(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "La logique déductive dans sa dernière phase de développement"

Q A 

9 

P13 

1912 

MATH 

Locked 
Case 




BERKELEY 

LIBRARY 

MIA 



i:x IJBRIH 

PIJ M. OLE AS OX 



THE LIBRARY 

OF 

THE UNIVERSITY 
OF CALIFORNIA 



Bought from 

Griffith C. and Isabel John I 
Evans 




^L 



4r 




LA 



LOGIQUE DEDUCTIVE 

DANS SA DERNIERE PHASE DE DEVELOPPEMNT 



PAR 



ALESSANDRO PADOA 



AVEG UNE PREFACE 

DE 
GIUSEPPE PEANO 



PARIS 
GAUTHIER-VILLARS, EDITEUR 

00, QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS 

1912 



WATH-STAT, 



PREFACE 



Plusieurs savants de tons pays ont adopte 1 ideographie 
logique, telle qu elle a ete perfectionnee et completee de nos 
jours. 

M. Padoa deja mon eleve distingue et maintenant mon 
collegue et ami a donne sur ce sujet, depuis 1898, des series 
de conferences tres suivies dans les Universites de Bruxelles, 
Pavie, Rome, Padoue, Cagliari et Geneve, et a fait des com 
munications tres appreciees aux Cong-res des philosophes et 
des mathematiciens a Paris, Livourne, Parme, Padoue et 
Rologne. 

En poursuivant son oeuvre de collaborates et de vulgari- 
sateur. M. Padoa s est propose de meltre tout le monde a 
memo d apprecier la simplicite et la puissance du langage 
ideographique qui a donne naissance a un nouveau develop- 
pement de la logique deductive et a une nouvelle analyse des 
differentes branches des mathematiques et de consulter avec 
profit et sans difficulte les nombreux ouvrages dans lesquels on 
en fait 1 application. 

Le but me parait alteint par ce traite, qui est clair, ordonne, 
complet : il contient 1 explication de tous les symboles logi- 
ques, 1 etude de leurs proprietes, 1 analyse de leurs liens et leur 
reduction an nombre minimum, clue a M. Padoa. Reaucoup 
d exemples, tires du langage courant et du langage scientifique, 
en rendent la lecture plus intelligible et plus agreable; et des 



P/3 



_ 4 - 



notices hisloriques bien choisies permettent cle suivre les 
progres de ces etudes, depuis Leibniz jusqu a nos jours. 

Enfm, bien qu il soit assez mince, ce traite fait connaitre tout 
ce qu on sait stir cette science, qui interesse aussi bien les phi- 
losophes que les mathematicians. 



Turin (Universite), mai 1912. 

GIUSEPPE PEANO. 



LA LOGIQDE DEDUCTIVE 

DANS SA DERNIERE PHASE DE DEVELOPPEMENT 



AVANT-PROPOS 

TERMES LOGIQUES ET TERMES SCIENTIFIQUES DANS LE LANGAGE ORDINAIRE 

1. Prenons un livre qui puisse meriter notre confiance au point de 
vue de la propriele du langage, par ex. un traite de geometric ele- 
mentaire; et, en le lisant, proposons-nous d 1 y separer les termes 
scientifiques (savoir en ce cas, ceux qui sont propres a la Geometric 
et, en d autres cas, ceux qui sont propres a TArithmetique, a la Phy 
sique, a la Chimie, etc.) de ceux qu on emploie dans un discours sur 
un objet quelconque, et que pour celaj appellerai lermes logiques, au 
sens etymologique du mot. 

2. Gertainement, il y a des mots qui ne permettent aucune hesi 
tation sur le choix du vocabulaire dans lequel ils doivent etre places ; 
par ex., les mots 

1. G est le litre cTun Cours de sept conferences que je viens de faire sous les 
auspices de 1 Universite de Geneve. Mes nombreux auditeurs 1 ont suivi avec 
un interet qui a depasse mes previsions les plus optimistes et plusieurs d entre 
eux m ont aimablement demande de le publier. 

II etait conforme a mon but de vulgarisateur de leur clonner satisfaction, mais 
certainement je ne 1 aurais pas encore fait si la Revue de Metaphysigue et de 
Morale ne me faisait 1 honneur de me puhlier, malgre la longueur du texte 
et les difficultes typographiques. 

J exprime done ma plus vive reconnaissance a mes auditeurs de Geneve, a la 
direction de cette Revue et a 1 editeur M. Gauthier-Villars qui a bien voulu se 
charger de la diffusion de rnon ouvrage. 

L Avant-propoa a etc ma le^on d ouverture, I ldeogrctphie logique m a pris 
deux lecons et la Logique deductive les deux suivantes. J ai consacre les deux 
dernieres legons de mon Cours a un essai de Methodologie pure et applique e (aux 
principes de 1 Arithmetique), que maintenant je laisse de cote, parce que, avant 
de le publier, je me propose de le developper davantage. 

Lorsqu il ne s agit pas de fixer une date, il me parait inutile de citer mes 
publications, dout j ai emprunte plusieurs materiaux epars, en les coordonnant 
et en les completant; je prefere reserver mes citations pour les autres auteurs. 
G^nes (Institul technique), mai 1912* A. P. 



_ 6 

point, droite, plan, circonference 

seront places dans le vocabulaire geometrique 1 , tandis que les mots 
chaque, quelque, aucun, seulement 

trouveront leur place dans le vocabulaire logique. 

Mais, si la distinction est simple pour ces mots, dont chacun a 
toujours la meme signification, elle n est pas si simple pour les mots 
qui ont plusieurs significations, c est-a-dire pour la majorite. 

Eneffet, il suffit par ex. d ouvrir, a n importe quelle page, un dic- 
tionnaire frangais-italien, pour y rencontrer des mots qui doivent 
etre traduits d une maniere difierente selon 1 emploi qu on en fait 
dans le discours : ce qui prouve la multiplicity de leurs significa 
tions. 

3. Mais, dira-t-on, dans la plupart des cas il s agit de nuances qui 
ne pourraient avoir aucune influence sur la nette separation entre 
le vocabulaire logique et le vocabulaire d une science speciale. 

Malheureusement les choses ne se passent pas ainsi; il y a, en 
effet, beaucoup de mots bien propres a nous mettre dans une per- 
plexile embarrassante, meme parmi ceux que notre dictionnaire 
nous apprend a traduire d une maniere uniforme. 

C est le cas, par ex., du mot un qu on traduit en italien 
uno , aussi bien dans Tune que dans 1 autre des propositions : 

Praxitele fut un sculpteur, 
un et un font deux, 

bien que dans Tune il soit employe comme terme logique et dans 
1 autre comme terme arilhmetique , par suite malgre son unicite 
de traduction, qui pourrait faire croire a son unicite de signification 
le mot un doit etre place aussi bien dans Pun que dans Vautre 
vocabulaire. 

Cetexemple prouve que si 1 etude d une langue etrangere est un 
moyen pour reflechir sur les differentes significations des mots 
qu on a appris a employer correctement par la force de 1 habitude 
ce moyen n est pas le seul, ni le plus efficace. On arrive, en effet, 
a une analyse plus subtile moyennant une autre espece de traduc 
tion; c est-a-dire en tachant de remplacer le mot qu on veut etudier 

1. Bien que le mot point soit aussi employe a la place de pas ou de 
nullement , et par suite au sens logique. 



par d autres mots tires de sa propre langae. Gar la necessite, dans 
laquelle on se trouve parfois, de remplacer le meme mot d une 
maniere differente, nous donne la preuve decisive de la multiplicity 
de ses significations. 

L emploi systematique de ce procede nous porte a cetle assertion 
paradoxale : qu on n est pas maitre d 1 un mot, jusqu a ce qu on ait 
reussi a s en passer, en le supprimantou en le remplagant! 

Par ex., le mot un qui se trouve dans la premiere des deux 
propositions enoncees ne pourrait nous preoccuper, car nous pou- 
vons le supprimer, tout bonnement. Mais il n en est pas ainsi du 
meme mot dans la seconde proposition; on ne pourrait le supprimer 
et pour le remplacer il faudrait analyser les principes de I arilhme- 
tique. 

4. Pour un autre exemple, prenons le mot sont , indicatif pre 
sent du verbe etre, troisieme personne pluriel. 

Quelqu un sera peut-etre dispose a le placer seulement clans le 
vocabulaire logique; mais, pour lui faire changer d avis, il suffit de 
lui faire analyser les deux propositions : 

les rubis sont rouges 
les mois sont douze. 

Leur ressemblance est apparente; en eflfet, tandis qu on peut 
mettre la premiere au singulier, en disant : 

tout rubis est rouge 
on ne pourrait pas dire : 

tout mois est douze. 

G est qu apres le sont de la seconde proposition on peut ima- 
giner sous-entendus tons les mots suivanls : 

autant que les nombres de la succession naturelle de 1 jus- 
qu a 12 ; et on voit alors, qu en ce sens tout a fait exceptionnel, le 
mot sont doit etre place dans le vocabulaire arithmetique. 

5. Mais aliens feuilleter le livre de geometric dont j ai parle au 
commencement. J y lis : 

cette droite passe par le point donne. 

Placerons-nous le mot passe dans le vocabulaire geometriquel 
mais, puisqu ici on peut 1 eviter en disant : 



8 
le point donne apparlient a cette droite 

et comme le mot appartient est un terme logique, il faut conclure 
qu ici le mot passe Test aussi. 

Je feuillette encore et je rencontre une proposition qui com 
mence ainsi : 

le lieu des points tels que, etc. 

Arretons-nous ; ou faut-il placer ce mot lieu ? dans le vocabu- 
laire geometrique? Mais, est-ce qu on ne pourrait pas dire, et bien 
dire : 

[ ensemble des points tels que, etc.? 

Or, comme ensemble est un terme logique, le mot lieu , 
dans 1 acception consideree, Test aussi. 
Je continue a feuilleter et ici je lis : 

si un point est donne en dehors d un plan, etc. 
et plus loin : 

si un point est donne en dehors d une surface spherique, etc. 

Qu allons-nous faire de ce mot dehors ? Dans le premier cas, on 
enonce tout simplement que le point donne rf appartient pas au plan 
considere et par suite il s agit d un terme logique; mais, dans le 
second cas, outre qu affirmer que le point n appartient pas a la 
surface spherique, on veut exclure qu il se trouve a Vinterieur et par 
suite ici il s agit d un terme geometrique. II faudra done placer le mot 
dehors dans les deux vocabulaires a la fois. 

6. Vous voyez done que tres souvent il est impossible de preciser 
la signification d un mot sans connaitre IB, phrase dans laquelle il est 
employe. 

On pourrait alors projeter d etendre et de perfectionner nos 
vocabulaires, en n y placant pas seulement des mots, mais des 
locutions, savoir : le peu de mots isoles qui ont toujours la meme 
signification et, a cote de chacun des autres, Loutes les phrases qui 
en precisent les differentes significations. 

Mais, puisque ce projet est justement celui de tout compilateur 
de vocabulaires et de dictionnaires, ne menagerions-nous pas nos 
forces... en nous contentant d acheter la derniere edition du 
Larousse?! 



II nous reste cette derniere esperance : notre analyse patiente et 
diligente nous permetlra, peut-etre, d atteindre un plus haut degre 
de perfection, en vue de notre but (qui etait, ne 1 oublions pas, la 
nette separation entre les termes logiques et les termes d une science 
particuliere quelconque). 

^ Helas! aux difficultes dont j ai donne quelques exemples, d autres 
s ajoutent, plus difficiles a surmonter. 

D abord, il faudrait preciser ce que nous entendons par une 
phrase; quelle etendue allons-nous donner a chacune d elles? On 
pourrait dire : nous considerons comme phrase complete et indivisible 
tout groupe de mots ayant toujours la mem* signification et auquel 
on ne pourrait oter un seul mot sans lui faire perdre cette precieuse 
unicite de signification. 

C est bien. Cependant, dites-moi, s il vous plait, quelle phrase 
complete pourrzil-on tirer, par ex., de la proposition : 

A est equivalent a Z7? 
le groupe de mots : 

esl equivalent a? 

Mais non; car, si on veut 1 eviter, il faut le remplacer diflerem- 
ment selon 1 interpretation des lettres A et B; par ex., si AeiB 
sont des rectangles , par 

a la meme aire que ; 
s ils sont des prismes , par 

a le meme volume que ; 
s ils sont des locutions , par 

a la meme signification que; 

et d une autre maniere encore s ils sont des fractions . 
Ainsi, dans les deux premiers cas le groupe de mots 

est equivalent a 

appartiendrait a la Geometric, dans le troisieme a la Logique et 
dans le dernier a YArilhmetique; nous ne pouvons done pas meme 
Fappeler une phrase, au sens que nous avons essaye de preciser 
tout a Theure. 

7. Je ne crois pas necessaire d insister sur ces difficultes, pour 
vous convaincre que le projet de composer nos deux fameux 



10 

vocabulaires n est pas si aise a executer que d abord on aurait pu 
le croire. 

Au contraire, il est parmi les plus ardus, exigeant une connais- 
sance, scientifique aussi bien que litteraire, profonde et bien 
assuree, de la signification de chaque mot : signification qui a 
1 examen attentif d un esprit exerce se revele, pour la plupart des 
mots, si variable qu il devient tres difficile de la saisir et de la fixer, 
chaque fois, avec une precision irreprochable. 

Et une difficulte encore plus grande nous est presentee par 
Tanalyse des mots qui expriment les concepts fondamentaux moyen- 
nant lesquels une certaine branche du savoir se separe du grand 
tronc des connaissances communes; car, peu a pen, le langage 
ordinaire absorbe et defigure la partie elementaire des terminologies 
speciales. 

Or, celui - - qui aura persevere en cette diligente analyse du 
langage ordinaire jusqu a 1 accomplir, au moins par rapport a une 
science determined, et voudra en faire recueillir les fruits par ceux 
qui n ont ni le temps ni la patience de parcourir, pas a pas, un 
chemin si penible -- reconnaltra que ce meme langage qu : il vient 
d analyser est incapable tfexprimer avec precision les resultats de 
ses subtiles recherches. 



IDEOGRAPHIE DES ALGEBRISTES 

8. Ces defauts du langage ordinaire furent remarques et 
elimines, pour la plupart, par les algebristes, qui, au moins dans 
les parties essentielles deleurs ecrits, les remplacerent, peu a peu, 
par une ideographic speciale : c est-a-dire par une ecriture conven- 
tionnelle dans laquelle a chaque symbols on fait correspondre une 
idee, par une coordination immediate de Tesprit. 

Les symboles, precisement parce qu ils sont etrangers a tout 
langage naturel, sont unicersels et ne demandentaucune traduction; 
ils n exigent pas meme de lecture. Cependant, chacun peut les lire 
par les locutions les plus appropriees qu il trouve dans salangue; 
mais, au lieu d inferer la signification d un signe de sa lecture, c est 
celle-ci qui doit etre adaptee, le mieux possible, a la signification 
du symbole; et cette signification doitresulter seulement de Yemploi 
qu on peut faire de ce signe. 



11 

Ainsi, par ex., a chacun des symboles arithmetiques 



correspond, tout de suite, la meme idee dans 1 esprit d un Italien 
et. d un Anglais; et, pour qu un Italien et un Anglais s accordent a 
admettre que 

+ 3 = 8 

aucun d eux ne sent le besoin de savoir comment lautre lit cette 
ecriture. 

Et si, par ex., un Francais lit plus le signe -h , c est 
qu entre les differentes significations du mot plus il y a aussi la 
signification universellement atlribuee a ce symbole; mais tandis 
qu on peut toujours remplacer le signe -+- par le mot plus 
personne, si ce n est un amateur de rebus, ne rernplacerait le mot 

plus par le signe -4- en traduisant le vers de Dante : 







Tanto e amara che poco e piu morte. 

9. D ailleurs -- et le langage de la Geometric nous en oflre un 
exemple -- on peut composer une ideographic avec des mots, en 
choisissant,pour exprimer chuqueidee, la locution que I etymologie 
et 1 usage ont consacree; mais en imposant ensuite etexplicitement 
a cette locution de representer seulement cette idee, comme si 
I etymologie ne Jui donnait aucune signification et 1 usage n en 
permit aucune autre. 

Cependant tandis que Tideographie algebrique, elant composee 
de signes, est arrivee, relativement, en peu de temps a un si haut 
degre de perfection et d universalite 1 ideographie geometrique, 
etant composee de mots et entravee par les exigences philologiques 
et par une tradition millenaire, est restee nationale et souvent 
ambigue dans une meme langue. De sorte que, lorsqu on veut 
construire une ideographic nouvelle, il est preferable d avoir 
recours a des signes, brefs et universels, au lieu de gaspiller son 
temps & analyser, debattre et sanctionner la signification des mots; 
c est pourquoi Yideographie logique a etc composee de signes plutot 
que de mots. 

10. L imprecision du langage ordinaire, dont je vous ai parle, 
justifie les promoteurs et les partisans de I ideographie symbolique 



cTavoir recours a elle comme moyen ^analyse et & expression scien- 
tifiques. Dois-je ajouter qu ils n ont jamais eu la risible prevention de 
Temployer a la place des langages naturels dans les usages eommuns 
de la vie et moins encore dans le domaine de 1 Art? et qifon se 
tromperait tout a fait en les croyant indifferents aux beautes 
merveilleuses des idiomes nationaux, dont la plasticite inepuisable 
conserve le cachet de tous les genies des grandes families humaines? 
La Science et TArt sont les deux grandes manifestations de notre 
esprit et sont egalement admirables et bienfaisants. Mais, comme 
ils out une substance et un but differents, its exigent des outils 
divers; et si la rigidite du langage scientifique ne peut convenir a 
la grace de TArt, la souplesse du langage artistique pourrait etre 
nuisible a la rigueur de la Science. 



LE REVE DE LEIBNIZ ET SA REALISATION 

11. La recherche et la construction d une Ideographic logique a ete 
le souci le plus assidu, je dirais presque le plus penible, de Gottfried 
Wilhelm Leibniz pendant sa longue et glorieuse vie intellectuelle 
(1646-1716). 

Des sa premiere jeunesse, il en sent le besoin et en a la premiere 
intuition; a vingt ans il entrevoit en elle 1 etoile polaire du raison- 
nement et encore dans ses dernieres lettres il insiste sur son 
ancien projet et regrette de ne pas 1 avoir realise. II ecrivait : Si 
j avais ete moins distrait, ou si j etais plus jeune, ou assiste par des 
jeunes gens Men disposes, j espererais donner une maniere de cette... 
langue ou ecriture universelle, mais infmiment difterente de toutes 
celles qu ? on a projetees jusqu ici, car les caracteres... memes y 
dirigeraient la raison, et les erreurs... n y seraient que des erreurs 
de calcul. II serait tres difficile de former ou d inventer cette 
langue... mais tres aise de 1 apprendre sans aucun diction- 
naire . 

Cependant meme a lai, qui a 3te Tun des mathematiciens et des 
philosophes dont 1 humanite peut s honorer le plus, ne 1 ut pas 
epargnee la douleur de la raillerie. II ecrivait dans sa veillesse : J en 
ai parle a M. le marquis de 1 Hospital et a d autres, mais ils n y ont 
point donne plus detention que si je leur avais conte un songe. II 
faudrait que je Tappuyasse par quelque usage palpable, mais pour 



13 

ceteffet il faudrait fabriquer une parlie au moins de ma langue ; ce 
qui n est pas aise, surloiit dans 1 etat ou je suis . 

12. Mais, environ deux siecles apres, ce reve de Tun des inventeurs 
du calcul infinitesimal est devenu une realite. 

A la formation d une Ideographic logic/lie ont contribue, apres 
Leibniz, ses deux eleves Segner (1704-1777) et Lambert (1728-1777^ 
son perfectionnement progressif est du aux importantes recherches 
de plusieurs mathomaticiens et philosophes, parmi lesquels je me 
contenterai de rappeler ici de Morgan (1806-1871), Boole (1815-1864) 
Schroder (1841-1902), Me Coll, Peirce, Macfarlane, Peano (dont je 
suis fier d etre disciple et collaborateur), et Russell 2 . 

13. En 1889, M. Giuseppe Peano (professeur d analyse infinitesi- 
male a 1 Universite de Turin) parvint le premier a exposer une theorie 
complete definitions, postulats, theoremes et demonstrations 
en remplacant tout a fait le langage ordinaire par un petit nombre 
de symboles a signification precise et constante. 

Onze ans apres, 67 memoires avaient deja paru en different* 
pays, dans lesquels 15 auteurs adoptaient Yldeographie logiquc telle 
qu elle avait ete completee par M. Peano *. 

De nouvelles et nombreuses dissertations ont paru ensuite, dans 
plusieurs revues et dans les comptes rendus de Congres et d Aca- 
demies d Europe et d Amerique; et des 1892 plusieurs disciples ont 

1. Opera philosopltica, Erdmann, Berolini, 1840, p. 701, 703. 

2. Voici les oeuvres principales des auteurs que je viens de nommer : 
begner (lohann Andreas), Specimen logic* uniuertaliter demonstrates, 1740. 
Lambert (lohann Heinrich), Logische und philosophise/a Aohandlungen 1781 
De Morgan (Augustus), Formal logic, 1847; On the syllogism, 1858. 

Boole (George), Mathematical analysis of Logic, 1 847 ; The laws of thought \ 854 

Schroder (Ernst), Operations kreis des Logikkalkuls, 1877; Algebra der Loyi/c , 
1890, 1891, 1895. 

Me Coll (Hugh), The calculus of equivalent statements, 1878. 

Peirce (Charles), Three papers on logic, 1867; On the Algebra of Logic 1880. 

Macfarlane, Principles of the Algebra of Logic, 1879. 

Russell (Bertrand), Sur la logique des relations, 1901; The Principles of 
Mathematics, 1903. 

De M. Peano je devrais donner une bibliographic tres etendue; j en rappelle, 
pour le moment, ses Arithmetices principia, nova methodo exposita, 1 ouvra^e 
dont je vais parler dans le texte. 

3. On en trouve la liste dans la Revue de Mathematiques, t. VII, p. 3, qui 
dingee par M. Peano, contient plusieurs de ses recherches originales et de celles 

is collaborateurs. (Dans les citations, j indiquerai cette revue par RdM ). 



14 

collabore el collaborent avec M. Peano a la publication du Formu- 
laire mathematique, qui est deja arrive a sa o e edition. 

C est un ouvrage qui s accroit toujours et qui contient deja plu- 
sieurs milliers de propositions qui vont de la Logique a 1 Arithme- 
tique, au Calcul infinitesimal et aux theories plus recentes des Qua 
ternions et de la Geometric differentielle; elle est encore enrichie 
par de nombreuses notices historiques et bibliographiques sur la 
Logique et les Mathemaliques, qui meritent toute confiance par leur 
exactitude soigneusement conlr61ee, et dont la plupart sont dues a 
M. Giovanni Vacca. 

Apres M. Peano, le maitre reconnu des etudes de Logique mathe- 
matique en Italic, je dois rappeler deux savants morls depuis peu : 
Albino Nagy (1866-1901), un precurseur de la derniere phase *, et 
Giovanni Vailati (1863-1909), un savant genial, dont on vient de 
reunir en un gros volume les ecrits qu il avait repandus en de nom 
breuses revues 2 . Et parmi les vivants : M. C. Burali-Forti, produc- 
teur et vulgarisateur 3 , et M. Mario Pieri dont les recherches rigou- 
reuses sur les principes de la Geomelrie, elementaire et projective, 
ont le cachet des nouvelles etudes de logiques. 



REFUTATION D UN SOPUISME ET D UNE OBJECTION SCEPTIQUE 

14. II y a douze ans, un professeur de Philosophic theorique declara 
na ivement ne pas vouloir s occuper de Legique mathematique, 
parce que (declarait-il) ou elle mene a des resultats differents de 
ceux de la Logique traditionnelle et alors elle est fausse\ ou elle 
conduit aux memes resultats et alors elle est inutile . 

Mais au lieu d un dilemme spirituel et inattaquable, ainsi qu il le 
croyait, il s agit d un sophisme ingenu; car la Logique mathema 
tique outre qu elle a precise les rapports mutuels entre les con 
cepts qui appartenaient a la Logique traditionnelle en a revele 
plusieurs de plus intimes ou de plus complexes, qu on n avait pas 
encore soupQonnes et qu on aurait difficilement decouverts par 
une autre methode de recherches. Gela a ete desormais reconnu par 
plusieurs savants qui d abord en avaient doute. Par exemple, tandis 

1. Dont j ai donne une notice biographique et bibliographique dans la Rivista 
filosofica, Pavia, 1901, fasc. III. 

2. Scrilti di G. Vailati, Firenze-Seeber. Leipzig, Barth, 1911. 

3. Dont ici je rappelle seulement : Loyica matematica, Milano, Hoepli, 1894. 



15 

qu en 1900 M. L. Couturat, tout en admettant que Tecole italienne 
avait atteint des resultats merveilleux de rigueur et de subtilite , 
demeuraitincertain si Ton devait les atlribuer al utilite du symbo- 
lisme logique ou a la penetration des savants qui le manient 1 , en 
1905 il affirma sans hesitation que c est Finstrument indispensable 
pour rejoindre la purete logique des concepts et la rigueur deduc 
tive des raisonnements 2 . 

On pent ajouter que cet instrument ne cesserait pas d etre pre- 
cieux, meme s il ne devait pas etre juge necessaire par des esprits 
souverains. Ainsi, le fait que Diophante (325-409) a resolu des 
systemes d equations lorsque les artifices de 1 Algebreetaient encore 
ignores 3 , n 6te rien au prix inestimable de ces precedes : puisque, 
moyennant leur aide, des intelligences mediocres peuvent resoudre 
aujourd hui des questions que Diophante, avec les moyens dont la 
science disposait alors, n aurail pas pu resoudre, ni meme soupgon- 
ner. De meme, les chernins de fer et les bateaux a vapeur permet- 
tent aujourd hui a qui que ce soit de franchir aisement des distances, 
qu autrefois seulement peu de gens tres audacieux osaient braver. 

