(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Lecciones de aritmética elemental razonada"

This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project 
to make the world's books discoverable online. 

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject 
to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books 
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover. 

Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the 
publisher to a library and finally to you. 

Usage guidelines 

Google is proud to partner with librarles to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the 
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to 
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying. 

We also ask that you: 

+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuáis, and we request that you use these files for 
personal, non-commercial purposes. 

+ Refrainfrom automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine 
translation, optical character recognition or other áreas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the 
use of public domain materials for these purposes and may be able to help. 

+ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find 
additional materials through Google Book Search. Please do not remo ve it. 

+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just 
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of 
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner 
any where in the world. Copyright infringement liability can be quite severe. 

About Google Book Search 

Google's mission is to organize the world's Information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers 
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web 



at |http : //books . google . com/ 




Acerca de este libro 

Esta es una copia digital de un libro que, durante generaciones, se ha conservado en las estanterías de una biblioteca, hasta que Google ha decidido 
escanearlo como parte de un proyecto que pretende que sea posible descubrir en línea libros de todo el mundo. 

Ha sobrevivido tantos años como para que los derechos de autor hayan expirado y el libro pase a ser de dominio público. El que un libro sea de 
dominio público significa que nunca ha estado protegido por derechos de autor, o bien que el período legal de estos derechos ya ha expirado. Es 
posible que una misma obra sea de dominio público en unos países y, sin embargo, no lo sea en otros. Los libros de dominio público son nuestras 
puertas hacia el pasado, suponen un patrimonio histórico, cultural y de conocimientos que, a menudo, resulta difícil de descubrir. 

Todas las anotaciones, marcas y otras señales en los márgenes que estén presentes en el volumen original aparecerán también en este archivo como 
testimonio del largo viaje que el libro ha recorrido desde el editor hasta la biblioteca y, finalmente, hasta usted. 

Normas de uso 

Google se enorgullece de poder colaborar con distintas bibliotecas para digitalizar los materiales de dominio público a fin de hacerlos accesibles 
a todo el mundo. Los libros de dominio público son patrimonio de todos, nosotros somos sus humildes guardianes. No obstante, se trata de un 
trabajo caro. Por este motivo, y para poder ofrecer este recurso, hemos tomado medidas para evitar que se produzca un abuso por parte de terceros 
con fines comerciales, y hemos incluido restricciones técnicas sobre las solicitudes automatizadas. 

Asimismo, le pedimos que: 

+ Haga un uso exclusivamente no comercial de estos archivos Hemos diseñado la Búsqueda de libros de Google para el uso de particulares; 
como tal, le pedimos que utilice estos archivos con fines personales, y no comerciales. 

+ No envíe solicitudes automatizadas Por favor, no envíe solicitudes automatizadas de ningún tipo al sistema de Google. Si está llevando a 
cabo una investigación sobre traducción automática, reconocimiento óptico de caracteres u otros campos para los que resulte útil disfrutar 
de acceso a una gran cantidad de texto, por favor, envíenos un mensaje. Fomentamos el uso de materiales de dominio público con estos 
propósitos y seguro que podremos ayudarle. 

+ Conserve la atribución La filigrana de Google que verá en todos los archivos es fundamental para informar a los usuarios sobre este proyecto 
y ayudarles a encontrar materiales adicionales en la Búsqueda de libros de Google. Por favor, no la elimine. 

+ Manténgase siempre dentro de la legalidad Sea cual sea el uso que haga de estos materiales, recuerde que es responsable de asegurarse de 
que todo lo que hace es legal. No dé por sentado que, por el hecho de que una obra se considere de dominio público para los usuarios de 
los Estados Unidos, lo será también para los usuarios de otros países. La legislación sobre derechos de autor varía de un país a otro, y no 
podemos facilitar información sobre si está permitido un uso específico de algún libro. Por favor, no suponga que la aparición de un libro en 
nuestro programa significa que se puede utilizar de igual manera en todo el mundo. La responsabilidad ante la infracción de los derechos de 
autor puede ser muy grave. 

Acerca de la Búsqueda de libros de Google 

El objetivo de Google consiste en organizar información procedente de todo el mundo y hacerla accesible y útil de forma universal. El programa de 
Búsqueda de libros de Google ayuda a los lectores a descubrir los libros de todo el mundo a la vez que ayuda a autores y editores a llegar a nuevas 



audiencias. Podrá realizar búsquedas en el texto completo de este libro en la web, en la página lhttp : / /books . google . com 



2 QA 103 B54 LAC 
2 

THE latín AMERICAN CXHXECTION 

of 

THE UBRART 
THE UNIVERSITY OF TEXAS AT AUSTIN 







THE SIMÓN LUCUIX 
RIO DE LA PLATA LIBRARY 



Purchased 
1963 

103 



EPTEV Áivfrrjc/i:: ccluíction 




•kf 



ff/f. 



m 



:4^^É:^-€^ 







DE 



'fe 



ITMITÍCá 

ELEUMTAL UlMhU 

Elí LAS QUE SE COMPRENDEN TODAS LAS MATERIAS 

QUE SOBRE ESTA CIENCIA EXIGE 

EL PROGRAMA OFICIAL VIGENTE DE LAS EsCl ELAS PÜBLKWS 

DE PRIMERO Y SEGUNDO (fRADO 

Agrimensor Fabuco, Profesoí' de Matemáticas del 

Instituto Meleuse y ex-Catedrático de esta asaj- 

nutura en el Ateneo del Uruguai) y Colcgto Hispano 

Uruguayo de Montevideo. 



!;®^ 



Villa de Meló 

Tip. y Ene de El Deber Cítico- Calle 25 de Mayo iiúm. 209 



1894 



,gV|«^.-ÜV 






\;s) 



^í 



lA 



103 
B54 
LAC 



8775 



Bertrán, Alberto 

Lecciones de iíritinética; elemental 
en las que se comprenden todas las ma 
sobre esta ciencia exige el profTraniá 
vigente de las escuelas publicas de p 
segundo ^ado. Villa de Meló, El Deh 
1S94 



Simón Lucuix ^ 



557í 



AijñmviíHür Páblko, Prúfesúr de Matmíúticm del 

Imtitutú M^l€fue ^ c^-CafedrfHico dfi f\-:¡ta usif/- 

mttitm m e¿ Aietieo del Ürugumf ^ Cole^ii} lífspmiQ 

Urií^uu^o fir Monteindeth 




Villa de Meló 

Til)- y Hiu^ dfi El 1í£Mke Cívico- Calle 2Í5 de Mayri iiíim. 2(íü 

1694 



*-Bri- 



ñ 



▼ 



Esta obra es propiedad del autor, 
quien se reserva los derechos que la 
ley le concede. * 






Notas 



1*, Un número encerrado entre paréntesis, así: (12), 
quiere decir que la materia de que se trata está fundada 
en lo dicho en el párrafo 12, el que deberá ser consulta 
do para la mejor comprensión. 

2*. Los párrafos escritos con letra de menos cuerpo, 
pueden suprimirse después de la primera lectura. 



Prólogo 



Al terminar eíi el Instituto Melense el curso preparato- 
rio que se abrió al inaugurarse dicho establecimiento el 24 
de Julio próximo pasado, rae encontré con una colección de 
lecciones elementales de aritmética razonada, preparadas du- 
rante los cinco meses escasos que expliqué dicha asigna- 
tura en aquel centro de ensefianza. 

Teniendo necesidad de repetir el año entrante la expli- 
cación de estás lecciones en el citado Instituto y creyendo 
que puedan servir también de texto para las Escuelas Pú- 
blicas de 1 f y 2 f Grado, puesto que abarcan todo el pro- 
grama de aritmética de las expresadas Escuelas, me he de- 
cidido á publicarlas, sintiendo, sin embargo, toda la descon- 
ñanza propia del que escribe por primera Vez y tiene que 
competir con un gran número de obras de igual naturaleza, 
tanto nacionales como extranjeras y que circulan con gene- 
ral aceptación. 

Decidido, pues, á publicar mi colepción de lecciones do 
aritmética, creí necesario modilicar un poco Jos apuntes que 



VI 



había tomado tle porción de aritméticas españolas y traiice- 
sas, á íiii de que apar^'zcaii lo más orií^iiiales posibles, tan- 
to en el método, como en la sencillez y claridad en la ex- 
posición de cada una de las diferentes teorías que abarcan los 
principios de Aritmética Elemental. 

No he creído conveniente seguir las huellas trazadas por 
la mayor parte de los autores de Aritméticas Elementales 
destiuíidas á la Enseñanza Primaria, por cuanto se proponen 
inculcar esta ciencia en la mente de los niüos de un modo 
empírico; creo, por el contrario, (jue desde los primeros pa- 
sos que se den en la ciencia de los números, es preciso acos- 
tumbrarse á seguir una marcha rigurosamente deductiva, no 
admitiendo ninguna regla sin (pie esté plenamente demostra- 
da y lógicamente enlazada con otn^ pvhicipios evidentes ó 
ya demostrados. 

De esta manera no se fatiga la memoria del nifio con acu- 
mulación de reglas que difícilmente son retenidas por no ha- 
ber sido previamente demostradas y comprendidas; luego 
pues, el estudio de mis lecciones de Aritmética Elemental 
Razonada, bajo este plan, será de gran utilidad, tanto para 
los que no reciban otros conocimientos superiores, como pa- 
ra los que cursen después el estudio de las matemáticas. 

No teniendo estas lecciones otro objeto que el de servir 
de texto á los alumnos de las Escuelas Públicas de 1 f y 
2 f (irado, y á los que se preparen para ingresar en la sec- 
ción de Enseñanza Secundaria, me he ceñido extríctamente 
al programa oíicial para dichas Escuelas y al de examen de 
ingreso publicado este año por la Universidad de Montevi- 
deo, por cuyo motivo no he incluido en estas lecciones la 
teoría de las potencias, raices, razones, proporciones, de in- 
terés simple y compuesto, de aligación, compañía, etc., por 
que creo que estas teorías deben estudiarse al cursar el pri- 



vil 

mer año de Matemáticas, y solo como apéndice explico lige- 
ramente la teoría de los números primos, máximo común di- 
visor y mínimo ccmún múltiplo; pero en cambio he dado ma- 
yor extensión al sistema métrico decimal, presentándolo más 
completo que cualquier otro autor, pues que, además de su 
clara y racional exposición, y de las equivalencias de lai 
medidas antiguas de este país, de la Argentina, Brasil é In- 
glaterra, comparadas con las del nuevo sistema, he calcula-- 
do las equivalencias de las medidas métricas con las anti- 
guas de los países expresados, cuyas relaciones son muchas ve- 
ces necesario conocer, y sobre todo, su conocimiento es indispen- 
sable á las personas que se dedican al comercio ó á la in- 
dustria. 

Las operaciones con los números denominados son expli- 
cadas con suñciente extensión y claridad, de modo que los 
estudiantes quedarán habilitados después de su estudio, pa- 
ra resolver con facilidad y sin error, cualquier problema nu- 
mérico de la Índole de los que se presentan en el curso de 
esta obra. 

Fara la más íacil comprensión de cada teoría, al ñn de 
ella se encuentran porción de ejem})l()S y problemas resueltos, 
y algunos ejercicios para resolver, cuyos problemas y ejer- 
cicios prácticos, intercalados por toda la obra, sirven de po- 
deroso estinmlo para (lue el estudiante adíjuiera facilidad en 
la resolución de los diferentes problemas ([xm puedan presen- 
társele. 

La publicación de esta obra tiende á llenar el vacio que 
se nota por la falta ih\ una Aritmética Elemental Razonada, 
arreglada á los programas vigentes de Instrucción Primaria. 
8i estas lecciones consiguen llenar este vacio y merecer fa- 
vorable acogida por parte de las autoridades escolares y pro- 
fesores de la República, mis deseos quedarán complacidos, 



VIH 

sin renunciar por esto á correjir todo lo que se^i necesario, 
en otra edición, ya sea por observación propia ó por las que 
se dignen hacerme los señores profesores que la estudien y 
hagan uso de ella en sus clases. 

Sin más mérito^ que la aspiración de contribuir con mi 
grano de aren^ á la causa de la Instrucción Pública, someto 
este pequeño trabajo al juicio de las personas competentes 
en la materia, rogándoles se dignen hacerme las observacio- 
nes que juzguen necesarias para el mejor perfeccionamiento 
de la obra. 

Meló, 2(i de Diciembre de 18í)2. 

Alberto R. Bertrán. 







LECCIONES DE ARÍTMÉTICA 

Elemental Razonada 



LECCIÓN I 

IVociones preliminares 



!• La Aritmética es la ciencia que enseña á ex- 
presar los numeraos, á componerlos y á descompo- 
nerlos, 

S. Llámase número á una sola cosa ó á la reu- 
nión de varias cosas iguales, como una manzana, 
cinco metros, doce libros, cien árboles, etc. 

3. Iilámase unidad á cada una de las cosas 
iguales que componen el número; por ejemplo: si 
decimos i|nince naranjas, la unidad es la naranja; si 
(lecin)os cincuenta niños, la unidad es el niño. 

4t. Llámase cantidad todo lo' que se puede re- 



v) _ 



presentar por números exacta ó aproxinutclaniente, 
como la distancia entre dos pun:os, el peso de un 
objeto cualqnieí'a, el tiempo (jue está un niño en 
la escuela, la superficie de un salón, etc. 

Generalmente se define la cantidad, diciendo que es todo 
lo que es susceptible de aumento ó disminución, cuya definición 
la creemos defectuosa, por cuanto abarca mucho más de lo que 
se quiere definir. — El cariño, el odio, los placeres, los dolores, lo 
bueno, lo malo, etc., puede aumentar y disminuir, ser más ó 
menos; sin embargo, ni las afecciones, ni los conceptos mora- 
les son comparables á unidad alguna determinada, por consi- 
guiente, no siendo posible apreciar su valor por nümeros. no pue- 
den ser cantidades, aritméticamente hablando. 

5. La cantidad se divide en continua y discre- 
ta ó discontinua. 

Se liania cantidad contínua, la que se compone 
de partes unidas entre sí, como la longitud de un 
camino, la superficie de un terreno. 

Se llama cantidad discreta ó discontínua, la que 
se compone de partes que pueden separarse unas de 
otras sin destruirse, como cien soldados, diez na- 
ranjas,- cuatro pesos. 

La cantidad continua es mensurable, y la dis- 
creta numerable; de la primera, se ocupa la Geome- 
tría, y de la segunda, la Aritmética. 

G. El número ¡uiede ser entero, quebrado v mix- 
to. 

Numero entero, es el que representa una ó va- 
rias unidades justas, sin partes de ella, como seis 
metros, cuatro pesos, nueve peras, quince horas, 
cien pizarras, etc. 

NÚMERO QUEBRADO es cl que representa una ó va- 
rias porciones de la unidad dividida en partes 
iguales, por ejemplo: si dividimos una nararya en 
cuatro partes iguales y de estas tomamos una so- 
la, habremos tomado un- cuarto de naranja; si to- 
mamos tres porciones, tendreruos tres cuartos de 



naranja, cuyos números se representan así: i, |, y 
se llaman quebrados 6 números fraccionarios 

Ti-es cuartos de peso yf), (los tercios de año (§^, 
ínedio metro de paño (¿), etc.. son números que- 
brados ó fraccionarios. 

NÚMERO MIXTO, es el que se compone de entero y 
quebrado, como ocho metros y medio, cuyo núme- 
ro se esciibe asi: 8^: una hora y tres cuartos (1 f); 
seis |)esos y dos tercios (6§), etc. 

TT. Los números pueden ser abstractos 6 concretos. 

Numero abstracto, es el que no determina La es- 
pecie de la unidad á que se refiere, como seis, do- 
ce, quince, cien, mil, etc. 

La unidad en abstracto se llama uno. 

NÚMERO CONCRETO, es el que se refiere á una uni- 
dad determinada, como cincuenta naranjas, diez 
árboles, ocho niños, cien libros, etc. 

Los números concretos, pueden ser homogéneos 
ó HETEROGÉNEOS. — Son homogéncos, cuando se refie- 
ren á unidades de la misma especie, como seis 
metros, (»cho njetros, cien nnetros; son heterogé- 
neos, cuando se refieren á unidades de diferentes 
especies^ como cinco mesas, ocho sillas, treinta man- 
zanas. 

También se dividen los números concretos, en 
complejos é incomplejos. 

Se llaman complejos, los con/puestos de dos ó 
más concretos de diferente especie, pero de la mis- 
ma naturaleza) como nueve arrobas y seis libras; 
un año, dos meses y cinco días; seis cuadras, trein- 
ta varas y dos pies, etc. 

Se llaman incomplejos, los concretos que se re- 
fieren á una sola especie de unidad^ como nueve 
pevsos; doce metros; cinco arrobas; etc. 

La Aritmética se divide en dos partes principa- 
les: numeración y cálculo. 

S.La NUMERACIÓN, es la parte de la Aritmética que 
enseña á formar y expresar los numeraos. 



El cálculo, es la parte de la Aritmética que en- 
seña á hacer ciertas operaciones con los números, 
de modo que se obtengan resultados más rápidos 
que por medio de la numeración. 

Las operaciones fundamentales que abraza el 
cálculo aritmético, son las siguientes: adición, sus- 
tracción, multiplicación y división; las de adición 
y multiplicación se llaman (.peraciones de compo- 
sición; y las de sustracción y división, se llaman 
de descomposición, por ser inversas de las anteriores. 



LECCIÓN II 

IVumeración 

9. Hemos dicho que la numeración es la parte 
de la Aritmética que enseña á expresar los nú- 
meros, y como estos pueden expresarse de palabra 
ó por escrito, la numeración puede ser también 
hablada ó escrita. 

Numeración hablada 

1 0. La numeración hablada, tiene por objeto 
formar los numeraos y expr^esarlos con muy pocas 
palabras, 

11. Llámase sistema de numeración hablada, 
al conjunto de convenciones que se han hecho pa- 
ra formar los números y darles nombre. 

12. Ya se ha dicho (TI) que la unidad en abs- 
tracto se llama uno, y en el sistema de numera- 
ción hablada que vamos á explicar, se ha conve- 
nido que la reunión de uno y uno, se exprese con 



— 5 — 

la palabra do8\ la reunión de dos y uno, con la 
palabra íres\ la de tres y uno, con la palabra cua- 
tro\ la de cuatro y uno, con la palabra cinco\ la 
de cinco y uno, con la palabra seis; la de seis y 
uno, con la palabra s/ete; la de siete y uno, con 
la palabra ocho\ la de ocho y uno, con la palabra 
nueve; y, por último, la reunión de nueve unidades 
y una más, se exprese con la palabra rfre-s'. 

1 3. La reunión de diez unidades, se considera 
como una nueva unidad, llamada decena, y se cuen- 
ta por decenas del mismo modo que se contó por 
unidades,- y así se dice: una decena, dos decenas, 
tres decenas, cuatro decenas, cinco decenas, seis 
decenas, siete decenas, ocho decenas, nueve dece- 
nas, die^ decenas. 

El uso sustituyó la nomenclatura anterior, por 
la siguiente: 

En vez de una decena, se dice die^; en vez de 
dos decenas, \einte; en vez dp tres decenas, treinta; 
en vez de cuatro decenas, cuarenta', de cinco de- 
cenas, cincuenta; de seis decenas, sesenta; de sie- 
te decenas, setenta; de ocho decenas, ochenta; de 
nueve decenas, noventa; y, en vez de diez decenas, 
se dice cien. 

Para expresar los números comprendidos en- 
tre las dec«-nas, se agregan á los nombres de es- 
tas los de los nueve primeros números. Así, por 
ejeinplo, agregando á la palabra diez los nombres 
de los nueve primeros números, formaremos los 
nombres de los números comprendidos entre diez 
y veinte, — los cuales son: diez y uno, ú once, diez 
y dos ó doce, diez y tres ó trece, diez y cuatro ó 
catorce, diez y cinco ó quince, dies y seis, die¿ y 
siete, dies y ocho, dies y nueve y veinte. 

Agregando á la palabra sesenta los nombres de 
los nueve primeros números, formaremos los nom- 
bres de los números comprendidos entre sesenta y 
setenta, los cuales son: sesenta, y uno, sesenta y 



dos, sesenta y tres, sesenta y cuatro, sesenta y cin- 
co, sesenta y seis, sesenta y siete^ sesenta y ocho, 
sesenta y nueve, y setenta. 

Del mismo modo agregaiiamos los nombres de 
los nueve primeros números á los nombres de las 
demás decenas ¡lara fT>rmar u»dos los números 
comprendidoíi entre uno y cien. 

14. La reunión de diez decenas, se considera co 
nio una nueva unidad, llamada centena, y se cuf uta 
por centenas hasla diez cenlenas, del mismo mndo 
que se cuenta por unidades hasta diez, así diremos: 
una centena ó cien, dos* centenas n doscientos, tres 
centenas ó trecientos, cuatro centenas ó cuatro- 
cientos, cinco centenas ó quinientos, seis centenas 
ó seiscientos, siete centenas ó setecientos, ocho cen- 
tenas ú ochocientos, nueve centenas ó novecientos, 
diez centenas ó wil. 

Para expresar los números compi'endidos entre 
dos centenas consecntivas, se a;ü:regan á Uks nom- 
bres (le estas los nombres de íos noventa y nue- 
v.e primeros números. 

Poi* ejemplo, si queremos expresar los noml)res 
de los números Címiprendidos entre quinientos y 
seiscientos, á la palabra quinientos le agregaremos 
el nombre de cáela uno de los piimeros noventa y 
nueve números, y. fbrmai'emos los siguientes: qui- 
nientos uno, quinientos dos, quinientos tres^ qui- 
nientos cuatro, quinientos cinco 

: quinientos cuarenta, qui 

nientos cuarenta y uno, quinientos cuarenta y dos, 

quinientos cuarenta y tres qvi-- 

nientos noventa y siete, quinientos noventa y ocho, 
quinientos noventa y nueve^ seiscientos. 

Del mismo modo se forman los demás números 
comprendidos entre las otras centenas, así pues, 
ya podemos expresar todos los números compren^ 
didos entre uno y mil. 



15. La renuión de mil unidades, se considei-a 
como una nueva unidad de segunda clase, llama- 
da mular, y se cuenta por unidades, decenas y 
centenas de millar, hasta mil millares, del mismo 
modo cjue se cuenta por unidades, decenas y cen- 
tenas simples, desde uno hasta mil, asi se dice: un 
millar, ó simijlemente mü, dos mil, tres mil, cua- 
tro mil, cinco mil, seis mil 

setenta mil, setenta y un mil, setenta y dos mil, 
setenta y tres mil, setenta y cuatro mil 

novecientos noventa y siete mih novecientos noventa 
y ocho ?ml, novecientos noventa y nueve mil. 

Para expresar !( s númer(}s com|)rendidos entre 
(los niillares consecutivos, se agi-egan á los nom- 
bres de los millares h s de l<;s novecientos noven 
la y nueve primeros números, por ejemplo: agre- 
ijiando á las palabras trescientos ochenta y siete 
mil, l(;s nombres de los novecientos noventa y 
nueve primeros números, íormaiemos todos los 
comprendidos entre trescientos ochenta y sie- 
te mil y trescientos ochenta y ocho mil, los cua- 
los son: trescientos ochenta y siete mil uno, tres 
cientos ochenta y siete mil dos, trescientos ochenta 
y siete mil tres, trescientos ochenta y siete mil cua 

tro 

trescientos ochenta y siete mil treinta, trescientos 
ochenta y siete mil treinta y uno, trescientos ochenta y 
siete mil treinta y dos, trescientos ochenta y siete 

mil treinta y tres 

ti-escientos ochenta y siete mil seis cientos noventa 
y ocho, trescientos ochenta y siete mil seiscientos 
noventa y nueve, trescientos ochenta y siete mil sete- 
cientos 

trescientos ochenta y siete mil novecientos noventa 
y siete, trescientos ochenta y siete mil novecientos 
noventa y (jcho, trescientos ochenta y siete mil no- 



— s — 

vecientos noventa y niceve, ty^escientos ochenta y ocho 
mil. 

Del mismo modo se forman los demás millares. 

Por este método, pues, podremos expresar to- 
dos los números comprendidos entre una unidad y 
mil millares de unidades. 

IG. La reunión de mil millares se considera 
como una nueva unidad principal de tercera clase 
llamada millón, y se cuenta por unidades, decenas 
y centenas de millón, lo mismo que se cuenta por 
unidades, decenas y centenas simples hasta mil, 
así diremos un motilón, dos millones, tres millones 
veinte millones, trein- 
ta millones cien millones, quinientos mi- 
llones novecientos noventa y ocho m^illo- 

neSy novecientos noventa y nueve millones, mil mi- 
llones. 

La reunión de mil millones, se considera como 
una nueva unidad de cuarta clase, llamada uni- 
dad de millar de millón, y se cuenta por unida- 
des de millar de millón, decenas de millar de 
millón y centenas de millar de millón, lo mismo 
que se cuenta por unidades, decenas y centenas sim- 
ples; así decimos, una unidad de millar de millón 
ó simplemente, un millar de millón, mejor aun, 
m^7 millones, dos mil millones, tres mil millones, 

ciuztro mil millones 

veinte, treinta, cuarenta noventa m,il 

millones setecientos, ocho- 
cientos, novecientos, mil millones ' . . 

novecientos noventa y nueve mil novecientos noven- 
ta y nueve millones. 

Los números comprendidos entre dos millones 
consecutivos, se forman agregando á las palabras 
que expresan los millones, los nombres de los no- 
vecientos noventa y nueve mil novecientos noven- 
ta y nueve primeros números; de ese modo ten- 
dremos formados todos los números desde la uni- 



- 9 /— 

dad simple ó uno hasta mi iiiíIIíhi de millones. 

IT?. A lili millón de millones, se llama bi- 
llón; á un millón de billones, se le llama trillón; á un 
millón de trillones, cuatrillón, v asi snresivamen- 
te. (1) 

Los billones, trillones, etc. se cuentfin lo nns- 
mo que los millones. 

18. La serie de los números es infinita; por 
que por grande que sea el número que nos ima- 
ginemos, se podrá formar otro mayor agregando 
le una unidad más. 

.19. Obsérvase en el curso de los párrafos an- 
teriores, que con estas pocas palabras: uno, dos, 
tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, vein- 
te, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta, o- 
chenta, noventa, cien, mil, millón, billón, trillón, 
cuatrillón, etc. se puede expresar cualquier núme- 
ro por grande que sea. 

20. A los nueve primeros números, se les 
da el no:nbre de unidades de primer orden; á las 
decenas, se les llama unidades de segundo orden; 
á las centenas, de tercer orden; á las unidades, de- 
cenas y centenas simples consideradas en conjun- 
to, se les llama también unidades de primera clase. 

Ya hemos visto (15) que los millares se coh- 
sideran como nuevas unidades llamadas de segun- 
da clase y que tienen también unidades, decenas 
y centenas como las unidades simples, las que res- 
pectivamente toman el nombre de unidades de 
cuarto, quinto y sexto orden. 

Del mismo modo hemos visto (IG.) que las 
unidades de millón se consideran como una uni- 
dad principal llamada de tercera clase y que se 



(1) Los franceses llaman bíllonks á las unultules de mH4ar de millón. 
TRii.LONBS a las unidades de billón, y asi sucesivamente. 



— 10 — 

cuentan los inilloiies por uiiidades, decenas y cen- 
tenas, á las (jue se les dan respectivamente los 
nombres de unidades de séptimo, octavo y noveno 
orden, 

A las unidades de millar de millón, se les lla- 
ma unidades de cvtarta clase y se cuentan también 
por unidades, decenas y centenas de millar de 
millón, las cuales toman el nombre de unidades 
de décimo, undécimo y duodécimo orden. 

A los billones, Sf3 les llama unidades de quin- 
ta clase; á las unidades de millar de billón, de 
seoota clase, y así sucesivamente, dividiéndose ca- 
da clase en unidades, decenas y centenas: es de- 
cir pues, que la reunión de tres especies de uni- 
dades, forma siempre una clase de unidades, lla- 
mada en general clase ternaria. 

21. En resumen, el sistema de numeración 
hablada quo acabamos de exponer, so funda en la 
convención principal que se ha hecho de que diez 
unidades de un orden cualquiera, componen una del 
orden inmediato superior. 

Por ejemplo, hemos visto que diez unidades 
simples forman una decena, diez decenas una cen- 
tena, diez centenas forman un millar,, y asi suce- 
sivamente. 

22 Según esté convenio diez es la base de 
nuestro sistema de numeración, por cuya razón í?e 
llama sistema decimal y es el que han adoptado 
todos los paises civilizados. 

91 Si la base del sistema fuese dos, es decir, si dos 
unidades de un orden formasen una del orden inmediato 
superior, el sistema se llamaría binario: si tres, ternario:. . 

si doce duodecimal etc. Con cualquiera de estos 

sistemas podríamos expresar también todos los números. 

La idea de esta generalización, se debe al profesor de 



— 11 — 

Ginebra Weigcl, que en 1687 publicó una Aritmética usan- 
do solo los números uno, dos y tresi 

Algunos creen que esta obra fué iniciada por Pitágoras. 

24 El sistema de numeración decimal hace próxima- 
mente mil años que fué introducido en Europa por los 
árabes, y probablemente tiene su origen en la configurar 
ción de la mano, pues se cree que al principio los hombres 
contaron con ios dedos; y quizá también la división de ca- 
da dedo en tres falanjes dio la idea de los tres órdenes, 
unidades, decenas y centenas, de que está eompúesta cada 
clase, de unidades de nuestro sistema de numeración deci- 
mal. 



LECCIÓN III 

IVumeraciión escrita 

35. La numeración escrita tiene por objeto 
representar con pocos signos todos los números. 

Los signos, cifras ó guarismos, que se ha con- 
venido emplear para representar los números, en 
el sistema de numeración decimal, son los si- 
guientes: 

12 3 4 5 (J 7 8 9 O 
uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve cero (*') 

La última cifra llamada cero, es símbolo de la 
nadüy porque nada expresa por sí misma, por lo 
que se le llama cifra no significativa. 

(") Estas cifras se llaman arábigas por haberlas hecho conocer *»n Eu- 
eopa los árabes españoles en el siglo a; sin embargo, no fueron generalmen- 
rl aceptadas hasta «1 siglo XVI. 



- 12 - 

Las palabras uno, dos, tres, etc., expresan en castella-^ 
no los nombres de los números: las cifras 1, 2, 3, etc., re- 
presentan gráficamente el valor de los números, cuyos sig- 
nos son comprendidos por todos los pueblos que han adop- 
tado este sistema de numeración; mientras que las palabras 
que hemos empleado para expresarlos solo son comprendi- 
das por los que hablan el idioma castellano. 

2G El sistema de numeración ^^stá fundado 
en las dos convenciones siguientes: 

1.* Toda cifra colocada á la izquierda de otra 
representa unidades del orden inmediato superior. 

2.^ La cifra cero sirve para ocupar los lugares 
de los diversos órdenes de unidades que falten en 
el número. 

Por ejemplo, para representar el número diez 
y seis, que se compone de una decena y seis uni- 
dades simples, se escribe asi, 16, de manera que 
la cifra 1 que representa las decenas ó unidades 
de segundo orden, quede á la izquierda de la ci- 
fra 6, que representa las unidades simples ó de 
primer orden. 

Del mismo modo veremos que el número trein- 
ta y cinco, que se compone de tres decenas ó 
unidades de segundo orden y cinco unidades sim- 
ples ó de primer orden, se escribe 35. 

El número sesenta, que se compone solo de seis 
decenas ó unidades de segundo orden, se escribe 
60, colocando un cero en el lugar de las unida- 
des de primer orden deque carece el número dado. 

El número ochocientos cincuenta y cuatro, que 
se compone de ocho centenas ó unidades de ter- 
cer orden, de cinco decenas ó unidades de segun- 
do orden, y de cuatro unidades simples ó de pri- 
mer orden, se escribirá 854, de modo que el 8 
quede escrito á la izquierda del 5, porque repre- 
senta unidades del orden inmediato superior á las 
que representa dicha cifra 5, así como esta ha 



-- 18 - 

quedado á la izquierda del 4, porque tambión re- 
presenta unidades del orden inmediato superior á 
las que representa el expresado 4, quedando es- 
crito el número dado, de acuerdo con la 1.* con- 
vención hecha en este sistema de numeración. 

El número ocho mil treinta y nueve, que se 
compone de ocho unidades de millar ó de cuar- 
to orden, tres decenas ó unidades de segundo or- 
den y nueve unidades simples ó de primer orden 
se escribe 8039, colocándose un cero en el lugar 
de las centenas ó unidades de tercer orden que 
faltan en el número propuesto, todo de acuerdo 
con las convenciones 1*. y 2*. ya citadas. 

El número diez mil cinco, se escribe 10005, ocu- 
pando con ceros los lugares de las unidades de 
cuarto, tercero y segundo orden de que carece el 
número dado. 

Así el número trescientos cinco millones cua- 
tro mil doscientos uno, se escribirá 305004201. 

21. Obsérvase en los ejemplos anteriores que 
cada cifra, empezando por la de las unidades sim- 
ples, ocupa el mismo lugar que el orden de uni- 
dades que ella representa; por ejemplo, las dece- 
nas ó unidades de segundo orden, ocupan siempre 
el segundo lugar, las centenas ó unidades de ter- 
cer orden, el tercer lugar, las unidades de millar 
el cuarto, las decenas de millar, el quinto y asi 
sucesivamente. 

S8. Regla general. —Para escribir un nume- 
ro enterv, se escriben de izquierda á derecha las cifras 
qne expresan las unidades de cada orden, unas al 
lado de las otras, principiando por la de orden su- 
perior y cuidando de ocupar con ceros los lugares 
donde falten unidades de algún orden. 

Para escribir el número ocho mil doscientos 
siete, (jue se compone de 8 unidades de millar ó 



— 14 — 

de cuarto orden, 2 ceateims ó unidades de tercer 
orden, O decenas ó unidades de segundo orden y 
7 unidades simples ó de primer orden, colocare*^ 
mos las cifras 8, 2, O y 7 que expresan las uni- 
dades que hay de cada orden, unas al lado de 
las otras, así: 8207; que como se vé, el cero ocu 
pa el lugar de las decenas que faltan en -el nú- 
mero propuesto. 

Para escribir el número veinte mil ocho, que 
se carapone de dos unidades de quinto orden y 
ocho de primer orden, faltaikdo las unidades de 
cuartOi tercero y segundo orden, se escribirá 20008, 
ocupando con tres ceros los tres órdenes de uni- 
dades que faltan. 

De la misma manera escribiremos novecientos 
cuatro mil diez y ocho, 904018. Un millón tres- 
cientos cincuenta y seis mil cuatrocientos veinti^ 
cinco, 1356425. Tres millones cinco mil ocho. 300- 
5008. Quince billones diez mil millones ochocien- 
tos cinco, 15010000000805. 

S9. Reasumiendo cuanto hemos expuesto en 
esta lección, observamos: 

1.^ Que cada cifra tiene dos valores: uno ab- 
soluto que expresa el número de unidades que re- 
presenta, y otro relativo que depende del orden á 
que pertenecen estas unidades, cuyo valor está en 
relación con la posición que ocupa la cifra en el 
número. 

Por ejemplo: en el número 462 que consta de 
cuatro centenas, 6 decenas y 2 unidades, el valor 
absoluto de la cifra de las centenas es 4 y su valor 
relativo^ es 4 centenas. 

2°. Cada orden de unidades ocupa siempre el 
mismo lugar en todos los números. (STT). 

3^. El valor de un número no se altera aunque 
se coloquen uno ó varios ceros á su izquierda: 



— 15 — 

poi'qiui con esto no se altera el lugar que ocupan 
las otras cifras y contándose como se cuentan 
los órdenes de derecha á izquierda, conservará 
cada ciifra su mismo valor relativo, no alterándo- 
se por consiguiente el número. 

Por ejemplo, el número 43005, es igual á 00043005. 

4°. Cada unidad de un orden cualquiera sa- 
bemos que vale diez unidades del orden inme- 
diato inferior, así pues, cada cifra de un número 
cualquiera representa unidades diez veces mayores 
que su inmediata de la derecha, y por tanto: un 
número se hace diez, cien, mil, etc., veces mayor, 
colocándole uno, dos, tres, etc., ceros á su derecha; 
porque las unidades (|ue representa cada cifra se 
hacen diez, cien, mil, etc., veces, mayores ocu- 
pando los lugares correspondientes á unidades de 
uno, dos, tres, etc., órdenes superiores. 

Recíprocamente: un número terminado en ceros 
se hace diez, cien, mil, etc, veces wsnor suprimién- 
dole uno, dos, tres etc.: ceros á su dey^echa: porque 
al suprimir esos ceros, las cifras que antes ocu- 
paban el segundo, tercero ó cuarto lugar, ocu- 
pan después de suprimidos los ceros, el primer 
lugar de la derecha, 6 sea el de las unidades; 
por consiguiente, el número se hace diez, cien, 
mil, etc., vecevS menor suprimiéndole uno, dos ó 
tres ceros de su derecha. 

Por ejemplo: sea el número 4895. Agregándole 
jres (íeros á su derecha, se obtendrá el número 
4895000, en el cual observamos que la cifra 5, 
(pie en el primer número representa solo unidades 
simples, ocupa, en el segundo, el lugar de las 
unidades de millar, luego representa unidades mil 
veces mayores: la cifra 9 que en el primer nú- 
mero representa solo decenas simples, en el se- 
gundo, expresa decenas de millar, así pues, repre- 
senta también unidades mil veces mayores; de la 



— IH - 

misma manera vemos (jue cada una de las demás 
cifras del segundo número representa unidades 
mil veces mayores (jue las que expresan las mis- 
mas cifras en el primero; queda, pues, demostrado 
que cada cifra del segundo número representa 
unidades mil veces mayores que en el primero, y 
como es evidente que, lo que se hace con las par- 
tes queda hecho con el todo, resulta que el segun- 
do número es mil veces mayor que el primero. 

Por medio de un raciocinio parecido al que 
acabamos de emplear, demostraríamos que supri- 
miéndole al número 35200 los dos ceros de la de- 
recha, se hace dicho número cien veces menor. 

30. Para leer un número entero escrito en ci- 
fras, se lee dando á cada una el valo'y absoluto y 
relativo que tiene, empezando la lectura por la iz- 
quierda, y si se compone de muchas cifras 83 fa- 
cilita su lectura dividiéndole en secciones de tres 
cifras cada una, empezando por la derecha ó sea 
por las unidades simples. En la f)rimera separa- 
ción se pone un punto, en la segunda un 1 pequeño, 
en la tercera otro punto, en la cuarta nn 2 pe- 
queño, en la quinta otro punto, etc., y luego se 
leen aisladamente cada uno de estos grupos, em- 
pezando por el de la izquierda, pronunciando mil 
donde se halle un punto y millón, billón, etc., don- 
de se hallen los pequeños números 1, 2, 3, etc., 
((ue se colocaron al dividir el numen; propuesto 
en grupos. 

Por ejemplo: para leer el número 

86.4052890.643i215.002 

Empiezo por dividirlo en períodos de tres ci- 
fras, principiando por la derecha y digo: unidad, 
decena y centena, punto; unidad de millar, dece- 
na de millar, centena de millar, uno: unidad de 
millón, decena de millón, centena de millón, pun- 



— 17 - 

to; unidad de millar de millón, decena de millar 
de millón, centena de millar de millón, dos: y así 
sucesivamente. 

Hecha la división en períodos de tres cifras del 
modo indicado, se lee el número empezando por 
la izquierda, de este modo: 

86 mil, 405 billones, 890 mil, 643 millones, 215 
mil, 2 unidades. 

Del mismo modo leeremos el número 

7838640.054,960.000^042.001 

• Diciendo 733 trillones, 640 mil 54 billones, 960 
mil millolies, 42 mil, uno. 

En la práctica generalmente no se pasa de las 
centenas de trillón. 

31. Cuadro para facilitar á los principiantes 
la escritura v lecttura de los números. 



*^ centenas 
Qí> decenas 
Ci unidades 

O centenas 
O decenas 

08 unidades 

• 

^ centenas 

^ decenas 
O unidades 

K> 

^ centenas 
1^ decenas 
^ unidades 

01^ centenas 
' ^ de''emis 
gj unidades 

"^ centenas 
^ decenas 
^ unidades 

^ contonas 
1^ de(íonas 
«I unidades 



de trillón 



de millar 
de ])illon 



de billón 



de millar 
de millón 



de millnn 



de millar 



simples 



a sean 
ó sean 
n sean 

*o sean 
ó sean 
(^ sean 

o sean 
ó sean 
() sean 

o sean 
ó sean 
ó sean 

ó s*?an 
ó sean 
ó sean 

o s¿an 
«^ sean 
ó sean 

o sean 
(') sean 
<■» soají 



de ál.« 
de 20.O 
de 19.*> 

de 18.« 
de 17.« 
de 16.» 

de 15.» 
de 14.° 
de 13.« 

de 12.« 
de 11." 
de 10.« 

de 9.° 
de 8." 
<le 7." 

de r).« 
de 5." 
do 4." 

de 3.^'' 
de 2.'' 
do l.'^'- 



orden 
ornen 
orden 

orden 
orden 
orden 

í»rden 
orden 
orden 

orden 
orden 
orden 

orden 
orden 
orden 

orden 
oi'flen 
orden 

orden 
orden 
orden 












bO 



í^ 



— 18 - 

Se leerá: cua;tr() cientos ochenta y seis trillones, 
tres mil quinientos cuarenta billones, veintinueve 
mil ochocientos tres millones, ciento cinco mil, 
veintisiete unidades. 



LECCIÓN IV 

rVumeraeión Romana 

32. Para expresar los números, los Romanos 
se valían de las siete letras que á continuación so 
representan con los valores numéricos que tienen. 

I, V, X, L. C, D, M. 
1, 5, 10, 50^ .100, 500, 1000. 

Muy antiguamente expresaban mil con dos C 
colocadas en sentido opuesto una de oira, y una 
1 en medio, asi: Cl O- 

33, La nuiuííración Romana está fundada on 
los sii^nientes convenios: 

1." Repitiendo una letra se repite su valor. 
Por, ejemplo II representa dos unidades; XXX, 
representa treinta; CCC, trescientos. 

2." Ninguna letra se repite cuaty^o veces seguidas, 

:^." Toda letra colocada á la derecha de otra de 
igu/il ó mayor valor numérico, aumenta el valor de 
aquella en la cantidad que esta representa. 

Por ejemplo: VI representa seis unidades, por- 
que la V vale cinco v la 1 una, v í*olocada esta 



— 11) — 

á la derecha de la V, le aumenta su valor y for- 
man seis. 

Otro: LX, representa sesenta, porque la L va- 
le cincuenta y la X diez, que colocada á la dere- 
clia de la L le aumenta su valor y forman sesenta. 

Del mismo modo demostraríamos que MI) repre- 
senta 1500, y ('C 200. 

4.^ Toda letra colocada á la izquierda de otra 
que represente mayor valor numérico, disminuye el 
valor de esta en la cantidad que aquella expresa. 

Por ejemplo: IV representa cuatro unidades, 
porque la V vale cinco, y la I una, que colocada 
á la izquierda de la V, le disminuye su valor y 
forman el núhiero cuatro. 

Del mismo modo demostraríamos que CD repre- 
senta 400, y CM, novecientos. 

5." Las letras que representan unidades simples, 
sirven también para representar millares, colocan^ 
cióles una linea horizontal encima, ó una m en la 
parte superior ó inferior de las mismas. 

Por ejemplo: V representa cinco unidades sim- 
ples y con una rayita horizontal encima, así V, re- 
presenta cinco mil, ó *b¡en Vm y V"* también re- 
presentan cinco mil. 

Del mismo modo vemos que X representa solo 
diez unidades y con una rayita horizontal por en- 
cima X representa diez mil; así como M que solo 
representa mil unidades, con la rayita horizcrntal 

VI, representa un millón etc. 

34r. Ejemplos de varios números escritos por 
el sistema decimal y sus equivalentes en el de nu- 
meración Romana: 



20 



1 


i 


•■Mí 


XXX 


2 


11 


:w 


XXX VI 11 


■■] 


III 


5!) 


LIX 


1 


IV 


SO 


lA'XX 


» 


V 


90 


xc 


(i 


\l 


9!) 


IC 




vil 


250 


(V\. 


8 


vil! 


400 


en 


!) 


IX 


1)50 


I-M 


10 


X 


l(iO(» 


MDO 


11 


XI 


1853 


MUCCOMII 


\-¿ 


XII 


1892 


MDC0CX("1I 


V.i 


XIII 


20715 


xxnccxv 


14 


XIV 


480512 


CDi.xxxnxii 


15 


XV 


2000000 


MM 


16 


XVI 


1350412 


MCCCLCnXlI 


25 


XXV 


100()240 


MVICCXL 



35. Obsérvase (jne la numeración Uí»niana no 
tiene un signo correspondiente al cero de la nu- 
meración decimal escrita, por lo que es algo más di- 
fícil la escritura de estos números cuando re|)re- 
sentan cantidade^s muy grandes, y sobre todo muy 
complicados los cálculos que con ellos se hacían. 

Hoy solo se usan estas cifras para representar 
los nuuK^ros de orden. 



— ¿1 — 

m mwím 



OKflAClOȣS FUKBAmHTALES 



LECCIÓN V 

Adición de los números enteros 

36. Adición es una operación que tiene por 
objeto reunir las unidades que contienen dos ó más 
números dados, en uno solo. 

Los nünier(>s dados se llamean sumandos, y el 
resultado ó número que se busca se llama suma, 

3TÍ. Para indicar la adición se hace uso de 
este signo + Q^^ se llama más, el cual se coloca 
entre los números que se quieren sumar. 

Por ejemplo: si queremos sumar el número 9 
con el 5, lo indicaremos asi: 9-|-5, y se lee nueve 
más cinco. 

Para hallar la suma indicada en el párrafo an- 
terior, de 9 + 5, no hay más que agregar al núme- 
ro 9 una á una las unidades de que está compuesto el 
5, y como el 5 se compone de 1+1+1+1+1 unida- 
des, diremos 9+1 son 10, (12) 10+1 son 11, 11+1 
son 12, 12+1 son 13, 13+1 son 14; tenemos pues 
que 9+5 son 14. 

Para sumar los números 5, 7, 6 y 8, empezare- 
mos por agregar al número 5 todas las unidades 
que componen el sumando 7 como hemos hecho, en 
el ejemplo anterior y hallaremos que forman 12; 
¿I la suma 12, que se compone de las unidades 
que forman los sumandos 5 y 7, le agregaremos 
una á una todas las unidades del 6 v hallaremos 



la suiíKi 18, y á la suma 18, que se (•om|)()iu> do 
las uiii(la<los de los suinaiidos 5, 7 y O, lo a^re- 
uaiíMní'S de l^ misma manera las unidades do! su- 
mando 8: de este modo hallaremos que la suma de los 
números i»ro|>uestos es ¿6: luei^i», 5 + 7-4-H4-8=2(>, 
El siirno=3, (jue acabanií^s de emplear, se lla- 
ma igualdad, y se usa |>ara indicar «|ue una cantidad 
es igual á otra. (1) 

38. Pava sumar un nüriíiero entero con oh^o ü 
otros de una sola cifra, basta agregar al pirme^'O las 
unidades del segundo; a la suma del primero y segun- 
do, las unidades del tercero; á la suma del primero, se- 
gundo y tercereo, las unidades del cuarto, y asi sucesi- 
vamente hasta agregar las unidades del último suman- 
do. 

Este prwedirniento es sencillo pero iiiny lenlo: 
así pues, para ejecutar rápidamente la adición de 
varios números dí.uitos debe aprenderse de memoria 
la siicuiente: 

TABLA DE SUMAR 

1 y 1 son '¿ 2 y. 1 son 3 

Iv 5» (> 2-y 4 » O 







3 


» 


4 


2 




7 


» 


!) 






(> 


li!> 


7 


2 




3 


» 


5 






4 


» 


5 


2 




^5 


» 


7 






i 


» 


8 


i 




9 


» 


11 






2 


» 


3 


2 




() 


>> 


8 






10 


» 


11 


2 




10 


» 


12 




y 


8 


» 


9 


9 




8 


» 


10 




V 


9 


» 


10 


2 




2 


» 


4 



(1) En toda igual(la4l, se llama primer miembro, á la canüdart quo está á 
la i5W|uipr(lá, «1 el sitrno . y segundo miembro, á la ijue está & la derfcha. 



- 23 — 



3 


y 


3. 


son 


6 


6 


y 


1 


son 


7 


3 


y 


1 


» 


4 


6 


y 


2 


»■ 


8 


3 


y 


4 


» 


7 


6 


y 


3 


» 


9 


3 


y 


2 


» 


5 


6 


y 


6 


» 


12 


3 


y 


9 


» 


12 


6 


■ y 


9 


» 


15 


3 


y 


5 


» 


8 


6 


y 


8 


» 


14 


3 


y 


8 


> 


11 


6 


y 


10 


» 


16 


3 


y 


7 


» 


10 


6 


y 


7 


» 


13 


3 


y 


10 


» 


13 


6 


y 


4 


» 


10 


3 


y 


6 


» 


9 


6 


y 


5 


» 


11 


4 


y 


1 


son 


5 


7 


y 


4 


son 


11 


4 


y 


4 


» 


8 


7 


y 


6 


» 


13 


4 


y 


2 


» 


6 


7 


y 


3 


» 


10 


4 


y 


5 


» 


9 


7 


y 


1 


» 


8 


4 


y 


3 


» 


7 


7 


y 


2 


» 


9 


4 


y 


6 


» 


10 


7 


y 


5 


» 


12 


4 


y 


9 


» 


13 


7 


y 


10 


» 


17 


4 


y 


8 


» 


12 


7 


y 


8 


» 


15 


4 


y 


10 


» 


14 


7 


y 


.7 


» 


14 


4 


y 


7 


» 


11 


7 


y 


9 


» 


16 


5 


y 


3 


son 


8 


8 


y 


2 


son 


10 


5 


y 


'9 


» 


14 


8 


y 


4 


» 


12 


5 


y 


1 


» 


6 


8 


y 


1 


» 


9 


5 


y 


2 


» 


7 


8 


y 


9 


» 


17 


5 


y 


8 


» 


13 


■ 8 


y 


6 


» 


14 


5 


y 


4 


» 


9 


8 


y 


3 


» 


11 


5 


y 


5 


» 


10 


8 


y 


10 


» 


18 


5 


y 


6 


» 


11 


8 


y 


5 


» 


13 


5 


y 


10 


» 


15 


8 


y 


8 


» 


16 


5 


y 


7 


» 


12 


8 


V 


7 


i> 


15 



— 24 - 



i) 
D 
9 



9 V 

9 

9 

9 

<) 

9 



X 

(i 

4 
7 

10 
1 

r» 

9 

9 



son 



10 
10 
10 
10 
10 
10 
10 
10 
10 
10 



11 



17 

15 
13 
K) 
19 
10 
14 
12 
11 
18 



2 son 

4 » 

3 » 
1 » 

5 » 
9 » 
8 » 

6 » 

7 » 
10 » 



2 son 







4 






10 






9 






5 






3 






7 






8 






(í 






1 



12 
14 
13 
11 
15 
19 
18 
16 
17 
20 



13 
15 
21 
20 
16 
14 
18 
19 
17 
12 



12 
12 
12 
12 
12 
12 
12 
12 
12 
12 



13 
13 
13 
13 
13 
13 
13 
13 
13 
13 



14 
14 
14 
14 
14 
14 
14 
14 
14 
14 



y 

y 



s<in 
» 



1 

4 

9 

2 

7 
() 
3 
5 
S 
10 



:3 sfui 

4 » 

5 » 

1 )> 
(i » 

2 -^ 
9 * 



y 

y 



10 

8 



1 
3 

2 

4 

9 

8 

10 

7 
() 






13 
16 
21 
14 
19 
18 
15 
17 
20 
22 



16 
17 
18 
14 
19 
15 
22 
20 
23 
21 



15 
17 
16 
18 
23 
22 
24 
21 
20 
19 



— 2.-) — 



15 


y 


1 


son 


16 


16 


y 


1 


son 


17 


15 


y 


6 


» 


21 


16 


y 


3 


» 


19 


15 


y 


3 


» 


18 


16 


y 


2 


» 


18 


15 


y 


5 


» 


20 


16 


y 


5 


•» 


21 


15 


y 


2 


» 


17 


16 


y 


4 


» 


20 


15 


y 


8 


» 


23 


16 


y 


9 


» 


25 


15 


y 


4 


» 


19 


16 


y 


6 


» 


22 


15 


y 


7 


» 


22 


16 


y 


10 


» 


26 


15 


y 


i) 


» 


24 


1 16 


y 


7 


» 


23 


15 


V 


10 


» 


25 


' 16 


V 


8 


» 


24 



Aprendida de memoria la precedente tabla, con 
un poco de estudio y repetidos ejercicios, fácil é insen- 
siblemente se aprenden los resultados de la adición 
de una cifra á un numero cualquiera; asi en la prác- 
tica para ejecutar la suma de 19 + 8, decimos de una 
vez, son 27, sin necesidad de adicionar una á una 
las unidades deque se (Ujinpone el 8; del mismo mo- 
do decimos que 75 y 6 son 81, 187 y 9 son 196 etc. 

30. Si tuviésemos que practicar la adición de 
varios números com[)uestos, procederíamos por par- 
tes, sumando primero las cifras que representan 
unidades simples, después las de las decenas, luego 
las de las centenas y así sucesivamente, formando 
con las sumas parciales de las unidades, decenas, 
centenas, etc., un número compuesto que repre- 
sentará evidentemente la verdadera adición de los su- 
mandos dados. 

Sea por ejemplo adicionar los siguientes números: 
230 + 548 + 74 + 5, empezaremos por sumar las ci- 
fras de las unidades simples de este modo: 6 y 8 son 
14; 14 y 4 son 18; 18 y 5 son 23 unidades; la suma de 
las decenas se obtienen así: 3 y 4 son 7 y 7 son 14 de- 
cenas; las centenas son 2 y 5, 7 centenas: de modo 
que la suma total se compone de 23 unidades, 14 de- 
(*enas y 7 centenas; pero en las 23 unidades hay 2 de- 



— 26 — 



cenas que pueden agregarse á la suma de las 14 que 
contienen los sumandos dados y formarán 16 dece- 
nas, sobrando 3 unidades que son las del núnnero 
qué pretendemos formar con los propuestos; en 
las 16 decenas halladas, hay una centena que puede 
agregarse á las 7 que contienen los sumandos y for- 
maremos 8 centenas, sobrando 6 decenas que son las 
del número que tratamos de formar por último pues, 
vemos que la suma total que buscamos se compone 
de 8 centenas, 6 decenas y 3 unidades ó sea de 863 
unidades. 

Para facilitar la operación pueden disponerse los 
sumandos en columna, de modo que las unidades de 
un mismo orden se correspondan, tirándose una lí- 
nea horizontal por debajo de todos ellos para se- 
pararlos de la suma total que se escribe al pié. 

Los sumandos del ejemplo anterior, se coloca- 



ran asi: 



236 

548 ( Sumandos 
74 
5 



863 suma total 

Para efectuar la suma diremos, 6 y 8, 14; 14 y 
4 18- 18 y 5, 23; la suma de las unidades son 23, en 
las cuales hay 2 decenas y 3 unidades; escribimos las 
3 unidades debajo de la columna correspondiente y 
las dos decenas las reservaremos para sumarlas con 
las otras de los sumandos, asi: 2 que llevamos y 3 
son 5 y 4, 9 y 7 forman 16 decenas, en las que hay 
una centena y sobran 6 decenas que escribimos deba- 
jo de la columna correspondiente, reservando la- cen- 
tena para agregarla á las otras de los sumandos, asi: 1 
qae llevamos v 2 son 3 y 5 son 8 centenas que escri- 



— 27 ~ 

bimos debajo de la columna de ellas, quedando 
formado el número 863 que representa la suma de 
los números propuestos, porque está compuesto de 
todas las unidades de los sumandos dados. 

'40. El procedimiento empleado en el ejem- 
plo anterior, puede aplicarse á otro cualquier caso, 
por consiguiente podemos establecer la siguiente 
regla general. 

Para sumar números enteros, se escriben, unos 
debajo de los otros, iodos los números dados, de 
modo que las cifras de igual orden se correspondan. 
Se suma primeramente la columna de las unidades 
simples y si esta suma contiene una ó más centenas, 
se reservan para agregarlas á la su^aa de la colum- 
na de las decenas, y solo se escriben las unidades 
que sobran. Se suman l(is decenas, y, si esa suma 
contiene una ó más centenas, se reservan para agre- 
garlas á la suma de la columna de las centenas, y 
solo se escriben las decenas que sobran, y asi se conti- 
núa snmando todos los demás órdenes de unidades que 
hubiese hasta la última columna de la izquierda. 

