Le calcul des résidus et ses applications à l théorie des fonctions

LE

CALCUL DES RÉSIDUS

ET SES APPLICATIONS

A LA THÉORIE DES EONCTIONS.

i.iiîi! Miiii: (. \i I iiii;i!-\ ii.i. m;>.

COLLIXITION 1)1. .Mi)MJGK\l'llli;S MK \.\ llll.olill. UICS lONCTIONS.
rUBLIKK sous LA DIRECTION DE M. ÉSIILK nORFL.

Leçons sur la théorie des fonctions ( /-.'lemenls de ta tlwoiic ries

ru.f<'/n//ti's et fi/ip/irfift'ins), p.u- M. lOMir.r: lïnltKi., iSi^K .1 fr. 5o

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I rame |i,ii M. Kmii.i: linitn. ri riili;;<i ■- par M. liohcil f/'Adliéinar.

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l-rance par M. Kmii.i: Hoiu:l cl rciligcis par M. f.ii(lo\ic Znrclli, i>(ii3. 3 fr. ho
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tives, professc'cs an Colligi' de l'ranre par M. Henri I.KRKsauK, i<)i>i. 3 fr. 5o
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l'iance par M. Hk.vk li.\inE ri rôdim'i* par M. A. Denjoy, 190.) 3 fr. an

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liements en séries de polynômes, pn>rrssrc? à l'IJrole Niinnale,
par M. Kmii.i; liiiiiKi., rcdigccs par Maurice Frec/iel ayec des Noies de
M. P. Paixlevé cl do M. II. Ledicsouk, lyn') J fr. 5o

EX imietahation :

Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plu-
sieurs variables complexes, p.n M. rn.iiiu: Coi'.six.

Leçons sur les séries de polynômes à une variable complexe, par
M. ICmii.i: Umuii,.

Leçons sur les correspondances entre variables réelles, par M. Jules

l>llAi:ll.

Principes de la théorie des fonctions entières de genre infini, par

M. ( Irio lii.rMKNriiAi..
Leçons sur les séries trigonométriques, p.ir M. Henri Leresoi-f.
Leçons sur la fonction '( s) de Riemann et son application à la théorie

des nombres premiers, p.ir M. Ili ii.i \ii\ Kocn.

■^^Q^

COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUK LA THEORIE DES FONCTIONS

PUIII.IBB SOUS I.A DlltRCTlON l)i; \\. f-".\Tll.i: RllllKl .

LE

CALCUL DES RÉSIDUS

ET SES APPLICATIONS

A LA THÉORIE DES FONCTIONS

Ernst LINDELOF,

PnOFESSKUn a l'UNIVEUSITÊ de lIliLSINGl'UllS.

PARIS,
GAUTHIER-VILLARS, IMPRlMKLlH-LIHnAIRi:

UL IIUHEAL- DES LONGITUDES, DE I. KCOl.E l'O L Y T EC H N !() U E,
Quai des Giands-.Vuj;uslins, 5.3.

1903

iTous droits réserves.)

PRÉFACE.

\.v.> |)i(ii;ivs réiilisé.s tl('|HjiN i|ii('l(|ii('> uniicis ihins hi lliéoiir des
Idiictimis aual vtii|U('s mil liiil rcssdilii- ciiiiihKLi sont l(ui|()urs fé-
condes et eflicaces les inéLhodc-; in^i'iiiriises créées par Cauclij,
n.iriiii lesquelles il con\ienl ilc ciler en premier lieu le Calcul des
ii'Nidij--. Il nesl donc pas sans intérêt de revenir maintenant sur ce
(.iili'u! classique et déludicr svsl(''iuati(piemcnt le rôle qu il joue
dans la tli('i)rlc de> lonciions proprement dite. C'est ce que nous
avons tâché de faire dans ce pi'lil Li\ rr. l'ii \ue de faciliter dans
une certaine mesure l'accès des parties modernes de l'Analyse.

Dans le premier Chapitre, nous passons rapidement en revue
les principes et théorèmes f;énéraux dont nous aurons à faire usaoe,
en eher(diant d'ailleurs à \aricr nu peu ce sujet tant de fois exposé.
Avant fait une ('tude (h'taillée des tra\aii\ de Cauchy, y compris
([uelques Mémoires peu répandue cpie M. Mittaj^-Lefller a géné-
reusement mis à notre disposition, nous avons tenu à relever les
dates et à faire ressortir la portée de ses découvertes, ce qui nous
a paru d'autant plus nécessaire qu'on rencontre souvent, dans la
littérature, des indications assez peu exactes à ce sujet.

Le deuxième Chapitre contient diverses applications du Calcul
des résidus, dues pour la plupart à Cauchy. Cependant les limites
restreintes imposées à cet Ouvrage ne nous ont permis de donner
qu'une idée très imparfaite du parti que Cauchy avait tiré lui-même
fie son Calcul. Parmi les applications faites par lui qui n'ont pu

VI IMIKFACI!.

IrnUM'i- |il;i(i' (Lins ce ( ;ii,i|.il ii-, ii(iu> (|i\oUs >ij;nMlcr -iiiluiil l;i
in<-lli(i(Je i|ii il il <'iii|il((Vi-c |Hiiii- iilitciiiido Ncrics ;iiiiiloj;iR's à celle
tli- l-'ciurii'i-, iiii'-lliodi- (liJiil (iii Innnc une lii'-> hcllc cNiio-ilioii ini
'J'ciiiic 11 (lu 'J'iaiti' (t Analyse dv M. l'icud.

I.i- li'uisièinc Cli;i|iitr-(' esl cimsacr(- aux luinmli-s xiiiiiiiatiiircs.
Le Calcul des rêsiilijs. iÉ|i|ili(|iii' >\ --ic'MialiciMciiiiiil. )]i-riiK'l de ral-
lacliiT loiili'^ (■(■> liiriiiiilc^, ;i\ci- IriMS cousimi iiriico iimllliilcs. à
un iiuMiif |irln(i|)c -.impie cl iialiiiil. cl cdmIi ilmc ainsi à niellrc
jiliis (I iirilrc cl li'iimli' ilan> ccl le |iarllç ^1 inlcrc^s.mlc ilc 1" Vna-
h..c.

Coinnic application de ee> lui iiiiili'>. non? en dcdiii>ons, au
«[ualrièiue Cliapilie. une urande partie des expressions l't des
dc\ cliip|)eiiicnN li(iii\('s. i'i (IIHVtciiIcs i-pinpicN cl par diili'i-eiiles
iuciIkhIcs. pdiir 1,1 Idiicliiin uiiniiiiii et |mmii- la ionctinn de
Rieniann. Ce Chapitre (uni nul .im^nJ iniclipics i-r-snlials nmixeaiix
relalil's à la série de Slirliiii;.

ImiIIm. an dernier Cliapiirc. imiis duiuninN un .ipi-rcu de (uichpies
résultais iiKidernes nd.ilils ;mi pndiiiiuciiieiil aiiah I iipie cl à liinde
asviiiphilnpic des Iciiicl iini^ dcliiiics par iiu d<''\ idiip|ieiiii'nl de
I avior, en m m si, ml siiihnil siir ci'ihiliis I liiiuciiies généraux ru lies
en appliealidiis cl (pii seiiililenl |irisciihr nn raraclère didinilil'.
Ici eiicdi'c iiiiiis a\(ins di'i (ire ,éssi-/ i]rc|'c| hijsscr de ci'ili' liii'ii Ai'>
ipicsjiiins I iileressanics. iii.iis uuiis cspc'inns iiiMiiiiii)ins que nuire
cNpiisiliiiii ne scr.i p,i> >,iiis iiliiilc piiiir ceux (pij dcsireni .ippni-
linidir le siip'i .

ÎNdiis iciiiiiis ,1 exprimer ici nus \\{-, rcmcreimciil s .'i M. Kniile
Bond. <pii iKiiis il in\il(' à écrire ce l,i\re et ipii. eiisiille. en re-
MiViinl les epri'ines. ,1 liieii xuiilii ikmis .issis|ir de ses piiciciix

Cllllsclls.

ili'lsiiij;ri>rs, le i.'i iiiiM'iiibi'c i:ii>î.

INDEX.

l'ascs.

(IlIAlMTRK I. — l'i in(i|ii's cl tliéorèines fonclaiiiciUaux I

CiiM'iTiiE II. - A|>|ilicalions cliverses ihi calcul îles résidus 20

CiiAiMTiiR III. - rorniules snmmatoirps lirces du calcul des résidus. ia

CiiAi'iTliE W . - Les fcinclions r(r), i^(.s), tis^ «' ) 87

(iMM'irRK V. Applications au prolungenieul analytique et à
l'étude asymplotiquc des fonctions définies par

un développement de ïaylor 108

Table des .matières ifî

LE

CALCUL DES RÉSIDL'S

ET SES APPLICATIONS

A LA THÉORIE DES FOiNCTIONS.

CHAPITRE I.

PRINCIPES ET THÉORÈMES FONDAMENTAUX.

1. Soient deux foiictiniis réelles des variables réelles x^ j',
u[x,y) et v{^x,y), continues et uniformes dans un domaine con-
nexe T, ainsi que leurs dérivées du [jremiei- ordre, et vérdlanl les
relations

Ou 6/C ()U l)f

' ùx i)y ' dy ûx '

pour tout point de ce domaine. On dit que l'expression

( -1 ) ./'( - ) = "I -i'r jr ) + ' *■'( •'"> y >

représente une fonction analytique de la variable complexe
z ^ X -V- iy qui est holomorphe dans le domaine T.

Désignons par Am, Ar les accroissements que prennent u{x, y)
v{x,y) lorsqu'on passe d'un |)oinl x,y de ï à un point voisin
X -h \x, y -h Av', et posons /( := y'Ax* + Aj- ; on ohtient aisément,
en se servant des relations (i),

\ dx Ox I

L. J

■>■ CIIAl'ITHK I.

OU l)idi. en posaiil A; := Ij- -h i \y. d'où A; | = //,

/(

, /Ou .1/1' ,

(/(), (A;') Iciidiint xers zéro avoi- //, A;. La iliTiiirrc (•f;alilé \\ou<.
apprend (pie la fonilinn f{z) mlnu-l. /xnir cha.jiie jniinl <lii
(Imiminc T. nnr 'lihiiée umoi k

,, , du . dv

(/ni reste rnntiniu' dans lî .

Inversement, étant donni'C mic l'oncliDn ipirlcinnpir de r. eon-
linue et uniforme dans T et admetlanl. en ilia(pie pojnl de ce do-
maine, une diTixée uniipn» (pii v i'esl(> conlimie. on eonstale imni»'--
diatemeni ipi rlle jirul »e mhIIii' -ous la ioi-me {:>.). ii{x,y) et
Vi.x,y) juurssant des propri('a(''s énouet-es au d<'d)ul : e'esl donc
une fonction analvlnpie i\r z. Iiolomorplie dans le domaine T.

Celte seconde dilinilimi I en i'\ idenrc cpie. si fizA et «(s)

sont des fonctions anah lupics, imliM |lll(•^ dans mi dinnaine

donné, il en est de même de leurs s nie. diller-enee et produit.

ainsi tpie de leur t|uolienl. si je denominaleur ne s'annule i)as
dans le domaine.

!2. Il UOU3 semijie tomniude de ratlaelici' les pio|)rii'tés fonda-
mi'iilaies des fonctions analytiques au théorème suivant :

Toute fonctidii iinii/\lir/iie /(z). uniforme et Itolnmorphe
dans un iloniaine T à connexion sini/ile. est la dérix-ée d' une
autre fnnrtion V yz) jouissant des nu' mes propriétés. Cette fonc-
tion, intégrale F(3) est déterminée à une constante additi\e
près.

Vax posant l"(s) =-= U(.r, y) + /\'^(.r, r), la eondilioii ilonni'-e :
F'(3)=/(3), ou lilen dV{z)^=f{z')dz. entraîne les deux sui-
vantes :

rfU = udr — e dy.

(3)

rfV = «» dr -t- u dy.

< )ii 1 si ildiic i-,imi'iM- ,É diiiioiili II liMslcnce, dans \i- dom.iiiii' T.
d iiii'- JMiicl ili-^rale l'oiitiiiiie l't il iiiloi iiic d'uni' di [l'éienliellc

PRINCIPES ET TllKORElMES FONDAMENTAUX. 3

totale

(4) m(x,x)dx-^'S(j-,y)>ly,

les expressions M.[x, y) et ]\(.r, i) élant elles-mêmes continues
el uniformes dans T, ainsi que leurs dérivées premières, et vérifiant
en chaque point de ce domaine la condition d^ intégrabilité

dM(T,y) itN{.r,y)
i)y Ox

On voit d'abord que, s'il existe deux fonctions intégrales jouis-
sant des propriétés indiquées, leur difiV'rence se rt'duira nécessai-
rement à une constante. En effet, les ilérivées de cette diflérence
étant nidles en chaque point de T, elle gardera une valeur con-
stante sur tout segment de ilroite intérieur à T et |)arallèle à l'un
ou l'autre des axes de coordonnées. Or deux points pris arbitraire-
ment dans T peuvent toujours être reliés par une ligne conqjosée
de semblables segments.

Ayant fixé à l'intérieur de T un point Xa, jKoi imaginons que,
pour atteindre un autre point x^y du même domaine, ofl chemine
de Xa, l'o parallèlement à l'axe des x jusqu'au point x, yo, puis
parallèlement à l'axe des y jusqu'au point considéré x, y. Cette
ligne l)ris(^e sera comprise tout entière dans T si l'on suppose le
point X, y intérieur à une certaine portion de ce domaine que
nous désignerons par T,,.

Cela posé, en admettant cju'il existe une fonction continue et
uniforme dont la différentielle totale soit égale à (4) et qui, au
point X(i, j'oi "^i' réduise à une constante donnée A, la valeur de
cette fonction en un point quelconque x, y du domaine T,, sera
évidemment représentée par l'expression

Foix, y)=\^f M{x,yo)dr+J n{x,y)dy,

obtenue en ajoutant à la valeur initiale A les accroissements que
prendra la fV)nction intégrale sur chacun des deux segments recti-
lignes qui relient les points Xo, yo et x, y.

Inversement, ayant formé l'expression ci-dessus, on constate
immédiatement qu'elle définit, dans le domaine Tu, une fonction
intégrale continue el uniforme de la différentielle (4). En efl'et, la

4 CHAPITRE 1.

chose osl ('videiite [Knir ce (jui cDucfriic riinifiiriiiilr el la conli-
iiiiité el, en diH'érenliiinl. on Iriiiivc ilc siiile

Or ='^<^'.r)'
|iais, eu ulilisiiiit la ciiiniilKiii il iiili ::t'al)i!ité.

Or

Le duinaine Tp, où est diWiiiic l"ex|)ri'Ssi()ii V„{x,y), s oljlieiil
eu menant dans ï eerlaines cuiiiiiiivs parallèles à l'axe des_r (dans
la figure ci-dessous, où P^ désifine le poinl ./•„. i',, el où T„ est l'aire
rouverte de liarliures, ce sont les coniuiii'^ \ V. HH' el CC i. Le

domaine ï élaul. |iai- livp(illii''>e, à connexion sini|ilc. iliaïuue de
ces cou|iiires en sépaiera une porlKni cn'i. ju-ipi ;i |iiimiiI. I.i l'nnc-
tlon iuléiirale n'est pas définie.

V l'intérieur de To, choisissons iniiuilciiaul un poiiil i,. »', dis-
tinct de J'o, Vu { dans la ligure c'est le |)oint P, 1. et foruiuns l'ex-
pression

analogue à Ko(-P» •') f ' pitMiaul l,i inc''iiic vali'iit- (pir crllr c\pres-
siiiii au piiiul .<',. Vi- Lu r.i|.~i>nnaiit coiunie ci-dessus. ou démontre
«nie l"',i.c, )') rcpré'senle une lonclion intégrale continue et uni-
forme de la diir(''reullelle ( j ) dans une certaine piu'lion T, du do-
maine I . ipii aura en eonirnnn a\ec I „ uu<' aiie To.i- cornpreiianl
le piiiiit .r , . r, .

Je dis qu'on a b', (x, y) = 1' u(,''- .'' ' pour- tout point de l'aire 1',,,! .

PRINCIPES ET THEOREMES FONDAMENTAUX. 3

En effet, d'après ce que nous avons dit plus haut, la différence des
expressions F, et Fo gardera dans cette aire une valeur constante,
et, comme elles prennent la même \aleur au point x,, r,, cette
valeur constante est o.

Or, si l'on a choisi convenablement le point .z;, ,yi , le domaine T)
renfermera aussi certaines aires extérieures à T„ et qui en sont
séparées par l'une des coupures (dans la (iyure, c'est l'aire com-
prise entre CC et DD'). L'expression F, (.r,y) sert alors à pro-
longer la fonction intégrale au delà des limites du domaine To,
où elle était définie primiti\ ement.

En continuant ce procédé, on pourra étendre de proche en proche
le domaine d'existence de la foncllon inti'grale et, par un choix
convenable des points r,,, i',, ; r,, r,; ..., on arrivera même, en
général, à représenter cette fonction, dans loiit le domaine T, par

un nombre fini d'expressions h\,(:r,v), l"'i(.r, >), Il n'en est

plus ainsi dans les cas où le contour de T présente des singularités
d'un certain genre, mais cela a peu d'importance, car, dans la suite,
nous resterons essentiellement dans l'intérieur de ce domaine.

En retournant maintenant aux conditions (3), nous pouvons
affirmer qu'elles définissent dans le domaine T des fonctions con-
tinues et uniformes U(.r, r), V{x,y), déterminées à des con-
stantes addilixes près, et, par suite, l'expression

F(z)=V{j;y)-hiy(.T,y)

nous donne bien une fonction intégrale de /{:)■ uniforme et
holomorphe dans le domaine donné et renfermant une constante
arbitraire.

3. Prenons à l'intérieur du (Inmaiiif 1" deux points quelconques,
Zg^^Xo-h ivo el :. ^x + iy, et joignons-les par un chemin con-
tinu S, n'ayant aucun point commun avec le contour de T; puis
choisissons sur ce chemin une suite de points, z,, z-2, ■■■, 3„, se
succédant dans la direction de ;„ à :;. On appelle intégrale définie
de la fonction /{:), prise le lon^ du chcDiiii S de z^ à z, et
l'on dénote par

f f{z)dz

V

6 ciiAi'iTiu; I.

hi liiiulc M'i'S Ni(|ui'll(' li'iiil hi ~iiiiuiji'

0

lorsque « croit indi'linmii'iit, en inèiiie lemps (|iic \.i ilistance enlre
(Ipiix points conséculifs z., quelconques tend \ers zéro.

Or, en posant z^^ a:,-\- iy^. i/^= u{x.,, j\), i\:= v{jr^, y^), la
somme en question s'écrit

et. inr'icpie /i iiui:niciilr iiiilclliirnii-nl. celle expicssion lend \crs
la liiiule

1 (udx — V (ly) -,-1 j (i' (/x -~ Il <iy I,

*^.io,v„iS; • .■-„.v„iSi

hicpiciic, en \erln des l'^^dilés (3), se n-diiil à >()n loin' ^'i

^i^: y) — IJ(x„, jo) + '■[ V(x, 7 ) — V( .r„, y„)\,

c esl-à-dire à F(;;) — F(;„i. Iiiuies ces coiu'lii>i(iii> dt'-idulent
iinnii-dialenienl de la notion d"iiiti'i;r aie ciii-\ ilij;rie, si l'on ailniet
que le eiienirn S se cunqxise d un iKunhie liiii d'iircs de courlie»
ennliniies à tangente conliniie. iivpuilièse ipii vnllii ( i>nqilèlenienl
aux besoins de la théorie de> rcinelinus.
'Nous a\ oiis donc tr(iM\('

(5) /' /(-)«'- = F(;)- F,5„),

cl (Mlle (';;;alilc lenli'inie <lcii\ re>ij||.il^ il uiii' iiMpoitance capil.de :
comme le second ineinliti' ne dépend (pie îles limites ;„ cl r tic

rintégr;ile. il en i'i'"<idli' il'idiMiil ipie .

L'inléirrulr j f[z)ilz. />risr rutrr //l's liniilrs l'i.rfs. ne

rlianfir l'iis ilr itilriii-, ilr ijiiclijiif iiKiiiirri' (jii'ini Jiis.ii' riirirr
le clwniiii il' inli'nidlioii, à conditiini i/iii' ce ihcniin reste
rnnsttiniiiirnl inléririir l'i un (lonioini- on la foiir/inn /\z) l'xf
liiiliiiniii/ilie.

PRINCIPES ET THEOREMES FONDAMENTAUX. 7

D'autre part, si les extrémités z„ et ; du chemin S se rap-
prochent jusqu'à se confondre, le second membre de l'égalité (5)
tendra vers zéro, d'où cette nouvelle conclusion :

L' intégrale I /'(; ) (/:■ .l'éia/ioi/ic toutes les fois rjii'on pieml

pour clieiuin d' in lé l; in t ion un contour Jcrnié, compris dans
un domaine simplement connexe oit la fonction f{z) est holo-
niorphe ( ' ).

Supposons maintenant la Conclion /'( : ) Linifi)rme et holomorphe
dans un domaine T à connexion multiple, et soient C, C des con-
tours fermés, intérieurs à T et pou\anl se réduire l'un à l'autre
par une déformation continue, sans sortir jamais de ce domaine,
.le dis qu'on aura

f f(z)dz= f f{z)dz.
•^ c. -'r:

En ellet, si C cl C se loiipenl, les parties de ces contours com-
prises entre deux points d'intersection consécutifs correspondent

à la même \aleur de l'intégralp / f{z.)dz, en vertu du théorème

(') On ruUarlie gi'néraieiiient ci- thtoréine à Id loriniile

les fonctions M{x,r) et îi{x,y), ainsi que leurs dérivées premières, étant
continues et uniformes dans le domaine T et sui" son contour C.

Dans son Mémoire sur les intégralex définies de l'année i8i4 (Œuvres com-
plètes, série I, t. I ), Cauchy s'est servi de cette formule dans le cas où le domaine
est un rectangle ou s'y ramène par une transformation bi-unifornie des coor-
données. C'est la même méthode qu'a adoptée Kronecker dans une Note insérée
dans les Mimatsbericlite (1er Aliademie der Wissenscliaften zu Berlin, iS8o,
p. 6S8, et qu'on trouve développée dans le Chapitre III de ses Leçons sur les
intéijrales définies, publiées par M. Netlo.

D'autre part, on trouve dans le Mémoire xur les rapports qui existent entre
le calcul des résidus et le calcul des limites, que Caucliy avait présenté à
l'Académie de Turin le 27 novembre i83i et dont un extrait assez étendu a été
publié dans le Bulletin de Fériissac, t. XVI, i83i, p. 11R-128, une démonstration
du théorème ci-dessus, fondée sur les mêmes pr'uiiipes el parfaitement générale.

Enfin, dans une Note du 3 août 1846, inlilu\ée Sur les intégrales qui s'étendent
à tous les points d'une courbe fermée {Œuvres, série I, t. X, p. 70), Cauchy
a généralisé notablement les résultats qu'il avait obtenus antérieurement.

\/

x ciixPiTiif: I.

ilr l;i |i;ii;r I). il'un ii'-iiillc Téualilé ci-dessiis. Si Ifs «-(iiirlies C el C
sciiil inlcriciires l'une à riuitre el si un les joint |)ar une coupure,
les (Jeux liorfis (le celle-ei formeridiC ii\ec lesiiiles courbes le eon-
tour coniplel d'un domaine siinplenienl connexe où /'( ; ) esl liolo-

inorplie. l/inléi;iale / /[:) 'Iz étendue à ce( onlouresl donc égale

à zéro el, <'<iriijiii' les parties de rinléi;rale relatives aux di'ux liords
de la coupure se ilt'Itiiisciil. on en déduil liien ri-i:.ilil(' Miidue.
Donc ;

Si Ifi jonction J'yzi est uniforme rt liolomorphe t/nns un
domaine donné T à connexion '/iielconi/ue . l' intéi^rale

I /[z)dz, étendue à un contour fermé situé dans T. s^arde

une valeur imarinlde lorsque ce contour se déforme d'une
manière continue, en restant constiniuiient intérieur éi T.

•4. Soient /"(s) une fonction analvtiipn». Iiolomorplie dans un
domaine T à connexion siMi|>le, C une coiirhe fermée située
(laii> I ri ne m' coupiinl pas cllc-iiii'inc. ./■ un point intérieur à C
el c un cercle de centi'c ./' el iiil<'iicur à (,. Le lliéorènie ci-dessus
nous donne

les contours C et c étant parcoui-ns Ions deux ilans le sens (iii<'Cl.
Or, si l'on pose : — J" = /e'î. /• étant le raM>n du cercle c, celle
dernière intégrale prendi'a la forme

(• I /■(.r-)-;-c'?)rf!f,

dOù Ton conclu! iju'cllc Icml \ ers ■>-/_/(./■) loisipic /s.iniiulc.
Comme elle esl, d'autre pari, indi'pendanle de /■. l(uijoiiis en
vertu du même tli<''oréme, sa \al<Mi sera précisément ■À-!zif[jf). Par
suite, l'i'ualili' ci-dessus non- ijonnc la l'oi'niiilc foudanienlale

oui aura lien poiii loiil point ./' inlenciir à C.

PRIMIPKS ET THK()llKMi:.S l-ONOASIENT U X. 9

On en conclut d'ahord, jjar la ilcliniliun même de la dérivée,
que la tonclion f(x) admet dans son domaine d'iiolomorpliie des
dérnées de tous les ordres et que l'on a, à l'intérieur de C,

v! /• fiz)(lz

Prenons manitenanl un |iolnl quelconque, a, intérieur à C et
distinct de .r. et posons

n— 1

a — [3- — a )

La formule (6) de\ieiiilra, en tenant conqjle de l'égalité (~),
(8) f(T)=\-l — ^T-a}•'^ .. / ^ '-

-dz

Soient M le maximum de ] f{z) \ sur C, S la longueur totale de ce
contour, R la pkis courte distance du point n à C, R' un nombre
positif inférieur à R, et supposons \x — « | ^ R'. Le dernier terme
de l'égalité ci-dessus aura son module inférieur à

M S

/R- «

•îit( fi-
el comme cette quantité s'annule lorsque n croît indéfiniment, on
arrive à cette conclusion que, |)our j r — a\ ^R', la fonctiony'(\r)
est représentée jiar son développement de Taylor

Comme R' était un uomljie (|ucl<(jnque intérieur à K et C un
contour quelconque compris dans T, celte égalité subsiste dans le
cercle de centre a et tangent intérieurement au contour de T(').

(') Gaurliy a établi pour la preiniéi'e fois ce tiiéoréine dans Sun M(.'ntoire sur
la mécanique ce/este et sur un nouveau calcul appelé' Calcul des limites, qu'il
présenla à l'Académie de Turin le ii octobre i83i, e( doni un résumé fut inséré
la même année dans le Bulletin de Férussac, t. XV, p. aâo-'j'ig. La partie la plus
importante de ce travail, qui marque un des plus grands progrès qui aient jamais

lo ciiM'mtK I.

o. Passons an lliéorènie <!<• Lniin-nt. Nous supposons la fonc-
tion f\z^ unii'oruic et holoiiiorplie à l'inlérieur el sur le contour
de la couronne comprise entre deux cercles concentriques, C el c.
de centre a. Prenons dans celle couronne un point arliilraire, x.

et joignons C el c p^r- oii|iiirc ne pa^^sanl jias par ce point.

On aura un domaine -iiii|i|<'iiiciit connexe où /'i ; ) csl lioiomorphe,
contour compris, el l'on |)(iurra donc appli(|uci' la formule (^(i) en
y élen<l.irit l'intégrale au contour compii'i de ce domaine. Or.
comme J^t-) est uniforme d.uis la c onne envisagée, les inté-
grales relali\es aux deux bords de la coujiure se détruisent, de
sorte que nous trouvons

■l-i J^ z — .r i-sii J^ z — ./•

les contours C el c cl. ml Imis iliii\ parcimrus d.ms le sens direct.
Kn l'aisoiinanl comme ci-dessus, on Innive d abord /xjiir loiit
fjoiiU X inlérieur au cercle C,

élé réalisés dans l'Analyse, se Irouvo ri'|iniiliiilc iliins le Tcune II des Exercices
(/'Analyse (i84i).

Ouanl aux fui mules (6) et (7), il y avait lonf;teiii[>s que Caucll^ les avait
Urées du cairui des résidus, dans le cas parlieulicr dii le routour C se réduit à un
cercle de rayon un. loir, par exemple. Hiillelin de la Société P/iiloma-
lliique, 1821; Annales de Gergonne. I. Wil, p. iij, et un article de la première
année (1826) des Exercices de Malluniatiques (Œuvres, série II. I. \l.
p. ^70-371).

U'aillcui's, ces foriiiules avaient déjà été remarquées par d'autres auteurs,
notamment par Frullani d Poisson, qui y étaient arrivés en partant de la série
de Taylor. Mais, dans cet ordre iridées, on doit surtout citer Parseval. auteur
peu connu de notre leinps, mais dont les travaux vraiment romarquahles :
Méthode générale pour sommer, par le moyen des intégrales dejinies. la
suite donnée par Iai grange, et Mémoire sur les séries el sur l'intégration
complète dune éi/ualion aux différences partielles linéaires du second ordre.
Il coejficients constants (Afémnircs présentés par di\ers sai'ants. série I.
t. I. iKnli) ont exerce une grande intliienie sur 1rs analystes du eommencemenl
du siècle dernier, et tout partirulièremrnt sur (^..iu<-|iy {roir, par exemple.
Œuvres, série II, t. VI, p. ■.•7.t ).

Les remarques <|ui précédent pourront servir à compléter ou il eorrijcr, sur
diirérents points, les intéressants articles i|ue vient de publier M. Stiokel sur
riiistoire de la Théorie des fonctions (llibliotheco Matliemalica. sérii' III, l. I.
p.ior)-i>N et t. II. p. 111-1)1).

PRINCIPES ET THEOllEMES FONDAJIliNTAl X. Il

avec

iT.i Jj I z — a i"'+i

En verlii du théorème de la page 8, il est, permis de prendre
pour contour d'intégration dans cette dernière intégrale, soit l'une
des circonférences C et c, soit une courbe fermée quelconque, L,
intérieure à C et en\elo|ip;uit c, el ne se coupant pas elle-même.

D'autre |3art, en écrivant

II

z — T X ■ — a — (z — a) ^u { .r - ay ' \ x — a ] x — z

et en obserxant que, s\\x — a\ est supérieur au rayon du cercle c,

l'intégrale

I r iz — a \" f{z)dz
■y.-i J \ 3- — al X — -

s'évanouil pour // =; x, on trouve le dé\elop|iemenl
■iTîi J , Z — ,r .^ i j- — a )■'

OU

(9) ïi^= -^. I f{z}(z-ay-> dz,

et qui reste valable pour tout point x exléiicur au cercle c.
On aura, dès lors, dans la couronne comprise entre C et c,

0 1

égalité qui constitue précisément le théorème de Laurent.

6. Admettons, en particulier, que la fonction /'(; ) est uniforme
etholomorphe pour tout point du cercle C, excepté le centre a. Le
raisonnement qui précède restera vrai quelque petit qu'on prenne le
rayon du cercle c, et les valeurs des coefficients Av, Bv seront
toujours les mêmes. Donc, la fonction J{x) sera représentée par
le développement (lo) pour tout point x intérieur à C et distinct
du point a.

( ^Mtit ;ui caraclère que |)résenle la fonction fi.r) dans le voisi-
nai;e du |ioinl a. deux cas sont a priori |iossiljles : ou il existe un
enliei- it tel «|iic. dans le ceiclc C, le module du ju-oduit (t — a)"/{x)
reste inférieur à un nombre fini. M, ou lji< ii un tel entier n'existe
pas.

Considéi'ons d'alioi-d le premier cas. et admettons que /; est pré-
cisément le plus petit entier satisfaisant à la condition indiquée. Kn
faisant V =:«+ ^ et vu prenaul pour <iinl(iiir d'intégration un
cercle de centre a et de ravon /■. on dt-duit ilc l'égalité (9)

\B„^A\<Mrk,

et. comme M/-* s'annule a\ec /■. pour /. : 1 . tnudis rpic les \alcurs
des coeflicienls H ne dépendent pas de /•, il en résulte que
B„+i =r B„_^o= . . . = o. Donc, le développement (10) ne com-
prend ipi //// iiomhrr fini flr termes à puissances négatives {*) :

{or — a)" (a: — a)"-' x — a ^

0

On aur.i il iidlciirs |{„ — n, --an» (pjoi le pruduit { T — r/V'"' /"i ./■ 1
resterait fini daii'. je \nisniai;i' du |iiiiiit'/, coiilraii'cuiciU à l'Iivpo-
thèse. — < )ii ilil . dans ce cas. (|ur h' jioiiii a isi im pùle il ordre 11
pour la fonction /'(^x).

Inversement, si n est un pcMc de fi.r). il existe évidemment un
entier // jouissioil (!<■ la pi nprii'it' indiipu-ç plus haut. I )one, dans
le cas où un l<'l entier 11 existe |)as. la partie fractionnaire ilu
dé\elo|)peuicnl (loj coinpiendra une iiitinilc de termes, et réci-
proquement. Alors, le pciini n es| <|ii point singulier essentiel
pour la lonclion diuini'e.

I -e cocllieient 15, de la jueuiière puissance négative dans Icdéve-
Ic'ppcMieut (10) s'ap|)elle le resiilu fie la function f{.v) relatif
an /iiiiiii singulier x = a (-). D'après (i)'), on a

— . ff{z)dz,

(') Cf. Œuvres de Caucliy. série I, l. ,\l, iSdi. p. .1S/,.

(') Ce Icriiii; u <!lc eiii|>lc>yé par Caiicliv pour la prcinicre fois, il ri- qu'il scmlile,
diint un Mc'uioirc préscnlr à rVracléiiiie des Sciences le j8 dcoeiiibrr iSjâ (voir

PRINCIPES ET THEOREMES FONDAMENTAUX. l3

L éteint un contour terme simple intérieur à G et eiiveloppaat le
point a. Si a est un pôle simple, on aura aussi cette autre défi-
nition :

Bj = lim (X — a) J\x ).

Remarquons encore que le résidu B, s'évanouit siy(s) est la
dérivée d'une fonction qui reste uniforme dans le voisinage du
point rt, ce qui résulte immédiatement de légalité (5), page 6.

7. Supposons maintenant la fonction y(x) holomorphe et uni-
forme dans la région du |>lan qui est extérieure à un certain cercle c
ayant l'origine comme centre. On aura pour tout point de cette

(I.) f(T)=^K,x''-r-^

B,

Av = -^. f ■^!- dz, Bv = -U / /'( -; )^''-' dz,

L étant un contour fermé simple enveloppant le cercle c. Eneli'et,
en vertu du théorème de Laurent, cette égalité a lieu dans la cou-
ronne comprise entre c et un cercle concentrique C, envelop])ant
le contour L et d'ailleurs aussi grand qu'on voudra.

Nous a\ons in encore à distinguer deux cas :

Admellons ilaliord (|u il existe un entier /> tel tjue le mo-
dule 2 "/'(:) I reste inférieur à une limite finie, queUpie grand
que soit |;;|, et soit d'ailleurs /i le plus petit entier satisfaisant à
cette condition. On en conclut, par un raisonnement analogue à
celui du n" G, A„_,_| ^ A.,,^.2 :^ . . . ^ o, \„ ^ o, de sorte que x" est

p. xm de l'analyse des travaux de l'Académie pendant l'année 1820, par I<'ourier ),
puis dans les Exercices de Mathémaliques. Mais la notion de résidu est au fond
identique à celle d'intégrale singulière que Cauctiv avait introduite dans son
Mémoire de iSi^, et qui se trouve exposée avec beaucoup de précision dans ses
Leçons sur le Calcul infinitésimal de l'année 1823 {Œuvres, série II, t. IV
34'' leçon ).

Cauchy est bien des fois revenu sur tes notions fondamentales du Calcul des
résidus, cliercliant à les préciser et à les simplifier autant que possible. Voir, en
particulier, Œuvres, série I, t. .\I, i85i, p. 3oti-3i4; t. XII, i85â, p. 3oo-3oi
et 1807, p. 433-444.

s/

I.| CIIVIMTHK I.

hi puissance \.\ plu- ('•IcM'e de .r (|ui fiijurc ilaiis le dt'veloppe-
incnl (m). On conv iciil île dire, diins ee cas. (pie /<' fxn'iit à l'infini
l'sl pour /{.!• ) un pôle d'ordre n. Si, en particulier, |./'^-)| resle
au-dessous d'une liniile finie, à partir d'une certaine valeur de | z |,
le dével()p|)enient (ii) ne comprendra aucune puissance positive
de x\ alors la fonction f[x) est holomorplie ù l'infini.

