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Full text of "Leçons d'analyse fonctionnelle"

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THE LIBRARY 

OF 

THE UNIVERSITY 

OF CALIFORNIA 




GIFT OF 



Prof, G. C. Evans 



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LEÇONS 

D'ANALYSE FONCTIONNELLE 



LIBRAIRIE GAUTHIER-YILLARS ET O 



COLLIiCTION Dli MONOGRAPHIES SUR L.\ THEORIE DES FONCTIONS 

PUBLIÉE SOUS LA DIRECTION DE M. É.MILE BOREL 

Leçons sur la théorie des fonctions {Éléments et principes de la 
théorie des ensembles], par Emile Borel; 2« édition, 19 14 i3 fr. 

Leçons sur les fonctions entières, par Emile Borel ; 2' éd., 1921 . Sous presse. 

Leçons sur les séries divergentes, par Emile Borel; 1901 (j fr. 

Leçons sur les séries à termes positifs, par Emile Borel, rédigées 

par y?. d'Adliémar; 1902 ■j fr. 

Leçons sur les fonctions méromorphes, par Emile Borel, rédigées 

par Ludovic Zoretti; 1908 7 fr. 

Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primi- 
tives, par Henri Lebesgue; 190^ 7 fr. 

Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développe- 
ments en séries de polynômes, par E. Borel, rédigées par M. Fré- 
chet, avec des NoLes de P. Painlevé et de H. Lebesgue; 1906 9 fr.. 

Leçons sur les fonctions discontinues, par René Baire, rédigées 

par A . Denjoy ; 1 900 7 fr . 

Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonc- 
tions, par Ernst Lindelof ; 1905 7 fr. 

Leçons sur les séries trigonomètriques, par II. Lebesgue; 190G... 7 fr. 

Leçons sur les fonctions définies par les équations différentielles 
du premier ordre, par Pierre Boutroux, avec une Note de Paul 
Painlevé ; 1908 i3 fr. 

Principes de la théorie des fonctions entières d'ordre infini, 

par Otto Blumentiial ; 19 10 1 1 fr. 

Leçons sur la théorie de la croissance, par Emile Borel, rédigées 

par A. Denjoy ; 1 9 1 11 fr. 

Leçons sur les séries de polynômes à une variable complexe, 

par Paul Montel; 1910 7 fr. 

Leçons sur le prolongement analytique, par L. Zoretti; 1910 — 7 fr, 5o 

Leçons sur les équations intégrales et les équations intégro- 
différentielles, par Yito V'Olterba, rédigées par M. Tomassetli et 
F.-S. Zarlatti; 1912 11 fr. 

Leçons sur les singularités des fonctions analytiques, par 
^ P. DiENEs; 1913 II fr. 

Leçons sur les fonctions de lignes et leurs applications, par Vito 

VoLTERRA, rédigées par /. Pérès; 1913 i5 fr. 

Les systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues, 

par Frédéric Riesz ; 1918 i3 fr. 

Leçons sur les méthodes de Sturm dans la théorie des équations 
différentielles linéaires et leurs développements modernes, 

par Maxime Bôciier, rédigées par Gaston Julia; 1917 10 fr. 

Intégrales de Lebesgue; fonctions d'ensembles; classes de 

Baire, par G. de la Vallée Poussin ; 1916 i4 fr. 

Leçons sur les fonctions monogènes uniformes d'une variable 

complexe, par Emile Borel, rédigées par Gaston Julia; 1917 i5fr. 

Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle, 

par C. de la Vallée Poussin; 19 19 i6fr. 



COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS 

PUBLIÉE SOUS LV DIRECTION DE M. EMILE BOREL 



LEÇONS 

D'ANALYSE FONCTIONNELLE 

PROFESSÉES AU COLLÈGE DE FRANCE 



PAR 

Paul LÉVY 

PROFESSEUR A l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 



AVEC UNE PREFACE 

DE 

M. J. HADAMARD 

MEMBIiE DE l'iNSTITUT 




PARIS 
GAUÏHIER-VILLARS ET C'% ÉDITEURS 

LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 
55, Quai des Grands-Augustins, 55 

1922 



Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés 
pour tous pays. 



PRÉFACE DE M. HADAMARl) 



Hf\TH/ 
STAT 



La tâche de signaler à Tattention du lecteur le Calcul 
fonctionnel aurait pu senabler importante il y a un quart de 
siècle; elle est bien simplifiée aujourd'fiui. 

Logiquement parlant, le calcul fonctionnel aurait dû se 
constituer dès la naissance même de la notion d'intégrale 
définie ou, plus exactement, lorsque avec cette notion fut 
élaborée celle même de fonction au sens de Dirichlet, la 
fonction étant considérée comme définie non par telle ou 
telle série d'opérations analytiques, mais par la connaissance 
de toutes ses valeurs ; l'intégrale définie fait précisément 
intervenir l'ensemble de ces valeurs et par là constituait 
un premier fait de Calcul fonctionnel. On n'aperçut point 
cependant qu'il y avait là, et dans le Calcul des Variations 
qui apparut bientôt après, une branche nouvelle de la Science. 
Il était réservé à M. Pincherle et surtout à M. Volterra d'en 
dégager l'individualité et d'en montrer l'importance. Cette 
importance, il n'est plus permis à un mathématicien de 
l'ignorer, depuis les Mémoires de M. Volterra sur les fonc- 
tions de lignes et les Leçons que l'illustre géomètre a pro- 
fessées à l'Université de Paris sur le même sujet. 

Mais un autre fait a tout particulièrement contribué à 
rendre naturelle et familière à tous les géomètres la disci- 
pline d'esprit dont nous parlons : je veux parler de la théorie 
du problème de Dirichlet et des vues nouvelles que nous a 
ouvertes sur ce sujet la découverte de M. Fredholm. Celle-ci 
nous a appris que même dans l'étude d'une équation aux 



3C6 



VI * pkkfa<:k ue m. hadamard. 

dérivées partielles il peut être essentiel de considérer les 
relations d'une des valeurs de la fonction inconnue non 
seulement avec les valeurs infiniment voisines, mais encore 
avec toutes celles que cette inconnue peut prendre dans son 
domaine entier d'existence. En un mot, il est aujourd'hui 
impossible de traiter la théorie des équations atix dérivées 
partielles sans la rattacher au Calcul fonctionnel. 

S'il est devenu inutile d'insister sur le sujet du Volume qu'on 
va lire, est-il nécessaire d'en présenter au public l'auteur? A 
peine davantage. On sait par quels remarquables débuts 
M. Paul Lévy s'est signalé au monde scientifique. On sait 
comment, à côté de la généralisation de la notion de diffé- 
rentielle totale, telle qu'elle résulte des recherches de 
M. Volterra, il a pareillement étendu au nouveau domaine 
la notion d'équation aux différentielles totales complète- 
ment intégrable et comment cette nouvelle généralisation 
a jeté sur toute la théorie la plus vive et la plus féconde 
lumière. 

Pendant cinq ans, M. Lévy a donné à la Patrie une acti- 
vité qui aurait été précieuse pour la Science. A celle-ci, il 
s'est de nouveau consacré tout entier. En même temps que 
l'œuvre de M. Volterra et la sienne propre, il en continue 
une autre qui s'annonçait admirable : celle de R. Gâteaux, 
tué à l'ennemi en septembre igi/jj et dont l'œuvre si vite et 
si brutalement interrompue, avait ouvert au Calcul fonc- 
tionnel la voie nouvelle de l'intégration. 

Le lecteur verra à quel degré de clarté et d'harmonie cette 
théorie élevée a été amenée par les efforts de pareils savants. 
Nul doute, et c'est l'essentiel, qu'il n'y trouve également 
l'occasion d'applications importantes et de progrès nou- 
veaux. 

J. Hadamard. 



LEÇONS 

D'ANALYSE FONCTIONNELLE 



PREMIERE PARTIE. 

LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL 



CHAPITRE I. 

L'ORIGINE ET LES PRINCIPES DU CALCUL FONCTIONNEL. 



Sommaire. — L'origine de la notion rie fonction. — L'origine de la notion de 
fonctionnelle. — Les débuis du calcul fonctionnel. — Algèbre fonctionnelle 
et analyse fonctionnelle. — Le passage du fini à l'infini. — La représentation 
des fonctions par une infinité dénombrable de paranièlres. — Indication des 
questions traitées dans ce Livre. 

1 . L'origine de la notion de fonction. — Le calcul fonctionnel est 
une branche de l'analyse qui dérive du calcul diflérentiel et intégral 
de la même manière que ce calcul lui-même dérive de l'algèbre, par 
une généralisation progressive des opérations effectuées. 

Les premiers mathématiciens ne considéraient que les opérations 
algébriques les plus simples. Les opérations sur les nombres entiers 
et les questions arithmétiques tenaient naturellement une grande 
place dans leurs préoccupations; mais l'étude de la géométrie les 
obligea de bonne heure à envisager des opérations sur des nombres 
quelconques. Ce n'est que bien plus tard que, par d'autres applica- 
tions et le progrès des conceptions théoriques, ils furent conduits à 
étudier, d'abord les transcendantes élémentaires, puis des catégories 

LÉVY. 1 



2 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL, 

plus générales de fonctions, pour arriver au milieu du xviii^ siècle à 
considérer des fonctions continues absolument quelconques. 

A quel moment la notion abstraite de fonction s'est-elle dégagée de 
ces exemples de plus en plus généraux? On la trouve déjà nettement 
chez Descartes, qui ramena l'étude d'une courbe à celje des variations 
simultanées de ses coordonnées. Mais c'est Leibniz qui prononça le 
premier le mot de fonction, pour donner une expression générale 
aux notions fondamentales du calcul infinitésimal, notions qui avaient 
déjà été appliquées dans des cas particuliers, non seulement par les 
géomètres des xvi'' et xvii® siècles, mais déjà par Archimède ('). 

2. L'origine de la notion de fonctionnelle. — L'intégrale, dont 
l'étude obligea les mathématiciens à donner une expression à la 
notion de fonction, est en outre le premier exemple, encore très 
particulier, d'une notion nouvelle. Tandis que la fonction est une 
quantité qui dépend d'une ou plusieurs variables suivant une loi 
déterminée, l'intégrale définie dépend, suivant une loi déterminée, 
de toutes les valeurs d'une fonction. C'est ce que M. Hadamard 
appellera plus tard une fonctionnelle. 

Mais, même si Leibniz a peut-être vu le caractère de cette notion 
nouvelle, l'idée ne pouvait lui venir d'approfondir ce caractère et 
d'aborder l'étude générale des opérations fonctionnelles. Cette étude 
ne pourra être envisagée que quand la théorie des fonctions, qui en 
est le support nécessaire, sera suffisamment développée, et quand, de 
plus, on connaîtra un plus grand nombre d'exemples particuliers de 
fonctionnelles. 

Laissant de côté la dérivée, qui est bien une fonctionnelle, mais 
d'une nature tellement spéciale, ne dépendant que des valeurs de la 
fonction dans le voisinage d'une valeur particulière de la variable, 
qu'elle pouvait difficilement donner naissance à la notion générale de 
fonctionnelle, nous pouvons dire que le deuxième exemple est donné 
par le calcul des variations. L'intégrale 

est une fonctionnelle dépendant de toutes ies valeurs de la fonction j^ 
(') Cf. VoLTERRA, Leçons sur les fonctions de lignes (igiS), Chap. I. 



CHAP. I. — L ORIGINE ET LES PRINCIPES DU CALCUL FONCTIONNEL. i 

dans l'intervalle («, ^), et constitue un exemple plus général que 
celui de l'intégrale de la fonction y. Elle fut considérée dans un cas 
particulier par BernouUi, puis dans le cas général parEuler (*), et c'est 
à son sujet que Lagrange introduisit la notion de variation^ qui est 
pour l'intégrale précédente ce qu'est la différentielle pour une fonc- 
tion, et qui suffira, non seulement pour l'étude d'intégrales de formes 
plus générales, mais pour l'étude des fonctionnelles en général. 

Dès le début du xix'' siècle, l'étude des phénomènes physiques in- 
troduit des fonctionnelles très différentes de celles considérées par 
Lagrange, et dont la définition analytique est beaucoup moins simple : 
telles sont la capacité électrique du conducteur isolé limité à une 
surface donnée, ou l'aire de la surface minima limitée à un contour 
donné. L'étude de ces fonctionnelles devait au début du siècle 
actuel constituer un nouveau et important chapitre du calcul des 
variations. 

3. Les débuts du calcul fonctionnel. — Le calcul des variations 
n'est qu'un chapitre du calcul fonctionnel, comme la théorie des 
maxima et minima n'est qu'un chapitre du calcul différentiel. 

On peut, d'une manière précise, dire que c'est en 1887 que le 
calcul fonctionnel prit naissance, lorsque M. V. Volterra commença 
à publier dans les Bendlcojitl de la R. Accademia dei Liiicei une 
série de Notes, rapidement devenues célèbres, sur ce sujet. 

Il commença, dégageant la notion générale de fonctionnelle des 
exemples particuliers qui avaient déjà été envisagés, à considérer 
une quantité qui dépend de toutes les valeurs d^uiie autre fonc- 
tion^ quantité à laquelle nous donnerons avec M. J. Hadamard le 
nom de fonctionnelle. Comme une fonction peut être représentée 
par une ligne, la notion de fonctionnelle est presque identique à 
celle de fonction d^une ligne. C'est cette dernière expression que 
M. Volterra emploie de préférence, même lorsqu'il envisage l'aspect 
analytique du problème. 

Généralisant la notion de variation de Lagrange, M. Volterra 
montre que la forme de variation considérée par Lagrange s'applique 
à une catégorie très générale de fonctionnelles ; mais la notion de 
variation est plus générale encore, et les fonctionnelles admettant 



(') J. Hadamard, Leçons sur le Calcul des variations, p. 



38. 



4 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

une variation ont dans l'ensemble des fonctionnelles la même im- 
portance que les fonctions admettant une différentielle dans l'ensemble 
des fonctions. 

M. Volterra définit ensuite les dérivées d'ordres supérieurs, qui 
permettront d'introduire la notion de variations d'ordres supérieurs, 
et forme une série analogue à celle de Tajlor. 

La suite des travaux de l'éminent analyste montre de plus en plus 
que le calcul fonctionnel est une extension de l'analyse ordinaire, et 
qu'à chaque chapitre de l'analyse ordinaire correspond un chapitre du 
calcul fonctionnel qui est souvent plus qu'une généralisation du pré- 
cédent, par les circonstances qu'il présente et les horizons nouveaux 
qu'il découvre. Dès lors, la théorie se développe rapidement, tant par 
les travaux propres de M. Volterra, que par ceux des nombreux géo- 
mètres qui ont compris dès le début l'importance du nouveau domaine 
que celui-ci venait d'ouvrir à la Science. 

4. Algèbre fonctionnelle et analyse fonctionnelle. — Ces travaux 
peuvent se grouper en deux chapitres distincts, que nous appellerons 
Valgèbre fcmc lionne lie et Vanalyse fonctionnelle. La première 
partie comprendra des problèmes où les inconnues sont des fonctions 
ordinaires, mais qui se rattachent au calcul fonctionnel par les 
méthodes employées pour les résoudre. L'analyse fonctionnelle, au 
contraire, comprend des problèmes où les inconnues sont des fonc- 
tionnelles, ou d'une manière générale des problèmes que l'on ne 
peut concevoir indépendamment de la notion de fonctionnelle. 

11 était naturel que le développement de l'algèbre fonctionnelle 
précédât celui de l'analyse fonctionnelle. Avant d'étudier en eux- 
mêmes les nouveaux problèmes que pose l'introduction de la notion 
abstraite de fonctionnelle, les mathématiciens ont dû se persuader de 
l'intérêt de cette notion, en constatant que le fait de considérer 
comme variables les fonctions figurant dans divers types d'équations 
fonctionnelles donne des procédés nouveaux et féconds pour résoudre 
ces équations. En efï'et, les travaux relatifs aux équations intégrales 
ou intégro-différentielles, qui constituent peut-être la plus belle 
conquête des mathématiciens depuis le début de ce siècle, se ratta- 
chent à ce que nous venons d'appeler l'algèbre fonctionnelle. S'il est 
possible d'exposer ces travaux sans mettre en évidence le rôle joué 
par la notion de fonctionnelle (et cela n'a rien d'étonnant puisque les 



CHAP. I. — L ORIGINE ET LES PRINCIPES DU CALCUL FONCTIONNEL. 5 

problèmes traités sont des problèmes de la théorie des fonctions 
ordinaires), ce serait se priver du fil directeur qui a permis à M. Vol- 
terra d'obtenir ses plus beaux résultats, comme il l'a montré dans ses 
leçons professées à la Sorbonne en 1912 (^). 

Après ces leçons de M. Volterra, le moment semble venu d'es- 
quisser un exposé d'ensemble de l'analyse fonctionnelle, dont l'objet 
essentiel est l'étude des équations aux dérivées fonctionnelles, géné- 
ralisation des équations différentielles et aux dérivées partielles. Plus 
abstraite par son objet même, cette étude ne peut d'abord être 
féconde en résultats applicables à la théorie des fonctions. C'est un 
champ de recherches différent, plus large à certains points de vue, 
riche en problèmes nouveaux, en notions nouvelles. Sans doute lors- 
qu'il sera exploré, pourra-t-on en déduire de nouvelles méthodes 
applicables aux problèmes d'analyse ordinaire ; on ne saurait les pré- 
ciser dés maintenant. Il est souvent arrivé dans l'histoire des sciences 
qu'une théorie ait des applications que ses auteurs ne prévoyaient 
pas, et le fait que l'analyse fonctionnelle ne se soit pas encore révélée 
féconde en applications pratiques ne doit pas détourner de l'étude 
de cette science, si attrayante d'ailleurs, au point de vue logique 
et philosophique, comme généralisation de l'analyse ordinaire. 

5. Le passage du fini à l'infini. — Des progrès si rapides que l'ont 
été ceux du calcul fonctionnel n'auraient sans doute pas été possibles 
si l'étude de chaque chapitre du calcul fonctionnel n'était facilitée 
par la connaissance du chapitre correspondant de l'analyse ordinaire, 
et si le procédé qui permet de passer de celui-ci à celui-là n'était pas 
toujours le même : le passage du fini à V infini. C'est encore 
M. Volterra qui a mis en évidence le parti à tirer de l'utilisation sys- 
tématique de ce procédé. 

(1) De même, en analyse ordinaire, on peut distinguer l'algèbre, traitant de pro- 
blèmes où les inconnues sont des nombres, et l'analyse, traitant de problèjnes où 
les inconnues sont des fonctions. Ainsi, la résolution de l'équation 

V = a^x -h a^x'^+ ... -f- a„ 07" -h ... 
par la formule 

x^b^y ^ b,y- + . . . ^- b^y" + . . . 

est un résultat d'algèbre en ce sens que l'inconnue ;r est un nombre; mais le fait 
de considérer ce nombre comme variable donne au raisonnement mathématique une 
puissance nouvelle, et souvent l'analyse, qui emploie ces procédés, et considère x 
comme fonction implicite dey, réussit là où l'algèbre pure échoue. 



6 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

Une fonction continue ^(i) définie dans un intervalle (o, i) est 
connue d'une manière approchée si, cet intervalle étant divisé en un 
nombre très grand n d'intervalles égaux, on connaît les valeurs 
moyennes ;r,,^27 - • ", oCn de la fonction dans chaque intervalle. Une 
fonctionnelle dépendant de x{t) est alors représentée d'une manière 
approchée par une fonction /( a:,, .1P2 7 • • • 5 ^n)- L'étude des problèmes 
concernant les fonctionnelles résultera ainsi de l'étude -des problèmes 
analogues concernant la fonction f{x^^x^^ . . . , Xn)- H suffit de sup- 
poser que n devienne infini pour être conduit à la solution du pro- 
blème considéré de calcul fonctionnel, et si souvent le procédé 
employé ne conduit pas à démontrer l'exactitude de la solution, qu'il 
faut vérifier autrement, il n'en constitue pas moins un procédé de 
découverte d'une fécondité remarquable. 

C'est ainsi que s'est formée, pour prendre l'exemple le plus simple, 
la notion d'intégrale. La somme 



devient infinie si n augmente indéfiniment, mais la moyenne de ces 
;^ nombres tend vers une limite qui, l'intervalle considéré étant égal à 
l'unité, est l'intégrale de la fonction x{t) dans cet intervalle. On voit 
que l'intégrale généralise la notion de moyenne plutôt que celle de 
somme, remarque que nous aurons à utiliser dans la suite, et si l'in- 
tervalle d'intégration est divisé en intervalles qui ne sont pas égaux. 
il est tout naturel de donner à chacun des xt un poids égal à l'inter- 
valle correspondant.- Si l'intervalle total n'est pas ^gal à i, la limite 
de la moyenne sera naturellement, non l'intégrale, mais son quotient 
par cet intervalle. 

Le même procédé de passage du fini à l'infini s'applique à la diffé- 
rentielle totale 

et à la limite on est conduit à penser que la variation d'une fonction- 
nelle U dépendant d'une fonction x{t) définie entre o et i, sera une 
expression de la forme 

oU = / o{t) ùx{t)dt. 

C'est la variation considérée par Lagrange et M. Vol terra, qui s'ap- 
plique en effet à une catégorie fort étendue de fonctionnelles. 



ciiÀP. I. — l'origine et les principes du calcul fonctionnel. 7 

6. La représentation des fonctions par une infinité dénombrable 
de paramètres. — Nous ne donnerons pas pour le moment d'autres 
exemples d'application du procédé considéré. Le lecteur en trouvera 
suffisamment dans la suite. Mais faisons à ce sujet une remarque 
importante. 

On peut envisager d'autres manières de considérer une fonction- 
nelle comme limite d'une fonction d'un grand nombre de variables. 
La fonction :r(^) peut être définie dans l'intervalle considéré par la 
suite des coefficients de son développement en série trigonométrique 
ou d'u*ne manière plus générale en série de fonctions orthogonales, 
ou bien si elle est analytique par les coefficients de son développe- 
ment en série de Tajlor. Une fonction des n premiers coefficients 
d'un de ces développements conduit, lorsque n augmente indéfini- 
ment, à une fonctionnelle. 

Cette manière d'envisager le passage du fini à l'infini présente-t-elle 
le même intérêt que celle que nous avons indiquée d'abord? 

On ne saurait trop nettement répondre : non. 

11 ne faut pas en eff'et perdre de vue que, quel que soit le procédé 
employé pour représenter une fonction :r(^), la fonction est avant 
tout une succession de valeurs prises parla quantité a? lorsque avarie. 
C'est cette succession de valeurs qu'il faut toujours considérer si l'on 
veut ne pas perdre de vue l'origine de la notion de fonction et ne pas 
se contenter d'écrire des relations formelles sans en pénétrer le sens. 

Aucun professeur ne proposerait de donner à un débutant, comme 
définition de l'intégrale indéfinie, cette propriété que la fonction 

<7o -!- «1 ^ -4- . . . -h «« ^" -h . . . 

a pour intégrale la fonction 

c -h a^a: -\- ai- h . . . ~r- a ^ h..., 

2 n 

c étant une constante quelconque. Une telle définition ne permettrait 
pas de saisir l'origine même de la notion d'intégrale ni d'aborder 
avec succès les applications du calcul intégral aux proljlèmes ph} si- 
ques. 

Par contre, on ne peut songer à nier les services que rend, une 
fois la notion d'intégrale devenue familière, l'intégration des séries 
trigonométriques ou des séries de puissances. 

Nous devons, en abordant le calcul fonctionnel, nous inspirer de 



PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUI- FONCTIONNEL. 

cette double remarque. A chaque problème nouveau, nous examine- 
rons d'abord ce que donne le passage du fini à l'infini appliqué comme 
nous l'avons dit n"» 4, Il nous arrivera d'utiliser ensuite la représen- 
tation d'une fonction par une suite dénombrable de coefficients; en 
particulier, nous considérerons souvent la représentation d'une 
fonction par une série de fonctions orthogonales. Mais cela ne doit 
pas faire oublier que le point de vue indiqué d'abord, qui est celui de 
M. Volterra, doit rester au premier plan (* ). 

7. Indication des questions traitées dans ce Livre. — Nous pou- 
vons maintenant indiquer brièvement les principales questions que 
nous étudierons dans la suite. 

Nous avons déjà dit qu'un traité de calcul fonctionnel pourrait 
comprendre un chapitre correspondant à chaque chapitre de la 
théorie des fonctions d'un nombre fini de variables. Notre objet prin- 
cipal sera de généraliser les notions élémentaires du calcul différen- 
tiel, la théorie des équations aux dérivées partielles, et la notion 
d'intégrale multiple. 

Dans la première Partie, nous parlerons d'abord de la continuité 
dans le domaine fonctionnel. Nous étudierons ensuite la variation 
première et les variations d'ordres supérieurs des fonctionnelles, 
études liées à celles des fonctionnelles linéaires et des fonctionnelles 
entières d'ordre fini, comme l'étude des différentielles des divers 
ordres des fonctions de n variables est liée à l'étude des formes de 
divers degrés. 

La notion de déterminant fonctionnel est fondamentale dans la 
théorie des fonctions de ai variables, et l'on ne peut en aborder l'étude 
sans connaître au préalable la théorie des équations algébriques. 
Nous serons de même obligés de donner quelques indications sur la 
théorie des équations intégrales linéaires; mais nous nous bornerons 
sur ce sujet à quelques considérations générales et aux résultats indis- 
pensables pour la suite. Nous pourrons ensuite traiter la question des 
fonctionnelles définies par des équations implicites. 



(') Signalons à ce sujet les travaux de M. Bourlet {Annales de rÉcole Normale, 
t. XIV et XVI), qui aurait pu partager avec M. Volterra l'honneur d'avoir fondé le calcul 
fonctionnel, s'il ne s'était placé uniquement au second point de vue. M. Pincherle, 
dans les Math. Ann , t. XLIX, a égalennent publié, avant les travaux de M. Volterra, 
des travaux où il se place au même point de vue. 



CHAP. I. — l'origine et LES PRINCIPES DU CALCUL FONCTIONNEL. 9 

Dans la deuxième Partie, nous étudierons les équations aux déri- 
vées fonctionnelles du premier ordre. Il existe de nombreux types 
intéressants à considérer. Le plus simple est celui qui résulte de la 
généralisation des équations aux différentielles totales, et qui se 
rapproche des équations différentielles ordinaires du premier ordre 
en ce sens que l'intégrale ne dépend que d'un paramètre, mais qui 
s'en distingue en ce sens que la différentielle totale considérée peut 
n'être pas une différentielle exacte, et qu'il j a lieu d'étudier le pro- 
blème de l'intégrabilité. 

Nous étudierons ensuite un autre type d'équations, que nous nom- 
merons équations aux dérivées fonctionnelles partielles, qui généralise 
les équations aux dérivées partielles comme le précédent généralise 
les équations différentielles. Nous étendrons à ces équations les 
notions de caractéristiques, d'intégrales complètes et la méthode 
d'intégration de Gauchy. 

La troisième Partie comprendra l'étude des équations aux dérivées 
fonctionnelles partielles du second ordre, et notamment d'une équa- 
tion généralisant celle de Laplace. Cette étude introduisant une 
formule qui généralise celle de Green, il est nécessaire de généraliser 
d'abord la notion d'intégrale, ou plus exactement celle de moyenne. 
Cette généralisation a été obtenue pour la première fois par Gâteaux, 
en 1914 (voir Butl. Soc. math., igig). Tandis que jusqu'ici l'ana- 
lyse fonctionnelle présentait avec l'analyse ordinaire une analogie 
remarquable, la théorie de la moyenne en calcul fonctionnel est 
quelque chose d'essentiellement nouveau, ne ressemblant à aucune 
théorie de l'analyse ordinaire. L'étude de cette notion comprendra 
cinq chapitres de la troisième Partie, un seul étant consacré à 
l'application à l'équation de Laplace. 

Dans le résumé qui précède, les questions concernant la théorie 
pure sont seules indiquées. 

Comme applications, nous considérerons surtout des fonctionnelles 
liées au problème de Dirichlet relatif à l'équation de Laplace de 
l'analyse ordinaire. 

Le développement de ces diverses théories oblige à utiliser un très 
grand nombre de notions de l'analyse ordinaire. Pour ne pas exiger 
du lecteur un trop grand nombre de connaissances préalables, j'ai 
préféré allonger un peu l'exposé en rappelant sommairement les 



lO PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

fondements de quelques théories classiques de l'analyse. C'est ainsi 
que l'on trouvera des indications sur l'intégration au sens de 
M. Lebesgue, sur les séries de fonctions orthogonales, sur les pro- 
priétés élémentaires des fonctions de Green. Toutefois, dans les 
quatre derniers chapitres de la dernière Partie, contenant l'exposé de 
résultats récents et sans doute non encore complètement au point ('), 
j'ai dû renoncer à donner à l'exposé le caractère élémentaire que 
j'aurais voulu conserver. 

D'autre part, je tiens à prévenir le lecteur que je n'ai pas voulu 
faire un traité complet de calcul fonctionnel. Un tel traité devrait 
comporter un exposé développé de la théorie des équations inté- 
grales linéaires, de la question connexe des formes quadratiques à 
une infinité de variables, et d'une manière générale de la théorie 
des fonctions d'une infinité de variables, questions sur lesquelles 
nous ne donnerons que de brèves indications. 11 devrait aussi com- 
prendre la généralisation de la théorie des fonctions d'une variable 
imaginaire et l'étude des équations intégro-difierentielles, qui cons- 
tituent deux beaux chapitres de l'œuvre de M. Volterra; ce dernier 
surtout, le plus récent, est rapidement devenu classique et a donné 
lieu à un grand nombre de travaux d'autres savants, et il se rattache 
naturellement à la notion de fonctionnelle. Mais ces questions nous 
écarteraient de notre objet, qui est surtout l'étude des équations aux 
dérivées fonctionnelles, et je ne peux que renvoyer le lecteur aux 
Mémoires et Ouvrages où elles sont exposées {'^). 

(1) PeulTCtre le lecteur Irouvera-l-il que j'aurais «lu, pour publier cet Ouvrage, 
attendre que celte troisième Partie soit complètement au point. Il aurait fallu sans 
doute attendre plusieurs mois, peut-être plusieurs années. Dans rintérêt de la 
Science française, il m'a paru préférable de publier dès jnaintenant les résultats 
acquis, et de ne pas hésiter à en énoncer d'autres, plus ou moins vraisemblables, que 
je n'ai pu démontrer rigoureusement; ces questions dont l'étude me paraît mériter 
d'être poursuivie sont rappelées à la fin du dernier chapitre. Je serai heureux de 
contribuer ainsi à attirer de nouveaux chercheurs dans ce domaine si vaste et encore 
si peu connu qu'est le calcul fonctionnel. 

(2) Volterra, Sur une généralisation de la théorie des fonctions d'une 
variable imaginaire {Acta matematica, t. XII); Leçons sur les fonctions de lignes 
(Gauthicr-Villars, igiS); Trois conférences sur la généralisation des fonctions 
analytiques et sur la théorie des vagues ( The ftice Institute; Book of the ope- 
ning, vol. III, p. io3G-iioo). 



CHAPITRE II. 

LA NOTION DE CONTINUITE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 



Sommaire. — Notations. — L'espace fonctionnel. — Définition normale de la 
continuité et du voisinage. — Autres définitions. — Voisinages de divers 
ordres. — Champs fonctionnels. — Continuité uniforme. — Fonctionnelles 
dépendant d'un paramètre. 

8. Notations. — Lorsqu'une quantité U est une fonctionnelle 
(le .2'(/), dépendant des valeurs prises par cette fonction pour a^t%b, 
M. Volterra représente cette dépendance par le symbole 

U|[^(0]|. 

a 

Pour simplifier l'écriture, toutes les fois que cela pourra se faire 
sans ambiguïté, nous supprimerons l'indication des limites a et b^ 
ou même nous écrirons simplement U| [x\ | ou même U, sans rap- 
peler par les notations que cette quantité est une fonctionnelle 
de^(^). • 

Si une quantité dépend de la forme de plusieurs fonctions, soit 
par exemple deux fonctions x et y, et de la valeur de certains para- 
mètres, soit par exemple deux paramètres \ et u., la notation 
U I [oc, y, )^, [Ji] I ne marquerait pas suffisamment la distinction entre 
les fonctions et les paramètres. Nous adopterons dans ce cas Fune 
des notations 

lh,^\[^,y]\; UI[.r,j|X, ajl. 

La notation de M. Volterra 

U|[^(0,r(0; À, !^]| 

a a 

supprime également toute ambiguïté. 

Si dans ces expressions on remplace x par une fonction de t et de 



12 PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

paramètres a, p, la fonctionnelle U devient une fonction de a, p, X, u. 
Nous distinguerons le rôle de la variable l de celui des paramètres a 
et ^ en écrivant 

Ui[:r(ija, P)|X, Vir ou U),a|[:ra,p(0]|. 

Les fonctions x{t) e\,y{t) et les variables X et ]x qui interviennent 
dans la définition -de U seront appelées ar^i^me/i^^ de cette fonc- 
tionnelle. 



9. L'espace fonctionnel. — On sait les services que rend dans 
l'étude des fonctions de n variables le langage géométrique qui con- 
siste à les considérer comme fonctions d^ un point de r espace à 
n dimensions. Un langage analogue est de même employé avec avan- 
tage pour les fonctions d'une infinité dénombrable de variables, 
qu'il nous arrivera d'avoir à considérer dans la suite, et pour les 
fonctionnelles qui sont l'objet principal de notre étude. 

Pour fixer les idées, nous considérerons les fonctionnelles U 
dépendant des valeurs prises, pour o5^^i, par une fonction j;(^) 
définie d'une manière uniforme dans cet intervalle. Nous considé- 
rerons une telle fonction comme représentée par un point d'un 
espace idéal que nous appellerons V espace fonctionnel . La fonction- 
nelle U sera une fonction d'un point de cet espace. 

Mais" un mot nouveau, s'il peut faciliter la généralisation de cer- 
tains raisonnements, ne suffit pas pour résoudre une difficulté. 
L'espace fonctionnel diffère essentiellement de l'espace à n dimen- 
sions, comme nous allons bientôt le constater. 

10. Définition normale de la continuité et du voisinage (^). — 
La notion qui est à la base de toute méthode infinitésimale est celle 
de continuité. Dans l'espace à n dimensions, une fonction est dite 
continue en un point A si, étant donné un nombre s positif, les 
valeurs prises par cette fonction en A et un autre point B diffèrent 
de moins de e, pourvu que B soit suffisamment voisin de A, c'est-à- 
dire pourvu que la distance de ces points soit inférieure à un nombre 



(•) M. Fréchet emploie le mot voisinage dans un sens un peu différent de celui 
que nous allons lui donner. Nous sommes d'accord pour l'emploi de ce mot avec 
M. Hadamard [Leçons sur le Calcul des variations, p. 48). 



CHAP. II. — LA NOTION DE CONTINUITÉ DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. l3 

convenablement choisi, qui est dit module de continuité corres- 
pondant à £. 

Nous pouvons étendre cette définition à l'espace fonctionnel. Mais 
il faut préciser dans quel cas nous avons le droit de considérer deux 
points A et B comme voisins. Ce sera sans doute quand leur distance 
sera très petite. Mais comment définir cette distimce, que nous 
appellerons aussi distance des fonctions correspondantes a: (^) ety(^)? 

Voyons ce que donne le procédé du passage du fini à l'infini. 
Dans l'espace à n dimensions, les points A et B ayant respectivement 
pour coordonnées ^,, . . . , ^„ et yi, . . ., yn-, leur distance R est 
définie par la formule 

R^=(jK,-:r,)2H-...-+-(j«-^«)^ 

Pour rendre possible le passage à la limite, il faut remplacer la 
somme qui figure au second membre par la moyenne des termes 

écrits et, par suite, chercher la limite, non de R, mais de /'= -— . 

On est ainsi conduit à appeler distance des fonctions x{t) ety(^), 
ou des points correspondants A et B de l'espace fonctionnel, la quan- 
tité r définie par la formule 



(I) r2= j' [y(^t)-x{t)Y 



dt. 



C'est cette définition que nous adopterons en principe dans la 
suite. C'est elle qui nous permettra de construire une géométrie de 
l'espace fonctionnel dans laquelle se généralisent avec leurs carac- 
tères essentiels les notions de sphère, d'angle, de courbure des sur- 
faces, de surface minima, de fonction harmonique, etc. Au point de 
vue qui nous occupe actuellement, nous voyons qu'une fonctiony(^) 
devra être considérée comme infiniment voisine d'une fonction jc(f) 
si l'intégrale (i) tend vers o, c'est-à-dire si, suivant 1 expression con- 
sacrée, y{t) converge en moyenne vers x(^t). De même^ la fonc- 
tionnelle U^ du point A sera dite continue en A si Ub — U^ tend 
vers o avec r. 

11. Autres définitions. — Les définitions précédentes, générali- 
sations naturelles de celles employées dans la géométrie à n dimen- 



l4 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

sions, ne sont pas suffisantes, et nous ne pouvons nous dispenser 
d'envisager d'autres sortes de continuité. 

Dans l'espace à n dimensions, il suffit de limiter supérieurement 
soit R, soit /', pour que chacune des quantités |y, — j^, |, ..., 
\yn — ^«1 soit limitée supérieurement. Dans l'espace fonctionnel, la 
connaissance d'une limite supérieure de r n'entraîne pas la connais- 
sance d'une limite supérieure àe\y{t) — ^(^)1 pour une valeur par- 
ticulière de t. 

Pour limiter supérieurement cette différence, nous pouvons con- 
sidérer comme distance des fonctions :r et j^ la quantité 

(2) M = n>ax |7(0 — ^(0 I {o^tS^i). 

Avec cette définition, la fonction y{t) devra être considérée 
comme infiniment voisine de œ[t) si y{t) tend uniformément 
veTSx(t)^ et à cette nouvelle sorte de voisinage, que nous appellerons 
voisinage uniforme^ correspond une nouvelle sorte de continuité. 
L'intérêt de cetle continuité est prouvé par le fait que des fonction- 
nelles telles que le maximum de .t(^) entre o et i, ou bien la valeur 
de ^(^) pour une valeur particulière de ^, qui ne sont pas continues 
au sens du n' 9, sont continues avec cette nouvelle définition; il en 
est de même d'autres fonctionnelles que nous rencontrerons dans la 
suite. 

Le voisinage uniforme est naturellement/>/a5 restrictif (\yxe le voi- 
sinage en moyenne, de sorte que la nouvelle définition de la conti- 
nuité est moins restrictive que l'ancienne, c'est-à-dire est vérifiée 
par toutes les fonctionnelles continues d'après l'ancienne définition 
et aussi par d'autres. 

Une autre définition possible serait de considérer la fonctiony(^) 
comme voisine de oc(^t) s\y{t) tend vers x{t)^ mais non uniformé- 
ment. La fonctionnelle ^(t), t étant une valeur particulière de ^, et 
d'autres fonctionnelles dans la définition desquelles t joue un rôle 
particulier, sont continues avec cette définition, plus restrictive que 
la précédente. Malgré cela, elle ne nous paraît pas intéressante à con- 
sidérer; cela tient à ce que, dans ces exemples, ce qui importe, ce 
n'est pas l'existence de la continuité pour chaque valeur du para- 
mètre T, mais la manière dont la continuité dépend de t, le fait, par 
exemple, de savoir si, en faisant varier t, on a une famille de fonc- 
tionnelles également continues. 



CHAP. II. — LA NOTION DE CONTINUITÉ DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. l5 

D'autres définitions possibles du voisinage sont liées ô la distance Vp 
définie par la formule 

(3) /'^'= f \y{t)-x{t)\Pdt, 

p étant un nombre positif quelconque. Si Vp tend vers o, il y a une 
sorte de voisinage entre y{t) et x{t)y que nous pouvons appeler 
voisinage en moyenne de degré p. Il comprend comme cas parti- 
culier, pour p ^=.1^ le voisinage défini n^ 9, et est d'autant plus res- 
trictif que/? est plus grand. En effet, si /? «< P et si r,. est donné, on 
vérifie sans peine que Vp peut prendre n'importe quelle valeur posi- 
tive ^ Tp, mais ne peut dépasser /•,>. 

Des différentes sortes de voisinage que nous venons de considérer, 
nous utiliserons surtout dans la suite celles qui correspondent aux 
définitions de la distance résultant des formules (i) et (2). Sauf 
indication contraire, c'est toujours de la première qu'il s'agira. 

Nous dirons qu'un domaine est fini lorsque la distance de ses 
points à l'origine est limitée supérieurement. Nous appellerons 
modale fonctionnel d'une fonction x{t)^ et désignerons par 1|:2?(<) || 
la distance du point qui la représente à l'origine [point qui repré- 
sente la fonction :r(^) = 0]. Ces expressions ont naturellement diffé- 
rentes significations suivant la définition adoptée pour la dislance. 

12. Voisinages des divers ordres. — Les définitions précédentes 
de la distance ne sont pas suffisantes. Une fonctionnelle telle que 



/'( 






n'est pas continue, même avec la plus restrictive des définitions 
considérées jusqu'ici. Pourtant elle a une sorte de continuité que 
nous allons préciser, et qu'il faut envisager, si nous ne voulons pas 
exclure de nos recherches les fonctionnelles du calcul des variations 
classiques. 

Nous dirons que y{t) a avec x{t) un voisinage uniforme 
d'ordre p û y{t) et sqs p premières dérivées tendent respectivement 
d'une manière uniforme vers x{t) et ses p premières dérivées. Il 
suffit d'ailleurs pour cela, û x ei y et leurs {p — i) premières déri- 
vées sont continues, que la dérivée d'ordre p de y tende uniforme- 



l6 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

ment vers la dérivée correspondante de .r, et que, pour une valeur 
particulière de t^ y et ses {p — i ) premières dérivées tendent respec- 
tivement vers X et ses {p — i) premières dérivées. 

A cette définition, on peut faire correspondre la distance définie 
comme la plus grande valeur de 

(o</£i; i = 1,2, .. ., />), 



d(y — x)\ \dP(y — x) 

' ' an max ' 







diy 
dti 


d^x 

dt^ 


ou 


bien la 


quantité 






«0 lïiax 


\y — x\-^a 


, max 



dt I * ' ' I diP 

«0, «1, . . .^ Op étant des coefficients positifs. Ces différentes défini- 
tions sont équivalentes au point de vue de la définition du voisinage 
qui en résulte. 

Des remarques analogues peuvent être faites au sujet du voisinage 
en moyenne d^ ordre p^ défini par la condition quejr et ses dérivées 
jusqu'à l'ordre p convergent en moyenne respectivement vers x et 

ses dérivées jusqu'à l'ordre p ou, ce qui revient au même, par la 

, . . di' y di' X 

condition que —r^ converge en moyenne vers —j—^ et que pour une 

valeur particulière de t^ y{i) et ses p — i premières dérivées tendent 
respectivement vers .v(t) et ses p — i premières dérivées. 

A ces deux définitions du voisinage d'ordre p, correspondent deux 
sortes de continaiié d^ ordre p. Une fonctionnelle, dans la définition 
de lacjuelie interviennent les dérivées de x jusqu'à l'ordre /?, aura, 
en général, la première de ces continuités, la plus restrictive, et 
parfois la seconde, comme c'est le cas pour les fonctionnelles du 
calcul des variations 



i 



., dx dPx > , 

f( t, X. ——> ' • •) — ; — dt. 

^ ^ ' ' dt dtP I 



Les notions de voisinage en moyenne d'ordre /?, voisinage uni- 
forme d'ordre/?, voisinage en moyenne d'ordre /^+i, . . ., sortie 
plus en plus restrictives. Les continuités correspondantes sont, par 
suite, de moins en moins restrictives. 

On peut envisager aussi un voisinage d'ordre infini, et une conti- 
nuité correspondante. Telle sera la continuité de la fonctionnelle 



im-X C^ï'"- 



CHAP. II. — LA NOTION DE CONTINUITE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. I7 

L'exemple de cette fonctionnelle montre que l'ensemble des fonc- 
lionnelles ayant cette sorte de continuité est plus vaste que la réunion 
de tous les ensembles ayant des continuités d'ordre fini. En effet, 
pour aucune valeur de/?, elle n'a une continuité d'ordre/?. Ces sortes 
de continuités sont liées aux distances définies par exemple par la 
formule 



\y 



d{y — x) 



dt 



\i> 



di'iy — x) 



dtP 



A étant un nombre positif, ou par des formules analogues où les 
coefficients aient d'autres valeurs. 



13. Champs fonctionnels. — Les fonctionnelles que nous venons 
de considérer ne sont pas définies pour toutes les fonctions .r(^), 
mais seulement pour les fonctions ayant des dérivées jusqu'à l'ordre/? 
ou même des dérivées de tous les ordres. La plupart des fonction- 
nelles ne sont de même définies que pour les fonctions vérifiant 
certaines conditions, fonctions dont l'ensemble constitue ce qu'on 
appelle un champ fonctionnel. Tandis que, dans Tespace à n dimen- 
sions, les domaines d'existence des fonctions sont définis le plus 
souNciit par des conditions s'exprimant par des égalités ou des iné- 
galités, la définition des champs fonctionnels comprend le plus sou- 
vent non seulement des conditions d'égalité ou d'inégalité, mais aussi 
des conditions relatives au mode de continuité ou à la nature analy- 
tique des fonctions. 

La notion de champ fonctionnel est liée aux remarques qui pré- 
cèdent sur les différentes sortes de voisinage. Une définition déter- 
minée du voisinage n'a de sens que dans un certain champ fonctionnel. 
On ne peut, par exemple, parler de voisinage uniforme d'ordre p entre 
deux fonctions x\t) etjr(/) que si leur diff'érence a une dérivée 
d'ordre/?; celte notion n'est donc intéressante que si ces fonctions 
appartiennent à un ensemble tel que, entre deux fonctions quel- 
conques de cet ensemlile, la distance définie par exemple comme la 
plus grande des quantités 



max'IjK — ^ |, max 



d{ y — x) 
'dt 



dP{Y — x) 



dli' 



ait un sens. Il est naturel, de plus, de supposer que la fonction o 
appartienne à cet ensemble, et l'on voit qu'on est conduit à ne parler 



15 PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

de voisinage d'ordre p que dans le domaine des fonctions admettant 
des dérivées jusqu'à Tordre p. 

On voit que, d'une manière précise, une définition du voisinage 
résultant d'une définition déterminée de la distance, est liée à la 
notion du champ fonctionnel le plus étendu^ comprenant la fonc- 
tion o, et tel que la distance de deux fonctions quelconques de 
ce champ ait un sens. Il j a d'ailleurs deux manières de comprendre 
cette relation, suivant que l'on considère une quantité infinie, mais 
non indéterminée, comme ayant un sens ou non. 

Etant donnée Fimporlance des définitions de la distance résultant 
des formules (i) et (2), nous devons nous demander à quels champs 
fonctionnels elles correspondent. 

Pour la distance définie par la formule (2), il n'y a pas de diffi- 
culté. Si l'on considère une quantité comme ayant un sens si elle est 
finie et déterminée, c'est le champ des fonctions bornées; aucune 
espèce de continuité n'est nécessaire. Si l'on considère une quantité 
comme ayant un sens si elle est finie ou infinie, mais déterminée, la 
restriction que les fonctions considérées soient bornées n'est même 
plus nécessaire. Ces remarques n'empêchent pas, étant donnée 
l'importance des fonctions continues dans les applications, qu'il y a 
souvent intérêt à ne considérer que le champ de ces fonctions et à 
utiliser la définition (2) de la distance. 

Pour la distance définie par la formule (i), on ne peut pas consi- 
dérer des fonctions discontinues quelconques. Mais la continuité 
n'est pas non plus nécessaire pour que cette formule ait un sens. Si 
l'on admet que la distance de deux fonctions puisse être infinie, le 
champ fonctionnel à considérer est celui des fonctions mesurables; 
dans le cas contraire, c'est celui des fonctions sommables et de 
carrés sommables. 

Nous rappellerons, dans le Chapitre suivant, le sens de ces expres- 
sions pour le lecteur qui ne serait pas familiarisé avec les travaux de 
M. Lebesgue. Faisons d'abord une remarque. 

Si une fonctionnelle est définie dans un certain champ, en résulte- 
t-il qu'on ne puisse pas considérer pour elle d'autre sorte de conti- 
nuité que celle qui correspond à ce champ? Considérons, par 
exemple, une fonctionnelle U définie pour toutes les fonctions ayant 
des dérivées finies jusqu'à l'ordre />, mais n'ayant aucun sens si la 
dérivée d'ordre p n'existe pas ou devient infinie. Peut-on afiirmer, 



CHAP. II. — LA. NOTION DE CONTINUITÉ DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. I9 

d'une partj qu'elle n'est pas continue d'ordre p — i (définition de lu 
continuité liée au voisinage iniiforme d'ordre p — i), d'autre part, 
qu'il n'est pas possible qu'elle soit continue d'ordre /> -|- i sans l'être 
d'ordre jo? Il semble que oui ('), car le fait d'être définie dans le 
champ que nous \enons de considérer indique que la déri\ée 
d'ordre /? de jc(^) intervient (explicitement ou non) dans sa défini- 
tion; alors on ne s'expliquerait, ni qu'il suffise que les fonctions x{l) 
et r(^) aient leurs dérivées d'ordre p — i très peu différentes, ni 
qu'il soit nécessaire qu'elles aient leurs dérivées d'ordre p -f- 1 très 
peu difierentes, pour que les valeurs correspondantes de U soient 
très peu différentes. Il serait intéressant de le démontrer rigoureu- 
sement, ou bien de donner des exemples d'exception à cette règle. 

14. Continuité uniforme. — Considérons une définition déter- 
minée de la distance. Une fonctionnelle U sera dite luilforniément 
continue dans un certain champ fonctionnel G si, étant donné un 
nombre positif s, on peut déterminer un nombre 't\ tel que, si deux 
fonctions du champ G ont une distance inférieure à v], les \aleurs 
correspondantes de U diffèrent de moins de s. 

On sait que, dans l'espace à n dimensions, toute fonction continue 
dans un domaine fini y est uniformément continue. Pour bien com- 
prendre la raison de cette circonstance, il faut connaître la notion 
d'ensemble compact, due à M. Fréchet. Dire qu'un volume V de 



(') On peut èlrc teiUé de considérer connue une exception le cas d'une fonclion- 
nelle telle <jue 

. /A 






dont la variation, lorsque x' est continue et que x" existe, peut s'écr 

dt. 



l\^x' rjX\\ 3 / x" Zx 



et a une continuité d'ordre o. Mais cette continuité n'appartient pas à la fonction- 
nelle elle-niénie. On peut, en eft'et, trouver des dctei minai ions de a;, telles que 

-sin^Tr^, inféricuii's <lans tout l'intervalle à n'injporlc (|ucl nombre donné si n est 



assez grand, et icllcs j)oui-tant que U ne tende pas v(n's la valeur o, qu'elle prend 
pour a; — o. 



20 PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

l'espace-à ii dimensions est compact^ c'est dire qu'étant donnée une 
suite infinie 

Al, A-2, . . ., Ay,, . . . 

de points de ce volume, on peut trouver au moins un point A tel 
qu'il existe une suite iniinie extraite de la suite précédente et tendant 
vers A. Considérons alors une fonction u qui soit continue dans V. 
Si elle n'était pas uniformément continue, il existerait un nombre 
positif £ auquel on ne pourrait faire correspondre aucun nombre t, 
tel que, à deux points A et A' distants de moins de y, correspondent 
nécessairement deux valeurs de u différant de moins de £. Ce serait 
donc qu'on pourrait trouver une suite de couples de points A^, A^^, 
tels que la distance A^A/ tende vers o quand p augmente indéfi- 
niment, et que les valeurs de la fonction a en A^ et A' diffèrent de 
plus de z. Mais les Kp auraient au moins un point limite A, où la 
fonction u ne serait pas continue, ce qui serait contraire à l'hypo- 
thèse. 

Ce résultat ne s'étend pas à l'espace fonctionnel, où un domaine 
fini V n'est en général pas compact. Considérons, par exemple, la 
suite de points correspondant aux fonctions 

cosir.t, cos4t^, ..., cosii'nt, .... 

Ces points sont compris dans un \olume fini, aussi l)ien avec la 
définition (i) de la distance qu'avec la définition (2), mais il est 
impossible d'en extraire une suite tendant vers une limite, puisque 
la distance de -deux quelconques d'entre eux est ï, si l'on considère 
la distance définie par la formule (i), et 2] si l'on considère la dis- 
tance définie par la formule (2). 

15. Fonctionnelles dépendant d'un paramètre. — Considérons une 
famille de fonctionnelles Lx dépendant d'un paramètre A, et définies 
dans un champ fonctionnel C. On dit qu'elles sont également con- 
tinues dans le champ C et pour un certain ensemble de valeurs 
de A, si, en chaque point du champ C, le module de continuité relatif 
à un nombre z peut être choisi indépendamment de A. S'il peut être 
choisi indépendamment à la fois de X et de:r(^), les fonctionnelles Ux 
sont dites également et uniformément continues . 

On dit que U) tend vers V^^ quand ). tend vers Aq, s'il en est ainsi 



CIIAP. II. — LA NOTION DE CONTINUITE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 21 

en chaque point du champ G, c'est-à-dire si, en chacun de ces points, 
£ étant un nombre positif si petit qu'on veut, on peut déterminer yj 
tel qu'en ce point, et pour |X|<;t,, on ait nécessairement |Ux — Li) J<^£. 
Si /j peut être choisi indépendamment du point considéré dans le 
champ G, on dit que Ux tend uniformément vers sa limite. 

Il est facile de préciser ce que la convergence uniforme ajoute à la 
convergence simple. 

i*^ Soit une fonctionnelle Ux, tendant, quand )aend vers o, vers une 
fonctionnelle continue Uo- Si, à partir d'une certaine valeur de \ et 
d'une fonction x(^) correspondant à un point du champ G, on fait 
varier soit X, soit x{^t^^ \j\ varie d'une manière continue. Mais il n'en 
résulte pas que Ux varie d'une manière continue quand on fait varier 
simultanément X et x{t). Gette conséquence est, au contraire, évi- 
dente, soit si Ux tend uniformément vers Uo, soit si les fonction- 
nelles Ux sont également continues. En écrivant, en effet, dans le 
premier cas, 

uxl [X(0] 1 - Uol [x{t)] \= j uxl [X(o] 1 - Uol [X(o] 1 ; 

+ |Uo|[X(^)]|-Uol[:r(0]i:, 
et, dans le second cas, 

U)J [X(0] 1 - Uol [:r(0] I = I Uxl [X(0] 1 - Uxl [x{t)\ 1 I 

+ ÎUxl[^(0]|-Uol[:r(Oll!, 

on décompose l'accroissement de U en deux termes tous deux infé- 
rieurs à - si À est assez petit et X.(^) assez voisin de x[t). 

Gette remarque généralise le fait bien connu qu'une fonction 
u{x^ )v)'peut être continue par rapport à chacune des variables, prise 
séparément, sans l'être par rapport à l'ensemble des varial)les. Si, au 
contraire, la continuité par rapporta l'une des variables est uniforme 
par rapport à l'autre, c'est-à-dire si le module de continuité relatif 
à À par exemple peut, pour chaque valeur de X, être choisi indépen- 
damment de x^ cette circonstance n'est plus possible. 

2° Voici, par contre, une diflerence essentielle avec le cas d une 
fonction de deux variables. La fonctionnelle Ux étant supposée varier 
d'une manière continue avec \ et x{t)^ il n'en résulte pas nécessai- 
rement que la convergence de Ux vers Uo, quand k tend vjv-; o, soit 



9.9. PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

uniforme dans C, tandis que, dans le cas d'une fonction u(x^ X). 
si elle est continue, la convergence de u{x, à) vers u{.jr, o) est uni- 
forme par rapport à :r. 

On voit par cette remarque que, dans le domaine fonctionnel, la 
notion de convergence uniforme apporte une double restriction à la 
notion de convergence simple. Dans l'espace ordinaire, ces deux 
restrictions n'en font qu'une. 



CHAPITRE III. 

FONXTIONS SOMMABLES ET FONCTIOxNS A VARIATION BORNÉE. 



Sommaire. — IMesure d'un ensemble de |)<)ints. — Fonctions mesurables. — 
Intégration des fonctions mesurables bornées. — Les fonctions sommables. 
— Les fonctions de carrés sommables et leur représentation par des séries 
trigonométriques. — Les fonctions à variation bornée. — L'intégrale de 
Stieltjes. — Les fonctionnelles additives a variation bornée. — L'intégrale 
double de Stieltjes. 

Le présent Chapitre contient un résumé de travaux connus de M\^I. Jordan, 
Borel et Lebesgue sur la théorie des fonctions. Pour être accessible à un 
aussi grand nc^nibre que possibb- de h'cteurs, nous avons pensé qu'il valait 
mieux ne pas les supposer connus. Mais, pour les résumer en un seul Cha- 
pitre, nous avons dû supprimer certaines démonstrations et en indiquer 
d'autres très brièvement. Le lecteur désirant plus de détails les trouvera 
dans les Leçons sur l'intégration^ de M. Lebesgue. 

46. Mesure d'un ensemble de points. — Considérons d'abord un 
ensemble de points d'une droite. S'il est constitué par tous les points 
d'un intervalle, on peut le mesurer par la longueur de cet intervalle. 
S'il est constitué par la réunion d'un nombre fini ou d'une infinité 
dénombrable d'intervalles sans points comniuns deux à deux, on peut 
le mesurer par la somme des longueurs de ces intervalles, somme 
nécessairement finie si tous ces intervalles sont campris dans une 
portion finie de droite. 

M. Jordan a le premier étendu la notion de mesure à des ensembles 
plus généraux. Il considère un ensemble E comme ayant une mesure l 
si, quelque petit que soit s, on peut comprendre tous ses points dans 
un nombre fini ou une infinité dénombrable d'intervalles de mesure 
totale inférieure à /-[-£, et si, d'autre part, on peut former un 
nombre fini d'intcr\ ailes de mesure totale supérieure à l -— z ne 



24 PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

comprenant que des points de E. On dit actuellement qu'un pareil 
ensemble est mesurable J. 

Il résulte immédiatement de cette définition que tout ensemble 
dénombrable, en particulier l'ensemble des nombres rationnels com- 
pris entre o et i, a une mesure nulle. Par suite, l'ensemble des 
nombres irrationnels compris entre o et i, qui comprend dans cet 
intervalle tous les points n'appartenant pas au précédent, doit être 
considéré comme ayant une mesure égale à i . Or il n'est pas mesu- 
rable J puisqu'on ne peut trouver aucun intervalle qui lui appar- 
tienne entièrement. On voit donc que la notion de mesure s'étend 
facilement à d'autres ensembles que les ensembles mesural)les J. 

M. Borel a considéré des ensembles plus généraux, qu'on appelle 
ensembles mesurables B. D'après lui, un ensemble E, intérieur à un 
intervalle ab de longueur L, a une mesure / si, quelque petit que 
soit £, on peut comprendre tous ses points dans un nombre fini ou 
une infinité dénombrable d'intervalles de mesure totale inférieure 
à /-[-£, et son complémentaire dans ab (ensemble composé des 
points de ab n'appartenant pas à E) dans un nombre fini ou une infi- 
nité dénombrable d'intervalles de mesure totale inférieure à L — l-\-t. 
Si l'ensemble E n'est pas intérieur à un intervalle fini, on obtient sa 
mesure comme limite de la mesure de l'ensemble comprenant les 
points communs à E et à un intervalle qui augmente jusqu'à consti- 
tuer toute la droite. 

L'exemple de l'ensemble des nombres irrationnels compris entre o 
et I montre que cette notion est plus générale que la précédente. 
M. Borel a montré qu'on peut, sans sortir des ensembles mesu- 
rables B, efTectuer sur des ensembles mesurables B les deux opéra- 
tions suivantes : 

i" Faire la somme d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable 
d'ensembles ; 

2" Prendre la partie commune à un nombre fini ou à une infinité 
dénombrable d'ensembles ('). 

Indiquons encore que, si un ensemble E est mesurable B, et si l'on 



(') Pour plus de détails sur ces questions, et en particulier pour la déinonslration 
du résultat de M. Borel, voir II. Lebesgue, Leçons sur Vintégration, p. 36-45 et 

I03-II0. 



CHAP. III. — FONCTIONS SOMMABLES ET FONCTIONS A VARIATION BORNÉE. ^5 

choisit £ positif et très petit, on peut définir un ensemble E,, com- 
posé d'un nombre fini d'intervalles, tel que l'ensemble des points 
de E n'appartenant pas à Ej ait une mesure inférieure à z et qu'il en 
soit de même de l'ensemble des points de E, n'appartenant pas à E. 
Cela résulte de ce que, / étant la mesure de E, les points de cet 
ensemble peuvent être compris dans une infinité dénombrable d'in- 
tervalles de longueur totale inférieure à /-f-£, et qu'on peut réduire 
ces intervalles à un nombre fini en enlevant des intervalles de lon- 
gueur totale inférieure à s. Nous pouvons alors dire, en langage 
moins précis, que Von peut approcher autant que Ion veut d\in 
ensemble mesurable B par des ensembles composés d' an nombre 
fini dHnlervalles. 

17. Quoique la notion d'ensemble mesurable B soit très générale, 
il existe des ensembles qui ne sont pas mesurables B. Peut-on leur 
étendre la notion de mesure? On peut être tenté de croire que cette 
notion peut s'étendre à tous les ensembles de points d'une droite, et 
que seule l'impuissance de nos moyens de définir la mesure ne nous 
permet pas de le faire dans tous les cas. 11 n'en est rien. Nous allons 
compléter ces remarques en montrant qu'on peut concevoir un 
ensemble qui n'est certainement mesurable par aucun procédé. 

Répartissons les points d'une circonférence de rayon i en en- 
sembles E tels que, si A est un point d'un de ces ensembles, tous les 
autres points du même ensemble soient obtenus en portant de part 
et d'autre de A sur la circonférence les longueurs entières 1,2, .... 
Appelons C un ensemble qui contienne un point et un seul de chacun 
des ensembles E. 

Au sujet de cet ensemble C^ nous devons signaler qu'on ne sait 
d'aucune manière énoncer une règle pe'rmettant de définir quel est 
Félément qu'on choisira dans chacun des ensembles E; les règles de 
cette sorte que l'on peut chercher à former s'appliqueront à certains 
ensembles Y-, quelquefois à une infinité, mais non à tous. 11 en résulte 
que, parmi les ensembles C que l'on peut concevoir, il est impossible 
d'en choisir effectivement uîi. D'après MM. Borel, Baire etLebesgue, 
cette circonstance doit rendre très prudent sur les raisonnements où 
interviennent des ensembles tels que H. Nous pensons quand même 
que ces raisonnements ne doivent pas être interdits, pas plus que 
l'impossibilité pour deux physiciens de savoir s'ils pensent au même 



26 PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

atome d' hydrogène ne doit les empêcher de raisonner sur ces 
atomes. 

Soit donc C un des ensembles répondant à la définition que nous 
venons de donner. Appelons Cn et C_n les ensembles déduits de vL' 
par une rotation de n dans un seiis et dans l'autre. H est évident que 
la réunion des ensembles 

comprend tous les points du cercle, sans qu'aucun point soit obtenu 
deux fois. 

Ceci posé, si C avait une mesure, tous les ensembles Cn et C_fi 
auraient la même mesure ('). Cette mesure ne peut être finie puis- 
qu'il faut une infinité d'ensembles égaux à C pour constituer toute la 
circonférence. Elle ne peut pas non plus être nulle, car a^, a,, . . . , 
a,i, . . . étant des nombres positifs quelconques, on pourrait affirmer 
que C a une mesure inférieure à «o, que Cn et C_u ont une mesure 
inférieure à «„, et que, par suite, la réunion de ces ensembles, qui 
constitue toute la circonférence, a une mesure inférieure à 

«0+ 2(ai-i- a2 -+-.■. .4- ««-+-.. .), 

quantité qu'on peut rendre aussi petite qu'on veut puisque les a sont 
quelconques. L'ensemble C n'est donc pas mesurable; du moins une 
définition de la mesure ne peut s'applicpier à cet ensemble que si elle 
n'est pas telle que la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles 
ait pour mesure la somme de ces ensembles, et une définition n'ayant 
pas cette propriété ne correspondrait en rien à la notion intuitive de 
mesure. 

18. Les notions précédentes s'étendent sans peine aux ensembles 
de points du plan ou de l'espace, ou même d'un espace à n dimen- 
sions. 

f^laçons-nous dans le plan, par exemple; on peut définir la notion 
de mesure par généralisation de la notion d'aire; on peut aussi, dans 
le plan, avoir à considérer des ensembles de points situés sur une 



(') Une géiKTalisalion de la notion de mesure pour la(|uelle deux ensembles 
superposables tels que C et *!^,, n'auraient pas même mesure serait sans intérêt. 
{Voir H. Lebesgue, Loc. cit., p. io3.) 



CHAP. III. — FONCTIONS SOMMABLFS ET FONCTIONS A VARIATION BORNÉE. 27 

courbe et leur appliquer la notion de mesure généralisant celle de 
longueur. Pour éviter toute ambiguïté, on dit, dans le premier cas, 
mesure superficielle et, dans le second cas, mesure linéaire. 

Nous aurons aussi à considérer la mesure linéaire de la projection 
d'un ensemble sur une droite; celte mesure ne peut être nulle que si 
la mesure superficielle est nulle. 

19. Fonctions mesurables. — Une fonction x{t)^ définie dans un 
intervalle («, b)^ est dite mesurable s\^ quel que soit le nombre^, 
l'ensemble des points de cet intervalle pour lesquels x <c\ est mesu- 
rable. Soit l=f(^) sa mesure. La fonction /(ç), qu'on appelle 
fonction sommatoire de x[t)^ dans l'intervalle {a^ 6), n'est jamais 
décroissante, c'est-à-dire que 

entraîne 

Si x[t) n'est infini qu'au plus pour les points d'un ensemble de 
mesure nulle, y'(^) croît de o à L = 6 — a lorsque ^ croît de — co à-hoo. 
Cette fonction peut croître par bonds discontinus; si x{t) est égal à 
une certaine valeur ^ pour tous les points d'un ensemble de mesure a 
non nulle, la fonction /(ç) croît l)rusquement de a lorsque \ devient 
supérieur à cette valeur. 

L'ensemble des points de l'intervalle («, b) pour lesquels 

a pour mesure 

Toute fonction continue est mesurable. 11 en est de même des 
fonctions admettant un nombre fini de discontinuités. Mais la notion 
de fonction mesurable est bien plus générale. 

On démontre aisément que la somme, le produit, le quotient de 
deux fonctions mesurables sont des fonctions mesurables, et que 
toute opération continue, efïectuée en partant de fonctions mesu- 
rables, donne de» fonctions mesurables. 

20. Intégration des fonctions mesurables bornées. — Si, dans tout 
l'intervalle (a, b)^ on a 

m <x{t) < M, 



28 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

il suffit de faire varier ; de m à M pour que /(?) croisse de o 
à L = 6 — a. 

Divisons l'intervalle (m, M) en p intervalles partiels par des points 
de division :r, , ^o, . . . , Xp_^. Désignons par H/ un nombre quelconque 
de l'inteiValle (:r/_,, Xi) (en posant XQ=^m, .r^— M), et par T>f{xi) 
raccroissement de f{x) dans le même intervalle, c'est-à-dire 
f{xi) — /(xi_^); c'est une quantité essentiellement positive. Consi- 
dérons la somme 

i=p 

1 = 1 

Elle est comprise entre ^'^/_, D/(j^/) et S^/D/(^/). La prendère de 
ces quantités allant en croissant quand p augmente, la deuxième en 
décroissant, et leur différence 

tendant vers o cjuand le nombre des points de division augmente 
indéfiniment, leplus grand des intervalles {Xi._i^ Xi) tend vers o. 
L'expression (i) a donc une limite dont on démontre aisément, comme 
dans la théorie des intégrales définies ordinaires, qu'elle est indépen- 
dante du mode de division adopté. 11 est naturel de désigner cette 
limite par 

en utilisant une notation (intégrale de Stieltjes), que nous générali- 
serons plus loin. 

Dans le cas où x{t) est une fonction continue, on démontre aisé- 
ment cjue l'intégrale (2) est égale à 

(3) / x(t)dt. 

^ a 

La figure ci-conlre montre en effet clairement cjue le produit 
HiD/(x/) représente l'aire de l'ensemble des rectangles de hauteur H^ 
et ayant pour bases sur l'axe des t les intervalles (^/_,, ti)^ {t'i^ ^-1)5 
(4-15 4) dans lesquels x{t) est compris entre :r/_, et xi. L'indice i 
variant de i à />, ces intervalles réunis constitueront tout Finter- 
valle (a, b) , et l'expression (i) est représentée par une aire, limitée 



CriAP. m. — FO-NCIIONS SOMMABLES ET FONCTIONS A VARIATION BORNEE. 20) 

supérieurement par une ligne brisée dont l'ordonnée diffère de x{t) 
d'une quantité inférieure au maximum de {xi — ^/^i)- Cette aire 
tend donc vers l'aire curviligne représentée par l'intégrale (3). 

Cette théorie est due à M. Lebeseue. Son intérêt consiste en ce 
que l'expression (2)'Conserve un sens dans des cas où l'intégrale au 
sens ordinaire du mot n'en a pas. On peut alors considérer l'inté- 
grale de x{t) dans l'intervalle («, h) comme égale, par définition, 
à l'expression (2). 

On remarque, en effet, que l'on peut modifier la valeur de x{t) 
pour les points d'un ensemble de mesure nulle sans rien changer à la 
fonction sommatoire /(;), et par suite sans rien changer à l'inté- 
grale (2), qui ne dépend pas de cette fonction. Au contraire, par un 

Fiff. I. 



oc 






^^ 








/ 






/ 


L V 


/ 


f 


li 

t 




7 


/_. 




-^ 




/ 





^::,tï. 



tel changement, la fonction ^(^), si elle était continue, ne le reste 
pas, et l'intégrale (3) cesse d'avoir un sens. 

Un ensemble de valeurs prises par la fonction x{t)^ au point de 
vue de l'intégration des fonctions mesurables, n'a donc d'intérêt que 
si l'ensemble des valeurs correspondantes de ^ a une mesure non 
nulle. Ainsi l'intervalle {xi_\^ Xi) n'est à considérer que si D/(çi) 
n'est pas nul. Pour le calcul de l'intégrale (3), la valeur de Dy'(ç,), 
mesure de Tensemble des valeurs de t considérées, importe seule, et 
non la siluation de l'ensemble considéré dans l'intervalle (r/, b). Mais 



3o PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

pour le calcul d'une intégrale du type plus général 



I \{t)x{t)dt, 



o(t) étant une autre fonction mesurable, il importe évidemment de 
connaître les valeurs de o(^)pour les points de l'ensemble considéré, 
et pour cela de connaître la situation de cet ensemble dans l'inter- 
valle (a, b). 

Nous conviendrons de considérer une fonction mesurable ^{t) 
comme connue si l'on a les éléments voulus pour calculer l'intégrale 
précédente, quelle que soit la fonction également mesurable o(/). On 
voit aisément qu'il faut et il suffit, pour cela, que la fonction somma- 
toire soit connue, non seulement pour l'intervalle (a, b)^ mais pour 
n'importe quel intervalle tel que (a, c), c variant de a à 6, et par 
suite pour tout intervalle intérieur à l'intervalle (a, b). 

21. L'intégrale définie généralisée d'après M. Lebesgue possède 
la plupart des propriétés de l'intégrale ordinaire. Les formules d'ad- 
dition 



dt, 

h 



' x{t)dtz= l x{t)dt-^ l x{t) 

a ^ a ^ c 

J^h ^b ^b 

i [a;(t)-^y{t)]dt= x{t)dt-^ j y{t)dt, 

la formiile 

(6) / x{t)dt\< / 1^(01^^, 

I «^rt ~ 1 *J a 

la formule de la moyenne 

(7) f x{t)y{t)dt = \. f y{t)dt [y{t)>o, m<X<^\] 
et l'inégalité de Schwarz 

(8) \j x{t)y{t)dt\ ^J x^{t)dt f y^(t)dt 

restent exactes et se démontrent aisément. Par contre, la formule 

-j- / x{t)dt z=x(x) 



CHAP. III. — FONCTIONS SOMMABLKS KT FONCTIONS A VARIATION BORNEE. 3l 

])eut être en défaut, puisqu'on peut changer la valeur de x{t) pour 
les points d'un ensemble de mesure nulle, et en particulier au 
point ^ = 7, sans changer le premier memijre; mais elle ne peut être 
en défaut que pour les points d'un ensemble de mesure nulle. .. 

22. Les fonctions sommables. — Considérons uiaintenant une 
fonction mesurable j^ouvant devenir infinie, mais seulement pour les 
points d'un ensemble de mesure nulle, de sorte que la fonction /(ç) 
tend vers o si ^ croît indéfiniment par valeur négative, et vers L si ç 
croît indéfiniment par valeurs positives. ïl peut arriver que les inté- 
grales 



(9) 






qui augmentent avec M, aient des limites finies lorsque M croît. 
L'expression 

(lo) f Ç</(0 

a alors un sens bien défini. Si d'ailleurs .x(t) est finie, elle se réduit 
à l'intégrale (2), et si, sans rester finie, x{t) est telle que l'inté- 
orale 

ait une valeur finie, on démontre aisément que l'intégrale (g) est 
égale à ***' 

(3) f oo{t) 



cit. 



Dans les cas de fonctions où l'intégrale au sens ordinaire n'existe pas, 
et par généralisation de la définition donnée n*^ 20, nous prendrons 
avec M. Lebesgue la formule (10) comme définition de l'intégrale 
de x{t) dans l'intervalle (a^ b). 

La fonction 3c(t) est dite soinmable lorsque cette dé(inition s'ap- 
plique. Une fonction sommable est donc une fonction mesurable pour 
laquelle les expressions (9) ont une limite pour M infini. 

On peut songer à généraliser encore cette définition en considérant 



32 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

l'expression (lo) comme ayant un sens lorsque 






a une limite pour M infini. Cela serait sans grand intérêt, car il pour- 
rait arriver, si les expressions (g) n'ont pas toutes deux une limite, 
que la limite de (i i) et l'intégrale (3) aient toutes deux un sens mais 
ne soient pas égales. 

23. Les fonctions de carrés sommables. — Si l'on applique la 
méthode d'intégration de M. Lebesgue au carré de la fonction ^(/). 
on est conduit à former Fii^téûrale 



^+00 i, 



(t)dt. 



Si cette intégrale a un sens, la fonction :r(^) est de carré sommable. 
La comparaison de cette intégrale avec l'intégrale (lo) montre 
qu'une fonction de carré sommable est elle-même sommable, mais 
qu'une fonction sommable n'est j)as nécessairement de carré som- 
mable. La notion de fonction de carré sommable est donc plus restric- 
tive que la précédente. 

Si les fonctions x {t) et y{t) sont de carrés sommables, leur dis- 
tance, définie par la formule 



f [y(t) — x(t)\^dt= f x'^{t)dt-^ j y'-{t)dt—oC x{t)y{t) 



dt 



a un sens. l^OLir le démontrer, il suffit de vérifier que le dernier terme 
de l'expression développée de r- a un sens. Si nous appelons ^X'mIO 
et J^m(0 ^^^ fonctions respectivement égales i\ x{t) et y{t) lorsque 
celles-ci sont comprises entre — M et.-|-M, et, dans le cas contraire, 
à dz M, suivant le signe de xi^t) etj'(^), nous pouvons écrire 

r I^M(07M(0Kn k f ocl{t)dt Ç yy,t)dt.. 

Lorsque M augmente indéfiniment, le premier membre de cette iné- 
galité croît constamment, en restant inférieur au second qui a une 
limite. Il a donc une limite, et l'inégalité de Schwaj'z reste vraie à la 



CHAP. III. — FONCTIONS SOMMAHLES ET FONCTIONS A VARIATION BORNÉE. 33 

limite. Il en résulte l)ien que le dernier terme de l'expression déve- 
loppée de /■- a un sens. 

La définition normale de la distance s'applique donc dans tout le 
champ des fonctions de carrés sommables, et la distance de deux 
fonctions quelconques de ce champ est finie. 

24. Les fonctions de carrés sommables et leurs représentations par 
des séries trigonométriques. — La notion de fonction de carré som- 
mablc pou\anl ne pas paraître très simple, nous allons montrer qu'on 
peut approcher autant qu'on veut d'une telle fonction par des fonc- 
tions plus simples. 

La définition considérée de la distance vérifiant cette condition que 
la distance de deux fonctions est toujours au plus égale à la somme de 
leurs distances à une troisième, nous pouvons effectuer successive- 
ment en partant de x{t) plusieurs approximations nous conduisant 
à former successivement des fonctions X| (/), . . ., X^(^); si les dis- 
tances de deux approximations consécutives sont inférieures respec- 
tivement as,, . . . , £^;, la distance de x{t) et ^p{f) est inférieure à 



i" Comme première approximation, prenons pour X, (/) une des 
fonctions ^m(0 définie n'* 23. On voit aisément que 



peut être rendue inférieure à tout nombre donné e'~^ si M est assez 
grand. On approche ainsi autant qu'on veut de x{t) par une fonction 
mesurable bornée X, (t). 

'2^ M étant la limite supérieure de |X,(^)|, divisons l'inter- 
valle ( — M, -f- M) en intervalles inférieurs à £25 et remplaçons les 
valeurs de X, (t) intérieures à chaque intervalle par une valeur déter- 
minée choisie dans chaque intervalle. Nous obtenons ainsi une fonc- 
tion X2(^) n'ayant qu'un nombre fini N de valeurs distinctes ç,, .,., Hpj, 
et approchant de X, (^) de moins de £0. 

3" L'ensemble des points de l'intervalle (o, i), où X2(/) prend 



i4 PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

chacune des valeurs ^/, est mesurable. Nous pouvons donc rapprocher 
par une somme d'un nombre fini d'inlervalles de manière que les 
points appartenant à cet intervalle sans appartenir à l'ensemble ou 
inversement constituent un ensemble de mesure intérieure à ^rrA^* 
L'ensemble de tous les intervalles ainsi formés en considérant succes- 
sivement chaque valeur Hi , . . . ^ Çy ne reconstitue pas nécessairement 
rintervalle (o, i), mais les intervalles non comptés ou comptés plu- 
sieurs fois ont une longueur totale inférieure à vr^- La fonclionX;,(^), 
égale à o dans ces intervalles, et égale dans chacun des autres à la 
valeur ^/ à partir de laquelle cet intervalle a été obtenu, est à une dis- 
tance à X2(^) inférieure à £3. C'est une fonction obtenue en divisant 
rintervalle de variation de t en un nombre fini IN' d'intervalles par- 
tiels et en choisissant une valeur constante dans chaque intervalle. 

4** En chaque point de discontinuité de X3(^), on peut rétal)lir la 
continuité et celle des dérivées jusqu'à tout ordre donné /; en ne; 
modifiant les valeurs de la fonction que sur un petit intervalle de 
longueur j^j/L, ? et en la modifiant en chaque point d'une quan- 
tité ^ M. La fonction X/, (^) ainsi obtenue est à une distance de X3 (t) 
inférieure à £,,. 