Propongámonos por ejemplo sumar los núme- 
ros, 82456, 973, 91480 y 65. Colocaremos todos l(»s 
sumandos unos debajo de otros, de modo que las 
unidades de cada oiden queden en una misma co- 
lumna, y después de tirar una raya p<)r la parte 
inl'erioi', practicaremos la op'^racion (*omo á (*onti- 
nuaciíui se expresa. 



Sumandos 




174974 Suma 



- 28 - 

Diremos: 6 unidades y 3 son V), y 0, 1) y 5, 14 que com- 
ponen 1 decena y 4 unidades; las 4 unidades las escri- 
bimos debajo de la columna correspondiente y la 
decena la reservamos !)ara añadirla á la columna de 
las decenas. Las decenas se suman así: 1 que lle- 
vamos y 5 son 6 y 7, 13 y 8, 21 y 6, 27; en 27 
decenas hay 2 centenas y 7 decenas, escribimos 
7 debajo de la columna de las decenas y reserva- 
mos las 2 centenas para añadirlas á la suma par 
cial de la columna de las centenas. Se suman añora 
las cifras de la cohunna de las centenas de este mo- 
do: 2 que llevamos y 4 son 6 y 9, 15 y 4 son 19 
centenas en las cuales hay una unidad de millar y so- 
•bran 9 centenas (jue escribimos debajo de la co- 
lumna correspondiente, reservándonos la unidad 
de millar para agregarla á los otros millares, asi: 
1 que llevamos y 2 son 3 y 1, 4 que lo escribi- 
mos debajo de los millares. Por último sumamos 
la columna de las decenas de millar, diciendo, 8 
y 9 son 17, que se escribe á la izquierda de la 
cifra délos millares de la suma. Por consiguiente 
la suma total de los númenes propuestí)s es 174974. 

lín la práctica, se suma abreviadamente de este 
m()do: 

8245() 

973 

91480 

()5 

174974 



Empezando por la columna de las unidades, di-- 
go: 6, 9, 14 (se escribe 4 y se lleva 1). Para las 
decenas; 6, 13, 21, 27 (se escribe 7 y se llevan 2). 
Para las centenas: 6, 15, 19 (se escribe 9 y se lle- 
va 1). Los millares: 3, 4 (se escribe 4 y no so lle- 
va nada). Las decenas de millar:- 8, 17 se escribe 



— á9 ~ 

íntegra la suma parcial 17, porque ya no hay más 
columnas para sumar. La suma es, pues, 174974, 
la misma que hallamos antes. 

41. La adición, se empieza generalmente por 
las unidades simples y se continúa por las dece- 
nas, centenas, etc., sin que esto quiera decir que 
n(^ pueda practicarse principiando por las uni- 
dades de orden superior; solo tiene el inconve- 
niente de que pueden resultar en cada suma 
parcial algunas unidades del orden superior inme- 
diato, al que no podrán añadirse fácilmente es- 
tando éstas ya sumadas; poi- cuya razón conviene 
siempre empezar la suma por las unidades de or- 
den inferior. 

42. Obsérvase que, eZ ntim^7'0 de las unidades 
comprendidas en la suma de varios nutneros, es com-' 
pletamente independiente del orden en que estén co- 
locados los sumandos; porque es evidente que el 
resultado íinal siempre contendrá todas, las partes 
de los sumandos, cualquiera que sea el orden de 
éstos; luego el resultado de la suma depende tan 
solo del valor de los sumandos: de donde se de- 
duce también que, una svma queda aumentada ó 
disminuida en el m.ism.0 número de unidades en que 
se aumenten ó disminuyen los sumandos. 

43. Las reglas de la adición y las que se da- 
rán para las deitiás opeíaciones son exactas, pero 
al ejecutarlas i)uede cometerse algún error, por lo 
que conviene hacer la prueba para tener la pro- 
babilidad de que no nos hemos equivocado. 

La prueba de la adición, se hace sumando de 
nuevo los números dados en sentido inverso al 
seguido para obtener la pi'imera suma. Si la ope- 
ración está bien practicada, las dos sumas obteni- 
das serán iguales. 

Es fácil también equivocarse h1 practicarla pruo- 



— 30 — 

ba, pero es difícil que el error de ésta se compen- 
se con 3I de la operación principal, por lo que en 
general puede tomarse como cierto el resultado en 
que la operación y la prueba sean iguales. 

4:4:« Usos DE LA SUMA Esta operación se em- 
plea en todos los casos que se trata de encontrar 
el número que exprese la reunión ó conjunto de 
unidades contenidas en otros números dados, ó 
cuando se quiere aumentar un número, ccm el va- 
lor de otro ó de varios otros. 

4:5. No pueden adicionarse sino las unidades 
de la misma especie, ó cuando menos han de te- 
ner todas el mismo nombre. 

Por ejemplo, no podemos sumar 4 naranjas 
con 8 libros, porque no forman ni 12 naranjas ni 
12 libros. 

Tampoco podríamos adicionar 3 metros con 7 
litros, porque no son unidades de la misma es- 
pecie; pero podríamos adicionar 8 pesos con otros 
6 y formaríamos 14 pesos. 

Hay unidades que aún no siendo de la misma 
especie pueden sumarse, porque ti3neii el mismo 
nombre, como por ejemplo: 

En la quinta de Don Benito Trias hay un mon- 
tecito que tiene 100 naranjos 47 manzanos y 53 
cerezos, de modo que el montecito se compone 
de 200 árboles frutales. 

En la estancia de don Tomás Fontela conta- 
mos un rodeo que tenía 300 vacas, 100 novillos y 
20 toros es decir que se c(Mn[)onia de 420 res(\s 
vacunas. 

4G. Las adiciones de muchos snman(l(»s, con- 
viene practicarlas dividiendo la ope^^ación en va- 
rias sumas parciales que cada una contenga (Ktlio 
ó diez sumandos, y la adición de esas sumas |)ar- 
ciales dará el resultado total. 



- 31 — 
PROBLEMAS 



1.^ En tina biblioteca se han colocado en cin- 
co estantes los siguientes libros: 300 muy gran- 
des, en el primer estante; 450 en el segundo; 285 
en el tercero; 586 en el cuarto y 2837 volúmenes 
pequeños en el quinto: se desea saber el número 
total de libros que contiene la biblioteca. 

300 
450 
285 
586 

2837 



4458 



Se ejecuta la operación como se ha explicado 
en la regla general que hemos dado en el núme- 
ro 4tO, y el resultado 4458 expresa el número de 
libros que contiene la citada biblioteca. 

2." Un comerciante se estableció con un capi- 
tal de 8357 pesos, y al fin del primar año se en- 
contró con una ganancia líquida de 936 pesos, 
en el segundo ganó 1560 pesos, en el tercero ga- 
nó 2324, y además recibió una herencia de 25985 
pesos; ¿que capital tenía al terminar el tercer año? 

8357 

936 

1560 

2324 

25985 



Resultado 39162 pesos 



— ■¿•¿ — 

'¿.° El planeta que habitamos, está principal- 
mente dividido en cinco partes, que son: Europa, 
Asia, África, América y Oceania. En Europa hay 
próximamente 300020415 habitantes, en Asia 
800100932, África tiene 200000000, América 
120105213, y Oceania 42005356, ¿que niitnero de 
habitantes tiene la tierra toda? 

300020415 
800100932 
200000000 
120105213 
42005356 



1462231916 
Tiene aproximadamente 1462231i)16 habitantes. 



LECCIÓN VI 



Sustpaeeión de los números enteros 

4G. La sustracción es la operación que tiene 
po7^ objeto, con la suma de dos núm,eros y uno de 
estos, encontrar el otro; ó lo que es lo mismo: ha- 
llar la diferencia que existe entre dos numeraos 
dados. 

A la suma dada, se le da el nombre de mi- 
nuendo; al sumando conocido, el de sustraendo, y 
al que se busca, el de resto ó diferencia. 

4T?. De la definición que hemos dado de la 
sustracción se deduce: que el minuendo f?s igual a 



- 33 - 

la suma del sustf^aendo y el resto, de modo que el 
resto es lo que le falta al sustrüeíidp para valer 
tanto como el minuendo. Así pues, podrá hallar- 
se su valor quitando del minuendo todas las uni- 
dades del sustraendo, y las . que queden ó sobren 
serán el resto ó diferencia. Por consiguiente, pue- 
de tambíí^n decirse que la sustracción es la ope- 
ración que tiene por objeto quitar o restar de un 
número dado, otro menor. 

48. La sustracción se indica con este signo 
— , que se llama menos, y se coloca entre el mi- 
nuendo y el sustraendo, así: 8 — 5, se lee 8 menos o. 

49. En la sustracción se distinguen dos ca- 
sos: 

1." Restar un número dígito de otro número 
cualquiera. 

2.^ Restar un número de más de una cifra, 
de otro compuesto de varias. 

!•'. Caso. Para restar, dé un número . entero 
cualquiera, otro de una sola cifra, se quitan ó 
restan del primero una á una todas las unidades 
que componen el segundo. 

Así, para hallar la diferencia entre 6 y 13, ó 
sea para restar 6 de 13, digo: 13 — 1=12, 12—1=11, 
11—1=10, 10— 1==9, 9—1=8, 8—1=7; de modo 
que hemos restado sucesivamente del minuendo 
13, una á una las 6 unidades de que está com- 
puesto el sustraendo, y nos han sobrado 7, luego 
la diferencia entre 13 y 6 es 7, ó sea 

13—6=7 

También podríamos haber hallado la diferen- 
cia, nombrando todos los números superiores al 
6 hasta el 13 inclusive, contando con los dedos 
el ^numero de números nombrados, y ese número 
será la diferencia que buscamos. 



— 34 - 

Así se dice, 7 (tmo), 8 (dos), 9 (tres), 10 (ciuitro), 
11, (cinco), 12 (seis), y 13 (siete): hemos noiiibrado 
7 números, luego 7 es la diferencia que busca- 
mos, porque ha sido necesario agregar 7 unida- 
dades una á una al sustraendo 6, para obtener el 
minuendo 13. 

50. El procediíniento que acabamos de in- 
dicar es el mas sencillo que puede emplearse pa.- 
ra hallar la diferencia entre dos números, pero 
la operación es larga y muy engorrosa cuando la 
diferencia es muy grande, por lo que es más 
conveniente aprender de memoria las diferencias 
que hay entre los números dígitos entre sí, y entre 
estos y los números mayores de 10 y menores de 
19. De este modo podremos decir rápidamente 
restando 4 de 9 quedan 5, restando 8 de 14 quedan 
6; también se dice de 4 á 9 van 5, de 8 á 14 van 
6, de 9 á 17 van 8, etc. 

51. Poí medio de la tabla de sumar que in- 
sertamos en el número 38, puede aprenderse de 
memoria todas las diferencias necesarias para re- 
solver cualquier problema de sustracción de nú- 
meros enteros; pero para mayor comodidad de los 
estudiantes, insertamos á continuación la siguiente: 

TABLA DE SUSTRACCIÓN 

De 7-1 restan 6 ¡ De 10-2 restan 8 
» 5 — 1 » 4 ¡ » 5 — 2 » 3 



» 8—1 


. » 


7 


» 7-2 


» 


5 


» 6—1 


» 


5 


» 9—2 


» 


7 


» 4—1 


» 


3 


» 6 2 


» 


4 


» 9—1 


» 


8 


» 8—2 


)) 





» 2-1 


» 


1 


» 4—2 


» 


2 


» 10—1 


» 


9 


» 11—2 


» 


9 


» :^-l 


» 


2 


» 3—2 


1) 


1 



— 35 - 



De 8-3 


restan 


5 


» 11—3 


» 


8 


» 12—3 


»• 


9 


» 9-3 


» 


6 


» 6—3 


» 


3 


» 7—3 


» 


4 


» 5-3 


» 


2 


» 4—3 


n 


1 


» 10-3 


» 


7 



De 



8-6 


restan 


2 


7-6 


» 


1 


9—6 


» 


3 


11-6 


» 


5 


10-6 


» 


4 


12—6 


» 


6 


13—6 


» 


7 


15-6 


» 


9 


14—6 


)) 


8 



>e 8—4 


restan 


4 


De 


15-7 


restan 


8 


.) 13-4 


» 


9 


» 


9--7 


» 


2 


» 12-^4 


» 


8 


» 


8-7 


V 


1 


» 11—4 


» 


7 


» 


11-7 


» 


4 


» 9—4 


» 


5 


» 


10—7 


» 


3 


» 5—4 


» 


1 


» 


12—7 


» 


5 


» 7—4 


» 


3 • 


» 


13-7 


» 


6 


» 6—4 


» 


2 


» 


16—7 


» 


9 


» 10—4 


» 


6 


» 


14—7 


» 


/ 



De 8—5 


restan 


3 


De 


14-8 


i-estan 


(J 


» 12-5 


» 


7 


» 


11—8 


» 


3 


» 10—5 


» 


5 


» 


17—8 


» 


9 


» 9—5 


» 


4 


» 


15-8 


» 


7 


» 14—5 


i' 


9 


» 


16—8 


» 


8 


» 11—5 


» 


6 


» 


12-8 


* 


4 


» 13—5 


» 


8 


» 


10-8 


* 


2 


» 7—5 


» 


2 


» 


9-8 


» 


1 


» 6-5 


» 


1 


» 


13-8 


» 


5 



)e 


14-9 


restan 


5 


y> 


15 9 


» 


t) 


> 


17-9 


» 


8 


» 


16-9 


» 


7 


» 


18-9 


» 


9 


> 


13-9 


» 


4 


» 


11-9 


* 


2 


» 


12-9 


» 


3 


» 


10-9 


» 


1 



— 36 — 

52. í¿.« Caso. Si hubié- 
ramos de restar 325 de 839, 
procederíamos por partes, 
hallando primero la dife- 
rencia entre las unidades 
simples, Ineyo hallaríamos 
la diferencia enire las de- 
cenas, y, por último, bus- 
caríamos la diferencia en- 
tre las centenas, diciendo así: de 5 unidades simples, 
que hay en el su^traendo, á 9, que tiene el minuendo, 
van 4 unidades; de 2 decenas á 3, va 1 decena; de 3 
centenas á 8, va» 5 centenas. De modo que la di- 
ferencia se compone de 5 centenas, 1 decena y 4 
unidades, ó sea de 514 unidades. 

La operación se dispone en esta forma: 

839 Minuendo 
— 325 Suslraendo 

514 Dife7"encia 

La sustracción se practica i^eneral mente di- 
ciendo; de 9, sacando 5, quedan 4 (que se escri- 
be al pié de la línea horizontal deblajo de las uni- 
dades); de 3, sacando 2, queda 1, que escribimos 
á la izquierda del 4; de 8, sacandc» 3 quedan 5, 
que escribimos á la izquierda del 1. El resto ó 
diferencia son 514 unidades, lo mismo que encon 
tramos antes. 

La operación que acabamos de practicar no 
ofrece dificultad alguna cuando» como en el ejem- 
plo anterior, cada cifra del minuendo es mayor 
que la de igual orden del sustraendo; pero, en la 
generalidad de los casos, esto no sucede así co- 
mo, por ejemplo: si quisiéramos hallar la dife- 
rencia entre 425 y 319, en cuyo caso tendríamos 



— 37 -- 

ijue restar 9 de 5, loque no es posible. Veamos, 
pues, cómo puede salvarse esta dificultad . 

53. Hemos dicho (4rT?) que la suma del sus- 
traendo y el resto es igual al minuendo; luego, 
si al minuendo se le agrega un número cualquie- 
ra, dejando el sustraendo intacto, el resto aumen- 
tará igual número de unidades, y si se añade al 
sustraendo un número cualquiera, dejando intacto 
el minuendo, el resto disminuirá el mismo número 
de unidades; poniue en el primer caso es evidente 
que cuanto mayor sea el minuendo tanto más le 
íaltará al sustraendo para igualarle; es decir tan- 
to mayor será la diferencia ó resto. En el segun- 
do casn es evidente también, í|ue cuanto mayor 
se haga el sustraendo, tanto menos le faltará pa- 
ra igualar al minuendo; luego la diferencia ó resto 
será meiior á medida que aumente el sustraendo. 

De un modo análogo demostraríainos que, si al 
minuendo se le sustrae un número de unidades, 
dejando intacto el sustraendo, el resto disminuirá 
igual número: y si se resta del sustraendo cierto 
número de unidades, la diferencia aumentará igual 
número. " . 

54r. Teorema (^) La diferencia entre dos nú- 
meros no varia aumentando ó disminuyendo dichos 
números en la misma cantidad. 

Hemos demostrado en el número anterior, que 
aumentando el ninnendo, aumenia el resto la 
misma cantidad, y que aumentando el sustiaen- 
do, -disminuye igualmente el resto; luego, aumen- 
tando al minuendo y sustraend(» la nnsma canti- 
dad, el resto no variaiá, porque todo lo que 
debía aumontai* por un concepto, disminuye por 



(•) Teorema es un enunciado o^peculativo en que se propone 
una verdad demosti-able. 



^ 38 — 

el otro, no alterándose por consiguiente la dife- 
rencia. 

Pe! mismo modo probaríamos quQ no se altera 
la, diferencia, disminuyendo los dos números en 
Mm misma cantidad. 

&5f Hechíig Jas pi^ewdeintea consideraciones 
vamos á ver ahora conx) $6 procede, en general, 
para hftIUr la diferencia entre dos números ente- 
ros cualesquiera. 

Propongámonos restar 9867 de 15459, Dispon- 
dremos la operación como hemos indicado en el 
número 53. 

15459 Mintiendo 
9867 Stcstraendo 

5592 Resta ó diferencia 

Diremos: de 7, á 9, van 2, y lo escribimos en 
la resta debajo de las unidades; de 6, á 5, n(» 
puede ser» porqvié de 5 no pueden sacarse 6, ñor 
jo que \^ agredíamos una centena, ó sean 10 ae 
cenas, ar5, formándose asi 15 decenas, y digo, 
de 6 á 15 van 9, que escribo á la izquierda del 2. 
Ahora, para que la diferencia no se altere, le 
agrego tanibién nna centena á la? 8 del sustraen- 
do, y digo: 8 y 1, 9, á 4, no puede ser; pero- 
agregándole 10 centenas ai 4, se forman 14, y diré: 
de 9, á 14, van 5, que escribo en el resto á la 
izquierda del 9. Ahora, lo mismo que en la sus- 
tracción de la cifra anterior, para que el r^slo no 
varíe, le agregaremos 10 centenas, ó sea una uni- 
dad de millar, á las 9 del sustraendo, y formare- 
mos 10, que restaremos de las 15 del minuendo, 
escribiendo la diferencia 5 á la izquierda del otro 
5 que hallamos arites^ Resultando, pues, que la 
diferencia entre los dos números propuestos, es de 



— 39 ~ 

5592 unidades. 

En la práclica, para efectuar la operación an- 
terior, se dice sencillamente así: de 7 á 9, van 2; 
Je 6, á 15, van 9, y llevo 1; de 9, á 14, van 5, 
y llevo 1; de 10, á 15, van 5. 

56. De todo lo expuesto últimamente, se de- 
duce la siguiente: 

Regla general. Para restar un númer^o entero 
de otro, se coloca el sustraendo debajo del minuen- 
dOy de modo, que las cifras de igual orden se 
correspondan. En seguida, empezando por la 
derecha, se restan sucesivamente todas las unida- 
des de diferentes órdenes del sustraendo, de síis cor^ 
respondientes del rninuendo, y se escribe debajo la 
diferencia de cada una, y si alguna cifra del sits- 
traendo es mayor que su correspondiente del mi- 
nuendo, se añaden a la cifra del minuendo diez uni- 
dades de su orden, y en seguida, para que la di- 
ferencia no se altere, se añade a la cifra inmediata 
del sustraendo una unidad de su orden, 

5T?. Prueba de la resta Esta operación se 
comprueba sumando el sustraendo con la diferen- 
cia hallada; la suma que resulte debe ser igual al 
minuendo, si la sustracción está bien Lecha (4rT?). 

58. Uso de la resta. Empléase la sustrac- 
ción siempre que se quiere conocer la diferencia 
entre dos cantidades; cuando conociendo la suiy^a , 
de dos números y con uno de éstos se quiere de- 
teriDinar el otro; cuando se quiere disminuir de 
una cantidad dada otra menor: etc. 

PROBLEMAS 

1." ü)i comerciante compró artículos en un 
remato por valor de 45863 pesos, y los vendió al 



— 40 — 

día siguiente por 47325 pesos: ¿cuanto ganó en la 
venta? 

47325 Precio de venta 
45863 Precio de compra 

1462 Diferencia 

Ganó 1462 pesos. 

2.* Entre Luis y Alberto reúnen un capital dé 
25418 pesos, Luis tiene 13829, ¿cuanto tiene Alberto? 

' 25418. . Suma dada 
13829 Sumando conocido 

11589 Sumando que se busca 

Tiene 11589, pesos. 

3.® Enrique debía 4815 pesos: pagó 3920, cuan- 
tos queda debiendo? 

4815 
3920 

895 Diferencia 

Debe aun 895 pesos. 

4.^ Cuál es el número menor que 1870421 en 
981509? 

1870421 
981509 



888912 
Es el número 888912. 



— 41 — 
PROBLEMAS 

DE ADICIÓN Y SUSTRACIÓN COMBINADAS 

59. 1.*" Julián y José tenían 12347 pesos, 
con los que compraron un campo en 7215 pesos; 
600 reses ganado vacuno en 2400 pesos, y 1000 
ovejas en 750 pesos. ¿Cuánto gastaron y cuanto 
les 'quedó? 

7215 Valor del campo 
2400 id. id. ganado vacuno 
750 id. id. id. l^inar 



10365 Dinero gastado 
12347 Capital social 



1982 Diferencia que les queda 

Resultado: gastaron 10365 pesos y les quedan 
1982. 

En este ejemplo de sustracción el minuendo 
12347 ha sidc» colocado debajo del sustraendo 10365, 
al revés de lo aconsejado en el número 5S al solo 
objeto de no repetir la escritura de dicho sustraen- 
do, cuya resta como es fácil comprender, no ofre- 
ce dificultad alguna, pues no hay más que restar 
de arriba para abajo, unas^de otras las unidades 
de los diferentes órdenes, del mismo modo que se 
ha explicado en el número 56. 

Así, en este caso, hemos dicho: de 5 á 7, van 2, 
que escribimos en el resto; de 6, á 14, 8, y lleva- 
mos 1; 1 y 3, 4, á 13, 9, y llevamos 1; de 1 á 
2, 1, y por último de 1, á 1, O, que no escribi- 
mos porque los ceros á la izquierda de un núme- 
ro no tienen significación alguna. 

2.^ De Meló á Montevideo hay, próximamen- 
te, unos 450000 metros, cuya distancia nos pro- 
pusimos caminar á pié; el primer día caminamos 
18452 metros, el segundo, 25892, el tercero, 23614, 



— 42 - 

el cuartí), 26197, el quinto dia, caminamos á ca- 
ballo 96830 metros, y, ya muy cansados, nos que- 
damos en la orilla de un arroyo para descansar 
algunos días. ¿Cuánto caminamos los cinco pri- 
meros días, y cuanto habrá que caminar aún para 
llegar á la Capital? 

28452 Metros caminamos el l.^^día 

25892 » ^ » 2." )* 

23614 * > > 3.*' »* 

26197 )► » * 4.« » 

1 6830 » » » 5/' > 

210985 Metros andados 
450000 Distancia total 



239015 Distancia que falta recorrer. 

Resultado: el quinto día de viaje habíamos ca- 
minado 210985 metros, y nos faltaba recorrer una 
distancia de 239015 metros para llegar á Monte- 
video. 

3.** Un molinero tiene 8459 sacos de harina 
de primera clase y 2936 de segunda. De la de 
primera vendió 1836 sacos y de la de «egunda 
397 sacos menos gue de la otra. ¿Cuántos sacos 
vendió de la segunda y cuántos le quedan de ca- 
da clase? 

1836 Sacos que vendió de la primera 
397 

1439 Sacos que vendió de la segunda. 

8459 
1836 



6623 Sacos que quedan de primera. 

2936 
1439 



1497 Sacos que quedan de segunda. 



— 48 — 



Resultando: que vendió 1439 sacos de harina 
de segunda clase, y le quedaron 1497; y de la de 
primera clase le restan 6623 sacos. 

4.^ Cuál será el número, que, añadiéndole 
8315 unidades y 35 centenas, y restando de la 
suma 9945 decenas, da por resultado la fecha del 
descubrimiento de América por Cristóbal Colón? 

Cristóbal Colón descubrió la isla de San Sal- 
vador el 12 de Octubre de 1492, y si á esta fecha 
le agregamos las 9945 decenas propuestas, obten- 
dremos la suma de los dos números 8315 unida- 
des y 35 centenas, con el número que buscamos 
luego no habrá más que restar de la primera su- 
ma, la suma de los dos últimos, y la diferencia 
será el número buscado. Asi: 

1492 Fecha del descubrimiento. 
99450 



100942 Suma del número buscado, y 
de los 8ai5 V 3500 dados. ^ 
8315 
3500 • 



11815 Suma de los números dados. 

100942 Suma total 
11815 Suma de los números dados 



89127 Número que buscamos. 

COMPROBACIÓN 

89127 Número hallado 

8315 Primer sumando propuesto 

3500 Segundo » » 

100942 Suma total 

99450 Número dado para restar 

1492 Pecha del descubrimiento. 



— 44 — 
EJERCICIOS 

!.•' Un comerciante le dice á un carrero, que 
los cuatro cajones de mercaderías que ha carga- 
do para conducir á Rivera, pesan, el primero, 300 
kgs.; el segundo, 250 kgs.; el tercero y cuarto, 280 
kgs. cada uno; pero, en realidad, el primer cajón 
pesa 400 kgs., el segundo 320, y el tercero y cuar- 
to pensan 350 kgs. cada uno, ¿cuánto peso de mas 
conduce el carrero, del declarado por el couier- 
ciante? 

2.*^ Una persona recibió $ 4315 por un con- 
cepto, por otro 897 y por otro 1006, con estas 
cantidades pagó á varios 2132 $; ¿(;uánt(>s pesos 
le quedaron? 

3.^ La suma de tres números da 5412, uno de 
los sumandos es el número 817, otro es el núme- 
ro 2014, ¿cuál es el número que expresa el ter- 
cer sumando? 



LECCIÓN Vil 

MULTIPLICACIÓN 

60. La multiplicación de un número por otro, 
es la operación que tiene por objeto encontrar un 
tercer número, que sea respecto a uno de ellos, lo 
que el -otro es respecto de la unidad. 

La multiplicación de 6 por 4, se hará íbriunn- 
do "un número que se componga de tan í as veces 
el 6 como el 4 se comi)one de la unidad; peri» el 



— 45 - 

4 se compone de la adición de 4 unidades, luego 
el número que buscamos se compondrá de la adi- 
ción de cuatro 6, ó sea de 6+6+6+6 igual á 24. 

61. En la multiplicación de dos números, se 
llama multiplicando el número que se compara 
con el' resultado: multiplicador el que se compara 
con la unidad; y producto el resultado de la mul- 
tiplicación de dichos números. 

63. La niulliplicación se indica colocando en- 
tre los dos números que se quieren multiplicar, 
el signo X <> simi)lemente un punto. 

La multiplicacií'.n de 6 por 4, se indica así: 
6 X 4, ó bien 6.4, y se lee 6 multiplicado por 4, 
ó sencillamente 6 por 4. 

En el ejemplo anterior, el número 6 es el multi- 
plicando, el 4 el multiplicador, y 24 es el pro- 
ducto. 

El multiplicando y el multiplicador, se llaman 
también factores del producto. 

63". Según acabamos de ver, en la multipli- 
caci()n de un número por otro, se rei)ite el mul- 
tiplicando tantas veces por sumando como unida- 
des tiene el multiplicador; luego po(lem(»s definir 
la multiplicación de dos números enteros, dicien- 
dí» que es la operación que tiene por objeto hacer 
vn niimero tantas veces mayor, como unidades tie- 
ne el otro. 

Por ejí^mi)lo, si quei'emos multiplicar 14 por 5 
tomaremos el número 14 cii co veces pí.r suman- 
do, asi: 

14 
14 
14 
14 
14 

~Í0 



— 4() - 

La suma 70 será, pues, el pnuliK-.to de 14 X 5. 

Del misino modo formaríamos el producto de 
527 por 36, tomando el número 527 treinta y seis 
veces por sumando, v hallaríamos que es igual á 
18972. 

64r. La multiplicación, tal cual la henrif^s prac- 
ticado en los ejemplos anteriores, vemos que es 
sumamente larga y difícil cuando el multiplica- 
dor sea un número grande. Veamos, pues, de (|ue 
medio podremos valemos para simplificar todo lo 
posible esta operación. 

En la multiplicación de dos números enteros, 
distinguiremos tres casos: 

1.® Multiplicar un número de una cifra por 
otro también de una cifra, 

2.° Multiplicar un número de varias cifras por 
otro de una sola, 

3.^ Multiplicar dos números de varias cifras, 

V^. CASO. La multiplicación de un número de 
una cifra, se efectúa fácilmente aprendiendo de 
memoria !a siguiente: 

TABLA DE MULTIPLICAR 



1 por 


1 


es 


1 


9 


por 


1 


son 


2 


1 » 


2 


»_ 


2 


2 


» 


2 


» 


4 


1 » 


3 


» • 


3 


2 


» 


3 


» 


6 


1 * 


4 


» 


4 


2 


» 


4 


* 


8 


1 » 


5 


» 


5 


2 


» 


5 


» 


10 


1 > 


6 


» 


6 


2 


» 


6 


» 


12 


1 » 


7 


» 


7 


2 


» 


7 


» 


14 


1 » 


8 


» 


8 


2 


» 


8 


» 


16 


1 )) 


9 


» 


9 


2 


» 


9 


» 


18 


1 » 


10 


» 


10 


2 


» 


10 


» 


20 


1 » 


11 


» 


11 


2 


» 


11 


» 


22 


1 > 


12 


)) 


12 


2 


» 


12 


■» 


24 



-r- 47 — 



3 por 1 son 3 

3 » 2 » 6 

3 » 3 » 9 

3 » 4 » 12 

3 » 5 » 15 

3 » 6 » 18 

3 .) 7 » 21 

3 » 8 » 24 

3 » 9 » 27 

3 > 10 » 30 

3 » 11 » 33 

3 » 12 » 36 

4 por 1 son 4 
4 » 2 » 8 
4 » 3 » 12 
4 » 4 » 16 
4 » 5 » 20 
4 » 6 » 24 
4 » 7 » 28 
4 » 8 » 32 
4 » 9 » 36 
4 » 10 » 40 
4 » 11 » 44 

4 » 12 »• 48 

5 por 1 son 5 
5 » 2 » 10 
5 » 3 » 15 
5 » 4 » 20 
5 » 5 > 25 
5 > 6 » 30 
5 » 7 » 35 
5 » 8 » 40 
5 » 9 .) 45 
5 » 10 » 50 
5 » 11 » 55 
5 * 12 » 60 



6 por I son 6 

6 V 2 .) 12 

6 » 3 » 18 

6 » 4 » 24 

6 » 5 » 30 

6 » 6 » 36 

6 » 7 » 42 

6 » 8 » 48 

6 » 9 » 54 

6 » 10 » 60 

6 » 11 » 66 

6 » 12 .» 72 

7 poi 1 son 7 
7 » 2 » 14 
7 » 3 » 21 
7 » 4 » 28 
7 » 5 » 35 
7 » 6 » 42 
7 » 7 » 49 
7 » 8 » 56 
7 » 9 » 63 
7 » 10 » 70 
7 » 11 » 77 
7 » 12 » 74 



8 


por 


1 


son 


8 


8 


» 


2 


» 


16 


8 


» 


3 


» 


24 


8 


» 


4 


» 


32 


8 


» 


5 


» 


40 


8 


» 


6 


» 


48 


8 


» 


7 


rt 


56 


8 


* 


8 


». 


64 


8 


» 


9 


» 


72 


8 


» 


10 


» 


80 


8 


» 


11 


» 


88 


8 


» 


12 


» 


96 



— 50 — 

Lo suma 20448, representa el producto que bus- 
camos; cuya suma la hemos obtenido repitiendo 
respectivamente 6 veces cada orden de unidades 
que componen el multiplicando, y una vez que 
conocemos de memoria !a tabla de multiplicar, 
podremos abreviar la operación practicándola y dis- 
poniéndola en la forma siguiente: 

;i408 Multiplicando 
XO Multiplicador 

¿0448 Producto. 

Digo: 6 por ochx), son 48, en 48 unidades hay 
4 decenas y ocho unidades, escribo las unidades 
y reservo las decenas para el producto parcial si- 
guiente; 6 por O, es O y 4 decenas del producto 
anterior son 4, que escribo: 6 por 4 son 24, es- 
cribo 4. y llevo 2; 6 por 3, son 18 y dos del otro 
producto son 20 que escribo. 

El producto buscado se compone de 20 milla- 
res, 4 centenar, 4 decenas y 8 unidades. 

6*7. Como este procedimiento puede aplicarse 
á otro ejemplo cualquiera, podemos formular la si- 
guiente regla: 

Para multiplicar un número de varias cifras por 
otro de una sola, se multiplican sucesivamente todas 
las cifras del multipticando por el multiplicador 
empezando por la derecha, y si en alguna de estas 
multiplicaciones parciales resultan unidades del or- 
den inmediatOy se reservan para agregarlas al pro- 
ducto siguiente. 

Multipliqúese D15498 por 8: 

' 915498 
7323984 



- 51 - 

Diremos: 8 por 8, son 64, escribo 4 y llevo 6; 
8 por 9, son 72 y 6 son 78, escribo 8 y llevo 7; 
8 por 4, son 32 y 7 son 39, escribo 9 y llevo 3; 8 por 
5, son 40 y 3 son 43, escribo 3 y llevo 4; 8 por 
^, es 8 y 4 son 12, escribo 2 y llevo 1; 8 por 
9, son 72 y 1 son 73, que escribo integro. 

G9. Teorema Para multiplicar una suma in- 
dicada por un número entero, se multiplica cada 
sumando por dicho número y la suma de los pro- 
ductos parciales que se obtengan formará el pro- 
ducto total. 

Sea multipiicar 5+3+8 por 6; y digo qne 

(5 + 3 + 8)X6=5. 6 + 3.6+8. 6 0) 

PoFííjae es evidente que, para hager 6 veces más 
grande una suma, basta hacer 6 veces mas gran- 
de cada uno de los sumandos. 

TO. Teorema -Para multiplicar una di/h^en- 
da indicada por un númer^o entero, se multiplican 
el minuendo y sustraendo por dicho número y se res- 
tan los productos parciales. 

Sea multiplicar la diferentíia 8 — 5 por 2; y di- 
gO' que: 

(8— 5)X2=8.2--5.2 

En efecto, como que el orden de los factores 
no altera el producto, lo mismo es 8—5 multipli- 
cado por 2, que 2 multiplicado por 8 — 5, y se- 
gún la definición que hemos dado de la multipli- 
cación (60), para hallar este último producto ten- 
dremos que tomar el número 2 ocho veces por 

(1) Para indicar que un número compuesto de varios otros ligados por 
lo« si'gnos -f-» — . se ha de multipHcar ó dividir por otro, 6 ha de sometéis»^ 
a cualquiera otra operación, se pnnierra dicho número dentro de uu paréntesis. 



— 52 ~ 

sumando y después cinco veces, restando en se- 
i»uiíla el segundo resultado del primero; así: 

(8_5)X2=2X(8—5)=2. 8— 2.5=8.2— 5.2 

*71. El producto de varios factores, por ejem- 
plo, 5.2.4.3, se obtiene multiplicando el 5 por 2, 
el producto 10 por 4 y el producto 40 por 3; en 
efecto, tenemos que 

5.2.4.3=10.4.3=40.3=120. 

*72. Teorema— JK producto de varios factores 
enteros no se altera, cualquiera que sea el orden de 
colocación de estos. 

Sea el produelo 7.2.3.5.6. 

Vamos á demostrar primeramente, que no se 
altera su valor cambiando el orden de dos facto- 
res consecutivos, por ejemplo, el 3 y el 5, es de- 
cir que 

7.2.3.5.6=7.2.5.3.6 

En efecto: 

7.2.3=7.2+7.2+7.2. 

Ahora multiplicando los dos miembros de esta 
igualdad por 5, tendremos: 

, 7.2.3.5=7.2.5 + 7.2.5+7.2.5 
ó bien 

y multiplicando esta última igualdad por 6 resul- 
tará que 

7.2.3.5X6=7.2.5.3X6 

Luego, vemos que se puede mudar de lugar á 
dos factores consecutivos sin que se altere el pro- 



— 53 — 

ducto; por consiguiente, efectuando esta operación ", 
todas las veces necesarias para que cada factor ocu- 
pe el lugar que se desee, quedará demostrado el 
teorema. 

Por ejemplo, para demostrar que el producto 
2.4.5.3 equivale á 4.3.2.5, se efectuarán los si- 
guientes cambios: 

2.4.5.3=4.2.5.3=4.2.3.5=4.3.2.5 

Corolario (1) — Para multiplicar un producto de 
dos ó más factores por un número entero, basta 
multiplicar uno de los factores por este número. 

Multipliqúese el producto 8.3.5 por 4, digo que 
bastará multiplicar, por ejemplo, el factor 3 por 
4; en efecto, 

8.12.5=8.3.4.5=-8.3.5.4. 

73. 3.®^ Caso — Este caso lo consideraremos di- 
vidido en tres casos particulares, los cuales son: 

I. Multiplicar un número entero compuesto de- 
varias cifras por la unidad seguida de ceros, es de- 
cir, por 10, 100, 1000, etc. 

II. Multiplicar un número entero compuesto de 
varias cifras por cualquiera de las cifras significa- 
tivas seguida de uno ó más ceros, 

III. Multiplicar un número entero compuesto de 
varias cifras significativas por otro de las mismas 
condiciones. 

I, Para multiplicar un número entero por la 
unidad seguida de ceros, se escriben á la derecha 
del número, tantos ceros como acompañan a la uni- 
dad que sirve de multiplicador, pues hemos visto 
(80—4) que un número se hace diez, cié», mil, 

(1) Llámase corolario ó consecuencia á una verdad que se deduce fácil- 
mente rte otra verdad evidente, ó ya demostrada. 



-Si- 
ete, veces mayor agregándole uik», dos, tres, etc. 
ceros á su derecha. 

Por ejemplo, para multiplicar el número 347 por 
100 se le agregan dos ceros á sn derecha y que- 
dará multiplicado, así: 34700. 

El número 9584 multiplicado por 10000, será 
igual á 95840000, y 276521x1000000=276521000000. 

II. Multipliquemos 536x300. El producto se 
obtendrá sumando el número 536, trecientas veces 
consigo mismo (63) cuya suma la podemos dis- 
poner en cien grupos de á tres sumandos cada uno; 
de modo que cada grupo representará el prf)d ne- 
to de 536X3, y como hay cien grupos, el produc- 
to total será igual á 100 veces 536x3, ó sea á di- 
cho producto, agregándole dos ceros á la derecha, 
luego vemos que: 

Para multiplicar un número entero por cual- 
quiera de las cifras significativas seguida de uno ó 
más ceroSy se multiplica el número por dicha cifra 
y á la derecha de este producto se escriben tantos 
ceros como tiene el multiplicador. 





EJEMPLOS 




149 
X90 

13410 


536 
X300 

160800 


9086 
X7000 

63602000 



III. La multiplicación de les números 4835x 
345, se hallará repitiendo 345 veces el multipli- 
cando 4835 por sumando, ó lo que es lo mismo, re- 
pitiéndolo primeramente 5 veces, después 40, y por 
último 300. Pero tomar el multiplicando 5 veces 
por sumando, equivale á multiplicarlo por 5; to- 
marlo 40; veces, es multiplicarlo por 40 lo mismo 



— So- 
que tomarlo 300 veces, equivale á multiplicarlo por 
300. Luego, pues, para hallar el producto de 
4835X345, multiplicaremos primeramente el nú- 
mero 4835 por 5, después por 40 y al fin por 300. 
La suma do estos productos parciales formará el 
total. 

El producto de 4835 por 5 es igual á 

24175 unidades. 

El producto de 4835 por 40, según hemos visto 
en el caso anterior, es igual á 193400, ó sean 

19340 decenas. 

El producto de 4835 por 300, se ohtiene, se- 
gún hemos visto, con solo multiplicar el multipli- 
cando por 3 y agregar á este producto dos ceros, ó 
considerarle como expresando centenas; de este 
modo, 4835X300 es igual á 1450500 ó sea á 

.14505 centenas 

Ahora, colocando estos tres productos parcia- 
les unos debajo de los otros, de manera que las 
cifras de un mismo orden se correspondan, se 
suman y se obtiene el producto total, asi: 

24175 
19340 
14505 



1668075 



Esta colocación se obtiene fácilmente al eje- 
cutar la multiplicación, teniendo cuidado de hacer 

/ 



— se- 
que la primera cifra de la derecha de cada pro- 
ducto parcial ocupe el lugar correspoudieuie al de 
la cifra que sirvió de multiplicador. 

El ejemplo anterior en la práctica se resuelve asi: 

4835 
345 



24175 
19340 
14505 

1668075 



Diciendo: 5 por 5, son 25, escribo 5 j^ llevo 2; 
5 por 3, son 15 y dos que llevo son 17, escribo 7 
y llevo 1; 5 por 8, son 40 y uno que llevo son 41, 
escribo 1 y llevo 4; 5 por 4, son 20 y 4 que llevo 
son 24, que se escribe íntegro. Ahora se multipli- 
ca por 40, ó sea por 4 decenas, cuyo producto 
parcial ya se ha visto que es un numero justo de 
decenas, por cuya razón escribiremos la primera 
cifra de este producto debajo de las decenas del 
producto parcial anterior Así, digo: 4 por 5 son 
20, escribo O debajo de las decenas y llevo 2; 4 
por 3, son 12 y 2 que llevo 14, escribo 4 y lle- 
vo 1; 4 por 8, son 32 y uno que llevo 33, escribo 
3 y llevo 3; 4 por 4, son 16 y 3 que llevo son 
19, que escribo íntegro. 

Falta ahora multiplicar por 300, ó sea por 3 
centenas, cuyo producto parcial será, según se ha 
visto, un número exacto de centenas, por cuya 
razón escribiremos la primera cifra de este pro- 
ducto,, debajo de las cifras de las centenas de los 
productos anteriores. Así digo: 3 por 5, son 15, 
escribo 5 en el lugar correspondiente de las cen- 
tenas y llevo 1; 3 por 3, son 9 y 1 que llevo 10; 



- 57 - 

escribo cero y llevo 1; 3 por 8, son 24 y 1 que 
llevo 25, escribo 5 y llevo 2; 3 por 4, son 12 y 2 
que llevo son 14, que escribo íntegro. Se suman 
los tres productos parciales y el resultado 1668075 
es el producto total buscado. 

74. El p?ocedimiento que hemos seguido 
para hallar el producto de los dos números pro- 
puestos en el ejemplo anterior, puede aplicarse á 
cualquiera otros números que se propongan; por 
consiguiente, podemos formular la siguiente regla 
general. 

Para multiplicar un número entero compuesto de 
varias cifras por otro de las mismas condiciones, 
se multiplica el multiplicando por cada cifra signi- 
ficativa, del multiplicador, escribiendo los productos 
parciales, unos debajo de los otros, de modo que la 
primera cifra de la derecha de cada uno ocupe el 
mismo lugar que la cifra correspondiente del mul- 
tiplicador; después se suman los productos parcia- 
les y esta suma expresará el producto total. 

Ejemplo, multipliquemos 746830Ó241 por 50986402 

7468300241 Multiplicando 
50986402 Multiplicador 



Productos 



14936600482) 
29873200964 
44809801446 

59746401928 . nar.iolno 

67214702169 ) paruaies 

37341501205 
380781758344322882 Produelo total 

Como se ve en este ejemplo se ha omitido la 
multiplicación de lo? ceros del multiplicador por 
el multiplicando, porque los productos parciales 



— 58 — 

I 

correspondientos, se compondrían de puros ceros 
y 1)0 inHuirían en la suma que viene á ser el pro- 
ducto total. 

*75. En la multiplicación de los números en- 
teros, puede ocurrir que uno ó ambos factores ter- 
minen en ceros. En tal caso puede abreviarse la 
operación prescindienilo de ellos y escribiéndolos 
después ala derecha del producto total. 

Multiplicase 4265 por 3700 

4265 
3700 



29855 Producto por 7 

12795 Producto por 3 



15780500 Producto total 

El producto de 4265 por 3700, se hallará repi- 
tiendo 3700 veces como suniíando el número 4265, 
cuya suma puede dividirse en 100 grupos de á 37 
sumandos cada uno. 

El valor de cada .arupo estará representado por 
4265X37, ó sea por 157805, y como son 100 grupos 
que hay, todos juntos compondrán 157805X100, que 
según se ha visto (TÍ3 — I) es igual á 157805C0; nú- 
mero que ha resultado de multiplicar 4265 por 37 y 
escribir dos ceros á la derecha de ese producto; 
conforme con lo que hemos enunciado. 

Ahora multipliquemos 7300 por 2500. 

7300 
2500 



365 Producto por 5 

146 Producto por 2 



18250000 Producto total. 



- 59 — 

El producto de 7300 por 2500, es igual á 7300 
tomado 2500 veces por sumando. Esta suma pue- 
de descomponerse en 100 grupos de 25 suman- 
dos cada uno, valiendo cada grupo 7300X25, ó 
sean 182500, y los 100 grupos valdrán 182500X100 
ó sea 18250000, número que ha resultado de mul- 
tiplicar 73X25, escribiendo luego cuatro ceros á la 
derecha de ese producto, conforme con lo que 
queríamos demostrar. 

Otros ejetnplos: 



8360 
X42000 

1672 
3344 


549000 
X 1480000 

4392 
2196 


351120000 


549 




812520000000 



T6. Observación — El producto de dos factores 
tiene tantas cifras como estos ó una menos. 

Veamos los factores 5428X756: digo que el pro- 
ducto tendrá 6 ó 7 cifras. 

En electo, esie producto está evidentemente 
comprendido entre 5428X100=542800 y 5428X1000 
.=5428000; luego, tendrá á lo menos 6 cifras co- 
mo el primero y á lo más 7 como el segundo. 

*7*7. Prueba de la MULTiPLiCACiÓN—Esta opera- 
ción se prueba invirtiendo el orden de los factores, 
es decir, tomando el multiplicando por multipli- 
cador y viceversa. El producto debe ser igual al 
primero si la operación está bien hecha, pues se 
ha dicho (66) que el orden de los factores no al- 
tera el producto. 

TlS. Se dice que; nn número es múltiplo de 



~ 60 — 

otro, cuando representa el producto de este por otro 
entero cualquiera. 

Asi, 12 es múltiplo de 4, porque es igual á 
4X3; del mismo modo vemos que 48 es múltiplo de 
16, porque es igual á 16X3. 

Un número se llama duplo ó doble de otro, cuan- 
do contiene á este dos veces exactamente: 16 es 
duplo de 8; 24 es duplo de 12. 

Un número se llama triplo, cuadruplo, quintu- 
plo, séxtuplo^ séptuplo, óctuplo, etc., de otro, cuando 
respectivamente le contiene 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc., 
veces exactamente. 

Por ejemplo, el número 21, es triplo de 7, por 
que le contiene 3 veces exactamente; asi como el 
45, es quíntuplo de 9; el 56, es séptuplo, de 8, etc. 

T?0. Se llama potencia de un número al pro- 
ducto que resulta multiplicando dicho número va- , 
rías veces por si mismo. 

Asi 27 es una potencia de 3, porque 3.3.3=27. 
Al producto que resulta de tomar un número 
dos veces por factor se llama cuadrado ó según- 
da potencia, 

Al producto que resulta de tomar un número 
tres veces por factor, se le llama cubo ó tercera 
potencia, 

Al producto que resulta de tomar un número 
cuatro veces por factor se le da e! nombre de 
cuarta potencia, y así sucesivamente. 

80. Las potencias se expresan abreviadamen- 
te escribiendo á la derecha del número y un poco 
más arriba, un numerito llamado exponente de la 
potencia, el cual indica las veces que se ha de to- 
mar por factor el número dado. 

Así, 3*=3.3=9 es la segunda potencia ó cua- 
drado de 3. 



— 61 — 

5'=r5. 5.5=125 es la tercera poterveia ó, cubo 
de 5. 

2*¿±±2.2.2.2.2=32 es la quinU potencia de 2. 

81. Usos DE LA MULTIPLICACIÓN Se bace uso 
de la multiplicación, cuando se quiere hacér/un.nú- 
mero ctuilquiera cierto número déveees mayor. 

Ovando conocido el valor de una unidad, se 
quiere hallar el valor de un número cualquiera de 
unidades de ¡a misma: especie, ele 

PROBLEMAS 

¿Ouál será el número 389 yeces mayor que 737881? 

737881 
389 



6640929 
5903048 
2213643 

287035709 



Resultado: «1 núroeüo pedid^) ,es ^87035799^ 
2". Un metro de ¡género ,QQ8tó :2^ Mn^§^i||ios 
'de 'peso; ¿cuánto C08lRrÍ.n 687 ip^t^os peí ,mismo 
-género? 

687 
235 

~3435 
-2061 
1374 



161445 
Resultado: costaran , 161445 centesimos. 



— 62 - 

3**. La rueda de un molino da 86 vueltas por mi- 
nuto; ¿cuántas dará en ocho días? 

Este problema quedará evidentemente resuelto, 
reduciendo los días á horas y estas á minutos, y 
multiplicando el resultado por 86 vueltas que da 
la rueda por minuto, se tendrá resuelto el proble- 
ma. 



24 
8 


Horas 
Dias 


192 
60 

11520 
86 


Horas 
Minutos 

Minutos 


6912 
9216 




990720 Vueltas 



Resulta que en ocho dias la rueda da 990720 
vueltas. 

4°. 486 hombres hicieron una escavación en 
36489 horas; ¿un solo hombre cuánto tiempo ne- 
cesitará para hacer la misma obra? 

Es evidente que teniendo un hombre que ha- 
cer por sí solo todo el trabajo que hicieron 486 
empleará 486 veces más tiempo, luego 

36489 
486 



218934 
291912 
145956 

17733654 



~ 63 — 

Resulta que necesitará 17733654 horas para ha- 
cer el mismo trabajo. 

Ppobleiuas de adición, sustracción 
y multiplicación eombincidas 

1°. Un hacendado compró un campo compues- 
to de 4685 hectáreas de terreno de superior cali- 
dad, 1257 de clase regular y 838 inferior; la hec- 
tárea de terreno superior le cosió 17 pesos, la re- 
gular 13 y la inferior 8; á los pocos días tuvo oca- 
sión de vender todo el campo á razón de 16 pe- 
sos la hectárea; ¿cuánto ganó en la venta? 

4685 hectáreas á $ 17 importan $ 79645 

1257 » » » 13 » » 16341 

839 » )) )) 8 » » 6712 

6781 hectáreas costaron $ 102698 

6781 hectáreas vendidas á $ 16 una $ 108496 
Todo el campo costó » 102698 



Diferencia $ 5798 

Resultado: se ganó 5798 pesos. 

2". Un agricultor recogió en un terreno 1352 
hectolitros de trigo, en otro 987, en otro 2046 y 
en otro 7163, de cuyas cantidades reservó 875 pa- 
ra, semilla y perdió 614 que se le incendiaron; el 
resto lo vendió á razón de 45 reales el hectolitro 
¿Cuánto importa el trigo vendido? 

1352 875 

987 614 

2046 —— , . , 

yigo 1489 trigo separado 



11548 hectolitros recogidos 



- 64 - 

11548 
—1489 

10059 Hl. de trigo para vender . 
X45 



50295 
40236 



452655 reales 

El trigo vendido importa 452655 reales. 

3^. Un comerciante debe á varias casas de 
Montevideo 37856 pesos; á sus dependientes y á 
otros acreedores de la localidad, 3429 pesos, y 
sólo cuenta para pagar, con un terreno compues- 
to de 4827 hectáreas, que puede vender á 7 pesos 
la hectárea, y con 5314 pesos en mercaderías; ¿cuán- 
to quedará debiendo después de entregar todos 
sus intereses á los acreedores? 

37856 
3429 



Debe 41285 pesos 

4827 

• 7 

33789 valor del terreno 
5314 » de las mercaderías 



39103 valor total 

41285 
—39103 



2182 Diferencia 
Quedará debiendo 2182 pesos. 



— 65 — 
EJERCICIOS 

P. En la construcción de un cerco trabajaron 
28 días un albañil y un peón, ganando 37 reales 
diarios entre los dos; el jornal del peón importaba 
13 reales nrienos que el del oficial albañil: se quie- 
re saber cuanto ganó cada uno. 

2". Un comerciante compró en el Brasil 3468 
barricas de azúcar, y 1875 rollos de tabaco; cada 
barrica de azúcar le costó 15 pesos y cada rollo 
de tabaco 6; entre derechos, fletes y comisiones 
gastó 38430 pesos: en seguida vendió en esta Vi- 
lla, la barrica de azúcar á'28 pesos y el tabaco 
á 10 pesos el rollo; ¿cuánto ganó en la venta? 

3^. Un peón que gana 18 reales diarios, casa 
y comida, ha trabajado 3 años, 5 meses y 4 días 
sin arreglar cuentas con su patrón, y al cabo de 
este tiempo, con motivo de tener que pagar una 
deuda que importaba 8315 reales, le pidió al pa- 
trón sus haberes: ahora se quiere saber á cuanto 
ascienden 4i^hos haberes, y que dinero le queda- 
rá después de pagar la expresada deuda. 

4^ Un comerciante compró 365 cajas de fideos 
de 1^. clase, 842 de 2.^ y 1417 de 3^.; los de 1.^ 
le contaron á razón de 35 reales caja, los de 2*. 
á 28 y los de 3^ á 18. 

Los tuvo algún tiempo depositados y al lin ob- 
serva que están todos algo averiados; por tanto, 
se apresura á venderlos y solo puede obtener á 
razón de 19 reales caja al barrer; ¿cuánto perdió 
en la venta? 

5". Un propietario vnedió un solar compuesto 
de 4659 metros cuadrados de terreno á razón de 
87 reales el metro, otro de 2130 metros á 69 rea- 
les, i'ecibieiulo á cuenta de dicho importe una ca- 



— 66 - 

sa que, con el terreno que ocupa vale 393605 rea- 
les: ¿cuánto le quedaron debiendo? 

6^. El Coronel de un regi.niento ofreció a sus 
soldados 27 centesimos por cada piel de nutria 
que le llevasen; al cabo' de algunos días los sol- 
dados del 1^^ escuadrón le habían reunido 328 
pieles, lo§ del 2^, 149 y los del 3^ 275. Encon- 
trándose el Coronel con solo 18425 centesimos, 
¿cuánto le queda debiendo a sus soldados? 

7^. Un tren esprés camina á razón de 85 ki- 
lómetros por hora, y se quiere saber, si anduvie- 
se sin parar 2 meses, 15 días y 8 horas, cuánto 
kilómetros recorrería. 

8**. Un comerciante tenía 3615 sacos de maíz 
que le costaban 24 reales cada uno: vendió 2467 
sacos á 26 reales uno, y el resto á 23; ¿cuánto ga- 
nó ó perdió en la operación? 

9°. En una escuela .que hay 125 bancos, en 
cada uno de los cuales se sientan 4 niñas y otros 
36 que contienen 5 cada uno, dispuso la Directo- 
ra que de las 2815 naranjas que tiene guardadas, 
se entreguen durante el recreo, tres hs^anjas á ca- 
da niña: ¿cuántas naranjas le sobraron? 

LECCIÓN VIH 

División 

82. La División, es la operación que tiene por 
objeto con el producto de dos factores y uno de ellos, 
determinar el otro. 

El producto dado, se llama dividendo; el factor 
conocido, divisor, y el que se busca, se llama co- 
ciente. 



- 67 -- 

83. Según la definición que hemos dado, re- 
sulta que, el producto del divisor por el cociente de- 
be producir el dividendo. Luego, tratándose de nú- 
meros enteros, el cociente nos indica las veces 
que el dividendo contiene al divisor, porque, se- 
p^ún hemos visto f^n la multiplicación, el i)r(>ducto 
de dos números enteros contiene á uno de estos 

/tantas vecíes como unidades tiene el otro. Por 
consiguiente, podremos decir que la división de 
dos números enter(»s tiene por objeto, averiguar 
cuantas veces un numero contiene á otro; ó bien 
también repartir un número dado en tantas partes 
iguales como unidades tiene el otro. 

Tenemos por ejemplo que 36 es el producto de 
dos números, 8 es uno de ellos, el otro tiene que 
ser necesariamente 4, porque 9X4 son 36. 

El dividendo 36 es igual al divisor 9 multipli- 
cado por el cociente 4, ó lo que es lo mismo es 
igual á 4 veces 9; luego el cocienie 4 nos indica 
las veces que el dividendo 36 contiene al divisor 
9. Así pues, al dividir dos números enteros, 
averiguamos las veces que el uno contiene al otro; 
lo que está de acuerdo con la segunda definición 
que hemos dado. 

