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MATH-
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L'ARITHMÉTIQUE AMUSANTE
INTRODUClIOxN AUX RÉCRÉAIIONS MAiHÉMATI,Q.UE5. .^ . .
L'ARITHMÉTIQUE
AMUSANTE,
Edouard LUCAS
Le calcul mental que prescrivent nos règle-
ments et qui parait chose si abstraite, consé-
quemment si difficile pour l'enfant qu'on y
applique de primesaut, devient l'exercice le plus
aisé, en même temps que le plus fortifiant, pour
son intelligence naissante, s'il a été préparé
comme il convient.
O. Gréard,
de l'Académie française,
Vice-recteur de l'Académie de Paris.
AMUSEMENTS SCIENTIFIQUES
POUR l'enseignement
ET LA PRATIQUE DU CALCUL.
^-
-^
PARIS,
i GAUTHIER-VII.LARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES,
QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS, 55.
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Tou.s droits réserves.
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AVERTISSEMENT
NOUS avons trouvé, dans les papiers d'Edouard Lucas,
trois cahiers intitulés : l'Arithmétique amusante. Le
premier de ces cahiers porte la date de 1888. ■
Les nombreux travaux de Lucas ne lui avaient pas permis de
commencer plus tôt la rédaction de cet Ouvrage auquel il
pensait depuis plusieurs années.
Dans le discours prononcé à la distribution des prix du Lycée
Saint-Louis, le 4 août [885 (^). il parle, en effet, de l' Arithmé-
tique amusante, qui est en préparation et qui doit paraître
l'hiver suivant.
La publication de cet Ouvrage n'aura donc eu lieu que dix ans
après l'époque indiquée.
(') Voir la Note I, à la fin du Volume.
t; 09 840
Avertissement.
Nous adressons nos sincères remerciements à MM. Gauthier-
Villars père et fils, qui ont mis le plus grand empressement
à rendre ce nouvel hommage à la mémoire de notre ami si
regretté.
H. Delannoy, g. -A. Laisant, E. Lemoine,
Membres Je la Société Mathématique de France.
Paris, Juin 189:
L'ARITHMÉTIQUE ÀmMÀNTÈ
CHAPITRE PREMIER.
CALCULS ELEMENTAIRES.
LE CADRAN MYSTERIEUX.
Minuit vient de sonnera l'horloge de bronze.
Un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze,
Douze !
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Fugit in cparabilc tcnipus!
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4.
Avec douze cartes d'un jeu de whist, de l'as à la dame, en pas-
E. Lucas. — Arithmétique amusante. i
Chapitre premier
sant par le dix, par le valet que l'on compte pour onze, et la dame
pour douze, on figure un cadran et ses douze heures du jour ou
de la nuit. On peut encore se servir des douze premières boules
d'un jeu de loto ou encore de dés extraits d'un jeu de dominos.
Si l'on n'a aucun de ces jeux, on dessine un cadran sur une feuille
de papier et l'on marque les heures de une à douze. Cela fait, nous
allons résoudre le problème suivant :
Problème I. — Deviner V heure pensée par une personne.
Vous dites ù une personne de la société de penser une heure
quelconque et d'ajouter un, mentalement, chaque fois que vous
frappez sur le cadran avec une baguette ou un crayon, mais de
dire vingt tout haut, au moment où elle arrive à ce nombre. Si vous
frappez sept coups, au hasard, sur les heures du cadran et le hui-
tième sur douze, le neuvième sur onze, le dixième sur dix, le on-
zième sur neuf, et ainsi de suite en décrivant le cadran à rebours,
à partir de douze, il est facile de voir que la personne comptera
vingt au moment oti vous frapperez d'un coup de baguette la
carte qui représente l'heure pensée.
On peut résoudre le même problème et deviner les heures pen-
sées simultanément par plusieurs personnes; mais, en opérant
plusieurs fois comme nous venons de le dire, Tartitice employé
se devine aisément. On le complique par la méthode suivante.
Problème II. — Deviner le nombre des points d'une carte
d'un jeu de whist qu'une personne a pensée?
Vous disposez les treize cartes de même couleur, trèfle par
exemple, d'un jeu de whist, et vous les retournez en ayant soin
de retenir l'ordre arbitraire dans lequel vous les avez placées.
(lalciils élémentaires.
Vous priez une personne de penser une carte en trèfle, depuis Tas
jusqu'au roi, en comptant Tas pour un, le valet pour onze, la
dame pour douze et le roi pour treize. Cela fait, vous dites à cette
personne d'ajouter un, tout bas, au nombre des points de la carte
pensée, toutes les fois que vous frappez sur une carte avec une
baguette ou un crayon, mais de dire vingt tout haut, au moment
où elle arrive à ce nombre. Si vous frappez d'abord six coups' au
hasard, mais le septième sur le roi, le huitième sur la dame, le
neuvième sur le valet, le dixième sur le dix, le onzièmie sur le
neuf, et ainsi de suite, et si vous retournez la carte sur laquelle
vous frappez lorsque la personne compte vingt, vous retournerez
précisément la carte pensée par cette personne.
On peut résoudre le même problème en faisant penser simulta-
nément diverses cartes, en trèfle, à plusieurs personnes. Il est
encore facile de Tamplifier avec les boules d'un jeu de loto ou
des cartons sur lesquels on a écrit les premiers nombres aussi loin
qu'on veut; mais il faut alors que le nombre fixé, vingt de l'exer-
cice précédent, soit remplacé par un autre plus grand que l'avant-
dernier des nombres écrits sur les cartons. On sait donc résoudre
le problème suivant :
Problème III. — Deviner le nombre pensé par une personne
ou les divers nombres pensés simultanément par plusieurs per-
sonnes?
En renouvelant et en variant les exercices précédents, on
apprend aux enfants à compter jusqu'à vingt, trente, quarante,
et jusqu'à cent. Il est à regretter que le jeu de loto s'arrête à
quatre-vingt-dix; on devrait le continuer jusqu'à quatre-vingt-
dix-neuf.
Chapitre premier.
LA FORME D!:S CHIFFRES.
Il faut habituer les enfants dès le jeune âge à bien former leurs
chiffres, et de la manière la plus simple, la plus neite, la plus
rapide, c.ir ils en auront des millions à écrire. Ainsi, pas de barres
au sept, pas de fioritures au quatre, au cinq, ou au huit; les former
/ 2 J 4 f â' y S' Ç Û
4e telle sorte que tous les chiffres se décrivent d'un seul trait de
plume, le quatre excepté, dont on aurait dû depuis longtemps
supprimer la petite barre transversale.
On ne connaît pas l'origine de la forme de nos chiffres; une
vieille légende attribue leur forme aux dix figures que l'on peut
tirer d'un signe gravé sur le chaton de la bague du roi Salo-
mon; nous ne donnerons cette origine qu'à titre de curiosité. Si
Ion considère la figure ci-dessous, formée par les quatre côtés et
les deux diagonales du carré, on obtient, en supprimant certaines
lignes, les dix figures suivantes que l'on peut réaliser avec un
paquet de petites bûchettes.
7 X y u
Problème IV. — Avec un trois faire un cinq, par un seul
trait de plume.
Calculs élémentaires.
Vous dessinez le trois conformément à la figure de gauche et
vous dites d'en faire un cinq, sans rien effacer, par un seul trait
de plume. Vous tracez, conformément à la figure de droite, le
Irait continu ABC DE F, et vous avez un cinq encadré (^^. 2).
Nous ajouterons qu'il faut recommander aux écoliers de ne
pas faire le cinq de cette forme 5, car il se ferait en deux traits;
mais qu'il faut le faire en un seul trait, conformément au tableau
précédent.
LA TAILLE DE LA BOULANGERE.
Dans les premiers âges de Thumanité, on comptait avec des
cailloux, d'où viennent ies mots calcul et calculer; on comptait
aussi en faisant des entailles sur le^ pierres, sur les os d'ani-
maux ou sur récorce des arbres; c'est ainsi que Ton retrouve
encore dans diverses localités des marques de chasse remontant
aux époques les plus reculées. C'est le procédé le plus élémentaire
pour compter, car il représente l'idée même de la formation des
nombres par l'addition successive des unités. On le revoit de nos
Chapitre premier^
ours dans certaines industries, chez les bûcherons et dans le
commerce de détail; c'est ainsi que la boulangère marque le
nombre des pains pris à crédit^ dans les communes ou ce genre
de crédit existe encore, en taisant des coches sur deux tailles de
bois accolées; prises séparément, ces deux tailles indiquent le
doit et l'avoir, le compte du créancier et du débiteur. Qu'est-ce
donc que la taille de la boulangère? C'est le rudiment du calcul,
et c'est aussi celui de la comptabilité en partie double.
Lorsque j'étais petit enfant, j'allais souvent chercher le pain, à
quelques pas de la maison paternelle; la boulangère prenait ma
petite taille... de bois^ la plaçait près de la sienne et faisait une
petite coche sur toutes deux. Puis j'emportais mon pain et, sur ma
taille, le compte de la boulangère. Au bout de la semaine, de la
quinzaine ou du mois, les coches se transformaient, pour celle-ci,
en beaux écus sonnants; c'est que le nombre des coches repré-
sentait le nombre des pains pris à crédit et que la somme encais-
sée était le produit de la multiplication des pains par le prix de
chacun d'eux.
Ne riez pas trop, mes chers enfants, de cette historiette; elle
contient son enseignement, car elle vous permet de retenir ce que
vous avez appris déjà depuis longtemps, que le nombre est indé-
pendant de la forme, de la nature, de la place des objets, — que
l'on obtient tous les nombres en ajoutant continuellement l'unité
à elle-même, — et que la multiplication est l'addition de nombres
égaux par un procédé abrégé! Voilà ce que contient le compte de
la boulangère.
Calculs élémentaires.
LE NEZ ET LE MOUCHOIR.
Un voyageur qui vient de rentrer en France, après avoir accom-
pli le tour du monde, racontait dernièrement à la Société de Géo-
graphie que les naturels des îles Andaman possédaient une ma-
nière de compter tout ù fait élémentaire et fort bizarre. Pour
représenter les unités du premier ordre, ils se frottent le nez sur
la terre autant de fois qu'il convient, et pour marquer les unités
d'un ordre plus élevé, ils se tirent les oreilles; le procédé de ces
peuplades restées primitives constitue déjà un progrès sur le pré-
cédent, puisqu'il contient deux ordres d'unités, les unités nasales
ou du premier ordre et les unités auriculaires ou du second ordre.
Mais quel singulier moyen de compter et de retenir les nombres!
Il aplatit le nez, il allonge les oreilles. Nos paysans ne font
guère autrement pour fixer chez les enfants le souvenir d'un
événement important de leur existence, lorsqu'ils leur admi-
nistrent une correction maîtresse. C'est ce qu'ils appellent frapper
leur imagination.
Les anciens Tartares avaient, pour s'entendre, àtskhé-mou ou
bâtonnets entaillés d'une manière convenue; ils s'en servaient
pour communiquer d'une horde à l'autre. Ces bâtonnets indi-
quaient, en temps d'expédition, le nombre d'hommes et de che-
vaux que chaque campement devait fournir. Les habitants du
Pérou, au temps des Incas, avaient des cordelettes nouées qu'ils
appelaient quippos; on en voit divers échantillons au musée
ethnographique du palais du Trocadéro. Elles étaient de diffé-
rentes couleurs et pouvaient se nouer et s'entrelacer de mille
manières. Le nombre des nœuds, leurs dispositions, leurs enche-
Chapitre premier
vétrements avec des baguettes, leurs situations sur un anneau
central en métal ou en os permettaient d'exprimer beaucoup
d'idées; les Péruviens étaient parvenus à produire ainsi une série
de nombres très considérable. Observons, en passant, que cer-
taines personnes procèdent aujourd'hui d'une manière analogue
en faisant un nœud à leur mouchoir, ou en fixant des épingles à
leurs manches pour se rappeler certaines choses. Il serait bien
puéril de contracter de telles habitudes, et je crois que, tout
compte fait, la mémoire y perdrait plus souvent qu'elle n'y
è®^^^
LES CLAQUES DE POLYTECHNIQUE.
Messieurs les papas, et vous, Mesdames, bonnes et douces ma-
mans, qui bercez vos fils sur vos genoux en soulevant pour eux
les voiles de l'avenir; vous qui les voyez déjà revêtus du sérieux
et brillant uniforme de TÉcole Polytechnique, l'épée au côté, le
claque posé crânement sur l'oreille, l'air vainqueur! voulez-vous
me permettre de donner un conseil dicté par une expérience déjà
mûre; développez chez l'enfant le goût du dessin et de l'Arithmé-
tique. Il faut que, tout petit, l'enfant sache compter au moins
jusqu'à vingt et joue avec les dominos, les boules du loto, les cail-
loux et les billes, ou mieux encore avec de petits cubes égaux de
bois ou de pierre; car, ce qu'il importe de développer avant tout,
en même temps que la lecture et l'écriture, c'est le calcul mental.
Mais il ne faut, dans aucun cas, que l'écolier apprenne du fait de
mémoire les Tables d'addition ou de multiplication, ou des résul-
Calculs clévientaires.
tats quelconques 'sans les avoir obtenus directement; l'enfant
doit les trouver lui-même, car son esprit est une force latente
à laquelle il suflit d'imprimer et de diriger le mouvement.
Dans son Ouvrage publié en 1763 et qui a pour titre : Essai
d'Éducation nationale ou Plan d'Etudes pour la jeunesse, par
de la Chalotais, procureur général du roi au Parlement de Bre-
tagne, l'auteur insiste à diverses reprises sur la nécessité et sur
l'utilité d'instruire les enfants par les récréations : « Je suppose,
dit-il, qu'un enfant sache déjà lire et écrire, qu'il sache même
dessiner, ce que je regarde comme nécessaire, je dis que les pre-
miers objets dont on doit l'occuper depuis cinq à six ans jusqu'à
dix sont l'Histoire, la Géographie, l'Histoire naturelle, des ré-
créations physiques et mathématiques; connaissances qui sont à
sa portée, parce qu'elles tombent sous les sens, parce qu'elles sont
les plus agréables et, par conséquent, les plus propres à occuper
l'enfance. » Et plus loin : « C'est aux mathématiciens à trouver
une route qui n'ait pas encore été frayée. On pourrait peut être
commencer par des récréations mathématiques. » Ainsi, vous le
voyez, l'enseignement des Sciences doit être gai, vivant, amusant,
récréatif et non froid, imposant, solennel. Gardons notre majesté
pour les fêtes universitaires ( ' ).
(') Kxtraitdu discours prononcé à la distribution solennelle des prix du
lycée Saint-Louis, le mardi 4 août i885.
^J^^e^'
Chapitre premi
LA CROIX DE PERLES.
A Madame laviarqitiseM'" deC.
Belle marquise,
Vos yeux d'amour mourir m'ont fait.
Le temps emporte sur son aile
Et le printemps et l'hirondelle.
La vie et les jours perdus,
Tout s'en va comme la fumée,
L'espérance et la renommée,
Et moi qui vous ai tant aimée,
Et toi qui ne t'en souviens plus!
~~'o~'
^, 4-
V
9
^
^
4. 4.
^
^
Problème V,
Une vieille marquise
donne une croix de perles
[Jig. 3 ) à son joaillier
pour la réparer ; elle lui
fait remarquer quelle con-
naît le nombre des perles;
car, en les comptant à
4» 4*
LT.
'4-
partir de l'une des trois
extrémités supérieures
jusqu'au bas de la croix,
elle en trouve toujours
neuf; le joaillier indélicat
retire deux perles et rend
la croix à la marquise qui
trouve son compte. On de-
mande ce que fit le joail-
lier?
Calculs élémentaires.
Fi'
On voit facilement par
cette nouvelle disposition
[fig. 4) que le joaillier a
Le joaillier aurait pu
tout aussi bien baisser d'un
rang les deux bras de la
croix, en ajoutant une perle
à chacun d'eux.
Il faut convenir que, si
le joaillier était fort indé-
licat, la vieille marquise
était bien naïve. Aussi ne
doit-on considérer cet
énoncé que comme un
exemple simple pour ap-
4* ^
4» 4-
4» ^
4. 4.
4. 4.
4, 4,
4» 4»
4. 4.
4. 4-
4. 4.
4*
4.^4-
4.^4.
4. 4.
pris une perle à chacun des
bras de la croix et a ensuite
relevé ceux-ci d'un rang.
•î-
s?
1
•î-
p
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prendre à compter aux
petits enfants de un jus-
qu'à neuf.
On leur donnera des
morceaux de carton, des
cartes de visite et on leur
fera écrire sur ces cartes les
neufpremiers chiffres aussi
correctement que possible,
en leur faisant réaliser le
présent problème.
c?^%^
Chapitre premier.
Fis. 5.
^ i ^ 'àJ ^i J
LE STRATAGÈME DE .JOSEPH E
o o
Il était un petit navire,
iliù n'avilit jj, jn, jamais navigué!
On tira zà la courte paille,
l-our savoir qui, qui, qui serait mangé
♦JUi»
%*
A ^
♦ A
0^0
PîlOBLÈME VI.
Quinze chrétiens et quinze Turcs se trouvent
sur mer dans un même navire et s étant élei'C
une terrible tourmente; le f ilote dit qu'il est
nécessaire de jeter dans la mer la moitié des
personnes qui sont en la nef pour sauver le reste.
Or cela ne se peut faire que par sort; partant
on est d'accord que se rangeant tous par ordre,
et comptant de neuf en neuf on jette chaque
neuvième dans la mer jusqu'à ce que de trente
quils sont, il ncn demeure que quinze. On de-
mande comment il les faudrait disposer pour
faire que le sort tombât sur les quinze Turcs,
sans perdre aucun des chrétiens?
@
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4- ♦
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4.^4.
4» . 4-
^
Calculs élémentaires.
Pour réaliser ce problème, on représente les quinze chrétiens
par quinze cartes rouges et les Turcs par quinze cartes noires; de
plus, on suppcse que le capitaine du navire est représenté par le
roi de carreau. Gela posé, on pense aux cinq voyelles dans l'ordre
a, (?, f, o, u,
I, 2, 3, 4, 5,
et l'on se sert d'un procédé mnémotechnique au moyen du dis-
tique suivant :
Mort, tu Jie fjlliras pas,
En vie livrant le trépas!
En prononçant le mot mort, on place d'abord quatre cartes
rouges, en commençant par le roi de carreau; en prononçant le mot
tu, on place à la suite cinq cartes noires, parce que u est la cin-
quième voyelle; en prononçant le mot ne^ on place deux cartes
rouges, et ainsi de suite, en alternant les couleurs. Par exemple,
pour le mot/alliras, on placera une noire, trois rouges, une noire,
car les voyelles de ce mot sont cz, f, a et ainsi jusqu'à ce que ron
ait placé les quinze cartes rouges et les quinze cartes noires.
Par conséquent les cartes rouges et les cartes noires se succèdent
à partir du roi de carreau suivant les nombres :
0,
u,
e,
a,
i,
a,
a,
e,
^,
z.
a,
^^
^,
a
4.
5,
2,
I,
3,
I,
I,
2,
— 5
3,
I.
2
2,
]
nous avons représenté l'une de ces dispositions dans le cadre de la
page 12 (fig. 5). Gela fait, si l'on compte de neuf en neuf, à partir
du roi de carreau, on retire d'abord la neuvième, la dix-huitième
et la vingt-septième^ c'est-à-dire Tas, le neuf et le roi de trèfle; en
continuant à tourner dans le cercle, on retirera le valet dépique,
H Chapitre premier.
le dix et la dame de trèfle, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on
ait retiré les quinze cartes noires.
Au lieu des deux vers français qui nous permettent de résoudre
immédiatement le problème proposé, on se servait autrefois de ce
vers latin, où l'on trouve les mêmes voyelles dans le même ordre :
Populeam virgam mater Regina fcrebat.
Nous allons indiquer maintenant la méthode qui permet de
retrouver, indépendamment de tout procédé mnémotechnique,
la disposition des cartes rouges et des cartes noires. Plaçons en
cercle trente cartes retournées, en indiquant la place de la pre-
mière, qui correspondait au roi de carreau. En comptant de neuf
en neuf, on tombe sur les cartes dont les rangs sont 9, 18, 27.
Qu'on retire ces cartes, puis que l'on continue cà compter de
neuf en neuf, en retirant quinze cartes, il suftira ensuite de rem-
placer les cartes restantes par quinze cartes rouges, en conservant
la place de la première, le roi de carreau ; puis on mettra à la place
des cartes manquantes quinze cartes noires.
Bachet, dans la Préface au lecteur de la seconde édition de ses
Problèmes plaisants et délectables qui se fout par les nombres,
nous donne l'origine de ce curieux problème :
HISTOIRES DE BRIGANDS.
« Hégésippus, au troisième Livre de la Guerre de Jérusalem,
rapporte la mémorable histoire de Josèphe, ce fameux auteur qui
nous a laissé par écrit la même Guerre des Juifs, lequel était
Calculs élémentaires.
gouverneur de la ville de Jotapata^ lorsqu'elle fut assiégée et peu
après emportée d'assaut par Vespasien. Il fut contraint de se
retirer dans une citerne, suivi d'une troupe de soldats, pour éviter
la première fureur des armes victorieuses des Romains; mais il
courut plus de fortune de perdre la vie parmi les siens que parmi
les ennemis : car, comme il eut arrêté de s'aller rendre à la merci
du vainqueur, ne pouvant imaginer aucun autre moyen de se
garantir de la mort, il trouva ses soldats saisis d'une telle frénésie
qu'ils voulaient tous mourir et s'entre-tuer les uns les autres
plutôt que de prendre ce parti. Josèphe s'efforça bien de les dé-
tourner d'une si malheureuse entreprise, mais ce fut en vain; car,
rejetant tout ce qu'il put leur alléguer au contraire, et persistant
en leur opinion, ils en vinrent jusque-là que de le menacer, s'il
ne s'y portait volontairement, de l'y contraindre par la force, et
de commencer par lui-même l'exécution de leur tragique dessein.
Alors, sans doute, c'était fait de sa vie s'il n'eût eu l'esprit de se
défaire de ces hommes furieux par l'artifice du présent problème.
Car, feignant d'adhérer à leur volonté, il se conserva l'autorité
qu'il avait sur eux, et par ce moyen, leur persuada facilement que,
pour éviter le désordre et la confusion qui pourraient subvenir
en tel acte, s'ils s'entre-tuaient à la foule, il valait mieux se ran-
ger par ordre en quelque façon, et, commençant à compter par
un bout, massacrer toujours le tantième, jusqu'à ce qu'il n'en
demeurât qu'un seul, lequel serait obligé de se tuer soi-même.
Tous étant de cet accord, Josèphe les disposa de sorte, et choisit
pour lui une si bonne place, que la tuerie étant continuée jusqu'à
la fin, il se trouva seul en vie, ou peut-être encore, qu'il sauva
quelques-uns de ses plus affidés,et de ceux desquels il se pouvait
promettre une entière et parfaite obéissance. ^>
Chapitre premier.
Josèphe, qui raconte fort longuement Thistoire de la caverne,
une histoire de brigands, termine en disant (') : « Or il advint,
plus par providence de Dieu que par fortune que Josèphe demeura
le di^rnier avec un autre. «
« Voilcà une histoire bien remarquable, ajoute Bachet, et qui
nous apprend assez qu'on ne doit point mépriser ces petites subti-
lités, qui aiguisent l'esprit, liabilitent l'homme à de plus grandes
choses, et apportent quelquefois une utilité non prévue. »
Remarque. — Il est aisé à voir que ce jeu se peut pratiquer fort
diversement. Car, premièrement, le nombre des cartes peut être
tel que l'on veut; par exemple, au lieu de trente, on en pourrait
mettre quarante, cinquante, soixante, ou plus ou moins. Secon-
dement, au lieu de rejeter toujours la neuvième, on peut rejeter
la sixième, la dixième ou la tantième que l'on voudra.
Finalement, au lieu d'en rejeter autant qu'il en demeure, on
peut n'en reieter que tant peu que l'on voudra; tellement qu'il
en demeure davantage, ou bien en rejeter si grand nombre qu'il
en demeure beaucoup moins. La solution se trouverait toujours
comme il a été précédemment expliqué.
Or, comme nous l'avons dit, c'est par cette invention que
Josèphe se sauva très subtilement dans Jotapata, ainsi qu'on
recueille évidemment des paroles d'Hégésippus touchant ce fait.
Et bien qu'il ne particularise pas assez cette action, toutefois par
ce qu'il dit nous pouvons imaginer comme le' tout se passa. Car,
ainsi qu'il raconte, il y eut quarante soldats qui se sauvèrent
iivec Josèphe dans la caverne, si bien qu'à compter ledit Josèphe,
(•) Josèphe, Histoire de la Guerre des Juifs, Liv. lll, Ghap. XIV.
Calculs élémentaires. \n
ils étaient en tout quarante et un. Partant, supposons qu'il or-
donna que, comptant de trois en trois, on tuerait toujours le troi-
sième, il est certain que, procédant de la sorte, tu trouveras qu'il
faut que Josèphe se mît le trente-unième après celui par lequel
on commençait à compter, au cas qu'il visât à demeurer en vie
lui tout seul. Mais, s'il voulut sauver un de ses compagnons, il le
mit en la seizième place, et s'il en voulut sauver encore un autre,
il le mit en la trente-cinquième place (*).
'S^^
Problème VII. — le procédé de caligula.
Trente-six soldats sont coupables, et l'on veut punir six des
plus coupables en les décimant, c'est-à-dire en les comptant de
dix en dix, pour faire punir chaque dixième; comment doit-on
les disposer sur deux rangs ?
Ainsi que le remarque Bachet, le stratagème de l'historien
Josèphe se peut étendre à toutes sortes de nombres et « peut
de beaucoup servir aux Capitaines, Magistrats et Maîtres qui ont
plusieurs personnes à punir, et voudraient seulement châtier les
plus dissolus, en décimant ou prenant le dixième, comme nous
lisons avoir été souvent pratiqué par les Romains ».
(') Bachet, sieur de Méziriac, Problèmes plaisants et délectables qui se
font par les nombres, 5^ édition revue, simplifiée et augmentée par A. La-
nosNK, professeur de xMathématiques; pages 1 18 et suivantes.
E. Lucas. — Arithmétique amusante. 2
i8 Chapitre premier.
La règle est d'écrire autant de zéros qu'il y a de personnes
coupables, et, commençant à compter par le premier zéro, de
marquer avec une croix le tantième qu'on voudra punir, et de
faire la même chose en recommençant le rang, et passant les zéros
marqués jusqu'à ce qu'on ait obtenu le nombre de ceux que l'on
souhaite punir. Il faudra ensuite disposer les soldats de la même
manière qu'on a rangé les zéros, et mettre les plus coupables aux
endroits où se trouveront les zéros marqués de la croix.
Ainsi pour résoudre le Problème VII que nous venons de
proposer, où il s'agit de trente-six soldats dont on veut en punir
six, en comptant de dix en dix, on les rangera comme on voit les
trente-six zéros ci-dessous, et l'on aura soin de faire mettre les plus
coupables à la place où l'on voit des croix sur les zéros.
-h + +
oooooooooooooooooo
oooooooooooooooooo
LK TROU ET LA BOULE.
On trouve plusieurs problèmes de ce genre dans les Récréa-
tions mathématiques d'OzANAM, dans divers autres Ouvrages du
même titre, et en particulier dans un Ouvrage sans nom d'auteur,
publié à Lyon, en 1769, sous le titre : Récréations mathéma-
tiques composées de plusieurs problèmes plaisants et facétieux.
On trouve, en effet, dans ce recueil, des problèmes bien facétieux
et, par exemple, le suivant (Problème LXVII, p. 97) : « Quand
Calculs élémentaires. lo
une boule ne peut passer par un trou, est-ce la faute du trou,
ou de la boule ; est-ce que la boule soit trop grosse^ ou le trou
trop petit? Cette question peut être appliquée à plusieurs autres
choses; par exemple, quand la tête d'un homme ne peut entrer
dans un casque ou bonnet, ou la jambe dans la botte, est-ce que
la jambe est trop grosse, ou la botte trop petite? Et jaçoit que
semblables questions semblent ridicules (aussi ne les proposè-je
que pour rire), néanmoins il y a quelque subtilité d'esprit à les
résoudre. Car si vous dites que c'est la faute de la boule qui est
trop grosse, je dis que non, d'autant plus que si le trou était plus
grand, elle passerait aisément; c'est donc plutôt la faute du trou.
— Si vous avouez que c'est la faute du trou qui est trop petit, je
montre que non, car si la boule était plus petite, elle passerait
par le même trou. — Bref, si vous pensez à dire qu'il tient à l'un
et à l'autre, j'ai de quoi maintenir que non; car, si l'on avait
corrigé l'un ou l'autre seulement, la boule ou le trou, il n'y aurait
plus de difficulté. » Ici l'auteur s'embarrasse et termine en disant :
« Voyez-vous comment on pointillé sur un maigre sujet, sur un
tour de passe-passe! )) Ne serait-ce pas là, en tous temps, en tous
lieux, le secret des discussions et des subtilités de la politique?
L INVENTION DU TELEGRAPHE.
A côté de ces questions plaisantes, on trouve dans l'Ouvra
en question (p. 112), une sorte de divination du télégraphe à
cadran. « Quelques-uns ont voulu dire que, par le moyen d'un
Chapitre premier.
aimant, les personnes absentes se pourraient entre-parler, par
exemple, Claude étant à Paris et Jean à Rome. » Après a voir
décrit le cadran, l'auteur anonyme ajoute : « L'invention est belle,
mais je n'estime pas qu'il existe au monde un aimant qui ait
telle vertu; aussi n'est-il pas expédient, autrement les trahisons
seraient trop fréquentes et trop ouvertes. «
Il ne manquait à ce cadran que le courant électrique. Il est
donc possible que la lecture de ce petit livre, publié à Lyon,
en 1669 et en 1680, ait donné à Ampère l'idée de la décou-
verte du télégraphe électrique. Cependant nous ajouterons que
l'on trouve déjà la description et l'usage de ce cadran dans un
Ouvrage antérieur, publié à Nimégue, en 1628, par Winant
VAN Westen, sous le titre de Récréations mathématiques, coîiie-
nant plusieurs problèmes^ etc.
Ainsi qu'on le voit, par les diverses citations que nous venons
défaire, le stratagème de l'historien Josèphe et le procédé décimal
de l'empereur Caligula ont donné lieu à des problèmes qui ont
passionné plusieurs auteurs des siècles passés; mais, en laissant
de côté l'application dramatique de ces problèmes au maintien
de la discipline chez des soldats ou des marins révoltés, nous
pouvons intéresser les enfants à compter de deux en deux, de
trois en trois, de quatre en quatre, etc. , soit dans l'ordre croissant,
soit dans l'ordre décroissant, et leur apprendre de cette manière,
progressivement, sans fatigue, la construction et les résultats de
la Table de Pythagore.
Calculs élémentaires.
Problème VIII. — par fer césar jadis devint
SI GRAND PRINCE.
On place sur une table trois cartes d'un jeu de piquet, un as,
un sept et un dix [fi g. 6). Trois personnes se distribuent ces
trois caries j pendant votre absence ; deviner la carte que cha-
cune des personnes a choisie ?
Fig. 6.
@
Pour distinguer les trois personnes, vous donnez à chacune
d'elles une, deux ou trois cartes, et vous les appelez la pre-
mière^ la deuxième et la troisième personne. Vous placez ensuite
dix-huit cartes sur la table, en un tas, et vous dites, avant de
vous retirer, que la personne qui prendra l'as prenne encore
autant de cartes que vous lui en avez donné; que la personne qui
prendra le sept prenne, en outre, deux fois autant de cartes que
vous lui en avez donné; que la personne qui prendra le dix
prenne encore quatre fois autant de cartes que vous lui en avez
donné.
Il reste alors sur la table un certain nombre de cartes, et la
connaissance de ce nombre suffit pour deviner quelle carte a été
prise par chaque personne.
Chapitre premier.
Voici la règle mnémonique donnée par Bachkt, pour résoudre
ce problème :
Restes: i 2 3 5 6 7
Voyelles : Par fer César jadis devint si grand prince.
Comme nous le ferons voir plus loin, le nombre des cartes
restantes est Tun des nombres i, 2, 3, 5, 6, 7.
S'il reste une carte, on se sert des voyelles des deux premières
syllabes Par fer; la première personne a pris Vas. et la seconde
personne a pris le sept.
SUl reste deux cartes, on se sert des voyelles des deux syllabes
suivantes César; la première personne a pris le sept et la seconde
personne a pris Vas.
S'il reste trois cartes, on se sert des voyelles des deux syllabes
jadis; la première personne a pris Vas et la seconde le dix.
S'il reste cinq cartes, on se sert des voyelles des deux syl-
labes devint; la première personne a pris le sept et la seconde le
dix.
S'il reste six cartes, on se sert des voyelles des deux syllabes
si grand; la première personne a pris le dix et la seconde a pris
Vas.
Enfin, s'il reste sept cartes, on se sert des voyelles des deux
syllabes i?W«ce; la première personne a pris le dix et la seconde
a pris le sept.
Lorsque Ion n'a pas de cartes à sa disposition, on remplace l'as,
le sept et le dix par une bague, une clef une bille, et les autres
cartes par des jetons.
Pour démontrer l'exactitude de cette solution, il suffit de cal-
Calculs élémentaires.
culer le nombre des cartes restantes dans tous les cas qui peuvent
se présenter. Nous observerons d'abord qu'il n'y a que six cas
possibles, car la première personne a le choix entre trois objets,
l'as, le dix ou le sept; la seconde personne n'a plus le choix
qu'entre deux objets, tandis que la troisième personne ne peut
prendre que la carte laissée par les deux autres personnes. Nous
indiquons, dans le Tableau suivant, le nombre des cartes prises
par chaque personne, dans les six cas ditférents, ainsi que le
nombre des cartes restantes; la somme des nombres de chacune
des six lignes est toujours égale à dix-huit.
I'* PERSONNE.
2" PERSONNE.
3" PERSONNE,
RESTES.
VOYELLES.
as, I
sept, 4
dix, 12
I
Par f et-
sept, 2
as, 2
dix, 12
2
César
as, I
dix, 8
sept, 6
3
jadis
sept, 2
dix, 8
as, 3
5
devint
dix, 4
as, 2
sept. 6
6
si grand
dix, 4
sept, 4
as, 3
7
prince
Problème IX.
IL A JADÏS BRILLE DANS CE PETIT ETAT.
Nous donnerons une autre manière de résoudre le problème,
d'après M. Labosne, en supposant qu'on laisse douze cartes sur
la table, et en invitant la personne qui a pris l'as à premlrc
autant de cartes qu'on lui en a donné, et la personne qui a pris
le sept à en prendre trois fois autant.
24
Chapitre premier.
On résout mnémoniquement le problème au moyen des
voyelles de la phrase suivante :
Restes : i 2 3 567
Voyelles : // a jadis brillé dans ce petit Etat.
L'exactitude de celte solution se démontre parle Tableau sui-
vant dans lequel la somme des nombres de chacune des six lignes
est constamment égale à douze.
I-^" PERSONNE.
2" PERSONNE.
3' PERSONNE.
RESTES.
VOYELLES.
dix,
as, I
dix,
as, I
sept, 3
sept; 3
as, 2
dix,
sept, 6
sept, 6
dix,
as, 2
sept, 9
sept, 9
as, 3
dix,
as, 3
dix,
2
3
5
6
7
lia
jadis
'brillé
dans ce
petit
État
Problème X.
AVEC ECLAT L AI BRILLANT DEVINT LIBRE.
On peut pratiquer le jeu précédent de beaucoup de manières;
voici une autre variante. On donne respectivement une, deux
et quatre cartes à la première, à la deuxième et à la troisième
personne; on place encore sur la table dix-huit cartes et Ton
prescrit à celle qui a pris l'as de prendre des cartes restantes au-
tant qu'elle en a reçu ; à celle qui a pris le sept d'en prendre deux
Calculs élémentaires.
25
fois autant, et à celle qui a pris le dix d'en prendre trois
fois autant.
On résout mnémoniquement le problème au moyen de Tune
des phrases suivantes :
Restes : i 2 3 5 67
Voyelles : Avec éclat VAï brillant devint libre.
Voyelles : Par fer, César, jadis si grand, devint prince.
L'exactitude de cette solution se démontre par le Tableau sui-
vant :
l>"<^ PERSONNE.
2° PERSONNE.
3" PERSONNE.
RESTES.
VOYELLES.
as, I
sept, 4
dix, 12
1
Avec
sept, 2
as, 2
dix, 12
2
éclat
as, î
dix, 6
sept, 8
3
l'Aï
dix. 3
as, 2
sept, 8
5
brillant
sept, 2
dix, 6
as, 4
6
devint
dix, 3
sept, 4
as, 4
7
libre
Problème XI. — la ballade de l'escargot rétrograde.
Un escargot se lève un dimanche à six heures du matin et
monte le long d'un arbre; pendant le jour, c'est-à-dire jusqu'à
six heures du soir, il monte de cinq mètres, mais pendant la
ttiiit il descend de deux mètres; à quelle époque sera-t-il monté
de neuf mètres ?
26 Chapitre premier.
On fait habituellement le raisonnement suivant; l'escarf^ot
parcourt en vingt-quatre heures cinq mètres moins deux, ou trois
mètres; donc, au bout de trois fois vingt-quatre heures, c'est-à-dire
le mercredi à six heures du matin, il se sera élevé à neuf mètres;
mais la réponse est inexacte. Après deux jours de vingt-quatre
heures, l'escargot est à une hauteur de six mètres; donc, le mardi
à six heures du malin, il s'élève et peut parcourir cinq mètres,
il est donc à onze mètres au-dessus du sol le mardi à six heures
du soir; il était donc pour la première fois à une hauteur de
neuf mètres, le mardi à une heure douze minutes de l'après-
midi.
La question suivante est du même genre.
Problèmi-: XII. — L.\ couPK du taillb:ur.
Un tailleur coupe, chaque jour, deux mètres d'une pièce de
drap de sei:{e mètres de longueur; au bout de combien de jours
aura-t-il coupé la pièce?
La réponse est celle-ci : Au bout de sept. jours et non de huit.
s f.
Calculs élémentaires.
Problème XIII. — dans les deux mains,
Une personne /ait deux paquets, l'un de trois cartes et Vautre
de six cartes, et prend l'un dans la main gauche et Vautre dans
la main droite; deviner, sans rien demander à la personne, dans
quelle main se trouve le paquet de trois cartes?