5** Si /?^2, la fonction X/, (^) est sûrement représentable par une 
série trigonométrique uniformément convergente. On peut la limiter 
à un nombre fini de termes et obtenir ainsi une série limitée 

X5(if) = — H- Al cos27:^ -4- Bi sin27t^ 4-. . .-I- A,j cos9.7nzt -+- B„ s\n2nrU 

dont la distance à X, (/) est inférieure à £5, et dont par suite la dis- 
tance à x(t) est inférieure à 



quantité aussi petite que l'on veut Or, de toutes les séries de la même 
forme que Xg(^),* celle dont la distance à ^{t) est minimum est la 
fonction 

(12) cp„(/) = — -hrt, cos2TT^ -]- bi s\n m t -+-... -+- cincosint -t- b,i sin inrU^ 
formée avec les coefficients de Fourier 

ai— 1 I cv{i) cos'iÏTzt dt^ bi='2 1 .r(/)sin 
«^0 «^0 



lirA dt (i = o, i, ..., n). 



CIUP. m. — FONCTIONS SO.MMABLES ET FONCTIONS A VARIATION BOUNHi:. 35 

La fonction '■^^{t) est donc distante de ./(/) de moins de s et converge 
en moyenne vers cette fonction quand /? devient infini. On peut alors 
dire que J7(^) est « représentable » par une série trigonomélrique, 
bien que cette série ne soit pas nécessairement convergente pour 
toutes les valeurs de t. En écrivant que la distance de x(t) etdecp,j(/ ) 
tend vers o, on obtient la formule 

(rj) ■>. xi{t)clt = -^ -\- a\ + b\ -{-... -^ al -^ bl-^. .., 

la série qui ligure au second membre étant nécessairement conver- 



2o. Le résultat que nous venons d\^btenir admet uns réciproque. 
Considérons une série trigonométrique formée avec des coefficients 
a,,, ha tels que 

(i4) af + ^f +. . .+ «2 + ^>2 -+-... 

soit convergente. Je dis qu'il lui correspond une fonction de carré 
sommalde xi^t) bien déterminée. 

Cela signifie, non que la série considérée soit convergente, ni que 
nous sachions calculer effectivement x{^t\ mais, d'après le n" i21, que 
l'on sait calculer la fonction sommatoire/(H) et aussi la fonction ana- 
logue relative à n'importe quel ensemble mesurable E composé de 
points de l'intervalle (o, \). Soit g'QC) cette fonction pour un 
ensemble E déterminé. Soit gn{^\) la fonction analogue obtenue en 
remplaçant :r(^) par 

9/i(0 = \- a^ C0S2 7r^ 4- 61 siiiî::^ -+- . . .-h a,^ cos 2 ~7it -\- b,isin 2Tznt. 

11 s'agit de démontrer que g'u{i) tend (sauf peut-être en certains 
points constituant un ensemble de mesure nulle) vers une fonction 
déterminée g{q). D'une manière précise.^ nous allons montrer que la 
courbe représentant la fonction non décroissante gjid) (la courbe 
étant rendue continue aux points de discontinuité par un trait ver- 
tical) a une limite. 

S'il n'en élalt pas ainsi, il existerait un nombre £ tel que, si grand 
que soit A, on pourrait trouver n et ?i' supérieurs à N tels qu'un petit 
carré de côtés parallèles aux axes de coordonnées et de longueur s 



36 PREMIÈIŒ PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

puisse cLre compris entre les courbes représentant g'n{i) et gn'i^)- H 
en résulterait évidemment cpie les fonctions gn{^) et ^«'(H) différe- 
raient d'au moins s pour les points d'un ensemble de mesure s. Le 
carré de leur distance serait alors supérieur à £-, ce qui n'est pas 
possible, puisqu'il a pour valeur (en supposant, par exemple, /i'>> 7i) 

quantité qui tend vers o pour N très grand. 

L'existence d'une fonction g'{k) déterminée pour cliaque en- 
semble E, par suite l'existence d'une fonction mesurable x{t) bien 
déterminée, sont ainsi établies. 

Si l'on applique alors la méthode d'intégration de M» Lebcsgue à la 
détermination de l'intégrale 

f xHj)dt= f ■ V'dfCç), 
i/o *y— 00 

on trouve qu'elle est la limite, pour n infini, de 

limite qui est finie par hypothèse. Donc la fonction x{t) e£t de carré 
s om niable. 

Si enfin on applique à cette fonction les formules de Fourier, 



A„ — / X ( t) cos ir.nt dt, 
»- 



a-^ f X{t) 
»- 

!/^ = / x(t)sin'2Tzntdt, 

^0 



on constate par la même méthode que A,^ et 13^^ ne sont autres que cfn 
et b,i- l^a fonction de carré sommable x(t) admet donc bien comme 
coefficients de Fourier les nombres cin et />« donnés. 

On voit qu'il y a identité entre la donnée d'une fonction de carré 
sommable et la donnée d'une suite de coefficients «„ et b,i dont les 
carrés constituent une série convergente. 

Nous étendrons ces résultats au Chapitre VII à des séries de forme 
plus générale. 



CIIAP, III. — FONCTIONS SOjniABLES ET FONCTIONS A VARIATION BORNEE. 87 

26. Les fonctions à variation bornée. — Considérons une fonc- 
tion x{t) bornée définie dans l'intervalle (o, i). Divisons cet inter- 
valle en p intervalles partiels par les points de division t< , T2, • . . , ~p-.\ • 
Appelons T)ix l'accroissement de xi^t) dans rintervalle de rang i. 
Posons 

(i5) ' T = lDi^l-4-|D2:r|+...-4-|D^,:rl, 

et appelons T^^ la limite supérieure de T lorsque les points de divi- 
sion varient, leur nombre restant constant. Lorsque p augmente, 
T^ ne peut que croître ou rester constant; pour p infini, cette c]uan- 
tité ne peut donc que, ou devenir infinie, ou tendre en croissant vers 
une limite finie M. Dans ce dernier cas, on dit que la fonction x {t) 
est à variation bornée^ et M est sa variation totale dans l'inter- 
valle (o, i). 

On peut distinguer les T^ix qui sont positifs et ceux qui sont néga- 
tifs. Soient c7 la somme des premiers et — cr' celle des seconds. On a 

évidemment 

.r(i) — :r(o) = a — a', T = a -f- a'. 

Lorsque T tend vers M, 1 et 1' ont deux limites m et /?i' telles cjue 

(16) ^(0 — 37(0) = m — in\ M = m -4- m'. 

Si, au lieu de l'intervalle (o, i), nous considérons l'intervalle (o, ^), 
/ étant variable entre p et i, on peut cléfini-r les cjuantités F(^), o(^), 
t!;(^) analogues à M, m et m', et qui, lorsque t croît, ne peuvent pas 
décroître. Les formules (iG) deviennent 

(17) x{t) — x{o)^^^{t) — ^hU), ¥{t) = ^^{t)^'\{t). 

La première de ces formules nous montre que toute fonction à varia- 
tion bornée est une différence de deux fonctions non décroissantes. Il 
j a d'ailleurs une infinité de manières de représenter ^(^) par une 
différence de telles fonctions ^(^) et ^F(/); de toutes ces manières, 
celle que nous venons de définir est celle qui rend minimum la 

somme 

4>(^) — a)(o)+ T(0 — ^F(o). 

Cela résulte de ce que la variation totale de ^(^ — ^^'(0 ^^"^ M'w^- 
tervalle (o^ t)^ au plus égale à cette somme si ^l^(t) et ^F(^) sont des 
fonctions non décroissantes, lui est précisément égale lorsque ces 



38 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

fonctions sont formées en partant de x{t) comme nons venons de 
l'indiquer. 

27 Considérons la fonction » (0, qui est une fonction non décrois- 
sante, c'est-à-dire telle que T >> ^ entraine 

?(T)^T(0, 

et croissant de o à m quand / croît de o à i . Nous allons la décom- 
poser en une somme de plusieurs fonctions plus simples. 

Cette décomposition peut être rendue intuitive si l'on considère 
des masses positives pesantes réparties sur l'axe des / et qu'on suppose 
que '-D {t) soit la somme des masses'situées sur l'intervalle (o, t). 

i" 11 peut arriver qu'en un point t soit située une masse finie a. 
Appelons o ^ [t) la somme des masses de cette nature situées sur 
l'inter\alle (o, t). En chaque point 8 où est située une masse a, la 
fonction o, (/) a ce qu'on appelle une discontinuité de première 
espèce^ c'est à-dire qu'elle a une limite lorsque t tend vers 9 par 
valeurs inférieures à G et qu'elle en a une autre, supérieure de a à 
la précédente, lorsque t tend \ers 9 par valeurs supérieures à 9. 

La fonction non décroissante cp (^) ne peut d'ailleurs a\oir que des 
discontinuités de cette nature, et comme à cliaque point de dis- 
continuité est attachée une partie finie a de l'accroissement total m 
de 'ù (/), ces points constituent au plus une infinité dénombrable, et 
la somme de toutes les quantités a est finie. Si l'on a bien tenu compte 
de tous ces points dans la définition de ^p (0: 1^ différence 'f (^) — ^i (0 
est une fonction continue non décroissante. 

2^ 11 peut arriver que des masses soient réparties sur l'axe des t avec 
une densité posill^e a (/) ; il en résulte, sur l'inter\alle (o, ^) une 
masse 

qui est une nouvelle partie de la masse totale cp(^) située sur cet 
intervalle. La fonction p^ (^) peut d'ailleurs être une fonction sommable 
positive quelconque. 

3° On peut concevoir une répartition des masses telle que toute hi 
masse soit située aux points d'un ensemble de mesure nulle, et que 
cependant en aucun point ne soit située une masse finie ; une telle 



CHAP. III. — FONCTIONS SOMMABLKS ET FONCTIONS A VARIATION BORNKK. 09 

rcpaiiitioii ne sera évidemment pas réductible aux deux précédentes. 

Donnons-en un exemple, du à M. Lebes«;ue. 

Soit à répartir une masse i sur l'intervalle (o, i ). Di\isons cet inter- 
\ aile en trois intervalles é^aux ; celui du milieu ne contiendra aucune 
masse et la masse sera répartie également entre les deux autres. 
Divisons maintenant chacun de ces deux interN ailes en trois inter\ ailes 
égaux sur lesquels nous opérerons de même, et ainsi de suite. Après 
p opérations, nous obtiendrons des intervalles égaux à — ; 2P d'entre 

eux contiendront chacun une masse — , et les autres ne contiendront 

•>. '' 

aucune masse. Lorscpie p de\ieiit infini, la somme des intervalles 

/ '-i \ ^' 
contenant des masses a une longueur ( - j qui tend vers o ; à aucun 

point ne reste attachée une masse finie, et l'on obtient à la limite une 
répartition l)ien déterminée en ce sens que, pour chaque point ?, la 
fonction égale à la somme des masses situées sur l'intervalle (o, t) 

a une valeur bien déterminée, qu'on peut calculer à — ; prés si l'on 
connaît ^ à — près. 

Nous pouvons donc concevoir des masses réparties avec une densité 
infinie dans un ensemble de mesure nulle, sans qu'aucun point 
contienne de masse finie. Soit cpa (l) la partie de o (t) correspondant 
à une telle répartition. 

28. Les fonctions cp, ( ^), cpo(^) et cp3(^) sont évidemment irréduc- 
tibles les unes aux autres, de sorte que la fonction 

(19) ç(^^)^CÇ,(0 + Cp2(0-t-Cp3(0 

représente une fonction non décroissante plus générale qu'aucun des 
trois termes. Nous allons montrerque toute fonction non décroissante 
peut élre mise d'une manière unique sous la forme (19), et indiquer 
le moyen de former les trois termes. 

Nous avons déjà indiqué que la connaissance de '^i(t) résulte de 
celle des discontinuités de '-^{f) et que, par soustraction de la fonc- 
lion cpi(/) obtenue, on est ramené au cas d'une fonction cp(^) con- 
tinue. Plaçons-nous donc dans ce cas. 

La fonction o^(t)^ par définition, ne variant que pour les points 
d'un eus('m])le de mesure nulle, si '^(t) est de la forme C3o(0 -H'^3(/)5 



40 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

cp(^) a en dehors des points de cet ensemble même dérivée que 'fo(/), 
soit [J-(^), sauf pour les points d'un autre ensemble de mesure nulle, et 
ç)2(0 peut être obtenu par intégration de cette dérivée. La fonc- 
tion (s^(t) en résulte, par dilïerence. 

Mais il n'est pas évident cp'une fonclion 'f (/), continue et non 
décroissante, dont on ne sait pas à l'avance si elle est de la forme 
^2(^) -H 'f 3 (0' admette une dérivée [J^(^) définie presque partout 
(c'est-à-dire sauf pour les points d'un ensemble de mesure nulle). On 
peut éviter cette objection en passant par l'intermédiaire des fonc- 
tions sommatoires. 

Considérons la fonction continue 

(20) o,{t)-xt= f [^('-:)-i]d', 

et décomposons-la, d'après le procédé indiqué n" 26, en une diffé- 
rence de deux fonctions '-fi{t) et '^i{t) continues et non décrois- 
santes. La fonction ç)x(05 dont la connaissance résulte ainsi de celle 
de cû (^), est évidemment égale à l'intégrale de [J^(':) — X, dans l'en- 
semble des points situés entre o et ^ et où cette fonction est positive, 
c'est-à-dire que, si ft{i) désigne toujours la fonction sommatoire 
de i^-it) dans l'intervalle (o, /), 



d'où l'on tire 






formule qui définit /^(A), dont la connaissance équivaut à celle 
de ;jl(^). 

Si l'on applique ces formules en partant, non de ^^(O' i^^^is d'une 
fonction C5(^), continue et non décroissante, à cela près cjuelconque, 
on vérifie sans peine qu'elles ont toujours un sens, la fonction 'fi{f) 
ayant en tous les points, sinon une dérivée, du moins une dérivée 
à droite et une dérivée à gauche. On arrive donc à une fonction iJ-{t) 
déterminée, dont l'intégration donne une fonction <z)2{t). 

Si l'on recommence les calculs en partant de cette fonction 0.2(1)', 
on doit évidemment retrouver les mêmes fonctions ft{^) et p(/). 
C'est donc que les deux déterminations trouvées pour ^;.{t) [en par- 



CMAP. III. — FONCTIONS SOMMAIJLES ET FONCTIONS A VARIATION BORNÉE. 4l 

tant de o(/) ou de 'f2(^)J ont une dilTérence indépendante de A, par 
suite égale à 'f ( ^) — 'f 2 ( ^= 'f :« ( • 

En langage moins précis, le procédé employé pour trouver [f-it) en 
partant de cp(0 [ou Ooi^)] est le suivant : pour savoir dans quel 
ensemble u(^) est compris entre o et )., on cherche dans quel 
ensemble o(t). [ou 93 (^)] croit moins vite que A^, c'est-à-dire dans 
quel ensemble o{t) — Xt est décroissant. On trouve le même résultat 
en partant de 'f{t) ou de cp2( 0* ^^ donc (03 (t) n^est pas nul, c'est- 
à-dire si 'f(^) croit plus vite que ^2(^)7 dans un ensemble où il en 
serait partout ainsi, on peut affirmer," en faisant croître X de o à 00, 
que o(t) — 7u et ^3(0 — Xt ne peuvent cesser d'être croissants, ni 
séparément, ni simultanément (cardans la partie de l'ensemble où ils 
cesseraient d'être croissants pour la valeur considérée de A, ils 
seraient tous les deux croissants de la même quantité que A^). Donc, 
dans l'ensemble considéré, 'f(^) croît plus vite que X^, quel que 
soit X. C'est un ensemble de mesure nulle où o(t) croît avec une 
vitesse infinie. En dehors de cet ensemble, '^ (t) croît comme 02(/). 
La différence o(t) — 'f 2(^)1 q"i est continue, et croissante seulement 
pour les points d'un ensemble de mesure nulle, est bien du type 
désigné par '^s{t). 

La possi])ilité de représenter cp(/) par la formule (19) est donc 
démontrée. Le même résultat s'appliquant à la partie décroissante, ou 
non croissante, oc{t)^ et par suite à x[t)^ on a pour cette fonction 
une décomposition de la forme 

x{t) — x{o) — cri(f) -i- x^it) -{- x-^(t). 

Le premier terme correspond à une infinité dénombrable de masses, 
positives ou négatives, dont les valeurs absolues ont une somme finie; 
il est discontinu aux points où sont situées ces masses et constant ail- 
leurs. Le dernier terme jouit également de la propriété de ne varier 
que pour les points d'un ensemljle de mesure nulle, mais est continu. 
Le terme ^2 (^) est continu et jouit de la propriété de pouvoir être 
obtenu par l'intégration d'une fonction sommable, qui peut être 
définie presque partout (ce qui est suffisant), comme étant sa dérivée, 
ou celle de oc{t); une telle fonction est dite absolument continue. 

29. L'intégrale de Stieltjes. — Soit x {t) une fonction à variation 
bornée définie dans l'intervalle (o, i) ; soit z{t) une fonction continue 



42 PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

définie dans le même intervalle. Divisons eel intervalle en p par des 
points de division ^,, . . ., tp_^. Appelons D/jc Faecroissement de x 
dans l'intervalle de rang i et zt une valeur de t dans cet intervalle. La 
somme 

tend, lorsqu'on augmente indéfiniment le nombre des intervalles de 
manière que le plus grand d'entre eux tende vers o, vers une limite 
bien déterminée, indépendante du choix des ti et des t/, que l'on 
appelle V intégrale de Stieltjes et (pi'on représente par la notation 

/ z{t)clx{t). 

Nous avons déjà utilisé cette notation, dans le cas où z-(t) ■= t et 
où oc[t) est une fonction croissante, pour exposer la méthode d'inté- 
gration de M. Lebesgue. 

Cette intégrale est le numérateur de -l'expression qui définit la 
moyenne de la fonction ^(^), si l'on donne aux difTérentes valeurs 
de z{l) des poids proportionnels aux masses liées à la fonction x {t). 

La décomposition de x[t) — ^'(o) en trois termes donne immédia- 
tement pour l'intégrale de Stieltjes l'expression 

(•-u) l.az(0)-\~l UL{/)z{f)dt-h- I z{U)dx-i{t), 

les a et la fonction \J-( t) étant définis comme nous l'avons vu n° ^11 ^ 
mais étant ici de signes quelconcjues. Le premier terme ne dépend que 
des valeurs de la fonction z{t) pour les points de discontinuité de la 
fonction x{t)^ le troisième ne dépend que des \aleurs de z{t.) poui* 
les points (fun ensemble de mesure nulle et n'est pas représentable 
par une expression plus simple (.\ne fintégi^ale de Stieltjes ; le 
deuxième dépend au contraire des valeurs de z-{t) dans tout ensend^le 
de mesure poslllxe où 'J.(/) n'est pas nul. 

30. Les fonctionnelles additives à variation bornée. — La notion ' 
de mesure des ensembles et la méthode d'Intégration de M. Lebesgue 
s'étendent sans peine aux espaces à plusieurs dimensions. Pour 
l'extension de la notion de fonction à variation bornée, il faut faire 
intervenir des notions se rattacbanl au calcul (onctlonnel. 



ClIAP. m. — FONCTIONS SOM.MAHLI S ET FONCTIONS A VARIATION BORNEE. 4^ 

Soient E un ensemble de points de l'espace à n dimensions, et 
fI>(E) une fonctionnelle de E, c'est-à-dire une quantité ayant une 
valeur bien déterminée lorsque E est donné (du moins si cet ensemble 
vérifie certaines conditions). On dit que <I)(E) est wnc fo ne lionnelle 
additi\-€ si, lorsqu'un ensemble E est constitué par la réunion de 
deux ensembles E, et E^ sans point commun el que <!> est définie 
pour ces ensembles, on a 

Décomposons E en ensembles élémentaires DE, deux à deux, sans 
points communs, et pour chacun desquels t}) ait une valeur déter- 
minée D<ï>. On a 

<Ï>(E) = 2 D*. 



'osons 



T = ï I D* 



et appelons T^, la limite supérieure de T lorsque p est le nombre des 
ensembles DE. Lorsque /^augmente, T^ ne peut que croître ou rester 
constant; pour p inlini, cette quantité ne peut donc que devenir 
infinie ou tendre en croissant \ ers une limite finie M. Dans ce dernier 
cas nous dirons que la fonctionnelle <\} est à variation bornée dans 
l'ensemble E, et que M est sa variation totale dans cet ensemble. 

31. Nous nous placerons maintenant dans le plan, ce qui suffît 
|)oui' mettre en évidence les propriétés principales des fonctionnelles 
addilives à variation bornée, et nous supposerons que les ensembles 
considérés soient constitués par des aires. Pour décomposer sans 
andjiguïté une aire S en aires élémentaires DS, il faut naturellement 
préciser pour les contours communs à deux de ces aires ou pour les 
points communs à trois d'entre elles à laquelle ils appartiennent. 

Gomme novis l'avons fait pour l'étude des fonctions à variation 
bornée d'une variable, nous pouvons lier à la fonctionnelle 4> un sys- 
tème de masses réparties dans une région du plan. La valeur <I>| [S]| 
de ^ dans une aire S sera la somme des masses situées sur cette aire. 
La \ariation totale de ^ dans l'aire S sera la somme des valeurs abso- 
lues de ces juasses. 

Le principal cliangement, en passant de la droite au plan, provient 
de ce (pie des masses pouvant êti'c concentrées en des points, sur des 



44 PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CVLCUL FONCTIONNEL. 

lignes, ou réparties dans des aires, il y a un plus grand nombre de 
termes à distinguer : 

1° Un premier terme ^1 est obtenu en tenant compte des masses 
finies pouvant être situées en certains points. 

2^ Ljn deuxième terme <ï>2 est obtenu en tenant compte des masses 
réparties sur des courbes et représentables par une intégrale de 
M. Lebesgue étendue à ces courbes. 

'3*^ Un troisième terme O3 est obtenu en tenant compte des masses 
réparties sur des courbes et situées sur des ensembles de mesure 
linéaire nulle, sans qu'il j ait de masse finie en aucun point. 

l\^ Un quatrième terme ^î/, s'exprime par l'intégrale de M. Lebesgue, 
dans l'aire S, d'une fonction sommable u(A) du point A. Par généra- 
lisation des raisonnements du n^ 28, on voit que la fonction somma- 
toire /*s().) de [J>.(A) dans l'aire S, égale par définition à la mesure 
superficielle de l'ensemble des points de l'aire S où [J^(A) est inférieure 
à )v, et définie par la formule 

/s(>0 = ^?),|[SJ|, 

cs)] [S] I désignant la somme des masses positives intérieures à S dans 
la répartition des masses liées à la fonctionnelle ^I^ | [S] | — A^, rS étant 
la mesure de l'aire S. 

5*^ Un dernier terme ^3 proviendra de masses situées dans un 
ensemble de mesure superficielle nulle, sans qu'il y ait de masses 
finies sur une courbe. Nous donnerons tout à l'heure des exemples de 
telles répartitions. 

3t2. Dans le cas général, une fonctionnelle additive peut s'exprimer 
à l'aide d'une fonction de deux variables. Appelons 5- et / les coor- 
données d'un point de la région où la fonctionnelle <î> est déiinie, et 
0(0-, t) la valeur de <î> pour l'aire composée des points de cette région 
pour lesquels 

5 < cr, i < X. 

La connaissance de o(a-.T) équivaut à celle de 0. En edet, cette fonc- 
tion étant connue, la valeur de <I> pour le carré 

est 

d,yd^'f{a, t) = cp(a -\- ch, - -h dz) -1- cp(j, z) — ç(a + d(!, t) — 9(7, -, -h dz) 



CIIAP. m. — FONCTIONS SOMMABLKS Et FONCTIONS A VARIATION BORNEE. 45 

et, pour une aire S quelconque, on a 



(9.2) 



^\[^]\=J f d.d,^{^,',\ 



l'application de cette formule nécessitant certaines précautions dans 
le cas où des masses finies sont situées sur le contour de S. On peut 
appeler cette fonction cp(a-, t), dont la connaissance équivaut à celle 
de <I>, fonction à variation bornée des deux variables a- et t. 

A un point A où est située une masse finie a correspond évidem- 
ment pour la fonction co une discontinuité égale à a sur les deux 
demi-droites parallèles aux axes partant de A et dirigées respective- 
ment dans le sens des s croissants et dans le sens des t croissants. 

Lue parallèle à l'un des axes sur laquelle sont réparties des masses 
finies est également une ligne de discontinuité pour la fonction c. 
Mais si de telles masses sont réparties sur une ligne C non parallèle 
aux axes, on voit aisément que co n'est pas discontinue sur cette ligne^ 
mais que seulement sa dérivée première (si elle existe) est discon- 
tinue. Si Ton se donnait une fonction cp discontinue sur cette ligne, 
la fonctionnelle additive qu'on en déduirait par la formule (22) ne 
serait pas à variati^)n bornée. 

On se rend compte que, si l'introduction de la fonction 0(0-, t) est 
commode pour définir la fonctionnelle <ï>, il eùl été difficile de rem- 
placer les considérations précédentes par des considérations ne faisant 
intervenir que la fonction o et n'utilisant pas la notion de fonction- 
nelle. Les droites parallèles aux axes auraient du jouer un rôle parti- 
culiei" et qui aurait paru artificiel. 

33. Donnons maintenant des exemples de répartitions de masses 
correspondant au cinquième des termes que nous av(ms distingués 
dans ^. Il suffît de prendre pour o l'une des valeurs 

^{s, t)=x,(s)y,(t) 
ou 

'^{s,t) = x,{s)fU), 

f étant une fonction continue et ^3 et j'3 étant des fonctions ana- 
logues aux fonctions o^ et ^3 du n^ 28. Dans les deux cas, on est 
conduit à des masses réparties dans un ensemble de mesure superli- 
cielle nulle; dans le premier cas, il a en outre une mesure linéaire 



40 PREMIÈRE PARTIR. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

nulle en projection sur les deux axes, tandis que, dans le second, il 
n'en est ainsi qu'en projection sur l'axe des s. 

Considérons encore la répartition de masses positives définie de la 
manière suivante, à l'intérieur d'un carré. Divisant ce carré en neuf 
carrés égaux, nous répartirons le quart de la masse totale dans chacun 
des carrés ayant un côté commun avec le carré central; nous opére- 
rons dans chacun de ces carrés comme dans le carré primitif, et ainsi 
de suite. On voit sans peine que les masses seront en tin de compte 
réparties dans un ensemble dont les projections sur les diagonales du 
carré primitif ont des mesures linéaires nulles, tandis que la projec- 
tion sur les côtés de ce carré comprend au contraire tous les points 
de ces côtés. 

On voit par cet exemple que le fait, pour un ensemble, d'avoir une 
mesure linéaire nulle ou non en projection sur une droite peut 
dépendre du choix de cette droite. 

34. L'intégrale double de Stieltjes. — Soient <I> une fonctionnelle 
additive à variation Ijornée et '^(A) une fonction continue du 
point A. Divisons l'aire S en éléments d'aire DS et, dans chacun 
d'eux, choisissons un point A. La somme 

S4>(A)D<i>, 

D<ï> étant la valeur de <ï> pour chaque élément d'aire, tend, lorsque le 
nombre des aires élémentaires devient infini de manière que la plus 
grande distance de deux points d'un même élément tende vers o, 
vers une limite bien déterminée, indépendante du mode de décompo- 
sition choisi et du choix du point A; cette limite est l'intégrale double 
de Stieltjes et se représente par l'une des notations 

(23) J P'h{X)d^\[S]\=Jf'^(A)d,d,o(X), 

s et t étant les coordonnées de A et C2(A) étant la fonction associée 
à ^ par le procédé du n" 32. 

Si l'on décompose ^ en cinq termes <1>,, .... <ï>5, comme nous 
Tavons fait n^31, les trois premiers termes donneront des expressions 
de même forme que ceux que nous avons formés à propos de l'inté- 
grale simple de Stieltjes ; le quatrième donnera une intégrale de 



CHAP. III, — FONCTIONS SOM.MABLES ET FONCTIONS A VARIATION BORNEE. 47 

(A)ds. 



M. Lebesgiie de la forme 



fj'h{k)^.i 



Le dernier terme 



(24) y^/^^(A)^*5|[S]l=j^/^^(A)<,^,9,(A) 

sera irréductible à l'une des formes précédentes. On peut, comme 
toute intégrale double, le ramener à deux quadratures successives. La 
première consistera, en principe, dans le calcul d'une intégrale de 
Stieltjes, et la deuxième sera de la forme 

(.5) / 



dcr(s), 

x(s) étant la valeur de l'intégrale analogue à (i4) limitée aux points 
de S d'abscisse inférieure à s. Cette fonction est une fonction con- 
tinue à variation bornée, qui, avec les notations du n° 28, est donc de 
la forme x 2 (s) -\- 003(5). Cette séparation en deux termes correspond 
à une séparation des masses liées à la. fonctionnelle <^ï>5 en deux par- 
ties, les unes étant situées dans un ensemble de points dont la projec- 
tion sur l'axe des s a une mesure linéaire nulle, les autres étant telles 
qu'aucune partie finie de ces masses ne soit dans un tel ensemble. Ce 
dernier terme, celui qui correspond à X2{s)^ conduit donc à une 
quadrature de Stieltjes suivie d'une quadrature de M. Lebesgue; 
l'autre conduit à deux quadratures de Stieltjes successives; mais il 
peut arriver, en ce qui le concerne, qu'un changement de variables le 
ramène à la forme du précédent, ou conduise à une nouvelle décom- 
position en deux termes. 



CHAPITRE IV. 

VARIATION PREMIÈRE El' FONCTIONNELLE^ LINÉAIRES. 



Sommaire. — Dérivée fonctionnelle.— Z/^/^om^ de vue logique : Définition pré- 
cise fie la variation |yreniière. — La formnle de M. Haclamard. — La formule 
de M. Fi". Riesz. — Les fonctionnelles linéaires conliiuies dans le champ des 
fonctions de carrés sonimablcs. — Les fond ionnelles linéaires continne^ 
d'ordre/). — Les fonctionnelles dépendant d'une fonction de deux variables. 

— Les fonctionnelles bilinéaires. — Les correspondances linéaires entre 
deux fonctions. — Le point de vue pratique : Forme normale de la Naria- 
lion d'une fonctionnelle. — Cas de la continuité d'oidre p. — Les corres- 
pondances linéaires entre deux fondions. — Généralisations diverses : 
Fonctionnelles dépendant des valeurs d'une fonction ./(/) pour des valeurs 
quelconques de /^. — F'ondionnciles dépendant d'une fonction de ;i variables. 

— Fonctionnelles dépendant de plusieurs fonctions. — Fonctions d'une ligne 
gauche. — Fonctions d'une ligne plane et fonctions d'une surface. — 
Remarque sur le choix d'un type simple de fonctionnelles. 

3o. Dérivée fonctionnelle.' — Nous avons déjà vu que la géné- 
ralisation de l'expression de la dilïérenlielle totale d'une fonetion de 
n variables conduit à représenter la variation d'une fonctionnelle U 
par l'intégrale 

(l) au =: r 0(t)ùX(t)dt. 

Cette forme n'est pas générale. La fonctionnelle ^(t), t étant une 
valeur particulière de t^ admet pour variation ô:r(T), expression 
irréductible à la précédente. Le calcul des variations classique nous 
apprend que la fonctionnelle 

d. 



X'("-'^)" 



<:iIAP. IV. — VARIATION PREMIÈRE ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. 49 

admet pour variation 

forme irréductible à la précédente si y-7 ox ne s'annule pasanx deux 
limites. 

Dans le cas où la formule (i) s'applique, nous dirons que la fonc- 
tionnelle U est dérivable au sens de M. Volterra. La fonction cp(^) 
sera dite dérivée fojictionnelle de U. Comme elle dépend en général, 
non seulement de ^, mais du choix de la fonction x{t)^ M. Volterra 
la représente par » 

cp(x) = U'l[^(0, t]1. 



11 nous arrivera d'écrire plus simplement \}'x(X)' La variable t ou t, 
lorsque l'on considère une fonctionnelle U de x{t)^ est un simple 
indice, analogue à celui qui indique la variable lorsque l'on considère 
une fonction u{x^^ . . ., Xn) de n variables; cette notation est donc 
analogue à la notation j/^ pour représenter la dérivée de u par rap- 
port à Xi. 

La formule (i) n'étant pas générale, une étude plus complète s'im- 
pose. Elle peut être faite à deux points de vue. 

Le premier, que nous appellerons le point de vue logique^ consiste 
à supposer la fonctionnelle U définie dans un champ fonctionnel, et, 
en faisant des hypothèses aussi peu restrictives que possible sur cette 
fonctionnelle, chercher une expression analytique capable de repré- 
senter sa variation. 

Le deuxième, que nous appellerons le point de vue pratique^ con- 
siste à mettre en évidence les formes de variations qui ont des chances 
de se rencontrer dans les applications, et non seulement dans des 
exemples artificiellement formés. 

Le second point de vue nous sera évidemment le plus utile pour le 
développement delà théorie. Le premier est d'une nature plus philo- 
sophique, et c'est une conséquence remarquable du développement, 
à notre époque, de l'esprit philosophique qui porte les savants à ana- 
lyser les fondements de la Science, qu'il ait été considéré dès la nais- 
sance du calcul fonctionnel et plus rapidement que ne semblait le 
comporter le d��veloppement de cette science. 

Nous allons nous placer successivement aux deux points de vue. 

LKVY. 4 



5o PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 



LE POINT DE VUE LOGIQUE. 

36. Définition précise de la variation première. — Il faut avîint 
tout savoir ce que nous appelons la variation preiiàère d'une ionc- 
lionnelle. Les remarques présentées jusqu'ici manquent évidemmenl 
de la précision désirable. 

Dans le cas d'une fonction de n variables, la différentielle totale en 
tin point A est définie par les deux propriétés suivantes : 

i" Elle est une fonction linéaire de Faccroissement des ('oordonnées 
entre A et un point voisin B; 

2*^ Elle diftère de raccroissement de la fonction entre A et B d'une 
quantité dont le quotient par la distance AB est infiniment petit avec 
cette distance ( ' ). 

Passons au cas d'une fonctionnelle et cherchons à délinii" la varia- 
tion par la généralisation de cette double propriété : 

1^ La variation oU est une fonctionnelle' Unéaii'e de l accrois- 
sement ox{t). 

Qu'entendrons-nous par fonctionnelle linéaire (sQus-entendi'e : et 
homogène)? M. Hadamard (-)dit que IJ est une fonctionnelle linéaire 
de .V si la relation 

X(t) =AXi(l) -^- IXX2(/) 

entre trois déterminations de x{t) entraîne entre les déterminations 
correspondantes de U la relation 

U=XUi-hjaU2. 

2"" La variation SU diffère de V accroissement de L d'une quan- 
tité dont le quotient par le module fonctionnel de V accroissement 
de X est infiniment petit avec ce module. 

37. La notion de variation première apparaît ainsi, ce qui est 
naturel, comme liée à la définition de la distance, c'est-à-dire à celle 



(') Voir M. FKi':fiHKT, Comptes, rendus, -2- in;ii-s 1911. 

(-) Comptes rendus, février igo'j, cl Leçons sur le Calcul des variations, 
p. 288, 



CHAP. IV. — VARIATION PREMIÈRE ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. 5l 

de coiitiiiuih'. (/est le point de vue qui a été- adopté par M. Fréchet. 
On peut en donner une définition indépendante de la définition de 
distance en définissant la variation de l par la formule 

(.) 2U = ji;U|l.^X5xJ|^^. 

Une définition analogue a été adoptée par exemple par R. Gâteaux 
dans l'élude des fonctions d'une infinité de variables indépen- 
dantes (^). 

Y a-t-il identité entre les deux définitions ? 

On voit sans peine qu'une variation au sens de M. Fréchet vérifie 
la formule (2) si la définition de la distance est telle que la distance 
des deux fonctions ^{t) et x{t) -\-\J\t) est proportionnelle à \. 
Cette condition est vérifiée par toutes les définitions que nous avons 
considérées, et il semble qu'une définition qui ne la vérifierait pas 
serait sans intérêt. 

Mais la définition de Gâteaux est plus générale. L'expression (2) 
peut n'être pas une différentielle au sens de M. Fréchet. 

i" D'une part, si elle est homogène et du premier degré en §^, elle 
peut n'être pas linéaire. Cette circonstance Se rencontre déjà dans la 
théorie des fonctions de deux variables; la fonction ^ arc tang - 
admet à Torii^ine une différentielle au sens de Gâteaux, mais ce n'est 
})as une expression linéaire en dx et dy. * 

2" D'autre part, il résulte de la définition (2) que 

(3) ■ ^ ■ "■-"-^", 

m 

m désignant le module fonctionnel de ô.x, et ox étant de la forme 
\f\t)^ tend vers zéro quand \ tend vers zéro. f{t) restant fixe. Pour 
que ùVj soit une différentielle au sens de M. Fréchet, il faut qu'elle 
tende vers zéro quand m tend vers o quelle que soit la forme de ^x ; 
autrement dit, si 8.7: = X /*(/), qu'elle tende uniformément vers o 
quand X tend vers o^f(t) étant une fonction quelconque de module 
fonctionnel égal à i . Il peut ne pas en être ainsi, même si 8U est une 
fonctionnelle linéaire. 

Donc la formule (2) est plus générale que la définition précédente. 

(') Bulletin de la Société mathématique de France^ 1919- 



52 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

Toutes les fois qu'il y a une variation au sens de M. Frécliet, elle 
s'applique; mais elle peut représenter une expression qui ne soit pas 
une variation au sens de M. Frécliet. 

Dans la suite, lorsque nous dirons qu'une fonctionnelle admet une 
variation, sans ajouter « au sens de M. Fréchet ». nous entendrons 
par là que l'expression (2) existe et est linéaire en ox. Cette défini- 
tion diffère donc de celle de Gâteaux parce que nous imposons à la 
variation la condition d'être linéaire, et de celle de M. Fréchet par 
la différence signalée au 2° ci-dessus. 

38. Donnons un exemple de fonctionnelle n'admettant |)as une 
variation pour toutes les fonctions x{t). 

Plaçons-nous dans le cliamp des fonctions continues et appelons 
distance de deux fonctions x ei y le nuiximum de |j'(^) — x(^t)\. 
l^renons comme fonctionnelle L le maximum de:r(/). 

Si x[t) n'atteint son maximum que pour une valeur t de la 
variable t, cette fonctionnelle admet comme variation l'expres- 
sion o^(t). Mais si x{t) atteint son maximum pour deux valeurs t 
et 1' de la variable t^ la valeur principale de l'accroissement de U est 
donnée par Zxi^) ou ^x{'z') suivant que l'une ou l'autre de ces quan- 
tités est la plus grande. Si, par exemple, ox est de la forme '/./(t), et 
siy(T) et /(t') ne sont pas égaux, la valeur à considérer, t ou t , 
changera avec le signe de X. Si donc on considère la famille de fonc- 
tions ^(<) -1- A/(/) dépendant du paramètre A, U sera ru^présenlée 
en fonction de 1 par une courbe ayant un point anguleux. 

De pareils exemples, ou même ceux qu'on pourrait donner géné- 
ralisant les fonctions sans dérivées, ne diminuent d'ailleurs en rien 
l'intérêt cpii s'attaclie à la notion de variation. 

39. Démontrons maintenant deux propriétés des fonctionnelles 
linéaires. 

i*' Si une fonctionnelle linéaire V est continue en un point de 
l'espace fonctionnel, elle est continue partout. 

En effet, dire qu'elle est continue en un point x{t)^ cela signifie 

que 

\-\[x-^^x]\-\J\[x]\ = U|[o.r]| • 

tend vers o avec le module fonctionnel de ox\ cette condition est 
évidemment indépendante du point considéré. 



CHAP. IV. — VARIATION PREMIÈRE ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. 53 

2^ Cela revient au même de dire d'une fonclionnelie linéaire 
qu'elle est eontinue, ou de dire qu'elle est finie dans tout champ 
fonctionnel fini. 

En effet, dire qu'elle est finie dans tout champ fonctionnel fini 
revient ."i dire que 

1 1 37(0 1 1 < M entraîne mod U | [a-] |< K. 

Il est évident, l étant linéaire, (pie si l'on multiplie M par un fac- 
teur p, K est multiplié par le même facteur. On peut donc choisir M 
assez petit pour que K soit inférieur à tout nombre positif donné, 
c'est-à-dire que L est conlinu au point x = o et, par suite, en tout 
point. 

Une variation, qui est une fonctionnelle linéaire de ox, n'est pas 
nécessairement continue par rapport à cet argument. Mais on peut 
montrer que, si U est une fonctionnelle continue de x, oU est une 
fonctionnelle continue de ox. En eft'et, le module fonctionnel m 
de ox =^ Xi — X tendant \ers zéro, l'ac(;roissement U< — U tend vers 
zéro, par définition de la continuité; d'autre part, par définition delà 
variation, Texpression (3) et, par suite, son numérateur U, — U — ôU 
tendent sers zéro. Donc ol tend vers zéro. Cette fonctionnelle est 
donc continue à Torigine et, [)ar suite, <'n tout point. 

iO. La formule de M. Hadamard, — M. Hadamard, dans sa Note 
déjà citée de 1908, a le premier posé et résolu le problème de cher- 
cher une expression analytique susceptible de représenter toutes les 
fonctionnelles linéaires continues. 

Remarquons d'abord avec lui que la propriété d'addition des fonc- 
tionnelles linéaires se généralise immédiatement au cas d'un nombre 
quelconque de fonctions, de sorte que la relation 

(;j) x(t) =z aiXii t) -^.. .— a,iX„{t) 

entraîne, si U est linéaire, la relation 

U !(^(0]l =«iU|[^.-i(^)ll-+-...+ ««ui|.r;,(OJI- 

Supposons la fonctionnelle C définie et bornée pour toutes les 
fonctions x{t) continues, et ayant, par suite, d'après le n" 39, la 
continuité liée au voisinage uniforme de deux fonctions; si donc x(t) 
tend uniformément vers une limite X(^), U||^(i)J| tend vers 



54 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

Appliquons ce résultat à rexpression (5), en supposant qu'à la 
limite, la suite Xi{t), ..., Xn{f) soit remplacée par une fonction 
continue :vi{t) de t et d'un paramètre X, et que c<^tte expression 
devienne une intégrale. jNous voyons que la relation 



i[x(oii= f'y{i)v\[xi{t)]\d\. 



X(/)= / f(l)xy(f)dh 
entraîne la relation 
l 



En particulier, la relation 

œ^Xt) = — ; 

entraîne la relation 

U||^j,(0]|= f F(>-. iJ.)x{l)dl, 

• 

en posant 



.{ 



Or, pour ;j. infini, Xy,{^) tend luiifonnément (') vers:r(^). 11 vient 
donc 

(6) U![.r(^)]|=,lim f ¥{t,ix)x{t)dt. 

Telle est Texpression analytique, formée par M. Hadamard, qui 

(^) L;i font lion x{t) rtani rotiliiiuc, donc nniformémciit continue, on peut 
choisir r, de nianièir (|uc | t —^ ] < r, entraîne \x{-:) — x{t)\<.t. Or, pour \i. 
assez ^qand, une fraction é^'ale à i — : de lintégralc I, qui est au dénominateur, c<t 
obtenue pour un intervalle d'intéj^ral ion constitué par une partie de l'intervalle 
{t — rj et {t + T,), Les deux parties de l'intégrah' ainsi distinj,'uées, égales à (i — z)\ 
et el, sont multipliées respectivement, si l'on multiplie la fonction intégrée para7(6), 
par x{~) et 57(7'), T et t' étant compris dans les deux parti(>s de l'intervalle (o, i). 
Or x{-) est de la l'orme x{t)^b^z, où (6,|. i, el x{i') = Ô^M, où | Ô, |< i et 
où M est le maximum de \xit)\. Doik .37^^(0 <• '<• valeur 

(r — c) [^(0 + ^1'] -+• ^^..^'^^ 

«t sa différence avec x(t) est l»ien aussi petite (|u'on \eut, dans tout l'intervalle 
o, i), i)our £ assez petit. 



CIIAP. IV. — VARIATION PREMIERE ET FONCTIONNELLES LINEAIRES. 5 > 

représente la fonctionnelle linéaire et continue la plus générale 
définie dans le champ des fonctions continues. Elle est évidemment 
beaucoup plus t;éncraLe que Fintégrale de M. Volterra. Elle est même, 
à certains points de vue, trop générale. Il est évident qu'une fonc- 
tionnelle qui peut être représentée par la formule (6) peut l'être 
d'une infinité de manières, en faisant varier le choix de la fonction 
F(^, a). 11 y a intérêt à chercher une représentation ne comportant 
pas cette indétermination. Un tel résultat a été obtenu par M. l 
Ricsz (Comptes fendus ^ 29 novembre 1909). 



r. 



41. La formule de M. Fr. Riesz. — Faisons sur la fonctionnelle \J 
les mêmes hypothèses que précédemment et, de plus, supposons-la 
définie pour les fonctions ayant un nombre fini de discontinuités de 
première espèce. Soit Xx{t) la fonction égale à i si ^^t et à o si / > t. 
Posons 

ui[^,(0]|=/(^). 

Si t>t', Xx — Xx' représente une fonction égale à i si -:'<; ^^t et 
à o pour les autres valeurs. Pour cette fonction, U a évidemment la 
valeur/(T)-/(T). 

Il en résulte a^isément que/(^) est à variation bornée. Soit, en 
effet, M le module maximum de U pour les fonctions x(t) de 
module ^i (ce maximum existe, en vertu de l'hypothèse de la con- 
tinuité). Considérons en particulier une fonction égale à £|, £27 • • •• 
Sp dans chacun des intervalles (o, i,), {t^, t^)^ . . ., {tp-\^ 0' ^*^* ^ 
étant tous égaux à -f- i ou à — i , et les t étant des nombres croissants 
dans l'intervalle (o, i). Pour cette fonction, U a la valeur 

^i[/(^i)-/(o)] + £.[/( ^2) -/(^i)]+...-i-£4/(0~yV/p-i)], 
(fui, pour un choix convenable des e, devient 

I /(<i)-/(o) 1 + 1/(^2) -/( ^1)1 4-... + 1/(1) -/(Vi)l- 

Cette expression élanl au plus égale à M, quel que soit le choix 
des ^ f{t) est à variation totale au plus égale à M. donc bornée. 

Ce résultat obtenu, nous pouvons représenter d'une manière 
approchée une fonction continue x{t) par une fonction X(^) égale 
dans chacun des intervalles (//_i, ti) à une des valeurs Xi àe x{t) 
dans cet intervalle. Si le plus grand de ces intervalles tend vers zéro, 
X(/) tend d'une manière uniforme vers x{t). 



56 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

Or on a, en raison de la propriété caractéristique des fonction- 
nelles linéaires, 

i 

et, à la limite, on peut écrire 

(7) Ul[^(/)]1= f x{t)df{t). 

•'0 

Les fonctionnelles considérées sont donc représentables par une 
intégrale de Stieltjes. Cette représentation ne comporte pas l'indé- 
termination de la représentation par la formule de M. Hadamard et 
se distingue aussi de cette formule par le fait qu'elle ne représente 
pas d'autres fonctionnelles que celles ayant la continuité considérée. 

On obtient une autre expression de la fonctionnelle linaire U en 
utilisant la décomposition de l'intégrale de Stieltjes indiquée au n'*31. 
On trouve ainsi 

(8) Ll[-^(0]l=»/-^-('/)-^- / ^^-(01-^(0^^+/ 3c{t)dç{t), 



8) .Ll[-^(0]l=y«/-^'('/)-^ f x{t)ix{t)dl+ Ç 



^\ai\ étant convergente, Lt(^) étant sommable et cp(/) étant à \aria- 
tion bornée, continue, et ayant toute sa variation concentrée dans un 
ensemble de mesure nulle." 

i2. Nous avons supposé jusqu'ici que L était défini pour les fonc- 
tions admettant un nombre fini de discontinuités de première espèce. 
11 est d'ailleurs à noter qu'avec cette hypotlièsc, et ûx{t) est discon- 
tinue en l'un de5 t/, il est essentiel, pour l'application des formules (7) 
et (H), que la signification de ^(t/) soit bien précisée. 

Nous allons supprimer cette hypothèse et montrer qu'on arrive au 
même résultat en supposant U définie seulement dans le champ des 
fonctions continues. 

Nous dirons qu'un point t est un point ordinaire pour l'a fonc- 
tionnelle linéaire LJ si, étant donné £ positif, on peut toujours déter- 
miner Tj tel que l'hypothèse qu'une fonction continue x{t) soit nulh; 
en dehors de l'intervalle (t — ri, t-|- vi) et comprise entre — 1 et H- i 
dans cet intervalle, entraîne |U|<£. Dans le cas contraire, t sera 
à\l point de discontinuité^ et nous appellerons écart correspondant 
à ce point la li-mite supérieure des valeurs de e pour lesquelles n'existe 



CHAP. IV. — VARIATION PREMIÈRE ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. Jj 

pas de nombre /,. Cet <îeai t étaiil désigné par a, nous pouvons alors 
affirmer que, quelque petits que soient les nombres positifs e et Ti, 
on peut trouver une fonction continue x{t), nulle en dehors de 
rinlervalle (t — r^^-z-i-ri) et comprise entre — i et +! dans cel 
intervalle, et à laquelle corresponde une valeur de L positive et 
supérieure à a — î. 

Je dis maintenant que les points de discontinuité sont dénom- 
brables et que la somme des écarts correspondants est au plus égale 
à M, limite supérieure de L pour les fonctions de module ^ i . Il suffit 
de montrer que Ton ne peut pas avoir, pour un nombre lini de points 
de discontinuité, t, . . ., t^^, 

«1 +...+ «;,= IM'> M. 

S'il en était ainsi, nous pourrions choisir î, , . . . , 6p tels que 

et 7^1, . . . , '/]^ tels que les intervalles (t/— r,/, T^-f-r,/) soient exté- 
rieurs les uns aux autres. A chacun de ces intervalles, on pourrait 
faire correspondre une fonction continue Xi{t), nulle en dehors de 
cet intervalle, et comprise entre — i et -f- i dans cet intervalle, et 
pour laquelle la fonctionnelle L prenne une valeur Ut positive et 
supérieure à ai — s/. l^)ur la fonction 

qui est continue et comprise enlre — i et + i, la fonctionnelle pren- 
drait la valeur 

U,^-...-+-U„>M, ' 

ce qui est contraire à 1" hypothèse. Il en résulte bien que la somme 
des çip ne peut dépasser M et, par suite, que les -Zp sont dénom- 
l)rables. 

Soit maintenant un point ordinaire t. Soit x.^{t) la fonction déjà 
considérée égale à i pour /£-: et à o pour ^ >t. .le dis que, malgré 
sa discontinuité, L est défini pour cette fonction. En effet, on peut 
modifier x\ dans un intervalle très petit (t -- r,, t + Tj) de manière à 
rendre cette fonction continue et comprise enlie o et i, et, pourvu 
que Tj soit assez- petit, aux différentes fonctions que l'on peut ainsi 
obtenir correspondent des valeurs de l; difîerant les unes des autres 



58 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

de moins que tout nombre donné e. 11 en résulte bien que, rj tendanl 
vers zéro, U a une limite. Soit/(T) cette limite. 

Cette fonction étant obtenue, nous pouvons reprendre les raison- 
nements du n" 41 en spécifiant seulement que la fonction X(i) par 
laquelle nous représentons a? (^) d'une manière approchée aura des 
points de discontinuité tt qui seront tous des points ordinaires de la 
fonctionnelle. On voit d'ailleurs aisément que f{t) est à variation 
bornée, de sorte qu'il nj a rien de changé aux résultats précédents ; 
les quantités que nous désignons par ai sont, au signe près seule- 
ment, celles que nous avions désignées de cette manière au n*^ 41. 

43. Les fonctionnelles linéaires continues dans le champ des fonc- 
tions de carrés sommables. — Supposons mainteliant la fonctionnelle 
linéaire U définie et bornée dans le champ des fonctions de carrés 
sommables, et par suite, d'après le n° 39, continue, avec la définition 
de la continuité qui est naturelle dans ce champ, celle liée au voisi- 
nage en moyenne. 

Une telle fonctionnelle est a forliori définie et bornée dans le 
champ des fonctions continues et, par suite, représenlable par les 
formules (-) et (8). Mais la continuité plus restrictive que nous con- 
sidérons actuellement entraîne cette conséquence qu'on ne risque 
pas de changer la valeur de U en changeant vc(^) pour les ])oiul> d un 
ensemble de mesure nulle; il n'en serait certainement pas ainsi si L 
contenait effectivement le premier ou le troisième terme de la for- 
mide (8). Celte formule se réduit donc au second terme, et Ton a 



(9) 






la fonction [Ji.(':) étant sommable. 

Je dis qu'elle est même de carré sommable. Si, en effet, l'intégrale 



F(0=J l^df{\), 



/(;) désignant la fonction sommatoire de{j.(/) dans l'intervalle (o, i), 
devenait infinie (soit positivement, pour E infini positif, soit négati- 
vement, pour \ infini négatif), on pourrait trouver une fonction X(/) 
de carré sommable et pour laquelle l'intégrale (9) n'aurait pas de 



CHAP. IV. — VARIATION PREMIÈRE ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. ")9 

sens. Il suffit de prendre 



avec £=±:i suisant que \f^{t) est positif ou négatif. On a, d'après 
les formules de M. Lebesgue, 



formules (pii montrent bien que le module fonctionnel de X(/) est 
borné, mais que l'intégrale (9) n'a pas de sens pour cette fonction. 
On peut alors trouver des fonctions continues :r(^), convergeant en 
moyenne vers X(7), et telles que les valeurs correspondantes de L, 
bien (télinies par la formule (9), n'aient pas de limite; ce résultat est 
en contradiction avec l'hypothèse que L soit défini et continu pour 
la fonction X(^); c'est donc que |J^(^) est de carré sommable. 

Cette condition étant remplie, il résulte de l'inégalité de Schwarz 
que l'expression (9) représente bien une fonctionnelle linéaire, 
définie et continue dans le champ des fonctions de carrés sommables. 
Nous avons. ainsi Texpression générale d'une telle fonctionnelle. 

Ce résultat est dû à M. Fréchet, qui l'a- d'ailleurs établi sans uti- 
liser l'intégrale de Stieltjes {voir n" 99). 

4i. Les fonctionnelles linéaires et continues d'ordre/?. — Appe- 
lons Cy, le champ des fonctions continues, ayant des dérivées absolu- 
ment continues {voir \)P 28) jusqu'à l'ordre /> — i, et- une dérivée 
d'ordre /> de carré sommable. En d'autres termes, c'est le champ des 
fonctions de la forme 



{ 



(P 






;r^^ (s) étant de carré sommable. Appelons C^^, le cliamp obtenu en 
supposant de plus que cette dérivée soit continue. 

Considérons une fonctionnelle linéaire L définie dans Cy, et ayant 
dans ce champ la continuité liée au voisinage en moyenne d'ordre/?, 



6o PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCtL FONCTIONNEL. 

OU bien (deuxième hypothèse) définie dans G' et ayant dans ce champ 
Ja continuité liée au voisinage uniforme d'ordre p. 11 résulte de ces 
hypothèses et de la formule (lo) que 

V étant une fonctionnelle linéaire continue d'ordre zéro à laquelle, 
suivant qu'on fait sur U l'une ou l'autre des hypothèses ci-dessus, 
on peut appliquer la formule de M. Fréchet ou celle de M. Vi\ Piiesz. 
Dans le premier cas, par exemple, et pour/) = i , il vient 

(12) l]\[a']\=aoCc(z)-^- ( x' {t)ix{t) dt. 






Si la fonction [jl est à variation bornée, cette expression est con- 
tinue d'ordre zéro et se ramène par une intégration par parties à la 
forme 

Ul[^][ = rto^('r) + |>(/)îJL(0]J— f oc{t)diJ.{t). 

identique, aux notations près, à celle de M. Riesz. Mais si 'J.{t) n'est 
pas à variation bornée, la formule (12) représente une fonctionnelle 
plus générale. 

Des circonstances tout à fait différentes se présentent pour la for- 
mule de M. Hadamard, qui peut représenter toutes les fonctionnelles 
considérées actuellement et dont, par suite, la généralité n'augmente 
pas si l'on y remplace oo{t ) par x^P^{t). Gela tient à ce que, si x{t) a 
des dérivées continues jusqu'à l'ordre p, oc^_{t) pour [à infini a avec 
x{t) un voisinage uniforme d'ordre /? et, par suite, L ||^jj.Ù)|| a 
encore pour limite U| [^(/) ] |. 

D'ailleurs, si l'on écrit x^P\t) au lieu de x{t) dans la formule (() ), 
il est aisé de ramener la nouvelle forme obtenue à la forme initiale. 

On voit donc que cette formule est beaucoup plus générale que les 
fonctionnelles que nous avons voulu représenter par elle. On peut 
montrer qu'elle représente, non seulement toutes les fonctionnelles 
ayant une continuité d'ordre fini /?, mais même des fonctionnelles 
ayant une continuité d'ordre infini comme celle que nous avons 
formée (n*' 12). Si elle présente l'inconvénient de ne pas donner 
des fonctionnelles qu'elle représente une représentai ion unique, 
elle présente favantage d'une extrême généralité. 



CIIAP. IV. — VARIATION PREMIÈRE ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. ()I 

io. Les fonctionnelles dépendant d'une fonction de deux variables. 
— IVous indiquerons à la (in de ce Cliapilre diverses généralisations. 
Il faut dès maintenant que nous considérions les fonctionnelles Li 
dépendant des valeurs prises par une fonction ip(.s, /) de deux 
variables s el t dans le champ 

(i) j o^sSi, o^t^i. 

11 est à remarquer qu'on n'augmenterait pas la généralité en pre- 
nant un champ de forme quelconque intérieur à ce carré, et par suite 
un champ fini quelconque. 

La formule (i) se généralise sans difficulté et s'écrit 






6U = / / ^{s, t)ùx{s,t)dsdt. 

Les formules de MM. Hadamard, Riesz et Fréchet se généralisent 
aussi sans difficulté. Précisons-le en ce qui concerne ces deux der- 
nières. 

Soit U une fonctionnelle linéaire de x{s^ t) définie dans le champ 
des fonctions continues et ayant la continuité liée au voisinage uni- 
forme d'ordre zéro; appelons ^|[S][ sa valeur pour une fonction égale 
à I dans une aire S intérieure au carré (i3), et à o en dehors de 
cette aire. La fonctionnelle U étant linéaire, <ï> est une fonctionnelle 
addilive, et sa variation, limite supérieure de 

S|D*| = SHD4>, 

H ayant la valeur -|-i ou — ^ i dans les différentes aires DS suivant le 
signe D4>, est au plus égale à la limite supérieure de U pour les 
fonctions x{s^ t) dont le module est partout égal à i ; elle est, par 
suite, bornée. Nous appellerons cp(5, t) la fonction liée à 4^, comme 
il a été indiqué n'' 32. 

On généralise alors sans peine les raisonnements qui conduisent à 
la formule de M. Riesz et il vient 

(ï4) \}= f f x{s,t)d^= f fx{s, t)dsdt^{s, t\ 

les quadratures étant étendues au carré (i3). 

46. Supposons maintenant U définie dans le champ des fonctions 



6l PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

de carii's somiiiables et ayant la coiilinuité liée au voisinage en 
moyenne d'ordre o. La formule (i4), déduite d'hypothèses moins 
restricli\es, s'applique a fortiori. Mais, dans la répartition de masses 
liée à la fonetionnelle <ï>, il ne peut ici y avoir de masse finie dans 
un ensemble de; mesure superficielle nulle; si, en effet, il n'en était 
pas ainsi, on chanjj;erait 4> en changeant ^(.v, t) dans cet ensemble, 
ce qui est contraire à l'hypothèse de la continuité. La fonctionnelle 4> 
se réduit alors au terme <!>/, {voir n^ 31), et il vient 






(ij) ^~/ / ^{s, t)\J.(s, t)ds dt. 

Cette expression devant être finie pour toute fonction x{s^ t) de 
carré sommable, on voit, en raisonnant comme nous l'avons fait 
n" 43, cpie [ji(.s-, t) doit être de carré sommable. 

La formvile (i5), où pi est de carré sommable, donne alors l'expres- 
sion générale des fonctionnelles considérées. Elle généralise celle de 
M. Fréchet. 

47. Les fonctionnelles bilinéaires. — Considérons une fonction- 
nelle l dépendant de deux fonctions x{s) vl y{l) définies toutes 
deux dans l'intervalle (o, i), et qui soit fonctionnelle linéaire de 
chacune d'elles. On dit qu'elle est bilinéaire. 

Supposons-la définie dans le champ des fonctions continues et 
ayant la continuité liée au voisinage uniforme d'ordre o. En appe- 
lant cp((7, T) la valeur de U lorsque x{s) est une fonction égale à i 
pour s <^'7 et nulle pour ^^o-, et lorsque y (^) est une fonction égale 
à I pour t<^'z et nulle pour ^^t, on arrive, par une nous elle géné- 
ralisation des raisonnements de AI. Riesz, à la formule 



(i6) 



U \_xi^s),y{t)\\= f f x{s)y{t)ksdt^{s,t), 



la fonction '^(5, t) étant liée à une fonctionnelle additive à variation 
bornée. 

48. Supposons maintenant L définie dans le champ des fonctions 
de carrés sommables et ayant la continuité liée au voisinage en 
moyenne d'ordre zéro. Si la formule (16) ressemblait à la for- 
mule (il), il va y avoir ici une différence avec la formule (i5). La 



CIIAP. IV. — VARIATION PREMIÈRE ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. 63 

rép?.rtition des masses liées à la fonction Z)(s^ /) peut ici être telle 
que des masses finies soient situées sur un ensemble de mesure super- 
ficielle nulle, pourvu qu'en projection sur chacun des deux axes il 
ait une mesure linéaire non nulle. En se reportant à la décomposition 
en cinq termes de la fonctionnelle tp liée à 'j(.v, /) (n*^ 31), nous 
voyons ici que nous pouvons trouver : 

i" Des masses (correspondant au terme ^I^o)? réparties sur des 
lignes nofi parallèles aux axes, et exprimable par une intégrale de 
M. Lebesgue étendue à ces courbes; 

2.'^ Des masses (correspondant au terme ^V, ), réparties sur toute la 
surface et exprimable par. une intégrale double de M. Lebesgue; 

3° Des masses (correspondant au terme ^ï^^), réparties dans un 
ensemble de mesure superficielle nulle sans qu'aucune masse finie 
soit répartie sur une courbe, ni dans un ensemble dont la projection 
sur l'un des axes ait une mesure linéaire nulle. De cette dernière 
condition résulte que les fonctionnelles linéaires <l*^ que nous pouvons 
envisager ici sont plus particulières que celles du n'' 31. Le calcul de 
Fintégrale double de Stieltjes à laquelle nous sommes conduits ici 
se ram^e, quelle que soit celle des variables ^ et ^ par laquelle 
on commence l'intégration, au calcul d'une intégrale simple de 
Stieltjes suivi d'une intégrale de M. l^ebesgue [voir n" 3i, re- 
marque finale). 

Ainsi, en se reportant aux exemples du n" 33, on voit que le troi- 
sième donne une fonction <t>^' convenant au problème actuel, mais 
qu'il n'en est pas de même des deux premiers. 

Mais ces conditions ne suffisent pas encore pour que U soit fini 
pour tout système de fonctions x[s) et y(t) de carré sommable. 
Piemarquant que le produit^(.y)y(^) est de carré sommable lorsqu'il 
> agit d'une intégrale double, mais que, intégré le long d'une courbe 
du plan des 5, ^, il est seulement sommable, on voit sans peine que : 

1° Pour les masses réparties sur des lignes, il faut et il suffît que, 
si l'on considère toutes ces masses comme positives et qu'on les pro- 
jette successivement sur les deux axes, les répartitions obtenues 
aient une densité bornée; 

2° Pour les masses réparties sur la surface, il faut et il suffit que 
leurs densités soient de carrés sommables ; 

3" Il est plus difficile de donner une forme simple à la condition 



64 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEf . 

que doivenl vérilier en plus de celles déjà indiquées les masses cor- 
respondant au lerme <I> 5. Contentons-nous de luonlrer par un exemple 
que ces masses peuvent exister effectivement. 

Posons 

s -^ t = a, s — f = V. 

et désignons par /'(z<, r) une fonction continue et par x^{v) une 
fonction continue à variation bornée avant toute sa variation dans un 
ensemble de mesure nulle. La répartition de masses vérifiant cette 
condition qu'un petit rectangle de côtés du et civ parallèles aux axes 
des u et des ç contienne des masses f(u, i') du dx;t( v), remplit les 
conditions voulues. On voit sans peine que, tf) étant la fonctionnelle 
correspondant à cette condition, l'intégrale 



ff 



étendue au carré (10) est continue dans le cliauq) des fonctions x et y 
de carrés sommables. 

i9. Les correspondances linéaires entre deux fonctions. — Le 
problème des transformations ponctuelles, si important dans l'espace 
à Ji dimensions en vue de la théorie des changements de variables, 
se généralise au cas de l'espace fonctionnel ; en n'employant plus le 
langage géométrique, ce problème généralisé est celui de la corres- 
pondance entre deux fonctions. Pour appliquer la notion de variation 
à la relation qui exprime une telle correspondance, il faut d'abord 
étudier le cas d'une correspondance linéaire. 

Un exemple classique d'une telle correspondance est celle qui 
existe entre la valeur sur un contour d'une fonction harmonique 
représentable à l'intérieur de ce contour par un potentiel de double 
couche, et la densité de ce potentiel. 

Considérons, d'une manière générale, une fonction X.(^) dépen- 
dant linéairement d'une autre fonction x{t)^ et ne faisons, pour le 
moment, aucune hypothèse sur la possibilité de résoudre par rapport 
à x{t) la relation qui existe entre ces deux fonctions. 

Supposons d'abord qu'à toute fonction continue x(t) corresponde 
une fonction continue X(/), et qu'à deux fonctions x{t) eiy(t) 
ayant un voisinage uniforme d'ordre zéro correspondent deux fonc- 
tions X(/) et Y(/) ayant aussi un voisinage uniforme d'ordre zéro. 



CHAP. IV. — VARIATION' PREMILUB lîT I ONCTIONNELLES LINÉAIRES. 6") 

Pour chaque valeur de .s, X (.v) est alors une fonclionnelie linéaire 
et continue de x{t) à laquelle nous pouvons appliquer la formule 
de M. Riesz, ce qui donne 

(21. X(^)= f X{t)dtf{s, /), 

/(.y, t) étant une fonction de t k variation bornée. 

Il faut de plus que X(5) soit une fonction continue de s, quelle 
que soit la fonction continue x{t). La condition que doit remplir la 
fonction y'(.ç, t) pour qu'il en soit ainsi peut être mise sous la forme 
suivante: par tout point A de coordonnées ^, t telles que * 

{■>.l) 0S5^I, O^fll, 

on peut faire passer un petit arc de courbe sur lequel s soit constam- 
ment croissant et sur lequel /(5, t) soit une fonction continue. Cet 
arc devra être défini de part et d'autre du point A, sauf bien entendu 
si, en ce point, s a l'une des valeurs extrêmes o ou i . 

Il pourra d'ailleurs arriver que cet arc ne puisse pas dépasser un 
point B très voisin de A, comme nous allons le montrer par un 
exemple, sans donner la démonstration générale du résultat précédent. 

Soit C une courbe fermée convexe intérieure au carré (22), sur 
laquelle s atteigne son minimum Sy en un seul point B, et son maxi- 
mum s^ en un seul point B2. Appelons t' et t\ {t' <C f") les ordonnées 
des points où la droite d'abscisse .ç coupe la courbe G, s étant compris 
enire 5, et .^2- Posons 

X(S) =^ X{t')—X(t") (Si<S<S2), 

et \.{s ) = o si 5 n'est pas compris entre 5, et .s^. Cette fonction est 
bien de la forme (21), la fonction /(à-, t) étant égale à i à l'intérieur 
de C, et nulle sur cette courbe et aux points B, et B^. 

Pour tout point A intérieur à C, l'arc de courbe considéré, où s 
croît et où/(.s, l) est continue, existe bien, mais il ne peut pas 
dépasser B< et B2. En ces points, il existe encore, puisqu'on peut 
définir un arc partant de chacun de ces points et extérieur à la courbe 
et sur lequel s soit croissant. 

oO. Supposons maintenant la correspondance linéaire enlre x{t) 
X(^ ) telle qu'à toute fonction x{t) de carré sommable corresponde 
une fonction X(/) de carré sommable, et qu'à deux fonctions .^(^) 



66 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

ely{l) ayant un voisinage en moyenne d'ordre zéro correspondenl 
deux fonctions \(/)el ^{f) ayant aussi un voisinage en moyenne 
d'ordre zéro. 

Nous ne pouvons pas ici partir de la l'ormuie de M. Frécliel comme 
nous sommes partis de celle de M. Riesz pour écrire la formule (2]). 
En effet, X(.v), pour une valeur déterminée de s, est bien nue fonc- 
lioiiuelle linéaire de Jc{t)^ mais non nécessairemeiil finie ; i)ii ])eul 
même dire cju'elle n'est pas Lien détinie, puiscpie (n^' ^1 ) on ne peut 
pas toujours définir la valeur d'une fonction mesurable pour une 
vale\ir particulière de la variable, et (pi'une telle fonction doit être 
considérée comme connue lorsque l'on connaît sa fonction souima- 
loire et qu'on sait effectuer sur elle les opérations d'intégration. 

Considérons alors l'intéi:rale 



-/ 



\{s) y{s) ds\ 



Dire que X(a) est de carré sommable équivaut à dire que l est 
finie pour toute fonction y (5) de carré sommable, et la connaissance 
de cette intégrale j)our toutes les déterminations p(^^sibles de >^(.ç) 
équivaut à celle de X(a' ). 

Or l est une fonctionnelle bilinéaire i\e x et )' à laquelle nous 
(MHUons appliquer les résultats du n" i8. Par ce détour, on ]>eut dire 
qu'on a défini la correspondance linéaire Ja j)lus générale entre deux 
fonctions de carrés sommables. 

On peut aussi prendre pour y(^), non une fonction quelconque 
de carré sommable, mais seulement les fonctions trigonométriques 
ces 2/^'7^/ et ^kïvinizt. \ est alors défini par ses coefficients en série 
de Fourier, qui sont des fonctionnelles continues représentahles par 
la formule de M. Fréchet. 

\ous reviendrons au Chapitre SW\ sur ces coirespoudances et 
nous étudierons le problème de la résolution par rapport à ./ de la 
relation entre .t" et X. 

LE POINT DE VUE PRATIQUE. 

ol. Forme normale de la variation d'une fonctionnelle. — Au point 
de vue pralicjue, l'intérêt des résultats précédents ne doit ])as être 
exagéré. Nous ne rencontrerons pas dans les applications d'exemples 



«:H\1\ IV. — VARIATION PREMIERE KT FONCTIONNELLES LINEAIRES. i)'j 

d'intégrales de Slieljes qui ne puissent se remplacer par des sjm^ 
boles d\in emploi plus commode. Il y a donc intérêt, si Ton veut 
étudier les équations aux dérivées fonolionnelles, à ne pas s'atlacher 
à mettre en évidence les formes des fonctionnelles les plus générales, 
mais à prendre pour objet de notre étude celles qui peu\ent se ren- 
contrer dans les applications. 

A ce [)oint de vue, nous pouvons dire que la forme habituelle de 
la variation d'une fonclionnclle continue d'ordre zéro est 



(23) 



oV ^^ aiox(-i) -r- I z(t)ox(t)dt, 



l'intégrale étant une intégrale ordinaire. Il n'y a pas à tenir compte 
des autres termes de la formule (8). 

La variation d'une fonctionnelle comprend ainsi deux parties, d'une 
part une intégrale de M. \ olterra, d'autre part des termes indiquant 
une dépendance spéciale de V par rapport aux valeurs de la fonc- 
tion ^(t) en certains points particuliers. H y a avantage pour la 
théorie générale à supposer que ces points n'existent pas; nous dirons 
dans ce cas que la fonctionnelle considérée est normale. Dans les 
applications où de tels points existeraient, il serait possible d'utiliser 
fjuand même les résultats obtenus en considérant la fonctionnelle 
étudiée comme dépendant de toutes les valeurs de la fonction ;r(^), 
et en outre de ^(t^ ),\r(T2), ... ; en tant que fonctionnelle de x{t)^ 
on peut lui appliquer la théorie générale. 

Toutefois, il faut éviter de négliger, sous prétexte de simplifica- 
tion, l'influence des points particuliers dans certaines questions où 
leur existence est à prévoir. Ainsi, lorsque la délinition d'une fonc- 
tionnelle U ne met aucun tel point en évidence, sa dérivée fonction- 
nelle U^;(T) doit être considérée comme dépendant normalement de 
loutes les valeurs de x{t) et en outre de ^(t). Si elle est continue 
d'ordre zéro, ce qui sera le cas général si la fonctionnelle U l'est, on est 
conduit à écrire 



•^4) 






Telle est la forme normale de la \ariation d'une dérivée fonction- 
nelle ayant une continuité d'ordre zéro; nous reviendrons sur ce 
point quand nous étudierons les dérivées fonctionnelles secondes. 



68 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

3*2. Cas de la continuité d'ordre/?. — Des considéralions analogues, 
si une fonctionnelle dépend d'un seul point parliculier t et a une 
continuité d'ordre /?, conduisent à prendre comme forme normale 
de sa variation 



('î5) oU = AoOj:(-) -h Al ôa7'(T) H-. ..+ A;, Sy/''(T) -^ / ç( 



f)ox(i)dt. 



En partant de la formule (ii), on est d'abord conduit à faire 
figurer dans l'expression de ôL une intégrale de la forme 



/ 



fit) OT'^P^(t) dt. 



Si f(t) admet des dérivées continues jusqu'à l'ordre /?, une iiiïé- 
gration par parties la ramène à la forme d'intégrale qui figure dans 
la formule (25) et en outre à des termes dépendant spécialement des 
points particuliers ^ = o et ^ = i . On est donc conduit à dire qu'il 
arrivera fréquemment qu'une fonctionnelle continue d'ordre j[> ^> i 
dépendra spécialement des valeurs de a:{t) et de ses dérivées aux 
extrémités de l'intervalle de variation de t. 

Une autre circonstance à prévoir est que la fonction /(^) devienne 
infinie, ainsi que ses dérivées pour t = ^. Siipposons qu'elle admette 
un pôle simple; la fonction o{t) aura alors un pôle d'ordre /? -|- i . 
L'intégrale de la formule (25) n'a plus de sens, mais l'intégrale 

(26 j f oit) h.r{t) — oxiz) - {t— z) Bx' (-z) —. . .— ^J—^^x^P^{-)\ dt 

a un sens bien défini ; il en est de même de l'intégrale 

(27) v.p,J <f(t)^ox{t)- oxi-z ) - (t -x)?.x'(-.) -. • . 



(/> — 



- ùx'i>-'^\z) 



je//, 



c. p désignant la valeur principale au sens de Cauchy, c'est-à- 
dire la limite, pour s = o, de l'intégrale obtenue en retranchant 
l'intervalle (t — e, t -f- s) de l'intervalle d'intégration. 

On est ainsi conduit à des expressions un peu plus générales que 
la formule (25), obtenues en remplaçant l'intégrale de cette formule 
par l'une des expressions (26) et (2^). Elles se réduisent à la for- 
mule (20) lorsque la fonction 'o{t) reste finie pour t^:^i. 



ClIAP. IV. — VARIATION PREMIERE ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. 69 

Ces différenles formules peuvent en })articulier s'appliquer au cas 
de la variation d'une dérivée fonctionnelle. 

o3. Les expressions précédentes se rattachent naturellement à la 
formule de M. Hadamard. jNous allons le montrer en indiquant une 
circonstance qui se présente effectivement dans la théorie de la fonc- 
tion de Green (' ). 

Soit une fonctionnelle Ux dépendant de x (t) et d'un paramètre X. 
Supposons que, pour /> ;> o, nous ayons établi la formule 

1 



Ux= / cç^ (t)ox{t) c/t, 



mais que cette formule cesse d'avoir un sens pour Ai=o, la fonc- 
tion cpo(<) ayant un pôle double pour ^ = t. Nous supposerons, de 
plus, que le produit (t — .T)-cp)(^) reste fini, non seulement pour 
À z=z o, mais pour k voisin de o. On est conduit à définir oUo par la 
formule 



5Uo = lim oUx= !im / ç-^(t)ùjc(t) dt 



qui est identique à celle de M. Hadamard. Etant données les hypo- 
thèses faites sur la fonction ^i(t)^ celle expression devient 

(28) SUo= f ^,{t)[^x{n — oa;(z)~{t--)ox'(-)]dt-+-Xoo:r(z)^\i.^x:'{x), 

en posant 

y\o=hm / ^ (t)dt, 

X = o./o 

Ai= l,im / (p (t)(t~')dt. 
1 = Jo '- 

On obtient ainsi l'expression envisagée^ n^ 52, p ayant ici la 
valeur i . 

54. Les correspondances linéaires entre deux fonctions. — La 

(') Elle se pr«':scnto {orsquOn vcal appli({u«'r la tormult^ .[ui donne la variation de 

7 — au cas (jù l'un des points A et B vient sur le contour {voir le Chapitre III 

de la deuxième Partie), 



70 PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

méthode des n^- 4^> et 50 conduit, pour l'expression d'une fonction 
dépendant linéairement d'une autre fonction, à des résultats beau- 
coup moins simples que ceux de MM. Riesz et Frécliet pour les 
fonctionnelles linéaires. Mais au point de vue pratiepie que nous 
venons d'indiquer, ces résultats se simplifient beaucoup, et l'on est 
conduit à dire que, dans le cas de la continuité d'ordre zéro envisagée 
(n**' 49 et 50), la forme normale d'une fonction \{s) dépendant 
linéairement d'une fonction :r{t) est 



(9.9) xis) =2«,(5)^[t/(5)] -+■ r :p(o?(^, 



d/. 



Les conditions que doivent vérifier les fonctions ai(s), '^■i{s)i 
ç(5, t) pour que cette correspondance vérifie les conditions de conti- 
nuité indiquées, soit n° 49, soit n* 50, se déduisent d'ailleurs aisé- 
ment des résultats des n*'* 49 et 48. 

II convient de remarquer que, pourvu que ':[s) dépende effecti- 
vement de 5, les termes dépendant d'un point particulier t(5) peuvent 
exister même dans le cas où Ton veut que le voisinage en moyenne 
de deux fonctions x{t) el y(t) suffise pour entraîner le voisinage en 
moyenne des fonctions correspondantes X(6) et ^ (s). Au contraire, 
ils n'existaient pas dans le problème traité par M. Frécliet, où le 
même voisinage des fonctions x{t) eiy{t) devait entraîner le voisi- 
nage des valeurs correspondantes d'une fonctionnelle U ne dépen- 
dant pas d'un paramètre. Il suffit, pour se rendre compte de cette 
difTérence, de considérer rexemple des fonctionnelles dépendant 
de x{t) : 

X(s) = x(s }, \j = x[ -] • 

La première a la continu iié désirée et non la seconde. 

Dans le cas où l'on envisage des continuités d'ordre /> ^^ o, il y a 
lieu d'ajouter à la formule (29) des termes analogues à ceux intro- 
duits dans les formules (20) et (26), les a et les t étant ici des fonc- 
tions de 5. 

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES. 