También tenemos que 36=4X9 (6G.), lo que 
nos dice que el dividendo es igual á 9 veces 4; 
de modo que se compone de 9 partes iguales á 4; 
ó lo que es lo mismo, el dividendo se compone de 
tantas partes iguales al cociente, como unidades 
tiene el divisor; luego, pues, al practicar la divi- 
sión de dos números enteros, repartimos uno de 
ellos en tantas partes iguales como unidades tie- 
ne el otro, conforme con la última delinición que 
dimos de la división. 

84. La división se indica escribiendo el di- 



— 68 - 

victendovy á oontiiuifikcipn .el diviso^, ,. ^separándolos - 
por medio de dos punt()$, .de e^te mgdo: 36;9j, ,y 
se lee. 36, divMido por 9; también pueiíe escribirse 
el dividendo sobre una línea horizontal v el divi- 

36 . . * ' 

sor debajo, asi: -g y se* lee lo mismo* 36 dividi- 
do por 9. ' . ' 

85. Hemos visto en el ejemplo anterior que 
el cociente que resulta de dividir 36 por 9 es 4, 
es decir, un número entero. ' - 

No todas las divisiones (dan por cociente un ♦ 
número entero; por ejemplo 23;7, pues tenemos qufe 
7X3 son 21, número menor que ¿3 y 7X4 son 28, 
número mayor que 23; luego- el. cociente será ma- 
yor que 3 y inetnor qtie 4^ por consiguiente se com- 
pondrá de 3 unidades enteras y además. de una ó 
varias partes de otra unidad; en^ este caso el co- 
ciente será un número mixto. (G). 

. 8G. Toda división en que el cociente esté ex- 
presado por un. número entero, se llama exacta, 
porque el dividendo contiene un número exacto 
de veces al divisor. 

STíi? >Cuairdo el cociente ¡, ^le ¡una^ división no 
puede expresarse porup, púniero Qqtero, se llama 
inexacta^ dándose ej nouíibre de cociente entero al 
mayor número :de ve^es qpe el¡ dividendo contiene 
al divisor, y residuo,, á la diferepcígi qu^ hay entre 
el dividendo y el producto, ,del .diyís/>r ppr el co- 
ciente entero. Luego: enJQdc^ .di'i^sió^n inexacta, el 
dividendo, será igual al prQducto del divisor por el 
cociente entera, más, el re,sid%q ,(*4*7). 

El residuo debe ser siempre menor qu^ el di- 
visor,' pues- si 'fuese igual ói ipayor, el d\v,isor es- 
taría aun contenido en el dividendo una ó más ve- 



-^ 87 - 

ees, y por consiguiente, el cociente entero hallado 
no expresarla el mayor número de veces que el 
dividendo contiene al divisor. 

En el ejemplo que pusimos (85), para probar 
que no todas las divisinjies dan cociente exacto, 
hemos visto que 23:7, da por cociente entero 3, ci- 
fra que -expresa el mayor número de veces que el 
dividendo contiene al divisor, y 2 de residuo que 
es la áiferencia que hay entre el dividendo y el pro- 
ducto del cociente entero por el divisor; ó sea 
23—3x7=2. 

88. Se ha visto en el número «3, que el co- 
ciente ijidica las veces qufe el divisor esta conteni- 
do en el dividendo; por consiguiente, siempre po- 
drá hallarse su valor restando el divisor del divi- 
dendo todas las veces que se pueda. Asi, pues, 
vemos que la dÍJtrisión es una operación contraria á 
la multiplicación (G3). 

Por ejemplo, para dividir 1392 por 348, restaré 
del número 1392 el 348 todas las veces que se 
pueda, y el número que exprese las veces que se 
ha restado, será el cociente. Así: 

1392 
—348 Una vez 



1044 
—348 Dos veces 



696 
-348 Tres veces 



348 
—348 Cuatro veces 

000 



- 88 — 

Se ha podido restar cuatro veces justas, luego 
el cociente de la división propuesta es 4, y ía di- 
visión exacta. Veamos ahora, dividiendo el nú- 
mero 1685 por 476: 

1685 
— 476 Una vez 



1209 
— 476 Dos veces 



733 
"476 Tres veces 



257 



En este caso solo se ha podido restar el divi- 
sor 476, tres veces del dividendo 1685, y han so- 
brado 257, número mf^nor que el divisor. Luego, 
el cociente entero es 3, y 257, el residuo, que es 
lo que ha sobrado después de restar 3 veces el 
divisor del dividendo, ó, lo que es lo Tíiismo, es 
la diferencia entre el dividendo y el producto del 
cociente entero por el divisor. Así: 

1685 -476X3=257, 

de modo que la división propuesta en este último 
ejemplo, es inexacta. 

SO. El procedimiento empleado en los ejem- 
plos anteriores de división, es exacto, pero muy 
largo cuando el cociente es un número compuesto. 
Así pues, trataremos de estudiar otro medio más 
rápido que nos conduzca al mismo fin; para lo cual, 
en la división de los números enteros, distingui- 
remos tres casos. 

1\ Cuando el dividendo tiene una ó dos cifras y 



— so- 
ez divisor una sola, y el cociente ha de tener también 
una sola. 

2^. Cuando el dividendo tiene dos ó más cifras, 
el divisor una sola y el cociente ha de tener dos ó más. 

3^. Cuando el dividendo, divisor y cociente tie- 
nen variar cifras. 

El cociente tendrá una sola cifra, cuando agre- 
gándole un cero al divisor resulte un númen^ ma- 
yor que el dividendo: en caso contrario tendrá más 
de una. 

90. l®^ Caso. Este caso se resuelve fácilmen- 
te sabiendo bien la tabla de multiplicar, pues bas- 
ta hallar una cifra que multiplicada por el divisor 
produzca el dividendo ó el producto próximo me- 
nor, si la división fuera inexacta. Así: 

El cociente de 6:2 es 3, porque 2X3=6 

El cociente de 35:7 es 5, porque 7X5=35 
. El cociente de 72:8 es 9, porque 8X9=72 

El cociente de 87:9 es 9 y sobran 6; porque 
9X9 8(>n 81, hasta 87, que representa el dividen- 
do, van 6, que es el residuo. 

Fl cociente de 76:8 es 9 y sobran 4; porque 
8X9 son 72, á 76 van 4, que es el residuo. 

Los tres primeros ejemplos son de divisiones 
exactas, y los dos últimos de divisiones inexactas. 

91. 2^ Caso. Dividir 944 por 8. 

Para mayor facilidad, supongamos que el nú- 
mero 744 representa naranjas, y que se trata de 
, repartir esta cai^tidad entre 8 niños. Podríamos 
repartir dicho número de naranjas, entregando de 
á una, á cada uno de los 8 niños, hasta concluir- 
se todas; pero esta operación sería muy larga. 
Así, pues, vamos á ver si la podemos abreviar 
entregando 100- naranjas á cada niño, con lo que 
repartiremos 800. Pero tenemos 944; luego nos 



'i-* 



-^ 90 — 

sobran 144, {|ue no alcanzan para entregarles otro 
centenar de naranjas á cada nno, pero sí pode- 
mos repartirles 10 más á cada nno, con lo que les 
entregaremos entre los 8 otras 80; hasta 144 que 
nos quedaban, aun sobran 64, que repartidas en- 
tr^ los 8 les tocará á 8 naranjas á cada uno, por 
que 8X8 son 64; con lo que ya no nos quedan 
más naranjas. Luego, pues, hemos repartido las 
944 entre los 8 niños y les ha tocado 100» más 
10, más 8 naranjas, ó sean 118 á cada uno. 

Este resultado lo hemos obtenido, tomando la 
octava parte, ó dividiendo por 8, cada una de las 
unidades de diferente orden que componen el nú- 
mero propuesto; y la reunión (5 suma de todas 
estas partes, han íormado el cociente buscado, 6 
sea, la octava parte del número dado, 

Cí)mo se ve, este segundo caso también se re- 
suelve fácilmente sabiendo la tabla de multiplicar. 

Vamos ahora, usando el procedimiento ante- 
rior, á dividir el número 4657 pbr 9, tratando de 
simplificar algo más la operación, pai-a lo cual 
la dispondremos en la forma siguiente: 



Dividendo 4657 
5X9 45 

2". dividendo parcial 15 
1X9 9 


9 Divisor 


517 Cociente 



3^^. dividendo parcial 67 
7X9 63 

4 Residuo 

Diremos: 4 unidades de millar no pueden re- 
partirse entre 9 de modo que alcance á tncar milla- 
res justos á cada uno; empeza»'emos por dividir 



— 91 — 

entonces las 46 centenas: así, 46 entre 9, á 5, 
poique 5x9 son 45, á 46, que tenemos en el di- 
videndo, todavía sobra 1 centena; 5 son, pues, las 
centenas del cociente, cuya cifra escribimos debajo 
del divisor. El producto 45 de la primera cifra 
del cociente por el divisor, lo coloc^ainos debajo 
de las centenas del dividendo para efectuar la res- 
ta. A la deiecha del resto 1 centena, ó sean diez 
decenas, bajamos his 5 decenas del dividendo, for- 
mando así 15 decenas, con lo que tendremos el 
spgundo dividendo parcial. 

Tenemos ahora que repartir las 15 decenas entre 
9: le cori'esponderá 1; que esanbimos en el cociente á 
la derecha del 5; multiplicamos esta segunda cifra 
del c( cíente por el divisor, () sea 1X9 son 9 que 
colocamos debajo del seiíundo dividendo parcial 
15, para hallar la diferencia, con el objeto de sa- 
ber lo que nos queda aún para repartir, y decimos: 
de 9 á 15 van 6; nos sobran ])ues 6 decenas ó sean 
60 unidades. A la derecha de dicha diferencia ba- 
jamos la cifra 7 de las unidades del dividendo, for- 
mando asi .67 unidades que constituyen el 3^"*. di- 
indendo parcial. 

Dividimos por último las 67 unidades restantes 
entre 9. Corresponden á 7, porque 7x9 son 63, 
hasta 67 que tenemos, sobran 4 unidades que que- 
dan sin repartir y forman el residuo. La cifra 
7, hallada últimamente, la c-JocanKís en el co- 
ciente á la derecha de la cifra 1, con lo que com- 
pletamos el cociente entero. 

Hemos dividido todas las diferentes unidades 
del dividendo por el divisor. Es, por consiguiente, 
evidente que el cociente entero de los números da- 
das es 517 y el residuo 4. 

Otro ejemplo: dividir 24416 por 8: 



- 92 — 



Dividendo 24416 

041 
16 
O 



8 Divisor 



3052 Cociente 



Diremos: 2 no contiene al 8 ninguna vez; lue- 
go, empezaremos la división por las 24 unidades 
de millar del dividendo. Así: 

24 entre 8 á 3 

luego, 24 unidades de millar entre 8, correspon- 
den á 3 unidades de millar. 3 es, pites, la prime- 
ra cifra del cociente, ó sea la de orden superior. 

Ahora restando del dividendo el producto de la 
primera ciíra del cociente por el divisor, conoce- 
remos las unidades de los otros ordenes inferio- 
res que nos quedan para repartir; 

3 por 8 son 24, á 24 va 0. 

A la derecha de este resto, cero unidades de 
millar, se baja la cifra siguiente del dividendo, ó 
sea la de las centenas, y tendremos por dividendo 
parcial 4, que no contiene al divisor 8, ninguna 
vez; luego, cero, es la segunda cifra del cociente, 
que se escribe á la derecha de la anterior. 

Se baja la siguiente cifra del dividendo, que es 
1, con le que tendremos por dividendo parcial 
41 decenas. 

41 entre 8 á 5: 

es decir, que 41 decenas, divididas entre 8, co- 
rresponden á 5 decenas; luego, b es ta tercera ci- 
fra del cociente. 



— 93 — 

Restando ahora del dividendo el producto de 
esta última cifra del cociente por el divisor, la 
diferencia serán las unidades que aún quedan pa- 
ra dividir. 

5 por 8 son 40 á 41 va L 

Nos queda una decena ó sean 10 unidades. Bá- 
jase á la derecha de este residuo la última cifra 
6 del dividendo, con lo cual formaremos el últi- 
mo dividendo parcial, compuesto de 16 unidades, 
y diremos: 

16 enire 8 á 2 

2 es la última cifra del cociente, ó sea la de las 
unidades simples, y como: 

2 por 8 son 16 á 16, O,* 

resulta que la división propuesta da 3052 da co- 
. cien te exacto. 

Obsérvase que eñ este último ejemplo, la muí" 
íiplicación de cada cifra del cociente por el divisor 
y la sustracción del dividendo parcial respectivo, se 
ha hecho todo á un mismo tiempo, lo que simpli- 
fica algo la operación. 

92. Del procedimiento seguido en los ejem- 
plos anteriores, se deduce la siguiente: 

Regla. — Para dividir un número compuesto de 
varias cifras por un dígito, se divide la primera cifra 
de la izquierda del dividendo por el divisor, y si no es 
posible, por ser menor la cifra del dividendo que la 
del divisor, se dividen las dos primersa cifras de la iz- 
quierda del dividendo por el divisor, y el cociente 
obtenido será la primera cifra del cociente total; se 



-- 94 — 

multiplica esta por el divisor y el producto se resta 
de las dos cifras de la izquierda del dividendo; á 
la derecha de este resto se escribe la tercera cifra 
de la izquierda del dividendo, y el número o-ri for» 
mado se divide por el divisor; el resultado será la 
segunda cifra del cociente; se multiplica esta por el 
divisor y el prodúcelo se resta de aquel número; á la 
derecha de este segundo resto se baja la cifra si- 
guiente del dividendo, y se divide este segundo nú-- 
mero por el divisor, con lo que obtendremos la terce- 
ra cifra del cociente, y asi sucesivamente hasta ba- 
jar la última cifra del dividendo. 

Puede ocurrir que al bajar alguna cifra del di 
videndo para formar los dividendos parciales, resul- 
te un número m^nor que el divisor; en tal caso se 
pone cero en el cociente, y se baja a la derecha de 
dicho número la siguiente cifra del dividendo. 

En la práctica se divide sencillamente de este 
modo: 

Dividir 54690023 por 7 



54690023 


7 


56 


7812860 


09 




20 




60 




42 




03 





Digo: 54 entre 7, ¿ 7; 7 por 7, son 49, á 54 
▼an 5; bajo el 6. 56 entre 7, á 8; 8 por 7, 56, á 
56 cero; bajo el 9. 9 entre 7, 4 1, 1 por 7 son 7, 
á 9 van 2, bajo el cero, 20 entre 7, á 2; 2 por 7, 
son 14, i 2p van 6; bajo Q, 60 entre 7, A 8; 8 por 
7, 56, á 60 van 4; bajo el 2, 42 .entre 7, á 6; 6 por 



— 95 — 

7, 42, á 42 cero; bajo el 3. 3 entre 7, á O y so- 
bran 3. 

El cociente es 7812860 y el residuo 3. 

93. Una vez que se haya adquirido bastante 
práctica en la división, pueden suprimirse los restos y 
dividendos parciales, lo cual es mucho más breve, así: 

876540 : 5= 1 75308 525924 : 6=87654 
29502:9=3278 3460:8=432 y 4 de residuo. 

Digo; la quinta |)ai'te de 8 es 1, (qite escribo des- 
pués del signo^ y mentalmente continúo diciendo, 
1 por 5 es 5, á 8 van 3, que c(»n el 7 {es la cifra 
siguiente) forman 37; la quinta parte de 37 son 7, 
(que escribo á la derecha del 1) continúo el cálculo 
mental diciendo: 5 por 7,35, á 37,2, que con el 6 
forman 26; la quinta parte de 26 es 5, (que escribo 
á la derecha del 7), 5 por 5, 25 á 26, 1, que con 
el 5 forman 15: la quinta parte de 15, 3 (que escribo 
á la derecha del 5), 3 por 5, 15, á 15 cero; la quin- 
ta parte de 4 es cero, que pongo al lado del 3; so- 
bran 4 que con el O forman 40; la quinta, parte 
de 40 son 8, que escribo a la derecha del 0. 

Luego la división de 876540 por 5 es exacta, 
siendo 175308 el cociente. 

El segundo ejemplo se resuelve abreviadamente 
asi: 

La 6^. parte de 52, 8 y sobian 4; la de 45, 7 y 
sobran 3; la de 39, 6 y sobran 3; la de 32, 5 y so- 
bran 2; la de 24, 4 y no sobra nada. 

94. También suele Ofiiitirse el divisor, dispo- 
niendo la operación^en esta foima: 

Dividir 360496 por 8 

360496 Divide/ndo 
45()()2 Cociente 



- 96 - 

Digo: la 8*. parte de 36, 4 y sobra» 4; la de 
40, 5 y no sobra nada, la de 4, O y sobran 4: la tie 
49, 6 V sobra 1; la de 16, es 2. 

Dividir 150506 por 7. 

150506 
21500 y sobran 6 

Digo: la 7^' parte de 15, 2 y sí^bra 1; la de 10, 
1 y sobran 3; la de 35, 5; la de O, 0; la de 6, es 
O y sobran 6. 

Esta última djvisiíin es inexacta: el cociente en- 
tero es 21500 y el residuo 6. 

95. 3^^ Caso Dividir 23936 por 68. 

Sabemos que dividir un número entero por otro 
es hacer del dividendo tantas partes iguales como 
unidades tiene el divisor (83). Luego, dividir 23936 
por 68, es hacer del número 23936, 68 pai-tes igua- 
les, que equivale á repartir las 23936 unidades en- 
tre 68 personas, de modo que todos tengan igual 
porción, y lo que á cada una le toque será el co- 
ciente. 

Del mismo modo que en el segundo caso, em- 
pezaremos por repartir las unidades de orden su- 
perior y sucesivamente iremos repartiendo las de 
lo.«^^;otros órdenes inferiores, hasta repartir las uni- 
dades simples, y la reunión de todos estos cocien- 
tes parciales formarán el cociente total. 

El número propuesto solo tiene 2 decenas de 
millar; luego, no se puede repartir ninguna dece- 
na de millar, puesto que necesitaríamos á lo me- 
nos 68 para dar una á cada persona; tampoco po- 
demos empezar la partición por las unidades de 
millar, porque solo tenemos 23; así, pues, empeza- 
remos por las centenas que son 239. 



—^97 — 

Para dividir las 239 centeaas entre las 68 per- 
sonas, observaremos que si 3oIo les entregamos 
una centena á cada una, con 68 tendríamos sufí- 
cientes; para entregarles 2, nos t:^ bastarían 136, y 
como hay muchas más vamos .á ?probar de repar- 
tir 3 centenas á cada una, para ¡^ lo cual necesita- 
remos 204; hasta 239 que tenemos, sobran 35, que 
ya no alcanzan i para entregar una más á cada per- 
sona. Luego, ípui^,cel pri«aer cociente parcial es 
3 centenas, y nos sobran ffi, -,que equivalen á 350 
decenas más 3 que tenamos en el dividendo, for- 
man 353. 

Debemos dividir ahoca tes853'láecenas entre las 
68 personas, y por tantesQ, lo mismo que hemos he- 
cho para repartir las rCenfeBiHis,^ei58mos que toca á 5 
decenas por persofla; de-mado qife entre las 68 se 
llevan 68X5, ó se^n 340, 4iasta ^53 que tenemos 
sobran 13, que no alcanzan para repartir una más 
á cada persona. :Luego el segundo cociente par- 
cial es 5 decenas y y sobmu 13, ó sean 130 unida- 
des, que con más 6 que hay en el dividendo, for- 
man 136. 

Por último, dividiremos las 136 unidades sim- 
ples entre las 68 jjersoaas, y veremos que les to- 
ca a 2 unidades á cada una, porque 2X68, son 
136. Luego, el tercer cociente parcial es 2 uni- 
des. 

Reuniendo tode^s los cocientes parciales, vemos 
que á cada una de las 68 pei'sonas les ha corres- 
pondido 3 centenas, 5 decenas y 2 unidades ó sean 
3^ AMudades. Luetio 352, es el cociente exacto 
que resulta de dividh* el número 23936 por 68. 

Wvlíiase 483569 por 235. 

El cálculo para determinar todas las partes del 
cociente, puede disponerse del m-odo siguiente: 



98 



S 



o 

o 



o 

s 



co o 



28 





oi ^5 




^ t 


Cft ^ 


tH tH 


S i-< 





•^ 


u 

o 


-^ u 


3 


g 


e 


00 




•S 


OQ 


•** 


1 




s? 




5 


II 


2, 






«-M 


^■^ 






2 


« 


© « 


© 


a? 


1 


1 


dend 
por 


1 
-1 




•^ 


1 


divi 
ente 


?T3 








•^ 




• rH 






u* ^ 




O 




8 


1, 8 


-ih 


8 




'3 


^ "S . 




*© 




'« 


TS 




'§ 









«> 
tS 












© 



© 

© 



© 

© 



El dividendo 483569, es igual á 235 veces el- 
cociente, lo que es lo mismo, se compone de 235 
partes iguales al cociente. Luego, para encontrar 
su valor tendremos que dividir el número 483569 
en 235 partes iguales, lo que evidentemente se 



^__J 



— 99 - 

conseguirá dividieodo las unidades de todos los 
órdenes que forman el número propuesto, en 235 
partes iguales, y la reunión de todas estas partes 
formará el cociente total buscado. 

Las centenas y decenas de millar del número 
dado, son pocas para poderse dividir en 235 par- 
tes; así pues, empezaremos la división por las 483 
unidades de millar, las cuales para mayor clari- 
dad las separaremos del dividendo total por medio 
de un punió, con lo que tendremos el primer di- 
videndo parcial, formado de 483 unidades de mi- 
llar. 

483 unidades de millar, divididas en 235 partes 
iguales, ó lo que es lo mismo, repartidas entre 
235 personas, toca á cada. una 2 unidades de mi- 
llar. La cifra 2 será la del orden superior del co- 
ciente^ es decir, la de las unidades de millar, cu- 
ya cifra se escribe debajo del divisor. 

Para determinar la segunda cifra del cociente, 
ó sea la de las centenas, se multiplica la cifra 
2 de los millares del cociente por el divisor 235; 
su producto 470 millares se coloca debajo del pri- 
mer dividendo parcial, ó sea de las 483 unida- 
des de millai* que separamos; se resta dicho pro- 
ducto del expresado dividendo, y la diferencia, 
13, son las unidades de millar que ban quedado sin 
repartir, las que equivalen á 130 centenas, que 
sumadas con las 5 que tiene el dividendo total, 
son 135 centenas que tenemos para dividir entre 
235; es decir, que el número 135 forma el 2". di- 
videndo parcial, el cual vemos que n(x alcanza pa- 
ra en llegar una centena á cada una de las 235 
personas. Luego, la segunda cifra del cociente se- 
rá O, que colocaremos á la derecha de la cifra 2 
hallada antes, para que los millares y decenas ocu- 
pen el lugar cori-espondionte. 



Para determinar la 3*. cifra del c^jciente, o.^^pr- 
vafÉ'ftíós Qtie'^WS^^Sb^ centenas que tenemos y que 
"tíoí^ftlcarf¿*fotí'' üai-a entregar una unidad de , éste 
'*í)rden***^tlaéla ttna^del lá¿*!é35||persatias entre quie- 
nes se quiere i^é^ai^lir*,* síín' 'equivalentes á 13^ de- 
•^cená^, y*VnSs^'6^'qu€f' hay'eri el dividendo tutái,,spn 
1956, qué'cbrtBtmlyeñ' el S< dividendo paicíal, .^u- 
"^a^ 1356 dedfnaSs' aísírihiíidas entre las 235,ppjj'so- 
rtas, les corresponde" á óafla* una 5. Lnegu, 5 será 
'la* tei^eí'a'cifVa íféT riocfehle, ó sea la de las decenas 
iía.'feiiát ise' embribe en eP cociente, á la derecha del 
O hallado á'hteriorftienle. ' • ' 

Solo nos falta ahora determinar la última cifra 
delcocíente,' d'Seb lá -dé Vas unidades simples, pa- 
ta lo^dUál multiplicaremos la cifra 5 dé las de- 
'c'en^s de^l có'éleríte; por' 'él* divisor ^35; sii prodnc- 
to^^ílT5- ló^^'té^lÍlreiTÍí)S deí^>\'drvi^endo ,Ríimal 
1356j para con*bte'r la diferencia ;181 (\\ie son fas 
decenas qué'íiaiV sobradó,' Tías * cuáles equivalen á 
1810' unidhdes^ 'y lílás O que hay en el dív^iden- 
üo totalisdn 1819 uh'idades' qué nos quedan para 
dividir entre 235. Así piiés, l'819 es el 4^. dividen- 
d() parcial,' cuyo número repartido entre las 235 
personas' les toca á cada uiiá 7 unidades, con lo 
cuíjI repartiremos 7X235,* ó* sean 1645 ^unifl^des 
hasta 18'19 qué tenemos, sobran 174. Luego Í7 es 
la cUVa de *fas unidades kím|)les del coc-iente y 
174 es el residuo ñnáf. ' ' ' ' ' 

9&. Déf 'i^rocedíiíiiento empleadí) en los ejjem- 
l»l()d ál)teri6res, (^ué'ét' aplirable*^ a otro cualquier 
caso dedtrcfitW)s ial siguiente regla. 

Potra dividir un 'numero entero compuesto de 
variar* cifras,' por otro dé las mism^as condiciones^ 
se ¡deparan de 7a izquierda del dividendo las cifras 
necesarias p'ara obtéfier uñ número igual ó mayor 
qrte' el divisú7\ pero menor diez veces de su valor. 



— 101 — 

Las cifras asi separadas del dividendo total, 
forman el p^nmer dividendo parcial, qice dividido por 
el divisor, da la cifra de orden supe**ior del cociente. 
Se multiplica esta cifra del cociente por el divi- 
sor, y el producto se resta del primer dividendo par- 
cial. A la derecha del resto se haja la cifra que 
sigue inmediatamente al primer dividendo parcial y 
el número asi obtenido forw,a él segundo dividendo 
parcial: se divide por el diviso7\ y la cifra que re- 
sulte es la segunda del cociente. Se m.ultiplica el 
divisor por esta segunda cifra del c(x:iente y el pro- 
ducto se resta del segundo dividendo parcial. A la 
derecha del resto se pone la cifra siguiente del di- 
vidinedo total; el núm,ero asi formfldo es el tercer 
dividendo parcial, que se divide por el divisor, y da 
la tercera cifra del cociente. Se continúo de la mis 
ma manera hasta que se hayan bajado las cifras 
del dividendo total. 

Si colocada á la derecha de un resto la cifra que 
se baja del dividendo total, formase un número 
menor que el divisor, se pone O en el cociente y se 
baja la cifra siguiente del dividendo, formándose 
asi un nuevo dividendo parcial que se dividirá por 
el divisor. 

Dividir, ])' r ejemplo. 523802 por 625 



Divh^ndo 


523802 


i 625 Divisor 


. 625x8 


5000 


iSH8 Cociente 


2". dividendo parcial 
625X3 


2380 
1875 




3*'. divideiidi) | aicial 
625X8 


5052 
5000 






52 


Residiii) 



— 102 — 

Se empieza la operación por separar las cuatro 
cifras de la izquierda del dividendo total, porque 
las tres primeras forman un número menor que el 
divisor y digo: 

625X7=4375 menor que 5238; 
625X8=5000 menor que 5238; 
625X9=5625 mayor que 5238; 

Luego, el divisor 625 no está contenido en el pri- 
mer dividendo parcial 5238 más que 8 veces; por 
consiguiente, la primera cifra del cociente es 8; 
escribo dicha cifra en el cociente y el producto 
5000, de la ciíra 8 por el divisor, lo escribo deba- 
jo del primer dividendo parcial para efectuar la 
resta; al lado de la diferencia 238 se baja la si- 
guiente cifra del dividendo, foruíándose el número 
2380, que es el segundo dividendo parcial. 

Ahora se divide este sei^undo dividendo parcial 
por el divisor y como: 

625x3=1875 menor que 2380; 
625x4=2500 mayor que 2380; 

vemos que la segunda cifra del cociente es 3. 

El. producto 1875, de la cifra 3 por el divisor, se 
coloca debajo del segundo dividendo parcial para 
restarlo de él; al lado de la diferencia 505 se baja 
la última cifra del dividendo, con lo que se forma 
el número 5052, que es el tercer dividendo par- 
cial. 

Se divide el último dividendo parcial por el divi- 
sor y como: 

625X8=5000 menor que 5052; 
625X9=5625 mayor que 5052; 



— 103 — 

resulta que la tercera cifra del cociente es 8. 

El producto 5000 de la última cifra 8 del cociente 
por el divisor, se coloca debajo de! últinno dividendo 
parcial 5052; y la diferencia 52 es el residuo final de 
la operación. De niodoque el cociente entero es 838 
y el residuo 52. 

Observaciones 

9Tf. 1.^ No hay necesidad de escribir debajo 
del dividendo el producto del divisor por el cocien- 
te, pues puede efectuarse simultáneamente, U, mwlr 
tiplicación y la resta, hallando. Ja diferencia entre 
el productti de caída cifra del cociente por cada una 
del divisor y su correspondiente del dividendo, au- 
mentada con un número suficiente de unidades del 
orden inmediato superior, si es necesario para que la 
sustracción sea posible, cuyo número de unidades 
las guardamos mentalmente para agregarlas al 
producto parcial siguiente, w fin de que el resto 
no sufra alteración (S4:)« 

2.*^ En }as divisiones de números muy grandes en 
que el enciente deba tener muchas cifras, e» conve- 
niente, antes de empezar la operación, formarlos pro- 
ductos ílel divisor por 1,2, 3 .... hasta 9, y así la sim- 
ple inspección de estíis productos nos hará cono- 
cer cada cifra del cociente. 

98. Fjemplo. Divídase 384364906 por 43685. 



-- l(H — 



Prixluctos del divis<»r 



Dividendo 



Por 1. 

^ 2 
3 
4 



O 

7 
8 
9 



43685 
87370 
131055 
174740 
218425 
262110 
305795 
349480 
393165 



384364906 

348849 ' 

430540 

373756 

24276 



43685 Divisor 



8798 Cociente 



Residuo 



Se separan con un punto las seis primeras ci- 
fras de la izquierda del dividendo, porque con las 
primeras cinco no alcanzamos á formar un núme- 
ro igual ó mayor que el divisor; por consiguiente, 
el primer dividendo parcial es 384364, cuyo núme- 
ro, comparado con los productos previamente for- 
mados, observamos que se halla comprendido en- 
tre los productos del divisor por 8 y por 9. Lue- 
go, la primera cifra del cociente es 8. Réstase del 
dividendo parcial dicho producto y al lado de la 
diferencia 34884 bájase la cifra 9, con lo que ten- 
dremos formado el segundo dividendo parcial de 
348849, que comparado con los productos del di- 
visor, observamos que el próximo menor es el 
correspondiente al factor 7. Así pues, 7 será la se- 
gunda cifra del cociente. Réstase el producto 305795 
del segundo dividendo parcial y después de bajada 



— 105 — 

la siguiente cifra del dividendo total, obtendremos 
el tercer dividendo parcial de 430540, que comparado 
con los productos del divisor, vemos que el inme- 
diato inferior es el correspondiente al ftictor 9. 
Lu6go, la tercei'a cifra del cociente es 9. Réstase 
el producto 393165, del tercer dividendo parcial; 
al lado de la diferencia bájase la última rifra del 
dividendo total, con lo que habremos formado el 
.cuarto dividendo parcial de 373756, que compa- 
rado con los productos del divisor, nos da como 
ultima cifra del cociente, 8. Réstase el producto 
349480, del último dividendo y obtendremos la di- 
ferencia 24276, que es el residuo íinal, siendo 8798 
el cociente entero. 

99. El procedimiento que acabamotl ^áe in- 
dicar para determinar cada cifra del cuueiente, aun- 
que seguro, no es sin embargo el mas expedito. 
Cuando se ha adquirido ya alguna práctica en la 
operación se usa con más ventaja el que á conti- 
nuación damos á conocer. 

Divídase 373551 por 496. 



Dividendo 373551 

2635 



496 Divisor 



753 Cociente 



1551 
63 Residuo 

El primer dividendo parcial lo deben formar 
las cuatro primeras cifras de la izquierda del di- 
videndo total,, es decir, el número 3735; ahora ob- 
servemos que el producto de la cifra del cocien- 
te que vamos á determinar, por las 4 centenas del 
divisor, es un número exacto de centenas, que de- 
be hallarse en las 37 centenas del primer dividen- 
do paírcial. Luego dividiendo las 37 centenas de 



— 106 — 

dicho dividendo por las 4 del divis<»r, obtendre- 
mos la priinera cifra del cociente ó un número 
mayor que ella, puesto que en las 37 centenas del 
dividendo puede haber también algunas que pro- 
vengan de la multiplicación de las decenas y unida- 
des del divisor por la cifra del cociente que se 
trata de hallar y del resto de esta división si no 
da cociente exacto. 

Para asegurarse de si la cifra asi obtenida e» 
mayor que la verdadera, se multiplica por todo el 
divisor, y si el produelo puede restarse del divi* 
deudo, será la verdadera, y sino, se le rebaja una 
unidad y se ensaya esta nreva cifra, continuándo- 
se así hasta que la sustracción pueda verificarse, 

lOO. Para abreviar estos tanteos, la multiplica- 
ción se empieza por las unidades de orden superior «leí 
divisor, restando este producto de la cifra de orden 
superior del dividendo parcial, ó de las dos pri- 
meras cifras si este tuviese una más que el divi- 
sor; luego se multiplica la cifra del cociente, por 
la del divisor de orden inferior inmediato á la pri- 
mera, y este producto se resta de la cifra de igual 
orden del dividendo parcial, precedida del resto 
anterior, si lo hubo, y así se continxia hasta haber 
restado el producto del cociente por las unidades 
simples del divisor, del resto penúltimo con la úl- 
tima cifra del dividendo parcial á su derecha. 

Así digo: 37 entre 4, á 9; 9 por 4 son 36, á 
37 sobra 1.; este resto unido á la cifra siguiente, 
formo 13; 9 por 9, son 81, que no puede restarse 
de 13; luego, la cifra 9 es maj'^or que la verdade- 
ra. Le rebajo una unidad, y continúo: 8 por 4, 
son 32, á 37 van 5; este resto, unido á la cifra 
siguiente, forma 53; 8 por 9, son 72 que tampoco 
puede restarse de 53; luego la cifra 8 es todavía 
mayor que la verdadera. Se rebaja otra unidad y 



— 107 ~ 

tendremos; 7 por 4 son 28 á 37 van 9; este resto 
unido á la ciíra siguiente fornaa 93; 7 por 9 son 
63 que restado de 93 sobran 30; este resto unido 
á la ciíra siguiente componen 305; 7 por 6 son 42 
que puede restarse de 305 y sobran 263; luego 7 
es la primera cifra del cociente y 263 el primer 
residuo. 

Observase que tan pronto como se obtenga 
en una sustracción, que se principia por las uni- 
dades de orden superior, un resto igual ó mayor 
que la cifra que se ensaya, puede asegurarse que 
dicha cifra no es mayor que la verdadera. 

Por ejemplo, al tantear la cifra 7 dije: 7 por 4 
son 28, á 37 van 9; este resto, aunque solo fuese 
7, unido á las dos cifras siguientes del dividendo 
parcial formaría á lo menos el número 700, que 
siempre será mayor que el • producto que puede 
resultar de multiplicar la cifra que se ensaya por 
las otras dos del divisor, pues en el caso más des- 
favorable podrían ser dos nueves, y su producto se- 
ría 99X7== 693, número menor que 700. Luego, el 
producto del cociente por el divisor, puede res- 
tarse del dividendo parcial; por consiguiente la cifra 
7 que se ensaya es la verdadera. Una vez obtenida la 
verdadera cifra del cociente, la austracción del 
producto de ésta por el divisor, del dividendo par- 
cial, debe hacerse principiando por las unidades 
sencillas, para no tener que hacer de memoria 
sustracciones difíciles. 

Para hallar la segunda cifra del cociente, em- 
pezaré por bajar la siíj^uiente cifra 5 del dividendo 
tíital, la que colocada á la derecha del residuo ante- 
rior, formará el segundo dividendo parcial de 2635. 
Siendo siempre 496 el divisor, continuaré la ope- 
ración así; 26 entre 4, á 6; 6 por 4, son 24, que 



— 108 — 

restatk) de 2() sobran 2; esle reste* con la cifra 
8ii;ulente forma 23; 6 por 9 son 54 que no puede 
restarse d-e 23, Ine^o la cifra 6 es grande; le re- 
bajo Ufia^ unidad, y digo: 5 por 4, son 20, á 26 
van 6; nÚTO^n» mayor qiie la cifra que se tantea; 
luego, dicha cifra 5 e« la verdadera por tanto la 
colííco en el cociente á la derecha de la cifra 7 
que hallamos primeramente y multiplico esta úl- 
tima cifra hallada por el divisor, empezando por 
las unidades simples y vSiuuiHáneamentB hago la 
sustracción de este producto, del segundo divi- 
dendo parcial, como se aconsejó en el número 9*7 
observación 1*. Así digo: 5 por 6, son 30, que no 
puede restarse de las 5 unidades del dividendo 
parcial, por lo que añadiré á esta cifi-a 3 dece- 
nas, y restaré el producto 30 de estas 35 unida- 
des, quedando 5 de i:esto. Ahora; 5 por 9, son 45, 
y más 3 que añadí antes al minuendo (54), 
forman 48 que no pueden restarse de 3, por lo que 
le agregaré 5 unidades superiores f(»rmando así 53, 
y restando el producto 48, lendremos 5 de diferen- 
cia; 5 por 4, son 20, y 5 que debo añadir, por ha- 
berlas añadido antes al minuendo, forman 25, que, 
restado de 26, sobra 1. Así pues, el segundo res- 
to parcial es de 155, y bajando la última cifra del 
dividendo se obtendrá el tercer dividendo parcial 
de 1551, y digo: 15 entre 4, á 3; 3 por 4, son 12, 
á 15 van 3; número igual á la cifra que se ensa- 
ya; luego dicha cifra es la verdadera. La coloco 
en el cociente á la derecha del 5, y multiplico el 
divisor por ella, restando el producto del último 
dividendo parcial, como se ha hecho con la cifra 
anterior, de este modo: 3 por 6, son 18, que no 
puede reatarse de 1, por tanto le agrego 2 dece- 
nas que torman 21 y restando el producto 18 que- 



— 109 — 

dan 3 de resto; 3 por 9, son 27, y 2 que debo aña- 
dir por haberlas añadido antes al níiinuendo, for- 
man 29 que no se puede restar de 5, por lo que 
le agregaré 3 unidades superiores y formaré 35, y 
sustrayéndole el, producto 29, quedan 6 de resto; 3 
por 4, son 12, y 3 que debo añadir por haberlas 
añadido antes al minuendo, fornaan 15 que resta- 
do de las 15 centenas del último dividendo no que- 
da ninguna. 

Dividiendo, pues, 873551 por 496 hemos hallado 
753 de cociente entero y 63 de residuo. 

lOl. Puede también comprobarse el cocien- 
te de un modo más sencillo pero no tan seguro, 
sin embarho, es el que más generalmente se usa. 

Ejemplo: Divídase 63804 píir 752. 

63804 • 752 



3644 i 84 
636 

Consiste el método que vamos á explicar, en 
probar el cociente solamente respecto de las dos 
ó ires primeras cifras de la izquierda del dividendo. 

Asi, 63 entre 7 á 9 para ensayar la cifra 9 em- 
plearé solamente las dos citras de orden superior 
del divisor: digo 9 por 5 son 45; restando el pro- 
ducto 45 de 48 del dividendo parcial sobran 3 y se 
llevan 4; 9 por 7, son 63 y 4 que llevaba son 67, 
qua no puedo restar de 63 que hay en el dividen- 
do, luego la cifra 9 es demasiado alta. Le rebajo 
una unidad y digo: 8 por 5, son 40, a 48, van 8 
y llevo 4; 8 por 7, son 56 y 4, 60 que restado de 
63 sobran 3, de modo que la cifra 8 es la verdade- 
ra; la escribo en el cociente y la multiplico ahora 



— lio — 

por todo el divisor, restando al mismo tiernpo es- 
te producto.rdel primer dividendoi parcial, diciendo: 

8 por 2, 16,.á*20.van 4, y llevo 2; 8 por 5, 40, 
y 2, 42,.á48vaj* Sy.llevo f4y 8 por 7, 5tx, y 4 60, á 
63 va,n 3;.elprimeríCe8¡djuojes364i que, escribiéndo- 
le á la derecha la siguiente ^cifra del dividendo total, 
tendremos el seg.undui^divid^ndO' parcial, de 3644. 

Para hallar la.ísegundaí oiíradel cociente, digo: 
36 entre 7, á 5; para comprobar esta cifra, lo mis- 
mo qne la primera, Ja multiplicaré, por las dos de 
orden superioi* del divisor y restaré estí)s produc^ 
tos de las cifras correspondientes del dividaiKlí» 
parcial; así^ 5 por 5, son 25, á 34 van 9, y llevo 
3; 5 por 7, son 35, y 3 que llevaba 38 que no pue- 
de restarse de 36; asi pues^ la cifra 5 es demasia- 
do alta; le rebajo una unidad, y digo: 4 por 5, son 
20, á 24 van 4 y llevo 2: 4 por 7,' son 28, y 2 que 
llevaba 30, á 36 van 6; luego la cifra 4 es la ver- 
dadera, porque su producto por el divisor puede 
restarse del divideirdo. 

Escribo la cifra 4 en el cociente y la multipli- 
co por todo el divisor restando su producto del se- 
gundo dividendo parcial,- didendn: 4 por 2, 8 á 14 
van 6, y llevo 1; 4 por 5,20, y 1, 21, á 24 van 3, 
y llevo 2; 4 por 7, 28, y 2, 30. á 36 van 6. 

Por iWrimo vemos que el cociente entero que resulta 
de dividir el número 63804 por 752 es 84 y el residuo 
636. 

OTROS EJEMPLOS 



404444922 
47864 
32092 
23772 
0000 



5943 



68054 



— 111 - 



482666(i08 


4563 


11376 


. 3249:52 


22506 




42546 




14790 




11018 




1892 


* 



26;í436288 : 42877=6144 

2148004848 : 128132=16764 

4352491876 5 95396=45625 y 49576 de residuo. 

931809099:63518=14670 y 39 de residuo. 

IOS» Teorema. — Para dividir una sutna in-- 
diñada por un^ número entero, se dividen todos los 
Sf$mandos por dicho número, y la suma de^ los co- 
cientes parciaies será el cociewte totak 

En electo, (4+3+5): 2 digt) que es iy:u«f á 
4:2+3:2+5:2, porque este cociente multipli- 
cado por el divisor 2 pnxluce el dividendo 4+3+5. 
Así: (4: 2+3 : 2+5 : 2) X 2=4+3+5 (^69U 

l'OS. Teorema Para dividir una diferencia 
indicadáy por un núrñero entero:^ se dividen el mi" 
nieendó y el sicstraendo por dicho número, y la di- 
ferencia de los cocientes par^ciales, será el cociente 
pedido. 

En efectíN (7— 4): 2 digo que es igual á 7:2— 
4:2, porque este cocierne multiplicado por el di- 
visor ¿produce el dividendo 7 — 4. 

Así: (7:2— 4:2)X2=7-,4 (TO). 



-^ 112 — 

t04. Tbiorema Para dividir un producto 
compuesto de dos ó más factores enteros por un di-- 
visor de cualquiera de éstos, basta dividir el factor 
qu£ da cociente exacto por el divisor y el cociente 
que resulte multiplicarlo por los otros factores. 

Por ejemplo, para dividir 12.45.37 por 5, 
digo qne basta dividir 45 por 5 y el cociente 9 
raultiplicark) por 12 y por 37. 

En efecto, el cociente 9.12.37 multiplicado 
por el divisor 5, produce el dividendo 12.45. 
37, qne es el producto dado, porque se ha visto 
(72), que 

9 . 12 . 37 . 5=12 .9.5. 37=12 . 45 . 37, 

luego pues,el cociente hallado, 9.12.37, es el 
verdadero. . 

105. CoROLARto Para dividir vn número 
ter'minado en ceros, por 10, lOQ, lOOOj etc., basta 
suprimir á la der&sha del dividendo tantos ceros 
como acompañen á la unidad (Sd— 4.*) 

Por ejeiuplo el cociente de 5670000:1000 3eiá 
igual á 5670. 48000000:1000000=48 

1 OO. Teorema Si se divide el dividendo y el 
divisor de una división inexacta^ por un ^r^úmero 
entero cualquiera, el cociente entero no varia, pero 
el residuo qiceda dividido por el mismo numero. 

Siendo 69 el dividendo y 9 el divisor, el co- 
ciente entero será 7 y el residuo 6: luego ten- 
dremos: 

69=7. 9+6 

Dividiendo los dos miembros de ésta igualdad 
por 3, la igualdad no se altera, porque hay un 



— 118 — 

axioma (•) qne dice, si con cantidades iguales se 
hacen operaciones iguales, los resultados que se ob- 
tengan son iguales, luegf»: 

69 : 3=7. 9 : 3+6 : 3 

donde se observa que el nuevo divisor 9 : 3 está 
contenido en el nuevo dividendo 69:3, 7 veces, 
como antes lo estaba el 9 en el 69; pero el re- 
siduo 6, aparece dividido por 3, conforme con el 
enunciado del teorema. 

De igual modo demostraríamos que: si se mul- 
tiplica el dividendo y el divisor de una división 
inexacta, por un número entero cualquiera, el co- 
ciente entero no varia, pero el residux) queda mul- 
tiplicado por el mismo número. 

Corolario. Un cociente de división exacta no 
se altera dividiendo dividendo y divisor por un di- 
visor de ambos. 

Asi. 448 : 64=112 : 16, dividiendo ambos térmi- 
nos por 4. 

lOTT. El teorema que acabamos de demos- 
trar nos facilita el medio de simplificar la divi- 
sión en el caso de que el dividendo y divisor 
terminen en ceros, pues en tal casí» se suprimen 
á la derecha de cada uno de ellos, tantos ceros 
cuantos haya en el que menos tenga^ practicán- 
dose la división con los números restantes. 

Por ejemplo divídase 108000 por 4500 



1080 

180 
00 



45 



24 



(•) Se Jlama axioma á un principio ó verdad evidente por si mismn nnn 
basta enunciarlo para <x>nvencerse que es verdad. 



— 114 — 

Se suprimen <los ceros en el dividendo y dos 
en el divisor, lo que equivale á dividir por 100 
el dividendo y el divisor, (jue según acabamos de 
ver no altera el cociente entero. Por consiguien- 
te, la división propuesta queda reducida á dividir 
1080 por 45 obteniéndo^se por cociente exacto 24. 

Si la división fuese inexacta procederíamos de 
igual manera, pero tendríamos el cuidado de 
agregar á la derecha del residuo tantos ceros 
cuantos se hubiesen suprimido en el dividendo 
(?íd — 4^). para conocer su verdadero valor p-ies 
de lo contrario el residuo quedaría dividido por 
el mismo número en que se hubiese dividido el 
dividendo y divisor (lOG). 

108. Consecuencias que se deducen de la 
división de los números enteros. 

1.* Aumentando ó disminuyendo el dividendo^ 
aumentará ó disminuirá el cociente. 

Porque siendo mayor ó menor el número de 
unidades, que por ejemplo, se reparten entre el 
mismo número de personas, les tocará más ó me- 
nos á cada una. 

2.* Aum£nlando ó disminuyendo el divisor, dis- 
minuirá ó aumentará el cociente 

Porque en el primer caso siendo mayor el 
número de partes que han de hacerse, cada una 
tendrá que ser más pequeña y viceversa. 

3/ Multiplicando el dividendo por un nüinero 
cualquiera o dividiéndole por uno de sus factores, 
el cociente quedará multiplicado ó dividido por el 
mismo número. 

Porque haciendo el dividendo 2, 3, 4 etc., veces 

mayor y dejando el mismo divisor, habrá 2, 3, 4 

etc., veces mayor número de unidades para dividir en 



-^ 115 — 

igual número de partes, luego cada parte será tam- 
bién 2, 3, 4 etc. veces mayor,y recíprocamente. 

4.* Multiplicando el divisor por un número 
entero cualquiera ó dividiéndolo por tíno de sus 
factores, el cociente quedará dividido ó multipli- 
cado por el mismo número. 

Porque haciendo el divisor 2, 3, 4, etc., 

veces 'mayor, y siendo el mismo el número de 
unidades que hay para dividir, resultará que te- 
niéndose que hacer 2, 3,4....... etc., veces ma- 
yor número de partes será cada una de ellas 
2. 3, 4 etc. ,^ veces menor, y viceversa. 

109. Prueba de la división. Esta opera- 
ción se comprueba multiplicando el cociente en- 
tero por el divisor y al producto se añade el re- 
siduo; la suma debe ser igual al dividendo (STT). 

lio. Usos DE LA DIVISIÓN. Se emplea la di- 
visión cuando se trata: 

1.^ De hallar cuantas veces un número entero 
contiene á otro. 

2.° De dividir un número dado en cierto nú- 
mero de partes iguales. 

3."" De hacer un número tantas veces menor 
como unidades tiene otro. 

4.<* De hallar el valor de una parte del nú- 
mero dividido en porciones iguales. 

5.^ De conocer un factor, conocido el produc- 
to [de dos factores y uno de ellos. 

En muchos otros casos se emplea la división: 
los que se han citado son los principales. 

PROBLEMAS 

1." Un capitalista ha pagado 85292 pesos por 



— 11(1 — 

un terreiH» compuesto de 519 hectáreas: ¿(■uánto 
le cuesta la hectárea? 



35292 

4152 

000 



Operación 
519 



68 



Prueba 

519 
68 



4152 
3114 

35292 



Lo que cuesta la hectárea multiplicado por 
519 que son el numero de hectáreas compradas, 
debe producir el número 35292, luego este núme- 
ro >es el producto de otros dos, de los cuales uno 
es 519 y el otro es el precio de la hectárea, cuyo 
valor hallaremos fácilmente dividiendo dicho pro- 
ducto por el factor conocido, que es precisamen- 
te lo que hemos hecho, y asi se ha encontrado 
que cada hectárea de terreno cuenta 68 pesos. 

2.° Se han distribuido 27024 naranjas entre 563 
soldados, ¿cuántas naranjas le correspondió á ca- 
da uno? 



27024 

4504 
000 



563 



48 



Le correspondió á cada soldado 48 naranjas. 

3.° Un señor dispuso que á cada pobre de 
cierta localidad se le entregasen 358 reales para 
lo cual tuvo que dar 300362 reales, ¿cuál era el 
número de pobres? 



— 117 

300362 I 358 
1396 



3222 . ^3^ 
000 

El número de pobres era 839. 
EJERCICIOS 

l.« El producto de dos números es 3111390, 
y 905 uno de ellos: ¿cuál es el otro? 

2.** Dividir el nómero 86345 en dos partes, de 
modo que una, sea 4 veces mayor que la otra. 

3.** Dos socios tienen que repartirse 40482 pe- 
sos de ganancia que han tenido en un negocio, 
en el cual, uno empleó 3879 pesos y el otro 9615: 
¿cuánto les toca á cada uno? 

4." Un estanciero ganó el primer año que in- 
vernó ganados en un potrero que tiene en su 
campfv 2315 pesos, y sucesivamente en los 11 
años siguientes que hizo el mismo negocio ganó 
respeciivanoente 1836, 3008, 2609, 815, 1794, 2800, 
2412, 2326, 1981. 2913 y 2647; ¿cuánto ganó tér- 
mino medio por año? 

5.*^ Un comerciante tiene harina de dos clases 
una de 132 centesimos los 10 kilogramos y otra 
de 88: si mezcla cantidades iguales de las dos 
clases ¿á qtie precio tendrá que vender los 10 ki- 
logramos de harina para ganar en cada kilogra- 
mo un centesimo? • , 

6.** ¿Cuál es el número que multiplicado por 
126 y dividido por 54 da de cociente 63? 

7." Se han pagado 5040 pesos por una parti- 
da de vinos tintos de tres clases distintas; unos 
valen 24 pesos el hectolitro, otros 21 y otros 16. 
Habiéndose invertido en cada clase igual número 



— 118 — 

de pesos: ¿cuántos hectolitros de vino de cada 
precio se compraron? 

8.** Un padre dejó 18870 pesos para que se 
repartieran entre sus cinc<> hijos, de modo que el 
mayor reciba el doWe que cada uno de los otros, 
gcuánto le tocó á cada uno? 

O."" Un ingeniero gana anualmente 8395 pesos 
diryiendo varias obras importantes y quiere re- 
servar 15 pesos diarios como ahorro: cuánto le 
sobrará para gastar diariamente, teniendo el año 
365 días? 

lO".*» El director de un Instituto recibe men- 
siralínente 1610 pesos como retribución para instruir 
áSrS discípulos, délos cuales 150 hacen estudios 
elementales y pagan 4 pesos cada uno, 40 estu- 
dian el primer año del bacbillerato y pagan 14 
pesos, el resto estndian segundo año. Se desea 
saber cuánto paga cada uno de estos últimos. 

11." Un molinero ha pagado 231936 centesi- 
mos por fletes de 1208 sacos de tfigf», (jjue^^ada^uno 
pesaba 64 kilogramos; ¿que flete tendrra que pagar 
por 2394 sacos de trigo, qne cada uno pesase 93 
kilogramos?^ 

12.* Se han empleado 3920 pesos en pagar 
joraaieír A* cterto número de peones durante 245 
días, ganando cada uno 2 pesos diarios ¿cu&ntos 
eran los peones y cuánto se hubiese gastado si 
la obra hubiera durado 54 días más? 

13. "^ Un ganubdero tiene 245 caballos de raza 
finos, traídos de Europa, los cuales le costaron en 
Londres 85 pesos cada uno. Pagó 5800 pesos por 
fletes y además entre comisíoaes y derechos de 
aduana ha pagado 2040 pesos ¿A que precio 
tendrá que venderlos para ganar 15 pesos en ca- 
da caballo? 

14.* Un capitalista al morir dejó 27456 pesos 



— 119 — 

en un Banco, en otro dejó 1948 pesos menos que 
en el primero, y en un tercer Banco dejó 8609 
menos que en el segundo. Además dejó 3720 pe- 
sos en poder de un amigo, y en caja tenía 18367 
pesos. Disponiendo en su testamento, que la mi- 
tad de ese capital se invertiese en la instalación y 
sostenimiento de un colegio de primera enseñanza 
y el resto que se distribuyese en partes iguales 
entre los 485 niños que se están instruyendo en 
la Escuela de Artes y Oficios de Montevideo; 
¿cuánto les tocó á cada uno? 

15^ Un maestro compositor de música recibió 
por un concierto que dio para estrenar una com- 
posición suya, 15552 pesos, los cuales debian ser 
distribuidos asi: una tercera parte para él, como ^ 
compositor y director, otra tercera parte para los 
coristas y el resto para los profesores de la or- 
questa. El coro se componía de 216 personas y 
les tocó á cada ana 12 pesos menos que á los 
que componían la orquesta. ¿Cuárttos. eran los pro- 
fesores que componían la orquesta y cuánta les 
tocó á cada uno? 



LECCIÓN IX 

Quebrados^ 

lil. Ya hemos dicho en el número 6, 
que se llama número quebrado al que representa 
una ó varias porciones de la unidad dividida en 
partes iguales. 

Si dividimos una naranja en cinco partes ¡gua- 
les, cada una de estas partes será un quinto de 



— 120 — 

naranja; si Uímamoí^i tres porciones ríe las cinco 
que hicimos, tendrejíios tres quintos de naranja. 

Los números quebrados se llama también nú- 
meros fraccionarios, y se dividen en ordinarios ó 
comunes y decimales. Los primeros, representan 
la unidad dividida en un número cualquiera de 
partes iguales; los segundos, representan sola- 
mente porciones de la ;unidad dividida, precisa- 
mente, en diez partes iguales ó en cualquier múl- 
tiplo exacto de diez. 

Los números fraccionarios decimales, son, pues, 
un caso particular de los ordinarios. 

A los números fraccionarios ordinarios en ge- 
neral, se les da simplemente el nombre de que-- 
brados. 

Un quebrado ordinario se representa por dos 
números separados por una raya: escribiéndose 

1 3 
uno encima y otro debajo, así: — , — , y se lee 
un quinto, tres quintos. 5 5 

El número que está encima se llama numera- 
dor, el que está debajo denominador y ambos se 
llaman términos del quebrado. 

El denominador expresa el número de partes 
en que se considera dividida la unidad, y el nu- 
merador, indica cuantas de aquellas partes con- 
tiene el quebrado. 

Para enunciar un número quebrado, se enun- 
cia primeramente el numerador como si fuese en- 
tero, luego el denominador agregando á este la 
terminación avos si pasa de 10, y si fuese me- 
nor que 10 se hace uso de los números partitivos. 