Dites à la personne de doubler le nombre des cartes qui sont dans
sa main droite et de tripler le nombre de celles qui sont dans sa
main gauche, de faire la somme de ce double et de ce triple, de
diviser cette somme en deux parties égales, et de retrancher onze
de l'une des moitiés ; si elle exécute ces différents calculs sans faire
d'objection, c'est que les trois cartes sont dans la main droite;
mais si, au contraire, elle fait une objection, les trois cartes sont
dans la main gauche.
En effet, en supposant trois cartes dans la main droite et six
dans la main gauche, les différents calculs que cette personne
effectue sont les suivants.
Le double de trois augmenté du triple de six fait six et dix-huit
ou vingt-quatre dont la moitié douze; en retranchant onze, il
reste un.
Au contraire, si les trois cartes sont dans la main gauche, le
double de six augmenté du triple de trois fait douze et neuf ou
vingt et un dont la moitié est dix et demi; on ne peut en retran-
cher onze.
Lorsque l'on n'a pas de jeu de cartes à sa disposition, on
28 Chapitre premier
remplace les cartes par des jetons ou par des pièces de monnaie.
VARIANTE.
On peut remplacer les nombres trois et six des cartes ou des
jetons par un nombre donné quelconque et son double. Lorsque
la main droite contient le plus petit nombre de jetons, le double
du nombre des jetons de la main droite, augmenté du triple du
nombre des jetons de la main gauche, donne huit fois le nombre
donné dont la moitié fait le quadruple. Au contraire, lorsque la
main droite contient le plus grand nombre de jetons, on obtient
sept fois le nombre donné dont la moitié fait 3 fois |; si donc, on
demande à la personne d'en retrancher un nombre compris entre
3 fois^ et 4 fois le nombre donné, il y aura impossibilité dans le
second cas.
Problème XIV. — le carré magique de trois.
Disposer en trois rangées les neuf premières cartes depuis
l'as jusqu'au neuf d'un jeu de mhist, de telle sorte que tous les
points de chaque rangée, soit en longueur, soit en largeur, soit
en diagonale, donnent toujours la même somme quinze.
Calculs élémentaires.
29
On extrait d'un jeu de whist les cartes d'une même couleur, le
trèfle par exemple, en laissant de côté les figures et les cartes des
autres couleurs. Puis on range les neuf cartes ainsi obtenues,
sur une seule ligne, dans l'ordre numérique croissant, à savoir
as, deux, trois, etc., jusqu'à neuf.
On dispose ensuite les neuf cartes dans l'ordre de la Jîg. 7,
Fig.
•!• 4»
4, 4.
4. 4.
4.^4.
•!•
♦
•^
•^
L*_
Aj
4. ^ 4.
♦ 4-
en observant que les cartes sont rangées trois par trois dans Tordre
numérique suivant trois diagonales descendantes.
Cela fait, on échange l'cis et le neuf situés sur la même colonne
verticale, et on les rapproche du cinq; ensuite, on échange le
trois et le sept situés sur la même ligne horizontale et on les
Chapitre premier.
rapproche aussi du cinq. On forme ainsi la Jîg. 8. Dans cette
FiL^ 8.
4*
4. 4-
4. 4-
4, 4.
4»
4. 4,
4. 4.
4. 4.
4. 4.
4. 4.
Quinze, quinze, qiiin:{e,
Revenant à quin:çe,
Veiix-iu parier quin:{e,
Que quin:^e sont là!
(Rythme connu.)
Le carre magique de trois.
figure, la somme des points des trois cartes contenues soit dans
la première ligne, soit dans la deuxième, soit dans la troisième,
est égale à quinze.
De m me, la somme des points contenus dans les trois cartes
de la première colonne verticale, de la deuxième ou de la troi-
sième, est encore égale à quinze.
Enfin, la somme des points contenus dans trois cartes en
diagonale, à savoir quatre, cinq et six, de la première diagonale
ou deux, cinq et huit, de la seconde diagonale, vaut encore
quinze.
On peut remplacer les cartes par les neuf premières boules
d'un jeu de loto, ou encore par les dés suivants d'un jeu de
dominos [Jîg. 9).
On réalise ainsi, soit avec le jeu de cartes, soit avec le jeu de
dominos, soit avec le jeu de loto, un amusement scientifique
Calculs élémentaires.
pour les petits enfants. Les parents et les maîtres leur donneront
Fig. 9.
•
• e • • •
•
i" • • • •
• e • •
• I !• •] I» •
*\ I 1 I
•
• • • •
• • • • •
• • • •
Toujours quinze.
ainsi, tout en jouant, les premières notions de l'addition des
nombres jusqu'à quinze.
On peut remplacer l'as par le deux, le deux par le trois, le
Fig, 10.
9?
S? ^
K> ^
^
s?
s?
s?
^
^
s?
9 ^1
9? ^
Toujours dix-huit.
trois par le quatre, et ainsi de suite, et le neuf par le dix; on
formera alors le Tableau ci-dessus (fig: lol.
Chapitre premier.
Dans ce Tableau, la somme des points des trois cartes d'une
même ligne, d'une même colonne, ou d'une même diagonale est
toujours égale à dix-huit.
On peut encore remplacer les cartes par les dominos ou par les
boules du loto; on a ainsi un nouvel exercice pour les enfants,
qui apprendront en se jouant l'addition jusqu'à dix-huit.
Si l'on augmente d'une unité tous les points de la Jig. lo, en
remplaçant le deux par le trois, le trois par le quatre, etc., le neut
par le dix, et le dix par le valet que l'on comptera pour onze,
la somme des points de chaque rangée horizontale, verticale ou
diagonale fera continuellement vingt et un.
Avec les boules du jeu de loto on peut continuer progressive-
ment l'étude de l'addition; il suffit de prendre neuf boules consé-
cutives; si l'on commence à dix-sept jusqu'à vingt-cinq, par
exemple, on formera encore un carré magique, et la somme
constante dans les huit rangées sera égale à quinze augmentée de
trois fois le nombre seize qui précède le plus petit des nombres
employés, à savoir dix-sept.
l'arithmétique au temps de charlkmagne.
Au commencement du viii« siècle de notre ère, Bède avait une
très grande érudition pour son temps; il écrivait sur beaucoup
de matières différentes, sur Ja Musique et l'Astronomie, sur la
Gnomoniquc et sur l'Astrolabe, et aussi sur l'Arithmétique. C'est
dans un de ses livres, ayant pour titre De arithmeticis proposi-
Calculs élémentaires. 33
tionibus, que l'on trouve différentes manières de deviner un
nombre pensé, dans le genre de celles que nous venons de don-
ner, ou de celles que l'on verra plus loin, et aussi un grand
nombre de questions arithmétiques, ad acuendos juvenes, qui
montrent l'intention d'entretenir la culture des Mathématiques,
suivant le mode récréatif.
Un autre livre, De loqiielâ per gestum digitorum, emprunté
et reproduit par divers auteurs, montre à compter par les doigts
et par les articulations.
Alcuin, disciple de Bède, fut comme lui un prodige d'érudition
dans son temps; on lui attribue parfois le livre De arithmeticis
propositionibus, dont nous venons de parler.
(( Nous nous bornerons à dire (^) qu'il a écrit sur les sept arts
libéraux, et en particulier sur l'Astronomie. Il ne nous est par-
venu de ces Ouvrages que les parties qui traitent de la Grammaire
et de la Rhétorique; on reconnaît qu'elles sont imitées des écrits
de Gassiodore. La célébrité qu'ALCuiN a conservée provient sur-
tout de la part qu'il a prise dans la fondation des Universités de
Paris et de Pavie, et dans les efforts de Gharlemagne pour résister
au torrent des ténèbres qui se répandaient sur l'Europe, et pour
rallumer le flambeau de la Science.
)) Mais la Scholastique prenait naissance, et l'élément reli-
gieux qui lui servait de base fut tout-puissant et occupa exclu-
sivement les esprits. Aussi, chose très remarquable dans l'his-
(^) Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des
méthodes en Géométrie, particulièrement de celles qui se rapportent à la
Géométrie moderne, suivi d'un Mémoire de Géome'trie sur deux principes
généraux delà Science, la Dualité et l'Homographie. Troisième édition. Un
volume in-4"; 1889 (Paris, Gauthicr-Villars et fils). — Voir Géométrie che:^
les Occidentaux au moyen âge.
E. Lucas. — Arithmétique amusante.
Chapitre premier.
toire, aux efforts mêmes de Gharlemagne, succéda précisément
répoque de la plus profonde ignorance. Elle dura près de deux
siècles. »
l'abacus de fibonacci.
Le Livre de l'abaque (M, composé par Léonard Fibonacci,
de Pise, en Tannée 1202, a été publié pour la première fois, en
1857, par le très illustre et très vénéré prince B. Boncompagni,
qui a consacré toute sa vie et une grande partie de sa fortune à la
publication de documents concernant Thistoire des Sciences ma-
thématiques et physiques. Léonard, lils de Bonacus, riche mar-
chand de Pise, avait rapporté des Indes les méthodes arithmé-
tiques qui y étaient alors en usage.
Dès la seconde page de ce volume grand in-4^ qui en contient
460, le premier Chapitre commence ainsi :
c( Novem figurcv Indoriim hœ sunt
987654321
» Cum his itaque figuris, et cum hoc signo o, qitod arabicc
:^ephyriim appellatur, scribitur quilibet mimerus, ut inferius
demonstratnr. » ,
Puis l'auteur démontre qu'avec les neuf chiffres et le zéro, que
( ' ) // Liber Abbacci di Leonardo Pisano, pubblicato secundo la lezione del
Codicc Magliabcchiano, etc., da Baldassark Boncompagni (Roma, iSSy).
Calculs élémentaires.
l'on appelait \éphyr^ en Arabie, on peut écrire un nombre quel-
conque. Il donne la correspondance entre les caractères romains
et les chiffres arabes en prenant comme exemples
KOMAIN3.
ARABES.
ROMAINS.
ARABES.
M.I
MMXXIII
MMMXXII
MMMXX
MMMMDC
lOOI
2023
3022
3020
4600
!
MMM
MGXI
MCCXXXIIII
MMMMGCCXXI
3ooo
I I I I
1234
4321
LA BOITP: de DRAGEES.
Les enfants doivent apprendre la numération en chiffres
romains presque en même temps que la numération décimale;
cela leur permet de savoir lire Theure sur le cadran d'une hor-
loge, et les dates sur les vieux livres, sur les inscriptions des tom-
beaux et des monuments publics. Pour leur apprendre à compter
les heures et les minutes, on prendra une boîte ronde, de la forme
de celles que donnent les parrains et les marraines, aux jours de
baptême, et les jeunes mariés aux jours du mariage. Au centre du
couvercle supérieur, on enfonce un crayon ou un clou à large
tête; on découpe deux aiguilles en carton de couleur, de deux
grandeurs différentes pour imiter l'aiguille des heures et celle des
minutes; puis on dessine les douze heures soit en chiffres arabes,
soit en chiffres romains. On commence avec une seule aiguille,
pour les heures; puis avec l'autre seule, pour les minutes; et Ton
36 Chapitre premier
apprend ainsi à faire lire toutes les heures du cadran, de cinq en
cinq minutes; on apprend ensuite à compter de minute en minute.
En ajoutant une aiguille plus fine et plus longue, on apprendra
à compter les secondes. En désignant un instant quelconque par
les heures, les minutes et les secondes, l'enfant s'amusera à faire
tourner les aiguilles pour représenter l'heure indiquée. Et pour
le récompenser de ses efforts et de ses progrès, il suffira de lever
le couvercle, s'il reste des bonbons dans la boîte.
LA TROMPETTE DE LEMOINE.
S'il ne reste pas de bonbons dans la boîte, nous lui raconterons
l'histoire suivante en l'invitant à compter les minutes voisines de
l'heure par soustraction ou par complément. Un de nos amis,
M. Emile Lemoine, ancien élève de TÉcole Polytechnique, ingé-
nieur et mathématicien distingué, très apprécié en France, en
Allemagne, en Angleterre pour ses nouvelles théories de la Géo-
métrie du triangle, est surtout célèbre par sa Trompette originale,
unique au monde. Il y a quelques années, il demeurait à Paris,
rue du Cherche-Midi, 55; un de ses correspondants, par plai-
santerie, lui avait envoyé, par la poste, une lettre à l'adresse : rue
du Cherche-iine heure moins 5; la lettre lui arriva directement.
Fait authentique, qui démontre, une fois de plus, l'intelligence
et le zèle de nos facteurs parisiens.
Quant à la Trompette^ ce fut d'abord une réunion d'amateurs
de musique, fondée à l'École Polytechnique, par Lemoine, il y a
Calculs élémentaires. ^7
une trentaine d'années, sous le premier nom de Société Philopi-
pobithoiiiniqiie (Pf/70 est la désignation abrégée de Polytechnique,
par les élèves de l'X, et bithouinique était un homniage à Bee-
thoven).
L ARITHMETIQUE DES SOURDS-MUETS.
Le livre de l'Abaque de Fibonacci donne, à la page 5, un pro-
cédé vraiment curieux pour compter sur les doigts jusqu'à dix
mille; ce procédé, dit-il, est très ingénieux et remonte à la plus
haute antiquité; il est enseigné couramment par les maîtres
d'abaque.
Mais la page des figures illustrant cette méthode manquait
dans le manuscrit de la bibliothèque de Florence; nous indique-
rons ici une restitution, sinon exacte, car la description est un
peu obscure, du moins suffisante pour comprendre cette fort
intelligente manière de compter aux siècles passés. Nous la recom-
mandons tout spécialement aux professeurs des institutions de
sourds-muets, bien que tout le monde puisse en tirer profit.
Excellent exercice pour ceux qui ne savent que faire de leurs dix
doigts! Userait intéressant d'en tenter l'expérience dans une école
primaire^ et nous pensons que les résultats concluraient à la
supériorité de cette antique méthode sur toutes les autres.
cJjr^^lr
38
Chapitre premier.
JUSQU A DIX MILLE.
La main se compose de cinq doigts dans l'ordre suivant : le
pouce, l'index, le médius, l'annulaire et l'auriculaire. La main
étendue, les doigts allongés et écartés, signifie :{éro pour la main
droite comme pour la gauche.
Conibrmément aux conventions que nous allons exposer, les
doigts de la main gauche représenteront, par leurs situations
respectives, tous les nombres de i à 99, et ceux de la main droite,
toutes les centaines, 100, 200, 3oo, ..., 9900, de telle sorte
qu'on aura dans les deux mains toute une myriade , c'est-à-dire
tous les nombres jusqu'à loooo. Dans ce qui va suivre, nous ne
nous occuperons donc que de la main gauche, et toute disposition
des doigts de la main droite indiquera des nombres cent fois plus
grands que ceux qui correspondent à une même disposition des
doigts de la main gauche.
^^&^
LES DIGITS.
Pour la représentation des unités simples, depuis un jusqu'à
Fig. II.
Un. Deux. Trois.
Calculs élémentaires.
^9
V
à
Quatre. Cinq. Six.
Dix. Vin "t. Trente.
Quarante. Cinquante. Soixante.
Septante. Octante. Nonanie.
40 Chapitre premier
no-uï [Jîg. I i), les deux premiers doigts, le pouce et l'index, restent
immobiles, allongés et séparés, et les dispositions des trois der-
niers doigts représentent les neuf premiers nombres, que les
anciens appelaient Digits.
L'auriculaire replié sur lui-même signifie un i
L'auriculaire et l'annulaire repliés ensemble deux 2
Les trois derniers doigts repliés ensemble trois 3
Le médius et l'annulaire repliés ensemble quatre 4
Le médius replié seul cinq 5
L'annulaire replié seul six 6
Pour les trois nombres suivants, il faut replier les doigts de telle
sorte que leur extrémité s'approche le plus possible du poignet;
les dispositions des doigts sont d'ailleurs semblables à celles qui
correspondent aux trois premiers nombres.
L'auriculaire replié sur la paume de la main sept 7
L'auriculaire avec l'annulaire huit 8
Les trois derniers doigts repliés ensemble neuf 9
LES ARTICULES.
Pour la représentation des dizaines, les trois derniers doigts de
la main gauche sont allongés, et les articulations du pouce et de
l'index représentent les nombres de dizaines, que les anciens
appelaient articulés.
L'extrémité de l'index sur le pli intérieur du pouce allongé,
et formant cercle avec l'index, signifie dix 10
Calculs élémentaires. 41
Le pouce et l'index allongés et rapprochés signifient vingt 20
Le pouce et l'index réunis eu cercle par les extrémités . . trente 3o
Le pouce courbé sur l'ongle de l'index quarante 40
Le pouce courbé à la base de l'index cinquante 5o
L'index courbé sur le pouce replié soixante 60
L'index appuyé sur l'ongle du pouce allongé septante 70
Sur le milieu extérieur du pouce allongé octante 80
L'index replié à côté du pouce allongé nonante 90
I En combinant sur ]a main gauche les digits el les articulés,
on peut donc représenter tous les nombres de o à 99.
MARIAGE DE LA MAIN GAUCHE.
Gomme nous l'avons dit plus haut, on représente les centaines,
au moyen des trois derniers doigts de la main droite par des
dispositions semblables à celles qui représentent les neuf premiers
nombres avec les trois derniers doigts de la main gauche.
De même, on représente les mille avec le pouce et l'index de la
main droite de la même manière que nous avons représenté les
dizaines avec le pouce et l'index de la main gauche.
Pour représenter tous les nombres de o à 9999, c'est-à-dire
tous les nombres de quatre chiffres au plus, on marie la main
droite avec la main gauche. Veut-on, par exemple, représenter
le nombre 1884; nous nous servirons de la main droite en pre-
nant l'articulé 10 et le digit 8, et de la main gauche en prenant
y articulé 80 et le digit 4.
Bien que ces dispositions paraissent assez arbitraires, nous
4- Chapitre premier
observerons que le signe du zéro semble indiquer que l'on n'a
rien dans les mains, tandis que le signe de 9999 semble indiquer
que l'on a les mains pleines.
^^
COQUETTERIE FEMININE.
Le lecteur a du observer que nous avons écrit les mots
septante, octante, nonante, qui ne sont plus, sauf dans certaines
contrées, d'un usage courant. Nous aurions dû aussi écrire
unante, diiante, au lieu de dix et de vingt; tout le monde sait
que l'emploi de ces mots facilite beaucoup aux enfants l'étude
des premiers principes du calcul, quitte à leur apprendre plus
tard les exceptions qui sont consacrées par l'usage. Nous savons
bien qu'on nous répondra que tout est pour le mieux dans la
meilleure des Arithmétiques, et que personne, en songeant à
l'année terrible quatre-vingt-treize du siècle dernier, ne dira
nonante-trois; c'est que quatre-vingt-treize fait si bien à l'oreille,
et le mot trei:{e, qui vient là, nombre fatidique, semble semer la
terreur comme le clairon de la fanfare guerrière. Or treize n'existe
pas autrement dans 93 que dans ses deux voisins 92 et 94. Mais
c'est aux dames que nous adresserons notre réclamation; cette
manière de dénommer les dizaines présente une régularité finale
si parfaite, qu'elle peut servir d'appoint à la coquetterie féminine.
Je ne me rappelle plus le nom de ce président de tribunal
demandant l'âge d'une dame et qui obtint cette réponse :
« ... ante ans, monsieur le président ^^. Ainsi, avec l'emploi
des mots septante, octante, nonante, de trente à cent ans, on
aurait toujours . . . ante ans.
Calculs élémentaires.
4^
L ARITHMETIQUE A QUATRE PATTES.
Mais, cher lecteur, laissons de côté notre pruderie pédagogique,
et revenons à notre sujet. Nous avons vu que les signes de la
main gauche représentaient tous les nombres de o à 99, et ceux
de la main droite, les centaines. On peut donc considérer l'em-
ploi de ces signes comme un système de numération dans lequel
les ordres successifs d'unités sont chaque fois des nombres cent
fois plus grands, ou en d'autres termes^ le système de numération
centésimale. Par conséquent, si une seconde personne, placée à
la droite de la première, compte aussi sur ses doigts, ces deux
personnes peuvent, en opérant simultanément, représenter tous
les nombres de o à 99999999 ou jusqu'à cent millions. On pour-
rait, il est vrai, après beaucoup d'exercices, remplacer l'aide de
la seconde personne en se servant des doigts des membres infé-
rieurs; mais, comme le dirait Mossieu Prudhomme, notre édu-
cation et nos usages ne le permettent point.
Heureux, heureux les singes, s'ils connaissaient leur bon-
heur!
Ces intelligents animaux, nos cousins issus de germains,
dit-on, en leur qualité de quadrumanes pourraient compter sur
leurs doigts, en jouant des pieds et des mains, jusqu'à cent mil-
lions, et peut-être qu'au xx*' siècle, nos petits-neveux verront à
l'Hippodrome des Chimpanzés et des Ouistitis suffisamment
instruits pour compter sur tous leurs doigts, en faisant de
l'Arithmétique à quatre pattes. Ils dépasseront ainsi, en intelli-
gence et en savoir, le célèbre chien Munito, qui fut si habile au
jeu de dominos.
^^ Chapitre premier
C'est probablement à cause de la conformation de leurs
membres que les ânes ont la réputation de ne pas savoir compter;
leurs doigts sont renfermés dans des sabots; il leur serait donc
assez difficile de compter jusqu'à quatre; encore faudrait-il qu'ils
eussent les quatre fers en l'air. Pauvres baudets!
SIMPLE AMUSETTK.
Retourne^ tous les dés d'un jeu de dominos, en ayant le soin
d'escamoter un dé non doublé. Dites ensuite à une personne de
tirer un dé au hasard et de le faire voir, puis de retourner suc-
cessivement les autres dominos pour les disposer au fur et à
mesure suivant la règle, sans fermer le jeu et sans tenir
compte des doubles, ou en intercalant ceux-ci dans le jeu lors
de leur tirage. Vous prédire^ les points des deux extrémités de
la disposition, qui sont les mêmes que les deux points du domino
que vous ave^ escamoté.
En effet, lorsque l'on place les dominos à la suite les uns des
autres suivant la règle du jeu, c'est-à-dire de telle sorte que deux
dés consécutifs se touchent par des points égaux, le jeu se termine
toujours par un point final égal au point.initial; ainsi, lorsqu'on
a commencé par un cinq, le jeu se termine pai' un cinq, à la con-
dition de ne pas fermer le jeu avant d'avoir employé tous les
dominos. On peut placer les vingt-huit dominos en cercle,
suivant la règle; si donc on enlève le cinq-trois, la disposition
rectiligne des vingt-sept autres dominos d'après la règle du jeu
Calculs clcmeniaircs. 46
commencera et se terminera, d'un côté, par un cinq, et de Tautre
par un trois.
Vous intriguerez beaucoup les personnes qui ne connaissent
pas ce divertissement, en ayant l'air de faire un calcul compliqué,
au moment où l'on vous montrera le premier domino qu'on aura
tiré. Si vous replacez adroitement le trois-cinq ou tout autre dé
non doublé que vous avez escamoté, en retournant de nouveau
les dominos et en faisant de nouveau leur mélange, vous pourrez
facilement recommencer l'amusette; mais alors suivez le principe
de Bachet de Méziriac : « J'admoneste ceux qui voudront mettre
ces jeux en usage et d'en avoir du contentement, qu'ils prennent
le soin de les faire avec une telle dextérité qu'on n'en puisse pas
aisément découvrir Tartifice; car ce qui ravit les esprits des
hommes, c'est un effet admirable dont la cause leur est inconnue.
C'est pourquoi, si l'on fait plusieurs fois de suite le môme jeu, il
faut toujours y apporter quelque diversité. »
-^
ENCORE UNE AMUSETTE
Retourne^ vingt-cinq dés d\in jeu de dominos, de manière à
ne montrer aucun point, et placez-les à la suite les uns des
autres sur une seule ligne en les accolant par le grand côté.
Dites ensuite à une personne de déplacer en cachette un certain
nombre, jusqu'à dou^e, de dominos consécutifs à l'une des extré-
mités pour les replacer à l'autre. Vous devinerez le nombre des
dés déplacés en votre absence, en retournant le dé qui occupe
le milieu de la disposition, par le nombre de ses points égal au
nombre des dominos déplacés.
40
Chapitre premier.
Avant de faire exécuter ce problème, vous placez treize do-
niiiios, en les retournant, dans l'ordre suivant Jî
S". 12
Fi!
« • 9 e
• • • o
• • 9 9
• • • «
• • 9
• * • C
• • <> « OS
9 9 • • • e
• «
o ô
• • se
• 9 9 «
a ô^ s7
•
Les points de ces dominos, que l'on peut remplacer par d'autres,
représentent les douze premiers nom.bres et zéro :
12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.
On peut aussi se servir des cartes d'un jeu de whist en
comptant Tas pour un, le valet pour onze, la dame pour douze,
et le roi pour zéro.
Vous placez ensuite à la droite douze autres dominos ou douze
cartes, dans un ordre quelconque, et en les retournant. Si une
personne fait passer de la droite à la gauche un certain nombre
de dominos, le nombre des dominos déplacés est égal au nombre
des points du domino qui occupe le milieu de la disposition. Car
si Ton n'a déplacé aucun domino, le centre de la disposition est
occupé par le double blanc ou zéro; si Ton a placé un domino en
avant, le centre est occupé par l'as blanc, et ainsi de suite.
On peut continuer l'amusette en priant une autre personne de
déplacer en cachette en les portant de la droite à la gauche un
autre nombre de dominos; vous devinerez encore le nombre des
dominos déplacés en retournant le domino qui suit à droite celui
du milieu, et dont le rang est égal au nombre des dominos
déplacés par la première personne.
Calculs élémentaires.
LE COUP MAXIMUM AUX DOMINOS.
Le jeu de dominos se joue à deux, à trois ou à quatre; dans ce
dernier cas, les joueurs peuvent avoir leurs intérêts sépare's ou
réunis.
Le jeu se joue encore, avec un mort, comme au whist; mais les
règles de ces différentes parties sont suffisamment connues pour
qu'il soit inutile de les développer ici.
Dans la partie du domino à quatre, lorsque chacun des
joueurs prend sept dés, il existe plusieurs dispositions curieuses
dans lesquelles le premier joueur gagne nécessairement la
partie, pendant que le deuxième et le troisième joueur ne
peuvent parvenir à poser un seul dé.
Supposons, par exemple, que le premier joueur possède les
quatre premiers blancs et les trois derniers as [Jîg. i3), c'est-à-dire
les dominos
Fi-. i3.
_ n n F H E
« • 'es*
I [• I [• ! ! • • \ 9 g ;c •
Supposons que le quatrième joueur possède les six dés qui
forment les autres blancs et les autres as [fig, 14)
rig. 14.
~^ ! I ' — I I — I ' — ' I —
• ® e !
• • • e • e • •
• • e • •
avec un domino quelconque, et que les autres joueurs se par
48
Chapitre premier.
tagent ce qui reste. Dans ce cas, le premier joueur gagne néces-
sairement la partie après la pose des treize dominos indiqués plus
haut, tandis que les autres joueurs n ont pu poser aucun dé. Le
nombre total des points de ces treize dés étant égal à quarante-
huit, le premier joueur gagne donc cent-vingt points en un seul
coup-, c'est le coup maximum.
En effet, le premier joueur pose le double blanc; le deuxième
et le troisième joueur boudent et bouderont chaque fois, car le
premier joueur s'arrangera toujours de manière à placer du blanc
et de l'as aux deux extrémités du tableau.
AUX DOMINOS QUI POSE PERD.
Dans une partie à deux au jeu de dominos, l'un des joueurs
a les six pj-emiers blancs et Vautre joueur les six derniers six ;
on suppose que l'on n'a pas le droit de fermer le jeu. Celui qui
pose le premier perd la partie.
Ainsi la part du premier joueur se compose des six dés {/ig: i5)
Fiiz. i5.
A • ®
et la part du second se compose de [Jîg. i6) .'
Fi
-. i6.
• •
•
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• •
• •
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•
• •
• •
• •
•
• •
• •
• •
9 •
Calculs élémentaires.
49
Pour gagner, celui qui joue en second n'a qu'à poser son
deuxième dé près de son premier. S'il plaçait ce deuxième dé près
de celui qu'a posé le premier joueur, il perdrait la partie. En outre,
si le premier joueur n'a pas posé le double blanc, le second joueur
ne doit pas poser comme deuxième dé le double six.
DEVINETTE ARITHMETIQUE.
Les dominos étant tous retournés et placés en A [fig. 17), on en
tire successivement un, deux, trois, etc., jusqu'à douze, et on les
place en B; on en prend un treizième que l'on place en G, après
avoir regardé, en cachette, le nombre des points qu'il contient.
Fig. 17.
Supposons, par exemple, qu'il en contienne cinq; on retire
alors de A, pour les placer en B, d'autres dominos en continuant
à compter six, sept, huit, etc., jusqu'à douze. Puis on prend en-
core en A un domino que l'on place en G, après avoir regardé le
nombre des points qu'il renferme.
On continue à prendre des dominos en A_, pour les placer en B,
en recommençant à compter de ce nombre jusqu'à douze, et ainsi
Ed. Lucas. — Arithmétique amusante. 4
C/ijpitrc premier.
de suite. Au bout d'un certain temps, le jeu se trouve épuisé en A;
alors deux cas peuvent se présenter :
1° Si l'on tire le dernier dé de A en comptant treize, on le place
en B et non en C, et la manœuvre est terminée;
2'' Si Ton prend le dernier dé de A en comptant moins de
treize, huit, par exemple, on replace ce dé en A, en disant neuf;
puis on reprend d'autres dominos de B, en comptant dix,
onze, etc., jusqu'à treize, et la manœuvre est encore terminée.
Cela fait, les dominos étant toujours retournés, on propose à une
personne qui connaît la marche de l'opération, mais qui n'en a
pas suivi les détails, de deviner le nombre total des points des
dominos situés en C.
Pour résoudre cette question, il suffit de multiplier par i3 le
nombre augmenté d'une unité des dominos placés en C, de
retrancher du produit obtenu le nombre des dominos placés
en A et le nombre total des dominos employés, car on peut se
servir de plusieurs jeux complets ou incomplets.
Nous avons donné, dans nos Récréations mathématiques
(t. II, p. 49), la démonstration de cette règle pratique.
i^&ii
Probli:mf, XV. — jeux de tonneaux.
Trois personnes ont à se partager vingt et' un tonneaux dont
il y a sept pleins de vin, sept vides et sept pleins à demi. On
demande comment peut se faire' le partage, de telle sorte que
les trois personnes aient, sans transvasement, un nombre égal
de tonneaux et la même quantité de vin ?
Calculs élémentaires. 5i
On suppose, bien entendu, que les tonneaux vides, pleins ou
demi-pleins sont d'égale contenance. Il faut bien se garder d'ap-
pliquer le raisonnement suivant :
Un tonneau à moitié vide égale un tonneau à moitié plein;
par conséquent, en doublant, on obtiendrait
Un tonneau vide égale un tonneau plein.
Pour résoudre le problème en question, on observera tout de
suite que chaque personne doit avoir sept tonneaux, et que la
quantité de vin qui revient à chacune est équivalente à sept ton-
neaux demi-pleins. Voici une première solution :
Tonneaux Tonneaux Tonneaux
pleins. demi-pleins. vides.
Première personne ^ Z 2.
Deuxième personne 232
Troisième personne 3 i 3
Voici une seconde solution :
Tonneaux Tonneaux Tonneaux
pleins. demi-pleins. vides.
Première personne .... . 3 i 3
Deuxième personne 3 i -^
Troisième personne i 5 ^
,1^ '
CHAPITRE DEUXIEME.
LE CALCUL RAPIDE.
LE CALCUL MENTAL.
Il est facile de développer chez les enfants la pratique et le
goût du calcul mental. J'ai connu autrefois un instituteur dont
la plupart des élèves, de huit à douze ans, savaient par cœur la
Table de Pythagore étendue jusqu'à cent fois cent, et qui calcu-
laient rapidement de tête les produits de deux nombres de quatre
chiffres, en faisant la multiplication par paquets de deux chiffres.
Parfois cette faculté se développe spontanément chez quelques
individus d'une façon vraiment extraordinaire; ce fut le cas de
Mangiamelli, le berger sicilien et d' Henri Mondeux^ le pâtre de
laTouraine; ils opéraient les multiplications et les divisions par
paquets de trois chiffres; mais ils ne devinrent pas des mathéma-
ticiens.
Lorsque l'enfant sait compter jusqu'à vingt-neuf, avec une
54 Chapitre deuxième.
boîte de dominos, en y comprenant les dominos et la boîte, il
connaît les dix-sept mots qui servent à former leurs dénomina-
nations. Il se familiarise peu à peu avec le mécanisme de la
numération, de l'addition et de la soustraction; avec quelques
mots de plus, ceux des dizaines, cent, mille, million^ billion ou
milliard, il connaît tous les nombres jusqu'à douze chiffres, en
voilà bien assez pour la pratique, sans qu'il soit nécessaire de lui
faire connaître les septillions.
AMPERE ET SES HARICOTS.
La faculté qui, chez Ampl:re, se développa la première fut celle
du calcul arithmétique. Avant même de connaître les chiffres et
de savoir les tracer, il faisait de longues opérations au moyen d'un
nombre très borné de petits cailloux ou de haricots. Peut-être
était-il déjà sur la voie des ingénieuses méthodes des Hindous;
peut-être ses cailloux se combinaient-ils entre eux comme les
grains enfilés sur plusieurs lignes parallèles, que les brahmanes
de Pondichéry, de Calcutta et de Bcnarès manient avec tant de
précision, de rapidité, d'exactitude. Maintenant, s'il faut montrer
à quel point extraordinaire l'amour du calcul s'était emparé du
jeune écolier, nous dirons que la tendresse maternelle l'ayant
privé, pendant une grave maladie, de ses chers petits haricots, il
y suppléa avec les morceaux d'un biscuit qui lui avait été ac-
cordé après trois jours d'une diète absolue. Nous n'insisterons pas
davantage sur cette anecdote, et nous ajouterons avec Arago à
qui nous l'avons empruntée : « Je suis loin de la présenter comme
Le Calcul rapide. 55
un indice incontestable de la future vocation d'AMPÈRE. Je sais
qu'il est des enfants dont rien ne peut surmonter l'apathie, et
que d'autres, au contraire, s'intéressent de tout, s'amusent de
tout, même d'opérations arithmétiques sans but. Se récrie-t-on
sur cette dernière circonstance? Quelqu'un s'avise-t-il de la taxer
d'exagération, de placer les calculs numériques au nombre de ces
choses dont le besoin, le devoir peuvent seuls faire surmonter le
dégoût? Ma réponse est toute prête. Je citerai non de simples
écoliers, mais un savant distingué à qui je témoignais un jour
ma surprise de le voir, en pleine séance académique, entre-
prendre la multiplication de deux énormes lignes de chiffres pris
au hasard. Vous oubliez, me répondit-il sur-le-champ, vous
oubliez le plaisir que j'éprouverai tout à Theure à faire la preuve
du calcul par la division (^) ».
LE CALCUL ANTILETHARGfQUE..
Il ne faudrait pas laisser se développer outre mesure, chez les
enfants, cette faculté du calcul mental; mais il est bon pourtant
de la leur faire acquérir dans le jeune âge. Elle se conserve plus
tard et facilite beaucoup Tétude de toutes les Sciences. Les plus
grands mathématiciens ne l'ont point dédaignée; ainsi Euler et
Wallis étaient, en même temps que savants illustres, des calcu-
lateurs émérites. Ils résolvaient, sans le secours de la plume ou
du crayon, les problèmes numériques et algébriques les plus
(') Arago, IWotices biographiques, Ampère.
5^ Chapitre deuxième.
compliqués. Wallis était doué d'une mémoire prodigieuse ; il lui
arriva, une nuit, d'extraire de tête la racine carrée d'un nombre de
cinquante chiffres et de la dicter le lendemain. Au tableau ou sur
le papier, cette opération me demanderait plus d'une heure, et
encore ne serais-je pas bien assuré de l'exactitude du résultat.
Nous terminerons cette digression sur le calcul mental par
l'anecdote suivante que nous empruntons à la biographie de
MoNGE par Arago. Lagny était un membre distingué de Tan-
cienne Académie des Sciences; il adorait les calculs numériques.
Il a donné notamment les 04 premières décimales du rapport de
la circonférence au diamètre. Vers la fin de sa vie, dans une grave
maladie, il était tombé dans un tel état d'insensibilité, que depuis
plusieurs jours on n'avait pas réussi à lui arracher une syllabe;
mais un de ses amis lui ayant murmuré à l'oreille : combien font
douze fois douze, il répondit aussitôt : Cent quarante-quatre.
C'est ainsi que le malade fut réveillé de sa léthargie. Inverse-
ment, on pourrait, par ce procédé, constater la mort des calcu-
lateurs; c'est à la suite de l'application à Monge d'un procédé
semblable, que l'on perdit tout espoir de le sauver et que l'on put
prédire sa fin prochaine. Il n'avait point tressailli à l'audition de
la Marseillaise.
MACHINES ARITHMETIQUES A GROSSE TETE.
Pour apprendre à l'écolier l'addition et la multiplication,
gardons-nous bien de lui faire réciter, sur un ton dolent et
monotone : a deux fois deux font quatre, deux fois trois font six,
Le Calcul rapide.
deux fois quatre font huit y>, et de lui faire défiler ainsi toute la
Table de Pythagore; ce serait donner à ses facultés arithmétiques
un enterrement de première classe. L'enfant doit construire la
Table lui-même, et voici comment je l'enseignais à mon fils dès
l'âge le plus tendre. Il savait déjà compter de deux en deux par
les numéros des maisons de la rue. Le côté des numéros pairs,
c'est la deuxième colonne de la Table, n'est-ce pas? Pour les
autres colonnes, je lui faisais disposer dans l'ordre les 90 boules
du jeu de loto. En les retirant de trois en trois, de quatre en
quatre^ et ainsi de suite, il obtenait les autres colonnes qu'il
inscrivait au fur et à mesure sur un grand damier (^). Quelques
jours après, le bambin me ménageait une surprise; il avait con-
struit tout seul une Table de multiplication jusqu'à trente fois
trente; ce n'était pas une merveille de calligraphie, il y avait bien
quelques gros pâtés, mais il n^ avait pas d'erreurs. Un matin,
à son réveil, il me demandait le produit de deux nombres de
deux chiffres qu'il venait de calculer de tête; il voulait s'assurer
s'il était aussi bon calculateur que papa! Il apprenait à calculer,
mais trop vite; alors j'interrompis les leçons, car je ne désire pas
qu'il devienne'xomme Mondeux, Mangiamelli ou quelque pâle
Inaudi, une machine arithmétique à grosse tête. Mais il m'aura
bientôt dépassé et saura calculer d'instinct, c'est-à-dire suivant
Arago, comme les hommes respirent, comme les poissons nagent,
comme les oiseaux planent dans les airs.