15. Un de mes amis se plaisait a lancer contre toute espece de 
Logique une objection qu il estimait decisive : elle ne guerit ni les 
idiols ni les fous, et pour les sages elle ne sert a rien . Mais il 
reconnut son erreur, lorsque je lui donnai 1 exemple d un rustre, 
qui entendant parler du microscope, demandait s il guerissait les 
aveugles; et, ayant appris que non, ne comprenaitpas quelavantage 
pouvaient en tirer ceux qui ont les yeux sains. 

En efl et : comme le Microscope est un instrument et la Bacterio- 
logie est une science, et ni 1 un ni 1 autre ne nous apprennent a voir, 
ainsi 1 Ideographie logique est un instrument et la Logique mathe- 
matique est une science, et ni Tune ni 1 autre ne nous apprennent a 
raisonner. Mais, comme le Microscope permet de voir lesbacilles qui 
par leur petitesse echappent a la vue ordinaire, de meme Tldeogra- 
phie logique nous permet de representer des concepts qui par leur 
subtilite echappent a toute determination precise avec le langage 
ordinaire. 

1. Les Mathematiques au Congres dePhilosophie : L enseignement mathematique, 
Paris, Carre et Naud, 15 nov. 1900, p. 401. 

2. Les Principes des Mathematiques. Paris, Alcan, 1905, p. v, vi (Avant-Propos). 

3. Atofdcvrou AXt|av8pit0< Ap .6[xr ( Ti-/.a)v. 



16 

Ainsi, pour ceux qui apprennent a s en servir, 1 Ideographie 
logique n est pas, com me le langage dela Logique scholastique, une 
robe somptueuse et encombrante dont le professeur se degage 
aussitutsa legon achevee; mais la compagne secrete et fidele de son 
travail, a laquelle il a recours sans cesse lorsqu il veut sonder la 
rigueur de ses raisonnements ou de ceux d autrui. 

Certainement, le Microscope et 1 Ideographie ne creent pas des 
bacilles et des concepts; mais ils les revelent a Foeii et a 1 esprit, de 
maniere a en former 1 objet des etudes du Bacteriologue et du 
Logicien. Et meme si ceux-ci en vulgarisent la connaissance, en 
les reproduisant d une maniere approximative dans des dessins ou 
des phrases comprehensibles par n importe qui, ceux qui voudront 
penetrer Fessence intime de ces etudes et les faire progresser 
devront avoir recours a 1 emploi direct de ces instruments. 



LE VOCABULAIRE LOGIQUE REDUIT A UNE LIGNE 

16. II ne faut pas croire que I ldeographie logique soit le resullat 
de conventions absolument arbitraires ; car si le choix des signes 
moyennant lesquels on represente les idees n est subordonne qu a 
des exigences de commodite et de clarte la liberte dans le choix des 
idees qu il convient de representer par des signes est tres restreinte. 

Comme la Chimie, en exploitant avec habilete les reactions 
mutuelles entre les corps, arrive a decomposer plusieurs d entre eux 
dans leurs elements les plus simples et, outre qu elle peut repro- 
duire ceux-la, parvient ensuite a associer ceux-ci en de nouvelles 
syntheses plus complexes; ainsi une diligente analyse des rapports 
mutuels entre les idees conduit a decouvrir celles qui sont, d une 
certaine maniere, les elements constitutifs de toutes les autres, et 
dont les groupes, outre qu ils reproduisent les idees qu on vient 
d analyser, en suscitent dans la pensee d autres completement nou 
velles. 

En effet, les symboles logiques dont je vous expliquerai la 
signification, 1 emploi et les proprietes ne sont qu au nombre de 
seize, et ils suffisent amplement pour exposer une theorie deductive 
quelconque, en renoncant tout a fait au langage ordinaire; pourvu, 
naturellement, que la theorie dont il s agit ait son ideographic 
complete. 



M 

17. Par exemple, pour supprimer 1 emploi des mots dans les 
enonces et dans les demonstrations des 97 propositions qui composent 
ma theorie desnombres entiers relatifs 1 , je n ai recours qu a9sym- 
boles logiques et (voyez etrange coincidence) a autant de symboles 
algebriques! 

Voici le vocabulaire logique que j ai employe dans ce memoii-e, 
pour y remplacer tout a fait le langage ordinaire : 



Une ligne suffit a le contenir, maisj aurais pu le restreindre davan- 
tage, ainsi que je vous demontrerai dans la suite [127]. 

Bien que ces symboles doivent paraitre mysterieux a ceux d entre 
vous qui ne les avaient jamais vus, leur nombre est si petit que tout 
le monde doit se sentir bien rassure. En effet j ose affirmer que 
T Ideographic logique est incomparablement plus facile que tout 
autre langage connu; et vous en avez la preuve dans le fait qu en 
deuxlegons, pas plus, je me propose de faire penetrer votre esprit 
dans 1 essence intime de ce langage sans pareil. Est-ce que si pen de 
temps suffirait pour apprendre a lire seulement, une langue etran- 
gere, meme une de celles qui ont avec le frangais une parfaite com- 
munaute d origine, tel que 1 italien ou 1 espagnol? 

Et il faut ajouter que, tandis que pour les langages naturels le 
legere est si loin de V intelligere que plusieursannees d etude 
systematique ne suffisent pas a soustraire les meilleurs eleves de nos 
ecoles a la tyrannic du diclionnaire et de la grammaire, pour I fdeo- 
graphie logique, ainsi que vous pourrez rexperirnenter, lire et com- 
prendre c est la meme chose. 



LA STENOGRAPBIE ET LES LANGUES ARTIFICIELLES 

18. Tout le monde sait que la stenographic ne fait qu abreger la 
representation graphique des differents langages naturels, sans eli- 
miner leurs diversites phoniques; ainsi, par exemple, un Anglais et 

1. Numeri interi relativi, Revue de Mathematiques publiee parG. Peano, Turin, 
t. VII, n. 2, a. 1901. G est la traduction symbolique de la theorie que j avais 
presentee en 1900 a Paris aux Congres de Philosophic (Esaai cVune theorie alge- 
brique desnombres entiers precedee d 1 une introduction logique a une theorie deduc 
tive quelconque) et des Mathematiciens (Un nouveau systeme de postutats pour 
I algebre). 



PADOA. 



18 



un Allemand, qui emploient les memes signes stenographiques, sans 
que Tun connaisse la langue de 1 autre, se trouvent dans 1 impossi- 
bilile de dechiffrer reciproquement leurs ecrits. 

L universalite de 1 ideographie logique ne permet done pas de la 
considerer comme une stenographic, bien qu elle put meriter ce 
nom, au sens etymologique du mot, par sa concision merveilleuse; 
qui, aux avantages graphiques et editoriels bien appreciates, en joint 
un autre plus important que presente aussi la commune ideographic 
algebrique. G est-a-dire : tandis qu une ecriture prolixe retarde et 
entrave le travail intellectuel, en faisant paraitre complique ce qui 
est simple et empSchant presque d exprimer ce qui est vraiment 
complique, il arrive le contraire en employant une ecriture concise 
(pourvu qu elle ne soit pas ambigue). Car, en donnant une forme 
simple et compacte aux concepts les plus ardus et les plus complexes, 
elle excite la pensee a franchir ses bornes habituelles et 1 empeche 
de s egarer ou de s extenuer. 

Demandez a un mathematicien si, par exemple, 1 etendue enorme 
de 1 Analyse infmitesimale et de ses applications a la Geometric et a 
la Mecanique auraitete possible sans 1 aide precieuse d une ideogra 
phic appropriee ! 

19. D autre part, a cause de son universalite, on pourrait etre tente 
d associer 1 Ideographie logique aux langues Internationales arlifi- 
cielles, dont quelques-unes ont deja atteint un degre de perfection 
qui permet de les employer, avec une facilite suffisante et sans 
crainte d equivoques, meme dans une dissertation scientifique; voir 
par exemple les Discussionespublites psrYAcademia pro interlingua, 
dont le President est justement M. Peano qui, moyennant son Latino 
sine flcxione, a mis a execution un autre projet de Leibniz. 

Mais, en laissant de cote toute opinion a cet egard, les langues 
internationales artificielles ne sontque des instruments ^expression, 
comme les langages naturels, tandis que Tldeographie logique, seule, 
est un instrument ^analyse de la pensee. En effet, c est grace a elle 
seulement que Ton pent aujourd hui separer nettement, dans une 
science quelconque, les termes logiques et les termes speciaux qui 
sont propres a cette science. Car le merite essentiel de 1 Ideographie 
logique est celui d etablir une correspondance parfaite et immediate 
entre symboles et idees, de maniere a eliminer la possibilite des dis 
cussions interminables qui naissent de la signification ambigue de 



19 

quelques mots et qui n aboutissent a rien, ne detournant pcrsonne de 
son opinion. 

LOGIQUE MATHEMATIQUE? 

20. J ai deja dit que Hdeographie logique est un instrument etque 
la Logique mathemaliqueest une science [15]; maintenant je precise 
ma pensee en disant que la Logique mathematique est la Science dont 
Vldeographie logique est le Lang age. 

En effet comme toute Science, considered dans son expression 
verbale, n est autre chose que 1 ensembie de toutes les relations 
connues entre les symboles de sa terminologie specials de meme 
la Logique mathematique est f ensemble des relations connues entre les 
symboles logiques. 

En d autres termes, Vldeographie logique et la Logique mathema 
tique fournissent respeclivementleuoca&wZai?*e et l&syntaxe qui sont 
communs a toutes les Sciences deductives. 

21. Mais la Logique mathematique ne differe pas seulement par 
1 ecriture de la Logique traditionnelle : car, en vertu des actions reci- 
proques entre pensee et langage, dont j ai touche un mot et qui en 
Kent les progres d un lien indissoluble, le contenu de cette science 
s est perfectionne avec so. structure. 

Pour la distinguer de la Logique traditionnelle, M. Peano Tappela 
Logique mathematique, parce qu elle forme Introduction naturelle 
et necessaire aux Mathematiques et leur est comparable par la pre 
cision du langage et la rigueur des precedes. 

Cependant, cette denomination a donne naissance a une equivoque 
funeste qui en a retarde la diffusion. Presque tous les philosophes 
de profession qui, par le caractere plus litteraire que scienti Pique 
de leur preparation intellectuelle, ont une forte repugnance pour les 
formules se sont apaises par le renoncement a elargir 1 enceinte 
de leurs connaissances, en croyant peut-etre que cette Logique 
mathematique n etait qu une par tie de la Logique qu ils avaient 
apprise et qu ils enseignent. Ainsi, croyant peut-etre que 
cette partie avait ete developpee minutieusement pour les buts 
immediats des Mathematiques, les philosophes lettres ont cru 
pouvoir se soustraire a 1 etude penible de details techniques qu ils 
estimaient insignifiants a leur point de vue. 



_ 20 _ 

Eh bien! je crois que 1 ceuvre deja accomplie par M. Peano et par 
ses collaborateurs leur donne le droit d affirmer que la Logique 
mathematique est 1 extension nalurelle et perfectionnee de cette 
analyse de la pensee qu Aristote (-384, -322) congut, le premier, 
com me une science en soi l et a laquelle, jusqu a Leibniz, il fut 
ajoute bien peu, si Ton excepte quelques commentaires et quelques 
divagations non exempts d erreurs. Par suite il me semble que le 
temps est venu pour 1 appeler Logique deductive tout court : car, 
entre la logique traditionnelle et la logique mathematique, c est bien 
a celle-ci, qui contient 1 autre, que Ton doit la denomination la plus 
generate! 

Si grace a ce Cours je parviens a justifier cette affirmation auda- 
cieuse, j espere qu on trouvera raisonnable que j aie tenle la diffu 
sion de ces etudes en dehors de 1 enceinte, necessairement tres 
restreinte, des specialistes. 

22. D abord, dans mes deux prochaines legonsj expliquerai V Ideo 
graphic logique, en mettant tout le monde a meme de lire sans diffi- 
culte le Formulario mathematico et les dissertations originales des 
auteurs que je viens de nommer. 

Mais, comme la simple connaissance de la signification des 
signes employes dans rArithmetique et dans 1 Algebre ne permet pas 
d entrevoir Tampleur de ces Sciences et la variete de leurs applica 
tions de meme la seule connaissance de 1 ldeographie ne permet 
pas de deviner a quelle etendue est deja parvenue la Logique deduc 
tive dans sa derniere phase de developpement . II s ensuit qu en deux 
autreslegonssurce sujet, je ne pourrai en donnerqu un essai : assez 
vaste toutefois pour vous donner une idee exacte des resultats les 
plus importants que Ton a obtenus, et aussi des recherches qu on 
pourrait encore entreprendre avec profit. 

Mon Cours se terminera par un essai de Methodologie 2 , qui relevera 
toute la valeur et toute Timportance des etudes d ldeographie et de 
Logique, en montrant quelle aide precieuse (je dirai meme indis 
pensable) elles donnent autant a la construction qu a la critique d une 
theorie deductive quelconque. 

Ce n est pas que j espere ^ 7 ous insinuer Toptimisme sympathique 
et touchant de Leibniz qui, prophetisant le succes triomphal de ces 



2. Yoir la note a la p. 5. 



recherches, affirmait : J ose dire que ceci est le dernier effort de 
Fesprit humain et, quand ce projet sera execute, il ne tiendra qu aux 
hommes d etre heureux, puisqu ils auront un instrument qui ne 
servira pas moins a exalter la raison que le telescope ne sert a per- 
fectionner la vue . Bien que, depuis une quinzaine d annees, je me 
sois adonne a ces etudes, moi-meme, je n ? ai pas en elles une 
confiance si hyperbolique; maisj aime toujoursarappeler lacandeur 
de ce Grand qui, etant absorbe dans ses investigations scientifiques 
et philosophiques, oubliait que la plupart des hommes ont cherche et 
continueront a chercher le bonheur dans la conquete fievreuse du 
plaisir, de 1 argent et des honneurs. 

Toutefois il convient d eviter un scepticisme excessif; car, loujours 
et partout, il y a eu une elite aujourd hui moins restreinte que 
par le passe laquelle s est plu et se plait a tout ce qui Feleve au- 
dessus des vagues troubles des passions, dans Fimmensite impertur 
bable de la connaissance, dont les horizons deviennent plus vastes 
a mesure que les ailes de la pensee deviennent plus puissantes et 
plus rapides. 

IDEOGRAPHIC LOGIQUE 

EGALITES 

23. Nous remplacerons la phrase est la meme chose que par le 
signe = . De Viete (1540-1603) a Leibniz, on donna cette 
signification au signe oc, qui etait une deformation de la letlre & 
initiale de a>qualis ; Recorde (1500-1558) lui donna la forme actuelle * , 
probablement empruntee aux manuscrits du moyen age dans 
lesquels il signifie est , qui fut adoptee et repandue par Newton 
(1642-1827). 

C est le seul symbole de Fideographie logigue dont Fusage soit 
devenu universel; mais seulement entre deux nombres , comme en 

9 2 = 4-4-3 

ou tous les autres signes appartiennent aTideographie arithmetique. 

D habitudeon le lit estegal a ; c est pourquoi on appelle egalit^ 
toute proposition dont il est le symbole principal. 

D ordinaire, entre deux figures , la phrase esl la meme chose 

1. The Whetstone of witte or the seconde parts of aritmetike, 1557. 



22 

que est remplacee par 1 autre coincide avec , tandis qu a la 
phrase est egal a on donne une signification geomelrique (a savoir 
coincide ou pent etre porlee a coincider avec ) qu il vaudrait mieux 
exprimer d une autre maniere (par ex. est superposable a ). En 
effet, le double emploi de la phrase est egal a en Logique et en 
Geometric, avec des significations et des proprieles differentes, a 
donne naissance a des confusions bien etranges, que j ai analysees 
dans un de mes memoires * et qui relevent 1 imporlance de la decla 
ration suivante : 

Nous emploierons le symbole = dans toutes les branches de 
la Science, mais ton jours pour signifier est la meme chose que , 
quoique sa lecture puisse varier dans la meme langue; par ex., 

sera lu pour : o = cinq , 

represente pour : ~ le rapport constant entre la longueur 

d une circonference et son diametre , 
vaut pour : ((71 = 3,14159... , 

est pour : Rome = la capitale de 1 Italie ., 

signifie pour : polygone regulier = polygone equilateral 

et equiangle , 
seulement si pour : demain est mardi = aujourd hui c est 

lundi, etc. 



APPARTENANCES 

24. Les concepts ftindividu et de classe (ou groupe, categoric, 
collection, ensemble, genre, type, famille, variete, etc.) sont inti- 
mement lies entre eux dans notre esprit, qui sans cesse a recours a 
ces deux concepts ; bien que le plus souvent d une maniere implicate, 
c est-a-dire moyennant d auires concepts qui, au point de vue de la 
connaissance, sont lies aux deux premiers d une maniere indissoluble, 
mais qu au point de vue logique on peut isoler. 

Un de ces concepts (des autres je m occuperai ensuite) est le lien 
qui lie un individu quelconque a une classe a laquelle il appartient. 

M. Peano representa ce concept par le symbole e , lettre initiale 
du mot IffTi ; en Tadoptant, nous pouvons ecrire, par ex., 

Jupiter e planete 
1. Logica matematica e matematica elementare, Livorno, 1901. 



23 

Toute proposition, comme celle-ei, dans laquelle le signe e est 
le symbole principal, sera appelee une apparlenance ; car, quelle 
qu en soit la lecture, ce symbole exprimera toujours le fait qu un 
certain individu appartient a une certaine classe. 

On pourrait le lire justement appartient a la classe ou est un 
individu de la classe ; mais la lecture est un , outre qu elle est 
plus breve et plus usitee, presente 1 avantage d eviter 1 emploi des 
mots individu et classe] par suite nous lirons : 

Jupiter est wneplanete ! . 

25. L occasion est bonne pour donner, une fois pour toutes, 1 aver- 
tissement general suivant : en ecrivant une proposition symbolique, 
on doit se passer completement des flexions, c est-a-dire des varia 
tions dans la forme grammatical d un meme mot, dues an genre, 
au nombre, a la personne, au temps et au mode, etc.; mais, en la 
lisant, on peut respecter ces flexions et il est bon de le faire. 

Ainsi, par exemple, j ecris : 

Geneve z ville 

mais je lis Geneve est une ville; 

j ecris Pierre e apotre 

ou Pierre s apotres 

et je lis la premiere fois Pierre fut un ap6tre 
et la seconde Pierre fut un des ap6tres. 

Mais, comme la lecture est un est la plus simple, nous prefere- 
rons ecrire le no in de la classe au singulier. 

On peut ajouter que la distinction entre individu et classe, que je 
n ai pas enoncee explicitement, mais qui resulte assez clairement 
des exemples que je viens de vous donner, ne correspond pas 
exactement a celle de la grammaire entre nom propre et nom 
commun. En effet par exemple, bien que pour les grammairiens 
cinq ne soit pas un nom propre, on a que 

cinq s nombre 



1. Les appurtenances pourront aussi etre appelees predications; car, dans 
chaque appartenance, 1 individu est le sujet dont la classe est \epredical. 



EXTENSION ou COMPREHENSION DES CLASSES 

26. La logique traditionnelle envisage toute classe a deux points de 
vue differents, qu on appelle de V extension et de la comprehension; 
c esl-a-dire qu elle considere une classe comme Tensemble des 
individus qui la composent ou bien comme Tensemble des proprietes 
qui la caracterisent. 

Dans Fusage commun, on peut remarquer que les deux points 
de vue alternent sans regies bien precises; et certaines locutions, 
qu on dirait equivalentes, peuvent servir a exprimer tant6t 1 inten- 
tion extensive ettant6t ( intention comprehensive. 

II y a seulement cette nuance, par exemple, entre les phrases 
arilhmetiques multiple de et divisible par . En effet, lorsqu on 
dit, par exemple : 

15 est un multiple de 3 

on affirme que le nornbre 15 se trouve parmi les individus qui sont 
des multiples de 3, tandis qu en disant : 

15 est divisible par 3 

on enonce que le nombre 15 a la propriete d etre divisible par 3. 

D apres cet exemple on pourrait dire que, selon qu on vent ?e 
placer a I mi ou 1 autre de ces deux points de vue, le langage ordi 
naire exprime les apparlenances par Tune ou Tautre des locutions 
est un et est . Cette distinction est bien marquee lorsque la 
classe est designee par un seul mot, selon qu il est un now commun 
ou un adjectif] par exemple : 

le narcisse est une fleur 
el 

le narcisse est blanc 

mais, lorsqu on resume ces deux appartenances en une seule. en 
disanl : 

le narcisse est une fleur blanche 

c est la forme extensive qui triomphe de Yintention comprehensive. 

27. Leibniz a prefere envisager les classes seulement au point de 
vue de Yextension ; en effet, il dit qu une classe est egale a une autre 



25 

classe pour dire que les memes individus appartiennent a 1 une et a 
1 autre. 

Ses deux disciples que j ai deja nommes, Segner et Lambert, envi- 
sagerent les classes d un seul point de vue, mais different, et preci- 
sement : Segner de celui de ^extension et Lambert de celui de la 
comprehension. Par suite, en donnant une signification logique aux 
signes arithmetiques > et < ainsi, qu ils faisaient tandis 
que Segner aurait ecrit, par ex. : 

animal > vertebre 

pour dire que la classe des animaux comprend tous les individus de 
la classe des vertebres Lambert aurait ecrit: 

animal < vertebre 

pour dire que toutes les proprieties des animaux sont comprises parmi 
celles des vertebres. 

M. Peano, lui aussi, reconnut qu il elait suftisant et prudent 
d envisager toujours les classes a un seul point de vue; et, comme 
1 avaient fait Leibniz et Segner, il choisit celui de ^extension. 

Par suite, son symbole Gls ne signifiepas seulement classes, 
mais classe envisages au point de vue de r extension ; mais, puisque 
cette declaration peut suffire, une fois pour toutes, on pourra le 
lire classe tout simplement, sans crainte d equivoques. 



PRINCIPE DE PERMANENCE 

28. Le fait qu en diffe rents chapilres d un meme livre on recon- 
nait la necessite de declarer de nouveau la signification d un certain 
signe, semble nier Vunicite de sa signification. 

La contradiction est apparente, parce qu un meme symbole peut 
avoir des rdles differents, dans une meme science, pourvu que ces 
roles soient nettement distingues entre eux et que les proprietes de 
ce symbole dans tous ses r61es restent toujours les memes. 

Ainsi, par ex., en arithmetique, toutes les fois qu on etend le 
concept de nombre (en passant des nombres entiers aux nombres 
rationnels et de ceux-ci aux nombres reels et ensuite aux nombres 
complexes, ou des nombres absolus aux nombres relatifs), on 
recommence a definir chacun des signes -+- , ,...>,<... , 



26 

qui sont employes aussi en geometric entre des longueurs, des 
aires, des volumes, des angles, etc. 

La signification d un quelconque de ces signes n est pas toujours 
la meme dans ses roles differents, au sens qu on doit 1 exprimer 
differemment pour chaque role ; mais elle est toujours la meme au 
point de vue de 1 ensemble des proprietes de ce symbole dans tous 
ses roles differents. C est pourquoi j ai declare que la signification 
d un symbole resulle seulement de Yemploi qu on peut faire de ce 
signe [8], savoir de Y ensemble de ses proprietes 1 . 

On appelle principe de permanence cette immutability de I" 1 ensemble 
des proprietes de chaque symbole dans tous ses roles differents. Mais 
au lieu d avoir une origine presque mysterieuse, ce principe est le 
produit de la collaboration de 1 instinct de Yeconomie intellectuelle 
et du desir de la precision; c est-a-dire que, pour employer une 
phrase a la mode, 1 origine de ce principe est essentiellement pray- 
matiste. 

En effet, 1 instinct de Yeconomie nouspousse d un cote a employer 
le plus possible les memes symboles car de cette fagon, comme 
dans les exemples que je viens de donner, si Ton excepte les details 
dans 1 execution des operations et peu de regies speciales, chaque 
nouveau chapitre de Tarithmetique, bien que distinct des precedents 
pour le contenu, les renferme en soi au point de vue de Tapparence 
des formules; ce qui donne un grand soulagement a la memoire 2 . 
Mais d un autre cote le desir de la precision nous impose, apres avoir 
donne un premier role a un symbole, de ne pas lui en donner un 
deuxieme avant d avoir verifie que ses proprietes formelles ne chan- 
geront pas. 

29. Parfois, il peut arriver qu on ait viole involontairementle prin 
cipe de permanence; ce cas se presente lorsqu on decouvre qu un 

1. On ne pourrait pas considerer les deux significations de la phrase 
est e gal a , en Logique et en Geometric [23], comme deux roles d un m6me 
symbole-, car, si dans le second role ce symbole serait propre aux figures , 
meme dans le premier rdle il se rapporterait aussi aux figures, envisagees 
comme ensembles de points , savoir comme classes . 

Par suite, on congoit aisement Timpossibilite de representer d une meme 
maniere deux relations dont Tune (1 egalite geometrique) peut subsister entre 
deux figures meme si 1 aulre (Pegalite logique) ne subsiste pas; ainsi, par ex., 
les deux cotes d un triangle isoscele sont egaux au sens gcomelrique, sans etre 
igaux au sens logique. 

2. Dans mon Introduzione alia leoria delle fmzioni (legon couronnee par le Con- 
gres de Mathesis Padova, septembre 1909) j ai montre a queis artifices 
caches on a recours parfois pour atteindre ce but precieux. 



27 

symbole a une certaine propriele dans un certain rule et pas dans les 
autres; mais, puisque jusqu a cet instant on ne s etait jamais occupe 
de cette propriete, la violation dont je parle ne peut avoir apporte 
aucune mauvaise consequence (si Ton excepte, peut-etre, celle d avoir 
retarde la decouverte de cette propriete). Mais, des que 1 infraction 
involontaire est connue, il faut 1 eliminer : ce qu on peut faire ou en 
delivrant le vieux symbole du r61e qui ferait exception, pour le 
confier a un nouveau symbole, ou en tachant de deguiser de quelque 
fagon la violation du principe de permanence. 

Evidemment la premiere methode est la bonne; cependant on a 
recours a la seconde, toutes les fois que Tinconvenient a eviter est 
petit par rapport aux avantages a conserver 1 . 