12 3 4 6 7 8 9 8 25 75 

Los quebrados — , — , — , — , — , — , — , — , — , — , — , 

2 3 4 5 7 8 9 10 13 138 364 



— 121 — 

se leen respectivamente un medio, dos tercios, tres 
cuartos, cuatro quintos, seis sétimos, siete octavos, 
ocho novenos, nueve décimos, ocho treceavos, veinti* 
cinco ciento treinta y ochoavos, setenta y cinco tres- 

1 
cientos sesenta y cuatroavos; — expresa que la uni- 

2 
dad se ha dividido en dos partes ¡guales, de las 

.2 
cuales se ha tomado una sola; — indica que la 

3 
unidad se ha dividido en tres partes iguales, de 

3 
las cuales se han tomado dos; — representa la 

4 
unidad dividida en cuatro partes iguales y de ellas 

8 
tomadas tres; — expresa que la unidad se ha di- 

13 
vidido en trece partes iguales v que de ellas se 

25 
han tomado ocho; — indicn que la unidad se ha 

138 
dividido en ciento treinta y ocho partes iguales 
y que se han tomado de est^s veittte v cinco; y 

75 
por último, — quiere decir que la unidad se con- 

364 
sidera dividida en trescientas sesenta y cuatro 
partes iguales y que de estas se han tomado se- 
tenta y cinco. 

lis. En los quebrados puede ocurrir que 
el numerador sea menor, igual ó mayor que el 
denoiuinador; en el primer caso se llaman propios 
en el segundo algunos les llaman aparentes, pero 



— 122 — 

verdaderamente deben llamarse impropios lo mis- 
rao que los del tercer caso. 

EJEMPLOS 

3 25 136 

— , — , — , etc. son quebrados propios. 

5 3$ 495 

6 8 34 

— , — , — , etc. son los llamados aparentes, 
6 8 34 

36 25 45 

— , — , — , etc. son quebrados impropios. 
8 9 24 

Los quebrados propios valen menos que la 

4 
unidad, como por ejemplo — ; porque como se ha 

5 
4 
dicho antes — , quiere decir que la unidad se ha 

5 

dividido en 5 partes iguales, de las cuales solo 

se han tomado 4, es decir, menos de la unidad. 

Los quebrados llamados aparentes, representan 

9 

la unidad como — , que jexpresa haberse dividido 

9 
la unidad en 9 partes ¡guales y tomadas todas, 
luego se toma la unidad. 

Los quebrados impropios valen más que la 
9 
unidad por ejemplo — , el cual indica que la unidad 
5 



— 123 — 

se ha dividido en 5 partes iguales de las cuales se 
toman 9, es decir, que se han tornado las 5 que com- 
ponen la unidad v otras 4 mas de otra unidad así 

9 
pues, el quebrado — vale más que dicha unidad, 

5 
por cuya razón se llama impropio, j 

113. Teorema El cociente de una división indi- 
cada puede expresarse por un qttebrado qice tenga por 
numerador el dividendo y por denominador el divisor, 

17 
Digo que 17 : 5 es igual á — . 

^ 5 • 

Dividir 17 por 5, es hacer del 17 cinco partes 
iguales, de modo que cada una de estas partes 
valdrá la quinta parte de 17; la quinta parte de 

1 ' 17 

lino, es — , luego la quinta parte de 17 será — , asi 
5 5 

17 
pues, 17 : 5 = — . 
5 

114:. Cociente completo. En toda división 
inexacta se puede completar el cociente entero, 
agregándole un quebrado que tenga por numera- 
dor el residuo y por denominador el divisor. 
Por ejemplo el cociente completo de 29:6 es 
.5 

4 H ; en efecto, el cociente entero de 29:6 es 

6 
4 y el residuo 5, el cual debe dividirse por 6, y 
según acabamos de demostrar en el teorema an- 

5 
terior, 5:6 es lo mismo que — ; por consiguiente, 

6 



— 124 



el (Mícíeiite completo de 29: 6, es igual á 4 -| . 

6 
1 1 5« Para sacar los enteros que contiene un 
quebrado impropio, se divide el numerador por el 
denominador. 

36 37 2 

Por ejemplo: — = 4; — = 7 + — . (113) 
9 5 5 

lio. Recíprocamente; para redv^cir un nu- 
mero mixto, á quebrado impropio, se multiplica el 
número entero por el denominador del quebrado; á 
ese producto se le agrega el numerador, y al re 
sultado se le pone por denominador el mismo del 
quebrado. 

4 
Por ejemplo: 3 — digo que es iguala 

5 

3X5+4 19 



5 o 

5 
porque la unidad vale — ; luego 3 unidades val- 

5 
5 15 4 

dián 3 veces — , ó sean — y más -, que vale el 
5 5 5 

19 
quebrado, forman —. 
5 

.117. Todo número entero pueda ponerse en 
forma de quebrado, poniéndole por denominador 
la unidad. 



lí 



8 15 

Asi 8= — ; 15== — ; porque todo número di- 

1 1 

vidido por la unidad es igual al mismo número, 
y ya hemos visto (113) que un quebrado no es 
más que una división indicada, 

1 18. También puede ponerse un numero en- 
tero en forma de quebrado^ poniéndole por deno- 
m.inador un número cualquiera y por num^erador 
el producto del número dado por el denominador 
elegido, 

5X7 8x3 

Por ejemplo: 5= ; 8= : 

7 3 

Porque un número no cambia de valor multipli- 
cándolo y dividiéndolo al mismo tiempo por otro 
cualquiera. 

119. Si dos ó mÁs quebrados tienen un mis- 
m,o denominador, será mayor el que tenga mayor 
numerador, 

4 6 3 
Veamos; los quebrados — , — , —, tienen por 

7 7 7 
denominador el número 7, que quiere decir que la 
unidad se ha dividido en todos ellos en 7 partes 
iguales; los numeradores 4, 6 y 3, indican que en 
el primer quebrado se toman 4 de estas siete par- 
tes, en el segundo 6, y en el último solo 3; luego 

6 
es evidente que el quebrado — es el mayor por- 

7 
que se han tomado más partes que en cualquiera 
de los otros dos. 

ISO. Si dos ó más quebrados tienen iguales 



— 126 — 

los numeradores, será mayor el que tenga menor 
denominador. 

4 4 
Sean por ejemplo los quebrados — y — ; en el 

9 5 
4 
quebrado — la unidad está dividida en 9 partes 

9 
iguales de las cuales se toman 4; en el quebrado . 
4 

— , está dividida la unidad en solo 5 partes y tam- 
5 

1 
bien se toman 4; pero — de unidad expresa ma- 

5 

1 4 4 

yor porción de ella que — ; luej^o — es inavor que — . 

9 5 ■ 9 



LECCIÓN X 

Otras propiedades de los quebrados 

ISt. Tkohrma. Si el numerador de un qi^" 
brado se multiplica ó divide por cualquier' número 
entero, el qnehrado quedará rmútipUcado ó dividi- 
do por el mismo número. 
6 
Rl quehraílo — por ejemplo, si se multipíica^el 
7 

12 
numerador 6 por 2 se trasformará en — que es evi- 

7 



— 127 — 

(5 
dentemente 2 veces mayor que — , pues ambos se 

7 
refieren á séptimas partes de la unidad; pero en 
uno se toman solo 6 de estas' partes mientras que 
en el otro se toman 12, ó sea 2 veces más. 

Del mismo modo demostraríamos que dividien- 

3 
do el numerador 6 por 2, él quebrado — que re~ 

7 
6 
sultaria, es la mitad del propuesto — . 

7 
ISS. Teorema. Si se multiplica ó divide el 
denominador de un quebrado por un número ente- 
ro cualquier a, el quebrado quedará, dividido en el 
primer caso, y. multiplicado en el segundo por ese 
fnism.0 nün^ero. 

5 
Sea el quebrado — : si se multiplica el deno- 
8 

5 
minador por 2 se tendrá - que es la mitad de 

16 
5 

— , porque el número de partes que se toman/ 
8 

1 
es el mismo en los dos quebrados, pero — es la 
' 16 

1 
mitad de — pues representa una parte de la 
8 

5 
unidad dos veces mas pequeña; luego también — 

16 



— 128 — 

5 
será la mitad rte — . Es decir, que multiplicando 

8 
el denominador de un <|uebrado por un número 
entero, vemos que el quebrado queda dividido 
por dicho número. 

Si dividimos por 2 el denominador del mismo 

5 
quebrado propuesto, obtendremos — que es 2 ve- 

4 
5 
ees mayor que — , lo cual se demuestra de un 

8 
modo análogo al caso anterior; luego dividiendo 
el denominodor por un número entero cualquiera 
el quebrado queda mulliplicado por ese número. 

1S3. Teorema. El valor de un quebrado no 
se altera, cuando se multiplican ó dividen sfis dos 
términos por el mismo número, 

5 5X4 

D¡ií:o que — es igual á . 

7 7X4 

En efecto: al multiplicar el numerador 5 por el 
número 4, se ha hecho el quebrado 4 vece*^ ma- 
yor (191); al multiplicar el denominador 7 por 
4, se hace el quebrado 4 veces menor (ISS). 
Luego, en resumen, el quebrado no se ha alte- 
rado, porque por una parte se hace tantas veces 
niavor, cuantas veces menor se hace por la otra; 
5 5X4 20 

7 7X4 28* 
Del mismo modo demostraríamos que dividien- 



. ^^.. J 



— 129 — 

14 
do los dos términos del quebrado — por 7, el 

35 
14:7 

quebrado que resultaría tendría el mismo va- 

35:7 
lor que el primero es decir que: 

14 14:7 2 

35 35:7 5 

Observación. Según se ha demostrado en el 
número 113 el cociente de una división indicada, 
puede expresarse por un quebrado. Así pues, un 
quebrado n(x es más que una división indicada en 
que el numerador es el dividendo y el denomi- 
nador el divisor; luego todo cuanto acabamos 
de demostrar respecto de los quebrados es tam- 
bién aplicable á la teoría de la división cuyos 
principios pueden enunciarse de este modo: 

l.*^ Si se multiplica el dividendo por un nume- 
ro entero, el cociente queda multiplicado por el 
mismo numey^o. 

2.^ Si el dividendo se divide por uno de sus 
divisores, el cociente queda ditndido por el mismo 
divisor. 

3." Si se multiplica el divisor por un número 
entero, el cociente queda dividido por el mismo 
número, 

4." Si se divide el divisor por uno de sus faC" 
tares, el cociente quedará multiplicado por el mis- 
mo número, 

h»' Si se multiplican ó dividen, dividendo y 



— 130 — 

divisor ' por un mismo número entero, el cociente 
no se altera. 

1S4. Teorema. Sí se suma ó resta el mis- 
mo número á los términos de un quebrado propio^ 
el quebrado aumentará en el primer caso y dis^ 
ninuirá en el segundo. 

6 
Por ejemplo el quebrado—, al cual vamos á 

11 
sumarle 5 unidades al numerador y otras tantas 
al denominador, de modo, que obtendremos 

6+5 11 



11+5 16 

11 6 

y digo que - ea mayor que — . 
16 11 

6 5 

Al quebrado — le faltan — para volver una un¡- 
11 11 

11 5 

dad, y al quebrado — le faltan — para valer tam- 
16 16 

5 5 

bien una unidad, pero— es mayor que --; (130). 

11 ' 16 

6 
luego, al quebrado - le falta más para valer una 
11 

11 
unidad, que al quebrado — ; por consiguiente, este 

16 
último es mayor que el primero, es decir, que 



— 131 — 

6 6+5 

-< (•) 

11 11+5 

6 6—5 

del mismo modo demostraríamos que— > . 

11 11—5 

Lo que se acaba de demostrar es solo cierto 
respecto de los quebrados propios, pues en los 
impropios sucede precisamente todo lo contrario; 
es decir, que si se suma ó resta el mismo núme- 
ro á los dos términos de un quebrado impropio, 
el valor del quebrado disminuirá en el primer 
caso y aumentará en el segundo. 

17 
Por ejemplo; si al quebrado — se le suman 6 

9 
unidades á los dos términos, se trasíbrmará en 
23 17 

— que digo es < — . 
15 9 

17 
En efecto, el quebrado — rale una unidad v 

9 

8 23 8 

— : el quebrado — vale una unidad v — ; pero 

9 15 ■ 15 

8 8 17 

— es mayor que — (ISO), luego también — 

9 ' 15 9 



(•) El signo <que acabamos de emplearse llataa desigualdad, y co1í>- 
cado en esa posición se lee mbnor qub y cuando se coloca invertido asi > , 

S« lee MAYOR QUE. 



— 132 — 

23 
será mayor que — porque sobrepasa más el valor 

15 
de la unidad. 

Del mismo modo demostraríamos que 

17 17—6 

9 9-6* 

Reducción de quebrados á un común 

denominado]^ 

1)«¿5. Reducir quebrados á un común deno- 
minador es irasformarlos en otros equivalentes, cu- 
yos denominadores sean iodos iguales. 

Para reducir quebrados á un común denomi- 
nador, se multiplican los dos términos de cada uno 
por el denominador del otro si no fuesen más 
que dos los quebrados, ó por el producto de los 
denominadores de tos demás si pasasen de dos. 

4 2 4X9 2X5 
Asi, — y - son equivalentes a v ó 

5 9 5X9 " 9X5 
36 10 

sean á — v — . 
45 "^ 45 

En efecto: hemos visto en el número 1S3, que 
el valor de un quebrado no se altera multiplican- 
do sus dos términos por el mismo número; luego el 

4 4.9 36 
quebrado — y el = — , son equivalentes, lo 



— 133 — 

2 2.5 10 

mismo que el quebrado — y el = — ; pues no 

9 9.5 45 

se ha hecho más que multiplicar los dos términos 

4 
del primer quebrado — por 9, ó sea por el deno- 

5 
minador del segundo; y los dos términos del se- 

2 
gundo quebrado — , por 5 ó sea por el denomina- 

9 
dor del primero, cuya operación sabemos que no 
altera su valor: luego pues, hemos trasformado los 

4 2 

quebrados dados — y — en otros equivalentes 

5 9 
36 10 

— y — que reúnen la circunstancia de tener un 
45 45 

mismo denominador, el cual es igual al producto 
de los denominadores de los quebrados propues- 
tos. 

2 4 7 
Veamos ahora los quebrados — , - v — . 

3 5 "^ í) 

Multiplicando los dos términos del primer que- 

2 

brados — por 5x9; los dos términos del segundo 
3 

4 7 

— por 3X9; y los dos términos c)el tercero — 

5 9 
por 3+5; resultará 



- 134 - 




2 2.5.9* 90 




3 3.5.9 135 




4.3.9 108 7 7.3.5 


105 


5.3.9 135 9 9-3.5 


135 



2 4 
Es decir que los quebrados propuestos ~, — 

3 5 
7 

V — , se han trasformado respectivamente en sus 
9 

90 108 105 
equivalentes — , — y — , que tienen un común 

135 135 135 
denominador. 



OTROS EJEMPLOS 

1°. Reducir á un común denominador, los 

3 6 8 7 

quebrados — , — — y — . 

5 11 15 9 

3 3.11.15.9 4455 6 6.5.15.9 4050 

5 5.11.15.9" 7425 11 11.5.15.9 7425 

8 8.5.11.9 3960 7 7.5.11.15 6775 



15 15.5.11.9 7425 9 9.5.11.15 7425 



— 135 — 

4455 
Los quebrados dados se transforman en 



7425 
405(» 3960 6775 

, y que tienen un común denomi- 

7425 7425 7425 
nador. 

12 4 6 5 
2". Los quebrados — , — , — , — y — : 
2 3 5 11 9 

1 3.5.11.9 1485 2 2.2.5.11.9 1980 



2 2.3.5.11.9 2475 3 3.2.5.11.9 2475 

4 4.2.3.11.9 2376 6 6.2.3.5.9 1620 



5 5.2.3.11.9 2475 11 llJá.3.5.9 8475* 

5 5.2.8.5.11 1650 



9 9.2.3.5.11 2475 
Luego los quebrados propuestos son equivalentes á 
1485 1980 2376 1620 1650 

y 



2475 2475 2475 2475 2475 

que tienen un común denominador. 

3». Así veremos tambián que los quebrados 

12 7 8 1 3 

5 3 15 13 4 7 
se trasforman respectivamente en 



— 136 — 
13860 54600. 38220 50400 20475 35100 



81900 ' 81900 ' 81900 ' 81900 ' 8190o' 8190o' 

Observación. Si los denominadores de los que- 
brados que se proponen para reducir á un nnis- 
mo denominador tienen factores comunes, la ope- 
ración puede siinpliflcarse estudiando porque nú- 
mero conviene multiplicar los dos términos de 
cada quebrado, para que todos tengan igual de- 
nominador. 

Por ejemplo: los quebrados 

4 13 7 

5 ' 2 ' lo' 15 

Obsérvase que si se multiplican los dos tér- 

4 
minos del primer quebrado — por 6; los del se- 

5 

1 3 

gundo — por 15; los del tercero — por 3 y los 

2 10 
7 

del cuarto — por 2, se transformarán respectiva- 

15 
mente en 

24 15 9 14 

30' 30' 30' 30 

que son equivalentes á los primeaos y tienen por 
común denominador al número 30 que es mucho 
más simple que el producto de todos los deno- 
minadores 



— 137 — 

De un modo análogo hallaremos el común de- 
nominador de los quebrados 

7 3 8 13 

15' 5 ' 9 45 

En los cuales se observa que el denominador 
45 es un múltiplo exacto de 15, 5 y 9, por con- 
siguiente puede tomarse por común denominador, 
para lo cual bastará multiplicar los dos términos 

7 3 

del primer quebrado — por 3; los del segundo — 

15 5 

8 
por 9, j^ los del tercero — por 5, con lo qup se 

9 
convertirán en 

21 27 40 13 

45' 45' 45' ' 45 

cuyos quebrados son respectivamente equivalentes 
á los primeros y tienen un común denominador. 



LECCIÓN XI 



Simplificación de los quebrados^ 

ISG. Simplificar un quebrado, es trasformar'- 
le en otro equivaleníe^ qus tenga tnei^ores términos, 

'125T?. Para simplificar un quebrado, el único 
medio que puede emplearse es la división de los 



— ]:i8 — 

dos términos por un misnio número entero que los 
divida exactamente, con lo que no se altera el va- 
lar de éste(lS3). Así pues, empezaremos la sim- 
plificación dividien lo los dos términos del 
quebrado por 2, todas las veces que se pueda, 
luego por 3, por 5, etc., hasta qne no pueda re- 
ducirse más, porque no se encuentren números que 
dividan exactamente al numerador y denominador. 
Pero, como no todos los números son divisibles 
exactamente por 2, 3, 5, etc., y á fin de no per- 
der tiempo en divisiones inútiles, vamos á expli- 
car ligeramente la divisibilidad de los números, 
con cuyo conocimiento se facilita mucho la simpli- 
ficación de los quebrados. 

Divisibilidad de los números 

1 S8. Un número es divisible por otro si con- 
tiene á éste un número exacto de veces. 

Llámase divisor ó factor de un número, á todo 
número que le divide exactamente. 

Por ejemplo, 5 es divisor ó factor de 20, porque 
20:5 da de cociente exacto 4. A los factores ó di- 
visores de un número también se les llama sub- 
múltiplos de dicho núinero; de modo qne 4 y 5 
son factores ó submúltiplos de 20; y 20 es á su vez 
múliiplo de de 4 y 5. 

ISO. Un número puede teñera la vez varios 
divisores ó factores, como por ejemplo^ el número 
180 es divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 
15, 18, 20, etr.. 

1 30. Se llama número prim.0, el entero que 
solo es divisible por si mismx) y por la- unidad. 
Así los números 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 



— 139 - 

23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 57, 61, 67, 71, 73, 
79, 83, 89, 97 son primos. 

Se dice que dos números son primos entre si 
cuando no tienen más factor común que la uni- 
dad. 

Los números 9 y 16 son primos entre sí. 

Consecuencias. De las definiciones que hemos 
dado de los números primos se deduce: 

P. Que si un número primo no divide á otro 
número cualquiera, los dos son primos entre si 

En efecto, como que el número primo solo es 
divisible por sí mismo, si no divide al otro, no 
tendrán más factor común que la unidad, Juef^^o 
serán primos entre sí. 

2". Dos núm,eros primos son primos entre si. 

131. Llámase cifra par á cada uno de los 
guarisfnos 2, 4, 6 y 8, que son divisibles exacta- 
mente por 2, y se llama cifra impar á cada uno 
de los i!:narismos 1, 3, 5, 7 y 9 que no son divi- 
sibles por 2. 

133. Teorema. Todo número divisor de otros 
dos ó más, divide exactamente a la sum.a de éstos. 

El número 5 es divisor de los números 35, 20 
V 45, v íli.^^o que también es divisor de la suma 
35+20+45. 

En efecto: 

85 = 7 veces 5 
20 = 4 veces 5 
45 = 9 veces 5 

Ahora sumando ordenadamente esta igualdad 
tendré. nos, 35+20+45=(7+4+9) veces 5, luego 
vemos que la suma contieííe un número justo de 



— 140 — 

veces al 5, así pues, es divisible por dicho núme- 
ro. 

Consecuencia. Si un número divide eosactamen- 
le á otro, divide también á un múltiplo cualquiera 
de éste. 

El numero 7 divide exactamente al número 28, 
y tendrá que dividir á cualquier múltiplo de 28; 
por ejemplo, á 28X6: porque sabemos que mul- 
tiplicar 28 por 6 es tomar el número 28 seis veces 
por sumando, y como el número 7 divide á todos 
estos sumandos tendrá que di/idir á la sama, se- 
gún acabamos de demostrar. 

i 33. Teorema. Un número es divisible por 2, 
cuando termina en O ó cifra par, y lo es por 5 
cuando termina en O ó 5, 

El número 370 digo que es divisible por 2 y 
por 5 porque termina en 0. 

En efecto: 370=37X10, el 2 y el 5 dividen 
exactamente al número 10, pues, son sus factores 
luego dividirán á 37 veces 10 ó sea al «úmero 370. 

Ahora, de los números 136 y 325, digo: el pri- 
mero es divisible por 2 porque termina en cifra 
par, y el segando lo es por 5 porque termina en 
5: en electo: 

136=130+6; y 325=320 + 5, es decir: que 13G 
se compone de los sumandos 130 y 6, ambos di- 
visibles por 2, el primero porque termina en O y el 
segundo por ser cifra par; luego, la suma 136 
•también será divisible por 2 (13S). 

Del mismo modo demostraríamos que 325 es 
divisible por 5, porque se compone de los suman- 
dos 320 y 5, que lo son, y, por consiguiente, la 
suma también debe serlo. 

1 34. Teorema. Un número es divisible por 



sit^ 



- 141 — 

9 ó por 3, cuando la suma de los valores abso- 
lutos de sus cifras es divisible por 9 ó por 3. 

Tenemos que: 
10=9+1 ; 100=99+1 ; 1000=999+1 ; 10000=9999+ 
1 ; etc., luego vemos que la unidad seguida de ce- 
ros es igual á un múltiplo de 9+1. 

También observaremos que 5000, por ejemplo, 
es igual á 1000x5 y como 1000 es igual á un 
múltiplo de 9 más 1, 5000 se compondrá de 5 
veces múltiplo de 9, más 5 veces 1, es decir, que 
será igual á un múltiplo de 9 más 5; y como lo 
mismo podríamos demostrar de otro numero dígito 
cualquiera seguido de uno ó más ceros, podemos ase- 
gurar que toda cifra significativa, seguida de cual- 
quier número de ceros, es igual á un múltiplo de 9\ 
más el valor absoluto de dicha cifra. 

Demostrado esto, se puede considerar todo nú- 
mero como compuesto de diferentes múltiplos de 
9, más la suma de los valores absolutos de sus 
cifras; luego, si .esta última parte es divisible por 
9f> por 3, como los múltiplos de 9 lo son (13S. 
cor.), lo será también el número propuesto (132). 
Por' ejemplo, el número 5241 es divisible por 
3, porque: 

5000 = múltiplo de 9 + 5 

200 = » * 9 + 2 

40 = >) ^ 9 + 4 

1 = » > 1 



5241 = múltiplo de 9+12 

luego el número propuesto vemos que se compo- 
ne de dos sumandos, uno múltiplo de 9 que es divi- 
sible por 3, y el otro 12 que también es divisible 



— U2 - 

por 3, asi piies, la suma ó sea el iiáinero dado 
también U) será (13S). 

Del mismo modo veremos que ol número 6057 
es divisible por í), |KH-iiite 

6()00 = múltiplo de 9+6 
50 =r » » 9-J-5 

7 = » » 7 



6057 = múltiplo de 9 + 18 

es decir, que los dos sumandos de que está com- 
puesto el número 6057 son divisibles por 9, luego, 
la suma ó sea el número propuesto también lo se- 
rá (138). 

135. Teorema. Un número es divisible por- 
4 ó por 25, cuando sus dos ultimas cifras de la de 

recha son ceros ó componen un múltiplo de 4 ó de 
25. 

Así pues, el numero 2300 digo que es divisible 
por 4 y por 25 porque termina en dos ceros;| en 
efecto, tenemos que 

2300 = 23X100 

100 es igual á 4X25, es decir, que es divisible 
por 4 y por 25, luego, 23 veces 100 6 2300, tam- 
bién lo será (132 cor.). 

Así los números 4516 y 3275 son divisibles por 
4 el primero y por 25 el segundo, porque el pri- 
mero 4516, es ij^ual á 4500+16, el primer su- 
mando 4500 es divisible por 4, y el segundo 16 
también lo es, luego la suma lo será también (1 3íÉ). 

Del mismo modo demostraremos que 3275 cu- 
yas dos últimas cifras de la derecha componen un 
múltiplo de 25, todo el número lo es también por 
que 3275 = 3200+75 v como los sumandos 3200 



— 143 — 

y 75 son divisibles por 25, la suma 3275 lo será 
igualmente (1 3S). 

1 36. Teorema. Un número compuesto de m,ás 
de tres cifras, es divisible por 8 ó por 125, siempre 
que termine en tres ceros ó que las tres últimas ci'- 
fras de la derecha formen un número divisible por 
8 ó por 125. 

En efecto, los millares son siempre divisibles 
por 8 y por 125 porque 125X8=1000, y como 
cualquier número que tenga más de tres cifras 
puede descomponerse en millares, centenas, de- 
cenas y unidades, si el conjunto de sus centenas, 
decenas y unidades es divisible por 8 ó por 125, 
todo el número también lo será. 

Por ejemplo: el número 31000 es divisible por 
8 y por 125 porque 

31000 = 1000X31 

el número 1000 sabemos que es divisi4)le por 8 y 
por 125^ luego, también lo seí'á 31000 que es un 
múltiplo de 1000 (13» cons,).. 

Veamos ahora el número 4120 cuyas tres úl- 
timas cifras de la derecha forman el número 120 
que es divisible por 8, y digo que todo el núme- 
ro 4120 también será divisible por 8, porque 

4120 ==4000-4-120 

4000 por terminar en tres ceros es divisible por 
8 según lo acabamos de demostrar, y 120 también 
lo es por hipótesis, luego la suma 4120 será igual- 
mente divisible por 8 (132). 

Del mismo modo se demuestra que el número 



— 144 — 

61375 es divisible por 125, porque lo es el forma- 
do por sus tres últimas cifras de la derecha. 
En efecto, tenemos que 

61375 = 61000+375 

el número 61000 por terminar en tres ceros es 
divisible por 125, el otro sumando 375 también lo 
es por hipótesis, luego, la suma ó todo el núme- 
ro 61375 también lo será (132). 

137. Teorema. Un número es divisible por 
íf, ciuindo la diferencia entre la suma de sus ci- 
fras de orden impar y la suma de las de orden par 
es cero ó un múltiplo de 11. 

Para demostrar este teorema tenemos que pro- 
bar: 

P. Qwe todo número formado por una cifra 
significativa seguida de un número par de ceros, 
es igual á un múltiplo de 11, más el valor abso- 
luto de dicha cifra. 

2^. Que todo númsro formado por una cifra 
significativa seguida de un numero impar de ceros, 
es igual á un múltiplo de 11, m^nos el valor ab- 
soluto de dicha cifra. 

1°. Por ejemplo, el número 50000: vamos á pro- 
bar que es igual á un múltiplo de 11, más 5. 

Tenemos que 

50000 = 10000X5, 

pero 10000 es igual á 9999+1, luego, sustituyen- 
do este valor en la anterior igualdad resultará 

50000 = (9999+1) X5, 



— 145 - 

practicando ahora la multiplicación indicada, para 
lo cual, teniendo presente lo que se ha dicho en 
el numero 43, bastará multiplicar cada sumando 
por 5 y sumar estos productos parciales. Así: 

50000 = 9999X5+5: 

obsérvase ahora que el número 9999 tiene tantos 
nueves como ceros tiene el número dado, j^ es evi- 
dente que esto siempre sucederá, cualquiera que 
sea el numero de ceros que acompañen á la cifra 
propuesta; luego, cuando el número de ceros sea 
par, también será par el número de nueves, y cuan- 
do el número de ceros sea impar, lo mismo lo se- 
rá el número de nueves. 

En el caso presente el número de ceros es par 
y por consiguiente también lo es el número de nue- 
ves, pero 99 es divisible exactamente por 11, lue- 
go pues, un número compuesto de un número par 
de nueves, también lo será. 

Asi pues, 9999 es divisible por 11, lo mismo que 
9999x5 (13S cons.), luego el número 50000 se com- 
pone de un múltiplo de 11 más el valor absoluto 
de su cifra significativa. 

2^. Sea el número 400000 y vamos á demostrar 
que es igual á un múltiplo de 11, menos 4. 

El númerí) 400000 es igual á 40000X10; pero, 
según acabamos de probar 40000 es un múltiplo 
de 11+4; luego 

400000=(múltiplo dell+4)X10, 

efectuando la multiplicación y escribiendo m. en 
lugar de múltiplo, tendremos 



146 — 

iOOOOO=m. de 11X10 + 4x10; pen» 4x10=10x4 
=(11 — 1)4=11x4— 4; y sustitnyeinln este valciren la 
«nteiiín- iííualdad veremos que 

400000 = m. de 11X104-11X4—4 

y observando que inultipln de 11 multiplicado por 
10 más 11 por 4 componen un múltiplo de 11, ten- 
dremos por fin que 400000 = m de 11 — 4. 

Demostrados estos dos punU>s, vamos á ocupar- 
nos de la demostración del teorema propuesto. 

Así, el número 73524=70000+3000 + 500 + 20+4 
y según lo que acabamos de demostrar tendremos 
que 

70000=m. de 11+7, 

3000=m. de 11—3, 

500=m. de 11+5, 

20=m. de 11-2, 

4= 4, 

ahora sumando ordenadamente los d^)S mié nbros 
de estas igualdades y observando que m. de 11 + 
m. de W^m, de W^m, d^ 11, componen un múl- 
tiplo de 11, resulta que 73524 = m. de 11 + 4 + 5+ 
7—2 — 3; pero, restar primeramente 2 unidades de 
este resultado y después 3, equivale á restar 5, es 
decir, 2 + 3: luegí> 

73524 = m, de U +4+5-h7--(2+3). 

Cuyo resultado nos demuestra que, todo núme- 
ro se compone de un múltiplo de 11 más la suma 
de los valores absolutos de las cifras de orden im- 
par, menos la suma de los valores absolutos de las 



^afe^. 



— 147 — 

cifras de orden par] liíego si esta diferencia es ce- 
ro, 11 ó múltiplo de 11, el número dado será di- 
visible por 11 porque se puede considerar como 
compuesto de dos partes divisibles por 11. 

Ejemplo. P. El número 354321. La sunva de 
los valores absolutos de las cifras de orden impar 
es 1+3+5=9, y la de las cifras de orden par es 
2+4 + 3=9; la diferencia de estas sumas es O lue- 
go, el número propuesto es un múltiplo exacto de 11. 

2". El número 846252. La suma de los valo- 
res absolutos de las cifras de orden impar es 8 y 
la de las cifras de orden par es 19; la diferencia 
de estas dos sumas es 11, luego el número dado 
es divisible por 11 porque se compone de un múl- 
tiplo de 11 menos 11. 

3^. El número 9353817. La suma de los valores 
absolutos de las cifras de orden impar es 7 + 8+5 
+ 9=29, y la de las cifras de orden par es 1+3 + 
3=7 la diferencia de estas dos sumas es 22, lue- 
go el número es divisible por 11, porque se com- 
pone de un múltiplo de 11 más 22 que también es 
divisible qor 11 (133i). 

1 38. Se dice que un quebrado es irreduci- 
ble, cuando está reducido á su menor expresión, es 
decir, cuando no pueden ser más pequeños sus 
términos. 

1 39. Teorema. Un quebrado irreducible tiene 
sus dos téy^minos primos entre si. 

Porque si no fuese así, tendrían algún divisor 
común diferente de la unidad, el cual podría eli- 
minarse dividiendo los dí»s términos por aquel di- 
visor con lo que el ouebrado no seria irreducible, 
lo íjue es contra la hipótesis. 

14tO. Regla. Para simplificar un quebrado^ 



— US.— 

se dividen sucesivamente sus dos términos por todos 
los factores comunes que ellos tengan 

Simplificanse los siguientes quebrados: 

3960 21)70 9488 







27720 10395 4" 


"190' 






El 


K; 


3960 


396 


19^ 


99 


11 


1 


27720 


2772 


1386 


693 


77 


7 



Los dos términos del primer (jiiebrado son divi- 
sibles por 10, por terminar en O, así pues sacan- 

396 

dolé este factor se trasforma en cuyos dos tér- 

2772 
minos son divisibles por 2 por terminar cada uno 
de ellos en cifra par, sacando este factor tendremos 
198 

, cuyos dos términos son también divisibles 

1386 

por 2; sacándole este factor quedará el quebrado 

99 
reducido á — , el cual es á su vez divisible por 
693 

1 
9 y por 11, quedando por último reducido á — . 

7 

2'. El segundo quebrado se simplifica asi: 

2970 990 J98 22 2 

10395 3465 693 77 7 



*ü^_ 



— 149 — 

Hemos dividido ios dos términos del quebrado 
propuesto, sucesivamente por 3, 5. 9 y 11 resultan- 

2 
do por último el quebrado — que es irreducible. 

7 
3". Divídase sucesivamecte por 2, 3, 11, 11 y 
13 y quedará reducido á su última expresión. Así: 

9438 4719 1573 143 13 1 



47190 23595 7865 715 65 5 



LECCIÓN XII 



Cálculo de las fracciones ordinarias 

ADICIÓN 

141. En la adición de los quebrados pueden 
distinguirse tres casos. 

P. Swnar qvsbrados con quebrados. 

2^. Sumar un entero con un quebrado, ó un que- 
brado con un entero. 

3". Sumar números mixtos. 

1 4:!8í. l®^ Caso— Al tratar de la adición de los 
números enteros dijimos (45), que no se podían 
adicionar sino las unidades de una misma especie; 
asi pues, para sumar quebrados se empezará po^^ 
reducirlos todos a un común denominardor (195), 
luego se sumarán los numeradores, y á esa suma 



— 150 — 

$e le pondrá por dfmominador el denominador co- 
mún. 

1 3 2 
Por ejemplo, súmese — — — ; 

2 4 5 

Reduciendo estos quebrados á un común deno- 
minador tendremos que se trasformarán en 

20 30 16 

40 40 40' 

cuyos quebrados representan cada uno cierto nú- 

1 
mero de — luego la suma será evidentemente igual á 

40 

'20+30+16 66 



40 40 

66 
El quebrado — que ha resultado es impropio v 
40 
siempre que en alguna operación se obtengan que- 
brados de esta clase, convendrá sacarle los ente- 
ros que contenga (115); y por último se simpli- 
fica, cuando se pueda, el quebrado que resulte. 

66 
Así, en el ejemplo anterior el quebrado - que 

40 
representa la suma de los quebrados propuestos, 
se le pueden sacar los enteros y simplificar el que- 
brado, restante. 

60 26 13 

40 40 20 



— 151 ~ 
Otros ejemplos para sumar quebrados 

3 5 11 
1". Veamos los quebrados — — — 

7 21 35 

Empezaremos por reducir los quebrados pro- 
puestos á un común denominador para lo cual ob- 
servaremos que el número 105 es divisible exacta- 
mente por los denominadores 7, 21 y 35; pues con- 
tiene al primero 15 veces, al segundo 5 y al ter- 
cero 3 veces, luego, el número 105 nos convendrá 
elejirlo para común denominador (ISSobs.), asi 
pues, multiplicaremos los dos términos del quebra- 

3 5 

do - por 15: los dos términos del — por 5, y los 

7 21 

11 
dos términos del quebrado — por 3, con lo que se 

35 
trasformarán en los siguientes 

45 25 33 

— + — + — ; 

105 105 105 

que son equivalentes á los propuestos (133), y 
tienen un común denominado, luego la suma será 

45+25+33 103 



105 105 

2 5 4 7 9 

2^. Sean los quebrados — I [-— ^-| 1 — ; los 

3 ' 9 5 11 16 



— 153 — 

cuales i-educidos á un común denominador se tras- 
formarán en 

15840 9200 19008 15120 13365 

+ + + -+ = 

23760 23760 23760 23760 23760 

72533 1253 

23760 23760 

4 10 8 15 

3". Los quebrados — — . _ _; reducidos á 

5 15 25 16 

un común denominador se trasformarán en 

24000 20000 9600 28125 81725 21725 

+ + + =- =2 = 

30000 30000 30000 30000 30000 30000 

4345 869 

2 =2 

6000 1200 

12 4 5 

4". Súmense los quebrados — | 1 1 — := 

2 5 5 8 

200 160 320 250 930 130 65 13 

400 400 400 ' 400 400 400 200 40 

1 43. 2°. Caso— Para sumar un número ente- 
ro y un quebrado ó un quebrado con un entero, ó 
sea para reducir un número mixto á quebrado. 



— 153 — 

hemos visto (1 lO) que se multiplica el entero 
por el denominador, al producto se le agrega el 
numerador, y á esta suma se le pone por denomi- 
nador el denominador del quebrado. 

3 
Súmese 5 + - ; 

7 

5X7 35 

I^os 5 enteros son equivalentes á «= — , lue- 



7 



go la suma será 



3 5X7 3 38 

7 7 7 7 

Del mismo modo se practican las siguientes su- 
mas: 

2 9x3+2 29 5 12X6+5 77 

9 + _= =_ ; 12+-= =— 

3 3 3 6 6 6 



7 6X11+7 73 5 77 

11 11 ll' 9 9 



14:4:. 3®^ Caso— Para sumar números mixtos, 
se suman los quebrados y luego los enteros, agre- 
gando á estos los que resulten de la suma de aque- 
llos, ó también pueden reducirse los mixtos á que- 
brados y proceder como en el primer caso. 



- 154 — 

3 6 5 
Así los números 5 — (- 8 —-\ — . 

4 7 8 

Sumando primeramente los quebrados tendre- 
mos que 

3 6 5 168 192 140 500 250 

4 7 8 224 224 224 224 112 

125 13 



56 56 

La suma de los enteros es 5+8 + 9=22, cuya 

13 
suma agregada á la anterior 2— de los quebrados 

56 
13 
dará 24 — , que es evidentemente la suma de los 

56 
números mixtos propuestos. 

Reduciendo los mixtos á quebrados obtendre- 
mos el mismo resultado, asi: 

3 6 5 23 62 77 
5 — + 8 — + 9-=— + — + — 

4 7 8 4 7 8 



y reduciéndolos á un común denominad ,r tendre- 
mos 



- 155 - 

1288 1984 2156 5428 52 26 
224 224 224 224 224 112 

13 

- 24 — 

56 

De modo qne como antes hemos visto la suma 

13 
de los números mixtos propuestos es igual á 23 — 

56 
Es más sencillo el primer método que el segun- 
do, asi es que en la práctica se emplea siempre 
el primero, disponiendo la operación como en los 
ejemplos siguientes: 



1 



5 
3 — 

7 



93 
26 — 
140 



280 

560 
400 

560 



3 

8 — ... 
4 


420 


' ' "560 


7 
9 — . . . 
10 


392 


" " 560 



1492 
560 



3 

8 ~ 

5 

2 

6 — , 

3 

1 
4 — 
10 

9 

12- 

11 



61 
23 — 
330 



990 

1650 
1100 

1650 
165 

1650 
1350 

1650 



3605 
1650 



150 — 



Puede también disponerse la operación así: 



4 

12— 

5 


48 




2 

19— 

3 


40 


3 

10— 

4 


45 


6 

27- 

15 


24 


60 


37 

70— 

60 


157 

37 


37 

2 — 
60 



PROBLEMAS 



145* 1". Un niño ha empleado 1 — horas en 

3 
3 
estudiar la lección de historia, — de hora para la 

4 
25 
lección de aritmética, 1 — horas para la lección 

60 
de gramática, ¿cuánto tiempo ha empleado para 
estudiar las tres lecciones? 

2°. En un estanque concurren cuatro cana- 



157 



les conduciendo agua: el primero necesita 17 ho- 
ras para llenarlo, el 2^. emplea 36, el tercero ne- 
cesita 48 y el 4.° solo emplea 12; ¿en una hora 
qué parte del estanque llenan los cuatro canales? 
3."* Cuatro al bañiles trabajan en una obra; 

1 
uno hace 2 — metros de pared por día, otro 1 

2 

8 3 

— , el tercero hace 2 — y el último solo hace 

9 4 
1 

1 — ; ¿cnántos metros de pared hacen por día en- 

3 
tre los cuatro? 

4.<* Cinco personas se comprometen á hacer 
una escavación, la primera dice que necesita 8 
días para concluirla, la segunda asegura no ne- 
cesitar mas de 7, la tercera necesita 5, la cuarta 
se compromete á hacerla en 6 días, y por últi- 
mo la 5 dice que no puede hacerla en menos de 
9 días. 

¿Que parte de la obra harían en un día, si 
trabajasen reunidas las cinco personas citadas? 

LECCIÓN XIII 

Sustracción de los quebrados 
ordinarios 

140. En la sustracción de los quebrados 
pueden ocurrir tres casos: í<*. restar un quebrado 



- 158 — 

de otro: 2.'* restar un qvshrado de un entero: 3*". 
restar números mixtos, 

14T?. 1.**' Caso Como no pueden restarse 
unidades de diferente especie resulta que 

Para restar quebrados se reducen primeramen-- 
te á un común denominador. Se resta el numer^a^ 
dor menor del mayor, y á la diferencia se le pone 
por denominador, el denominador común. 

1 6 2 11 
Por ejemplo, réstase — de—, y — de — : ten- 
dremos que: 5 11 3 12 



6 1 30 11 29 

11 5 55 55 55* 

11 2 33 24 9 1 

12 3 36 36 36 4 

14:8. 2.^ Caso Para restar un quebrado pro- 
pió de un entero, se toma del entero una unidad, 
la qite se pone en forma de quebrado cuyo deno^ 
minador sea igual al denominador del quebrado 
sustraendo (118) sq resta este del quebrado asi 
formado, y la diferencia se une al entero rebaján- 
dole una unidad. 

5 
Por ejemplo restemos — de 12; tenemos que: 

8 
5 8 \5 3 

12 = 11 = 11 — . 

8 8 8 8 



-- 159 — 

3 
Réstase — de 15. 

7< 

3 7 3 4 

15 = 14 = 14 — 

7 7 7 7 

t 4^9. S.*"" Caso — Para rentar números mixtos, 
se resta el quebrado smtraendo del quebrado mi- 
nuendo, y el entero susiraendo del entero minuendo; 
la reunión de estos dos restos fcrma la diferencia total. 

Si el quebrado sustraendo fuese mayor qtie el 
quebrado minuendo, se agrega á éste una unidad 
y otra al entero sustraendo, para que la diferen- 
cia no se altere (54). 

1 7 

Restar 3— de 8 — ; la operación se dispone así: 
5 9 

7 35 

8— — 

9 - 45 

1 9 

3— — 

5 45 



26 26 

5— - 

35 35 



4 2 7 2 
Restar 6— de 15 —; y 8— de 23 — . 

5 7 11 5 







— 160 - 






2 


10 


45 


2 


22 


77 


15-... 


... — .. 


. . — 


23—... 


.— 


, ^-— 


7 


35 


35 


5 


"f55 " 


'*55 


4 


28 


28 


7 


35 


35 


6 — ... 


. . . — . . 


. . — 


8—.. 


... — . 


. . 


5 


35 


35 


11 


55 


55 


17 




17 


42 




42 


8 — . .. 







14- ... 




___ 


35 




"35 


55 




"55 



PROBLEMAS 

150. P. Un estudiante emplea todos los días 
3 

2 horas y — para estudiar sus lecciones; tiene 5 ho- 

4 

35 45 

ras de clase, gasta 1— para almorzar 1— para co- 

60 60 

mer y, por último, destina 3 horas para recreos. 
¿Cuánto tiempo le queda para dormir? 

3 4 
2^. Juan tiene 12 años y — ; Pedro solo tiene 9 — ; 

4 5 
¿cuántos años más tiene Juan que Pedro? 

3^. Entre 3 obreros hicieron respectivamente 

3 2 4 

— , — y — de una obra; ¿qué porción de la obra 
11 13 7 
falta para hacer? 

4°. Un depósito de agua se llena por medio de 
unos conductos en 5 horas y por otros se vacía en 
8; estando abiertos los dos conductos, ¿qué porción 
del depósito se llenaría en una hora? 



.:^aí¡k_ J 



- 161 — 

5°. Dos trenes han salido al mismo tiempo de 
una estación y caminan en igual dirección; pero 
uno corre con una velocidad de 1560 kilómetros 
por día, mientras que el otro solo recorre 1000. 
Al cabo de una hora de viaje ¿á qué distancia se 
hallarán uno de otro? 

7®. Un comerciante compró 17 carradas de 
maíz, conteniendo cada una 9 hectolitros, por 180 
pesos; y otras 23 carradas, conteniendo cada una 
12 hectolitros, por 250 pesos. ¿Cuál es la diferen- 
cia de precio del hectolitro de maíz? 



LECCIÓN XIY 

Multiplicación áé , los quebrados 
ordinarios. 



151. En la multiplicación de quebrados se 
distinguen tres casos: 

1^. Multiplicar un qv/ébradopóf^ un entero ó un 
entero por un quebrado] 2^. multiplicar un quebra- 
do por otro; 3". multiplicar números mixtos. 

6 

152. P^ CASO.--^Multiiilicar — por 5. 

11 



6 6 6 6 6 >6 6x5 30 

11 11 11 11 i 11 11 11 11 



— 162 - 
De la tnisma manera veremos que 
6 5X6 30 
11 11 11* 

6 
Porque el multiplicador — , representa 6 veces 

11 
la onzava parte de la unidad; luego, el producto 
se hallará tomando 6 veces la onzava parte del 
multiplicando 5 (OO). 

5 
Pero la onzava parte de 5 es — ; luego, 6 veces 

11 
este número formará el producto pedido 5X6 

11 

De donde se deduce que para multiplicar un qi^-- 
brado por un entero ó viceversa^ se multiplica el nume- 
rador por el entero^ dejando el mismo denominador. 

5 3 

153. 2". Caso.— Multipliqúese— por — . 

7 4 

Según la definición que hemos dado de la mul- 
tiplicación (60), el producto que buscamos debe 

5 
ser respecto al quebrado — , lo que el quebrado 
3 7 

— es respecto á la unidad. 
4 

3 
El multiplicador — representa las tres cuartas 
4 
partes de la unidad. lluego, el producto será igual 



— 163 - 

3 5 
á los — del multiplicando — . 

4 7 
1 5 

Ahora bien, — de — es evidentemente 4 veces 
4 7 

5 
menor que — ; así, pues, su valor lo hallaremos mul- 

7 
tipiicando el denominador por 4 (18S). Luego, 
15 5 3 5 

— de — será igual á — y los — de — que busca- 
4 7 7.4 4 7 

mos, se obtendrán multiplicando por 3 el valor que 
1 3 5 

hemos hallado para — . Así, será — . de — igual á 

4 4 7 

5 5.3 3 5 

— X3= — , y como los — de — es el pntducto de 

7.4 7,4 4 7 

5 3 

— por — , tendremos, por último, que 
7 4 

5 3 5.3 15 

7 4 7.4 28* 

De donde se infiere que 

Para multiplicar un quebrado por otro, sé mul- 
tiplican los num^adores, y después los denomina^ 
dores, formando el primer producto el numerador 
y el segundo el denominador del quebrado que se 
busca. 

Así: 



— 164 — 

6 4 6.4 24 8 

7 9 7.9 63 21 

4 3 4.3 12 6 1 

9 8 9.8 72 36 6* 

1 54* ^/ producto de dos quebrados no se al- 
tera, aunque se invierta el orden de ellos: pues el 
producto tendrá siempre por numerador el pro- 
ducto de los numeradores de los factores, y por 
denominador el producto de sus denominadores; y 
estos productos serán siempre iguales, cualquiera 
que sea el orden de sus factores (GG). 

De modo que 

4 3 4.3 3.4 3 4 

5 7 5.7 7.5 7 5* 

de donde resulta que 

4 3 3 4 

5 7 ""7' 5* 



155. Para multiplicar varios quebrados, se 
multiplican los numeradores y los denominadores 
respectivamente entre siy y se divide el priw,er pro- 
ducto por el segundo. 

3 5 4 6 

Por ejemplo, multiplicar — X— X — X— > digo 

4 8 7 11 



que es igual á 



— 165 — 
3.5.4.6 



4.8.7.11 

3 5 

En efecto, el producto de — X— > ^s igual á 

4 8 
3.5 

— ; luego, el producto de los tres primeros que- 
4.8 

3.5 4 3.5.4 
brados será igual á — -X— = : y el produc- 

4.8 7 4.8.7 

3.5.4 6 3.5.4.6 
to. de los cuatro quebrados será X — = • 

4.8.7 11 4.8.7.11 
Luego, tendremos que: 

3 5 4 6 3.5.4.6 260 180 90 45 

4 8^7 11 4.8.7.11 2464 1232 616 308* 

1 5G. Quebrado de quebrado. Se llama que- 
brado de quebrado^ el numero que se compone de 
parte ó partes iguales de otro quebrado. 

Por ejemplo: la tercera parte de cuatro quin- 
tos, tres cuartos de siete octavos, cinco novenos 
de once treceavos etc., son quebrados de quebra- 
dos. 

El valor de un quebrado de quebrado se halla 
fácilmente multiplicando entre si ios quebrados 
que le forman 

3 5 

Así: - de — , digo qué es lo mismo que 

8 7 



— 166 - 



3 5 3.5 15 

8 7 8.7 5() 

3 5 

En efecto, — de — , que es lo mismo que 
8 7 

15 15 

tomar 3 veces — de — : tomar — de - equivale á 

8 7 8 7 ,, 

5 5 '■ 

hacer — 8 veces menor, y será igual á — (12S) 

7 ' 7.8 
3 5 

y los — se obtendrán haciendo el número- — , 3- ve- 

8 7.8 
3 5 5.3 

ees mayor: es decir que — de — es igual á — , 

8 7 7.8 

3.5 
ó sea á — , que es lo queríamos demostraf. 
8.7 
15*7. Observación. En la multiplicación de 
5 3 5X3 

— X — (153), hemos visto que su producto 

7 4 7X4 

3 5 
representa los — de — ; luego, es menor que el 

4 7 
5 

factor — , y como el orden de los factores no al- 

7 
tera el producto, también vemos que éste repre- 

5 3 
senta los — de — ; luego, también es menor que 

7 4 



.■ a 



— lÜT - 

3 
— ; con Idéntico racionio probaríamos lo mismo res- 

4 

pecto á otros dos quebrados propios cuaiesqiiio- 
xa, es decir que, el producto de dos qvabrados pro- 
pios, es menor que cada~ uno de los factores que lo 
forman. 

•15S. 3''^ Caso.— Para muUipliear números 
micctos se reducen primeramente los mixtos á qtie- 
brados . impropios (116) y, luego se procede como 
se ha explicado para los casos anteriores. 

EJEMPLOS 

2 3 37 35 1295 7 

1°. 5 --X4 =— X— = =23- : 

7 8 7 8 56 56 

1 2 7 17 119 14 

2°. 2 -X3— =— X-= — =7-: 

3 5 3 5 15 15 

3 5 3 47 141 1 
30. _ 6X -=.-X-= = 5 - : 

4 7 4 7 28 28 

6 28 252 10 

4°. 9X2 — = 9X — — — =22— . 
11 11 11 11 

PROBLEMAS 

3 
1°. — de una manzana de terreno, costaron 

7 



— 168 - 

524 pesüs; ¿cuánto costaría una manzana entera? 
5 : 

2». — de kilogramo de un metal fino, á ra- 
9 
zón de 150 pesos el kilogramo, ¿cuánto importan? 
3°. Un jornalero que gana 25 reales diarios, 
2 
trabajó 8 días y — , ¿cuánto ganó? 
5 
4"'. Se contrató con un albañll uya obra en 635 
7 6 

pesos — ; pero solo pudo hacer — de dicha obra, 

10 11 

¿cuánto le corresponde cobrar? 

5 8 

5°. ¿Cuánto serán los — de — de peso? 

7 13 
4 
6°. Se compraron 36 — metros de tela; á ra- 

7 
3 
zón de 2 pesos y — el metro, ¿cuánto importó la 

5 
tela? 

8 6 

7". ¿Cuántos dias representan los — de — de 

9 7 
3 

— de año, en el supuesto de que el año tiene 365 

4 

dias? 



LECCIÓN XV 

División de los quebrados ordinarios 

159. La división de los quebrados compren- 
de cuatro casos. 

P. Dividir un queh^ado por un entero; 2^. di- 
vidir un entero* por un' quebtado'^'i''. dividir un 
quebraúa por> otro; 4^. dividir números mixtos. 

leO. 1*'. Caso. Para dividir un quebrado por 
un entero^ ya se ha visto (122) qu^ basta mul- 
tiplicar el denominador por' el entero, dejando el 
mismo numerador] ó bien- se divide el numerador 
por el entero, permaneciendo el mismo denomina- 
dor (121). 

3 3 3 

Así: — :2= — = — : 
5 5.2 10 

8 8 8 2 

11* 11.4 44 11* 



ó también; 



8 8:4 2 

iT 11 11 

15 15:5 3 
23* 23 23* 



170 



3 
161. 2°. Caso. —Divídase 6 por — . 

4 

3 
El cociente que resulte de dividir 6 por — será 

4 

3 
un número tal que multiplicado por el divisor — 

4 
deberá producir^el dividendo 6 (83). 

Llamémosle c á este cociente y tendremos que 

3 
cX-= 6 
4 

3 
pero multiplicar c por — es lo mismo que tomar 

4 
3 
los — de c (60), luego: 
4 

3 

— de c = 6: 

4 

1 tí 4 

asi pues, — de c, será igual á — y los — de c, 

4 3 4 

ó sea toda la c, es decir, todo el cociente, será 

1 
igual á 4 veces el valor de — de c, y tendremos 

4 
por fin que 



— 171 - 

6 6x4 4 

c= ~X4= =6X- 

3 3 3 

por consiguiente 

3 4 24 

6: — =r6X— =— =8. 

4 3 3 

De donde se deduce que para dividir un ente- 
ro por un quebrado, se multiplica el entero por el 
quebrado divisor invertido. ( • ) 

EJEMPLOS 

6 7 35 5 

7 6 6 6 ' 

4 U 88 

2^ 8:— =8x-=— =22. 
11 4 4 

3 5 60 

3". 12:— =12x— =- =20. 
5 3 3 

7 9 117 5 

4». 13:— =13X- = — =16— 

9 7 7 7 



(•) Invertir un quebrado es cambiar el numerador por el denominador y 
viceversa. .^»^... 



— 172 - 

7 4 
íes. 3*'. Caso.— Sea dividir — por — . 

8 5 
Llamando c al cociente que resulte de dividir 

7 ^ 

— por — , tendremos que 

8 5 

4 7 

ex— =-- 

I 8 

4 7 

los — de c valen — , un solo quinto de c valdrá la 

5 8 

7 7 7 

euarta parte de — ó sea — : 4= y toda la c, 

8 ' 8 8X4 
5 

ó sean los — del-cocienteí será un número 5 ve- 
5 

7 7 

ees mayor que , es decir, que valdrá 5= 

8x4 8X4 

7X5 

; luego 

8X4 

7x5 7 5 

8x4 8 4 

por consiguiente 

7 4 7 5 35 3 
85 8 4 32 32* 



— 173 - 

De donde deducimos que para dividir un que- 
brado por otro, se multiplica el quebrado dividen- 
do, por el quebrado divisor invertido. 

EJEMPLOS 

5 3 5 7 35 8 

' 9 ' 7 9 3 27 27 

6 9 6 22 132 44 4 1 
" " ll' 22 11 9 99 33 3 3 

5 (i 5 25 125 29 
8 25 8 6 48 ~^48 

4 8 4 25 100 5() 25 5 
15 25 15 8 120 60 30 6 

163. 4". Caso — Partí dividir un número mix- 
to por otro, se reducen ambos números á quebra- 
dos, y luego se procede como se ha explicado para 
los casos anteriores. 