(') Avec deux jeux de boules de loto, on peut construire la Table sans
rien écrire.
58
Chapitre dcuxicme.
EXERCICES d'addition.
Pour apprendre l'addition aux enfants, on les fait compter de
un en un, de deux en deux, de trois en trois, jusqu'à cent et plus,
au moyen des Tableaux suivants que Ton dessine sur un carton
ou sur le tableau.
4
5
()
7
8
9
G
t
On fait compter les nombres de un en un, à partir d'une
dizaine trente, par exemple, en montrant successivement avec
une baguette les chiffres dans l'ordre suivant :
o —
2 — 3
o,
pendant que l'écolier comptera trente, trente et un, trente-deux,
jusqu'à quarante; on le fera décompter, en opérant dans l'ordre
inverse.
Le Calcul t^apide. 3g
On fait compter les nombres de trois en trois; à partir d'une
dizaine vingt, par exemple, en montrant successivement avec
une baguette les chififres dans l'ordre
pendant que l'écolier lira tout haut: vingt, vingt-trois, vingt-six,
vingt-neuf, trente-deux, etc.; on le fera décompter en opérant
dans l'ordre inverse.
On fait compter les nombres de sept en sept, dans Tordre
inverse précédent, en lisant dix, dix-sept, vingt-quatre, trente
et un, et l'on fait observer qu'ajouter sept revient à ajouter dix et
retrancher trois.
On fait compter de neuf en neuf par l'ordre inverse de compter
de un en un ; et Ton fait observer que, pour ajouter neuf, il faut
ajouter dix et retrancher un.
Chapitre deuxième.
LES NOMBRES PAIRS.
On fait compter de deux en deux à partir de zéro, pour obtenir
es nombres pairs, à l'aide du Tableau
!
o
s»—» • o 2 4
680 «— «
o
i
et l'on forme lesnombres pairs 2, 4, 6, 8,..., soit dansTordre croissant,
soitdansl'ordredécroissant.LemêmeTableauapprendàcompter et
à de'compter de quatre en quatre, de six en six, et de huit en huit.
Les nomhvts pairs sont les doubles de tous les nombres entiers ;
on appelle p air ement pairs les doubles de tous les nombres pairs,
c'est-à-dire 4, 8, 12, 16, 20, ...; on les compte de quatre en quatre.
^^
LES NOMBRES IMPAIRS.
On fait compter les nombres impairs de deux en deux à partir
de un, au moven du Tableau
ï
I
»--♦ I 3 5
7 () I -ss
Le Calcul rapide.
6i
Le même Tableau permet de faire compter et décompter de
quatre en quatre, de six en six, de huit en huit, à partir de l'unité.
On appelle impairement pairs les nombres doubles d'impairs;
on les compte de quatre en quatre à partir de deux.
Enfin on apprend à compter ou à décompter de cinq en cinq,
au moyen du Tableau suivant :
m
ï
ï
I
2
3
6
7 1
8
Lorsque les écoliers sont familiarisés avec ces exercices, on
reprend le premier Tableau
et on leur fixe avec la baguette un chiffre quelconque, 5 par
exemple, puis on désigne un autre chiffre 8, l'écolier doit pro-
noncer immédiatement treize, sans dire 5 et 8 font treize, mais
de telle sorte qu'il indique instantanément le résultat de l'addi-
tion du dernier nombre au chiffre indiqué.
En opérant de cette façon, on développe rapidement chez les
enfants la pratique du calcul.
On continue les exercices en reprenant les premiers tableaux
et l'on fait compter de onze en onze, de vingt-un en vingt-un, de
trente-un en trente-un, et ainsi de suite.
Puis de douze en douze, de vingt-deux en vingt-deux, et ainsi
de suite.
Chapitre deuxième.
On observera encore qu'ajouter 19, 29, 89, ..., revient à ajouter
20, 30,40, ..., et retrancher un; de même pour ajouter 18, 28,
38, etc.
LES NOMBRES COMPLEMENTAIRES.
En apprenant aux enfants à former leurs chiffres, on leur
donne à faire des additions de nombres formés d'abord déchiffres
toussemblables, en commençant parles f, les 2, les 3, ..., jusqu'à 9.
Voici les derniers exemples :
99999
99999
99999
99999
99999
99999
99999
99999
99999
99999
99999
99999
99999
99999
99998
299997
399996
499995
Le nombre 90999 étant 100 000 moins un, le double en sera
200000 moins deux, le triple en sera 3ooooo moins trois, et
ainsi de suite.
De même, on fera exécuter des additions dans lesquelles les
chiffres d'une même ligne seront tous les mêmes, ceux des
colonnes étant différents.
Deux nombres sont dits complémentaires, lorsque la somme
des chiffres des unités de même ordre est égale à neuf; ainsi les
nombres ,
26432 et 73567
sont complémentaires, et leur somme est 99999.
Avec la notion des nombres complémentaires, il est possible de
prédire à l'avance le total d'une addition; dites à une personne
Le Calcul rapide.
d'écrire trois nombres de cinq chiffres au plus, pour une addition
dont le total sera 299 997 ; il vous suffit d'écrire au-dessous des
trois nombres écrits par la personne les trois nombres complé-
mentaires; leur somme sera égale à trois fois 99999.
^^
LA MULTIPLICATION PAR ONZE.
Au lieu d'écrire le multiplicande, le multiplicateur 11, puis
deux fois encore le multiplicande avant d'écrire le produit, on
peut écrire tout de suite celui-ci delà manière suivante. On écrit
le chiffre des unités, on ajoute le chiffre des unités à celui des
dizaines ; puis, le chiffre des dizaines à celui des centaines, et ainsi
de suite en tenant compte des retenues. Par exemple, pour mul-
tiplier 4325 par II, voici la physionomie du calcul:
Multiplier 4325 paru
47575 est le produit.
Et Von dit 5 (que je pose), puis 5 et 2, 7 (que je pose), 2 et 3, 5
(que je pose), 3 et 4, 7 (que je pose), et enfin 4.
Ainsi, on a encore
I I X I = II
I I X I I - - 121
1 1 X I 2 1 — 1 3 3 I
I I X i33i -" 14641
I I X 14641 -- i6io5 I
De même, pour multiplier un nombre quelconque par 1 1 i , on
suppose deux zéros écrits à sa droite et deux zéros écrits à sa
gauche; puis on fait les sommes de trois chiffres consécutifs, en
Ô4 Chapitre deuxième.
supposant les zéros écrits, et en commençant par la droite, en
tenant compte des retenues. De même, pour multiplier par
1 1 1 I , etc. Voici quelques exemples extraits du Talkhys :
I X I
=
l
I F X 1 I
z=
121
III X III
-=■
I232I
III X I I I I
—
I23432I
iiiiixiiiii = 123454321
1 1 1 1 1 1 X II 1 1 1 1 — 1 2345654321
Le Talkhys est un Traité d'Arithmétique pratique d'ÏBN
Albanna, mathématicien et astronome qui florissait au Maroc
dans la première moitié du xiii^ siècle. La Bibliothèque nationale
de Paris possède un certain nombre de manuscrits arabes ren-
fermant des commentaires de ce Traité. Voici la traduction du
commencement et de la fin du manuscrit coté 95 au supplé-
ment arabe de la Bibliothèque. C'est un commentaire du Talkhys
par Alkalaçadi, mathématicien arabe espagnol, mort en i486.
« Au nom de Dieu clément et miséricordieux. Que la bénédic-
tion et le salut divins soient sur notre Seigneur Mohammed!
» Le serviteur du Dieu très haut, celui qui a besoin de son
pardon, Ali ben Mohammed Ibn Mohammed ben Ali le Koraï-
chite Alandalouci Albasthî.^ connu sous le nom d'Alkalaçâdî, que
Dieu très haut soit miséricordieux avec lui, ^men, amen, amen,
amen, dit:
» Louange à Dieu qui a créé l'homme par sa grâce, et qui l'a fait
exister pour ce qu'il a résolu et décrété par la volonté de ses juge-
ments et de sa puissance. Que la bénédiction et le salut divins
L.ê Calcul rapide. 53
soientsur notre seigneur Mohammed, sa famille et sescompagnons.
» Pour en venir au fait, le but qu'on se propose est Tapplica-
tion de l'Exposé des opérations du calcul du chaïkh, du très
savant imâm Ahmied, surnommé le Fils de l'architecte (Ibn Al-
bannâ), l'habitant de Maroc. Puisse-t-il être agréable à Dieu, et
puisse Dieu le rendre content! »
L'auteur termine son commentaire en montrant la manière de
trouver les deux nombres amiables les plus petits, 220 et 284; ces
nombres jouissent de la propriété que la somme des diviseurs de
chacun d'eux est égale à l'autre, et la copie de ce manuscrit très
moderne, datée du 14 septembre 18 14, se termine ainsi :
« Louange à Dieu, le Maître de l'Univers, de la part de celui
qui a écrit cette copie, et qui a besoin de la miséricorde de son
Seigneur qui pardonne à son esclave, Al-hâdjdj Imâd Altihrî;
puisse Dieu accorder son pardon à lui, à ses parents, aux doc-
teurs qui l'ont instruit et aux docteurs de ses docteurs jusqu'au
jour de la résurrection. »
Nous donnerons encore les exemples suivants qui ont cet avan-
tage d'apprendre aux enfants à former leurs chiffres tout en fai-
sant des opérations faciles et graduées :
II X I II — 1221
III X iiiii — I23332I
iiiixiiiiiii —1 234444321.
II III X 1 1 II iiii I ~ 1234555554321.
91 X 1221 =111111.
90090991 X 1 23332 1 =- I I M II I r r [ r n I [
Ed. Lucas. — arithmétique 'amusante.
66 Chapitre deuxième.
Problème XVII. — la multiplication par neuf.
Pour développer chez les enfants le goût et la pratique du
calcul, il est bon de leur donner des exemples fort simples dont
les résultats peuvent exciter leur curiosité. Nous donnerons
d'abord un procédé abrégé de multiplication par 9, et nous
donnerons ensuite quelques exemples.
Multiplier un nombre par 9, c'est faire la somme de neuf
nombres égaux au nombre donné; par conséquent, c'est prendre
dix fois le nombre et retrancher une fois. De là, la règle suivante :
pour multiplier un nombre par 9, on ajoute par la pensée un
zéro à la droite et l'on retranche le chiffre des unités de dix, puis
celui des dizaines de celui des unités, le chiffre des centaines de
celui des dizaines, et ainsi de suite en tenant compte des
retenues.
Par exemple, pour multiplier 483 par 9, on dit :
Trois et sept (que l'on pose), dix, et je retiens un;
Un et huit, neuf Ql quatre (que l'on pose), treize, retiens un;
Un et quatre, cinq et trois ique l'on pose), huit;
Zéro et quatre, quatre (que l'on pose).
La physionomie du calcul est la suivante.
Multiplier 483 par 9.
4347 est le produit.
Dans le calcul rapide, on supprime le plus de mots qu'il est
possible; dans l'opération que nous venons d'expliquer, il suffit
de prononcer, de murmurer les mots soulignés, en pensant les
autres.
Le Calcul rapide.
67
Voici quelques résultats de la multiplication par 9, curieux
par leur symétrie et leur simplicité.
9 X I
plus
2
fait j
I .
9x12
))
3
))
III.
9x123
))
4
«
III.
9 X I 284
»
5
)) ■
I I I I I .
9 X 12345
»
6
»
[ [ I I I I .
9 X 123456
))
7
»
1 I I I I I 1 .
9 X 1234567
))
8
))
II [ I I I I I.
9 X 12345678
)>
9
;)
[ I I I I I I I I .
9 X I 23456789
»
10
))
[ I I I I I I I I 1 .
- Dans l'exemple précédent, les chiffres du multiplicande vont
en croissant, dans le suivant ils vont en décroissant.
9x9
plus
7
fait
88.
9 X 98
))
6
))
888.
9x987
»
5
)^
8888.
9 X 9876
))
4
))
88888.
9 X 98765
»
3
»
888888.
9 X 987654
;;
2
»
8888888.
9 X 9876543
»
I
))
88888888.
9 X 98765432
»
»
888888888.
De même pour multiplier un nombre par 99 ou cent moins
un, on ajoute deux zéros à sa droite et à sa gauche, et l'on
retranche chacun des chiffres du deuxième à droite. Pour multi-
plier par 999, ou mille moins un, on ajoute trois zéros à droite
et à gauche, et Ion retranche chacun des chiffres du troisième à
droite.
68
Chapitre deuxième.
Pour multiplier par 98, par 97, par 998, par 997, etc., on
multiplie par 100 moins deux, moins trois ou par 1000 moins
deux, moins trois.
Pour multiplier par 8, on peut multiplier par 9 et retrancher
une fois, ou par 10 et retrancher deux fois; voici des exemples
curieux :
plus I fait 9.
)) 2 » Q 8 .
8 X I
8 X 12
8 X 123
8 X 1234
8 X 12345
8 X 123456
8 X 1234567
8 X 12345678
8 X 123456789
987.
9876.
98765.
987654.
9876543.
98765432.
987654321 .
Voici encore quelques exemples de produits de nombres formés
d'un même chiffre.
r=8l.
=: 9801 .
rr 998001 .
= 99980001 .
9X9
99 X 99
999 X 999
9999 X 9999
99999 X 99999 = 9999800001 .
9x7 =3 63.
99 X 77 =7623.
999x777 =77^-23.
9999 X 7777 =777^2223.
99999 X 77777 == 7777^22223
Le Calcul rapide. 6g
Ces derniers exemples sont encore extraits du Taîkhys.
III =-— 3. 37
I I I I r=: I I . lOI
,"r
I I I I I = 41 .271
I 1 1 1 I I n= 3 .7. 1 1 . i3 . 37
1111111= 239.4649
1 1 1 1 ] 1 1 1 = 1 1 .73 . loi . 1 37
iiiiiiiii = 3-. 37. 333667
iiiiiiiiii = II. 41. 271 .9091
11111111111 = 21649. 5 I 3239
iiiiiiiiiiii =3.7.11.13.37.101 .9901
iiiiiiiiiiiii =53.79.265371653
1 1 1 1 I 1 I I I 1 1 [ 1 I = 1 1 . 239.4649.909091
iiiiiiiiiiiiiii 1=3.31.37.41.271 .2906161
iiiiiiiiiiiiiiii = 11.17.73.101.137.5882353
I 1 ! I I I I I I I 1 I I I I I I =: 2071723.5363222357
I I IIII IIIIllIIII I I -=r 3-. 7. II. l3. 19.37. 333667.52579
Problî:me XVIII. — les cartes pensées.
Vous placei -^"^ ^^ table les neuf premières cartes de même
couleur, de Vas jusqu'au neuf, d'un jeu de xphist, et vous prie:(
plusieurs personnes de penser une carte ; deviner les cartes
pensées par chacune des personnes présentes?
Prenez une feuilie de papier et un crayon, et priez la première
personne de doubler le nombre des points de la carte pensée.
Chapitre deuxième.
d'ajouter un, de multiplier par 5 et de passer la feuille de papier
à la deuxième personne.
Dites à la deuxième personne d'ajouter le nombre des points
desa carte pensée au résultat précédent, de doubler, d'ajouter un,
de multiplier par 5 et de passer la feuille de papier à la troisième
personne.
Et ainsi de suite.
Lorsqu'on vous donnera le résultat final, retranchez-en le
nombre formé par autant de cinq qu'il y a de personnes et, par
exemple, retranchez- en 555555, s'il y a six personnes; le chiffre
des plus hautes unités du reste représente le nombre des points
de la carte pensée par la première personne; le chiffre qui vient
ensuite représente le nombre des points de la carte pensée par la
deuxième personne, et ainsi de suite. Lorsque l'un des chiffres du
reste est zéro, excepté le dernier qui Test toujours, c'est que l'une
des personnes n'a pas pensé de carte.
On observera que le nombre 5 55555 est précisément le nombre
que l'on obtiendrait parle calcul, si toutes les personnes n'avaient
pensé aucune carte; que le résultat final serait 666666 si toutes
les personnes avaient pensé l'as; que le résultat final serait 777777
si toutes les personnes avaient pensé le deux.
Cette récréation n'est donc, en définitive, qu'une application
fort simple de la numération décimale.
On peut évidemment compliquer le problème, et faire multi-
plier par des nombres quelconques et ajoutef des nombres aussi
quelconques; le petit magicien qui fera exécuter le problème fera
les niêmes calculs que ceux qu'il propose, en supposant que
toutes les personnes n'aient pensé aucune carte; puis il retran-
chera le résultat final qu'il aura obtenu du résultat final qui lui
Le Calcul rapide.
sera présenté; les chiffres du reste lui indiqueront les points des
diverses cartes pensées.
Voilà d'excellents exercices de calcul mental, pour les petits
enfants. Nous donnerons comme exemple, une variante du pro-
blème précédent, que nous tirons des Problèmes de Bachet.
Problème XIX. — les nOxMbres pensés.
Deviner plusieurs nombres pensés, pourvu que chacun d'eux
soit moindre que dix?
Fais multiplier le premier nombre pensé par 2, puis ajouter 5
au produit et multiplier le tout par 5 , et à cela ajouter i o ; puis,
y ajouter le second nombre pensé et multiplier le tout par 10;
puis, y ajouter le troisième nombre pensé, et si Ton a pensé
davantage de nombres, fais encore multiplier cela par 10, puis
ajouter le quatrième nombre, et ainsi fais toujours multiplier
par 10 et ajouter un des autres nombres pensés. Alofs fais-toi
déclarer la dernière somme; si Ton n'a pensé que deux nombres,
soustrais-en 35, et du reste le chiffre des dizaines te montrera le
premier nombie pensé, et le chiffre des unités le second.
Que si Ton a pensé trois nombres, ôte de la dernière somme
350; et le chiffre des centaines du reste exprimera ie premier
nombre pensé, celui des dizaines le second et celui des unités le
troisième. Et de même façon tu procéderas toujours à deviner
davantage de nombres, comme si l'on en a pensé quatre, tu sous-
trairas 3 5 00 de la dernière somme.
1 1
7 2 Chapitre deuxième.
J^ROBLKME XX. LA BAGUE AU DOIGT.
N'ouvre ta porte, ma belle.
Que la bague au doigt.
(sérénade de méphisto.)
La méthode générale que nous avons expliquée peut être
appliquée à diverses choses particulières. Les uns s'en servent
pour deviner combien il y a de points en chaque dé, de tant de
dés qu'on en aura jetés, et la pratique en est bien aisée, car les
points d'un dé ne peuvent jamais dépasser six, et il suffit de
supposer que les points de chaque dé sont un nombre pensé et la
règle est la même.
Les uns s'en servent aussi pour deviner la boule qu'on aura
tirée du sac d'un jeu de loto, car il suffit de supposer que les
deux chiffres du numéro tiré sont deux nombres pensés.
Les autres s'en servent encore pour deviner laquelle de plusieurs
personnes aura pris une bague, en quelle main elle l'aura placée,
en quel doigt, et sur quelle phalange. On ramènera toujours la
question au problème XIX. On numérotera les personnes de un à
neuf; si elles dépassent neuf, on formera un second groupe; de
même, on numérotera les deux mains avec un et deux, les doigts
avec I, 2, 3, 4, 5 ; les phalanges avec i , 2, 3, et tout reviendra à
deviner une suite quelconque de nombres pensés qui ne dépassent
pas neuf.
<J^!34^
Le Calcul rapide. 7 3
LA FOIRE AUX PAINS D EPICES.
Il y a quelques années, pendant les vacances de Pâques, nous
avons rencontré sur la place du Trône, où se tient habituelle-
ment la Foire aux pains d'épices, à deux pas de la colonne que
surmonte la statue de Philippe-Auguste, — en bronze et non en
pierre, quoiqu'en dise la chanson, — un industriel fort original,
puisqu'il débitait en plein vent, avec l'autorisation de la Préfec-
ture et sous l'œil vigilant de la police, une petite brochure con-
tenant, disait-il, une nouvelle méthode pour la simplification
des calculs. Et pourtant, comme le disait M. Frédéric Passy, à
la séance publique annuelle, en 1884, des cinq Académies de
l'Institut, à propos des fêtes foraines : « Ce n'est pas le marchand
et l'acheteur que l'on y appelle, c'est le curieux et le désœuvré.
Le bateleur, la somnambule, le teneur de jeux de hasard et de
loteries, le montreur de phénomènes vivants ou morts, et tout le
reste des industries inutiles que traîne plus ou moins après elle
toute agglomération d'hommes, envahissent la voie publique et
y régnent en maîtres. C'est pour elles que l'on vient et pour le
personnel féminin qui les accompagne et qui les suit. »
UN CALCULATEUR EN PLEIN VENT.
Mais notre forain faisait exception à la règle commune, car
le procédé de son industrie mérite réellement d'entrer dans le
domaine de la pratique. Son installation était fort modeste : un
y_|. Chapitre deiixièDie.
escabeau, un chevalet, un tableau noir en carton cuir, une boîte
de bâtons de craie, une grande pancarte donnant le boniment,
un tiroir plein de prospectus, une sébile contenant la recette en
gros sous et deux maigres lampions. C'était le soir, au moment
de la cohue. La foule, qui Tentourait, semblait indifférente aux
bruyants refrains des orgues de Barbarie, aux grincements des
chevaux de bois et des montagnes russes, aux rugissements des
fauves dans les ménageries, aux parades des salti m banques. Elle
écoutait religieusement ; Tattention était de rigueur, car il s'agis-
sait d'Arithmétique. Chose bien compliquée pour le vulgaire,
qui considère Barème comme un grand homme et qui tient tou-
jours Henri Mondeux pour un enfant prodige. « Il calcule comme
feu Barème! » dit le père glorieux de son fils, lorsque le bambin
a remporté à Técole primaire le premier prix de Mathématiques
pures et appliquées.
Donc, pendant que la police veillait aux soustractions, notre
forain exphquait au public ébahi les mystères de la multipli-
cation rapide, tout en écoulant ses produits. C'était réellement
bien curieux de voir tous ces visages attentifs, étonnés, illuminés
par la clarté des lampes électriques d'un théâtre voisin, et qui
suivaient avec tant d'intérêt les démonstrations du professeur
improvisé. Je m'étais approché du calculateur, afin de me rendre
compte de son invention. Il écrivait sur son tableau deux lignes
de chiffres pris au hasard ou dictés par le public ; puis, rapidement,
tout en marmottant quelques paroles confuses, il traçait l'un
après l'autre tous les chiffres du produit des deux nombres indi-
qués, mais sans écrire les produits partiels.
Cette méthode abréviative est connue; on lui donne le nom de
Méthode Richard, bien qu'on la trouve développée dans le
Le Calcul rapide. 75
Livî~e de l'Abaque ( 1202) de Léonard de Pise. Nous en donnons
ici la théorie.
Nous avons revu dernièrement notre industriel de la foire; il
opérait sur la place Saint-Michel, à côté de la fontaine. Il paraît
que le commerce de TArithmétique ne Ta pas enrichi; il ii'en fait
plus qu'un jour sur deux. Dans les intervalles, il vend en petites
boîtes le poil qui sert d'édredon aux graines de Siliqiia hirsuta,
dolichos et miicuna pruriens, que nous appelons Poil à gratter,
et que les Danois avec malice appellent Pica-Pica.
^^
LA MULTIPLICATION ACCELEREE.
Soit à multiplier 46 par 38 ; le produit de 8 par 6 donne 48, ce
qui fait 8 unités, que Ton pose, et il reste 4 dizaines de retenue;
les dizaines du produit proviennent encore du produit 02 dizaines
de 4 dizaines par 8 unités et du produit 1 8 dizaines de 3 dizaines
par 6 unités; en tout 4 + 32 -f- 18 == 54 dizaines; on pose 4 et
Ton retient 5 centaines que l'on ajoute au produit 12 centaines
de 4 dizaines par 3 dizaines; le produit est donc 1748.
Le tableau des opérations successives est indiqué ainsi :
46 o
38
8 48 1748
et se prononce ainsi :
48, (je pose) 8, tiens 4; 8
et 32, 36 et 18, 54; (je pose) 4, tiens 5: 48
et 12. 17. 1748
Chapitre deuxième.
On fera de même la multiplication de deux nombres de trois
chiffres, 546 et ySS, par le procédé suivant :
546. « . . «^ -^^9^ ^ • f • •
738. • 1 • ^ -^^ï^ ^ • 1 • •
8 48 948 2948 402948
On prononce ainsi les opérations :
48, (je pose) 8, tiens 4; 8
et 32, 36 et 18, 54, (je pose) 4, tiens 5; 48
et 40, 45 et 12, 57, et 42, 99, (je pose) 9, liens 9; 948
et i5, 24 et 28, 52, (je pose) 2, tiens 5 ; 2948
et 35, 40. 402948
Pour le produit de deux nombres de quatre chiffres, voici le
tableau des opérations successives :
2546
4/38
o • • i . • /^ o «^^N-
8 48 948
2948 62948 362948 12062948
Et ainsi de suite. Lorsque les deux nombres n'ont pas la même
quantité de chiffres, on complète le plus petit par des zéros.
Le Calcul rapide.
LES TABLES DE CRELLE.
Lorsque Ton a beaucoup de multiplicatioas à faire, on se sert
de Tables de multiplication contenant les produits de tous les
nombres de deux chiffres, jusqu'à cent fois cent, ou mieux encore
de Tables contenant les produits des nombres de trois chiffres,
jusqu'à mille fois mille. Ces Tables ont été publiées par Crelle,
à Berlin; une seconde édition, les Rechentafeln ont été éditées
par Bremiker. Les premières Tables de ce genre ont été pu-
bliées par Herwart de Hohemburg, en 1610, sous le titre de :
Tabulée arithmeticœ. Elles contiennent, en mille pages in-folio,
les produits des mille premiers nombres.
Pour faire les multiplications, on opère par tranches de trois
chiffres; soit, par exemple, à multiplier 102546 par 23 141 7;
on trouve, à la page 417 des Tables de Crelle, les produits de 417
par 546 et par 102; on les écrit au-dessous l'un de l'autre, en
avançant le second de trois rangs vers la gauche. On trouve en-
suite, à la page 23 1, les produits de 546 et de 102 par 23 1 ; on
les écrit sous les deux précédents, en les reculant de trois rangs
et de six rangs; on fait ensuite le total
546x417 22768
102 X 417 42 534 . .
546 X 23i 126 126 . .
102 X 23i 23 562
102546x251417 = 23730887682
Lorsque les nombres à multiplier ont plus de six chiffres, on
considère chaque tranche de trois chiffres comme un seul chiffre,
et l'on opère comme à l'ordinaire.
78 Chapitre deuxième.
LES TABLES DE TRIPIER.
M. Tripier, avocat à Paris, a publié des Tables pour sim-
plifier la multiplication et la division. Ces Tables contiennent
tous les produits partiels pour tous les nombres jusqu'à cinq
chiffres; de telle sorte que l'on n'a pas besoin de savoir de mé-
moire la Table de Pythagore pour faire des multiplications ou
divisions; mais on peut se passer de ces Tables. Lorsque l'on a
beaucoup de multiplications ou de divisions à effectuer dans
lesquelles l'un des facteurs ou le diviseur reste le même, on opère
assez rapidement de la manière suivante. Supposons que l'on ait
beaucoup de nombres à multiplier ou à diviser par 2468; on
forme en colonne tous les produits partiels, en ajoutant successi-
vement 2463 au nombre précédent. La figure suivante contient
à gauche les produits de 2463 par 1,2, 3, . . ., 9. 10.
Division.
1 13884194 : 2463
98^2 4
Produits partiels.
Multiplication.
I
2463
46:
238 X 2463
2
4926
8
^9704
:>
7389
3
7389.
4
9852
2
4926..
5
I23i5
6
14778-. •
6
14778
4
9852
7
17241
Produ
it
I I 3884194
8
19704
g
23167
10
24630
15364
H778..
566i
4926.
9359
7389.
1 9704
19704 8
o Quotient
46238
On a soin de calculer cette colonne par additions successives,
Le Calcul rapide. 7 g
et comme vérification, on doit trouver à la dixième ligne le pre-
mier nombre suivi d'un zéro. Par ce procédé dQs produits partiels,
la multiplication se trouve donc réduite à up.e seule addition, et
la division à une suite de soustractions, et sans essais infructueux
dans le calcul des chiffres successifs du quotient.
^^
LES RÉGLETTES NEPERIENNES.
Jean Néper, baron de Markinston, en Ecosse, a indiqué, en
1617, dans sa Rhabdologie, une ingénieuse méthode de calcul
pour la multiplication et la division.
Le Tableau chiffré ci-dessous [fig. /8) représente la Table de
Pythagore coupée en dix bâtons ou planchettes.
La planchette à gauche est fixe; toutes les autres sont mobiles
et peuvent être permutées de toutes les façons. Chacun des carrés
de la Table est divisé en deux triangles par une diagonale; dans
le triangle du bas se trouve le chiffre des unités de chacun des
produits, dans celui du haut et à gauche, on trouve le chiffre des
dizaines. Supposons que l'on ait placé à côté de la barre fixe les
tablettes portant en haut les numéros 7, 5, 8, on obtient presque
immédiatement les produits de 758 par tous les nombres de 1 à 9 ;
ainsi, par exemple, devant le 6 de la barre tixe^ on trouve hori-
zontalement
et en faisant l'addition parallèlement à la diagonale des triangles,
on a
4548
8o
Chapitre deuxième.
qui est le produit de 758 par 6. De même pour les autres; donc
les réglettes de Néper permettent de trouver rapidement, sans
Fig. i8.
qu'il soit nécessaire de connaître sa Table de Pythagore, mais par
une simple addition de deux chiffres, tous les produits partiels
par un nombre de dix chiffres et plus. Ainsi la multiplication se
trouve ramenée à l'addition; la division, sans tâtonnements, à la
Le Calcul rapide. 8i
soustraction, et ces opérations sont d'autant plus facilitées qu'il
s'agit de nombres plus grands.
DIVISION PAR 19, 199, 1999, ....
Pour diviser l'unité suivie d'un nombre quelconque de zéros
par 19, c'est-à-dire pour trouver la mantisse de — , il suffit d'é-
crire après la virgule, les deux chiffres o5, puis de prendre con-
tinuellement la moitié du chiffre précédent, ou la moitié du
précédent augmenté de 10, si la division antérieure donne pour
reste i ; nous avons indiqué les restes par de petits chiffres placés
au-dessus.
— = 0,0.5.^2.6.3.* 1.^5.* 7.* 8. 9.1 4. 7.13.^6.8.4.2. I.
Ainsi, la moitié de 5 est 2, reste i ; la moitié de 12 est 6, la
moitié de 6 est 3, et ainsi de suite; on trouve ainsi immédia-
tement les dix-huit chiffres de la période ou de la mantisse.
De même, pour diviser Tunité suivie de zéros par 1 99, on écrit
d'abord 0,00. 5o. et l'on prend la moitié continuellement, en
opérant par groupes de deux chiffres; ainsi
= 0,00. 5o. 2 5.1 12. 56. 28. i4.o7.*o3.*
199
51.i75.i87.i93.i96. 98 ....
En. Lucas. — Arithmétique amusante. 6
8i Chapitre deuxième.
et en continuant, on peut écrire très rapidement les 99 chiffres de
la période; avec un peu d'habitude de calcul mental, on peut les
dicter sans travail de mémoire; ce qui paraît surprenant.
De même, pour diviser l'unité suivie de zéros par 1999. on
opère comme il suit, par groupes de trois chiffres
o, 000. 5oo. 25o. 125/ 062. 83 1.^ 2 65, . . .
1999
et l'on trouve rapidement les 999 chiffres de la période, et ainsi
de suite en ajoutant un nombre quelconque de 9 à la droite du
diviseur.
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DIVISION PAR 29. 299, 2999, ....
Pour diviser l'unité par 29, on prend le tiers de 10 qui est 3,
et Ton procède continuellement par tiers, en tenant compte du
reste qui peut être i ou 2, et que nous avons indiqué au-dessus :
-i-rr: 0,0.^.^4. H- 8. -2. ^7. -5.^ 8. 6. 2. '^0.-6. -8.1 9. 6,...;
29
la période ayant plus de 14 chiffres en a nécessairement 28, et
l'on obtient l'autre moitié par complément à 9, ainsi
— --= 0,03448275862068965 5 I 7241 37931
Le Calcul rapide. 83
De même, pour diviser l'unité par 299, on prend le tiers de 100
et l'on procède continuellement par tiers sur les groupes de deux
chiffres :
I
o, 00.^ 33.^ 44. 48. 16.^ o5,
299 '. -it -i-
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DIVERSES MANIÈRES DECRIRE LES NOMBRES 9 ET 100.
Le nombre 9 est, de diverses manières, égal au quotient de
deux nombres de cinq chitfres, en supposant tous les chiffres
distincts.
En effet, 9 est le quotient des divisions
97524 93823 95742 7 5249 58239 57429
io836' 10647' io638' o836i' 06471' o638i *
Le nombre 100 peut être écrit sous forme de nombre fraction-
naire avec les neuf chiffres significatifs, tous distincts, des diverses
manières suivantes :
U^lil, ^iihA, 91 ^^ 94 ^^
O.tB 830 647 263
98 iU^^ 96 ii^, 9Sl^||.
DJ7 3^7 438
Nous ignorons s'il existe d'autres solutions de ce genre; il
84
Chapitre deuxième.
serait assez facile de les trouver toutes; nous donnerons encore
les suivantes qui contiennent le signe -i-.
100 = 97
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4
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2
8
24 +
9
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3
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PrORLÎ:>)F. XXI. — ROCGES ET NOIRES.
On place sur une même ligne et consécutivement quatre
cartes rouges et quatre cartes noires dans l'ordre alterné,
rouge et noire, rouge et noire, etc. Il s'agit, en quatre coups,
et en profitant de deux places vides, de déplacer chaque fois
deux caries consécutives, sans changer leur ordre, et de les
replacer de manière à réunir les cartes rouges et les cartes
noires.
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Premier coup. — En plaçant le roi de pique et le roi de car-
reau sur les cases vides, on obtient la disposition
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Le Calcul rapide.
85
k Deuxième coup. — On place la dame de cœur et la dame de
pique sur les cases vides, et l'on a la disposition
^m
Troisième coup. — On place le roi et la dame de carreau sur
les cases vides, et l'on a la disposition
m
^m
Quatrième coup. — On place la dame de pique et le roi de trèfle
sur les cases vides et les cartes noires se trouvent rassemblées,
ainsi que les cartes rouges.
Inversement, on peut passer de la dernière disposition à la
première en quatre coups.
Dans une lecture à la Société Royale des Sciences d'Edim-
bourg, sur la Topologie de Listing, Téminent professeur
M. Tait s'est occupé incidemment de cet amusant problème
que Ton peut encore réaliser avec des jetons de deux couleurs et,
par exemple, avec les pions du jeu de dames. « 11 y a quelques
semaines, dit-il, j'ai vu proposer, pendant un voyage en chemin
de fer, le problème suivant : on place sur une seule rangée quatre
souverains et quatre shillings dans un ordre alterné; on
86
Chapitre deuxième.
demande de former une ligne continue des quatre souverains
suivis des quatre shillings, après quatre mouvements de deux
pièces contiguës, sans changer la position relative de ces
pièces (^). »
M. Tait a donné la solution que nous venons d'exposer en
faisant observer, en outre, que la solution peut être retenue faci-
lement. En effet, si, à l'origine, on suppose les pièces disposées en
circonférence, avec deux cases vides, il suffit de déplacer à chaque
coup les deux pièces ou les deux cartes qui précèdent les cases
vides de deux et de trois rangs.
Ce curieux problème, assez difficile, peut être généralisé et
appliqué à un nombre quelconque de cartes rouges et à un
nombre égal de cartes noires, en ajoutant cette condition que le
nombre des coups, ou des couples de cartes déplacées doit tou-
jours être égal au nombre des cartes d'une même couleur. Le
lecteur se rendra compte de la difficulté en cherchant le problème
pour dix, douze cartes ou pour un plus grand nombre, avant
d'avoir consulté et réalisé les élégantes solutions que nous allons
exposer, et qui ont été imaginées par M. Dklannoy, ancien élève
del'École Polytechnique, intendant militaire à Orléans.
(') Introdnctory address to the Edinburgh mathematical Society;
() novembre i885 (P/ulosophical Maffû;^ine, janvier 1884).
Le Calcul rapide.
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Chapitre deuxième.
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Le Calcul rapide.
METHODE GENERALE.
Nous donnerons maintenant la méthode ingénieuse de M. De-
lannoy, pour un nombre quelconque de cartes ou de pions de
deux couleurs, en égal nombre. Nous supposerons, dès le com-
mencement, les pions alignés dans l'ordre blanc, noir, blanc,
noir, etc., et précédés de deux cases vides; nous distinguerons
quatre cas A, B, C, D [fig: 19, 20, 21 et 22) qui correspondent
à quatre solutions différentes.
Fig. 19.
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A. — Six pions de même couleur.
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A. — Dix pions de même couleur.
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A. — Quatorze pions de même couleur.
Dans les deux premiers cas, A et B, le nombre des jetons de la
même couleur est pair; dans les deux derniers cas, C et D, le
nombre des jetons de la même couleur est impair.
94 Chapitre deuxième.
Premier et deuxième cas. — Le nombre des jetons de même
couleur est un nombre pair. — La solution comprend deux
phases distinctes d'un nombre égal de coups; dans la première
phase, on transporte des couples de jetons de deux couleurs, et
dans la seconde phase, on déplace des couples de jetons de même
couleur.
On commence par jouer un premier coup en plaçant sur les
Fig. 20.
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15. — Quatre pions de même couleur.
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b. — Huit pions de même couleur.
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B. — Douze pions de même couleur.
deux cases vides du commencement l'avant-dernier pion et celui
qui le précède, et l'on sépare par un trait là' première moitié des
pions. La position occupée après ce premier coup est figurée sur
la première ligne pour les cas A et B. Puis, dans la première
phase, on déplace successivement dans l'ordre numérique les
couples alternés désignés par les chiffres supérieurs i, 2, 3, ....
Le Calcul rapide.
95
Quand cette première phase est terminée, on obtient la seconde
ligne, et le cliitîre qui la précède indique le nombre des coups
qui ont été joués; on déplace ensuite les couples de même cou-
leur de cette ligne qui sont désignés par les chiffres inférieurs, et
le problème est résolu. Le procédé s'applique en augmentant de
quatre le nombre des jetons de la même couleur, en faisant bien
attention au numérotage des couples.