Done, en pratique et jusqu a un certain point, Finstinct de 1 eco- 
nomie triomphe sur le desir de la precision; et par suite, en plu- 
sieurs cas, le principe de permanence se reduit a une illusion qu on 
prefere ne pas abandonner. 

Toutefois, s il peut convenir de tolerer des petites infractions au 
principe de permanence lorsqu il s agit de symboles universeliement 
adoptes, nous nous proposons de le respecter sans restriction. 

30 2 . Leibniz et ses disciples, ayant decouvert des analogies frap- 
pantes entre certains concepts logiques et certains concepts arithme 
tiques, representerent les premiers par les signes qui representaient 
les seconds. En effet, nous avons vu de quelle maniere Segner et 
Lambert employaient les signes > et < [27] et nous ver- 
rons un peu plus loin [39] quelle signification logique ils donnaient 
aux signes arithmetiques -f- et X . 

Un demi-siecle apres, Boole qui ne semble pas avoir eu con- 
naissance des ecrits de ses predecesseurs allemands retrouva la 
plupart des resultats qu ils avaient deja obtenus, et employa, lui 
aussi, les signes arithmetiques comme symboles logiques. 

Les concepts logiques et arithmetiques que ces auteurs represen 
taient d une memo fagon ont en effet plusieursproprietes communes, 

1. L ideographie arithmetique ordinaire nous ofTrirait maints exemples de 
pareils inconvenients tres bien deguises; mais ce n est pas ici le litu tie les 
demasquer. 

1. Les notices et les considerations contenues dans ce paragraphe sont tirees du 
memoire de G. Vailati, La Logique mathematique et sa nouvelle phase de deve- 
loppement dans les ecrits de M, J. Peano (xxxix du volume complet [13] ou Revue 
de Metaph. et de Morale, Janvier 1899), auquel j ai emprunte aussi 1 idee du litre 
de ce Cours. 



28 

que je vous signalerai; mais ils ont aussi des proprietes differentes , 
ce qui suffirait a nous defendre de les representer par les memes 
signes. 

En 1888, M. Peano, dans la Preface a son traite de Calcolo geo- 
metrico secondo VAusdehnungslehre di Grassmann, publia un resume 
des regies essentielles du calcul logique, dans le but de preparer le 
lecteur a Tusage qu il allait en faire dans les demonstrations geome- 
triques. C etait la premiere fois que la Logique symbolique etait 
presentee comme un instrument forge en vue de son application 
immediate a une branche determinee des recherches scientifiques. 

Tout en se conformant ft la methode de Boole, M. Peano se trouva 
ainsi amene, par les exigences memes des applications qu il se pro- 
posait d en faire, a y introduire des modifications et des additions, 
contenant les germes des perfectionnements ulterieurs qui lui per- 
mirent, 1 annee suivante, d ecrire ses Arithmetices principia [13] en 
se passant completement du langage ordinaire. 

On comprend aisement que, dans une meme proposition, il ne 
pouvait pas donner aux memes signes un role arithme tique et un role 
logique] c est pourquoi il representa les concepts logiques par des 
signes speciaux. 

INCLUSIONS 

31. Nous allons delivrer, d abord, les signes > et < du 
role logique que les disciples de Leibniz leur avaient confie. 

Pour nous, qui considerons les Cls au point de vue de ^extension 

[27], 

la classe des animaux contient celle des vertebres 

en peu de mots 

animal contient vertebre. 

En remplagant le mot contient par sa lettre initiale et en la 
delbrmant un petit peu, pour obtenir un signe plus marque, nous 
pouvons ecrire : 

animal cz vertebre 

ou, en inverlissant Tecriture, 

vertebre =3 animal 
ou le symbole 3 peut etre lu est contenu dans . 



29 

Mais, selon le langage courant, cette lecture du symbole ID > 
ferait penser que la premiere Cls doit etre plus restreinte que la 
seconde, c est-a-dire que la seconde renferme au moins un individu 
qui nappartient pas a la premiere; tandis qu il est preferable (et 
Ton a prefere) d etablir le droit d employer le signe ID entre 
deux Cls, des qu ori saitque tout individu appartenant a la premiere 
appartienl aussi a la seconde, sans se soucier de savoir si dans 
celle-ci il y a ou non d autres individus. C est pourquoi, il vaut 
mieux de lire notre proposition ainsi : 

lout verlebre est un animal 
ou bien 

les vertebres sont des animaux. 

On voit, par cet exemple, que la lecture plus convenable d un 
symbole peut se composer de mots qui ne se suivent pas immedia- 
tement. 

32. Comme en arithmetique on pourrait supprimer un quelconque 
des deux signes > et < (car, par ex., il est indifferent 
d ecrire : 

8 > 5 ou bien 5 < 8 ), 

ainsi Ton peut supprimer un quelconque des deux symboles cz 
et is ; en effet, ayant donne la preference au symbole ID 
par suite d une remarque tres interessante dont je vous parlerai [55], 
le symbole c a etc supprime. 

Nous appellerons done inclusion toute proposition dont le 
symbole principal est ID place enlre deux Cls (tandis que, dans 
les appartenances [24] le symbole e est place entre un individu et 
une Cls). 

La liberte, que nous avons voulu nous reserver d employer le 
symbole ID entre une Cls et elle-meme [31], aurait suffl a nous 
defendre d avoir recours a Tun ou a 1 autre des signes > ou < 
comme symbole d inclusion ; CUT jama is, en arithmetique, il n est 
permis d employer un de ces signes entre un nombre et lui-meme. 

33. II arrive souvent, aussi bien dans la science que dans la vie, 
que les obstacles, qui nous avaient empeche d atteindre des resultats 
tres importants ou un but vivement desire, nous paraissent faciles a 
surmonter, des qu un autre les a depasses. II est done a propos 



30 



de rappelerici que M. Schroder qui s etait mis a 1 ceuvre avant 
M. Peano et qui en 1877 avait deja public son Operationskreis des 
Lnrjikkalkuh - - n a pas reussi a nous laisser une ideographic 
logique satisfaisante; et cela, principalement, parce qu il n a pas 
distingue les appartenances [24] des inclusions [32] et par suite il les 
representa par un seul symbole. Et meme ensuite dans ses trois 
gros et lourds volumes sur Y Algebra der Logik, dont le premier sui- 
vait deja les Arithmetices principia de M. Peano il ne voulut pas 
reconnaitre la necessite de cette distinction. 

Mais je crois que deux exemples suffiront a vous eclaircir la di/fe- 
rcnte signification des deux symboles et ID . que d ailleurs les 
logiciensscholastiques distinguaient en sensus compos/ ti et sen- 
sus divisi , toutefois sans donner a cette distinction { importance 
que justement lui donna M. Peano. 

Voici les deux exemples : d un cote vous avez les inclusions 

genevois ID suisse suisse ID europeen 

desquelles on tire 

genevois ZD europeen 

et d un autre ct A >te vous avez les appartenances 

Pierre ap6tres apotres douzaine 

(qu on peut lire Pierre fut un des apotres et les ap6tres etaient 
une douzaine ) desquelles on ne peut pas tirer 

Pierre douzaine 1 



1. On pourrait objecter qu on a un peu varie la manifere d interpreter le mot 
apotres . Mais c est bien ainsi qu il arrivera forcement toutes les fois qu on 
voudra Her trois termes par deux e , car le deuxieme terrne doit etre con- 
sidere com me Cls par rapport au premier et comine individu par rapport au 
troisieme, qui par suite ne peut pas etre une Gls simple, mais une classe de 
classes; c est pourquoi le premier terme n est jamais un individu du troisieme 
terme. 

Voici deux autres appartenances : 

Venise t ville ville e (nom commun) 
desquelles on ne peut pas tirer 

Venise e (nom commun) 
En voici deux autres : 

7 s (nombre premier) (nombre premier) e (ensemble infini) 
qui ne permettent pas de conclure 

7 s (ensemble infini) 



31 



34. Permetlez-moi d insister sur la distinction entre appartenance 
fc] et inclusion [32], en me servant dune comparison 
En representant chaque Cls par une bolte et chaque individu par 
une allumette, chacune des allumettes renfermees dans une boite sera 
hee a celle-ci par une appartenance- tandis que -si dans une boite 
contenant ou non des allumettes eparses, se trouvait une petite boite 
qm a son tour renfermat ou non d autres allumettes - cette seconde 
boite se trouverait liee a la premiere par une inclusion. 

P ailleurs, cette comparison est bien proche de la representation 
geometnque a laquelle ont eu recoups Leibniz lui-meme, dans ses 
manuscrits, et le grand mathematicien Euler (1707-1783) dans ses 
Lettres a une princesse d Al/emagne. 

En effet, representant une Gis par une ligne simplement fermee 





(par ex., une cir conference) et ses individus par des points inlerieurs 
a cette ligne Yappartenance x e a et Y inclusion a ID b sont 
representees respectivement par les figures bien distinctes 1 et 2 1 . 

QUELQUES CLASSES ARITHMETIQUES 

35. Dans 1 ideographie arithmetique ordinaire il n y avail aucun 
signe pour representer les differentes Gls de nombres. 

Pour combler cette lacune et rendre possible d ecrire les propo 
sitions de 1 Arithmetique en se passant du langage ordinaire, on a 
mtroduit dans le Formulaire, comme symboles, des abreviations de 
mots ou de phrases d usage commun ; ainsi, par ex. : 

N=nombre entier absolu 

(que pour le moment, on pent lire nombre tout court) 
Np = nombre premier 

1. Dans les figures on marque seulement les points et les circonferences dont la 
position reciproque nous interesse; mais, lorsqu on ne declare pas autrement,, on 
peut imcifjiner d autres points et d autres circonferences, placees d une maniere 
arbitraire par rapport aux points et aux circonferences qu on trouve marques. 



32 

En outre, on a convenu que toute operation indiquee pour une Cls 
doit etre executes sur chacun de ses individus ; ainsi, par ex. : 
7N = 7XN = 7 multiplie par un N (quelconque) = multiple de 7 
2N = multiple de 2 = nombre pair 

2N + 1 = nombre pair augmente de 1 = nombre impair 
N 2 = carre d un N 
N 3 =2 cube d un N 
]\2_f-N 2 somme des carres de deux N, etc. 

Comme je me servirai de ces ecritures conventionnelles dans les 
exemples tires de I arithrnetique, il est bon de s accoutumer a les 
lire couramment et de la maniere qui est la plus proche de 1 usage 
commun. 

Yoici, par ex., des appartenances [24] : 

6eN 47sNp 42s7N 

10e2N loe(2N4-l) 49 eN 2 

8eN 8 13e(N a -4-N 2 ) 

et des inclusions [32] : 

15N = 3N 6N =3 2N ] 

Mais on ne doit pas mettre ces ecritures au compte de Y Ideogra 
phic logique. 

36. Pour les mathematiciens, j ajoute qu au lieu d ecrire N 
tout court, dans le Formulaire on ecrit N ou N x selon qu on 
commence la succession naturelle de ou de 1; par suite, le theo- 
reme (decouvert par Bachet en 1621 et demontre par Fermat et 
derechef par Lagrange en 1770) : 

tout nombre entier est un carre ou bien la somme de deux ou de 
trois ou de quatre carres 
est exactement represente par la formule : 

tandis que le theoreme (decouvert par Fermat en 1636) : 

1. On lira done : 6 est un nombre , 41 est un nombre premier , - 42 est 
un multiple de 1 > (ou 42 est divisible par 7 ), < 10 est un nombre pair , 15 
est un nombre impair , 49 est un carre , 8 est un cube , 13 est la 
somme de deux carres (en efTet. 13 est la somme de 9, carre de 3, et de 4, 
carre de 2); tout multiple de 15 Test aussi de 3 , les multiples de 6 sont 
pairs . 



- 33 - 

tout produit d un carre par un multiple de 8 augmente de 7 est la 
somme de quatre carres 

se represente ainsi 

lVx(8N -4-7) .3 N^-hlNY-MV-f-lV 
et celui (que M. P. Tannery a donne en 1898) : 

le carre d un nombre, plus grand que 1, est la somme de deux 
ou de trois ou de quatre carres 

est represente par 



Les formules, outre qu elles sont plus breves que les enonces 
communs, permettent une comparaison plus immediate entre les 
differents resultats obtenus. 



RlEN ET TOUT 

37. Le plus souvent, on s occupe de Cls pour chacune desquelles 
on peut determiner au moins un individu qui lui appartient et au 
moins un individu qui ne lui appartient pas. 

Mais il peut arriver d avoir a considerer une Cls a laquelle n ap- 
partient aucun individu, telle que 

des Genevois qui ne seraient pas des Suisses, 

des points qui seraient communs a deux droites paralleles, 

des nombres qui seraient en meme temps plus petits que 5 et plus 

grands que 8, etc. 

Ges Cls sont differentes entre elles, au point de vue de la com 
prehension [26]; mais, au point de vue de V extension, elles forment 
necessairement une seute Cls, que nous representons par le signe 
A , qu on peut lire rien . 

Ainsi, par ex. : 

poisson invertebre = A 

(Pour me servir encore de ma comparaison [34], le rien serait une 
boite vide; et si quelqu un faisait 1 objection qu on pourrait bien 
avoir des boites vides differentes entre elles, il faudrait repondre que, 
en lant que vides, elles seraient toutes egales entre elles au point 
de vue de ce qu elles renferment.) 

PADOA. 3 



5620f> 



34 

Au contraire, il peut arriver de devoir considerer la Cls a laquelle 
apparliennent tons les individus dont il peut etre question (universe 
ofdiscours); nous la representons par le signe V , qu on peut 

lire tout . 

Le tout n est employe dans aucune proposition scientifique ; 
toutefois, on le rencontre dans certaines formules de logique, qu il 
sera interessant de comparer a celles dans lesquelles on renconlre 

le rien 

En 1887, M. Peirce avait employe le signe V , comme lettre 
initiale du mot vrai ; en 1889, M. Peano adopta ce signe pour 
representer le tout et le meme signe renverse pour representer 
le rien j) 1 . 

38. Boole representa le rien et le tout par les nombres 
et i qui presentent une analogic frappante avec ces concepts, 
que j aurai 1 occasion de vous signaler; mais vous verrez aussi que 
cette analogic n estpas complete [49]. 

D ailleurs, si au lieu d ecrire, par ex. : 

(Np compris entre 31 et 37) A 

on ecrivait (Np compris entre 31 et 37) = , on pourrait croire 
qu on veut affirmer que est un nombre premier compris entre 
31 et 37. (Test pourquoi, on ne pouvait employer le , au sens 
logique, au moins dans les propositions arithmetiques. 

Toutefois c est une remarque pour les mathematiciens on 
pourrait eviter le A moyennant le , au sens arithmetique, 
et la phrase le nombre des , ainsi : 

le nombre des (Np compris entre 31 et 37) = 

oil le signe d egalite peut etre lu est , tout court. 

Get exemple offre 1 occasion a une autre remarque, savoir que le 
mot nombre n est pas seulement le nom d une Cls [35]; il entre 
aussi dans la composition de la phrase fonctionneile le nombre des , 
qui dans \Q Forniulaire est represen tee par le symbole special Num . 

1. En 1894, M. Peano signala dans une nole(Un precursors delta logica, Rev. de 
Math.) un ouvrage par Ludovico Richer! (1723-1800), Algebra: philosophic* in usum 
nrtis inveniendi specimen primum, 1161), dans lequel le tout et le rien 
etaient representes par les signes U et n , bien peu differents de ceux 
qui avaient ete adoptes dans le Formulaire. 



- 35 - 



REUNION ET INTERSECTION DE CLASSES, REUNION DISJONCTIVE 

39. Nous ecrirons le symbole entre deux Cls pour obtenir 
leur reunion , c est-a-dire 1 ensemble des individus qui appartien- 
nent a une au moins de deux Cls, savoir a 1 une ou a 1 autre; par 
suite, le signe w pourra etre lu ou . 

Par ex., 

vertebre w invertebre = animal 

4N v 6N :=> 2N 

(c est-a-dire : tous les nombres divisibles par 4 ou par 6, sont pairs) . 

Nous ecrirons le symbole entre deux Cls pour obtenir leur 
intersection , c est-a-dire 1 ensemble des individus qui appartien- 
nent aux deux Cls a la /bis, savoir a Tune et a 1 autre; par suite le 
signe A pourra etre lu et . 

Par ex. : 

losange A rectangle = carre 

(c est-a-dire : les quadrilateres qui sont en meme temps des losanges, 
savoir qui sont equilateraux, et des rectangles, savoir qui sont eqtd- 
angles, sont les quadrilateres reguliers, qu on appelle carre s); 

4N ^ 6N = 12N 

(c est-a-dire : tous les nombres qui sont divisibles en meme temps 
par 4 et par 6, le sont aussi par 12). 

Leibniz et ses disciples ayant remarque des analogies entre la 
reunion de deux Cls et la somme de deux N, ainsi qu entre Vintersec- 
lion de deux Cls et le produit de deux N [49] employerent les 
signes -4- et cc X (renfermes parfois entre des petits cercles) 
aussi entre des Cls, en leur donnant la signification que nous venons 
d attribuer aux signes w et ^ . C est pourquoi, dans les notes 
explicatives du Formulaire on a conserve les denominations somme 
et produit de deux Cls, auxquelles je prefere celle de reunion et 
Winter section, qui me semblent plus expressives et plus claires. 

Boole appela election 1 intersection des Cls; c est une autre 
denomination convenable de la meme operation, car elle nous 
impose de choisir les individus qui appartiennent en meme temps 
aux deux Cls donnees. Mais lui aussi representait cette operation 
par le signe arithmetique X . 



- 36 - 

Or, la question des noms de ces operations est indifferente, 
pourvu [30] qu au lieu des signes arithmetiques -+- et X , on 
emploie les signes speciaux i et - ; dont le premier est la 
letlre o de 1 alphabet stenographique de GABELSBERGER (car, jus- 
tement le mot francais ou est la traduction dti mot italien o ) 
et le second est le meme signe renverse. 

40. Nous dirons que deux Gls sont disjointes lorsque leur intersec 

tion [39] est rien [37]; autrement nous dirons qu elles sont conjointes. 

Par ex., vertebre et invertebre sont les noms de deux Cls 

disjointes, car 

vertebre * invertebre A 

Ainsi, par ex., la proposition arithmetique (enoncee en 992 par 
Fastronome arabe Alchodschandi et demontree rigoureusement par 
Euler en 1760) : 

la somme de deux cubes n est jamais un cube 



Mais, par ex., polygone equilateral et polygons equiangle 
sont les noms de deux Cls conjointes- car, en compliant Tecriture 
symbolique (au point de \ue logique) d une proposition que nous 
avons deja vue [23] : 

polygone r6gulier = polygone equilateral - polygone equiangle 

41. Souvent, dans le langage courant, entre un nom et un adjectif 
on sous-entend 1 idee representee par le signe n ; par ex. : 
peintre italien = peintre ^ italien 

Mais pas toujours; par ex., les phrases nombre negatif*, nom- 
bre premier , polygone regulier , angle aigu , etc. representent 
des Cls dont chacune est contenue respeclivement en celle indiquee 
par le nom seulement; mais en ces cas 1 adjectif ne suffit pas a 
designer une Cls bien determined (en effet tandis que les phrases 
... est un nombre , ... est un polygone , ... est un angle ont un 
sens precis le sens de ces autres serait tres incertain : ... est un 
negatif , ... est un premier , ... est un regulier , ... est un 
aigu ). 



37 

42. Boole employait le signe -+- entre deux Cls pour indiquer 
leur reunion [39], mais seulement si elles etaient disjointes [40]; 
cette application plus restreinte de reparation logique dont il est 
question lui permettait de conserver une analogic plus etroite entre 
Y addition des Gls et celle des nombres. 

Notre symbole v [39],ainsi que le -4- des disciples de Leib 
niz, s emploie indifferemment entre deux Cls conjointes ou disjointes 
et par suite a une application plus vaste. 

Mais, avec Jevons, on pourrait desirer de former 1 ensemble des 
individus qui appartiennent a une seule de deux Cls donnees, qu elles 
soient conjointes ou disjointes; en ce cas on dira que Ton forme la 
reunion disjonctive des deux Cls, et on la representera en ecrivant 
entre les deux Cls le symbole o . 

Le frangais et 1 italien ne permettent pas de lire differemment les 
deux symboles w et o ; pour tous les deux en francais il n y 
a que le mot . ou et en italien que le mot o . Mais le latin 
nous offre deux mots qui correspondent a ces deux symboles, savoir 
les mots vel et aut . Par suite (en reservant la lecture ou 
pour le signe ^ , d usage plus frequent) le signe o pourra 
etre lu aut . 

La reunion simple [39] et la reunion disjonctive de deux Cls diffe 
rent entre elles en ce que Tune inclut etl autre exclut leur intersection 
[39]; par ex., des deux Cls 

losange v rectangle 
losange o rectangle 

la premiere contient les carres et la seconde les exclut. 

Mais, pour cela meme, la reunion simple et la reunion disjonctive 
de deux Cls disjointes [40] sont lanneme chose; et par suite, en ce cas, 
on peut employer indifferemment 1 un ou 1 autre des deux symboles 
v et o ; par ex. : 

vertebre o invertebre = vertebre ^ invertebre 

parce que 

vertebre ^ invertebre = A 

Cette remarque permet toujours de transformer la reunion disjonc 
tive de deux Cls conjointes dans la reunion simple de deux Cls dis 
jointes. 

Considerons par ex. les Cls dur et transparent qui sont con 
jointes (car la vitre , par ex., est dure ^ transparente ). Leur reu- 



38 

nion disjonctive est 1 ensemble des individus dont chacun est dur 
sans etre transparent (savoir dur ^ opaque ) ou transparent sans 
etre dur (savoir transparent n mou ); done : 

dur o transparent = (dur ^ opaque) u (transparent A mou) 

Comme on peut eviter aisementle symbole o , il fut abandonne 
dans les dernieres editions du Formulaire, mais il a des proprietes 
qui pourraient interesser par elles-memes. 

43. La partie hachee dans les fig. 3, 4, 5 represente [34] respecti- 





Fig 3. Fig. 4. 

vement { intersection a ^ b >> [39], la reunion simple a w b [39] 
et disjonctive a o b [42] de deux Cls conjoinles [40]; la partie 
hachee dans la fig. 6 represente en meme temps la reunion simple et 





Fig. 5. 

la reunion disjonctive de deux Cls disjointes (dont { intersection man 
que [40,42]). 

INDIVIDU, ELEMENT, AGREGAT 

44. Nous appellerons element toute Cls a laquelle appartient 
un seul individu] en abregeantle mot, on obtient le symbole Elm *. 

1. M. C. Burali-Forti (Le Classi finite, Atti dell Ace. R. delle Scienze di Torino, 
1896) repr6senta la meme idee par le symbole Un ; pour eviter le doute sur le 
caractere logigue de cette idee, qu on serait tente d attribuer a 1 arithmetique, 
j ai propose le symbole Elm (Note di logica matematica, Rev. de Math., 1899), 



39 

(Pour me servir encore une fois de ma comparaison [34], un Elm 
serait done une boite qui renfermerait une seule allumette.) 
Par ex., puisque : 

Napoleon I er a eu un seul fils, 
on peut exprimer ce fait en ecrivant : 

(fils de Napoleon I er ) E Elm, 
qu on peut meme lire : 

il nij a eu qiCun (fils de Napoleon I er ). 

45. Lorsqu il s agit d un Elm, on serait tente de representer d une 
meme maniere 1 individu et la Cls; mais, si Ton faisait ainsi (savoir, 
si Ton confondait Tallumette avec la boite qui la, renferrne), on sup- 
primerait toute distinction entre les egalites, \esappartenanceset, les 
inclusions. 

En effet, cet Elm qui est egal a soi-meme, comme toute autre 
chose [23], appartiendrait (comme allumette) a lui-meme (comme 
boite) [24]. Et encore, si une Cls (une autre boite) contenait cet Elm, 
celui-ci (comme boite) serait contenu dans cette Cls [31] tandis que 
(comme allumette) il appartiendrait a cette Cls. 

II faut done, sous peine de confondre a jamais les idees represen- 
tees par les symboles e ID, qu aucun Elm ne soit represente 
comme Tindividu qui lui appartient. 

Personne n avait reconnu cette necessite avant M. Peano. II 
representa done chaque Elm, en ecrivant le symbole t (qui est la 
lettre iota , initiale du mot Ico?) avant le nom de Yindividu qui 
lui appartient. Reciproquement, en ecrivant le signe renverse, c est- 
a-dire 5 , avant le nom d un Elrn donne, il representa Vindividu 
qui lui appartient. 

En frangais, et en italien non plus, il n y a aucun mot qui exprime 
exaclement 1 idee representee par le symbole t ; c est pourquoi, 
nous nous contenterons de le lire isos . Mais le symbole - cor 
respond exactement a 1 article le ou a la phrase le seul . 

qui fut adopte par M. B. Russell (Sur la theorie den relations, Rev. de Math.. 1001). 
Mais, comme cette note pourrait provoquer le doute que je voulais prevenir, 
j ajoute, pour 1 eliminer, que, lorsqu on dit qu une classe est un Elm, on vent 
dire qu elle n est pas rien [37J et que, en supposant que des individus y appar- 
tiennent, on trouve toujours qu ils sont egaux entre eux [23]. Done Klin 
exprime un concept loyique. 



40 

Le fait que le langage courant n a aucune lecture correspondante au 
symbole i , au lieu de former un defaut de notre ideographic, en 
forme de\ja un petit succes; n est-ce pas un beau resultat que d etre 
arrive a fixer une idee que le langage courant ne permet pas meme 
d cx-primerf 

Mais ce fait justi fie la difficulte qu on rencontre a comprendre la 
signification exacte du i ; pour cela je reviendrai sur cette signi 
fication et je proposerai meme une lecture en frangais de ce sym 
bole, mais elle ne sera pas conforme au vrai langage courant [89]. 

Pour le moment, il faut reflechir a la necessity deja expliquee de 
representer differemment un individu et 1 Elm qui le renferme, tacher 
de bien comprendre la signification (plus facile a saisir) du symbole 
i et considerer simplement le i comme son inverse. 

