Lecciones de aritmética elemental razonada

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2 QA 103 B54 LAC
2

THE latín AMERICAN CXHXECTION

of

THE UBRART
THE UNIVERSITY OF TEXAS AT AUSTIN

THE SIMÓN LUCUIX
RIO DE LA PLATA LIBRARY

Purchased
1963

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ITMITÍCá

ELEUMTAL UlMhU

Elí LAS QUE SE COMPRENDEN TODAS LAS MATERIAS

QUE SOBRE ESTA CIENCIA EXIGE

EL PROGRAMA OFICIAL VIGENTE DE LAS EsCl ELAS PÜBLKWS

DE PRIMERO Y SEGUNDO (fRADO

Agrimensor Fabuco, Profesoí' de Matemáticas del

Instituto Meleuse y ex-Catedrático de esta asaj-

nutura en el Ateneo del Uruguai) y Colcgto Hispano

Uruguayo de Montevideo.

!;®^

Villa de Meló

Tip. y Ene de El Deber Cítico- Calle 25 de Mayo iiúm. 209

1894

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B54
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8775

Bertrán, Alberto

Lecciones de iíritinética; elemental
en las que se comprenden todas las ma
sobre esta ciencia exige el profTraniá
vigente de las escuelas publicas de p
segundo ^ado. Villa de Meló, El Deh
1S94

Simón Lucuix ^

557í

AijñmviíHür Páblko, Prúfesúr de Matmíúticm del

Imtitutú M^l€fue ^ c^-CafedrfHico dfi f\-:¡ta usif/-

mttitm m e¿ Aietieo del Ürugumf ^ Cole^ii} lífspmiQ

Urií^uu^o fir Monteindeth

Villa de Meló

Til)- y Hiu^ dfi El 1í£Mke Cívico- Calle 2Í5 de Mayri iiíim. 2(íü

1694

*-Bri-

ñ

▼

Esta obra es propiedad del autor,
quien se reserva los derechos que la
ley le concede. *

Notas

1*, Un número encerrado entre paréntesis, así: (12),
quiere decir que la materia de que se trata está fundada
en lo dicho en el párrafo 12, el que deberá ser consulta
do para la mejor comprensión.

2*. Los párrafos escritos con letra de menos cuerpo,
pueden suprimirse después de la primera lectura.

Prólogo

Al terminar eíi el Instituto Melense el curso preparato-
rio que se abrió al inaugurarse dicho establecimiento el 24
de Julio próximo pasado, rae encontré con una colección de
lecciones elementales de aritmética razonada, preparadas du-
rante los cinco meses escasos que expliqué dicha asigna-
tura en aquel centro de ensefianza.

Teniendo necesidad de repetir el año entrante la expli-
cación de estás lecciones en el citado Instituto y creyendo
que puedan servir también de texto para las Escuelas Pú-
blicas de 1 f y 2 f Grado, puesto que abarcan todo el pro-
grama de aritmética de las expresadas Escuelas, me he de-
cidido á publicarlas, sintiendo, sin embargo, toda la descon-
ñanza propia del que escribe por primera Vez y tiene que
competir con un gran número de obras de igual naturaleza,
tanto nacionales como extranjeras y que circulan con gene-
ral aceptación.

Decidido, pues, á publicar mi colepción de lecciones do
aritmética, creí necesario modilicar un poco Jos apuntes que

VI

había tomado tle porción de aritméticas españolas y traiice-
sas, á íiii de que apar^'zcaii lo más orií^iiiales posibles, tan-
to en el método, como en la sencillez y claridad en la ex-
posición de cada una de las diferentes teorías que abarcan los
principios de Aritmética Elemental.

No he creído conveniente seguir las huellas trazadas por
la mayor parte de los autores de Aritméticas Elementales
destiuíidas á la Enseñanza Primaria, por cuanto se proponen
inculcar esta ciencia en la mente de los niüos de un modo
empírico; creo, por el contrario, (jue desde los primeros pa-
sos que se den en la ciencia de los números, es preciso acos-
tumbrarse á seguir una marcha rigurosamente deductiva, no
admitiendo ninguna regla sin (pie esté plenamente demostra-
da y lógicamente enlazada con otn^ pvhicipios evidentes ó
ya demostrados.

De esta manera no se fatiga la memoria del nifio con acu-
mulación de reglas que difícilmente son retenidas por no ha-
ber sido previamente demostradas y comprendidas; luego
pues, el estudio de mis lecciones de Aritmética Elemental
Razonada, bajo este plan, será de gran utilidad, tanto para
los que no reciban otros conocimientos superiores, como pa-
ra los que cursen después el estudio de las matemáticas.

No teniendo estas lecciones otro objeto que el de servir
de texto á los alumnos de las Escuelas Públicas de 1 f y
2 f (irado, y á los que se preparen para ingresar en la sec-
ción de Enseñanza Secundaria, me he ceñido extríctamente
al programa oíicial para dichas Escuelas y al de examen de
ingreso publicado este año por la Universidad de Montevi-
deo, por cuyo motivo no he incluido en estas lecciones la
teoría de las potencias, raices, razones, proporciones, de in-
terés simple y compuesto, de aligación, compañía, etc., por
que creo que estas teorías deben estudiarse al cursar el pri-

vil

mer año de Matemáticas, y solo como apéndice explico lige-
ramente la teoría de los números primos, máximo común di-
visor y mínimo ccmún múltiplo; pero en cambio he dado ma-
yor extensión al sistema métrico decimal, presentándolo más
completo que cualquier otro autor, pues que, además de su
clara y racional exposición, y de las equivalencias de lai
medidas antiguas de este país, de la Argentina, Brasil é In-
glaterra, comparadas con las del nuevo sistema, he calcula--
do las equivalencias de las medidas métricas con las anti-
guas de los países expresados, cuyas relaciones son muchas ve-
ces necesario conocer, y sobre todo, su conocimiento es indispen-
sable á las personas que se dedican al comercio ó á la in-
dustria.

Las operaciones con los números denominados son expli-
cadas con suñciente extensión y claridad, de modo que los
estudiantes quedarán habilitados después de su estudio, pa-
ra resolver con facilidad y sin error, cualquier problema nu-
mérico de la Índole de los que se presentan en el curso de
esta obra.

Fara la más íacil comprensión de cada teoría, al ñn de
ella se encuentran porción de ejem})l()S y problemas resueltos,
y algunos ejercicios para resolver, cuyos problemas y ejer-
cicios prácticos, intercalados por toda la obra, sirven de po-
deroso estinmlo para (lue el estudiante adíjuiera facilidad en
la resolución de los diferentes problemas ([xm puedan presen-
társele.

La publicación de esta obra tiende á llenar el vacio que
se nota por la falta ih\ una Aritmética Elemental Razonada,
arreglada á los programas vigentes de Instrucción Primaria.
8i estas lecciones consiguen llenar este vacio y merecer fa-
vorable acogida por parte de las autoridades escolares y pro-
fesores de la República, mis deseos quedarán complacidos,

VIH

sin renunciar por esto á correjir todo lo que se^i necesario,
en otra edición, ya sea por observación propia ó por las que
se dignen hacerme los señores profesores que la estudien y
hagan uso de ella en sus clases.

Sin más mérito^ que la aspiración de contribuir con mi
grano de aren^ á la causa de la Instrucción Pública, someto
este pequeño trabajo al juicio de las personas competentes
en la materia, rogándoles se dignen hacerme las observacio-
nes que juzguen necesarias para el mejor perfeccionamiento
de la obra.

Meló, 2(i de Diciembre de 18í)2.

Alberto R. Bertrán.

LECCIONES DE ARÍTMÉTICA

Elemental Razonada

LECCIÓN I

IVociones preliminares

!• La Aritmética es la ciencia que enseña á ex-
presar los numeraos, á componerlos y á descompo-
nerlos,

S. Llámase número á una sola cosa ó á la reu-
nión de varias cosas iguales, como una manzana,
cinco metros, doce libros, cien árboles, etc.

3. Iilámase unidad á cada una de las cosas
iguales que componen el número; por ejemplo: si
decimos i|nince naranjas, la unidad es la naranja; si
(lecin)os cincuenta niños, la unidad es el niño.

4t. Llámase cantidad todo lo' que se puede re-

v) _

presentar por números exacta ó aproxinutclaniente,
como la distancia entre dos pun:os, el peso de un
objeto cualqnieí'a, el tiempo (jue está un niño en
la escuela, la superficie de un salón, etc.

Generalmente se define la cantidad, diciendo que es todo
lo que es susceptible de aumento ó disminución, cuya definición
la creemos defectuosa, por cuanto abarca mucho más de lo que
se quiere definir. — El cariño, el odio, los placeres, los dolores, lo
bueno, lo malo, etc., puede aumentar y disminuir, ser más ó
menos; sin embargo, ni las afecciones, ni los conceptos mora-
les son comparables á unidad alguna determinada, por consi-
guiente, no siendo posible apreciar su valor por nümeros. no pue-
den ser cantidades, aritméticamente hablando.

5. La cantidad se divide en continua y discre-
ta ó discontinua.

Se liania cantidad contínua, la que se compone
de partes unidas entre sí, como la longitud de un
camino, la superficie de un terreno.

Se llama cantidad discreta ó discontínua, la que
se compone de partes que pueden separarse unas de
otras sin destruirse, como cien soldados, diez na-
ranjas,- cuatro pesos.

La cantidad continua es mensurable, y la dis-
creta numerable; de la primera, se ocupa la Geome-
tría, y de la segunda, la Aritmética.

G. El número ¡uiede ser entero, quebrado v mix-
to.

Numero entero, es el que representa una ó va-
rias unidades justas, sin partes de ella, como seis
metros, cuatro pesos, nueve peras, quince horas,
cien pizarras, etc.

NÚMERO QUEBRADO es cl que representa una ó va-
rias porciones de la unidad dividida en partes
iguales, por ejemplo: si dividimos una nararya en
cuatro partes iguales y de estas tomamos una so-
la, habremos tomado un- cuarto de naranja; si to-
mamos tres porciones, tendreruos tres cuartos de

naranja, cuyos números se representan así: i, |, y
se llaman quebrados 6 números fraccionarios

Ti-es cuartos de peso yf), (los tercios de año (§^,
ínedio metro de paño (¿), etc.. son números que-
brados ó fraccionarios.

NÚMERO MIXTO, es el que se compone de entero y
quebrado, como ocho metros y medio, cuyo núme-
ro se esciibe asi: 8^: una hora y tres cuartos (1 f);
seis |)esos y dos tercios (6§), etc.

TT. Los números pueden ser abstractos 6 concretos.

Numero abstracto, es el que no determina La es-
pecie de la unidad á que se refiere, como seis, do-
ce, quince, cien, mil, etc.

La unidad en abstracto se llama uno.

NÚMERO CONCRETO, es el que se refiere á una uni-
dad determinada, como cincuenta naranjas, diez
árboles, ocho niños, cien libros, etc.

Los números concretos, pueden ser homogéneos
ó HETEROGÉNEOS. — Son homogéncos, cuando se refie-
ren á unidades de la misma especie, como seis
metros, (»cho njetros, cien nnetros; son heterogé-
neos, cuando se refieren á unidades de diferentes
especies^ como cinco mesas, ocho sillas, treinta man-
zanas.

También se dividen los números concretos, en
complejos é incomplejos.

Se llaman complejos, los con/puestos de dos ó
más concretos de diferente especie, pero de la mis-
ma naturaleza) como nueve arrobas y seis libras;
un año, dos meses y cinco días; seis cuadras, trein-
ta varas y dos pies, etc.

Se llaman incomplejos, los concretos que se re-
fieren á una sola especie de unidad^ como nueve
pevsos; doce metros; cinco arrobas; etc.

La Aritmética se divide en dos partes principa-
les: numeración y cálculo.

S.La NUMERACIÓN, es la parte de la Aritmética que
enseña á formar y expresar los numeraos.

El cálculo, es la parte de la Aritmética que en-
seña á hacer ciertas operaciones con los números,
de modo que se obtengan resultados más rápidos
que por medio de la numeración.

Las operaciones fundamentales que abraza el
cálculo aritmético, son las siguientes: adición, sus-
tracción, multiplicación y división; las de adición
y multiplicación se llaman (.peraciones de compo-
sición; y las de sustracción y división, se llaman
de descomposición, por ser inversas de las anteriores.

LECCIÓN II

IVumeración

9. Hemos dicho que la numeración es la parte
de la Aritmética que enseña á expresar los nú-
meros, y como estos pueden expresarse de palabra
ó por escrito, la numeración puede ser también
hablada ó escrita.

Numeración hablada

1 0. La numeración hablada, tiene por objeto
formar los numeraos y expr^esarlos con muy pocas
palabras,

11. Llámase sistema de numeración hablada,
al conjunto de convenciones que se han hecho pa-
ra formar los números y darles nombre.

12. Ya se ha dicho (TI) que la unidad en abs-
tracto se llama uno, y en el sistema de numera-
ción hablada que vamos á explicar, se ha conve-
nido que la reunión de uno y uno, se exprese con

— 5 —

la palabra do8\ la reunión de dos y uno, con la
palabra íres\ la de tres y uno, con la palabra cua-
tro\ la de cuatro y uno, con la palabra cinco\ la
de cinco y uno, con la palabra seis; la de seis y
uno, con la palabra s/ete; la de siete y uno, con
la palabra ocho\ la de ocho y uno, con la palabra
nueve; y, por último, la reunión de nueve unidades
y una más, se exprese con la palabra rfre-s'.

1 3. La reunión de diez unidades, se considera
como una nueva unidad, llamada decena, y se cuen-
ta por decenas del mismo modo que se contó por
unidades,- y así se dice: una decena, dos decenas,
tres decenas, cuatro decenas, cinco decenas, seis
decenas, siete decenas, ocho decenas, nueve dece-
nas, die^ decenas.

El uso sustituyó la nomenclatura anterior, por
la siguiente:

En vez de una decena, se dice die^; en vez de
dos decenas, \einte; en vez dp tres decenas, treinta;
en vez de cuatro decenas, cuarenta', de cinco de-
cenas, cincuenta; de seis decenas, sesenta; de sie-
te decenas, setenta; de ocho decenas, ochenta; de
nueve decenas, noventa; y, en vez de diez decenas,
se dice cien.

Para expresar los números comprendidos en-
tre las dec«-nas, se agregan á los nombres de es-
tas los de los nueve primeros números. Así, por
ejeinplo, agregando á la palabra diez los nombres
de los nueve primeros números, formaremos los
nombres de los números comprendidos entre diez
y veinte, — los cuales son: diez y uno, ú once, diez
y dos ó doce, diez y tres ó trece, diez y cuatro ó
catorce, diez y cinco ó quince, dies y seis, die¿ y
siete, dies y ocho, dies y nueve y veinte.

Agregando á la palabra sesenta los nombres de
los nueve primeros números, formaremos los nom-
bres de los números comprendidos entre sesenta y
setenta, los cuales son: sesenta, y uno, sesenta y

dos, sesenta y tres, sesenta y cuatro, sesenta y cin-
co, sesenta y seis, sesenta y siete^ sesenta y ocho,
sesenta y nueve, y setenta.

Del mismo modo agregaiiamos los nombres de
los nueve primeros números á los nombres de las
demás decenas ¡lara fT>rmar u»dos los números
comprendidoíi entre uno y cien.

14. La reunión de diez decenas, se considera co
nio una nueva unidad, llamada centena, y se cuf uta
por centenas hasla diez cenlenas, del mismo mndo
que se cuenta por unidades hasta diez, así diremos:
una centena ó cien, dos* centenas n doscientos, tres
centenas ó trecientos, cuatro centenas ó cuatro-
cientos, cinco centenas ó quinientos, seis centenas
ó seiscientos, siete centenas ó setecientos, ocho cen-
tenas ú ochocientos, nueve centenas ó novecientos,
diez centenas ó wil.

Para expresar los números compi'endidos entre
dos centenas consecntivas, se a;ü:regan á Uks nom-
bres (le estas los nombres de íos noventa y nue-
v.e primeros números.

Poi* ejemplo, si queremos expresar los noml)res
de los números Címiprendidos entre quinientos y
seiscientos, á la palabra quinientos le agregaremos
el nombre de cáela uno de los piimeros noventa y
nueve números, y. fbrmai'emos los siguientes: qui-
nientos uno, quinientos dos, quinientos tres^ qui-
nientos cuatro, quinientos cinco

: quinientos cuarenta, qui

nientos cuarenta y uno, quinientos cuarenta y dos,

quinientos cuarenta y tres qvi--

nientos noventa y siete, quinientos noventa y ocho,
quinientos noventa y nueve^ seiscientos.

Del mismo modo se forman los demás números
comprendidos entre las otras centenas, así pues,
ya podemos expresar todos los números compren^
didos entre uno y mil.

15. La renuión de mil unidades, se considei-a
como una nueva unidad de segunda clase, llama-
da mular, y se cuenta por unidades, decenas y
centenas de millar, hasta mil millares, del mismo
modo cjue se cuenta por unidades, decenas y cen-
tenas simples, desde uno hasta mil, asi se dice: un
millar, ó simijlemente mü, dos mil, tres mil, cua-
tro mil, cinco mil, seis mil

setenta mil, setenta y un mil, setenta y dos mil,
setenta y tres mil, setenta y cuatro mil

novecientos noventa y siete mih novecientos noventa
y ocho ?ml, novecientos noventa y nueve mil.

Para expresar !( s númer(}s com|)rendidos entre
(los niillares consecutivos, se agi-egan á los nom-
bres de los millares h s de l<;s novecientos noven
la y nueve primeros números, por ejemplo: agre-
ijiando á las palabras trescientos ochenta y siete
mil, l(;s nombres de los novecientos noventa y
nueve primeros números, íormaiemos todos los
comprendidos entre trescientos ochenta y sie-
te mil y trescientos ochenta y ocho mil, los cua-
los son: trescientos ochenta y siete mil uno, tres
cientos ochenta y siete mil dos, trescientos ochenta
y siete mil tres, trescientos ochenta y siete mil cua

tro

trescientos ochenta y siete mil treinta, trescientos
ochenta y siete mil treinta y uno, trescientos ochenta y
siete mil treinta y dos, trescientos ochenta y siete

mil treinta y tres

ti-escientos ochenta y siete mil seis cientos noventa
y ocho, trescientos ochenta y siete mil seiscientos
noventa y nueve, trescientos ochenta y siete mil sete-
cientos

trescientos ochenta y siete mil novecientos noventa
y siete, trescientos ochenta y siete mil novecientos
noventa y (jcho, trescientos ochenta y siete mil no-

— s —

vecientos noventa y niceve, ty^escientos ochenta y ocho
mil.

Del mismo modo se forman los demás millares.

Por este método, pues, podremos expresar to-
dos los números comprendidos entre una unidad y
mil millares de unidades.

IG. La reunión de mil millares se considera
como una nueva unidad principal de tercera clase
llamada millón, y se cuenta por unidades, decenas
y centenas de millón, lo mismo que se cuenta por
unidades, decenas y centenas simples hasta mil,
así diremos un motilón, dos millones, tres millones
veinte millones, trein-
ta millones cien millones, quinientos mi-
llones novecientos noventa y ocho m^illo-

neSy novecientos noventa y nueve millones, mil mi-
llones.

La reunión de mil millones, se considera como
una nueva unidad de cuarta clase, llamada uni-
dad de millar de millón, y se cuenta por unida-
des de millar de millón, decenas de millar de
millón y centenas de millar de millón, lo mismo
que se cuenta por unidades, decenas y centenas sim-
ples; así decimos, una unidad de millar de millón
ó simplemente, un millar de millón, mejor aun,
m^7 millones, dos mil millones, tres mil millones,

ciuztro mil millones

veinte, treinta, cuarenta noventa m,il

millones setecientos, ocho-
cientos, novecientos, mil millones ' . .

novecientos noventa y nueve mil novecientos noven-
ta y nueve millones.

Los números comprendidos entre dos millones
consecutivos, se forman agregando á las palabras
que expresan los millones, los nombres de los no-
vecientos noventa y nueve mil novecientos noven-
ta y nueve primeros números; de ese modo ten-
dremos formados todos los números desde la uni-

- 9 /—

dad simple ó uno hasta mi iiiíIIíhi de millones.

IT?. A lili millón de millones, se llama bi-
llón; á un millón de billones, se le llama trillón; á un
millón de trillones, cuatrillón, v asi snresivamen-
te. (1)

Los billones, trillones, etc. se cuentfin lo nns-
mo que los millones.

18. La serie de los números es infinita; por
que por grande que sea el número que nos ima-
ginemos, se podrá formar otro mayor agregando
le una unidad más.

.19. Obsérvase en el curso de los párrafos an-
teriores, que con estas pocas palabras: uno, dos,
tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, vein-
te, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta, o-
chenta, noventa, cien, mil, millón, billón, trillón,
cuatrillón, etc. se puede expresar cualquier núme-
ro por grande que sea.

20. A los nueve primeros números, se les
da el no:nbre de unidades de primer orden; á las
decenas, se les llama unidades de segundo orden;
á las centenas, de tercer orden; á las unidades, de-
cenas y centenas simples consideradas en conjun-
to, se les llama también unidades de primera clase.

Ya hemos visto (15) que los millares se coh-
sideran como nuevas unidades llamadas de segun-
da clase y que tienen también unidades, decenas
y centenas como las unidades simples, las que res-
pectivamente toman el nombre de unidades de
cuarto, quinto y sexto orden.

Del mismo modo hemos visto (IG.) que las
unidades de millón se consideran como una uni-
dad principal llamada de tercera clase y que se

(1) Los franceses llaman bíllonks á las unultules de mH4ar de millón.
TRii.LONBS a las unidades de billón, y asi sucesivamente.

— 10 —

cuentan los inilloiies por uiiidades, decenas y cen-
tenas, á las (jue se les dan respectivamente los
nombres de unidades de séptimo, octavo y noveno
orden,

A las unidades de millar de millón, se les lla-
ma unidades de cvtarta clase y se cuentan también
por unidades, decenas y centenas de millar de
millón, las cuales toman el nombre de unidades
de décimo, undécimo y duodécimo orden.

A los billones, Sf3 les llama unidades de quin-
ta clase; á las unidades de millar de billón, de
seoota clase, y así sucesivamente, dividiéndose ca-
da clase en unidades, decenas y centenas: es de-
cir pues, que la reunión de tres especies de uni-
dades, forma siempre una clase de unidades, lla-
mada en general clase ternaria.

21. En resumen, el sistema de numeración
hablada quo acabamos de exponer, so funda en la
convención principal que se ha hecho de que diez
unidades de un orden cualquiera, componen una del
orden inmediato superior.

Por ejemplo, hemos visto que diez unidades
simples forman una decena, diez decenas una cen-
tena, diez centenas forman un millar,, y asi suce-
sivamente.

22 Según esté convenio diez es la base de
nuestro sistema de numeración, por cuya razón í?e
llama sistema decimal y es el que han adoptado
todos los paises civilizados.

91 Si la base del sistema fuese dos, es decir, si dos
unidades de un orden formasen una del orden inmediato
superior, el sistema se llamaría binario: si tres, ternario:. .

si doce duodecimal etc. Con cualquiera de estos

sistemas podríamos expresar también todos los números.

La idea de esta generalización, se debe al profesor de

— 11 —

Ginebra Weigcl, que en 1687 publicó una Aritmética usan-
do solo los números uno, dos y tresi

Algunos creen que esta obra fué iniciada por Pitágoras.

24 El sistema de numeración decimal hace próxima-
mente mil años que fué introducido en Europa por los
árabes, y probablemente tiene su origen en la configurar
ción de la mano, pues se cree que al principio los hombres
contaron con ios dedos; y quizá también la división de ca-
da dedo en tres falanjes dio la idea de los tres órdenes,
unidades, decenas y centenas, de que está eompúesta cada
clase, de unidades de nuestro sistema de numeración deci-
mal.

LECCIÓN III

IVumeraciión escrita

35. La numeración escrita tiene por objeto
representar con pocos signos todos los números.

Los signos, cifras ó guarismos, que se ha con-
venido emplear para representar los números, en
el sistema de numeración decimal, son los si-
guientes:

12 3 4 5 (J 7 8 9 O
uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve cero (*')

La última cifra llamada cero, es símbolo de la
nadüy porque nada expresa por sí misma, por lo
que se le llama cifra no significativa.

(") Estas cifras se llaman arábigas por haberlas hecho conocer *»n Eu-
eopa los árabes españoles en el siglo a; sin embargo, no fueron generalmen-
rl aceptadas hasta «1 siglo XVI.

- 12 -

Las palabras uno, dos, tres, etc., expresan en castella-^
no los nombres de los números: las cifras 1, 2, 3, etc., re-
presentan gráficamente el valor de los números, cuyos sig-
nos son comprendidos por todos los pueblos que han adop-
tado este sistema de numeración; mientras que las palabras
que hemos empleado para expresarlos solo son comprendi-
das por los que hablan el idioma castellano.

2G El sistema de numeración ^^stá fundado
en las dos convenciones siguientes:

1.* Toda cifra colocada á la izquierda de otra
representa unidades del orden inmediato superior.

2.^ La cifra cero sirve para ocupar los lugares
de los diversos órdenes de unidades que falten en
el número.

Por ejemplo, para representar el número diez
y seis, que se compone de una decena y seis uni-
dades simples, se escribe asi, 16, de manera que
la cifra 1 que representa las decenas ó unidades
de segundo orden, quede á la izquierda de la ci-
fra 6, que representa las unidades simples ó de
primer orden.

Del mismo modo veremos que el número trein-
ta y cinco, que se compone de tres decenas ó
unidades de segundo orden y cinco unidades sim-
ples ó de primer orden, se escribe 35.

El número sesenta, que se compone solo de seis
decenas ó unidades de segundo orden, se escribe
60, colocando un cero en el lugar de las unida-
des de primer orden deque carece el número dado.

El número ochocientos cincuenta y cuatro, que
se compone de ocho centenas ó unidades de ter-
cer orden, de cinco decenas ó unidades de segun-
do orden, y de cuatro unidades simples ó de pri-
mer orden, se escribirá 854, de modo que el 8
quede escrito á la izquierda del 5, porque repre-
senta unidades del orden inmediato superior á las
que representa dicha cifra 5, así como esta ha

-- 18 -

quedado á la izquierda del 4, porque tambión re-
presenta unidades del orden inmediato superior á
las que representa el expresado 4, quedando es-
crito el número dado, de acuerdo con la 1.* con-
vención hecha en este sistema de numeración.

El número ocho mil treinta y nueve, que se
compone de ocho unidades de millar ó de cuar-
to orden, tres decenas ó unidades de segundo or-
den y nueve unidades simples ó de primer orden
se escribe 8039, colocándose un cero en el lugar
de las centenas ó unidades de tercer orden que
faltan en el número propuesto, todo de acuerdo
con las convenciones 1*. y 2*. ya citadas.

El número diez mil cinco, se escribe 10005, ocu-
pando con ceros los lugares de las unidades de
cuarto, tercero y segundo orden de que carece el
número dado.

Así el número trescientos cinco millones cua-
tro mil doscientos uno, se escribirá 305004201.

21. Obsérvase en los ejemplos anteriores que
cada cifra, empezando por la de las unidades sim-
ples, ocupa el mismo lugar que el orden de uni-
dades que ella representa; por ejemplo, las dece-
nas ó unidades de segundo orden, ocupan siempre
el segundo lugar, las centenas ó unidades de ter-
cer orden, el tercer lugar, las unidades de millar
el cuarto, las decenas de millar, el quinto y asi
sucesivamente.

S8. Regla general. —Para escribir un nume-
ro enterv, se escriben de izquierda á derecha las cifras
qne expresan las unidades de cada orden, unas al
lado de las otras, principiando por la de orden su-
perior y cuidando de ocupar con ceros los lugares
donde falten unidades de algún orden.

Para escribir el número ocho mil doscientos
siete, (jue se compone de 8 unidades de millar ó

— 14 —

de cuarto orden, 2 ceateims ó unidades de tercer
orden, O decenas ó unidades de segundo orden y
7 unidades simples ó de primer orden, colocare*^
mos las cifras 8, 2, O y 7 que expresan las uni-
dades que hay de cada orden, unas al lado de
las otras, así: 8207; que como se vé, el cero ocu
pa el lugar de las decenas que faltan en -el nú-
mero propuesto.

Para escribir el número veinte mil ocho, que
se carapone de dos unidades de quinto orden y
ocho de primer orden, faltaikdo las unidades de
cuartOi tercero y segundo orden, se escribirá 20008,
ocupando con tres ceros los tres órdenes de uni-
dades que faltan.

De la misma manera escribiremos novecientos
cuatro mil diez y ocho, 904018. Un millón tres-
cientos cincuenta y seis mil cuatrocientos veinti^
cinco, 1356425. Tres millones cinco mil ocho. 300-
5008. Quince billones diez mil millones ochocien-
tos cinco, 15010000000805.

S9. Reasumiendo cuanto hemos expuesto en
esta lección, observamos:

1.^ Que cada cifra tiene dos valores: uno ab-
soluto que expresa el número de unidades que re-
presenta, y otro relativo que depende del orden á
que pertenecen estas unidades, cuyo valor está en
relación con la posición que ocupa la cifra en el
número.

Por ejemplo: en el número 462 que consta de
cuatro centenas, 6 decenas y 2 unidades, el valor
absoluto de la cifra de las centenas es 4 y su valor
relativo^ es 4 centenas.

2°. Cada orden de unidades ocupa siempre el
mismo lugar en todos los números. (STT).

3^. El valor de un número no se altera aunque
se coloquen uno ó varios ceros á su izquierda:

— 15 —

poi'qiui con esto no se altera el lugar que ocupan
las otras cifras y contándose como se cuentan
los órdenes de derecha á izquierda, conservará
cada ciifra su mismo valor relativo, no alterándo-
se por consiguiente el número.

Por ejemplo, el número 43005, es igual á 00043005.

4°. Cada unidad de un orden cualquiera sa-
bemos que vale diez unidades del orden inme-
diato inferior, así pues, cada cifra de un número
cualquiera representa unidades diez veces mayores
que su inmediata de la derecha, y por tanto: un
número se hace diez, cien, mil, etc., veces mayor,
colocándole uno, dos, tres, etc., ceros á su derecha;
porque las unidades (|ue representa cada cifra se
hacen diez, cien, mil, etc., veces, mayores ocu-
pando los lugares correspondientes á unidades de
uno, dos, tres, etc., órdenes superiores.

Recíprocamente: un número terminado en ceros
se hace diez, cien, mil, etc, veces wsnor suprimién-
dole uno, dos, tres etc.: ceros á su dey^echa: porque
al suprimir esos ceros, las cifras que antes ocu-
paban el segundo, tercero ó cuarto lugar, ocu-
pan después de suprimidos los ceros, el primer
lugar de la derecha, 6 sea el de las unidades;
por consiguiente, el número se hace diez, cien,
mil, etc., vecevS menor suprimiéndole uno, dos ó
tres ceros de su derecha.

Por ejemplo: sea el número 4895. Agregándole
jres (íeros á su derecha, se obtendrá el número
4895000, en el cual observamos que la cifra 5,
(pie en el primer número representa solo unidades
simples, ocupa, en el segundo, el lugar de las
unidades de millar, luego representa unidades mil
veces mayores: la cifra 9 que en el primer nú-
mero representa solo decenas simples, en el se-
gundo, expresa decenas de millar, así pues, repre-
senta también unidades mil veces mayores; de la

— IH -

misma manera vemos (jue cada una de las demás
cifras del segundo número representa unidades
mil veces mayores (jue las que expresan las mis-
mas cifras en el primero; queda, pues, demostrado
que cada cifra del segundo número representa
unidades mil veces mayores que en el primero, y
como es evidente que, lo que se hace con las par-
tes queda hecho con el todo, resulta que el segun-
do número es mil veces mayor que el primero.

Por medio de un raciocinio parecido al que
acabamos de emplear, demostraríamos que supri-
miéndole al número 35200 los dos ceros de la de-
recha, se hace dicho número cien veces menor.

30. Para leer un número entero escrito en ci-
fras, se lee dando á cada una el valo'y absoluto y
relativo que tiene, empezando la lectura por la iz-
quierda, y si se compone de muchas cifras 83 fa-
cilita su lectura dividiéndole en secciones de tres
cifras cada una, empezando por la derecha ó sea
por las unidades simples. En la f)rimera separa-
ción se pone un punto, en la segunda un 1 pequeño,
en la tercera otro punto, en la cuarta nn 2 pe-
queño, en la quinta otro punto, etc., y luego se
leen aisladamente cada uno de estos grupos, em-
pezando por el de la izquierda, pronunciando mil
donde se halle un punto y millón, billón, etc., don-
de se hallen los pequeños números 1, 2, 3, etc.,
((ue se colocaron al dividir el numen; propuesto
en grupos.

Por ejemplo: para leer el número

86.4052890.643i215.002

Empiezo por dividirlo en períodos de tres ci-
fras, principiando por la derecha y digo: unidad,
decena y centena, punto; unidad de millar, dece-
na de millar, centena de millar, uno: unidad de
millón, decena de millón, centena de millón, pun-

— 17 -

to; unidad de millar de millón, decena de millar
de millón, centena de millar de millón, dos: y así
sucesivamente.

Hecha la división en períodos de tres cifras del
modo indicado, se lee el número empezando por
la izquierda, de este modo:

86 mil, 405 billones, 890 mil, 643 millones, 215
mil, 2 unidades.

Del mismo modo leeremos el número

7838640.054,960.000^042.001

• Diciendo 733 trillones, 640 mil 54 billones, 960
mil millolies, 42 mil, uno.

En la práctica generalmente no se pasa de las
centenas de trillón.

31. Cuadro para facilitar á los principiantes
la escritura v lecttura de los números.

*^ centenas
Qí> decenas
Ci unidades

O centenas
O decenas

08 unidades

•

^ centenas

^ decenas
O unidades

K>

^ centenas
1^ decenas
^ unidades

01^ centenas
' ^ de''emis
gj unidades

"^ centenas
^ decenas
^ unidades

^ contonas
1^ de(íonas
«I unidades

de trillón

de millar
de ])illon

de billón

de millar
de millón

de millnn

de millar

simples

a sean
ó sean
n sean

*o sean
ó sean
(^ sean

o sean
ó sean
() sean

o sean
ó sean
ó sean

ó s*?an
ó sean
ó sean

o s¿an
«^ sean
ó sean

o sean
(') sean
<■» soají

de ál.«
de 20.O
de 19.*>

de 18.«
de 17.«
de 16.»

de 15.»
de 14.°
de 13.«

de 12.«
de 11."
de 10.«

de 9.°
de 8."
<le 7."

de r).«
de 5."
do 4."

de 3.^''
de 2.''
do l.'^'-

orden
ornen
orden

orden
orden
orden

í»rden
orden
orden

orden
orden
orden

orden
orden
orden

orden
oi'flen
orden

orden
orden
orden

bO

í^

— 18 -

Se leerá: cua;tr() cientos ochenta y seis trillones,
tres mil quinientos cuarenta billones, veintinueve
mil ochocientos tres millones, ciento cinco mil,
veintisiete unidades.

LECCIÓN IV

rVumeraeión Romana

32. Para expresar los números, los Romanos
se valían de las siete letras que á continuación so
representan con los valores numéricos que tienen.

I, V, X, L. C, D, M.
1, 5, 10, 50^ .100, 500, 1000.

Muy antiguamente expresaban mil con dos C
colocadas en sentido opuesto una de oira, y una
1 en medio, asi: Cl O-

33, La nuiuííración Romana está fundada on
los sii^nientes convenios:

1." Repitiendo una letra se repite su valor.
Por, ejemplo II representa dos unidades; XXX,
representa treinta; CCC, trescientos.

2." Ninguna letra se repite cuaty^o veces seguidas,

:^." Toda letra colocada á la derecha de otra de
igu/il ó mayor valor numérico, aumenta el valor de
aquella en la cantidad que esta representa.

Por ejemplo: VI representa seis unidades, por-
que la V vale cinco v la 1 una, v í*olocada esta

— 11) —

á la derecha de la V, le aumenta su valor y for-
man seis.

Otro: LX, representa sesenta, porque la L va-
le cincuenta y la X diez, que colocada á la dere-
clia de la L le aumenta su valor y forman sesenta.

Del mismo modo demostraríamos que MI) repre-
senta 1500, y ('C 200.

4.^ Toda letra colocada á la izquierda de otra
que represente mayor valor numérico, disminuye el
valor de esta en la cantidad que aquella expresa.

Por ejemplo: IV representa cuatro unidades,
porque la V vale cinco, y la I una, que colocada
á la izquierda de la V, le disminuye su valor y
forman el núhiero cuatro.

Del mismo modo demostraríamos que CD repre-
senta 400, y CM, novecientos.

5." Las letras que representan unidades simples,
sirven también para representar millares, colocan^
cióles una linea horizontal encima, ó una m en la
parte superior ó inferior de las mismas.

Por ejemplo: V representa cinco unidades sim-
ples y con una rayita horizontal encima, así V, re-
presenta cinco mil, ó *b¡en Vm y V"* también re-
presentan cinco mil.

Del mismo modo vemos que X representa solo
diez unidades y con una rayita horizontal por en-
cima X representa diez mil; así como M que solo
representa mil unidades, con la rayita horizcrntal

VI, representa un millón etc.

34r. Ejemplos de varios números escritos por
el sistema decimal y sus equivalentes en el de nu-
meración Romana:

20

1

i

•■Mí

XXX

2

11

:w

XXX VI 11

■■]

III

5!)

LIX

1

IV

SO

lA'XX

»

V

90

xc

(i

\l

9!)

IC

vil

250

(V\.

8

vil!

400

en

!)

IX

1)50

I-M

10

X

l(iO(»

MDO

11

XI

1853

MUCCOMII

\-¿

XII

1892

MDC0CX("1I

V.i

XIII

20715

xxnccxv

14

XIV

480512

CDi.xxxnxii

15

XV

2000000

MM

16

XVI

1350412

MCCCLCnXlI

25

XXV

100()240

MVICCXL

35. Obsérvase (jne la numeración Uí»niana no
tiene un signo correspondiente al cero de la nu-
meración decimal escrita, por lo que es algo más di-
fícil la escritura de estos números cuando re|)re-
sentan cantidade^s muy grandes, y sobre todo muy
complicados los cálculos que con ellos se hacían.

Hoy solo se usan estas cifras para representar
los nuuK^ros de orden.

— ¿1 —

m mwím

OKflAClOȣS FUKBAmHTALES

LECCIÓN V

Adición de los números enteros

36. Adición es una operación que tiene por
objeto reunir las unidades que contienen dos ó más
números dados, en uno solo.

Los nünier(>s dados se llamean sumandos, y el
resultado ó número que se busca se llama suma,

3TÍ. Para indicar la adición se hace uso de
este signo + Q^^ se llama más, el cual se coloca
entre los números que se quieren sumar.

Por ejemplo: si queremos sumar el número 9
con el 5, lo indicaremos asi: 9-|-5, y se lee nueve
más cinco.

Para hallar la suma indicada en el párrafo an-
terior, de 9 + 5, no hay más que agregar al núme-
ro 9 una á una las unidades de que está compuesto el
5, y como el 5 se compone de 1+1+1+1+1 unida-
des, diremos 9+1 son 10, (12) 10+1 son 11, 11+1
son 12, 12+1 son 13, 13+1 son 14; tenemos pues
que 9+5 son 14.

Para sumar los números 5, 7, 6 y 8, empezare-
mos por agregar al número 5 todas las unidades
que componen el sumando 7 como hemos hecho, en
el ejemplo anterior y hallaremos que forman 12;
¿I la suma 12, que se compone de las unidades
que forman los sumandos 5 y 7, le agregaremos
una á una todas las unidades del 6 v hallaremos

la suiíKi 18, y á la suma 18, que se (•om|)()iu> do
las uiii(la<los de los suinaiidos 5, 7 y O, lo a^re-
uaiíMní'S de l^ misma manera las unidades do! su-
mando 8: de este modo hallaremos que la suma de los
números i»ro|>uestos es ¿6: luei^i», 5 + 7-4-H4-8=2(>,
El siirno=3, (jue acabanií^s de emplear, se lla-
ma igualdad, y se usa |>ara indicar «|ue una cantidad
es igual á otra. (1)

38. Pava sumar un nüriíiero entero con oh^o ü
otros de una sola cifra, basta agregar al pirme^'O las
unidades del segundo; a la suma del primero y segun-
do, las unidades del tercero; á la suma del primero, se-
gundo y tercereo, las unidades del cuarto, y asi sucesi-
vamente hasta agregar las unidades del último suman-
do.

Este prwedirniento es sencillo pero iiiny lenlo:
así pues, para ejecutar rápidamente la adición de
varios números dí.uitos debe aprenderse de memoria
la siicuiente:

TABLA DE SUMAR

1 y 1 son '¿ 2 y. 1 son 3

Iv 5» (> 2-y 4 » O

3

»

4

2

7

»

!)

(>

li!>

7

2

3

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2

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10

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12

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8

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8

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10

V

9

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10

2

2

»

4

(1) En toda igual(la4l, se llama primer miembro, á la canüdart quo está á
la i5W|uipr(lá, «1 el sitrno . y segundo miembro, á la ijue está & la derfcha.

- 23 —

3

y

3.

son

6

6

y

1

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7

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2

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16

y

10

»

26

15

y

i)

»

24

1 16

y

7

»

23

15

V

10

»

25

' 16

V

8

»

24

Aprendida de memoria la precedente tabla, con
un poco de estudio y repetidos ejercicios, fácil é insen-
siblemente se aprenden los resultados de la adición
de una cifra á un numero cualquiera; asi en la prác-
tica para ejecutar la suma de 19 + 8, decimos de una
vez, son 27, sin necesidad de adicionar una á una
las unidades deque se (Ujinpone el 8; del mismo mo-
do decimos que 75 y 6 son 81, 187 y 9 son 196 etc.

30. Si tuviésemos que practicar la adición de
varios números com[)uestos, procederíamos por par-
tes, sumando primero las cifras que representan
unidades simples, después las de las decenas, luego
las de las centenas y así sucesivamente, formando
con las sumas parciales de las unidades, decenas,
centenas, etc., un número compuesto que repre-
sentará evidentemente la verdadera adición de los su-
mandos dados.

Sea por ejemplo adicionar los siguientes números:
230 + 548 + 74 + 5, empezaremos por sumar las ci-
fras de las unidades simples de este modo: 6 y 8 son
14; 14 y 4 son 18; 18 y 5 son 23 unidades; la suma de
las decenas se obtienen así: 3 y 4 son 7 y 7 son 14 de-
cenas; las centenas son 2 y 5, 7 centenas: de modo
que la suma total se compone de 23 unidades, 14 de-
(*enas y 7 centenas; pero en las 23 unidades hay 2 de-

— 26 —

cenas que pueden agregarse á la suma de las 14 que
contienen los sumandos dados y formarán 16 dece-
nas, sobrando 3 unidades que son las del núnnero
qué pretendemos formar con los propuestos; en
las 16 decenas halladas, hay una centena que puede
agregarse á las 7 que contienen los sumandos y for-
maremos 8 centenas, sobrando 6 decenas que son las
del número que tratamos de formar por último pues,
vemos que la suma total que buscamos se compone
de 8 centenas, 6 decenas y 3 unidades ó sea de 863
unidades.

Para facilitar la operación pueden disponerse los
sumandos en columna, de modo que las unidades de
un mismo orden se correspondan, tirándose una lí-
nea horizontal por debajo de todos ellos para se-
pararlos de la suma total que se escribe al pié.

Los sumandos del ejemplo anterior, se coloca-

ran asi:

236

548 ( Sumandos
74
5

863 suma total

Para efectuar la suma diremos, 6 y 8, 14; 14 y
4 18- 18 y 5, 23; la suma de las unidades son 23, en
las cuales hay 2 decenas y 3 unidades; escribimos las
3 unidades debajo de la columna correspondiente y
las dos decenas las reservaremos para sumarlas con
las otras de los sumandos, asi: 2 que llevamos y 3
son 5 y 4, 9 y 7 forman 16 decenas, en las que hay
una centena y sobran 6 decenas que escribimos deba-
jo de la columna correspondiente, reservando la- cen-
tena para agregarla á las otras de los sumandos, asi: 1
qae llevamos v 2 son 3 y 5 son 8 centenas que escri-

— 27 ~

bimos debajo de la columna de ellas, quedando
formado el número 863 que representa la suma de
los números propuestos, porque está compuesto de
todas las unidades de los sumandos dados.

'40. El procedimiento empleado en el ejem-
plo anterior, puede aplicarse á otro cualquier caso,
por consiguiente podemos establecer la siguiente
regla general.

Para sumar números enteros, se escriben, unos
debajo de los otros, iodos los números dados, de
modo que las cifras de igual orden se correspondan.
Se suma primeramente la columna de las unidades
simples y si esta suma contiene una ó más centenas,
se reservan para agregarlas á la su^aa de la colum-
na de las decenas, y solo se escriben las unidades
que sobran. Se suman l(is decenas, y, si esa suma
contiene una ó más centenas, se reservan para agre-
garlas á la suma de la columna de las centenas, y
solo se escriben las decenas que sobran, y asi se conti-
núa snmando todos los demás órdenes de unidades que
hubiese hasta la última columna de la izquierda.

Propongámonos por ejemplo sumar los núme-
ros, 82456, 973, 91480 y 65. Colocaremos todos l(»s
sumandos unos debajo de otros, de modo que las
unidades de cada oiden queden en una misma co-
lumna, y después de tirar una raya p<)r la parte
inl'erioi', practicaremos la op'^racion (*omo á (*onti-
nuaciíui se expresa.

Sumandos

174974 Suma

- 28 -

Diremos: 6 unidades y 3 son V), y 0, 1) y 5, 14 que com-
ponen 1 decena y 4 unidades; las 4 unidades las escri-
bimos debajo de la columna correspondiente y la
decena la reservamos !)ara añadirla á la columna de
las decenas. Las decenas se suman así: 1 que lle-
vamos y 5 son 6 y 7, 13 y 8, 21 y 6, 27; en 27
decenas hay 2 centenas y 7 decenas, escribimos
7 debajo de la columna de las decenas y reserva-
mos las 2 centenas para añadirlas á la suma par
cial de la columna de las centenas. Se suman añora
las cifras de la cohunna de las centenas de este mo-
do: 2 que llevamos y 4 son 6 y 9, 15 y 4 son 19
centenas en las cuales hay una unidad de millar y so-
•bran 9 centenas (jue escribimos debajo de la co-
lumna correspondiente, reservándonos la unidad
de millar para agregarla á los otros millares, asi:
1 que llevamos y 2 son 3 y 1, 4 que lo escribi-
mos debajo de los millares. Por último sumamos
la columna de las decenas de millar, diciendo, 8
y 9 son 17, que se escribe á la izquierda de la
cifra délos millares de la suma. Por consiguiente
la suma total de los númenes propuestí)s es 174974.

lín la práctica, se suma abreviadamente de este
m()do:

8245()

973

91480

()5

174974

Empezando por la columna de las unidades, di--
go: 6, 9, 14 (se escribe 4 y se lleva 1). Para las
decenas; 6, 13, 21, 27 (se escribe 7 y se llevan 2).
Para las centenas: 6, 15, 19 (se escribe 9 y se lle-
va 1). Los millares: 3, 4 (se escribe 4 y no so lle-
va nada). Las decenas de millar:- 8, 17 se escribe

— á9 ~

íntegra la suma parcial 17, porque ya no hay más
columnas para sumar. La suma es, pues, 174974,
la misma que hallamos antes.

41. La adición, se empieza generalmente por
las unidades simples y se continúa por las dece-
nas, centenas, etc., sin que esto quiera decir que
n(^ pueda practicarse principiando por las uni-
dades de orden superior; solo tiene el inconve-
niente de que pueden resultar en cada suma
parcial algunas unidades del orden superior inme-
diato, al que no podrán añadirse fácilmente es-
tando éstas ya sumadas; poi- cuya razón conviene
siempre empezar la suma por las unidades de or-
den inferior.

42. Obsérvase que, eZ ntim^7'0 de las unidades
comprendidas en la suma de varios nutneros, es com-'
pletamente independiente del orden en que estén co-
locados los sumandos; porque es evidente que el
resultado íinal siempre contendrá todas, las partes
de los sumandos, cualquiera que sea el orden de
éstos; luego el resultado de la suma depende tan
solo del valor de los sumandos: de donde se de-
duce también que, una svma queda aumentada ó
disminuida en el m.ism.0 número de unidades en que
se aumenten ó disminuyen los sumandos.

43. Las reglas de la adición y las que se da-
rán para las deitiás opeíaciones son exactas, pero
al ejecutarlas i)uede cometerse algún error, por lo
que conviene hacer la prueba para tener la pro-
babilidad de que no nos hemos equivocado.

La prueba de la adición, se hace sumando de
nuevo los números dados en sentido inverso al
seguido para obtener la pi'imera suma. Si la ope-
ración está bien practicada, las dos sumas obteni-
das serán iguales.

Es fácil también equivocarse h1 practicarla pruo-

— 30 —

ba, pero es difícil que el error de ésta se compen-
se con 3I de la operación principal, por lo que en
general puede tomarse como cierto el resultado en
que la operación y la prueba sean iguales.

4:4:« Usos DE LA SUMA Esta operación se em-
plea en todos los casos que se trata de encontrar
el número que exprese la reunión ó conjunto de
unidades contenidas en otros números dados, ó
cuando se quiere aumentar un número, ccm el va-
lor de otro ó de varios otros.

4:5. No pueden adicionarse sino las unidades
de la misma especie, ó cuando menos han de te-
ner todas el mismo nombre.

Por ejemplo, no podemos sumar 4 naranjas
con 8 libros, porque no forman ni 12 naranjas ni
12 libros.

Tampoco podríamos adicionar 3 metros con 7
litros, porque no son unidades de la misma es-
pecie; pero podríamos adicionar 8 pesos con otros
6 y formaríamos 14 pesos.

Hay unidades que aún no siendo de la misma
especie pueden sumarse, porque ti3neii el mismo
nombre, como por ejemplo:

En la quinta de Don Benito Trias hay un mon-
tecito que tiene 100 naranjos 47 manzanos y 53
cerezos, de modo que el montecito se compone
de 200 árboles frutales.

En la estancia de don Tomás Fontela conta-
mos un rodeo que tenía 300 vacas, 100 novillos y
20 toros es decir que se c(Mn[)onia de 420 res(\s
vacunas.

4G. Las adiciones de muchos snman(l(»s, con-
viene practicarlas dividiendo la ope^^ación en va-
rias sumas parciales que cada una contenga (Ktlio
ó diez sumandos, y la adición de esas sumas |)ar-
ciales dará el resultado total.

- 31 —
PROBLEMAS

1.^ En tina biblioteca se han colocado en cin-
co estantes los siguientes libros: 300 muy gran-
des, en el primer estante; 450 en el segundo; 285
en el tercero; 586 en el cuarto y 2837 volúmenes
pequeños en el quinto: se desea saber el número
total de libros que contiene la biblioteca.

300
450
285
586

2837

4458

Se ejecuta la operación como se ha explicado
en la regla general que hemos dado en el núme-
ro 4tO, y el resultado 4458 expresa el número de
libros que contiene la citada biblioteca.

2." Un comerciante se estableció con un capi-
tal de 8357 pesos, y al fin del primar año se en-
contró con una ganancia líquida de 936 pesos,
en el segundo ganó 1560 pesos, en el tercero ga-
nó 2324, y además recibió una herencia de 25985
pesos; ¿que capital tenía al terminar el tercer año?

8357

936

1560

2324

25985

Resultado 39162 pesos

— ■¿•¿ —

'¿.° El planeta que habitamos, está principal-
mente dividido en cinco partes, que son: Europa,
Asia, África, América y Oceania. En Europa hay
próximamente 300020415 habitantes, en Asia
800100932, África tiene 200000000, América
120105213, y Oceania 42005356, ¿que niitnero de
habitantes tiene la tierra toda?

