position mutuelle, en montrant que les deux couples de direc-
tions rectangulaires qui en résultent correspondent à des angles
mutuellement complémentaires ou supplémentaires, selon le sens
delà comparaison. Le lecteur y retrouvera d'ailleurs aisément
les indications déjà connues relativement aux deux casextrè-
mes,oùle triangle devient rectangle ou bien se réduit à sa base.
Enfin, l'appréciation géométrique de Téquation fondamentale
de Tellipse conduit, sous un nouvel aspect, à une relation très-
remarquable, qui la caractérise essentiellement, entre les di-
rections des deux cordes, dites supplémentaires^ qui, partant
d'un môme point quelconque de la courbe, aboutissent à deux
points diamétralement opposés. Leur reclangularité constante
dansle cercle est remplacée, envers une ellipse arbitraire, par
l'invariabilité du produit des tangentes de leurs inclinaisons sur
l'un ou l'autre de ses axes. En nommant x\ y' les coor-
données du commun point de départ, et x", y" celles de l'un
des points d'arrivée, ces tangentes, estimées quant au grand
axe, et dès lors égales aux coefficients angulaires des deux
cordes, seront exprimées, suivant la règle ordinaire, par les
y' .^ y'^ y- A. y" y^^ |/"â
fractions "^ A et -, — ^„ dont le produit est Ss — ^o- Or,
X' — X' X -\- X x^ — x^
eu ayant maintenant égard à l'équation de la courbe, quidonne
les deux relations aY^+ à^x'^=a^b\ aY^+b^x"^=aH\ on
reconnaît aisément, d'après leur simple soustraction, que ce
produit tang 5 tang 6' est toujours égal à ^. Il y aurait une
sorte de pléonasme, ou du moins un défaut réel d'élégance, à
mentionner expressément, dans l'énoncé habituel de ce théo-
rème, cette valeur du produit constant; car, aussitôt qu'on le
OUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 345
proclame invariable, sa valeur effective résulte nécessairement
d'un couple quelconque de cordes dont la direction soit/acile-
ment appréciable, et surtout de celles qui joignent entre eux
les quatre sommets. Quand l'ellipse devient équilatère, on a
tang 6 tang ê' = — 1, conformément à la rectangularité connue
des cordes supplémentaires du cercle.
Dans une ellipse quelconque, leur inclinaison varie néces-
. - . 11. 1 . *r tang 6 — tang 6' , ,
sairement, suivant la formule tang V = -—7 -tz — ^, dont
l+tang6tang6
le dénominateur est constant, sans que son numérateur puisse
l'être. Les facteurs tang 6 et tang 6' étant ici toujours opposés
de signe, .le numérateur, et par suite tang V, varie proportion-
nellement à la somme de leurs valeurs numériques. Or, leur
produit étant constant, le minimum de leur somme doit corres-
pondre à leur égalité, en renversant un théorème élémentaire
d'algèbre sur le maximum d'un produit de facteurs à somme
constante. Comme cette égalité convientévidemmentaux cordes
qui joignent une extrémité de l'un des axes aux deux extré-
mités de l'autre, le losange des quatre sommets indique donc
le plus grand angle obtus ou le plus petit angle aigu que puis-
sent former, dans l'ellipse, deux cordes supplémentaires quel-
conques, dont l'inclinaison peut ainsi varier d'autant plus que
la courbe s'écarte davantage de la figure circulaire.
106. Appliquons maintenant à l'ellipse notre théorie des
foyers, sous la forme subsidiaire convenable à l'équation ac-
tuelle, comme pour la parabole. En substituant y qtix dans la
formuleflP=y*+a:^ — 2êy + 2a3:+(62 4-a2), elle prend la forme
d2=-- [a?--x^ + X* — 2ê - v/«* — X^ — 2aa; + (6*+ a^);
ce qui exige préalablement 6 = 0, afin qu'elle soit d'abord ra-
tionnelle. Ainsi devenue
80
d^= U — ^\ or^— 2flar + (6*+ a«).
346 GÉOMÉTRIE PLANE.
elle ne sera carrée qu'autant que Ton fera a = ±: v/«* — bK II
existe donc, sur le grand axe de Tellipse, deux foyers symé-
triquement placés, dont la commune distance au centre, ordi-
nairement qualifiée A' excentricité^ et communément désignée
parc, forme, avec le demi-petitaxe, un triangle rectangle ayant
pour hypothénuse le demi-grand axe ; ce qui permet de les
marquer aisément. Si Ton eût, au contraire, substitué x en y,
le résultat aurait été, par une évidente analogie, oc «=a 0,
6 => y/ 6* — a», qui ne serait admissible qu'autant que b sur-
passerait a ; en sorte que les foyers de l'ellipse ne peuvent ja-
mais être situés que sur son grand axe. Ils ne coïncident entre
eux, et avec le centre, que dans le cas circulaire.
En achevant l'opération précédente, leurs distances ration-
nelles à un point quelconque de la courbe sont exprimées par
les deux formules
rf'= a X. d" ^=» a -] — X,
a a
dont la confrontation fait aussitôt ressortir la principale pro-
priété spéciale de l'ellipse, en montrant l'invariabilité de la
somme de ces deux distances variables. La valeur effective de
cette somme constante est d'ailleurs inutile à mentionner ex-
pressément, puisque les sommets du grand axe, et même aussi
ceux du petit, la déterminent immédiatement, dès que sa
constance est reconnue. Il serait, du reste, superflu de s'ar-
rêter ici aux moyens évidents que fournit spontanément un tel
théorème pourdécrire commodément l'ellipse, soit par points,
soit par un mouvement continu, qui peut ainsi recevoir di-
verses formes géométriques.
Quant aux directrices correspondantes à ces deux foyers,
l'annulation de cette double formule leur assigne, suivant nos
a*
règles générales, la double équation ar « ± — , qui indique
V
OUATRIÈBCE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 347
deux perpendiculaires au grand axe, au delà des sommets, en
une position facile à construire. Le rapport spécifique est ici - ,
et par conséquent inférieur à i, conformément à la théorie
fondamentale.
On voit que la principale différence entre Tellipse et la pa-
rabole relativement aux foyers ou aux directrices consiste dans
leur dualité actuelle opposée à leur unité primitive; ce con-
traste est naturellement en harmonie nécessaire avec l'existence
ou Tabsence d'un centre ou d'un second axe.
En étendant à l'ellipse le problème déjà résolu au n^ 99
envers la parabole, et consistant ici à déterminer une ellipse
d'après un foyer et trois points, il y acquiert encore plus d'im-
portance astronomique, comme directement relatif à la véri-
table figure moyenne des orbites planétaires. Sa solution gra-
phique, consistant toujours à construire d'abord la directrice
correspondante, résultera de ce que les distances de cette droite
aux trois points donnés sont alors proportionnelles à leurs dis-
tances connues au foyer donné. Or, chacune de ces deux pro-
portions, isolément envisagée, détermine Tintersection de la
directrice avec la droite de jonction des points respectifs : il est
aisé de reconnaître, d'après un théorème élémentaire, déjà
employé au n** 21, que cette rencontre se trouve sur la bissec-
trice du supplément de l'angle des deux droites qui vont de ces
points au foyer. La directrice étant ainsi obtenue d'après deux
.de ses points, il sera facile d'achever la construction, en
traçant d'abord l'axe focal, puis ses deux sommets et le centre,
d'où résulteront aussitôt l'autre foyer, l'autre directrice, et
Taulre axe. Quant aux cas d'impossibilité, ils ne pourraient ici
tenir qu'à la confusion du foyer avec l'un des points, ou à la
disposition de ceux-ci en ligne droite, soit entre tous trois, soit
entre deux seulement et le foyer du même côté. Cette construc-
348 GÉOMÉTRIE PLANE.
tion les manifesterait par le passage de la directrice obtenue,
tantôt au foyer, tantôt à l'un des points.
La solution analytique de ce problème s'instituera aisément,
comme dans la parabole, d'après Téquation focale
y2 4- a:2 = [px + qy + r)\
si Ton place Torigine au foyer donné. En dirigeant d'ailleurs
l'axe des x vers Tun des points, on aura, pour déterminer les
trois inconnues p, q^ r, les trois relations
y'2 + x'^=i [px' + qy' + r)\ y'* + x"'-^- (px" + qy" H- r)\
x'"^={px"-¥r)\
qui pourront aussi être ramenées au premier degré, sous les
formes
px' + yy + r =^ n\ px" + qt/ + r := w", pu" + r= u'\
où u\ u*\ w'" désignent pareillement les distances dufoyer aux
points donnés. Si Ton choisit comme inconnue principale r,
d'où résultergdt encore, quoique moins directement qu'envers
T
la parabole, la distance — = du foyer à la directrice, les
divers cas d'impossibilité, étant tous de nature précise, ne
pourront également se manifester que d'après des valeurs
réelles inadmissibles, que l'examen de chacun d'eux ferait
aisément prévoir.
J'insiste peu d'ailleurs sur la discussion spéciale, soit gra-
phique, soit algébrique, d'un tel problème, qui doit naturelle*
ment être repris et complété au sujetde l'hyperbole. C'est alors
seulement que sa nature deviendra pleinement appréciable, en
le concevant comme nécessairement commun aux trois courbes
du second degré.
L'emploi de l'équation polaire relative au foyer y doit pour-
tant être mentionné ici, comme envers la parabole, à cause de
j
QUATRIÈME PARTIK, CHAPITRE TROISIÈME. 349
son importance astronomique. D'après le n® 23, cette équation
sera
« (1 — e^)
1 — € COS (9 + a)
en comptant les angles à partir d'un axe incliné de a sur Taxe
focal de l'ellipse, et nommant e^ selon Tusage astronomique,
le rapport spécifique - : car, la distance d (*) du foyer à la di-
rectrice est ici — , en tant qu'égale à la différence de leurs
a*
distances respectives - et c au centre. Si Ton a égard aux trois
points donnés, dont Tun peut être supposé sur Taxe polaire,
cette équation permettra aisément de déterminer d'abord a,
puis e, et enfin a, qui caractérisent la direction, la forme, et
la grandeur de Fellipse cherchée, sauf les embarras de Texé-
cution trigonométrique.
En remplaçant le foyer donné par la directrice, le problème
précédent ne sera pas plus difficile à résoudre, soit analytique-
ment, ce qui est évident, soit même graphiquement, que dans
la parabole. Car, afin de trouver le foyer correspondant,
chacune des deux combinaisons binaires des trois points donnés
fournira encore spontanément, quoique d'une autre manière,
un lieu circulaire, d'après la proportionnalité des distances res-
pectives du foyer cherché à ces divers points, comparées avec
leurs distances connues à la directrice donnée : la construction
{*) Par analogie avecla théorie de la parabole, le double de cette distance
est quelquefois qualifié aussi depavamètreée PcUipse, comme constituant le
coefficient du terme du premier degré dans Téquatlon y^ = — a? -. a-^,
a a*
où l'origine est placée au sommet. Ce paramètre est, de part et d*autrc,
toujours égal à la double ordonnée relative au foyer. Ses deux caractères,
analytique et géométrique, conviennent pareillement à Thyperbole.
350 GÉOMÉTRIE PLANE.
indiquée à la fin du n® 21 déduira ainsi des deux points com-
binés un cercle ayant pour diamètre la partie de la droite de
jonction comprise entre la directrice et le point, aisément as-
signable, qui divise leur intervalle proportionnellement à leurs
distances respectives à cette ligne. Le foyer une fois obtenu par
la rencontre de deux pareils cercles, la construction s'achèvera
aussi facilement que ci-dessus. Outre les cas précis d*impossi-
bilité tenant au passage de la directrice à Tun des trois points,
ou à la disposition rectiligne de ceux-ci, cette solution indi-
querait d'ailleurs, comme dans la parabole, des cas vagues
correspondants à la non-intersection de ces cercles : la solution
analytique devrait reproduire les uns et les autres, suivant
leur nature respective.
107. Considérons maintenant les propriétés de Tellipsequanl
-aux tangentes, d'après Téquation
que notre théorie générale assigne ici à la droite qui touche la
a'
courbe en un point x\ y\ On en déduit aisément a: == -7,
X
pour Tabscisse du point où la tangente rencontre Taxe ; d'où
résulterait une construction facile, que Ton rendra plus simple
encore, et surtout plus élégante, si l'on remarque que ce
résultat, indépendant de b et de y, resterait identique, envers
toutes les ellipses de môme grand axe, en y considérant des
points de contact situés sur la môme ordonnée : l'une d'elles
étant un cercle, la construction spéciale de sa tangente con-
duira à celle de toutes les autres. Ainsi, en prolongeant l'or-
donnée MP(/î</. 73) du point donné jusqu'au cercle circonscrit,
et menant de cette extrémité IS la perpendiculaire NT au rayon
correspondant, le point T où elle rencontrera Taxe, conviendra
QUATRIÈME PARTIE, GHAnTRE TROISIÈME. 351
également à la tangente cherchée MT : la figure confirme, en
effet, que la distance OT équivaut à — ,.
De cette première détermination, résulteront la sous-tan-
gente TP = . — et la sous-normale PQ = -s x'. Au lieu
d'être constante, comme dans la parabole, celle-ci est mainte-
nant proportionnelle à Tabscisse du point de contact; sa limite
- sera toujours la moitié du paramètre : elle indiquera pareil-
lement le rayon du cercle qui aurait en A le plus intime con- ,
tact possible avec Tellipse ; on trouverait de même -^ pour le
rayon d'un tel cercle à l'autre sommet B, où Ton voit ainsi que
la courbure est moindre.
L'appréciation géométrique du coefficient angulaire de la
tangente conduit à un théorème remarquable, en généralisant
envers une ellipse quelconque la loi relative au cercle. Car, la
simple confrontation du coefficient — j— p à celui ^ du rayon
Ci y Ju
correspondant montre aussitôt que leur produit est toujours
égal à — j- : ici l'indication de constance ne suffirait pas, et
il convient de mentionner habituellement la valeur effective du
produit, qu'aucun cas particulier n'indiquerait aisément. Quand
l'ellipse est équilatère, ce théorème reproduit spontanément la
perpendicularité connue de la tangente au rayon.
Cette relation devient à la fois plus importante et plus lumi-
neuse, si on la rapproche de la loi analogue relative aux[cordes
supplémentaires. Le produit constant ayant, des deux parts,
la même valeur, il s'ensuit que les deux couples ainsi formés,
soit par deux cordes supplémentaires quelconques, soit par une
tangente et son rayon, peuvent toujours être rendus parallèles.
1
352 GÉOMÉTRS PLANE.
et doivent offrir d'égales variétés d'inclinaison. Il en résulle
aussitôt nn moyen très facile pour tracer la tangente d'après
le point de contact ou d*après sa direction, du moins en faisant
intervenir Feliipse dans la construction.
Au sujet de ce rapprochement, U convient de remarquer que
le théorème propre à la tangente ne constitue, au fond, qu'un
simple cas particulier de celui des cordes supplémentaires, qu'il
sufBt, en effet, de pousser jusqu'à sa limite naturelle. Que les
points d'arrivée des deux cordes demeurant fixes, on fasse indé-
finiment rapprocher de l'un d'eux leur commun point de départ;
le produit des coefficients angulaires devant rester invariable,
sa valeur ne saurait changer lorsque, par la coïncidence finale,
Tune des cordes se confondra avec la tangente et l'autre avec
le rayon. On voit ainsi comment le théorème des cordes sup-
plémentaires, dont l'importance spéciale est communément
trop peu sentie, conduirait sans peine à l'équation de la tan-
gente à l'ellipse, indépendamment de toute méthode générale.
La relation de la tangente aux foyers, éminemment natu-
relle pour les anciens, ne ressort pas ici de l'équation aussi
directement, à beaucoup près, qu'envers la parabole; et si
notre étude analytique de l'ellipse était historiquement origi-
nale, peut-être ignorerait-on encore cette propriété, faute d'avoir
été conduit spontanément à la combinaison algébrique corres-
pondante, queles modernesn'emploientréellementqu'àla véri-
fier. Cette vérification est du reste aisément exécutable, sous
les trois formes géométriques, essentiellement équivalentes,
que comporte un tel théorème. Son acception la plus connue, et
la plus directe chez les anciens, consiste encequela tangenteà
l'ellipse est également inclinée sur lesdeux droites qui joignent
le point de contact aux deux foyers. U est aisé de le constater
d'après les coefficients angulaires de ces droites : car,on trouvera
ainsi, réduction faite, pour l'une des inclinaisons, l'expression
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 353
tang V = — „ qui, changeant de signe et non de valeur envers
l'autre foyer par le changement de c en — c, indiquerait très-
naturellement une telle relation, si un tel rapprochement était
assez motivé. Comme dans la parabole, ce théorème, physique-
ment interprété^ explique aussitôt, quant à la lumière ou à la
chaleur,ou même ici au son, la propriété de concentration par
réflexion que rappelle spontanément le nom de foyer : les éma-
nations de Tun des foyers seront ainsi réfléchies vers l'autre,
soit sur Tellipse, soit sur l'ellipsoïde allongé résultant de sa
rotation autour de Taxe focal.
Sous sa seconde forme, cette propriété consiste en ce que le
lieu des propriétés des foyers d'une ellipse sur ses tangentes est
un cercle. Il est ai«é de saisir la filiation géométrique des deux
relations,en considérant que,d'après la notion précédente, une
tangente quelconque MT ifig. 74), devant être la bissectrice de
l'angle NMF formé par l'un des rayons vecteurs avec le prolon-
gement de l'autre, sera perpendiculaire sur le milieu de FN,
qui joint l'un des foyers au point N obtenu en prolongeant le
rayon vecteur MF' d'une longueur égale à MF. Or, la propriété
mutuelle des deux foyers indique aussitôt que la projection K du
foyer F sur la tangente tombe à une distance constante du
centre, puisque cette distance OK est évidemment la moitié de
F'N, ainsi toujours égale à 2 a.
Comme cette seconde forme constituerait, sans doute, du
point de vue moderne, la source la plus naturelle du théorème
dont il s'agit, je crois devoir en indiquer distinctement l'expli-
cation analytique. Il convient d'y préférer, pour la tangente.
l'équation y == mx + \/ahn^ + 6^, que fournit directement le
principe des racines égales, et qui, indépendante du point de
contact, et mieux adaptée que notre équation primitive à toute
spéculation étrangère à la position spéciale de ce point. La
ieujaire menée da foyer sera d«ic représeslfe par Té-
ç^illony-a 't. — f. . çai permettra d'éliminer aîstaient ut,
de manière à former l'équation dn lieo des projections du foyer
for les tangenUrs. On la trouvera ainsi dn quatrième degré,
maïs birarré« : en y <î<^?areanl y*, on y reconnaîtra, après les
T^àutA'ion^ convenab>s. le produit de deux éqiiati<Mis dn se-
cond de^ y* -!- jr* — «*=0, et y^ - x — c * = 0; ceDe-ci ne
fournissant aumne linieJ*anlre indique seule la courbe cher-
cti^e. qui est évidemment le cercle circonscrit à Tellipse.
Enfin, la troisième forme géométriqne de eette rriafkndes
tangentes aux foyers consiste en ce que les distances des deux
foyers à une tangente quelconque sont inversement proportion-
nelleSi sans qu*il faille mentionner expressément la yaleur
effective de leur produit constant, spontanément éridente aux
quatre sommets, surtout à ceux du petit axe, otTles deux fac-
teurs sont égaux. Pour voir comment ce théorème, d*ailleurs
facile à constater analytiquement, dérive du précédent, Q suffit
de mener du centre une parallèle 01 et une perpendiculaire OH
ou q sur la tangente ; alors, en nommant p et/?' les distances
FK et F'K' des deux foyers à cette tangente, une proposition
élémentaire bien connue, suite immédiate du théorème de
Pythagore, donnera aussitôt, dans le triangle OF'K', envers le
côté OF' ou c, la relation 4)
puisque le côté OK* est maintenant reconnu toujours égal à a :
or, la distance auxiliaire q étant la moyenne entre/) et;?', cette
relation devient flnalement/?/?' = a* — c* — 6*, suivant l'énoncé
ci-desBus,
De ces trois formes équivalentes d'une môme loi, la première
est la mieux adaptée à la construction de la tangente, soit d'à-
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 355
près le point de contact, soit d'après sa direction, soit enfin
d'après un point extérieur. Quant au premier cas, il sufflt,
comme on Ta vu plus haut, de mener du point donné M une
perpendiculaire sur la ligne FN, précédemment définie. On
peut aisément constater, à la manière des anciens, que tous les
autres points de cette droite seront extérieurs & l'ellipse, en
tant qu'équidistanls de F et N ; puisquela somme de leursdis-
tances aux deux foyers, ainsi équivalente, pour chacun d'eux
K', à K'F' + KN, surpassera évidemment le grand axe, que
cette construction représente par F'N. Cette conséquence est
tellement spontanée que, dans l'ellipse comme dans la para-
bole, la découverte d'une pareille propriété des tangentes a dû
être facile aux anciens, une fois qu'ils ont connu le théorème
fondamental sur les foyers.
S'il faut mener une tangente parallèle aune droite donnée,le f
renversement de cette construction fera retrouver sans difficulté
le point N d'où tout découle, comme situé sur une perpendi-
culaire menée à cette droite et l'un des foyers et sur le cercle
décrit de l'autre avec le rayon 2âf. De môme, quand on donnera
un point extérieurK', ce cercle servira pareillement à déter-
miner ce point N, par l'intersection d'un autre cercle décrit
de K'avec le rayon K'F. En ces deux cas, la construction pourra
s'achever, y compris même la détermination des points de con-
tact, sans aucune participation delà courbe.
La solution analytique de ces deux problèmes ne mérite pas
de nous arrêter. J'y indiquerai seulement, quant au dernier,
une transformation analogue à celle déjà remarquée envers la
parabole, et tendant aussi à déterminer la corde qui joint les
deux points de contact cherchés. Si, dans l'équation
/
356 GÉOMÉTRIE PIANE.
qui, combinée avec c?y'^ -h b^x'^ = a*6*, doit alors fournir les
coordonnées inconnues x' et y' d'après les coordonnées connues
a et 6, on considérait les premières comme variables, le lieu
correspondant serait naturellement elliptique, et dès lors gra-
phiquement inadmissible. Mais, en ayant égard à la seconde
condition, la première peut s'abaisser au premier degré, et
devient, sous la forme c^y' ■\- b^^=a^b^^ Tutile équation de
la corde de contact, dont la construction conduirait aisément
& la solution graphique du problème, si on y admettait la par-
ticipation de Fellipse. La direction de cette corde et ses ren-
contres avec les axes peuvent suggérer diverses propositions
secondaires, analogues à celles déjà signalées envers la para*
bole, et que le lecteur développera aisément.
108. Parmi les nombreux problèmes relatifs aux tangentes
deTellipse, il convient spécialement de remarquer ici celui
qui concernelelieudu sommet d'un angle invariable dont les
côtés touchent constamment la courbe, surtout quand cet angle
est droit. L'équation y = mx + \/ a*m* + 6* est très-propre à
cette recherche, en y considérant les deux valeurs de m qui
correspondraient à des valeurs données de x et y, ce qui lui fait
prendre la forme
x^ — a* X — a^
Si, d'après ses racines, on formule llnclinaison des deux tan-
gentes, suivant la loi 7-^ r, =» tang V, on en déduira aisé-
ment l'équation du quatrième degré qui convient au lieu de-
mandé. Dansle cas, seul utile à spécifier, où les tangentes sont
rectangulaires, le dernier terme de l'équation précédente con-
duit aussitôt à y^+ a:2 = «2+ 6S qui indique un cercle, dont le
rayon est d'ailleurs superflu à retenir, puisque les tangentes
aux sommets l'annoncent spontanément.
OUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 357
La considération de ce lieu circulaire rendrait très-facile la
détermination spéciale des rectangles maximum et minimum
circonscriptibles à l'ellipse, et dès lors inscriptibles & un tel
cercle. Car, sous ce dernier aspect, le maximum correspon-
drait évidemment au carré, si toutefois celui-ci peut être cir-
conscrit à Tellipse : pour s'en assurer, il suffit de remarquer
que, d'aprèsune symétrie nécessaire, ses côtés doivent être
inclinés de 45® sur les axes; or, enfaisantm=±:ldans l'équa-
tion de la tangente, son coefficient linéaire coïncide, en effet,
avec le rayon du cercle précédent, ce qui décide la convenance
de cette solution. Quant au minimum, il faut discerner, entre
tous les rectangles circonscrits à l'ellipse et inscrits au cercle,
celui dontlescôtés diffèrent le plus, ce qui revient à combiner les
tangentes les plus éloignées du centre avec les plus rapprochées;
d'où résulte aussitôt le rectangle construit sur les deux axes.
Pour résoudre ce double problème d'une manière vraiment
analytique, susceptible d'imitation envers toute autre courbe,
il faudrait, à l'équation y = mx + ^Z chm^ + b^ d'une tan-
gente quelconque, joindre les trois autres
qui représentent celle qui lui est parallèle et les deux qui lui
sant perpendiculaires. Dès lors, par un calcul facile, quoi-
qu'un peu long, on formulerait, d'abord les intersections mu-
tuelles des quatre côtés du rectangle correspondant, ensuite
leurs longuAirs, et enfin l'aire de cette figure, relativement à
la seule constante indétermmée m. Cette formule une fois ob-
tenue, l'application, sous telle forme qu'on jugera conve-
nable, de la théorie des maXima et minima y conduira aisé-
1
358 6É0KÉTRIE PLANE.
ment & la solution demandée. La fonction se trouvant être ici
du quatrième degré, mais bicarrée, on y pourra même appli-
quer la méthode algébrique primordiale, en résolvant d'abord
la question plus étendue qui consiste à circonscrire, à une
ellipse donnée, un rectangle équivalent à un carré donné.
Quelques autres lieux intéressants peuvent être déduits de la
considération des tangentes à l'ellipse, en y projetant, soit
sur les tangentes, soit aussi sur les normales, les divers points
singuliers, telsque le centre, les foyers, les sommets, etc. Je
m'arrêterai seulement au cas de la projection du centre sur les
normales. On y formerait aisément l'équation du lieu, d'après
ah/'
l'équation ordinaire de la normale y — y '= tj-, te — x') com-
b^x'
binée avec celle du rayon perpendiculaire y = j-, x, en
«/
éliminant les variables auxiliaires x' et y' par la relation a^y'-
+ b^x'^^sa a^^. Mais il convient mieux d'y employer une nou-
velle forme générale de l'équation de la normale,, analogue à
celle qui vient de nous servir pour la tangente, c'est-à-dire
relative à son seul coefficient angulaire. En procédant par assi-
milation, comme je Tai indiqué déjà envers la parabole, on
trouvera aisément que l'équation
y = mx +
S/ a^^- b^m^
représente ainsi une normale quelconque à Tellipse. Si Ton y
1
élimine w, d*après l'équation y =* x du rayon perpendicu-
§11
laire, on obtient aussitôt, pour le lieu cherché, l'équation du
sixième degré •
(aV+ b^x") (y^-f- x^f^ c'xh/^,
dont la discussion directe serait embarrassante, mais qui
devient facilement appréciable par l'introduction des coor-
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 359
données polaires. On trouve ainsi finalement Téquation po-
laii*e
c* sin2<p cos^^p
très-propre à caractériser nettement la forme générale de cha-
cune des quatre parties symétriques qui composent ce lieu
remarquable. Le rayon vecteur, nul pour (p =a o et <p = 90^, ce
qui indique au centre deux tangentes confondues avec les axes
/?.
de Tellipse, atteint son maximum a — b quand tang (p =
comme Tindique la résolution de cette équation en sens in-
verse.
109. Nous devons maintenant considérer les propriétés de
Tellipse relativement aux diamètres. En appliquant ici Tune ou
Tautre de nos deux méthodes générales à ce sujet, on trouve
b^
aisément Téquation y = r— x, envers un diamètre quel-
avn
conque, correspondant à des cordes dont le coefficient angu-
laire est m. Cette équation montre aussitôt, conformément à
nos indications antérieures, que tous les diamètres d'une ellipse
sont des lignes droites qui convergent au centre. Mais sa
spéciale appréciation géométrique fait, en outre, découvrir
une propriété remarquable, résultée de la liaison mw'« 5,
amsi établie entre les coefQcients angulaires simultanés d'un
diamètre quelconque et de ses cordes. La symétrie analytique
d*une telle relation indique géométriquement que les diamètres
de Tellipse sont réciproques les uns des autres, ou, suivant
l'expression usitée, d'ailleurs un fenysigne^ conjugués : car, si
Ton mène du centre deux droites dont les coefficients angulaires
soient ainsi liés, chacune déciles passera aux milieux des cordes
parallèles à l'autre. Cette constante réciprocité constitue, quant
360 GÉOMÉTRIE PLANE.
aux diamètres, la principale différence entre Tellipse ou l'hy-
perbole et la parabole : elle est évidemment en harmonie né-
cessaire avec l'existence ou Tabsence d'un centre.
Plus spécialement envisagée, cette liaison fondamentale des
diamètres conjugués de l'ellipse reproduit de nouveau la rela-
tion d'abord observée quant aux cordes supplémentaires, et
étendue ensuite à la subordination de chaque tangente à soa
rayon ; en sorte que, d'après ce rapprociiement, ces trois couples
de droites peuvent toujours devenir parallèles et comportent les
mômes diversités d'inclinaison, déjà appréciées envers le pre-
mier . 11 en résulte surtout une construction fort simple pour
déterminer, à l'aide de l'ellipse, deux diamètres conjugués for-
mant un angle donné, en cherchant des cordes supplémen-
taires qui leur soient parallèles, au moyen d'un cercle
capable de cet angle et décrit sur un diamètre quelconque.
Son intersection avec l'ellipse donnée, ailleurs qu'aux ex-
trémités de cette base, marquera le point de départ des
cordes cherchées, de manière à indiquer aisément les dia-
mètres demandés. Cette rencontre ne sera possible qu'autant
que l'inclinaison proposée tombera entre les limites con-
venables qui^ suivant la loi précédente, correspondent aux
diamètres parallèles aux cordes des quatre sommets, et dès lors
dirigés selon les diagonales du rectangle des axes : l'angle donné
ne pourra donc s'écarter de 90* que jusqu'à l'angle aigu ou
obtus dont la moitié aurait - pour tangente ou pour cotangente.
Dans cet intervalle, la construction indiquera toujours deux
systèmes symétriquement placés, qui ne coïncideront que lors
des deux cas extrêmes, dont l'un se rapporte aux axes de
l'ellipse, et l'autre à ce dernier couple de diamètres, offrant le
maximum d'obliquité.
La correspondance générale des diamètres conjugués aux
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 361
cordes supplémentaires, quoiqu'elle ne soit communément en-
visagée que comme le simple résultat d'un rapprochement algé-
brique, n'offre pourtant rien d'accidentel, et comporte direc-
tement une explication géométrique qu'il importe d'apprécier,
parce qu'on y peut voir la vraie source spéciale de l'ensemble
des notions relatives aux diamètres de l'ellipse, indépendamment
de toute théorie générale. Il suffit de remarquer, d'après la
définition des cordes supplémentaires, que la parallèle menée
du centre à une corde quelconque passe nécessairement au mi-
lieu de sa conjuguée : or, le théorème primitif des cordes sup-
plémentaires nous apprend que, si des cordes sont parallèles,
leurs supplémentaires doiventl'ètre aussi; doncladroite menée
du centre parallèlement à une corde arbitraire passe toujours
aux milieux de toutes celles qui sont parallèles àsa supplémen-
taire ; d'où résulte aussitôt la démonstration simultanée de la
nature rectiligne des diamètres de l'ellipse, de leur convergence
au centre, et de leur réciprocité nécessaire. Ainsi, le théorème
des cordes supplémentaires, qui, sous un aspect, nous avait
déjà fourni la base essentielle de la théorie spéciale des tangentes
à l'ellipse, est également propre, d'un autre point de vue, à
y fonder entièrement la théorie des diamètres. Ce double rap-
prochement, inaperçu jusqu'ici, tend à représenter une telle
notion comme étant peut-être la plus fondamentale de toutes
celles qui concernent particulièrement l'ellipse : son office réel,
dans l'ensemble de l'étude de cette courbe, est au moins aussi
important que celui de la propriété focale.
En rapportant l'équation de l'ellipse à un couple quelconque
de diamètres conjugués, il est aisé de prévoir qu'elle conser-
vera nécessairement la môme forme qu'envers les axes primitifs,
qui ne se distinguent, à cet égard, que par leur rectangularité
caractéristique ; car, l'équation ne pourra dès lors contenir la
première puissance d'aucune des deux coordonnées, afin que
81
dêi GÉOMÉTRIE PLA5ÎE.
chacnne d'elles puisse admettre deux râleurs égales et con-
traires pour une même valeur de rautre,confonnémeDiilt*ur
commun attribut géométrique. On Téiifie effectiTemenl cette
prévision, par la substitution des formules ordinaires de trans-
position,
ar=:x' cos X' -f y' cos Y\ y = x sin X' + y* sin Y\
pourvu qu*on y ait égard à la relation nécessaire
tang X' tang Y =» -^, '
sans laquelle les deux diamètres ne seraient pas conjugués, et
qui annulera spontanément le coefBcient total du seul terme
contenant à la fois la première puissance de Tune et de Tautre
variable. Quant aux coefficients des termes restants, ils peuvent
toujours devenir analogues à ceux de Téquation primitive
en introduiî^ant aussi les distances du centre aux intersections
de la courbe avec les nouveaux axes, sous les noms semblables
de a'et b\Ae manière à former, envers un système quelconque
de diamètres conjugués, l'équation finale a'^'*+ ô'*a:'*=a'*é'*.
L'exécution du calcul de transposition déterminerait spontané-
ment les expressions de ces constantes linéaires a* et 6' en fonc-
tion des constantes angulaires correspondantes,
a* sin^ X' + 6* cos^X" a« sin» Y' + b^ cos* Y'*
Mais ces formules, nécessairement similaires, peuvent d'ail-
leurs être directement obtenues, comme devant coïncider, par
leur nature, avec l'équation polaire de l'ellipse relative au
centre.
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 363
D'après la relation fondamentale tang X' tang Y' = -g,
tandis queTun des diamètres conjugués se raccourcit en s'éloi-
gnantdu grand axe, Tautre s'allonge en s'écartant du petit axe;
en sorte qu'il existe une situation intermédiaire où leurs lon-
gueurs sont égales : elle correspond évidemment au cas où les
deux angles X' et Y' sont supplémentaires; les deux diamètres
s'y trouvent symétriquement placés, et dès lors dirigés suivant
les diagonales du rectangle des axes ; c'est-à-dire qu'ils coïnci-
dent avec ceux où nous avons déjà reconnu le maximum d'obli-
quité. Ce système remarquable, le plus important de tous après
celui des axes proprement dits, présente donc, envers celui-ci,
un parfait contraste, soit quant à Tinclinaison, soit quant au
rapport des longueurs. Sa position dans l'ellipse représente
exactement celle des asymptotes dans l'hyperbole, comme on le
confirmera spécialement au chapitre suivant, quoiqu'il n'existe
d'ailleurs aucune analogie géométrique entre les deux couples
de droites. Le seul rapprochement analytique auquelils puissent
donner lieu, consiste en ce quel'équation de la courbe peut^ à leur
égard, être réduite, de part et d'autre, à ne plus contenir qu'une
seule constante arbitraire : mais la diversité nécessaire des deux
équations respectives, dont l'une a la forme x^ + y^ =: r\
et l'autre a:y =m*, empêche une telle conformité d'avoir aucun
effet géométrique de quelque importance. Néanmoins, il con-
vient de noter ici que l'ellipse est susceptible d'une équation
analogue à celle du cercle, mais envers un système unique
d'axes qui ne peuvent jamais y devenir rectangulaires, et dont
le degré d'obliquité caractérise naturellement l'espèce d'ellipse
dont il s'agit; celle-ci différera d'autant plus du cercle que cette
inclinaison s'écartera davantage de l'angle droit, en exacte con-
formité avec les notions antérieures sur la condition de simili-
tude, puisque la tangente de la moitié d'un tel angle représente
364 GÉOMÉTRIE PLANE.
le rapport des deux axes de Tellipse. On peut d^ailleurs calculer
b
aisément, parles formulesprécédentes, en y faisanttaiigX'a= -,
la valeur de Tunique constante r que contiendrait alors Téqua-
tion de Tellipse, et que l'analogie conduirait à nommer spéciale-
ment le rayon de cette courbe : on trouve ainsi r*= - (a^ -f- b^) ;
ce qui lie directement ce rayon à la corde du quart d'ellipse^
suivant la même loi que dans le cercle.
Les longueurs variables des diamètres conjugués de Tellipse,
comparées, soit entre elles, soit à Tobliquité correspondante,
donnent lieu à deux importants théorèmes spéciaux, qui méri-
tent de conserver le nom de leur immortel auteur Apollonius,
le plus grand géomètre de Tantiquité après Archimède. Quant
au premier, le point de vue moderne y conduirait très natu-
rellement s'il était encore ignoré. Car, les longueurs a' et ô",
subordonnées, suivant les formules précédentes, aux angles
X' et Y', ne sauraient être indépendantes Tune de Tautre qu'au-
tant que ces deux angles le seraient aussi : mais la liaison né-
cessaire de ceux-ci indique évidemment, entre a' et V , une
relation constante, qu'on découvrira aisément en substituant,
dans la condition angulaire tang X' tang Y' = g, les exprès-
sions de tang X' et tang Y' en a' et b\ L'exécution normale de
ce calcul, sans aucun vain artifice, conduit finalement à
Ainsi, le premier théorème d'Apollonius consiste en ce que,
dans l'ellipse, la somme des carrés de deux diamètres conju*
gués quelconques est constante. Sous forme graphique, cet
énoncé revient à dire que, si, à l'extrémité de chaque demi-
diamètre, on élève une perpendiculaire égale à son conjugué,
le point correspondant appartiendra toujours au cercle déjà re-
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 365
connu pour être le lieu des intersections des tangentes rectan-
gulaires.
Quant au second théorème d'Apollonius, il faut, ce me
semble, avouer avec franchise que la marche moderne n'y
conduirait point spontanément, s'il n'était pas préalablement
découvert : en sorte que la démonstration analytique doit ici
consister en une pure vérification, qu'il convient alors de sim-
plifier le plus possible, en vue de la relation à constater, qui
est a'b' sin Y'X' = ab\ 11 suffit, pour cela, de multiplier
entre elles les expressions précédentes de m'* et 6'* afin d'y
transformer ensuite le dénominateur d'après la condition fonda-
it
mentale tang X' tang Y' == j, mise d'abord sous la forme
u
a* sin X' sin Y' + 6* cos X' cos Y' = 0, et ensuite élevée au
carré. Le théorème ainsi vérifié consiste donc géométrique-
ment dans la constance remai*quable de l'aire du parallélo-
gramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques,
quoique ses angles et ses côtés varient sans cesse.
Ces deux relations spéciales a'*-{- 6'*=^ «*+ 6S a'ô'sin V= ai,
peuvent être utilisées, en sens inverse, pour déterminer com-
modément la longueur des axes de l'ellipse d'après un système
arbitraire de diamètres conjugués, donnés à la fois de grandeur
et d'inclinaison. Il serait d'abord facile d'en déduire directe-
ment a et ô, en résolvant une équation bicarrée. Mais il
convient mieux, par un artifice aisément inspiré, d'y prendre
spécialement pour inconnues a - b et a ^ 6, dont les valeurs
y résulteront de combinaisons très-simples, suivant les formules
(a-6)a=a'2+ ô»4-2a'6'sin V, (a-\-b)^=:a'^-hb'^-2a'b'sïny,
dont la construction est surtout commode, si on les compare à
la relation connue qui détermine un côté de triangle d'après les
deux autres et l'angle compris. On trouve ainsi a — b comme
366 GLOMÉTRIR PLANE.
constituant le troisième côté d'un triangle facile à tracer^ où
lesdeux côtés a' et 6 comprennent jin angle complémentaire de
rinclinaison donnée V ; a + & s'obtient ensuite en remplaçant
cet angle par son supplément, afm de changer le signe du
cosinus correspondant.
Une telle construction dissipe d'avance la seule grave diffi-
culté graphique que pût offrir le problème essentiel par lequel
nous terminerons Tétude de Tellipse aussi bien que celle de la
parabole, en tant que très-propre à y rappeler le souvenir des
principales propriétés,, dont il exige uniquement la judicieuse
application collective. Qu'il s'agisse donc, comme pour la
parabole, de reconstruire tous les éléments géométriques d'une
ellipse d'après un arc quelconque. Deux couples distincts de
cordes parallèles y détermineront d'abord le centre par ^inle^
section des diamètres correspondants, presqu'aussi commodé-
ment que dans le cercle. On pourra ainsi avoir deux diamètres
conjugués, dont Tun sera naliircllemcnt connu de longueur
comme de position d'après sa rencontre spontanée avec l'arc
donné; quant à l'autre b\ un seul point àe cet arc le détermi-
nera facilement, suivant l'équation correspondante de la courbe
a'Y^ 4- à'^x'^ = an'\ d'où résulte la formule b'— ^ ^
facile à construire. Cela posé, la construction d'Apollonius con-
duira, comme ci-dessus, à trouver les longueurs des axes a été.
Dès lors, la considération du lieu des projections des foyers sur
les tangentes permettra d'achever aisément là solution, d'après
la détermination des foyers ; puisque le cercle circonscrit, qui
contient toutes ces projections, peut être maintenant décrit, et
qu'il est d'ailleurs facile de tracer les deux tangentes indispen-
sables, en menant de l'extrémité de chaque diamètre une paral-
lèle à son conjugué.
110. Il ne nous reste plus à considérer dans l'ellipse que les
QUATRIÂHE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 367
propriétés relatives à la théorie des quadratures. L'application
directe de nos méthodes élémentaires à Téquation a V+i*^==»
a*6*, ou y ï= - \/ a* — a^^ ne pourrait nous fournir qu'en série
l'expression générale de Taire du segment elliptique. Mais, en
supposant connue la mesure du cercle, au moins en totalité,
cette équation ramène aussitôt, d'après le principe de Wallis,
la quadrature de T ellipse à celle du ceixle circonscrit ; puisque
les segments respectivement compris entre les mêmes limites
auront alors, aussi bien que les ordonnées correspondantes, un
rapport constant, égal à celui des axes de Tellipse. Ce rapport
est d'ailleurs spécialement conforme ici à la considération de
l'ellipse comme projection du cercle, eu égard à la règle ordi-
naire pour projeter une aire plane : au reste, ces deux maniè-
res d'établir une telle comparaison sont essentiellement équiva-
lentes. Ainsi, l'aire du cercle circonscrit étant exprimée par
w a^, celle de l'ellipse entière se mesurera par ic ai ; en sorte
que l'ellipse est moyenne proportionnelle entre les deux cercles
inscrit et circonscrit, ou équivaut à un cercle dont le diamètre
serait moyen proportionnel entre ses deux axes. Il est aisé d'en
conclure la détermination d'une ellipse semblable à une ellipse
donnée et équivalente à un cercle donné.
Notre théorie des quadratures fournit aisément la mesure des
deux ellipsoïdes, l'un allongé, l'autre aplati, produits par la
révolution d'une ellipse autour de ses axes. Autour du grand
axe, suivant la loi z = y', la courbe auxiliaire sera la para-
bole -2 = -g (a* ■— x^)y dont l'aire S =3 "A^^^ — ô ) » donne
aussitôt la formule V = ic —Aa^x — - j, pour le volume du
segment d'ellipsoïde, compris entre deux plans perpendicu-
laires à l'axe, menés, l'un du centre, l'autre à la distance x.
m
En y faisant x^^aUj on trouve finalement que l'ellipsoïde entier
368 GÉOMÉTRIE PLANE.
4
est mesuré par - ic V^a. Un calcul semblable conduirait à nn
4
résultat analogue - tc a^b envers Tautre ellipsoïde. On voit
que Tellipsolde allongé est moindre que Tellipsoïde aplati, sui-
vant le rapport du petit axe au grand. Ces deux volumes ne
coïncideraient que pour une ellipse équilatère^ en reproduisant
spontanément la cubature connue de la sphère.
CHAPITRE IV.
Théorie de Thyperbole.
111. L'équation simplifiée de Thyperbole, pa:*+yy* = 1, ne
diffère de celle de Tellipse qu'en ce que les deux coefficients p
et ^ y sont nécessairement opposés de signe ; ce qui correspond
géométriquement à ce que, des deux droites autour desquelles
la courbe est symétrique, Tune continue à la rencontrer,niais
l'autre ne la coupe plus ; en sorte qu'il n'existe alors qu'un
&eul couple de sommets, au lieu de deux. Nous supposerons
habituellement que les abscisses x se rapportent à l'axe tran^
verse^ et les ordonnées y à Taxe non transverse. On pourra in-
troduire algébriquement, comme dans l'ellipse, la longueur 2^
du premier, qui désignera pareillement la distance des deux
i
sommets, en posant/) = --. Mais c'est seulement par une pure
analogie algébrique, qui d'abord semble dépourvue d'interpré-
i
tation géométrique, qu'on fera aussi y = — -, de manière à
donner à l'équation de l'hyperbole la forme habituelle
1/^ x^
•L. . «=a — 1, OU • «V — ô*a;*«=i — aW,
6» d
1
OUATRIÈBCE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 369
qui ne diffère de celle de Tellipse que par le simple changement
de b^ en — 62 : toutefois, on va reconnaître que, quoique
moins directe que celle de a, la signification graphique de b est
cependant tout aussi nette et précise.
En discutant cette équation, on reproduit aisément le con-
traste que nous a déjà présenté si souvent une telle opposition
de signe, substituant un lieu illimité et interrompu aune courbe
fermée et continue. Le sens de la courbure y est indiqué, outre
le degré, par la marche générale du coefficient angulaire de la
• b^x
tangente tang a «= — , qui, d'abord infini au sommet, diminue
ensuite constamment, comme le montre la substitution de y
en Xj suivie de la commune division par x. Sa limite de dimi-
nution ± - annonce la direction des deux asymptotes, que l'on
sait d'avance assujetties à passer au centre : la méthode subsi-
diaire le confirme d'ailleurs clairement, d'après l'équation
y=±:-V/x^— a*. Cette détermination représente ces droites
comme coïncidant spontanément avec les diagonales du rec-
tangle construit sur les deux axes de l'hyperbole, de manière à
occuper ici la place qui, dans l'ellipse, est affectée aux diamè-
tres conjugués égaux. Réciproquement envisagée, une telle
construction fournit spontanément la meilleure interprétation
géométrique de l'axe non transverse 2i,dès lors égal à la partie
de la tangente au sommet comprise entre les deux asymptotes.
Au reste, en mettant l'équation de l'hyperbole sous la forme
b^
—g X*— y*= 6^ on pourrait généraliser cette appréciation, en
regardant b comme une moyenne proportionnelle entre les
deux distances - a: + y et - x — y d'un point quelconque de la
courbe aux deux asymptotes, estimées parallèlement à cet axe
370 GÉOMÉTRIE PLANE.
non transverse : une pareille détermination conviendrait aussi
envers Taxe trànsverse,mais sans offrir communément autant
d'utilité.
L'angle variable des asymptotes, ainsi dépendant du rap-
port des axes, spécifie la forme de chaque hyperbole.Quand U
est droit, Thyperbole se nomme ^i7Ut7a/ér^,puisque a et 6 sont
alors égaux. Cette espèce remarquable remplirait, envers les
autres hyperboles, le môme office que le cercle à Tégard des el-
lipses quelconques, si elle pouvait nous être aussi connue :
mais sa forme, guère plus facile à concevoir que celle d'une hy-*
perbole non équilatère, doit aujourd'hui faire attacher peu
d'intérêt à son étude spéciale, en sorte qu'il serait superflu
d'insisterici sur Téquivalentde la comparaison quinousapennis
de déduire graphiquement l'ellipse du cercle. Suivant que l'axe
transverse sera plus grand ou plus petit que l'axe non trans-
verse, l'hyperbole se trouvera comprise dans l'angle aigu ou
dans l'angle obtus des asymptotes, et dès lors, moins ou plus
ouverte que l'hyperbole équilatère.
Gomme il importe de se familiariser beaucoup avec la notion
des asymptotes, dont l'image doit devenir inséparable de celle
de l'hyperbole, il convient de les concevoir aussi sous un autre
aspect géométrique, en tant que lignes naturelles de démarca-
tion entre les droites qui, tirées du centre, rencontrent la
courbe et celles qui ne la coupent pas. Si on cherche l'intersec-
tion d'un rayon quelconque y =;?2.r avec rhyperbole,lescoor-
ab mab
données communes, x == — zzmzzzn et y = _ m-
\/ b^^a^m^ V b^-ahfïi^
diqueront que la rencontre aura lieu quand il sera au-dessous
de l'asymptote, et cessera lorsqu'il passera au-dessus, après
s'être éloignée à l'infini pour l'asymptote elle-même.
Les deux autres courbes du second degré ayant été, dans les
deux chapitres précédents, spécialement rattachées au cercle,
*
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 371
il n'est pas inutile de remarquer aussi que Thyperbole en dérive
indirectement, par Tintermédiaire de la parabole. Cette dériva-
tionpeut d'abord s'établir d'après le même mode suivant lequel
la parabole a déjà été tirée du cercle. Il est aisé de constater,
en effet, qu'une parabole se transformera en hyperbole, si on
y prolonge les ordonnées de manière à les rendre égales aux
cordes correspondantes menées du sommet. Mais on ne peut
ainsi produire qu'une hyperbole équilatère, dont l'axe serait
égal au paramètre de la parabole : il faudrait y redoubler de
plus en plus la même construction pour en déduire d'autres
hyperboles, de moins en moins équilatères à mesure que ces
modifications graphiques se multiplieraient davantage. A ce
modegéométriquetrop restreint ou trop indirect, il convient de
joindre une autre génération qui, de la même parabole, fait
aisémentdécouler toutes les espècesd'hyperboles.EUeconsisteà
regarder l'hyperbole comme le lieu du sommet d'un angle inva-
riable dont les deux côtés touchent continuellement une para-
bole fixe. On obtient ainsi, envers les axes ordinaires de la
parabole y*=3 mx^ l'hyperbole
1 m^
y^— tang2 V a:^ — - m (2 + tang^ V) a: = -- tang^ V,
À 16
qui convient également à l'angle V et à son supplément, en
sorte que cette génération permet d'obtenir la totalité de la
courbe. Il est d'ailleui^s facile d'en construireles sommets, soit
d'après son équation, soit en cherchant les points de l'axe où
la tangente à laparabole forme avec lui un angle moitié de Vou
de son supplément. L'inclinaison de ses asymptotes sur cet axe
commun des deux courbes est évidemment égale à l'angle
donné. On voit par là, conformément à la théorie générale de
la similitude, que les hyperboles de môme espèce correspon-
dront au mouvement du même angle autour de diverses para-
boles : chaque parabole, au contraire^ donnera naissance à
372 GÉOMÉTRIE PLANE.
toutes les figures hyperboliques en y faisant mouvoir différents
angles, quoique les axes de ces hyperboles doivent d'ailleurs, à
raison d'une telle communauté d'origine, conserver entre eux
quelque relation constante, inutile à déterminer ici.
Au reste, il fautpeu s'étonner que les trois courbes du second
degré puissent ainsi, directement ou indirectement, dériver du
cercle, puisqu'elles en sont historiquement issues, sous leur
nom antique de sections coniques, par une construction en
relief il est vrai, mais pourtant fort simple, comme nous le
reconnaîtrons au chapitre suivant : il fallait bien que celte
source primitive trouvât quelque équivalent plan.
112. Quoique r^tude de l'hyperbole, si elle était immédiate,
dût naturellement offrir un peu plus de difficulté que celle de
rellîpse,elle se simplifie beaucoup quand on ne l'aborde qu'a-
près celle-ci, puisque l'analogie des équations dispense alors
de reproduire les divers calculs relatifs aux recherches vraiment
communes, ensebornant à en modifier les résultats parle simple
changement de i' en — ô*, pour n'insister spécialement que sur
les modifications géométriques correspondantes. Appliquons
d'abord cette marche didactique au théorème des cordessupplé-
mentaires, dont nous avons reconnu, envers l'ellipse, la haute
importance, et qui doit ici persister essentiellement, à titre de
conséquence directe de la commune équation.
La modification qu'il y éprouve consiste en ce que le produit
constant des deux coefficients angulaires devient alors positif:
comme le losange des sommets disparait, on doit maintenant
mentionner expressément la valeur propre — de ce produit,
qu'aucun couple particulier ne pourrait plus indiquer assez
aisément, sicen'estàla limite. Ce changement de signe annonce
que les deux angles correspondants sont ici simultanément
aigus ou obtus, tandis que, dans l'ellipse, ils étaient toujours
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 373
d'espèce différente : on voit sans peine qu'une telle distinction
est en harmonie spontanée avec la diversité fondamentale des
deux figures. Il enrésultequemaintenantrundesdeux facteurs
est supérieur et l'autre inférieur à - ; d'où il suit, géomé-
triquement, que, de deux cordes supplémentaires quelconques.
Tune est plus oblique à l'axe transverse et l'autre moins oblique
que les asymptotes. Cette différence est la suite nécessaire delà
distinction spontanément établie entre les cordes intérieures,
joignant deux points de la même branche d'hyperbole, ou com-
prises dans la concavité, et les cordes extérieures, allant d'une
branche à Tautre, ou tracées dans la convexité. On voit dès
lors que l'inclinaison mutuelle des cordes supplémentaires n'est
plus assujettie, pour l'hyperbole, à aucune limite : en partant
de deux cordes rectangulaires, qui sont parallèles aux axes, on
pourra, sur la même base, poser des couples offrant tous les
degrés d'obliquité, jusqu'au parallélisme rigoureux, relatif
aux cordes parallèles à l'asymptote : il est facile de vérifier, en
effet, que le cercle d'après lequel on obtiendrait ici, comme
envers l'ellipse, deux cordes supplémentaires formant un angle
donné, ne pourrait jamais cesser de rencontrer la courbe.
Si l'hyperbole devient équilatère, ce théorème subit une
modification, beaucoup moins remarquable qu'à l'égard del'el-
lipse, mais pourtant digne de mention :elle consiste en ce que
les inclinaisons de deux cordes supplémentaires quelconques sur
l'axe de la courbe sont alors toujours complémentaires.
Pour mieux caractériser, envers l'hyperbole et l'ellipse, la
vraie nature, trop peu sentie aujourd'hui, d'un tel théorème,
il faut maintenant le convertir en définition directe de ces
courbes, ainsidécrites par un pointdont les lignes de jonction à
deux points fixes forment, avec une droite fixe, deux angles
ayant toujaurs des tangentes inversement proportionnelles. En
374 GÉOMÉTRIE PLANE.
nommant cp et ^{/ ces deux angles variables, Téquation naturelle
du lieu serait donc tang <p tang <); = A. Quel que soit le sigae de
ce produit constant, la discussion préalable indique d'abord
une courbe ayant toujours pour centre le milieu entre les deux
points fixes, et même nécessairement symétrique autour de la
parallèle et de la perpendiculaire qui y sont menées à la
droite fixe. La distinction des deux cas s'y présente ensuite
spontanément, selon que k est négatif ou positif. Car, dans la
première hypothèse, la courbe, qui coupera toujours Tun de
ses axes, pourra également couper Tautre; les deux angles ^
eti|; étant alors d'espèce différente,les deux droites mobiles ne
pourront jamais devenir parallèles, et le lieu sera fermé aussi
bien que continu. Si, au contraire, k est positif, ces angles
seront toujours de même espèce, et susceptibles d'égalité ; en
sorte que le lieu, nécessairement illimité, sera, en outre,
discontinu, comme ne pouvant plus rencontrer à la fois ses
deux axes. Quant au passage à Véquation reptiligne, il ne peut
offrir aucune difficulté, surtout envers de tels axes. En appe-
lant p et 9 les coordonnées correspondantes de Tun des points
y — Q y "^ Q
fixes, on aura tang (]p = , tang ^ «= - — - ; ce qui con-
duit à Téquationy*— Aa;*= y^— Ap* où Ton reconnaît aussitôt
Tellipse ou rhyperbole, et qui d'ailleurs indique le passage du
lieu aux deux points donnés, déjà géométriquement expliqué
au sujet de l'ellipse.
ii3.L'application de la théorie desfoyers àréquationsimplifiée
de Tellipse nous a fourni les deux systèmes 6=0, ac=^«* — 6*,
et a=0, 6=v/ b^ — a*, dont chacun est tour à tour seul accep-
table, selon la grandeur relative des deux dimensions a et b.
Pour l'hyperbole, le changement de b en —6* indique, au
contraire, que le second ne peut jamais convenir, et que le
premier subsiste toujours, quel que soit l'ordre de grandeur
QUATRIÈME PARTIS, CHAPITRE QUATRIÈME. 375
des axes. Les deux foyers sont donc ici constamment placés sur
Taxe transverse et non sur le grand axe. En général, tout ce
qui, pour l'ellipse, s'appliquait au grand axe, convient, pour
riiyperbole, à Taxe transverse, et de même envers le second
axe respectif. Quand on a besoin d'une dénomination commune
afin de désigner la droite qui, dans l'hyperbole, joint les deux
sommets, et, dans l'ellipse, constitue le plus long diamètre,
le nom d'axe focal se présente donc naturellement, comme seul
également propre anx deux cas.
Suivant la modification précédente, l'excentricité c vaut
ici \/ a* -f é^, et représente la distance du centre de l'hyper-
bole au point où Tasymptote coupe la tangente au sommet :
les foyers se trouvent donc situés au delà des sommets, tandis
que ceux de l'ellipse, les précédaient. Mais cette diversité ne fait
que maintenir une conformité plus essentielle, consistant en ce
que, de part et d'autre, les foyers tombent toujours dans la
concavité de la courbe, suivant les conditions nécessaires de la
notion primitive. Une telle différence ne constitue donc qu'une
nouvelle conséquence, facile à prévoir, du contraste fonda-
mental des deux figures.
En formulant les distances rationnelles,
a= a, a = h«,
a a
du foyer à un point quelconque de la courbe, il faut ici ren-
verser, envers la première, l'ordre de soustraction convenable
à l'ellipse, puisque c ^ix sont alors supérieurs à a. 11 en ré-
sulte que la différence de ces distances variables devient main-
tenant constante au lieu de leur somme, conformément & notre
distinction primordiale des deux courbes. La position des di-
rectrices est également déplacée, puisque leur commun écar-
tement du centre — est ici moindre que a ; en sorte qu'elles
376 GÉOMéTRIE PLANE.
tombent entre les sommets, et non au delà. Mais, comme en-
vers les foyers, celte modification maintient une conformité
nécessaire, afin que, des deux paris, les directrices résident
dans la convexité de la courbe, qu'elles ne doivent jamais cou-
c
per. Enfin, le rapport spécifique - surpasse désormais runité,
tÂf
conformément au contraste déjà apprécié au n* 23.
Si nous reprenons, envers l'hyperbole, le problème, d*abord
traité pour Fellipse, qui consiste à déterminer la courbe d'après
un foyer et trois points,nous en pourrons maintenant compléter
la solution, soit graphique, soit analytique, toujours assujettie
à la môme marche. Quant à la première, la construction déjà
expliquée supposait tacitement que la directrice cherchée de-
vaft constamment laisser les trois points donnés d'un même côté,
comme l'exige nécessairement rellipse,et aussi la parabole.
Mais, pour l'hyperbole, il en peut être autrement, et dès lors
ce tracé ne donne pas toutes les solutions admissibles : il faut
ici, envers chacun des points de la directrice ainsi déterminés,
accepter en outre la position comprise entre les deux points
donnés correspondants, et que marque, sur la droite de jonc-
tion, la bissectrice de l'angle dont nous avions considéré seu-
lement le supplément. Il en résulte finalement quatre solutions :
les trois nouvelles ne peuvent jamais convenir qu'à des hyper-
boles ; la première seule sera hyperbolique, elliptique, ou même
parabolique, selon que la directrice obtenue se trouvera plus
rapprochée, plus éloignée, ou aussi écartée des points donnés
que l'est le foyer.