55. Fonctionnelles dépendant des valeurs d'une fonction x (t) pour 
des valeurs quelconques de t {t compris entre — oo et -j- 00). — Nous 



CHAP. IV. — VARIATION PREMIÈRE ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. 71 

ii'intljquoiis ici ce cas que pour mémoire, ii ayant en vue aucune 
application dans la suile. Indiquons seulement comment il faut appli- 
quer la mét|io(l<' du p;is>ai;(' du Hni à l'iniini. 

Clioisissons un mode de division de l'axe des t en n intervalles 
[)ar des points de division it,, ^,, . . . , /«_4. Supposons que n devenant 
infini, t^ devienne infini ])ar valeurs négatives, Z,i_, par valeurs posi- 
tives, et que, dans un Intervalle fini quelconque de Taxe des ^, le plus 
grand des intervalles [)artiels (^,, ti_^^) qui lui soit intérieur tende 
vers o. Tel est le cas par exemple si l'on définit ti par la formule 



L 



n 

— 00 



ou bien si Ton prend la suite 

— />, -p+y —p-^y ••., P, 

p étant un entier devenant infini. 

Soit JCi une valeur d'une fonction x (t) dans l'intervalle (//-,, li)^ 
et s(»i( \ (t) une fonction égale dans chacun des intervalles à la 
valeur choisie Xi. Lorsc|ue n devient infinie, X (^) tend vers x (t), 
et cela uniformément dans tout intervalle fini. Une fonctionnelle 
de X (t) peut alors être considérée comme la limite d'une fonction 
de ,r,. . . ., Xft. 

Le lecteur trouvera une application de ce procédé dans les travaux 
de R. (iateaux [Siw la représentation des fonctionnelles continues 
{Rend. d. R. Accademia dei Lincei^ i*"' mars 1914)]- 

Dans le cas qui nous occupe, la forme normale de la variation, géné- 
ralisant celle de M. Volterra, est 

^ + 00 
(Jo) oU = / oit) ox{t)dt. 

*-^ — » 

Celte intégrale n'a de sens que si ox (t) vérifie certaines conditions 
nécessaires à sa convergence. Ces conditions peuvent d'ailleurs ne pas 
être très restrictives. Si l'intéurale 



/: 



\^(t)\dt 



a un sens, il sutlil (|ue ox (t) soit limité supérieurement, c'est-à-dire 
que la fonction variée y (t) tende uniformément vers x {t). 



72 PREMIÈRK PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

06. Fonctionnelles dépendant d'une fonction de n variables. — Nous 
avons àé]k exauiiné le cas où n =. 2. D'une manière générale, si une 
fonrtionnelle L dépend des valeurs prises par une fonction x it^ , . . . , ^,j) 
dans un domaine V de l'espace lieu du point de coordonnées t ^, ...,t,t^ 
la forme normale de sa variation sera l'intégrale d'ordre n : 

(3l) oU = I ... I cp(/,, ..., tn)0X(tu ..., t,,)dt,...dtn- 



j-j:' 



Mais U peut dépendre spécialement des valeurs de x en certains points, 
sur certaines lignes, sur certaines surfaces, de sorte cpie l'expression 
de 8U peut contenir en plus des termes de la forme aox (ti, ..., -,/), 
et des intégrales d'ordre 1,2,...,/? — i. 

57. Fonctionnelles dépendant de plusieurs fonctions. — Soit pour 
fixer les idées une fonctionnelle U dépendant des valeurs de deux 
fonctions a:{t) ely(l) pour o << ^^ i .On peut observer que la donnée 
(le ^(/) eiy(t) équivaut à la donnée d'une fonction unique :•(/) 
définie par 

z(t) = x('?A), (^<^ = ^ 

z(t)=y(2t-i), ■ (^L^tli). 

Mais cette remarque n'empèclie pas qu'il j a intérêt à considérer 
comme une nouvelle sorte de fonctionnelles celles qui dépendent de 
deux fonctions, de même cpie la remarque que les points d'une droite 
et ceux d'un plan constituent des ensembles de même puissance ne 
dispense pas de l'étude des fonctions de deux variables ('). 
La forme normale de la variation de U sera ici 

(3-2) BU= f [cp(0 5^(0 + 'M0 5r(<)]^^ 

^(t) et '\>{t) étant les dérivées fonctionnelles partielles de U par 

(') En con?>idérant U comme fonctionnelle de z{t), on renconlicrait cii général 
ceUe circonstance que U'zit) dépendrait spécialement, non seulement de ^(0» n\a\ii 

aussi de z ( t ± -\. Le meilleur moyen d'étudier des fonctionnelles présentant cette 



circonstance est de les considérer comme dépendant de deux fonctions distinctes 
X et y. 



CHAP. IV. — VARIATION PREMIERE ET FONCTIONNELLES LINEAIRES. 70 

rapport à oc{t) et k(/). Nous (lcsif;nerons ces rlrrivécs par 

On peiil de même considérer des ioiictionnelles dépendant d'un 
plus grand nombre de fonctions d'une ou de plusieurs variables. 

58. Fonctions d'une ligne gauche. — Jusqu'ici, nous nous sommes 
placés au point de vue algébrique. Au point de vue géométrique, il 
y a lieu d'étudier les fonctions d'une ligne plane, d'une ligne gauche, 
ou d'une surface. Le lien de ces notions avec celles qui précèdent est 
évident ; il peut être précisé de plusieurs manières suivant les repré- 
sentations paramétriques em])loyées pour définir les courbes et sur- 
faces considérées. 

Soit d'abord une courbe gauche fermée C, 



dont tous les points soient obtenus en faisant varier t de o à i. Lors- 
qu'elle se déforme, les coordonnées du point correspondant à la valeur / 
du paramètre deviennent x + oc, j^ -|- 3)-, G-f-o^, les variations 
ùx, ùy, oz étant seulement assujetties à prendre la même valeur pour 
/ = () et ^ = I . Pour une fonctionnelle U dépendant de la ligne C, la 
forme normale de la variation sera 

(33) Z{]=f {\:'[^r,x-^V'yZy-^\}'^^z)dt. 

^x? ^'yi '^''z étant trois fonctions de t. Ces fonctions ne sont pas indé- 
pendantes ; une fonction d'une ligne gauche étant assimilable à une 
fonctionnelle dépendant de deux fonctions d'une variable, il ne peut 
y avoir que deux dérivées fonctionnelles indépendantes. En effet, si 
le déplacement du point x^ y^ z est un glissement sur la courbe G, la 
fonction U, qui doit dépendre de la ligne C et non de la représenta- 
tion paramétrique choisie, ne varie pas. 11 faut pour cela que 

(34) x'\}'g.-^y'l^^'y-\- z'\:)i= o, 

x' ^ k', z' étant les dérivées de x, j', ; par rapport à t. 

Dès sespremiers travaux sur le calcul fonctionnel, M. V olterra a étudié 
les fonctions de lignes en partant de c(;s formules et défini une classe 
simple de fonctions qu'il a appelées fonctions du premier degré 



74 PREMIÈRE PARTÏK. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

(idciiliqiies, dans 1(^ ras d'une ligne plane, à ce que nous avons appelé 
plus XiawV des fonctionnelles addùiçes)^ el a obtenu à Taide de ces 
fondions une remarquable extension de la théorie des fonctions d'une 

N anablr in>aL;in;ii vc ( ' ). 

59. Fonctions d'une ligne plane et fonctions d'une surface. — ^ Pai- 
analogie avec ce qui précède, la forme normale de la variation d'une 
fonction d'une ligne plane peut s'écrire 






dt. 



OU, si l'on prend pour paramètre la longueur d'arc ds sur la lig] 
considérée G, 



(3)) 



ôU = / (U'^. ox -\- Vy ùy) ds 



Dans les applications (pte nous avons en vue, nous adopterons avec 
M. Hadamard une forme différente, ne faisant intervenir qu'une 
fonction de s. La conq^osante suivant la tangente à la courbe du 
déplacement du point oc^ y étant sans imporlancf, u(mis n'avons qu'à 
tenir compte de la composante normale o/^, comptée positivement 
dans un sens déterminé (nous suppos^erons que la rotation qui amène 
la tangente prise dans le sens des s croissants sur le sens positif de la 
normale est de iik^uc sens que celles (pii anu''ne l'axe des x sui' l'axe 
des j'). La formule (35) devient alors 



(36 



;U = / \j'i^ on ds, 

de 



U^ étant ce q«e nous appellerons la dérUée fonctionnelle de la 
fonction de ligne plane U. On voit d'ailleurs aisément que 

x' et )' étant les dérivées de x et y par rapport à 5, c'est-à-dire les 



(^) {'oiV \ . Voi.Tiuirv, Sur la génération de la théorie des fonctions dune 
variable imaginaire {/icta mathematica, t. XII, 1889). — TaiV a usai dans luaThrsr, 
11°' 3' à 5, un résumé du Mémoire de M. Voltcrra et de Notes postérieures publiT-es 
dans les Rendiconti de F Ace. dei Lincei et relatives à l'extension aux espaees à plus 
de trois dimensions. 



GHAP. IV. — VARIATION PREMIKRK ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES. y5 

cosinus directeurs de la Langenle à la courbe. Appelons de même on' 
la dérivée de on. On voit aisément que 

037' = — y on\ \y' = .r' S/i', 

d'où 

Ces formules montrent que si, pour certaines fonctionnelles^ bien que 
la définition de l „ dépende spécialement d'un point particulier de la 
courbe, olJ'„ s'exprime par une intégrale de M. Volterra, il ne peut 
en être de même de SU.1 et oU^, et que, de même, l'expression de 
ces quantités faisant intervenir o//, U^. etU^ne peuvent avoir qu'une 
continuité d'ordre i ('). 

Dans le cas d'une fonction de surface, on arrive à une formule 
tout à fait analogue à la formule (36). Ici eiucore il suffit de définir la 
déformation de la surface S par le déplacement normal 8/i de chacun 
de ses points, et en prenant pour élément diderentiel l'élément d'aire 
^S, oii est conduit à la formule 

(37) ÔU= / *'„o/irfS 



5U = f<P'n on dS 



fp',f étant par définition la dérivée fonctionnelle de la fonction de 
surface U. 

60. Remarque sur le choix d'un type simple de fonctionnelles. — 
Dans la plupart des questions traitées dans la suite, lorsque nous 
n'aurons pas en vue la recherche d'une grande généralité, nous 
prendrons la variation des fonctionnelles étudiées sous la forme de 
M. Volterra, c'est-à-dire que nous supposerons (à moins d'avoir des 
raisons de ne pas le faire) que la fonctionnelle étudiée ne dépend pns 
d un point particulier. 

Dans le cas, que nous avons jusqu'ici pris pour type, des fonction- 
nelles dépendant d'une fonction :r(^) définie entre o et i, il arriver;) 
très souvent que ces fonctionnelles dépendent spécialement de ^(o) 
et x{\^). et même, pour la théorie générale, il sera souvent impossilde 



(') Voir la Note déjà citée de M. lladamard, Sur les dérivées des fonctions de 
lignes {Bull. Soc. math. 1902). 



76 PREMIERE PARTIE, — LES FONDEMENTS DU CALCLL FONCTIONNEL. 

d'éviter de considérer ces termes, qui s'introduiront par exeni[)le si 
Ton intègre par parties, comme nous l'avons vu n° o2. 

On j)eut songer à (''viter cette difficulté en prenant comme type de 
fonctionnelles les fonctions d'une ligne plane fermée. Mais dans ce cas, 
une autre cause de complication se présente provenant de ce que, si 
nous voulons différentier la formule (36), nous ne pouvons considérer 
ds comme une constante. Le paramètre s est à ce point de vue l)eau- 
coup moins avantageux que ne l'était le paramètre t dans l'étude des 
fonctionnelles dépendant de x{l)^ comme nous aurons l'occasion de 
le montrer pliis tard. 

Dans la suite, nous prendrons comme type de fonctionnelles une 
quantité U dépendant d'une fonction x{t) définie en chaque point 
d'une ligne fermée fixe C, le paramètre t variant de o à i (o << ^^i), 
lorsqu'on décrit toute la ligne. Cela revient, au point de vue algé- 
brique, à supposer que x{t) et la dérivée fonctionnelle Ui(^) sont des 
fonctions de période i . Si Ton ne suppose pas ces fonctions continues, 
cela ne restreint nullement les valeurs qu'elles peuvent prendre dans 
l'intervalle considéré (0,1). Mais, si on les suppose continues ainsi 
que leurs dérivées jusqu'à l'ordre />, il faut que l'on ait, en ce qui 
concerne x{t) par exeuq^le, 

x{o) = x{\)^ x'{o) = x'{\), ..., x''1>^{q) = X''P)(\). 

De cette manière, nous pourrons exposer la théorie générale en la 
dégageant des difficultés accessoires qui résultent, soit de l'impossi- 
bilité d'effectuer des intégrations par parties sans considérer spécia- 
lement les limites de variation de i, soit, si l'on étudie les fonctions de 
lignes, de l'impossibilité de choisir un paramètre aussi commode que 
l'argument t d'une fonction x{t). 

11 sera ensuite facile de voir comment la théorie générale doit être 
modifiée si l'on veut l'appliquer, soit à l'étude des fonctionnelles 
dépendant d'une fonction non périodique, soitàl'étude des fonctions 
de lignes. 



CHAPITRE Y. 

VARIATION SECONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. 



Sommaire : Le point de vue logique : Fonctionnelles entières el homogènes 
du second degré. — Définition de la variation seconde. — Minimum d'une 
fonctionnelle. — Le point de vue pratique : Fonctionnelles continues dans 
le champ des fonctions de carrés sommables. — Le passage du fini à l'infini. 
— Les dérivées fonctionnelles secondes. — Les fonctionnelles de Gâteaux. — 
Variation de la dérivée fonctionnelle première. — Cas des fonctionnelles 
continues d'ordre/?. — Les expressions adjointes. — Application aux dérivées 
fonctionnelles. — Généralisations diverses : Fonctions d'une ligne plane. — 
Fonctions d'une ligne plaiie et d'un point. — Fonctionnelles dépendant de 
deux fonctions ou d'une lii^nc et d'une fonction. 



LE POINT DE VUE LOGIQUE. 

61. Fonctionnelles entières et homogènes du second degré. — 
Comme au Chapitre précédent, nous pouvons notis placer soit au 
point de vue logique, soit au point de vue pratique. Nous insisterons 
moins sur le premier point de vue que nous ne l'avons fait pour 
l'étude de la variation première; nous insisterons surtout sur le 
second de manière à préciser la définition des dérivées fonctionnelles 
secondes qui nous paraît devoir être adoptée. 

Suivant le point de vue de M. Fréchet, la notion de variation 
seconde est liée à celle de fonctionnelle du second degré comme la 
notion de variation première est liée à celle de fonctionnelle 
linéaire. 

On dit qu'une fonctionnelle U dépendant d'une fonction oc (t) est 
entière et homogène du second degré si, lorsque x{t) est de la 

forme 

x{t) = \xx{t) -{- [xx^it)^ 



ou A 



et [ji sont des constantes, U est un polynôme homogène du 



7^^ PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

second deeré en A et a, soit de la forme 

(i) U = AX2-i-'2BX.JH-G;ji2. 

Il vient alors, en doniiani à A et |jl des valeurs particulières 

(o ou i), 

U|fr,(OJj-A, 

V\\x,{t)]\ = C, 
U| [0^,(0 + ^2(^)11 - A + 2B + G, 
d'où l'on lire 

= 2y [:r,(^j, .TàCOll- 
Cette quantité est une fonctionnelle symétrique de Xi(t) el r^iO' 
évidemment bilinéaire, c'est-à-dire linéaire par rapport à chacune de 
ces fonctions. Sa connaissance équivaut à celle de l , puixjiH- \ est 
exprimé à Taide de U par la formule (2), et qu'inverscmcnl on a 

(3) ( \\.rff)]\ = \\[.T(l), .r(0]L 

J.1 suffît alors d'appli([uer à \ les résultats des n"' 47 et 48, cl d'une 
manière générale les difl'crenls résultats généralisant ceux relatifs aux 
fonctio.nnelles linéaires, pour obtenir les résultats correspondants 
relatifs aux fonctionnelles entières et homogènes du second degré. 
Ainsi, la formule de M. Hadamard se généralise par la formule 

(4) lJ\[a^(t)]\=\im f I F(s,t,ix)x(s)x(t). 

On généralise de même la formule de M. Riesz relative aux fonc- 
tionnelles définies dans le champ des fonctions continues. On peut 
aussi écrire, soil - 

(5) U li-^(Or] = f f 3c{s)x{t)d^\ 

l'intégrale douljle élaiit étendue au carré o «< s < i , o << / \ . vV <l> 
étant une fonctionnelle additive à variation bornée, soil 

5') U I [x{t)] \ =^ f f x{s)x{t)dsdt'^{s. t). 

On peut, ce que nous ferons dans la suite, snpj)o>(r '^( .v, /) symé- 



CHAP. V. — VARIATION SECONDE ET 1 ONCTIONNIÎLLES BV SECOND DEGRE. 79 

rrique, <:^ar dans le cas coiilrairc on peut remplacer '^(a", /) par 

-[c2{y, ;) -f- '.p( ^, 5)], ce qui ne change pas la valeiii" d(^ C La répai- 

tilion de niasses liées à la fonclionnelle 4> est alors sjniélriquc par 
rapport à la droite v — - t. La notion de fonctionnelle entière et bomo- 
gçne du second degré, définie et continue dans le champ des fonc- 
tions continues dans rinlervalle (o, i), est donc liée à la notion d'une 
répartition, à l'intérieur du cane* o <- 5 << i , o << / < i , et symétri- 
quement par rapport à la droite .s = /, de masses dont les valeurs 
absolues aient une somme finie. 

La même représentation convient a forlioii aux fonctionnelles 
définies et continues dans le cluimp des fonctions de carrés som- 
mables ; mais, dans ce cas,, la répartition de masses est soumise à 
certaines restrielions (roi/- n" 48). Rappelons que, si cette réparti- 
tion ne conqorend que des masses réparties dans des aires et de den- 
sité superficielle sommable, et des masses réparties sur des lignes et 
de densité sommable, de sorte que la formule (5) se réduit à des qua- 
dratures ordinaires, ces restrictions consistent en ce que les lignes 
considérées ne doivent comprendre aucune portion finie d^me paral- 
lèle aux axes. 

Remarquons enfin, par une extension évidente du n^ 39, que pour 
les fonctionnelles entières et homogènes du second degré (et aussi 
pour les fonctionnelles homogènes de degré quelconque ), cela revient 
au même de dire qu'elles sont définies dans tout champ fonctionnel 
fini, ou qu'elles v sont continues. 

6l2. Définition de la variation seconde. — ]\ous pouvons mainte- 
nant, avec M. bréchet, définir la variation seconde. Une fonction- 
nelle Ude x(l) admet une variation seconde o-l au sens de M. Fréchet, 
si o-L) est une fonctionnelle entière et homogène du second degi-é, et 
si le rapport 

U |[:r-f-oirj| — IJ |[:r||— oU— - 5Uj 

({]) : ^- , 

fii- 

m désignant le module fonctionnel de qx^ tend vers zéro avec ///. 
Si o-L existe, cette variation peut être définie par la foj-mule 

(7) ,n. = |^,U|[. + X5.]|j,^_. 



X 



8o PltKMlÈRE l'ARTli:. — LKS I ONDEMENTS 1»L CALCUL lOiXOTlONNEI.. 

Mais celle expression, que nous appellerons variation seconde au 
sens de Galeaux, peut ne pas être une variation au sens de M. Fréchel. 
Les circonstances déjà indicpiées à propos des variations premières 
peuvent également se j)roduire ici. L'expression (-) peut être une 
fonctionnelle de ûx, homogène du second degré, mais non entière. 
D'autre part, ôj:* étant de la forme \f(t). elle peut être telle cjue le 
rapport (6) tende vers zéro avec A, mais non uniformément, lorscpie 
f(l) est une fonction quelconque de module fonctionnel égal à i. 

Nous dirons dans la suite qu'une fonctionnelle L, admettant une 
variation première 8U, admet une variation seconde si l'expression (7) 
existe et est entière et homogène de degré 2 en ojc. 



■t5^ 



63. Minimum d'une fonctionnelle. — Si, pour une fonction déter- 
minée ^o(^), oLi est nul et o-l positif pour toutes les déterminations 
de 0:r(/), il est naturel de se demander si la fonctionnelle L admet un 
minimum pour la détermination considérée de .r(/). 

Pour simplifier l'écriture, nous supposerons oc^y( t) ^= o^ et nous 
écrirons x{t) au lieu de ùx(t). Nous appellerons /• le module fonc- 
tionnel de cette fonction. 

On peut énoncer le résultat suivant : S'il existe un nombre 
positif k tel que ô-L soit supérieur à kr- pour toutes les détermi- 
nations de x(t), et si o-l est une variation seconde au sens 
de M. Fréchet^ la fonctionnelle l admet un minimum pour 
x{l) = o. 

En effet, d'après la définition de la variation seconde, l'expression 



ôL 0-^ l l — Uo 3- 



(8) 



/■■-' 



tend vers zéiN3 avec /'. Il existe donc un nombre r^ tel que, pour r<iri, 
elle soit inférieure en module à -)-• On a alors 

Pour que, ôL étant nul et 0- 1 positif, il n'y ail pas minimum, il 
faut donc, ou bien que le nombre k n'existe pas, ou bien que ô^LI, 
défini par la formule (7), ne soit pas une difterentielle au sens de 
M. Fréchel. Nous allons donner des exemples des deux circonstances, 



CHAP. V. — VARIATION SECONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. 8l 

en prenant pour /• la définition normale qui résulte de la formule 



(9) 



r2= / x^{t)dt. 



64. La première circonstance peut se présenter, non seulement 
dans le calcul fonctionnel, mais dans l'étude des fonctions de deux 
variables seulement. M. Hadamard a signalé l'exemple de la fonction 

Il = {y — x~) {y — 2 37^), 

qui n'est pas minima à l'origine bien que les termes du second 
degré soient positifs. Cela tient à ce que ces termes se réduisent à y'^ 
et peuvent être d'un ordre infinitésimal supérieur au second si y est 
très petit par rapport à x\ il n'existe aucun nombre k ie\ que ces 
termes soient supérieurs à k{x--\-y'^). 

Pour les fonctions de a variables, le nombre k existe nécessaire- 
ment si les termes du second degré sont de la forme 

(lo) XiPf + X^P.^-^... X«P,^, 

les A étant tous positifs, et P désignant des fonctions linéaires indé- 
pendantes. 

Dans le calcul fonctionnel, des circonstances un peu plus compli- 
quées peuvent se présenter. Considérons, par exemple, la fonction- 
nelle du second degré 

U2= Xiaf + . . .-f- X„a2-h. . ., 
en posant 

a,i^=sj'i I x{t) s'mnr.t dt. 

La formule 

« f + rt I + . . . -I- a 2 H- . . . = /'S 

montre que les a ne peuvent être tous nuls sans que r soit nul, et 
sont à ce point de vue analogues aux P de la formule (lo). Si les A 

ont une limite inférieure positive K, —;- est nécessairement ^ K, et, 

comme S-Uo^^ 2U2, on peut prendre /r = :>.K. Mais, les À étant en 
nombre infini, peuvent être tous positifs sans admettre de limite infé- 
rieure positive, et comme, pour 

x{t) = sinnr.f, 



82 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

le rapport — ^ se réduit à 2 A,/, le nombre A n'existe pas. Prenons, 



pour fixer les idées, \n= — > et considérons Ici fonctionnelle 

qui a même différentielle seconde que U. Je dis qu'elle n'admet pas 
un minimum pour x{t) ■= o. Nous n'avons pour le voir qu'à consi- 
dérer les fonctions 

^n{t)= j^^^ (n = I,-., ...,a:) 

dont lés modules fonctionnels 

i 



r„ = 



tendent vers zéro. Pour ces fonctions, U prend les valeurs 



n(log/4)2 {\ogn)'' 

qui sont négatives pour n assez grand et^ par suite, tendent vers zéro 
en croissant ( ' ). 

60. Considérons maintenant la fonctionnelle 
r et ^ft ayant la même signification que ci-dessus, c étant un coef- 



(^) Voir aussi r(;xeiM])le de Schcf'n'ci-. cité par M.lTadainard {Leçons sur le calcul 
des variations. ri"4l). Il s'cxplicjuc d'uiu^ maiiirie loul à fait analogue. Au lieu 
d'èire comme la foiu lion l 2 du texte la somme d'une inliniit' dcnombrable de (aiiés 
dont les coeffu ients n'admettent i)as de limite inférieure, la |)arlie du second degré 
de la fonctionnelle considéiée pai- SchcelTcr est l'iiitéi^i'ale 



/ 



{t — -y x'-{t) dt. 



dans laquelle le eoeHic iciit [t — ~y n'admet pas non ])lus de 'limite infc'uieure posi- 
tive. 



CHAP. V. — VARIATION SECONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. 83 

(îcieiït positif etlesX« une suite de nombres positifs tendant vers zéro. 
On vérifie sans peine que si 

^(t) étant une fonction déterminée et X tendant vers zéro, le second 
terme de U est infiniment petit par rapport au premier, de sorte que 
l'expression o-U définie par la formule (8) existe et a la valeur 2cr^. 
Mais, malgré cela, U n'admet de minimum pour x{t) = o que 
si c^i. Si c<^i, il suffit pour voir que U n'admet pas de mi- 
nimum pour x(t) ^= o^ de donner k x(t) les valeurs 

^«(^) = /^X^t sinn-jr^ (/i = i, 2, . . . , x), 

de modules fonctionnels X^t tendant vers zéro. Les valeurs correspon- 
dantes de U, 

me -)?//■), 

sont négatives pour 7i assez grand et tendent vers zéro en croissant. 
Il V a lieu de remarquer que, si les A/i décroissent assez rapidement, 
si par exemple 

) _ I 

n ! 

celte circonstance est réalisée avec des fonctions qui, non seulement 
tendent uniformément vers zéro, mais dont toutes les dérivées tendent 
uniformément vers zéro. On voit donc que ô^U existe, sans être une 
différentielle seconde au sens de M. Fréchet, et que cette circon- 
stance est liée au fait que x(t)=zo n'est pas un minimum pour la 
fonctionnelle L. 

LE POINT DE VUE PRATIQUE. 

66. Fonctionnelles continues dans le champ des fonctions de carrés 
sommables. — Ce sont celles que nous considérerons principalement. 
Nous avons déjà remarqué qu'en pratique, il n'y a guère intérêt à 
introduire d'intégrales de Stieltjes dans les formules. Cette introduc- 
tion, nécessaire évidemment si l'on veut obtenir une représentation 
générale des fonctionnelles considérées, ne fait en général que com- 
pliquer les calculs sans en changer essentiellement les conclusions. 
Aussi, lorsque nous considérerons des fonctionnelles entières et. 



84 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

homogènes du second degré, les supposerons-nous de la forme 

(il) ^'=/ f "fi^^ h)^it)^(ii)dtdti-h f fit)a^Hj)de 

g{a)x[t{'x)]x[t^{cA)] dr^. 



■2X 



Dans cette expression, l'intégrale double correspond à des masses 
réparties dans le carré o<C^<Ci, 0<<^,<<i, avec une densité super- 
ficielle cp(^, i,) de carré sommable; la première intégrale simple cor- 
respond à des masses réparties sur la diagonale t=^t^ avec une densité 
linéaire y (^) mesurable et bornée; les autres intégrales simples, réu- 
nies sous le signe S, correspondent à des masses réparties sur d'autres 
lignes C, intérieures au même carré, et ne pouvant comprendre aucun 
segment de droite parallèle aux axes. L'ensemble des masses peut être 
supposé réparti symétriquement par rapport à la diagonale ^ = ^,, ce 
qui exige en particulier que cp(^, t^) soit symétrique en t et /< ; cela 
ne restreint pas la généralité. 

Parmi ces fonctionnelles, il nous arrivera de considérer spéciale- 
ment celles du type 



{il) . U=r f ^{t,h)x{t)x{t,)dtdty-^ f f{t)xHt) 



dt. 



que nous appellerons /o/ic^io/ineZ/e^ normales du second degré. Les 
autres seront dites fonctionnelles générciles., entières et homogènes 
du second degré. 

Pour montrer la raison de cette distinction, considérons l'expres- 
sion 

1 
g{t)x{t)x{i — t)dt. 



-I. 



C'est une fonctionnelle singulière, correspondant à des masses répar- 
ties sur la droite t-\-t^=^ i. On remarque que sa définition introduit 
une solidarité entre les valeurs de x pour des points symétriques l'un 
de l'autre par rapport au milieu de l'intervalle (o, i). La dérivée fonc- 
tionnelle 

^'x=[ffit)-rg{l-t)]x{x-t) 

relative au point t dépend spécialement de la valeur de x au 
point I — t. 



CHAP. V. — VARIATION SECONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. 85 

Une telle solidarité entre deux points distincts n'existe pas dans 
les fonctionnelles que les problèmes physiques conduisent à consi- 
dérer. Ces fonctionnelles seront donc normales. 

Au point de vue du développement de la théorie mathématique, à 
rexpression (,ii) qui déjà n'était pas tout à fait générale, on peut 
souvent, sans inconvénient, substituer l'expression (12). La forme 
plus simple de cette expression facilite le développement de la théorie 
sans risquer de la conduire dans une fausse direction, comme ce 
serait le cas, ainsi que nous le remarquerons plus loin, si l'on voulait 
réduire cette expression à l'intégrale double. Les résultats, une fois 
obtenus, peuvent ensuite être vérifiés dans le cas général. 

67. Le passage du fini à l'infini. — Les fonctionnelles homogènes 
et entières du second degré peuvent, si elles sont continues, être 
obtenues par la méthode du passage du fini à l'infini. 

Pour une fonction simple d^ ordre n, c'est-à-dire ayant une valeur 

constante x; dans chacun des intervalles ( — — > - ) ? la fonctionnelle 

\ n n J 

considérée prend la forme . 

iz=n i—-n 

(i3) w„(a7i, ^2, ..., .^«) =2 S ^ij^i^j- 

Or, on peut trouver une fonction simple d'ordre n approchant en 
moyenne autant qu'on veut de toute fonction .r(^) de carré som- 
mable. Le point de l'espace fonctionnel représentant x{t') est donc la 
limite de points représentant des fonctions simples d'ordres crois- 
sants, et, en raison de la continuité, la fonctionnelle \2 est la limite 
des valeurs correspondantes de w,,. 

Les nombres xi sont assujettis à la condition que - ^x\ ait une 
limite déterminée, c'est-à-dire que les quantités x'\ et xiXj sont en 
moyenne finies. L'expression (i3) restera alors finie si "^ci.j est finie. 
Il suffit pour cela que les coefficients c/y soient de l'ordre de gran- 
deur de — ; s'il y en a de l'ordre de grandeur de -» il faut que leur 
nombre soit de l'ordre de grandeur de /^. 

L'ensemble des termes qui sont de l'ordre de grandeur de — ^ 
conduisent à la limite à l'intégrale double des expressions ( 1 1 ) et ( 1 2) . 
Ceux qui sont de l'ordre de grandeur de -> si leur nombre est de 



86 PREMIÈRE- PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

l'ordre de grandeur de -? conduisent à des intégrales simples. Il est 
particulièrement naturel de s'attendre à ce que les coefficients de œ^ 
jouent un rôle particulier et soient de l'ordre de grandeur de -• 
S'ils sont seuls dans ce cas, la fonctionnelle obtenue est normale. 

68. Les dérivées fonctionnelles secondes. — Passant de la notion 
de fonctionnelle du second degré à celle de variation seconde, consi- 
dérons une fonctionnelle U ayant une variation seconde de la forme 
normale 

(i4) o^^V== f f(t)(oxydt-^ f f ^{t, to 



Ix hxx dt dtx. 



en écrivant, pour simplifier, x et x^ au lieu de x{^t) et xij^). Cette 
variation apparaît comme étant la limite d'une différentielle seconde 

i = n j = n 

( 1 5 } d^ ""^22 ^' '^' ^^' ^^^ ' 

les coefficients en étant de l'ordre de —■> et les autres coefficients c/ /, 

si la fonction cp(^, ^,) est bornée, étant de l'ordre de — • Supposons 
d'ailleurs 

ce qui ne restreint en rien la généralité. 
On a alors 

0^ Un à^- Un 



''' ~ àxf ' ''^ ~ âx,- dXj 

Passant à la limite, nous appellerons dérwées fonctionnelles 
secondes de U, et désignerons par U".2 et U^.,.^ les fonctions 

(r6) U^ = /(0, UL,= ?(^, ^.)- 

Ce serait une erreur, ou du moins une notation risquant de con- 
duire à des erreurs, de désigner par U%, et de considérer comme 
généralisant la dérivée -pf ' la fonction cp(^, ^), au lieu de/(0, ainsi 
qu'on serait conduit à le faire si l'on n'introduisait pas systématique- 
ment l'intégrale simple dans l'expression d'une* fonctionnelle normale 
du second degré. 



CHAP. V. — VARIATION SKGONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRE. tS" 

Ainsi, nous verrons dans la troisième Partie que la théorie de 
l'équation 

(17) f f(t)dt = o 

^ 

généralise d'une manière remarquable la théorie de l'équation de 
Laplace. Il n'en est pas de même de l'équation 



f ?(^, 



(18} / o{t, t)dt = 0, 

'■0 

que le point de vue indiqué conduirait à considérer comme la géné- 
ralisation naturelle de l'équation de Laplace. 

On peut même dire que cette équation ne paraît pas susceptible de 
présenter de l'intérêt. La fonction C2(/', ^,), qui intervient dans une 
intégrale double, est essentiellement une fonction mesurable superfi- 
ciellement. On peut changer sa valeur sur la droite t =^ t^ sans rien 
changer d'essentiel; même si Ton suppose la fonction cp(^, t^) con- 
tinue, on peut s'arranger pour que le changement ne porte que sur 
une aire aussi petite que l'on veut. 

On peut, de cette remarque, déduire la conséquence suivante : de 
l'équation (18) ou, d'une manière générale, de toute équation faisant 
intervenir spécialement les valeurs de cp(^, ^, ) le long d'une courbe, 
on ne peut déduire aucune conséquence relative à la fonctionnelle U 
vérifiant cette équation et vérifiable par un calcul numérique 
approché, portant sur la fonctionnelle elle-même et non sur ses déri- 
vées. En d'autres termes, une fonctionnelle continue quelconque, 
donnée dans un domaine fini, peut être approchée autant qu'on veut 
dans tout ce domaine par une solution de l'équation considérée. 

69. Les fonctionnelles dont la variation seconde est normale 
jouissent de cette propriété que la variation seconde est définie par la 
donnée des dérivées fonctionnelles secondes. C'est de là que vient 
leur intérêt. 

Dans le cas général, si la donnée des dérivées fonctionnelles 
secondes ne suffit pas pour définir 8-L, il faut remarquer qu'elles 
sont tout de même bien définies. Il peut exister des masses réparties 
sur des lignes autres que la droite t=^t^] cela n'empêche pas que la 
densité superficielle U'^,.^ est bien définie, sauf peut-être pour les 



88 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

points d'un ensemble de mesure superficielle nulle, ce qui est sans 
importance, et, si elle est continue, elle est définie partout; de 
même U'^s, qui est au facteur y/2 près la densité linéaire sur la 
droite t = t^, est toujours bien définie. 

D'ailleurs, les propriétés résultant d'équations aux dérivées fonc- 
tionnelles telles que Féquation de Laplace (17) ou l'équation (19) ci- 
dessous, plus faciles à vérifier dans le cas des fonctionnelles normales, 
s'étendent au cas général, comme nous le verrons au Chapitre suivant 
et dans la troisième Partie. 

70. Les fonctionnelles de Gâteaux. - Nous désignerons ainsi les 
fonctionnelles pour lesquelles 

(19) Uxî=0. 

Si elles sont normales et du second degré, leur expression se réduit 
alors à l'intégrale double 

(•?0) f f cp(^, fi)T(ti)dtdti, 

c'est-à-dire que la répartition de masses liée à cette fonctionnelle ne 
comprend que des masses réparties superficiellement. 

On pourrait penser que les propriétés principales des fonction- 
nelles (20), au point de vue de leur continuité, tiennent à Pabsence 
de masses réparties sur des lignes. Il n'en est rien, et nous verrons 
au Chapitre suivant une propriété considérée par Gâteaux, qui appar- 
tient à l'intégrale (20), mais qui caractérise non les fonctionnelles 
pour lesquelles il n'y a pas de masses réparties sur des lignes, mais 
celles pour lesquelles il n'y en a pas sur la droite ^ = ^,, c'est-à-dire 
les fonctionnelles de Gâteaux. 

On s'explique aisément cette circonstance par la métliode du pas- 
sage du fini à l'infini. Une fonctionnelle de Gâteaux, entière et homo- 
gène du second degré, est la limite d'une fonction 



n j — n 



i = n / = 1 



1 



dans laquelle les termes carrés CiiXj sont très petits par rapport à -> 
de sorte que leur somme est infiniment petite. On peut les négliger 



CHAP. V. — VARIATION SECONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. 89 

sans rien changer à la limite. La fonctionnelle de Gâteaux, du moins 
le cas du second degré que nous considérons ici, apparaît alors 
comme limite d'une fonction Un{x\.,x<2i . . -, x,i) linéaire par rapport 
à chacune des variables Xf. C'est cette propriété cjui conduit de la 
manière la plus intuitive aux principales propriétés des fonctionnelles 
de Gâteaux. 

Pour cette raison, j'avais d'abord désigné ces fonctionnelles sous 
le nom de fonctionnelles maltilinéaires. J'ai adopté le nom de 
fonctioiiJielles de Gâteaux^ depuis que j'ai remarqué leur identité 
avec celles qui jouissent d'une propriété considérée par Gâteaux, du 
moins dans le cas où les dérivées fonctionnelles existent; la propriété 
en question ne fait pas, en effet, intervenir les dérivées fonctionnelles. 
Nous reviendrons sur cette question au Chapitre suivant, à propos 
des fonctionnelles de degré quelconque. 

71. Variation de la dérivée fonctionnelle seconde. — Il j a natu- 
rellement un lien entre la variation seconde et la variation de la déri- 
vée fonctionnelle première. 

Appliquons la méthode du passage du fini à l'infini, en nous pla- 
çant dans le cas où la variation seconde a la forme normale. Les 

coefficients c, i sont alors seuls de l'ordre de ofrandeur de -, et la for- 

mule 

ci —— = - — - — ^ri -+-... H- - — - — dxn 
dxi ôxiOxi oxidXfi 

donne à la limite 

(9.1) 8Uj.= Uj'2 0^ H- / \j"xx\^0Cx dt]^ 

U'^.^.^ étant une fonction symétrique de t ei t^. 

On retrouve la forme considérée au n° 51, comme conséquence de 
l'hypothèse que U^ soit continue, et dépende spécialement du point t 
et de ce point seulement. On devait s'y attendre, car la continuité de 
U^ dans le champ des fonctions de carrés sommables résulte de 
l'existence de S^U, et dire qne U^ dépend spécialement du point ^, 
et de ce point seulement, c'est évidemment la même chose que de 
dire que dans la répartition de masses liée à S^U, il y â des masses 
situées sur la droite t=^t^^ mais qu'il n'y en a sur aucune autre 
ligne. 



90 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

Si U^^ dépend spécialement d'un point autre que le point /, de l'ex- 
pression deôLl^, en difterentiant ôU, on*déduit sans peine une expres- 
sion de o-U qui est de la forme générale ( i ij. 

72. Cas des fonctionnelles continues d'ordre p. — Dans les cas 
plus généraux, oU'^, est toujours une fonctionnelle linéaire de o.:r, 
dont la forme dépend de t. Nous emploierons généralement, pour 
désigner une telle expression, la notation 

(22) oU;,. = E(oa7). 

Considérons le cas où U^ est en moyenne continue d'ordre/?, et 
ne dépend spécialement d'aucun autre point cjue le point t. En 
admettant, pour simplifier l'écriture, que U^,,.^ soit de carré sommable, 
même dans le voisinage du point ^ = ^,, où il pourrait ne pas en être 
ainsi {voif n" o2), ôU^ a une expression de la forme 

(-23) ôU^= Ao 037 + Al o^'-h . . .-I- A/; ôa:'/^^ -h / r^{t, t^)lxx dti. 

• 

Les coefficients A, sont naturellement des fonctions mesurables 
bornées, et 'f(^, t^) est une fonction de carré sommable. Mais ces 
quantités doivent vérifier d'autres conditions. 

Supposons que la forme de x{t) dépende non d'un paramètre X, 
mais de deux paramètres A et |Ji, et, pour éviter d'avoir à faire figurer 
ces paramètres dans les formules, posons 

Z(-)='^d^, 3,(.) = '-^<;,.. 
On doit avoir 

(24) oôi U = Oi oU, 

ce qui impose quelques restrictions à l'expression E(o^). Lorsque 
nous aurons précisé ces restrictions, nous formerons 8-L. 
La formule (24), développée, s'écrit 



C [oia7E(o^) H- U^ôô,.rJ ^/^ = /^ [o^E(Sia7) H- U'^ 81 oa 

ou, puisque 88,^=0, 8:r, 

(2.5)' \ OixE{dx)dt=j oxE{oix)dt. 



dt. 



CHAP. V. — VARIATION SECONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. QI 

Cette formule doit être vérifiée quelles que soient les fonctions ox 
et8:r,. Cela revient à dire que l'expression E(ô^) est identique à 
son adjointe. Nous allons établir quelques propriétés des expressions 
adjointes. Nous reviendrons ensuite au problème qui nous occupe. 

73. Les expressions adjointes ( ' ). — Nous dirons que deux expres- 
sions E(^) et C{x)^ fonctionnelles linéaires de x dont la forme 
dépende de ^, sont adjointes^ si Ton a 

(26) r y(t)E(a:)dt= j x(i)C(y)dt, 

X el y étant des fonctions de t quelconques, ou assujetties seule- 
ment aux conditions d'être continues, d'avoir des dérivées .continues 
et d'être périodiques de période i . 

Une fonctionnelle linéaire ne peut admettre qu'une adjointe. En 
effet, si C(x) et ^^{x) sont adjointes à la même expression E(^)^ 
on a, quelle que soit la fonction x{t)^ 



i: 



x{t)\C{y)-i:,{y)]dt 

et, par suite, 

C{y) = C,iy)- 

De la formule de définition (26) résulte immédiatement le théo- 
rème suivant, que nous utiliserons souvent dans la suite. 

Si E(^) et F(:r) admettent respectivement pour adjointes C{x) 
et #(jc), E[F(.^)] admet pour adjointe ^[vl^(^)]. Un énoncé ana- 
logue s'applique à la composition de plus de deux opérations fonc- 
tionnelles linéaires. En particulier, si E(^) est sa propre adjointe, il 
en est de même de F| E[.?(:r)] j. 

Comme l'opération f{t)x est évidemment sa propre adjointe, el 

d^ X ... 

que l'opération —r-. , d'après la formule d'intégration par parties, 






dti^ 



(') Voir Paul Lévy, Sur V intégration des équations aux dérivées fonction- 
nelles partielles {Rendiconti del Circolo Mateniatico di Palermo^ i9i4j 1"" se- 
mesti-e, § 2). 



92 PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

{x et y étant périodiques), admet pour adjointe ( — \ f -r-. ^ il résulte 

du théorème précédent sur la composition des opérations fonction- 
nelles Hnéaires que l'expression 

€St sa propre adjointe, et que l'expression 

•{28) Aorr(0-H Ala7'(0^-.. •+ A;,^(/>^tO> 

Aq, a, , . . . , A^ étant des fonctions de ^, admet comme adjointe 

<.9) Aox(0-^^+...H-(-.)''-^- 

La condition pour que l'expression (28) soit identique à son 
adjointe s'exprime alors par un système d'équations différentielles 
vérifiées par les fonctions A, que l'on obtient é"n égalant les coeffi- 
cients de chacune des dérivées de jc dans les expressions (28) et (29). 
La première de ces équations, obtenue en égalant les coefficients 
de œ^P\ est 

Elle nous montre que p est pair, ou bien A^ nul. En retranchant 
•de (28) une expression de la forme (2^), on peut donc faire dispa- 
raître la dérivée de l'ordre le plus élevé. En recommençant là même 
opération, on fera disparaître tous les termes de l'expression (28). 
On voit donc que la condition nécessaire et suffisante pour que cette 
expression soit identique à son adjointe est qu'elle soit une somme 
de termes de la forme (2-). 

D'autre part, il résulte encore de la formule de définition (26) que 
l'expression 

cp(^, f) Sa^i dti 



£ 



admet pour adjointe 



/ o{ti, f ) O.Ti dti. 
' 



Elles sont identiques si 9 est une fonction symétrique de ces deux 
arguments. 



CHAP. V. ■— VARIATION SECONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. gi 

Considérons enfin l'expression plus générale 






oxi (it\ 



Elle ne peut être nulle, quelle que soit la fonction x^ que si l'inté- 
grale et les autres ternies sont nuls séparément. Elle ne peut de même 
être identique à son adjointe que si les deux fonctionnelles définies 
par l'intégrale et par les autres termes jouissent séparément de cette 
propriété. Il faut et il suffit pour cela que la fonction ^[t, t^) soit 
symétrique en t et /, et que les termes dépendant spécialement du 
point t soient une somme d'expressions de la forme (27). 

7i. Application aux dérivées fonctionnelles. — Appliquons ces 
résultats à l'expression (28), qui doit être une fonctionnelle linéaire 
de ^x identique à son adjointe. Il vient, en posant p = 2^, 

(3o) 8uL = /o(OS^-^[/i(0^^'] + -..+ (-i)''^[A(Oô>^'^n 



r 



(p(^, ?i ) Ô^Ti dtx, 



la fonction cp(^, t^ ) étant symétrique en ^ et /,. 

Si l'on cherche à définir une fonctionnelle inconnue L d'après la 
donnée de sa dérivée fonctionnelle U^, il faut donc, pour que le 
problème soit possible, que cU'^ soit de la forme (3o). A cette condi- 
tion, la condition (24) sera vérifiée quelles que soient les fonctions hx 
et8,:r, et l'on peut dire que oU est une différentielle exacte. On 
voit que les conditions que nous venons de former jouent dans la 
théorie des équations aux dérivées fonctionnelles le même rôle que 

la condition 

()'- a _ (P u 
dx ôy ôy dx 

dans la théorie de l'équation aux difî'érentielles totales 

du = V dx H- Q dy. 

Ti. Nous pouvons maintenant former 3- U. En difi'érentiant ôU, il 
vient 



U= f (ùlj'^ùx-^lj'_^5^x)dt. 



94 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

La fonction x étant l'argument de la fonctionnelle U, analogue à 
la variable indépendante d'une fonction ordinaire, nous pouvons 
supposer û-^ = o. Tenant compte alors de la formule (3o) et ren- 
dant rintégrale simple symétrique par une intégration par parties, il 
vient 

(3i) o2U =: l [f^{t)ùx^-^fx{t)ox'-^-^...-^fg{t){^x^9)Y]dt 

'( t, tx )'ùx ôa^i dt dtx. , 



ff,. 



Telle est la forme de la variation seconde d'une fonctionnelle, 
lorsque la variation de U'^ est de la forme (23). On remarque, d'après 
cette expression, que 8-U, considéré comme dépendant de ùx^ a une 
continuité d'ordre q] la fonctionnelle U ne peut donc avoir qu'une 
continuité d'ordre q] elle aura en général cette continuité, tandis 
que L ^. a une continuité d'ordre 'iq. La dérivée fonctionnelle d'une 
fonctionnelle continue d'ordre q est doue seulement continue 
d'ordre ^iq. 

GÉNÉRALISATIONS DIVERSES. 

7o. Fonctions d'une ligne plane. — Il j aurait lieu de reprendre, 
au point de vue des variations secondes, les différentes généralisa- 
tions étudiées Chapitre IV. Nous nous contenterons d'examiner 
celles qui nous serviront dans les applications que nous avons en vue. 

Soit d'abord <1> une fonction d'une ligne plane fermée C, ayant 
pour variation première, avec les notations de M. Hadamard (n" 59), 

o<i> = / 4>', o/i ds. 



.(- 



Pour former la variation de cette expression, il faut préciser le 
déplacement du point M de la courbe correspondant à l'élément ds 
lorsque cette courbe se déforme. Nous supposerons ce déplacement 
normal à la courbe. M^\^ a alors un sens bien défini et est une fonc- 
tion linéaire de ô/z, que nous désignerons par 

et Ton voit aisément que la variation de ds est 

ds = — k on ds. 



CHAP. V. — VAIUATION SECONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRÉ. gS 

k étant la courbure de la ligne C en M, comptée positivement dans 
le même sens que on. 11 vient alors 

(3'2) §5i<ï>= / [E(S/i) ôi/i — A-(I>^^ S/« ô, Ai + *'„ SSjn] <i5. 

Il j a lieu de se demander si la signification de ùZ^n ne dépend 
pas de Tordre des symboles 8 et o,. Il est facile de s'assurer qu'il n'en 
est rien, Il suffit de prendre pour <I> l'intégrale d'une fonction de 
point/(M) dans la région intérieure à C; la direction positive de la 
normale étant supposée dirigée vers l'extérieur, on a 

4>;,=/(M), ô*;,= ^ô/i 

et^ par suite, la formule (3i) s'écrit 

8ôi*= j \ f^-^ — /r/(M)lôAiô,/i+/(M)oôi/i|«'5. 

Il en résulte que 

ôôi4>_8i ô* = o = ff(M){Qùin — 8i on)ds. 
» c 

Cette formule étant vérifiée quelle que soit la fonction /(M), on a 
So, A^ =: 8, 0/?, c'est-à-dire que la signification de S5j /2 est indépen- 
dante de Tordre des opérations 5 et B,. Cela n'était nullement évident 
a priori, comme on s'en rend compte en observant qu'il n'en est 
plus de même po.ur une variation troisième oo^ô^/?, et que ce n'est 
pas cette quantité, mais la différence 60,80^ — ùJiOi n' 62/1' (8|/i' 
etâo/i' désignant les dérivées de rJ^7l et 02^1 par rapport à 5), qui est 
indépendante de Tordre des opérations 0, cn et 02. On l'établit aisé- 
ment en appliquant à la fonction ù^n le résultat que nous obtiendrons 
n«77. - 

Revenant alors à la formule (Sa), nous voyons que la condition 
nécessaire et suffisante pour que 0^ soit une différentielle exacte., 
c'est-à-dire pour que 8o,<lJ soit indépendant de l'ordre des opéra- 
tions S et 5,, est que rexpression E{on) soit identique à son 
adjointe. 

76. Fonctions d'une ligne plane et d'un point. — Considérons 
d'abord une fonction u>^ dépendant d'un contour C et du point A et 



96 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

définie aussi bien quand A est sur le contour G ou n'est pas sur ce 
contour. Lorsque G se déforme, A restant fixe, la variation de w^ est 
une fonctionnelle linéaire de un, que nous représenterons par 
H,(S«). 

Si maintenant nous considérons la valeur de a en un point M de G 
qui, lorsque ce contour se déforme, se déplace orthogonalement à lui 
en restant sur lui, la variation de u^i proviendra, non seulement de la 
.variation de forme de la fonction u due à la déformation de G, mais 
aussi au déplacement du point M, et l'on aura 

(33) ô«M= HM(oAi) -h -^ 5/1. 

Si nous considérons maintenant la dérivée normale -7- ou la déri- 

aii 

vée w'= -T- relative à un déplacement de M sur G, ou une dérivée 

d'ordre quelconque de u par rapport aux coordonnées de M dans le 
système d'axes constitués par la tangente et la normale à G au point 
particulier considéré, la variation d'une telle dérivée comprendra 
trois termes, l'un dû à la variation de forme de la fonction w, le 
second dû au déplacement du point M, le troisième dû à ce que la 
direction de la tangente à G en M a varié. L'angle dont cette direction 

a varié a la valeur on =z — — , si l'on compte les angles positivement 

dans le sens qui permet d'amener la direction positive de la tangente 
(celle qui correspond aux s croissants) sur la direction positive de la 
normale par une rotation d'un an^le droit. On a ainsi 

^ du d ^ d~u ^ du ^ , 

-y- — —- liM( on) H T— on y- on 

ds dn dn- ds 

(34) 

.du d j. ,^ d-ll r, du rs , 

0—7- = -7- H>i(8/i ) -+- - — — tn -f- -7— ô/i . 
ds ds dt du dn 

Dans cette dernière formiile, nous avons désierné par -; — — la dérivée 

' ^ ^ dt dn 

de u dans le système d'axe constitué par la tangente et la normale à G 
en M. Gette quantité diffère de -v- -7- parce que, lorsqu'on se déplace 

sur G de l'arc ds^ la variation de -7— provient non seulement du dépla- 
cement du point M, mais de ce que la tangente à la courbe a tourné 



d du 


d-' a 


ds du 


dtdn 


d'^u 


dHi 


ds^ ~ 


df^ 



CH4P. V. — VARIATION SECONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRE. (.7 

(l'un angle k ds. Il en est de même de la variation de -7-? et l'on a 

^ ds 

du 

ds 
du 
dn 

77. Supposons en particulier que la forme de la fonction u^ soit 
indépendante de la ligne G. Les formules (33) et (34) se simplifient, 
et l'on peut aisément former la variation seconde de Wji, qui a la 
valeur 

ôoi wji = -r- OUI n H -, — on ùiTI — u on Oi n. 

dn dn'^ 

De cette formule, et de ce que nous savons déjà sur le symbole 
oô, /?, résidte que le premier membre change lorsqu'on intervertit les 
symboles et 8,, mais qu'on peut former une quantité qui ne change 
pas, soit par exemple 

(36) ôoi Mji+ if' ÔAi' ûi/i = Oi SwmH- w' Si /i on. 

Cette circonstance pouvait être prévue autrement. Appelons tou- 
jours X et iJL les deux paramètres aux variations infiniment petites 
desquels correspondent les variations 3 et Oi. Si l'on fait varier X 
et |JL des quantités infiniment petites d\ et diK^ le point M, se dé- 
plaçant normalement à G, viendra occuper deux positions diffé- 
rentes M, et M2 suivant que l'on aura fait varier d'abord A, et 
ensuite pi, ou inversement. La fonction u prendra alors en ces points 
des valeurs différant de la quantité 

( 37 ) f^Mi — «'M, = Ml M2 u' =^ ÔC 1 U\i — 81 8w.M. 

La comparaison de cette formule et de la formule (36) montre 
que 

(38) MiM2= 8n8i/i'— 5in5/i'. 

Le raisonnement qui vient de nous conduire à la formule (3-) 
s'applique, non seulement à la fonction particulière u que nous 
venons de considérer, mais à n'importe quelle fonction d'une ligne G 
et d'un point M de cette ligne, sans que cette fonction ait besoin 
d'être définie pour d'autres points que ceux de cette ligne. La for- 



98 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

mule (36), c{ui résulte immédiatement des formules (3") et (38), 
s'applique donc à une telle fonction. 

Par suite, la condition nécessaire et suffisante pour que ouy^soit 
une différentielle exacte est que V expression 80, u H- m'g/î' o, n ne 
change pas si Von intervertit V ordre des opérations oeto^. 

78. Fonctionnelles dépendant de deux fonctions ou d'une ligne et 
d'une fonction. — Si une fonctionnelle U dépendant de deux fonc- 
tions x{i) eVyit) est telle que 

oU= f {\j'^lx-^V'yly)clt, 

gU:,= E(8^)-4-F(ôj), 
8U;,= #(o^) + G(ôj^), 

on voit aisément, en formant l'expression de go,U, que chacune des 
expressions JL(ox) et G{oy) est sa propre adjointe et que les expres- 
sions F{ùy) et ^(^x) sont les adjointes l'une de l'autre. 

Les choses sont un peu moins simples dans le cas d'une fonction- 
nelle <^ dépendant d'une ligne fermée C et d'une fonction u définie 
en chaque point de cette ligne. La variation première étant de la 
forme 

r>I) = / {4>',t OU H- i^'n on) ds, 

si nous voulons mettre en évidence des expressions c|ui soient les 
adjointes les unes des autres, les variations de 4>',^ et <I>^^ (les points 
dont dépendent ces fonctions étant toujours supposées avoir leur 
déplacement normal à G) doivent être mises sous la forme 

( rAil^z=E(^u)-+-F{o/i)-i- k^'„ on, 

La variation seconde de ^ s'écrit alors 
(40) ôôi4»= / [E{oii) Biu ~\-F(on)oiU -h ^{ou)oin -h G(^n) ^in]ds 
-+- j [<ï>)^ (801 z^ 4- m' Sn' 8i/i) + <i>'„(SoiAi — k (in^in)]ds. 

La dernière intégrale, d'après ce que nous savons déjà sur GG,/i 



CHAP. V. — VARIATION SECONDE ET FONCTIONNELLES DU SECOND DEGRE. 99 

el 00, w, ne change pas si l'on intervertit les symboles o et 8,. On a 
alors l'énoncé suivant : 

La condition nécessaire et suffisante pour que o<ï> soit une dif- 
férentielle exacte^ c'est-à-dire pour cpie ocj^c^i ne change pas si l'on 
intervertit les symboles o et 8,, est que^ o^\, et o<I>J^ étant mis sous 
la forme (3()), chacune des expressions E(8î^) et G(o/i) soit-sa 
propre adfointe et que les expressions ¥(ùn) et 5'(ôm) soient les 
adjointes V une de Vautre. 

Un énoncé analogue s'obtient aisément dans le cas d'une fonction- 
nelle dépendant d'une ligne G et de plusieurs fonctions définies en 
chac|ue point de celte ligne. 

Nous utiliserons les différents résultats qui précèdent dans la 
théorie des équations aux dérivées fonctionnelles. 



CHAPITRE VI. 

FONCTIONNELLES DE DEGRÉS QUELCONQUES. 



Sommaire : Variation d'ordre p et fonctionnelles entières et homogènes de 
degré/). — La série de Taylor. — Les fonctionnelles homogènes de Gâteaux. 

— Les fonctionnelles de Gâteaux non homogènes. — Séries de polynômes. 

— Propriétés des fonctionnelles de Gâteaux. — Théorème de Gâteaux : 
équivalence des propriétés G et Gi. — Comparaison des propriétés G 
et Gi. 

79. Variation d'ordre p et fonctionnelles entières et homog^ènes de 
degré p. — Les résultats du Chapitre précédent s'étendent aisément 
aux fonctionnelles de degré quelconque. Une fonctionnelle entière el 
homogène de degré jr? est une fonctionnelle U \\x\\ telle que, X\ (t) 
et 0C2 (t) étant des fonctions quelconques, U |[a^i + [J^^^l] soit un 
polynôme homogène de degré />. 

Nous dirons qu'une fonctionnelle U admet une variation ^p\j 
d'ordre p si l'expression 

existe, et est entière et homogène de degré/) en ùoc (si elle existe, 
elle est évidemment homogène de degré /?, mais peut-être pas en- 
tière). JNous dirons que c'est une variation au sens de M. Fréciiet si 
le rapport 

v\[x-^ox]\-u\[x] — au — iô2u— ... — Lg/^u 

IlS^II'' 
tend vers zéro avec || ô:r ||. 

On obtient aisément pour les fonctionnelles entières et homogènes 
de degré p des formules généralisant celles de MM. Hadamard, 
Fréchet et Riesz. Au point de vue de M. Riesz, la notion d'une telle 



CHAP. VI. — FONCTIONNELLES DE DEGBES QUELCONQIES. ICI 

fonctionnelle est liée à la notion d'une répartition de masses dans 
le volume V de l'espace E^, àp dimensions défini par les formules 

0<^<l, 0</2<I, ..., 0<0;<I. 

Nous exclurons, pour obtenir une représentation commode, les 
répartitions introdtiisant des intégrales de Stieltjes. Nous exclurons 
aussi les masses finies situées en certains points, cette circonstance 
n'étant pas compatible avec la continuité dans le champ des fonctions 
de carrés sommables. Nous ne pouvons donc avoir que des masses 
réparties, avec une densité sommable, sur des variétés S à A dimen- 
sions (h variant de i à/>), que nous représenterons paramétriquement 
par les formules 

ti z= 61 (5i, 52, . . ., S/i), 

h = 02(51, 5., . . ., 5/,), 



tp= 9/.(*i, ^2, •• -, sn), 



le point 5<, ^25 • • -5 s/i décrivant un certain domaine Si. La fonction- 
nelle étudiée prend alors la forme 

qui correspond, par son degré de généralité, à l'expression (i i) du 
Chapitre précédent. 

Nous appellerons fonctionnelles nojnnales de degré/?, en géné- 
ralisant la définition du Chapitre précédent, les fonctionnelles dans 
la définition desquelles n'existent pas, quel que soit h variant de i 
à/?, de groupes de h points distincts de l'intervalle (0,1) jouant un 
rôle particulier; c'est-à-dire, d'une manière précise, que les variétés S 
sur lesquelles sont situées des masses, ne peuvent être définies que 
par des conditions telles que f/= tj. L'expression d'une fonctionnelle 
normale est donc 

(3) \}„\[x]\=^J J ...J cpa„«„...,a,(^i, ^2, ••., OO 

X x^i{ti)x^^{ti).. . a°"'vOi) dti du,. . dtu, 

la sommation s'étendant à tous les systèmes de valeurs de a,, a2, . . . , a^ 



102 PREMTERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

positifs, (.'l de somme p. Ainsi, pour y> = 3, on a 

Ti,i,i(''i- ti,h)oo{t^)x{t.)x{h)dt^dt^^dti. 



On peut évidemment, sans restreindre la généralité, supposer 
chacune des fonctions cp symétrique par rapport aux variables ti qui 
correspondent à des exposants a/ égaux. 

Il est facile de former les dérivées fonctionnelles successives d'une 
fonctionnelle normale, et de vériiier cpe la variation de ces dérivées 
ne dépend jamais spécialement d'un point autre que ceux relative- 
ment auxquels la dérivation a été effectuée. Les dérivées d'ordre p 
sont indépendantes de ^ (^); on a 

A étant un facteur constant facile à former. 

Les autres fonctionnelles seront dites fonctionnelles générales. 
Dans leur définition interviennent certains groupes de h points 
(A ^/?} jouant des rôles particuliers, et au moins une dérivée fonc- 
tionnelle d'ordre inférieure i\ p et relative à A — i points d'un de ces 
groupes dépend spécialement du dernier point du groupe. 

On forme aisément les conditions pour que la fonctionnelle (3) 
soit définie, et par suite continue (r^o/r remarcjue finale du n'' 61), 
dans le champ des fonctions de carrés sommables. Pour qu'un terme 
de l'expression (2) soit défini dans ce champ, il est nécessaire et suf- 
fisant que : 

i*^ Les nombres a,, as, ... , a h soient tous égaux à i ou 2 ; 
2° En désignant par a,, a2, . . . , a/ ceux qui ont la valeur 2, l'inté- 
grale 



...a/.C'i- ^2, . . ., th)\^ dti^y dti^. . . . dt,, 
soit une fonction de ^,, ^27 • • • 5 U mesurable et bornée. 



80. La série de Taylor. — Si une fonctionnelle admet des 
variations de tous les ordres, on peut la représenter par la série de 



CHAP. VI. — FONCTIONNELLES DE DEGRÉS QUELCONQUES. Io3 

Tajlor 

(4) U I [;r -i- 0^] I = U 1 [^] I + oU + I52 U H-. . .H- -^ 8/'U +. . . . 

2 p . 

Pour obtenir cette formule, et préciser ses conditions d'appli- 
calion, il suffit de remplacer ox par hf(t), et de développer le 
])rcmier membre en série suivant les puissances croissantes de X. 

<S1. Les fonctionnelles homogènes de Gâteaux. — Cherchons 
d'abord à quelle condition une fonctionnelle normale de la forme (3) 
est une fonctionnelle de Gâteaux. On trouve aisément pour la dérivée 
fonctionnelle d'un de ses termes 



U-i-i U ^/+l5 • • • 7 fh) 



X i:i'x^i{tj)dtj, 



\V désignant un produit étendu aux valeurs i , 2, . . . , ^ — i , i -\- \^ ...^ Jt 
de l'indice j . 

Si l'un des indices a^- n'est pas égal à i , on voit que cette dérivée 
fonctionnelle dépend spécialement de .x(^), et U^a n'est pas nul. On 
remarque en effet que, si plusieurs indices a/ sont égaux, les termes 
correspondants sont égaux, d'après la propriété de symétrie que nous 
avons supposée vérifiée par la fonction o, et ne peuvent se détruire. 
La fonctionnelle normale (3) ne peut être une fonctionnelle de 
Gâteaux que si ai = a^ =...== a^ = i , et par suite li = p. Une fonc- 
lionnelle normale de Gâteaux, homogène et de degré/?, est donc du 

X ^^(^1)37(^2) • • • oo{ti>)dtx dt«, . . . dtp. 

Si l'on passe aux fonctionnelles générale (2), on constate de même 
aisément que, pour que \j\,. ne dépende pas spécialement de x{t)^ 
c'est-à-dire que U soit une fonctionnelle de Gâteaux, il faut et ii 
suffit qu'aucun des facteurs x{^) ne soit élevé au carré, c'est-à-dire 
que parmi les fonctions ^4, 807 • • • 7 ^p ii i^'j en ait pas deux qui soient 
égales. 

Ainsi la fonctionnelle 



U = r f{t)x'-{l)x{i-t) 



dt 



I04 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

n'est pas une fonctionnelle de Gâteaux; pour cette fonctionnelle 

n'est pas nul. Par contre, 

/ f{t)x{t)x{\ — t)x{cos^Tt)dt. 

1 x{t)dt ( f(t, ti)x{ti)x{i — t — ti)dti 

sont des fonctionnelles de Gâteaux. 

82. Les fonctionnelles de Gâteaux non homogènes. — Cherchons 
la condition pour qu'une fonctionnelle représentable par une série 
de Tajlor soit une fonctionnelle de Gâteaux. En écrivant o et \x 
dans la série de Tajlor au lieu de x et 8:r, cette série fonctionnelle 
s'écrit 

pi 

\Jp désignant une fonctionnelle de cc{t), homogène et entière de 
degré p;\]q en particulier est une constante. 

Remplaçant x par x ->r aox. dérivant par rapport à ij., et faisant 
|jL =: o, on obtient la formule 

Ip 

OU =■ X oUi-h. . .H i SUyj-+-. . ., 

ou, en égalant les coefficients de 8:r dans les intégrales que représen- 
tent les deux membres, 

(6) U:.= X(U,Y, + ...4-^;(U,0'.; + .... 

On a de même, par une nouvelle dérivation, 

(7) ui..= -(uo:u+...+ ^(Upj:i..+..., 

2 p • 

(8) UL,= ^(U,)L, + ...-f-^(U,0'... + .... 

La première de ces formules montre que U est une fonctionnelle de 
Gâteaux si toutes les fonctionnelles U^r, le sont. 

En particulier, pour qu'une fonctionnelle représentable par une 



CHAI». VI. — FONCTIONNELLES DE DEGRES QUELCONQUES. i CO 

série de Tajlor soit une fonctionnelle normale de Gâteaux, il faut 
qu'elle soit de la forme 

(()) U = Uo+/ o^{t)x{l)'dl+... 

-^ f f f '^p{ti,h, ..., ti>)x{t^)x{h)..,x{t.,,)dt^dt.2...dtp-^.... 



♦-'0 «0 



Ces séries de Tajlor ont été considérées par M. Vol terra. Les con- 
sidérations qui précèdent montrent bien leur degré de généralité 
])armi les fonctionnelles continues dans le champ des fonctions de 
carrés sommables, et ayant des variations de tous les ordres. Pour 
arriver à cette forme, il faut faire deux hypothèses restrictives : que 
la fonctionnelle soit normale, et de Gâteaux. 

83. Séries de polynômes. — On peut représenter par des séries de 
polynômes des fonctionnelles plus générales que celles représentables 
par une série de Taylor. 

Un polynôme de degré p est, par définition, une somme de fonc- 
tionnelles entières et' homogènes de degrés o, i, ...,/?. Si ces fonc- 
tionnelles sont normales, le polynôme est dit normal. Si ce sont des 
fonctionnelles de Gâteaux, le polynôme est dit de Gâteaux. Un 
})olynome normal de Gâteaux est alors une somme limitée de la 
forme (9). 

Nous appellerons dans la suite (D le domaine des fonctions de 
carrés sommables dont le module fonctionnel ne dépasse pas un 
nombre 0)1 et (D' le domaine des fonctions continues dont le module 
ne dépasse pas OR. Une fonctionnelle définie et continue dans (JD l'est 
a fortiori dans CD' (en prenant dans chacun de ces domaines la défi- 
nition appropriée de la distance). 

On a alors le théorème suivant, du à M. Frécliet. La démonstra- 
tion que nous donnerons est due à Gâteaux. 

Théorè:me. — *S'/ une fonctionnelle U est définie et continue 
dans le domaine (S)', elle peut être définie dans ce domaine comme 
limite de polynômes normaux; de Gâteaux. 

Divisons l'intervalle (o, i) en n intervalles égaux. Soit ç, la 
valeur moyenne de ;r(/) dans rintervalle ( > -J. Désignons par 



I06 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

oc,i{l) la fonction définie jjar les formules 



Xn{o) = Xn 



(;;) = '" ^"(^) = ^^- •••• ^"(') = u 



et par la condition de varier linéairement dans chacun des intervalles 
considérés. La fonctionnelle U étant certainement définie pour la 
fonction .r„(^), posons 

Cette expression, en vertu de la continuité de la fonctionnelle U, est 
une fonction continue de Ei, $25 • • • 7 ^n-, et tend vers U | [^(^)] | quand 
Il augmente indéfiniment. 

La fonction conlinue iin peut, dans le domaine considéré, défini 
par les inégalités 

être représentée avec une erreur inférieure à tout nombre positif 
donné £„ par un polynôme /?,,( ^ , , ^07 • • • 5 i«)- ^i Vow choisit pour les 
Zn des valeurs tendant vers zéro quand n augmente indéfinie, la diffé- 
rence 

|1^ |[^(0]|-i>/J<|l^ 1[^(')] -Ua\-^^,v 

tend vers zéro quand, la détermination de x{t) restant fixe, n augmente 
indéfiniment. Les polynômes j»;^ ont donc pour limite la fonction- 
nelle U, mais la convergence n'est pas en général uniforme dans tout 
le domaine fonctionnel considéré. 

Or/>„, considéré comme fonctionnelle de ^(^), est un polynôme 
normal de Gâteaux. En effet, en remplaçant les \i par leurs valeurs 

(10) \i=n Ç x{t)dt, 

Lui 

n 

chaque terme du polynôme pn prend la forme 

(u) i I . .f o{ti, ti, ...,tj>)x{ti)x{t2)... x(fp)dtidti ... dt^„ 

la fonction cp ayant la valeur nP dans une fraction égale à — du champ 



CIIAP. VI. — FONCTIONNELLES DE DEGRES QUELCONQUES. I07 

d'intégration eto dans le reste du champ. La quantité/?,,, somme de 
ces termes, est un polynôme normal de Gâteaux, ce qui achève la 
ch'monstration du théorème énoncé. 



84. Remarques. — i° La fonction cp qui intervient dans l'expres- 
sion (il) est discontinue. On peut éviter cet inconvénient en modi- 
fiant la définition des nombres S/. Désignant par [^-«(^) nne fonction 
continue, positive ou nulle dans l'intervalle (o,i), ayant pour valeur 

moyenne i dans chacun des intervalles ( , —j , et nulle aux points 

qui séparent ces intervalles, il suffit de poseï 



n 



(19.) ^i=n / ixn{t)x{t)dt 



i—n / [Xn 



De même, on peut rendre continues les dérivées jusqn'à un certain 
ordre li de la fonction cp, en prenant pour ^-n ^me fonction admettant 
des dérivées d'ordres i, 2, . . . , h continues, et s'annulant aux points 



1 '}. 1 

-,-,..., I 

n n 11 



2'* Si la fonctionnelle L admet des variations première et seconde 

continues dans le domaine fonctionnel considéré, Un{\\i ^25 v/ ) 

est une fonction admettant des dérivées premières et secondes con- 
tinues, et dont les différentielles première et seconde tendent respec- 
tivement vers les variations première et seconde de U quand n aug- 
mente indéfiniment, les déterminations considérées de x[t) et hx{l) 
restant fixes. 

On peut alors choisir le polynôme p,t de manière que, non seule- 
ment p,i diffère de Un de moins de tni mJ^is que ses difierentielles 
première et seconde diffèrent de moins de £„ de celles de Ji„, pour 
tout système de déterminations de H), Ço, . • • , v„, <i;,, «r/ço, • • • , d^n^ 
inférieures en module à OU. 

On obtient alors des polynômes de Gâteaux P„| [^(011 4"^ tendent 
vers U|[j?(/)]|, tandis que leurs variations première et seconde ten- 
dent vers celles de U. 

Un résultat analogue peut naturellement être obtenu en considérant 
les variations jusqu'à un ordre quelconque. 

3*^ On peut démontrer un théorème analogue en se plaçant dans le 



I08 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

domaine (© des fonctions x{t) de carrés sommables, telles que 



(i3) f x'^{t)dtid\L 



et en considérant une fonctionnelle U continue dans ce champ (défi- 
nition de la continuité liée au voisinage en moyenne). 

On ne peut que diminuer le premier membre de l'inégalité (i3) en 
remplaçant x{t) par sa valeur moyenne ^/ dans chacun des intervalles 
• La fonction discontinue Xn{t) ainsi formée vérifie donc 



encore la condition (i3). Donc U|[:r„(^)] | est une fonction continue 
de ?4, ?2,---7 i/o tendant vers U|[^(/)]| quand Ji augmente indéfi- 
niment. On arrive alors à un résultat analogue à celui du numéro 
précédent, le raisonnement se terminant de la même manière. 

La remarque du 2" du présent numéro se généralise aussi à ce 
nouveau point de vue. 

80. Propriétés des fonctionnelles de Gâteaux. — 11 est remar- 
quable qu'une fonctionnelle continue quelconque soit obtenue comme 
limite, non de polynômes quelconques, mais de polynômes normaux 
de Gâteaux. La propriété caractéristique des fonctionnelles de Gâteaux 
disparaît donc à la limite. 

n'est naturel de penser qu'elle ne disparaît pas à la limite si la 
convergence est uniforme dans le domaine fonctionnel considéré, et 
que par suite les fonctionnelles de Gâteaux, dans le domaine (© ou 
dans le domaine (D', peuvent être caractérisées parla propriété sui- 
vante : elles peuvent être définies comme limites de polynômes 
normaux de Gâteaux^ la convergence étant uniforme dans le 
domaine considéré. 

Nous appellerons cette propriété : propriété (/. Nous appellerons 
propriété (/' celle qui nous a servi jusqu'ici à définir les fonction- 
nelles de Gâteaux. 

Nous dirons enfin qu'une fonctionnelle a la propriété (j^ dans le 
domaine (0 si : 

i" Elle est uniformément continue dans le domaine cD; 
2° Quel que soit z positifs on peut déterminer n tel cjue 

(i4) lU|[^]|-Ui[^„]l|<£, 

x{t) étant une fonction quelconque du domaine (© et Xn{t) étant 



CIIAP. M. — FOXCTlONNELLIiS DE DEGRES QUELCONQUES. I09 

i — n i 



la fonction égale ^ dans chacun des intervalles f > -j? à la 

valeur moyenne de x{t) dans cet intervalle ; celte fonction appar- 
tient nécessairement au domaine (D. 

Nous allons d'abord démontrer l'identité des propriétés Ç et Çi. 
Nous comparerons ensuite les propriétés (j' el(/'. 

86. Théorème de Gâteaux : équivalence des propriétés (/ et (j*,. -7- 
Nous nous placerons dans le cas de fonctionnelles vérifiant ces pro- 
priétés dans le domaine CO. Il en résultera des différences de détails 
avec les raisonnements de Gâteaux, qui s'était placé dans le do- 
maine (©'. 

Les polynômes normaux de Gâteaux considérés, devant être définis 
dans tout le domaine (E>, sont formés avec des fonctions cp^ de carrés 
sommables. 

i" La propriété (j entraîne la propriété Ç,. — La propriété Q^ 
étant évidemment une propriété qui se conserve à la limite, si U tend 
uniformément vers une limite dans tout le domaine (D, il suffit de 
vérifier que la propriété (J 1 appartient aux polynômes de Gâteaux, et 
pour cela de vérifier qu'elle appartient à un de leurs termes, c'est- 
à-dire à la fonctionnelle 

(i5) / f "' f ?(^i'^2' ■y t,,)x(ti)x(t.2).., x{tp)dtidt.... dt,>, 

la fonction ç> étant symétrique et de carré sommablé. On peut alors 
la remplacer par une fonction contiime et symétrique qui en ap- 
proche en moyenne de moins que tout nombre donné s'; l'erreur qui 
en résultera sur l'intégrale (i5) sera, dans tout le domaine (0, infé- 
rieure à e'OR/', et cela ne change rien en ce qui concerne la pro- 
priété (j ,. 

Il suffit maintenant de démontrer que l'on commet une erreur 
aussi petite que l'on veut en remplaçant x[t) par Xn{t) successive- 
ment dans les p facteurs de la fonction intégrée dans l'expression (i5), 
c'est-à-dire que 

(16) I . • f y.{t,)-.^yp{t^)dt....dt„ 



X 



I o(ti, t.i, ..., fp)[:r(ti)—Xn(ti)]dti, 



I lO PREMIKRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

est, pour n assez grand, inférieur dans Lout le domaine ® à toul 
nombre donné e ; yo, . . . , j^yj désignent, soit x^ soit x,i^ en tout cas 
des fonctions du domaine (D. 

La fonction 's2 étant continue, et par suite uniformément continue, 
peut être remplacée, si n est assez grand, par '-pi-f 'fo? ^i étant 

constant quand t^ varie dans chacun des inter\ ailes 



I i 

— y — 

n 



autres variables t^i - - - -, tp restant constantes, et cso ayant son module 
inférieur à un nombre r, si petit qu'on veut. Le terme de Fexpres- 
sion (i6) provenant de ^^ est nul, puisque x{tx) — Xn{t\) a sa 
valeur moyenne nulle dans tout l'intervalle considéré; l'autre terme, 
et par suite l'expression (i6), est inférieur à 27)011'% quantité aussi 
petite que Ton veut. c.q.f.d. 

2° La propriélé (/, entraîne la propriété (j. — Pour démontrer 
ce résultat, il suffît de former un polynôme normal de Gâteaux V,i 
qui diffère de U, dans tout le domaine (D, d'une quantité inférieure 
à £. On y arrive aisément en suivant la voie indiquée n° 84, 3°. Rem- 
plaçant d'abord L| [.r( ^)] | par 



nous commettons une erreur qui, pour n assez grand, d'après la pro- 
l^riété Ç,, 2^, est inférieure à -> non seulement pour chaque fonc- 
tion x{t)^ mais dans tout le domaine (0. 

La fonction Unt évidemment continue, et que l'on n'a à considérer 
que dans le domaine fini 



peut être remplacée, avec une nouvelle erreur inférieure à -, pav 
un polynôme normal de Gâteaux 

/?/i(^l, b, •••, ^«) = l'«l[^(0]-h C.Q.F.D. 