300020415
800100932
200000000
120105213
42005356

1462231916
Tiene aproximadamente 1462231i)16 habitantes.

LECCIÓN VI

Sustpaeeión de los números enteros

4G. La sustracción es la operación que tiene
po7^ objeto, con la suma de dos núm,eros y uno de
estos, encontrar el otro; ó lo que es lo mismo: ha-
llar la diferencia que existe entre dos numeraos
dados.

A la suma dada, se le da el nombre de mi-
nuendo; al sumando conocido, el de sustraendo, y
al que se busca, el de resto ó diferencia.

4T?. De la definición que hemos dado de la
sustracción se deduce: que el minuendo f?s igual a

- 33 -

la suma del sustf^aendo y el resto, de modo que el
resto es lo que le falta al sustrüeíidp para valer
tanto como el minuendo. Así pues, podrá hallar-
se su valor quitando del minuendo todas las uni-
dades del sustraendo, y las . que queden ó sobren
serán el resto ó diferencia. Por consiguiente, pue-
de tambíí^n decirse que la sustracción es la ope-
ración que tiene por objeto quitar o restar de un
número dado, otro menor.

48. La sustracción se indica con este signo
— , que se llama menos, y se coloca entre el mi-
nuendo y el sustraendo, así: 8 — 5, se lee 8 menos o.

49. En la sustracción se distinguen dos ca-
sos:

1." Restar un número dígito de otro número
cualquiera.

2.^ Restar un número de más de una cifra,
de otro compuesto de varias.

!•'. Caso. Para restar, dé un número . entero
cualquiera, otro de una sola cifra, se quitan ó
restan del primero una á una todas las unidades
que componen el segundo.

Así, para hallar la diferencia entre 6 y 13, ó
sea para restar 6 de 13, digo: 13 — 1=12, 12—1=11,
11—1=10, 10— 1==9, 9—1=8, 8—1=7; de modo
que hemos restado sucesivamente del minuendo
13, una á una las 6 unidades de que está com-
puesto el sustraendo, y nos han sobrado 7, luego
la diferencia entre 13 y 6 es 7, ó sea

13—6=7

También podríamos haber hallado la diferen-
cia, nombrando todos los números superiores al
6 hasta el 13 inclusive, contando con los dedos
el ^numero de números nombrados, y ese número
será la diferencia que buscamos.

— 34 -

Así se dice, 7 (tmo), 8 (dos), 9 (tres), 10 (ciuitro),
11, (cinco), 12 (seis), y 13 (siete): hemos noiiibrado
7 números, luego 7 es la diferencia que busca-
mos, porque ha sido necesario agregar 7 unida-
dades una á una al sustraendo 6, para obtener el
minuendo 13.

50. El procediíniento que acabamos de in-
dicar es el mas sencillo que puede emplearse pa.-
ra hallar la diferencia entre dos números, pero
la operación es larga y muy engorrosa cuando la
diferencia es muy grande, por lo que es más
conveniente aprender de memoria las diferencias
que hay entre los números dígitos entre sí, y entre
estos y los números mayores de 10 y menores de
19. De este modo podremos decir rápidamente
restando 4 de 9 quedan 5, restando 8 de 14 quedan
6; también se dice de 4 á 9 van 5, de 8 á 14 van
6, de 9 á 17 van 8, etc.

51. Poí medio de la tabla de sumar que in-
sertamos en el número 38, puede aprenderse de
memoria todas las diferencias necesarias para re-
solver cualquier problema de sustracción de nú-
meros enteros; pero para mayor comodidad de los
estudiantes, insertamos á continuación la siguiente:

TABLA DE SUSTRACCIÓN

De 7-1 restan 6 ¡ De 10-2 restan 8
» 5 — 1 » 4 ¡ » 5 — 2 » 3

» 8—1

. »

7

» 7-2

»

5

» 6—1

»

5

» 9—2

»

7

» 4—1

»

3

» 6 2

»

4

» 9—1

»

8

» 8—2

))

» 2-1

»

1

» 4—2

»

2

» 10—1

»

9

» 11—2

»

9

» :^-l

»

2

» 3—2

1)

1

— 35 -

De 8-3

restan

5

» 11—3

»

8

» 12—3

»•

9

» 9-3

»

6

» 6—3

»

3

» 7—3

»

4

» 5-3

»

2

» 4—3

n

1

» 10-3

»

7

De

8-6

restan

2

7-6

»

1

9—6

»

3

11-6

»

5

10-6

»

4

12—6

»

6

13—6

»

7

15-6

»

9

14—6

))

8

>e 8—4

restan

4

De

15-7

restan

8

.) 13-4

»

9

»

9--7

»

2

» 12-^4

»

8

»

8-7

V

1

» 11—4

»

7

»

11-7

»

4

» 9—4

»

5

»

10—7

»

3

» 5—4

»

1

»

12—7

»

5

» 7—4

»

3 •

»

13-7

»

6

» 6—4

»

2

»

16—7

»

9

» 10—4

»

6

»

14—7

»

/

De 8—5

restan

3

De

14-8

i-estan

(J

» 12-5

»

7

»

11—8

»

3

» 10—5

»

5

»

17—8

»

9

» 9—5

»

4

»

15-8

»

7

» 14—5

i'

9

»

16—8

»

8

» 11—5

»

6

»

12-8

*

4

» 13—5

»

8

»

10-8

*

2

» 7—5

»

2

»

9-8

»

1

» 6-5

»

1

»

13-8

»

5

)e

14-9

restan

5

y>

15 9

»

t)

>

17-9

»

8

»

16-9

»

7

»

18-9

»

9

>

13-9

»

4

»

11-9

*

2

»

12-9

»

3

»

10-9

»

1

— 36 —

52. í¿.« Caso. Si hubié-
ramos de restar 325 de 839,
procederíamos por partes,
hallando primero la dife-
rencia entre las unidades
simples, Ineyo hallaríamos
la diferencia enire las de-
cenas, y, por último, bus-
caríamos la diferencia en-
tre las centenas, diciendo así: de 5 unidades simples,
que hay en el su^traendo, á 9, que tiene el minuendo,
van 4 unidades; de 2 decenas á 3, va 1 decena; de 3
centenas á 8, va» 5 centenas. De modo que la di-
ferencia se compone de 5 centenas, 1 decena y 4
unidades, ó sea de 514 unidades.

La operación se dispone en esta forma:

839 Minuendo
— 325 Suslraendo

514 Dife7"encia

La sustracción se practica i^eneral mente di-
ciendo; de 9, sacando 5, quedan 4 (que se escri-
be al pié de la línea horizontal deblajo de las uni-
dades); de 3, sacando 2, queda 1, que escribimos
á la izquierda del 4; de 8, sacandc» 3 quedan 5,
que escribimos á la izquierda del 1. El resto ó
diferencia son 514 unidades, lo mismo que encon
tramos antes.

La operación que acabamos de practicar no
ofrece dificultad alguna cuando» como en el ejem-
plo anterior, cada cifra del minuendo es mayor
que la de igual orden del sustraendo; pero, en la
generalidad de los casos, esto no sucede así co-
mo, por ejemplo: si quisiéramos hallar la dife-
rencia entre 425 y 319, en cuyo caso tendríamos

— 37 --

ijue restar 9 de 5, loque no es posible. Veamos,
pues, cómo puede salvarse esta dificultad .

53. Hemos dicho (4rT?) que la suma del sus-
traendo y el resto es igual al minuendo; luego,
si al minuendo se le agrega un número cualquie-
ra, dejando el sustraendo intacto, el resto aumen-
tará igual número de unidades, y si se añade al
sustraendo un número cualquiera, dejando intacto
el minuendo, el resto disminuirá el mismo número
de unidades; poniue en el primer caso es evidente
que cuanto mayor sea el minuendo tanto más le
íaltará al sustraendo para igualarle; es decir tan-
to mayor será la diferencia ó resto. En el segun-
do casn es evidente también, í|ue cuanto mayor
se haga el sustraendo, tanto menos le faltará pa-
ra igualar al minuendo; luego la diferencia ó resto
será meiior á medida que aumente el sustraendo.

De un modo análogo demostraríainos que, si al
minuendo se le sustrae un número de unidades,
dejando intacto el sustraendo, el resto disminuirá
igual número: y si se resta del sustraendo cierto
número de unidades, la diferencia aumentará igual
número. " .

54r. Teorema (^) La diferencia entre dos nú-
meros no varia aumentando ó disminuyendo dichos
números en la misma cantidad.

Hemos demostrado en el número anterior, que
aumentando el ninnendo, aumenia el resto la
misma cantidad, y que aumentando el sustiaen-
do, -disminuye igualmente el resto; luego, aumen-
tando al minuendo y sustraend(» la nnsma canti-
dad, el resto no variaiá, porque todo lo que
debía aumontai* por un concepto, disminuye por

(•) Teorema es un enunciado o^peculativo en que se propone
una verdad demosti-able.

^ 38 —

el otro, no alterándose por consiguiente la dife-
rencia.

Pe! mismo modo probaríamos quQ no se altera
la, diferencia, disminuyendo los dos números en
Mm misma cantidad.

&5f Hechíig Jas pi^ewdeintea consideraciones
vamos á ver ahora conx) $6 procede, en general,
para hftIUr la diferencia entre dos números ente-
ros cualesquiera.

Propongámonos restar 9867 de 15459, Dispon-
dremos la operación como hemos indicado en el
número 53.

15459 Mintiendo
9867 Stcstraendo

5592 Resta ó diferencia

Diremos: de 7, á 9, van 2, y lo escribimos en
la resta debajo de las unidades; de 6, á 5, n(»
puede ser» porqvié de 5 no pueden sacarse 6, ñor
jo que \^ agredíamos una centena, ó sean 10 ae
cenas, ar5, formándose asi 15 decenas, y digo,
de 6 á 15 van 9, que escribo á la izquierda del 2.
Ahora, para que la diferencia no se altere, le
agrego tanibién nna centena á la? 8 del sustraen-
do, y digo: 8 y 1, 9, á 4, no puede ser; pero-
agregándole 10 centenas ai 4, se forman 14, y diré:
de 9, á 14, van 5, que escribo en el resto á la
izquierda del 9. Ahora, lo mismo que en la sus-
tracción de la cifra anterior, para que el r^slo no
varíe, le agregaremos 10 centenas, ó sea una uni-
dad de millar, á las 9 del sustraendo, y formare-
mos 10, que restaremos de las 15 del minuendo,
escribiendo la diferencia 5 á la izquierda del otro
5 que hallamos arites^ Resultando, pues, que la
diferencia entre los dos números propuestos, es de

— 39 ~

5592 unidades.

En la práclica, para efectuar la operación an-
terior, se dice sencillamente así: de 7 á 9, van 2;
Je 6, á 15, van 9, y llevo 1; de 9, á 14, van 5,
y llevo 1; de 10, á 15, van 5.

56. De todo lo expuesto últimamente, se de-
duce la siguiente:

Regla general. Para restar un númer^o entero
de otro, se coloca el sustraendo debajo del minuen-
dOy de modo, que las cifras de igual orden se
correspondan. En seguida, empezando por la
derecha, se restan sucesivamente todas las unida-
des de diferentes órdenes del sustraendo, de síis cor^
respondientes del rninuendo, y se escribe debajo la
diferencia de cada una, y si alguna cifra del sits-
traendo es mayor que su correspondiente del mi-
nuendo, se añaden a la cifra del minuendo diez uni-
dades de su orden, y en seguida, para que la di-
ferencia no se altere, se añade a la cifra inmediata
del sustraendo una unidad de su orden,

5T?. Prueba de la resta Esta operación se
comprueba sumando el sustraendo con la diferen-
cia hallada; la suma que resulte debe ser igual al
minuendo, si la sustracción está bien Lecha (4rT?).

58. Uso de la resta. Empléase la sustrac-
ción siempre que se quiere conocer la diferencia
entre dos cantidades; cuando conociendo la suiy^a ,
de dos números y con uno de éstos se quiere de-
teriDinar el otro; cuando se quiere disminuir de
una cantidad dada otra menor: etc.

PROBLEMAS

1." ü)i comerciante compró artículos en un
remato por valor de 45863 pesos, y los vendió al

— 40 —

día siguiente por 47325 pesos: ¿cuanto ganó en la
venta?

47325 Precio de venta
45863 Precio de compra

1462 Diferencia

Ganó 1462 pesos.

2.* Entre Luis y Alberto reúnen un capital dé
25418 pesos, Luis tiene 13829, ¿cuanto tiene Alberto?

' 25418. . Suma dada
13829 Sumando conocido

11589 Sumando que se busca

Tiene 11589, pesos.

3.® Enrique debía 4815 pesos: pagó 3920, cuan-
tos queda debiendo?

4815
3920

895 Diferencia

Debe aun 895 pesos.

4.^ Cuál es el número menor que 1870421 en
981509?

1870421
981509

888912
Es el número 888912.

— 41 —
PROBLEMAS

DE ADICIÓN Y SUSTRACIÓN COMBINADAS

59. 1.*" Julián y José tenían 12347 pesos,
con los que compraron un campo en 7215 pesos;
600 reses ganado vacuno en 2400 pesos, y 1000
ovejas en 750 pesos. ¿Cuánto gastaron y cuanto
les 'quedó?

7215 Valor del campo
2400 id. id. ganado vacuno
750 id. id. id. l^inar

10365 Dinero gastado
12347 Capital social

1982 Diferencia que les queda

Resultado: gastaron 10365 pesos y les quedan
1982.

En este ejemplo de sustracción el minuendo
12347 ha sidc» colocado debajo del sustraendo 10365,
al revés de lo aconsejado en el número 5S al solo
objeto de no repetir la escritura de dicho sustraen-
do, cuya resta como es fácil comprender, no ofre-
ce dificultad alguna, pues no hay más que restar
de arriba para abajo, unas^de otras las unidades
de los diferentes órdenes, del mismo modo que se
ha explicado en el número 56.

Así, en este caso, hemos dicho: de 5 á 7, van 2,
que escribimos en el resto; de 6, á 14, 8, y lleva-
mos 1; 1 y 3, 4, á 13, 9, y llevamos 1; de 1 á
2, 1, y por último de 1, á 1, O, que no escribi-
mos porque los ceros á la izquierda de un núme-
ro no tienen significación alguna.

2.^ De Meló á Montevideo hay, próximamen-
te, unos 450000 metros, cuya distancia nos pro-
pusimos caminar á pié; el primer día caminamos
18452 metros, el segundo, 25892, el tercero, 23614,

— 42 -

el cuartí), 26197, el quinto dia, caminamos á ca-
ballo 96830 metros, y, ya muy cansados, nos que-
damos en la orilla de un arroyo para descansar
algunos días. ¿Cuánto caminamos los cinco pri-
meros días, y cuanto habrá que caminar aún para
llegar á la Capital?

28452 Metros caminamos el l.^^día

25892 » ^ » 2." )*

23614 * > > 3.*' »*

26197 )► » * 4.« »

1 6830 » » » 5/' >

210985 Metros andados
450000 Distancia total

239015 Distancia que falta recorrer.

Resultado: el quinto día de viaje habíamos ca-
minado 210985 metros, y nos faltaba recorrer una
distancia de 239015 metros para llegar á Monte-
video.

3.** Un molinero tiene 8459 sacos de harina
de primera clase y 2936 de segunda. De la de
primera vendió 1836 sacos y de la de «egunda
397 sacos menos gue de la otra. ¿Cuántos sacos
vendió de la segunda y cuántos le quedan de ca-
da clase?

1836 Sacos que vendió de la primera
397

1439 Sacos que vendió de la segunda.

8459
1836

6623 Sacos que quedan de primera.

2936
1439

1497 Sacos que quedan de segunda.

— 48 —

Resultando: que vendió 1439 sacos de harina
de segunda clase, y le quedaron 1497; y de la de
primera clase le restan 6623 sacos.

4.^ Cuál será el número, que, añadiéndole
8315 unidades y 35 centenas, y restando de la
suma 9945 decenas, da por resultado la fecha del
descubrimiento de América por Cristóbal Colón?

Cristóbal Colón descubrió la isla de San Sal-
vador el 12 de Octubre de 1492, y si á esta fecha
le agregamos las 9945 decenas propuestas, obten-
dremos la suma de los dos números 8315 unida-
des y 35 centenas, con el número que buscamos
luego no habrá más que restar de la primera su-
ma, la suma de los dos últimos, y la diferencia
será el número buscado. Asi:

1492 Fecha del descubrimiento.
99450

100942 Suma del número buscado, y
de los 8ai5 V 3500 dados. ^
8315
3500 •

11815 Suma de los números dados.

100942 Suma total
11815 Suma de los números dados

89127 Número que buscamos.

COMPROBACIÓN

89127 Número hallado

8315 Primer sumando propuesto

3500 Segundo » »

100942 Suma total

99450 Número dado para restar

1492 Pecha del descubrimiento.

— 44 —
EJERCICIOS

!.•' Un comerciante le dice á un carrero, que
los cuatro cajones de mercaderías que ha carga-
do para conducir á Rivera, pesan, el primero, 300
kgs.; el segundo, 250 kgs.; el tercero y cuarto, 280
kgs. cada uno; pero, en realidad, el primer cajón
pesa 400 kgs., el segundo 320, y el tercero y cuar-
to pensan 350 kgs. cada uno, ¿cuánto peso de mas
conduce el carrero, del declarado por el couier-
ciante?

2.*^ Una persona recibió $ 4315 por un con-
cepto, por otro 897 y por otro 1006, con estas
cantidades pagó á varios 2132 $; ¿(;uánt(>s pesos
le quedaron?

3.^ La suma de tres números da 5412, uno de
los sumandos es el número 817, otro es el núme-
ro 2014, ¿cuál es el número que expresa el ter-
cer sumando?

LECCIÓN Vil

MULTIPLICACIÓN

60. La multiplicación de un número por otro,
es la operación que tiene por objeto encontrar un
tercer número, que sea respecto a uno de ellos, lo
que el -otro es respecto de la unidad.

La multiplicación de 6 por 4, se hará íbriunn-
do "un número que se componga de tan í as veces
el 6 como el 4 se comi)one de la unidad; peri» el

— 45 -

4 se compone de la adición de 4 unidades, luego
el número que buscamos se compondrá de la adi-
ción de cuatro 6, ó sea de 6+6+6+6 igual á 24.

61. En la multiplicación de dos números, se
llama multiplicando el número que se compara
con el' resultado: multiplicador el que se compara
con la unidad; y producto el resultado de la mul-
tiplicación de dichos números.

63. La niulliplicación se indica colocando en-
tre los dos números que se quieren multiplicar,
el signo X <> simi)lemente un punto.

La multiplicacií'.n de 6 por 4, se indica así:
6 X 4, ó bien 6.4, y se lee 6 multiplicado por 4,
ó sencillamente 6 por 4.

En el ejemplo anterior, el número 6 es el multi-
plicando, el 4 el multiplicador, y 24 es el pro-
ducto.

El multiplicando y el multiplicador, se llaman
también factores del producto.

63". Según acabamos de ver, en la multipli-
caci()n de un número por otro, se rei)ite el mul-
tiplicando tantas veces por sumando como unida-
des tiene el multiplicador; luego po(lem(»s definir
la multiplicación de dos números enteros, dicien-
dí» que es la operación que tiene por objeto hacer
vn niimero tantas veces mayor, como unidades tie-
ne el otro.

Por ejí^mi)lo, si quei'emos multiplicar 14 por 5
tomaremos el número 14 cii co veces pí.r suman-
do, asi:

14
14
14
14
14

~Í0

— 4() -

La suma 70 será, pues, el pnuliK-.to de 14 X 5.

Del misino modo formaríamos el producto de
527 por 36, tomando el número 527 treinta y seis
veces por sumando, v hallaríamos que es igual á
18972.

64r. La multiplicación, tal cual la henrif^s prac-
ticado en los ejemplos anteriores, vemos que es
sumamente larga y difícil cuando el multiplica-
dor sea un número grande. Veamos, pues, de (|ue
medio podremos valemos para simplificar todo lo
posible esta operación.

En la multiplicación de dos números enteros,
distinguiremos tres casos:

1.® Multiplicar un número de una cifra por
otro también de una cifra,

2.° Multiplicar un número de varias cifras por
otro de una sola,

3.^ Multiplicar dos números de varias cifras,

V^. CASO. La multiplicación de un número de
una cifra, se efectúa fácilmente aprendiendo de
memoria !a siguiente:

TABLA DE MULTIPLICAR

1 por

1

es

1

9

por

1

son

2

1 »

2

»_

2

2

»

2

»

4

1 »

3

» •

3

2

»

3

»

6

1 *

4

»

4

2

»

4

*

8

1 »

5

»

5

2

»

5

»

10

1 >

6

»

6

2

»

6

»

12

1 »

7

»

7

2

»

7

»

14

1 »

8

»

8

2

»

8

»

16

1 ))

9

»

9

2

»

9

»

18

1 »

10

»

10

2

»

10

»

20

1 »

11

»

11

2

»

11

»

22

1 >

12

))

12

2

»

12

■»

24

-r- 47 —

3 por 1 son 3

3 » 2 » 6

3 » 3 » 9

3 » 4 » 12

3 » 5 » 15

3 » 6 » 18

3 .) 7 » 21

3 » 8 » 24

3 » 9 » 27

3 > 10 » 30

3 » 11 » 33

3 » 12 » 36

4 por 1 son 4
4 » 2 » 8
4 » 3 » 12
4 » 4 » 16
4 » 5 » 20
4 » 6 » 24
4 » 7 » 28
4 » 8 » 32
4 » 9 » 36
4 » 10 » 40
4 » 11 » 44

4 » 12 »• 48

5 por 1 son 5
5 » 2 » 10
5 » 3 » 15
5 » 4 » 20
5 » 5 > 25
5 > 6 » 30
5 » 7 » 35
5 » 8 » 40
5 » 9 .) 45
5 » 10 » 50
5 » 11 » 55
5 * 12 » 60

6 por I son 6

6 V 2 .) 12

6 » 3 » 18

6 » 4 » 24

6 » 5 » 30

6 » 6 » 36

6 » 7 » 42

6 » 8 » 48

6 » 9 » 54

6 » 10 » 60

6 » 11 » 66

6 » 12 .» 72

7 poi 1 son 7
7 » 2 » 14
7 » 3 » 21
7 » 4 » 28
7 » 5 » 35
7 » 6 » 42
7 » 7 » 49
7 » 8 » 56
7 » 9 » 63
7 » 10 » 70
7 » 11 » 77
7 » 12 » 74

8

por

1

son

8

8

»

2

»

16

8

»

3

»

24

8

»

4

»

32

8

»

5

»

40

8

»

6

»

48

8

»

7

rt

56

8

*

8

».

64

8

»

9

»

72

8

»

10

»

80

8

»

11

»

88

8

»

12

»

96

— 50 —

Lo suma 20448, representa el producto que bus-
camos; cuya suma la hemos obtenido repitiendo
respectivamente 6 veces cada orden de unidades
que componen el multiplicando, y una vez que
conocemos de memoria !a tabla de multiplicar,
podremos abreviar la operación practicándola y dis-
poniéndola en la forma siguiente:

;i408 Multiplicando
XO Multiplicador

¿0448 Producto.

Digo: 6 por ochx), son 48, en 48 unidades hay
4 decenas y ocho unidades, escribo las unidades
y reservo las decenas para el producto parcial si-
guiente; 6 por O, es O y 4 decenas del producto
anterior son 4, que escribo: 6 por 4 son 24, es-
cribo 4. y llevo 2; 6 por 3, son 18 y dos del otro
producto son 20 que escribo.

El producto buscado se compone de 20 milla-
res, 4 centenar, 4 decenas y 8 unidades.

6*7. Como este procedimiento puede aplicarse
á otro ejemplo cualquiera, podemos formular la si-
guiente regla:

Para multiplicar un número de varias cifras por
otro de una sola, se multiplican sucesivamente todas
las cifras del multipticando por el multiplicador
empezando por la derecha, y si en alguna de estas
multiplicaciones parciales resultan unidades del or-
den inmediatOy se reservan para agregarlas al pro-
ducto siguiente.

Multipliqúese D15498 por 8:

' 915498
7323984

- 51 -

Diremos: 8 por 8, son 64, escribo 4 y llevo 6;
8 por 9, son 72 y 6 son 78, escribo 8 y llevo 7;
8 por 4, son 32 y 7 son 39, escribo 9 y llevo 3; 8 por
5, son 40 y 3 son 43, escribo 3 y llevo 4; 8 por
^, es 8 y 4 son 12, escribo 2 y llevo 1; 8 por
9, son 72 y 1 son 73, que escribo integro.

G9. Teorema Para multiplicar una suma in-
dicada por un número entero, se multiplica cada
sumando por dicho número y la suma de los pro-
ductos parciales que se obtengan formará el pro-
ducto total.

Sea multipiicar 5+3+8 por 6; y digo qne

(5 + 3 + 8)X6=5. 6 + 3.6+8. 6 0)

PoFííjae es evidente que, para hager 6 veces más
grande una suma, basta hacer 6 veces mas gran-
de cada uno de los sumandos.

TO. Teorema -Para multiplicar una di/h^en-
da indicada por un númer^o entero, se multiplican
el minuendo y sustraendo por dicho número y se res-
tan los productos parciales.

Sea multiplicar la diferentíia 8 — 5 por 2; y di-
gO' que:

(8— 5)X2=8.2--5.2

En efecto, como que el orden de los factores
no altera el producto, lo mismo es 8—5 multipli-
cado por 2, que 2 multiplicado por 8 — 5, y se-
gún la definición que hemos dado de la multipli-
cación (60), para hallar este último producto ten-
dremos que tomar el número 2 ocho veces por

(1) Para indicar que un número compuesto de varios otros ligados por
lo« si'gnos -f-» — . se ha de multipHcar ó dividir por otro, 6 ha de sometéis»^
a cualquiera otra operación, se pnnierra dicho número dentro de uu paréntesis.

— 52 ~

sumando y después cinco veces, restando en se-
i»uiíla el segundo resultado del primero; así:

(8_5)X2=2X(8—5)=2. 8— 2.5=8.2— 5.2

*71. El producto de varios factores, por ejem-
plo, 5.2.4.3, se obtiene multiplicando el 5 por 2,
el producto 10 por 4 y el producto 40 por 3; en
efecto, tenemos que

5.2.4.3=10.4.3=40.3=120.

*72. Teorema— JK producto de varios factores
enteros no se altera, cualquiera que sea el orden de
colocación de estos.

Sea el produelo 7.2.3.5.6.

Vamos á demostrar primeramente, que no se
altera su valor cambiando el orden de dos facto-
res consecutivos, por ejemplo, el 3 y el 5, es de-
cir que

7.2.3.5.6=7.2.5.3.6

En efecto:

7.2.3=7.2+7.2+7.2.

Ahora multiplicando los dos miembros de esta
igualdad por 5, tendremos:

, 7.2.3.5=7.2.5 + 7.2.5+7.2.5
ó bien

y multiplicando esta última igualdad por 6 resul-
tará que

7.2.3.5X6=7.2.5.3X6

Luego, vemos que se puede mudar de lugar á
dos factores consecutivos sin que se altere el pro-

— 53 —

ducto; por consiguiente, efectuando esta operación ",
todas las veces necesarias para que cada factor ocu-
pe el lugar que se desee, quedará demostrado el
teorema.

Por ejemplo, para demostrar que el producto
2.4.5.3 equivale á 4.3.2.5, se efectuarán los si-
guientes cambios:

2.4.5.3=4.2.5.3=4.2.3.5=4.3.2.5

Corolario (1) — Para multiplicar un producto de
dos ó más factores por un número entero, basta
multiplicar uno de los factores por este número.

Multipliqúese el producto 8.3.5 por 4, digo que
bastará multiplicar, por ejemplo, el factor 3 por
4; en efecto,

8.12.5=8.3.4.5=-8.3.5.4.

73. 3.®^ Caso — Este caso lo consideraremos di-
vidido en tres casos particulares, los cuales son:

I. Multiplicar un número entero compuesto de-
varias cifras por la unidad seguida de ceros, es de-
cir, por 10, 100, 1000, etc.

II. Multiplicar un número entero compuesto de
varias cifras por cualquiera de las cifras significa-
tivas seguida de uno ó más ceros,

III. Multiplicar un número entero compuesto de
varias cifras significativas por otro de las mismas
condiciones.

I, Para multiplicar un número entero por la
unidad seguida de ceros, se escriben á la derecha
del número, tantos ceros como acompañan a la uni-
dad que sirve de multiplicador, pues hemos visto
(80—4) que un número se hace diez, cié», mil,

(1) Llámase corolario ó consecuencia á una verdad que se deduce fácil-
mente rte otra verdad evidente, ó ya demostrada.

-Si-
ete, veces mayor agregándole uik», dos, tres, etc.
ceros á su derecha.

Por ejemplo, para multiplicar el número 347 por
100 se le agregan dos ceros á sn derecha y que-
dará multiplicado, así: 34700.

El número 9584 multiplicado por 10000, será
igual á 95840000, y 276521x1000000=276521000000.

II. Multipliquemos 536x300. El producto se
obtendrá sumando el número 536, trecientas veces
consigo mismo (63) cuya suma la podemos dis-
poner en cien grupos de á tres sumandos cada uno;
de modo que cada grupo representará el prf)d ne-
to de 536X3, y como hay cien grupos, el produc-
to total será igual á 100 veces 536x3, ó sea á di-
cho producto, agregándole dos ceros á la derecha,
luego vemos que:

Para multiplicar un número entero por cual-
quiera de las cifras significativas seguida de uno ó
más ceroSy se multiplica el número por dicha cifra
y á la derecha de este producto se escriben tantos
ceros como tiene el multiplicador.

EJEMPLOS

149
X90

13410

536
X300

160800

9086
X7000

63602000

III. La multiplicación de les números 4835x
345, se hallará repitiendo 345 veces el multipli-
cando 4835 por sumando, ó lo que es lo mismo, re-
pitiéndolo primeramente 5 veces, después 40, y por
último 300. Pero tomar el multiplicando 5 veces
por sumando, equivale á multiplicarlo por 5; to-
marlo 40; veces, es multiplicarlo por 40 lo mismo

— So-
que tomarlo 300 veces, equivale á multiplicarlo por
300. Luego, pues, para hallar el producto de
4835X345, multiplicaremos primeramente el nú-
mero 4835 por 5, después por 40 y al fin por 300.
La suma do estos productos parciales formará el
total.

El producto de 4835 por 5 es igual á

24175 unidades.

El producto de 4835 por 40, según hemos visto
en el caso anterior, es igual á 193400, ó sean

19340 decenas.

El producto de 4835 por 300, se ohtiene, se-
gún hemos visto, con solo multiplicar el multipli-
cando por 3 y agregar á este producto dos ceros, ó
considerarle como expresando centenas; de este
modo, 4835X300 es igual á 1450500 ó sea á

.14505 centenas

Ahora, colocando estos tres productos parcia-
les unos debajo de los otros, de manera que las
cifras de un mismo orden se correspondan, se
suman y se obtiene el producto total, asi:

24175
19340
14505

1668075

Esta colocación se obtiene fácilmente al eje-
cutar la multiplicación, teniendo cuidado de hacer

/

— se-
que la primera cifra de la derecha de cada pro-
ducto parcial ocupe el lugar correspoudieuie al de
la cifra que sirvió de multiplicador.

El ejemplo anterior en la práctica se resuelve asi:

4835
345

24175
19340
14505

1668075

Diciendo: 5 por 5, son 25, escribo 5 j^ llevo 2;
5 por 3, son 15 y dos que llevo son 17, escribo 7
y llevo 1; 5 por 8, son 40 y uno que llevo son 41,
escribo 1 y llevo 4; 5 por 4, son 20 y 4 que llevo
son 24, que se escribe íntegro. Ahora se multipli-
ca por 40, ó sea por 4 decenas, cuyo producto
parcial ya se ha visto que es un numero justo de
decenas, por cuya razón escribiremos la primera
cifra de este producto debajo de las decenas del
producto parcial anterior Así, digo: 4 por 5 son
20, escribo O debajo de las decenas y llevo 2; 4
por 3, son 12 y 2 que llevo 14, escribo 4 y lle-
vo 1; 4 por 8, son 32 y uno que llevo 33, escribo
3 y llevo 3; 4 por 4, son 16 y 3 que llevo son
19, que escribo íntegro.

Falta ahora multiplicar por 300, ó sea por 3
centenas, cuyo producto parcial será, según se ha
visto, un número exacto de centenas, por cuya
razón escribiremos la primera cifra de este pro-
ducto,, debajo de las cifras de las centenas de los
productos anteriores. Así digo: 3 por 5, son 15,
escribo 5 en el lugar correspondiente de las cen-
tenas y llevo 1; 3 por 3, son 9 y 1 que llevo 10;

- 57 -

escribo cero y llevo 1; 3 por 8, son 24 y 1 que
llevo 25, escribo 5 y llevo 2; 3 por 4, son 12 y 2
que llevo son 14, que escribo íntegro. Se suman
los tres productos parciales y el resultado 1668075
es el producto total buscado.

74. El p?ocedimiento que hemos seguido
para hallar el producto de los dos números pro-
puestos en el ejemplo anterior, puede aplicarse á
cualquiera otros números que se propongan; por
consiguiente, podemos formular la siguiente regla
general.

Para multiplicar un número entero compuesto de
varias cifras por otro de las mismas condiciones,
se multiplica el multiplicando por cada cifra signi-
ficativa, del multiplicador, escribiendo los productos
parciales, unos debajo de los otros, de modo que la
primera cifra de la derecha de cada uno ocupe el
mismo lugar que la cifra correspondiente del mul-
tiplicador; después se suman los productos parcia-
les y esta suma expresará el producto total.

Ejemplo, multipliquemos 746830Ó241 por 50986402

7468300241 Multiplicando
50986402 Multiplicador

Productos

14936600482)
29873200964
44809801446

59746401928 . nar.iolno

67214702169 ) paruaies

37341501205
380781758344322882 Produelo total

Como se ve en este ejemplo se ha omitido la
multiplicación de lo? ceros del multiplicador por
el multiplicando, porque los productos parciales

— 58 —

I

correspondientos, se compondrían de puros ceros
y 1)0 inHuirían en la suma que viene á ser el pro-
ducto total.

*75. En la multiplicación de los números en-
teros, puede ocurrir que uno ó ambos factores ter-
minen en ceros. En tal caso puede abreviarse la
operación prescindienilo de ellos y escribiéndolos
después ala derecha del producto total.

Multiplicase 4265 por 3700

4265
3700

29855 Producto por 7

12795 Producto por 3

15780500 Producto total

El producto de 4265 por 3700, se hallará repi-
tiendo 3700 veces como suniíando el número 4265,
cuya suma puede dividirse en 100 grupos de á 37
sumandos cada uno.

El valor de cada .arupo estará representado por
4265X37, ó sea por 157805, y como son 100 grupos
que hay, todos juntos compondrán 157805X100, que
según se ha visto (TÍ3 — I) es igual á 157805C0; nú-
mero que ha resultado de multiplicar 4265 por 37 y
escribir dos ceros á la derecha de ese producto;
conforme con lo que hemos enunciado.

Ahora multipliquemos 7300 por 2500.

7300
2500

365 Producto por 5

146 Producto por 2

18250000 Producto total.

- 59 —

El producto de 7300 por 2500, es igual á 7300
tomado 2500 veces por sumando. Esta suma pue-
de descomponerse en 100 grupos de 25 suman-
dos cada uno, valiendo cada grupo 7300X25, ó
sean 182500, y los 100 grupos valdrán 182500X100
ó sea 18250000, número que ha resultado de mul-
tiplicar 73X25, escribiendo luego cuatro ceros á la
derecha de ese producto, conforme con lo que
queríamos demostrar.

Otros ejetnplos:

8360
X42000

1672
3344

549000
X 1480000

4392
2196

351120000

549

812520000000

T6. Observación — El producto de dos factores
tiene tantas cifras como estos ó una menos.

Veamos los factores 5428X756: digo que el pro-
ducto tendrá 6 ó 7 cifras.

En electo, esie producto está evidentemente
comprendido entre 5428X100=542800 y 5428X1000
.=5428000; luego, tendrá á lo menos 6 cifras co-
mo el primero y á lo más 7 como el segundo.

*7*7. Prueba de la MULTiPLiCACiÓN—Esta opera-
ción se prueba invirtiendo el orden de los factores,
es decir, tomando el multiplicando por multipli-
cador y viceversa. El producto debe ser igual al
primero si la operación está bien hecha, pues se
ha dicho (66) que el orden de los factores no al-
tera el producto.

TlS. Se dice que; nn número es múltiplo de

~ 60 —

otro, cuando representa el producto de este por otro
entero cualquiera.

Asi, 12 es múltiplo de 4, porque es igual á
4X3; del mismo modo vemos que 48 es múltiplo de
16, porque es igual á 16X3.

Un número se llama duplo ó doble de otro, cuan-
do contiene á este dos veces exactamente: 16 es
duplo de 8; 24 es duplo de 12.

Un número se llama triplo, cuadruplo, quintu-
plo, séxtuplo^ séptuplo, óctuplo, etc., de otro, cuando
respectivamente le contiene 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.,
veces exactamente.

Por ejemplo, el número 21, es triplo de 7, por
que le contiene 3 veces exactamente; asi como el
45, es quíntuplo de 9; el 56, es séptuplo, de 8, etc.

T?0. Se llama potencia de un número al pro-
ducto que resulta multiplicando dicho número va- ,
rías veces por si mismo.

Asi 27 es una potencia de 3, porque 3.3.3=27.
Al producto que resulta de tomar un número
dos veces por factor se llama cuadrado ó según-
da potencia,

Al producto que resulta de tomar un número
tres veces por factor, se le llama cubo ó tercera
potencia,

Al producto que resulta de tomar un número
cuatro veces por factor se le da e! nombre de
cuarta potencia, y así sucesivamente.

80. Las potencias se expresan abreviadamen-
te escribiendo á la derecha del número y un poco
más arriba, un numerito llamado exponente de la
potencia, el cual indica las veces que se ha de to-
mar por factor el número dado.

Así, 3*=3.3=9 es la segunda potencia ó cua-
drado de 3.

— 61 —

5'=r5. 5.5=125 es la tercera poterveia ó, cubo
de 5.

2*¿±±2.2.2.2.2=32 es la quinU potencia de 2.

81. Usos DE LA MULTIPLICACIÓN Se bace uso
de la multiplicación, cuando se quiere hacér/un.nú-
mero ctuilquiera cierto número déveees mayor.

Ovando conocido el valor de una unidad, se
quiere hallar el valor de un número cualquiera de
unidades de ¡a misma: especie, ele

PROBLEMAS

¿Ouál será el número 389 yeces mayor que 737881?

737881
389

6640929
5903048
2213643

287035709

Resultado: «1 núroeüo pedid^) ,es ^87035799^
2". Un metro de ¡género ,QQ8tó :2^ Mn^§^i||ios
'de 'peso; ¿cuánto C08lRrÍ.n 687 ip^t^os peí ,mismo
-género?

687
235

~3435
-2061
1374

161445
Resultado: costaran , 161445 centesimos.

— 62 -

3**. La rueda de un molino da 86 vueltas por mi-
nuto; ¿cuántas dará en ocho días?

Este problema quedará evidentemente resuelto,
reduciendo los días á horas y estas á minutos, y
multiplicando el resultado por 86 vueltas que da
la rueda por minuto, se tendrá resuelto el proble-
ma.

24
8

Horas
Dias

192
60

11520
86

Horas
Minutos

Minutos

6912
9216

990720 Vueltas

Resulta que en ocho dias la rueda da 990720
vueltas.

4°. 486 hombres hicieron una escavación en
36489 horas; ¿un solo hombre cuánto tiempo ne-
cesitará para hacer la misma obra?

Es evidente que teniendo un hombre que ha-
cer por sí solo todo el trabajo que hicieron 486
empleará 486 veces más tiempo, luego

36489
486

218934
291912
145956

17733654

~ 63 —

Resulta que necesitará 17733654 horas para ha-
cer el mismo trabajo.

Ppobleiuas de adición, sustracción
y multiplicación eombincidas

1°. Un hacendado compró un campo compues-
to de 4685 hectáreas de terreno de superior cali-
dad, 1257 de clase regular y 838 inferior; la hec-
tárea de terreno superior le cosió 17 pesos, la re-
gular 13 y la inferior 8; á los pocos días tuvo oca-
sión de vender todo el campo á razón de 16 pe-
sos la hectárea; ¿cuánto ganó en la venta?

4685 hectáreas á $ 17 importan $ 79645

1257 » » » 13 » » 16341

839 » )) )) 8 » » 6712

6781 hectáreas costaron $ 102698

6781 hectáreas vendidas á $ 16 una $ 108496
Todo el campo costó » 102698

Diferencia $ 5798

Resultado: se ganó 5798 pesos.

2". Un agricultor recogió en un terreno 1352
hectolitros de trigo, en otro 987, en otro 2046 y
en otro 7163, de cuyas cantidades reservó 875 pa-
ra, semilla y perdió 614 que se le incendiaron; el
resto lo vendió á razón de 45 reales el hectolitro
¿Cuánto importa el trigo vendido?

1352 875

987 614

2046 —— , . ,

yigo 1489 trigo separado

11548 hectolitros recogidos

- 64 -

11548
—1489

10059 Hl. de trigo para vender .
X45

50295
40236

452655 reales

El trigo vendido importa 452655 reales.

3^. Un comerciante debe á varias casas de
Montevideo 37856 pesos; á sus dependientes y á
otros acreedores de la localidad, 3429 pesos, y
sólo cuenta para pagar, con un terreno compues-
to de 4827 hectáreas, que puede vender á 7 pesos
la hectárea, y con 5314 pesos en mercaderías; ¿cuán-
to quedará debiendo después de entregar todos
sus intereses á los acreedores?

37856
3429

Debe 41285 pesos

4827

• 7

33789 valor del terreno
5314 » de las mercaderías

39103 valor total

41285
—39103

2182 Diferencia
Quedará debiendo 2182 pesos.

— 65 —
EJERCICIOS

P. En la construcción de un cerco trabajaron
28 días un albañil y un peón, ganando 37 reales
diarios entre los dos; el jornal del peón importaba
13 reales nrienos que el del oficial albañil: se quie-
re saber cuanto ganó cada uno.

2". Un comerciante compró en el Brasil 3468
barricas de azúcar, y 1875 rollos de tabaco; cada
barrica de azúcar le costó 15 pesos y cada rollo
de tabaco 6; entre derechos, fletes y comisiones
gastó 38430 pesos: en seguida vendió en esta Vi-
lla, la barrica de azúcar á'28 pesos y el tabaco
á 10 pesos el rollo; ¿cuánto ganó en la venta?

3^. Un peón que gana 18 reales diarios, casa
y comida, ha trabajado 3 años, 5 meses y 4 días
sin arreglar cuentas con su patrón, y al cabo de
este tiempo, con motivo de tener que pagar una
deuda que importaba 8315 reales, le pidió al pa-
trón sus haberes: ahora se quiere saber á cuanto
ascienden 4i^hos haberes, y que dinero le queda-
rá después de pagar la expresada deuda.

4^ Un comerciante compró 365 cajas de fideos
de 1^. clase, 842 de 2.^ y 1417 de 3^.; los de 1.^
le contaron á razón de 35 reales caja, los de 2*.
á 28 y los de 3^ á 18.

Los tuvo algún tiempo depositados y al lin ob-
serva que están todos algo averiados; por tanto,
se apresura á venderlos y solo puede obtener á
razón de 19 reales caja al barrer; ¿cuánto perdió
en la venta?

5". Un propietario vnedió un solar compuesto
de 4659 metros cuadrados de terreno á razón de
87 reales el metro, otro de 2130 metros á 69 rea-
les, i'ecibieiulo á cuenta de dicho importe una ca-

— 66 -

sa que, con el terreno que ocupa vale 393605 rea-
les: ¿cuánto le quedaron debiendo?

6^. El Coronel de un regi.niento ofreció a sus
soldados 27 centesimos por cada piel de nutria
que le llevasen; al cabo' de algunos días los sol-
dados del 1^^ escuadrón le habían reunido 328
pieles, lo§ del 2^, 149 y los del 3^ 275. Encon-
trándose el Coronel con solo 18425 centesimos,
¿cuánto le queda debiendo a sus soldados?

7^. Un tren esprés camina á razón de 85 ki-
lómetros por hora, y se quiere saber, si anduvie-
se sin parar 2 meses, 15 días y 8 horas, cuánto
kilómetros recorrería.

8**. Un comerciante tenía 3615 sacos de maíz
que le costaban 24 reales cada uno: vendió 2467
sacos á 26 reales uno, y el resto á 23; ¿cuánto ga-
nó ó perdió en la operación?

9°. En una escuela .que hay 125 bancos, en
cada uno de los cuales se sientan 4 niñas y otros
36 que contienen 5 cada uno, dispuso la Directo-
ra que de las 2815 naranjas que tiene guardadas,
se entreguen durante el recreo, tres hs^anjas á ca-
da niña: ¿cuántas naranjas le sobraron?

LECCIÓN VIH

División

82. La División, es la operación que tiene por
objeto con el producto de dos factores y uno de ellos,
determinar el otro.

El producto dado, se llama dividendo; el factor
conocido, divisor, y el que se busca, se llama co-
ciente.

- 67 --

83. Según la definición que hemos dado, re-
sulta que, el producto del divisor por el cociente de-
be producir el dividendo. Luego, tratándose de nú-
meros enteros, el cociente nos indica las veces
que el dividendo contiene al divisor, porque, se-
p^ún hemos visto f^n la multiplicación, el i)r(>ducto
de dos números enteros contiene á uno de estos

/tantas vecíes como unidades tiene el otro. Por
consiguiente, podremos decir que la división de
dos números enter(»s tiene por objeto, averiguar
cuantas veces un numero contiene á otro; ó bien
también repartir un número dado en tantas partes
iguales como unidades tiene el otro.

Tenemos por ejemplo que 36 es el producto de
dos números, 8 es uno de ellos, el otro tiene que
ser necesariamente 4, porque 9X4 son 36.

El dividendo 36 es igual al divisor 9 multipli-
cado por el cociente 4, ó lo que es lo mismo es
igual á 4 veces 9; luego el cocienie 4 nos indica
las veces que el dividendo 36 contiene al divisor
9. Así pues, al dividir dos números enteros,
averiguamos las veces que el uno contiene al otro;
lo que está de acuerdo con la segunda definición
que hemos dado.

También tenemos que 36=4X9 (6G.), lo que
nos dice que el dividendo es igual á 9 veces 4;
de modo que se compone de 9 partes iguales á 4;
ó lo que es lo mismo, el dividendo se compone de
tantas partes iguales al cociente, como unidades
tiene el divisor; luego, pues, al practicar la divi-
sión de dos números enteros, repartimos uno de
ellos en tantas partes iguales como unidades tie-
ne el otro, conforme con la última delinición que
dimos de la división.

84. La división se indica escribiendo el di-

— 68 -

victendovy á oontiiuifikcipn .el diviso^, ,. ^separándolos -
por medio de dos punt()$, .de e^te mgdo: 36;9j, ,y
se lee. 36, divMido por 9; también pueiíe escribirse
el dividendo sobre una línea horizontal v el divi-

36 . . * '

sor debajo, asi: -g y se* lee lo mismo* 36 dividi-
do por 9. ' . '

85. Hemos visto en el ejemplo anterior que
el cociente que resulta de dividir 36 por 9 es 4,
es decir, un número entero. ' -

No todas las divisiones (dan por cociente un ♦
número entero; por ejemplo 23;7, pues tenemos qufe
7X3 son 21, número menor que ¿3 y 7X4 son 28,
número mayor que 23; luego- el. cociente será ma-
yor que 3 y inetnor qtie 4^ por consiguiente se com-
pondrá de 3 unidades enteras y además. de una ó
varias partes de otra unidad; en^ este caso el co-
ciente será un número mixto. (G).

. 8G. Toda división en que el cociente esté ex-
presado por un. número entero, se llama exacta,
porque el dividendo contiene un número exacto
de veces al divisor.

STíi? >Cuairdo el cociente ¡, ^le ¡una^ división no
puede expresarse porup, púniero Qqtero, se llama
inexacta^ dándose ej nouíibre de cociente entero al
mayor número :de ve^es qpe el¡ dividendo contiene
al divisor, y residuo,, á la diferepcígi qu^ hay entre
el dividendo y el producto, ,del .diyís/>r ppr el co-
ciente entero. Luego: enJQdc^ .di'i^sió^n inexacta, el
dividendo, será igual al prQducto del divisor por el
cociente entera, más, el re,sid%q ,(*4*7).

El residuo debe ser siempre menor qu^ el di-
visor,' pues- si 'fuese igual ói ipayor, el d\v,isor es-
taría aun contenido en el dividendo una ó más ve-

-^ 87 -

ees, y por consiguiente, el cociente entero hallado
no expresarla el mayor número de veces que el
dividendo contiene al divisor.

En el ejemplo que pusimos (85), para probar
que no todas las divisinjies dan cociente exacto,
hemos visto que 23:7, da por cociente entero 3, ci-
fra que -expresa el mayor número de veces que el
dividendo contiene al divisor, y 2 de residuo que
es la áiferencia que hay entre el dividendo y el pro-
ducto del cociente entero por el divisor; ó sea
23—3x7=2.

88. Se ha visto en el número «3, que el co-
ciente ijidica las veces qufe el divisor esta conteni-
do en el dividendo; por consiguiente, siempre po-
drá hallarse su valor restando el divisor del divi-
dendo todas las veces que se pueda. Asi, pues,
vemos que la dÍJtrisión es una operación contraria á
la multiplicación (G3).

Por ejemplo, para dividir 1392 por 348, restaré
del número 1392 el 348 todas las veces que se
pueda, y el número que exprese las veces que se
ha restado, será el cociente. Así:

1392
—348 Una vez

1044
—348 Dos veces

696
-348 Tres veces

348
—348 Cuatro veces

000

- 88 —

Se ha podido restar cuatro veces justas, luego
el cociente de la división propuesta es 4, y ía di-
visión exacta. Veamos ahora, dividiendo el nú-
mero 1685 por 476:

1685
— 476 Una vez

1209
— 476 Dos veces

733
"476 Tres veces

257

En este caso solo se ha podido restar el divi-
sor 476, tres veces del dividendo 1685, y han so-
brado 257, número mf^nor que el divisor. Luego,
el cociente entero es 3, y 257, el residuo, que es
lo que ha sobrado después de restar 3 veces el
divisor del dividendo, ó, lo que es lo Tíiismo, es
la diferencia entre el dividendo y el producto del
cociente entero por el divisor. Así:

1685 -476X3=257,

de modo que la división propuesta en este último
ejemplo, es inexacta.

SO. El procedimiento empleado en los ejem-
plos anteriores de división, es exacto, pero muy
largo cuando el cociente es un número compuesto.
Así pues, trataremos de estudiar otro medio más
rápido que nos conduzca al mismo fin; para lo cual,
en la división de los números enteros, distingui-
remos tres casos.

1\ Cuando el dividendo tiene una ó dos cifras y

— so-
ez divisor una sola, y el cociente ha de tener también
una sola.

2^. Cuando el dividendo tiene dos ó más cifras,
el divisor una sola y el cociente ha de tener dos ó más.

3^. Cuando el dividendo, divisor y cociente tie-
nen variar cifras.

El cociente tendrá una sola cifra, cuando agre-
gándole un cero al divisor resulte un númen^ ma-
yor que el dividendo: en caso contrario tendrá más
de una.

90. l®^ Caso. Este caso se resuelve fácilmen-
te sabiendo bien la tabla de multiplicar, pues bas-
ta hallar una cifra que multiplicada por el divisor
produzca el dividendo ó el producto próximo me-
nor, si la división fuera inexacta. Así:

El cociente de 6:2 es 3, porque 2X3=6

El cociente de 35:7 es 5, porque 7X5=35
. El cociente de 72:8 es 9, porque 8X9=72

El cociente de 87:9 es 9 y sobran 6; porque
9X9 8(>n 81, hasta 87, que representa el dividen-
do, van 6, que es el residuo.

Fl cociente de 76:8 es 9 y sobran 4; porque
8X9 son 72, á 76 van 4, que es el residuo.