L'appréciation analytique ne semble pas d'abord susceptible
de reproduire cette inévitable pluralité, surtout quand on ra-
mène au premier degré les trois équations de condition, comme
nous avons dû le faire au n^ 106. Mais, avec plus d'attention,
on reconnaît aisément l'exacte correspondance nécessaire des
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 377
deux modes de solution, en considérant que, dans cette utile
réduction, chacun des membres connus u\ u'% u'" pouvait éga-
lement être pris avec le signe — , et que le choix spontané du
■
signe + n'était nullement motivé. Si donc, sans altérer les for-
mules obtenues,on a convenablement égard à une telle ambiguïté,
il sera facile de leur procurer toute Textension convenable à la
pleine appréciation du problème proposé. On pourrait même
craindre d'obtenir ainsi huit solutions au lieu de quatre, s^il
n'était évident que, cette ambiguïté devant être essentiellement
relative, elle se trouvera sufiJsamment représentée par le signe
alternatif de deux des trois distances données, u\ u'\ u''\ en
attribuant arbitrairement à l'autre un signe fixe.
Cette considération est la seule qu'il importât ici d'indiquer
expressément, au sujet des divers problèmes relatifs aux
foyers, et qui d'ailleurs se résoudront, pour l'hyperbole, de
la même manière qu'envers l'ellipse, sans exiger maintenant
aucune nouvelle explication, analytique ou géométrique.
114. Relativement aux tangentes, les propriétés de l'hyperr
bole sont essentiellement les mêmes que celles de Tellipse, le
changement fondamental de ô* en — b^ ne pouvant exercer, à
cet égard, qu'une influence très-secondaire. L'équation ordi-
naire de la tangente est ici y — y'«=3 -^, {x — x'): il en résulte
comme dans l'ellipse, ar = — , , pour son intersection avec Taxe
focal ; seulement x' étant maintenant supérieur à a, et pou-
vant croître indéfiniment, ce point tombe toujours entre le
sommet adjacent et le centre, en se rapprochant continuelle-
ment de celui-ci, avec lequel il se confond quand le contact a
lieu à l'infini , conformément aux indications fournies par
l'asymptote.
Entre la direction de chaque tangente et celle du rayon cor-
as
378 ^GÉOMÉTRIE PLANE.
respondant, il existe une relation analogue à celle de Tellipse,
tang a tang a'= — : mais les deux facteurs de ce produit constant
ont alors le même signe, et deviennent susceptibles d'exacte
coïncidence, quand les deux droites se confondent avecrasymp-
tote ; en tout autre cas, le coefficient angulaire de la tangente
est supérieur et celui du rayon est inférieur au coefOcient an-
gulaire de Tasymptote. La comparaison aux cordes supplémen-
taires subsiste essentiellement, et comporte la même prévision
directe, ainsi que des conséquences équivalentes, sous de pa-
reilles modifications respectives. À la distinction de ces cordes
en intérieures et extérieures, correspond Texistence actuelle
de limites, inférieure ou supérieure, pour les inclinaisons de la
tangente ou du rayon sur Taxe focal: la tangente ne peut être
parallèle qu'aux cordes intérieures et le rayon aux autres.
Enfin, la possibilité d'une obliquité quelconque, reconnue ici
envers le premier couple, peut être également constatée et
expliquée à Tégard du second.
Quant à la propriété de la tangente à Tellipse par rapport aux
foyers, elle n'éprouve, sous sa forme la plus usuelle, d'autre
modification réelle, dans Thyperbole, que celle qui y résulte
nécessairement de la nouvelle figure générale exigeant ici
que la tangente tombe toujours entre les deux foyers, au lieu
de les laisser du même côté ; en sorte qu'elle devient alors la
bissectrice de Tangle même des deux rayons vecteurs, et la
normale celle de son supplément ; les positions de ces droites
étant ainsi échangées, comparativement au cas primitif. Il
serait superflu de s'arrêter expressément aux conséquences
graphiques de cette propriété, pour tracer la tangente, quand
en donne successivement son point de contact, sa direction
ou un point extérieur : ces. trois constructions sont spontané-
ment analogues à celles du chapitre précédent. Au sujet du
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 379
dernier cas, il peut seulement devenir utile de déduire, soit
d'une telle figure, soit de la solution analytique, la distinction
des deux modes d'incidence des deux tangentes menées du
point donné, qui tomberont sur la même branche d'hyper-
bole ou sur les branches opposées, selon que ce point sera com-
pris dans ceux des angles des asymptotes qui contiennent la
courbe ou dans leurs suppléments. Enfin, la situation actuelle
de la tangente entre les deux foyers modifierait notablement
les suites physiques de cette propriété, relativement à la. ré-
flexion, par l'hyperbole ou par l'hyperboloïde correspondant,
des émanations issues de l'un des foyers ; la convergence vers
l'autre foyer n'affecterait plus alors les droites elles-mêmes,
mais leurs simples prolongements: cette diversité, qui n'au-
rait aucune influence quant à la lumière, ferait disparaître la
concentration caustique, qui exige un concours réel, et non
purement géométrique.
Sous la seconde forme essentielle, la plus spontanément ana-
lytique, ce théorème ne peut subir ici aucune modification,
puisque l'équation y 2 -j- a;2=a ^a ^J^ ijgu jjgg ppQj g^yQjjg ^^g fQyçpg
sur les tangentes dans l'ellipse ne contient pas 6^ Ce lieu est
donc toujours un cercle, ayant encore pour diamètre l'axe
focal : seulement, au lieu d'être circonscrit à la courbe, il lui
est maintenant inscrit : le calcul et la figure s'accordent à cet
égard. En considérant les asymptotes comme des tangentes, on
y peut aisément constater la confirmation spéciale de leur com-
mune participation à cette loi.
La troisième forme géométrique de cette propriété n'éprouve
réellement aucune modification dans l'hyperbole : la valeur ef-
fective du produit constant des distances des deux foyers aune
tangente quelconque y est pareillement indiquée par les som-
mets, et en outre par l'asymptote, seule tangente qui soit alors
équidistante des deux foyers^
380 GÉOMÉTRIE PLANE.
C'est ici le lieu de mentionner uû problème intéressant, que
j'ai omis envers l'ellipse, afin d'éviter toute répétition super-
flue, mais qui, par sa nature, convient également aux deux
courbes, et même, en certains cas, à la parabole. H consiste
à déterminer une courbe du second degré d'après son foyer et
trois tangentes. Sa solution analytique ne présente aucune dif-
ficulté, et n'exige aucune explication nouvelle. Quant à la so-
lution graphique, elle dépend de la considération des projections
du foyer donné sur les tangentes. Lorsque ces trois projections
seront exceptionnellement en ligne droite, la courbe sera une
parabole, dont la détermination ultérieure a déjà été expli-
quée en son lieu. En tout autre cas, on tracera le cercle cor-
respondant, et, selon que le foyerdonné s'y trouvera intérieur
on extérieur, on aura une ellipse ou une hyperbole : son axe
focal étant ainsi obtenu, de grandeur et de position, il sera aisé
d'achever la construction, conformément à la nature de la
courbe. Si l'ensemble des données était disposé de manière à
faire passer ce cercle auxiliaire pai* le foyer connu, cette indi-
cation se rapporterait évidemment à un nouveau cas d'impos-
sibilité, autre que ceux relatifs au parallélisme des trois tan-
gentes, ou à leur concours en un mèmepoint, ou à la situation
du foyer sur l'une d'elles.
Au sujet des lieux plus ou moins remarquables qui résultent
de la considération des tangentes à l'ellipse, il faut seulement
noter, envers l'hyperbole, la modification de celui qui se rap-
porte aux intersections des tangentes rectangulaires. Son équa-
tion devient ici x^+ y*=* a^ — i^, en sorteque sa naturegéomé-
trique reste la môme, le rayon du cercle étant seulement changé*
Mais ce changement se trouve tel que, si l'hyperbole est plus
qu'équilatère, ce lieu n'existe plus, après s'être réduit au
centre pour l'hyperbole équilatère elle-même. On peut aisé-
ment expliquer ces résultats, en considérant que, lorsque Thy-
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 381
perbole est contenue dans Tangle obtus des asymptotes, aucun
point du plan ne saurait fournir de tangentes rectangulaires :
puisque les deux tangentes qui en émanent forment toujours
un angle supérieur à celui-là ou inférieur à son supplément
selon la situation de ce points d*après laremarque déjà signalée
sur les incidences respectives des deux tangentes correspon-
dantes : rhyperbole équilatère ne comporte d'autres tangentes
rectangulaires que celles tirées du centre, c'est-à-dire les
asymptotes.
115. La nature des diamètres, et leur réciprocité ou conju-
gaison, n'éprouvent aucun changement essentiel en passant de
l'ellipse à l'hyperbole, soit qu'on les découvre analytiquement,
soit qu'on les déduise spécialementduthéorèmedescordes sup-
plémentaires. Seulement^ la relation fondamentale entre les
directions de deux diamètres conjugués quelconques subit ici
la modification que nous avons déjà appréciée envers les cordes
supplémentaires, et ensuite à l'égard d'une tangente comparée
à son rayon. Par rapport aux diamètres, elle indique que les
deux droites de chaque couple, alors contenues dans la même
région du plan, sont toujours situées, l'une au-dessous, l'autre
au-dessus, des asymptotes : en sorte que l'une d'elles rencontre
la courbe et l'autre ne peut la couper, conformément aux
exigences géométriques de sa figure générale. Les deux coeffi-
cients angulaires tendant ainsi versPégalité, les deux diamètres
comportent une obliquité quelconque, et se rapprochent con-
tinuellement l'un de l'autre en s'écartant des axes correspon-
dants, de manière à admettre l'asymptote comme leur limite
commune. Il est d'ailleurs évident que la distinction des
diamètres en transverses et non-transverses correspond spon-
tanément à celle de leurs cordes en intérieures et extérieures.
D'après les motifs déjà expliqués pour l'ellipse, en rappor-
tant l'hyperbole à deux diamètres conjugués quelconques^ son
382 GÉOMÉTRIE PLANE.
équation prendra finalement la même forme qu'envers ses axes,
a*ay»«— 6'8a;'«c=— a'^i'Mes constantes a'^eti'^étant pareil-
lement exprimées par les formules
^^^^ 6'.= ___î!ÈL___
6« cos» X' — a^ sin« X" a» sin* Y' — 6^ cos* Y'
qui résultent, soit du calcul de transposition, soit de Téquation
polaire relative au centre. Le coefficient 6', propre au diamètre
non transverse, n'a d*abord, comme b lui-môme, qu'une défi-
nition purementabstraite: mais elle devient tout aussi aisément
susceptible d'interprétation concrète, à Taide des asymptotes.
Car, leur équation ne pouvant être affectée par l'obliquité des
axes, sera toujours, envers un système quelconque de diamè-
très réciproques, ]y'=±: — 7a:', et donnera semblablement
y'=: ± 6', pour a; = a' : en sorte que la longueur d'uu dia-
mètre non transverse équivaudra encore à la partie de la tan-
gente parallèle qu'interceptent les asymptotes. On pourrait
d'ailleurs continuer aussi à regarder sa moitié comme une
moyenne proportionnelle entre les distances d'un point quel-
conque de l'hyperbole aux deux asymptotes, estimées parallè-
lement au diamètre cherché.
Pour mieux lier les notions géométriques relatives aux di-
verses longueurs des diamètres non transverses, il convient de
considérer la courbe résultée de leurs extrémités. La formule
précédente de b'^ en fournit spontanément l'équation polaire,
qui, convertie, suivant le mode ordinaire, en équationrectUigne,
conduit enfin à a^ y* — b'^a^ = <2*6*.Cerésultatindiqueune hy-
perbole, nommée quelquefois la conjuguée de la première ; leurs
axes sont les mômes, mais en sens inverse, conformément à la
définition. Elles ont donc les mômes asymptotes, dont chacune
d'elles occupe les angles interdits à l'autre : leur figure est habi-
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 383
taellement opposée, et elles ne coïncident que dans le cas éqni-
latèi^e. On peut aisément constater que ces deux courbes ont né-
cessairement les mêmes diamètres, mais toujours par contraste :
en sorte que leur office spontané pour représenter distinctement
les longueurs des diamètres non transverses se trouve nécessai-
rement mutuel. Si Ton s'habitue à ne pas séparer de Timage
d'une hyperbole, celle, non moins naturelle, de sa conjuguée,
les deux sortes de diamètres deyiendront également intelli-
gibles.
Les longueurs des deux diamètres coujugués étant chacune
illimitée et d'ailleurs croissant à la fois, il est impossible que le
premier théorème d'Âppollonius ne soit pas profondément mo-
difié envers l'hyperbole, où il devient, en effet, a'^^b'^= a*— ô*,
suivant le changement accoutumé. Il en résulte que jamais a'
et b' ne peuvent être égaux, à moins que a ne soit égal à 6, au-
quel cas a' équivaut toujours à b\ Ainsi, en aucun sens, il
n'existe, dans l'hyperbole, un système spécial de diamètres con-
jugués, caractérisé par une égalité de longueur qui n'est jamais
possible qu'autant que la courbe devient équilatère, et qui alors
a lieu indifféremment. On sait déjà, en efTet, que la position
des diamètres égaux de l'ellipse correspond à celle des asymp-
totes de l'hyperbole, lesquelles ne sauraient constituer mu-
tuellement aucun couple de diamètres conjugués, puisque cha-
cune d'elles représente à la fois les deux éléments d'un tel
couple.
Quant au second théorème d'Apollonius, a'b' sin V = aô, il
ne peut subir ici aucune modification, d'après la compensation
des changements simultanés qu'y éprouvent beib\ Cette per-
sistance analytique s'explique géométriquement, malgré l'illi-
mitation commune des longueurs a' et b\ par la suppression
nécessaire de toute limite d'obliquité : à mesure que les deux
diamètres s'allongent à la fois en se rapprochant tous deux de
384 GÉOMÉTRIE PLANE.
Tasymptote, la diminution, non moins indéfinie, de leur angle
permet de concevoir qae Taire du parallélogramme correspon-
dant demeure invariable, quoique sa constance soit alors encore
plus remarquable que dans Tellipse.
Au sujet de ces deux théorèmes, il convient de noter ici que
la modification nécessaire du premier y interdit l'emploi de
Tartiflce spécial qui, pour Tellipse, nous avait conduits à sim-
plifier beaucoup la détermination, soit algébrique, soit surtout
graphique, de la longueur des axes d'après deux diamètres con-
jugués quelconques, donnés de grandeur et de position. Mais,
en ajournant un peu cette solution, de manière à pouvoir y
employer le nouvel ordre de propriétés, éminemment caracté-
ristique, que présente Thyperbole envers ses asymptotes, on
reconnaîtra ci-dessous que l'ensemble de cette recherche, com-
porte finalement encore plus de simplification dans Thyperbole
que dans Tellipse, quand on y emploie judicieusement, de part
et d'autre, les moyens les plus convenables.
116. En considérant l'équation des asymptotes de l'hyper-
bole rapportées à deux diamètres conjugués quelconques,
y '=± —, a;',on aperçoit d'abord Tentière généralisation de leur
construction primitive, en reconnaissant, d'après l'hypothèse
ic'=a', qu'elles coïncident toujours avec les diagonales du pa-
rallélogramme construit sur ces diamètres. Mais, une plus
complète appréciation géométrique de la même équation conduit
ensuite à un théorème très-remarquable, qui constitue réelle-
ment la plus importante propriété spéciale de l'hyperbole. On y
voit, en effet, que chaque valeur de l'une des coordonnées x'
ou y' donne toujours à l'autre deux valeurs égales envers les
deux asymptotes. Gela posé, toute transversale tirée au hasard
dans le plan de l'hyperbole pouvant y être regardée comme pa-
rallèle à quelque diamètre, transverse ou non transverse, le
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 385
conjugué de celui-ci passera donc constamment au milieu de la
partie de cette droite comprise entre les asymptotes : or, le
milieu de la corde, extérieure ou intérieure, que cette même
droite forme dans l'hyperbole étant aussi situé nécessairement
sur ce dernier diamètre, il s'ensuit que les deux portions de la
transversale interceptées, des deux parts, entre la courbe et
Tasymptole, telles que MN et M'N' [fig, 75) ou LD et L'D', ont
sans cesse une égale longueur.
Cette belle propriété fournit spontanément le moyen le plus
simple pour décrire par points une hyperbole, d'après les asymp-
totes, et un point donné M, d'où il suffira de mener une trans-
versale quelconque NN' entre les deux asymptotes, afin d'y
reporter, à partir de l'une, sa portion MN marquée par l'autre,
de manière à obtenir le second point M' de la courbe qui
s'y trouve situé : chacun des points ainsi marqués pourra
d'ailleurs devenir, à son tour, le centre d une pareille con-
struction, pour éviter la confusion graphique inhérente à
l'accumulation d'un trop grand nombre de lignes autour d'un
même point.
Quoique une telle description doive, par sa nature,être jugée
caractéristique, il importe cependant de le constater expressé-
ment, en déduisant l'équation de l'hyperbole de cette seule
propriété. Mais, auparavant, il convient de simplifier ici
l'équation naturelle M'N'=MN,soit pour sa discussion directe,
soit pour le passage à l'équation rectiligne, en la remplaçant
parla relation, évidemment équivalente, M'E=NB, entre
deux longueurs dont la direction est invariable, et que déter-
minent les parallèles menées respectivement de M et M' aux
asymptotes opposées. Sous cette forme mieux appréciable, cette
définition indique d'abord que la distance M'E du point décri-
vant M' à la droite donnée OX peut diminuer autant qu'on
voudra, sans cependant s'annuler autrement qu'à l'infini.
:
386 GÉOMÉTRIE PLANE.
comme la longueur NB elle-même, à mesure que la transYer-
sale NN' tend vers la direction OX : ainsi, indépendamment
de toute notion antérieure, le lieu cherché doit être asympto*
tique à chacune des deux droites fixes. On voit aussi que le
point donné M en doit faire partie, en considérant la trans-
versale qui y aurait son milieu, et qui dès lors y deviendrait
une tangente, d'après la coïncidence spontanée des deux points
M et M'.
Pour transformer cette équation naturelle, H'E «=> NB, en
équation rectiligne, il convient de diriger les axes suivant les
deux droites fixes OX et OY, en vertu de leur asymptotisme.
En désignant par x et t/\ les coordonnées correspondantes du
point variable M', et par a et 6 celles du point donné M, Téqua-
tion de la transversale sera
et il faudra exprimer que la valeur dey — € qui y correspond
à xt=iO équivaut constamment à f/\ On trouve ainsi Téqua-
lion a:'y*=a6, qui annonce évidemment Thyperbole.
En considérant directement la forme que doit prendre Téqua-
tion de Thyperbole par rapport à ses deux asymptotes, il est
aisé de prévoir, comme je Tai indiqué au n® 91, qu'elle con-
tiendra seulement le terme en xy et le terme constant, puisque
les deux termes propres à chaque variable doivent à la fois dis-
paraître, d'après Tasymptotisme de Taxe correspondant. Cette
équation xt/'^m^ indique géométriquement que le parallélo-
gramme MPOB, construit sur les coordonnées asymptotiques
d'un point quelconque M de l'hyperbole, a une aire invariable:
c'est sous cette forme que les anciens connaissaient, à leur ma-
nière, cette relation nécessaire. Si Ton considère en particulier
le losange ainsi formé au sommet, et dont le côté équivaut évi-
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 387
demment, d'après les notions anlérieures, & la demi-distance du
foyer au centre, on reconnaît que cette constante m représente
ici la demi-excentricité. L'ensemble de ces prévisions est aisé-
ment conflrmé par Texécution du calcul de transposition qui,
en partantde l'équation primitive, ch/^^b^x^'^ — a*ô^, relative
aux axes de Thyperbolé, fournit, par rapport aux asjrmptotes,
a* + è^
l'équation oay = — -— , suivant les formules ordinaires
;t = ic' cos X' -f y' cos Y', y = rc' siii X' + y ' sin Y',
en ayant égard aux hypothèses actuelles,
tang Y'= -, tangX'= .
a a
Cette équation xy=^m^ serait plus propre qu'aucune autre,
à raison de sa simplicité supérieure, à l'étude spéciale de la
courbe, si les axes correspondants étaient rectangulaires : mais
cela n'a lieu, comme on sait, que pour l'hyperbole équUatère,
dont l'étude particulière ne mérite plus aujourd'hui une atten-
tion "séparée. Envers tout autre cas, les inconvénients attachés
à l'obliquité de tels axes font plus que compenser ordinairement
l'aptitude algébrique d'une telle équation, sauf envers les re-
cherches géométriques où larectangularitédesaxesne constitue
aucun avantage important. On peut remarquer ici cette excep-
tion au sujet des tangentes, dont le coefficient angulaire, ainsi
devenu — —, , fournira un résultat fort simple relativement à la
X
sous-tangente correspondante, maintenant égale à l'abscisse
asymptotique du point de contact. Toutefois, il faut recon-
naître que cette notion ne constitue, au fond, qu'une consé-
quence facile du théorème des transversales, qui, poussé jusqu'à
sa limite, indique aussitôt l'égalité constante des deux parties
de la tangente comprises entre le point de contact et les deux
388 GÉOMÉTRIE PLANE.
asymptotes : en sorle que cette propriété caractéristique de
rhyperbole y fournit spontanément la meilleure solution spé-
ciale du problème des tangentes. Nous allons bientôt apprécier,
pour la question plus importante des quadratures, Tavantage
essentiel que présente, à certains égards, la simplicité supé-
rieure de Téquation asymptotique de l'hyperbole.
Le judicieux emploi des propriétés relatives aux asymptotes
rend plus facile envers Thyperbole qu'envers Tellipse la con-
struction finale suivant laquelle on détermine graphiquement
tous les éléments géométriques de la courbe, d'après une por-
tion quelconque de sa circonférence. On commencera, comme
dans Tellipse, par tracer, à Taide de deux couples distincts de
cordes parallèles, un système de diamètres conjugués, dont la
longueur se trouvera spontanément connue ainsi, quant à celui
qui sera transverse, et ensuite aisément assignable pour l'autre,
à Taide d'un des points de Tare donné, selon nos explications
antérieures. Mais, après ce préambule graphique commun aux
deux courbes, tout le reste de la construction pourra prendre
ici une marche plys simple que dans Tellipse, en déterminant
aussitôt les asymptotes, parles diagonales du parallélogramme
correspondant aux deux diamètres obtenus. Cela posé, la di-
rection des axes de l'hyperbole résultera immédiatement de la
bissection des deux angles asymptoliques, et la longueur de
chacun se trouvera'flnalement sous plusieurs formes commodes,
surtout comme moyen proportionnel entre les distances d'un
point de l'arc aux deux asymptotes, mesurées parallèlement
à l'axe cherché, ou entre la coordonnée correspondante de ce
point et celle de l'intersection de sa tangente avec cet axe, etc.,
de manière à fournir aisément divers modes de vérification
pour l'ensemble du tracé.
117. Parmi les nombreux problèmes, déterminés ou indé-
terminés, que suggère naturellement la théorie de l'hyperbole,
OUATRIÈME PARTIE, CHAPITRÉ QUATRIÈME, 389
il sufQra d'en choisir ici quelques-uns, qui permettront au
lecteur de multiplier spontanément ces utiles exercices.
Considérons d'abord la détermination d'une hyperbole d'a-
près une asymptote et trois points. La loi des transversales y
indique aussitôt une commode solution graphique, fondée sur
la construction préalable de la seconde asymptote, dont ce
théorème fournit aisément deux points, à Taide des deux cordes
qui joignent l'un des points donnés aux deux autres, prolon-
gées d'abord jusqu'à l'asymptote connue. Quant à la solution
analytique, on la simplifiera beaucoup, si les axes sont dispo-
nibles, en prenant pour axe des y l'asymptote, et faisant passer
l'axe des x par deux des points : l'obliquité de tels axes n'ap-
portera d'ailleurs aucun obstacle à cette recherche, d'après la
nature des conditions proposées. L'équation del'hyperbolesera
ainsi, en vertu de l'asymptotisme.
En ayant égard aux abscisses j:" et ^'" des deux premiers points
donnés, lesquelles devront devenir les racines de l'équation
cx^+ ex = 1, et formulant ensuite le passage à l'autre point
x\ y\ on obtiendra finalement
' >-." -^'ï'
XX x'x' xyx'x
D'après ces formules, tous les cas d'impossibilité seront né-
cessairement de nature précise, conformément aux indications
géométriques ; elles deviendraient infinies, si x" ou a:'" s'an-
nulaient, ce qui placerait l'un des deux premiers points sur
l'asymptote; en outre, la troisième pourrait l'être aussi, d'après
l'annulation de x' ou y\ d'où résulterait la situation de l'autre
point ou pareillement sur l'asymptote ou en ligne droite avec
les précédents. On doit enfin remarquer le cas de 6 «a o, qui
390 GÉOMÉTRIE PLANE.
n^est pas plus admissible que ceux-là : il y faut considérer le
numérateur comme équivalent au produit (ar' — x'') (a:' — a:'"),
en sorte que cette hypothèse revient à x't=^x" ou x' = x"\
c'est-à-dire que Tune des deux cordes menées du dernier point
aux deux premiers deviendrait parallèle à Tasymptote donnée.
Les analogues graphiques de ces divers symptômes d'impossi-
bilité sont faciles à apprécier.
Supposons maintenant que deux des points qui précèdent
soient remplacés par le sommet. En le considérant comme équi-
distantdes deux asymptotes,Iaconstruction restera presqu'aussi
facile pour trouver d'abord la seconde asymptote, ainsi tangente
à un cercle aisément assignable, et passant encore en un point
connu : seulement, ce tracé signale ici, outre les cas précis
d'impossibilité déjà remarqués, un cas vague tenant à la situa-
tion de ce point dans ce cercle. La solution analytique devra
maintenant faire préférer des axes rectangulaires, Tasymptote
et sa perpendiculaire au sommet. En partant de la même
équation que ci-dessus, Tabscisse d de ce dernier point, et les
coordonnées x\ y' du premier, y fourniront d'abord les deux
conditions
qu'il faudra compléter en caractérisant analytiquement le som-
met. Pour cela, le mode le mieux en harmonie avec l'ensemble
de la question actuelle, consiste à exprimer Téquidistance aux
deux asymptotes, comme dans la solution graphique. Car, ici,
la méthode subsidiaire conduit aussitôt, par une division mo«
nome, à l'équation de la seconde asymptote y = — - x — -j-,
dont la distance au sommet donné fournit aisément la troisième
condition cherchée 2crf + e* = 6*cP. Les deux premières per-
mettraient sans difficulté la réduction préalable de c et e à la
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 391
seule inconnue 6, dès lors déterminée par une équation du
second degré, que j'engage le lecteur à discuter.
En supprimant, dans cette question, le second point donné
x\ y\ elle devient indéterminée, mais suivant la juste mesure
que comporte la recherche des lieux. Proposons-nous de trouver
celui des foyers. Les axes précédents restent très-convenables,
d'après l'évidente symétrie d'un tel lieu. Mais, quoique l'équa-
tion ci-dessus permît, sans doute, suivant nos principes géné-
raux, ou conformément à la construction spéciale, l'introduc-
tion du foyer, il est préférable d'employer un autre type
analytique, directement fondé sur l'équation focale
Ty — ^* + (•r — «)' = {px + qy + r)«,
où les conditions d'asymptotisme donneraient d'abord q=-\.y
r=3 — 6, pour la suppression nécessaire des termes en y seul.
Ainsi devenue, comme précédemment,
^pxy -f (jo^ — i) ^2 + ^ (a — joê; X = «2,
le passage au sommet donné y fournirait une première condi-
tion {p^ — 1) rf3 + 2 (a — p^) d= a*, qu'U resterait à compléter
d'après le caractère d'un tel point. Parmi les divers modes
qu'il comporte, le plus simple consisterait ici dans la rectangu-
larité entre la tangente correspondante et la droite qui va de ce
mm
point au centre a3=0, y = 6 . Cette seconde relation étant
V
une foisformée,elle permettrait d'éliminer p à l'aide de la pre-
^ (x d)
mière, de manière à fournir l'équation cherchée y^ = -— ^ — -r- ,
par un calcul dont je laisse l'exécution au lecteur.
La définition de ce lieu indique naturellement, en ayant
égard aux notions spéciales, une description par points, qui
conduirait plus simplement à l'équation précédente, et qui
d'ailleurs annonce déjà la figure générale d'une telle courbe*
392 GÉOMÉTRIE PLANE.
Car, en considérant Pasympto te donnée comme le lieu spontané
du centre, chaque position C de ce point déterminerait la posi-
tion correspondante du foyer F {fig, 76) par l'intersection de la
droite CD qui le réunirait au sommet fixe D avec .un cercle
décrit de C et passant en E, où la perpendiculaire DE à Taxe va-
riable de rhyperbole coupe Tasymptote OY. D'après cela,quand
cet axe CD tend vers sa limite horizontale OX, l'ordonnée FP,
toujours inférieure à DO ou d, tend à lui devenir égale, sui-
vant la constante similitude des triangles FDP et EOD, dont
les hypoténuses tendent alors vers l'égalité. Ainsi, la partie
droite de la courbe cherchée est symétriquement comprise
entre deux asymptotes horizontales, BG et B'G', menées à la
distance d de son axe OX. Une comparaison analogue montrera
en sens inverse, quecesasymptotesconviennentaussiàla partie
gauche, correspondante au second foyer F', dont Tordonnée
F'P' décroîtra simultanément, en tendant vers sa limite infé-
férieure d. Si maintenant on rapproche, au contraire, Taxe va-
riable DC de sa limite verticale DI, on voit que le foyer F
tendra vers le sommet donné D, tandis que Tautre foyer s'a-
vancera continuellement vers la verticale opposée D'L', qu'il
ne cessera pourtant de dépasser qu'à Tinfini ; en sorte que la
seconde portion du lieu, interrompue de OY à rL',se trouvera
symétriquement comprise entre des asymptotes rectangulaires.
Le lecteur reconnaîtra facilement la conformité de l'équation
ci-dessus obtenue avec la figure générale que notre définition
graphique assigneainsià cette courbe remarquable dutroisième
degré.
En renversant la question précédente, on est conduit à cher-
cher le lieu des sommets de toutes les hyperboles ayant une
même asymptote et un foyer commun. Si, par un motif évident
de symétrie, on rapporte encore l'hyperbole à l'asymptote
donnée et à la perpendiculaire menée du foyer donné, sou
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 393
équation sera, d'après le type focal, et eu égard à Tasympto-
tisme,
d désignant la distance du foyer à l'asymptote, et p le coeffi-
cient variable de la directrice. On introduira ici le sommet
comme étant à la fois sur Thyperbole et sur la perpendiculaire
y= - (x— d), menée du foyer à la directrice; ce qui, par Té-
limination de p^ conduira aisément à Téquation cherchée
y*=-~ ^, déjà discutée dans la troisième partie de ce traité.
La description spéciale, dont cette courbe serait encore plus
facilement susceptible que la précédente, confirmerait claire-
ment la forme résultée de cette équation, qui pourrait d'ail-
leurs être ainsi obtenue très-simplement.
Si, dans ce dernier problème, on remplaçait le foyer donné
par une directrice, il serait superflu de chercher aucun des
lieux correspondants ; cai*, la théorie de la similitude indique
d'avance, envers toutes les hyperboles ayant une asymptote
et une directrice communes, qu'il n'en pourra jamais ré-
sulter que des lieux rectilignes, convergeant tous vers l'inter-
section de ces deux droites.
118. Il ne nous reste plus maintenant à considérer l'hyper-
bole que relativement à sa quadrature. En partant de l'équa-
tion aux axes y = -^ a?— a*, la mesure du segment hyper-
bolique ne deviendrait accessible à nos méthodes élémentaires
que sous forme de série : seulement on aperçoit aussitôt,
comme dans l'ellipse, d'après le principe de Wallis, la réduc-
tion spontanée du cas général à celui de lliyperbole équila-
tère, dont il sera dès lors permis de s'occuper exclusivement,
quoique celte simplification n'offre ici aucun avantage impor-
S3
394 GÉOMÉTRIE PLANE.
tant. Mais, en considérant Téquation asymptotique xy = m',
on peut y découvrir une loi très-remarquable pour Taire cor-
respondante SDMP {fig. 77), comptée du sommet. Si Ton
transporte Torigine en D, conformément à nos habitudes dç
quadrature, cette équation devient y «= — -r— , et le dévelop-
pement du quotient en série, donne aisément
t/s=m — OJH 5 + etc.
n en résulte, pour Taire cherchée, la série très-simple
S X i(x\ i(x\^
où Talgèbre apprend à reconnaître le développement du loga-
rithme népérien de 1 + - . On trouve ainsi finalement, en re-
venant à Tancienne origine des abscisses, la formule
S =mV ( - ), d'après laquelle ce segment hyperbolique, d'où
tout autre pourrait dériver, croît comme le logarithme du rap-
port de ses deux abscisses extrêmes.
Cet important résultat peut être essentiellement confirmé,
indépendamment de notre théorie générale des quadratures,
par une appréciation spéciale de la somme des rectangles élé-
mentaires qu*on substituerait d'abord au segment SDMP, en y
considérant divers points intermédiaires M', M", etc., dont
nous ne fixons pas encore la répartition. Sia:',y'etx",y", etc.,
désignent les coordonnées de ces sommets auxiliaires, les rec-
tangles successifs auront pour mesure r = y' [x* — m),
r'=y''{x"—x'), r"=y'" (a:" —a:"), etc. En y rapportant les
ordonnées aux abscisses, d'après Téquation ay = m*, on aura
finalement
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 39o
r^my-^:), r'=m«(l-|), r"-m«(l-|;.), etc.
Or, ces expressions montrent que tous ces rectangles partiels
deviendraient équivalents, en faisant croître les abscisses in-
termédiaires, ou décroître les ordonnées correspondantes, en
progression géométrique, comme pour notre première mé-
thode élémentaire de quadrature, quelle que fût d'ailleurs la
raison de cette progression. Dans une telle hypothèse, un
second segment hyperbolique MPNQ équivaudrait nécessaire-
ment au premier, si son ordonnée finale NQ était en progres-
sion géométrique avec les ordonnées extrêmes SD et MP de
celui-ci ; puisqu'on y pourrait ainsi inscrire un pareil nombre
de rectangles égaux à ceux de la série primitive, en tant que
leurs hauteurs prolongeraient la même progression, la relation
constante de ces deux sommes analogues devant d'ailleurs
s'étendre jusqu'à leurs limites respectives. L'aire SDMP
augmente donc enprogression arithmétique, quand son abscisse
finale OP croît en progression géométrique ; ce qui est exac-
tement conforme à la loi analytique obtenue ci-dessus, suivant
la correspondance fondamentale entre la marche des loga-
rithmes et celle des nombres. Toutefois, cette considération
spéciale est moins complète que notre appréciation générale,
en ce que la loi de variation des aires hyperboliques n'y
assigne pas la mesure propre de chaque segment, mais
seulement son rapport effectif à un segment initial, dont la dé-
termination resterait alors inaccomplie.
On voit ainsi comment la quadrature de l'hyperbole ordi-
naire, que nous avons vue, au n® 80, échapper, au moins di-
rectement, à la règle analytique qui convient à toutes les
autres hyperboles, est assujettie à une loi distincte, qui rentre
pourtant, à sa manière, dans cette commune formule, quand
on y applique les moyens propres à l'évaluation des symboles
396 GÉOMÉTRIE PLANE.
indéterminés. Si Ton considère ]*ensemble de Taire hyperbo-
lique, depuis le sommet jusqu'à Tune ou à Tautre asymptote,
les deux démonstrations précédentes annoncent pareillement
que ces deux aires, actuellement égales, sont toutes deux in-
finies, soit comme proportionnelles au logarithme d'un nombre
infiniment grand, soit comme augmentant indéfiniment par
degrés équivalents ; tandis que, envers toute hyperbole d'un
plus haut degré, nous avons reconnu que Tune d'elles est finie
et l'autre infinie.
Notre théorie des quadratures fournit aisément la mesure
des volumes résultés de la rotation de l'hyperbole autour de
chacun de ses axes. Si l'on considère d'abord l'hyperbololde
discontinu, produit autour de l'axe transverse, il faudra, pour
ne pas troubler nos habitudes analytiques, porter l'origine au
sommet, où seulement commence le segment générateur, en
adoptant l'équation y'» - {x^-\- 2ax). D'après la règle ordi-
(i •
naire, qui ramènera cette cubature à la quddiature d*une para-
fe* fi \
bole, on trouvera ainsi la formule V = ir -, a:' - a; +a , ana-
a* 13 /
logue à celle du segment sphérique. Quant à 1 hyp^rbololde
continu, correspondant à la révolution de la courbe autour de
son axe non transverse, on pourra conserver l'équation ordi-
naire ah/* — ô*a:^= — a^ô*, en y dégageant x au lieu d'y, puis-
que la rotation se fait maintenant dans l'autre sens. Le résultat,
dépendant encore de la quadrature de la parabole, sera dès
lorsV'=:^^'y(^y«H-è|
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME. 397
CHAPITRE V.
Appréciation des courbes du second degré comme sections coniques.
«
119. Après avoir suffisamment étudié les principales pro-
priétés de la parabole, de Tellipse, et de Thyperbole, il nous
reste à considérer ces trois courbes sous un dernier aspect com-
mun^ plus propre qu^aucun autre à faire nettement saisir l'en-
semble de leur figure, en y voyant, suivant la notion initiale
des anciens, les sections d*un cône ou d'un cylindre par un
plan diversement situé. Toute ligne peut être envisagée, d'une
infinité de manières, comme Tintersection de deux surfaces; et,
quand celles-ci peuvent être facilement conçues, en tant que
résultant du mouvement de lignes plus simples, aucune des-
cription directe ne peut aussi clairement caractériser la forme
d*une courbe qu'une telle pénétration : c'est ainsi, entre autres,
que les courbes du n^ 22 sont surtout appréciables à titre de
sections planes d'un tore. En partant de la ligne droite et du
cercle, naturellement indiqués dans une foule de phénomènes
journaliers, les premières courbes régulières que l'esprit hu-
main ait réellement inventées furent, en effet, imaginées
d'après ce mode, quand les géomètres grecs pensèrent à com-
biner entre elles les plus simples surfaces engendrées par ces
deux lignes primordiales.
S'il s'agissait ici de considérer, en général, toutes les inter-
sections de surfaces propres à produire les courbes du second
degré, la question exigerait nécessairement la géométrie à trois
dimensions. Mais, devant nous borner à la combinaison la plus
398 GÉOMÉTRIE PLANE.
propre à perfectionner l'étude de ces lignes, cette appréciation
complémentaire, sans appartenir spontanément à la géométrie
plane, y peut aisément rentrer, à Taide d*un artifice spécial,
qui, généralisé autant que possible, s'étendrait également aux
sections planes de toute surface de révolution. Nous l'appli-
querons seulement au cylindre et au cône considérés en géomé-
trie élémentaire, c'est-à-dire à la fois circulaires et droits, et
qui, comme on sait, deviennent alors exceptionnellement les
plus simples corps ronds. Quoique le premier cas soit facile-
ment compris dans le second, et malgré que le cylindre ne
puisse fournir que Tune de nos trois courbes, son image plus
claire encore et plus familière doit nous déterminer à l'envi-
sager d'abord distinctement.
En concevant un cylindre engendré par une droite AN
(fig, 78), autour d'un axe parallèle IL, les sections planes de*
cette surface sont immédiatement connues, comme envers tout
autre corps rond, quand elles sont perpendiculaires à l'axe :
or, c'est en partant de tels cercles, que, par une méthode spé-
ciale, on peut découvrir la nature ou former l'équation de la
coupe qui résulterait d'un plan quelconque, sans sortir réel-
lement du domaine de la géométrie à deux dimensions. Quel
que soit ce plan, la section sera nécessairement toujours symé-
trique autour de sa trace AB sur le plan qui lui serait mené
perpendiculairement par l'axe de la surface : quant au cylindre
en particulier, la courbe aura d'ailleurs pour centre évidentle
point où son plan coupe cet axe. Plaçons donc en ce point l'ori-
gine de deux axes rectangulaires situés dans le plan de cette
courbe, et dont l'un coïncide avec cette trace. Afin de trouver
la relation d'une abscisse quelconque OP à l'ordonnée corres-
pondante, il suffit de mener par P, perpendiculairement à l'axe
du oylindre, un plan auxiliaire, qui coupera la surface suivant
uii cercle dont CPD sera le diamètre : dès lors, cetto ordonnée,
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE GINQUlèHE. 399
spontanément commune aux deux courbes, fournira, d'après
la seconde, la relation constante y^=PD X PC, qu'on peut ici
considérer comme relation naturelle de la section oblique.
Pour en déduire l'équation déflnitive,il ne reste plus qu'à rap-
porter les facteurs PD et PC à l'abscisse OP ou a:, à l'aide des
constantes du problème, qui sont le rayon r du cylindre et l'in-
clinaison « de son axe sur le plan coupant. Or, la somme de ces
deux lignes étant connue, tout se réduit à calculer PD, d'après
le triangle PAD, qui donne
PD=APsina=(AO — a;)sina=( -: a; jsina=r— xsina.
\sma /
Il en résulte aussitôt l'équation de la courbe cherchée
y^ + x'^ sin* a = r*.
Cette section est donc toujours une ellipse, dont le petit axe
équivaut constamment au diamètre du cylindre,le rapport des
axes y étant égal au sinus de l'inclinaison de son plan sur l'axe
de la surface. Tel est le mode le plus simple d'après lequel on
puisse nettement se représenter une ellipse.On voit ainsi que,
sur un même cylindre, on pourra concevoir des ellipses de
toute forme, en changeant l'obliquité des coupes, mais non de
toute grandeur. L'excentricité est ici égale à la projection OE
du demi-grand axe OA sur l'axe du cylindre ; ce qui permettra
de marquer aisément les foyers.
120. Considérons maintenant le cas du cône, principal objet
de ce chapitre, en concevant cette surface comme engendrée
par la rotation d'une droite G'SG invariablement liée à l'axe
fixe CSC, qu'elle rencontre toujours en S : chaque cône sera
suffisamment défini par l'angle constant 6 de cette génératrice
avec cet axe. En supposant que la figure 79 soit tracée dans le
plan mené par Taxe du cône perpendiculairement il celui de la
section cherchée, noua rapporterons cett^ conrbe à deux axes
400 GÉOMÉTRIE PLANE.
rectangulaires, dont l'un AX coïncide, de même qu'envers
le cylindre, avec Tintersection de ces deux plans : nous pla-
cerons d'ailleurs, pour plus d'uniformité, l'origijie au point A,
où l'on peut aisément constater que la tangente à la courbe sera
constamment perpendiculaire à son axe géométrique AX.Cela
posé, en menant, comme ci-dessus, par l'extrémité P d'une
abscisse quelconque, une section auxiliaire, perpendiculaire-
ment & l'axe de la surface, on aura pareillement y«=aPD X PE;
sauf à exprimer en x ces deux facteurs variables, à l'aide des
données, linéaire et angulaire, qui définissent le plan coupant,
d'après la distance dàxi sommet de la courbe au sommet du
cAne et l'inclinaison a de son axe géométrique sur la généra-
trice SA. Or, le triangle APD fournit immédiatement l'exprès-
sion de PD = ar -• Quant à PE, on le rapportera provisoire-
cos6
ment à PB ou AB — .r, dans le triangle PBE, qui donne
PE = (AB — x) ^ , en évaluant l'angle B d'après le
^ cos o
triangle BAS : ce dernier triangle permet ensuite d'éliminer
AB == -T — : — ^. Il en résulte finalement, pour la courbe
sm(a+6) ^
cherchée, l'équation
, sin a sin (a 4- 26) « a. . ^ ^
V'H 3-s ' « — 2a sma tang6.ac = 0.
cos* b
La section d'un cône parun plan est donc toujours une courbe
du second degré : c'est en cela que consiste ici notre proposi-
tion principale ; car, d'après cette notion, l'inspection directe
de la figure permet aisément de caractériser les situations pro-
pres à fournir successivement la parabole, l'ellipse et l'hyper-
bole. D'après la règle analytique ordinaire, ces trois cas cor-
respondront à a + 26= 180°, a + 26 < 180°, a -f 26 > 180* ;
ce qui indique le plan coupant, soit comme parallèle à la gé-
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME. 401
nératrice opposée, soit comme la rencontrant au-dessous du
sommet S, soit enfin comme la rencontrant au-dessus de ce
point : on voit, en effet, que le lieu sera dès lors limité d'un
côté et illimité de Tautre, ou fermé de toutes parts, ou enfin
illimité et discontinu entre les deux nappes du cône. En con-
cevant ainsi les trois courbes du second degré, Tellipse se pré-
sente d'abord spontanément, puis la parabole, et ensuite l'hy-
perbole, en s'écartant graduellement de la section perpendicu-
laire à Taxe, qui constitue ici le point de départ naturel : la
situation parabolique devient alors la commune limite des si-
tuations elliptiques et des situations hyperboliques. Pour les
anciens, qui ne considéraient habituellement que des sections
perpendiculaires aux génératrices, ces trois lignes exigeaient
chacune un cône différent : la parabole correspondait au cône
rectangle, où l'angle des génératrices opposées est droit, l'el-
lipse au cône acutangle, et Thyperbole au cône obtusangle.
On peut envisager Téquation précédente comme représentant
aussi les sections cylindriques, en y supposant nul l'angle du
cône S ; mais il faut alors transformer le dernier coeflicient,
afin d'éviter l'indétermination qu'y produit d'abord l'hypothèse
simultanée de d infini, en remplaçant cette longueur par une
autre qui doive rester finie, telle que la distance r du sommet
de la section à l'axe de la surface, laquelle équivaut à d sin 6.
En faisant ensuite 6=0, on obtient l'équation y* -f sin* fx.x^ —
2r sin a.x = 0, qui ne peut plus représenter qu'une ellipse,
conformément au n* précédent, où l'origine, maintenant au
sommet, était au centre.
Quoique l'artifice employé dans ces deux cas doive être
bientôt remplacé par les méthodes générales que fournit
spontanément la géométrie à trois dimensions pour toutes les
intersections de surfaces quelconques, cependant, comme il
est toujours utile, au moins logiquement, de généraliser
402 GÉOMÉTRIE PLANE.
autant que possible chaque procédé scientifique, il convient
de sentir que celui-ci est plus étendu qu'on ne le suppose
ordinairement et qu'il devient essentiellement applicable à
tous les corps ronds, d'après la connaissance préalable de leur
courbe méridienne. Pour s'en mieux convaincre, le lecteur
devra l'appliquer à quelque autre surface de révolution suffi-
samment simple, en étudiant ainsi, par exemple, les sections
planes du paraboloïde.
121. Afin d'éclaircir autant que possible la notion des courbes
du second degré comme sections coniques, il faut maintenant
retrouver sur le c6ne les principaux éléments géométriques
que nous a successivement offerts l'étude spéciale de chacune
d'elles.
Cette appréciation finale est d'abord très-facile envers la
parabole, dont l'équation est ici y' = 4d sin* S.a:, d'après
l'hypothèse caractéristique a 4*2^ = ^S^- ^^ cette expression
de son paramètre, on peut aisément déduire la construction
conique de son foyer, où l'on doit ainsi voir la projection, sur
Taxe de la parabole, de la projection du sommet de cette
courbe sur l'axe du cône. Il en résulte, réciproquement, un
mode fort simple pour transporter, sur un cône donné, une
parabole donnée : car, en y regardant la distance du foyer au
sommet comme la base d'un triangle rectangle dont l'angle
opposé soit égal à celui du cône, l'hypoténuse de ce triangle
mesurerala distance du sommet de la parabole àl'axe du cône,
ce qui permettra de placer facilement la section.
Quant à l'ellipse, on déterminera ses axes en comparant
l'équation générale du n** précédent à celle de cette courbe
rapportée au sommet.
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME. 403
ce qui donne
b^ sin a sin (a -f 2ê) 6*
-, = )-; -, - = d sm a tang 6.
a^ cos*ê a °
De la combinaison de ces deux relations, il résulte les formules
d sin 6 cos 6
sin (a + 2ey
V Sin (a 4- 26)
Lapremière .indique que le grand axe de Tellipse est toujours
la droite AB, résultant de l'intersection de son plan avec celui
qui lui est mené perpendiculairement par Taxe du cône, sui-
vant les évidentes indications du sujet. Quant à la seconde,
Tinterprétation conique en est moins directe ; mais il est aisé
d'y reconnaître le demi-petit axe comme une moyenne propor-
tionnelle entre les distances des deux extrémités A et B du grand
axe à Taxe du cône. En combinant convenablement ces deux
déterminations^ on en déduirait la construction conique des
foyers : mais on peut aussi l'obtenir immédiatement avec plus
desimplicité, de manière à mieux éclaircir l'ensemble d'une
telle concordance. Il faut remarquer que, d'après ces notions,
la distance des foyers est toujours égale à la partie AN ou BR
delà génératrice comprise entre les deux plans perpendiculaires
àPaxe du cône, qui circonscrivent l'ellipse considérée ; cette
relation résulte d'un théorème élémentaire, peu connu et
d'ailleurs peu utile, constituant une conséquence indirecte du
théorème de Pythagore, et consistant en ce que, dans tout
trapèze isocèle tel que ANBR, le carré de la diagonale équi-
vaut au carré du côté égal plus le rectangle des côtés inégaux.
Si donc on jporte sur AB, de part et d'autre de son milieu, la
moitié de AN, on y marquera les deux foyers de l'ellipse.
En renversant les relations précédentes, il devient facile,
réciproquement, de placer, sur un cône donné, une ellipse
404 GÉOMÉTRIE PLANE.
donnée. Graphiquement, on peut d*abord reproduire aisément,
dans le planderellipse,les triangles ANB et BRA, en prenant
pourbase commune la distance entre les foyers, et pour angle
adjacent le complément de Tangle du cône ou le supplément de
ce complément, le côté opposé étant d'ailleurs égal au grand
axe: les troisièmes côtés ainsi obtenus indiqueront les doubles
des distances de Taxe du cône aux deux sommets À et B de
Tellipse proposée ; ce qui permettra de la placer facilement.
Cette construction montre la question comme toujourspossible
quels que soient Tellipse et le cône, puisque ces triangles ne
pourront jamais offrir le cas d'impossibilité, le côté opposé a
^ Tangle donné y étant constamment supérieur au côté adjacent.
Un même cône quelconque peut donc fournir toutes les ellipses
imaginables: autour d*un sommet fixe A, il présentera tous
les degrés d'ellipticité, en y faisant varier Tinclinaison a, de-
puis la direction circulaire du plan coupant jusqu'à sa situation
parabolique : ensuite, pour chacun de ces degrés, les dimen-
sions varieront à volonté en transportant parallèlement la
section à une distance convenable du sommet du cône.
Si, au lieu d'accomplir graphiquement cette double déter-
mination^ on veut l'opérer algébriquement, il suffira de ren-
verser les deuxrelationsfondamentales, en y concevant donnés
a et 6, afin d'y chercher « et d. La seconde inconni^e résulte-
rait aisément de la première, qu'il s'agit donc de dégager dans
i»x *• * • X4 • sina sin («4-26) ^* ^ , .
1 équation trigonométrique ^- : == -- . On la sim-
plifiera beaucoup en y transformant le numérateur, d'après un
1
théorème connu, en - (cos* 26— cos2 («+ 6)), ce qui donnera
z
pour l'angle auxiliaire 2(a+6), le résultat fort simple
cos
2(a + 6) = 2cos^6^-^]\_l,
QUATRIÈME PARTIS, CHAPITRE CINQUIÉaCE. 408
OÙ l'on peut aisément vérifier U constante possibilité de la
question, cette formule ayant toujours une valeur, non-seu-
lement réelle, mais inférieure à Tunité, suivant les conditions
d'un tel mode.
Considérons enfin le cas de Thyperbole, envers laquelle il
est facile de constater d'abord la permanence essentielle de
toutes les notions précédentes au sujet des divers éléments
géométriques qui lui sont communs avecTellipse, c'est-à-dire
les deux axes et l'excentricité. La seule appréciation spéciale
qui doive icinousarrèter concerne les asymptotes, dont il im-
porte de sentir nettement l'interprétation conique. On y est
naturellement conduit, soit par la figure, soit d'après l'équa-
tion, en remarquant que leur inclinaison sur l'axe transverse
de l'hyperbole doit être la même pour toutes les sections pa-
rallèles, qui, géométriquement, seront toujours semblables,
ou, analytiquement, auront des axes proportionnels. Dès lors,
en faisant graduellement rapprocher le plan coupant du sommet
du cône^ sans jamais changer sa direction, on atteindra finale-
ment une limite où la situation des asymptotes deviendra irré-
cusable^ quand la section se réduira à ces droites, d'après le
passage du plan au sommet. Telle est donc l'origine conique
des asymptotes de l'hyperbole, toujours parallèles aux généra-
trices suivant lesquelles le cône est coupé par un plan mené
de son sommet parallèlement à celui de la section. On peut
d'ailleursvérifiercetteconstruction, en reconnaissant, d'après
la formule ordinaire des angles trièdres, que chacune de ces
génératrices forme avec l'axe de l'hyperbole, un angle égal
b i j "
à celui dont la tangente est - ou — jl/ sin a sin (« + 26) : car,
a cos6^ ^ ' '
en considérant l'angle trièdre dont les arêtes seraient ces deux
droites et l'axe du cône, l'un de ses angles dièdres se trou-
verait droit, et compris entre deux faces, dont Tune serait
406 GÉOMÉTRIE PLANE.
6 -|- a — 180^, et Tautre coDstitaerail rinclinaison cherchée ^ , la
troisième face étant 6 ; il en résulterait donc
cos 6 = cos çp cos (6 -L a — 480*»),
d'oùTon conclut une expression detang ^ exactement équiva-
lente à la précédente.
Suivant ces notions, il existe, sur chaque cône, une limite
nécessaire pour le degré d'ouverture des diverses sortes d'hy-
perbole qu'on y peut tracer, puisque Técartement des asymp-
totes ne sauraitainsi excéder jamais celui des génératrices op-
posées : rhyperbole la plus ouverte correspond donc toujours
à un plan parallèle à Taxe du cône ; en sorte que, en dépassant
cette situation maximum, Thyperbole, au lieu de s'éloigner
davantage de la figure parabolique, qui avait constitué son
point de départ, s'en rapprocherait nécessairement. Cette
prévision directe est pleinement conforme aux conditions de
possibilité qu'exige alors le problème, déjà résolu envers l'el-
lipse, consistant à placer, sur un cône donné, une courbe
donnée. En effet, dans la détermination graphique, les triangles
analogues à ANB etBRA ne seront plus toujours possibles, puis-
que le côté opposé à l'angle connu s'y trouvera maintenant in-
férieur au côté adjacent. Lalimileauralieu quand ces triangles
deviendront rectangles, ce qui exige cos 6 = -, d'où tang €«=»-;
en sorte que l'angle du cône doit être au moins égal au demi-
angle des asymptotes de l'hyperbole, conformément à la règle
précédente. La solution trigonométrique reproduirait, à sa
manière, la même condition, en donnant alors, d'après le
changement accoutumé de 6' en — 6^ la formule
cos2(« + 6) = 2cos*6(l + -j — 1,
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME. 407
qui, sans cesser d*ètre réelle, peut maintenant acquérir une
d
valeur supérieure à l'unité, si cos 6 y excède -.
Telles sont les diverses notions essentielles relatives àTap-
préciation spéciale des courbes du second degré comme sections
ducône circulaire droit. Quoiqu'ilneconvienne plus aujourd'hui
de reprendre, de ce point de vue, suivant le mode antique,
l'étude entière de ces lignes, il faut cependant y remarquer .
l'origine très-naturelle de plusieurs déterminations impor-
tantes. Cela est surtout sensible pour la théorie de la simili-
tude, d'après la considération élémentaire de la constante res-
semblance géométrique des diverses sections parallèles d'une
pyramide, et par suite d'un cône : il en résulte aussitôt que
deux paraboles sont constamment semblables, comme pouvant
toujours se placer parallèlement sur un même cône; au con-
traire^ deux ellipses ou deux hyperboles ne le seront qu'autant
que leurs plans pourront ainsi devenir parallèles, ce qui,
d'après les formules précédentes, exige que leurs axes soient
proportionnels ou leurs asymptotes également iaclinées. On
conçoit aussi que, sous cet aspect conique, la question des
tangentes ne saurait jamais offrir, envers ces trois courbes,
aucune autre difficulté réelle que celle de transformer une
construction dans l'espace en construction plane ; puisque la
tangente à la section se trouve alors déterminée spontanément,
en chaque point, par l'intersection du plan de la courbe avec
le plan tangent à la surface, aisément assignable d'après la
tangente correspondante à la base circulaire du cône.
122. La destination propre à ce chapitre complémentaire a
dû nous y réduire à l'examen du cône droit, comme étant la
plus simple surface d'où puissent résulter les trois courbes du
second degré. Mais U n'est pas inutile de remarquer, en termi-
nant, que l'artifice adopté conviendrait aussi au cône circulaire
408 GÉOMÉTRIE PLANE.
oblique, quoique ce ne soit plus une surface de révolution, du
moins en nous bornant à y considérer des sections perpendicu-
laires au plan principal du cône, c'esUà-dire, à celui mené
par Taxe perpendiculairement au plan de la base, et contenant
dès lors les deux génératrices maximum et minimum. En pro-
cédant exactement comme ci-dessus, on y trouvera, pour
Téquation analogue de la section qui fait un angle a avec Tune
de ces génératrices, d désignant toujours la distance de son
, sommet à celui du cône,
^ sin a sin (y + S — a) , , sin a sin (y -f ô)
sm Y sm 5 sm y sin B
le cône étant alors défini d'après les deux angles distincts y et S
que forment ces génératrices extrêmes avec le plan de la base. La
conséquence la plus intéressante que fournisse maintenant une
telle équation, se rapporte à la détermination des sections cir-
culaires. On y voit que, pour obtenir un cercle, il faut supposer
• sin a sin (y+^ — «)= sîû y sin S; d'oti résultent les deux solu-
tions a = Y, a = 5, dont Tune indique, à Tordinaire, un plan
parallèle à la base, et Tautre correspond, par exception, à une
certaine section oblique, que les anciens qualifiaient judicieu-
sement d' anti-parallèle :cesdeux directions ne sauraient coïn-
cider qu'autant que le cône deviendrait droit.
Cette proposition remarquable, qu'il convient de noter ici à
raison de son utilité spéciale en plusieurs occasions, surtout en
géographie, ne constitue d'ailleurs, comme on le reconnaîtra
bientôt, qu'un simple cas particulier de la propriété générale
d'après laquelle toutes les surfaces du second degré, à l'excep-
tion d'une seule, comportent toujours deux sortes de sections
circulaires, dont les plans ne se confondent que quand la sur-
face est de révolution.
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 409
CHAPITRE VI.
Application générale de l'étude des courbes planes à la construction des
équations déterminées.
123. En terminant Tétude élémentaire de la géométrie plane,
d'abord générale, puis spéciale, il importe de caractériser
sommairement rapplicalion naturelle de l'ensemble des notions
ainsi acquises à la construction des équations à une seule in-
connue. Au début de ce traité, nous avons considéré la con-
struction des formules proprement dites fournies par la réso-
lution des équations, et consistant dans la simple substitution
des opérations graphiques aux calculs arithmétiques indiqués
pour l'évalua tion de chaque résultat. 11 s'agit jnaintenant d'une
transformation, à la fois plus difficile et plus importante, où
la figure doit suppléer à l'ensemble total de l'élaboration abs-
traite, soit numérique, soit surtout analytique, d'une équation
qu'on ne saurait résoudre, et dont les racines réelles seront
pourtant graphiquement assignables. Cette utile conversion, si
souvent destinée à compenser, quoique incomplètement, l'ex-
trôme imperfection nécessaire de la résolution des équations,
consiste à concevoir ces racines comme les abscisses propres
aux intersections de deux lignes convenablement choisies, d'a-
près deux équations à deux variables susceptibles de reproduire
l'équation proposée / (ar) = 0 par l'élimination de la variable
auxiliaire y. Une telle condition fondamentale peut être, analy-
tiquement, remplie d'une infinité de manières : puisque, au
couple quelconque d'équations qui y aurait satisfait» on pour-
rait toujours en substituer beaucoup d'autres équivalents, dus
84
4f0
à dfr-îx combinAL^yn* 'i">:':::::irg,nva;^ l'AlH-rors arbitraires, de
ces AjaAtîoas prim.*J-.«.Lesl m^me air*^ de «en ûr que cette io-
d^tenninatlon scL^l-t^rait encore aprH avoir choisi àroIoDté
Tnne des d^ox ^'ja*Jjii5 an\i.:aire5 » >. y ==0: car, 3
$iif!:rait, par exemple, de prendre l'autre saiTant le type
^(jr,y, l x,y)—fz =0. où le second facteur l\x. y) désigne
une fonction loot à fait quelconque: sans «^e ce mode analr-
tique soit, à cet égard, le plus complet, il est assez étendu
pour faire ici hautement ressortir l'extrême di Tersité des sys-
tèmes de construction propres à chaque cas. Sous l'aspect géo-
métriqae, cette variété est encore mieux évidente ; outre la
faculté de combiner le» abscisses chercht^es avec des ordonnées
arbitraires, il est clair surtout que, aprf^ avoir fixé les inter-
sections proposées, on y peut faire passer, d'une infinité de
manières, toutes les sortes de lignes qui exigent un pins grand
nombre de points pour leur détermination.