87. Remarques. — i^ Dans la deuxième partie de la démonstration 
précédente, l'hypothèse de la continuité uniforme de U| [^(^)] | n ii 
pas seivi. On j^eut la remplacer par l'hypothèse de la continuité 
simple, même par l'hypothèse encore moins restrictive de la conti- 
nuité simple, la définition considérée étant celle liée au voisinage 



CIIAP. VI. — FONCTIONNELLES DE DEGRES QUELCONQUES. I l 1 

uniforme; si la fonctionnelle U est ainsi définie et continue dans le 
<lomaine (D, et jouit de la propriété Ç,, 2", le raisonnement subsiste; 
elle jouit de la propriété (j et, par suite, de la propriété (J^ telle c[ue 
nous l'avons énoncée. Elle est uniformément continue dans le 
domaine fonctionnel (ô considéré, la définition considérée de la con- 
tinuité étant celle liée au voisinage en moyenne, celle cjui est la défi- 
nition naturelle dans le domaine (Ô. 

A première vue, on aurait pu penser qu'il j a plusieurs sortes de 
fonctionnelles jouissant de la propriété (j*i, suivant la définition que 
l'on adopte de la distance de deux fonctions, et par suite de la conti- 
nuité. On voit par la remarque qui précède que, dans un champ fonc- 
tionnel déterminé, une définition déterminée s'impose, et qu'il est 
plus exact de dire que les différentes sortes de fonctionnelles consi- 
dérées se distinguent par le champ fonctionnel dans lequel elles sont 
définies et continues. Ceci précise les remarques du n*^ 13. 

2^ Dans l'énoncé de la propriété Ç,, nous avons considéré des 
intervalles égaux pour simplifier le langage. On ne changerait rien 
d'essentiel aux raisonnements et, par suite, on aurait une propriété 
équivalente à la propriété Ç, si l'on prenait une loi différente pour la 
division de l'intervalle (o, i), ou bien si l'on ne précisait pas une loi 
déterminée. 

3" Une remarcjue analogue à celle du 11° 84, 3*^, peut être faite au 
sujet de la propriété CJ^. Il peut arriver cju'une fonctionnelle vérifiant 
cette propriété n'admette pas de variation, ou bien en admette une 
qui, considérée comme fonction de x{t)^ ne vérifie pas cette pro- 
priété. Mais, si 8U vérifie la propriété (j, , on peut définir le poly- 
nôme P« de manière que, non seulement U — P„, mais ûU — SP,;, 
aient leurs modules inférieurs à £ pour toutes les dé terminal ions de 
x{t) et Zx{t) intérieures au domaine CD. 

Nous généraliserons les notions des propriétés (^ et (/<, et les prin- 
cipaux résultats cjui précèdent dans le dernier Chapitre de la troi- 
sième Partie. 

88. Comparaison des propriétés Q et C^' . — 11 n'y a évidemment 
pas identité complète entre ces deux propriétés. La première n'im- 
plicjue pas l'existence des dérivées fonctionnelles ; la seconde suppose 
au moins l'existence de la dérivée fonctionnelle première. On peut, 
d'ailleurs, l'énoncer sans supposer l'existence de la variation seconde 



112 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

S=^U et (le la dérivée fonctionnelle t ^,. . En effet, la condition lJ'^.î=o 
signifie que, la variation ox(t) étant en valeur absolue inférieure à /i 
dans l'intervalle (t — £, / -f- s), et nulle en dehors de cet intervalle, la 
valeur au point t du rapport —r-^ tend nécessairement vers zéro avec 
h et £, sauf peut-être pour des points constituant un ensemble de 
mesure nulle. 

Nous allons montrer l'équivalence des propriétés Ç et Ç' pour les 
fonctionnelles vérifiant les conditions suivantes : 

1° Existence, dans le domaine®, d'une variation première normale 
et d'une variation seconde. 

2" La dérivée U^ est continue par rapport à /, les différentes fonc- 
tions de t obtenues en faisant varier oc(t) étant également continues. 

3" La répartition des masses liées à 8-L est, dans la bande 
I ^ — ^, I <; /, la même que pour une fonctionnelle normale, et L , ,.^ est 
dans cette bande inférieure en module à K, l étant aussi petit, 
K aussi grand qu'on veut, mais tous deux indépendants de x{t). 

4** La dérivée L^jCSt continue, tant [)ar rapport à t que comme 
fonctionnelle de x{t). 

On pourrait d'ailleurs aisément remplacer cette dernière condition 
par la condition moins restrictive que le point de l'espace fonc- 
tionnel qui représente la fonction L'^.s de / dépende d'une manière 
continue de celui qui représente x{l)\ il suffît que L^.2, considéré 
comme fonction de ^, soit de carré sommable, pour que cette condi- 
tion ait un sens très précis. 



89. Divisons l'intervalle (o, i) en // intervalles égaux, le nombre îi 
étant pris assez grand pour que | ^' — ^|5— entraîne dans tout le 
domaine (D 

(17) |U!,.(/';— IJIv) U>/' 

Y) étant un nombre positif arbitrairement petit. Gela est possible, 
d'après l'hypothèse ci-dessus, relative à L'^. 

Désignons par/(^) et F(^) deux fonctions du domaine (©ayant 
même valeur moyenne dans chacun des interv^alles f ' ~ ) ' ^^ 



par fi{t) la fonction égale à f{t) de o à - et à F(^) de - à i. 



CilAP. VI. — FONCTIONNELLES DE DEGRES QUELCONQUES. Il3 

Posons 

S'- (0=F(0 -/(/), 

o,(X)=U![A--,(0 + X^/(0]|. 

La différence U| [F(Z)] | — 1J| [/(Ol 1^ 4^^ intervient dans l'énoncé 
de la propriété C]^ équivalente à la propriété Ç, est la somme de 
n termes, dépendant de l'indice /, dont l'un quelconque s'écrit 

u I [/lit)] I - u 1 [/--iCOl I = f ?:-(>0 di = cp;.(i)- f'io",{i)dk. 

On en déduit 

j = n i = n 

(i8) , U I [F(0] I - U I [ f(t)] 1 =2 ?'-^') -2 / ^?'K>0 ^?^. 
Calculons d'abord 'f^(i). On a 

Dans cette intégrale, remplaçons U^ par sa valeur en un point déter- 
miné de l'intervalle considéré; elle devient nulle, puisque la valeur 
moyenne de g'{l) dans cet intervalle est nulle. L'erreur sur U'^, 
d'après la formule (17), est au plus égale àrj; l'erreur sur '^^(i) est 
donc au plus égale à 






§-{t)\dt. 



et l'erreur sur la première partie de l'expression (18), à 

' 

quantité aussi petite que l'on veut. 

Or la propriété Q est équivalente à la propriété Ç', 2*^, puisque nous 
ne nous occupons que de fonctionnelles continues admettant une 
variation. Elle équivaut donc à la propriété que l'expression (18) 
puisse être rendue aussi petite que l'on veut; la première partie^de 
cette expression étant aussi petite que l'on veut, nous sommes 



Il4 PREMIÈUE PARTIE. — LES lOXDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

ramenés à démontrer c|ue Texpression 

i=n j 

(>9) y r '^ii{^)d\ 

peut être rendue aussi petite que l^on veut pourvu que /i soit assez 
L;rand, lorscjuc l ,.== o, et dans ce cas seulement. 

90. 1° Supposons d'al)ord cjue Lj^.,= o, et que U^^.^ soit nul aussi 
pour t — ti assez petit, de sorte cjue, dans la répartition de masses 
liée là ô-U, il n'y ait pas de masses dans le voisinage de la droite 

La dérivée '^J()^) n'est autre eliose cjue la variation seconde de L', 
calculée pour 

La détermination de ox{t) n'étant diiïérente de zéro que dans l'in- 
tervalle ( j -], l'intégrale qui exprime 8-U devra être étendue 

seulement au carré 

/ — I i i — I i 

< ^ < - . < ^1 < - • 

a n n ii 

Or il n'y aura pas de masse dans ce carré, pourvu cpie n soit assez 
grand. Par suite, l'expression (19) sera non seidement aussi petite 
que l'on veut, mais rigoureusement nulle. 

1^ Supposons maintenant toujours U'^2=o, mais n'imposons plus 
à \j\.jc^ d'autre hypothèse que celle faite dans l'énoncé (n"88, 3°). On 
aura alors 

i i —\ 

= r f u:;..., I [/•_! 4- igi] I g{t)g{t,)di dt„ 



n n 



(i OU 



I ^ -- / 



(X)K-- / sHt)dt, 



CIIAP. VI. — FONCT[ONNl!:LLIi:S DE DEGRÉS QUELCONQUES. Il5 

et l'expression (19) est au plus égale à 






{t)dtS 



Le résultat obtenu est donc encore démontré. 

3° Il reste à se placer dans le cas où U^.^ n'est pas nul, et à montrer 
qu'on peut s'arranger dans ce cas pour que l'expression (19) reste, 
quelque grand que soit /i, supérieure en valeur absolue à un nombre 
fixe G, d'ailleurs aussi petit qu'il sera nécessaire. 

Le terme qui provient de U'^.r, tendant vers zéro, il suffit de tenir 
compte du terme qui provient de U'^., qui s'écrit 



>o) 






Or, UJo n'étant pas nul, on peut, en vertu de l'hjpotbèse de la conti- 
nuité (n° 88, 4*^)5 choisir un petit intervalle (^(, ^2) dans l'inter- 
valle (o, i), et une petite sphère du domaine (D de centre f{t) et de 
rajon /', telle que U'^». soit d'un signe déterminé, par exemple positif, 
et supérieur à un nombre fixe m, si t est dans Fintervalle (/|, t^) 
et x{t) dans cette sphère. Prenons F(^) sur la surface de cette sphère 
et ne difierant def{t) que dans l'intervalle (^i, ^2)- L'expression (20) 
est évidemment supérieure, quelque grand que soit /?, à 



--0 «- /, 



fng^(t) di = — 



ce qui acliève de démontrer le théorème énoncé. 

Les propriétés (/, ou (/, , apparaissent donc comme équivalentes à la 
propriété (/, sous des conditions très peu restrictives, et le sont pro- 
bablement toutes les fois que l'énoncé de ces propriétés a un sens. 
Mais elles conservent un sens dans certain cas où la propriété ()''n'en 
a pas. Aussi paraît-il indiqué de modifier un peu désormais la défini- 
tion des fonctionnelles de Gâteaux, en les définissant par la pro- 
priété CJ ou par la propriété équivalente g,. 



i 



CHAPITRE YII. 

CONSIDÉRATIONS GÉOINIÉTRIQUES. 
NOTIONS SUR LES SÉRIES DE FONCTIONS ORTHOGONALES. 



Sommaire : Variétés linéaires à n dimensions dans l'espace fonctionnel; expres- 
sion de la distance. — Définition des angles. — Composantes d'un vecteur 
donné. — Choix d'axes rectangulaires dans une variété linéaire quelconque. — 
Variétés linéaires à une infinité de dimensions. — Suites complètes et suites 
incomplètes. — Changement d'axes rectangulaires dans l'espace fonctionnel. 
— f^a fonctionnelle considérée comme fonction d'une infinité dénonjbrable 
de variables indépendantes. 

91. Variétés linéaires à n dimensions dans l'espace fonctionnel. 
Expression de la distance. — Considérons /? -f- i fonctions /^ (^), 
f\{t), . . . j fn{t) données. Les points de l'espace fonctionnel repré- 
sentant les fonctions 

•^(0 =/o(0-+-«5i/i(0 + «>/2(0 + ---+««/«(0 

constituent une l'ciriété linéaire à n dimensions ou plan V„. Les 
quantités a^^ a-,, . . ., an peuvent être considérées comme des coor- 
données dans ce plan. 

Nous considérerons des plans contenant l'origine, c'est-à-dire le 
j)oint qui représente la fonction x{t) ^ o. On peut alors représenter 
l'ensemble des points du plan P„ par la formule 

(i) ocit) = aif^(t)-^a.yf.>{t)-^...+ fi„fn(t)' 

Considérons la distance r d'un point à l'origine. Nous prendrons la 
définition de la distance donnée par la formule 

définition qui est celle que nous avons surtout considérée jusqu ici et 



CHAP. VII. — CONSIDERVTIONS GEOMETRIQUES. II" 

que nous considérerons exclusivement dans la suite. Pour une fonc- 
tion du plan P/i, on a 

les coefficients A^- et A/ y ayant des valeurs faciles à former. 
11 peut arriver que cette formule prenne la forme 

(2) /'2= a2_^«^]-H...+ rt2^ 

11 faut et il suffit pour cela que l'on ait 

dt — \, 



(X : , ' 



f fnt) 



f fi{t)fj{t)dt. = o {l,j\ =r, 2, ..., /?; iVy). 

Lorsque la première de ces conditions est vérifiée par une fonc- 
tion y,(^), on dit que cette fonction esl normale ; lorsque la deuxième 
est vérifiée, on dit que les fonctions //(^) ei/j{l) sont orthogonales. 

Supposons donc que les fonctions f\{f')if'i{f-)i • • • ? y«(^) consti- 
tuent un système de fonctions orthogonales et normales, de sorte que 
la formule (2) est applicable. De même la distance p des points qui 
représentent les fondions x[t) et 

(-1) 7(0 = ^i/.(') + ^2/2(0 +.--+^«A(0 

est alors donnée par la formule 

p2 3= ( ^>i — ai )2 4- ( 62 — «2 )^ + . • . ^- ( ^« — «« )2. 

Ces formules montrent que le plan P„ est identique à l'espace E,, 
de la géométrie à n dimensions, les coordonnées considérées étant 
rectangulaires. Autrement dit, une figure étant délinie par les dis- 
tances de ses points deux à deux, une figure formée par des points du 
plan V,i est identique à la figure formée par les points ayant respecti- 
vement les mêmes coordonnées dans l'espace E/^. On peut donc dire 
que le plan P,, est un hyperespace ordinaire à n dimensions. 

92. Définition des angles. — Considérons deux vecteurs OM 
et OM', de longueurs respectives /• et r\ représentant des fonctions 
x(^t) el y{t). On appelle angle de ces vecteurs l'angle 9 défini parla 



Il8 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

formule 



■'cos6 = / x{t)y{t) cit. 



En remplaçant x\t) ety(^) par les expressions (i) et (/j), et tenant 
compte des formules (3), il vient 

rr ces 6 = «1^1+ a^b^-r . . .+ cinh,i. 

Cette formule montre cpie, pour les fonctions du plan P„, il y a iden- 
tité entre cette définition et la définition habituelle de l'angle dans 
l'espace à n dimensions. 

On peut de même appeler /v'cosG produit scalaire des fonc- 

x( t) 
tions oc {t) ely[L)^ et r' cos^ -^ projection de la fonction y{t) sur 

le vecteur OM. Ces définitions sont identiques à celles employées 
dans l'espace à 11 dimensions. 

Si l'on considère une figure de l'espace fonctionnel, formée d'un 
nombre fini de points, on peut la considérer comme tracée dans le 
plan défini par ces points. Dans ce plan, les relations de la géométrie 
ordinaire s'appliquent. Les relations connues entre les angles et les 
côtés d'un triangle, entre les faces et les dièdres d'un trièdre (la défi- 
nition du dièdre étant la même que dans la géométrie ordinaire), 
s'appliquent donc. 

On remarque que la définition des fonctions ortliogonales donnée 
n° 91 n'est qu'un cas particulier de la définition que nous venons de 
donner de l'angle de deux vecteurs; deux fonctions ortliogonales sont 
représentées par des vecteurs dont l'angle est droit. 

Si un vecteur OM est la résultante de vecteurs OM,, OM2, ..., OM^ 
orthogonaux deux à deux, on a évidemment 

0M-2= OMf + OM|H-...+ OM;,. 

93. Composantes d'un vecteur donné. — Soit OM un vecteur du 
plan Pn, représentant une fonction x{t) de la forme (i). Nous suppo- 
sons qu'on sache qu'elle est de la forme (i), mais qu'on ne connaisse 
pas les coefficients a^^ a-;,^ . . • , ««• On les détermine aisément par la 
formule 

(5) «/:- f fiU)x{t)dt. 



CIIAP. VII. — CONSIDÉHATIONS GIÎOM KÎRIQLES. II9 

Géojnétriqucment, cela revient à écrire que ai est la longueur de la 
j)rojection de la fonction x{t) sur Taxe des ai (' ). 

Si Ton ne sait pas si x^t) est de la forme (i), on peut calculer les 
coefficients ai j)ar la formule (5), et former la fonction 

(6) \i^t)^aJ,{t)-\~a,Mt)-^...-^anfn{t). ^ 

Elle ne coïncide j)as avec ^(^) en général; mais, en posant 

on a 

f fi{t)^.{t)dt= f fi{t)[\{t)~x{t)]dt = ai-ai=o. 

La fonction ç(/) est donc orthogonale à tous les fi{t), et par suite à 
toutes les fonctions de la forme (i); elle est orthogonale au plan V„. 
Les formules (5) et (6) nous conduisent donc à la décomposition du 
vecteur OM en un vecteur OH du plan P/^, représentant la fonc- 
tion X(/), et un vecteur IIM, normal à ce plan, représeiitant ^{t). 
On a évidemment 

(;) / x''-{t)dt= j X^t)dt-{- f ^'{t)dt 

Jq ^'q Jq 

*J Cl 



dt. 



9i. Choix d'axes rectangulaires dans une variété linéaire quel- 
conque. — Nous allons montrer que les conditions (3) ne restreignent 
nullement la notion de variété linéaire, mais que dans une variété 
linéaire quelconque, représentée par la formule 

(8) x{t) = ai'y,(/) -f- ^292(0 +• • •+ 'J-n'^?i{t), 

on peut choisir n fonctions orthogonales et normales/, {t)-,/^^^)^ •••? 
fn(^) telles que la formule (i) représente la même variété. 

Bien entendu, nous su])posons les fonctions o< (/), 02(^)7 • • •: 'f//(0 
linéairement indépendantes; dans le cas contraire, on aurait une 

(^) La quantité a- représente évideninient la plus courte distance du point x (t) 
à n'importe quel point, non seulement du plan P„, mais même de Tespacc fonc- 
tionnel, pour lequel a- soit nul. C'est la distance au plan «■= 0. Si la fonction /,(0 
n'était pas normale, il y aurait lieu de diviser rintégrate (5) par sa moyenne (jua- 
dratique. 



120 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTION^EL. 

variété à moins de n dimensions, et rinlrodiiclion de certaines de ces 
fonctions serait inutile. 

Nous emploierons le langage géométrique et chercherons à déter- 
miner les vecteurs OA,, OAo, . . ., OK,i qui représentent les fonc- 
tions y*/(^). Prenons d'abord OA, de longueur unité et dirigé suivant 
le vecteur OM, qui représente 'fi(^). Décomposons ensuite le vec- 
teur OM2 qui représente 'f2(7) en 0112 dirigé suivant OA, (c'est- 
à-dire OM,), et H2M2 normal à cette direction; prenons OA2 paral- 
lèle à H2M2 et de longueur unité. Décomposons de même OM3 
en OH3 situé dans le plan 0A,A2 (qui n'est autre que 0M,M2), et 
H3M3 perpendiculaire à ce plan; prenons OA3 parallèle à H3M3 et de 
longueur unité. Continuant de même, nous obtenons n vecteurs 
OA,, OA2, . . ., OArt, de longueurs égales à l'unité et orthogonaux 
deux à deux, qui déterminent une variété linéaire à n dimensions 
évidemment identique à celle donnée. Le résultat cherché est donc 
obtenu. 

Ainsi la variété (8) est du type étudié n**' 91 à 93; seulement, elle 
est rapportée à des coordonnées obliques. On peut la rapporter à des 
coordonnées rectangulaires, et les formules permeltant de passer d'un 
système à l'autre ne sont autres que les formules habituelles du chan- 
gement de coordonnées. 

On peut considérer en particulier des changements de coordonnées 
rectangulaires. ïl est facile de retrouver dans ce cas les formules de la 
géométrie ordinaire. Pour cju'on soit dans ce cas, il faut et il suffit 
que les fonctions '^i{t) soient orthogonales et normales, c'est-à-dire, 
en posant 

que 



(10) 






On peut inversement exprimer les fh (0 en fonction des '^i{t) pa 
résolution du système (9). On trouve évidemment 



fh{t) = G/,,,cpi(^) + G/,, 292(0 + - ---^ G/,,„'j,,(0, 
Ca,,= f fn{t)oi{t)dt 



CHAP. VII, — CONSIDÉRATIONS GÉOMÉTRIQUES. 121 

c'esl-à-(Jire 

(il) fn{t) = c/,,iOi(^)-f-c/,,2'f2(0 + -. •-+-c/,,„cf„(^), (h = I, ?., .. .. n). 

Comme d'ailleurs les fh{t) sont des fonctions orthogonales et nor- 
males, il vient 

l ( h^ k = i^ 2, . . ., /i; h ^ /i ). 

Ces formules, par la manière dont nous les avons obtenues, résulteni 
des formules (lo). On peut de même, inversement, déduire les for- 
mules (lo) des formules (12); les systèmes (10) et (12) sont donc* 
équivalents. 

D'autre part, la comparaison des formules (i), (8), (9) et (i i) 
donne sans peine les formules 

(i4) y./= Ci,,ai-hc.,ja2 + - • • ^ Cn,ia,i, 

qui permettent de passer du système de coordonnées a,, 7.0, . . . . a„ 
aux coordonnées ai, <72, . . ., ««, ou inversement. 

9o. Variétés linéaires à une infinité de dimensions. — Considérons 
maintenant une suite indéfinie de fonctions 

orthogonales deux à deux et normales. La formule 

(i5) x(t) = ayf^(t) -i- a,fi{t) -i- . . .-i- a,J,JJ) ^ • ■ ■ , 

qui généralise la formule (i), définit une variété linéaire, ou plan, à 
une infinité de dimensions, contenant l'origine. Soit P cette variété. 

Les remarques faites au sujet des plans P„ s'étendent sans difficulté 
à ces variétés aune infinité de dimensions. Ainsi l'hypothèse que les 
fonctions //(^) soient orthogonales et normales ne restreint en rien la 
généralité de la nolion de plan P. 

Si l'on sait qu'une fonction est représentable par une série de la 
forme (i5), on peut encore en obtenir les coefficients par la for- 
mule (5). 

Prenons maintenant une fonction Jr(t) de carré sommable, à cela 
près quelconque. Calculons les coefficients ai par la formule (5), et 



122 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

formons la série 

(i6) «,/i(0 + ciif^{t)~\-.. .+ a„fn(t)-T-.. . . 

Il s'agit d'étudier si elle représente une fonction, et si cette fonction 
est ou non x(t). 

Appelons X,i(/) la somme des 7i premiers termes, et posons 

x{t) = X,,(t)-\-'çn(j). 

La formule (r) donne 

d'où résulte que la série Saf^est convergente, sa somme étant au plus 
égale au premier membre. 

Appelons A,; le point de l'espace fonctionnel qui représente la 
fonction X„ (t). Si 7i' >> /i >> N, on a 



quantité aussi petite qu'on le veut si N est assez grand. Donc A,i tend 
vers un point déterminé A. Analjtiquemcnt, cela signifie que X,i[t) 
converge en moyenne vers une fonction de carré sommable X(^). 

Bien entendu, cela ne veut pas dire que la série (ï()) converge pour 
chaque valeur de t. Elle converge seulement en moyenne. La valeur 
de X(^) peut d'ailleurs être modifiée arbitrairement pour les points 
d'un ensemble de mesure nulle. On a vu que, dans ces conditions, 
X(^) peut être considéré comme parfaitement connu si l'on sait cal- 
culer 

(17.) / X(t)y(t)dt, 

y{t) étant une fonction de carré sommable, à cela près quelconque. 
Cette intégrale est la limite, pour n infini 



7 
1 



(18) f X,,(t)y{t)dt, 



puisque 



j f [\>t)-Xn(t)]rit)dt [s f [X{t)~XnU)Ydt f yHj)dt, 



rriAP. VII. — CONSIDERATIONS GEOMETRIQUES. 123 

quantité'' qui tend vers zéro. Or, en posant 

hn= / J'n(j))iJ)dt, 

J Q 

l'expression (18) s'écrit 

L'expression (17) est donc la somme de la série YiCinbn, dont on peut 
vérifier immédiatement qu'elle est convergente, puisque ^aj^ et S^j; 
le sont. La fonction X(^) peut être considérée comme connue. 

La fonction x{l) apparaît alors comme la somme d'une fonc- 
tion X(?) représentable par la série (16), et d'une fonction ^{t) 
orthogonale à toutes les fonctions //(/), puisque 

J ft^.^}V^)d^= I fi[t)x{t) dt — \\m I fi(t)\n(t)dt = ai-—ai=o. 

La fonction x{t) donnée sera alors représentable par la série (i5), ou 
non. suivant que cette fonction ^(z) est nulle ou non. 

96. Suites complètes et suites incomplètes. — JNous dirons qu'une 
suite de fonctions orthogonales est complète s'il est impossible de 
trouver une fonction • ^(^), non identiquement nulle, identique 
à toutes les fonctions de la suite. Elle esl incomplète dans le cas con- 
traire. 

Dans le premier cas, la fonction ç(/) du numéro précédent est 
sûrement nulle, et par suite une fonction x{t) de carré sommable est 
toujours représentable par la série (iD-). On peut dire que le plan P 
constitue tout l'espace fonctionnel, et les coordonnées ai constituent 
un système de coordonnées rectangulaires dans Fespace fonctionnel. 

Ce cas est d'ailleurs effectivement possible. La théorie des séries 
trigonométriques, dont nous avons rappelé les principaux résultats 
au Chapitre 111, montre que la suite 

I, y/acos'?. -/, s/i 's\u'ir.t, ..., \/-i cos-}. ht. t^ \/i's\n'inrJ . 

est une suite conq^léte de fonctions orthogonales et normales. 11 
n'existe aucune fonction ortliogonale à toutes ces fonctions, et c'est 
pour cette raison que toute fonction de carré sommable est représen- 
table par une série trigonométrique. 



124 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

Le cas des suites incomplètes est évidemment aussi possible. 11 
suffit de supprimer des termes d'une suite complète pour obtenir une 
suite incomplète. Dans ce cas, il existe au moins une fonction ortho- 
gonale à toutes celles de la suite, et qui n'est évidemment pas repré- 
sentable par une série de la forme (i5). Le plan P, cjuoique ayant une 
infinité de dimensions, ne représente qu'une section de l'espace fonc- 
tionnel. 

On démontre aisément que toute suite incomplète peut être 
déduite d'une suite complète par suppression de termes en nombre 
fini ou infini. 

11 n'est pas nécessaire que les fonctions d'une suite soient orthogo- 
nales pour qu'on puisse se poser la question de savoir si la variété 
linéaire qu'elles définissent constitue ou non tout l'espace fonc- 
tionnel. Ainsi, considérons la suite 

('19) I, T, X-2, . . . , X'i, 

Par applica:ion du procédé indiqué n** 94, on en déduit une suite de 
polynômes orthogonaux 

(•20) I, /lit), /-lit), ,..., fn(.t), ..., 

qui sont bien connus sous le nom de polynômes de Legendte. Les 
Il premières fonctions de la suite (20) sont évidemment des combi- 
naisons linéaires et homogènes des fonctions correspondantes de la 
suite (19), et inversement. Une fonction orthogonale à toutes les 
fonctions d'une des suites le serait à toutes celles de l'autre; on 
démontre qu'il n'en existe pas, et par suite la variété linéaire définie 
par les fonctions (20) constitue tout l'espace fonctionnel. 

On voit que, sans passer par l'intermédiaire des suites de fonctions 
orthogonales, si l'on se donne une suite de fonctions non orthogo- 
nales, 

comme la suite (19), et si l'on démontre c|u'aucune fonction ne peut 
être orthogonale à la fois à toutes ces fonctions, on peut affirmer que 
la variété linéaire qu'elles définissent constitue tout l'espace fonc- 
lionnel. On peut approcher en moyenne autant cjue l'on veut de toute 
fonction de carré sommable par une somme de la forme 



CflAP. VU. — CONSIDÉRATIONS GÉOMÉTRIQUES I'x5 

Seulement la difïérence essentielle entre ce cas et le cas des fonctions 
orthogonales est que, lorsqu'on améliore indéfiniment l'approxima- 
tion, n augmentant indéfiniment, le coefficient ai d'indice fixe l ne 
reste pas fixe. Au contraire, dans le cas des fonctions orthogonales, on 
peut prendre le coefficient donné par la formule (5), qui dépend de i 
seulement et non de n. 

97. Changements d'axes rectangulaires dans l'espace fonctionnel. 

— Considérons deux suites 

< •■>-!) ' /l(0, /2(0, ••-, fuit), ..., 
(9.2) ?l(^), ?2(0» ?/i^^)7 '••■> 

de fonctions orthogonales et normales, la première étant complète. 
En posant 

•A 
on peut donc écrire 

Le fait que les fonctions ^/(^) soient orthogonales et normales s'ex- 
prime par les conditions 

La résolution des formules (28) par rapport aux fonctions y*^(i) 
est d'ailleurs possible ou non, suivant que la suite (22) est elle-même 
complète ou non. Si, en eff'et, celte suite est complète, on peut inter- 
vertir le rôle des suites (21) et (22) et écrire 

(25) /A('0 = CA,iCpi(r)-i-C/,,,çp2(0+---- 

Réciproquement, si les fh{t) s'expriment par des séries de fonc- 
tions ^/(<), toute fonction de carré sommable x(i), pouvant être 
approchée en moyenne autant qu'on veut par une somme de fonc- 
tions /a(0 ^^ nombre fini, peut l'être aussi par une somme de fonc- 
tions 'j>i{t)j ce qui prouve que ces fonctions forment une suite com- 
plète. 

Dans ce cas, le fait que les fonctions fh{t)^ données par la for- 
mule (25), soient orthogonales et normales, s'exprime par les for- 



nb PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

nmlcs 

[ ■J.b) . 

( Ca.i C/,.^i-r- t'/^^oC/,-, ? + ...= O (/i-T^A). 

Dans le cas contraire, //i(^) est la somme de la série (^5), et d'une 
fonction ^7, (^) orthogonale à toutes les fonctions ^i{t)^ et qui, pour 
au moins une valeur de A, n'est pas identiquement nulle. Si p/^ est 
son module fonctionnel, celui de /a(^) étant i , on a pour cette valeur 
de h 

(•27) c|,,,-+-c2,2-+-...=-I— PA<I. 

On voit d'ailleurs sans peine que la somme Sp,^ (finie ou infinie) est 
égale au nombre de fonctions c|u'il faudrait ajouter à la suite (22) 
pour la rendre complète. 

Contrairement à ce cpii se passe dans le cas cFun tableau fini de 
71' coefficients ci y, le système (26) n'est donc pas une conséquence 
nécessaire du système (24). S'il est vérifié, et dans ce cas seulement, 
le système (28) est résoluble, par rapport aux /^(^), par la for- 
mule (23). 

Si les deux suites (21) et (22) sont complètes, une fonction x(l) 
de carré sommable est de la forme 



x{ t ) 



= ^ «//•( ^ .) = \ '^A ?A ( ^ )/ 



les aiel a/, étant les coordonnées rectangulaires dans deux systèmes 
dillérents. On a, pour passer d'un système à l'autre, 






OU, en remplaçant '^h{t) par sa valeur (2.3), 

On a de même 

( •'•9 ) au = c/,,1 + c/,,2 «2 + 

Cette dernière formule n'étant vraie que si la suite (22) est com- 
plète, on voit que la formule (28) n'est résoluble par rapport aux ai. 
les conditions (24) étant supposées vérifiées, que lorsque les éga- 



CHAP. VII. — CONSIDÉRATIONS GÉOMETRIQl KS. 12; 

IJlés (aC)) sont vraies aussi, et non l'inégalité (2-). Il suffit même, 
d'après ce qui précède, de vérifier la première égalité (26); l'autre en 
résulte nécessairement, et dans ce cas la résolution cherchée est 
donnée par la formule (29). 

98. La fonctionnelle considérée comme fonction d'une infinité 
dénombrable de variables indépendantes. — D'après ce qui précède, 
la donnée d'une fonction x {t) de carré sommable dans l'intcr- 
valle (o, i) équivaut à la donnée d'une suite de coefficients a,, «o, ... 
tels que la série ^ci\ converge. La théorie des séries trigonométriques 
nous avait déjà conduit à ce résultat; la théorie générale des séries de 
tonctions orthogonales nous donne une infinité de manières de l'ob- 
tenir, chacune définissant un système d'axes rectangulaires dans 
l'espace fonctionnel. 

Une fonctionnelle Lj |[^(0]1 P^ut alors être considérée comme 
une fonction des variables <7,, «27 • • • , <"0?? • • . 

U 1 [x(tj\ I = u{ax, «2, • • -, '^hn ••..). 

La distance de deux points de l'espace fonctionnel étant définie j)ar 
la formule 

r-^= 1 [y(t) — xifJY- dt = ^{b,i-~ n„y^ 



ou 

r ^ 

1 

'0 



<^/i= / fnU)x(t) 
f^n= j fn{t)y[t)dt, 



cela revient au même de dire que la fonctionnelle L est continue, ou 
que la fonction u est continue, les définitions de la continuité étant 
celles qui résultent de la définition de la distance. 



du 
Oàa 

et la dérivée fonctionnelle U' . On a 



Il est facile d'établir une relation entre les dérivées partielles 



8u= r u:. 

Un désignant le coefficient de/„(/) dans le développement de U^. Oi 



128 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS LU CALCUL FONCriONNLL. 

en déduit 



(3o) 



^^ = u,^=J^fjt)V'^^,^ 



du 



De ces formules résulte immédiatement la relation 



(3i) ^xV=f 



àa,, 



Cette expression A, Lj est /e paramètre différenliel du premier 
ordre. En langage géométrique, elle représente le maximum de (SU)- 
lorsque ox a pour module fonctionnel i, ou en d'autre terme la valeur 

de ( -7— j pour un déplacement normal à la surface de niveau 

L =3 const. En la calculant à partir de cette définition, on arrive 
à l'une ou à l'autre des expressions ( 3i) suivant que l'on définit un 
point de l'espace fonctionnel par la fonction x[t) ou par ses coor- 
données à,, «2, . . . T a,ij .... 

99. Du point de vue qui vient d'être exposé, on peut déduire une 
nouvelle démonstration du théorème de M. Fréchet sur les fonction- 
nelles linéaires définies dans le champ des fonctions de carrés som- 
mables. 

Une telle fonctionnelle est évidemment de la forme 

cette série devant être eonvergente toutes les fois que ^af^ converge. 
Il en est bien ainsi si F(/i) = cj -h Cg-f-. . . -f- cl tend vers une limite 
pour ji infini. Je dis que cette condition est nécessaire ; pour le 
prouver, nous allons montrer que, si F(w) devient infini, on peut 
choisir les a,i de manière que ^a^ converge, mais non ^Cnan- 

Si les c,i ne tendent pas vers zéro, on peut choisir une suite de 
nombres />^,y;2 7 '-iPvi ••• tels que les c correspondants soient tous du 
même signe et supérieurs en valeur absolue à un nombre positif / . 11 

suffit alors de prendre a,i^= - si /i est un des nombres /?v, et zéro dans 
le cas contraire. ' ' 



C[IAI>. VII. — CONSIDERATIONS GEOMETRIQUES. I29 

Si les c,i tendeiiL vers zéro, F(/i) et F(/i -f- i) sont équivalents. 
Prenons alors 

,_ i _ I _ F(/i-M) — F(n) 

" ~ ¥{n)~ ¥{ti-{-i)~ F ( /i ) F ( n -h I ) * 

On en déduit 

¥(n-¥-i)—¥{n) 



s/¥{n) — ¥{n-^i) 

Cette difïérence est équivalente à logF(/i + 1) — logF(/i), et Sc«a„ 
devient infini. 

Tl faut donc que YicJ^ converge. Aux coefficients d correspond alors 
une fonction ^{t) de carré sommable, et la fonctionnelle cherchée 
s'écrit 

/o{ t)x{ f I dt, 
ce qui est la formule de M. Fréchet. 



CHAPITRE Mil. 

TRÂNSFORMATlOiNS PONCTUELLES DANS L'ESPACE FONCTIONNEL. 



SoMMAiRi: : Notions i^énérales. — Notions sur les équations intégrales de pre- 
mière espèce. — Laquât ions à limites fixes de deuxième espèce, ou équations 
de Predliolm. — Êqualions à limite supérieni^e variable, ou de Volterra' — 
Correspondances linéaires continues. — Correspondances dépendant linéaire- 
ment d'un paramètre. — Transformations non linéaires. — Remarques sur 
les surfaces de l'espace fonctionnel et sur les transformations infinitésimales. 
— Equations intégro-difierentielles. 

100. Notions générales. — Dans l'espace à n dimensions, iiiic^ 
transformation ponctuelle est une relation entre un point A, de coor- 
données x^^ X2-, -v- ^'iii et un point B, de coordonnées y, , >'o, ...^ y,i. 
Les coordonnées de B étant données en fonction de ('elles de A, c'est 
un problème fondamental de résoudre les formules par rapport aux 
coordonnées de A; c'est le problème de l'inversion de la relation 
donnée. On traite d'abord le cas linéaire; on a à résoudre un système 
de relations algébriques linéaires; le problème est résolu aisément 
par rintroduction du déterminant du système. Dans le cas général, la 
notion fondamentale est celle du déterminant fonctionnel; si ce déter- 
minant n'est pas nul, on peut, ati moins dans une certaine région, 
exprimer les coordonnées de A en fonction de celles de B. 

Nous suivrons la même marche dans l'espace fonctionnel. Nous 
étudierons d'abord le cas linéaire, puis le cas non linéaire. Lue difli- 
• culte fondamentale provient de ce qu'une variété linéaire à une infi- 
nité de dimensions peut représenter tout l'espace fonctionnel ou n'en 
constituer qu'une section; pourtant, elle aura totijours la même géné- 
ralité, en ce sens que Ton peut établir une correspondance bitini- 
voque entre les points de deux telles variétés. 

Considérons deux fonctions x{t) Gly[t)^ t variant de o à i, repré- 
sentées par deux points A et B de l'espace fonctionnel. La correspon- 



•CEIAP. VIII. — TRANSFORMATIONS PONCTUELLES DANS LESPACE FONCTIONNEL. l3l 

■dance entre ces points est linéaire et résoluble par rapport à B si, 
pour chaque valeur de ^, y{t) est une fonctionnelle linéaire de ûc. 
Supposons cette fonctionnelle de la forme de M. Volterra. On a 

(1) y{t)=j f(S.t)x(s)dt (G </<!). 

Le problème qui se pose est de savoir si cette équation peut se 
résoudre par rapport à x{s). Une telle équation, lorsque la fonction 
/*(5, t) est finie, est ce qu'on appelle une intégration de première 
espèce. La fonction /(a-, t) est appelée noyau de cette équation. 

Elle ne constitue qu'un cas particulier du problème posé, puisque 
■y{t)^ considéré comme fonctionnelle linéaire de x{t)^ peut n'être pas 
de la forme de M. Volterra; ce cas n'est même pas le plus important. 
Nous ne nous attacherons d'ailleurs pas à étudier le cas général tel 
qu'il résulte des considérations des n^* 49 et 50, mais nous nous con- 
tenterons de donner quelques indications sur les cas les plus impor- 
tants. Pour plus de détails, on consultera avec profit le Cours d' Ana- 
lyse de M. Goursat, ou les Ouvrages sur les équations intégrales de 
M. Lalesco et de M. Volterra. 

101. Notions sur les équations intégrales de première espèce. — 
Voyons d'abord ce que donne, appliquée à l'équation (i), la méthode 
du passage du fini à l'infini. Posons 

i 

Si= —j Xi = X{ Si) (i — \. 2, ...,/?), 

On peut considérer l'équation (i) comme limite du système 

(2) yj— ^tj^l -^ C2,j^-2^- • • .+ Cp,jX 

p et q devenant iniinis. Mais ce point de vue ne conduit à aucun 
résultat précis. Si yj = q, la solution du système est, en général, bien 
déterminée. Si p <C q, il J ^ en général impossibilité. Si p^ q^ il y a 
en général indétermination. Les trois cas pouvant aussi bien conduire 
à la limite à la même équation (i), et les conclusions qu'on peut s'al- 



I02 PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

tendre à tirer du passage à la limite étant contradictoires, on voit 
qu'on ne peut pas s'attendre à ce que l'étude du système (2) conduise^ 
dans le cas général, à une théorie de l'équation (1). 

Il n'y a, d'ailleurs, aucune raison de considérer comme plus naturel 
de prendre p z= q. Gela conduirait à Tidée que l'équation (i), dans le 
cas général, détermine bien x{s). Or, s'il en était ainsi, en ne consi- 
dérant que les valeurs de t comprises entre o et -, on aurait indéter- 



1 

2 
minalion, et, en posant -: = 2^ et jk(^) = t,(':), on aurait 



'n(-^=J f[s,-]x{s)ds, 



équation du type (i), t et 5 variant de o à i , et dont la solution serait 
indéterminée. On voit bien qu'il n'y a aucune conséquence à tirer dw 
fait que les intervalles de variation de s et t soient égaux, cette cir- 
constance pouvant toujours être réalisée par un changement d'unité' 
sur l'une des variables s et t. 

102. L'introduction de la notion de fonctions orthogonales va nous 
donner des résultats plus précis. Supposons /(5, t) de la forme 

chacune des suites 

étant composée de fonctions orthogonales et normales (*). Remar- 
quons que la série ^c^ est nécessairement convergente, si f(s, t) est 
de carré sommable, car 

/ f p{s, t)dsdL=:c\-v-cl-\-...-hcl-{-.... 



(') Une fonction /(*, ^), de carré sommable dans le carré o<5<i, o<i<i, peut 
d'ailleurs être représentée par une série de la forme (3), convergente en moyenne. 
Ce résultat se déduit de l'étude des équations intégrales de deuxième espèce Voir 
sur ce sujet les Ouvrages cités n° 101 ou le remarquable Mémoire de M. E. Schmidt 
{Mathematische Annalen, t. LXII et LXIII). Nous reviendrons sur cette {|ucstiort 
au Chapitre IV de la troisième Partie, dans le cas où la fonction /(s, i) est symé- 
Iricjue. 



CHAP. VIII. — TRANSFORMATIONS PONCTUELLES DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. l33 

En posant 
(G) ai= / ^i{s)x(s)dsj 

l'équation (i) s'écrit 

Si les suites (4) et (5) sont complètes, on peut développer j'(^) en 
série, de fonctions 'j'(^). En désignant par [3,^ le coefficient de 'i>«(^), 
il vient ^^j,^-=^ Cn^-n- Ea série S [3,^ est sûrement convergente, mais Cn 
tend vers zéro et l'on ne peut affirmer que ^^\ converge. La conver- 
gence de cette série est alors nécessaire et suffisante pour l'existence 
d'une fonction de carré sommable x{^s\ correspondant par la for- 
mule (6) aux coefficients a/= — [condition de M. E . Picard). 

Ci 

Cette fonction est alors bien déterminée. 

Ainsi, dans le cas où les suites (4) et (5) sont complètes, l'équa- 
tion (i) établit une correspondance biunivoque entre l'espace fonc- 
tionnel tout entier, décrit par oc{s)^ et une partie de cet espace, 
décrite par j^(^). (Nous considérons ici l'espace fonctionnel représen- 
tant l'ensemble des fonctions de carrés sommables.) La partie décrite 
par j'(^) est définie par des conditions de continuité. 

Pour se rendre compte de la nature de cette condition, plaçons-nous 
dans le cas particulier où f(^s,t) = o, si s <C t et i si 5 > t. L'équa- 
tion (i) s'écrit alors 

y{t) = / x(s)ds. 
'A 

Le champ fonctionnel décrit par jk(0 ^^^ celui des fonctions s'annu- 
lant pour ^ == o et admettant une dérivée de carré sommable; cette 
dérivée est x{s). Dans ce champ, la définition naturelle de la distance 
de deux fonctions j'( ^) et Y(^) est donnée par la formule 



,->= f [Y'(t)-y(t)]^dL 



Avec cette définition, et la définition habituelle dans le champ 
des ^(i), la correspondance entre les deux fonctions est continue; le 
point représentant l'une des fonctions tendant vers une limite, celui 
représentant l'autre tend aussi vers une limite. Avec la définition 



l34 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.. 

habituelle de la distance dans le champ clesy (^), .x(s) ne dépendrait 
évidemment ]>as dey(t) d'une manière continue. 

Appliquons maintenant la méthode générale. La fonction f{s^ t} 
considérée s'écrit 

f(s, ^) = 7 ^— ^ ces ( 71 -h -] ~s sin ( /i h ]r.t.. 

La relation entre les développements correspondants de x {s) et y{t)- 
est alors 

X{s) =^^y.nC^)Syn-^ W^, 

y{t) =^S. ^" sin ln+-\T.t = "V 8,, siii in ^ -\-t 



(comme il est bien évident, puisque y est la primitive de x), et la 
condition de M. Picard est que la série 2 ( /i H — ) (S;,, ou plus simple- 
ment la série -/i- |3,'^, soit convergente. Cette condition est équiva- 
lente à celle que y{t) soit une fonction s'annulant à l'origine et ayant 
une dérivée de carré sommable. 

103. Des circonstances toutes différentes se présentent si les 
suites (4) et (5) ne sont pas complètes toutes les deux. 

Supposons d'abord que la suite (4) soit complète, mais non la 
suite (5). Des conditions sont alors nécessaires pour que y{t) soit 
représentable par une série de fonctions '\{t). Si y{t) vérifie ces 
conditions, on peut continuer comme dans le cas précédent. On 
\oit donc que le problème est, en général, impossible, jamais indé- 
terminé. 

Supposons maintenant la suite (5) complète, mais non la suite (4)- 
Si la condition de M. Picard est vérifiée, on peut trouver une infinité 
de fonctions x{s) véritiant les relations (6); elles sont représentées 
par la formule 

\{s) étant une fonction orthogonale à toutes les fonctions 'o„[s). 

Si, enfin, aucune des suites (4) et (5) n'est complète, on trouve : 
d'une part, des conditions de possibilité imposées à )'(^); d'autre 
part, indétermination pour jk(-^)- H n'y a aucune rehition entre le 



CIIAP. VIII. — TUANSFORMATIOXS PONCTUELLES DANS L ESPACE FONCTIONNEL. U^) 

nombre de conditions imposées à y{t) et le nombre de paramètres 
dont dépend y{s)^ le premier de ces nombres dépendant de la 
suite (5) et le second de la suite (4)- 

On ol)tient ainsi des circonstances toutes différentes de celles ren- 
contrées dans l'étude des correspondances linéaires dans l'espace 
à n dimensions. La circonstance essentielle de cette étude est cjue, si 
le déterminant des coefficients est nul, ainsi cjue ses mineurs, jusqu'à 
l'ordre p — i , les y doivent vérifier p conditions de possibilité, et 
les X dépendent du même nombre p de paramètres; d'ailleurs, en 
i^énéral, le déterminant n'est pas nul, et le problème est toujours 
possible et déterminé. 

Ces circonstances ne s'étendent pas à l'espace fonctionnel. 11 j a 
correspondance biunivoc|ue entre les fonctions 

X(.v) = '^ùa.fiOnis) 
et les fonctions 

telles cjue ^((^ converge, mais non entre des fonctions quelconques 
de carrés sommables. 

10 i. Nous allons maintenant étudier des cas dans lesquels la théorie 
ordinaire des équations linéaires se généralise, et dans lesquels, s'il 
y a p conditions de possibilité, la solution dépend de p paramètres 
arbitraires. 

Un premier cas est celui où la fonction y'(5, /) est symétrique. On 
peut montrer, dans ce cas, (jue les deux suites (4) et (5) sont iden- 
tiques. Elles sont alors complètes en même temps ou incomplètes en 
même temps, et, dans ce dernier cas, il faut ajouter le même nombre p 
de fonctions pour les compléter (ce nombre étant fini ou infini). Ce 
cas vérifie donc l)ien la condition énoncée, à cela près cpi'il faut tenir 
compte de la condition de M. Picard. 

Deux autres cas sont ceux des écjuations intégrales de deuxième 
espèce et des équations à limites variables. Ils vont nous donner des 
exemples de correspondances bien définies dans le champ de toutes 
les fonctions de carrés sommables, l'équivalent de la condition de 
M. Picard n'existant plus. Nous verrons ensuite un cas plus général. 

105. Équations à limites fixes de deuxième espèce, ou équations 



l36 PREMIÈRE PARTIK. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

de Fredholm. — On appelle ainsi l'équation intégrale linéaire 






(8) y(t) = x(t)-^X f{s,t)x{s)ds {o<t<i) (i). 

Les équations de ce type se présentent fréquemment dans les appli- 
cations. Si t est un paramètre fixant la position d'un point sur un 
contour^ et si ^ el y sont des grandeurs physiques définies en chaque 
point, il arrivera souvent que la valeur de y{t) en un point soit une 
fonctionnelle linéaire de x qui dépende spécialement de sa valeur ^(/) 
au même point. On a alors une équation du type (8). 

Dans ce cas, la solidarité qui existe entre les valeurs de x et y en 
un même point permet de déduire des conséquences du fait que ces 
deux fonctions sont définies dans le même intervalle. On peut espérer 
obtenir des résultats généralisant mieux la théorie des équations algé- 
briques linéaires que ceux relatifs à Féquation (i). Nous allons y 
arriver par la méthode de passage du fini à l'infini. 

Posons 

c ■ ■ — • o" • — nr ( e ■\ 



l 


Xi= x{Si) 


tj = l. 


y^-Aj. 


^'ij= 7/(^/. 


tJ) (i, 



f^'équation (8) apparaît comme la limite du système 



(9) 



JK,i== XCi,„ 371-4- XC2,« X^^. ..-\-{\-^\Cn,ii)JCn. 

i 



Ce système diflTère du système (2) par l'addition du terme i dans 
les coefficients de la diagonale principale. Cela change son aspect, et 
l'on peut obtenir, en le résolvant, des formules sur lesquelles le 
passage à la limite s'efï'ectue sans difficulté. Indiquons seulemeni 



(') La présenc(; du facteur a n'augmente en rien la généralité, puisqu'on peut 
remplacer a/(s, t) par/(*, t)\ elle facilite i'evposé de la théorie. 



CHAP. VIII. — TRANSFORMATIONS PONCTUELLES DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. l3; 

comment se présente le calcul pour le dénominateur 

XCi 2 I -+- XC2,2 



A Cl 



X. 



Xe«,2 



Développons-le en série suivant les puissances croissantes de A. Le 
terme constant est i . Les coefficients de A et \- sont respectivement 



1-^^=1 



/ 



2làfi-^ 












1 

'.y 
et tendent vers 



ie facteur - provenant de ce que les deux termes obtenus en permu- 

taiit i et j\ qui ne doivent être comptés que pour un, sont comptés 
deux fois dans le développement de l'intégrale double ; ce dernier 
développement introduit aussi des termes pour lesquels i^^Ji mais 
il n'en résulte aucune difficulté, leur somme tendant vers zéro j. 

D'une manière générale, les termes successifs du développement 
de A„ suivant les puissances croissantes de X tendent vers les termes 
correspondants de l'expression 



I4-X 



p 



f fit,, t,)dt, 

y/ 7'-/ 



^0 



f{tu h) f{ti. h) 
■ fit P. ty) 



JXf^. tp) 



fitp, t,>) 



dty dti H-. 
X dti dt-i . . . dt,y 



expression qu'on appelle déterminant de l'équation (8). 

Le numérateur de l'expression qui donne xi se déduit de A„ en 
remplaçant paryi, y^^ . . . , y^ les éléments de la diagonale de rang i. 



l38 l'riE.MIKIŒ PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

Les coefticients, qui sont des mineurs de A,,, sont infiniment petits 
avec — > à l'exception du coefficient de jv, mineur correspondant 
à un élément de la diagonale principale; c'est un déterminant ana- 
logue à A/,, et qui a même limite. On a donc des expicssions de la 
forme 

_ A„_x/-h C,-,ur\-+- G/,5.r2 -4- . . . -+- Cf,uyn 

Xi — y 

les coefficients G; ; étant des infiniment iietits, de Tordre de — • A la 
limite, on est conduit à une expression de la forme 

(lo) œ{s) =y{s)-^\ I F{s, t)y(t) dt, 

F(5, t) désignant une fraction, dont le dénominateur est A. et dont h" 
numérateur est une série analogue à celle qui donne A. 

Ainsi, nous sommes conduits à une expression de œ{s) en fonction 
de y tout à fait analogue à celle qui donne y{l) en fonction de oc. Le 
Jioyau f{Sj t) est seulement remplacé par la fonction F(.s', l), qu'on 
appelle noyau r es o ha ni. 

Bien entendu, la méthode que nous venons d'indiquer n'est qu'une 
méthode d'induction, dont on pourrait difficilement tirer la démons- 
tration rigoureuse de l'équivalence des formides (8) et (lo). 
M. Fredholm, à qui est due la théorie de l'équation (8), a vérifié 
directement l'exactitude de la solution donnée par la formule (8). 
Contentons-nous d'énoncer ses principaux résultats : 

i" Le noyau /(5, t) étant supposé fini, la série A, et la série ana- 
logue qui représente le numérateur de F (5, ^), sont toujours conver- 
gentes. Ce sont des fonctions entières en À. 

2*^ Si le déterminant A n'est pas nul, la solution de l'équation (8) 
est unique, et donnée par la formide (10). 

3'^ Si A, qui ne peutêtre identiquementnul, puisque A=: 1 pourX = 1 , 
a une racine d'ordre A pour la valeur considérée de A, la fonction y{t) 
doit vérifier h conditions de la forme 

/ Oi{t)y{t) dt = o (1—1^2, . ..,/(). 

Si ces conditions sont vérifiées, l'équation (8) admet des solutions- 
dépendant linéairement de h constantes arbitraires. 



ClIAP. Vin. — TRANSI ORMATIONS PONCÏl ELLES DANS L ESPACE FONCTIONNEL. Iô[) 

Les circonstances f|Lie Ton peut rencontrei" dans l'étude de Féqua- 
lion de Fredbolm sont donc exactement les mêmes c[ue l'on rencontre 
dans Fétude des systèmes d'équations algébriques linéaires. 

Pour les équations d'un type plus général, sans avoir formé expli- 
citement dans tous les cas l'expression qui généralise le déterminant, 
nous dirons qu'une relation linéaire, donnant y (^) en fonction de :r(.ç), 
admet un cléterminanl, et que celui-ci n'est pas nul, lorsque la réso- 
lution par rapport à x est toujours possible et déterminée dans le 
cliamp des fonctions de carrés sommables. 

106. Équations à limite supérieure variable, ou de Volterra. — 
Elles peuvent être de première ou de deuxième espèce. On a ainsi 
les deux types d'équations 

(il) y{t)= / f{s^t)x{s)ds, 

Jq 

( I '.>.) ' y ( t ) = ./■ ( z' ) -h À / /(>, t ) xi s) cls. 

Si t varie de o à une valeur ï, on peut se proposer de déterminer la 
fonction x dans le même intervalle (o, T). 

Ces équations peuvent être considérées comme des cas particuliers 
des équations à limites fixes. Il suffit de prendre le noyau égal 
à /{s, t) pour .V <^ t et nul pour s'^ t. lia discontinuité pour s = t^ 
bien loin de rendre la résolution plus difficile, la facilite. Même dans 
le cas de l'équation de première espèce, il en résulte une solidarité 
entre les valeurs de .x cl y pour les mêmes valeurs de la variable, et 
cela est, comme nous le savons, de nature à faciliter l'intégration. 
On a, en effet, en dérivant l'équation (i t), 

(i3) y'{r)=f(f, f).r{t]-h 1 f'tis, t)x(s)ds. 

Si/ (o, o) n'est pas nul, et T assez petit pour que/(/, t) ne s'annule 
pas dans l'intervalle considéré, on peut prendre comme fonction 
inconnue y (^, t) x(t), et l'on est ramené à une équation de deuxième 
espèce, plus facile à intégrer. D'ailleurs y{o) = o est une condition 
évidemment nécessaire pour que l'équation (ii) admette une solu- 
tion, et, dans cette bypotbèse, les équations (i i) et (i3 ) sont équiva- 



l4o PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

lentes. 11 suffit donc d'étudier Féquation de deuxième espèce, que 
nous prendrons sous la forme ( 12 ). 

Les formules générales de M. Fredholm sont évidemment appli- 
cables. Mais la solution du problème actuel est beaucoup plus simple, 
et a d'ailleurs été obtenue par M. Volterra bien avant les travaux de 
^I. Fredholm. 

Formons la solution par la méthode des approximations succes- 
sives, l'approximation Xn+t (t) étant déduite de la précédente par la 
formule 

yi t) = Xn^^{t) -^-l fis, t)x-n(s\ ds, 

d'où l'on lire, 

^n-hl(t) — Xn(t)-^l / f{ S. t)[Xn(s) — X'n-iis )]ds = O. 

Si les fonctions /(^, t) et Xiis) — Xo{s) sont finies,' et recpecti- 
vement inférieures en module à des nombres K et Oli, on en déduit 

(l4) \Xn + i(t) — X„(t)\< -j , 

inégalité qui se vérifie immédiatement par récurrence. 11 en résulte, 
en vertu des principes bien connus de la méthode des approxima- 
tions successives, que oCn(t) tend uniformément, pour | t\ < T, vers 
(ine .limite x(t)^ solution de l'équation (12 ), et qu'il n'y a pas d'autre 
solution. 

Si les fonctions y( t) et fis, t) ne sont pas finies, mais de carrés 
sommables, on peut prendre pour :ro{t) une fonction de carré som- 
mable quelconque, et le module fonctionnel de ,r„^t — Xn (et non son 
module maximum) vérifie l'inégalité (i4)- On en déduit la conver- 
gence en moyenne de x^it) vers une fonction de carré sommable, 
solution de l'équation (12). 

En prenant .ro(^) =yi^), on obtient .t(^) sous la forme d'une séri(; 
entière en X. 

Ces résultats apparaissent bien comme un cas particulier de ceux 
relatifs à l'équation de Fredholm; dans ce cas le déterminant A n'est 
jamais nul; alors la solution est toujours unique et déterminée, et est 
une fonction entière de A. 

107. M. Lalesco a montré l'existence d'un lien étroit entre l'écpia- 



CHAP. VIII. — TRANSFORMATIONS PONCTUELLES DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. l4l 

tion de Volteria et les équations différentielles linéaires. Soit à trouver 
la solution de l'équation 

s'annulant pour ^ = o ainsi que ses /i — i premières dérivées. On 
peut la former par approximations successives, en prenant comme 

inconnue auxiliaire -j— =: :r(t). On en tire 

^^=j^ u-i)! "^^^^^ (^ = 1,2, ...,/0, 
et Fécjuation (i 5) s'écrit 

yit) — X{t)-^l f(s, t)x(s) ds, 

avec 

fis, t) =Mt) ^f,{t){t- s)+...-^fn(t) ^ |~^\"^' ■ 

On est donc ramené à une équation de Volterra, dont le noyau, 
considéré comme fonction de s, est un polynôme. La méthode 
des approximations successives conduit sans difficulté à la solution. 
Le fait que f{s^ t) soit un polynôme en s n'apportant aucune 
simplification dans la méthode, l'application à Téquation (i5) de la 
méthode des approximations successives devait nécessairement con- 
duire à considérer l'équation de Volterra sous sa forme générale. 

108. Correspondances linéaires continues. — Soit un point A repré- 
sentant une fonction de carré sommable x(t), et restant à l'intérieur 
de la sphère 

i xHt)dt = i [ou II .r(^)|| = i]. 



(l()) 



Si un point B représentant une fonction de carré sommable dépend 
linéairement de A, il décrit une région (volume ou hypersurface) 
que nous pouvons appeler ellipsoïde. On peut se demander si la 
distance de B au centre de l'ellipsoïde est limitée supérieurement. 
La réponse est affirmative. 

En effet, dans riiy})othèse contraire, on pourrait trouver une suite 



ï4'2 PREMIÈHI-: PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CAIJUI, FO-NCTIONXr.I . 

de fonctions 

j'i (ri, ;ro('/ >i . . . , x„(t), . . . , 

auxquelles correspondent, dans la correspondance étudiée, des fonc;- 
lions 

les fonctions 7,,/( / ) étant situées sur la splière ( i()), et les À/^ augmen- 
tant indéfiniment. Choisissons nne suite de coefUcients a,i tels que 
^r/l=: I et que I^K^al augmente indéfinimenl. A la fonction 

a^i t ) = £] aiXii i ) -h e.>a-2.r^{t ) -^. . .-^ ^ii<^( n-'' a^ ~ • • • i 

les z étant tous égaux à zb i , correspond la fonction 



Désignons pary,^(^) la somme des n premieis termes de y{t). et 
choisissons £„ de manière que 



2/i A// «» / y?i-\ (J)'''^n^ t) dt ;; (). 



On a évidemment 



f yht.)cn> f yi^^U) 



dt -h X;, «,7^ X^ rt| -f- X' cï!^ -:- . . . -h X,' r/J;. 



Cette expression augmentant indéfiniment avec /i, la fonction r(/) 
ne serait pas de carré sommable. Le tliéorème est donc démontré. 

Il en résulte que, si A reste dans une région finie, B reste dans une 
région finie, ou encore, ce qui revient au même (voir \\^ 39), que B 
dépend de A d'une manière continue. 

Si la correspondance entre A et B est r(''solu])le par rapport à B, le 

BB' , 
rapport -^—7 ( B' étant le point qui correspond à A') a non seulemciU 

un maximum, mais un minimum. En d'autres termes, l'ellipsoïde 
correspondant à la sphère (16) a ses demi-diarnélres compris enire 
une limite inférieure positive et une limite su|)(''rieure finie. 

109. Correspondances dépendant linéairement d'un paramètre. — 
Posons 

Ur ) y(t) = X{t) -hlz(f), 



CIIAP. Mil. — ÏUAXSFOKMATIOXS l'ONCTUKLLI^S DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. l43 

z{t) dépendant llnéairemenl de .x(t} de la manière considérée au 
numéro précédent, la limite supérieure de ||^(^)|| sur la sphère ( i() ) 

étant désignée par K. Je dis que, pour p^l^ -jt' la relation ( i-) est 

résoluble par rapport à xi t). 

Nous allons former la solution par des approximations successives. 
Prenons comme relation de récurrence 

{ I B ) y{t) = Xn-^\ ( t)-^\ Zn ( t ), 

ZniJ ) désignant ce que devieiît z{t) pour la détermination x„ de jc. 
On en déduit 

^,^4-1(0 — ^',i(t) -+-'k\Zn(t) — Z,i-iit)] = 0, 
|i X.^^i ( t) — Xn(t) P K I X 1 II X„{J) — Xn-i U) \\ ^ Dit Mj X l'S 

OW étant indépendant de n. Donc, si K|X|-<i, x„{t) converge en 
moAcnne a ers une fonction :r (^) de carré sommable, et la formule (18) 
montre à la limite que cette fonction vérifie Téquation (17). D'ail- 
leurs, si X(^) est une solution de cette équation, on a, par une 
méthode analogue, 

\\xU)-x{t)\\^^K\\\ |iX(/)-x(n|i, 

€e qui prouve que X(^ ) et :r(^) sont identiques. La solution trouvée 
€st donc unique. 

On voit ainsi que, pour | A | < tt > la solution (i-) définit une cor- 
respondance biunivoque et continue ^ntre les deux fonctions de carrés 
sommables x et y. A une fonction x{t) de module fonctionnel égal 
à i, correspond une fonction y(t) de module fonctionnel compris 
évidemment entre 1 — j A j Iv et 1 + | X| K. 

110. Transformations non linéaires. — Il est facde d'étendre le 
raisonnement précédent à des équations non linéaires. Partons de 
l'équation linéaire 

(.i\)) yii) = p\[^{s)\t] I, 

F étant une fonctionnelle linéaire de x, et supposons que cette équa- 
tion admette un déterminant non nul, de sorte ciue le i\apport-F-r des 

11-^ Il 
modules fonctionnels ait une limite inférieure positive m. 



l4i PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

Considérons l'équation non linéaire 

(■20) y(J) = F [x(s)\t] I -+- G| [^(s) 1 1] 1, 

déduite de la précédente par addition d'une fonctionnelle G nulle 
pour j^ = o et telle que la différence 

G|[X(5)l/]|-Gl[x(>,)|;]l. 

ait son module fonctionnel inférieur à K||X(5) — ^('?)||7 tant que les 
fonctions oc (s) et X(5) sont situées à l'intérieur d'une sphère de 
centre R ayant l'origine pour centre. ' 

Cherchons à former par approximations successives la solution x( s) 
de l'équation (20). Prenons comme première approximation la solu- 
tion .^0(5) de l'équation (19), et formons les approximations succes- 
sives par la formule 

y(t) = F 1 [Xi^i(s) 1 ^11 + G I [xi(s) \t]l 

d"où l'on déduit 

F I [.riis) — Xo(s) \t]\ -h G\ [j^ois) | ^] | = o, 
F I [.ri^i{s) — Xi{s) \t]\ = G\ [xi-i(s) | ^] | _ G ] [a:i{s) \ t] \ u>o). 

Ces formules définissent sans ambiguïté toutes les fonctions r/, 
et l'on a, pourvu qu'elles restent à l'intérieur de la sphère de 
rayon R, 

||:r,-.ro| <K|lxol f^^lljO)!!, 

I|;r,•^,-^,l|<^||:r,--.r,_.lI|<()^y"'|l^(^)ll. 

De cette formule résulte la convergence des approximations vers une 
solution de l'équation (20), poursu que K <^ /?i, et il n'y a évidem- 
ment pas d'autres solutions dans le voisinage de l'origine. 

Ce raisonnement suppose que l'on ne sorte à aucun moment de la 
sphère de rayon R. 11 suffit pour cela que 

c'est-à-dire que y{t) ait son module fonctionnel au plus égal 
• On voit donc qu'il y aura correspondance lûunivoque entre les 



CHAP. VKI. — TRANHFOliM.VTIOXS lOXCTl KLLKS DANS L ICSPACE FONCTIONNEL. IJS 

poiiils A et B rcprésciitaiit les deux fonctions x ety, tant que ceux-ci 
restent dans des l'éij^ions suffisamment petites, mais finies, entourant 
l'origine. 

On peut apj)li<[uer ce résultat à une relation de forme presque 
quelconque, si l'on connaît \n\ système de [)oints Ao et B^ qui se cor- 
respondent ; ./•„ <'t r„ désignant les fonctions représentées pai* ces 
points, mettons cette relation sous la forme 

(21) y{ i ) — J^'o< I » --= F 1 [.r -~x^\t\\-\-G\[x —Xii\ t\ |, 

1^' désignant dans le second memijre la partie du premier ordre par 
rapport à ./• — ^ .^o (C'est-cWiirc que F|[6j:|/J| est la variation du, 
second membre au point Aq). 
Si l'c'quation linéaire 

yU)—y,,(t)^¥\[x — x^\t]\ 

n'a pas un déterminant différent de zéro, on ne peut évidemment pas 
s'attendre à ce que la correspondance définie par l'équation (21) soit 
résoluble par rap])ort à la fonction x. Si, au contraire, elle a un 
<lé terminant différent de zéro, la fonctionnelle G vérifiera presque 
toujours dans le \oisiiiagc de Ao la condition indiquée plus liant; si 
sa variation première est continue à la Lipschitz elle la vérifiera, 
dans une certaine sphère de centre Ao, non seulement pour une 
valeur convena])le de K inférieure à m^ mais pour K aussi petit 
que l'on \eut. On a alors une correspondance biunivoque entre 
les points A et B dans des petites régions entourant respectivement 
Ao etBo. 

111. Si l'on sort du point de vue local, il j a déplus grandes diffi- 
cultés. Lne des questions les plus importantes est de chercher combien 
une équation, de forme absolument quelconque par rapporta .^(^), 
admet de solutions dans un volume donné. La question analogue, 
dans le cas de l'espace ordinaire, et résolue par la notion de l'indice 
de Kroneclver, qui s'exprime par une intégrale de surface. On ne 
peut songer à aborder sa généralisation avant d'avoir étudié l'intégra- 
tion dans le (h)maine fonctionnel, ce que nous ferons dans la troisième 
Partie; mais, même après cette étude, le problème considéré semble 
encore très difficile (^voir troisième Partie, n" 148, 8"). 

Ll';VY. 10 



l46 PREMUNIE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 

112. Remarques sur les surfaces de l'espace fonctionnel et sur les 
transformations infinitésimales. — Dans l'espace à ii dimensions, les 
surfaces conlinues à n — \ dimensions jouissent de la propriété de 
constituer une séparation entre deux régions, telle 'qu'on ne peut jKas 
passer de l'une à l'autre sans traverser la surface. 

Dans l'espace fonctionnel, il existe également des surfaces jouissant 
de cette propriété. Telle est par exemple la sphère ||;r|| = R. En 
restant dans le champ des fonctions de carrés sommahles, (Ui ne 
peut passer par un mouvement continu d'une fonction de module 
fonctionnel inférieur à R à une fonction de module supérieur à R 
sans qu'une fonction intermédiaire soit exactcmeni sur la sphère 
considérée. 

A l'inverse de ce qui se passe dans l'espace à n dimensions, ces 
surfaces S, qui jouissent de la propriété d'être la frontière d'un 
volutne, ne peuvent pas être caractérisées par leur nombre de dinu;ji- 
sions. Nous savons qu'on peut, par exemple, établir une correspon- 
dance biunivoque entre l'espace fonctionnel et une de ses sections 
planes P; la surface S correspondra alors à une \ariété du plan P, 
qui limitera une région de ce plan, mais non une région de l'espace; 
si elle divise le plan P en deux parties V ^ et Po, on pourra, en sortani 
du plan P, passer de l'une à l'autre sans traverser la variété V. Ou 
voit donc que la propriété de constituer la froulière d'un vohnne, 
qui dans l'espace ordinaire se conserve en général par des transfor- 
mations ponctuelles, se perd au contraire en général. C'est une des 
conséquences de cette circonstance que le nombre co des dimensions 
de l'espace fonctionnel étant infini, rien ne distingue les uns des 
autres les nombres co, oj — i, (o — 2, .... La géométrie (et en paili- 
culier Vanafysis siUis) est la même dans l'espace et dans les sections 
vérifiant un nombre fini de conditions linéaires. 

Mais ces circonstances ne peuvent pas se produire pour une trans- 
formation infinitésimale 

la fonctionnelle G étant infiniment petite avec A. Si X est suffisam- 
ment petit, cette relation est du type étudié n*^ 110 et il y a cor- 
respondance biunivoque entre oc(t) et /(/). A un volume 'décrit par 
le j)oint représentant x{i) correspond un volume très peu difiéreul 
décrit ])ar le point représentant jk(^)- Par suite, à une surface, froii- 



CHAP. Vlil. — TRANSFORMATIONS PONCTUELLES DANS L ESPACE FONCTIONNEL. 147 

tière d'un volume, correspond une surface in(îniinent peu difïérente, 
qui est également la frontière d'un volume. A une surface définie 
par /? conditions d'égalité correspond de même une surface infiniment 
voisine définie par p conditions d'égalité. 

La déformation de la surface est d'ailleurs bien définie ( indépen- 
damment de la loi de correspondance entre les points de la surface 
initiale et ceux de la surface déformée), si Ton se donne les p com- 
posantes normales du déplacement de charpie point. Ainsi la défor- 
mation d'une surface frontière c]<' \olume, dépendant d'un para- 
mètre A, est bien définie par la donnée en chaque point du dépla- 

ement normal ô/i =: L <;/a. Si la fonctionnelle l dépend, d'une 
manière continue, du point de la surface, la surface déformée est 

ncore une surface définie par une seule condition d'égalité, quand a 
;st assez voisin de la valeur initiale; mais il peut arriver, naturelle- 
ment, que ce caractère disparaisse quand A tend vers une certaine 
limite A< . 



113. Équations intégro-dififérentielles. — Considérons un groupe 
de transformations, obtenu par répétition d'une transformation infini- 
tésimale. Chaque point décrit une ligne, qu'on peut obtenir par inté- 
gration de l'équation 

' '^.2 ) o./-( / ) — ^^ I I .r I *^j I cl A. 

On peut dire aussi que la fonctionnene I' (h'Iinit un vecteur en 
chaque point, et la ligne en question (^st une ligne de force de ce 
<'liamp de vecteur. 

Si la fonctionnelle F est linéaire el de la forme normale de 
M. Volterra, l'équation ( •.i'2) s'('crit 

-.1 
'- 
ou encore, :r étant une fonction de t et A, 

/{S, l)a:{ s, À ) f/s. 

Dans des cas plus généraux, la fonctionnelle F pouvant être repré- 
sentée par une série de Ta^dor, on aura au second meml)re une 



l4B PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL lONCTlONNEL. 

série d'intégrales de divers ordres et eontenanl ./ à divers degrés. 
L'équation aura alors le caractère d'une équation dilierentielle par 
rapport à la variable A, et d'une équation intégrale par ra])poi't à 
l'autre variable. Elle est dite équation Lntégro-dlfft'renlicHc. 

11 peut d'ailleurs arriver qu'elle perde ce caractère, si, par 
exenqjle, la fonctionnelle V est une fonction de ./'(^) et .r'(^); il 

viendra 

dx . / ôx \ 

Oh •' \ ' ' ôt I 

et l'on aura une équation aux dérivées partielles ordinaires. Il nous 
arrivera de comprendre ce cas sous la désignation d'équation 
intégro-difFérentielle. Gela simplifiera le langage pour la suite. Mais 
ce cas sera, en général, un cas difficile pour le développement de la 
théorie. Gela tient à ce que, dans ce cas, la fonctionnelle F est 
continue d'ordre i seulement, tandis que pour les équations intégro- 
difîerentielles proprement dites, elle est continue d'ordre o, la 

dérivée -^ n'intervenant pas. Il en résulte que pour ces dernières on 

peut aisément former les solutions par des approximations succes- 
sives, tandis que la démonstration de rexistence des solutions des 
équations aux dérivées partielles donne lieu, comme on sait, à plus 
de difficultés. 

L'une ou l'autre acception des équations intéguo-différenlielles 
])artielles peut d'ailleurs se généraliser aux cas où, au lieu de deux 
variables t et A, on en a un plus grand nombre, l'équation a} ant le 
caractère d'équation intégrale par rapport aux unes et aux dérivées 
partielles par rapport aux autres (^). Telle sera l'équation 

r^ I r - 1 - 1 àx( f, A, IX) dxit, X, !Jl ) 

F \xis\A, iJ.)\ ■ \. ' , 7-^^' ^ 

(les notations ayant la signification indiquée au n*" 8). 



(') Une équation du type 

dx(t) 



dt 



- f fis, t)x 

^0 



h{i) x{i) -h / /{s, t) xis) (/s =-- ç(c/t). 



qui apparaîtrait comme inléj,'raie et didérenticlle par rapport à la même variaMe^ 
se ramène à une équation intégrale en prenant -j- comme inconnue auxiliaire. 



CIIAP. VIII. — THANSFOHMATIONS PO.XCTL KLLKS DAXS l'kSPACK rOXGTIONNKL. l49 

M. \ Ollcria a (ail une étude approi'oiirlie de c'cs équalions inlc'oro- 
dlfférenlielles, qui interviennent dans un i;rand noml)re de {)rol)lèmes 
physiques, Fiin des jj;roiipes de \arial)!es eomprenant la valable 
temps, l'autre les \ariables qui déterminent l'état du système étudié. 
L'exposé de ces tra\aux, qui se rattachent à ralgèl)re fonctionnelle 
plutôt qu'à l'analyse fonctionnelle, puisqu'd s'agit de problèmes où 
les inconnues sont des fonctions, scn^tirait du cadre que nous nous 
sommes tracés. Nous exposerons seuleuient au ('chapitre 1 de la 
deuxième Partie la méthode d'approximations successives dont il 
\ ient d'être question. Pour le reste, nous ne pouvons que renvoyer 
aux magistrales leçons de ^I. A Olterra {Leçons sur les fonctions de 
//4>7?e.ç; Gauthier-A illars, i()i3). 



DEUXIEME PARTIE. 

LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES 
DU PREMIER ORDRE. 



CHAPITRE I. 

LES ÉQUATIONS Al\ J)É11IVÉES FONCTIONNELLES GÉNÉRALISANT 
LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES. 



SoMMViRK : Définition des rquations étudiées dans ce Chapitre. — Réduction 
à une équation dilléreutielle. — Cas de fonctionnelles dépendant de para- 
mètres arbitraires. — La condition d'intégrabilité. — Cas de fonctionnelles 
dépendant de paramètres arbitraires. — Exemples d'équations complètement 
intégrables. — Cas des fonctions d'une Mj^ne et de deux points. 

I. Définition des équations étudiées dans ce Chapitre. — Les équa- 
tions par lesquelles nous allons eommencer cette étude constituent 
le type le plus simple d'équations aux dérivées fonctionnelles. Nous 
les appellerons dans la suite ér/ nations aux dérivées fonctionnelles 
ordinaires ou simplement équations aux dérivées fonctionnelles. 
Elles se déduisent, par le passage du fini à l'infini, de \ équation aux 
différentielles totales 

(i) du = pi dxx -^ Pi doCo-h . . .-^ pn dx„, 

\éri(iée par une fonction u de n variables ^<, x^-, • • • , oCn-, les coeffi- 
cients /> étant des fonctions données de x^^ x^., . . . , Xn et de u. 

On sait que la tlu'^orie de ces équations repose sur deux circons- 
tances fondamentales : 

1** Si le point A avanl pour coordonnées :r,, x-^^ ..., Xn dans 



I3>. DEUXIEME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

l espace à n dimensions décrit une ligne L, son déplacement s'e\pii- 
inant en fonction d'un paramètre À, Féquation (i) qui donne la varia- 
lion de u se réduit à une équation difierentielle du premier ordre 
en À et u. La fonction u est donc détinie sur la lii;ne L si l'on se 
donne sa valeur en un point de cette ligne. 

.'>." Si l'on se donne la valeur ii^ de la fonction a en un point A, 
et qu'on veuille déterminer sa valeur ^^j^ en un autre point R, on 
])eut j arriver en considérant une ligne L allant de A à B. INJais il 
])eut arriver que la valeur trouvée pour u^^ dépende du choix de la 
ligne L; dans ce cas, il n'existera pas de fonction u prenant la valeur 
donnée en A et vérifiant l'équation (i). Les conditions pour que 
cette fonction existe, c'est-à-dire pour que i(y^ ne dépende pas du 
clioix de la ligne L, sont dites conditions d' intcarahilitâ de léqiia- 
/fo/i(i)^ ou conditions pour que du soit une différentielle exacte ('). 
On sait qu'elles s'obtiennent en écrivant que 

dpi dpi dp, dpi . . 

Si ces conditions sont identiquement vérifiées, Fé'quation (i ) est 
dite complètement intégrablc^ et la solution cherchée existe quelle 
que soit la valeur donnée u^- Si elles sont incompatibles, l'équa- 
tion (i) n'admet pas de solutions. Si, sans être identiquement vérifiées, 
elles sont compatibles, elles définissent une fonction u(X^^X2. • . -, x,i) 
(OU plusieurs fonctions); pour que l'équation ( i) admette une solu- 
tion, il faut que cette fonction (ou une de ces fonctions) vérifie cette 
équation. 

Si nous passons à la limite, 7i devenant infini, l'équation (i) de- 
vient 



su= f'/ii 



(2) 0U= / f\[x(t)\U,-.]\0,^(-^)d. 



ce qu'on peut aussi écrire 

(3) u:.n=/i[^(oiu, .]|. 