Troisième et quatrième cas. — Le nombre des jetons de
même couleur est un nombre impair. — On commence par'
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c. — Quinze pions de même couleur.
jouer le premier coup, comme dans les deux cas précédents; la
solution comprend ensuite deux phases d'un nombre égal de
coups; on sépare par un trait la première moitié des pions et Fon
qf) Chapitre deuxième.
transporte le couple alterné situé de part et d'autre de la ligne
médiane. Nous avons figuré, pour les cas C et D, la position des
jetons après ce deuxième coup, par la ligne supérieure 2. Puis,
dans la première phase, on déplace successivement dans l'ordre
numérique les couples alternés désignés par les chiffres supé-
rieurs 1,2,3, —
Quand cette première phase est terminée, on obtient la seconde
Fig. 22.
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D. — Treize pions de même couleur.
ligne de la figure, et le chiffre qui la précède indique encore le
nombre des coups qui ont été joués. Dans la seconde phase, on
transporte les couples de même couleur de cette seconde ligne, et
qui sont désignés par les chiffres inférieurs.
Le procédé est général et s'applique dans chaque cas, en
au:,mientant de 4,8,12, 16, ... pions; mais il est important, pour
Le Calcul- rapide.
97
ne pas se tromper, de bien faire attention au numérotage des
couples delà première ligne.
Rkmarqur. — En procédant dans l'ordre inverse, on remplace
l'ordre rinal par Tordre alterné initial. ^
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liOUGES ET NOIRES,
AVEC INTERVERSION.
Problème aXV.
On place sur une même ligne et consécutivement quatre
cartes rouges et quatre cartes noires dans l'ordre alterné,
rouge et noire, rouge et noire, etc. Il s'agit, en cinq coups, et
en profitant de deux cases vides, de déplacer chaque fois deux
cartes consécutives, d'intervertir leur ordre et de les replacer
sur les cases vides de manière à réunir les cartes rouges et les
cartes noires.
On a. dès le début.
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Ed. LucA^
Arithmétique amusante.
98
Chapitre deuxième.
Premier coup. — On place, en les intervertissant, le roi de pique
et le roi de carreau sur les cases vides et l'on a
M
Deuxième coup. — On place, en les intervertissant, la dame de
trèfle et la dame de carreau sur les cases vides, et l'on a
Troisième coup. — On place, en les intervertissant, le roi de
pique et la dame de cœur sur les cases vides et l'on a
M
Quatrième coup. — On place, en les intervertissant, le roi de
cœur et la dame de carreau sur les cases vides et l'on a
Cinquième coup. — On rapproche les deux dernières cartes des
précédentes en intervertissant leur ordre.
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Le Calcul rapide.
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Troisième coup. — On place, en les intervertissant, le dix de pique et le huit de cœur sur les cases vides
et l'on a
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Quatrième coup. — On place, en les intervertissant, le huit de pique et le neuf de carreau sur les cases
vides et Ton a
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Cinquième coup. — On place, en les intervertissant, le dix de carreau et le neuf de carreau sur les cases
vides et l'on a
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METHODE GENERAL!-;.
Quand on renverse à chaque coup Tordre des deux pions
déplacés, il y a encore lieu de distinguer quatre cas, que nous
appellerons A', B'^ C, D', et qui sont représentés dansle Tableau
ci-après (fig. 23).
Pour C et D', le premier coup se joue comme celui de A et B.
Pour A' et B', les deux premiers coups sont les mêmes que
pour G et D.
On obtient la deuxième ligne en déplaçant les couples dans
l'ordre indiqué par les chiffres placés au-dessus de la première.
Cette phase terminée, il ne reste plus qu'à déplacer les couples
de même couleur de la deuxième ligne.
Les pions se trouvent ainsi séparés après un nombre de coups
égal au nombre des jetons d'une couleur. Mais les deux cases
vides sont alors celles qui précèdent les deux dernières. Si Ton
veut que la ligne des pions soit continue, il faut déplacer les
deux derniers pions_, ce qui exige un coup de plus.
Fig. 23.
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CHAPITRE TROISIEME.
LES PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES.
Problème XXIX.
Calculer, sans faire d'addition, le nombre des points conte-
nus dans les cartes d'une même couleur d'un jeu de whist, de
las jusqu'au dix, saits compter le roi, la damé et le valet ?
En d'autres termes, il s'agit de calculer, sans faire l'addition,
la somme des dix premiers nombres, puisque l'on compte l'as
pour un.
Plaçons les dix cartes de cœur dans l'ordre croissant de un
à dix, et plaçons au-dessous les dix cartes de trèfle, dans l'ordre
décroissant de dix à un.
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Chapitre troisième.
Si nous ajoutons les points contenus dans une carte de la pre-
mière ligne, en cœur, avec ceux qui sont contenus dans la carte
en trèfle placée au-dessous, nous trouvons toujours on^e; mais, de
celte façon, puisqu'il y a dix colonnes, le nombre total des points
contenus dans les deux lignes est dix fois onze; par conséquent,
puisque chaque ligne contient évidemment le même nombre de
points, la somme de tous les points d'une ligne est la moitié de
dix fois onze, ou cinq fois onze, c'est-à-dire cinquante-cinq.
Le procédé de démonstration que nous venons d'indiquer per-
met de trouver aussi facilement, sans faire d'addition, la somme
de tous les nombres entiers jusqu'à un nombre donné. Par
exemple, la somme de tous les nombres renfermés dans les
90 boules du jeu de loto est la moitié du produit de la multi-
plication de 90 par le nombre suivant 9 1 , ou 4095 .
Problème XXX. — la course des œ:ufs.
Il j^ a un panier et cent pommes rangées en ligne droite, et
éloignées partout (Tun mètre lune de Vautre. On demande quel
serait le chemin parcouru par celui qui entreprendrait de cueil-
lir ces pommes les unes après les autres et de les rapporter dans
le panier qui resterait toujours à la place de la première
pomme ?
A cause de l'aller et du retour, le nombre de mètres à parcourir
est le double de la somme des cent premiers nombres, c'est-à-dire
Les progressions arithmétiques.
cent fois loi ou loioo mètres; ou un peu plus de lo kilomètres.
Pendant la belle saison, sur les plages de la Manche et de
l'Océan, on remplace les pommes par des œufs qu'il ne faut pas
casser: c'est la Course des œufs.
Problème XXXI. — les quatre cents coups.
Combien une horloge sonne-t-elle de coups en un jour?
Le nombre des coups sonnés aux heures est en douze heures la
moitié de douze fois treize; c'est ainsi que Ton trouve six fois
treize dans dou^e, ou 78; donc, dans un jour, il faut doubler, ce
qui fait i56 coups.
Si l'horloge sonne les quarts, il faut ajouter un au premier
quart, deux à la demie, trois aux trois quarts, et quatre à chaque
heure; en tout dix coups par heure; il faut donc ajouter 240 au
nombre précédent, ce qui fait 896 coups. On prouve ainsi qu'une
horloge ne fait pas tout à fait par jour les quatre cents coups, à
moins qu'elle ne soit détraquée.
^»
Problème XXXII.
Deviner combien il y a de points dans une carte tirée secrè-
tement d'un jeu, en regardant une fois seulement chacune des
autres caries?
Chapitre troisième.
Supposons que l'on prenne un jeu de trente-deux cartes formé
des quatre couleurs, depuis l'as jusqu'au huit; la somme des
points de toutes les cartes est le quadruple de quatre fois neuf,
c'est-à-dire seize fois neuf. On donne à tirer secrètement une
carte à une personne; on ajoute alors successivement les points
de toutes les cartes qui restent, en retranchant neuf, toutes les
fois qu'on arrive à un total égal à neuf ou plus grand que neuf.
Finalement, on ôte la dernière somme ou le dernier reste du
nombre neuf; ce qui restera sera le nombre des points de la carte
tirée.
On profitera de cet amusement pour montrer aux enfants que
le reste de la division d'un nombre par neuf est le même que le
reste de la division par neuf de la somme de ses chiffres. Le pro-
blème précédent revient d'ailleurs à la preuve par neuf de l'addi-
tion et de la soustraction.
Si Ton se sert d'un jeu de piquet à trente-deux cartes ('), et si
l'on compte l'as pour un et les figures pour lo, on peut recom-
mencer le même divertissement, mais_,au lieu d'ôter continuelle-
ment neuf, il faut ôter dix autant de fois que l'on peut, en ne
conservant que le chiffre des unités. Finalement, on retran-
chera la dernière somme ou le dernier reste du nombre dix; ce
qui restera sera le nombre des points de la carte tirée. Si la der-
nière somme est dix, le nombre des points de la carte sera dix
aussi. ,,'
Si le jeu se compose des cinquante-deux cartes du vv^hist, et si
l'on compte l'as pour un, le valet pour onze, la dame pour douze
(') SousLouisXIII on jouait au piquet avec trente-six cartes; et il en était
encore de même sous Louis XIV, comme le prouve une scène des Fâcheux,
de Molière.
Les progressions arithmétiques.
iî3
et le roi pour treize, la somme de tous les points vaut vingt-huit
fois treize; par conséquent, on ôtera continuellement treize de la
somme des points de toutes les cartes restantes, et Ton retran-
chera la dernière somme ou le dernier reste de treize.
'^r^
Problème XXXIII,
LE VOL DES GRUES.
Les grues voyagent disposées régulièrement en triangles;
comment déterminer le nombre de ces oiseaux lorsque l'on con-
naît le nombre des files?
Fig. 24.
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Pour fixer les idées, supposons qu'il y ait six files de grues
représentées par des pions noirs [fig. 24) ; cela revient encore à
trouver la somme des six premiers nombres. Représentons par
des pions blancs mis à la droite les nombres dans l'ordre inverse.
FZd. Lucas. — Arithmétique amusaute. H
1 14 Chapitre troisième.
On voit tout de suite que chaque ligne horizontale contient six
unités plus une, et puisqu'il y a six lignes, le nombre des unités
du tableau est six fois sept; donc le nombre cherché est trois fois
sept ou 21. Donc, ainsi que nous l'avons déjà démontré avec les
cartes, pour obtenir la somme de tous les nombres, à partir de
Tunité jusqu'à un nombre donné, il suffit de prendre la moitié du
produit de la multiplication de ce nombre par le suivant.
Ce mode de raisonnement a son analogue dans les éléments de
Géométrie, lorsqu'on démontre que l'aire ou la superficie d'un
triangle est la moitié de celle du parallélogramme de même base
et de même hauteur. Et d'ailleurs, si l'on y réfléchit attentive-
ment_, le théorème arithmétique et le théorème géométrique n'en
font qu'un. C'est qu'en effet les vérités de l'ordre mathématique
sont beaucoup moins nombreuses qu'on le croit généralement;
et souvent deux vérités qui paraissent disiinctes dès l'abord sont
les mêmes, et ne diffèrent, pour ainsi dire, que par le vêtement
qui les couvre.
On appelle nombres triangulaires les nombres que nous
venons d'apprendre à calculer, et qui représentent toutes collec-
tions d'objets disposés régulièrement en triangles; c'est, par
exemple, le nombre des projectiles contenus dans la tranche hori-
zontale d'une pile triangulaire de boulets ou dans la tranche ver-
ticale d'une pile prismatique d'obus. La théorie de ces nombres a
pris naissance, sur les bords du Nil, à une époque reculée ; elle a
été développée par Diophante, le père de l'Arithmétique, à l'é-
cole d'Alexandrie. Comme nous venons de le faire remarquer, il
est probable que la connaissance de ces nombres provient de l'ob-
servation du vol des oiseaux, et notamment du passage des
grues et des cigognes, des flamants et des ibis, qui volent épar-
Les progressions arithmétiques. 1 1 5
pillés en triangles. Quoi qu'il en soit de l'origine de ce calcul, je
me suis laissé dire que c'est à l'observation des mœurs de ces
oiseaux au long bec que les prêtres égyptiens doivent la connais-
sance de ce précieux et ridicule instrument médicinal, de forme
cylindrique, dont on trouve la description et le mode de fonction-
nement dans les comédies de Molière.
On appelle progression arithmétique une suite de nombres
tels que chacun d'eux est égal au précédent augmenté d'un nombre
constant que l'on appelle la raison de la progression; ainsi les
nombres impairs i, 3, 5, 7, 9, ..., forment, à partir de l'un quel-
conque d'entre eux, une progression arithmétique de raison 2.
On démontre comme précédemment que la somme des termes
d'une progression est la moitié du produit de la multiplication
du nombre des termes par la somme des termes extrêmes. De
même, on démontre en Géométrie que l'aire du trapèze est la
moitié de celle du parallélogramme de même hauteur et dont la
base est égale à la somme des deux bases du trapèze.
Si l'on observe encore que la différence de deux termes quel-
conques de la progression est égale au produit de la raison par la
différence des nombres qui expriment les rangs qu'ils occupent,
on saura tout le fondement de la théorie des progressions arith-
métiques.
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Chapitre tioi-n'ême.
Problème XXXIV.
LE CARRE DE CHOUX.
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Fig. 2.5.
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La figure ci-dessus {fig. 25) représente un carré de choux.
Pour avoir le nombre des choux renfermés dans le carré, il suffit
de multiplier par lui-même le nombre de choux placés sur l'un
des côtés. On voit que la différence de choux dans un carré et le
suivant est représentée successivement par les trois trèfles, les
cinq cœurs, les sept piques et les neuf carreau^i, c'est-à-dire par
les nombres impairs
^ ^, ^' 7. 9,
et l'on se convainc facilement que, d'une enceinte à la suivante, le
nombre des choux augmente de deux unités. Par conséquent, on
Les progressions arithmétiques.
ity
obtient immédiatement celte proposition : La sonmie des pre-
miers nombres impairs, à partir de i , est le carré de leur nombre ,
et ainsi, par exemple, la somme des cent premiers nombres im-
pairs de I à I 99 est cent fois cent ou i o ooo.
Problème XXXV. — le bal des crapauds et des grenouilles.
Des crapauds noirs et tristes suivent mélancoliquement, à la
queue leuleu, bien qu'ils n'aient pas de queue, mais l'un der-
rière Vautre, le fond d'un ravin; en sens opposé, viennent, en
nombre égal, des grenouilles vertes et roses qui arrivent en sau-
tillant l'une derrière l'autre et s'arrêtent devant les crapauds,
non pas ne^ à ne:(, mais en laissant une petite place vide. Il s'a-
git de faire passer les crapauds à la place des grenouilles, en
profitant de la place vide, sans que les crapauds ou les gre-
nouilles puissent reculer. Les crapauds (ou les grenouilles] ne
peuvent faire, à chaque déplacement, qu'un seul pas en avant,
ou sauter au-dessus d'une seule grenouille (ou d'un seul cra-
paud)?
en avant deux.
Nous supposerons d'abord qu'il n'y ait que deux grenouilles et
deux crapauds; on a donc, en représentant les crapauds par des
rois noirs et les grenouilles par des dames rouges, la disposition
initiale figurée ci-dessous.
ii8
Chapitre troisième.
Nous figurerons ainsi les quatre premiers déplacements, ceux
des crapauds se font dans le sens ^-, de gauche à droite, et ceux
des grenouilles se font dans le sens ^-«s, de droite à gauche.
CRAPAUDS.
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Les quatre déplacements suivants sont les symétriques des
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Les progressions arithmétiques.
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Les progressions arithmétiques.
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Après tous ces ébats, après toutes ces marches et contre-
marches qu'il serait peut-être intéressant de voir reproduire par
les danseuses du corps de ballet, ou par les écuyères de l'Hippo-
drome, tout notre joli petit monde aurait pu se livrer à un qua-
drille échevelé; mais, pour le crapaud comme pour la grenouille,
il était tard.
La cérémonie faite,
Chacun s'en fut coucher,
Les uns avec leurs femmes,
Et les autres tout seuls,
comme dans la chanson de Malborough.
METHODE GENERALE.
Si l'on nomme changement le passage du saut au pas ou réci-
proquement, et le passage du mouvement d'une grenouille à
celui d'un crapaud, ou bien d'un pion blanc à celui d'un pion
1 24 ' Chapitre troisième.
noir ou réciproquement, il faut, pour arriver à la solution, chan-
ger le moins possible. Cette règle est due à M. Schoute. La solu-
tion générale a été donnée par M. Van den Berg, ex-profcsseur
à l'Ecole Polytechnique de Delft :
Si l'on représente le saut par le signe n, et le pas par le signe
— , la solution, pour w pions noirs et n pions blancs, est repré-
sentée de la manière suivante :
les blancs jouent i coup —
les noirs » 2 » O —
les blancs « 3 » C\ n —
les noirs » 4 « O O O —
les blancs »(« — i » O C\ n n —
les noirs y) n » n (^ r\ OO — •
les blancs » n » d n n n d n
les noirs un » — nO non
les blancs y>[n — i)» — n r\ O n
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les noirs » 2 « — r>
les blancs » i » —
Le nombre des coups est
2^1 + 2-1-34- ... -f- ( « — Ti^ -h 3 ;Z ~ 72 ( « -f- 2 )
Les progressions arithmétiques
LES VILAINS MARIS JALOUX ['].
Problème XXX VL — la traversée des trois ménages.
Trois maris jaloux se trouvent le soir avec leurs femmes au
passage d'une riuière, et rencontrent un bateau sans batelier;
ce bateau est si petit, qu'il ne peut porter plus de deux per-
sonnes à la fuis. On demande comment ces six personnes pas-
seront, de telle sorte qu^ aucune femme ne demeure en la com-
pagnie d'un ou de deux hommes, si son mari n'est présent, soit
sur l'une des deux rives, soit sur le bateau.
Nous représenterons les maris jaloux par les rois de pique, de
carreau et de trèfle, et leurs femmes par les reines de la couleur
correspondante; on a donc, au début de la traversée :
Première Rive.
Deuxième Rive.
On opérera de la manière suivante, en observant qu'après
chaque voyage le bateau est amarré à la seconde rive.
'} Voir Note II, à la fin du volum<
126
Chapitre troisième.
Premier voyage. — Deux reines passent d'abord.
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Deuxième voyage. — Une dame revient et emmène la troi-
sième.
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Troisième voyage. — Une dame revient, reste avec son
roi, seigneur et maître, et les deux autres rois traversent la ri-
vière.
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Les progressions arithmétiques.
Quatrième voyage. — Un roi revient avec sa dame qu'il laisse
et emmène l'autre roi.
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Cinquième voyage. — La dame qui a passé la rivière revient
chercher l'une des deux autres.
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Sixième voyage. — L'une des deux dames passées revient
chercher la dernière.
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Dans ce sixième voyage, la dernière dame peut être ramenée
sur l'autre rive par son mari.
Chapitre troisième.
Discussion. — « Il semble que cette question ne soit fondée
en aucune raison ; mais toutefois la condition apposée qu'il ne
faut point qu'aucune femme demeure accompagnée d'aucun des
hommes si son mari n'est présent, nous peut guider pour trouver
la solution d'icelle par un discours infaillible. Car il est certain
que, pour passer deux à deux, il faut ou que deux hommes passent
ensemble, ou deux femmes, ou un homme avec sa femme. Or,
au premier passage, on ne peut faire passer deux hommes, car
alors un homme seul demeurerait avec les trois femmes, contre la
condition; donc il est nécessaire que deux femmes passent, ou
qu'il passe un homme, avec sa femme; mais ces deux façons re-
viennent à une, d'autant que si deux femmes passent, il faut
que l'une ramène le bateau; parlant une seule se trouve en
l'autre rive; et, si un homme passe avec sa femme, le même advien-
dra, d'autant que l'homme doit ramener le bateau, car si la femme
le ramenait, elle se trouverait avec les deux autres hommes sans
son mari.
)) Au second passage, deux hommes ne peuvent passer, car l'un
d'eux laisserait sa femme accompagnée d'un autre liomme; un
homme aussi avec sa femme ne peut passer, car, étant passé, il se
trouverait seul avec deux femmes; il est donc nécessaire que les
deux femmes passent; ainsi les trois femmes étant passées, il faut
que l'une d'icelles ramène le bateau. Quoi fait, au troisième pas-
sage, où restent à passer les trois hommes et une femme, on voit
bien que deux femmes ne peuvent passer, puisqu'il n'y en a
qu'une; un homme aussi avec sa femme ne peut passer, car, étant
passé, il se trouverait seul avec les trois femmes; donc il faut que
deux hommes passent et aillent vers leurs deux femmes, laissant
l'autre avec la sienne. Or, qui ramènera le bateau ?
Les progressions arithmétiques. i2q
» Un homme ne peut le faire, car il laisserait sa femme accom-
pagnée d'un autre homme; une femme (ou deux femmes) ne
peut aussi, car elle irait vers un autre homme en laissant son
mari; que si les deux hommes le ramenaient, ce serait ne rien
faire, car ils retourneraient là d'où ils sont venus. Partant, ne
restant aucun autre moyen, il faut qu'un homme avec sa femme
ramène le bateau.
» Au quatrième passage, où restent à passer deux hommes
avec leurs deux femmes, il est certain qu'un homme avec sa
femme ne doit passer, car ce serait ne rien faire; les deux femmes
aussi ne peuvent passer, car alors les trois femmes seraient avec
un seul homme; donc il faut que les deux hommes passent. Alors
pour ramener le bateau, deux homm.es ne peuvent être employés,
car ce serait retourner là d'où ils sont venus; un homme seul
aussi ne peut passer, car cela fait, il se trouverait seul avec deux
femmes; donc il faut que ce soit la femme qui, en deux fois, aille
quérir les deux autres femmes qui restent à passer, et voilà le cin-
quième et le sixième passage. Partant, en six fois, ils sont tous
passés sans enfreindre la condition. »
La discussion précédente est tirée du Recueil de Problèmes
plaisants et délectables qui se font par les nombres, de Bachet,
publiés pour la première fois à Lyon, en i6i3. La cinquième
édition, revue, simplifiée et augmentée par A. Labosne, profes-
seur de Mathématiques, a été publiée à Paris, chez Gauthier-
Villars, en 1884.
Gaspar Bachet, sieur de Méziriac, né à Bourg-en-Bresse,
en i58i,et mort en i638, était un géomètre et un littérateur
distingué. Il fut, à la suite d'un voyage en Italie avec le gram-
Ed. Lucas. — Arithmétique amusante. o
3o Chapitre troisième.
mairien Vaugelas, proposé comme précepteur de Louis XI II;
mais, comme il n'était pas ambitieux, il quitta précipitamment
la capitale, tout effrayé, et disant qu'il n'avait jamais été si en
peine, s'imaginant déjà porter sur ses épaules le lourd fardeau
du royaume.
De retour dans sa ville natale, il se maria, et son choix fut heu-
reux à ce qu'il paraît, car il avoue lui-même que c'était la meil-
leure chose qu'il eût jamais faite. Cest au milieu du calme de
cette vie intérieure qu'il ht d'importantes découvertes en Mathé-
matiques, qu'il publia deux éditions successives de son Recueil
de problèmes et son commentaire sur Y Arithmétique de Dio-
PHANTR (Paris, 1621).
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PrOBLKMK XXXVII. — LA TRAVKRSKK DKS QUATRE MKNAGKS.
Quatre maris jaloux se trouvent avec leurs femmes au pas-
sage d'une rivière, et rencontrent un bateau sans batelier;
ce bateau est si petit qu'il ne peut porter plus de trois per-
sonnes à la fois. On demande comment ces huit personnes tra-
verseront la rivière, de telle sorte qu'aucune femme ne de-
meure en la compagnie d'un ou de plusieurs hommes, si son
mari nest présent, soit sur Vune des deux rives, soit sur le
bateau.
Nous désignerons les maris jaloux par les quatre rois, et leurs
Les progressions arithmétiques.
femmes par les reines de la couleur correspondante; on a donc,
au début de la traversée :
Première Rive.
Seconde Rive.
On opérera de la manière suivante, en observant qu'après
chaque voyage, le bateau est amarré à la seconde rive.
Premier voyage. — Trois dames passent d'abord,
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Deuxième voyage. — Une dame (ou deux) revient et em-
mène la quatrième.
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Chapitre troisième.
Troisième voyage. — Une dame revient, reste avec son mari,
et les trois autres rois traversent la rivière.
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Qiiatrième voyage. — Un roi revient avec sa femme et em-
mène l'autre roi.
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Cinquième voyage. — Enfin, le dernier des rois (ou une dame
ou deux dames] revient chercher la dernière dame.
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Les progressions arithmétiques. i33
Tartaglia, illustre mathématicien italien, naquit à Brescia
vers i5io, et mourut en iSSy. Dans son Traité d'Arithmétique,
il s'est proposé de résoudre le problème des quatre ménages avec
un bateau ne pouvant contenir plus de deux personnes; mais il
s'est trompé. Bachet, qui le fait remarquer, a reconnu que la
chose est impossible, mais sans donner de démonstration.
Voici comment on peut démontrer l'impossibilité de la traver-
sée de quatre ménages, lorsqu'on ne peut faire passer plus de deux
personnes à la fois. On observera d'abord que d'un passage au
suivant le nombre des personnes passées, s'il augmente, ne peut
augmenter que d'une unité. Par conséquent, supposons qu'on
ait fait passer deux, puis trois, puis quatre personnes avec les
conditions imposées, et voyons si l'on pourra faire passer cinq
personnes. Ces cinq personnes peuvent être passées de l'une des
quatre façons suivantes :
4 femmes. 3 femmes. 2 femmes. i femme.
I homme. 2 hommes. 3 hommes. 4 hommes.
Mais les deux premiers cas sont impossibles, d'après l'énoncé,
puisque sur la seconde rive les femmes seraient en majorité, et,
par suite, il y aurait quelque femme qui se trouverait avec un
homme sans son mari; de même, le troisième cas est impossible,
puisque sur la première rive les femmes seraient encore en ma-
jorité sur les hommes présents.
I '^4 Chapitre troisième.
Quant au dernier cas, s'il peut avoir lieu, c'est que le dernier
passage a amené deux hommes, ou un homme et une femme.
Or, il n'a pu amener deux hommes, car alors il y aurait eu sur
la première rive deux hommes et trois femmes, ce qui est impos-
sible comme dans le second cas; il n'a pu amener non plus un
homme et une femme, car il y aurait eu sur la première rive un
homme et quatre femmes, ce qui est impossible comme dans le
premier cas.
Donc, on ne peut faire passer cinq personnes par suite des
exigences de l'énoncé du problème.
Nous avons résolu précédemment le problème de la traversée
des quatre maris jaloux avec leurs femmes, en supposant que le
bateau puisse contenir trois personnes; on peut encore le ré-
soudre d'une autre manière, ainsi que nous allons le montrer. Il
suffit de supposer que, dans la traversée du fleuve, on peut s'ar-
rêter dans une île; dans ce cas, en conservant toutes les autres
conditions du premier problème, on peut effectuer la traversée,
avec un bateau contenant deux personnes au plus, d'un nombre
quelconque de ménages. Mais nous ne donnerons la solution que
pour quatre ménages, en laissant au lecteur le soin de le faire
pour cinq, six ménages et plus.
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Les progressions arithmétiques.
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Les progressions arithmétiques.
141
Problème XXXIX.
LA TRAVERSEE DES CINQ MENAGES.
Cinq maris jaloux se trouvent avec leurs femmes au passage
d'aune rivière, et rencontrent un bateau sans batelier; ce bateau
est si petit qiiil ne peut porter plus de trois personnes à la fois.
On demande comment ces dix personnes traverseront la rivière,
de telle sorte qu'' aucune femme ne demeure en la compagnie d'un
ou de plusieurs hommes, si son mari n'' est présent soit sur lune
des rives, soit sur le bateau.
Nous désignerons les maris jaloux par les quatre rois et par le
valet de trèfle, et leurs femmes par les dames de la couleur corres-
pondante et par l'as de trèfle ; on a donc, au début de la traversée :
Première Rive.
Seconde Rive.
On opérera de la manière suivante, en observant qu'après
chaque voyage, le bateau est amarré à la seconde rive.
Premier voyage. — Trois dames passent d'abord.
142
Chapitre troisième.
Deuxième voyage. — Une dame (ou deux) revient et em-
mène la quatrième.
Troisième voyage.
gnent leurs femmes.
Une dame revient- et trois maris rejoi-
^1 1'
Quatrième voyage. — Un couple revient et trois maris
passent.
Les pros^ressions arithmétiques.
143
Cinquième et sixième voyage. — Une femme revient chercher
successivement les trois dernières femmes.
L
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ENONCK GENERAL DU PR0BL1':ME DES TRAVERSEES.
Le problème général des traversées de n ménages peut s'énon-
cer de la manière suivante :
Des maris en nombre quelconque n se trouvent avec leurs
femmes au passage d'une rivière; quel doit être le plus petit
nombre x de personnes qu'un bateau peut au plus contenir pour
effectuer la traversée sans batelier, avec la condition qu'aucune
femme ne demeure dans le bateau ou sur l'une des rives en com-
pagnie d'un ou de plusieurs hommes, si son mari n'est présent.
Mon ami Delannoy a résolu ce problème d'une manière très
simple :
Il y a deux cas à considérer, suivant que le bateau peut con-
tenir quatre personnes, ou moins de quatre. Dans le premier
cas, on fait passer deux ménages à la fois, et l'un d'eux revient
44
Chapitre troisième.
chercher un autre couple. En répétant cette manœuvre, les 72
couples passeront la rivière en 72 — i voyages.
Dans le second cas, on ne peut faire passer plus de cinq mé-
nages, et les traversées s'exécutent comme nous l'avons indiqué
dans les problèmes XXXVI à XXXIX.
En désignant par 72 le nombre de ménages, par x le nombre
de personnes que le bateau peut au plus contenir, et par N le
nombre des voyages, on a le Tableau suivant :
72 = 2
X =z2
N = 3
72=r3
X = 2
N = 6
72 = 4
x^-i
N=:5
72 = 5
X ~3
N = 6
72> 5
x = 4
N rr: 72 — I
Problème XL. — le testament du nabab.
Problème d'Arithmétique indienne.
Un nabab laisse à ses enfants un certain nombre de diamants
d'égale valeur, dans les conditions suivantes : Le premier prend
un diamant et le -f de ce qui reste ; le second pren'd deux diamants
et le i de ce qui reste; le troisième prend trois diamants et le \ de
ce qui reste, et ainsi de suite. Après le partage de tous les dia-
mants, toutes les parts se trouvent égales. On demande le nombre
des diamants et celui des enfants.
Les progressions arithmétiques.
145
Nous représenterons les diamants par des pions noirs ou blancs,
afin de distinguer ceux sur lesquels nous porterons plus parti-
culièrement notre attention. Considérons d'abord un carré de
36 diamants [Jig. 26), et portons au-dessous des pions blancs la
colonne de pions noirs; nous formons ainsi la fig. 27.
En retirant d'abord le pion noir à droite, les pions noirs
Fi g. 26.
OOOOOi
00000(
00000(
00000^
OOOOOi
ooooot
Fig. 27.
00000
00000
00000
00000
00000
00000
forment le septième de ce qui reste, puisque la figure se compose
de sept rangées égales, et ainsi la part du premier enfant se com-
pose de six diamants.
Considérons maintenant le reste, en désignant par des pions
noirs les diamants contenus dans la colonne à droite; nous for-
mons \3ifig. 28; plaçons maintenant cette colonne de pions noirs
Fig. 28.
OOOOi
OOOOi
OOOOi
0000(
OOOOi
0000<
au-dessous des pions blancs, nous formons la/îg-, 29. La dernière
ligne se compose de deux diamants et encore du y du reste; telle
E. Lucas. — Arithmétique amusante, 10
Fig. 29.
0000
0000
0000
0000
0000
0000
'4^ Chapitre troisième.
est la part du second enfant, égale à six diamants, comme celle
du premier enfant.
En continuant le même raisonnement, par une semblable ma-
nœuvre on forme ÏQsJig. 3o et 3i, où l'on voit que la part des
Fig. 3o. Fig. 3i.
99.91 ooo
ooo» ooo
ooof ooo -
ooo* ••••••
diamants du troisième enfant est représentée par trois diamants
et le septième du reste.
Et ainsi de suite. Le nombre des diamants est donc égal à 36, et
les enfants sont au nombre de six, prenant chacun six diamants.
Il est facile de voir qu'il en est ainsi, lorsque Ton remplace la
fraction un septième par une autre quelconque, un 721^''"^; alors le
nombre des enfants est égal à (;z— r), etle nombre des diamants,
au carré de (;z — i).
Remarque. — On donne habituellement la solution du pro-
blème précédent au moyen de formules algébriques; on en trouve
une de cette nature dans V Algèbre d'EuLER; mais il nous paraît
fort probable que la solution que nous venons de donner est
l'origine même de ce problème. Dès le v" siècle de notre ère, les
géomètres indiens représentaient les nombres par des briquettes,
en forme de parallélépipèdes rectangles à base carrée, et dont la
hauteur était égale à 2, 3, 4, 5, 6, ... fois le côté commun de
toutes les bases. C'est ainsi que la lecture du Traité d'Arithmé-
Les progressions arithmétiques. i^j
tique d'ARYABHATTA nous a permis de reconstitu^K la Table de
multiplication dont il se servait dans son cours (à Pataliputra
la cité des /leurs, capitale historique des monarques de l'Inde),
pour la démonstration des propriétés fondamentales delà théorie
des nombres. Le lecteur trouvera un exemplaire de cette Table
dans la collection des machines à calcul du Conservatoire natio-
nal des Arts et Métiers, à Paris. En remplaçant les colonnes de
pions par des réglettes de cette Table, la solution de ce curieux
problème devient intuitive.
m&^'^âsi'^m'^^^m'^&i^â^^m'^âsi'^&i
CHAPITRE QUATRIEME
LES PROGRESSIONS GÉOMÉTRIQUES.
La numération est basée sur la théorie dQS progressions géo-
métriques. On appelle ainsi une suite de nombres tels que cha-
cun d'eux est égal au précédent multiplié par un nombre fixe que
Ton appelle raf^OM de la progression. Ainsi les nombres
I, 10, 100, 1000, lOOOO,
forment une progression de raison dix, ou la progression déci
maie; de même, les nombres
I, 2, 4, 8, i6, 32, 64, ...
forment une progression de raison deux, ou la progression bi-
naire.
Nous avons écrit ci-dessous les seize premiers termes de la pro-
gression binaire, la première colonne représente l'exposant et la
seconde colonne représente la puissance correspondante de 2.
Pour multiplier deux nombres de la Table, c'est-à-dire deux puis-
sances quelconques de 2, il suffit d'ajouter les exposants; ainsi
• 128 X 256 = 32768,
i5o
Chapitre quatrième.
OU, avec la notation des exposants,
2"^ X 2^ = 2^'\
Ainsi, pour multiplier deux puissances d'un même nombre, il
suffit d'ajouter les exposants.
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2"
n
2"
o
I
8
256
I
2
9
5l2
2
4
10
1024
3
8 1
1 1
2048
4
i6
12
4096
5
32
i3
8192
6
64 j
H
16384
7
128 !
1
i5
32768
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LES GRAINS DE BLE DE SESSA.
Si l'on multiplie les différents termes d'une progression géo-
métrique parla raison, on reproduit cette progression avancée
d'un rang vers la gauche; par soustraction, on en déduit que la
somme des termes d'une progression géométrique est égale à
l'excès, sur le premier terme, du terme qui suivrait le dernier,
divisé par l'excès de la raison sur l'unité. Ainsi, la somme des
Les progressions géométriques.
soixante-quatre premiers termes de la progression binaire est
I ou
1 8 446 744 073 709 5 5 1 6 1 5.
Le nombre prodigieux que nous venons d'écrire était connu
des Hindous. L'écrivain arabe Asaphad rapporte, en effet, que
Sessa, fils de Daher, imagina le jeu des échecs, où le roi, quoique
la pièce la plus importante, ne peut faire un pas sans le secours
de ses sujets les pions, dans le but de rappeler au monarque
indien Scheran les principes de justice et d'équité avec lesquels
il devait gouverner. Scheran, enchanté d'une leçon donnée d'une
manière si ingénieuse, promit à l'inventeur de lui donner tout
ce qu'il voudrait pour sa récompense. Celui-ci répondit : « Que
Votre Majesté daigne me donner un grain de blé pour la première
case de l'échiquier, deux pour la seconde, quatre pour la troi-
sième, et ainsi de suite, en doublant jusqu'à la soixante-qua-
trième case. » — Il aurait fallu huit fois la superficie de la terre,
supposée entièrement ensemencée, pour avoir en une année de
quoi satisfaire au désir du modeste bramine!
TOUS PLUS RICHES QUE ROTHSCHILD.
Un franc, placé à intérêts à 5 pour 100, devient, au bout d'un
année, i^',o5, capital et intérêts composés; si Ton place i^^oS
encore à 5 pour 100 pendant un an, cette somme devient égale
à i,o5 X i,o5, c'est-à-dire i%io25, c'est-à-dire un peu plus de
i^'',io, et ainsi de suite.
Chapitre quatrième.
Supposons que l'on ait placé, au commencement de l'ère chré-
tienne, un centime à intérêts composés au taux de 5 pour loo
par an, et que Ton demande à évaluer la somme produite par la
capitalisation des intérêts à Tépoque actuelle, en 1889. Il faut cal-
culer le 1888^ terme d'une progression géométrique commençant
à o^'',oi, et ayant pour raison i,o5; c'est un nombre dont la partie
entière a trente-huit chiffres. Pour nous faire une idée de cette
somme véritablement prodigieuse, nous ne pourrions même pas
la comparer à la totalité des métaux renfermés dans le sein de la
Terre. Mais prenons pour unité la somme représentée par une
sphère d'or pur, dont le volume serait égal à celui de la Terre. Eh
bien, si l'on suppose qu'une telle sphère tombe de minute en mi-
nute depuis le commencement de l'ère chrétienne, il faut encore
attendre trois siècles pour que la somme représentée par toutes
ces immenses boules d'or, au nombre de plus d'un milliard, soit
égale à la valeur actuelle de notre centime capitalisé!
>^'S*
L ARENAIRE D ARCHIMKDE.