E.) EMPLOS 

2 5 26 26 26 7 182 91 13 

3 7 3 7 3 26 78 39 ~39 



— 174 — 

6 4 61 14 305 151 

2o_ 5_ : 2 . . s= : \ 

ll' 5 11* 5 154 154 

7 61 61 25* 
3». 6-: 4=— : 4=-=l- 

9 9 36 36 

3 4 58 4 522 2 
5" 9 5' 9 20 20 

6 7 6 23 138 34 17 
13* 8 13* 8 104 104~ 52 

2 14 27 13 
6°. 9: 4 — =9: -=— = 1 — . 

3 3 14 14 

OBSERVACIONES 

16<4I. 1». El cociente de la unidad por un que- 
brado cualquiera es iffual al mismo quebrado in- 
vertido. Así: 

4 9 1x9 9 

9 4 4 4 

2». Para dividir dos quebrados que tengan igual 
denominador, basta dividir el numerador del divi- 
dendo por el del divisor. Así: 



— 175 — 
5 3 5 7 5x7 5 

7 7 7 3 3X7 3 

3^. Para dividir dos quebrados que tengan igual 
numerador, basta dividir el denominador del divi- 
sor por el del dividendo. Así: 

5 5 5 11 5X11 11 
7* 11 7 5 5X7 7 

4". Dividiendo un número cualquiera por la 
unidad, el cociente es iguat al dividendo: sise di' 
vide por un número m^ayor qiie la unidad, resul- 
ta un cociente menor qice el dividendo: y si se di- 
vide por un número menor que la unidad, resul- 
ta un cociente mayor que el dividendo. 



PROBLEMAS 



o 
1 65. 1". — 8 al bañiles contrataron hacer 236 - 

9 
metros de pared, ¿cuántos tiene qne hacer cada 
nno? 

5 2129 2129 41 
236—: 8= : 8 = =29— . 

9 9 72 72 

41 

Tiene qne hacer cada nno 29— metros. 



— 176 — 

4 3 

2". 25— hectáreas de terreno costaron 512- 

11 5 
pesos, ¿cuánto costó la hectárea? 

3 4 2563 279 28193 293 
512~:25-= : = =20- 



5 11 5 11 1395 1395 

293 

La hectárea cuesta 20 pesos. 

1395 

3°.— Un padre dejó para su hijo mayor el ter- 
cio de su capital, para el segundo el cuartc», y 
para el tercero el quinto, quedándole 250 pesos 
que mandó distribuir entre los pobres, ¿cuánto re- 
cibió cada hijo? 

1 1 1 
A los hijos les ha correspondido — x— x— del 

3 4 5 

47 
capital total ó sean — que es la suma de dichos 
60 
13 
quebrados, luego faltan — para completar todo el 

60 
13 
capital, pero estos — son los 250 pesos que le so- 

60 
braron y mandó entregar á los pobres, luego los 
13 

— del capital componen 250, asi pues el capital 
60 
será igual á 



-- 177 — 

13 250x60 11 

250: — = =1 1 53 - 

60 13 13 

COMPROBACIÓN 

11 

Ei capital se compone de 1153 - pesos que se 

13 
distribuyen así: 

11 8 

Al Hijo mayor 1153— : 3=384— 

13 13 

11 6 

Al segundo 1153— : 4=288— 

13 13 

11 10 

Al tercero 1 153- : 5=230— 

13 13 

A los pobres 250 

ÍT 

Suma total $ 1153— 

13 

EJERCICIOS 

1°.- Un comerciante empleó en una especula- 
■2 
ción de granos los — de su capital, en otra de 
5 
4 2 
vinos empleó los — ; y — más empleó en otros ne- 
13 9 



— 178 — 

gocio^í, quedáiid(»le en caja 582 pesos; ¿qué capi- 
tal tiene? 

2*. — A un estanque van á desaguar tres cana- 

3 
les, el primero puede llenarlo en 25 — días, el se- 

4 
5 
gundo en 8 — , y solo 3 dias emplea el terceio: 

9 
¿cuánto tiempo emplearían para llenarlo corrien- 
do los tres canales á la vez? 

3°. — La fortuna de un estanciero aumentó en 
2 6 

el año 1890, — , en el siguiente ~ de su nuevo ca 
13 17 

1 
pital, V por fin este año ganó — de esta última can- 

7 
tidad, poseyendo actualmente una fortuna de 543000 
pesos, ¿cuánto tenía á principios del año 18í)0? 

5 

4'* — Mi reloj adelanta — de hora por día, Uoy 

93 
al medio día lo arreglé de modo que marcaba la 
hora justa; ¿qué hora será luego cuando mi reloj 

1 

marque las 8~ de la noche? 

4 

5^.— De la estación Nico Pérez salió el tren ordi- 
nario de pasajeros á las 8h 30m de la mañana ca- 

2 
minando á razón de 45 — kilómetros por hora, y 

3 
á las llh de la misma mañana salió otro tren ex- 



- 179 — 

4 
pres con una velocidad de 56— kilómetros por ho- 

5 
ra, ¿á qué distancia de la estación Nico Pérez el 
segundo tren alcanzará al priníiero? 

6*^. — í.e preguntó un individuo á , otro, que capi- 
tal había reunido en los- 15 años que llevaba tra- 
bajando en un saladero del Uruguav, y este le 

6 8 \ ' 

contestí) que los — de los — de los — déla l'nr- 

11 9 5 

tuna que tiene alcanza á 1000 pesos, ¿á cuánto 
asciende la fortuna que posee? 

7". — Un carpintero liai^e una obra en 10 días 
trabajando 8 li(»ras diarias: otro trabajando 12 ho- 
ras se compromete á construir la misma obra en 
6 días, ¿en qué tiempt) harían la expresada obra 
los dos carpinteros trabajando 10 horas diarins? 

5 
8^. — En ocho horas un caballo recorrió 120- 

n 
é 

kilómetros, ¿cuánto caMiinó por hora? 

2 
9^. — Un hortelano recibió 35 — pesos por pre- 

7 
5 
parar la tierra de los — de una quinta, ¿ si hu- 

9 ^ - 

hiera preparado toda la tierra de la quinta, cuán- 
to hubiese recibido? 

4 
lO"". — Una rueda da 54356 — vueltas por día, 

7 
¿cuántas dará en una hora y media? 



- 180 - 

LECCIÓN XVI 

FRACCIONES DECIMALES 

IVuineraeión y propiedades generales de 
los niimeros decimales 

160. Llámase qiteh^ado ó fracción decimal^ 
aqitella que tiene por denominador la unidad se- 
guida de uno ó varios ceibos. 

8 13 517 6839 

Por ejemplo: — , , — -. , etc., son frac- 

10 100 1000 10000 
ciones decimales. 

Si el denominador de la fracción es 10, 100, 
1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, etc.; las 
porciones que representa la fracción, se llaman 
respectivamente décimas, centésimas, milésimas, diez- 
milésimas y cienmilésimas, millonésimas, diezmilloné- 
sim^s, etc. 

Una unidad entera sábese que vale 10 décimas, 
ó 100 centésimas, ó 1000 milésimas, ó 10000 diez- 
milésimas, etc., luego pues, una décima vale 10 
centésimas, una centésima 10 milésimas, una mi- 
lésima 10 diezmilésimas, etc. 

16*7. Hemos visto (SÍ6) en el sistema de nu- 
meración decimal que cada cifra representa uni- 
dades diez veces mayores que las que representa 
la cifra inmediata de la derecha, por consiguien- 
te, si continuamos el mismo sistema hacia la de- 
recha de las unidades simples, la primera cifra 



- 181 - 

ocupará el lugar de las décimas, la segunda el 
de las centésimas, la lercera el de las milésimas, 
la cuarta el de las diezmilésimas, etc., á cuyas uni- 
dades fraccionarias se les llama también unidades 
de P., 2\, 3^, 4^, etc., orden decimal. 

1 68. Según acabamos de ver, cualquier frac- 
ción decimal puede escribirse sin denominador^a- 
ra lo cual bastará escribir el numerador y colo- 
car una señal cualquiera, una coma por ejemplo, 
á la derecha de la cifra que expresa las unidades 
simples, que será un cero sino las hay; y así, la 
primera cifra á la derecha de la coma represen- 
tará las unidades decimales de primer orden ó sean 
las décimas, la segunda representará las centési- 
mas, la tercera las milésimas, etc. 

7 239 5485 

Por ejemplo, los quebrados — , , se 

10 1000 10000 
pueden escribir sin denorfiinador de este modo: 
0.7, 0.239, 0.5485. 

7 

En efecto, el primer quebrado — representa la 

10 
unidad dividida en 10 partes iguales de las que se 
toman 7, es decir, menos de la unidad; para ex- 
presar dicha fracción de la unidad sin escribir el 
denominador, pondremos O en lugar de los ente- 
ros, porque el quebrado no los tiene, después una 
coma para indicar que empiezan las unidades de- 
cimales y luego un 7 que, por ocupar el lugar de 
las unidades de primer orden decimal, representa- 
rá décimas, así pues, O J (siete décimas) vernos que 

7 
es igual á — 
10 



- 18^ — 

239 
Del inisino modo veremos que el quebrado 



1000 

que representa 239 milésimas, puede expresarse 
por 0,239, es d^cir, por un número decimal com- 
puesto de O enteros, 2 decimas, 3 centésimas y 9 
milésimas. Eu elVcto, cada décima vale 10 centé- 
simas, las 2 décimas valdrán 20 centésimas; así 
pues, el número decimal 0,239 se compone de 23 
cetésimas y 9 milésimas; y como rada centésima 
se compone de 10 milésimas, las 23 centésimas 
compondrán 230 milésimas. í.uego el número de- 
dm/xl O, 239 se compone de 239 milésimas, exac- 

239 

lamente lo mismo que . 

1000 
Igualmente demostraríamos que el núinero 
0,5485, que se compone de 5 décimas, 4 centési- 
mas, 8 milésimas y 5 cjieziniiésimas es igual á 5485 
diezmilésimas, y por consiguiente es lo mis no (|ue 
5485 



10000 



169. Lueg0, pues, según acabamos de ver, 
para escribir un número decimal se empieza por es^ 
cribir la parte entera, si la hubiese, y si no, se po-- 
ne un cero en su lugar; después, la coma y á su 
derecha se escriben las décimas, despu¿s las centé- 
simas, lv£go las milésim^as etc., y asi sucesivamen- 
te, supliéndose con ceros la falta de unidades de al- 
gún orden decimal 

Ejemplos: Para escribir cuatro décitnas, siete 
centésimas y tres milésimas, se escribirá 

0.473 



- 183 — 

Escríbase ocho centesimos, cinco milésimos, 

0.085 

En este número decimal no hay décimas, por 
consiguiente, se ha suplido con un O la falta de 
las unidades decimales de primer orden; de igual 
modo veremos que el numero decimal, dos ente- 
ros, seis décimas, siete diezmilésimas y 9 milloné- 
simas, se escribe así: 

2.600709 

supliendo con dos ceros los lugares de las cen- 
tesimos y milésimas que faltan en el número pro- 
puesto. 

1*70. Obsérvase que un número decimal con- 
tiene tantas unidades decimales del orden de su 
última cifra, como unidades simples tiene todo el 
número considerado como entero. 

Por ejemplo, los números decimales 0.314 y 
36,0208, que se componen de 3 décimas, 1 centé- 
sima y 4 milésimas, el primero, y de 36 enteros, 
g centésimas y 8 diezmilésimas, el segundo, son 
respectivamente iguales á 314 milésimas el pri- 
mero y á 360208 diezmilésimas el segundo (IOS); 
luego, para leer un número decimal se he iodo 
el número como si fuese entero, dándole á la últi- 
ma cifra leida^ ¡a denominación que le correspon- 
de por el orden decimal á que pertenece. 

Así los números decimales 357,46; 0.3005; 
4,00025; se leen respectivamente asi: 35 mil 746 
centésimas; 3 mil 5 diezmilésimas; 400 mil, 25 
cienmilésimas. 

Cuando el número decimal tiene enteros, gene- 
ralmente se lee enunciando primero los enteros y 



— 184 — 

después los decimales; asi en los ejeníplos ante- 
riores, podíamos haber leido de este modo: 

357 enteros y 46 (*entésimas; 4 enteros y 25 
cienmilésimas. 

1*71. El valm' de un número decimal no se 
altera^ aunque se le añadan ó quiten ceros á su 
derecha. 

Así pues, el número 3,45 digo que es itrual a 
3.45000 

En efecto, el número propuesto se compone de 
345 centésimas, y como cada centésima tiene 10 
milésimas, teneuios que dicho número contiene 
3450 milésimas; cada milésima vale 10 diezmilési- 
mas, luego las 3450 milésimas son equivalentes á 
34500 diezmilésimas; del mismo modo verfamos que 
que las 34500 diezmilésimas son equivalentes á 
345000 cienmilésimas y estas á 3450000 millonési- 
mas, etc.; y como todos estos números son igua- 
les al propuesto 3,45 queda demostrado que un de- 
cimal no se altera agregándole cuantos ceros se 
quiera á su derecha y tampoco puede alterarse 
quitándole los que tenga. 

Consecuencias — Todo número entero puede con* 
siderarse como decimal, escribiendo á su derecha el 
número de ceros decimales que se quiera. 

1 *72. Para dividir un número entero por la 
unidad seguida de ceros, basta separar de la dere- 
cha del número dado, tantas cifras decimales co- 
mo ceros acompañen á la unidad; y si el número 
no tiene suficientes cifras para hacer esta separa- 
ciQ}%, se le agregan ceros á su izquierda. 

Por ejemplo, el número 346 se quiere dividir 
por 100: 



- 185 — 

346 
Tenemos que 346:100= — =3.46 (168). 

100 
Ahora el número 835 se quiere dividir por 
100000. 

835 

Tenemos que 835:100000= ^=0,00834. 

100000 
Del mismo modo veríamos que 27:1000000= 
0,000027. 

ITfS. Para multiplicar un número (iecimat por 
la unidad seguida de ceros, se corre la coma tan- 
tos lugares á la derecha como ceros acompañen á 
la unidad, y al contrario para dividirlo 

En uno y en otro caso si no hubiese bastantes 
cifras se suplirán con ceros, añadiéndolos en el pri^ 
'mer caso á la derecha úe los decimales y en el se- ' 
gundo á la izquierda de los enteros. 

Así; 3,426x100=342.6; 42,37X1000=42370; 
l36,045xK)0000=13604500. 

Porque coriiendo la coma á la derecha^ se ha- 
ce el número 10 veces mayor por cada lu^ar que 
se adelanta la coma. 

En efecto, corriendo la coma del número 3,25 
un lugar á la derecha, el número resultante 32,5 
es diez veces mayor que el.prunero, porque: 
3.25=3 unídades+2 déeimas+Scentésimas 
32.5=3 decenas +2 unidades+S* décimjis; dan- 
de observaremos que cada una de las partes del 
segundo número es diez veces mayor que la co- 
rrespondiente del primero. Luego, pues, todo el 
número segundo es diez veces mayor que el pri- 
mero. 

Si ahora corremos la coma un lugar más a la 
derecha en el último número, lo haremos otras 
diez veces mayor que el primero. Del mismo mo- 



— 186 — 

do veríamos que corriendo la coma tres hijeares á la 
derecha, se hace el número mil veces mayor] y que co 
rriendo cuatro lugares, se hace diez mil veces muyor. 
De un modo análogo demostraríamos que co- 
rriendo la coma á la izquierda, el número se ha* 
ce diez veces menor por cada lugar que se corra 
la coma. Así: 

325,467:100=3,25467 
83,104:1000=0,083104 
25,47:100000=0,0002547 
0,025:1000000=0,000000025 

LECCIÓN XVII . 

Adición de los números decimales 

1 *74r. Para sumar números decimales, se ejecu 
ta la operación como si fuesen enteros, escribiendo la 
com/z en la sum/i total á la izquierda de las décimas. 

Por ejemplo, sumemos 

3,045+28,36 -h 0,0425+0,024+469,7 

La operación se ordena lo mismo que la de 
los enteros, teniendo cuidado de que las unidades 
del mismo orden se. correspondan en columna ver- 
tical, lo í-ual se consigue colocando los sumandos 
unos debajo de los otros, de manera qi:e la:^ co- 
mas estén todas en columna. Así: 

3,045 
28,36 
0,0425 
0,024 
469,7 

Suma 501,1715 



— 187 — 
PROBLEMAS 

1*». Un agricultor ha obtenido en la venta de 
sus cosechas las cantidades signientesr trigo 523 pe- 
sos 45 centesimos: maíz 237 pesos 18 milésimos: 
porotos 180 pesos 10 centesimos: frotas, 9 pesos 
5 décimos y en diferentes legumbres 20 pesos 108 
diezmilésimos, ¿Cuánto obtuvo por todo? 

523,45 
237,018 
180,10 
9 5 
20,0108 



Suma 970,0788 

Obtuvo 970 pesos y 788 diezmilésibos de peso. 

2**. Un capitalista tiene dinero colocado en cin- 
co casas banca rias; en la primera tiene $ 25,315, 
en la segunda ^ 83140,68, en la tercera $ 12037,0025, 
en la cuarta $ 8459,6 y en la quinta $ 136400,8008 
¿cuánto importa el capital que tiene colocado en 
esas casas? 

25,315 
83140,68 
12037,0025 
8459,6 
136400,8008 

2400^3,3983~ 

Tiene colocado un capital compuesto de pesos 
240063,3983. 



— 188 — 
EJEliCICIOS 

1*». ¿Cuántos pesos forman tres milésimos^ más 
ochenta y crneo centesimos, más tres mil ocho diez 
milésimos, más diez mil siete millonésimos y más 
cinoo millones cuatro cienmilésimos de peso? 

2^. El contenido de una pipa de vino se dis- 
tribuye en 4 damajuanas y en tres botellas; en la 
primera damajuana se colocaron 8.36 litros de vi- 
no, eo la segunda, 15,005, en la tercera, 12,0004 
y en la cuarta 10.25; en las botellas se coloca- 
ron 0,75 de litro en cada una, ¿cuánto vino con- 
tenía la pipa? 

3"*. En una feria, un mercachifle í^awó tres 
pese»s y ocho milésimos en la venta de unos ar- 
tículos; mil ocho diexmilésinaos en la venta de otros, 
y por último ganó un millón tres nnl cii>co mi- 
lésimos en te venta del resto de las mercaderías 
que habla llevado, ¿cuánto ganó por todo? 

4®. Un viajero caminó Í50 millones 68 diez- 
miiéstmos de metro antes de almorzar; 400 millo- 
nes 57 millonésimos de metro después de , al- 
morzar, y por último caminó 500 millones 6 cien- 
milésimos de metro después de comer ¿cuánto ca- 
mino en todo el día? 



Sustracción de los nAmeros decimales 



1 *75. Para restmr wimeros decimales, se eje^ 
cuta la operación como si fuesen enteros escribien-- 
do la com/z en la diferencia á la izquierda de las 
décimas. 

Por ejemplo sea restar 45,236 de 12S,024. 

La operación se ordena lo mismo if\xe Ja ée los 




- 18Í) — 

enteros, escribiendo el minuendo y debajo el sus- 
traendo, de modo que las unidades de un mismo 
orden queden unas encima de las otras, lo mis-* 
mo que las comas que separan los decimales. 
Así: 

Minuendo 125,024 
Sustraendo 45,236 



Diferencia 79,788 

Ahora réstese 8,25 de 15,0417 

15,0417 
8,2500 

6;7917 

En este caso, al sustraendo le hemos agrega- 
do dos ceros á la derecha de los decimales para 
que tenga tantas cifras de esta clase como el mi- 
nuendo, lo que no altera el valor de aquel nú- 
mero (ITM), 

Réstase 25.0068 de 167.8 

167.8000 
25.0068 



142.7932 



En este caso le hemos agregado al minuendo 
tres ceros para que tenga tantas cifras decimales 
como el sustraendo, con lo cual no hemos alte- 
rado su valor (171). 

Es conveniente, pues, antes de proceder á una 
sustracción, igualar el número de cifras decima- 
les del minuendo v sustraendo. 



~ 190 - 

Cuando se quiere restar un número decimal 
de un número entero, se coloca una coma á la 
derecha del entero y después tantos ceros como 
cifras decimales tenga el sustraendo, con lo que 
tampoco se altera el valor del entero (1*71 cons). 

Por ejemplo, para restar 2.005 del entero 8 
?e procederá asi: 

8.000 
2.005 



Diferencia 5.995 

Observación: Puede aplicarse á la adición y 
sustracción de los números decimales todo cuan- 
to se lia dicho en las lecciones V y VI con res- 
pecto á los números enteros. 

PROBLEMAS 

1.^ Un empleado que gana diariamente $2.87, 
gasta en el almuerzo $ 0.46, en la comida 0.758, 
en el alojamiento 0.406, en cigarros 0.0405; ¿cuán- 
to le queda para todos los otros gastos indispensa- 
bles? 

0.46 
0.758 
0.406 
0.0405 



1.6645 
2.87 



Resultado 1.2055 



Le queda para los otros gastos un peso y dos 
rail cincuenta y cinco diezmilésimos de peso. 



— 191 — 

Obsérvase que en este ejemplo no se han es- 
crito los ceros necesarios para igualar el nú- 
mero de cifras decimales, y es porque en la prác- 
tica generalmente, no se colocan más que men- 
talmente dichos ceros. 

2.« Un capital compuesto de $ 37800,025 fué 
repartido entre tres personas, de modo que la 
l$i primera llevó $ 14000,05 y la segunda $ 
12136,0008: .¿cuánto le tocó á la tercera? 

14000,05 
12136,0008 



26136,0508 
37800,025 . 

11663,9742 

A la tercera persona le tocó once mil seiscien- 
tos sesenta y trgs pesop con nueve mil setecien- 
tos cuarenta y dos diesmilésimos de peso. 

3" Un comerciante debe $ 58415,002, y para 
satisfacer esa deuda cuenta con las existencias de 
su casa, que están avaluadas en 32617,54, y con 
47000,6 que le deben varios de sus clientes, ¿qué 
cantidad de pesos tiene á su favor dicho comer- 
ciante? 

32617,54 
' . 47000.6 



79618,14 
58415,002 

"21203.138 



Le queda un capital compuesto de 21 mil 203 
pesos con 138 milésimos de peso. 



— 192 — 
EJEHCMCIOS 

I.'' ¿Cuál es la diferencia que hay entre una 
unidad entera y tres mil (|uince millonésimas de 
otra? 

2.^ Tres personas hicieron sociedad. La pri- 
mera, concurrió con un capital de $ 3500,025; la 
segunda, con 2836,17, y la tercera, concurrió con 
lo que faltaba para completar 10000 pesos. 
' ¿Cuánto dio la tercera persona? 

3.° La suma de dí)S números es 13,0017; el 
menor es 4.0000086: ¿Cuál es el otn»? 

4.° Las entradaít que por diferentes conceptos 
ha tenido este año un estanciero, han sido de i^ 
17819.146, y los gastos de $ 6315,0095; ¿cuánto ha 
ganado este año el referido estanciero? 



LECCIÓN XVIII 

Multiplicación de los númepos decimales 



176. En la multiplicación de nútneros deci- 
males, distinguiremos dos casos: P. multiplicar 
un número decimal por un entero ó vice-versa; 
2°. multiplicar un número decimal por otro deci- 
mal. 

17*7. P^ Caso.— Multiplicar 7.325 por 26. 

El producto de 8.325 por 26, se obtendrá re-r 
pitiendo el número 8.325 como sumando 26 veces 
(60), cuya suma tendrá tres cifras decimales 
(IT^^), es decir, tantas cuantas tiene el multipli- 



- 193 - 

ca<l()i'; lueiro el proclctcto de 8.325X!í6, se fKiede 
obtener multiplicando los dos números como si 
fuesen enteros y separando del producto tantas ci- 
fras decimales etrantas hay en el factor decimal. 
Asi: 

8.325 
26 



49d50 
16650 

216,450 



En efecto, el producto de 8385 mffésima« por 
26 enten»s será an número exacto de imlésfmAs; 
luejJTo, la última cifra de ía derecha cíe dicho pro- 
ducto, expresará milésimas: por tarrto debo repa- 
rar tres cifras decimaJes (16^). 

Como qne en cualq^uier otro ejemplo se puede 
hacer igual raciocinio, ^e infiere que ^ 

Para multiplicar wn decimal por un entero, se 
multiplican los dos nimmrxis como si fuesen enteros 
y de la derecha del prodUetOy se separan tantas ci- 
fras decimales cuantas tenga el multiplicando. 

La multiplicación de un entero por un decimal, 
se ejecuta del mismo modo: pues 

8,325x»3=26X8,38» <««>. 

Caso particular. Para TmOtépliemr un. d o em m l 
por k» umiáítd segmda de umo ó más eeroe se 00- 
rre la cotna tantos lugmres á la dmychet cmno ev- 
rm mc mmpañem é la unnMt ff 91^ 

f ^yS. Obsertactón. Como qire tos uúmeros 
fhtccíonaríos decimales no son más que un caso 
particular de los quebrados ordinarios (1 f O;, las 



propiedades y reíalas lelaüvas á a<|uellí»s s(»ir fain 
hiéri aplicables á éstos. Asi veremos que 

8325 8325x26 

8.325x26= X26= 

1000 1000 

es decir, que se deben multiplicar los dos núme- 
ros como si fuesen enteros y dividir su producto 
por 1000 (mS). conforme con la reíala que he- 
mos dado. 

17». 2'. Caso. -Multiplicar 36.45 por 8.6. 

Multiplicar 36.45 por 8.6 es tomar las 86 dé- 
cimas de 36.45 (60) un décimo de 39.45 es un 
número diez veces menor que 36.45, es decir, que 
será 3.645. Luejico, los 86 décimos se obtendrán 
multiplicando 3.645 por 86, así: 

3.645 
86 



21870 
29160 

313,470 



De modo, pues, que el producto de 36.45 por 
8.6, es igual 313,470, cuyo resultado lo hemos ob- 
tenido multiplicando los dos números decimales 
como si íuesen enteros y separando del produc- 
to tres cifras decimales, es decir, tantas cuantas 
hay. en los dos factores dados. 

Luego, para mtUtiplicar un número decimal por 
otro también decimal, se multiplican como si fue- 
sen enteros^ y del producto se separan de derecha 
á izquierda, tantas cifras decimales cuantas hayan 



*él 



— 195 — 

en el, multiplicando y en el multiplicador. 

Por ejemplo: multiplicase 8.436 por 25*7. Tena 

mns que 

8436 257 8436x25,7 

8 436X25.7= -X = : / 

1000 10 10000 

cnyo resultado continna la regla general que aca- 
bamos de dar. 



E.JEMPLOS 

/ 






1". 365.024 
85.26 


2». 


261.42 
0.0051 


21ÍÍP144 
730048 
1825120 
2920192 


26142 
130710 


1.333242 


31121.94624 






1400.2 
2001 


4». 


0.23004 
0.0026 


14002 
28004 




138024 
46008 


280.18002 


0,000598104 



Obsérvase que en el 4®. ejemplo el produc- 
to no tiene suficiente número de cifras para que 
se puedan separar las necesarias, por lo que 
ha sido preciso agregar á la izquierda tres ce- 
ros y y uno más para ocupar el lugar de las 



unidades eirtfíTJW, rrrru pn»red¡rmentf> pwede com- 
proharse traiiislonrianúfi los decniíiales en fi-aorio- 
nes ordinarias, así: 

23004 26 83004X26 

X ^í=- 



lOOOOO 10000 1000000000 
598104 



-=0,000598104 (iTra). 



1000000000 

PROBLEMAS 

!♦. Un agricultor ha recogido en su chacra 
245,75 hectolitros de trigo, que vefMHó á $ 3,525 
el heclólitro; 482 kilogramos de fmpas, que ven- 
dió á t 0,136 el kilogramo, , 179,6 kilogramos de 
garbanzos, que vendió á 35 el kil^ramo. ¿Cuán- 
to te produjo la venta de sus coserías? 



245,75 
3,525 

122875 
49150 

128875 

73785 


482 
0,136 

2892 
1446 
482 


179,6 
0,35 

8980 
5888 


68,060 


65,552 

866.26875 
65,552 
68,860 


866,26875 




9»4,6MI75 





— 197 — 

Le produjo 994 pesos y 68075 cienmilésimos 
de peso. 

2*». Un estanciero corapuó una fracción de cara- 
|)o compuesta de 1357 hectáreas y 4567 diezmilé- 
simos de hectárea, á razón de $ 9.425 la hectárea, 
y otra fracción más inferior compuesta de 645 
hectáreas, á* razón de $ 6.1379. ¿Cuánto le costa- 
ron las dos fracciones? 



1357,4567 
9,425 


6.1379 
645 


67872835 
27149134 
5429^268 
122171103 


306895 
245516 
368274 


3958,9455 


12794,0293975 

12794,0293975 
3958,9455 

16752,9748975 



.Las dos fracciones de campo le cuestan 16752 
l>esos y 9748975 diezmillonésimos de pesos. 

3^. Un obrero hace todos los días cierta can 
tidad de escobas y plumeros que le producen 
0,045 de $ 83,67; ¿cuánto le producirá su trabajo 
en 42 días? 



— 198 — 

83.67 
0,045 



• 41835 
33468 

3,76515 
42 

753030 
1506060 

158,13630 

Le produciría 158 pesos y 13630 diezmilésimos 
de peso. 

EJERCICIOS 

P, Una señora quiere averiguar lo que gasta 
por raes, sabiendo que tod(»s los días compra* los 
siguientes artículos: 5 kig. de carne á $ 0.12 el 
klg., 3 litros de leche $ 0.08 el litro, 4 Idg. de 
pan á $ 0.108 el klg., en legumbres y verduras' 
gasta diariamente $ 0.317 y artículos de almacén, 
como vino, aceite, arroz, azúcar, café, etc., [Tesos 
1.6004. ¿Cuánto importan dichos gastos mensual- 
mente. 

2°. ¿Cual es el número igual á 36 veces la 
diezmillonésima parte de 0.00406? 

3*». ¿Cuánto importan los 0.048 de 3164,19 de 
pesos? 

4°. Se compraron 217,143 metros cuadrados de 
terreno á $ 0,0009 el medio metro cuadrado, 
¿cuánto importa el terreno? 

5°. Se ha repartido entre los 426 pobres que 
hay en cierta población, una cantidad de dinero 



— 199 — 

lal, que á cada pobre le tocó $ 2,00387; ¿qué can- 
tidad de |>e«os se repartieron? 

6^. íOuánto importan los 0,0067 de 4.59 de 
8359- j>esos? 



LECCIÓN XIX 



DivlsicVn de los .númepos rdecimalea 



tSO. En lá división de los números decima- 
les se pueden distinguir tres ca^os: P. dividir un 
número decimal por un entero; 2*. dividir un nú- 
mero entero. por un decimal; .3^'. dividir un núme- 
ro decimal por otro decimal, 

181. ^^ Caso.- Dividir 275,0345 por 85. 

275,0345. 85 

200 ~3^2357 

303 
484 
595 
00 

Se ttata: «de : dividir ^vBS© entertis y^^45 itie/ira^.. '*t 
lésíraas"6Ji 85 partes^iguafeaj jío cualvW üoiise^^^y* 
guiremos repartiendo en este numen» de partean n^ 
cada ixua de las unidades de ti^dos los órdenes 
que componen el número, empezando por los en- • 
teros por si sobran algunos poderlos reducir, á uni-.. 
dades; decimal«s,c:asi decimos: 

275 enteros efttre 85 á3; 3X85c;=255 á 275 qué 



— 200 — 

hay en el dividendo sobran 20 unidades enteras 
qne no pueden repartirse exactamente entre*85, pero 
las 20 unidades enteras valen 200 décimas, núniero 
mayor que el divisor, luego podremos dividir las 200 
décimas entre 85, y nos dará 2 décimas de cociente, 
cuya cifra escribiremos aja derecha de la primera, y 
separada de aquella por una coma para expresar qne 
ocupa el lugar de las décimas; ahora, como 2x85= 
170 décimas hasta 200, que tenemos en el segun- 
do dividendo parcial, sobran 30, (jue «equivalen á 
300 centésimas y 3 que hay en el dividendo' total, 
forman 303 centésimas, que divididas entre 85, dan 
3 centésimas de cociente; 3X^5=255, hasta 303 
sobran 48 centésimas, que eíjuivalen á 480 milési- 
mas, más 4 (|ue tenertios en el dividendo . total, 
forman 484 milésimas, que divididas entre 85 daií 
5 de cociente: 5X85=425, á 484 van 59 milési- 
mas que srobran, las que equivalen á 590 diezmi- 
lésimas, y más 5 que hay en el dividendo, fornían 
5^5, que divididas entre 85, líorresponden 'á 7 diez- 
milésimas justas, porque 7x85=595. 

Luego el cociente qne resulta de dividir 275,0345 
por 85, es 3 enteros y 2357 diezmilésimas. 

1 SS. Del prí)cedimiento seguid) en el ejein- 
plo anterior que es aplicable á cuahjuier otro ca- 
so, se deduce que: para dividir un numero deci- 
mal por otro entero, se practica la división como si 
el dividendo fuese entero, colocando la coma en el 
cociente al bajar la primera cifra decimal del di- 
videndo, 

. Obsérvase también que al considerai* el divi- 
dendo como entero, lo hemos hecho 10000 veces 
mayor, luego el cociente resultará también 10000 
veces mayor que el que buscamos, (133 obs. 1^.) 
luego dividiendo el cociente por 10000 obtendré 



— 201 — 

mos el verdadero, y como este raciocinio es aplica- 
ble á todos los casos, también podemos decir que: 
Para dividir un número decimal por otro ente- 
ro, se practica la división como si el dividendo fue- 
se entero, y de la derecha del cociente se separan 
tantas cifras decimales cuantas tenga el dividendo. 



EJEMPLOS 



1". 7378,81 
5068 
7731 
■ ' 000 



1859 



8,59 



\ 



2». 45,648 
216 
0048 
O 



24 



1,902 



17,008 
60 
50 
68 

2 



11 



1,546 



4°. 



9.124 
41 
12 
24 

4 



1,824 



Los dos últimos ejemplos nos han dado un co- 
ciente decimal iaexact(», el primero de 1,546 con 
2 4 

— de milésimo y el otro de 1,824 con — de milé- 
11 5 

simo, es decir, qne los dos cocientes encontrados se 
diferencian del verdadero en menos de un mi- 
lésimo V si quisiéramos abtener un cociente más 

1 

aproximado, es decir, con menos erorror de , 

100000 
no habría más que añadirle á la derecha del di 
videndo d )s ceros lo qaa no alteraría su valor 



- 202 — " 

(171), y se continuaría la división determinán- 
dose dos cifras decimales más para el cociente, 
así: 



17,00800 


11 
1,54618 


6°. 


9.12400 
41 


5 


60 


1,8248 


50 






12 


68 






24 


20 






40 


90 









2 











De este ruodo se ha 'obtenido el cociente de 
17,008 por 11 con menos error de una cienmilé- 
sima, y aun podríamos aproximarnos más agre- 
gándole nuevos ceros á la derecha del dividendo, 
con lo que en algunos casos, como en la división 
6*., podremos obtener un cociente decimal exacto, 
ó cuando no, tan aproximado cuanto se quiera. 

Por ejemplo; hállase el cociente de 45,24 por 
17 con menos de una cienmillonésima de diferen- 
cia. 

45,24000000 17 

112 2,66117647 

104 
20 
30 
130 
110 
80 
120 
1 



A fin de que el cociente se diferencie del ver- 
dadero en menos lie una cienmillonésima, es nece- 



- 203 — 

sario seguir la división hasta que tenga ocho ci- 
fras decimales el cociente, para lo cual también 
debe tenerlas el dividendo, por cuya razón le he- 
mos agregado seis ceros á su derecha con lo que 
no se ha alterado su valor (1*71). 

En la práctica sólo se agregan mentalmente los 
t-ero^ á la derecha del dividendo. 
Por ejemplo: 

146,0045 1 23 



80 ' 6,3480217391304 

110 
184 
050 
40 
170 
90 
210 
30 
70 
100 
8 

183. 2°. Caso. Dividir 246 por 0,024, 
Multiplicando el dividendo y el divisor por 1000 
el cociente n<> varia (106); y como el .divisor 
resalta entero, queda la operación reducida á di- 
vidir dos números enteros, es decir que tendre- 
mos 

246:0,024=246X 1000:0,024x1000^^ 
246000:24=10250 ^ 

24 

También tenemos que 0,024= (1G8), asi 

1000 
pues; (161. 



24 1000 í^lbOOO 

2Ai): =á4()X X =24()0()0:24^ 

1000 ¿4 24 

Lue'go, pues, para dividir unnúmero entero por 
un decimal, se multiplica el dividendo y divisor 
por la unidad seguida de tantos ceros como cifras 
decimales tiene el dirií^or y quedará este caso re- 
ducido á dividir dos números enteros. 

1H4. ObservacI'in. Como iodo niiuiero puede 
considerarse como decimal {\H \ cons.) colocán- 
dfde una coma á la derecha y después ^cuantos ce- 
ros se f^iiera resulta (¡iie para aproximar por de- 
cimales un cociente inexacto de dos números en- 
teros, hasiará colocar una coma después del co- 
cienle entero y un cero á la derecha del últi- 
irií) residuo, continuándose la división, anadiemh» 
siempre ceros á la derecha de los residuos <jue 
vayan resultando. 

Sea dividir 9824 p r 28; 



1«24 


2:j 


124 


405,391 ;]04 


90 


210 


30 


70 


100 


8 





Al encontrar el cociente entero 405 hemos co- 
locado la coma y un cero á la derecha del re- 
sidió 9, formándose el número 90 décimas, que 
divididas por el divisor 23, da 3 décimas de co 
ciento y sobran 21; á este resto se le agrega otro 



— 205 — 

cero y teiKJi;e»ní)s 210 centesimos, que divididos 
entre 23. dan 9 ceiuésiinos de cociente y 3 de resi- 
duo; á este resto se le agrega otro cero, etc., 
prv)SÍguiendo así hasta obterner la aproximación 
qne se quiera, 

185. 3«^ Caso.— Dividir 42,0915 por 2,415- 

Si multiplicam >s dividendo y divisor por 1000, 

^1 (nociente no se altera (106), y la operación 

se convierte en dividir 42091,5 por 2415. es decir, 

^en la división de un decimal por un entero que 

es el pihiier caso que liemos es udiado 

Luego, pues, para dividir un número decimal 
por otro también decimal, se multiplica dividendo y 
divisor por la unidad seguida de tantos ceros como 
cifras decimales tenga el divisor; y quedará este ca^ 
so reducido al primero, ó á dividir un número en^ 
tero por otro. 

EJEMPLOS 

Dividir 42,0915 por 2,415 



42091,5 


2415 


17941 


17,429192... 


10365 




7050 




22200 




4050 




22350 




0150 




1320 





Hemos hallado el c;)ciente de los números pro- 
puestos (!on menos error de una millonésima. 



— 206 r-- 

2». Divídase i45.36. por 0,246 > 
45360 1246 



2076" 1184,3902 
1080 
960 '^ 
2220 
00600»''* 
108 ■• 

Dividir 25,8 'por 0,0049 

49 



5265¿30612^ 



258000"" 

130 
320 
260 
150 
300 
60 ' 
110 
120 . 
22 

Hemos hallado el cociente con menos de una 
millonésima de error. *' 

186. Obnbryación.— La reglff qve hemos de- 
ducido en el número anterior para >el 3^'. caso de 
la división de números decimales, puede también 
obtenerse transformando los quebrados decimales 
en ordinarios, por ejemplo, dividiendo 25,042 por 
0,47. tenemos que 

25042 47 25042 100 2504200 

25,042:0,47«=:t-^: — =-^— X = — = 

1000 100 . 1000 47 47000 



^ — 207 — 

2504200:1000 2504,2 
47000:1000 47 



=2504,2:47 



Ciiyu i'tísaltado comparado coa lúa datos, a»» 
dice también qwe, para, dividir di>s números^ deei^ 
males, se multiplican ambos por la unidad, segmda 
de tantns ceros como (¡ifras deeioniadea Uene el dieir- 
sor, con lo cual la operación se rediice después m 
dividir un decim^il por un entero, á ó dividir dos 
enteroü. 

PROBLEMAS 

1". Un coriuerciaiite eoinpró en 835,042 pesos, 
1506,35 iiectúlUrus da carbón; ¿cnanto pagó por 
liectólitKt? 

83504,2 I 150635 



818670 / 0,5543- 
654950 
'524100 
72195 

Kesuliado que pagó por hectóÜtro- ■^ 0,5543. 

2". Una .señora gastó % 35,80 en hü género 
de seda qut» le costó $ 1,325 el metro; jeuántos 
metros compró? 

35800 I 1325 

9300 27.018867 

2500 ! 
11750 
11500 
9000 
10500 
1.225 

Compró 27,018867 metros. 



— 208 - 
EJERCICIOS 

1''. Se conipraron derta cantidad de canastos 
de Champagne á $ 36,75, ios que se pretenden 
vender ganando en cada uno$ 3,25; ¿cuántos se ten- 
drán que vender para jiranar $ 470,125? 

2^. ¿Cuántos hectolitros de trigo pndrán com- 
prarse con $ 3456,028, costando el iiectólitn» de 
trigo $ 3,86? 



LECCIÓN XX 

Reducción de quebrados ordinarios á 
decimales y vice-versa 



ISTT. Reducir un quebrado ordinario á de- 
cimal, es transformar el quebrado ordinario en 
una tracción decimal equivalente, ó (|iie se dife- 
rencia de ella en menos de una cantidad dada 
por pequeña que sea. 

Todo quebrado ordinario hemos visto (113) 
que es una división indicada; y para liíillai' el co- 
ciente con toda la aproximación que se quiera se 
ha visto (18í4), que se continúa la div¡si(>ii a{a:re- 
gando un cero á la. derecha de cada residuo. 
Luego: 

Para reducir un quebrado ordinario á decimal, 
se divide el numerador por el denominador y el co- 
ciente se aproxima por decimales, como se ha dicho 
en el número 184. 



— 20^ — 

7 
I*'. Hállese la fracción decimal equivalente á — 

8 

70 I 8 



60 0785 
40 
O 

Según la regla que acabamos de dar, el qiie- 
7 ^ ^ 

bradí) — es equivalente á la fracción decimal 0,875. 
8 

7 
En efectf»: — , como se sabe, representa el cocien- 

8 
te de dividir 7 por 8 (113); pero 7 unidades en- 
teras no alcanzan para repartir entre 8^ así pues 
pondremos O en el cociente; ahora, como 7 enteros 
equivalen á 70 décimos (16o) repartiremos los 70 
décimos entre 8, con lo que obtendremos 8 deci- 
dnos de cociente y 6 de residuo, que equivalen á 
60 centesimos; los que repartidos entre 8 da 7 de 
cociente y 4 de residuo, que equivalen á 40 mi- 
lésinos; los '^ue repartidos entre 8 tocan á 5. liUe- 

7 
4»(», pues, el quebrado ordiuario — vemos que es 

8 
equivalente á la fracción decimal exacta 0,875. 

4 
2^. Conviértase el quebrado - en fracción de- 

7 
cimal. 



-r 210 



40 


7 


•50 


0,57142857.... 


10 




30 




20 




60 




40 




50 




1 


• 



Así pues, —=0,57142857 cuyo cociente obser- 
7 
vamos que no es exacto ni podrá serlo nunca por 
mucho que se prolongue la división, porque ve- 
mos que se repiten los restos y repitiéndose éstos 
se repiten los dividendos parciales que ellos for- 
man; y, por consiguiente, tienen forzosamente que 
repetirse las cifras del cociente, formando así pe- 
ríodos compuestos de^ las cifras 571428 que se re- 
piten indenmdameinte'. 

4 
Luego el quebrado ordinario — no puede ex- 

7 
presarse exactamente por una fracción decimal, 
pero podemos representar su valor con toda la 
aproximación que se quiera. 

7 
3°. Redúzcase el quebrado - en fracción de- 

12 
cimal. 



70 

100 
40 
40 



12 



0,5833 



•.*¿. 



I 



— 211 — 

*7 

El quebrado — observamos que tampoco puede 
12 
expresarse exactamente por una fracción decimal» 
pues el residuo 4 se r^ite indefinidamente y así 
también la cifra 3 del cociente. '' 

1 88. De los ejemplos precedentes, se deduce 
que, las fracciones decimales pueden ser echadas 
y periódicas, asi pues llamaremos: 

Fracción exacta á la que contiene un numero 
limitado de cifi^as, como por ejemplo 0,875: 0,75 
0,25 etc., y 

FkACCióN PERIÓDICA á la que tiene un número 
ilimitado de cifras, como por ejemplo, 0,571428- 
571428 y 0,58333 

l^di^ fracciones periódicas se subdivideii en puras 
y mixtas. 

Llámase fracción periódica pura á la que el 
periodo principia desde la coma, como por ejem- 
plo 0,3636.. .. 

Llámase fracción periódica mixta, á la que el 
periodo no principia desde la coma, por ejem- 
plo 0,27333... . 

Reducción de fracciones decimales 
á quebrados ordinarios 

1 H9. Et quebrado ordinario equivalente á una 
fracción decimal, se llama quebrado generador ó 
fracción generatriz. 

3 7 4 7 

Así los quebrados — , — , — , — , son respecti- 

4 8 7 12 

vamente los quebrados generadores de los decima- 
les 0,75, 0,875, 0,5714285,7... y 0,58333... 



— 212 — 

En la determinación de los quebrados ordina- 
rios eqnivalentes á fracci<»nes decimales dadas, 
se distinguen los tres siguientes casos: 

P« Que la firacción decimal propuesta^ aea exacia, 

2^. Que la fracción decimal dada, sea periódica 
pura. 

^. Que la fracción decimal prapueMa, sea pe- 
riódica mixta. 

190. l•^ Caso— Para reducir un número de 
cimal exacto á quebrado ordinario, basta poner 
por numerador el número dado con supresión de 
la coma, y por denominador la unidad seguida de 
tantos ceros coin<» «cifras decimales tiene (16S). 

246 123 

Así, 0,246= = — : 

1000 500 

8 4 2 75 15 3 

100 50 25' ' 10tf^20~4' 

64* 32 16 8 

1000~500~250~125 

0B8BR¥ACiONfi8**-Si voa fraccíófi drctmal es exacta, el de- 
nominador del quebrado generador solo será divisible por 2 
y por j ó por uno de éstos solamente, porque el denqmi- 
naoor ae dieh|i fracción generatriz es, segün acabamos de ver, 
la unidad acguida de ceros; por consiguiente, solo puede ser di 
visible por 2 6 por 5, más, al simplificar el quebrado puede, 
desaparecer alguno de los dos factores y el denominador del 
quebrado irreducible ser solamente divisible por uno de ellos. 

i 91. 29. Caso - Veamos la fracción 0,354 
354354. ... 

Llamando F á la fracción f^eneratriz ó <|uebra- 



i^aÉí. 



- 2i:^ - 

do generad(»r que nos pi-tiponernos hallar, tendre- 
mos que: 

F= 0,354354354... . 

Si una fi'accióu í¿:eneratnz es i^rual á 0,354 354 
354 : 1000 Tracciones irenera trices se expre- 
sarán así: 

1000 F=354,354354354 (173) ahora res- 
tando ordenadamente de esta iicualdad la anterior, 
lendremos que (*) 

999 F=354 

luego si 999 veces la tracción generatriz que bus- 
camos es igual á 354, una sola será 

354 • 

999 

E-^te resultado nos dice que 

Para reducir una fracción decimal periódica pu- 
ra, á quebrado ordinario, se pone por numerador 
el periodo // por de>iominador tantos nueves como 
cifras tiene el periodo. 

K .1 E M P [. Ü S 

603 67 



1'. 0.603603.. ..= 



999 111 

o Observase al restar, qu.* la parte decimal del minuendo es exacta- 
mente igual á la del sustraendo. pues ambas se componen del periodo 354 
repetido un número indefinido do vecf^s; por consiguiente, al restarse una 
de otra, la parte decimal se reduce a 0. 



— 214 — 



2". O, 



tí 2 
9 3 



3». 0,81428571. .=- 



814285 5 
999999 7 



4°. 0,2424. 



24 8 
99 33 



Observación El denominador de un quebrado ordinario 
equivalente á una fracción decimal periódica pura, nunca podrá 
ser divi^le por » ai por <; porque según acabamos de ver el de 
nominador está formado de puros nueves, Juego no puede ser di- 
visible por 3 ni por ; ni aun después de simplifícado, puesto que 
con la simplificación no pueden aparecer nuevos factores, sino por 
el contrario pueden desaparecer algunos. 

192, S*"" Caso. Propongámonos hallar el que 
brado generador de la Iracción deciaial periódi- 
ca mixta 0,453793783. ... 

Tenemos qtre 



F=0,45379379379. 



Multiplicando los dos miembros de esta igual- 
dad por 100000 hallaremos el valor de 

100000 F=453V9,379379 

ahora multiplicando por 100 los dos miembros de 
la primera igualdad, tendremos: 

100 F=45,379379 



A 



— 215 — 

\ 
y i^efttendo ímleiiadaitieiite Ja tercera ií^iwiklad de 
la segunda resultará que 

99900 F=45379~45 

Ine^fí pues 

45379 45 
F== 



99900 

Cuyo resultado nos dice que 

'Para ' comfieriir ^utm fmcoián deoimal periódica 
miüíta, en ^tpjceh^dv milinffrio, ^sepofue 'por nw^e 
rador lapatte no periódica seguida ^dél ^primer pe 
,ifti&dQ, mem>sla fparie no ,p^iódica, ^y ^por .deM^mi 
nador tantos nue^is^s acornó ^eífras di9»e ?eZ fíenioíio ^se- 
guidús de Hatítos^eeros'xyymo' cifras Héne ba parte no 
periódica. 



E. TEMPLOS 




0,234646 = 


2346—28 


9900 


F>24'^í>4'-1 — 


5243—5 




9990 


0,4813571357..= 


481357—48 



999900 

Observación --^EI denominador de un qtrclirardo -ordinario 
equivalente á una fracción decimal periódica mi xta< contiene á lo^ 



\ 



M(> 



factores 2 y < ó á uno de ellos solamente y además algún otro 
factor diferente 

En efecto, el numerador de dicho quebrado no puedo termi- 
nar en cero, pues -para que el numerador 2346 — 23 del primer 
ejemplo terminase en cero, era preciso que las cifras 6 y 3 fuesen 
iguales y en tal caso la fracción decimal 0234646... .:. tendría 
en su parte no periódica una sola cifra decimal, mientras que nos- 
otros hemos supuesto que tiene dos. Luego» es evidente que el 
numerador del qut-brado ordinario equivalente á una fracción de- 
cimal periódica mixta, no podrá ser nunca divisible por 2 y por $ 
á la vez, solo si, por cualquiera de ellos; así pues, simplificando 
este quebrado todo lo posible, el denominador que resulte conten- 
drá por lo menos á uno de los factores 2 y 5, además de algún 
otro, pues si no tuviese más que estos dos la fracción sería exacta 
que es contra la hipótesis. 

193. De las OBSERVACIONES q"ue hemos hecho al fin de cada 
caso de reducción de fracciones decimales á quebifcdos ordinarios, 
se deduce fácilmente * 

i'*. Que si los /adores simples del denaminador de un que- 
brado ordinario irreducible, son 2 y $ ó uno de éstos solamente^ 
la fracción decimal equivalente será exacta» 

2". Sí entre los factores simples del denominador de un 
quebrado ordinario irreducible no se halla el 2 ni el 5, la 
fracción decimal equivalente, será periódica pura. 

3**. Si los factores simples del denominador de un que- 
brado irreducible son 2 y 5, ó uno de estos y algiin otro 
factor diferente, la fracción decimal equivalente será perió- 
dica mixta. 

EJEMPLOS 

3 7 13 

— , — , — producen fracciones decimales exactas 

4 16 20 



3 4 5 

— , — , — , id. id. periódicas puras 

7 9 13 



5 7 193 
12' 15' 425 



id. id. periódicas mixtas. 



— 217 — 

Observaciones final. Si en alguno de los dos 
últimos casos que hemos considerado en la reduc- 
ción de fracciones decimales á quebrados ordina- 
rios equivalentes, el número decimal dado, fuese 
mixto, para hallar la fracción generatriz equiva- 
lente supondremos los enteros unidos á la parte 
no periódica, ó formando ésta si la tracción pro- 
puesta es periódica pura; pero después de los nue- 
ves del denominador no se escribirán más ceros 
que los que correspondían por la parte no perió- 
dica que tenía la fracción decimal antes de unir- 
le los enteros, ó ninguno si es periódica pura la 
fracción decimal que acompaña á la parte entera 
del número. Así: 

824—8 

8,2424 ...= 

99 
en efecto 

824—8 824—8 

8,2424 . . .=10x0,82424 . . .= Xl0= 

990 99 

bel mismo modo veremos que 

12364-1236 

12,3644,... = ^ 

900 

porque 

12364—1236 
12,3644.. ..r^lOOXO, 123644.. =- 



90000 



12364-1236 

X100= 

900 



— 218 — 

LECCIUN XXI 

XTúxnerott oonoretos 

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL DE PESAS Y MEDIDAS 

NOCIONES PRELIMINARES 



104r. Para determinar el valor tie una can- 
tidad cualquiera, se la compara con otra con<»ci- 
da de la misma naturaleza, á la cual se le llama 
UNIDAD (3). 

Una cantidad queda determinada numéricamen- 
te midiéndííla con su unidad concreta respectiva, 
para lo cual, como hay distintas especies de can- 
tidadf^s, son también distintas las especies de uni- 
dades concretas para medirlas. 

Medir una cantidad es averigtuir la relación que 
eanste con la unidad de la misma especie. 

Como, por ejemplo: para medir la longitud de 
una tabla se aplica á lo largo sucesivamente el 
metro, y si resulta que puede aplicarse cuatro ve- 
ces, dimmos que la longitud de la tabla es de 
cuatro metros. 

Cualquiera cantidad d^eterminada puede servir 
de unidad para medir otras de la misma especie, 
y de ahí nacieron los diferentes sistemas de pesas 
y medidas usados en cada país. 

Esta diversidad de sistemas de pesas y medi- 
das que cada nación tenía, causaban inmensos 



— 219 - 

perjuicios á la agricultura, á la industria y al co- 
mercio en general, por cuya razón, y para 'evi- 
tarlos, la Asamblea Nacional francesa, el 8 de Ma- 
yo de 1790, decretó la uniformidad de pesas y 
medidas para todo el Reine, encargando á la Aca- 
demia de Ciencias la formación del nuevo sistema. 
Aquélla corporación con el objeto de darle toda la 
universalidad posible, adoptó para expresar sus dj* 
versas unidades nombres griegos y latinr^s, y tomó 
eomo unidad fundamental ó base el Mbtro, que 
representa la diezmillonésima parte de la distan- 
cia del ecuador al polo Norte, contada sobre el 
meridiano terrestre que pasa por París. 

Esos cálculos fueron practicados por una co- 
misión de matemátiíjos de varias naciones euro- 
peas, los que se basaron en la mensura directa que 
hicieron del arco de meridiano comprendido entre 
Barcelona y Dunkerque. 

De esta longitud, y teniendo ea cuenta el aplas- 
tamiento de la Tierra en los polos, dedujeron que 
el cuadrante del expresado meridiano se compone 
de 5130740 ^oe9a^ (tnedida francesa antigua) tomán- 
dose para formar el metro una diezmillonésima 
|)arte de dicha distancia, ó sea 

0*513074 de toesa=l metro. 



\Por ley de lo de Diciembre de 1799 fué aprobado en 
Francia el sistema métrico decimal de pesas y medidas, con* 
feccionado por ta Academia de Ciencias de Paris, en uni6n 
de varios matemáticos de diferentes nacionalidades. 

Sin embargo, y á pesar del citado decreto de la Asamblea 
francesa del 8 de Mayo de 1790, el uso del nuevo sistema 
de pesas y medidas no se hizo exclusivamente obligatorio en 
Francia hasta el i*. de Enero de 1840. 

Pocos años después, fueron reconocidas las inmensas ven 
tajas de este sistema sobre todos los antiguos, y su uso fué 



— 2á0 — 

decretado en casi todos los países civilizados de Europa y 
América. 

.En esta República se adoptó el sistema métrico decimal 
de pesas y medidas por ley de 20 de Mayo de 1862. pero úni- 
camente se hizo obligatorio desde el primero de Julio de 1867 
según decreto del 3 Noviembre de 1866.' 

19S« Las unidades, coiirre as necesarias para 
nieíjir ti»da clase de cantidades, se reducen a las 
ocho especies siguientes: unidades de longitud^ de 
capacidad para liquidas y áridos, de peso, de su- 
perficie, de volumen, de dineró^.áe tiempo y angulares. 

Las unidades de tiempo no se han |Midid(» ajus- 
tar iil sistema métrico, porque ellas e.stán deter- 
nninadas por Ja naturaleza, y son las mismas en 
todos los países civilizados del mundo. 

Las unidades de dinero tpman el nombre de 
mon<idas, y cana país les da su valor le^al, h» que 
constituye su sistema monetario, . 