Dans le cas où il n'existe pas d'eiilici' n xiM-iliant la condilidii
indiquée, le ili'\ cioppciucnl (ii) compren<hM ;ni contraire une
iiifinilc de lernies à puissances positives, et le point ',{ l'iiilini est
dit point sinaulii-r rxsrniii'l pour /*( ./• ».

()ncun\ieiit d Mpp<l<'i- ii'sidti de l<i fonction J\x) relatif (iii
piiint X ! expre-siiiii

- B, = -!-. ffi z I dz,

1 T. t J,

rintégraie étant piise le louj; du couloui' 1, dans le sens indirect
par rapport à Torif^ine ou, ce cpii revient au même, dans le sens
direct par rapport au point x. HeuKiicpiiui- (pie ce résidu est nul
dans le rus oii le pnidiiil zf{z) tend unifurniémenl vers zéro

avec -) c'est-à-dire où l'inégalité | z f[ z) ■ ^t. quelque petit (ju'oii

se donne s, est vérifiée dès que |;| dépassera une certaine limite
finie. En ell'et, en prenant pour contour L un cercle avant Idriijiiie
comme centre el dunl li' ravou est supérieur à celte même limite,
on trouvera I 15, I < î, d où il -iiii li, u.

(S. S<iil Mlle loiiiliou ,iii,il\ I iqiie / ( ; I (Mil. clan- iiii iliimailli'
(iniiiic ;i eiMllieVKiU >iiii|i!i'. c-l Miiitnniir el lie pre-eiile ipi un

nom lue Uni lie points Mni;uliers, </, , a, a,,, en étant d ailleurs

liulumorplie sur le contour C de ce domaine. Entourons les piuiilsr/
de petites courbes fermées, Ci^c-i., . . ., c„, extérieures les iiiie- ,iii\
autres jiiiiis iiili-rieures à C. et joignons rliieiiiie de ces courlies
a\ec C |iai' uni' eoupui'e. In rai<(iiiiii'meiil .umIo^iic à celui du
n" ti nous donnera

II
— . I f{z)dz =y -^. I f{Z)dz.

, r,

liius les ((Uiloiiis el.iiil parcourus dans le sens ilirccl. ( )r le sccund

PRINCIPES KT TIIKOHK.MES FONDAMKNT VUX. l5

iiicrilbre est égal à la somme des résidus de la fonction /"(s) rela-
tifs à ses points singuliers intérieurs au contour C, et, en désignant

avec Caucliy cette somme |)ai- •' [/'(;)j, on pourra donc écrire

l'égalité précédente sous la forme

(12)

-^._^/(.)^.=£j/,.)).

C'est la formule sur laquelle repose tout le calcul des résidus (').
Dans le cas où la fonction /"(;) est uniforme et holomorphe
dans la région extérieure au contoui' C, le premier membre de (i 2)
est égal au résidu de celle fonction an point x pris avec le signe
moins, doù celle proposition :

La soniine de lous les rrsù/i/s d'une f onction analytique,
uniforme dans tout le plan et n'ayant qu' un nombre fini de
points sin iiuliers, est égale à zéro.

Soit, en pai-liculier, une fouclion /'( ; j, iiolonior|)lie dans tout le
plan et dont le module reste inférieur à une certaine cjuanlité finie,
quel que soit z, et considérons l'expression

F(.)^ Û±L___.

{z — .x)(z —y)

X et j' étant deux points distincts pris au iiasard. Comme :;F(3)

tend uniformément vers zéro avec -, le résidu de ¥ ( z) à l'infini

est égal à zéro, d'après la remarque faite page 14. En vertu de la
proposition ci-dessus, il en est donc de même de la somme des
résidus de F (3) relatifs aux points x et y et, comme cette somme

f(x) f( y)

s'écrit '^-^^ — - — ■' -^ , il en résulte ./(-p) =./(./)• Donc la fane -

X y

tion f{z) se réduit à une constante (-).

{') Sous cette forme générale, la formule (12) a été établie par Cauchy dans
le Mémoire du 27 novembre i83i et publiée la même année dans le Buttetin de
Férussac ( Cf. la note p. 7 )•

(') Cf. Cauchy, Œuvres complètes, série I, t. VIII. iS44, p. 366-373. Dans
cette Note, Caucliy démontre également qu'une fonction _/( 5), bolomorplie dans

tout le plan et telle qu'on ait \ _„ \ <M à partir d'une certaine valeur de \z\.

•^

i6

iliM'iTiti:

Km rcpreiiiinl les liv|i(illic''sc-. cl les ii(pl.ilicjii> aclii|ili-<'>. ;iii dcliiit
(Ir If iiuini'iii. ;i|>|)li(|ii()iiN iii.iiiilçiiiiiit la roniiiilc (lu) à la fonction

>r étaiil un |i(iiMt t|U('lcon(|ue inlérii'iir au conloiir C et distinct des

points rt,j II, II,,. Le i(''si(lu de celte fonction an point ./• est

éfial il /{x ). l'oin- liiMiMT le résidu relalil à «v, écrixons

f(z) = Gv ( ! ) -i- Hv(; — «v),

\ - — ûlv /

Gv désignant la partie IVactupiiiiiure et Hv la partie entière du déve-
lii|)peiuent de /( ;i suixaul les puissances de ; — «y. Connue H.,

est lioloinurjdic au point n.,. nu \iiil il alii>id ipic -^ — ^ aura en ce
point Ir nicuic ii'Sidu ipu' I explosion

z — T \s — ayl

( )r ccllc-ii II a il ailliez poiiii~ >iiij;iilicrs i|iie c .=: .r et ; = rty

et, connue ;<!)(?) Icml iiiiiliiriiK'iueut vei's zéro avec -. son

résidu à I luliiii c>l mil. l'.ii \crlu de la |ii'opiisilioii (iéuionirée
page |5, le résidu clicrclic is| doue i'i;al ,111 icsidu de <1'(^; 1 au

point X in'is avec le signe nioiiis, c csl-à-ilire à — G, ( )>

et par •iiiite la foriuule { 1 a ) nous donnera

^ \x — a-,J XT.l ,1^. z — T

autre loriiliile louilaiiieiil.ile ilii (..deiii ile^ roiiiii^ doul ( ..iilelix a
lail un usage eoulimiel dans ses reclierclies.

9. i\'(Ui> ilcxoiis rappeler le priiicipi' loiul.iiui iil.d du pndonge-

sc réiliiilii un |i<ilyiii>fiic d'un degré = n. l'Ins liird (Ihiti.. 1. \!. iS."ii, p. S-G-SSo),
il a lire de lu funiiulc ( i3 ) du tcxlr rcNprc^sioii gi-nt'nile d'une fonction uniforme
n'ayiinl qu'un numliri' Uni de points singuliers, el montré, m particulier, que
loulr fonction n'av;inl d'iuilies singuhirili > que des piMes se réituil à une fniction
rationni-lli'.

PRINCIPES ET THEOREMES FONDAMENTAUX. in

ment analytique, dont nous aurons constamment à faire' usage
dans cet Ouvrage.

Si les fonctions fi (x) et f-ii^) sont holoniorphes dans une
aire connexe T, et si l'égalité fi{x) =f.,(x) est vérifiée sur un
segment de courbe arbitrairement petit ■' intérieur à T, elle
subsistera pour tout point de cette aire ( ' ).

Dun point a du segment -' comme centre, décrivons un cercle C
ayant pour rayon la plus courte distance de ce point au contour
de Faire T. A l'intérieur de ce cercle, les fonctions/, [x) elfi^x)
sont représentées par leurs développements de Taylor :

/,(x)=2A.;'(.r-«,,v, Mx)=^t^.r{x-ay'.

.Je dis que ces développements sont identiques, c'est-à-dire que
l'on a Ay"^ A!,'' pour cliaque indice v.

Supposons, en effet, qu'il n'en soit pas ainsi, et soit n le plus
petit entier pour lequel l'égalité précédente n'ait pas lieu. On
aurait, en posant pour abréger A!/' — A!,-'= \v,

/i(a-)— /2(.r) = (.r — «)■'[ A„ M- A„+,(.r — «)-!-•••] (A„==^o),

et Ion pourrait donc trouver un nombre positif/' assez petit pour
que cette dillerence ne s'annule pour aucun point du domaine
o <i\x — " [ <C '• Or ceci est impossible, puisque le domaine dont
il s'agit renferme une partie du segment y.

( ' ) Dans une Note de Caucliy du 17 février iSijS {Œuvres, série I, t. I\, p. Sg)
un trouve le principe en question énoncé en ces termes :

Supposons que deux fonctions de x soient toujours égaler entre elles pour
des valeurs de x très voisines d'une valeur donnée. Si l'on vient à faire
varier x par degrés insensibles, ces deux fonctions seront encore égales tant
qu'elles resteront l'une et l'autre fondions continues de x (c'est-à-dire /lolo-
morplies, d'après la terminologie actuelle).

Caucliy avait été conduit à ce résultai, qu'il énonce d'ailleurs aussi pour les
fonctions de plusieurs variables, en généralisant une proposition établie par Cel-
lérier, dans une Note relative ci la tliéorie des imaginaires, qui semble n'avoir
jamais été publiée (Cf. le l\apport de Caucliy, Œu\-res, série I, t. VIII, iS44,
p. 160-162).

Cependant Caucliy n'a pas tiré d'applications de son principe, et c'esl à Rie
mann et à Weierstrass que revient l'honneur d'avoir les premiers mis en évidence
l'importance et la fertilité de la notion de prolongement analytique.

L. 2

i8

CHAPITRE I.

On a (li)iic y, (.r) =Ty!,(a') pour tout |ioiiii du cercle C. lui pre-
nant maintenant un point (|U('lconi[ue b intérieiirà C, on (Ji'-nionlre
par le même raisoun<'ment (pie celle égaillé subsiste dans le cercle
avant b |)our centre et langenl intcrienremenl au contour de ï et,
en continuant ce |)rocédé, on arrivera évidemment à l'établir pour
un point (pielconque de l'aire T.

lu. En termin.iiil te Chupilic. M()U> iI( iiioulrerons un tliéorènie
général dû à ^^ eierstrass (') et qui joue un lôlc 1res iniporlunl
dans la ihcorie des fonctions :

Soit itiif siiih' I iiil('-/iiuf lie Jiiiiciiiiiis iiiK/htii/ties, m,(x),
ii2{x), ..., /iubt/>iv//jJic.s dans une aire co/tnr.rc T et stir son
eontoiir C, et si//>piisnns tjuc la série

(M)

F( X I = H| (x) -f- tiiix) ■

ihijr)

converge unifvrniéinenl sur C {-); la somme l'\-i) de celle
série représentera une fonction analyli<jue holomorjthe dans
/(' domai/n' 'W el la dérii('i- d'un ordre quelconque de cette
l'onction s' obtiendra en /(usant la somme des dérivées du même
ordre de chaque terme de la série.

La formule (G) nous donne, poui- tuui puiul x intérieur à C el
pour chaque indice v,

et, comme i"inli\;;ialc il inic si'tIc unlfurnii-nienl convergente est

(') Vonalsberichtc (ter Akademie der M'isscnsclia/ten zii Uertiii, i8So.
C) Cette coiidilion implique que, a\unt li\t' un nuiiibrc positif aibitruirenienl
petit c, uu pourra (ruuver un entier /( tel qu'un ait

, i(,(j;)

peur tout point du coiilnur \'.. et qui'l qur snil l'inliiT piisllir/<. Or on >,iil, par
une propric'ti! bien eonnue des fonctions analytiques, que la plus jurande valeur
<|ue prend le premier membre de celte iné):alit<.' sur le contour C est >upcrieurc
à sa valeur en un point quelconque inti'ricur à ce contour. Il en résulte que, si
la st'ric (i4) est uniformément convergente sur le contour C, elle l'est aussi dans
tout le domaine T, contour compris.

PRINCIPES ET TIIEOnÈMES FO.ND.VMKNT.VL X. Ig

<5gale à la somme des intégrales de chacun de ses termes, on en
déduit inimédiatenient que la série (i 4) con\ergc au point x et (jue
sa somme est donnée par l'égalité

i.-tj,. Z — JC

dont le second membre représente bien une fonction analytique de
la variable x qui est holomorplie dans le domaine T.

La seconde partie du théorème se démontre de même en partant
de la formule (y) qui nous donne, pour loul point x intérieur à C,

"^"<-'-)=^/r4^^^^.

II'. r u.,(z)d
l^ij,. {Z — .V y

lui ellet, on en déduit l'égalité

F(;i,/;

dont le second mendjre, d'après (i j), est bien égal à F^"'(x).

On se convainc d'ailleurs aisément que la série figurant au pre-
mier membre de cette dernière égalité est uniformément conver-
gente dans toute aire intérieure au domaine T et n'ayant aucun
point commun avec son contour.

CHAPITRE II.

ArPI.lCMIONS IHVEliSKS Dl CVLCUL DES lŒSIDUS.

I. — Fuiictioiis syniPti-if/iirx des racines d'une cijualiDn .
Développement des Jonctions ini/diciles.

11. Soil une foncli(jn iiu.ilvlicjiie, J{-i'). uiiiIdiiiic fl u ;i_vaiil
iImuIjos siiigiilarilés que des pôles dans un domaine donné T,
Ijcilnmorphe et dillerenle de zéro sur le coiilour C de ce domaine.

Le nombre des pôles intérieurs à T ol nécessaii-emenl fini, ear,
dans le cas contraire, ils adiiirttraienl au moins nu |iuini limite
faisant junlir ilc T. cl <pii >cr;iil p()niy(,r) un |)oint sinj;ulni- il'iiii
( araclère autre tpic les pôles. Nous dcsijfneroas les |)ôles en (pies-
tion par L>, , b-, h.,, et leurs ordres par ^^i, |jj, .... |jv.

On \oll de in(~iiic iprc 1,1 lonclloii f{x), à moins qu'elle ne soil
idenliquenienl nulle, uc siiur.ill avulr ihiu- T i|n"iin nnniluc Uni de
zéros, «1, «2- • • • • "iJ. • >'iii'ul y.| . -J.. z,j Icni'^ nrdi-i'».

Ciinsidérons \r iiudlicnt • ,. ^^ (Vr-I é\ iiicnirncul nue loucljuu

' _/( .(■ t

lii)loniorplie en loni point de 1 (li>tiiiii dr^ puiuls a cl /;. l).iii^ le
voisinage du | il H),, du aura (')

/(t) = \(t — (ï/. )»'[i -+- (.r — rt,. iî)(.r — <u)],
A l'Iant nue cou^lanU' mm nulle; il en rcMille

/(.r) .T — Uk

■pijr — f(<).

(') Nous désignons par >)(/) une srric cnliiTo (|iii converti- iliins un ri-iliiin
voisinage de la valeur l — ». il (lui ilailUiiis n'est |)as la miîiiie dans le- diverses
égalités ci-dessus.

APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RESIDIS. 21

Un calcul analogue nous donne, dans le voisinage du point 6/i,

f{x) x — bl,^

Cela posé, soit F(x) une fonction cjuelconque, holomorphe
dans T et sur C. D'après les égalités ci-dessus, les résidus de l'ex-

pression F(x) - relatifs aux points «a et bk seront respective-
ment égaux à o.kF{ak) et à — |'3aF(6a), et la formule (i a), page i5,
nous permet donc d'écrire ce résultat :

(I)

^^'^na,.)-^hVib,,)=^Jnxyn^dx

Si, en particulier, la fonction f{x) est holomorphe dans le
domaine T et n'y admet que des zéros simples, ^i, X2, • . . , Xm-, on
aura

(2) F(:r,) + F(X2)+...+ F(:!.„,) = -!-. fFix)Ç^dx.

Cette formule restera d'ailleurs valable dans le cas où f{x) pré-
sente des zéros multiples, si, comme nous le ferons dès à présent,
on convient d'écrire, dans la suite X{, x^, ■■■, x„i, chaque zéro
autant de fois que l'indique son ordre (').

12. Pour F(jr) = 1, la formule (1) s'écrit
Soient R et <I> le module et l'argument de la fonction y(:c), de sorte

( ' ) La formule (2) a été donnée par Caucliy, pour le cas où le contour C est
un rectangle ou s'y ramène par une transformation bi-uniforme des coordonnées,
dans le Journal de l'École Polytechnique, Cahier XIX, 1S23, p. 58o. Voir aussi
Œuvres de Cauc/iy, série II, t. VI, 1S36, p. 4oi-ïiai. Mais les idées de Caucliy
sur ce sujet remontent, à ce qu'il semble, à un Mémoire Sur la résolution des
équations par le moyen des intégrales définies, qu'il avait présenté à l'Aca-
démie le 21 novembre 1819, mais qui n'a pas été publié.

rlIAl'lTIlK II.

t\HC /ix)^]\f''^' : (Pli aura

f'(x) , df{T) f/R ... ,, „

Cl. |)ar smle.

7*.

()i- le |ir('iiiicr' Icriiic de celte somiiie e>t nul. |)iii-i|iic \,\ f<inrtii>n

I(>;;1\ est nnlfi>i-mi' >iir C cl le second terme est c<ral à — > en dési-

pliant par A'ï> raccrolsscnicnl lolal que reçoit rarniimcnt 4» lors(jiic
le point ,r décrit le contour ("- dans le sens dirccl. Xoiis arrivon-
il me au tlHorciiie suivaiil. ipii |i>iie un rôle important in \nal\NC.
cl <|ii ipii pcul d aillcnr- clalilir d une nianicrc i'li''nicntaiic :

Si iiiif joiicliii» fi.r) l'st i/nifornir r/ nr p/-i'-sr/ifi- (/'oiitrfx
sliifuilaritcs i/iir ili's jiôirs diinx un donutine dounr T. en riani
d'iiillfiirs liolontnrphr ri différente de zéro sur son eon/our ('..
l'arrroissenienl <]ue rernil /'irrfrunie/il de celte fmeiion lorstjue
le ftoint X décrit le contour C> dans le sens dirccl est é^al au
liroliiit de 'x- jiar ht différence entre le nonihre de ses zéros et
le nondtrc de ses pôles compris dctns T. e/un/uc zéro et jiôlc
étiint C(unplé autant de fuis (pie l' indii/uc s<ai (odre.

( )n eu di-duit c-cl autre lliéi)réuie. i|ui rend (''jialeuieut de i;i'aiids
services dans dixcrses (piesiimis d'Analvse :

Soient di'ii.r fo/tctio/is./i.r) cl aÇr"), uniformes cl /mlomor-
plies dans un domaine 'V cl sur son contour C, et admettons
<l' ailleurs que fi^.r) ne s'annule pas sur C. ; si l'inégalité

Oi .r)

<1

est vérijiée jtdur lnui pniul du c<ait<air C, les fonctions f.r) et
y(j") 4- ^( -t) nul le uiéine nondire de zéros dans le dionaine 'I'.

hlcrivoiis, en ellcl.

/(.r)-»-çC.rl =/(.r>'i,

f

APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RÉSIDUS. 23

d'où

Lorsque le point x parcourt le contour C, le point dont l'affixe est
égal à (J>(j;) décrit une courbe fermée qui, en vertu de l'inégalité
ci-dessus, est intérieure au cercle passant par l'origine et ayant
pour centre le point x ^ \ . Quand le point x sera revenu au point
de départ, l'argument de 'i(r) reprendra donc sa valeur initiale et,
par conséquent, l'accroissement total de l'argument dey(.r) + a(ir)
sera le même que pour la fonction /"(x), d'où résulte la propo-
sition énoncée.

13. Démontrons maintenant ce théorème :

Les zéros d'une Jonction analytique de la variable x, /{x, t),
qui dépend d'un paramètre t, et qui est continue par rapport
aux deux variables x et t, sont eux-mêmes des fonctions con-
tinues du paramètre t.

Soient to une valeur particulière du paramètre t, Xi^ un zéro de
/{x, t„) et m l'ordre de ce zéro [on suppose /{x, t„) holomorphe
dans le voisinage du point Xq]- H s'agit de démontrer que, pour
les valeurs t peu différentes de t,,, la fonction y(j7, t) admet préci-
sément m zéros tendant vers Xç, lorsque t tend vers ^o-

Du point Xf) comme centre, décrivons un cercle d'un rayon s
assez petit pour que la fonction y(^.r, ^o^ soit holomorphe et diffé-
rente de zéro pour o < | .r — Xo\ = ^. Sur la circonférence de ce
cercle, le module {/{x, /o)| aura un minimum positif que nous
désignerons par r,. Choisissons encore un nombre positif o tel que,
|)0ur \x — j~o I ^= î^ I ' — 'o I < 0, ou ait

cl, par suite.

/(■'■,l)—f{.r,t„)

f{^,t<s)

ce qui est possible en vertu de la continuité de f{x, t).

Cela posé, il résulte de la proposition établie à la fin du n° 12
que, pour | / — 'o | <C ^j 1^ fonction f{x, t) admet, dans le cercle
\x — j7o I < î) autant de zéros que la fonction /{x, to), c'est-à-dire

24 cini'iTiii: II.

précisément m zéros, et coiniiif ce résullat subsislc (|ii('I(|uc pclil
que Sdil î. à rdiiililioii (ju on |ir('niio eu iiièine temps le iioinlire o
sutlis:iiniiieiil [lelit. mi \(iil lucii ([ue ees /« zéros Iciitleiit \ersXo
lorsque / Inid \eis /„, rdiiuin' imn^ 1 .ivioiis a\ancé.

1 i. On peut préciser nntahlenient re résultat dans le cas où la
fonction /"( ./•, t) est aualvliijui' \r.\v rajiport aux deux \arialjles x
el /. En siiii|ililiaMl lin |i('ii les iniiiilKiiis précc'dentes. admettons
que celte fonction est lioiomorplie tant que les variables restent
comprises dans les cercles l^|<C /', | ^ |< p (^' ). et que l'oriiiine est
un zéro d'ordre ni pour_/'(.r. o).

Kn raisouiiaiil iinume ci-des>iis. on \(iil d"ai)ord i|ii un peut
trouver ileiix iKunlues positifs, /•'(•< /-jet 5'(-< p), tels (piOn ait

|/i.'-,o)|5-ri (>o)

pour

il. d autie part,
^3)

/(x,t)—/(x,o)

/{X,»)

<l

'II?'.

On en conclut que, pour |<|£p', la fonction /(.r, l) est diflTé-
rente de zéro sur le cercle | j? | = /•' el admet à l'intérieur de ce
cercle /» zéros, x,, x,, .-., -r,,,, (|iii s. ml tles fonctions conlinues
de l el s'annulent en même tiiii)i> i|iie /.

Soil mainlenanl l*'(j", /) une fonclion aualvliquc quelconque des
\ariaLlcs X, /, (pii reste holomoiplie pour | .r I ;; /•', \l\'-:i^'- Nous

(') Cela signifii-, d'après Caucliv, que la fonction f(.r,t) rcsi.- conlinuc cl
admet, par rapport à chacune des variables, une dérivée unique ésalcmcnl con-
linuc, pour toutes les valeurs x, t comprises dans les cercles indiqués. Pour une
valeur donnée l de module inférieur i p, f{x, I ) csl donc une fonction analvliqur
de X, lioloinorplic pour | X | < r, et i-icc versa. Si G et l" sont tics contours fermes
pris dans l'intérieur des cercles | a: j = /•, I i | = p, on trouve, en appli-piant .lcu\
fois de -.uilc la foniuilc' (G), page K,

X cl / clanl rcspccliveineiil iiilériciirs au\ ■ (iiiloni- i; et 1". I>c celle égalité on
conclut que, dans son domaine d'indoinorpliic, la fonction /(.r, <) possède des
dérivées de lous les ordres cl peul se développer en série de Taylor.

APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RESIDUS. l')

allons démontrer que la somme

F(i) = V{xu 0 + F(2-2, /) + . . .+ F(37,„, 0

est une fonction holoniorphe de t dans le cercle | / 1 <; p'.

Pour une valeur donnée t de module S p', /{x-, t) et Y{x^ l)
représentent des fonctions analytujues de :r qui sont holomorphcs
pour |x|;$r' et, de plus, /(.r, t) ne s'annule pas sur le cercle
I X I = /•'. D'après la formule (2), on aura donc l'égalité

(1) ¥(t) = -^. f'l>(x,t)(lx pour l'I^P',

'l'K t ^'ç

où G désigne la circonférence |x| = /■' et •I'(x, t) l'expression

D'autre part, si x est l'affixe d'un point quelconque de G, celte
dernière expression définit une fonction analytique de t qui est
holomorplie pour | < | ~ p', puisque, dans ces conditions, le dénomi-
nateur /(x, /) est difl'érent de zéro. Par la formule (8), page 9, on
aura donc, pour] / | <; 0', F désignant la circonférence |t| = p',

(3)

Comme les zéros x^, x-^i . . . , x,„ de f{x^ l) se confondent a\ec
l'origine pour / = o, les dérivées D^'"<I>(a7, o) sont des fonctions
liolomor|dies de x pour o < | J?| = '''.

En substituant l'expression (5) dans l'égalité (4), on trouve (')

(<■')

^•'>=2^— ûi7?XX(-0"*-a^'"'

où Av désigne le résidu de —^ D''" 'I'(.r, o) relatif à l'origine
Av=7^. / —^V)'r^{x,o)dx.

(') On icniarqncia (|uc la fonction <^{x,t) est, en vertu de nos hypothèses,
continue pour | x | = ;■', | < | = p', de sorte que les intégrations à effectuer dans
le dernier terme de la formule (6) n'impliquent aucune difficulté.

aG (iiM'iTiii: 11.

Or 1p dcrnior Icrmo <lo ((>) a son motliile iiift-riciir ;"i la quiinlili'

(7)

/•'p'M 1^

ISI étant 1p maxiiniiin de |'I*(^, ')] pour] x |= ;•', 1":]:= f', pI conimf
ct'lle quanliti' s'annule pour « = x, puisqu'on suppose | / 1 < p'.
on voit que l'expression F(i) est représentée dans tout le
cercle | ? | < p' /xir If ih'-veloppement

(8)

f(')=2a,/'.

Nous avons ilom- clc'amiii ii' la proposition (uic nous avions en \iie
el Iroim'' en même temps mie limite supérieure (-) de l'erreui'
(pidii eominct en aniMaiit le (lt'\ eio]ipement (8) après un terme
déterminé.

Ya\ faisant F(x, /)^ x*. /. i'l;iiil un eiilier po^itil. on eonclnl de
la proposition ci-dessiis i|iii' lo ■.ninmes

S/. E^ r'i -H .ri -H ... -^ .rj,

soiil de- (oneiloiis an.d\ li(pie> de /. lioloiiiiii|ilies pour | / | < p' el
s'.iiiiiid.iiii pour <=(>. Il en sera donc de même des coefficients
de> diverse- pwissanees de ./' dans le d(' V(dop|ieinenl du produit

(x ~ Xi)(j- — .r,}...{x -~x,„),

|niis(|iie ces coefficients sont des polynômes en S,, So. .... S,,,, et
nous arii\(ins ainsi à ce tliéorènie fondamental :

Etant donnée une foncliitii (uinlytii/ue. J{x, <), des deux
variables x. f, f/iii est lioinmorplic lanl i/iie les modules de ces
variables restent au-dessous de certaines limites; si l'origine

es/ un zéro d'd/'dre m jniur f\X, o), Vèqualinn

/(x, 0=0

adnicl prrrisriiieni ni racines <jui tendent n'rs zéro asi'c t. Ces
racines vérifient une équation de déféré m,

a-"'H-/,(/)j-"'-'-t-/,(/)r"'-«-)-...-t-/,„(0 = o,

APPLICATIONS DIVERSES DU CAIXIL DES BÉSIDIS. fj

dont les coefficients sont des fonctions analytiques de t, holo-
morphes dans le voisinage de V origine et nulles pour / ^ o ( ' ).

lo. Appliquons les rt^sullals précédents au cas où Ion a

f{T,t) = T-I^Ur), Y{x,t)=Y{x),

les fonctions w(j?) et F(ar) étant holoinnrphes povir |x|<;/\ La
condition (3) s'écrit

lm( J- )

<i pour |.7- I =/•'(< /•), |'| = p'-

Les nombres ;■' et p' satisfaisant à ces conditions, comme l'on a

actuellement w = i, on peut conclure des résultats du n" \i que,

pour |<|^o', l'équalion

.r — / ITT ( r ) = ()

admet à l'intérieur du cercle \x\^ r' une seule racine, :r, qui est
fonction liolomorplie de t, pour |/|<;p', et s'annule |)our < = o.
]3'aulre pari, en dé\clop|iant rcx])ression

<l>(.r. i)— F(x)

— Irn (t)

X — tm(x )
suivant les puissances de t. on lrou\e (jue le coefficient de f^ s'écrit

[ra(j-)|-' [t7t(x )]•'-' ra'(.r))

F{x)

ou encore

arv+i

--DJV{x)

-'J"^'>'\[^]

[^Y\

F'ix)

H-

(') Les principaux résultais des n°" 12-15 ont été établis par Cauchy dans les
Mémoires de l'année iS3i (Cf. Bulletin de Férussac, i83i, et Exercices d'Ana-
lyse, t. H).

Vers 1860, le théorème ci-dessus, d'ailleurs sous une forme plus générale et
avec des développements ultérieurs, a été retrouve par Weierstrass qui, cepen-
dant, n'a publié ses résultats qu'en 1886, dans les Abhandlungen ans der Fitnc-
tionenlehre. D'autre part, M. Poincaré est, de son coté, arrivé au même théorème
dans sa thèse: Sur les propriétés des fonctions définies par les éi/uations aux
différences partielles, 1879. Voir aussi È. Picard, Traité d'Analyse, l. II, p. 2^3.

Cauchy est d'ailleurs à plusieurs reprises revenu sur la théorie des fonctions
implicites, dans le but d'en simplifier les principes. I o;;', par exemple. Œuvres,
série I, t. IV, 1887, p. 48-Go, et t. V, i8'|0, p. 180-198. Dans la seconde de ces Notes
se trouve (p. 193-198) une démonstration qui présente certaines analogies avec
celle de Weierstrass.

28 rilAPITBE M.

Nous savons que le cocfficienl de /' dans le di'veloppemenl de la
fonction V(t) est ('-gai au résidu de rette expression à l'ori^'ine.
( )r. le ri'^idii du |ir<'iiiier Icniic (»sl nid. piiiscuic ce tcriiie i'>t la
dérivée dune fonction unifoi-uic (^voir p. i3); et, d'après 1 éj,M-
lilé (7) page (j, le résidu du second terme est égal à la dérivée

lDr"JF'(^)[m(x)]v|,
j>ii'^(' |)(nir j: = o. Kn sonmic on aiiiM donc, pour [ ^ | <; o',

et en particulier, pour V( x)^ a~,

Ce sont les célèbres di'vcloppi'iucui'- i'l,il)li> |iar Lagrange.

16. En terminant celte seelion. nous allons déduire de la for-
mule (1) un r(''sultal inti'ressant, en v faisant F(x)^= logx.

Prenons un cercle ("ayant l'origine comme centre et de ravon /•,

et désignons par ti,. a,, ..., a,„ les zéros et par />,. /'o Ii„

les pôles de la fonctu)n y"(x) compris dans ce cercle. clia(pie /c-io
ou pôle figurant dans ces suites autant de fois que 1 indique -on
oi'dre. Pour simplifier, supposons d'ailleurs y(o)= i .

L'origine étant un point critique pour log.r, nous l'exclurons de
noire domaine par un pciii cci-cle, c, laissant à Textérieur les points a
et h\ puis, en ('•\itaiil liHi|(iurs ces mcuir- piunts, nous mènerons
inu' i'(iii|iui-i'. L. allaul d uu ]iiiiiil ilr .• au |i(uul ./ =^ r de C. Nous
obtenons ainsi un domaine simplement connexe. T. duul le ciui-
loiir, .S, se compose des <-crcles C et r et îles iliiix IhucU de la
coupure I,, cl où la foiirlliui logT est iiuilcMiiic cl Ik ijoiuni plie.
P(Mir loul fixer, conveiloiis d'alllciir- de < liiii>ir. parmi lo dillé-
renlCS brandies de logJ*, celle (pii pniid la \ali'ur i.cllr liij;/-aii
point .r = /• du liiuil siiprrit'iir de la cnupuic.

Cela posé, en lai'^anl F(x)=: log./' cl en prciiaiil S pour cunhnir

APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES liESIDlS.

d'intégration, la formule (i) nous donne

29

(9)

aia2...«,„ I r

" bibi... bu n.T.1 J^

s.x-'.; 'dx.

Intégrons par parties, en partant du point x = /• (du bord supé-
rieur de la coupure L); on aura

X

'"°^ /•( J) ^'^ ^ log-r log/(.r)— lo<r/-lo8/(/-)— /

Xoiifix)

d.r

Lorsque le point x, décrivant le contour S dans le sens direct,
revient au point x ^ i\ log.r reprend sa \aleur initiale log/'.
(^uaiit à la fonctidu log /'(a:), laquelle peut se mettre sous la
forme logR + j(p, R et <I> étant respectixement le module et l'ar-
gument àef{x), il résulte du théorème de la page 22 qu'elle pren-
dra dans les mêmes circonstances la valeur Iogy(/") + 27:{(;7i — /;),
et l'égalité précédente deviendra donc, en divisant par 2t:j,

^X'°^""

Ix.

Si l'on consient de choisir jioiir h>g_/(.^') la détermination qui

, , ■ ■ . . {l)" f(x)

s'annule à 1 origine, la fonction — ^^-=^^ — — sera holomorphe dans le

cercle c et prendra la même valeur en des points correspondants
situés rcspecti\ einent sur les deux bords de la coupure L. 11 en
résulte

J^i X Jq X J^

car l'intégrale prise sur c est nulle et les intégrales relatives aux
deux bords de L se détruisent; l'égalité (y) devient donc

log "'/•••"'" = (m - n)losr - -^ /"""log/Cre'-î) d-^,

OiO, . . . U,i ^~ «.'0

ou encore, en égalant les parties réelles des deux côtés.

«ifl, ... a„

— ( m — n) log/'

i^r

log|/(/-e'?)lrfcp

bibi...ba
Cz résultat constitue Fimportanl tliéorème découvert par M. Jen-

3o CHAPITRE II.

st'ii ( ' I et iMii jonc, en parliculicr. un iiMe l'ondaiiu'iilul d;iii^ l.i
llK'oric (les fonclious eulières.

11. (/iiel(/ucs cipplicatiuiis aux /une lions incroinurplicx.

17. .Soit une loiicliiiii nirromorplic, ,/(-), cesl-à-iliif une lom-
lion iiiialvliinic iiiiiloriiic iliiiis Imil le plan et nuvaiU à (listaïuc
liiiie d'auLres singularités ([ue des pùlcs, et roiistruisuus de 1 oii-
uine comme ceiilre une suite illimitée de eei-eles

Ci, fj. ..., Cv,

iiiii ne passent par aneiin piile deyi;), et dont les rayons

/,. r., /v. ...

aillent en (•l•oi^sanl indétininient. (Jn aura jjour eliaijue indice v. en
posant pour abréf^er 3^= /\e''-^,

Il iH'Ml ariiver iine eell(' eX|)resMiiu leiide \(i> une liinile linii'
et dé'terininée lorsijue v croît indi'lininient. S'il en est ainsi, cette
limite -iera appelée le /■('■siilit intégral de la fonction fi z\ ( ndalil

à la suite c,, Co, ■■■){-) et désignée par ^[fi:}\- Oi\ aura d.me.
par définition,

(■■»)

D-^^^^-Lr^^. Lj-iLrO-

(') Acta inallicntaticti, t. XXII. C'csl .M. (loursal qui u le preiiiicr laltaclio ce
tliéorèiiic au laloul des résidus ( lliillelin tIfs Sciences >iial/niii(iti</ucs, oclobiv
1903). t'oir aussi une Noie récenU' de M. Milla^-I^eflli r (llullcdn ilc la Sociclc
mathciiiatit/iie tic France, l. XXXI! ).

C) Cf. ÛKtnies de Caucliy, série II, t. \II, iSj-, p. jgi-ii:). Hans oel ailiole,
i|ui est (l'une reiiianiuable piécisiou, Caucliy dimiu' d'ailleurs uuc dcliuitiuu plus
(jéiiéralc du résidu intégral, en cuiisidéjaul (p. Jy'i ), au lieu des cercles r,, uu
contour fermé (|uelcouque dont lu rurine varie sans cesse cl de muniérc que ses
dilTércnts points s'éloignent indéliniuient de l'origine. Il utilise ainsi, dans toulc
sa généralité, la représentalion géométrique îles nombres coinploxes, ce qu'il n'c-l
|ias sans intérêt de noter, vu la date de cette publication.

APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RÉSIDUS. 3l

Cela posé, on tire facilement de l'égalilé (i) cette proposition:

Si la condition
(3) limjv/(-vj = A

est vérifiée uniforme nient pour u^'i;;2:r, le résidu intégral de
la fonction f{z) est égal à A.

En effet, l'égalité (i) nous doiint

( 4 ) ^ [fi^ )) - A = -^ r " [ -v/( --V ) - A ] cil,

*\. ^ '^ ^ a

le

^2 7C

et, en vertu de riiypothèse admise, on aura d'autre part, quelque
petit que soit s, | Zyf[z^) — A| < s, dès cpie v dépassera une cer-
taine limite. A partir de cette même limite, on aura donc aussi

d'où résulte la proposition énoncée. Cette proposition subsiste
dans le cas plus général où sont vérifiées les conditions suivantes :

i" I :^J(:^) I -< M pour tout indice v, M étant une constante.

2" La condition (3) est vérifiée uniformément dans toute
portion de l'intervalle o^A^27: qui ne comprend pas certaines
valeurs particulières 'L, , '^2, . . . , ■!;„.

En ell'et, si s ety^ désignent deux nomjjres positifs arbitrairement
petits, et si, de lintervalle o^'i^aTt, ou exclut les segments

'i/, — r, < 'l- <'{//.•+ -/) (/.■ = I, 2, n),

dont la longueur totale est au plus égale à 1nr^, on a dans le reste

de cet intervalle | z~,fîz^) — A|<; s dès que v dépasse une certaine

valeur Vq. Le second membre de l'égalité ( /j) est donc inférieur en

xaleur absolue à la quantité

M + I A I

s -i- 2 /! r, ■

■n:

dès que v >> Vq, et tend, par suite, vers zéio lorsque v croit indé-
finiment.

'i-l CIHPITnE II.

Par un raisonncincnl analogue, on (l<''iiioiili-o celle aiilrr |ir<i|ui-
siliou (lonl iicius aurons ('■f;al('nicnl à faire usai;c :

Si le iiKidtiL' lia jjiùduil :-//(z;) reste inférieur à ii/ie i/iia/i-
tilé fixe quel que soit v, el si les conditions

liiii ;.,/(-•,) = A pour ij/j -i- • < i < •% -i- r — s,

lim ;.,/(-•/) — 'î |Kuir ■!/„ -+- t: -+- s < '1/ < •% -4- •> - — £

sont vérifiées uniformément dans les intervalles indiqués,
quelque petit que soit e, le résidu intégral de la fonelion f{z)

est égal à - ( A -l- B).

18. Comme première application, clicrchons à évaluer les
nombres de Bernoulli, c'esl-à-ilirc les noinhro-; ii,. 15... ... (]ni

(igtirenl dans le tléveloppenieul

(5)

= r- > (—1 )■' -' : —, Z'--'

Le coefficicnl ( — i)* ' . . , icprésenle le résidu de la fonelion

à iOriyinc. Les aulres pôles de celle luneliou un roiiioiplie >onl
zb 2 — tv(v = 1 , a, . . .) et les résidus eonespondanis ( — i)*(2Tv)~**.
Or, on constate facilement, en prenant /•v = (2V — i)-, que le
module de l'expression (5) reste inférieur à une quantité linie sur
les cercles Cy ('), el II en résulte que le |)roduit z-^f{z^) tend uni-

(') iJi- cliaciiii (IfS pùhs lie 1,1 foiiotii)» ^(z)=i rdiiiiiic cinlir. ilcciivon>

\ ' ' • c' — 1

uci cricir de rayon ailiilmiiiiiiL'iil prlil mais fixe, cl désignons par T la région

i'\lci'icurc à ces cercNs. Je «lis que |s(;)| csl inférieur à un noinlire fini M

p.iiM liiul |iciiiil de T. .Siiil, en illet, a un iioiiilire posilif et posons j = T 4- jV ; on

aura c\ideniiuent ] ç( j ) | < -;; pour t > «, el | s( :) | < — pour t < — a,

el d'aulre pari on trouve, en lenani coinple de la périodicité de ?(;), que
{ç(f)| aura un niaxiuuini lini dans la portion de T comprise dans la
hande — a^z : a. On prendra pour .M la plus grande de ces trois limiles.

Le nombre x tîtant assujetti à la condition u^x^i, on démontre de mime

APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RÉSIDUS. 33

formément vers zéro pour o<'h<2~ lorsque v croît indéfinimeiil.
D'après le n° 17, le résidu intégral de la fonction /(:;) se réduit
donc à zéro et, par suite, le coefficient considéré ci-dessus est égal
et de signe contraire à la somme des résidus de /(;) relatifs aux
pôles ± 2Tt/v, d'où l'on déduit

1

Par un raisonnement de tout point analogue on trouve pour les
nombres iVEulcr, (jui figurent dans l'égalité

0

l'oxpressioii

Clicrclions maintenant les coefficients 'j.,{x) du développement

e- — 1 ;; .^ v !
1

lin multipliant (5) par la série qui définit c-*'-', on obtient

'f.,(x) = 3;v_ ^3-v-i+ ci-'B,.rv-2- c;*'B2:rv-',+ Ci/'B3T''-<^-. . .,

.|ue le inodnio ,lr la fonction^;—— ixsto au-dessous d'une limili- liuie M' dans le

domaine T. Ce module est, en eflTet, inférieur à ^ pour t <— a, inférieur

à e"Mdansla portion de T faisant partie de la bande —ci^-^a, et, enfin, infc-
'■'^'"'' *• ^_g^. pour •r > «, ce qui résulte de l'identité

e- — I I — e--

On pourra donc prendre M' = e'M.

Des remarques analogues s'appliquent à chacune des fonctions

séc;, coséc;;, tang;, cot;. -^ (o-lxli),

e' -i- 1 ~ — '

dans les régions qu'on obtient en excluant leurs pôles par de petits cercles.
L.

J| CIIVPIIHK 11.

lc> Icllres C désignant les cocKiili'iil^ liimnni.mx. Mnisnmis allons
iil)tcnir une aiilre expression de ces polvnoines, eu oljservaiil

(MIC -^-^ — représcille le résidu n'I.ilif à l"(iiit;iiii' di' \.i fniii'liou

Soit d'abord/) > i, et supposons la varialilc .r réelle et eomprise
dans 1 inlcr\alle o^X^l. 13 après la irniarcpie faite ei-dessus, le
|inicliiil ^v /"(^v) tendra uMil uiiik' iiienl vers zéro pour o^«L^2~
lorsque V croit indéliiiiinenl. ri\ |ii-cnanl toujours /'v = ( 2V — i)— .
Le résidu intégral de la ((inclion y[:} est donc égal à zéro, cl 1 on
en déduit après quelques réductions faciles, pour A- = i , ■>.. . . .,

1 V ^. 1 '

l , , . . / ■ . ■ v sinav-a: _ , ,

\ V = 1

formules valables tant que o^x^i. En vue d'applications ulté-

l'icures, nous eonviendrons de désigner par c^AY-r)- ^jA+i (-î^) If*
foiictlcMis p(''rliiilii|iic> lie pc riode i cpii figurent au>L seconds
inriiibres de ces lormules.

Lorstnie /i I . le résidu intégral ilr l,i loin limi i lo) e>t encore
('gai à z(''ro. pciiii'\M (|ue x reste dans rmicrvallc o <; .r ■< i , /es
liiiiiii's iiiiiii exclues. C'est ce (|u'iiii (Iciluii de-- i('Miiiai^ <lc la
page .11. en ri'ni;in|iiaiil. iruiic p;ii'l, i|iic le iniKlnjc du |iriHluit

reste au-de5>(ius d une liinilc Unie >ur les cercles t'v, d après l,i note
de la page 3v>, et, d ,oilrc pari, (pie ce produit tend uniforinénienl
vers zéro lors(pie ; séloignc iinb-lininiciil de Idrlginc en restant
iiiti'riiur à Inii des angles

c ('lanl un lujiiiijic positil aussi pclil (pi cjii le voudra.

APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RÉSIDUS. 35

On aura donc, pour o <^x <i i ,

(13) ai(x) = x =— >

2 .^i V-

1

Nous désignerons par a, (j-) la fonction p('riodiquc
(i4) o,(r)=— > ,

1

fonction qui se confond avec x — v pour y <^ x ■< v + i .

m étant un entier positif quelconque, on aura, pour o •< x<; i,

(i5)

00

V- iTiiJ^,e- — I ; '

Cl comme, d'après la note de la page Sa, le module de l'expres-
sion (12) reste inférieur à la quantité finie M' sur les cercles Cv,
et comme, d'ailleurs, la somme (i5) admet la période i et s'annule
pour les valeurs entières de x, ou peut en conclure que la
somme (i5) reste inférieure en valeur absolue à la ijuantilé M'
pour toutes les valeurs réelles de x, cjuel que soit V entier
positif m. D'autre part, on peut déduire de l'égalité (i5) ce fait
bien connu que la série (i4) converge uniformément dans
l'intervalle £^:r^i — s, quelque petit que soit le nombre posi-
tif,.

On appelle polynômes de Bernoulli les polynômes P définis
par les égalités

Vïk{oo) = i>ik{x) + (— r)'lB/.,
P2/.-n(a?) = <B2/.-+i(.-z-).

Conformément à la notation adoptée ci-dessus, nous convien-
drons de désigner par P^a(^), ^ik+f^x) les fonctions périodiques
de période i cjui coïncident respectivement avec ces polynômes
dans l'intervalle o'IxS.y .

Ayant à nous occuper souvent des polynômes o et P dans la
suite de cet ouvrage, nous en signalerons ici quelques propriétés
importantes c|ui se déduisent immédiatement de nos formules.

30 CHAPITRE II.

Kii iMitprochanl l'égalilé (9) df <<lli' qucm oblienl en la tliflV-
renlianl par lapportà x, on trouve les iclulinns

iin'uii |HiiiriMil iiiissl (li'iliiiic (li^ Idi-jimlcs (il). De celles-ci on

Conrilll I llllIK'illIlIclIll'Ill

9ja(i — x) = oh{x), <pji.+ ,(i — x) = — Os<.+i(x),
puis

el, en tenant com|)tc de l'i'i^Mliti' (d),

(17) 9a/.(o) = 02/,(i)=(-i)*+'B/,, çjA.(^) =(— i/Bi-,

OÙ

V- I

i,.É iilu^ ^r;niilr \;ilcur uuuii'-i'ii|ui' de ôi^iy) étant ci;ale à B/.,
({"après (111. ou voit i|uc A' /Ki/f/in/iir V.,k{x) s'anniilf pour .r=<>
l't pour x^= 1, e/( gardant t/tiiis i intervalle compris en/re ces
valeurs un signe invariable, à savoir celui de (— ij*. Siijnalons

aussi régalilé

(18)

«Al

(|M (in \( rilic (le suite en Nit('i:iMUl l.i pic inu'Te des loi-ruuies (1 1).
Considérons encore, avec lleriuile (^' ). les pol vnonics y_(.i' ) (pii
(if,nirent dims le il(' V(>loppeiiieiil

(') Jiiiirnal (!<■ rnll>\ I. lit', p- l'r'l-

(■10)

APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RÉSIDUS. iy

Un raisonnemenl analogue au précédent conduit aux égalités

X,A-+i (x) = (- 1)^+1 2(2 /. + I)! 2^ [(.^,+ i)^p/.M-.^X^^>-n(^' (/.-=o, I,...),

v=o

qui sont valables pour o^o^^i. Les expressions qui figurent aux
seconds membres, el que nous désignerons par y^.2ii{x), 72A+1 {x)i
admettent la période 2 et cliangent de signe lorsqu'on ajoute à la
variable x une demi-période, cest-à-dire l'unité.

Nous désignerons de nièine par yf,{x) l<i fonction périodique

_ , ^ V' sin(2v -t- i)Tra:

(.g y.o(^) = -^2 (2V-H). '

dont la valeur est égale à -> pour 2V ■< .r -< 2v + i , et à pour

2v 4- ' <! -2^ <! 2 V + 2, vêlant un entier quolconi[ue. Quant à la
convergence de la série qui figure au second membre de l'éga-
lité (21), on pourra répéter mol à mol ce qui a été dit au sujet de
la série (i4)-

Des égalités (19) et (20) on déduit les relations

(22) 7.v+i(-^) = ('' + O/vC-*^) (•'=0,1,2,...),

7.2/.(i — a;) = X2/.(-ï-), /2/.M-i(i — a-) = — ■/,h+i{x),

7.2/.(o) = 7.u(i) = o, 7,/,+, i-\ =0,
et, enfin, en tenant compte de l'égalité (8),

19. A l'aide des considérations du n" 17 on peut, dans certains
cas, décomposer une fonction méromorplie en fractions ration-
nelles (').

Supposons, par exemple, cpi'il soit possible de choisir les

(') Cf. Œuvres de Caiichy, série II, t, \II, 1S27, p. 32',-344, et série I, l. VIII,
1844, P- 378-385.

38 ClIAl'ITllE II.

rercles Cv de telle sorte que, si l'on pose toujours ;v=''v^"'', le
module |y"(Sv)| l'cste au-dessous d'une liinilo finie, quels que
soient i cl v, et que, d'autre part, régalilé

lim/(-v) = A

soit v(''riricc uniformément dans l'intervalle o'^'I^t.tz ou, plus gé-
néralement, dans toute portion de cet intervalle qui ne comprend
pas certaines valeurs particulières, 6,, 'io, .... ■]/«. Il en sera aloi's
de iik'mic. (|n(l (pie soil X, de l'égalité

et Ton on di^luil. dnpirs le lliéorènie de la page 3ij

()r le i-r^idn île ;[ '^ au pdiiil z = .r est ('^al à f{x^. et nous
pouvons diiiu' l'ci'irc le i'(''sull;il |iii''('i'(lciil sun^ \;\ lorine

(24; n^)^!^ + L~rl'

où la somme ^ ne comprend, criii' fiii>. (pie les résidus de - — ~
reintifs aux pôles def(z-) [' ).
Si l'un sup|>osc les conditions

liin/(;.,)=\ |i.Mir ,!<„-)- e <,}, <;,},„ ^ -_ s

V —30

lim /(;:v) — I! |Hun ■% -t- tt -4- e < i{/ < t{/o -h 2 - — £

V = «i

vérifiées uniformément dans 1rs inicr-N.dlcs iinlicpii's. (pjrl,|iii' |>i'iii
<(Mf soil £, cl si |y"(3)| reste (l.ullriiis au-dessous d uui' iuiiile
lliiir sur les cercles Cv, on trou\r. p.u le même raisonneiueul ipie

(' ) A rixoriiplo lie (liiiirliVi lums di!sif:ncroiis ilésurmais par lis nulalions

J ç(c)(/(c)), cl I ~ la sciiniiio (1rs riisidiis dos expressions e{ z)/{z),

'o{z) I

relatifs rcspccliveiiienl aux puiiils siii;;iilicrs des foncliotis /( ; ) et

1 ■('■•uns luspeeineiiieni aii\ p<iiiii> Miif^iiiieis iie> luiii llull^ y v^ « ; t-i ■

APPLICATIONS DIVERSES PU CALCUL DES RESIDUS. 3ç)

ci-dessus, en ulilisanl le dernior ihéorème du n" 17,

Considérons encore le cas où f{z) est une fonction impaire,
telle que le quotient ^-^^ tende uniCorinément vers zéro pour
o^'j/^ 27: lorsque v croît indéfiniment. Je dis que le résidu intégral
de _ se réduit à zéro, de sorte qu'on pourra appliquer la for-

mule (24) en y faisant A = o. En effet, on a

et, sous la condition indiquée, celte dernière expression a évi-
demment pour limite o lorsque v tend vers linfini.

Dans le cas où /(s) n'admet que des pôles simples, a,, «2» • • -,
(7v, . . . , on aura

*~^ 37 —z Zid x — a., '
1

Ay étant le résidu de /{z) relatif au pôle «v- ÎMais il importe de
remarquer que, dans cette série, on doit réunir les termes en
groupes comme l'indique l'égalité (2), c'est-à-dire en comprenant
dans un même groupe les termes provenant des pôles compris
entre deux cercles consécutifs dans la suite c, , Co, ....

20. Appliquons les considérations précédentes à la fonction

y, X D;sin-3

La fonction sin — ; admettant les points ; = o, ±1, ±2, ...
comme zéros simples, ces mêmes points seront, d'après le n° 11,
pour /(s) des pôles simples de résidu i. La fonction y(:;) est
d'ailleurs impaire et, d'après la note de la page Sa, son module
restera au-dessous dune limite finie sur les cercles c.,, si l'on prend

i\ = V

•2

On peut donc appliquer la formule {'-i.'\) en y faisant A = o, et

4<> I M VI'I TRE II.

I lin liiinvi' ^liu^i l;i foriiiiili' coiiiuio

Tcol-r =--!-> ( ■ ) = -i- -1- 2a- V* —,— — -

v = i

Soit, en second lieu,

e'

f(^) = -^T—[ (o<a<0.

En [Il riiiiiil /\^(2 V — i)-, nous s;i\ oiis, il'apros lii pag;e ■l'i, '["'' l''
module \/{:./) \ reste au-dessous dimr liiuitc liiiic sur les cercles Cy,
eUjue légalité limy(;v > = o est ^é^i(i(•l■ imil'drniriin'iit pour

V — w

- - -h £ < 4- < - - e

et |)our

T. , 3r

--t-£<<i< î,

■>. 2

(|iirl(|iif |iihi i[U(' soi! £. (_)a aura donc légalité (24) avec A^o.
ce (|ui donne

= lim > (o<rt<i).

51 a = <i, on aura

- 3-

lim/(;v)= — ' |Hiiir -+ï<'î'< E>

V = » 2 2

les autres eondilions étant les mêmes que ci-dessus. Dans ce cas,
on doit donc a|)|ili(|uer r(''i;alilé (."?.")) en y faisant A =: o, B = — 1 ,
cl l'on trouve ainsi

j __ 1 i_ ^ç I

■ — 1 ~ 2 x '^'^.^ a;»-H4-*

1

CouiiiK! derniri'c a|)|)liiali(in, proposons-noiis, en suivant lou-
jours Caucliv, de décomposer la fonction eiUièrc

F(3) = siii; — njcos;,

où ti désigne une conslanli', en un |)ro(lnil de I.iiUmii-- |inuKiircs.
A cet cllcl. nicllniis !'"(;) sons la lornic

"<=) — (-^°)'

APPLICATIONS DIVERSES Df CALCUL DES RÉSIDUS. 4l

el décrivons, de l'origine comme centre, des cercles c, de rayons
V- (v = I, 2, . . .). Dès que v dépassera une certaine valeur Vq, on
mira {Cf. la note page Sa)

a z

<i

cl il en résulte, d'après le théorème de la page ?.2, que la fonction
F(s) a, dans le cercle Cv, autant de zéros que la fonction :;cos;,
c'est-à-dire 2v + i zéros. Donc F(c) admet, en dehors de l'ori-
gine qui en est un zéro simple si l'on suppose rt^i, une infinité
d'autres zéros, deux à deux égaux cl de signes contraires, que nous

désignerons par ih).,, ±)w, ..., liz ).v, D'ailleurs, pourv>>Vo,

les zéros zh )»v seront compris entre les cercles Cv_i et c,.
Cela posé, formons la dérivée logarithmique de F(v) :

F'(3) _ (1 — a) C0S3 -(- az sin^
F(-) sins — ascoss

langz

Cette dernière expression met en évidence que le modide de

„;". reste inférieur à une quantité finie sur les cercles Cy, au moins

V(z) '

pour v|;>Vo, et, comme c'est d'ailleurs une fonction impaire de ;,
les résultats établis au n" 19 nous permettent d'écrire

F(3-) X ' ^d \X Xy

j-i;

En intégrant cette égalité et en observant (pie F'(o) = i — a. on
en déduit l'expression cherchée

sina: — ax cosT = (i — n)xl lli — !-^

21. Si les considérations qui précèdent ne s'appliquent pas à la
fonction donnée/"(3), il sera parfois possible de trouver une fonc-
li(^n rationnelle ou méromorphe y(-), se réduisant à l'unité pour
s ^ I et telle que les conditions énoncées au n" 19 soient vérifiées

4^ CIIVPITRK 11.

pour le produit /(;)y (-1, ipul (picsoil .r (' ). Le résidu inlégr.d

ili' 1 expression

(9.6) -—i-

Z — 2:

aura alors une ^■:lle^l^ finie f|in dépondra on <::;('nûral de x, '■s(x), et,
romine le n'sldii <lc triif e\|)ressioii an point z ^= x est égal à
f{x), on en déduit

(27) /(x) = o(x)+^r ^ .,.-:;•

Supposons ])ar exemple qui! soil jjos.silile de choisir les cercles r.,
de telle snrie que ri':;;ililé

Inn !i— -- = o,
v = - z'.,

où p désigne un enller posilil', ail lieu niiifonnéineiU pour

I < iL < ■> TT.

Dans ce cas, il sullit de prendre y (3) = z' P. car lexpressiou (aG)
devient alors

f{z) XI'

<'t, en\crlii de I li\polii(SC adiiiise, elle aura donc zéro pour résidu
intégral, quel que soit x. Par suite, Tégalité (^2-) nous donne

/(" = i.7^K")-

\dine||ons en pailieiiliei- cpie le> pc'des (7, , rtj, ... de _/"(;) soient
Ions simples el dislinels de I origine, el soil \,^ le ic'sidii du |iôle n.^.
Dans ce cas, le résidu de lexpressiou

v—z zi' ■' '\x — ;

.ri'-''

(') Caiicliy il fait lutlc rein.in|iic {OEm-rcs. série I, l. VIII, p. ii(, :i8i), sans
toutefois en lircr grand prolil. l'mir le sujcl (\\\c nous traitons Ici, voir IIkii-
MlTi;, Cours d'Analyse. \' édition, in* I.ecoii : Pii:.mid, l'raitc tl'Aiiiilysf. I. M,
Cliapili'c VI i IJOUKL, Lerons sur les fondions mcrontor/i/ies. Cliapitre t\'.

APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES nÉSIDUS.

relalif au pôle «v est égal à

A'j / X \P . / t I .r .rP-'\

Av

tandis que son résidu à l'origine est, d'après l'égalité ('j), page Ç),

-r/J— I
/(0)+/'{0)^+...+/'P-l'(0)j,^— -,,

de sorte que la fonction y'(j;) sera représentée par l'expression
/(x) = /(o)+/(o)x+... + /i/'-')(o) '''"' ■ ^ ■^" '''^"

(p — i)'. .^ X — «V \a

I

Dans cette dernière somme, on doit d'ailleurs réunir les termes
en groupes comme nous l'avons expliqué plus haut.

III. — Calcul de quelques intégrales définies.

22. Le calcul des résidus constitue la source naturelle des inté-
grales définies, et Cauchj en a tiré des méthodes générales qui lui
ont fourni toutes les intégrales obtenues antérieurement et une
multitude d'intégrales nouvelles ('). Nous devons nous borner ici
à rappeler brièvement les plus importantes de ces méthodes, en les
illustrant par quelques exemples caractéristiques,
par tire

Nous commençons par tirer de la formule connue

cpielques résultats dont nous aurons à faire usage |)lus loin.

Posons ;;^pe''i', et considérons l'intégrale / e^^' dz étendue
au coulour (hi secteur formé par l'axe réel positif, le rajon d'argii-

(') En dehors du Mémoire déjà cité de l'année i8i4, on consultera en particu-
lier : Journal de l'École Polytechnique, Cahier XIX, 1823, p. S-ji-i^i; Œuvres
de Cauchy, série II, t. VI, 1826, p. 256-285, et, avant tout, l'Ouvrage intitulé
Mcrtioire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires
{1825), dont une traduction allemande vieut d'être publiée par M. Stiickel.

44 CHM'ITRE II.

iiii'iil -1:= ^, et l'are S du ciiclc | ;; | = R compris enlre ces doux

• Iroiles. La valrur ilc ((Ile Inli'j^rale est égale à zéro. (niel(|iic i;r.ii]il
(|iie soil R, |)iiis(jiie la loiielioii e""'' esl partout liolomorplie. Or je
dis (jiic V inlcgrale prise sur l'arc S s'éi'a/ioifit lorsque R croil
indéjiiiiinent. Kn cfl'et, le module de celte intégrale est inférieur à

et. (Ml désignant par a un iKUidire ])()silir inférieur à ^. on a

f e-K'-^u'IU (/.!/< (!»'"*« C Rrf(> = aRe-«''^'»'',
expression (pii s'annule ('\ Ideinmenl |)our R = ac, el. d'aiilre |)arl,

,/, ' sina^^j • Rsiiirt

(I (lù i'(''Sulle la |irii]i()Sil Kiji ('■iKiiieée.

i'ar Mille l'iiiléj^ralc (i ), prise le Idiig de Taxe i'('-el juisilif. aura l.i
iiKMÈie \aleui- ([lie >-i l'on v prend |Huir eliemin d intégration le

771

rajon d"aii;iiiiienl yj et, eu posaiil dans ee dernier cas ; =: t' * p,

4

d (Ml c-= i'-j-, on aura donc

Je —IL f-

0 '•'■

ou encore, en séparant les parties réelles el imaginaires,

De l'égalité (2) on di'diill. en rciiipl.ii aiil i par 11 (l ^ ).

/•■'"" /~ 77/ II'

I c-i.onr,hi , il -Lie i -*-'-'

*■ — flO

et, en ajoutant .1 cette «'•galile eidle ipii en loiille en ( liangeaul //

APPLICATIONS DIVERSES DU CALCLL DES RÉSIDUS. 45

en — 6, on obtient une formule i[ui nous sera utile :

(3) f e-'"''

/~ 71/ . A=

' C0S2 bt clt = •^e~~^'"'.

23. Voici maintenant une méliioile aussi simple que féconde, et
dont Cauchy a fait un usage continuel dès ses premières recherches
sur ce sujet. Supposons que la fonction /(-) soil uniforme et ne
présente qu'un nombre Uni de points singuliers dans le demi-plan 1*,
situé au-dessus de l'axe réel, en étant d'ailleurs holomorphe sur
cet axe, et soit R un nombre positif assez grand pour que les points
singuliers en question soient tous intérieurs au cercle décrit de
l'origine comme centre avec le rayon R. En désignant par Cr l'arc
de ce cercle compris dans le demi-plan P,, on aura alors, par le
théorème fondamental du calcul des résidus,

f f{z)dz+ f f{z)dz = ->.-i? [fiz)],

•^-K -'C„ '''

et, dans les cas où est vérifiée la coikIiiIoli
(i) lini ff(z)dz=o,

R=» Jr.

''n

on en conclut, en faisant tendre R \crs l'infini,

{■>) f f{Z)c/z = 17-.if 1/{Z)1

On trouverait de même, sous des conditions analogues,
(5') /" fiz)dz=-^Tii r \/(Z)],

1*2 désignant le demi-plan situé au-dessous de l'axe réel.
l.a condition (4) est certainement remplie si l'égalité

(G) lim R/(Re'1') = o

R=«

A lieu uniformément pour o^'}£-. Il en résulte, en particulier,
(pie la formule (5) est applicable toutes les fois que f{z) est une
loiicliun rationnelle, holomorphe sur l'axe réel et admettant le point

■il) riiM'inti: II.

à I 11111111 (111111110 ziTii (lu soconil ordre i^ou il ordre sii|)«'Tieiir), ou
liiiii II- iinidiiil d mil- lille Idiicliiiu [lar une expression île hi (orme

(7) i(- --,»'<.(- --î)»-...];iiog(--^.)j?,[iog(;-;,ij?....;.

oi'i ;,. :■■,. ... sont les afllxes de points situés au-dessous de l'axe
réel, el où la partie réelle de la soiunie a, + ao + . . . est inférieure
à l'unité (ou même éi;ale à l'iiiiilé. si lu partie réelle île la somme

[j, -T~ p2 -T- ■ ■ ■ "'Si négative).

Mais I liv|Hiihèse (4) est encore vérifiée si Ton a

(8i lim f li\/ine'-'^)\dif = v,

condition ipii est r\ iiliiuiiuiil plii> j;énérale que (6). On en déduit,
en parlirullir. ipir la Idriiiiile ( j^ est applicable pour

f(z) = e'"«=o(-),

si 1(111 Mi|iposc la constaiilc a jio>ili\e et l'égalité lim es (R <?''?*) = o

it - « '

\ (■•rili('c iiiiirdiiiK'iiirnl |i(iiir o^'i^— , œ(;) jouissant d"aillciii>.
il, 111^ le (IcMii-pl.iu l'i cl >iir l'axe réel, des propriétés iiiili(|iice> au
(lél)iit de ce numéro.

lui ell'el, en désignaul par ii^lV) le maximum de j ■- (^ Il e''!' ) |
pour o^J/^TZ, on aura

f K I /( U (-"V ) I (/'{/ < e( R ) f H e -"" »i° 'i' rfi .

*■ tj «'0

Or I latigralc (pu ligure au second niciiibrc, el iiiii pcul ^ <■( rii-e

reste au-dessous d une h unie lime (pid (pu- ^oii H. CI I', l' Il désignant
par // un iKiiiilii'c positil inicrieiir à — • un a

/ U , -.'ll.ln+ d'!f^ {'' ~'') '* '■ ""

APl'LICATIONS DIVERSES DU CALCLL DES nÉSIDlS. 47

expression qui s'annule pour R = oc, et d'autre part

\X e- '"*'"■!' d'I) < — ^—r / e ""si"')' R cos<i d']j = ! — r ( i — e-''Rsi"''J.

eus t; ,7^ a coso

Comme d'ailleurs, par hypolhèse, £(R) s'évanouit pour R^^cc,
on ^oil bien que la condition (8) est remplie et que, par suite, la
iormide (5) est applicable dans l'iiypotlièse considérée.

On pourra, par exemple, choisir pour '■p(;) une fonction ration-
nelle, holomorphe sur l'axe réel et admettant le point à l'infini
comme zéro du premier ordre (ou d'ordre supérieur), ou bien le
jiroduil d'une telle fonction par une expression de la forme ('j), les
])oinls ^1, ^21 ••• étant situés dans le demi-plan P2, et la partie
r(''elle de a, + 7.2 + . . . étant iiif(''rieiirc à l'unité (ou même égale à
1 unité, si la partie l'éelle de la somme pi-l- [^o-)-... est négative).

On trou\e, par exemple, en désignant jiai- /■ une constante dont
la |)aitie réelle est positive.

/ — — ^rf; = ■i-ie-"'-, /

dz = o.

et, en formant la somme et la dillérence de ces deux égalités, on
en déduit les formules de Laplace

["^ Zi,\naz [""rci^sfiz
I — ~i r "•• "= / — :; T

dz = -e-
■i.

'2i. ^'oici une autre méthode générale dont Cauchy (') et Her-
niite(-)ont fait un usage étendu, et sur kupielle nous aurons d'ail-
leurs à revenirau Chapitre suivant. En posant z^-:-\- il, admettons
que la fonction/(;) soit uniforme et ne présente qu'un nombre fini
(le points singuliers dans le domaine B,, défini parles inégalités
rt <; T << ^, < >- o, en étant d'ailleurs holomorphe sur le contour
de ce domaine, et admettons en outre que la condition

(9) • lim /■(- -hj'n = IJi, (Hi = L-onst.),

soit vérifiée uniformément pour al^-zS-b.

(') Voir en pai'Uculier Œuvres, série I, t. I, i8jj, p. •>3j-2Sô.
(^) Cours d'Analyse, i3° Leçon.

(lo)

',S CIIAPITBE II.

l'reniins un nombre jiosilif o assez grand pour que les points
sinj^ulicrs de /(-) compris dans 15, soient tous intérieurs au ree-
tanj;le retranché de ce domaine par la droite f = o. En intégrant la
fonction /(s) autour ilu pi riuK'tre de ce rectangle, on aura l'égalité

( I' /(-.), k= if [/{a^it)-f{b-^it)\dl

\ + f f(--i-ir.)d-^JiT.i r [/(z)];

on eu ticduil, III ti'iianl coniplc de l'iiypotiièsc (9),

f /(-.)d-. = i f [/< a^it) -/( b -r- il I] dl

(II)

_^(6-n)H,-t-i-j r \f(zS\.

Dans le cas où la fonrliim /(;'> admet la période h — a, le pre-
mier ler-mc disparaiira du second membre de celle formule.

lin -unpd-.iiil (les ((iiKllliiiiis analogues à celles (jiii pn-eèdeiil
vérifiées dmis le ilniiuiiiie 1!^, --vnii'liiciue de H, par rapport à 1 axe
réel, on tiome mie Idriiiule ;m;dui;iie à (iii et que nt)us nous
disjienserons d"écrii<- ni.

\ppliipiiiiis celle nnlliode au cas où I on a

/( ; ) = ^^—j-, , a ^- — -, b = T.,

•' ' Il — c-'-

II élaiil nui' quanlili'' réelle el |Hi-lli\e. I .a l'unelion /"l' r") admi'l
pour pôles les points

- = / log 1/ -4- i - V ( V = 0, -Jz I , rt: •>.. . . . ).

iJoue, si »"- I, le prile /iiig// sera iiili'iieur à li,, tandis que ee

domaine iie eoiiqireiidra aucun pôle de /(:■) lorsque 11 -^ 1. Il en

résulte ipie le dernier lernie de l'iNpiessioii (11) est. dans le pre-

, . ■j.r.iloiiii , , I , ,

mni- eas, e"al a — el, ilans le seconil cas, a zéro.

a

I > autre |iarl . nu li'ouve

f(a + it)-/{b + il) = - „^i^.

d'où il iisulle. par un ealeul elc- niairi'. que le pi'eniier leinie de

APl'LICATION'S DIVERSES Ul) CALCIL DES RÉSIDliS. 49

l'expression ( i i) a poiii- valeur

log( H- M).

Comme, d'ailleurs, H, = o. nous pouvons donc conclure de la l'or-
niuie (il) que I intégrale

z dz

r

u — e-'*

. , , , iTCJ , / " \ . >.TZl . / I i . ,,

est eeale a I02 ou a log ( , suivant tiiie l on a

"^ Il ^ \i ^ u J u '^ \ l -h u / '

«/ >■ 1 ou ;/ <; I , et, en séparant les parties réelle et imaginaire, on
en déduit pour l'intégrale

c sin ; c/z

f

u- lU COS-Ô -+- 1

la valeur- loy . si // ^ 1 , et la valeur -log(i + 11), si u <C

u

Calculons encore, |)ar la même méthode, la valeur de l'intégrale
(12) / \o'^(i\n-z)dz,

qui nous sera utile plus loin, el, dans ce but, appliquons la for-
mule (10) en y faisant « = o, 6 = 1 , J\z)=^ log(sinri;). On s'as-
sure en effet aisément que cette formule reste applicable lorsque
la fonction ,/(-:) devient infinie aux jjoints a et b, pourvu que son
ordre d'infinitude y soit inférieur à l'unité, comme dans le cas
présent. On trouve, par une discussion élémentaire,

d'où il résulte

/ / [/{a -h it) —f( h ^ il}

\dt

et, d'autre part, on déduit de l'égalité sinTi; = — .(e'^'' — e~'^'^)
sin-(T-H il) = i ei'-i'T[i h- eÙ)] ('),

(') Pour éviter des redites incessantes, nous conviendrons dès maintenant de
désigner indilTéremmenl par e((), £(ô), ..., toute fonction tendant vers zéro
lorsque t, S, . . . tendent vers l'infini.

L. i

50 CHAPITRE II.

d'où

/(t -H /8) = -J log7 -I- TTO — t:/t -4- e(o)

et. par snili'.

/ /( ' H- io)ik = r.o — logî -H i( 0 I.

Comme, dailleurs, ihiii< riiv|inthèse aeliielle. le dernier terme
de la formule ^lo) est iinl. iiniis |)()iivons en ciineliirc. en faisan!
tendre o vers l'infini, ([iir A/ valriir de l'intégrale (12) est égale
à — log;2.

2o. Soil encore il calculer I mlii;r.ili'

(7 ('-lanl une conslaule tlont la partie réelle est posili\e el inférieure
à ////. cl 'j(;) une fonction rationnelle, s'anniilant à l'inlini el
liolomor|)lie à rorifjine el sur l'axe réel positif.