Cette double a ppréc iation indique suffisamment que toute la dif-
fie ul té de ces constructions consiste essentiellement à y employer
les lignes les plus convenables au but que Ton se propose. Si,
comme il arrive souvent, la figure n*est introduite qu'à titre d'ar-
tifice logique, ce qui constitue, au fond, la haute utilité d*ttne
telle transformation, on tiendra moins à simplifier son tracé
effectif qu'àrendre sa conception plus directe et plus spontanée.
Dansce dessein, le meilleurmode consiste ordinairement à com-
biner une ligne droite avec la courbecorrespondante à Téquation
donnée, en considérant, par exemple, suivant la forme la plus
usitée, les racines réelles de /(x) =0 comme les abscisses des
points où la courbe y= f{x) rencontre Taxe des or. Mais, quoi-
que ce mode soit constamment le plus naturel, il faudra presque
toujours récarter quand, au contraire, il s'agira d'utiliser fina-
lement la figure dans la détermination effective des racines
considérées: on préfère alors compliquer un peu Tune des deux
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 411
lignes introduites afin de pouvoir davantage simplifier Tautre,
suivant une loi de compensation nécessaire ci-après expliquée.
124. Pour apprécier convenablement cette application fon-
damentale de Tensemble de la géométrie plane, il importe de
la concevoir habituellement comme également convenable à
tous les genres possibles d'équations déterminées, aussi bien
transcendantes qu'algébriques. Soit à construire, par exemple,
Téquation x tang a: = l. Au lieu du mode naturel, qui exige-
raitla considération d'une courbe trop compliquée y =a; tang x,
on pourra d'abord combiner la courbe trigonométrique, facile
à concevoii*, y = tang a:, avec Thyberbole équilatère xy ^=i.
Mais un peu de réflexion fait aisément sentir que cette dernière
courbe pourrait être remplacée par une simple ligne droite,
sans que la première devînt réellement plus difficile à tracer :
1
car, il suffirait de considérer la courbe y = , = cot a;
tang X
comme coupée par la bissectrice y = a:; or, cette courbe n'est
autre, au fond, que la précédente, déplacée horizontalement
de -, et tournée en sens contraire. Une telle ligne étant compo-
séed'une infinité de filets identiques, comprischacun entre deux
asymptotes verticales, et dont les centres ou infiexionsse succè-
dent, à intervalles égaux, sur l'axe horizontal, la figure indi-
quera nettement une infinité de racines réelles, tendant de plus
en plus à se confondre avec les abscisses des asymptotes voisines,
conformément à la discussion abstraite de l'équation proposée.
Considérons encore, dans l'autre classe des équations trans-
cendantes, le cas fort simple x log x «= a*. Ici le mode le plus
convenable consistera à combiner la logarithmique y = log x
avec l'hyperbole xy^^a^ ; si on remplaçait, comme ci-dessus,
cette dernière courbe par la droite y=a;, on serait alors forcé
d'employer la courbe transcendante y = ; , dont la com-
'^ * '' \ogx
412
f; •>»;«. il 5*ra fi-tC^ i* rçcoiiraître ç:ie l'^patoa proposée
adîT^frl »:ie =^.*Ie ra^Li^ r^Ile.
S<.lt «rLin Tr-— aiion x-r &iax=^. Le meCeor mode y
c</nr]i-Urra ^viienim*-::! à coaper la co:;rbi? des sinus yss^sm x^
ton»yM.^ d'une ïiLzl\^ doncTilalions égales et altematiTes,
dont !€^ c^otnrs ou ii:!!euoas sont éqiûdbtaiits, par la drnte
y as a — x, parallèle à !a s^tondebissectrice, et ^déterminera
ordiriaîrement une 5eu> iclersection de part oo d'antre de Taxe
horizontal, saaf le cas du contact, qol ne pourrait aroir liea
qu'autant que ie terme donné a serait on multiple impair dex.
Cette dernière appréciation résulte aisément de la considération
spéciale de la tangente à rorigine, évidemment confondue ici
arec la première bissectrice, d'après la limite naturelle du rap-
port-.
125. Envers les équations algébriques proprement dites, les
différents svstèmes de construction sont nécessairement assu-
jettis à une condition fondamentale qu*il importe de connaître,
d'après le théorème d'algèbre qui assigne, comme limite supé-
rieure du degré de Téquation finale, le produit des degrés des
équations à deux inconnues entre lesquelles s*accomplit Télimi-
nation. Suivant cette notion générale, les degrés des deux lignes
employées à construire chaque équation déterminée doivent
donc former toujours un produit au moins égal au degré de
celle-ci. Par conséquent, si l'une de ces lignes est droite,
Tautre sera nécessairement du même degré au moins quePéqua-
iion proposée. G*est pourquoi, afin d'obtenir une simplification
moyenne, à peu près équivalente à Tégnrd des deux Ugnes
introduites, on doit communément préférer, quand il s'agit
d'une construction effective, d'élever le degré de l'une pour
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 413
pouvoir abaisser celui de l'autre. Appliquons maintenant ces
notions générales aux équations des quatre premiers degrés.
Dans le premier, les deux lignes peuvent évidemment, sui-
vant cette loi, être de simples droites, et ce cas correspond, en
effet, à la construction des formules rationnelles, d'ailleurs
entières ou fractionnaires, toujours réductible à un certain as-
semblage de quatrièmes proportionnelles, suivant les explica-
tions spéciales du n^ 15.
Quant à l'équation du second degré j:^+/}a:-fy=i=0, l'une
des deuxlignes devra nécessairement cesser d'être droite, etde-
venir au moins une section conique. Le mode le plus naturel
consisterait à combiner la parabole y=x^-{-px avec l'horizon-
tale y s= — y. Mais cette courbe peut être aisément remplacée
par un cercle, que couperait l'axe des x. Car, en faisant 2/=0
dans l'équation générale du cercle [x — a)*+(y— ê)* = r^, elle
devientx^— 2«ar+(a'+6*— r*) = 0, de manière à pouvoir re-
présenter, d^une infinité de manières, toute équation du second
i /ï
degré, en posant « = — -p, r= V/sP*'~î'*"^'^ restant
arbitraire, et pouvant toujours rendre r réel. Si l'on place le
centre sur l'axe horizontal, la construction reproduit spontané-
ment la formule algébrique ordinaire, pour le cas des racines
réelles.
Considérons maintenantles équations du troisième et du qua-
trième degré, qui, suivant la remarque initiale de Descartes,
peuvent, sous cetaspect, être simultanément appréciées, comme
exigeant naturellement les mêmes moyens graphiques. On ne
pourra plus les construire par la combinaison d'une droite et
d'un cercle, ni par celle de deux cercles^ qui, d'après une ex-
ception spéciale fondée sur la nature algébrique des équations
circulaires, n'a pas, au fond, plus d'étendue analytique, puisque
la soustraction de deux équations de ce genre en fournit une du
fli GÉOMtTBŒ P1A5E.
premier de?r*^. Le mode le plus simple coosistera donc ici dans
Tinte rs^cUoD de denx sections coni«pes. dont Tone poorra être
pri?e arbitrairement. Soit l'éqnation jc*— /wr*-»-çx=r. On
Y pent employer, par exemple, la parabole x^^^y, et l'hyper-
bole «îf — />y ~ çx = r, ou l'hyperbole plus compliquée
xt/ — pj^ ^qx=^T\ en ajoutant ou retranchant entre eUes les
deux équations primitives, ou leurs multiples quelconques, on
pourra d^ailleurs substituer à ces courbes une infinité d^autres
couples de sections coniques. Il en serait de m^me pour Téqua-
tion du quatrième degré x* — />x* — yx* j^tx^=^s^ où, en po-
sant d'abord x*=y, on aurait ensuite y' t pxy-rçy ■\' rx^^s
ou y^-^pyx-^ qa^-^ rx=^s.
126. A regard des équations du troisième et du quatrième
degré, il faut maintenant apprécier spécialement le mode très-
remarquable suivant lequel Descartes a finalement constitué
leur construction effective, en montrant que, du moins après
quelques préparations faciles, elle peut toujours résulter de la
combinaison d'une parabole donnée avec un cercle convenable-
ment choisi, de manière à dépendre du tracé le plus praticable
que puisse, évidemment, comporter un pareil cas. Cette expli-
cation n'est directement relative qu'aux équations du quatrième
degré : mais il sera facile ensuite d'y ramener constamment
celles du troisième, en y introduisant artificiellement un nou-
veau facteur arbitraire x — a, qu'on prend communément égal
à X, pour plus de simplicité : Tinlersection factice ainsi sura-
joutée devra être soigneusemonl écartée delà figure défiinilive.
Soitdoncseiilementàconstruire, de cette manière, Téquation
00* + px^ 4- yx* -{-rx = s.
Comme la généralité du mode proposé ne doit évidemment,
dépendre que de la disposition relative des deux courbes, et
non de la situation de chacune envers les axes coordonnés, on
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 415
pourra toujours adopter la forme la plus simple de Téquatiou
parabolique, pourvu que Téquation circulaire reste pleine-
ment générale. Toutefois, il faut remarquer que la parabole
doit pouvoir s'étendre horizontalement dans les deux sens, afin
que toutes les racines réelles de Téquation proposée puissent
être pareillement construites, quel que soit leur signe. Il
faudra donc employer, pour Téquation parabolique, la nota-
tion inusitée x^ = my. Sa combinaison avec le type circu-
laire {x — a)^-i- (y — 6)'e= R* fournit l'équation finale
Or, en la confrontant à la proposée, on reconnaît aussitôt que
leur identification ne saurait devenir possible tant que celle-ci
contient le terme en x*, qui manque à Vautre. Ce mode gra-
phique exige donc une certaine préparation algébrique, d'ail-
leurs peu gênante, consistant à faire d'abord disparaître ce
terme, par le changement de a; en a: — -, qui équivaut géomé-
4
triquement à déplacer Torigine de - vers la gauche.. Ainsi, la
construction relative à l'équation convenablement préparée
conviendra aussi à l'équation primitive, à l'aide d'un égal dé-
placement inverse de l'origine correspondante.
En supposant maintenant que l'équation proposée soit déjà
privée de son second terme, la comparaison précédente donne,
pour les éléments géométriques du cercle cherché, les formules
^'^ï'^-h" i' ^^h^ »-+»,'(»««- ?)»+4m«s.
Les coordonnées du centre resteront toujours réelles et finies,
quelque soit m : le rayon pourral'être aussi, quand même s serait
négatif, sans qu'il en résulte, pour ce paramètre, aucune autre
restriction que celle relative à une certaine limite inférieure. A.
iA ; î . iiiriTB. »i.-'-T
« * * *
Ik/?'! «Î*: U p>j* f>rL.':/> partie decLiiue constracti^i puticu-
li*:?^ p4f l'^rp^fonD^r Litro^-GcûoL d'^irie seule panb>>le soi^nea-
mffif'.ui ex^/:»jl^e d'avance, et qai. diversement combinée arec
iâ:% CHtclh^ e</ri>eaables. poorralt ér^ilement convenir à tontes
h:% ^'inHi\oTi% hucce<^sive§ du troisième ou du quatrième degré.
L'irit^rM^clion d<^ deux courbes aura lieu habitneliement en
un ou deux couples de points, ou sera totalement impossible.
On trojj( ca», pareîHement normaux, seront séparés par deux
•^;rie« de cas exceptionnels relatifs au contact, et comportant
une i^fule rencontre ou trois. Il est aisé de sentir la concor-
dance f(pontanée de ces diverses indications géométriques avec
la notion algébrique sur la conjugaison nécessaire des racines
imaginaires.
Appliquons, par exemple, ce mode spécial à Téquation de la
tri»^;ction de Tangle x* — i « + - = 0, où ft désigne le sinus de
4 4
l'nngle donné, et x celui de son tiers. En relevant au quatrième
(ii'^ri*, pftr rinlroduclion du facteur x, la réduction préalable
QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 417
s'y trouve spontanément établie, et les coordonnées du centre
7 b
du cercle sont 6=-, a = — -, si Ton prend le paramètre de la
8 o
parabole égal à Tunité, c'est-à-dire au rayon trigonométrique.
Envers une parabole tracée d'avance, cette relation servira,
au contraire, à ajuster convenablement ce rayon, et, par suite,
la ligne donnée i, d'après le mode que j'ai expliqué en son lieu
pour la détermination graphique de ce paramètre.
Soit encore Téquation très-simple x' = 2a^, qui se rapporte
directement au problème de la duplication du cube. La prépa-
ration algébrique y est pareillement spontanée, et Ton trouve
1 a'
alors 6 = - 7w, a = — ; en sorte que le cercle sera très-facile à
construire, môme en laissant m quelconque par rapport à a.
En multipliant de tels exercices, le lecteur devra s'attacher,
soit ày comparer judicieusement ce mode spécial avec les divers
autres systèmes graphiques, soit aussi à y faire sufflsamment
concorder les indications particulières de la figure avec celles
que fournit directement l'appréciation algébrique de chaque
cas. Sous ce dernier aspect, il serait aisé, par exemple, de con-
stater, envers les deux équations précédentes, que la construc-
tion y confirme l'existence nécessaire de trois racines réelles
dans la première, et de deux racines imaginaires dans la se-
conde, quelles que soient les données respectives.
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
A TROIS DIMENSIONS.
PREMIÈRE PARTIE.
INTRODUCTION QÉNÉKALB.
CHAPITRE PREMIER.
Notions fondamentales.
127. Notre élude élémentaire de la géométrie analytique n'en
caractériserait point suffisamment le véritable esprit fonda-
mental, sinous ne consacrions pas lalîn de ce traité à apprécier
sommairement son indispensable extension à la théorie générale
des surfaces courbes, en tant qu'elle reste accessible à l'analyse
ordinaire. Outre sa propre importance scientifique, ce dernier
ordre de conceptions doit exercer spontanément une heureuse
réaction logique sur l'ensemble de la géométrie plane, dontles
principales notions, ainsi considérées finalement d'un point de
vue supérieur, deviendront à la fois plus simples et plus systé-
matiques. Quoique cette étude des surfaces n'ait été méthodi-
quementinstituéeque depuisun siècle environ, et qu'elle doive
ôtre jusqu'ici beaucoup moins développée que celle des lignes;
elle constitue évidemment, par sa nature, un sujet bien plus
420 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPAGE.
vaste en même temps que plus difficile, puisque les surfaces
comportent nécessairement plus de variété que les lignes.
Celles-ci, en effet, résultant du mouvement d'un simple point,
ne peuvent différer entre elles que par la loi d'un tel déplace-
ment; tandis que, outre cette source de diversité, qui alors
devient même plus étendue, les surfaces se distinguent surtout
les unes des autres d'après la nature des lignes génératrices.
Hais l'essor plus récent de cette partie de la géométrie, sous
l'accomplissementessentiel de lagranderénovation cartésienne,
a dû d'abord y faire ordinairement prévaloir de meilleures ha-
bitudes logiques, et y restreindre aussi les études actuelles aux
spéculations les plus générales ; en sorte que, malgré sa com-
plication et sa fécondité supérieures, nous pourrons ici la ca-
ractériser suffisamment à l'aide d'un développement beaucoup
moindre que celui qu'a exigé la géométrie plane. Ses concep-
tions ne constituent d'ailleurs, à divers égards, qu'une simple
extension de celles qui sont propres à la théorie des lignes ; or,
notre exposition en ayant fait directement ressortir l'esprit
général, le lecteur n'éprouvera aucune grave difQculté à les
modifier spontanément d'après cette nouvelle destination. Ainsi,
en vertu des avantages inhérents au plan qui caractérise ce
traité, cette dernière étude géométrique y devient naturelle-
ment susceptible d'une forte condensation, en nous bornant à
y indiquer rapidement tout ce qui est essentiellement analogue
aux notions déjà établies, et réservant nos explications spé-
ciales pour les seules considérations qui soient vraiment pro-
pres à la géométrie à trois dimensions.
Quoiquela théorie des surfaces constitue son principal objet,
elle est aussi destinée nécessairement à compléter et à généra-
liser la théorie des lignes, que nous avons dû réduire jusqu'ici
aux courbes planes. Or, l'importance et la simplicité de cescas
ne doivent pas empêcher de reconnaître combien il est parti-
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREIHER. 421
culier dans l'ensemble total des figures curvilignes. Car, si les
courbes cylindriques, par exemple, étaient étudiées aussi spé-
cialement que celles qu'on peut tracer sur un plan, elles
offriraient certainement autant de diversité au moins : il en
serait de même parmi les courbes coniques, ou sphériques,etc.
Toutes ces formes si variées restent encore enveloppées sous
la commune dénomination de courbes à double courbure^ rela-
tive au caractère fondamental qui les sépare des courbes
planes : en partant de Tétat rectiligne d'un fil parfaitement
flexible en tous sens, celles-ci résulteront d'une simple flexion
proprement dite, laissant tous les éléments du fil dans un
même plan; tandis que les autres, s'écartant davantage de la
figure initiale exigeront, en outre, une véritable torsion^
changeant, en chaque point, la direction du plan de deux
éléments consécutifs. Malgré que l'usage de ce terme expressif
tende habituellement à dissimuler l'extrême diversité naturelle
des lignes correspondantes, on sent néanmoins qu'il existe
nécessairement parmi elles bien plus de variété qu'entre les
courbes planes, quoique les géomètres s'en soient jusqu'ici
beaucoup moins occupés. L'étude même des lignes ne saurait
donc acquérir, en géométrie plane, toute la plénitude et la
généralité convenables, outre que les seules figures qu'on y
considère ne peuvent d'ailleurs y être envisagées dans leurs
plus vastes relations mutuelles. Néanmoins, l'appréciation des
courbes n'est presque jamais qu'accessoire en géométrie à trois
dimensions, où la plupart des conceptions analytiques, soit
élémentaires, soit transcendantes, ne concernent directement
que les surfaces, à l'étude desquelles on rattache les spécula-
tions sur les lignes. Toutefois, on ne doit pas oublier que, dans
le développement historique de la géométrie moderne, ce
dernier ordre de considérations a constitué, entre la géométrie
plane et la géométrie à trois dimensions, une sorte de transition
422 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
naturelle, dont la première ébauche remonte jusqu'à Des-
cartes, et qui tendrait à se reproduire spontanément dans la
marche générale de Tinitiation individuelle, si l'essor direct
despluslarges pensées géométriques n'y permettait aujourd'hui
une évolution plus rapide.
128. Il faut d'abord établir ici, comme en géométrie plane,
la conception préliminaire dés systèmes de coordonnées, sans
laquelle, de part ni d'autre, les idées géométriques ne sauraient
devenir réductibles à des idées numériques, seul sujetimmédiat
des spéculations analytiques.
Cet indispensable préambule consiste maintenant à déter-
miner un point dans l'espace par l'intersection de trois surfaces,
dont la nature et le mode de variation caractérisent lesystème
de coordonnées adopté, etdont une seule condition restée arbi-
traire indique, en chaque cas, la coordonnée correspondante.
Dans le système rectiligne proprement dit, qui, encore plus
que pour la géométrie plane, mais d'après de pareils motifs,
doit ici être presque exclusivement employé, ces trois surfaces
sont toujours des plans respectivement parallèles à trois plans
fixes, que nous supposerons ordinairement rectangulaires, et
qui se coupent selon trois droites, dès lors rectangulaires aussi,
que l'on désigne également sous le nom d'axes. Les coordon-
nées de chaque point sont ses distances à chacun de ces plans
coordonnés, mesurées suivant l'axe extérieur, et le plus sou-
vent sur ce même axe, où elles représentent d'ailleurs les
projections respectives de la distance du point à Vorigine com-
mune des plans ou axes fixes : on peut en outre, les former par
deux projections successives du point proposé M (fig.SO)^ sur
Tun des plans coordonnés, et de cette projection N sur l'un des
axes de ce plan ; ce qui est siu'tout propre à mieux indiquer la
liaison mutuelle des trois coordonnées. Quant à la manière
dont leurs valeurs combinées déterminent la position du point
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 423
correspondant, elle revient à concevoir celui-ci comme le
«ommet opposé à Torigine dans le parallélipipède construit sur
les axes avec des côtés égaux aux coordonnées respectives : en
s'aidant de la construction analogue en géométrie plane, on
peut aussi employer les coordonnées x et y, que nous suppo-
serons habituellement horizontales, à déterminer, suivant le
mode ordinaire, la projection horizontale N du point cherché,
dont la hauteur verticale sera indiquée ensuite par la troisième
coordonnée z. Ces trois coordonnées sont évidemment suscep-
tibles de signe, et il est indispensable d'y avoir égard, afln de
distinguer suffisamment les huit régions dans lesquelles l'espace
est divisé par les trois plans fixes indéfiniment prolongés en
tous sens, et dont chacune pourrait également convenir à un
même groupe de valeurs de x^y^z, si la considération du signe
ne dissipait l'ambiguïté géométrique propre à chaque distance.
L'unique système qui, à défaut du précédent, soit quelquefois
employé , comme en géométrie plane,mais encore plus rarement,
sous le nom dejDo/air^, consiste à déterminer unpoint,dansres-
pace, d'après sa distance w à un point fixe 0 (fig, 81) et les deux
angles <p et <J; formés par cette droite variableavecdeuxaxesfixes
0 <p, 0 <J/, que nous supposerons communément rectangulaires
et horizontaux. Chaque point M résulte alors de l'intersection
d'une sphère, à centre fixe, dont le rayon variable est indiqué
par la valeur de la coordonnée linéaire w, avec deux cônes cir-
culaires droits, ayant respectivement pour axes fixes les deux
axes polaires, et dont les angles variables sont égaux aux va-
leurs correspondantes des deux coordonnées angulaires <p et <J/.
On adopte quelquefois, surtout en mécanique, dans la théorie
analytique des rotations, un système, que l'extrême pénurie
de notre langage géométrique conduit aussi à qualifier ordinai-
rement de polaire, et qui pourtant diffère beaucoup du précé-
dent, quoiqu'il soit, comme lui, réellement analogueausystème
424 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
plan ainsi nommé. Il consiste à déterminer d'abord la projec-
tion horizontale N du point proposé diaprés ses coordonnées
polaires planes r et a, pour aboutir ensuite au point M àTaide
de rinclinaison 0 de son rayon vecteur sur un axe perpendicu-
laire au plan correspondant : pette troisième coordonnée est la
seule vraiment commune aux deux systèmes, en tant qu'eUe
assujettit aussi le point à faire partie d*un cône dont Taxe est
fixe ; mais les deux premières correspondent à de nouvelles
surfaces, Tune indiquant un cylindre vertical au lieu d'une
sphère, et Tautre un plan vertical au lieu d'un cône. Toutes les
difficultés que pourrait, en général, présenter l'exacte appré-
ciation comparative des divers systèmes de coordonnées dans
l'espace seront toujours faciles à dissiper de la même manière,
par un judicieux examen respectif de la nature et du mode de
variation des surfaces introduites.
Outre ces systèmes de coordonnées, seuls usités, la géométrie
analytique à trois dimensions en pourrait évidemment adopter
une infinité d'autres, dont la variété y est nécessairement encore
plus étendue qu'en géométrie plane, vu la multiplicité et la
complication supérieures des lieux ainsi combinés. Si, par
exemple, on déterminait un point d'après ses distances à trois
pôles, il résulterait de l'intersection de trois sphères à centres
fixes et à rayons variables. De môme, en introduisant les dis-
tances de chaque point à trois axes donnés, il se trouverait à la
rencontre des trois cylindres variables construits autour de ces
axes. Mais il serait superflu d'insister ici sur des explications
directement dépourvues de toute utilité scientifique, et dont
Tofficelogique est déjà rempli spontanément par l'entière géné-
ralité que le lecteur a imprimée habituellement aune telle no-
tion en géométrie plane.
129. Cette conception préliminaire permet d'apprécier immé-
diatement la correspondance fondamentale entre les surfaces
PREMIKHE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 425
et les équations, instituée d'abord par Glairaut, suivi d'Euler,
d'après une heureuse extension de la grande idée mère que
Descartes avait fondée un siècle auparavant.
Quand un point se déplace arbitrairement dans Tespace, ses
trois coordonnées constituent des variables entièrementindépen-
dantes. Mais si, sans avoir un trajet déterminé, il se trouve
assujetti à rester sur une certaine surface quelconque, celle-ci
tiendra lieu naturellement de Tune de celles qui correspondent
aux coordonnées adoptées, dont deux seulement suffiront alors
à l'entière détermination de chaque position, en sorte que la
troisième résultera nécessairement des autres, suivant une
équation correspondant à la propriété commune aux divers
points de la surface proposée, et dès lors susceptible de repré-
senter analytiquement cette surface, dont les moindres varia-
tions géométriques, mêmeles plus simples déplacements, affec-
teront plus ou moins une telle équation, où d'égales valeurs
des deux variables indépendantes devraient procurer des valeurs
nouvelles à la variable dépendante. C'est le même principe fon-
damental que dans la géométrie plane, avec une innovation
capitale, relative àl'indépendance simultanée de deux variables,
qui résulte ici de l'indétermination supérieure des lieux consi-
dérés : l'étude des surfaces constitue habituellement la première
source historique et le meilleur type dogmatique d'une telle
pluralité, qui a tant agrandi l'ensemble des spéculations ana-
lytiques. Toute surface rigoureusement définie d'après une pro-
priété commune à tous ses points est donc représentée ana-
lytiquement par une équation à trois variables entre leurs
coordonnées quelconques. Dans le système rectiligne, nous
supposeronshabituellement, pour simplifier le discours, de ma-
nière même à faciliter accessoirement la pensée, que les deux
coordonnées horizontales x eiy soient les variables indépen-
dantes, et que la fonction proposée se rapporte à l'ordonnée
verticale z. 85
426 GÉOMÉTRIE DAXS L*ESPACB.
D serait superflu d'expliquer formellement, à ce sujet, qae,
comme eu géométrie plane, Téquation de chaque lieu sera re-
lative à la nature des coordonnées employées, mais d'ailleurs
pleinement indépendante, pour chaque système, de la diversité
des définitions.
Nous reconnaîtrons bientôt que, la géométrie comparée étant
aujourd'hui beancoupplusavancéeenverslessurfacesqu'envers
les courbes, l'art de former les équations propres aux diverses
surfaces est déjà susceptible de certaines règles générales, dont
Tétude constituera le principal objet de notre élaboration ac-
tuelle, et qui ne comportaient aucun équivalent dans la géo-
métrie à deux dimensions. C'est pourquoi nous pouvons dé-
gager celte introduction de toute série d'exemples préliminaires
relative à cette formation, qui doit être ensuite soigneusement
appréciée. J'en indiquerai seulement ici, pour fixer lesidées, un
très-pelit nombre, directement résultés delà formule élémen-
taire, d'ailleurs indispensable à connaître, qui détermine la
distance de deux points dans l'espace d'après leurs coordonnées
rectilignes.
Si les axes sont rectangulaires, ce qui constitue le seul cas
vraiment usuel, il suffira de concevoir, du point le plus bas,
une horizontale menée à la rencontre de la verticale de l'autre
point : le triangle rectangle ainsi construit, et dont la distance
cherchée sera l'hypoténuse , présentera deux côtés connus,
Tun égal àladifférencedesordonnées verticales des deux points,
et l'autre à la distance de leurs projections horizontales,
préalablement assignable d'après la formule analogue de géo-
métrie plane. Conformément au théorème de Pythagore, la
distance de deux points est donc exprimée, dans l'espace,
comme sur un plan, par la racine carrée de la somme des
carrés des différences de leurs coordonnées respectives : seule-
ment cette formule se compose ici de trois parties au lieu de
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 427
deux. En supposant les axes obliques, la formule devrait être
beaucoup plus compliquée, et deviendrait
+ 2{x"~a;')(y"— y') cosXY + 2(:ç"— a;') (2^"— i ') cos XZ
4. 2 (y"— 2^') (z"-:j')cos YZ,
suivant une application très-simple du principedes projections,
que j'aurai bientôt lieu d'indiquer spécialement.
D'après la formule précédente, on peut immédiatement
former Téquation de la sphère, si Ton définit cette surface,
selon sa plus simple propriété, comme le lieu des points équi-
distants de son centre. Il en résulte aussitôt Téquation
{x — a)« V {y — bf + (s — c)«= 1^,
envers des axes rectangulaires, par rapport auxquels a, é, c,
désignent les coordonnées du centre : tel est le type analytique
fondamental qui doit faire invariablement reconnaître la
sphère, quelle que puisse être la diversité de ses définitions
géométriques.
On pourrait ainsi, par exemple, manifester aisément la na-
ture sphérique de la surface qui comprend tous les points de
^'espace éclairés par deux lumières, en généralisant la re-
cherche du n<^ 21. En plaçant Torigine à l'un des points fixes,
et dirigeant Taxe des z vers l'autre, cette définition fournit
immédiatement^ d'après la formule des distances, l'équation
a [x^ 4- ^2 -f- (î5 — rf)2) = ô (x« + y + z^)^
qui, comparée à la précédente, fait aussitôt reconnaître la
sphère indiquée à la fin du n*^ cité.
La même formule conduirait aussi facilement à l'équation du
quatrième degré
428 GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE.
pour le lieu des points de l'espace dont les distances à deux
pôles sont inversement proportionnelles, en généralisant la
dénnition du n'' 22.
130. Quant à la représentation analytique des lignes dans
l'espace, notre principe fondamental, sur Texacle appréciation
du degré d'indépendance des variables propre à chaque cas,
démontre directement qu'elle doit ici s'accomplir suivant un
tout autre mode qu^en géométrie plane. Car, le trajet du point
décrivant se trouvant alors fixé, une seule de ses trois coor-
données reste arbitraire, et les deux autres en résultent né-
cessairement à la fois, la ligne donnée suppléant naturelle-
ment aux deux surfaces qui leur correspondent ordinairement.
Or, une équation unique ne pouvant jamais déterminer qu'une
variable unique, ce lieu plus restreint ne pourra donc être
analytiquement caractérisé que par un couple d'équations,
dont chacune, à cet égard, serait isolément insuffisante, et qui
subordonneront, par exemple, les deux coordonnées horizon-
tales X eiy k l'ordonnée verticale z, que nous y supposerons
habituellement indépendante. Ce dualisme indispensable, qui
constitue une profonde différence entre la géométrie à trois di-
mensions et la géométrie plane relativement à la théorie ana-
lytique des lignes, correspond géométriquement à la considé-
ration de toute ligne comme llntersection de deux surfaces,
respectivement résultées de l'interprétation séparée de chaque
élément d'un tel couple analytique. Rien n'est plus propre que
cettenotionfondamentaleàfairedéjàsentirnettementquerétude
des surfaces constitue surtout le sujet naturel de cette seconde
moitié de la géométrie générale, où l'analyse ne peut exprimer
les idées de lignes que d'après une combinaison indirecte et com-
pliquée. Si jamais les divers ordres de courbes à double cour-
bure, soit cylindriques, soit coniques, soit sphériques, etc.,
sont aussi spécialement étudiés queles courbes planes,il faudra,
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 429
sans doute, en revenir, à leur égard, comme pour celles-ci, à
Tusage d'une seule équation à deux variables, envers des coor-
données convenablement choisies, en chaque cas, d'après la
nature de la commune surface considérée : telles seraient, par
exemple, quant aux courbes sphériques, des coordonnées sphé-
riques analogues à celles employées en géographie et en astro-
nomie. Mais, tant que toutes les sortes de lignes resteront as-
sujetties, dans l'espace, à une même appréciation analytique,
on ne saurait éluder la nécessité de représenter analytiquement
chacune d'elles par la coexistence de deux équations à trois
variables, quels que doivent être évidemment les graves incon-
vénients d'un mode aussi pénible et aussi détourné.
Un tel dualisme analytique comporte nécessairement, envers
chaque ligne, une infinité de formes différentes dans un même
système de coordonnées; car, les deux équations primitives
n'étant alors considérées que relativement à leurs solutions
communes, on en pourra déduire une foule de combinaisons
distinctes, dont deux quelconques constitueraient un couple
équivalent au premier, quoique composé d'éléments différents.
Géométriquement, cette diversité nécessaire devient encore
plus sensible, puisque la même ligne pourra toujours résulter
d'une infinité d'intersections de surfaces, celles-ci n'étant assu-
jetties qu'à faire partie de celles sur lesquelles on peut tracer la
ligne considérée. On utilisera souvent unelelle variété, conçue
suivant toute son extension, en choisissant les surfaces dont
les équations peuvent être le plus simplement formées : c'est
ainsi, par exemple, que, de toutes les combinaisons géomé-
triques propres à produire le cercle, celle de la sphère avec le
plan s'adaptera mieux qu'aucune autre à l'expression analyti-
que de cette courbe dans l'espace. Mais, quels que soient les
avantages réels de cette multiplicité, elle devient, sous un
nouvel aspect, la source nécessaire d'une fâcheuse ambiguïté.
430 0£i:xiT3!E y\3^ ie5?a
coT'..: frit, iz^z'i IfT? c-r:a fi^iiiiiî d* la preaii^r*, çuoiqiie
9é^*^rrt^zi <i.--r*^r.:« <ie c-rl-î-â de la ««oïde. coc^titneiil
pourtant na co-ple. z-rcm^irl^c oa analriîjae, pleinement
éçrjlTalect.
C irr. porte donc d'apprécier maintenant, arec toate îa eéné-
rallt^ convenable, le pr:.>»ir fondamental. Irc-p étroitement
coricn jû.r/;a'l''i. d'apr^:* lequel oa peut réparer cet inévitable
jncofjvtf^njent.eo oreani'^ct nn mode invariable propre à iaire
loujonrs reconnaître, sans aacane é'juivoqne, chaque Ugne
spéciale dans un m^*me système de coordonnées. En considérant
d'alKjrd'^e procéda sous 'e simple aspect analytique, il consiste,
en général, à s^'*parer. par une double élimination, les deux
fonctions que contiennent simultanément les denx équations
primitives, fi 'x, y, ^, ^0 et /i x. y, r =0, de la ligne
proposée. Puisque, en effet, les valeurs de ^ déterminent alors
celles de X et y, on conçoit que l'ambisTiïlé n'existe qn*en vertu
du mélange de ces deux fonctions, qui peut s'opérer d'une
infinité de manières. Si on les sépare, en éliminant, tantôt y,
tant4H z, entre les deux équations données, ces deux résultats
X = (p(s; et y ='} z ,ou ^ [x, js^ = 0 et ^ (y, z) = 0, se re-
trouveront nécessairement toujours les mêmes, du moins au
fond, quel que soit celui des divers couples équivalents d*où
ils aient pu Mre successivement tirés : toute différence réelle,
Boit envers tous deux, soit m«* me quant à un seul, constaterait
certainement ladiscordanceolTective des combinaisons corres-
pondantes.
Pour mieux apprécier la destination de cette double élimi-
nation, il nous reste à concevoir son interprétation géométri-
que, qui varie inévitablement selon le système de coordonnées
adoptr". Dans le système rectiligne, Téquation débarrassée de
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 431
Tune des variables doit convenir, non-seulement aux divers
points de la ligne proposée, mais aus^si à tous ceux des droites
indéfinies quisV dirigeraient parallèlement à cette coordonnée,
et dont Tensemble formerait la surface cylindrique qui servi-
rait à projeter la ligne sur le plan des deux coordonnées que
renferme exclusivement une telle équation. Ainsi^ ce mode
analytique consiste, géométriquement, àchoisir uniformément
parmi Tinfinité de surfaces contenant chaque ligne donnée, les
deux cylindres correspondants à ses deux projections verticales;
leur combinaison sera toujours pleinement caractéristique,
puisque, constamment uniques pour une même ligne, ils ne
peuvent d'ailleurs nullement varier sans la faire aussi changer
nécessairement. On voit que la préférence spontanément ac-
cordée à ce couple géométrique, entre tous ceux qui auraient
pu également caractériser chaque lieu, doit surtout résulter
de la plus grande facilité qu'on trouve à y aboutir analytique-
ment, de quelque autre combinaison qu'on soit d'abord parti.
Telle est laprincipale destination de ce système, primitivement
suggéré par la considération des deux projections, d'où Des-
cartes faisait dépendre la détermination de chaque courbe à
double courbure. Mais, en conservant cette appréciation ini-
tiale, il importe de sentir toujours que chacune de ces équations
à deux variables 9 [x, jg) = 0 et v|; (y, z) = 0, représente, à
proprement parler, l'ensemble du cylindre projetant, et non
la seule projection correspondante, qui exigerait, en outre,
que, par une restriction expresse ou tacite, on supposât nulle,
la variable qui n'y entre pas. A. quelques abréviations de lan-
gage qu^on puisse être graduellement conduit, ilne faut jamais
oublier que, dans l'espace, toute équation isolée, même à une
variable unique^ représente nécessairement une surface, el
qu'aucune ligne ne peut s'exprimer que par la combinaison de
deux équations.
432 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGE.
Enfin, quant à cette notion fondamentale, qui n'a pu trouver
d'analogue en géométrie plane, il convient, pour en mieux
saisirresprit géométrique, d'en considérer aussi Tinterpréta-
tion d'après un autre système de coordonnées, afin d'en écarter
le caractère absolu qui l'altère communément. Dans le premier
des deux systèmes polaires, par exemple, la double élimination
ci-dessus expliquée, et qui aura toujours le même office analy-
tique, conduira à deux équations /i (w, 9) = 0, /j (m, ^) = 0,
dont chacune,pouvantégalementconvenir àtoutes les positions
résultées de la rotation d'un point quelconque de la ligne pro-
posée autourde l'axe polaire correspondant, représentera, non
plus un cylindre, mais une surface de révolution. La sépara-
tion analytique des deux fonctions angulaires 9 et vj; de la
variable linéaire t/, consistera donc alors, géométriquement,
à concevoir chaque ligne comme l'intersection des deux corps
ronds qu'elle produirait en tournant successivement autour
des deux axes polaires. Si l'on eût au contraire, éliminé t/,
l'équation entre les deux angles eût indiqué un cône ayant pour
base la courbe proposée et dont le sommet resterait uniformé-
ment fixé au pôle.
Telles sont les notions fondamentales qui démontrent que,
quoique, dans l'espace, comme surun plan, la pensée géomé-
trique de ligne corresponde toujours à la conception analytique
d'une seule variable indépendante, ces deux cas généraux dif-
fèrent profotidément en ce que la ligne, d'abord caractérisée
par une fonction unique, ne peutTêtre maintenant que par un
couple de fonctions de cette commune variable, mutuellement
solidaires à cet égard, et dont chacune isolément conviendrait
à une certaine surface, de nature appropriée à celle du sys-
tème de coordonnées adopté.
131. Réciproquement envisagée, l'idée mère de la géométrie
analytique & trois dimensions consiste à concevoir la représen-
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 433
talion nécessaire de toute équation à trois variables, en chaque
système de coordonnées, par une surface déterminée, que cette
première définition abstraite caractérise toujours suffisamment.
En consîdérant,par exemple,le système rectiligne ordinaire,ii est
d'abord aisé de concevoir quelelieu géométrique doit être alors
plus étendu qu'une simple ligne, pour correspondre à Tindéter-
mination supérieure d'une telle équation, où deux des varia-
bles restentindépendan tes, ce qui permet au point décrivant de
tenir une routeentièrementarbitraire suivant chacun des deux
axes horizontaux, sa hauteur verticale étant seule fixée d'a-
près sa projection horizontale. Mais on peut établir plus clai-
rement cette notion fondamentale, et de manière à caractériser
la marche générale propre à la discussion géométrique des
équationsà tro is variables, en s'aidant convenablement des dis-
cussionsdéjà accomplies engéométrie plane.
Supposons, en effet, que, dans l'équation quelconque
f[x^ y,z) = 0, on attribue à l'une des variables, 2 par exemple,
une certaine valeur constante c, elle se réduira ainsi à deux
variables, sous la forme /(a:, y, c)= 0, dès lors restreinte aux
points du lieu que contiendrait le plan horizontal z=»c: or, en
cet état elle représentera une certaine ligne, que la géométrie
plane nous fera connaître, et qui changera nécessairement, au
moinsde position, quand cette constante c, quiy figure àtitre de
paramètre plus ou moinsinfluent, prendra une nouvelle valeur.
Le lieu géométrique de l'équation proposée se montre donc
composé, non d'une ligne, mais d'une infinité de lignes, régu-
lièrement superposées par couches horizontales, et constituant,
dans leur ensemble, une véritable surface, d'ailleurs fermée
ou illimitée, continue ou discontinue, suivant que les valeurs
constantes de x^serontou non assujettiesà certaines limites, su-
périeures ouinférieures,hors desquelles l'équation / (a;, y, c)=0
ne comporterait aucune ligne, comme n'ayant plus de solutions
434 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPAGE.
réelles, selon nos explications antérieures. Toute surface pou-
vant Hre engendrée par une ligne déterminée mais mobile,que
nous qualifierons habituellement de^^w^a(nce',glissant, d'après
uneloidonnée, surune autre ligne fixe, que nous nommerons
directrice, le lieu géométrique de Téquation proposée résultera
du mouvement delà ligne f [x^ y, c) = 0, dont la nature dé-
pend surtout du mode suivant lequel cette équation contient x
et y, et dont le genre de variation se rapporte à sa composition
en 2 : il suffira d'assujettir cette ligne à rencontrer toujours, par
exemple, Tune des traces verticales de la surface cherchée,
qu'on déterminera en annulant j/ ou x. Si les trois variables
n'entrent pas semblablement dans l'équation, les trois sortes
de coupes de la surface correspondante par des séries de plans
parallèles aux trois plans coordonnés ne seront pas également
propres adonner une idée claire de sa génération, et il faudra
faire entre elles un choix plus ou moinsimportant. Quelquefois,
d'ailleurs, les plus simples sections résulteraient de plans pa-
rallèles dirigés obliquement aux axes coordonnés. Il pourra
même arriver que les coupes les mieux comparables correspon-
dent àdes plans non parallèles, dontlasuccession serait réglée,
par exemple, comme tournant autour d'une certaine droite,
ou selon toute autre loi. Enfin, pour indiquer déjà, à cet égard,
la plus vaste conception géométrique, il faut considérer, en
général, que la série de surfaces auxiliaires la plus propre à
fournir des sections nettement appréciables pourra, quoique
rarement, ne pas se composer de plans, mais plutôtde sphères
ou de cylindres, ou de cônes, etc., suivant la nature de la sur-
face cherchée. Mais, quel que soit le mode de réduction de
la discussion des surfaces à celle des lignes, on voit ainsi
que le lieu géométrique de toute équation à trois variables
se présentera toujours, plus ou moins clairement, comme
engendré par une ligne déterminée, ordinairement plane,
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 435
glissant, suivant une loi connue, sur une certaine directrice.
La seconde partie de ce traité élémentaire de géométrie ana-
lytique à trois dimensions montrera bientôt que Télaboration
naissante de la géométrie comparée d'après la grande concep-
tion de Monge a déjà permis de soumettre aujourd'hui à quel-
ques véritables règles cette discussion générale des équations
de surfaces,aussi bien que leur formation ; ce qui doit ici nous
dispenser essentiellement, sous Tun et Tautre aspect, des deux
séries d'exercices qui ont été indispensables, en géométrie
plane, pour caractériser suffisamment un ordre de considéra-
tions qui n'y est point réductible encore à de vrais principes
rationnels. Je vais donc me borner maintenant, quant à la dis-
cussion, comme je Tai fait ci-dessus quant à la formation, à des
exemples fort simples, uniquement destinés à éclaircir ce que
les explications précédentes pourraient offrir de trop abstrait.
Soit, d'abord, l'équation j:* + y*-}- 2" = 1, qui,quoique évi-
demment comprise dans un type connu, doit être actuellement
considérée indépendamment de toute notion antérieure. En y
supposante constant, il en résulte la courbe ,T^-|-y^=l — c^\
ainsi les coupes horizontales du lieu sont toujours des cercles
ayant leurs centres sur l'axe vertical, et dont les rayons dé-
croissent à mesure qu'on s'éloigne du plan des ary, jusqu'à la
hauteur 1, où le cercle se réduit à son centre, après quoi la
courbe^n'existe plus, de manière à indiquer les limites verticales
de la surface,d'aiUeurs symétrique autour du plan horizontal.
Ces caractères annoncent clairement une surface de révolution
autour de Taxe des z, en sorte qu'il ne reste plus qu'à déter-
miner son méridien, servant à diriger le mouvement du cercle
générateur : il suffit, pour cela, de faire y = 0, ce qui donne
à la trace verticale de la surface cherchée, ar^ -}- 2^ = I , une
figure également circulaire, ayant aussi son centre à l'origine.
1
436 GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE.
L*enseinble de ces indications successives ne permet pas de mé-
connattre la nature spbérique du lieu proposé.
Considérons ensuite VéqneLÛon z=xy. Des coupes horizon-
tales y fourniraient des hyperboles équilatères, dont le centre
resterait sur Taxe vertical, et dont les asymptotes demeure-
raient parallèles aux axes horizontaux : leurs sommets, tou-
jours contenus dans le plan bissecteur, ;/ = a:, de Tangle des
deux plans verticaux^ formeraient une parabole, ayant son
sommet à Torigine, son axe confondu avec celui des z» et un
paramètre égal à 2, d'après sa projection verticale .t^^» 2^.
Mais la nature de Téquation proposée indique aussitôt que des
sections parallèles aux autres plans coordonnés seraient ici
préférables^ puisqu'elles consisteraient en de simples lignes
droites j5=ca:, pour y=c : cette nouvelle génératrice, constam-
ment parallèle au plan des xz, quoique sa direction soit va-
riable, rencontre d'ailleurs toujours Taxe des y. On détermi-
nera la meilleure directrice correspondante en cherchant la
trace de la surface sur un plan parallèle à celui des yz^ par
exemple le plan a; = rf, qui donnera z = dy, d'où il résulte
également une droite. La plus simple génération de cette sur-
face consiste donc, en résumé, à faire mouvoir, sur deux
droites fixes qui ne se rencontrent pas, une droite parallèle à
un plan fixe. Ce mouvement peut d'ailleurs s'opérer, évidem-
ment, de deux manières différentes, puisque, Téquation étant
symétrique entre ar et y, ce qui a été remarqué ci-dessxfc envers
Tun des plans verticaux convient également à Tautre.
Examinons enfin la surface z'^=xy. Ses sections horizon-
tales seraient encore des hyperboles équilatères,analogues aux
précédentes : mais le lieu de leurs sommets, qui correspon-
dent toujours au plan bissecteur y = x, se compose main-
tenant de deux droites menées, à Torigine, sous un angle
de 45*", autour de Taxe vertical, comme l'indique la nouvelle
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 437
projection verticale jz = i: «. L'ensemble de cette appréciation
indique déjà sufBsamment un cône droit, à base hyperbolique
horizontale, et dont le sommet se trouve à Torigine. Mais la
nature de ce lieu, que n'éclairciraient pas des coupes paral-
lèles aux deux autres plans coordonnés, ressortira surtout de
Texamen des sections verticales opérées en tous sens autour de
Taxe de z : car, Tun quelconque de ces plans, analytiquement
caractérisé d'après sa trace horizontale y = ax, déterminera
toujours deux lignes droites passant constamment à Torigine,
conformément à la seconde projection z z=z±,xv a.
Sans multiplier davantage de tels exemples, j'engage le lec-
teur à s'exercer spontanément à ces discussions de surfaces, en
partant d'équations un peu plus compliquées, mais pourtant
assez simples pour que l'élaboration analytique n'absorbe pas
l'attention principale, qui doit alors rester concentrée sur l'ap-
préciation combinée des divers documents géométriques em-
pruntés à l'étude des figures planes. Ce genre d'exercices,
dont l'utilité logique dépend surtout de leur spontanéité, est
encore plus propre que la discussion des équations à deux va-
riables à faire convenablement ressortir le véritable esprit de
la géométrie analytique, en régularisant l'interprétation géo-
métrique du mode de composition de ceâ équations, même
envers chacun des paramètres qu'on y supposait d'abord
constants.
Après avoir considéré, en général, l'appréciation géomé-
trique de toute équation à trois variables, il serait superflu de
s'arrêter formellement au cas d'un couple quelconque de pa-
reilles équations, puisque la ligne, qui en constitue nécessai-
rement le lieu, y est aussitôt définie par l'intersection des deux
surfaces séparément résultées de chacune des deux équations
proposées .L'interprétation concrète ne saurait être directe qu'à
regard d'une seule équation. Un tel assemblage ne peut exiger,
438 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
en géométrie analytique, d'autres principes propres que les
notions déjà établies sur la manière de dissiper régulièrement
l'ambiguïté fondamentale qui s'y rattache. Toute la discussion
géométrique de chaque couple spécial n'y doit offrir d'autre dif-
ficulté nouvelle que le choix des plus simples surfaces suscep-
tibles de contenir la ligne considérée, et qui peuvent différer
souvent de celles qu'indiquent les deux équations primitives,
dès lors ultérieurement remplacées par d'heureuses combinai-
sons mutuelles.
132. Dans l'espace, comme sur un plan, notre système de
géométrie analytique se trouve nécessairement assujetti à des
imperfections fondamentales, à la fois géométriques et analy-
tiques, qu'il conservera probablement toujours, mais envers
lesquelles il suffit ici d'indiquer sommairement la simple exten-
sion des remarques déjà soigneusement expliquées au n® 8, et
qui n'ont maintenant besoin d'aucune élaboration nouvelle.
SousTaspect géométrique,rinstitution actuelle des équations
est radicalement vicieuse, pour les surfaces aussi bien que
pour les lignes, en ce qu'elle ne permet point de représenter
analytiquement une portion de lieu, ni par suite un lieu dis-
continu, composé de diverses parties de figures dislinctes.il en
résulte quelquefois une imparfaite harmonie entre nos équa-
tions et les définitions correspondantes, qui devient surtout
fâcheuse envers les phénomènes naturellement relatifs à de tels
assemblages, comme, par exemple, quand on étudie l'équi-
libre ou le mouvement des températures dans un polyèdre
quelconque.
Du point de vue analytique, la représentation géométrique
des équations à trois variables est souvent incomplète, puis-
qu'on n'y tient aucun compte des solutions imaginaires, qui
fréquemment y prédominent, et qui même y peuvent être ex-
clusives. Outre les conséquences ordinaires d'une telle imper-
PREinÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 439
fection, lorsqu'une équation ne fournil aucun lieu quelconque
ou indique seulement des points isolés, il faut ici remarquer
une nouvelle anomalie, consistant en ce que lelieu géométrique,
cessant d'être une surface, suivant le principe fondamental,
peut devenir une simple ligne, si l'équation est constituée de
manière à se décomposer en deux autres, auxquelles doivent
simultanément satisfaire toutes ses solutions réelles. Tel serait
le type
■
dont Tanalogue en géométrie plane, ne fournissait que quel-
ques pointsincohérents, mais qui maintenant semble comporter
un véritable lieu géométrique, la ligne commune aux deux
surfaces ç (x, y, 2) = 0 et ^ (a:, y, z) = 0. Il faut toutefois
remarquer que ce prétendu lieu n'est pas plus caractéristique
que Tautre de Téquation d'où il provient ; puisque la même
ligne pourrait évidemment résulter d'une infinité d'autres
équations de cette nature , analytiquement très-distinctes,
quoiqu'admettant les mêmes solutions réelles.
Outre cette double imperfection radicale, qu'on peut juste-
ment reprocher à notre système de géométrie analytique, où
elle altère, à divers égards, la relation fondamentale entre le
concret et l'abstrait, quoiqu'il soit d'ailleurs presqu'impossible
d'y remédier convenablement, une critique exagérée a quelque-
fois conduit à attribuer vicieusement à ce système une impuis-
sance logique dont il ne doit pas philosopjiiquement répondre,
en tant que certainement inhérente à la nature du sujet, et
non à l'insuffisance de nos conceptions mathématiques. J'ai
surtout en vue le défaut de représentation géométrique des
équations assez indéterminées pour contenir au delà de trois
variables, et envers lesquelles la géométrie ne saurait fournir
aucune exacte interprétation concrète, qu'il faudrait alors
44(i GÉOMÉmiE DA.NS L' ESPACE.
empronter à des phéDomènes pins compliqués, et par suite
plus variés, tels que ceux du mouyement, si celle complica-
tion supérieure ne devait pas, au contraire, être plutôt con-
sidérée comme constituant un obstacle insurmontable à TefB-
cacité logique d'une telle peinture, qui ne saurait vraiment
éclaircir des relations dès lors destinées à rester exclusivement
abstraites. Toutefois, on a fait quelques tentatives partielles
sur rinterprétation géométrique des équations à quatre varia-
bles, en les concevant relatives, non plus à des surfaces, mais
à des volumes, suivant le progrès naturel d*une telle indéter-
mination. Il n*est pas inutile ici d apprécier sommairement de
tels efforts pour vérifier spécialement qu'ils ne sont susceptibles
d'aucun succès vraiment fondamental, et que le nombre trois,
indiqué par les dimensions nécessaires de Tétendue comme par
les coordonnées propres aux positions les plus indéterminées,
limite inévitablement le degré d'indépendance des variables
qui peuvent régulièrement coexister dans les équations pure-
ment géométriques.
En considérant la quatrième variable comme un paramètre
susceptible de valeurs successives, Téqualion f[x^ y, s, /)= 0
représentera, en coordonnées rectilignes et rectangulaires, par
exemple, une certaine surface, de nature déterminée ; mais
dont la position changera, ainsi que la grandeur ordinairement,
à rimitation de ce que nous avons remarqué ci-dessus en pas-
sant de deux variables à trois. Le lieu géométrique de Téqua-
tion proposée se montrera donc formé d'une suite de couches
superficielles, régulièrement disposées, selon la composition de
l'équation par rapport à t, que Ton pourra compter suivant
un quatrième axe, alors purement factice, également incliné
sur les trois premiers, pour simplifier l'image. Mais ce sera
seulement dans quelques cas particuliers qu'un tel ensemble de
surfaces constituera un véritable volume, exactement circon-
PREMIÈRE PARTIE^ CHAPITRE PREMIER. 441
scrii, et non une masse confuse, le plus souvent même rem-
plissant l'espace entier. Cet assemblage ne saurait devenir
suffisamment net qu'autant que les surfaces partielles seront
fermées et que les valeurs de la quatrième coordonnée se
trouveront limitées. Telle serait, par exemple, Téquation
ar'-|-y'-f-^'+^'=^î qui, mise sous la forme a:^4-y^+^'=4 — ^*i
indique une suite de sphères concentriques, dont le rayon dé-
croîtra de i & 0, à mesure que / augmentera de 0 à 1, et de-
viendrait ensuite imaginaire : on pourrait donc, en effet, se
représenter l'ensemble des solutions réelles de cette équation,
comme géométriquement relatif au volume total de la plus
grande de ces sphères, qui enveloppe toutes les autres ; le rayon
de chaque couche sphérique et la valeur du paramètre variable
/, se correspondraient ici suivant une construction assez facile
pour que cette peinture comportât quelque efficacité, scienti-
fique ou logique, si ces cas étaient plus fréquents. Mais, en
considérant Téquation analogue ar-fy-fzH-^==i,qui paraît
encore plus simple, les diverses valeurs de t, dès lors nulle-
ment restreintes, en feraient sortir une série indéfinie et con-
tinue de plans parallèles entre eux, qui, pouvant ainsi passer
en un point quelconque, ne sauraient constituer d'autre assem-
blage que l'espace entier, de quelque manière que t pût être
géométriquement apprécié. On sent que la même confusion
résulterait uniformément de la plupart des équations de ce
genre, qui, par conséquent, ne comporteraient aucune véri-
table peinture géométrique.
Cette nécessité fondamentale, qui limitera toujours à deux
variables indépendantes le degré d'indétermination analytique
que la géométrie peut régulièrement apprécier, est, en réalité,
d'autantmoinsregrettable que toutecorrespondance ultérieure,
lors même qu'on la jugerait possible, deviendrait naturelle-
ment presque aussi inutile, comme artifice logique, à la pure
442 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
analyse, qu'elle le serait d'abord évidemment, comme moyen
scientifique, à Tinvestigation géométrique. On peut remar-
quer, en effet, que la peinture des fonctions à deux variables
indépendantes, quoique pleinement praticable, comporte déjà,
en vertu de sa complication supérieure, beaucoup moins d'effi-
cacité logique pour faciliter les spéculations analytiques cor-
respondantes que ne le permet l'heureux usage des lieux géo-
métriques envers la théorie abstraite des fonctions d'une seule
variable.
133. Afin de compléter cette introduction fondamentale à
l'ensemble de la géométrie à trois dimensions, ilfaudrait main-
tenant motiver la préférence unanime qu'on a toujoursac.cordée
spontanément au système des coordonnées rectilignes et même
aux axes rectangulaires. Mais cette préférence repose ici né-
cessairement sur les raisons générales déjà examinées, à cet
égard, en géométrie plane, et qui n'exigent maintenant aucune
nouvelle appréciation, sauf l'importance supérieure des moyens
de simplification envers une étude naturellement plus difficile.
Cet évident surcroît de motifs deviendrait surtout sensible en
opposant au système adopté l'un ou l'autre des deux systèmes
polaires, que des convenances spéciales conduisent quelquefois
à lui substituer temporairement^ malgré la fâcheuse compli-
cation des constructions élémentaires qui s'y rapportent. En
géométrie pure, la formation des équations de surfaces, aussi
bien que leur discussion, ne s'opéjera donc jamais qu'avec des
coordonnées rectilignes, à moins que la science ne parvînt à
ce degré de spécialité, qui n'existe point encore, et qui peut*
être sera toujours écarté, où l'on étudierait particulièrement
des formes, analogues à celles des spirales, dont les types
analytiques ne deviendraient suffisamment simples qu^à l'aide
des coordonnées polaires. Quant à la rectangularité des axes
rectilignes, les mêmes motifs la représenteront spontanément
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 443
au lecteur comme étant ici encore plus convenable que dans la
géométrie plane, où nous avons quelquefois employé utilement
des axes obliques, ce qui n'a réellement lieu, en aucun, cas
important, dans la géométrie à trois dimensions.
n ne nous reste donc plus maintenant qu*à constituer, envers
cette nouvelle étude générale, les théories préliminaires ana^
logues à celles de la géométrie plane, et qui deviennent aussi
indispensables envers les surfaces qu'à l'égard des courbes. Ces
théories, d'ailleurs naturellement plus difficiles, seront ici au
nombre de trois ; car, entre la théorie de la ligne droite et celle
de la transposition des axes, la géométrie à trois dimensions
exige nécessairement qu'on interpose la théorie analytique du
plan. Telles sont les destinations respectives des trois cha-
pitres qui vont successivement compléter cette introduction
générale.
CHAPITRE II. •
Théorie analytique de la ligne droite dans l'espace.