La recherche des fonctionnelles Ij de la fonction x(t) qui vérifient 
cette équation est un problème analogue à la recherche des solutions 

(') Voir sur ce sujet la Noie qui tciMiiinc ce Cliapilrc. 



CIIAP. T. — KQL'ATIONS AUX DKIUVÉES FONCTIO.NNKLI.KS. l53 

de l'équation ( i ). ISOus allons retrouver les d(Hix eirconstanees fon- 
damentales signalées à propos de cette équation. 

2. Réduction à une équation différentielle. — Considérons une 
famille de fonctions x(^t) dépendant d'un paramètre X. La fonction- 
nelle U se réduit pour ces fonctions à une fonction 'f (a ) de A, et la 
fonction /à une fonction de A, L), t. L'équation #2 ) se réduit alors à 
une équation différentielle du premier ordre qui détermine '^ÇK) en 
fonction de \ si l'on connaît sa valeur initiale Lq pour A= o. 

Parmi les méthodes connues pour définir la solution d'une équa- 
tion différentielle, celle qui s'applique le mieux au cas actuel est la 
méthode d'approximations successives de M. Picard. Nous allons 
l'appliquer en supposant 

ç(^) ayant pour module fonctionnel i, c'esl-à-dii'c vérifiant la condi- 
tion 

(4) / lHt)dt^^ 



/.■'■ 



et nous montrerons que le rayon de convergence des approximations 
aune limite inférieure indépendante du choix de la fonction ç(^). 
En d'autres termes, nous allons élablir la convergence des approxi- 
mations à rintérieur d'une sphère de l'espace fonctionnel ayant pour 
centre le point A» qui représente la fonction x{t). 

Pour établir ce résultat, nous supposerons déterminées des cons- 
tantes R, C, M, K telles que, pour 

o<X<R, |U-Uo|<C, |V-Uol<C, 
on ait 

(5) f p\\,,it)\\},,'.]\dz<M\ 

(6) f J/|[^(0|U, T]j-/l[^(0|V, .]1|^^T<KKU-Vp. 
«^ ■ 

Les approximations seront définies par la formule 

\/ ) \ ^^0 »■ 



l54 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

d'où l'on déduit 

o„{X)-o,^,{l)= f du f \f\[x,{t)-r-iJ.'^U)\^,,^,{ix),'z]\ 

-/|[-^o(/)4-.a^(OI?;.-.(;^), ^]l|^(T)rf^- 
D0llC, tant que l'on a 

(8) |cp,(;jL)— Uol<C (t = I, 2, ...,/?-!, :Jt<X), 

on a, d'après ( /[ 1 et ( 6), 

I cp/,(X) — o;,_i(X) I < / ^[-'-'^1 ?/;-i(:^) — 9/^-2 ([j-) 1 

et, par suite, en tenant com|)te de ( 5), 

|?i(X)-Uo|<MÀ, 
lç2(>0-?i(>01<KM -, 



lcp/,(A)-cp/>-i(X)l<K/-iM — 



d'où 

I r/.(0 - l'o 1 < -^ (^Ka h- K^ - H-. . .+ — ^ j < - , e'v)-- I). 

On voit alors que, tant que \ ne dépasse pas la plus petite des quan- 
tités R et — log ( I +-r7- ), la foi-mule (8) ne peut eesser d'être vérifiée 

et les for mules suivantes restent exactes. La convergence des approxi- 
mations est donc établie, et il résulte immédiatement de la formule ('-) 
que la fonction Lr=z:.p(A) ainsi définie comme limite des fonctions 
z>p(X) est. une solution de l'équation (2) prenant la valeur Lo pour 

A z=: O. 

On peut évidemment élargir les hypothèses faites dans cette 
démonstration. Mais, de toute façon, comme pour les équations difTé- 
rentielles ordinaires, il existe des cas singuliers dans lesquels la 
métliode est en défaut, une solution n'étant pas déterminée par sa 
valeur initiale. 

3. Cas de fonctionnelles dépendant de paramètres arbitraires. — 
11 peut arriver que l'on ait à considérer des fonctionnelles dépendant, 
non S3ulement de la fonction a:{t), uiais aussi d'un ou plusieurs 
paramètres, soit, pour fixer les idées, un paramètre a variant de oà i. 



CIIAP. I. — ÉQUATIONS AUX DKRIVÉES FONCTIONNELLES. l5 5 

Si une telle fonctionnelle l „ \érilie une équation aux dérivées fonc- 
I tonnelles de la forme (:>»), la forme de la fonction/ dépendra évi- 
demment de a. Mais cette dépendance peut être plus ou moins 
simple. 

11 peut arriver que la fonctionnelle /soit de la forme 

/|f:r(^)|Ua, T, a]I, 

('tant ainsi une fonctionnelle de x{t) et une fonction au sens ordi- 
naire du mot de l „, t et a. La variation de la? pour une certaine 
valeur de a, pourra ainsi s'exprimer sans faire intervenir les valeurs 
de Lj^ pour d'autres valeurs que a. L'équation aux dérivées fonction- 
nelles peut être ainsi étudiée pour chaque valeur de a indépendam- 
ment des autres, et cette étude présentera les mêmes caractères que si 
le paramètre a n'existait pas. Nous dirons dans ce cas que y. figure 
comme paramètre dans l'équation étudiée. 

Il peut aussi arriver cjue, pour chaque valeur ao de a, la fonction/ 

soit de la forme 

/l[.r(0, Uah, ao]|, 

dépendant des valeurs de V y pour toutes les valeurs de a comprises 
(mtre o et i et non seulement de L^^. Nous dirons alors que a figure 
essentiellement dans l'équation étudiée. 

Il est évident que, dans ce cas, l'équation (2 ) n'est plus réductible 
à une équation diflerentielle. Si nous considérons une famille de 
Jonctions x[t) dépendant d'un paramètre À, Ua devient une fonction 
de deux variables ). et a. soit ofa, X); la fonction / devient une fonc- 
tion de A, T, 7.0, dépendant en outre, pour chaque valeur de )., de la 
forme de o(y.-, X) considéré comme fonction de a. L'équation (2) 
prend alors la forme 

CA 

la fonctionnelle 4> dépendant des valeurs de ç(a, a) pour toutes les 
Naleurs de a entre o et i, mais seulement pour la valeur particulière 
<le À ligurant au premier membre. 

En général, cette équation n'est pas une équation différentielle. 

M> peut être une ionction de — — , v>, ao ; c est alors une equa- 

tion aux dérivées partielles, [.n cas plus général est celui où ^\> est 



l56 DKUXIKME PARTIE. - DÉRIVÉES FONCTIONNELLES UU PREMIER ORDRE. 

(le la forme 



/ V A, ao. ç(a. A , -y \ .-., ^7— -— 



r/a. 



L'équation (9) est alors d'un des types étudiés j)ai' M. Volterra 
sous le nom d'équations intégro-difféi'ejitielLes. 

Le principe de la méthode d'approximations successives de M. Pi- 
card s'applique encore et la formule de délinition des approxima- 
tions, qui doit remplacer la formule ( - ), est aisée à écrire. Mais la 
démonstration de la convergence des approximations peut présenter, 
dans certains cas, des diflicultés plus sérieuses, comme c'est d'ailleurs 
bien évident, puisque le tjpe actuellement considéré comprend des 
équations aux dérivées partielles comme cas particuliers. 

Nous pouvons considérer quand môme qu'une solution de l'équa- 
tion (9) est déterminée si l'on connaît sa valeur pour A ::= o. Les cas 
où il n'en est pas ainsi ne peuvent être considérés que comme des 
cas d'exception, analogues à ceux qui se présentent pour les points 
singuliers des équations dilTérentiellcs ordinaires. 

4. La condition d'intégrabilité. — Si 1 on se donne la valeur l „•, 
pour une fonction .i\){t)^ dune solution de ré(|uation (a ), et ([u'on 
veuille déterminer sa valeur L , pour une fonction x^it)^ on peut 
y arriver, d'après ce qui précède, en considérant une famille de 
fonctions x(^), dépendant d'un paramètre X, et \ariant d'une manière 
continue de Xi^{t) à x^ (t)\ en employant le langage géométri([ue, les 
fonctions Xq{ t) et .r, {t ) seront représentées ])ar deux points A,, et A, 
de l'espace fonctionnel, et les fonctions dé|)endant de A par une 
ligne L allant de Ao à A,. 

Mais", comme nous l'avons fait à j)ropos de l'équation (i), nous 
devons nous demander si la valeur obtenue U) ne dépend pas du choix 
delà ligne L, c'est-à-dire de la manière d(uit varie la fonction .^(/) 
entre x^it) et ^, il). 

Considérons donc deux lignes L et L allant de A,, en A,. Les 
points de ces lignes peuvent toujours être considérés comme déduits 
d'un ensemble E de ])oints dépendant d'une manière continue de 
deux paramètres \ et p.. Pour ces points, c'est-à-dire pour les fono 
tions xit) représentées par ces points, l se réduit à une fonction (h', 
deux \ariables X et p., et l'équation ( 'à i à une équation aux dinercn- 



CHAI». 1. — KQLATIONS AUX DKIUVKKS F0^(:T.0^XEL1.ES. lÎJJ 

llelles totales. Le problème de ealcul fonelionnel ([iie nous considé- 
rons se ramène donc, non comme celui traité n*'" 2 et 3 à un problème 
à une Yarial)le. mais à un problème à deux variables. On sait qu'on 
obtient la condition ])our que la valeur l , obtenne en A, soil la 
même pour toutes les li<;nes L lormées de points de rensem])lcï E, en 
écrivant que 

(lo) oo,U = Ôior. 

en posant, comme nous lavons fait n*^' 66 de la première Partie, 

OK (hx 

Pour que ré(|uati(Hi (:>.) admette une solution l [)renant en chaque 
j)oint A de Fespace fonctionnel une valeur indépendante de la ligne 
allant de Af) en A, il est évidemment nécessaire et suffisant (' ) ([ue 
l'équation (lo) soit \(''rifiée, pour cette fonctionnelle U, et pour 
toutes les déterminations possibles de x( t ), oxit), o^xit). La condi- 
tion que cette écpiation soit vérifiée, pour une certaine fonction x[t) 
et une certaine \aleur de L, (|uelles que soient les fonctions ùx{t) 
et rj^x{t). conduit à une ou plusieurs relations entre L et x{t)^ qui 
jouent dans la tliéorie actuelle le même rôle que les conditions d'inté- 
grabilité dans la théorie de l'équation (i), et que nous appellerons 
conditions cC intéi^rahilitè de l'équation (2). 

Sans employer ce mot, nous avons déjà étudié (n"' 66 à 68 de 
la première Partie) la forme que devait avoir 81 '^ pour que Féqua- 
tion (10 ) soit vérifiée ([uelles que soient les fonctions rix{t) et rj^x{t). 
Pour appliquer les résultats obtenus, il faut ici déduire oL^^. de la 
formule (3) en tenant compte, bien entendu, non seulement de ce 
que x{t) varie, mais de ce que U varie, sa variation étant donnée par 
l'équation ( m ). On trouve ainsi, pour 51 '^., une certaine fonctionnelle 
linéaire Yaox), et la condition cherchée est que cette fonctionnelle 
soit identique à son adjointe. 

Rappelons que, dans le cas important où E( ûjî? ) est de la forme 

Ao 03" — Al o^'-h. . .H- A/, o.r'/'^-f- / oi t. t^joxy dt^^ 
il faut écrire séparément : 

(') Voir la N(.l<' à l;< tiii du Cl.opihr. 



l58 DliUXIKMi: PAllTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNKLI.ES DU PREMIER ORDRE. 

i" Que o(ty ti ) est une foiiclion sjniélrique de t et <le /, ; 
2'* Que l'expression 

Ao ôjp -f- Aj S;r'-4- . . . + A/, oiT^/'^ 

est identique à son adjointe. ?^ous appellerons respecti\ement ces 
conditions la ])i'cmii're et la seanide condition d'i ntéi^i'abilitè de 
l'équation (2 ). 

o. Ces conditions devant être vériliées quelle que soit la fonc- 
tion :r(^) devront être considé'rées comme incompatildes si elles n€ 
sont pas compatibles quelle que soit cette fonction; dans ce cas 11 
n'existera évidemment aucune solution de Téquation (2). 

Si (dles sont compatibles, deux circonstances sont possibles : 

i"* Il peut arriver qu'elles soient vérifiées quelle que soit la valeur 
de Lj. Dans ce cas, l'équation ('2) est dite coniplèiernenl intégrable. 
Elle admet des solutions dépendant d'un paramètre arbitraire. On 
peut, en effet, choisir arbitrairement la valeur Ll^ de l pour la fonc- 
tion XqH). I^'équation (2) définit la variation de U quand.r(^) varie, 
et comme la condition d'intégrabilité ne saurait cesser d'être vérifiée, 
la valeur trouvée pour une fonction jp, ( /) est indépendante des déter- 
minations intermédiaires de xit). 

2" Il peut arriver que les conditions d'intégrabilité ne soient véri- 
fiées, pour chaque fonction .r( ^ ), que pour certaines valeurs de I . 
Toute. solution de l'équation ( 2 ) devant vérifier ces conditions, nous 
n'avons à cherclier les solutions de i'écpiation (2) que parmi les 
valeurs ainsi définies. Il est, en général, facile de voir si une ou plu- 
sieurs de. ces valeurs sont solutions de ( 2 ), et par suite, si cette équa- 
tion admet des solutions. 

6. Gas de fonctionnelles dépendant de paramètres arbitraires. — 
Le principe des raisonnements précédents s'applique sans modifica- 
tion. Mais la valeur initiale l „ <h' IJ pour la fonction x^^[t) n'est plus 
une constante donnée, niais une fonction donnée des paramètres 
considérés a^, a^, . . . , 7.;^ ( ^ ). 

Dans le cas où les conditions d'intéerabilité sont vérifiées idenli- 



(^) f.c cas où, au lieu de ces paranièlics en n(tMil>rt' liiiî, on a \\\w autre fonclioi 
arl)itrair(' srra éludii- à paît avi Cliapilrc IV, eu raison df son iiiiporlaiicc parlicn- 
lièrc. 



CHAP. I. — EQUATIONS AUX DKRIVKKS FONCTIONNELLES. 1^9 

quemenl, c'esl-à-dire quelle que soit la fonction \r(^), quelles que 
soient les valeurs de ces paramètres (qui interviennent dans l'expres- 
sion (Je ol ^. ), et quelle que soit, pour la fonction considérée x{t)^ la 
forme de l considéré comme fonction des paramètres a, l'équation 
étudiée sera dite coinplètemeiiL intégrable et admettra des solutions 
dépendant évidemment d'une fonction arbitraire de n variables. . 

Dans le cas où, sans être identiquement vériOées, les conditions 
d'intégrabilité sont compatibles | il faut comprendre ici : compatibles 
pour toutes les déterminations de x{^t) et pour toutes les valeurs des 
paramètres a], elles définiront certaines valeurs de L qui, pour 
chaque fonction x{t)^ pourront encore dépendre de paramètres 
ou de fonctions d'arbitraires (mais bien entendu pas d'une fonction 
arbitraire de ii variables). 11 n'est plus alors aussi simple que dans le 
cas où il n'j a pas de paramètres de reconnaître si certaines de ces 
valeurs sont des solutions de l'équation (2). Il faut, en général, pro- 
céder de la manière suivante : 

Soit à chercher, pour une détermination ^o(0 ^^ ^(j)-! les fonc- 
tions de a,, a^, . . . , a^, que l'on peut prendre comme valeur initiale 
de L. Elles doivent d'abord vérifier les conditions d'intégrabilité. Il 
faut ensuite que, x{t) variant infiniment peu, et la variation de U 
étant définie par Féquation étudiée, les conditions d'intégrabilité 
restent vérifiées quelle que soit la fonction oxit); ceci donne un 
deuxième groupe de conditions que doit vérifier la valeur initiale 
de U. En écrivant que ces nouvelles conditions restent vérifiées 
quand x{t) varie, on obtient un troisième groupe de conditions, et 
ainsi de suite. Nous axons ainsi des conditions d'ilcs conditions clHn- 
téi^rabililé de ran^s :>., 3, .... 

Il peut arriver qu'à un certain moment les équations obtenues 
soient incompatibles. L'(''quation étudiée n'admettra alors aucune 
solution, du moins aucune solution régulière (') |)Our la fonction ^(^) 
considérée. Si la même circonstance se présente pour toutes les 
déterminations .r,)(/), cette équation n'a pas de solution. 

Si cette circonstance ne se présente pas, les conditions obtenues 



('j N(»iis appelons rct:,ulu'r(' une loïKiioiiiicllc i('j)rrsf'ntal»I(' dans \v \(n'sinaj:c de 
\,\ fond ion considi'-rrr X(^{1) par la stM'ic de Taylor 

l = U,-h oU -+-- o-U ;- ... 4- -^^l -i- . ... 



l()0 DKUXIKME PARTIE. — DKRIVEKS FONCTIONNEI-LES DU PREMIER ORDRE. 

resteront indéliniiiieiit compatibles. 11 peut ari-iver qu'après un 
nombre fini d'opérations, les nouvelles conditions obtenues ne soient 
pas distinctes des précédentes ('); il peut arriver qu'on ti-ouve suc;- 
cessivement nne infinité de conditions distincles. Dans les deu\ cas. 
on aura formé toutes les conditions devanl être \ériliées par la valeur 
initiale de l , pour qu'il existe une solution de l'équation étudiée 
corresptnidant à cette valeur. La démonstration rigoureuse de l'exis- 
tence de cette solution est d'ailleurs liée à la démonstration rigou- 
reuse de l'existence de la solution de l'équation (g), à laquelle se 
réduit l'équation étudiée lorsque l'on considère des fonctions .r(^) ne 
«lépendant que d'un paramètre. 

7. Exemples d'équations complètement intégrables. — Les consi- 
dérations précédentes s'appliquent, bien entendu, au cas des fonc- 
tions <I> d'une ligne C; on forme alors les conditions d'intégrabilité 
en utilisant les résultats du n*^ 7o de la première Partie, dont nous 
conservons les notations. 

Proposons-nous de cherclier toutes les équations complètement 
intégrables de la forme 

(lo) ô'l'= //(^^, M)onds, 

M étant le j)()int de la ligne i] correspondant à la valeur ,ç de la lon- 
gueur d'arc. La fonction y est une fonction de <P et des deux coor- 
données de M, indépendante de la forme du contour C. On a 

da> dn 

df r ,) fMi M\ 

/(«!). M<)r,nidsi. 

Cette expression doit être identique à son adjointe. Il faut et il 
suffit pour cela que le coefficient de on^dsx dans l'intégrale soit une 
fonction symétrique des points M et Mi, ce qui s'écrit 

4- /(*?>, M) -^f{^\ Ml) 

(') Si-Ja coiulitioii dt; laiig n est une coiisimiiuiicc des |)r('((''(Iciit('s, il cm est sùrc- 
imiit de mèiiiL' d(; loiilcs les suivantes. 





àf . 

-—on 

dn 




df . 
dn 




M) 



CHAP. I. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. l6[ 

\j'à valeur coiunuinc des deux membres est alors une fonction de <P 
seulement, d'où il résulte immédiatement que/ est de la forme 

/(aMM)^^(cI>)cp(.M). 
L'équation ( lo) s'écrit alors 

(II) -^ ^ r c (M ) ô/i ds = oW, 

W étant wne fonctioiiiieUe additWe de la région intérieure à G. 

Les équations complètement intégrables de la forme (lo) sont 
donc de la forme (i i); elles admettent comme solutions des fonctions 
de fonctionnelles additives. 

8. Cas des fonctions d'une ligne et de deux points. — Désignons 
par $1^ une fonction d'un contour C et de deux points A et B, et 
considérons les équations du type 

qui comprennent comme cas particulier une équation importante 
que nous rencontrerons dans l'étude de la fonction de Green. 

Proposons-nous de chercher toutes les équations de ce type qui 
soient complètement intégrables dans le champ des fonctions 
symétric^ues ('). Nous entendons par là que, si l'on se donne une 
fonction symétrique quelconque (-) des points A et B, il existe une 
solution de ré([uation (12) égale à la fonction donnée pour un 
contour particulier Gq et qui pour un contour ciuelconciue soit 
encore symétrique en A et B. 



(^) J'ai traité dans ma Tlièse ( Chap. II) un problème plus général, en suppo- 
sant que la fonction / dépende aussi des points A, B, M. Cette généralisation, en 
rendant l'aspect des formules un peu plus compliqué, ne change rien d'essentiel 
aux calculs ni aux résultats, J"ai aussi traité le cas où l'on ne se restreint pas au 
champ des fonctions symétriques; l'étude de ce cas est un peu plus difficile. 

(^) Il est entendu qu'on exclut toute singularité telle que les formules qui sui- 
vront cessent d'avoir un sens. Cette remarque est importante, car on exclut ainsi 
les fonctions de Green, par l'étude desquelles on est conduit à des équations du 
t3'pe (:>) ou d'un type un peu plus général. La singularité de ces fonctions nous 
obligera donc à une étude spéciale. 



If)i DKIXIKMI': PA!lTIi:. — D::RlVÉtS FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

.\(^iis jK) serons 

]Mi étant un point du contonr G; nous appellerons dsi rélémenl 
d'are décrit j)ar ce point. 

Pour que la fonction 4))^, étant symétrique, le reste lorsque le 
€onlour G se déforme d'une manière quelconque, il est évidemment 
nécessaire et suffisant que la fonction /(a, p, y) soit symétrique 
en p et y. Pour traiter le problème posé, nous devons donc clierclier 
toutes les fonctions f{cf,, 3, y), symétriques en p et y, et telles que 
la condition d' intégrabilité soit identiquement vérifiée lorsque ^^^^ 
est symétrique en A e^ B. 

La variation de la fonction /est 



V...t.-„.%:.^'l,;^'lj-: 



II 



, d/(a. P,y)^^^^ ^^ ,_ a /(a, fi, y) 



d'^ 



/-, r. . 5 , , àfjot, fi, y) -| 



ds\ 



6^p «?/i • c)y rt'/i 

La condition d'inté<>rabilité s'obtient en écrivant que cette fonc- 
tionnelle linéaire de on est identique à son adjointe, c"est-à-dire que 
le coefficient de o/ii ds^ dans l'intégrale est une fonction symétrique 
des points M et M, . 11 vient ainsi 

et nous devons chercher toutes les fonctions /(a, [j, *') symétriques 
en p et y vérifiant identiquement cette équation, car la condition 
que 4>J soit symétrique en A et B n'empéclie pas a, [j. y, [B,, y,, o 



CIIAP, I. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCÏIO.NNELLES. l63 

d'être quelconques; elle est seulement intervenue pour nous })cr- 
mettre de représenter <I>î!^ et <I>îî' par le même symbole o. 

9. Dérivons Féquation (i3) par rapport à JB, y,, g. 11 vient 

(f4) ?(^, .3, Y)cp(Y, S, Y, ) = ^(a, Pi, Yi)9(?i, li, ô), 

en posant 

La fonction cp(a, j'i, y) apparaît ainsi comme un produit de trois 
facteurs dépendant l'un de a, l'autre de [i et le troisième de y. 
Comme elle est évidemment symétrique en jB, y, on peut poser 

Le premier membre de l'équation (i4) devant être indépendant de y, 



on a 



c étant une constante. Posant alors 

^'(^-) = c^^,(a) = c^2(a), 
il vient 

10. 11 peut arriver que la fonction 'f (a, f>, v) soit identiquement 
nulle. Commençons [)ar traiter ce cas. La formule (i5) donne alors, 
en tenant compte de la symétrie de /(a, [3, y) en [j et y, 

(17) f(^, [â, Y) = A(a, {i)-^h(y., y). 
L'équation (i3) dérivée par rapport à g, s'écril alors 

(18) ^(a, P)4.(^3,2)4-4.(a, Y)4;(Y,ôj = J;(a,^0J^(?i,ô;-f-'l^(a,T0'KTi,û^ 
en posant 

('9) .(a,p>)=-^^. 

La formule (18) nous montre que le produit (i/(a, [^) 'KJ^, 5) est 



l64 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

indépendant de p. La fonction à(y., P) est donc de la forme 

h\ désignant une fonction arbitraire. Les formules (i^) et (19) 
donnent alors 

Or on peut faire sur l'équation (12) un changement de fonction 
inconnue en posant 

ht étant une fonction primitive de h\. La nouvelle équation aux 
dérivées fonctionnelles est évidemment complètement intégrable en 
même temps que l'ancienne. En y remplaçant W par <I> et en conser- 
vant les mêmes notations, la forme de la fonction /(a, ,3, y) devient 

/('^■, ,S, Y):=/,(.a) + c([^ + v). 

En portant cette valeur de la fonction / dans l'équation (i3), 
celle-ci se réduit à 

c'est-à-dire k c = o. La formule (20) se réduit donc à 

/(^^. P, T)-/i(a). 
L'équation aux dérivées fonctionnelles étudiée est alors de la forme 



— — = / onds = oS 



(S étant Faire intérieure au contour C, si l'on suppose on compté 
positivement vers l'extérieur) qui est un cas particulier de la 
forme (i i). On devait s'attendre à trouver cette équation, les points A 
et B n'intervenant pas, ou n'intervenant que comme paramétres 
dans les solutions de l'équation considérée. 

IL Revenons au cas où la fonction cp(a, |3, y) n'est pas identi- 
quement nulle. Elle est alors de la forme (i6j, et l'équation (i5) 



CHAP. I. — ÉQUATIONS AUX DERIVEES FONCTIONNELLES. lo'^ 

donne, en tenant compte de la symétrie de /(a, p, y), 

/, », p, -!) = ^^J^ + h{^, ?) + h(a, '■!), 

la fonction g étant Line fonction primitive de la fonction g' . 
Si alors nous faisons le changement d'inconnue 

analogue à celui défini par la formule (21), la fonction /"(a, [3, y) 
relative à l'équation aux dérivées fonctionnelles vérifiée par W'^ est 
de la forme 

(23) /•<>, 13, Y) = ^Y-i-A(;a, P)-i-/Ka, Y). 

En tenant compte de cette formule, et posant toujours 

on a, par dérivation de l'équation (i3) par rapport à 0, 

('2.) [y H-J;(a, p )][[3i+'i>.3, S ;] 4- [ ? + '!^( a, v )] [y^ 4- ^ ( Y, 5)] 

Dérivant à nouveau par rapport à [B et y, et faisant y = [j, on a 

Donc ^ (a, [^) se réduit à une fonction 'V^j) de son second argu- 
ment, et l'équation (aS) devient 

J.(a)[3 + ^(p) + Y + ^(ï)-?i-4>(Pi)-Yi-'|(Ti)] 
= p.d;(.30 + T<I'(ï.)-l^i^(.S)-Ti4'(T)- 

Le second membre ne dépendant pas de 6, il en est de même du 
premier, ce qui exige, soit que '\>{o) soit une constante, soit que son 
coefficient soit nul, c'est-à-dire que [j-4-'i>(|3) soit une constante. En 
tout cas, on a 

et par suite, en tenant compte des formules (23) et (24), 
/(a, ^3, Y)=3Y + /,(a)-f-^(32+Y^) + ^j(^ + Y). 



l66 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

Portant celle valeur dans l'équation (i3), on voit quele terme pj3j 

a pour coefficient — . Il faut donc que c = o. Ln nouveau change- 

menl de fonction inconnue, remplaçant a, p, "' par a — c,, ^ — c,, 
V — • c, fait alors disparaître le terme en C|, et il vient 

/(.a, [B, Y) = t3T-H/i(«). 

Portant cette nouvelle valeur dans l'équation (i3), elle se réduit à 



d% 



(^iïi-pT^ = Ti/i(?i)-^Pi/i(7i)-Y/i(.S)-ri/i(T). 



Le second membre ne dépendant pas de a, il doit en être de même 
du premier, de sorte que la fonction/, (a) est de la forme c y.-\-c" , 
Substituant cette forme, on voit enfin que c' et c" sont nuls, de sorte 
que 

/(a, p, Y)=^?Y- 

L'équation aux dérivées fonctionnelles étudiée se trouve ainsi 
réduite, par le changement de fonction inconnue, à la fojine 

(iG) o>B'^y*A(i)«5„^5. 



12. Les résultats des n"* 10 et 11 conduisent à énoncer le théo- 
rème suivant : 

Si une équation aux dérivées fonctionnelles de la forme 

^c 

est complètement intégrable dans le cliamp des fonctions symé- 
triques des points A et i^, ou bien la fonction f est une fonction 
de son premier argument seulement^ de sorte que les points A 
et B ne figurent que comme paramètres dans V équation don née ^ 
ou bien cette fonction est réductible^ par un changement de la 
fonctionnelle inconnue^ ci la forme 

^c 
Cette équation, ainsi que M. Iladamard l'a découvert et que nous 



CIIAP. I. — K OUATIONS AUX DiiiRIVÉES F J.NCTIONNKLIJCS. 167 

l'exposerons plus loin, joue un grand rôle dans la théorie de la fone- 
tion de (jreen. Nous l'appellerons Vêquatioii de M. Iladaniard. 

N(3Th: SI H LV CONDITION D'IMÉG HABILITÉ. 

En raison du rôle fondamental de la condition d'intégrabilité, il 
n'est peut-être pas inutile de rappeler comment se présente cette 
condition dans la théorie des équations aux difïerenlielles totales. 
Nous exposerons cette question sous une forme un peu différente de 
la forme habituelle, plus simple, à notre avis, en tout cas se prêtant 
mieux aux généralisations que nous axons en vue. 

a. Considérons l'équation -à deux variables indépendantes 

( 1 ) dz =^ X(x , y , z) ilx -^Y { x, y, z) dy. 

Si une fond ion c- vérifie cette équation, ses dérivées premières 
sont X et Y, et l'on en déduit deux expressions de 7-7—- qiii doivent 
être égales, ce qui donne 

dy âz dx âz 

Telle est la condition d'intégrabilité, évidemment nécessaire. 

Soit maintenant à résoudre le problème de Cauchy relatif à l'équa- 
tion (i), c'est-à-dire à déterminer une solution de cette équation 
égale à z^ pour x =j' = o. I^our la calculer en un point ç, Tj, nous 
pouvons faire varier d'abord x de o à ;, puis y de o à r, et intégrer 
l'équation (i) le long du contour ainsi défini. En d'autres termes, la 

variation de z sera définie sur l'axe des x par la condition-^ =^7 

et sur une parallèle quelconque à l'axe des j)^ par la condition —-= \ . 
La fonction ; ainsi définie vérifie donc une équation de la forme 

( 3 ) ch ^ ( X ~ u ) dx 4- Y dy, 

H étant une fonction de x ely^ dont nous savons seulement qu'elle 
s'annule pour r =:=(>. 

D'ailleurs, le problème de Caucliy posé ne pouvant admettre 
d'autre solution que la fonction :; ainsi obtenue, il est nécessaire et 



l68 DEUXIÈME PARTIE. — DKRIVÉES FONCTIONNELLIi:S DU PREMIER ORDRE. 

suffisant, pour qu'il ait une solution, que celte fonclion vérifie 
Péquation (i), c'est-à-dire que m = o. 

]1 est évidemment nécessaire pour cela que la fonction z ainsi 
formée vérifie la condition (2). .le dis que, réciproquement, cela est 
suffisant. 

Supposons donc cette condition vérifiée. D'aulre [)arl, z, vérifiant 
l'équation (3), vérifie la condition d'intégrabilité correspondante 

(4 ) -i— ^ + Y — = — + ( X + ïi) — . 

dy ôz âjc ^ -Ôz 

La comparaison des formules (2) et (4) donne 

au OY 

ôy âz 

d'où 

u(a', r^) = uÇj-^ o) e'-o ^' =0. C.Q.F.D. 

Si la condition (2) est une identité en ^, r, :?, on a ainsi une 
solution, quel que soit z^. La solution de l'équation (i) déj)end d'un 
paramètre. 

Si c'est une relation entre x, y, ^, conlenanl efiectivement z^ il 
peut j avoir des solutions de (i), si la fonction z définie |)ar la con- 
dition d'intégrabilité est bien solution de (i); en général, il n"j en 
a pas. 

Si c^est une relation entre x et jk, il ne peut ]^as y avoir de solu- 
tions. 

b. Supposons maintenant que z soit fonction de .r, y, et d'un 
paramétré a, variant par exemple de o à i et que ses dérivées X et \ , 
par rapport à oc et j', soient données par des formules de la forme 



X(x, y,oco) = Fj [z-(x,y, a)|^, j-, 7.0] ], 



i'^) 



Y{œ, jK, ao) = G 1 [z(x, j, a) ] x, y, 7.0] [, 



les fonctionnelles F et G dépendant des valeurs de z pour les valeuis 
|)articulières de :r et y que l'on considère, mais j^our toutes les 
valeurs de a entre o et i. 

Chacune de ces équations est du type (9) considéré dans le Glia- 
pitre qui précède, avec cette difi'éreace qu'elle contiiuit une variable 



CIIAP. I. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVKES FONCTIONNELLES. 1 69 

{x OU y) ligiiraiit comme paramètre. L'ensemble de ces équations 
définit la variation de z quand x et y varient, par exemple de la 
manièrr; indiquée au paragraphe a; on a ainsi une fonction z bien 
déterminée, solution des équations 

àz ^^ , . dz 

;^=r+»(,r,r, oc). -=G, 

la fonction a (x, y, a) s'annulant pour x ==^ o. 

Les deux valeurs de -; — f- déduites de ce système sont égales. Pour 
facililer Técriturc, sup])OSons que les variations des fonctionnelles F 
et G lorsque la fonction z varie s'expriment par les intégrales de 
M. Vol terra : 

/ Fi r),^oz da, I GC,3j 05 <r/a. 

11 vient 

La condition d'intégrabilité du sjstème (5) s'obtient en faisant 
Il = o. Elle est nécessaire pour que ii = o et que, par suite, la fonc- 
tion z formée soit solution de l'équation (5). Elle est aussi suffisante, 
car elle entraîne, en tenant compte de (6 ), 

(7) ^-^ / ^^•i^'i"^'^'^^'''')^^- 

Cette équation intégro-diiïerentielle définit parfaitement ti^x^y^ ao) 
si l'on connaît sa valeur initiale pour jr = 0, et si cette valeur initiale 
est nulle, u est partout nul. c. q. f. d. 

Si la variation des fonctionnelles F et G n'est pas de la forme 
considérée, si notamment elle contient des termes dépendant spécia- 
lement de l'allure de la fonction z{x^ y^ a) dans le voisinage du 

point a =0, l'équation (-) sera remplacée par une intégro-différen 

.• n r ^ 1 '-11 ()(i( cr. y, cco) , 

tielle cl un type un peu plus gênerai, donnant j^ ^^us la 

forme d'une fonctionnelle linéaire dépendant des valeurs prises par 
u{x^ y, a) quand a varie de o à i, fonction en outre de ^, y, ao- 
Mais la conclusion que cette équation entraîne w = o, si la valeur 
initiale i/(.r, o, a^) est nulle, subsiste. 



f;0 DEUXIÈME PARTIE. — DKRIVÉES FONCTIONNEILES DU PREMIER ORDRE. 

c. Soit maintenant une fonction z de trois variables :r,, .^2, x-^, 
assujettie à vérifier l'équation aux différentielles totales 

dz = Xi(xi, Xi, 0^3, z) dxx-^ X2(:ri, Xo, .rg, z )dxi'\- X3(^,, a^a, ^3, s) «^^3. 

Cette équation permet de calculer la variation de ^ quand on fait 
varier^,, x^^ x-i suivant une loi déterminée, et il est évidemment 
nécessaire, pour que le résultat soit indépendant du chemin suivi^ 
que 

OXj ^ dz <)xi ôz ^ ' -^ î ' ^ 



Je dis que cette condition est suflisante. En effet, si l'on considèr,^ 
des systèmes de valeurs Xt^ x-y, x-,] dépendant d'une manière quel- 
conque de deux paramètres A et u, représentant des points ^,, Xo, x^ 
décrivant une surface S, on vérifie sans peine que 

ô-^z _ â'-z 
d\d[x <)[x<)X 

c'est-à-dire que le résultat est indépendant du chemin suivi pour 
faire varier Xy, x-^-, .^3, à condition que ce chemin soit sur la sur- 
face S. Mais deux chemins quelconques allant de l'origine à un même 
points,, .r^, X;^ peuvent toujours être considérés comme étant sur 
une même surface S. Le résultat est donc indépendant du chemin 
suivi. 

Jl n'y a pas de difficulté à considérer, au lieu de la fonction 
u{x\^ X2, X;i), une fonction d'un plus grand nombre de variables, ou 
bien une fonctionnelle, ce qui conduit au problème traité dans le 
Chapitre précédent. Nous rencontrerons au Chapitre IV une généia- 
lisation un peu différente. Il n'y a jamais de difficulté à étendre le 
raisonnement du paragraphe a de cette Note, et nous pouvons tou- 
jours affirmer que la condition d'intégrabilité, toujours aisée à former 
et é'videmment nécessaire, est aussi suffisante. 

d. Bien entendu, dans le cas où cette condition n'est pas identi- 
quement vérifiée, il faut choisir une détermination initiale de la 
fonction ou fonctionnelle étudiée qui la vérifie, puis écrire qu'elh^ 
reste vérifiée pour les nouvelles valeurs de cette fonction ou fonc- 
tionnelle déduites de })roche en proche des équations données. On 
obtient ainsi, en général, de nouvelles conditions de plus en plus 
restrictives, comme nous l'avons montré au n" 6. 



CHAPITRE II, 



i;ÉQUATIOX AUX DERIVEES FONCTIONNELLES 
DE LA FONCTION DE GREEN. 



SoMMAiRK : Le problcinc de Dlrlchlet et la fonction de Green dans te cas 
du plan : L'équation de Laplace. — Les potentiels de simple et de double 
couche. — Le prol)lènfie de Dirichlet. — La fonction de Gi-een. — Cas du 
cercle. — Singularité de la fonction de Green. — Application de la reprc- 
senlation conforme. — Le prol)lcme de Dirichlet dans l'espace. — La varia- 
tion de la fonction de Green : La formule de M. Hadamard. — La varia- 
tion des dérivc'es de la foncti(m de Green. — Intégrabilité de V équation 
(•>.)) : Formation de la condition d'intégrabilité. — Iitude du cas régulier 
— Etude du cas singulier. 

LE PROBLÈME DE DIRICHLET ET LA FONCTION DE GREEN 
DANS LE CAS DU PLAN. 

Il peut être utile, pour faciliter la lecture de la suite à un aussi grand 
nombre de lecteurs que possible, de rappeler d'abord les |)r()prictés clas- 
siques des fonctions harmoniques et de la fonction de Green. Le lecteur au 
courant de ces questions peut passer les n"^ 13 à 20. 

13. L'équation de Laplace. — Une fonction u de deux variables x 
et y, coordonnées d'un point du plan, est dite Jiannoiiique lors- 
qu'elle vérifie V équation de Laplace : 

(n n <n u 

( I ) ÙLll = - — -^ = o. 

Gette équation ne chanj^e pas par un changement de coordonnées 
rectangulaires. Si en particulier on prend comme axes de coor- 
données la tangente et la normale à une courbe, on a, en conservant 
les notations du n° 76 de la première Partie, 

( . _ d^u d^ u _^ d^ u d^ u du 

^^' ^''-"d,^^~dïï-7û;j'^'^~^d;i' 



172 DEUXIÈME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

La formule de Green, appliquée à deux fondions harmoniques a 
€t i', s'écrit 

r l dv du\ , 

les fonctions u et v étant harmoniques et continues ainsi que leurs 
•dérivées premières à l'intérieur du contour fermé G, et ds étant 
l'élément d'arc de G décrit par le point M dont dépendent u et \\ Si 
en particulier c = i , on a 

/£ 



ds 

/in 

c 



La fonction log -, p étant la distance de deux points A et M, est 
«ne fonction harmonique de chacun de ces points. Si l'on veut appli- 
quer la formule de Green à u et log-, considérées comme fonctions 

ûe M, et si A est intérieur au contour G, il faut isoler ce point par 
un petit cercle. On trouve ainsi 

(5) uk= — / ( u -j- log log - -^ ) ds, 

^ ^ -2- J^. \ dn ^ p - ^ p d/i ) 

la direction positive de la normale étant dirigée vers l'intérieur fie G. 

1 i. Les potentiels de simple et de double couche. — On appelle 
ainsi respectivement les intégrales 

(5) log -^5, 






du 

u(5) étant la densité du potentiel considéré ( ' ). 

Si A n'est pas sur le contour G, la règle habituelle de dérivation 
des intégrales définies s'applique et il en résulte que les potentiels 
■sont des fonctions harmoniques du point A. 

Les formules qui définissent les potentiels conservent un sens 

(') Il rcsullc iiïinicdialemcnt de ces définilions (|ue, pour [J.(s) = i, Wa représenic 
l'angle sous lequel la ligne C est vue du point A, en comptant positivement les 
angles pour les parties de G pour lesquelles A est du côté positif clioisi sur la nor- 
male. Si C est un contour fermé et A intérieur à C, on a donc Wa= ir^. 



CHAP. II. — DERIVEES F0NCT10>NEI.LES DE LA FONCTION DE GREEN. (7J' 

lorsque A, supposé intéi'ieur au contour^ tend vers un point a du 
(contour; mais W^ ne tend pas vers W^. On a 



/ lim Va = V^«, 
] lim Wa==\V 



^a étant la valeur de ]j\s) au point a. 



Si l'on désigne par ~ — une dérivée prise en supposant un dépla- 
cement de A j)arallèle à la norlnale intérieure en «, on a 



dria Je dria "" p 



^6. 

P 



Cette intégrale conserve un sens lorsque A vient en a, mais, de 
même que W^, elle n'est pas continue. On a 



(.1) 1 



dW r d ^ I , 

-y a cilla Jç^ dria ^ pa 



Oa désignant la distance «M. 

La dérivée normale de W^ est continue, en ce sens qu'elle a Icî 
même valeur limite suivant que A tend vers a d'un côté ou de l'autre 
de G. Mais l'intégrale qui représente cette dérivée cesse d'avoir un 

sens quand A est en a, la fonction - — -, — loo- — devenant infinie pour 

i du ((Ha ^ Ç)a . 

I 

Oa^=^ o. Elle est la somme de 7^ et d'une quantité finie. On peut 
obtenir une expression commode de la limite considérée en écrivant 

(8) lim —— ^ = V. p. / [,x{s)— [}.a]-r^ — (log— )^^, 

le symbole v. p. désignant la valeur principale au sens de Cauchy 
[voir n*^ 52 de la première Partie). 

Les formules (6) et (7) supposent simplement \>-{s) continue ena; 
pour la formule (8), il n'est même pas suffisant de supposer l'exis- 
tence et la continuité de la dérivée [Jt'(5); on peut l'établir en suppo- 
sant en outre l'existence de la dérivée seconde y-" {s)^ hypothèse qui 
peut d'ailleurs être remplacée par d'autres moins restrictives. Mais^ 
de plus, la formule (8) suppose essentiellement que G soit un con- 
tour yer/^ie. Dans le cas contraire, il j aurait lieu d'ajouter au second 



174 DEUXIKME PAUriE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

membre le terme 

doa 
du a 

<pa étant l'angle sous lequel on voit de a une ligne ÇJ joignant les 
extrémités de C, et telle que le sens positif choisi sur la normale à C 
en a soit dirigé vers l'intérieur du contour fermé formé par C et C. 

Si l'on considère les dérrvées ^r- relatives à une direction parallèle 

dta i 

à la tangente en <7, on a 



(9) 



C?\a d\a r / ^ , 'y 

l'^.. -di: = 7177 = ''- 1\( i<'^ dT^ '^^J-/^^ 

A->rt dta dSa '" Jr ^ dll dSa " p,, 



Indiquons enfin que, pour tout arc analytique C, de G sur lcqu< 
;j.(5) est liolomorplie, les fonctions 



/ \ d i d , \ <:/2 I I ,, ,,^ 

du ^ rj^ dfia Pu du dn, ° p„ pf 



sont holomorplies. Si, de plus, |jl(a) est sur toute la courbe C une 
fonction holomorphe de certains paramètres, les valeurs de V^^ et W^ à 
l'intérieur de G et leurs valeurs limites sur l'arc considéré Gi sont 
des fonctions holomorplies de ces paramètres et du point A. Gette 
proposition est connue sous le nom de théorème de Biuns. 

lo. L3 problème de Dirichlet. — Ge problème consiste à déter- 
miner une fonction harmonique z/^, continue, ainsi que ses dérivées 
[)remières, dans la région intérieure à un contour G, connaissant sa 
valeur a en fout point M de G. iNous supposerons la valeur donnée 
sur G fonction continue de M ( * j. 

Le problème ainsi posé admet une solution et une seule. 

La démonstration de l'unicité résulte aisément de la formule (4)' 

Pour démontrer qu'il en existe une, il suffit, par la méthode de 
M. Fredholin, de montrer que, pour une détermination convenable 
de ui(5j, le potentiel W^ résout le problème. Gomme ce polcniiel est 
harmonique, il suffit qu'il prenne la valeur a sur le contour, ce qui, 

(') On pouirail adinctlre ccrtaiiits discunliiuiilcs. 



CHAP. II. — DERIVEES FONCTIONNELLES DE LA FO.NCriON DE GREEN. I/) 

d'après la formule (6), conduit à définir ijl(.v) par l'équation de 
Fredliolm 



(II) -lXa-\~ I ;a(;j)-— log-^ 



ds 



Le noyau de celte équation est holomorphe. Son déterminant ne 
peut être nul, car s'il était nul, on pourrait trouver une fonction |i(.s) 
non nulle qui annulerait le premier membre et le potentiel corres- 
pondant W^ serait une solution non nulle du probléuie de Dirichlet 
correspondant à des données nulles sur le contour, ce qui est con- 
traire à l'unicité de la solution. 

Il existe donc une fonction [jl (.s), donnée par une formule delà 
forme 

(12) r.\Xa= Ua -+- / « ^ ( -y, Sa ) ds, 

le fonction o étant holomorphe. Le potentiel W^ est alors une solu- 
tion du problème de Dirichlet, et, de plus, nous voyons que, si le 
contour G est analytique et si les valeurs données a sont des fonc- 
tions holomorphes de s et de certains paramètres, tji(.ç) et, par suite, 
W^= Ux sont des fonctions holomorphes du point A et de ces para- 
mètres. Cette proposition est due à MM. Schvvarz et Hadamard ('). 

16. La fonction de Green. — Pour pouvoir résoudre le problème 
de Dirichlet, quelle que soit la fonction donnée u sur le contour, il 
suffit de savoir le résoudre lorsque cette fonction est égale à la valeur 

prise sur le contour par la fonction log -, /■ désignant la distance de A 

à un point B quelconque intérieur à G. Ge problème n'est pas résolu 

par la fonction log- elle-même, cette fonction étant harmonique, 

mais infinie au point B. Soit hf^ la fonction qui le résout. On appelle 
foiiclLOJi de Green la fonction 



(i3) ^A^Iogi — /ifç, 



(') J. Hadamard, Mémoire sur le problème d'aiidly.se relatif à l'équilibre des 
plaques élastiques encastrées {Mémoires présentés à V Académie des Sciences, 
t. XXXIII, igocS, p. 28-27). Voir aussi mon Mémoire sur l'allure des fonctions de 
Green et de Neumann dans le voisinage du contour {Acta mat/iematica, t. 42). 



IjS DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

Elle est ainsi définie par les condilions d'être Ift soniTue de log - et 

cV une fonction harmonique et régulière du point A, et de s^an- 
nuler quand A est sur le contour. 

En appliquant la formule de Green aux fonctions g^^ et ^J' (il faut^ 
pour cela, isoler les points A et B par des petits cercles), on obtient 
la formule 

f' 15 — & A- 

La fonction de Green est donc une fonction symétrique des 
points A et B. C'est donc une fonction harmonique de B aussi l)icn 
que de A, et elle s'annule lorsqu'un quelconque des points A et B 
vient sur le contour. 

En appliquant la formule de Green à ^^ et à la fonction harmo- 
nique ;<^, on obtient la formule 

(i4) u.,= — fu'l^ds 

qui résout le problème de Dirichlet. 

La résolution de ce problème est ainsi ramenée à la connaissance 

de la fonction de Green, et il suffit même de connaître -7— , qui est 

une fonction d'un point du contour et d'un point intérieur au con- 
tour, c'est-à-dire une fonction de trois variables seulement. On peut 
même observer qu'il suffit de connaître la valeur de la fonction 

^''^ ''^^^dJTdjr^: 

a et M étant deux points du contour. En effet, cette fonction étant 
connue, la fonction 

qui est une fonction du point A, harmonique et régulière à l'inté- 
rieur de C, et connue sur le contour ainsi que sa dérivée normale, 
est définie en tout point A intérieur à C par la formule (5). La fonc- 

tion -^* est ainsi connue, et la formule (i4) résout le problème de 

Dirichlet. 

La fonction CJ^^ bien définie lorsque a et b sont des j)oints du 



CHAP. II. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DE LA. FONCTION DE GREEN. I77 

contour, et- dont la connaissance équivaut à celle de la fonction de 
Green elle-même, est la première dérivée de cette fonction qui ne 
soit pas nulle. Toutes les autres dérivées, pour les points du contour, 
s'en déduisent immédiatement; ainsi la formule (2) donne 

V ï") , ., , = AV, -7 7 = ka S)!,, -j TT = f^^b \]in 

dn^drih cUiadrib dnadnl ''" 

ka et k}, désignant les valeurs de la courbure de G en a et b. 

17. Cas du cercle. — Lorsque G est un cercle de rayon R, on a 

(17) ^it^iog]^- 7' 

d désignant la distance de B au centre du cercle, et r la distance 
de A au point B' conjugué de B dans le cercle; on vérifie immédia- 
tement que cette expression possède bien les propriétés qui servent 
de définition à la fonction de Green. On en déduit 

dg^^ _ d_ L _ L — IP — L 

2R2sin2- ^^■ 
1 

z désignant toujours la distance AM, p désignant la distance de A à 
la tangente au cercle en M, Q Tangle des rayons du cercle aboutissant 
aux points a et Z>, ab la distance de ces deux points. Il est à remar- 
(|uer que (J'I^ ne dépend que de la distance ab., et non du rayon du 
(X'rcle passant par ces deux points. 



18. Singularité de la fonction de Green. — D'après la définition 
de cette fonction, et d'après le théorème de MM. Schwarz et Hada- 
mard, la fonction Ag est holomorphe, de sorte que g^ a même singu- 
larité que log-, lorsque A et B sont intérieurs au contour G et que 
de plus le point B ne s'approche pas du contour. Mais il n'en est plus 
de même lorsque B est sur le contour; c'est alors la fonction «J qui 
est holomorphe (étant nulle), et /ij a la même singularité que log-« 
On est alors conduit à se demander ce qui a lieu lorsque A et B 
tendent vers un même point du contour. 

LKVV. 12 



178 DEUXIÈME PAUTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRK. 

Pour résoudre celte question, partons de la remarque que 

d I ip 

se réduit, quand A vient en un point a du conlour, à une fonction 
liolomorphe des points a et M. La fonction 'f (A, M), définie comme 
étant une fonction harmonique de A, sans singularité à l'intérieur 
de C ni sur G, égale à la précédente sur le conlour, est donc, d'après 
le théorème de MM. Schwarz etHadamard, une fonction liolomorphe 
des points A et M. 
L'intégrale 



■roXbéi^°sl-fi^,^i)]uds 



est donc une fonction harmonique de A, égale à u sur le contour 
(en raison de la discontinuité du potentiel de double couche). Elle 
est donc égale à u^, et la comparaison de cette formule, qui donne 
une nouvelle solution du problème de Dirichlet, avec la formule (14)5 
donne 

La fonction o étant liolomorphe, la sinoularité de —r- est ainsi 

' r 7 o dn 

parfaitement connue. 

Or cette fonction, permettant de résoudre le problème de Dirich- 
let, permet en particulier de déterminer AJ, et par suite ^^iV ^^ ^^ 
ainsi 

(20; , ^,^:.log--_j^— log-./., 

0' désignant la distance MB. Tenant compte de l'expression (19 ), on 
voit que gi^ est la somme d'une fonction liolomorphe des deux 
points A et B et de 

(21) loS / ^Og — -y- I02 -ds. 

r - J "= p dn "^ p 



J . 1 I 



L'application de la formule de Green aux fonctions log - et log 

P 
montre que l'expression précédente est identiquement égale à 

(22) lOff / loff - -;- log-;<:/5 = log / — - ( log - log — ) â?5. 

r T. J "" p dn ^ p' ^ r 2T.J^dn\^p^ p'/ 



CHAP. ir. — DERIVEES FONCTIONNELLES DE LA FONCTION DE GRERN. I7<J 

Enfin on déduit de la formule (19) que ÇJJ est la somme de -jj et 
d'une fonction liolomorphe des points a et 6 du contour. 

Le problème posé est ainsi résolu simplement pour la fonction de 
Green et celles de ses dérivées qui joueront le plus grand rôle dans 
la suite. 

Les résultats précédents, reposant sur le théorème de ^IM. Schwarz 
et Hadamard, supposent naturellement le contour analytique. Si, au 
lieu de vouloir connaître la fonction de Green avec une erreur qui 
soit une fonction liolomorphe, on se propose seulement d'obtenir 
une erreur qui reste finie ainsi que ses dérivées jusqu'à un ordre 
déterminé />, il suffît de supposer que les coordonnées du point M 
du contour soient des fonctions de 5 continues ainsi cjue leurs dérivées 
jusqu'à Tordre p -\- \ . 

19. Application de la représentation conforme. — Considérons 
une représentation conforme de la région intérieure à G sur la région 
intérieure à G', et appelons A' et B' les points qui correspondent à A 
et B. Une fonction harmonique du point A devient une fonction har- 
moni(|ue du point A'. D'autre part, la différence 

/' désignant la distance AMV, est liolomorphe. On en déduit que 

oA _ /A' 

g désignant la fonction de Green relative au contour G', car la diffé- 
rence de ces deux quantités est une fonction harmonique de A' (ou 
de A), sans singularité, et nulle sur le contour. 

Pour déterminer oj, il suffit donc de connaître une représentation 
conforme de la région intérieure sur une région pour laquelle on 
connaisse la fonction de Green, par exemple un cercle. On peut 
aisément en déduire une autre métliode pour l'étude de la singularité 
de la fonction de Green. 

Appelons /(A) le rapport entre un chemin infiniment petit décrit 
par le point A' et le chemin correspondant décrit par le point A. 
On a évidemment, A et B venant en a et 6 sur le contour, 



dria drii) "^ '^ dria' diii/ 



l8o DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

Prenons pour C une circonférence de rayon i et représentons la 
correspondance entre les points de G et ceux de C par la relation 

s'=¥( s). 

La fonction/", en un point de C, est évidemment la dérivée de S, 
de sorte qu'il vient, en tenant compte des formules (i8), 

(.3) <Jt= «^'^-^^'^-^ 



" ,,i„.F(V,)-FU.) 



Nous avions déjà ramené le problème de Dirichlet à la détermi- 
nation de la fonction d'^. La formule (23) nous montre qu'il se 
ramène à la détermination de la formule d'une seule variable F(5). 
Cette fonction étant connue, il se résout par deux quadratures. 

20. Le problème de Dirichlet dans l'espace. — La plupart des 
résultats précédents s'étendent au cas de l'espace, en remplaçant le 

potentiel logarithmique log - par le potentiel newtonien - l-^;^, dans 

l'espace à n dimensions), et le facteur 27z qui intervient dans un 

grand nombre de formules par le facteur 4"^ (d'une manière géné- 
rale, le facteur à considérer est égal à la surface de la sphère de 
rajon i). 

Il j a toutefois deux circonstances qui rendent impossible la géné- 
ralisation de certains des résultats précédents. 

1° L'expression 



d i p 



est remplacée par l'expression 

d I p 
dn p ~ p^ 

qui ne se réduit pas à une fonction holomorphe des points a et M 
quand A vient en a sur la surface, mais devient infinie pour p = o. 
L'équation de Fredholm (i i) est alors remplacée par une équation 
à noyau singulier. M. Fredholm a d'ailleurs montré, par une méthode 
fort élégante, que les propriétés essentielles de son équation ne sont 
pas modifiées par une singularité de la nature de celle considérée ici. 



CHAP. II. — DERIVEES FONCTIONNELLES DE LA FONCTION DE GREEN. 18 1 

et que sa méthode de résolution du problème de Dirichlet s'applique 
au cas de l'espace. 

Mais il résulte de la singularité considérée qu'il n'est pas possible 
de généraliser les résultats du n" 19. Il ne semble pas possible, dans 
le cas de l'espace, de représenter par des quadratures en nombre fini 
une fonction ayant même singularité que la fonction de Green, c'est- 
à-dire différant d'elle par une fonction holomorplie. En tout cas, ce 
résultat n'est pas obtenu par les expressions qui correspondent aux 
expressions (21) et (22). 

Dans un grand nombre de questions, il suffît d'ailleurs de con- 
naître une fonction différant de la fonction de Green par une fonc- 
tion restant finie, ainsi que ses dérivées jusqu'à, un ordre déterminé. 
Ce résultat peut toujours être obtenu par des formules élémentaires, 
mais qui deviennent rapidement compliquées dès que l'ordre consi- 
déré est élevé (^). 

2° La notion de représentation conforme ne s'étend pas au cas de 
l'espace. Il en résulte qu'on ne peut pas trouver de fonction d'un 
seul point de la surface, analogue à la fonction F (5) du n° 19, dont 
la connaissance suffise pour résoudre le problème de Dirichlet. Ce 
problème ne peut être considéré comme résolu que quand on connaît 
au moins la fonction (j'^ de deux points de la surface. Cette circons- 
tance augmente l'intérêt qu'il peut y avoir à considérer cette fonc- 
tion. 

Dans la suite^ nous étudierons surtout le cas du plan et nous évite- 
rons d'utiliser la notion de représentation conforme lorsque cène 
sera pas nécessaire, de manière à présenter les raisonnements sous 
une forme permettant l'extension au cas de l'espace. 



LA VARIATION DE L'A FONCTION DE GREEN. 

21 . La formule de M. Hadamard. — Supposons que le contour C 
se déforme, sa déformation étant définie à la manière habituelle par 
la donnée de ^n en chaque point. Cherchons la variation 8^i^ de la 
fonction de Green, correspondant à cette déformation, les points A 
et B restant fixes. Nous désignerons parle symbole S,, lorsque les 

(') Voir mon Mémoire déjà cité des Acta niathematica. 



l82 DEIXIKMFÎ PARTIE. — DKRtVKES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

j)oints A et B (ou un de ces points) sont sur le contour, la variation 
obtenue en supposant qu'ils restent sur le contour (ou que le point 
considéré j reste) en se déplaçant normalement à lui. 

Lorsque B est fixe et intérieur à C, il résulte de la formule (i3) que 
0^^^^ est harmonique et sans singularité à l'intérieur de C. Cette fonc- 
tion est donc définie si l'on connaît sa valeur, lorsque A vient en un 
point a du contour. Or, dans ce cas, on a évidemment 

(.4) o^;s = s,rf-gs«„ = -go«„. 



On en déduit, en appliquante formule (i4); 



(^^ J > '^Sii = / . 1— on ds. 

an 



Cette formule, due à M. Hadamard ('), donne la variation delà 
fonction de Green lorsque A et B sont fixes et intérieurs au con- 
tour. 

Si A vient en a sur le contour, l'intégrale obtenue a la même dis- 

continuité que le potentiel obtenu en remplaçant -7— par sa partie 



lo.-' 



infinie 2 — r-^, et l'on trouve pour ùg'{^^ non zéro, mais l'expression 

déjà écrite (24). Si en même temps B vient en b sur le contour, on a 
de même, évidemment, 

""' dna dnb 

!2l2. La variation des dérivées de la fonction de Green. — Si A 

et B sont intérieurs au -contour, la formule (20) peut être déri\ée 

sans difficulté et donne la variation des dérivées de «,^. 

ds^^ 
Si A vient en un point a du contour, —j^ étant la somme de 

2 — -^ — - et d'une fonction holomorphe, les intégrales obtenues se 



(^) Voir Comptes rendus^ 9 féM'icr 190J, et Leçons sur le Calcul des variations, 
p, 3o3 et suiv^ ,. 



CHAP. II. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DE LA FONCTION DE GREEN. l83 

comportent comme les dérivées d'un potentiel de double coLiche de 
densité 

TT du 

et l'on a, en tenant compte des formules (8) et (9), 

\ ^dgl d Idgt^ 

-y— = — - -f- oric 

dSa dsa \dna 



on a— ka —, — on a ; — on\ 



dta dna dsa ' dna 

(2b) / 

0^ 



\ dn. 



dta dna ^ dna 

dgl^ d-^ (,_^\dgl 



— V. p. / Cm -— — on — 2 -, ; — lo^— —, — ona ds. 

ti: ^ JçX'^^ dn dndna\ ""ç^a/dna '' \ 



ds 



On a d'ailleurs 

= lim - — / 2-^ log- -T— ds = lini -7 — (4- — 2-) = o 

x-^a dna Jç^ L dn \ ^ 0/ dn \ x—^adna 

[d'après la note du n" 14 et la formule (li)]^ de sorte que l'on peut 
encore écrire 

Considérons maintenant la variation û,, obtenue en tenant compte 
de ce que a reste sur le contour en se déplaçant normalement à lui, 
et qu'en même temps la direction de la tangente au contour en a 
tourne d'un angle on[^. La relation entre les variations et ô, a déjà 
été écrite avec d'autres notations [formules (3i), n^ 76, première 
Partie], 11 vient, avec les notations actuelles et en tenant compte des 
propriétés élémentaires de la fonction de Green, 

. dgf, ^dg{t d'^gt . dgl^ , 

0^-j—=ù— h -7T 7 0/2a H- -7^-0/1;, 

dSa dSa dta dna dlla 

dgl .dgl dg% 

0^- =0— \- ka—, ona 

dna dna dna 



l84 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

et, par suite, en tenant compte des formules ('^6), 



aSa 



0,^ 
dSa 

(.7) <'s,^=*„^8 



dUa 






La première de ces formules était évidente a priori. 

Une méthode analogue s'applique pour les dérivées d'ordres supé- 
rieurs, et lorsque le point B vient en un point h du contour. On a 
ainsi, pour la variation de la dérivée (f^;, 



(.8) ag»=__L.,p.^ 



(/a Sî,' 5« 



9 (7« Sn ^^"^ 




^Mog — 


^5 



(29) ôig^ = (îg- + g«(A-«o/i«4-/',3/i6), 

la valeur principale étant relative aux deux points singuliers a et b 
de l'intégrale, et ka et Â^ désignant les valeurs de la courbure en a 
et en b. 

INTÉGRABILITÉ DE L'ÉQUATION {i5). 

23. Formation de la condition d'intégrabilité. — En remplaçant 
la fonction de Green dans l'équation (20) par une fonction inconnue 
4>J, nous obtenons l'équation aux dérivées fonctionnelles 

/ON -^ V I r^*M ^*« - / 

(3o) 04-^=-— / ^ "c/ir/5. 

2 >. J(, rf/i <:/^ 

Cette équation admet comme solution, non seulement la fonction 
de Green que nous venons de définir, mais aussi, comme il est facile 
de le vérifier, la fonction analogue relative à la région intérieure à C 
et extérieure à un ou plusieurs contours fixes intérieurs à G. La 



CHAP. II. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DE LA FONCTION DE GREEN. l85 

condition d'intcgrabilité est évidemment vérifiée pour toutes ces 
fonctions. Mais toutes ces fonctions sont des fonctions symétriques 
des points A et B, harmoniques, s'annulant lorsqu'un des points 
vient sur le contour, et ayant même singularité, c'est-à-dire telle que 
la différence de deux quelconques d'entre elles est holomorphe 
lorsque les points A et B sont voisins du contour. En raison de tous 
ces caractères communs, nous pouvons nous attendre à ce que la 
condition d'intégrabilité ne soit pas identiquement vérifiée. 

Pour former cette condilion, supposons d'abord que la fonction <I>j^ 
soit finie et continue ainsi que ses dérivées premières et secondes. 
On a dans ce cas 



d^ti 



d'H 



\ ^ * / 




^' dn 


dn^ 


et, p 


ar 


suite. 




(32) 


ô, 


{dH 
\ dn 


dn J 






_ fd^ii ^2ci>JJ 



d^ 
ds 



'1-r.J^. dni 



d<Pi ^2cî,M. 



dni dn 



o/ii dsi 



V dn dn' 



'2-Jf: \ dn 



fi^ dn J \ d/i ^TT^ 



dn 



dH d^ \ 
0J^ dn J 



r/2 <ï>" dA^ 



d^^L 



^2(Ï)J[. rffi)j 



d/) d//i d/fi d/ii dni dn dn 



o/ii dsi. 



iNous de\ons écrire que cette expression est identique à son 
adjointe. 

Le coefficient de ùjiidSi dans l'intégrale est une fonction symé- 
trique des points M et M<. La première condition d'intégrabilité 
(n*^ 4) est donc identiquement vérifiée. La seconde condition d'inté- 
grabilité exige que le coefficient de 8/i' soit nul, puisque la dérivée 
la plus élevée de o/i qui figure dans l'expression (32) doit être 
d'ordre pair. La valeur du coefficient de on est indifférente. La seule 
condition d'intégrabilité esl donc 



(33) 



d^ii d^l>'^ d^ii d<P^ 



ds dn 



dn ds 



24. Le calcul précédent ne s'applique pas si la fonction <Ï>b a la 
même singularité que la fonction de Green. Considérons maintenant 



l86 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

le cas d'une fonction de la forme 

K - si -+- /^i 

la fonction A,^ étant supposée finie et continue, ainsi que ses 
dérivées jusqu'à Tordre 3, lorsque les points A et B sont tous les 
deux voisins du contour. 

Tenant compte de la deuxième formule (26), on voit que 

,.,. .^*M I ^*M. r ^'^'îl' / 

an -j.- du J^. d/ti d/i 

2- J^, d/iidfi \ d/ij ^ du J 

Les formules (3i) et (Sa) sont alors remplacées par des formules 
dans lesquelles les coefficients de on ne sont pas modifiés, de sorte 
que la condition (33), reste nécessaire. La modification du coeflicient 
de 8/i est sans importance. Enfin, l'intégrale définie est modifiée, 
celle qui figure dans la formule (3a) étant remplacée par l'expres- 
sion 

(35) --V . f\^^ ^("^^n -^oA 

•j.T. 'J^ \^diidni du \diiy ^ ^ du J 

^ d^^l^ d^ /d^^ ^^^^ _ d^ g \ 1 
dfiidn du \ drii ^ du j\ 



ds. 



Si nous niontrt)ns que cette expression est identique à son adjointe, 
il en résultera que la condition d'intégrabilité, comme dans le cas 
régulier, est exprimée par la formule (33). 

Nous supposerons que on admette, non seulement une dérivée 
première continue, mais une dérivée seconde partout finie. Alors, 

tandis (fue -, — 7-^ et -; — — ont pour partie inlinie celle de -1 — -, — > 
^ dndrii dii^dii ^ ^ dridn^ 

c'est-à-dire , '■ — -, leurs coefficients sont de la forme 

A( .îl— 5) + |Jl(5i s)-, 

À et u. restant finis. 11 en résulte que le passage à la limite représenté 
])ar le symbole v. p. s'eifectue d'une manière uniforme, ce qui permet 
d'efîectuer une quadrature par la règle de calcul habituelle. 

Pour démontier que l'expression (35) est identique à son adjointe, 
nous devons la multiplier par o, n ds, intégrer le long du contour G, 



CHAP. II. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES I)K LA FONCTION DE GREEN. iSy 

et vérifier que le résultat obtenu ne change pas si l'on échange les 
symboles o et 0|. Nous pouvons, dans l'expression obtenue, inter- 
vertir le symbole v. p. et le signe d'intégration, et considérer la 
valeur principale de l'intégrale double obtenue, c'est-à-dire la limite, 
pour £ = o, de l'intégrale obtenue en supprimant les parties du champ 
d'intégration pour lesquelles 

\s,-s\<z. 

Or le champ d'intégration ainsi défini ne change pas si Ton inte:- 
vcrtit les points iVl et M,, et la fonction intégrée diffère de la fonc- 
tion obtenue en échangeant ù/i et ù^fi par une fonction impaire, 
c'est-à-dire changeant de signe si l'on échange M et M<, et dont, par 
suite, l'intégrale est nulle. L'intégrale double considérée, et par suite 
sa limite pour £ = o, ne change donc pas si l'on intervertit les fonc- 
tions rj/i et ô,/i, de sorte que l'expression (35) est identique à son 
adjointe. 

La formule (33) repr(''sent(; donc bien la condition d'intégrabilité, 
non sans doute dans le cas des fonctions ayant une singularité quel- 
conque, mais dans le cas des fonctions régulières et dans le cas de 
celles ayant la même singularité que la fonction de Green. 

Nous devons maintenant écrire que cette condition reste vérifiée 
quand le contour se déforme. Gela nous conduira à de nouvelles con- 
ditions; cette fois, les résultats obtenus dans le cas régulier et dans 
le cas singulier seront essentiellement différents. 

25. Étude du cas régulier. — Nous supposerons 4>,^, non seule- 
ment, comme pour former la condition d'intégrabilité (33), fini et 
continu ainsi que ses dérivées premières et secondes, mais holo- 
morphe, lorsque A et B sont voisins du contour. 

On a, en tenant compte de l'équation (3o), 



- on I —, — - —, 1- o/ii dsi. 

i 2- ,/,, ^d/ii a/il "^ 



(36) Oi — r^ = - — z—on , 

as dt du du 

Gette formule, la formule (3i), et les formules analogues relatives 
à la fonction 4>J/ permettent de former la variation du premier 
membre de la condition d'intégral)ilité. Gette variation comprend 
une intégrale définie, un terme en gaz, un terme en oji\ qui doivent 
être nuls séparément. Ecrivant (ral)ord que le coefficient de on est 



l88 DEUXIEME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

nul, il vient 

dii du ds ds 

Pour continuer la discussion, il j a deux cas à distinguer. 

r» • T ? J f ^*M d¥i - 

Jrremier cas. — L un des facteurs — ^ et est nul; supposons 

dn dri ' ^^ 

pour fixer les idées que ce soit le premier, et qu'il reste nul lorsque 
le contour se déforme. L'équation (3o) montre alors que <[>« i^^ 
dépend pas du contour. 11 en résulte de plus que ^^ ne dépend pas 
de B, car, quels que soient le point B considéré et le déplacement de ce 
point à partir de sa position initiale, il suffit de considérer un con- 
tour passant en ce point et normal à ce déplacement. La dérivée 
normale de 4>^i étant nulle, <l>j^ ne varie pas dans le déplacement con- 
sidéré. 

La fonction <Ï>b est alors une fonction cV an seul des points A et B, 
indépendante de l'autre et du contour. Une telle fonction vérifie 
bien, évidemment, l'équation (3o) et la condition d'intégrabi- 
lité(33). 

Deuxième cas. — ^Supposons maintenant que —r^ et —7— ne soient 

pas nuls, ou du moins ne le soient qu'accidentellement, pour un 
contour particulier, sans le rester quand le contour se déforme. Les 
équations (33) et (3^) sont alors des équations linéaires et liomo- 

^(J)M ^<j,M 

gènes en —r^ et —-^1 admettant un système de solutions non nulles. 
Leur déterminant est nul, ce qui donne 

(5)'* (2)'=". 

ces deux termes n'étant pas nuls séparément, puisque -~ n'est pas 

nul . 

Ce cas ne comporte pas de solution réelle. Pour les solutions ima- 
ginaires, il vient, en tenant compte de la formule (33), 

^^^^ -ibï'^'-di' iin:-~"'~dr , 

(ou bien les formules obtenues en remplaçant dans celle-ci i par — t). 



CHAP. II. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DE LA FONCTION DE GREEN. 189 

Cette formule à son tour doit rester vérifiée quand le contour se 
déforme. Tenant compte des formules (3i) et (36) et égalant les 
coefficients de on dans les variations des deux membres, il vient 

^^^M _ .^'*M ^'*R _ .«^^*B 

dfi' ~ dtdn du- dtdn 

Recommençant à égaler les coefficients de o/i dans les variations 
des deux membres, et ainsi de suite, on obtient successivement les 
conditions 



( / dni' \ du dt ) 



^(^-'•^)=-(--'--^)=<' (^ = ^-3,...,.), 



qui montrent, puisque la fonction (pj^ est liolomorphe, que les condi- 
tions (38) restent vérifiées lorsque le point M s'éloigne du contour. 

La fonction ^J est alors une fonction analytique de x^ + iy^ et de 
x-i — iyi (ou de x^ — iy^ et de x^-^-iy^^)^ x^ et y^ étant les coor- 
données de A, x^ etyo celles de B. 

Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes pour qu'il existe une 
solution de l'équation (3o) égale pour un contour particulier à la 
fonction <Ï>J. En effet, la forme de l'équation (3o) montre qu'elles 
restent vérifiées lorsque le contour se déforme, et la condition d'in- 
tégrabilité, qui résulte de ces conditions, reste également vérifiée. 

26. Étude du cas singulier. — Supposons maintenant que <PJ soit 
la somme de la fonction Green et d'une fonction h^ holomorphe 
lorsque les points A et B sont voisins du contour. 

La formule (3(3) n'est plus exacte, l'intégrale qui y figure représen- 

- . . ^ ^4>J, - ^, . , . 

tant la variation o — r- lorsque M est intérieur au contour, et étant 

discontinue à la limite comme l'est, d'après la formule (g), la dérivée 
d'un potentiel de double couche de densité 

•2 Tî du 



Il j a donc lieu d'ajouter le terme 
\d fd^ , \ d^^i ^ 

r \ — ; — Q/l ] = ; — ;— 

ds \ dn J dt du 



d^ 



îi. d^k 



k — -, — ùn ; — on 

ds dn 



190 DEUXIEME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

et il vient 

Cette formule et les résultats du 11° î24 permettent de former I; 
variation du premier membre de la condition d'intégrabilité. Annu 
lant le coefficient de ù/i', il vient 



ds ds 

Ces^deux facteurs, dont le produit est nul, doivent d'ailleurs être 
nuls tous deux. Si par exemple le premier était nul et non le second, 

d'après la formule (33) la dérivée -7^' serait nulle, et d'après Téqua- 
tion (3o), <^^ serait indépendant du contour, ce qui n'est pas pos- 
sible, puisque sa partie infinie en dépend efTectivement. On a donc 

En écrivant que ces conditions restent à leur tour vérifiées lorsque 
lé contour se déforme, on n'obtient cette fois aucune nouvelle condi- 
tion imposée à la fonction fl>j. En effet, si elles sont vérifiées initia- 
lement, il résulte de la formule (39) et de la formule analogue relative 
à <I>J/ qu'elles restent vérifiées. Comme la condition d'intégrabilité (33) 
est une conséquence de ces formules, cette condition reste vérifiée. 
Par suite, à toute détermination initiale de fp^^ ayant même singu- 
larité que la fonction de Green et vérifiant les conditions (/jo) 
correspond une solution de V équation (3o). 

Les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence d'une 
solution sont ainsi beaucoup moins restrictives dans le cas singulier 
que dans le cas régulier. 

Cela était d'ailleurs à prévoir. Si nous remplaçons la région inté- 
rieure à C par la région comprise entre C et un autre contour C , 
nous obtenons une autre fonction de Green, ayant dans le voisinage 
de G la même singularité que ^J, et vérifiant évidemment l'équa- 
tion (3o) lorsque C se déforme, C restant fixe. Toutes ces fonctions, 
dont la forme dépend ainsi d'une ligne C, sont donc des solutions du 
problème que nous venons de traiter, et l'on devait s'attendre à 
trouver des solutions ayant un assez grand degré de généralité. 



CIIAP. II. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DE LA FONCTION DE GREEN. I9I 

Toutefois, 011 ne pouvait pas prévoir que le pioblèmè traité ne 
conduirait à aucune autre condition que les conditions (4'^))- Si l'on 
remplace la fonction de Green par la fonction de Neumann, on est 
conduit à une équation analogue à l'équation (3o); la recherche des 
solutions de cette équation ayant même singularité que la fonction 
de Neumann conduit à des conditions analogues aux conditions (4o), 
mais en outre, à la condition beaucoup plus restrictive que ces solu- 
tions soient des fonctions harmoniques des points A et B (<). Dans le 
problème relatif à l'équation (3o), on aurait pu s'attendre à la même 
restriction, puisque les solutions dont nous venons de montrer 
a priori l'existence la vérifient; mais nous avons vu qu'elle ne se 
présentait pas, 

(') Voir ma Thèse, Chapitre III. 



CHAPITRE III. 

TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE L'ÉQUATION 
AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DE LA FONCTION DE GREEN, 



Sommaire : L'équation de M. Hadamard : L'équation de M. Hadamard etia 
fonction de Green. — L'équation de M. Hadamard et la fonction de Green 
d'ordre 2. — L'équation de M. Iladamard et la fonction C^f^ sur le contour. 
— Applications : Les inégalités de M. Hadamard. — La recherche des 
solutions homogènes. — Étude du cas du cercle. — Extension au cas de 
l'espace. 

L'ÉQUATION DE M. HADAMARD. 

27. L'équation de M. Hadamard et la fonction de Green. — 
L'équation aux dérivées fonctionnelles de M. Hadamard est l'équa- 
tion 

(1) 8Ti^- fw^^Wlonds, 

Je 

déjà considérée n** 12. Elle est complètement intégrable, non seule- 
ment, comme nous l'avons vu, dans le champ des fonctions symé- 
triques, mais dans le champ des fonctions quelconques, étant exclues 
seulement les singularités pour lesquelles la formule (i) cesse d'avoir 
un sens pour les points du contour. 

Étant donné le rôle joué dans la théorie de la fonction de Green 
par les dérivées normales, fonctions d'un point et d'une direction, 
nous considérerons non seulement des fonctions de deux points, 
mais des fonctions ^'(A, 8a; B, 9b) de deux points A et B et de deux 
directions données en A et B et définies par des angles Ôa et Gy. La 
direction de la normale intérieure au contour G en M sera définie par 
l'angle 8. L'équation 

(2) S^^A, e.v; B, Od)- r^XA, 6a; M, 0)UXM, 6; B, Qn)onds 

Je 



ClIAP. III. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE l'ÉQUATION. 193 

est analogue à l'équation (i), se réduisant à elle lorsque la fonction U' 
ne dépend pas de Qa et 9^. 

Nous désignerons par -j— la dérivée d'une fonction suivant la 

direction définie en A par l'angle 9^. 

Appelons ^^ une solution de l'équation aux dérivées fonction- 
nelles de la fonction de Green 

I rd^k d^\ 

(3) 8ci,A^ \—Jl.^inds. 

^ 1- Jç^ dn dix 

De cette équation résulte que 

diip^dii^ iiz Jç^ diis^dn dn dii^ 

La fonction 

I ^2(ï)A 



(4) 



2 Tz dnx dnji 



est une solution de l'équation (2). En particulier, si ^^ est la fonc- 
tion de Green «3, la fonction 

I «?^^H 



(5) 



2- dnx dfiu 



qui se réduit sur le contour à Ç^, est une solution de cette 



I 

équation. 