Los tres primeros ejemplos son de divisiones
exactas, y los dos últimos de divisiones inexactas.

91. 2^ Caso. Dividir 944 por 8.

Para mayor facilidad, supongamos que el nú-
mero 744 representa naranjas, y que se trata de
, repartir esta cai^tidad entre 8 niños. Podríamos
repartir dicho número de naranjas, entregando de
á una, á cada uno de los 8 niños, hasta concluir-
se todas; pero esta operación sería muy larga.
Así, pues, vamos á ver si la podemos abreviar
entregando 100- naranjas á cada niño, con lo que
repartiremos 800. Pero tenemos 944; luego nos

'i-*

-^ 90 —

sobran 144, {|ue no alcanzan para entregarles otro
centenar de naranjas á cada nno, pero sí pode-
mos repartirles 10 más á cada nno, con lo que les
entregaremos entre los 8 otras 80; hasta 144 que
nos quedaban, aun sobran 64, que repartidas en-
tr^ los 8 les tocará á 8 naranjas á cada uno, por
que 8X8 son 64; con lo que ya no nos quedan
más naranjas. Luego, pues, hemos repartido las
944 entre los 8 niños y les ha tocado 100» más
10, más 8 naranjas, ó sean 118 á cada uno.

Este resultado lo hemos obtenido, tomando la
octava parte, ó dividiendo por 8, cada una de las
unidades de diferente orden que componen el nú-
mero propuesto; y la reunión (5 suma de todas
estas partes, han íormado el cociente buscado, 6
sea, la octava parte del número dado,

Cí)mo se ve, este segundo caso también se re-
suelve fácilmente sabiendo la tabla de multiplicar.

Vamos ahora, usando el procedimiento ante-
rior, á dividir el número 4657 pbr 9, tratando de
simplificar algo más la operación, pai-a lo cual
la dispondremos en la forma siguiente:

Dividendo 4657
5X9 45

2". dividendo parcial 15
1X9 9

9 Divisor

517 Cociente

3^^. dividendo parcial 67
7X9 63

4 Residuo

Diremos: 4 unidades de millar no pueden re-
partirse entre 9 de modo que alcance á tncar milla-
res justos á cada uno; empeza»'emos por dividir

— 91 —

entonces las 46 centenas: así, 46 entre 9, á 5,
poique 5x9 son 45, á 46, que tenemos en el di-
videndo, todavía sobra 1 centena; 5 son, pues, las
centenas del cociente, cuya cifra escribimos debajo
del divisor. El producto 45 de la primera cifra
del cociente por el divisor, lo coloc^ainos debajo
de las centenas del dividendo para efectuar la res-
ta. A la deiecha del resto 1 centena, ó sean diez
decenas, bajamos his 5 decenas del dividendo, for-
mando así 15 decenas, con lo que tendremos el
spgundo dividendo parcial.

Tenemos ahora que repartir las 15 decenas entre
9: le cori'esponderá 1; que esanbimos en el cociente á
la derecha del 5; multiplicamos esta segunda cifra
del c( cíente por el divisor, () sea 1X9 son 9 que
colocamos debajo del seiíundo dividendo parcial
15, para hallar la diferencia, con el objeto de sa-
ber lo que nos queda aún para repartir, y decimos:
de 9 á 15 van 6; nos sobran ])ues 6 decenas ó sean
60 unidades. A la derecha de dicha diferencia ba-
jamos la cifra 7 de las unidades del dividendo, for-
mando asi .67 unidades que constituyen el 3^"*. di-
indendo parcial.

Dividimos por último las 67 unidades restantes
entre 9. Corresponden á 7, porque 7x9 son 63,
hasta 67 que tenemos, sobran 4 unidades que que-
dan sin repartir y forman el residuo. La cifra
7, hallada últimamente, la c-JocanKís en el co-
ciente á la derecha de la cifra 1, con lo que com-
pletamos el cociente entero.

Hemos dividido todas las diferentes unidades
del dividendo por el divisor. Es, por consiguiente,
evidente que el cociente entero de los números da-
das es 517 y el residuo 4.

Otro ejemplo: dividir 24416 por 8:

- 92 —

Dividendo 24416

041
16
O

8 Divisor

3052 Cociente

Diremos: 2 no contiene al 8 ninguna vez; lue-
go, empezaremos la división por las 24 unidades
de millar del dividendo. Así:

24 entre 8 á 3

luego, 24 unidades de millar entre 8, correspon-
den á 3 unidades de millar. 3 es, pites, la prime-
ra cifra del cociente, ó sea la de orden superior.

Ahora restando del dividendo el producto de la
primera ciíra del cociente por el divisor, conoce-
remos las unidades de los otros ordenes inferio-
res que nos quedan para repartir;

3 por 8 son 24, á 24 va 0.

A la derecha de este resto, cero unidades de
millar, se baja la cifra siguiente del dividendo, ó
sea la de las centenas, y tendremos por dividendo
parcial 4, que no contiene al divisor 8, ninguna
vez; luego, cero, es la segunda cifra del cociente,
que se escribe á la derecha de la anterior.

Se baja la siguiente cifra del dividendo, que es
1, con le que tendremos por dividendo parcial
41 decenas.

41 entre 8 á 5:

es decir, que 41 decenas, divididas entre 8, co-
rresponden á 5 decenas; luego, b es ta tercera ci-
fra del cociente.

— 93 —

Restando ahora del dividendo el producto de
esta última cifra del cociente por el divisor, la
diferencia serán las unidades que aún quedan pa-
ra dividir.

5 por 8 son 40 á 41 va L

Nos queda una decena ó sean 10 unidades. Bá-
jase á la derecha de este residuo la última cifra
6 del dividendo, con lo cual formaremos el últi-
mo dividendo parcial, compuesto de 16 unidades,
y diremos:

16 enire 8 á 2

2 es la última cifra del cociente, ó sea la de las
unidades simples, y como:

2 por 8 son 16 á 16, O,*

resulta que la división propuesta da 3052 da co-
. cien te exacto.

Obsérvase que eñ este último ejemplo, la muí"
íiplicación de cada cifra del cociente por el divisor
y la sustracción del dividendo parcial respectivo, se
ha hecho todo á un mismo tiempo, lo que simpli-
fica algo la operación.

92. Del procedimiento seguido en los ejem-
plos anteriores, se deduce la siguiente:

Regla. — Para dividir un número compuesto de
varias cifras por un dígito, se divide la primera cifra
de la izquierda del dividendo por el divisor, y si no es
posible, por ser menor la cifra del dividendo que la
del divisor, se dividen las dos primersa cifras de la iz-
quierda del dividendo por el divisor, y el cociente
obtenido será la primera cifra del cociente total; se

-- 94 —

multiplica esta por el divisor y el producto se resta
de las dos cifras de la izquierda del dividendo; á
la derecha de este resto se escribe la tercera cifra
de la izquierda del dividendo, y el número o-ri for»
mado se divide por el divisor; el resultado será la
segunda cifra del cociente; se multiplica esta por el
divisor y el prodúcelo se resta de aquel número; á la
derecha de este segundo resto se baja la cifra si-
guiente del dividendo, y se divide este segundo nú--
mero por el divisor, con lo que obtendremos la terce-
ra cifra del cociente, y asi sucesivamente hasta ba-
jar la última cifra del dividendo.

Puede ocurrir que al bajar alguna cifra del di
videndo para formar los dividendos parciales, resul-
te un número m^nor que el divisor; en tal caso se
pone cero en el cociente, y se baja a la derecha de
dicho número la siguiente cifra del dividendo.

En la práctica se divide sencillamente de este
modo:

Dividir 54690023 por 7

54690023

7

56

7812860

09

20

60

42

03

Digo: 54 entre 7, ¿ 7; 7 por 7, son 49, á 54
▼an 5; bajo el 6. 56 entre 7, á 8; 8 por 7, 56, á
56 cero; bajo el 9. 9 entre 7, 4 1, 1 por 7 son 7,
á 9 van 2, bajo el cero, 20 entre 7, á 2; 2 por 7,
son 14, i 2p van 6; bajo Q, 60 entre 7, A 8; 8 por
7, 56, á 60 van 4; bajo el 2, 42 .entre 7, á 6; 6 por

— 95 —

7, 42, á 42 cero; bajo el 3. 3 entre 7, á O y so-
bran 3.

El cociente es 7812860 y el residuo 3.

93. Una vez que se haya adquirido bastante
práctica en la división, pueden suprimirse los restos y
dividendos parciales, lo cual es mucho más breve, así:

876540 : 5= 1 75308 525924 : 6=87654
29502:9=3278 3460:8=432 y 4 de residuo.

Digo; la quinta |)ai'te de 8 es 1, (qite escribo des-
pués del signo^ y mentalmente continúo diciendo,
1 por 5 es 5, á 8 van 3, que c(»n el 7 {es la cifra
siguiente) forman 37; la quinta parte de 37 son 7,
(que escribo á la derecha del 1) continúo el cálculo
mental diciendo: 5 por 7,35, á 37,2, que con el 6
forman 26; la quinta parte de 26 es 5, (que escribo
á la derecha del 7), 5 por 5, 25 á 26, 1, que con
el 5 forman 15: la quinta parte de 15, 3 (que escribo
á la derecha del 5), 3 por 5, 15, á 15 cero; la quin-
ta parte de 4 es cero, que pongo al lado del 3; so-
bran 4 que con el O forman 40; la quinta, parte
de 40 son 8, que escribo a la derecha del 0.

Luego la división de 876540 por 5 es exacta,
siendo 175308 el cociente.

El segundo ejemplo se resuelve abreviadamente
asi:

La 6^. parte de 52, 8 y sobian 4; la de 45, 7 y
sobran 3; la de 39, 6 y sobran 3; la de 32, 5 y so-
bran 2; la de 24, 4 y no sobra nada.

94. También suele Ofiiitirse el divisor, dispo-
niendo la operación^en esta foima:

Dividir 360496 por 8

360496 Divide/ndo
45()()2 Cociente

- 96 -

Digo: la 8*. parte de 36, 4 y sobra» 4; la de
40, 5 y no sobra nada, la de 4, O y sobran 4: la tie
49, 6 V sobra 1; la de 16, es 2.

Dividir 150506 por 7.

150506
21500 y sobran 6

Digo: la 7^' parte de 15, 2 y sí^bra 1; la de 10,
1 y sobran 3; la de 35, 5; la de O, 0; la de 6, es
O y sobran 6.

Esta última djvisiíin es inexacta: el cociente en-
tero es 21500 y el residuo 6.

95. 3^^ Caso Dividir 23936 por 68.

Sabemos que dividir un número entero por otro
es hacer del dividendo tantas partes iguales como
unidades tiene el divisor (83). Luego, dividir 23936
por 68, es hacer del número 23936, 68 pai-tes igua-
les, que equivale á repartir las 23936 unidades en-
tre 68 personas, de modo que todos tengan igual
porción, y lo que á cada una le toque será el co-
ciente.

Del mismo modo que en el segundo caso, em-
pezaremos por repartir las unidades de orden su-
perior y sucesivamente iremos repartiendo las de
lo.«^^;otros órdenes inferiores, hasta repartir las uni-
dades simples, y la reunión de todos estos cocien-
tes parciales formarán el cociente total.

El número propuesto solo tiene 2 decenas de
millar; luego, no se puede repartir ninguna dece-
na de millar, puesto que necesitaríamos á lo me-
nos 68 para dar una á cada persona; tampoco po-
demos empezar la partición por las unidades de
millar, porque solo tenemos 23; así, pues, empeza-
remos por las centenas que son 239.

—^97 —

Para dividir las 239 centeaas entre las 68 per-
sonas, observaremos que si 3oIo les entregamos
una centena á cada una, con 68 tendríamos sufí-
cientes; para entregarles 2, nos t:^ bastarían 136, y
como hay muchas más vamos .á ?probar de repar-
tir 3 centenas á cada una, para ¡^ lo cual necesita-
remos 204; hasta 239 que tenemos, sobran 35, que
ya no alcanzan i para entregar una más á cada per-
sona. Luego, ípui^,cel pri«aer cociente parcial es
3 centenas, y nos sobran ffi, -,que equivalen á 350
decenas más 3 que tenamos en el dividendo, for-
man 353.

Debemos dividir ahoca tes853'láecenas entre las
68 personas, y por tantesQ, lo mismo que hemos he-
cho para repartir las rCenfeBiHis,^ei58mos que toca á 5
decenas por persofla; de-mado qife entre las 68 se
llevan 68X5, ó se^n 340, 4iasta ^53 que tenemos
sobran 13, que no alcanzan para repartir una más
á cada persona. :Luego el segundo cociente par-
cial es 5 decenas y y sobmu 13, ó sean 130 unida-
des, que con más 6 que hay en el dividendo, for-
man 136.

Por último, dividiremos las 136 unidades sim-
ples entre las 68 jjersoaas, y veremos que les to-
ca a 2 unidades á cada una, porque 2X68, son
136. Luego, el tercer cociente parcial es 2 uni-
des.

Reuniendo tode^s los cocientes parciales, vemos
que á cada una de las 68 pei'sonas les ha corres-
pondido 3 centenas, 5 decenas y 2 unidades ó sean
3^ AMudades. Luetio 352, es el cociente exacto
que resulta de dividh* el número 23936 por 68.

Wvlíiase 483569 por 235.

El cálculo para determinar todas las partes del
cociente, puede disponerse del m-odo siguiente:

98

S

o

o

o

s

co o

28

oi ^5

^ t

Cft ^

tH tH

S i-<

•^

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3

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1, 8

-ih

8

'3

^ "S .

*©

'«

TS

'§

«>
tS

©

©

©

©

©

El dividendo 483569, es igual á 235 veces el-
cociente, lo que es lo mismo, se compone de 235
partes iguales al cociente. Luego, para encontrar
su valor tendremos que dividir el número 483569
en 235 partes iguales, lo que evidentemente se

^__J

— 99 -

conseguirá dividieodo las unidades de todos los
órdenes que forman el número propuesto, en 235
partes iguales, y la reunión de todas estas partes
formará el cociente total buscado.

Las centenas y decenas de millar del número
dado, son pocas para poderse dividir en 235 par-
tes; así pues, empezaremos la división por las 483
unidades de millar, las cuales para mayor clari-
dad las separaremos del dividendo total por medio
de un punió, con lo que tendremos el primer di-
videndo parcial, formado de 483 unidades de mi-
llar.

483 unidades de millar, divididas en 235 partes
iguales, ó lo que es lo mismo, repartidas entre
235 personas, toca á cada. una 2 unidades de mi-
llar. La cifra 2 será la del orden superior del co-
ciente^ es decir, la de las unidades de millar, cu-
ya cifra se escribe debajo del divisor.

Para determinar la segunda cifra del cociente,
ó sea la de las centenas, se multiplica la cifra
2 de los millares del cociente por el divisor 235;
su producto 470 millares se coloca debajo del pri-
mer dividendo parcial, ó sea de las 483 unida-
des de millai* que separamos; se resta dicho pro-
ducto del expresado dividendo, y la diferencia,
13, son las unidades de millar que ban quedado sin
repartir, las que equivalen á 130 centenas, que
sumadas con las 5 que tiene el dividendo total,
son 135 centenas que tenemos para dividir entre
235; es decir, que el número 135 forma el 2". di-
videndo parcial, el cual vemos que n(x alcanza pa-
ra en llegar una centena á cada una de las 235
personas. Luego, la segunda cifra del cociente se-
rá O, que colocaremos á la derecha de la cifra 2
hallada antes, para que los millares y decenas ocu-
pen el lugar cori-espondionte.

Para determinar la 3*. cifra del c^jciente, o.^^pr-
vafÉ'ftíós Qtie'^WS^^Sb^ centenas que tenemos y que
"tíoí^ftlcarf¿*fotí'' üai-a entregar una unidad de , éste
'*í)rden***^tlaéla ttna^del lá¿*!é35||persatias entre quie-
nes se quiere i^é^ai^lir*,* síín' 'equivalentes á 13^ de-
•^cená^, y*VnSs^'6^'qu€f' hay'eri el dividendo tutái,,spn
1956, qué'cbrtBtmlyeñ' el S< dividendo paicíal, .^u-
"^a^ 1356 dedfnaSs' aísírihiíidas entre las 235,ppjj'so-
rtas, les corresponde" á óafla* una 5. Lnegu, 5 será
'la* tei^eí'a'cifVa íféT riocfehle, ó sea la de las decenas
iía.'feiiát ise' embribe en eP cociente, á la derecha del
O hallado á'hteriorftienle. ' • '

Solo nos falta ahora determinar la última cifra
delcocíente,' d'Seb lá -dé Vas unidades simples, pa-
ta lo^dUál multiplicaremos la cifra 5 dé las de-
'c'en^s de^l có'éleríte; por' 'él* divisor ^35; sii prodnc-
to^^ílT5- ló^^'té^lÍlreiTÍí)S deí^>\'drvi^endo ,Ríimal
1356j para con*bte'r la diferencia ;181 (\\ie son fas
decenas qué'íiaiV sobradó,' Tías * cuáles equivalen á
1810' unidhdes^ 'y lílás O que hay en el dív^iden-
üo totalisdn 1819 uh'idades' qué nos quedan para
dividir entre 235. Así piiés, l'819 es el 4^. dividen-
d() parcial,' cuyo número repartido entre las 235
personas' les toca á cada uiiá 7 unidades, con lo
cuíjI repartiremos 7X235,* ó* sean 1645 ^unifl^des
hasta 18'19 qué tenemos, sobran 174. Luego Í7 es
la cUVa de *fas unidades kím|)les del coc-iente y
174 es el residuo ñnáf. ' ' ' ' '

9&. Déf 'i^rocedíiíiiento empleadí) en los ejjem-
l»l()d ál)teri6res, (^ué'ét' aplirable*^ a otro cualquier
caso dedtrcfitW)s ial siguiente regla.

Potra dividir un 'numero entero compuesto de
variar* cifras,' por otro dé las mism^as condiciones^
se ¡deparan de 7a izquierda del dividendo las cifras
necesarias p'ara obtéfier uñ número igual ó mayor
qrte' el divisú7\ pero menor diez veces de su valor.

— 101 —

Las cifras asi separadas del dividendo total,
forman el p^nmer dividendo parcial, qice dividido por
el divisor, da la cifra de orden supe**ior del cociente.
Se multiplica esta cifra del cociente por el divi-
sor, y el producto se resta del primer dividendo par-
cial. A la derecha del resto se haja la cifra que
sigue inmediatamente al primer dividendo parcial y
el número asi obtenido forw,a él segundo dividendo
parcial: se divide por el diviso7\ y la cifra que re-
sulte es la segunda del cociente. Se m.ultiplica el
divisor por esta segunda cifra del c(x:iente y el pro-
ducto se resta del segundo dividendo parcial. A la
derecha del resto se pone la cifra siguiente del di-
vidinedo total; el núm,ero asi formfldo es el tercer
dividendo parcial, que se divide por el divisor, y da
la tercera cifra del cociente. Se continúo de la mis
ma manera hasta que se hayan bajado las cifras
del dividendo total.

Si colocada á la derecha de un resto la cifra que
se baja del dividendo total, formase un número
menor que el divisor, se pone O en el cociente y se
baja la cifra siguiente del dividendo, formándose
asi un nuevo dividendo parcial que se dividirá por
el divisor.

Dividir, ])' r ejemplo. 523802 por 625

Divh^ndo

523802

i 625 Divisor

. 625x8

5000

iSH8 Cociente

2". dividendo parcial
625X3

2380
1875

3*'. divideiidi) | aicial
625X8

5052
5000

52

Residiii)

— 102 —

Se empieza la operación por separar las cuatro
cifras de la izquierda del dividendo total, porque
las tres primeras forman un número menor que el
divisor y digo:

625X7=4375 menor que 5238;
625X8=5000 menor que 5238;
625X9=5625 mayor que 5238;

Luego, el divisor 625 no está contenido en el pri-
mer dividendo parcial 5238 más que 8 veces; por
consiguiente, la primera cifra del cociente es 8;
escribo dicha cifra en el cociente y el producto
5000, de la ciíra 8 por el divisor, lo escribo deba-
jo del primer dividendo parcial para efectuar la
resta; al lado de la diferencia 238 se baja la si-
guiente cifra del dividendo, foruíándose el número
2380, que es el segundo dividendo parcial.

Ahora se divide este sei^undo dividendo parcial
por el divisor y como:

625x3=1875 menor que 2380;
625x4=2500 mayor que 2380;

vemos que la segunda cifra del cociente es 3.

El. producto 1875, de la cifra 3 por el divisor, se
coloca debajo del segundo dividendo parcial para
restarlo de él; al lado de la diferencia 505 se baja
la última cifra del dividendo, con lo que se forma
el número 5052, que es el tercer dividendo par-
cial.

Se divide el último dividendo parcial por el divi-
sor y como:

625X8=5000 menor que 5052;
625X9=5625 mayor que 5052;

— 103 —

resulta que la tercera cifra del cociente es 8.

El producto 5000 de la última cifra 8 del cociente
por el divisor, se coloca debajo de! últinno dividendo
parcial 5052; y la diferencia 52 es el residuo final de
la operación. De niodoque el cociente entero es 838
y el residuo 52.

Observaciones

9Tf. 1.^ No hay necesidad de escribir debajo
del dividendo el producto del divisor por el cocien-
te, pues puede efectuarse simultáneamente, U, mwlr
tiplicación y la resta, hallando. Ja diferencia entre
el productti de caída cifra del cociente por cada una
del divisor y su correspondiente del dividendo, au-
mentada con un número suficiente de unidades del
orden inmediato superior, si es necesario para que la
sustracción sea posible, cuyo número de unidades
las guardamos mentalmente para agregarlas al
producto parcial siguiente, w fin de que el resto
no sufra alteración (S4:)«

2.*^ En }as divisiones de números muy grandes en
que el enciente deba tener muchas cifras, e» conve-
niente, antes de empezar la operación, formarlos pro-
ductos ílel divisor por 1,2, 3 .... hasta 9, y así la sim-
ple inspección de estíis productos nos hará cono-
cer cada cifra del cociente.

98. Fjemplo. Divídase 384364906 por 43685.

-- l(H —

Prixluctos del divis<»r

Dividendo

Por 1.

^ 2
3
4

O

7
8
9

43685
87370
131055
174740
218425
262110
305795
349480
393165

384364906

348849 '

430540

373756

24276

43685 Divisor

8798 Cociente

Residuo

Se separan con un punto las seis primeras ci-
fras de la izquierda del dividendo, porque con las
primeras cinco no alcanzamos á formar un núme-
ro igual ó mayor que el divisor; por consiguiente,
el primer dividendo parcial es 384364, cuyo núme-
ro, comparado con los productos previamente for-
mados, observamos que se halla comprendido en-
tre los productos del divisor por 8 y por 9. Lue-
go, la primera cifra del cociente es 8. Réstase del
dividendo parcial dicho producto y al lado de la
diferencia 34884 bájase la cifra 9, con lo que ten-
dremos formado el segundo dividendo parcial de
348849, que comparado con los productos del di-
visor, observamos que el próximo menor es el
correspondiente al factor 7. Así pues, 7 será la se-
gunda cifra del cociente. Réstase el producto 305795
del segundo dividendo parcial y después de bajada

— 105 —

la siguiente cifra del dividendo total, obtendremos
el tercer dividendo parcial de 430540, que comparado
con los productos del divisor, vemos que el inme-
diato inferior es el correspondiente al ftictor 9.
Lu6go, la tercei'a cifra del cociente es 9. Réstase
el producto 393165, del tercer dividendo parcial;
al lado de la diferencia bájase la última rifra del
dividendo total, con lo que habremos formado el
.cuarto dividendo parcial de 373756, que compa-
rado con los productos del divisor, nos da como
ultima cifra del cociente, 8. Réstase el producto
349480, del último dividendo y obtendremos la di-
ferencia 24276, que es el residuo íinal, siendo 8798
el cociente entero.

99. El procedimiento que acabamotl ^áe in-
dicar para determinar cada cifra del cuueiente, aun-
que seguro, no es sin embargo el mas expedito.
Cuando se ha adquirido ya alguna práctica en la
operación se usa con más ventaja el que á conti-
nuación damos á conocer.

Divídase 373551 por 496.

Dividendo 373551

2635

496 Divisor

753 Cociente

1551
63 Residuo

El primer dividendo parcial lo deben formar
las cuatro primeras cifras de la izquierda del di-
videndo total,, es decir, el número 3735; ahora ob-
servemos que el producto de la cifra del cocien-
te que vamos á determinar, por las 4 centenas del
divisor, es un número exacto de centenas, que de-
be hallarse en las 37 centenas del primer dividen-
do paírcial. Luego dividiendo las 37 centenas de

— 106 —

dicho dividendo por las 4 del divis<»r, obtendre-
mos la priinera cifra del cociente ó un número
mayor que ella, puesto que en las 37 centenas del
dividendo puede haber también algunas que pro-
vengan de la multiplicación de las decenas y unida-
des del divisor por la cifra del cociente que se
trata de hallar y del resto de esta división si no
da cociente exacto.

Para asegurarse de si la cifra asi obtenida e»
mayor que la verdadera, se multiplica por todo el
divisor, y si el produelo puede restarse del divi*
deudo, será la verdadera, y sino, se le rebaja una
unidad y se ensaya esta nreva cifra, continuándo-
se así hasta que la sustracción pueda verificarse,

lOO. Para abreviar estos tanteos, la multiplica-
ción se empieza por las unidades de orden superior «leí
divisor, restando este producto de la cifra de orden
superior del dividendo parcial, ó de las dos pri-
meras cifras si este tuviese una más que el divi-
sor; luego se multiplica la cifra del cociente, por
la del divisor de orden inferior inmediato á la pri-
mera, y este producto se resta de la cifra de igual
orden del dividendo parcial, precedida del resto
anterior, si lo hubo, y así se continxia hasta haber
restado el producto del cociente por las unidades
simples del divisor, del resto penúltimo con la úl-
tima cifra del dividendo parcial á su derecha.

Así digo: 37 entre 4, á 9; 9 por 4 son 36, á
37 sobra 1.; este resto unido á la cifra siguiente,
formo 13; 9 por 9, son 81, que no puede restarse
de 13; luego, la cifra 9 es maj'^or que la verdade-
ra. Le rebajo una unidad, y continúo: 8 por 4,
son 32, á 37 van 5; este resto, unido á la cifra
siguiente, forma 53; 8 por 9, son 72 que tampoco
puede restarse de 53; luego la cifra 8 es todavía
mayor que la verdadera. Se rebaja otra unidad y

— 107 ~

tendremos; 7 por 4 son 28 á 37 van 9; este resto
unido á la ciíra siguiente fornaa 93; 7 por 9 son
63 que restado de 93 sobran 30; este resto unido
á la ciíra siguiente componen 305; 7 por 6 son 42
que puede restarse de 305 y sobran 263; luego 7
es la primera cifra del cociente y 263 el primer
residuo.

Observase que tan pronto como se obtenga
en una sustracción, que se principia por las uni-
dades de orden superior, un resto igual ó mayor
que la cifra que se ensaya, puede asegurarse que
dicha cifra no es mayor que la verdadera.

Por ejemplo, al tantear la cifra 7 dije: 7 por 4
son 28, á 37 van 9; este resto, aunque solo fuese
7, unido á las dos cifras siguientes del dividendo
parcial formaría á lo menos el número 700, que
siempre será mayor que el • producto que puede
resultar de multiplicar la cifra que se ensaya por
las otras dos del divisor, pues en el caso más des-
favorable podrían ser dos nueves, y su producto se-
ría 99X7== 693, número menor que 700. Luego, el
producto del cociente por el divisor, puede res-
tarse del dividendo parcial; por consiguiente la cifra
7 que se ensaya es la verdadera. Una vez obtenida la
verdadera cifra del cociente, la austracción del
producto de ésta por el divisor, del dividendo par-
cial, debe hacerse principiando por las unidades
sencillas, para no tener que hacer de memoria
sustracciones difíciles.

Para hallar la segunda cifra del cociente, em-
pezaré por bajar la siíj^uiente cifra 5 del dividendo
tíital, la que colocada á la derecha del residuo ante-
rior, formará el segundo dividendo parcial de 2635.
Siendo siempre 496 el divisor, continuaré la ope-
ración así; 26 entre 4, á 6; 6 por 4, son 24, que

— 108 —

restatk) de 2() sobran 2; esle reste* con la cifra
8ii;ulente forma 23; 6 por 9 son 54 que no puede
restarse d-e 23, Ine^o la cifra 6 es grande; le re-
bajo Ufia^ unidad, y digo: 5 por 4, son 20, á 26
van 6; nÚTO^n» mayor qiie la cifra que se tantea;
luego, dicha cifra 5 e« la verdadera por tanto la
colííco en el cociente á la derecha de la cifra 7
que hallamos primeramente y multiplico esta úl-
tima cifra hallada por el divisor, empezando por
las unidades simples y vSiuuiHáneamentB hago la
sustracción de este producto, del segundo divi-
dendo parcial, como se aconsejó en el número 9*7
observación 1*. Así digo: 5 por 6, son 30, que no
puede restarse de las 5 unidades del dividendo
parcial, por lo que añadiré á esta cifi-a 3 dece-
nas, y restaré el producto 30 de estas 35 unida-
des, quedando 5 de i:esto. Ahora; 5 por 9, son 45,
y más 3 que añadí antes al minuendo (54),
forman 48 que no pueden restarse de 3, por lo que
le agregaré 5 unidades superiores f(»rmando así 53,
y restando el producto 48, lendremos 5 de diferen-
cia; 5 por 4, son 20, y 5 que debo añadir, por ha-
berlas añadido antes al minuendo, forman 25, que,
restado de 26, sobra 1. Así pues, el segundo res-
to parcial es de 155, y bajando la última cifra del
dividendo se obtendrá el tercer dividendo parcial
de 1551, y digo: 15 entre 4, á 3; 3 por 4, son 12,
á 15 van 3; número igual á la cifra que se ensa-
ya; luego dicha cifra es la verdadera. La coloco
en el cociente á la derecha del 5, y multiplico el
divisor por ella, restando el producto del último
dividendo parcial, como se ha hecho con la cifra
anterior, de este modo: 3 por 6, son 18, que no
puede reatarse de 1, por tanto le agrego 2 dece-
nas que torman 21 y restando el producto 18 que-

— 109 —

dan 3 de resto; 3 por 9, son 27, y 2 que debo aña-
dir por haberlas añadido antes al níiinuendo, for-
man 29 que no se puede restar de 5, por lo que
le agregaré 3 unidades superiores y formaré 35, y
sustrayéndole el, producto 29, quedan 6 de resto; 3
por 4, son 12, y 3 que debo añadir por haberlas
añadido antes al minuendo, fornaan 15 que resta-
do de las 15 centenas del último dividendo no que-
da ninguna.

Dividiendo, pues, 873551 por 496 hemos hallado
753 de cociente entero y 63 de residuo.

lOl. Puede también comprobarse el cocien-
te de un modo más sencillo pero no tan seguro,
sin embarho, es el que más generalmente se usa.

Ejemplo: Divídase 63804 píir 752.

63804 • 752

3644 i 84
636

Consiste el método que vamos á explicar, en
probar el cociente solamente respecto de las dos
ó ires primeras cifras de la izquierda del dividendo.

Asi, 63 entre 7 á 9 para ensayar la cifra 9 em-
plearé solamente las dos citras de orden superior
del divisor: digo 9 por 5 son 45; restando el pro-
ducto 45 de 48 del dividendo parcial sobran 3 y se
llevan 4; 9 por 7, son 63 y 4 que llevaba son 67,
qua no puedo restar de 63 que hay en el dividen-
do, luego la cifra 9 es demasiado alta. Le rebajo
una unidad y digo: 8 por 5, son 40, a 48, van 8
y llevo 4; 8 por 7, son 56 y 4, 60 que restado de
63 sobran 3, de modo que la cifra 8 es la verdade-
ra; la escribo en el cociente y la multiplico ahora

— lio —

por todo el divisor, restando al mismo tiernpo es-
te producto.rdel primer dividendoi parcial, diciendo:

8 por 2, 16,.á*20.van 4, y llevo 2; 8 por 5, 40,
y 2, 42,.á48vaj* Sy.llevo f4y 8 por 7, 5tx, y 4 60, á
63 va,n 3;.elprimeríCe8¡djuojes364i que, escribiéndo-
le á la derecha la siguiente ^cifra del dividendo total,
tendremos el seg.undui^divid^ndO' parcial, de 3644.

Para hallar la.ísegundaí oiíradel cociente, digo:
36 entre 7, á 5; para comprobar esta cifra, lo mis-
mo qne la primera, Ja multiplicaré, por las dos de
orden superioi* del divisor y restaré estí)s produc^
tos de las cifras correspondientes del dividaiKlí»
parcial; así^ 5 por 5, son 25, á 34 van 9, y llevo
3; 5 por 7, son 35, y 3 que llevaba 38 que no pue-
de restarse de 36; asi pues^ la cifra 5 es demasia-
do alta; le rebajo una unidad, y digo: 4 por 5, son
20, á 24 van 4 y llevo 2: 4 por 7,' son 28, y 2 que
llevaba 30, á 36 van 6; luego la cifra 4 es la ver-
dadera, porque su producto por el divisor puede
restarse del divideirdo.

Escribo la cifra 4 en el cociente y la multipli-
co por todo el divisor restando su producto del se-
gundo dividendo parcial,- didendn: 4 por 2, 8 á 14
van 6, y llevo 1; 4 por 5,20, y 1, 21, á 24 van 3,
y llevo 2; 4 por 7, 28, y 2, 30. á 36 van 6.

Por iWrimo vemos que el cociente entero que resulta
de dividir el número 63804 por 752 es 84 y el residuo
636.

OTROS EJEMPLOS

404444922
47864
32092
23772
0000

5943

68054

— 111 -

482666(i08

4563

11376

. 3249:52

22506

42546

14790

11018

1892

*

26;í436288 : 42877=6144

2148004848 : 128132=16764

4352491876 5 95396=45625 y 49576 de residuo.

931809099:63518=14670 y 39 de residuo.

IOS» Teorema. — Para dividir una sutna in--
diñada por un^ número entero, se dividen todos los
Sf$mandos por dicho número, y la suma de^ los co-
cientes parciaies será el cociewte totak

En electo, (4+3+5): 2 digt) que es iy:u«f á
4:2+3:2+5:2, porque este cociente multipli-
cado por el divisor 2 pnxluce el dividendo 4+3+5.
Así: (4: 2+3 : 2+5 : 2) X 2=4+3+5 (^69U

l'OS. Teorema Para dividir una diferencia
indicadáy por un núrñero entero:^ se dividen el mi"
nieendó y el sicstraendo por dicho número, y la di-
ferencia de los cocientes par^ciales, será el cociente
pedido.

En efectíN (7— 4): 2 digo que es igual á 7:2—
4:2, porque este cocierne multiplicado por el di-
visor ¿produce el dividendo 7 — 4.

Así: (7:2— 4:2)X2=7-,4 (TO).

-^ 112 —

t04. Tbiorema Para dividir un producto
compuesto de dos ó más factores enteros por un di--
visor de cualquiera de éstos, basta dividir el factor
qu£ da cociente exacto por el divisor y el cociente
que resulte multiplicarlo por los otros factores.

Por ejemplo, para dividir 12.45.37 por 5,
digo qne basta dividir 45 por 5 y el cociente 9
raultiplicark) por 12 y por 37.

En efecto, el cociente 9.12.37 multiplicado
por el divisor 5, produce el dividendo 12.45.
37, qne es el producto dado, porque se ha visto
(72), que

9 . 12 . 37 . 5=12 .9.5. 37=12 . 45 . 37,

luego pues,el cociente hallado, 9.12.37, es el
verdadero. .

105. CoROLARto Para dividir vn número
ter'minado en ceros, por 10, lOQ, lOOOj etc., basta
suprimir á la der&sha del dividendo tantos ceros
como acompañen á la unidad (Sd— 4.*)

Por ejeiuplo el cociente de 5670000:1000 3eiá
igual á 5670. 48000000:1000000=48

1 OO. Teorema Si se divide el dividendo y el
divisor de una división inexacta^ por un ^r^úmero
entero cualquiera, el cociente entero no varia, pero
el residuo qiceda dividido por el mismo numero.

Siendo 69 el dividendo y 9 el divisor, el co-
ciente entero será 7 y el residuo 6: luego ten-
dremos:

69=7. 9+6

Dividiendo los dos miembros de ésta igualdad
por 3, la igualdad no se altera, porque hay un

— 118 —

axioma (•) qne dice, si con cantidades iguales se
hacen operaciones iguales, los resultados que se ob-
tengan son iguales, luegf»:

69 : 3=7. 9 : 3+6 : 3

donde se observa que el nuevo divisor 9 : 3 está
contenido en el nuevo dividendo 69:3, 7 veces,
como antes lo estaba el 9 en el 69; pero el re-
siduo 6, aparece dividido por 3, conforme con el
enunciado del teorema.

De igual modo demostraríamos que: si se mul-
tiplica el dividendo y el divisor de una división
inexacta, por un número entero cualquiera, el co-
ciente entero no varia, pero el residux) queda mul-
tiplicado por el mismo número.

Corolario. Un cociente de división exacta no
se altera dividiendo dividendo y divisor por un di-
visor de ambos.

Asi. 448 : 64=112 : 16, dividiendo ambos térmi-
nos por 4.

lOTT. El teorema que acabamos de demos-
trar nos facilita el medio de simplificar la divi-
sión en el caso de que el dividendo y divisor
terminen en ceros, pues en tal casí» se suprimen
á la derecha de cada uno de ellos, tantos ceros
cuantos haya en el que menos tenga^ practicán-
dose la división con los números restantes.

Por ejemplo divídase 108000 por 4500

1080

180
00

45

24

(•) Se Jlama axioma á un principio ó verdad evidente por si mismn nnn
basta enunciarlo para <x>nvencerse que es verdad.

— 114 —

Se suprimen <los ceros en el dividendo y dos
en el divisor, lo que equivale á dividir por 100
el dividendo y el divisor, (jue según acabamos de
ver no altera el cociente entero. Por consiguien-
te, la división propuesta queda reducida á dividir
1080 por 45 obteniéndo^se por cociente exacto 24.

Si la división fuese inexacta procederíamos de
igual manera, pero tendríamos el cuidado de
agregar á la derecha del residuo tantos ceros
cuantos se hubiesen suprimido en el dividendo
(?íd — 4^). para conocer su verdadero valor p-ies
de lo contrario el residuo quedaría dividido por
el mismo número en que se hubiese dividido el
dividendo y divisor (lOG).

108. Consecuencias que se deducen de la
división de los números enteros.

1.* Aumentando ó disminuyendo el dividendo^
aumentará ó disminuirá el cociente.

Porque siendo mayor ó menor el número de
unidades, que por ejemplo, se reparten entre el
mismo número de personas, les tocará más ó me-
nos á cada una.

2.* Aum£nlando ó disminuyendo el divisor, dis-
minuirá ó aumentará el cociente

Porque en el primer caso siendo mayor el
número de partes que han de hacerse, cada una
tendrá que ser más pequeña y viceversa.

3/ Multiplicando el dividendo por un nüinero
cualquiera o dividiéndole por uno de sus factores,
el cociente quedará multiplicado ó dividido por el
mismo número.

Porque haciendo el dividendo 2, 3, 4 etc., veces

mayor y dejando el mismo divisor, habrá 2, 3, 4

etc., veces mayor número de unidades para dividir en

-^ 115 —

igual número de partes, luego cada parte será tam-
bién 2, 3, 4 etc. veces mayor,y recíprocamente.

4.* Multiplicando el divisor por un número
entero cualquiera ó dividiéndolo por tíno de sus
factores, el cociente quedará dividido ó multipli-
cado por el mismo número.

Porque haciendo el divisor 2, 3, 4, etc.,

veces 'mayor, y siendo el mismo el número de
unidades que hay para dividir, resultará que te-
niéndose que hacer 2, 3,4....... etc., veces ma-
yor número de partes será cada una de ellas
2. 3, 4 etc. ,^ veces menor, y viceversa.

109. Prueba de la división. Esta opera-
ción se comprueba multiplicando el cociente en-
tero por el divisor y al producto se añade el re-
siduo; la suma debe ser igual al dividendo (STT).

lio. Usos DE LA DIVISIÓN. Se emplea la di-
visión cuando se trata:

1.^ De hallar cuantas veces un número entero
contiene á otro.

2.° De dividir un número dado en cierto nú-
mero de partes iguales.

3."" De hacer un número tantas veces menor
como unidades tiene otro.

4.<* De hallar el valor de una parte del nú-
mero dividido en porciones iguales.

5.^ De conocer un factor, conocido el produc-
to [de dos factores y uno de ellos.

En muchos otros casos se emplea la división:
los que se han citado son los principales.

PROBLEMAS

1." Un capitalista ha pagado 85292 pesos por

— 11(1 —

un terreiH» compuesto de 519 hectáreas: ¿(■uánto
le cuesta la hectárea?

35292

4152

000

Operación
519

68

Prueba

519
68

4152
3114

35292

Lo que cuesta la hectárea multiplicado por
519 que son el numero de hectáreas compradas,
debe producir el número 35292, luego este núme-
ro >es el producto de otros dos, de los cuales uno
es 519 y el otro es el precio de la hectárea, cuyo
valor hallaremos fácilmente dividiendo dicho pro-
ducto por el factor conocido, que es precisamen-
te lo que hemos hecho, y asi se ha encontrado
que cada hectárea de terreno cuenta 68 pesos.

2.° Se han distribuido 27024 naranjas entre 563
soldados, ¿cuántas naranjas le correspondió á ca-
da uno?

27024

4504
000

563

48

Le correspondió á cada soldado 48 naranjas.

3.° Un señor dispuso que á cada pobre de
cierta localidad se le entregasen 358 reales para
lo cual tuvo que dar 300362 reales, ¿cuál era el
número de pobres?

— 117

300362 I 358
1396

3222 . ^3^
000

El número de pobres era 839.
EJERCICIOS

l.« El producto de dos números es 3111390,
y 905 uno de ellos: ¿cuál es el otro?

2.** Dividir el nómero 86345 en dos partes, de
modo que una, sea 4 veces mayor que la otra.

3.** Dos socios tienen que repartirse 40482 pe-
sos de ganancia que han tenido en un negocio,
en el cual, uno empleó 3879 pesos y el otro 9615:
¿cuánto les toca á cada uno?

4." Un estanciero ganó el primer año que in-
vernó ganados en un potrero que tiene en su
campfv 2315 pesos, y sucesivamente en los 11
años siguientes que hizo el mismo negocio ganó
respeciivanoente 1836, 3008, 2609, 815, 1794, 2800,
2412, 2326, 1981. 2913 y 2647; ¿cuánto ganó tér-
mino medio por año?

5.*^ Un comerciante tiene harina de dos clases
una de 132 centesimos los 10 kilogramos y otra
de 88: si mezcla cantidades iguales de las dos
clases ¿á qtie precio tendrá que vender los 10 ki-
logramos de harina para ganar en cada kilogra-
mo un centesimo? • ,

6.** ¿Cuál es el número que multiplicado por
126 y dividido por 54 da de cociente 63?

7." Se han pagado 5040 pesos por una parti-
da de vinos tintos de tres clases distintas; unos
valen 24 pesos el hectolitro, otros 21 y otros 16.
Habiéndose invertido en cada clase igual número

— 118 —

de pesos: ¿cuántos hectolitros de vino de cada
precio se compraron?

8.** Un padre dejó 18870 pesos para que se
repartieran entre sus cinc<> hijos, de modo que el
mayor reciba el doWe que cada uno de los otros,
gcuánto le tocó á cada uno?

O."" Un ingeniero gana anualmente 8395 pesos
diryiendo varias obras importantes y quiere re-
servar 15 pesos diarios como ahorro: cuánto le
sobrará para gastar diariamente, teniendo el año
365 días?

lO".*» El director de un Instituto recibe men-
siralínente 1610 pesos como retribución para instruir
áSrS discípulos, délos cuales 150 hacen estudios
elementales y pagan 4 pesos cada uno, 40 estu-
dian el primer año del bacbillerato y pagan 14
pesos, el resto estndian segundo año. Se desea
saber cuánto paga cada uno de estos últimos.

11." Un molinero ha pagado 231936 centesi-
mos por fletes de 1208 sacos de tfigf», (jjue^^ada^uno
pesaba 64 kilogramos; ¿que flete tendrra que pagar
por 2394 sacos de trigo, qne cada uno pesase 93
kilogramos?^

12.* Se han empleado 3920 pesos en pagar
joraaieír A* cterto número de peones durante 245
días, ganando cada uno 2 pesos diarios ¿cu&ntos
eran los peones y cuánto se hubiese gastado si
la obra hubiera durado 54 días más?

13. "^ Un ganubdero tiene 245 caballos de raza
finos, traídos de Europa, los cuales le costaron en
Londres 85 pesos cada uno. Pagó 5800 pesos por
fletes y además entre comisíoaes y derechos de
aduana ha pagado 2040 pesos ¿A que precio
tendrá que venderlos para ganar 15 pesos en ca-
da caballo?

14.* Un capitalista al morir dejó 27456 pesos

— 119 —

en un Banco, en otro dejó 1948 pesos menos que
en el primero, y en un tercer Banco dejó 8609
menos que en el segundo. Además dejó 3720 pe-
sos en poder de un amigo, y en caja tenía 18367
pesos. Disponiendo en su testamento, que la mi-
tad de ese capital se invertiese en la instalación y
sostenimiento de un colegio de primera enseñanza
y el resto que se distribuyese en partes iguales
entre los 485 niños que se están instruyendo en
la Escuela de Artes y Oficios de Montevideo;
¿cuánto les tocó á cada uno?

15^ Un maestro compositor de música recibió
por un concierto que dio para estrenar una com-
posición suya, 15552 pesos, los cuales debian ser
distribuidos asi: una tercera parte para él, como ^
compositor y director, otra tercera parte para los
coristas y el resto para los profesores de la or-
questa. El coro se componía de 216 personas y
les tocó á cada ana 12 pesos menos que á los
que componían la orquesta. ¿Cuárttos. eran los pro-
fesores que componían la orquesta y cuánta les
tocó á cada uno?

LECCIÓN IX

Quebrados^

lil. Ya hemos dicho en el número 6,
que se llama número quebrado al que representa
una ó varias porciones de la unidad dividida en
partes iguales.

Si dividimos una naranja en cinco partes ¡gua-
les, cada una de estas partes será un quinto de

— 120 —

naranja; si Uímamoí^i tres porciones ríe las cinco
que hicimos, tendrejíios tres quintos de naranja.

Los números quebrados se llama también nú-
meros fraccionarios, y se dividen en ordinarios ó
comunes y decimales. Los primeros, representan
la unidad dividida en un número cualquiera de
partes iguales; los segundos, representan sola-
mente porciones de la ;unidad dividida, precisa-
mente, en diez partes iguales ó en cualquier múl-
tiplo exacto de diez.

Los números fraccionarios decimales, son, pues,
un caso particular de los ordinarios.

A los números fraccionarios ordinarios en ge-
neral, se les da simplemente el nombre de que--
brados.

Un quebrado ordinario se representa por dos
números separados por una raya: escribiéndose

1 3
uno encima y otro debajo, así: — , — , y se lee
un quinto, tres quintos. 5 5

El número que está encima se llama numera-
dor, el que está debajo denominador y ambos se
llaman términos del quebrado.

El denominador expresa el número de partes
en que se considera dividida la unidad, y el nu-
merador, indica cuantas de aquellas partes con-
tiene el quebrado.

Para enunciar un número quebrado, se enun-
cia primeramente el numerador como si fuese en-
tero, luego el denominador agregando á este la
terminación avos si pasa de 10, y si fuese me-
nor que 10 se hace uso de los números partitivos.

12 3 4 6 7 8 9 8 25 75

Los quebrados — , — , — , — , — , — , — , — , — , — , — ,

2 3 4 5 7 8 9 10 13 138 364

— 121 —

se leen respectivamente un medio, dos tercios, tres
cuartos, cuatro quintos, seis sétimos, siete octavos,
ocho novenos, nueve décimos, ocho treceavos, veinti*
cinco ciento treinta y ochoavos, setenta y cinco tres-

1
cientos sesenta y cuatroavos; — expresa que la uni-

2
dad se ha dividido en dos partes ¡guales, de las

.2
cuales se ha tomado una sola; — indica que la

3
unidad se ha dividido en tres partes iguales, de

3
las cuales se han tomado dos; — representa la

4
unidad dividida en cuatro partes iguales y de ellas

8
tomadas tres; — expresa que la unidad se ha di-

13
vidido en trece partes iguales v que de ellas se

25
han tomado ocho; — indicn que la unidad se ha

138
dividido en ciento treinta y ocho partes iguales
y que se han tomado de est^s veittte v cinco; y

75
por último, — quiere decir que la unidad se con-

364
sidera dividida en trescientas sesenta y cuatro
partes iguales y que de estas se han tomado se-
tenta y cinco.

lis. En los quebrados puede ocurrir que
el numerador sea menor, igual ó mayor que el
denoiuinador; en el primer caso se llaman propios
en el segundo algunos les llaman aparentes, pero

— 122 —

verdaderamente deben llamarse impropios lo mis-
rao que los del tercer caso.

EJEMPLOS

3 25 136

— , — , — , etc. son quebrados propios.

5 3$ 495

6 8 34

— , — , — , etc. son los llamados aparentes,
6 8 34

36 25 45

— , — , — , etc. son quebrados impropios.
8 9 24

Los quebrados propios valen menos que la

4
unidad, como por ejemplo — ; porque como se ha

5
4
dicho antes — , quiere decir que la unidad se ha

5

dividido en 5 partes iguales, de las cuales solo

se han tomado 4, es decir, menos de la unidad.

Los quebrados llamados aparentes, representan

9

la unidad como — , que jexpresa haberse dividido

9
la unidad en 9 partes ¡guales y tomadas todas,
luego se toma la unidad.

Los quebrados impropios valen más que la
9
unidad por ejemplo — , el cual indica que la unidad
5

— 123 —

se ha dividido en 5 partes iguales de las cuales se
toman 9, es decir, que se han tornado las 5 que com-
ponen la unidad v otras 4 mas de otra unidad así

9
pues, el quebrado — vale más que dicha unidad,

5
por cuya razón se llama impropio, j

113. Teorema El cociente de una división indi-
cada puede expresarse por un qttebrado qice tenga por
numerador el dividendo y por denominador el divisor,

17
Digo que 17 : 5 es igual á — .

^ 5 •

Dividir 17 por 5, es hacer del 17 cinco partes
iguales, de modo que cada una de estas partes
valdrá la quinta parte de 17; la quinta parte de

1 ' 17

lino, es — , luego la quinta parte de 17 será — , asi
5 5

17
pues, 17 : 5 = — .
5

114:. Cociente completo. En toda división
inexacta se puede completar el cociente entero,
agregándole un quebrado que tenga por numera-
dor el residuo y por denominador el divisor.
Por ejemplo el cociente completo de 29:6 es
.5

4 H ; en efecto, el cociente entero de 29:6 es

6
4 y el residuo 5, el cual debe dividirse por 6, y
según acabamos de demostrar en el teorema an-

5
terior, 5:6 es lo mismo que — ; por consiguiente,

6

— 124

el (Mícíeiite completo de 29: 6, es igual á 4 -| .

6
1 1 5« Para sacar los enteros que contiene un
quebrado impropio, se divide el numerador por el
denominador.

36 37 2

Por ejemplo: — = 4; — = 7 + — . (113)
9 5 5

lio. Recíprocamente; para redv^cir un nu-
mero mixto, á quebrado impropio, se multiplica el
número entero por el denominador del quebrado; á
ese producto se le agrega el numerador, y al re
sultado se le pone por denominador el mismo del
quebrado.