Traçons de l'orij^ine eonime centre un cercle c de ravon s et un
autre cercle C de ravon W. de telle sorte qu'ils comprennent entre
eux tous les pôles de C5(;i. ii iIimj^uous p.ir S le loulciur li'iiné
(lui se compose de ces cercles el des deux l)ords dune coupure
men(''e suivant l'axe réel positif. On aura

L

-^ts{z\(1z - >-i r ;"-i((p(3)),

e

la somme r si'li'ndanl ;'i Imi-. Ic^ iu'iIcn de »(;).

Faisons inainleiianl lenilri' £ \ers zéro el R vers rindni. Les
parties de l'iiili'ijrale ci-dessus ipii sont relali\es aux ceicles c
el C. leiidriiul \ers zéro, en \eilu de uns li\ pollièses. Coiniiie
(Tailleurs z"" ' =^ ^("-iilo«: ,»| ij,,,. |,,„ ; MUi;meiile de '-/ lorsipTon
pa>se d'un point du horil su|)i''i'ieiir au poiiil correspondant du bord
iiir('rlcui' de l.i coupure, le premier memlirc de l'i'f^alilt'' précédente
dc\ iciidra

(1 — e""") / z- '*( »!(/;,
* 0

APPI.1CAI10NS DIVEBSKS DU CALCUL DES RÉSIDUS.

^t, par suite, on trouve pour l'intégrale donnée l'expression
Pour -j5( ;) ^ ) on oijlient la formule, due à Eulri' :

. dz ;^ QTZiia—X) ^^

; 1 — e2w<a sinir

En diirérenliant Tégalité (i3) n fois par rapporta la constante a,

on trouve la \aleur de l'intégrale

/ z'i-^(\o%z)"<a{z)dz.
"'o

D'autre part, si 'f (s) admet le point à l'infini comme zéro d'un
ordre ^ 2, les résultats pi-écédents seront valables pour ûî = i + £,
dès que o << £ < 1, et, en faisant tendre s vers zéro, on en déduit
les formules

f%iz>dz = Um\~^^^lz^(.iz)]l
On trouverait, par exemple,

.,/„ I + -3'' £ = 0

et

2 cos —

2

niAPiTKE m.

FORMULES SOMM\T<Hi;i;S HKliKS DL CMXUL DES RÉSIDUS.

l. — Recherches de Caiichv. Transfuriiitidnus liiverses
(/es formules sénértiles.

"lys. Le cnlciil (les ri'Mdii- |iiiini'l il <\|iriiiifr |p;ir une iiiIi-j;imIc
définie la somiiu- des valeiiis (|iic |irciiil iiiic fonclioii analytique
f{z) pour des valeurs enlières successives de la varial)l<' ;. V.n
efFel, on a vu (p. 3<) i (pie la lonclion — coItt:: adiiid l«iul nonihre
entier v cnniinc pôle simple de résnln ///*. et il m rt-sulle que la
valeur /(v) est égale au résulu lic l'expression -cul-; /'( ;) relatif
au point ; := V, pour\n cjui' J(Z) y suit lioloniorplie. 1 raçons donc

un contour lernié simple ( , cn\ cloppant les points m . ///-)- i n.

mais laissant à I cxlciinir hml .iiilri' pniiil <lonl I aflixe est lia
noml)re entier, et sujiposons (pie. à I intérieur de ce contour, la
lonclion y\;) soit unilornie cl ne présente (ju un nomlirc tini tic

points singuliers, distincts des points m. /// + i /(. en étant

ir.iilleiii - lioliJiiiorplie sur C. Dans ces conditions, on conclut du
llieoreiiie j;enerai de>^ ii'sidiis. en utilisant la nolatii>n oui a été
cxplupiéc page ,!,S, V. ^^^^ ^^'^X. ^A

(I) ; / 1:001 TTC /(j )rf; =>/( V) - r irconr5(/(s)),

(a) \ f(->)= : I TicniTiz /{ z\ il: - y it col it ; lY( s )).

Si, vi\ parliiiilier. la fouctiou fi^z\ l'sl lioliuinuplic à I iiitiriciir
de C, le dernier leiiiie de cette égalité disparaîtra.

FORMULES SOMMATOIRES TIRKES DU CXLCVL DES RÉSIDUS. 53

En observant que le ri'sidu de la fonction -r-^ — relatif au pôle
s = V est égal à ( — i)^, on arrive de même à la formule

n

les hypothèses restant les mêmes que ci-dessus.

Les formules qu'on vient d'écrire conduisent facilement à la
sommation de certaines séries particulières, renfermant un nombre
infini de termes ( ' ).

Soit, par exemple, /( ; ) une fonction rationnelle ou méromorphe,
telle que le résidu intégral de lexpressiiui -aA-z fi^z') s'annule
(votrle n" 17). En [irenaut pour le contour C un cercle ayant l'ori-
gine comme centre et en faisant croître indéfiniment le rayon de ce
cercle par des valeurs convenablement choisies, l'intégrale (i)
tendra vers zéro, de sorte que l'égalité (2) deviendra

-f-OD

(4) ^f(:<)=- ^r.coX.T.z[f^z)\.

Si le résidu intégral de l'expression -. — ^ — /(s) se réduit à zéro,
on déduit de même de l'égalité (.3) la formule

— X

On suppose, bien entendu, que les séries qui figurent dans les
égalités (4) et (5) soient convergentes et que leurs termes soient
réunis en groupes comme riiidi(|U(' légalité ( •^ ), page 3o.

Comme les modules IcotTir! et

restent au-dessous d'une

limite finie sur les cercles | ;| = v — ,',, v = 1 , 2, . . . (voir la note
de la page 32), on peut conclure des résultats établis au n" 17 que
les conditions t'noncées ci-dessus sont vérifiées toutes les fois
que f{z) est une fonction rationnelle admettant le point à l'infini

(') Cf. ÛEu^'ies de Caucky, série II. t. VII, 1827, p. 345-362.

54 ciiu'iriti; III.

comme zéro d'il n ordre "a. lJ;iiis ce cas, les séries (4) et (5) seront
(r.iilleiirs absoliimcnl co»\er^enlei.

Si J\z) est Mlle Iciiiction ratiiniiiillr ii\.iiit ; ;= x comme zéro

\

simple, on ikimiim 1 <■( rire sous la loiine /(z) ^ '■ — (- »(«). A étant

une constante et v{z) une l'onction rationnelle admettant ; =: x;

comme zéro d'un ordre ^2. (jomme les résidus intégraux des

cotz.: I ... , . . ,

expressions et — :— — se réduisent n zéro, ouisciiie leurs

^ .: .: sirni; ' '

termes se (lé'triiisent <leux à deux, il en sera de même, d'après ce

que nous venons de ilire, des résidus inléfiraiix des expressions

~ volT.z J[:') et . fi~> <"•• 1'"'' Miilc. les rornuiles (4) et (5)

seront encore applical)les. en riMinissaiit loulel'ois, dans la série(4).
les termes correspondant à des valeurs ('gales cl de signes contraires
de l'indice v.

L'égalité (4) nous donne, en faisunl par exem|)le _/'(;')= ^-^,

I (:r ■+■ v)2 sin-itx

et, pour /{z)

■^ 1 _ I I /- - c

I , . ^^K.-^l

La formule (5) reste \aliiiilc >i l'on po>e f\z) = 'iî:) >'inrt : ou
J{s) = »(i) cos«3, '■s(z) étant une loiiclion rationnelle s'aiiiiiilaiil
à l'infini et ti une constante réelle coiiipii>e entre — - el -. l-.ii
ellel, en remplaçant les foncticms trigonom(''lri(jues par des expo-
nentielles, on constate aisément {Cf. la note p. .'îa ). cpie les ex-
pressions

siilrt ;
sin •::;

cos(; s
et

I sin-; I
ic.sUiiL .iii-dcs5uu.-> d une liinili' lime -iir lis cercles

l'I^" — î (v = l, i, ...)

i-t, d autre piirl. ipie ee> iiiéiiiis ex prosions tendent iiiiiloriiiemeiit

FOIl.ML'LES SOM.MATOIRES TIRÉKS DU CALCl'I. DES llÉSIDUS. 55

vers zéro lorsque le point z^ pe"^ tend vers l'infini en restant
intérieur à l'un des angles s << 'i <^ ti — £, 71+ £ ■< '^ < 2tî — £,
£ étant un nomlne positif aussi petit que l'on voudra. Comme le
module |;-j(;)|, par hypothèse, reste inférieur à une quantité
finie à partir d'une certaine valeur de |;j, ces mêmes remarques
seront applicables au produit de l'une quelconque des expressions

■rc , . Tï ,

— tp(^)sin«.; et -: a{z ) cosaz

simzz sMixs

par le facteur ;, et, d'après le n" 17, les résidus intégraux de ces
expressions se réduiront donc à zéro, ce qui justifie notre asser-
tion. On aura par suite, sous les conditions énoncées,

1

tf(o)H- 7 (— i)''[s>(v)-l-<p(— v)] cos-m = — ir^ -. ~[<f(z)]-

1

On trouve, par exemple, pour '^(:-) = ;'

1 , , V sinvrt

■j: sinT:.r

1 TT coiax

.^^ v- — v' ix' ■i.x simtrr

1

Dans certains cas, les formules (4) et (5) permettent de trans-
former une série donnée en une autre dont la convergence est plus

rapide. Ainsi, en faisant dans (5) /■(s)=: ^ , "" — - — . rt étant une

constante réelle quelconque, Cauchy en déduit l'égalité

'V ( _ I iv '. — ! !- 'V ( — I )v i

1 le" — e "

Pour les petites valeurs numériques de a, la convergence du
second memlire est évidemment très rapide, tandis que le premier
membre converge lentement.

27. Nous allons maintenant transformer les formules générales

56 (livt'iTiiK iri.

(•I;il)lips au di'lmi de ce ( lluipitre, en ci)inm('nc;inl p:ir la formule (a).
l'oiir :;ini|)lilicr. nous supposerons d"aljoi'd la l'onrlion y"( ; I lioio-
niorplie à l'inlérieur du contour C. de sorle que le serond nicinlire
de celle formule se n'-duil à sim pri'inic-i- leiiiie.

SiMfiil 7. ri |j le- puiiils où (j est (■(lupé par l'axe réel

(<j J m — I < a < m. n < jl < /i ^ i ,

et désignons par av'^i la partie supérieure et paray"jï la paitie infé-
rieiu'e de ce contour. Nous laissant fjuider par cette observation
que tCoIt:; tend vers — i dans la direction de l'axe imaginaire
positif et vers -f- i dans la (lirrciiiiii ii|]|)OM-e. nou> >ulj>liluerons,
lans le se(( Jiiil iiuMiliri- de l;i iMiiiiule (•>,),

(

-rCOt-J= — I — — -—. sur 1 arc lY 3

cl

' '>

-. col -5 = I H -. sur I arc xr i.

I e«:'-— I ' '

Par ces --iili^liliiliciii^, I exprosinn iii (nir^lmu dc\ii'iil

/( z\dz r /i : 1 ,/z

'- f /(zuh-' f J\z^dz^f Ûll^-f
< )|- (III ;i, en pii~;illl ;=■:+//,

(7) /' f{z)dz--=-f f(z)dz= f /i-.)d-.

jiNisipi (lu suppose la lon<li(in /i ; i IiiiIiiim(ii|i1ii' .1 1 ilili rn m de Cj
la liiriiiiili' I > I preiidr,! dune la Idriiir mii\.iiiIi' :

l'n-iKins. iMi |i.ii I iriilirr . puiii' Ir ruiihiiir- (, un m'Ianj^le synié-
tni|ue par rappuil a Taxe réel el ilonl les cotes \ei'lieaux passent
ri'-.pe(li\rmenl par les poinN r - i el ; = |ï. lui désijjnani jiarao
l.i li.iijliiir de ce reclanf,de. I:i rniinnle (8) de\ ii'iidra

c») X./'''»-/ ./'(-)rf- -♦- lia. 11 — l(ji. û;h- l<(o;.

FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES Dl CM.C.VL DES RÉSIDUS. ^7

en posant, jiour abréger,

K

La formule (9) se siniplinr liaus le cas où sont vérifiées les con-
ditions suivantes :

1° La fonction f\ ; ) est liolnmorjihe pour a^T^^, quel que
soit t\

2" L'égalité

(A) lim e-2'il'i /'(T + ;V) = o
( = ±=0

a lieu uniformément pour aSx^ ^.

En eft'et, dans ces conditions, la formule (9) reste valable quelque
grand que soit 3 et, lorsque 2 croît indéfiniment, R ( 2) tendra vers
zéro, de sorte qu'on obtient

(h y\fi'')=f /(x)^.+ lim [I(.,?)-I(?,î)].

m

Resserrons da\anlage les bjpotbèses en supposant que :

1° La fonction f\ z) est holoniorphe pour '^y-, quelque soit t;
2" La condition (A) est vérifiée uniformément pour rj.<-z^fj,
quelque grand que soit p;

3" La fonction ./(;) est assujettie à la condition

(B) lim f e-2i^l" |/(x + f'Ol rf; = o.

t = " • '_ „

La formule (I) subsistera quelque grand que soit n, et comme
l'on a, en posant [ii ^ « + -> s = [i + z/,

m CIIM'ITKI: III.

on \((il (|uc I iiitr'-jrale l(]3, yz i ;i un sens cl (jn rllc li-inl vers zéro
lurs(|iic n DU '■j .iu<;iiii'titi' iixli'linniii'nl . ilr --(irli' i|iii- ia iViiinule
en question deviendra

si la série (|ui ligure ;hi |)icriiicr iiicmlire est (•(in\er^cuti', et, si
celle série diverge,

llM
(II)a

f(z\tlz I /( : I dz

l28. Nous iiilrodiiliiins dès nuiiiitt'iiaiit rcrtaiiies notations dont
nous aurons à lairc un usage continuel dans la suite <le cet ou-
vrage. Enécri\aiil loii|(iurs z^--\-il. nous poserons

(10) ^TiiiTF^rT ='^"''- "-^'-^^'''^'

d'où

( M-, •:,/,=

e"" — ■>. cos •>. Tf: -»- e--"'
(n)

■' gsw — acosîTtT -H e--'"'

et, d aiilrc part.

p{-..t)=-^ \/(z + it)+/(x-il)l

(12)

q(x,l)= i..[/(-:-t-»V)-/(T-(-n|,

i\f sorte (|uc /){-.t) et l//{-.ti rc|Mi'-i iilciil rc>|iiili\ ciucnl ii'S
parties réelle et nnai;iii.iirc de l.i rnurtion f{- -^ i/). dans le cas
oi'i eelle-ei est n'cllc pour / = o.

Avec ces notations, le premier tciiiic de rcxprcs>loii I(t, o^
s'écril

FORMILES SOMMATOIRES TIRÉES DU CALCUL DES RESIDUS. 59

et comme le second terme se cléduil du |iremier en chano;eant i
en — /, il en résulte

•- »
o ù

On pourra donc écrire les égalités (^1 I et (^11) sous la forme

"S
(!') ^f'-'}= f f{~)d---ij [Q(a, 0-Q(^')k/',

(ri'j 7/f')^l j\-}d- — xj q^ 7^,1) (/t.

■^^ 'a • 0

m

Dans le cas où Ton a

' o '

a = /;; on |3 = «H — >

■>. 1

ces formules se simplifient, en vertu de l'égalité

(i4)

'(-+J'')=-

?('' + 4,/)

qui a lieu pour tout nombre entier v.

29. Les formules cpion vient d'établir supposent essentiellement
les nombres a et ^ com|)ris entre les limites (6 i, et doi\ent être
modifiées si l'une de ces limites est atteinte.

Faisons d'abord tendre a vers //' — i , et cherchons la modifica-
tion qui en résultera pour la formule (y). Pour simplifier le calcul,
nous allons reprendre un moment l'égalité (8), en choisissant le
contour d'intégration comme l'indique la figure ci-dessous, où les
arcs c' et c" font partie d'un cercle décrit du point m — i comme
centre avec le rayon s, et où l'on a

'j. ^ m — I ^ ï, a ^= m — i -1- îs, b' ^ m — i -t- Jo,

a" = m — I — i£, b" ^ m — \ — ('8.

Le contour C étant ainsi choisi, on doit d'abord substituer m — i
à a dans le terme R(5) de l'égalité (9), et, d'autre part, les deux

6o

i:ii\i>iTiii: II

intégrales qui fif;iireiil dans l'expression I(a, o) doivent èlre prises
respectivement le lonji du ciiciiiin ar/'//' ( conipusé de Tare c' et du
se^^nt-nt re(lilij;ne a' h' \ el le Inuj; du cheniiii svnn'-tri(pie la" h" .
La sdMiMie des intégrales relati\cs aux sejjnients d' b' el c^ h"

Fig. >.

S'écrit, en posant z = m — i 4- //. et en utilisant la notation (12),

f

' /( /H — 1 -t- i7) — /( m — \ — il )

eîTt( I

dl

-r

qJjUjZLdldl.

Sur l'arc c' on a

e-'-mz _ ,

fis)

iTzi z — I m — 1 )

?( = ),

le Miiidulc de 'j(;) restant au-dessous d'une liuiitc Unie lorsipie E
décroît vers zéro. Il en résulte que l'intégrale prise le long de cet

arc et qui s'écrit, eu pnsMul ; — [m — *) '= ^ '?'"''.

I fi "I — i-h te''^)M ^ Il I o(z)e''^di>.

lend \ers fini i) l(Ms(nir î >,iriiiule. el un niiscuuienient

4'

ideiilupie uiontie qu'il en e^t de iiièine de rinti''f;rale prise sur
lare c". Ddfie la xuiinu^ de ce- deux iuli:;r;de> aura pnui- liiuile

( )n \(Ht, eu souiiue. en (dioislssaul le ciuilniii' d inli'-gralion
comme il a (-lé dit el eu dii-Mnl iii-iiilr tendre £ vers zéro, que

(') Il impurtc li'obsiTvcr, en vue d'iipplicalioiis ulu^ricures, que ce résultat
repose sur la seule lixpolliise que la fonrtiun /( j ) pienil une valeur finie el lU'tci-
miiiéc iiu point z = iu — 1 (qu'i'llev soil liolmnorplie ou iinii ), de telle soi'lc que la

difTvrciicu f(z)~f(m -1) tende nnifui nié ment vei > «eici avoe 1 pour = '!'=""

FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES DV CALCUL DES RÉSIDUS. fil

l'égalité (9) subsiste encore pour y.^ m — i, à condition de poser

I . r ^ <j( ni — 1,0 .
I{/n-i,S)=--/(m-i)-2 / i-^, '~-^dt.

En modifiant le contour comme l'indique la ligne marquée dans la
figure en pointillé, et en ifaisant ensuite s'évanouir le rayon du
demi-cercle, on conclut de même que l'égalité en question subsiste
aussi pour a = m, si Ion pose

I - ' ,■ r"(j(in, t )

Des remarques analogues s'appliquent à l'expression I(P, 5),
lorsque le nomlire jï tend vers l'une ou l'autre des deux limites
entre lesquelles il est compris.

Les résultats qui précèdent permettent de modifier de dillerentes
manières les formules établies aux n"* 27 et 28.

Ainsi, en faisant dans l'('galité (cj) a = m, [3 = «, 0 = co, on en
déduit la formule

(llli

+ J(-.)d-.^i L ^^^ dt.

qui subsiste lorsque les deux premières conditions de la page 5^
sont vérifiées pour a. = ni, p = «.

Si les trois dernières conditions de la page 5^ sont remplies pour
a= «t, on pourra faire croître indéfiniment le nombre n dans la
formule précédente, et l'on trouve alors

(IV) ^f('>) = ^Am)+ f'f{-)dz-2 f

q{ m, t } lit

Dans le cas où lesdites conditions se trouvent vérifiées pour
a ^ m — I , on aura aussi

,v, 2:/...=-;/.'— £/->.'— /-'-ï^^

-dt.

6x CIIAPITHi: III.

formule qui reste encore valaMe dans le cas où /(s) présente au
point : z= m — i le caractère imliipié dans la note de la paj^e 60.
Si la série qui fifcure au premier mcinijre des deux dernières for-
mules était divergeiile. mi dcMail les remplacer par d'autres ana-
logues à (ll)n.

30. Appliquons à la fonction y (x-1-5) la formule (9) en posant
//( = « ^ o. et faisons tendre a vers o, ^ vers 1 et 0 vers x, ce qui
est permis si Ton suppose les deux jiremièi-es conditions de la
paj;e 5- \érilii'-es pour x,'S':^x, -+- i. x, dèsifiiiaiil la partie réelle
de X. Kii tenant romplc des résullat^ ('taMis au 11" ^',1. mi trouvera

,1

/(X)=— ;^[/(X-r-l)— /(r)]-H / ftT-i--.,d-

y ( j- -^ I , / ) - y ( J-. O

'"•

Comiiir irailliiir< j f [x -{- ■:) dx =^ j /(x) iVj", il en résulte

(lue la loMclioii

(V

Il ■l'(a:) =— -/(3:)-t- r /(.r)tAr-t-2 y

q(r. I)dl

(en supposant, bien entendu, que la dernière inléiçrale ail un sens,
ce qui ne l'ésulle pas nécessairement des conditions de la pa:;e 5-,
et en lixani coin iiialiliniciii l.i limili' inférieure de la première
inléj;rale I j I de \.\ |irii|iriili-

<!>( j- -t- I ) — *(a!') =/(a7).

l'a d'autres termes, *(x) est ce qu'un appelait aulr<'fois l'intc-
grale finie de lu fiinrlinn f{x). cl (pi'on d(->ii;iiail par > /(^)-

31. \ oici une autre transformalion de la forniule ^ IS") qui nous
sera utile plu> loin, l^ii v sulisliluanl

l — —7^ = e""= -♦- e*«'- ■+■...■+• c>|i»«.- H __ ,

\ c""= — I e»«'* — I

FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES DU CAI.CIL DES RÉSIDUS. 63

et en remarquant qu'on a, |5iiui' chaque indice v,

/ gi-j-ni : f ( z j (/ z -Jr- / f'---''^'- fi z) dz = 1 I f(i)cOi-î-mz dx,

puisque la fonction f{z) est, par hypothèse, liohiiiiurplie à l'inté-
rieur du contour C, on trouve d'abord

(i6)

X /(V)= / /(■:)rfT^-2 > / /(T) COSÎV-T rfT
}ll 1

r e'-V-^' ~ f [ z ) , r e-^V-^i-fiz) ,

-h / 7= dz ^- I — , - dz.

Supposons maintciiiint la condition

lim e-2ilJ-+i"tl'i/"(TH- ;>) =o
( = ± «

vérifiée uniformément poura^T;^ [i et la fonction /(s) holomorphe
dans la bande correspondante.

En choisissant pour le contour C le même rectangle que page 56,
et en faisant croître o indéfiniment, on trouve alors que les parties
des deux dernières intégrales ci-dessus qui sont relatives aux côtés
horizontaux de ce rectangle tendent vers zéro, de sorte que la for-
mule (16) se simplifie.

Admettons, en particulier, que les conditions énoncées tout à
l'heure soient remplies pour o£t£/< ; remplaçons dans l'égalité (16)
n par n — i et ni par l'unité, faisons tendre a vers o, p vers n et S
vers 00, et ajoutons aux deux membres le terme f{o). En suivant
fidèlement la méthode exposée au n" 29, nous trouvons ainsi la
formule dont nous aurons bientôt à faire usage :

n — 1

/(T)rfT
0

, ""■ r"

(VII) < "*"'■* X. / /' 'C) COSavTTT ûft

[gin, t) — 0(0, t)]-T— dt.

32. Nous avons établi les formules des n"* 27-31 en supposant

64 CIIAIMTHK III.

la riinclioii f\ ; i iKilimiorplit' t-n Unit |Hiiiil ilc la rt'-j;ioii liiiiitt-e
par le conloiir d'iiilt-f^ralion. Mais il est facile de voir eoiniiieiil se
tiiodilienl ees roriiiiili-s dans le cas où ./"(,-), loul en restant iiiiironiii'
tiaiis celle r<'-j;i(in, v possède un noiiihre fini de |)oints siiij^uliers.

i'our lixer les idi'cs. siippdsons (pic l.i foiiclioii f\^) présente
ce eara<'lére dans la Ipaiidc li. dclirih- |i,ii 1.^ iin'jialités a < *? < 3,
et cherchons coiiiincnt se inodilie la lornnde ( I I. Pour arri\er à un
résultat simple et précis, nous admettrons qu'aucun des |)oinls
singuliers de /'(3^ compris dans B nest situé- sur l'axe réel.

Reprenons alors la formule (2), en clinisissant le contour C
comme à la paj;e .")(). mais en prenant 0 assez ^rand pour que les
points sini;uliers dont il s'agit soient tous inti-ricurs à ce contour.

Dans riiypothèse actuelle, on iloii ir.ilioid tenir compte du

dernier lerjur de la roriiuile(2l, qui s'écrit — P - cot-r f /'( ; il,

t_ 1; <•• .>

ce qui eoiisiiiuc une première modilieation du raisonnement donné

au n" 27: tl'aulre part, les égalités \- ) dc\ronl mainlenaiil être

remplacées par les suivantes :

C f(z)dz^ f fi-.) d- - >.ta r (/(5)),
r r^

I /( i ) ,lz = / /■(-.) ,/-. -h x-i r i/i : ij.

B| et Hj desii;iianl ropcclix <'iiMnl !(•> moiln's siipcricuic cl infi'-
rieure de la hande l>. Le resh' de noire rMi>oniicmciil ne -uhit
aucune modilicalion. cl nous arri\on> donc à celte conclu>icm que,
dans iln/jutliùsc admise ci-dessus, on doit relranclier du
second membre de la formule (I) l'expression

<f^ ,: cuir ;(/( -))-+-,! /jr f/(.ij-r u/"'--))!.

Il ( V^ll, C'B, )

la(picllc. à laide dr> >iili~l 1 1 iil i(iji> nhliipiic^ an drluil du n" ^7,
peut r'iicore clic mi>i- >oiir, la forme

,„,•) r l[liiL_ r JZiiiLf.

Les anlrcN loi nulles suluroiil di-. modiliialions analogues.

FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES Mi tALClL DES RÉSIDUS. 65

33. Voici une dernière transformation de la formule (2) qui
s'opère immédiatement, et dont nous aurons à tirer parti plus loin.
Supposons de nouveau la fonction /(:;) holomorphe sur C et à
l'intérieur de ce contour. 11 en sera alors de même de sa fonction
intégrale F(;), et, en intéijrant par parties, on pourra donc écrire
la formule dont il s'asil sous la forme

'&■

2/(^> = d^i(^p(^^''-

Admettons, en particulier, que les trois dernières conditions de
la page 5- soient xériliées pour la fonction F(s), et choisissons le
contour C comme au n" 27. En observant que le module de sin— 3

se comporte asjmptotiquement comme l'expression -e'^''' sur toute

droite parallèle à l'axe imaginaire, on s'assure qu'il est permis de
faire tendre successivement o et n. vers l'infini, dans l'égalité ci-
dessus, et l'on obtient ainsi la formule

(VIII) i/(")=-,-i7-xir(^^^^^'^-'

tu

■j. étant un nombre quelcourpie compris entre m — i et m.

34. Passons à la formule(3 j et indi<pions-cn rapidementquelques
transformations, analogues à celles cpie nous avons fait subir plus
haut à la formule (2).

Admettons que la fonction /{:■) est holomorplic dans la
bande a^-rS ^ et que V égalité

(Al) lim e-ti'l/(T ^ /n = n

a lieu uniformément pour a ^-r^ |j.

En choisissant le contour C comme au n° 27, la formule (3)
est alors applicable (piel que soit 0, cl devient pour 0 = ce :

(IX)

(-')V'(v)

1 1-
= ; lim

- ^(3 + . s _

J[i-,o S'"--'

* a — zo J

L.

C6 CHAPITRE III.

Si Ion pose

I I

= -t>r,u, 0-i-'Xi(-.Ol.

■1 i sin -.; e'"- — e-"'-
d'où

cosTr:(c"' — e-'"')

\ 'r,iT,o =

(17)

■1 cni-iT.-: -~ e

T.-. — e-»'«

el d'autre pari, eu se servanl l()lIjou^^ de la iiotatiuii (12), page 58,

(18) Qi(-, 0 =/'(-, 0>^K-.0 + '/',-, 0'l'i(->0>

on pourra écrire (IX) sous l;i lininc

tt
(IX') y(-OV\'') = -W [Q.(?,')-Q.(^0]'/'-

•^^ "-0

Resserrons les liypcilhiscs, en sui)j)Osiiul (juc les condilioiis
énoncées ci-dessus sont vérifiées quelque grand que soil p, el
(pic la fonction /(:■) est assujettie à iacondition

, -t- »
(B,) lim / e-''l"|/v:^(V)]<// = 0.

On puiiiia ;ili)rs l'aire cruîlre mihlliiirnnil Ir iidiniii'c /( dans les
fiirmuli'? ci-dessus, el lun Iiuum' aiiiNi

(X) y(-.)v/(v)=- f'^" J^^%, =-2 f\,^r,t,d,.

fn

Lorsque ■j.^^ni ou ^ =:/(-!--■ Ii-, luiinulis |irccédenlcs

niciuicul NU a'-pcrl plus simple, à cause ilc la i'elali<ui

l)"aulres iuodilicalii)iis de ces Icirmules s'olilieniicnl eu taisant
coïncider a ou Jî a\»'c l'une des liiiiiles ^ti). Ainsi la formule [\\)

FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES DU CALCUL DES RÉSIDUS. Cy

devient, pour n. = m, [i = /(,

i;(-ov(v)=(-o"'^+(-o''4^

(XI) { 'tr

_ /" (— i)"'y(/«, O - (— |)"y(/t. ;) ^

cl la formule (X), pour /» = i , a = o,

(-^") |;(-')-/(v)=i/(o;^.y;"g^.

En adoptant les notations du n" 27, on pourra écrire la for-
mule (3) sous la forme sui\ante :

J\z)dz__ f f{z)dz

la fonction /(-) étant toujours supposée holomorphe à l'intérieur
du contour C. Substituons respectivement dans les deux inté-
grales

(i-i

g— (2V+l)Hi; .

u
H--'

H=-2;

gii-J+DTZiZ.

0

nous obtenons une formule f|ui nous sera utile plus loin :
(20) y(-ijV('')= ^y / /(^)cos(2v-l-i)r-e?TH-Ru,

m 0

avec

Dans le cas où la fonction /(;"), tout en étant uniforme et eu
vérifiant les autres conditions indiquées ci-dessus, présente dans
la bande B, définie par l'inégalité a <^ •: ■< p, un nombre fini de
points singuliers, distincts des points /», /« + i , ..., n, on doit

68 cMM'iTiu; m.

dans les fonimlos prcccdenles rclniiK lie r ilii second membre le

li-rme ' -:-^ — f /*(;)!, <tiiniiic li' iininlic I i'-t;iilil('- (.!).

35. Notes historiques. — L'histoire des formules sommaloircs que nous
venons d'établir est des plus intéressantes, et montre clairement avec quelle
difficulté les idées générales se sont fait jour dans l'Analyse. Nous pu-
blierons ici les données que nous avons pu recueillir sur ce sujet, sans
avoir d'ailleurs la prétention d'être complet.

C'est la formule (VI), page G-2, qui a attiré d'abord l'attention des géo-
mètres. Elle a été donnée en iSj.o par Plana, dans un Alémuiie intitulé :
Sur une nouvelle expression anii/yti(jue des nombres bcrnoutliens,
propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la som-
mation des suites {Memorie délia Accademia di Torino, t. XXV,
p. .îo3-ii8). Comme l'indique le titre de son Mémoire, Plana avait établi
cette formule, aussi remarquable par sa simplicité que par sa i.'cnéra-
lité, en partant de la formule sommatoire d'iiuler, donc par un calcul
purement formel.

Trois ans plus tard, Abel est de son côté arrivé à cette formule très
remarquable, en suivant identiquement la même voie que Plana. Voir la
Note : Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies
(Œuvres complètes d'.ibel, édition S)low-Lie, l. I, p. 1 1-27), où se trouve
aussi (p. ■/-) la fonmili- i\ll) du n° 3i. Dans une deuxième Noie de

l'année iSaj : L'intégrale finie 7 Ç'(a:) exprimée par une intégrale

définie simple (ibid., p. S-î-jg), .\l)el a donné diverses généralisations et
une nouvelle démonstration de la formule (N'I), mais celte démonstration
n'cr't pas plus rigoureuse que la première.

Seule la théorie des fonctions d'une variable complexe pouvait servir île
fondement aux forn)ules qui nous occupent, et, en cfTet, c'est Caiciiy qui,
sans connaître les travaux de Plana et d'Abcl, a donné le premier une
démonstration parfaitement exacte des formules (I) cl (III), dans sou
Mémoire sur les développements des fonctions en séries périodiques, lu
à l'Académie le «7 février 182C {Mémoires de l'Institut, t. NI, p. 1)o'5-()Im),
Mémoire dont nous aurons à nous occuper ultérieurement. La démonstra-
tion de Cauchy, fondée sur la théorie des intégrales singulières, cl qui est,
à un certain point de vue, la plus sin)ple qu'on puisse donner, fournil
immédiatement ces formules sous leur forme générale; mais cependant
Cauchy les a établies uniquement pour le cas où la somme li^uranl au
premier membre se rediill .1 un seul liiiiu-.

Il restait donc encoie une lacune à combler, et c'est ce qu'a fait Sciiaav
dans un travail intitulé : Mémoires sur les intégrales eiilérienncs ci sur
la convergence d'une certaine classe de séries (Mémoires couronnés et
Mémoires des savants élrmigers publiés par l'Académie de ISelgi^ue^
I Wll, 18/18, p. :i-.>.5), lra\;nl <|iii ,1111, ill Men niciilé de ne pas tomber
diM^ l'oubli.

FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES DU CALCII, DES RÉSIDUS. 69

H en est de même du i\Iémoire de Genocciu : SuUa formula somma-
loria di Eulero et sulla teorica dei résidai quadratici i.lnnali di
Scienze matematiche et Jisichc, t. III, 18J2, p. 4t>6-436), qui renferme
des applications importantes dont nous parlerons plus loin, ainsi que
d'un second Mémoire du même auteur : Intorno ad alcune formule
sommatorie (ibid., t.W. i855. p. 70-1 14 ), où sont précisées les conditions
dans lesquelles sont applicables les formules de Caucli)' et Schaar.

Citons aussi deux Mémoires de moindre importance, mais ayant rapport
au même sujet, par Tortolini : Sopra gli integrali à differenze finite
espressi per integrali definiti {Annali di Scienze mat. et fis., t. 1\',
l853), et par Mainardi : Intorno ad una equazione di Poisson (ibid.).

A partir de cette époque, il semble que les formules en question soient
restées à peu près inaperçues des géomètres, jusqu'en 1889, date à laquelle
Kroxecker est revenu sur le sujet dans son Mémoire : Bemerkungen ûber
die Darstellung von Reihen durcit Intégrale {Journal de Crelle, t. 103,
p. 345-354), en prenant pour point de départ les Mémoires d'Abel, et sans
connaître ni celui de Caucliy, ni ceux de Schaar et de Genocchi.

De son côté, M. Petersen a donné une démonstration et diverses appli-
cations de la formule d'Abel, dans ses Vorlesungen ilber Funktionstheorie
(Copenhague, 1898). D'autres applications des formules sommaloires ont
été données par IIermite et par MM. Mellin, Jensen et H. VVeber, dans
des Mémoires que nous citerons ultérieurement.

Ayant de notre côté retrouvé les formules données ci-dessus, nous en
avons développé de nombreuses conséquences dans un Mémoire intitulé :
Quelques applications d'une formule sommatoire générale (Acta
Societatis Scientiarum Fennicœ, t. XXXI, n° 3, 1902), dont un extrait
a été publié dans le Tome XXX'II des Acta Mathematica, et auquel nous
avons beaucoup emprunté dans cet ouvrage.

II. — Quelques applications des formules précédentes.

36. Comme première application, faisons dans la formule (III)
f{z) = log;, d'où il résulte, d'après la seconde des égalités (i2j,

t
q(z, t) = arc tang-.

En prenant »i ^ i , nous trouvons ainsi

dt

log(i .2 «) = / n -h 7 j log« — n -H I — 2 / arc tang <

i / arc tans

t dt

^ " n e2it( _ ,

7" riiAPiTnn iii.

< )n ;i d'iiiilro |)arl. |);ir l;i formule ilr Sllilinp.