46. Par ex., dans le cas que nous venons de considerer, 

le fils de Napoleon I er 
sera bien represente par la formule : 

i (fils de Napoleon I r ) 
apres quoi, nous pouvons ecrire : 

(le roi de Romejrzzj (fils de Napoleon I er ) 

ou les symboles = et . i peuvent etre lus etait et le 
seul . 
On peut exprimer le meme fait en eerivant : 

i (le roi de Rome) = (fils de Napoleon I er ) 

La premiere est une egalite entre individus, la seconde entre Gls; 
tandis que : 

(le roi de Rome) = (fils de Napoleon I") 

serait une egalite mauvaise, entre un individu et uneCls; et 1 appar- 
tenance : 

(le roi de Rome) z (fils de Napoleon I er ) 

serait juste, mais incomplete, n excluant pas que Napoleon I er ait 
eu d autres fils. 

Nous aliens tirer de 1 arithmetique [35] un autre ex. d application 
des symboles Elm i 5 (et du symbole A [39]); le voici : 

(Np n 2N) s Elm 



41 

c est-a-dire il y a un seul Np qui soit en meme temps un 2N ; 
comme ce N est 2, il forme 1 Elm i 2 et par consequent 

i2 = Np A 2N 

ou Men 2 = 1 (Np A 2N) 

qu on lira : 2 es* le seul Np qui soit en meme temps un 2N. 

47. Moyennant les symboles i et ^ on peut former 1 agre- 
gat d un nombre quelconque ftindividus donnes, c est-a-dire la 
Cls a laquelle appartiennent precisement les individus en question. 
A cet effet, il faut passer d abord des individus aux Elm correspon- 
dants et puis former la reunion simple de ces Cls [39]; par ex., 

(i Sem) w ( t Cham) w ( t Japhet) = (fils de Noe) 

De la sorte, par une seule proposition, on affirme que Sem, Cham et 
Japhet etaient fils de Noe et que Noe n avait pas d autres fils. 

SYMBOLES CONSTANTS ou VARIABLES 

48. On dit constant tout symbole qui a toujours la meme significa 
tion, au sens que j ai precise [28]; savoir que, dans tous ses roles 
(s il en a plusieurs), il a toujours le meme ensemble de proprietes. 

Tous ceux, dont je viens de vous expliquer la signification et 
I emploi, sont des symboles constants; tandis qu on dit variables 
d autres symboles qui representent des objets qu on suppose bien 
determines, mais dont on laisse libre le choix. 

A cet effet - depuis Aristote pour la Logique et Euclide 
( 315, 255) pour 1 Arithmetique on emploie des leltres, qui 
neanmoins doivent obeir a une loi qui est la condition primordiale 
du langage ; savoir que, apres avoir choisi leur signification, on est 
force de la conserver jusqu a la fin de la question dont il s agit. 
Mais, dans une autre question, on est libre de donner aux memes 
lettres d autres significations. 

Dans le Formulaire, les variables sont toujours representees par 
des lettres minuscules en italique (telles que a, b, c,... ) ; tandis 
que les symboles constants, ainsi que nous 1 avons vu, sont formes 
par des lettres grecques (z i) ou romaines (Cls Elm), ou sont des 
signes speciaux (= =a A V ^ w o ). 



42 

49. Nous pouvons employer une letlre pour relever V analogic, 
dont j ai louche un mot [38, 39], entre les symboles logiques 

A V ^ * 
et les signes arithmetiques 1 + x 

Si a represente une Cls quelconque, on a toujours les formules, 
dues a Boole : 

a v /\ = # ^ A = A a ^ \/ =a a ^ V = : V 
pareillement, si a represente un N quelconque, on a toujours : 
a -4- := a a X r= a X 1 = a 

L analogie est saisissante, mais elle s arrete devant la derniere for- 
mule logique; car, pour les N on n a pas 

OH-1 = 1 

Cela prouve que, pour representer les idees logiques dont il est 
question, il fallait avoir recours a de nouveaux symboles [28, 30]. 



PROPOSITIONS CATEGORIQUES ou CONDITIONNELLES 

50. D habitude, on dit qu une proposition (au sens grammatical 
du mot) est vraie ou fausse] est-ce exact? 
II suffit de lire les propositions : 

5 4-3 > 7 (1) 4+1 > 6 (2) 

Dante -j- Virgile > Homere (3) x 4-2 > 9 (4) 

pour reconnaitre que la (1) est vraie et que la (2) est fausse, tandis 
que la (3) n est ni vraie ni fausse, etant depourvue de signification. 
Et la (4)? elle est telle quon veut, selon la signification qu on va 
donner a la variable a?; en effet, par ex., elle est vraie si x vaut 10, 
elle est fausse si x vaut 4 et elle est depourvue de signification si x 
n est pas un nomb re. 

En laissantde c6te la proposition (2) qui est fausse et la (3) qui est 
irremediablement depourvue de signification, il nous reste : la pro 
position (1), dont la verite ne saurait dependre de notre volonte 
(des qu on a fixe, comme d ordinaire, la signification des symboles 
constants dont elle se compose) et que pour cela nous disons cate- 
gorique; et la proposition (4), dont la verite (malgre la determi- 



43 - 

nation des symboles constants) depend de la volonte du lecteur, 
savoir de V interpretation qu il donnera a la variable qui entre dans 
sa composition, et que pour cela nous dirons conditionnelle. 

51. Mais il peut y avoir une autre espece de propositions catego- 
riques; en voici un ex. [35] : 

x n est pas un 2N ou bien #-h 1 est un 2N -f- 1 (5) 
Pour que cette proposition soit vraie il est necessaire et suffisant 
qu une au moins des propositions conditionnelles [50] 

x n est pas un 2N (6) 

a? -hi est un 2N-hl (7) 

soit vmie. Or, si x est un N, selon qu il est pair ou impair, la (7) 
ou la (6) sont vraie; et, si x n est pas un N, la (6) est encore vraie. 
Done la proposition (5) est vraie quelle que soit interpretation 
de sa variable et pour cela elle aussi est calegorique. 

VARIABLES REELLES ou APPARENTES 

52. Soit une proposition formee par des symboles constants et une 
seule variable, par ex., x [48]. 

Nous dirons que, dans la proposition donnee, x est une variable 
reelle ou apparente selon que la verite de cette proposition depend 
ou ne depend pas du choix de F interpretation de a?; par ex., x est 
une variable reelle dans les propositions (4), (6), (7), tandis que c est 
une variable apparente dans la proposition (5). 

En resumant : les propositions categoriqucs sont des propositions 
v rales formees par des symboles constants, ainsi que la (1), ou par 
des symboles constants et des variables apparentes, ainsi que la (5); 
ce sont au contraire des propositions conditionnelles celles dans les- 
quelles entre au moins une variable reelle, ainsi que les (4), (6), (7). 

Dans les explications, on abrege la phrase proposition cate- 
gorique en ecrivant P , qu on pourra lire proposition , 
tout court; et a la place de proposition conditionnelle dans 
laquelle entre seulement la variable reelle x on ecrit condition 
par rapport a x . 

53. J ajoute pour les mathematiciens que la distinction ordinaire 
des egalites en identites et equations (d ou prend naissance 



celle entre 1 arithmetique et 1 algebre) correspond exactement a 
celle que je viens de faire entre P et conditions. 
Voici, par ex., des identite s : 
49 4 = 



dans la premiere desquelles il n y a que des symboles constants, 
tandis que dans la seconde il y a aussi les variables a et 6, mais qui 
sont des variables apparentes (si dans le traite on a declare, une fois 
pour toutes, que chaque leltre a, b, c, ... represente un nombre) ; 



4, + 3 = 11 

est une equation, dont x est la variable reelle, qui est verifies seule- 

ment si x vaut 2 l . 

Cette distinction mathematique correspond done exactement a la 
distinction logique que je viens d expliquer; mais celle-ci est bien 
plus generate, car elle s etend a des ecritures pouvant avoir une 
forme quelconque (et pas seulement d egalite) et a des variables 
pouvant avoir des interpretations quelconques (et pas seulement des 
nombre s). 

IMPLICATIONS 

51. Deux conditions par rapport a une meme variable x etant 
donnees [52], il peut arriver que, toutes les fois que la premiere est 
verifie e par une interpretation de x, \aseconde aussi se trouve verifies 
par la meme interpretation de x. En ce cas, nous dirons que la pre 
miere condition implique la seconde. 

Par ex., x e poisson implique x z vertebre (8) 

La signification precise que nous donnons a cette ecriture est 
celle-ci : 

x n est pas un poisson ou bien x est un vertebre (9) 

On peut repeter pour la (9) ce que nous avons dit au sujet de 
la (5) [51]; par suite x, qui est une variable reelle [52] dans chacune 
des conditions x s poisson et x s vertebre , est une variable 

1. Celles qui, dans le langage algebrique, sont appelees les i?iconnues d une 
equation, ne sont que ses variables reelles; ses solutions ou ratines ne sont que 
les interpretations des variables reelles, qui transforment Y equation en une iden- 
tite (savoir la condition en une P). 



45 

apparente [52] dans 1 ecriture (9) ou dans son equivalent (8); done 
celle-ci est une vraie P [52], qu on appelle une implication*. 

Meme a la (5) on peut donner la forme (Tune implication : 

x 2N implique (x-+- 1) z (2N + 1) (10) 

Dans toute implication, la premiere condition est appe!6e hypo- 
these (qu on abrege par Hp ) et la seconde these (qu on 
abrege par Ts ). 

55. On peut prouver d une autre maniere que dans 1 implicalion 
(8) x est une variable apparente] en effet, on peut eviter 1 emploi 
de cette variable, en disant: 

tout poisson est un vertebre 

ou en ecrivant[31] : 

poisson ID vertebre (11) 

Mais alors, en general, si a et b sont des Cls quelconques, V impli 
cation 

x a implique x b 

est equivalente a ^inclusion 

a ID b (12) 

Ces deux dernieres propositions etant equivalentes, au lieu d in- 
venter un nouveau symbole pour remplacer le mot implique , 
on peut donner ausigne => ce nouveau role [28], en ecrivant : 

x E a ID x s b (13) 

Les deux roles du signe => sontbien distincts : il est le symbole 
de rinclusion ou de ^implication selon qu on le trouve entre deux 
Cls ou entre deux conditions par rapport a une meme variable [52]. 

Ainsi done 1 im plication (8) s ecrira : 

x e poisson ID x vertebre (14) 

et, tandis que la lecture du signe ID dans la (11) est tout... est 
un... , dans la (14) cette lecture devient implique (ou bien 
done oubien si... alors... ). 

On verra dans la suite qu en faisant ainsi nous respectons le 
principe de permanence [28], car le signe ID a les memes pro- 
prie tes formelles dans les deux r61es que nous lui avons donnes (et 
nous nelui en donneronspas d autres 1 ). 

1. Leibniz avail remarque les liens entre les inclusions et les implications : 



46 

56. On pourrait faire Fobjection que peut-etre 1 analogie entre 
les inclusions et les implications n est pas toujours si saisissante 
qu elle parait en comparant les formules (12), (13) et en parti- 
culier les P (11), (14); paree que, en cescas, cette analogic semble 
depemlre de la forme particuliere des conditions considerees. 

En effet, comment pourrait-on se tirer d affaire si FHp et la Ts 
d une implication n etaient pas deux appartenances par rapport au 
meme individu variable^ 

L objection n a aucune valeur; car, ainsi que nous le verrons[60], 
chaque condition par rapport a a? [52], quelle qu en soit la forme, 
peut se changer en une appartenance entre x etune Cls determined. 



PONCTUATION 

57. Pour separer les parties d une formule, Leibniz et Newton 
employerent des barres horizontals (qu on appelait vinculum) 
placees au-dessous ou au-dessus de chaque partie ; on emploie 
encore ces barres dans 1 ecriture des fractions et des racines des 
nombres. 

Jacques Bernoulli (1654-1705) et son frere Jean (1667-1748), qui 
furent les premiers disciples de Leibniz, introduisirent et repan- 
dirent Temploi des parentheses , qui ensuite furent universelle- 
ment adoptees dans les formules de TArithmetique et de 1 Al- 
gebre, pour marquer Yordre selon lequel les operations indiquees 
doivent etre executees, et dont nous faisons le meme usage dans les 
formules analogues. 

Mais, dans les autres cas, nous preferons les points isoles . ou 
groupes :,.-., etc., dont Leibniz avail fait le meme usage 
dans quelques-uns de ses manuscrits. 

Les parentheses et les points forment la ponctuation logique, qui 
remplit le meme role que les pauses dans le discours et que la ponc 
tuation grammatical dans Tecriture commune; mais elle le remplit 
avec une precision et une evidence sans exceptions, qui permet 
justement de se passer completement des flexions [25]. 

Et cum dico A est B, et A et B sunt propositiones, intelligo ex A sequi B . 
Le signe ZD avail ete employe par Gergonne, mais seulement pour les inclu 
sions (a. 1816), et par Abel (1802-1829), mais seulement pour les implications. 
C est justement pour lui clonner le double r61e que M. Peano a prefere, meme 
pour les inclusions, le signe 3 en abandonnant le signe c [31]. 



47 



Void un ex., qui permet une comparaison entre 1 emploi des 
parentheses et des points dans une meme formule * : 
(ab) \(cde) [f(gh}}\ ab. .cdeif.gh 

Les points sont sans doute moins encombrants et forment par 
suite un systeme de ponctuation plus simple et plus clair. 

Void done la forme definitive de la P (10) [54] 



qu on lira : si X est un nombre pair, alors ar+1 est un nombre 
impair . 

Dans le Formulaire on a etabli des conventions sur la ponctuation 
pour la reduire au minimum strictement necessaire; ^application 
de ces conventions est sans doute tres commode, mais leur explica 
tion pourrait fatiguer plus que la chose ne le merite, c est pourguoi 
ici j y renonce. 

CLASSES ET CONDITIONS 

58. Voici deux appartenances [24, 35] 

oeNp et irsNp 

dont I une est une P, tandis que 1 autre est une condition par 
rapport a x [52]. 

Evidemment, cette condition sera verifiee ou non selon qu on rem- 
placera x par un nombre premier ou par n importe quelle autre chose ; 
c est pourquoi nous pouvons ecrire : 1 ensemble des valeurs de x 
qui verifient la condition (x s Np) = Np; ou, en abregeant, 
1 ensemble des x tel que (x z Np) Np 

II ressort de cet ex. (et on verra en general [60]) que les deux 
phrases 

1 ensemble des x tel que (1) 

e ^ x est un /2\ 

indiquent deux transformations inverses, pareillement aux phrases 

le double de et la moitie de 
qui donnent, par ex., 

le double de (la moitie de 10) nr 10 

1. A chaque place, on met autant de points qu il y avail de signes de paren 
theses; mais on supprime tout signe aux extremes. 



48 



Cetteremarque, bien simple mais tres importante, amenaM. Peano 
a representer ces deux transformations de maniere a mettre sous 
les yeux que Tune est 1 inverse de i autre; en effet, ayant deja 
represente la phrase (2) par 1 ecriture x e , il representa la phrase 
(1) parTecriture x 3 . 

Ainsi, nous pouvons ecrire en symboles 



II est bon de prendre note qu en general , si a est une Cls 

quelconque, 

x 3 (x e a) = a 

ce qui s exprime complement en symboles moyennant 1 impli- 
cationfSS] 1 

j f aeCls. = .a?3(area)=a 

Ici x est une variable apparente [521; a est une variable red/edans 
VHp ainsi que dans la Ts, separement considerees, mais elle est 
apparente dans Y implication. 

59. Une condition par rapport a x etant donnee, meme si 
elle n avait pas la forme d appartenance par rapport a x, nous 
pouvons representer 1 ensemble des x qui la verifient, en ecrivant 
devant elle x? [58]. 

Ainsi done, si u est une equation ayant x pour inconnue [53], avant 
de la resoudre et quand meme on ne serait pas capable de la 
resoudre, 1 ecriture x? u representera 1 ensemble de ses ratines. 
Par ex., en nous bornant a considerer les racines reelles (au sens 
mathematique) d une equation donnee, le fait que, des trois equations 

x * 4. 26 = lOar or 8 -4- 25 = lOa? ^ 2 -I- 16 = lOar 
la premiere n a aucune solution, la deuxieme a la seule solution 5 et 
la troisieme a les deux solutions 2 et 8, est exprime respectivement 
par les formules [37, 45, 47] : 



1. Ici commence la numeration des P generates, savoir de Logique deductive, 
completement ecrites en symboles. B. Russell commence chaque P vraie par 
un signe particulier qui signifie il est vrai que ; mais, par une convention 
universelle du langage, cette phrase est sous-entendue devant chaque assertion 



49 

60. Nous envisageons toujours les conditions au point de vue de 
{ extension, ainsi que nous faisons pour les Cls [27] et qu on fait 
d ordinaire pour les Equations. En d autres termes : deux conditions 
par rapport a x etant donnees, quelle qu en soil la forme, nous 
disons que Tune est egale a 1 autre (selon le langage courant on les 
dirait equivalenies, mais c est bien d une egalite qu il s agit [23]) 
toutes les fois que { ensemble des x qui verifient la premiere est egal 
a (savoir, est le meme que) { ensemble des x qui verifient laseconde. 

Cela etant etabli, je vais demontrer qu a toute condition par 
rapport a x on peut donner la forme d une appartenance entre x et 
une Gls determinee, forme que je nommerai condition explicite\>&r 
rapport a x . 

Soit u la condition donnee; designons par a Tensemble des x qui 
verifient w, c est-a-dire posons que [59] 

x 3 u a 

Avec cela, a est une Gls determinee, meme si Ton n en connait 
encore aucun individu; done, en comparant cette formule a la 
PI [58], on obtient 



et par suite 

u = xza c. q. f. d. 

Comme toute condition par rapport a x peut acquerir ainsi la 
forme xea , ou a est une Gls determinee, c est bien celle-ci la 
forme que nous lui donnerons dans les formules generates. 

En remplae,ant a par sa valeur, dans la derniere formule, elle 
devient 

U = X.(X3ll) 

et, en resumant cette formule avec la PI, il resulte que les ecritures 
iC et X3 se detruisent Tune par Tautre, quel qu en soil 
1 ordre, c est-a-dire qu elles representent loujours deux transforma 
tions inverses. Et precisement : 1 ecriture xz transforme une Gls 
quelconque en une condition par rapport a x et 1 ecriture wars 
transforme toute condition par rapport a x en une Cls. 

61. Boole, et avant lui Leibniz et Lambert, tout en s occupant des 
Cls, n avaient pas manque d observer certains liens entre la theorie 

isolfe. D autre part, si Ton sent ce scrupule, pourquoi s arreter au premier pas? 
pourquoi ne pas sentir le besoin de placer cette phrase meme devant une I 
commengant par il est vrai que ? et ainsi sans fin? 

PADOA. 



_ 50 

,des Cls et celle des conditions , apres Boole, un autre logicien 
anglais, Mac Coll, avail meme tache de construire une theorie des 
conditions, complete en soi (The calculus of equivalent statements). 

Mais, c est a M. Peano que revient le merite d avoir mis en pleine 
lumiere la connexion intime et reciproque qui relie entre elles ces 
deux theories; c est une vraie decouverte, dont Fimportance fut 
bien comprise et relevee par M. L. Couturat dans Introduction a 
son livre sur Les Principes des Mathematiques [14]. 

Jusqu au milieu du xix c siecle, la Logique et les Mathematiques 
avaient vecu absolument distinctes et meme separees. 

La Logique etait restee confinee dans le domaine etroit que lui 
avait assigne Aristote, a savoir dans 1 etude des relations dinclusion 
ou de predication... (ces dernieres sont celles que j appelle des 
appartenances). 

De leur cote, les Mathematiques (ce pluriel est significatif) 
formaient une collection de sciences speciales d un caractere 
technique : science du nombre, science de la grandeur, science de 
Tespace, science du mouvement, dont 1 unite., assez vague, consistait 
uniquement dans la communaute de methode. 

Mais, chose curieuse, cette methode deductive etait absolument 
inconnue de la Logique formelle, qui pourtant pretendait etudier 
toutes les formes de la deduction, de sorte qu il s etait constitue 
implicitement une Logique mathematique tout a fait differente de la 
Logique classique (syllogistique); et les philosophes, pour expliquer 
cette dualite, se contentaient d opposer entre elles la Logique de la 
qualite et la Logique de la quantite, sans chercher le lien qui devait 
les unir, en tant que branches d une seule et meme Logique. 

Ce lien est celui dont je vous ai deja parle, mais dont 1 importance 
ne pourrait etre appreciee avant d en voir des applications. 

62. Dans la Logica matematica de M. Burali Forti, ainsi que dans 
les premieres editions du Formulaire, la theorie des conditions 
precedait celle des Cls. Mais, ayant reconnu Tanalogie parfaite 
entre les deux theories, on a prefere, et je prefere, developper 
completement celle des Cls, qui est d une comprehension plus 
immediate; en me contentant d indiquer, pour ainsi dire, les ponts 
qui relient les deux rives du meme fleuve et qui permettent de 
marcher un peu sur un bord et un peu sur Fautre, ainsi que Ton 
veut. 



Pourtant, deux ponls de communication sont donnes par les P 
mvantes qui relient les deux roles de chacun des symboles = 
et ZD , selon qu ils sont employes entre deux Cls ou entre deux 
conditions explicites par rapport a la meme variable [60] : 

xea. = .xeb:=::a = b (1) 

xza. ID .xzb : = : a za b (2) 

dont la premiere exprime en symboles que les conditions sont aussi 
envisages au point de vue extensif [60] et la seconde exprime 
regalite entre les formules (12) et (13) [55]. 

On peut les lire : la condition x e a est egale a (ou implique) la con- 
tion x b toutes les Ibis que a est egal a (ou est contenu en ) b . 

AFFIRMATIONS SIMULTANEES ou ALTERNES 

^ 63. Si a et b sont des Cls, leur intersection a A b est aussi une 
Cls [39]; par suite, XE (a A b) est une condition expticite par 
rapport a x [60], qui est egale a ^affirmation simullanee des condi 
tions xea et xeb ; en effet [60], 1 ensemble des x qui 
verifient a la fois ces deux conditions est egal a 1 ensemble des x qui 
verifient la condition xz (a A b) , c ; est-a-dire [58 PI] a la Cls 



a 



^C est pourquoi on donne au signe A l e role de symbole 
^affirmation simultanee (entre deux conditions, tandis qu entre deux 
Gls il reste le symbole ^intersection), en lui conservant la lecture 
et . Done, en symboles : 



.. :-:xz(a A b) 
ou bien 



64. Lorsque le signe A se trouverait place entre des ecritures 
qui, par leur forme, sont necessairement des conditions, on al habi- 
tude de le sous-entendre; mais sa place reste marquee par un des 
points ou des group es de points qui se trouvaient a ses cotes. Done, 



Par suite, les deux dernieres formules s ecrivent ainsi : 

3 - x E a . x e b : = : x e (a A b) 

x?(xa.xeb) = a A b (3) 



52 

65. La P 3 nous apprend a condenser en une seule deux apparle- 
nances ayant le meme sujet, et cela d une maniere conforme au 
langage courant; en effet, par ex., au lieudei affirmationsimultanee 

Homere elail un poete et Homere etait un Grec , 

on dit 

Homere etait un poete grec , (4) 

ou poete grec est bien V intersection des deux Cls conjointes 
poete et grec [41]. 

De meme, le langage courant condense en une seule deux apparle- 
nances ayant le meme predicate par ex., au lieu de V affirmation 
simuttanee : 

Homere eta.it un poete et Virgile etait un poete , 

on dit 

Homere et Virgile etaient des poetes . (5) 

Mais cet et , qui vient Her deux sujets (c est-ci-dire deux indi- 
vidus), est bien different de 1 et qui lierait deux predicate (c est- 
ct-dire deux Cls), car ce nouveau et n est pas assurement un 
signe ^intersection [39]; et par suite nous ne pouvons pas le repre- 
senterparle signe * . 

Puisque nous n employons pas la virgule , comme signe de 
ponctuation [57], nous allons Temployer comme symbole, en lui 
confiant seulement le role declare. 

Par suite, sans nous soucier des flexions, nous ecrivons ainsi 
les (4), (5) 

Homere s (poete ^ grec) 
Homere, Virgile spoete 

Done [P2], la signification du symbole , est etabli par la P 
4. a?, yea: : xea. yza 

d ou, en particulier, 



. a, 

66. Dans le Formulaire la P 4 est precedee par 1 Hp as Cls qui 
me parait superflue, car pour moi 1 affirmatioD xza implique que 
ffeCls , c est-a-dire 

6. 



D ailleurs, la P 4 dit seulement qu on pent toujours remplacer 



53 



Fune par 1 autre deux ecritures de laforme ar,?/ea et xta.yta> 
ce qui est permis sans exception. 

Et de meme pour la P 2 [64] ; en ajoutant que, comme on admet que 



(c est-a-dire, en eliminant les variables apparentes, que Fintersec- 
tion de deux Gls est aussi une Gls ), ainsi j admets la P (qu on ne 
trouve pas dans le Formulaire) : 

8- (a *6)eCls.=3.fl, 6 Cls 

Pour justifier cette P, j aualyse le symbole dans ses deux 
roles [39, 63], en declarant qu il n en aura pas d autres; or, selon 
qu on le place entre deux Gls ou entre deux conditions, on obtient 
une Gls ou une condition; done, selon que a r, b est une Gls ou 
une condition, on a le droit de conclure que a et b sont aussi, 
respectivement, des Gls ou des conditions; d oii la P 8. 