4
Por ejemplo: 3 — digo que es iguala

5

3X5+4 19

5 o

5
porque la unidad vale — ; luego 3 unidades val-

5
5 15 4

dián 3 veces — , ó sean — y más -, que vale el
5 5 5

19
quebrado, forman —.
5

.117. Todo número entero pueda ponerse en
forma de quebrado, poniéndole por denominador
la unidad.

lí

8 15

Asi 8= — ; 15== — ; porque todo número di-

1 1

vidido por la unidad es igual al mismo número,
y ya hemos visto (113) que un quebrado no es
más que una división indicada,

1 18. También puede ponerse un numero en-
tero en forma de quebrado^ poniéndole por deno-
m.inador un número cualquiera y por num^erador
el producto del número dado por el denominador
elegido,

5X7 8x3

Por ejemplo: 5= ; 8= :

7 3

Porque un número no cambia de valor multipli-
cándolo y dividiéndolo al mismo tiempo por otro
cualquiera.

119. Si dos ó mÁs quebrados tienen un mis-
m,o denominador, será mayor el que tenga mayor
numerador,

4 6 3
Veamos; los quebrados — , — , —, tienen por

7 7 7
denominador el número 7, que quiere decir que la
unidad se ha dividido en todos ellos en 7 partes
iguales; los numeradores 4, 6 y 3, indican que en
el primer quebrado se toman 4 de estas siete par-
tes, en el segundo 6, y en el último solo 3; luego

6
es evidente que el quebrado — es el mayor por-

7
que se han tomado más partes que en cualquiera
de los otros dos.

ISO. Si dos ó más quebrados tienen iguales

— 126 —

los numeradores, será mayor el que tenga menor
denominador.

4 4
Sean por ejemplo los quebrados — y — ; en el

9 5
4
quebrado — la unidad está dividida en 9 partes

9
iguales de las cuales se toman 4; en el quebrado .
4

— , está dividida la unidad en solo 5 partes y tam-
5

1
bien se toman 4; pero — de unidad expresa ma-

5

1 4 4

yor porción de ella que — ; luej^o — es inavor que — .

9 5 ■ 9

LECCIÓN X

Otras propiedades de los quebrados

ISt. Tkohrma. Si el numerador de un qi^"
brado se multiplica ó divide por cualquier' número
entero, el qnehrado quedará rmútipUcado ó dividi-
do por el mismo número.
6
Rl quehraílo — por ejemplo, si se multipíica^el
7

12
numerador 6 por 2 se trasformará en — que es evi-

7

— 127 —

(5
dentemente 2 veces mayor que — , pues ambos se

7
refieren á séptimas partes de la unidad; pero en
uno se toman solo 6 de estas' partes mientras que
en el otro se toman 12, ó sea 2 veces más.

Del mismo modo demostraríamos que dividien-

3
do el numerador 6 por 2, él quebrado — que re~

7
6
sultaria, es la mitad del propuesto — .

7
ISS. Teorema. Si se multiplica ó divide el
denominador de un quebrado por un número ente-
ro cualquier a, el quebrado quedará, dividido en el
primer caso, y. multiplicado en el segundo por ese
fnism.0 nün^ero.

5
Sea el quebrado — : si se multiplica el deno-
8

5
minador por 2 se tendrá - que es la mitad de

16
5

— , porque el número de partes que se toman/
8

1
es el mismo en los dos quebrados, pero — es la
' 16

1
mitad de — pues representa una parte de la
8

5
unidad dos veces mas pequeña; luego también —

16

— 128 —

5
será la mitad rte — . Es decir, que multiplicando

8
el denominador de un <|uebrado por un número
entero, vemos que el quebrado queda dividido
por dicho número.

Si dividimos por 2 el denominador del mismo

5
quebrado propuesto, obtendremos — que es 2 ve-

4
5
ees mayor que — , lo cual se demuestra de un

8
modo análogo al caso anterior; luego dividiendo
el denominodor por un número entero cualquiera
el quebrado queda mulliplicado por ese número.

1S3. Teorema. El valor de un quebrado no
se altera, cuando se multiplican ó dividen sfis dos
términos por el mismo número,

5 5X4

D¡ií:o que — es igual á .

7 7X4

En efecto: al multiplicar el numerador 5 por el
número 4, se ha hecho el quebrado 4 vece*^ ma-
yor (191); al multiplicar el denominador 7 por
4, se hace el quebrado 4 veces menor (ISS).
Luego, en resumen, el quebrado no se ha alte-
rado, porque por una parte se hace tantas veces
niavor, cuantas veces menor se hace por la otra;
5 5X4 20

7 7X4 28*
Del mismo modo demostraríamos que dividien-

. ^^.. J

— 129 —

14
do los dos términos del quebrado — por 7, el

35
14:7

quebrado que resultaría tendría el mismo va-

35:7
lor que el primero es decir que:

14 14:7 2

35 35:7 5

Observación. Según se ha demostrado en el
número 113 el cociente de una división indicada,
puede expresarse por un quebrado. Así pues, un
quebrado n(x es más que una división indicada en
que el numerador es el dividendo y el denomi-
nador el divisor; luego todo cuanto acabamos
de demostrar respecto de los quebrados es tam-
bién aplicable á la teoría de la división cuyos
principios pueden enunciarse de este modo:

l.*^ Si se multiplica el dividendo por un nume-
ro entero, el cociente queda multiplicado por el
mismo numey^o.

2.^ Si el dividendo se divide por uno de sus
divisores, el cociente queda ditndido por el mismo
divisor.

3." Si se multiplica el divisor por un número
entero, el cociente queda dividido por el mismo
número,

4." Si se divide el divisor por uno de sus faC"
tares, el cociente quedará multiplicado por el mis-
mo número,

h»' Si se multiplican ó dividen, dividendo y

— 130 —

divisor ' por un mismo número entero, el cociente
no se altera.

1S4. Teorema. Sí se suma ó resta el mis-
mo número á los términos de un quebrado propio^
el quebrado aumentará en el primer caso y dis^
ninuirá en el segundo.

6
Por ejemplo el quebrado—, al cual vamos á

11
sumarle 5 unidades al numerador y otras tantas
al denominador, de modo, que obtendremos

6+5 11

11+5 16

11 6

y digo que - ea mayor que — .
16 11

6 5

Al quebrado — le faltan — para volver una un¡-
11 11

11 5

dad, y al quebrado — le faltan — para valer tam-
16 16

5 5

bien una unidad, pero— es mayor que --; (130).

11 ' 16

6
luego, al quebrado - le falta más para valer una
11

11
unidad, que al quebrado — ; por consiguiente, este

16
último es mayor que el primero, es decir, que

— 131 —

6 6+5

-< (•)

11 11+5

6 6—5

del mismo modo demostraríamos que— > .

11 11—5

Lo que se acaba de demostrar es solo cierto
respecto de los quebrados propios, pues en los
impropios sucede precisamente todo lo contrario;
es decir, que si se suma ó resta el mismo núme-
ro á los dos términos de un quebrado impropio,
el valor del quebrado disminuirá en el primer
caso y aumentará en el segundo.

17
Por ejemplo; si al quebrado — se le suman 6

9
unidades á los dos términos, se trasíbrmará en
23 17

— que digo es < — .
15 9

17
En efecto, el quebrado — rale una unidad v

9

8 23 8

— : el quebrado — vale una unidad v — ; pero

9 15 ■ 15

8 8 17

— es mayor que — (ISO), luego también —

9 ' 15 9

(•) El signo <que acabamos de emplearse llataa desigualdad, y co1í>-
cado en esa posición se lee mbnor qub y cuando se coloca invertido asi > ,

S« lee MAYOR QUE.

— 132 —

23
será mayor que — porque sobrepasa más el valor

15
de la unidad.

Del mismo modo demostraríamos que

17 17—6

9 9-6*

Reducción de quebrados á un común

denominado]^

1)«¿5. Reducir quebrados á un común deno-
minador es irasformarlos en otros equivalentes, cu-
yos denominadores sean iodos iguales.

Para reducir quebrados á un común denomi-
nador, se multiplican los dos términos de cada uno
por el denominador del otro si no fuesen más
que dos los quebrados, ó por el producto de los
denominadores de tos demás si pasasen de dos.

4 2 4X9 2X5
Asi, — y - son equivalentes a v ó

5 9 5X9 " 9X5
36 10

sean á — v — .
45 "^ 45

En efecto: hemos visto en el número 1S3, que
el valor de un quebrado no se altera multiplican-
do sus dos términos por el mismo número; luego el

4 4.9 36
quebrado — y el = — , son equivalentes, lo

— 133 —

2 2.5 10

mismo que el quebrado — y el = — ; pues no

9 9.5 45

se ha hecho más que multiplicar los dos términos

4
del primer quebrado — por 9, ó sea por el deno-

5
minador del segundo; y los dos términos del se-

2
gundo quebrado — , por 5 ó sea por el denomina-

9
dor del primero, cuya operación sabemos que no
altera su valor: luego pues, hemos trasformado los

4 2

quebrados dados — y — en otros equivalentes

5 9
36 10

— y — que reúnen la circunstancia de tener un
45 45

mismo denominador, el cual es igual al producto
de los denominadores de los quebrados propues-
tos.

2 4 7
Veamos ahora los quebrados — , - v — .

3 5 "^ í)

Multiplicando los dos términos del primer que-

2

brados — por 5x9; los dos términos del segundo
3

4 7

— por 3X9; y los dos términos c)el tercero —

5 9
por 3+5; resultará

- 134 -

2 2.5.9* 90

3 3.5.9 135

4.3.9 108 7 7.3.5

105

5.3.9 135 9 9-3.5

135

2 4
Es decir que los quebrados propuestos ~, —

3 5
7

V — , se han trasformado respectivamente en sus
9

90 108 105
equivalentes — , — y — , que tienen un común

135 135 135
denominador.

OTROS EJEMPLOS

1°. Reducir á un común denominador, los

3 6 8 7

quebrados — , — — y — .

5 11 15 9

3 3.11.15.9 4455 6 6.5.15.9 4050

5 5.11.15.9" 7425 11 11.5.15.9 7425

8 8.5.11.9 3960 7 7.5.11.15 6775

15 15.5.11.9 7425 9 9.5.11.15 7425

— 135 —

4455
Los quebrados dados se transforman en

7425
405(» 3960 6775

, y que tienen un común denomi-

7425 7425 7425
nador.

12 4 6 5
2". Los quebrados — , — , — , — y — :
2 3 5 11 9

1 3.5.11.9 1485 2 2.2.5.11.9 1980

2 2.3.5.11.9 2475 3 3.2.5.11.9 2475

4 4.2.3.11.9 2376 6 6.2.3.5.9 1620

5 5.2.3.11.9 2475 11 llJá.3.5.9 8475*

5 5.2.8.5.11 1650

9 9.2.3.5.11 2475
Luego los quebrados propuestos son equivalentes á
1485 1980 2376 1620 1650

y

2475 2475 2475 2475 2475

que tienen un común denominador.

3». Así veremos tambián que los quebrados

12 7 8 1 3

5 3 15 13 4 7
se trasforman respectivamente en

— 136 —
13860 54600. 38220 50400 20475 35100

81900 ' 81900 ' 81900 ' 81900 ' 8190o' 8190o'

Observación. Si los denominadores de los que-
brados que se proponen para reducir á un nnis-
mo denominador tienen factores comunes, la ope-
ración puede siinpliflcarse estudiando porque nú-
mero conviene multiplicar los dos términos de
cada quebrado, para que todos tengan igual de-
nominador.

Por ejemplo: los quebrados

4 13 7

5 ' 2 ' lo' 15

Obsérvase que si se multiplican los dos tér-

4
minos del primer quebrado — por 6; los del se-

5

1 3

gundo — por 15; los del tercero — por 3 y los

2 10
7

del cuarto — por 2, se transformarán respectiva-

15
mente en

24 15 9 14

30' 30' 30' 30

que son equivalentes á los primeaos y tienen por
común denominador al número 30 que es mucho
más simple que el producto de todos los deno-
minadores

— 137 —

De un modo análogo hallaremos el común de-
nominador de los quebrados

7 3 8 13

15' 5 ' 9 45

En los cuales se observa que el denominador
45 es un múltiplo exacto de 15, 5 y 9, por con-
siguiente puede tomarse por común denominador,
para lo cual bastará multiplicar los dos términos

7 3

del primer quebrado — por 3; los del segundo —

15 5

8
por 9, j^ los del tercero — por 5, con lo qup se

9
convertirán en

21 27 40 13

45' 45' 45' ' 45

cuyos quebrados son respectivamente equivalentes
á los primeros y tienen un común denominador.

LECCIÓN XI

Simplificación de los quebrados^

ISG. Simplificar un quebrado, es trasformar'-
le en otro equivaleníe^ qus tenga tnei^ores términos,

'125T?. Para simplificar un quebrado, el único
medio que puede emplearse es la división de los

— ]:i8 —

dos términos por un misnio número entero que los
divida exactamente, con lo que no se altera el va-
lar de éste(lS3). Así pues, empezaremos la sim-
plificación dividien lo los dos términos del
quebrado por 2, todas las veces que se pueda,
luego por 3, por 5, etc., hasta qne no pueda re-
ducirse más, porque no se encuentren números que
dividan exactamente al numerador y denominador.
Pero, como no todos los números son divisibles
exactamente por 2, 3, 5, etc., y á fin de no per-
der tiempo en divisiones inútiles, vamos á expli-
car ligeramente la divisibilidad de los números,
con cuyo conocimiento se facilita mucho la simpli-
ficación de los quebrados.

Divisibilidad de los números

1 S8. Un número es divisible por otro si con-
tiene á éste un número exacto de veces.

Llámase divisor ó factor de un número, á todo
número que le divide exactamente.

Por ejemplo, 5 es divisor ó factor de 20, porque
20:5 da de cociente exacto 4. A los factores ó di-
visores de un número también se les llama sub-
múltiplos de dicho núinero; de modo qne 4 y 5
son factores ó submúltiplos de 20; y 20 es á su vez
múliiplo de de 4 y 5.

ISO. Un número puede teñera la vez varios
divisores ó factores, como por ejemplo^ el número
180 es divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12,
15, 18, 20, etr..

1 30. Se llama número prim.0, el entero que
solo es divisible por si mismx) y por la- unidad.
Así los números 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

— 139 -

23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 57, 61, 67, 71, 73,
79, 83, 89, 97 son primos.

Se dice que dos números son primos entre si
cuando no tienen más factor común que la uni-
dad.

Los números 9 y 16 son primos entre sí.

Consecuencias. De las definiciones que hemos
dado de los números primos se deduce:

P. Que si un número primo no divide á otro
número cualquiera, los dos son primos entre si

En efecto, como que el número primo solo es
divisible por sí mismo, si no divide al otro, no
tendrán más factor común que la unidad, Juef^^o
serán primos entre sí.

2". Dos núm,eros primos son primos entre si.

131. Llámase cifra par á cada uno de los
guarisfnos 2, 4, 6 y 8, que son divisibles exacta-
mente por 2, y se llama cifra impar á cada uno
de los i!:narismos 1, 3, 5, 7 y 9 que no son divi-
sibles por 2.

133. Teorema. Todo número divisor de otros
dos ó más, divide exactamente a la sum.a de éstos.

El número 5 es divisor de los números 35, 20
V 45, v íli.^^o que también es divisor de la suma
35+20+45.

En efecto:

85 = 7 veces 5
20 = 4 veces 5
45 = 9 veces 5

Ahora sumando ordenadamente esta igualdad
tendré. nos, 35+20+45=(7+4+9) veces 5, luego
vemos que la suma contieííe un número justo de

— 140 —

veces al 5, así pues, es divisible por dicho núme-
ro.

Consecuencia. Si un número divide eosactamen-
le á otro, divide también á un múltiplo cualquiera
de éste.

El numero 7 divide exactamente al número 28,
y tendrá que dividir á cualquier múltiplo de 28;
por ejemplo, á 28X6: porque sabemos que mul-
tiplicar 28 por 6 es tomar el número 28 seis veces
por sumando, y como el número 7 divide á todos
estos sumandos tendrá que di/idir á la sama, se-
gún acabamos de demostrar.

i 33. Teorema. Un número es divisible por 2,
cuando termina en O ó cifra par, y lo es por 5
cuando termina en O ó 5,

El número 370 digo que es divisible por 2 y
por 5 porque termina en 0.

En efecto: 370=37X10, el 2 y el 5 dividen
exactamente al número 10, pues, son sus factores
luego dividirán á 37 veces 10 ó sea al «úmero 370.

Ahora, de los números 136 y 325, digo: el pri-
mero es divisible por 2 porque termina en cifra
par, y el segando lo es por 5 porque termina en
5: en electo:

136=130+6; y 325=320 + 5, es decir: que 13G
se compone de los sumandos 130 y 6, ambos di-
visibles por 2, el primero porque termina en O y el
segundo por ser cifra par; luego, la suma 136
•también será divisible por 2 (13S).

Del mismo modo demostraríamos que 325 es
divisible por 5, porque se compone de los suman-
dos 320 y 5, que lo son, y, por consiguiente, la
suma también debe serlo.

1 34. Teorema. Un número es divisible por

sit^

- 141 —

9 ó por 3, cuando la suma de los valores abso-
lutos de sus cifras es divisible por 9 ó por 3.

Tenemos que:
10=9+1 ; 100=99+1 ; 1000=999+1 ; 10000=9999+
1 ; etc., luego vemos que la unidad seguida de ce-
ros es igual á un múltiplo de 9+1.

También observaremos que 5000, por ejemplo,
es igual á 1000x5 y como 1000 es igual á un
múltiplo de 9 más 1, 5000 se compondrá de 5
veces múltiplo de 9, más 5 veces 1, es decir, que
será igual á un múltiplo de 9 más 5; y como lo
mismo podríamos demostrar de otro numero dígito
cualquiera seguido de uno ó más ceros, podemos ase-
gurar que toda cifra significativa, seguida de cual-
quier número de ceros, es igual á un múltiplo de 9\
más el valor absoluto de dicha cifra.

Demostrado esto, se puede considerar todo nú-
mero como compuesto de diferentes múltiplos de
9, más la suma de los valores absolutos de sus
cifras; luego, si .esta última parte es divisible por
9f> por 3, como los múltiplos de 9 lo son (13S.
cor.), lo será también el número propuesto (132).
Por' ejemplo, el número 5241 es divisible por
3, porque:

5000 = múltiplo de 9 + 5

200 = » * 9 + 2

40 = >) ^ 9 + 4

1 = » > 1

5241 = múltiplo de 9+12

luego el número propuesto vemos que se compo-
ne de dos sumandos, uno múltiplo de 9 que es divi-
sible por 3, y el otro 12 que también es divisible

— U2 -

por 3, asi piies, la suma ó sea el iiáinero dado
también U) será (13S).

Del mismo modo veremos que ol número 6057
es divisible por í), |KH-iiite

6()00 = múltiplo de 9+6
50 =r » » 9-J-5

7 = » » 7

6057 = múltiplo de 9 + 18

es decir, que los dos sumandos de que está com-
puesto el número 6057 son divisibles por 9, luego,
la suma ó sea el número propuesto también lo se-
rá (138).

135. Teorema. Un número es divisible por-
4 ó por 25, cuando sus dos ultimas cifras de la de

recha son ceros ó componen un múltiplo de 4 ó de
25.

Así pues, el numero 2300 digo que es divisible
por 4 y por 25 porque termina en dos ceros;| en
efecto, tenemos que

2300 = 23X100

100 es igual á 4X25, es decir, que es divisible
por 4 y por 25, luego, 23 veces 100 6 2300, tam-
bién lo será (132 cor.).

Así los números 4516 y 3275 son divisibles por
4 el primero y por 25 el segundo, porque el pri-
mero 4516, es ij^ual á 4500+16, el primer su-
mando 4500 es divisible por 4, y el segundo 16
también lo es, luego la suma lo será también (1 3íÉ).

Del mismo modo demostraremos que 3275 cu-
yas dos últimas cifras de la derecha componen un
múltiplo de 25, todo el número lo es también por
que 3275 = 3200+75 v como los sumandos 3200

— 143 —

y 75 son divisibles por 25, la suma 3275 lo será
igualmente (1 3S).

1 36. Teorema. Un número compuesto de m,ás
de tres cifras, es divisible por 8 ó por 125, siempre
que termine en tres ceros ó que las tres últimas ci'-
fras de la derecha formen un número divisible por
8 ó por 125.

En efecto, los millares son siempre divisibles
por 8 y por 125 porque 125X8=1000, y como
cualquier número que tenga más de tres cifras
puede descomponerse en millares, centenas, de-
cenas y unidades, si el conjunto de sus centenas,
decenas y unidades es divisible por 8 ó por 125,
todo el número también lo será.

Por ejemplo: el número 31000 es divisible por
8 y por 125 porque

31000 = 1000X31

el número 1000 sabemos que es divisi4)le por 8 y
por 125^ luego, también lo seí'á 31000 que es un
múltiplo de 1000 (13» cons,)..

Veamos ahora el número 4120 cuyas tres úl-
timas cifras de la derecha forman el número 120
que es divisible por 8, y digo que todo el núme-
ro 4120 también será divisible por 8, porque

4120 ==4000-4-120

4000 por terminar en tres ceros es divisible por
8 según lo acabamos de demostrar, y 120 también
lo es por hipótesis, luego la suma 4120 será igual-
mente divisible por 8 (132).

Del mismo modo se demuestra que el número

— 144 —

61375 es divisible por 125, porque lo es el forma-
do por sus tres últimas cifras de la derecha.
En efecto, tenemos que

61375 = 61000+375

el número 61000 por terminar en tres ceros es
divisible por 125, el otro sumando 375 también lo
es por hipótesis, luego, la suma ó todo el núme-
ro 61375 también lo será (132).

137. Teorema. Un número es divisible por
íf, ciuindo la diferencia entre la suma de sus ci-
fras de orden impar y la suma de las de orden par
es cero ó un múltiplo de 11.

Para demostrar este teorema tenemos que pro-
bar:

P. Qwe todo número formado por una cifra
significativa seguida de un número par de ceros,
es igual á un múltiplo de 11, más el valor abso-
luto de dicha cifra.

2^. Que todo númsro formado por una cifra
significativa seguida de un numero impar de ceros,
es igual á un múltiplo de 11, m^nos el valor ab-
soluto de dicha cifra.

1°. Por ejemplo, el número 50000: vamos á pro-
bar que es igual á un múltiplo de 11, más 5.

Tenemos que

50000 = 10000X5,

pero 10000 es igual á 9999+1, luego, sustituyen-
do este valor en la anterior igualdad resultará

50000 = (9999+1) X5,

— 145 -

practicando ahora la multiplicación indicada, para
lo cual, teniendo presente lo que se ha dicho en
el numero 43, bastará multiplicar cada sumando
por 5 y sumar estos productos parciales. Así:

50000 = 9999X5+5:

obsérvase ahora que el número 9999 tiene tantos
nueves como ceros tiene el número dado, j^ es evi-
dente que esto siempre sucederá, cualquiera que
sea el numero de ceros que acompañen á la cifra
propuesta; luego, cuando el número de ceros sea
par, también será par el número de nueves, y cuan-
do el número de ceros sea impar, lo mismo lo se-
rá el número de nueves.

En el caso presente el número de ceros es par
y por consiguiente también lo es el número de nue-
ves, pero 99 es divisible exactamente por 11, lue-
go pues, un número compuesto de un número par
de nueves, también lo será.

Asi pues, 9999 es divisible por 11, lo mismo que
9999x5 (13S cons.), luego el número 50000 se com-
pone de un múltiplo de 11 más el valor absoluto
de su cifra significativa.

2^. Sea el número 400000 y vamos á demostrar
que es igual á un múltiplo de 11, menos 4.

El númerí) 400000 es igual á 40000X10; pero,
según acabamos de probar 40000 es un múltiplo
de 11+4; luego

400000=(múltiplo dell+4)X10,

efectuando la multiplicación y escribiendo m. en
lugar de múltiplo, tendremos

146 —

iOOOOO=m. de 11X10 + 4x10; pen» 4x10=10x4
=(11 — 1)4=11x4— 4; y sustitnyeinln este valciren la
«nteiiín- iííualdad veremos que

400000 = m. de 11X104-11X4—4

y observando que inultipln de 11 multiplicado por
10 más 11 por 4 componen un múltiplo de 11, ten-
dremos por fin que 400000 = m de 11 — 4.

Demostrados estos dos punU>s, vamos á ocupar-
nos de la demostración del teorema propuesto.

Así, el número 73524=70000+3000 + 500 + 20+4
y según lo que acabamos de demostrar tendremos
que

70000=m. de 11+7,

3000=m. de 11—3,

500=m. de 11+5,

20=m. de 11-2,

4= 4,

ahora sumando ordenadamente los d^)S mié nbros
de estas igualdades y observando que m. de 11 +
m. de W^m, de W^m, d^ 11, componen un múl-
tiplo de 11, resulta que 73524 = m. de 11 + 4 + 5+
7—2 — 3; pero, restar primeramente 2 unidades de
este resultado y después 3, equivale á restar 5, es
decir, 2 + 3: luegí>

73524 = m, de U +4+5-h7--(2+3).

Cuyo resultado nos demuestra que, todo núme-
ro se compone de un múltiplo de 11 más la suma
de los valores absolutos de las cifras de orden im-
par, menos la suma de los valores absolutos de las

^afe^.

— 147 —

cifras de orden par] liíego si esta diferencia es ce-
ro, 11 ó múltiplo de 11, el número dado será di-
visible por 11 porque se puede considerar como
compuesto de dos partes divisibles por 11.

Ejemplo. P. El número 354321. La sunva de
los valores absolutos de las cifras de orden impar
es 1+3+5=9, y la de las cifras de orden par es
2+4 + 3=9; la diferencia de estas sumas es O lue-
go, el número propuesto es un múltiplo exacto de 11.

2". El número 846252. La suma de los valo-
res absolutos de las cifras de orden impar es 8 y
la de las cifras de orden par es 19; la diferencia
de estas dos sumas es 11, luego el número dado
es divisible por 11 porque se compone de un múl-
tiplo de 11 menos 11.

3^. El número 9353817. La suma de los valores
absolutos de las cifras de orden impar es 7 + 8+5
+ 9=29, y la de las cifras de orden par es 1+3 +
3=7 la diferencia de estas dos sumas es 22, lue-
go el número es divisible por 11, porque se com-
pone de un múltiplo de 11 más 22 que también es
divisible qor 11 (133i).

1 38. Se dice que un quebrado es irreduci-
ble, cuando está reducido á su menor expresión, es
decir, cuando no pueden ser más pequeños sus
términos.

1 39. Teorema. Un quebrado irreducible tiene
sus dos téy^minos primos entre si.

Porque si no fuese así, tendrían algún divisor
común diferente de la unidad, el cual podría eli-
minarse dividiendo los dí»s términos por aquel di-
visor con lo que el ouebrado no seria irreducible,
lo íjue es contra la hipótesis.

14tO. Regla. Para simplificar un quebrado^

— US.—

se dividen sucesivamente sus dos términos por todos
los factores comunes que ellos tengan

Simplificanse los siguientes quebrados:

3960 21)70 9488

27720 10395 4"

"190'

El

K;

3960

396

19^

99

11

1

27720

2772

1386

693

77

7

Los dos términos del primer (jiiebrado son divi-
sibles por 10, por terminar en O, así pues sacan-

396

dolé este factor se trasforma en cuyos dos tér-

2772
minos son divisibles por 2 por terminar cada uno
de ellos en cifra par, sacando este factor tendremos
198

, cuyos dos términos son también divisibles

1386

por 2; sacándole este factor quedará el quebrado

99
reducido á — , el cual es á su vez divisible por
693

1
9 y por 11, quedando por último reducido á — .

7

2'. El segundo quebrado se simplifica asi:

2970 990 J98 22 2

10395 3465 693 77 7

*ü^_

— 149 —

Hemos dividido ios dos términos del quebrado
propuesto, sucesivamente por 3, 5. 9 y 11 resultan-

2
do por último el quebrado — que es irreducible.

7
3". Divídase sucesivamecte por 2, 3, 11, 11 y
13 y quedará reducido á su última expresión. Así:

9438 4719 1573 143 13 1

47190 23595 7865 715 65 5

LECCIÓN XII

Cálculo de las fracciones ordinarias

ADICIÓN

141. En la adición de los quebrados pueden
distinguirse tres casos.

P. Swnar qvsbrados con quebrados.

2^. Sumar un entero con un quebrado, ó un que-
brado con un entero.

3". Sumar números mixtos.

1 4:!8í. l®^ Caso— Al tratar de la adición de los
números enteros dijimos (45), que no se podían
adicionar sino las unidades de una misma especie;
asi pues, para sumar quebrados se empezará po^^
reducirlos todos a un común denominardor (195),
luego se sumarán los numeradores, y á esa suma

— 150 —

$e le pondrá por dfmominador el denominador co-
mún.

1 3 2
Por ejemplo, súmese — — — ;

2 4 5

Reduciendo estos quebrados á un común deno-
minador tendremos que se trasformarán en

20 30 16

40 40 40'

cuyos quebrados representan cada uno cierto nú-

1
mero de — luego la suma será evidentemente igual á

40

'20+30+16 66

40 40

66
El quebrado — que ha resultado es impropio v
40
siempre que en alguna operación se obtengan que-
brados de esta clase, convendrá sacarle los ente-
ros que contenga (115); y por último se simpli-
fica, cuando se pueda, el quebrado que resulte.

66
Así, en el ejemplo anterior el quebrado - que

40
representa la suma de los quebrados propuestos,
se le pueden sacar los enteros y simplificar el que-
brado, restante.

60 26 13

40 40 20

— 151 ~
Otros ejemplos para sumar quebrados

3 5 11
1". Veamos los quebrados — — —

7 21 35

Empezaremos por reducir los quebrados pro-
puestos á un común denominador para lo cual ob-
servaremos que el número 105 es divisible exacta-
mente por los denominadores 7, 21 y 35; pues con-
tiene al primero 15 veces, al segundo 5 y al ter-
cero 3 veces, luego, el número 105 nos convendrá
elejirlo para común denominador (ISSobs.), asi
pues, multiplicaremos los dos términos del quebra-

3 5

do - por 15: los dos términos del — por 5, y los

7 21

11
dos términos del quebrado — por 3, con lo que se

35
trasformarán en los siguientes

45 25 33

— + — + — ;

105 105 105

que son equivalentes á los propuestos (133), y
tienen un común denominado, luego la suma será

45+25+33 103

105 105

2 5 4 7 9

2^. Sean los quebrados — I [-— ^-| 1 — ; los

3 ' 9 5 11 16

— 153 —

cuales i-educidos á un común denominador se tras-
formarán en

15840 9200 19008 15120 13365

+ + + -+ =

23760 23760 23760 23760 23760

72533 1253

23760 23760

4 10 8 15

3". Los quebrados — — . _ _; reducidos á

5 15 25 16

un común denominador se trasformarán en

24000 20000 9600 28125 81725 21725

+ + + =- =2 =

30000 30000 30000 30000 30000 30000

4345 869

2 =2

6000 1200

12 4 5

4". Súmense los quebrados — | 1 1 — :=

2 5 5 8

200 160 320 250 930 130 65 13

400 400 400 ' 400 400 400 200 40

1 43. 2°. Caso— Para sumar un número ente-
ro y un quebrado ó un quebrado con un entero, ó
sea para reducir un número mixto á quebrado.

— 153 —

hemos visto (1 lO) que se multiplica el entero
por el denominador, al producto se le agrega el
numerador, y á esta suma se le pone por denomi-
nador el denominador del quebrado.

3
Súmese 5 + - ;

7

5X7 35

I^os 5 enteros son equivalentes á «= — , lue-

7

go la suma será

3 5X7 3 38

7 7 7 7

Del mismo modo se practican las siguientes su-
mas:

2 9x3+2 29 5 12X6+5 77

9 + _= =_ ; 12+-= =—

3 3 3 6 6 6

7 6X11+7 73 5 77

11 11 ll' 9 9

14:4:. 3®^ Caso— Para sumar números mixtos,
se suman los quebrados y luego los enteros, agre-
gando á estos los que resulten de la suma de aque-
llos, ó también pueden reducirse los mixtos á que-
brados y proceder como en el primer caso.

- 154 —

3 6 5
Así los números 5 — (- 8 —-\ — .

4 7 8

Sumando primeramente los quebrados tendre-
mos que

3 6 5 168 192 140 500 250

4 7 8 224 224 224 224 112

125 13

56 56

La suma de los enteros es 5+8 + 9=22, cuya

13
suma agregada á la anterior 2— de los quebrados

56
13
dará 24 — , que es evidentemente la suma de los

56
números mixtos propuestos.

Reduciendo los mixtos á quebrados obtendre-
mos el mismo resultado, asi:

3 6 5 23 62 77
5 — + 8 — + 9-=— + — + —

4 7 8 4 7 8

y reduciéndolos á un común denominad ,r tendre-
mos

- 155 -

1288 1984 2156 5428 52 26
224 224 224 224 224 112

13

- 24 —

56

De modo qne como antes hemos visto la suma

13
de los números mixtos propuestos es igual á 23 —

56
Es más sencillo el primer método que el segun-
do, asi es que en la práctica se emplea siempre
el primero, disponiendo la operación como en los
ejemplos siguientes:

1

5
3 —

7

93
26 —
140

280

560
400

560

3

8 — ...
4

420

' ' "560

7
9 — . . .
10

392

" " 560

1492
560

3

8 ~

5

2

6 — ,

3

1
4 —
10

9

12-

11

61
23 —
330

990

1650
1100

1650
165

1650
1350

1650

3605
1650

150 —

Puede también disponerse la operación así:

4

12—

5

48

2

19—

3

40

3

10—

4

45

6

27-

15

24

60

37

70—

60

157

37

37

2 —
60

PROBLEMAS

145* 1". Un niño ha empleado 1 — horas en

3
3
estudiar la lección de historia, — de hora para la

4
25
lección de aritmética, 1 — horas para la lección

60
de gramática, ¿cuánto tiempo ha empleado para
estudiar las tres lecciones?

2°. En un estanque concurren cuatro cana-

157

les conduciendo agua: el primero necesita 17 ho-
ras para llenarlo, el 2^. emplea 36, el tercero ne-
cesita 48 y el 4.° solo emplea 12; ¿en una hora
qué parte del estanque llenan los cuatro canales?
3."* Cuatro al bañiles trabajan en una obra;

1
uno hace 2 — metros de pared por día, otro 1

2

8 3

— , el tercero hace 2 — y el último solo hace

9 4
1

1 — ; ¿cnántos metros de pared hacen por día en-

3
tre los cuatro?

4.<* Cinco personas se comprometen á hacer
una escavación, la primera dice que necesita 8
días para concluirla, la segunda asegura no ne-
cesitar mas de 7, la tercera necesita 5, la cuarta
se compromete á hacerla en 6 días, y por últi-
mo la 5 dice que no puede hacerla en menos de
9 días.

¿Que parte de la obra harían en un día, si
trabajasen reunidas las cinco personas citadas?

LECCIÓN XIII

Sustracción de los quebrados
ordinarios

140. En la sustracción de los quebrados
pueden ocurrir tres casos: í<*. restar un quebrado

- 158 —

de otro: 2.'* restar un qvshrado de un entero: 3*".
restar números mixtos,

14T?. 1.**' Caso Como no pueden restarse
unidades de diferente especie resulta que

Para restar quebrados se reducen primeramen--
te á un común denominador. Se resta el numer^a^
dor menor del mayor, y á la diferencia se le pone
por denominador, el denominador común.

1 6 2 11
Por ejemplo, réstase — de—, y — de — : ten-
dremos que: 5 11 3 12

6 1 30 11 29

11 5 55 55 55*

11 2 33 24 9 1

12 3 36 36 36 4

14:8. 2.^ Caso Para restar un quebrado pro-
pió de un entero, se toma del entero una unidad,
la qite se pone en forma de quebrado cuyo deno^
minador sea igual al denominador del quebrado
sustraendo (118) sq resta este del quebrado asi
formado, y la diferencia se une al entero rebaján-
dole una unidad.

5
Por ejemplo restemos — de 12; tenemos que:

8
5 8 \5 3

12 = 11 = 11 — .

8 8 8 8

-- 159 —

3
Réstase — de 15.

7<

3 7 3 4

15 = 14 = 14 —

7 7 7 7

t 4^9. S.*"" Caso — Para rentar números mixtos,
se resta el quebrado smtraendo del quebrado mi-
nuendo, y el entero susiraendo del entero minuendo;
la reunión de estos dos restos fcrma la diferencia total.

Si el quebrado sustraendo fuese mayor qtie el
quebrado minuendo, se agrega á éste una unidad
y otra al entero sustraendo, para que la diferen-
cia no se altere (54).

1 7

Restar 3— de 8 — ; la operación se dispone así:
5 9

7 35

8— —

9 - 45

1 9

3— —

5 45

26 26

5— -

35 35

4 2 7 2
Restar 6— de 15 —; y 8— de 23 — .

5 7 11 5

— 160 -

2

10

45

2

22

77

15-...

... — ..

. . —

23—...

.—

, ^-—

7

35

35

5

"f55 "

'*55

4

28

28

7

35

35

6 — ...

. . . — . .

. . —

8—..

... — .

. .

5

35

35

11

55

55

17

17

42

42

8 — . ..

14- ...

___

35

"35

55

"55

PROBLEMAS

150. P. Un estudiante emplea todos los días
3

2 horas y — para estudiar sus lecciones; tiene 5 ho-

4

35 45

ras de clase, gasta 1— para almorzar 1— para co-

60 60

mer y, por último, destina 3 horas para recreos.
¿Cuánto tiempo le queda para dormir?

3 4
2^. Juan tiene 12 años y — ; Pedro solo tiene 9 — ;

4 5
¿cuántos años más tiene Juan que Pedro?

3^. Entre 3 obreros hicieron respectivamente

3 2 4

— , — y — de una obra; ¿qué porción de la obra
11 13 7
falta para hacer?

4°. Un depósito de agua se llena por medio de
unos conductos en 5 horas y por otros se vacía en
8; estando abiertos los dos conductos, ¿qué porción
del depósito se llenaría en una hora?

.:^aí¡k_ J

- 161 —

5°. Dos trenes han salido al mismo tiempo de
una estación y caminan en igual dirección; pero
uno corre con una velocidad de 1560 kilómetros
por día, mientras que el otro solo recorre 1000.
Al cabo de una hora de viaje ¿á qué distancia se
hallarán uno de otro?

7®. Un comerciante compró 17 carradas de
maíz, conteniendo cada una 9 hectolitros, por 180
pesos; y otras 23 carradas, conteniendo cada una
12 hectolitros, por 250 pesos. ¿Cuál es la diferen-
cia de precio del hectolitro de maíz?

LECCIÓN XIY

Multiplicación áé , los quebrados
ordinarios.

151. En la multiplicación de quebrados se
distinguen tres casos:

1^. Multiplicar un qv/ébradopóf^ un entero ó un
entero por un quebrado] 2^. multiplicar un quebra-
do por otro; 3". multiplicar números mixtos.

6

152. P^ CASO.--^Multiiilicar — por 5.

11

6 6 6 6 6 >6 6x5 30

11 11 11 11 i 11 11 11 11

— 162 -
De la tnisma manera veremos que
6 5X6 30
11 11 11*

6
Porque el multiplicador — , representa 6 veces

11
la onzava parte de la unidad; luego, el producto
se hallará tomando 6 veces la onzava parte del
multiplicando 5 (OO).

5
Pero la onzava parte de 5 es — ; luego, 6 veces

11
este número formará el producto pedido 5X6

11

De donde se deduce que para multiplicar un qi^--
brado por un entero ó viceversa^ se multiplica el nume-
rador por el entero^ dejando el mismo denominador.

5 3

153. 2". Caso.— Multipliqúese— por — .

7 4

Según la definición que hemos dado de la mul-
tiplicación (60), el producto que buscamos debe

5
ser respecto al quebrado — , lo que el quebrado
3 7

— es respecto á la unidad.
4

3
El multiplicador — representa las tres cuartas
4
partes de la unidad. lluego, el producto será igual

— 163 -

3 5
á los — del multiplicando — .

4 7
1 5

Ahora bien, — de — es evidentemente 4 veces
4 7

5
menor que — ; así, pues, su valor lo hallaremos mul-

7
tipiicando el denominador por 4 (18S). Luego,
15 5 3 5

— de — será igual á — y los — de — que busca-
4 7 7.4 4 7

mos, se obtendrán multiplicando por 3 el valor que
1 3 5

hemos hallado para — . Así, será — . de — igual á

4 4 7

5 5.3 3 5

— X3= — , y como los — de — es el pntducto de

7.4 7,4 4 7

5 3

— por — , tendremos, por último, que
7 4

5 3 5.3 15

7 4 7.4 28*

De donde se infiere que

Para multiplicar un quebrado por otro, sé mul-
tiplican los num^adores, y después los denomina^
dores, formando el primer producto el numerador
y el segundo el denominador del quebrado que se
busca.

Así:

— 164 —

6 4 6.4 24 8

7 9 7.9 63 21

4 3 4.3 12 6 1

9 8 9.8 72 36 6*

1 54* ^/ producto de dos quebrados no se al-
tera, aunque se invierta el orden de ellos: pues el
producto tendrá siempre por numerador el pro-
ducto de los numeradores de los factores, y por
denominador el producto de sus denominadores; y
estos productos serán siempre iguales, cualquiera
que sea el orden de sus factores (GG).

De modo que

4 3 4.3 3.4 3 4

5 7 5.7 7.5 7 5*

de donde resulta que

4 3 3 4

5 7 ""7' 5*

155. Para multiplicar varios quebrados, se
multiplican los numeradores y los denominadores
respectivamente entre siy y se divide el priw,er pro-
ducto por el segundo.

3 5 4 6

Por ejemplo, multiplicar — X— X — X— > digo

4 8 7 11

que es igual á

— 165 —
3.5.4.6

4.8.7.11

3 5

En efecto, el producto de — X— > ^s igual á

4 8
3.5

— ; luego, el producto de los tres primeros que-
4.8

3.5 4 3.5.4
brados será igual á — -X— = : y el produc-

4.8 7 4.8.7

3.5.4 6 3.5.4.6
to. de los cuatro quebrados será X — = •

4.8.7 11 4.8.7.11
Luego, tendremos que:

3 5 4 6 3.5.4.6 260 180 90 45

4 8^7 11 4.8.7.11 2464 1232 616 308*

1 5G. Quebrado de quebrado. Se llama que-
brado de quebrado^ el numero que se compone de
parte ó partes iguales de otro quebrado.

Por ejemplo: la tercera parte de cuatro quin-
tos, tres cuartos de siete octavos, cinco novenos
de once treceavos etc., son quebrados de quebra-
dos.

El valor de un quebrado de quebrado se halla
fácilmente multiplicando entre si ios quebrados
que le forman

3 5

Así: - de — , digo qué es lo mismo que

8 7

— 166 -

3 5 3.5 15

8 7 8.7 5()

3 5

En efecto, — de — , que es lo mismo que
8 7

15 15

tomar 3 veces — de — : tomar — de - equivale á

8 7 8 7 ,,

5 5 '■

hacer — 8 veces menor, y será igual á — (12S)

7 ' 7.8
3 5

y los — se obtendrán haciendo el número- — , 3- ve-

8 7.8
3 5 5.3

ees mayor: es decir que — de — es igual á — ,

8 7 7.8

3.5
ó sea á — , que es lo queríamos demostraf.
8.7
15*7. Observación. En la multiplicación de
5 3 5X3

— X — (153), hemos visto que su producto

7 4 7X4

3 5
representa los — de — ; luego, es menor que el

4 7
5

factor — , y como el orden de los factores no al-

7
tera el producto, también vemos que éste repre-

5 3
senta los — de — ; luego, también es menor que

7 4

.■ a

— lÜT -

3
— ; con Idéntico racionio probaríamos lo mismo res-

4

pecto á otros dos quebrados propios cuaiesqiiio-
xa, es decir que, el producto de dos qvabrados pro-
pios, es menor que cada~ uno de los factores que lo
forman.

•15S. 3''^ Caso.— Para muUipliear números
micctos se reducen primeramente los mixtos á qtie-
brados . impropios (116) y, luego se procede como
se ha explicado para los casos anteriores.

EJEMPLOS

2 3 37 35 1295 7

1°. 5 --X4 =— X— = =23- :

7 8 7 8 56 56

1 2 7 17 119 14

2°. 2 -X3— =— X-= — =7-:

3 5 3 5 15 15

3 5 3 47 141 1
30. _ 6X -=.-X-= = 5 - :

4 7 4 7 28 28

6 28 252 10

4°. 9X2 — = 9X — — — =22— .
11 11 11 11

PROBLEMAS

3
1°. — de una manzana de terreno, costaron

7

— 168 -

524 pesüs; ¿cuánto costaría una manzana entera?
5 :

2». — de kilogramo de un metal fino, á ra-
9
zón de 150 pesos el kilogramo, ¿cuánto importan?
3°. Un jornalero que gana 25 reales diarios,
2
trabajó 8 días y — , ¿cuánto ganó?
5
4"'. Se contrató con un albañll uya obra en 635
7 6

pesos — ; pero solo pudo hacer — de dicha obra,

10 11

¿cuánto le corresponde cobrar?

5 8

5°. ¿Cuánto serán los — de — de peso?

7 13
4
6°. Se compraron 36 — metros de tela; á ra-

7
3
zón de 2 pesos y — el metro, ¿cuánto importó la

5
tela?

8 6

7". ¿Cuántos dias representan los — de — de

9 7
3

— de año, en el supuesto de que el año tiene 365

4

dias?

LECCIÓN XV

División de los quebrados ordinarios

159. La división de los quebrados compren-
de cuatro casos.

P. Dividir un queh^ado por un entero; 2^. di-
vidir un entero* por un' quebtado'^'i''. dividir un
quebraúa por> otro; 4^. dividir números mixtos.

leO. 1*'. Caso. Para dividir un quebrado por
un entero^ ya se ha visto (122) qu^ basta mul-
tiplicar el denominador por' el entero, dejando el
mismo numerador] ó bien- se divide el numerador
por el entero, permaneciendo el mismo denomina-
dor (121).

3 3 3

Así: — :2= — = — :
5 5.2 10

8 8 8 2

11* 11.4 44 11*

ó también;

8 8:4 2

iT 11 11

15 15:5 3
23* 23 23*

170

3
161. 2°. Caso. —Divídase 6 por — .

4

3
El cociente que resulte de dividir 6 por — será

4

3
un número tal que multiplicado por el divisor —

4
deberá producir^el dividendo 6 (83).

Llamémosle c á este cociente y tendremos que

3
cX-= 6
4

3
pero multiplicar c por — es lo mismo que tomar

4
3
los — de c (60), luego:
4

3

— de c = 6:

4

1 tí 4

asi pues, — de c, será igual á — y los — de c,

4 3 4

ó sea toda la c, es decir, todo el cociente, será

1
igual á 4 veces el valor de — de c, y tendremos

4
por fin que

— 171 -

6 6x4 4

c= ~X4= =6X-

3 3 3

por consiguiente

3 4 24

6: — =r6X— =— =8.

4 3 3

De donde se deduce que para dividir un ente-
ro por un quebrado, se multiplica el entero por el
quebrado divisor invertido. ( • )

EJEMPLOS

6 7 35 5

7 6 6 6 '

4 U 88

2^ 8:— =8x-=— =22.
11 4 4

3 5 60

3". 12:— =12x— =- =20.
5 3 3

7 9 117 5

4». 13:— =13X- = — =16—

9 7 7 7

(•) Invertir un quebrado es cambiar el numerador por el denominador y
viceversa. .^»^...

— 172 -

7 4
íes. 3*'. Caso.— Sea dividir — por — .

8 5
Llamando c al cociente que resulte de dividir

7 ^

— por — , tendremos que

8 5

4 7

ex— =--

I 8

4 7

los — de c valen — , un solo quinto de c valdrá la

5 8

7 7 7

euarta parte de — ó sea — : 4= y toda la c,

8 ' 8 8X4
5

ó sean los — del-cocienteí será un número 5 ve-
5

7 7

ees mayor que , es decir, que valdrá 5=

8x4 8X4

7X5

; luego

8X4

7x5 7 5

8x4 8 4

por consiguiente

7 4 7 5 35 3
85 8 4 32 32*

— 173 -

De donde deducimos que para dividir un que-
brado por otro, se multiplica el quebrado dividen-
do, por el quebrado divisor invertido.

EJEMPLOS

5 3 5 7 35 8

' 9 ' 7 9 3 27 27

6 9 6 22 132 44 4 1
" " ll' 22 11 9 99 33 3 3

5 (i 5 25 125 29
8 25 8 6 48 ~^48

4 8 4 25 100 5() 25 5
15 25 15 8 120 60 30 6

163. 4". Caso — Partí dividir un número mix-
to por otro, se reducen ambos números á quebra-
dos, y luego se procede como se ha explicado para
los casos anteriores.

E.) EMPLOS

2 5 26 26 26 7 182 91 13

3 7 3 7 3 26 78 39 ~39

— 174 —

6 4 61 14 305 151

2o_ 5_ : 2 . . s= : \

ll' 5 11* 5 154 154

7 61 61 25*
3». 6-: 4=— : 4=-=l-

9 9 36 36

3 4 58 4 522 2
5" 9 5' 9 20 20

6 7 6 23 138 34 17
13* 8 13* 8 104 104~ 52

2 14 27 13
6°. 9: 4 — =9: -=— = 1 — .

3 3 14 14

OBSERVACIONES

16<4I. 1». El cociente de la unidad por un que-
brado cualquiera es iffual al mismo quebrado in-
vertido. Así:

4 9 1x9 9

9 4 4 4

2». Para dividir dos quebrados que tengan igual
denominador, basta dividir el numerador del divi-
dendo por el del divisor. Así:

— 175 —
5 3 5 7 5x7 5

7 7 7 3 3X7 3

3^. Para dividir dos quebrados que tengan igual
numerador, basta dividir el denominador del divi-
sor por el del dividendo. Así:

5 5 5 11 5X11 11
7* 11 7 5 5X7 7

4". Dividiendo un número cualquiera por la
unidad, el cociente es iguat al dividendo: sise di'
vide por un número m^ayor qiie la unidad, resul-
ta un cociente menor qice el dividendo: y si se di-
vide por un número menor que la unidad, resul-
ta un cociente mayor que el dividendo.

PROBLEMAS

o
1 65. 1". — 8 al bañiles contrataron hacer 236 -

9
metros de pared, ¿cuántos tiene qne hacer cada
nno?

5 2129 2129 41
236—: 8= : 8 = =29— .

9 9 72 72

41

Tiene qne hacer cada nno 29— metros.

— 176 —

4 3

2". 25— hectáreas de terreno costaron 512-

11 5
pesos, ¿cuánto costó la hectárea?

3 4 2563 279 28193 293
512~:25-= : = =20-

5 11 5 11 1395 1395

293

La hectárea cuesta 20 pesos.

1395

3°.— Un padre dejó para su hijo mayor el ter-
cio de su capital, para el segundo el cuartc», y
para el tercero el quinto, quedándole 250 pesos
que mandó distribuir entre los pobres, ¿cuánto re-
cibió cada hijo?

1 1 1
A los hijos les ha correspondido — x— x— del

3 4 5

47
capital total ó sean — que es la suma de dichos
60
13
quebrados, luego faltan — para completar todo el

60
13
capital, pero estos — son los 250 pesos que le so-

60
braron y mandó entregar á los pobres, luego los
13

— del capital componen 250, asi pues el capital
60
será igual á

-- 177 —

13 250x60 11

250: — = =1 1 53 -

60 13 13

COMPROBACIÓN

11

Ei capital se compone de 1153 - pesos que se

13
distribuyen así:

11 8

Al Hijo mayor 1153— : 3=384—

13 13

11 6

Al segundo 1153— : 4=288—

13 13

11 10

Al tercero 1 153- : 5=230—

13 13

A los pobres 250

ÍT

Suma total $ 1153—

13

EJERCICIOS

1°.- Un comerciante empleó en una especula-
■2
ción de granos los — de su capital, en otra de
5
4 2
vinos empleó los — ; y — más empleó en otros ne-
13 9

— 178 —

gocio^í, quedáiid(»le en caja 582 pesos; ¿qué capi-
tal tiene?