(i'> 'og(i ■■>■ n )■:= tn - — ) logrt — rt -I- Idg/,!- -H e(/j).

z( n) loniliiiil MIS /.vm Inr>(|tio n rroil iiidc'fiminonl. l't. comnif le
ilrinici- iri-mi' (II- rr'j;nlilt'' |iri'i-('ilenl<' jniiit de la même |ir(ipriéli'',

iili en «Ic'iliii I

r* dt , . —

{■>.) I — 7. I arc tan;;/-— = logy'^"-

/

Soil, en second lieu. /"(:) = -, d'où q(■:.^^= — — ^> el

)[)li(]uons oncnre la formule (ll[). Ou aura, on faisant londro n

a

\ers i'iidini.

n — eo

lun

l'oiir ni - i. le premier meiiiliie rsl. |iiir di'iniihon. égal à /</
CO/isti/nlr d'Etiler; en la d('>l^n,iiil pur ('.. on aura ilnur

expression due à Poisson ('). D'aulre pari, en ajoniaiil aux deux
niemln'cs do l'oKiilitc ci-dessus la soiumo

■ f "

•X m — I

on on di'-duil la formule, avanlai^cuso pour le calcul do C, :

C = 1 H 1-. . .H ': liPg/H + ■> l ; — -^zr.

■>. m — I -xm ° J^ ni- ■+- 1* e-^' — t

[jos application- cpii pri'ecdeul a\ aient eli' données (le|.i par
IMana el Miel. i\ai\- le- Mé'miiires eili's pai;e (iîS.

'i\~ . l'"aisons maintonani dans nos lormulosy^;) =: e •''', d'où
fii-:,li = r 'ï(ci>.;7. i/i-.li — — t'--"sin.r/.

Ceci osl poi-mis si l'on suppose .r rrrt cl positif, car les condi-
lions do la paj;c ."i~ soni al(U'S véridées <|uols (pic soioul x ol |ï.

(') Mémoires île l'imliliil île France, \niii!c 181 1, seconde l'arlio, p. îj.I.

FOniIlLES SOMMATOIRES TIRÉES DU CALCIL DES RESIDIS. 7I

Appliquons d'abord la formule (V), page 6i , avec m = i ; il vient

//x ' II/"" sinxt
(4) = '< 1-'- / —n;r, "'.

égalité due à Legendre. Eu développant le dernier terme suivant
les puissances de x, et en comparant le résultat avec l'égalité (5),
page 32, on en déduit pour les nombres de Bernoulli l'expression

(3) B/,= 4/c / — — — = — ^: / ?2A-2iog

•Ja ^" ' '■ > Il

dt,

qui, sous une forme dillérente, avait été donnée déjà par Euler.
C'est précisément en partant de cette expression que Plana et Abel
avaient établi leur formule sommatoire.

La formule (II'), page Sg, nous donne, en faisant m = i,
G < a ■< I , et en multipliant les deux membres par e*-^,

-+2/ ^(x,t)sinxtdt — il X(i, /)cosxtdC.

- = 1-2

0 t'O

En remplaçant dans cette égalité a et x respectivement par x
et ;, et en développant ensuite le second membre suivant les puis-
sances ascendantes de z, on en déduit, par comparaison avec l'éga-
lité (9), page 33, pour les polynômes Ov(-^) les expressions (')

if-iiAx) =(-i)t+>4A-y

l■U'l^'(x, t)di (A- = 1,2, ...),

92,,+,(a7) = (-i)*+'(4A--l-2) / f^i'\{x,l)dl (A=0,I,2, ...).

Il est facile de voir que ces expressions représentent des fonc-
tions analytiques holomorphes de x dans la bande comprise entre
l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point x = i .
Comme nous avons démontré les égalités (6) pour o << j; «< i, il

(') Lorsqu'on substitue, dans les formules (G), aux expressions ^'(.r, /) et
\(x,t) leurs développements

^■( x, O = ^''~'''"' C0S2V- jr, \{x, t) = y ç-iiTit sin2v-ar,

1 1

qui se déduisent immédiatement de l'égalité (10), page 58, on retrouve les for
mules (11) et (i3) du n" 18.

71 criMMTni: m.

en résiillf. dajHvs le prinoi|>c ri>iiilaiiii-nlal du |)n)l(iiij;cincnt ana-

lvti(|iic. (juVlIcs sdiil M-rifices poiii- loiit point ilc (■elle bande.

Comme les seconds membres des cfijalilés (6) sonl des fondions
|)ériodif[UCS de X de période i. nous pumous aHirnier d'aulfe
]iarl (piils se conlundent. pour les valeurs réelles de x, a\ec les
ripiiiihiii'; désignée^ plu> li.mi |)ar 02t(:c), âj^+i (x') (t-o/r p. 34).

Passons aux Idrinnlr^ ilii n" \\\ . \\\\ faisant dan~ la loiinide (X)

1

«1:^1, a=-. ninlli|iiianl lis lieiix imiiibres par C" . cl rcmpla-
eanl ./' jiar > iz. un rii iIimI h iI

sec^ = ■'. / : — - al.

r' e'.zt
\^cz = ■>. / — -

Développons le second iminlirc >ui\anl les puissances de z et
comparons le r('>idlal à r('';;alili'' (-), page 3.5 : il \icudra (')

(7) K*=i-'r^

- /2* dt

T,t^p-Til

Pour une valeur (]iielcon(]ue de a comprise entre o cl i . la même
formule (\ ) nous donne, en mulliplianl par c'''",

gHX

- = 1 I \iii,t)rui,xt dt — x I >r,(oi, r)siii.(/<//,

cl la comparaison de celle éi;alilé avec régalité (19), page 3(5, con-
duil aux expressions suivantes des polynômes y^ix) :

(8) I

(A- = o. 1. ^. . . .>.

Les égalités (8) xml valables dans la même bandi- ipie les cga-
lilés (G) et, pour les \alcurs réelles de ./■. leurs seconds membres
se confondent avec les fonctions périodiques yik(^)' %ik+\i-^^'
([('■IImIcs page 3-. l'.llo ini'llciil d'aiilcMis en ('v idcni c ijuc. (Ian>

( ' ) Celle expression csi duc l'i Catalan ( .}fcnwircs de la Snn'ctr des Seieiires
de Liège, série It, l. Xll, p. iicp).

FORMULES SOMMATOIRES TIREES DU CALCIL DES RESIDUS. 7J

l'intervalle o < x < i , le polynôme y.,k{x) garde un signe inva-
riable, à savoir celui de ( — i)*, et que yïk+\{x) n'y admet pas

d'autre zéro que x ^ - ( ' )

■2

38. En terminant ces applications, qui! serait d'ailleurs facile
de multiplier, nous ferons voir comment se déduisent de nos for-
mules générales les propriétés des sommes

"-• pTli

(9) 2à<^ "

v = o

que Gauss a le premier inlroduiles lians l'Vnaljse. Les nombres n
et p sont des entiers positifs sans diviseur commun tlonl iun est
pair et l'autre impair (-).

A cet elFet, reporlons-nous aux résultats établis au n" 31; en

faisant f{z) ^ e " , on aura les deux égalités :

-{z-'-r-tl - — 1
\e "

Celte dernière égalité montre que l'expression

tend uniformément vers zéro pour o^t^/i — £, quelque petit que
soit e, lorscjue t tend vers dzoo, et que, d'autre part, le module de
cette expression reste inférieur ou égal à l'unité pour o£t^/«,
quel que soit l. Il en résulte que, si l'on fait dans l'égalité (i6),
page 63, [>■ = p — i , a = o, (3 = rt, les intégrales prises le long des
côtés horizontaux du contour C s'annuleront lorsque 5 croît indéfi-
niment, de sorte qu'on pourra appliquer la formule (^ H) en posant

(') Ou attribue généralement les formules (6) à Raabe et les formules (8) à
Hcrmile. Mais en fait ces formules se trouvent dans le Mémoire de Cauchy de
l'année iSi4 {Œuvres, série I, t. I, p. 458-46o) et, au dire de Cauchy, elles se
déduisent de divers résultats trouves par Eulcr.

(-) Si n et p sont tous deux impairs, la somme (9) est évidemment égale à :.

r

74 niM'iTiii: III.

V. = /' — I . Coin 1)10 on a (railleurs fj{o, / ) := o el/(o) — /(n) = o,
on Ir-oiivc ainsi pour la soinine (9) Texpression

OÙ l'"v(-) = e " COS2V7:;. Ecrivons

• M «Il * n

D après régalilc (-î), page 4-^^ **ïi ;mr;i. pour v ^ <i. i /> — i ,

cl. il aulif p.ul. cm (iiiicliil facilenienl Ac lincy^alilc

23t(,

.^ , . . t/îT — V/I)

(H» |Fv(t-+-I/)|<(' « OO),

(Uli se vcrilic imiiii'ilialriiirnl. iiiiOii |ii)UiTa ('crirc
/ l"v (x) </■: = / / Fv(7H-jVW<=- je" ' (;e'-vw-+-p «vn»)rf/.

< n *^o * "-0

i'.ii cllil. le il]i'i)n'iiic fiinil.imcnliil de Ciiucliv non-, (loiiuc, eu ilési-
j;iiaiil par //' et o des iioiidires positifs doiil /('> /(,

r" r'' r"' r'^

I Fv(-:) d- = if Fv(h + il) dl -^ 1 Fv(t -+- t'o) d: — i f F^(ii -t- j7) dt,

Cl comme roii a />t — v/) ]> o pour t i^ «, v a vaut l'une (pielconque

des valeurs o. i /i — i . d n' su Ile de rinr'j;alil('' (^i i) (pie. lors-

(pi rpii l.iil liudic il'aliord o cl ( ri-.iiile //' vers I inlini. le- dc\i\ der-
lucis Icniic^ ilii sectJiid membre s e\ aiiouiroul suceo^-iv ciiiciil . de
xiilc (|i]'iiii (ililieiidra lileil r('i;alil('' Minliie.

r.ii ( iiiis((|ii(iii l.i MiiiiiMc de- dcii\ pi(iuiei> lerme> de I ex-
pression (lo) peiil se iMclli'c sous la forme

\ V = I / "

FORMULES SOMMATOIRES TIREES DU CALCII. DES RESIDVS.

(le sorte que l'expression elle-même devient

p'K t

TZi /- / ^L^ ' nui „\ -•,

e

" dl.

Or on a, d'après l'égalité (2), page 44;

f e~ " ' dl= -e * {/— — -e'' l/ — .
0 i V /' ■' V /'

cl nous arrivons donc finalement à cette relation remarquable

2^6" =e'\/-^2à' '' '

V = 0 V = n

qui est due à Schaar ('), et d'où l'on déduit immédiatement, |iour
/) = 2, le résultat de Gauss :

'1—0

n étant un entier positif impair ('-).

III. — La formule sommatoire d'Euler el autres
formules analogues.

39. Les applications qui précèdent ont déjà montré l'utilité des
formules sommatoires établies plus haut, et les Chapitres suivants
en feront encore ressortir l'importance pour le prolongement el
pour l'élude asvmptotiqiie des fonctions. S'il s'agit de calculs numé-

(') Mcni. cour, el autres M é m. publiés par r Académie de Belgique, l.y^Wf
el XXV. Dans le premier des Mémoires cités page 69, Genocchi avait déduit des
formules sommatoires la relation de Schaar et d'autres relations plus générales du
même genre, mais son raisonnement n'est pas rigoureux. Voir aussi un Mémoire
de M. Landseerg : Zur Théorie der Gauss'schen Suminen und der linearen
Transformalionen der Thetafunctioncn {Journal de Crelle, t. 111, iSgS).

(-) C'est Kronecker qui le premier a établi rigoureusement cette formule à
l'aide du calcul des résidus (Journal de Crelle, t. 105, p. 267). Koî'r aussi un
Mémoire de M. H. Weber : Ucber Abel's Summation cndlicher Differcnzen-
reihen { Acta Mat/iema/ica, t. XXVIl).

7G CHAPITRE III.

rli|iics, il esl cependant préfcral)li' de Iraiisfornier ces formules, en
dévcloppanl en séries les inli-^i-ale-; di'linies quelles renferment.
Il est \iMi i|iie les séries qm' 1 nu oliiienl ainsi sont pour la plu-
|)arl diverjjenles. de sorte quelles ne sauraient fournir une apj)roxi-
ination indiWinie. Mais, en revanche, elles jouissent souvent de
cette |(riipri(''lc intéressante, et qui pour le calcul esl préciséinenl la
plii'i iMi|M)rtaiilc, il sa\uir que leurs termes successifs, ainsi «pie
leur reste, commcneenl |>ar déeroître rapideiuenl, d"où il résulte
(pi'on pouna sou\ enl atteindre une grande précision en ni" calcu-
liiiit cpi'uu pclil nombre de termes.

Les séries en question s'obtiennent en développant dans les for-
mules générales les expressions />(■:, l) el g{~, () suivant les puis-
sances ascendantes de /. On a généralement par le tliéorème de
Ta3'lor, en supposant la fonction P{t) (réelle un imaginaire) con-
liiiue aiiiM ipie --es '/ premières di'iivées,

tv--

avec

F(t) = F(o) -+- F'(o) -,- -^. . .+ F'l^-"(o) -4- R;,,

Or on conclul rie-; ('j^alilc'"; (]■->). pnç^c 58, lorsque v c^l pair,

DW/>(T, o) = (- O'Vh-). ^'rq{-; o) = o,

et, |)our V impair,

D'/Xt, o) = o, X^Tli-; ■>) = (-i)^/''(x),

el, par suile, eu applupiaiil aux expressions y3(T, /), <l{~- t) l'éga-
lité ci-dessus, avec ^ = o.k ou ijl = a/»- -|- i , on Irouxe ;

,,{-., t)=/{-^ -/'(-) fj -^...-^r- i)*-'/"*-«'(T)^J'^'^^, +/>,<.(-■ /i.

p->i{~. /) el i/2/i+i{~. l) désignant res|ieeii\euieiit les expressions

FORMULES SOMMATOIRES TIREES Dl' CALCUL DES RESIDUS. 77

et

En suLstiluant inainlenanl à />(•:, /) et ^(", l) les dcveloppe-
menls qu'on vient d'écrire, on trouve successivement, d'après
l'égalité (5), page 71,

d'après l'égalité (i3), page 5g, et les égalités (6), page 71,

^ ce

formule qui, [)our t = v H — > en vertu des égalités (i 4)) page Sg,
et (17), page 3(}, se réduit à la suivante :

r-q{-.,t)dt _ b; b^/"(t)

■ ' '* -u- (2A--1;! ■ V„ ^^"'-t-i '

d'après les égalités (18), page dd), et (8), page 72,

Q.(t,O^/< = X0(^)/(^)-X.(^)'^+----Z^/.-|(^),^;,._,^,
-*-'^ / [/'2/.-(-, ',)X,(T,0 + '?2i+l(T:, t)Wi{t,t}]dt,

et enfin, d'après l'égalité (7), page 72,

+ (_,u-.^! ■^!!!±il)U2 r'i^Mlliilrf,

40. En substituant les développements ci-dessus dans les for-
mules établies dans la première section de ce Chapitre, on en déduit

CMAPITRK III.

diverses foiniules sommaloires connues. Ainsi les formules (111 ),
nage (ii, el ( I'), |>a{j;e 5(), tliniiicnl ix'S[K'cli\cincnl :

in
^ A' )='-\A'n) +/( « ]J + /'" '/' -■ > 'I--
m

j ^y(_.)v-.JLv/-"'"'-/'7-'^"')^R;

( Xrf 2 V (-2 V — I ) !

V = l

• a

■^^ v (v-n! "*" '

(ï)

K.

(V-IJ

et, en faisanl 1.= m — -. |i ;= « + - [voir p. 36),

f ^l^-')'ï7 ûT^TH

I
La foniuile ^^IN.'), paye tj(), nous donne :

el en |i.irlii iihrr. |iour a ;= /;< — - > 'j ^z n -i- - t

> V, , .V '•'■' (-""/'""(» + î)-t-(-0"'/'"'("'-i) ^ ,,

l II

l.nlln. eu r,ii>:inl li'iiilri' y. \rv> m cl 'i \rr^ // il, m-- ( j . mj liicii

l'ij iilili-.inl l.i liiniiiili' I \l ), pii;;e G^, on Iniinr

(^>) \

FORMULES SOMMATOiniiS TinÉES DU CALCUL DliS RÉSIDUS. 79

D'autres formules encore pourraient se déduire de l'égalité (20),
page 6-, et des égalités (16) et (VII), page 63 (').

L'égalité (i) constitue la célèbre formule sommatoire découverte
par Eiiler et Mac-Lauriu (-); la formule (6) a été donnée par
Boole, la formule (2) par Sonin et Ilermite (^), la formule (4) par
Hermile {*).

Les résultats du n" 39 fournissent immédiatement l'expression
exacte du reste R dans les formules précédentes, et permettent
facilement d'en calculer une limite supérieure.

Supposons, par exemple, qu'on ait, pour toute valeur réelle

Mjji,(t) étant une quantité positive qui dépendra, en général, de t
et de [x; il en résulte

l'72A + l(t, 01 < M2A+l('j

En se servant des égalités (5), page 71, et (7), page 72, un en
déduit pour le reste de la formule d'Eulcr (1) l'inégalité

et, pour le reste de la formule (5),

Dans le cas où la fonction /(s) admet des points singuliers à
l'intérieur de la bande a <; x <; [3, les formules ci-dessus doivent
être modifiées comme il a été dit aux n'" 32 et 34.

(' ) La formule qui se déduit de (VIlj en y développant le dernier terme en
série, a été rennarquée par Kronecker ( Sitzungsberichte der Akademie zu Berlin,
i885, p. 862).

C) Des applications de la formule (III) à la formule d'Euler ont été indiquées
successivement par Schaar, Genocchi et Petersen dans leurs travaux cités au n° 35.
Voir aussi p. 17-23 de notre Mémoire.

(') Journal de Crelle, t. 116, p. i33-i5G.

(* ) Ibid., p. i^ô.

Ho CIIAPITBE III.

il. Les expressions trouvées ci-dessus pour le reste de la for-
mule d'iîulcr et des roriiiules analogues sont différentes de celles
(ju'on rencontre dans les théories élémentaires de ces formules.
Mais nous allons \oir (pic ces dernières expressions se rattachent
encore tout iialiirellcmenl à nos résultats généraux.

llcprcnons, à ccl ell'el, la formule (i(ii. paf;i' 6.!, eu v faisan!
croître inililliinui'iil le nonilii'e a. Les dcuv (lcriiiii> liTiiio Icii-
liioul é\i(l('iiiment vei's zéro, de sorte rpi Du dlilicnl

" '1 • 'j

On a, d'ailleurs, eu iiiii'i;rMiil pai- parlit'>.

2 / _/(- ) C0S2v7r: f/t

" ".

„„ sinïvTTÛ . sin9.v7:a /"' ., siii2vr-: ,

cl. en se servani de I égaillé \\ \)^ p^iye .i.>, ou pouri-a donc écrire
rccHiaiiiiii (-) sous la forme

Cependaul <-cllc dci-uicrc (■(incluvuiu dcmaiidc (|ucli]nc précau-
tion, car nous y avons suppose lacilcmciil (pic lexpression

('J>

s '5 .

/ /('■)'rti-)d--^ f .r(->y ._ d-.

■s aunuii' poui' />• := ac, ci' (pu u ol nullciiiciil cvidciil. piÉi--(|iic la

série qui définit â| (t) ne converge pas iiiiiforiiiciniiii cuire le>

limites d'intégration. Notre conclusion n'en est pas moins exacic,

car il résiillc des rciuari|iics faites pag(> .^") (pie le module de l.i

suminc

/.
-, V sinavir:

1
reste inlihiciir à une (piantitc lliiic M pour toiilc \.dciir de /■ et

FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES DU CALCIL DES RESIDUS. Si

pour loul pointillé l'intervalle a^T^^, et d'autre part que, ayant
oxrlu de cet intervalle, de part et d'autre de chacun des points
///, /» -f- 1 , ..., n, un segment de longueur î aussi petite ((u'on
xoudra, (in pourra choisir l'entier A" assez grand pour que, dans le
reste de l'intervalle, la somme en question soit numéritpiement
inférieure à tout nombre ri fixé d'a\ancc. Dans ces conditions, la
valeur absolue de l'expression (g) sera donc inférieure au produit
de rj([i — a) + 2îM(/? — /« + i ) par le maximum de iy'(~)|
•dans rinter\alle t.'^-z'^P, d'où l'on conclut que cette expression
s'annule eircctivement pour /, = ce.

A laidi^ des relations [uoir l'égalité (^i(\) page .!()]

?.; + ,(-■) = ('v-1- l)fv(-:) (•/ = i, i. . ..),
on trouve successivemeni, en intégrant par parties,

f f,(T|/'C:j^T=-i[ô,(,3)/'(.3,-92(a)/'(a)|- r »,,T-^-!rf-,

r'^ /""(-» 1 r^' f"'i-\

et ainsi de suile; de l'égalité (8) on peut donc tirer la Miivanlc :

C'est la formule (2), avec une nouvelle expression du reste.

Faisons maintenant tendre a vers m et ,3 vers n. Les expres-
sions ^,(,2) etâ,(,3) tendront respectivement vers - et vers — ' ,
de sorte que l'égalité (8) devient

n

m ■ '" ^ •- -H

et d"autrepart, en vertu des propriétés des fonctions âv(':) démon-
trées page 3(i, l'égalité (10) se réduira à la formule "d'Euler ;>yrr
L.

8^ (^IIMMTBK m.

celle nouvelle expression du reslc, due à l'oisson :
En inlégraul par |)arlies, on ohtuni (raburcl

j>iii3. Cil ubser\aiil 4ue 32a+i(",) = , . '

expression due à JacoLi.

Pour a = /» 7 3 = « -1 — > 1 éiralité ( lo i nous donne la lui-

mule (3) avec le resle

1

m

1

Ces Iransfurinaliuus >"a|>|)liqnenl ôj^alemenl à la formule (20),
pai^e G". Vinsi 1 on en drilnil. en laisanl rroîlrc v. vers I infini,

" 00 Û

(l3) y(-i;v/(^)= -y / /(-)C0s(2v-M)rTrfT,

m 11

|)uis, en inlégraul p.ir parlifs cl ulilisanl régalilc (n i), page 3^,

(•<; y(->r'/r') = x»(P)/(?)-7o(«)/(»)- r y.or- )/'(-> d--

l;.^i liaiibluriiiauL le dernier Icriiic d<' celle i;j;;alilé à 1 aide iIcn
rclalions (22), page 3-, on reli'ouvc la formule (4) a\cc

expression duc a llcinulc. lui faoanl lendrc a \cr> //*. '"i \crs /(

FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES DU CALCUL DES RÉSIDUS. 83

[voir p. 3-), on en déduit la formule (6) de Boole avec le reste

donné par M. Darboux ('). D'autre part, en faisant a = ni ,

[j = n -+- -> on retrouNe la formule (5) avec une nouvelle expres-
sion du reste.

Le raisonnement qui nous a fourni les égalités (8) et (i4) sup-
pose essentiellement que la fonction f{z) est holomorphe sur le
segment a^x^ p de l'axe réel. Cette condition est d'ailleurs suffi-
sante, car, en la supposant vérifiée, on pourra prendre la hauteur
du rectangle C, qui nous a ser\i de contour d'intégration, assez
petite pour quey(5) soit holomorphe à l'intérieur et sur le contour
de ce rectangle, d'où il résulte que les égalités (i6), page 63,
et (20), page 67, et par conséquent aussi les égalités (8) et (i4))
seront valables.

Mais, une fois établies les égalités (8) et (i4)i on constate
immédiatement i[u'elles subsistent dès que /{•:) et ,/'(t) sont
finis et continus pour a^T^[3 (-). En effet, on trouve en inté-
grant {voir page 35) :

f ^ f. (')/'(^)«'-=:^ [/(■')+/(•/ + 1 1] - r'"^/(x)c/x.

Faisons ici successivement w = m, m -{- i . . . ., n — i et ajoutons
les résultats : nous aurons l'égalité (i i), et les égalités (8) et (i4) se
\érifient de la même manière.

Or nous venons de voir que les formules sommatoires (i) à (6),
avec les expressions du reste R données ci-dessus, se déduisent
des égalités (8) et (i4) par de simples intégrations. Nous pou\ons
donc affirmer que chacune des formules en question est valable
dès que la fonction /{~) et ses déri\ées, jusqu'à l'ordre le plus
élevé qui y figure, sont finies et continues pour a^T^ p.

(') Sur les de\'eloppemenCs en série des fonctions d'une seule variable
(Journal de Malhémaliques, 3' série, l. II, 1876).

(') Il en résulte, d'après le raisonnement de la page 80, que les formules (7)
el (i3) subsistent également sous la condition indiquée.

Sj illM'ITIIL III.

i"!. \:n l.iisjiil duns l.i lnriimli- (-) /// =z « = o. a= — x.
3=1 — .r, _/'(3) = F(; + ^- 1, cl l'ii »(i|i|)os;iiii il^iilliui-s o •<x-<i .
un en ili'iliiit

m".) I'i.7)= / !•"(■:></■:-• >^ / l'( t) cos^.vrl t — .»■ ) </■:.

C'est A" ilih'cloppemeiit tic l-dinirr (pii. d ,i|ii'r> hi ri-niar(|iii-
l'iiile en bas de la jiage S.'{, se U'iiinr ;iiii>i cl.ilili en siip|^osant F( ./• i
cl V'ix') finis cl conliiin^ |i(iiir- o'^x'^i (').

lndi(]iions encore la mcllmile |)ai' laquelle (^/aiicliv a l'iahli ce
dé\elo|)|)enienl dans son Mc'iiuurc de i .S:i() (^- 1, cilt- |>ai;e 68, cl <|iii.
dans bien des cas, |i(inici ilCn cilciilcr les coenieienUs avec une
f;riinili' l.icllih'. Nmis ii<lin('llii>ii~ le-, li vpollicses siiixanles :

i" V{z) est une jonction analytique de la varia lile z^z^-it
qui est holomorplie dans la bande o£t^ i :

■?." L'rgalitr lim e"-"l ' l K(t -f- /7) = o a lieu iiniform<'niini

jxiitr o^T^ < •

Ceci ])<>si'', ri'iH't'iKiiis Lf Iniiniilc ' S l. |>ai;i' .)(i. en i liiii>iNsaiil le
conloiir i\ ('On une il ;l lii' di I . cl iii l.ii~;iiil le-, iiii''iiicn smIi^I iliiImn-
iHie ci-dessus dans la linninlc (^), cl, en milii', Ir^ Mibslilii-
lions(i.")') de la page ()',. Lui Ni|ii"on fail Iciidn' o \ci~ l'inlini, lc>
inlcgralcs prises suivani les ci'ili's Ihiii/iiiiI.uix iIm rniilcnii- C'^ s ('•Na-
in m in ml , cil \ cri II lie 1,1 eiiiid 1 1 KPii > ". I ) outre p.irl. les tenues (>-''"'•'
cl (;--■'"'■" (jui (igiircnt dans les expressions ( i .") ) donnermil nais-
sance à (piaire intégrales, ilonl la somme se réduit à la pallie

(') Lorsque K(.r) prùseiiti" une iliriCoiUinullo au poiiil .r. Ir |iiiiiiicr mcnilin'

de IV-£;ililé (lf)) ser.T rom|il;i<-.- par lim - [F(x — î) + K( J- -i- s ) J, co i|ii'.iii

i - ti ■'

ciincliit encore ruciloiiient ilii calcul inill(|iir à la lin du n" II.

L'i'galilé (i3 ) conduit à une autre forme du dcveloppcincnt de l'ouricr,

(') Le raisonnement de Cauchy dans ce Mémoire 1res condensa est .issr/.

embrouillé en ce qui concerne la convergence du développement de l"onricr, cl

les rriliques <|ne lui a ailrrssées Diriclilcl dans son célèbre Mémoire : Sur lu

roin'erf^riicc ili's .irries ln\:;<)nninv/ri</iirs </iii scn'ciil « représenter une /oiirliini

arbitraire entre ries liniitex rionneex {.Iniirnal île Crelle, t, ), i!*'>(i) sont, sau»

loniredit. parfailciiienl justes. Cependant le Mémoire de Caucliy renferme loii»

li-s cléinciilv d'une dénionslralinn rAaclc, (elle que nous la présentons ici. et il

e«l cuiieiiv i|ip'- liiiicliiil if -e» -••il pa- apriçu.

FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES m i:VI.rrL DES-RESIDUS. 83

l'ûelle de l'expression

7.i f e -^-yrJU-ii) f F ( (7 ) !•' ( I + it ) | dt,

cm Lien, en ])osanL F(- dz it ) = />{-, l )± ''/(", t ), et
( Av= if c-^-'-^'\rf(u/)-'/{o,t)]dt,

i Bv = -2 / e--^-'~'[/>(t,/)—p(o,t)\dt,

\ *- 0

II

Av C0S2v:ra- -I- Bv sin>.vr.r.

lùi summe, on Irouvera donc

H-
F(.r ) = A(, -^ \^( Av C0S2V-.7- -i- liy siiiavTia?) + Rjj.,
1

où Ao= / F(t) d-z, et où le leinic-iesle Rj^ est égal à hi partie
■ ('•elle de l'expression

2 / / -^-r- — ^^ I F ( /M - lu 1 -^ it)] dt.

• Il

( )i- Hu. s'anniLlc évidennnent pour ijt = 30, de sorte qu'on obtient (' )

(171 F(a;) = A„-i-^(AvCos2vTTx 4- Hv siiiavr^) (o<.7-<i)-
1

Soit comme premier exemple F(; ) ^ log (sinTis). En tenant
compte de la note ci-dessous, on s'assure immédiatement que les
i('sultats précédents sont applicables. Or on a dans l'hypothèse
a<tuelle F(i + it) — F(j7)= — -/' (voi/- p. 49), et par suite

p{i,t)—p(.o,t) = o, (j(i,t) — q(o,t) = — r..

Il en résulte, d'après (16), Av=^-> Bv=o, et comme l'on a

(') Ces résultats restent encore valables si la fonction F(s), tout en vérifiant
les autres conditions énoncées ci-dessus, devient inlinie pour s = o ou pour ; = 1
d'un ordre inférieur à un, ce qu'on démontre facilement par un raisonnemetil
analogue ù celui du n" -9.

8G CHAPITRE III. — KOBMII.ES SOMUATOlBEï TIRÉES DU CAI.Cll, DES RÉSIDl'S.

ilailleiirs, d'après la page 5o, Aq^ — log2, l'égalilé (17) devient

oc

(18) log(sinrx) = — loga— ^

I

Faisons en second lieu F{s) = logr(3), hypothèse dans laquelle
les résultais |)réc(''dents seront encore applicables, ainsi qu'il résulte
des propriétés de r(;) déinonti't'es au (".liapitre IV.

L'égalité r(i + ;) = ; Ti ;) non-; donne

F(n- j'O — F((7) = logtV = l«'g/ — ^,
d'où

P(',')—P(o,t) = \ogt, g(i,/) — <7(o,/)= ^'.

et, |)ar suite,

La valeur de lîy s'ohiieni en dilTérentiaiil ri'j;alil('

]iar rapport à £, ce qui donne

/ e-Jvî"/£l,,g/(/< = r'(i-4-e)(2v7:)-<'+E'— r(i-(-e)(iVî:)-('+E'log(-2v-),
• 0

il iri l.ii>,uil ensuite tendre s vers zéro. Comme un a Tn^^i,
[''(l)^ — C, on tiouve ainsi

G + los(jv7:)
Ov ^ •

Nous montrerons d'ailleurs |)lus loin (p. f)o) que .\b= log^/27r,
cl, en tenant eoiuple du ri'sultal (iH) ci-dessus et de l'éf^alilé {li),
page 35, nous aurons ruialriiicni \c div rlii|i|icnirui di'i .1 K uni mer :

logr(a-) = log/âî: — (G-(-l<'g2:T)(.r — -j

1 , . . , I V7 '"S"' •

loc(a sin Kx) H — > — ^^sinivirr.

a ° n ^^ V

CHAPITRE IV.

LES FONCTIONS r(.z:), Z{s), Z,(s, iv).

I. — Expressions dùerses de logT(x) et de ses dérù'ées
sous forme d'intégrales définies.

43. Pour déduire ces expressions des formules générales établies
;iu Chapitre précédent, nous allons nous servir de l'égalité

0

Nous devons donc substituer dans nos formules

(2) /(-) = 7 ' ,'

(\

l'où il résulte, d'après les égalités (12), page 58,

, , {r^-zY—V^ i{x-\-i)t

Admettons que la partie réelle de la variable x est positi<.e.
Les trois dernières conditions énoncées à la page 5^ seront alors
vérifiées dans le demi-plan t^o, de sorte qu'on pourra appliquer
la formule (H^), page 61, en y faisant m = o. On trouve ainsi

dt

puis, en intégrant et en désignant par K la constante d'intégration,

D^logT(a) = K+log.r ^ — a / .. ^ ., ^^ — '

•ix .L r-+t^ e-"'— i

.'0 X

88 ' iivpiTiii: n .

cl. \y.\V mil' ili iiMi'inr llllt';;r;itliiii.

Ci) logr(3-) = K'-;- Kj-h (■'■ — -) logx— .r-,^ J(a),

K' Llt''>ignaiil une iiuiixcllc cinishintr cl JiVH'exin'cssioii

r' t (Il

(4) .l,.,i=.. / ■iiclang- —

- X r-T^' — I

(pidn |uiil ('(riic ciudi-c. en iiil(''j;ranl |>ar jiarlics.

Les valeurs des conslaiii(> K cl K' s'oblieuiiciil iiiiniédialenienl
en rapprochanl (3) de l'êgalilé (i) de la paj^e 70. Mais, si l'on ne
\cul passe scixii- de celte dernicre l'jjaiilc, on ari'ivcra encure laci-
loiucnt à délerniincr K. el K' en s'appuvant sur 1er. |)rci|)rii'lc'> liicn
connues de la fonction r(.r) qui s'ex|iriincnl |kii !< - e(|n,iliiin-.

(à) J\.r -r- 1; = Xr(./- I. l'i .(■ i l'i 1 — .(• I = -: — - — •

En elTct. ^i I un iclrandie l'cj^alité {.) 1 de celle (|u"(in en déduit
en eluinj;canl ./ en ./ - 1. un liinixc. en \ei-ln de la preniiérc pru-
|iiicti'.

(K — 11-4- (r-f- - ) logf I — - ) -h J^T^- 1 1 — .l(.»-) = «1.

Or, li>i>(Uie .;■ eroil inili'liniinrni . Ir- deiiv il(iiiici> leiincs s c\ a-
nouiront, tandi- ipii' le ^l'idinl lernic' lendi^i \ei-s 1. Donc K ; u.

I )"aprés la ^eeunile |ni ipru'-li'. i>\\ ,1 n 1,1, puu r ,r = h '"•

r(i-.)f(l-.,)

d »)ù ii'snlle I i'-i;alili'

l'arlic nelle de logl'/ - -+- iu\ = log/zT: — ^ -t- t( «) ( ' ).

iliinl SCSI déjà >ei\ I Slii'll p'. pciui nue ipn'stinn aii.diij;uc 1-1

(') Pour la noUitiiin £(«), x-oir la noie Ae lu pauf .'(<).

(') Sur le dcvcliip/irnirnt tir U>gr(n) (Journal tir l.iouvillr. 1 \, iSs,,

LES FONCTIONS Tf^), Ç(ï), ?(*, "')• 89

Faisons d'aiUre pari ./ ;= - + '" dans l'égalité (3). Un calcul
élémentaire donne

l'a nie réelle de ( x 1 io^x = — ii arc laiiy ■>. « = ■. h î(jn.

■ \ ij ■ - -il

et comme d'ailleurs, d'après l'égalih' (^4')^ i{-+iii\ s'annule
jiour II ^ X ('), on aura

Partie réelle de Io^t/ ^ -i- iii) = K' — — -+- z{ii)-

La comparaison de eelle expression u\ec la précédente donne

k' = logVâ^.
et, par suite, on aura en définitive (-)

(0) logr(j-)= liiyv^'^-"-*- (3-— M loga- — .r-t- J(.r),

(7) D^\ogV(x) = lo'^u- - -^^ y(x).

On peut écrire (6 ) sous la forme asymptotique
(8> loj;r(.r) = logV'^ + i-f— M logi- — .r + s(.ri.

et. en remplaçant x par ./• -f- ;, on en déduit aisémeni
(■()) logr(ï--t-0 = los\^â^-^ (^--i-^— - ) log^ — .r- + :(a"j.

( ' j En eU'el, ou a

pour toute valeur / et, d'autre part,

. .. ,1 "' . ""'

\x--ht-\y-— pour t-<^—,

d'où l'on déduit aisément la proposition énoncée.