134. Nous devons d'abord établir la plus simple forme
générale des équations de la ligne droite. Or, parmi Tinfinité
d'intersections de surfaces propres à produire cette ligne, la
plus. convenable, sous le double aspect géométrique et analy-
tique, doit évidemment consister dans la combinaison de deux
plans. Mais ce mode spontané semble d'abord présenter, à cet
égard, une sorte de cercle vicieux, puisque la formation gé-
nérale de l'équation du plan suppose, à son tour, la représen-
tation analytique de la ligne droite, comme l'expliquera spé-
cialement le chapitre suivant. La seule issue régulière d'une
444 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
telle difficulté élémentaire résulte d'un choix judicieux entre
les divers plans qui contienn^t une même droite, en préférant
deux de ceux qui sont parallèles aux axes coordonnés, et dont
Téquation doit, à ce titre, suivant nos explications fondamen-
tales, être indépendante de la variable correspondante , de
manière à coïncider avec Téquation plane de la projection de la
ligne sur le plan des deux autres axes. On voit que ce système
n'est autre que celui des deux cylindres projetants, qui, tou-
jours destiné à caractériser finalement chaque ligne, est rare-
ment le plus propre à former ses équations initiales: c'est
peut-être ici le seul cas important où ce mode doive être, à cet
égard, préféré à tout autre. Si, par exemple, on projette
successivement la droite parallèlement aux deux axes horizon-
taux, on aura aussitôt les deux équations fondamentales
Xs=*az -i- a et y s= bz -\- €^
dont Tensemble constitue le plus simple type général qui puisse
analytiquement représenter une ligne droite dans l'espace, et
auquel tous les autres modes analytiques seront nécessairement
réductibles d'après les transformations convenables.
Ce type devant devenir aussi usuel que celui qui lui corres-
pond en géométrie plane, il importe de se familiariser beau-
coup avec la signification concrète des quatre constantes arbi-
traires a, b, a, €, qu'il contient. D'abord le nombre de ces
paramètres, deux fois plus multipliés que dans le cas plan,
représente toujours, mais d'une nouvelle manière, le nombre
des points qu'exige la détermination de la droite : car, d'après
la dualité actuelle des équations de toute ligne, chaque passage
en un point donné fournit maintenant deux relations entre les
constantes qui s'y rapportent, et dont le nombre devait par
conséquent devenir double de celui des points déterminants. Le
même contraste analytique aura lieu nécessairement envers
PREMIÈRE PARTIE^ CHAPITRE DEUXIÈME. 445
toute autre ligne susceptible d'être alternativement considérée
sur un plan et dans Tespace, le nombre total des paramètres
y devant généralement être doublé pour le second cas, afin de
maintenir la fixité du caractère géométrique relatif à la déter-
mination.
En second lieu, laloi d'homogénéité indiquerait suffisamment
que deux de ces quatre constantes, a*et&, sont nécessairement
angulaires, tandis que les deux autres, a et 6, sont linéaires,
si déjà la géométrie plane n'avait rendu très-familière cette
indispensable distinction élémentaire. Quant à Tînterprétation
géométrique de ces divers paramètres, nos habitudes antérieures
ne Tindiquent nettement qu'envers les projections respectives,
d'où il faut indirectement remonter à la droite elle-même.
Toutefois, cette dernière relation peut aisément devenir directe
à l'égard des coafficients linéaires a, 6, qui désignent évidem-
ment les coordonnées de la trace horizontale de la droite pro-
posée. Mais, pour les coefficients angulaires a, i, il faut se
borner à concevoir chacun d'eux comme la tangente de l'angle
formé par la projection correspondante avec l'axe vertical, ou,
^i Ton veut, par le plan projetant avec l'autre plan vertical
des coordonnées. La direction même de la droite dans l'espace
dépend nécessairement à la fois de ces deux constantes^ suivant
une loi très-simple, qui sera ci- dessous expliquée, et dont
l'inversion permettra d'ailleurs de se les représenter commo-
dément d'après cette direction.
De même qu'en géométrie plane, la théorie analytique de la
ligne droite doit ici consister essentiellement à déterminer ces
quatre paramètres quand, sans être immédiatement donnés,
ils doivent résulter de certaines conditions élémentaires, dont
l'expression est assez usuelle pour mériter qu'on la formule
d'avance, et qui d'ailleurs coïncident exactement avec celles
déjà appréciées pour le cas plan.
446 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPAGE.
135. Sous l'un et Tautre aspect, il faut d'abord former les
équations d'une droite assujettie à passer par deux points donnés.
Le premier passage fournira les deux Telaiions x'^^^az' -f- a et
y'= bz' +6, qui, permettant de rapporter les coefficients li-
néaires aux angulaires, conduiront au type
aussi usuel qu'en géométrie plane pour représenter toutes les
droites menées d'un même point. En ayant égard au second pas-
sage, on y déterminera finalement les constantes angulaires par
les formules
X" ^ X' y "-y
identiques à celles du cas plan, et dès lors susceptibles de la
même explication trigonométrique, puisque chaque projection
verticale de la droite cherchée contient nécessairement les pro-
jections correspondantes des deux points donnés.
D'après ce premier problème, quand de nouveaux points
de l'espace devront être en ligne droite avec les deux premiers,
chacun d'eux, comparé à l'un de ceux-ci, fera naître analyli-
quement deux conditions, consistant toujours dans une double
proportionnalité entre les différences respectives des trois coor-
données de tous deux.
Considérons maintenant la seconde question essentielle, rela-
tive à la détermination analytique de l'angle de deux droites
dans l'espace. Par sa nature, une telle recherche est, comme
en géométrie plane, nécessairement trigonométrique, d'après
son évidente spécialité : seulement elle offre ici plusd'embarras,
parce queles angles donnés n'y sont pas, à beaucoup près, aussi
simplement liésà l'angle demandé. Gommeil doit d'ailleurs de-
meurer indépendant des coefficients linéaires, nous pourrons
remplacer les deux droites donnéespar leurs parallèles menées
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 447
de Torigine, sans considérer, du reste, si les lignes pdmitives
se rencontrentou non,cequîn*affecte nullementleurinclinaison
mutuelle, toujours également indispensable à mesurer. DV
près ce préambule, la solution trigonométrique consiste à con-
sidérer, sur les deux droites données, a:=â:z, y«-ftz,et a>=»a'z,
ywssb'z^ deux points arbitraires, dont les ordonnées verticales,
z et jz' resteront quelconques, et à résoudre, par rapport à
Tangle cherché, le triangle ainsi résulté de trois côtés aisément
appréciables par la formule des distances. Les indéterminées
auxiliaires 2 et z' devant s'éliminer spontanément à la On du
calcul, pour que la grandeur de Tangle ne dépende pas de la
longueur deses côtés, on éviteracommodémentd'en surcharger
les opérations, si on use du droit évident de les choisir égales
entre elles et à l'unité. On sait que la formule trigonométrique
convenable est ici
COSVe=
2rfd '
en nommant d^ d\ et D les dis tances des deux points artificiels
à Torigine et entre eux, lesquelles sont exprimées, d'après les
coordonnées respectives 1, a^ 6 et 1, a' b\ par
Il en résulte aussitôt la formule cherchée,
aa' + bb'+i
cos V
v/(a»+6'+l) (a'^+6'^+i)'
qui mérite d*être retenue comme éminemment usuelle.
En faisant successivement coïncider la seconde droite avec
chacun des trois axes coordonnés, on en déduit aisément les
formules spéciales
COSZa» . COsYaa— — ^ COSX=a ,
v/a»+6*+i v/«*+*'+4 /a«+6^+i
i
448 GÉOMÉTRIE DANS L*BSPAGG.
pour les inclinaisons de la première sur ces axes. Ces trois an-
gles ne sauraient être indépendants entre eux, puisque, en gé-
néral, deux angles quelconques déterminent suffisamment une
direction. De telles formules Tindiquent assez en ne faisant dé-
pendre les trois inclinaisons que des deux données a et 6, dont
l'élimination y fera découvrir leur relation constante.Onaperçoil
aussitôt que cette élimination s^accomplira spontanément en
ajoutant les carrés de ces trois égalités, d où résulte le théorème
très-usuel
cos* X+ cos» Y + cos» Z = 1,
ou, sous une forme moins connue, mais utile à noter aussi,
sina X + sin» Y + sin« Z == 2.
Au reste, ces deux énoncés algébriques peuventêtre succinc-
tement réunis en un seul énoncé vulgaire : la somme des carrés
des cosinus ou des sinus des angles formés par une droite quel-
conque avec trois axes rectangulaires est nécessairement con-
stante. Il y aurait, en effet, un vrai pléonasme logique, à men-
tionner expressément la double valeur de cette constante,
évidemment indiquée, en chaque cas, par la coïncidence de la
droite avec Tun des axes. Cette liaison remarquable, directe-
ment appréciée, constitue d'ailleurs, sous sa première forme,
une suite peu éloignée du théorème fondamental de Pythagore.
En effet, il suffit de considérer le cosinus d'un angle comme la
projection d'un de ses côtés, dont la longueur serait égale au
rayon trigonométrique 1, sur l'autre côté : dès lors, les trois
cosinus proposés représententlesprojections de la droitedonnée
sur les trois axes proposés ; ils constituent donc les arêtes d'un
parallélipipède rectangle dont cette droite serait la diagonale ;
ce qui conduit aussitôt, par une double application de ce théo-
rème, à la relation précédente.
Réciproquement envisagées, les formules ci-dessus permet-
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 449
tent d'exprimer les deux coeflicients angulaires d'une droite
quelconque d'après ses inclinaisons sur les trois axes rectan-
gulaires, suivant la loi, très-usuelle aussi^ surtout en méca-
nique,
cos X , côs Y
a
cos Z' cos Z'
Cette loi fort simple conduit à mettre notre formule princi-
pale de cos V sous une nouvelle forme très-remarquable, due
à Euler, en opérant la même transformation envers les deux
droites considérées : on trouve ainsi
cos V = cos X cosX'+ cos Y cos Y'4- cos Z cos Z' ;
ou, en français, le cosinus de Tangle de deux droites équivaut
à la somme des produits des cosinus de leurs inclinaisons res-
pectives sur trois axes rectangulaires quelconques.
D'après le problème précédent, il est facile d'apprécier la re-
lation qui doit exister entre les coefficients angulaires de deux
droites pour qu'elles forment un angle donné. Il suffit ici de
mentionner le cas de leur perpendicularité, ainsi caractérisée
par la condition
aa'+66 +i==0,
analogue à celle de la géométrie plane, quoique plus com-
pliquée, mais qui ne peut plus déterminer l'une des directions
par l'autre, conformément aux indications géométriques res-
pectives. Toutefois, cette détermination doit exceptionnelle-
ment s'accomplir quand on suppose ¥«==0, ou cos Ys»i, puis-
qu'alors il y a parallélisme : l'algèbre exprime cette anomalie
en présentant la relation correspondante sous la forme
(a - aj + (é — b')^ -f- {aV — a'bY — 0,
qui, envers les valeurs réelles, se décompose nécessairement
43(J QÈùmtTwm dasb l espace.
en deax conditions, a'=a, b'^»b^ pldnemenl conformes à la
nalnre dn cas.
Examinons enfin le troisième élément essentiel de la théorie
analytique de la ligne droite, en déterminant Tintersection de
denx droites d'après leurs équations. Le principe fondamental
est ici nécessairement le mémeqn*en géométrie plane, puisque
tont point common à denx lieux quelconques doit nécessaire-
ment satisfaire à leurs équations simultanées, quel qu'en puisse
être le nombre. Mais, dans Tespace, l'application normale de
ce principe uniforme conduit spontanément à une nouvelle ap-
préciation, qu'il importe de remarquer déjà sur ce premier
exemple : car, chaque ligne, droite ou courbe, ayant main-
tenant deux équations, le nombre des conditions qui doivent
déterminer les coordonnées communes est alors doublé, tandis
que le nombre de ces inconnues a seulement augmenté de
moitié ; en sorte que l'harmonie du problème se trouve désor-
mais rompue, à moins d'une concordance spéciale entre Tune
desquatre relations et l'ensemble des trois autres, sans laquelle
la question serait contradictoire. Or, cette considération ana-
lytique correspond, géométriquement, à l'impossibilité actuelle
de toute rencontre entre deux lignes quelconques, si elles ne
satisfont à une certaine condition mutuelle, consistant, pour
deux droites, à appartenir au même plan, et toujours analy-
tiquement représentée par la relation résultée de l'élimination
des trois coordonnées communes entre les quatre équations des
deux lignes. Cette importante notion de géométrie à trois di-
mensions aura bientôt un office très-étendu dans la théorie gé-
nérale des surfaces courbes. En l'appliquant maintenant au
seul cas de deux droites quelconques,
la condition de rencontre est finalement -r-, — - = rr — i'» ou,
6 — b 0 — 0
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 451
en français, les différences respectives des coefficients linéaires
doivent être proportionnelles à celles des coefficients angu-
laires. Quand elle sera remplie, les coordonnées de Tintersec-
tion cherchée seront
a — ot aa'— a'a 6 (a' — «) + €(« — a')
" ;i ^=-z — rr, y — — ^^ -*
a — a a — a a — a
en les supposant infinies, on reproduirait les caractères connus
du parallélisme, du moins eu égard à la relation préalable.
Ces formules ne doivent pas d'ailleurs être retenues : il sera
préférable d'en retrouver l'équivalent spécial en chaque oc-
casion.
136. Tels sont, dans l'espace, comme sur un plan^ les seuls
éléments vraiment indispensables à la théorie analytique delà
ligne droite. Parmi les nombreuses questions composées qui
peuvent résulter de la combinaison de ces trois problèmes es-
sentiels, je me bornerai à en examiner deux, analogues à celle
déjà considérée en géométrie plane, quoique leurs formules
deviennent ici à la fois plus compliquées et moins usuelles :
outre l'application ultérieure dont elles seront quelquefois sus-
ceptibles, elles constitueront maintenant des types suffisants de
ces exercices secondaires, que le lecteur pourrait ensuite multi-
plier spontanément.
Déterminons d'abord, comme dans le cas plan, la distance
d'un point donné {x\ y\z')\, une droite donnée
(ar = û:?4"«ï y = *^ + Q'
En suivant la même marche qu'alors, il faudra préalablement
former les équations de la perpendiculaire correspondante,
x — x'^=^a'{z--z'), y — y'^==b'{z — z'),
d'après les deux conditions
X — a z — a a — a
«'a-f 6'6 + l = 0,
y'_6V— 6 b'--h'
452 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPAGE.
à
qui expriment qu'elle forme un angle droit avec la ligne
donnée et qu'elle la rencontre, conformément aux règles du
n^ précédent. Quand ces deux équations du premier degré
auront fait connaître a' et b\ on calculera, comme ci-dessus,
les coordonnées du pied de la perpendiculaire, et sa distance
au point donné en résultera finalement^ suivant la formule or-
dinaire.
Sans accomplir cette laborieuse combinaison analytique de
nos trois questions essentielles, on peut trouver plus commo-
dément l'expression de la longueur cherchée jo, par une solu-
0
tion spéciale, fondée sur sa comparaison avec la distance d du
point donné à un point quelconque de la droite donnée, par
exemple, à sa trace horizontale : car, en nommant V l'incli-
naison, aisément appréciable, de cette droite sur cette dis-
tance auxiliaire, on aura évidemment p = rf sin V. On faci-
litera l'opération en prenant pour origine provisoire le point
o, a, 6, ainsi choisi, sauf à revenir ensuite à l'origine primi-
tive, par le changement final de j? en a: — a et y en y — €.
Dans cette hypothèse
ax-\'by-\-z
rf= /ar^-f-ya-f. z\ et cos V
/(««+ôa+i) (a:2+y2+2a)'
d'où il résultera p = \/ 3^+ y'+ ^^^ -^ ^^Jl^bif"' ^^
développant et réduisant, on trouvera finalement, après avoir
rétabli l'ancienne origine, la formule
_ /{a:-a^-a)»-|-(y-iz-6)^-h(«(y-6)-*(^-«))'
^~V a'+b^ + i
beaucoup plus compliquée que son analogue plan, mais pour-
tant asbez symétrique pour être aisément retenue, si elle était
assez usuelle pour le mériter. Il convient d'y remarquer que la
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 453
distance (f un point à une droite n'est plus, en général, une
fonction rationnelle des coordonnées du point, comme en géo-
métrie plane. Un tel caractère est particulier au cas plan,
envers lequel la loi précédente indique spontanément cette
exception spéciale : car, si la droite et le point sont tous deux
situés dans le plan des xz, il y faudra faire 6 = 0, 6 =0, et
t/'fssz 0, ce qui y réduira à une seule les trois parties de son nu-
mérateur, dès lors devenu un carré parfait, de manière à re-
produire exactement la formule p = — =z= du n* 28.
Considérons, en second lieu, la question qui consiste à déter-
miner la moindre distance de deux droites données. Elle
comporte, dans son ensemble, deux solutions fort distinctes,
dont le contraste spontané est propre à bien manifester le vrai
caractère des méthodes pleinement analytiques en géométrie
générale. La première consiste à appliquer analytiquement le
principe géométrique qui représente la distance cherch ée comme
devant se mesurer sur la perpendiculaire commune aux deux
droites données, à:= ajs+ a, y=r 6z+6, eta:=:û'z+a', y=: i js+S'.
D'après cette notion initiale, tout se réduit à former, suivant
l'ensemble des règles précédentes, les équations de la droite in-
connue, a:=«''j3 + « 'et y=i"z4-^"î afln de calculer ensuite
ses intersections avec les droites proposées, d'où la formule
des distances conduira finalement à la longueur demandée.
Les deux conditions de rectangularité fourniraient ainsi les i*e-
lations
aa"+bb"+ i=Oy a'a"+b'b"+ i=0,
propres à déterminer d'abord a'eib" : dès lors, la double ren-
contre déterminera aussi les coefBcients linéaires a" et 6", sui-
vant deux autres équations du premier degré
a"->« g" — 6 g" — g' g"~g'
a"— a ~ 6"— i' a"— a' "" b"— b' '
454 GÉOKÉTRIE DANS L' ESPACE.
Gela posé, le reste du calcul, quoique trës-laborieux> ne pour-
rait offrir aucune difficulté. On voit que cette première solution
est vraiment analytique dans son exécution^ qui apprécie iso-
lément chacune des conditions du problème ;mais elle ne Test
point réellement dans son institution, qui repose sur un prin-
cipe géométrique antérieur, particulier au cas de deux droites.
Au contraire, l'ensemble de la seconde solution présente un
caractère pleinement analytique, clairementmanifestéparune
généralité décisive, qui constitue, à»cet égard, le meilleur
critérium. Nous allons, en effet, y procéder à la recherche
proposée; sans aucune notion géométrique antérieure, sous la
seule impulsion de la théorie universelle des minima, et de la
môme manière que si, au lieu de deux droites, il s'agissait de
comparer, à cet égard, deux courbes quelconques. La marche
de cette solution analytique consiste à chercher les ordonnées
verticales, z et z\ des deux points les plus rapprochés, d'après
la condition que la fonction
ûpc«(z — 2')a + (az-a'z'+(fle— a'))«+(62— 6'z' + (6— €'))«
ou
+ ô (e--g'))z+2(a'(a'— a)+ 6'(6'-6)) Z'+ (a-a')a+(6-6')2,
qui exprime le carré de leur distance, soit un minimum. Or,
notre théorie des minima est directement applicable sans dif-
ficulté à ce polynôme du second degré, qui comporterait même
Tusage facile de la méthode algébrique la plus élémentaire.
Quant à la pluralité actuelle des variables indépendantes, elle
ne peut constituer, envers de telles recherches, aucun obstacle
fondamental ; car, le minimum doit évidemment subsister à
l'égard de chaque variable isolée, quelle que soit la valeur
constante de l'autre. Cette nouvelle institution du problème
n'a donc, en général, d'autre influence naturelle que de
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 455
fournir deux conditions, destinées à déterminer les deux in-
connues simultanées. Elles se formeront ici en annulant les
deux dérivées de ce polynôme séparément relatives à z et à z\
dont les valeurs dépendront ainsi de deux équations du premier
degré,
z{i+a^+ b^)—z'{aa'+ bb'+i) = a (ot— «) + i (6—6),
2'(14.eï'>+6'^) — z(aa'+A6'+i)=a'(a— a') + 6'(6— 6').
Une fois calculées, leur substitution dans la formule primi-
tive de d^ fournira sans difficulté Texpression, d'ailleurs com-
pliquée et inusitée, de la distance cherchée. Puisque les points
les plus rapprochés auront été ainsi déterminés préalablement,
aucune partie essentielle de la question ne se trouvera négli-
gée. On y pourrait même, à titre de complément alors acces-
soire, obtenir finalement les équations de la droite suivant
laquelle se mesure la moindre distance, et de manière à recon-
naître analyliquement sa rectangularité constante envers les
deux droites données, si Tesprit général de cette seconde
solution conduisait réellement à instituer une telle comparaison,
essentiellement propre à un autre mode d'appréciation de
Tensemble du problème.
A.U sujet de cette question, je dois enfin avertir que, quand
on s'y borne à la stricte évaluation de la moindre distance,
sans s'occuper de la détermination effective des points corres-
pondants^ cette formule peut résulter d'une troisième solution,
mieux calculable, à cet égard, que les deux précédentes, et
que j'aurai lieu d'expliquer dans le chapitre suivant.
456 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
CHAPITRE III.
Théorie analytique du plan.
137. L'équation rectiligne du plan peut d'abord être indi-
rectement établie, avec toute la généralité convenable, sans
considérer aucune génération de cette surface, en cherchant,
en sens inverse, le lieu géométrique de Téquation complète du
premier degré à trois variables, ax+ iy+ ^^ = ^- En y sup-
posant z constant, pour étudier les coupes horizontales,
(ix-\-by^==d — ch, on voit aussitôt que ce seront toujours des
lignes droites, parallèles entre elles ; en sorte que ce lieu se
range spontanément parmi les surfaces cylindriques. Reste
donc à découvrir la loi géométrique suivant laquelle varie le
coefficient linéaire de cette génératrice, en lui assignant une
directrice quelconque, par exemple Tune des traces verticales
de la surface : or cette trace, correspondante à ys=»0 ou a:=0,
est évidemment aussi une ligne droite. Ainsi, l'ensemble de
cette facile discussion montre nettement le lieu cherché comme
engendré par une droite qui glisse parallèlement sur une autre
droite; ce qui caractérise irrécusablement le plan. Toute équa-
tion du premier degré à trois variables représente donc, en
coordonnées rectilignes, une surface plane, les axes étant
d'ailleurs rectangulaires ou obliques.
Si maintenant l'on considère que l'équation précédente ren-
ferme trois constantes arbitraires, dont l'entière disponibilité
permet de faire passer son lieu plan par trois points quelcon-
ques de Pespace, on concevra, réciproquement, que tout plan
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 457
est susceptible d*une pareille équation, dont le lieu pourrait
ainsi se confondre complètement avec lui, puisque deux plans
coïncident totalement quand ils ont trois points communs non
en ligne droite. Nous connaissons donc déjà, indépendamment
de la génération du plan, la forme nécessaire de son équation
rectiligne.
Dans Tusage de cette équation générale, il convient de réduire
habituellement à Tunité Tufl des coefficients, afin que leur
nombre effectif soit toujours en pleine harmonie avec celui des
points qu'exige la détermination de la surface. Il en résultera
deux formes distinctes, qu'il n'est pas inutile de comparer
sommairement, selon que cette exception facultative affectera
le terme constant ou Tun des termes variables. La première
forme ax + by -{-cz^^i^ offre une plus complète symétrie
algébrique, puisque les trois coordonnées y sont semblablement
traitées; mais elle est, géométriquement, moins convenable,
parce que l'interprétation concrète des trois constantes y est
trop détournée, et même trop uniforme : car, chacune d'elles
est réciproque à la distance de l'origine au point où le plan
proposé rencontre l'axe correspondant. Aussi préférerons-nous
communément la seconde forme, z = or + 6y + c, où la loi
d'homogénéité annonce aussitôt que les coefficients aeib sont
angulaires, tandis que c est linéaire, conformément à l'expli-
cation spéciale qui montre c comme désignant la distance de
l'origine à l'intersection du plan avec l'axe vertical, pendant
que a et 6 indiquent les tangentes des inclinaisons de ses deux
traces verticales sur le plan horizontal. Cette distinction spon-
tanée entre les idées de direction et de distance, non moins
nécessaire dans la théorie analytique du plan que dans celle de
la ligne droite, constitue l'un des motifs principaux en faveur
de ce mode usuel ; car, l'autre mode, vu sa trop grande uni-
formité, mêle vicieusement ces deux sortes d'indications géo-
métriques. 87
458 GÉOMÉTRIE DANS l'ESPÂCE.
138. Ayant ainsi établi l'équation générale du plan indépen-
damment de sa génération, il importe d'apprécier comment
elle peut être directement formée d'après les diverses manières
dont cette surface résulterait du mouvement d'une ligne droite.
Quoique cette appréciation ne soit pas strictement indispen-
sable à la théorie analytique du plan, réduite à sa vraie desti-
nation propre, elle offrira spontanément le précieux avantage
didactique de familiariser déjà le lecteur avec la marche fonda-
mentale, qui, dans la seconde partie de notre étude, devra
diriger la formation des équations qui représentent les princi-
pales familles de surfaces, parmi lesquelles le plan peut indif-
féremment se ranger, en y modifiant convenablement Les seules
directrices.
Le premier mode consiste à regarder le plan comme une
surface cylindrique, ayant pour base une ligne droite. Dans
cette hypothèse, soient a:=:aj5 -|- a et y = ô^-|-€, les équations
de la génératrice, où a et 6 seront constants, en vertu du pa-
rallélisme, tandis que les coefBcients linéaires varieront d'une
position à l'autre, suivant une loi correspondante à la condition
de rencontre continuelle de cette droite mobile avec la direc-
trice donnée x=a'z+0L\ yssb'z+ 6\ Cette loi s — 5«= ^ — r,
6' — 6 0 — O
constitue une sorte d'équation naturelle du lieu cherché enlre
les deux paramètres variables a et 6. Pour en déduire l'équa-
tion demandée, il sufBt d'y rapporter ceux-ci aux coordonnées
définitives j:, y, 2, d'après les équations de la génératrice. On
obtiendra ainsi une équation qui, convenant à un point quel-
conque de cette droite mobile dans une position quelconque,
représentera nécessairement le lieu engendré par son mouve-
ment. Cette substitution de x — az et i/ — bz^ à la place de a
et ê, fournira évidemment une équation complète du premier
degré, conformément au type ci-dessus démontré. Le nombre
PREMIÂRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 459
des constantes arbitraires y surpassera notablement celui des
coefficients qui en seront formés; ce qui induit à penser que
ces six constantes pourraient prendre de nouvelles valeurs,
sans que le lieu éprouvât aucun changement, pourvu que leurs
fonctions relatives aux trois coefficients restassent invariables.
Or, cette circonstance analytique est spontanément en harmonie
avec un certain degré naturel d'indétermination géométrique
inhérent à une telle définition du plan : car, la directrice y
pourrait d'abord changer, comme envers toute autre surface,
h la seule condition d'appartenir au lieu considéré ; mais, en
outre, la génératrice elle-même pourrait indifféremment affec-
ter l'une quelconque des directions du plan, par une exception
particulière au cas .actuel, et que ne sauraient offrir les cylin-
dres curvilignes, où la direction des génératrices est toujours
unique.
Considérons, en second lieu, le plan d'après sa génération
conique, parle mouvement d'une droite autour d'un point fixe,
quand sa directrice devient elle-même rectiligne. Si x\ y\ z\
désignent les coordonnées du sommet donné, les équations de
la génératrice seront ainsi x — a:'«» (i'(z-'Z'),j/ — y'*^b\z—z') ,
les coefBcients angulaires y étant maintenant variables. Leur
relation constante dépendra, comme ci-dessus, de la condi-
tion de rencontre perpétuelle de cette droite avec la direc-
trice connue, a: ■= az -j- a, y = 6z -f- 6. Dans cette relation
T T. «= — ; ;— ; — -«, il faudra pareillement substituer les
b — b y—bz — 6 ^
expressions de a' et b' en x^ y, jz, tirées des équations de la
génératrice, en commençant toutefois par supprimer les ter-
mes communs en a' 6', qui sembleraient élever vicieusement le
résultat au second degré. On trouveraencore,suivantce mode,
une équation complète du premierdegré, où l'excès du nombre
des constantes arbitraires sur celui des coefficients qui en sont
460 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGE.
composés représentera aussi ce qu'une telle définition renferme
d*indéterminé géométriquement, soit quant à la directrice, qui
pourraut y varier sans faire changer le lieu, comme envers tout
autre cône, soit même quant au sommet, qui, unique pour
un cône curviligne, pourrait^ exceptionnellement, être ici placé
en un point quelconque du lieu.
Envisageons maintenant le plan comme une surface de ré-
volution, engendrée par la rotation d'une droite autour d*un
axe auquel elle demeure constamment perpendiculaire en un
même point. Six%î/\z\ désignent les coordonnées de ce pôle
donné, et x — x't=a(z — js'), y — y'=6 {z — ;2'),les équations
de Taxe considéré, la génératrice aura pour équations
X — a?'«=a' {z — s'), y — y'=ô' [z — z'), en concevant ses
coefficients angulaires variant selon la loi de rectangularité
aa'+ bb'+ 1 =0, où il suffira de substituer leurs expressions
en X, y, z^ afin d'obtenir Téquation définitive du lieu proposé.
Cette équation sera donc
2 = — a^ — ôy -)- (2' 4- aa:' + ôy').
Quoique, collectivement envisagée, elle contienne, sans doute,
comme dans les deux modes précédents, plus de constantes ar-
bitraires quede coefficients indéterminés, une appréciation plus
attentive montre, au contraire, que Tindétermination corres-
pondante n'affecte alors nullement les deux coefficients angu-
laires, et concerne seulement le coefficient linéaire ; en sorte
que, parmi les données de cette génération, « et i ne pour-
raient aucunement changer sans altérer le lieu, tandis que
^\ y\ 2'î y pourraient indifféremment recevoir une infinité
de valeurs distinctes, pourvu que la fonction z* + ax' -f- 6y '
demeurât invariable. Or, toutes ces nuances analytiques
sont en pleine harmonie avec les indications géométriques,
puisque Taxe d'un plan ne peut avoir qu'une seule direc-
PREinÈRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 461
tion, tandis que le pôle peut être prisa volonté sur la surface.
Au sujet de l'équation précédente, il convient de remarquer
spécialement la vérification analytique qu'elle offre spontané-
ment d'une utile proposition géométrique, sur la.rectangularité
nécessaire entre les projections quelconques d'une droite etles
traces correspondantes d'un plan qui lui est perpendiculaire .
Car, en comparant, par exemple, la trace
z = — oo; + (z'+ ax'+ 6y')i
obtenue en faisant y =0, avec la projection x — a;'=a (^ — ^')
de l'axe surleplandeso;^, le symptôme ordinairede géométrie
plane montre aussitôt que ces deux lignes sont rectangulaires.
La génération précédente se lie naturellement à une qua-
trième manière d'envisager le plan, qui serait susceptible de
conduire directement à l'équation de cette surface, conçue
comme le lieu général des points de l'espace équidistants de
deux pôles donnés x\ y', z' et x'\ y'\ z" ; ce qui fait rentrer le
plan dans la sur face également éclairée par deux lumières^ pour
le cas particulier de l'égalité. Cette définition fournit aussitôt,
d'après la formule des distances, l'équation
(^-ar')*+(y-y?+(2— 2? = (x—xy+{y-yy+{z--z")\
où les termes du second degré se détruisent spontanément, et
dont la composition confirmera ensuite aisément que le plan
est perpendiculaire sur le milieu de la droite qui joint les deux
pôles, conformément à la nature géométrique d'une telle for-
mation, qui pourrait ainsi coïncider immédiatement avec le
mode ci-dessus considéré.
Concevons enfin le plan comme une surface réglée ou recti-
ligne^ sous l'aspect le plus étendu, en le supposant engendré
par une droite qui glisse arbitrairement sur deux autres sus-
ceptibles d'intersection. Il faut ici remarquer d'abord que le
462 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPAGE.
mouvement d'une droite quelconque n*est, en général, suffi-
samment défini d'après des directrices qu'autant que celles-ci
sont au nombre de trois, sans quoi le lieu serait nécessairement
vague, la génératrice y pouvant, avec deux directrices seule^
ment, affecter, en chaque point de Tune d'elles, une infinité
de directions aboutissant à l'autre. Or, par une exception tout
à fait particulière au plan, cette surface est, au contraire, suf-
fisamment déterminée en faisant mouvoir à volonté une droite
sur deux autres qui se rencontrent, parce qu'une droite qui a
deux de ses points dans un plan les y a tous. Soient donc
les deux directrices données, entre lesquelles on supposera
f j^t —
préalablement la relation nécessaire ^^ — ^ •= t — r : leur dou-
6—6 0'— Ô
ble rencontre continue avec la génératrice fournira les deux
condiUons a^alogues^Tr^g — jTT^^et^Tr--^.— jtt— ^, entre
les quatre paramètres, alors simultanément variables, contenus
dans les équations de celle-ci, a:«-a"2î-f«",y=a6"«4"6'' ^^ur
que l'ensemble de ces quatre équations permît d'éliminer com-
plètement a'\ b", a", €", de manière à fournir l'équation du
lieu, une cinquième relation, correspondante à une troisième
directrice, serait, en général, indispensable. Mais, par une
anomalie algébrique, exactement équivalente à l'exception géo-
métrique spécialement signalée envers le plan, on trouvera ici
que, si l'on dirige ce calcul de façon à éliminer seulement trois
de ces paramètres, le quatrième disparaîtra spontanément,
pourvu toutefois que Ton ait suffisamment égard à la relation
préalable ci-dessus formulée entre les deux directrices.
139. L'équation générale du plan étant complètement établie,
la théorie analytique préliminaire qui s'y rapporte est propre-
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 463
ment destinée, comme envers la ligne droite, à déterminer les
trois constantes, angulaires etlinéaire, qu'elle contient, lorsque,
sans être immédiatement données, elles doivent résulter de
diverses conditions élémentaires suffisamment usuelles, qui se
réduisent encore essentiellement aux trois considérations fon-
damentales de passage, d'inclinaison, et d'intersection, déjà
appréciées dans la double théorie de la ligne droite.
Considérons d'abord la détermination de l'équation d'un plan
assujetti h passer par trois points donnés. En ayant égard au
premier point, la relation z'^sbox^^ 6y'+ c permettra de rap-
porter le coefficient linéaire aux angulaires, de manière à
fournir le type analytique très-usuel de tous les plans qui con-
tiennent un même point, z — z*=a (oc— a;')+*(y-"y')' On y
déterminera ensuite les deux constantes a et 6 d'après les deux
autres passages, qui, ainsi combinés avec le premier, fournis-
sent les conditions
Si l'on achève l'opération, dont le résultat général ne mérite
pas d'ailleurs d'être retenu, on pourra constater aisément que
l'indétermination des formules finales correspond au cas où les
trois points donnés sont en ligne droite, conformément aux
exigences géométriques.
On pourrait présenter cette première question fondamentale
sous une nouvelle forme, enassujettissant le plan à passer par
un point donné et & contenir unedroite donnée. Sans doute, ce
second cas rentrerait aisément dans le précédent^ en expri-
mant que le plan cherché passe en deux points arbitraires de
cette droite, ceux, par exemple, où elle rencontre deux des
plans coordonnés ; ce qui suffirait assurément, d'après une
notion géométrique très-familière, pour garantir que tout le
reste de la ligne s'y trouverait aussi. Mais il importebeaucoup
464 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPACE.
d'apprécier ici la manière dont l'analyse peut directement ex
primer, indépendamment de toute considération antérieure,
que le plan z^^ax+by-^-c contient la droite j;«=»mz +«»
ytsanz-\-6 : car, le lecteur commencera ainsi à sentir, sur un
premier exemple caractéristique, le mode suivant lequel nous
devrons ultérieurement faire passer, en général, une surface
quelconque par une ligne donnée, Popération actuelle repo-
sant déjà spontanément sur le même principe fondamental,
suivant l'attribut nécessaire de toutes les conceptions vraiment
analytiques. Or, pour que la droite soit entièrement contenue
dans le plan, il faut analytiquement que les coordonnées hori-
zontales de Tune satisfassent àréquation de Tautre, en laissant
l'ordonnée verticale tout à fait arbitraire : ainsi, la substitu-
tion de mz-^oL et nz-{-^ au lieu de x et y doit rendre identique
Téquation du plan, dès lors devenue
z=(am+ftn)-s-f-(aa+^^+0 î
ce qui fournitles deux relations am +ô/i=i, aa+ô6-)-c=0, •
sans lesquelles Téquation précédente spécifierait l'unique inter-
section de la droite et du plan, qui doit ici devenir indéter-
minée. La première de ces deux conditions caractéristiques,
indépendante des coefficients linéaires de la ligne et de la sur-
face,indique séparémentleur parallélisme ; quant à la seconde,
elle signifie, en elle-même, que la trace horizontale delà
droite appartient à la trace horizontale du plan : en sorte que
l'appréciation géométrique explique nettement comment la
combinaison de ces deux caractères analytiques constitue exac-
tement la situation proposée.
Dans une telle corelation de l'abstrait au concret, le degré de
l'équation finale en z exerce une influence géométrique qu'il
importe de bien saisir : car, il y faut voir l'indication analy-
tique du nombre de points qu'une droite doit avoir sur un plan
l»
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 465
pour y être entièrement contenue ; puisque toute équation du
premier degré à une seule inconnue qui comporte deux solu-
tions distinctes est nécessairement satisfaite par toute autre hy-
pothèse quelconque, ce résultat analytique signifie qu'une
droite appartient complètement à un plan quand elle y a seu-
lement deux points. Cette appréciation ne fait, sans doute, ici
que confirmer un axiome géométrique très-connu. Mais il suf-
firait de la généraliser entièrement^ ce qui ne susciterait au-
cune difficulté nouvelle, suivant le privilège naturel des vraies
conceptions analytiques, pour en tirer une importante déter-
mination, souvent ignorée, quant au nombre de points qu'une
droite, ou même ensuite toute autre ligne donnée, doit avoir
en commun avec une surface quelconque, afin d'y être entière-
ment contenue. D'après le même principe, ce nombre serait
nécessairement égal à trois envers une surface du second degré,
et, en général, surpasserait d'une unité le degré de la surface
considérée : car, la substitution analogue des coordonnées ho-
rizontales de la droite fournirait une équation finale en z du
même degré que celle de cette surface ; en sorte que cette équa-
tion deviendrait inévitablement identique si elle admettait des
solutions distinctes en nombre supérieur, même d'une seule
unité, à ce degré. Envers une courbe quelconque, le nombre
analogue excéderait toujours d'une unité le degré de l'équation
correspondante en 2, alors dépendant à la fois du degré de la
surface et de celui de la ligne, suivant une loi algébrique d'ail-
leurs trop peu connue pour qu'on en puisse d'avance formuler
le résultat général.
Le second élément essentiel de la théorie analytique du plan
consiste à déterminer l'angle de deux plans d'après leurs é({\3iK-
tionsz==aj:-t-6y-t-c et z=a'x-\-b'y'\'C\ Cette question ne
peut être traitée qu'en ramenant une telle inclinaison à celle
de deux droites, suivant les règles géométriques fondamen-
466 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGB.
taies. Mais ces règles fournissent, à cet égard, deux modes
très*distincts, entre lesquels le choix analytique est loin d*ètre
indifférent. En adoptant celui que la géométrie indique d^abord,
les droites auxiliaires résulteraient de la rencontre des deux
plans donnés avec un troisième plan, mené, d'un point quel-
conque, de Torigine, par exemple, perpendiculairement à
leur intersection ; ce qui conduirait à un calcul très-laborieux,
que je recommande seulement à titre d'exercice scolastique.
Suivant l'autre mode, au contraire, les droites sont faciles à
obtenir analytiquement, comme étant respectivement perpen-
diculaires aux deux plans donnés :.une remarque ci-dessus
expliquée leur assigne ainsi aussitôt les équations
a:»=3 — az, y^=a^bz et .t;=»— a'2, y^s^—Vz.
Telle est la seule difficulté nouvelle que puisse offrir la question
actuelle, dès lors ramenée à la formule du chapitre précédent
sur l'inclinaison de deux droites, sans qu'il convienne ici de
s'arrêter spécialement à une répétition algébrique qu'il vaudra
mieux opérer à l'instant du besoin : avec nos notations ac-
tuelles, la formule serait d'ailleurs littéralement la même
qu'envers deux droites. On en tirerait naturellement de pa-
reilles conséquences pour les angles de chaque plan avec les
plans coordonnés, et, par suite, une semblable transforma-
tion pour l'angle de deux plans quelconques d'après leurs in-
clinaisons simultanées sur trois plans rectangulaires. La rela-
tion constante entre ces trois inclinaisons serait ici susceptible
d'une nouvelle interprétation géométrique, que je dois expres-
sément signaler, à cause de son utilité réelle en plusieurs occa-
sions intéressantes. Car, en considérant la projection d'une aire
plane sur un plan quelconque, le cosinus de l'inclinaison est
représenté, d'après un théorème trigonométrique bien connu,
par le rapport de l'aire projetée à Taire inclinée : si donc on
PREKIÈRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 467
substitue de pareils rapports aux trois cosinus considérés dans
la relation cos2X+ cos* Y 4-«îos*Z=l, elle conduira à recon-
naître que le carré de toute aire plane équivaut toujours à la
somme des carrés de ses projections simultanées sur trois plans
rectangulaires; en sorte que, d*après nos explications anté-
rieures, cette proposition remarquable constitue, au fond,
une simple conséquence indirecte du grand théorème de
Pythagore.
Quant à Tangle d'une droite, a:=mif+a, y=*n«+S» *^^®^
un plan, z^snox-^by-^c^ il serait encore plus facile de le ra-
mener aussi à celui de deux droites, soit en comparant la droite
donnée à sa projection sur ce plan,soit^ ce qui sera analyti-
quement bien plus commode, en substituant également au plan
sa normale x — — az, y» — 62, pourvu qu'on prit ensuite le
complément derincUnaison obtenue. La formule fondamentale
du chapitre précédent conduirait ainsi à
. „ 1 — ma-—nb
8inV«
On y vérifie aussitôt la condition ci-dessus trouvée pour le pa-
rallélisme entre la droite et le plan : quant au cas de rectan-
gularité, la relation se décomposerait spontanément en deux
autres, suivant un mode algébrique déjà expliqué.
Enfin, le dernier élément indispensable à la théorie analyti-
que du plan consiste à déterminer Tintersection de deux plans
d'après leurs équations. Cetle question est aussitôt résolue que
posée, puisque la droite cherchée se trouve analytiquement ex-
primée parla coexistence de ces deux équ ations,suivant les expli-
cations fondamentales de Tavant-dernier chapitre. Si,d'ailleurs,
de ce premier couple analytique, on veut passer, comme il con-
viendra ordinairement, au couple final des plans projetants,
cette transformation n'offrira aucune difficulté propre à la re-
468 GÉOSÉTME ^ASS L ESPaOL
cherche actaelle, et s'accomplira rézolièmneiit enchaqnei
d'apHrs la double é Uminatîon prescrite, qu'il serait inntile ici
de fonnaler d'avance.
D ne sera pas plas difHcile de déterminer rinlersectîon d*ime
droite el d'an plan, en combinant leurs trois équations simul-
tanées pour obtenir les trois coordonnées du point commoD.
Ces deux questions se résolvent éridemment, en ce cas, selon
le même mode anal}'tique qu'envers toute autre sorte de lieux
géométriques, surfaces ou lignes.
140. Parmi les nombreuses recherches composées qui, dans
la théorie analytique du plan, peuvent résulter de la combi-
naison de ces trois problèmes indispensables, il fautici, comme
envers la ligne droite, distinguer surtout, soit à titre de type,
soit en vertu de son utilité réelle, la détermination de la dis-
tance p d'un point (x, y', «j à un plan (z^=^aX'\-by+c). D'a-
près les équations de la perpendiculaire correspondante,
■
x—z'=>—a(z—z'], y^y=^b {2— z'),
on peut calculer les coordonnées de son pied ; mais, comme la
longueur cherchée dépend seulement de la différence de ces
coordonnées à celles du point donné, on abrégera sensiblement
ropération algébrique en écrivant d'abord Téquation du plan
sous la forme z— z'=a [x — x') +6(y — yO+^'^ désignant
provisoirement le polynomeconnu ax' -|- 6y'+ c — z'.On trou-
vera ainsi la formule très-usuelle
ax'A-by' + c — z'
assez simple pour être aisément retenue, et dont le souvenir se
liera d'ailleurs profondément à celui de la formule analogue
en géométrie plane, qui en constitue naturellement une simple
modifleation spéciale. Il serait facile de Tobtenir trigonométri-
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 469
quemeai de la même manière que celle-ci, à Taide du triangle
rectangle formé par le prolongement de la verticale du point
donné jusqu'au plan donné. On y remarque, comme danslecas
plan,qu'elleest rationnellement composée en fonction des coor-
données du point. Au reste, la rationalité de cette formule et
Tirrationalité de celle du chapitre précédent pour la ligne
droite étaient susceptibles de prévision géométrique, en consi-
dérant,de part et d'autre^le lieu naturel des points équidistants,
dont Téquation doitêtre évidemment du premierdegré àl'égard
du plan et du second envers la ligne droite.
La formule précédente fournirait commodément l'équation du
plan bissecteurde Tangle de deux plans donnés, en y voyant
le lieu des points équidistants de ceux-ci ; ce qui, en quelques
occasions utiles, éviterait de longs circuits algébriques.
On peut aussi l'appliquer heureusement, en un cas plus im-
portant, pour obtenir l'expression de la moindre distance de
deux droites données, abstraction faite des points correspon-
dants, comme je l'ai annoncé à la fin du chapitre précédent. Il
sufSt, en effet, de substituer à cette distance celle, évidemment
équivalente, d'un point arbitraire de l'une des droites au plan
qui lui serait mené parallèlement par l'autre. En utilisant con-
venablement ce qu'un tel calcul renferme de facultatif, on trou-
vera sans peme la forroi de finale^ ' .
\/[a'^ay+[b-b'Y+[ab'-a'bY
Sa composition satisfait aussitôt à l'évidente condition de s'an-
nuler spontanément quand les deux droites se rencontrent :
je laisse au lecteur le soin d'y apprécier le cas exceptionnel du
parallélisme, où elle semble d'abord devenir indéterminée.
Toute autre explication spéciale serait ici superflue envers
les questions composées relatives à la théorie analytique du
plan, et qui, essentiellement inapplicables, ne peuvent offrir
d'utilité didactique qu'à titre de simples exercices^ dont l'effi-
470 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
cacité résulte surtout de leur spontanéité. J'engage seolement
le lecteur à chercher ainsi, d'après les coordonnées de quatre
points quelconques de l'espace , soit le volume du tétraèdre
correspondant, soit les rayons des deux sphères qui lui se-
raient inscrite et circonscrite ;sans même achever ces laborieux
calculs; leur institution nette exercera utilement à la combi-
naison familière des trois éléments essentielsdela théorie pré-
liminaire que nous venons d'établir.
CHAPITRE IV.
Théorie de la transposiUon des axes dans l'espace.
141. La nature etla destination de cette dernière théorie pré-
liminaire comportent ici les mêmes réflexions générales qu'en
géométrie plane : il n'y a maintenant de nouveau que la plus
grande difQculté d'établir les formules correspondantes et leur
complication supérieure. Sans revenir expressément sur des
explications que chaque lecteur étendra spontanément, il est
clair qu'une telle théorie doit être aussi indispensable à l'étude
générale des surfaces qu'à celle des lignes, soit pour découvrir
l'identité des lieux géométriques malgré la diversité de leur
représentation analytiquequandla différence ne résulte que des
situations respectives, soit pour simplifier autant que possible
l'équation propre à chaque lieu en assignant aux axes la posi-
tion la plus favorable ; le premier ofSce continue d'ailleurs à
être ordinairement plus important que le second. Quant au
nombre nécessaire des constantes arbitraires que doivent con-
tenir les nouvelles formules de transposition, il devient natu-
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE QUATRlàME. 471
Tellement plus grand que pour le cas plan : le déplacement de
l'origine, qui correspond toujours à la translation deslieux, in-
troduira trois éléments linéaires ; le changement de direction
des axes exigera, en général, la considération de six angles,
puisque, dans l'espace, toute direction se détermine naturelle-
ment par deux angles; mais, si Tinclinaison des axes demeure
la même qu'auparavant, ce qui représente, en sens inverse, la
rotation des lieux, ces six angles arbitraires se réduiront spon-
tanément à trois, les inclinaisons données suppléant aux trois
autres. Ainsi, en principe, ces formules contiendront nécessai-
rement six constantes arbitraires, trois linéaires et trois angu-
laires^ lorsqu'on les emploiera à la comparaison géométrique de
deux équations distinctes ; elles en renfermeraient, au contraire,
jusqu'à neuf, trois linéaires et six angulaires, quand on les ap-
pliquerait à la simplification algébrique de chaque équation
isolée. Toutefois,mème pourcette seconde destination,les con-
stantes disponibles nesontpashabituellementplusnorabreuses
que pour la première^ parce qu'on préfère ordinairement main-
tenir la rectangularité des axes ; quoique leur obliquité permît,
sans doute, de supprimer trois termes de plus, elle complique
tellement l'interprétation géométrique qu'on doit ici l'éviter en-
core plus soigneusement qu'en géométrie plane.
En procédant, comme au n° 29, d'après la décomposition
naturelle de la question fondamentale, considérons d'abord le
simple changement d'origine. Les nouveaux axes étant paral-
lèles aux anciens, il est clair que les deux coordonnée» analo-
gues d'un point quelconque auront entre elles une différence
constante, égale à l'intervalle des plans fixes où elles aboutis-
sent respectivement, et représentant le déplacemen t d'origine
correspondant. Ainsi, les formules de transposition seront
encore
472 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
a, b, Cy désignant les anciennes coordonnées de la nouvelle
origine, et se trouvant, par conséquent, affectées, en chaque
cas, d'un signe indispensable, sans Tappréciation duquel ces
formules manqueraient de généralité.
Le changement de direction des axes autour delà même ori-
gine, qui constitue la principale difficulté d'un tel sujet, offre
ici plus d'embarras qu'en géométrie plane, où la solution tri-
gonométrique était presque aussi facile à instituer qu'à exécuter,
tandis que maintenant elle exigerait naturellement de pénibles
comparaisons entre des lignes appartenant à des plans diffé-
rents.Ges obstacles sont assez gravespour susciter rapplication
d'un nouveau principe géométrique dû à Carnot, et qui, d'ail-
leurs très-utile en beaucoup d'autres recherches, dissipe heu-
reusement toutes les complications de la question actuelle. Il
consiste en ce que, si l'on projette, sur un axe quelconque, un
contour rectiligne fermé, d'ailleurs plan ougauche,la projection
de chaque côté sera toujours égale à la somme algébrique des
projections de tous les autres. Exposons d'abord l'explication
générale de cette importante relation.
Par sa nature, il sufBt de l'avoir constatée envers un simple
triangle pour acquérir aussitôt le droit de l'étendre successive-
ment à un polygone quelconque, formé d'une suite de triangles
contigus, qui peuvent d'ailleurs être situés en des plans diffé-
rents. Afin d'en mieux caractériserla notion, bornons-nous donc
à considérer ce cas fondamental, quoique la démonstration pût
directement convenir à tout contour fermé. On évitera toute
obscurité, à cet égard, si l'on apprécie préalablement, en gé-
néral, la double manière dont peut être comptée, d'aprèslaloi
du signe concret, la projection de chaque côté, évidemment
susceptible d'inversion selon le sens dans lequel on parcourt
l'une et Tautre ligne. Cette opposition de signe est fidèlement
traduite par lexpression algébrique de la projection, propor-
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 473
tionnellement au cosinus de rinclinaison du côté sur Taxe :
car, le signe de ce cosinus change spontanément suivant celle
des deux extrémités que Ton regarde comme initiale, en con-
cevant l'autre comme finale, puisque Tangle avec Taxe, tou-
jours compté dans le même sens, suivant le précepte trigono-
métrique, augmente alors de 180*.
D'après cet éclaircissement préalable, le principe des pro-
jections linéaires ne peut offrir aucune difficulté, en considé-
rant la succession nécessaire des projections de deux côtés con-
sécutifs, comparés à la projection du troisième côté du triangle
correspondant. La seconde projection se juxtaposera ou se su-
perposera à la première, selon que le second côté fera, comme
le premier, un angle aigu avec Taxe, ou bien un angle obtus :
or^ la projection du troisième serait alors, évidemment, tantôt
la somme, tantôt la .différence géométrique de ces deux pre-
mières projections, dont elle représentera donc toujours la
somme algébrique, en ayant égard aux signes simultanés des
cosinus. Même quand le second côté prend une direction per-
pendiculaire & Taxe^ auquel cas sa projection n'altère nulle-
ment celle du premier, la relation subsistera epcore, puisque
le terme correspondant s'annulera spontanément. On voit que,
dans un tel énoncé, il faut considérer le dernier côté comme
ayant la même origine que le premier; si on l'estimait nais-
sant de son autre extrémité, c'est-à-dire suivant le parcours
naturel du circuit total, sa projection changerait de signe, et
le théorème consisterait en ce que la somme des projections de
tous les éléments d'un contour fermé reste constamment nulle
envers un axe quelconque.
L'importance de ce principe géométrique m'engage à in-
diquer- une autre manière générale de l'envisager, qui pourra
dissiper ou prévenir, à cet égard, toute confusion. Si l'on
substitue à l'axe considéré un plan qui lui soit perpendicu-
88
474 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPAGE.
laire, et qui d'ailleurs laisse du même côté tous les points pro-
posés, il est clair que la projection de chaque ligne sur Taxe
primitif se trouvera représentée par l'excès de distance k ce
plan d'une de ses extrémités comparée à l'autre : la double
manière d'instituer cette comparaison d'éloignement correspond
spontanément au double sens de la projection. Or, en parcou-
rant successivement tous les sommets d'un contour fermé,
triangulaire ou polygonal, plan ou gauche, l'écartement pro-
gressif envers un tel plan, toujours augmenté algébriquement
des divers écartements partiels, doit nécessairement se re-
trouver nul quand, après avoir parcouru le circuit entier, on
sera revenu au point de départ. De là résulte la relation pro-
posée, d'abord sous sa seconde forme, et par suite aussi sous
la première, en renversant le mode d'estimation propre au
dernier côté, comparé & l'ensemble des autres.
•
142. U est maintenant facile de déduire de ce principe les
formules propres au changement de direclion des axes, dans
l'espace, autour d'une même origine, surtout en supposant
les anciens axes rectangulaires, ce qui constitue le seul cas
usuel, hors duquel il serait ici superflu de statuer, quoique la
marche fût essentiellement semblable. Car, envers des axes
quelconques, les trois coordonnées OP', P'N', N'M {fig. 82)
d'un même point peuvent être regardées comme formant un
quadrilatère gauche, fermé par la distance OM de ce point à
l'origine, et auquel on peut appliquer le principe des projec-
tions. D'un autre côté, la projection de cette diagonale OM
sur chacun des axes OX, OY, OZ, équivaut évidemment à
l'ordonnée correspondante du point M. Si donc on considère
le quadrilatère ainsi formé des nouvelles coordonnées x\ y\ z',
et qu'on le projette successivement sur les anciens axes des a:,
des ^, et des z, on obtiendra aussitôt les formules cherchées,
PREMlèRE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 475
x^x' cosXTC + y'cosY'X + z' cos Z'X
y = x' cos X'Y + y' cos Y' Y + z' cos Z'Y
z^x' cos X'Z + y' cos Y'Z + z' cos Z'Z, •
en adoptant, pour les neuf angles ainsi introduits spontané-
ment, la lumineuse notation de Gamot, fondée sur la coexis-
tence des deux lettres qui indiquent les deux côtés de chaque
angle. En géométrie plane, nous avons pu perfectionner cette
notation, sans la rendre moins expressive, parce que, tous
les angles considérés se trouvant alors formés avec une même
droite, la mention formelle de celle-ci devenait superflue, et
la désignation pouvait se réduire à une seule lettre, relative
au côté variable. Mais, dans Tespace, une telle abréviation
ne comporterait plus assez de clarté : quant à Tusage de lettres
insignifiantes, ses inconvénients géométriques surpassent
beaucoup ses avantages algébriques.
L'apparente simplicité des formules précédentes tient àPemploi
d'un trop grand nombre d'angles, qui ne sauraient jamais être
envisagés comme indépendants les uns des autres, même quand
rinclinaison des nouveaux axes resterait arbitraire : puisque
chacun de ceux-ci y a été déterminé par ses inclinaisons sur
les trois axes anciens, dont deux suffisent évidemment. Ainsi,
Tusage de ces foi*mules doit toujours être accompagné de la
considération effective des relations, nécessaires qui existent
entre ces angles, et qui sont, d'après Tavant-demier cha-
pitre,
cos^ï X'X + cos^ X'Y -f- cos» X'Z = 1
cos» Y'X + cos* Y'Y + cos» Y'Z = 1
cos» Z'X -f cos» Z'Y -f cos» Z'Z = i.
En outre, quand les nouveaux axes seront pareillement
rectangulaires, la règle d'Euler fournira trois autres re-
lations
476 GÉOHÉTRIE DA5S L'eSPACB.
cos X'X ces VX + C08 X'Y cos YT + cos X'Z Gos yz = 0
C08 X X ces Z'X + ces XTf cos Z'Y + cos X'Z cos Z'Z = 0
ces rx cos Z'X + cos YT cos Z'Y + cos Y'Z cos Z'Z — 0,
dont la combinaison avec les précédentes permettrait de réduire
les formules de transposition à ne contenir que trois angles in-
dépendants, conformément à la nature de la question. Ces
deux groupes des relations indispensables au passage habituel
d*un système d'axes rectangulaires à un autre pourraient
aussi prendre une forme inverse^ en comparant, dans le
premier, les inclinaisons simultanées de chacun des anciens
axes sur les trois nouveaux, et en formulant, dans le second,
la rectangularité des anciens axes entre eux, d'après ces
mêmes inclinaisons.
143. On peut établir les formules précédentes, ainsi que les
conditions qui s'y rapportent, suivant un autre mode général,
purement analytique, qu'il importe maintenant de caractériser
en considérant immédiatement le cas le plus étendu, où les axes
changent à la fois d'origine et de direction. Cette marche, émi-
nemment rationnelle, due à Lagrange, repose sur l'évidente
appréciation de la nature nécessaire de telles formules, qui
doivent être du premier degré, sous la forme
a; = a + '^w:' -f- ^y' + pz\
ytsab'{- m'x' + n'y' +p*z\
2 = c + m'x' + n"y'+p"j2',
afin que leur substitution ne puisse pas altérer le degré de
réqualion de chaque lieu, degré qui ne saurait changer avec
la situation. Si on conservait, à cet égard, quelque incertitude,
il suHirait de considérer que ces formules sont nécessairement
communes à toutes les équations possibles, entant que relatives
à chaque point isolément envisagé, à quelque lieu qu'il puisse
appartenir : d'après ce motif irrécusable, la permanence effec-
PREMIÈRE PARTIE^ CHAPITRE QUATRIÈME. 477
live du degré envers certains lieux particuliers, dont on con-
naît le type analytique le plus général, convenable à toutes
leurs positions quelconques, comme à Tégard du plan ou de la
sphère, etc., démontrerait complètement que les formules de
transposition doivent être ainsi constituées, même quand on
n'aurait constaté qu'un seul exemple semblable.