Unidades principales del sistema 
métrico decimal 

196. Llámase sistema métrico decimal de jpe- 
sas y medidas, al conjunto de unidades ó medidas 
legales que tienen por base el metro y que están 
subordinadas las unas á las otras según la ley de^ 
la num^eración decimal. 

Las principales unidades de este sistema son 
las siguientes: 

El METRO, que es la unidad fundamental de to- 
do el sistema y la principal de las medidas de 
longitud. 

El iJTRo, que es la unidad principal de las" me- 
didas de capacidad para líquidos y áridos, el cual 
es equivalente al volumen de un cubo que tenga 
por arista la décima parte de un metro. 



— 221 — 

El ORAMO, que es la lenidad principal para los 
pesos, el cual es equivalente á lo que pesa en el 
vacío, y á la temperatura de cuatro grados cen- 
tígracjos, un volumen de agua destilada igual a 
un cubo cuyo lado sea la centésima parte de un 
metro. 

Las unidades principales para las superficies, 
son el METRO CUADRADO y el Área. La primera se 
usa para medir, superficies de pequeña extensión, 
y la segunda para las agrarias: el área es un 
cuadrado que tiene 10 metros por cada lado. 

Las unidades principales para los volúmenes 
son el METRO CUBICO, que es un cubo que tiene 
por cada lado^ un metro, y el esterio que es tam- 
bién un metrí» cubico destinado, para medir leña. 

La unidad principal de moneda es el peso. 

L(;S múltiplos de estas diferentes unidades, á 
excepción de la moneda, se forman anteponiendo 
á cada una lavS siguientes palabras griegas: 

DECA, HECTO, KILO y MIRIA 
diez, ciento y mil diez mil. 

Para formar los submúltiplos se anteponen á 
las n)ismas unidades las siguientes voces latinas: 

DECI, CENTI, MILI 

décimjo, centesimo, milésimo 



Medidas de long^itud 

IQTT. El metro, como se ha dicho antes, es 
la unidad principal de las iuedidas de longitud, cu- 
yos múltiplos y subn ültiplos son los siguientes: 



- 222 — 



'Muftíplos 




a^ 



100 »» 

10 r^ 

0,1. » 
0,01 )> 

o;ooi > 

rep»*esenta nii 
centimeiros v 



Miriámetm (Min) () 1^000 metros 
Kilómetro .(Km) 1000 » ' 
HectómetrotHm) 
Decámetro (I)m) 

Unidad tisual metro (m) 

¡Decímetro (dm) 
Centímetro (rm) 
"Milímetro :(ntim) 
La fiííura núínen» 1 
decímetro dividido en 
riii I ¡metros. 

Las medidas lon^^ítudinales sirven 
para medir distancias poro no todas 
éstas medidlas son e/eclivas ó reales, so- 
lo se constrnyen y emplean las anto 
rizadas por la ley, las cuajes son: 
Él medio hectómetro 5 decámetros. 
'El doble decámetro 2 decámetros. 
í El decámetro (cadena de agritnensor). 
q El medio decámetro (poci) nsadd) 5 
I [metros 

I 'El doble metro 2 metros. 
J El m,eiro. 

\ El m^dio metro (poco ns^do) &decí- 

[ metros. 
El doble decímetro 2 decímetros. 
*EI deci&tétro, 

'L'as trés'p'Htileras'^n»Msadas general- 
mente por los Aí^rimensores, Arquitectos 
éífengenierostparaf nvedir l(»ngitndes S(»- 
bre él terreno, y las dos últimas, subdi- 
vididas en milímetros y medios milíme- 
tros. se usan para medir lín i8fa«»sdbre el 
-ípapel donde se construyen hisí planos. 

(•) A cotrtinüación deseada unidad níétrica indicamos ia ' ai^eríatm-a por 
aedio de la cual generalmente se la designa 



— 223 - 

El metro se usa para medir la longitud de las 
telas, etc. 



Moda de escpibip y leer cantida- 
des métricas 

. i 98. Según la tabla de las medidas de lon- 
gitud que acabamos de exponer, observamos que 
cualquiera de las unidades expresadas equivalen 
á 10 unidades de la clase inmediata inferior, ó 
lo que es lo mismo, 10 unidades de una clase cual- 
quiera representan ó forman una de la clase in- 
mediata superior, lo mismo que sucede con los 
diferentes órdenes de unidades de los números de- 
cimales. Así pues, tomando por unidad el metro, 
podremos escribir cualquiera cantidad métrica del 
mismo modo que se escriben los números decima- 
les, colocando la coma á la derecha de la cifra 
que expresa los metros, teniendo presente que la 
cifra á la derecha de la coma representará siem- 
pre décimos de metro ó sean decímetros, la se 
gunda centésiinos de metro ó sean centímetros, la 
tercera milésimos etc., así como la segunda cifra 
á la izquierda de la coma expresará siempre de- 
cenas (5 sean decámetros, tomándose como se ha 
dicho por uiíidad principal el metro: la tercera ex- 
presará centenas ó sean hectómetros; la cuarta 
millares ó sean kilómetros, y así sucesivamente. 

Del raciocinio que acabamos de hacer se dedu- 
ce la siguiente: 

Regla— Para escribir una cantidad métrica cual- 
qiiieía, se escriben de izquierda á derecha las ci- 
fras que expresan las unidades concretas de cada 
clase, unas al lado de las otras, principiando por 



— 22A — 

la de clase superior hasta escribir la de las unida 
des simples, cuidando de ocupar con cercos los luga- 
7'es intermedios donde falten unidades de alguna 
clase. A la derecha de la cifra que exprese las uni- 
dades simples se coloca una coma y enseguida se 
escriben los decímetros, después los centímetros, etc. 
Por ejemplo: 8 heclóraetros, 2 decámetros, 5 
metros, 7 decímetros y 9 centímetros se escribirá 
de este modo 

825,79 metros 

Para expresar 8 miriámetros, 3 hectómetros, 6 
metros y 4 milímetros, se escribirá 

80306,004 metros 

Cuya cantidad la hemos escriio empezando por 
la cifra 8 que representa la clase superior de uni- 
dades: á la derecha de la cifra 8 se coloca un 
cero porque la cantidad propuesta carece de ki- 
lómetros: á la derecha de este cero se coloca la 
cifra 3 que representa los hectómetros y como no 
tenemos decámetros colocamos un cero á la de- 
recha del 3 y en seguida la cifra 6 que expresa 
los metros ó sean las unidades simples: después 
se escribe la coma y enseguida dos ceros ocu- 
pando el lugar de los decímetros y centímetros de 
que carece el número propuesto y por último la 
cifra 4 que expresa los milímetros, quedando así 
escrito el número dado, de acuerdo con la regla 
precedente. 

Otros ejemplos 

P.— 1 kilómetro, 4 decámetros y 9 centímetros, 
se escribirá 



— 225 — 

1040,09 metros 

2^. --36 miriámetros, 8 metros y 2 milímetros se 
escribe asi: 

360008,002 metros 

3^.-845 kilómetros y 14 metros se escribirá asi: 

845X014 metros 

4^.-35 milímetros se escriben así: 

0,035 

Puede suprimirse la palabra metro escrita al 
íina! del número, colocando una m á la parte su- 
perior y á la derecha de la cifra que representa 
las unidades simples ó sean los metros: así las 
cantidades expresadas en los ejemplos anteriores 
so pueden escribir de este modo: 

P— 1040,"»09; 2".— 360008,"^002 

3«.— 845014"»; 4^'— 0,»^035 

l99. Las (*anti(lades métricas se pueden leer 
(le tres modos diferentes: 

P. Expresando el valor absoluto de cada ci- 
fra y la denominación de la clase de unidad que 
representa. 

2^. Como si fuesen dos cantidades, leyendo 
primero la que está á la izquierda de la coma 
dándole la denominación de metros y enseguida 
la que está á la derecha dánd(>le la denomina- 
ción correspondiente á la última cifra. 



Jíi: 



— 226 — 

3^. Como si fuese una sola cantidad expresan- 
do al íín la denominación de la clase de unidad 
que representa la última cifra. 

Por ejempl(»; la cantidad 427, "*35 se puede leer 
de los tres modos siguientes: 

P. Cuatro hectómetriís, dos decámetros, siete 
metros, tres decímetros y cinco centímetros. 

2°. Cuatrocientos veinte y siete metros, treinta 
y cinco centímetros. 

3*^. Cuarenta y dos mil setecientos treinta, y 
cinco centímetros. 

La |>rimera lectura es evidente, por lo tanto 
no necesita <lemostrarse. 

La segunda y tercera se justifica por medio 
del siiruiente raciocinio: 

Un hectómetro equivale á 10 decámetros, luego 
4 hectómetros representan 40 decáíuetros y mas 2 
que hay en el número propuesto formai 42. Un 
decámetro equivale á 10 metros, 42 decámetros 
representan 420 metros y más 7 que liny en el nú- 
mero dado forman 427 metros. 

Luego vemos <iue lo mismo OvS decir 4 tiectó - 
metros, 2 decámetros y 7 metros, (jue 427 metros. 

Del mismo modo probaríamos que 3 decímetros 
y 5 centímetros equivalen á 35 ceníímetros, con lo 
cual queda justificada la segunda lectura. 

En cuanto á la tercera basta observar que un 
metro equivale á 10 decímetros; luego 427 metros 
representan 4270 decímetros y más 3 que hay en 
el número propuesto forman 4273. Un decímetro 
equivale á 10 centímetros; luego 4273 decímetros 
forman 42730 centímetros más 5 que hay en el 
número dado forman 42735 centímeiros, lo que 
justifica la tercera manera de leer las canUdades. 

SOO. Cambio de unidad. 



— 227 — 

1«. Tenemos 12742"*93 y queremos expresar esT 
ta cantidad en kilómetros. 

Sabemos que 1000 metros equivalen á un ki- 
lómetro; luego, dividiendo el número dado por 
1000, el cociente representará kilómetros, y como 
para dividir un número decimal por la unidad 
seguida de ceros, se corre la coma tantos lugares 
a la izquierda como ceros acompañan á la unidad, 
tendremos en este caso que correr la coma tres 
lugares á la izquierda y el número que resulte 
será el pedido. Así pues 

1 2742,'"93=l 2, k'"74293 

Conviértase en milímetros 347,'"6. 

Un metro tiene 1000 milímetros; luego, multi- 
plicando por 1000 el número dado, el producto 
representará miliinetros, y como para multiplicar 
un número decimal por la unidad seguida de ce- 
ros, se corre la coma tantos lugares á la dere- 
cha como ceros acompañan á la unidad, corrien- 
do en este case» la coma tres lugares á la dere- 
cha, el número que resulte expresará milímetros. 
Luego tendremos: 

347,'«6 ^ 347600 m ni. 

3'. Conviértase en kilómetros la cantidad 8,'"25. 

Según hemos visto eíi el primer ejemplo, para 
convertir en kilómetros una cantidad exprOvsada en # 
ineti'os. basta dividirla por 1000; luego 

8,»"25=0,k»'00825 

4°. Redúzcase á milímetros la cantidad 34801 
hect(>metros. 



.as¿^-. 



— 228 — 

Un hectómetro equivale á 100 metros; un me- 
tro tiene 1000 milimetros; luego, el número dado 
se tendrá que multiplicar por 100000 para redu- 
cirlo á milínietms, y resultará: 

:34801 li"'=3480100000 mm . 

Del procedimiento seguido en la resolución de 
los problemas anteriores, que es aplicable á cual- 
quier otro caso que se presente, se deduce la si- 
guiente 

Regla. — Para referir cantidades métricas de 
una clase de unidades á otra si la nueva es 10, 
100, 1000, etc., veces mayor que la primititm, se 
corre la coina uno, dos, tres, etc. y lugares hacia la 
izquierda, agregándole, en caso necesario, los ceros 
que fuesen precisos] y al contrario, si la nueva uni^ 
dad es 10, 100, 1000, etc., veces menor que la pri- 
mitiva, se cerré la coma uno, dos, tres, etc. higa- 
res hacia la derecha, agregándole, ia^nbién en caso 
necesario, los ceros que fuesen precisos, y en cual- 
quiera de los dos casos indicados, se le dá á la can ■ 
iidad que resulte el nombre de la nueva unidad. 

Problemas sobre el metro 

Las operaciones con los niimoros que expresan 
cantidades métricas, so eleciúan lo mis i;o que 
con los números decimales abstractos y. la deno- 
minaci(5n de las unidades concretas del resultad<^ 
se deduce facihnente de las condiciones del pro- 
blema 

Problema 1'. Un comerciante ha comprado 5 
piezas de género cuyas longitudes son las siguien- 
tes: 



- 229 — 

36,™25; 84,«»042; 9,°^58; 74,»>13; 45°»; y se quiere 
saber cuanto ha comprado por todo. 

Se efectúa la adición de los números decima- 
les que representan la longitud de cada pieza y 
la suma expresará la cantidad de género com- 
prado. 

36,25 
84,042 
9,58 
74,13 
45,- 

249,002 

Resulta que ha comprado 249 metros y 2 mi- 
limetros de género, ó sean 2 hectómetros 4 de- 
cámetros, 9 metros y 2 milímetros ó 249 mil 2 
milímetros. 

2". De Meló á la Villa de Artigas hay apro- 
ximadamente unos 98654 metros, y al puente del 
arroyo Chuy solo hay 14560. ¿Qué distancia re 
sulta haber entre Artigas y el citado puente del 
Chuy? 

La diferencia entre los dos números que re- 
presentan las distancias indicadas, expresará la 
pedida, así: 

98654 
14560 



84094 



Resulta que de Artigas al puente del arroyo 
Chuy hay 8 Mm, 4 Km, 9 Dm y 4 m, ó sean 
84094 metros, ó bien 84 Km y 94 m. 



— 230 — 

3*". Costando 67 reales el inelro de cierto pa- 
ño, ¿cuánto costará» 49,™25? 

Si uii metro cuesta 67 reales, 49,"*25 costarán 
49,25 veces más, luego multiplicando 67 por 46,25 
el producto representará el costo de la cantidad 
de paño indicada. Asi: 

46,25 
67 

34475 
29550 

^" 329975 

Resulta pues, que los 49,"25 de aquel paño 
cuestan 3299,75 reales. 

4*. Habiendo pagado 36 pes(>s por la hechura 
de un kilómetro 'de cerco de alambré, se (^iiiere 
saber cuanto costó el metro de diclio cercada. 

Un kilómetro tiene 1000 metros, luego el valor 
de un metro de cerco, será 1000 veces men(»r que 
el de un kilómetro, así pues, dividiendo 36 pesos 
entre 1000 el cociente expresará el valor pedid<»; 
y como par» dividir un número por la unidad se- 
guida de ceros basta separar de diclio número 
tantas cifras decimales como ceros acompañan á 
la unidad, tendremos: 

36:1000=0,036 

Resulta que el metro lineal del expresado cer- 
co, costó 0,036 de peso. 

EJERCICIOS 

P. Caminando 86 metros por minuto, ¿qué 



— 231 — 

tiempo se necesitará para ca^tninar 36 kilómetros, 
8 hectómetros y 6 decámetros? 

2°. ^Cuántos metros componen 46 decámetros, 
93 kilómetros, 7 miriámetros y 58 decímetros? 

3°. ¿Guántos kilómetros componen 324 metros, 
56 hectómetros, 78 miriámetros y 4836 centíme- 
tros? 

Medidas de eapaeidad 

SOI. Las medidas de capacidad son las des- 
tinadas á medir líquidos, granos, frutas, carbón, 
etc., la unidad principal ya hemos dicho que es 
el litro, cuyos múltiplos y submúltiplos se forman 
lo mismo que los del metro. Asi: 



Múltiplos 



Miriálitro (MI) 10000 

Kílólitro (Kl) 1000 

Hectolitro (Hl) 100 

Decalitro (DI) 10 



Unidad usual litro (1) 



Submúltiplos 



Decilitro 

Centilitro 

Mililitro 



(di) 
(el) 
(mi) 



0,1 

0,01 

0,001 



litros 




Fig. 2 




Fig.3 




Fig. 4 



— 232 — 

No todas las medidas expresadas son efectwas 
ó reales, solo se construyen y emplean las auto- 
rizadas por la ley, las cuales son: 



Ei 


hectolitro 






El 


medio hectolitro 


5 


decalitros 


El 
El 


doble decalitro 
decalitro 


2 


> 


El 


medio decalitro 


5 


litros 


El 


doble litro 


2 


» 


El 


litro 






El 


medio litro 


5 


decilitros 


El 


doble decilitro 


2 


» 


El 


decilitro 






El 


medio decilitro 


5 


centilitros 


El 

El 


doble centilitro 
centilitro 


2 


» 



Estas medidas tienen todas la forma cilindrica 
y se construyen de cobre, de plancha de hierro, 
de hierro fundido, de estaño, de hoja de lata, etc., 
segün el destino que tengan 

Asi por ejemplo, las 5 primeras ó sean desde 
el hectolitro hasta el medio decalitro, se constru- 
yen de cobre ó de hierro cuando se destinan al 
comercio por mayor de vinos, aguardientes, etc., 
y cuando son para medir materias secas pueden 
construirse también de madera dura, con un ribete 
de hierro en la parte superior é inferior, para 
que conserven siempre sus dimensiones; en todos 
los casos la profundidad es igual al diámetro. 

Las medidas de estaño toman la forma de la 
representada por la figura 2 y sirven para el co- 
mercio al menudeo de vinos y aguardientes, em- 
pleándose tan solo las ocho últimas, es decir, 
desde el doble litro hasta el centilitro. 



— 233 - 

Las medidas de hoja de lata se destinan ex- 
clusivamente para la leche y el aceite y se cons- 
truyen de un diámetro igual á su profundidad, 
como las representadas por las figuras 3 y 4. 

/ti02. Las cantidades que expresan unidades 
de capacidad se escriben, leen, cambian de uni- 
dad y se opera con ellas del mismo modo que 
con las que representan unidades longitudinales, 
según las reglas dadas en los números 1 OS, 
1 99 y 200 

PROBLEMAS 



l.«— Cuánto importan 36 hectolitros, 45 kilóli- 
tros y 359 litros de trigo á razón de $ 4,25 el hec- 
tolitro? 

Empezaremos por sumar las cantidades dadas 
reducidas todas á litros. Así: 

3600 litros 
45000 )) 

359 y> 



48959 litros 



Ahora, como el precio conocido es el del hec- 
tolitro, reduciremos los 48959 litros ó hectolitros 
para lo cual bastará dividir dicho número por 100 
y tendremos: 

48959 litros=489,50 hectolitros y por último 
naultiplicando el número que expresa los hecto- 
litros de trigo que tenemos^ por el que representa 
el valor de un solo hectolitro de dicho grano, 
obtendremos el importe del todo. 



"W 



— 234 — 

489.59 
4,25 



244795 
97918 
195836 



20807575 



Importa el trigo $ 2080,7575. 
2". — Costando el hectolitro de raaiz s 1.25, ¿qué 
cantidad podré comprar con $ 8654.32? 



8654,32 
1154 
293 
432 
570 
700 
750 
00 



1,25 



6923,456 



Podrán eoniprarse 6923,456 hectolitros de maíz, 
ó sean 69 miriálitros, 2 kilólitros, 3 hectolitros, 4 
decalitros, 5 litros y 6 decilitros, ó bien 6 núlht- 
nes 923 mil 456 decilitros. 

3». — ¿Cnanto pesan 8036495 litros de trigo en 
el supuesto de que el hectolitro de este grane» pe- 
sa 78 kilogramos? 

Los 8036495 litros eqnivalen á 80364,95 hectoli- 
tros y pesando cada hectolitro de trigo 78kilógra 
mos el peso de los 80364,95 hectolitros se hallará 
multiplicando este número por 78. Asi: 



- 235 — 

80364,95 
78 

64291960 
56255465 

6268466,10 

Re«^ulta qne 8036495 litros de trigo pesan 
6268466^10 kilogramos. 

4^ -865425 litros de trigo costaron 29424,45 
pesos, ik cuánto sale el hectolitro? 

Los 865425 litros equivalen á 8654,25 hectoli- 
tros, ahííra dividiendo el número que representa 
el precio de todo el trigo, por el número que re- 
presenta la cantidad de hectolitros de trigo com- 
prado, el cociente expresará el valor de cada hec- 
tolitro. 



29424,45 

3461700 
000000 



8654,25 



3,4 



El hectolitro de trigo resulta á $ 3.40 

5*^. Un viticultor ha cosechado 4836 hectolitros 
de vino; ¿cuántos barriles de 250 litros de capa 
cJdad, necesitará para contenerlo? 

6o. —Costando el litro de cierto vino $ 0,32; 
¿cuánto cofitará un hectolitro del mismo vino? 

7o._C(»8tando un hectolitro de aceite $ 42,50, 
¿cnál sera el precio de un litro del mismo aceite? 

go.—Un conjerciante ha comprado 2517 sacos 
de trigo, cada uno de los cuales contiene 1 hec- 
tolitro y 25 litros; ¿cuál es la cantidad de trigo 
comprado? 



i^- 



— 23C — 

9^. — Costando 10 centesimos de peso un litro 
de arvejas. ¿cnánt(» costarán 5 hectolitros? 

10° — ¿Cnántos sacos se necesitan para colocar 
497 hectolitros de papas, conteniendo cada nno 
solo 8 decalitros 5 litros? 



Unidades <ie pesos 



S03. Los múltiplos y submúltiplos de la 
unidad primiipal de peso, que como se sabe es el 
gramo, se forman lo mismo que los múltiplos y 
submúltiplos del metro y del litro, así: 

Miriágramos (Mg) 10000 gramos 

Múltiplos ) Kilogramo (Kg) 1000 i> 

Hectógramo (Hg) 100 » 

Decágramo (Dgj 10 » 

Unidad usual Gramo (g) 

¡Decigramos (dg) 01 » 
Centigramos (cg) 0,01 » 
Miligramo (mg) 0,001 » 

Para evaluar los grandes pesos se toma por 
unidad el kilogramo cuyos múltiplos son los si- 
guientes: 



Tonelada métrica (t) 1000 kg. 
Quintal métrico (Ql) 100 » 
Miriágramo (Mg) 10 » 



r 



- 237 — 



MEDIDAS EFECTIVAS 



Las pesas usuales son 24, de las cuales la ma- 
yor es de 50 kg. y la menor de un miligramo, 
cuyos pesos son los siguientes: 



50 


kilogramos 


5 


gramos 


20 


» 


2 


» 


10 


» 


1 


» 


5 


» 


5 


decigramos 


2 


» 


2 


» 


1 


» 


1 


» 


5 


hectógramos 


5 


centigramos 


2 


» 


2 


» 


1 


» 


1 


» 


5 


decágramos 


5 


miligramos 


2 


» 


2 


» 


i 


» 


1 


» 




'I 



Figura 6 




Las diez primeras pesas son generalmente de 
hierro fundido, tienen la forma de troncos de pi- 
rámide, con bases rectangulares como la de la ñ- 



— 239 



gura 5 ó con bases exagonales como la de la fi- 
gura 6. 




Figura 7 



También se hacen de cobre de forma cilindrica 
con un botón en la parte superior como la repre- 
sentada, por la figura 7, construyéndose general- 
mente de este metal las comprendidas entre 20 
kilogramos y 1 gramo inclusives. 



- 240 ~ 




2 

OECIG. 



©©©O®©© 

Figura 8 



Las nueve pesas últimas son láminas delgadas, 
ordinariamente de cobre, algunas veces de plata; 
tienen la forma representada por la figura 8. Sir- 
ven principalmente para pesar las materias pre- 
ciosas, como el oro, diamantes, etc., y en la far- 
macia. 

Las cantidades que expresan unidades de peso, 
se escriben, leen y cambian de unidad y se opera 
con ellas del mismo modo que con las que repre- 
sentan unidades longitudinales, según las reglas 
dadas en los números 1 08, 1 OO y SÍOO. 

EJERCICIOS 

P. Para expresar 9 kilogramos, 5 liectógra- 
raos, 2 decágramos y 8 decigramos, se escribirá 
de este modo: 

9520, 8 gramos 

2^, Para expresar 250 toneladas métricas, 8 
quintales métricos, 6 hectógramos y 9 centigramos, 
se escribirá: 

250800600,09 granaos 



Cuya cantidad puede leerse d^ los tres modos 
indicados en el número 199; así: 



— 241 — 

1°. 250 toneladas métricas, 8 quintales métri- 
cos, 6 hectógramos, 9 centigramos. 

2". 250 millones, 800 mil 600 gramos, 9 cen- 
tigramos. 

3**. 25 mil 80 millones, 60 mil 9 centigramos. 

Pero una cantidad grande como la que acaba- 
mos de leer, conviene más referirla á una unidad 
supenor como el kilogramo, y en tal caso se lee 
así: 

250 mil 800 kilogramos, 60 mil 9 centigramos. 

3°. Conviértase en miligramos 25,042 kilogra- 
mos. 

Un kilogramo tiene un millón de miligramos; 
luego, multiplicando la cantidad dada por 1000000, 
se obtendrá la pedida. 

25,042 kg.=25042000 nig. 

4**. Conviértase en quintales métricos la can- 
tidad 200549386 gramos. 

Un quintal métrico tiene 100000 gramos, luego, 
dividiendo por 100000 el número dado, el cocien- 
te expresará quintales métricos, - así:. 
200549386 gramos=2005,49386 quintales métricos. 



PROBLEMAS 



P. Sabiendo que con un kilogramo de hari- 
na se produce 1,25 kilogramos de pan, ¿cuántos 
kilogramos de harina se necesitan para hacer 
463587 decigramos de pan? 

2*". La báscula se usa para apreciar los gran- 
des pesos y está dispuesta de tal modo que los 
objetos colocados sobre ella se equilibran con un 






— 242 — 

peso 10 veces menor; ¿que pesas se emplearán pa- 
ra pesar un saco de lana que pesa 83,234 kilo- 
gramos? 

3'*. Un kilogramo de harina hemos dicho que 
produce 1,25 kg de pan bien cocido, y calculan- 
do en $ 1,20 los demás gastos del panadero y 
utilidad en cada 100 kg. de pan, ¿á qué precio 
debe venderse el kilogramo de pan cuando la ha- 
rina buena de cilindro vale s 1,30 los 11 kg.? 



LECCIÓN XXII 

Continuación del sistema métrico deci- 
mal de pesas y medida 

MEDIDAS SUPERFICIALES 



S04r. Hemos visto en el número lOGque las 
unidades principales para las superficies son el ?ne- 
tro cuadrado y el área. 

El metro cuadrado es un cuadrado que tiene 
un metro de longitud por cada lado. 

El área es un cuadrado que tiene 10 metros 
de longitud por cada lado. 

El decímetro cuadrado, el centímetro cuadra- 
do y el milímetro cuadrado son cuadrados que tie- 
nen respectivamente un decímetro, un centímetro 
ó un milímetro de longitud por cada lado. 

S05. Un metro cuadrado contiene 100 decí- 
metros cuadrados. 



— 243 — 



3 C 

! 

i , 

I i 

! i 

i i 



Figura 9 



D 



En efecto, supongamos que el cuadrado figura 9 
representa un metro cuadrado; dividiendo los cua- 
tro lados en diez partes iguales, cada parte re- 
presentará un decímetro; ahora, uniendo con lí- 
neas todos los puntos de división opuestos, el me- 
tro cuadrado quedará como se ve en la figura 9, 
dividido en 10 hileras de á 10 cuadritos peque- 
ños ,cada una, cuyos cuadritos tienen por lado un 
decímetro, luego vemos que el metro cuadrado 
se compone de 10X10=100 decímetros cuadrados. 

Del mismo modo probaríamos que el área tie- 
ne 100 metros cuadrados, que el hectómetro cua- 
drado tiene 100 áreas ó decámetros cuadrados. 



— 244 — 

que el kilómetro cuadrado tiene 100 hectómelros 
cuadrados etc. . .^ . . Asi como el decímetro cua 
drado tiene 100 centímetros cuadrados, el centí- 
metro cuadrado 100 milímetros cuadrados, el mi- 
límetro cuadrado 100 diezmilímetros cuadrados, etc., 
luego resultará también que 1 metro cuadrado= 
100 decímetros cuadrados=^10000 centímetros cua- 
drados=1000000 milímetros cuadrados etc. 1 Hec- 
tómetro cuadrado = 100 decámetros cuadrados= 
10000 metros cuadrados, etc. 

506. Recíprocamente, un metro cuadrado es 
la diezmilésima parte de un hectómetro cuadrado, 
ó la centésima parte de un decámetro cuadrado; 
así como un decímetro cuadrado es la centésima 
parte de un metro cuadrado; el centímetro cua- 
drado la diezmilésima parte, y el milíinelro cua- 
drado la millonésima parte del metro cuadrado. 

507. Unidades de superficies m.cd. 

Miriámetro cuadrado (Mm.cd.) 100000000 
Kilómetro cuadrado (Km.cd.) 1000000 
Hectómetro cuadrado (Hm.cd.) 10000 



o 



-0 



S f Decámetro cuadrado (Dm.cd.) 100 

Unidad usual metro cicadrado (m.cd.) 
o ( Decímetro cuadrado (dm.cd.) 0,01 

3 < Centímetro cudrado (cm.cd.) 0,0001 

x¡ f 

^ I Milímetro cuadrado (mm.cd.) 0,000001 

SOS. El metro cuadrado y los submúltiplos 
de él, se emplean para medir superficies peque- 
ñas, como la de las huertas, solares, paredes, pi- 
sos y techos de una casa etc. 

El decámetro cuadrado con el nombre de área. 



-.1:. 



— 245 — 

y el hectómetro cuadrado con el nombre de hectá- 
rea, son !as unidades agrarias que se acostum- 
bran á tomar cuando se quiere valuar una su- 
perficie algo considerable, tomándose como sub- 
múlt^iplo la centiárea, que es igual á un metro cua 
drado. 

SÍOO. Se ha visto en el numero S05 que 
una unidad superficial de un orden cualquiera va- 
le 100 unidades del orden inmediato inferior, ó 
lo que es lo mismo, que se necesitan 100 unida- 
des superficiales de un orden culquiera para for- 
mar una del orden inmediato superior, de donde 
resulta que todos los múltiplos se deben escribir 
con dos cifras, exceptuando el superior, que pue- 
de llevar \:na sola y los submúltiplos con otras 
dos cada uno. 

Por ejemplo, 35 hectómetros cuadrados, 8 de- 
cámetros cuadrados y 5 metros cuadrados se es- 
criben. 

350805 metros cuadrados. 

8 kilómetros cuadrados, 7 hectómetros cuadra- 
dos, 67 decámetros cuadrados, 4 metros cuadrados, 
25 decímetros cuadrados y 6 centímetros cuadra- 
dos se escriben 

8076704,2506 metros cuadrados. 

Del mismo modo se escribirán 325 hectáreas, 
8 áreas, 43 centiáreas y 4 centímetros cuadrados 

32508,430004 áreas. 

Recíprocamente, 13094,56 áreas, equivalen á 
130 hectáreas 94 áreas y 56 centiáreas. 



~ 246 — 

El número 4002953,768 metros cuadrados, equi- 
vale á 4 kilómetros cuadrados, 29 decámetros cua- 
drados, ó áreas, 53 metros cuadrados 6 Qeatiáreas, 
76 decímetros cuadrados y 80 centímetros cuadra- 
dos. De modo, que cuando el número de cifras 
decimales es impar se le agregerá un cero para 
leerlo. 

El miriámetro y el kilómetro cuadrado se toman 
por unidad cuando se quiere expresar superficies 
muy grandes, como la de un continente, la de una 
nación, etc. 

SI O. Cambio de unidad. Se procede de una 
manera análoga á la explicada en el número SOO. 

Por ejemplo, sea trasformar 865,4324 áreas en 
metros cuadrados ó centiáreas, como que una área 
tiene 100 centiáreas, la cantidad de áreas dada 
se trasformará en centiáreas multiplicándola por 
100, para lo cual bastará correr la coma dos lu- 
gares á la derecha y obtendremos 86543,24 metros 
cuadrados. 

Para convertir 385,00439107 kilómetros cuadra- 
dos en áreas, como que un kilómetro cuadrado 
tiene 10000 áreas se multiplicará por 10000 el nú- 
mero dado y obtendremos 

3850043,9107 áreas. 

Conviértase 15400391478 milímetros cuadrados 
en kilómetros cuadrados y dará 

0,015400391478 kilómetros cuadrados. 

21 1. Medidas efectivas. No existen medidas 
reales ó efectivas de superficie; para valuar upa 
superficie se miden ciertas líneas con las medidas 
reales de longitud. 



— 247 — 

Conocidas estas dimensiones se calcula la su- 
perficie empleando los medios que para ello nos 
suministra la geometría y trigonometría. 

EJERCICIOS 

P. ¿Cuánto lia'y que pagarle á un labrador que 
aró 291503,14 decímetros cuadrados de terreno, á 
razón de $ 0,0489 el área? 

2". Se quieren sembrar dos terrenos de alfal- 
fa: el primero compuesto de 54326,04 metros cua ■ 
drados, y el segundo de 30592,147 m.cd., y sa- 
biendo que se necesitan 20 kg. de semilla para 
cada hectárea, ¿cuánta semilla será necesaria pa- 
ra los dos terrenos? 



Medidas de volumen 



número 196 i\ue 
los volúmenes son 



que tiene por ca- 



212. Se ha dicho en el 
las unidades principales para 
el metro cúbico y e! eslerio. 

El 7netro cúbico es un cubo 
da lado un metro. 

El esterio es también un metro cúbico destina- 
do pai'a inedif leña, (véase en los números SSl v 
222). 

213. Las uniilades de volumen son cubos 



fíH'inados \)')V cuadrados 
unidades longitudinales, 

Miriíhnetro cúbico 
Kilómetro cúbico 
Hectómetro cúbico 
Decámetro cúbico 



Cu 



*?3 



voiumen son 
que tieiiCM poi' lados 
v son las sií>*uientes: 



las 



(Miu.cb.) 1000000000000 
(Km.ctb.) 1000000000 
(Hm.cb.) iOOOOOO 
(Dm.cb.) 1000 



o 



— 248 — 
Unidad usual Metro cubico (m.eb.) 

Decímetro cubico (dm.cb.) 0,001 

^ { Centímetro cúbico (cm.cb.) 0,000001 

M f Milímetro cúbico (inm.cb.) 0,000000001 

SI 4. Vemos en el cuadro precedente, que 
una unidad cúbica de un orden cualquiera, es 1000 
veces menor que la del orden inmediato superior, 
es decir, que una unidad cúbica cualquiera con- 
tiene 1000 unidades del orden inmediato inferior, 
en efecto; supongamos que tenemos una caja cú- 
bica cuyas caras interiores tienen un metro de 
lado, de modo que la caja podrá contener exac- 
tamente un metro cúbico. 

Sabemos que las caras del cubo son cuadradas, 
así pues, las caras de la caja que nos imagina- 
mos será cada una igual á un metro cuadrado. 

Si dividimos la cara del fondo en 100 decíme- 
tros cuadrados (205), y sobre cada uno de ellos 
colocamos un decímetro cúbico, tendremos el fon- 
do de la caja justamente ocupado por 100 decí- 
metros cúbicos, pues cada uno de elios coincidi- 
rá exactamente con cada uno de los decímetros 
cuadrados de la cara del fondo • 

Pero esta capa de decímetros cúbicos no («cu- 
paiá más que la décima parte de la altura de la 
caja, luego pues, tendré que colocar unas enci- 
ma de las otras, 10 capns de decímetros cúbicos 
para llenar completamente la caja, por consiguien- 
te contendrá 100xlO:=1000 decímetros cúbicos. 

Del mismo modo probariatnos que el decíme- 
tro cúbico contiene 1000 centímetros cúbicos, v 



— 249 — 

que el ceiitímetro cúbico vale 1000 inilíinetros cú- 
bicos, etc.... . Así corno que el decámetro cú- 
bico contiene lOüO metros cúbicos, el hectómetro 
cúbico 1000 decámetros cúbicos, etc. luego resul- 
tará también que 1 metro (ítí6¿co=1000 decímetros 
Cii&íC05= 1000000 centímetros cti&/co5= 1000000000 
milimetros cúbicos, 

1 kilómetro cúbico=^lOOO hectómetros cúbicos= 
1000000 decámetros cúbicos=\JdOOOOOOOO metros cú- 
bicos, 

515. Recíprocatnente, un metro cúbico es la 
millonésima parle de un liectómetro cúbico, ó la 
milésima parte de uti decámetro cúbico; así como 
un centímetro cúbico es l¿]i millonésima parte de 
un metro cúbico ó la inilésima parte de un decí- 
metro cúbico. 

51 6. Seiiún acabamos de ver, una unidad 
cúbica de un nrden cualquiera vale 1000 unidades 
del orden inuiediato inferior, ó lo que es lo n)ismo, 
se necesitan 1000 unidades de un (u-den cualquie- 
ra para formar una del orden inmediato superior 
de donde resulta que todos los múltiplos se de- 
ben escribir con tres cifras, excepcicui del supe- 
rior que puede teiier una ó dos solamente, y los 
submúltiplos se escriben también con tres ciíras 
cada uno. 

Por ejemplo, 8 kilómetros cúbicos, 36 hectóme' 
tros cúbicos, 149 decámetros cúbicos, 7 metros cú- 
bicos y 47 decímetros cúbicos, se escribirá 

8036149007.047 n etros cúbicos 

Así, 140 kilómetros cúbicos, 63 d^cámei ros cú- 
bicos, 75 metros cúbicos, 169 centímetros cúbicos 
y 8 milímetros cúbicos, se escribirá 



_!:* v:. 



— 250 — 
140000063075,000169008 metros cúbicos. 

Recíprocamente, 8953,204 metros cúbicos equi- 
valen á 8 decámetros cúbicos, 953 metros (túbicí)s 
y 204 decímetros cúbicos. 

El número 30059764,81002 metros cúbicos, equi- 
vale á 30 hectómetros cúbicos, 59 decámetros cú- 
bicos, 764 metros cúbicos. 810 decímetros cúbicos 
y 20 centímetros cúbicos. 

Siempre que ocurra que el número de cifras 
decimales no sea múltiplo de 3 deberá completar- 
se con uno ó dos ceros para que lo sea, co:no lo 
hicimos en el último ejemplo que hemos puesto, y 
como se verá en el sií^uiente 

El número 85060492,8640173 metros cúbicos, es 
equivalente á 85 hectómetros cúbicos, 60 decáme- 
tros cúbicos, 492 metros cúbicos, 864 decímetros 
cúbicos, 17 centímetros cúbicos 300 milímetros cú- 
bicos 

SI ir. El miriámetro, el kilómetro, el hectó- 
metro y el decámetro cúbico se toman por unidad cu- 
nado se quier eexpresar grandes volúmenes, como el 
del- Sol, el de la Tierra, el de una gran montaña etc. 

SIS. Cambio de unidad.— Se procede como 
se ha explicado en los números SOO y 21 0. 

Por ejemplo, sea convertir 345001,936780000415 
decámetros cúbicos, en decímetros cúbicos. 

Como un decámetro cúbico tiene 1000000 de- 
címetros cúbicos, no tendremos más nada que ha- 
cer, que correr la coma seis lugares hacia la ^le- 
recha y resultará 

345001936780,000415 decímetros cúbicos 

El número 3645,089 metros cúbicos, reducido 



— 251 — 

á kilómetros cúbicos se -trasformará^, en 
0,000003645089 km.cb. 

219. Medidas efectivas.— No exis^ten más 
medidas reales de volumen que las destinadas á 
medir leña, de las cuales nos ocuparemos en se 
guida. 

Para determinar el volumen de un cuerpo se 
toman con el decámetro, metro ó decímetro li- 
neal, ciertas dimensiones con las cuales se dedu- 
ce el volumen por medio del cálcul'\ según^pro- 
cedimientos que nos enseña la geometría. 

SSO« Observación— Para medir el volumen 
de una embarcación se hace uso también del me- 
tro cúbico que se llama entonces tonelada de ar- 
queo. 

El metro cúbico hemos dicho que tiene 1000 
decímetros cúbicos, y como un decímetro cúbico 
de agua destilada, á 4 grados centígrados de tem- 
peratura pesa en el vació un kilogramo, el peso 
del agua en las mismas condiciones, contenida en 
un metro cúbico será de 1000 kilogramos; ó sea 
una tonelada métrica, luego, la tonelada métrica 
es el peso del agua pura contenida en una tone- 
lada de arqueo. 

Medidas para la leña 

;s¿Sl. El EsTERio es la unidad principal de 
las medidas para leña, es equivalente á un metro 
cúbico. 

El esterio no tiene mas que un múltiplo, el 
decasterio equivalente á 10. estenos, y un submúl- 



Jfe^í 



— 252 — 

tipio, el decisterio que representa h\ décima parte 
del esterio. 

SS^. Medidas efectivas. Tres son las me. 
didas reales que existen, el esterio, el doble, este- 
rio y el quintuplo esterio, equivalente á cinc^' es- 
teVios. 







Fiiz:. 10— ESTEKIO 



El esterio es un cuadro de madera si\hcQ el 
cual se elevan perpendicularmente dos iimiiUjuteíí 
asegurados á la base por dos contrafuertes. 

La separación de los nnontantes es de nn iiie- 
tro y la altura de ellas varía según el lar^n de 
las astillas de leña: siendo las astillas de inr me- 
tro de largo, la aliara de los montantes debe ser 
también de un metro, siendo las astillas mas lar* 
gas, la altura de los montantes debe ser tueiíor. 

Las astillas se colocan en capas horizun tales 
entre los dos montantes hasta llegar á la altura 
de ellos. 

La leña generalmente se vende por \n que pe- 
sa, por carradas ó por el número de astillas o 
rajas, así es que el esterio se usa muy puco. 



- 253 -- 
EJERCICIOS 

1.^ ¿Qué cantidad de arena tendrá que condu- 
cir y cuántos viajes tendrá que hacer un carreti- 
llero para ganarse $ 235,46, habiéndose compro- 
metido á cargar en cada viaje 635,047 centímetros 
cúbicos, y cobrando $ 1.35 por cada carrada? 

2.° Un carrero ha conducido desde las cante- 
ras del Chuy, en ocho viajes 15436,721 decímetros 
cúbicos de piedra. ¿Cuánto ha conducido en cada 
viaje en el supuesto de que en cada, carga lle- 
vaba igual volumen de piedra? 

¿Cuanto se le debe, habiéndose convenido que 
se le pagaría á razón de $ 2.235 el metro cú- 
bico? 

3."* E^ esterio de astillas de sauce pesa 324 
kilogramos y vale ^ 1.50; el de álamo blanco pe- 
sa 220 kg. y vale lo mismo que el anterior; estas 
maderas carbonizadas por los procedimientos or- 
dinarios dan de carbón poco mas ó menos el ter- 
cio de su volumen y el quinto de su peso. ¿Cuál 
es en metros cúbico y 'en kilogramos el producto 
del esterio de cada una de las dos maderas in- 
dicadas? ¿A que precio resultará el metro cúbico 
v los 100 kg. de cada clase de carbón? 



*^C5 



Monedas 

SS3* La unidad monetaria es el peso, que 
es una pieza redonda que contiene 917 milésimos 
de su peso en plata buena y el resto, ó sean 83 
milésimos de cobre ó liga; sn peso total es de 
25,49 gramos. 

Las múltiplos del peso son: 



i 



_¡3L 



— 254 — 



El doble peso que vale 2 pesos 

El medio doblón que vale 5 » 

El doblón que vale 10 » 

El doble doblón que vale 20 » 

El quintuplo doblón que vale 50 » 

El décuplo doblón que vale 100 » 

En la República solo en papel moneda existen 
los múltiplos del peso. 
Los submúltiplos son: 



S 

'o, 



O 
O 

o 

Q 



El medio peso ó cinco reales 
El doble décimo ó dos reales 
El décimo ó un real 

4 centesimos ó 2 vintenes 
2 centesimos ó 1 vintén 

1 centesimo ó \ vintén 

5 milésimos ó J vintén 



VALOR OFICIAL. 

De las monedas de oro que tienen cit*- 
eulaeión leg'al en la República 



España 



Argentina 
Brasil 



Doblón de 100 reales $ 

y de 10 escudos » 4 82 

25 pesetas (Alfonsinas) » 4 66 

Pieza de 5 nacionales » 4.66 

Pieza de 20000 reis ^ 10.56 

» » 10000 reis » 5.28 

)) » 5000 reis y> 2.64 



■zijíi 



^ 255 — 

Chile, Cóndor de 10 pesos » 

» Medio cóndor de 5 pesos > 

Colombia Pieza de 20 pesos » 

Perú Pieza de 20 soles » 

Venezuela Pieza de 20 pesos » 

E. Unidos Doble águilla de 20 dollars » 

» Águila de ÍO » » 

» Media Águila de 5 » » 

Portuí*al Corona, pieza de 10.000 reis » 

Iglaterra Libra esterlina, pieza, de 

20 chelines » 
» Media libra esterlina, pieza 

de 10 chelines » 

Alemania Pieza de 20 marcos » 

» » de 10 » » 

Austria ♦ de 8 florines » 

Francia » de 100 francos » 

» » de 50 • » 

» V de 20 » > 

Bélgica, Italia y Suiza, lo mismo que 



8.82 


4.41 


18.66 


18.66 


18.66 


19.32 


9.66 


4,83 


10.45 


4.70 


2.35 


4.60 


2 30 


3.73 


18.66 


9.33 


3.73 


Francia. 



EJERCICIOS 

1.° 25 doblones, 8 dobles pesos, 1 medio «do-, 
blón, .3 pesos y 36 centesimos; ¿cuántos centesi- 
mos de peso forman? 

2.^ 63 libras esterlinas, 9 cóndores, 27 piezas 
de 100 francos y 14 águilas, ¿cuántos pesos mo- 
neda nacional forman? 

3^. Convertir 324 libras esterlinas en francos, 
moneda francesa. 



Medidas para la cipcunfereiicia 

384i. Al establecer b1 sistema métrico dí>cimal 



— 256 — 

de pesas y medidas, se dividió el cuadrante de circun- 
ferencia en 100 partes iguales llamadas grados, ca- 
da grado se considera dividido en 100 partes iguales 
llamadas minutos^ y cada minuto en 100 segundos. 

De este modo un arco cualquiera puede expre- 
sarse siempre por un número decimal de grados. 

Por ejemplo: 8 grados 25 minutr)s, 79 segun- 
dos, puede escribirse así: 8,2579 grados. 

PROBLEMA 

¿Qué distancia hay entre Washington que se 
halla á los 43,2077* grados de latitud Norte y 
Kingston principal ciudad de la isla de Jamaica 
que se encuentra sobre el mismo meridiano de 
Washington, á los 1Q,9594 grados de latitud Norte? 

Hemos dicho que el cuadrante de meridiano 
terrestre tiene 10000000 de metros, y según aca- 
bamos de ver el cuadrante de circunferencia se 
divide en 100 grados, el grado en 100 minutos, 
etc., luego fácil es averiguar que cada grado de 
meridiano terrestre representa 100000 metros, ca- 
da minuto 1000 y cada segundo 10 metros. 

. De modo pues, que multiplicando por 10 la di- 
ferencia de latitud, expresada en segundos, entre 
los dos puntos indicados, obtendremos el número 
de metros que hay entre las dos ciudades citadas. 

432077 segundos 
199594 > 

Diferencia 232483 segundos 

Multiplicando por 10 la diferencia hallada, ten- 
dremos por último que la distancia entre Washing- 
ton y Kingston es de 2324,830 kilónr^etros. 



— 257 — 
EJERCICIOS 

1.^ Hállase la distancia que hay entre la ciu- 
dad de la Colonia y la de la Asunción del Para- 
guay, sabiendo que la primera se halla á los 
38,3047 grados de latitud iSud, la seguiida á los 
28,0901 grados, también de latitud Sud, y (^ue am- 
bas se encuentran sobre el mismo meridiano. 

2.** j.Cuántos grados, minutos y segundos cen- 
tesimales c inpoílen 724009,35 kilómetros de me- 
ridiano terretre? 

LÍCCIÚM XX III ■ 

Sistema antigpuo de pesas y meiÚtidas 

555. Como lo hemos dicho en el número 104:, 
el único sistema de pesas y medidas autorizado 
por la ley es el métrico decimal: pero á pesar de 
esto es muy conveniente conocer* también el sis- 
tema antiguo, pues hasta hace muy poco tiempo 
ge ha usado, así pues, vamos á dedicar algunas' 
páginas al estudio del sistema antiguo dé pesas 
y medidas, á las equivalencias y reJáciones de las 
unidades principales de uno y otro sistema, y al* 
cálculo de los núuierdfe denominados ó concretos 
formados con unidades del antiguo sistema. 

Medida del tiempo 

556. Las unidades jie tiempo»no han sido al- 
terada^"])t)r el nuevo sistema, y como no siguen 
la ley decimal, no las incluimos en la. nomencla- 
tura del sistema métrico. 



fe 



— 258 — 

sai. I.a unidad íiiiidaineiital dei lieiiiito es 
el día. ' 

Llámase dia á la duración de una ¡'..tación te- 
rrestre, es decir, al tie:np(. que emplea nuestro 
globo en girar una s.da vez alrededor de su eje- 
por consiguiente la duración del día es ij/ual pa- 
ra todas las naciones y en todes las épocas del 
año. 

Llámase año al tiempo que emplea 'la Tierra 
en efectuar una revolución Completa alrededor del 

oOl , 

»38. Durante el apo la Tierra da 365 i ro- 
taciones sobre su eje, de modo pnes, qne el año 
consta de 365 i días (•) pero come, presentó siem- 
pre serias dificultades añadir al fin del año el cuar- 
to de día que tiene de pico, en tiempo de Julio 
César y por consejo del astrónomo ei<ipcio lla- 
mado Sosigenes se acordó que el añ(. eo'nstase or- 
dmanamente de 365 días y que al fin de cada cua- 
tro anos se le añadiese un día entero, es decir 
que se contase uno de 366 días para compensa,' 
exactamente el i dp día que se pierde cada año 
de ahí viene la división de los años en comunes v 
bmestos-, e\ ano cemún consta de 365 días v ¿I 
bisiesto de 366. ^ ®' 

Llámase cuatrenio ai intervalo de cuatro años 
de los cuales tres son comunes y uno bisiesto. ' 

Divisiones del tiempo 

229. El Siglo consta de 100 años 
El año * » \2 meses 

^„ ^.') Aproxfmédaraente, pues la dnración del añn »« h» aju íí„. e i, 
48 minutos y 80 segnddos. "un«,iuu uei ano es ae 8b5 días & horas 



.íüí 



259 — 



El wwis 


» 


» 


30 íiia^ ' 


El dia 


» 


» 


24 Aora^ 


La hora 


» 


» 


60 mmwííW 


El minuto 


> 


» 


60 segundos 



El año se divide taiibién en 52 semanas y un día 
si es común y en 52 semanas y 2 días si es bisiesto. (1) 

El año hemos dicho que se subdivide en 12 
meses los cuales tienen cada uno su nombre parti- 
cular, y ellos son: Enero, Febrero; Marzo, Abril, Ma- 
yo, Junio, Julio, Agosto, Setiembre, Octubre, Noviem- 
bre y Diciembre. 

Enero, Marzo, Mayo, Julio, Agosto, Octubf^e y 
Diciembre, tienen 31 días: Abril, Junio, Setiembre 
y Ní)v¡embre tienen 30 dias: y por último Febrero ' 
tiene 28 días en los años comunes y 29 en los bi- 
siestos. 

Aprendiendo de memoria los siguientes versos, 
muy populares por cierto, es más fácil saber siem- 
pre los dias que tiene cada mes. 

Treinta dias trae Noviembre, 
con Abril, Junio y Setiembre; 
veinte y ocho tiene uno, 
y los demás treinta y uno. 

La semana se considera dividida en siete días: 
Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y 
domingo. 



(1) ol año lio se compone de 366 -^ dias como supuso Julio C6sar, pues 

como se ha viso en la nota precedente, solo consta de 865 dias, 5 horas, 48 
minutos y 50 se^ifundos, de donde resultan aumentados los años del calenda- 
rio romano eu 11*10" los cuales producen un error de 44*10" cada cuatro años. 
Para comepnsar esta diferencia el Papa Gregorio XUI dispusy que se supri- 
miesen tres bisiestos cada 400 años, y que estos fuesen los años principio de 
siglo, cuyas Centenas y mil.ares no fuesen divisibles por cuatro: por esta 



— 2Ü0* — 

Se llama Década^ k un periodo de 10 años: Ltis- 
tro á uno de 5 añt»s: Bienio á uno de 2 años. 

Se \\a,m^ Semestre k un período de* 6 meses: Tri 
mestre á uno de 3 meses. 

El rnes comercial tiene siempre treinta dias. 

iMedidas para la circunfereneia 



8 30. '•' Cuadrante = 
Grado = 

Minute =x= 



90 grados =90^ 
60 minutos =60' 
69 segundos^=^*' 



Obsepvacit»nes 

1.° Las fraccicmes de segundo se a[)recian en 
decimales: así se dice, 47''85 (cuarenta y siete se- 
gundos ochenta y cinco centesimos de segundo). 

Otro ejemplo; 53"27'18,''46 se lee, 53 grados 27 
minutíis, 18 segundos y 46 centesimos de segundo. 

2.° Como ya se ha generalizado, sobretodo en 
Europa, el uso de instrumentos topográficos cu- 
yos cuadrantes^ están , divididos en» 100 grados, pa 
ra distinguir los grados del cuadrante dividido en 
100 partes iguales, de los del que solo eátá divi- 
dido en 90, se les da el ñQmhrBÚB centesimales á 
los primeros y de sexagesimales á los segundos. ^ 



razón fué común el afio 1800. que debic^ haber sido bisiesto; otro tanto suce- 
derá COR e^ año 1900, pero el año 2000 serA bisiesto. 

La corrección q^ue acabamo.s de iudicar es lo que se llama reforma Grego- 
riana, la cuál ha sido aceptada por todas las naciones cristianas h. excepción 
de los rusos y griegos que aun se rigen por el Candelario Juliano. 

La Corrección Grbouriana auu uo iguala bien la duración del año civil 
con la del astronómico, pero es tan pequeña la diferencia, que solo cada 4000 
años habrá que suprimir un bisiesto. 

Es año bisiesto todo aquel que es divisible exactamente por 4, á excepción 
e los excluidos por la 'Corrección Gregoriana, •' 



261 — 



ti3t. 



Unidades de longitud 



u 


legiM := 


3 


millas 


La 


milla = 


20 


cuadras 


La 


ct*adra = 


100 


varas 


La 


vara = 


3 


■ pies 


El 


pié = 


12 


pulgadas 


La 


pulgada = 


12 


lineas 


La 


linea = 


12 


puntos 



MEDIDAS DE CAPACIDAD 



Papa áridos 

33S. La fanega doble = 

La fanega = 

La cuartilla = 

Para líquidos 



8 ( cuartillas 
4 cuartillas 
i fanega 



La pipa 
El barril 
La ettarte7^ola 

galón 

frasco 
La cuarta 
La octava 



El 
El 



6 barriles 
32 Jrascos 
frascos 
cicartas 
cuartas 
octavas 
cuarta 



48 
5i 
4 
2 



Medidas de peso 



S33. La tonelada 
El quintal 
La arroba 



20 quintales (qq.) 
4 arrobas ( ® ) 
25 K&ra¿? (Ib.) 



262 



La bhsi 


= 16 


onzas (onz.) 


La onza 


t= 16 


adarmes 


El adarme 


= 16 


gramo^ 


Pesada de cueros salados 


^ 75 


libras 


Pesada de cueros secos 


^ 40 


libras 



Míedida» para medicamentos 

La libra = 12 onzas 

La onza = 8 dracmas 

La dracma = 3 e^cnipietos 

El escrúpulo = 24 granos . 

Medidas siqierfieiales 

S3/4ir* Z>ept^ cuadrada -- 3600 cuadras- cds„ 

Suerte de estancia = 2700» » » 

Cuadra cuadrada = 10000 t?ara5 » 

yar« cuadrada = 9 pí¿í » 

jP¿¿ cuadrado = 144 pulgadas » 

Pulgada ciuidrada:= 144 /m^a^ » 

Linea ciuzdrada = 144 puntos » 

Medidas de volumen . 

S35* 1^«^« cubica =i 27 pies cúbicos 

Pié cubico == \12S pulgadas cúbicas 

Pulgada cubica = 1728 Ziweaí ctiftíca^ 

Zmea cubica = 1728 puntos cúbicos 

Medidas para leña 

Z7na carrada = 100 manoí 
Una mano c=: 4 astillas 



— 263 — 
EJERCICIO^ 

1.*^ Cual es el precio de 23 libras de arroz, 
costando 8,35 pe«06 el qutfiíA}? 

2."^ La radiación de la luz es rectilínea, y la 
veloddad de sus rayos es de 60000 teguas por se- 
gundo; la velocidad del sonido es término medio 
ie 397 varas por segundo; con estos datos, calcú- 
lese á que distancia de nosotros se ha hecho un 
disparo de cañón, cuyo fogonazo fué visto á las 
9 horas de la noche y el estampido solo fué oido 
8 segundos después. 