(') La formule (7) est due à Poisson {Mémoires de l'Institul, Année iSn,
seconde Partie, p. i>.i). — Voir aussi Legendre, Exercices de Calcul intégral,
5' Partie, p. 190. C'est Sohaar qui a le premier appliqué la formule (IV) à
l'étude de la fonction T{x), dans le Mémoire cité à la page 6S.

go iiui'iTiii: IV.

A l'aide de (8) nous allons calciilfr V iiUrgride de Raahc

.1' + 1

' iogrrx)</x.
If

F.n inli'^r:ml \v vpconil inrini)rr do rclte égalité (8), il vient

\\(v) = \o^^iT. -r- V loge — V -T- ^{^•).

Mais, d autre part, mi a

U'(i) = logr(m- 1) — logrCv) = logi',

d où il i('Siillr. (Il int('j;r.inl cl di'sii;nanl par K une constante,

R ((•) = K -!- l' loge — r.

La comparaison de ces expressions donne K:=logy^2Tr, î(r)s:o.
et, par suite.

/■

\o%T(^x)dx = log/iTT: + i' logr — c.

Pour (■ = o, celle expression se réduit à logy/2T: (c/. p. 86).

•ii. l'our étaldir l'égalité {û). nous avons dû supposer la partie
réelle de la varia!)le x positive, et, en cITet, il est aisé de voir que
l'axe imaginaire constitue une coupure pour l'intégrale J(j-), de
sorte que celle-ci représente des fonctions analvliqucs distinctes à
droite cl à gauche de cet axe ('). l'our uiii-ux lixcr, nous convien-
drons de désignei- ces Auietions respeeti\ eiiient par .l^i ./■ i et .L i ./" I.

(') Cf. deux Moinoircs de Ilerniilc inscn's dans les Tomes 91 cl 92 du Journal
de Crel/e. La notion de coupure ctail d'ailleurs familière à Caucliy, qui on a\ail
rcnconirè des exemples dés ses premières recherclies sur les intè^iralis dt-linies.
Voir, par exemple, Œuvres, série II, l. VI, iSjO, p. 371, où Caucliy ilémonlre que
l'intégrale

1 — I e-'C

r

est égale à tir/(.v)ou à o, suivant (|ue i*|<i ou |j|>i. <ln trouve des
réflexions générales relatives à ce sujet dans le Mémoire sur les fondions
ronliniies (ŒuKies. série 1, t. Mil, iH'|,'l> !'• i'|â-il>o) et dans le Mémoire sur
diverses propriétés rrmarifUdIi/es et très ijencralcs des fonctions continues
(Ibid , l. IX, i»\:,, p. 3j-i3).

LES FONCTIONS T(3r), Ç(s), t(s, ir). gl

Cherchons la différence des valeurs que prennent ces deux fonc-
tions en un point x' situé sur l'axe imaginaire positif. L'expression

l uC / I

<f(t,x)= -— — - loK I r

sur laquelle porte l'intégrale J(x), admet les points t=±ix
comme pùles du premier ordre. Lorsque la différence x — x'tend
vers zéro, sa partie réelle restant positive, le pôle t^ — ix viendra,
du côté inférieur de l'axe réel, se confondre avec le point — ix' de
cet axe, de sorte que l'intégrale i(x) n'aura plus de sens. ^lais,
pour remédier à cet inconvénient, il suffit de déformer le chemin
d'intégration dans J(^) de manière à éviter le |3oint singulier en
question; par exemple, en remplaçant un petit segment oc de l'axe
réel, renfermant le point — ix', par un demi-cercle ab, c tournant
la convexité vers le haut, comme l'indique la figure ci-dessous. La

Fig. 3.

œ\ -IJC' .c (oo)

valeur que prend la fonction J+(j?) au point x' sera alors repré-
sentée par l'intégrale f o(t, x') dt prise suivant le chemin oab^cx)

et, par un raisonnement analogue, on montre que la valeur J_(.r')
est égale à cette même intégrale étendue au chemin symé-
trique oabiCœ. Donc la différence J+(^') — J-(^') s'exprime par

l'intégrale / f(t, x') dt prise le long du contour fermé ab,cb-2Ci,

intégrale qui estégale au produit de — 2 -/par le résidu de o(/, x')
relatif au pôle t^^ ix', c'est-à-dire à — log(i — e^™-'').
On aura donc, pour tout point de l'axe imaginaire positif,

i+{x) = }-{x) — Ioi;( 1 — e'-^'-'),

et il en résulte, d'après le principe établi au n" 9, (pie l'expression
J(x) — log(i — e-'^'-^) fournit le prolongement analytique de la
fonction 3+{x) au delà de cette droite. On démontre de même que
le prolongement de J+(^) au delà de la partie négati\e de l'axe inia-

92 < Il vi'iTiu: IV.

j;inaire csl donne |)iir l'expression J(x) — log( i — e""''-') el, en
lin de comj)le. nous arrivons donc à celle conclusion que, danx le
cas où la partie réelle de la variable x est iiégali^-e, la for-
mule (6) doit l'Ire reni/ilaere par la siiiia/ite :

Oo) iogr(x) = logv/-2- -+- Lr — -j lo^x — T-i-i(x) — logd — e-""-'),

oà l'on doit c/ioisir, dans le <lernier terme, le signe -4- ou le
signe — . suivant que le point .r se trouve au-dessus ou au-
dessous de l'axe réel ( ' ">.

Mais il exisle uin' iiiiiic iiK-iiiode beaucoup plus direcle pour
i-llcctuer le prolonyeinnil de lu fonclion J^.(x). En cfl'cl, il suffil
d'appii(|iior :'i rinléf;ialc Mx\ le procéih' liien connu tpii consislc
à faire loiirner diiii angle convenable la (Inutc (pii serl de chemin
dinléyration (-), procédé doal non.-, aurons encore à faire un
usage élendu au dernier (-lia|iilre de cel ouvrage.

désignons |)ar J^(,/) riiiM'gralc / o[t.x)dt, prise de oà x le

long du rayon J),i; (pil iDniie l'angle i avec l'axe réel posilil. ri

>iipposons d'ailleurs — -•<'i'<--' l.i>rs(jiic le point / décrit le

r.iMiu \).i,. les deux xiiK points Mugiiliers zh il de I expression
■^\t,x), considérée comme fonction de ar, resleront sur la droiti
perpendiculaire à D.i, el passant jtar l'origine. Dans eliaeun des
deini-|)laiis situi's d<' |iaii et d'autie <!<' celle droite, Jj,(^x^ repré-
scnlera cvideimuenl iiiii> IoikIkpii loiitiiuie de .i' admellant une
tlérivée conlintie, donc une fonclion analvll«pie holoinorplie. Nous
enlendrons désormais ^>ar J,!,(.r') celle de ces fonctions (jui esl
définie dans le demi-plan renfermant l'axe réel positif, de .sorle
que, si l'on pose ^^/V'', l'angle 'j restera ((iinpil^ eiilre li ■■- liiiiite>

(II) • ,1, _ !; < i)< ,i 4- !:.

Cela |)osé. je dis cpie .l^^.r) iloiilie le prolongement analy-
tique de J+l,.''j diin>! le tlomaine^i i). H Millil de faire voii- ijue les

(' ) On suppose l'urgiiiiiciJl ilr l.i N.iil.ilili- ,r r pii> cniri' l<> liiiiilo — r cl r.

(') Il semble que M. Mclliii <i>il le pioiiiii.T ipii ail appliqué celle idée à l'in-
légralc J ( JT ) ( Acia SocivUilis Sriciiliariim l'iiiiiiav. l. \X\l, n" ',', i<)i>j, p. ^h).

LES FONCTIONS T(j[:), ^(aI, ^(S, «'). gj

deux fonctions prennent les mêmes valeurs sur Taxe réel positif.
A cet effet, je trace de l'origine comme rentre deux arcs de cercles,
l'un al) de rayon s, l'autre \B de rayon R, et tous les deux compris
entre l'axe réel positif et le rayon D,i, comme lindifjue la figure 4-
La variable x ayant une valeur positive rpielconque, l'inté-
grale I zi(t, .v) cf/, étendue au contour <lu ipiadrilatère mixli-

ligne rtABZ>rt, se r(''daira évidemment à zéro puisque 'f{t,x) est

liolomorplie dans tout ce domaine, quels (pie soient d'adieurs £ ctlî.

Je fais maintenant tendre s vers zrro et R vers l'infini. Le pro-

duit tv(t,x) tendant uniformément vers zéro sur chacun des
arcs ab el AR, les intégrales relatives à ces arcs s'évanouiront à la

limite. Donc l'intégrale j oit, x) dt, prise le long de l'axe réel

|)ositif, aura la même valeur que si fou prend pour chemin d'int('-
gration le rayon D^, c'est-à-dire (iiToii iiura ,l_^( „r ) ;= J^(^) pour
toute valeur positive de x. < . q. f. d.

-io. Après cette digression, qui nous a IVmrul l'occasion de rap-
peler deux méthodes générales d'un frétpient usage dans la théorie
des fonctions, nous reviendrons à l'expression (i) et nous lui
appliquerons la formule (R') de la page 09, en y faisant m =0,
a ^ — Ç (o < ç < ')• Nous trouvons ainsi, en remplaçant encore x
par j? -1- ç, et en supposant la partie réelle de la variable x positive.

l)(/C.

En intégrant, on en déduit

D,iogr(,j7 + |) = iog^- f -^\(i/)dt- f -2L^w(i^ (,,/,_

En ellel, la constante d'intégration est nulle j car le second

<)i CHAPITRE IV.

iiieiiiljie peiil s\'-crirc Iw^x + z{x), el l'expression asvinploliquf
tlii premier nieiiibre, d'après (7), est précisémenl de celle forme.
Avant d'efl'ecluer la seconde inlcgralion, nous allons transformer
les intégrales eu nous servanl des relations [')

(12) T(t, 0 = D,m'(t, /i, X(t,/> = D,X(T. /),

OÙ

V(-c, 0 = 73log(i — te-'^-' COilT.-. -+-£-""),
•i -

\(t, /) = arc lang ( ) •

l'^n intéjrianl par parties <l eu observant «pie

V(t,oo) = o, \(t,oc) = o, X(x,o)= ^(t— ^j,

ou lrou\t' que Dj-la<;r(x -!- ?) j)eut se mellre sous la forme

ElTecluaut unt^ iKiincllf iul('\:;iali(>u, nu auia uiaiulfuaut

(li) \o'^r{x-i-i)= los/I^-i- (.r-r-';- ^~)log.r-x-*-J(x,e),
avec

(14) J(.r,0= f -^.Ml') ci'- f'-^.'^-il ',,/,.
«-'0 •'"'^ '" -0

l.,i NaliMir loi;\ :>. - dv la rnusUuilL' diutcyraliou > ulilioul par
«iiMuiaraison a\cc la lonuule asjniplotlque (q), en observant
(|ue }(x,'z) s'annule pour .r = ». L'expression (i-i) est due à
M. Landsber}^, qui l'a lrou\(''e par une aulre voie {'■').

(') On ol>lii-nt inimédiatcmcnl ces relations en ubscrvanl que le ijuotienl (10)
lie la page jS csl hi dciiviie <le l'cxprossiDn — -^^ log («'•'•— 1), laquelle, en faisant

z = "C -i- it, peut se nicttiT sous l.i foniu- /[ '1"( t, / ) h- r \ ( t, < ) 1-

(') .Si//' iih iioiiyraii tlci-elo/i/ifinciil île la /onction gamma (Mtm. cour, cl
autres Mém. publics par l'.lcailcmie ite Uclgii/uc, t. LV, 181)7).

LES FONCTIONS r(a"), t(s), Z,(s, IV J. g5

46. Appliquons maintenantla formule (8), page 80, avec m = o,
='■ = —? (o < ; < 1), remplaçons x par x -\-l el faisons tendre n

vers linfini. En observant fpie ô, ( — ?)= ^j on trouve

I

(.5) D,.,ogr(..., = l--^_./^^3^1|i^,

puis, en intégrant et déterminant la constante comme plus haut,

I

(16)

Je dis que le dernier terme est la dérivée de l'expression

(■7)

■/:

Oi(x)dz

On le vérifie immédiatement, en admettant que cette expression
ait un sens. Or il en est bien ainsi, car l'égalité es (t)^ t — ■
qui a lieu pour v << t < v + 1 [voir p. 35), nous donne

I

— I

.v + l

et le développement du second membre suivant les puissances
descendantes de a; + v commence par un terme en (x + v)~-. On
en conclut encore que l'expression (17) s'annule poura; = oo.

On trouve dès lors, en intégrant l'égalité (16) et en tenant compte
de la formule asymptotique (y),

(19) logr(.r-t- t)= logy/ï^H- (x + ï— ijlogx — X— / ° \' ■

et, en se reportant à l'égalité (i3) ci-dessus, on en conclut que
l'intégrale (17) fournit une nouvelle expression de J(,r, ?).

Il résulte des remarques faites page 83 que l'égalité (i5) a lieu
pour toute valeur x telle que la fonction (2) et sa dérivée pre-
mière, après qu'on y aura remplacé x par x + ç, soient finies et
continues pour les valeurs réelles de ; supérieures ou égales à — ;.
Donc cette égalité est vérifiée dans tout le plan, cvcepté l'axe réel

ij6 I nM'iriiR IV.

né};alir. et. il'iTprès le raisoniienniii i|mi pn'crilc. il i>n spra tlo nu'iin'

i\v<. .■■-;. lilés (i6) cl {\i)){').

l'iiiii- : (1. r('j;alilé (19) ii"ii- n-ml l,i l'niiiuile [ù] a\cc iclli'

lliMIM'Ilc r\|iri'»'-hiii ilf .\t x) :

(■>.„)

J(.)=-f Ï!^i;,A:.

iloul sesl servi Slicltjps dans ses reclierelies -iirla luniiiile île Slir-
ling [voif le .Mémoire cité pai;e SS 1.

L'ég;alilé (18) ihmis [Hriiiel eiieore d i'ei-lre

}(x)

1[(— 4i'-'^^^-i

cxpressinii iliie à ( 'iiiileiinaiiii ri ijiii ilmiiic- le proloilgeinenl analy-
li(]iie (laii> Imil ii' jiliiii i\i- la foiicllnn .1 ^( .r").

H. — Développcnicnlx iis\ //i/i/o/ii/ii(\'i de logr(x).

11. i^e C(''lL'l)re dé\elo|)|)enienl asvniplolifjiie (pii sort à caleuler
iogr(a:) pour les grandes valeurs de ./', el cpi'on appelle i;éni'i'ale-

(') L'expression J(x, Ç) est susceptible il'aiitrcs formes, que nous indiquerons
en i|uel(|ues mots. ICn remplaçant, dans (17), ?,(t) par la série (l'i) (p. î.'i).
on en d>'duil, par un raisonneinenl ipii ilemandc d'ailleurs quelque précaution.

iri /" <in (v-x (/t

(lévcloppenienl qui converge uniformément d.nis l.mlc aire linle n'ayant ,!»• un
point commun avec l'axe réel négalif.

Fvn remplaçant dans le ilev(io|i|iipiirnl ~iii ■vrt par des exponentielles cl en
iililisariL la notaliuii

"Il arrive, iipivs des réductions fitrilc*. à »cl(c iiuiivrllo expression

-♦- n

.1 (X, 5 ) = iim y«"-('>î) *'^' ('•"''■') (., ^ „),
« = » mm J vt: /

•|iii ;i rit' ilonnrn piir M. I.aiidshcrg diins le Mrninirc rite page f)|.

LES FONCTIONS V(x), t(s), Ç(s, «'). gy

nient, pai' extension, série de Stirling, se déduit de la formule (6)
en y développant l'intégrale i{x) suivant les puissances descen-
dantes de X.

En se servant de l'expression (4') et de régalité (5), page 71 , on
trouve

' 1.2 .r 3.4 a^-i ' [■jLk — i)'ik .r^''-' ' "

avec

(2)

J,.(a7 = i — T-^ / 05 ( \dt.

X--

On arrive au même développement en intégrant par parties
l'expression (20), par des calculs parfaitement analogues à ceux
de la page 81, mais le reste J/i(x) se présente alors sous la forme

P....(.) ^^_

(3) iiÀx)=—---^ — r

(■>./, ^■<,) . A (.r + T)2

Développons maintenant le reste J(^', ; ) de la formule (i3) sui-
vant les puissances descendantes de x, et, à cet eflet, utilisons
d'abord l'expression (i4)- En observant que les égalités (6) (p. -i),
en vertu des relations (12) (p. 94), peuvent s'écrire

•-'0

on trouve iinmédiatement

\.i X 2.3 a-' (2/: — ij2/i a^-''~' ^ ''

avec

En intégrant par parties l'expression (ij) [voir le n° -il) on
retrouve le développement (4) avec cette nouvelle expression du
reste :

J/.(a:, ;)= j / -^ f rr-

2A- J_f (x-f-t + -:;2/.

L.

gS CHAPITRE IV.

Le développeinenl de J(x, ;l a élé tloiiin- |i;ir Herniite el So-
nia (').

Pour c = -I un ilodiiil de lu formule Ii3i. en v reinplacanl

J(x, ç) par le déveioppenienl (4) el en tenant compte des éga-
lités (17) (Ji. 36),

A

loer(ar -i — )= \osJi.t. -h xXoslx — r-f- 7 ( — 1 1'' '- — r — Ri-,

I

avec

ou encore

Ce développemeni est dû à Gauss, à l'expression du reste près.

i8. Proposons-nous maintenant d'i'\aluci- une limite supérieure
du reste ik{x) de la série de Stirling et, à cet ellel. parlons d'abord
de l'expression (.3). Pour abréger, nous désignerons par Tv le ternie
général de la série en question :

" ^ ' (7.V — i)2v a-»»-''

de suite cpie le leiiiie ijni |>récède iiiiméiliali'iiienl Jx(^j7) s'écrit T/[.
Suj)posons d'abord x réel et j)osilif. Comme Texpressioii

f*ï*+ï(") a le signe de ( — i)*"^' {cf. p. 36), on voit que Ja^x) est
de même signe que le terme T*^,, el eom d'.iilleurs

il ijiic .Ia+i(j:) et T*^., sont de signes contraires, on en conclut
que Jai ■'■) est numériquement inférieur à Ta+i.

Soit maintenant .C-— /v''', l'argument 0 étant com|)ri> entre — r.

(') Journal de Crclle, Tomes 115 cl IIG.

LES FONCTIONS T(a-), Ç(s), Ç(«, ir ). 1)9

et TZ. On aura

I ,y -1- T |- = /■- -H a/'T CCS 6 -i- -z^ = { r -i- z )- — 4''" sin'2-,

et, parsuile, pour t > o, en remarquant que 4 '"" = ('■ + t)-',

I j--!--:|2^ (r -1-1)2 cos2-.

Il en résulte, d'après (3), que le module de .h(x') est inférieur à

aA: -t- ;

p./,-+5(t)|

/ |r,/,-+H",
J„ (/•-h'c)^*-

£/•: îs ( sec

^ 6\2A+2

^;

1 Ja('-)|,

et, en tenant compte du résultat démontré ci-dessus, on trou\e
donc finalement l'inégalité due à Stieltjes :

0 \ 2/lH

(5) \J,,{re''>)\<(séc^]

T,.^

l--<0<-).

On peut atteindre des résultats |)lus précis en partant de l'cxprcs-
sion (2), ce que nous ferons voir aussi brièvement (|ue possible.

Lorsque t croit de o à ce, le point dont l'affixe est i ^ ; , par-
tant du point I , décrit une droite formant l'angle — 2^ a\cc l'axe
réel positif. On en conclut

pour

t-

X-

à I sin'26| pour -^ S1(J|< -,

4 2

et par suite, en utilisant l'égalité (5) (p. -i),

\ i Ja( re'^ > |< I TiH., I pour 1^1 = 1'

(6)

\hire'^)\<

1/.+1

si 1126

pour

l^l»l<:-

Pour trouver une limite de Ja(x) dans le cas oùjâ[£' -, nous allons
nous servir de l'égalité

t- e2«— I ■

100 CIIAI'ITIU: IV.

(lii'on vi'r-ifio immcdiatr-iiicnl en développant siiivanl les puissances
des(>'ii(hiiitcs de x l'cxiircssion de la driivée i'{x) (|iii figure dans
la dernière formule de la page 8-. En prenant pour chemin d'inté-
gration, dans l'intégrale ci-dessus, le rayon formant avec l'axe

réel positif un angle 'i compris entre — -et -. celle égalité sera

valable dans le detiii-|iiMii -l — - ■< 9 •< -i/ -!- -> ce qudii iléiiioutre

en raisonii;inI ((iiiiiiic à l;i page c)3.

Oi-, l'ii r;ii--;inl / - Mt-'l', x = re'**. on aura, jiour u > o,

I t^

^|sin2(0 — il-)|,

d'où il ri'sullc. il a|>r('s (-),
|Ji(^)l<

sin?.(0 — i];) x^^'

I f

I i/o

u^*^' du

Kii sul)--litii ml u ros'b ^^ V, on en (If'dint. iliii^n'-^ l'i'galitc (.V)
(p. 70,

avec

K= -r

sin2(0 — <}/)( cos<;/ )«*-•-« I

et, par Niiilc. eu i[ili'-;4iMiil .1,1 i i ilipuiN l'iatiui ju^cpi au pi nul ,/•, \r
liili^ liu rayui M'ilrur |iass.iiil p.ir rr |iiniil.

(8)

|J,,(/-e'!l)|<K|T,,, I,

)-t'sullal ipii Mli)^i^le di> ipic lo iiiuililions I •]/ 1 < .^ et I 0 — -i I <; -'
sont v(''ririces simultanément.

Si l'on l'ail, par cNcrupli'. ■!/ = 0 rp ^ suivaiil ipie Ol^o, on aui'.i

^ h(i»i-i)l'

cl l'inégalilé (iS) sera \. il. iMr puur | 0 1-; t "■•'"'"•'■ ■' '' prcniii' ri-
des ini'f;alll''^ (lit, elle uoiin ilouncra donc, pour j .U |. •"'ic liinilc

LES FONCTIONS T{x), t(s), ^{s, (r). ICI

qui est plus précise que celle de Stieltjes tant que ] 9 | •< -> et qui

se confond avec cette dernière pour | ft | = -•

Mais afin d'obtenir le résultat le plus avantageux, pour un ar-
gument donné H, on devra évidemment choisir l'angle 'ji de ma-
nière à rendre minimum la constante K., ce qui donne la condition

I

1

tangtj; tang2(9 — 6) = — j—

Soit, par exemple, | (J | ^ ^ ; on trouve

|tang<l.|= ' ^>

V'i/.-t- 3

d'où il résulte

et, comme le second facteur de cette expression est inférieur à y/e,
on aura, pour 9 = ± — >

limite bien plus précise que celle de Stieltjes, qui s'écrit 2*+' [Ta^i [.

La limite que fournit notre méthode pour ]Ja| devient moins

précise que celle de Stieltjes lorsque |9| dépasse une certaine

valeur, supérieure à -• Mais il faut remarquer que, dès que
I 9 I > -j l'égalité (lo) (p. 92) conduira, en général, à des résultats

plus précis que Tune quelconque de ces méthodes. En effet, l'in-
tégrale i{x) sera toujours représentée par le développement (i), et,
comme Ja(x) ^ — Ja( — x) cl que l'argument de — x est compris

entre ^ et -> on pourra appliquer à Ja(vC) les résultats obtenus

ci-dessus dans le cas oîi |0I<' -• Ouanl au dernier ternie de
l'égalité (10), son module est inférieur à

llogd — e-^i^'i '"'"') I,
quantité qui sera en général très petite par rapport à la limite

CIIAPITRR IV.

([u'oii trouve pour |Ja|. Il n'en serait plus ainsi si le point x était
très près de I axe l'i'el m'^i^alif. mais alors on prendrait é\ideinment
le parti de caiiulii' l.i \alciir cxaclc liii terme en question.

III. - Les fonctions w(.s) et "^{s. n-'».
•iO. La fonction ^(i) est représenl<''(' par la si''iii'

0) :ii) = l-^ — -H ^- -^...-4- — -4-....

tant (pic la partie n'cllc Af la xariahie complexe

i ?^ $ -H ir,
est supérieure à l'unité. Sous la même condition, on aura encore

ce ipi 1)11 ilc'nKintrr (acilciticnl en >(> servant de l'i-i^alilc'

' if
— = - / ('-^•'•.r'-'rf.r.

C'est en parlant de l'expression (■?.) (|ue Riemann (') est arrivé,
par une appliealioii iiii;iWileuse du calcul des n'sidus. à prolonj;er
^(i) dans Imil 11' plan et à découvrir le- priiprié'ti'S si intéressantes
de cette fonction. Nous allons déduire ces mêmes propriétés des
formules sommatoires du Chapitre précédent.
\ cet efl'et, posons J{z) == z~', d'où

p(-:,t)— (l'-h/'"! 'cesi .< arctang ; ),

- . / '

qi-, l) = — (t'-i- f » 'sin ( .< arc lan;;- 1-

Les trois dernières conditions de la page à- sont vérifié'cs dans
le demi-plan t > o ; en supposant ; >■ i , de sorte que la série (^x)

(') Ueber die Anzahl dir l'iimzaltlcn iiiiler einer gegebenen Grenze, i85<».

LES FONCTIONS T(r), tis), t,(s, «')• 'O^

converge, et en faisant m ^ i , on liouvera donc, d'après la for-
mule (IV), page 6i ,

I 1 r" - . , dt

(3) Ç(ii=-H h». / I n- /2 I ■>s,ii('s arc tangO ^r;r^ >

■i s — I J^^ e-^ I

et, d'après la formule (IF), page bg, pour a = -.

2<-' /■• /l '^^^ . , (//

a I !;(^ ) = — 2 / ( - -V- /- siiK .ï arc tan<;>.? i — — •

^■* ^ s-i J^ \.\ J '- e-^-'^\

Une autre expression de ir(s') se dt'diiil de la formule (VIII),
page 65. En faisant a ^ -. z ^ - -\- il. un trouve

I -\
A- f / 1 \ - cosffs — 1 1 ai-ctaiiir^/l ,
(5) Us)=-— / {,-^1-) - ' , -, STTT ■'"■

Les trois expressions ci-dessus ont clé données pour la pre-
mière fois par M. Jensen (').
En partant de la relation

' ' •2'-'/ ■='*' ^ ' ■>,« "^ -JJ \<

et en appliquant la formule (X), page 61), avec m ^ i , a^ -. on

1

■2

trouverait encore

•2^ /•" / I \

cosfi arc tans > < ) ,

'■ al.

eit(^ e-nt

»
11 est facile de voir que les intégrales définies figurant dans les

expressions précédentes représentent des fonctions analytiques,

holomorplies pour toute valeur finie de s; d'après le principe

établi au n° 9, on peut en conclure que l'une quelconque de ces

expressions donne le prolongement analytique de K{s) dans tout

le plan. Il en résulte que ^{s) est une fonction uniforme dont le

seul point singulier à distance finie est le pôle simple s ^ i de

résidu i .

(') L'Intermédiaire des Mathématiciens, iSgS, p. 346.

lo/j iiiM'iTiii: i\.

D'autre jiail. on ili'iluil de légiililé (^.i). pour i = o,

Ç(o) = -.i,

nuis, en rclninclianl des deux membres — > faisant cnsuilc

tendre * vers 1 iinili'-. ei IimuiuI ciiiiipti- de régalité (3), page ^o,

el enfin, en difTérenliant par rap|)firl à .ç, f;iisant s ^ o el iilili^.ml
régalité (-2), page 70,

arctang/^^^'^_^ — 1=— log/a-.

50. En appliquant maintenaiil la formule (II), page 58, avec
m ^ 1 , o < a <; I , on ohlieul

<7) Ç(0=7^-/ ,T3T^Ï7I^-^/

efjuz_ ,

expression ijul représcnle cuccire '^{Sj dans loul le plan.

Faisons tendre a vers zéro et, pour éviter toute diflieulii-. sup-
posons ç <^ — I, de sorte que les expressions sous les signes
intégraux restent finies à l'origine. Le premier terme de l'expiTS-
siiin ci-dessus s'annulera el. dans les deux autres termes, on aura
siniiilriiiriil à rrniiil.iici' y. par u. I']n sulislil uaill iM'Sjit'i-|i\ ciin'l!!

dans ces derniers termes v = t? ' / et c = <? ' ^, régalité(7) dcNieui.

ajiri's imr n'iliii 1 mii la( lie,

• u

Comme le seroml memhre de celle égalil('' reiirésenle une fonc-
tion liidomnrplie pour $ ■<[ o, l'i-galil»' sulisistera dans toute celle
pDi'tiiiii ilu |ilaii. iiial^ii' I li \ |ii il lir^c jiiiis restreinte. Ç <^ — 1,
admise dans le cours de la di'monstration.

!.,'<'galité (^iS) nous montre (jue Zis) admet lc> |ioiiils « : : — u,
— {, ..., — 2//, ... comme zéros du jii'crnir'i- ordre, el. d .iprès

LES FON'CTIOXS T{x). t(s), IJ S, H'). Io5

l'égalité (5), page 71, on en déduit d'autre part

<9) a-('^«-o] = (-'/'^;;

enfin, en substituant 27î<=rjc, Pégalité (8) devient

<lo) Ç(i) = 2(2T l'-'sin— / ^_ .

<i"où il résulte, par comparaison avec l'égalité (2),

Tr.v
(I IJ ï(i ) = 2(2 -)■'-' biii — r(I —*';?(• — s).

C'est l'équation fonctionnelle établie par Riemann, qui joue un
rôle fondamental dans la tbéorie de la fonction "^{s).

La formule sonimatoire d'Euler et les autres formules établies
aux n"* 39-41 conduisent également à des résultats importants
relatifs à l'étude asjmptotique de la fonction ^{s) et au calcul
numérique de ses zéros, mais nous ne pouvons nous étendre ici
sur cette intéressante question (' ).

31. Considérons maintenant la fonction

tV* ( (C -I- I )' ( W -t- 2 )■'

<pii se réduit à "^{s) pour iv = 1 . Nous devons substituer dans nos

f{z) = (; — »■;-',

formules générales

d'où

pi-.J)

q{-, t) = — [{- + iv)-+ t-\ -si 11 is arc tan g — ■ )•

Si l'on suppose la partie réelle de w positive, la formule (IV),

{') FoiV pour cette question : Mkllin, Eine Formel fur den Logarithmus
Iranscendenter FunLtionen von endlichem Geschlecht {Acta Soc. Se. Fenn.,
l. XXIX, n' 4, p. 48-^9); Gramm, A'ote sur les zéros de la fonction ^(s) de Rie-
mann (Acta Mathematica, t. XXVII); Wirtinger, Einige Amvendungen der
Euler-Maclaurin'schen Sumnienformcl (ibid., t. XXVI), et notre Jlémoire
cité au n" 35.

io6 ciui'iTiti: IV.

pafje fil, sera applicalilc pI nmi-; ilcimii'ra i ' )

"''-" w-» r' , . . -- . I t\ dt

;(s w \ = -i 1^ 2 / ( if'-T- <' ) 'sin ( i arc tan" — I — <

t — I 1 «'u 11/ e"'' — I

oxprcssiou \alal)lc dans Inul lo plan et qui innnire (pie !^(x, ir) est

une fonelion unKorine adniellanl pour seule sinj;ularilé à distance

liiiic le pôle 5= I de résidu i. On en conclut, d'autre part, poui-

.« = o,

„ 1

'( O, H' I = tV,

■>.

puis, en relranclianl et en faisant tendre s \ers 1 iinili'.

' i - - 1

!im I '(.«, w\ = — loi: H' H '-"il — : :

eir.i _ I

et eiilia, en clillc rentianl par rapport à \ et faisant ensuite s = q.

t dt

an- lan"- . .

l'.n \etlu lies (■■i;;ilités (-) et (()). iia^e Ht), ces deux dernières
expressions se n'iliiix-nl rc^pi'iln ciiicnl à

et a lo" r( H' I — loRv'^".

I I ir I

Ces propri('t(''S de 1^(5, i\') ont vir étaMies jiar M. I^ercli en sui-
vant une autre voie. Pour iv ;= i , elles se i<'(luisent aux proprii'tés
de la fonction ^(s) signali'cs au n" il).

\|i|ilii|iiiiii^ inaiiilriiaiil la lomiule (^ M' i. j)aj;e ôi), avec «l = o,
' I ■ 7.- o. et >upposons la parlii' i-t'cllc di' iv supérieure à — a,
de sorte que la fonction _/"(:) soil lioloiiiorplic pour t ^ a. On aura

}^{s, w) — i I I /)! a, / I \i a, n -H r/( a, O *•'( i. ' i| dt,

expression \al,ilil(' poiil lotilcs les \,i|(iiis ilr s. I.oisipir l.i ipi.in-
tltc i\' ol r(''cilc il roilipl isc ciltic o cl i . un en ilcduit. lu laisaiil

(') Celle iip|iliciilii>n <lc l;i foriiuilr (IV) a iU\ indiqui'c par Iloriiiilc { Anntiti
lit Maicmalicii puni cil nppticata, I* siSrii', I. V. ii)'"").

LES FONCTIONS T(.r), ^(s), ^( S, w). I07

tendre a vers — (v, et en supposant d'ailleurs la partie réelle
de s négative, de sorte que l'expression sous le signe intégral reste
finie pour / = o,

r.<: r' -r.t r"

Ç(i, H') = îsin — / <-■<»!'( H', /)rf«-K 9, cos — / t-'X(ii',t

'■'■ 'Ju ■ '■' «-'0

)dt.

On ronslale aisément <|ue le second membre de cette égalité
définit une fonction holomorplie de s tant que la partie réelle de
cette \ariable est inférieure à i, et que, pour une valeur donnée .ç
vérifiant cette condition, la même expression définit une fonction
analytique de w qui est holomorplie dans la bande comprise entre
l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point (r = i.
Donc, d'après le principe établi au n" 9, l'égalité en question a
lieu tant que s et ce restent dans les druiiaines indiqués.

En égalant s à un entier négatif, — v, on di'diiit de la formule
précédente, à laide des égalités (6), page -i,

V H- r

D'autre part, en supposant o < "' < ' et en substituant aux
expressions V(«', t\ X((ï', V) les développements indiqués dans
la note de la page ^i, on conclut

r - ».

„ ^l . t:.? X'' i'0S2vt:(i' tts x^ sin ■ivr (c
t(s,w) = iY(\ — s) sin — > ; i- cos — > ; —

L I 1

r('sultat dû à ]M. Hurwitz (' ). En faisant (X' = i , on retombe sur la
formule (i i ).

(' ) Zeitschrift fiir MathematiU uiid Physil;. t. XXV II, 1882.

CHAPITRE V.

AI'PLIC.VTIOXS AU PKOLO.NGE.MEM' ANALYTIQUE

ET A L'ÉTUDE ASV.MPTOTIQUE DES l-ONCTIONS DÉl IMES

PAH UN DÉVELOPPEMENT DE TAYLOU.

I- — Deux théorèmes généraux

o'

52. Ktiiiil iloiiiu'c une série de Tujlur de la forme
(l) F(a-) = çfo)-f-o(i)T -+-... -i-œ(v)T* + ...,

où ffl est une fondion analytique de son argiimenl, on peut se pro-
])Oser d^étudier les propriétés de la fonction F(.r), connaissant
celles de la fonction es.

Nous donnerons dans ce C,liii|iliir un i'\|)(isé sueeiiiet de cer-
tains résultats gén('raux et ri<lies en eonsécinenees relatifs à celle
(juestion, en y ajoiilani d'ailleurs «juelcjnes applications nouxelles.
Le peu d'espace diml n<Mi> disposons nous i)ldii;era cependant à
laisser de côté bien des reclierches intéressantes, jxuii- icsipielles
nous ren\ei'rons aux Mémoires orii,nnaux.

l'our la l)il)liographic, on consultera le beau |ielil livre de
M. IlADA^MAiin, La série de Taylor et son prolongement analy-
tujiie [Sricnlia ). Nous nous bornercnis à citer ici, comme axant
un rapport direct au problème i|ui nous occu|)e, les remai'(pial)les
travaux de M. Mi;i.li> (^'j, le grand Mémoire de M. I.i Hov, Sur
les séries divergentes et /ex foiiriinns définies pur tin dé\e-

(') Voici les litres des Mémoires de M Milliii ii\;iiit r.i|i|)orl an Mijrl i|iii iidiis
occupe :

L'eber die fiindamcntalc Wicittigkeit des Satzcs von Cauclty fiir die Tlieo-

PROLONGEMENT AN\LVT1QUE DES SERIES DE TAYLOR. IO9

loppement de Taylov ('), notre Mémoire cité aa n° 3o, el une
Note récente de M. Walter-B. Ford (-).

o3. Nous commençons par démontrer le théorème suivant,
établi par M. Le Roy, sous une forme moins générale, mais ayant
une connexion étroite avec les résultats obtenus antérieurement
par M. Mellin :

Soit une fonction analytique 'f{s) de la variable z^':-{-it
qui vérifie les deux conditions suivantes :

i" »(;) est holomorphe dans an certain demi-plan T^a;
2° Il existe un nombre^ inférieur à -rzet tel que, t désignant
un nombre positif aussi petit qu on voudra, on ail

I 9(a + pe'''t') I < fi'^'^^'f pour — - ^ •]- 1 - ,

dès que 3 dépassera une certaine limite finie (').