La difficulté étant alors réduite à déterminer les coefficients
constants des expressions précédentes, on y parvient aisément,
suivant la marche ordinaire, par Texamen direct de quelques
cas particuliers suffisamment connus. Quant aux termes indé-
pendants àex\ y\ z\ et qui, d'après la loi d'homogénéité,
doivent géométriquement être linéaires, ils constituent évi-
demment les valeurs de x» y, z, pour a:'= 0, y'=0, ^'«=0 ;
et par conséquent, ils désignent nécessairement les anciennes
coordonnées de la nouvelle origine, commeon Tavait autrement
trouvé ci-dessus. D'ailleurs, leur mode d'association analytique
à l'ensemble des autres termes indique clairement que la va-
riation totale résultée des changements simultanés d'origine et
de direction, est la somme des variations partielles dues à
chaque sorte de transposition successive. On peut donc, pour
déterminer les coefficients des termes variables, simplifier les
formules en y concevant la fusion des termes indépendants
dans le premier membre, sans diminuer nullement la généra-
lité de cette opération, envers des constantes dont la loi d'ho-
mogénéité annonce déjà la nature purement angulaire. Gela
posé, les trois coefficients de x par exemple, s'obtiendront
aisément, d'après une hypothèse propre à réduire les seconds
membres à mym\m'\ c'est-à-dire, en faisant y's= 0, z*=3 0et
x'obI. Ainsi, ces trois constantes équivalent aux coordonnées
anciennes d'un point pris sur l'axe des x', à la distance 1 delà
commune origine. Or, si l'on considère, d'une part, que ces
coordonnées peuvent être regardées comme les projections de
478 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPACE.
cette distance sur les anciens axes, et d'une autre part, que
ces projections sont mesurées par les cosinus des angles cor-
respondants, on reconnaîtra finalement que m, m ' et m" , dé-
signent respectivement les cosinus des angles de Taxe des x' «
avec les trois axes des or, des y et des z. Par une semblable
détermination envers les coefficients de y* et de z\ on acbë*
verait de reproduire exactement les formules fondamentales
du n® précédent.
Quant aux six relations nécessaires des neuf constantes an-
gulaires, elles résulteraient simultanément de ce que la
fonction a:* + y* + 2" doit rester invariable en changeant le
système des axes rectangulaires, comme exprimant diversement
la distanced'unmème point quelconque àla commune origine.
Or, si on développe cette condition ar*+y*+2;*=<r'*-|-y'^-5'>,
d'après les formules précédentes, on trouvera aussitôt les deux
groupes de relations cherchés,
m«+m'a+m"*=l, n>+n'»-|-n"«=i, p^-p'^-^-p^'^^i,
t»n+m'n'+m"n'=0, mp-l-m'p'+w"p"=0, np+ny+n"p"=0.
Lorsque les nouveaux axes sont obliques, le second groupe
est modifié, conformément àla formule correspondante des dis-
tances(*)a:'*4-i/"+2'^+2x'y'cosX'Y'+2a:'î5'cosX'Z'+2y'2'cosY'Z':
il est digne de remarque que cette modification reproduit spon-
(*) Au sujet de cette formule des distances, dans l'espace, en coordonnées
obliques, il convient de noter la facilitt^ de fomiationqu'y offrirait le principe
des projections, en considérant d'abord la relation résultée du triangle ana-
logue à celui que nous avons considéré envers des axes rectangulaires. On
aurait ainsi,en premier lieu,rf«= (s"— z')2-Hi'*4-2(z"—«')rf'cos«,d'désignanlIa
distance des projections horizontales correspondantes, et a son inclinaison
sur l'axe des z . La formule plane déjà établie donnerait ensuite (i''=(y"— y ')'
+(j:' — x)24-2(y' — y')(j:"— x) cosYX.Quantaudernier lerme2(*"— s)d'cosa,
il suffit alors d'y envisager le facteur d'cosa comme mesurant la projection de
d sur l'axe vertical : car, en la comparant à celles des horizontales y "—y' et
x''^x\ le principe des projections permettra aussitôt de la remplacer par
(y "— y *) cosYZ + (a:"— x') cosXZ, ce qui achève d'établir la formule cherchée.
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 479
tanément le théorème d'Euler cosX'Y' =amn+7»'n'+m"n",
dès lors conçu d'une manière purement analyticpie.
144. Pour compléter la théorie de la transposition des axes,
il nous reste maintenant à considérer une indispensable trans-
formation angulaire, destinée à dispenser de toute relation
étrangère aux formules fondamentales, en rapportant tous
leurs coetBcients primitifs à trois angles seulement, dès lors
pleinement indépendants. Sans doute, une telle réduction
n'exigerait ici aucune appréciation nouvelle, si on prenait ces
trois angles parmi les neuf déjà introduits, et entre lesquels
nous avons établi six équations supplémentaires, qui permet-
traient d'exprimer les uns d'aprèsles autres. Mais, àl'inspection
de ces relations, on voit que les six expressions finales qu'elles
fourniraient se trouveraient trop compliquées pour une desti-
nation aussi usuelle, à cause des dénominateurs, et surtout des
radicaux, dont elles seraient surchargées. Si donc, on devait
conserver les angles primitifs, il serait encore préférable de les
garder tous» en se résignant à prendre chaque fois en consi-
dération effective ces six conditions nécessaires, plutftt que
d'altérer autant la simplicité des formules générales en les y
insérant ainsi d'avanceimplicitement. Telle est la seule marche
qu'il faudrait habituellement suivre, quelque pénible qu'elle
soit réellement, sans l'heureuse idée d'Euler qui, étendant à
la géométrie abstraite un usage depuis longtemps familier en
astronomie, a irrévocablementdissipé cette fâcheuse alternative
en choisissant trois nouveaux angles auxquels tous les précé-
dents peuvent se rapporter selon des formules très-simples,
dont Tintroduction dispense désormais, à cet égard, de toute
équation accessoire.
Ce mode consiste à déterminer la situation du nouveau sys-
tème rectangulaire envers l'ancien en considérant d'abord
l'angle ^ formé avec l'axe primitif des x par Tinterseçtion des
4M GtoXÉTBK AA3I3 L'eSPACZ.
den pians oify et xjf , aisaiie rînclinaîsoii mntiidle • de ces
plans, et enfin l'angle ^ de leur intersection arec lenoarel axe
des x\ Un tel procédé ne constitue, an fond, qn^nne imitation
jndidense de rnsagenniTersel des astronomes qnl, depuis ffip-
parqne, caractérisent la situation relatiTe des direrses ortûtes
planétaires, d*après la érection de leur trace sur le plan de
Tédiptique, leur obliquité par rapport à cdni-cl, et Tinclinaison
de leur aie sur la ligne des nœuds. Quoi qu*il en soit de l'ori-
ginalité d'un tel système angulaire, on ne peut méconnaître sa
pleine efficacité analytique, puisque la formule fondamentale
de la résolution des angles trièdres ou des triangles sphériqnes,
cos a es cos h cos r -|- sin i sîn c cos A,
sutBra toujours directonent pour y exprimer très*simplement
les huit angles primitifs, le neuvième ZZ' étant ici seul con-
servé, sous le nouveau nom de 6, comme égal à rincUnalson
mutuelle des deux plans x'y' et xy. Tout se réduit, en effet,
envers chacun de ces angles, à considérer Tangletrièdre dont
il forme une face, et dont Tarète opposée est toujours l'inter-
section auxiliaire OT [fig, 82) de ces deux plans. Ainsi, pour
transformer cos X'X, premier coefficient de la formule de a*,
on aura, dans Tangle trièdre X'XT,
cos XOC Bs cos f cos ^ -f~ sûi ? sin ^ cos 6 ;
on calculera de même cos YX d'après Tangle trièdre Y'XT, et
on pourrait même le déduire du précédent, parle changement
de ^ en 90* -f- ^ '- quant à cos Z'X, Tangle trièdre correspondant
Z'XT aura une face rectangulaire ZT, ce qui simplifiera la
formule de transformation,en la réduisant au second terme, qui
donnera cos Z'X =i sin 9 cos (90*-{- ^"^ — ™^ ? ^^ ^- ^^^ \x^^
coefficients propres à la formule de y se trouveront comme les
précédents, et pourront d'ailleurs en dériver, si on y remplace
PREMIÈRE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÉafE. 481
partout 9 par 90^+9* Enfin, la transformation sera encore plas
facile quant à £, à cause de la rectangularité spontanée d*une
des faces de chaque angle trièdre, le dernier coefQcient étant
d'ailleurs conservé. C'estainsiqueles formules de transposition
prennent aisémentleurforme définitive, heureusement affran-
chie de toute relation extérieure,
a; =a a:' (cos 9 cos ^* + sin 9 sin 4^ cos 6) +
+ xf ( — cos <p sin 4' + sin <p cos ^ cos 6) — 2' sin 9 sin 6 + «
y = ^*( — sinç cosv|/ + cos9 sin^* cos6) +
4- y' (sin 9 sin 4* + cos 9 cos ^ cos 0) — z' cos 9 sin 6 + 6 .
z BS9a;'sin ^ sin ô-[-y*cos v|/ sin 6 + z'cos 0 + ^•
145. Nous devons, enfin, apprécier une importante modifi-
cation spéciale de ces formules générales, destinée àrapporter
Téquation d*une courbe plane à des axes pris dans son plan,
de manière & permettre d'étudier désormais cette ligne d*après
une équation unique, suivant le mode plan. Si les nouveaux
axes des x' et des y' appartenaient au plan, supposéconnu, de
la courbe donnée, /« (a:, y, z) = 0, /i (ar, y, z) =- 0, il suffirait
alors de substituer les formules précédentes dans l'une ou l'autre
de ces équations, ce qui, en ce cas, serait indifférent, et d'y
faire ensuite z'«a 0, ce qui devrait tenir lieu, d'après l'hypo-
thèse, de la seconde équation. Mais, on peut d'abord abréger
beaucoup l'ensemble de ce calcul, en supposant z' «» 0 avant
d'accomplir la substitution, quand la courbe est réellement
plane, et que son plan est préalablement déterminé, comme
nous le concevons en ce moment. De plus, la disponibilité des
nouveauxaxes rectangulaires dansceplan permet d'opérer une
simplification encore plus importante, en plaçant leur origine
sur l'axe vertical, et dirigeant l'un d'eux parallèlement à la
trace horizontale du plan de la courbe, de manière à annuler,
d'une part les constantes linéaires a et 6, d'une autre part
482 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGE.
Tangle ^. L'ensemble de ces modifications réduit les formules
primitives à celles-ci
a:=a;'cos(p + y' sin^ cosô, y= — a;' sin <p + y' cos <p ces 6,
z = y' sin 6 + Cy
qui ne contiennent que trois données, une linéaire et deux an-
gulaires, relatives au plan de la courbe considérée. On con-
çoit qu'elles doivent être fort usuelles dans toute la géométrie
à trois dimensions, où Tétude des surfaces exige presque tou-
jours Tappréciation de leurs sections planes, qui ne saurait
devenir suffisamment nette qu'autant qu'on pourra Taccomplir
d'après une seule équation, directement correspondante au
plan de chaque courbe. Il faut d'ailleurs concevoir que, quoi-
que la situation ainsi assignée aux nouveaux axes doive être,
en général Ja plus propre à faciliter, envers de telles courbes^
la transition analytique de la géométrie à trois dimensions àla
géométrie plane, elle pourran'ètre pas toujours la plus conve-
nable, soit géométriquement, soit analytiquement, à l'examen
spécial de chacune d'elles. Mais, une fois quecette étude auraété
ramenée au modeplan, les changements d'axes qu'elle pourrait
ultérieuremen t exiger s'opéreront suivant les règles ordinaires de
lagéométrie plane, etleur considération deviendraitentièrement
étrangère à notre sujetactuel, où il s'agissait uniquement d'ins-
tituer, le plus simplement possible, ce passage indispensable.
L'utilité prononcée de ces formules spéciales m'engage à
indiquer au lecteur le moyen de les établir directement, sans
les déduire des formules générales de transposition. Or, en
écartant le déplacement d'origine, qui n'y peut susciter aucune
difficulté, leur formation immédiate estnaturellement suggérée
par l'analogie spontanée des deux premières avec celles qu'in-
dique la géométrie plane pour changer la direction des axes
rectangulaires ; car, celles-ci n'en diffèrent réellement que par
PREMIÈRE PARTIE, GHAPITIIE QUATRIÈME. 483
lechangement de^' en y' cos 9, sauf un renversement de signes,
purement facultatif, envers Tangle^, ici compté en sens inverse
du cas plan. D'après cette indication, qu'on imagine, dans le
plan xy, un axe auxiliaire OU \fig. 82) perpendiculaire à Taxe
OT, qui est maintenant celui des x* ; les formules planes que je
viens de rappeler permettront de passer des coordonnées a; ety
aux coordonnées x' et u de la projection horizontaleHdupoini
N' que l'on considère arbitrairement sur le plan x'y' ; dès lors,
le triangle rectangle N'HQ fournira aisément le moyen d'élimi-
ner u ou HQ, et aussi d'exprimer la troisième coordonnéejs ou
N'H, d'après l'hypoténuseN'Q ou ,y ' etl'angle connuN'QH ou 0 ;
ce qui reproduira exactement les formules précédentes.
146. Quand la courbe donnée fx (a:, y, z)=0, /i (x, y, z)= 0,
sera réellement plane, mais sans qu'on en soit averti, son
plan étant d'ailleurs encore inconnu, la méthode précédente
restera pareillement applicable, en y concevant alors indé-
terminées les trois constantes cp, 6 et c, ce qui n'empêchera
nullement la substitution de nos formules. Seulement, cette
substitution, qui n'était d'abord indispensable qu'envers l'une
des deux équations proposées, devra maintenant s'accomplir
dans toutes deux, afin de constater la nature plane de la
courbe considérée et de déterminer son plan, d'après l'identi-
fication totale des deux résultats par des valeurs convenables
des constantes disponibles «p, 6 et c. Lorsque cette coïncidence
ne saurait s'établir de quelque manière qu'on dispose de ces
troiséléments du plan supposé, il sera démontré que la couii)e
en question n'est pas véritablement plane.
Cette opération analytique pouvant s'accomplir entièrement
sans que les coefficients des deux équations primitives soient
déterminés, pourvu que l'indétermination ne s'étende pas aux
exposants, une telle méthode, poussée jusqu'à sa plus grande
extension fondamentale, permettra de résoudre un problème
484 GÉOMÉTRfk DANS L'eSPACE.
important de géométrie générale, en découvrant analytique-
ment les conditions, de situation ou de grandeur, sous les-
quelles l'intersection de deux surfaces quelconques, données
d'espèce, deviendra une courbe plane. Il suffira, eneffet,après
avoir disposé de f , 6 et r, de manière à satisfaire à trois des
relations de coïncidence ci-dessus prescrites, de substituer
leurs valeurs dans les autres relations de ce genre, qui expri-
meront alors les conditions propres aux coefficients des deux
surfaces en cas d'intersection plane.
Soient, par exemple, les deux cylindres, elliptiques ou hy-
perboliques, x^+pz*=z q^ y'-f-mz^Bsn. Les deux substitutions
indiquées conduiront aux relations de coïncidence
cos 9 sin 9 cos 0 sin 9 cos 9 cos 0
cos' <p sin* <p '
sin' y cos» 0 + /? sin^ Q cos* 9 cos* 6 + 'w sin* 6
cos* 9 sin* ç *
cp sin 6 cm sin 6 /)c* — q mc^ — n
cos* 9 sin* <p ' cos* (p sin* 9
la première donne 6 = 90°, la seconde tang ^ «= V""' ^* '*
troisième laisse c indéterminé ; ainsi, quand Tintersection est
plane, son plan est vertical et passe par Taxe des z, sous un
angle connu avec Taxe des x. D'après ces éléments, la qua-
trième relation fournit la condition cherchée pn »» mq^ qui
signifie géométriquement que les deux bases, d'abord de même
espèce, doivent avoir des axes verticaux d'égale longueur,
quels que soient d'ailleurs leurs axes horizontaux.
SECONDE PARTIE, PRÉAMBULE. 485
SECONDE PARTIE.
» 0
THEORIB aENERALE DES SURFACES COURBES,
D*APlis LBUK CLÂSIITICATIOR ANAITTIQUI PAR PAMILLU TEAIMBIIT NATURILLIt.
PRÉAMBULE.
147. Toutes les théories générales que nous avons établies
dans la seconde partie de la géométrie plane, s'étendent natu-
rellement à la géométrie à trois dimensions, soit pour les sur-
faces, soit pour les lignes, sans exiger ici aucune nouvelle
explication fondamentale. Le régime didactique ordinaire op-
pose seul de véritables obstacles à cette extension spontanée,
en dissimulantlagénéralité intrinsèque des principales concep-
tions de la géométrie analytique, sous leur vicieuse adhérence
à quelques cas spéciaux. Mais, ces divers principes ayant été,
dans ce traité, conçus et exposés d'une manière pleinement
générale, tout lecteur qui les aura suffisamment compris
pourra, de lui-même, les appliquer, sans aucune difBculté
sérieuse, à cette nouvelle destination, en y opérant, d'ailleurs,
quand il le faudra, les modifications convenables. Cette facile
élaboration spontanée, qui constitue l'un des avantages essen-
tiels de la marche que j'ai établie, me permettra ici d'abréger
beaucoup l'étude analytique des surfaces, en la réduisant sur-
tout aux seules conceptions qui lui sont vraiment propres, et
486 GÉOlCéTRIE DANS L^ESPACE.
qui n'ont aucun analogue en géométrie plane: en même temps
ces notions supérieures, trop souvent inaperçues jusqu'à
présent au milieu d'une foule de détails superflus ou déplacés,
seront ainsi plus nettement saisies et plus complètement
appréciées. Je vais donc me borner maintenant, quant aux
différentes théories déjà traitées en géométrie plane, àquelques
rapides indications caractéristiques, destinées, soit à faciliter,
à leur égard, le travail personnel du lecteur, soit à y signaler
quelques modifications dont nous aurons lieu ensuite déconsi-
dérer l'application usuelle.
La première d'entre elles, relative au nombre de points
déterminant s'étend directement aux surfaces, aussi bien
dans sa méthode subsidiaire que dans ses principes fondamen-
taux, sans exiger aucun autre amendement que celui natu-
rellement relatif au nouveau nombre des coordonnées, et qui
prescrira de compter désormais chaque point singulier comme
équivalent, pour la détermination d'une surface quelconque,
non plus à deux points ordinaires, mais à trois. Envers les
lignes, la modification est plus profonde et plus délicate, à
cause de la dualité actuelle de leur expression analytique, dont
l'influence» quoique toujours facile à prévoir, a été, sous ce
rapport, mal appréciée quelquefois. Nous avons eu déjà l'oc-
casion de la caractériser pour la ligne droite, de manière à
indiquer nettement sa tendance générale. Il faut surtout y re-
marquer que le nombre de points déterminant, à l'égard d'une
courbe quelconque^ est alors la moitié de celui des constantes
arbitraires ou des coefficients indéterminés propres au couple
analytique le plus simple et le plus général dont elle soit sus-
ceptible, puisque chaque passage fournit maintenant deux re-
lations au lieu d'une seule. Ce nombre total de constantes ou
de coefficients doit donc être toujours pair, et il y aurait un
contre-sens grossier à le supposer jamais impaû* : s'il se pré-
SECONDE PARTIE, PRÉAMBULE. 487
sentait d*abord comme tel, ce serait un motif snfBsant d'assu-
rer, ou que les équations n'ont pas toute la généralité conve-
nable, ou qu'elles contiennent quelque paramètre superflu. Par
exemple^ en concevant le cercle d'après la rencontre d'une
sphère et d'un plan, ce qui constitue, dans l'espace, son
meilleur mode d'expression analytique, ses équations semblent
être
(^ — «)^ + (y — 6)« + (^— Y)" = r», jz = aa: + ôy + c;
mais, puisqu'elles renferment sept constantes arbitraires, l'une
d'elles est certainement inutile : en effet, quoique le plan doive
être unique, la sphère ne l'est pas, et pourrait varier sans faire
changer le cercle : il faut donc restreindre assez celte surface
pour qu'elle devienne aussi déterminée que l'autre. On y par-
vient commodément en assujettissant son centre k faire partie
du plan considéré ; en sorte que les équations du cercle prennent
finalement la forme pleinement convenable
(ar-a)«+(y-6)a^-(^-Y)'=»'•^«-Y— û(^-«) + *(y-^)i
qui offre d'ailleurs accessoirement l'avantage géométrique de
ne contenir que des constantes directement relatives àlacourbe
proposée. Un tel éclaircissement sur ce cas usuel indique assez
comment il faudrait procéder envers tout autre.
Notre théorie des tangentes aux courbes planes conduit aisé-
ment à former l'équation du plan tangent à une surface quel-
conque, en concevant ce plan comme le lieu naturel de toutes
les tangentes aux diverses sections planes de la surface autour
du point considéré. Or, cette notion géométrique, familière en
géométrie descriptive, peut être fondée, indépendamment de
toute analyse, sur la considération directe de la normale, im-
médiatement caractérisée par sa propriété de minimuih. Dès
lors, la formation de l'équation du plan tangent ne peut offrir
aucune difQculté, puisqu'elle se réduit aussitôt à exprimer
488 GÉOMÉTIOE DANS L'eSPAGE.
qu'il contient deux droites, préalablement obtenues comme
tangentesàdeuxcourbes convenablementcboisiessur la surface
proposée / (x, y, jz) ^aO. Les coupes les plus favorables résul-
teront des plans y bk ^i, x*^ x^ menés, du point de contact
donné {xu t/u 2i)i parallèlement à deux des plans coordonnés :
leurs équations propres seront, respectivement, /(x^yu ^)=»0,
/ (^it y I ^) =" 0 : elles découleront de celle de la surface^ en y
supposant constants y ou x. Ainsi, les équations des tangentes
correspondantes deviendront, d*après ^otre règle fondamentale,
y=yu x^Xi=z^ '^ {% — »i), et « = xi, y — yi = — p^ {«— ai).
Pour que ces droites soient contenues dans le plan cberché
z — Zi*BMa{x — Xi) + 6 (y — yi), ses coefficients angulaires a et 6
devront être respectivement égaux aux fractions — tt^ et — -r^.
L'équation du plan tangent sera donc finalement
f'zi {z-^)+ ni {y - Vi) + f'si (X - X,) = 0.
On en déduira facilement les équations de la tangenle à une
courbe quelconque , analytiquement représentée, de la ma-
nière la plus générale, par le couple (p (a:, y, js)saO, ^ (or, y, z)«»0,
en concevant géométriquement cette tangente comme Tinter-
section des plans tangents menés^ du pointconsidéré, aux deux
surfaces correspondantes. Si Ton employait le système des cy-
lindres projetants, on ramènerait plus directementla question
à la géométrie plane, puisque les projections de la tangente
cherchée devraient toucher les projections respectives de la
courbe : mais, au fond, ce mode de réduction ne constituerait
encore qu'un cas particulier de la notion précédente. D'après
Tensemble de cette appréciation, on voit que notre méthode fon-
damentale des tangentes s'étend spontanément à la géométrie à
trois dimensions, soit pour les surfaces, soit pour les lignes, et
SECONDE PARTIE, PRÉAMBULE. 489
en y conservant le même degré précis de généralité ; en sorte
qu'elle s'y trouve pai*eilleinentétablie, en principe, envers tous
les cas possibles, mais également restreinte ici, dans son ap-
plication effective, aux seules équations algébriques, préala-
blement rendues rationnelles et entières, par suite d'une sem-
blable influence delà faible instruction analytique exigée en ce
traité.
En étendant aux surfaces la définition des diamètres, ces
lieux, qui alors deviennent aussi des surfaces, pourront s'ob-
tenir analytiquement de la même manière qu'en géométrie
plane, en appliquant chacune des deux méthodes générales que
nous y avons établies, avec des modifications trop évidentes
pour nécessiter maintenant aucuniB explication. On pourrait
aussi opérer une semblable extension envers la méthode supplé-
mentaire destinée à déterminer spécialement les diamètres rec-
tilignes, ici transformés en diamètres plans : seulement la com-
plication supérieure des nouvelles formides de transposition
entraverait beaucoup l'exécution habituelle des calculs qu'elle
prescrit.
Il est encore plus facile d'étendre aux surfaces le principe
analytique propre à notre théorie des centres, soit à Tégard
d'une équation quelconque, soit sous la forme spéciale qui con-
vient aux équations algébriques proprement dites. Envers
celle-ci, on pourra même remarquer que, quoique la coexis-
tence de trois variables y multiplie nécessairement les combi-
naisons d'exposants, les conclusions usuelles restent pourtant
identiques ; car, après avoir ainsi apprécié tous les cas, on re-
connaîtra finalement que les différents termes continuent à
changer ou non de signe, parle changement de signe simultané
des trois coordonnées, selon que leur degré est impair ou pair.
Le déplacement d'origine indéterminé, destiné h la détermina-
tion du centre^ sera donc toujours dirigé vers la suppression
89
4M
ô*^ vm0^ iy: u^zT'i jngiiur âais jet égiH^ais û
eiTcn >« citf j» p:3s r^^Toa, s:a p^iry resaasft
^isib* vn fM fraxtd prix en Fu|;p>air.l à des opfntîoBS aipt-
148. b'tpM ïen^mbl^ de c^tle rapide appmutioD, toates
o^^ c/jiu^fipHons it z^jm*:\rit générale rdatÎTes à l'analyse or-
àumrt tjmi'Atmtni donc essentleHemeiil rétode des combes
pianefs, et neprésenUrot ensuite, à Tégard des surfaces, qa'ane
niinpln exterij^ion spontanée, dont raccom^isseoient n^'exige,
an fond, aucun nonveau principe important qui soit Traiment
propra à une t^lle destination : je peux assurer d^aTanceqa'il
en est à peu près de même ponr les diverses notions géomé-
triques qui exigent l'analyse transcendante. Ainsi, en suivant
ici le mAme plan que dans la géométrie pUme, sa seconde
partie semble d^abord s effacer naturellement, ou ne devoir
consister qu*en une sorte d'imitation facile. En outre, les ex-
plications fondamentales que nous avons établies sur la discus-
sion g/'ométrique des équations à trois variables paraissent
également tendre àfaire spontanément disparaître latroisième
partie de ce système didactique, puisqu'elles ramènent, en
général, la discussion des surfaces àl'examen de leurs diverses
sections planes, sauf les embarras supérieurs qiie suscite alors
SECONDE PARTIE, PRÉAMBULE. , 491
la concentration finale des résultats obtenus. Quel peut donc
être ici Tobjet propre de notre étude générale des surfaces, d'où
semblent écartés d^avance les deux ordres essentiels de diffi-
cultés analytiques envers la double relation élémentaire entre
l'abstrait et le concret?
Pour apprécier convenablement le caractère, éminemment
nouveau, de l'élaboration fondamentale qui nous reste à ac-
complir, il faut concevoir, dans le système total des spécula-
tions géométriques, deux points de vue également universels,
qui sont profondément distincts, quoique intimement liés,
l'un abstrait, Tautre comparatif. Sous le premier aspect, es-
sentiellement propre à la géométrie plane, il s*agit d'instituer
les moyens analytiques d'étudier les propriétés générales des
formes quelconques : c'est ce que nous avons fait, d'abord
envers les lignes, et par suite quant aux surfaces, pour les
conceptions suffisamment accessibles à l'analyse ordinaire, et
auxquelles il resterait seulement à joindre les théories plus,
profondes qui exigent l'analyse transcendante. Au contraire^
le second point de vue^ où l'on apprécie l'application collec-
tive de ces diverses méthodes abstraites aux différentes figures
géométriques afin de les classer conformément à l'ensemble de
leurs afBnités réelles, est jusqu'ici resté presqu'entièrement
étranger à la géométrie plane, comme je l'ai plusieurs fois in-
diqué, surtout au début de sa troisième partie. C'est à la
géométrie à trois dimensions qu'il appartenait nécessairement
de constituer le nouvel aspect fondamental de la science géomé-
trique, ultérieurement susceptible, sans doute, d'être conve-
nablement étendu à la géométrie plané, où il laisse aujour-
d'hui, à beaucoup d'égards, une immense lacune. L'élude des
courbes, plus simple et plus directe, devait essentiellement
fonder, sous la grande impulsion cartésienne, la géométrie
générale proprement dite, par les travaux graduels des suc-
I
492 . GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
cesseurs de Descaries pendant les deux derniers siècles. Mais,
la géométrie comparée, non moins indispensable, et d'ailleurs
plus féconde, quoiqu'elle ne pût surgir qu'après, n'a com-
mencé à se caractériser que dans l'étude, plus vaste et plus
variée, des surfaces, d'après l'éminente conception fondamen-
tale de Monge sur leur classification rationnelle, dont l'ana-
logue n'existe encore aucunement en géométrie plane. Notre
travail actuel est donc destiné surtout à établir convenable-
ment, autant que le comporte la seule analyse ordinaire,
cette nouvelle idée mère, qui constitue, à mes yeux, le plus
grand pas qu'ait pu faire le système des conceptions géomé-
triques depuis Descartes et Leibnitz, et dont le seul Lagrange,
parmi les contemporains de Monge, avait dignement soup-
çonné la haute portée philosophique, essentiellement méconnue
de presque tous les géomètres ultérieurs, devenus de plus en
plus insensibles au perfectionnement direct de l'ensemble des
pensées mathématiques, par suite de l'empirisme croissaatque
détermine naturellement le morcellement exagéré delà culture
scientifique.
Cette indispensable étude, principal aliment, à la fois scien-
tifique et logique, que la géométrie analytique à trois dimen-
sions puisse spécialement offrir aujourd'hui aux bons esprits,
ramènera à de véritables règles, soit la formation, soit la dis-
cussion, des équations de surfaces, du moins pour toutes les
familles dont l'équation collective a pu être complètement
obtenue jusqu'ici. Les applications naturelles que j'aurai lieu
d'y expliquer permettront d'ailleurs à cette élaboration finale
de remplir accessoirement un office correspondant à celui de
notre quatrième partie de la géométrie plane, en faisant suf-
fisamment connaître les principales propriétés caractéristiques
des diverses surfaces du second degré, dont toute appréciation
plus particulière serait ici superflue et ne tendrait réellement
qu'à détourner l'attention de notre objet essentiel.
l
SECONDE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 493
CHAPITRE PREMIER.
Notions fondamentales sur la classification rationnelle des surfaces.
149. L'étude générale des surfaces étant naturellement plus
difDcile que celle des lignes, on peut s'étonner d'abord que
leur classiflcation rationnelle soit pourtant beaucoup plus
avancée, à tel point que la géométrie comparée n'est môme
dogmatiquement ébauchée jusqu'ici qu'à leur égard, comme
nous l'avons souvent reconnu en géométrie plane. Mais une
appréciation plus approfondie doit entièrement dissiper ce qu'un
tel contraste logique semble offrir de paradoxal, en faisant
sentir que, par suite de la multiplicité plus étendue et de la va-
riété plus prononcée inhérente à leur complication supérieure,
la comparaison universelle des surfaces donne lieu nécessaire-
ment à des caractères plus tranchés et à des rapprochements
mieux appréciables que ne saurait le permettre celle des lignes.
Une pareille opposition fondamentale se manifeste, en vertu
de semblables motifs élémentaires, dans la plus éminente
partie de la philosophie naturelle proprement dite, d'où dé-
rivent spontanément les vrais principes de la théorie générale
des classifications quelconques, c'est-à-dire dans l'étude des
corps vivants, entre le règne animal et le règne végétal : car,
le classement des organismes animaux a toujours été beaucoup
plus satisfaisant que celui des végétaux, précisément parce
que les premiers, étant plus compliqués, et, dès lors, plus
multipliés et plus variés, ils comportent des comparaisons plus
décisives. Quelque singulier que puisse d'abord sembler ici un
494 GéOXÉTRIE DA5S l'bSPACE.
tel rapprochement philosophique à certains esprits mal prépa-
rés,ce n*estpassansdesseinquej*indiqae en passant la relation
naturelle de ces deux cas scientifiques, dont Tinévitable affinité
logique a certainement influé sur le peu de progrès qu*a faits
jusqu'à présent la géométrie comparée, depuis sa fondation,
plutôt instinctive que systématique, parlagrandeconception de
Monge, encore si imparfaitement appréciée : on conçoit ainsi,
en effet, que cette sorte de stagnation doit tenir surtout à la
vicieuse éducation des géomètres actuels, qui, d'après un em-
pirique morcellement, restent ordinairement trop étrangers
aux études les plus propres à développer^ à cet égard, des
dispositions vraiment rationnelles.
En opposant directement la notion générale des surfaces à
celle des lignes, il est aisé de saisir le motif fondamental de la
facilité spéciale que présente nécessairement la première sorte
de lieux géométriques à rétablissement d'une classification sa-
tisfaisante. Car, les surfaces sont engendrées par le mouve-
ment des lignes, tandis que celles-ci résultent du mouvement
d'un simple point. Or, un point n'ayant aucune forme appré-
ciable, les divers lieux qu'il produit ne peuvent différer que
suivant la loi de ce mouvement, sans laisser d'accès à aucun
attribut caractéristique, qui puisse permettre d'instituer à la
fois des distinctions tranchées et des rapprochements généraux,
double condition indispensable à tout classement régulier. Les
surfaces, au contraire, se rapprochent et se distinguent spon-
tanément d'après la nature de leurs génératrices ; puisque la
même ligne, mue diversement, peut engendrer une infinité
de surfaces différentes, dont les propriétés respectives seront
néanmoins essentiellement analogues, en vertu d'une telle
communauté d'origine, de manière à constituer aussitôt des
groupes vraiment naturels, d'ailleurs plus ou moins étendus.
Aussi, en aucun temps, la classification empirique des lieux
SECONDE PAirriE, CHAPITRE PRSIDER. 495
algébriques suivant les degrés de leurs équations n'a-t-elle pu
acquérir envers les surfaces autant de consistance provisoire
qu'à regard des courbes ; tout en remployant, les géomètres,
même avant Monge, devaient être conduits, par un instinct
confus, à sentir son incompatibilité radicale avec le principe
évident qui prescrivait de classer les surfaces selon leur mode
de génération, de façon à réunir en un même groupe toutes
les surfaces cylindriques, en un autre toutes les surfaces coni-
ques, etc., sans considérer les diversités de degré's, ou en ne
leur accordant qu'une attention très-secondaire.
150. Pour établir convenablement, d'après ce principe, la
conception fondamentale de Monge sur la classification ration-
nelle des surfaces, il faut en apprécier d'abord la nature géo-
métrique, ensuite l'expression analytique, et enfin constituer
l%armonie nécessaire de ces deux ordres généraux de notions
élémentaires.
Sous le premier aspect, nous devons ici nous borner à carac-
tériser rigoureusement l'idée de famille^ seule pensée hiérar-
chique qui soit encore sufBsamment élaborée en géométrie
comparée. Deux surfaces ne sauraient appartenir à une même
famille géométrique qu'autant qu'elles sont engendrées par une
même ligne : mais cette indispensable condition est bien loin
de suffire; elle donnerait une notion beaucoup trop étendue
de ce premier groupe naturel. Une même génératrice, en
effet, peut convenir à une infinité de familles de surfaces dif-
férentes, comme on le voit, par exemple, même envers la
ligne droite^ d'où résultent indifféremment la famille des
cylindres, celles des cônes, celle des conoldes, etc., et une
multitude d'autres qu'on ne saurait confondre entre elles, mal-
gré les relations spontanées qui doivent y résulter de cette
source commune : une ligne plus compliquée, telle que le
cercle, admettant encore plus de variété, doit, à plus forte
496 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPAGE.
raison, comporter la même remarque. Pour que la famille
géométrique soit sufQsamment définie, il faut n'y comprendre
que des surfaces résultées d'une même génératrice mue suivant
la même loi, en laissant seulement indéterminée la directrice
qui doit achever de spécifier le lieu produit, en sorte que la
diversité de celle-ci constitue réellement Tunique différence es-
sentielle de ces surfaces, dont les équations pourront cepen-
dant, à ce titre, offrir successivement tous les degrés algé-
briques, ou même contenir toutes les fonctions transcendantes.
Telle est la juste extension des seuls groupes naturels envers
lesquels les conditions fondamentales de la géométrie com-
parée puissentaujourd'hui être regardées comme suffisamment
remplies.
Si cette notion devait rester purement géométrique, elle se-
rait essentiellement dépourvue d'efBcaeité, puisque les études
quelconques de géométrie générale ne sont vraiment suscepti-
bles d*un progrès décisif et soutenu qu'autant qu'elles peuvent
se subordonner à des conceptions analytiques, ainsi que nous
l'avons pleinement reconnu, en géométrie plane, à l'égard
même de recherches beaucoup plus simples. Aussi est-ce sur-
tout dans la découverte du nouveau genre d'équations propre à
représenter, non plus des surfaces particulières, mais des fa-
milles ainsi définies, qu'a dû consister l'éminent mérite de l'é-
laboration fondamentale de Monge, avant laquelle les géomè-
tres avaient dû s'élever quelquefois à une pensée tellement
naturelle, sans pouvoir lui donner aucune suite importante^
faute d'en avoir conçu la représentation analytique.
Cette indispensable représentation repose sur la considération
habituelle d'une nouvelle sorte d'équations à trois variables,
contenant une fonction arbitraire, mais dont le sens est néan-
moins nettement appréciable, quoique plus étendu queceluides
équations ordinaires, où l'indétermination se réduit commune-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 497
ment aux seuls coefScients, eu affectant tout au plus les expo-
sants. Il importe d'abord de concevoir abstraitement une telle in-
terprétation des équations de la forme /i (a: , y , :&) = (p (/s («, y , ») )
ou, ce qui est équivalent, ^ {fi (x, y, 2), f% («1 y, 2;)) = 0, les
caractéristiques gi*ecques ^ et ^ désignant des fonctions entière-
ment arbitraires, tandis que les caractéristiques romaines /i et
/i indiquent des fonctions déterminées, suivant une notation
que je maintiendrai habituellement en toute cette théorie, afin
d'y mieux éclaircir le discours analytique. Or, ce qui caracté-
rise directement toute pareille équation à trois variables, c'est
la possibilité d'être réduite à deux variables seulement, d'après
#
une transformation toujours assignable. Car, en posant
A (^1 y 1 ^) =" ^ et /s {x, y, z) =» tt, ces deux équations déterminées
permettront, en chaque cas, de rapporter deux des anciennes
variables aux deux nouvelles / et t/, et à la troisième d'entre
elles, suivant des formules exactement définies,
a; = Fi (/, w, z), y = F2 (/, w, z).
Dès lors, la substitution de ces formules dans une équation
particulière donnée / {x, y, z) «= 0 devra la rendre spontané-
mentindépendantede z, si elle est vraiment susceptible de con-
formité avec le type proposé, qui constitue une relation,
/ = ç (tt) ou ^ {t, ti) = 0, entre / et u seulement. Une telle dis-
parition de z\ qui ne saurait certainement avoir lieu envers une
équation prise au hasard, sera donc propre à caractériser, par
un irrécusable symptôme analytique, les diverses équations
spéciales que ce type peut embrasser, à l'exclusion nécessaire
de toutes les autres. Ainsi, les équations qui établissent une re-
lation arbitraire entre deux fonctions déterminées de trois va-
riables ont, en elles-mêmes, une acception nettement appré-
ciable, quoique plus étendue que celle des équations ordi-
naires.
498 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
Dans cette explication élémentaire, il importe de sentir que
toute sa réalité analytique repose sur la coexistence de trois
variables au moins, et qu'elle s'effacerait nécessairement àl'é-
gard des équations à deux variables, qui ne sauraient com-
porter une telle diminution de pluralité, tendant alors àdétruire
toute idée de variation, en fixant la valeur de Tunique variable
ainsi conservée. La notation analogue envers deux variables
seulement, fi («, y) =« <p (/s (/i, y) ) ou | (fi («, y), /i («, y) ) = 0,
désigne, en effet, une équation tout aussipleinement arbitraire
que si Ton écrivait simplement y = ç {x) ou ^ (a:, y) = 0. En y
appliquant le symptôme précédent^ on reconnaît aussitôt qu*il
cesse alors d'être caractéristique, puisque cette réduction aux
nouvelles variables t ett/pourrait alors s'opérer indifféremment,
d'après chaque mode de transformation, en une équation quel-
conque entre x et y. Ce contraste nécessaire des deux cas ana-
lytiques mérite une soigneuse appréciation, comme indiquant
spontanément, d'après ce qui va suivre, l'impossibilité radicale
d'étendre aux courbes le principe de classification, que nous
allons appliquer aux surfaces; en sorteque, si jamais le classe-
ment des lignes devient vraiment rationnel, ce sera inévitable-
ment d'après une tout autre idée mère, dont rien jusqu'ici ne
saurait indiquer le germe propre.
Nous pouvons maintenant constituer directement la concep-
tion fondamentale relative à la classification rationnelle des sur-
faces, en établissant une exacte harmonie élémentaire entre les
deux notions générales. Tune géométrique, l'autre analytique
qui viennent d'être expliquées, de manière à montrerque ces
nouvelles équations,
h {x, y, *)•=(? (fs (X, y, x)) ou ^ (fi {x, y, z), f% [x, y, z)) = 0,
sont naturellement destinées à représenter, non de simples
surfaces, mais des familles proprement dites, suivantladéfini-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 499
tion précédente. Il faut, pour cela, discuter le lieu géomé-
trique d*une telle équation, dans la vue d*y saisir ce qu'il offre
de vraiment caractéristique, abstraction faite de toute hypo-
thèse particulière sur lanaturedela fonction arbitraire ^ ou ^.
Or, à cet effet, il sufBt de remarquer que, quelle que soit cette
fonction, Téquation proposée est composée de façon à rendre
inévitablement constante Tune des deux fonctions déterminées
toutes les fois que l'autre sera supposée l'être. Sidonc on con-
çoit le lieu quelconque de cette équation coupé par une suite
de surfaces auxiliaires résultées de Téquation/Î (a:, ^, i?)=a,
où a désigne un paramètre arbitraire, la seconde équation des
sections correspondantes sera nécessairement /a(2r, y y js) &» 6, 6
élant un autre paramètre analogue, dont la relation au premier
reste seulement indéterminée, tant que la fonction <p ou ^ n'est
pas définie. Ainsi, toutesles hypothèses relatives à cette dernière
fonction auront cela de géométriquement commun que les sur-
faces correspondantes, malgré leurs inévitables différences,
serontpourtant toujours composées des lignes représentées par
les équations /i (â?, y, z) =3 a, /s (a:, y, z] «> b. La nature de ces
génératrices, où les constantes a et 6 restent seules arbitraires,
est entièrement déterminée, ainsi que la loi de leur mouvement;
la diversité réelle du lieu géométrique, d'après l'indétermina-
tion de la fonction 9, pourra toujours être réduite à n'affecter
que les directrices successivement combinées avec cette com-
mune génératrice, puisque chaque relation des paramètres
équivaudrait sans cesse à une condition de rencontre entre cette
courbe mobile et chaque courbe fixe. Nous sommes donc con-
duits à regarder un tel type analytique comme représentant une
véritable famille de surfaces, suivant l'exacte définition préa-
lable de ces groupes géométriques : on ne peut plus conserver
aucune incertitude sur la correspondance fondamentale des
deux modes d'indétermination, l'un concret, l'autre abstrait.
500 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPACB.
L'analyse transcendante complète heureusement cette co-
relation nécessaire, en permettant de remplacer ces équations
directes contenant une fonction arbitraire, par des équations
indirectes entre les deux dérivées partielles de la variable dé-
pendante, où cette fonction est entièrement éliminée, et qui de-
viennent dès lors mieux calculables,sans qu'une telle transforma-
tion altère d'ailleurs aucunementrinterprétation géométrique.
Mais, quoiqu'un tel complément général soit certainement in-
dispensable pour bien apprécier la puissance et la fécondité de
la grande élaboration de Monge, nous pouvons déjà cepen-
dant, avec la seule analyse ordinaire^ constituer ici essen-
tiellement la classification rationnelle des surfaces, de manière
à retirer immédiatement, de cette intéressante étude, une im-
portante efficacité scientifique, aussi bien qu'une haute utilité
logique.
151. D'après cette nouvelle idée mère, les familles desu^
faces peuvent être multipliées, d'une manière presque machi-
nale, avec autant de facilité que les espèces de courbesengéo-
métrie plane, en attribuant, même au hasard^ diverses formes
analytiques aux deux fonctions, /i et /s, qui caractériseront,
en chaque cas, le mode de génération. Quoique ces hypothèses
successives puissent quelquefois coïncider géométriquement,
par suite de l'infinie diversité propre à la représentation ana-
lytique d'une ligne dans l'espace, on conçoit cependant qu'elles
fourniront le plus souvent des familles vraiment distinctes,
dont la plupart n'auraient jamais été considérées auparavant,
et auraient encore moins reçu un nom propre, qui n'a été ac-
cordé jusqu'ici qu'à quelques familles usuelles. En chaque cas,
la discussion générale du type analytique proposé, suivant la
marche fondamentale que je viens d'établir, caractérisera tou-
jours nettement, avec plus ou moins de facilité d'ailleurs,
la famille correspondante.
SECONDE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 501
Soit, par exemple, réqualion ar-fy— ^=?(''C — y+z). Les
équations de la génératrice seront donc x + y — 2 = a,
X — y+«=6; or, chacune d'elles représentant un plan de
direction constante, dont la distance à Torigine reste seule ar-
bitraire, il s'ensuit que la famille proposée est engendrée par
une droite parallèleà la ligne fixe x-\-y — z=0, x — y + 2=0.
Ainsi, quelle que puisse être la fonction cp, Féquation donnée
a pour lieu géométrique une surface cylindrique ; et ces deux
dernières équations, ou leur équivalent plus simple j: => 0,
y s=»2, indiquent que ce cylindre est toujoui^s parallèle à la bis-
sectrice de Tangle de deux des axes coordonnés.
Considérons encore Téquation un peu plus compliquée
(^ — y)
où la génératrice sera représentée par x + y+ z=» a^
X — y = 6;s. On y reconnaît aussitôt une ligne droite, mais
dont la direction n'est plus invariable. En cherchant à saisir ce
que la génératrice offre de fixe, afin d'apprécier la famille
géométrique correspondante, il est aisé de découvrir que ces
surfaces résultent toujours du mouvement d'une ligne droite
parallèlement à un plan donné ar + y + 2 = 0etle long de la
bissectrice de l'angle des deux axes horizontaux.
Examinons, en dernier lieu, l'équation s = ^ (a:y), rela-
tive à une famille qui n'a pas été signalée. Sa génératrice aura
pour équations z = a, ary = 6 ; ce qui annonce une hyperbole
dont le centre parcourt l'axe vertical, tandis que ses asymp-
totes demeurent parallèles aux axes horizontaux, son sommet
se mouvant d'ailleurs arbitrairement dans le plan bissecteur
de deux des plans coordonnés.
Je ne saurais trop recommander au lecteur la multiplication
spontanée de ces nouveaux exercices de géométrie analytique.
502 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPAGE.
les plus propres de tous à faire profondément sentir la relation
nécessaire de l'abstrait au concret, qui s'y trouve naturelle-
ment plus vaste et en même temps plus condensée qu'en aucun
autre genre de discussion géométrique des équations. Sans
jamais dépasser, envers les deux fonctions caractéristiques, des
formes suffisamment simples, comme Texige la difBculté su-
périeure de telles appréciations, dont le résultat final man-
querait autrement de la netteté convenable à leur destination
logique, il sera facile de varier assez les familles correspon-
dantes pour acquérir bientôt un sentiment usuel delà concep-
tion fondamentale de Monge.
152. Ce grand principe prescrit directement la marche gé-
nérale suivant laquelle on doit toujours procéder à la forma-
tion de Téquadon collective propre à l'ensemble de chaque
famille, quand elle sera géométriquement définie. Il suffira
d'élaborer analytiquem en t cette définition, de manière à obtenir
les équations de la génératrice avec deux constantes arbitraires
seulement. Une telle réduction sera nécessairement toujours
possible, en ayant égard à toutes les cbconstances caracté-
ristiques, si ce groupe naturel est convenablement institué,
c'est-à-dire, s'il a le juste degré d'extension qui correspond à
une famille proprement dite. D'après cette condition préalable
l'équation collective delà famille se formera toujours en résol-
vant ces deux équations de la génératrice relativement aux
deux paramètres, ainsi rapportés aux coordonnées variables,
afin d'indiquer entre ces deux fonctions une relation totale-
ment arbitraire.
Quand l'ensemble des conditions proposées laissera plus de
deux paramètres arbitraires dans les équations générales de la
génératrice, ce symptôme analytique indiquera sans équivoque
que le groupe considéré est trop vague pour l'état présent de
la géométrie comparée, et comprend réellement une infinité de
SECONDE PARTIE, GEAPITRE PREMIER. 503
familles de surfaces. Lorsque, au contraire, ces équations pour-
ront être amenées à ne plus contenir qu'un seul paramètre va-
riable, il est évident que le lieu géométrique, cessant de con-
stituer une véritable famille,se réduira à. une espèce déterminée,
dont Téquationse formerait en éliminant, entre ces deux équa-
tions^ cet unique paramètre, de manière à ne laisser rien d*in-
décis dans la -composition analytique, sauf les valeurs des
coefficients.
Pour déterminer, en sens inverse, si une snrface particulière
donnée appartient ou non à une famille donnée, les règles gé-
nérales prescrites au n^'iSO permettront toujours de le décider,
en les appliquant de façon à reconnaître si Téquation spéciale
proposée peut ou non rentrer abstraitement dans le type ana-
lytique correspondant. TeUe est, à cet égard, la seule question
judicieuse qui puisse être réellement posée. Car, demander à
quelle famille appartient chaque surface particulière, constitue
évidemment un problème trop indéterminé, puisque la même
surface peut être rangée parmi une infinité de famUles diffé-
rentes, d*après les divers modes de génération dont elle est tou-
jours susceptible ; quoique son étude spéciale puisse ensuite
exiger, entre ces divers points de vue géométriques, un choix
unique, qui d^ailleurs variera suivant la nature des recherches
poursuivies. On doit regarder toute surface comme pouvant
être engendrée successivement par chacune des lignes qu'on y
peut tracer. Mais cette inévitable indétermination n'altère nul-
lement la réalité fondamentale de notre conception géométri-
que sur les familles de surfaces, toujours caractérisées par la
nature de la génératrice et la loi de son mouvement; car, si
chaque surface peut contenir une infinité de courbes distinctes,
il en existe encore davantage qui n*y peuvent jamais être si-
tuées : le cercle est, par exemple, la seule courbe plane qu'on
puisse décrire sur une sphère.
s
504 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPAGE.
Après avoir établi, dans ce premier chapitre, toutes les no-
tions essentielles relatives au classement rationnel, à la fois
analytique et géométrique, des surfaces quelconques, il nous
reste à mieux caractériser ces principes généraux par leur ap-
plication spéciale à Tétude successive des principales familles
qui ont été jusqu'ici régulièrement introduites en géométrie
comparée.
CHAPITRE IL
Théorie des surfaces cylindriques.
153. Cette famille, la plus simple et la plus usuelle de
toutes, comprend les surfaces engendrées par une droite de
direction fixe, glissant sur une ligne quelconque. Les équations
naturelles de cette génératrice, x = az + a, y=»bz +6, sont
donc immédiatement adaptées à la formation de Téqualion
collective, d'après les principes fondamentaux du chapitre pré-
cédent. 11 sufBt, pour cela, d'y concevoir fixes les deux coefli-
cients angulaires a et 6, en supposant variables les seuls para-
mètres linéaires a et 6. Puisque les constantes arbitraii*es s'y
trouvent ainsi réduites spontanément à deux, on formera
l'équation de la famille en dégageant, suivant la règle^ a et 6
en X, y^ z, afin d'indiquer, entre ces deux fonctions, une re-
lation arbitraire, x—a2=»<p (y — 6z), ou ^ {x—az, y — 6js)= 0.
Telle est donc Téquation générale des surfaces cylindriques, ou
tel est du moins le type analytique le plus simple auquel on
puisse ramener toute surface de cette sorte : car, on <:onç.oit
d'ailleurs, en principe, que, d'après l'infinie diversité que
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 505
comporte le couple analytique propre à la représentation de
chaque ligne dans l'espace, Téquation collective convenable à
chaque famille pourra prendre une infinité de formes distinctes
quoique équivalentes, selon le mode adopté pour formuler sa
génératrice. Mais toutes ces formes diverses sont toujours sus-
ceptibles de coïncider finalement, par suite des transformations
déjà expliquées au sujet des lignes. On choisit donc, envers
chaque famille, le mode le plus simple^ pourvu qu'il ait une
suffisante généralité ; il correspond au meilleur couple analy-
tique de sa génératrice, et on l'emploie habituellement à carac-
tériser les surfaces considérées. C'est en ce sens que nous con-
sacrerons essentiellement le type analytique x — azi=^[y — bz)
à la représentation spéciale des surfaces cylindriques.
Quand on voudra reconnaître, d'après ce type, si une sur-
face donnée /(x, y, z)=0 appartient ou non à cette famille,
il faudra donc, suivant la règle fondamentale du chapitre pré-
cédent, y changer x^ az et y — é^ en / et w, c'est-à-dire y
substituer t -\- az ^iu -\- bz wi lieu de x et y, afin de voir si le
résultat f[t+az^ w + ôz, 5) «=0 peut devenir indépendant
de z. Mais il importe, à ce sujet, d'apprécier ici un supplé-
ment d'explication que je n'ai pu suffisamment signaler dans la
doctrine générale, parce qu'il n'aurait pas été assez nettement
^^. saisissable : il consiste en ce que cette disparition de z ne sau-
rait jamais être entièrement spontanée ; elle supposera toujours
quelques conditions relatives à la disponibilité des paramètres
fixes, a et 6, de la génératrice. Aucune surface, en effet,
n'est cylindrique en un sens quelconque, même le plan qui,
exceptionnellement, se trouve l'être en une infinité de sens :
c'est toujours une partie essentielle de la question que de dér
terminer la direction, habituellement unique, des génératrices
de chaque cylindre. Il faut donc concevoir la disparition de 2,
dans l'équation finale f [t + az^ u + bz, 2)^=0, comme ne
40
;<^
506 GÉOMÉTRK DANS L'ESPACE.
pouvantjamais s'accomplir qu*eQ disposant convenablement des
constantes a et 6, qui permettront d'abord d'y annuler à vo-
lonté deux des termes distincts en ^ qui les contiennent : après
avoir ainsi disposé de ces paramètres, il faudra que leurs va-
leurs réelles annulent aussi le coefficient total de tout autre de
ces termes, sans quoi la surface ne sera pas cylindrique. Si
toutes ces conditions, au contraire, y peuvent être simulta-
nément remplies, sa nature cylindrique sera constatée, et l'on
connaîtra la direction de ses génératrices : il ne restera plus,
pour concevoir nettement sa génération, que de lui assigner
une directrice suffisamment simple, qui sera le plus souvent
Tune des traces de la surface sur les plans coordonnés.
Considérons, par exemple, Téquation
ic* + y* + 2z* — tcz — %yz = 1.
La substitution prescrite y fournira l'équation finale
(a« + ft«— 2a— 26 + 2)x' + (2û-2) t2: + (26-2)t*î, + «*+u«= 1.
#
Pour que ce résultat devienne indépendant de z, d après cer-
taines valeurs de a et 6, il faut poser 26 = 2, 2a = 2,
et fl^4-6*=2a + 2é — 2, les deux termes en tz et en uz ayant
dû être ici traités comme distincts, quoique contenant la même
puissance de z, puisque les nouvelles variables ^ et t/ ne sau-
raient être confondues parmi les coefficients, afin que a et 6
restent vraiment constants. D'après l'accord spontané de ces
trois conditions, la surface proposée est certainement cylin-
drique, et les projections de ses génératrices sont parallèles
aux bissectrices des angles XZ et YZ. 'Quant àia base du
cylindre, on pourra choisir, par exemple, sa trace horizon-
tale, qu'indique l'équation primitive en y faisant zb» 0, d'où
résulte le cercle x* + y*^= 1. Au reste, on peut remarquer, en
général, que, dans la théorie des surfaces cylindriques, cette
SECONDE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈBCE. 607
trace s'obtiendra toujours spontanément, en même temps que
la direction des génératrices, en reconnaissant la nature de la
surface : car, l'équation finale précédente, lorsque ^ y a dis-
paru, représente géométriquement la trace horizontale de la
surface proposée, entre les nouvelles variables t et w, alors
considérées, suivant leur interprétation concrète, comme les
coordonnées de la trace horizontale de la génératrice.
Tous les calculs ainsi prescrits pouvant également s'accom-
plir si les coefficients de l'équation donnée étaient indéter-
minés, pourvu que les exposants ne le fussent pas, cette mé-
thode serait susceptible de dévoiler sous quelles conditions
analytiques la surface correspondante deviendrait cylindrique.
Quand le développement de l'équation finale "
f [t -v az, u -f 6z, z)^=0
aurait déterminé a et 6 d'après deux des termes en z, il fau-
drait que leurs valeurs, d'ailleurs réelles, annulassent chacun
des autres, d'où résulteraient autant de relations nécessaires et
suffisantes pour rendre cylindrique le lieu proposé. Dans l'équa-
tion générale du second degré, par exemple,
kx^ + Bi/* + Cz^ + Dxy + Ex% + Fyz -f Gx -f Hj/ 4- K;5= 1,
on trouverait ainsi, après un calcul un peu long mais facile,
deux relations entre les neuf coefficients, puisque les termes
distincts en z s'y trouveraient au nombre de quatre, contenant
l'un z^, un autre tz^ un troisième wz,etun derniers seulement.
154. Il faut maintenant considérer, envers les surfaces cylin-
driques, la question générale qui consiste à déterminer la fonc-
tion arbitraire propre à l'équation collective de chaque famille
d'après les équations de la directrice.
Comme cette fonction indique ici la relation, d'abord indé-
terminée, entre les paramètres variables a et 6 de la généra-
508 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
Irice,a:=a5 + a et y = 6z + 6, tout se réduit à découvrir leur
liaison d'après la condition de rencontre perpétuelle de cette
génératrice avec la directrice donnée,
/i (x, y, z) = 0 el /k [x, y, z) = 0.
Or, celte condition se formulera, suivant la marche ordinaire,
par Télimination des trois coordonnées a:, y, z, entre ces deux
couples simultanés. Une fois obtenue, la relation des para-
mètres ^ (a, ê) = 0 fournira aisément l'équation de la surface,
en les y remplaçant par x — az et y — hz.
On peut donner à ce calcul une forme technique très-simple,
qu'il convient d'indiquer ici, quand on a pris spécialement pour
base du cylindre proposé satracehorizontale, f[x,y)=^% ^=0.
Car, l'élimination préparatoire s'accomplit alors sans qu'il faille
spécifier la fonction /, relative à l'équation plane de cette
courbe, et la relation des paramètres linéaires devient
/•{a,6)=:0, d'où résulte, à l'égard du cylindre cherché,
l'équation f{x — az^ x — es) = 0. Ainsi, on passera analyli-
quement d'une telle base au cylindre correspondant, en se
bornant à y changer x^wx — az et y en y — bz ; ce qui permet
de composer très-facilement des équations cylindriques, d'après
les diverses courbes planes, algébriques ou transcendantes. En
partant, par exemple, des équations
y^-\-x^^^r^, if = mx. xy=p'^^ y = c^, y = sina:, etc.
on formerait aussitôt les équations
[y — b%)^ + [x — azf = r^, [y — b%Y=am[x — az)^
(x — az) {y — ^2,)=p^ y — te=o'^-«^, j/ — fc2i=sin(a: — a3;),etc.
pour les cylindres circulaire, parabolique, hyperbolique,
logarithmique, trochoïdique, etc.
Nous devons, enfin considérer aussi la détermination de la
fonction arbitraire, de manière à spécifier Téquation du
SECONDE PARTIK, CUAPITRE DErXIÈME. 509
cylindre, quand cette surface, au lieu de passer par une
courbe donnée, doit être circonscrite à une surface quelconque
donnée f{x^ y, z) =0. La difficulté consiste encore à décou-
vrir la relation des paramètres variables « et 6 qui rendra la
génératrice, cr = az -f a, y = ^s 4- ê, tangente à une telle
surface dans chacune de ses positions : on convertira ensuite
cette liaison en équation du cylindre, en y changeant, comme
ci-dessus, a et 6 en a: — a^ et y — bz. Or, pour formuler ce
contact, d'après les seules règles de la géométrie plane, il suffit
de le réduire à celui de la droite considérée avec lasectiondela
surface par lun quelconque des plans qui la contiennent. Si
Ton choisit, à ce titre, Tun de ses plans projetants y =0^4. 6,
la génératrice sera suffisammentconstituéetangenteàla courbe
correspondante, en établissant la même relation entre leurs
projections respectives sur le second plan vertical. Tout se
réduit donc ?i exprimer, dans ce dernier plan, suivant l'un ou
l'autre des deux modesgénéraux prescrits à ce sujet en géomé-
trie- plane, que la droite z = az -^ ol touche la courbe
/ {x^ bz + 6, 2)= 0, d'où résultera la relation des paramètres
^ (a^ 6) == 0, et, par suite, l'équation du cylindre cherché
^ [x — az^rj — bz) = 0.