Mais par rapport a la formule (1) [62] la chose est differente; en 
effet, tandis que 

9. x s a. = .xzb :=>: b 

pour que a = b implique xea. = .xzb il faut que a et b soient 
des Cls; done 

"10. a, beds. a = b : ZD : xza. = .xeb 

On pent faire des distinctions analogues au sujet des formules (2) 
[62] et (3) [64], qui donnent les P 

11. xea. ZD .xeb : ID : a ZD b 

12. a, beds. a ID b : ID : xza. ZD .xeb 

13. a, be Gls . 3 .X3(xea.xsb) = a <* b 

67. Nous savons que, si a et b sont des Gls, leur reunion simple 
a v b est aussi une Cls [39], c ? est-a-dire que Ton a : 

14. a,beC\s.iD(avb)t-C\s (P7) 1 

Par suite, si a, #sCls , Tecriture xs.(a v b} est une condition 
explicite par rapport a x [60] qui est egale a V affirmation alterne des 
conditions xza et xzb ; en effet [60], 1 ensemble des x qui veri- 
fient une au moins de ces conditions est egal a 1 ensemble des x qui 

1. Une P entre [ ] indique une citation, tandis qu une P entre ( ) indique 
une remarque d analogie. 



54 

verifient la condition x (a * b) , c est-a-dire [58 P 1] a la Cls a^6 . 
C est pourquoi on donne au signe ^ le role de symbole $ affir 

mation alterne (entre deux conditions, tandis qu entre deux Gls il 

reste le symbole de reunion simple) en lui conservant la lecture ou 

(au sens du latin vel [42]). 
Done en symboles : 

15. xza.^ .xzb: = xz(a^b) (P3[P2]) 

/6 . fl, 6Cls. = .a?3(a?sa. .a?c6) = a ^ 6 (P 13) 

Comme au symbole ^ on ne donnera pas d 1 autresr61es, par des 

considerations analogues a celle que je viens de faire pour le 

symbole ^ [66] je suisamene a admettre que 

J7. (av 6)sCls.=>.a, 6eCls (P 8) * 

68. Voici des applications des symboles que nous connaissons, 
tirees de la Logique et de YArithmetique et qui sontpropresarelever 
encore une fois Y analogic partielle entre ces deux sciences [49] : 

-IS. a v 6 = .A : = : a == A^.ft = A 

savoir [37, 39, 64] la reunion de deux Cls est nen, toutes les fois 
que chacune d elles est new , de meme que 



savoir [35] la somme de deux N (absolus) est sero toutes les fois 
que chacun d eux est zero ; 



savoir Yintersection de deux Cls est fowf, toutes les fois que 
chacune d elles est ou , de meme que 



a, s.\ =D. . 

savoir [35] le produit de deux N (entiers) est MW, toutes les fois que 
chacun d eux est un . 

Comme [37 et P5] 

50. A, V^Cls 

il est inutile de placer devant les P 18, 19 1 Hp a, s Cls [P 17 et P 8]. 

1. Voici un ex. pour mieux eclairer la distinction entre les affirmations simul- 
tanees [65] ou alternes [67]; si xsN , 
alors 2<*-<7. A .4<o:<9: = :4<a;<7 

tandis que 2O<"I. w .4<<9: = :2<a;<9 



00 



Boole avail decouvert les P 18, 19 et les avail exprimees par les 
signes arilhmeliques analogues et par le langage ordinaire. Mais 
1 analogie n esl pas complete; en effet, tandis que : 



.=>.*. x A=0: = :a=0.w. 6=0 

^-b~ 1 .-. .-.a l.b~ 0: w :a = 0.6 1 

savoir le produit de deux N est zero, toutes les fois qu au moins un 
d eux esl zero el la sorame de deux N est un, toutes les fois qu un 
d eux est un et que 1 autre est zero , les proprietes logiques ana 
logues ne subsistenl pas 1 . 



NEGATION, CLASSES CONTRAIRES 

69. Nous exprimerons le fait qu une P est fausse en ecrivant devant 
elle le signe - , qui esl le symbole de la negation el qu en ce cas on 
peul lire il nest pas vrai que 2 ; par ex., 

-(8-h3 = 10) et -(6cNp) 

Mais il esl preferable de Iransporler le signe de negation devanl le 
symbole principal de la P; en faisanl ainsi. on se passe d une paren- 
these et on abrege la lecture qui devienl simplement ne ... pas ; 

par ex., 84- 3 - = 10 et 6-sNp 

qu on lit : 8-1-3 nest pas egal a 10 

et 6 riest pas un Np . 

Ce que je viens de dire pour les P, peul se repeler pour les condi 
tions [52]; done, en general : 

21. ay- = fy. = . -(* = !,) 

22. x- ea . = . ~ (xs.a) 



70. Si asCls , nous representerons par -a (qu on lira non 
a ) Tensernble des individus qui ne sont pas des a [69], qu on peut 
appeler la Cls contraire a a. Done [58] : 

1. En efTet : si deux Cls sont disjointes [40], leur intersection est n en, meme si 
toutes les deux sont differentes de rien- et la reunion de deux Gls peut bien 
etre tout, sans que 1 une soit tout et que 1 autre soil rien. 

2. Dans les manuscrits, pour eviter toute confusion avec le signe arithmetique 
( moins ), que Leibniz et Segner employaient aussi comme signe de 
negation, on lui prefere le signe C\J , savoir la lettre n (initiale du mot 
non ) de 1 alphabet stenographique de Gabelsberger. 



36 

.23. aeCls.iD . - a x = (x - ea) 

24. aeCls.=3.(-a)eCls 

25. aCls.=>.-(-fl) = fl (LEIBNIZ) 
J ajoute la P 

26. -rtsCls. 



Si chacune des lettres x et a a une signification determinee, il peut 
arriver que x ~ ea pour deux raisons differentes : il peut se faire 
que a-sCls , ou bien que xe(~a) (ce qui implique que 
(-a)Cls [P 6] et par suite que asCls [P 26]); done [67] : 

27. -ea: = :a-eCls.v.#s(-a) 

28. aeCls : => : x-za. = .xe(~ a) 

De ce qui precede il resulte que la negation d une condition par 
rapport a x [52] est aussi une condition par rapport a x. En effet, si 
a la condition donnee on donne la forme explicite xea [60], alors 
aeCls [P6]; et par suite [P 22 et 28] les formules 



ont toutes la meme signification; et la troisieme est bien une condi 
tion explicite par rapport a x [60]. 

71. Inequivalence entre les deux dernieres formules confirme, 
encore une fois, la distinction faite entre les appartenances et les 
inclusions [33, 34]; car, si a, 6sCls , les formules 

ct ~ :D 6 a ^ - b 

ont des significations differentes. En effet, tandis que la seconde dit 
[31 et P 24] que tout a est un (non 6) , savoir que aucun a n est 
un 6 , la premiere [69] dit seulement que quelque a n est pas un 
b , ce qui peut bien arriver meme si quelque a est un b . 
Ainsi, par ex., Suisse - =3 Genevois 

non Suisse => (- Genevois) 



i 

72. Dans le langage courant, lorsqu il arrive souvent de consi- 

derer la Cls contraire d une Gls donnee [70], on lui donne un nom 

expres qu on tire du premier moyennant des regies dont s occupent 

les philologues; mais ce n est presque jamais la vraie Gls contraire. 

Par exemple, il n est pas exact que : 

invertebre = - vertebre 



57 

car, en parlant d invertebres , on sous enlend d abord qu il s agit 
d animaux . Ce n est done pas le tout qu on partage en ver- 
tebres et invertebres , mais seulement la Cls des animaux ; 
par suite, il est plus exact d enoncer que : 

invertebre = animal ^ (~ vertebre) 
ou, en abregeant, 

invertebre = animal - vertebre 
En general, nous convenons done que 



et cela meme si a et b, an lieu d etre deux Cls, etaient deux condi 
tions. 

Dans la fig. 5 [p. 38], les hachures designent a gauche la Cls a - b 
et a droite la Cls b ~ a . 

73. Par suite [42] 

30. aob = (a~b)^ (b - a) 

31 . aob = (a ^ b) - (a ^ b} 

et cela si a et b sont des Cls 1 et meme si elles sont des conditions; 
pourvu qu en ce cas on convienne que aob represente leur affir 
mation disjonctive, par laquelle on demande qvCune seule des condi 
tions a et b soil verifiee. 

Mais les P 30, 31 nous permettent de representer le symbole o 
( aut ), dans ses deux r61es, par les signes A v - ; c est pourquoi 
il fut abandonne [43]. 

EXISTENCE 

74. Les symboles A et V [37] sont employes dans quelques 
P de Logrique, pour faire mieux ressortir les proprietes des idees 

1. Si a et 6 sont conjointes [40], il suffit de regarder la fig. 5 pour se con- 
vaincre de la verite de la P30; et pour la P 31 il suffit de faire une compa- 
raison entre les fig. 3, 4, 5. 

Mais si a et 6 sont disjointes [fig. 6], alors 

a r b = f\ a~b = a b-a = b 

en simplifiant par ces formules les P 30 et 31, elles se reduisent toutes !es deux 
a la formule 

aob = a w b 

ainsi que nous 1 avons deja enonce [42]. (Pour la reduction de la P 31 voir aussi 
les P 36, 35 [74] et la P 29.) 



58 

qu elles represented et des analogies remarquables entre certaines 
P logiques et arithmetiques; par ex., aux P 18, 19, 20 [68] on peut 
ajouter ces autres qu on obtient en completant des formules deja 
vues [49] par THp as Cls . 

32. asCls.zD.a ^ A = A 33. asCls. => .a w A = a 

34. aeCls.zj.fl * V = V 35. as Cls. ID .a A V = 



Et Ton pent ajouter 

30. V=-A 37. 

Mais dans les applications on a prefere remplacer ces ecritures 
par d autres plus commodes, que je vais expliquer. 

75. Si as Cls , au lieu que a -= A ( a n est pas egal a 
rien ), on ecrit ga , oil le symbole 3 se lit il exists des 
ou i7 y a c/es *. Ainsi, par ex. [35] : 



il y a des carres qui sont la somme de deux carres . 
Dans le Formulaire on enonce que : 

a Cls -. ID : g a . = . a - = A 
mais moi je prefere la P 

38. 3 a : = : as Cls. a - = A 

moyennant laquelle on declare aussi que 1 ecriture ga ne sera 
employee que si as Cls , car de la P 38 on tire : 

39. ga. :z> .as Cls 

De la P 38 il resulte aussi que, a etant donne, il peut arriver que 
- ga [69] pour deux raisons differentes : il peut se faire que 
a ~ sCls ou bien que a =. A . Done : 

40. - g : : a ~ sCls. ^ .a = A 

Par consequent, si asCls , aulieu que a= A }) on ecrit - ga , 
ou la suite de signes - g se lit il n existe pas des ou il ny a 
pas des ou il ny a aucun ; ainsi, par ex., en ecrivant d une 
autre maniere une P deja vue [40] : 

- g [N 3 - (N 8 H- N 3 )] 

1. Le symbole g est la lettre initiale du mot existent , qu on a renversee 
parce que la lettre E avait ete deja adoptee par Legendre, Theorie des 
nombres, a. 1808, comme symbole arithmetique ( signifiant rentier de ). 



- 59 



J ai deja avert! que le symbole V n a pas duplications :371; 
toutefois. si asCls , on pourrait toujours remplacer a= V , 
savoir[P37] -o= A , par -g(-a) ; et de raeme a~= y , 
savoir (~ a) - = A , par 3 (- a ). 



COMPARAISON ENTRE I/IDEOGRAPHIE LOGIQUE ET LE LANGAGE ORDINAIRE 

76. Ainsi, j ai termine d expliquer la. significationd.es seize symboles 
logiques preannonces [16] et qui sont [23] e [24] Gls [27] => [31,55] 

/ [37] - (39, 63, 64 P 2, 72 P 29] w [39, 67] o [42, 73] Elm [44] 
^[45] 3 [58] ,[65] -[69, 70] 3 [75] dont cinq ont un double role 
ID ^ wo - ; mais dont le nombre se reduit a treize, parce que 
les symboles o A V ont ete abandonnes dans les applications 

[73, 75]. 

77. Avant de commencer la Logique deductive savoir d etudier 
les proprietes de ces symboles et par suite d en constater la puissance 
comme inoyen ^analyse il ne sera peut-etre pas sans interet d en 
constater \& precision comme inoyen ft expression, en faisant quelques 
comparaisons entre Yideographie logique et le langage courant. 

Je vais d abord vous rappeler ces deux P, apparemment semblables, 
que j ai deja analysees [4] : 

les rubis sont rouges (1) 

et les mois sont douze (2) 

dont la premiere est V inclusion [31] 

rubis ID rouge 
tandis que la seconde est Tegalite [23, 38] 

(Num mois) 12 
Voici deux autres P qu on dirait presque semblables entre elles : 

les carres sont des losanges et des rectangles (3) 

les animaux et les vegetaux sont des etres vivants (4) 

mais qui en symboles deviennent [39] 

carre = losange n rectangle 
etre vivant = animal w vegetal 



60 
Enfin, void trois P qu on dirait (Tun meme type : 

Homere et Virgile sont poetes (5) 

Ca in et Abel sont freres (6) 

Sem et Cham sonl freres (7) 

Ainsi que nous Tavons vu, la premiere s ecrit [65] : 
Homere, Virgile epoete 

mais on ne pourrait pas ecrire la deuxieme P de la meme fagon, car 
le mot <c frere n est pas le nom d une Cls determinee; si Ton veut 
exprimer que 

Ca in etait le frere d Abel, 

on doit 1 ecrire [46] : 

Cain = 1 frere 



et ni Tune ni 1 autre de ces deux traductions symboliques convient a 
la derniere P, car Sem ne fut pas le scut frere de Cham (il y avail 
aussi Japhet); par suite, il faut ecrire [24] : 

Sem s (frere de Cham) 

Ces exemples me semblent suffisants a justifier le reproche d am- 
biguite que j ai fait an langage ordinaire, des le commencement, et 
a justifier aussi mon assertion paradoxale qu on n est pas maitre 
d un mot, jusqu a ce qu on n ait reussi a s en passer, en le suppri- 
mant ou en le remplacant! [3]. On remarquera que dans chacune 
des sept P, que je \iens d analyser, ily a le mot sont et dans les 
cinq dernieres, il y a le mot et . Eh bien ! pour les remplacer, nous 
avons eu recours a sept P symboliques, toutes differentes entre elles, 
ce qui prouve bien la multiplicity de significations de ces mots 
sont et et , qui a un esprit non exerce paraitraient avoir un 
sens si innocemment uniforme. 



LOGIQUE DEDUCTIVE 

REFLEXIBILITE, SYMETRIE ET TRANSITIVITE 

78. Incidemment, j ai deja employe le mot relation ; mainte- 
nant je vais le preciser. 

Nous appellerons signe de relation , on simplement relation , 



61 

toute ecriture telle qu on puisse determiner une interpretation (au 
moins) de deux variables x el y de manicre qu en plagant cette ecri 
ture entre x et 17, il en resulte une P vraie; et nous dirons que ces 
interpretations sont des valeurs possibles de x et de y par rapport a 
la relation donnee. 

Voici des ex. de relations tires du langage courant : aime (Paul 
aimait Virginie), hait (Cam haissait Abel), est un fils de , 
est le fils de , voyage avec , arrive de , etc. 

Voici des ex. tires de 1 Arithmetique : est plus grand que , est 
divisible par , est premier avec , etc. 

Et voici des ex. tires de la Geometric : est perpendiculaire a , 
est parallele a , est une projection ou une section ou une trans 
lation ou une rotation ou un emplacement de , etc. 

79. En 1901, M. Russell publia dans la revue de M. Peano son 
remarquable memoire Sur la theorie des relations, qui 6tait toute 
valeur a certaines critiques a la Logique faites par M. Poincare 1 , 
mais justifiait 1 objection defensive de cet illustre mathematicien que 
voici : puisqu on avait introduit de nouveaux symboles logiques, qui 
n etaient pas de simples combinaisons des anciens, on ne pouvait 
s etonner que certaines verites qu il avait declarees irreductibles a 
la logique, au sens ancien du mot, se trouvassent etre devenues 
reductibles a la logique, au sens nouveau, qui etait tout different 2 . 

Cette objection de M. Poincare me donna 1 envie d analyser la 
theorie de Russell ; heureusement, dans mon memoire Che coie 
una relazionet ( Qu est-ce qu une relation? publie en 1906 par 
1 Academie des Sciences de Turin) j ai pu demontrer que les nou 
veaux symboles et les nouveaux principes de Russell n etaient aucu- 
nement necessaires, etant tous reductibles aux symboles et aux 
principes du Formulaire de 1899 dont M. Poincare avait pris con- 
naissance et d ou, par consequent, il aurait pu les tirer, ainsi que je 
venais de le faire. 

II y a done deja une theorie des relations; mais, au lieu de la deve- 
lopper, je me contenterai de considerer les proprietes les plus impor- 
tantes des relations logiques que nous connaissons deja, savoir des 
egalites [23], des appartenances [24], des inclusions [31, 32], des 

1. Sur la nature du raisonnement mathematique. La science et VhypotMse. 

2. Les mathemaliques et la logique, Revue de Metaphysique et de Morale, 
nov. 1905. 



62 

implications [54, 55] et leurs negations [69, 70], c est-a-dire des 
symboles = e ID - (le troisieme dans ses deux roles et le dernier 
seulement pour ce qui a rapport aux trois autres). 

80. D apres Vailati on dit qu une relation est inflexible si elle sub- 
siste entre x et a?, pour toute valeur possible de x [78]. 
L egalite est re flexible; en effet, quel que soit x : 

41. 



L appartenance n est pas reflexible, parce que le signe est 
toujours place enlre un individu et une Gls [24]. 

Nous avons deja remarque que I 1 inclusion est reflexible [31], c est- 
a-dire que 

42. asCls. ID .a ZD a (LEIBNIZ) 
d ou [66 P 6 et 12] 

43. xia. ZD ,xs.a 

et par suite V implication est aussi reflexible (par rapport a une con 
dition quelconque [60]) 4 . 

81. On dit qu une relation est symetrique si, lorsqu elle subsiste 
entre x et y, elle subsiste aussi entre y et x. 

L egalite et sa negation sont symetriques, c est-a-dire : 

44. x = y.iD.y x 45. x- y.iD.y- = x 

L appartenance n est pas symetrique. 

^inclusion et Yimplication ne sont pas symetriques (sauf lorsqu il 
s agit d une meme Cls ou d une meme condition [80]). En effet, par ex., 

reptile => vertebre 

c est-a-dire tout reptile est un vertebre , mais 
3 (vertebre -reptile) 

c est-a-dire [75 et 72 P 29] il y a des vertebres (par ex. des 
poissons) qui ne sont pas des reptiles ; et par suite [71] 

vertebre - ^ reptile 

1. De ce qui precede il resulte que la negation de Vegalite ou de Vinclusion ou 
de 1 implication n est jamais reflexible. II y aurait des raisons pour dire que la 
negation de Vappartenance est reflexible, c est-a-dire que x - zx ; cependant, 
avant d affirmer cela, quel que soit x, il faudrait prendre des precautions et 
engager une discussion tres subtile mais depourvue d importance pratique. 



63 
De.meme, par ex. [64 P 2], 



mais 



Done aussi la negation de ^inclusion on de Yimplication n est pas 
symetrique. 

82. On dit enfm qu une relation est transitive si, lorsqu elle subsiste 
entre x el y et entre y et z, elle subsiste aussi entre x et 5. 
Vegalite est transitive, c est-a-dire [64 P 2] : 



L appartenance n est pas transitive, ainsi que nous 1 avons deia 

vu [33]. 

^inclusion et Yimplication sont transitive*, ainsi que 1 avait enonce 
Aristote et 1 a repete Leibniz, c est-a-dire que : 

^ 7 . az36.5z>c:zs:az3c 

dans sa double lecture : si tout a est un b et si tout b est un c, alors 
tout a est un 6 , si a implique b et si b implique c, alors a implique 
c . 

On remarquera que le ID principal de la P 47 n a pas change de 
lecture-, en effet, chacune des formules a ID b , /> ID c , a ^ c , 
soit qu on 1 envisage comme inclusion ou comme implication, est tou- 
jours une condition; par suite, ce qui precede le ^ principal est 
V affirmation simultanee de deux conditions [63, 64], c est-a-dire une 
condition, et de meme ce qui le suit; c est pourquoi le ID principal 
de la P 47 est forcement un signe ^implication [54, 55] . 

83. En resumant : Vegalite est re flexible, symetrique et transitive-, 
Y appartenance n a aucune de ces proprietes; 
r inclusion et Yimplication sont seulement reflexibles et transitives. 

La comparaison de ces proprietes confirme encore une fois la 
necessite de la distinction entre les symboles = e =3 [33, 34, 71]. 

1. De 1 affirmation simultanee a?- = y.y-=z on ne pent tirer aucune 
relation entre x et z. De meme pour I affirmation simultanee a-36.6~=c 
dans sa double lecture. 



_ 64 



PROPRIETE SUBSTITUTIVE DE L EGALITE 

84. Mais 1 ensemble des trois proprietes que nous venons de con- 
siderer [83] ne suffit pas a caracteriser 1 egalite, parce qu il y a d au- 
tres relations qui jouissent des memes proprietes a la fois; par ex., 
les relations geometriques est superposable a , est equivalent 
a , est sernblable a , est projectif a , etc. 

Le Formulaire enonce une propriete de Tegalite qui sert a la dis- 
tinguer de toute aulre relation : 

48. x = y : = : xza.iD .yza 

Dans cette P, x et y etant donnes, le second membre est une impli 
cation entre des conditions par rapport a a] c est-a-dire : 

x=y signifie que si x appartient a une Cls [66 P 6], alors, 
quelle que soit cette Cls, y lui appartient aussi . 

CTcst exact; mais, a mon avis, cette P n a pas la forme la plus 
convenable pour des applications immediates. Je prefere dire que 
Yegalite est caracterisee par la propriete substilutive, savoir que : si 
xy , alors en remplagant x par y dans une ecriture quel- 
conque, la signification de cette ecriture ne change pas . 

Pour exprimer cela, en se passant du langage ordinaire, il suffit 
de remarquer que dans nos P les signes se suivent toujours sur une 
meme ligne; c est pourquoi une ecriture quelconque, dans laquelle 
on rencontre la lettre x, aura necessairement une des formes 
ux , (( xv , uxv , 

selon que x est seulement precede ou seulement suivi ou en meme 
temps precede et suivi par d autres signes quelconques, dont je 
designe Fensemble par u et v. 

Mon principe sera done enonce dans tous les cas possibles moyen- 
nant les P 

49. x = y.zD.ux = uy 50. x = y . za . xv = yv 
51. x = y . Z5 . uxv uyv 

85. Voici une consequence de ces P, qui me semble tres imporlante 
pour la methodologie. 

Dans presque tous les traites d Arithmetique on rencontre des P 
lelles que : 



65 
a, x, y & N . x = y : =D : a -+- x = a -t- y (I) 

qui, malgre son apparence, n est pas une vraie P arithmetique. 

En effet, si 1 ecriture quelconque designee par u dans la P 49 est 
a -4- , cette P devient : 

x = y . ZD . a -+- x = a -+- y (2) 

et ainsi la verite de celte derniere P reste etablie independamment 
de la Cls a laquelle appartiennent a, a?, y et de la signification du 
symbole -+- . Et reellement : ne resterait-elle pas vraie meme si 
a, .T, y, aii lieu d etre des N, etaient des nombres d une espece diffe- 
rente ou d autres choses quelconques (par ex., des longueurs, des 
angles, des volumes, des forces, des vitesses, des poids, des 
valeurs, etc.) pour lesquelles on eut donne une signification, nlm- 
porte laquelle, au signe -h ? et ne resterait-elle pas vraie meme si, 
au lieu du signe -h, il s agissait de n importe quel autre signe 
d operation (par ex., x, , etc.), pourvu que a et x soienl 
des valeurs possibles par rapport a cette operation [94]? *. 

La P (2), ainsi que ses semblables par rapport a un autre signe 
d operation, appartient done aux applications immediates de la 
Logique et n exige aucune autre condition dans 1 ilp; toute tentative 
de demonstration de P de ce type ne sauraitetre qu un paralogisms. 

86. II faut encore remarquer que les P 48, 49, 50 ne sont pas 
invertissables, c est-a-dire que ux = u>j n implique pas necessai- 
rernent x =. y ; et de meme xv = yv , uxv uyv . 

En effet, par ex., dufait que le pere de x == le pere de y on ne 
peutpas conclure que x = y , car x pourrait etre un frere ou une 
so3ur de y. Done, toutes les fois qu une ecriture donnee u est telle que 

ux=uy implique a? = i/, 

ce fait constituera une propriete remarquable de cette ecriture u. 
(Test pourquoi, par ex., la P 

a,x 1 yeN.a-t-x = a-}-y:=>:x = y (3) 

est une vraie P arithmetique, qui enonce une propriete de 1 addition ; 
en effet, s il y a d autres operations pour lesquelles sont vraies les P 
analogues a la (3), il y en a aussi de celles qui n ont pas la meme 

1. Car, si x = y , cette operation sera forcement possible aussi par rapport 
a a et y, et le resuUat ne pourra etre que le meme d auparavant. 



66 

propriete 1 . Eh bien ! Malgre ce que je viens de dire, si vous prenez 
au hasard un traite d Arithmetique, il est plus probable que vous y 
rencontriez la (1) que la (3) ! 

TRANSFORMATION DES RELATIONS LOGIQUES 

87. Les relations logiques = e =a sont liees entre elles par des 
proprietes tres importantes. 

Nous avons deja vu [81] que la formule a => b (tant coinme 
inclusion que comme implication, selon que a et b sont des Cls ou 
des conditions par rapport a la meme variable) n implique pas la 
formule b => a (qu on peut appeler la reciproque de la prece- 
dente); mais, lorsque a ID b et b =D a subsistent toutes les 
deux, leur affirmation simultanee (c est-a-dire tout a est un b et 
tout b estun a , ou bien a implique b et b implique a ) implique 
a = b , car les Cls et les conditions sont toujours envisagees au 
point de vue de ^extension [27, 60]. Done : 

2. aiDb.b=>a:=>:a = b (LEIBNIZ) 

La reciproque de cette P, c est-a-dire : 

a = b implique a ID b . b ID a 

est vraie seulement si a (et par consequent aussi b [P 57]) est une 
Cls ou une condition, ce qu il faut declarer, parce qu on pourrait 
avoir a = b meme en d autres cas. Done : 

as Cls. a = b : ID : a =3 b.b => a (LEIBNIZ) 



et Ton sous entend la P analogue pour les conditions a cause des 
considerations deja developpees [62] 2 . 