Dans ces conditions, on peut affirmer que la fonction F(^)
de la variable x ^ /-e'^ qui est définie par la série (i), est holo-
morphe pour tout point x intérieur à l'angle

(2) S<e<i7:-^.

En particulier, si la condition 2° est remplie pour 3':= o, la
fonction F{x) sera holomorphe dans tout le plan, sauf peut-
être sur le segment i \- az de l'axe réel.

Pour démontrer ce théorème, nous pourrions nous servir des

rien der Gamma- und der Iiypergeomclrischcii Functionen (Acta Societalis
Scientiarum Fennicce, l. XX, n° 12, 1895 );

Zur Théorie zweier allgemeinen Klassen bestimmter Intégrale ( ibid., t. XXII,
n° 2, 1896);

Veber eine l'erallgemeinerung der fiiemann'schen Funktion ^(s) (ibid.
t. XXIV, 11° 10, 1899);

Eine Formel fiir den Logarithmus Iranscendenter Funktionen von endli-
cheni Geschlecht (ibid., t. XXIX, n° 4, 1900).

Die Dirichlet' sclien Beilien, die Zalilentheoretisclien Funktionen und die
unendliclien Produkte von endlichem Geschleclit (ibid., t. XXXI, n" 2, 1902).

Voir aussi Acta Malhematica, Tomes XXV et XXVIII.

(') Annales delà Faculté des Sciences de Toulouse, 2° série, t. II, 1900.

(-) Journal de Mathématiques, igoS.

(') Il résulte de celte hypothèse que le rayon de convergence de la série (1)
est au moins égal ù e-'^.

llUlMTlli; \.

t'iiriiiiilrs ('lalilit-s au Clia|iilre III. mais nous préférons reprendre
la «niolion dès le «léLuI par une niélliotle léj^èrenienl uiodiliée.

( )ijs('rvons d'ahord (pie, si les l'uuditlons ci-dessus sont vériliées
pour une valeur donnée de a, elles le seront éjjalenienl pour loule
valeur a supérieure à la preinirre. On peut doue >iipposer ipie a
n'est pas enlier cl écrire m — i •< x •< m, m élaiil un entier.

Cela posé, le lluorème j^énéral des résidus iiini> donne

(3)

2^'^V)^'' = I •\Hx.:)dz,

en désignant par S le conlour ipii se <-(mipusi' de la luuitic t.,; du
cercle |; — ^a[ = R^/t-i- — a coiupri.-e dans le demi-plan t >> a
cl du diamèlre de Cj;, et en posant

'i(z\.r-

Nous allons \oir (pie, pour les valeurs x situées sur un certain

segment — /•„ o de l'axe réel négatif, l'intégrale relative au

demi-cercle C,; s'annule lors(pi on fait tendre n et. par suite, R vers

I Jiiliiii , Imi cllel. cil p(i>.iiil

- = a -i- R e'"!', X = r e'" = — /•,
on aura

Or la ConditidU :>." ddiiiic. à partir iImmc ccilaiiic \alciir i\r ]\ .

,. 1 , U( luB-COS'l/ — j — £ )

|<p(a-(- Ke"T')/-= I < /•»<■ V '■ ^ ',

et, d aiilic p.irl. (III Miira Mir ( i^ {^i-ui/- la note de la page .ia)

Bit'; — e-Klz

A-

l'^'l = -

et, en désigiiaiil par 'j,, un angle c(iiii|iri> ciilrc o cl -■

r<,-7C|ill.^.|ll |„,„|- ^„^\'^\

A' l'I /." (■•lanl des (pi,iulil('» iudépeudanU;- de 11

PROLONGEMENT ANALYTIQUE UES SEIllES DE TAYLOIl. I 1 I

En somme, lorsque /'< i , on aura sur C^ les inégalités sui\anles :

\<P(x,z)\<k'r''e^''^'°''^""''°~''~^' pour l'H^'i'o,

|*(a7, ^)| </:"/-^e-"i'^>'"'%--^-'i pour '!^o'k\'^\'---

Fixons maintenant l'angle A,, par la condition 7tsin'i>„^ S?', où
S^S'^ît, puis déterminons r„ de sorte que log -- cos'i,,^ S'.
Tant que r'^i'o, on aura pour tout point de Cr

] <!>( a:, ; ) I < /,vï e-l-^-- ^-=1",

A' désignant la plus grande des quantités /.' et A": par suite, en
faisant tendre R vers l'infini et en supposant — /•„ < x •< o, l'inté-
grale / <Ï>(J", :) d: prise le long de C^ tendra effectivement vers
zéro, comme nous l'a\ions dit, de sorte que l'c'galité (3) de\iendra

(4) 2] <?(■') ■^'' = - / 'i>(a;z)dz^- I

. e^"'-— I
a — / oo

o4. Nous allons mainteuanl démontrer que le second membre de
cette formule définit une fonction holomorplie de a; dans l'angle (2).
A cet effet, posons

^ = ï -H it et .r = /• f'''^+^t\

de sorte que f), ^ 6 — — représente l'argument du point x compté
à partir de l'axe réel négatif; on aura

d'où il résulte, en vertu de riijjjotlièse 2" (voir la note page 4[)),

Dans le second membre de cette inégalité, on doit lire + 9, ou — 0|
suivant que t est positif ou négatif.

Supposons maintenant le point x intérieur au domaine

(G) r>o, 2r-t-(j<0<aT: — â — a (d'où | Oi | < - — ^— ij,

ff étant une quantité positive aussi |jelite qu'on voudra, et dési-

CIIM'II'HK V.

{jnons par r, un nombre posilir iulerieiir à n. On aura, dès que I / 1
dépassera une ccrlaine \al('ur T, t: — S ± Q, -f- î(/)>t,, d'où

(7) |-l'(^, -) !</•=« e-'."! pour | ^ 1 > T.

On piMil roncliirc de relie ini'i;allu' (juc le second membre de(i)
délinil imi' liiucliuii bolomniplie de./' dans le domaine ( (> i. Pour le
faii'e nellrnirul \(iii'. ('•(•immius

— j -l't.r,:)c/z = -\ •P(jr,z)dz.

— 00

En dévcloppaiil. (Iiiii> 1 (■\|)ression 4>(x, s), x' ^ gzU%x g^ série,
on voit d abord que ciiaipie leriiic du serond membre esl une
l'onclion enlière de logx el (ju il esl, par suile, liolomorpbe dans
le domaine (6). D'aulre pari, il résulte de l'inégalilé (-) que la
série li-dessus est iiniriiinii'iiii ni convergente dans toute porlion
finie du domaine en (pieslion. l'our arriver à la conclusion voulue,
nous n'avons dés lors (pi";"i recourir au théorème établi au n" 10,
fpn nous montre in lormc Iruip^^ ipie les déri\ées de la l'onction
considérée sont i-eprésenlées, dans le domaine (^6), par les expres-
sions qu'on obiienl en dillérenlianl snus le signe intégral (' ).

I^e résultat qui précède restant \iiu i|uel(pie petit (lue siul t. il
est donc démi)Mti(' (pic le second luiiubi'e de l'c^galité (4) définit
une fonction li(d(Miioiplic à linlérieilr de l'angle (2), et connue
l'i'galité en ipieslion a lieu sur le seginenl — /■„ < J" •< o (pii esl
intérieur à l'angle (2), relie fdiiiiiiui donnera le prolongement
analvlique <le la série (4), en vertu du principe établi au n" î).

Or on a d'après l'('galité ( 4^ *i '" est positif.

.a-t-i •

(8) ¥{x)=\^{^)j-'--f ^éÊrzr:''= ('"-■<«</"),

el, pour «( lli'-^nlil. en pdsiUlt >ll -^ — /:,

(') CcUc iniïlliodc de déinnnstralioii, qui permet d'ëvilcr des calculs parfois
ipini'us «1 prcsipio liMijoiirs peu élt'gauts, .ivail di^jà lïli! mise eu ii>a!;f par d'aiilns
iiulcurs, iiulauiiiiciil pur M. .Mcllin.

PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SÉRIES DE TAYLOR. Il3

tandis que, lorsque »i = o, la série (4) se confond avec F(x).
Donc, dans tous les cas, la fonction F(x) sera holoniorphe à l'in-
térieur de l'angle (2), et notre théorème se trouve ainsi démontré (').

S5. Les considérations qui précèdent conduisent encore à des
conséquences intéressantes relatives aux propriétés asymptotiques
de F(^). On en déduit, en effet, ce théorème important :

Sous les conditions énoncées page 109, la jonction définie
par la série (1) et qui, d'après le théorème du n° o3, est holo-
rnorphe dans le domaine (2), peut se mettre sous l'une ou
Vautre des formes sui^'antes :

(10; F(x) = x^i{x) si a> — 1,

(11) F(ar)=— V'^'~/" -i-x'^zix) si - ( A- -(- i)< a 1— />,

1

s{x) désignant une fonction qui tend uniformément vers zéro
lorsque x tend vers l'infini dans l'angle

(12) S-l-tjS6£2Tt — S — a,

et cela quelque petite que soit la quantité positive t.

11 résulte immédiatement des relations (5) et (-) que le module
du produit

(13) x-^ 't>{x,z)dz

*- a — / jo

reste au-dessous dune limite finie dans le domaine (12), et l'on
en conclut, d'après les égalités (8) et (9), que la fonction F(a;),
lorsque a n'est pas un entier, pourra se mettre sous l'une ou l'autre
des formes (10) et (11), où le module de s{x) reste inférieur à
une quantité finie dans le domaine (12), si l'on exclut le voisi-
na^ de l'origine.

Cette forme moins précise du théorème suffit dans bien des
recherches; on en trouve des applications importantes dans les
Mémoires de ^I. Mellin, cités plus haut.

( ' ) Si m est positif, on suppose que '^i:) prend des valeurs finies pour z = 0,
j , . . ., m — I .

L. 8

ii4 iiiAi'iTiti: \.

Si l'un \ciil (léiiioulrcr (jiie z{x) Icnd cflecliveiuenl \oi> zéro

avec - dans le ilDinaiuc (12), des considéraliniis pins délicales

deviennenl nécessaires. Adnicllons dahord que le nombre a n'est
pas entier. Il s'agit île démoiiti-rr (pic, s (Uant li\é aussi jx-lii i|u'on
le voudra, on pourra Irouvei' uni- ipianlilé R telle ipie le iiiudule
de l'expression (i3) reste intt'rieur à s pDur

(i.i) S-t-dSOl-Aiî -r — T. r , H.

lui \rilii (le ! iiH'gahté (7). d e>l dalKiiil pi)>Mlilc de di'ler-
iiiiiier le noiidire /' de telle sdile (pie I on ait

I /•" — ''■ ^a-.-(« I

,-a / ']<{.T, z)</z -^ I <l'(x,z)dz\:-

\ «^a /• • a-f-i/' I '

pour loiil point du d(jniaine (i-i)- Il reste donc à nionticr (pi du
peut elioi^ir l> de inaui(''l'e (|ue ! ou ait. dans le doitiaiiie ( l4 If

(i5) \x-<^ I «l>(.r, z)dz

Eu posant z =^ 'x-\- it, X = re''', on aura
(iG; a— »<I'( .r, z)= e-0'[ A(/) -4- i B(/)] [cos(< log/-)H- isin( / log/-)|.

A, I! et, ml des lonetions r('-elles de / ipii S(Uil lioloinorplie-. pour
toute valeur réelle de cette varialde.
Considérons, par exemple, I luléyrale

(17) / e-^'\(t)siui /\of;r}dl.

.le dis d'aijord «pie le nombre des inler^'ulles alternatifs de erois-
sance et de décroissance que présente l'expression \e~^'A{t)\
entre les limites - t' et t' est inférieur à un nombre fixe \
(juel ipie soit 0.

lùl etiet. les evlicinilc^ de^ int(i'\ aile-, en (pie-.tioii (pu ■•(Uil
( oMipri^e-. enli'e /' cl / ('oli('^|iondcnl , >oil ,im\ zéros de la lonc-
lioa A^<). soit à ceux de la deiisce de c; '".V(<), c'est-à-dire aux
racines de l'é<|ualioii

A(0-')A(0 = o,

PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SÉRIES DE TAYLOR. Il5

lesquelles, à leur tour, ou vérifient simultanément les conditions
A(/) = o, A'(?)^o, on bien rorrespondent aux points d'inter-
section de la courbe )• = '-r -a\ec la droite )'='}. D'ailleurs.

entre deux de ces points d'intersection consécutifs sera compris,

soit un infini de la fonction -; , c'est-à-dire un zéro de A(t),

Ait) ^ '

soit un zéro de sa dérivée, c'est-à-dire une racine de l'équation

A(?) A."(^) — [-V'(/iji=o.

Or la fonction A.{t) est holomorpiie pour tout point de l'inter-
valle — t'^t^t', et celui-ci ne saurait donc comprendre qu'un
nombre fini de racines de ciiacune des équations

A(0 = o, Â'(0=o, A(0 A"(0 — [A'(OJ- = o,

d'où résulte l'exactitude de la proposition énoncée.

Ce point établi, soit M le maximum de |e"'^'A(/)| pour
— t'<l<t', 27-f-cr<9<2- — S — 3-. Je dis que la partie de
l'intégrale (i-) relative à l'un quelconque des intervalles oii
|e~*'A(<)| varie constamment dans le même sens, est numéri-

(luement inférieure a -, •

Soit(rt, b) l'un des intervalles en question et soient i,, t.y, ..., /u.

les multiples successifs de la tiuantité r-^^ compris entre a et h.

Les parties de l'intégrale (17) correspondant aux sous-intervalles

sont alternativement de signes contraires, tandis que leurs valeurs
numériques vont constamment en décroissant [en admettant, pour
fixer les idées, que | e~^'A(«) | décroît de a vers è]. La somme de
toutes ces intégrales sera donc numériquement plus petite et de
même signe que la première d'entre elles. Comme d'ailleurs les
parties de l'intégrale (17) relatives aux intervalles (a, <,) et (f|, t-^)
sont de signes contraires, et que chacune d'elles est numérique-
ment inférieure à la quantité

/•'°°'' 9. M

M / ûn(t\oç;r)dt = y

•,'0 ' 'og''

on arrivera bien à la conclusion \oulue.

1 iG CIIM'ITHK V.

En somme, l'intégrale {i~) sera nuniériquemenl inférieure à

," ' , pour S-j-ff^O^a— — .r? — 7, el tendra donc uniforiné-

iiiiiil \(i< y.i'vn dans cet angle iorsi|iic /• ci-oil indéliniraent. Comme
la même conclusion s'a|)|ili(|iie à ciiacune des trois autres inté-
grales qui |3ro\iennent de lexpression (i<)), il en résulte qu'on
pourra ell'ecli veinent déterminer le nombre U de manière que
l'inégalité (i5) ait lieu dans les conditions indiquées, el noire dé-
monstration est ainsi achevée dans le cas oiî x n'est pas entier.

06. Lorsque /<? nombre a esl un entier, les expressions (8)
el (g) ne sonl plus xalables, de sorte (juo la démonstralion doit
être modifiée. Nous nous placerons dans le cas le plus intéressant,
à savoir celui où a = o esl la plus petite valeur pour laquelle soient
vérifiées les conditions énoncées à la page 109.

En appliquant alors la formule (8), avec »? := i , el en faisant
tendre a \ers zéro, on trouve, par un calcul analogue à celui
du n" 29,

(18)

F(.r)= i 0(0)- r °^ "'•'"" >/z.

el cette furiuulc scr.i valable pour lnul pdiiil .r intérieur à
l'angle (12 ), ce qu'on démon Ire en raisonnant comme aux n"* îj'.î-oi.
Pour |)lus de symétrie, posons x = c~'Xi, (\r,= /e'"!), el d'autre
part z = il, o(± it)=p{l) ± iq(t). L'expression ci-dessus de-
viendra

(18') F(x)='-o(o)-i- f Vit,x,)dl-i- f QU,-»-!

)dt,

avec

i-(/,^.)^-../M./) j_^_^: .

^ , , , citsi I log.ri^

Q(/,.r.)=-2y(0 ^^,_/_J •

Je dis (pic /(■ (Icniier Icrnte de l'e.r/iresxion {iS') tend iinifor-
ménient vers zéro lorsi/ue .t fend, soif vers l'infini, soit vers
zéro, en restant intérieur à l'anf^'le (12). En cflcl, comme

cos(^ log J-j) = -(e'^i'H- c-*i') cos(« logr; (e^i' — c-^i') sin(< logr),

PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SÉRIES DE TAYLOR. II7

on voit d'ahoi-d qu'il est possible de clioislr le nombre ta assez
petit pour que l'on ait, par exemple,

('9)

<

pour tout point x du domaine (la) ('). D'autre part, pour les
mêmes valeurs x, on a | B, |;;^- — S — t, et il s'ensuit que le mo-
dule de l'expression Q(', -Ti) décroît plus vite qu'une certaine
exponentielle e~'''', où y, >o; par conséquent, on pourra choisir
un nombre T tel que

.£■

Q(«, .r,) dt

pour tout point x du domaine (12). Enfin, en raisonnant comme
au n" o5, on voit qu'il existe un nomljre R tel que l'on ait

/'

Q{l.xi)dl

<

pour S + G-sQ^a- — -S — 7, | log/- 1 > R. Sous les mêmes con-
ditions, le module du dernier terme de l'expression (18') sera donc
inférieur à s, d'où résulte la proposition énoncée.

Cela posé, dans l'égalité (18'), faisons tendre x \ers l'origine,
en restant dans l'angle (12). Comme F(o) = 'f (o), on conclut de
la proposition ci-dessus que l'intégrale

r

Pit,.r,)d/

tendra uniformément vers la liaiile -'i(o). Or, si l'on remplace x

I • • A ' !•• . 1

par - ou, ce ([ui revient au mCme, x, par — , 1 intégrale en ques-
tion changera simplement de signe. Par suite, elle tendra unifor-
mément vers la limite f (o), lorsque x tend vers l'infini dans

( ' ) La fonction 9 ( :) cUuit. par hypollicse, holomorplic à l'origine, l'expression
q{t) = -^.[-iCiO -•■?(- 'Ol
renferme t en facteur, d'où il résulte que Q(<, a;,) est holomorplie pour t = o.

I l8 CIIM'ITIIK V.

langle (i a), ii . en litillvHni ciicdir uni' lul^ l,i |iroposition ci-dessus,
ou \oh donc iiiie, dans le cas où /es conditions énoncées à
la parrr i()i) vo/j^ vérijiées pour a = o, la fonction F(x) tend
unifiiiitiriitcni vers zéro lorsque x tend vers l'infini en restant
intérieur n l'aiirrle (12).

Ce n'siillMl siiljsisle d'iilllcurs diins des conditions plus {générales
(lue celles de la |)ai;c io(). \iiim il nesl pas ni'Cessaire que la fonc-
tion !?(;) soil liolonioi'plic .1 1 (nr^mc: il suflîl. par exemple,
qu elle v prciim' une \;iliiir lime cl délenninée et cpie, en outre,
1 inl('' ivraie

(-; .('^^"

ail un sens. V.n ellel, en \crlii di' l.i pi<niière de ces hypollièses,
la fcinnule (iSi resleia apjdieable (voi/- la mile de la page 60) el,
en \eiiu de la seconde, il sera possible de satisfaire à l'inéga-
lile (II)), qui est la seule où intervienne le caractère de s(r) à
Torigine.

I >(■ inèiue, on démontre aisément que le résultai ei-dessus reste
\,il,LMr dans le cas où '^(z) présente sur l'axe imaginaire un nombre
tliii lie points singuliers disliiiels de rorigine, ;, , z.,f .... tels i|ue
11' |iiiidnil I ; — Zy) '•s(s) tende uiiilomn-ineni \ ers zéro avec [;; — 3,1
el ipie rinli'grale

f \<iiz„-i-{l)\dt

ait niK' vali iir liiiii' pour \r-~ valeurs réi'lles de /.

Supposons iniunieiiin! (pie 'f(3) possède sur Taxe imaginaire
un pôle ;„. (Ii-,|in( I de I culmine, l.a foriniile 118) restera encore
\alable •»i Inn \ nioiiilii' je (liniiiii d micgralion. par exemple
en reiii|il.iraiil nn piiil >(';;nii'nl pa^-vanl par If iiiiinl ;„ iiar un
dcnu-cercle Inurnanl l,i niin e\ 1 h' vei'- la i,'ciiii/ii'. poni\n (ine. en
inèiiie ti'injis, on iihanc lir du seconil meinlire le résidu de I ex-
pression

relatif au \Mc :„. On d('monlre facilement (pie, après cette niodi-

(iealioii, 1 inti'grale <pil ligure ilans la l(U'iinile 1 1 S i leiiilra toujours

PROLONGEMENT ANALYTIQUR DES SERIES DE TAVLOR. II9

uniformémenl vers -^sioi, lorstjue .r tendra vers linfini dans
l'angle ('i a V

Or, si So est un pôle simple de 'f{3), le résidu correspondant
de l'expression ci-dessus s'écrit Xx'", A étant une constante. Dans
ce cas, la fonction F(a') restera donc inférieure en valeur absolue
aune quantité finie dans le domaine (12 ), en ne tendant d'ailleurs
vers aucune limite fixe lorsque le point x s'éloigne indéfiniment.
Si, au contraire, :;o est un pôle d'ordre m > i , on conclut des re-
marques précédentes que la fonction F{.r) devient infiniment
grande de l'ordre de {\ogx)"'~' lorscpie x tend vers l'infini en res-
tant dans Tangle (12).

Les résultats que nous venons de démontrer dans ce numéro
pour a = o s'étendent immédiatement au cas oii a est un entier
quelconque.

II. — Applications diverses.

57. Des théorèmes qui précèdent, nous allons tirer d'aljord
quelques conséquences intéressantes relatives aux fonctions en-
tières. Soil ©( s) =: z~''^, (7 étant un nombre positif ■< 2 ; cette fonc-
tion est holomorphe pour t^o, sauf à l'origine, mais en ce point,
'i(:-) prend une valeur finie, à savoir i, et la condition concernant
l'intégrale (20) se trouve également vérifiée. D'autre part, en
posant z = pe'i', on aura

|ç;{;) I = eap(>}siii'}/-loi:pcos.j/)^

et par suite, dès que p > i ,

Tiff

Ic5(^)|<e2^ pour —-^ij<-.

■Al

On pourra donc appliquer le théorème du n" 00 en faisant a = o,
S = -;-> et l'on en conclut que la fonction entière

tend uniformémenl vers zéro lorsque x tend vers l'infîni, en res-

I70 CHAPITRE V.

I:iiil il:iii-^ l'angle

(2) — -HîïO<ar — — — £.

Ce n'siillat ('liml \im1 i|iicl(jiie petits que soient les nombres
positifs z et s, on xdii ipi'/V existe des fonctions entières ten-
ilant unifornirntcnl vers zéro, lorsque x augmente indéfini-
ment, dfins (m (tngle qui est inférieur à -it. d'aussi peu qu'on
le l'oudra.

Celte remarque est due à M. Mitlng-Leffler, qui y a été conduit
dans ses recherclics sur \:t fuuclion (')

0

(lu'on déduit de F(x) en faisant »(;") = tt, Celte fonction

(5(3) est holiiiii(ir|ilii' (l,in> loiii If plan et, en se servant de l.i for-
mule de Si ni I II j;. un I rnij\ r f.K'ileiiieiil que linégalité

l7(a-<-pe>--!')|<e*~"^vP,

oiî a désigne une eonsiaule réelle ipieleouque et ; un nonihre

positif arl)itraireinenl pelil, <<l viMilii'e pour — - !S A^ - dès que p

est supérieur a une eerlaiiic lumle finie. I,e lliéorènie du n" 00
nous permet donc d'aflirnier, non sculenieul que la fonction (3)

tend uniforuiiMuent vers zéro avec - dan< l'angle (2), mais encore

(Mie 1 on a, cpiclipie i;iMiid ipu' sinl 1 culicr posiiil /,■, la relation

« *

.^ \ : \ -T-'I<J) .^1(1— V7t

<i 1

OÙ £(j') joiiil di' l.i iniiiic pi'o|iiii'li'. I .e second uieiidinde celle
égaille' nous iliiiinc d<iiic le di'\ clcippcriient asyiiipIdlnpK' de la

fniiilniiM ■'> ( d.iMN 1 angle — •< 0 <C a~ —

Suit inaiulciliul 'i(r') = [ log(3 -{- ^)] -; celle fonetliiu c^l liolii-

(M Coin/itcs rendlis. a mars igoS.

PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SERIES DE TAYLOR. 121

morphe pour -=o, si l'on suppose ^ > i; d'autre part, un calcul
élémentaire nous donne

., p{- — r^^ i--loi-lo?p.cos'!/

\'^(oe''h\= e^^ '"-'? '^ ■'',

d'où il résulte qu'on a, quelque petit cjuc soit le nombre positif £,

I a(oe''W) I < (?'? pour £ 'J/ < -

' ' ' ' -il

dès que p dépasse une certaine limite. Dans le cas présent, les
conditions énoncées page 109 sont donc xérifiées pour a=o, .:j :=<>,
et nous arrivons ainsi à cette conclusion intéressante que la fonc-
tion enlière

(4)

'^^(-^-s [i^^T^r '">■

tend vers zéto lorsque x tend vers l'infini suivant un rayon
quelconque autre que l'axe réel positif {^ ).

Lorsque p > 2, les conditions de la page 109 sont vérifiées ponr
2/^=0 et pour une valeur de a comprise entre — 2 et — i. On
aura donc

£(x) tendant uniformément vers zéro avec - dans l'angle

quelque petit que soit s, et l'on en conclut immédiatement cjue,
pour j3 > 2, les arguments des racines de l'équation Ep(x) = o
tendent vers zéro lorsqu'on s'éloigne indéfiniment de C origine.
On peut rattacher à la fonction (4 j une remarque ingénieuse due
à M. Mittag-Leffler (-). D'après ce qui précède, l'expression

(') Cf. une Note de l'auteur insérée dans le Tome XXVII du Bulletin des
Sciences malhematiques (août igoS). D'aulres fonctions du même genre ont été
indiquées par iMM. iMalmquist et Mittag-Leffler ( Com/)Zei renrfus, 12 octobre igoS).

(-) Comptes rendus, 12 octobre igoS. Voir aussi un Mémoire de M. Mittag-
Leffler qui vient de paraître dans le Tome XXIX des Acta Malhematica.

lia cnM'iriiK v.

définit une fonriion cntii-re lendiint vers zéro suivant l'axe réel
positif, mais vers l'unité suivant Iciut autre ravon. En désif^nanl
par j3' un nomlirc réel sn|)éricur à limité et distinct de |3, on arri\e
donc à ccllr ((iiiriusion cui-ieuse (|ue la fonction entière

tend i>ers zéro lorsque x tend vers l'in/ini suivant ii/i rayon
fjuelconr/iie.

Ce paradoxe apparent s'explupie par celle remarc|ue que la
fonction précédente, bien (ju'elle converge vers zéro suivant un
rayon i|ticlr(in(pie. ne convci^i' iinifnrniénient \ers cette limite
dans aucun aii^le, si petit (pill soil. (|ul renferme j'iixe n'el |>osilif.
Il n'est guère possible il imaginer un exemple |>lus propre à mettre
en évidence l'importance de la iioiinn de eom-ergence uniforme.

58. En a|)|ilii|iiiinl ;'i \,\ lonclioii ii) la tormule i 8 i, jiagc 112.
avec m = 1 . on Irunxe

0
égalité valable juxii- loiil poiiil ./■ ïntt rieur à l'anjïle

(5)

<')

<

■}.- —

■>.

Ce résultai suhsislr ( iiiiiii' pour t u. pui'-ipie les conditions de
la page 1 o() sont \(''iilii''es |)our 'i,\^z) is 1 , .3 ;-:: o. et I un aui'.i donc

I — a: ~ ' , / t''-i^l- — I

dans tout le plan, exccpti' sur l'axe l'écd po>ilir. Cela pose', nous
allons di'monlirr la proposition suivante :

Lorsque le /xiranièlre t lend vers zéro par des valeurs posi-

tii-es, la f<ineti(in entii-re (\\ tend uniformément vers dans

tout domaine fini n'ayant aucun point commun a\'ec le seg-
ment I h-oo de l'axe réel.

Ceci ayant 1 Milciniiienl lu 11 dans toute aire intérieuie au cercle

PROLONGEMENT A.NALYTIOl K DES SÉRIES DE TAVI.OR. 123

I a; I =r I , il suffira de démontrer la proposilion pour un domaine X

n'ayant aucun point commun avec la partie o \-x> de l'axe réel.

A cet effet, fixons d'abord un nombre positif c-q tel que le domaine X
soit intérieur à l'angle (5) dès que 7<<Jo', on aura, pour tout
point X du domaine X, et pour c-^t,,.

(6)

Or, en posant 5 = a -+- /<, on peut conclure des calculs du n" oi
que le module de l'expression sous le signe intégral, pour les
valeurs considérées de x et de a- et |)oar les valeurs t de module
suffisamment grand, reste inférieur à une certaine exponentielle
c^^il'l, où r, > o. Il est donc possilile de trouver un nombre positif t
tel que les parties de l'intégrale ci-dessus qui correspondent aux
valeurs t supérieures à t' ou inférieures à — /', donnent une
somme numériquement inférieure, par exemple, à s, et d'autre
part, comme i — z'"- tend vers zéro avec a-, on pourra assigner un
nombre positif a-j< Tq tel que la partie restante de l'intégrale en
question, celle où t varie entre les limites — l' et t' , soit inférieure
en valeur absolue à s dès que g-<;Tj,. Le module de la dille-
rence (6) sera donc inférieur à 2£ pour tout point du domaine X
dès que a- < tJ,, et notre proposition se trouve ainsi démontrée.
Soit maintenant une série de Taylor quelconque

(7) 2"''^"'

0

ayant un rayon de convergence fini et non nul, et soit A son
cioile principale de com-ergence ('1, suivant la terminologie de
M. Mittag-Leftler. En s'appuyant sur un tliéorème fondamental
établi par M. Borel (-), on déduit immédiatement de la proposi-
tion précédente l'intéressante conséquence que voici :

Lorsque n tend vers zéro par des valeurs positives, la fonc-

( ' ) Le domaine A comprend, de cliai|iie rayon vecteur, le segment compris
entre l'origine el le premier point sinj;ulier de lu fonction (7) qu'on rencontre en
cheminant suivant ce rayon.

(-) Mémoire sur les séries di\.'crgentes, p. 63-G4 et i33-i3.'| ( Annales de l'Ecole
Normale, 1899) et Leçons sur les séries divergentes.

ia4 ciiM'iTiii-: V.

a»

lion entière 2^'-'''\Ta) corn-erge uniformément vers la fonc-

0

tio/i dr/inii' /ta/- /a série 7 o^x'-' dans toute aire Ji nie intérieure

u
à l'étoile \.

C'est là, nous semLlo-l-il, l'rxpmplc le |ilii> -nuiilo (inon [niisso
trouver de ces expressions limites, réalisant le prulongenienl d'une
série de Taylor en dehors de son cercle de converj^ence, dont
MAI. Borel. Mitlag-I^ciller. Palnlevé el d'autres ont ces dernières
années ciirirlii 1" Analyse. Du reste, cet exempli' uOl i|ii"ini cas
très parliculiiT d'un théorème général que nous avons démontré
ailleurs (^' 1.

39. Supposons niainl(Mianl vérifiées les hvpothèscs suivantes :

i" La Jonction »(-) est uniforme el ne présente (ju'un
nombre fini de points singuliers;

a" Ayant fixé un nombre positif arbitrairement petit z,
on peut trouver un autre nombre positif \\ tel que

|ç(pe''l')l <e=? po:r ç > R.

Le rayon de conxergenee de la série donnée sera égal à I iniili'
el, d'après le théorème di' la page 109, la fonction F(x) que définit
cette série restera holomorphe tant qu'on évitera le segment

I 1- 3C de l'axe réel. Cette branche de la fonction F(./") sera

appelée, dans la suite, la branche principale, et sera désignée par
F(^).

Mais nous allons voir que, dan> le cas présent, on pourra élu-
dici- la ('onction ViT) pour toute valeur <le .r. Soit, en eUct, — n
un ciilicr m'gatif infériciii- à la partie réelh' de c Ii.k un des pomis
singuliers de »(-)■ On |)ourra a|i|ili(pier la l'ormnle (()i (^p. wx)
pour /,==n, à condition de retranihiT de son second mcudire
l'expression

H / X • r ('fi-ii-'-'

(') Comptes rendus, .19 diiccmbrc 190a, et Journal de Afatlicmatii/Hcs,
t. I\, 1903.

PROLONGlîMENT ANALYTIQUE DES SÉRIES DE TAVLOR. 125

la somme s'élendant à tous les points singuliers de '^(:-) situés à
dis Lance finie. Remarquons en |3assant que <!>( ^) est une fonction
entière de logx, ce qu'on voit immédiatement en exprimant les
résidus qui y figurent par des intégrales définies, et en dévelop-
pant x-^ g^iogx suivant les puissances ascendantes de loga?.
On trouve donc pour F(x) l'expression sui\aiite :

W „ , -

, IX + I x

(8) V(x)=-S° ~''' -<t>(a-)- I 'l.(,r, ;)rf3,

1

OÙ — (« + i)-<a<C — ", expression qui est \alable dans tout le

plan, sauf sur la partie o (- ce de l'axe réel.

Je dis que le dernier terme de celle expression s'évanouit
lorsque n croit indéfiaiinent, si le point x est situé sur le
segment — ce i de l'axe réel. En ellet, en posant

a = — ( /i + - ) ; z = ci-i- il, X = e'^'h- ( r > i ),

on aura ^voir l'égalité (5), page i i i |

et, par suite, en vertu de l'hypothèse a" ci- ji^us,

1<1>(^, z) I < /•xe-'^l'. + '>»'' + '',
£ tendant vers zéro lorsque a tend vers — ». Comme l'on a

v/ï--i-<-</I|a| pour l'Kl-l

et

v/a^+/-<v/ï|/| |>nm- \t\>\v.\,

le module du dernier terme de l'expression (8) s^ra inférieur à
la somme

' e-'^'dl ^ -xi-x c---'+^'-' cil,

0 • I ï il

dont les deux termes s'évanouissent |)our a := — », dès que /■ > i .
Pour n = ce, l'égalité (8) deviendra donc,

(9) F{x) = -^'î^^-'P(,v),

126 CMM'irni; v.

en siippos;int d'abord la variable x réelle et inférieure à — i . Mais,
coninie rc\|)ression liguranl au second inend)re esl hnloniorplic en
debors du cercle | jr | = i , elle nous donnera le prolongenicnl iji-
la liiMclion !• (^j ) il;ms Inulc ( rttf ri'^Kiii. <'ii \ l'ilii du principe établi
au n" il. Donc :

Sous les conditions énoncées à la page 124, la fonction F(x)
esl holoniorjilic en de/iors du cercle | x | := 1 {sauf peut-être
à l'infini).

Menons une coupure suivant l'axe ri'el Je 1 à -~- x. Dans la
région extérieure au cercle | x | =; i et limitée par les deux bords
de cette coupure, la branche F(j7) sera représentée par l'ex-
pression ( ()), où l'argunicnt de x est coni|>ris enire o et iT.. cl la
diilérence entre la valeur ([ue prend cette branche en un point x
situé sur le bord supérieur de la coupure, et sa valeur au point
(■(irr<'^|iiiiiil,iiil du lioiil luIiTicur. sera égale à

expression rpii se rcduii à

(10) 2-t^(o(3)).r=,

la somme > sélendaiil .iu\ |Miiiits singuliers de C5(^;) situés ù
distdiiit' /inic.

Les valeurs de l'expression

(11) F,(ar) = F(T)-r-2-|^(ç(z)Jx-,

>\iv le liiiiil iiilcricur de l,i rcjupur'c 1 1- 00 se ciinfiiiuicul donc

avec celles (juc pi<iiil l.i biim lie principale l'\x) sur le bord
supérieur et, en in\(>(iuanl loujoui-s le |)rinei|)e établi au n" !). on
en conclut ipie F) (xj donne le prolongement de \\x) au delà

de la Coupure 1 hoc, lorsi/u'on la traverse de haut en bas.