En employant le principe des racines égales pour formuler
ce contact plan, ce qui d'ailleurs n'est pas toujours préférable,
comme on sait, on serait donc amené à chercher la condition
d'égalité entredeux racines de l'équation /■(a2+a,6z+6,2)=0.
Sous cette dernière forme, la méthode pourrait être directe-
mentconçue, indépendammentdes considérations précédentes,
puisqu'une telle équation, immédiateïnent appréciée, tend à
déterminer l'intersection de la génératrice avec la surface
donnée, en sorte que, à ce titre, deux de ses racines doivent
coïncider en cas de contact.
Ce problème général comporte spontanément une application
510 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE.
très-étendue dans la théorie des ombres, quand les rayons
lumineux sont regardés comme parallèles, ainsi qu'on doit le
supposer habituellement envers la lumière solaire. Si Toû cir*
conscrit alors au corps proposé un cylindre parallèle à ces
rayons, la courbe de contact constituera évidemment, sur la
surface considérée, la ligne de démarcation entre la partie
éclairée et la partie obscure ; ensuite Tintersection de ce cylin-
dre par un plan donné, ou par telle autre surface quelconque
où Ton voudra recevoir l'ombre, déterminera le contour na-
turel de Tombre ainsi portée. Tout dépend donc, à cet égard,
de la détermination du cylindre circonscrit, dont l'équation
successivement combinée avec celles de la surface éclairée et
de la surface d'ombre fera aussiU^t connaître les deux lignes
qui constituent le sujet géométrique d'une telle recherche.
Envers la courbe de contact, il n'est pas inutile de remarquer
qu'on pourrait l'obtenirdirectement avant de trouver le cylin-
dre, et de manière même à faciliter ensuite sa recherche, en y
voyant le lieu des points de la surface proposée où le plan lan-
gent est parallèle aux rayons lumineux x=»az, y=bz', car,
d'après le type général de l'équation du plan tangent (n« 147),
(^ — »i) r»i + (y — 2/0 fyi -^{oc — Xi) fxx = 0,
ce parallélisme fournirait aisément la relation
fai + bryi + apxi = 0,
en exprimant que la droite correspondante rc — Xi=a {z — ^i),
y — yi = fc (^ — Zi) est entièrement contenue dans ce plan. Les
équations de la courbe cherchée seraient donc
4
f (a:, y. z) = 0, af'^c + VV + T^ = 0.
On pourrait dèslors faire rentrer cette question dans la précé-
dente, en considérant cette ligne commeune directrice donnée
du cylindre cherché. Diaprés le mode analytique déformation
SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 511
delà seconde équation, son degré sera nécessairement inférieur
d'une unité à celui de la première ; d'où l'on peut nécessaire-
ment conclure, envers toute surface du second degré, que sa
courbe de contact avec un cylindre circonscrit sera toujours
plane, et, par conséquent, une section conique.
Soit, par exemple, l'ellipsoïde -- + ^ + 2i'c=l, éclairé par
des rayons lumineux x >= z, y = 2, et qu'il faille trouver
l'ombre portée sur le plan des xy. Cherchons d'abord le cylindre
circonscrit suivant la première méthode, et en y employant le
principe des racines égales, ici très-convenable ; après avoir
substitué z + a et >s + 6 au lieu de x et y, la relation de contact
sera alors 90a^ + 456* — 18a6 = 441 ; elle fournira, pour ce
cylindre, l'équation
90a:* 4- 45^2+ UTz^ — 162a:z— 72y2— 18a:y=441, d'où
résultera la courbe d'ombre cherchée 90x^ + 45y* — 18yx = 441 ;
quant à la courbe de contact, le lecteur pourra s'exercer à con-
stater, en combinant convenablementles équations du cylindre
et de l'ellipsoïde, que, conformément à la remarque précé-
dente, elle appartient au plan - 4- ^ + « =• 0.
4 y
CHAPITRE III.
Théorie des surfaces coniques.
155. Daus cette seconde famille, la génératrice est encore
une ligne droite, mais assujettie à tourner autour d'un point
fixe, en glissant d'ailleurs sur une courbe quelconque. Si donc
512 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGE.
a, €, Y désignent les coordonnées de ce sommet donné, les équa*
tions de cette génératrice,
a: — a = a(x; — y), y — € = b(z — y),
ne contenant plus que deux paramètres variables, les deux
coefficients angulaires a et 6, se trouveront spontanément adap-
tés à la formation immédiate de Téquation collective, qui sera,
par conséquent, en général, sous sa forme la plus simple,
^Zl? =, (?Lzf\ ou bien + fc ^— V^-
Pour employer ce type analytique à vérifier la nature conique
de chaque surface particulière f (x, y, z) = 0, il faudrait,
suivant nos règles fondamentales, remplacer x et t/ par
t^Qi{z — y), If + 6 (2 — y)' ^fi^ de rendre cette équation spé-
ciale f{t-\-a(z—f),U'^^(Z'-y),z)=0 entièrement indépen-
dante de 2, en disposant convenablement des constantes a, 6, y.
relatives au sommet du cône. Dans Téquation complète du se-
cond degré, par exemple, on aurait ainsi à annuler, comme au
chapitre précédent, les termes en z^^ en tz^ en uz et en z seul »
mais on disposerait maintenant de trois paramètres, en sorte
que ces quatre conditions n'aboutiraient ici qu'à une relation
unique entre les neuf coefficients indéterminés, tandis que le
cas cylindrique en exigeait deux. Au reste, envers une équa-
tion quelconque, la figure cylindrique du lieu correspondant
supposera toujours une condition déplus que la forme conique,
puisque, en regardant le cylindre comme un cône dont le som-
met s'éloigne àrinfipi,il faudrajoindre aux conditions coniques
une relation nouvelle propre à rendre infinies les coordonnées
du sommet ou Tune d'elles, en annulantle dénominateur com-
mun ou partiel.
L'opération analytique propre à vérifier si une surface
donnée appartient à la famille proposée est donc ici naturelle-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 513
ment plus pénible qu'au chapitre précédent; mais elle comporte
une heureuse simplification générale, en ayant égard à un
théorème important de géométrie comparée, suggéré parle type
conique que nous venons d'établir, quand on y apprécie les
modifications qu'il éprouve en supposant l'origine des coor-
données placée au sommet du cône. Cette équation collective
devient alors - =» (p f - j ou ^ ( - , - ) = 0. Or, sous cette forme,
la vérification proposée s'accomplirait aisément, puisqu'elle se
réduirait à substituer tz et uz, au lieu de x et y, dans chaque
équation particulière, afin d'examiner si 2 y disparaît sponta-
nément. D'après ce principe, il suffit de concevoir cette sub-
stitution envers un terme quelconque kx^y^z^^qui deviendrait
ainsi Ai»* w». 2»*+«+v, pour reconnaître aussitôt qu'une telle
élimination suppose à tous les termes un même degré, estimé,
suivant le mode algébrique ordinaire, par la somme des expo-
sants des trois variables.C'est ainsi que Monge a découvert na*
turéllement cette belle proposition générale : toute équation
homogène à trois variables représente nécessairement un cône
dontle sommet esta l'origine des coordonnées; et, réciproque-
ment, toute surface conique est susceptible d'une équation
homogène, quand on transporte l'origine des coordonnées au
sommet du cône. Quoique la géométrie comparée ait été jus-
qu'ici bien peu cultivée, une telle relation est très-propre à
faire sentir la puissance du nouveau mode analytique sur lequel
Monge a fait reposer l'étude collective des diverses familles
géométriques; car cette liaison remarquable entre la forme
coniquede la surface et la composition homogène de l'équation,
qui découle avec tant d'évidence et de simplicité de ce système
d'appréciation, n'aurait pu s'apercevoir, au contraire, de l'an-
cien point de vue, où les différents cônes resteraient dispersés
dans tous les degrés algébriques, que par suite d'une lente et
514 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPACE.
pénible induction, que rien ne conduisait naturellement à for-
meravant que toutes les surfaces assujetties à unemème géné-
ration eussent été analytiquement envisagées sous un aspect
commun.
D'après cette propriété caractéristique, on pourra recon-
naître aisément la nature conique de chaque surface donnée
f (ic, y, z) =0; car, si cette équation est homogène, la ques-
tion se trouvera ainsi résolue immédiatement; si elle ne Test
pas, il restera à déplacer l'origine de manière àla rendre telle,
en y annulant tous les termes distincts dont le degré est infé-
rieur au sien, par le changement accoutumé de x^ y^ z en
^ + «1 y + ^> * + Yi de manière à déterminer, dans ce dessein,
les constantes disponibles a, 6, y^ qui indiqueront le sommet
du cône. Pour Téquation générale du second degré, par exem-
ple, il faudrait faire alors disparaître les trois termes du pre-
mier degré et le terme constant, d'où résulterait, comme sui-
vant le premier mode, mais bien plus simplement, une relation
nécessaire entre les neuf coefficients indéterminés, après avoir
éliminé les coordonnées du sommet.
156. Considérons maintenant, de même qu'envers les cylin-
dres, la spécification de l'équation collective des cônes, quand
on donne la directrice de la surface. Entre les équations de
cette base, fi (x^ y, z) = 0, /g (a;, y, z) = 0, et celles de la gé-
nératrice, x — a = a (î6 — y)i y — € = b(z — y), il suffira encore
d'éliminer a?, y, js, afin de foimer la condition de rencontre
perpétuelle ^ {a, b) = 0, d'où l'on passera aussitôt à l'équation
du cône, en y changeant les paramètres variables a et 6 en
X — a y — 6
et^ .
z — t z — Y
Je prendrai spécialement pour exemple à ce sujet le cône qui
se rapporte à la théorie des mappemondes, quand ony cherche
la perspective d'un cercle quelconque de la sphère terrestre,
SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 515
supposé VU à travers un certain méridien dont le pôle indique-
rait la position de Toeil, suivant le mode de projection géogra-
phique le plus usuel. En plaçant Torigine des coordonnées au
centre de la terre, dirigeant Taxe des z vers les pôles terres-
tres, Taxe des j? suivant le méridien ainsi choisi, de manière à
faire passer Taxe des y au point de vue, les équations d*un
cercle quelconque du globe, maintenant érigé en base du cône
cherché, seront a:' +y* 4- z^^= r^ eiz^^ax-hby-hc. Celles de la
génératrice étant ic¥x=mz et y = w» 4- r, la condition de ren-
contre deviendra finalement
m2 {br+ cY -\-[nc-{'r-' amry + {br + c)^ = r» (1 — am — bn)^.
Ainsi, Téquation du cône cherché sera
En y faisant y = 0, on en déduira Téquation de la perspective
demandée
9 c. ûr2 c. ^ r^lc—br)
x^-hz^+^i a; — 2 r za. — i — r— =0.
br -\- c br -^ c c + br
Sa composition indique aussitôt la principale propriété d'une
telle projection géographique, où tout cercle terrestre est tou-
jours représentéaussi par un cercle, commeles anciens l'avaient
découvert d'après la considération des sections anti-parallèles
du cône circulaire oblique. On pourrait y constater également,
mais à l'aide d'un calcul pénible dont rien ne suggérerait natu-
rellement la pensée, la remarque accessoire, d'ailleurs peu
utile, sur l'aptitude de cette perspective à maintenir sans alté-
ration l'angle de deux cercles quelconques. En achevant l'ap-
préciation spéciale de l'équation précédente, on trouvera, pour
les coordonnées du centre et le rayon du cercle ainsi obtenu,
les formules
a?'^ r^
br-h c br -h c bi^ -h c^ ^ '
516 GÉOHÉTRm DANS L'ESPACE.
dont la dernière est seule usitée en géographie, et uniquement
môme envers les parallèles à Téquateur ou les méridiens. Si on
y fait les hypothèses « =c, y a=p^, correspondantes à ces deux
cas pour réquation du plan du cercle considéré, on en déduira
aisément les règles ordinaires de construction des arcs de cercle
qui s'y rapportent : leurs rayons seront ainsi respectivement
mesurés par la cotangente de la latitude ou par la sécante de
la longitude.
La formation spéciale de Téquation d'unf^ône dont la direc-
trice est donnée se simplifie beaucoup, comme dans le chapitre
précédent, quand on prend pour base la trace horizontale de
la surface. Car, l'élimination des trois coordonnées variables
peut alors s'accomplir aisément entre les équations delà géné-
ratrice, a; — a == a (2J —- y)? y — ^= b{z — y), et celles d'une
telle directrice /"(a?,?/) = 0, 2 = 0 : il en résulte la relation gé-
nérale des deux paramètres a ei b, f (a — ay, 6 — ^y)=Û; d'où
dérive l'équation du cône cherché f ( ï-, 1?: ) = 0,
ainsi déduite l'équation plane de sa base par le changement de
fiz — yx^^z — Y?/ ^ 1 t
a; et y en et ^ . En partant, par exemple, du
cercle y^ + ^■ = v^^ on aurait, pour le cône circulaire,
(62; — Y?/)^ + (a2i — Y^l*= ^* (z — y)-.
et, s'il est droit,
;.2
'^^JrX^^-,{z — y'^
6 et a s'annulant alors.
Au sujet de cette application particulière, il faut ici noter la
position normale de l'appréciation des courbes du second degré
comme sections coniques, que nous n'avons pu traiter en géo-
métrie plane que d'après un artifice exceptionnel. Pour établii*
cette notion dans son entière généralité, envers tout cûne cir-
I
SECONDE. PARTIF, CUAPITRE TrtOÏSIÈMK. 511
culaire, droit ou oblique, il suffirait de traiter chacune des
équations précédentes par laméthode générale que nous avons
destinée à Tétude des sections planes d*une surface quelconque,
et qui maintenant fournirait aussitôt une courbe du second
degré. Mais on sera même entièrement dispensé deTexécution
d'un tel calcul, si Ton se borne, à cet égard, à la proposition
principale, consistant, au fond, dans la simple connaissance du
degré de la section, sans s'occuper d'ailleurs de sa nature pa-
rabolique, elliptique, ou hyperbolique, assez indiquée, en
chaque cas, par la situation du plan. Car, du point de vue
propre à lagéométrie analytique à trois dimensions, il est clair,
en général, indépendamment de la méthode des sections planes,
que toute surface algébrique d'un degré quelconque ne peut
être coupée par un plan que suivant une courbe du même
degré, puisque cela est incontestable pour les plans parallèles
aux plans coordonnés, et qui peuvent représenter, à vrai dire,
des coupes quelconques, en considérant l'équation la plus com-
plète de chaque type, dont la composition convient spontané-
ment à toutes les situations possibles du lieu. Suivant ce prin-
cipe évident, toutes les sections planes du cône circulaire sont
des courbes du second degré, par cela seul que cette surface
fait partie de celles de ce degré.
Dans la théorie des cônes, comme dans celle des cylindres,
on peut, enfin, déterminer la fonction arbitraire en concevant
que la surface doive être circonscrite à une surface quelcon-
que donnée f{x, y, z) = 0, qui remplacerait la directrice cor-
respondante. La solution s^accomplira de la même manière, en
cherchant la relation des deux paramètres variables propres à
la génératrice, a: — a = a (:; — y)^ y — g =» 6 (^ — y), quand
celle-ci doit toucher constamment la surface proposée, sans
qu^il faille ici ajouter aucune explication nouvelle à celles du
chapitre précédent sur le mode de formulation d'un tel contact,
518 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE.
d'après les seules méthodes de la géométrie plane. Cette rela-
tion ^ {a, i)= 0 étant une fois obtenue par un procédé quel-
conque, on en déduira Féquation du cône cherché, coaime si
la directrice était donnée, suivant le changement accoutumé
de a et é en et La courbe de contact de ce cône
z — Y ^ — Y
avec la surface sera dès lors représentée analytiquement, en
concevant simultanément leurs équations respectives. Au reste,
cette courbe pourrait aussi être déterminée, indépendamment
du cône, et de manière même àen faciliter la recherche, à titre
de directrice, en y voyant encore le lieu des points de la surface
proposée où le plai» tangent passe au sommet donné, d'où ré-
sulterait, à son égard, la seconde équation
Ce dernier problème général comporterait, envers les
cônes, une application non moins naturelle que pourlescylin-
dres, dans la détermination géométrique des ombres, quand on
suppose tous les rayons lumineux émanés d'un même point ;
ce qui représenterait suffisamment, en beaucoup d'occasions,
le cas de la lumière artificielle. On peut aussi l'appliquer à
une autre destination pratique, qui n'en changerait nullement
la nature, en considérant la question des contours apparents
et des perspectives, où il ne s'agit jamais que de trouver la sec-
tion du plan du tableau, ou même de la surface quelconque
qui en tiendrait lieu, par le cône qui, ayant son sommet au
point de vue, serait circonscrit au corps observé. En l'un ou
l'autre cas, toute la difficulté mathématique d'une telle re-
cherche se réduirait évidemment à la connaissance du cône
circonscrit.
SECONDE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 519
CHAPITRE IV.
Théorie des surfaces de révolution.
157. Le titre habituel des surfaces qui composent cette
troisième famille, et le nom de corps ronds qui en offrirait
l'équivalent plus rapide, se rapportent à leur principale pro-
priélé pratique, consistant en ce que chacune d'elles peut ré-
sulter de la rotation d'une certaine ligne autour d'un axe fixe
auquel elle est invariablement liée. Mais, quelle que soit, dans
les arts géométriques, la haute importance d'un tel caractère,
qui permet souvent, envers ces surfaces, un mode de construc-
tion très-facile, il présente, sous l'aspect théorique, le grave
inconvénient de ne pas appeler directement l'attention sur la
véritable génératrice propre à cette famille : car, le méridien
de chaque surface de révolution, variable d'un corps rond à
l'autre, n'en constitue, au fond, que la directrice. Suivant nos
principes fondamentaux de géométrie comparée, la généra-
trice devant toujours être commune à toutes les surfaces d'une
même famille, cette propriété usuelle ne saurait fournir la dé-
finition rationnelle de ce nouveau groupe naturel, où le cerde
est réellement la seule ligne uniformément reproduite, comme
y résultant des coupes perpendiculaires à l'axe, quelle que
puisse être la figure des méridiens.
D'après cette indispensable rectification préliminaire, les
surfaces considérées ici sont donc engendrées par un cercle
dont le centre parcourt une droite fixe, tandis que son plan
reste constamment perpendiculaire à cette droite, son rayon
520 GÉOMÉTRIE DANS L^ESPACE.
variant d'ailleurs suivant une loi quelconque, quedéterminera,
en chaque cas, la ligne immobile sur laquelle le cercle devra
glisser. La propriété générale ci-dessus remarquée, et d'où dé-
rive le nom usité, résulte directement d'une telle génération.
•
Car, si, dans une surface ainsi produite, on considère une
section plane suivant Taxe, les rayons correspondants aux
diverses parties de Taxe y auront toujours envers celles-ci la
même relation, quelle que puisse être la direction de cette
coupe ; en sorte que tous ces méridiens seront nécessairement
superposables. Sous un aspect plus étendu, par quelque sur-
face auxiliaire, plane ou courbe, qu'on ait d'abord coupé un
corps rond, la section ne changera jamais quand la surface
d'où elle résulte ne fera que tourner autour de Taxe proposé ;
puisque toutes les parties du cercle générateur, outre leur iden-
tité propre, sont d'ailleurspareillement situées envers cet axe.
On conçoit que cette propriété cesserait si le plan de ce cercle,
quoique conservant une direction invariable, devenait oblique
k la droite fixe que décrit son centre. Il y a donc d'autant moins
d'inconvénients^ à conserver, pour ces surfaces, les*dénomina-
tions usitées, après en avoir rectifié ladestination géométrique
qu'elles correspondent à un attribut généfSJ où l'on peut voir
réellement un heureux résumé spontané de l'ensemble des ca-
ractères inhérents à la défmition rationnelle d'une telle famille
Pour former ici convenablement les équations de la généra-
trice, il faut concevoir ce cercle comme résultant de la combi-
naison d'un plan quelconque perpendiculaire à Taxe donné,
a? = flz + a, y = 62 -|- ^^ 8.vec une sphère, de rayon arbitraire,
dont le centre soit fixement placé en un certain point de cet
axe, là, par exemple, où il perce le plan horizontal. Suivant
ce mode, ces équations
SECONDE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 521
quoique plus compliquées que celles des deux chapitres précé-
dents, se trouveront aussi spontanément adaptées à la forma-
tion directe de Téquation collective, puisqu'elles ne contien-
dront encore que deux paramètres variables r et c. Ainsi,
cette troisième famille géométrique aura pour type analytique
(x — a)a + (y — 6)^ 4- 2^ == jp (^ + or + by),
ou ^ {[x — a)^4- (y — ^* 4- ;z^, 2f -f or + ôy) = 0.
»
Son application normale à la reconnaissance spéciale de
chaque cas particulier serait ici plus laborieuse que dans les
deux autres groupes considérés, mais d'ailleurs dirigée par les
mêmes principes généraux. En concevant alors leur usage al-
gébrique sous l'aspect le plus étendu, il faudrait donc éliminer
deux des coordonnées variables entre l'équation proposée
f[x^ yy z)^=^Q et les deux relations uniformes
[x — nY 4- (y — 5)^ 4- z*= w, z-\-ax + by=t\
la troisième variable devrait ainsi disparaître du résultat final,
en y disposant convenablement des constantes a, 6, a, 6, re-
latives à l'axe, afin d'annuler chacun des termes distincts où
elle se trouverait contenue. L'élimination préalable se fera
d'ailleurs, soit par le mode ordinaire de la substitution, s'il
demeure praticable, soit par tout autre procédé équivalent
qui pourrait devenir indispensable.
Cette équation collective des surfaces de révolution est tou-
jours susceptible, envers chacune d'elles, d'une importante
simplification, quand on prend pour axe des z Taxe même
du corps rond. En y supposant ainsi a»>0, 6s=»0, a=0, éa=rO,
elledevient d'abord a:* 4- y' 4- z'= <p [z) ; mais, comme le termes*
du premier membre peut passer dans le second, où on doit le
concevoir absorbé par la fonction arbitraire, le type analytique
41
522 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
se ramène finalement à la forme très-simple, et non moins ex-
pressive,
^' + y* = ? (2),
oùTon voit directement que la génévaLincez=c^x^+j/^=r^^esi
un cercle horizontal dont le centre décrit Taxe vertical. Au
reste, cette dernière modification secondaire apportée à l'équa-
tion des corps ronds par la transposition de z^ correspond géo-
métriquement àlasubstitutiond'un cylindre àla sphère jusqu'a-
lors employée envers le cercle générateur.
Suivant un tel type, l'élimination fondamentale ci-dessus
prescrite pour vérifier si une surface particulière / [x, y, z) = 0,
appartientàcette famille, seréduiramaintenant,en y supprimant
toute circonlocution superflue, à y faire disparaître simultané-
menta:ety en posant seulemeiit y' -f^^=w. Il est d'ailleurs évi-
dent que Taccomplissement de ce tle condition analytique n auto-
riserait pas suffisamment, en général, à décider la négative de
cette question, quand on n'aurait aucun motif de présumer que
Taxe de la surface dût nécessairement coïncider avec l'axe des z.
Un tel caractèrenedeviendraitalors pleinement certain que d'a-
près une transposition d'axes indélerminée,et en disposant con-
venablement des constantes arbitraires qu'elle introduirait . Mais,
dans presque tous ces cas, heureusement peu utiles à considé-
rer, l'ensemble de cette vérification analytique deviendrait au
moins aussi pénible que si l'on eûtd'aiord employéle type uni-
versel primitivement établi.
158. En continuant à considérer la plus simple équation col-
lective des corps ronds, il est facile d'y déterminer, comme
dans les deux chapitres précédents, la forme spéciale de la
fonction arbitraire conformément à une directrice donnée,
fi {x, y, 2) = 0, /a {x^ y , 5) = 0. Tout se réduit, en effet, à ex-
primer la rencontre de cette ligne avec une génératrice quel-
conque z = c,x^-\-t/'' = r^^ en éliminant x.y^z entre les deux
SECONDE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 523
couples d*équations, d'où résultera la relation correspondante
des deux paramètres variables ^ (c, r) = 0, aussitôt convertie en
équation de la surface cherchée, en y changeant c en 2 et r en
Appliquons d'abord cette méthode au cas où la directrice
serait une droite donnée, ar= az-t-a, y=^} que Ton peut sup-
poser, en effet, parallèle au plan des xz, sans particulariser,
davantage, au fond, la solution géométrique. La relation des
deux paramètres c et r estici(dfc+a)2+ê^=r^, et il en résulte,
pour la surface cherchée, l'équation très-simple
y2 + ^ _ flS^i __ ^aoiz = aî> + 62.
■
Il estaisé d'en déduire la naturedes méridiens dececorpsrond,
afin de le mieux connaître, en faisant y=0, ce qui donne
x^ — aH^ — 2aa2» = a' + 6*. Or, cette équation annonce évidem-
ment une hyperbole, donf l'axe des z constitue l'axe non-
transverse, l'autre étant parallèle à l'axe des x^ et son centre
étant situé à la hauteur verticale , qui correspond sponta-
nément au point de la directrice le plus rapproché de l'axe de
la surface; conformémentaux indications géométriques directes
sur la correspondance nécessaire de la moindre section circu-
laire avec le sommet et le centre de l'hyperbole méridienne.
Ainsi, la surface produite par la révolution d'une droite quel-
conque autour d'un axe fixe où elle adhère invariablement,
peut aussi résulter de la rotation d'une hyperbole autour de
son axe non-transverse.Lecônecirculairedroit y rentre comme
modification particulière, quand la droite rencontre l'axe, ou
que l'hyperbole se réduit à ses asymptotes, c'est-à-dire en an-
nulant 6.
Examinons encore le cas où ladirectrice serait une hélice^ en
établissant d'abord les équations de cette courbe remarquable,
524 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
imaginée par Archimède, et qui constitue, à tous égards, la
plus importante de toutes les lignes à double courbure, parmi
lesquelles elle tient, d'après sa parfaite uniformité caractéristi-
que,le môme rang que le cercle entre les courbes planes. Cette
courbe cylindrique résulte du mouvement uniforme d'un point
surune droitependant que celle-ci tourneuniformément autour
d'un axe parallèle adhérent. Sa grandeur dépend donc de deux
éléments linéaires, la distance constante de la génératrice à
Taxe, ou le rayon du cylindre dont elle fait partie, et le chemin
spécial parcouru parallèlement à Taxe à Tissue de chaque révo-
lution entière, ou Tintervalle fixe, ordinairement nommé j^o:^,
qui existe entre deux spires consécutives le long des arêtes. La
théorie générale de la similitude des courbes indique aisément,
surtout en cecas, que deux hélices ne sont semblables qu'autant
que leurs rayons sont entre eux comme leurs pas. D'après sa
définition, les plus simples équations de cette courbe contien-
dront ces deux constantes arbitraires : ainsi, l'hélice exige
quatre points pour sa détermination ; puisque la transposition
d'axesindispensableàlagénéralisation de ce premier type ana-
lytique y introduira naturellement six nouveaux paramètres,
linéaires ou angulaires. Une appréciation géométrique directe
confirme, en effet, que les équations les plus générales de Thé-
lice doivent contenir huit constantes,savoir : les quatre relatives
à l'axe, les deux dimensions de la courbe, et enfin deux coor-
donnéesdelapositioninitiale,déjàplacée sur un cylindre connu.
Il est aisé de former les équations de cette courbe, puisque,
d'après sa définition, elle se distingue de toutes celles qui ap-
partiennent au même cylindre, en ce que la différence des dis-
tances de deux quelconques de ses points au plan de la base est
toujours proportionnelle à la partie de ce cercle comprise entre
leurs projections. Mais, avant de déduire d'un tel caractère le
couple analytique accoutumé, il faut d'abord noter deux pro-
SECONDE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÈME. 525
priétés importantes qui en dérivent, Tune pour la tangente à
l'hélice, Vautre quant à sa rectification. Quoique cette courbe
soit transcendante, et, à ce titre, directement inaccessible aux
règles élémentaires de ce traité à Tégard des tangentes, nous
pouvons cependant y traiter spécialement cette recherche; car,
d'après cette constante proportionnalité, la tangente à Thélice
doit faire avec Taxe du cylindre un angle invariable, dont la
tangente trigonométrique équivaut à-7->siret Adésignentle
rayon et le pas ; ce qui suffit pouj déterminer cette droite, déjà
nécessairement contenue dans le plan tangent au cylindre. En
second lieu, une telle proportionnalité indique clairement que,
quand le cylindre se déroulera sur un plan, chaque spire de
rhélice se développera suivant une ligne droite, dont Tangle
précédent déterminera Tobliquité envers les génératrices du
cylindre ; en effet, leslongueurs variables ainsi comparées con-
servant toujours leur grandeur après cette transformation,
cette proportion reproduit spontanément le caractère fonda-
mental de la ligne droite, lorsque les arcs de la base sont de-
venus rectilignes. L'hélice pourrait donc, en sens inverse,
résulter de la flexion d'une droite sur la surface d'un cylindre
dans une direction plus ou moins oblique. A ce titre, elle y in-
dique.nécessairement le plus court chemin entre deux points
quelconques : ce chemin minimum équivaut ainsi & l'hypoté-
nuse du triangle rectangle formé par les deux longueurs ci-
dessus comparées ; en sorte que la rectification de l'hélice
se ramène aussitôt à celle du cercle. Cette sommaire appréciation
des principales propriétés de cette courbe ne laisse réellement
à l'analyse transcendante aucune autre détermination essen-
tielle que celle de la loi précise suivant laquelle chacune des
deux courbures, évidemment constantes, d'une telle ligne dé-
pend de son rayon et de son pas ; nos ressources actuelles ne
co-
520 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE.
peuvent indiquer, à cet égard, qu*un vague et insuffisant
aperçu sur le décroissement nécessaire de Tune on Tautre
courbure à mesure que Tune ou Tautre de ces dimensions
augmente.
Formons actuellement les plus simples équations deThélice,
en prenant son axe pour celui desz et dirigeant vers elle Taxe
horizontal des a:. L'une des équations sera d'abord a:* -l-y^=r*,
commune à l'ensemble du cylindre considéré ; quant à l'autre,
elle résultera aussitôt du caractère précédemment établi,
s = — . r arc ( cos = 7 )» puisque x serait évidemment le
sinus de Tare correspondant de la base, si r était le rayon Iri-
gonométrique. Mais, au lieu de ce couple primordial, il faut
habituellement préférer, suivant le mode ordinaire, la combi-
naison plus simple 3;= r cos ~ z, y= r sin-^^, relative aux
projections verticales.
D'après ces dernières équations, il devient aisé de former
l'équation de la surface produite parla révolution d'une hélice
autour d'une parallèle à son axe. Afin de ne pas troubler inu-
tilement les habitudes analytiques propres à ce chapitre, où
nous supposons l'axe du corps rond confondu avec l'axe dess,
il faudra modifier un peu les équations précédentes; en y dé-
plaçant l'origine, mais seulement surl'axe des a;, d'unedistance
égale à l'intervalle donné a entre l'axe du cylindre et Taxe de
rotation. En partant ainsi des équations
y =» r sm -r 2, o: = r cos t z -h a,
h n
on trouvera aisément la condition de rencontre perpétuelle
avec le cercle z = c, x^ -{- y^— .r,*^ qui engendre Théliçoïde
cherché, dont Téqualion sera finalement
y2 4. ^2 _= 2rtr cos -T- 5 + (^^ + a^] ;
SECONDE PARTIE, CnAPITRE QUATRIÈME. 527
il sera facile d'en déduire la nature des méridiens, en y faisant
Le mode général pour le passage analytique de chaque direc-
trice donnée aucorpsrond correspondant, se simplifie beaucoup
quand cette directrice est le méridien de la surface, dont nous
supposons toujours Taxe confondu avec celui des z; alors, les
équations de la courbe étant f (a:, z) = 0, ,y=0, la relation
des deux paramètres variables c et r propres à la génératrice
devient aussitôt /* (r, c) = 0, d'où résulte l'équation de la sur-
face cherchée f {\/a^ 4- y*, 2) = 0 ainsi obtenue en changeant
seulement x en \/x^ +y^ dansréquation planedu méridienpro-
posé. Suivant cette règle fort simple, réquation«^s*-f ôaj:*=saa6*
donnerait à^z^-hb^x^ +0^7/^=0^6^ pour Tellipsoïde de révolu-
tion; de môme, en partant de a^z^ — b^x''^ = rfc à^b^^on aurait
a^z^ — b^x^ — b*y^= ±: a^b^ envers Thyperboloïde, en prenant
le signe supérieur ou le signe inférieur, suivant que la révolu-
tion se ferait autour de Taxe transverse ou de Taxe non trans-
verse ; pareillement, les surfaces engendrées parla rotation de
la parabole autour de son axe ou de la tangente au sommet se-
raient y^+a:^=m;i ou z*=m2(x^+y^), en considérant succes-
sivement les équations méridiennes x^=mz ou z^= mx>
Il convient, à ce sujet, de signaler spécialement les cas du
tore, dont Téquation se formera d'après celle du cercle méri-
dien z^-{-{x — «)2 = r^ où nous supposons Taxe des x dirigé
vers son centre. On trouve ainsi, pour le tore, Téquation du
quatrième degré
z^ + i\/x^-\-y^ — aY = r^ ;
il est aisé d'y constater, en rendant y constant, que les coupes
parallèles à l'axe coïncident exactement avec les courbes con-
sidérées au n® 22, puisque leur équation
z = ± \/— [c^ + a^ — r^ 4- X') + 2a \/c^ + x^
528 GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE.
peuttoujours s*identifier avec celle que nous avons alors formée,
en annonçant d'avance l'appréciation géométrique de ces lignes
comme sections toriques.
CHAPITRE V.
Théorie des surfaces conoldes.
159. Cette dénomination, dont le sens a beaucoup varié de-
puis Archlmëde, semble maintenant consacrée à désigner une
nouvelle famille géométrique, fort usitée dans les arts, et com-
prenant toutes les surfaces engendrées par une droite glissant
sur un axe Bxe, parallèlement àun même plan, quellequesoit
d'ailleurs la seconde directrice qui doit, en chaque cas, complé-
ter la détermination de son mouvement. Quelques auteurs
qualifient aussi de gauches les surfacesainsi produites, d'après
leur contraste naturel envers le plan : mais ce terme paraît
communément affecté au seul conoîde du seconddegré. Le nom
qui a prévalu rappelle assez heureusement une comparaison
géométrique avec les surfaces coniques, que confirmera ci-des-
sous l'appréciation analytique.
Nos principes généraux conduiraient aisément à former l'é-
quation collective qui doit caractériser cette quatrième famille
usuelle, d'après l'axe donné, a* = az + a, y = 6z + S, et le plan
directeur^ z =px + yy . Car, la rencontre perpétuelle de la gé-
nératrice a:=« a'2 + a', y = 6'z -f 6\ avec cet axe, assujettirait
d'abord ses quatre paramètres, ici simultanément variables, à
la relation ordinaire t; — ^ = ,-7 1 ; ensuite son parallélisme
6 — 0 o — o
SECONDE PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME. 529
constant envers le plan leur imposerait encore la condition
pa'+qb*=i , dont la combinaison avec la précédente permettrait
de réduire ces coefficients à deux seulement, selon notre règle
fondamentale. D'après un tel préambule, il suffirait de rappor-
ter ces deux derniers paramètres aux coordonnées x^ y^z^ dans
les équations de la génératrice, pour en déduire aussitôt le
type analytique cherché, en indiquant, comme de coutume,
une liaison arbitraire entre ces deux fonctions. Hais je crois
devoir laisser au lecteur Texécution de cette opération, dont
je ne rapporterai pas même le résultat, que sa trop grande com-
plication nous rendrait presque inutile. Je vais seulement former
cette équation collective dans Thypothèse la plus favorable à
sa simplification, c'est-à-dire, en supposant que Taxe du co-
noïde soit pris pour axe des z^ et le plan directeur pour plan
à^^ocy ; saufàn'appliquerensuite cette équatîoncollectiveàren-
tière appréciation d'un cas quelconque qu'après une convenable
transposition d'axes coordonnés, qui offrirait, sous une autre
forme, des embarras algébriques à peu près équivalents à ceux
qu'occasionne l'usage direct du type le plus général.
Suivant cette supposition habituelle, les équations js ra ^ et
y^sssox exprimeront aussitôt l'ensemble des conditions rela*
tives à la génératrice, ainsi assujettie, en effet, à rester hori-
zontale en glissant sur l'axe vertical : aussi ce couple ne con-
tient-il spontanément que deux paramètres variables, dont
l'élimination conduira facilement, diaprés nos règles, au type
très-simple
=^©-
On peut simplifier beaucoup son application à la vérification
spéciale de chaque cas, en y voyant l'expression naturelle d'un
théorème général de géométrie comparée analogue à celui de
Monge sur les surfaces coniques. Car, un tel caractère indique
530 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
évidemment, comme au n* 155, que Téquation du conoïde est
toujours homogène relativement aux seules variables x et y,
en ne faisant point participer la troisième coordonnée z à Tes-
timationdu degré algébrique. Ainsi, Tidée analytique d'homo-
généité qui, complètement envisagée, correspond à la notion
géométrique d'un cône, se lie, au contraire, à celle d'un conoïde,
quand on lui fait subir cette modification élémentaire. Cette re-
marque générale caractérise analytiquement Vanalogie sponta-
née de ces deux familles, et tend à mieux motiver la dénomina-
tion qui rappelle un tel rapprochement. Quoi qu'il en soit, ce
caractère comporte évidemment une application fort commode
à l'appréciation géométrique de chaque équation particulière;
car, toute équation, comme, par exemple, z^=:^3y^ considérée
au n* 131, qui se trouvera homogène envers deux des varia-
bles, représentera nécessairement un conoïde dontle plan direc-
teurseraitparallèle à ces coordonnées, et dont Taxe correspon-
drait à celle qui n'aurait point participé au degré. Un usage
convenable des formules de transposition d'axes dans l'espace
permettrait d'ailleurs de généraliser, mais très-péniblement,
l'interprétation négative d'un tel symptôme analytique; puisqu'il
n'y a pas de conoïde qui, réciproquement, ne soit susceptible
d'une pareille homogénéité partielle envers certains axes coor-
donnés.
160. Considérons, maintenant, pour une semblable équation
collective, la détermination accoutumée de la fonction arbitraire
conformément à une directrice donnée
f\ (^, y^ s) = 0, /a [x, y, z) = 0.
L'élimination de x^ y, Zy entre ce couple spécial et le couple
général z=c, y=<7a: relatif à la génératrice fournira aisément
la liaison correspondan te ^ (c , a) =0 des deux paramètres varia-
bles, d'oti l'on déduira aussitôt l'équation du conoïde proposé,
en y changeant c en z et a en - .
X
SECONDE PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME. 531
Appliquons celle méthode au cas où la directrice serait une
hélice, x = r cos -r- js, y = r sin — z. On trouve alors, entre les
n n
deux paramètres, la relation a = tang -r c, et, par suite,
Su
j/s=sx tang -r- z pour Téquation, très-simple, quoique transcen-
dante, du conoïde cherché. Cette surface, fort usuelle dans les
arts géométriques, est évidemment celle de la vis à filets rec-
tangulaires ou de Tescalier à vis sans jour, engendrée par une
droite horizontale glissant à la fois sur une hélice et sur Taxe
du cylindre vertical correspondant. Quant à la vis à filets trian-
gulaires, malgré sa grande analogie avec la précédente, elle ne
constitue point exactementun vrai conoïde ; car, le parallélisme
continuel de la génératrice au plan de la base du cylindre, s'y
trouve remplacé par son inclinaison constante sur Taxe ; ce qui
reproduira d'ailleurs l'autre cas, quand cet angle deviendra
droit. Pour trouver cette nouvelle équation, on pourra conser-
ver la seconde équation de la génératrice précédente y=ax\
mais il faudra remplacer l'autre, z=c, par a:= — 2; + a,
v/«2+ 1
qu'il est aisé de former d'après la condition que celte droite
fasse maintenant un angle donné y avec l'axe vertical. Relati-
vement à l'hélice directrice, il conviendra de préférer les équa-
lionsy*+ a:^rzz r^et 2 = tang -^-js, qui résultent aussitôt des deux
anciennes. Cela posé, on trouvera sans difBculté la relation de
rencontre a •= tang -7- 1 -^ I : en y remplaçant les pa-
ramètres « et a par leurs expressions déduites des équations de
la génératrice, l'équation de la surface de la vis triangulaire
sera finalement
932 GÉOMÉTRIB DANS l'eSPACE.
Quoique beaucoup plus compliquée, en général, que celle de
la vis rectangulaire, elle y rentre spontanément quand Tangle
Y devient droit.
n convient maintenant d'apprécier la simplification générale
qu*éprouve la formation de Téquation propre à chaque conoîde,
lorsqu'on y prend spécialement pour directrice la trace de la
surface sur un plan parallèle à Tun des deux plans verticaux.
Les équations de cette nouvelle base étant alors /(x, z)=4},
larelationdesparamètres variablesdevienttoujours/f- , cy-
et conduit, pour le conoîde correspondant, à Téquation
/(f,.) = o,
qui ne diffère de celle de la courbe donnée que par le simple
dx
changement de a: en — . C'est ainsi, entre autres, que, d'après
les équations x'^=mz ou 2*= ma:, le conoîde parabolique serait
(P
représenté parles équations y*2= — x^ ou z'h/ = dmx^ selon
quel'axe de sa base serait parallèle ou perpendiculaire au sien.
Le cas le plus remarquable est, en ce genre, celui du conoide
rectiligne, correspondant àla directrice y =(f, x=az+0L: on
trouvera aussitôt, pour cette surface, l'équation fort simple.
ayz + (xy=€lx, dont le degré annonce que toutes les sections
planes correspondantes sont des coniques. Si on y applique
notre méthode générale pour l'étude de telles coupes, on recon-
naîtra facilement qu'elles ne sauraient jamais être elliptiques,
et qu'elles sont habituellement hyperboliques, sauf certaines
situations déterminées où le plan sécant donne des paraboles.
SECONDE PARTIE, CHAPITRE CINQUIÈME. 533
Ce conoîdeser^ plus spécialement examiné, au chapitre suivant,
sous le nom consacré de paraboloîde hyperbolique.
Considérons enfin, comme envers les cylindres et les cônes, la
formation de Téquation propre à chaque conoïde, quand il doit
être circonscrit à une surface quelconque donnée/(a:,y,z)=0.
Le mode fondamental employé dans les deux autres cas est
également applicable à celui-ci pour formuler le contact per-
pétuel de la génératrice, z = c, y = ax^ avec cette surface ;
ce qui se réduira maintenant à exprimer, d'après les règles de
la géométrie plane, que la droite y ^=ax touche la courbe
/ (x, y, c) =0, en y employant, si on le juge convenable, le
principe des racines égales. De la relation ainsi établie entre les
paramètres variables a et c, on passera d'ailleurs à l'équation
du conoïde, comme quand la directrice était donnée. Au reste,
on pourrait aussi, dans ce nouveau cas, étendre la méthode,
déjà indiquée à l'égard du cylindre et du cône, afin de carac-
tériser directement la courbe de contact du conoïde avecla sur-
face donnée, en assujettissant le plan tangent de celle-ci^
(a:— Xi) fxi + (y — yi) Al + [z— 2i) /"«i = 0, à contenir tou-
jours une horizontale rencontrant Taxe vertical, c'est-à-dire,
à donner, en y supposant z = Zi, une droite dont la projection
horizontale, [x — xi) /'n + (y — yi) f'y\ «= 0, passe constam-
ment à l'origine. On trouve ainsi
^A+,yA— 0
pour la seconde équation de celte courbe, qui dès lors pourrait
devenir la directrice du conoïde circonscrit, de manière à faire
rentrer cette question dans la précédente, si on le jugeait
utile, comme envers les deux familles antérieures.
Appliquons, par exemple, cette méthode au cas où la sur-
face donnée seraitle cylindre vertical a:*-f- y^=3r*, en supposant
toujours que le plan directeur soit horizontal, mais en donnant
534 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE.
alors à Taxe du conoïde une situation oblique^ qu'on peut
d'ailleurs concevoir parallèle àl'un des deux autres plans coor-
donnés. Si les équations de cet axe sont a: = a2+ a, y = rf, sa
rencontre avec une génératrice quelconque, 2==»c, y=px + y,
fournir a d'abord la conditionrf=/?ac-f-pa-j-9r. La relation de
contact sera ensuite ^^ c= r* (/>^+ !)• En éliminant les para-
mètres variables/}, q^ et c, entre ces deux équations de con-
dition et celles de la génératrice, on trouvera, pour la surface
cherchée, Téquation du quatrième degré
[ayz + oLy -- dxf =r^({d-- yf + [az -fa — xf).
Cette surface est ordinairement celle de Tescalier à jour, quand
la rampe est rectiligne. Mais, si l'arête horizontale des mar-
ches, en touchant toujours le cylindre vertical y^ + a:» = r',
devait d'ailleurs glisser sur une hélice, appartenant à un plus
grand cylindre autour du même axe, le lieu ne serait plus un
conoïde. Toutefois, son équation spéciale ne serait pas plus
difficile àformer, d'après les mêmes équations s=cety=/w7-}-ç
pour la génératrice, en substituant à l'axe du conoïde rhélice
Sir 27C
directrice a: = R cos -7- z, y = R sin -r s. A l'ancienne relation
h h
de contact q^ = r* (p^ + 1)î ^ faudrait ici joindre la nouvelle
condition de rencontre R sin , c = d R cos -r c + O'. L'élimi-
h h
nation des trois paramètres variables p, 9, c, entre ces équa-
tions et celles de la génératrice, fournirait, pour la surface
cherchée, l'équation transcendante
R»Nrsm— ;2—ycos-T z] = n [y— Rsm— si Mx—ncos-rz^ I
où R désigne le rayon de la cage cylindrique de l'escalier et r
celui de la colonne vide.
SECONDE PARTIE, CUAPITKE SIXIÈME. 535
CHAPITRE VI.
Théorie générale complémentaire, relative à tous les groupes géométri-
ques dont l'équation collective n'est pas connue, et surtout aux sur-
faces rectilignes ou circulaires.
i 61 .L'étude successive des familles les plus usuelles a tellemeut
caractérisé, dans les quatre chapitres précédents, rapplication
normale des principes fondamentaux établis d*abord sur la classi-
fication rationnelle des surfaces, que le lecteur attentif ne sau-
rait éprouver aucune grave difficulté à étendre spontanément
le même esprit à de nouvelles familles quelconques dont la con-
sidération pourrait devenir convenable, pourvu que leurs dé-
finitions restassent conformes à la condition universelle que
nous avons préalablement posée. Mais, afin de procurer à ces
notions générales toute Tefficacité possible, il faut maintenant
compléter leur appréciation essentielle, en la dégageant des
équations collectives qui ne doivent servir qu'à en perfectionner
Tusage régulier, de manière à pouvoir résoudre, en chaque cas
particulier, les deux questions principales relatives à la forma-
tion et à la discussion des équations d'après le mode de génération
des surfaces correspondantes, môme envers les groupes géomé-
triques qui n'ont pu encore être convenablement ramenés à de
tels types analytiques. Pour bien sentir l'importance de cette
théorie complémentaire, nous devons préalablement caractéri-
ser les difficultés fondamentales qui empêchent jusqu'ici, et qui
peut-être interdiront toujours, à beaucoup d'égards, l'établis-
sement de ces précieuses formules communes.
Ces difficultés sont de deux sortes très-distinctes, les unes
536 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACB.
relatives à la nature des familles de surfaces considérées, les
autres àla trop grande extension des groupes naturels. Sous le
premier aspect, il faut reconnaître que, sans excéder les limites
normales de la famille proprement dite, notre appréciation
analytique ne se trouve pas toujours en suflisante harmonie
jusqu'à présent avecnotre conception géométrique. Persistons,
en effet, suivant les explications initiales, à ne composer cha-
que famille que des surfaces dont toute la différence réside en
une seule ligne fixe, et dont, par suite, Péquation collective ne
doit contenir qu'une seule fonction arbitraire. Or, ainsi conçue,
la définition géométrique de chaque famille échappera encore
trop souvent à nos types analytiques. Car, les moyens actuelle-
ment connus ne permettent de former ces équations communes
qu'autant que le mode de génération considéré peut être défini
et formulé indépendamment de cette courbe spécifique par la-
quelle diffèrent les divers genres d'une même famille. Quand
cette ligne sera une directrice proprement dite, sur laquelle
la génératrice devra simplement glisser^ cette condition pré-
alable se trouvera toujours remplie, et l'on pourra constam-
ment réduire les équations de la génératrice à ne contenir que
deux paramètres variables, de manière à composer finalement
l'équation collective, comme nous l'avons éprouvé dansles cas
principaux. Mais il n'en sera plus ainsi lorsque la courbe spé-
cifique, que l'on peut continuer, par extension, à qualifier
encore de directrice, sera plus profondément liée à la définition
de chaque surface, de façon à constituer un élément indispen-
sable du mode même de géné'^ation : on ne pourra plus alors
former les équations générales de la génératrice indépendam-
ment d'une telle directrice, et en n'y laissant que deux con-
stantes arbitraires. Dans tousles cas semblables, onignore jus-
qu'ici quelle serait l'équation collective, quoique le groupe
géométrique ne soitpas réellement plus étendu qu'auparavant ;
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 537
seulement l'analyse transcendante y permet encore la formation
des caractères indirects relatifs à la liaison des deux dérivées
partielles de la variable dépendante, et qui correspondent géo-
métriquement à une propriété générale du plan tangent. Telles
seraient, par exemple, les surfaces, spécialement considérées
ci-dessous, qu'engendrerait un cercle invariable dont le centre
décrit une ligne fixe à laquelle son plan reste toujours normal :
en changeant arbitrairement cette directrice du centre, cette
définition constitue certainement une véritable famille, plus
embarrassante mais aussi circonscrite que celles des cônes^ des
corps ronds, etc.; or, son équation collective n'est pas connue
jusqu'ici sous forme finie.
Quelle que soit l'importance réelle de ce premier ordre de
difficultés analytiques, il est aisé de concevoir que l'extension
supérieure des groupes géométriques doit constituer leprincipal
obstacle à la commune appréciation abstraite de chacun d'eux,
quoique la nature identique de la génératrice continue encore
à établir, entre ces cas plus variés, une véritable affinité fonda-
mentale. En partant de la simple famille, dont l'indétermination
consiste analytiquement en ce que les équations de la généra-
trice y peuvent être supposées réduites à ne contenir que deux
constantes arbitraires, on peut facilement imaginer des groupes
de plus en plus indéterminés, et néanmoins toujours naturels;
leur extension se mesurera spontanément par le nombre des
paramètres variables propres au couple analytique de la gêné-
ratrice, quand toutes les conditions de chaque définition collec-
tive y auront été suffisamment formulées. Or, aucun de ces
assemblages plus étendus ne comporte jusqu'à présent de vé^
ritable type analytique, sauf les caractères indirects que l'ana-
lyse transcendante y a pu manifester, et seulement même en^
vers très-peu de cas.
162. Pour mieux apprécier cette difficulté fondamentale, il
49
538 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.
suffit de Tenvisager spécialement dans son moindre degré, rela-
tivement à la plus simple de ces catégories naturelles, c'est-à-
dire à regard des surfaces engendi'ées par la ligne droite, el
ordinairement qualifiées, à ce titre, de réglées ou plutôt recti-
lignes. D'après le nombre des paramètres variables propres à
une telle génératrice, nous avons déjà remarqué que trois di-
rectrices devenaient, en général, indispensables à l'entière dé-
termination de son mouvement. Gomme une seule directrice
laissée arbitraire dans un mode quelconque de génération con-
stitue, en géométrie comparée, une famille proprement dite, il
est évident que le groupe géométrique des surfaces rectilignes
comprend nécessairement unedouble infinité de familles dis-
tinctes, dont les cylindres, les cônes, et les conoïdes ne nous
ont offert que les plus simples et les plus usuelles. Il n'existe
pas jusqu'ici de type analytique assez général pour leur con-
venir simultanément, et néanmoins assez circonscrit pour les
caractériser exclusivement. Si jamais on parvient à Tinstituer,
on peut assurer d'avance qu'il devra contenir distinctement
trois fonctions arbitraires indépendantes entre elles, afin de
correspondre au nombre naturel des directrices qu'exige alors
l'entière détermination de chaque espèce, et de pouvoir se mo-
difier convenablement, d'abord envers les classes, ensuite à
regard des familles.
On rendra plus sensible encore une telle nécessité en consi-
dérant la principale division géométrique des surfaces réglées,
selon qu'elles sont développables ou non développables, c'est-
à-dire suivant qu'elles peuvent ou non être envisagées comme
formées d'éléments plans juxtaposés, ayant toute lalongueurde
la surface dans le sens de chaque génératrice, et infiniment
petits seulement dans le sens perpendiculaire ; condition évi-
demment indispensable et suffisante pour permettre, en effet,
de déployer toutes les parties de la surface sur un même plan à
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 539
la suite les unes des autres, sans lacune ni confusion. Parmiles
trois fjamilles de surfaces rectilignes que nous avons étudiées,
les deux premières sont développables, parce que deux posi-
tions consécutives de la génératrice y appartiennent toujours à
un même plan; la troisième ne l'est pas, faute d*untel carac-
tère fondamental. En ayant égard à cette distinction générale,
il faut reconnaître que la classe des surfaces développables,
quoique ne constituant déjà qu'un cas particulier de ce vaste
groupe géométrique, est elle-même trop étendue pour com-
porter, au moins sous forme finie, une véritable équation col-
lective, dans Tétat naissant où se trouve encore la géométrie
comparée, qui n'a pu jusqu'ici fournir, à cet égard, que le ca-
ractère analytique indirect trouvé par Euler d'après la théorie
générale de la courbure des surfaces, évidemment réservée à
l'analyse transcendante. Cette commune équation des surfaces
développables, devant être moins étendue que celle du groupe
total des surfaces rectilignes, et devant pourtant convenir aune
infinité de familles proprement dites, contiendrait nécessaire-
ment deux fonctions arbitraires. Il est aisé de le confirmer di-
rectement, d'après chacune des deux origines géométriques que
Ton peut assigner, en général, à de telles surfaces. Toute sur-
• face développable peut d'abord résulter du mouvement d'un
plan assujetti à toucher à lafoisdeux surfaces fixes quelconques,
en considérant le lieu des droites qui joignent ses deux points de
contact, et dont l'ensemble remplit naturellement la condition
fondamentale imposée ci-dessus au développement d'une sur-
face rectiligne. Sous ce premier aspect, il n'est pas douteux
que le type analytique de cette classe géométrique devrait né-
cessairement contenir deux fonctions arbitraires, afin de cor-
respondre à la double source de variation inhérente à une telle
définition: si les deux surfaces directrices étaient égales et pa-
rallèles, il en résulterait la famille des cylindres ; celle des
oiO GÉOMÉTRIE DANS L^ESPACE.
cônes correspondrail à leur simple similitude, jointe au même
parallélisme; une infinité d'autres familles inconnues dérive-
raient de nouvelles dispositions mutuelles. En second lieu, on
peut aussi concevoir une surface développable comme Ten-
semble des tangentes à une même courbe à double courbure,
d'ailleurs quelconque. Cette seconde définition n'est pas, au
fond, moins générale que la précédente, puisque, les généra-
trices consécutives de chaque surface développable devant né-
cessairement se rencontrer, la suite deleursintersections forme
graduellement une certaine courbe qu'elles touchent toutes, et
qui est évidemment propre à caractériser la surface con'espon-
dante,où on la qualifie ordinairement d'arête de rebroussemen/.
Or, sous ce nouveau point de vue, il est pareillement évident
que l'équation collective de cette classe de surfaces devrait na-
turellement contenir deux fonctions arbitraires distinctes, en
vertu du dualisme analytique de cette courbe caractéristique,
qui,successivementsupposée cylindrique, ou conique, ou sphé-
rique, etc., produirait une infinité de groupes secondaires, au
moins aussi étendus que nos familles proprement dites.
L^ensembledes réflexions précédentes est très -propre à carac-
tériser nettement la difficulté fondamentale qui empêche au-
jourd'hui, et qui peut-être interdira toujours dans la plupart
des cas, la pleine formation des types analytiques destinés à
représenter les groupes géométriques plus indéterminés que
ceux dont nous avons considéré l'appréciation spéciale. Si, en
effet, de tels obstacles essentiels existent déjà envçrs la plus
simple catégorie, où la génératrice ne comporte que quatre pa-
ramètres variables, ils doivent naturellement acquérir beau-
coup plus d'intensité à l'égard d'assemblages encore plus vastes,
relatifs à des génératrices plus compliquées, dontla conception
analytique exigerait trois couples de constantes arbitraires,
comme pour les surfaces circulaires, ou, à plus forte raison.
i
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 541
quatre couples,- quant aux surfaces paraboliques, et ainsi suc-
cessivement, suivant le nombre de points déterminant propre
à chaque génératrice.
163. Tous les systèmes de génération envers lesquels les
divers motifs précédents doivent nous faire renoncer, soit main-
tenant, soit même à jamais, à la formation des équations col-
lectives introduites par Monge, ne sauraient dès lors per-
mettre une étude générale aussi satisfaisante, à beaucoup près,
que celle des groupes géométriques dont les types analytiques
sont convenablement établis. Néanmoins, on peut encore ré-
soudre, envers chaque surface particulière d'une telle nature,
les deux questions fondamentales qui consistent, soit à former
son équation quand sa génération est complètement déter-
minée, soit, réciproquement, à reconnaître le mode de géné-
ralion d'après réquation donnée.
Pour le premier problème, il faudra toujours partir du
couple analytique le plus général, et pourtant le plus simple,
relatif à la génératrice proposée, fi (ar, y, z^ a, ô, e, d...) = 0
et /*2 {x, y, z, a, b, c, rf.,..) = 0. Cela posé, on y réduira les
paramètres indéterminés a^ 6, c, r/... àunseul,enayantégard
à l'ensemble des conditions qui défmissentle mouvement de la
génératrice, soit que cette ligne doive glisser sur des courbes
données, comme dans le cas le plus ordinaire, soit qu'elle
doive toucher constamment des surfaces données, ou suivant
toute autre prescription géométrique. Si cette réduction né-
cessaire restait impossible après avoir tout pris en considéra-
tion, la définition serait, par cela seul, reconnue insuffisante,
et propre uniquement à constituer une famille, ou une classe,
ou quelque groupe géométrique encore plus étendu, au lieu
d'une espèce déterminée. Après une telle préparation, l'équa-
tion de la surface cherchée résultera toujours de l'élimination
de l'unique paramètre ainsi conservé entre les équations de la
542 GÉOMÉTRIE DANS l'KSPACE.
génératrice. Vu qu'il importe peu d'ailleurs que cette préalable
subordination des constantes arbitraires soit explicite ou seule-
ment implicite, on évitera souvent de s'imposer d'inutiles en-
traves algébriques en concevant plus largement Tensemble de
ce calcul, consistant à éliminer tous les n paramètres primitifs
de la génératrice entre ses deux équations et les n — 1 rela-
tions qui doivent spécifier son mouvement, sauf à choisir
judicieusement, en chaque cas, le meilleur mode d'élimi-
nation.
Considérons maintenant le problème inverse, où il s'agit de
reconnaître si une surface donnée / (a;, y, z) = 0 peut être en-
gendrée par une certaine ligne, et de découvrir le mode de gé-
nération. En procédant également d'après le couple analytique
le plus général et le plus simple qui convienne à cette généra-
trice, <p(a:, y, z,a, b,c,d...)=0,^ (x,y,z,a,b, c, rf...)c=0,
il faudra que la ligne puisse être contenue sur la surface, sans
que tous ses paramètres a, b, c-, rf... soient entièrement déter-
minés, et en laissant l'un d'eux totalement arbitraire, tous les
autres lui devenant subordonnés selon des formules géométri-
quement admissibles. Si, en effet, cette condition est remplie,
elle garantira nécessairement que l'équation de la surface
donnée pourrait dériver de celles de la courbe proposée, en
éliminant entre elles cet unique coefficient variable. Toute
l'opération analytique consistera donc, sous l'aspect le plus
étendu, à éliminer deux des coordonnées a?, y, z, entre les
équations de la ligne et celle de la surface, afin que Téquation
finale relative à la troisième coordonnée puisse devenir iden-
tique d'après des valeurs réelles des divers paramètres de lagé-
nératrice en fonction de l'un d'eux, pour exprimer que cette
ligne s'applique totalement sur la surface dans chacune de ses
positions. Quand la surface proposée sera ainsi reconnuesus-
ceptible d'être engendrée par la ligne considérée, l'ensemble
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 543
de ces conditions déterminera en même temps le mode de géné-
ration.