C'est à Archimède que l'on doit la théorie des progressions
arithmétiques et géométriques. Dans son immortel Ouvrage,
intitulé VArénaire, il entrevoit la numération décimale écrite;
voici ce qu'il écrivait au roi de Syracuse, près de trois siècles
avant l'ère chrétienne :
« Beaucoup de personnes pensent, ô roi Gélon, que le nombre
des grains de sable est infini; non pas seulement de celui qu'on
trouve aux environs de Syracuse, et sur toute la Sicile, mais de
Les progressions géométriques. i53
celai qui est répandu sur toutes les parties delà Terre habitées et
non habitées. D'autres, bien qu'elles ne regardent pas ce nombre
comme infini, pensent qu'il n'existe pas de grandeur, qu'on ne
peut dire le nom d'une grandeur surpassant la multiplicité de
ces grains. Par là, il est évident que les personnes de cette opi-
nion, si elles imaginaient un tas de sable capable de remplir et
de niveler toutes les profondeurs de la mer, toutes les cavités de
la Terre jusqu'aux sommets des plus hautes montagnes, soutien-
draient encore bien qu'il est impossible d'assigner un nombre
supérieur aux grains d'un tel tas. Mais moi, je vais essayer de
faire voir le contraire par des démonstrations irrécusables, au
moyen desquelles tu pourras reconnaître que quelques-uns des
nombres que j'ai dénommés dans mes livres adressés à Zeuxippe ( ^ ),
surpassent non seulement le nombre des grains de sable qui
puissent remplir toute la Terre, mais encore la masse de sable
égale en volume atout l'Univers. »
Pour Archimède, ce dernier mot désigne la sphère des planètes
ou du système solaire. D'après des observations qui portent l'em-
preinte de son génie, Archimède conclut que le diamètre de
l'Univers est moindre que lo millions de stades, ou, en mesures
métriques, 180000 myriamètres; ce qui représente assez ap-
proximativement la distance du Soleil à Saturne. D'autre part,
l'expérience lui apprend qu'un grain de pavot a un diamètre plus
petit que ~ de doigt, ou, en mesures actuelles, y^ de millimètre,
et que le volume de ce même grain de pavot équivaut à celui de
10 000 grains de sable. Il a donc tous les éléments de la solution.
Archimède démontre ensuite que les volumes de deux sphères
(') Ces livres sont malheureusement perdus.
i54 Chapitre quatrième.
sont dans le rapport des cubes de leurs diamètres; il obtient ainsi
les rapports des volumes de la sphère solaire et du pavot; en
multipliant ce nombre par loooo, il a donc une limite supérieure
du nombre des grains de sable qui rempliraient tout Tespace
planétaire. Voici comment Archimède a cherché à exprimer ce
nombre immense. Les Grecs, comme tous les peuples anciens,
se servaient de la numération décimale parlée et employaient les
cinq mots : unité, dizaine, centaine, mille et myriade. Puis les
unités suivantes des divers ordres se disaient ainsi : dix myriades,
cent myriades, mille myriades, myriade de myriades, et ainsi de
suite, en répétant sans cesse les mêmes mots. Mais ils n'avaient
pas d'autres mots pour compter, n'ayant pas eu à considérer ces
nombres immenses; ils ont ignoré les milliards T
Donc, Archimède considère la progression décimale, mais sans
employer le zéro et les exposants, et forme un Tableau que nous
représentons avec les notations actuelles par
I , lO ,10-, 10^ I0'% 10% 10% 10' ,
io« , 10^ , lo'** , io^%
io^% lo^", -. . . , io'\
lO
24 10
Il appelle octade l'ensemble de huit termes consécutifs et
trouve, tous calculs faits, que le nombre des grains de sable qui
rempliraient tout le monde solaire est moindre que le dernier
terme delà huitième octade, lo^', c'est-à-dire que Tunité suivie
de soixante-trois zéros. « Je sais bien, ô roi Gélon, — dit-il en
terminant, — que ces résultats paraîtront incroyables au vulgaire.
Les progressions géométriques.
à tous ceux qui sont inexpérimentés dans les sciences matliéma-
tiques; mais cela paraîtra suffisamment croyable, vu les preuves,
à ceux qui s'y sont essayés et qui ont fait des recherches sur les
distances des corps célestes, sur la grandeur de la Terre, du So-
leil, de la Lune et de TUnivers entier; c'est pour cela que j'ai
jugé convenable de consacrer à cet objet quelques méditations. »
ARITHMETIQUE MILITAIRE.
Dans une excellente et lumineuse étude de VArenaii^e, Michel
Chasles, notre Archimiide des temps modernes, a montré que si
les Grecs et les Latins connaissaient la numération décimale
parlée, ils ne connaissaient pas la numération décimale chiffrée,
attendu qu'ils ignoraient le fonctionnement du zéro. Il a parfai-
tement établi que les abaques servaient, pour le calcul, à traiter
les unités des différents ordres comme des unités complexes; ces
appareils disparurent presque entièrement lors de l'introduction
de la numération hindoue-arabe avec son zéro^ qui constitue
l'Arithmétique de position.
Nous complétons ces renseignements historiques par l'indica-
tion d'un document dans lequel on rencontre, avec le germe de
la numération décimale écrite, celui de la Télégraphie optique
appliquée à l'art militait e (^). Dans une collection d'auteurs
grecs et latins, publiée par l'Imprimerie royale de Paris, en
(') M. le lieutenant-colonel de Rochas, administrateur de l'École Poly-
technique, a fait un intéressant travail Sur les signaux de feu et la télé-
graphie optique che^ les anciens.
36 Chapitre quatrième.
1693 (^),oii trouve un Ouvrage de Sexte-Jule -Africain, auteur
qui vécut en Orient, sous Héliogabale, au iir siècle de notre
ère. Cet Ouvrage, qui a pour titre : Gestes, c'est-à-dire les Bro-
deries ou les Bigarrures, est divisé en soixante-dix-sept cha-
pitres; dans l'avant-dernier, l'auteur parle de l'emploi des fanaux
comme signaux de guerre, et exprime son admiration de l'usage
qu'en font les Romains pour faire connaître au loin la force
d'une troupe. « A cet effet, dit-il, ils préparent trois espaces : à
droite, au milieu, à gauche; dans chacun, ils allument depuis
un jusqu'à neuf feux; mais ceux qui sont dans l'espace à gauche
désignent des unités; ceux du centre, des dizaines, et ceux de
l'espace à droite, des centaines. De là, au système de la numéra-
tion écrite, il n'y avait qu'un pas à franchir; cependant, il paraît
probable que les Romains ne l'ont pas fait, toujours à cause de
l'absence du zéro. »
L'histoire ne dit pas, ou du moins je l'ignore, le nom de celui
qui imagina le premier la numération chiffrée, tandis que Ba-
rème s'est immortalisé en livrant à l'éditeur des calculs d'écolier.
Donc, salut à toi, savant anonyme, bonze indien ou mandarin
chinois, génie inconnu et mystérieux que la Grèce eût placé au
rang des dieux ignorés. Salut ! car tu as inventé zéro! C'est de ce
rien que naquit le calcul! .
(') Veterum mithematicorum Athem^ei, Bitonis, Apoi^lodori, Heronis,
Philonis et alioriim opéra, grœce et latine, nunc prima édita, in-folio.
L'Ouvrage de Sexte-Jule n'est qu'une copie des commentaires d'iEneas et
d'autres auteurs plus anciens. Une traduction française des Gestes a été
donnée dans les Mémoires critiques et historiques sur plusieurs points d'an-
tiquité militaire, par Guichard (t. III, p. 273).
^^^•^
Les progressions géométriques. i5j
ARITHMÉTIQUE RELIGIEUSE.
Dans les établissements d'instruction pour le premier âge, dans
les salles d'asile, on apprend le calcul aux enfants avec des abaques
ou des bouliers; ce sont des appareils formés d'un cadre à dix
tringles, sur chacune desquelles sont enfilées dix petites boules;
c'est le procédé le plus élémentaire pour compter. Les Chinois se
servent encore de cet appareil, qu'ils manient avec une grande
dextérité et qu'ils appellent Souan-Pan; les Russes l'appellent
Schtote. On en trouve différents modèles, déjà anciens, dans les
galeries du Conservatoire des Arts et Métiers; quelques-uns
d'entre eux, doués d'une forme complètement symétrique par
rapport à un axe transversal, servent peut-être encore et servaient
assurément autrefois, à certains jeux de combinaison et de
hasard.
Ne dirait-on pas que la religieuse qui égrène son rosaire fait le
compte de ses prières avec les lignes du boulier détachées de
leur cadre et réunies en couronne? Une miniature de VHortus
deliciarum, manuscrit du xii'' siècle, qui appartenait à la biblio-
thèque de Strasbourg, représente l'Arithmétique sous la figure
d'une femme tenant à la main un chapelet à grains ou olives
enfilées deux fois dans leur épaisseur; cette image est reproduite
dans le dix-neuvième volume des Annales de la Philosophie
chrétienne.
igS^
i58
Chapitre quatrième.
LE NOUVEAU BOULIER UNIVERSEL.
Nous avons imaginé un boulier pour l'enseignement de
Fig. 32.
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TArithmétique élémentaire. C'est un damier (fig. 32) que l'on
pose verticalement; les centres des cases sont garnies de pointes
dans lesquelles on peut enfiler des pions blancs ou noirs et percés
Les progressions géométriques. j5g
en leur milieu. Ne faisons point de distinction entre les cases
blanches et grises du damier ; elles n'ont d'autre but que de séparer
nettement toutes les cases les unes des autres, et de les compter
plus facilement de deux en deux.
Au début, dix pions noirs sont placés sur les cases de la rangée
horizontale inférieure. Élevons successivement le pion à la droite,
en disant: un, deux, trois, quatre, ..., neuf. Nous voici au
sommet de la colonne de droite, nous ne pouvons continuer ;
remettons ce pion à zéro dans sa colonne et élevons d'un rang le
pion de la colonne des dizaines en énonçant dix; puis nous re-
montons à droite, en disant: dix-un, . . ., jusqu'à dix-neuf, et ainsi
de suite. On écrit ainsi tous les nombres avec une notation ana-
logue à celle des notes de la musique.
Notre nouvel abaque présente de grands avantages; nous ob-
serverons d'abord que, par son orientation, les chiffres de l'abaque
sont écrits dans le même sens que ceux du nombre qu'ils repré-
sentent, tandis que, dans le boulier des salles d'asile, les chiffres
sont écrits de bas en haut.
Le nombre figuré sur le damier [Jîg. 82) est 0369258147;
il n'a rien de particulier en Arithmétique; mais, au point de vue
du dessin, il est très important. C'est l'indication que donne le
fabricant d'étoffes à son contremaître pour le montage du métier,
lorsqu'il veut obtenir un satin carré sur dix fils de chaîne.
Notre damier peut représenter tous les nombres dans le sys-
tème décimal jusqu'à dix miUiards ; nous observerons d'ailleurs
que, pour tous les nombres qui dépassent cette limite, on peut
ajouter, à gauche, des colonnes en nombre quelconque. Suppo-
sons que Ton ait accolé deux damiers semblables: on pourra ainsi
représenter tous les nombres jusqu'à celui qui s'écrit avec l'unité
i6o Chapitre quatrième.
suivie de vingt zéros, ou cent quintillions; mais, si l'on voulait
former successivement tous ces nombres sur le tableau, en ad-
mettant que chaque mouvement additionnel ne durât qu'une
Seconde, il faudrait un temps supérieur à 3oo millions de siècles!
Notre damier peut encore servir à expliquer le mécanisme de
l'addition et de la soustraction, en écrivant les nombres avec des
pions de deux couleurs. -
QUATRE HOMMES ET UN CAPORAL.
Au lieu d'augmenter notre damier dans le sens horizontal, on
comprend bien qu'on peut l'augmenter ou le diminuer dans le
sens vertical; par conséquent, au lieu de compter les nombres
par dizaines, par centaines ou groupes de dix dizaines, par mille
ou groupes de dix centaines, .... on aurait pu les compter par
douzaines, par grosses ou groupes de douze douzaines, et ainsi
de suite. Tout système de numération est fondé sur l'emploi
d'unités de divers ordres dont chacune contient la précédente un
même nombre de fois ou^ en d'autres termes, sur une progression
géométrique commençant à un; c'est la raison de cette progres-
sion que l'on appelle la base du système.
Déjà Aristote avait observé que le nombre quatre pourrait
très bien remplacer le nombre dix comme base de la numération;
Weigel publia à ce sujet, en 1687, le plan d'une Arithmétique
tétractique. Simon Stevin, de Bruges, mort en i633, avait aussi
imaginé le système de numération duodécimale, se rapprochant
beaucoup plus de notre manière de compter les mois de l'année,
Les progressions géométriqu
les heures du jour et les degrés de la circonférence; mais le chan-
gement du système actuel produirait trop d'inconvénients relati-
vement aux petits avantages qui résulteraient du choix de la base
douze. Le choix presque unanime du nombre dix, comme base
de la numération, provient probablement de la conformation de
la main.
De mémC; la plupart des unités, chez les anciens peuples, dé-
rivent ordinairement des dimensions du corps humain : ainsi,
par exemple, le doigt, le pied, le pouce, la coudée, etc. Au con-
traire, au xvii'^ siècle, Melchisédec Thévenot cherchait une me-
sure universelle dans la régularité et dans l'égalité des alvéoles des
ruchers. Les nouvelles mesures sont établies sur des bases plus
stables et proviennent des rapports géodésiques, physiques, etc.,
comme le mètre, le pendule.
Cependant Auguste Comte a remarqué que la structure de la
main, composée de quatre doigts à trois phalanges, ou de douze
phalanges, permet de représenter, avec les deux pouces posés sur
deux phalanges, tous les nombres jusqu'à treize fois douze ou cent
cinquante-six; alors les phalanges de la main gauche représentent
les unités, et celles de la main droite les grosses. Mais nous pré-
férons la manière de compter sur les doigts, au temps deCnARUE-
MAGNE. Aussi, de cet ingénieux système, on ne reconnaît plus
guère aujourd'hui que la comparaison faite par Auguste Comte,
des quatre doigts et du pouce de la main, au peloton des quatre
hommes et du caporal.
cj|^;^lr
Ed. Lucas. — Arithmétique amusante.
102 Chapitre quatrième.
ARITHMETIQUE BINAIRE.
Nous avons dit que tout système de numération est fondé sur
l'emploi d'unités de divers ordres, dont chacune contient la pré-
cédente un même nombre de fois. Ce nombre d'unités de chaque
ordre, qui est nécessaire pour former une unité de l'ordre suivant,
est appelé la base du système de numération. Cette base doit être
au moins é§,'à\Q k deux ; en effet, si Ton prenait un pour base, les
unités des divers ordres seraient égales entre elles; il n'y aurait
plus, à proprement parler, de système de numération et l'on re-
vendrait à la taille de la boulangère.
C'est à Leibniz que l'on doit la connaissance de la numéra-
tion binaire. Dans ce système, la base est le nombre deuXy et
l'on peut écrire tous les nombres avec les chiffres o et i . en adop-
tant cette seule convention, analogue à la convention de la nu-
mération écrite dans le système décimal, que tout chiffre placé
immédiatement à la gauche représente des unités deux fois plus
fortes.
Ainsi, dans ce système, les nombres deux, quatre, huit, seize, ..
s'écrivent
10, 100, 1000, lOOOO, ...,'
et les nombres trois, cinq, onze, trente, s'écrivent
II, lOI, lOI I, I I I 10.
Notre abaque peut servir à l'explication de tous les systèmes
de numération, et, en particulier, du système binaire. Couvrons
Les progressions géométriques.
i63
d'un voile les huit rangées supérieures du damier, et formons
Fig. 33.
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(777iy:101 J7x:110
successivement les nombres dans le système binaire [Jîg-. 33].
EN CHINE, DIX SIECLES AVANT ABRAHAM.
Le système binaire donne l'explication d'un symbole chinois,
portant le nom de Je-Kim, ou Livre des Combinaisons, attribué
à Fo-Hi, premier empereur et législateur de la Chine, qui vivait
vers l'an 3ooo avant notre ère, il y a près de cinquante siècles.
On lui attribue l'invention de la pêche, de la chasse^ de la mu-
sique, de l'écriture, du calendrier, de l'usage du fer, etc.; on lui
attribue encore l'institution du mariage, mais nous ne savons
pas s'il avait prévu le divorce. Quant au Je-Kim, il est composé
de soixante-quatre petites figures, formées chacune de six lignes
horizontales superposées, les unes entières, les autres brisées par
le milieu. Il avait fait le désespoir des lettrés chinois et des sa-
164 Chapitre quatrième.
vants européens, qui n'avaient pu parvenir à l'expliquer d'une
manière satisfaisante, lorsque Leibniz, comparant les divers
caractères du Je-Kim à la suite des nombres écrits dans le sys-
tème binaire, reconnut que cette arithmétique pouvait servir à
Fig. 34.
Zéro Un Deux Trois
Quatre Cinq Six Sept
Huit Neuf Dix Onze
Douze Treize Quatorze Quinze
Les seize premiers caractères du Je-Kim.
interpréter l'é^iigme, et que le Je-Kim n'était autre chose que la
suite des nombres écrits dans ce système, les traita pleins et les
traits brisés représentant respectivement i et o [fig- 34). Nous
ajouterons cependant que l'on peut aussi considérer les caractères
du Je-Kim comme les diverses configurations d'un boulier à six
tiges, avec une seule bille sur chacune d'elles; nous avons fait
reproduire, au Conservatoire des Arts et Métiers, un boulier de ce
genre, et nous pensons que notre explication semble plus plausible
Les progressions géométriques.
[65
que celle de Leibniz, à cause de l'orientation des caractères. Quoi
qu'il en soit, Leibniz voyait encore dans cette énigme, qu'il avait
si heureusementdéchiffrée.uneimagedela création tirée du néant
parla volonté de Dieu; de même que, disait-il, tous les nombres
sont engendrés dans le système binaire par le zéro et l'unité.
Cette idée lui plut tellement qu'il engagea le père Bouvet, mis-
sionnaire en Chine, à la développer devant l'empereur régnant
pour le convertir au christianisme. Nous ne prétendons aucune-
ment justifier cette application de la Science aux mystères théo-
logiques; nous la citons comme un document curieux et impor-
tant de l'histoire de l'Arithmétique, et nous ajouterons que l'idée
de Leibniz était une idée pythagoricienne échappée à l'imagination
active de ce grand génie, et sur laquelle il n'eût sans doute pas
insisté plus qu'elle ne le méritait.
LES BALANCES DE L APOTHICAIRE.
Le système binaire présente divers avantages; alors les opéra-
tions ordinaires de l'Arithmétique sont réduites à leur expression
la plus simple ; la Table de Pythagore n'existe pas, en sorte que
la multiplication se fait parle déplacement transversal du multi-
plicande. Pour la division, il n'y a aucun tâtonnement. De plus,
ce système se prêterait plus naturellement que tout autre à la
confection des machines arithmétiques. En outre, ce système
nous a permis de trouver des nombres premiers beaucoup plus
grands que ceux que l'on connaissait jusqu'à présent, et nous
en avons déduit le plan d'une machine qui donnerait de très
i66 Chapitre quatrième.
grands nombres premiers. Mais ce système est incommode à
cause de la trop grande quantité de caractères qui sont néces-
saires pour figurer un nombre un peu considérable.
La numération binaire trouve encore son application dans la
solution du problème suivant :
Trouver une série de poids avec lesquels on puisse faire toutes
les pesées de nombres entiers de grammes, depuis i jusqu'à la
somme des poids, cette somme étant la plus grande possible par
rapport au nombre des poids.
Si l'on prend un poids de i»'", de 2^'"^ de 4»% de 8^'', . . . , et
ainsi de suite, en doublant jusqu'à 5 12, par exemple, on pourra
peser tous les nombres entiers de grammes jusqu'au nombre
1023, somme de tous les précédents; car un nombre entier quel-
conque peut s'écrire d'une seule manière, dans tout système de
numération de base quelconque et, en particulier, dans le sys-
tème binaire.
Mais, chez le pharmacien, chez l'épicier, les boîtes sont com-
posées d'une manière différente, car elles contiennent les poids
5
I,
2,
b
grammes,
}
I,
2,
5
décagrammes,
1
1,
2 ,
5
hectogrammes
5
I,
5
kilogrammes.
et ainsi de suite, et de même pour les sous-multiples du gramme.
On voit, en effet, qu'avec les nombres r, 2, 2, 5, on peut former,
par addition, tous les nombres de i à 9. Ces boîtes présentent
l'avantage d'être plus en harmonie avec le système de la numé-
ration décimale, et, par conséquent, l'opération de la pesée
Les progressions géométriques. 167
n'exige aucun effort d'esprit; mais, jusqu'à une limite quelcon-
que, il faut moins de poids dans le système binaire que dans tout
autre système.
LA NUMERATION TERNAIRE.
Les nombres de la progression géométrique de raison trois
I, 3, 9, 27, 81, ...,
ont une propriété analogue, qui consiste en ce qu'en les prenant
une seule fois, soit par addition, soit par soustraction, on forme
tous les nombres entiers possibles. Cette propriété remarquable
se démontre très simplement au moyen du système de la numé-
ration ternaire, ou de base trois, modifié par l'emploi de chiffres
de soustraction. On convient qu'un petit trait, le signe —
[moins] placé au-dessus d'un chiffre, comme i, 2, 3, . . ., exprime
que le nombre indiqué par ce chiffre avec sa valeur de. position
doit être retranché; on peut, par ce moyen, écrire tous les
nombres dans le système décimal avec les cinq premiers chiffres
significatifs 1,2, 3, 4, 5, et le caractère o. Par exemple, six serait
exprimé par 14, sept par i3, et ainsi de suite. '
Si l'on applique cette convention au système ternaire, on ar-
rive à écrire tous les nombres avec les signes o, i et i. Ainsi les
neuf premiers nombres peuvent être représentés par
I, II, 10; II, III, iio; III, loi, 100.
On peut donc utiliser cette propriété pour la pesée en répar-
[68 Chapitre quatrième.
tissant convenablement les poids de i, 3, 9, 27, 8i, . . . grammes
entre les deux plateaux d'une balance, pour évaluer, avec le
moindre nombre possible de poids tous différents, les poids qui
peuvent être exprimés en nombres entiers.
Pour l'application de ces divers procédés de la pesée, on sup-
pose essentiellement que les deux fléaux, ou les deux bras de la
balance, sont rigoureusement égaux en longueur ; nous rappelle-
rons ici l'ingénieux procédé qui permet de peser exactement avec
une balance dont les deux fléaux n'ont pas la même longueur.
Désignons par A et B les deux plateaux de la balance; en A, on
met l'objet à peser, et en B, on fait la tare, c'est-à-dire que l'on
place dans le second plateau de la grenaille de plomb, des clous,
du sable, pour établir l'équilibre; alors on retire l'objet en A et
on le remplace par des poids, et l'on rétablit l'équilibre.
Cette méthode de la double pesée est due au physicien Borda,
qui a donné son nom au vaisseau-école de notre marine. Un
vieux professeur de Physique nous disait en souriant, lorsqu'il
nous développait ce procédé, que Ton avait écrit sur le tombeau
de l'illustre inventeur :
Tu j^ides, ego fleo,
l'éventail mystérieux.
L'éventail mystérieux se compose de cartons disposés en éven-
tail et sur lesquels on inscrit des nombres, des mots ou des noms
de personnes, d'une certaine manière; il s'agit, en présentant
Les progressions géométriques.
169
l'éventail, de deviner le nombre ou le mot pensé par une per-
sonne. Supposons, par exemple, que l'on veuille deviner tous les
nombres jusqu'à une certaine puissance de deux, jusqu'à 2^ ou
32; on disposera tous les nombres de i à 3i sur cinq cartons, de
la manière représentée dans le Tableau suivant.
16
8
4
2
1
' i
17 '
9
5
3
3
18
10
6
6
5
'9
1 1
7
7
/
20
12
12
10
9
21
i3
i3
1 1
1 1
22
14
H
14
i3
23
i5
i5
i5
i5
24
24
20
18
17
25
25
21
19
19
26
26
22
22
21
27
27
23
23
23
28
28
28
26
25
29
29
29
27
'27
3o
3o
3o
3o
29
3i
1
3i
3i
3i
3^
Le premier carton, à droite, contient tous les nombres impairs,
c'est-à-dire tous les nombres tels que le dernier chiffre est i dans
le système de numération binaire; le deuxième carton contient
tous les nombres dont le second chiffre à partir de la droite est i
dans le système binaire; de même, le troisième carton contient
'7^ Chapitre quatr
tous les nombres dont le troisième chiffre, à partir de la droite,
est I dans le système binaire, et ainsi de suite. On peut ainsi
construire une série de cartons avec des nombres jusqu'à une
limite quelconque.
Pour deviner un nombre qu'une personne a pensé, il suffit de
lui présenter les cartons l'un après l'autre en lui demandant si le
carton contient le nombre pensé; puis, de faire la somme des
nombres écrits en tête de chacun des cartons gù le nombre se
trouve.
LE BAGUENAUDIER.
Bachaumont raconte qu'en 1746 les polichinelles et les arle-
quins, à pieds et à bras mobiles, faisaient fureur à Paris. « On
ne peut plus aller, dit-il, dans aucune maison qu'on n'en trouve
de pendus à toutes les cheminées. On en fait présent à toutes les
femmes et filles, et la faveur en est au point que les boulevards
en sont remplis pour les étrennes. » Tout le monde avait un
pantin dans sa poche pour s'en amuser au spectacle ou à la pro-
menade. D'Alembert dit à ce sujet : « La postérité aura peine à
croire que des gens d'un âge mûr aient pu rechercher ces jouets
ridicules avec un empressement qu'on pardonnerait à peine à l'âge
le plus tendre. »
Nous allons parler ici d'un autre jeu dont on trouve des échan-
tillons chinois fort anciens au Musée de Marine, au Louvre;
c'est le baguenaudier qui servait peut-être de boulier chinois,
comme transformation d.i\Je-Kim,Q\ qui sert encore aujourd'hui
Les progressions géométriques ,
en Norvège pour la fermeture des bahuts et des sacs. Le bague-
naudier (fig. 35) est un instrument de jeu formé d'anneaux en-
chevêtrés dans une navette, qu'il s'agit de séparer du système des
anneaux. Nous conseillons l'emploi du baguenaudier de 6, 7, 8
Fiii. 35.
Le baguenaudier.
OU 9 anneaux; on le trouve facilement dans le commerce. Avec un
plus grand nombre d'anneaux, le jeu devient absurde, car le
nombre des opérations pour monter ou pour démonter le bague -
naudier double continuellement par l'addition d'un anneau. On
verra plus loin qu'il faudrait des milliards de siècles pour monter
ou démonter complètement un baguenaudier de 64 anneaux. On
voit tous les jours à Paris, sur la place Glichy, un aveugle original
qui joue, non de la clarinette, mais du baguenaudier avec une
dextérité surprenante.
mm
AVENTURES EXTRAORDINAIRES D UN MATHEMATICIEN.
Le baguenaudier se trouve mentionné pour la première fois,
je crois, parmi Tun des deux cent vingt-deux Traités de Cardan
172 Chapitre quatrième.
dans rOuvrage intitulé : De subtilitate libriXXl, dont la pre-
mière édition parut à Nuremberg en i55o; il existe plusieurs
autres éditions de cet Ouvrage, et notamment une traduction
française publiée par Richard Leblanc, à Paris, en i556, sous
le titre : Les livres d'Hieronymus Ca7~damis, de la Subtilité et
subtiles Inventions, ensemble les causes occultes et les raisons
dHcelles,
La vie de Jérôme Cardan est l'une des plus étranges et des plus
extraordinaires dont il soit fait mention dans l'histoire des
Sciences; c'est un tissu d'aventures, d'extravagances, d'actions
incohérentes^ viles et parfois criminelles, puisqu'il en vint à as-
sassiner un homme qui l'avait volé au jeu. Scaliger a dit de lui
qu'il était supérieur à tous les hommes, mais que souvent il des-
cendait plus bas que les petits enfants. Leibniz, qui Ta déclaré
fou et insensé, n'en admirait pas moins la supériorité de son es-
prit. L'un des premiers, Cardan trouva la résolution de l'équa-
tion du troisième degré et démontra la formule qui porte encore
son nom; il a imaginé un appareil employé dans la marine pour
la suspension des boussoles, ainsi que Tappareil connu sous le
nom de joint universel,
NéàPavie, en i5oi, il fut jeté par sa mère sur le fumier. Elevé
et instruit on ne sait comment, il professa successivement la
Dialectique, la Métaphysique, les Mathématiques; il exerça la
médecine à Milan, de 1 529 à 1 55o; après avoir parcouru l'Ecosse,
l'Angleterre, les Pays-Bas et l'Allemagne, il revint à Milan, où
il vécut encore quelques années, partageant son temps entre le
travail, la débauche et le jeu. Son fils aîné, médecin comme lui,
empoisonna sa femme et fut décapité; son second fils tomba dans
de -rands désordres; il le fit incarcérer plusieurs fois, puis lui
Les progressions géométriques. 173
coupa l'oreille, et finalement le chassa de sa maison. Enfin, il
termina son existence infortunée à Rome^ à l'âge de soixante-
quinze ans; il était alors pensionné par le pape Grégoire XIII.
Scaliger et de Thou prétendent qu'ayant fixé lui-même l'année
et le jour de sa mort, il se laissa mourir de faim pour que sa pré-
diction fût justifiée.
INGENIOSITE D UN CLERC DE NOTAIRE.
En 1872, un auteur ingénieux, qui avait gardé l'anonyme,
a publié une brochure de seize pages in-8°, intitulée: Théorie
du Baguenodier, par un clerc de notaire lyonnais. Cet opus-
cule débute ainsi : « Lyon attire sur lui l'attention publique par
son Exposition; chacun des enfants de cette grande cité doit
produire tout ce qui peut plaire aux visiteurs. Ce motif décide
un modeste clerc de notaire à publier ses études sur le ba-
guenodier; le sujet est frivole, mais la théorie est neuve; de
plus, elle a été imaginée à Lyon. Cet opuscule aura atteint
son but s'il montre que le baguenodier est un jeu instructif. »
L'auteur se livre d'abord à une discussion étymologique de
laquelle il paraît résulter que l'on doit écrire le nom de l'instru-
ment avec un 0, puisque ce nom vient probablement de nœud
(nodus) de bagues. Il donne ensuite une nouvelle théorie exces-
sivement ingénieuse qui montre que la manœuvre de l'instru-
ment revient à la loi de formation des nombres entiers dans le
système delà numération binaire. Cette divination, merveilleuse
comme celle de Leibniz pour le Je-Kim, nous autorise à penser
[74 Chapitre quatrième.
que le Baguenaudier est un boulier chinois dérivé du Je-Kim.
L'auteur de l'opuscule, M. Louis Gros, conseiller à la Cour
d'appel de Lyon, expose une notation aussi simple qu'élégante
des diverses configurations du baguenaudier, qui permet de
fixer à chaque instant l'ordre du déplacement des anneaux. Tous
les anneaux sont représentés, dans l'ordre de gauche à droite,
par l'un des caractères o et i, avec les conventions suivantes:
Le premier anneau levé, à partir de la gauche, est désigné par i,
et les anneaux levés, situés à droite, sont alternativement repré-
sentés par o et I, sans tenir compte, dans cette alternance, des
anneaux baissés; quant aux anneaux baissés, ils sont indiqués,
à leurs places respectives, par le signe du premier anneau levé
à leur gauche, et par o lorsqu'il ne s'en trouve aucun.
Ainsi, par exemple,
I I o I ooo
représente la position
o o o
dans laquelle les anneaux i, 2, 6 sont baissés, et les anneaux
2, 3, 4, 7 sont levés.
Du déplacement d'un anneau.
Supposons que Ton tienne horizontalement, et de la main
gauche, la navette du baguenaudier complètement monté, il est
facile de constater que le premier anneau peut être baissé; pour
cela, on le prend de la main droite, on tire la navette à gauche,
et l'on passe l'anneau dans l'intérieur de la navette; de cette
façon, le premier anneau se trouve baissé; on le remonte par
Les progressions géométriques. 176
l'opération inverse. Lorsque le premier anneau est baissé, on ne
peut déplacer le second, et Ton ne peut baisser que le troisième ;
on le remonte par l'opération inverse; mais si le premier et le
troisième anneau sont baissés, on ne peut en baisser aucun
autre.
Dans le cas général, il résulte de la construction même du
baguenaudier que le déplacement d'un seul anneau est soumis
aux principes suivants :
i'' Dans une position quelconque des anneaux du baguenau-
dier, on peut toujours baisser le premier anneau s'il est levé, ou
le lever s'il est baissé ;
2° Pour qu'un anneau de rang quelconque puisse être déplacé,
c'est-à-dire levé ou baissé, il faut et il suffit qu'il se trouve placé
immédiatement k la gauche d'un anneau monté, et que celui-ci
soit le seul anneau monté à la droite de l'anneau considéré.
Dans le cas où l'on ne déplace qu'un seul anneau à la fois^ la
marche du jeu est appelée marche ordinaire.
Du déplacement de deux anneaux.
Il y a exception, dans le déplacement des anneaux, pour la
marche des deux premiers anneaux, qui peuvent être montés ou
descendus, pris simultanément; mais il n'existe aucun groupe
de deux autres anneaux ou de plus de deux anneaux que l'on
puisse faire marcher en même temps. Lorsque l'on emploie cette
manoeuvre simultanée des deux premiers anneaux, la marche du
jeu est plus rapide; nous l'appellerons marche accélérée. On
peut monter ou baisser simultanément les deux premiers anneaux
dans une position quelconque des autres anneaux de l'appareil;
176 Chapitre quatrième.
mais on verra facilement que si l'on doit les monter tous deux
en même temps, on descend ensuite le premier.
Marche ordinaire.
La notation de M. Gros représente un nombre écrit dans le
système de numération binaire.
Considérons une position quelconque du baguenaudier
10 I 000 ;
dans cette position, on peut passer à deux autres : la première,
en élevant le premier anneau à la droite; ce qui donne
000 o
î I o I 00 I ;
o o
la seconde, en baissant le quatrième anneau, ce qui donne
000
100 T I 1.
Dans le premier déplacement, on a augmenté d'une unité la
notation correspondante du système binaire; dans le second, bn
a diminué cette notation d'une unité. Il en est de même pour
toute disposition des anneaux. Par conséquent,- la marche ordi-
naire du baguenaudier correspond exactement à la formation
successive de tous les nombres écrits dans la numération binaire;
on monte le baguenaudier, en formant les nombres successi-
vement à partir de zéro; on démonte le baguenaudier, en suivant
l'ordre décroissant des nombres entiers. D'ailleurs, on observera
que pour monter le baguenaudier, il suffit de déplacer, en com-
Les progressions géométriques . 177
mençant par la droite, le premier anneau représenté par o; pour
le démonter, au contraire, il faut déplacer le premier anneau à
droite représenté par le chiffre i .
Pour résoudre le problème général dû baguenaudier, qui con-
siste à trouver le nombre minimum des déplacements à opérer
pour passer d'une disposition donnée à une autre également
donnée, on écrit les deux dispositions dans le système binaire,
on prend la différence ; puis on transforme ce nombre dans le
système décimal ; on obtient ainsi le nombre minimum de dépla-
cements pour passer de l'une à l'autre position.
' Nombre des coups de navette.
Il est facile, d'après cela, de déterminer le nombre des coups
dans la marche complète du baguenaudier de sept anneaux.
Lorsque tous les anneaux sont montés, on a pour notation
10 10 I o I,
ou, dans le système décimal,
26 4- 2* + 2- 4- I = 85.
Donc, il faut 85 déplacements pour monter ou démonter le
baguenaudier de sept anneaux, dans la marche ordinaire. De
même, pour le baguenaudier de dix anneaux, il faut 682 coups
de navette, puisque l'on a
29 4- 2^ -h 2^ + 2^ -f- 2 = 682.
En général, si l'on désigne par P,i le nombre des déplacements
nécessaires pour monter ou démonter le baguenaudier de n
Éd. Lucas. — Arithmétique amusante. 12
178 Chapitre quatrième.
anneaux, on a, pour n pair et égal à 2 A-,
P,/,= 2-^^-^-1-22/^-3-1- _ _ _^ 2M- 2
et pour n impair égal à 2/t + i ,
P0/..4-1 — 2-''-'-^ 2-''-- -h ... -i- 2^-1- I
On peut réunir ces deux formules en une seule, en disant que
P„ est toujours égal au plus grand nombre entier contenu dans
le tiers de 2"-^^
Durée de la manœuvre.
On fait sans peine 64 changements par minute; en se hâtant
beaucoup, on peut arriver à 80. Mais admettons 64 comme
nombre moyen,
5 anneaux tous élevés exigent 21 changements, soit 20'
rj » )) » 85 » I"'20^
9 )) » )) 341 » 5" 20'
II » )> » i365 » 21'" 20*^
l3 » » « 5461 » l''25'"20*'
De même, 64 anneaux exigeraient
12 297 829 382 473 034 410 changements ;
par conséquent, même en y travaillant sans discontinuer, il fau-
drait plus de trois milliards et demi de siècles pour démonter le
baguenaudier de 64 anneaux.
Les progressions géométriques.
179
Marche accélérée.
La marche accélérée est soumise aux règles suivantes :
1° Lorsque l'on monte le premier anneau, on doit monter en
même temps le second ;
2° Lorsque l'on a monté les deux premiers anneaux, on doit
ensuite baisser le premier.
Huit coups consécutifs de la marche ordinaire, de i à 8, de 9
à 16; . . . , correspondent à six dans la marche accélérée.
Si Ton désigne par Q„ le nombre des déplacements dans le
montage ou dans le démontage accéléré^ on trouve, suivant que n
est impair et égal à 2A: 4- i, ou pair et égal à 2k,
Q2/.-K==22/'- et Q,,,3:r 2^^-1—1.
Même en employant la marche accélérée, il faudrait donc plus
de deux milliards et demi de siècles pour monter ou démonter le
baguenaudier de 64 anneaux.
LA TOUR D HANOI.
Un de nos amis, le professeur N. Claus (de Siam), mandarin
du collège Li-Sou-Stian_, a publié en 1884 un jeu inédit et bre-
veté, qu'il a appelé la Tour d'Hanoï, véritable casse-tête anna-
mite qu'il n'a pas rapporté du Tonkin, quoi qu'en dise le pros-
pectus.
i8o
Chapitre quatrième.
Cette tour [fig. 36) se compose d'étages superposés et décrois-
Fig. 36.
La lour d'Hanoï.
sants, en nombre variable, représentés par huit pions en bois
percés à leur centre, et enfilés dans l'un des trois clous fixés sur
Les progressions géométriques.
une tablette. Le jeu consiste à déplacer la tour en entilant les pions
sur un des deux autres clous et en ne déplaçant qu'un seul étage
à la fois, mais avec défense expresse de poser un étage sur un
autre plus petit. Le jeu est toujours possible et demande deux fois
plus de temps chaque fois que l'on ajoute un étage à la tour. En
effet, si Ton sait résoudre le problème pour huit étages, par
exemple, en transportant la tour du premier clou au second, on
saura le résoudre pour neuf étages. On transporte d'abord les huit
étages supérieurs sur le troisième clou; puis le neuvième étage
sur le deuxième clou, et enfin sur celui-ci les huit premiers étages.