Si, au lieu de considérer une déformation quelconque du con- 
tour G, nous considérons une famille de contour bien déterminée, se 
déformant depuis un contour intérieur Co jusqu'à un contour exté- 
rieur G, de manière qu'un contour G et un seul passe par tout 
point A de la région comprise entre Gq et G,, nous pouvons sup- 
poser que l'on ait choisi pour 9a Fangle définissant la direction de la 
normale intérieure à ce contour. Get angle apparaît comme une 
fonction du point A, et l'expression (4) apparaît comme une fonction 
bien déterminée des points A et B. Gette fonction vérifie l'équa- 
tion (i) pour la déformation considérée du contour G, ou bien, si 
l'on particularise les points A et B, pour toute déformation laissant 
ces Doints intérieurs au contour. Mais si ces points arrivent à être 
sur le contour, il est essentiel que le contour y soit normal aux 
directions correspondant aux angles choisis 9a et 9b. 

MÎVY. 13 



T94 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉKS FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

28. L'équation de M. Hadamard et la fonction de Gréen d'ordre 2. 
— - Des circonstances analogues se présentent avec la fonction de 
Green d'ordre 2. Cette fonction, que nous désignerons par Cî,^, inter- 
vient dans le problème qui consiste à déterminer, à l'intérieur d'un 
contour C, une fonction biharnionique ^ c'est-à-dire vérifiant l'équa- 
tion 

AAîi = o, 

connaissant ses valeurs et celles de sa dérivée normale sur le con- 
tour C. La fonction G^^ est définie comme une fonction du point A, 
s'annulant sur le contour ainsi que sa dérivée normale, et étant la 
somme de r-log- et d'une fonction biharmonique et régulière à 
l'intérieur de C. C'est aussi une fonction symétrique des points A 
etB. 

Sa dérivée normale étant nulle, c'est la dérivée seconde , ^ qui 
joue le rôle joué par la dérivée première dans l'étude de la fonction 
de Green d'ordre i. Ainsi la variation de Gj^ est donnée par la for- 
mule 

et la fonction 



^c 


dn-^ dn^ 


I 


d^Gt, 


87r 


dul dnl 



est, par suite, une nouvelle solution de l'équation (2). 

Mais on peut ici arriver à un résultai un peu plus simple. On a, 
en elïet, 

d-^G^, d^Gi dGi, d-^G^ 

■^•^^» == IJI^ -^ -d^ -''-d^ = -J^' 

Am désignant l'opération A effectuée en considérant G;^i comme fonc- 
tion de M. La formule (6) peut alors s'écrire 

^GJ = — ^ Am G^, Am G.I bn os, 
et la fonction 

qui ne dépend plus du choix des directions considérées en A et B, 
est une solution de l'équation de M. Hadamard. 



CHAP. m. — TRAXSFOftMATlO.NS ET APPLICATIONS DE l'ÉQUATION. igj 

29. L'équation de M. Hadamard et la fonction Çj^ sur le contour. 
— L'équation (i) est plus simple (jiie réquation (3) parce qu'elle, 
permet de définir la variation de la fonction inconnue sans faire inter- 
venir les dérivées de cette fonction par rapport aux coordonnées des 
points A et B. Mais si l'on veut ramener l'équation (o) à la forme (i), 
on ne le peut pas, et l'on est conduit, d'après ce qui précède, à se 
donner arbitrairement en A et B des directions définies par les 
angles Ôa et 8^. 

Un moyen d'éviter cette complication est de ne considérer les 
valeurs des expressions (4) ou (5) que pour les points du contour. 
Ces expressions ont alors un sens bien défini; nous avons déjà vu 
l'intérêt qui s'attache à ces valeurs. D'une part, la connaissance de la 
fonction Cj"^ à laquelle se réduit, à un facteur constant près, l'expres- 
sion (5) sur le contour suffît pour résoudre le problème de Dirichlet. 

U autre part, la variation première de -^ — et, par suite, la variation 
seconde de «g introduisent cette fonction, dont la singularité, lorsque 
les points aeib sont voisins, est la principale cause de difficulté dans 
Tétude de l'équation (3). On mettra donc mieux en évidence le 
caractère de cette difficulté en faisant dépendre l'étude de g]^ de celle 

Les points a et b devant rester sur le contour, nous devons consi- 
dérer la variation 8, CJl et non la variation oCJ^. D'après le n" 22, on a 

(7) §iff/' = ff/^A-::; 5,ia^ kb ^ni,) 

^2 loff -1 



ds. 



b--p-fW<'r^n-.cjt,,,.^^ 



6/2 loo — 



La fonction CJl est donc une solution de féquation 



(8) o,Wt=Wt{ka5na+kbhib) 



^ V. p.JynW'^l hi - s^F^ 8/i, 



d- los — 



dn diia 
d* log — 



196 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

qui n'est au fond qu'une forme modifiée de l'équation de M. Hada- 
mard, écrite de manière à ne faire intervenir que les valeurs de W^ sur 
le contour et à préciser le sens qu'il faut donner au second membre 
pour les fonctions ayant même singularité que ÇJ*. 
En posant 

(9) ii'^=g?+5c?, 

5C^ étant alors une fonction holomorphe, et en tenant compte de ce 
que, d'après le n** 22, nous pouvons, dans les formules (7) et (8), 

remplacer les facteurs logarithmiques par-Cf^^ et -Ç//, on voit que la 

transformée de l'équation (8) par la formule (9) s'écrit 

10) Si5C^=5e^(A-«S/^aH-A-6S/i/.)-— f 3t^i:it'^l on ds 

30. Nous avons obtenu l'équation (8) en formant la variation 
de (^l. Nous allons maintenant montrer le lien qui existe entre les 
autres solutions de cette équation et l'équation (3). 

Soit <[ij^ une solution de l'équation (3). Supposons : 

1" Qu'elle soit de la forme 

la fonction Ji^ étant holomorphe lorsque les points A et B sont tous 
deux voisins du contour, 

2° Qu'elle soit une fonction harmonique de chacun des points A 
et B; 

3^ Qu'elle s'annule lorsque l'un ou l'autre de ces points vient sur 
le contour. 

Je dis que, dans ces conditions, la fonction 

<^^^ '"" driadub 

est une solution de l'équation (8). 

11 résulte, en effet, de la première de ces hypothèses que o^'l est 
représenté par l'intégrale du second membre de (8), et des deux 



CHAP. III. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE L EQUATION. IQ" 

autres que 

De ce résultat, on peut déduire que léquation (8) est complète- 
ment intégrable dans le champ des fonctions ayant même singularité 
que (j*^^, c'est-à-dire que l'équation (lo) est complètement intégrable 
dans le champ des fonctions régulières. 

En effet, nous pouvons choisir arbitrairement pour un contour G 
la fonction W^ ayant même singularité que Ç^. La formule (i i) déter- 
mine alors sans ambiguïté une fonction $p vérifiant les trois condi- 
tions énoncées au début de ce paragraphe (on le voit en déterminant 

d<pB . . . . 

-j — comme fonction harmonique de B connue sur le contour ainsi 

que sa dérivée normale, puis de même ^^ comme fonction harmo- 
nique de A, et vérifiant ensuite que cette fonction vérifie les trois 
conditions énoncées). De la première et la troisième condition 
résulte^ d'après le n° 26, l'existence d'une solution de l'équation (3) 
correspondant à la valeur initiale ainsi définie. On en déduit alors, 
par la formule (i i), la solution de l'équation (8) correspondant à la 
valeur initiale choisie pour W/*. Le résultat énoncé concernant l'inté- 
grabilité des équations (8) et (lo) est donc établi. 

On pourrait, bien entendu, le démontrer directement en utilisant 
les résultats établis n° 77 de la première Partie sur les fonctions 
dépendant d'un contour et d'un point de ce contour. 



APPLICATIONS. 

3L Les inégalités de M. Hadamard. — M. Hadamard a déduit des 
équations (3) et (6) des inégalités importantes concernant les fonc- 
tions de Green. 

La fonction de Green g^ est toujours positive. Gela résulte de ce 
qu'une fonction harmonique régulière ne peut avoir ni minimum ni 
maximum. La fonction de Green, fonction harmonique de A, nulle 
sur le contour G, et positive et très grande sur un petit cercle F 
entourant B, est toujours comprise, dans la région annulaire située 
entre G et F, entre zéro et son maximum sur F. 

L'équation (3), vérifiée pour la fonction de Green, montre alors 



I()8 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE, 

que 

pour toute déformation telle que o/z soit partout négatif ou nul. Eu 
d'autres ternies, la valeur de la fonction de Green pour deux points 
fixes A et B augmente lorsqu'on remplace un contour enveloppé par 
un contour enveloppant. 

Lorsque A et B sont confondus, la fonction g-f^ n'a pas de sens^ 
mais la fonction 

qui a même variation qu'elle, a une valeur bien déterminée A (A) (•). 
L'équation (3) donne alors, en tenant compte des inégalités de 
Schwarz, 

32. La fonction de Green d'ordre 2, G^, est vraisemblablement 
toujours négative pour un contour simple. Mais cela n'a pas été 
démontré. On peut alors seulement déduire de la formule (6), G]j 
ayant un sens lorsque A et B sont confondus, que, si un est partout 
négatif ou nul, on a 

ÔG^<o, 

De la première de ces inégalités, et du fait que G;^ est négatif pour 
un cercle très petit entourant le point A, résulte que celte fonction 
est négative pour un contour quelconque. 

33. Malgré la brièveté des indications que nous venons de donner, 
le lecteur peut se rendre compte de la fécondité de la méthode 
employée. 

Toutes les fois que l'on sait résoudre un problème, pour certaines 
valeurs particulières des données, les méthodes du calcul différentiel 
permettent de le résoudre d'une manière approchée pour des valeuis 



(') D'après la définition de la fonction de Green, /i ( A ) est la valeur moyenne du 
logarithme de la distance d'un point du contour au jjoinl A, la moyenne étant cal- 
culée en donnant à chaque élément d'arc un poids égal à l'aDgle sous lequel il est 
vu de A 



CIIAP. III. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE l'ÉQUATIO.V. I99 

des données voisines des valeurs particulières considérées d'abord. 
Si les données comprennent une fonction arbitraire ou une ligne, la 
méthode consiste à former la variation de la fonctionnelle étudiée en 
fonction des variations des données. On peut ainsi étudier la fonc- 
tion de Green pour des contours voisins de la circonférence. On peut 
étudier ses singularités en un point singulier M d'un contour G en 
considérant d'abord des contours voisins de G et réguliers dans le 
voisinage de M. 

On peut naturellement appliquer des méthodes analogues à des 
problèmes beaucoup plus généraux que celui de la détermination de 
la fonction de Green relative à l'équation de Laplace et au problème 
de Dirichlet. 

34. La recherche des solutions homogènes. — A un point de vue 
tout différent, on peut utiliser l'équation aux dérivées fonction- 
nelles (3o) du Ghapitre précédent à l'étude de la fonction de Green. 
Nous avons vu que les conditions d'intégrabilité de cette équation, 
très peu restrictives, ne donnaient aucun renseignement nouveau sur 
cette fonction; l'équation (3o) ne peut donc conduire, si on la consi- 
dère seule, à la détermination de la fonction de Green, que si Ton 
suppose sa valeur connue pour un contour particulier. 

11 n'en est pas de même, si l'on combine les renseignements que 
peut donner l'équation (3o) avec les propriétés élémentaires de la 
fonction de Green, notamment celle relative à sa singularité, celle 
d'être harmonique et celle d'être homogène et de degré zéro. 

Lorsqu'on remplace la figure formée par le contour G et les deux 
points A et B par une figure semblable et très peu différente, la 
fonction de Green ne doit pas changer, d'après la propriété d'homo- 
généité. On a donc 

. A '^^li- ^^H. '^^'h> '^^'h- 

^A5 JKa et j^ii, j'b désignant les coordonnées de A et B, et o^Ta, oy,\, 
oxbi '^yiii leurs variations pour la déformation considérée. En rem- 
plaçant, d'autre part, og"^ par sa valeur, on voit que la fonction de 
Green est solution de Féquation 



'c 



200 DEUXIEME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DL PREMIER ORDRE. 

Gomme on peut considérer dans le plan quatre déformations infi- 
nitésimales indépendantes les unes des autres et remplaçant la figure 
par une figure semblable (par exemple une translation parallèle à Oj?, 
une translation parallèle à Ojr, nne rotation et une homothétie), on 
a, en réalité, quatre équations intégro-différentieUes vérifiées par 
la fonction de Grecii. 

La question se^ pose naturellement de savoir si ces équations 
suffisent pour déterminer la fonction de Green, ou si, du moins, 
ajoutées à certaines propriétés élémentaires de ces fonctions, elles en 
facilitent la détermination. 

3o. Remarquons d'abord que la réponse à la question posée, non 
au point de vue des calculs pratiques à effectuer pour la résolution 
des équations (E), mais au point de vue de la possibilité théorique 
de cette résolution, est indépendante du contour considéré. 

En effet, le problème qui nous a conduit aux équations (E) con- 
siste à trouver des fonctionnelles 4>y vérifiant l'équation aux dérivées 
fonctionnelles de la fonction de Green et ayant la même propriété 
d'homogénéité que cette fonction. Les équations (E) définissent les 
valeurs initiales de ces fonctionnelles pour un contour parliculier. 
Quel que soit le contour considéré, il est évident qu'on doit trouver 
les mêmes fonctionnelles, et par suite, le même nombre de solutions 
des équations (E). 

Du moins ce résultat est très vraisemblablement exact. Pour le 
démontrer rigoureusement, il faudrait écarter l'hypothèse d'une 
fonctionnelle vérifiant les conditions indiquées, mais définie dans 
un champ fonctionnel ne comprenant qu'une partie des contours 
plans G. 

Les mêmes remarques s'appliquent si, au lieu de chercher à définir 
la fonction ^„ par les équations (E), nous utilisons les propriétés 
suivantes : 

1° Avoir même partie singulière que ^j^ dans le voisinage du con- 
tour, c'est-à-dire être la somme de ^3 et d'une fonction holomorphe 
lorsque les points A et B sont suffisamment voisins du contour; 

2^ Vérifier sur le contour les conditions 

(.4) |^'« = ^*î!=<'^ 



CUAP. III. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE L EQUATION. 20I 

3*^ Etre dans le voisinage du contour une fonction harmonique de 
chacun des points A et B ; 

4° Etre une fonction symétrique des points A et 1^. 

En effet, ces conditions, supposées vérifiées pour un contour ini- 
tial, le restent quand le contour se déforme. Si donc nous montrons 
que pour un contour particulier, par exemple un contour circulaire, 
ces conditions, jointes aux équations (E), suffisent à (h'terminer la 
fonction de Green, il en sera vraisemblablement ainsi pour un con- 
tour quelconque ( • ). 

36. Nous avons déjà remarqué le rôle que jouent les valeurs des 
dérivées de la fonction de Green sur le contour, et en particulier de 
la première dérivée qui ne s'annule pas, que nous avons désignée 
par (jt- 

La forme des équations (E), faisant intervenir les valeurs de ^b^^ 
sur le^contour, conduit à représenter cette fonction par un dévelop- 
pement en série de Tajlor dans le voisinage du contour et à étudier 

les conditions imposées aux dérivées successives ^ ^. . U nous suiiit 
<l'étudier les conditions imposées �� *F/' = —, ~\ si, en effet, nous 

^ dlla dlli, ^ 

arrivons à montrer que cette fonction est déterminée, les autres déri- 
vées sont déterminées par les conditions a'* et .)° du n"* 35; il n'est 



(') La difficulté d'une démonstration rigoureuse provient de ce que la propriété i", 
raie pour un contour initial C^, l'est seulement pour les contours assez peu 
lifférents de C^. Si l'on pose <I>y = g^^ H- /<^, la formule 



^ 1- Jç\ du dn dn dn du du 



-jH ds 



montre que oh^ est holomorplie si Ay Tcsl, et l'on peut, en formant hf^ par des 
approximations successives, montrer rigoureusement ({ue A,, reste liolomorphe pour 
les contours très peu différents de Co- Mais il peut arriver que Ay cesse d'être 
liolomorphe dans le voisinage du contour pour des contours C assez diiïérents de C^; 
il s'agirait de montrer que cette circonstance ne peut pas se produiie pour des fonc- 
tions vérifiant les équations (E). 

La première partie de la démonstration est exposée au n° 31 de ma Thèse. Je ne 
l'ai pas reproduite, parce que, ayant remarqué que la démonstration que j'avais donnée 
pouvait se simplifier, je n'ai pu encore arriver à la mettre sous une forme suffisam- 
ment simple. 



202 DEUXIÈME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

d'ailleurs pas difficile, en faisant abstraction de ces conditions, de 
les déterminer par les équations (E). De toute façon, pour montrer 
que le problème posé au numéro précédent détermine bien (à une 
constante près) toutes les dérivées successives de ^J^, il suffit de 
montrer qu'il détermine bien W'I. 

Les conditions imposées à W^ peuvent, comme nous venons de 
l'indiquer, se déduire des équations (E). 11 est aussi simple de les 
déduire du fait que W'I vérifie l'équation (8) et est homogène de 
degré — 2. Dans une défoiniation remplaçant la figure par une figure 
semblable, les points a el b ont des déplacements normaux ùn^ et 8/z/,, 
et des déplacements tangentiels ùSa et o^^. La variation de W'I^ due aux 
déplacements normaux, et celle due aux rotations des tangentes [qui 
est d'ailleurs nulle en vertu des conditions (i4)|5 "^^^nt contenues 
dans l'expression de ^^Wl donnée par la formule (8). 11 vient donc 

(F) Si ^1 / + -r^ ô5« + -—^ ùs/, 4- 2^ '^ — = o, 

<^Sa <)S(j i 

ol désignant la Variation d'une longueur / liée à la figure; en 

d'autres termes, 1 + y désigne le rapport de similitude de la figure 

déformée et de la figure primitive. 

Les équations (F) constituent quatre équations intégrales (') 
vérifiées par la fonction W'I. 11 faut remarquer que pour arriver à ce 
résultat l'hjpothèse que $3 soit harmonique est essentielle. En effet, 
sans cette hypothèse, les coefficients de Saîa et 8/Ib dans la for- 
mule (8) ne seraient pas ka^'l et A-^W/J, mais 



dnldrib dnadn'l 

Ce seraient deux fonctions nouvelles, distinctes de ^%^ qu'il fau- 
drait éliminer. Les deux équations résultant de cette élimination 



(*) Malgré la présence de signes de dérivation, elles se distinguent des équations 
intégro-dijférentielles qui comprennent une intégration par rapport à une variai»i(^ 
et une dérivation par rapport à une aulrc; lel était le cas pour les équations (E), 
contenant une intégration le long du contour C et une dérivation normale. Toute- 
fois, elles se distinguent nettement des équations intégrales ordinaires par la \nv' 
scnce sous le signe d'intégration des valeurs U'jj et T]^* de la fonction pour deux 
systèmes différents de valeurs des variables. 



CH\P. III. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE l'ÉQUATION. 2o3 

peuvent s'écrire directeiiKiit en formant les équations (V) relatives 
à des déformations qui annuJeiit o/i^ et o//^, soit par exeiuple : 

1° Une homotliétie par rapport au point de concours des tangentes 
en a et en b} 

2" Une rotation par rapport au point de concours des normales. 

iNlais ces deux équations ne suffiraient pas à déterminer W^^ tandis 
que nous allons voir, par l'étude du cas du cercle, que les quatre 
équations (F), jointes à la condition que W^ ait pour partie^ infinie 
celle de (j"J^ et soit symétrique en a et ^, suffisent ('). 

37. Étude du cas du cercle. — Dans le cas d'un cercle de rayon i, 
l'équation (F) relative à une rotation montre que ^F^' se réduit à une 
fonclion '}(0) de l'arc 8 ([ui sépare les points a et b. En raison de la 
pro])riété de symétrie de W^-, cette fonction est paire, 

A cause de la symétrie de la figure par rapport au diamètre per- 
pendiculaire à ab, l'équation relative à une translation parallèle à ab 
est identiquement véiifiée, et il reste à écrire les équations relatives 
à une translation perpendiculaire à ab et à une liomothétie. Nous 
considérerons, ce qui revient au même, les équations relatives à deux 
homothéties, l'une par rapport au point de concours des tangentes 
en a et b, l'autre par rapport au centre du cercle. 

Pour écrire ces équations, nous ne prendrons pas o^^F'^ sous la 
forme (8), mais nous utiliserons les formules 



w2= lim w)^ = -— lim A-,\M';;a/^ 

A, R —^ II, b '-i 7^ A, B — > n, h «/(. 



ds. 



(') On peut trouver qu'il n'y a pas très grand intérêt à arriver à montrer (|ue la 
fonclion de Green est déterminée si Ton utilise les é(juations (E), et, de plus, les 
conditions du n° 35, qui seraient presque suffisantes à elles seules. Aussi j'insiste 
sur le caractère essentiel de la méthode, qui est de ne pas tenir compte de l'hypo- 
thèse que la fonction de Green est harmonique dans toute la région intérieure au 
contour. Cette hypothèse est nécessaire dans la définition habituelle. Au contraire, 
nous arrivons à caractériser ta fanction de Green par un ensemble de propriétés ne 
faisani intervenir que ses valeurs dans' le voisinage du contour. 

D"aill(Hirs, pratiquement, il ne peut y avoir intéièl (|u'à appliquer cette méthodi; 
à la reciierche de (/2. C'est par la formule de Green qu'on aura ensuite aussi simple- 



ment que possible — ^, puis g^. 
dn_ 



204 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

Cette dernière formule a rinconvénient de faire intervenir de nou- 
veau les valeurs de W^^ et W^ pour des points qui ne sont pas sur le 
contour (valeurs bien définies si l'on prend la direction du rayon 
comme étant la direction normale). Mais elle est préférable pour la 
suite. 

Désignant par /- la distance de A au centre O du cercle et a l'angle 
des rayons OA et OM, W^j est de la forme 'i;(/', a), la fonction '];(/•, a) 
se réduisant à 'j'(a) pour /• = i ; les formules précédentes donnent 

I r^'^ 

Si 4^(6) = <i;('0)(8/?rtH- o/i^) lim / ^|;(r, a) -];( r, 6 — 7.)onda. 

Par un calcul facile, on trouve pour les équations (F) qu'il s'agit 
de former 

lim / iL(r, a) <1^(/-, 6 — a) sin-sin dy. = o. 

•2T.r=.lJ^ TV > / TV 7 / ._,^ ^ 







(i5) 

lim / 4^(7', a) •];(/'. — a) da = o. 

38. Pour donner une idée de la méthode par laquelle on peut 
résoudre ces équations, commençons par faire abstraction du fait 
que J;(Q) devienne infini pour 6 = o. Le passage à la limite indiqué 
s'effectue alors sans difficulté et la deuxième équation s'écrit 



Cherchant à représenter '|(0) par une série 

(i6) 4/(6) =1 — -+- «j cos6 -h. . .-h a«cos;i6 -h. . ., 

on trouve sans peine 

«0 = «! = •••=«« = •••= o- 

La fonction •}( 9), dans les conditions considérées, est donc iden- 
tiquement nulle. 

39. En réalité, nous avons à rechercher des solutions non régu- 
lières des équations (i5). Mais ces fonctions sont la limite de fonc- 



CHAP. m. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE l'ÉQUATION. 9.o5 

lions 'i^(9) rt^giilières el dcveloppal)les en série de Fourier pour /' << i ; 
pour /• = !, ces dé\eloppements tendent \ers un développement 
divergent, que nous pouvons considérer comme représentant ^(B), 
et à l'aide duquel nous pouvons effectuer les calculs à peu de chose 
près comme s'il était convergent. 

La seule précaution à prendre provient de ce qu'un tel développe- 
ment peut représenter zéro sans être identiquement nul. Tenant 
compte de ce que les fonctions considérées, ayant la même singula- 
rité que la fonction de Green et ses dérivées, n'ont pas d'autre point 
singulier que le point r=ï, 9 = o, et de ce que dans le voisinage 
de ce point, leur produit par p^ reste fini (p désignant la distance au 
point singulier et j un nombre entier positif convenable), il est 
facile de déterminer tous les développements 



'1^0(6) = ^^a„e' 



ainsi susceptil^les de représenter zéro. 
Posant 



et remarquant que Dye~^^'^ a une racine d'ordre y pour 9 =: o, on a 

/■ = 1 Jo 

le passage à la limite s'effectuantsans difficulté, et ^o(ï> 9) étant_nul. 
Donc a,! est un poljnome en «, de degré y — i au plus, et il vient 

00 

<l/o(0) = — H-N^ (co cos/iÔ -}- icxii sin/?.6 -f- C'2,11^ cos/?0 -f-. ., .), 
1 

le dernier terme étant un terme en nJ~\ Si 7^=3 et que l'on ne 
considère que des fonctions paires, on a nécessairement 

(17) ^^0(6)= - -h2(^0-HC2/«2)cOS/ie. 

1 

Revenons maintenant aux équations (i5). Ces équations sont la 



I 



•206 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

limite d équaliuiis i'acilrs à écrire en considérani deux points A et B 
intérieurs et introduisant des fonctions 

'^(r,Q) = m et 6i(r, 6) = vrA, 

les deux points A et B étant tous deux, pour simplifier, supposés à 
la même distance /• du centre. Ces fonctions 'i^(/', Q) et ^^ (r, 8) étant 
développables en séries de Fourier, on peut calculer les développe- 
ments des premiers membres, puis passer à la limite. Cela revient at 
même que de reuiplacer '}(0) dans les équations (i5) par un dé 
loppement divergent de la forme (16) et faire le calcul comme s'il 
était con\(U'gent, a\ec celle différence que les équations complètes, 
écrites pour des points A et B intérieurs, introduisent peut-être des 
termes qui s'annulent à la limite sans que leurs développements 
s'annulent. Mais toutes les fonctions introduites, qui sont des déri- 
vées d'ordre 3 au plus de la fonction de Green, n'ont pas d'autre 
point singulier que le j)oint 8 = 0, et leur produit par p^ reste fini. 
Les développements de ces termes sont donc de la forme (17). En 
définitive, on doit calculer les développements des premiers membres 
des équations (i5) comme si le développeuient (16) était convergent, 
et identifier les développements obtenus non à zéro, mais à des déve- 
loppements de la forme (17)- 

Le calcul n'est pas difficile. On trouve pour 'i;(B) un déveloj)])e- 
ment de la forme 

(18) C(C0S6 4- '2 COS7.6 -h. ..+ /? COS/^ 6 -f-. . .). 

D'autre part, nous cherchons les fonctions •-L(8) avant même partie 
infinie que 

2 

Il est facil(! d'obtenir le développement de cette fonction au point 
de vue qui nous intéresse. On a, en effet, pour un point B intérieur, 

dg[\ 2(1 — /M-osO) , T 

1 = '^t'K 



d/ia i — 2 ;• cos 6 -+- /-'^ I — ;■ d'^ 

rcosO -f- r2 COS2O 4-. 



•a 



CHAP. ll\. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE L EQUATION. 90y 

éK désignant une paiiic i'<''cll(' (' ), vl 

^ = — 2(cosO -f l /• COS 2 6 + . . . -4- /; /'«-l COS // -4" . . - ), 

dUa dilu 

d'où, pour le développement dix ergenl qui représente ijl^ 

— 2 ( COS H- 2 COS 2 +...+- yî COS n + . . . ). 

Le développement (i8), devant être la somme de Çf^^ et d'un déve- 
loppement convergent, oji a c = — 2, et ce développement est par- 
faitement déterminé. 

Les équations (E) ou (F), jointes aux propriétés connues de la 
fonction de Green dans le voisinage du contour, déterminent donc 
parfaitement g^^ ^^ par suite la fonction de Green, dans le cas du 
cercle, et par suite, très probablement, dans le cas dun contour 
quelconque. 

40. Extension au cas de l'espace. — Les résultats précédents, 
relatifs aux équations aux dérivées fonctionnelles en général, à celle 
de la fonction de Green en particulier, s'étendent aisément au cas 
de l'espace. 11 en est de même de la réduction de cette équation à 
celle de M. Hadamard, du rôle joué par les valeurs sur le contour 
<le la fonction d'^^, et de la mise en équations du problème de la 
recherche des solutions homogènes. De même, pour savoir si ce pro- 
blème est déterminé, il suffît de le résoudre dans un cas particulier. 

11 semble naturel de considérer le cas particulier de la sphère. 
Mais on obtient des résultats plus simples dans le cas du cylindre de 
révolution. Ils présentent en outre l'intérêt de conduire à la déter- 
mination de la fonction de Green dans un cas où elle n'est pas élé- 
mentaire. 

Prenant l'axe du cylindre pour axe des^, et le point a dans le plan 
:3 = o, Ç/^ devient une fonction J;(B, z) qui joue le même rôle que la 
fonction ']>(0) dans le cas du cercle. Il s'agit de savoir si elle est 
déterminée par les équations intégrales qui généralisent les équa- 
tions (F). 



(') On remarque que ce développement est de la forme (17), avec c^= o^ ce qui 
«tait à prévoir, puisque la fonction considérée s'annule sur le contour et que son 
produit par p reste fini. 



2o8 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉKS FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

La ^énrralisalion naturelle de la niélliode suivie dans le cas du 
cercle |consiste à représenter la fonction à^ considérée comme fonc- 
tion de 9, par une série de Fourier, et considérée comme fonction 
de z, par une intégrale de Fourier, c'est-à-dire à poser 



ih(b, z)= j cos?5F(6, t)dt, 

J—X, 

F(0, t) = lMt)-^^Mt)cosn^, 



les séries considérées pouvant d'ailleurs, comme dans le cas du 
cercle, être divergentes. 

La transformation des équations intégrales du problème conduit à 
des équations de Riccati vérifiées par les fonctions fji{t) et à des 
conditions initiales définissant parfaitement ces fonctions. La fonc- 
tion de Green en résulte (^). 

4L La transformation faite sur 'i>(9, z) équivaut à une transfor- 
mation analogue faite sur la fonction de Green. Si /*, et /'o sont les 
distances des points A et B à l'axe du cylindre, on peut poser 

^+» 
(19) /Ç'i^ = ^(n, '^2, 0, ^)= / qosI^-((t\, r^.^, t)dt, 

et l'on a évidemment 






La fonction y, ainsi introduite par la transformation des équations 
par l'emploi d'une intégrale de Fourier, est une fonction de t^ et des 
points A' et B', projections de A et B sur le plan z ^ o. M. Bouli- 
gand a remarqué que cette fonction n'est autre que la fonction de 
Green relati\ e au cercle, section du cylindre, et à l'équation 

(20) A« — t'^u — o 

(le symbole A désignant^ -h — ; dans respace, appliqué à ^'^, il 

^•2 (p ()i \ 

désignera naturellement --— -\- ■—- -1 — r— ; )• 

(•) Fo//-Paul LÉVY, Sur la fonction de Green ordinaire et la fonction de Green 
d'ordre deux relatives au cylindre de ré^'olution {Rendiconti ciel Circolo niatc- 
niatico di Palernio^ t. XXXIV, 191 2), 



CHAP. III. — TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE l'ÉQUATION. 20() 

Remarquons, en effet, que, u{x^ y^ t) vérifiant cette équation, en 
posant 

v{x,y,z)=zi costz u{x, y, t)dt, 

on a 

\ç> = I cos tz(^u — i'u) dt = o. 

De même, si u s'annnle sur le cercle et a la singularité voulue 
pour la> fonction de Green dans le plan, ç s'annule sur le cylindre et 
a la singularité voulue pour la fonction de Green dans l'espace. On 
voit donc bien que, en prenant pour m la fonction de Green y rela- 
live au cercle et à féquation (20), on trouve pour c la fonction g-'^. 

Cette remarque s'étend d'ailleurs au cas d'un cylindre quelconque. 
I.a détermination de la fonction ^j^ pour un cylindre se ramène par 
la formule (19) à la détermination de la fonction de Green relative à 
sa section droite et à l'équation (20). On ne doit pas s'étonner dès 
lors que cette transformation, qui ramène le cas du cylindre de révo- 
lution au cas simple du cercle, nous ait permis de déterminer la 
fonction de Green. Ce résultat aurait pu être obtenu sans le secours 
de l'analyse fonctionnelle. 

42. Nous pouvons maintenant apprécier les résultats obtenus par 



a recherche des solutions homogènes. 



(]U1 

o 



En théorie, nous sommes en possession d'une méthode toute nou- 
'11e pour la détermination de la fonction de Green. 
En pratique, cette métliode nous conduit à des équations inté- 
ales que nous ne savons résoudre que dans des cas particuliers, 
sont précisément des cas où la fonction de Green est élémentaire, 
u du moins peut être obtenue sans le concours de l'analyse fonc- 
tionnelle. 

Comme application de l'analyse fonctionnelle, le résultat est plutôt 
nf'gatif. J'ai cru toutefois devoir l'indiquer, car il est possible qu'il 
suggère des applications plus fécondes ('). 

(') Ce Chapitre a été rédigé avant la publication des Notes de M. Julia dans les 
Comptes rendus de V Académie des Sciences (1921, i^' semestre). Ces Notes 
indiquent de nouvelles conséquences des équations aux dérivées fonctionnelles de 
M. Iladaniard; je nie contente de les signaler, ne pouvant, sans retarder la publi- 
< atiun (l<; cet Ou\rage, leur accorder la place qu'elles mériteraient. 



CHAPITRE IV. 

LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES PARTIELLES. 



Sommaire : Drfinitioii des équations aux déiivëes fonctionnelles partielles. — 
La condition d'intégrabilité. — Définitions j^éométriques. — Le problème 
de Gauch}^ — Calcul des éléments du second ordre. — Equations des carac- 
téristique?. — Propriétés des caractéristiques. — Solution du problème de 
Cauchy. — Intégrabililé des équations des caractéristiques. — La notion 
d'enveloppe. — La notion d'intégrale complète. — Les é(|uations linéaires. 
— Cas des fonctionnelles dépendant d'un contour plan G et d'une fonc- 
tion u{s). 

43. Définition des équations aux dérivées fonctionnelles partielles. 
— Ces équations sont, par rapport à celles que nous vencnis d'élii- 
lier, ce que sont les équations atix dérivées partielles par rapporl 
ux équations ordinaires. 

Pour exposer la théorie de ces équations, nous nous contenterons 
le considérer le cas d'une fonctionnelle U déj)endant de deux fonc- 
tions .27(^) ety(^), définies dans Fintervalle (o, i). Sa variation est 
de la forme 

«-0 

Si les dérivées fonctionnelles U' et U' étaient données toutes les 

X y 

deux par des équations de la forme 

LV)= *i I r^(0, y in 1 u, ^] I, lij(T)= *ol [x{f), y(t . I u, tJ 1, 

la formule (i) deviendrait une écpiation analo<>ue à celles (pie nous 
venons d'étudier. Elle s'y ramènerait en considérant une fonc- 
tion X(^) égale à x(:>.t) entre o cl - et •dy(2t — i) entre - et i; su 

donnée équivaudrait à la donnée des deux fonctions x(t) et r(/), et 
l'on aurait une (l(''ri\(''(' fonctionnelle uni(fu(*, L'x, donnée en fonction 



CIIAP. IV. — ÉQUATIONS ALX DÉRIVÊKS FONCTIONNELLES PARTIELLES. 21 [ 

de X(^), t et L, par une fonmile de la forme (*) 

U:K.t,= 4>I[X(0|U, .]|. 

On a, au contraire, un type nouveau (-), si une seule des dérivées 
fonctionnelles est donnée, en fonction de l'autre, et naturellement 
toujours de x{t)^ y{^)i ^i U, c'est-à-dire si l'on a 

(-2) U;,x) = *| {x{t), yit), U^,,) 1 U, -] |. 

Une telle écpuition est dite équation aux dérivées fonctionnelles 
partielles vérifiée par la fonctionnelle U (''). 

Elle apparaît comme la «généralisation, par le ]nocédé du passage 
du fini à l'infini, d'un système de la forme 

( du [ ()u Ou du \ 

( (i = I, 2, ..., /O, 

vérifié par une fonction u de in variables x,, œ^-, ..., ^«, J'i, 
y-i-, • • •, Yn- Sa théorie est tout à fait analogue à celle d'un tel sys- 
tème c*). 

4-4. La manière la plus simple de poser le problème de Gauchy 
pour une telle équation consiste à se donner U en fonction de x{t)^ 
pour une détermination particulière yo(^) de y{t). Si, à partir de 



(') Toutefois, si l'on piVcise la forme de la fonelionnelle F, introduite de cette 
manière, on remarque qu'il faut considérer comme naturel qu'elle dépende spécia- 
lement, non seulement de x{t), mais aussi de x ix ±: -\. Ainsi, bien que nous 

soyons conduits à une équation rentrant dans le type général déjà étudié, on voit 
que ce nouveau point de vue peut conduire à considérer comme intéressants des cas 
qui auraient peu de cliances de se présenter dans un problème n'introduisant dès 
le début qu'une seule fonction inconnue. 

(^) Il peut d'ailleurs se rattaclier au tj^pe étudié n" 6. Voir note i du n" 6. 

(') On pouri-ait donner des noms différents aux arguments des fonctions x et y. 
La théorie est aussi générale en leur donnant le même nom et se prête mieux aux 
applications les plus fréquentes dans lesquelles la signification du problème posé 
conduit à considérer x et y comme fonction d'une même variable; en général, U^ (-) 
dépendra spécialement des valeurs de U^, x Qt y pour ^ = x. 

('') Voir Paul Lévy, Sur V intégration des équations aux dérivées fonction- 
nelles partielles {Rendiconti del Circolo niatematico di Palernio^ t. XXXVII, 
1914). On trouvera dans ce Mémoire, exposées successivement, les théories du sys- 
lème (3) et de l'équation (2), de manièie à mettre cette analogie en évidence. 



a 12 DEUXIEME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

cette détermination initiale, j(^) varie en fonction d'un paramètre Â, 
la formule (2) donne immédiatement la dérivée de U par rapport à X, 
et permet le calcul des dérivées successives. On peut donc arriver à 
définir U pour une valeur quelconque de X. 

La démonstration rigoureuse de ce résultat résultera de ce que les 
équations du type (2) se ramènent à des équations aux dérivées 
fonctionnelles ordinaires pour lesquelles nous savons, dans certains 
cas, établir l'existence des solutions. Il y aurait tout de même intérêt 
à généraliser les théorèmes de Gauchy-Kowalevsky sur les équations 
aux dérivées partielles. En tout cas, ce travail est indispensable pour 
une étude complète des équations d'ordres supérieurs ; il n'a pas 
encore été fait. 



4o. La condition d'intégrabilité. — Apiès avoir démontré, ou 
provisoirement admis, l'existence d'une solution lorsque y (i) varie 
suivant une loi déterminée, il y a lieu de chercher si le résultat, 
pour une fonction donnée Y(^), est indépendant des déterminations 
de^(^) intermédiaires enlve yo{t) eiY{t). La condition, pour qu'il 
en soit ainsi, est la condition d^ intégrahilité. D'après la Note qui 
termine le Chapitre I (le raisonnement fait à cet endroit s'appliquant 
sans difficulté au cas actuel), cette condition se forme en écrivant 
que, les déterminations de y{t) étant supposées dépendre d'une 
manière quelconque de deux paramètres A et a, on a toujours 

— — = — —• 

Nous avons vu, au n° 78 de la première Partie, que cela revient à 
dire que 

• I 8U:,= E(8a;)+F(8j), 

^^ 1 ÔU;.= #(8;r)H-G(8jK), 

E et G étant des fonctionnelles linéaires identiques à leurs adjointes 
respectives, et F et ^ étant les adjointes l'une de l'autre. 

Pour y(^t) =^yQ(t)j U se réduit à une fonctionnelle donnée 
de a;(t)j U;^etE(o:r) sont des données, et la condition que E(o^) 
sojt identique à son adjointe est sûrement vérifiée. Pour calculer les 
fonctionnelles F, # et G, il faut tenir compte de l'équation (2). For- 
mons d'après cette équation la variation de U^., t restant constant et 



CHAP. IV. — ÉQUATIONS AUX DERIVEES FONCTIONNELLES PARTIELLES. 21 3 

la variation de L' étant 



/ {V^ ^x -h V'y ùy) dt 



on trouve une relation de la forme 

(6) SU;.= H(SU'^)H-L(8^) + Li(5j^), 

H, L et L, désignant des fonctionnelles linéaires, dont nous désigne- 
rons les adjointes par 3C, .<^et J^j . Remplaçons SU^ et oU^ par leui's 
valeurs (5) et égalons séparément les termes en ^x et oy des deux 
membres. Il vient 

j 3^(837) = H [E(8^)]-f- L(o:p), 



La première de ces équations donne ^(ox). On a alors pour l'ex- 
pression adjointe 

et en portant dans la seconde équation (-) 

G^y) = H I E[3t{?>y)] \ -+- H[41(3r)] + Lii^r). . 

Pour que la condition (4) soit sûrement vérifiée, il reste à écrire 
que G (8/) est identique à son adjointe. Comme le premier terme est 
identique à son adjointe, il reste à écrire que l'expression 

(8) H[4L(âj.)] + Li(ojK) 

est identique à son adjointe L[X(oj/)] -{- J^i (Sj'V Telle est la condi- 
tion d'intégrabilité de l'équation (2). 

On remarque que la fonctionnelle E(o:r), liée aux dérivées fonc- 
tionnelles secondes, qui s'introduit dans les calculs, disparaît du 
résultat et que la condition d'intégrabilité est une équation aux déri- 
vées fonctionnelles du premier ordre. Cette circonstance généralise 
une circonstance bien connue dans la théorie des systèmes de la 
forme 



au / du 

du 



j, -, », ^ 



du / ,)u \ 

^ = ?. [a;, y, z, u, ^j • 

Il peut arriver que la condition d'intégrabilité soit identiquement 



21 4 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

vérifiée. L'équation (2) est complètement intégrable. Le problème 
de Caiichj tel qu'il a été posé au n"* 44 admet une solution bien 
déterminée pour eliaque fonction Y(^), indépendante des valeurs 
àe y{t) intermédiaires entre jKo(0 ^^ ^ {^) ^^^^ interviennent dans ce 
calcul. La solution générale de l'équation (2) dépend alors d'une 
fonctionnelle arbitraire de x{t). 

Si la condition d'intégrabilité ne contient pas U et U^, et constitue 
une relation entre ^, x{t)^ y{^)i il ^^ peut évidemment exister 
aucune solution de l'équation (2). 

En général, sans être identiquement vérifiée, la condition d'inté- 
grabilité contient U et U^. Elle constitue alors une équation aux 
dérivées fonctionnelles que doit vérifier, pour chaque détermination 
dey(z), U considéré comme fonctionnelle de x[t) (ou exception- 
nellement une équation ordinaire déterminant U). La détermination 
initiale de U pour y(^) ==:jKo(^) doit être alors choisie parmi le^> 
fonctionnelles vérifiant cette condition. Mais cela ne suffit pas. Il faut 
que, quand y'{t) varie, la variation de U étant donnée par l'équa- 
tion (2), cette condition reste vérifiée. On obtient ainsi des condi- 
tions d'intégrabilité de rangs 2, 3, ..., qui peuvent donner lieu 
aux différents cas déjà indiqués au n'' 6. 

46. Définitions géométriques. — Nous considérerons un ensemble 
de déterminations de .x{t)^ y{t)^ et U comme constituant un /;oi/?.^ 
d'un espace fonctionnel^ plus étendu que celui considéré dans la 
|)remière Partie, dont un point représentait seulement une fonc- 
tion x{t). En employant le langage des nombres transfinis, on peut 
dire que l'espace fonctionnel considéré dans la première Partie étant 
à w dimensions, nous considérons ici l'esiJace à 2(0-1-1 dimensions. 



pace 



Nous appellerons respectivement ces espaces E(o et E^f^^i. 

Nous appellerons variété un ensemble continu de points; pour 
définir la continuité, nous dirons que deux points sont infiniment 
voisins si les valeurs correspondantes de U sont infiniment peu diffé- 
rentes, et si' les déterminations correspondantes de x^t') G\.y{^t) sont 
infiniment voisines, la définition du voisinage étant une de celles 
définies dans l'espace fonctionnel ordinaire; en principe nous su]^- 
poserons qu'il s'agit de voisinage en moyenne. 

Nous appellerons courbes et surfaces des variétés w ou 2to fois 
étendues; nous allons d'ailleurs préciser cette définition. 



CIIAP. IV. — ÉOUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES PARTIELLES. 21 5 

Une surface est le lieu des points pour lesquels U est une fonc- 
tionnelle donnée (continue) de x{t) et y{t). Lue surface est un 
plan si celte fonctionnelle est de la forme 

Uq étant une constante et U< et Uo des fonctionnelles linéaires. 

Deux surfaces, (-ontenant un j)oint x(t), y(t)^ U, sont tangentes 
en (ie })oint si en ce point les déleriuinations de oV relatives aux 
deux surfaces sont les mêmes. Si les Nariations des fonctionnelles U 
c()nsid(''rr<'s sont de la fornuî 



^0 



cela rcNieul à <lii(' ([in\ pou i- les déterminations considérées de x{t), 
y(f)^ les \aleur^ (!<' L '^, et l/^. sont les mêmes pour les fonctionnelles 
repn'senlant le> deux surfaces. 

Un plan est bien défini par la donnée de L^, L'^. et d'un de ses 
points, l n élément de contact ^ constitué par l'ensemble d'un plan 
eX d'un de ses points, est défini j)ar les déterminations de^(i),y(^), 
L', U^., l '.. L'ensemble d'un point d'une surface et du plan tangent 
en ce point est un élément de contact appartenant à cette surface. 
Deux surfaces avant un élément de contact commun sont tan^rentes 
en ce point. 

Une surface, représentant ww^^. fonctionnelle l solution de l'équa- 
tion (a), est dite surface intégrale de cette équation. Tous ses 
éléments de contact, véiiliant cette équation, sont dits éléments 
d intégrales. 

Une courbe est un lieu de points dépendant d'une fonction arbi- 
traire, que nous supposerons être y{^t). Y désignant une fonction- 
nelle dejK(0' ^'^ ^'(0 "^^^ fonction de t dont la forme dépende d'une 
manière quelconque dejK(/), nous appellerons courbe C celle définie 
par les formules 

(<)) .r(0 = ^(0, U=:Vl[jK(.OJJ. 

Nous désignerons la variation de (^(^), quand y^f) varie, par 
K(o)-), et supposerons que celle de V est de la forme 



/\;.8r 



dt. 



2l6 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

On en déduit sans peine la définition des tangentes à la courljc. 
En un point de la courbe, le plan défini par V^ et V est tangent à 
la courbe si Ion a 

(lo) o\} ~ I {\}'jcOX^\}'yOy)dt 

pour un déplacement infinitésimal quelconque sur la courbe, c'est- 
à-dire si Ton a, quel que soit ùy^ 

•= f Zy[^{\J',)-^\}'y]dt 
(^ désignant l'expression adjointe de K), c'est-à-dire enfin si 

(II) v;=^c(Ui)-h u;.. 

D'une manière générale, nous dirons qu'un |)lan contenant un 
])oint donné d'une variété et défini par UJ^ et U' est tangent en ce 
pointa une variété, si Féquation (lo) est vérifiée au point considéié 
pour tout déplacement infinitésimal situé sur cette variété. 

Nous dirons que des éléments de contact ont une enveloppe si 
leurs points décrivant une variété, le plan correspondant à chaque 
point touche cette variété en ce point. Nous appellerons multiplicité 
l'ensenible de ces éléments. Nous considérerons >pécialement deux 
sortes de multiplicités : 

i*' Celles constituées par des points d'une courbe et des plans 
tangents à cette courbe ; 

2° Celles constituées par une surface et les plans tangents à celle 
surface. 

47. Le problème de Cauchy. — Le problème de Cauchj relatif à 
l'équation (2), que nous supposerons complètement intégrable, 
consiste à trouver une surface intégrale S contenant une courbe 
donnée. Nous ne l'avons considéré au n** 44 que dans un cas particu- 
lier. Considérons le cas général de la courljc C donnée sous la 
forme (9), et nous allons chercher à déterminer U en calculant ses 
dérivées fonctionnelles successives en cliaque ])oint de la courbe ii. 

Les dérivées fonctionnelles premières seront données par les équa- 



CHAP. IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES PARTIELLES. 217 

lions (2) et (lo), cette dernière exprinianl ((ue le plan tangent délini 
par UJ^ et U^, touche la courbe G. On en dédiiil 

Cette équation détermine L/^ en chaque point de la courbe C, et 
Fune quelconque des équations (2) ou (9) donne ensuite l ' . L'en- 
semble des plans tangents à S le long de la courlie C étant roniiu. 
nous connaissons une multiplicité tangente à S le long de (ù. 

Il peut arriver que la dérivée \j'^ ne soit pas déterminée par Téqua- 
tion (12). Dans le cas où la fonctionnelle 4> est linéaire en L^, c'esl- 
à-dlre dans le cas où l'équation étudiée (2) est linéaire en 11^ et L ', , 
il ])eut même arriver que l'équation (12) soit une identité. Nous 
reviendrons plus loin sur ce cas. Mais dans le cas général des équa- 
tions non linéaires, c'est seulement en calculant les éléments diffé- 
rentiels du second ordre que nous pouri-ons obtenir des solutions 
dépendant d'une fonction arbitraire. 

48. Calcul des éléments du second ordre. — Soit donc, en gardant 
les notations du n"* 4o, à calculer les expressions E(oj?), 3'{<ix). 
F(8^), G(ojk). Pour un déplacement le long de la courbe C, oU^ et 
oU^ ont des valeurs connues, que nous désignerons par [oU^] et 
[SU'^.J. On a alors, par les formules (5), 

[6U',] = E[K(8r)J+F(5jK), 
[3U;.] = 3^[K(oj)] + G(oj^). 

D'autre part, les formules (^) donnent, en remplaçant chaque 
terme par l'expression adjointe 

i F(Ô7)=:E[3€(Ô7)l-f- yX^y), 
Remplaçant F et G par ces expressions, il vient 

^' ] [3u;.] = #[K(5^)-i-ae(5j^)]-4-4:i(8j'). 

Supposons déterminée une fonction Zy telle que 



2l8 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

les expressions E et ^ sont données par 

E(8,r) = [8u:,]- <_(ôr), 



et F et G par les formules (i5). La détermination complète des élé- 
ments du second ordre dépend donc de la résolution de Féqua- 
tion (i5), qui est en général une équation intégrale. On verrait 
sans peine que le calcul des éléments de tous les ordres successifs 
dépend de la même équation. 

On peut d'ailleurs présenter le résultat un peu autrement. Rem- 
plaçant dans la première équation (i4) chaque terme par son 
adjointe, il vient 

(17) ^[E(aa7)]4-H[E(Ô^)] = jSU'.j-LCSr), 

j SU^ J désignant la fonctionnelle adjointe de [oU^[. La fonction- 
nelle E(8.r) est ainsi donnée par une équation intégrale linéaire, 
adjointe de l'équation (i5); ^(ô^), F(8j) et G{^y) sont ensuite 
donnés par les formules (5) et (i3). 

L'expression E(ox) étant la variation de O,'^ considéré comm(^ 
fonction de ùx, le premier membre de l'équation précédente n'est 
autre que la variation du second membre de l'équation ( 12), lorsque 
la fonction inconnue varie.' Son déterminant est le déterminant 
fonctionnel de l'équation (12). C'est donc du déterminant fonc- 
lionnel de cette équation (12) que dépend la possibilité de déter- 
miner la surface intégrale contenant la courbe G. S'il n'est pas nul, 
le problème est possible et déterminé. S'il est nul, il y a impossibi- 
lité ou indétermination, et en cas d'indétermination, le calcul des 
éléments différentiels de chaque ordre introduit le même nombre de 
paramètres arbi traires. 

49. Équations des caractéristiques. — Lorsqu'il j a indétermina- 
tion dans le calcul des éléments du second ordre, on dit que la mul- 
tiplicité, constituée par la courbe G et les plans tangents obtenus le 
long de cette courbe, est caractéristique. Si l'indétermination esl 
telle que l'expression E(o^) soit en chaque point une fonction arbi- 
traire de G, nous dirons que c'est une caractéristique de première 
espèce. Nous ne considérerons que celle-là et supprimerons, pour 
simplifier le langage, les mots de première espèce. 



CHAP. IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES PARTIELLES. 21^ 

La première l'onnule (i4) [ou l'équation (17)] ne devant pas con- 

teiiii' E(o:c), on a 

K(o^)-f-X(8j)=3 0. 

Les formules (i4) '^^' réduisent alors à 

[ôu;,]=4:.(5r)- 

Or K(oj)-), [oU^], [oU'y] représentent les variations de x{t), 
L^,, t V lorsqu'on se déplaee sur la courbe C, le déplacement étant 
dédni par la donnée de oy. La variation de U ayant la valeur 



on obtient, par une transformation évidente de cette expression, 
r<nsem])le des équations 

ox =— 5€(ôjk), 

(l'j) \ ^0 

oUi= -t(Ô7), 

Uu;.= o(ôr), 

qui sont vérifiées lorsqu'on passe d'un élément de contact d'une 
caractéristique à un élément infiniment voisin. Ce sont les équations 
aux dérivées fonctionnelles des caractéristiques. 

Pour l'étude qui va suivre, il est essentiel d'avoir présent à l'esprit 
le rôle distinct de ces quatre équations. La première exprime que la 
fonctionnelle E(5^) disparaît de l'équation d'où dépend la reclierclie 
des éléments du second ordre; il J a donc impossibilité ou indéter- 
mination pour le problème de Caucliy. La seconde est une consé- 
([uence de la ])remière et de la formule (18) vraie pour toute multi- 
plicité. Les deux dernières expriment qu'il y a indétermination et 
non impossibilité; elles résultent donc de la première, si l'on sait 
que la multiplicité considérée est une surfat-e intégrale, et que la 
fonctionnelle U admet une variation seconde en tous les points de 
cette multiplicité. 

Nous admettrons d'abord que les équations (19) sont complète- 
ment intégraliles. Nous j-evi end ions ensuite sur ce point. 



■220 DEUXIÈME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

50. Propriétés des caractéristiques. — Théorème I. — La donnée 
d'un élément d' intégrale {non sin^uViev) détermine parfaitement 
une caractéristique. 

Il faut, bien entendu, que l'élément donné soit un élément dinté- 
orale. 

En partant de eet élément, les variations de x{t), U, U^, U', sont 
parfaitement définies parles équations (19). Ces équations sont des 
équations aux dérivées fonctionnelles, analogues à celles étudiées au 
Chapitre 1, qui s'en distinguent seulement parce qu'on a quatixî 
quantités, dont trois dépendent d'un paramètre, qui varient simul- 
tanément en fonction de x(t). Cela ne change rien d'essentiel à la 
théorie, et au fait que la succession de leurs valeurs est bien déter- 
minée si l'on se donne leur valeur initiale. Seulement, si Ion fait 
varier ^(^) suivant une loi déterminée, elles se réduisent à des équa- 
tions intégro-différentielles et non à des équations différentielles. 

Ces équations étant d'ailleurs complètement intégrables, comme 
nous l'avons provisoirement admis, un élément de la caractéristique 
considéré est parfaitement défini par la donnée dey{t) et ne dépend 
pas du chemin suivi pour aller de la détermination initiale à eelh; 
considérée. 

D'ailleurs, l'élément initial étant un élément d'intégrale, il en est 
de même de tous les autres. Pour le montrer, il suffît de montrer que 
la relation 

(•20) 8U'y= I1(ÔU:,) + L{ox) -h Li(5jk), 

(|ue Ton obtient en différentiant l'équation (2) et remplaçant ù\j 
par sa valeur (18), résulte des équations (19). En effet, remplaçant 
o:r, oU^., oU'^. par leurs valeurs (19), on obtient la condition 

qui exprime que l'expression H [ '^(8)/)J -f-L, (oj') est identique à 
son adjointe; c'est la condition d'intégrabilité de l'équation (2). que 
nous avons supposée vérifiée. 

Bien entendu, le théorème de Cauchj relatif aux équations aux 
dérivées fonctionnelles (19) peut être en défaut pour certains élé- 
ments, que nous appellerons éléments singuliers dUntégrales. 
Pour ces éléments il peut donc exister plusieurs caractéristiques les 
contenant. 



CHAP. IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES PARTIELLES. 221 

Théorème II. — Toute surface intégrale est un lieu de carac- 
téristiques. 

11 est évidemment possible de se déplacer sur une surface inté- 
grale S, à partir de n'importe quel point donné, de manière que la 
première équation (19) soit vérifiée. En admettant toujours que 
cette équation soit complètement intégrable, elle définit une courbe C 
sur la surface S, et d'après les remarques finales du n** 49, toutes les 
équations (19) sont vérifiées pour la multiplicité constituée par la 
courbe G et les plans tangents à S tout le long de cette courbe. Cette 
multiplicité est donc une caractéristique. c. q. f. n. / 

Corollaire. — Toute surface intégrale ayant un élément (non 
singulier) commun avec une caractéristique la contient tout 
entière. 

En effet, Télément est situé sur une caractéristique située tout 
entière sur la surface intégrale (théorème II). D'après le théorème 1 
cette caractéristique, ayant un élément non singulier commun avec 
la caractéristique donnée, est confondue avec elle. 

51. Solution du problème de Cauchy. — En utilisant la connais- 
sance des caractéristiques, on peut résoudre le problème de Cauchy 
autrement que par les calculs successifs des éléments différentiels de 
tous les ordres. 

La courbe C étant donnée, on commence par déterminer en 
chaque point les déterminations de l '^ et U' comme il a été Indiqué 
au n** 47. On obtient ainsi un certain nombre de multiplicités, com- 
posées d'éléments d'intégrales et contenant la courbe C. Soit 011 une 
de ces multiplicités. Il s'agit de déterminer les surfaces intégrales 
contenant C. 

Soit S une telle surface. Elle contient toutes les caractéristiques 
définies par les éléments de OFt. Ces caractéristiques, dépendant 
d'une fonction arbitraire, sont en général toutes distinctes et ont 
pour lieu la surface S. Cette propriété définit la surface S. qui est 
alors la seule SLirface intégrale contenant 011. 

Mais il peut arriver que les caractéristiques définies par les éléments 
de 011 ne soient pas toutes distinctes. Supposons en effet que sur 
une surface intégrale S on choisisse des caractéristiques C dépeii- 



222 DEUXIEME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

(lant de p paramètres, et sur chacune de ces caractéristiques des élé- 
ments vérifiant/) conditions. On n'a qu'à prendre pour multipli- 
cité Ol'L les éléments ainsi choisis; une telle multiplicité est une 
caractéristique au sens généralisé, considéré d'abord n" 49. L'en- 
semble des caractéristiques G définies par les éléments de ;Tl ne sera 
j)as plus général que si l'on ne se 'donnait qu'un élément sur chaque 
caractéristique 3, c'est-à-dire si l'on se donnait des éléments dépen- 
dant de j> paramètres. Il existe d'autres surfaces intégrales contenant 
cette multiplicité, et le calcul de leurs éléments (caractéristiques de 
chaque ordre introduira une fonction nouvelle, non complètement 
arbitraire, mais assujettie seulement kp conditions. 

Il peut arriver que /> = o; la multiplicité ;)!! est alors une caracté- 
ristique de première espèce, et le calcul des éléments de chaque 
ordre introduit une fonction arbitraire. 

52. Le cas général est évidemment celui où la surface S est Inen 
définie comme lieu des caractéristiques correspondant aux éléments 
de OÏL. Il n'y a donc qu'une surface intégrale contenant .'^H. 11 reste 
à montrer qu'elle existe. 

Un procédé consiste à montrer a priori l'existence de cetle sur- 
face. C'est l'extension du tliéorème de Gauchj-lvovvalevski, reposant 
sur le calcul successif des éléments des divers ordres. 

Nous allons employer un autre procédé, qui consiste à montrei- 
que la surface S, lieu des multiplicités caractéristiques © définies 
par les éléments de Oit, est une surface intégrale. Nous savons que 
ces multiplicités ne compiennent que des éléments d'intégrales. Mais 
il reste à montrer qu'elles ont une enveloppe, c'est-à-dire, chaque 
élément étant constitué par un point M et un plan P, que la sur- 
face S lieu des points M touche en cliacun de ces points le plan I^ 
correspondant. Pour le montrer, il suffit de montier que pour tout 
déplacement sur la surface S on a 

{11) SU- f {\}'^^x-\-\:'yoy)dl, 

les valeurs de \j'^ et U'^, étant celles qui corres[)ondent au plan P. 

11 nous suffit de considérer sur la surface S des points dépendant 
de deux paramètres A et jjl, tels que pour \ constant on ait des points 
d'une même caractéristique, et pour tji = o des points delacourbeC 



CIIAP. IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES PARTIELLES. "223 

l'tant donnée une succession quelconque de points sur la surface S, 
ou bien elle est sur une même caractéristique G et la formule (22) 
est exacte, ou bien on peut s'arranger pour l'obtenir en faisant 
varier X et laissant a constant. On a donc à démontrer que 

ou bien, cette relation étant évidemment vérifiée pour a = o, 

D'autre part, les équations (19) étant vérifiées pour les détermi- 
nations -— , .... -~^ de ox, .... oL^, on a 

c'a ' da ' ' •)" 



f=i'(" 



'•^^ ■ V'J-^Ut, 



d'où 



La formule à démontrer s'écrit donc 



OU, en remplaçant — -. —-^i -—par leurs valeurs tirées des equa- 
*- ' d\x d\L d\i. ^ '■ 

lions (19), 

.r[S'^(©-î^'(|)]"=.('Bf--C©S^]- 



ou encore 

1 



Or l'expression sous le signe d'intégration est nulle, tous les élé 
ments considérés étant des éléments d'intégrales, et par suite la rela 



224 DEUXIÈME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

tioii (20) ôlant vérifiée pour un déplacement quelconque. Le 
théorème est donc démontré (^). 

On voit donc que l'intégration complète de l'équation aux dérivées 
fonctionnelles partielles (2), et en particulier la résolution du pro- 
l)lème de Gauchy relatif à cette équation, se ramènent aux problèmes 
analogues relatifs au système d'équations aux dérivées fonctionnelles 
ordinaires (19). Ce résultat (ainsi d'ailleurs que les principales cir- 
constances de la démonstration) généralise le résultat fondamental 
de la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre. 

53. Intégrabilité des équations des caractéristiques. — Démon- 
trons maintenant, ce que nous avons admis jusqu'ici, que les équa- 
tions (19) sont complètement intégrables. On peut le vérifier par le 
calcul (-). Nous allons en donner une démonstration qui montre 
mieux la raison de cette circonstance. 

Montrons d'abord que les conditions d'intégrabilité de ces équa- 
tions sont nécessairement \m^\(ies pour les éléments cV intégrales. 

Considérons à cet effet un élément d'intégrale C. En partant de 
cet élément, et faisant varier y{t) d'une manière quelconque, on 
obtient par les équations (19) une succession d'éléments d'intégrales 
dont l'ensemble constitue ce qu'on peut encore appeler une caracté- 
ristique. Si la condition d'intégrabilité n'était pas vérifiée pour 
ces éléments, on pourrait s'arranger pour revenir à la détermination 
initiale J^o(0 ^^ j(0 ^^ retrouvant un élément différent, et même 
des éléments difTérents C' dépendant d'au moins un paramètre. 

Or les raisonnements des n'^' 51 et 52 s'appliquent avec cet aspect 
de la notion de caractéristique. Toute surface intégrale (contenant 
l'élément C contient tous ceux de la caractéristique considérée et en 
particulier tous les éléments C' . D'autre part, on peut choisir une 



(') On reiuaiquc ((ue ce procédé d'inlégralion montre l'existence d'une intégrale 
quelle que soit la multiplicité OÏL. Nous savons d'autre part que la méthode, qui 
consiste à chercher en chaque point de OÏL les variations successives de U, peut 
conduire à une impossibilité. Il n'y a pas contradiction. La surface intégrale existe, 
mais le calcul de S^ U par exemple est impossible en certains points qui sont singu- 
liers sur la surface intégrale. 

On sait f|u'une circonstance analogue peut se présenter dans la théorie des équa- 
tions aux dérivées partielles mises en évidence, et conduit à trouver une surface 
intégrale admettant la courbe donnée G comme arête de rebroussement. 

(2) Voir Paul Lkvy, n'- 2G du Mémoire déjà cité {Cire. Falerme, 1914)- 



CHAP. IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES PARTIELLES. '^2 5 

courbe G et une multiplicité DTl la contenant, formée d'éléments d'in- 
tégrales pour les{|uelles jk(^) ^yo(^), comprenant l'élément C et non 
les éléments l^' ; le raisonnement du n° 5!2 nous montre qu'on peut, 
si l'équation (2) est complètement intégrable, trouver une surface 
intégrale coupant la variété plane y (^) =y„(^) suivant la courbe G 
et tangente le long de cette courbe à la multiplicité OÏL, contenant par 
suite l'élément C et non les éléments C' . Gette .conclusion étant en 
contradiction avec la précédente, le résultat énoncé est démontré. 
Donc : 

U équation (2) étant complètement Intégrable^ les conclulojis 
d'intégrabillté des équations des caractéristiques sont vérifiées 
pour tous les éléments d intégrales. 

oi. Gonsidérons maintenant un élément C qui ne vérifie pas 
l'équation (2). Pour cet élément, la différence U' — ^ a une valeur 
déterminée /(^). G'est donc un élément d'inlégrale pour l'équation 

u;,= c^{[^,J, u'.iu,^] !+/(/). 

Or l'addition à la fonctionnelle ^P du terme constant/Û) (*) ne 
cliange pas sa variation, et par suite ne change pas la condition 
d'intégrabilité ni les équations des caractéristiques. Gette é([uatioii 
est donc complètement intégrable. l'^n lui appliquant le résultat pré- 
cédent, on voit que les conditions d'intégrabilité des équations (19) 
sont vérifiées pour l'élément è', qui n'est pas un élément d'intégrale. 
Ces équations sont donc complètement intégrables. 

11 y a d'ailleurs une différence essentielle entre ce résultat et le 
précédent. Il repose sur une circonstance de calcul, et ne se retrouve 
pas pour des équations aux dérivées fonctionnelles partielles d'un 
Ijpe un peu différent du précédent, par exemple pour une équation 
non résolue du type 

ou pour celle ([ui sera étudiée n** 60. Au contraire, le fait que les 
conditions d'intégrabilité des équations des caractéristiques soient 
vérifiées pour tous les éléments d'intégrales, résulte d'un raisonne- 

(') Constant lorsqu'on fait varier x, y, L^ et U. La lettre t est plutôt un indice 
([u'une variable. 

Li':vY. 15 



226 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

ment qui s'applique à toutes les équations aux dérivées fonction- 
nelles partielles, du premier ordre et complètement intégrables. 

5o. La notion d'enveloppe. — Considérons une surface S, dépen- 
dant d'un paramètre X, définie par l'équation 

(24) Fl[.r,j.|U,X]|=:o. 

L'intersection de cette surface et d'une surface infiniment \oisine 
conduit à l'équation 

(25) F>,|[^,jkIU, X]| = o. 

Les équations (24; et (aS) définissent sur la surface S une 
variété G dont le lieu, quand X varie, est une surface S, qui est par 
définition V enveloppe de S. .le dis que S et 2 sont tangentes en tous 
les points de C 

Le plan tangent à S, en un point de G, est défini par une relation 
linéaire entre ùx^ oy, oU, obtenue en différentiant l'équation ( 2/|). 
On peut l'écrire 

F:,(5^) ^y'y{ly) + Fu oU = G. 

L'équation de !ï] étant obtenue en considérant X, non comme une 
constante, mais comme une fonctionnelle définie implicitement par 
l'équation (sS), le plan tangent à 2 a donc pour équation 

r^{ix) + f;(6j) h- f'u su + f;^ ta = o, 

o\ étant Une fonctionnelle linéaire de ox^ ùy et oU dont la valeur 
s'obtient en différentiant l'équation (25). Mais son coefficient F) est 
précisément nul, d'après cette équation, et il n'y a pas besoin de la 
calculer; le plan tangent à S ainsi obtenu coïncide avec le plan tan- 
gent en S. c. Q. F. D. 

Le raisonnement est identique à celui qu'on fait dans l'espace 
ordinaire. On peut d'ailleurs remarquer qu'une section de la figure 
par une variété linéaire à /i dimensions donne une surface, dépendant 
de À et tangente à son enveloppe. La propriété de contact, vérifiée 
dans une section quelconque, doit l'être dans res])ace. 

Le résultat obtenu se géi^éralise dans le cas de familles de surfaces 
ayant un degré de généralité quelconque. Soit par exemple une 
famille de surfaces S 



CHAP. IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES PARTIELLES. 2^7 

dépendant d'une fonction arbitraire es (s). En cherchant les points 
communs à une de ces surfaces, et à toutes les surfaces infiniment 
voisines obtenues en faisant varier 'f{s) d'une manière quelconque, 
on est conduit à annuler la dérivée fonctionnelle FJj. Cette équation 
contenant un paramètre arbitraire définit sur chaque surface S des 
points ne dépendant plus que d'une fonction arbitraire, constituant 
une courbe. Le lieu de cette courbe, quand <^(s) varie, est la surface 
enveloppe ( ' ). 

56. La notion d'intégrale complète. — Nous appellerons intégrale 
complète de Téquation (2) une famille d intégrales contenant dans 
son ensemble tous les éléments d'intégrales. Les éléments d'inté- 
grales dépendant de trois fonctions arbitraires et un paramètre, et 
chaque intégrale contenant des éléments dépendant de deux fonc- 
tions arbitraires, les surfaces d'une intégrale complète dépendent 
d'une fonction 0(5) et d'un paramètre \. 

Soit 2 une surface intégrale quelconque. Tout élément C de celte 
surface appartient à une surface S de l'intégrale complète, et S est 
l'enveloppe de ces surfaces. Inversement, une surface enveloppe de 
surfaces S de l'intégrale complète ne contient que des éléments d'inté- 
grales ; c'est une surface intégrale. La connaissance d'une intégrale 
complète résout donc complètement le problème de l'intégration de 
l'équation (2). 

Les familles de surfaces S peuvent être d'une généralité plus ou 
moins grande. On trouve ainsi pomme surfaces intégrales les sur- 
faces S elles-mêmes, puis des enveloppes de surfaces S dépendant 
d'un nombre fini quelconque de paramètres, puis des enveloppes de 
surfaces S vérifiant un nombre fini de conditions, enfin l'enveloppe 
de toutes les surfaces. Cette dernière enveloppe joue un rôle spécial; 
elle est dite intégrale singulière. Les éléments communs à chaque 
surface S et à cette enveloppe dépendent d'une fonction assujettie à 
une relation. 

Si l'on considère une autre intégrale, ses éléments communs avec 
chaque surface S dépendent d'au moins une fonction arbitraire. Ils 
contiennent tous les éléments singuliers S, de puisque, si S dépend 



(') La Uiéoi'ie des enveloppes s'applique bien entendu à un espace fonclionnei 
ayant une généralité absolument quelconque. 



228 DEUXIÈME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

d'une manière absolument quelconque d'un paramètre A, l'équa- 
tion -— = o qui définit l'enveloppe est vérifiée pour les éléments sin- 
guliers. Il en résulte que si l'on remplace l'intégrale complète consi- 
dérée initialement par une autre, on ne change ni l'intégrale singu- 
lière, ni les multiplicités communes à cette intégrale et à chaque 
surface de l'intégrale complète. 

57. On peut aisément, en partant de l'intégrale complète, retrouver 
les propriétés des caractéristiques. Cherchons à cet effet les inté- 
grales contenant un élément donné C, constitué par un point M et 
un plan P. 

Cet élément C correspond à une surface déterminée Sq de l'inté- 
grale complète. Une intégrale S contenant C doit être l'enveloppe 
d'une famille de surfaces S comprenant Sy. Si l'élément C est singu- 
lier, une telle surface S comprend nécessairement So- Mais s'il n'est 
pas singulier, la condition que cette famille ne comprenne, comme 
surfaces S voisines de Sq, que celles qui contiennent M (au second 
ordre près), impose une condition aux variations oz>(s) et Sa de la 
fonction et du paramètre dont dépendent ces surfaces. On n'a le 
choix qu'entre les surfaces S, voisines de Sq et dépendant d'une 
fonction arbitraire, et qui par suite contiennent (au second ordre 
près) tous les éléments d'une courbe C située sur Sq. L'enveloppe 
contient cette courbe, et j touche la surface So- La multiplicité cons- 
tituée par cette courbe et les plans tangents à So le long de cette 
courbe est alors une caractéristique. Toutes les surfaces intégrales 
contenant l'élément non singulier C contiennent tous ceux de cette 
caractéristique. 

On a d'ailleurs un résultat analogue pour un élément C de l'inté- 
grale singulière. Un tel élément, situé sur une surface Sq de l'inté- 
grale complète, appartient à toutes les caractéristiques de cette 
surface. Une intégrale quelconque contenant C et qui n'est pas 
l'intégrale singulière contient une de ces caractéristiques ; de toute 
façon, elle contient tous les éléments singuliers de Sq. On a donc un 

ultat analogue à celui obtenu dans le cas i>énéral. Le fait de cou- 



res 



naître un élément d'une intégrale entraîne la connaissance d'une 
infinité d'autres éléments; seulement, dans le cas particulier con- 
sidéré, ils dépendent d'un paramètre de moins. 

Il existe une autre sorte d'éléments singuliers qui mettent ce 



C[IAP. IV, — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FOXCTIONNIÎLLES PARTIELLES. 229 

résultat en défaut. Il peut arriver que deux surfaces distinctes de 
l'intégrale complète contiennent un même élément, et qu'on en 
déduise deux caractéristiques distincte» contenant cet élément. Les 
surfaces intégrales qui le contiennent, contiennent alors l'une ou 
l'autre de ces caractéristiques, et deux surfaces ne contenant pas la 
même caractéristique n'ont pas d'autre élément commun que celui 
donné. 

Les éléments de cette nature sont évidemment singuliers pour les 
équations (19). Ils s'introduisent comme solution étrangère dans la 
recherche, en partant de l'équation (2), des éléments de l'intégrale 
singulière, et se distinguent de ceux-ci parce qu'ils n'ont pas d'enve- 
loppe. 

08. La connaissance d'une intégrale complète permet de résoudre 
le problême de Cauchj sans passer par l'intermédiaire des caracté- 
ristiques. On n'a qu'à chercher les surfaces de l'intégrale complète 
tangentes à la courbe donnée G et prendre leur enveloppe. 

Cette solution est d'ailleurs exaclement équivalente à l'autre. En 
chaque point M de G, la recherche de l'élément d'intégrale contenant 
la tangente à G, ou de la surface de l'intégrale complète tangente à G, 
sont deux problèmes équivalents et comportant le même nombre de 
solutions. Mais si l'on connaît l'intégrale complète, la caractéristique 
correspondant à cet élément est obtenue sans intégration comme 
multiplicité commune à la surface choisie dans l'intégrale complète 
et son enveloppe. 

La connaissance d'une intégrale complète, permettant de résoudre 
le problème de Gauchj, nous permet d'affirmer que l'équation 
étudiée est complètement intégrable. Si une équation du type (2) 
n'est pas complètement intégrable, il y a donc des éléments de 
contact, vérifiant cette équation, et n'appartenant à aucune surface 
intégrale. 

59. Les équations linéaires. — Considérons le cas où l'équation (•>.) 
est linéaire en L*^ et Ll^., c'est-à-dire de la forme 

(•26) V'y=Ui\J',)-^^l>\[x,y\U,t]l 

H étant une fonctionnelle linéaire de U^, dépendant en outre (h\s 
fonctions x et y et des variables t et U. 



23o DEUXIÈME PARTIE. — DÉUIVÉES FONCTIO^XELLES DU PREMIER ORDRE. 

Dans ce cas, l'indrurniinalion dans le prol)lème de Caiichj peut 
apparaître dès le calcul des dérivées fonctionnelles preuiières. 
L'équation (12) s'écril alors 

^K(U^) + 11(U:,) = <I>-V,,' 

et la fonction U'^ reste indéterminée si 

c'est-à-dire si la courbe C vérifie les équations aux dérivées fonc- 
tionnelles 

(27) 






Une telle courbe est une .caractéristique de l'équation (26). Par 
des raisonnements analogues à ceux faits dans le cas général, on 
montre que la surface intégrale la plus générale peut être définie 
comme lieu de caractéristiques dépendant d'une fonction arbitraire 
(l'ensemble des caractéristiques dépendant d'une fonction et d'un 
paramètre). 

La théorie générale s'applique d'ailleurs ici. Une courbe caracté- 
ristique et la succession des plans tangents à une surface intégrale 
le long de cette courbe constituent une multiplicité caractéristique 
jouissant exactement des propriétés indiquées dans la théorie géné- 
rale. Mais il n'y a pas besoin de faire intervenir les plans tangents 
pour mettre en évidence la forme de la solution générale. 

Comme dans le cas analogue de la théorie des équations aux déri- 
vées partielles, il est facile de développer les circonstances qui se 
présentent lorsque le second membre de l'équation (26) se réduit à 
H(U^), cette fonction ne dépendant pas de U. Dans ce cas, comme 
dans le cas plus général où H(U^) étant toujours indépendant de U, 
le terme $ est quelconque, il est possible d'obtenir explicitement 
Texpression de la solution générale à l'aide d'une fonctionnelle 
arbitraire. 

60. Cas des fonctionnelles dépendant d'un contour plan G et d'une 
fonction u{s). — Nous désignerons par C un contour plan, par s la 



CHAP. IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES PARTIELLES. 23 1 

longueur d'arc, par u(s) une fonction donnée en chaque point de C, 
par tl> une fonctionnelle de C et de u{s). Nous définirons la défor- 
mation de C par la donnée du déplacement normal on^, nous dési- 
gnerons par ^u(s) la variation de u lorsque le point dont dépend 
cette fonction se déplace normalement à C, par <ï>;, et <I>',^ les dérivées 
fonctionnelles de <I>. Soit à étudier l'équation 

(28) <K=W\\C,u,<i^-i^P,s]\ ' 

D'après le n** 78 de la première Partie, la condition pour que 

,. 1 = -. — rr- s obtient en écrivant que 
ÔA dix ()iJL (JK ^ 



(21) 

E et G désignant des fonctionnelles linéaires identiques chacune à son 
adjointe, # l'adjointe de F, k la courbure de C, comptée positivement 
dans le même sens que o/j, u' et on' les dérivées de u et on par 
rapport à 5, 

Ea variation de ^>J^, lorsque le point du contour G dont dépend 
cette dérivée se déplace normalement au contour, et que 



o<î> = / ((J);^ (;u -h *^^ on) 



ds. 



s'obtient en dilTérentiant l'équation (28) et remplaçant o<I> par sa 
valeur. Elle est de la forme 

(3o) ô'I>'„ = II(ô<I>;j 4- l.{ou) + Li{ùn). 



La condition d'inté<irabilité se trouve alors par des calculs ant 



'S par 



logues à ceux du n** 4o. En remplaçant Z<iy^^ et o<I>^^ par leurs expres- 
sions (29) et séparant les termes en 3^^ et ceux en o/i, on trouve 

G ( o/i ) 4- <!>,', u' on' — H [ F ( on ) -\- k ^V^ on ] + L, ( on ), 

d'où l'on tire 

F(o// ) = E[je(ô/i)J -+- -(1(0//) 
et 

G(c//)-^IIjE[5e(8/0] I = \l[S^{hn) -\- k^KZn] + h^{on) — ^>'„u' o?i. 
La condition d'inlégrabilité de l'équation (28) s'obtient en écrivant 



l3l DEUXIEME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

que le second membre de celte expression est une fonctionnelle 
linéaire de on identique à son adjointe. 