164. Appliquons d*abord cette double méthode universelle
à la théorie générale des surfaces réglées ou rectilignes. Gonsi-
dérons-y, en premier lieu, la formation de l'équation d'après
les trois directrices qu'exige alors l'entière détermination du
mouvement de la génératrice, x=» az -\-a^ y = 6^ + 6. Dans
le cas le plus simple, ces directrices seraient trois droites, sans
intersection mutuelle, et dont Tune^ si les axes sont totale-
ment disponibles, pourrait être prise pour axe des z, en diri-
geant les axes horizontaux parallèlement aux deux autres,
Tune de celles-ci pouvant même être supposée dans le plan des
xy. Les équations de ces trois directrices seraient donc
x«»0, y"=0, puis:j—»0, y = c, et enfin a: = p, z=aç. En
vertu de sa rencontre perpétuelle avec les deux premières, la
génératrice aurait pour équations y = ax, y =ibz + c^ où la
troisième intersection exigerait la relation ap=bq+c. Si Ton
y élimine les paramètres variables a et b, on obtient aussitôt
l'équation de la surface du second degré cherchée,
qxf/ + cxz — pyz = qcx.
Malgré sa gi*ande simplicité, cet exemple intéressant suflltici à
manifester la marche générale d'une opération déjà conve-
nablement expliquée en principe.
. Pour caractériser nettement les cas où le mouvement de la
génératrice est défini autrement que par des directrices, il con-
vient d'apprécier ici le mode de formation de l'équation de
chaque surface développable, que Ton croit mal à propos es-
sentiellement inaccessible à l'analyse ordinaire, et qui pour-
tant n'exige, au fond, que la simple théorie du plan langent,
déjà complètement applicable, dans ce traité élémentaire, à
toutes les équations algébriques proprementdites. Cette ques-
544 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
tion générale serait d'abord facile à traiter, si la surface déve-
loppable que Ton considère était définie par son arête de re-
broussement, dont les équations, 9 [x^ y y ^zjt^O, ^ (a:, y, 2)=0,
fourniraient aussitôt celle d'une tangente quelconque, d*après
Tensemble des deux plans tangents,
{x — Xi) <pVi + (y — yi) (p'yi + (^ — 2i) 9',i = 0,
{x — xi) ^'xi -h {y — yC) ^'yx 4- (2? — Zi) ^\i = 0 :
réquation cherchée résulterait alors de l'élimination des coor-
données auxiliaires Xi^ y^ Zi, entre ces deux équations et les
deux relations, (p {xu yu îi) = 0, + {xu yu -1) = 0, qui ca-
ractérisent ce point de contact. Quoique le calcul soit plus pé-
nible dans l'autre système géométrique propre à la définition
des surfaces développables, l'analyse transcendante n'y est pas
réeUement plus indispensable. Supposons, en effet, un plan
mobile assujetti à toucher constamment deux surfaces don-
nées (p [Xy y, z)^==^0 ei^ {x, y, 2) =»0. Il suffira, pour insti-
tuer convenablementla solution, d'y introduire, à titre de va-
riables auxiliaires, les coordonnées respectives x^ yi, ^u
et Xi, ys, ^2, des deux points de contact, dont la droite de
jonction constitue ici la génératrice de notre surface dévelop-
pable. Les deux plans tangents correspondants auraient pour
équations
(x — xx) fxx + (y — yi) ?Vi + (5 — zx) ç'm =» 0
et
(x — Xt) y Xi H- (y — y%) +'y* + (« — zt) +'»i = 0.
Or, l'identification continue de ces deux équations, afin d'ex-
primer que le plan mobile touche à la fois les deux surfaces
fixes, fournira d'abord les trois relations
SECONDE PARTIE^ CHAPITRE SIXIÈME. 545
entre les six variables auxiliaires, d'ailleurs assujetties déjà par
leur nature aux deux conditions <p {x\ , yi , 24)= 0 et -^ (x^^ yi^Zi)=:0.
Si, à ces cinq relations nécessaires, on joint les deux équations
de la génératrice
œ% — Xi , , y% — Vi , ,
^—^1=7 — r(^— ^Oi y — y^ = - — T^^-^i)'
on pourra totalement éliminer les six coordonnées introduites,
de manière à obtenir, entre les variables naturelles x^y, z,
l'équation de la surface demandée, quoiqu'une telle opération
analytique dût le plus souvent devenir d'ailleurs presque impra-
ticable, même envers des données fort simples. Pour en mieux
saisir l'esprit, le lecteur devra pourtant s'exercer à l'accomplir
dans quelques cas faciles, et au moins à l'égard de deux sphères,
où les indications géométriques fourniraient directement une
complète vérification spéciale.
Ainsi envisagée, la théorie analytique des surfaces dévelop-
pables trouverait naturellement une large application dans le
problème général des ombres, maintenant conçu de la manière
la plus étendue, c'est-à-dire en supposant, au corps éclairant
aussi bien qu'au corps éclairé, une figure et une grandeur quel-
conques. Car, en déterminant la surface développable circons-
crite à ces deux surfaces, sa combinaison avec chacune d'eUes
y caractériserait la ligne de démarcation, soit entre la partie
efficace et la pailie superflue de la première, soit entrela partie
éclairée et la partie obscure de la seconde ; ensuite, sa trace sur
toute autre surface opaque donnée y marquerait le contour
naturel de l'ombre portée. Il importe de noter, au sujet d'une
telle application, qui indique spontanément la distinction né-
cessaire de l'ombre à la pénombre, que le lieu développable
ainsi obtenu se trouvera toujours composé de deux surfaces
différentes, puisque le plan tangent peut être considéré dans
deux sortes de situations très-distinctes, selon qu'il laisse les
546 GÉOMÉTRIE DANS L^ESPACE.
deux surfaces fixes d*un même côté ou qu'il passe entre elles.
Pour deux sphères, ces deux éléments du lieu cherché seraient
deux cônes circulaires droits, engendrés autour de la ligne des
centres par les deux couples de tangentes communes aux deux
grands cercles correspondants. En un cas quelconque, on doit
donc trouver finalement une équation exceptionneUement dé-
composable en deux facteurs, dont l'un servirait ici à dé terminer
Tombre proprement dite, et l'autre la simple pénombre, con-
formément aux exigences spéciales de cette application.
165. Quanta reconnaître, en second lieu^ d'après Téquation
d'une surface donnée, si elle appartient à tel système désigné
de génération, la marche générale expliquée au n^ 163 pour
cette recherche inverse se simplifie beaucoup à l'égard des sur-
faces réglées, vu l'extrême simplicité de leur génératrice.
Tout se réduit ainsi^ en effet, à substituer dans l'équation
proposée, / [x, y, 5)=0, az + a et iz+6 au lieu de x et y,
afin d'assujettir l'équation finale en z, f [az + a, 62 -f 6, z) = 0,
à devenir complètement identique, en disposant convenable-
ment de trois des paramètres a, 6, a, 6 par rapport au qua-
trième, qui doit rester arbitraire. Cette méthode n'étant, en
outre, nullement entravée par l'indétermination des coeffi-
cients de la surface, on pourra l'appliquer aussi à découvrir
sous quelles conditions un genre géométrique donné peut de-
venir rectiligne, suivant les relations que cette prescription
nécessaire imposera encore après avoir facultativement annulé
trois des termes distincts en z^ en vertu de la disponibilité des
trois paramètres. Pour caractériser nettement cette élaboration
analytique par un exemple décisif, et néanmoins fort simple,
appliquons-la aux surfaces du second degré, parmi lesquelles
il importe de discerner celles qui sont réglées, en déterminant
d'ailleurs leur mode spécial de génération rectiligne.
Ces calculs seraient trop compliqués et leurs résultats trop
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 547
confus, si on les opérait directement sur l'équation la plus gé-
nérale de ces surfaces
r
ax^ + hy^ + cz^ + dxy + exz + fyz -\- gx -{-ht/-^- kz = i.
Il faut donc commencer par la simplifier autant que peut le
permettre le libre choix des axes rectangulaires, même quand
on devrait y distinguer ainsi plusieurs types séparés, dès lors
successivement appréciables. Une telle préparation suit néces-
sairement la même marche que dans la question analogue de
géométrie plane, quant à la simplification préalable de Téqua-
tion générale des courbes du second degré, en changeant d'a-
bord la direction des axes, afin d'opérer la séparation des
variables, et déplaçant ensuite l'origine seule pour modifier
les termes inférieurs. La première transformation, qui est, de
part et d'autre, la plus importante et la plus délicate, intro-
duirait ici, suivant nos formules de transposition, trois angles
disponibles, qui permettraient d'annuler, en général, les trois
termes où les variables sont mêlées; ensuite, la distinction
relative à l'existence ou à l'absence d'un centre conduirait aisé-
ment à diriger les simplifications complémentaires. Mais l'em-
barras du calcul consisterait, surtout sous le premier aspect,
à constater suffisamment que la réduction est toujours possible
dans tous les cas que l'on doit avoir en vue ; ce qui exigerait, à
regard des constantes angulaires, la considération d'une pénible
équation finale du troisième degré. Quoique rien ne pût dis-
penser régulièrement d'une telle opération algébrique si on
voulait réellement accomplir cette préparation en un cas par-
ticulier, on peut néanmoins éviter complètement cette lourde
discussion, quand il ne s'agit, comme ici, que de constituer
en général, les plus simples types analytiques propres aux
diverses surfaces du second degré, et destinés à diriger, sous
un rapport quelconque, leur étude spéciale.
1
548 GÉOMÉTRIE DANS L*£SPACE.
Pour cette nouvelle appréciation, il fant utiliser plus large-
ment qn*on n'a coutume de le faire la notion générale des
diamètres propres à ces surfaces, en s'aidant, d'ailleurs, des
connaissances acquises sur les courbes correspondantes. L'ap-
plication directe de notre seconde méthode des diamètres ferait
reconnaître, envers les surfaces quelconques du second degré,
aussi nettement qu'à l'égard des courbes de ce genre^ la nature
commune de tous leurs diamètres. Mais la même cousidération
qui nous a déjà dispensés de ce calcul en géométrie plane peut
également nous l'épargner ici, en réfléchissant que le diamètre
immédiatement résulté de l'équation complète ci-dessus rap-
portée, en y dégageant Tune des variables, est évidemment un
plan ; or, ce lieu se rapportant à des cordes qui, au fond, sont
arbitraires envers la surface, vu l'entière généralité de l'équa-
tion proposée quant aux situations, il s'ensuit pareillement, de
cela seul, que tous les diamètres sont nécessairement plans
dans toutes les surfaces du second degré. Il faut d'ailleurs noter
que toutes les sections planes de ces surfaces sont des courbes
du même degré, que nous avons déjà reconnues être constam-
ment symétriques soit en un seul sens, soit en deux rectangu-
laires. Gela posé, on doit d'abord distinguer deux cas, suivant
que ces sections n'admettraient jamais qu'un axe unique, ou
qu'elles pourraient aussi en comporter deux, c'est-à-dire selon
qu'elles seraient ou non susceptibles de centre. Si la surface
proposée ne pouvait fournir que des coupes paraboliques, en y
considérant une certaine série parallèle de ces sections, le lieu
de leurs axes, nécessairement parallèles entre eux, formerait
un plan diamétral autour duquel la surface se trouverait symé-
trique, puisqu'il serait partout perpendiculaire aux cordes cor-
respondantes, si la direction des coupes était convenablement
choisie : dans ce premier cas, essentiellement exceptionnel, la
surface n'estsymétrique qu'en un seul sens, comme les courbes
SECONDE Partie, cîiamtre sixième. 549
qui la composent exclusivement. Quand les sections peuvent
aussi devenir elliptiques ou hyperboliques, ce qui doit évidem-
ment constituer le type normal, qu'il faut ici avoir seul en vue,
une pareille série parallèle pourra fournir deux suites rectan-
gulaires d'axes partiels, d'où pourront résulter deux plans dia-
métraux perpendiculaires à leurs cordes et d'ailleurs entre eux .
Toutes ces surfaces sont donc symétriques autour de deux plans
rectangulaires. Ainsi^ en y plaçant les plans des xz et desyz,
Téquation deviendra nécessairement
fl.r* + dy^ + ^^^ + Ar2 = i,
afln de ne contenir aucune puissance impaire de 2: ni de ^. La
possibilité de séparer les variables, en faisant même disparaître
deux des termes du premier degré, se trouve dèslors aisément
démontrée. Quant aux simpliflcationsultérieures, il y faut dis-
tinguer deux cas, selon que la surface est ou non susceptible
décentre. Car, pour l'un, l'origine pourra être transportée en
ce centre, sur l'axe actuel des z, de manière à écarter aussi l'u-
nique terme du premier degré qui eût été conservé, en rame-
nant la surface au type
que nous emploierons alors habituellement : il prouve aussitôt
que de telles surfaces sont pareillement symétriques autour du
troisième plan coordonné. Si la surface n'a pas de centre, le
terme kz ne pourra pas disparaître ; mais on pourra enlever le
terme constant, en plaçantrorigine à larencontre de la surface
avec l'axe des z, qui seul était déjà pleinement fixé. Il importe
d'ailleurs de sentir que l'absence mêmedecentre assurealors
l'annulation spontanée du terme en z^, diaprés le choix pri-
mitif de deux des plans coordonnés ; car, sans cela, la surface
aurait évidemment un centre, dont l'ordonnée verticale serait
k
— --. Cette circonstance analytique est parfaitement analogue
550 GÉOMÉTRIE DAXS l' ESPACE.
à ceUe que nous avons expliquée envers les sections coniques,
où Ton ne peut séparer les variables sans que Tun des carrés
soit simultanément éliminé, quand le lieu géométrique est
caractérisé par le défautde centre. Ainsi, cette dernière classe
de surfaces du second degré est finalement réductible au type
aoc^ -f by^ = z.
Pour compléter cette discussion préparatoire, ilfaudrait main-
tenant revenir au cas exceptionnel, où la surface n'étaitsymé-
trique qu'autour d*un seul plan, comme ne comportant que
des coupes paraboliques. En supposant Taxe des z perpendicu-
laire à ce plan, l'équation deviendrait, d'après cette symétrie,
«2 ES aa^ -{- by^ + cxy f dy f ex 4- /".
Mais la nature géométrique de ce cas exige d'abord que a et 6
s'y annulent spontanément, afin que les deux traces verticales
ne puissent être que des paraboles ; la même circonstance de-
viendra ensuite indispensable quant à c, d'après un pareil motif
envers la trace horizontale. Dès lors, en plaçant l'origine au
hasard sur cette dernière trace, qui sera ainsi devenue recti-
ligne, on aura finalement l'équation
:;2 = rfy -f ex,
A l'inspection, on y reconnaît aisément, d'après nos principes
généraux, une surface cylindrique, à base parabolique.
L'ensemble delà discussion précédente conduirait donc à dis-
tinguer trois types analytiques, z* = dy + ex, ax* + by^^=^Zy
dx? + by^ -f C2^ = 1, pour les surfaces du second degré, sui-
vant qu'elles sont symétriques en un sens unique, ou en deux
sens rectangulaires, ou enfin en trois pareillement rectangu-
laires. Mais le premier cas, ne convenant qu'au seul cylindre
parabolique, doit être essentiellement écarté, soit parce qu'une
telle surface est déjà suffisamment connue, soit parce que son
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 551
équation peut, à la rigueur, rentrer dans le second type, en
y annulant Tun des carrés. Il ne faut distinguer finalement,
parmiles surfacesdu second degré, que deux classes différentes,
selon qu'il existe ou non un centre. C'est uniquement à ces
deux types, aa? + hy^ + cz«=l, a3?-\- by^=z, que nous de-
vrons maintenant appliquer la méthode fondamentale destinée
ï, caractériser les surfaces rectilignes.
Toutefois, avant d'accomplir cet examen, il convient de dis-
cuter sommairement chacune de ces deux équations définitives,
afin de reconnaître d'avance, d'après la forme générale de ces
surfaces, en quels cas il convientdepoursuivre une telle appré-
ciation^ sans la compliquer inutilement par la considération
des surfaces dont la nature exclut directement toute semblable
génération.
Envisageons d'abord les surfaces du second degré qui ont un
centre, pour discerner, d'après le type ax^ 4- by^ + cz*==: 1, les
divers cas géométriques qui peuvent y résulter des différents
signes attribuables aux trois coefficients a, b, c, dont l'un au
moins doit être toujours positif. Si, en premier lieu, les deux
autres le sent aussi, il est évident que la surface sera fermée et
continue, chaque coordonnée y ayant une limite supérieure,
sans aucune limite inférieure : le nom A' ellipsoïde rappelle alors
très-nettement que toutes lessectionsplanessontelliptiques.il
est aisé de constater, d'après l'hypothèse de z constant, que cette
surface peut résulter du mouvement d'une ellipse horizontale,
dont le centre parcourt l'axe vertical, tandis que ses demi-
axes constituent, en chaque position, les abscisses horizontales
qui correspondent à une môme ordonnée dans les deux traces
verticales de l'ellipsoïde. Ces deux directrices, ax^ 4- cz* = 1,
6y«+ cz^ = l, ont toujours le môme axe vertical : mais leurs
axes horizontaux ne seront égaux qu'autant que la surface se-
rait de révolution, si on supposait û c= 6.
552 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
Quand Tun des coefficients a, 6, c, deviendra négatif, la
surface ax^ + by^ — cz^ = i se trouvera nécessairement indé-
finie, sans cesser d'être continue, puisque les valeurs de ^ ne
seront assujetties à aucune restriction quelconque.. Les deux
directrices verticales seront alors des hyperboles, ayant le
même axe non transverse, et Tellipsc génératrice pourra s'a-
gi*andir à rinflni, en partant de la situation centrale, où elle
a les moindres axes. On désigne cette seconde surface sous le
nom à'hyperboloïde à une nappe. Elle peut encore être de révo-
lution, lorsqu'on suppose égaux les deux coefficients positifs.
Faisons enfinrhypothèse inverse, où deux coefficients devien-
nent négatifs. Dans ce troisième cas, os^ + by^ ^^cz^s=» — l.
les valeurs de z sont assujetties à une limite inférieure
sl\-
sans comporter d'ailleurs aucune limite supérieure ; en sorte
«
que la surface est illimitée, mais discontinue. L'axe vertical
*
commun des deux hyperboles directrices est alors leur axe
transverse, et le mouvement de Tellipse génératrice est inter-
rompu entre leurs sommets. C'est pourquoi le lieu, qui serait
encore de révolution si on égalait les deux coefficients de même
signe, est qualifié d'hyperboloïde à deux nappes.
Les deux hyperboloïdes sont les seules surfaces du second
degré sur chacune desquelles où puisse indiiféremmenttracer
des paraboles, des ellipses, ou des hyperboles, suivant la direc-
tion du plan coupant : leur forme générale dispense, à cet
égard, de toute appréciation analytique. On peut rapporter à
chacun d'eux le cas du cône, elliptique ou hyperbolique, où
l'équation devienthomogène par l'annulation du terme constant,
en sorte que le centre se place exceptionnellement sur la sur-
face, dont il constitue alors le sommet proprement dit.
Considérons maintenant les surfaces dépourvues de centre,
d'après le type ax^+ éy^B» z, qui indique naturellement deux
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SDCIÈME. 553
hypothèses géométriques, selon que les deux coefficients a et
b auront le même signe ou des signes opposés. Dans le premier
cas, les sections horizontales seront encore des ellipses paral-
lèles, semblables, et ayant leurs centres sur Taxe vertical : mais
le mouvement de Tellipse génératrice sera maintenant dirigé
par deux traces paraboliques ayant le même axe et pareillement
tournées. La surface s'étendra donc indéfiniment d'un côté du
plan des a:y, sans pouvoir pénétrer de l'autre côté : elle a reçu
le nom àe paraboloîde elliptique^ destiné surtout à ragpeler
que ses sections planes, toujours elliptiques ou paraboliques,
ne sauraient jamais devenir hyperboliques.
Quand les deux termes du second degré ont des signes opposés,
les deux traces paraboliques sont alors tournées en sens con-
traire, et l'ellipse génératrice se transforme en une hyperbole,
dont le demi-axe transverse, toujours indiqué par la rencontre
de l'une de ces paraboles directrices, est parallèle à l'un ou à
l'autre des deux axes horizontaux, selon que le plan de cette
hyperbole horizontale est au-dessus ou au-dessous du plan
des xf/y qui coupe la surface selon deux droites remarquables,
parallèles aux asymptotes de ces deux séries de sections hyper-
boliques semblables. Pour mieux caractériser cette dernière sur-
face, la plus difficile à bien voir parmi toutes celles du second
degré, il convient d'y considérer la nature générale des sections
planes, d'après ta méthode du n"" 145. Or, on trouve aisément
que la constante composée qui distingue analytiquement les
trois courbes du second degré est ici — Aab cos^ô; en sorte que,
a et 6 étant de signe contraire, la section ne peut jamais être
elliptique, et se trouve ordinairement hyperbolique, sauf le
cas parabolique correspondant à tout plan vertical. Tel est le
principal motif de la dénomination de paraboloîde hyperbolique
afTectée à cette surface, qui évidemment ne sera jamais de ré-
volution, tandis que l'autre paraboloîde en est susceptible.
48
554 GÉOMÉTRIE DANS l'ESPAGE.
166. Après cette discussion préliminaire, nous pouvons aisé-
ment discerner, parmi les cinq surfaces du second degré,
celles qui comportent une génération rectiligne. Gomme toute
surface réglée doit être à la fois illimitée en tout sens et con-
tinue, il est clair que Thyperboloïde à une nappe et le parabo-
loïde hyperbolique doivent seuls être soumis ici à un tel examen
analytique, qui d'ailleurs confirmerait envers les trois autres
cas une évidente exclusion géométrique.
Pour la première de ces deux surfaces, la substitution pres-
crite, X = mz -fa, y = nz -f 6, dans Téquation
ax"^ 4- by^ — cz^ = 1,
conduira aux conditions d'identité
tendant à déterminer les trois paramètres a, b^ a, relativement
à 6, qui y restera arbitraire, suivant la règle fondamentale.
Tout se réduit donc à examiner si ces trois formules, qui ne
sauraient évidemment devenir réelles envers l'ellipsoïde ou
l'hyperboloïde discontinu, le seront toujours à l'égard de
rhyperboloïde continu. Or, l'appréciation géométrique des trois
conditions précédentes ne laisse, à ce sujet, aucune incertitude,
et dévoile en même temps le mode de génération. Car, la troi-
sième relation sera d'abord satisfaite, aussitôt qu'on fera glisser
la génératrice sur l'ellipse qui constitue la trace horizontale de
la surface. En comparant le coefficient angulaire de la tangente
à cette ellipse avec celui de la projection horizontale de la
droite, il est aisé de constater que la seconde condition oblige
la projection horizontale de la génératrice à toucher constam-
ment cette courbe. Quant à la première relation, qui n'est
qu'entre les deux coefficients angulaires, son interprétation
géométrique sera plus claire en l'établissant entre l'un d'eux et
le coefficient linéaire correspondant, à l'aide des deux autres
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 555
coûdilions. On parviendra ainsi à reconnaître aisément que
chaque projection verticale 4e la génératrice doit être tangente
à la trace respective de la surface. L'ensemble de ces conditions
étant réalisable, Thyperboloïde à une nappe est donc une sur-
face réglée, engendrée par une droite qui glisse sur Tellipse
horizontale, tandis que ses diverses projections touchent sans
cesse les traces correspondantes de Thyperboloïde. Comme ces
tangentes sont menées d*un point extérieur à Tégard des traces
verticales, chaque projection horizontale de la génératrice peut
se combiner avec deux projections verticales distinctes, ce qui
indique, en chaque point de l'ellipse directrice , deux génératrices
symétriquement placées, et par suite un double système de gé-
nération rectiligne. Une génératrice quelconque de Tun des deux
modes devant rencontrer toutes celles de l'autre, on pourrait
donc diriger aussi le mouvement de la génératrice en l'assujet-
tissant à glisser toujours sur trois droites fixes, conformément
à une définition précédemment examinée.
Considérons, en second lieu, le paraboloïde hyperbolique,
ax^ — by^==^z. La môme substitution y conduira aux trois con-
ditions
am2 = on», 2ama — 26nê = 1 , an^ = bS^^
dont la dernière indique encore que la génératrice doit glisser
sur la trace horizontale de la surface, maintenant composée
de deux droites, symétriquement disposées autour des axes
'coordonnés. On aperçoit, sans plus d'embarras, le sens géo-
métrique de la première, qui, assignant une direction constante
à la projection horizontale de la génératrice, assujettit celle-ci
à rester parallèle au plan vertical passant par l'une ou l'autre
de ces deux directrices horizontales ; ce qui annonce directe-
ment une double génération, où la génératrice rencontre alter-
nativement l'une de ces traces en demeurant parallèle au plan
de l'autre.Tout se réduit donc à constater si la seconde condi-
o*)0 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE*
lion peut être pareillement satisfaite, ce qui se verra neltement
après qu'on Taura établie entre m et a, comme dans le cas pré-
cédent, à Taide des deux relations extrêmes. Car, ainsi devenue
4ama=l, elle oblige aussi la projection verticale de la généra-
trice à toucher constamment la trace correspondante de la sur-
face, <iès lors rangée parmi les conoïdes. La double génération
permettrait également de substituer à cette dernière condition
une directrice rectiligne, arbitrairement choisie^ pour chaque
mode, entre les génératrices de Tautre.
En résultat d'une telle appréciation, chacune des deux classes
de surfaces du second degré renferme donc un cas à génération
rectiligne, où le lieu résulte toujours du mouvement d'une
droite sur deux autres droites fixes, en achevant de le définir,
tantôt par une troisième directrice analogue, tantôt par le pa-
rallélisme à un plan donné.
167. Pour caractériser suffisamment nos principes généraux
sur la formation et Tappréciationdeséquations propres auxsur-
faces quelconques appartenant à des groupes naturels dont le
type analytique n'est pas encore connu, il convient de les ap-
pliquer aussi, mais plus sommairement, au cas le plus simple
après celui de la génératio)^ rectiligne, c'est-à-dire aux surfaces
circulaires. Nous n'en avons considéré spécialement qu'une
seule famille, la plus usuelle de toutes, celle des corps ronds
proprement dits. On pourrait d'abord, en généralisant la défi-
nition de ces surfaces, composer aisément une infinité d'autres*
familles circulaires, dont l'équation collective seraitassignable ;
car^ d'après une première extension, on pourrait concevoir le
cercle générateur, toujours assujetti au parallélisme, mais
sans que son plan fût perpendiculaire à la droite décrite par ëon
centre ; en second lieu, on pourrait surtout remplacer succes-
sivemeat cet axe rectiligne par un axe parabolique, hyperboli-
que, héliçoïdique, etc., ou de toute autre forme quelconque:
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SlXllilME. 557
chacune de ces nouvelles hypothèses produirait une famille
distincte, çon moins étendue que celle d*où nous sommes par-
tis. Mais, il serait superflu de s'arrêter ici à l'appréciation spé-
ciale d'aucun de ces cas, puisque le type analytique en serait
toujours facile à former, suivant une judicieuse application des
règles fondamentales du chapitre premier. Je dois donc me
borner, à ce sujets à considérer des groupes naturels dont l'é-
quation collective soit encore inconnue. Le plus simple et le
plus intéressant résulte d'un système de génération déjà signalé
précédemment, où un cercle invariable se meut perpendicu-
lairement à la courbe quelconque décrite par son centre. Ces
diverses surfaces circulaires, déjà introduites, en géométrie
comparée, sous les noms équivalents àecanatix^ ie tuyaux^ ou
de tubes, comprennent évidemmentune infinité de familles pro-
prement dites, selon que le lieu du centre estunecourbe plane
ou cylindrique, ou conique, ou sphérique, etc. : or, c'est seu-
lement dans le premier cas que l'analyse transcendante leur a
assigné un certain type analytique, consistant en une relation
entre les deux dérivées partielles de la variable dépendante,
d'après une propriété caractéristique du plan tangent ; mais
leur équation collective n'est jusqu'ici nullement établie, même
alors, sous forme finie, à l'aide d'une fonction arbitraire. Une
tellelacune n'empêche aucunementde former l'équation spéciale
propre à chaque cas, quand l'axe du tuyau sera donné, en pro-
cédant d'après nos principes généraux, déjà appliqués aux
surfaces rectilignes. Il suffira, pour le faire convenablement
sentir, d'ébaucher cette application envers l'un des exemples
qui semblent d'abord les plus embarrassants, parmi ceux qui
offrent quelque intérêt géométrique, en coiisidérant le tuyau
hélicoïdal. Supposons donc que le cercle générateur
558 GÉOMÉTRIE DANS L'eSPAGE.
dont le rayon demeure constant, ait son centre toujours placé
surThélice j:=mcos -j z^ y=msin -r ^i ^ laquelle son plan
reste continuellement normal. Les considérations spéciales in-
diquées au n^ 158 conduiront aisément à former les équations
de la tangente à cette courbe, d'après sa projection horizontale
connue et son invariable inclinaison sur Taxe du cylindre : il
sera donc facile d'en déduire Téquation du plan normal. Dès
lors, en ayant d'ailleurs égard au lieu donné du centre, les
équations de la génératrice deviendront finalement
/ 2ir \» , / . 2ir \« , ,
ix — mcos T'Y) + (.y — msin -r ï) + (^ — y)'^'^-
Il ne reste plus qu'à éliminer y pour obtenir Téquation de la
surface cherchée .Quoique cette élimination soit très-laborieuse,
et que le résultat en doive être fort compliqué, elle n'est pas
néanmoins aussi embarassante que paraît l'indiquer la nature
de ces équations, à la fois algébriques et transcendantes envers
ce paramètre. Gar^ il suffit de substituer, dans la seconde,
l'expression de js — y donnée par la première, et Ton parvient
à une équation purement trigonométrique en Yi qui pourrait
fournir sin y ou cos y en résolvant une équation bi-carrée, de
manière à obtenir enfin l'équation demandée, que sa complica-
tion interdit d'ailleurs de citer ici.
168. Quant à reconnaître, en sens inverse, si une surface
donnée f {x, y, z) = 0 comporte une génération circulaire, il
importe d'apprécier, d'abord une simplification générale de la
méthode fondamentale du n** 163, pour tous les cas où la
courbe génératrice doit être plane. On peut, en effet, rem-
placer alors celte marche universelle par une appréciation
adaptée à une telle hypothèse, et fondée sur une application
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 559
convenable de la règle destinée à déterminer les sectionsplanes
d'une surface quelconque. Ainsi, on substituera, dans Téqua-
tion proposée, les formules générales du n^ 145, afin de com-
parer le résultat F (x\ y\ (p, ô, c) = 0 au type plan de la
courbe considérée. Cette comparaison indiquera de quelle ma-
nièreil faut disposer des constantes <p, 6, et c relatives au plan
de la section, pour qu'elle s'identifie avec cette ligne. Si une
telle coïncidence peut être établie par des formules réelles de
ces paramètres, il ne sera pas encore certain que la surface
donnée comporte la génération proposée. Il faudra, de plus,
que toutes ces conditions puissent être remplies sans que ces
trois constantes soient entièrement déterminées, Tune d'elles
devant rester arbitraire afin que le plan ne soit pas immobile,
et puisse passer successivement aux divers points de la sur-
face : à défaut de cette indétermination, la courbe considérée
ne se placerait sur cette surface qu'en une situation fixe, et
dès lors ne pourrait l'engendrer. Le plus souvent, le paramètre
linéaire c demeurera indéterminé, et les deux paramètres an-
gulaires ;p et 6 auront des valeurs assignables, soit constantes,
soit au moins relatives àlui, de manière à définir suffisamment
le mouvement du plan. Quand la disponibilité de ces deux pa-
ramètres aura permis d'identifier complètement l'équation
F {x\ y', (p, 6, c)=0 avec celle de la courbe plane proposée,
la génération qu'il s'agissait d^apprécier seradèslors constatée;
et en même temps le mode en sera découvert, en éliminant le
paramètre arbitraire c entre les diverses relations de coïnci-
dence, ainsi transformables en conditions finales du mouve-
ment de cette génératrice.
Cette méthode générale est surtout commode à l'égard du
cercle, vu l'extrême simplicité de son type plan. Appliquons-
la à l'examen de la génération circulaire des surfaces du second
degré, en considérant successivement, comme envers leurgé-
560 GÉOMÉTRIE DANS L*ESPAGE.
nération rectiligne, celles qui ont un centre et celles qui en
manquent.
Pour les premières, la substitution ci-dessus prescrite, dans
Téquation ax^ + 6y * + ^^* = * » y donnera
0= ûCos2<p
+ 6sin*<p
a:'* — ââfsin^cosçcosO
+ â6sin^cos<pcosô
a^'j/'+asin'^cos^O
+ 6cos^(pcoti*6
+ csin»ô
+ â^Y sin 6. y' + cy*,
-1,
y'iH-
Y désignant ici la constante linéaire du plan. Afin que la section
devienne circulaire, il suffit des deux conditions ordinaires
(ô — a) sin 9 cos ç cos 8 = 0,
et a cos*<p + b sin*<p = [a sin'<p + h cos'ç) cos^ 0+ c sin>6^
qui tendent \ déterminer les angles 9 et 0, en laissant y arbi-
traire ; ce qui déjà autorise à penser que ces surfaces peuvent
en effet résulter du mouvement parallèle d'un cercle. Néan-
moins, avant de prononcer définitivement, il faut examiner
si ces deux conditions fournissent toujoursdes valeurs réelles.
Or, dans la première, on doit d'abord écarter le facteur con-
stant h — a^ qui ordinairement n'est pas nul, à moins que la
surface ne soit de révolution, auquel cas l'appréciation actuelle
deviendrait évidemment superflue. Ainsi, cette condition ne
peut être satisfaite que par l'une des trois hypothèses 9=0,
fcaOO^^, 6b3 90<>, auxquelles correspondent respectivement,
d'après l'autre relation,
^ Ib—a , , _^^ Ib—a , . . la — c
tange=±Y/^ir-,^ tang6=±y/^-— ^, tango-i^ ^— -^.
En considérant successivement toutes les suppositions possibles
envers les coefficients a, 6, c, il est aisé de constater que Ton
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 561
de ces trois systèmes est toujours acceptable, tandis que les
deux autres ne le sont jamais. Car, pour TeUipsoïde, où ces
coefficients sont tous positifs, si on suppose, par exemple,
a < fr < c, il est clair que le second système sera seul admis-
sible, les deux extrêmes conduisant à des valeurs imaginaires.
La double valeur de tang 0 démontre que les sections circu-
laires, toujours parallèles à Taxe moyen de Tellipsoïde, com-
portent deux situations symétriques envers le plan des a:y. On
découvrira la loi du mouvement du cercle générateur en cher-
chant le lieu de son centre, dont les coordonnées mobiles
ar' et y' sont, d'après Téquation précédente.
X'
ce qui donne^ envers les axes fixes, suivant les formules de
transposition, les coordonnées définitives
^cs/jb — a) jc — b) ,, ^ ^ a{C'—b)
Si Ton élimine Y entre ces équations, on voit que le centré dé-
crit une double ligne droite contenue dans le plan xz, et pas-
sant naturellement à Torigine, ar ==»±: - W r z : les deux
signes de son coefficient angulaire coexistent successivement
avec ceux de tang 0. L'ensemble de cette discussion nous ap-
prend donc que tout ellipsoïde peut être engendré, de deux
manières différentes, par un cercle dont le centre parcourt une
droite perpendiculaire à Taxe moyen de cette surface, mais
oblique aux deux autres, tandis que son plan se déplace paral-
lèlement à ce même axe, en conservant une direction inva-
riable, d'ailleurs oblique au lieu du centre, à moins que l'el-
lipsoïde ne soit de révolution, auquel cas les deux systèmes
de génération circulaire coïncident nécessairement. On trou-
562 GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE.
vera aisément des résultats essentiellement analogues envers
les deux byperboloîdes.
Quant aux surfaces du second degré qui n'ont pas de centre,
îl serait évidemment superflu d'entreprendre une telle appré-
ciation pour le paraboloïde hyperbolique, que nous savons in-
compatible avec toute section elliptique. Considérons donc seu-
lement le paraboloïde elliptique aj:*4" bt/^=z. La substitution
p '^scrite donne alors Téquation
{a cos^ «p + è sin^ «p) x*^ +2(6 — a) sin cp cos <p cos 6. x'y'
+ (a sin* <p + 6 cos^ ?) cos^ 6. y'* — y' sin 6 — y = 0,
où les conditions du type circulaire sont
(6 — a) sin <p cos ç cos 6 = 0,
a cos^ f + A sin* <p = (a sin* 9 + 6 cos^ ^) cos* d.
En écartant encore le facteur constant a — 6, on obtient succès-
=-V^I'
sivement les trois hypothèses ç «= 0, et cos 6 = ± 1/ t » puis
(p=390'»etcosô = ± i/-ienfln8c=s90*ettang9= \/~ l"
Or, la dernière estévidemment toujours inadmissible, etlesdeux
autres fournissent pour cos 6 des valeurs réelles, mais récipro-
ques Tune de Tautre, en sorte qu'une seule sera nécessaire-
ment acceptable, vu la restriction cos 6 < i. Sa duplicité an-
nonce que le paraboloïde elliptique comporte aussi deux séries
de sections circulaires, toutes deux perpendiculaires au plan de
la moindre des deux traces paraboliques de la surface, et symé-
triquement inclinées sur celui de l'autre trace. Les coordonnées
du centre du cercle sont, envers les axes mobiles,
, ^ , sin ô _^ 1 . /b—a
a ^a \ b
eiy par suite, relativement aux axes fixes,
SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. 563
i , lb--a i 1 ,
en supposant a<b. Comme les deux coordonnées horizontales
sont spontanément indépendantes de Y,elles annoncent directe-
ment que le centre du cercle générateur décrit une double ver-
ticale, comprise dans le plan de lamoindre trace du paraboloïde,
et généralement oblique au plan de ce cercle, à moins que la
surface ne fût de révolution : chacune des deux positions de ce
lieu se combinera exclusivement avec la valeur correspondante
de cos 0.
Toutes les surfaces du second degré, sauf le seul paraboloïde
hyperbolique, peuvent donc, en résumé, se ranger, sous deux
modes distincts, dans la famille de surfaces circulaires la plus
rapprochée des corps ronds proprement dits, où le centre du
cercle générateur parcourt une droite plus ou moins oblique à
la direction invariable de son plan. Mais cette exception capitale
confirme suffisamment que, même pour ce degré, la classifica-
tion empirique des surfaces algébriques d'après les degrés de
leurséquationsestnécessairementincompatibleavecTensemble
des comparaisons géométriques.
Dans ce chapitre complémentaire, nous avons poussé Tap-
préciation générale de la grande conception de Monge sur l'é-
tude rationnelle des divers groupes géométriques aussi loin que
le permettent les ressources bornées de l'analyse ordinaire,
dont la portée est néanmoins, à cet égard, beaucoup plus éten-
due qu'onne le supposecommunément. Jeregretteque lanature
de ce traité élémentaire doive m'interdire d'y expliquer com-
mentFanalyse transcendante complëteetperfectionnecesnotions
fondamentales, d'abord par l'introduction d'un nouveau genre
de relations caractéristiques, entre les dérivées partielles delà
564 GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACë.
coordonnée dépendante, et surtout ensuite par la considération
prépondérante des surfaces enveloppes, d*après laquelle Monge
asi heureusementcondensé, autour d'un très-petit nombred'é-
léments fort simples, tous les groupes géométriques imaginés
jusqu'ici. Toutefois, j'espère que Tébauche systématique que je
viens d'achever fera sentir à tous les bons esprits Téminente
valeur d'une création trop peu comprise encore par la plupart
des géomètres, et signalera l'importance des nouvelles voies
philosophiques ainsi ouvertes au véritable esprit géométrique,
qui, après avoir essentiellement épuisé la géométrie générale
proprement dite, doit surtout poursuivre désormais la géo-
métrie comparée, aujourd'hui si confusément conçue ,
FIN.
TABLE RAISONNÉE
DBS MATIÈRES
COIfTIHUBB DANB Cl
TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
DB
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
Avertissement de l'Auteur page v
GÉOMÉTRIE PLANE
PREMIÈRE PARTIE
iimoDucnoii «ÉRiRiLi.
CHAPITRE PREMIER.
Numéros.
Notions fondamentales. (4 leçons.)
But général et caractère essentiel de la géométrie ana»
lytique : sa vraie di£Férence principale avec la géomé-
trie ordinaire 1,2 et 3
Notions préliminaires sur les systèmes de coordonnées.
Destination nécessaire de cette conception préalable.
Description spéciale des principaux systèmes 4
Conception fondamentale de Descartes sur la représen-
tation analvtique des lignes planes par des équations à
deux variaoles. Relation nécessaire de ces types au
système de coordonnées adopté. Leur indépendance
radicale de la diversité des définitions propres à cha-
que ligne 5
Représentation géométrique de toute équation à deux
variables par une ligne plane correspondante. Variété
d'une telle peinture suivant les coordonnées choisies.
Son aptitude directe à perfectionner les spéculations
analytiques 6 et 7
Pages.
I àg
gà i5
iSàig
igàai
566
TABLE DES MATIERES.
Numéros. Pages.
Lacunes essentielles de la géométrie analytique actuelle,
quant à cette double corelation fondamentale entre
les lignes et les équations 8 22326
Appréciation de toute génération d'une ligne quelcon-
que comme fournissant spontanément son eauation
envers certaines coordonnées, variables selon la ligne
et surtout avec la définition. Réduction habituelle
qui en résultede la difficulté essentielle que présente
rétablissement de chaqueéquation à un certain chan-
gement de système 9 26329
Appréciation comparative des divers systèmes de coor-
données. Motifs rationnels de la préférence unani-
mement accordée au système recti ligne ordinaire. Sa
comparaison spéciale au système polaire. Digression
naturelle sur la vraie théorie du signe concret. loet 1 1 29336
Théorie générale de l'homogénéité, surtout envers les
relations géométriques, et spécialement linéaires... I2eti3 36à42
Construction des formules algébriques. Limites natu-
relles d'une telle opération .., I4eti5 42à47
CHAPITRE II.
Principaux exemples préliminaires de la formation des
équations de diverses lignes d'après leur génération, et
première ébauche de la discussion géométrique de ces
équations. (4 leçons.)
Expression préalable de. la distance de deux points
d'après leurs coordonnées, rectilignes ou polaires.. 16
I*' exemple. Équation de la ligne droite 17
2* exemple. Équation du cercle, d'après sa génération
ordinaire. 18
3* exemple. Équation du lieu d'un point dont la somme
ou la différence des distances à deux points fixes
reste constante ig
4* exemple. Équation du lieu d'un point toujours équi-
distant d'un point fixe et d'une droite fixe 20
50 exemple. Équation du lieu d'un point également
éclaire par deux lumières données, dont la clarté
décroît mversement au carré de la distance 21
6* exemple. Équation du lieu d'un point dont le produit
des distances à deux points fixes reste constant 22
7* exemple. Équation du lieu d'un point dont les dis*
tances à un point fixe et à unedroitefixesonttoujours
proportionnelles 23
8* exemple. Équation de la conchoîde 24
9* exemple. Équation du lieu du sommet d'un angle
invariable dont chaque côté passe toujours en un
point fixe... 25
lo* exemple. Équation de la cissoîde. Description con-
tinue de cette courbe 26
Indication sommaire de divers autres exemples 27
47349
49a 53
53à56
56364
64367
67369
69 à 72
72à77
77 à 80
80381
8ià84
84 à 85
]
TABLE DES MATIÈRES.
567
CHAPITRE III.
Numéros.
Théories préliminaires, relatives : !<> à la ligne droite;
20 à la transposition des axes. (2 leçons,)
Véritable objet de la théorie analytique de la ligne
droite. Solution successive des trois questions essen-
tielles qui la composent, d'abord pour former l'équa-
tion d'une droite menée par deux points donnés,
ensuite pour évaluer Fannie de deux droites, et enfin
pour déterminer leur pomt dMntersection. Examen
de la question composée relative à la formule qui ex-
prime la distance d'un point à une droite. Indication
de divers autres exercices à ce sujet 28
Destination fondamentale de la théorie de la transpo-
sition des axes, sous le double point de vue géné-
ral de la géométrie analytique. Établissement des
formules gêné raies qui s'y rapportent, et appréciation
spéciale de leurs modifications les plus usuelles... 29
Formules propres à passer du système recti ligne au sys-
tème polaire, et réciproquement 3o
Indication motivée du plan général de ce traité 3i
SECONDE PARTIE.
THÉORIES OiniRALIS DB GiOSéTRIB PLARI, SUFFISARMIHT
ACCK8SIBLB8 A L'aNAITSB ORDINAIRB.
Indication sommaire de la destination propre à cha-
cune de ces sept théories, et de Tordre a suivre dans
leur étude t 32
CHAPITRE PREMIER.
Théorie du nombre de points nécessaire à l'entière déter-
mination de chaque espèce de courbes. (2 leçons,)
Exposition précise de la question. Distinction fonda-
mentale des deux cas qu elle présente 33
i*'câ5, relatif à l'équation la plus géne'rale dt la ligne
considérée. Explication rigoureuse du principe de dé-
termination, d'après la double énumération des con-
stantes arbitraires et des coefficients indéterminés. . 34
3* cas, relatif à une équation plus ou moins particulière.
Méthode analytique pour ramener toujours ce cas au
précédent. Possibilité de se dispenser le plus souvent
des calculs qu'elle prescrit. Applications diverses, et
réflexion générale suscitée par leur rapprochement
spontané 35
Pages.
85à92
92 à 99
99a 100
iooàio2
io3àio5
io5àio8
loSàiio
quels que soient la nature et le nombre de leurs pro-
priétés caractéristiques 36
iioaii4
114a 117
568
TABLE DES MATIÈRES.
Numéros.
Piges.
Méthode subsidiaire pour appliquer souvent cette théo-
rie, indépendamment de toute équation, d'après la
seule définition quelconc|ue de chaque lisne. Condi-
tions et précautions relatives à une telle aoréviation.
3?
Ii7ài20
CHAPITRE II.
Théorie des tangentes.
(3 leçons,)
Définition générale de la tangente. Importance propre
de chacun de ses caractères 38
Question fondamentale relative à la détermination de
la direction de la tangente en chaque point donné de
la courbe. Méthode analytique pour déterminer le
coefficient angulaire de la tan sente suivant une loi
algébrique invariable, envisagée d'abord comme un
résultat général du calcul, et ensuite érigée directe-
ment en principe universel 39et40
Limitation actuelle de cette règle des tangentes aux
seules équationsâ/ç^^ri^uef, préalablement rendues
rationnelles et entières 41
Examen des deux question s accessoires relatives à la dé-
termination de la tangente diaprés sa direction ou
d'après un point extérieur. Inversion, à ce double
titre, de la recherche fondanaentale 42
Expression générale du contact indéterminé entre une
cfroiteetune courbe, soit d'abord en trouvant la con-
dition de contact par Tapplication de la règle des
tangentes, soit ensuiteen la formant directement par
le principe des racineségales, qui reproduit, sous un
autre aspect, l'équivalent de cette rè^le. Comparaison
générale de ces deux modes.Âpplication à 1 a recherche
'une tangente commune à deux courbes données. 43
Extension de la double solution précédente au contact
mutuel de deux courbes Quelconques. Appréciation
sommaire des divers degrés nécessaires d^untel con-
tact 44
Application générale de la théorie des tangentes à la dé-
termination analytique des maximaetminima,,,, 45et46
Appréciation sommaire de la méthode des tangentes de
Roberval « . . 47
120 à 123
i23ài3o
i3oài33
i33ài35
CHAPITRE m.
Théorie des asymptotes. (2 leçons.)
4«
Position précise de la question. Double motif général
de sa restriction nécessaire aux asymptotes recti lignes.
Première méthode où Ton rattache cette recherche à
celle des tangentes. Supériorité intrinsèque de cette
méthode. Embarras secondaires que présente souvent
son application algébrique 49
Seconde méthode, fondée sur l'appréciation directe de
Tasymptotecomme une sécante dont deux intersec-
i35ài39
139a 143
143a 149
149 à 1 52
i52ài54
154a x59
TABLE DES MATIÈRES.
569
Naméros.
lions s'éloignent à l'infini. Coincidence nécessaire des
principes géométriquespropresà ces deux méthodes.
Restriction spontanée de la seconde aux équations
algébriques proprement dites. Mode le plus conve-
nable de l'y appliquer 5o
Appréciation sommaire d'une autre méthode, fondée
sur la transposition des axes, et qui, en apparence
distincte, rentre, au fond, dans la précédente, sans
aucune amélioration de forme 5 1
Conditions analytiques de Tasymptotisme entre une
droite et une courbe donnée 32
Extension de cette recherche à Pasymptotisme entre
deux courbes, même considéré dans ses divers degrés
naturels 53
Méthode subsidiaire pour trouver certaines asymptotes,
d'après une préparation convenable de l'équation
donnée 54
CJIAPITRE IV.
Théorie des diamètres. (1 leçon,)
Définition générale des diamètres. Appréciation géo-
métrique d'une telle recherche 55
Première méthode, où Ton formule directement les di-
verses conditions du problème. Embarras algébri-
ques de son application habituelle . . « 56
Seconde méthode, plus détournée, fondée sur le trans-
port de l'origine en un point quelconaue du diamètre
cherché. Moindre complication orainaire de cette
méthode. Son extrême simplification envers le se-
cond degré bj
Aperçu général de la théorie inverse des diamètres. La-
cune essentielle de la science actuelle à ce sujet. ... 58
Méthode subsidiaire, relative aux seuls diamètres recti-
lignes. Cas spécial désaxes proprement dits 59
CHAPITRE V.
Théorie des centres.
(1 leçon,)
Appréciation générale de cette recherche 60
Première méthode, fondéesurla théoriedes diamètres.
Sa trop grande complication algébrique 61
Seconde méthode, d'après l'influence analytique du
transport de Torigino au centre. Son universalité
spontanée. Formes spéciales qu'elle prend envers les
courbes algébriques 62
Conditions analytiques pour qu'un point donné de-
vienne le centre d'une courbe donnée 63
Pages.
159 a 164
1643166
i66ài68
i68ài70
170a 17a
I72ài73
i73ài75
i75ài77
I77ài79
179a 182
182a i83
i83ài85
i85ài87
r87ài89
44
670
TABLE^DES MATIÈRES.
CHAPITRE VL
Naméros.
Piges.
Théorie de la similitude des couri)es. (2 leçom.)
Extension de la notion géométrique de similitude aux
figures curvilignes. Difficultés propres à l'institution
analytique de cette théorie générale 64
Première méthode, fondée sur la considération des
figures semblables comme formées de points sembla-
blement déterminés par des triangles ayant une base
commune 65
Seconde méthode, plus convenable, fondée sur l'appré-
ciation analytique de la situation parallèle que com-
portent toujours deux figures semblables. Principe
fondamental de cette théorie dans la plus simple dis-
position mutuelle des deux courbes données. Son
extension graduelle à toute autre disposition 66et67
Réflexions générales sur le mode effectif d'application
spéciale de toute théorie de la similitude
Méthode subsidiaire pour traiter cette théorie, indépen-
damment de toute équation, diaprés la seule défini-
tion de chaque espèce de courbes. Conditions et pré-
cautions relatives à son usage spécial .............
iSgàigi
191 à 195
68
69
CHAPITRE VII.
Théorie des quadratures. (3 leçons.)
Appréciation générale de la question. Réduction préa-
lable de la recherche actuelle aux seules courbes
paraboliques
Première méthode, fondée sur le décroissement des
ordonnées en progression géométrique. Son exten-
sion à tous les genres de paraboles. Règle analyti-
que qui en résulte
Seconde méthode, fondée sur la sommation des puis-
sances des nombres naturels. Reproduction de la
même loi finale
Principe de Wallis sur la réduction des ordonnées com-
posées aux ordonnées simples. Extension considéra-
oie ainsiprocurée à la théorie primitive pour la qua-
i95à3oo
aooà202
202à205
70 |2o5à209
7'
72
quelconqi
Règle générale pour ramener analytiquement le pro-
blème des rectifications à celui des quadratures. . . .
Loi générale de réduction de la cubature des corps ronds
à Ta quadrature des courbes planes. Application à
divers exemples, et spécialement au volume du tore.
Loi générale de réduction de la quadrature des surfaces
de révolution à celle des courbes planes. Applications.
73
74
75
76
209a 2 i3
2r3àai6
2i6à2i9
219à222
222 à 226
226 à 228
TABU DES HATIÉRES.
TROISIEME PARTIE.
DiSGVsuoR aioHiTRiQvi DIS ÉQUATioifs aigikrique$
à, DIUX TARIAUM.
CHAPITRE PREMIER.
Considérations générales. (1 leçon.)
Objet propre de cette troisième partie dans Pétat présent
oe la science. Marche fondamentale de la discussion
géométrique de toute équation, d'abord quant aux
ordonnées,ensuite quant aux tangentes. Appréciation
anal3rtique du sens de la courbure de chaque courbe,
et des variations ou inflexions qu'il comporte
Imperfection radicale de la géométrie actuelle relative-
ment à la classification rationnelle des courbes. Pre-
mière indication de la nécessité de constituer la ^^o-
métrie comparée^ après avoir suffisamment formé la
géométrie générale. Classement provisoire des cour-
es algébriques,pour remédier très-imparfaitement
à cette lacune fondamentale
571
Numéros
Pages.
77
78
CHAPITRE II.
Courbes binômes.
(1 leçon.)
Division nécessaire de cette première classe en deux
familles vraiment naturelles, celle des paraboles, et
celle des hyperboles. Subdivision naturelle de lapre-
mière famine en trois genres, selon que les deux
exposants sont impairs,ou Tun pair et l'autre impair,
celui-ci étant tantôt supérieur et tantôt inférieur..
Examen successif des deux genres propres à la seconde
famille, selon que le degré est pair ou impair
79
80
CHAPITRE III.
Courbes trinômes.
(3 leçons.)
Destination propre de ce chapitre. Examen complet de
la première classe^*»-!- ax^ss b, d'après huit exem-
ples caractéristiques relatifs aux diverses combinai-
sons d'exposants 81
Discussion spéciale de quatre exemples principaux rela-
tifs à la seconde classe. ys=x^ — x, j^ = jc* — a**-,
r' = Ar* — x^y jr8=2Ar^ — AT* 82
Discussion spéciale de deux exemples relatifs à la troi-
sième classe, AT* — xy* =31, j^^ — x^y^ = jc* 83
Discussion spéciale dedeux exemples relatifs à la der-
nière catégorie, xy^ -^-yx^ «= i, x^* — xy*= i.. 84
2294234
234à238
23g à 243
2434248
34g à 258
258à263
3634264
2644268
572
TABLE DES MATIÈRES.
CHAPITRE IV.
Courbes polynômes.
Nnméros.
(l teçon.)
Discussion spéciale de quatre exemples principaux
j^*— 2xy«— Jp*H-i=o 85
Indication des questions inverses, nécessairement indé-
terminées, où il faut composer l'équation afin d'obte-
nir une certaine figure générale. Exemple d^une
telle recherche 86
CHAPITRE V.
Discussion spéciale des équations du second degré, (^leçons,)
Caractère propre et destination principale d'une telle
discussion * 87
Distinction fondamentale des trois courbes du second
degré, diaprés la discussion de l'ordonnée 88
Appréciation générale de ces courbes successivement
envisagées quant au nombre de points déterminant,
quant aux tangentes, quant aux asymptotes, quant
aux diamètres, quant au centre, et ennn quant à la
similitude. Aperçu de leurs principales propriétés,
soit communes, soit distincti ves 89
Analyse des divers cas singuliers où Téquationne repré-
sente aucune courbe; caractères et types des trois
cas propres aux équations para bolicjues, des deux cas
que comportent les éc]uations elliptiques, et du seul
cas que puissent offrir les équations nyperboliques. 90
Simplification de l'équation générale du second degré
d'après un choix convenable des axes, en séparant
d^aoord les variables par le changement de direction
des axes rectangulaires, ainsi devenus parallèles aux
axes de la courbe, et ensuite supprimant deux des
termes inférieurs par le transport de l'origine au
sommet ou au centre. Identité des trois courbes du
seconddegré avec celles déjà connues sous les noms
spéciaux de parabole, ellipse et hyperbole 91
QUATRIÈME PARTIE.
irUDB SPiCIlLI DU COURBU DU 8BG0KD DBtli.
Objet propre de cettô quatrième partie. Appréciation
générale d'une telle étude analytique 92
CHAPITRE PREMIER.
Théorie des foyers etdes directrices. (1 leçon,)
Définition générale, d'abord analytique, puis géomé-
trique,du foyer, et par suite de la directrice, envers
Pages.
268 à 274
2748276
276 à 277
277à28i
28ià286
2868292
292 à 298
299à3oi
TABLE DES MATIÈRES.
573
Numéros.
une courbe quelconque du second degré. Institution
fondamentale de cette théorie,dans le cas analytique
le plus étendu 93
Seconde forme générale de cette théorie, d'après la
méthode des multiplicateurs 94
Manière de formuler, en sens inverse, soit par les rela-
tions entre les coefficients, soit par la formation
directe du type analytique, toutes conditions quel-
conques propres aux foyers et aux directrices 95
Simplification notable de la méthode générale, envers
toute équation où les variabfes sont séparées 96
CHAPITRE II.
Théorie de la parabole. (3 leçons,)
Discussion dePéquation simplifiée decettecourbe.Rela-
tion géométrique de la parabole au cercle 97
Application spéciale de la théorie des foyers à la para-
bole. Principales propriétés focales de cette courbe. 98
Détermination graphique et algébrique d'une parabole
diaprés son foyer ou sa directrice, et deux points de
son cours. Explication incidente sur les divers symp-
tômes analytiques de Timpossibilité géométrique.. 99
Principales propriétés de la parabole quant aux tan-
gentes : évaluationde la sous-tangente, et surtout de
la sous-normale. Relation qui en résulte de la tan-
gente au foyer : son sens physique et son usage
géométrique. Seconde forme générale de Téquation
e la tangente, en y rapportant le coefficient li-
néaire au coefficient angulaire 100
Principaux problèmes sur les tangentes à la parabole.
Connexite remarquable entre la parabole et la cis-
soide. Lieu du sommet d^ne parabole invariable
inscrite dans un angle droit lot
Normale menée à la parabole par un point quelcon-
que du plan. Répartition géométrique des divers
cas à l'aide d'une courbe auxiliaire, tangente à tou-
tes les normales de la parabole 102
Principales propriétés géométriques et analytiques de
la parabole quant aux diamètres. Reconstruction de
tous les éléments géométriques d'une parabole d'a-
près un arc quelconque i o3
Quadrature, soit générale, soit spéciale, de la parabole.
Mesure desprincipauxvolumesrésultésde sa rotation 104
CHAPITRE III.
Théorie de l'ellipse.
(4 leçons.)
Discussion et construction de Téquation simplifiée de
cette courbe. Comparaison qui en résulte entre Tel-
lipse et le cercle. Indication directe qu'elle fournit
sur une description de l'ellipse par le mouvement
Pages.
3oi à 304
304a 3o6
3 06 à 309
3o9à3ii
3iià3i3
3i3à3i5
3i5à320
32oà326
326à33i
33ià333
333à336
336à339
574
TABLE DES MATIÈRES.