2*. — A un estanque van á desaguar tres cana-

3
les, el primero puede llenarlo en 25 — días, el se-

4
5
gundo en 8 — , y solo 3 dias emplea el terceio:

9
¿cuánto tiempo emplearían para llenarlo corrien-
do los tres canales á la vez?

3°. — La fortuna de un estanciero aumentó en
2 6

el año 1890, — , en el siguiente ~ de su nuevo ca
13 17

1
pital, V por fin este año ganó — de esta última can-

7
tidad, poseyendo actualmente una fortuna de 543000
pesos, ¿cuánto tenía á principios del año 18í)0?

5

4'* — Mi reloj adelanta — de hora por día, Uoy

93
al medio día lo arreglé de modo que marcaba la
hora justa; ¿qué hora será luego cuando mi reloj

1

marque las 8~ de la noche?

4

5^.— De la estación Nico Pérez salió el tren ordi-
nario de pasajeros á las 8h 30m de la mañana ca-

2
minando á razón de 45 — kilómetros por hora, y

3
á las llh de la misma mañana salió otro tren ex-

- 179 —

4
pres con una velocidad de 56— kilómetros por ho-

5
ra, ¿á qué distancia de la estación Nico Pérez el
segundo tren alcanzará al priníiero?

6*^. — í.e preguntó un individuo á , otro, que capi-
tal había reunido en los- 15 años que llevaba tra-
bajando en un saladero del Uruguav, y este le

6 8 \ '

contestí) que los — de los — de los — déla l'nr-

11 9 5

tuna que tiene alcanza á 1000 pesos, ¿á cuánto
asciende la fortuna que posee?

7". — Un carpintero liai^e una obra en 10 días
trabajando 8 li(»ras diarias: otro trabajando 12 ho-
ras se compromete á construir la misma obra en
6 días, ¿en qué tiempt) harían la expresada obra
los dos carpinteros trabajando 10 horas diarins?

5
8^. — En ocho horas un caballo recorrió 120-

n
é

kilómetros, ¿cuánto caMiinó por hora?

2
9^. — Un hortelano recibió 35 — pesos por pre-

7
5
parar la tierra de los — de una quinta, ¿ si hu-

9 ^ -

hiera preparado toda la tierra de la quinta, cuán-
to hubiese recibido?

4
lO"". — Una rueda da 54356 — vueltas por día,

7
¿cuántas dará en una hora y media?

- 180 -

LECCIÓN XVI

FRACCIONES DECIMALES

IVuineraeión y propiedades generales de
los niimeros decimales

160. Llámase qiteh^ado ó fracción decimal^
aqitella que tiene por denominador la unidad se-
guida de uno ó varios ceibos.

8 13 517 6839

Por ejemplo: — , , — -. , etc., son frac-

10 100 1000 10000
ciones decimales.

Si el denominador de la fracción es 10, 100,
1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, etc.; las
porciones que representa la fracción, se llaman
respectivamente décimas, centésimas, milésimas, diez-
milésimas y cienmilésimas, millonésimas, diezmilloné-
sim^s, etc.

Una unidad entera sábese que vale 10 décimas,
ó 100 centésimas, ó 1000 milésimas, ó 10000 diez-
milésimas, etc., luego pues, una décima vale 10
centésimas, una centésima 10 milésimas, una mi-
lésima 10 diezmilésimas, etc.

16*7. Hemos visto (SÍ6) en el sistema de nu-
meración decimal que cada cifra representa uni-
dades diez veces mayores que las que representa
la cifra inmediata de la derecha, por consiguien-
te, si continuamos el mismo sistema hacia la de-
recha de las unidades simples, la primera cifra

- 181 -

ocupará el lugar de las décimas, la segunda el
de las centésimas, la lercera el de las milésimas,
la cuarta el de las diezmilésimas, etc., á cuyas uni-
dades fraccionarias se les llama también unidades
de P., 2\, 3^, 4^, etc., orden decimal.

1 68. Según acabamos de ver, cualquier frac-
ción decimal puede escribirse sin denominador^a-
ra lo cual bastará escribir el numerador y colo-
car una señal cualquiera, una coma por ejemplo,
á la derecha de la cifra que expresa las unidades
simples, que será un cero sino las hay; y así, la
primera cifra á la derecha de la coma represen-
tará las unidades decimales de primer orden ó sean
las décimas, la segunda representará las centési-
mas, la tercera las milésimas, etc.

7 239 5485

Por ejemplo, los quebrados — , , se

10 1000 10000
pueden escribir sin denorfiinador de este modo:
0.7, 0.239, 0.5485.

7

En efecto, el primer quebrado — representa la

10
unidad dividida en 10 partes iguales de las que se
toman 7, es decir, menos de la unidad; para ex-
presar dicha fracción de la unidad sin escribir el
denominador, pondremos O en lugar de los ente-
ros, porque el quebrado no los tiene, después una
coma para indicar que empiezan las unidades de-
cimales y luego un 7 que, por ocupar el lugar de
las unidades de primer orden decimal, representa-
rá décimas, así pues, O J (siete décimas) vernos que

7
es igual á —
10

- 18^ —

239
Del inisino modo veremos que el quebrado

1000

que representa 239 milésimas, puede expresarse
por 0,239, es d^cir, por un número decimal com-
puesto de O enteros, 2 decimas, 3 centésimas y 9
milésimas. Eu elVcto, cada décima vale 10 centé-
simas, las 2 décimas valdrán 20 centésimas; así
pues, el número decimal 0,239 se compone de 23
cetésimas y 9 milésimas; y como rada centésima
se compone de 10 milésimas, las 23 centésimas
compondrán 230 milésimas. í.uego el número de-
dm/xl O, 239 se compone de 239 milésimas, exac-

239

lamente lo mismo que .

1000
Igualmente demostraríamos que el núinero
0,5485, que se compone de 5 décimas, 4 centési-
mas, 8 milésimas y 5 cjieziniiésimas es igual á 5485
diezmilésimas, y por consiguiente es lo mis no (|ue
5485

10000

169. Lueg0, pues, según acabamos de ver,
para escribir un número decimal se empieza por es^
cribir la parte entera, si la hubiese, y si no, se po--
ne un cero en su lugar; después, la coma y á su
derecha se escriben las décimas, despu¿s las centé-
simas, lv£go las milésim^as etc., y asi sucesivamen-
te, supliéndose con ceros la falta de unidades de al-
gún orden decimal

Ejemplos: Para escribir cuatro décitnas, siete
centésimas y tres milésimas, se escribirá

0.473

- 183 —

Escríbase ocho centesimos, cinco milésimos,

0.085

En este número decimal no hay décimas, por
consiguiente, se ha suplido con un O la falta de
las unidades decimales de primer orden; de igual
modo veremos que el numero decimal, dos ente-
ros, seis décimas, siete diezmilésimas y 9 milloné-
simas, se escribe así:

2.600709

supliendo con dos ceros los lugares de las cen-
tesimos y milésimas que faltan en el número pro-
puesto.

1*70. Obsérvase que un número decimal con-
tiene tantas unidades decimales del orden de su
última cifra, como unidades simples tiene todo el
número considerado como entero.

Por ejemplo, los números decimales 0.314 y
36,0208, que se componen de 3 décimas, 1 centé-
sima y 4 milésimas, el primero, y de 36 enteros,
g centésimas y 8 diezmilésimas, el segundo, son
respectivamente iguales á 314 milésimas el pri-
mero y á 360208 diezmilésimas el segundo (IOS);
luego, para leer un número decimal se he iodo
el número como si fuese entero, dándole á la últi-
ma cifra leida^ ¡a denominación que le correspon-
de por el orden decimal á que pertenece.

Así los números decimales 357,46; 0.3005;
4,00025; se leen respectivamente asi: 35 mil 746
centésimas; 3 mil 5 diezmilésimas; 400 mil, 25
cienmilésimas.

Cuando el número decimal tiene enteros, gene-
ralmente se lee enunciando primero los enteros y

— 184 —

después los decimales; asi en los ejeníplos ante-
riores, podíamos haber leido de este modo:

357 enteros y 46 (*entésimas; 4 enteros y 25
cienmilésimas.

1*71. El valm' de un número decimal no se
altera^ aunque se le añadan ó quiten ceros á su
derecha.

Así pues, el número 3,45 digo que es itrual a
3.45000

En efecto, el número propuesto se compone de
345 centésimas, y como cada centésima tiene 10
milésimas, teneuios que dicho número contiene
3450 milésimas; cada milésima vale 10 diezmilési-
mas, luego las 3450 milésimas son equivalentes á
34500 diezmilésimas; del mismo modo verfamos que
que las 34500 diezmilésimas son equivalentes á
345000 cienmilésimas y estas á 3450000 millonési-
mas, etc.; y como todos estos números son igua-
les al propuesto 3,45 queda demostrado que un de-
cimal no se altera agregándole cuantos ceros se
quiera á su derecha y tampoco puede alterarse
quitándole los que tenga.

Consecuencias — Todo número entero puede con*
siderarse como decimal, escribiendo á su derecha el
número de ceros decimales que se quiera.

1 *72. Para dividir un número entero por la
unidad seguida de ceros, basta separar de la dere-
cha del número dado, tantas cifras decimales co-
mo ceros acompañen á la unidad; y si el número
no tiene suficientes cifras para hacer esta separa-
ciQ}%, se le agregan ceros á su izquierda.

Por ejemplo, el número 346 se quiere dividir
por 100:

- 185 —

346
Tenemos que 346:100= — =3.46 (168).

100
Ahora el número 835 se quiere dividir por
100000.

835

Tenemos que 835:100000= ^=0,00834.

100000
Del mismo modo veríamos que 27:1000000=
0,000027.

ITfS. Para multiplicar un número (iecimat por
la unidad seguida de ceros, se corre la coma tan-
tos lugares á la derecha como ceros acompañen á
la unidad, y al contrario para dividirlo

En uno y en otro caso si no hubiese bastantes
cifras se suplirán con ceros, añadiéndolos en el pri^
'mer caso á la derecha úe los decimales y en el se- '
gundo á la izquierda de los enteros.

Así; 3,426x100=342.6; 42,37X1000=42370;
l36,045xK)0000=13604500.

Porque coriiendo la coma á la derecha^ se ha-
ce el número 10 veces mayor por cada lu^ar que
se adelanta la coma.

En efecto, corriendo la coma del número 3,25
un lugar á la derecha, el número resultante 32,5
es diez veces mayor que el.prunero, porque:
3.25=3 unídades+2 déeimas+Scentésimas
32.5=3 decenas +2 unidades+S* décimjis; dan-
de observaremos que cada una de las partes del
segundo número es diez veces mayor que la co-
rrespondiente del primero. Luego, pues, todo el
número segundo es diez veces mayor que el pri-
mero.

Si ahora corremos la coma un lugar más a la
derecha en el último número, lo haremos otras
diez veces mayor que el primero. Del mismo mo-

— 186 —

do veríamos que corriendo la coma tres hijeares á la
derecha, se hace el número mil veces mayor] y que co
rriendo cuatro lugares, se hace diez mil veces muyor.
De un modo análogo demostraríamos que co-
rriendo la coma á la izquierda, el número se ha*
ce diez veces menor por cada lugar que se corra
la coma. Así:

325,467:100=3,25467
83,104:1000=0,083104
25,47:100000=0,0002547
0,025:1000000=0,000000025

LECCIÓN XVII .

Adición de los números decimales

1 *74r. Para sumar números decimales, se ejecu
ta la operación como si fuesen enteros, escribiendo la
com/z en la sum/i total á la izquierda de las décimas.

Por ejemplo, sumemos

3,045+28,36 -h 0,0425+0,024+469,7

La operación se ordena lo mismo que la de
los enteros, teniendo cuidado de que las unidades
del mismo orden se. correspondan en columna ver-
tical, lo í-ual se consigue colocando los sumandos
unos debajo de los otros, de manera qi:e la:^ co-
mas estén todas en columna. Así:

3,045
28,36
0,0425
0,024
469,7

Suma 501,1715

— 187 —
PROBLEMAS

1*». Un agricultor ha obtenido en la venta de
sus cosechas las cantidades signientesr trigo 523 pe-
sos 45 centesimos: maíz 237 pesos 18 milésimos:
porotos 180 pesos 10 centesimos: frotas, 9 pesos
5 décimos y en diferentes legumbres 20 pesos 108
diezmilésimos, ¿Cuánto obtuvo por todo?

523,45
237,018
180,10
9 5
20,0108

Suma 970,0788

Obtuvo 970 pesos y 788 diezmilésibos de peso.

2**. Un capitalista tiene dinero colocado en cin-
co casas banca rias; en la primera tiene $ 25,315,
en la segunda ^ 83140,68, en la tercera $ 12037,0025,
en la cuarta $ 8459,6 y en la quinta $ 136400,8008
¿cuánto importa el capital que tiene colocado en
esas casas?

25,315
83140,68
12037,0025
8459,6
136400,8008

2400^3,3983~

Tiene colocado un capital compuesto de pesos
240063,3983.

— 188 —
EJEliCICIOS

1*». ¿Cuántos pesos forman tres milésimos^ más
ochenta y crneo centesimos, más tres mil ocho diez
milésimos, más diez mil siete millonésimos y más
cinoo millones cuatro cienmilésimos de peso?

2^. El contenido de una pipa de vino se dis-
tribuye en 4 damajuanas y en tres botellas; en la
primera damajuana se colocaron 8.36 litros de vi-
no, eo la segunda, 15,005, en la tercera, 12,0004
y en la cuarta 10.25; en las botellas se coloca-
ron 0,75 de litro en cada una, ¿cuánto vino con-
tenía la pipa?

3"*. En una feria, un mercachifle í^awó tres
pese»s y ocho milésimos en la venta de unos ar-
tículos; mil ocho diexmilésinaos en la venta de otros,
y por último ganó un millón tres nnl cii>co mi-
lésimos en te venta del resto de las mercaderías
que habla llevado, ¿cuánto ganó por todo?

4®. Un viajero caminó Í50 millones 68 diez-
miiéstmos de metro antes de almorzar; 400 millo-
nes 57 millonésimos de metro después de , al-
morzar, y por último caminó 500 millones 6 cien-
milésimos de metro después de comer ¿cuánto ca-
mino en todo el día?

Sustracción de los nAmeros decimales

1 *75. Para restmr wimeros decimales, se eje^
cuta la operación como si fuesen enteros escribien--
do la com/z en la diferencia á la izquierda de las
décimas.

Por ejemplo sea restar 45,236 de 12S,024.

La operación se ordena lo mismo if\xe Ja ée los

- 18Í) —

enteros, escribiendo el minuendo y debajo el sus-
traendo, de modo que las unidades de un mismo
orden queden unas encima de las otras, lo mis-*
mo que las comas que separan los decimales.
Así:

Minuendo 125,024
Sustraendo 45,236

Diferencia 79,788

Ahora réstese 8,25 de 15,0417

15,0417
8,2500

6;7917

En este caso, al sustraendo le hemos agrega-
do dos ceros á la derecha de los decimales para
que tenga tantas cifras de esta clase como el mi-
nuendo, lo que no altera el valor de aquel nú-
mero (ITM),

Réstase 25.0068 de 167.8

167.8000
25.0068

142.7932

En este caso le hemos agregado al minuendo
tres ceros para que tenga tantas cifras decimales
como el sustraendo, con lo cual no hemos alte-
rado su valor (171).

Es conveniente, pues, antes de proceder á una
sustracción, igualar el número de cifras decima-
les del minuendo v sustraendo.

~ 190 -

Cuando se quiere restar un número decimal
de un número entero, se coloca una coma á la
derecha del entero y después tantos ceros como
cifras decimales tenga el sustraendo, con lo que
tampoco se altera el valor del entero (1*71 cons).

Por ejemplo, para restar 2.005 del entero 8
?e procederá asi:

8.000
2.005

Diferencia 5.995

Observación: Puede aplicarse á la adición y
sustracción de los números decimales todo cuan-
to se lia dicho en las lecciones V y VI con res-
pecto á los números enteros.

PROBLEMAS

1.^ Un empleado que gana diariamente $2.87,
gasta en el almuerzo $ 0.46, en la comida 0.758,
en el alojamiento 0.406, en cigarros 0.0405; ¿cuán-
to le queda para todos los otros gastos indispensa-
bles?

0.46
0.758
0.406
0.0405

1.6645
2.87

Resultado 1.2055

Le queda para los otros gastos un peso y dos
rail cincuenta y cinco diezmilésimos de peso.

— 191 —

Obsérvase que en este ejemplo no se han es-
crito los ceros necesarios para igualar el nú-
mero de cifras decimales, y es porque en la prác-
tica generalmente, no se colocan más que men-
talmente dichos ceros.

2.« Un capital compuesto de $ 37800,025 fué
repartido entre tres personas, de modo que la
l$i primera llevó $ 14000,05 y la segunda $
12136,0008: .¿cuánto le tocó á la tercera?

14000,05
12136,0008

26136,0508
37800,025 .

11663,9742

A la tercera persona le tocó once mil seiscien-
tos sesenta y trgs pesop con nueve mil setecien-
tos cuarenta y dos diesmilésimos de peso.

3" Un comerciante debe $ 58415,002, y para
satisfacer esa deuda cuenta con las existencias de
su casa, que están avaluadas en 32617,54, y con
47000,6 que le deben varios de sus clientes, ¿qué
cantidad de pesos tiene á su favor dicho comer-
ciante?

32617,54
' . 47000.6

79618,14
58415,002

"21203.138

Le queda un capital compuesto de 21 mil 203
pesos con 138 milésimos de peso.

— 192 —
EJEHCMCIOS

I.'' ¿Cuál es la diferencia que hay entre una
unidad entera y tres mil (|uince millonésimas de
otra?

2.^ Tres personas hicieron sociedad. La pri-
mera, concurrió con un capital de $ 3500,025; la
segunda, con 2836,17, y la tercera, concurrió con
lo que faltaba para completar 10000 pesos.
' ¿Cuánto dio la tercera persona?

3.° La suma de dí)S números es 13,0017; el
menor es 4.0000086: ¿Cuál es el otn»?

4.° Las entradaít que por diferentes conceptos
ha tenido este año un estanciero, han sido de i^
17819.146, y los gastos de $ 6315,0095; ¿cuánto ha
ganado este año el referido estanciero?

LECCIÓN XVIII

Multiplicación de los númepos decimales

176. En la multiplicación de nútneros deci-
males, distinguiremos dos casos: P. multiplicar
un número decimal por un entero ó vice-versa;
2°. multiplicar un número decimal por otro deci-
mal.

17*7. P^ Caso.— Multiplicar 7.325 por 26.

El producto de 8.325 por 26, se obtendrá re-r
pitiendo el número 8.325 como sumando 26 veces
(60), cuya suma tendrá tres cifras decimales
(IT^^), es decir, tantas cuantas tiene el multipli-

- 193 -

ca<l()i'; lueiro el proclctcto de 8.325X!í6, se fKiede
obtener multiplicando los dos números como si
fuesen enteros y separando del producto tantas ci-
fras decimales etrantas hay en el factor decimal.
Asi:

8.325
26

49d50
16650

216,450

En efecto, el producto de 8385 mffésima« por
26 enten»s será an número exacto de imlésfmAs;
luejJTo, la última cifra de ía derecha cíe dicho pro-
ducto, expresará milésimas: por tarrto debo repa-
rar tres cifras decimaJes (16^).

Como qne en cualq^uier otro ejemplo se puede
hacer igual raciocinio, ^e infiere que ^

Para multiplicar wn decimal por un entero, se
multiplican los dos nimmrxis como si fuesen enteros
y de la derecha del prodUetOy se separan tantas ci-
fras decimales cuantas tenga el multiplicando.

La multiplicación de un entero por un decimal,
se ejecuta del mismo modo: pues

8,325x»3=26X8,38» <««>.

Caso particular. Para TmOtépliemr un. d o em m l
por k» umiáítd segmda de umo ó más eeroe se 00-
rre la cotna tantos lugmres á la dmychet cmno ev-
rm mc mmpañem é la unnMt ff 91^

f ^yS. Obsertactón. Como qire tos uúmeros
fhtccíonaríos decimales no son más que un caso
particular de los quebrados ordinarios (1 f O;, las

propiedades y reíalas lelaüvas á a<|uellí»s s(»ir fain
hiéri aplicables á éstos. Asi veremos que

8325 8325x26

8.325x26= X26=

1000 1000

es decir, que se deben multiplicar los dos núme-
ros como si fuesen enteros y dividir su producto
por 1000 (mS). conforme con la reíala que he-
mos dado.

17». 2'. Caso. -Multiplicar 36.45 por 8.6.

Multiplicar 36.45 por 8.6 es tomar las 86 dé-
cimas de 36.45 (60) un décimo de 39.45 es un
número diez veces menor que 36.45, es decir, que
será 3.645. Luejico, los 86 décimos se obtendrán
multiplicando 3.645 por 86, así:

3.645
86

21870
29160

313,470

De modo, pues, que el producto de 36.45 por
8.6, es igual 313,470, cuyo resultado lo hemos ob-
tenido multiplicando los dos números decimales
como si íuesen enteros y separando del produc-
to tres cifras decimales, es decir, tantas cuantas
hay. en los dos factores dados.

Luego, para mtUtiplicar un número decimal por
otro también decimal, se multiplican como si fue-
sen enteros^ y del producto se separan de derecha
á izquierda, tantas cifras decimales cuantas hayan

*él

— 195 —

en el, multiplicando y en el multiplicador.

Por ejemplo: multiplicase 8.436 por 25*7. Tena

mns que

8436 257 8436x25,7

8 436X25.7= -X = : /

1000 10 10000

cnyo resultado continna la regla general que aca-
bamos de dar.

E.JEMPLOS

/

1". 365.024
85.26

2».

261.42
0.0051

21ÍÍP144
730048
1825120
2920192

26142
130710

1.333242

31121.94624

1400.2
2001

4».

0.23004
0.0026

14002
28004

138024
46008

280.18002

0,000598104

Obsérvase que en el 4®. ejemplo el produc-
to no tiene suficiente número de cifras para que
se puedan separar las necesarias, por lo que
ha sido preciso agregar á la izquierda tres ce-
ros y y uno más para ocupar el lugar de las

unidades eirtfíTJW, rrrru pn»red¡rmentf> pwede com-
proharse traiiislonrianúfi los decniíiales en fi-aorio-
nes ordinarias, así:

23004 26 83004X26

X ^í=-

lOOOOO 10000 1000000000
598104

-=0,000598104 (iTra).

1000000000

PROBLEMAS

!♦. Un agricultor ha recogido en su chacra
245,75 hectolitros de trigo, que vefMHó á $ 3,525
el heclólitro; 482 kilogramos de fmpas, que ven-
dió á t 0,136 el kilogramo, , 179,6 kilogramos de
garbanzos, que vendió á 35 el kil^ramo. ¿Cuán-
to te produjo la venta de sus coserías?

245,75
3,525

122875
49150

128875

73785

482
0,136

2892
1446
482

179,6
0,35

8980
5888

68,060

65,552

866.26875
65,552
68,860

866,26875

9»4,6MI75

— 197 —

Le produjo 994 pesos y 68075 cienmilésimos
de peso.

2*». Un estanciero corapuó una fracción de cara-
|)o compuesta de 1357 hectáreas y 4567 diezmilé-
simos de hectárea, á razón de $ 9.425 la hectárea,
y otra fracción más inferior compuesta de 645
hectáreas, á* razón de $ 6.1379. ¿Cuánto le costa-
ron las dos fracciones?

1357,4567
9,425

6.1379
645

67872835
27149134
5429^268
122171103

306895
245516
368274

3958,9455

12794,0293975

12794,0293975
3958,9455

16752,9748975

.Las dos fracciones de campo le cuestan 16752
l>esos y 9748975 diezmillonésimos de pesos.

3^. Un obrero hace todos los días cierta can
tidad de escobas y plumeros que le producen
0,045 de $ 83,67; ¿cuánto le producirá su trabajo
en 42 días?

— 198 —

83.67
0,045

• 41835
33468

3,76515
42

753030
1506060

158,13630

Le produciría 158 pesos y 13630 diezmilésimos
de peso.

EJERCICIOS

P, Una señora quiere averiguar lo que gasta
por raes, sabiendo que tod(»s los días compra* los
siguientes artículos: 5 kig. de carne á $ 0.12 el
klg., 3 litros de leche $ 0.08 el litro, 4 Idg. de
pan á $ 0.108 el klg., en legumbres y verduras'
gasta diariamente $ 0.317 y artículos de almacén,
como vino, aceite, arroz, azúcar, café, etc., [Tesos
1.6004. ¿Cuánto importan dichos gastos mensual-
mente.

2°. ¿Cual es el número igual á 36 veces la
diezmillonésima parte de 0.00406?

3*». ¿Cuánto importan los 0.048 de 3164,19 de
pesos?

4°. Se compraron 217,143 metros cuadrados de
terreno á $ 0,0009 el medio metro cuadrado,
¿cuánto importa el terreno?

5°. Se ha repartido entre los 426 pobres que
hay en cierta población, una cantidad de dinero

— 199 —

lal, que á cada pobre le tocó $ 2,00387; ¿qué can-
tidad de |>e«os se repartieron?

6^. íOuánto importan los 0,0067 de 4.59 de
8359- j>esos?

LECCIÓN XIX

DivlsicVn de los .númepos rdecimalea

tSO. En lá división de los números decima-
les se pueden distinguir tres ca^os: P. dividir un
número decimal por un entero; 2*. dividir un nú-
mero entero. por un decimal; .3^'. dividir un núme-
ro decimal por otro decimal,

181. ^^ Caso.- Dividir 275,0345 por 85.

275,0345. 85

200 ~3^2357

303
484
595
00

Se ttata: «de : dividir ^vBS© entertis y^^45 itie/ira^.. '*t
lésíraas"6Ji 85 partes^iguafeaj jío cualvW üoiise^^^y*
guiremos repartiendo en este numen» de partean n^
cada ixua de las unidades de ti^dos los órdenes
que componen el número, empezando por los en- •
teros por si sobran algunos poderlos reducir, á uni-..
dades; decimal«s,c:asi decimos:

275 enteros efttre 85 á3; 3X85c;=255 á 275 qué

— 200 —

hay en el dividendo sobran 20 unidades enteras
qne no pueden repartirse exactamente entre*85, pero
las 20 unidades enteras valen 200 décimas, núniero
mayor que el divisor, luego podremos dividir las 200
décimas entre 85, y nos dará 2 décimas de cociente,
cuya cifra escribiremos aja derecha de la primera, y
separada de aquella por una coma para expresar qne
ocupa el lugar de las décimas; ahora, como 2x85=
170 décimas hasta 200, que tenemos en el segun-
do dividendo parcial, sobran 30, (jue «equivalen á
300 centésimas y 3 que hay en el dividendo' total,
forman 303 centésimas, que divididas entre 85, dan
3 centésimas de cociente; 3X^5=255, hasta 303
sobran 48 centésimas, que eíjuivalen á 480 milési-
mas, más 4 (|ue tenertios en el dividendo . total,
forman 484 milésimas, que divididas entre 85 daií
5 de cociente: 5X85=425, á 484 van 59 milési-
mas que srobran, las que equivalen á 590 diezmi-
lésimas, y más 5 que hay en el dividendo, fornían
5^5, que divididas entre 85, líorresponden 'á 7 diez-
milésimas justas, porque 7x85=595.

Luego el cociente qne resulta de dividir 275,0345
por 85, es 3 enteros y 2357 diezmilésimas.

1 SS. Del prí)cedimiento seguid) en el ejein-
plo anterior que es aplicable á cuahjuier otro ca-
so, se deduce que: para dividir un numero deci-
mal por otro entero, se practica la división como si
el dividendo fuese entero, colocando la coma en el
cociente al bajar la primera cifra decimal del di-
videndo,

. Obsérvase también que al considerai* el divi-
dendo como entero, lo hemos hecho 10000 veces
mayor, luego el cociente resultará también 10000
veces mayor que el que buscamos, (133 obs. 1^.)
luego dividiendo el cociente por 10000 obtendré

— 201 —

mos el verdadero, y como este raciocinio es aplica-
ble á todos los casos, también podemos decir que:
Para dividir un número decimal por otro ente-
ro, se practica la división como si el dividendo fue-
se entero, y de la derecha del cociente se separan
tantas cifras decimales cuantas tenga el dividendo.

EJEMPLOS

1". 7378,81
5068
7731
■ ' 000

1859

8,59

\

2». 45,648
216
0048
O

24

1,902

17,008
60
50
68

2

11

1,546

4°.

9.124
41
12
24

4

1,824

Los dos últimos ejemplos nos han dado un co-
ciente decimal iaexact(», el primero de 1,546 con
2 4

— de milésimo y el otro de 1,824 con — de milé-
11 5

simo, es decir, qne los dos cocientes encontrados se
diferencian del verdadero en menos de un mi-
lésimo V si quisiéramos abtener un cociente más

1

aproximado, es decir, con menos erorror de ,

100000
no habría más que añadirle á la derecha del di
videndo d )s ceros lo qaa no alteraría su valor

- 202 — "

(171), y se continuaría la división determinán-
dose dos cifras decimales más para el cociente,
así:

17,00800

11
1,54618

6°.

9.12400
41

5

60

1,8248

50

12

68

24

20

40

90

2

De este ruodo se ha 'obtenido el cociente de
17,008 por 11 con menos error de una cienmilé-
sima, y aun podríamos aproximarnos más agre-
gándole nuevos ceros á la derecha del dividendo,
con lo que en algunos casos, como en la división
6*., podremos obtener un cociente decimal exacto,
ó cuando no, tan aproximado cuanto se quiera.

Por ejemplo; hállase el cociente de 45,24 por
17 con menos de una cienmillonésima de diferen-
cia.

45,24000000 17

112 2,66117647

104
20
30
130
110
80
120
1

A fin de que el cociente se diferencie del ver-
dadero en menos lie una cienmillonésima, es nece-

- 203 —

sario seguir la división hasta que tenga ocho ci-
fras decimales el cociente, para lo cual también
debe tenerlas el dividendo, por cuya razón le he-
mos agregado seis ceros á su derecha con lo que
no se ha alterado su valor (1*71).

En la práctica sólo se agregan mentalmente los
t-ero^ á la derecha del dividendo.
Por ejemplo:

146,0045 1 23

80 ' 6,3480217391304

110
184
050
40
170
90
210
30
70
100
8

183. 2°. Caso. Dividir 246 por 0,024,
Multiplicando el dividendo y el divisor por 1000
el cociente n<> varia (106); y como el .divisor
resalta entero, queda la operación reducida á di-
vidir dos números enteros, es decir que tendre-
mos

246:0,024=246X 1000:0,024x1000^^
246000:24=10250 ^

24

También tenemos que 0,024= (1G8), asi

1000
pues; (161.

24 1000 í^lbOOO

2Ai): =á4()X X =24()0()0:24^

1000 ¿4 24

Lue'go, pues, para dividir unnúmero entero por
un decimal, se multiplica el dividendo y divisor
por la unidad seguida de tantos ceros como cifras
decimales tiene el dirií^or y quedará este caso re-
ducido á dividir dos números enteros.

1H4. ObservacI'in. Como iodo niiuiero puede
considerarse como decimal {\H \ cons.) colocán-
dfde una coma á la derecha y después ^cuantos ce-
ros se f^iiera resulta (¡iie para aproximar por de-
cimales un cociente inexacto de dos números en-
teros, hasiará colocar una coma después del co-
cienle entero y un cero á la derecha del últi-
irií) residuo, continuándose la división, anadiemh»
siempre ceros á la derecha de los residuos <jue
vayan resultando.

Sea dividir 9824 p r 28;

1«24

2:j

124

405,391 ;]04

90

210

30

70

100

8

Al encontrar el cociente entero 405 hemos co-
locado la coma y un cero á la derecha del re-
sidió 9, formándose el número 90 décimas, que
divididas por el divisor 23, da 3 décimas de co
ciento y sobran 21; á este resto se le agrega otro

— 205 —

cero y teiKJi;e»ní)s 210 centesimos, que divididos
entre 23. dan 9 ceiuésiinos de cociente y 3 de resi-
duo; á este resto se le agrega otro cero, etc.,
prv)SÍguiendo así hasta obterner la aproximación
qne se quiera,

185. 3«^ Caso.— Dividir 42,0915 por 2,415-

Si multiplicam >s dividendo y divisor por 1000,

^1 (nociente no se altera (106), y la operación

se convierte en dividir 42091,5 por 2415. es decir,

^en la división de un decimal por un entero que

es el pihiier caso que liemos es udiado

Luego, pues, para dividir un número decimal
por otro también decimal, se multiplica dividendo y
divisor por la unidad seguida de tantos ceros como
cifras decimales tenga el divisor; y quedará este ca^
so reducido al primero, ó á dividir un número en^
tero por otro.

EJEMPLOS

Dividir 42,0915 por 2,415

42091,5

2415

17941

17,429192...

10365

7050

22200

4050

22350

0150

1320

Hemos hallado el c;)ciente de los números pro-
puestos (!on menos error de una millonésima.

— 206 r--

2». Divídase i45.36. por 0,246 >
45360 1246

2076" 1184,3902
1080
960 '^
2220
00600»''*
108 ■•

Dividir 25,8 'por 0,0049

49

5265¿30612^

258000""

130
320
260
150
300
60 '
110
120 .
22

Hemos hallado el cociente con menos de una
millonésima de error. *'

186. Obnbryación.— La reglff qve hemos de-
ducido en el número anterior para >el 3^'. caso de
la división de números decimales, puede también
obtenerse transformando los quebrados decimales
en ordinarios, por ejemplo, dividiendo 25,042 por
0,47. tenemos que

25042 47 25042 100 2504200

25,042:0,47«=:t-^: — =-^— X = — =

1000 100 . 1000 47 47000

^ — 207 —

2504200:1000 2504,2
47000:1000 47

=2504,2:47

Ciiyu i'tísaltado comparado coa lúa datos, a»»
dice también qwe, para, dividir di>s números^ deei^
males, se multiplican ambos por la unidad, segmda
de tantns ceros como (¡ifras deeioniadea Uene el dieir-
sor, con lo cual la operación se rediice después m
dividir un decim^il por un entero, á ó dividir dos
enteroü.

PROBLEMAS

1". Un coriuerciaiite eoinpró en 835,042 pesos,
1506,35 iiectúlUrus da carbón; ¿cnanto pagó por
liectólitKt?

83504,2 I 150635

818670 / 0,5543-
654950
'524100
72195

Kesuliado que pagó por hectóÜtro- ■^ 0,5543.

2". Una .señora gastó % 35,80 en hü género
de seda qut» le costó $ 1,325 el metro; jeuántos
metros compró?

35800 I 1325

9300 27.018867

2500 !
11750
11500
9000
10500
1.225

Compró 27,018867 metros.

— 208 -
EJERCICIOS

1''. Se conipraron derta cantidad de canastos
de Champagne á $ 36,75, ios que se pretenden
vender ganando en cada uno$ 3,25; ¿cuántos se ten-
drán que vender para jiranar $ 470,125?

2^. ¿Cuántos hectolitros de trigo pndrán com-
prarse con $ 3456,028, costando el iiectólitn» de
trigo $ 3,86?

LECCIÓN XX

Reducción de quebrados ordinarios á
decimales y vice-versa

ISTT. Reducir un quebrado ordinario á de-
cimal, es transformar el quebrado ordinario en
una tracción decimal equivalente, ó (|iie se dife-
rencia de ella en menos de una cantidad dada
por pequeña que sea.

Todo quebrado ordinario hemos visto (113)
que es una división indicada; y para liíillai' el co-
ciente con toda la aproximación que se quiera se
ha visto (18í4), que se continúa la div¡si(>ii a{a:re-
gando un cero á la. derecha de cada residuo.
Luego:

Para reducir un quebrado ordinario á decimal,
se divide el numerador por el denominador y el co-
ciente se aproxima por decimales, como se ha dicho
en el número 184.

— 20^ —

7
I*'. Hállese la fracción decimal equivalente á —

8

70 I 8

60 0785
40
O

Según la regla que acabamos de dar, el qiie-
7 ^ ^

bradí) — es equivalente á la fracción decimal 0,875.
8

7
En efectf»: — , como se sabe, representa el cocien-

8
te de dividir 7 por 8 (113); pero 7 unidades en-
teras no alcanzan para repartir entre 8^ así pues
pondremos O en el cociente; ahora, como 7 enteros
equivalen á 70 décimos (16o) repartiremos los 70
décimos entre 8, con lo que obtendremos 8 deci-
dnos de cociente y 6 de residuo, que equivalen á
60 centesimos; los que repartidos entre 8 da 7 de
cociente y 4 de residuo, que equivalen á 40 mi-
lésinos; los '^ue repartidos entre 8 tocan á 5. liUe-

7
4»(», pues, el quebrado ordiuario — vemos que es

8
equivalente á la fracción decimal exacta 0,875.

4
2^. Conviértase el quebrado - en fracción de-

7
cimal.

-r 210

40

7

•50

0,57142857....

10

30

20

60

40

50

1

•

Así pues, —=0,57142857 cuyo cociente obser-
7
vamos que no es exacto ni podrá serlo nunca por
mucho que se prolongue la división, porque ve-
mos que se repiten los restos y repitiéndose éstos
se repiten los dividendos parciales que ellos for-
man; y, por consiguiente, tienen forzosamente que
repetirse las cifras del cociente, formando así pe-
ríodos compuestos de^ las cifras 571428 que se re-
piten indenmdameinte'.

4
Luego el quebrado ordinario — no puede ex-

7
presarse exactamente por una fracción decimal,
pero podemos representar su valor con toda la
aproximación que se quiera.

7
3°. Redúzcase el quebrado - en fracción de-

12
cimal.

70

100
40
40

12

0,5833

•.*¿.

I

— 211 —

*7

El quebrado — observamos que tampoco puede
12
expresarse exactamente por una fracción decimal»
pues el residuo 4 se r^ite indefinidamente y así
también la cifra 3 del cociente. ''

1 88. De los ejemplos precedentes, se deduce
que, las fracciones decimales pueden ser echadas
y periódicas, asi pues llamaremos:

Fracción exacta á la que contiene un numero
limitado de cifi^as, como por ejemplo 0,875: 0,75
0,25 etc., y

FkACCióN PERIÓDICA á la que tiene un número
ilimitado de cifras, como por ejemplo, 0,571428-
571428 y 0,58333

l^di^ fracciones periódicas se subdivideii en puras
y mixtas.

Llámase fracción periódica pura á la que el
periodo principia desde la coma, como por ejem-
plo 0,3636.. ..

Llámase fracción periódica mixta, á la que el
periodo no principia desde la coma, por ejem-
plo 0,27333... .

Reducción de fracciones decimales
á quebrados ordinarios

1 H9. Et quebrado ordinario equivalente á una
fracción decimal, se llama quebrado generador ó
fracción generatriz.

3 7 4 7

Así los quebrados — , — , — , — , son respecti-

4 8 7 12

vamente los quebrados generadores de los decima-
les 0,75, 0,875, 0,5714285,7... y 0,58333...

— 212 —

En la determinación de los quebrados ordina-
rios eqnivalentes á fracci<»nes decimales dadas,
se distinguen los tres siguientes casos:

P« Que la firacción decimal propuesta^ aea exacia,

2^. Que la fracción decimal dada, sea periódica
pura.

^. Que la fracción decimal prapueMa, sea pe-
riódica mixta.

190. l•^ Caso— Para reducir un número de
cimal exacto á quebrado ordinario, basta poner
por numerador el número dado con supresión de
la coma, y por denominador la unidad seguida de
tantos ceros coin<» «cifras decimales tiene (16S).

246 123

Así, 0,246= = — :

1000 500

8 4 2 75 15 3

100 50 25' ' 10tf^20~4'

64* 32 16 8

1000~500~250~125

0B8BR¥ACiONfi8**-Si voa fraccíófi drctmal es exacta, el de-
nominador del quebrado generador solo será divisible por 2
y por j ó por uno de éstos solamente, porque el denqmi-
naoor ae dieh|i fracción generatriz es, segün acabamos de ver,
la unidad acguida de ceros; por consiguiente, solo puede ser di
visible por 2 6 por 5, más, al simplificar el quebrado puede,
desaparecer alguno de los dos factores y el denominador del
quebrado irreducible ser solamente divisible por uno de ellos.

i 91. 29. Caso - Veamos la fracción 0,354
354354. ...

Llamando F á la fracción f^eneratriz ó <|uebra-

i^aÉí.

- 2i:^ -

do generad(»r que nos pi-tiponernos hallar, tendre-
mos que:

F= 0,354354354... .

Si una fi'accióu í¿:eneratnz es i^rual á 0,354 354
354 : 1000 Tracciones irenera trices se expre-
sarán así:

1000 F=354,354354354 (173) ahora res-
tando ordenadamente de esta iicualdad la anterior,
lendremos que (*)

999 F=354

luego si 999 veces la tracción generatriz que bus-
camos es igual á 354, una sola será

354 •

999

E-^te resultado nos dice que

Para reducir una fracción decimal periódica pu-
ra, á quebrado ordinario, se pone por numerador
el periodo // por de>iominador tantos nueves como
cifras tiene el periodo.

K .1 E M P [. Ü S

603 67

1'. 0.603603.. ..=

999 111

o Observase al restar, qu.* la parte decimal del minuendo es exacta-
mente igual á la del sustraendo. pues ambas se componen del periodo 354
repetido un número indefinido do vecf^s; por consiguiente, al restarse una
de otra, la parte decimal se reduce a 0.

— 214 —

2". O,

tí 2
9 3

3». 0,81428571. .=-

814285 5
999999 7

4°. 0,2424.

24 8
99 33

Observación El denominador de un quebrado ordinario
equivalente á una fracción decimal periódica pura, nunca podrá
ser divi^le por » ai por <; porque según acabamos de ver el de
nominador está formado de puros nueves, Juego no puede ser di-
visible por 3 ni por ; ni aun después de simplifícado, puesto que
con la simplificación no pueden aparecer nuevos factores, sino por
el contrario pueden desaparecer algunos.

192, S*"" Caso. Propongámonos hallar el que
brado generador de la Iracción deciaial periódi-
ca mixta 0,453793783. ...

Tenemos qtre

F=0,45379379379.

Multiplicando los dos miembros de esta igual-
dad por 100000 hallaremos el valor de

100000 F=453V9,379379

ahora multiplicando por 100 los dos miembros de
la primera igualdad, tendremos:

100 F=45,379379

A

— 215 —

\
y i^efttendo ímleiiadaitieiite Ja tercera ií^iwiklad de
la segunda resultará que

99900 F=45379~45

Ine^fí pues

45379 45
F==

99900

Cuyo resultado nos dice que

'Para ' comfieriir ^utm fmcoián deoimal periódica
miüíta, en ^tpjceh^dv milinffrio, ^sepofue 'por nw^e
rador lapatte no periódica seguida ^dél ^primer pe
,ifti&dQ, mem>sla fparie no ,p^iódica, ^y ^por .deM^mi
nador tantos nue^is^s acornó ^eífras di9»e ?eZ fíenioíio ^se-
guidús de Hatítos^eeros'xyymo' cifras Héne ba parte no
periódica.

E. TEMPLOS

0,234646 =

2346—28

9900

F>24'^í>4'-1 —

5243—5

9990

0,4813571357..=

481357—48

999900

Observación --^EI denominador de un qtrclirardo -ordinario
equivalente á una fracción decimal periódica mi xta< contiene á lo^

\

M(>

factores 2 y < ó á uno de ellos solamente y además algún otro
factor diferente

En efecto, el numerador de dicho quebrado no puedo termi-
nar en cero, pues -para que el numerador 2346 — 23 del primer
ejemplo terminase en cero, era preciso que las cifras 6 y 3 fuesen
iguales y en tal caso la fracción decimal 0234646... .:. tendría
en su parte no periódica una sola cifra decimal, mientras que nos-
otros hemos supuesto que tiene dos. Luego» es evidente que el
numerador del qut-brado ordinario equivalente á una fracción de-
cimal periódica mixta, no podrá ser nunca divisible por 2 y por $
á la vez, solo si, por cualquiera de ellos; así pues, simplificando
este quebrado todo lo posible, el denominador que resulte conten-
drá por lo menos á uno de los factores 2 y 5, además de algún
otro, pues si no tuviese más que estos dos la fracción sería exacta
que es contra la hipótesis.

193. De las OBSERVACIONES q"ue hemos hecho al fin de cada
caso de reducción de fracciones decimales á quebifcdos ordinarios,
se deduce fácilmente *

i'*. Que si los /adores simples del denaminador de un que-
brado ordinario irreducible, son 2 y $ ó uno de éstos solamente^
la fracción decimal equivalente será exacta»

2". Sí entre los factores simples del denominador de un
quebrado ordinario irreducible no se halla el 2 ni el 5, la
fracción decimal equivalente, será periódica pura.

3**. Si los factores simples del denominador de un que-
brado irreducible son 2 y 5, ó uno de estos y algiin otro
factor diferente, la fracción decimal equivalente será perió-
dica mixta.

EJEMPLOS

3 7 13

— , — , — producen fracciones decimales exactas

4 16 20

3 4 5

— , — , — , id. id. periódicas puras

7 9 13

5 7 193
12' 15' 425

id. id. periódicas mixtas.

— 217 —

Observaciones final. Si en alguno de los dos
últimos casos que hemos considerado en la reduc-
ción de fracciones decimales á quebrados ordina-
rios equivalentes, el número decimal dado, fuese
mixto, para hallar la fracción generatriz equiva-
lente supondremos los enteros unidos á la parte
no periódica, ó formando ésta si la tracción pro-
puesta es periódica pura; pero después de los nue-
ves del denominador no se escribirán más ceros
que los que correspondían por la parte no perió-
dica que tenía la fracción decimal antes de unir-
le los enteros, ó ninguno si es periódica pura la
fracción decimal que acompaña á la parte entera
del número. Así:

824—8

8,2424 ...=

99
en efecto

824—8 824—8

8,2424 . . .=10x0,82424 . . .= Xl0=

990 99

bel mismo modo veremos que

12364-1236

12,3644,... = ^

900

porque

12364—1236
12,3644.. ..r^lOOXO, 123644.. =-

90000

12364-1236

X100=

900

— 218 —

LECCIUN XXI

XTúxnerott oonoretos

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL DE PESAS Y MEDIDAS

NOCIONES PRELIMINARES

104r. Para determinar el valor tie una can-
tidad cualquiera, se la compara con otra con<»ci-
da de la misma naturaleza, á la cual se le llama
UNIDAD (3).

Una cantidad queda determinada numéricamen-
te midiéndííla con su unidad concreta respectiva,
para lo cual, como hay distintas especies de can-
tidadf^s, son también distintas las especies de uni-
dades concretas para medirlas.

Medir una cantidad es averigtuir la relación que
eanste con la unidad de la misma especie.

Como, por ejemplo: para medir la longitud de
una tabla se aplica á lo largo sucesivamente el
metro, y si resulta que puede aplicarse cuatro ve-
ces, dimmos que la longitud de la tabla es de
cuatro metros.

Cualquiera cantidad d^eterminada puede servir
de unidad para medir otras de la misma especie,
y de ahí nacieron los diferentes sistemas de pesas
y medidas usados en cada país.

Esta diversidad de sistemas de pesas y medi-
das que cada nación tenía, causaban inmensos

— 219 -

perjuicios á la agricultura, á la industria y al co-
mercio en general, por cuya razón, y para 'evi-
tarlos, la Asamblea Nacional francesa, el 8 de Ma-
yo de 1790, decretó la uniformidad de pesas y
medidas para todo el Reine, encargando á la Aca-
demia de Ciencias la formación del nuevo sistema.
Aquélla corporación con el objeto de darle toda la
universalidad posible, adoptó para expresar sus dj*
versas unidades nombres griegos y latinr^s, y tomó
eomo unidad fundamental ó base el Mbtro, que
representa la diezmillonésima parte de la distan-
cia del ecuador al polo Norte, contada sobre el
meridiano terrestre que pasa por París.

Esos cálculos fueron practicados por una co-
misión de matemátiíjos de varias naciones euro-
peas, los que se basaron en la mensura directa que
hicieron del arco de meridiano comprendido entre
Barcelona y Dunkerque.

De esta longitud, y teniendo ea cuenta el aplas-
tamiento de la Tierra en los polos, dedujeron que
el cuadrante del expresado meridiano se compone
de 5130740 ^oe9a^ (tnedida francesa antigua) tomán-
dose para formar el metro una diezmillonésima
|)arte de dicha distancia, ó sea

0*513074 de toesa=l metro.

\Por ley de lo de Diciembre de 1799 fué aprobado en
Francia el sistema métrico decimal de pesas y medidas, con*
feccionado por ta Academia de Ciencias de Paris, en uni6n
de varios matemáticos de diferentes nacionalidades.

Sin embargo, y á pesar del citado decreto de la Asamblea
francesa del 8 de Mayo de 1790, el uso del nuevo sistema
de pesas y medidas no se hizo exclusivamente obligatorio en
Francia hasta el i*. de Enero de 1840.

Pocos años después, fueron reconocidas las inmensas ven
tajas de este sistema sobre todos los antiguos, y su uso fué

— 2á0 —

decretado en casi todos los países civilizados de Europa y
América.

.En esta República se adoptó el sistema métrico decimal
de pesas y medidas por ley de 20 de Mayo de 1862. pero úni-
camente se hizo obligatorio desde el primero de Julio de 1867
según decreto del 3 Noviembre de 1866.'

19S« Las unidades, coiirre as necesarias para
nieíjir ti»da clase de cantidades, se reducen a las
ocho especies siguientes: unidades de longitud^ de
capacidad para liquidas y áridos, de peso, de su-
perficie, de volumen, de dineró^.áe tiempo y angulares.

Las unidades de tiempo no se han |Midid(» ajus-
tar iil sistema métrico, porque ellas e.stán deter-
nninadas por Ja naturaleza, y son las mismas en
todos los países civilizados del mundo.

Las unidades de dinero tpman el nombre de
mon<idas, y cana país les da su valor le^al, h» que
constituye su sistema monetario, .

Unidades principales del sistema
métrico decimal

196. Llámase sistema métrico decimal de jpe-
sas y medidas, al conjunto de unidades ó medidas
legales que tienen por base el metro y que están
subordinadas las unas á las otras según la ley de^
la num^eración decimal.

Las principales unidades de este sistema son
las siguientes:

El METRO, que es la unidad fundamental de to-
do el sistema y la principal de las medidas de
longitud.

El iJTRo, que es la unidad principal de las" me-
didas de capacidad para líquidos y áridos, el cual
es equivalente al volumen de un cubo que tenga
por arista la décima parte de un metro.

— 221 —

El ORAMO, que es la lenidad principal para los
pesos, el cual es equivalente á lo que pesa en el
vacío, y á la temperatura de cuatro grados cen-
tígracjos, un volumen de agua destilada igual a
un cubo cuyo lado sea la centésima parte de un
metro.

Las unidades principales para las superficies,
son el METRO CUADRADO y el Área. La primera se
usa para medir, superficies de pequeña extensión,
y la segunda para las agrarias: el área es un
cuadrado que tiene 10 metros por cada lado.

Las unidades principales para los volúmenes
son el METRO CUBICO, que es un cubo que tiene
por cada lado^ un metro, y el esterio que es tam-
bién un metrí» cubico destinado, para medir leña.

La unidad principal de moneda es el peso.

L(;S múltiplos de estas diferentes unidades, á
excepción de la moneda, se forman anteponiendo
á cada una lavS siguientes palabras griegas:

DECA, HECTO, KILO y MIRIA
diez, ciento y mil diez mil.

Para formar los submúltiplos se anteponen á
las n)ismas unidades las siguientes voces latinas:

DECI, CENTI, MILI

décimjo, centesimo, milésimo

Medidas de long^itud

IQTT. El metro, como se ha dicho antes, es
la unidad principal de las iuedidas de longitud, cu-
yos múltiplos y subn ültiplos son los siguientes:

- 222 —

'Muftíplos

a^

100 »»

10 r^

0,1. »
0,01 )>

o;ooi >

rep»*esenta nii
centimeiros v

Miriámetm (Min) () 1^000 metros
Kilómetro .(Km) 1000 » '
HectómetrotHm)
Decámetro (I)m)

Unidad tisual metro (m)

¡Decímetro (dm)
Centímetro (rm)
"Milímetro :(ntim)
La fiííura núínen» 1
decímetro dividido en
riii I ¡metros.