La théorie du problème de Cauchj et des caracléristiques est aussi 
tout à fait analogue à celle développée à propos de l'équation (2), 
les seules différences dans les calculs provenant des derniers termes 
des formules ( 29), qui n'ont pas leurs analogu-cs dans les formules (5). 
On trouve, pour les équations des caractéristiques, 

(3o) y -^ 

1 0*;, = 4^(0/0 + A- 'i>;,ô/^ 

r ocî>;^ = i^j ( 5/? ) + A- *;, ae (on) -h i 'I>', u on ' h j ^^ on. 

Si l'équation (28) est complètement intégrable, ](!s conditions 
d'intégrabilité de ces équations sont toujours véri liées pour les élé- 
ments d'intégrales, mais ne le sont pas pour des éb'mculs quelconques 
[voii' remarque finale du n*^ o4). 



CHAPITRE V. 

LEXTENSION DES EOUATIONS DE JACOBI-HAMILTOX. 



So-M.MAIRE : Volions générales. — Cas de rinli'iiialc de Diiiclilcl . 
— Généralisation. 

GI. Notions générales. — Soit '^[a^ /y, a, [ii) le iiiiiiiminn de l'iiité- 
lirale 

^ Il 

y étant une fonction de x continue, à dérivées première et seconde 
continues, égale à a pour x =^ a eV h [Îj pour x ^=-b. On sait qne ce 
niinimuui, s'il existe, est obtenu pour une solution de Féquation 
différentielle du second ordre d'Euler 

dy dx Oy' 

et que le minimum obtenu, considéré comme fonction de h et (3, 
vérifie une équation aux dériv(''es partielles du premier ordre, dite 
rquation de Jacobi-Hainilion^ qui résulte de l'cdiminalion de y' 
entre les formules 



Oy''' 






On obtient une équation analogue relative à la limite inférieure 
d intégration, en remplaçant ^ et ^ par a et a, et cp par — <p. 
Si l'on remplace l'intégrale (i ) par l'intégrale doubb; 

dz dz\ 



^/X^("'^^'^'^-^'^)^"^^' 



234 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

et qu'on en cherche le minimum parmi toutes les fonctions z{x^y), 
continues ainsi que leurs dérivées des deux premiers ordres, prenant 
des valeurs données it{s) sur le contour C de l'aire S, Téquation (2) 
est remplacée par une équation aux dérivées partielles. Le minimum 
devient une fonctionnelle dépendant de C et u{s)^ et l'équation de 
Jacobi-Hamilton est remplacée par une équation aux dérivées fonc- 
tionnelles partielles, du type étudié n*^ 60. 

Nous allons d'abord étudier un exemple particulier. Nous traite- 
rons ensuite le cas i;énéral ( ' ). 

6^. Cas de l'intégrale de DiricMet. — On appelle ainsi rintéi;rale 

-/X [(£)■* (l)']-"-- 

Appelons u{s) et U\{s) les valeurs sur le contour de z et de sa 
dérivée normale, et ou la variation de u lorsque, le contour G qui 
entoure l'aire S se déformant et z variant, le point dont dépend cette 
fonction se déplace normalement au contour. On a donc 

(5) 0«= Oi s = 03 + ?il ô/?. 

Si un est compté positivement vers l'intérieur, la variation de f 
a la valeur 

.ol = - / ( u] -f- u'^)dn ds -\- 1 l l ( ^- ^ -^ -^0 ^] dx dy. 

Par intéi^ration par parties, l'intégrale double s'écrit 
— / //] oz ds — •>. / I Iz oz dx dy. 

Remplaçant alors dans l'intégrale simple oz par sa valeur tir(''e de 



C) Dans mon Mémoire déjà cité {Rend. Cire. Mat. Palermo, 191 1), j"ai traité le 
cas plus général où la fonction / contient des dérivées d'ordres quelconques de la 
fonction z. L'extension au cas des intégrales multiples est également facile. Pour 
l'extension à ce cas des principales formules du Cliapitic précédent, voir Fischkr, 
American Journal of Mathematics, vol. XXXIX. 1917. 

Voir aussi, sur l'extension des équations de Jacohi-IIaniillon, les Mémoires de 
MM. Voltena et Frécliel. 



cnAP. V. — l'extension des équations de JACOBI-IIAMILTON. 235 

la fornuile (5), il vient 

ol = — 2 1 Kl au ds -\- / {u\ — u"^ ) hnds ~- 1 i / As os dx dy. 

Si Ton prend pour z la fonction harmonique et régulière égale à u 
sur le contour, l'intégrale double disparaît; l'intégrale 1 se réduit 
alors à une fonctionnelle (ï> de C et u(s), égale, comme on sait, au 
minimum de 1 lorsque C el u (s) sont donnés, et il vient 



(6) ?J(]^^—2 fuiùuds-h fini— a''-) on 

Je Jr. 



ds. 

c ^c ' ' 



Les dérivées fonctionnelles de ^ sont donc 

(7) ^\=^--'?.ui, cï,;^=,,|_,/'2. 

Elles ne sont pas exprimées en fonction seulement des arguments 
de la fonctionnelle /I>, puisque u^ figure dans ces formules. En élimi- 
nant zf,, on a l'(''quation aux dérivées fonctionnelles partielles 

(8) ^\.= ^I^^-^^'^ 
du type étudié au n" 60. 

63. En différentiant cette équation, tenant compte de ce que 

' du , rs j 1^7 

Il = -.- et ds = — A on ds. on trouve 

ds ' 

c'I'// = - '1>,, o<î>;,— 2 fl -^ 2 Au 2 on, 

de sorte que, avec les notations du n" 60, 

L{OU) = — '2U ;— J 

ds 

Li(on)=~2/ai'^o/f. 

Ja\ condition d'intégrabilité s'obtient alors en formant l'expression 



l(î> 

2 



-T ( u' ù/i ) +• k <]>',, on — 2 ka^ on — <!>'„ u' S/?' =z ( <!>;, a" + 2 A <!>;, ) ô/? , 

et écrivant qu'elle est identique à son adjoint'e. Elle est identique- 
ment vérifiée; l'équation (8) est complètement intégrable. 



236 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

Formons, de même, les équations des caractéristiques, en tenant 
compte de leur forme i;énérale indiquée n° 60. Il vient 

i ()U = <I>', O/i, 

(9) j 5* =£ {'K - i <I>;r) S" ds = -^ ( 1 .1.;,^ + u'^) 5. cls, 

[ <A>'n = i~j-{u' ùji)-\- /c(I>;^ 0)1. 

Ces trois équations définissent les variations de u^ ^, <I\,. La 
dérivée ^\^ est à chaque instant donnée par l'équation (8). 

C4. Il est facile de donner du fait que l'équation (8) est complète- 
ment intégrable une démonstration ne nécessitant aucun calcul, et 
montrant mieux la raison de cette circonstance. INous pouvons aisé- 
ment former une intégrale complète de cette équation; cela suflit, 
nous le savons, pour prouver qu'elle est complètement intégrable. 

Remplaçons à cet effet, dans la définition de l'intégrale I, l'aire S 
par la région limitée entre deux contours C et F. Tous les calculs 
faits s'appliquent, et la formule (6) donne toujours la variation de O, 
à condition d'étendre les intégrales simples à l'ensemble des con- 
tours C et r. Mais si le contour F reste fixe, et si les valeurs de z sur 
ce contour ne varient pas, les intégrales simples relatives à F dispa- 
raissent, la formule (6) s'applique en ne considérant que le contour G. 
La fonctionnelle $ ainsi formée est une intégrale de l'équation (8). 

F*ar addition d'une constante arbitraire, on obtient une autre inté- 
grale. 

Je dis qu'on obtient ainsi une intégrale complète. Les intégrales 
que nous venons de définir dépendent d'ailleurs de deux fonctions 
arbitraires et d'un ])aramètre, c'est-à-dire d'une fonction arbitraire 
de plus qu'il n'est nécessaire. 11 n'en est pas moins nécessaire de 
montrer qu'elles contiennent tous les éléments d'intégrales. 

Or un élément d'intégrale peut être défini par la donnée de déter- 
minations C, w, «<, ^ de (^, u, Ui, (t>, les dérivées ^[^ et <I>J^ étant 
données par les formules (7). Ces quantités sont bien ai'bitraires, 
puisqu'on peut choisir une fonction harmonique z(x, y) telle qu'on 
ait sur G, ^ = «, -r- = ^^| (du moins si les données sont analytiques). 
Prenant alors pour F un contour situé dans la région où cette fonc- 



CHAP; V. — l'extension DES ÉQUATIONS DE JACOBI-HAMILTON. 287 

tion est régulière, et pour valeurs données sur F celles de cette 
fonction, ajoutant à l'intégrale <ï> définie ci-dessus une constante 
convenable, on obtient ])ien une intégrale de l'équation (8) contenant 
Télément donné, c'est-à-dire prenant la valeur $ pour le contour G 
et pour u = ^/, tandis que ses dérivées fonctionnelles prennent les 

valeurs — iu^ et u^ — u . L'équation (8) est donc bien complète- 
ment intégrable. 

60. Passant maintenant aux caractéristiques, nous pouvons les 
définir de la manière suivante : 

On choisit une fonction harmonique s(^, r), un contour Y en 
chaque point duquel elle soit régulière, une constante ^q. Soit S 
l'aire limitée par V et un autre contour variable G, choisi de manière 
que la fonction z soit régulière dans cette aire; soient u[s) et U{{s^ 
les valeurs sur G de ^ et de sa dérivée normale. L'élément G, ii{s)^ 

définit, lorsque G varie, une caractéristique. 

Ge résultat se vérifie d'ailleurs aisément à l'aide des formules (9). 
On a en effet 

(m r=z u^ on =: q>,^ 0//, 



S<I> 



- C{u\ + u"') (in ds = -~ f fj <I>;2 + u'i) ?,n ds, 

ù^Pn = — 2 OU^ = — 2-7-^ 0/2. -+- 2 U Ùfl . 

Les deux premières formules ne sont autres que les deux premières 
formules (9); en tenant compte de ce que z est harmonique, c'est- 
à-dire que 

d^ " 



dz d"^ z 
(') Appelons — et -7-7 les dérivées première et seconde relatives à un dépla- 

, T^ , , , . . • - . • , dz dz 

cernent sur la tangente. Pour les dérivées premières, on a évidemment -—=-— = u' , 

Mais la variation de u ., Iorsf[u'on se déplace sur la courbe, provient à la fois du 



9.38 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIEIi ORDRE. 

la derjiière se réduit à la dernière foriiuile (9). Comme de plus <I>^'^ 
vérifie bien l'équation (8), toutes les équations des caractéristiques 
sont vérifiées. 

L'hypothèse que z[x^ y) est harmonique n'est intervenue que pour 
vérifier que o^J^, et par suite S^/^, ont les valeurs voulues. Si par 
suite on supprime cette hypothèse, on obtient une multiplicité véri- 
fiant les deux premières équations des caractéristiques, mais non les 
autres. On sait que pour une telle multiplicité le problème de Cauchy 
n'est pas indéterminé, mais impossible (du moins en ce qui concerne 
les solutions régulières). 

66. Généralisation. — On traite de même le cas plus i^énéral de 
l'intégrale 



(10) 



1 = / / f{x, y, z, p, q) dx dy, 



» et ^ désienant —^ et --^- Sa variation a la valeur 
^ ^ ^ ()x ày 

= — / fonds — / { -^ ces a -4- -j- cos 3 ) ^z ds 

f Ç 1^1 ^ ^ '}L _ È. '}L\i~ dx d 



dv. 



cosa et coSj3 désignant les cosinus directeurs de la normale intérieure. 
Si le contour G et les valeurs u de z sont donnés, si de plus ^ vérifie 
l'équation 

, , i)f d ôf d ôf 

(II) -f = -7- -r + TT- T^' 

<)z dx ôp dy ôq 

la variation de I est nulle. Plaçons-nous dans le cas où la fonction / 
est essentiellement positive; l'équation (11) est alors une équation du 
type elliptiqjie et sa solution est bien déterminée si l'on connaît sa 

déplacement du point et de la roLalion de la tangente, de soi^te que 

„ - d'^z . , dz , 

u ds = -7-r ds H- A" —r- as. 
dl^ dn ' 

d'z , . 
et par suite, si z est harmonique, u = — -j-^ -i-ku^on. 



CHAP. V. — l'extension DES ÉQUATIONS DE JÂCOUI-HAMILTON. 289 

\aleiir u(s) sur le contour. Cette solution est d'ailleurs, parmi toutes 
les fonctions égales à u(s) sur C, celle qui rend l'intégrale I minima; 
ce minimum I est alors une fonctionnelle <I> de C et î/, dont la varia- 
tion est 

ôfl> = — / fo/i (h — / ( — cosa H- ^ cos 3 ) Zz ds, 

ou, en tenant compte de la formule (5), 



(12) 

On a donc 

(i3) 



o<I> =— / ( -^- cos a -+- -p-cos ^\ r}U ds 



.([( 



dp 



'Il 
ôq 



COS ^ ) u^ — / 



,f àf ôf „ 

^^^u H- T^ COS a + -f- COS 3 = o, 
dp ôq ^ 



D'ailleurs, sur C,/se réduit à une fonction de 5, u^ u' et u^. Par 
ces équations, le contour G et u{s) étant donnés, ^[^ et 4>,'j appa- 
raissent comme donnés en chaque point en fonction de W). L'élimi- 
nation de w, donne une équation aux dérivées fonctionnelles, vérifiée 
par la fonctionnelle 4>. 



67. Par une extension analogue à celle du n" 64, remplaçons 
l'aire S par l'aire comprise entre G et un contour fixe F, ne consi- 
dérons que les fonctions (^z) solutions de l'équation (ii) et prenant 
dès valeurs données sur F, et ajoutons à <I> une constante arbitraire 4>q. 
Je dis qu'on obtient ainsi une intégrale complète, contenant un 
élément d'intégrale quelconque, défini par G, u^ <l^ et w,, les dérivées 
fonctionnelles ^[^ et ^'^^ étant données par les formules (i3). 

On peut en effet choisir z solution de Féquation (ii), égal à u 
sur G, sa dérivée normale étant égale à «,. Il suffit alors de choisir un 
contour F sur lequel la fonction z soit régulière, et de prendre 
comme valeurs données sur F celles de la fonction z. L'intégrale 
définie par F et les valeurs données sur F est une fonctionnelle dont 
les dérivées O^^ et ^\^ ont bien, pour le contour G et la détermination 
choisie de u{s)^ les valeurs voulues; comme on peut lui ajouter une 
constante quelconque, on peut s'arranger pour qu'elle ait elle-même 
la valeur voulue et contienne en conséquence l'élément donné. 



240 DEUXIEME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

68. Le j)rocédé de définition des caractéristiques du n" 65 se «géné- 
ralise aussi aisément. 

Choisissons une solution z de l'équation (i i), régulière dans 
Taire S comprise entre le contour C et un contour fixe T. Prenant 
pour u[s) les valeurs de z sur C, l'élément défini par C. u{s)^ 

<!>' = — - ~ cosa — -^ cos 3, 
dp dq ' 

définit, lorsque G varie, une caracléristique. 

11 appartient en eft'et à une surface intégrale, celle de l'intégrale 
complète obtenue en prenant le contour F considéré et comme valeui's 
données sur le contour celles de z{x^ y). 11 suffit alors de vérifier la 
première équation des caractéristiques. 

Pour former d'abord la fonctionnelle lI(o<I>',^), différentions la 
deuxième équation (i3) en considérant C et u{s) comme fixes. Il 
vient 

6*1);, + uy ô'i»;, -+- MI»;, + ^^ ) ^^"i -= «• 

D'ailleurs, d'après la première équation (i3), le coefficient de oit^ 
est nui (' ). 11 vient donc 

La première équation des caractéristiques 

ou = — 5C(o/? ) = //i 0// 

(\st alors immédiatement vérifiée. La succession d'éléments considérés 
(Iclinit donc une caractéristique. Comme on peut s'arranger pour 



(') On a en effet 

p — Mj cos a — u' cos [5, q ■= u^ cos [îJ + u cos a 
d'où 

-^ = -^ cos a + -^ cos ,i. 
OUi i)p ôq 



CHAP. V. — L EXTENSION DES ÉQUATIONS DE JACOBI-HAMILTON. 2^1 

qu'elle conlicniic un élément d'intégrale quelconque, nous avons 
sûrement obtenu la définition générale des caiactéristiques. 

Si l'on supprimait la condition que z{x^ y) soit une solution de 
l'équation (ii), on n'aurait donc pas une caractéristique. La pre- 
mière équation des caractéristiques étant toujours vérifiée (puisque 
cette condition n'est pas intervenue dans la vérification), on a dans ce 
cas une multiplicité n'appartenant à aucune surface intégrale 
réaulière. 



LKVV. 



CHAPITRE VI. 

TYPES DIVERS D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES 
PARTIELLES ET DE SYSTÈiMES D'ÉQUATIONS. 



SoMMAFUE : Notions générales. — Equations linéaires. — Système.-^ (Téquations 
linéaires. — Equations non linéaires. — Systèmes d'équations non linéaires. 
— Equations contenant un paramètre. — ■ Généralisation, 

69. Notions générales. — Les équations aux dérivées fonctionnelles 
étudiées Chapitre I généralisaient les équations aux différentielles 
totales. L'objet du présent Chapitre est d'étudier les équations géné- 
ralisant les équations aux dérivées partielles, ou les systèmes de 
p équations vériOées par une fonction de n a ariables. En faisant 
croîti^e Ji indéfiniment, mais laissant p Uni, on obtient les systèmes 
d'équations que nous allons étudier. 

Nous commencerons par le cas linéaire pour étudier ensuite le cas 
général. Les considérations que nous exposerons généralisent la 
théorie classique des systèmes d'équations aux dérivées partielles, 
telle qu'elle est exposée dans le Traité de M. Coursât (Chap. 11, VI 
et VU). 

Nous étendrons ensuite les résultats obtenus à des systèmes de 
forme plus générale, comprenant à la fois les précédents et les équa- 
tions du Chapitre JV. 

70. Équations linéaires. — Considérons une fonctionnelle U de la 
fonction x{t). L'équation linéaire que nous nous proposons d'étudier 
d'abord est du type 

(I) f v\[x{'-:)\t-]\\]',,,dt = o. 

Considérons, dans l'espace fonctionnel qui représente la fonc- 
lion x{t)^ une courbe [lieu des points dépendant d'un para- 
mètre a), telle que pour un déplacement le long de cette courbe, 



CIIAP VI. — TVPES DIVERS d'ÉQUATIOXS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. 2^3 

on ait 

(•2) ox(t)=F\[a:{z)\t]\d'k. 

Une pareille courbe est ce que nous appellerons une ca/'octéris- 
lique de l'équation (i). 

Remarquons d'abord que la détermination de la caractéristique 
contenant un point donné est un problème d'analyse ordinaire. La 
fonction x{t) dépendant du paramètre A, on a à déterminer une 
fonction de deux variables t et A, vérifiant l'équation (2) qui est du 
type intégro-différentiel, et se réduisant pour ). = o à une fonction 
connue. 

Si l'on considère un déplacement le long d'uns cnraclcristique, 
on a 

l\J=dkf F|[^(;-)1^]|U'^(0^^. 



L'équation (i) exprime que cette quantité est nulle. Son intégrale 
générale est constituée par l'ensemble des fonctionnelles constantes 
le long des caractéristiques. 

Supposons en particulier que F se réduise à une fonction /(^) de t 
seulement ('), que l'on peut supposer normale, c'esl-à-dire telle que 

f P{t)dt. 
La droite contenant le point x[t) contient aussi le point 

X(0=^(^)-/(0 f f{-:)x{':)d':, 

projection orthogonale du point oci^t) sur le plan passant par l'ori- 
gine et perpendiculaire aux caractéristiqLies, évidemment indépendant 
du point choisi sur la droite. On peut alors exprimer la solution 
générale de l'équation étudiée; c'est une fonctionnelle arbitraire 

deX(0. 

7L Considérons l'équation plus générale 

• 

(^) Voir sur ce cas et un autre plus général Volterra, Rendlcotiti délia li. Acca- 
demia dei Lincei^ i5 mars 1914- 



2-14 DEUXIEME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

Dans l'espace fonctionnel E^+m plus étendu que celui considéré 
précédemment (*), représentant à la fois U et x{t)^ considérons les 
caractéristiques^ courbes définies par les équations 



(4) 



^ox{t)=. ¥\[x{-.)\\],t-\\dK, 
8U = G\[x{'z)\ \}]\dl. 



On peut évidemment, sur une surface intégrale de l'équation (3), 
se déplacer de manière que la première équation (4) soit vérifiée. On 
a alors, pour un tel déplacement, 

BV = ciX f F| [^(t) I U, ;] I U:,(,) dt = G| [^(t)I UJ | dl, 

c'est-à-dire que la courbe décrite est une caractéristique. Toute 
surface intégrale est donc un lieu de caractéristiques. 

Inversement, un lieu de caractéristiques est une surface intégrale, 
Féquation (3) exprimant que le plan tangent à chaque point à la sur- 
face qui représente L contient la tangente à la caractéristique. 

Il peut naturellement exister une intégrale singulière, enveloppe 
de l'intégrale générale. Par chaque point de cette surface passent 
deux caractéristiques, l'une située sur cette surface, l'autre sur les 
surfaces enveloppées. Les points de l'intégrale singulière sont donc 
aiissi des points singuliers pour les équations (4). 

Par un point non singulier A ne passe qu'une caractéristique, et 
toute surface intégrale contenant A la contenant tout entière. 

72. Systèmes d'équations linéaires. — Considérons d'abord un 
système de deux équations du type (i), soit 



(5) 






Désignons par C| et Go les caractéristiques de ces deux équations, 
considérées séparément, par F, et Fg celles qui passent par un point A. 
Une intégrale du système (5), ayant une valeur donnée en A, a, 

(*) En employant le langage des nombres transfinis, c'est un espace à w 4- i dimen- 
sions. 



CHAP. VI. — TYPES DIVERS d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. '?.\5 

d'après le n" 70, la même valeur sur F,, et par suite sur la surface I 
formée par les courbes Co qui coupent F,, et de même sur la sur- 
face S' formée par les courbes C| qui coupent F2. 

Il peut d'ailleurs arriver que ces surfaces soient confondues, l^cs 
équations des caractéristiques des deux systèmes étant 

(6) '^* = IM[.^(-)I']|, 

(7) ±^ = F,|fr(.)U]|, 

la condition pour qu'il en soit ainsi est que Ton puisse déterminer 
une famille de fonctions x{t)^ dépendant de deux paramètres \ et a, 
et vérifiant à la fois ces deux équations, c'est-à-dire que l'on ait la 
condition d'intégrabilité 

d à x{t) _ d â x{t) 

Cette condition s'écrit, en désignant par F'^ et F'^ les dérivées fonc- 
tionnelles de r'i et Fo, 

(8) f F\\[xi-.)\t,t,]\F,\lr{z)\t,]\dt, 

Si cette condition est vérifiée identiquement, les surfaces S et S' 
sont confondues, quel que soit le point A. Le système (5), dans ce 
cas, est dit complet. 11 exprime que U est constant le long de chaque 
surface S, condition qui définit l'intégrale générale. 

Si la condition (8) n'est pas identiquement vérifiée, désignons Fa 
différence des deux membres par F3 [^(t) | t] \. Partons du point A; 
faisons varier d'abord \ d'une quantité cA, puis ^, de c/ijl, le chemin 
décrit dans l'espace fonctionnel étant donné par les formules (()) 
et (7); nous obtenons un point B de la surface S; en intervertissant 
l'ordre des variations d). et du.^ nous obtenons un point B' de la 
surface S'. Le vecteur BB' représente évidemment la fonction F3 dXdix. 
Comme une fonctionnelle L intégrale du système (5) a la même 
valeur en B et B', elle a la même valeur le long des courbes C3 



246 DEUXIÈME PARTIE, — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

d'équation 

Elle vérifie donc l'éqnalion 

(9) Xa(U)=r F.3|[:r(x)|/]| U^,,)rf^ = o 

dont les courbes C^ sont les caractéristiques. 

Ce résultat est d'ailleurs facile à vérifier sans passer par l'intermé- 
diaire des caractéristiques, car on a identiquement 

X3(U)^X2[Xi(U)J--X,[X,(U).]. 

Les équations (5) entraînent donc l'équation analoj^ue (8). Celle-ci, 
rapprochée de chacune des conditions initiales, donne lieu à une 
condition d'inté^rabilité, et, continuant de même, on peut obtenir 
une suite de nouvelles équations de la même forme, chacune d'elles 
exprimant que l est constant le long d'une famille de courJ)es carac- 
téristiques. 

Il peut d'ailleurs arriver qu'on obtienne effectivement une infinité 
d'équations distinctes, ou bien qu'après un nombre fini d'opérations 
on arrive à un système complet^ tel que les conditions d'intégrabilité 
obtenues en rapprochant ses équations deux à deux soient des con- 
séquences des équations déjà écrites. Dans un cas comme dans l'Eure, 
le système obtenu exprime que la fonctionnelle U est constante le 
long de certaines variétés S, sur chacune desquelles on pourra prendre 
comme courbes coordonnées des caractéristiques des diverses équa- 
tions obtenues. Si ces équations sont en nombre fini/?, les variétés S 
sont à p dimensions. Si elles sont en nombre infini, les variétés >] ont 
une infinité de dimensions; il peut même arriver qu'il n'existe qu'une 
variété S comprenant tout l'espace fonctionnel, et dans ce cas le 
système (5) n'admet pas d'autre solution que les solutions évidentes 
L = const. 



73. Remarques. — i*^* La théorie serait tout à fait analogue si, au 
lieu de deux équations données initialement, on en avait un plus 
grand nombre. 



CHAP. YI. — TVPES DIVERS D EQUATIONS ALX DERIVEES FONCTIONNELLES. 51 Î7 

2' Si les équations sont du type « linéaire à coefficients constants >^ 

(10) XKU)= f Mt)\j'^,,,dt (j = i, 2, ...,/.), 

les conditions d'intéorabilité sont identiquement vérifiées. Les carac- 
téristiques de chaque équation sont des droites parallèles, et les 
surfaces ^ sont des variétés linéaires à p dimensions, parallèles entre 
elles. Le système (lo) exprime que U est constant sur chacune des 
variétés. 

Supposons que la suite de fonctions 

(11) /i(0, /2(0> .-., Mt), ... 

soit une suite de fonctions telle que toute fonction de carré som- 
mable xii) soit représentable par une série Jla,ifn[i) convergente 
en moyenne (*). Une fonctionnelle V de x{t) se réduit alors à une 
fonction u\a^^ a-^i ••■, «//, ...) des coefficients de cette série, et 
l'équation \/(L) = G exprime que cette fonction ne dépend pas de «/. 
Si alors on cmisidère un système d'une infinité d'équations du 
type (lo ), deux cas sont à distinguer suivant que les fonctions/} {t) 
figurant dans ces équations constituent ou non toutes les fonctions 
de la suite (i i). Dans le premier cas, la fonctionnelle D, solution du 
système étudié, ne peut être qu'une constante; ce cas rentre dans 
celui indiqué à la fin du n^ 72. Dans le second cas, L peut encore 
dépendre d'un nombre fini ou infini de paramètres. 

74. Les considérations du n*' 72 s'étendent aisément au cas de sys- 
tèmes composés d'équations du type plus général (3). Considérons 
par exemple le système de deux équations 



(12) 



I «^ 

X2(U)e^ r^F^lf.^iU. t]\V^,, dt~G,\[x\l-\\ = u, 

» 



(') Nous savons, d'après le Chapitre VII de la première Partie, qu'il existe 
de telles suites. Les séries trigonométriqucs (étudiées au Chapitre III de la première 
Partie) en sont un cas parliculier. 



248 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

X étant écrit au lieu de ^(t), pour simplifier l'écriture. Nous désigne- 
rons par X, (U, Y) et X^ (U, V) les expressions obtenues en rempla- 
çant U^ par V^, mais laissant TJ quand cette quantité intervient par 
elle-même. 

Désignons par Ci et C2 les caractéristiques de chacune des équa- 
tions (12), dans l'espace E^+i- Gomme au n° 7:2, deux cas sont à dis- 
tinguer suivant qu'une certaine condition d'intégrabilité est remplie 
ou non. 

Soient r^ et Y^ les caractéristiques de chacune des équations pas- 
sant par un point A. Si la condition d'intégrabilité est remplie, les 
courbes G| coupant Fo et les courbes C2 coupant F, définissent, 
de deux manières différentes, une même surface ^, et cela quel 
que soit A. La propriété fondamentale des caractéristiques étant 
qu'une surface intégrale qui contient un point (non singulier) d'une 
caractéristique la contient tout entière, une surface intégrale du 
système (12) qui contient un point (non singulier) d'une surface S, 
la contient tout entière. Les surfaces intégrales sont des lieux de sur- 
faces S. 

Si au contraire la condition d'intégrabilité n'est pas vérifiée, on 
peut, en partant d'un point A et suivant des caractéristiques Gj et G:;, 
décrire complètement une surface S à un nombre p de dimensions, 
fini ou infini, mais supérieur à 2. Les surfaces intégrales sont, comme 
dans le cas précédent, des lieux de surfaces 2. 

Le plan tangent à S en A est défini par les tangentes aux courbes 
G, et G2 passant par A, et les tangentes à d'autres courbes G.j, 
G4, . . ., Gy,, que l'on peut définir comme au n^ 72, et qui sont les 
caractéristiques d'équations analogues aux équations (12) et résultant 
de ces équations. Les formules seules sont un peu difierentes de celles 
du n« 72. 

Les équations des courbes G3 résultent évidemment des formules 



àx{t) _ à ôx{t) 
6^V ~~ dl d\L 


à dx{t) 
dix d\ 


ÔM à àV 


ô ô\} 
dix 01 ' 



où A et |Ji sont des paramètres correspondant aux courbes Gj et Gj, 
par des formules analogues aux formules (4). En développant ces 



CIIAP. VI. — TYPES DIVERS D'ÉQIIATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. 249 

expressions, on trouve pour les seconds membres 

.^ , r ,TT 1. àF,\\x\l), t]\ ^ .^ ,^.,, âFA[x\V, t]\ ^ .^ ,^,,, 
1^1 [^-lU, 01= -"^^^- Gi|[^|lj]| Ll_l__L_LLG2|[a:|lj]l 

+/ j F2|[^|U,^/.]|F,|[^lU,^i]| 
G3K.IU |^ -^^-l]^'^^' G.|[.|U]|- -^^-'f;J^3l G.|[.|U]l 

-/'i g;i[^iu,^i1If,I[^|u,/,]I 

Ces courbes C3 sont les caractéristiques de l'équation 

On constate d'ailleurs aisément que cette équation s'écrit identique- 
ment 

X,[U, X,(U)]-X2[U, Xi(U,)] = o, 

ce qui permet de vérifier, sans passer par l'intermédiaire des caracté- 
ristiques, qu'elle résulte des deux équations (12). 

7o. Équations non linéaires. — Etudions maintenant l'équation 
non linéaire 

(i3) <I>1 [,r(0, X(0 1 U] 1 = o [X(0 = V^^uA- 

Désignons la variation de la fonctionnelle ^ par 






^x 4- <I)k ôX) dl -+- <î>u SU. 

Pour chaque détermination de oo(t), les éléments du second ordre 
(l'une fonctionnelle U sont définis par la donnée de la fonctionnelle 
linéaire identique à son adjointe 

ôX(o^h:(S^). 

Si la fonctionnelle U est une intégrale, on a 

Ô«ï> = f [(î)l, + E(*I)x) + X^Li] OX dt = o, 



•>.5o DEUXIÈME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

el cela quel que soit or, et par suite 

•î'x+E(*I>k)-4-X«K = o. 
Cette condition exprime que 

entraîne 

Ceci nous conduit à considérer les multiplicités caractéristiques^ 
composées d'éléments dépendant d'un paramètre A, et tels que 

(i4) { oL: =dl X{t)(^'^idt, 

Un élément d'intégrale (à l'exception de certains éléments singu- 
liers) définit parfaitement une caractéristique. Une surface intégrale S 
de l'équation (i3), contenant un élément singulier d'une caractéris- 
tique, la contient tout entière. Cela résulte évidemment de ce qu'un 
déplacement sur la surface, vérifiant la première équation (14)5 vé- 
rifie aussi la dernière, comme nous venons de le voir; la seconde est 
vérifiée pour tout déplacement de la surface S. 

La théorie des équations du tjpe (i3) est donc tout à fait analogue 
à celle des équations étudiées Chapitre IV. La détermination de l'in- 
tégrale générale et la solution du problème de Cauchj se ramènent 
aux problèmes analogues concernant les équations des caractéris- 
liques, qui sont réductibles à des équations intégro-difTérentielles. On 
est donc ramené à un problème d'analyse ordinaire. 

Si, au lieu de se placer dans l'espace E^,,^, dont chaque point repré- 
sente un système de déterminations de x (t) et U, on se place dans 
l'espace Eo^+i dont chaque point représente un système de détermi- 



nations de X (/), X (t) et U, les équations (i4) définissent des courbe 



et non des multiplicités. Ces courbes sont les caractéristiques de 
ré(juation linéaire 

(I )) f [^i>x(^r.+ xTi) -^('ï'I^ + xcK,)] dt = 0, 

^V étant une fonctionnelle inconnue de x{t)^ X (/), U. Ainsi, comme 



CIIAP. VI. — TYPES DIVERS D EQUATIONS AUX DERIVEES FONCTIONNELLES. IJl 

pour les équations aux dérivées paiiielles du premier ordre, une 
équation non linéaire se ramène à une équation linéaire à un plus 
grand nombre de variables indépendantes. 

76. Systèmes d'équations non linéaires. — Nous nous contente- 
rons encore, pour indiquer les circonstances qui se présentent, de 
considérer le cas des deux équations, soit 

( <ï>|[^(0, X(0|U]l = o, 
^ ^ ■ ( M'|[^(o,X(oiu]| = o. 

Désignons par Oit i et Dilo les multiplicités caractéristiques de ces 
deux équations, qui sont des multiplicités dans l'espace E,„^|, et par 
C, et Co les courbes de l'espace ^2M+i qui leur correspondent. Nous 
avons toujours deux cas à distinguer suivant qu'une certaine condi- 
tion d'intégrabilité est vérifiée ou non. 

Dans le premier cas, en partant d'un point A de l'espace Eo,^^^ et 
décrivant des courbes C^ et C:», on reste sur une surface à deux 
dimensions. Comme l'équation 

oU=/ X{t)^x{t)dt, [X(t) = l]'^{t)] 

est véri'iée pour ces déplacements, cela revient à dire qu'en partant 
d'un élément C de l'espace E^^^, et se déplaçant le long des multipli- 
cités DYLi ou OIL2, on obtient des éléments dépendant de deux para- 
mètres et constituant une multiplicité DK. Toute surface intégrale 
ayant un élément (non singulier) commun avec une telle multiplicité 
la contient tout entière. Ces multiplicités jouent pour le système (16) 
b; même rôle que les multiplicités à une dimension 011, et 0112 pour 
chacune de ses équations. 

Dans le cas où la condition d'intégrabilité n'est pas vérifiée, on 
obtient (comme aux n'" 72 et 7i) des résultats analogues, les sur- 
faces S et multiplicités Oft étant seulement remplacées par des surfaces 
ou multiplicités analogues, mais à plus de deux dimensions. 

Le procédé pour obtenir leurs équations est toujours le même. 
Désignant par e une quelconque des quantités oc{t)^ ^(0' ^5 P^^" ^' 
et a des paramètres dont la variation indique des déplacements situés 
respectivement sur Oit, et OllLo? on obtient une multiplicité ana- 



252 DEUXIEME PARTIE. — DERIVEES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

logue DTl^ définie par les équations 

()e () de <) de 

On obtient ensuite successivement les équations de multiplicités ana- 
logues OU/,, Ole 5, . . ., et le plan tangent à la surface S qui repré- 
sente la multiplicité ,011 dans l'espace Eof^^, est défini par les tan- 
gentes aux courbes G^, C2, G3, . . . qui représentent les multiplicités 

D\li, OlLs, 0)1.3, . . •• 

En développant les équations des multiplicités OlC;,, représentées 
symboliquement par la formule (17), on constate que ce sont les 
multiplicités caractéristiques de l'équation ^ 

(18) [*, ¥] ^ f [<I>k(^Fl-+ X¥'u) - W'^{<l^'^+Xa^)]dt = G. 

Cette équation, par la manière dont elle est obtenue, est une consé- 
quence des équations (16). En effet, toute surface intégrale du sys- 
tème (16) ayant un élément non singulier commun avec une multipli- 
cité caractéristique Olls de l'équation (18), la contient tout entière. 
C'est donc une intégrale de cette équation. 

77. On reconnaît dans l'expression (t8) la généralisation des cro- 
chets de Jacobi. Lorsque les fonctionnelles <I> et W ne dépendent pas 
de U, elle se réduit à l'expression 



(19) ( 






qui généralise les parenthèses de Poisson. On vérifie sans peine 
l'exactitude de la formule 

[(cl>, IF), Q] + [{W, Q), cl>] -H [(O, (I>), W] = G, 

qui généralise le théorème de Poisson. Si donc W etO sont deux inté- 
grales de l'équation (18), il en est de même de (W, ù). En d'autres 
termes, supposons que le système 

('2g) ^^ = Q = (W,Q] = o 

soit complet, et que l'équation <ï> = o, rapprochée de chacun ■ «les 
deux équations ^F = oetO = o, constitue un système complet, le 



CHAP. VI. — TYPES DIVERS d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. 253 

système 

(21) il^ = w = Q = {W,ir) = o 

est également complet. C'est là un résultat intuitif si au lieu des équa- 
tions constituant ces systèmes on écrit les caractéristiques correspon- 
dantes. Désignons en effet par C|, Co, C3, G/, les courbes de l'espace 
l'^iiw+i correspondant aux caractéristiques des quatre équations (21). 
]^es courbes C2 et G3 ne définissent pas des surfaces à deux dimen- 
sions, mais des surfaces (S;,) à trois dimensions contenant aussi les 
courbes G;{. Ges surfaces peuvent se déformer de manière que chacun 
de leurs points décrive une ligne G,, puisqu'elles sont formées de 
courbes G, qui jouissent de cette propriété. On obtient ainsi des sur- 
faces (S/,), dont on ne peut sortir en décrivant des courbes G,, Go, 
G3 et G/,. Gela prouve bien que le système (21) est complet. 

11 n'est pas plus difficile de vérifier, par un calcul direct, qu'une 
fonctionnelle L , intégrale du système (16), vérifie l'équation (18). En 
posant 

oU = f Xif)ox(t)dt, ùX(t) = F{^.v), 

nous avons vu 11" 7o que l'équation $ = o, différentiéc, donne 

<]>;,. + X <I>u + E ( fl>x ) = o. 
De même, Téquation ^r = o donne 

Multiplions la première de ces formules par — W^,, la seconde par (&^., 
ajoutons et intégrons. Il vient 

et, par suite, la fonctionnelle E étant identique à son adjointe, 

[<J>, T]=o. 

78. On peut chercher à étendre le principe de la méthode de Jacobi 
et Mayer. Plaçons-nous par exemple dans le cas où les fonctionnelles 
<ï> et ^ ne contiennent pas U. 

L'adjonction aux équations proposées (f6) de nouvelles équations, 



254 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

déduites des premières par l'opérateur de .Licobi donne, après nn 
nombre d'opérations fini ou infini, un système complet. Si ses multi- 
plicités caractéristiques DYl sont si étendues qu'il n'en existe qu'une 
infinité simple, chacune d'elles représente une surface intégrale. On 
peut dans ce cas des équations écrites déduire, par des opérations de 
l'analyse ordinaire, l'expression de X(^) en fonction de U el x(f), et 
U est alors donné par une équation aux dérivées fonctionnelles ordi- 
naires, complètement intégrable. 

Dans le cas contraire, on ne peut pas tirer X(^) des équations 
écrites. On peut alors chercher à adjoindre aux équations écrites une 
nouvelle équation Q = o constituant avec elles un système complet, 
et, d'après le numéro précédent, il suffit que la fonctionnelle il vérifie 

les équations 

(<!), Q) = o, (>F, Q)=.o. 

L'intégration complète de ce système linéaire est équivalente à celle 
du proposé, conduisant aux mêmes équations des caractéristiques. 
Mais il suffit d'en trouver une solution particulière, d'où l'on déduira 
une solution plus générale OH-const. 

Si les équations écrites ne suffisent pas pour obtenir l'expression 
de X(^) en fonction de U et cc[l), on cherchera à adjoindre au sys- 
tème une nouvelle équation, et ainsi de suite, un nombre fini ou infini 
de fois. On pourra enfin exprimer X(/) en fonction de U et x (t) et 
en déduire U par l'intégration d'une équation aux dérivées fonction- 
nelles ordinaires. On aura ainsi une intégrale complète, qui permet 
d'obtenir l'intégrale générale ou de résoudre le problème de Gauchy. 

Ainsi, le principe de la méthode s'applique, mais le résultat est 
beaucoup moins intéressant que dans la théorie des systèmes d'équa- 
tions aux dérivées partielles. Sauf dans le cas où les intégrales du sys- 
tème proposé ne dépendent que d'un nombre fini de paramètres, il 
faut une infinité d'opérations. De plus, la résolution des équations 
obtenues par rapport à X (^) peut être très difficile, bien que ce soit 
un problème d'analyse ordinaire. La méthode qui généralise celle de 
Gauchy, qui consiste à déterminer les surfaces S, est certainement 
préférable et plus dans la nature des choses (^). 



(') Cela est d'ailleurs vrai dans l'analyse ordinaire. On invoque en général en 
faveur de la métiiode de Jacobi et Mayer que chaque opération abaisse de deux 
unités l'ordre du système à intégrer. C'est là, au fond, une propiiélé des équations 



CHÀP. VI. — TYPES DIVERS d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. 255 

79. Équations contenant un paramètre. — Soit U une fonction ar- 
bitraire de p fonctions ^, (^), x.y (i), .... .Xp{t). Désignons ses déri- 
vées fonctionnelles par X,(^), \^(0, . • -, ^p{t). Considérons une 
équation aux dérivées fonctionnelles 

(22) «1)1 [xi, Xo, . .., Xp-, Xi, X2, .. ., X/,1 l . a] ] ^ o, 

dont la forme dépend d'un paramètre a. 

Le fait que l'on ait plusieurs fonctions arbitraires ne change rien à 
la théorie exposée n° 75. Pour chaque valeur de a, on aune équation 
dont l'intégration se ramène à celle des équations intégro-différen- 
tielles des caractéristiques. Ces équations s'écrivent 

/ 8 Xiit) = *V\.dl 

j Ô Xi(J} = — [<l>.'r,-+- X,-(0 *l] dA ( i* = I, 2, ...,/?), 

i OU = diy I Xi(t)^ly'j^.dt. 

Considérons maintenant l'ensemble des équations (22) obtenues en 
faisant varier a dans un certain intervalle, et cherchons les intégrales 
U communes à toutes ces équations. Elles vérifient les conditions 
d'intégrabilité 

(24) [*1, *I>2j = 0, 

obtenues en rapprochant les équations (22) deux à deux ('); <ï>, et 
4^2 désignent les déterminations de ^ correspondant à deux valeurs 
de a, et cf.2. 

On définit une multiplicité caractéristique DXi comme l'ensemble 
des éléments C que l'on peut obtenir en partant d'uii -élément Cq et en 
décrivant des arcs finis ou infiniment petits des caractéristiques (23), 
chacun des arcs ainsi décrits correspondant à une valeur différente 
de a. En d'autres termes, un pareil déplacement sera défini par les 
équations (23), dans lesquelles on considère a et A comme des fonctions 

des caractéristiques, ([ui ne sont pas des équations quelconques, mais qui sont 
telles que les fannilles d'éléments qu'elles définissent aient une enveloppe; il en ré- 
sulte que la connaissance d'une intégrale première permet d'abaisser de deux unités 
l'ordre du système. C'est là une circonstance de nature à faciliter l'intégration, 
quelle que soit Ja méthode employée. 

(') La parenthèse de Poisson, dans le cas correspondant à celui-là, a été formée 
par M. Yolterra au Chapitre IV' de ses Leçons siw les fonctions de lignes. 



206 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

(l'un môme paramètre (a pouvant être discontinu; A pouvant être 
tantôt croissant, tantôt décroissant). 

80. Comme dans le cas de deux équations, il j a lieu de considérer 
d'abord le cas où la condition d'intégrabilité (24) résulte analytique- 
ment^ c'est-à-dire sans dérivation fonctionnelle de l'équalion (22). 
Nous entendons par là qu'elle est vérifiée, quels que soient a, et ao, 
pour tous les systèmes de déterminations de .r, (^), x-ii^l)^ ..., X^, (^) 
et U vérifiant l'équation (22) ( * ). 

Dans ce cas, les équations des caractéristiques sont aussi complète- 
ment intégrables, ce qui définit la généralité des multiplicités Oit. Un 
déplacement infinitésimal sur une telle multiplicité est une comlji- 
naison linéaire de ceux définis par les équations (28). En d'autres 
termes, pour chaque valeur de a, les équations (2.3) définissent une 
direction dans l'espace E^^(^_^, représentante, (^), .r2(/), ..., X^(/), L. 
La variété linéaire la moins étendue contenant toutes les directions 
ainsi définies est la variété linéaire tangente à la variété S de l'espace 
E2/ja^+i qui cori^spond à la multiplicité d\^ de l'espace E^fo+i ; si, se 
déplaçant sur 2 d'une manière quelconque^ on revient au point de 
départ, on j revient tangentiellement à la variété considérée. 

La généralité de la variété 2, ou de la multiplicité correspon- 
dante M, est ainsi bien définie. 

On peut obtenir un résultat plus précis si l'équation (22) peut être 
résolue par rapport à une dérivée fonctionnelle, par exemple Xy,. 
Dans ce cas, on est dans un cas généralisant celui étudié au Chapitre IV 
dont les résultats, même siyo>2, s'appliquent sans difficulté; les 
éléments de chaque multiplicité OÏL dépendent de la fonction arbi- 
traire Xp{t). Dans le cas général, on peut évidemment dire qu'ils dè- 
[)endent d'une fonction arbitraire de a, mais c'est moins précis et ne 
renseigne pas sur le fait de savoir si une des fonctions coordonnées 
Xi(t) peut être choisie arbitrairement et détermine bien un élément; 
cela dépendra évidemment de l'intervalle de variation de a et aucune 
règle générale n'est possible (comparez aux considérations du Cha- 
pitre VII de la première Partie). 

(') Nous dirons de même qu'un système d'équations est résoluble analytiquement, 
(|ue certaines fonctions peuvent s'éliminer analytiquement. Cela indiquera qu'il 
s'agit d'opérations delà théorie des fonctions, et qu'il n'y a à effectuer aucune déri- 
vation fonctionnelle. 



CHAP. VI. — TYPES DIVERS d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. iSj 

Les multiplicités DXi une fois obtenues permettent l'intégration de 
l'équation étudiée dans les mêmes conditions que pour les autres 
types d'équations du premier ordre étudiées jusqu'ici. 

81. Plaçons-nous maintenant dans le cas où l'équation (24) ne ré- 
sulte pas analjtiquement de l'équation (22), En considérant X,, 
\o, ..., K^ comme/? fonctions nouvelles, et non comme des dérivées 
fonctionnelles d'une même fonctionnelle U, elle impose aux quantités 
T^^ Xo-, .••! ^pi U des restrictions qui ne résultaient pas de l'équa- 
lion (22). 

En recommençant l'opération qui a conduit à cette opération, on 
peut obtenir une infinité de conditions nouvelles. 

Elles sont en général incompatibles. Cette circonstance se produit 
en général dés que l'on a écrit l'équation (24), qui contient deux pa- 
ramètres arbitraires y^ et ao, et qui suffirait pour déterminer une 
fonction de deux variables; il n'est donc pas possible en général de 
déterminer U et les fonctions X^(/), X2(^), ..., ^p{i) d'une seule 
variable de manière à la vérifier. 

Dans le cas où elles sont compatibles, il peut arriver qu'elles per- 
mettent l'élimination des y^i{t) déterminant ainsi complètement U. 

En dehors de ces cas, on arrive à un certain moment à un système 
complet, c'est-à-dire un certain système d'équations compatibles, ne 
permettant pas l'élimination des Xi(^), et telles que les conditions 
d'intégrabilité obtenues en les rapprochant deux à deux n'impose 
aucune restriction nouvelle. On peut raisonner sur ce système comme 
sur l'équation (22) elle-même dans le cas du numéro précédent. Son 
intégration se ramène à la détermination des multiplicités caractéris- 
tiques Dli. Seulement elles sont plus étendues que dans le cas précé- 
dent. La variété linéaire tangente en chaque point à une de ces mul- 
tiplicités est la plus petite variété linéaire comprenant, non seulement 
les directions définies par les équations (aS), mais celles définies par 
les caractéristiques des équations (24) et des autres équations obte- 
nues successivement. 

82. Ce qui précède montre la possibilité de généraliser la méthode 
de Cauchy. Il est facile de voir comment se présente celle de Jacobi 
et Mayer. 

Plaçons-nous dans le cas où le système, rendu complet, peut se 



258 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE. 

mettre sous la forme 

/ *, I \xi, 372, . .., xp-, Xi, Xo X^l V, y.i]\ = o, 

(25) ; , 

f *7l i^U ^2, •.., ^p', Xi, X2, .. ., X^, I U, ay] I = G, 

et supposons-le résoluble analjtiqiiement par rapport à X, ,X2, ..-, 
X^, de sorte que sa solution générale dépend d'une fonctionnelle 
arbitraire de ^^4.», ..., Xp. 

Le principe de la méthode de Jacobi et Mayer consistera à adjoindre 
à ce système une équation de même forme 

(26) <I)^4-l| [^1, ^2, .• -, '^p', Xl, X2, . .., X;;l lï, a^-^-l] I - O, 

constituant avec les précédentes un système complet, et résoluble 
analytiquement par rapport à X,, X2, ..., \y+i. La répétition du 
même procédé conduira à un système complet donnant toutes les 
dérivées fonctionnelles en fonction dext^ Xo^ •••, Xp et L, c'est-à-dire 
à une intégration aux dérivées fonctionnelles ordinaires, dont l'inté- 
gration se ramène à celle d'une équation différentielle. 

La détermination de la fonctionnelle <I^/+t dépend du système 
linéaire 

[a>,, <Ivm1 = ['1*2, <iv+i] =...== [<!>,/, <ÏV^i] = o. 

L'intégration complète de ce système est aussi difficile que celle du 
proposé, puisqu'elle admet les mêmes caractéristiques. Mais il suffit 
d'en trouver une solution dépendant d'un paramètre; bien entendu 
ce paramètre a^_,_, ne doit pas être une constante additive, puisque 
toutes les équations obtenues en le faisant varier doivent être vérifiées 
simultanément, et il faut ajouter une foi^ction arbitraire de a^^, pour 
obtenir l'intégrale complète du système proposé. De plus, il faut que 
ce paramètre varie dans des limites suffisantes pour permettre la réso- 
lution par rapport à X^^, . 

Ce résultat obtenu, un nombre fini p— q d'opérations analogues, 
dépendant de systèmes d'équations aux dérivées fonctionnelles ordi- 
naires contenant chaque fois deux fonctions inconnues de moins, 
conduit à l'intégrale complète du système proposé. La méthode de 
Jacobi et Mayer se généralise donc plus aisément dans le cas consi- 
déré ici que dans celui considéré n° 78. 

83. Généralisation. — Il ressort des considérations qui précèdent 
que toutes les théories relatives aux écjualions partielles du premier 



CHAP. VI. — TYPES DIVERS d'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES. "2 59 

ordre s'étendent sans peine au domaine fonclionnel. On peut ais<;- 
ment étendre ces résultats à des cas plus généraux encore en consi- 
dérant une fonctionnelle U dépendant de po paramètres, pi fonctions 
d'une variable, ..., p,,,, fonctions de m variables; en employant le lan- 
gaoe des nombres transfinis, U serait une fonction de 

variables. 

On peut supposer cette fonctionnelle assujettie à vérifier un sys- 
tème comprenant cjo équations aux dérivées fonctionnelles partielles 
du premier ordre ne contenant aucun paramètre, ^, équations conte- 
nant un paramètre, ..., Çn équations contenant n paramètres, c'est- 
à-dire un système de ^o+ ^i ^^ + ••• + ^« ^'^ équations. 

Pour l'étude d'un pareil système, il y a lieu d'abord de former les 
conditions d'intégrabilité, en les rapprochant deux à deux et efl'ec- 
tuant l'opération de Jacobi. Si elles ne sont pas identiquement véri- 
fiées, et ne résultent pas analytiquement des équations initiales, on 
recommence la même opération, en tenant compte des nouvelles 
équations, et ainsi de suite. Il peut y avoir lieu de recommencer celîe 
opération une infinité de fois (ce sera le cas général si n = o). 

On peut arriver ainsi à des équations incompatibles, ou bien à des 
équations permettant l'élimination, au point de vue analytique, des 
dérivées fonctionnelles, ce qui détermine U. En dehors de ces cas, 
on arrive à un certain système complet, formé d'équations compa- 
tibles, et telles que la condition d'intégrabilité ne donne aucune res- 
triction nouvelle. Deux circonstances peuvent se présenter : 

Ou bien ce système est analytiquement résoluble par rapport 
à l'ensemble des dérivées fonctionnelles. Il équivaut alors à une 
éxjuation aux dérivées fonctionnelles ordinaires, qui se réduit à une 
équation différentielle si l'on fait varier les diverses fonctions (b)nl 
dépend U suivant une loi déterminée; 

Ou bien certaines dérivées fonctionnelles restent indéterminées. 
L'intégration du système se ramène alors par la méthode de Gauchy 
à Fintégration des équations des caractéristiques, c'ëst-à-dire à un 
système d'équations aux dérivées fonctionnelles, qui est réductible à 
un système d'équations différentielles ou intégro-dittérentielles. 

De toute façon on est ramené à un problème d'analyse ordinaire, 
résultat qui ne s'étend pas aux équations d'ordres supérieurs au 
premier. 



TROISIEME PARTIE. 

LA NOTION DE MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL 
ET L'ÉQUATION DE LAPLACE GÉNÉRALISÉE. 



CHAPITRE L 

LA SPHÈRE DANS L'ESPACE A n DIMENSIONS. 



SOxMMAiRE : Remarques générales. — I. Le volume et la surface de la 
sphère : Calcul d'une intégrale définie. — Ordre de grandeur de I«. — Le 
volume de la sphère dans l'espace E,^. — La concentration près de la sur- 
face. — La concentration près de lequateur. — Volume commun à un 
nombre fini de zones. — La surface de la sphère. — II. Un problème de 
calcul des variations : Énoncé du problème. — Un problème de géo- 
métrie plane. — Un problème de géométrie sphérique. — Généralisation. 

1. Remarques générales. — Dans l'espace ordinaire, la ihéoiie 
des équations aux dérivées partielles du second ordre n'apparaît pas 
du tout comme une simple extension des méthodes qui ont servi 
pour les équations du premier ordre, mais nécessite au contraire 
l'intervention de méthodes essentiellement nouvelles, correspondant 
à des problèmes aux limites nouveaux. Cela est en évidence surtout 
dans les équations du type elliptique, dont la plus simple est l'équa- 
tion (le Laplace. 

La théorie de cette équation repose sur la formule de Green, 
c'est-à-dire sur l'emploi d'une notion^ celle d'intégrale de volume, 
qui n'intervenait pas dans la théorie des équations du premier ordre. 
Elle joue au contraire un rôle fondamental lorsqu'on s'occupe d'équa- 
tions du second ordre. 



262 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

Si l'on cherche à étendre celte notion à l'espace fonctionnel, on 
constate d'abord que l'extension de la notion d'intégration n'est pas 
possible, la plupart des volumes étant nuls ou infinis. Mais on peut 
remplacer cette notion par celle de valeur moyenne^ qui s'applique 
même dans ces volumes, et rend les mêmes services. Il est alors 
curieux de constater que cette notion, pour une raison qui sera mise 
en évidence dès le Chapitre suivant, se présente sous un aspect 
nouveau, plus simple que celui qu'elle présente dans l'espace à un 
nombre fini de dimensions. C'est k l'étude de cette notion que vont 
être consacrés plusieurs Chapitres. Nous étudierons ensuite l'équa- 
tion de Laplace généralisée et quelques équations qui s'y rattachent, 
comme types d'équations du second ordre. 

Pour éviter de rendre cet exposé trop abstrait, nous insisterons 
])articulièrement sur la notion de valeur moyenne dans le cas de 
la sphère, où certains énoncés peuvent admettre plus de précision 
que dans le cas général. Certaines remarques sur la sphère dans 
l'espace E,j à n dimensions seront utiles comme introduction à cette 
étude. Rappelons que, comme nous l'avons vu à propos de la notion 
de distance, la sphère de rayon R de l'espace fonctionnel est la limite, 
non de la sphère de rayon R dans l'espace E;^, mais de la sphère de 
rayon J\\/ n. 

I. — LE VOLUME ET LA SURFACE DE LA SPHÈRE. 

2. Calcul d'une intégrale définie. — Le volume de la sphère se 
déduit aisément de la valeur de l'intégrale définie 



cos"0flf6. 

'0 



Par une intégration par parties, on a, si /i > i 



d'où 



J„= [sin6cos«-iOJ^' +(/i — i) f cos«-2 0sin20rfô 

— {n — l){\n^2—hi), 



(■>.) '«-V" 



CHAP. I. — LA SPHÈRE DANS l'eSPACE A TX DIMENSIONS, 263 

Celle formule de réeurrence^ et le calcvil direcl de lo et I<, 
donnent les formules classiques 

( __ T. 1.3. 5. ..(9./? — I) 

\ -^' ~ 1 2.4.6...(2y?j 

( 3 j { 

I r _ 2 . 4 . 6 . . . ( a /? ) 

( *^^-^- 3. 5. 7. ..(./> + !)• 

L'introduction des fonctions eulériennes permet de réunir ces for- 
mules en une formule unique, valable même si n n'est pas entier. 
Nous n'aurons pas besoin de celte formule. Remarquons seulement 
que, d'après celles que nous venons d'écrire, on a 

r r ' "" 






et par suite, 7i étant un entier positif quelconque. 



(4) '"•«-=^ 



3. Ordre de grandeur de T„. — De la formule dé définition (i) 
résulte évidemment que \,i décroît quand n augmente. On a donc 

et I„, équivalent à T^^^ pour n infini, d'après la formule (2), est 
aussi équivalent à 1//+,. D'après la formule (4), on a donc 

11 est évidenl que les dilférentes parties de l'intervalle d'intégra- 
tion de o à -^ ne contribuent pas également, si n est grand, à la 
valeur de \,i. a étant un angle compris entre o et -7 on a évidem- 



ment 



/ -cos"ô dx ci '• a ) cos"a. 



Cette int(;grale, si ji est grand, est donc infiniment petite par rap- 



264 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

]3ort à I;j, de sorte que, quelque petit que soit a, l'intégrale de o 
à a est équivalente à 1,^. 

Pour avoir une fraction finie de 1,^, il faut intégrer entre zéro et 
une limite supérieure tendant vers zéro avec /^. Calculons 

g 



P Jn \ r oc 



X 



Or, entre o et a, cos^' — r tend uniformément, pour n infini, 

y 11 

vers e ^ , L'intégrale considérée est donc équivalente à 

/a _-:>^ 
e ^ dx. 

On voit donc qu'elle représente bien une partie finie de !„, fraction 
aussi voisine de l'unité que Ton veut si l'on a pris a assez grand. 

4. Le volume de la sphère dans l'espace E/^. ^ Ce \olumc est 
évidemment de la forme 

R étant le rayon de la sphère, et K„ le volume de la sphère de 
rayon i. Pour calculer ce volume, décomposons-le en tranches par 
des plans parallèles; la distance d'un de ces plans au centre étant sinÔ, 
la mesure de la section de la sphère par ce plan est K,^., cos"~' B, de 
sorte que 



ZE 

2 

ces" 6 û?6 = 2l„K„_i 



et par suite 

ou, en tenant compte de la formule (4), 
(6) K„=^K„_,. 

De cette formule de récurrence et des valeurs connues de K2 et K3, 
on déduit 



K2» = 



tJ' 



^P ~ r^\ 



(7) { " 

^^'^'^' - I.3.5...(2/? + U 



CIIAP. I. — LA SPHÈRE DANS l'eSPACE A 71 DIMENSIONS. ' 265 

On voit donc que le volume de la splière de rayon R dans 
l'espace \l,i tend vers zéro pour n infini^ et que le volume de la sphère 
de ravon R.\//i est équivalent, d'après la formule de Stirling (M, à 

n 

Il devient donc nul ou infini suivant que R est inférieur ou égal 

I • / • , 1 

a ^ ou au contraire supérieur a cette valeur. 

5. La concentration près de la surface. — Considérons dans 
l'espace E/^ deux sphères concentriques de rajon R et R(i— ^a), 
a étant compris entre o et i. Leurs volumes sont dans le rapport des 

nombres 

I, (i-a)". 

Donc, quelque petit que soit a, le second est, pour ji infini, infini- 
ment petit comparé au premier; autrement dit, la région comprise 
entre les deux sphères concentriques a un volume équivalent à celui 
de la plus grande sphère. On peut exprimer ce fait en disant que, 
pour 11 très grand, le volume de la sphère se concentre près de sa 
surface. 

Si l'on veut que la région comprise entre les deux sphères soit 
une fraction finie du volume total, il faut donc que la différence des 
deux rayons soit^ non une fraction finie de R, mais une quantité 

infiniment petite. En prenant comme rayons R et R(i — -j , les 

volumes des deux sphères sont entre eux comme les nombres 



■ ('-y- 



(') On déduit en général cette formule de la théorie des fonctions eulériennes. Il 
nous paraît plus simple d'observer que la fonction 

a une limite, puisque logF(/iH-i) — logF(/î), équivalent pour n infini à r,^ 

est le terme général d'une série convergente. Cette limite se déduit alors immédia- 
tement des formules (3) et (5) ou, ce qui revient au même, de la formule Wallis. 



266 TROISIÈME PARTIE. -- MOYENNE DANS LE DOIIALNE FONCTIONNEL. 

et à la limile, comme les nombres 

I, e~^. 

La sphère intérieure comprend cette fois une fraction finie du 
volume total, mais on peut rendre cette fraction aussi petite que l'on 
veut en prenant a assez grand. Cela montre bien suivant quelle loi 
le volume de la sphère se concentre près de la surface. 

6. La concentration près de l'équateur. — Considérons mainte- 
nant dans l'espace E^^ la portion de la sphère de rajoii R compris 
entre les plans 

5 = R sin8,, ^ = R sinÔa, 

z étant la distance à un plan passant par le centre de la sphère. Le 
volume total et la portion considérée, d'après le procédé qui a été 
employé n** 4 pour évaluer le volume de la sphère, sont entre eux 
comme les intégrales 



/cos"0<:/0, / cos" 

71 J^. 



0^/0. 



Si B, <^ o << ^2 5 quelque petites que soient les valeurs absolues de ces 
nombres, ces deux intégrales sont équivalentes pour n infini (n** 3), 
de sorte que tout le volume de la sphère se concentre pour n très 
grand dans une zone aussi mince que l'on veut, limitée par deux 
plans parallèles situés de part et d'autre du centre. 

Si nous voulons que la zone considérée comprenne, lorsque n 
devient infini, une fraction restant finie du volume de la sphère, il 
faut que 9, et 82 tendent vers zéro. En prenant comme plans limites 

^ = Rsin4:k. 2=:Rsin-^, 

OU, ce qui revient au même, 

(8) z^^^, ^=^. 

s/ Il sj II 

on obtient un volume, dont le rapport au volume total tend, d'après 



ClIAP. I. — LV SPHÈRE DAXS LESPACE A II DIMENSIONS. 267 

le n^ 3, vers 

(9) -p=^ / ^' '^ dx. 

Celte fraclion est aussi voisine que l'on veut de l'unité, pourvu 
que Ç, et Co soient l'un négatif, l'autre positif, et tous deux suffisaui- 
nient grands en valeur absolue. 

Si, au lieu de la sphère de rajon R, on considère la sphère de 
rayon Ry//, qui nous donnera à la limite une sphère de rayon R 
dans l'espace fonctionnel, on obtient évidemment le même résultant 
en considérant la zone d'épaisseur finie limitée par les plans 

7. Volume commun à un nombre fini de zones. — Considérons 
d'abord le cas d'un nombre fini p de zones, dont chacune est limitée 
par des plans parallèles situés de part et d'autre du centre à des dis-- 
tances de ce point égales à des fractions finies du rayon. En retran- 
chant d'abord du volume de la sphère la région extérieure à la pre- 
mière zone, on ne retranche qu'une fraction infiniment petite du 
volume total; il en est de même quand on retranche successivement 
les régions extérieures aux autres zones. Donc le volume commun 
aux p zones considérées est, pour n infini, équivalent au volume 
total. 

Il en est de même si l'on retranche en outre le volume- intérieur à 
une splière dont le rayon représente une fraction finie du rayon de 
la sphère étudiée. 

On peut donc dire que le volume de la sphère se concentre tout 
entier, pour n infini, dans le voisinage de la zone comprenant les 
points communs à la surface et à p plans passant par le centre. 

Considérons maintenant des zones d'épaisseurs infiniment petites 
par rapport aux rayons. Pour fixer les idées, nous prendrons la 
sphère de rayon infini Ry//i et les zones d'épaisseur finie 

(10) R~^;<-s,<Rr; (/^f,^, ...,p). 

Nous allons montrer que la fraction du volume de la sphère 
comprise dans la- région commune à ces zones, autrement dit la 
probalillité pour qu'un point intérieur à la sphère soit dans cette 



268 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

région, a la valeur 



(II) 



(2^)!"'" 






Cette formule exprime que les variables z ont des lois de probabilités 
indépendantes. Pour la démontrer, il suffît de montrer que les condi- 
tions 

{\l) Zi^V^\i, (1 = 1,9.,...,/)—}) 

sont sans influence sur la loi de probabilité de z-p. En effet, ces 
équations, écrites dans l'espace à 7i dimensions, représentent un plan 
à 71 — /> H- I dimensions, à une distance déterminée r := IcK du 
centre de la sphère, égale, si les plans Zi= const. sont perpendicu- 
laires deux à deux, à 



r = R v/Çf + ç|; 4-. . . + ç^; = ar. 

La section de ce plan par la sphère du rayon R\//i est une sphère de 
l'espace à n — /? -h i dimensions et de rayon K\/n — A^ équivalent 
à Ry/n — p-\-i. Le nombre /z, et par suite n — p-\-i, devenant 
infini, la loi de probabilité pour la coordonnée Zp=Kqp est bien 
celle qui résulte de la formule (9). Elle est donc bien indépendante 
des conditions (12). 

8. La surface de la sphère. — Dans l'espace E,;, le volume de la 
sphère étant K,iR'', sa surface est évidemment 

^(K„R«) 



^R 



= ;?K„R«- 



La surface de la sphère de rayon R tend donc vers zéro pour n infini, 
tandis que celle de la sphère de rayon R\//i devient nulle ou infinie 

en même temps que le volume, sauf dans le cas limite où R = • 

\/'nze 

Dans ce cas, d'après le n" 4, le volume de la sphère est équivalent 

à , y de sorte que sa surface est équivalente à 1 / — • 

On peut évaluer directement la surface de la sphère en partant de 
la surface d'une zone. Le calcul est analogue à celui du n" 4, mais le 
rôle joué par l'intégrale I,^ est joué ici par l'intégrale I«_,. Il résulte 



CHAP. I. — LA SPHÈRE DANS l'eSPACE A 11 DIMENSIONS. 269 

immédiatement de cette circonstance que la théorie de la concen- 
tration près de l'équateur, développée pour le volume de la sphère, 
s'applique sans modification pour la surface ( ^ ). 

Il y a lieu de remarquer d'ailleurs que, étant établie pour le 
volume, la théorie en question est sûrement vraie pour la surface. 
En effet, ayant démontré que le volume de la sphère, si n est très 
grand, peut être confondu avec une erreur très petite avec celui 
d'une couronne sphérique très mince, cela revient au même de dire 
que le volume de la sphère est presque tout entier dans le volume 
commun à un nombre fini de zones très minces, ou d'énoncer le 
même résultat relatif à une couronne sphérique voisine de la surface, 
ou encore à la surface elle-même. 



IL - UN PROBLÈME DE CALCUL DES VARIATIONS. 

9. Énoncé du problème. — Au lieu de la section par un plan dia- 
métral de la sphère de rayon R dans l'espace à n dimensions, consi- 
dérons maintenant une variété C quelconque k Ji — 2 dimensions, 
divisant la sphère en deux parties ayant même surface, et considé- 
rons la portion A de la surface formée de points situés à une distance 
de la variété G au plus égale à RQ (la distance de deux points de la 
sphère étant comptée sur le grand cercle passant par ces points). 
Nous montrerons que la surface de la région A^ pour des valeurs 
données de /î, R et 0, est minima lorsque la variété G se réduit à 
la section de la sphère par un plan contenant le centre. Il en résul- 
tera que ce qui a été dit sur la concentration près de l'équateur est 
vrai a fortiori pour la concentration près de la variété G. La région 
de la sphère extérieure à SI représente une fraction de la surface 
totale à laquelle on peut assigner une limite supérieure, fonction 
de 8 et n seulement, et tendant vers zéro lorsque n devient infini, 
9 restant fixe. 

Le problème de calcul de variations d'où résultent ces consé- 
quences est une généralisation du problème classique consistant à 
déterminer la surface d'aire minima limitant un volume donné. Nous 
allons commencer par quelques cas simples. 



(^) Voir sur ce sujet E. Uokel, Introduction géométrique à quelques théories 
physiques. 



I-O TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

10. Un problème de géométrie plane. — Considérons une courbe 
plane fermée sans point double G. Appelons / sa longueur, S l'aire 
intérieure à C, et S l'aire de la région lieu des points intérieurs à G 
et dont la distance à cette courbe ne dépasse pas une longueur 
donnée a. Gherchons pour quelle courbe S est minimum si a et S 
sont donnés (S étant supérieur à Tra-). 

Observons d'abord que la courbe G qui réalise le minimum ne 
peut avoir nulle part son rayon de courbure inférieur à ^ ('). Si en 
etfet le rayon de courbure est quelque part inférieur à a, la région YJ 
comprenant les points de S n'appartenant pas à S est limitée, non par 
la courbe G' parallèle à G à la distance a, mais par une portion seu- 
lement de cette courbe, dont certains arcs sont intérieurs k S. A ces 
arcs correspondent des arcs de G situés à une distance de ^' supé- 
rieure à a. Appelons alors S, Faire de la région comprenant S' et les 
points situés à une distance de S' au plus égale à a. Gette région est 
limitée par des arcs de G et des arcs de cercles de rayon a ayant 
pour centre les points doubles de G^, tels que l'arc MN, de centre A, 
de la figure ci-dessous {fig. 2). En remplaçant S par S,, on diminue 




les aires S et S sans changer leur différence!, qui est Faire de S'. 
Remplaçant alors la figure par une figure semblable et plus grande, 
on peut remplacer S, par une aire égale à S, en remplaçant X' par une 
aire 'plus grande et par suite S = S — S' ])ar une aire plus j)etite. 

(1) Nous supposons l'existence du rayon de courbure. On sait que les difticullcs 
augmentent beaucoup, dès le cas du plan, si l'on veut une démonstration tout à 
fait générale, et Textension au cas de la sphère de l'espace E„ de cette démonstra- 
tion nécessiterait des développements beaucoup plus étendus que ceux qui suivent. 



CHAP. I. — LA SPHERE DANS L ESPACE A n DIMENSIONS. 27 1 

La courbe considérée ne réalise pas le minimum. Celle qui réalise le 
minimum de S a donc son rayon de courbure toujours au moins 
égal à a. 

Pour cette courbe. Faire 1' peut alors être considérée comme 
balayée par un segment de longueur a normal à C. Lorsque Fextré- 
mité de segment décrit un arc ds de G, ce segment décrit une aire 

(i3) a ds —A ds, 

k étant la courbure, comptée positivement vers l'intérieur. Observant 
que k ds est l'angle de contingence de la courbe C, dont l'intégrale 



(i4) S = a/ — Tra^ 

2C est donc minimum en même temps que /, c'est-à-dire lorsque G est 
une circonférence. 



11. Un problème de géométrie sphérique. — On peut se poser 
un problème analogue au précédent sur la surface d'une sphère de 
rayon i dans l'espace à trois dimensions. Parmi les courbes G tracées 
sur cette sphère et entourant une aire ayant une valeur donnée S, 
quelle est celle qui rend minima l'aire S de la région SI lieu des 
points de l'aire S dont la distance à G (comptée sur la sphère) ne 
dépasse pas une longueur donnée a. 

Le principe du raisonnement précédent s'applique sans modifica- 
tion. L'expression de Taire élémentaire (i3) doit seulement être 
remplacée par 

(i5) dssvna — (i — cos a) k ds, 

k désignant la courbure géodésique de la courbe G, dont l'inté- 
grale sur la courbe G a la valeur 



(d'après une formule que l'on démontre aisément en remplaçant la 
courbe G par un polygone sphérique de côtés très petits, en décom- 
posant ce polygone en triangle et en appliquant à chaque triangle le 
théorème de V excès sphérique). 

En intégrant l'expression (i5), il vient alors, pour l'aire de la 



272 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

région c^, 

{\6) L=lsma — (i — cosa)(2'n: — S), 

ce qui montre que, S et a étant donnés, S est minimum en même 
temps que /, c'est-à-dire lorsque C est une circonférence. 

Si en particulier S = 27r, c'est-à-dire si C est une courbe divisant 
la sphère en deux aires égales, le minimum de S est réalisé si G est 
un grand cercle. Ce cercle réalise le minimum des aires comprises 
entre C et les courbes parallèles tracées à une distance a d^iifi côté 
ou de Vautre de G, et par suite le minimum de la somme de ces 
deux aires, c'est-à-dire de l'aire balayée par des cercles de rayon 
sphérique a dont les centres décrivent la courbe G. 

12. Généralisation. — Les résultats précédents s'étendent à 
l'espace à n — i dimensions et à la sphère de l'espace à n dimensions. 
Mais leur démonstration, par une méthode analogue à la précédente, 
présente une difficulté provenant de ce que les formules (i4) doivent 
être remplacées par des formules de degrés plus élevés en a dont les 
coefficients ne s'expriment pas en fonction de / et S seulement. 

11 vaut mieux raisonner comme suit : 

Soit, sur la surface de la sphère de rayon R dans l'espace à 
/i dimensions, une variété G à n — 2 dimensions, de mesure J., 
limitant une aire sphérique S. Si S est donné, on sait que L atteint 
son minimum / lorsque G se réduit à une section plane G' et dans ce 
cas seulement. 

Soient Sia le lieu des points de l'aire S limitée par une variété non 
plane G et situés à une distance sphérique de G ne dépassant pas une 
valeur donnée a = OR, et c'îl',, l'aire analogue définie en partant de G'. 
Appelons S^ et Xi les aires de c'R^ et c!R.J,, et L^ et L[^ les mesures des 
variétés parallèles à G et G' limitant ces aires. On a évidemment 

= K, 
el par suite, pour a positif très petit, 

('7) .^a>K- 

Je dis que cette inégalité reste vérifiée pour toutes les valeurs de <7, 



da - ^- 


dK 


da 


So=S'o =0, 


Lo 



CIIAP. I. — LV SPHERE DANS L ESPACE A II DIMENSIONS. 273 

jusqu'à ce que -,, s'annule. Pour cela, nous allons voir que l'hypo- 
thèse qu'elle cesse d'être vériliée pour a = 6 conduit à nne conlra- 
diction. 

Le premier membre de (17), d'abord supérieur au second, lui 
devenant égal, on aurait 

(Ib - db ' 
c'e;st-à-dire 

(18) U<Mr 

Or ces variétés limitent des aires égales entre elles, de valeur 

S - v^=. S — Z^. 

Nous savons que dans ces conditions leur mesure ne peut atteindre 
son minimum que si elles sont planes, ce qui est le cas pour L'^ et 
non pour L^. L'inégalité (18) n'est donc pas possible, et par suite 
l'inégalité (r-) est vériliée pour toutes les valeurs de a ou, ce qui 
revient au même, de 8. 

On en déduit, comme au n° 11, que de toutes les variétés G qui 
divisent la sphère en deux aires égales, celle qui rend minima l'aire X 
de la région tK. balayée par une calotte sphérique de demi-angle au 
sommet 0, dont le centre décrit G, est une section plane passant par 
le centre. 

Si l'angle 9 reste fini, le nombre de dimensions n devenant infini, 
le minimum en question de ï, et par suite la valeur de S pour une 
variété quelconque divisant la sphère en deux aires égales, repré- 
sente (d'après le n" 6) une fraction de la surface totale de la sphère 
qui tend vers l'unité. En d'autres termes, la portion de l'aire sphé- 
rique n'appartenant pas à la région SV représente une fraction infini- 
ment petite de l'aire totale. 



CHAPITRE ïï. 

LA NOTION DE VALEUR MOYENNE DANS L'ESPACE FONCTIONNEL. 



Sommaire : ReiDarquos gcnrrales. — La nolion de valeur moyenne. — lùioncé 
d'un théorème généraL — Exemples de valeurs moyennes à l'inlérieur d'une 
sphère. — Démonstration du ihéorème général dans le cas d'une fonction- 
nelle uniformément continue à l'intérieur d'une sphère. — Les formules de 
Gâteaux pour la sphère. — Postulat de Pexistence de la moyenne. — 
Remarques. — Application aux fonctionnelles du second degré. — La notion 
de courbure moyenne.— Surfaces minima. — Exemples de valeurs moyennes 
dans des volumes autres que la sphère. 

13. Remarques générales. — Les notions d'intégrale et de valeur 
moyenne n'ayant a priori aiicun sens dans l'espace fonctionnel, nous 
devons, pour leur en attribuer un, appliquer le procédé du passage 
du fini à l'infini dont nous avons fait déjà un fréquent usage dans la 
première partie de notre étude. 

.Une fonction déterminée x{t)^ définie entre o et i, peut èlrë 
approchée en moyenne autant qu'on veut par ce que nous appelle- 
rons, avec R. Gâteaux, une fonction simple d'ordre /?, c'est-à-dire 
une fonction ayant une valeur constante dans cliacun des intervalles 

o,r), (1,1), ..., ('iszi,, 

Il ) \/i II j \ '^ 

])Ourvu que l'on prenne n assez grand. Nous appellerons ^<, j^o, . . ., 
Xn les valeurs respectivement prises par une fonction simple d'ordre n 
dans CCS n intervalles. Une telle fonction est représentée par le point 
de coordonnées :r,, x^^ . . ., Xn dans l'espace E;^ à n dimensions. 

Soit maintenant un volume V de l'espace fonctionnel; pour fixer 
les idées, nous prendrons le volume intérieur à la splière 



(0 



j'^,nat^^ 



CIIAP. H. — VALEUR MOYENNE DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. 2-5 

Les fondions simples d'ordre ii appartenant à ce domaine consti- 
tnent dans l'espace E„ un volume Y,i que nous appellerons la 
jf^n;ne g^cUofi du volume V. Dans l'exemple choisi, V;^ est le volume 
de la sphère 

(a) û^l -h xl -{- . . .-i- xl = nii-. 