Naméros.
d'une droite invariable. Appréciation plus étendue
de l'ellipse comme lieu d'un sommet d'un triangle
invariable glissant entre deux droites rectangulai-
res. Théorème fondamental des cordes supplémen-
taires. Limites d'inclinaison de tels couples io5
Principales propriétés focales de l'ellipse, et problè-
mes qui s y rapportent io6
Appréciation géométrique directe de l'équation de la
tangente à I ellipse. Relation de chaque tangente au
rayoncorrespondant.Rapprochementde ce théorème
avec celui des cordes supplémentaires, d'où pourrait
spécialement procéder toute l'étude aes tangentes à
l'ellipse. Triple forme géométrique de la relation de
la tangente aux foyers, soit comme bissectrice de
l'angle des deux rayons vecteurs, soit d'après le lieu
circulaire des projections des foyers sur les tan-
gentes, soit par le produit constant entre les dis-
tances de chaque tangente aux deux foyers. Usage
géométrique de ces propriétés 107
Lieu du sommet d'un angle droit circonscrit à l'el-
lipse. Détermination des rectangles maximum et
minimum circonscriptibles à cette courbe. Lieu
des projections du centre sur les normales. ....... 108
Principales propriétés de Tellipsequantauxdiamètres.
Nature rectiligne, convergence spontanée, et conju-
gaison nécessaire des diamètres, déduites, soit de
réquation, soit du théorème des cordes supplémen-
taires. Forme de l'équation de l'ellipse envers un
couple quelconaue de diamètres conjugués. Détermi-
nation au couple caractérisé par l'égalité. Construc-
tion d'un couple à inclinaison donnée. Théorèmes
remarquables d'Apollonius sur les relations de
longueur et d'inclinaison propres à tous les couples
de diamètres. Construction très simple qui en ré-
sulte pour assigner la longueur des axes rog
Quadrature de Tellipse et cubature des deux ellipsoï-
des de révolution, l'un allongé, l'autre aplati
Piges.
339à345
345à35o
35oà356
356à359
IIO
CHAPITRE IV.
Théorie de Thyperbole. (A leçons.)
Discussion de l'équation simplifiée de cette courbe.
Contraste envers l'ellipse. Introduction indispen-
sable des asymptotes. Double relation de l'hyper-
bole avec la parabole m
Théorème des cordes supplémentaires dans Ph3rper«
bole. Appréciation directe de ce théorème comme
définition fondamentale des deux courbes du second
degré qui ont un centre 112
Propriétés focales de l'hyperbole. Comparaison avec
l'ellipse. Appréciation de l'axe focal comme grand
axe pour l'une, et axe transverse pour l'autre. Dé-
termination complète, graphique et algébrique, d'une
359 à 366
366 à 368
368 à 372
372 a 374
TABLE DES MATIÈRES.
575
114
Pages.
374 a 377
377à38i
38ià3a4
384a 388
388 à 393
393 à 396
Naméros.
courbe du second degré d'après un foyer ou une
directrice et trois points, en considérant ce pro-
blème comme commun aux trois courbes 1 1 3
Principales propriétés de l'hyperbole <juant aux tan-
gentes. Appréciation des modifications qu'éprou-
vent, dans l'hyperbole, les diverses notions anté-
rieures sur les tangentes de l'ellipse
Principales propriétés de l'hyperbole auant aux dia-
mètres. Comparaison générale avec l'ellipse. Lieu
des extrémités des diamètres non transverses. Mo-
dification des théorèmes d'Apollonius 1 1 5
Principales propriétés de l'hyperbole quant aux asymp-
totes. Théorème des transversales. Son appréciation
directe comme définition fondamentale de Thyper-
bole. Equation delà courbe par rapport à sesasymp-
totes 116
Détermination d'une hyperbole d'après une asymp-
tote et trois points, ou un seul et un sommet. Lieu
du foyer, dans ce dernier cas, quand le sommet est
seul donné : lieu inverse du sommet quand le foyer
est donné 117
Quadrature de Thyperbole, soit d'après la théorie géné-
rale, soit à l'aide d'une considération spéciale 118
CHAPITRE V.
Appréciation des courbes du second degré comme
sections coniques. (2 leçons,)
Étude préalable des sections planes du cylindre circu-
laire droit 119
Équation générale des sections planes du cône circu-
laire droit. Origine commune des trois courbes du
second degré 120
Appréciation conique de la parabole, puis de l'ellipse,
et enfin de l'hyperbole, considérées quant à leurs
divers éléments géométriques. Placer sur un cône
donné une courbe du second degré donnée : discus-
sion de possibilité 121
Sections planes du cône circulaire oblique. Apprécia-
tion des deux séries de sections circulaires 122
CHAPITRE VI.
Application générale de l'étude descourbesplanesàla
construction des équations déterminées. (1 leçon.)
Appréciation générale de cette question. Principe fon-
. aamental cTune telle recherche. Son indétermina-
tion nécessaire 123 409à4ii
Application à trois exemples d'éauations transcendan-
tes. Comparaisondesdiversmoaesdeconstruction... 124 4113412
Considérations générales sur la construction des équa-
397 à 399
399 à 402
402 à 407
4073408
576
TABLE DES MATIÈRES.
IfQBéros.
lions algébriques proprement dites. Examen spécial
des quatre premiers degrés i25
Construction remarquable de toute équation du troi-
sième ou quatrième degré par une parabole et un
cercle. Application de ce mode à quelques exem-
ples choisis 1 26
GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE.
PREMIÈRE PARTIE.
nrTRODucnoH eiifiRiLi.
CHAPITRE PREMIER.
Notions fondamentales. (2 leçons,)
Appréciation sommaire des deux objets généraux, Tun
principal, Pautre accessoire, de cette partie de la
géométrie 1 27
Conception préliminaire des systèmes de coordonnées
dans Tespace. Appréciation des principaux systèmes. 128
Conception fondamentale de Tharmonie nécessaire en-
tre les surfaceset les équationsà trois variables, relati-
vement à chaque système de coordonnées. Exemples
relatifs à la sphère, et à quelques autres équations
rectilignes qui résultent immédiatement de la for-
mule delà distance de deux points dans l'espace.. 129
Conception fondamentale sur la représentation analy-
tique des lignes dans l'espace par des couples d'équa-
tions. Ambiguïté nécessaire d'un tel mode. Moyen
général d^remédieràPaidedescylindresprojetants. i3o
Représentation géométrique de toute équation à trois
variables par une surface. Marche générale de la
discussion géométrique de chaque équation. Appli-
cation à quelques exemples choisis 1 3 1
Imperfections radicales de la correspondance mutuelle
entre la géométrie et Tanalyse. Appréciation de quel-
ques tentatives partielles pour la représentation géo-
métrique des équations a quatre variables x32
Comparaison générale des systèmes de coordonnées
dans Tespace. Supériorité nécessaire du système
rectiligne ordinaire 1 33
CHAPITRE II.
Théorie analytique de la ligne droite dans Tespace. (2 leçons.)
Formation des équations générales de cette ligne. Ap-
préciation géométriquedesconstantesqui s'y trouvent. t34
Objetpropre de cette théorie. Explication successive de
Faces.
4124414
4144417
4i9a422
4223424
4243428
4284432
432 3438
4383442
4424443
4434445
TABLE DES MATIÈRES.
577
Naméros.
ses trois éléments essentiels, d'abord la formation des
équations d'une droite menée par deux points don nés,
ensuite l'appréciation analytique de Pinclinaison de
deux droites, et enfin la détermination de leur in-
tersection. Angles d'une droite avec les axes. Leur
relation nécessaire. Transformation qu'ils font naître
pour l'inclinaison de deux droites. Condition analy-
tique de la rencontre des lignes i3S .
Double détermination de la distance d'un point donné
à une droite donnée. Double détermination de la
moindre distance de deux droites dan s l'espace, d'a-
bord comme exemple de la combinaison des trois
éléments de la théorie de la ligne droite, ensuite
par une marche analytique générale .' 1 36
CHAPITRE III.
Théorie analytique du plau. (2 leçons.)
Établissement indirect de l'équation du plan, indé-
pendamment de sa génération. Signincation des
trois constantes i By
Formation directe de cette équation, d'après les princi-
paux modes de génération du plan, i'* comme sur-
face cylindrique ; 2* comme surface conique;
3* comme surface de révolution; 4* comme lieu des
points éauidistants de deux pôles; 5* comme sur-
face réglée. Contraste entre le nombre des constan-
tes arbitraires et celui des coefficients indéterminés. i38
Examen successif des trois éléments essentiels propres
à la théorie analytique du plan : 1* passage d'un
plan par trois points donnés ou par un point et
une oroite; 2« inclinaison de deux plans, ou d'une
droite sur un plan ; 3* intersection de deux plans,
ou d'une droite avec un plan i Bg
Formule de la distance d'un point à un plan. Ap-
plication à l'évaluation de la moindre distance de
deux droites. 140
CHAPITRE IV. ,
Théorie de la transposition des axes dans l'espace. (2 leçons,)
Double appréciation générale, géométrique et analy-
tique de cette théorie. Formule pour le simple
changement d'origine. Explications préalables sur
le pnncipe des projections linéaires 141
Établissement, d'après ce principe, des formules géné-
rales relatives au changjement de direction des axes.
Double groupe de relations indispensables entre les
neuf angles qu'elles contiennent 142
Formation purement analytique de ces formules et
de ces relations 143
Pai^s.
446à45x
45ià455
4563457
458à462
4623468
468 à 470
470 à 474
474 à 476
476 à 479
578
TABLE DES HATIÈRES.
Numéros.
Réduction générale des neuf coefficients angulaires à
trois angles indépendants 144
Formules pour rapporter analvtïûuement une courbe*
plane, arbitrairement donnée dans l'espace, à des
axes pcis dans son plan. Méthode qui en résulte pour
Tétuoe directe des sections planes de toute surface. 143
Moyen de trouver les conditions nécessaires pour que
nntersection de deux surfaces données devienne
plane »46
Pages.
479à48i
48ià483
483 à 484
SECONDE PARTIE.
THÉORIE GÉNÉRALE DES SURFACES COURBES,
p'APaàft LIOR CLAS8IPIGATI01I ANALTTIQUB PAB FAHILLBS
VBAIHBHT MATURBILBS.
485 à 490
490 à 492
493à495
PRÉAMBULE.
Extension spontanée des diverses théories générales de
la géométrie plane à la géométrie dans l'espace. ... 147
Objet caractéristique de cette seconde partie, consacrée
surtout à la première ébauche rationnelle de la géo-
métrie comparée 148
CHAPITRE PREMIER.
Notions fondamentales sur la classification rationnelle
des surfaces. (1 leçon,)
Supériorité nécessaire de la classification des surfaces
sur celle des lignes. Source générale du classement. . . 149
Exposition directe de la conception fondamentale de
Monee sur la géométrie comparée : définition exacte
des familles géométriques ; appréciation abstraite des •
équations à trois variables ayant un sens déterminé,
quoique contenantune fonction arbitraire; harmonie
nécessaire de ces deux sortes de notions 1 5o
Facilité directe que procure cettQ conception pour mul-
tiplier à volonté les familles de surfaces : divers
exemples 1 5 1
Marche générale à suivre pour former l'équation collec-
tive d Aine famille donnée, et pour constater récipro-
quementsi telleespèce appartient à telle famille i52
CHAPITRE II.
Théorie des surfaces cylindriques. (1 leçon.)
Équation générale de cette iamille. Marche qu'elle
prescrit pour constater la nature cylindrique d'une
surface donnée, • i53 5o4à5o7
495 à 5oo
5ooà5o2
3o2à5o4
TABLE DBS MATIÈRES.
579
Numéros.
Détermination de la fonction arbitraire d'après la direc-
trice de cha()ue cylindre : simplification générale de
cette opération quand cette base est la trace horizon-
tale de la surface; divers exemples à ce sujet. Déter-
mination de la fonction arbitraire quand le cylindre
doit être circonscrite une surface donnée : application
aux ombres. Possibilité de déterminer directement la
courbe de contact z54
CHAPITRE III.
Théorie des surfaces coniques. (1 leçon,)
Équation collective des cônes . Théorème important qui
en résulte sur la liaison générale entre la nature coni-
2ue d'une surface et la composition homogène de son
quation. Usage fondamental d'un tel caractère
analytique pour vérifier si une équation donnée
appartient à un cône i55
Détermination de la fonction arbitraire d'après la direc-
trice du cône. Application spéciale à la théorie des
mappemondes, d'où résulte la nature et la construc-
tion de la perspective propreà chaque cercle terrestre.
Cas général ou la directrice donnée est la trace hori-
zontale du cône
rationnelle de
second degré,
quand le cône est circonscrit à une surface donnée :
caractère propre de la courbe de contact i56
CHAPITRE IV.
Théorie des surfaces de révolution. (1 leçon.)
inlplifîcation quand
est pris pour l'un des axes coordonnés 1 57
Détermination de la fonction arbitraire d'après ladirec-
trice. Application spéciale au cas de la ligne droite,
et surtout ensuite a celui de Vhélice^ en déduisant
d'abord de sa définition ses équations et ses princi-
pales propriétés. Cas général où la directrice est le
méridien même de la surface : application spéciale au
tore i58
CHAPITRE V.
Théorie des surfaces conoldes. (l leçon.)
Définition de cette nouvelle famille, et formation de
son type analytique, surtout en choisissant le plus
favorablement possible les axes coordonnés. Conser-
Pases.
57oà5ii
5iià5i4
5i4à5i8
519a 522
522 à 528
580
TABLE DBS MATIÈRES.
Naméros.
vation remarquable d'un certain caractère d^homo-
généité 1 39
Détermination de la fonction arbitraire d'après ladirec-
trice. Application spécialeà l'équation ae la vis rec-
tangulai re : formation comparative de Téquation plus
compliquée relative à la vis triangulaire. Cas général
où la directrice est une courbe plane parallèieàrun
des plans coordonnés. Détermination de la fonction
arbitraire quand le conoide doit être circonscrit à
une surface donnée; exemples caractéristiques. .. . 160
CHAPITRE VI.
Théorie générale complémentaire^ relative à tous les
groupes dont réquation collective n^est pas connue, et
surtout aux surfaces rectilignes ou circulaires. (3 leçons,)
Appréciation fondamentaledes deux sortesdedifiî cultes
générales qui empêchent la formation des types ana-
lytiques propres à la plupart des eroupes géométri-
ques, et surtout des obstacles innérents à la trop
grande extension de ces groupes, quoique toujours
caractérisés nettement 161
Appl ication spéciale deces réflexions générales aux sur-
faces réglées, et surtout développables 162
Moyen général de formation, envers tous les groupes
géométriques possibles, de Péquation particulière à
chaqueespèce. Marche de l'examen i n verse, pour re-
connaître^envers telle surface,telmodede génération. i63
Application de ces principes aux surfaces réglées ou rec-
tilignes d^abord quand chacune d^elles est définie
par trois directrices données, ensuite quand la sur-
race, étant développable, se trouve spécifiée soit d'a-
près son arête de rebroussement, soit comme circon-
scrite à deux surfaces données 164
Mode d'appréciation analytique de la nature rectiligne
d'une surface donnée. Préambule de l'application de
cette méthode aux surfaces du second degré, consis-
tantdans la discussion préliminaire des diverses for-
mes géométriques et des plus simples équations
correspondantes i65
Appréciation spéciale de la nature et de la génération
des deux surraces rectilignes du second degré 166
Appl ication des principes généraux du n* i63 aux sur-
faces circulaires et surtout à la famille des /i/>^aMjir. . , . 167
Marchegénéralelaplus convenable pour constater un
mode déterminé degénération, quand la courbe géné-
ratrice est plane. Application spéciale à la double
génération circulaire des surfaces du second degré. 168
Pages.
528à53o
53oà534
535à537
537à54i
54 là 543
543 à 546
546à553
554à556
556à558
558à564
FIN DE LA TABLE.
PROGRAMMES
DES
COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE
ET DE
CALCUL DIFFÉRENTIEL.
PROGRAMME
DU
COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE,
QUI SUCCÈDE A
L'ÉTUDE ÉLÉMENTAIRE DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
Préambule. (1 leçon.)
Appréciation exacte delà science mathématique, envisagée dans son
ensemble, d'après le vrai but final de toute recherche mathématique.
__ ^ -^ )artie8
Lacune
Division nécessaire du calcul en deux branches essentielles, Punea/-
gébriquej Pautre arithmétique. Objet caractéristique de Valgèbre pro-
prement dite.
Distinction générale entre la résolution analytique des équations et
leur résolution numérique. Caractère imparfait et équivoque de celle-
ci, pourtant seule possible le plus souvent.
Objet proprede ce cours et son plan général.
Théorie fondamentale des équations algébriques, (7 leçons,)
I* Composition des équations. Élût génénl de la question. Réduction
f>réalable de toute équation algébrique à la forme rationnelle et en-
tière.
Double démonstration, à priori et à posteriori» du principe fonda*
mental. Son vrai degré d'extension.
Décomposition, nécessairement unique, de toute fonction d'un de^
gré quelconque en facteurs du premier.
Décomposition, toujours multij^Ie, qui en résulte en facteurs dû
second degré, ou d'un degré supérieur.
Détermination directe, en général moins convenable, de ces der-
niers facteurs.
Caractère essentiel des fonctions à plusieurs variables de n'être pas
ordinairement décomposables en facteurs analogues d'un degré
moindre. Nécessité géométrique d^une telle incompatibilité » Son ex-
— 584 —
plication analytique d'après la mesure de Tordre de généralité de la
formule complète du degré m à deux variables par Te nombre des
constantes aroitraires qu'elle contient. Réaction d'une telle apprécia-
tion sur le cas primitif des fonctions à une seule variable.
Relations générales entre les coefficients d'une équation et ses ra-
cines, soit d'après sa décomposition en facteurs élémentaires^ soit d'a-
près la formation directe d'une équation susceptible de racines don-
nées.
Réâexions générales sur la manière dont ces lois concilient la réalité
et la rationalité des coefficients avec l'imaginarité et l'irrationalité
des racines.
Usage général de ces lois, ou de la décomposition élémentaire qui
les a murnies, pour traduire entre les coefficients toute relation don-
née entre les racines. Divers exemples caractéristiques à ce sujet.
Théorème fondamental de Descartes sur les relations naturelles
entre le mode de succession des signes des coefficients et les signes des
racines. Indications qu'il fournit souvent sur les racines imaginaires
dans les équations incomplètes, et même dans les autres.
Principe relatif aux racines communes à deux équations données.
Simplification correspondante qu'éprouve alors nécessairement leur
résolution respective.
Usage général de ce principe pour simplifier la recherche des rela-
tions entre les coefficients d'après celles des racines, surtout quant aux
relations binaires. Divers exemples de cette application, même envers
des relations plus composées.
Examen spécial du cas de la réciprocité des racines. Théorie des
équations réciproques. Abaissement nécessaire de leur degré.
2* Transformation des équations. Position exacte de la question gé-
nérale. Distinction nécessaire des deux sortes de transformations, in-
troduites, les unes par Viète, les autres par Lagrange.
1^* classe, où chaque racine transformée ne dépend que d'une seule
racine primitive. Mode général de formation de l'équation cherchée.
Application au cas où toutes les racines sont également augmentées
à volonté. Suppression facultative d'un coefficient quelconque, etsur-
tout du second.
Application au cas où les racines croissent proportionnellement.
Appréciation des modifications facultatives qui en résultent.
Application au cas où les racines sont élevées à une même puis*
sance, entière ou fractionnaire. Appréciation d'un tel changement.
Application au cas de l'inversion des racines et à celui du change-
ment de signe.
2^ classe^ où chaque racine transformée dépend de plusieurs racines
primitives. Examen général des combinaisons binaires. Mode de for-
mation de l'équation cherchée; son degré naturel. Son épuration
préalable en écartant les combinaisons affectées de répétition. Pro-
priétés nécessaires relatives à la transposition mutuelle des racines
primitives dans chaque combinaison. Abaissement final du degré de
la transformée, après lequel elle doit encore comporter des conditions
caractéristiques, soit quant au degré, soit envers les coefficients.
Extension générale de ces diverses notions et opérations à des combi-
naisons plus que binaires.
Application successive de l'ensemble de ces considérations à la tbéo-
— 585 —
rie générale de Péquation aux sommes, de l'équation aux différences,
de réquation aux produits, de l'équation aux quotients, et de celle
où les sommes sont ajoutées à un multiple des produits. Appréciation
des indications nouvelles que Pétat de chaque transformée peut four*
nir sur les racines primitives, et surtout de celles que suggère le
mode de succession des signes dans Téquation aux carrés cie s diffé-
rences.
3* Théorie des fonctions symétriques. Position générale de la ques*
tion. Sa restriction naturelle aux fonctions symétriques rationnelles.
Leur division générale en simples et multiples.
Théorème préliminaire sur la composition de la fonction dérivée
d'après les facteurs élémentaires de la fonction primitive.
Lois fondamentales qu'il fournit pour déduire des coefficients d'une
nés de puissances
:ine8, jusqu'au deg
'origme historique
quables.
Relation générale supplémentaire pour passer graduellement de ces
puissances a toutes les suivantes.
Moyen d'étendre ainsi ces lois, ou, ce qui est préférable, par une
transformation préalable, aux puissances négatives, mais entières.
Loi générale de réduction des fonctions symétriques doubles aux
fonctions simples. Extension graduelle de cette loi aux autres degrés
de multiplicité.
Remarque générale sur le nombre de coefficients q^ui affectent la
valeur de chaque fonction symétrique, simple ou multiple.
Application nécessaire de la théorie des fonctions symétriques à la
formation effective de toutes les transformées de seconde classe. Mode
le plus convenable d'un tel calcul. Examen spécial des diverses trans-
formations précédemment considérées.
Théorie de l'élimination. (2 leçons,)
Position exacte de la question actuelle. Sa restriction générale aux
équations algébriques, rationnelles et entières.
i** méthode, fondée sur la recherche du commun diviseur. Son ap-
préciation générale d'après le principe des racines communes.
Examen plus détaillé de l'enchaînement graduel résulté des divi-
sions consécutives.
Influence des modifications indispensables apportées aux divers
dividendes sur la composition de l'équation finale. Altération possible,
mais incertaine, de cette équation. Appréciation générale d'une telle
perturbation comme devant être, quoi qu'on fasse, plus ou moins
inhérente à la nature de cette première méthode.
Examen des deux cas exceptionnels, relatifs à Tincompatibilité et à
l'indétermination.
Faculté générale oue procure spontanément cette première méthode
pour composer à volonté des équations susceptibles de conduire à une
équation finale donnée. ^
2"* méthode, fondée sur l'introduction de fonctions algébriques
indéterminées comme multiplicateurs des deux équations primitives.
Détermination des coefficients de ces deux facteurs auxiliaires pour
46
— 586 —
rentière élimination de l'inconnue considérée. Appréciation générale
de cette seconde méthode.
3in* méthode, fondée sur la théorie des fonctions symétriques. Son
appréciation comparative. Théorème important qu^elle fournit spon-
tanément sur le degré maximum de Péquation anale. Interprétation
géométrique de cette loi .
Théorie des racines égales. (1 leçon.)
Objet propre de cette théorie. Introduction naturelle des fonctions
dérivées dans une telle recherche.
Principe fondamental sur Inexistence et la composition du diviseur
commun entre la fonction donnée et sa dérivée.
Système de décomposition graduelle oui résulte de Téquation
proposée en diverses écjuations partielles, dont chacune est affectée à
un seul degré de multiplicité. Mode limité à la suppression de toute
répétition, sans distinction de multiplicité.
Application de cette théorie spéciale à la recherche des conditions
d'égalité des racines. Examen particulier des deux cas extrêmes, de
moindre ou plus grande multiplicité possible. Inconvénients propres
à cette méthode envers la plupart des cas intermédiaires. Solution
directe, en général préférable, de cet ordre de questions.
Relation générale et nécessaire entre les conditions d'égalité et
celles de réalité. Introduction naturelle du principe des racines égales
dans la théorie fondamentale des maxima ou minima.
Résolution namérique des équations algébriques. (7 ieçons,)
I* Limites générales des racines réelles. Vraie nature et destination
principale de cette recherche préliminaire. Sa décomposition natu-
relle en quatre cas, aisément réductibles à un seul.
Règle de Maclaurin/ pour évaluer une limite supérieure des raci-
nes positives de toute équation algébrique.
Méthode de Newton pour obtenir souvent des limites non formulées,
mais plus favorables que la précédente.
Evaluation d'une limite inférieure des racines positives, et ensuite
des deux limites propres aux racines négatives.
Réflexions générales sur Pimperfection radicale de ces diverses éva-
luations normales.
2* Evaluation des racines commensurables. Principe fondamental sur
la nature des racines fractionnaires que comporte toute équation à
coefficients entiers. Réduction générale qui en résulte de la recherche
des racines fractionnaires à celle des racines entières.
Restriction nécessaire des racines entières parmi les diviseurs du
dernier terme. Système d'épreuves graduelles, imaginé par Clairaut*
f»our discerner facilement ceux de ces diviseurs oui conviennent à
'équation proposée. Essais préliminaires propres a écarter d'avance
beaucoup de aiviseurs inutiles.
Méthode pour déterminer exactement les racines incommensura-
bles du second degré.
3* Evaluation des racines incommensurables* Exposition de la ques*
lion : état préalable de l'équation.
— 587 -r
Démonstration analytique et géométrique du principe fondamental
des substitutions. Sa véritable étendue.
Complément indispensable de ce principe par Tezamen de toutes
les comparaisons relatives aux deux substitutions.Vérification spéciale
d'un tel examen envers les équations algébriques.
Indications générales que fournit ce principe sur l'existence néces-
saire déracines réelles, suivant que le aegré de l'équation est impair
ou pair.
Distinction fondamentale entre la séparation des racines et leur
évaluation.
Méthode de Lagrange pour la séparation préalable des racines,
d'après Péquation aux carrés des 'différences. Son appréciation
générale.
Méthode de Fourier pour laséparation des racines, d'après leurénu-
mération préalable. Ooservation fondamentale qui sert de base à cette
méthode^ et où rentre spontanément la remarque originale de Rolle.
Aperçu général de la grande théorie de Fourier pour déterminer
d'avance le nombre des racines réelles comprises dans un intervalle
donné. Réduction spontanée du théorème de Descartes à Tensemble
de cette théorie.
Modification spéciale apportée par M. Sturm à cette théorie générale
pour le seul cas des équations algébriques. Appréciation finale d'un
tel amendement.
Usage de ce corollaire envers les équations à coefficients indéter-
minés, pour y découvrir les conditions relatives à un nombre donné
de racines réelles ou imaginaires.
Méthode d'approximation ébauchée par Newton et constituée par
Fourier. Appréciation géométrique d'une telle méthode, et des condi-
tions indispensables à son application régulière.
Méthode d'approximation de Lagrange. Sa comparaison à la précé-
dente. Cas de la périodicité.
4» Théorie des racines imaginaires. Considération originale de Fon-
imagi]
apportée par Laplace à cette première démonstration, d'après des
motifs qui pourraient être essentiellement écartés.
Méthode générale pour ramener l'évaluation des racines imagi-
naires à celle des racines réelles, soit d'après leur forme nécessaire,
soit par suite de la détermination équivalente des facteurs réels du
second degré. Appréciation et comparaison de ces deux modes.
Résolution algébrique des équations des 3« et 4« degrés. (1 leçon.)
Méthodes pour ramener la résolution du quatrième degré à celle du
troisième.
Résolution générale des équations du troisième degré. Extension
et discussion de la formule obtenue.
Examen spécial du caa irréductible. Transformation correspondante
de la formule.
Procédé spécial de Viète pour la résolution directe de ce cas d'après
l'équation de la trisection de l'angle.
— 588 —
Résolution générale des équations binômes. (1 leçon.)
Application générale du théorème de Moivre à la résolution de
toute équation binôme. Expression générale des racines imaginaires
de Tunité : leur nombre et leur conjugaison.
Subordination naturelle de ces diverses racines comme des puis-
sances les unes des autres.
Comparaison générale des deux cas relatifs au signe du terme
connu.
Décomposition générale des fonctions binômes en facteurs réels du
second degré.
Appréciation des classes d'équations dont la résolution alsébrique
peut graduellement résulter de la combinaison de la théorie des
équations binômes avec l'ensemble des notions antérieures.
Développement des fonctions en séries. (4 leçons,)
Extension de la formule du binôme aux exposants fractionnaires ou
négatifs. Vice de la démonstration d'Euler à ce sujet.
Esprit général de la méthode des coefficients indéterminés pour les
transformations en séries.
Développement de ax selon les puissances de x. Détermination,
soit en série, soit sous forme finie, du coefficient que la méthode laisse
à trouver.
Série pour développer log (i + x) selon les puissances de x. Indi-
cation incidente de l'inversion des séries.
Séries relatives au développement du sinus et du cosinus suivant les
puissances de l'arc.
Série inverse pour développer l'arc selon les puissances de sa tan-
gente. Nouvelle forme que prend alors la méthode.
Considérations fondamentales sur la distinction nécessaire entre
l'usage analytique et l'usage numérique des séries. Inconvénients radi-
caux qu'entraîne aujourd'hui la contusion trop fréquente de ces deux
appréciations.
Usage analytique très-remarquable fait par Lagrange de la série
exponentielle pour trouver la loi générale du développement des
puissances d'un polynôme quelconque. Détermination générale du
nombre de termes du développement, d'après le problème des répar-
titions.
Usage analytique encore plus important de l'ensemble des quatre
séries précédentes pour établir, sous les deux formes opposées, le
rapprochement fondamental entre les deux couples élémentaires de
fonctions transcendantes.
Application générale de cette relation capitale au calcul des imagi-
naires.
Considérations générales sur l'usage numérique des séries,etsurles
conditions de leur convergence, ainsi que sur la mesure des approxi-
mations qu'elles fournissent.
Application successive de ces principes aux séries précédentes, soit
pour la construction des tables logarithmiques et des tables trigono»
— 589 —
métriques, soit pour Févaluatîon commode du rapport de la circon-
férence au diamètre.
Sommation des suites. (1 leçon.)
Appréciation générale de la nature et de l'importance d'un tel ordre
de recherches.
Application naturelle de la méthode des coefficients indéterminés à
la sommation des suites dont le terme général est donné. Conditions
indispensables au succès de cette méthode, ainsi restreinte au cas
des fonctions entières.
Emploi de cette méthode pour la sommation successive, d'une part
des carrés, cubes, etc.j des nombres naturels, d'une autre part
des nombres fissurés f soit triangulaires, soit pjrramidaux, etc. Coïnci-
dence spontanée de ces deux sortes de sommations, dont chacune peut
suppléer à Tautre.
Sommation spéciale des nombres figurés d'un ordre quelconque,
d'après le triangle ou carré arithmétique.
— 590 —
PROGRAMME
DO
COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL,
QUI SUCGÊDB À
L'ÉTUDE DE L'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Considérations fondamentales. (4 leçons.)
Destination générale de Panalyse transcendante. Nécessité, pour
l'apprécier convenablement, d'approfondir la notion fondamentale
d'équations, d'après la distinction directe des fonctions en abstraites et
concrètes.
Revue méthodique des cinq couples d'éléments analytiques qui com-
posent les fonctions abstraites actuel les. Appréciation spéciale du der-
nier couple. Définition exacte de Pidée adéquation. Appréciation spon-
tanée des difficultés générales que présente l'établissement des équa-
tions.
Aptitude fondamentale de l'analyse transcendante à diminuer radi-
calement cette difficulté dans les recherches compliquées. Caractère
de cette analyse, en la distinguant soigneusement .de la méthode trans-
cendante, qui remonte essentiellement à Archimède.
Nécessité de considérer simultanément, dans l'état provisoire oii se
trouve encore la philosophie mathématique, les trois conceptions
principales propres à l'ensemble de Panalyse transcendante, impos-
sibilité de se borner aujourd'hui à une seple de ces conceptions équi-
valentes.
lo Conception de Leibnit:^^ d'où méthode infinitésimale. Caractère
essentiel de cette conception. Définition des différentielles. Appré-
ciation des divers ordres d'infiniment petits. Principe fondamental de
1:1 méthode infinitésimale.
Aptitude nécessaire d'un tel principe à faciliter beaucoup la forma-
tion des équations. Généralité supérieure des équations différentielles.
Exemples des relations différentielles propres à la théorie des tan-
gentes, a celle des quadratures, et à celle des rectifications.
— 591 —
Imperfection logique de la méthode infinitésimale. Justification
directe de son principe fondamental par la doctrine de Carnot sur la
compensation nécessaire des erreurs. Etrangeté philosophique d'une
telle justification.
2* Conception de Newton, d'où méthode des limites ou des fluxions.
Exposition de Pesprit général de cette méthode sous ces deux formes
équivalentes. Principe fondamental des ressources nécessaires qu'elle
procure. Application à divers exemples.
Rigueur logique d'une telle méthode. Sa moindre aptitude aux re-
cherches un peu difficiles.
3» Conception de Lagrange, d*oii méthode des dérivées. Explication
fondamentale de cette métnode et des notations correspondantes.
Exemple des ressources qu'elle peut offrir. Son aptitude beaucoup
moindre aux questions un peu difficiles.
^^ Comparaison des trois conceptions. Identité fondamentale du coef-
ficient différentiel, de la fiuxion et delà dérivée. Avantages et in-
convénients respectifs des trois méthodes et de leurs notations. Néces-
sité de les employer concurremment sans s'astreindre exclusivement à
aucune. Graves dangers, soit logiques, soit scientifiaues, inhérents
aujourd'hui à la fusion vicieuse tentée entre elles pari irrationnel mé-
lange des notations.
5* Division générale de Vanalyse transcendante. Distinction fonda-
mentale entre les deux calculs opposés oui la coniposent. Classifica-
ploi successif de tous deux. Exemple propre a caractériser chacun de
ces trois cas généraux.
Exposition raisonnée du plan général propre à ce cours de calcul
différentiel, résumé par le tableau suivant :
/ 1. Des fonctions I V A une seule Ttriable.
1* Galcal différentiell explicites \ S* A plasienrs variables indépendantes.
rentiation / implicites j ^ Simnltonées. Même snbdifision.
V 8. Changement de variable indépendante.
!1. Transformations en séries.
S. Théorie des maxima et minima.
S. Evaluation des symboles indéterminés.
S* Applications prin-1 / 1. Théorie des tangentes,
cipales de ce cal-< l 9. Théorie de la courbare des coorbes planes.
cul à l 3. Lagéomé-; 3. Théorie des courbes à double courbure.
trie ) 4. Théorie des plans tangents, et classement
des surfaces.
5. Théorie de la courbure dos surfaces.
Différentiation des fonctions explicites à une seule variable. (2 leçons,)
Différentiations des sommes et différences. Elimination spontanée
des constantes.
Différentiation 'des produits. Extension de la loi à un nombre quel-
conque de facteurs .
Différentiation des quotients, soit d'après celle des produits, soit
directement.
— 592 —
Différentiation des puissances proprement dites, soit directement,
soit d'après celle des produits. Extension de la loi à tous exposants.
Différentiation des exponentielles. Double démonstration. Cas spé-
cial de l'exponentielle népérienne.
Différentiation des logarithmes^ soit directement, soit d'après les
exponentielles.
Difiérentiation des fonctions trigonométriques et des fonctions cir-
culaires.
Principe subsidiaire sur la différentiation générale des fonctions de
fonction.
Exemples de la différentiation des fonctions composées.
Différent! ations successives. Notion fondamentale relative à la va-
riable indépendante. Comparaison générale des difTérentielles de tous
les ordres aux dérivées ou aux fluxions correspondantes.
Différentielles successives des diverses fonctions simples. Cas de re-
production des fonctions par la diftérentiation.
Différentlalion des fonctions explicites à plusieurs variables. (2 leçons.)
Exposition précise de la question générale. Distinction fondamen-
tale entre les différentielles partielles et la différentielle totale.
Supériorité naturelle de la conception de Leibnitz sur celles de
Newton et de Lagrange, quant à la pluralité des variables. Artifice gé-
néral pour adapter néanmoins à ce cas la méthode des fluxions et
celle aes dérivées.
Notations différentielles propres aux fonctions de plusieurs va-
riables.
Principe fondamental sur la loi de formation de la différentielle
totale d'après les différentielles partielles. Démonstration de ce prin-
cipe, d'abord par la méthode infinitésimale, et ensuite par les deux
autres.
Nécessité de ce principe pour différencier, en quelques cas, les fonc-
tions même dune seule variable.
Théorème général sur l'inversion des différentiations successives.
Son extension totale aux différentielles d'un ordre quelconque rela-
tives à un nombre quelconque de variables.
Développement de la différentielle totale du second ordre, et de
tout autre, d'une fonction à deux variables. Extension de Th^^thèse
fondamentale sur le mode d'accroissement de toute variable indépen-
dante. Loi générale d'un tel développement, soit à posteriori, soit sur-
tout à priori.
Extension de cette loi à un nombre quelconque de variables. For-
mule de la multiplicité des dérivées partielles correspondantes.
Différentiation des fonctions implicites. (1 leçon,)
Appréciation générale de la question. Sa division nécessaire en deux
cas, où l'implicite présente divers degrés.
I*' caSf relatif aux fonctions isolées, en n'jr supposant d'abord
qu'une seule variable. Principe fondamental qui ramené leur diffé-
rentiation à celle des fonctions explicites à deux variables. Formule
— 593 —
pour It premier ordre. Extension naturelle de ce principe à un ordre
quelconque. Marche préférable envers les différentiations successives
pour les déduire graauellement de la première.
Extension directe du principe général aux fonctions de plusieurs va-
riables. Appréciation de cette pluralité comme ne constituant, au fond,
aucune nouvelle difficulté propre aux différentiations implicites.
2* caSf relatif aux fonctions simultanées, à une seule variable ou à
plusieurs. Dernière extension spontanée du même principe fondamen-
tal, mais avec une complication rapidement croissante des formules
de différentiation suivant le nombre des fonctions mêlées.
•
Transformation des coefficients différentiels, d*après le changement de
variable indépendante. (1 leçon.)
Appréciation générale de l'objet propre et de la destination essen-
tielle de cette théorie complémentaire, sans la<]uelle les lois de diffé-
rentiation seraient souvent insuffisantes. Sa division naturelle en deux
cas généraux.
I® Une seule variable. Formule fondamentale pour la transforma-
tion de la première dérivée. Appréciation générale du mode néces-
saire de définition de chaque changement de variable.
Formules de transformations pour les ordres supérieurs, obtenues,
soit par l'extension directe du même principe, soit, plus simplement,
comme conséquences de la loi relative au premier ordre.
Application à divers exemples, et surtout à Pinversion des va-
riables, à la substitution de rare d'une courbe plane au lieu de son
abscisse, enfin au passage différentiel des coordonnées rectilignes aux
coordonnées polaires.
2* Plusieurs variables. Différence essentielle de ce cas avec le pré-
cédent. Extension générale du principe fondamental à ce genre plus
compliqué de transformations différentielles.
Formules pour le premier ordre à l'égard des fonctions à deux va-
riables. Marcne à suivre envers les ordres supérieurs, quel que soit le
nombre des variables.
Application au passage différentiel des coordonnées rectilignes aux
cooraonnées polaires dans l'espace.
APPLICATIONS ANALYTIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.
i» Développement des fonctions en séries. (â leçons.)
Aptitude spontanée des considérations différentielles à perfection-
ner les transformations analytiques.
Démonstration de la série fondamentale dite de Taylor.
Série générale de Maclaurin ou Stirlinc, obtenue, soit d'après la
précédente, soit directement. Possibilité d'en déduire convenable-
ment l'autre série. Appréciation de la destination essentielle de cha-
cune d'elles.
— 694 —
Série générale de Jean Bernouilli, Indication de son origine pro-
pre, et oe sa principale destination.
Usages de ces diverses séries générales, et surtout de celle de Mac-
laurin, pour obtenir uniformément les principaux développements
antérieurs, de(i 4- x)^, flt», / (i -f Jf), sin x, cos x, et arc (tang = x).
Remarque sur ce dernier cas.
Inconvénient fondamental d'un tel mode de développement : exem-
ple caractéristique pour arc (sin =« x).
Conception de Lagrange pour perfectionner l'emploi général des
dérivées dans les transformations en séries. Application de cette mé-
thode supérieure à toutes les fonctions déjà considérées, et surtout
aux deux fonctions circulaires.
Extension capitale d'une telle méthode aux fonctions implicites.
Série générale de Lagrange pour Téquation f = Jf 4->^/(t)-
Nécessité d'agrandir, en certains cas, le champ des transformations
en séries, par Pintroduction de nouveaux éléments. EIxempIes relatifs
à x^, et surtout à log (tang x). Indication des théorèmes de disconti-
nuité émanés de cette dernière transformation.
Extension générale des séries de Taylor et de Maclaurin aux fonc-
tions de plusieurs variables. Reproduction naturelle du théorème de
Nicolas Bernouilli sur Tin version des différentiations successives.
2* Théorie générale des maxima et minlma. (2 leçons.)
Position générale de la question : définition exacte du maximum et
du minimum. Appréciation préalable de l'ensemble des ressources
trop bornées que présente, à cet égard, l'analyse ordinaire.
Aptitude spontanée de l'analyse transcendante à de telles détermi-
nations. Caractère fondamental de l'état maximum ou minimum.
Exposition complète de cette théorie pour les fonctions d^une seule
variaole : examen des cas exceptionnels. Appréciation finale de l'en-
semble de la méthode. Divers exemples de son application.
Extension spontanée du caractère fondamental aux fonctions de
plusieurs variables indépendantes.
Artifice analytique pour la réduction générale de ce cas au précédent.
Exposition complète de la méthode qui en résulte. Examen des carac-
tères accessoires du second ordre qui compliquent alors la condition
principale. Applications diverses.
Appréciation générale du cas où les différentes variables deviennent
subordonnées entre elles. ^ Règle analytique très -remarquable pour
ramener toujours ces maxima conditionnels à des maxima incondi-
tionnels. Diverses applications.
3* Évaluation générale des symboles Indéterminés. (1 leçon,)
Position générale de la question. Ënumération essentielle, et équi-
valence nécessaire des divers symboles d'indétermination.
Appréciation préalable des ressources insuffisantes de l'analyse ordi-
naire pour de telles évaluations.
Aptitude naturelle de l'analyse transcendante à de pareilles détei^
— 595 —
minations. Double démonstration, analyti(^ue et géométrique, de la
règle fondamentale envers le symbole principal -f.
Extension de cette méthode à tous les autres symboles d^indétermi-
nation.
Indication des cas où la méthode échoue nécessairement. Évaluation
de quelques formules semblables.
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.
1* Théorie des tangentes aax courbes planes. (2 leçons,)
Formule fondamentale pour la théorie rectiligne des tangentes.
Double liaison générale de cette théorie avec celle des maxima.
Application à la courbe algébrique dont la somme (ou toute autre
fonction) des distances de chaque point à divers points fixes demeure
constante : construction très-remarquable queLeibnitzen a tirée.
Applications spéciales à la logarithmique et à la cycloide.
Formule générale pour la théorie polaire des tangentes, obtenue,
soit directement, soit diaprés la formule rectiligne.
Applications spéciales aux spirales d'Archimède et de Jacques Ber«
nouiili.
Théorie des asymptotes, d'abord en coordonnées rectilignes, puis
en coordonnées polaires. Diverses applications.
Théorie générale des points d'inflexion, d'après la considération
des tangentes : principal caractère analytique de ces points.
Théorie des points multiples, et par suite, des points conjugués, des
points saillants y et des pomts d'arrêt.
2^ Théorie de la courbure des courbes planes. (5 leçons.)
Appréciation générale de Tobjet propre, de la haute importance, et
de la difficulté supérieure d'une telle recherche.
Première notion fondamentale, propre à constituer la théorie
mathématique de la courbure, d'après Fidée dt flexion.
Seconde notion fondamentale, susceptible de la même destination,
diaprés la conception du cercle osculateur.
Identité nécessaire de ces deux méthodes géométriques. Introduc-
tion spontanée de Tanalyse différentielle dans leur formulation.
Formules générales du rayon, et par suite du centre, de courbure,
d'après la première méthode.
• Formules générales du centre, et par suite du rayon, de courbure,
d'après la seconde méthode.
Notion générale de la développée, envisagée comme complétant et
Ï)erfectionnant la théorie mathématique de la courbure. Propriétés
ondamentales de cette courbe auxiliaire. Formation de son équation
d'après celle d& la courbe primitive.
Application à la développée de la parabole ordinaire. Indication et
appréciation, à cette occasion, du mode suivant lequel la théorie des
— 596 —
développées deviendrait, en certains cas, accessible à l'analyse ordi-
naire.
Application de la théorie de la courbure à Pellipse et à l'hyperbole.
Indication de son usage pour la mesure de Taplatissement de la terre.
Courbure de la cyclolde ordinaire. Nature remarquable de sa déve-
loppée. Réaction d'une telle connaissance sur la rectification de la
cyclolde. Aperçu spontané de sa principale propriété dynamique,
d après le principe spécial d'Huyghens.
Formule générale pour la théorie polaire de la courbure, obtenue,
soit directement, soit d'après la formule rectiligne.
Applications spéciales aux spirales d'Archimède et de Bernouilli.
Notion remarquable c^ui en resuite pour la développée de la spirale
logarithmique, et d'où suit la rectification de cette courbe.
Considérations générales sur la recherche inverse des dévelop-
pantes par les développées. Exemple exceptionnel relatif au cercle,
et caractérisant les cas où cette question, quoique naturellement du
ressort du calcul intégral, devient quelquefois accessible au seul calcul
différentiel.
Théorie des caustiques. Son analogie fondamentale avec celle des
développées. Formules pour la recherche des caustiques par réflexion,
dans le seul cas du parallélisme des rayons incidents. Indication des
caustiques par réfraction.
Théorie générale de Leibnitz sur les courbes enveloppes. Application
à divers exemples.
Méthode générale de Lagrange pour former un système de courbes
susceptible d'une enveloppe donnée. Appréciation, analytique et géo-
métrique, de la vraie subordination des enveloppées à l'enveloppe.
Théorie fondamentale de Lagrange sur les divers degrés de contact
des courbes planes. Caractères, d'abord analytiaues, puis géométri-
ques, des dinérents contacts. Fixation du genre a^oscutation propre à
cnaque espèce de courbes.
Application générale de la théorie précédente à l'étude mathémati-
que ae la courbure. Limitation naturelle d'une telle comparaison à la
notion du cercle osculateur. Reproduction spontanée des formules an-
térieures, et vérification analytique des propriétés générales de la
développée.
Indication d'une nouvelle classe de points singuliers où le cercle
osculateur a un contact du troisième ordre avec la courbe proposée.
Comparaison générale de ces points à ceux de moindre ou plus grande
courbure.
Caractères analytiques, rectilignes ou polaires, des points de re-
broussement. Reproduction analogue des caractères propres aux in-
flexions.
Application de l'ensemble de la géométrie différentielle à la discus-
sion perfectionnée des courbes planes, surtout transcendantes. Exem-
• sin X
pies relatifs aux courbes^ = xlx, y =s c— **, y^ «= co8;ir, y cb ^
tang X
y = —2 — , y ^ X cos X.
— 597 —
3« Théorie des courbes à double courbure. (3 leçons.)
Théorie des tan
soit directement
meentes à ces courbes, soit d'après les courbes planes,
. Applications à l'hélice, et à l'épicydolde sphérique.
Théorie fondamentale du plan osculateur. Diverses formes de son
équation générale. Application à Thélice.
Théoriejgénérale de la courbure ordinaire, ou de flexion. Recher-
che analytique du cercle osculateur.
Établissement direct des formules générales pour la grandeur et la
direction du premier rayon de courbure. Diverses formes dont elles
sont susceptibles. Application à l'hélice.
Théorie générale de la seconde courbure, ou de torsion. Sa source
naturelle dans la notion du plan osculateur. Formule du rayon corres-
pondant. Application à Thélice.
Nouvelle conception sur la théorie de la seconde courbure d'après
la notion de la spnère osculatrice : comparaison des deux méthoaës ;
identité nécessaire de leurs résultats. Condensation possible de toute
la théorie des deux courbures autour des seules notions du plan oscu-
lateur et de la sphère osculatrice. Recherche analytique de celle-ci.
Extension générale de la théorie fondamentale des contacts curvili-
gnes aux courbes à double courbure.
Comparaison d'une courbe quelconque à l'hélice osculatrice. Nouvel
aspe(5t correspondant pour Pensemble de la théorie de la courbure
des lignes non planes. Recherche analjrtique de cette hélice. Appré-
ciation finale de cette conception.
4* Théorie des plans tangents, et classement rationnel des surfaces. (3 kçmu.)
Équation générale du plan tangent, d'après sa définition infinitési-
male. Deuxième mode de formation, diaprés le heu des tangentes
menées à une surface en chacun de ses points. Troisième mode, d'a-
près la propriété de minimum de la normale.
Plan tangent parallèle à un plan donné, ou contenant une droite
donnée. Plan tangent commun à trois surfaces données.
Conception fondamentale de Mon^e sur l'application naturelle de
la théone des plans tangents au perfectionnement général de la géo-
métrie comparée par l'établissement direct de types différentiels, in-
dépendants de toute fonction arbitraire, pour caractériser chaque
famille de surfaces. Correspondance analytique de ces nouvelles équa-
tions collectives aux types nnis antérieurement introduits.
Application de ces principes aux familles géométriques déjà étudiées
par r analyse ordinaire.
Équation différentielle propre à caractériser toutes les surfiaces dé-
veloppables.
Théorie fondamentale de Monge sur les surfaces enveloppes. Diffé-
rences nécessaires, analytiques et géométriques, de cette notion avec
celle relative aux courbes.
Considérations générales sur la formation des familles géométri-
ques diaprés cette nouvelle idée mère, qui condense à un degré supé-
rieur toutes les comparaisons antérieures.
Développement analytique de cette théorie dans lé seul cas de deux
— 698 —
paramètres variables. Mode de formation de l*équati6n dififérentielle
propre à chaque famille.
Application spéciale aux diverses familles antérieures et à la théorie
des tuyaux dont Taxe est plan.
5* Théorie de la courbure des surfaces. (3 leçons.)
Théorie générale des divers contacts des surfaces. Sa différence
essentielle avec celle des contacts curvilignes.
sphère
cercle osculateur. I^écessité correspondante d'étudier, en chaque point
d'une surface quelconque, une innnité de rayons de courbure.
Formule générale du rayon de courbure de toute section normale.
Détermination des deux rayons principaux.
Reproduction spontanée du caractère différentiel des surfaces dé-
veloppables.
Théorie d'Euler sur la marche générale des rayons de courbure
normaux, résumée par une construction remarquable. Discussion des
cas où la courbe correspondante est elliptique, hyperbolique, ou para-
bolique. Appréciation d'une prétendue indicatrice.
Théorème complémentaire de Meunier sur la courbure des sections
obliques. •
Application de ces diverses notions à quelques exemples, et surtout
à la surface f = xy.
Définition générale des lignes de courbure. Exposition analytique de
la théorie de Monge à ce sujet. Importance de cette détermination
pour perfectionner l'ensemble de rétude de la courbure de chaque
surface.
Indication directe et spéciale des lignes de courbure propres aux
familles les plus usuelles.
Recherche de la surface qui contient les centres de courbure de
toutes les sections principales.
Théorie générale des lijgnes déplus grande pente. Leur relation né-
cessaire aux lijgnes de niveau. Détermination spéciale des lignes de
faite. Application de cette théorie à la surface f s» xy.
Pages.
Table du Traité de Géométrie analytique (64 leçons) 565
Programme du Cours d'Algèbre supérieure (2 5 leçons),. 583
Programme du Cours de Calcul différentiel (3i leçons) 590
FIN.
PARIS. - IMPRIMERIE DE FAIN ET THUNOT,
IMPRIMEURS DB L'URIVERSItA ROTALB DE FRâHCI,
Rue Racine, S8, près de l'Odéon.
AVIS AU LECTEUR
Cette nouvelle édition de la Géométrie Analytique
WAugvste ConUey précédée de la GémnMrie de Descartes
a été faite sous la surveillance de Mr. Jorge Lagarrigue,
dont le Positivisme déplore la perte récente. La mort
a surpris notre éminent et dévoué confrère avant qu'il
eût même terminé cette tâche qu'il avait acceptée gra-
tuitement et qu'il remplissait avec tout le scrupule
d'une vénération filiale.
Nous nous étions spécialement chargé, aux mêmes
conditions que lui, de la révision mathématique, et
nous avons à cet effet étudié soigneusement le texte
de notre Maître, en refaisant entièrement le travail
algébrique. C'était une opération indispensable, puis-
que l'on sait, par la correspondance du Eenovateur avec
Stuart Mill, que quelques erreurs de calcul s'étaient
glissées dans l'édition originale. Mais l'éloignement
oïl nous nous trouvons de Paris a empêché plusieurs
de nos indications d'arriver à temps d'être utilisées.
Outre ces erreurs de calcul, il était surtout nécessaire
de présenter aux lecteurs des remarques spéciales qui
apportent de vrais changements au texte même de
l'ouvrage, comme on le verra ci-après. Ces notes ne
seraient pas pourtant suffisantes pour rendre ce volume
parfaitement conforme à la Philosophie Mathématique,
telle que notre Maître l'a définitivement systématisée
dans sa Synthèse Subjective (^).
En se bornant à l'étude de ce traité, on aurait une
idée radicalement imparfaite, nous osons le dire, du
vrai caractère et de la véritable portée, sociale et
mentale, de la rénovation cartésienne. D'autre part,
le dernier terme de l'incomparable trilogie qui forme
l'œuvre d'Auguste Comte ne saurait être réellement
compris par ceux qui n'auront pas médité sa Politique
Positive. C'était donc notre devoir de montrer à tout
lecteur animé de sincères sentiments sociaux l'urgence
de connaître l'ensemble de la vie et des travaux du
Fondateur de la Beligion de l'Humanité. Dans ce but,
nous avons rédigé une notice, contenant quelques ob-
servations sur la place de la Géométrie Analytique dans
cette carrière sans exemple, et nous l'avons offeite
aux émteurs de cette nouvelle édition. Mr. Briguiet
(*) Synthèse Subjective, oq système universel des conceptions
Sropres à l'état normal de l'Humanité. Par Auguste Comte, auteur
u Système de philosophie positive et du Système de politique positive.
Tome Premier, contenant le Système de Loqique Positive ou
Traité de Philosophie Mathématique. Paris. 1856.
- 2 -
a tenu à la joindre à ses exemplaires et Ton pourra
se la procurer chez lui.
Voici maintenant les points de cette édition qui
doivent être corrigés ; ils sont presque tous passés de
la première dans celle-ci.
Pa«e 282 ligne 23, au lieu de + (^ ^a ; ** - 4ac ~ )
/ bd — 2ae d \
lisez : + V.7p-2a yW=^^^ 2a )
1
Page 286 avant-dernière ligne, au lieu de -f — Vc^c
lisez ± ^- ^ eic
Page 293 ligne 1*"", au lieu de au n? 30, lisez : au n* 29.
Page 305 ligne 19, au lieu de ea? — 1, lisez ex — 1.
Page 314 ligne 26, au lien de + (l — -^-) y",
Page 317 ligne 8, axi lieu de pw" + r~== u",
lisez pa/' + r == «".
vT
Page 319 ligne 4, au lieu de —7-,
lisez 77" •
u
avant-dernière ligne, au lieu de «*+P^' — 2/3y"+ 1/'*=0,
lisez: a« + /5' — 2aar" = 0
Page 324 ligne 12, au lieu: d?mn ançle taujimrêf
lisez: éPam amgle droit to^ouirê ;
l^e 15, au Ueu de n.» 41, lisez n,*» 42.
Page 330 ligne 21^ au lieu 4e
wi , — wia*
lisez : ar = : - . - - :->!' =
Page 338 ligne 21, au lieu de V = -^,
lisez V = — o"
Page 342 ligne 1^, au lieu de : les âmx ptrints mémen
de la droite j Miàfiz : les ti)ointë nhêuieë de la droite ek.
— 3 —
Page 345 ligne 26, au lieu de + 2a^, lisez — 2ajj ;
ligne 30, au lieu de +(<?*+«") lisez + («>* + «*).
Page 353 ligne 12, au lieu de le lieu des prqpriétéSj
lisez le lieu des projections.
ch)h^
m mi m
Page 358 ligne 21, au lieu de, y = vix + ,
V tt' + '^^w^'*
lisez : y = iaxJ^ - - ^
Page 365 ligne 27, au lieu de
(a — «>) « = a'* + y» + 2a'6' ^w V,
(a + &) * = a'« + y"— 2a'y #tn V,
lisez: (a + 6) « = a'* + 6'^ + 2aV w/i V,
(a — ô)« =a'' + y» — 2a'6' *m V.
Page 390 avant-dernière ligne, au lieu de
2cd + 6» -== ô'^, lisez : 2cde + e?» = Vd^.
Page394. ligne 9, au lieu de— g ("£■)» ^^^^""2" (m)*
Page 396 dernière ligne, au lieu de
lisez: V = «-^-y (-|-»* + **)•
Page 400 ligne 18, au lieu de AB = ^.^ o^+lV
<2 Bin 2^
lifiez : AB = . . , ^>c-
sin (a-|-20
Page 404 ligne 27, au lieu de
4- (co«' 2<f — OOB 2 (a + 6) ),
lisez : -^ (co6 2^ — cos 2 (a + tf) ).
Page 413 ligae 18, au lieu der = w-^^^ — /j[+<^,
lisez: r=^-i-i>«-2 + ^». (*)
Page 478 ligne 5, (note) au lieu de <P = (^' — ^\ + etc,
lisez: (ï- -.(;?'' — ^ )«+ etc.
Page 515 ligne 13, au lieu de = 1^ (;5 — oa; — ô (y— -s) )',
lisez : = r* (;c; — ax-^h {y-—r) )^
Page 557 dernière ligne, au lieu de « (a? — a),
lisez : a{x — «).
(*) Toutes ciîîj orr^iirti sont pus-sécî* de la première. édition dniis C(?lle-ci.
cîn fi
l*age 562 avant-dernière ligne, au lieu de / =
,. , sin 0
Usez: y ="2^
REMARQUES SPÉCIALES SUR LE TEXTE
Page VI. Sur l'accueil fait à la Géaniétrie Analytique,
voir les Lettres à Stnart Mill, page 146.
Page 1 — Voir sur la distinction scolastique entre la
géométrie à deux et à trois dimensions, la Synt,
Sub.j page 335.
Page 1. Voir sur la dénomination Géométrie Analytique
la Synt. flub., pages 168 à 169.
Voir sur le vrai mérite de Descartes dans la conce-
ption de la Géométrie Grénérale, la 8ynL Snb.,
pages 337 à 338.
Page 17. Voir sur l'impropriété du mot fonction dans le
langage mathématique, la %/i^ S/ub,, pages 197 à 200.
Voir sur la création de nouveaux élhnents algé-
briques la t^ynU 8ub,y pages 194, 212 à 214.
Voir sur le théorème des trois carrés, généralement
attribué à Pithagore, la Politique Positive, tome III,
pages 301 à 302. Notre Maître y fait voir que nous
devons cette découverte aux théocrates.
Page 22. Voir sur les lacunes de la géométrie carté-
sienne, la Synt. Sub., pages 345 à 350.
Page 34. Voir sur la loi cartésienne de l'interprétation
concrète des signes + et — , la Synt. Sub., pages 205
à 207.
Pages 173 et 278. Voir sur les courbes exclusivement
douées de diamètres rectilignes, la Synt. Sub,, page
392. Notre Maître y corrige ce passage de sa Géo-
métrie Anafytique^ (*)
Page 302. Voir sur l'origine conique des propriétés
focales la Synt. Sub., page 315 où cette origine a
été indiquée.
Page 493. Voir sur l'institution de la géométrie com-
parée les Lettres à Stuart MiU, pages 126 à 128.
K. Teixeira Mkndss
Vice-directeur d« rApoitolatPoritiTiflto du Br^sU
(42. Rue Benjamin Constant)
Né à Gaxias (Maranhâo) le 6 Janvier 1865.
■p. 1 23 Charlemagne 106
' "lïcTJuiïletlSM.)
(*) Cette remarque remplace lu note reotiUaitive annoncée auûL
pages 173 et 278.
r •
m
7/r
Pl.f
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H
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, X
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Fitf.22
Fitf 27
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