Las medidas lon^^ítudinales sirven
para medir distancias poro no todas
éstas medidlas son e/eclivas ó reales, so-
lo se constrnyen y emplean las anto
rizadas por la ley, las cuajes son:
Él medio hectómetro 5 decámetros.
'El doble decámetro 2 decámetros.
í El decámetro (cadena de agritnensor).
q El medio decámetro (poci) nsadd) 5
I [metros

I 'El doble metro 2 metros.
J El m,eiro.

\ El m^dio metro (poco ns^do) &decí-

[ metros.
El doble decímetro 2 decímetros.
*EI deci&tétro,

'L'as trés'p'Htileras'^n»Msadas general-
mente por los Aí^rimensores, Arquitectos
éífengenierostparaf nvedir l(»ngitndes S(»-
bre él terreno, y las dos últimas, subdi-
vididas en milímetros y medios milíme-
tros. se usan para medir lín i8fa«»sdbre el
-ípapel donde se construyen hisí planos.

(•) A cotrtinüación deseada unidad níétrica indicamos ia ' ai^eríatm-a por
aedio de la cual generalmente se la designa

— 223 -

El metro se usa para medir la longitud de las
telas, etc.

Moda de escpibip y leer cantida-
des métricas

. i 98. Según la tabla de las medidas de lon-
gitud que acabamos de exponer, observamos que
cualquiera de las unidades expresadas equivalen
á 10 unidades de la clase inmediata inferior, ó
lo que es lo mismo, 10 unidades de una clase cual-
quiera representan ó forman una de la clase in-
mediata superior, lo mismo que sucede con los
diferentes órdenes de unidades de los números de-
cimales. Así pues, tomando por unidad el metro,
podremos escribir cualquiera cantidad métrica del
mismo modo que se escriben los números decima-
les, colocando la coma á la derecha de la cifra
que expresa los metros, teniendo presente que la
cifra á la derecha de la coma representará siem-
pre décimos de metro ó sean decímetros, la se
gunda centésiinos de metro ó sean centímetros, la
tercera milésimos etc., así como la segunda cifra
á la izquierda de la coma expresará siempre de-
cenas (5 sean decámetros, tomándose como se ha
dicho por uiíidad principal el metro: la tercera ex-
presará centenas ó sean hectómetros; la cuarta
millares ó sean kilómetros, y así sucesivamente.

Del raciocinio que acabamos de hacer se dedu-
ce la siguiente:

Regla— Para escribir una cantidad métrica cual-
qiiieía, se escriben de izquierda á derecha las ci-
fras que expresan las unidades concretas de cada
clase, unas al lado de las otras, principiando por

— 22A —

la de clase superior hasta escribir la de las unida
des simples, cuidando de ocupar con cercos los luga-
7'es intermedios donde falten unidades de alguna
clase. A la derecha de la cifra que exprese las uni-
dades simples se coloca una coma y enseguida se
escriben los decímetros, después los centímetros, etc.
Por ejemplo: 8 heclóraetros, 2 decámetros, 5
metros, 7 decímetros y 9 centímetros se escribirá
de este modo

825,79 metros

Para expresar 8 miriámetros, 3 hectómetros, 6
metros y 4 milímetros, se escribirá

80306,004 metros

Cuya cantidad la hemos escriio empezando por
la cifra 8 que representa la clase superior de uni-
dades: á la derecha de la cifra 8 se coloca un
cero porque la cantidad propuesta carece de ki-
lómetros: á la derecha de este cero se coloca la
cifra 3 que representa los hectómetros y como no
tenemos decámetros colocamos un cero á la de-
recha del 3 y en seguida la cifra 6 que expresa
los metros ó sean las unidades simples: después
se escribe la coma y enseguida dos ceros ocu-
pando el lugar de los decímetros y centímetros de
que carece el número propuesto y por último la
cifra 4 que expresa los milímetros, quedando así
escrito el número dado, de acuerdo con la regla
precedente.

Otros ejemplos

P.— 1 kilómetro, 4 decámetros y 9 centímetros,
se escribirá

— 225 —

1040,09 metros

2^. --36 miriámetros, 8 metros y 2 milímetros se
escribe asi:

360008,002 metros

3^.-845 kilómetros y 14 metros se escribirá asi:

845X014 metros

4^.-35 milímetros se escriben así:

0,035

Puede suprimirse la palabra metro escrita al
íina! del número, colocando una m á la parte su-
perior y á la derecha de la cifra que representa
las unidades simples ó sean los metros: así las
cantidades expresadas en los ejemplos anteriores
so pueden escribir de este modo:

P— 1040,"»09; 2".— 360008,"^002

3«.— 845014"»; 4^'— 0,»^035

l99. Las (*anti(lades métricas se pueden leer
(le tres modos diferentes:

P. Expresando el valor absoluto de cada ci-
fra y la denominación de la clase de unidad que
representa.

2^. Como si fuesen dos cantidades, leyendo
primero la que está á la izquierda de la coma
dándole la denominación de metros y enseguida
la que está á la derecha dánd(>le la denomina-
ción correspondiente á la última cifra.

Jíi:

— 226 —

3^. Como si fuese una sola cantidad expresan-
do al íín la denominación de la clase de unidad
que representa la última cifra.

Por ejempl(»; la cantidad 427, "*35 se puede leer
de los tres modos siguientes:

P. Cuatro hectómetriís, dos decámetros, siete
metros, tres decímetros y cinco centímetros.

2°. Cuatrocientos veinte y siete metros, treinta
y cinco centímetros.

3*^. Cuarenta y dos mil setecientos treinta, y
cinco centímetros.

La |>rimera lectura es evidente, por lo tanto
no necesita <lemostrarse.

La segunda y tercera se justifica por medio
del siiruiente raciocinio:

Un hectómetro equivale á 10 decámetros, luego
4 hectómetros representan 40 decáíuetros y mas 2
que hay en el número propuesto formai 42. Un
decámetro equivale á 10 metros, 42 decámetros
representan 420 metros y más 7 que liny en el nú-
mero dado forman 427 metros.

Luego vemos <iue lo mismo OvS decir 4 tiectó -
metros, 2 decámetros y 7 metros, (jue 427 metros.

Del mismo modo probaríamos que 3 decímetros
y 5 centímetros equivalen á 35 ceníímetros, con lo
cual queda justificada la segunda lectura.

En cuanto á la tercera basta observar que un
metro equivale á 10 decímetros; luego 427 metros
representan 4270 decímetros y más 3 que hay en
el número propuesto forman 4273. Un decímetro
equivale á 10 centímetros; luego 4273 decímetros
forman 42730 centímetros más 5 que hay en el
número dado forman 42735 centímeiros, lo que
justifica la tercera manera de leer las canUdades.

SOO. Cambio de unidad.

— 227 —

1«. Tenemos 12742"*93 y queremos expresar esT
ta cantidad en kilómetros.

Sabemos que 1000 metros equivalen á un ki-
lómetro; luego, dividiendo el número dado por
1000, el cociente representará kilómetros, y como
para dividir un número decimal por la unidad
seguida de ceros, se corre la coma tantos lugares
a la izquierda como ceros acompañan á la unidad,
tendremos en este caso que correr la coma tres
lugares á la izquierda y el número que resulte
será el pedido. Así pues

1 2742,'"93=l 2, k'"74293

Conviértase en milímetros 347,'"6.

Un metro tiene 1000 milímetros; luego, multi-
plicando por 1000 el número dado, el producto
representará miliinetros, y como para multiplicar
un número decimal por la unidad seguida de ce-
ros, se corre la coma tantos lugares á la dere-
cha como ceros acompañan á la unidad, corrien-
do en este case» la coma tres lugares á la dere-
cha, el número que resulte expresará milímetros.
Luego tendremos:

347,'«6 ^ 347600 m ni.

3'. Conviértase en kilómetros la cantidad 8,'"25.

Según hemos visto eíi el primer ejemplo, para
convertir en kilómetros una cantidad exprOvsada en #
ineti'os. basta dividirla por 1000; luego

8,»"25=0,k»'00825

4°. Redúzcase á milímetros la cantidad 34801
hect(>metros.

.as¿^-.

— 228 —

Un hectómetro equivale á 100 metros; un me-
tro tiene 1000 milimetros; luego, el número dado
se tendrá que multiplicar por 100000 para redu-
cirlo á milínietms, y resultará:

:34801 li"'=3480100000 mm .

Del procedimiento seguido en la resolución de
los problemas anteriores, que es aplicable á cual-
quier otro caso que se presente, se deduce la si-
guiente

Regla. — Para referir cantidades métricas de
una clase de unidades á otra si la nueva es 10,
100, 1000, etc., veces mayor que la primititm, se
corre la coina uno, dos, tres, etc. y lugares hacia la
izquierda, agregándole, en caso necesario, los ceros
que fuesen precisos] y al contrario, si la nueva uni^
dad es 10, 100, 1000, etc., veces menor que la pri-
mitiva, se cerré la coma uno, dos, tres, etc. higa-
res hacia la derecha, agregándole, ia^nbién en caso
necesario, los ceros que fuesen precisos, y en cual-
quiera de los dos casos indicados, se le dá á la can ■
iidad que resulte el nombre de la nueva unidad.

Problemas sobre el metro

Las operaciones con los niimoros que expresan
cantidades métricas, so eleciúan lo mis i;o que
con los números decimales abstractos y. la deno-
minaci(5n de las unidades concretas del resultad<^
se deduce facihnente de las condiciones del pro-
blema

Problema 1'. Un comerciante ha comprado 5
piezas de género cuyas longitudes son las siguien-
tes:

- 229 —

36,™25; 84,«»042; 9,°^58; 74,»>13; 45°»; y se quiere
saber cuanto ha comprado por todo.

Se efectúa la adición de los números decima-
les que representan la longitud de cada pieza y
la suma expresará la cantidad de género com-
prado.

36,25
84,042
9,58
74,13
45,-

249,002

Resulta que ha comprado 249 metros y 2 mi-
limetros de género, ó sean 2 hectómetros 4 de-
cámetros, 9 metros y 2 milímetros ó 249 mil 2
milímetros.

2". De Meló á la Villa de Artigas hay apro-
ximadamente unos 98654 metros, y al puente del
arroyo Chuy solo hay 14560. ¿Qué distancia re
sulta haber entre Artigas y el citado puente del
Chuy?

La diferencia entre los dos números que re-
presentan las distancias indicadas, expresará la
pedida, así:

98654
14560

84094

Resulta que de Artigas al puente del arroyo
Chuy hay 8 Mm, 4 Km, 9 Dm y 4 m, ó sean
84094 metros, ó bien 84 Km y 94 m.

— 230 —

3*". Costando 67 reales el inelro de cierto pa-
ño, ¿cuánto costará» 49,™25?

Si uii metro cuesta 67 reales, 49,"*25 costarán
49,25 veces más, luego multiplicando 67 por 46,25
el producto representará el costo de la cantidad
de paño indicada. Asi:

46,25
67

34475
29550

^" 329975

Resulta pues, que los 49,"25 de aquel paño
cuestan 3299,75 reales.

4*. Habiendo pagado 36 pes(>s por la hechura
de un kilómetro 'de cerco de alambré, se (^iiiere
saber cuanto costó el metro de diclio cercada.

Un kilómetro tiene 1000 metros, luego el valor
de un metro de cerco, será 1000 veces men(»r que
el de un kilómetro, así pues, dividiendo 36 pesos
entre 1000 el cociente expresará el valor pedid<»;
y como par» dividir un número por la unidad se-
guida de ceros basta separar de diclio número
tantas cifras decimales como ceros acompañan á
la unidad, tendremos:

36:1000=0,036

Resulta que el metro lineal del expresado cer-
co, costó 0,036 de peso.

EJERCICIOS

P. Caminando 86 metros por minuto, ¿qué

— 231 —

tiempo se necesitará para ca^tninar 36 kilómetros,
8 hectómetros y 6 decámetros?

2°. ^Cuántos metros componen 46 decámetros,
93 kilómetros, 7 miriámetros y 58 decímetros?

3°. ¿Guántos kilómetros componen 324 metros,
56 hectómetros, 78 miriámetros y 4836 centíme-
tros?

Medidas de eapaeidad

SOI. Las medidas de capacidad son las des-
tinadas á medir líquidos, granos, frutas, carbón,
etc., la unidad principal ya hemos dicho que es
el litro, cuyos múltiplos y submúltiplos se forman
lo mismo que los del metro. Asi:

Múltiplos

Miriálitro (MI) 10000

Kílólitro (Kl) 1000

Hectolitro (Hl) 100

Decalitro (DI) 10

Unidad usual litro (1)

Submúltiplos

Decilitro

Centilitro

Mililitro

(di)
(el)
(mi)

0,1

0,01

0,001

litros

Fig. 2

Fig.3

Fig. 4

— 232 —

No todas las medidas expresadas son efectwas
ó reales, solo se construyen y emplean las auto-
rizadas por la ley, las cuales son:

Ei

hectolitro

El

medio hectolitro

5

decalitros

El
El

doble decalitro
decalitro

2

>

El

medio decalitro

5

litros

El

doble litro

2

»

El

litro

El

medio litro

5

decilitros

El

doble decilitro

2

»

El

decilitro

El

medio decilitro

5

centilitros

El

El

doble centilitro
centilitro

2

»

Estas medidas tienen todas la forma cilindrica
y se construyen de cobre, de plancha de hierro,
de hierro fundido, de estaño, de hoja de lata, etc.,
segün el destino que tengan

Asi por ejemplo, las 5 primeras ó sean desde
el hectolitro hasta el medio decalitro, se constru-
yen de cobre ó de hierro cuando se destinan al
comercio por mayor de vinos, aguardientes, etc.,
y cuando son para medir materias secas pueden
construirse también de madera dura, con un ribete
de hierro en la parte superior é inferior, para
que conserven siempre sus dimensiones; en todos
los casos la profundidad es igual al diámetro.

Las medidas de estaño toman la forma de la
representada por la figura 2 y sirven para el co-
mercio al menudeo de vinos y aguardientes, em-
pleándose tan solo las ocho últimas, es decir,
desde el doble litro hasta el centilitro.

— 233 -

Las medidas de hoja de lata se destinan ex-
clusivamente para la leche y el aceite y se cons-
truyen de un diámetro igual á su profundidad,
como las representadas por las figuras 3 y 4.

/ti02. Las cantidades que expresan unidades
de capacidad se escriben, leen, cambian de uni-
dad y se opera con ellas del mismo modo que
con las que representan unidades longitudinales,
según las reglas dadas en los números 1 OS,
1 99 y 200

PROBLEMAS

l.«— Cuánto importan 36 hectolitros, 45 kilóli-
tros y 359 litros de trigo á razón de $ 4,25 el hec-
tolitro?

Empezaremos por sumar las cantidades dadas
reducidas todas á litros. Así:

3600 litros
45000 ))

359 y>

48959 litros

Ahora, como el precio conocido es el del hec-
tolitro, reduciremos los 48959 litros ó hectolitros
para lo cual bastará dividir dicho número por 100
y tendremos:

48959 litros=489,50 hectolitros y por último
naultiplicando el número que expresa los hecto-
litros de trigo que tenemos^ por el que representa
el valor de un solo hectolitro de dicho grano,
obtendremos el importe del todo.

"W

— 234 —

489.59
4,25

244795
97918
195836

20807575

Importa el trigo $ 2080,7575.
2". — Costando el hectolitro de raaiz s 1.25, ¿qué
cantidad podré comprar con $ 8654.32?

8654,32
1154
293
432
570
700
750
00

1,25

6923,456

Podrán eoniprarse 6923,456 hectolitros de maíz,
ó sean 69 miriálitros, 2 kilólitros, 3 hectolitros, 4
decalitros, 5 litros y 6 decilitros, ó bien 6 núlht-
nes 923 mil 456 decilitros.

3». — ¿Cnanto pesan 8036495 litros de trigo en
el supuesto de que el hectolitro de este grane» pe-
sa 78 kilogramos?

Los 8036495 litros eqnivalen á 80364,95 hectoli-
tros y pesando cada hectolitro de trigo 78kilógra
mos el peso de los 80364,95 hectolitros se hallará
multiplicando este número por 78. Asi:

- 235 —

80364,95
78

64291960
56255465

6268466,10

Re«^ulta qne 8036495 litros de trigo pesan
6268466^10 kilogramos.

4^ -865425 litros de trigo costaron 29424,45
pesos, ik cuánto sale el hectolitro?

Los 865425 litros equivalen á 8654,25 hectoli-
tros, ahííra dividiendo el número que representa
el precio de todo el trigo, por el número que re-
presenta la cantidad de hectolitros de trigo com-
prado, el cociente expresará el valor de cada hec-
tolitro.

29424,45

3461700
000000

8654,25

3,4

El hectolitro de trigo resulta á $ 3.40

5*^. Un viticultor ha cosechado 4836 hectolitros
de vino; ¿cuántos barriles de 250 litros de capa
cJdad, necesitará para contenerlo?

6o. —Costando el litro de cierto vino $ 0,32;
¿cuánto cofitará un hectolitro del mismo vino?

7o._C(»8tando un hectolitro de aceite $ 42,50,
¿cnál sera el precio de un litro del mismo aceite?

go.—Un conjerciante ha comprado 2517 sacos
de trigo, cada uno de los cuales contiene 1 hec-
tolitro y 25 litros; ¿cuál es la cantidad de trigo
comprado?

i^-

— 23C —

9^. — Costando 10 centesimos de peso un litro
de arvejas. ¿cnánt(» costarán 5 hectolitros?

10° — ¿Cnántos sacos se necesitan para colocar
497 hectolitros de papas, conteniendo cada nno
solo 8 decalitros 5 litros?

Unidades <ie pesos

S03. Los múltiplos y submúltiplos de la
unidad primiipal de peso, que como se sabe es el
gramo, se forman lo mismo que los múltiplos y
submúltiplos del metro y del litro, así:

Miriágramos (Mg) 10000 gramos

Múltiplos ) Kilogramo (Kg) 1000 i>

Hectógramo (Hg) 100 »

Decágramo (Dgj 10 »

Unidad usual Gramo (g)

¡Decigramos (dg) 01 »
Centigramos (cg) 0,01 »
Miligramo (mg) 0,001 »

Para evaluar los grandes pesos se toma por
unidad el kilogramo cuyos múltiplos son los si-
guientes:

Tonelada métrica (t) 1000 kg.
Quintal métrico (Ql) 100 »
Miriágramo (Mg) 10 »

r

- 237 —

MEDIDAS EFECTIVAS

Las pesas usuales son 24, de las cuales la ma-
yor es de 50 kg. y la menor de un miligramo,
cuyos pesos son los siguientes:

50

kilogramos

5

gramos

20

»

2

»

10

»

1

»

5

»

5

decigramos

2

»

2

»

1

»

1

»

5

hectógramos

5

centigramos

2

»

2

»

1

»

1

»

5

decágramos

5

miligramos

2

»

2

»

i

»

1

»

'I

Figura 6

Las diez primeras pesas son generalmente de
hierro fundido, tienen la forma de troncos de pi-
rámide, con bases rectangulares como la de la ñ-

— 239

gura 5 ó con bases exagonales como la de la fi-
gura 6.

Figura 7

También se hacen de cobre de forma cilindrica
con un botón en la parte superior como la repre-
sentada, por la figura 7, construyéndose general-
mente de este metal las comprendidas entre 20
kilogramos y 1 gramo inclusives.

- 240 ~

2

OECIG.

©©©O®©©

Figura 8

Las nueve pesas últimas son láminas delgadas,
ordinariamente de cobre, algunas veces de plata;
tienen la forma representada por la figura 8. Sir-
ven principalmente para pesar las materias pre-
ciosas, como el oro, diamantes, etc., y en la far-
macia.

Las cantidades que expresan unidades de peso,
se escriben, leen y cambian de unidad y se opera
con ellas del mismo modo que con las que repre-
sentan unidades longitudinales, según las reglas
dadas en los números 1 08, 1 OO y SÍOO.

EJERCICIOS

P. Para expresar 9 kilogramos, 5 liectógra-
raos, 2 decágramos y 8 decigramos, se escribirá
de este modo:

9520, 8 gramos

2^, Para expresar 250 toneladas métricas, 8
quintales métricos, 6 hectógramos y 9 centigramos,
se escribirá:

250800600,09 granaos

Cuya cantidad puede leerse d^ los tres modos
indicados en el número 199; así:

— 241 —

1°. 250 toneladas métricas, 8 quintales métri-
cos, 6 hectógramos, 9 centigramos.

2". 250 millones, 800 mil 600 gramos, 9 cen-
tigramos.

3**. 25 mil 80 millones, 60 mil 9 centigramos.

Pero una cantidad grande como la que acaba-
mos de leer, conviene más referirla á una unidad
supenor como el kilogramo, y en tal caso se lee
así:

250 mil 800 kilogramos, 60 mil 9 centigramos.

3°. Conviértase en miligramos 25,042 kilogra-
mos.

Un kilogramo tiene un millón de miligramos;
luego, multiplicando la cantidad dada por 1000000,
se obtendrá la pedida.

25,042 kg.=25042000 nig.

4**. Conviértase en quintales métricos la can-
tidad 200549386 gramos.

Un quintal métrico tiene 100000 gramos, luego,
dividiendo por 100000 el número dado, el cocien-
te expresará quintales métricos, - así:.
200549386 gramos=2005,49386 quintales métricos.

PROBLEMAS

P. Sabiendo que con un kilogramo de hari-
na se produce 1,25 kilogramos de pan, ¿cuántos
kilogramos de harina se necesitan para hacer
463587 decigramos de pan?

2*". La báscula se usa para apreciar los gran-
des pesos y está dispuesta de tal modo que los
objetos colocados sobre ella se equilibran con un

— 242 —

peso 10 veces menor; ¿que pesas se emplearán pa-
ra pesar un saco de lana que pesa 83,234 kilo-
gramos?

3'*. Un kilogramo de harina hemos dicho que
produce 1,25 kg de pan bien cocido, y calculan-
do en $ 1,20 los demás gastos del panadero y
utilidad en cada 100 kg. de pan, ¿á qué precio
debe venderse el kilogramo de pan cuando la ha-
rina buena de cilindro vale s 1,30 los 11 kg.?

LECCIÓN XXII

Continuación del sistema métrico deci-
mal de pesas y medida

MEDIDAS SUPERFICIALES

S04r. Hemos visto en el número lOGque las
unidades principales para las superficies son el ?ne-
tro cuadrado y el área.

El metro cuadrado es un cuadrado que tiene
un metro de longitud por cada lado.

El área es un cuadrado que tiene 10 metros
de longitud por cada lado.

El decímetro cuadrado, el centímetro cuadra-
do y el milímetro cuadrado son cuadrados que tie-
nen respectivamente un decímetro, un centímetro
ó un milímetro de longitud por cada lado.

S05. Un metro cuadrado contiene 100 decí-
metros cuadrados.

— 243 —

3 C

!

i ,

I i

! i

i i

Figura 9

D

En efecto, supongamos que el cuadrado figura 9
representa un metro cuadrado; dividiendo los cua-
tro lados en diez partes iguales, cada parte re-
presentará un decímetro; ahora, uniendo con lí-
neas todos los puntos de división opuestos, el me-
tro cuadrado quedará como se ve en la figura 9,
dividido en 10 hileras de á 10 cuadritos peque-
ños ,cada una, cuyos cuadritos tienen por lado un
decímetro, luego vemos que el metro cuadrado
se compone de 10X10=100 decímetros cuadrados.

Del mismo modo probaríamos que el área tie-
ne 100 metros cuadrados, que el hectómetro cua-
drado tiene 100 áreas ó decámetros cuadrados.

— 244 —

que el kilómetro cuadrado tiene 100 hectómelros
cuadrados etc. . .^ . . Asi como el decímetro cua
drado tiene 100 centímetros cuadrados, el centí-
metro cuadrado 100 milímetros cuadrados, el mi-
límetro cuadrado 100 diezmilímetros cuadrados, etc.,
luego resultará también que 1 metro cuadrado=
100 decímetros cuadrados=^10000 centímetros cua-
drados=1000000 milímetros cuadrados etc. 1 Hec-
tómetro cuadrado = 100 decámetros cuadrados=
10000 metros cuadrados, etc.

506. Recíprocamente, un metro cuadrado es
la diezmilésima parte de un hectómetro cuadrado,
ó la centésima parte de un decámetro cuadrado;
así como un decímetro cuadrado es la centésima
parte de un metro cuadrado; el centímetro cua-
drado la diezmilésima parte, y el milíinelro cua-
drado la millonésima parte del metro cuadrado.

507. Unidades de superficies m.cd.

Miriámetro cuadrado (Mm.cd.) 100000000
Kilómetro cuadrado (Km.cd.) 1000000
Hectómetro cuadrado (Hm.cd.) 10000

o

-0

S f Decámetro cuadrado (Dm.cd.) 100

Unidad usual metro cicadrado (m.cd.)
o ( Decímetro cuadrado (dm.cd.) 0,01

3 < Centímetro cudrado (cm.cd.) 0,0001

x¡ f

^ I Milímetro cuadrado (mm.cd.) 0,000001

SOS. El metro cuadrado y los submúltiplos
de él, se emplean para medir superficies peque-
ñas, como la de las huertas, solares, paredes, pi-
sos y techos de una casa etc.

El decámetro cuadrado con el nombre de área.

-.1:.

— 245 —

y el hectómetro cuadrado con el nombre de hectá-
rea, son !as unidades agrarias que se acostum-
bran á tomar cuando se quiere valuar una su-
perficie algo considerable, tomándose como sub-
múlt^iplo la centiárea, que es igual á un metro cua
drado.

SÍOO. Se ha visto en el numero S05 que
una unidad superficial de un orden cualquiera va-
le 100 unidades del orden inmediato inferior, ó
lo que es lo mismo, que se necesitan 100 unida-
des superficiales de un orden culquiera para for-
mar una del orden inmediato superior, de donde
resulta que todos los múltiplos se deben escribir
con dos cifras, exceptuando el superior, que pue-
de llevar \:na sola y los submúltiplos con otras
dos cada uno.

Por ejemplo, 35 hectómetros cuadrados, 8 de-
cámetros cuadrados y 5 metros cuadrados se es-
criben.

350805 metros cuadrados.

8 kilómetros cuadrados, 7 hectómetros cuadra-
dos, 67 decámetros cuadrados, 4 metros cuadrados,
25 decímetros cuadrados y 6 centímetros cuadra-
dos se escriben

8076704,2506 metros cuadrados.

Del mismo modo se escribirán 325 hectáreas,
8 áreas, 43 centiáreas y 4 centímetros cuadrados

32508,430004 áreas.

Recíprocamente, 13094,56 áreas, equivalen á
130 hectáreas 94 áreas y 56 centiáreas.

~ 246 —

El número 4002953,768 metros cuadrados, equi-
vale á 4 kilómetros cuadrados, 29 decámetros cua-
drados, ó áreas, 53 metros cuadrados 6 Qeatiáreas,
76 decímetros cuadrados y 80 centímetros cuadra-
dos. De modo, que cuando el número de cifras
decimales es impar se le agregerá un cero para
leerlo.

El miriámetro y el kilómetro cuadrado se toman
por unidad cuando se quiere expresar superficies
muy grandes, como la de un continente, la de una
nación, etc.

SI O. Cambio de unidad. Se procede de una
manera análoga á la explicada en el número SOO.

Por ejemplo, sea trasformar 865,4324 áreas en
metros cuadrados ó centiáreas, como que una área
tiene 100 centiáreas, la cantidad de áreas dada
se trasformará en centiáreas multiplicándola por
100, para lo cual bastará correr la coma dos lu-
gares á la derecha y obtendremos 86543,24 metros
cuadrados.

Para convertir 385,00439107 kilómetros cuadra-
dos en áreas, como que un kilómetro cuadrado
tiene 10000 áreas se multiplicará por 10000 el nú-
mero dado y obtendremos

3850043,9107 áreas.

Conviértase 15400391478 milímetros cuadrados
en kilómetros cuadrados y dará

0,015400391478 kilómetros cuadrados.

21 1. Medidas efectivas. No existen medidas
reales ó efectivas de superficie; para valuar upa
superficie se miden ciertas líneas con las medidas
reales de longitud.

— 247 —

Conocidas estas dimensiones se calcula la su-
perficie empleando los medios que para ello nos
suministra la geometría y trigonometría.

EJERCICIOS

P. ¿Cuánto lia'y que pagarle á un labrador que
aró 291503,14 decímetros cuadrados de terreno, á
razón de $ 0,0489 el área?

2". Se quieren sembrar dos terrenos de alfal-
fa: el primero compuesto de 54326,04 metros cua ■
drados, y el segundo de 30592,147 m.cd., y sa-
biendo que se necesitan 20 kg. de semilla para
cada hectárea, ¿cuánta semilla será necesaria pa-
ra los dos terrenos?

Medidas de volumen

número 196 i\ue
los volúmenes son

que tiene por ca-

212. Se ha dicho en el
las unidades principales para
el metro cúbico y e! eslerio.

El 7netro cúbico es un cubo
da lado un metro.

El esterio es también un metro cúbico destina-
do pai'a inedif leña, (véase en los números SSl v
222).

213. Las uniilades de volumen son cubos

fíH'inados \)')V cuadrados
unidades longitudinales,

Miriíhnetro cúbico
Kilómetro cúbico
Hectómetro cúbico
Decámetro cúbico

Cu

*?3

voiumen son
que tieiiCM poi' lados
v son las sií>*uientes:

las

(Miu.cb.) 1000000000000
(Km.ctb.) 1000000000
(Hm.cb.) iOOOOOO
(Dm.cb.) 1000

o

— 248 —
Unidad usual Metro cubico (m.eb.)

Decímetro cubico (dm.cb.) 0,001

^ { Centímetro cúbico (cm.cb.) 0,000001

M f Milímetro cúbico (inm.cb.) 0,000000001

SI 4. Vemos en el cuadro precedente, que
una unidad cúbica de un orden cualquiera, es 1000
veces menor que la del orden inmediato superior,
es decir, que una unidad cúbica cualquiera con-
tiene 1000 unidades del orden inmediato inferior,
en efecto; supongamos que tenemos una caja cú-
bica cuyas caras interiores tienen un metro de
lado, de modo que la caja podrá contener exac-
tamente un metro cúbico.

Sabemos que las caras del cubo son cuadradas,
así pues, las caras de la caja que nos imagina-
mos será cada una igual á un metro cuadrado.

Si dividimos la cara del fondo en 100 decíme-
tros cuadrados (205), y sobre cada uno de ellos
colocamos un decímetro cúbico, tendremos el fon-
do de la caja justamente ocupado por 100 decí-
metros cúbicos, pues cada uno de elios coincidi-
rá exactamente con cada uno de los decímetros
cuadrados de la cara del fondo •

Pero esta capa de decímetros cúbicos no («cu-
paiá más que la décima parte de la altura de la
caja, luego pues, tendré que colocar unas enci-
ma de las otras, 10 capns de decímetros cúbicos
para llenar completamente la caja, por consiguien-
te contendrá 100xlO:=1000 decímetros cúbicos.

Del mismo modo probariatnos que el decíme-
tro cúbico contiene 1000 centímetros cúbicos, v

— 249 —

que el ceiitímetro cúbico vale 1000 inilíinetros cú-
bicos, etc.... . Así corno que el decámetro cú-
bico contiene lOüO metros cúbicos, el hectómetro
cúbico 1000 decámetros cúbicos, etc. luego resul-
tará también que 1 metro (ítí6¿co=1000 decímetros
Cii&íC05= 1000000 centímetros cti&/co5= 1000000000
milimetros cúbicos,

1 kilómetro cúbico=^lOOO hectómetros cúbicos=
1000000 decámetros cúbicos=\JdOOOOOOOO metros cú-
bicos,

515. Recíprocatnente, un metro cúbico es la
millonésima parle de un liectómetro cúbico, ó la
milésima parte de uti decámetro cúbico; así como
un centímetro cúbico es l¿]i millonésima parte de
un metro cúbico ó la inilésima parte de un decí-
metro cúbico.

51 6. Seiiún acabamos de ver, una unidad
cúbica de un nrden cualquiera vale 1000 unidades
del orden inuiediato inferior, ó lo que es lo n)ismo,
se necesitan 1000 unidades de un (u-den cualquie-
ra para formar una del orden inmediato superior
de donde resulta que todos los múltiplos se de-
ben escribir con tres cifras, excepcicui del supe-
rior que puede teiier una ó dos solamente, y los
submúltiplos se escriben también con tres ciíras
cada uno.

Por ejemplo, 8 kilómetros cúbicos, 36 hectóme'
tros cúbicos, 149 decámetros cúbicos, 7 metros cú-
bicos y 47 decímetros cúbicos, se escribirá

8036149007.047 n etros cúbicos

Así, 140 kilómetros cúbicos, 63 d^cámei ros cú-
bicos, 75 metros cúbicos, 169 centímetros cúbicos
y 8 milímetros cúbicos, se escribirá

_!:* v:.

— 250 —
140000063075,000169008 metros cúbicos.

Recíprocamente, 8953,204 metros cúbicos equi-
valen á 8 decámetros cúbicos, 953 metros (túbicí)s
y 204 decímetros cúbicos.

El número 30059764,81002 metros cúbicos, equi-
vale á 30 hectómetros cúbicos, 59 decámetros cú-
bicos, 764 metros cúbicos. 810 decímetros cúbicos
y 20 centímetros cúbicos.

Siempre que ocurra que el número de cifras
decimales no sea múltiplo de 3 deberá completar-
se con uno ó dos ceros para que lo sea, co:no lo
hicimos en el último ejemplo que hemos puesto, y
como se verá en el sií^uiente

El número 85060492,8640173 metros cúbicos, es
equivalente á 85 hectómetros cúbicos, 60 decáme-
tros cúbicos, 492 metros cúbicos, 864 decímetros
cúbicos, 17 centímetros cúbicos 300 milímetros cú-
bicos

SI ir. El miriámetro, el kilómetro, el hectó-
metro y el decámetro cúbico se toman por unidad cu-
nado se quier eexpresar grandes volúmenes, como el
del- Sol, el de la Tierra, el de una gran montaña etc.

SIS. Cambio de unidad.— Se procede como
se ha explicado en los números SOO y 21 0.

Por ejemplo, sea convertir 345001,936780000415
decámetros cúbicos, en decímetros cúbicos.

Como un decámetro cúbico tiene 1000000 de-
címetros cúbicos, no tendremos más nada que ha-
cer, que correr la coma seis lugares hacia la ^le-
recha y resultará

345001936780,000415 decímetros cúbicos

El número 3645,089 metros cúbicos, reducido

— 251 —

á kilómetros cúbicos se -trasformará^, en
0,000003645089 km.cb.

219. Medidas efectivas.— No exis^ten más
medidas reales de volumen que las destinadas á
medir leña, de las cuales nos ocuparemos en se
guida.

Para determinar el volumen de un cuerpo se
toman con el decámetro, metro ó decímetro li-
neal, ciertas dimensiones con las cuales se dedu-
ce el volumen por medio del cálcul'\ según^pro-
cedimientos que nos enseña la geometría.

SSO« Observación— Para medir el volumen
de una embarcación se hace uso también del me-
tro cúbico que se llama entonces tonelada de ar-
queo.

El metro cúbico hemos dicho que tiene 1000
decímetros cúbicos, y como un decímetro cúbico
de agua destilada, á 4 grados centígrados de tem-
peratura pesa en el vació un kilogramo, el peso
del agua en las mismas condiciones, contenida en
un metro cúbico será de 1000 kilogramos; ó sea
una tonelada métrica, luego, la tonelada métrica
es el peso del agua pura contenida en una tone-
lada de arqueo.

Medidas para la leña

;s¿Sl. El EsTERio es la unidad principal de
las medidas para leña, es equivalente á un metro
cúbico.

El esterio no tiene mas que un múltiplo, el
decasterio equivalente á 10. estenos, y un submúl-

Jfe^í

— 252 —

tipio, el decisterio que representa h\ décima parte
del esterio.

SS^. Medidas efectivas. Tres son las me.
didas reales que existen, el esterio, el doble, este-
rio y el quintuplo esterio, equivalente á cinc^' es-
teVios.

Fiiz:. 10— ESTEKIO

El esterio es un cuadro de madera si\hcQ el
cual se elevan perpendicularmente dos iimiiUjuteíí
asegurados á la base por dos contrafuertes.

La separación de los nnontantes es de nn iiie-
tro y la altura de ellas varía según el lar^n de
las astillas de leña: siendo las astillas de inr me-
tro de largo, la aliara de los montantes debe ser
también de un metro, siendo las astillas mas lar*
gas, la altura de los montantes debe ser tueiíor.

Las astillas se colocan en capas horizun tales
entre los dos montantes hasta llegar á la altura
de ellos.

La leña generalmente se vende por \n que pe-
sa, por carradas ó por el número de astillas o
rajas, así es que el esterio se usa muy puco.

- 253 --
EJERCICIOS

1.^ ¿Qué cantidad de arena tendrá que condu-
cir y cuántos viajes tendrá que hacer un carreti-
llero para ganarse $ 235,46, habiéndose compro-
metido á cargar en cada viaje 635,047 centímetros
cúbicos, y cobrando $ 1.35 por cada carrada?

2.° Un carrero ha conducido desde las cante-
ras del Chuy, en ocho viajes 15436,721 decímetros
cúbicos de piedra. ¿Cuánto ha conducido en cada
viaje en el supuesto de que en cada, carga lle-
vaba igual volumen de piedra?

¿Cuanto se le debe, habiéndose convenido que
se le pagaría á razón de $ 2.235 el metro cú-
bico?

3."* E^ esterio de astillas de sauce pesa 324
kilogramos y vale ^ 1.50; el de álamo blanco pe-
sa 220 kg. y vale lo mismo que el anterior; estas
maderas carbonizadas por los procedimientos or-
dinarios dan de carbón poco mas ó menos el ter-
cio de su volumen y el quinto de su peso. ¿Cuál
es en metros cúbico y 'en kilogramos el producto
del esterio de cada una de las dos maderas in-
dicadas? ¿A que precio resultará el metro cúbico
v los 100 kg. de cada clase de carbón?

*^C5

Monedas

SS3* La unidad monetaria es el peso, que
es una pieza redonda que contiene 917 milésimos
de su peso en plata buena y el resto, ó sean 83
milésimos de cobre ó liga; sn peso total es de
25,49 gramos.

Las múltiplos del peso son:

i

_¡3L

— 254 —

El doble peso que vale 2 pesos

El medio doblón que vale 5 »

El doblón que vale 10 »

El doble doblón que vale 20 »

El quintuplo doblón que vale 50 »

El décuplo doblón que vale 100 »

En la República solo en papel moneda existen
los múltiplos del peso.
Los submúltiplos son:

S

'o,

O
O

o

Q

El medio peso ó cinco reales
El doble décimo ó dos reales
El décimo ó un real

4 centesimos ó 2 vintenes
2 centesimos ó 1 vintén

1 centesimo ó \ vintén

5 milésimos ó J vintén

VALOR OFICIAL.

De las monedas de oro que tienen cit*-
eulaeión leg'al en la República

España

Argentina
Brasil

Doblón de 100 reales $

y de 10 escudos » 4 82

25 pesetas (Alfonsinas) » 4 66

Pieza de 5 nacionales » 4.66

Pieza de 20000 reis ^ 10.56

» » 10000 reis » 5.28

)) » 5000 reis y> 2.64

■zijíi

^ 255 —

Chile, Cóndor de 10 pesos »

» Medio cóndor de 5 pesos >

Colombia Pieza de 20 pesos »

Perú Pieza de 20 soles »

Venezuela Pieza de 20 pesos »

E. Unidos Doble águilla de 20 dollars »

» Águila de ÍO » »

» Media Águila de 5 » »

Portuí*al Corona, pieza de 10.000 reis »

Iglaterra Libra esterlina, pieza, de

20 chelines »
» Media libra esterlina, pieza

de 10 chelines »

Alemania Pieza de 20 marcos »

» » de 10 » »

Austria ♦ de 8 florines »

Francia » de 100 francos »

» » de 50 • »

» V de 20 » >

Bélgica, Italia y Suiza, lo mismo que

8.82

4.41

18.66

18.66

18.66

19.32

9.66

4,83

10.45

4.70

2.35

4.60

2 30

3.73

18.66

9.33

3.73

Francia.

EJERCICIOS

1.° 25 doblones, 8 dobles pesos, 1 medio «do-,
blón, .3 pesos y 36 centesimos; ¿cuántos centesi-
mos de peso forman?

2.^ 63 libras esterlinas, 9 cóndores, 27 piezas
de 100 francos y 14 águilas, ¿cuántos pesos mo-
neda nacional forman?

3^. Convertir 324 libras esterlinas en francos,
moneda francesa.

Medidas para la cipcunfereiicia

384i. Al establecer b1 sistema métrico dí>cimal

— 256 —

de pesas y medidas, se dividió el cuadrante de circun-
ferencia en 100 partes iguales llamadas grados, ca-
da grado se considera dividido en 100 partes iguales
llamadas minutos^ y cada minuto en 100 segundos.

De este modo un arco cualquiera puede expre-
sarse siempre por un número decimal de grados.

Por ejemplo: 8 grados 25 minutr)s, 79 segun-
dos, puede escribirse así: 8,2579 grados.

PROBLEMA

¿Qué distancia hay entre Washington que se
halla á los 43,2077* grados de latitud Norte y
Kingston principal ciudad de la isla de Jamaica
que se encuentra sobre el mismo meridiano de
Washington, á los 1Q,9594 grados de latitud Norte?

Hemos dicho que el cuadrante de meridiano
terrestre tiene 10000000 de metros, y según aca-
bamos de ver el cuadrante de circunferencia se
divide en 100 grados, el grado en 100 minutos,
etc., luego fácil es averiguar que cada grado de
meridiano terrestre representa 100000 metros, ca-
da minuto 1000 y cada segundo 10 metros.

. De modo pues, que multiplicando por 10 la di-
ferencia de latitud, expresada en segundos, entre
los dos puntos indicados, obtendremos el número
de metros que hay entre las dos ciudades citadas.

432077 segundos
199594 >

Diferencia 232483 segundos

Multiplicando por 10 la diferencia hallada, ten-
dremos por último que la distancia entre Washing-
ton y Kingston es de 2324,830 kilónr^etros.

— 257 —
EJERCICIOS

1.^ Hállase la distancia que hay entre la ciu-
dad de la Colonia y la de la Asunción del Para-
guay, sabiendo que la primera se halla á los
38,3047 grados de latitud iSud, la seguiida á los
28,0901 grados, también de latitud Sud, y (^ue am-
bas se encuentran sobre el mismo meridiano.

2.** j.Cuántos grados, minutos y segundos cen-
tesimales c inpoílen 724009,35 kilómetros de me-
ridiano terretre?

LÍCCIÚM XX III ■

Sistema antigpuo de pesas y meiÚtidas

555. Como lo hemos dicho en el número 104:,
el único sistema de pesas y medidas autorizado
por la ley es el métrico decimal: pero á pesar de
esto es muy conveniente conocer* también el sis-
tema antiguo, pues hasta hace muy poco tiempo
ge ha usado, así pues, vamos á dedicar algunas'
páginas al estudio del sistema antiguo dé pesas
y medidas, á las equivalencias y reJáciones de las
unidades principales de uno y otro sistema, y al*
cálculo de los núuierdfe denominados ó concretos
formados con unidades del antiguo sistema.

Medida del tiempo

556. Las unidades jie tiempo»no han sido al-
terada^"])t)r el nuevo sistema, y como no siguen
la ley decimal, no las incluimos en la. nomencla-
tura del sistema métrico.

fe

— 258 —

sai. I.a unidad íiiiidaineiital dei lieiiiito es
el día. '

Llámase dia á la duración de una ¡'..tación te-
rrestre, es decir, al tie:np(. que emplea nuestro
globo en girar una s.da vez alrededor de su eje-
por consiguiente la duración del día es ij/ual pa-
ra todas las naciones y en todes las épocas del
año.

Llámase año al tiempo que emplea 'la Tierra
en efectuar una revolución Completa alrededor del

oOl ,

»38. Durante el apo la Tierra da 365 i ro-
taciones sobre su eje, de modo pnes, qne el año
consta de 365 i días (•) pero come, presentó siem-
pre serias dificultades añadir al fin del año el cuar-
to de día que tiene de pico, en tiempo de Julio
César y por consejo del astrónomo ei<ipcio lla-
mado Sosigenes se acordó que el añ(. eo'nstase or-
dmanamente de 365 días y que al fin de cada cua-
tro anos se le añadiese un día entero, es decir
que se contase uno de 366 días para compensa,'
exactamente el i dp día que se pierde cada año
de ahí viene la división de los años en comunes v
bmestos-, e\ ano cemún consta de 365 días v ¿I
bisiesto de 366. ^ ®'

Llámase cuatrenio ai intervalo de cuatro años
de los cuales tres son comunes y uno bisiesto. '

Divisiones del tiempo

229. El Siglo consta de 100 años
El año * » \2 meses

^„ ^.') Aproxfmédaraente, pues la dnración del añn »« h» aju íí„. e i,
48 minutos y 80 segnddos. "un«,iuu uei ano es ae 8b5 días & horas

.íüí

259 —

El wwis

»

»

30 íiia^ '

El dia

»

»

24 Aora^

La hora

»

»

60 mmwííW

El minuto

>

»

60 segundos

El año se divide taiibién en 52 semanas y un día
si es común y en 52 semanas y 2 días si es bisiesto. (1)

El año hemos dicho que se subdivide en 12
meses los cuales tienen cada uno su nombre parti-
cular, y ellos son: Enero, Febrero; Marzo, Abril, Ma-
yo, Junio, Julio, Agosto, Setiembre, Octubre, Noviem-
bre y Diciembre.

Enero, Marzo, Mayo, Julio, Agosto, Octubf^e y
Diciembre, tienen 31 días: Abril, Junio, Setiembre
y Ní)v¡embre tienen 30 dias: y por último Febrero '
tiene 28 días en los años comunes y 29 en los bi-
siestos.

Aprendiendo de memoria los siguientes versos,
muy populares por cierto, es más fácil saber siem-
pre los dias que tiene cada mes.

Treinta dias trae Noviembre,
con Abril, Junio y Setiembre;
veinte y ocho tiene uno,
y los demás treinta y uno.

La semana se considera dividida en siete días:
Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado y
domingo.

(1) ol año lio se compone de 366 -^ dias como supuso Julio C6sar, pues

como se ha viso en la nota precedente, solo consta de 865 dias, 5 horas, 48
minutos y 50 se^ifundos, de donde resultan aumentados los años del calenda-
rio romano eu 11*10" los cuales producen un error de 44*10" cada cuatro años.
Para comepnsar esta diferencia el Papa Gregorio XUI dispusy que se supri-
miesen tres bisiestos cada 400 años, y que estos fuesen los años principio de
siglo, cuyas Centenas y mil.ares no fuesen divisibles por cuatro: por esta

— 2Ü0* —

Se llama Década^ k un periodo de 10 años: Ltis-
tro á uno de 5 añt»s: Bienio á uno de 2 años.

Se \\a,m^ Semestre k un período de* 6 meses: Tri
mestre á uno de 3 meses.

El rnes comercial tiene siempre treinta dias.

iMedidas para la circunfereneia

8 30. '•' Cuadrante =
Grado =

Minute =x=

90 grados =90^
60 minutos =60'
69 segundos^=^*'

Obsepvacit»nes

1.° Las fraccicmes de segundo se a[)recian en
decimales: así se dice, 47''85 (cuarenta y siete se-
gundos ochenta y cinco centesimos de segundo).

Otro ejemplo; 53"27'18,''46 se lee, 53 grados 27
minutíis, 18 segundos y 46 centesimos de segundo.

2.° Como ya se ha generalizado, sobretodo en
Europa, el uso de instrumentos topográficos cu-
yos cuadrantes^ están , divididos en» 100 grados, pa
ra distinguir los grados del cuadrante dividido en
100 partes iguales, de los del que solo eátá divi-
dido en 90, se les da el ñQmhrBÚB centesimales á
los primeros y de sexagesimales á los segundos. ^

razón fué común el afio 1800. que debic^ haber sido bisiesto; otro tanto suce-
derá COR e^ año 1900, pero el año 2000 serA bisiesto.

La corrección q^ue acabamo.s de iudicar es lo que se llama reforma Grego-
riana, la cuál ha sido aceptada por todas las naciones cristianas h. excepción
de los rusos y griegos que aun se rigen por el Candelario Juliano.

La Corrección Grbouriana auu uo iguala bien la duración del año civil
con la del astronómico, pero es tan pequeña la diferencia, que solo cada 4000
años habrá que suprimir un bisiesto.

Es año bisiesto todo aquel que es divisible exactamente por 4, á excepción
e los excluidos por la 'Corrección Gregoriana, •'

261 —

ti3t.

Unidades de longitud

u

legiM :=

3

millas

La

milla =

20

cuadras

La

ct*adra =

100

varas

La

vara =

3

■ pies

El

pié =

12

pulgadas

La

pulgada =

12

lineas

La

linea =

12

puntos

MEDIDAS DE CAPACIDAD

Papa áridos

33S. La fanega doble =

La fanega =

La cuartilla =

Para líquidos

8 ( cuartillas
4 cuartillas
i fanega

La pipa
El barril
La ettarte7^ola

galón

frasco
La cuarta
La octava

El
El

6 barriles
32 Jrascos
frascos
cicartas
cuartas
octavas
cuarta

48
5i
4
2

Medidas de peso

S33. La tonelada
El quintal
La arroba

20 quintales (qq.)
4 arrobas ( ® )
25 K&ra¿? (Ib.)

262

La bhsi

= 16

onzas (onz.)

La onza

t= 16

adarmes

El adarme

= 16

gramo^

Pesada de cueros salados

^ 75

libras

Pesada de cueros secos

^ 40

libras

Míedida» para medicamentos

La libra = 12 onzas

La onza = 8 dracmas

La dracma = 3 e^cnipietos

El escrúpulo = 24 granos .

Medidas siqierfieiales

S3/4ir* Z>ept^ cuadrada -- 3600 cuadras- cds„

Suerte de estancia = 2700» » »

Cuadra cuadrada = 10000 t?ara5 »

yar« cuadrada = 9 pí¿í »

jP¿¿ cuadrado = 144 pulgadas »

Pulgada ciuidrada:= 144 /m^a^ »

Linea ciuzdrada = 144 puntos »

Medidas de volumen .

S35* 1^«^« cubica =i 27 pies cúbicos

Pié cubico == \12S pulgadas cúbicas

Pulgada cubica = 1728 Ziweaí ctiftíca^

Zmea cubica = 1728 puntos cúbicos

Medidas para leña

Z7na carrada = 100 manoí
Una mano c=: 4 astillas

— 263 —
EJERCICIO^

1.*^ Cual es el precio de 23 libras de arroz,
costando 8,35 pe«06 el qutfiíA}?

2."^ La radiación de la luz es rectilínea, y la
veloddad de sus rayos es de 60000 teguas por se-
gundo; la velocidad del sonido es término medio
ie 397 varas por segundo; con estos datos, calcú-
lese á que distancia de nosotros se ha hecho un
disparo de cañón, cuyo fogonazo fué visto á las
9 horas de la noche y el estampido solo fué oido
8 segundos después.

S."" La cuarterola de vino nacuinal cuesta
$25,27; cuanto cuestan 3,72 cuartas del mismo
vino?