88. Comme le signe ID est toujours employe entre deux Cls ou 
entre deux conditions (parce qu on ne lui donnera pas d autre role 
outre que ceux ^ inclusion [31] et ^implication [55]), j ajoute aux P 
du Formulaire les P 

54. fteCls.a=j6: = : ^eCls 

\. Telle, par ex., la determination du plus grand commun diviseur qui, par 
ex., est 4 aussi bien pour 8 et 12 que pour 8 et 28, bien que 12 ne soil pas egal 
a 28. 

2. Ainsi que les analogues des P 7, 8 [G6], 14, 17 [67], 24, 26 [70] et, dans la 
suite immediate, les analogues des P 54, 55, 57, 58 [88]. 



67 - 
biC\s.a=ib 



iC\s.a=ib: = :aeCls 
qui permettent dabreger 1 Hp de plusieurs P du Formulaire 

Ainsi, par ex., a cause de la P 6 [66] et de la P 34, dans 1 Hp de 
la P 



xza.a ID b 



on n a plus besoin d enoncer que , b Gls . 

On peut aussi remarquer, comme ex. d application de lapropriete 
substitute de 1 egalite [84], que : 






89. Pour simple que puisse paraltre la relation d egalite [23] on 
peut la decomposer. En effet, x etant un objet donne quelconque 
1 ecr.ture y = x est une condition par rapport a 77 [52]; 1 ensemble 
des y qui la verifienL e est-a-dire [58] y 3 (y=x) , est la Cls dont 
x est /e WM/ individu, c est-a-dire [45] t ar . Done : 



d ou [60] 

60 - yt(u).=.y = x 

Ainsi toute egalite peut se transformer dans une appartenance. 

On voit par la que le signe i pourrait etre lu egal a (tandis 
que le signe == se lit est egal a ). Mais ce n est pas une lec 
ture qui convienne au langage courant; on ne saurait 1 adopter, par 
ex., pour lire la P [46] i 2 = Np ^ 2 N . 

Apres quoi, pour la suite des signes -c [70] on peut pro 
poser la lecture different de (tandis que - = se lit n est 
pas egal a ou est different de ); ainsi, par ex., la P [72 P 92] 

Np - i2 =3 2N -4- 1 
sera lue lout nombre premier different de 2 esfc un nombre impair . 

90. Moyennant le symbole t on peut aussi transformer toute 
appartenance en une inclusion; en effet : 

6 ^ x&a. = .ix ^ a 

c est-a-dire [23, 31, 45] : on peut dire indifferemment que x appar- 
tient a la Gls a [66 P 6] ou bien que la Cls dont x est le seul individu 
est contenue dans la Cls a [88 P 54]. 



68 
Ainsi la P 56 [88] devient un cas particulier de la P 47 [82]. 

91. Les transformations indiquees par les P 60 et 61 confirment 
I importance du symbole i , dontnous allons considerer quelques 
autres proprietes fondamentales. 

D abord, quel que soit x, moyennant la P 60 [89], la P 41 [80] se 
transforme ainsi : 

62. Xe ( lX ) 

De cette P, moyennant la P 6 [66] et [74] la P 

63. xta.^.^a 
on deduit, quel que soit x, que : 

64. (ta?)eCls 65. g(iar) 
On remarquera encore que [44, 45] : 

66. aeE\m : => : xia. = .a = ix. .x = ia 

67. aeElm . = . ^ x-s(a = \.x) 

92. On peut aussi transformer toute formule & inclusion ou d* impli 
cation dans une egalite, etcela de plusieurs manieres, indiquees par 
Leibniz. 

En effet, dans le double role du signe => [31, 55, 39, 34 fig. 2], 

68. a=>k. = .ar.b = a 69. b ^ a. = . a * b = a 
On a aussi, mais seulernent pour les inclusions, que [72 P 29] : 

70. asCls.a => b : = : a ~ b A 

71 . a s Cls . b => a : = : a ^ - b V 1 

93. Ayant ainsi obtenu la transformation d une egalite dans une 
apparfewonce[89P60], d ane appartenance dans une inclusion [90P61] 
et d une inclusion dans une e#a/^e [92 P 68, 69, 70, 71], on peut 
aussi obtenir la transformation inverse de chacune d elles en execu 
tant successivement les deux autres 2 . 

1. Pour rendre plus commodes des comparisons que je ferai, j ai prefere 
considerer a = b dans les P 68, 10 et b =3 a dans les P 69, 71. On remarquera, 
dans la P TO, que son premier rnembre implique 6eCls [88 P 54] et que du 
second on deduit (a - 6)sCls [68 P 20, 88 P 58], c est-a-dire (a A - 6)eCIs 
[12 P 29], d oii a, -6sCls [66 P 8], d ou a, 6eCls [10 P 26]. Et de meme 
pour la P 71. 

2. 11 y a des manieres plus simples pour obtenir ces transformations inverses; 
mais ici ce n est pas le cas d insister sur celte question. 



11 est a propos de rappeler ici que la P 28 [70] transforme la nega 
tion dune appanenance dans I affirmation tune appartenancr- par 
suite, on peut meme transformer la nation d une egalite ou inc/u- 
o (transformees d abord en appartenance) dans I affirmation 
d une (appartenance, quapres on pourra transformer en) fgalilt ou 
inclusion. 

En resume :les differentes relations logiques sont transformahles 
1 une dans 1 autre et meme le caractere affirmatif ou negatif d une 
assertion n est qu une question de forme. 

PROPRIETES SIMPLIFICATIVE, COMMUTATIVE, ASSOCIATIVE 

ET DISTRIBUTIVE DES OPERATIONS LOGIQUES 

94. Nous appellerons signe ^operation , ou simplement 
operation , tout signe qui, place entre deux objets a et b d un 
ensemble donne, designe un objet determine du meme ensemble; en 
ajoutant que, parfois, le choix de a et de b, dans Tensemble donne, 
est assujetti a des restrictions. 

Par ex., le signe + , dans toutes ses acceptions, est un signe 
d operation ; car, selon que a et b sont des nombres ou des longueurs 
ou des angles ou des vitesses etc., 1 ecriture a -+- b designe res- 
pectivement un nombre, une longueur, un angle, une vitesse, etc. 
^ De meme pour le signe -- (moins); sauf que, si Ton veut 
s occuper seulement des nombres et des grandeurs absolus, il faut 
assujettir a et b a la restriction que a ne soit pas plus petit que b. 
Notre ideographic logique a deux signes d operations, savoir w 
[39, 67] et r, [39, 63] (puisque je ne m occupe plus du signe o 
[73]); car, selon qu ils sont places entre deux Gls oudeux conditions, 
Us donnent naissance a une Gls (la reunion ou ^intersection des Gls 
donnees) ou a une condition iTaffirmation alterne ou simultanee des 
conditions donnees). 

Tons les deux, et dans le double r61e de chacun, ils ont des pro- 
prietes analogues a celles des signes -f- et x , ainsi que 
1 avaient remarque Leibniz et ses disciples [49,68]; en effet, les deux 
operations logiques ont la propriete commutative : 

72. a vft = 6c 73. ab = ba 

et la propriete associative : 

74. (a v b) w c i= a w (b w c ) 75. (a * b) A c = a ^ (b A c) 



70 - 

Mais ces operations ont aussi une propriete : 
76. rtsCls.3 .a w a = a ?. aeCls. => .a A a = a 

qu on peut appeler simplificative, dont ne jouissent pas les opera 
tions correspondantes de TArithmetique 

(car, si aeN , alors a-f-a = 2a et X = 2 ). 
Les proprietes commutative et simplificaiive avaient ete remarquees 
par Leibniz ; la propriete associative du signe ^ a ete decouverte 
par Boole (a. 1854) et celle du signe y , par Schroder (a. 1877). 

95. Tout le monde sait que, si , 6, csN , alors 



et (a -f- b) X c = (a X c) -h (b X c) 

ce qu on exprime en disant que la multiplication est distributive (a 

gauche et a droite) par rapport a V addition. 

Eh bien! Chacune des operations logiques representees par les 
signes A et ^ est distributive (a gauche et a droite) par rap 
port aTaMfre; c est-a-dire : 

80. c w (a ^ 6)=r(c ^ a) ^ (c ^ 6) /. (a n 6) w c=(a we) (6 ^c) 

La propriete distributive du signe A par rapport au signe w 

a ete decouverte par Lambert (a. 1781) 
et celle du signe * par rapport au 
signe A par Peirce (a. 1867). 

Voila done un autre manque d ana- 
logie, puisqu en Arithmetique 1 addi- 
tion n est pas distributive par rapport 
a la multiplication 1 . 

Les P 79 et 81 sont des consequen 
ces immediates des P 78 et 80, d apres 
les P 73 et 72. 

On peut verifier chacune des P 74, 

75, 78, 79, 80, 81 en executant separement sur la figure 7 [34] les 
operations indiquees par leurs deux membres 2 . 

1. On de\ 7 rait avoir : 

ce qui est vrai seulement si 

a = ou si a + b -f- c 1 . 

2. Cette figure represente le cas le plus general, au sens que les trois Cls qu on 




71 
L application simultanee des P 78, 79 et des P 80, 81 donne les P 

Q (* I l\ / T\ / 

ox. \a*o)s\(cv#) = (ar\c)v(br\c)v(ar\d)v(bnd) (LAMBERT) 

O q / L\ / 7N , 

o o . {a r\ 0) ^ {c f~\ a) ~ (a \^> c) r\ ( o ^> c\ r\(a^> d\ r\(b ^> d\ 

qui apprennent a transformer une intersection de reunions dans une 
reunion d intersections et reciproquement; et dont seulement la pre 
miere a son analogue pour les signes -+- et x . 

96. En echangeant entre eux les deux membres de la P 3 (et en y 
ecrivant le signe n , qui y est sous-entendu par la P 2) et de la 
P 15 [67], on obtienl : 



x s (a w b) : = : x E a . w . x e b 

On peut dire que le signe e a la propriete distributive (a gauche) 
par rapport aux signes n et ^ . Mais il faut remarquer que 
ces signes changent de role d un membre a 1 autre; car, dans les 
premiers membres ils designent respectivement une intersection ou 
une reunion de Cls, tandis que dans les seconds ils designent une 
affirmation simultanee ou alterne de conditions. 

D apres la P 1, les P 13 et 16 permettent de dire, avec la meme 
remarque, qu aussi le signe 3 a la propriete distributive (& gauche) 
par rapport aux signes ^ et w . 

97. Le signe :=> a aussi la propriete distributive (a gauche) par 
rapport au signe A , qui conserve ou change son role selon que 
a, b, c sont des conditions ou des Gls : 

84. a => b r^c : = : a =3 b.a => c (Me COLL, a. 1878 l ) 

ainsi qu on peut verifier, dans le cas des Cls, en se rapportant a 
la figure 8. 

Mais le signe ZD n a pas la propriete distributive a droite par 
rapport au signe A . En effet, tandis que (fig. 9) : 



suppose donnees partagent le tout dans le plus r/rand nombre possible de Cls. 

On obtient tous les cas particulars, en imaginant qu une ou plusieurs des hult 

Cls obtenues soient egale a rif.n [37]. 

1. Leibniz avail enonce seulement que =3 6.a=> c:= := b AC 

Pour abreger, dans les formules du type a =a (b A c) ou (b r\ c) za a 

on sous-entend les parentheses [P 84,85]; et de meme pour les formules du 

type a = (6 w c) [P 86] ou (b ^ c) = a >. [P 87]. 



85. b ID a . c ID a : ID : b ^ c ID a (LEIBNIZ) 

& ^ c ID a n implique pas 6 ID a. c ID a (fig. 10). 





L analogie entre les proprietes des signes ^ et w (telle 
qu elle resulle, par ex., de la comparaison des P 72, 74, 76, 78, 80, 




Fig. 10. 

82 avec les P 73, 75, 77, 79, 81, 83) justifierait 1 attente que le 
signe => eut la propriete distributive a gauche aussi par rapport 
au signe w . 





Fig. 12. 



is le signe ID n a pas du tout la propriete distributive par 
rapport au signe ^ , ni a gauche m a droite. En effet, tandis que 
(si a, &, c sont trois Cls ou trois conditions) 



73 

a ID b.^.aiDc: ID : a =3 b w c (Me COLL, a. 1878) 
(ainsi qu il resulte de la fig. 11, meme en y echangeant entre elles 
les lettres b et c), =, 6 v c n implique pas a =D A.v.a a c 

(fig. 12). Encore (fig. 9) de la P 

6^ c =>a: :6=Da.c=>a(McCoLL, a. 1878 ) 

(qui relie le signe ID * aux signes u et , dont celui-ci est 
sous entendu) on deduit 2 

b^ c ID a: ID : b ID a.^.c =3 a. 
mais /> =3 a.w.c = a n implique pas 6 w c =3 a 




Fig. 13. 



(ainsi qu il resulte de la figure 13, meme en y echangeant entre elles 
les lettres b et c). 

Dans la suite [115] il resultera que ee manque d analogie, entre 
les proprietes des signes * et w par rapport au signe ZD . 
est tout a fait apparent. 



AUTRES PROPOSITIONS REMARQUABLES 

98. Les P 42, 47, 52 enoncent des proprietes du signe ID qui 
ont leurs analogues pour le double signe arithmetique ^ (qui 
est 1 afflrmation alterne des signes < et ). 

En effet : si a. b, czN , alors 



II y a d autres proprietes pour lesquelles subsiste cette analogie 

1. Leibniz avail enonce seulemcnt que b => a .c= a : => :b^c=a a. 

2. Cette P a line importance momentanee, en vue de notre discours; mais elle 
est depourvue d interet, etant comprise dans la P 87 [note a la p. suivante]. 



74 

(et celle, deja remarquee, entre les signes logiques w , ^ et les 
signes arithmetiques -+- , X ). 
Par ex., si a, 6, c, rf eN , alors 



Et de meme, si a, 6, c, d sont des Cls ou sont des conditions, alors 
(d apres LEIBNIZ) : 

SS.a^b.^.a^ciDb^c 89.a^b.^.a^c=>b^c 

90. a ID b . c ID d : => : a w c za 6 ^ rf 
,9 / . a zs 6 . c ID c / : =3 : a ^ c ZD b * d 




Fig. 14. 

ainsi qu il resulte de la fig. 11 pour les P 88, 89 et de la fig. 14 
pour les P 90, 91. 

Mais cette analogic n est pas complete; en effet, elle subsiste 
pour les deux premieres des P 

92. aiDci^b 93. b^a^b 

94. a r\ b ZD a 96. a ^ b ID b 

remarquees par LEIBNIZ et qui sont valables soit pour des Cls que 
pour des conditions (et que, dans le premier cas, on voit verifiees 
dans les fig. 3 et 4 [p. 38]), tandis que les deux autres n ont pas 
leurs analogues dans TArithmetique 1 . 

99. Si a est une Cls, dire que 6 = ~ a signifie que b est la Cls 
conlraire de a [70]. Cette derniere relation etant symetrique [81], 
il s ensuit que : 

1. Des P9o, 93 on deduit (soit pour des Cls que pour des conditions), moyen- 
nant un syllogisme [P 47], que 

a ^ b 3 a w 6 



75 

96- b =~a. = . a = ~ b 

Si a est une Cls, dire que b => - a signifie que b est disjointe de 
a [40]. Cette derniere relation etant aussi symetrique, il s ensuit 
que 



Done : tandis que chacun des deux couples de signes - = et 
= - forme une relation symetrique [P 45, 96], des deux couples 
- ZD et ID - le second seulement est symetrique [P 97]; car, 
par ex., N - = Np mais Np ^ N [35]. 

En remplagant a par - et en se souvenant de la P 25 les 
P96, 97 deviennent : 

98. b = a. = .-a=2~b 

99. b=>a. = .-a=3-b 

Ces quatre P (qui sont valables aussi bien pour des Cls que pour 
des conditions) et la P 25 enoncent des proprietes du signe logique 
- qui sont analogues a celles du signe arithmetique dans 
la theorie des nombres relatifs (signes), pourvu qu on remplace 
par ^ [98]. 

Mais, meme ici on n"a pas une analogic complete. En effet, par 
exemple, la P arithmetique 







n a pas son analogue dans la logique; car, si a, 6eCls , la Cls 
< f (~ a) r\ (~ b) , au lieu d etre egale a la Cls a ^ b , en est disjoinle. 

100. Nous verrons [105] que, dans quelques raisonnements faux, 
de 1 Hp a e Cls . a ^ b on pretend tirer la Ts g b [75]; mais, 
pour que cette Ts soit legitime, il faut savoir aussi que g a (ce qui 
rend superflu d enoncer que a E Cls [P 39]), car autrement THp 
pourrait etre verifiee par a = b = A . Done : 

400. ga.a ID b : ID : %b 

c est-a-dire : s il y a des a et si tout a est un 6, alors il y a aussi 
des b . 

En general, on ne peut tirer une affirmation d existence d une Hp 
qui n en renferme aucune, au moins dans la forme frapp artenance 
[P63]. 



76 

SYLLOGISTIQUE 

101. Le syllogisme est la forme de raisonnement que les scholas- 
tiques ont toujours consideree comme le pivot de la Logique deduc 
tive, jusqu a identifier celle-ci avec la Syllogistique. 

Comme les scholastiques distinguent 19 modes du. syllogisme et 
que nous n en considerons qu wn (dans ses deux formes : collective 
[P47] et individuelle [P56], dont la seconde est une particularisation 
de la premiere [90]), on croit que notre Logique est plus restreinte 
que la Logique scholastique. 

Mais, au contraire, tandis qu un si grand nombre de modes du syl 
logisme n est qu une illusion due aux moyens imparfaits d expression 
dont se servcnt les scholastiques, nous avons deja enonce 100 P (et 
nous en verrons bien d autres) dont 2 settlement sont des syllo- 
gismes! 

L analyse que je vais faire de la syllogistique (et qui ne se trouve 
pas dans le Formulaire) sera fatigante et pen agreable; mais le but 
que je me propose estjustement de persuader les futursprofesseurs 
de Logique de ne plus fatiguer leurs eleves avec des legons inutiles 
sur cette question. 

11 me faut done affronter et abattre des moulins a vent; en effet, 
comme la plupart des hommes croient encore qu ils sont des geants, 
si je les evitais, quelqu un pourrait croire que j en ai peur! 

Je vais done adopter la langage des scholastiques. 

102. D abord on distingue quatre especes de jugements, a savoir : 
universel af/irmatif, universel negatif, particulier affirmalif, particu- 
lier negatif , et on les represente en cet ordre par les voyelles A, E, 
I, 0. 

Done, a et b etant deux Cls donnees, Ton a : 

A) tout a est un b , 

E) nul a n est un b ou bien tout a est un non b , 

I) quelque a est un b , 

0) quelque a n est pas un b ou bien quelque a est un non b . 

En symboles [31, 70, 71, 75, 39, 72 P 29] : 
A)a = 6, E)azD-6, l)g(a^^) 0)g(a-^). 
Comme tout syllogisme se compose de trois propositions, les scho- 



77 

lastiques dislinguenl les modes du syllogisme selon 1 espece A, E, I, 
de chacune des trois propositions. Or, en changeant de toute 
maniere possible 1 espece A, E, I, de chaque proposition, le 
nombre des modes du syllogisme serait 4x4x 4 = 64 ! Heureu- 
sement la plupart ont deja ete elimines cornme faux, par les scho- 
lastiques eux-memes; mais il en resterait loujours un bon nombre, 
a savoir 19! 

103. Les deux premieres propositions de chaque syllogisme s ap- 
pellent premisses, la troisieme conclusion. 

Dans tout syllogisme il doit y avoir seulement trois lermes : on 
appelle respectivement petit terme et grand terme le sujet et 
Y attribut (ou predicat) de la conclusion; et on appelle terme moyen 
un terme qui doit se trouver seulement dans les premisses, une fois 
avec le grand terme (et c est la premisse qu on dit majeure) et 
1 autre avec le petit terme (et c est la premisse qu on dit mineure). 
Pour fixer les idees, j indiquerai toujours par a, b, c (en cet ordre) 
le petit terme, le terme moyen et le grand terme 1 . 

On distingue quatre figures du syllogisme, selon le role du terme 
moyen : dans la premiere figure, b est sujet par rapport a c et 
attribut par rapport a a; 

dans la deuxieme figure, b est toujours attribut; 

dans la troisieme figure, b est toujours sujet; 

dans la quatrieme figure, b est attribut par rapport a c et sujet par 
rapport a a. 

II y aurait 4 modes de la premiere figure. 4 de la deuxieme, 6 de la 
troisieme et o de la quatrieme, auxquels on a donne des noms mne- 
moniques dont 1 importance reside dans les voyelles ] en efl et, dans 
chaque nom il y a trois voyelles qui designent, dans cet onlre, 
Yespece [102] de la majeure, de la mineure, et de la conclusion -. 

104. Voici ces 19 modes du syllogisme, exprimes par nos symboles, 
avec leur noms scholastiques a c6te. 

Premiere figure 

1) b ID c.a 13 b : ID : a ZD c 6ArArA 

2) 6zD-c.azD^:iD:ai3-c cEl&rEnt 

1. Que d habitude on represente par les lettres S, M, P (Sujet, Moyen, Predicat). 

2. Petrus Hispanus. pontifex sub nomine Johannes XXI (m. 1227j. 



78 



3) 6 = c.g(a^ h) : = :aa^c 

4) ^ = -c.g(a^6) : =D : g(a-c) / ErIO 

Deuxieme figure 

5) c ID - b.a ID b : => : a =* - c cEsArE 

6) c => b.aiD ~ h :=> : a-=* - c 

7) c=3-6.g(a^): => : 3 (a - c) 

8) c=>.3(-6) : = :g(a-c) 

7 roisieme figure 
: g( a ^ c) dkrkptl 




a : => : 3 (a - c] 
a : =3 : 3 (a - c) 
a) : =a : a(a - c) 

Quatrieme figure 

15) c=D6.6=3n:=>:a ( ^ c) 

16) c ID 6 . 6 ID - a : =3 : a => - c cXmEnEs 

17) a (c ^ />) . b ID a : =3 : 3 (a ^ c) 

18) c =J - b . b =D a : => : 3 (a - c) 

19) c =5 - /> . 3 (6 ^ a) : => 3 (a - c) frEslnOn 

105. On remarquera d abord que, moyennant la P 73 : 

a r\ b = b ^ a 
et son analogue b ^ c = c ^ b 

le /)/is-i (11) so reduit au />rii (3), le Ferison (14) au Fmo (4), le 
Dimaris (17) au Disamis (10) et le Fresinon (19) au Festino (7). 
On remarquera ensuite que, moyennant la P 97 [99] 



et son analogue b ID ~ c. = .c ID ~ b 

le Cesare (5) se reduit au Celarenl (2), le Festino (7) au /^rio (4), le 
Camenes (16) au Camestres (6) el le Fesapo (18) au Felapton (12). 

La P 96 [99] = -. .a ~b 

et ses analogues nous permettent par exemple d appeler - rf et c/ 
les Cls qu on nommait c et - c , ou celles qu on nommait 6 



et *fl . Dans le premier cas, sauf le remplacement partout de la 
lettre d a la lettre c (ce qui n a aucune importance), le Celarent 
(2) se reduit au Barbara (1), le Ferio (4) an Da.rH (3) [P29], le 
Felapton (12) au /teropfi (9) et le Bocardo (13) au flwarow (10;. Dans 
le second cas, sauf le remplacement partout de la lettre d a la lettre b 
le Camestres (6) se reduit au Cesare (o) - qui a deja ete reduit 
au Celarent (2), qui a son tour a deja ete reduit au Barbara (1) 
et en meme temps le Baroco (8) se reduit au Festino (7) qui a 
deja ete reduit au Ferio (4), qui a son tour a deja ete reduit au 
Darii (3). 

Maintenant nous pouvons echanger entre eux les noms des Gls a 
et c; alors le Disamis (10) se reduit au Darii (3), a cause de la pro- 
priete commutative [P 78] du signe - ,, d intersection et du signe 
A sous-enlendu d affirmation simultanee [P2]. Quant au .Darii 
(3), de son Up on tire [P 73, 89J la formule 

g (a A b). a * b ZD a * c 

dans laquelle on trouve seulement deux termes (a savoir a .A b , 
^ c ) et d oii Ton tire la Ts g (a ^ c) comme application imme 
diate de la P 100. 

En resumant, il nous reste seulement les syllogismes en Barbara 
(1), en Darapti (9) et en Bramantip (15). 

Mais ces deux derniers sont faux 1 -, en eflel leurs Ts sonl des affir 
mations ^existence, tandis que leurs Hp n en renferment aucune, 
pas meme sous forme d appartenance [100] 2 . 

II nous reste done &eulement le syllogisme en Barbara (1), c est-a- 
dire la propriete transitive du signe ^ [P47], ou syllogisme en 
forme collective. 

Si on pose a cote, comme cas particulier [90], le syllogisme en 
forme individuelle [P 56], toute la Syllogistique vient se trouver 
resumee dans ces deux P! 

106. J ? ajouterai un mot au sujet du sorite, qui n est autre chose 
que Tapplication repetee, autant de fois que Ton veut, du syllogisme 
en Barbara. 

\. Ainsi que le Felapton et le Fesapo, equivalents au Darapti. 

2. La faussete des modes traditionnels du syllogisme, moyennant lesquels de 
deux jugements universels on voudrait deduire un jugement particulier, a ete 
reconnue separement par Miss Ladd (a. 1883), Schroder, Xagy, Peano, etc. C est 
un des premiers et des plus remarquables resullats de I adoption d une ideo 
graphic logique. 