Donc, en augmentant la tour d'un étage, le nombre des coups
devient le double plus un. Ainsi :
Pour une tour de 2 étages, il faut 3 coups, au minimum,
z. tl
.ag-^o, li ic
3
))
7
4
))
i5
5
r>
3i
6
>'
63
7
))
127
8
))
235
A un coup par seconde, il faut plus de quatre minutes pour
déplacer la tour de huit étages. Pour exécuter le transport de la
tour d'Hanoï à 64 étages, il faudrait faire un nombre de dépla-
cements égal à
1844674407370955 I 61 5,
nombre des grains de blé de l'échiquier de Sessa, ce qui exigerait
plus de cinq milliards de siècles.
Le mandarin N. Claus (deSiam) nous raconte qu'il a vu, dans
Chapitre quatrième.
ses voyages pour la publication des écrits de Fer-Fer-Tam-Tam,
dans le grand temple de Bénarès, au-dessous du dôme qui marque
le centre du monde, trois aiguilles de diamant, plantées dans une
dalle d'airain, hautes d'une coudée et grosses comme le corps
d'une abeille. Sur une de ces aiguilles Dieu enfila, au commen-
cement des siècles, soixante-quatre disquesd or pur, le plus large
reposant sur Tairain, et les autres de plus en plus étroits, super-
posés jusqu'au sommet; c'est la tour sacrée de Brahma. Nuit et
jour, les prêtres se succèdent sur les marches de l'autel, occupés à
transporter la tour de la première aiguille de diamant sur la troi-
sième, sans s'écarter des règles fixes que nous venons d'indiquer,
et qui ont été posées par Brahma. Quand tout sera fini, la tour
et les brahmes tomberont, et ce sera la fin des mondes!
Nous avons tenu à développer la théorie de ce jeu curieux et
original qui représente, comme le baguenaudier et le Je-Kim,]a
formation des nombres dans le système binaire. On simplifie la
manœuvre du jeu à l'aide de cette remarque intéressante, qui a
été faite pour la première fois par le neveu de l'inventeur,
M. Raoul Olive, élève du Lycée Charlemagne. Le disque le plus
petit tourne toujours dans le même sens de deux en deux coups;
ceci permet de réussir toujours sans tâtonnements. Mais on peut
compliquer le jeu en plaçant d'abord les huit étages dans un
ordre quelconque sur les trois clous. En augmentant le nombre
des tiges et en modifiant légèrement les règles du jeu, on obtien-
drait facilement des représentations de tous les systèmes de
numération. En nous servant des mêmes principes, nous avons
pu trouver de nouveaux systèmes de serrures incrochetables pour
la fermeture des coffres-forts.
L'industrie étrangère s'est emparée depuis peu *du jeu de notre
Les progressions géométriques.
i83.
ami et de sa légende; mais nous pouvons affirmer que le tout a
été imaginé, il y a une dizaine d'années, au n<^ 56 de la rue
Monge, à Paris, dans la maison habitée alors par M. Viette, mi-
nistre de l'Agriculture, et bâtie sur remplacement de celle où
mourut Pascal, le 19 août 1662.
Problème XLI. — le tonneau inépuisable.
Un tonneau contient cent litres de vin. On en tire un litre
qu'on remplace ;par un litre d'eau; puis on tire un second litre
du mélange, que Von remplace par un litre d'eau, et ainsi de
suite. Quelle est la quantité de vin que contiendra le tonneau
après la vingtième opération ?
Il reste, chaque fois, les -^ du vin que contenait le tonneau
avant qu'on retirât un litre du mélange. Par conséquent, il res-
tait, la première fois, les -^ de 100 litres; la seconde fois,
les -99. ^es .99. Je 100 litres ou les ^^ de 100 litres, ..., et la
100 100 -^^qq"
20
•2
vingtième fois, il restait les ^^ de 1 00 htres ou rz±rrïï ^^ ^^^^^ •
100' 100
D'une manière générale, si le tonneau contient a litres, il reste
après la n}"^^^ opération
(^ — 1)'^
184 Chapitre quatrième.
Problème XLII. — la marchande d'œufs.
Une femme porte au marché des œufs-, elle en vend à une
p?^emière personne la moitié, plus la moitié d'un œuf; à une
seconde personne, la moitié de ce qui lui reste, plus la moitié
d'un œuf. Après n opérations de ce genre, elle a tout vendu.
Combien la marchande avait-elle d'œufs en arrivant au mar-
ché?
A la dernière personne, la marchande a vendu un œuf; à
Favant-dernière, deux œufs; à la précédente, quatre, et ainsi en
remontant. Elle en avait donc en tout 2" — i .
Problème XLIII. — les joueurs. •
Trois joueurs conviennent qu'à chaque partie le perdant
doublera l'argent des deux autres. Après trois parties perdues
successivement par chacun des trois, ils se retirent chacun
avec 24^'"; combien chacun avait-il au commencement?
Le troisième joueur a perdu la troisième partie et doublé
l'argent des deux autres. Donc, avant cette dernière partie, les
deux autres avaient chacun 12^' et il avait en plus les 24'"'' qu'il
leur donne. Ainsi, après la deuxième partie que le deuxième joueur
perd, ils ont :
Le premier, 12''"; le deuxième, I2''''; le troisième, 48*'''.
Mais le premier et le troisième viennent de doubler leur
Les projections fçéométviques. i.S5
argent ; donc, avant cette partie, ils avaient : l'un ô^"", l'autre 24'"'",
et le deuxième Joueur avait en plus les So^'" qu'il est obligé de leur
donner; donc, après la première partie, ils avaient :
Le premier, 6'"''; le deuxième, 42^''; le troisième, 24^''.
Et avant cette partie^ le deuxième et le troisième n'avaient
que la moitié de ce qu'ils ont maintenant, tandis que le premier
avait en plus les 3 S*"'' qu'il leur a donnés; donc, en entrant au jeu,
ils ont :
Le premier, 39*'''; le deuxième, 2 i*''"; le troisième, I2^^
D'une manière générale, si le nombre des joueurs est n et s'ils
possèdent chacun a francs après la dernière partie, on résout le
problème en établissant la situation de chaque joueur après
la [n — I ji^'"^ partie, puis après la (n — 2)^^^'"'-'_, et ainsi de suite
en remontant.
On trouve qu'ils possédaient respectivement, avant de com-
mencer à jouer,
T 4- 2"-^ n I -V- i"--n 1 4- n
a, • a, • • • ? — -— ^•
2'
.-«^,§»^
Problème XLIV. — bacchus et silèxe.
Bacchus ayant vu Silène
Près de sa cuve endormi,
Se mit à boire sans gêne
Aux dépens de son ami.
Ce jeu dura pendant le triple du cinquième
Du temps qu'à boire seul Silène eût employé;
i86 Chapitre quatrième.
Il s'éveille bientôt et son chagrin extrême
Dans le reste du vin est aussitôt noyé.
S'il eût bu près de Bacchus même,
Ils auraient, suivant le problème,
Achevé six heures plus tôt;
Alors Bacchus eût eu pour son écot,
Deux tiers de ce qu'à l'autre il laisse.
Ce qui maintenant m'intéresse
Est de savoir, exactement,
Le temps qu'à chaque drôle il faut séparément
Pour vider la cuve entière.
Sans le secours de son digne confrère,
(Vincent.)
Vers 1848, un élève du Lycée Charlemagne, à Paris, fit la jolie
réponse suivante :
Dans cette occasion Silène eut tout l'honneur.
En quinze heures Bacchus acheva la besogne;
Il n'en fallut que dix au digne précepteur;
J'en conclus qu'il était de moitié plus ivrogne.
€^r
NOTES
NOTE I.
Discours prononcé à la Distribution solennelle des Prix du Lycée Saint-
Louis, le mardi 4 août i885, par M. Edouard Lucas^ professeur de
Mathématiques spéciales.
Chkrs Élèves,
Désigné par notre excellent proviseur, M. Joubin, pour pro-
noncer le discours d'usage, j*éprouve, je l'avoue, beaucoup d'em-
barras. Cet honneur était le plus habituellement réservé jusqu'ici
à nos collègues de Philosophie ou de Littérature, de Géographie
ou d'Histoire; les sujets les pFus intéressants ne leur manquaient
pas, dans tous les genres, lorsqu'ils vous parlaient naguère de
l'avenir ou de la liberté, de la camaraderie, des voyages et par-
dessus tout des vacances. J eme vois donc obligé de vous entretenir,
à mon grand regret, d'un sujet moins riant et de vous exposer
quelques réflexions les unes toutes neuves, les autres déjà bien
vieilles, sur le Calcul, son histoire, ses méthodes, son enseigne-
ment et ses progrès. Vous le voyez, j'ai choisi par vocation et par
goût le genre ennuyeux; mais vous n'y perdrez rien qu'un peu
de temps, car je serai bref.
Dans les premiers âges de l'humanité, on comptait avec des
i88 Note I.
cailloux, d'où viennent les mots calcul et calculer; on comptait
aussi en faisant des entailles sur les pierres ou sur Técorce des
arbres; c'est ainsi que l'on retrouve encore dans diverses localités
des marques de chasse remontant aux époques les plus reculées.
C'est le procédé le plus élémentaire pour compter, car il repré-
sente l'idée même de la formation des nombres par l'addition
successive des unités. On le revoit de nos jours dans certaines
industries, chez les bûcherons, et dans le commerce de détail;
c'est ainsi que la boulangère marque le nombre des pains pris à
crédit, dans les communes où ce genre de crédit existe encore, en
faisant des coches sur deux tailles de bois accolées; prises séparé-
ment, ces deux tailles indiquent le doit et l'avoir, le compte du
créancier et du débiteur. Qu'est-ce donc que la taille de la bou-
langère? C'est le rudiment du calcul, et c'est aussi celui de la
comptabilité en partie double.
Un voyageur, qui vient de rentrer en France après avoir
accompli le tour du monde, racontait dernièrement à la Société
de Géographie que les naturels des îles Andaman possédaient une
manière de compter tout à fait élérfientaire et fort bizarre. Pour
représenter les unités du premier ordre, ils se frottent le nez sur
la terre autant de fois qu'il convient, et pour marquer les unités
d'un ordre plus élevé, ils se tirent les oreilles; le procédé de ces
peuplades restées primitives constitue déjà un progrès sur le pré-
cédent, puisqu'il contient deux ordres d'unités, les unités nasales
ou de premier ordre et les unités auriculaires ou de second ordre.
Mais quel singulier moyen de compter et de retenir les nombres !
il aplatit le nez, il allonge les oreilles. Nos paysans ne font guère
autrement pour fixer chez les enfants le souvenir d'un événement
important de leur existence, lorsqu'ils leur administrent une
Note I. 189
correction maîtresse. C'est ce qu'ils appellent frapper leur ima-
gination.
Les anciens Tartares avaient, pour s'entendre, des khé-mou ou
bâtonnets entaillés d'une manière convenue; ils s'en servaient
pour communiquer d'une horde à l'autre. Ces bâtonnets indi-
quaient, en temps d'expédition, le nombre d'hommes et de che-
vaux que chaque campement devait fournir. Les habitants du
Pérou, au temps des Incas, avaient des cordelettes nouées qu'ils
appelaient quippos; vous pourrez en voir divers échantillons au
musée ethnographique du palais du Trocadéro. Elles étaient de
différentes couleurs et pouvaient se nouer et s'entrelacer de mille
manières. Le nombre des nœuds, leurs dispositions, leurs enche-
vêtrements avec des baguettes, leurs situations sur un anneau
central en métal ou en os permettaient d'exprimer beaucoup
d'idées; les Péruviens étaient parvenus à produire ainsi une
série de nombres très considérable. Nous observerons, en passant,
que certaines personnes procèdent aujourd'hui d'une manière
analogue en faisant un nœud à leur mouchoir, ou en fixant des
épingles à leurs manches pour se rappeler certaines choses. Il
serait bien puéril de contracter de telles habitudes et je crois que,
tout compte fait, la mémoire y perdrait plus souvent qu'elle y
gagnerait.
Au temps d'Héliogabale, c'est-à-dire au troisième siècle de
notre ère, les Romains se servaient du procédé que nous allons
indiquer sommairement pour faire connaître au loin la force d'une"
troupe. On y trouve en même temps le germe de la numération
décimale écrite et celui de la télégraphie optique appliquée à l'art
militaire. Ils préparaient trois espaces à droite, au milieu, à
gauche; dans chacun d'eux ils allumaient depuis un jusqu'à neut
loo Note I.
feux; mais ceux qui brûlaient dans l'espace à gauche désignaient
des unités; ceux du centre, des dizaines, et ceux de l'espace à
droite, des centaines.
Mais tous ces procédés de compter sont encore bien imparfaits,
et nous voici arrivés au système digital ou calcul sur les doigts.
Depuis bien longtemps ce système a été remplacé par notre sys-
tème actuel de numération, et les nombres représentés à l'origine
avec les doigts de nos deux mains ont été figurés avec des
chiffres. On s'explique ainsi pourquoi les chiffres s'appellent
encore doigts chez certains peuples, et ainsi, par exemple, en An-
gleterre. Le procédé digital ou calcul manuel remonte à la plus
haute antiquité; il était certainement connu en Europe dès le
huitième siècle et couramment enseigné vers l'an mil par le pro-
fesseur d'Arithmétique que l'on appelait alors Magister Abaci.
Il était constamment appliqué dans les calculs commerciaux et
industriels, en Italie, en Sicile, en Egypte, en Syrie et dans
l'Extrême Orient. Déjà on calculait admirablement sur les doigts,
en Arabie, au temps de Mahomet; il est donc bien regret-
table que ce procédé élémentaire ne se soit pas conservé; aussi
nous recommandons cette fort intelligente manière de compter
aux professeurs des institutions de sourds-muets, bien que tout
le monde puisse en tirer profit. Excellent exercice pour ceux
qui ne savent que faire de leurs dix doigts! Il serait intéressant
d'en tenter l'expérience dans quelques écoles primaires, et nous
pensons que les résultats concluraient à la supériorité de
cette antique méthode sur toutes les autres. Vous en trou-
verez la théorie exposée dans un Ouvrage en préparation et
qui paraîtra l'hiver prochain sous le titre : V Arithmétique amu-
santé.
Note I. 19 1
La numération décimale parlée était connue des anciens
peuples de la Grèce, mais il n'en était pas de même de la numé-
ration écrite. Cependant on trouve le germe de celle-ci dans l'im-
mortel Ouvrage d'Archimède intitulé VAt^énaire ou le Dénom-
brement des grains de sable de l'Univers. Malheureusement, il
n'a pas trouvé le zéro, que les Arabes appelaient zéphyr, d'où est
venu le mot chiffre; le zéro, c'est le souffle, le petit rien d'où
naquit tout le calcul. C'est aux Chinois et aux Hindous que l'on
doit l'idée ingénieuse des échelles arithmétiques, de cet heureux
moyen de représenter tous les nombres avec peu de signes et
d'exécuter, par des opérations techniques très simples, des calculs
auxquels l'intelligence humaine, livrée à elle-même, ne pourrait
atteindre. C'est là, dit Condorcet, le premier exemple de ces mé-
thodes qui doublent ses forces et à l'aide desquelles elle peut
reculer indéfiniment ses limites, sans qu'on puisse fixer un terme
où il lui soit interdit de parvenir.
C'est à Fo-Hi, premier empereur et législateur de la Chine, qui ^
vivait vers l'an 3ooo avant notre ère, dix siècles avant Abraham,
que l'on doit le premier système de numération. On lui attribue
aussi l'invention de la pêche, de la chasse, de la musique, de
l'écriture, du calendrier, de l'usage du fer, etc.; on lui attribue
encore l'institution du mariage, mais nous ne savons pas s'il
avait prévu le divorce. Quoi qu'il en soit, on trouve dans son
livre intitulé les Mutations une figure donnant les soixante-
quatre premiers nombres écrits dans le système le plus simple
de numération, le système binaire. Le jeu du baguenaudier,
dont on trouve des échantillons chinois très anciens au Musée
de la Marine, provient fort probablement de la pratique de ce
système.
iq2
Note L
Telle est, esquissée rapidement, Thistoire des systèmes de
numération qui nous montre d'une part la marche si lente mais
toujours progressive de l'esprit humain; on ne saurait trop
admirer, d'autre part, la perfection de cette langue des calculs
dont tous les mots, tous les noms se trouvent rangés à leur place
naturelle comme dans un gigantesque dictionnaire, et qui nous
fait entrevoir l'infini bien autrement que les nombres ou les
distances des étoiles qui se comptent et se mesurent, et sont
nécessairement représentés par des nOxmbres très grands, il est
vrai, mais toujours limités.
Passons à renseignement du calcul. Messieurs les papas, et
vous, Mesdames, bonnes et douces mamans, qui bercez vos fils
sur vos genoux en soulevant pour eux les voiles de l'avenir; vous
qui les voyez déjà revêtus du sérieux et brillant uniforme de
l'École Polytechnique, l'épée au côté, le claque posé crânement
sur l'oreille, l'air vainqueur! voulez-vous me permettre de
donner un conseil dicté par une expérience déjà mûre; dévelop-
pez chez l'enfant le goût du Dessin et de l'Arithmétique. Il faut
que, tout petit, l'enfant sache compter au moins jusqu'à vingt
et joue avec les dominos, les lotos, les cailloux et les billes, ou
mieux encore avec de petits cubes égaux de bois ou de pierre; car
ce qu'il importe de développer avant tout, en. même temps que
la lecture et l'écriture, c'est le calcul mental. Mais il ne faut
dans aucun cas que l'écolier apprenne du fait de mémoire les
Tables d'addition ou de multiplication, ou des résultats quel-
conques sans les avoir obtenus directement; l'enfant doit les
trouver lui-même, car son esprit est une force latente à laquelle
il suffit d'imprimer et de diriger le mouvement.
Note I. 193
Dans un Ouvrage publié en 1763 et qui a pour titre : Essai
(TÉducation nationale ou plan d'Etudes pow la jeunesse, par de
la Chalotais, procureur général du roi au Parlement de Bretagne,
l'auteur insiste à diverses reprises sur la nécessité et sur l'utilité
d'instruire les enfants par les récréations :
« Je suppose, dit-il. qu'un enfant sache déjà lire et écrire, qu'il
sache m-ême dessiner, ce que je regarde comme nécessaire, je dis
que les premiers objets dont on doit l'occuper depuis cinq à six
ans jusqu'à dix sont l'Histoire, la Géographie, l'Histoire natu-
relle, des récréations physiques et mathématiques; connaissances
qui sont à sa portée, parce qu'elles tombent sous les sens, parce
qu'elles sont les plus agréables et par conséquent les plus propres
à occuper l'enfance. »
Et plus loin :
« C'est aux mathématiciens à trouver une route qui n'ait pas
encore été frayée. On pourrait peut-être commencer par des ré-
créations mathématiques. »
Ainsi, vous le voyez, l'enseignement des Sciences doit être gai,
vivant, amusant, récréatif et non froid, imposant, solennel. Gar-
dons notre majesté pour les fêtes universitaires.
Donc l'enfant sait compter jusqu'à vingt-neuf, en y compre-
nant tous les dominos et la boîte : il connaît les dix-sept mots qui
servent à former leurs dénominations. Use famiUarise peu à peu
avec le mécanisme de la numération, de l'addition et de la sous-
traction; avec quelques mots de plus, ceux de dizaine, cent,
mille, milHon, billion ou milliard, il connaît tous les nombres
jusqu'à douze chiffres; en voilà bien assez pour la pratique. Il
continue en même temps les exercices de calcul mental, sur
l'addition et la soustraction, en ne dépassant pas la combinaison
Éd. Lucas. — Arithmétique amusante. i3
[94 A^ofe /.
de quatre nombres de deux chiffres ou de deux nombres de trois;
vous lui montrez alors les divers artifices qui simplifient consi-
dérablement ces deux premières opérations fondamentales; on les
trouve fort bien développés dans les excellents petits livres publiés
récemment sur le calcul mental. par mes collègues MM. Vintéjoux
et Rebière.
Pour apprendre à notre écolier la multiplication, gardons-
nous bien de lui faire réciter, sur un ton dolent et monotone, deux
fois deux font quatre, deux fois trois font six, deux fois quatre
font huit, et de lui faire défiler ainsi toute la Table de Pythagore ;
ce serait donner à ses facultés arithmétiques un enterrement de
première classe. L'enfant doit construire la Table lui-même, et
voici comment je l'enseignais à mon fils, dès l'âge le plus tendre.
Vous m'excuserez de parler de lui, mais ne sommes-nous pas tous
ici un peu de la même famille? Il savait déjà compter de deux en
deux parles numéros des maisons de la rue. Le côté des numéros
pairs, c'est la deuxième colonne de la Table, n'est-ce pas ? Pour les
autres colonnes, je lui faisais disposer dans l'ordre les quatre-
vingt-dix boules du jeu de loto. En les retirant de trois en trois,
de quatre en quatre, et ainsi de suite, il obtenait les autres
colonnes qu'il inscrivait au fur et à mesure sur un grand damier.
Quelques jours après, le bambin me ménageait une surprise; il
avait construit tout seul une Table jusqu'à treiUe fois trente; ce
n'était pas une merveille de calligraphie; il y avait bien quelques
gros pâtés, mais il n'y avait pas d'erreurs. Un matin, à son
réveil, il me demandait le produit de deux nombres de deux
chiffres qu'il venait de calculer de tête; il voulait s'assurer s'il
était aussi bon calculateur que papa? Il apprenait à calculer, mais
trop vite ; alors j'interrompis les leçons, car je ne désire pas qu'il
Note I. ig5
devienne comme Henri Mondeux, le fameux pâtre de la Tou-
raine, comme Mangiamelli ou comme Inaudi, une machine
arithmétique à grosse tête. Mais il m'aura bientôt dépassé
et saura calculer d'instinct, comme les hommes respirent,
comme les poissons nagent, comme les oiseaux planent dans
les airs.
Porté moi-même dès Tenfance vers l'étude des combinaisons
arithmétiques, Je réfléchissais depuis longtemps sur les simplifi-
cations que l'on peut introduire dans les calculs, lorsque j'eus le
bonheur de rencontrer, il y a quelques années, un modeste em-
ployé, dessinateur principal aux chemins de fer de l'État, à Tours.
M. Henri Genaille ne sort d'aucune école; il n'a ni brevets, ni
grades universitaires, mais c'est un homme de génie; et si
quelques personnes venaient me taxer d'exagération, je leur
apporterais les témoignages des savants les plus illustres et je
leur montrerais des lettres de plusieurs professeurs de l'Ecole
Polytechnique, qui le placent au rang des bienfaiteurs de l'hu-
manité.
Ce qui distingue surtout les inventions de Genaille, c'est leur
extrême simplicité; plusieurs d'entre elles viennent apporter aux
calculs arithmétiques un perfectionnement considérable. Après
avoir mis nos idées en commun, nous venons de soumettre au
jugement du public une série de boîtes et d'appareils à calculs
exacts dont le prix est insignifiant et dont l'usage se popularisera
rapidement, nous osons l'espérer. La boîte de multipUcatrices se
compose de onze réglettes dont on apprend le maniement en
quelques minutes. On peut les permuter de plus de trois millions
de manières et obtenir presque instantanément le tableau des
iQb
Note I.
produits d'un nombre ayant dix chiffres, au plus, par les neuf
premiers nombres. Avec deux boîtes, on obtient tous les produits
partiels de tous les nombres jusqu'à vingt chiffres, et si Ton vou-
lait cataloguer tous ces résultats dans des volumes de mille pages,
à cent lignes par page, il faudrait pour contenir ces volumes une
centaine de millions de bibliothèques comme la Bibliothèque
nationale, en supposant que celle-ci renferme dix millions dz
volumes! Qu'est-ce encore que l'ensemble de ces deux boîtes?
c'est l'équivalent d'une Table de Pythagore sur un rouleau de
papier dont la largeur n'aurait que vingt centimètres, mais dont
la longueur serait immense, dont la longueur serait égale à vingt-
cinq milliards de fois le tour du monde, et Genaille pourrait dire,
à l'exemple d'Archimède : « Qu'on me donne ce rouleau et un
point d'appui, et j'attendrai patiemment soixante millions d'an-
nées pour que le ruban s'enroule autour de la Terre par le seul
effet de sa rotation. »
Ainsi se trouve résolue fort simplement la première partie de ce
problème si difficile et cherché depuis bien longtemps : l'extension
indéfinie de la Table de multiplication en longueur. Nous vous
montrerons plus tard son extension en largeur.
Je termine ici cette leçon, la dernière de l'année scolaire; je ne
veux pas retarder plus longtemps l'instant de^ vos triomphes, ni
l'heure si désirée, mais si justement méritée parle travail, de votre
repos et de votre loisir. Vous allez vous disperser aux quatre coins
de la France; quelques-uns, peut-être, au delà de nos frontières.
Au dedans, comme au dehors, vous apprendrez à connaître et à
aimer la patrie. Donc, chers élèves, un dernier mot pour vous
parler de vos devoirs envers elle et laissez-moi vous répéter ce que
Note I.
197
je dis bien souvent à mon fils ; c'est la Marseillaise des petits sol-
dats, par Victor de Laprade :
Tu seras soldat, cher petit,
Tu sais, mon enfant, si je l'aime!
Mais ton père t'en avertit,
C'est lui qui t'armera lui-même.
Quand le tambour battra demain,
Que ton âme soit aguerrie,
Car j'irai t'olfrir de ma main
A notre mère, la patrie.
Sois fils et frère jusqu'au bout,
Sois ma joie et mon espérance,
Mais souviens-toi bien qu'avant tout.
Mon fils, il faut aimer la France.
Elle a subi le grand affront;
Mais Dieu veut qu'elle se relève :
Nos écoliers la vengeront
Et par l'esprit et par îe glaive.
-«^.^•^
Note IL
NOTE II.
Sur les traversées.
M. Tarry, inspecteur des contributions diverses à Alger, a
modifié l'énoncé du problème des Traversées.
Il admet que les maris seront seuls appelés à conduire le bateau
et, en outre, que les femmes ne veulent pas, si leur mari n'est
pas présent, demeurer en la compagnie d'un ou de plusieurs autres
hommes.
D'autre part, comme M. Tarry habile depuis longtemps l'Al-
gérie, il a prévu le cas où l'un des maris serait musulman, c'est-
à-dire polygame.
Nous donnons ci-après la solution de ces deux problèmes qu'il
nous a adressés sous les titres de : la traversée des ménages mo-
dèles et la traversée du polygame.
c^-fe^
LA TRAVERSEE DES MENAGES MODELES.
Des maris, en nombre quelconque, se trouvent avec leurs
femmes au passage d'une rivière; ils rencontrent un bateau si
petit, qu'il ne peut porter plus de deux personnes. De plus, la
rivière renferme une île sur laquelle on peut s'arrêter.
Les maris ne veulent pas que leurs femmes se fatiguent à con-
Note IL 199
duire le bateau, soit en accompagnant une autre femme, soit en
revenant seules.
De leur côté, les femmes ne veulent pas, si leur mari n'est pas
présent, demeurer en la compagnie d'un autre homme, ou de plu-
sieurs autres, soit sur les deux rives, soit dans le bateau ou dans
l'île.
On demande comment toutes ces personnes traverseront la
rivière.
SOLUTION.
1. — Rive I à rive 2 Ménage i .
2 . — Rive 2 à rive i Mari i .
3. — Rive I à île Ménage 2.
4. — Ile à rive i Mari 2.
5. — Rive I à île • Maris i et 2.
6. — Ile à rive i Mari i .
7. — Rive I à île Ménage 3.
8. — Ile à rive i Maris 2 et 3 .
9. _ Rive I à rive 2 Maris i et 2.
10. — Rive 2 à rive : Mari 2.
Les deux maris libres, 2 et 3, traversent la rivière; l'un d'eux
reste sur la seconde rive, et l'autre ramène le bateau. Puis l'un
des ménages traverse la rivière, et le mari libre passé ramène le
bateau.
Par cette tactique, de deux allers et de deux retours, un ménage
passe.
On la recommencera jusqu'à ce qu'il ne reste plus sur la pre-
mière rive qu'un seul ménage, le ti^
fieme
11. — Rive I à rive 2 Maris 2 et 3.
12. -- Rive 2 à rive i Mari 3.
13. — Rive I à rive 2. Maris 3 et n.
Note IL
14. — Rive 2 à île Maris 2 et 3.
15. — Ile à rive 2 . Ménage 2.
16. — Rive 2 à île Mari n»
17. — Ile à rive 2 Maris 3 et ».
18. — Rive 2 à île Mari 3.
19. — I!e à rive 2 Ménage 3.
20. — Rive 2 à rive i Mari n.
21. — Rive F à rive 2 Ménage n.
Ainsi, pour quatre ménages, le nombre de trajets est égal à 21,
c'est-à-dire au quadruple du nombre de ménages, plus cinq
unités. Or, chaque ménage en plus nécessite quatre trajets. Donc
la formule est générale.
LA TRAVERSEE DU POLYGAME.
On suppose que, dans le problème précédent^ l'un des maris
est polygame.
SOLUTION.
1. — Rive I à île Ménage i.
2. — Ile à rive i Mari i.
3. — Rive I à rive 2 Ménage 2.
4. — Rive 2 à rive i Marf 2,
5. — Rive I à rive 2 Maris i et 2.
6. — Rive 2 à rive i Mari i .
7. — Rive I à rive 2 Ménage 3.
8. — Rive 2 à rive i Maris 2 et 3.
9. — Rive I à île Maris i et 2.
10. — Ile à rive i Mari 2.
Passage des ménages de la première rive dans l'île, jusqu'à ce
Note IL
qu'il ne reste plus sur la première rive que la famille du poly-
game :
11. — Rive I à île Maris 2 et 3.
12. — Ile à rive i Mari 3.
13. — - Rive I à île Mari 3 et polygame.
14. — Ile à rive 2 Maris 2 et 3.
15. — Rive 2 à île Ménage 2.
16. — Ile à rive 2 Polygame.
17. — Rive 2 à île Polygame et mari 3.
18. — Ile à rive 2 Mari 3 .
19. — Rive 2 à île Ménage 3.
20. — Ile à rive i Polygame.
21. — Rive I à rive 2 Polygame et sa première
femme.
22. — Rive 2 à rive i Polygame.
23. — Rive i à rive 2 Polygame etsa deuxième
femme.
Le polygame va chercher successivement ses autres femmes et
les amène sur la seconde rive. Ce qui exige deux trajets pour la
traversée de chaque femme.
Le voyage s'achèvera en exécutant les manœuvres de la pre-
mière phase^ mais en sens inverses.
24. — Rive 2 à île Polygame.
25. — Ile à rive i Ménage 3.
26. — Rive i à îl. Mari 3.
27. — Ile à rive i Mari 3 et polygame.
28. — Rive i à ÎL Polygame.
29. — Ile à rive i Ménage 2 .
30. — Rive I à île Maris 3 et 2.
31. — Ile à rive 2 Polygame et mari 3.
32. — Rive 2 à île Mari 3.
33. — Ile à rive 2 Maris 3 et 2.
202 Note IL
Passage des ménages de l'île sur la seconde rive :
34. — Rive 2 à île Mari 2.
35. — Ile à rive 2 Maris 2 et i .
36. — Rive 2 à rive i Maris 3 et 2.
37. — Rive i à rive 2 Ménage 3.
38. — Rive 2 à rive i Mari i .
39. — Rive i à rive 2 Maris 2 et i .
40. — Rive 2 à rive i Mari 2.
41. — Rive I à rive 2 Ménage 2.
42. — Rive 2 à île Mari i.
43. — Ile à rive 2 Ménage i .
Ainsi, pour trois ménages et un polygame à deux femmes, le
nombre des trajets est égal à 43, c'est-à-dire àl'octuple du nombre
des familles, augmenté du double du nombre des femmes du
polygame, plus sept unités. Or chaque ménage en plus nécessite
huit trajets, et chaque femme en plus du polygame deux trajets.
Donc la formule est générale.
^^^%^
Note III . 20 3
NOTE III.
Les jeux scientifiques de Lucas.
Edouard Lucas a composé àQs jeux scientifiques pour servir à
l'histoire, à l'enseignement et à la pratique du calcul et du dessin.
La première série de ces jeux a seule été éditée (^); elle comprend :
1° La Fasioulette (courses du cavalier sur l'échiquier ) ;
2" La. Pipopipette ;
3° La Tou?^ d'Hanoï;
/\P Ulcosagonal ou le Jeu des vingt forts;
S*' U Arithmétique diabolique;
6" Les Pavés florentins du père Sébastien.
Ces jeux, qui ont figuré à l'Exposition universelle de 1889,
sont accompagnés de brochures, où se retrouve la verve humo-
ristique de Lucas.
Nous reproduisons ici la plus courte de ces brochures^ celle qu 1
est relative à la Pipopipette.
La Pipopipette n'est autre chose que le jeu mentionné dans les
Récréations mathématiques (t. II, p. 90), sous le nom de Jeu de
l'Ecole Polytechnique.
(') La deuxième série devait contenir des jeux arithmétiques et géomé-
triques sur la multiplication, notamment:
Les Tablettes siamoises. — Le pauvre ermite du moulin de la Galette. —
Le Désespoir d'un épicier. — La Ballade des pendus. — La Colère du char-
cutier. — L'Arithmétique abracadabrante.
Malheureusement la rédaction de ces jeux n'a pas même été ébauchée.
2 04 ^'oté IIL
LA PIPOPIPETTE
NOUVEAU JEU DE COMBINAISONS
DÉDIÉ AUX ÉLÈVES DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE
PAR UN ANTIQ.UE
DE LA PROMOTION DE 1861.
Elle a été grande dès sa naissance. Vingt ans
après, l'empereur Alexandre disait, au (Congrès d'Aix-
la-Chapelle: (( C'est la plus belle des institutions que
les hommes aiont jamais faites. »
(G. PiNET. — Histoire de F École Polytechnique.)
La Pipopipette est un nouveau jeu fort original dont les com-
binaisons ne laissent rien au hasard et qui peut se jouer à deux,
trois, quatre personnes et plus. Sa pratique, quoique facile,
donne lieu à des surprises continuelles; mais sa théorie n'est pas
connue (^). Cependant, nous conseillons aux nombreux ama-
teurs qui vont l'étudier et le propager, d'éviter avec soin la for-
mation par l'adversaire des lignes en zigzag ou en marches d'es-
calier.
Le nombre des parties différentes, qui revient au nombre des
manières de placer successivement les barrettes sur les chevilles,
est immense; il est égal au produit
1.2.3.4... 58 . 59 . 60,,'
puisqu'il y a soixante barrettes.
(') Je n'ai pas assez pratiqué le jeu peur pouvoir rien affirmer. Mais il
me semble que, pour le second, la meilleure défense consiste à jouer les
coups symétriques de ceux du premier joueur, tout au moins jusqu'à ce
qu'on arrive à la fermeture des carrés. A ce moment, on devra parfois dé-
roger à la règle; mais le plus souvent elle assurera, je crois, le gain de la
partie. D.
Note m. 2o5
Il a quatre-vingt-deux chiffres !
En énonçant ce résultat, qui nous a demandé deux minutes
de calcul, nous ne pouvons nous empêcher de sourire en relisant
ce passage des Essais de Montaigne, placé en tête du Chapitre
Des vaines subtilités : « Il est de ces subtilités frivoles et vaines,
par le moyen desquelles les hommes cherchent quelquefois de la
recommandation ; comme les poètes qui font des ouvrages entiers
de vers commençant par une même lettre, nous voyons des œufs,
des boules, des ailes, des haches, façonnées antérieurement par
les Grecs avec la mesure de leurs vers, en les rallongeant ou rac-
courcissant, en manière qu'ils viennent à représenter telle ou telle
figure; telle était la science de celui qui s'amusa à compter en
combien de sortes se pouvaient ranger les lettres de l'alphabet, et
y en a trouvé ce nombre incroyable qui se voit en Plutarque. »
Qu'aurait donc pensé notre philosophe, en lisant A To%pn
Idyll, début poétique de Sylvester (^), l'un des plus illustres ma-
thématiciens de notre siècle? C'est une pièce de deux cents vers
anglais, rimant continuellement en ine et in, et qui se termine par
De ces fins gestes, voilà la fin.
Quant au nombre qui se voit dans Plutarque, sur les permuta-
tions des vingt-cinq lettres de l'alphabet, il n'a que vingt-six
chiffres; mais personne ne pourrait les compter d'une manière
effective, puisqu'il ne s'est pas encore écoulé un milliard de mi-
nutes depuis le commencement de notre ère, et qu'un milliard
n'est, en somme, qu'une misère; c'est le plus petit des nombres
(1) Spring's Début, A Tomi Idyll, In two centuries ofcontinuous rhyme,
by J. J. Sylvester, author oîih.Q.Laws of verse. — Printed for prîvate circu-
lation only, by John Murphy, Baltimore; 1880.
2o6 Note III.
de dix chiffres. Pourtant on apprend à calculer ce nombre in-
croyable à nos écoliers, qui n'ont même pas besoin, pour le con-
naître, de savoir la division. Nous donnerons une explication fort
simple de ce calcul dans notre Arithmétique diabolique.
Montaigne ajoute : « C'est un témoignage merveilleux de la
faiblesse de notre jugement, qu'il recommande les choses par la
rareté ou nouvelleté, ou encore par la difficulté, si la bonté et uti-
lité n'y sont jointes. « Témoignage de faiblesse, dit le philo-
sophe; témoignage de souplesse et de force, répond le savant.
Lorsque les anciens^ par un temps sec, frottaient un morceau
d'ambre avec une peau de chat pour attirer ensuite les corps
légers, ils ne se doutaient guère que ce fait, tiré de l'observation
de Ja nature et qui n'était pour eux qu'un amusement, serait le
germe des théories de l'électricité et des nombreuses applications
qui étonnent l'humanité. Lorsque les géomètres de la Grèce —
nommés à tort géomètres puisqu'ils ne mesuraient pas la terre
mais l'arpentaient en péripatéticiens — coupaient par le travers
une racine bien ronde et bien pointue, pour étudier la forme et
les propriétés de la section, une section conique, croyaient-ils
que leurs études serviraient, plus de vingt siècles plus tard, à
Kepler pour formuler les lois du mouvementdes planètes, à Nev^-
ton pour poser celles de l'attraction universelle, à Laplace pour
écrire la Mécanique Céleste et son Exposition du Système du
Monde?
Lorsque les prêtres de l'ancienne Perse composaient, avec les
lettres du mot Abracadabra, cette figure mystérieuse et cabalis-
tique, qu'ils faisaient révérer comme une divinité; lorsque les
médecins du moyen-âge l'exploitaient pour leur propre compte
et lui attribuaient la vertu de prévenir les maladies et même de
Note III. 207
les guérir, pensaient-ils que ce tableau symbolique serait repris
un jour par Tartaglia et par Pascal, sous la forme du Triangle
arithmétique qui est le fondement de l'Algèbre moderne ? Lorsque
les mages de l'Inde construisaient avec les premiers nombres,
sous le nom de Carrés magiques, des talismans qu'ils consa-
craient aux dieux et aux planètes ; lorsque Fermât, le créateur de
l'Arithmétique supérieure, étudiait ces mêmes figures que Fran-
klin désignait sous le nom de bagatelles difficiles, pouvait-on
deviner que tous ces calculs serviraient à établir les lois de con-
struction et de classification dans la Géométrie du tissage?