S."" La cuarterola de vino nacuinal cuesta 
$25,27; cuanto cuestan 3,72 cuartas del mismo 
vino? 



LECCIÓN XXIV 

EqüivaleDcias k las medidas antiguas m las modernas 

Medidas Je longitud 

83*7. Legua == 5154,^)00000 'msitos 



Cuadra =s 


85,900000 


Vara = 


0,859000 


Pié « 


•0,£86a^ 


Pulgada = 


0,023861 


Linea e= 


0«001988 


Punto = 


0^00166 



— 264 



MEDIDAS DE CAPACIDAD 



Papa áridos 

1 


S38. Fanega doble = 274,544 litros 


Fanega sencilla = 137,272 » 


Cuartilla 


= 34,318 » 


Media cuartilla = 17,159 » 


Para 


liquido» 


Pipa 


= 455,4240 litros 


Cuarterola 


= 113,8560 


Barril 


= 75,9040 » 


Frasco 


= ^ 2,3720 » 


Cuarta 


= 0,5930 


Octava 


= 0,2965 


Medidas de peso 


239. Tonelada 


= 918,8000000 kg. 


Quintal 


=x= 45,7400000 ») 


Arroba 


= 11,4850000 )) 


Libra 


= 0,4594000 » 


Onza 


= 0,0287125 » 


Adarme 


= 0,0017945 » 


Grano 


= 0,0000498 * 


Pesada de cueros alados 


► =^ 34,455 » 


Pesada de cueros secos 


= 18,376 > 


Medidas papa medicamentos 


Libra = 


0,3445500 kilógramoíí 


Onza = 


0,0287125 » 



- 265 — 

Dracma = 0,0035891 » 

Escrúpulo = 0,0011963 » 

Grano = 0.00004985 » 

Medidas superficiales 

340. Leg^ta cuadrada = 26563716,000000 m. cd. 

Swerte de estancia = 19922787,000000 » » 

Cuadra cuadrada :== 7378,810000 » > 

Vara cuadrada = 0J37881 » » 

Pié cuadrado = 0,081987 » * 

Pulgada au^Lámda = 0,000569 » » 

¿íri6« cuadrada = 0,000004 » » 

Medidas de volumeki 

S41. Vara cwbica = 0,633839779 w. cft. 

Pié cúbico = 0,023475547 )> » 

. Pulgada cúbica = 0,000013585 » » 

Linea cúbica = 0,000000008 » » 

Medidas para leña 

S¿42. Una carrada = 0,666667 esteno 
Una mano . = 0,006667 » 



EQIVALENCIIS 



DE LAS 



Unidades del sistema métrico, con Jas del Mtiguo sistema 

Medidas de l«ai^«tHii 

243. Mriámeiro = 11641^443539 varas 
Kilómetro = 1164,144354 »> 



— 26fi — 



Hectómetro 


=s 


116,414435 


Decámetro 


= 


11,641444 


Metro 


= 


1,164144 


Decímetro 


r= 


0,116414 


CentimetfH) 


= 


0,011641 


Milímetro 


= 


0,00J164 



MEDIDAS DE CAPACIDAD 



Para áridos 



244. Hectolitro 
J)ecálitro 
Litro 



0,7284 
0,0728 
0,0073 



fanega 



Papa líquidos 

Kilólitro = 421.5850 frasc^)s 

Hectolitro = 42,1585 > 

Decalitro = 4,2159 

Litro = 0,4216 » 

Decilitro = 0,0421 » 

Centilitro == 0,0042 » 

Medidas de peso 

tl4t5. Tonelada métrica = 87,0700 arrobas 

Quintal métrico = 8,7070 » 

Miriágramo = 0,8707 » 

Küógramo = 0,0871 » 

Kilogramo = 2,1768 /tftra* 

Hectógramx> = 0,2177 » 

Decágramo — 0,0217 » 



- 267.— 



Gramo 

Oramo 

Decigramo 

Centigramo 

Miligramo 



0,0022 
0,0348 
0,0035 
0,0004 
0,00004 



onza 



Medidas papa medieameatos 



S46« 



Kilogramo 

Hectógramo 

Decágramo 

Oramo 

Gramo 

Decigramo 

Centigramo 

Miligramo 



2,9023 
0,2902 
0,0290 
0,0029 
0,0348 
0,0035 
0,0004 
0,00004 



libras 

onza 

» 
)) 



Medidas superfieialea 



34*7 • Miriámet7^o cicadrado 
Kilómetro cuadrado 
Hectómetro cuadrado 
Decámetro cuadrado 
Metro cuadrado 
Decímetro cuadrado 
Centim£tro cuadrado 
Milimefro cuadrado 



3,764531 leguas cds. 

0,037645 » » 
= 0,000376 » » 

135,523218 vars. cd. 
1,355231 » » 
0,013552 » » 
0,000135 » » 
0,0000014 * » 



Medidas de volumen 



24:H. Kilómetro cúbico = 1577685770,741036 v. cb. 
Hectómetro cübico= 1577685,770741 » » 
Decámetro cubico = 1577,685771 » » 

ilfcíro cubico = 1,577685 > » 



— 268 



Becimttro cúbico = 
Centvmelro cúbico = 
Milimttro cúbico = 



0,001578 * 

0,000002 * 

0,000000002 » 



Medidas papa leña 

S49* Deeofiterio =:= 15.00 carradas 
Esterio = 1,50 » 

Decisterio = 60,00 a«i«lfl^ 

PROBLEMAS 



1?. De Meló á cierto punto del río Yagiiarón hay 
18 leguas, 27 cuadras, 53 varas, 2 pies 9 líneas, 
á cuántos metros es equivalente esta distancia? 



18 leguas son iguales 


á 


5154'»X 18=92772,00 ra. 


27 cuadras i^uivalen 


• » 


85.9°'X27= 2319,30 » 


53 varas » 


» 


0,859X53— 19,757 > 


2 pies » 


» 


0,286x2 = 0,573 » 


9 líneas » 


» 


0,002x9 = 0,018 .. 




Suma 95111,648 m. 



Resulta que la expresada distancia es equiva- 
lente á 95111,648 metros. 

2°. ¿Cuánto importan 128 fanegas de trigo á 
razón de $ 3,60 el hectolitro? 

128 fanegas equivalen á 137,272 litrosxl28= 
17570,816 litros=175,70816 hectolitros. 

175,70816 
3.6 



10S424B96 
52712448 

632,549376 



- 269 — 

Resultado que importan 632 $ con 549376 mi- 
llonésimos de peso. 

3^. Se lian vendido 8 toneladas y 14 arrobas de 
azúcar á $ 2! 10 el miriágramo, ¿cuánto importa la 

venta? 

8 toneladas equivalen A 918,8 kg.x8=7aB0,4 kg 
14 (S) equivalen » 11,485 kg.xl4=l00,79 » ' 

Suma 7511,19 kg. 

ó sean 751,119 miriágramos á 

$2,1 



751119 
1502238 

1577,3499 

El azúcar vendido importa $ 1577 y 3499 diez- 
milésimos de peso. 

4**. ¿Cuántas pipas componen 57 kilólitros de 
aguardiente y 49 decalitros del mismo líquido? 

57 kilólitros equivalen á 421,585 frascosx57s= 

24030,345 frascos 
49 decalitros equivalen á 4,2159 frascosx49= 

206,5791 frascos 



24236,9241 frascos 



ahora no hay más que reducir el número de fras- 
cos hallados á pipas, lo cual es fácil» recordando 
que la pipa tiene 192 frascos, luego. 



270 



24236,9241 I 192 







503 ' 126,2839 

1196 
449 
. 652 
764 
1881 
153 



De' modo qoe los 57 kilólitros y 49 decalitros 
de aguardiente equivalen á 126,2339 pipas. 

5". iCoáiitas hectáreas componen 17 suertes de 
estancia, 2136 cuadras cuadradas y 497 v^ras cua- 
dradas? 

17 suertes de e8tancias=l 992,2787 hectáreasX17 

=33868,7378 hectáreas 
2136 cuadras cuads. at 1576,1138 . 

497 varas cuadradas = 0,0367 » 

35444,8883 hectáreas 

Dicho terreno se compone de 35444 hectáreas, 
88 áreas y 83 centiareas. 

EJERCICIOS 



P. 189 kilómetros, 25 decámetros y 36 metros, 
¿cuántas leguas componen? 

2^. ¿Cuánto importan 245 pipas, 6 cuarterolas 
y 12 frascos de vino que cuesta $ 2,35 el decali- 
tro? 

3**. Para fabricar el jabón veteado seemplea 
en cada kilogramo; 6 Dg. de soda, 6 Hg.,. 2 de 
materias grasas y 320g. de agua; ¿Cuántas libras 



^271 — 

de c^da materia se necesitan para fabricar 2 @ 
de jabón? * 

4°. En la confección de 100 tazas de café, em- 
plea un fondero, 100 Dg. de café á $0,60 el Kg: 5 Kg 
de azúcar á $ 0,^ «1 Kg: 2 Htros de aguardiente 
á $ 0,35 el litro. ¿Cuánto gana vendiendo la taza 
á $0,06? 

5°. Los vinos averiados se consigue compo- 
nerlos mezclando por hectolitro de vino 20 gramos 
de ácido tartárijeo í)UB vale $ 1.50 el Kg: ¿qué gas- 
to se hará para arreglar una pipa? 



LECCIÓN XXV 

Sistema de medidas antipas del Brasil 

Medidas de long^itud 



;^50 Legua (50 cicadras) := 3 millas 
Milla =1000 brazas 

Cuadra = 60 » 

Braza =^ 2 varas 

Covado {poco usado) tiene 

3 
3 palmos Y --- pulida 

4 
Pié íi= 12 pulgadas 

Palmo =8 » 

Pulgada =» 12 lineas 

Linea = 12 puntos 



— 272 — 



MEDIDAS DE CAPACIDAD 





Para áridos 


»51. 


Alqueire =» 4 cuartos 
Cuarto = 2 medies cuartos 




Para líquidos 




Toneí = 2 pipas 
Pipa = 180 cañadas 
Almude == 12 » 
Canadá = 4 ctuirtillos 




Medidas de peso 


25». 


Tonelada = 54 arrobas 
Quintal =4 » 
ilrrofta = 32 fíftra^ 
Libra = 16 onza^ 
Ow^a = 8 octavas 
Octava = 72 granos 



Medidas superficiales 



S53. Cuadra cuadrada = 3600 brazas cuadrs. 



Braza cuadrada = 
Vara cuadrada = 
Pié cuadrado = 
Palmo cuadrado = 
Pulgada cuadrada=^ 



4 varas » 
25 palmaos » 

144 pw/^adaí » 
64 » » 

144 lineas » 



- 273 — 

Medidas ag^papias 

S54. Sesmaria de campo (\) =S leguas cuadrs. 

(2) > de monte = 2B50000 brazas cds. 

Legua cuadrada = 9000000 » » 

Milla cuadrada = 1000000 » » 

(3) Cuadra de sesmaria= LSOfiOO :► » 

Brasa de sesmaria =. 3Ü00 » » 

Palmo de sesmaria. =^^ 300 » »> 

EQUIVALENCIAS 

Medidas antiguas del Brasil, con las M sistema métrico 
decimal y viceversa 

Medidas de long^itud 

metros 



S55. Legtta 


6600,00 


Milla 


2200,00 


Cuadra 


132,00 


Braza 


8,20 


Vara 


1,10 


Cavado 


0,68 


Pié 


0,33. 



(1) Una sesmaria de campo es uu rectángulo que tiene 3 leguas de base 
por una de altura. 

(2) Una sosmaria de monte es un cuadrado que. tiene -media legua de lado; 

1 
ó bien un rectángulo de una legua de base por — de altura, es decir, que es 

la cuarta parte de una leguai cuadrada' y sirve para medir los bosques; es 
poco usada. 

(3) Una cuadra, una braza ó un palmo de sesmaria. son respectivamente 
rectángulos que tienen una legua de base por una cuadra, una braza ó un 
palmo de altura'. 



— 274 - 


- 




Palmo 


0,22 


» 


Pulgada 


0,075 


» 


Linea 


0,00229 » 


Punto 


o,eooi9 n^ 


Miriámetro 


1,51 


legua 


Kilómetro 


7,57 


cuadras 


Hectómetro 


45,45 


brazas 


Decámetro 


9,09 


varas 


Metro 


0,91 


» 


Decímetro 


5,46 


pulgadas 


Centímetro 


6,53 


lineas 


Milímetro 


7,84 


puntos 



MEDIDAS DE CAPACIDAD 



Papa áridos 



S50. Alqueire 
Cuarto 
Medio cuarto 



36,27 
9,07 
4,53 



litros 



Para líquidos 



Tonel 

Pipa 

Almude 

Canadá 

Cuartillo 



960 litros 

480 » 

31,94 » 

2,66 > 

0,66 » 



Áridos 



Hectolitro 



2,75 alqueírés 



— 275 — 




Decalitro 1,10 cuartas 


Litro 0,11 » 




Lic[uidos 




Hectolitro 37,59 cañadas 


Decalitro 3,76 


» 


Litro 1,50 cuartillos 


Decilitro 0,15 


» 


Centilitro 0,015 





Mililitro 0,0015 » 


Medidas de peso 




SÍ5*7. Tonelada = 793,238 kilogramos 


Quintal = 58,758 


» 


i4rro6a = 14,689 


)) 


L¿6r¿i = 459,05 gramos 


Onza = 28,69 


» 


Octava ~ 3,59 


» 


Grano = 0,05 


» 


Tonelada métrica 68,09 


arrobas 


Quintal métrico 6,80 


» 


Kilogramo 2/17 


libras 


Hectógramo 3,48 


onzas 


Decágramo 2,78 


octava ^ 


Gramo 26,76 


granos 


Decigramo 2,07 


» 


Centigramo 0,21 


» 


Miligramo 0,02 


» 


Medidas superficiales 




S58. Ct^adra cuadrada = 17424,0000 m. c 


-Bras'ú! cuadrada = 4,84 


00 » ) 



276 — 



Vara cuach'^aila 
Pié Címdrado 
Palmo ciuxdrado 
Pulgada cicadrada 



1,2100 » » 

0,1089 > » 

0,0484 » » 

0,000756 » » 



Hectómetro cuadrado 
Decámetro cuadrado 
Metro cuadrado 
Decímetro cuadrado 
Centímetro cuadrado 
Milímetro cuadrado 



2066,11 Wazas 
82,64 > 
20,66 > 
29,76 pulgds, 
42,74 lineas 
61,92 puntos 



cd. 



Kfedidas agrarias 



SS9. Sesmaria de campo = 
» de monte = 

Legua cicadrada = 
MWa cuadrada = 
Cuadra de sesmaria = 
Braza de sesmaria = 
Palmo de sesmaria = 



130680000,00 m. cd. 

10890000,00 ^ » 

43560000,00 y^ » 

4840000,00 » > 

871200,00 » > 

14520,00 » » 

1452,00 » » 



Miriámetro cimdrado = 2,30 leguas ccís. 

Kilómetro cuadrado = 206611,57 brazas » 

Hectárea = 2066,11 » » 

ilrea = 20,66 )> » 

Centiárea = 0,21 » » 

Unidades mon^tai^as 

S60. Existen en el Brasil cuatro clases de 
monedas. I^aa de oro, las de plata, las de nickel 
y las de cobre. 

La pieza de plata de 2000 reis, es una mone- 
da que pesa 25,500 gramos, contiene 91T milésimas 



— 277 — 

de su peso en plata buena y el resto basta 1000 
milésimos, de liga; el diámetro es de 0,037 me- 
tros, de modo pues, que solo se diferencia de la 
unidad monetaria de nuestro sistema en los 2 cen- 
tigramos que tiene más de peso. 

Monedas brasileras 

Oro j 

Plata j 

Nickel j 

Cobre ) 



PROBLEMAS 

1". Se desea saber cuanfas brazas de alambre 
se emplearán (sin contar con el que se necesita 
para las ataduras etc.) para construir un cerco de 6 
hilos de dicho material, sobre las divisas de un 
campo que está limitado por el Norte, por una li- 
nea recta de 1 legua y 25 cuadras, por el Este, 
por otra de 49 cuadras y 36 brazas, por el Sud, 

(1) Esta noaeda está desmonetizada por no mencionarla el decreto número 
6143 de 10 de Marzo de 1876, 



Pieza 


de 


20000 


reis 




)> 


» 


10000 


» 




» 


^ 


5000 


» 


(1) 


» 


» 


2000 


» 




» 


% 


1000 


» 




» 


» 


500 


» 




» 


» 


200 


» 




» 


» 


100 


» 




» 


» 


50 


» 




» 


» 


40 


» 




» 


» 


20 


» 




y^ 


)►' 


10 


» 





- 278 — 

por otra de una legua y 3 varas y por el Oeste, 
por otra línea recta de 2 millas y 1 vara. 

Empezaremos por reducir la lo9gitud de cada 
linea divisoria á br^as y ol^te^dremos: 

1 leg. 25 cuads.=75 cuads.=75X60 brazas= 

4500 brazas 

49 cds. 36 brazas=49X60+36 brazas=2976 brazas 

50 cds. 3 varas=3000 brazas 3 vara8=3001 » 1 v. 

2 millas 1 vara 5=2000 » 1 » 

Suma ==12478 brazas 
Ahora multiplicado por 6 

obtendremos 74868 brazas 

Resultado; se necesita 74868 brazas de alambre. 

2^. ¿Cuánto importan 3 toneles de aguardiente 
á razón de 400 reis el cuartillo? 

Un tonel ti^ne 2 pipas, luego 3 toneles equi- 
valen á 6 pipas. Cada pipa tiene 180 cañadas, las 
6 pipas componen 1080 cañadas y como cada una 
de ellas se compone de 4 cuartillos, las 1080 for- 
marán 4320 cuartillos que á razón de 400 reis ca- 
da cuartillo, importarán 

4320 
400 



1728000 reis 

Es decir que, los 3 toneles de aguardiente im- 
portan 1728 $ 000. 

3^. ¿Cuánto importa una extensión de terreno 
compuesta de una sesmaria de campo, 2 leguas cua- 
dradas y 8 cuadras de sesmaria que se compró á 
razón de 10$500 la hectárea? 



— 279 - 

Una sesmaria de carapo=13068,0000 hectáreas 

)► legua cuadrada = 4356,0000 » 

» » )> = 4356,0000 » 

» cuadra de sesmaria= » 

á 87,1200; y las 8 forman — 696,9600 » 

Suma 22476,9600 hectáreas 

á razón de 10$500 la hectárea 

11238480 
2247696 



Importan 236008$0800000 

EJERCICIOS 

1**. ¿Cuánto importan 8 alqueires de trigo á ra- 
zón de 280 reís el medio cuarto? 

2^. 17 toneladas, 9 quintales, 2 arrobas^ 6 li- 
bras, ¿cuántos kilogramos componen? 

3°. 45 Miriámetros, 8 kilóínetros y 7 decáme- 
tros, ¿cuantas brazas componen? 

4°. Una sesmaria de campo, 2 leguas cuadra- 
das y 5 palmos de sesmaria, ¿cuántas suertes de 
estancia, cuadras y varas cuadradas de este país 
componen? 

5''. Una suerte de estancia, ¿cuántas brazas de 
sesmaria contiene? 

6". 27 leguas brasileras, ¿cuántas leguas de es- 
te país componen? 

7^. ¿Cuánto importan 12 toneladas métricas, 6 
quintales métricos y 38 kilogramos de un artícu- 
lo que se compró á 217 reis la onza? 

8®. ¿Cuánto importa un campo compuesto de 
4356,3498 hectáreas, que se compró en el Brasil á 
razón de 8$000 la braza de sesmaria? 



— 280 - 

9®. Una empresa de gas recibió 4987,67 metros 
de caños, que le cuestan 2476$875, además tiene 
250$000 de gaslos de flete, derechos de aduana, 
etc., ¿á qué precio sale el pié de dicho caño? 

LLECCiÓN XXVI 

Medidas antiguas de la República Argentina comparadas con 
las del sistema métrico decimal 



Medidas de longitud 



S61. Legua {40 cuadras) = 5196,000 metros 
Cuadra (de 150 varas)= 129.900 » 

Vara (3 pies) — 

Pié (1¿ pulgadas) = 
Pulgada (12 lineas) = 
Linea = 



0,866 

0,28867 » 

0.024055 y^^ 

0.002005 » 



MEDIDAS DE CAPACIDAD 



S6ÍÍ. Fanega 



Áridos 

= 1374977 litros 
Líquidos 



Pipa (6 batanes) = 456,0265 * 
Barril de medida = 16,0044 » 
Frasco = 2,3751 » 






— 281 — 

* Medidas de peso 

363. Tonelada de arqueo = 918,800 Kg. 

Quintal == 45,940 » 

Arroba = 11,485 » 

Libra = 0,4594 » 

Marco (¿ /¿&ra) = 229,7000 grms. 

Onza = 28,7125 » 

Adarme = 1,79453 » 

fírano = 0,049848 » 

Medidas superficiales 

S64. Lepua cuadrada = 26998416,00 m. cd. 
Cuadra cuadrada = 16874,01 )> » 
Fara cuadrada = 0,749956 » » 
Pí¿ cuadrado = 0,083328 » » 
Pulgada cuadr. = 0,0005787 » » 

Medidas de volumen 

365. Fam ctiWca = 0,649461896 m. cb. 
Pié cúbico — 0M4054144 » » 

Pulgada cúbica = 0,0000139202 » » 

Unidades mpnetapias 

S66« La unidad monetaria de la República 
es el peso de oro ó de plata. 

El peso de oro es 4,6129 de gramo de oro, de títu- 
lo de 900 milésimos de fino. 

El peso de plata es 25 gramos de plata, de tí- 
tulo de 900 inilésiinos de fino y 100 inilésimos de 
cobre, liene 37 milímetros de diáiietro. 



— 282 — 



S67. Los múltiplos y snbmúliiplos del pea 
sou los siguientes. 

Monedas de opo 



Argentino 
i Argentino 



= 5.00 pesos 
= 2.50 » 



Monedas de plata 

Unidad monetaria 1.00 peso 

Pieza de 0.50 » 

Pieza de 0.20 v 

» » 0.10 » 

» » 0.05 » 



Monedas de eobre 



Piera de 



0.02 peso 
0.01 * 



Sistema de pesas y medidas de Inglaterra 



Medidas de lon|pitud 



268. Mile (milla) 
Furlong 

Pole ó la fierch 
Fathoins ipraza) 
Yard (yarda) 
Foot (pié) 
Inch (pulgada) 



8 

40 

2é 

2 

3 

12 



furlniígs 

poles 

fathoms 

yards 

l'oots 

inch 



0,0254 metros 



Medidas de capacidad 



269. Chaldron 
Load 



12 
5 



sacks 
quarters 



- 283 

Qnarter (cuarto) 8 bushels 

ijack (sacó) 3 busheis 

Bushel 4 pecks 

Peck 2 gallons 

Gallón (galón) 2 2 pottles 

Pottie (azumbre) 2 quarts 

Quart (citartillo) 2 pints 

Piíits 0,568 litros 

Mediddas de peso (avoir du pois) 

2*70. Ton (tonelada) 20 hundredweights 
Hundredweight (quintal) 4 quarters 

Qnai'ter (cuarto) 2 stones 

Stone 14 pounds 

Pound (libra) 16 onnces 

Onnce (onza) 16 dranis 

Dram (adarme) 1,772 gramos 

PESOS DE TROY 

Para la« materias preciosas y mediea- 
mentos 

2*71. Pdund (lih^a) 12 (umces 

Onnce (onza) 20 pennywí^i^hts 

Pennywei-^ht 24 grainrí 

Grain (grano) 0,065 gramos 

Medidas superficiales 

S^S. Aero 4 roods 

Rood 1210 yardssqnares 



— 284 - 

Rod {perch squaré) 30,25 » » 

Yard square {yarda cuadr.) 0,8365 in. cd. 



UNIDADES MONETARIAS 



Monedes Ue oro 



« 



JSTíS. La guinea 21 chelines 

La media guinea 10 clieline» y 6 penc-.e 

El tercio de guinea 7 chelines 

El cuarto de guinea 5 chelines 3 penca 
{•) El soberano (í^ouve 

reing) 20 chelines 

E\ medio soberano 10 chelines 

Monedas de picata 

La corona (crotón) 5 chelines 

La media corona 2 chelines 6 pence 

■^El chelín (schilling) 12 pence (penique) 

El medio chelín O peniques 

Monedas de cobre 

El penique doble, el penique sencillo, el medio 
penique y el cuarto «penique d farthig. 



(•) Esta moneda generalmente es conocida eon el nombro de libra es- 
terlina. 



- 285 — 



MEDffiAS INGLESAS 

Comparadas con las del sistema métrico decimal 



Medidas de long^itud 



SÍT^. MUe (milla) 


1609,315 metros 


Fnrr.iiig 


201.164 


» 


Pole ola perch 


5,029 


» 


Fathora {braza) 


1,829 


» 


Yard (yarda) 


0,914 


» 


Foot (j>ié) 


0,301 


» 


Inch (pulgada) 


0,025 


» 


Kilómetro 


1093,63 y 


ardas 


Heclúmetro 


109,36 


» 


Decámetro 


10,94 


)) 


Metro 


1,09 


» 


Decímetro 


3,94 pulgadas 


Centímetro 


0,39 


» 


Milímetro 


0,04 


» 


Medidas de 


capacidad 




7£'73. Chaldron 


1308,48 


litros 


Load 


1453,90 


» 


Quarter 


290,78 


» 


Sack (saco) 


109,04 


» 


Bushel 


36,35 


» 


Peck 


9,09 


» 


Gallón 


4,54 


» 


Pottie 


2,27 


» 



— 286 — 



Quari 
Pint 



Hectolitro 

Decalitro 

IJtro 

Decilitro 

Centilitro 



1,14 
0,57 



22,01 
2,20 
0,22 
0,18 
0,02 






gallons 



pint 



Medidas de peso (avoir du pois) 

2Tr6. Ton (tonelada) 1016,000 kg. 

Hundredwei^ht (quintal) 50,802 •» 
Quarter (cuarto) 
Stone 

Pound; (libra) 
Ounce (onza) 
Dram (adorme) 



Kilogramo 

Hectógramo 

Decágramo 

Gramo 

Decigramo 



Pesos de tpoy 



STTTr. Ponnd (libra) 
Ounce (onza) 
Pennyweight 
Grain (grano) 



12,698 

6,349 

453,593 

28,349 

1,772 


» 
» 


2.205 libras 
0,221 » 
0,022 » 
0,564 dram 
0,056 » 


373.242 

31,103 

1,555 

0,065 


gramos 




^ ' L 



— 


287 


— 




Kilogramo 




2,679 libra 


Hectógramo 




0,268 


» 


Decágraino 




0,027 


» 


Gramo 




15,432 g 


ranos 


Decigramo 




1,543 


» 


Centigramo 




0,154 


» 


Miligramo 




0,015 


» 


Medidas 


superficiales 




8. Acre 




4046,72 m. 


cd. 


Rood 




1011,68 » 


» 


Rod (perch ^ 


'■) 


25,29 » 


» 


Yard squaie 


ifyar 


da ^ ) 0,8361 » 
2,4711 acres 


» 


Hectárea 






Área 




0,0247 




Área 




119,6033 yardas 


cd. 


Centiárea 




1,1960 » 


y^ 


Decimetro cuadrado 


0,0120 


» 



PROBLEMAS 



1". Conviértase 6 millas, 5 furlongs, 7 fathoms, 

foot {pié) y 8 indis (pulgadas) en metros. 

6 millas=1609,315m X6 =9655,890 m. 
5 furlongs=201,164m.X5=1005 820 m. 

7 fathoras=l,829m.X7 = 12,803 m. 
1 foot = 0,301 m 

8 inchs=0,025m.x8 = 0,200 m. 

Suma 10675,014 m. 



- 288 

Resulla que tí millas, 5 furlongs, 7 fatUoms, 

1 pié y 8 pulgadas inglesas son equivalentes ¿ 
10675,014 metros 

2^. Conviértase 4 chaldrons, 9 sacks (sacos), 

2 bushels y 1 gallón, en litros. 

4 chaldros =1308,48 I. X4==5233,92 litros 

9 sacks =109,04 I. x9= 981,36 » 

2 bushels =; 36,35 I. x2= 72,70 

1 gallón =- 4,54 > 

Snina 6292,52 litros 

Tenemos pues, que 4 chaldrons, 9 sacks, 2 bus- 
hels y 1 galhm, equivalen á 6292,52 litros. 

3°. Se compraron en Londres 2 quarters (cuar- 
tos de quintal), 8 pounds (libras), 6 ounces (onzas), 
y 5 drams (adarmes), de té bueno que costó 6 so- 
beranos el quarter, ¿Cuánto importa toda la com- 
pra? ¿A cuánto sale el kilogramo? 

Primeramente reduciremos los 2 quarters, 8 
pounds, 6 ounces y 5 drams á esta última especie, pa- 
ra lo cual, como cada quarter tiene 28 pounds, los 
2 quarters representarán 56 y más 8 que tenemos 
formarán 64 pounds. 

Cada pound tiene 16 ounces, los 64 pounds re- 
presentan 1024 ounces y más 6 que tenemos for- 
man 1030 ounces. 

Cada ounce tiene 16 drams, las 1030 represen- 
tarán 16480 drams y más 5 que tenemos torrtían 
16485 drams. 

Luego, pues, 2 quarters, 8 pounds, 6 ounces y 
5 drams, equivalen á 16485 drams. 

Del mismo modo veríamos también que un quar- 
ter equivale á 7168 drams. 

Ahora diremos, si 7168 drams cuestan 6 sobe- 



— 289 — 

ranos, 16485 drams costarán tantas veces 6 sobe- 
ranos, cnantas yeces el número 7168 esté conte- 
nido en el numero 16485, de modo que multipli- 
cando por 6 el cociente que resulte de dividir di- 
chos números, obtendremos el valor que nos pro- 
ponemos hallar. Así: 



16485 
21490 
71540 
70280 



7168 



2.2998 
X6 



57680 13,7988 soberanos 
346 

Para valuar la fracción 7988 diezmilésimos de 
soberano, procédese según la regla que se da en 
e! número SSS; de este modo: 

0,7988 

_X_20_ 

15,9760 chelines 
X12 



1952 

976 



11,7120 peniques 

Luego, el te comi)rado cuesta 13 soberanos, 15 
chelines y 11.71 peniques. 

Para hallar el valar del kilogramo de este te, 
observaremos que, equivaliendo cada dram á 1,772 
gramos, los 16485 drams de te comprados equi- 
valdrán k 16485X1^772=29211,42 gramos, ó sea á 
29,2114 kilogramos, y raciocinando lo mismo que en 
el primer caso, diremos: si 89,2114 kg. de te cues- 



— 290 



tan 13,7988 sobei-anos, un kg. costará 29,2114 ve- 
ces menos, luego, dividiendo 13,7988 por 29,2114 
obtendremos el valor itedido. Así: 



29.2114 



0,47237 soberanos 



13,79880 

2114240 
694420 
1101920 
2255780 
210982 



Por últi mo, valuando la tracción 47237 cienmi- 
lésimos de soberano, según hemos hecho antes, ob- 
tendremos tlnalmente 

0,47237 
20 



9,44740 
12 

8948 
4474 



chelines 



5,36880 peniques 

Resulta pues, que el kilogramo de te cuesta 9 
chelines y 5,37 peniques. 

A". Redúzcanse 29 hectáreas, 51 áreas, 52 cen- 
tiáreas y 40 decímetros cuadrados, á medidas su- 
perfíciales inglesas. 



29 hectáreas equivalen á 

51 áreas > » 

52 centiáreas » » 
40 dm. cd. » » 



70,66190000 acres 
1,26026100 » 
0,01284972 * 
0,00010884 » 



Soma 71,93511956 acres 



— 291 - 

Para valuar el número decimal 935U956 cien- 
millonésimos de acre, procederemos como en el 
problema anterior. 

0,93511956 acres 

3,74047824 roods 
X1210 

74047824 
148095648 
74047824 



895,97867040 yardas « 

Asi pues; 29h5152,40 centiáreas equivalen á 71 
acres, 3 roods 895,9787 yardas cuadradas. 

EJERCICIOS 

P. En el supuesto de que el acre de terreno 
cueste 5 soberanos 9 chelines, ¿á qué precio re- 
sulta la hectárea en moneda nacional? 

2^. Se ha vendido á una casa inglesa una par- 
tida de trigo compuesta de 12317 hectolitros a un 
soberano la fanega puesta en Londres, ¿á qué pre- 
cio moneda inglesa, sale el sack (saco)i 

3''. Conviértense 8 toneladas, 12 quintales, 3 
quarters y 9 drams, en kilogramos. 

4"". Conviértense 3,8049 kilogramos en pesos de 
troy. 

&". ¿Cuántos peniques representan 27 guineas, 
8 1/2 soberanos y 9 chelines? 

6^. Una pipa de vino de 455,4240 litros cues- 
ta en Inglaterra $ 75. Sp quiere conocer el pre- 



- 292 — 

cío del galón, medida inglesa, y el precio del cas- 
co, en soberanos, chelines, etc. 

V. Convertir 245 millas, 6 furlongs, 25 poles, 
2 f<»ots y 6 indis, en metros. 

8*. Convertir 17896 pesos, 859 milésimos en li- 
bras esterlinas, chelines y peniques. 

NOTA — Los cuatro problemas precedentes que acaban de re- 
solverse, así como los ocho ejercicios últimos que se proponen pa- 
ra resolver, se comprenderán mejor y se resolverán cen toda exac- 
titud, después de bien estudiadas las cinco lecciones siguientes 
que tratan de las operaciones con los números denominados. 



LECCIÓN XXVII 

Cálculo de los Números denominados 

Reducción de un número imcomplejo 
á unidades de especie inferior 



2*79* Sea reducir á unidades inferieres el nú- 
mero 3 leguas. 

Sábese que una legua tiene 60 cuadras, luego 
3 leguas tendrán 3 veces más, así pues, para re- 
ducir á cuadras el número dado bastará multipli- 
carlo por 60 y el producto 180 representará el 
número de cuadras equivalentes á 3 leguas; del 
mismo modo veremos que 

3 leguas=180 cuadras=180X100 varias=18000 
varas=l 8000x3 pié8=54000 pies 



— 293 — 

Luego, para reducir un número incomplejo á 
otro de especie inferior, se multiplica el número de 
unidades inferiores que contiene la unidad del im- 
complejo propuesto, por este considerado como abs-- 
trato. 

6 
S80. Sea reducir el quebrado — de años á 

13 
unidades inferiores. 



xl2 meses 



72 meses 
7 » 
x30 días 


210 días 
80 » 
2 » 
X24 horas 


48 horas 
9 » 
x60 minutos 


540 

20 

7 

x60 


minutos 

» 
minutos 
segundos 



1 3 



420 segundos 
30 .) 
40 
100 
9 



5 meses, 16 días, 3 horas 41'32,"307 
(Número que se busca 



— 294 - 

Del procedimiento empleado en este caso, que 
puede aplicarse á otro cualquiera, se deduce la 
siguiente regla: 

Para reditcir á complejo un qtcebrado propio de 
especie superior, se multiplica el numerador por el 
número que expresa las unidades infetnores inmedia- 
tas que contiene la unidad superior á que se refie- 
re el quebrado, este prodúcelo se divide por el de- 
nominador y el cociente entero qtce resulte expresa- 
rá el número de unidades de especie superior que 
contiene el quebrado: si 7'esulta algún residuo, se 
multiplica por el número de veces que la unidad á 
que se refiere contiene a la de especie inferior in- 
m,ediata; el producto se divide por el mismo deno 
minador, y el cociente entero que resulte expresará 
el núm>ero de unidades de segunda especie que con- 
tiene el quebrado: y asi se continúa hasta llegar á 
la última especie, si no se obtiene antes cociente 
exacto. 

23 

SSl. RedüzcasQ el quebrado impropio — de 

7 
legua á unidades inferiores. 
23 

En — de legua desde luego vemos que hay 3 
7 

2 
leguas y sobran — de legua, asi pues, después de 

7 
sacados ios enteros queda la cuestión reducida al 
caso anterior, luego tendremos 





- 295 — 


23 


7 


2 
x60 cuadras 


3 leguas^, 17cds., 14* vars., 10 puls., 

1 


120 cuadras 
50 » 
1 


3lins., 5— puntos 
7 
Número que sé busca 


xlOO varas 




100 varas 
30 » 
2 > 
X3 píes 




6 pies 
xl2 pulgadas 




72 pulgadas 
2 > 
xl2 líneas 




24 lineas 
3 » 
xl2 puntos 




36 puntos 
1 » 





;s¿82« — Sea reducir el quebrado decimal 0,37 
de quintal á unidades de especie inferior. 

Como que el quintal tiene 4 arrobas, para saber 
las arrobas que contiene el decimal propuesto bas- 
tará nMiltiplicarlo por 4; así, 0,37X4=«l,48=lí§) y 
0,48 de ®. Para averiguar las libras que contiene 
el último decimal hallado, no bay más que multi- 
plicarlo por 25 que es el número de libras que 
contiene la arroba, luego tendremos 0,48X255= 
12,00,es decir, á 12 libras justas, así pues, resulta 



— 21)6 - 

(4ue el decimal propuesto 0,37 de (|niiilal, es eqi 
valeiite á 1 arroba y 12 libras. 

Del procediiiueiito seguido en* este ejemplo, se 
deduce la siguiente: 

Keifla. — Para reducir un numero decimal 
incomp^fo á M^nidades inferiores, se multiplica por, 
el número de veces que la unidad á que se refiere 
contiene la inmediata inferior, haciéndose igual ope- 
ración con los decimales que vayan resultando, hasta 
que desaparezca el decimal ó se llegue á la última 
especie. 

La operación se dispone del modo siguiente. 

Sea por ejemplo reducir 0,456 de legua á uni- 
dades de especie inferior. 

0,456 
X60 cuadras 



27,360 cuadras 
XlOO varas 



36,000 varas 



De donde resulta que 0,456 de legua equivalen 
á 27 cuadras y 36 varas. 

SS3. — Reducción de un número incomplejo 

Á UNIDADES DE ESPECIE SUPERIOR. 

Redúzcase á unidades superiores el incomplejo 
531 pies. 

1 
Un pié es igual á — de vara, luego 531 pies 
3 
1 531 

equivaldrán á 531x~varas= de vara=177 va- 

3 3 

ras; de modo que, para reducir un número incom- 
plejo á unidades de especie superior, se divide el 



— 297 ~ 

numero dado por el número de veces que su unidad 
está contenida en la de la especie mayor. 

Para reducir días á meses, se divide el numero 
que expresa los días por 30; el cociente represen- 
tará meses. Para reducir onzas á libras, se divide 
el número que expresa las onzas por 16: para re- 
dncii frascos a barriles, se divide el número que 
representa los frascos por 32; etc. 

Si resulla que la división no da cociente exacto, 
el resto será evidentemente de la especie del di- 
videndo; en este caso, el cociente más el resto 
formarán un número complejo equivalente al in- 
complejo dado. f 

Sea por ejemplo, reducir el incomplejo 14 arro- 
bas á unidades de especie superior: tendremos. 



14 

14 (8) = - qq = 3 qq 2 ®. 
4 



El número 132 días equivale á 4 meses y 12 
días. • 

Redúzcase el número incomplejo 1436 onzas á 
unidades superiores. 



1436 

156 
onzas 12 



16 



89 libran 
14 » 



25 



3 arrobas 



Luego 1436 onzas equivalen á 3® 14 libras y 12 
onzas. 

. Otro ejemplo: sea reducir 134578 pulgadas á 
unidades superiores. 



— 298 — 



134578 


12 


14 


11214 


25 


22 


17 


11 


58 


24 


pulgadas 10 


pies 



3738 

738 

varas 38 



100 



37 cuadras 



Luego 134578 pulgadas equivalen á 37 cuadras, 
38 varas y 10 pulgadas. 

Cuando el número ¡ni-onriplejo que se quiere 
reducir á unidades superiores da por resultado otro 
número que á su vez contiene unidades superiores 
á las que representa, se procede como se ha visto 
en los dos últimos ejemplos, por cuyo medio, se 
trasforma un número incomplejo de especie infe- 
rior en complejo, para lo cual, se reduce el nú- 
mero propuesto á la especie inmediata superior y 
el residuo será el número de la especie inferior del 
complejo que se busca. Enseguida se reduce el 
cociente entero que se haya obtenido, á la especie 
superior siguiente, y el residuo expresará las uni- 
dades de especie inmediata á las inferiores del 
complejo, y se continúa de este modo hasta que 
el cociente entero no tenga unidades superiores. 

Sea reducir á complejo el número incomplejo 
86314 cuartas. 



86314 
6 


4 

21578 frascos 
237 
138 
10 frascos 


32 




23 


674 barriles 
07 
14 
2 barrí les 


6 • 


31 
34 
2 cuartas 


112 pipas 



Luego, 86314 cuartas equivalen á 112 pipas, 2 
bañiles, 10 frascos y 2 cuartas. 



— 299 — 

SS4. Reducción de un número complejo á in- 
complejo DE una especie DIFERENTE DE LA MENOR. 

Sea reducir á libras el complejo 2® 12 libras 8 
onzas 6 adarme». 



■ 2 
25 


libras 

» 

libras 

onzas 

» 

unzas 

adarmes 
» 

adarmes 


1 lb.=16 onzas 
xl6 


50 

+12 


96 
16 


62 

xie 


256 adarmes 


372 
62 




992 
+8 

1000 
Xl6 




16000 1 
+ 6 

16006) 





Reduciendo el complejo á su menor especie, 
vemos que equivale á 16006 adarmes, y como la 
libra tiene 256 adarmes, tendremos que dividiendo 
los 16006 adarmes por 256, el cociente expresará 
las libras que contiene el número propuesto, luego 

16006 8003 
resulla que 2® 12 Ib. 8 onz. 6 adar*. =■ 



256 



de libra. 



128 



— 300 — 

LECCIÓN XXVlll. 

Adición de los números concpetoa. 

3S5. En la adición de los números concretos 
86 distinguen dos casos; 1". que los sumandos sean 
números incomplejos; 2'. que sean números comple- 
jos. 

2 1 

1". CASO. Sea sumar 8 libras, 13 — libras ,22 — 

5 8 

4 
libras y 7 — libras. 
9 

8 
2 144 

13- — 

,5 360 

1 45 

22- — 

8 360 
4 160 

7— — 

9 360 

349 349" 

50 — .; 

360 360 

349 

La suma se compone de 50 libras y de li- 

360 
8 
bra ó sean 50 libras, 15 onzas 8 — adarmes (SSO). 

45 
2". CASO. — Sea sumar 45 cuadras 36 varas y 



L. i 



- 301 — 

2 pies, con 87 varas 1 pié y 8 puntos, con 92 
cuadras 64 varas 7 líneas, con 10 pulgadas 9 lí- 
neas 11 puntos. 

La operación se dispone escribiendo unos su- 
mandos debajo de los otros de modo que las uni- 
dades de la misma especie de cada sumando se 
correspondan y se suman sucesivamente los núme- 
ros de la misma especie, principiando por los de 
especie inferior y si de estas sumas parciales re- 
sulta una ó más unidades de la especie inmediata 
superior, se guardan para sumarlas con los núme- 
ros de su especie y debajo se escriben las unida- 
des inferiores que sobran. Asi: 

45 cuadras 36 varas 2 pies 

87 » 1 » Í8 pun^ 

92 > 64 > 7 lín« 

11 pulg^ 9 » 11 pun 



138 cuadras 88 varas 1 pié O pulg". 5 lín^ 7 pun^ 

Otro ejemplo; súmense ^ 

6qq., 3®, 8 Ib., 6 onz., 9adar«. 

3 18 
9 * 2 » 14 » 7 » 8— »...— 

4 > 24 

5 » 10 
4 > 2 » 23 » 11 » 6— »...— 

12 > 24 

7 > 21 
12 * 1 » 19 * 8 :> 10— >...— 

8 > 24 

i 49 

31 qq.,8®, 64 1b.,32onz.,35— aíK..— ó sean 

24 24 



— 302 - 

1 
1 ton., 13 qq., 2® 161b., 2onz., 3— adarmes 

24 
Se suman los adarmes como se ha dicho en e) 
número 144, al tratar de los números mixtos. 

El segundo caso puede reducirse al primero, 
trasformando los números complejos en incomple- 
jos de la misma especie, pero es preferible sumar- 
los en la forma que lo hemos hecho. 

Sustracción de los númepos concretos 

S8G» En la sustracción de los números concretos 
distinguiremos también dos casos; 1*. cuando los núme- 
ros dados son incomplejos: 2*. cuando son complejos. 
P*". CASO. Para restar de un número incomplejo 
otro tanibién incomplejo, se procede como si los dos 
números fuesen abstractos, la diferencia será siem- 
pre de la especie de los datos. 

Si los números dados no son de la misma espe- 
cie, se reducirá uno cualquiera á la especie del otro. 

3 
1«. Hállase la diferencia entre 14— cuadras v 

5 



11 








— cuadr< 
13 


as. 

3 


39 


104 




14—. 
5 
11 


"65* 
55 


"'65 
55 




9- . 
13 


. * . *"■" • 

65 


"65 




49 
4 .. 




49 




65 




"65 



303 — 



49 



Ahora valuando el quebrado— de cuadra, halla- 

65 
3 11 

remos que la diferencia 14 9 — es igual á 4 cua- 

5 13 
2 
dras 75 varas 1 pié 1 pulgada 5^ 10 — líneas. 

13 
2\ Hallar la diferencia entre 3 arrobas y 14 
libras. 

Reduciendo las arrobas á libras tendremos que 
las 3® equivaldrán á 751b, ahora restando de 75, 
14 obtendremos 61 Ib que es la diferencia pedida. 
También hallaremos la misma diferencia reducien- 
do el sustraendo 14 libras á arrobas, y haciendo 
enseguida la sustracción; así: 



14 75 14 61 

— = — =:= - ia)=61 libras 



25 



25 



25 



3^. ¿Que diferencia existe entre 15 cuadras y 763 
metros? 



Reduciendo el minuen- 
do á metros 

15 cds.=15X85»°9=1288™5 
763 



Diforencia=525™5 



Reduciendo el sus- 
iraendo á cuadras 

15 

763 níetros= 8.88 



Dif. en cuadras= 6.12 



Y si se «|uiere con mas exactitud la diferencia 
en cuadras, procederemos así: 



304 — 



7630 12885 

15 = 

859 859 



7630 5255 

= cuadras 

859 859 



5255 
10100 
1510 
651 

3i 

1953 

235 

12 



859 



832 



6cdr». 11 VI". 2piés3puly*3liii». 4— puní». 

859 



470 
235 

2820 

243 

12 

486 
243 

2916 

339 

12 



678 
339 

4068 
832 



La diferencia expresada en cuadras y subdiviso- 
res de cuadra es igual á 



:ÍÍJ 



- 305 — 

832 
6 caad\ 11 var\ 2 pies 3 pulg^ 3 lin«. 4 — punS 

859 
2' . CASO. — Para restar un número complejo de 
otro también complejo, se restan todas las unida- 
des del sustraendo de las de la misma especie del 
niinuendo, empezando por las de especie inferior. 

Si álii:nn sustraendo parcial es mayor que el 
minuendo respectivo, se añade á este una unidad 
de la especie superior inmediata, añadiéndole otra 
de i,'-»ual clase al sustraendo para que la diferencia 
nn se altere (54). 

1^. Hállese la diferencia entre 3 (§) 8 Ib. 9 (»nz. 12 
adarm^ y 15 Ib. 12 onz. 8 adal^ 

3 ® 8 Ib. 9 onz. 12 adar^ 
15 » 12 » 8 » 



2 ® 17 ib. 13 onz. 4 adarmes 

Digo: de 12 adaruics restando 8 adarmes (|ue- 
dan 4 adarmes; de 9 onzas no se puede restar 12, 
añado á las 9 onz. una libra ó sean 16 onzas y 9 
fornmn 25 de las que restando 12 quedan 13 onz. 
Añado ahora una libia al sustraendo parcial 15 
libras y tendré 16, las qne no ¡uieden restarse de 
las 8 del minuendo por lo que le añadiré una arro- 
ba ó sean 25 libras y tendremos 33 libras, de las 
cuales restando 16 quede 17 libras; añado ahora 
1 @ al sustraendo la (^ue restada de las 3 del mi- 
nuendo quedan 2 ariobas; de modo que. la dife- 
rencia éntrelos números dados es de 2 (a: 17 Ib. 13 
onz. y 4 adar. 

2". Réstese de 2 millas 4 cuadras y 59 varas, el 
número 17 cua<lras y 48 varas. 



— 306 — 

2 millas 4 cuadras 59 varas 
17 » 48 » 

Diferencia 1 milla 7 cuadras 11 varas 

Al minuendo parcial 4 cuadras se le agrega una 
milla ó sean 20 cuadras para que sea posible la 
sustracción, y para que la diferencia no se altere, 
le añadimos una mijla también al sustraendo. 

3®. Sea restar 3 horas 24 minutos 15 segundos, 
de J2 horas 

12h 
3h 24' 15" 



8h 35' 45" 



Los principiantes pueden hacer esta sustración 
con más facilidad, descomponiendo una unidad 
del minuendo en complejo de todas las especies 
del sustraendo, asi; 

llh 59' 60" 
3h 24' 15" 



8h 35' 45" 



4". De una pipa de vino se han vendido 2 barri- 
les 8 frascos y 3 cuartas. ¿Cuánto vino queda en 
la pipa? 

5 barriles 31 frascos 4 cuartas 
2 » 8 » 3 » 



Restan 3 barriles 23 frascos 1 cuarta. 
5«. ¿Qué edad tiene hoy 12 de Diciembre de 



J¿Aife^ 



— 307 — 

1892 una persona que nació el día 21 de Setiem- 
bre de 1853? 

Tiempo trascurido desde Jesú-Cristo hasta hoy 

1891 años 11 meses 12 días 

Id. hasta el nacimiento. .1852 » 9 » 21 » 



Edad 39 años 1 mes 21 días 



28*7. Los problemas análogos á este último se 
resuelven restando el tiempo trascurrido desde el 
principio del siglo en que sucedió un hecho cual- 
qniera,del tiempo trascurrido desde el principio del 
mismo siglo hasta el díaen que se propone la cuestión. 

Por ejemplo, propongámonos averiguar el tiempo 
que ha trascurrido entre el descubrimiento de Amé- 
rica por C. Colón y el día en que se proclamó la 
independencia de este pais. 

424 años 7 meses 24 días 
91 » 9 » 11 » 



332 años 10 meses 13 días es el tiem- 
po que trascurrió. 



LECCIÓN XXIX. 



Multiplicación de los númepos concretos 

SÍ88. Eli la inultiplicación cíe números con- 
cretos se tomará por multiplicando el factor que 
es de la misma especie que el producto que se 
busca, por consiguiente el multiplicador tendrá que 
ser siempre considerado como abstracto: en efecto, 



— 308 ~ 

supongamos que el valor de una fanega de maíz- 
es de 25 reales, y se quiere hallar el valar de 6 
fanegas del misino cereal; el multiplicando tendrá 
que ser necesariamente 25 reales porque es de la 
especie del producto que buscamos y el multipli- 
cador, el numero 6 considerado como abstracto, 
pnes á nada nos conduciría multiplicar 25 reales 
por O fanegas de maiz, porque nada significa re 
petir 25 reales 6 fanegas veces ó 6 veces ÍMuega; 
pero, multiplicando 25 reales por 6 obtendremos 
el valor de las 6 fanegas porque habremos repe- 
tido el valor de una fanega 6 veces. 

Solamente ocurre en la geoinetria la resolución 
de problemas de multiplicación de niiineros con- 
cretos en que el multiplicador no se considera 
abstracto. 

Como por ejempl(), si los dos factoriiís expresan^ 
medidas longitudinales el producto representará 
unidades de superficie. 

Asi 25 metros xlO metros es ignal á 250 me- 
tros cuadrados. 

L<»s factoies pnoden sor de diferente especie, 
uno puede representar unidades super^ficiales y el 
otKí unidades lineales, en tal caso el pi'odncto re- 
pres(ínlará unidades cúbicas, 

PííT ejemplo; 2,35 metros cuadrados x 1,04 me- 
tros lineales, es ignal á 2,444 metros cúbicos. 

Siendo tres los factores de una misma es[>ecie 
y expresando todos unidades longitudinales, el pro- 
ducto representará también unidades cúbicas. 

Por ejemplo; 3 piésX2 piésX5 pies, será igual 
á 30 pies cúbicos. 

Estes son los únicos casí»s (|ue pueden ocurrir 
en la multiplicación de números concretos en que 
el multiplicador no se considera abstracto. 



— 309 — 

SS9« El problema general que con mas fre- 
cuencia se resuelve en la multiplicación de los nú- 
meros concretos es el siguiente: 

Conocido el valor de una unidad^ hallar él de un 
número cualquiera de unidades de la misma especie* 

S90. En la multiplicación de los números con- 
cretos se pueden distinguir cuatro casos: 1". mul- 
tiplicar un número incomplejo por otro incomplejo: 
2". multiplicar un número complejo por un incom- 
plejo: 3". multiplicar un número incomplejo por un 
complejo: 4**. multiplicar un número complejo por 
otro complejo. 

l*^^ CASO — 1". Cnanto importan 8 arrobas de 
arroz, costando cada una 22 reales? 

Si una arroba cuesta 22 reales, 8 arrobas cos- 
tarán 8 veces más; asi pues, multiplicando 22 por 
8, el producto 17G reales expresará el valor de las 
8 arrobas. 

Luego, para multiplicar dos números incomple- 
jos se multiplican como si fuesen abstractos, y la 
especie del producto se determinará por las con- 
diciones ilel problema. 

2'. Hállase el valor de 15 pies cuadrados de 
terreno, costando la cuadra cuadrada 86457 pesos. 

El n)ultiplicando es 86457 pesos, porque es de 
la misma especie del producto que buscamos, pero 
el multiplicador no puede ser 15 porque multi- 
plicando 86457 valor de una cuadra, por 15, ob 
tendríamos el valor de 15 cuadras cuadradas, en 
vez de 15 pies cuadrados que buscamos; asi pues, 
debemos empezar por reducir el multiplicador á 
cuadras (2ÍS3), y como 15 pies cuadrados com- 
15 

ponen cuadras cuadradas, la operación se 

90000 



— 310 — - 

15 

reduce ahora á multiplicar 86457 por =14,4095 

90000 
pesos 

3o. Una pipa de vino tinto cuesta 86 pesos, 
¿cnanto costarán 9 hectolitros? 

Un hectolitro es equivalente á 0,2196 de pipa, 
luego 9 hectolitros equivaldrán á 0,2196 multipli- 
caoo por 9 ó sea á 1,9764 pipas, asi pues, el pre- 
cio de los 9 hectolitros se obtendrá inuliiplicando 
los 86 pesos por 1,9764. 

1.9764 

86 



lia584 
158112 



169,9704 
Resultado; 169,9704 pesos. 

En este iiltirno ejemplo aunque el multiplicando 
es 86 pesos, al ejecutar la operación lo hemos t(»- 
mado por niultiplicadí>r para facilitar la mnltipli- 
cación (GG). 

391. 2^ CASO — 1". Hállase el peso de 115 fa- 
negas de trigo, sabiendo (jue una fanega pesa 8 
arrobas 15 libras y 6 onzas. 

El multiplicando es 8 (a) 15 Ib 6onz. y el multipli- 
cador 115; ahora bien, sabiendo que una fanega 
tiene el peso expresado, el correspondiente á 115 
fanegas será 115 veces mayor, luego haciendo 115 
veces mayor cada una de las partes que componen 
el peso de una fanega, habremos resuelto el pro- 
blema. Así 



~ 311 — 

8 @ 15 Ib 6 onz. 
X115 

920 @ 1725 Ib. 990 onz. 

ahora reduciendo las añidióles inferiores que han 
resultado en los productos parpialest, á unidades 
superiores, resultará que el peso de las 115 fane- 
gas es de 990 @ 181b. 2 onz. 

2**. — 15 carretillas emplearon 9 horas .27 mi- 
nutos y 43 segundos en trasportar cierta cantidad 
de ladrillos desde un punto a otror Para trasportar 
el mismo número de ladrillos una sola carretilla, 
¿cuanto tiempo empleará? 

Obsérvase que, en el supuesto de que ,tp4as las 
carretillas cargaron igual número de ladrillos y 
emplearon el mismo tiempo en transportarlos, es 
evidente que una sola carretilla empleará 15 ve- 
ces más tiempo, pues tendrá que hacer ella sola 
el trabajo de 15, luego el problema quedará re 
suelto hallando el producto de 9h 27' 43" por 15. 

9h 27' 43" 
15 



135h 405' 645" que equivalen 
á 141h 55* 45" 

3*». — Una locomotora recorre 14 leguas 25 
(tuadras y 76 vaias en una hora, ¿que distancia re- 
correrá en 24 horas? 