80 

C est-a-dire que : etant donnee une succession do Cls (ou de condi 
tions), telles que (dans 1 ordre donne) chacune (sauf la derniere) soil 
contenue dans (implique) la successive, on pourra conclure que la 
premiere est contenue dans (implique) la derniere. Par exemple, 
a, b, c, d, e etant des Cls (ou des conditions), 



Dans le cas des Cls, la premiere (seulement) des inclusions et la 
Ts peuvent elre remplacees par des appartenances par rapport au 
meme individu; c est-a-dire, par ex. : 

x&b.b => c.c =D d.d ZD e : : 



RELATIONS ENTRE LES SYMBOLES v - 

107. Les idees representees par nos symboles ^w- sont 
reliees entre elles par quatre relations, qui ont ete decouvertes par 
De Morgan (a. 1858) : 

-103. ~(a^b) = (~a)r^(-b) 105. a w b = - [(-a) ^ (- b)] 
404. ~jrt,^ b) = (~a)^(-b) 106. a ^b = ~[(~ a)^ (~ b)] 

En supposant d abord que a et b soient des Cls quelconques, con- 
jointes ou disjointes [fig. 4 ou 6, p. 38] : 

tout individu, qui n appariient pas a leur reunion, n appartient ni 
a 1 une ni a 1 autre, et par suite il appartient a Yintersection des Cls 
contraires, et reciproquement [P 103]; 

de meme [fig. 3] : lout individu qui n appartient pas a leur inter 
section, n appartient pas a une au moins de deux Cls donnees, et 
par suite il appartient a la reunion des Cls contraires, et recipro 
quement [P 104]. 

En adoptant la terminologie de Leibniz et de ses disciples [39], 
la lecture de ces deux P devient tres suggestive : 
u la negation d une somme est le produit des negations de ses lermes, 
la negation d\m produit est la somme des negations de ses facteurs; 
dont la seconde serait, d une certaine maniere, la propriete logari- 
tkmique de la negation, etant tout a fait semblable a la P arithme- 
tique bien connue : le logarithme d un produit est la somme des 
logarithmes de ses facteurs . 



81 

Maintenant, comme on peut transporter le signe - d un 
membre a 1 autre d une egalite [P 96], on passe des P 103 el 104 aux 
P 105 et 106, qu on peut enoncer ainsi : 

La reunion de deux Cls est le conlraire de { intersection de leurs 
contraires [P 105]; {"intersection de deux Cls est le contraire de 
la reunion de leurs contraires [P 106]. Ainsi done la P 105 nous 
donne une maniere d exprimer une reunion par une intersection et 
la P 106 nous donne une maniere d exprimer une intersection par 
une reunion. D oii il parait que, le signe - etant connu, on pour- 
rait conserver un seul des signes ^ et r\ , celui qu on voudrait, 
en se passant de Tautre. 

Ce n est qu une remarque de possibilite, car les deux signes con- 
sideres sont si commodes qu on ne saurait conseiller de renoncer a 
aucun d eux. 

108. Comme exemple d application de nos precedes ideographiques, 
je vais montrer comment de la verite des quatre P, dont je viens de 
parler en supposant que a et b etaient des Cls, decoule celle des 
memes P, en supposant qu a et b soient des conditions par rapport 
a une meme variable. 

En effet, si x est cette variable, on pourra determiner [60] deux 
Cls u et v telles que 

xtu = a xtv b (1) 

Comme u et v sont des Cls, elles verifient la P 103, c est-a-dire 

~(u^>v) = (~u)<^ (- v) 

En operant sur les deux membres de cette egalite par 1 ecriture 
a? e [P 10], on obtient 



Dans le second membre on peut distribuer 1 ecriture x z par 
rapport au signe ^ [96]; on obtient ainsi 

x - (u ^ v) : = : x s. - u . r\ . x - v 

Puisque u et v sont des Cls, ~ (u ^ v) , - u et - v sont 
aussi des Cls [P 14, 24]; on peut done transposer partout les deux 
signes e et - [P 28], apres quoi on peut meme transposer 
partout x et - [P 22]; on obtient 

- [a? e (u w v)] : = : - (x e u) . ^ . - (x e v) 

PADOA. 



82 

Dans le premier membre on peut distribuer I ecriture x E par 
rapport au signe r [96] ; done 

- [j? e M . ^ . x s y] : = : - (x e if) . ^ . - (x v) 

Maintenant, en remplagant x zu et x v par a et /; (1), on 
retrou\ 7 e la P 103 dont nous sommes parti et qui resulte vraie aussi 
dans le second role des signes w et ^ . 

Et de meme pour les trois autres P [107J. 

109. Mais ce qu il y a de plus remarquable dans les quatre P dont 
nous nous oecupons, c est que, pour passer de la P 103 a la P 104 (et 
reciproquement) ou de la P 105 a la P 106 (et reciproquement), il 
suffit d echanger entre eux les signes -* et r* (et par suite, 
dans la lecture de ces P, il suffit d echanger entre eux les mots 
reunion et intersection , ou les anciens mots somme 
et produit ). 

Gette propriete est tout a fait analogue a celles qu on rencontre 
dans la geometric protective, dont les P restent vraies en y echan- 
geant entre eux les mots point et droite dans le plan, point et plan 
dans 1 espace, droite et plan dans la gerbe. L ensemble de ces pro- 
prietes est appeie par les geometres loi de dualite . 



DUALTTE LOGIQUE 

110. II y a, done une loi de dualite (ou de correlation) aussi dans la 
Logique [109]; c est M. Peirce qui en 1867 lui donna ce nom et lui 
reconnut une etendue que les seules P de De Morgan [107] ne per- 
mettaient pas de soupc;onner. 

D abord je precise le plus grand champ d application de la dualite 
logique. 

Cette loi s applique (comme on verra tout de suite [111]) a toute 
P dans laquelle cliaque variable represente une Cls et en dehors 
des ecritures du type a Cls , a, b s. Cls , etc. et des signes de 
ponctuation on trouve seulement les symboles 

= =DW^ A V * 

Elle s applique aussi aux P a double role, c est-a-dire dans les- 
quelles les variables sont toutes des Cls ou toutes des conditions, et 



83 - 



par suite, en dehors des variable, et des signes deponcluation, on ne 
trouve que les symboles 



mais, meme en ce cas, on operera comme si cliaque ,,< devait 
reprjsenler une Cls, pour interpreter ensuite la P comto.W comme 

P a double role. 

111. J appelle transformation correlative celle au moyen de laquelle, 
une P dti type considere [110] etant donnee : 

1) tout ^ de reunion est change en ^ >, ; et, reciproque- 
ment, tout r> ,> & intersection (meme sows entendu, dans des ecri- 
tures du type a - b >, [P 29]) est change en w ; 

2) on echange entre elles les deux Gls entre lesquelles se trouve 
un ID ft inclusion , 

3) tout A est change en V , et reciproquement. 

On ne doit pas faire d aulres changements; par suite, les symboles 
= ,- et les signes de ponctuation demeureront toujours inva- 
ries, ainsi que lesymbole w ^affirmation alterne, le symbole ^ 
^affirmation simultanee (ordinairement sous entendu [P 2]), le sym 
bole => ^implication et les variables, sauf dans le cas 2). 

Ainsi la transformation correlative resulte reciproque par defini 
tion, c est-a-dire : si a est une P du type considere et si [3 est sa 
correlative (obtenue en assujettissant a a la dite transformation), 
alors la correlative de [i est derechef a. 

112. Avant de justifier la loi de dualite (selon laquelle, si une P 
du type considere [110] est vraie, alors sa correlative [III] zussidoit 
etre vraie}, il est bon de se familiariser avec la transformation cor 
relative. 

Commengons par les P les plus simples, dans lesquelles on trouve 
seulement les symboles = w ^ ; il y a dualite entre les P 72 et 73 
[94], 74 et 75 [ibid.], 78 et 80 [9o], 79 et 81 [ibid.], 82 et 83 [ibid.]. 

Si Ton veut des P correlatives dans lesquelles entre aussi le sym 
bole - , on n a qu a observer les P 103 et 104 [107], 105 et 106 
[ibifl.], ainsi que je viens de dire [109]; tandis que les P 68 et 69 
[92], 92 et 94 [98], 93 et 95 [ibid.] nous offrent des couples de P 
correlatives dans lesquelles entre aussi le symbole 3 . 

Celles-ci sont toutes des P a double role dans lesquelles, en ope- 
rant comme si chaque variable devait representer une Cls [110], on 



84 

ne trouve que les symholes w ^ ID qui soient assujettis a la loi 
de dualite. 

Mais, par exemple, dans la P 84 



on Irouve deux r\ (dont un sous entendu entre a ZD 6 et a za c ) 
dont /e premier settlement est assujetti a la transformation correla 
tive (car, si a, b, c sont des Cls, le premier est un symbole ft intersec 
tion, tandis que le second est tout de meme un symbole d affirmation 
simultanee) , done sa correlative est la P 87 

b ^ c =3 a: = : b m a . c => a 
Pour un autre exemple, dans la P 88 



il y a trois =3 dont seulement le premier et le troisieme sont 
assujettis &la transformation correlative (car, si a, b, c sont des Cls, 
ils sont des symboles ([ inclusion, tandis que le deuxieme est tout de 
meme un symbole (^ implication)-, done sa correlative est la P 89 



Ainsi done la P 90 



a pour correlative 



c est-a-dire (en echangeant entre elles les lettres a et b, et aussi c et 

d) la P 91 

azzb.c^d:^: ar^c^br^d 

On se tromperait done en croyant reciproques entre elles des P 
telles que les P 85 et 86 



car on assujettirait a la transformation reciproque un symbole 
& affirmation simultanee (le n qui est sous entendu dans la pre 
miere) ou ft affirmation alterne (le premier ^ de la seconde). Ces 
P ont respectivement pour correlatives les P 



85 

a =>t>.a=>c:=> :a => 
6 



>a (Mc Colli a> 1878 } 

113. Nous avons donne plusieurs exemples de dualite entre des P 
a double role [112]; maintenant, nous allons en donner entre des P 
qm appartiennent exclusivement a la theorie des Gls. 

Les P 18 et 19 [68] sont correlatives entre elles, ainsi que les P 

A Cls y e cis 

(dont se compose la P 20, a cause de la P 4), ainsi que les P 32 et 34 
[74], 33 et 35 [iftuZ,], 36 et 31 [ibid.], 70 et 71 [92] ^ 

114. Ainsi qu il arrive dans la geometric projective [109], il y a des 
> logiques qui (sauf un changement de lettres, sans aucune impor 

tance) ont pour correlatives les memes P; on peut les appeler auto- 
correlatives. 

C est le cas, par exemple, du syllogismeeu Barbara dans sa forme 
[82 P 47,105] 



a => b . b ZD c : ID : a ID c (1) 

que la dualite transforme dans la P 

b ID a . c ID b : ZD : c ZD a 

(d ou, en appliquant au signe ^ sous-entendu la propriete com 
mutative [P 73] et en echangeant entre elles les lettres a et c) on 
retourne a la (1). 

De meme pour le sortie dans SB. forme collective [P101]. 

Parmi les P auto-correlatives il y a aussi des egalites sur lesquelles 
la dualite ne produit d autres effets que 1 echange des deux membres 
entre eux; par exemple, la P de Schroder (a. 1890) 

/ 09. (a ^ b) ^(b w c )^ (c^a) = (a^b)^ (b^c)^(c^a) 

qui est vraie pour les deux roles des signes n et w et que Ton 
peut verifier pour les Cls dans la fig. 7 [p. 70] 2 . 

1. Parmi les P que nous avons eu 1 occasion de remarquer, sont aussi corre 
latives les P7 [66] et 14 [67], 8 et 17 [ibid.], 54 et 55 [88], 76 et 77 [94]; tandis qu il 
y a seulement une apparence de correlativite entre les P 3 [641 et 15 [871 13 [661 
et 16 [67]. 

2. La transformation reciproque ne produit aucun eflet sur les P 24, 25, 26 
[70], 96, 98 [99]; elle produit un simple echange de lettres dans la P 99 [99] et la 
commutation d une affirmation simultanee dans les P 52, 53 [87]. Done ces P 
sont aussi auto-correlalives. 



86 

115. Videographie logique adoptee par M. Peano ajoute aux autres 
merites celui Ires remarquable de rendre tres aisee et immediate la 
transformation correlative [111], parce que cette transformation 
s obtient en renversant les caracteres typographiques qui corres 
pondent aux symboles a transformer l . 

La loide dualite, dont il me parait superflu de releverTimportance 
inlrinseque, nous offre aussi le pourquoi de certains fails que par 
d autres voies on n avait pas expliques; par exemple le fait que 
chacun des signes w et ^ a la propriete distributive par rap 
port a 1 aulre (parce que les P 78 et 79 [95] ont respectivement pour 
correlatives les P 80 et 81), tandis que le signe ^ a la propriete 
distributive (a gauche) par rapport au signe o mais non (ni a 
gauche, ni a droite) par rapport au signe O [97]. 

En eflet la P 84 



n a pas pour correlative la P fausse [97] 

a=>b^c: = :a=>b.^.a=)c 
mais la P 87 

b^c^a: = : b^a.c^a 

et ainsi la transformation correlative nous conduit d une P dans 
laquelle onlrent deux ^ . (dont un sous entendu) a une P dans 
laquelle cntrent un w el un ^ (sous entendu), sans que cela 
forme aucunernent un cas d exception. 

116. Je m altends a la question suivante : d oii lire-t-on la certitude 
que, une P vraie du lype considere [110] etant donnee, sa correlative 
[111] aussi doit etre vraie? 

Dans quelques editions du Formulaire (par exemple celle de 
Tan 1902) on dit que la loi de dualite depend des deux points de 
vue de Texlension et de la comprehension, sous lesquels on peut 
envisager les Cls [26]. 

Examinons la valeur de cette explication. 



1. Cela est evident pour les signes v ^ , /\ \/ ; en outre, les signes 
= - > ne changent pas en les renversant. Le signe = deviendrait = , et 
en efTet, la formule correlative de a => b serait a <= b [31] ; mais Ton prefere 
ecrire a sa place b = a , en conservant ainsi le symbole = [32] et en echan- 
geant entre elles les variables [111]. 



87 

Nous avons deja remarque [27] que, les Cls a et b etant donnees, 
si 

a contient b au point de vue extensif, 
alors 

b contient a an point de vue comprehensif; 
et reciproquement. 

Done, dans le passage d un langage a 1 autre (de I extension et de 
la comprehension) la formule a 13 b devient b => a , c est-a-dire 
qu elle est assujettie a la transformation correlative [111]. Admet- 
tons pour un moment (ce qui n est pas vrai 1 ) que cela arrive sans 
exception pour loute formule composee moyennant les symboles 
consideres [110]; quelle consequence pourra-t-on en tirer? 

Ce ne sera pas la hi de dualite, mais la dualite entre les deux Ian- 
gages dont je viens de parler; au sens que, si parexemple a est unc 
P du type considere [110] qui soit vraie dans un des deux langages, 
la P p qu on obtient en assujettissant a a la transformation correlative 
devra etre vraie dans Van/re langage; de maniere que y. et p expri- 
meraient unmeme fait par deux langages different! 

Or la loi de dualite, dont nous avons vu de nombreuses applications, 
[112, 113] dit tout autre chose : et precisement que, si a est vraie dans 
un des deux langages (pour nous celui de ^extension [27]), p aussi est 
vraie dans le meme langage; de maniere que (sauf le cas des P auto- 
correlatives [114]) a et p expriment dans le meme lam/age deux fails 
di/ferentsf 

117. II faut done de montrer la loi de dualite moyennant Tanalyse 
des symboles dont il s agit [110], en les considerant toujours au 
meme point devue (par exemple celui de ^extension, ainsi que nous 
Tavons fait jusqu a present) -. 

Soit a une P du type considere [110]. 

Pour compliquee qu elle soit, au moyen des substitutions litte- 

1. Je me propose de juslifier ailleurs cette assertion, qui est contraire a 1 opi- 
nion commune; ici il n est pas necessaire de le faire, parce que ce n est pas sur 
elle que s appuie ma refutation. 

2. Ma premiere demonstration de la loi de dualite, que j avais donnee a ce 
point de la legon, presupposait plusieurs notions de Methodologie, dont j avais 
du anticiper concisement 1 expose. Maintenant, pour suivre un ordre plus sys- 
tematique, je prefere en differer la publication (voir la note en tete de cet 
ouvrage) et la remplacer ici par une autre demonstration dont 1 idee, un peu 
vague, m a etc suggeree, dans une conversation, par le prof. E. E. Levi, de ITni- 
versite de Genes. 



88 

ra/e*opportunes (dont je vais dormer im exemple en note), on pent 
la. transformer de maniere qu elle se compose seulement des formules 
du type 

a ID b , a w b = c , a<^b = c , 
a=/\. v, a = 6, a - 6 (I) 

dans lesquellesM, c,... sont des Cls; ces formules etantre/im entre 
elles par des signes w $ affirmation alterne, ^ sous entendus 
^affirmation simultance, => >, d implication, = d egalite entre 
des conditions, outre que par des signes de ponctuation 1 . 

En assujettissant la P a a la transformation reciproque [HI], on 
obtiendra une P p dans laquelle a la place des formules (I) on trouvera 
respectivement les formules 



ZD fl , a^ = C, 

a V, ff A , a = ^, a .^ (H) 

dans lesquelles a, 6, c,... sont aussi des Cls et refe? entre elles 
comme les (I) dans la P a. 
Or, en posant 

(c^ ->,, i=-, c / = -C ,..., (HI) 

des P connues [P 36, 37, 96, 99, 105, 106] on deduit 



CXemple tes subsfit "H Htterales dont je viens deparler, analysons 

(1) 



qu on trouve dans la P 71. En posant c = - b , par suite de la propriete 
tutive de Vegalite [84] la (1) devient wc = V ; qui, en posant owc = d., 
deyient d = \/. Reciproquement, de cette derniere, moyennant les dites 
substitutions, on retourne a la (1). 

Par suite, la (1) est equivalente a 1 expression 

qui est formee par trois formules du type (I) (on remarquera que, si dans la (1) 
a et 6 sont des Gls, c et d doivent etre aussi des Gls [P 24, 14, 57, 58]). Ges trois 
formates sont rehees entre elles par un A sous entendu V affirmation simul- 
tanee et par un = >> ^implication, outre les signes de ponctuation (subordon- 
ement auxquelsil faudra modifier ceux de la P dont la formule (1) n est qu une- 



89 

c est-a-dire : les formules (II) sont equivalentes ordonnement aux 
formules (I) dans lesquelles , />, c,... sont remplaces par a, b< , c ,... 
Amsi done, pour ce qui precede, la P p, correlative de la P a, est egale 
a la Pa , qu on pent obtenir tout de suite de la P a en y remplacant 
a, b, c..., par a b c ,... 

Mais, puisque a, 6, c,... sont des Cls, a , 4 , c ,... (Ill) sont aussi 
des Cls [P 24, 58]; done, si la P a est vraie (categoriquement [52], 
c est-a-dire quelles que soient les Cls a, b, c,...), aussi la Pa doit 
etre wroie; par suite, aussi la P p, correlative de a, rfoi; etre t-raie; 
car, pour ce que je viens de dire, elle est eg ale a la P a . 

118. La loi de dualite est done un moyen sur depreuve etun moyen 
aussi puissant qae facile de decouverte; car, si d une maniere quel- 
conque on parvient a demontrer une P du type considere [110], la 
verite de sa correlative doit etre admise ipso facto (et d ailleurs sa 
demonstration ne serait autre chose que le raisonnement correlatif 
de celui qui aurait servi a demontrer la premiere P). 

119. Nous savons que les Pa double role sont celles dans lesquelles, 
outre que des variables et des signesde ponctuation, on trouve seule- 
ment les symboles 



et nous savons aussi que ces P sont susceptibles de dualite [110]. 

Remarquons a ce point qu on pourrait considerer com me P a 
double role memes celles dans lesquelles on rencontre aussi des for 
mules du type a = /\ ou bien a= y ; pourvu que (au moment 
de considerer que a designe une condition par rapport a x, au lieu 
(Tune Cls) on remplace ces formules par u (a? s a) = A ou bien 
(x 3a)= V (car A et V , etant des noms propres [371, ne 
sont pas susceptibles de plusieurs roles J ). 

Ainsi, par exemple, si a et b sont des conditions par rapport a 
x, les P 70, 71 deviennent 

1. L/avertissement n est pas inutile, car on serait tente de donner un second 
role meme aux symboles A V " avec les. significations respective* : 
condition absurde (ou condition jamais verifiee, quelle que soil la valeur de la 
variable) qu on appelle aussi : faimsete logique ou impossibilite logique; condi 
tion illtuoire (ou condition toujours verifiee, quelle que soit la valeur de la 
variable) qu on appelle aussi : verite logique ou necessile logique. 

Si Ton voulait representer ces idees par des symboles speciaux, il faudrait 
done en employer de nouveaux (par ex., A et y ); niais ce qui va suivre 
[120] montre qu on compliquerait les choses inutilement. 



90 

a :s b . = . x 3 (a - b] = A 

c est-a-dire : a implique b signifie quilny a pas des valeurs dea? 
qui verifient a et ne verifient pas b\ 

b implique a signifie que toute valeur de x verifie a ou ne 
verifie pas b. 

On peut simplifier 1 ecriture de la derniere P (toujours en suppo- 
sant que a et b soient des conditions par rapport a une meme 
variable), en 1 ecrivant ainsi : 

b ^ a . = . a w-6 

c est-a-dire : b implique a signifie quune au mows des condi 
tions a et <( - b est verifiee, quel que soil x. 

C est ainsi que, des le commencement, nous avons precise la signi 
fication de toute implication [54]. 

PRINCIPES D IDENTITE, DE CONTRADICTION ET DU TIERS EXCLU 

120. Les (rois principes que je viens de nommer sont exprimes, 
dans le meme ordre, par la P 41 

x = x (I) 

(dans laquelle x designe un objet quelconque) et par les P 

110. aeCls.=>.a^- fl =A (II) 

/H. a Cls . =3 . aw~rt V (HI) 

Dans la (II), pour plus de clarte et pour mieux faire ressortir la 
comparaison avec la (III), j ai ecrit, entre a et - a le signe ^ 
que j aurais pu sous entendre [P 29]. 

Dans les traites ordinaires de Logique, au principe d"identite on 
donne souvent la forme un peu vague A est A , sans preciser si A 
designe une Cls ou une condition ou un objet quelconque. ni la signi 
fication donnee au mot est ; par consequent, on ne saurait decider 
si Ton entend parler des P 

a = a (I ) x E a . = . x s a (I") 

dans lesquelles a est une Cls, ou des P 41, 42, 43. Mais, sans doute, 
la P 41 merite la preference, parce qu elle s applique a tout objet; 
et en effet les (F) (I") n en sont que des cas particuliers. 



On peut aussi exprimer les deux autres principes (II) (III), en se 
rapportanta une condition [119] : 

X3 [xsa.-(xea)}.= A (IF) 



a . 



c est-a-dire : Y affirmation simultanee d une condition et de sa nega 
tion est une condition absurde [119 *]; 

tandis que : V affirmation allerne d une condition et de sa negation 
est une condition itlusoire [119 *]. 

Au principe (III ) on peut aussi dormer la forme plus simple [119] : 

a? E . w . - (a? set) (HI") 

121. La simplicite excessive du principe d idcntile pourrait faire 
douter de sa fecondite. Dans plusieurs livres j ai lu, en eflet, que de 
1 affirmation tautologique K x = x on ne saurait rien tirer; mais il 
ii en est pas ainsi. 

Tout le monde sait, par exemple, que 



c est-a-dire que : trois nombres qui verifien t 1 egalite x y = z 
verifient aussi 1 egalite z-+-y = or 5 et reciproquement. Par suite, 
la verite de chacune de ces egalites peut servir comme preuve 
de la verite de 1 autre. 

Ainsi done, pour demontrer que 



il suffit de savoir que 

or, b s N . => . (a -+- 6) E N 

et que (sans aucune Hp) 

a-\-b = a-\-b 

c est-a-dire : un fait arithmetique (qui depend de la signification des 
symboles N et a -+- ) et un fait logique (qui ne depend pas de la 
signification du symbole -f-) a savoir une application immediate 
du principe didentite. 

De meme, pour demontrer que 

a, b s N . a ^ b : =3 : (a b)-\-b = a 



92 
il suffit de savoir que 

a , b s N . a > b . ID . (a b) t N et que a b~a b 

c est-a-dire : un fait arithmetique et un fait logique, a savoir une autre 
application immediate du principe d identite. 

Done le principe d idenlite, meme dans sa forrne faulologique, 
pent servir cornme moyen de preuve. 

Mais, bien que pour nous le signe = signifie toujours est la 
meme chose que [23], ce signe ne relie pas necessairement deux e cri- 
turesidentiques. En effet, par exemple, les polygones equilateraux et 
les polygones equiangles forment deux Cls qu on defmit separement; 
mais on demontre, d apres Euclide, que 

triangle equilateral ID triangle equianele 
et que 

triangle equiangle => triangle equilateral 
d ou il resulte [P 52] que 

triangle equilateral = triangle equiangle 

Cette egalite n est pas une taulologie. Ainsi que des centaines 
de P analogues, elle enonce l&decouverte que deux Cls, differentes B.U 
point de vue de la comprehension (c est-a-dire des proprietes qui les 
caracterisent), se sont revelees egalcs an point de vue de ^extension 
(c esl-a-dire des individus qui les composent); car les memes triangles 
sont en meme temps equilateraux el equiangles. 

Et cette egalite caracterise les triangles parmi tous les polygones-, 
car un polygone, qui ne serait pas un triangle, pourrait etre equi 
lateral sans etre equiangle, ou equiangle sans etre equilateral , c est 
pourquoi il faut une troisieme locution polygone regulier pour 
designer les polygones qui sont en meme temps equilateraux et 
equiangles (par exemple, les quadrilateres, des trois especes que je 
viens de considerer, sont nommes losanges, rectangles, cams). 

Et ce que je viens de dire pour les Cls pourrait etre repele pour 
les conditions- en effet, par exemple, les formules 

x y = ~ et z-\-y = x 

dont nous venons de nous occuper, sont di/ferenies au point de vue 
de la comprehension, mais elles sont egales au point de vue de 
V extension (car les nombres x, ?/, z qui verifient la premiere, verifient 
aussi la seconde, et reciproquement). 



93 

122. Le principe du tiers exclu [120 (III) (III ) (III")] est celui qui 
est employe le plus souvent dans les mathematiques, comme moyen 
de preuve, dans les demonstrations qu on appelle par absurde et qu il 
vaudrait mieux appeler par exclusion. 