Laissons donc penser les penseurs, rêver les rêveurs, sans nous
inquiéter de savoir si Tobjet de leur attention nous paraît tantôt
utile, tantôt frivole; car tout est dans tout, disait le sage Anaxa-
gore.
Mais revenons à la Pipopipette ; elle a été imaginée à l'Ecole
Polytechnique par plusieurs de mes anciens élèves de Spéciales.
C'est donc avec toute justice que je suis heureux de leur dédier ce
jeu, que mes éditeurs ont établi avec un grand luxe, en s'inspi-
rant de la couverture du livre fort intéressant d'un excellent
ami (*). En la voyant, ils s'écrieront :
Ah! saperlipopette!
Belle Pipopipette!
mais je m'arrête là pour ne pas déplaire à la grande ombre de
Montaigne^ et puis aussi parce que mes facultés poétiques sont
toutes petites.
Amusez- vous donc à votre jeu, étudiez-le aux heures de loi-
sir; comme tout jeu de calcul, il contient sa méthode et son en-
(') G. PiNET_, Histoire de V École Polytechnique.
20 8 Note III.
seignement. Mais ne vous y attardez pas et permettez à un vieux
Camarade, un Antique, de vous rappeler ce précepte de Franklin :
« Ne gaspillez pas le temps; c'est l'étoffe dont la vie est faite. )>
Paris, le 5 mai 1889.
Règle du Jeu.
Le jeu de la Pipopipette se compose de trente-six chevilles dis-
posées en carré sur une planchette et de soixante barrettes, avec
poignées, placées dans une corbeille.
Il se joue à deux, à trois ou à quatre personnes placées autour
d'une table comme au jeu de whist ; dans le cas de quatre joueurs,
on peut s'associer en deux groupes, mais de telle sorte que les
joueurs d'un même groupe ne peuvent jouer l'un après l'autre.
L'ordre des joueurs est déterminé par un tirage préalable; mais,
pour compenser l'injustice du sort, la tournée se compose de deux
parties pour deux joueurs, de trois parties pour trois joueurs, de
quatre parties pour quatre joueurs, de telle sorte que chacun des
joueurs commence la partie dans l'ordre déterminé par le tirage.
Chaque joueur, à tour de rôle, prend une barrette dans la cor-
beille et la place sur deux clous de la planchette, à l'endroit libre
qu'il choisit.
Tout joueur marque un point lorsque, en plaçant sa barrette,
il ferme l'un des vingt-cinq petits carrés, c'est-à-dire lorsque ce
petit carré se trouve barré sur les quatre côtés.
Tout joueur qui marque un point, prend une autre barrette
dans la corbeille et la place où bon lui semble; il peut ainsi mar-
quer un second point s'il ferme encore un carré; puis un troi-
Note III. 209
siéme, un quatrième, etc. Mais il doit passer la pose, lorsqu'il
ne ferme pas de carré.
On peut garnir de petits jetons d'os, de bois, ou d'ivoire, l'in-
térieur des vingt-cinq carrés; dans ce cas, le joueur qui ferme
un carré enlève le jeton correspondant, et la marque se fait d'elle-
même par les jetons.
La partie est terminée, quand tous les carrés sont fermés. Il
suffit de retourner la planchette pour faire tomber les barrettes
et pour recommencer une nouvelle partie.
AUTRKS PIPOPlPIiTTES.
Voici un autre jeu de notre inveniion que l'on peut exécuter sur
la planchette.
Il se joue à deux personnes; la tournée se compose de deux
parties commencées successivement par chacun des joueurs.
Chaque joueur, à tour de rôle, prend une barrette dans la cor-
beille. Au premier coup, on pose la barrette sur deux clous voi-
sins, où Ton veut; l'autre joueur doit placer sa barrette de telle
sorte que Tuné des extrémités coïncide avec l'une des deux ex-
trémités de la première barrette.
Les deux joueurs posent alternativement une barrette, à partir
de l'une des extrémités du contour formé par les barrettes.
Chaque cheville ne peut porter plus de deux barrettes.
Le premier joueur qui ne peut poser sa barrette, sans enfreindre
les règles précédentes, a perdu la partie.
Il y n'y a jamais de partie nulle.
Nota. — On aurait encore un autre jeu en acceptant cette
convention : chaque cheville ne peut porter plus d'une barrette.
^Q. L\2CM, — Arithmétique amusante. 14
Note IV.
notf: IV.
Nous reproduisons, dans cette Note finale, divers fragments relatifs aux
Récréations mathématiques, achevant ainsi la publication de tout ce que
Lucas a laissé sur ce sujet (').
I. — LES HUIT DAMES.
Nous avons donné, dans le premier Volume de nos Récréations,
la solution du problème des huit reines au jeu des échecs. Il
s'agit de placer huit reines ou huit pions sur les cases de l'échi-
quier ordinaire, de telle sorte qu'aucune des reines ne puisse être
(') Lucas avait l'intention de continuer la série de ses Volumes de
Récréations^ il avait même arrêté le plan des tomes V et VI :
Tome V.
L Le Triangle arithmétique.
JI. Abracadabra.
III. Le Saut du cavalier.
IV. Géométrie du tissage.
V. Carrés diaboliques.
VI. Arithmétique figurative.
VII. Jeux de ficelles.
Tome VI.
I. Le roi Dagobcrt.
II, Hélices paradromes.
m. Topoloo;ie.
IV, Nœuds de Tait.
V. Tchoucka-Rouma.
VI. Battements de Monge.
VII. Le Jeu des cinq dames.
VIII. Polvi^oncs 'étoiljs et polyèdres de,
Giinther.
On voit par les en-têtes de Chapitres, que ces nouveaux Volumes n'au-
raient pas été moins intéressants que les précédents. Malheureusement les
titres r.euls subsistent; pour la plupart de ces Récréations, il ne reste rien,
pas même des notes sommaires. Quel dommage que Tœuvre de notre ami
soit restée ainsi inachevée! Tous les lecteurs, nous en sommes sûrs, par-
tageront nos regrets. D,
Note IV
prise par une autre; en d'autres termes, sur huit des cases de
l'échiquier, il s'agit de placer huit reines, de telle façon que deux
quelconques d'entre elles ne soient jamais situées sur deux cases
appartenant à une même rangée horizontale, verticale ou diago-
nale. Nous avons dit que ce problème a été posé vers la fin du
siècle dernier, par Nauck, à l'illustre Gauss et fut l'objet d'une
correspondance entre celui-ci et l'astronome Schumacher. Gauss
a d'abord cru qu'il y avait 76 positions pour l'ensemble des huit
reines, puis 72; enfin il s'est arrêté au nombre de 92 qui a été
reconnu définitivement pour le nombre exact. Cependant la solu-
tion de Gauss était restée ignorée, même en Allemagne, et la
SchacJi^eîtiing-^ journal d'échecs de Berlin, pour les années 1849
et 1854, ne donnait que 40 positions découvertes par différents
amateurs.
UN MORT QUI FAIT PART DE SON DPXÈS.
Cette même question a été publiée complètement^ pour la pre-
mière fois, au mois de mars 1861, par Bellavitis, professeur à
l'Université de Padoue et sénateur du royaume d'Italie, décédé
en 1880, à l'âge de 84 ans. Ce fut un savant très distingué auquel
on doit l'intéressante et féconde méthode des Eqiiipollences, pour
la résolution des problèmes de Géométrie et de Mécanique. Ses
principaux travaux ont été vulgarisés et publiés en France, par
M. Laisant, qui vient d'en publier une nouvelle édition (^).
(') Laisant (G. -A.), Théorie et applications des équipollences. In-8, avec
73 figures; 1887 (Paris, Gauthier-Villars).
Note I V.
En 1877, sentant sa mort prochaine, il avait lait imprimer des
lettres de faire part annonçant son décès, et avait e'crit de sa main
les adresses de ses amis et de ses correspondants. Mais alors la
mort ne vint pas, les lettres furent rangées et ne furent envoyées
que trois ans plus tard; nous avons conservé précieusement le
curieux autographe qui nous était adressé.
Voici d'ailleurs le texte de la lettre de faire part ;
Jeri cessava di vivcre
IL PROF. GIUSTO CONTE BELLAVITIS
SENATORE DEL REGNO
La Moglic ed il Figlio dolentissimi ne danno
il triste annuni^io!
Pour l'exécution de notre problème, on se sert des huit pions
noirs du jeu des échecs, en leur supposant une couleur différente
et une valeur égale à celle de la reine, ou encore de huit pions
noirs d'un jeu de dames. La Jîg. 3j donne en A, B, C, D
quatre solutions de la question ; on observera que les solutions B,
C, D se déduisent de la solution A en faisant tourner l'échiquier
d'un, de deux, de trois quarts de tour autour^e son centre, dans
le sens opposé à celui du mouvement des aiguilles d'une montre.
On représente la solution A par le nombre de huit chiffres 7, 2,
6, 3, I, 4, 8, 5; le premier chiffre 7 indique la hauteur de la
reine dans la première colonne à gauche de l'échiquier; le second
chiffre 2 indique la hauteur de la reine dans la seconde colonne
et ainsi de suite. On retient d'ailleurs cette première position au
Note IV.
moyen de la formule mnémotechnique suivante imaginée par
M. le général Parmentier :
C'est «difficile si ti\ l'eux ^ue Jiuit «cadrent;
Sept <ieux i'ix h'ois z/n quatre huit cinq;
7 263148 5
hàfig. 38 donne en A', B', C, D' quatre autres positions; ces
C_ 4-1586372 D.TISôeWS
Les quarts de tours.
C'_58«»-13627 D'_2861357i»
Les images.
solutions se déduisent encore les unes des autres par la rota-
tion de l'échiquier; mais elles se déduisent encore des quatre
premières en regardant les images de celles-ci dans un miroir
placé sur le bord supérieur des échiquiers A, B, G, D. Ainsi, en
général, la connaissance d'une solution quelconque conduit
immédiatement à sept autres solutions; nous ne conserverons
dans un groupe de huit positions que l'une d'entre elles que nous
appellerons solution primordiale.
2(4
Note 1 V.
Le problème des huit reines comporte 12 solutions primor-
diales représentées dans la fig. 39; en multipliant par 8, on au-
rait ainsi 96 solutions; mais on observera que la solution XII
r^sr^'T"
i ^ %
m
IV
.358^1 726
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Les solutions primordiales.
Xn_352817V6
n'en fournit que quatre, attendu qu'elle coïncide avec elle-même
par rotation d'un demi-tour; la solution est symétrique par
rapport au centre. Il y a donc 92 solutions, ni plus ni moins.
On trouve encore la solution complète du problème des huit
reines dans le premier volume du Traité de rapplication de
V analyse mathématique au jeu des échecs, par C. F. de Jœnisch
(Saint-Pétersbourg, 1862). Malheureusement les notations trop
compliquées de l'auteur ont éloigné de son livre fort ingénieux
Ao/e IV. 2 1 5
non seulement les joueurs d'échecs, mais aussi les mathématiciens.
On trouve dans cet Ouvrage la remarque suivante: « Dans toutes
les positions des huit reines, quatre d'entre elles sont toujours
situées sur des cases noires et les quatre autres sur des cases
blanches. » Il est facile de constater cette propriété sur les diverses
solutions primordiales et, par suite, pour toutes les solutions.
On peut résoudre le problème des huit reines d'une manière
dilférente de celle que nous avons indiquée précédemment en
modifiant l'énoncé comme il suit : Placer huit reines sur l'échi-
quier, de telle sorte qu'aucune d'elles ne puisse être prise par une
autre, en imposant à l'avance à l'une d'elles la condition d'oc-
cuper une case déterminée de l'échiquier. C'est sous cette forme
que le problème a été résolu par Cretaine, libraire, dans l'Ou-
vrage intitulé : Etudes sur le problème de la marche du cavalier
au jeu des échecs et solution du problème des huit dames (Paris,
i865). c( Ce problème amusant est parfois assez laborieux à
résoudre, dit l'auteur, même quand on a la faculté de changer
toutes les dames de place, mais il devient beaucoup plus difficile
lorsque la position invariable de la première est déterminée. »
Nous ne partageons pas ici l'opinion de Cretaine, mais nous
donnerons cependant sa solution curieuse bien qu'incomplète,
parce qu'elle permet de trouver de mémoire, les yeux recouverts
d'un bandeau_, une position des sept reines en imposant à la hui-
tième l'occupation d'une case quelconque de l'échiquier.
Nous observerons d'abord, d'après l'article précédent, que toute
case imposée peut être ramenée, par rotation ou par image de
l'échiquier^ dans le triangle inférieur de gauche, dont les dix cases
sont désignées par l'une des lettres majuscules A, B,C [fig. 40) ;
les autres cases correspondantes par rotation ou par image portant
2i6 Note IV.
les lettres correspondantes minuscules. La solution mnémonique
est comprise dans les quatre phrases suivantes :
Ton ami relit chaque fait passé.
A. — Ma chère Anna fait la quête,
B. — Rien que mon fils ne le touche.
G. — Louis lie fait taire que mon chat.
Voyons maintenant comment nous allons nous servir de ces
phrases assez ridicules comme la plupart des phrases de la mné-
motechnie. Ecrivons d'abord en majuscules les consonnes sonores
de la première phrase et numérotons-les comme il suit :
ToN aMi ReLit CHaQue Fait PasSé.
12345 67 8 90;
nous aurons, en ne conservant que les huit premières :
Te Ne Me Re Le Cite Que Fe.
''^ /i 2 3 4 5 6 7 8,
Cela posé, nous considérons trois cas distincts, suivant que la case
donnée à l'avance est marquée A, B ou C.
Premier cas. — La case donnée porte la lettre A ; on se sert de
la seconde phrase en soulignant, par la pensée, les consonnes
sonores et en plaçant au-dessous les chiffres correspohdants du
Tableau ( i ).
(Ma CHèRe anNa Fait La QuêTe;
'^' (3 64 28 571.
Note 1 V.
217
On a ainsi la solution donnée par la notation 3, 6, 4, 2, 8, 5,
7, I et représentée dans la Jî^. 41. Elle correspond à la sixième
Fig. 40. Fig. 41.
ronamirelitchaquef^tpassé Ma chère Anna faitlaquête
F
rei
a
m
F
^
m
a
h
a
c
a
a
c
a
b
a
c
b
a
a
b
c
a
b
b
a
c
c
a
b
b
b
b
a
C
c
a
b
b
a
c
B
A
a
b
c
a
b
A
C
A
a
c
a
b
|Â
lll
Èj
m
b
a^
W
a
A. 36428571
Fig. 42. Fig. 43.
Rien que mon lïls ne letouche louis nefait tairequenwn chat
B. 47382516 C. 52814736
solution primordiale tournée d'un quart de tour dans le sens des
aiguilles d'une montre; on observera que six des huit reines se
trouvent sur des cases marquées de la lettre A ou a (Jig. 40).
Deuxième cas. — La case imposée à l'avance porte la lettre B;
alors on se sert de la troisième phrase en soulignant encore les
consonnes sonores et en plaçant au-dessous les chiffres correspon-
dants delà première phrase ou du Tableau (i).
Rien Que Mon Fils Ne Le TouCHe;
4 7382516
On a ainsi la solution donnée parla notation 4, 7, 3,8, 2, 5, 1,6
2 1 8 Note I V.
et représentée dans la fig. 42, elle correspond à la deuxième
solution primordiale écrite dans Tordre renversé. Quatre des
huit reines se trouvent sur des cases marquées delà lettre B ou ^
Troisième cas. — La case donnée porte la lettre C. On se sert
comme précédemment de la dernière phrase
Louis Ne Fait TaiRe Que Mon CHat;
5 28 147 3 6.
on a ainsi la solution ayant pour notation 5, 2, 8, i, 4, 7, 3, 6,
et représentée dans la fig. 43 ; elle correspond à la onzième so-
lution primordiale tournée d'un quart dans le sens opposé aux
aiguilles d'une montre, écrite ensuite dans l'ordre inverse. Trois
des huit reines se trouvent sur des cases marquées de la lettre G
ou c [fig. 40).
Avec un peu d'habitude, on peut résoudre le problème, les yeux
bandés.
Et passer pour sorcier près des âmes crédules.
LES SIX QUADRILLES.
Disposer, sur quarante-huit des cases de V échiquier, six qua-
drilles de huit reines, de telle sorte que les reines d'im même
quadrille ne s'attaquent point; c'est-à-dire de telle sorte que les
reines d'un même groupe ne soient jamais situées sur des cases
Note IV.
2 19
appartenant à une même ligne parallèle aux bords ou aux diago-
nales de l'échiquier.
Lajîg. 44 contient une solution que nous avons publiée dans
le Gil Blas ; les reines de chaque groupe sont désignées par un
Fig. 44.
7M ^^
6
i 1
m.
même chiffre i, ou 2, jusqu'à 6; les cases vides sont disposées
symétriquement par rapport au centre de l'échiquier.
Cette solution, remarquable par sa symétrie, provient de la jux-
taposition des solutions portant les n'^' 2, 14, 42, 5 i, 79 et 91
dans le Tableau général des 92 solutions du problème des huit
reines [Récréations mathéinatiques, t. I, p. 79).
On peut encore proposer le problème sous la forme suivante :
on prend deux jeux de piquet de trente-deux cartes; on place les
sept et les huit sur les cases ombrées de la fig. 44; il s'agit de
placer les cartes restantes de telle sorte que les huit as, les huit
roîSy . . ., les huit neuf, ne soient jamais situés sur deux cases
Note IV.
appartenant à une ligne parallèle aux bords ou aux diagonales de
l'échiquier.
On obtient une autre solution, moins symétrique, en juxta-
posant les solutions portant les numéros
8, i5, -43, 5o, 78, 85,
ou encore les numéros
2, i3, 3i, 62, 80, 91 ;
cette dernière solution nous a été indiquée par M. le commandant
V. Coccoz.
Nous ne connaissons pas d'autre solution de ce problème; il
serait assez facile de les obtenir toutes, en associant par deux les
solutions du Tableau général; ainsi la solution n" i peut être
juxtaposée à plus de trente autres; on pourra ensuite former le
Tableau des combinaisons des solutions qui peuvent se juxta-
poser trois à trois, puis quatre à quatre; mais nous pensons qu'on
ne peut juxtaposer plus de six solutions du problème des huit
reines.
II. — LES JEUX DE RUBANS.
I. Le nœud de cravate. — Avec la cravate, un ruban ou une
bandelette de papier à bords parallèles, on fait un nœud simple et
serré, sans froisser l'étoffe ou le papier, ainsi que nous l'avons
représenté dans \^fig. 45. Le trapèze ABCD est au premier plan
et présente l'endroit de l'étoffe, le triangle AED et la partie BG YX
Note IV.
sont au second plan et présentent encore l'endroit; entin la partie
ombrée dans la figure présente Tenvers.
La figure géométrique ABGDE est un pentagone dont tous les
côtés sont égaux entre eux, ainsi que les angles. En d'autres
Fig. 45.
A' B'
termes, c'est un pentagone régulier construit sans se servir de la
moyenne et extrême raison d'Euclide. On suppose, bien entendu,
que le ruban n'a pas d'épaisseur.
Cet ingénieux procédé de construction du pentagone régulier
se trouve indiqué sans démonstration dans un Ouvrage d'Urbano
d'Aviso, publié à Rome, en 1682, et qui a pour titre : Trattato
DELLA Sfera e Pratiche per uso di essa. Col luodo di fare la
figura céleste, opéra cavata dalli manoscritti del P. Bonaven-
tura Gavalieri. On sait d'ailleurs que c'est à Cavalieri que l'on
doit l'importante méthode des indivisibles.
Note 1 V.
2. Le nœud marin. — Le même Ouvrage contient encore le
procédé qui permet de construire l'hexagone régulier et conduit
au nœud que nous appelons le nœud plat ou marin, que les Ita-
liens appellent nodo a gruppo piano, et les Anglais, loop knot. Il
faut pour cela prendre deux rubans ou deux bandelettes de papier,
à bords parallèles et d'égale largeur.
3. Les hélices paradromes. — Cette théorie a été traitée
pour la première fois par Listing dans l'Ouvrage intitulé : Vor-
studien n^iir Topo logie, publié àGôttingen,en 1848. Les résultats
fort simples obtenus par Fauteur ont été l'unique fondement d'un
laborieux Mémoire qui s'est beaucoup vendu à Vienne, il y a
quelques années; ce Mémoire avait pour objet de montrer
comment on peut exécuter, sans employer le procédé trompeur
de l'escamoteur ou du spirite, le célèbre tour de physique amu-
sante qui consiste à faire un nœud avec une corde sans fin.
Prenons un long ruban étroit ou une bandelette de papier; si
l'on colle les deux extrémités réunies, sans torsion, on forme une
sorte de rouleau, comme un rond de serviette; la surface de ce
rouleau a deux faces, l'une intérieure, l'autre extérieure; le rou-
leau a deux bords ou deux arêtes qui correspondent aux deux
bords du ruban. Si Ton coupe avec une paire de ciseaux la ban-
delette de papier, par une fente longitudinale à égale distance
des bords, il est évident que l'on obtiendra deux autres rouleaux
pareils au premier, mais de hauteur moitié moindre.
Au lieu de réunir sans torsion les deux extrémités, faisons
tourner Tune des extrémités du ruban d'un demi-tour en lui
appliquant une demi-torsion; recourbons-le et collons ensemble
ses extrémités; nous formons ainsi une surface singulière; cette
Note IV.
surface n'a plus qu'une seule face et une seule arête, de telle sorte
que nous pouvons tracer sur le papier, d'un point quelconque de
Tancien recto à un point quelconque de l'ancien verso, un trait
continu qui ne rencontre pas l'unique arête formée par les bords
de la bande primitive (^).
Par suite, lorsque la bande est fendue longitudinalement par
le milieu, au moyen d'une paire de ciseaux, on n'obtient pas deux
bandes distinctes, mais une seule, et cette bande se trouve affectée
de deux demi-torsions, tandis que la bande primitive était
affectée d'une seule.
D'une manière plus générale, si l'on a fait n demi-torsions avant
de réunir les extrémités du ruban, il y a deux cas à considérer :
Lorsque n est un nombre pair, la surface a encore deux faces et
deux liserés formant chacun un circuit fermé; si l'on coupe le
ruban dans sa longueur, il se trouve divisé en deux autres possé-
dant chacun n demi-torsions, comme le ruban primitif; mais les
deux demi-rubans ne peuvent être séparés Tun de l'autre et se
trouvent noués - n fois.
2
Lorsque le nombre n des demi-torsions est impair, la surface
ne présente qu'une seule face et qu'un seul liseré; si l'on coupe
le ruban dans sa longueur, le ruban reste unique avec 2n demi-
torsions et, pour w > I, il est noué.
Au lieu de faire une seule coupe longitudinale du ruban, on
peut en faire deux, trois, . . ., et l'on obtient d'autres résultats.
(') L'étude de la surface à une seule face que l'on obtient en supposant
que la largeur de la bande augmente inde'finiment est excessivement inté-
ressante et instructive; mais ici nous devons la laisser de côté.
224
Note 1 V.
III
LE CARRÉ MAGIQUE DE LA VILLA ALBANL
M. Catalan a publié dans le journal Mathesis de MM. Mansion
et Neuberg (t. I. p. i5 i ), unecurieuse inscription [fig. 46) qu'il
a découverte à Rome, en 188 1 .
Fig. 46.
QVADRATVS MAXIMVS.
15
58
29
3«f
63
^■9
7^
^1
6
7
27
31
81
23
76
80
18
26
38
8
30
71
M-7
20
21
78
56
73
19
25
^•2
10
33
50
65
52
22
55
72
1
kS
60
28
16
70
79
35
39
66
2
^■8
17
2h-
59
1^^
6^^
69
12
77
3
51
68
11
f6
36
61
53
i¥0
f3
W
Sif
32
75
67
13
9
62
37
t^/^
5
57
LkCTOR si DOCTVS AD.NURATOR si IGNARVS SCITO
QVADRATVS HIC MATHHMATICE CONSTRVCTVS
AB VNO VSQVE AD OCTOGINTA VNVM 332 1 VNITATES
INCLVDIT QV.ELIBET IPSIVS COLVMN.K TAM IN LINEA
PLANA QVAM IN RECTA ET TRANSVERSALI VNITATES
369 QV.E DVCT.-I-: PER NOVEM EASDEM 332 1 VNITATES
Note IV, 22 5
RESTITVVNT ET APPELLATVR MAXIMVS QVIA MAXIMAM
POSSIDET EXTENSIONEM VALE
Caietanvs Gilardonvs ROMANVS PHILOTECHNOS
iNVENTOR A. D. xMDCGLXVI.
Sur la demande de M. Catalan, M. le prince B. Boncompagni
avait fait copier cette inscription qui se trouve sur une table rec-
tangulaire de marbre, fixée dans la paroi, en face de la première
rampe de l'escalier du palais de la villa Albani, actuellement
possédée par M. le prince Torlonia, hors de la porte Salaria.
(Noie communiquée par M. le prince B. Boncompagni. )
^C^
IV. — CUBE MAGIQUE DE FERMAT.
Nous avons publié dans Mathesis (t. II, p. 245) un cube ma-
gique inédit donné par Fermât; ce cube magique donné avec les
soixante-quatre premiers nombres est le suivant (fig. 47) *.
Nous reproduisons ci-dessous l'analyse de ce cube, d'après M. le
commandant V.Goccoz, qui est d'une très grande compétence sur
la question des figures magiques. Si l'on place les unes au-dessus
des autres les quatre tranches de Isijîg. 47, les nombres de i à 64
occupent les soixante-quatre centres de cubes égaux; la somme
des quatre termes d'une rangée quelconque horizontale ou verti-
cale est constamment égale à i3o; de plus, toutes les tranches
horizontales sont des carrés magiques, caria somme des éléments
d'une même diagonale est encore égale à i3o; enfin, quatre
tranches parallèles et verticales, les tranches de front, sont aussi
des carrés magiques.
Éd. Lucas. — Arithmétique amusante. i5
220
Note IV.
On peut obtenir une solution générale de ce problème, en la
déduisant d'une solution particulière d'un carré magique de huit,
à compartiments égaux, obtenu par lettres analogues et bandes
Fig. 47.
Première tranche Deuxième tranche
60
6
7
57
17
^1
^•6
20
A-5
19
18
«fS
18
58
59
5
13
51
50
16
tfO
26
27
37
28
38
39
25
^^9
15
!'»•
52
Troisième tranche Quatrième tranche
interrompues. Nous emploierons la notation de Sauveur; elle
compreild des couples égaux de premières lettres
a-{-A = b^B = c-^C:=zd-^D,
et de secondes lettres
p-f-P-j^-4-Qr=r+R = 54-S;
les unes représentent les termes de la progression arithmétique
de raison un
I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
et les autres représentent les termes de la progression arithmétique
de raison huit
o, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56.
Note IV.
227
La Jîg. 48 est formée de quatre carrés; si l'on rapproche ces
carrés, on forme un carré magique de huit, car dans chacune des
huit lignes horizontales, des huit colonnes verticales et dans
as
AR
AÇ
ap
BS
br
bq
BP
Cp
cQ
cR
Cs
dP
Dq
Dr
dS
cS
Cp
Cq
cP
Ds
dR
dÇ
Dp
AP
aq
ar
AS
bp
BO
BR
bs
Prem
er carre
Deuxième carré
As
aR
aO
Ap
bS
Br
Bq
bP
cp
CQ
CR
cs
DP
dq
dr
DS
CS
cr
cq
CP
ds
DR
DQ
dp
aP
Aq
Ar
aS
Bp
bQ
bR
Bs
Troisième carré Quatrième carré
Les quatre tranches horizontales d'un cube magique,
chacune des deux diagonales, les premières et les secondes lettres
se trouvent par couples; par conséquent, la somme est constante
pour les dix-huit lignes.
Séparons maintenant les quatre carrés et cherchons les condi-
tions pour qu'ils soient magiques et donnent une même somme
constante. Les lignes verticales et les diagonales de ces carrés
vérifient cette condition ; pour qu'il en soit de même des horizon-
tales, il faut et il suffit que les secondes lettres vérifient l'égalité
ce qui peut se faire de vingt-quatre manières différentes.
Les quatre carrés étant magiques, plaçons-les les uns au-dessus
228
Note IV.
des autres, sans changer leur orientation, et dans Tordre numé-
rique, le premier carré étant au-dessus. Nous formons ainsi un
cube dont les tranches horizontales sont des carrés magiques.
Étudions maintenant les tranches de profil; la première tranche
de profil à partir de la gauche se compose des quatre premières
colonnes à gauche des quatre carrés (fig. 48 ) ; la seconde tranche
de profil se compose des quatre secondes colonnes des quatre
carrés, et ainsi de suite.
Le rabattement de ces tranches donne les quatre carrés sui-
vants [fig. 49).
Fig. 49.
as
BS
As
bS
AR
br
aR
Br
Cp
dP
cp
DP
cÇ
Dq
CO
dq
cS
Ds
CS
ds
Cr
dR
cr
DR
AP
bp
aP
Bp
aq
BÇ
Aq
bç
Première tranche
Deuxième tranche
AO
bq
aQ
Bq
1
ap
BP
1 1
Ap
bP
cR
Dr
CR
dp
Cs
dS
CS
DS
Cq
dÇ
cq
DQ
cP
Dp
CP
dp
ar
BR
■
Ar
bR
AS
bs
aS
Bs
Troisième tranche Quatrième tranche
Les quatre tranches de profil d'un cube magique.
Pour que ces carrés soient magiques, il faut et il suffit que les
premières lettres vérifient l'égalité
^-h^4-B-HG=::A4-D4-^-f-C,
ce qui peut encore se faire de vingt-quatre manières différentes.
Par cette méthode, on obtient ainsi 24 X 24 ou 576 cubes
Note IV.
229
magiques. Pour les cubes ainsi construits, la tranche diagonale
passant par l'arête horizontale antérieure et inférieure, et par
l'arête horizontale postérieure et supérieure, est encore le carré
magique suivant [fig. 5o].
Fig. 5o.
as
AR
AQ
ap
dP
Dq
Dr
dS
es
cr
cq
CP
Bp
bO
bR
Bs
Tranche diagonale du cube.
Pour reproduire le cube magique de Fermât, il faut donner
aux premières lettres les valeurs
a, b, c, d; D, C, B, A;
o, 8, 16, 24; 32, 40, 48, 56;
et aux secondes lettres, les valeurs suivantes :
p, q, r, s; S, Q, R, P;
I, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8.
V. - UN CARRÉ MAGIQUE A ENCEINTES
DE FERMAT.
Ce carré n'a que trois enceintes et 14 cases de côté [fig. 5 1 ).
Dans la Note V du tome IV des Récréations mathématiques,
nous avons donné un autre carré à cinq enceintes ayant 22 cases
23o
Note IV.
décote. Fermât n'avait envoyé au P.Mersennequeles 144 nombres
Fie. 5i.
1
2
185
186
5
6
7
190
191
192
11
194
195
14
15
16
26
25
24
177
176
175
174
173
172
171
27
28
^^2
156
31
165
159
34
35
162
37
164
158
40
167
29
56
142
152
46
52
149
148
147
146
47
53
45
153
«fS
57
128
S9
130
61
135
134
63
1
132
66
137
68
139
70
71
125
73
123
122
76.
120
119
79
75
116
82
114
84
85
111
86
100
108
107
91
92
90
103
102
87
100
98
112
97
110
95
89
93
105
106
104
94
88
101
86
99
126
83
115
81
80
118
77
78
121
117
74
124
72
113
HO
69
138
60
131
62
64
133
65
136
67
129
58
127
141
55
54
144
150
51
50
49
.8
145
151
143
41
154
168
41
157
32
33
160
161
36
163
38
39
166
30
155
182
170
180
179
178
23
22
21
20
19
18
17
181
169
183
184
3
4-
187
188
189
8
9
10
193
12
13
196
de l'intérieur du carré, les cinq enceintes extérieures ont été
reconstituées par M. le commandant Goccoz.
Le carré magique de la fig. 5 i , moins compliqué, reste magique
après l'enlèvement des deux premières enceintes, puis des deux
suivantes.
Note IV.
23l
VI. — LE -SAUT DU CAVALIER ('],
LE PROCÉDÉ DE COLLINI.
CoUini, qui fut secrétaire intime de Voltaire et de l'Electeur
Palatin, a publié en 1773, à Mannheim, chez Tobie Lœffler [an
Fig
52.
a
b
c
d
a
b
c
d
c
d
a
b
c
d
a
b
b
a
a
b'
c'
d'
d
c
d
c
ç'
d'
a'
b'
b
a
a
b
b'
a'
d'
c'
c
d
c
d
d'
c'
b'
a'
a
b
b
a
d
c
b
a
d
c
d
c
b
a
d
c
b
a
Chandelier d^Or], une brochure ayant pour titre : Solution du
problème du cavalier au jeu des échecs^ par M. G*'*. On y trouve
une méthode fort simple pour tracer des circuits sur l'échiquier
ordinaire, ainsi que des routes entre deux cases quelconques, de
couleurs différentes, désignées à l'avance. Cette méthode a été ana-
lysée par von der Lasa dans la Berliner Schach^eitung de 1 847
et perfectionnée par le major de Jasnisch dans son Traité des
(1) Cet article fait suite à celui que nous avons inséré dans les Récréa-
tions mathématiques (t. IV, p. 2o5). Il est, en- grande partie extrait de la
brochure qui accompagne le jeu appelé par Lucas la Fasioiilette.
232
Note IV.
applications de V Analyse mathcmatiijue au Jeu des Échecs
(t. II, p. 62; Saint-Pétersbourg, 1862).
On divise l'échiquier en deux parties^, l'une formée d'un carré
central de seize cases et l'autre par une bordure de deux cases de
largeur (fig. 52). On peut réunir les douze cases en bordures
désignées par une même lettre, par un circuit partiel en zigzag,
Fig, 53.
et les quatre cases de même nom dans le carré central, par un
circuit partiel ayant la forme d'un carré ou d'un losange. La
fig, 53 représente deux circuits partiels extérieurs, que nous dési-
gnerons par a et b, et deux circuits intérieurs que nous désigne-
rons par a' et b\ et de même pour les autres circuits.
Le cavalier peut passer d'un circuit extérieur quelconque à l'un
des trois circuits intérieurs de dénomination ditTérente; ainsi
l'on pourra trouver facilement, de plusieurs manières, qualrj
routes sur seize cases, telles que
ab'^ bc', cd', da\
Note IV. 2 33
en soudant le circuit extérieur à un circuit intérieur de désigna-
tion différente, par un trait unique, et en supprimant un trait de
fermeture dans chacun des circuits. Ensuite on réunit ces quatre
routes de bien des manières différentes et l'on obtient des courses
et des circuits sur l'échiquier.
On place donc le cavalier sur une case quelconque d'une route
de bordure, par exemple; lorsque le cavalier a visité les douze
stations de la route, il peut sauter sur une case de l'une des trois
routes intérieures qu'il parcourt dans un sens quelconque; puis il
revient sur une route de ceinture, et ainsi de suite. En entrant
dans l'une quelconque des huit routes, le cavalier peut la par-
courir dans un sens quelconque, excepté s'il commence par la
case conjuguée d'un coin de l'échiquier ; alors il doit passer immé-
diatement par ce coin, car on ne pourrait continuer le mouve-
ment dans l'autre direction. D'ailleurs, si l'on était arrêté en
atteignant l'extrémité de l'un des quatre circuits de bordure, ou
reprendrait le circuit dans le sens opposé, ou bien on le rempla-
cerait par un autre.
On peut ainsi obtenir des figures d'une forme spéciale, que
l'on désigne sous le nom de Carrousel du cavalier, car ces coiirses
rappellent fidèlement la figure du carrousel qui est connu en
équitation sous le nom de la mêlée.
LE PROCÉDÉ DE ClCCOLINI OU DES QUATRE QUARTIERS.
Une élégante méthode consiste à diviser l'échiquier en quatre
quartiers par les deux médianes. Elle nous paraît avoir été exposée
234 Note IV.
pour la première fois par Giccolini, dans un Ouvrage ayant pour
titre : Del cavallo degli scacchi (Paris, i836); l'auteur établit
qu'il a obtenu cinq circuits par cette méthode, et donne plus de
3oo formules numériques. Nous ne connaissons d'ailleurs cet
Ouvrage que par le titre et le résumé précédent qui se trouvent
dans V Introduction pratique du jeu des échecs^ publiée en 1849
par Q. Poirson-Prugneaux.
Cependant on connaissait des courses plus anciennes par la
méthode des quartiers ; ni symétriques, ni rentrantes, elles sont
dues à un anonyme anglais, F. P. H., et ont été imprimées sans
commentaire, à la suite de la sixième édition des Studies of Chess
de P. Pratt (Londres, 1825). Cette méthode se trouve ensuite
exposée par Ch. de Lavernède dans les Mémoires de l'Académie
royale de Gand pour 1839.
Un Mémoire de quatre pages sur le même sujet a été publié par
le D"" Roget dans le London and Edinburgh Magasine, ^n 1840.
La même méthode a été développée par Tomlinson dans les Amu-
sements in Chess (Londres, 1845), par Troupenas dans le Pala
rnède de 1842, par von der Lasa dans la Schachieitung de 1847,
par M. de Polignac dans les Comptes rendus de l'Académie des
Sciences de Paris (1861), par de Jœnisch, par M. de Chambure
dans les Mémoires de l'Institut égyptien (Paris, 1862). Cet
auteur se sert de quatre couleurs; les développements de la
méthode sont agréables à l'œil, mais peu aisés à placer dans la
mémoire; les circuits qu'il donne sont des chefs-d'œuvre de diffi-
culté vaincue.
Les méthodes de Lavernède et de CoUini sont clairement
exposées dans l'Ouvrage déjà cité de Cretaine; elles sont princi-
palement dirigées dans le sens de l'exécution du problème du
Note IV.
235
cavalier, sans voir Téchiquier, par des procédés mnémoniques.
Fig. 54.
a
b
c
d
a
b
c
d
c
d
a
b
c
d
a
b
b
a
d
c
b
a
d
c
d
c
b
a
d
c
b
a
a
b
c
d
a
b
c
d
c
d
a
b
c
d
a
b
b
a
d
c
b
a
d
c
d
c
b
a
d
c
b
a
Ainsi donc, l'échiquier est divisé en quatre quartiers ou carrés
Fig. 55.
de seize cases, par les deux médianes. On peut réunir les seize
cases d'un quartier affectées de la même lettre (Jig. 54) par les
côtés de deux carrés et de deux losanges n'ayant aucun sommet
2 36 Ko te IV.
commun, et former ainsi quatre circuits partiels, comme dans
le carré central du procédé de Collini [fig. 55 ).