14 leguas 25 cuadras 76 varas 

24 

336 leguas 600 cuadras 1824 varas 
346 leguas 18 cuailras 24 varas 



— 312 ~ 

1 
4*. * Si un frasco y 2— cuartas de vino valen 

3 
1 peso, ¿cuántos frascos se comprarán con 1475 
pesos? 

1 frasco 2— cuartas 
3 
X1475 



2 

1475 frascos 3441 — cuartas 
3 
2 
1561 fi-ascos 1 — cuartas 

3 

2 
Se comprarán 1561 frascos 1 — cuartas. 

3 

S9SS. De los ejemplos precedentes se deduce 
que para multiplicar un número complejo por otro 
incomplejo se multiplican todas las especies de uni- 
dades del multiplicando por el multiplicador, empe- 
zando por la especie inferior y si en algún producto 
parcial resultan unidades de la especie superior in- 
mediata, se agregan al producto siguiente. 

Esté segundo caso puede reducirse al primero 
trasfornnando el numero complejo á inct niplejo, y 
luego se procede ccmio se lia indicado para aquel 
caso. Este |)roce(limiento generalmente no se em- 
plea sino cuando el incomplejo es frac<-i()iiar¡o. 

S93. 3**'. CASO. — Costando una cuadra cua- 
drada de teri-eno 8346 pesos, ¿cuánto costarán 5812 
varas^, 2 pies* y 9 pulgadas*? 



— 313 — 

Reduciendo el multiplicador á incomplejo de 
cuadra resultará que 

7532640 

5812 varas* 2 pies* 9 pulgadas* = da 

12960000 
5231 

cuadra cuadrada = de cuadra cuadrada. 

9000 

Luego, el valor que buscamos se obtendrá mul- 
tiplicando el precio de la cuadra por la fracción 
de cuadra que queremos hallar. Así: 

5231 8346x5231 

8346X - = =4850,8806 pesos 

9000 9000 

2^. Si en un dia se andan 32. l^ilómetros, ¿cuán- 
tas leguas se andarán en 8 dias, 6 horas y 17 mi- 
nutos? 

Reduciremos primeramente el multiplicador á 
incomplejo de días y tendremos 

11897 

8 días 6h 17'= de día 

1440 



Ahora multiplicando los 32 kilómetros por el 
quebrado que representa los días que se emplea- 
rán en caminar, tendremos el número de kilóme- 
tros que se podrán recorrer en el tiempo expresado, 
tos cuales se reihiceti después á teguas y quedará 
el problema resuelto .. 



-?r 



- 314 — 

11897 

32X =^264,3777 kilómetros equivalentes á 

1440 
51 leguas» 17 cuadras y 40 varas. 

También se podía haber reducido los 32 kiló- 
metros á leguas y multiplicar ese número por el 
quebrado que representa l08 dfas, asi: 

32 kilómetros=6,208 de legua: luego tendre- 
mos que 

11897 

6,208X = 51,29 legüas=51 leguas, 17 cua- 

1440 
dras y 40 varas, cuyo resultado es idéntico al an- 
terior. 

S94. — De los dcjs ejemplos precedentes se 
deduce que, para multiplicar un numero incomplejo, 
por un número complejo, ae t^educe el complejo á 
incomplejo y se multiplican como se ha explicado 
para el primer caso. 

4Í95. 4*^ CASO — Si una raneí¿:a *le tri-^^o pesa 
8'S)9 libras 7 on/., cuanto pesarán 5 fanegas y 3 
cuartillas? 
Pesarán 

3351 

(8(a! 9 1b. 7(»nz.) x (5 lánoga^ 3 (:uHrtillas) = ® 

400 
23 77073 

X— =. (8)= 48 iai 4 Ib. 4 onz. 4 adarmes. 

4 1600 

Luego vemos que, para multiplicar un cumpUjo 
por otro compU¡J0i se reducen á incomplejos y se 
multiplican como estos. 



— 315 - 



LECCIÓN XXX. 



Multiplicación de los números <M>ncpetos 
pop el método de las partes alícuotas 

SS06. Cuando un número divide exactamente á 
otro se dice que es factor ó parte aUcuota de aquel 
número. 

Así 5 es factor ó parte alicuota de 15; 6 lo es 
de 18, etc. 

99*7. La multiplicación de los números con- 
cretos, cuando alguno de los factores es complejo, 
ó los d.)s, puede hacerse descomponiendo un factor 
en partes alícuotas las unas de las otras y hallando 
sucesivamente el valor de cada una de estas par- 
tes, empezando por hallar el de las unidades de 
especie superior. La su. na será el valor pedido. 

Multiplicación de un número incom- 
plejo por un complejo. 

P^ Ejemplo: averigüele el valor de 8 arrobas 
16 Ib. 6 onz. de un articulo que cuesta 25 reales 
la arroba. 



~ 316 — 

La (»peración se dispone del modo siguiente. 

25 reales 
8 @ 16 Ib. 6 onz. 

8 '® =200 reales 

1 
5 lb.= — @ = 5 » 

5 
10 »= 2 X 5 Ib = 10 » 

1 

1 :^s= -de 5» = 1 » 

5 
1 

4 onz. = — Ib = 0,25 » 

4 
4 

2 onz. = — onz. = = 0,125» 

2 

Resultado = 216,375 reales 

Para hallar el valor de 8 ®, multiplico 25 rea- 
les que es el precio de una arroba por 8, y el 
producto parcial 200 reales será su valor. 

Ahora para hallar el valor de las 16 libras, se 
discurre de este modo; si en lugar de tener 16 
libras tuviéramos solamente 5 libras, valdrían la 
quinta parte de lo que cuesta una arroba, es decir 

1 
que el valor de 5 Ib es — de 25 reales, ó sean 5 

5 
reales que escribo debajo de los 200 que importan 
las 8 @. 

Conocido el valor de 5 Ib. fácilmente hallaré 
el de 10 Ib. que es el doble del primero d sean 
10 reales; asi como 1 Ib, valdrá la quinta parte 



— 317 — 

de lo que cuestan 5 Ib, es decir, 1 real, cuyo valor 
escribo unos debajo de otros para sumarlos luego. 
Ya beiifos tuillado el valor de 5+10-1-1 libras ó sean 
de las 16 que tenemos en el multiplicador; abora para 
bailar el valor de las 6 onzas, calcularemos primera- 
mente el valor de 4on2. ó sea de i da Ib., y vemos que 
es igual á 0,25 reales, y luego el 2 de onzas, que es la 
mitad de este último valor hallado, ó sean 0,125 rls. 

Sumando todos los valores hallados resulta que, 
las 8 @, 16 Ib., 6 onzas, á razón de 25 reales la 
(§), importan 216,375 reales. 

2^. Vamos ahora á resolver por este método 
el 2"". problema del número S9o* 

2"". Si en un día se andan 32 kilómetros, ¿cuántas 
leguas se andarán en 8 días, 6 horas y 17 minutos? 

32 
8 dias 6 horas 17 minutos 

Producto por 8 256, kilómetros 

1 
6h. t= -^ día 8, » 

4 

1 
Ih. = — de 8 Km . if333 (valor auxiliar) 

6 

1 
10m.= — de hora. ... 0,222 kilómetf*os 

6 

2 
6m. = — debora.... 0,133 * 

10 

1 
lm.= - de 6 m. ... 0,022 » 



264,377 kilómetros 



— 318.— 

que «es exactameiite el valor que ohaliiimos por el 
otro método^ faiiando solo rediicir los kilómetros 
á toguat^eamo-^e ihiao en el número IS93. ^ 

Ea 4a resolución .deiitesteúltímo» problema aos 
ha *eofiTeiiido< hallar el valor «uxiltar de 1 hora» 
para deducir 4aega> coa i fácil idiadi el valor de. los 
17 mtnulosrdespirta :de lo cual se tacha, dicho va- 
lor paiMi' que no. sirvA de confusión al practicar, 
la suma total. 

3 
3^. ¿Cuánto importan 8— pipas . de vino, cos- 

4 
tando cada pipa<^9S:^esos? 

92 pesos 
8 i 

Valor de 8 pipas = 736 pesos 

Valor dü - de » =23 m 

4 

2 
Valor tle — de » =s 46 » 

4 



Kesirttado ¿= 805 pesos 

29S. Del procedimiento seguido en estos úl- 
timos ejamplps, se deduce que: 

Para multiplicar un número incomplejo por otro 
complejo, se multiplican las unidades de especie supe- 
rior del multiplicador pord multiplicando; las de espe- 
cie inferior se descomponen en partes alícuotas de la 
unidad de especie superior^ ó de otra cuyo valor sea ya 
conocido^ y se toman iguales part&i alicvotas deLmul- 
tiplicando ó de dichos valores conocidos. La suma 
de todos los valores asi hallados , (omitiendo los auwi- 
liares) será el producto toial. 



— 319 — 

Multiplicación de un complejo, por un 
incomplejo 

299. 1"*. Averigüese cnanto pesarán 4 barri- 
les de vino, sabiendo que una pipa pesa 45 @ 13 
Ib. y 9 onz. 

45 (§), 13 Ib., 9 onz. 
4 



3 barriles = i pipa =22tS), 191b.,4 onx., 8adar. 
1 barril = i de 3 bar. = 7 », 14 », la » , 2 § » 



Kesultado =30®, 91b.,0onz., 10|ad». 

2*^. 15 carretillas emplearon 9 horas, 27 minu- 
tos y 43 segundos ea trasportar cierta cantidad 
de ladrillos de un punto á otro. ¿Para traspor- 
tar el mismo número de ladrillos una sola carre- 
tilla, cuanto tiempo empleará? 







9li. 


,27' 


,43" 




cto por 9h.== 


15 






du 


135 horas 


» 


» 20' = 


5 


» 


{igttal á i de hora) 


» 


» 5' = 


1 


» 


15' 


» 


» r = 






15' 


» 


» r = 






15' 


» 


» 30" = 






7' 30" 


» 


» 10" = 






2' 30" 


» 


» 1" = 






15" 


» 


» 2" = 






30" 




Resaltado 


141 horas, 55' 45" 



— 320 — 

SiO€K . Uei procedí iBÍetil<» <)iiipl«a<to en la re- 
solución de los dos úlliiiios prol)leiiias, se deduce ia 
regla siguiente: 

Pat'a mtUtiplicar un número compilo por otro 
incomplejo, se multiplican las unidades de especie 
superior del multiplicando por el multiplicador; las 
de especie inferior se descomponen en partes alícuo- 
tas de la unidad de especie superior ó de otra cu- 
yo valor sea conocido, y se toman igicales parales ali- 
ctwtas del multiplicador ó de la unidad cuyo valor 
sea ya conocido. La suma de todos estos valores (omi- 
tiendo loa auviliares) será el producto total. 



MultiplÍ4*aeióii de un complejo por 
oti'o complejo 

301. 1*. Hállese el poso de 5 rane¿¿:as y 3 
(MunUllas de trigo, en til supuesto de que una la- 
uega pesa 8 ®, 9 Ib. v 7 onzas. 

Se íleierminará, prinieraniente, oi peso de las 5 
fanegas, paní lo cnal nniltlplicarenios t^ dn el mul- 
tiplicando pnr 5. como se ha hecho en I(ís ejotn- 
plos anteriores, y luego hallaremos el pesci de las 
3 cuartillas, (K^scoiriponiémloJíis en 2 cuartillas, ó 
sea media fanega, y en 1 cuartilla, cuycís vahues lia- 
llaiemos tomando i de 8 ®, 9 1b., 7 onzas, (jue es 
lo que pesa una fanega, y después lomando la mi- 
tad del valor que resulte para la i fanega íendre- 
m<»s el valor de 1 cuartilla. 



— 32t — 
La operación se dispone del inodu siguiente: 





cío por 8 ® 

1 
5 Ib. = — (§) 

5' 
1 » 




8 ig), 9 ib., 7 onzas 
5 fanegas, 3 cuartillas 


cr. /Produ 

<D 

c —por 


= 


40 (S) 
1 » 


51b. 


-] 


3 » 

1 


= 




15 » 


<i5 1 — » 

r/}\ )^ 


4 ohz. = — Ib. 

4 
1 » * 


z 




1 » 4 onz. 
5 » 


a. \^— » 


¿ .) 


7= 




10 » 


Valor de 

» » 


2 cuarlillas 
1 


= 


4» 

2» 


4 » 11 » 8adr«. 
2 » 5 » 12 » 



Resultado = 48 ®, 4 Ib., 4 onz., 4 adr^ 

2°. Una locomotora recorre en una hora 18 le- 
guas, 8 cuadras, 15 varas, 2 pies y 9 pulgadas.— 
conservando siempre igual velocidad, ¿cuánto an- 
dará en 15 horas, 25', 35"? 



— 322 — 



En una hura 18 legs., 8 cuad., 15 varas, 2 pies, 9 palg. 
15 h. 25' 35" 



/Producto por 18 leg. ^=270 leg. 
/ 1 

2 / — por 6 cuad. =— » = I » 30 cd. 

"' 10 



^^ 1 


» 


2 » = 




30 


» 






í2 1 — 


» 


1 » = 




15 


» {auoeiliar) 




1 




1 












c 1 


» 


10 vars. =— cd. s= 




1 


» 50 V». 






O 1 




10 












3 A. 


> 


5 » = 






75 » 






o 


» 


1 » = 






15 » 


(attówWar) 


o 




1 






j 






CD 
















Um 


» 


1 pié =— V". = 






5 » 






■^ 




3 












*3 

ce — 


» 


1 » = 






5 » 






3r 




1 












Í3Í 

1 


» 


6 plllg. =— pié a= 

2 






2 » 


1 p. 


6 pulg. 


\- 


» 


3 » = 






1 » 


» 


9 


1 

Valor de 20' = — de Iwna = 


6 


» 2 


* 71 » 


2 » 


11 » 






3 
1 












» 


» 


5' = — de 20' = 
4 

1 


1 


» 30 


» 67 » 


2 » 


16 » 


» 


» 


r = _de 5' = 
5 

1 




» 8 


» 13 » 


1 » 


iO tt 


» 


» 


30" = — de r = 
2 




9 


» 6 » 


2 » 


5 » 


» 


» 


5" = 




1 


» 51 » 


» 


5 > 



Resultado =279Ieg., 46cd ,51 vs., 1 p., 7 pulg. 



— 323 - 



3*. iCuátito importan ^O— cuadras cuadradas 

7 
4 
de terreno, á razón de 18 — p<wo8 la cuadra cu»- 

5 
drada? 



Una cuadra vale 18— pesos 

5 

3 

20- 

7 



Valor 

de las 

20 cuadras 



Producto por I 18 =s 360 pesos 

1 
— por — de peso =4 » 

5 

3 
- » — . » » = 12 » 

5 

1 24 
Valor de — de cuadra »» 2 — » 

7 35 

2 48 

7 35 » 



Resultado 384— pesos 
35 



30S. Del procedimiento observado en estos 
últimos ejemplos, se infiere que: 



— :í24 - 

Para multiplicar un númet^o complejo ó incom- 
fjkrfo*por oirQtCMnple^^ se multiplica todo el muí- 
aplicando po7' las unidades de especie superior del 
multiplicador, como .se eúcpUcó en los problemas de 
los* numtfñéi amterioreh; la^ .unidades, de es /necee in* 
ferior se descomponen en. par íes alícuotas de la uni- 
dad de especie superior, ó de otra cuyo valor sea co^ 
nocido, y se toman iguales partes alícuotas del va- 
lor de la unidad de especie superior ó de la otra d^ 
valor conocida.. La su^ma de todos estos valores par- 
ciales (omitiendo hs auxiliares) será el producto to- 
tal. 



LECOIflN XXXI 

División do los IlÚIIlá^ros e< neroljMS 



303. En la división de los ninneros concretos 
se distinguen dos casos: 1". dividir un número com- 
plejo por (tro inconipíejo. 2^ dividir un núnnero 
complejo ó incomi)lejo por otro complejo. 

304. ^^ Caso.- Problema P. Tenemos 45 
@, 12 11)., 9 (nzíjs de carne para repartir entre 49 
pobres, ¿cuánto les toca á cada uno?. 



45 if, \¿ Ib., 9 onzas 
25 



- 325 
64 



225 

90 



1 125 Ib. 


12 


» 


1137 


Ib. 


497 


» 


49 


» 


16 





784 onz. 


9 


» 


793 (mt. 


153 


)) 


25 


» 


16 




150 




25 




400 




16 


1 



1 

171b., 12 onzas, 6 — adars. 
4 



Explicación. Para repartir la can- 
tidad de carne expresada, empezáre- 
inos por distribuir las arrobas que te- 
nemos; pero como no son más que 45, 
no alcanzan para entregar una arroba 
á cada pobre. Así, pues, reducimos las 
294 arrobas á libras, multiplicándolas por 

49 25, y nos dan 1125, n)ás 12 que tene- 

MKíS en ei^ dividendo, forman 1137 Ib., 
las cuales repartidas entre 64 les to- 
ca á cada uno 17 Ib., y sobran 49 que 
se reducen a onzas para poderlas re- 
partir, para lo cual las multiplicamos 
por 16, y producen 784 onzas, más 9 
que tenemos en el dividendo, forman 
763 onzas, que repartidas entre 64 les 
toca á cada uno 12, y sobran 25 on- 
zas, e(|uivalentes á 400 adarmes^ los 
que repartidos entre 64 les correspon- 
de á cada uno 6 4 adarmes; luego hay 
que entregar á cada pobre 17 Ib., 12 
(j^ ^ onzas, 6 \ adarmes. 



2**. Si un móvil recorre en 12 minutos, con mo- 
vimiento uniforme, una distancia de 3 leguas, 25 
luadras,' 2 pies y 4 pulgadas, ¿qué distancia reco- 
rrí' por minuto? 



3leg. 
60 


25 cds. 2 ps. 


4 pis 


180 cuadras 


• 


25 


» 




205 cuadras 




85 


» 




100 
'4 






3 






12 
2 


pies 

» 




14 
2 


pies 




12 






24 
4 


pulgadas 




28 
4 


pulgadas 

1 




— : 


=— » 




12 


3 





— 326 — 
12 



1 
17cd».,8v».,l p.,2— piilg. 
3 



305. Del procedimiento seguido en los dos 
ejemplos anteriores, se deduce que 

Para dividir un número complejo por otro in- 
complejo (de distinta naturaleza) se dividen las di- 
/érenles especies de unidades del dividendo por el di-- 
visor; empezando por las de especie superior^ y su- 
cesivamente se van dividiendo las siguientes, y si en 
alguna división parcial resulta residuo, se reduce á 
la especie inmediata inferior" y se suma con las uni- 
dades que de esta especie haya en el dividendo, cu- 
ya suma formará el dividendo parcial siguiente. 



~ 327 — 
OTRO EJEMPLO 

3*. Una carretilla; atapleé 141 liaras^ 55' 45" en 
trasportar cierta cantidad dei ladrillosi de ua pun- 
to á otro. Para trasportar el mismo número de la- 
drillos 15 carretillas, ¿cuánto tiempo emptearánl 



14111 


55' 


45' 


15 


6 
60 


9 h, 27', 43" 


360' 
55' 




415' 

115' 

10' 

60" 




600" 
45" 





645" 

45" 

O 

30e. 2". Caso.— Problema 1". 84 fanegas y 
3 cuartillas de trigo pesaron 214 @, 17 lb<., 6 onzas, 
¿cuánto pesa la fanega? 

Reduciendo el divisor á incomplejo de fanega se 
99 
convierte en — fanegas: lo qne pesa una fanega se ba- 
4 

99 
liará dividiendo las 214®, 17 Ib., Oonaas por-^-, es 

4 
ilecir, dividiendo lo que pesan las fan^as-dadas por 
el número de ellas. 



328 



Para ejecutar esta división se multiplica todo el ili- 
videudo por el denoininad(»r 4, y ese producto se divi- 
de por el numerador 99 (lOlj. Así pues tendremos: 

(214 @, 17 Ib., 6 onz.) X 4: 99 ó sea 



856Í 


d 68 ib. 


24 onz. 


99 


<j4 


1 


25 






8® 16 11). 13 onz. 13— ada. 


320 


. 11 


Í28 








1600 


Ib. 






68 


» 






1668 


!b. 






678 


» 






84 


» 






16 








504 




84 


onz. 






1344 




24 


» 






1368 


mvi. 






378 


% 






81 


» 


^ 




16 








486 








81 


adarmes 




1296 




306 


» 






9 


1 






= 


=*— » 






99 


11 







— 329 — 



o» 



Una cuadra cuadrada de terreno costó 25 pe- 
sos y 6 reales, ¿cuántas cuadras cuadradas podran 
comprarse con 17413 pesos y 4 reales? 

Es evidente que se podrán comprar tantas cua- 
dras cuadradas como veces 25 pesos y 6 reales es- 
té contenido en 17413 pesos y 4 reales, luego este 
último Húmero es el dividendo, «I precio de la cuadra 
el divisor, y el cociente representará cuadras cuadra- 
das de terreno y fracciones de cuadra si no es exacto. 

Convirtiendo el dividendo y el divisor á reales, la 
operación se reducirá á dividir 174134 por 256: Asi: 



174134 
2053 
54 
10000 

540000 
280 
2400 
96 



256 



680 cuads». 2109 vrs*. 3 pies* 54 pulgs* 



864 

96 

144 



864 
1296 

13824 

1024 

000 



Resultado: que pueden comprarse 680 c»adras 
' cuadradas, 2109 varas cuadradas, 3 pies c«adrados 
y 54 pulgadas cuadradas. 



— 330 — 

8". Se ha contratado la escavacióu de un pozo, 
á razón de 2 pesos 15 centesimos la vara cubica 
de tierra que se saque de él: al fín resulta qu(> hay 
que pagar 836 pesos con 7 reales ¿Cuántas varas 
cúbicas de tierrra se ban sacado del pozo? 

Reduciendo á incomplejo el dividendo y divisor, 
la cuestión (quedará reducida á dividir 83670 por 
215; el conciente serán varas cúbicas y fracciones 
de vara. 



83670 
1917 
1970 
35 

27 

245 
70 

945 

85 

144 

340 
340 
85 

12240 

1490 

200 

144 

28800 
730 
850 
205 41 



215 



41 
389vs.»4p.» 56pulg.»133 - líns.» 

43 



215 43 



— 331 — 

Resulta que del pozó se han extraído 389 vs.*, 
41 
4 p.^ 56 pulg.» 133— lín.» 
43 
El procedimiento seguido en la resolución de los 
tres problemas últimos nos indica qué, para divi- 
dir un número complejo por otro complejo, se redu^ 
cen á incomplejos, y después se dividen como estos. 



LECCIÓN XXXII 

Números primos 

307. Ya se ha dicho en el número 1 30, que 
se llama número primo, el entero que solo es divi- 
sible por sí mismo y por la uní jad. 

Se llama número compuesto^ el número que es 
divisible exactamente por otro mayor que la uni- 
dad y menor que si mísmo« 

30S. Teorema. Todo número que dividido su- 
cesivamente por los primos 2, 3, 5,7, H, 13. . . .. 
se llega, sin obtener cociente exacto, á un cociente 
entero menor que el divisor, es primo. 

Sea por ejemplo, el número 139, el cual según 
las reglas explicadas en la Lección Xl^ no es divi- 
sible por los primos 2, 3, 5 ni 11; que tampoco es 
divisible por 7; y al dividirlo por 13, nos da 10 de 



~ 332 — 

cociente entero, número menor (|ue el divisor, lúe 
Lfí» íligo, que ya podemos asegurar i\ue dicho nú- 
mero es primo; pues, si en alguna de las divisio- 
nes del número propuesto por los primos mayores 
que 13 obtuviéramos cociente exacto, como es evi 
dente que estos cocientes irán disminuyendo á me- 
dida que aumente el divisor (lOScons. 2), resul- 
taría que si una de estas divisio.ies fuese exacta, 
el dividendo 139 seria igual á ese divisor multi- 
plicado por el cociente (83), luego tendría tam- 
bién por factor á un número menor que 13, lo que 
es absurdo, pues hemos visto que ningún número 
menor que 13 -le divide exactamente. 

El raciocinio que acabamos de hacer, puede 
aplicarse á cualquier número, así pues, para ave- 
rtguar si un número es ó no primo, se divide su- 
cesivamente por los primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.; 
y si se llega sin hallar cociente exacto y sin omitir 
divisor alguno, á un cociente entero m,enor que el 
divisor^ el número propuesto será primo. En caso 
contrario no lo será. 

Construcción de ana tabla de númieros 
primos 

309.Para construir una tabla de números pri- 
mos, se escriben todos los números enteros desde 
1 hasta el límite que se quiera, borrándose ense- 
guida los múltiplos de 2, luego los de 3, después 
los de 5, los de 7, los de 11, los de 13 y así su- 
cesivamente: al fin, los números que no estén bo- 
rrados formarán la tabla pedida. (\) 

La tabla que va á continuación contiene los nú- 
meros primos comprendidos entre 1 y 1039. 



(1) Este senciUo procedimiento se llama criba de Eratóstenes y es de- 
debkk> al antiguo mstemático de este nombre. 



333 



Tabla de núiuepos primos 



1 


79 


193 


317 


457. 


601 


743 


887 


.2 • 


83 


197 


331 


461 


607 


751 


907 


3 


89 


199 


337 


463 


613 


757 


911 


5 


97 


211 


347 


467 


617 


761 


919 


7 


101 


223 


349 


479 


619 


769 


929 


11 


103 


227 


353 


487 


631 


773 


937 


13 


107 


229 


359 


491 


641 


787 


941 


.17 


1^ 


233 


367-. 


499 


643 


797 


«47 


19 


113 


239 


373 


503 


647 


809 


953 


23 


127 


241 


Í579 


509 


653 


811 


967 


29 


131 


251 


383 


521 


659 


821 


; 971 


31 


137 


257 


389 


523 


661 


823 


977 


37 


i 139 


263 


397 


541 


673 


827 


983 


41 


149 


269 


401 


547 


677 


829 


991 


43 


151 


271 


40>.) 


557 


683 


839 


997 


47 


: 157 


277 


419 


563 


691 


853 


1009 


53 


1 163 


281 


421 


569 


701 


857 


1013 


57 


167 


283 


431 


571 


709 


859 


1019 


61 


i 173 


293 


433 


577 


719 


863 


1021 


67 


i 179 


307 


439 


587 


727 


877 


1031 


71 


! 181 


311 


443 


593 


733 


881 


1033 


73 


191 

1 


313 


449 


599 


739 


883 


1039 



En la práctica se escriben süh» los números im- 
pares y además el 2, por ser número primo, ta- 
chándose enseguida los múltiplos de 3 empezando 
por su cuadrado 9 y prosiguiendo tachando el ter- 
cero de cada tres consecutivos á dichf) número. 

Es evidente que al tachar los múltiplos de un 
númei-o primo cualquiera, debe empezarse [yov ta- 
char el cuadrado de dicho número, pues los múl- 
tiplos anteriores deben estar ya tachados por ser 



— 334 — 

múltiplos- taMibtiii de lnH^^irosiiúiaeiros primos me- 
ñores. 

Suprímtck»8 los múltiplos de 3, se pnrsigua ta- 
chando los múltiplos de 5 empezando porel 25 y 
siguiendo tachando el quinto de cada cinco de los 
consecutivos: luego se tacha el 49 y el sépti^mo de 
cada siete de lt»s siguiente: después el 121 y el un- 
décimo de cada once de los siguientes y así suce- 
sivamente 

DeMMmposición de mi námero com- 
puesto en factores primos 

31 0. Teorema.— yoí/ü número compuesto, es 
un prodwto de números primos. 

Sea por ejemplo el numero 210, el cual desde 
luego observamos que es divisible por 2 (133), 
luegíi tendremos que: 

210 = 2x105 

El factor 105 vemos que es divisible por 3 (1 34), 
lueg(»: 

210 =: 2x3x35 

El factor 35 es divisible por 5 (133), luego re- 
sulta p^ r fin que: 

210 5= 2x3x5x7 

y como todos estos factores son primos, el teore- 
ma queda demostrado. 

311. Descomponer un número en sus,facto- 
i*es primo3, es hallar los númer<« primos quemul- 
tiplicados entre si formen el número propuesto&t 



— as5 - 

Luego» para descomponer un número en sus facto* 
res primos se procederá como en la anterior demos- 
tración, dividiendo el número dado y los cocientes 
que resulten por los divisores primos menores, hasta 
obtener un cociente igual á 1. Estos divisores se- 
rán los factores primos pedidos. 

Para mayor facilidad la operación se dispone 
del siguiente modo: 



2100 


2 


2574 


2 


1050 


2 


1287 


3 


525 


3 


429 


3 


175 


5 


143 


11 


35 


5 


13 


13 


7 


7 , 


1 




1 









Luego, los factores primos del número 2100 son: 

2, 2, 3, 5, 5, y 7, ó bien: 

2100 = 2»x3X5*X7 

Los factores primos del número 2574 son: 2, 3, 

3, 11 y 13, es decir, que: 

2574 = 2X3^x1 IX 13 

LECC1D.N IXXIII 



Máximo cmuáH divisor de diM ó. más 
númertM» enieroa . 

31S. Se \l8ima, mcuüimo común divisor ¡de dos 
ó más números, el mayor número divisor de todos 
ellos. 



— 336 - 

Máximo común divisor se escribe abreviada- 
mente, asi: m. c. d. 

El m. c. d. de 15 y 35 es 5; el de 9, 3ft, 45 
y 63 es 9. 

El m. c. d. de dos ó más números no puede 
ser mayor que el menor de ellos. 

318. Teorema.- Si un número divide exacta- 
mente d otros dos. dividirá también á su diferencia. 

En efecto, siendo 6 divisor de 42 y 18, también 
lo será de 42—18; porque 

42 = 7 veces 6 
18 = 3 veces 6 

y restando ordenadamente estas igualdades, ten- 
dremos: 

42—18=7 veces 6—3 veces 6 

pero 7 veces 6, — 3 veces 6, es ignal á 

(7— 3)x6 (69 nota), luego, 

42—18 = (7-3) X 6 

De donde observamos que la diferencia se com- 
pone de un múltiplo de 6, por consiguiente es di- 
visible por 6. 

Corolario. Todo número que divide exactamen- 
te al dividendo y al divisor de una división inexac- 
ta, divide lambió alresiduo\ y reciprocamente^ h*'^ 
do número que divida emadamente al divisor y resi- 
duo dividirá también al dividendo. 

Sea por ejemplo, 77 el dividendo y 21 el divi* 
sor; el cociente entero es 3 y el residuo 14: y va- 
mos á demostrar que todo divisor de 77 y 21 lo es 



— 337 - 

también de 14, y que todo divisor de 14 y 21 lo 
es también de 77. 

En efecto: sabemos que en toda división inexac- 
ta, el residuo es la diferencia entre el dividendo y 
el producto del divisor por el cociente, luego 

77 — 21 X 3 = 14 

Todo divisor de 77 y 21 lo es taaibién de 21x3 
(132 cons.), luego también lo será de la dife- 
rencia entre 77 y 21 X 3, ó sea del residuo 14. 

En t(;da división inexacta el dividendo es igual 
al producto del divisor por el cociente más el re- 
siduj, asi pues, tendreracís 

77 = 21 X 3 -f 14 

Todo divisor de 21 y 14 liemos dicho que lo 
es de 21 x 3, luego también lo será de 77 que es 
la suma de 21 X 3 y 14 (133). 

314. Teorema.— -E7 máximo común divisor 
de dos números es igual al máximo común divi 
sor del menor y del residuo que resulte de dividir 
el m^ayor por el m,enor. 

Sean los nínneros 77 y 21 y digo que el m. c. 
d. de 77 y 21 es igual al m. c. d. de 21 y 14. 

En efecto, el m. c. d. de 77 y 21 divide también 
al residuo 14 de la división de estos números, lue- 
go no puede sei* n^avor* que el m. c. d. de- 14 y 
21. 

Pero el m. c. (1. de 14 y 21 divide también á 
77, luegx) no puede ser mayor que el m. c. d. de 
77 y 2Í. 

üe donde se deduce que no pudiendo ser el 
m. c. d. de 77 y 21 mayor que el^ m. c. d. de 



- 338 — 

14 y 21, ni este mayiir que aquel, lian ile ser 
¡guales, que es lo que queríamos demostrar 

315. Propongamos aliora hallar el máximo 
común divisor de 77 y 21. 

El m. c. d. que queremos determinar no puede 
ser mayor que 21 pues debe dividir á este número, 
luego si 21 dividiese exactamente á 77 este seria el 
m. c. d. que se pide. Divídase pues, 77 por 21 y se 
obtendrá 3 de cociente entero y 14 de residuo lo que 
nos prueba que 21 no es el m. c. d. que buscamos. 
Pero sábese que el m. c. d. de dividendo y divisor es 
igual al m. c. d. de divisor y residuo, luego el pro- 
blema se reduce ahora á hallar el m. c. d. de 21 y 14, 
y haciendo el mismo raciocinio que hemos hecho con 
ios números 77 y 21 diremos: 

El m. c. d. de 21 y 14 no puede ser mayor que 14, 
luego si 14 divídese exactamente á 21 esie sería el m. 
c. d. que buscamos. Divido pues 21 por 14 y se obtie- 
ne 1 de cociente entero y 7 de residuo lo qne nos 
prueba que 14 no es el m. c. d. de 21 y 14. 

Pero, el m. c. d. de 21 y 14 es i^ual al m. c. d. de 
14y7, así pues queda ahora reducido el problema á 
hallar el máximo común divisor de 14 y 7 . Dividien- 
do 14 por 7 nos da 2 de cociente exacto, luego 7 es el 
m. c. d. de 14 y 7 y por consiguiente de 21 y 14 
y el de 77 y 21 que se pide. 

De este procedimiento se deduce la siguiente 
regla: 

31 G. Para hallar el máximo común divisor 
de dos números, se divide el ynayor por el menor; 
y si se obtiene cociente exacto, el menor será el m. 
c . d . de ambos. Pero si qtieda residuo, se dividirá 
el núm.ero menor por el residuo, este por el segundo 
residuo y asi sucesivamente hasta hallar cociente exac- 
to, en cuyo caso el último divisor es el m. c. d. pedido» 



M 



— 339 — 
EJEMPLOS 

1». Hállase el m. c. d. de los números 48789 
y 5994. 

En la práctica se dispone la operaeióa del si- 
guiente modo. 



48789 
837 



8 

5994 
135 


7 

837 

27 


6 

135 




27 



2'. Hállasft el iii. c. d. de los nüinems 8370 
V 1998 



8370 
378 



1998 I 378 
108 54 



3 ¡^ 
108 
O 



54 



3°. Hállase el m. c. d. de los núinertis 3803 
y 1609 



3803 
585 



1609 
439 



2 



585 
146 



3 \3 

439 i 146 
1 I O 



146 
7" 



Los cocientee se escriben encima de los diviso- 
res, los restos bajo sus respectivos ílividendos y 
el último divisor es el m. c. d. pedido. 

Así vemos que en el I*"", ejemplo el ni. c. d. es 
27; en el 2". es 54 y en el 3". es 1, lo que nos 
deinuestra que los dos últí:nos números propues- 
tos son prunos entre si. 

Sf 1 7. Tborbma. — Si dos números se multipli- 
can ó dividen exactamente por otro, su máximo 



— 340 — 

común divisor quedará también multiplicado ó di- 
vidido por este otro. 

Sean los números 210 y 36, cuyo m. c. d. es 
6, y digo que, si multiplicamos los números pro- 
puestos por 4, por ejemplo, su máximo común di- 
visor quedará multiplicado por 4, es decir que 
tendremos: 

m. c. d. de 210 X 4 y 36 X 4 = 6 X 4 

En efecto, se ha demostrado en el número 106 
que si se divide ó multiplica el dividendo y el di- 
visor de una división inexacta, por un número en- 
tero cualquiera, el cociente enlero no varía, pero 
el residuo queda dividido ó multiplicado por el mis- 
mo número, luego hallando el m. c. d. de los nú- 
meros dados tendremos: 





5 


gio 


36 


30 


6 



1_|A 

30 6 
i 



y multiplicando los dos números propuestos por 
4 resultará 



210x4 
30X4 



5 


1 


36x4 
6x4 


30x4 
0x4 



6 i4 



luego vemos que el m. c. d. de 210 x 4 y 36 x 4, 
es 6.4, conforme con lo que queríamos demostrar. 

De un modo análogo demostraríamos el caso 
de dividirse los dos números por un factor de 
ellos 

Consecuencia. Del teorema que acabamos de 
demostrar se deduce, que si dos números se di- 
viden por su m. c. d. los cocientes serán primos 
entre sí. 



— 341 — 

En efecto: dividiendd dos números por su m. 
:. d. este quedará dividido por si mismo, y da^ 
á 1 de cociente, lueji:o los cocientes que resul- 
en de dividir dos números por su m. c, d. ten- 
Irán por m. c. d. la unidad y por consiguiente 
eran primos entre sí. 

318« Teorema.— Tbdo número qtte divida 
wactamente á otros dos, divide también á su m. 
;. d. y recíprocamente, todo número que divida 
wactamente al m. c. d. de otras dos divide tam- 
ñén á estos números. 

Este teorema se deduce fácilmente de lo de- 
nostrado ea el número 313 (Corolario). 

319. Problema. — Hállese el máximo comün 
livisor de los números 10:¿, 170, 561 y 153. 

Supongamos por un momento que es A el m. 
5. d. que se pide. En tal caso siendo A factor 
le 102 y 170 dividirá, según se ha demostrado á 
iu m. c. d. que llamaremos B. Resulta alwra 
lue A es factor de i5 y de 561 por consiguiente 
ainbién lo será de su m. c. d. que llamaremos 
1 Tenemos pues que A es factor de C y de 153, 
uego lo será de su m. c. d. que llamaremos D, 
)or consiguiente A no podrá ser mayor que D. 

Pero D divide á C y á 153 luego dividirá tam- 
)ién á S y á 561 que son múltiplos de C. 

Hemos visto también que D divide á B, 561 
r 153, luego siendo D factor de B lo será tam- 
)ién de 102 y 170 que son múltiplos de B, d© 
londe resulta que D divide 102, 170, 561 y 153 
)ov consiguiente no puede ser mayor que A que 
18 el m. c d. de dichos números. 

Resulta, pues, que A no puede ser mayor que 
5 y que D tampoco puede ser mayor que -4, hie- 
ro D=A. 



— 342 — - 

Siguiendo este procedimiento, fácil nos ,será ba- 
ilar el valor del m. c. d. de los nümeros propuestos. 
Así: 



170 

68 



1 


1 

68 



102 
34 



34 



El ra. c. d. de 102 y 170 es 34. 
Ahora hallaremos el m. c. d. de 34 y el siguien- 
te número 561. 



561 

221 

17 



16 



34 



2 
17 



El m. c. d. de 561 y 34 es 17. 
Ahora falta hallar el m. c. d. entre el último 
hallado y el número 153. 



153 
O 



9 
17 



Vemos que también es 17; luego 17 es él m. 
c. d. de los números dados. 

3SO. Del procedimiento seguido en el pro- 
blema anterior» el cual es aplicable á cualquier 
otro caso, se deduce la siguiente regla: 

Para hallar el m. c. d. de varios números^ se 
bíisca el m. c. d. de dos cualesquiera de ellos, deS" 
pues el de este y otro de los números propuestoSi y 
se continúa hallando el m. e. d. del último m. c. d. 



- 343 — 

mcontrado y otro de los números restante, hasta 
operatse con todos los números dados. 

El último m. c. d. hallado será el pedido. . 

EJEMPLO 
Hállase el in. c. d. de los números 630, 756 y 



945. 



756 
126 



1 



630 
O 



126 



El m. c. d. de 756 y 630 es 126. 



945 -126^ 
63 , O 



63 



El III. e. d. de 126 y 945 es 63, qtte e» tamlñéa 
el m. c. d. de los tres números propuestos. 



LECCIÓN XXXIV 

HUniíno eamkún JEOiUtlplo 

321 . Se llama iníjainK) caiaÚA múltiplo de va- 
rios números, el menor número quo sea divisible 
por todos ellos. 

Así, el mínimo común múltiplo de 30 y 40 es 
120; el de 3, 15 y 12 es 60. 

Mínimo común múltiplo* se escribe abreviada- 
fnente asi: m. c. m. 



— 344 — 

3/SS. Teorema.— Totto número qu^e divida exac- 
tamente á vn producto de dos factores y sea aprimó 
con uno de ellos, dividirá al otro. 

Dividiendo el número 7 al producto 28 . 15=420 
y siendo primo con el factor 15 digo que dividirá 
al otro tactor 28. 

En efecto, siendo 15 y 7 pi irnos el máximo co- 
mún divisor de estos números será 1. Ahora mul- 
tiplicando 15 y 7 por 28, el m. c. d. quedará tam- 
bién multiplicado por 28 (31 'í'), luego tendremos 
que el m. c. d. de 28 . 15 y 28.7 será 28.1=28 
ahora el número 7 divide al producto 28 . 15 por 
hipótesis y al producto 28 . 7 por ser un múltiplo 
de 7, luego dividirá también al ni. c. d. de estos 
productos que 28 (318). 

Consecuencia 1*. Si un número primo divide 
exactamnte á un prodúcelo de varios factores, divi- 
rá por lo menos á uno de éstos. 

En. efecto; si el número 5 divide al producto 
8 . 13 • 25 y es primo con el factor 8, dividirá al 
otro factor 31 • 25. 

Siendo el liactor 13*25 divisible por 5 y este 
primo con 13, tendrá que dividir á 25. 

Consecuencia 2*. Si un núm^ero es divisible exac- 
tamente por otros dos ó más primos entre si, es divisi- 
ble por el producto de todos ellos, 
, Sea el número 924 que es divisible por 2, por 
3 y por 11 y digo que también lo será por el pro- 
ducto 2 .a. 11. 

En efecto; 924 es divisible por 2, luego se tiene. 

924=462 . 2 

También 924 es divisible por 3, luego 462.2 lo se- 
rá del mismo modo, pero 3 es primo con el fiac— 



— 345 - 

tur 2, luego dividirá al otro factor 462 y teiulre* 

ínos: 

462=154.3 
ó bien 

924=154.3.2 

Por fin, también el número 11 divide á 924, lue- 
go igualmente dividirá al producto 154.3.2; pe- 
ro 11 es primo con los factores 3 y 2, por consi- 
guiente dividirá al otro factor 154 y tendremos 
por ultimo 

924=14.11.3.2 

Es decir, que 924 es igual á 14 veces el pro- 
ducto 2 .3 • 11, luego es divisible poi* este producto, 

3S3. Tborbma. Un número no admite más 
que una sola descomposición en factores simples. 

En efecto: supongamos por un momento que 
el número 3465 admitiese dos descomposiciones 
distintas 3.3.5.7.11 y 3.3.5.17, en tal caso 
tendríamos que 3 • 3 • 5. 7 . 11=3. 3. 5 . 17; según 
esta última descomposición el número 17 divide 
al producto 3465, luego dividirá también á uno de 
los factores 3, 5, 7 ú 11, lo que es imposible por 
que es primo con cada uno de ellos, luego la an- 
terior igualdad es absurda. 

Supongamos que la diferencia consista en la 
repetición de alguno de sus factores, por ejem- 
plo que fuese, 3 . 3. 5 .5 . 7. 11, en tal caso ten- 
dríamos que 3.3.5.7. 11=3.3.5. 5.7.11; divi- 
diendo los dos miembros de esta supuesta igual- 
dad por 5, resultará 

3.3.7.11=3.3.5.7. 11; 



— 346 — 



donde se observa (|ue el segundo mienbro es 
visible por 5; luego el primero también lo ser] 
luego el numero 5 tendrá que dividir á uno 
los laí'tores primos 3, 7 ú 11, lo que es al| 
surdo. 

Consecuencia. Un número no es divisible por 
otro, si no contiene todos los factores primos de es- 
te, repetidos cada uno al menos cantas veces como 
se hallen en este otro. 

Digo: <|ue el número 84 que es igual á 2 .2. 3.7 
no puede ser divisible por 15 porque no contiene I 
al factor 5 que tiene este último. 

En efecto; si el número 84 fuese divisible por 
15, que es igual á 3.5, tendríamos 

84=3 . 5 X cociente. 

Abora, cualesquiera que sean los factores del 
cociente, el factor 5 no puede desaparecer al 
efectuar la multiplicación, luego el número 84 1 
admitiría dos descomposiciones en factores primos | 
lo que es absurdo. 

3S4I. Fundándonos en los principios quei 
acabamos de demostrar, podremos determinar el 
mínimo común múltiplo de los números 715, 1386 
y 37050. 

Descompuestos estos números en sus factores! 
primos resulta que 

715c=5.11.13 
1386=2.3^.7.11 
37050=2.3.5». 7^ 
Por consiguiente un número será divisible por I 



— 347 — 

715 cüiiteniendo por l(» menos los factores 5, 11 
y 13: será divisible por 1386 si contiene á lo me- 
nos los factores 2, 3*, 7 y 11: será divisible por 
37050 si contiene por lo menos los factores 
2, 3, 5* y 7: asi pues el numero 2 . 3* . 5* . 7* . 11 . 13 
=15765750 que se compone de las mayores po- 
tencias (le l(/s distintos factores simples que for- 
man los números propuestos será múltiplo de di- 
chos números, y digo que será "^ el menor porque 
otro nújnero que no contenga los factores 2.3*. 
5*. 7*. 11 13 no será divisible ala vez por todos 
los números dados (3S3 cons.), luego el núme- 
ro 15765750 es el menor de todos los nniltjplos que 
•pueden formarse de los números 715, 1386 y 37050. 

De cuyo procedimiento se deduce la siguien- 
te 

Regla. Para hallar el mínimo común múlti- 
plo de dos ó más números se multiplican entre si 
las potencias mayores de los diferentes factores 
simples de todos ellos. 



FIN. 



— 348 — 



ZXTDZCS 



PÁGINAS 

Prólogo V 

Lección I 

Nociones preliininares 1 

División de la Aritmética . 3 

Lección II 

Numeración hablada 4 

Base del sistema de numeración decimal . 10 

Diferentes sistemas de numeración . . 10 

Lección III 

Numeración escrita 11 

Regla para escribir un número ... 13 
Modo de hacer un número 10, 100, 1000, 

etc., veces mayor ó menor 15 

Regla para leer un número 16 

Cuadro para facilitar á los principiantes 

la escritura y lectura de los números . 17 

Lección IV 

Numeración Romana 18 



- 349 — 

Operaciones fundamentales 

[.ECCIÓN V 

Adición de los números enteros. . . • 21 

Tabla de sumar 22 

Regla para sumar números enteros .• . . 27 

Pi'ueba de la adición ....... 29 

Usos de la suma . 30 

Problemas . . . ......... 31 

Lección VI ' 

Sustracción de los números enteros ... 32 

Tabla de sustracción 34 

Regla j)ara restar númeios enteros ... 39 

Prueba de la resta 39 

Usí)s de la resta 39 

Problemas 39 

Problemas de adición y íiustraccíón com- 
binadas ... ..... 41 

Lección VII 

Multiplicación de los números enteros . . 44 

Tabla de multiplicar ..... ... 46 

Propiedades de la multiplicación .... 49 

Regla general para multiplicar dos nú- 
meros enteros cualesquiera 57 

Prueba de la mulüpLicación , . ... . 59 

Potencia de los números enteíos .... 60 

Usos de la multiplicación ...... 61 

Problemas de multiplicación 61 

Problemas de adición, sustracción y mul- 
tiplicación combinadas 63 

Problemas para resolver 65 

Lección VIIJ 

División de 1os números enteros .... 66 



— 350 - 

Kegla para dividir mn mi mero ctimpuesto 

for un dígito 93 
todo abreviado . . . , 95 

Kegla para dividir uo numero compuesto 
de varias cifras por otro de las mkroafi 

condiciones 100 

Observaciones sobre la regla auterior . . 103 
Métodos abreviados para averiguai* si la 
ciíra del cociente es mayor que la ver- 
dadera 105 

Método más sencillo para comprobar las 

cifras del cociente ' . . • 109 

Propiedades de la división 111 

Súnpliticacíon de la divisidu 113 

Consecuencias que se deducen de la divi- 
sión de los números enteros 114 

Prueba de la división . . . • ^ . . 115 

Usos de )a división 115 

Problemas 115 

Ejercicios 117 

Lección IX 

Quebrados, sus propiedades. ....*.. 119 

Lección X 

Otras propiedades de los quebrados. . . 136 

Aplicación de las propiedades de los que- 
brados á la teoría de la división . . . 129 

Reducción de quebrados á un común de- 
nominador .... 132 

Ejemplos 133 

Lección XI 

Simplificación deJos quebrados. .... 137 
Divisibilidad de 1«8 nümeros ..... 13R 



~ 351 -* 

Divisibilidad por 2 y por 5 140 

Divisibilidad por 3 y por 9 141 

Divisibilidad por 4 y por 25 142 

Divisivilidad por 8 y por 125 ...... 143 

Divisibilidad por 11 144 

Regla para simplificar quebrados .... 147 

Ejemplos 148 

Lección XII 

Cálculo de las fracciones ordinarias . . 149 

Adición 149 

Adición de los números mixtos. . . . 153 

Lección XIII 

Sustracción de los quebrados ordinarios . 157 

Sustracción de los números mixtos . . . 159 

Problemas. 160 

Lección XIV 

Multiplicación de los quebrados ordinarios 161 

Quebrado de quebrado 165 

Multiplicación de los números mixtos . 167 

Problemas 167 

Lección XV 

División de los quebrados ordinarios . . . 169 
Observaciones y casos particulares de divi- 
sión de quebrados comunes 174 

Problemas. . .... 175 

Lección XVI 

Fracciones decimales 180 

Numeración y propiedades genérales de los 

números decimales 180 

Modo de dividir un número entero por la 

unidad seguida de ceros 184 



— 35¿ — 

Modo de multiplicar ó dividir un niiuiero 
decimal por la unidad seguida de ceros 185 

Lección XVII 

Adición de los nútneros decimales. . . . 186 

Problemas 187 

Ejercicios 188 

Sustracción de los números decimales . . 188 

Problemas 190 

Ejercicios 192 

Lección XVIII 

Multiplicación de los números decimales 192 

Pioblemas 196 

Ejercicios ... 198 

Lección X I X 

División de los números decimales .... 199 
Aproximación del valor de un cociente de 
división inexacta, por medio de los deci- 
males .... 204 

Regla general para dividir un decimal por 

otro . . . . ^ 205 

Problemas 207 

Ejercicios 208 

Lección X X 

Reducción de quebrados ordinarios á deci- 
males y viceversa 208 

Reducción de un quebrado común á decimal 208 
Fracciones decimales exactas y periódicas 211 
Reduccióu de fracciones á quebrados ordi- 
narios 211 

Quebrado generador 211 






- 353 - 

Modo de conocer cuando un quebrado or- 
dinario produce fracción decimal exacta 

ó periódica 216 

Lección XXI 

Números concretos 

Sistema métrico decimal de pesas y medidas 218 

Nociones preliminares . . \ . . . 218 

Diversidad de sistemas de pesas y medidas 218 

Origen del metro 219 

Unidades concretas 220 

Unidades principales del sistema métrico 

decimal 220 

Medidas de longitud 221 

Modo de escribir y leer cantidades métricas 223 

Cambio de unidad 226 

Problemas sobre el metro 228 

í^ercicios 230 

Medidas de capacidad 231 

Problemas. 233 

Unidades de peso 236 

Ejercicios 240 

Problemas 241 

Lección XXII 

Contimcación del sistema métrico decimal de 
pesas y medidas 

Medidas superficiales 

Unidades de superficie 242 

Cambio de unidad . 246 

Medidas eíectivas 246 

Medidas de volumen 

Unidades de volumen 247 



— 364 — 

Cambio de unidad 250 

Medidas efectivas 251 

Medidas para leña 

Medidas efectivas 252 

Ejercicios 253 

Monedas 253 

Valor oficial de las monedas extranjeras . 254 

Eljercicios 255 

Medidas para la circunferencia .... 255 

Problemas 256 

Ejercicios 257 

Lección XXIII 
Sistema antigtw de pesas y medidas 

Medida del tiempo 257 

Unidad fundamental 258 

Duración del año 258 

Divisiones del tiempo 258 

Medidas para la circunlerencia 260 

Unidades de longitud 261 

Medidas de capacidad 261 

Medidas de peso : 261 

Medidas para medicamentos. ....... 262 

Medidas superficiales 262 

Medidas de volumen 262 

Medidas para leña 262 

Ejercicios 263 • 

Lección XXIV 

Equivalencias de las medidas antiguan 
con las modernas 

Medidas.de longitud 263 ..; i 



3l. 



365 



Medidas de capacidad , . . 264 

Medidas de peso 264 

Medidas para medicamentos 264 

Medidas superficiales 265 

Medidas de volumen 265 

Medidas para leña 265 

Equivalencias de las unidades del sistema mé- 
trico, con las del antiguo sistema 

Medidas de longitud 265 

Medidas de capacidad 266 

Medidas de peso 266 

Medidas para medicamentos 267 

Medidas superficiales 267 

Medidas de volumen 267 

Medidas para leña 268 

Problemas ; 268 

Ejercicios 270 

Lección XXY 

Sistema de medidas antiguas del Brasil 

Medidas de longitud 271 

Medidas de capacidad 272 

Medidas de peso 272 

Medidas superficiales 272 

Medidas agrarias 273 

Equivalencias de tas medidas antiguas del Brasil, 
con las del sistema métrico decimal y vice-versa 

Medidas de longitud 273 

Medidas de capacidad 274 

Medidas de peso 275 

Medidas, superficiales 275 

Medidas agrarias 276 

Unidades monetarias 276 






-356 — 

Problemas 277 

Ejercicios 279 

Lección XXVI 

Medidas antiguas de la República Argentina 

Medidas de longitud 280 

Medidas de capacidad S80 

Medidas^ de peso 281 

Medidas superficiales 281 

Medidas de volumen 281 

Unidades monetarias 281 

Sistemas de pesas y medidas de Inglaterra 

Medidas de longitud 2é2 

Medidas de capacidad 282 

Medidas de peso 283 

Pesas de Troy 283 

Medidas superficiales 283 

Unidades monetarias 284 

Medidas inglesas comparadas con las del sistema 
métrico decimal 

Medidas de longitud 285 

Medidas de capacidad 285 

Medidas de peso 286 

Pesas de Yroy 286 

Medidas superficiales. . 287 

Problemas 287 

Ejercicios 291 

Lección XXVI I 
Cálculos de los números denominados 

Reducción de un número incomplejo á uni- 
dades inferiores 292 






— 357 — 

Reducción de un número incomplejo á 
unidades de especie superior 296 

Lección XXII 1 

Adición de los números concretos 

Casos que pueden presentarse ...... 300 

Sustracción de los números concretos . . 302 

Lección XXIX 

Multiplicación de los números concretos 307 

Lección XXX 

Multiplicacióii délos números concretos por 
el método de ias partías alícuotas .... 315 

Lección XXXI 

División de los números. 324 



LacciÓN XXXII 

Números primos i 331 

Construcción de una tabla de números 

primos 332 

Descomposición de uu número en factores 334 

Lección XXXIII 

Máximo común divisor de dos ó más nú- 
meros 335 

Ejemplos 339 

Lección XXXIV 
Mínimo común múltiplo 343 

FIN 



> 



Erratas 



Páginas 


lineas 
31 


Donde dice 


Debe decir 


7 


seis cientos 


seiscientos 


10 


30 


21 


S3 


22 


10 


pinnero 


primero 


27 


20 


snmando 


sumando 


42 


11 


16880 


96830 


40 


19 


1". CASO 


65. 1". CASO 


47 


24 


. 74 ■ 


84 


48 


23 


111 


110 


49 


1 


65 


66 


49 


21 


66 


6*7 


50 


20 


67 


6S 


57 


9 


cualquiera 


cualesquiera 


65 


31 


vnedió 


vendió 


101 


14 


dividinedo 


dividendo 


101 


17 


bajado las 


bajado todas las 



I 



*?ríVí 



Páginas 


lineas Donde dice 


Debe decir 


109 


14 


embarho 


embargo 


155 


13 


61 
23 — 
330 


61 
33 
330 


166 


7 


es lo quenainus 


es lo que queríamos 


167 


13 


3 5 

~6X- 

4 7 


3 5 
-X6- 

4 7 


174 


10 


4 9 
1°. -=1X- 
9 4 


4 9 

1: =lx- 

9 4 


176 


10 


3 1 1 

- X X- 

4 4 5 


1 1 1 
3 4 5 


182 


8 


cetésimas 


centésimas 


185 


31 


mayor que 


mayor, ó sea cien 
veces mayor que 


198 


18 


y 'artículos 


y en artículos 


204 


1 


1000 246000 

246x X 

24 24 


1000 246000 

246x = 

24 24 


215 


5 


45379 45 


45379—45 ' 


260 


9 


69 


60 


264 


22 


alados 


salados 


327 


5 


45' 


45" 


330 


8 


concieiite 


cociente