En effet, on demontre qu une assertion est vraie, en excluant la 
verite de sa negation (ou d une assertion qui serait impliquee par la 
negation de 1 assertion donnee), savoir en prouvant que sa negation 
est fausse. Or, si la faussele de la negation d une assertion suffit a 
prouver la verite de 1 assertion donnee, c est bien en vertu du prin 
cipe du tiers exclu. (C est de ce principe que prennent naissance 
aussi ces raisonnements qu on appelle dilemmes.) 

II serait done plus exact d appeler demonstrations par r absurde 
celles qui ont pour but de prouver la faussete d une assertion, 
au moyen de la verite de sa negation ; et cela en vertu du principe 
de contradiction [120 (II) (II )]. 

Mais, tres souvent, dans les demonstrations mathematiques qu on 
appelle par Vabsurde on a recours aux deux principes a la fois, du 
tiers exclu et de contradiction. 

123. Dans plusieurs traites de Logique scholastique j ai rencontre 
des pseudo-reductions de ces trois principes a un seul d entre eux, 
n imporle lequel. Eh bien! ces reductions sont impossibles, si Ton 
n admet pas dautres principes. L emploi du langage ideographique 
nous donne le droit de I affirmer a priori] car, pour passer de 1 un & 
Tautre de deux quelconques des enonces symboliques de ces trois 
principes, il faut introduire ou eliminer quelques symboles, c est-a- 
dire les idees logiques qu ils representent. Cela est possible; inais, 
pour le faire, il faut connaitre les procedes qui permettent ces trans 
formations, c est-a-dire... d autres principes logiques ! 

D ou : V impossibility de reduire la Logique deductive a un seul 
principe. Si cela semble possible dans quelques traites, c est que le 
langage ordinaire atendu des pieges aux auteurs, qui ne se sont pas 
apergus avoir recours dans leurs reductions aux principes memes 
qu ils voulaient demontrer ou a d autres principes qui n etaient pas 
les trois en question. 

124. D ailleurs, cette analyse est bien facile. 

Le principe de contradiction et celui du tiers exclu [120 (II) (III)] 
sont correlatifs [111]; il est done tres aise de passer de Tun a Tautre, 



94 

et reciproquement,... pourvu qu on connaisse une partie au moins 
de la loi do dualite! 

On peut aussi passer du principe d identile au principe de con 
tradiction ou du tiers exclu, et reciproquement. Pour simplifier les 
choses, considerons ces principes tels qu ils se presentent dans la 
theorie des Cls et supposons connue la P 

412. aeCls.-. =3 .-.a = b : = :a =3 b . b => a 

qui resulte des P 52 et 53, en les resumant moyennant les P 52, 54, 57 . 
En y remplagant b par a, elle devient 

rteCls .-. => .-. a = a : = : a => a . a ZD a (i) 

La propriete simplificative du signe n (sous entendu), c est-a- 
dire la P 77 appliquee aux conditions, nous donne 

Les P 70 et 71, en y remplacant b par a, donnent 

a Cls : ID : a . ZD a . = . n ^ ~ a = A (3) 

a Cls : ID : a ID a . = . a w - a = V (4) 

Enfin, au moyen de ia propriete transitive de Tegalite [P46], des 
P (1) (2) (3) on obtient la P 

a Cls : ID : a = a . = . a ^ - a = A (5) 

qui enonce Yequivalence des principes ftidentite et de contradiction ; 
tandis que des P (1) (2) (4) on obtient la P 

a E Cls : zs : a = a . = . a w - a = V (6) 

qui enonce Yequivalence des principes d idenlite et du tiers exclu. 

Mais pour demontrer les P (5) (6) nous avons eu recours aux P 112, 
77, 70, 71, 46, c est-a-dire a cinq autres principes logiques! 

125. Les principes de contradiction et du tiers exclu [120 (II) (III)] 
prennent parfois, pour les Cls, les formes (correlatives entre 
elles [HID 

4 1 3 . a ^ b = A = b =D - a 

444. a w b = V => ~ n ^ b 

et les formes (aussi correlatives entre elles) a double role 

a ZD - (- a) ~ (- a) =D a 



95 



dont Y affirmation simultance est equivalent [P 52 1 a la formule 

[P25] 



qui, par suite, resume les deux principes de contradiction et du 
tiers exclu. 



ON DEMONTRE ILXE P SANS SE SOUCIER DE CE QU ELLE DIT 

126. Jusqua present, sauf peu ^exceptions, je me suis contente 
de vous persuader (par Yiniuilion immediate, par des exemples, par 
la vision de figures, par le souvenir de vos experiences, parla/act/ife 
d en faire de nouvelles) de la verite des P logiques que je vous ai 
enoncees; c est-a-dire que j ai fait de Yempirisme lorjique, ainsi que 
Ton fait de Yempirisme mathematique dans les ecoles primaires. 

Maintenant je vais vous donner un exemple de la puissance de 
nos P logiques comme formes de raisonnement, c est-a-dire comme 
moyen de preuve- elles conduisent a ce resultat paradoxal : 
qu on peut demontrer une P, meme sans se soucier de savoir ce 
quelle dit. 

Prenons par exemple la P a double role 



qui a ete decouverte par Peirce en 1880 (et dans laquelle, pour plus 
de clartej aiecritle signe ^ que j aurais pu sous entendre entre 
a et - d ). 

En supposant que a, b, c, d B Cls , et en remarquant [P 7, 14, 
24] qu alors a r--. b , c w rf , <7 ^ ~ c/ , c ^ - 6 sont aussi des 
Cls, je prends les deux membres de la P 115 et je les transforme 
separement, moyennant la P 70 [P 29], en obtenant : 

(a r^b)^- (c w d) = A (a^-d)^~( C w-&) = A 
d ou, respectivement [P 103, 25], 

(a - b) r, (- C r, ~ d} = A (fl ^ - rf) - (- C r, b) = A 

d oii, en ordonnant (moyennant les proprietes commutative et 
associative du signe ^ [P 73, 75]), on arrive au ??ieme resultat : 

a^br,~cr^-d= A 

Or, comme toutes ces transformations sont invertibles et par suite 



96 

[P 52] chacun des deux membres de la P 115 esl egal a la derniere 
formule, ces deux membres sont egaux entre eux [P 44, 46]; ce qui 
prouve la verile de la P 115 (pour le passage du premier role au 
second, voir le 108). 
Sa correlative serait [111] 



c est-a-dire la meme P (sauf le changement reciproque des lettres a 
et b en c et d)\ done la P 115 est auto-correlative [114]. 

En 1 exprimant par le langage pseudo-arithmetique [39], elle dit 
que : un facteur de 1 Hp et un lerme de la Ts peuvenl changer de 
place, en per dan t ou en prenant le signe - selon qu ils en etaient 
precedes ou non, et en changeant entre eux leurs qualites de facteur 
et de terme . 



POSSIBILITE DE REDUIRE LE VOCABULAIRE LOGIQUE A TROIS SYMBOLES 

127. A 1 occasion d un cours de conferences que j ai donne a 
1 Universite de Padoue en 1906, je me suis propose de choisir un 
groups peu nombreux de symboles logiques, au moyen desquels on 
pouvait exprimer tons les autres\ et je suis arrive a la reduction que 
je vais exposer et qui est encore inedite. 

Les symboles que j ai choisis comme point de depart sont au 
nombre de trois, a savoir 

II resultera done que, en le voulant, on pourrait se servir toujours 
et settlement de ces trois symboles logiques; mais ce qui est interes- 
sant c est seulement la possibilite de cette reduction, car il serait 
tres incommode de renoncer aux autres symboles, et par suite je ne 
propose pas leur elimination effective. 

Au contraire, des que j aurai defini un symbole *, je m en servirai 
pour en deftnir d autres, en formant ainsi une chains de definitions 
dont on ne pourrait pas alterer 1 ordre d une fagon arbitraire (bien 
qu on puisse faire quelques transpositions). 

1. Ici on parle seulement de ces Df (definitions} que les scholastiques appellent 
nominates; et il suffit de savoir que deftnir une ecriture (nouvelle ou qu on sup 
pose telle) vaut la declarer eg ale a une autre dont la signification soit connue ; 
le symbole = [23], qui relie entre eux le terme defini et le terme definissant, 
pourra etre lu signifie . 



97 

Les P que j emploie etaient presque toutes connues et je les ai 
deja enoncees (toutefois avec quelques modifications que j y ai 
introduites en vue du but actuel, que je m etais propose des le com 
mencement); c est que, dans les questions de ce genre, plus que de 
decouvrir de nouvelles P, 11 s agit de decouvrir de nouveaux liens 
entre les P connues. 

128. Par la P 68 : 

a ID b .=: . ar^b = a (I) 

on definit le symbole 13 . Gomme je suppose connue la significa 
tion du signe r dans ses deux roles, a savoir ^intersection et 
^affirmation simultanee, le signe ID resulte aussi deftni dans ses 
deux roles d inclusion et d" implication l . 

On remarquera qu il n est pas meme necessaire d apprendre a lire 
la formule qu on definit; car de sa signification (c est-a-dire de la 
formule definissante) n importe qui est amene a trouver la lecture la 
plus a propos. 

En effet, dans \^ explications prealab les (dont j ai touche un mot 1 ), 
on aura eu soin & eclair cir les concepts de classe et de condition, en 
ajoulant que le signe ^ sera employe seulement entre deux classes 
ou entre deux conditions, et de preciser quelle est la nouvelle classe 
ou la nouvelle condition qui en resulte. 

II s ensuivra ainsi que : 

1) si a et b sont des classes, on n aura a ^ b= a que lorsque 

1. Dans le Formulaire on trouve la (I) sous la forme 

a, b c Gls : =3 : a =3 b . = . a n (j = a 

Or, puisque le signe = d ! implication y est employe comme lien entre 1 Hp et 
la Ts, celle-ci pourrait definir le signe = seulement dans le role ^ inclusion; 
mais, tandis que moi, pour le definir en meme temps dans ses deux roles, j em 
ploie seulement Jes 2 symboles = ^ , ici il faudrait employer les 6 symboles 
= ^ , s Gls = (dont le n > dans le premier role et le = dans le second). 

On voit par la comme une petite modification peut avoir des consequences 
tres importantes. 

Mais on pourrait me demander si la suppression de 1 Hp ne peut produire 
des ambiguites; et je repondrais que non. En elTet, d abord il faudra expliquer 
(d une maqiere empirique et par suite en ayant recours a des e.remples, a des 
figures et meme a des concepts qu apres on definim) Is. signification des symboles 
par lesquels on cntend commencer, et a cette occasion on devr&distingtter et pre 
ciser les deu.r rdles du signe ^ >, et declarer qu il rien aura pas d autres. Par 
suite, comme la Df (definition] I dit simplement que, partoutou Ton rencon- 
trera une des ecritures r\6^et = 6 , on pourra les remplacer 1 une 
par I autre, il resulte (sans aucune Hp) que la nouvelle ecriture a aussi deux 
rdles, bien distingues et bien precises, et qu elle n en aura pas d autres. 



98 

il n y a pas des a qui ne soient pas des b , & savoir lorsque tout a 
est un b ; 

2) si a et ft sont des conditions, on n aura a r\ b = a que 
lorsque a ne peut jamais etre verifiee sans que b le soit aussi , 
a savoir lorsque a implique b . 

Ainsi, les deux lectures du signe ID , en correspondance de ses 
deux roles, seront : 

tout... est un... et ... implique ... 

ou d autres equivalentes, telles que : 

... est contenu en ... et si ... a/ors ... . 

129. Par la P 59 : 

ix = y?(y = x) (II) 

on definit le symbole i . 

Des explications prealables [128 1 ] il resultera que y 3 (y = x) 
est 1 ensemble des valeurs de y, telles que i/ soit la meme chose 
que x , c est-a-dire qu il est 1 ensemble auquel n appartient 
que x . La phrase r ensemble auquel n appartient que... est done 
une lecture possible du signe i ; si en ce cas on n en trouve pas 
spontanement une autre plus concise, c est que le langage courant 
ne nous en donne pas; done, seulement pour des raisons de conci 
sion, on pourra conseiller la lecture isos tiree de la langue 
grecque [45,89]. 

Par la P 61 : 

x e a . . t x zj a (III) 

on definit le symbole e , moyennant les deux symboles que je 
viens de definir *. 

Par ce qui precede, ta?3a signifie 1 ensemble, auquel 
n appartient que x, est contenu en a , c est-a-dire en abregeant 
x appartient a a ou x est un a ; ainsi, on arrive spontanement 
a la lecture es^ un du signe s . 

1. On voit par la qu on pourrait transpose! 1 les Df I et II, mais qu elles doivent 
preceder la Df III. 
Dans le Formulaire on trouve la (III) sous la forme 

a s Cls : =3 : x e a . . : x => a 

qui ne peut pas servir comme Df du symbole s , car ce signe se trouve deja 
dans 1 Hp. 



99 

Par la P 4 [P 2] 

#, 2/ea: = :a?ea.^.7/ a 

on definit le symbole , moyennant le symbole que je viens 
de definir . 

Le langage courant suggere immediatement de lire 1 ecriture 

-.. , ... ... comme il suit : ... et ... sont des ... [65]. 

130. Maintenant je vais definir le symbole Cl8>; a ce sujet, dans 
le Formulaire on trouve seulement la P 1 : 

aeCls . => .X3 (xea) = a (1) 

c est-a-dire : si a est une Gls, alors I ensemble des valeurs de a?, 
telles que x soil un a, est a . 

Comme dans le Formulaire on n a donne aucune signification (et 
par suite aucune propriete) a I ecriture x i a lorsque a n est pas 
une Cls, je lui donne en ce cas cette propriete : 

j 16 - - (a Cls) . =3 . x 3 (x a) = A 

qu on peut lire : si a n est pas une Cls, aucune valeur de x n est 
telle que x soit un a . 

Or, comme A Cls [P 20], de la P 58 on tire que 

a= A . =>. a Cls 
d ou [P 99] 

-(fleCls). z> .-(a= A) 

De la comparaison de cette P avec la P 116 il resulte que, si a n est 
pas une Cls, alors les deux ecritures x 3 (x e a) et a ne peuvent 
pas etre egales entre elles, parce que la premiere est egale a A 
et la seconde non; done [69] 

- (a s Cls) . ID . - [x s ( x s a) = a] 
d ou [P 99] la P : 

11 7 x s (x a) = a . ZD . a e Cls 

En resumant [P 52] cette P avec la (1), on obtient 
418. a sCls . = . a? 3 (x s a) = a 

c est-a-dire : a est une Cls signifie que I ensemble des valeurs 
de x, telles que x soit un a, est a . 
En voulant isoler le symbole Cls , on arrive ainsi [60] a la P 

1. Dans le Formulaire, la (IV) aussi est pre cedee de 1 Hp a e Cls , qui est 
devenue inutile. 



100 

119. G\s = a3[ X 3(xza) = a] (V) 

c est-a-dire : CIs est tout symbole a tcl que, Tensemble des 
valeurs de x, telles que x soit un a, est a . Cette P flte/?wf le sym 
bole Gls par le symbole , qui a ete deja defini (III) *. 

131. Par le symbole t , qui a ete deja defini (II), je de finis le 
symbole i [45], au moyen de la P 

120. a = ix.^.ia = x (VI) 2 

1. L analyse qui precede celte P a seulement pour but d indiquer la voie par 
laquelle j y suis arrive et d y distinguer ce qu elle renferme de connu et ce qu elle 
con lien t de nouveau [P 116]; mais, en voulant 1 adopter comme Df, elle n a 
besoin d aucune pre misse. 

Plutdt, le fait de donner une propriete quelconque a 1 ecriture x e a lorsque 
a n est pas une Gls, pourrait sembler en contradiction avec la P 6 

x s a . = . a e Gls 

c est-a-dire : 1 assertion qu un x quelconque appartient a a implique que a 
soit une CIs . 

Mais il s agit d une contradiction apparente; car, au contraire, si Ton regarde 
bien, cette P et la P 116 enoncent, de diflerente maniere, un m<?me fait (il 
suffit de comparer leurs lectures). 

2. Dans le Formulaire on defini t le symbole au moyen de la P 

a e CIs . g a : y, z e a . = . y = z .-. = .-. x = i a . . a = i x (1) 

c est-a-dire : 

si 1) a est une CIs 

2) il y a des a 

3) si y et z appartiennent a a, alors y doit etre egal a z; 

alors, dire que x est le a signifie que a est 1 ensemble auquel n appartient 
que x . 

Ge qui etait le definissant dans la (1) devient la seule Hp de ma Df (VI), parce 
qu elle renferme, d une maniere implicite, les trois conditions dont se compose 
1 Hp de la (1). 

En eflet : comme cx sCls [P64], a=ix implique [P 58] : 1) Cls; 
apres quoi [P 53], a = i x implique 

a = i x et i x => a ; 

inais i x => a implique (lit) x E a , qui implique [P 63] : 2) g a -; enfin 
a => t ^ implique que [P 56] si y e a , alors *ytix, c est-a-dire [P 60] que 
y x ; done 

yta.s>.y = x 
et de meme 

s e a . = . s =a? 
d oii [P 91 et IV] 

y ,zza: => :y = x . z = x 

d ou [P4i,46] : 

3) y ,zta .=> ,y = z 

J ai done obtenu une vraie simplification de la (1), sans rien lui ajouter ou lui 
6ter, etj ai obtenu deux avantages : dans la (1) la formule definie etait x= i a , 
tandis que dans la Df VI elle est simplement i a (qui contient seulement le 
symbole a definir); dans 1 Hp de la (1) etait employe le symbole 3 que je 



101 

Maintenant on pourrait definir 1 ecriture a = A en disant 
qu elle signifie que a est contenu dans une Cls quelconque ; en 
smboles 



= A : = : 



Mais nous voulons isoler le symbole A [37]; a cet effet, dans la 
P 121 remplagons a = A par a s t A [P 60], en oblenant 

d ou[60] *"A: = :,.eis. =,.* = , 



A = i a s [s e Cls . ID . a ID s] (VII) 

c est-a-dire : A est cet a qui est contenu (extensivemenl) dans 
toute Cls , a savoir rien ; ainsi on definit le symbole A par 
les symboles deja deftnis ^ Cls; (I) (III) (V) (VI) . 

132. Pour definir le symbole - devant une Cls [70], je me sers 
d une P qui se trouve deja dans le Formulaire, et dans laquelle sont 
employes les symboles i s Cls A que j ai deja definis (II), (III), (V), 



a sCls . =D . ~a = x3 [a ^ ix= A] (VIII) 

c est-a-dire : si a est une Cls, alors - a designe 1 ensemble des x 
tel que a et tor [P 64] sont disjointes [40], c est-a-dire 1 ensemble 
des individus qui nappartiennent pas a a. 

Maintenant, on peut definir la negation dune appartenance, 
au moyen de la P, qui se trouve deja dans le Formulaire, 

124. a e Cls : ID : - (x e a) . = . x - e a . = . x e - a (IX) 

qui decoule des P 22, 28 et dans laquelle le defmissant xt-a cor 
respond en meme temps aux deux formules definies - (ar e ) (il 
n est pas vrai que x soit un a) et a? - e (x n est pas un a). 

Nous savons que toute condition peut acquerir la forme d une 

n ai pas encore defini et que je definirai par le symbole A que je vais defi 
nir justement par le symbole * . Done, sans ma simplification, on se trouvait 
dans un cercle vicieux qui forgait a adopter sans Df un des symboles i g A " 
1. Dans le Formulaire on trouve une P presque identique a la (VII) 

A Cls ^ a 3 [s e Cls . => . a =3 s] 

La petite simplification que j y ai introduite, et qui d ailleurs n etait pas neces- 
saire pour 1 execution de mon plan general de reduction, se fonde sur la P 55; car, 
s etant une Cls, on ne pourrait avoir a =3 s si a aussi n etait pas une Gls, ce 
qui rend superflu de Fenoncer. 



- 102 - 

appartenance [60] ; par suite la (IX) definit la negation d uue condition 
quelconque. 

Par exemple, des P 60 et 98 on deduit 

~(x = y) . = . ~ (ar e 1 1/) 
d oii (IX) la P 

J2o. -r(jr=:y). = .*c-iy 

c est-a-dire : 11 n est pas vrai que x soil egal a y signifie que x 
est different de y . 

La P 125 ne doit pas etre considered comme une Df, parce qu elle 
est une consequence de la (IX); plutot, si Ton veut adopter la for- 
mule x- = y , on la dc/inira par la P 21 

x - y , = . ~ (x y) (X) 

dont la P 125 complete Implication. 

Apres quoi, je definis la formule a - b dans ses deux roles, 
moyennant la P 29 : 

a" =: a r\ -b (XI) 

et je definis le symbole w dans ses deux roles au moyen de la P 105 

a^b = ~[~a^~b] (XII) 1 

Le symbole V se trouve deja defini par la P 36 

V=~A ( xm ) 

et le symbole o (ant) par la P 30 

aob = (a-b)^(b~a) (XIV) 

Je definis I ecriture g a par la P 

126. ga. = .oe(Cls- i A) ( XV ) 

c est-a-dire : 3 a signifie que a est une Cls distincte de A , 
d ou la lecture : il y a des a 2 . 

1. Lcs (XI), (XII) se trouvent aussi dans le Formulaire, mais precedees de 1 Hp 

a, b e Gls 

et par suite elles peuvent servir a defmir les ecritures a - b et a w 6 - seu- 
lement dans leur premier role. 

2. Si dans la P 38 

g: = :asCls.a- = A 

on remplace a - = A par - (a = A) (X) et ensuite par a e - i A [P 125], 
on obtient 

g a : = : e Cls . a e - i V 



103 

Enfin, je de finis mon symbole E 1 m [44] par la P 
^ 7 - Eim = a3[aa?3(a = ia?)] (XVI) 

(fest-a-dire : E 1 m est tout symbole a tel qu on puisse determiner 
x de maniere que a resulte egal a ia? ; on la deduit immediate- 
ment [60] de la P 67. 

Ainsi lous les symboles logiques resultent successivement de finis 
par les trois symboles : 

z= r\ 3 

comme j avais annonce [17, 127]. 

133. Ainsi le probleme de la construction d une Ideographic logique 
est completement resolu. 

LEIBNIZ, le plus grand logicien apres ARISTOTE, en a congu le projet 
et en a commence 1 execution [11], qui a ele poursuivie par ses dis 
ciples SEGNER et LAMBERT, et par d autres savants, notamment DE 
MORGAN et BOOLE [12]. 

Enfin, surtout au moyen de 1 analyse des idees qu il representa 
par les symboles esn [24, 33, 45, 58], M. PEANO 1 a completes 
definitivement; en eff et, son Formulaire demontre que Tideo- 
graphie logique suffit desormais a exprimer toutes sortes de pro 
positions [13]. 

LEIBNIZ, ses disciples et ses continuateurs, en donnant trop d im- 
portance a Tanalogie frappante enlre certains concepts logiques et 
certains concepts arithmetiques, les avaient representes par les 
memes signes [30, 38, 39]. Mais les nombreux manques d analogie 
[49, 68, 94, 95] constituaient une violation trop grave au principe 
de permanence [28], et le double emploi des memes signes empe- 
chait toute application de la Logique a rArithmetique [30]. 

Ces considerations ont amene M. PEANO a imaginer une ideogra 
phic logique completement distincte de Tideographie arithmelique. 
Et, a cet effet, il n aurait pu choisir un systeme de signes qui fut 
plus propre a faire ressortir les deux grandes lois logiques : a savoir, 



d ou, en appliquant au second membre les P 3 et (XI), on obtient la (XV). 
Dans le Formulaire, 1 ecriture g a est definie par la P 

asCls : = :ga . = . a- = /\ 

mais je trouve plus convenable de renfermer la condition a i Gls dans la 
signification de 1 ecriture g a . 



104 

Hdentite substantielle entre les deux theories des classes et des 
conditions [61], et le principe de dualite [115]. 

Ainsi, le vocabulaire logique de M. PEANO, bien qu il soil incompa- 
rablement plus mince que tout autre [76], est le plus complet et le 
plus exact, le plus commode et le plus clair. Je souhaite d avoir 
contribue, par cette etude, a en reveler toute la beaute a un public 
un peu plus vaste que celui des lecteurs du Formulaire. 

L analyse que je viens de faire de cette ideographic, en degage 
aussi le vrai noyau; car, au moyen de mon systeme de definitions, 
tous les symboles de M. PEANO de"coulent de troi.s seuls d entre eux 
[127], qui resument done virtuellement toute Tideographie logique. 



TABLE DES MATIERES 



PREFACE 

o 



AVANT-PROPOS 

Termes logiques et termes scientifiques dans le langage ordinaire 

Ideographic des algebristes 10 

Le reve de Leibniz et sa realisation jo 

Refutation d un sophisme et d une objection sceptique 

Le vocabulaire logique re duit a une ligne 16 

La stenographic et les languesartificielles 

Logique mathematique? ly 



IDEOGRAPHIE LOGIQUE 

Egalites 21 

Appartenances 22 

Extension on comprehension des classes 24 

Principe de permanence [ 

Inclusions 28 

Quelques classes arithmetiques 31 

Rien et tout [ 33 

Reunion et intersection de classes. Reunion clisjonctive 3o 

Individ LI. Element. Agregat 3$ 

Symboles constants ou variables 41 

Propositions categoriques ou conditionnelles 42 

Variables reelles ou apparentes 43 

Implications 44 

Ponctuation 46 

Glasses et conditions . 47 

Affirmations simultanees ou alternes 51 

Negation. Classes contraires 55 

Existence 57 

Comparaison entre 1 ideographie logique et le langage ordinaire 5 J 



LOGIQUE DEDUCTIVE 

Reflexibilite, symetrie et transivite 60 

Propriete substitutive de Tegalite 64 



106 

Transformation des relations logiques 06 

Proprietes simplificative, commutative, associative et distributive des 

operations logiques 69 

Autres propositions remarquables 75 

Syllogistique 76 

Relations entre les symboles ~ w - NO 

Dualite logique 82 

Principes d identite, de contradiction et du tiers exclu 90 

On demontre une P sans se soucier de ce qu elle dit 95 

Possibility de reduire le vocabulaire logique a trois symboles 96 



Coulommiers. Imp. PAUL BRODARD. 




;^i ". 




>* 



X AJl^<+- 
*- ^-sf\ y-. 

^C^t^ 







-t