Si 1 iiii traverse la uiciiic cnupurc de bas eu haut, le prulunge-
iiiciil Ai- !"(./■) (!Sl liiiiriii p.ii' I cxprcxsKui

la) Vx{!r) ï F(a-) — ait* r(Y(3))jr'.

PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SERIES DE TAYLOR. I27

Or l'expression (lo), étant une fonclidn entière de logM', admet
pour seuls points singuliers l'origine et le point à linlini, et notre
discussion conduit donc au résultat sui\ant :

Sons les conditions énoncées à la page ia4, la fonction F(x)
n'admet pas d'autres singularités que les points i , oo et o,
l'origine étant en général point singulier pour toute branche
de la fonction autre que la branche j)rincipale. En dehors du
cercle | a? | = i , cette fonction est représentée par V expression (9 j
qui, jointe aux égalités (11) 6/(12), permet d'en poursuivre
l'étude pour toutes les valeurs de x ( ' ).

60. Appliquons d'abord ce résultat au cas où 0(3) n'a pas
de points singuliers à distance finie. Alors, en vertu de l'Iiypo-
tlièse 2", !p(;) est une fonction entière dont le module croit
moins vite ipie e-'"', quelque petit que soit s.

Les égalités (i 1 ) et (12) se réduisent à F, (x) = F2(vr ) = F(.r),
et la formule (()) devient

17/ v" ?' — '"

(iS) F(a-) =— ^-i— ^— pour

l^l>',

d'où il résulte que la fonction F(j?) est uniforme dans tout le plan,
admet x=i comme seul point singulier et s'annule à l'infini.
Donc, d'après le théorème de Laurent, F(d;) est une fonction

entière de . sans terme constant (-).

X_ — I ^ '

Si, en particulier, oiz) est une fonction paire, récpiation (i3)
devient

F(.r) = — vl-\ + tpioi.

Pour X ^= e'", celte égalité s'écrit F(e'**)4-F(e~'^) = c5(o); donc

(') On a supposé tacitement que f{z) ne devient infini pour aucune valeur
entière de z. Mais il est facile de voir comment doivent être modifiés les résul-
tats qui précèdent dans le cas où celte condition n'est pas remplie.

(-) Ce résultat important a été établi à peu près simultanément par M. Le
Uoy {voir p. 348 du Mémoire cité plus haut) et par M. Wigert (Ofversigt
af Svenska VetenskapsaUadeiniens Fôrhandlingar, ifloo). Voir aussi un Mé-
moire de M. Leau {Journal de Mathématiques, 1899).

Ii8 CHAPITRE V.

la partie réelle de V{x\ se réduit à la valeur constante - »(oi

sur la circonférence |xl^i, si l'on suppose lu fonction -nz)
réelle pour les valeurs réelles de :.

Si '^1 r') est impaire, l'égalilé (iZ) prend la forme

F(.; = F(ij,

et l'on en conclut, en particulier, que la partie imaginaire de
F(j;j s'annule sur la circonférence |-r|= i-

Gl. Suit en second lieu 'f (;; une fonction rationnelle, cas où
les conditions de la page 124 sont toujours vérifiées, et soit a un
pôle de 'f>(^)- Si c'est un pôle simple, la partie corres|)ondante de
lexpression *^.r) s'écrit A.r". A étant une constante. Si a est un

pôle d'ordre /7i>i, il surviendra des termes en jr^logx

x'»(logx)"'~'. D'après l'égalité (9), on en conclut que, si les pôles
de '-ii :) ont tous leur partie réelle négative, toute branche de la
fonction F[X) tend \ers sero lorsque x s'éloigne iudéliniiiienl dans
une direction quelconque.

Soit, en particulier, !p(;^ = ;;-*, /, étant un entier positif, et
considérons la fonction

(M) F(x; = 2;?("J-r"=2J''

v = i

qui a fait l'oiijet des recherches de Lambert, Legendrc, Abel,
Kummer et de bien d'autres. On aura encore l'égalité (y), en dési-
gnant par 4>(jrj le résidu de l'expression

relatif à l'origine. Or, on trouve facilement, à l'aide de la for-

mule(9;(p. 33), que ce résidu est égala ^''^'^ ?*(^~^ )' ''"^ ^°^^^
que l'égalité en question devient

F(x> = ^-./-.2^--^?*(-;-.y .,'■,.-■;.

PROl-ONGE.MKNT ANALÏTIQUK DES SÉRIES DE TAn.OR. I '9

résultai dû à M. .loïKjuiore ( ' ). D'aulrf part, l'égalité (i i) s'écrit
5- ô, > .(log.r)*-i

F, IX) = F(x)-+-2-(— ^"— yy,--

Ces relations [lermettent d'étudier F(x) dans tout le plan;
pour A = I . DU rplruu\e les propriétés connues de log(i — x).

Les résultais du n" o9 restent eni-ore applicables dans bien des
cas où a(;;) est une fonction méromorphe, mais pour cette ques-
tion nous devons nous borner à renxover aux Mémoires de
M. Mellin, qui en a donné de nombreux exemples.

111. — \uin('ll(' inrtiiode de piolongemenl analyliriue.

tj!2. On arri\e à d'autres résultats généraux et dignes d'intérêt
en se ser\ant île la (ormule ( l\ ), page (ii (-'). Pour en faciliter
l'énoncé, nous admellrons d abord les livpolhèses sni\anles :

i" La Jonction ■:>{ z) esl holoinorphr jjoar lout poini z^-^it
faisant partie du denii-ptan t^o;

2" Quelque petit (jiie aoit le nombre positif i^ un aura

|ç( pe''V)|< e'P pour — - 1 1]; £ " ,

dès que p dépassera une certaine limite finie.

En posant /(;);= 'j(;) x^, on conclut immédiatement de la
seconde hypothèse que la condition (\) (p. 07), lorsque x est
réel et positif, est \érifiée uniformément jiour o^-z^n. quelque
grand que soit/?, et, par un calcul identique à celui delà page laà,
on démontre que la condition (B) est remplie si l'on suppose
o ■< j;- •< I . Pour ces \alcurs de x. on pourra donc appliquer la
formule (IV^ i avec m = o, ce qui donne

(1^ F(j-) = -ii(o)-+- H(.r)-i- I(x),

(') Bi/iang tilt Svens/,a Vetenskapsakademiens Handtingar. t. XV. 1888.
(-) Pour celle Seclion, voir pages 24-3'i de notre Mémoire cité au n" 35.

l3o 1 IIAIMTIIK V.

on

u, . r' a( (t) !••' — ai— il)x-'' ,

(3) Il ./■) = / -yi T ) .7" (/■:.

* u

L"<''lii(le ili" la Idiiiiiiiii .|iiriiii-e F(x) esl donc litmt'ni'-e à celle
des fonctions l!(j;) el l(J?).
F.ii [)ns;inl r = re''K on a

|.r"| = e-f-", jr- '■'| = e*':

dapivs riivpnllicsc ■>.°, le module ilo l'expression (jui dans (a)

lii,'ijri' sons le sif;ne intégral croîtra donc moins vite iiuc <'-(-" i^'-e)',
(|ii(li|Mr |iilil ijiie soit £, et, en raisonnant rniniuc .i la page ii-.*,
on l'ti <lc(liiil ce premii'f n'^ullat :

L'expression H(x) dé/inii une fonction 'inatylique <ie la
variable x ^ re''' qui es/ holomoriilw pour tout point du do-
maine

— 27r < 0 < 2TT. /• > o.

( hiani à l'cxpic^ssion li.r). mou> niin> iioinerons poui- le moment
à conslaler ipi'i'lle ih-linil une lonclion lioiominpln- à l'intérieur
du cercle | .r | = i , en excepl.int rorigine. ('.eci ri'snlte Immédia-
tement de l'inégalité

|t?lT).rî|<e '■ ',

(pu. l'ii \(;rlu de I liypotlièse ^i", suhsisic ;i patin d uni' \aleiir linie
(II- T. linéique |)etil qu'on se donne le nouilnr positif e.

La loncliini K(a^)esl Imloinorplic pour |.r j < 1 , puisque, il'après
I livpollièse a', le rayon di- convergence de la série donnée esl au
moins l'gal à un. On peni donc conclure de l'i'galité ( i i qui- H(.r)
esl égaleinenl liohnnoiplie pour |.r|<;i, saul à roiii;irie ipii esl
poiii I liiiinne de> fo ne lion-- Il ( .r i el I( .r) un point critiipw. c'esl-
a-iiiie un point singulier anloiir ilnqnel dilliTcnles lu .nulles de la
oncliiui -e permnlenl.

Désignons maintenant par H \X ) la lu .uielie di' l.i Icuielioii II i ./•)
ipii esl di'linie par linir'i^rale (•.>/) dans le dom.iine — - -^ 0 <.^ Jt,
et, de luénic, par li / ; la branclie de 1 1 .r i diliiiie par l'intégrale (3)

PROI.ONGKMENT AN'AI.VTIQl E DKS SÉRIES DE TAYLOR. iJ I

dans le domaine — t:<;0<^-, /• < i , et soient d'aiitie part H, (a;),
li(ic) les noiuelles liranclies de ces mêmes t'onctions qu'on obtient
en prolongeant H(.r), K x) le long- d'une courbe fermée faisant le
tour de l'origine dans le sens direct, et restant intérieure au cercle
1^1 = 1. Comme la somme H ( :c ) + ^i^) est uniforme dans ce même
cercle, d'après l'égalité ( i ), on aura

H^{j-}-h\i(x)=H(x)-hl(x},
ou bien

H I ( .ri = H ( .r ) -(- î ( .r I — ï I ( .r ),

et il en résulte que, dans le domaine où était défini H(j:), la
branche H^^x) ne saurait présenter d'autres singularités que celles
de la fonction \{x). Cette conclusion s'étend successivement à
toutes les branches de H{ .r), et, après un moment de réflexion, ou
arrive ainsi au résidtal suivant, qui nous paraît intéressant :

Sous les conditions ônoncées page lap, toute branche de la

fonction F(.r) peut se mettre sous la forme - ts(o) + ^{x) plus

ou moins certaines branches de la fonction I(^).

L'étude de la fonction F(.r) re\.'ient donc essentiellement à
celle de la fonction \(x) et, en particulier, les singularités
de V(x) sont toutes comprises parmi celles des différentes
branches de \{x).

Cette proposition reste encore vraie si l'on remplace la condi-
tion i" par la suivante qui est plus générale :

Quelque petit que soit s, on aura

|o(p e''!') I < e'^+^ P pour _J;£-,

dès que p dépassera une certaine limite, 2? étant un nombre
positif inférieur à ti.

L'intégrale ( i) définit dans ce cas une fonction holomorphe dans
le domaine |0j < 27ï — 2r, r^ o.

Remarquons encore que la seconde partie de la proposition ci-
dessus reste valable dans le cas où les conditions données sont
vérifiées, non pas pour »(:;), mais pour t3(«o+ ;), /«„ étant un
entier positif quelconque, pourvu toutefois que ^(3) soit holo-

! 39. 111 M'i I m; \,

iiiiii|ilic HII--.I >iii- le •.(••iiiiciil o'^tI".! '!'■ I .iM' K-i-l. ' )ii If \érifie
imiiic<luiti'iiii'tii . l'ii .ip|ilii|ij.iiii li'N i'i'^iiIiiiIn |)ré('édeal> ii \h série

> -il «„-(- •/ )jv.

Vt'.\. La |)rci|)ii-;ili(>ii priM-édciilc |i<riiiil ililinlui ci iiii|ilrlciii<'iil
\.i liiiiilion ViX) toiilc- \i'- liii~ (|ij nii sait ciili-iilci' I iiil<-f;rale \(t)
M)ii> loiiiic finie. ÎNiiiis i-n (loiiiitTons |>lus loin «les fi('iii|)lcs ; mais
(I aliiH'd iKiiis iii(li(|iier()ns un cas assez i;(''nt'Tal m'i I on [leiil poiir-
Slil\re Iriiiilc lie la liiiicliiiii II; cl. |>ar siiilc celle de la liinc-
licm l'"(./), |)Oiir loilles les \aleiiisde la \ analilc- j-. \dmc-|li)lis les
hypollièses suivantes :

1" La fonction si ; i rst iKiIdnior/ilir dans /<• ilinni-jildn -. I<».

a" L'angle 'i„ ('lunl ilnmir aussi grand (jii'im le vdiitlra, un
peut trouver un noinhre positif R lelf/ue, en posant z=:ze''K la
fonction C5( ; ) soit li(ihimnrplic pour — 'i,, i -i 'î •!/„, 2 R {sauf
peut-être à l'in/iiu).

.i" Oiichinr grainl ijuf sait y„ et quelque petit que sait r. an
aura, des tjur ; dépassera mu- crrtainc limile.

I ç( gcV) I < «"^P pour — t!(„i li" = 'J'u-

(ies ecinilitiiins [lorleiil sur la liranrlie principale de -^i z \. e esl-
à-dii'e sur eelle cjiii lidirnil les <cn>lli(icnls de la série donin-e.

\ I Ml - ,1 Ile 111^ n M m lier i| lie. .<'((/.< les iundilions rnancées ci-dessus,
la fonction \ , j- ) ne saurait firésenler, à dislance /inie. d'autres
points sini; ulicrs ipie. Vorigine et le point (/" =^ i . 0 ^ o).

Dc'sii^iiciiis |)ar ji.r. 'M riiilcmale / -iiZi.r'd:- prise île o à 30

siinaiil le i'a\cui lonnant a\ee I axe réel posilil I an^le '!/. supposé

(■(iiiiiiiiN cMiIre — - el - • Kii iiosanl ./• = /•<?'*'. c:^ s <?"»'. cui aura
I .^ ., I 1

I j.; I _ pp.|,.ir.-,-.i..i-0,ln'ii^

et ce Pin me ' 3(3 ) | Cl'cul me uns \ île (|ue »•'■• -iir le ra >c)ii eux isa^i'-. en
\(ilii de I livpotllèse i . iiii cil ciincliil. iii 1 .ii~i iiiii.c iil icunme à
la pa};e 1 1 ^. ciue I ( ,/ . ■!/ ) rc|ii'iNiiilc' une loue t uni ,111.1 1 \ I njuc ludci-
mcir|ilic' clan- le- dmiiaine I 1 •!< 1. dc-diii |i.ir le- iiief;alili--

( .'1 I Icij; r cco'i — 0-ill'i<ci. /• > Cl.

l'IlOI.OMiKMKNT ANAI.ÏTlQi: K DES SKHIKS DR TAYI.OR. l33

Je dis que celle fonclion donne le prolon»emeul de la fonction
I(x), définie par l'intégrale (3), à l'intérieur du cercle |^|^i.
Pour s'en assurer, on n'aura qu'à reprendre le raisonnement donné
page 9.3 et à ol)ser\cr (|ue l'on a sur l'arc \B, pour x réel et positif,

-Il ( cos'!/ liiB '- - ;

d'où il résulte que, si l'on sup|)Ose o < a; < 1 1 l'intégrale relative
à cet arc s'évanouit lorsque R croît indéfiniment.

IjC domaine T('!;) comprend les |ioiiiI.s iiiti'rlcurs à la spirale

(5) ,._ plJl a 1,1,-1

i*(iur •!> = (), celle-ci se confond avec la circonf('Tence /■ = 1 . \
mesure que [ -i | augmente, le domaine T('l*) s'élargit et embrasse,

pour 'il = - , tout point a>anl un argument 6 > o el, poiir'l>:= .

les points pour lesquels Ç) << o, d'où le résultat suiv.int :

La fonction \-(x) reste halomoii)hp ilc quehiuc manière qu'on
fasse varier le point .r, à condition iju' il ne vienne se confondre

ni avec F origine, ni atec un point situé sur le segment 00

du rcnon d'argument H = o.

Lorsque ' 'l . croit au delà de -1 on doit dans l'expression l{x, 'ii)

modifier le iliemin d'intégralion de manière à éviter les points sin-
guliers de la fonclion cs( ;). Pour fi\er les idées, convenons de
ciioisii' pour ce chemin le contour P qui se compose : 1" du seg-
ment o R de l'axe réel; 2" de l'arc de la circonférence |3|= H

compris entre les points r = R et ; = Ke''!'; 3" de la partie du
rayon d'argument •!> qui s'étend du point : ^ \ie''T' à l'infini. ( )n
suppose K choisi de telle sorte que '■^(z) soit holoinorplie à l'inté-
rieur el sur le contour de la région comprise entre l'axe réel positif
et le rayon d'argument 'L, et extérieure au cercle | : |^ R.
Dans ces conditions, l'expression

•T

représentera, poiii- toute valeur donné^e de 6, une fonction analy-
tique de x qui est holomorphe dans le domaine T('L), défini par (4),

|34 cinfiiHi; V.

et celle fonrlitm donnera ronstainiiii-nl le |ir(il<in<:einent de la foni--
lion I(^). lin efl'et. si les \aleurs i' el 'i" smil siil'fisaminenl rap-
proeliées, les domaines Tf-Vi el T('!/"") aiironl une pnriion coni-

miiin'. <l |i(nir liiijl |iiiiiil ./• i iilcncur .1 i cl le |pi n I h mi li~ cxuressious
l(./', 'V ) el \[x. y' I |irendr(iiil des \aleiirs <-^ales. ce (itron dé-
monlre en raisonnant ronmie |)a<;i- ().!. l-'.n interealanl entre o el 'i
une suite de xaii'iirs siiflisaiiiiiieiil ia|i|iri piln('> cl en couiiiarant
entre elles deux à deux les expressions l(j-, -l ) eorrespondaul à
ces \aleui-s. on arrivera donc au r(''siillal annoiie»'.

(\)iianl .111 1 1 Mina i ne T (•!/), sa forme se modifie sans ccs>i' loisiiue 'l

\ani'. \iii>i. Iiir--(|u<' < 'li < — 1 de soric ijue eos'i/<'o. ce

domaine coiii|iiciiil l,i jiorlinn du pi, m ijiii i->l ijlfiifiirr à la
■>|iiialc (^:")|,el. en |mi Innliri . |iiiiir ■!/ l^t:. la |ioiiioii cxli'r-icurc à la
ciii niih'Tciice | ,/■ | ^r 1 . l'uiii'j^— , Tl'Lisc n-i|iiil .iiiilumaiiic

0 <; o : pour — - < '^ <C — - • ce sera de iioin eau la |iorhon du iil.in

inlérienre à la spirale (5 I, Ia(|uellc, pour •]> = >.-. si' ciuilond a\ec
la circonlV'renee |x| = 1; cl ainsi i\c suite, l'oui- les valeurs nt'ga-
lives de -i. les choses se passeni il une iii.inicrc an.ilo^ue.

Cette discussion, ipii dc\ lemliail plus claire à I insijeelion «lune
figure, conduit à la conclusion •-ui\aiite : p.ntHiil par exemple d'un
jioiiil --itui'' sur le M'j;meul u — 1 dii r.iMni il .iiuii iiiciil ') = o. fai-
sons décrire à la \ariaiile ./■. A un iiiiun emenl iiiiilMrme. nue
courbe S qui iic pa>sc m par I unième, m p.ir le point ( /• =^ 1 ,
0 :=: o ). el (pu .ilioiitissi' ,1 un point cpicicc uii pie ./■ , distinct de ces
deux poiiil-: .111 piiiiiiM prescnri- .1 l'angle •!/ une \ariatiiui con-
liiuie. telle ipii' le |iiiiiil r . en di''CII\ant l.i cniirlie S. soit à cluupie
iiislaiil inteneiii an dom.iiiii' I ( '^ ' et ipn'. p. 11 siiile. I expression
\{x, 'h) soit lioliiiiiiiiplii' en ce point, («(uiime 1 1 .r. -i I dinine le
prolon;;emeiil de \[.c), d'aprè- ce ipii a i-li' dit plii- li.iiit. il en
ri'sultc ipie la tonclion h / e>t liolom.ii|ilie i-ii hml point de S f\.
en parlieillier. .111 poiiil ; ,. el comme eeliii-ei i-lail un iioiiit qiiel-
eompii' disl im 1 des points .r = o el (/• = 1 , 9 ^ O ), la pro|iosilion
<''nonc<'e an dilmt de ce numr-ro se li'onve donc d<''iniuiti'ce.

l'.n se l'eporlHiit maintenant à la proposilion d(''inonlr>''e pa^e 1 .! 1 ,
lUl arrive à I interessHiit i'i'suILiI que voici :

Si h's iiimliliiiiis ciiiincci's jiiii:f \.\\ Xd/it ri'ri/ii'i'.i , In /'d/ic-

PROl.ONCK.MENT ANALYTtQl K DKS SKHIKS Mi TAVLOR. t35

tion F'(-2") n>' saurait adnietire d' aiilri'a points singuliers que
I , oo (?< o yi'origine étant en général iioiiii singulier pour toute
branche de F(a;) autre que la hranche principale^.

l'oiir- iiiie ce résultai soil ;i[>|>li<;ilil(', il ■.iiHIi d'ailleurs que les
conditions dont il s'agit soienl m ri liées |iour 'ii n„ + "■ ), "o «^'anl l'u
entier |iosilil quelc()n(|ue.

iii. Nous indiquerons en quelques mots une généralisation tlu
résultat qui précède. En conservant les deux premières conditions
du n" 63, convenons de remplacer l,i liuisiriiie par la suivante
qui est plus f;én(''rale :

Quelque grand que soit 'Lu et (juelque petit que soit i, on
aura, à partir d\ine certaine i^aleur de p,

I tBlpe''!-)! <e'-^+£'p pour — ■j/.iltl/^^j,

3 désignant un nombre positif inférieur à r:.

A chaque valeiLr donnée i on pouria évidemment l'aire corres-
pondre un nombre réel K('i), inférieur à 2r et tel que, a tendant
\crs linlini, le produit

e-iK(.V)+£lp!3(pei'l)

tende vers zéro ou non, suivant cpie î><) ou £<<<). En raisonnant
("(unme au numéro précédent, on en conclut que l'expression
\{x, 'i I représente une fonction liolomorplie de ./■ dans le domanie

(6) liJg/- cosij/ — Osrii'l; -r- kci/ I < o, '' > o,

el que cette fonction donne le pr()lonjjemenl de l(x); le théorème
de la page lii noLis permet donc d'énoncer le résultat suivant, qui
révèle un rapport intéressant (>ntrc Ic-^ points singuliers de F(.j?)el
les pro|)riétés asymptotiques de -i^z-) :

Si les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées, les seuls
[loints singuliers que puisse présenter V {^x ) ci distance finie, en
dehors de l'origine, sont les points ,/ = /e'^ (pii restent exté-
rieurs au domaine ( 6 i quel cpie s<iii ■!>.

Comme R(t]>)<;S7, les points en tpieslion vcM-ilieronl à plus forte

l3ti rilM'ITIIK V.

raisnn lii rmiililioii lo*;/- cos-L — (isin-L -f- .3 > <>. quel qm- snit •!,
d où ci'tto iiiili'e cducliisiiin ;

Sons les con'/ilio/is nflntises ci-dessus, les poin(s si it souliers
de In fonclinn F(.r ), aulies que l'origine el le point à l'infini,
son! (nus i-i>n>pris ù l' indrii'ur de la courbe fermée

r = e^'^^^^\

enveloppe des spirales ln^/-o(»s'i/ — 0 siu-i -»- 2? = o correspon-
dant aux di IJérenles râleurs de l'anf^te -j.

l'niir- .3 = (>. la r(iml)c en ijucslioii se i-imIiiIi au seul poinl x ^^ i ,
de sorte que lun retiome le lln-dn'iiii- <lii ii ' \\',^.

• )'». I!e|ifeii()iis li-s hypolhèses ilu ii" )>l{ ci les n(ptaliiiii> du ii" (ii :
un auta à I luIiTieur du ceiele I .j- 1 = i

F(x)= -ï.(o)-t-H(j-)-^ f

X" 0( T) il-..

et d'autre part, en désij;iianl. roinnie à la page i ■>.(>. par F,! x) la
branche de la fonction V{x) qu'on obtient en prolonfjeant F(./'^ le
long d'un clieniin faisant le tour du point x =: i dans le sens
rétrograde, il n'-sulle des eoiisidi'iatKius des pages i.i.i-i.îj ipi on
aura dans le uièuie cercle

F| (.r ) = - 3(01 — H( .r I -^ / r--i{z\dz.

le contour' 1" ('-tanl ccpinpos»' : i" du sej;incnl d — -R de I a\e n'-el:
a" de la circoiift'-rence Cn de ccnli-e n el de imvou \\ ( parconiin'
dans le sens direct); .5" du seguicnl R x de l'axe réel. (^)uanl

au nombre R, on doil le <'liiii-ili- a-.sez grand pour que la branche
principale de 3( ;Woil lu iliuii. m plie pour o *^ «i "? -i — . ; R.<'C (jui
e>l possible en \erlii des li \ pi illiescs du ii ()l{.

Les égailles pi r'cedenles itielleiil en ('N ideuce certauis cas géné-
raux où Ton poui'ia liiiiivei' piiiii 1.1 (bniTciU'c l""i ( ./' i — I* ( j: I une
expression valable dans Imil le plan.

(a). La hranilii- pi inripalr de -n z) est unifornir à l' infini.
— Le nmiibie \\ liant deteriiiiué coinuie il ,i ele dit, ^{z) sera

PROLONGEMENT ANAI.VTIOl K DES SÉIIIES DK TAVr.oR. l37

uiiiforiiip el lioliMiiorplie eu cleliors de Cr et sur celle circdnférence,
d'où l'on déduit

Fi(,r) — F(.r ) = /

T~ tai z ) dz.

Or, d'après le ihi'orfiue de Laurent, la fonction 'j(;) sera repré-
sentée pour I 3 I ii K par un développement de la forme

!i(2 ) = V Av;\

qui reste uniforiuiMuenl (■(mvert;ent sur C„, el en le substituant
dans l'égalité pri'cédente. on aura

Fi(3:) — F(a-) = -2-/^^^^"j'' (losr)"-'.

Le second membre est une fonction entière de logj". On peut
ainsi étudier la fonction F( j") dans tout le plan.

(|3). La fonction 3(5) est uniforme dans tant le plan et ne
présente qu'un nombre fini de points singuliers. — Dans ce
cas, on retrouve un résultat établi au n° o9 :

F,(.r )— F(a-) = ■>.-«' ?{<^(z))x^.

y). tp(;) r= lojjRi z), R( ;) étant une fonction rationnelle. —
Soient (7|, a,. .■■■, a„ les affi\es des zéros et des pôles de la fon(--
tion R(;), situés à distance (înie, et soient 1x1, jjij, ..., u„ leurs
ordres respectifs [[Av étant un entier positif ou négatif suivant que
le point (7v est pour R(s) un zéro cui un p(Me]. l'iii- une di'forma-
tion continue, on jjourra ramener le rontour 1" di-lini plus haut à
une suite de lacets, partant de l'cu-igine et rent'ermant cliacun un

seul |)oint (/, [tins le segment o h as de l'axe ri'el. On trouve

ainsi, par un calcul facile que nous devons laisser au lecteur,

F,(j-i — F( x) =— :r— — 7 'Jtv.r"',
lo£;,r té^

i38

CIIAIMTIIK \.

éfjallli" qui mel en é\iden<f le caiaclrre des dillérenles branrhes
de la foiirlioii duriiiée.

fit). I'",ii liTiiiiii.ial. .i|i|ilii|iiiins les considérations ijiii nn-i-rdi-ni
a un eM'inplc assez iin|)(iilant. Faisons -i(;)^ ;"'et supposons la
partie n-eile de s nega/ne: -siz) s'annulera à l'oritiine. et la ("onc-

Iriiii |'( ./ I s ('irira

Les ((iiiililiinis (lu n" (Jo ^nnl M'riliées, sauf (|u<- la fnnriiim s^:;)
n est pas liol()iiior|)lie à I onf;inc. Mais, romnie elle v prend une
valeur- (inie et ih'lerniinée, les ri'sultats pr('c('-(lenls seront encore
vMJaiiio. ( ciiiiini' lin Ir voil en iippli(|uant la lorinule (\ ) de la
page (il avec «i = i , et en tenant compte de la noie de la pat;e (io.

Dans le cas présent, l'intéj^rale i(xi se calcule sous i'urnie linie :

1(3?)== / j7Tt-s</-: = I"i I — i)Mog - y ,

et I expression H(x) s'écrit :

H(x) = — .2 / / s sin ( / logx— — ) —

de soi'lc (juc ! i'j;alili- i i i U(pu> <lnini<'

dt

di

F(x,j)= r(i — s)Mogij' —,j /-<Mn(H..g,r — ■^V.i^F

< )ii sct'ilie apsé'inenl sur ccl cmih |ilc le» rc-ull.il- ilii n" (i)!. l-'.n
|jarliciiliiT. Ifs sciii~ piiiiils singuliers de I ( ./■ i sont I orit;ine, le
point à I iiilini cl le poiiil ( /• = i, O^o). Donc aussi, d'après la
pafj;e i.'Ji, F(.r, .«) //V/'//;/c/ prix f/'ttiitrt's points si n-,'!/! iris qui'
I . X ('/ n. I ) .iillciirs I (irii^iiie (-1 illic |i \ cini'iil peu ni siuijuliei- pour
loule hrani'lie de l'"(^.r, ,v ) aulrc (pic la liranclic principale.

I) aiilrc part. on constate aisi'iiicnt ipic toii/r hromlif ilf V\x.s.^
li'iitl ms zi'ro /iirsi/ii lin s' rlni^nr iiuléfininifiil ili' I iirii;in<\
dans une dircclioii di''lcriiiini-e i|iii'lconipie [cf. le n" .'irj ).

La fonction II (./' i l'tant lioloiiiorplic au point .i- = i , lui peut la
di'xeloppiT en si'rie coii\erf;ente siiiv ani les puissances asiciidantcs

PROLONGEMENT ANALYTIOl'K DES SÉItIKS DE TAYLOR. I Sg

dé logir. Les coefficients de ce développement, qui se présentent
d'abord sons forme d'intégrales définies, peuvent s'exprimer simple-
ment à l'aide de la fonction ^(•s), en vertu de l'égalité (8) de la
page io4. On trouve ainsi (')

oc

()ue\ est le domaine de convergence tle ce développement? On
pourrait évidemment le déduire des propriétés de la fonction '^(s),
mais nous préférons nous servir de nos résultats généraux. Les
points singuliers de H(j) sont l'origine et le point à l'infini, ainsi
que le point x = i lorsqu'on y arrive après avoir fait le tour de
l'origine, c'est-à-dire avec un argument 0 qui est un multiple
entier positif ou négatif de 2-. La plus petite valeur du mo-
dule I logx I correspondant à un |)oint singulier de H{^) ou
de log.r, est donc précisément égaie à 2iî, et il en résulte que
le dévelo|)penient (^) reste convergent tani (pic | log.r | ■< 27:,
condition (lui est vérifiée flans le domaine limité par les deux

courbes /■ = r^> "t'-'J' et /■ = g-' ■•'^' '''.

On aura un développement analogue de l'expression H(x),
avec le même domaine de conYergence, toutes les fois que sont
vérifiées les conditions du n° (î2.

Nous avons supposé jusqu ici la |)artie réelle de s négative, mais
il est facile de lever celle restriction. En efl'et, en se servant d'un
artifice bien connu dû à Riemann, on arrive à cette nouvelle
expression de H (a") :

H(j

le contour C se composant, par exemple, des parties suivantes :
i" le segment oo /,- de l'axe réel ( o <^ A' < 1 ) ; 2" la circonfé-
rence I < I = A", parcourue dans le sens direct; S" le segment /.' -oo,

de l'axe réel. Cette expression est valable pour toutes les valeurs
de .?, sauf les valeurs entières, et l'on en conclut que, sous les

( ' ) Ce résultat peut se déduire aussi d'une fnniuile générale très remarquable
établie par M. Mellin (Acta Soc. Scient. Fenn.. t. X\IV. u" 10, p. 39-43 et
t. X\IX, n° '1, p. 4>-44).

i<0 nuM'iriii V.

mêmes conditions, la fonction Hi.r) est holomorplie dans !•■
domaine — at. <C.h <Z at.. /■';> o. Donc, dans tous les cas, i, x
et o seront les seuls points singuliers de F(x,s). D'autre part,
l'expression ci-dessus jx-ul évidemment se déseloppcr en série
con\erf{ente siii\anl les |)uissances iisceiid;iiile>. de loyj". et comme
les coefticienls de cette série sont des foiiclions analvti({ues de i et
qii ils doixent roVnr-ider ii\er les coefficients correspondants du
déselop|iemenl (-| lorsque la paitie réelle de .v est négati\e, il en
résulte que ce dernier développemeni reste valable |)our toutes les
valeurs de s, sauf les valeurs entières et positives.

Substituons maintenant dans la l'oriiiule ( -) .« ^ /■ -(- î, /■ étant
un entier positif supérieur à lunili'. < )ii dr-duit f:<ciieiiienl des pro-
priétés connues de r{ x I :

r(i — s)= l'ii — A — s I - — J^ -^ A,,^ V,e-^...,

avec

(— I)*-' . (— I)*-' / I

R = ' , . A„ =

\ 2 A — 1 /

C étant la conslaiilc d'Euler, et d'autre part ou a. d'après la

;|.< — (^ — ll| = ;(l -1-6)= - -l-C-t-

page ici

Lu faisani liinlir- ; vers zéro. <>ii Irouveia (jonc poui- la Ibnc-
tion ( i4 ) ( p. I al^ ) ce nouveau développemeni ( ' )

•I- 1

où I accent aireclaiil la deruière somme signilie que la valeur
V = X' — I est exclue. i^e> coeflicienls de ce dt'-veioppenieul, inii
converge pour | log.r ( ■< vtit, se simplilieul d'ailleui>, i;iàce aux
rclaliuii- ( ()) ( p. .i.i) el (9) (p. loj).

( ' ) Ce di^vclnpprmi-nt pcul se déduire iiii^si des rt'siillïls nblenus y»y Kiiiiiiiirr
(Journal de ('relie, l. il ; voir en parliriilicr p. 3V>).

PHOI.ONGKMENT ANAI.VTK1I !•: DKS SKIIIES HK TAVLOIt. l4l

A la fonction F(.r, .s) se rulhiclicnt daulrcs t'oiiciions inléres-
sanles, par e\eiii|)le

3C OC

V -in( logv).r'' et V(log-/)3;>,
I I

dont la première a été considérée par M. Hadaniard dans sa Thèse.
Noire méthode permellrail de même d'étudier complètement la
fonction plus jiéuérale

se

( w -H V j*

Mais nous devons laisserai! lecteur à développer ces applications
et bien d'autres qui se déduisent facilement de nos considérations
générales.

FIN.

TABLE DES MATIÈRES.

Préface.

Index. . .

CilAPITRK I. — PrIXCIPKS ET THÉORÈMES FONUAMKNTArX. . .

Chapitre II. — Applications diverses du calcul des résidus.

l. — Fonctions symétriques des racinex d'une éijualion. — Développe-
ment des fonctions implicites 20

II. — Quelques applications aux fonctions méromorphes . 3o

III. — Calcul de quelques intégrales définies 4^

Chapitre III. — For.mules sommatoires tirées du calcul des résidus 5a

I. — Recherches de Cauchy. — Transformations diverses des for-
mules générales 52

Aotes historiques 68

II. — Quelques applications des formules précédentes 6g

III. — La formule somniatoire d'Kulcr et autres formules analogues. . . -75

Chapitre IV. — Les fonctions r{x), '^(s), '^1 s, w) H-j

I. — Expressions diverses de log r(a;) et de ses dérivées sous forme

d'intégrales définies g-i

II. — Développements asymptotiques de log I" ( ^ ) 146

III. — Les fonctions Ç( s ) ei Ç( .s, w ) 102

Chapitre V. — Applications au prolongement analytique et a l'étude
asymptotique des fonctions définies par un développe-
ment DE Tay'lok , ; 1 08

I. — Deux théorèmes généraux 1 08

II. — Applications diverses. i ig

III. — Nouvelle méthode de prolongement analytique 1^9

FIN DK LA TABLE DES .MATIERES.

35785 PXKIS. — I M IMU \I i: li I K <; V I I H I K H - V I Ll. \ HS ,
Quai (les Oramls-Ausustiiis, 55.

QA Lindelof, Ernst Léonard
331 Le calcul des résidus
L5 et ses applications à la
théorie des fonctions

Applied Sci.

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