LECCIÓN XXIV

EqüivaleDcias k las medidas antiguas m las modernas

Medidas Je longitud

83*7. Legua == 5154,^)00000 'msitos

Cuadra =s

85,900000

Vara =

0,859000

Pié «

•0,£86a^

Pulgada =

0,023861

Linea e=

0«001988

Punto =

0^00166

— 264

MEDIDAS DE CAPACIDAD

Papa áridos

1

S38. Fanega doble = 274,544 litros

Fanega sencilla = 137,272 »

Cuartilla

= 34,318 »

Media cuartilla = 17,159 »

Para

liquido»

Pipa

= 455,4240 litros

Cuarterola

= 113,8560

Barril

= 75,9040 »

Frasco

= ^ 2,3720 »

Cuarta

= 0,5930

Octava

= 0,2965

Medidas de peso

239. Tonelada

= 918,8000000 kg.

Quintal

=x= 45,7400000 »)

Arroba

= 11,4850000 ))

Libra

= 0,4594000 »

Onza

= 0,0287125 »

Adarme

= 0,0017945 »

Grano

= 0,0000498 *

Pesada de cueros alados

► =^ 34,455 »

Pesada de cueros secos

= 18,376 >

Medidas papa medicamentos

Libra =

0,3445500 kilógramoíí

Onza =

0,0287125 »

- 265 —

Dracma = 0,0035891 »

Escrúpulo = 0,0011963 »

Grano = 0.00004985 »

Medidas superficiales

340. Leg^ta cuadrada = 26563716,000000 m. cd.

Swerte de estancia = 19922787,000000 » »

Cuadra cuadrada :== 7378,810000 » >

Vara cuadrada = 0J37881 » »

Pié cuadrado = 0,081987 » *

Pulgada au^Lámda = 0,000569 » »

¿íri6« cuadrada = 0,000004 » »

Medidas de volumeki

S41. Vara cwbica = 0,633839779 w. cft.

Pié cúbico = 0,023475547 )> »

. Pulgada cúbica = 0,000013585 » »

Linea cúbica = 0,000000008 » »

Medidas para leña

S¿42. Una carrada = 0,666667 esteno
Una mano . = 0,006667 »

EQIVALENCIIS

DE LAS

Unidades del sistema métrico, con Jas del Mtiguo sistema

Medidas de l«ai^«tHii

243. Mriámeiro = 11641^443539 varas
Kilómetro = 1164,144354 »>

— 26fi —

Hectómetro

=s

116,414435

Decámetro

=

11,641444

Metro

=

1,164144

Decímetro

r=

0,116414

CentimetfH)

=

0,011641

Milímetro

=

0,00J164

MEDIDAS DE CAPACIDAD

Para áridos

244. Hectolitro
J)ecálitro
Litro

0,7284
0,0728
0,0073

fanega

Papa líquidos

Kilólitro = 421.5850 frasc^)s

Hectolitro = 42,1585 >

Decalitro = 4,2159

Litro = 0,4216 »

Decilitro = 0,0421 »

Centilitro == 0,0042 »

Medidas de peso

tl4t5. Tonelada métrica = 87,0700 arrobas

Quintal métrico = 8,7070 »

Miriágramo = 0,8707 »

Küógramo = 0,0871 »

Kilogramo = 2,1768 /tftra*

Hectógramx> = 0,2177 »

Decágramo — 0,0217 »

- 267.—

Gramo

Oramo

Decigramo

Centigramo

Miligramo

0,0022
0,0348
0,0035
0,0004
0,00004

onza

Medidas papa medieameatos

S46«

Kilogramo

Hectógramo

Decágramo

Oramo

Gramo

Decigramo

Centigramo

Miligramo

2,9023
0,2902
0,0290
0,0029
0,0348
0,0035
0,0004
0,00004

libras

onza

»
))

Medidas superfieialea

34*7 • Miriámet7^o cicadrado
Kilómetro cuadrado
Hectómetro cuadrado
Decámetro cuadrado
Metro cuadrado
Decímetro cuadrado
Centim£tro cuadrado
Milimefro cuadrado

3,764531 leguas cds.

0,037645 » »
= 0,000376 » »

135,523218 vars. cd.
1,355231 » »
0,013552 » »
0,000135 » »
0,0000014 * »

Medidas de volumen

24:H. Kilómetro cúbico = 1577685770,741036 v. cb.
Hectómetro cübico= 1577685,770741 » »
Decámetro cubico = 1577,685771 » »

ilfcíro cubico = 1,577685 > »

— 268

Becimttro cúbico =
Centvmelro cúbico =
Milimttro cúbico =

0,001578 *

0,000002 *

0,000000002 »

Medidas papa leña

S49* Deeofiterio =:= 15.00 carradas
Esterio = 1,50 »

Decisterio = 60,00 a«i«lfl^

PROBLEMAS

1?. De Meló á cierto punto del río Yagiiarón hay
18 leguas, 27 cuadras, 53 varas, 2 pies 9 líneas,
á cuántos metros es equivalente esta distancia?

18 leguas son iguales

á

5154'»X 18=92772,00 ra.

27 cuadras i^uivalen

• »

85.9°'X27= 2319,30 »

53 varas »

»

0,859X53— 19,757 >

2 pies »

»

0,286x2 = 0,573 »

9 líneas »

»

0,002x9 = 0,018 ..

Suma 95111,648 m.

Resulta que la expresada distancia es equiva-
lente á 95111,648 metros.

2°. ¿Cuánto importan 128 fanegas de trigo á
razón de $ 3,60 el hectolitro?

128 fanegas equivalen á 137,272 litrosxl28=
17570,816 litros=175,70816 hectolitros.

175,70816
3.6

10S424B96
52712448

632,549376

- 269 —

Resultado que importan 632 $ con 549376 mi-
llonésimos de peso.

3^. Se lian vendido 8 toneladas y 14 arrobas de
azúcar á $ 2! 10 el miriágramo, ¿cuánto importa la

venta?

8 toneladas equivalen A 918,8 kg.x8=7aB0,4 kg
14 (S) equivalen » 11,485 kg.xl4=l00,79 » '

Suma 7511,19 kg.

ó sean 751,119 miriágramos á

$2,1

751119
1502238

1577,3499

El azúcar vendido importa $ 1577 y 3499 diez-
milésimos de peso.

4**. ¿Cuántas pipas componen 57 kilólitros de
aguardiente y 49 decalitros del mismo líquido?

57 kilólitros equivalen á 421,585 frascosx57s=

24030,345 frascos
49 decalitros equivalen á 4,2159 frascosx49=

206,5791 frascos

24236,9241 frascos

ahora no hay más que reducir el número de fras-
cos hallados á pipas, lo cual es fácil» recordando
que la pipa tiene 192 frascos, luego.

270

24236,9241 I 192

503 ' 126,2839

1196
449
. 652
764
1881
153

De' modo qoe los 57 kilólitros y 49 decalitros
de aguardiente equivalen á 126,2339 pipas.

5". iCoáiitas hectáreas componen 17 suertes de
estancia, 2136 cuadras cuadradas y 497 v^ras cua-
dradas?

17 suertes de e8tancias=l 992,2787 hectáreasX17

=33868,7378 hectáreas
2136 cuadras cuads. at 1576,1138 .

497 varas cuadradas = 0,0367 »

35444,8883 hectáreas

Dicho terreno se compone de 35444 hectáreas,
88 áreas y 83 centiareas.

EJERCICIOS

P. 189 kilómetros, 25 decámetros y 36 metros,
¿cuántas leguas componen?

2^. ¿Cuánto importan 245 pipas, 6 cuarterolas
y 12 frascos de vino que cuesta $ 2,35 el decali-
tro?

3**. Para fabricar el jabón veteado seemplea
en cada kilogramo; 6 Dg. de soda, 6 Hg.,. 2 de
materias grasas y 320g. de agua; ¿Cuántas libras

^271 —

de c^da materia se necesitan para fabricar 2 @
de jabón? *

4°. En la confección de 100 tazas de café, em-
plea un fondero, 100 Dg. de café á $0,60 el Kg: 5 Kg
de azúcar á $ 0,^ «1 Kg: 2 Htros de aguardiente
á $ 0,35 el litro. ¿Cuánto gana vendiendo la taza
á $0,06?

5°. Los vinos averiados se consigue compo-
nerlos mezclando por hectolitro de vino 20 gramos
de ácido tartárijeo í)UB vale $ 1.50 el Kg: ¿qué gas-
to se hará para arreglar una pipa?

LECCIÓN XXV

Sistema de medidas antipas del Brasil

Medidas de long^itud

;^50 Legua (50 cicadras) := 3 millas
Milla =1000 brazas

Cuadra = 60 »

Braza =^ 2 varas

Covado {poco usado) tiene

3
3 palmos Y --- pulida

4
Pié íi= 12 pulgadas

Palmo =8 »

Pulgada =» 12 lineas

Linea = 12 puntos

— 272 —

MEDIDAS DE CAPACIDAD

Para áridos

»51.

Alqueire =» 4 cuartos
Cuarto = 2 medies cuartos

Para líquidos

Toneí = 2 pipas
Pipa = 180 cañadas
Almude == 12 »
Canadá = 4 ctuirtillos

Medidas de peso

25».

Tonelada = 54 arrobas
Quintal =4 »
ilrrofta = 32 fíftra^
Libra = 16 onza^
Ow^a = 8 octavas
Octava = 72 granos

Medidas superficiales

S53. Cuadra cuadrada = 3600 brazas cuadrs.

Braza cuadrada =
Vara cuadrada =
Pié cuadrado =
Palmo cuadrado =
Pulgada cuadrada=^

4 varas »
25 palmaos »

144 pw/^adaí »
64 » »

144 lineas »

- 273 —

Medidas ag^papias

S54. Sesmaria de campo (\) =S leguas cuadrs.

(2) > de monte = 2B50000 brazas cds.

Legua cuadrada = 9000000 » »

Milla cuadrada = 1000000 » »

(3) Cuadra de sesmaria= LSOfiOO :► »

Brasa de sesmaria =. 3Ü00 » »

Palmo de sesmaria. =^^ 300 » »>

EQUIVALENCIAS

Medidas antiguas del Brasil, con las M sistema métrico
decimal y viceversa

Medidas de long^itud

metros

S55. Legtta

6600,00

Milla

2200,00

Cuadra

132,00

Braza

8,20

Vara

1,10

Cavado

0,68

Pié

0,33.

(1) Una sesmaria de campo es uu rectángulo que tiene 3 leguas de base
por una de altura.

(2) Una sosmaria de monte es un cuadrado que. tiene -media legua de lado;

1
ó bien un rectángulo de una legua de base por — de altura, es decir, que es

la cuarta parte de una leguai cuadrada' y sirve para medir los bosques; es
poco usada.

(3) Una cuadra, una braza ó un palmo de sesmaria. son respectivamente
rectángulos que tienen una legua de base por una cuadra, una braza ó un
palmo de altura'.

— 274 -

-

Palmo

0,22

»

Pulgada

0,075

»

Linea

0,00229 »

Punto

o,eooi9 n^

Miriámetro

1,51

legua

Kilómetro

7,57

cuadras

Hectómetro

45,45

brazas

Decámetro

9,09

varas

Metro

0,91

»

Decímetro

5,46

pulgadas

Centímetro

6,53

lineas

Milímetro

7,84

puntos

MEDIDAS DE CAPACIDAD

Papa áridos

S50. Alqueire
Cuarto
Medio cuarto

36,27
9,07
4,53

litros

Para líquidos

Tonel

Pipa

Almude

Canadá

Cuartillo

960 litros

480 »

31,94 »

2,66 >

0,66 »

Áridos

Hectolitro

2,75 alqueírés

— 275 —

Decalitro 1,10 cuartas

Litro 0,11 »

Lic[uidos

Hectolitro 37,59 cañadas

Decalitro 3,76

»

Litro 1,50 cuartillos

Decilitro 0,15

»

Centilitro 0,015

Mililitro 0,0015 »

Medidas de peso

SÍ5*7. Tonelada = 793,238 kilogramos

Quintal = 58,758

»

i4rro6a = 14,689

))

L¿6r¿i = 459,05 gramos

Onza = 28,69

»

Octava ~ 3,59

»

Grano = 0,05

»

Tonelada métrica 68,09

arrobas

Quintal métrico 6,80

»

Kilogramo 2/17

libras

Hectógramo 3,48

onzas

Decágramo 2,78

octava ^

Gramo 26,76

granos

Decigramo 2,07

»

Centigramo 0,21

»

Miligramo 0,02

»

Medidas superficiales

S58. Ct^adra cuadrada = 17424,0000 m. c

-Bras'ú! cuadrada = 4,84

00 » )

276 —

Vara cuach'^aila
Pié Címdrado
Palmo ciuxdrado
Pulgada cicadrada

1,2100 » »

0,1089 > »

0,0484 » »

0,000756 » »

Hectómetro cuadrado
Decámetro cuadrado
Metro cuadrado
Decímetro cuadrado
Centímetro cuadrado
Milímetro cuadrado

2066,11 Wazas
82,64 >
20,66 >
29,76 pulgds,
42,74 lineas
61,92 puntos

cd.

Kfedidas agrarias

SS9. Sesmaria de campo =
» de monte =

Legua cicadrada =
MWa cuadrada =
Cuadra de sesmaria =
Braza de sesmaria =
Palmo de sesmaria =

130680000,00 m. cd.

10890000,00 ^ »

43560000,00 y^ »

4840000,00 » >

871200,00 » >

14520,00 » »

1452,00 » »

Miriámetro cimdrado = 2,30 leguas ccís.

Kilómetro cuadrado = 206611,57 brazas »

Hectárea = 2066,11 » »

ilrea = 20,66 )> »

Centiárea = 0,21 » »

Unidades mon^tai^as

S60. Existen en el Brasil cuatro clases de
monedas. I^aa de oro, las de plata, las de nickel
y las de cobre.

La pieza de plata de 2000 reis, es una mone-
da que pesa 25,500 gramos, contiene 91T milésimas

— 277 —

de su peso en plata buena y el resto basta 1000
milésimos, de liga; el diámetro es de 0,037 me-
tros, de modo pues, que solo se diferencia de la
unidad monetaria de nuestro sistema en los 2 cen-
tigramos que tiene más de peso.

Monedas brasileras

Oro j

Plata j

Nickel j

Cobre )

PROBLEMAS

1". Se desea saber cuanfas brazas de alambre
se emplearán (sin contar con el que se necesita
para las ataduras etc.) para construir un cerco de 6
hilos de dicho material, sobre las divisas de un
campo que está limitado por el Norte, por una li-
nea recta de 1 legua y 25 cuadras, por el Este,
por otra de 49 cuadras y 36 brazas, por el Sud,

(1) Esta noaeda está desmonetizada por no mencionarla el decreto número
6143 de 10 de Marzo de 1876,

Pieza

de

20000

reis

)>

»

10000

»

»

^

5000

»

(1)

»

»

2000

»

»

%

1000

»

»

»

500

»

»

»

200

»

»

»

100

»

»

»

50

»

»

»

40

»

»

»

20

»

y^

)►'

10

»

- 278 —

por otra de una legua y 3 varas y por el Oeste,
por otra línea recta de 2 millas y 1 vara.

Empezaremos por reducir la lo9gitud de cada
linea divisoria á br^as y ol^te^dremos:

1 leg. 25 cuads.=75 cuads.=75X60 brazas=

4500 brazas

49 cds. 36 brazas=49X60+36 brazas=2976 brazas

50 cds. 3 varas=3000 brazas 3 vara8=3001 » 1 v.

2 millas 1 vara 5=2000 » 1 »

Suma ==12478 brazas
Ahora multiplicado por 6

obtendremos 74868 brazas

Resultado; se necesita 74868 brazas de alambre.

2^. ¿Cuánto importan 3 toneles de aguardiente
á razón de 400 reis el cuartillo?

Un tonel ti^ne 2 pipas, luego 3 toneles equi-
valen á 6 pipas. Cada pipa tiene 180 cañadas, las
6 pipas componen 1080 cañadas y como cada una
de ellas se compone de 4 cuartillos, las 1080 for-
marán 4320 cuartillos que á razón de 400 reis ca-
da cuartillo, importarán

4320
400

1728000 reis

Es decir que, los 3 toneles de aguardiente im-
portan 1728 $ 000.

3^. ¿Cuánto importa una extensión de terreno
compuesta de una sesmaria de campo, 2 leguas cua-
dradas y 8 cuadras de sesmaria que se compró á
razón de 10$500 la hectárea?

— 279 -

Una sesmaria de carapo=13068,0000 hectáreas

)► legua cuadrada = 4356,0000 »

» » )> = 4356,0000 »

» cuadra de sesmaria= »

á 87,1200; y las 8 forman — 696,9600 »

Suma 22476,9600 hectáreas

á razón de 10$500 la hectárea

11238480
2247696

Importan 236008$0800000

EJERCICIOS

1**. ¿Cuánto importan 8 alqueires de trigo á ra-
zón de 280 reís el medio cuarto?

2^. 17 toneladas, 9 quintales, 2 arrobas^ 6 li-
bras, ¿cuántos kilogramos componen?

3°. 45 Miriámetros, 8 kilóínetros y 7 decáme-
tros, ¿cuantas brazas componen?

4°. Una sesmaria de campo, 2 leguas cuadra-
das y 5 palmos de sesmaria, ¿cuántas suertes de
estancia, cuadras y varas cuadradas de este país
componen?

5''. Una suerte de estancia, ¿cuántas brazas de
sesmaria contiene?

6". 27 leguas brasileras, ¿cuántas leguas de es-
te país componen?

7^. ¿Cuánto importan 12 toneladas métricas, 6
quintales métricos y 38 kilogramos de un artícu-
lo que se compró á 217 reis la onza?

8®. ¿Cuánto importa un campo compuesto de
4356,3498 hectáreas, que se compró en el Brasil á
razón de 8$000 la braza de sesmaria?

— 280 -

9®. Una empresa de gas recibió 4987,67 metros
de caños, que le cuestan 2476$875, además tiene
250$000 de gaslos de flete, derechos de aduana,
etc., ¿á qué precio sale el pié de dicho caño?

LLECCiÓN XXVI

Medidas antiguas de la República Argentina comparadas con
las del sistema métrico decimal

Medidas de longitud

S61. Legua {40 cuadras) = 5196,000 metros
Cuadra (de 150 varas)= 129.900 »

Vara (3 pies) —

Pié (1¿ pulgadas) =
Pulgada (12 lineas) =
Linea =

0,866

0,28867 »

0.024055 y^^

0.002005 »

MEDIDAS DE CAPACIDAD

S6ÍÍ. Fanega

Áridos

= 1374977 litros
Líquidos

Pipa (6 batanes) = 456,0265 *
Barril de medida = 16,0044 »
Frasco = 2,3751 »

— 281 —

* Medidas de peso

363. Tonelada de arqueo = 918,800 Kg.

Quintal == 45,940 »

Arroba = 11,485 »

Libra = 0,4594 »

Marco (¿ /¿&ra) = 229,7000 grms.

Onza = 28,7125 »

Adarme = 1,79453 »

fírano = 0,049848 »

Medidas superficiales

S64. Lepua cuadrada = 26998416,00 m. cd.
Cuadra cuadrada = 16874,01 )> »
Fara cuadrada = 0,749956 » »
Pí¿ cuadrado = 0,083328 » »
Pulgada cuadr. = 0,0005787 » »

Medidas de volumen

365. Fam ctiWca = 0,649461896 m. cb.
Pié cúbico — 0M4054144 » »

Pulgada cúbica = 0,0000139202 » »

Unidades mpnetapias

S66« La unidad monetaria de la República
es el peso de oro ó de plata.

El peso de oro es 4,6129 de gramo de oro, de títu-
lo de 900 milésimos de fino.

El peso de plata es 25 gramos de plata, de tí-
tulo de 900 inilésiinos de fino y 100 inilésimos de
cobre, liene 37 milímetros de diáiietro.

— 282 —

S67. Los múltiplos y snbmúliiplos del pea
sou los siguientes.

Monedas de opo

Argentino
i Argentino

= 5.00 pesos
= 2.50 »

Monedas de plata

Unidad monetaria 1.00 peso

Pieza de 0.50 »

Pieza de 0.20 v

» » 0.10 »

» » 0.05 »

Monedas de eobre

Piera de

0.02 peso
0.01 *

Sistema de pesas y medidas de Inglaterra

Medidas de lon|pitud

268. Mile (milla)
Furlong

Pole ó la fierch
Fathoins ipraza)
Yard (yarda)
Foot (pié)
Inch (pulgada)

8

40

2é

2

3

12

furlniígs

poles

fathoms

yards

l'oots

inch

0,0254 metros

Medidas de capacidad

269. Chaldron
Load

12
5

sacks
quarters

- 283

Qnarter (cuarto) 8 bushels

ijack (sacó) 3 busheis

Bushel 4 pecks

Peck 2 gallons

Gallón (galón) 2 2 pottles

Pottie (azumbre) 2 quarts

Quart (citartillo) 2 pints

Piíits 0,568 litros

Mediddas de peso (avoir du pois)

2*70. Ton (tonelada) 20 hundredweights
Hundredweight (quintal) 4 quarters

Qnai'ter (cuarto) 2 stones

Stone 14 pounds

Pound (libra) 16 onnces

Onnce (onza) 16 dranis

Dram (adarme) 1,772 gramos

PESOS DE TROY

Para la« materias preciosas y mediea-
mentos

2*71. Pdund (lih^a) 12 (umces

Onnce (onza) 20 pennywí^i^hts

Pennywei-^ht 24 grainrí

Grain (grano) 0,065 gramos

Medidas superficiales

S^S. Aero 4 roods

Rood 1210 yardssqnares

— 284 -

Rod {perch squaré) 30,25 » »

Yard square {yarda cuadr.) 0,8365 in. cd.

UNIDADES MONETARIAS

Monedes Ue oro

«

JSTíS. La guinea 21 chelines

La media guinea 10 clieline» y 6 penc-.e

El tercio de guinea 7 chelines

El cuarto de guinea 5 chelines 3 penca
{•) El soberano (í^ouve

reing) 20 chelines

E\ medio soberano 10 chelines

Monedas de picata

La corona (crotón) 5 chelines

La media corona 2 chelines 6 pence

■^El chelín (schilling) 12 pence (penique)

El medio chelín O peniques

Monedas de cobre

El penique doble, el penique sencillo, el medio
penique y el cuarto «penique d farthig.

(•) Esta moneda generalmente es conocida eon el nombro de libra es-
terlina.

- 285 —

MEDffiAS INGLESAS

Comparadas con las del sistema métrico decimal

Medidas de long^itud

SÍT^. MUe (milla)

1609,315 metros

Fnrr.iiig

201.164

»

Pole ola perch

5,029

»

Fathora {braza)

1,829

»

Yard (yarda)

0,914

»

Foot (j>ié)

0,301

»

Inch (pulgada)

0,025

»

Kilómetro

1093,63 y

ardas

Heclúmetro

109,36

»

Decámetro

10,94

))

Metro

1,09

»

Decímetro

3,94 pulgadas

Centímetro

0,39

»

Milímetro

0,04

»

Medidas de

capacidad

7£'73. Chaldron

1308,48

litros

Load

1453,90

»

Quarter

290,78

»

Sack (saco)

109,04

»

Bushel

36,35

»

Peck

9,09

»

Gallón

4,54

»

Pottie

2,27

»

— 286 —

Quari
Pint

Hectolitro

Decalitro

IJtro

Decilitro

Centilitro

1,14
0,57

22,01
2,20
0,22
0,18
0,02

gallons

pint

Medidas de peso (avoir du pois)

2Tr6. Ton (tonelada) 1016,000 kg.

Hundredwei^ht (quintal) 50,802 •»
Quarter (cuarto)
Stone

Pound; (libra)
Ounce (onza)
Dram (adorme)

Kilogramo

Hectógramo

Decágramo

Gramo

Decigramo

Pesos de tpoy

STTTr. Ponnd (libra)
Ounce (onza)
Pennyweight
Grain (grano)

12,698

6,349

453,593

28,349

1,772

»
»

2.205 libras
0,221 »
0,022 »
0,564 dram
0,056 »

373.242

31,103

1,555

0,065

gramos

^ ' L

—

287

—

Kilogramo

2,679 libra

Hectógramo

0,268

»

Decágraino

0,027

»

Gramo

15,432 g

ranos

Decigramo

1,543

»

Centigramo

0,154

»

Miligramo

0,015

»

Medidas

superficiales

8. Acre

4046,72 m.

cd.

Rood

1011,68 »

»

Rod (perch ^

'■)

25,29 »

»

Yard squaie

ifyar

da ^ ) 0,8361 »
2,4711 acres

»

Hectárea

Área

0,0247

Área

119,6033 yardas

cd.

Centiárea

1,1960 »

y^

Decimetro cuadrado

0,0120

»

PROBLEMAS

1". Conviértase 6 millas, 5 furlongs, 7 fathoms,

foot {pié) y 8 indis (pulgadas) en metros.

6 millas=1609,315m X6 =9655,890 m.
5 furlongs=201,164m.X5=1005 820 m.

7 fathoras=l,829m.X7 = 12,803 m.
1 foot = 0,301 m

8 inchs=0,025m.x8 = 0,200 m.

Suma 10675,014 m.

- 288

Resulla que tí millas, 5 furlongs, 7 fatUoms,

1 pié y 8 pulgadas inglesas son equivalentes ¿
10675,014 metros

2^. Conviértase 4 chaldrons, 9 sacks (sacos),

2 bushels y 1 gallón, en litros.

4 chaldros =1308,48 I. X4==5233,92 litros

9 sacks =109,04 I. x9= 981,36 »

2 bushels =; 36,35 I. x2= 72,70

1 gallón =- 4,54 >

Snina 6292,52 litros

Tenemos pues, que 4 chaldrons, 9 sacks, 2 bus-
hels y 1 galhm, equivalen á 6292,52 litros.

3°. Se compraron en Londres 2 quarters (cuar-
tos de quintal), 8 pounds (libras), 6 ounces (onzas),
y 5 drams (adarmes), de té bueno que costó 6 so-
beranos el quarter, ¿Cuánto importa toda la com-
pra? ¿A cuánto sale el kilogramo?

Primeramente reduciremos los 2 quarters, 8
pounds, 6 ounces y 5 drams á esta última especie, pa-
ra lo cual, como cada quarter tiene 28 pounds, los
2 quarters representarán 56 y más 8 que tenemos
formarán 64 pounds.

Cada pound tiene 16 ounces, los 64 pounds re-
presentan 1024 ounces y más 6 que tenemos for-
man 1030 ounces.

Cada ounce tiene 16 drams, las 1030 represen-
tarán 16480 drams y más 5 que tenemos torrtían
16485 drams.

Luego, pues, 2 quarters, 8 pounds, 6 ounces y
5 drams, equivalen á 16485 drams.

Del mismo modo veríamos también que un quar-
ter equivale á 7168 drams.

Ahora diremos, si 7168 drams cuestan 6 sobe-

— 289 —

ranos, 16485 drams costarán tantas veces 6 sobe-
ranos, cnantas yeces el número 7168 esté conte-
nido en el numero 16485, de modo que multipli-
cando por 6 el cociente que resulte de dividir di-
chos números, obtendremos el valor que nos pro-
ponemos hallar. Así:

16485
21490
71540
70280

7168

2.2998
X6

57680 13,7988 soberanos
346

Para valuar la fracción 7988 diezmilésimos de
soberano, procédese según la regla que se da en
e! número SSS; de este modo:

0,7988

_X_20_

15,9760 chelines
X12

1952

976

11,7120 peniques

Luego, el te comi)rado cuesta 13 soberanos, 15
chelines y 11.71 peniques.

Para hallar el valar del kilogramo de este te,
observaremos que, equivaliendo cada dram á 1,772
gramos, los 16485 drams de te comprados equi-
valdrán k 16485X1^772=29211,42 gramos, ó sea á
29,2114 kilogramos, y raciocinando lo mismo que en
el primer caso, diremos: si 89,2114 kg. de te cues-

— 290

tan 13,7988 sobei-anos, un kg. costará 29,2114 ve-
ces menos, luego, dividiendo 13,7988 por 29,2114
obtendremos el valor itedido. Así:

29.2114

0,47237 soberanos

13,79880

2114240
694420
1101920
2255780
210982

Por últi mo, valuando la tracción 47237 cienmi-
lésimos de soberano, según hemos hecho antes, ob-
tendremos tlnalmente

0,47237
20

9,44740
12

8948
4474

chelines

5,36880 peniques

Resulta pues, que el kilogramo de te cuesta 9
chelines y 5,37 peniques.

A". Redúzcanse 29 hectáreas, 51 áreas, 52 cen-
tiáreas y 40 decímetros cuadrados, á medidas su-
perfíciales inglesas.

29 hectáreas equivalen á

51 áreas > »

52 centiáreas » »
40 dm. cd. » »

70,66190000 acres
1,26026100 »
0,01284972 *
0,00010884 »

Soma 71,93511956 acres

— 291 -

Para valuar el número decimal 935U956 cien-
millonésimos de acre, procederemos como en el
problema anterior.

0,93511956 acres

3,74047824 roods
X1210

74047824
148095648
74047824

895,97867040 yardas «

Asi pues; 29h5152,40 centiáreas equivalen á 71
acres, 3 roods 895,9787 yardas cuadradas.

EJERCICIOS

P. En el supuesto de que el acre de terreno
cueste 5 soberanos 9 chelines, ¿á qué precio re-
sulta la hectárea en moneda nacional?

2^. Se ha vendido á una casa inglesa una par-
tida de trigo compuesta de 12317 hectolitros a un
soberano la fanega puesta en Londres, ¿á qué pre-
cio moneda inglesa, sale el sack (saco)i

3''. Conviértense 8 toneladas, 12 quintales, 3
quarters y 9 drams, en kilogramos.

4"". Conviértense 3,8049 kilogramos en pesos de
troy.

&". ¿Cuántos peniques representan 27 guineas,
8 1/2 soberanos y 9 chelines?

6^. Una pipa de vino de 455,4240 litros cues-
ta en Inglaterra $ 75. Sp quiere conocer el pre-

- 292 —

cío del galón, medida inglesa, y el precio del cas-
co, en soberanos, chelines, etc.

V. Convertir 245 millas, 6 furlongs, 25 poles,
2 f<»ots y 6 indis, en metros.

8*. Convertir 17896 pesos, 859 milésimos en li-
bras esterlinas, chelines y peniques.

NOTA — Los cuatro problemas precedentes que acaban de re-
solverse, así como los ocho ejercicios últimos que se proponen pa-
ra resolver, se comprenderán mejor y se resolverán cen toda exac-
titud, después de bien estudiadas las cinco lecciones siguientes
que tratan de las operaciones con los números denominados.

LECCIÓN XXVII

Cálculo de los Números denominados

Reducción de un número imcomplejo
á unidades de especie inferior

2*79* Sea reducir á unidades inferieres el nú-
mero 3 leguas.

Sábese que una legua tiene 60 cuadras, luego
3 leguas tendrán 3 veces más, así pues, para re-
ducir á cuadras el número dado bastará multipli-
carlo por 60 y el producto 180 representará el
número de cuadras equivalentes á 3 leguas; del
mismo modo veremos que

3 leguas=180 cuadras=180X100 varias=18000
varas=l 8000x3 pié8=54000 pies

— 293 —

Luego, para reducir un número incomplejo á
otro de especie inferior, se multiplica el número de
unidades inferiores que contiene la unidad del im-
complejo propuesto, por este considerado como abs--
trato.

6
S80. Sea reducir el quebrado — de años á

13
unidades inferiores.

xl2 meses

72 meses
7 »
x30 días

210 días
80 »
2 »
X24 horas

48 horas
9 »
x60 minutos

540

20

7

x60

minutos

»
minutos
segundos

1 3

420 segundos
30 .)
40
100
9

5 meses, 16 días, 3 horas 41'32,"307
(Número que se busca

— 294 -

Del procedimiento empleado en este caso, que
puede aplicarse á otro cualquiera, se deduce la
siguiente regla:

Para reditcir á complejo un qtcebrado propio de
especie superior, se multiplica el numerador por el
número que expresa las unidades infetnores inmedia-
tas que contiene la unidad superior á que se refie-
re el quebrado, este prodúcelo se divide por el de-
nominador y el cociente entero qtce resulte expresa-
rá el número de unidades de especie superior que
contiene el quebrado: si 7'esulta algún residuo, se
multiplica por el número de veces que la unidad á
que se refiere contiene a la de especie inferior in-
m,ediata; el producto se divide por el mismo deno
minador, y el cociente entero que resulte expresará
el núm>ero de unidades de segunda especie que con-
tiene el quebrado: y asi se continúa hasta llegar á
la última especie, si no se obtiene antes cociente
exacto.

23

SSl. RedüzcasQ el quebrado impropio — de

7
legua á unidades inferiores.
23

En — de legua desde luego vemos que hay 3
7

2
leguas y sobran — de legua, asi pues, después de

7
sacados ios enteros queda la cuestión reducida al
caso anterior, luego tendremos

- 295 —

23

7

2
x60 cuadras

3 leguas^, 17cds., 14* vars., 10 puls.,

1

120 cuadras
50 »
1

3lins., 5— puntos
7
Número que sé busca

xlOO varas

100 varas
30 »
2 >
X3 píes

6 pies
xl2 pulgadas

72 pulgadas
2 >
xl2 líneas

24 lineas
3 »
xl2 puntos

36 puntos
1 »

;s¿82« — Sea reducir el quebrado decimal 0,37
de quintal á unidades de especie inferior.

Como que el quintal tiene 4 arrobas, para saber
las arrobas que contiene el decimal propuesto bas-
tará nMiltiplicarlo por 4; así, 0,37X4=«l,48=lí§) y
0,48 de ®. Para averiguar las libras que contiene
el último decimal hallado, no bay más que multi-
plicarlo por 25 que es el número de libras que
contiene la arroba, luego tendremos 0,48X255=
12,00,es decir, á 12 libras justas, así pues, resulta

— 21)6 -

(4ue el decimal propuesto 0,37 de (|niiilal, es eqi
valeiite á 1 arroba y 12 libras.

Del procediiiueiito seguido en* este ejemplo, se
deduce la siguiente:

Keifla. — Para reducir un numero decimal
incomp^fo á M^nidades inferiores, se multiplica por,
el número de veces que la unidad á que se refiere
contiene la inmediata inferior, haciéndose igual ope-
ración con los decimales que vayan resultando, hasta
que desaparezca el decimal ó se llegue á la última
especie.

La operación se dispone del modo siguiente.

Sea por ejemplo reducir 0,456 de legua á uni-
dades de especie inferior.

0,456
X60 cuadras

27,360 cuadras
XlOO varas

36,000 varas

De donde resulta que 0,456 de legua equivalen
á 27 cuadras y 36 varas.

SS3. — Reducción de un número incomplejo

Á UNIDADES DE ESPECIE SUPERIOR.

Redúzcase á unidades superiores el incomplejo
531 pies.

1
Un pié es igual á — de vara, luego 531 pies
3
1 531

equivaldrán á 531x~varas= de vara=177 va-

3 3

ras; de modo que, para reducir un número incom-
plejo á unidades de especie superior, se divide el

— 297 ~

numero dado por el número de veces que su unidad
está contenida en la de la especie mayor.

Para reducir días á meses, se divide el numero
que expresa los días por 30; el cociente represen-
tará meses. Para reducir onzas á libras, se divide
el número que expresa las onzas por 16: para re-
dncii frascos a barriles, se divide el número que
representa los frascos por 32; etc.

Si resulla que la división no da cociente exacto,
el resto será evidentemente de la especie del di-
videndo; en este caso, el cociente más el resto
formarán un número complejo equivalente al in-
complejo dado. f

Sea por ejemplo, reducir el incomplejo 14 arro-
bas á unidades de especie superior: tendremos.

14

14 (8) = - qq = 3 qq 2 ®.
4

El número 132 días equivale á 4 meses y 12
días. •

Redúzcase el número incomplejo 1436 onzas á
unidades superiores.

1436

156
onzas 12

16

89 libran
14 »

25

3 arrobas

Luego 1436 onzas equivalen á 3® 14 libras y 12
onzas.

. Otro ejemplo: sea reducir 134578 pulgadas á
unidades superiores.

— 298 —

134578

12

14

11214

25

22

17

11

58

24

pulgadas 10

pies

3738

738

varas 38

100

37 cuadras

Luego 134578 pulgadas equivalen á 37 cuadras,
38 varas y 10 pulgadas.

Cuando el número ¡ni-onriplejo que se quiere
reducir á unidades superiores da por resultado otro
número que á su vez contiene unidades superiores
á las que representa, se procede como se ha visto
en los dos últimos ejemplos, por cuyo medio, se
trasforma un número incomplejo de especie infe-
rior en complejo, para lo cual, se reduce el nú-
mero propuesto á la especie inmediata superior y
el residuo será el número de la especie inferior del
complejo que se busca. Enseguida se reduce el
cociente entero que se haya obtenido, á la especie
superior siguiente, y el residuo expresará las uni-
dades de especie inmediata á las inferiores del
complejo, y se continúa de este modo hasta que
el cociente entero no tenga unidades superiores.

Sea reducir á complejo el número incomplejo
86314 cuartas.

86314
6

4

21578 frascos
237
138
10 frascos

32

23

674 barriles
07
14
2 barrí les

6 •

31
34
2 cuartas

112 pipas

Luego, 86314 cuartas equivalen á 112 pipas, 2
bañiles, 10 frascos y 2 cuartas.

— 299 —

SS4. Reducción de un número complejo á in-
complejo DE una especie DIFERENTE DE LA MENOR.

Sea reducir á libras el complejo 2® 12 libras 8
onzas 6 adarme».

■ 2
25

libras

»

libras

onzas

»

unzas

adarmes
»

adarmes

1 lb.=16 onzas
xl6

50

+12

96
16

62

xie

256 adarmes

372
62

992
+8

1000
Xl6

16000 1
+ 6

16006)

Reduciendo el complejo á su menor especie,
vemos que equivale á 16006 adarmes, y como la
libra tiene 256 adarmes, tendremos que dividiendo
los 16006 adarmes por 256, el cociente expresará
las libras que contiene el número propuesto, luego

16006 8003
resulla que 2® 12 Ib. 8 onz. 6 adar*. =■

256

de libra.

128

— 300 —

LECCIÓN XXVlll.

Adición de los números concpetoa.

3S5. En la adición de los números concretos
86 distinguen dos casos; 1". que los sumandos sean
números incomplejos; 2'. que sean números comple-
jos.

2 1

1". CASO. Sea sumar 8 libras, 13 — libras ,22 —

5 8

4
libras y 7 — libras.
9

8
2 144

13- —

,5 360

1 45

22- —

8 360
4 160

7— —

9 360

349 349"

50 — .;

360 360

349

La suma se compone de 50 libras y de li-

360
8
bra ó sean 50 libras, 15 onzas 8 — adarmes (SSO).

45
2". CASO. — Sea sumar 45 cuadras 36 varas y

L. i

- 301 —

2 pies, con 87 varas 1 pié y 8 puntos, con 92
cuadras 64 varas 7 líneas, con 10 pulgadas 9 lí-
neas 11 puntos.

La operación se dispone escribiendo unos su-
mandos debajo de los otros de modo que las uni-
dades de la misma especie de cada sumando se
correspondan y se suman sucesivamente los núme-
ros de la misma especie, principiando por los de
especie inferior y si de estas sumas parciales re-
sulta una ó más unidades de la especie inmediata
superior, se guardan para sumarlas con los núme-
ros de su especie y debajo se escriben las unida-
des inferiores que sobran. Asi:

45 cuadras 36 varas 2 pies

87 » 1 » Í8 pun^

92 > 64 > 7 lín«

11 pulg^ 9 » 11 pun

138 cuadras 88 varas 1 pié O pulg". 5 lín^ 7 pun^

Otro ejemplo; súmense ^

6qq., 3®, 8 Ib., 6 onz., 9adar«.

3 18
9 * 2 » 14 » 7 » 8— »...—

4 > 24

5 » 10
4 > 2 » 23 » 11 » 6— »...—

12 > 24

7 > 21
12 * 1 » 19 * 8 :> 10— >...—

8 > 24

i 49

31 qq.,8®, 64 1b.,32onz.,35— aíK..— ó sean

24 24

— 302 -

1
1 ton., 13 qq., 2® 161b., 2onz., 3— adarmes

24
Se suman los adarmes como se ha dicho en e)
número 144, al tratar de los números mixtos.

El segundo caso puede reducirse al primero,
trasformando los números complejos en incomple-
jos de la misma especie, pero es preferible sumar-
los en la forma que lo hemos hecho.

Sustracción de los númepos concretos

S8G» En la sustracción de los números concretos
distinguiremos también dos casos; 1*. cuando los núme-
ros dados son incomplejos: 2*. cuando son complejos.
P*". CASO. Para restar de un número incomplejo
otro tanibién incomplejo, se procede como si los dos
números fuesen abstractos, la diferencia será siem-
pre de la especie de los datos.

Si los números dados no son de la misma espe-
cie, se reducirá uno cualquiera á la especie del otro.

3
1«. Hállase la diferencia entre 14— cuadras v

5

11

— cuadr<
13

as.

3

39

104

14—.
5
11

"65*
55

"'65
55

9- .
13

. * . *"■" •

65

"65

49
4 ..

49

65

"65

303 —

49

Ahora valuando el quebrado— de cuadra, halla-

65
3 11

remos que la diferencia 14 9 — es igual á 4 cua-

5 13
2
dras 75 varas 1 pié 1 pulgada 5^ 10 — líneas.

13
2\ Hallar la diferencia entre 3 arrobas y 14
libras.

Reduciendo las arrobas á libras tendremos que
las 3® equivaldrán á 751b, ahora restando de 75,
14 obtendremos 61 Ib que es la diferencia pedida.
También hallaremos la misma diferencia reducien-
do el sustraendo 14 libras á arrobas, y haciendo
enseguida la sustracción; así:

14 75 14 61

— = — =:= - ia)=61 libras

25

25

25

3^. ¿Que diferencia existe entre 15 cuadras y 763
metros?

Reduciendo el minuen-
do á metros

15 cds.=15X85»°9=1288™5
763

Diforencia=525™5

Reduciendo el sus-
iraendo á cuadras

15

763 níetros= 8.88

Dif. en cuadras= 6.12

Y si se «|uiere con mas exactitud la diferencia
en cuadras, procederemos así:

304 —

7630 12885

15 =

859 859

7630 5255

= cuadras

859 859

5255
10100
1510
651

3i

1953

235

12

859

832

6cdr». 11 VI". 2piés3puly*3liii». 4— puní».

859

470
235

2820

243

12

486
243

2916

339

12

678
339

4068
832

La diferencia expresada en cuadras y subdiviso-
res de cuadra es igual á

:ÍÍJ

- 305 —

832
6 caad\ 11 var\ 2 pies 3 pulg^ 3 lin«. 4 — punS

859
2' . CASO. — Para restar un número complejo de
otro también complejo, se restan todas las unida-
des del sustraendo de las de la misma especie del
niinuendo, empezando por las de especie inferior.

Si álii:nn sustraendo parcial es mayor que el
minuendo respectivo, se añade á este una unidad
de la especie superior inmediata, añadiéndole otra
de i,'-»ual clase al sustraendo para que la diferencia
nn se altere (54).

1^. Hállese la diferencia entre 3 (§) 8 Ib. 9 (»nz. 12
adarm^ y 15 Ib. 12 onz. 8 adal^

3 ® 8 Ib. 9 onz. 12 adar^
15 » 12 » 8 »

2 ® 17 ib. 13 onz. 4 adarmes

Digo: de 12 adaruics restando 8 adarmes (|ue-
dan 4 adarmes; de 9 onzas no se puede restar 12,
añado á las 9 onz. una libra ó sean 16 onzas y 9
fornmn 25 de las que restando 12 quedan 13 onz.
Añado ahora una libia al sustraendo parcial 15
libras y tendré 16, las qne no ¡uieden restarse de
las 8 del minuendo por lo que le añadiré una arro-
ba ó sean 25 libras y tendremos 33 libras, de las
cuales restando 16 quede 17 libras; añado ahora
1 @ al sustraendo la (^ue restada de las 3 del mi-
nuendo quedan 2 ariobas; de modo que. la dife-
rencia éntrelos números dados es de 2 (a: 17 Ib. 13
onz. y 4 adar.

2". Réstese de 2 millas 4 cuadras y 59 varas, el
número 17 cua<lras y 48 varas.

— 306 —

2 millas 4 cuadras 59 varas
17 » 48 »

Diferencia 1 milla 7 cuadras 11 varas

Al minuendo parcial 4 cuadras se le agrega una
milla ó sean 20 cuadras para que sea posible la
sustracción, y para que la diferencia no se altere,
le añadimos una mijla también al sustraendo.

3®. Sea restar 3 horas 24 minutos 15 segundos,
de J2 horas

12h
3h 24' 15"

8h 35' 45"

Los principiantes pueden hacer esta sustración
con más facilidad, descomponiendo una unidad
del minuendo en complejo de todas las especies
del sustraendo, asi;

llh 59' 60"
3h 24' 15"

8h 35' 45"

4". De una pipa de vino se han vendido 2 barri-
les 8 frascos y 3 cuartas. ¿Cuánto vino queda en
la pipa?

5 barriles 31 frascos 4 cuartas
2 » 8 » 3 »

Restan 3 barriles 23 frascos 1 cuarta.
5«. ¿Qué edad tiene hoy 12 de Diciembre de

J¿Aife^

— 307 —

1892 una persona que nació el día 21 de Setiem-
bre de 1853?

Tiempo trascurido desde Jesú-Cristo hasta hoy

1891 años 11 meses 12 días

Id. hasta el nacimiento. .1852 » 9 » 21 »

Edad 39 años 1 mes 21 días

28*7. Los problemas análogos á este último se
resuelven restando el tiempo trascurrido desde el
principio del siglo en que sucedió un hecho cual-
qniera,del tiempo trascurrido desde el principio del
mismo siglo hasta el díaen que se propone la cuestión.

Por ejemplo, propongámonos averiguar el tiempo
que ha trascurrido entre el descubrimiento de Amé-
rica por C. Colón y el día en que se proclamó la
independencia de este pais.

424 años 7 meses 24 días
91 » 9 » 11 »

332 años 10 meses 13 días es el tiem-
po que trascurrió.

LECCIÓN XXIX.

Multiplicación de los númepos concretos

SÍ88. Eli la inultiplicación cíe números con-
cretos se tomará por multiplicando el factor que
es de la misma especie que el producto que se
busca, por consiguiente el multiplicador tendrá que
ser siempre considerado como abstracto: en efecto,

— 308 ~

supongamos que el valor de una fanega de maíz-
es de 25 reales, y se quiere hallar el valar de 6
fanegas del misino cereal; el multiplicando tendrá
que ser necesariamente 25 reales porque es de la
especie del producto que buscamos y el multipli-
cador, el numero 6 considerado como abstracto,
pnes á nada nos conduciría multiplicar 25 reales
por O fanegas de maiz, porque nada significa re
petir 25 reales 6 fanegas veces ó 6 veces ÍMuega;
pero, multiplicando 25 reales por 6 obtendremos
el valor de las 6 fanegas porque habremos repe-
tido el valor de una fanega 6 veces.

Solamente ocurre en la geoinetria la resolución
de problemas de multiplicación de niiineros con-
cretos en que el multiplicador no se considera
abstracto.

Como por ejempl(), si los dos factoriiís expresan^
medidas longitudinales el producto representará
unidades de superficie.

Asi 25 metros xlO metros es ignal á 250 me-
tros cuadrados.

L<»s factoies pnoden sor de diferente especie,
uno puede representar unidades super^ficiales y el
otKí unidades lineales, en tal caso el pi'odncto re-
pres(ínlará unidades cúbicas,

PííT ejemplo; 2,35 metros cuadrados x 1,04 me-
tros lineales, es ignal á 2,444 metros cúbicos.

Siendo tres los factores de una misma es[>ecie
y expresando todos unidades longitudinales, el pro-
ducto representará también unidades cúbicas.

Por ejemplo; 3 piésX2 piésX5 pies, será igual
á 30 pies cúbicos.

Estes son los únicos casí»s (|ue pueden ocurrir
en la multiplicación de números concretos en que
el multiplicador no se considera abstracto.

— 309 —

SS9« El problema general que con mas fre-
cuencia se resuelve en la multiplicación de los nú-
meros concretos es el siguiente:

Conocido el valor de una unidad^ hallar él de un
número cualquiera de unidades de la misma especie*

S90. En la multiplicación de los números con-
cretos se pueden distinguir cuatro casos: 1". mul-
tiplicar un número incomplejo por otro incomplejo:
2". multiplicar un número complejo por un incom-
plejo: 3". multiplicar un número incomplejo por un
complejo: 4**. multiplicar un número complejo por
otro complejo.

l*^^ CASO — 1". Cnanto importan 8 arrobas de
arroz, costando cada una 22 reales?

Si una arroba cuesta 22 reales, 8 arrobas cos-
tarán 8 veces más; asi pues, multiplicando 22 por
8, el producto 17G reales expresará el valor de las
8 arrobas.

Luego, para multiplicar dos números incomple-
jos se multiplican como si fuesen abstractos, y la
especie del producto se determinará por las con-
diciones ilel problema.

2'. Hállase el valor de 15 pies cuadrados de
terreno, costando la cuadra cuadrada 86457 pesos.

El n)ultiplicando es 86457 pesos, porque es de
la misma especie del producto que buscamos, pero
el multiplicador no puede ser 15 porque multi-
plicando 86457 valor de una cuadra, por 15, ob
tendríamos el valor de 15 cuadras cuadradas, en
vez de 15 pies cuadrados que buscamos; asi pues,
debemos empezar por reducir el multiplicador á
cuadras (2ÍS3), y como 15 pies cuadrados com-
15

ponen cuadras cuadradas, la operación se

90000

— 310 — -

15

reduce ahora á multiplicar 86457 por =14,4095

90000
pesos

3o. Una pipa de vino tinto cuesta 86 pesos,
¿cnanto costarán 9 hectolitros?

Un hectolitro es equivalente á 0,2196 de pipa,
luego 9 hectolitros equivaldrán á 0,2196 multipli-
caoo por 9 ó sea á 1,9764 pipas, asi pues, el pre-
cio de los 9 hectolitros se obtendrá inuliiplicando
los 86 pesos por 1,9764.

1.9764

86

lia584
158112

169,9704
Resultado; 169,9704 pesos.

En este iiltirno ejemplo aunque el multiplicando
es 86 pesos, al ejecutar la operación lo hemos t(»-
mado por niultiplicadí>r para facilitar la mnltipli-
cación (GG).

391. 2^ CASO — 1". Hállase el peso de 115 fa-
negas de trigo, sabiendo (jue una fanega pesa 8
arrobas 15 libras y 6 onzas.

El multiplicando es 8 (a) 15 Ib 6onz. y el multipli-
cador 115; ahora bien, sabiendo que una fanega
tiene el peso expresado, el correspondiente á 115
fanegas será 115 veces mayor, luego haciendo 115
veces mayor cada una de las partes que componen
el peso de una fanega, habremos resuelto el pro-
blema. Así

~ 311 —

8 @ 15 Ib 6 onz.
X115

920 @ 1725 Ib. 990 onz.

ahora reduciendo las añidióles inferiores que han
resultado en los productos parpialest, á unidades
superiores, resultará que el peso de las 115 fane-
gas es de 990 @ 181b. 2 onz.

2**. — 15 carretillas emplearon 9 horas .27 mi-
nutos y 43 segundos en trasportar cierta cantidad
de ladrillos desde un punto a otror Para trasportar
el mismo número de ladrillos una sola carretilla,
¿cuanto tiempo empleará?

Obsérvase que, en el supuesto de que ,tp4as las
carretillas cargaron igual número de ladrillos y
emplearon el mismo tiempo en transportarlos, es
evidente que una sola carretilla empleará 15 ve-
ces más tiempo, pues tendrá que hacer ella sola
el trabajo de 15, luego el problema quedará re
suelto hallando el producto de 9h 27' 43" por 15.

9h 27' 43"
15

135h 405' 645" que equivalen
á 141h 55* 45"

3*». — Una locomotora recorre 14 leguas 25
(tuadras y 76 vaias en una hora, ¿que distancia re-
correrá en 24 horas?