En réunissant les losanges qui portent la même lettre d'après
la fig. 54 et en opérant de même pour les carrés, on formera
quatre circuits partiels: il ne reste plus qu'à souder ces circuits
parle procédé du à Bertrand (de Genève), et qui repose sur ce
principe : soit une chaîne ouverte, parcourant successivement les
cases A, B, G, D, E, F, G, H, I, J, K, L, et désignons par A et L
les extrémités de la chaîne; si une case D, autre que l'avant-der-
nicre K, est à une distance du saut de cavalier de la dernière L,
on peut remplacer DE par DL et la chaîne devient
ABCDLKJIHGFE;
la seconde partie de la chaîne étant parcourue dans le sens inverse.
Il en serait de même si une case autre que la seconde commu-
niquait avec la première. On peut donc modifier des chaînes sans
les détruire entièrement.
Quant au nombre des courses ou des circuits que l'on peut
obtenir par la méthode précédente, voici ce qu'en dit L. de Laver-
nède : « Je me suis occupé du nombre de solutions dont le pro-
blème est susceptible et, quoique mon travail à cet égard ne soit
pas terminé, Je crois pouvoir affirmer qu'en mettant cinquante
marches par page, il faudrait plus de dix mille rames de papier
pour les écrire toutes. »
Note I V.
2.-7
MODIFICATION DE J.^NISCH.
Jasnisch a observé que Ton peut diviser l'écliiquier {fig'. S4.) en
deux parties : l'une formée d'un carré quelconque de quatre cases
contiguës a, b, c, d, et l'autre formée des cases restantes. On
prendra pour origine l'une des cases du petit carré et l'on tracera
quatre circuits partiels sur les cases de même dénomination ; on
soudera ces circuits par le procédé Bertrand. Cependant le petit
carré ne peut être accolé à un des coins de l'échiquier, car les
quatre courses partielles ne peuvent plus être toutes rentrantes.
Dans la méthode de GoUini et de Jœnisch, comme dans celles de
Vandermonde, on divise l'échiquier en quatre parties telles que
chacune d'elles puisse être parcourue circulairement par un
cavalier; mais si le système de Vandermonde est beaucoup plus
étendu et plus propre à fournir des circuits sym^étriques, le pro-
cédé de CoUini est si facile dans son exécution, qu'un amateur
pourrait trouver sans peine, les yeux fermés, des circuits ou des
routes d'extrémités données. C'est à cela, peut-être_, que se réduit
le fameux secret des brahmes de Bénarès dont M. Solvyns décla-
rait être également en possession, et en vertu duquel il s'engageait
à improviser quinze solutions à l'heure (^).
(') Sylvons, Application de V Analyse au saut du cavalier du jeu des
échecs. Bruxelles, i856. (Sylvons est l'anagramme de Solvyns.)
'J^kiiT'
238
Note IV,
METHODES DE VANDERMONDE.
La première méthode se fait au moyen du guide représenté
dans lajîg. 56.
Règle I. — ■ Partir d'un coin de l'échiquier, parcourir seize
Fig. 56.
1
5
^
.3
tf
3
2
1
2
6
10
14-
8
7
6
6
3
7
11
IS
12
11
10
9
^
8
12
16
16
16
1^
13
13
n
16
16
16
12
8
h
9
10
11
12
15
11
7
3
5
6
7
8
Hf
10
6
2
1
2
3
•f
13
9
5
1
cases portant des numéros différents et parvenir au coin opposé
En opérant ainsi pour les quatre coins, on obtient quatre
marches symétriques de seize cases et, par la superposition, on
trouve une double chaîne fermée possédant la symétrie tour-
nante.
Paul de Hijo a donné (^) la liste complète des doubles chaînes
(') Paul de Hijo, Le problème du cavalier des échecs, d'après les mé-
thodes qui donnent la symétrie par rapport au centre, Ouvrage contenant
plus de quatre cent treize mille parcours du cavalier (Metz, 1882).
Note IV.
23q
que l'on peut obtenir par ce procédé. Il y a 1 5o de ces figures et
leurs symétriques, en nombre égal.
Fig. 57
Règle IL — Partir d'un coin de l'échiquier, parcourir seize
cases portant des numéros différents et revenir au point de départ.
En opérant ainsi pour les quatre coins, on trouve, par la super-
position, une quadruple chaîne fermée possédant la symétrie
tournante.
Paul de Hijo (pseudonyme d'un savant mathématicien) a
donné la liste de ces quadruples chaînes. Il y en a 140 et leurs
symétriques en nombre égal.
Les doubles chaînes et les quadruples chaînes peuvent encore
être réunies parle procédé des soudures.
La deuxième méthode de Vandermonde se fait au moyen du
guide représenté dans la fig. 58.
Règle I. — Partir d'un coin de Téchiquier, parcourir seize
cases portant des numéros différents et parvenir au coin opposé.
240
Note IV.
En opérant ainsi pour les quatre coins, on obtient une double
chaîne symétrique par rapport aux deux médianes et par rap-
port au centre de Téchiquier, Paul de Hijo (pseudonyme d'un
charmant abbé de nos amis) a donné la liste complète des doubles
Fis. 58.
1
2
3
4-
«f
3
2
1
5
6
7
8
8
7
6
5
9
10
11
12
12
11
10
9
13
14-
15
16
16
15
lif
13
13
14
15
16
16
15
^^■
13
9
10
11
12
12
11
10
9
5
6
7
8
8
7
6
5
1
2
'
«f
«f
3
2
1
chaînes à double symétrie médiane ; il en a trouvé 378 différentes.
Il faut ensuite multiplier ce nombre par quatre, pour les avoir
toutes, avec leurs symétriques.
Règle IL — Partir d'un coin de l'échiquier, parcourir seize
cases portant des numéros différents et revenir au point de départ
(A-- 59).
En opérant ainsi pour les quatre coins, on obtient quatre figures
symétriques et la superposition donne une quadruple chame
symétrique par rapport aux deux médianes.
Paul de Hijo a donné la liste complète des quadruples chaînes
à double symétrie médiane; il en a trouvé 3oi, nombre qu'il faut
multiplier par quatre pour les avoir toutes avec leurs symétriques.
Note IV.
24;
Nous engageons nos aimables lectrices à s'exercer, en suivant
pas à pas les quatre règles donne'es par les deux méthodes de
Vandermonde; l'exécution en est facile et le résultat donne tou-
jours un joli dessin, dont le motif central contient des carrés, des
¥\s,. 59.
roues à rochet, des tourniquets, des croix grecques, des dents de
scie, des croix de Saint-André, des losanges, des étoiles, des vis,
des casse-noisettes, des sabliers, etc.
On peut alors, avec Taiguille ou le crochet, reproduire les
dessins sur le canevas et obtenir des tapisseries très originales.
PROCEDE DE WARNSDORF
C. de Warnsdorf a proposé une règle pour résoudre le problème
(*) C. DE Warnsdorf, Des Rôsselsprunges einfachste iind allgemeinste
Lôsung (Berlin, 1823 ).
Éd. Lucas. — Arithmétique amusante.
16
24 2 Note IV.
du cavalier avec une rigueur scientifique, sans aucun tâtonne-
ment, sans faux pas. Voici son énoncé :
1^ A chaque coup, on joue le cavalier sur la case conjuguée
qui communique par le plus petit nombre d'issues avec la partie
encore inoccupée de l'échiquier;
2° Si, à un coup quelconque, il se présente plusieurs cases qui
offrent le même nombre minimum d'issues, on est libre de jouer
le cavalier sur l'une quelconque d'entre elles.
Ainsi, lorsque le cavalier aura le choix entre plusieurs cases de
transport qui offriront un égal minimum d'issues ultérieures,
nous prendrons l'une d'elles, au hasard, qui conduit à une solution
différente ; celle-ci à son tour peut donner naissance, dans la suite,
à d'autres variantes, et quelquefois à des impossibilités. D'ailleurs,
le nombre total des solutions qu'on obtient ainsi est assez limité,
en appliquant rigoureusement la règle, en sorte qu'on peut se
proposer de l'épuiser pour un point de départ donné. De plus, il
est assez pénible de compter à chaque coup le nombre des issues
qu'il ouvrira au cavalier, selon le choix que l'on fera de la case de
transport. En effet, les stations numérotées antérieurement font
subir une diminution irrégulière et variable du nombre des cases
conjuguées sur l'échiquier vide, de telle sorte que la difficulté
augmente encore dans la seconde moitié de la route.
Mais nous devons ajouter que ces inconvénients sont largement
compensés par une particularité inhérente à la règle de Warnsdorf
et qui ne peut que surprendre au premier abord. C'est que les
infractions involontaires à la règle ne font presque jamais manquer
le trajet. La même chose peut se dire des infractions volontaires
au précepte dont l'auteur a donné beaucoup d'exemples en le
réduisant ainsi à un procédé de tâtonnement pratique. On peut
Note IV.
243
même, systématiquement, tracer des courses du cavalier jusqu'au
delà du quarantième saut, dans un ordre tout à fait contraire au
pre'cepte de Warnsdorf, et appliquer ensuite celui-ci, avec succès,
à Fachèvement de la route, malgré l'état presque désespéré de son
commencement. Cela tient au nombre immense des courses et des
circuits possibles.
Il faut encore reconnaître que le procédé en question ne
s'applique pas aux circuits symétriques. On a essayé, tout en diri-
geant le cavalier d'après la règle du minimum des issues, de
numéroter en même temps, d'après la méthode d'Euler, les cases
diamétralement opposées, et de considérer ces cases comme
occupées. Mais ces essais de Jœnisch n'ont alors réussi qu'impar-
faitement, de telle sorte que Vencélidès, qui, plus que nul autre,
s'est occupé du sujet, conseille de ne suivre la règle pour les cir-
cuits symétriques que jusqu'au vingtième saut, en terminant la
figure par des tâtonnements. En revanche, il est assez facile d'ob-
tenir par ce procédé des circuits non symétriques.
Dans un second Mémoire (^), Warnsdorf déclare sa règle appli-
cable aux courses sur tous les échiquiers rectangulaires d'un
nombre p)air de cases, mais tels que chacun des côtés en renferme
au moins six; il complète sa méthode en l'appliquant aux courses
dont les extrémités sont désignées à l'avance sur des cases de cou-
leurs différentes. On inscrit d'abord les n°' i et 64 sur les cases
données que l'on considère comme occupées, et Ton applique la
règle ordinaire. Puis, si le cavalier a le choix entre différentes sta-
tions offrant un égal minimum d'issues, et qu'une ou plusieurs
de ces stations communiquent avec la case 64, on ne devra jamais
(') Sdiachieitung, i858, p. 492 (Berlin).
244 ^^^^ ^ ^•
la porter à celles qui sont dans ce cas, à moins qu'il n'y en ait pas
d'autre. Lorsqu'il ne reste plus qu'une seule case en communi-
cation avec 64, on y inscrit aussitôt le nombre 63, et l'on applique
le procédé qui précède aux cases i et 63. Enfin, tout ce qui a été
fait pour les cases 64, 63, s'applique successivement aux cases
qu'on devra marquer 62, 61, au fur et à mesure que la course
approchera de sa fin.
Jxmisch a encore montré que la règle de Warnsdorf résout
complètement le problème du cavalier pour le rectangle de 3 sur
4 cases et pour l'échiquier de 25 cases en prenant pour case ini-
tiale l'un des coins ou la case du centre. En outre, il a donné des
exemples qui prouvent que la seconde partie de la règle est parfois
en défaut.
En résumé, le procédé ne conduit qu'aux solutions les moins
élégantes du problème, son appUcation rigoureuse est pénible, et
les nombreuses infractions que l'on peut commettre, bien que
constituant une ressource empirique très précieuse, ne reposent
sur aucun principe certain. Mais il faut dire qu'à défaut d'une
démonstration mathématique, le nombre prodigieux d'essais faits
jusqu'à ce jour ne permet guère de douter de l'exactitude de la
première partie de la règle.
MÉTHODE DE M. FLYE SAINTE-MARIE.
M. Flye Sainte-Marie, répétiteur à l'École Polytechnique, a
donné, danslQ Bulletin de la Société mathématique (t. V, p. 144),
Note IV.
240
un ingénieux procédé pour déterminer le nombre total des courses
du cavalier sur les trente-deux cases de la moitié de l'échiquier
ordinaire et, plus généralement, sur les cases d'un échiquier de
quatre cases de largeur et de longueur quelconque.
La Jîg-. 60 représente la moitié de l'échiquier ordinaire; les
trente-deux cases sont divisées en deux groupes de seize cases. Le
Fi^. Go.
premier groupe est composé des cases numérotées avec des chiffres
sans accent, et le second des cases ombrées et garnies de chiffres
accentués. Nous appellerons cases extérieures toutes les cases
des rangées supérieure et inférieure, et cases intérieures toutes
les autres; nous observerons, de plus, que les cases extérieures du
premier groupe, désignées par des nombres impairs, sont de même
couleur, sur l'échiquier, et que les cases extérieures de l'autre
groupe sont de la couleur opposée. De plus, les cases intérieures,
désignées par des nombres pairs, sont de même couleur, contraire
à celle des cases extérieures du même groupe.
Gela pose, nous allons démontrer la proposition suivante qui
s'applique à l'échiquier rectangulaire de quatre cases de hauteur,
et de longueur quelconque.
Théoricme. — La course sur l'échiquier de quatre rangées se
compose nécessairement d'une course sur toutes les cases de
246 Note 1 V.
Vun des groupes, suivie d'une course sur toutes les cases de
l'autre groupe (^).
En effet, en prenant, pour plus de simplicité, Téchiquier repré-
senté dans la.Jig. 60, la course complète du cavalier sur toutes les
cases du rectangle forme un contour polygonal ouvert de 3 i côtés
et de 32 sommets; à 3o de ces sommets aboutissent deux côtés,
et à chacune des extrémités, qui appartiennent aux cases de départ
et d'arrivée, ne correspond qu'un seul côté. De plus, on obser-
vera qu'une case extérieure quelconque n'a pour conjuguées que
des cases intérieures de son groupe; par suite, le contour poly-
gonal contient au moins un côté joignant les centres de deux
cases intérieures de groupes différents, puisque toutes les cases
doivent être parcourues. Mais, d'autre part, parmi les seize casss
extérieures, il y en a au moins quatorze dont les centres sont
chacun les intersections dedeux côtés tous différents. En ajoutant
le trait qui joint deux cases intérieures, cela fait déjà 29 traits;
par conséquent, les deux autres traits qui doivent compléter le
nombre de 3i aboutissent chacun à une seule case extérieure. Il
n'y a donc, en définitive, qu'un seul trait joignant des cases inté-
rieures, c'est-à-dire un seul passage d'un groupe à l'autre.
Il résulte encore de cette proposition les propriétés suivantes,
connues d'Euler, mais dont la démonstration avait échappé à
sa sagacité :
(*) L'énonce de ce théorème était connu depuis longtemps, car nous
trouvons le passage suivant dans le Traité des applications de l'Analyse
mathématique au jeu des échecs, par le major C.-K. de Joenisch, publié à
Saint-Pétersbourg, en 1862 (t. II, p. 46): « La démonstration rigoureuse
de ce théorème ou fait d'observation z;2Con^^5M6/^ manque jusqu'à ce jour,
et l'on peut dire que celui qui l'aurait trouvée aurait découvert, en même
temps, la solution du problème des courses bi-parlies ».
Note IV. 24
Les extrémités d'une course sur l'échiquier de quatre rangées
appartiennent à deux cases extérieures de Vun et de l'autre
groupe.
La course sur l'échiquier de quatre rangées de largeur, et de
longueur quelconque, n est jamais rentrante et ne peut donner
de circuit.
LA COURSE SUR SEIZE CASES.
Pour déterminer le nombre des courses sur le demi-échiquier,
il faut d'abord connaître le nombre des courses sur les seize cases
d'un groupe; cette course comprend seize cases; deux traits abou-
tissent à quatorze d'entre elles, un seul trait aboutit à la case de
départ etàlacase d'arrivée; de ces deux cases l'une est extérieure
et l'autre intérieure, et le nombre des chemins pour aller de
Tune quelconque à l'autre est le même, mais les parcours se font
dans des directions contraires. Nous pouvons donc toujours
prendre pour case de départ une de celles qui portent un numéro
impair, c'est-à-dire une case extérieure.
En second lieu, on reconnaît immédiatement que les trajets sont
deux à deux symétriques par rapport au centre de la figure; ainsi,
par exemple, le nombre des trajets de la case 3 à la case G est égal
au nombre des trajets qui vont de i3 à 12. Par conséquent, pour
compter toutes les solutions, il suffira de partir de l'une des cases
I, 3, 5; 7.
En troisième lieu, une solution étant trouvée, on peut en
déduire immédiatement une autre, que nous appelons solution
'.4S
Note 1 V
aa-iacente. Ainsi sou la solution
i^ 4. 7'- 6» 3, 2, 5, 8, 9, 14, i5, 12, i3, 16, 11, 10,
elle a pour solution adjacente
2, 3, 8, 5, 4, I, 6, 7, 10, i3, 16, II, 14, i5, 12, 9.
Les deux solutions se déduisent Tune de l'autre en remplaçant
les numéros impairs par les numéros suivants, et les numéros
pairs par les précédents. Par conséquent, il y a autant de manières
d'aller de la case i à la case 10 que de trajets allant de 2 à 9.
COURSES RENTRANTES SUR SEIZE CASES.
Les courses rentrantes passant par les seize cases d'un groupe
contiennent nécessairement les traits qui joignent la case i aux
cases 4 et 6; celles qui joignent la case 2 aux cases 3 et 5 ; celles
qui joignent la case i5 aux cases 12 et 14; enfin celles qui
joignent la case 16 aux cases 1 1 et i3.
Ilrestedoncàtirerleshuitautrestraits; par un petit tâtonnement,
on reconnaît facilement qu'il n'y a que huit courses rentrantes :
9, 12, i5, 14,
9, 14, i5, 12,
II, 16, 1 3, 10,
3, 8, II, 16,
i3, 12, i5, 14, 9, 8, 5, 2, 3, 6.
II, 14, i5, 12, 9. 8, 5, 2, 3; 6.
9, 8, II, 16, i3. 10, 5, 2, 3, 6.
II, 16, i3, 10, 5, 2, 3, 8, 9, 6.
I, 4.
5,
2
3.
8,
i^ 4.
5,
2
3,
8,
i. 4>
5,
2
3,
8,
i. 4.
7'
10
5,
2
J- 4.
7'
10
II,
16,
i. 4.
7'
10
i3,
16,
ï, 4.
7'
10
i5,
14.
I, 4.
7>
10
i5,
14'
9, 12, i5, 14, \i. 16, i3, 10, 7, 6.
9, 14, i5, 12, i3, 16, 1 1, 10, 7, 6.
Il, 16, i3, 10, 7, 12, i5, 14, 9, 6.
3, 8, II, 16, iS, 12, i5, 14, 9, 6.
Note 1 V.
'249
Il n'y a donc que huit courses rentrantes sur les seize cases
d'un groupe. Par suite, en supprimant l'un quelconque des seize
traits, on trouve le nombre des trajets qui vont de Tune des cases
occupant Tune des extrémités de ce trait à l'autre case.
Ainsi, il y a huit routes de i à 4 ou de i à 6; pour celles qui
vont de 3 à 8, il suffit de prendre dans le Tableau précédent les
Fig.
Gi.
1
3
5
7
11
13
15
S
2
22
8*
8*
16
13
8
10
33
118
^
8*
f
3*
5*
3
3
6
10
42
6
8*
3*
2
2*
3*
3
3
8
32
8
16
5*
2"
6
6*
3*
3
13
b^
10
13
3
y
6*
6
2''
5*
16
54-
12
8
3
3
3*
2*
2
3*
8'
32
1^
10
6
3
3
S*
3*
h-
8*
f2
16
33
10
8
13
16
8*
8*
22
118
[S
118
k2
32
bW
5f
32
hl
118
solutions qui contiennent consécutivement les nombres 3 et 8;
ce sont les quatre premières et la dernière; il y a donc cinq tra-
jets ayant pour extrémités les cases 3 et 8.
Pour construire toutes les courses sur seize cases, nous ferons
un Tableau (fig. 61) comme la Table de multiplication. Une
première ligne contient les cases extérieures ou les numéros
impairs; une première colonne^ les cases intérieures ou les numéros
pairs; ainsi, de i à 4, il y a 8* solutions. Nous plaçons d'abord
2 DO Note IV.
toutes celles qui nous sont révélées par les courses rentrantes ;
nous les avons marquées d'un astérisque. Avec un peu de patience
et d'attention, et tenant compte des traits de position forcée, on
termine le Tableau.
La dernière colonne S indique qu'il y a ii8 solutions qui
aboutissent à la case 2, 42 qui aboutissent à la case 4, et ainsi de
suite ; de même pour la dernière ligne.
LES COURSES SUR LE DEMI-ÉCHIQUIER.
Pour parcourir toutes les cases du demi-échiquier, il faut par-
courir successivement les cases d'un groupe, puis celles de l'autre,
en les réunissant par l'un des traits d'union
2-6', 4-8', 6-10', 8-12', 10-14', 12-16',
ou leurs symétriques par rapport à la médiane horizontale, ainsi
que cela résulte de la théorie de Flye Sainte-Marie.
Le nombre des courses complètes et distinctes sur le demi-
échiquier, par le trait d'union 2-6', est évidemment le produit
des courses d'un groupe qui se terminent par ,2 et commencent
par 6', ce qui donne :
Pour le trait d'union 2-6' 118x32 — 3776
^> » 4-8' 42 X 54 "- 2268
)> » 6-10' . 32 X 54=- 1728
Total 777-
Note IV.
ibi
Pour des raisons de symétrie faciles à comprendre, il est inutile
de considérer les autres traits d'union : en résumé, nous avons
démontré le théorème suivant dû à Flye Sainte-Marie :
Le nombre des manières distinctes de faire parcourir au cava-
lier la moitié de l'échiquier est 7772.
Circuits complets bi-partis.
Le problème d'Euler, non résolu jusqu'à présent, consiste à
déterminer le nombre total des courses rentrantes, symétriques
par rapport au centre, ou non symétriques, sur l'échiquier de
64 cases. L'ingénieuse méthode que nous venons d'exposer permet
de déterminer le nombre des circuits bi-partis, formés de deux
courses indépendantes l'une de l'autre sur chaque demi-échi-
quier, mais raccordées entre elles, en tête et en queue, ainsi que
nous l'avons fait pour deux chaînes symétriques, donnant la
course de Gianutio [Récréations mathématiques, t. IV, p. 21 3,
Jig. 154).
Dans sa Géométrie de l'échiquier^ Laquière a donné la solu-
tion complète du problème; m.ais nous n'indiquerons que les
résultats.
Le nombre des circuits bi-partis, ou par demi-échiquier, sur
l'échiquier de 64 cases est i 940884.
Si Ton considérait comme distincts les circuits symétriques
entre eux, deux à deux, il faudrait multiplier ce nombre par 4.
Enfin, si l'on tenait compte des courses en sens inverse, ainsi
que de la double manière de diviser l'échiquier en deux rectangles
égaux, il faudrait encore multiplier par 4, ce qui fait
3i millions 54 mille 144 circuits bi-partis.
2 52 js'ote IV.
Mais si l'on n'assemble que les demi-chaînes symétriques par
rapport au centre, on trouve qu'il y a
3872 circuits bi-partis symétriques.
SYMÉTRIES IMPOSSIBLES.
Le contour polygonal, figurant la course ouverte du cavalier,
ne peut présenter, dans le cas de l'échiquier ordinaire et, en
général, dans celui d'un échiquier carré ou rectangulaire conte-
nant des cases en nombre pair, aucun caractère de svmétrie. En
d'autres termes, le contour ne peut se composer de deux parties
superposables, en repliant la course dessinée sur une feuille de
papier, soit autour de l'une des médianes, soit autour de Tune des
diagonales de l'échiquier. En effet, si l'on groupe deux par deux
les côtés d'une chaîne ouverte, l'un d'eux reste isolé, puisque leur
nombre est impair; donc ce côté devrait se composer de deux
moitiés superposables dans le repliage. Ainsi l'un des côtés serait
perpendiculaire à une médiane ou à une diagonale, ce qui est
reconnu impossible d'après l'examen des traits joignant deux
cases conjuguées.
De même, la chaîne ouverte ne peut être symétrique par rapport
au centre de l'échiquier contenant un nombre pair de cases,
puisque ce centre ne peut coïncider avec le milieu d'un côté.
Mais la chaîne ouverte peut être symétrique par rapport au centre
d'un échiquier dont le nombre des cases est impair.
Par le procédé d'Euler, nous avons vu que le circuit, ou la
Note IV. 253
chaîne fermée, peut être symétrique par rapport au centre; mais
il est démontré qu'une cliaîne fermée ne peut être symétrique,
soit par rapport à une médiane, soit par rapport à une diagonale
de l'échiquier carré de grandeur quelconque, contenant un nombre
pair de cases.
Nous laissons ici, pour l'instant, nos études sur le cavalier;
mais nous nous promettons d'y revenir, car nous n'avons qu'ef-
fleuré le sujet (^).
LES CADRES.
La méthode de Gollini peut être étendue à des échiquiers de
grandeur quelconque, si Ton observe que l'on peut tracer sur les
cases d'un double cadre (deux cases de largeur) entourant un
carré, deux circuits partiels si le carré intérieur est impair, et
quatre si le carré intérieur est pair.
Le cas le plus simple est celui où le cadre entoure une case
unique, comme dans le carré de 25 cases [fig. 62). En modifiant
légèrement cette figure, on obtient facilement les deux courses,
sur 25 cases représentées dans les carrés intérieurs des Jîg. 63
et 64. Dans la première, facile à retenir puisque le cavalier tourn e
continuellement dans le même sens, on part d'un coin pour
aboutir au centre; dans la seconde, symétrique par rapport au
(^) La mort n'a pas permis à Lucas de donner suite à ce projet. Nous
avons reproduit soit ici, soit dans le tome IV des Récréations mathéma-
tiques, tout ce qu'il a rédigé sur cette question. Nous avons pu combler les
lacunes que présentaient ses notes, au moyen de la brochure accompagnant
son jeu appelé la Fasioiilette.
254 Note IV.
centre, on part d'un coin pour aboutir au coin opposé. L'intérieur
de la fig. 65 donne une course d'un coin à un coin adjacent.
D'autre part, ces mêmes ligures nous font voir comment on peut
tracer des courses complètes sur tous les échiquiers carrés dont le
Fi- 63
côté contient [^n -h 5) cases, en partant d'un coin pour aboutir
à un autre quelconque, ou au centre; les gros traits indiquent les
lignes de soudure.
Note IV,
2D3
Dans le cadre (Jîg. 63), tourner toujours dans le même sens,
Fig. 64.
en se rapprochant le plus possible du bord extérieur; dans le
Fig. 65.
cadre [fig. 64), tourner toujours dans le même sens en évitant le
2^6 Note IV.
coin opposé, dans la première partie du parcours, et continuer à
tourner dans le même sens en sortant du carré central; dans le
cadre {f^. 65), éviter le coin adjacent.
Fig. 6(3.
La fi^. 66 donne un circuit symétrique sur l'échiquier de
F) s. fn.
36 cases; en le modifiant légèrement, on obtient une course d'un
Note IV. 257
coin à un coin adjacent, ainsi qu'on le voit dans le carré intérieur
de X^Jîg. 67. Cette dernière figure est bordée d'un cadre que l'on
peut allonger de quatre cases dans le sens de la longueur. Par
suite, on peut appliquer cette méthode aux échiquiers dont le
côté est 4^ -h 6, pour obtenir des courses d'un coin à un coin
adjacent.
On peut également obtenir ainsi des courses d'un coin à un
coin adjacent sur les échiquiers de 4^2 h 8 cases de côté.
D'après le procédé que nous avons décrit, pour aller d'un coin
au centre ou à un autre coin, sur les échiquiers de 4^ -h 5 cases
de côté, on unit entre elles les deux chaînes de bordure avant de
parcourir d'un trait continu le carré central.
Ce procédé n'est pas applicable aux échiquiers de 4« i- 7 cases
de côté, car il est impossible d'unir, en aucun point, une des
chaînes de bordure à l'autre. Il faut alors employer le procédé
de Delannoy, qui consiste à parcourir l'échiquier, d'un coin à
l'avant-dernière case de la diagonale qui passe par ce coin ; mé-
thode qui s'applique également aux échiquiers de 4/2 H 5 cases
de côté.
Cette méthode a été exposée comme il suit par Delannoy, dans
une Note qui fait suite à l'Ouvrage du général Frolov sur les
carrés magiques ( ^ ) :
Méthode pour trouuer une marche de cavalier sur un échi-
quier de grandeur quelconque, quand on sait exécuter cette
marche sur les échiquiers de 5^ 6, y et S cases de côté.
(') Frolov. Les carrés magiques. Nouvelle étude suivie de Notes par
MM. Delannoy et Edouard Lucas. Grand in-8, avec 7 planches; i886
(Paris, Gauthier- Villars).
Ed. Lucas. — Arithmétique amusante, 17
2 58
Note IV.
I. — ÉCHIQUIERS IMPAIRS ( fig. ÔSctÔg).
Dans une bordure de deux cases de largeur, dont le côté est
impair, on peut toujours tracer deux marches rentrantes.
Par suite, en entourant d'une bordure de deux cases un e'chi-
Fig. 68.
cC^^vV>
Y ^/
\
w
\
>
^
< x>
Y Y
Y
w
y \/\
V\
A A
X/ \ /
iv^
V Y
A/v
w
r-'V-
$
S
^.
Marche sur les échiquiers de (4^ -1- 5) cases.
quier de ^.n ;- 5 ou de 4/2 -;- 7 cases de côté, on pourra toujours
tracer une marche du cavalier de la manière suivante :
ï° En partant d'un coin, décrire la première marche de bor-
dure qui se termine sur la case conjuguée avec la case de départ;
2" Passer de là sur la seconde case de la diagonale du carré
intérieur, parcourir ce carré d'un trait continu et finir sur la der-
nière case de cette diagonale ;
3° Passer sur la case la plus éloignée du coin opposé au coin de
Note IV.
25q
départ et décrire la deuxième marche de bordure, qui se termine
F^icr. 6q.
Marche sur les échiquiers de {^n h- 7) cases.
sur l'avant-dernière case de la diagonale passant par le coin de
départ.
II
- ECHIQUIERS PAIRS.
Le cadre bordure de deux cases des échiquiers pairs comprend
quatre marches rentrantes qui, réunies deux à deux, se trans-
forment en deux marches non rentrantes.
De là la méthode suivante pour tracer une marche du cavalier
sur un échiquier de 472 f- 6 ou de 472 i- 8 cases de côté :
r En partant d'un coin^ décrire la première marche de bor-
26o Note IV.
dure qui se termine sur la case située au-dessus de la case de
départ;
2° Passer de là sur la première case de la diagonale du carré
intérieur, parcourir ce carré d'un trait continu et finir sur le coin
adjacent;
3° Décrire la deuxième marche de bordure qui se termine sur
le coin adjacent au point de départ [fig. 6-;).
La loi de formation de la marche du cavalier sur un échiquier
carré quelconque^ de plus de 8 cases de côté, peut donc s'énoncer
dans les mêmes termes pour les échiquiers pairs et pour les échi-
quiers impairs, savoir :
Parcourir d'un trait continu :
1° La première marche de bordure;
2"" Le carré intérieur;
3° La deuxième marche de bordure.
Le carré intérieur se parcourt d'un coin au coin adjacent pour
les échiquiers pairs, et d'un coin à l'avant-dernière case de la
diagonale passant par ce coin (ou inversement) pour les échiquiers
impairs.
Il n'y a jamais d'hésitation pour tracer les marches de bordure,
car on doit toujours se rapprocher le plus possible du bord exté-
rieur.
Sur \tsfig. 68 et 69 nous avons représenté par des lignes poin-
tillées la marche de bordure la plus courte.
FIN.
TABLE DES MATIÈRES
Pages.
Avertissement v
Chapitre Premier. — Calculs élémentaires.
Ix cadran mystérieux , i
Problème I. — Deviner l'heure pensée par une personne i
Problème II. — Deviner le nombre des points d'une carte d'un jeu de
whist qu'une personne aura pensée? -i
Problème III. — Deviner les nombres pensés par une personne eu les
divers nombres pensés simultanément par plusieurs personnes.... 3
La forme des chiffres 4
Problème IV. — Avec un trois, faire un cinq, par un simple trait de
plume 4
La taille de la boulangère 5
Le nez et le mouchoir 7
Les claques de Polytechnique «S
La croix de perles ro
Problème V. — La marquise et le joaillici' 10
Le stratagème de Josèphe 12
202 Table des matières.
Pap;es.
Problème VI. Le petit navire i -i
Histoires de brigands 14
Remarque ï'>
Problème VII. — Le procédé de Caliguhi 17
Le trou et la boule i '"^
L'invention du télégraphe 10
Problème VIII. — Far fer César jadis devint si grand prince 21
Problème IX. Il a jadis brillé dans ce petit État ^3
Problème X. - Avec éclat l'aï brillant devint libre 24
Problème XL La ballade de l'escargot rétrograde 2 3
Problème XII. — La coupe du tailleur ■^''
Problème XIII. Dans les deux mains '^7
Problème XIV. — Le carré magique de trois 2<S
L'Arithmétique au temps de Charletnagne ^2
L'abacus de Fibonacci -"'4
La boîte de dragées -^-"'
La trompette de Lemoine -^^>
L'Arithmétique des sourds-muets -^7
Jusqu'à dix mille -^^
Les digils • -^'.>
Les articulés 4**
Mariage de la main gauche 4 '
Coquetterie féminine 4-'
L'Arithmétique à quatre pattes 4-"^
Simple amusette aux dominos 44
Encore une amusette 4-"^
Le coup maximum aux dominos 47
Aux dominos, qui pose perd 4^
Devinette arithmétique • 49
Problème XV. Jeux de tonneaux 3o
Chapitre Deuxième. — Le Calcul rapide.
Le calcul mental y^
Am père et ses haricots ^4
Le calcul antiléthargique •'^•'^
Table des matières. 2O:
Pages.
Machines arithmétiques à j^rosse tête 5(»
Exercices d'addition 3N
Les nombres pairs 60
Les nombres impairs ^><^
Les nombres complémentaires 62
Problème XVI. — La multiplication par onze ().^
Problème XVII. - La multiplication par neuf 6f)
Problème X VIII. - Les cartes pensées 69
Problème XIX. — Les nombres pensés 71
Problème XX. — La bague au doigt 7-^
La foire au pain d'épices 7-"^
Un calculateur en plein vent 7?
La multiplication accélérée 7-^
Les Tables de Grelle 77
Les Tables de Tripier 7^
Les réglettes népériennes 7<J
Division par ig, 19g, iggg ^^
Division par 29, 29g^ 2ggg ^2
Diverses manières d'écrire les nombres g et 100 83
Rouges et noires 84
Problème XXI. 8^
Problème XXII 87
Problême XXII l 89
Problème XXIV Qt
Méthode générale 9 ^
ilouges et noires avec interversion 97
Problème XXV 97
Problème XX VI 99
Problème XXVII 101
Problème XX VIII 10?
10»)
Méthode générale.
-m^
Chapitre Troisième. — Les progressions arithmétiques.
Problème XXIX lo..
Problème XX V. — La course des œufs 110
•■iô^- Table des matières.
Pages.
Problème XXXI. - Les quatre cents coups . 1 1 1
Problème XXXII m
Problème XXXIII. — Le vol des grues i 1 3
Problème XXXIV. — Le carré de choux i i6
Problème XXXV. — Le bal des crapauds et des grenouilles 117
En avant deux 118
En avant trois iiq
En avant quatre 120
Méthode générale i23
Les vilains rnaris jaloux i25
Problème XXXVI. — La traversée des trois ménages 12?
Problème XXXVII. — La traversée des quatre ménages i 3o
L'erreur de Tartaf,'lia. . . 1 33
Problème A'A'A' VI IL — La station dans une île 1 35
Phase de départ i35
Phase intermédiaire 137
Dernière piiase iSg
Problème XXXIX. — La traversée des cinq ménages. 141
Enoncé général du problème des traversées 143
Problème XL. — Le testament du nabab 144
^^
Chapitre Quatrième. — Les progressions géométriques.
Les grains de blé de Sessa i5o
Tous plus riches que Rothschild i5i
L'arénaire d'Archimède j .' ibi
Arithmétique militaire i55
Arithmétique religieuse ib-j
Le nouveau boulier universel 1 58
Quatre hommes et un caporal 160
Arithmétique binaire 162
En Chine, dix siècles avant Abraham i63
Les balances de l'apothicaire i65
La numération ternaire 1 67
L'éventail mystérieux 1 68
Table des matières. 265
Pages.
Le baguenaudier 1 70
Aventures extraordinaires d'un mathe'maticien 171
Ingéniosité d'un clerc de notaire 173
Du déplacement d'un anneau 1 74
Du déplacement de deux anneaux 17^
Marche ordinaire ^76
Nombre des coups de navette 1 77
Durée de la manœuvre î7^
Marche accélérée 1 79
La tour d'Hanoï 179
Problème XLI. — Le tonneau inépuisable i83
Problème XLII. — Le marchand d'œufs 1 84
Problème XLIIL — Les joueurs 184
Problème XLIV. — Bacchus et Silène i85
NOTCS.
Note L — Discours de distribution de prix 187
Note IL — Sur les traversées 198
Note IIL - - Les jeux scientifiques de Lucas 2o3
Note IV 210
L Les huit dames 210
Un mort qui fait part de son décès 211
Les six quadrilles 218
IL Les jeux de rubans 220
m. Le carré magique de la villa Albani 224
IV. Cube magique de Fermât 225
V. Un carré magique à enceintes de Fermât 23o
VI. Le saut du cavalier 23 1
Le procédé de Collini 23 1
Le procédé de Ciccolini ou des quatre quartiers 233
Modification de Jasnisch 238
Méthodes de Vandermonde 238
Procédé de Warnsdorf 241
266 Table des matières.
Pages.
Méthode de M. Flye Sainte-Marie 244
La course sur seize cases 247
Courses rentrantes sur seize cases .... 248
Les courses sur le demi-cchiquier 25o
Symétries impossibles 262
Les cadres . . 253
L -Échiquiers impairs.. 258
IL — Échiquiers pairs 259
l'IN DE LA TARLE DES MATIERES.
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