14 leguas 25 cuadras 76 varas

24

336 leguas 600 cuadras 1824 varas
346 leguas 18 cuailras 24 varas

— 312 ~

1
4*. * Si un frasco y 2— cuartas de vino valen

3
1 peso, ¿cuántos frascos se comprarán con 1475
pesos?

1 frasco 2— cuartas
3
X1475

2

1475 frascos 3441 — cuartas
3
2
1561 fi-ascos 1 — cuartas

3

2
Se comprarán 1561 frascos 1 — cuartas.

3

S9SS. De los ejemplos precedentes se deduce
que para multiplicar un número complejo por otro
incomplejo se multiplican todas las especies de uni-
dades del multiplicando por el multiplicador, empe-
zando por la especie inferior y si en algún producto
parcial resultan unidades de la especie superior in-
mediata, se agregan al producto siguiente.

Esté segundo caso puede reducirse al primero
trasfornnando el numero complejo á inct niplejo, y
luego se procede ccmio se lia indicado para aquel
caso. Este |)roce(limiento generalmente no se em-
plea sino cuando el incomplejo es frac<-i()iiar¡o.

S93. 3**'. CASO. — Costando una cuadra cua-
drada de teri-eno 8346 pesos, ¿cuánto costarán 5812
varas^, 2 pies* y 9 pulgadas*?

— 313 —

Reduciendo el multiplicador á incomplejo de
cuadra resultará que

7532640

5812 varas* 2 pies* 9 pulgadas* = da

12960000
5231

cuadra cuadrada = de cuadra cuadrada.

9000

Luego, el valor que buscamos se obtendrá mul-
tiplicando el precio de la cuadra por la fracción
de cuadra que queremos hallar. Así:

5231 8346x5231

8346X - = =4850,8806 pesos

9000 9000

2^. Si en un dia se andan 32. l^ilómetros, ¿cuán-
tas leguas se andarán en 8 dias, 6 horas y 17 mi-
nutos?

Reduciremos primeramente el multiplicador á
incomplejo de días y tendremos

11897

8 días 6h 17'= de día

1440

Ahora multiplicando los 32 kilómetros por el
quebrado que representa los días que se emplea-
rán en caminar, tendremos el número de kilóme-
tros que se podrán recorrer en el tiempo expresado,
tos cuales se reihiceti después á teguas y quedará
el problema resuelto ..

-?r

- 314 —

11897

32X =^264,3777 kilómetros equivalentes á

1440
51 leguas» 17 cuadras y 40 varas.

También se podía haber reducido los 32 kiló-
metros á leguas y multiplicar ese número por el
quebrado que representa l08 dfas, asi:

32 kilómetros=6,208 de legua: luego tendre-
mos que

11897

6,208X = 51,29 legüas=51 leguas, 17 cua-

1440
dras y 40 varas, cuyo resultado es idéntico al an-
terior.

S94. — De los dcjs ejemplos precedentes se
deduce que, para multiplicar un numero incomplejo,
por un número complejo, ae t^educe el complejo á
incomplejo y se multiplican como se ha explicado
para el primer caso.

4Í95. 4*^ CASO — Si una raneí¿:a *le tri-^^o pesa
8'S)9 libras 7 on/., cuanto pesarán 5 fanegas y 3
cuartillas?
Pesarán

3351

(8(a! 9 1b. 7(»nz.) x (5 lánoga^ 3 (:uHrtillas) = ®

400
23 77073

X— =. (8)= 48 iai 4 Ib. 4 onz. 4 adarmes.

4 1600

Luego vemos que, para multiplicar un cumpUjo
por otro compU¡J0i se reducen á incomplejos y se
multiplican como estos.

— 315 -

LECCIÓN XXX.

Multiplicación de los números <M>ncpetos
pop el método de las partes alícuotas

SS06. Cuando un número divide exactamente á
otro se dice que es factor ó parte aUcuota de aquel
número.

Así 5 es factor ó parte alicuota de 15; 6 lo es
de 18, etc.

99*7. La multiplicación de los números con-
cretos, cuando alguno de los factores es complejo,
ó los d.)s, puede hacerse descomponiendo un factor
en partes alícuotas las unas de las otras y hallando
sucesivamente el valor de cada una de estas par-
tes, empezando por hallar el de las unidades de
especie superior. La su. na será el valor pedido.

Multiplicación de un número incom-
plejo por un complejo.

P^ Ejemplo: averigüele el valor de 8 arrobas
16 Ib. 6 onz. de un articulo que cuesta 25 reales
la arroba.

~ 316 —

La (»peración se dispone del modo siguiente.

25 reales
8 @ 16 Ib. 6 onz.

8 '® =200 reales

1
5 lb.= — @ = 5 »

5
10 »= 2 X 5 Ib = 10 »

1

1 :^s= -de 5» = 1 »

5
1

4 onz. = — Ib = 0,25 »

4
4

2 onz. = — onz. = = 0,125»

2

Resultado = 216,375 reales

Para hallar el valor de 8 ®, multiplico 25 rea-
les que es el precio de una arroba por 8, y el
producto parcial 200 reales será su valor.

Ahora para hallar el valor de las 16 libras, se
discurre de este modo; si en lugar de tener 16
libras tuviéramos solamente 5 libras, valdrían la
quinta parte de lo que cuesta una arroba, es decir

1
que el valor de 5 Ib es — de 25 reales, ó sean 5

5
reales que escribo debajo de los 200 que importan
las 8 @.

Conocido el valor de 5 Ib. fácilmente hallaré
el de 10 Ib. que es el doble del primero d sean
10 reales; asi como 1 Ib, valdrá la quinta parte

— 317 —

de lo que cuestan 5 Ib, es decir, 1 real, cuyo valor
escribo unos debajo de otros para sumarlos luego.
Ya beiifos tuillado el valor de 5+10-1-1 libras ó sean
de las 16 que tenemos en el multiplicador; abora para
bailar el valor de las 6 onzas, calcularemos primera-
mente el valor de 4on2. ó sea de i da Ib., y vemos que
es igual á 0,25 reales, y luego el 2 de onzas, que es la
mitad de este último valor hallado, ó sean 0,125 rls.

Sumando todos los valores hallados resulta que,
las 8 @, 16 Ib., 6 onzas, á razón de 25 reales la
(§), importan 216,375 reales.

2^. Vamos ahora á resolver por este método
el 2"". problema del número S9o*

2"". Si en un día se andan 32 kilómetros, ¿cuántas
leguas se andarán en 8 días, 6 horas y 17 minutos?

32
8 dias 6 horas 17 minutos

Producto por 8 256, kilómetros

1
6h. t= -^ día 8, »

4

1
Ih. = — de 8 Km . if333 (valor auxiliar)

6

1
10m.= — de hora. ... 0,222 kilómetf*os

6

2
6m. = — debora.... 0,133 *

10

1
lm.= - de 6 m. ... 0,022 »

264,377 kilómetros

— 318.—

que «es exactameiite el valor que ohaliiimos por el
otro método^ faiiando solo rediicir los kilómetros
á toguat^eamo-^e ihiao en el número IS93. ^

Ea 4a resolución .deiitesteúltímo» problema aos
ha *eofiTeiiido< hallar el valor «uxiltar de 1 hora»
para deducir 4aega> coa i fácil idiadi el valor de. los
17 mtnulosrdespirta :de lo cual se tacha, dicho va-
lor paiMi' que no. sirvA de confusión al practicar,
la suma total.

3
3^. ¿Cuánto importan 8— pipas . de vino, cos-

4
tando cada pipa<^9S:^esos?

92 pesos
8 i

Valor de 8 pipas = 736 pesos

Valor dü - de » =23 m

4

2
Valor tle — de » =s 46 »

4

Kesirttado ¿= 805 pesos

29S. Del procedimiento seguido en estos úl-
timos ejamplps, se deduce que:

Para multiplicar un número incomplejo por otro
complejo, se multiplican las unidades de especie supe-
rior del multiplicador pord multiplicando; las de espe-
cie inferior se descomponen en partes alícuotas de la
unidad de especie superior^ ó de otra cuyo valor sea ya
conocido^ y se toman iguales part&i alicvotas deLmul-
tiplicando ó de dichos valores conocidos. La suma
de todos los valores asi hallados , (omitiendo los auwi-
liares) será el producto toial.

— 319 —

Multiplicación de un complejo, por un
incomplejo

299. 1"*. Averigüese cnanto pesarán 4 barri-
les de vino, sabiendo que una pipa pesa 45 @ 13
Ib. y 9 onz.

45 (§), 13 Ib., 9 onz.
4

3 barriles = i pipa =22tS), 191b.,4 onx., 8adar.
1 barril = i de 3 bar. = 7 », 14 », la » , 2 § »

Kesultado =30®, 91b.,0onz., 10|ad».

2*^. 15 carretillas emplearon 9 horas, 27 minu-
tos y 43 segundos ea trasportar cierta cantidad
de ladrillos de un punto á otro. ¿Para traspor-
tar el mismo número de ladrillos una sola carre-
tilla, cuanto tiempo empleará?

9li.

,27'

,43"

cto por 9h.==

15

du

135 horas

»

» 20' =

5

»

{igttal á i de hora)

»

» 5' =

1

»

15'

»

» r =

15'

»

» r =

15'

»

» 30" =

7' 30"

»

» 10" =

2' 30"

»

» 1" =

15"

»

» 2" =

30"

Resaltado

141 horas, 55' 45"

— 320 —

SiO€K . Uei procedí iBÍetil<» <)iiipl«a<to en la re-
solución de los dos úlliiiios prol)leiiias, se deduce ia
regla siguiente:

Pat'a mtUtiplicar un número compilo por otro
incomplejo, se multiplican las unidades de especie
superior del multiplicando por el multiplicador; las
de especie inferior se descomponen en partes alícuo-
tas de la unidad de especie superior ó de otra cu-
yo valor sea conocido, y se toman igicales parales ali-
ctwtas del multiplicador ó de la unidad cuyo valor
sea ya conocido. La suma de todos estos valores (omi-
tiendo loa auviliares) será el producto total.

MultiplÍ4*aeióii de un complejo por
oti'o complejo

301. 1*. Hállese el poso de 5 rane¿¿:as y 3
(MunUllas de trigo, en til supuesto de que una la-
uega pesa 8 ®, 9 Ib. v 7 onzas.

Se íleierminará, prinieraniente, oi peso de las 5
fanegas, paní lo cnal nniltlplicarenios t^ dn el mul-
tiplicando pnr 5. como se ha hecho en I(ís ejotn-
plos anteriores, y luego hallaremos el pesci de las
3 cuartillas, (K^scoiriponiémloJíis en 2 cuartillas, ó
sea media fanega, y en 1 cuartilla, cuycís vahues lia-
llaiemos tomando i de 8 ®, 9 1b., 7 onzas, (jue es
lo que pesa una fanega, y después lomando la mi-
tad del valor que resulte para la i fanega íendre-
m<»s el valor de 1 cuartilla.

— 32t —
La operación se dispone del inodu siguiente:

cío por 8 ®

1
5 Ib. = — (§)

5'
1 »

8 ig), 9 ib., 7 onzas
5 fanegas, 3 cuartillas

cr. /Produ

<D

c —por

=

40 (S)
1 »

51b.

-]

3 »

1

=

15 »

<i5 1 — »

r/}\ )^

4 ohz. = — Ib.

4
1 » *

z

1 » 4 onz.
5 »

a. \^— »

¿ .)

7=

10 »

Valor de

» »

2 cuarlillas
1

=

4»

2»

4 » 11 » 8adr«.
2 » 5 » 12 »

Resultado = 48 ®, 4 Ib., 4 onz., 4 adr^

2°. Una locomotora recorre en una hora 18 le-
guas, 8 cuadras, 15 varas, 2 pies y 9 pulgadas.—
conservando siempre igual velocidad, ¿cuánto an-
dará en 15 horas, 25', 35"?

— 322 —

En una hura 18 legs., 8 cuad., 15 varas, 2 pies, 9 palg.
15 h. 25' 35"

/Producto por 18 leg. ^=270 leg.
/ 1

2 / — por 6 cuad. =— » = I » 30 cd.

"' 10

^^ 1

»

2 » =

30

»

í2 1 —

»

1 » =

15

» {auoeiliar)

1

1

c 1

»

10 vars. =— cd. s=

1

» 50 V».

O 1

10

3 A.

>

5 » =

75 »

o

»

1 » =

15 »

(attówWar)

o

1

j

CD

Um

»

1 pié =— V". =

5 »

■^

3

*3

ce —

»

1 » =

5 »

3r

1

Í3Í

1

»

6 plllg. =— pié a=

2

2 »

1 p.

6 pulg.

\-

»

3 » =

1 »

»

9

1

Valor de 20' = — de Iwna =

6

» 2

* 71 »

2 »

11 »

3
1

»

»

5' = — de 20' =
4

1

1

» 30

» 67 »

2 »

16 »

»

»

r = _de 5' =
5

1

» 8

» 13 »

1 »

iO tt

»

»

30" = — de r =
2

9

» 6 »

2 »

5 »

»

»

5" =

1

» 51 »

»

5 >

Resultado =279Ieg., 46cd ,51 vs., 1 p., 7 pulg.

— 323 -

3*. iCuátito importan ^O— cuadras cuadradas

7
4
de terreno, á razón de 18 — p<wo8 la cuadra cu»-

5
drada?

Una cuadra vale 18— pesos

5

3

20-

7

Valor

de las

20 cuadras

Producto por I 18 =s 360 pesos

1
— por — de peso =4 »

5

3
- » — . » » = 12 »

5

1 24
Valor de — de cuadra »» 2 — »

7 35

2 48

7 35 »

Resultado 384— pesos
35

30S. Del procedimiento observado en estos
últimos ejemplos, se infiere que:

— :í24 -

Para multiplicar un númet^o complejo ó incom-
fjkrfo*por oirQtCMnple^^ se multiplica todo el muí-
aplicando po7' las unidades de especie superior del
multiplicador, como .se eúcpUcó en los problemas de
los* numtfñéi amterioreh; la^ .unidades, de es /necee in*
ferior se descomponen en. par íes alícuotas de la uni-
dad de especie superior, ó de otra cuyo valor sea co^
nocido, y se toman iguales partes alícuotas del va-
lor de la unidad de especie superior ó de la otra d^
valor conocida.. La su^ma de todos estos valores par-
ciales (omitiendo hs auxiliares) será el producto to-
tal.

LECOIflN XXXI

División do los IlÚIIlá^ros e< neroljMS

303. En la división de los ninneros concretos
se distinguen dos casos: 1". dividir un número com-
plejo por (tro inconipíejo. 2^ dividir un núnnero
complejo ó incomi)lejo por otro complejo.

304. ^^ Caso.- Problema P. Tenemos 45
@, 12 11)., 9 (nzíjs de carne para repartir entre 49
pobres, ¿cuánto les toca á cada uno?.

45 if, \¿ Ib., 9 onzas
25

- 325
64

225

90

1 125 Ib.

12

»

1137

Ib.

497

»

49

»

16

784 onz.

9

»

793 (mt.

153

))

25

»

16

150

25

400

16

1

1

171b., 12 onzas, 6 — adars.
4

Explicación. Para repartir la can-
tidad de carne expresada, empezáre-
inos por distribuir las arrobas que te-
nemos; pero como no son más que 45,
no alcanzan para entregar una arroba
á cada pobre. Así, pues, reducimos las
294 arrobas á libras, multiplicándolas por

49 25, y nos dan 1125, n)ás 12 que tene-

MKíS en ei^ dividendo, forman 1137 Ib.,
las cuales repartidas entre 64 les to-
ca á cada uno 17 Ib., y sobran 49 que
se reducen a onzas para poderlas re-
partir, para lo cual las multiplicamos
por 16, y producen 784 onzas, más 9
que tenemos en el dividendo, forman
763 onzas, que repartidas entre 64 les
toca á cada uno 12, y sobran 25 on-
zas, e(|uivalentes á 400 adarmes^ los
que repartidos entre 64 les correspon-
de á cada uno 6 4 adarmes; luego hay
que entregar á cada pobre 17 Ib., 12
(j^ ^ onzas, 6 \ adarmes.

2**. Si un móvil recorre en 12 minutos, con mo-
vimiento uniforme, una distancia de 3 leguas, 25
luadras,' 2 pies y 4 pulgadas, ¿qué distancia reco-
rrí' por minuto?

3leg.
60

25 cds. 2 ps.

4 pis

180 cuadras

•

25

»

205 cuadras

85

»

100
'4

3

12
2

pies

»

14
2

pies

12

24
4

pulgadas

28
4

pulgadas

1

— :

=— »

12

3

— 326 —
12

1
17cd».,8v».,l p.,2— piilg.
3

305. Del procedimiento seguido en los dos
ejemplos anteriores, se deduce que

Para dividir un número complejo por otro in-
complejo (de distinta naturaleza) se dividen las di-
/érenles especies de unidades del dividendo por el di--
visor; empezando por las de especie superior^ y su-
cesivamente se van dividiendo las siguientes, y si en
alguna división parcial resulta residuo, se reduce á
la especie inmediata inferior" y se suma con las uni-
dades que de esta especie haya en el dividendo, cu-
ya suma formará el dividendo parcial siguiente.

~ 327 —
OTRO EJEMPLO

3*. Una carretilla; atapleé 141 liaras^ 55' 45" en
trasportar cierta cantidad dei ladrillosi de ua pun-
to á otro. Para trasportar el mismo número de la-
drillos 15 carretillas, ¿cuánto tiempo emptearánl

14111

55'

45'

15

6
60

9 h, 27', 43"

360'
55'

415'

115'

10'

60"

600"
45"

645"

45"

O

30e. 2". Caso.— Problema 1". 84 fanegas y
3 cuartillas de trigo pesaron 214 @, 17 lb<., 6 onzas,
¿cuánto pesa la fanega?

Reduciendo el divisor á incomplejo de fanega se
99
convierte en — fanegas: lo qne pesa una fanega se ba-
4

99
liará dividiendo las 214®, 17 Ib., Oonaas por-^-, es

4
ilecir, dividiendo lo que pesan las fan^as-dadas por
el número de ellas.

328

Para ejecutar esta división se multiplica todo el ili-
videudo por el denoininad(»r 4, y ese producto se divi-
de por el numerador 99 (lOlj. Así pues tendremos:

(214 @, 17 Ib., 6 onz.) X 4: 99 ó sea

856Í

d 68 ib.

24 onz.

99

<j4

1

25

8® 16 11). 13 onz. 13— ada.

320

. 11

Í28

1600

Ib.

68

»

1668

!b.

678

»

84

»

16

504

84

onz.

1344

24

»

1368

mvi.

378

%

81

»

^

16

486

81

adarmes

1296

306

»

9

1

=

=*— »

99

11

— 329 —

o»

Una cuadra cuadrada de terreno costó 25 pe-
sos y 6 reales, ¿cuántas cuadras cuadradas podran
comprarse con 17413 pesos y 4 reales?

Es evidente que se podrán comprar tantas cua-
dras cuadradas como veces 25 pesos y 6 reales es-
té contenido en 17413 pesos y 4 reales, luego este
último Húmero es el dividendo, «I precio de la cuadra
el divisor, y el cociente representará cuadras cuadra-
das de terreno y fracciones de cuadra si no es exacto.

Convirtiendo el dividendo y el divisor á reales, la
operación se reducirá á dividir 174134 por 256: Asi:

174134
2053
54
10000

540000
280
2400
96

256

680 cuads». 2109 vrs*. 3 pies* 54 pulgs*

864

96

144

864
1296

13824

1024

000

Resultado: que pueden comprarse 680 c»adras
' cuadradas, 2109 varas cuadradas, 3 pies c«adrados
y 54 pulgadas cuadradas.

— 330 —

8". Se ha contratado la escavacióu de un pozo,
á razón de 2 pesos 15 centesimos la vara cubica
de tierra que se saque de él: al fín resulta qu(> hay
que pagar 836 pesos con 7 reales ¿Cuántas varas
cúbicas de tierrra se ban sacado del pozo?

Reduciendo á incomplejo el dividendo y divisor,
la cuestión (quedará reducida á dividir 83670 por
215; el conciente serán varas cúbicas y fracciones
de vara.

83670
1917
1970
35

27

245
70

945

85

144

340
340
85

12240

1490

200

144

28800
730
850
205 41

215

41
389vs.»4p.» 56pulg.»133 - líns.»

43

215 43

— 331 —

Resulta que del pozó se han extraído 389 vs.*,
41
4 p.^ 56 pulg.» 133— lín.»
43
El procedimiento seguido en la resolución de los
tres problemas últimos nos indica qué, para divi-
dir un número complejo por otro complejo, se redu^
cen á incomplejos, y después se dividen como estos.

LECCIÓN XXXII

Números primos

307. Ya se ha dicho en el número 1 30, que
se llama número primo, el entero que solo es divi-
sible por sí mismo y por la uní jad.

Se llama número compuesto^ el número que es
divisible exactamente por otro mayor que la uni-
dad y menor que si mísmo«

30S. Teorema. Todo número que dividido su-
cesivamente por los primos 2, 3, 5,7, H, 13. . . ..
se llega, sin obtener cociente exacto, á un cociente
entero menor que el divisor, es primo.

Sea por ejemplo, el número 139, el cual según
las reglas explicadas en la Lección Xl^ no es divi-
sible por los primos 2, 3, 5 ni 11; que tampoco es
divisible por 7; y al dividirlo por 13, nos da 10 de

~ 332 —

cociente entero, número menor (|ue el divisor, lúe
Lfí» íligo, que ya podemos asegurar i\ue dicho nú-
mero es primo; pues, si en alguna de las divisio-
nes del número propuesto por los primos mayores
que 13 obtuviéramos cociente exacto, como es evi
dente que estos cocientes irán disminuyendo á me-
dida que aumente el divisor (lOScons. 2), resul-
taría que si una de estas divisio.ies fuese exacta,
el dividendo 139 seria igual á ese divisor multi-
plicado por el cociente (83), luego tendría tam-
bién por factor á un número menor que 13, lo que
es absurdo, pues hemos visto que ningún número
menor que 13 -le divide exactamente.

El raciocinio que acabamos de hacer, puede
aplicarse á cualquier número, así pues, para ave-
rtguar si un número es ó no primo, se divide su-
cesivamente por los primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.;
y si se llega sin hallar cociente exacto y sin omitir
divisor alguno, á un cociente entero m,enor que el
divisor^ el número propuesto será primo. En caso
contrario no lo será.

Construcción de ana tabla de númieros
primos

309.Para construir una tabla de números pri-
mos, se escriben todos los números enteros desde
1 hasta el límite que se quiera, borrándose ense-
guida los múltiplos de 2, luego los de 3, después
los de 5, los de 7, los de 11, los de 13 y así su-
cesivamente: al fin, los números que no estén bo-
rrados formarán la tabla pedida. (\)

La tabla que va á continuación contiene los nú-
meros primos comprendidos entre 1 y 1039.

(1) Este senciUo procedimiento se llama criba de Eratóstenes y es de-
debkk> al antiguo mstemático de este nombre.

333

Tabla de núiuepos primos

1

79

193

317

457.

601

743

887

.2 •

83

197

331

461

607

751

907

3

89

199

337

463

613

757

911

5

97

211

347

467

617

761

919

7

101

223

349

479

619

769

929

11

103

227

353

487

631

773

937

13

107

229

359

491

641

787

941

.17

1^

233

367-.

499

643

797

«47

19

113

239

373

503

647

809

953

23

127

241

Í579

509

653

811

967

29

131

251

383

521

659

821

; 971

31

137

257

389

523

661

823

977

37

i 139

263

397

541

673

827

983

41

149

269

401

547

677

829

991

43

151

271

40>.)

557

683

839

997

47

: 157

277

419

563

691

853

1009

53

1 163

281

421

569

701

857

1013

57

167

283

431

571

709

859

1019

61

i 173

293

433

577

719

863

1021

67

i 179

307

439

587

727

877

1031

71

! 181

311

443

593

733

881

1033

73

191

1

313

449

599

739

883

1039

En la práctica se escriben süh» los números im-
pares y además el 2, por ser número primo, ta-
chándose enseguida los múltiplos de 3 empezando
por su cuadrado 9 y prosiguiendo tachando el ter-
cero de cada tres consecutivos á dichf) número.

Es evidente que al tachar los múltiplos de un
númei-o primo cualquiera, debe empezarse [yov ta-
char el cuadrado de dicho número, pues los múl-
tiplos anteriores deben estar ya tachados por ser

— 334 —

múltiplos- taMibtiii de lnH^^irosiiúiaeiros primos me-
ñores.

Suprímtck»8 los múltiplos de 3, se pnrsigua ta-
chando los múltiplos de 5 empezando porel 25 y
siguiendo tachando el quinto de cada cinco de los
consecutivos: luego se tacha el 49 y el sépti^mo de
cada siete de lt»s siguiente: después el 121 y el un-
décimo de cada once de los siguientes y así suce-
sivamente

DeMMmposición de mi námero com-
puesto en factores primos

31 0. Teorema.— yoí/ü número compuesto, es
un prodwto de números primos.

Sea por ejemplo el numero 210, el cual desde
luego observamos que es divisible por 2 (133),
luegíi tendremos que:

210 = 2x105

El factor 105 vemos que es divisible por 3 (1 34),
lueg(»:

210 =: 2x3x35

El factor 35 es divisible por 5 (133), luego re-
sulta p^ r fin que:

210 5= 2x3x5x7

y como todos estos factores son primos, el teore-
ma queda demostrado.

311. Descomponer un número en sus,facto-
i*es primo3, es hallar los númer<« primos quemul-
tiplicados entre si formen el número propuesto&t

— as5 -

Luego» para descomponer un número en sus facto*
res primos se procederá como en la anterior demos-
tración, dividiendo el número dado y los cocientes
que resulten por los divisores primos menores, hasta
obtener un cociente igual á 1. Estos divisores se-
rán los factores primos pedidos.

Para mayor facilidad la operación se dispone
del siguiente modo:

2100

2

2574

2

1050

2

1287

3

525

3

429

3

175

5

143

11

35

5

13

13

7

7 ,

1

1

Luego, los factores primos del número 2100 son:

2, 2, 3, 5, 5, y 7, ó bien:

2100 = 2»x3X5*X7

Los factores primos del número 2574 son: 2, 3,

3, 11 y 13, es decir, que:

2574 = 2X3^x1 IX 13

LECC1D.N IXXIII

Máximo cmuáH divisor de diM ó. más
númertM» enieroa .

31S. Se \l8ima, mcuüimo común divisor ¡de dos
ó más números, el mayor número divisor de todos
ellos.

— 336 -

Máximo común divisor se escribe abreviada-
mente, asi: m. c. d.

El m. c. d. de 15 y 35 es 5; el de 9, 3ft, 45
y 63 es 9.

El m. c. d. de dos ó más números no puede
ser mayor que el menor de ellos.

318. Teorema.- Si un número divide exacta-
mente d otros dos. dividirá también á su diferencia.

En efecto, siendo 6 divisor de 42 y 18, también
lo será de 42—18; porque

42 = 7 veces 6
18 = 3 veces 6

y restando ordenadamente estas igualdades, ten-
dremos:

42—18=7 veces 6—3 veces 6

pero 7 veces 6, — 3 veces 6, es ignal á

(7— 3)x6 (69 nota), luego,

42—18 = (7-3) X 6

De donde observamos que la diferencia se com-
pone de un múltiplo de 6, por consiguiente es di-
visible por 6.

Corolario. Todo número que divide exactamen-
te al dividendo y al divisor de una división inexac-
ta, divide lambió alresiduo\ y reciprocamente^ h*'^
do número que divida emadamente al divisor y resi-
duo dividirá también al dividendo.

Sea por ejemplo, 77 el dividendo y 21 el divi*
sor; el cociente entero es 3 y el residuo 14: y va-
mos á demostrar que todo divisor de 77 y 21 lo es

— 337 -

también de 14, y que todo divisor de 14 y 21 lo
es también de 77.

En efecto: sabemos que en toda división inexac-
ta, el residuo es la diferencia entre el dividendo y
el producto del divisor por el cociente, luego

77 — 21 X 3 = 14

Todo divisor de 77 y 21 lo es taaibién de 21x3
(132 cons.), luego también lo será de la dife-
rencia entre 77 y 21 X 3, ó sea del residuo 14.

En t(;da división inexacta el dividendo es igual
al producto del divisor por el cociente más el re-
siduj, asi pues, tendreracís

77 = 21 X 3 -f 14

Todo divisor de 21 y 14 liemos dicho que lo
es de 21 x 3, luego también lo será de 77 que es
la suma de 21 X 3 y 14 (133).

314. Teorema.— -E7 máximo común divisor
de dos números es igual al máximo común divi
sor del menor y del residuo que resulte de dividir
el m^ayor por el m,enor.

Sean los nínneros 77 y 21 y digo que el m. c.
d. de 77 y 21 es igual al m. c. d. de 21 y 14.

En efecto, el m. c. d. de 77 y 21 divide también
al residuo 14 de la división de estos números, lue-
go no puede sei* n^avor* que el m. c. d. de- 14 y
21.

Pero el m. c. (1. de 14 y 21 divide también á
77, luegx) no puede ser mayor que el m. c. d. de
77 y 2Í.

üe donde se deduce que no pudiendo ser el
m. c. d. de 77 y 21 mayor que el^ m. c. d. de

- 338 —

14 y 21, ni este mayiir que aquel, lian ile ser
¡guales, que es lo que queríamos demostrar

315. Propongamos aliora hallar el máximo
común divisor de 77 y 21.

El m. c. d. que queremos determinar no puede
ser mayor que 21 pues debe dividir á este número,
luego si 21 dividiese exactamente á 77 este seria el
m. c. d. que se pide. Divídase pues, 77 por 21 y se
obtendrá 3 de cociente entero y 14 de residuo lo que
nos prueba que 21 no es el m. c. d. que buscamos.
Pero sábese que el m. c. d. de dividendo y divisor es
igual al m. c. d. de divisor y residuo, luego el pro-
blema se reduce ahora á hallar el m. c. d. de 21 y 14,
y haciendo el mismo raciocinio que hemos hecho con
ios números 77 y 21 diremos:

El m. c. d. de 21 y 14 no puede ser mayor que 14,
luego si 14 divídese exactamente á 21 esie sería el m.
c. d. que buscamos. Divido pues 21 por 14 y se obtie-
ne 1 de cociente entero y 7 de residuo lo qne nos
prueba que 14 no es el m. c. d. de 21 y 14.

Pero, el m. c. d. de 21 y 14 es i^ual al m. c. d. de
14y7, así pues queda ahora reducido el problema á
hallar el máximo común divisor de 14 y 7 . Dividien-
do 14 por 7 nos da 2 de cociente exacto, luego 7 es el
m. c. d. de 14 y 7 y por consiguiente de 21 y 14
y el de 77 y 21 que se pide.

De este procedimiento se deduce la siguiente
regla:

31 G. Para hallar el máximo común divisor
de dos números, se divide el ynayor por el menor;
y si se obtiene cociente exacto, el menor será el m.
c . d . de ambos. Pero si qtieda residuo, se dividirá
el núm.ero menor por el residuo, este por el segundo
residuo y asi sucesivamente hasta hallar cociente exac-
to, en cuyo caso el último divisor es el m. c. d. pedido»

M

— 339 —
EJEMPLOS

1». Hállase el m. c. d. de los números 48789
y 5994.

En la práctica se dispone la operaeióa del si-
guiente modo.

48789
837

8

5994
135

7

837

27

6

135

27

2'. Hállasft el iii. c. d. de los nüinems 8370
V 1998

8370
378

1998 I 378
108 54

3 ¡^
108
O

54

3°. Hállase el m. c. d. de los núinertis 3803
y 1609

3803
585

1609
439

2

585
146

3 \3

439 i 146
1 I O

146
7"

Los cocientee se escriben encima de los diviso-
res, los restos bajo sus respectivos ílividendos y
el último divisor es el m. c. d. pedido.

Así vemos que en el I*"", ejemplo el ni. c. d. es
27; en el 2". es 54 y en el 3". es 1, lo que nos
deinuestra que los dos últí:nos números propues-
tos son prunos entre si.

Sf 1 7. Tborbma. — Si dos números se multipli-
can ó dividen exactamente por otro, su máximo

— 340 —

común divisor quedará también multiplicado ó di-
vidido por este otro.

Sean los números 210 y 36, cuyo m. c. d. es
6, y digo que, si multiplicamos los números pro-
puestos por 4, por ejemplo, su máximo común di-
visor quedará multiplicado por 4, es decir que
tendremos:

m. c. d. de 210 X 4 y 36 X 4 = 6 X 4

En efecto, se ha demostrado en el número 106
que si se divide ó multiplica el dividendo y el di-
visor de una división inexacta, por un número en-
tero cualquiera, el cociente enlero no varía, pero
el residuo queda dividido ó multiplicado por el mis-
mo número, luego hallando el m. c. d. de los nú-
meros dados tendremos:

5

gio

36

30

6

1_|A

30 6
i

y multiplicando los dos números propuestos por
4 resultará

210x4
30X4

5

1

36x4
6x4

30x4
0x4

6 i4

luego vemos que el m. c. d. de 210 x 4 y 36 x 4,
es 6.4, conforme con lo que queríamos demostrar.

De un modo análogo demostraríamos el caso
de dividirse los dos números por un factor de
ellos

Consecuencia. Del teorema que acabamos de
demostrar se deduce, que si dos números se di-
viden por su m. c. d. los cocientes serán primos
entre sí.

— 341 —

En efecto: dividiendd dos números por su m.
:. d. este quedará dividido por si mismo, y da^
á 1 de cociente, lueji:o los cocientes que resul-
en de dividir dos números por su m. c, d. ten-
Irán por m. c. d. la unidad y por consiguiente
eran primos entre sí.

318« Teorema.— Tbdo número qtte divida
wactamente á otros dos, divide también á su m.
;. d. y recíprocamente, todo número que divida
wactamente al m. c. d. de otras dos divide tam-
ñén á estos números.

Este teorema se deduce fácilmente de lo de-
nostrado ea el número 313 (Corolario).

319. Problema. — Hállese el máximo comün
livisor de los números 10:¿, 170, 561 y 153.

Supongamos por un momento que es A el m.
5. d. que se pide. En tal caso siendo A factor
le 102 y 170 dividirá, según se ha demostrado á
iu m. c. d. que llamaremos B. Resulta alwra
lue A es factor de i5 y de 561 por consiguiente
ainbién lo será de su m. c. d. que llamaremos
1 Tenemos pues que A es factor de C y de 153,
uego lo será de su m. c. d. que llamaremos D,
)or consiguiente A no podrá ser mayor que D.

Pero D divide á C y á 153 luego dividirá tam-
)ién á S y á 561 que son múltiplos de C.

Hemos visto también que D divide á B, 561
r 153, luego siendo D factor de B lo será tam-
)ién de 102 y 170 que son múltiplos de B, d©
londe resulta que D divide 102, 170, 561 y 153
)ov consiguiente no puede ser mayor que A que
18 el m. c d. de dichos números.

Resulta, pues, que A no puede ser mayor que
5 y que D tampoco puede ser mayor que -4, hie-
ro D=A.

— 342 — -

Siguiendo este procedimiento, fácil nos ,será ba-
ilar el valor del m. c. d. de los nümeros propuestos.
Así:

170

68

1

1

68

102
34

34

El ra. c. d. de 102 y 170 es 34.
Ahora hallaremos el m. c. d. de 34 y el siguien-
te número 561.

561

221

17

16

34

2
17

El m. c. d. de 561 y 34 es 17.
Ahora falta hallar el m. c. d. entre el último
hallado y el número 153.

153
O

9
17

Vemos que también es 17; luego 17 es él m.
c. d. de los números dados.

3SO. Del procedimiento seguido en el pro-
blema anterior» el cual es aplicable á cualquier
otro caso, se deduce la siguiente regla:

Para hallar el m. c. d. de varios números^ se
bíisca el m. c. d. de dos cualesquiera de ellos, deS"
pues el de este y otro de los números propuestoSi y
se continúa hallando el m. e. d. del último m. c. d.

- 343 —

mcontrado y otro de los números restante, hasta
operatse con todos los números dados.

El último m. c. d. hallado será el pedido. .

EJEMPLO
Hállase el in. c. d. de los números 630, 756 y

945.

756
126

1

630
O

126

El m. c. d. de 756 y 630 es 126.

945 -126^
63 , O

63

El III. e. d. de 126 y 945 es 63, qtte e» tamlñéa
el m. c. d. de los tres números propuestos.

LECCIÓN XXXIV

HUniíno eamkún JEOiUtlplo

321 . Se llama iníjainK) caiaÚA múltiplo de va-
rios números, el menor número quo sea divisible
por todos ellos.

Así, el mínimo común múltiplo de 30 y 40 es
120; el de 3, 15 y 12 es 60.

Mínimo común múltiplo* se escribe abreviada-
fnente asi: m. c. m.

— 344 —

3/SS. Teorema.— Totto número qu^e divida exac-
tamente á vn producto de dos factores y sea aprimó
con uno de ellos, dividirá al otro.

Dividiendo el número 7 al producto 28 . 15=420
y siendo primo con el factor 15 digo que dividirá
al otro tactor 28.

En efecto, siendo 15 y 7 pi irnos el máximo co-
mún divisor de estos números será 1. Ahora mul-
tiplicando 15 y 7 por 28, el m. c. d. quedará tam-
bién multiplicado por 28 (31 'í'), luego tendremos
que el m. c. d. de 28 . 15 y 28.7 será 28.1=28
ahora el número 7 divide al producto 28 . 15 por
hipótesis y al producto 28 . 7 por ser un múltiplo
de 7, luego dividirá también al ni. c. d. de estos
productos que 28 (318).

Consecuencia 1*. Si un número primo divide
exactamnte á un prodúcelo de varios factores, divi-
rá por lo menos á uno de éstos.

En. efecto; si el número 5 divide al producto
8 . 13 • 25 y es primo con el factor 8, dividirá al
otro factor 31 • 25.

Siendo el liactor 13*25 divisible por 5 y este
primo con 13, tendrá que dividir á 25.

Consecuencia 2*. Si un núm^ero es divisible exac-
tamente por otros dos ó más primos entre si, es divisi-
ble por el producto de todos ellos,
, Sea el número 924 que es divisible por 2, por
3 y por 11 y digo que también lo será por el pro-
ducto 2 .a. 11.

En efecto; 924 es divisible por 2, luego se tiene.

924=462 . 2

También 924 es divisible por 3, luego 462.2 lo se-
rá del mismo modo, pero 3 es primo con el fiac—

— 345 -

tur 2, luego dividirá al otro factor 462 y teiulre*

ínos:

462=154.3
ó bien

924=154.3.2

Por fin, también el número 11 divide á 924, lue-
go igualmente dividirá al producto 154.3.2; pe-
ro 11 es primo con los factores 3 y 2, por consi-
guiente dividirá al otro factor 154 y tendremos
por ultimo

924=14.11.3.2

Es decir, que 924 es igual á 14 veces el pro-
ducto 2 .3 • 11, luego es divisible poi* este producto,

3S3. Tborbma. Un número no admite más
que una sola descomposición en factores simples.

En efecto: supongamos por un momento que
el número 3465 admitiese dos descomposiciones
distintas 3.3.5.7.11 y 3.3.5.17, en tal caso
tendríamos que 3 • 3 • 5. 7 . 11=3. 3. 5 . 17; según
esta última descomposición el número 17 divide
al producto 3465, luego dividirá también á uno de
los factores 3, 5, 7 ú 11, lo que es imposible por
que es primo con cada uno de ellos, luego la an-
terior igualdad es absurda.

Supongamos que la diferencia consista en la
repetición de alguno de sus factores, por ejem-
plo que fuese, 3 . 3. 5 .5 . 7. 11, en tal caso ten-
dríamos que 3.3.5.7. 11=3.3.5. 5.7.11; divi-
diendo los dos miembros de esta supuesta igual-
dad por 5, resultará

3.3.7.11=3.3.5.7. 11;

— 346 —

donde se observa (|ue el segundo mienbro es
visible por 5; luego el primero también lo ser]
luego el numero 5 tendrá que dividir á uno
los laí'tores primos 3, 7 ú 11, lo que es al|
surdo.

Consecuencia. Un número no es divisible por
otro, si no contiene todos los factores primos de es-
te, repetidos cada uno al menos cantas veces como
se hallen en este otro.

Digo: <|ue el número 84 que es igual á 2 .2. 3.7
no puede ser divisible por 15 porque no contiene I
al factor 5 que tiene este último.

En efecto; si el número 84 fuese divisible por
15, que es igual á 3.5, tendríamos

84=3 . 5 X cociente.

Abora, cualesquiera que sean los factores del
cociente, el factor 5 no puede desaparecer al
efectuar la multiplicación, luego el número 84 1
admitiría dos descomposiciones en factores primos |
lo que es absurdo.

3S4I. Fundándonos en los principios quei
acabamos de demostrar, podremos determinar el
mínimo común múltiplo de los números 715, 1386
y 37050.

Descompuestos estos números en sus factores!
primos resulta que

715c=5.11.13
1386=2.3^.7.11
37050=2.3.5». 7^
Por consiguiente un número será divisible por I

— 347 —

715 cüiiteniendo por l(» menos los factores 5, 11
y 13: será divisible por 1386 si contiene á lo me-
nos los factores 2, 3*, 7 y 11: será divisible por
37050 si contiene por lo menos los factores
2, 3, 5* y 7: asi pues el numero 2 . 3* . 5* . 7* . 11 . 13
=15765750 que se compone de las mayores po-
tencias (le l(/s distintos factores simples que for-
man los números propuestos será múltiplo de di-
chos números, y digo que será "^ el menor porque
otro nújnero que no contenga los factores 2.3*.
5*. 7*. 11 13 no será divisible ala vez por todos
los números dados (3S3 cons.), luego el núme-
ro 15765750 es el menor de todos los nniltjplos que
•pueden formarse de los números 715, 1386 y 37050.

De cuyo procedimiento se deduce la siguien-
te

Regla. Para hallar el mínimo común múlti-
plo de dos ó más números se multiplican entre si
las potencias mayores de los diferentes factores
simples de todos ellos.

FIN.

— 348 —

ZXTDZCS

PÁGINAS

Prólogo V

Lección I

Nociones preliininares 1

División de la Aritmética . 3

Lección II

Numeración hablada 4

Base del sistema de numeración decimal . 10

Diferentes sistemas de numeración . . 10

Lección III

Numeración escrita 11

Regla para escribir un número ... 13
Modo de hacer un número 10, 100, 1000,

etc., veces mayor ó menor 15

Regla para leer un número 16

Cuadro para facilitar á los principiantes

la escritura y lectura de los números . 17

Lección IV

Numeración Romana 18

- 349 —

Operaciones fundamentales

[.ECCIÓN V

Adición de los números enteros. . . • 21

Tabla de sumar 22

Regla para sumar números enteros .• . . 27

Pi'ueba de la adición ....... 29

Usos de la suma . 30

Problemas . . . ......... 31

Lección VI '

Sustracción de los números enteros ... 32

Tabla de sustracción 34

Regla j)ara restar númeios enteros ... 39

Prueba de la resta 39

Usí)s de la resta 39

Problemas 39

Problemas de adición y íiustraccíón com-
binadas ... ..... 41

Lección VII

Multiplicación de los números enteros . . 44

Tabla de multiplicar ..... ... 46

Propiedades de la multiplicación .... 49

Regla general para multiplicar dos nú-
meros enteros cualesquiera 57

Prueba de la mulüpLicación , . ... . 59

Potencia de los números enteíos .... 60

Usos de la multiplicación ...... 61

Problemas de multiplicación 61

Problemas de adición, sustracción y mul-
tiplicación combinadas 63

Problemas para resolver 65

Lección VIIJ

División de 1os números enteros .... 66

— 350 -

Kegla para dividir mn mi mero ctimpuesto

for un dígito 93
todo abreviado . . . , 95

Kegla para dividir uo numero compuesto
de varias cifras por otro de las mkroafi

condiciones 100

Observaciones sobre la regla auterior . . 103
Métodos abreviados para averiguai* si la
ciíra del cociente es mayor que la ver-
dadera 105

Método más sencillo para comprobar las

cifras del cociente ' . . • 109

Propiedades de la división 111

Súnpliticacíon de la divisidu 113

Consecuencias que se deducen de la divi-
sión de los números enteros 114

Prueba de la división . . . • ^ . . 115

Usos de )a división 115

Problemas 115

Ejercicios 117

Lección IX

Quebrados, sus propiedades. ....*.. 119

Lección X

Otras propiedades de los quebrados. . . 136

Aplicación de las propiedades de los que-
brados á la teoría de la división . . . 129

Reducción de quebrados á un común de-
nominador .... 132

Ejemplos 133

Lección XI

Simplificación deJos quebrados. .... 137
Divisibilidad de 1«8 nümeros ..... 13R

~ 351 -*

Divisibilidad por 2 y por 5 140

Divisibilidad por 3 y por 9 141

Divisibilidad por 4 y por 25 142

Divisivilidad por 8 y por 125 ...... 143

Divisibilidad por 11 144

Regla para simplificar quebrados .... 147

Ejemplos 148

Lección XII

Cálculo de las fracciones ordinarias . . 149

Adición 149

Adición de los números mixtos. . . . 153

Lección XIII

Sustracción de los quebrados ordinarios . 157

Sustracción de los números mixtos . . . 159

Problemas. 160

Lección XIV

Multiplicación de los quebrados ordinarios 161

Quebrado de quebrado 165

Multiplicación de los números mixtos . 167

Problemas 167

Lección XV

División de los quebrados ordinarios . . . 169
Observaciones y casos particulares de divi-
sión de quebrados comunes 174

Problemas. . .... 175

Lección XVI

Fracciones decimales 180

Numeración y propiedades genérales de los

números decimales 180

Modo de dividir un número entero por la

unidad seguida de ceros 184

— 35¿ —

Modo de multiplicar ó dividir un niiuiero
decimal por la unidad seguida de ceros 185

Lección XVII

Adición de los nútneros decimales. . . . 186

Problemas 187

Ejercicios 188

Sustracción de los números decimales . . 188

Problemas 190

Ejercicios 192

Lección XVIII

Multiplicación de los números decimales 192

Pioblemas 196

Ejercicios ... 198

Lección X I X

División de los números decimales .... 199
Aproximación del valor de un cociente de
división inexacta, por medio de los deci-
males .... 204

Regla general para dividir un decimal por

otro . . . . ^ 205

Problemas 207

Ejercicios 208

Lección X X

Reducción de quebrados ordinarios á deci-
males y viceversa 208

Reducción de un quebrado común á decimal 208
Fracciones decimales exactas y periódicas 211
Reduccióu de fracciones á quebrados ordi-
narios 211

Quebrado generador 211

- 353 -

Modo de conocer cuando un quebrado or-
dinario produce fracción decimal exacta

ó periódica 216

Lección XXI

Números concretos

Sistema métrico decimal de pesas y medidas 218

Nociones preliminares . . \ . . . 218

Diversidad de sistemas de pesas y medidas 218

Origen del metro 219

Unidades concretas 220

Unidades principales del sistema métrico

decimal 220

Medidas de longitud 221

Modo de escribir y leer cantidades métricas 223

Cambio de unidad 226

Problemas sobre el metro 228

í^ercicios 230

Medidas de capacidad 231

Problemas. 233

Unidades de peso 236

Ejercicios 240

Problemas 241

Lección XXII

Contimcación del sistema métrico decimal de
pesas y medidas

Medidas superficiales

Unidades de superficie 242

Cambio de unidad . 246

Medidas eíectivas 246

Medidas de volumen

Unidades de volumen 247

— 364 —

Cambio de unidad 250

Medidas efectivas 251

Medidas para leña

Medidas efectivas 252

Ejercicios 253

Monedas 253

Valor oficial de las monedas extranjeras . 254

Eljercicios 255

Medidas para la circunferencia .... 255

Problemas 256

Ejercicios 257

Lección XXIII
Sistema antigtw de pesas y medidas

Medida del tiempo 257

Unidad fundamental 258

Duración del año 258

Divisiones del tiempo 258

Medidas para la circunlerencia 260

Unidades de longitud 261

Medidas de capacidad 261

Medidas de peso : 261

Medidas para medicamentos. ....... 262

Medidas superficiales 262

Medidas de volumen 262

Medidas para leña 262

Ejercicios 263 •

Lección XXIV

Equivalencias de las medidas antiguan
con las modernas

Medidas.de longitud 263 ..; i

3l.

365

Medidas de capacidad , . . 264

Medidas de peso 264

Medidas para medicamentos 264

Medidas superficiales 265

Medidas de volumen 265

Medidas para leña 265

Equivalencias de las unidades del sistema mé-
trico, con las del antiguo sistema

Medidas de longitud 265

Medidas de capacidad 266

Medidas de peso 266

Medidas para medicamentos 267

Medidas superficiales 267

Medidas de volumen 267

Medidas para leña 268

Problemas ; 268

Ejercicios 270

Lección XXY

Sistema de medidas antiguas del Brasil

Medidas de longitud 271

Medidas de capacidad 272

Medidas de peso 272

Medidas superficiales 272

Medidas agrarias 273

Equivalencias de tas medidas antiguas del Brasil,
con las del sistema métrico decimal y vice-versa

Medidas de longitud 273

Medidas de capacidad 274

Medidas de peso 275

Medidas, superficiales 275

Medidas agrarias 276

Unidades monetarias 276

-356 —

Problemas 277

Ejercicios 279

Lección XXVI

Medidas antiguas de la República Argentina

Medidas de longitud 280

Medidas de capacidad S80

Medidas^ de peso 281

Medidas superficiales 281

Medidas de volumen 281

Unidades monetarias 281

Sistemas de pesas y medidas de Inglaterra

Medidas de longitud 2é2

Medidas de capacidad 282

Medidas de peso 283

Pesas de Troy 283

Medidas superficiales 283

Unidades monetarias 284

Medidas inglesas comparadas con las del sistema
métrico decimal

Medidas de longitud 285

Medidas de capacidad 285

Medidas de peso 286

Pesas de Yroy 286

Medidas superficiales. . 287

Problemas 287

Ejercicios 291

Lección XXVI I
Cálculos de los números denominados

Reducción de un número incomplejo á uni-
dades inferiores 292

— 357 —

Reducción de un número incomplejo á
unidades de especie superior 296

Lección XXII 1

Adición de los números concretos

Casos que pueden presentarse ...... 300

Sustracción de los números concretos . . 302

Lección XXIX

Multiplicación de los números concretos 307

Lección XXX

Multiplicacióii délos números concretos por
el método de ias partías alícuotas .... 315

Lección XXXI

División de los números. 324

LacciÓN XXXII

Números primos i 331

Construcción de una tabla de números

primos 332

Descomposición de uu número en factores 334

Lección XXXIII

Máximo común divisor de dos ó más nú-
meros 335

Ejemplos 339

Lección XXXIV
Mínimo común múltiplo 343

FIN

>

Erratas

Páginas

lineas
31

Donde dice

Debe decir

7

seis cientos

seiscientos

10

30

21

S3

22

10

pinnero

primero

27

20

snmando

sumando

42

11

16880

96830

40

19

1". CASO

65. 1". CASO

47

24

. 74 ■

84

48

23

111

110

49

1

65

66

49

21

66

6*7

50

20

67

6S

57

9

cualquiera

cualesquiera

65

31

vnedió

vendió

101

14

dividinedo

dividendo

101

17

bajado las

bajado todas las

I

*?ríVí

Páginas

lineas Donde dice

Debe decir

109

14

embarho

embargo

155

13

61
23 —
330

61
33
330

166

7

es lo quenainus

es lo que queríamos

167

13

3 5

~6X-

4 7

3 5
-X6-

4 7

174

10

4 9
1°. -=1X-
9 4

4 9

1: =lx-

9 4

176

10

3 1 1

- X X-

4 4 5

1 1 1
3 4 5

182

8

cetésimas

centésimas

185

31

mayor que

mayor, ó sea cien
veces mayor que

198

18

y 'artículos

y en artículos

204

1

1000 246000

246x X

24 24

1000 246000

246x =

24 24

215

5

45379 45

45379—45 '

260

9

69

60

264

22

alados

salados

327

5

45'

45"

330

8

concieiite

cociente