Si l'on veut mesurer le volume V, sa mesure doit être délinie 
comme la limite de celle de V^^ pour n infini. Dans l'exemple choisi, 
en vertu des résultats du n" 4, cette limite est nulle ou infinie suivant 
la valeur de R. 

Cette circonstance est très générale. La mesu/e cV an volume de 
V espace fonctionnel sera presque toujours nulle ou infinie. 

Considérons, pour préciser cet énoncé, deux volumes homothé- 
tiques par rapport à Torigine dans le rapport />: ^> i , c'est-à-dire tels 
qu'on passe d'une fonction quelconque x{l) du premier volume à 
une fonction quelconque X(^) du second par la transformation 

X(0 = kx(J). 

Leurs n^^^^^ sections sont des volumes homolhétiques dans l'es- 
pace E// ; le rapport d'iiomothétie étant A, le rapport des volumes 
est A'* et devient infini avec n. Il en résulte que, parmi tous les 
volumes de l'espace fonctionnel homothétiques d'un volume donné 
par rapport à l'origine, il en existe au plus un dont la mesure ne soit 
ni nulle, ni infinie. Encore ce volume peut-il ne pas exister, comme 
nous l'avons vu p.ar l'exemple de la sphère. 

14. La notion de valeur moyenne. — D'après ce qui précède, 
l'extension des notions de volume ou d'intégrale de volume dans 
l'espace fonctionnel présente une difficulté fondamentale. JNous 
reviendrons plus loin sur ces notions. Il est souvent avantageux de 
leur substituer la notion de valeur moyenne, qui conserve un sens 
bien défini. 

Considérons une fonctionnelle définie et continue dans le volume \ . 
Elle sera évidemment définie et continue dans V„ et y admeltra une 
valeur moyenne ul„. Pour n infini, cette valeur peut tendre vers une 
limite, qui sera alors par définition la valeur moyenne de la fonc- 
tionnelle considérée dans V. 

Considérons, par exemple, une fonctionnelle de la forme '^{r). 



2; 6 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL, 

/' désignant la distance à Forlgine définie par la formule 



C xH,t)dt 



et 'f(j') une fonction continue, et cherchons sa valeur moyenne à 
l'intérieur de la sphère (i). 
Dans \,i, on a évidemment 

/ cp(/-)r«-i c^r 



f 



II 



la couronne sphérique dans laquelle la distance au centre varie de r 
à /• -j- d/' ayant un volume proportionnel à /"' ' dr. Pour 7i infini, la 
couronne extérieure l'emporte sur les autres, qui deviennent négli- 
geables vis-à-vis d'elle, et l'on a comme limite de [in la valeur C2(R). 
Ainsi la moyenne de la fonctionnelle ©(/) n'apparaît pas comme 
une véritable moyenne entre différentes valeurs ayant chacune un 
poids appréciable. Une seule valeur l'emporte sur toutes les autres, 
et, quelque petit que soit s, le volume dans lequel o{r) diffère de 
cette valeur de plus de z a une mesure nulle par rapport à celle du 
reste du volume V. 11 n'y a pas lieu, dans le calcul de la moyenne, 
de tenir compte des valeurs de ^(/') dans ce volume, de même que 
dans le calcul d'une intégrale (simple ou double), au sens de M. Le- 
besgue, il n'y a pas lieu de tenir compte des valeurs de la fonction 
intégrée pour les points d'un ensemble de mesure (linéaire ou super- 
ficielle) nulle. 



lo. Énoncé d'un théorème général. — Luc généralisation évidente 
de ce qui précède nous montre que, pour calculer la valeur moyenne? 
d'une fonctionnelle continue à Tinté rieur de la sphère (i), il suffit 
de connaître sa valeur à la surface de cette sphère. I\[ais on peut 
obtenir un résultat bien plus général. 

Soit à chercher la moyenne d'une fonctionnelle continue U dans 
un volume V. Dans la /i''™*' section de ce volume, U est continue; 
les points de ce volume V;^ pour lesquels V est compris entre a 
et a + da forment un volume dont une seule dimension est infi- 
niment petite, de sorte qu'il est naturel de désigner sa mesure 



CHAP. II. — VALEUR MOYENNE DANS L ESPACE FONCTIONNEL. 277 

par fil \a) da. Il arrivera, en général, que, pour n infini, le rap- 

port ^^ — - («0 étant une valeur particulière de a) tende vers une 

fonction déterminée g'{ci). Si cette fonction admet un maximum 
atteint pour une seule valeur b de a, le volume dans lequel U est 
compris entre b — s et^-f-s l'emporte infiniment sur le reste du 
volume V, quelque petit cjue soit z. La fonctionnelle U est donc 
presque égale à 6, sauf dans une fraction négligeable du volume, 
dont il n'y a pas lieu de tenir compte pour le calcul de la moyenne. 

On voit donc que, moyennant certaines conditions sans doute très 
peu restrictives, une fonctionnelle continue clans un volume V y r/ 
presque partout prescjue la même valeur^ les valeurs diJJ'érentcs 
de celle ainsi considérée pouvant être négligées pour le calcul 
de la moyenne. 

Nous démontrerons ce théorème d'une manière précise dans des 
cas étendus. Il nous arrivera, au lieu de « presque partout presque 
la même valeur », de dire « presque partout la même valeur ■)k II est 
J)ien entendu que l'égalité rigoureuse n'est réalisée que sur une sur- 
face qu'on ne peut considérer comme constituant presque tout le 
volume; c'est le voisinage immédiat de cette surface qui constitue 
presque tout le volume. 

16. Exemples de valeurs moyennes à l'intérieur d'une sphère. — 
Soit à chercher la moyenne, à l'intérieur de la sphère (i), d'une 
fonctionnelle de la forme 'f(U), U désignant une fonctionnelle 
linéaire. 

Supposons d'abord cette fonctionnelle continue. Elle sera, d'après 
la formule de M. Fréchet (première Partie, n*^ i3), de la forme 



U-: f f(t)x(t) 



dt. 



Si ^(^) est une fonction simple d'ordre /i, U se réduit à la forme 



avec 



'/= / .f{^)dt (f = i; 2, ..., Il); 



^78 TROISIÈME PARTIE, — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

U esl donc la distance p à un plan passant par l'origine du point 
représentatif de x{^t) dans l'espace E;^, multipliée par le facteur 



v/af -f-aH -+-... + a2 = _JL, 
s/n 

k„ tendant vers le nombre k défini par 

k^= f p{t)rït. 

La moyenne (jl^ est donc la moyenne de 'j ( ^^ ) à l'intérieur de la 

sphère (2) de rayon Ry//^, ou, ce qui revient au même, la moyenne 
de '^(pkji) à l'intérieur de la sphère de rayon R. Le 'facteur A^ étant 
fini, et/? étant inférieur en ^aleur absolue à n'importe quel nombre 
donné î, sauf dans une fraction de cette sphère négligeable si 7i est 
assez grand, on peut dire que U =: pkn est nul presque partout, et la 
valeur moyenne de 'f (L) est ^{o). Le théorème du numéro pré- 
cédent s'applique. 

Supposons, au contraire, que U ne soit pas une fonctionnelle 
continue. Prenons, par exemple, une fonctionnelle de la forme ^'(t), 
Tétant une valeur particulière de t entre o et i. Si û^{i) est une 
fonction simple d'ordre tz, U est alors la distance à un plan de 
l'espace E,/, de sorte que le facteur infiniment petit -^ qui mterve- 

nait précédemment est remplacé par i . D'après le n** 6, la probabilité 
pour que U soit compris entre RÇi et Ri27 1^ point représentatif 
de x[t) étant intérieur à la sphère de rayon Ry//i, tend pour ji infini 

vers 

de sorte que la valeur moyenne p.,i de «5(U) dans celte sphère tend, 
pour II infini, vers 



(3) 



/ 



I r ■ -- 

1T. J-^ 



La moyenne de o(U) est ici une véritable moyenne, dans le calcul 
de laquelle il y a lieu de tenir compte de toutes les valeurs de la 
fonction cp, afTectées chacune d'un {)oids convenable. Le théorème 
du II" 15 ne s'applique plus. On peut dès lors prévoir que, pour la 



CilAP. II. — VALhïlR MOYENNE DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. 279 

démoiisLralion de ce lliéorème, l'hypothèse que la fonctionnelle con- 
sidérée soit continue doit jouer un rôhi essentiel. 

17. Démonstration du théorème général dans le cas d'une fonc- 
tionnelle uniformément continue à l'intérieur d'une sphère. — Soit U 
une fonctionnelle uniformément continue à l'intérieur de la sphère (i). 
Quelque petit que soit e positif, on peut alors trouver un nombre r, 
tel que, deux points de l'espace fonctionnel intérieurs à cette sphère 
ayant une distance inférieure à Tj, les valeurs correspondantes de U 
difTèrent certainement de moins de î. 

Dans l'espace E„, U se réduit à une fonction ii,i continue sur la 
sphère (2). Considérons les points de la surface de cette sphère véri- 
fiant l'inégalité 



O" 



U 



Ils constituent une portion de la surface dont la mesure, nulle 
pour a suffisamment petit, croît et atteint ou dépasse la moitié de la 
surface totale quand a atteint ou dépasse une valeur bien déter- 
minée a„. T.a variété U = a,/ (ou si U= a„ sur une fraction finie de 
la surface totale, une variété convenable formée de points pour les- 
quels l = a„) divise la surface de la sphère en deux parties égales. 

Considérons les points de la surface de la sphère (2) distants de 

moins de r, [/ — des points de cette variété.. Ils forment une région S;^ 
qui, d'après le n" lî2, représente une fraction de la surface totale qui 
tend vers l'unité pour /i infini. Considérons ensuite les points inté- 
rieurs à la sphère, situés sur des rayons aboutissant sur S^, et à une 

distance de la surface inférieure à *^ii/-' Us forment un volume Y, t. 
présente une fraction du volume total de la sphère qui tend 

rs l'unité pour n infini. 

Or un point M de ce volume est évidemment distant de moins 
de 'f\\//i d'un point A de la variété {J=cf.n. Les points correspon- 
dants de l'espace fonctionnel sont alors distants de moins de 7j, et les 
valeurs correspondantes de U diffèrent de moins de £. U est donc 
compris entre y.„ — s et y.n-\- ^, sauf dans un volume qui, pour m 
suftisamment grand, ne représente qu'une fraction infiniment petite 
du Nolume de la sphère. Comme d'ailleurs U est fini dans ce volume^ 
la moyenne iK,i de U dans la sphère (2) diffère de y.,i d'une quantité 
qui tend vers zéro pour n infini. 



<[ui r< 



aSo TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

Admettant que tji„ tende vers une limite a, c'est-à-dire que la 



valeur moyenne de U dans la sphère (i) existe, a,, tend nécessaire- 
ment vers la même limite, et nous voyons que ijl doit être considéré 
comme la moyenne de U parce que U diffère très peu de p., sauf dans 
une région dont le volume est négligeable à la limite. Nous sommes 
dans un cas d'application du théorème général du n^ 15. 

Donc, dans le cas d' une fonctionnelle unifoiniénienl continue à 
V intérieur cV une sphère de V espace fonctionnel^ ou bien la valeur 
moyenne n'existe pas (circonstance dont le raisonnement très simple 
qui précède ne suffît pas à exclure la possibilité), ou l)ien la fonc- 
tionnelle est presque partout égale ci sa valeur moyenne. 

1^'énoncé reste évidemment vrai, et même la démonstration se 
simplifie un peu si, au lieu du volume d'une sphère, on considère sa 
surface. Cela revient d'ailleurs au même, puisque tout le volume est 
concentré sur sa surface. 

18. Les formules de Gâteaux pour la sphère. — 11 reste, pour 
compléter le résultat précédent, à démontrer l'existence de la valeur 
moyenne, à l'intérieur de la sphère (i), d'une fonctionnelle continue, 
et à en former l'expression. INous allons, avec Pi. Gâteaux (*), former 
cette expression dans le cas d'une fonctionnelle de la forme 

(4') U=/ dti I dt^... 1 dtj,<^[x{i^),x{t2),...,xUj>),t^,ti....,t,,]. 
Cherchons d'abord la moyenne de la fonctionnelle 

/i , ^), . . ., tp étant des valeurs particulières de t entre o et i . Si/> = i , 
cette valeur moyenne sera, d'après la formule (3), 



s/ 



I r^" -l! 



Si /? >> i , le raisonnement qui nous a conduit à cette formule s'ap- 
plique sans difficulté, si ^1, io? •••5 tp sont distincts. Les quan- 
|ités x{t^)^ ^(^2)7 •••7 x{tp) ayant dans ce cas des lois de ])robabi- 

(') Bidlelin de la Société mathématique de France, 1919. 



CIIAP. II. — VALEUR MOYEXNP: DANS L ESPACE FONCTIONNEL. '281 

lilés indépendantes, on trouve ])onr moyenne de la fonctionnelle (5) 



(6) 



ù^^^ 



X J cp(RC„ R^„ .... FU,Oe 2 d\,dU...dip. 

Supposons maintenant que /(, t^, •••, tp varient. En intégrant 
l'expression (5), et supposant que la forme de la fonction cp varie 
avec ^4, ^27 •••5 f^pi on obtient la fonctionnelle [\). Dans le champ 
d'intégration, les points pour lesquels deux au moins des t sont 
égaux peuvent être négligés. Pour les autres, la fonction cp ayant 
pour moyenne la valeur (6), on en déduit sans difficulté la moyenne 
de l'expression (4), qui est 



' dt,... dt,, / d^i 



(7) 

X / ^^;;cp(Rïi, ..., R^^„ tu ..., ff,)e 2 

Telles sont les formules de Gâteaux. 

Une formule analogue à la précédente s'applique évidemment si, au 
lieu d'intégrer la fonction o dans toute la région de l'espace Ey, décrite 
par le point ^,, t■2^ ..., fp, ce qui donne la fonctionnelle (4), on 
intègre sur certaines variétés de ce volume. Si aucune portion finie 
de ces variétés n'est constituée de points pour lesquels deux au moins 
des t sont égaux, une formule analogue à la formule (7) s'écrit sans 
difficulté. Si au contraire on a par exemple dans le champ d'intégra- 
tion tp=: ^/;_i, les autres t étant distincts entre eux et distincts de tp, 
on posera 

et la formule (7) s'applique sans difficulté à la fonction '^, 

On passe de là sans difficulté aux fonctionnelles représentables par 
des séries uniformément convergentes de fonctionnelles des types con- 
sidérés, et l'on obtient ainsi la moyenne, sinon de toutes les fonc- 
tionnelles continues à l'intérieur de la sphère (i), du moins d'une 
catégorie très générale et comprenant sans doute toutes les fonc- 
tionnelles intéressantes au point de vue pratique. 



2«2 TROISIEME PARTIE. — MOÏEN^SE DANS LE DOMAINE FONCTIO>NEL. 

19. Existence de la moyenne. — Si la propriété de la moyenne 
établie n" 17 est relativement aisée à démontrer, si cette moyenne 
existe, l'existence même de celte moyenne soulève des difficultés plus 
sérienses. Il n'est pas évident, si une fonctionnelle est continue dan^ 
un volume, que sa moyenne dans la ii'^™^ section de ce volume ait 
une limite pour /i infini. On peut donc se proposer d'établir une jus- 
tification de la notion de moyenne, en faisant simplement des liypo- 
thèses relatives à la continuité de la fonctionnelle étudiée. 

Deuxvoi.es sont possibles. D'une part on peut établir une justification 
directe, basée sur des raisonnements analogues à ceux par lesquels on 
démontre l'existence des intégrales définies. D'autre part on peut, en 
partant des mêmes hypothèses, obtenir une représentation de la fonc- 
tionnelle étudiée par des séries uniformément convergentes de termes 
dont les moyennes se calculent par les formules du numéro précé- 
dent. 

Nous reviendrons sur ces questions dans le dernier Chajutre. Pour 
le moment, contentons-nous d'admettre les propositions >uivanlcs, 
dans le cas de la s p Itère : 

\° Convergence de m,;, moyenne d'une fonctionnelle U dans Li 
^^lemc section de la sphère, vers une limite m, moyennant une condi- 
tion de continuité convenable imposée à U ; 

i'^ Uniformité de la convergence de nia vers /«, pour une famille 
de fonctionnelles vérifiant également cette condition de continuité- 

Les mêmes questions se posent évidemment pour une surface quel- 
conque. Mais, pour la principale application que nous avons en vue 
(problème de Dirichlet relatif à une surface quelconque), il suffit 
d'admettre les propositions précédentes dans le cas de la sjdière. 

20. Remarques. — ■ Les formules du n° 18 nous montrent que la; 
valeur moyenne des fonctionnelles considérées est la même que si. 
dans l'espace E^, au lieu de prendre la valeur moyenne dans la 
sphère (2), nous avions pris la valeur moyenne dans tout l'espace, en 
affectant chaque élément de volume infiniment petit d\ du poids 



-— — e 2 d\, 

(27r)' 

j;, = Pi.';,, ..., Xn^=^^ii étlmt les coordonnées d'un point intérieur 



CHAP. II. — VALEUR MOYENNE DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. 283 

à cet élément, autrement dit en admettant que la probabilité pour 
que Xi soit compris entre x ei x -{- dx est 

(S bis) ^e~^-^, 

les lois de j)robabilité de ^,, x-;,-, • • -, Xn étant indépendantes. 

Il est facile, en partant de cette définition, de retrouver le rôle joué 
par la sphère (2) et, à la limite, par la sphère (i). En effet, d'après 
cette loi de probabilité, chacune des quantités x^^ Xo. . . .^ Xp a pour 
valeur quadratique moyenne Pi; il en est donc de même de 



i/ 



1 



et de plus, d'après la loi des grands nombres^ la probabilité pour 
que cette quantité ne soit pas comprise entre R — s et R -f- s, s étant 
un nombre positif quelconque, tend vers zéro lorsque p devient infini. 
En d'autres termes, les portions de l'espace dont il J a lieu de tenir 
compte pour le calcul de la moyenne se concentrent près de la 
surface d'une sphère de rayon Ry//z, qui devient à la limite la 
sphère (1) de l'espace fonctionnel. La moyenne, au sens que nous 
venons d'indiquer, d'une fonctionnelle uniformément continue dans 
le voisinage de cette sphère et finie dans tout l'espace, ne dépend 
donc que de ses valeurs sur la surface de la sphère. 

D'autre part, le poids à attribuer à chaque élément de volume 
pour le calcul de la moyenne étant, d'après la formule (8), fonction 
de sa distance au centre, les poids attribués aux régions de l'espace 
"intérieures à deux cônes ayant le centre pour sommet sont dans le 
même rapport que les surfaces des régions de la sphère (i) comprises 
dans ces deux cônes. 

Ea moyenne, calculée en tenant compte des poids définis par la 
formule (8), n'est donc autre pour n infini que la moyenne de la 
fonctionnelle sur la surface de la sphère (i), ce qui donne une 
nouvelle démonstration des formules de Gâteaux (pour la surface de 
la sphère, et par suite aussi pour le volume ). 

!21. Ee raisonnement précédent met en évidence un phénomène de 
concentration sur la surface de la sphère (2) analogue à celui que 
nous avons déjà observé en étudiant le volume de la sphère. Il n'est 



£84 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

pas sans intérêt de comparer les lois qui régissent ces deux phé- 
nomènes. 

D'après la formule (8), la probabilité pour que la distance au 
oentre d'un point de l'espace E;^ soit comprise entre Pip etR(G-|- c/p) 

€St 

^ ^ y 

nl\n étant la surface de la sphère de rajon i . 
Si nous posons • 

p = y/7ï [ I H — : I = y/n H- a 

et prenons B comme variable au lieu de g, la probabilité précédente 

devient 

nlin 
n 

n 

En tenant compte de la valeur asjmptotique de K,/ (n° 4), on 
trouve que cette probabilité est équivalente, pour n infini, à 



« — 1 


/ a ^ 


n- 


1 -l(v/^ + a)"- , 






) 


e ^ di 



La probabilité, avec la loi de probabilité considérée, pour que la 
distance Rp à Forigine d'un point de l'espace E„ soit comprise 

fnitre R J n ( i + -^ ) et R \J n [ i -| — -^ ) , tend donc vers 
\ Sjnl \ \/nJ 

quantité aussi voisine de i qu'on le veut si a, est assez grand néga- 
tivement et a2 assez grand positivement. 

Si nous considérions toutes les parties de l'espace E;? comme ayant 
des poids proportionnels à leur volume, mais ne considérions que les 
points intérieurs à la sphère de rajon Ry//i, il faudrait, pour avoir 
une probabilité finie, chercher la probabilité pour que la distance au 

centre soit comprise entre R ^n ( i — — j et R \/ n f i ) ' °^' et a^ 



CHAP. II. — VALEUR MOYENNE DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. '285» 

étant positifs, et cette probabilité serait (n'' o) 

a. 



a, 



22. Application aux fonctionnelles entières du second degré. — - 
La moyenne dans une sphère d'une fonctionnelle linéaire étant 
évidemment, par raison de symétrie, égale à sa valeur au centre, nous 
n'avons qu'à nous occuper des fonctionnelles homogènes. 

Considérons d'abord la fonctionnelle normale 

(9) ^ "= f fiO^HO^^^-^ f f ^{t, t\)x(t)x{ti)dtdfi, . 



Les formules de Gâteaux nous donnent, comme valeur moyenne de 
l'intégrale double dans la sphère (i) : 

^ "• «- ^0 



dti 



/;%rï.,]^o. 



Pour l'intégrale simple, on a de menu 



_R2 



= / At)dt / pe ■' d^r= R2 / y( 



t)dt. 



On trouve 'donc, comme moyenne de la fonctionnelle (9), 1(8 
valeur 



(10) 



R2 f /( 



t)dt = —AU 



Plaçons-nous maintenant dans le cas d'une fonctionnelle générale 
[voir n" 66) de la pi-emière Partie) contenant des termes de la forme 

/ S'ia)x[ty{cr.)]x[h{cL)]dy., 

ti et ^2 étant différents, sauf peut-être pour des valeurs particulières- 
de a. Pour un tel terme, on trouve comme valeur moyenne 

-^ f\(y.)dJ f"^'^e~'^dk\ = 0, 

de sorte que la formule (10) est générale pour les fonctionnelles 
entières du second degré, continues dans la sphère (i). 



286 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

Onendédiiitimmédiatementque,/?oz^/' toute fonctionnelle admet- 
tant en un point O des variations première et seconde au sens de 
M. Fréchet^ la valeur moyenne de U — Uq dans une spJière de 

centre O et de rayon infiniment petit /•, est équivalente à — AUo, 

Uo et AUq désignant les valeurs de U et AU en O. Cette propriété 
peut servir de nouvelle définition au symbole ALI ('). 

Ces résultats seront généralisés plus loin, lorsque nous exposerons 
la théorie des fonctionnelles harmoniques. Remarquons que la mé- 
thode du passage du fini à l'infini les rend intuitifs. Nous savons en 
effet qu'une fonctionnelle continue du second degré est la limite 
d'une fonction 

i — \ 7 = 1 

dont la valeur moyenne à l'intérieur de la sphère 
est 

R2 

23. Considérons le cas où la fonctionnelle U est de la forme 

\}-= f f{t)x^-{t)dt. 



Nous savons que la valeur moyenne de t^:, sur la sphère /■ = R est 



(•I) j\l)dt. 



C" 



et qu'elle est presque partout égale à cette valeur moyenne. 

Inversement, /(^ étant supposé positif, cherchons la valeur 
moyenne de 



(^) Ainsi AU peut avoir un sens sans que l'on soit assuré pour cela <le l'existence 
de la dérivée U'',,, 



GIIÂP. II. — VALEUR MOYENNE DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. 287 

sur V ellipsoïde Li = ci^. En posant 

on est ramené à la moyenne d'nnc fonctionnelle du second degré sur 
une sphère. Il est naturel de penser que ce changement linéaire ne 
change pas la valeur moyenne [cela n'est pas d'ailleurs évident, 
car x[t) et y{t) ne sont pas en même temps des fonctions simples 
d'ordre n\. On trouve alors comme valeur moyenne 



{VI) 



r' dt 

Jo fW 



qui n'est pas inverse de la précédente. 

Cela peut paraître surprenant si Ton énonce les résultats obtenus en 

disant que la fonctionnelle — sur la sphère /■ = R et par suite dans 

tout l'espace est presque partout égale à sa valeur moyenne (12), et 

que la quantité inverse |-t-> sur l'ellipsoïde U ::= a- et par suite dans 

tout l'espace, est presque partout égale à sa valeur moyenne (i3). 

La contradiction apparente disparaît si l'on observe que « presque 
partout )) n'a pas le même sens dans les deux cas. Dans l'ellipsoïde, 
deux portions de surface vues du centre sous un même angle solide 
ne sont pas égales, mais la plus rapprochée du centre est négligeable 
vis-à-vis de l'autre. Il peut ainsi arriver que, pour une fonctionnelle 

telle que— ayant une valeur constante sur toTite droite passant par 

Torigine, la valeur moyenne ne soit pas la même aux deux points de 
vue, puisque les angles solides n'ont pas le même poids dans les deux 
cas; les poids étant même infiniment différents, on s'explique qu'au 

premier point de vue — ait presque partout la valeur (11), et qu'au 

second ce rapport ait presque partout une valeur différente. 

Un exemple plus simple d'une circonstance analogue est le suivant : 
On sait que presque toute la surface d'une sphère est concentrée sur 
son équateur. Par suite, vue d'un point A, une surface quelconque 
paraîtra presque tout entière concentrée à son intersection avec un 
plan passant par A; le reste de la surface sera vu sous un angle solide 
nul. Vue d'un autre point A' situé à une distance d du plan P, la 
même surface paraîtra de même concentrée à son intersection avec 



288 TROISIÈME PAUTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

n'importe quel plan P' passant par A'. En prenant le plan P' parallèle 
à P, on voit que deux régions de la surface n'ayant aucun point 
commun peuvent, selon le point de vue où l'on se place, paraître 
constituer toute la surface. La distance d'un point de la surface au 
plan P aura pour valeur moyenne zéro si Ton donne pour poids aux 
différents éléments de surface l'angle solide sous lequel on les voit du 
point A, et d si l'on remplace A par A'. 

23. La notion de courbure moyenne. — Soit une surface S, définie 
par l'équation U = o, U étant une fonctionnelle continue et admet- 
tant une variation 

oV = f Ul- ^x dt, 

définie dans le champ des fonctions ox de carrés sommables. En un 
point A de la surface, le plan tangent P est bien déiini par l'équa- 
tion SU = o. Pour définir la cburbure d'une section normale, consi- 
dérons la section de S par le plan (à deux dimensions) défini par la 
normale AN à la surface et une tangente AT; sur cette section pre- 
nons un point M infiniment voisin de A et abaissons la perpendicu- 
laire MH sur le plan P; elle sera parallèle à AN, par suite dans le 
plan sécant, et H sera sur AT. Désignons par o la distance HM et 
par /■ la distance AM. La courbure de la section considérée sera la 

limile ue — 

/- 

La courbure moyenne d'une surface en P sera la moyenne de 
cette courbure dans les difierentes directions du plan tangent. 

La définition de la moyenne ne soulève ici aucune difficulté, car d 
s'agit de moyenne sur une sphère. 

Soient en effet Yi une sphère de centre A et S' sa section par P. La 
quantité dont nous devons prendre la moyenne est définie sur ï'; 
nous pouvons compléter arbitrairement sa définition sur 2], en nous 
imposant seulement de respecter la continuité. La moyenne sur ï est 
bien définie, et comme presque toute la sphère S est concentrée sur 
la section ï', elle ne dépend que des valeurs sur S'. D'autre part, en 
représentant chaque circonférence section de S p^i' un plan 
normal ATN par le point où elle coupe AT, à deux régions de ^ 
décrites par cette circonférence que l'on considère comme égales 
pour le calcul de la moyenne correspondront deux régions de S' 



CHAP. II. — VALEUR MOYENNE DANS l'eSPACE FONCTIONNEL. 289 

décrites par ce point qu'il est naturel de considérer comme égales. 
La moyenne sur S, qui ne dépend que des valeurs sur S', peut donc 
être considérée comme étant la moyenne sur S'. C'est dans ce sens 
que nous entendons le mot moyenne dans la définition de la cour- 
bure moyenne. 

Dans ces conditions, le résultat du n° 17 est applicable, et nous 
pouvons énoncer le théorème suivant : 

Si la courbure en A de la section normale tangente à AT est 
une fonction uniformément continue du point où AT coupe la 
sphère S, elle a la même valeur dans presque toutes les direc- 
tions; cette valeur est la courbure moyenne. 

2i. Il est facile d'exprimer analytiquement la courbure moyenne. 
La fonctionnelle U qui définit la surface peut, dans le voisinage du 
point A, être représentée par une série de Taylor 

1 n\ 

et il est essentiel d'en supposer les deux premiers termes bien définis, 
pour que le plan tangent et la courbure de chaque section normale 

soient bien définis. La distance au plan tanoenl est — — ^ — : or U, est 

équivalent à ^, pour un point situé sur la surface et très voisin 

de A. Par suite, la quantité — > dont nous devons prendre la valeur 
moyenne, est éciuivalente dans les mêmes conditions à , -^» 

La valeur moyenne de -^ est égale à la valeur de AU au point A. 

Par suite, avec une convention convenable pour le signe, la courbure 
moyenne s'écrit 

(i3) K 



les valeurs des paramètres difierentiels AU et A, U étant relatives au 
point A. 

En un point quelconque de l'espace fonctionnel, la même expres- 
sion représente la courbure moyenne de la surface de niveau U=const. 
qui passe par ce point. 

LlîVV. 19 



igo TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

25. Surface minima. — Nous appellerons su/face minima une 
surface dont la courbure moyenne esl nulle en chaque point. 

En chaque point A, la courbure normale est donc nulle dans 
presque toutes les directions. On peut dire en termes moins précis 
que, dans le voisinage dan points la surface est presque un plan. 
Gela signifie que, si l'on considère la section de la surface par une 
petite sphère S de centre A^ la distance des points de cette section 
au plan tangent est presque partout inférieure à G/-, G étant une 
constante positive quelconque. 

Ge résultat n'est naturellement pas exact pour une surface qui ne 
serait pas minima. Mais il est curieux de remarquer que, pour une 
surface minima, il reste exact si l'on remplace le plan tangent P par 
n'importe quel autre plan P' passant par A. De même que la sphère - 
est presque tout entière concentrée sur n'importe lequel de ses plans 
diamétraux, on peut dire que sa section par P qui, d'après ce que 
nous venons de voir, est presque confondue avec sa section par la 
surface minima, est d'autre part située presque tout entière dans le 
voisinage immédiat du plan P'. 

D'après la formule (i3), cela revient au même de dire que la fonc- 
tionnelle U est harmonique (c'est-à-dire que AU = o) ou que les 
surfaces U = const. sont minima. Ge résultat est d'une grande impor- 
tance pour la théorie des fonctionnelles harmoniques que nous expo- 
serons plus loin. 

26. Exemples de valeurs moyennes dans des volumes autres que la 
sphère. — Nous verrons au Ghapitre IV des extensions, à des 
volumes autres que la sphère, du théorème général du n" lo. Nous 
allons au contraire indiquer ici des cas dans lesquels la notion de 
moyenne se présente avec son aspect habituel, des valeurs diflerenles 
intervenant effectivement dans le calcul de la moyenne. 

Gonsidérons un cylindre^ déhni par une équation de la forme 

(i4) ¥\\or{t)~\f{t)]\ = o, 

\ étant défini par la formule 

X f p{t)cif= f f(t)xit)dt=^V\[.r{t)]\. 
La fonction x{l) — lf{t) représentant la projection de x{t) sur le 



CHAP. II. — VALEUR MOYENNE DANS L ESPACE FONCTIONNEL. 29 1 

plan P = const., l'équation (i4) représente bien un cylindre. Suppo- 
sons-le tel que le volume défini par les inégalités 

F<o, «!<?<«. 

soit fini. Ce volume est évidemment divisé en volumes égaux par des 
plans parallèles aux bases et équidistants. Par suite, la moyenne dans 
ce volume d'une fonctionnelle de la forme cp(P) n'est autre que la 
moyenne de la fonction o[a) dans l'intervalle (a,, a^)- C'est bien une 
véritable moyenne, tenant compte des valeurs différentes de cette 
fonction. 

27. Considérons maintenant le cas du volume de révolution^ 
défini par l'équation 

(i5) F(P, /•)<o 

avec 

V= f f{t)x{t)dt, 

dt 



: f xHt)dt, f /Ht) 



et supposons-le fini. Soit à y chercher la moyenne d'une fonction- 
nelle de la forme ^(P). 

Si on le divise en tranches infiniment minces par les plans 
Pzzz const., la tranche du plus grand rrr^o/i l'emportera infiniment 
sur les autres. Si donc le rayon 



atteint son maximum pour une seule valeur a de «, la moyenne 
cherchée sera ^(a). 

Supposons maintenant le maximum c' de p atteint pour les 
valeurs a, et a2 de a. La moyenne cherchée ne dépendra évidem- 
ment que de 'f(ai) et ^(a^). Quels poids devons-nous donner res- 
pectivement à ces deux valeurs? 

Appelons r^ et r^o les épaisseurs des tranches voisines respective- 
ment des plans P = ai et P = a^ et pour lesquelles 

p>p'— £. 

Les points pour lesquels cette inégalité est vérifiée comptant seuls 



292 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

dans le caloul de la moyenne, il est bien évident que si le rapport 
de 7), à Tj2 a une limite quand e tend vers zéro, il faut donner à '^(a, ) 
et cp(a2) des poids dont le rapport soit cette limite. Ainsi, si la méri- 
dienne de la surface de révolution, définie par l'équation (i5), a aux 
points considérés des rayons de courbure égaux respectivement à R, 
et R2, /jj et T,2 sont à la limite dans le même rapport que y/R, et \/R2, 
et la moyenne cherchée est 

cp(a,)\/Hi -4- cp(a2) /R2 



Si R2 est nul et R, fini, ou bien si R, est infini et R2 fini, il n'y a pas 
à tenir compte de la valeur de ©(ao) et la moyenne est ^(ai ). 

Considérons encore le cas où le maximum 0' est atteint pour une 
infinité dénombrable de valeurs a,, as, . . ., a/, . . ., de a, tendant en 
croissant vers une limite a, et le volume de révolution étant limité 
par le plan P =: a'. Supposons que les rayons de courbure R,, 
Ro, . . ., R/, . . ., correspondant aux valeurs considérées de a, soient 
tous finis. Les différentes valeurs de f (a^) ont des poids propor- 
tionnels à y/Rf. Le poids total est fini ou infini suivant que la série 

est convergente ou non. Dans le premier cas, la moyenne cherchée 
est. évidemment 

cp(ai)v/Ri-l-(p(«2) v/R^-+---.+ ?(3c/) y/ÏÏj-^. .. _ 

/r7+ v/B^-+-. . .+ /R^ -+-. . . 

Dans le second cas, elle est égale à ce (a'). 

On voit que, suivant les cas, la moyenne cherchée dépend d'une 
seule des valeurs de la fonction », d'un nombre fini de ces valeurs, 
ou d'une infinité dénombrable, ou de toutes les valeurs de cette 
fonction. Mais dans aucun cas il n'y a ambiguïté sur le sens à donner 
à la moyenne. 



CHAPITRE III 



DE L'EMPLOI D'UNE INFINITE DENOMBRABLE DE COORDONNEES 
DANS L'ESPACE FONCTIONNEL. 



Sommaire : Notions générales. — La notion de suite également dense. — Le 
cas des séries trigonométriques. — Exemple de cas où l'ordre des termes 
influe sur la densité. — Exemple de suite non également dense. — Remarques 
sur l'ordre des termes dans les suites de fonctions orthogonales. — La notion 
de suite normalement dense. — Le paramètre différentiel du second ordre. — 
La notion de moyenne dans l'espace Q. — Le cas de la sphère. 

28. Notions générales. — L'espace Q, d'après une notation 
répandue, est le lieu des points, représentant une suite de 
nombres a,, «o.. . ., an,. . ., telle que ^ aj^ converge; de plus, {a) 
désignant le point correspondant à cette suite, la distance r entre 
deux points (a) et (b) est définie par la formule 

(I) r2=S(6,,-a,,)'- 

D'après cela, et d'après les résultats du Chapitre VII de la première 
Partie, l'espace Q n'est autre chose que l'espace fonctionnel rapporté 
à ce que nous avons appelé un système de coordonnées orthogonales, 
défini par la donnée d'une suite complète de fonctions orthogonales 
et normales /, (t)^ f^ (t)^ ...,/'„ (^~), .... Une fonction u définie et 
continue dans l'espace 12 est alors la même chose qu'une fonctionnelle 
U|[^]| continue dans le champ des fonctions de carrés sommables. 
Mais les deux points de vue peuvent conduire à des définitions diffé- 
rentes de la moyenne ou du paramètre différentiel \u ou AU. L'objet 
de ce Chapitre est de définir ces notions dans l'espace 0, et de recher- 
cher à quelles conditions ces déiinitions reviennent au même que 
celles du Chapitre précédent relatives à l'espace fonctionnel. 

Nous avons déjà vu au Chapitre VIÏ de la première Partie les rela- 
tions entre les dérivées premières - — et la dérivée fonctionnelle U' ; 



294 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

les dérivées - — sont les coefficients du développement de U^ en série 

de fonctions/; les deux notations correspondent au même vecteur de 
l'espace. Nous en avons déduit l'égalité des deux expressions du pa- 
ramètre différentiel du premier ordre A,U, qui représentent, dans 
l'un ou l'autre système de notations, le carré de la longueur de ce 
vecteur. 



29. La notion de suite également dense. — Nous avons rappelé 
au Chapitre VII de la première Partie le rôle que joue, dans la théorie 
des changements de coordonnées dans l'espace E//, l'équivalence des 
systèmes 

( S „ ) < C/, ^ 1 C/,. I + C/i,2 CA,2 

( (/l, /f = 1, 2, 

et 



cl 


2-+-...4-c;,,„ = 1. 


: + • 


. .-f- C/lnCk,n= O 




., n; k^ k) 


^1. 


, + ...+ c2^,- = i, 


-4-. 


. •-+- Cn,iCnJ = O 




, n\ i^ j), 



déduits l'un de l'autre par interversion des lignes et des colonnes 
dans le tableau des n"^ coefficients c^j- Nous avons vu aussi que, n 
devenant infini, les deux systèmes (S) et (S') que l'on obtenait à la 
limite n'étaient pas nécessairement équivalents; mais le premier en- 
traîne le second si l'on sait que les équations 

sont résolubles par rapport aux a ; et inversement le second entraîne 
le premier si l'on sait que les équations 

a/= Cijai^ Ci^ia^-h. . . (i = i, 'i, . . . ) 

sont résolubles par rapport aux a. En d'autres termes, si les c/i j sont 
les coefficients d'un changement de coordonnées dans l'espace Û, l'un 
des deux systèmes considérés ne peut pas être vrai sans l'autre. 

Rappelons aussi que, si le système (S) est vérifié ainsi que les rela- 
tions de la première ligne du système (S'), celles de la seconde ligne 
en résultent nécessairement. 

Au lieu d'un changement de coordonnées de cette nature, considé- 
rons celui qui consiste à passer des coordonnées a^ à la fonction oo(t)y 



CIIAP. III. — INFINITÉ DÉNOMBRABLE DE COORDONNÉES. 'Mj'') 

autrement dit du point de vue de Tespace Ù à celui de l'espace 
fonctionnel. Ce changement de coordonnées est défini par les fonc- 
tions/„(^) qui remplacent les coefficients c/i^ , ; la variable ^joue le rôle 
du second indice; c'est un indice qui varie d'une manière continue. 
Le système 

qui exprime que les fonctions de la suite (i) sont orthogonales et 
normales, est analogue à un des systèmes considérés ci-dessus, à cela 
près qu'il y figure des moyennes au lieu de sommes. Par interversion 
des deux indices, c'est-à-dire ici de l'indice et de la variable d'inté- 
gration, on est conduit à considérer le système 

i lim F,j ( ^ ) =1, 

(3) ' ' "~^" 

) lim F„(^, T) = o {t^z), 

\ n — >- 00 
OÙ 

F«(^^)-;^[/i(O/i(T)-^/2(0/2'^) + ... + /«(0/«(^)], 
¥n{'t) =¥„{t, t). 

Lorsque F„ ( f ) convergera en moyenne vers i dans l'intervalle (o, i) 
et que F„(^,':) convergera en moyenne vers zéro dans le carré 
o<:^^<^i, o<<T<<i;en d'autres termes, lorsqu'on aura 



(4) 



lim 

'o 
1 
lim 






I f Fl(t,z)dtd- = o, 



nous dirons que la suite (i) est également dense dans V intervalle 
(o, i). S'il en est ainsi, on peut affirmer, g {t) et h^t^z) désignant 
des fonctions de carrés sommables, que 



(5) 



lim f i,^{t)¥n{t)dt= f g{t)dt, 
lim / / h(t,z}Fu{t,x)dt dz = o. 



296 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

Cette condition jouera un grand rôle dans la suite. Avant d'aborder 
les questions qui forment l'objet principal de ce Chapitre, nous 
présenterons quelques remarques à son sujet. 

30. Remarquons d'abord que cette notion dépend essentiellement, 
en général, de l'ordre des fonctions/,, (t). Une suite également dense 
peut cesser de l'être si l'on change l'ordre des termes. Cette notion 
se distingue essentiellement par là de celles que nous avons introduites 
jusqu'ici dans l'étude des suites de fonctions orthogonales. Nous ne 
devons donc pas nous attendre, même dans le cas des suites com- 
plètes, à ce que le système (4) soit une conséquence nécessaire du 
système (2) qui exprime que les fonctions de la suite sont orthogo- 
nales et normales. 

Du moins en est-il ainsi delà condition relative à F„ (/). Celle rela- 
tive à F„ (t, t) est toujours vérifiée pour les suites, complètes ou non, 
de fonctions orthogonales et normales. Pour le montrer, nous allons 
montrer que la valeur moyenne de F„ (^, t) dans le rectangle cR , défini 
parles inégalités 

tend vers zéro pour n infini, quels que soient ^,, ^2? '^n'^2; on pourrait 
d'ailleurs remplacer les intervalles (^,,^2) et (':,,':2) par n'importe 
quels ensembles de mesures non nulles. 

Désignons par ce (t) la fonction égale à ——==^ dans l'inter- 

valle (ti, t.j) et nulle dans le reste de l'intervalle (0,1), et par ^ (t) la 
fonction égale à -^== dans l'intervalle (t,, To) et nulle dans le reste 

de l'intervalle (0,1). Posons 

an= f fn{t)x{t)dt= 1 f f„{t)dt, 

•^0 V'^2— '1 ^'x^ 

Les fonctions x {t) et ç(^) étant normales, on a 

( «1 ai -h . . . + a„ a„ )2 ^ ( af +. ..-^al){y.\ -4- . . . -i- a^ ) ;^ « . 

(On peut même remarquer que si les intervalles (^,, t.>) et (t,, t^ ) 
n'ont aucune partie commune et si de plus la suite (1) est complète. 



CHAP. III. — INFINITÉ DÉNOMBRABLE DE COORDONNEKS. 297 

les fonctions x (t) et ; (^) sont orthogonales, et la série ^anCf.n a une 
somme nulle. 

La moyenne de F,, (^, t) dans le rectangle cA. est alors 



— y / ,fi{t)dt /,(T)rfT = -!-L^ ' - 



««a 



n'^n 



Son numérateur ayant son module au plus égal à i, elle tend bien 
vers zéro, ce qui établit le résultat énoncé. 

Il est curieux de remarquer que si la suite (i) est également dense, 
de sorte que ¥„ (^, t) converge en moyenne vers i sur la droite ^ = t, 
cela ne l'empêche pas de converger en moyenne vers zéro dans n'im- 
porte quel carré ayant un segment de cette droite pour diagonale, et par 
suite, si petit que soit h positif, dans la région | ^ — z\<^ h. La même 
circonstance peut se produire pour d'autres droites, comme nous le 
verrons par un exemple (n** 32). 

31. Le cas des séries trigonométriques. — Prenons pour suite (i) 
la suite 

(6) 1. \/ -i co'^ 2 ~ t , v'a sin '2 7:/, ..., \/'2 coso.pr. t, \/2. ?>in i p r. t , .... 
Si fi = 2p -|- I , on a 

F„(/) =^ [[ + 2 C0S^2T.t + 2 Sin2 2- /-+-...-{- ICOS^ 2 nT.t -+■ 1 Sin2 2/171/1 

2 p ^v- \ 

de sorte que la suite considérée est également dense. 

Considérons maintenant la suite ne contenant que des sinus 

(7) v/'-isin;:/, /2siii27r/, ..., ^2 sin/iTt/, .... 
On a pour cette suite 

2 

F,j(/) 1=1 -(sin^T:/ -h sin227r/ -I-. . .-l- sip^/itt/) 

I r I sin(2n -i- 1)7: M 

= - /IH : , 

n y 2 2 sin 7:/ J 

ce qui montre que la suite (7) est aussi également dense. La même 
conclusion s'applique au cas des séries de cosinus. 



298 TROISIÈME PARTIE. -- MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

11 j a toutefois une différence entre le cas des suites (6) et (7). La 
suite (7) fait apparaître des points exceptionnels. Nous appellerons 
ainsi les points de l'intervalle (o, 1) tels que \^n{t) ne lende pas uni- 
formément vers I dans leur voisinage. Dans le cas de la suite (6)^ 
F„ [t) tend uniformément vers i dans tout l'intervalle, et 11 n'y a pas 
de points exceptionnels. Dans le cas de la suite (7), au contraire, les 
extrémités de l'intervalle sont des points exceptionnels. 

32. Examinons maintenant ce qui se passe lorsqu'on change Tordre 
des termes de la suite (6). On peut s'arranger pour rendre exception- 
nelle n'importe quelle valeur t^ de l'intervalle (o, i). Les fonctions 
Jn (^0 sont en effet comprises entre o et 2, variant effectivement une 
infinité de fois entre ces limites quand n prend toutes les valeurs en- 
tières; en changeant l'ordre des termes, on peut donc s'arranger pour 
fjue la moyenne F„(^^) de ces quantités tende vers telle limite que 
l'on veut entre o et 2, ou bien même n'ait pas délimite. On peut donc 
rendre exceptionnelle la valeur i,. 

On peut de même rendre simultanément exceptionnels un nombre 
fini de points donnés de l'intervalle (o, i), et même une infinité dé- 
nombrable de points donnés, pouvant constituer un ensemble partout 
dense. Mais on ne peut pas constituer d'intervalle exceptionnel, en 
ce sens que la moyenne de F„(^), dans n'importe quel Intervalle fini 
(^1, ^2)5 tend vers i, c'est-à-dire encore que F„(^) converge en 
moyenne vers i dans tout l'intervalle (o, i). 

Pour le montrer, observons que les fonctions icos'-prU et isn\- pizt 
ont pour valeur moyenne, dans l'intervalle considéré, 



^pT.{t2 — ti) ipr.ito — ^1 ) 

^p ayant son module inférieur à i . Cette valeur moyenne tend vers r 
pour yO infini. Par suite, les fonctions //^ (^) étant les fonctions (6)^ 
rangées dans un ordre quelconque, la valeur moyenne dey^^(/) dans 
l'intervalle considéré tend vers i , et il en est évidemment de même 
de celle de F„(^). 

La suite (6) jouit donc de cette propriété d'être égalenunt dense et 
de le rester si l'on change l'ordre de ses termes d'une manière quel- 
conque. 

En ce qui concerne la condition relative à F,/(^, t), on peut de 



CIIAP. III. — INFINITE DENOMBRABLE DE COORDONNEES. 299 

même faire apparaître des lignes exceptionnelles autres que la droite 
^^T, sur lesquelles F,, (^, t) tende vers une limite non nulle. Ainsi^ 
pour T = I — ^, et pour l'ordre indiqué formule ((3), on a 

„ ï -\- 1 co^^2-t — 2s'\n^i~ t -\-...-+- ').cos^2/i':zt — T.sin'^iriT.t 

F,,^,(M-0=: ^j;-;^^ , 

expression qui tend vers zéro, saufpour ^ = o, -? ou i. Mais on peut 
changer l'ordre des termes de manière à favoriser soit les termes posi- 
tifs, soit les termes négatifs, et l'on peut s'arranger pour que 
Fft (^, i — ■ t) converge en moyenne vers telle valeur que l'on voudra 
de l'intervalle ( — i , H- i), limites comprises. La droite z =^ i — t sera 
alors exceptionnelle; mais, d'après le n*^ 30, il n'y aura pas d'aire 
exceptionnelle. 

33. Exemple de cas où l'ordre des termes influe sur la densité. — 
Divisons Fintervalle (o, i) en p intervalles égaux, et désignons par 

gp,i{t) la fonction égale à \/^ dans l'intervalle ( ^ "" ) ' 6t nulle 

dans le reste de l'intervalle (o, i). Les fonctions 

(8) ê^pM.t), ,^>,2(0, ..-, ê-p,p{t) 

sont orthogonales et normales. Elles définissent dans l'espace fonc- 
tionnel une variété linéaire représentant les fonctions simples 
d'ordre /?, au sens de Gâteaux {yoirn'^ 13). La fonction la plus appro- 
chée d'une fonction de carré sommable cc[t), qui est représentée par 
la projection sur cette variété linéaire du vecteur qui représente ^(^), 
est évidemment la fonction égale, dans chacun des intervalles 

( ) - j j à la moyenne de x{t) dans cet intervalle. 

Remplaçons/? par 2p. Nous obtenons une suite analogue 

(9) ' ^2A',l(0, ^2P,p(i)^ ", g-2pAP^t)' 

En remplaçant ces fonctions par des combinaisons linéaires conve- 
nables, on aura un autre ensemble de fonctions dont les combinaisons 
linéaires représentent toutes les fonctions simples d'ordre ^p. Prenons 
en particulier les fonctions (8), et les fonctions 

('«) -p^[g2p,ii-\{t) — g.p^iiit)] (i = I, 2, .. .,/)), 

/a 
égales à -\-\ p et — \/ p respectivement dans les deux moitiés de lin- 



3oo TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 



l — I 



lervalle ( ' ~ ) ' ^^ nulles dans le reste de l'intervalle (o, i). Elles 

sont bien normales et orthogonales deux à deux. On voit donc qu'on 
peut passer de l'ensemble des fonctions simples d'ordre p à renseml)le 
des fonctions simples d'ordre 2/? par l'introduction des jy fonctions 
(10), qui sont normales, orthogonales entre elles et aux précédentes. 

Donnons ainsi à p les valeurs i'^, 2^, 4^7 • • • , 2^^, ... ; nous obte- 
nons une suite illimitée de fonctions orthogonales et normales. Cette 
suite est, de plus, complète, puisque des combinaisons linéaires des 
n premières fonctions permettent de représenter n'importe quelle 
fonction simple d'ordre n = 2^, et par suite.^ si h est assez grand, 
d'approcher autant qu'on veut, en moyenne, de n'importe quelle 
fonction de carré sommable. 

Prenons cette suite pour suite des fn{t). Nous appellerons /o/^c- 
tions fn{ty relatives à un intervalle celles qui sont partout nulles 
en dehors de cet intervalle. On peut s'arranger pour ranger ces fonc- 
tions dans un ordre qui favorise les fonctions relatives à l'intervalle 
( o, - ) 5 par exemple pour que sur les Ji premières fonctions il y en 

ait environ - n relatives à cet intervalle. Comme pour ces fonctions la 

moyenne de/J;(^) entre o et - est 2, celle de F„(^) est 7 X 2 = -? et 
F/^(^) ne peut converger en moyenne vers i . 

D'une manière générale, on peut s'arranger de manière à obtenir 
comme densité n'importe quelle fonction p^-(^) positive, somma])le, 
et de valeur moyenne i dans l'intervalle (0,1). Il suffît que, sur les 
n premières fonctions, la proportion de celles relatives à l'intervalle 
(^,, t.,) tende pour n infini vers 



X 






et cela quels que soient t^ et t^ entre o et i. C'est une condition que 
l'on peut évidemment toujours réaliser en rangeant les f,i(t) dans un 
ordre convenable. 

34 Exemple de suite non également dense. — Prenons la suite (6) 
pour suite des fonctionsyrt (^) ; prenons comme nouvelle variable 



(■■■ 



i 



CHAP. III. — INFINITÉ DÉNOMBRABLE DK COORDONNEES. 3oi 

|jl(^) vérifiant les mêmes conditions qu'au numéro précédent, et ayant 
de plus son module limité supérieurement et inférieurement, et 
posons 

On a évidemment 

f ou{'z)o,A-^)dz= f Mt)f,,{t)dt, 

f Cp/,(T)^(X)^X = f fh{t)x{t)dt. 

Il résulte de ces formules que les fonctions o,i{'z) sont orthogonales 
et normales dans l'intervalle (o, i), que les coefficients du dévelop- 
pement de X {t) en série de fonctions /;i(^) sont aussi ceux du déve- 
loppement de ^(t) en séries de fonctions 'fft(':), et que ces dernières 
fonctions forment une suite complète. D'autre part, 

i[,î(x)^...+ <P?,(x)] = _L_[/K0+...+ /?,(O] 

converge en moyenne, non vers i, mais vers -y- — 5 et cela quel que 
soit l'ordre des termes de la suite. 

Les fonctions 'f (t) forment donc une suite qui n'est pas également 
dense, et qui ne peut le devenir par aucun changement dans l'ordre 
des termes. 



3o. Remarques sur Tordre des termes dans les suites de fonctions 
orthogonales. — Etant donnée une suite (ij, complète et non également dense, 
la question se pose de reconnaître si elle peut être rendue également dense par 
un changement convenable de Tordre des termes ( 1 ). 

Il semble que Tordre convenable, s'il existe, puisse être défini de la manière 
suivante : les /i — i premières fonctions de la suite étant choisies, on choisira, 
parmi celles qui restent, celle qui occupera le rang n, par la condition de 



(•) Il résulte de la suite que le problème analogue relatif à la notion de suite nor- 
malement dense (n" 40) est plus étroitement lié aux questions de calcul fonctionnel 
que nous étudions, et a plus de chance aussi d'avoir une solution unique, si Ton 
considère c )mme identiques deux ordres qui donnent nécessairement la même valeur 

limite à toute expression de la forme —^ — '— -^ -^ les A„ étant finis. 



3o2 TROISIÈME PARTIE. — MOVENXE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL, 

rendre niinima rintégrale 






Toutefois, cela n'est pas évident ; il n'est pas sur en effet que ce mini- 
mum soit le même que Ton obtiendrait en remettant en question à chaque 
opération les choix antérieurement faits. On est sûr que ce dernier minimum 
tend vers zéro s'il est possible de trouver un ordre tel que l'intégrale (ii) tende 
vers zéro. Mais on n'en est pas sûr pour le minimum considéré d'abord; la se- 
conde règle au contraire, remettant en question une infinité de fois le choix 
de la fonction devant occuper un rang déterminé, risque de ne pas aboutir à 
une définition précise. 

D'ailleurs la première règle même peut donnei" lieu à ambiguïté si plusieurs 
fonctions conduisent à la même valeur de l'intégrale (ii). Tel est le cas si Ton 
veut appliquer cette méthode à la suite (6). La première fonction est nécessai- 
rement f, mais pour le second rang on peut hésiter entre toutes les autres. 

36. Sans pousser plus loin l'étude de la question posée, remarquons que ce 
n'est pas aussi simple qu'on pourrait le penser de trouver une loi bien définie 
permettant de ranger dans un ordre bien déterminé les termes d'une suite 
complète de fonctions orthogonales et normales, de manière que si deux suites 
données diffèrent par l'ordre des termes et non par leur nature, on soit sûr de 
reconnaître leur identité en les rangeant dans l'ordre ainsi défini. Une telle loi 
doit être telle que : 

i'^ Etant données deux fonctions différentes, on sache toujours déterminer 
leur ordre relatif; 

?»" Étant donnée une fonction de la suite, celles qui la précèdent dans l'ordre 
à définir soient en nombre fini. 

Ainsi, on peut chercher à ranger les fonctions /^(^^ ) dans l'ordre des ] y.,i \ 
décroissants, a„ désignant la projection de/^(^) sur une direction de l'espace 
fonctionnel, soit 



^-«= / fn 



{t)o{t) dl. 



Plusieurs a,^ peuvent être égaux en valeur absolue; dans ce cas, parmi les 
fonctions correspondantes, on rangera d'abord celles pour lesquelles a.,i est po- 
sitif, et s'il y en a plusieurs on fera intervenir la projection sur une autre di- 
rection. On arrivera ainsi toujours à savoir l'ordre relatif de deux fonctions 
fn{t). De plus. Sa,-; étant fini, toute fonction pour laquelle a„ ne sera pas nul 
aura un rang fini. Mais il peut arriver qu'il y ait certains a„ nuls, tandis qu'une 
infinité d'autres ne seraient pas nuls. Les fonctions/„(7 ) correspondant aux a,^ 
nuls devraient être précédées d'une infinité d'auties. Il n'est pas possible alors 
d'arriver par le moyen proposé au résultat de ranger, suivant une bu bien dé- 
terminée, les termes d'une suite quelconque. \ous allons indiquer un procédé 
qui semble lié à la question de rendre une suite égalenuMit dense. 



CHAP. III. — INFINITÉ DENOMBRABLE DE COORDONNEES. 3o3 

37. Désignons par §n(t) ^a fonction primitive de fnit) ayant sa va leur 
moyenne nulle dans l'intervalle (o, r), c'est-à-dire que la constàille d'intégration 
est déterminée de manière à rendre minima l'intégrale 



r _ / qfs 
hi — f 'J II 



(t)dt. 



i/ordrc que nous considérons est celui des I„ décroissants. I„ ne pouvant pas 
être nul. pour montrer (jue chaque fonction y„(^) aura un rang fini, il suffit de 
montrer (jue I„ tend vers zéro. Nous montrerons même que la série SI„ est con- 
vergente : 

Représentons y"„(^) par la série de sinus 

fn(i) = CnA ?i(0 -^-' ■ ■-+- Cn,p^/>(t)-^- ... 
OÙ 

ÇpÇt) = ^2 s\np-t. 
La fonction cF«(^) a alors la valeur 

cf«(^) - ^ cp,(o +. . .-4-- ^^^ 4>,,(0 +. . ., 
en posant 

^p{t) = — yZ-i cospir^. 

Les fonctions ^/,( t) étant orthogonales et normales, on a 



En posant 



1 « — r I C ;) 1 —1— . . . -H — - c~, .1) -T- 
P' 



on 



(12) I,+ I2 — ...-4-I;i 

Lorsque /i augmente, ;?„,^, tend en croissant veis i. de sorte que S 1^2 tend 

vers - • Pour une valeui" finie de n, comme 
G 



le maximum de la somme (12 ) s'obtient en rendant les n premières de ce> 
souimes égales à 1 et les autres à zéro. Ces conditions sont réalisées si Ton 
prend la suite des o„ U) pour suite des y„(^), ou d'une manière générale si 
Ton prend pour les n premièies fonctions /„,( t) des combinaisons des n pre- 
nuères fonctions o,i{ t ). Le maximum de 1]+ ^2+ • • • -^ hi <^^t donc 

I / I 1 

-.(1+-+....-- 



3o4 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

il est atteint pour toutes les valeurs de nsï Ton prend la suite des cp,j(/) comme 
suite desf,i{t). Les I„ étant rangés par ordre de grandeur décroissante ou du 
moins non croissante, le maximum de I„ est 

I / I I 

:, I -h 7 + ... H 

n-- \ 4 n^ 

il peut être atteint en prenant pour les n premières fonctions /„(^) des combi- 
naisons des n premières fonctions ^n(J) telles que I, = I2 = ... = I,j. Naturel- 
lement, pour une suite déterminée de fonctions fait), cette circonstance ne se 
présente que pour une seule valeur de n. 

38. D'après ce qui précède, une fonction de la suite ( i) ne peut être précédée, 
dans Tordre défini par la condition que les !„ soient décroissants, ou du moins 
non croissants, que par un nombre fini de fonctions. Mais il peut arriver qu'il 
y ait à un certain moment indétermination pour Tordre entre un nombre fini 
de fonctions donnant la même valeur à I,j, et naturellement cette circonstance 
peut se reproduire une infinité de fois. 

La règle la plus naturelle à adopter, pour rester dans le même ordre d'idées,, 
est de considérer les intégrales analogues à I„, obtenues en remplaçant ^niO 
par ses intégrales successives, la constante d'intégration étant définie chaque 
fois par la même règle que pour ^nit)- C^^'*' intégrales ont la valeur 

Si les intégrales I„ relatives à deux fonctions sont égales, on comparera les va- 
leurs de I„2, puis, s'il y a lieu, celles de I„,3, et ainsi de suite. On arrivera ainsi 
à définir Tordre relatif des deux fonctions, sauf dans les cas où les coefficients 
correspondants de leurs développements en séries de fonctions ^p{t) sont 
égaux au signe près. Dans ce cas, on pourra les classer d'après les signes des 
premiers coefficients différents. 

39. Cet ordre paraît lié à la question des suites également denses parce quMl 
ne fait apparaître pour la classification aucune fonction de t arbitrairement 
choisie. Dans les intégrales considérées, on accorde des poids égaux à des in- 
tervalles égaux. 

Toutefois, la condition d'égale densité présente un caractère d'invariance que 
ne présente pas Tordre que nous venons de définir. Dans la définition de Tégale 
densité, deux intervalles égaux jouent le même rôle, en ce sens (jue leur ordre 
n'intervient pas. On peut diviser l'intervalle (0,1) en intervalles quelconques et 
changer leur ordre; cette opération définit un changement de variables qui 
transforme une suite complète, également dense, de fonctions orthogonales et 
nf)rmales^ en une suite de même nature. Aucun de ses caractères n'est altéré. 
Or par cette opération l'ordre que nous venons de définir (;st altéré. 

Il n'est d'ailleurs pas possible de définir un ordre qui ne soit pas altéré dans. 



CHAP. III. — INFINITÉ DÉNOMBRABLE DE COORDONNÉES. 3o5 

ces conditions. En effet, à ce point de vue, les fonctions 

Op(t) = y/'i smpr.t, 

qui ont même fonction sommatoire, apparaissent comme identiques, et cela est 
lié au fait que leur ordre est indiflérent pour la formation d'une suite égale- 
ment dense. Pour les ranger suivant un ordre déterminé, il faut faire inter- 
venir des considérations de nature différente. 

D'après ces remarques, il n'y a pas lieu de s'attendre à ce que l'ordre défini 
n°' 37 et 39 résolve la question posée au n*^ 35. Il est facile de le vérifier par 
des exemples, il suffit de généraliser l'exemple du n° 33 (fonctions simples 
d'ordre i^^) en remplaçant des intervalles égaux par des intervalles variant en 
progression géométrique, 

40. La notion de suite normalement dense. — La notion de suite 
également dense suffit pour les résultats que nous nous proposons 
d'obtenir, dans le cas des fonctionnelles normales. Dans le cas des 
fonctionnelles générales, il faut introduire une notion un peu plus 
restrictive. 

Considérons une répartition de masses à l'intérieur du carré 
o <^ t <^ij o<;t<^i, symétrique par rapport à la diagonale ^ = t, 
ne comportant aucune masse finie située sur cette diagonale, et telle 
que la fonctionnelle du second degré 



(i3) 



f fx{t)xiz)d^ 



correspondant à cette répartition soit finie, et par suite continue, 
dans le champ des fonctions de carrés sommables. 

Nous dirons que la suite (i) est normalement dense si : 

1° La fonction ^^n{t) converge en moyenne vers i dans C inter- 
valle (o, i) ; 
2° U intégrale 



If' 



tend vers zéro cjaand n augmente indéfiniment, quelle que soit la 
fonctionnelle additive à variation bornée ^, liée à une réparti- 
tion de masses de la nature considérée. 

La condition que la fonctionnelle (i3) soit continue dans le champ 
des fonctions de carrés sommables, exclut la possibilité que des 
masses finies soient situées dans un ensemble dont la projection sur 

LÉVY. 20 



3o6 TROISIÈME PARTIE — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

l'un des axes ait une mesure nulle. Un ensemble susceptible de con- 
tenir des masses doit donc avoir une mesure linéaire positive; en 
d'autres termes, contenir au moins une ligne, et la condition a*' ci- 
dessus revient à dire que F,i{t^ t) converge en moyenne vers zéro sur 
toute ligne autre que la droite ^ = t ou une parallèle aux axes. Si une 
suite également dense n'est pas normalement dense, c'est donc qu'il 
existe des lignes, autres que la droite 1 = -: ou des parallèles aux axes, 
sur lesquelles F„(^, t) ne converge pas en moyenne vers zéro. Nous 
appellerons ces lignes lignes exceptionnelles de la suite considérée. 
Lorsqu'une suite est normalement dense, nous dirons que l'ordre 
de ses termes est normal; nous dirons dans le même cas que les axes 
de coordonnées correspondants sont rangés dans un ordre normal. 
Cet ordre normal n'est d'ailleurs pas complètement déterminé. Si par 
exemple on considère une suite partielle de fonctions fn{t) d'indices 

/i,, /?2, .-., rip^ ..., tels que la densité moyenne — des termes de cette 

suite dans la, suite de toutes les fonctions fn{t) tende vers zéro, ces 
fonctions sont sans influence sur la valeur limite de F„(^, t) [du 
moins si les fonctions /;i(^) sont finies] ; il est alors indiff'érent, soit 
de changer l'ordre des termes de cette suite partielle, soit de dé- 
placer ses termes par rapport aux titres, mais de manière que leur 
densité moyenne continue à tendre vers zéro. Au contraire, si l'on 
efî'ectue un changement qui fasse varier la valeur limite de la densité 
d^ine suite partielle de fonctions /„(^), il est impossible que l'ordre 
reste normal (voif n*^ 43). L'ordre normal est donc déterminé, à cer- 
taines substitutions près, qui forment un groupe, indépendant du 
choix des fonctions /„(^). 

41. Le paramètre difiFérentiel du second ordre. — Dans l'espace 0, 
ce paramètre est défini par la formule 



I /à-^u (Pu à^u 

Aw := lim 

(Ja 



n/ 



C'est la moyenne, et non la somme des dérivées -r-rr qu'il y a lieu de 



daf 



considérer, cette somme étant en général infinie. Si nous considérons 
par exemple une fonctionnelle du second degré de la forme 



Ci a 2 



CIIAP. III. — INFINITÉ DÉNOMBRABLK DE COORDONNÉES. 307 

elle sera définie et continue si les Cn sont limités supérieurement. Le 
paramètre différentiel du premier ordre 

est alors bien défini; mais la somme des dérivées secondes ^d est 
en général infinie, tandis que leur moyenne, qu'elle ait une limite ou 
soit indéterminée, resté finie. 

Supposons maintenant que u représente, dans le système de' coor- 
données orthogonales défini par la suite (i), une fonctionnelle 
U I [.r(^)] |, ayant une variation seconde de la forme normale 

(i4) Ô2U= r \}\..{'^xYdt-\- f f \j\.,r,^x^Xxdtdtu 

et demandons-nous si Aw, calculé comme il vient d'être dit, est 



égal à 



AU 



paramètre différentiel calculé au point de vue du Chapitre IL 

• . . ()- Il 

Par définition de la variation seconde, y- 7 n'est autre chose que la 

variation ô-U, calculée pour ox =^fn{t). On en déduit 

i / à- u à- u 

n\àa'j ' ' ' âaf^ 



^1 f lj".:-,y^[f{t)fit,)+...-^Mt)fAt,)]dtdt,. 



La fonction U^o est nécessairement une fonction mesurable bornée, 
et U^.,.^ une fonction de carré sommable (U, et par suite 8-U, étant 
supposés définis dans le champ des fonctions ùx de carrés som- 
mables). Si alors la suite (i) est également dense, l'expression précé- 
dente tend vers AU. Donc Aw existe et l'on a 

(i5) Aa = AU. 

42. Considérons maintenant le cas où 3- [J n'est assujetti à aucune 
autre condition que d'être définie dans le champ des fonctions de 



3o8 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

carrés sommables. En distinguant, dans la répartition de masses 
liées à o2[J^ celles qui peuvent être situées sur la droite ^ = t, il 
vient 



(i6) 



Ô2U = r \}"r.{ZxY dt -\- Ç Ç^ X{t)ù X{Z) d^. 



<ï> étant une fonctionnelle additive à variation bornée de l'espèce con- 
sidérée n" 40. Il vient, comme au numéro précédent, 



(I 



^) KS-"-"â)=/^^'^'"'^^^^^^"/A^^^'^^^^- 



Si la suite des fonctions /n{t) est normalement dense, il suffit de 
faire augmenter n indéfiniment pour retrouver la formide (i5), qui 
s'applique ainsi dans ce cas à toute fonctionnelle continue admettant 
une variation seconde. 

Ainsi, en supposant de toute façon la suite (i) également dense, 
il suffit pour qu'on puisse appliquer la formule (i5), soit qu'elle soit 
de plus normalement dense, soit que la variation seconde 8-U ait la 
forme normale (i4)- Si aucune de ces conditions n'est remplie, c'est- 
à-dire si d'une part il existe des lignes exceptionnelles pour la suite (i), 
si d^autre [part il en existe pour la répartition de masses liées à la 
variation 6^ U, le raisonnemeut précédent peut être en défaut. Mais il 
faut évidemment, pour que la formule (i6) cesse d'être exacte, qu'une 
même ligne soit exceptionnelle aux deux points de vue, en ce sens 
qu'elle contienne des masses finies et que Fn{t, t) ne converge pas 
en moyenne vers zéro sur cette ligne. Il n'y aurait aucune difficulté à 
passer de la formule (17) à la formule (i5) si des masses finies sont 
réparties sur une ligne, et que sur une ligne différente de la précé- 
dente F„(^, t) cessait de converger en moyenne vers zéro. 

43. Remarque. — Considérons une fonctionnelle de la forme 

les Cn restant finis sans tendre vers une limite. Il est évident que pour 
une telle fonctionnelle, Au dépend effectivement de l'ordre des fonc- 
tions //^(f), et ne peut pas rester constamment égal à AU. Il est donc 
impossible que la suite (i) reste normalement dense pour un change- 
ment de l'ordre des termes qui fasse varier A«. Tel est le cas, à condi- 



CHAP. III. — INFINITÉ DÉNOMBRABLE DE COORDONNÉES. 3o9 

tion de choisir u convenablement, pour tout changement faisant 
varier la densité moyenne, dans la suite des fonctions fn{i)^ des 
ttrmes d'une suite partielle de ces fonctions. Le résultat énoncé n° 40 
est donc établi. 

Ainsi, la fonctionnelle 

/ x{t)x{\ — t)dt = al-^ a'I — al-h.. . + (— O'^+^a^ + . . . 

[en prenant la suite (6) pour suite des fonctions fn{^)] est har- 
monique dans l'espace fonctionnel, c'est-à-dire annule AU. Elle 
annule aussi Aw, si l'on conserve l'ordre des termes indiqué par la 
formule (6) ; mais en changeant cet ordre, en favorisant systématique- 
ment soit les cosinus, soit les sinus, on peut donner à Aw n'importe 
quelle valeur de l'intervalle ( — 2, + 2), limites comprises. 

La même circonstance ne peut pas se produire pour la suite (6) et 
une fonctionnelle normale; cette suite restant également dense si l'on 
change l'ordre des termes, à.u conserve la même valeur. 

44. La notion de moyenne dans l'espace ù. — On peut, dans l'es- 
pace comme dans l'espace fonctionnel, définir la moyenne d'une 
fonction dans un certain domaine. La marche à suivre est tout à fait 
analogue. 

Nous considérerons comme /i'^™^ section de l'espace ù l'ensemble E;^ 
des points pour lesquels 

Une fonction u se réduit dans cette section à une fonction Un 
de «,, a 2-) . . ., On. On forme sa moyenne dans le domaine V„, section 
parE„ d'un domaine V de l'espace Q. La limite, pour /i infini, est par 
définition la moyenne de u dans le domaine V. 

Ainsi, la moyenne^de u dans la sphère S, d'équation 

(18) a2+a|H-...4-rt2-f-...= R2, 

est la limite de la moyenne de Un{cii, «o? • • •: ^n) dans la sphère 2;^ 
d'équation 

af -4- a|-{-, . .-^ a%= R^. 

On remarque que cette sphère a pour rayon R, et non y/Âï, comme 
la sphère analogue qui intervient au point de vue exposé Chapitre IL 



ÔIO TROISIEME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

Les principaux résultats du Chapitre II s'appliquent évidemment 
avec cette nouvelle définition de la moyenne. Il est toujours vrai que 
le volume d'une sphère soit concentré sur sa surface, de sorte que la 
moyenne d'une fonctionnelle finie et continue ne dépend que des 
valeurs prises sur la surface. De même, si la fonctionnelle a est uni- 
formément continue, le volume de la sphère est concentré près d'une 
seule des surfaces de niveau u = const., de sorte que cette fonction- 
nelle a presque partout la même valeur. Les démonstrations sont les 
mêmes qu'au Chapitre IL 

Il s'agit maintenant de rechercher si la moyenne définie dans 
l'espace 0, et celle définie Chapitre II, sont égales. C'est ce que nous 
allons examiner dans le cas de la sphère. 

45. Le cas de la sphère. — Plaçons-nous sur la surface de la 
sphère S, définie par la formule (i8). 

Une fonctionnelle du premier degré a évidemment pour moyenne 
sa valeur au centre de la sphère. 

Considérons maintenant le cas d'une fonctionnelle homogène du 
second degré. Nous devons d'abord chercher sa moyenne sur la 
sphère S;^, n'^^^^ section de la sphère S. C'est un résultat connu, et 
d'ailleurs d'une vérification immédiate, que cette moyenne est 



2 /d2w à^U d'Ul\ 



R2 /d2w 

2 



A la limite, pour n infini, on trouve que la moyenne de u sur la 



r>2 

sphère S, au point de vue de l'espace Ù, est — Aw, 



Nous savons qu'au point de vue du Chapitre II, cette moyenne 
est - AU. 

2 

Les conditions pour que les deux définitions soient équivalentes 
sont celles pour que Aw = AU. Il suffit que la suite (i) soit nor- 
malement dense. 

46. Dans le cas des fonctionnelles de degré quelconque, on peut 
généraliser le résultat précédent en s'appuyant sur la théorie des 
fonctionnelles harmoniques, que nous développerons plus loin. Nous 
verrons que : 

i" Une fonctionnelle harmonique, uniformément continue àl'inté- 



CHAP. III. — INFINITE DENOMBRABLE DE COORDONNÉES. 3(1 

rieur d'une sphère, est bien définie par ses valeurs à la surface; étant 
donnée une fonctionnelle uniformément continue, définie sur la sur- 
face, il existé une fonctionnelle harmonique et une seule, continue 
à l'intérieur de la sphère, et égale sur sa surface aux valeurs 
données; 

2° La valeur d'une telle fonctionnelle au centre de la sphère est 
égale à la moyenne des valeurs qu'elle prend sur la surface. 

Ces résultats sont vrais aussi bien au point de vue de l'espace 
fonctionnel qu'au point de vue de l'espace Q. Si la suite (i), qui 
définit le passage d'un point de vue à l'autre, est normalement dense, 
les fonctionnelles harmoniques sont les mêmes à l'un et l'autre point 
de vue. La moyenne d'une fonctionnelle uniformément continue sur 
une sphère, définie comme étant la valeur au centre de la fonction- 
nelle harmonique égale sur la surface à celle donnée, est donc la 
même à l'un et l'autre point de vue. 

L'identité des deux notions de moyenne est donc établie, dans ce 
cas de la sphère, moyennant les hypothèses que la fonctionnelle 
considérée soit uniformément continue, et que la suite (i) soit nor- 
malement dense. 

47. Un autre procédé consiste à établir que les formules de 
Gâteaux, relatives au cas des fonctionnelles de la forme 






sont valables à notre nouveau point de vue et qu'il en est de même 
pour la forme plus générale, considérée n'' 18, obtenue en n'intégrant 
que sur une surface située dans le volume d'intégration précédent, 
du moins en imposant à ces surfaces la condition qu'aucun des t ne 
reste constant (sinon la fonctionnelle U ne serait pas continue). Les 
deux notions de moyenne reviendront alors au même, dans le cas de 
la sphère, pour les « polynômes généralisés », sommes de fonction- 
nelles de cette forme, et pour les séries uniformément convergentes 
de tels polynômes, c'est-à-dire pour une catégorie très étendue de 
fonctionnelles uniformément continues. 

Or les formules de Gâteaux, d'après le n° 19, reposent essentielle- 
ment : 

1° Sur la loi de probabilité de ^(t), d'où résulte que ^[^(t)] a 



3 12 TROISIÈME PARTIE. MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

pour valeur moyenne 

I ' r"^" — ^ 

('2o) -= / cp(0^ ^'d^\ 

\'-l T. J- «, 

2*' Sur l'indépendance des lois de probabilité de :r(T, ), :r(T2), .. ., 
^(t;,), en désignant par t,, T:,, ..., ip des nombres distincts de 
l'intervalle (o, i). 

Il suffit de démontrer que notre nouveau point de vue ne change 
rien en ce qui concerne ces lois. 
Pour avoir la loi de probabilité de 

^(^) = «i/i(-)-^«2/2(^) -t-...4-a,i/„(T)+... 

dans la sphère S, il faut d'abord chercher celle de 

(21; OCn{') = «i/i(t) + «2/2('^)+. . •+ anfni-^) 

dans la sphère S„. Or Xn{'^) est la distance à un plan, multipli��e 
par y//iF„(T); sa loi de probabilité est celle relative à la distance à un 
plan, dans la sphère de rayon Ry//iF„(T). Si ^«(t) tend vers i, on 
arrive donc à la même loi de probabilité qu'au n° 19. Comme F„(t) 
converge seulement en moyenne vers, i , il peut y avoir exception 
pour certaines valeurs de t, constituant un ensemble de mesure nulle. 
Mais cela ne peut faire aucune différence pour l'étude des fonction- 
nelles continues, qui ne peuvent pas dépendre des valeurs de x pour 
les points d'un tel ensemble. Ainsi, pour une fonctionnelle du type 

(22) / ?[^(^), t] dt, 

do 

la formule de Gâteaux est certainement applicable. C'est seulement 
pour des fonctionnelles dépendant de certains points particuliers, 
telles que cp[j;(':)], qu'il peut arriver que cette formule ne s'applique 
pas à notre nouveau point de vue. 

Cherchons maintenant si les lois de probabilités de .'r(Ti), 
^(t2), ..., oci^-Zp) sont indépendantes, t,, T2, ..., t^ désignant des 
nombres, tous différents, de l'intervalle (0,1). 

INous savons que les distances à p plans d'un point de la sphère S 
ont des lois de probabilités indépendantes, à condition que ces plans 
soient distincts. Or deux de ces plans, correspondant à des valeurs t 
et T du paramètre ^, étant les limites des plans F„(^)r=o et F,j(t)=o 
de l'espace E^, leur angle 9 est la limite de l'angle 0,^ défini par la 



CHAP. m. — INFINITÉ DÉNOMBRABLE DIÎ COORDONNÉES. 3l3 

formule 

COS ijfi = 



v/F„(OF„(x; 



et il n'j aura aucune difficulté si cette limite existe et n'est pas nulle, 
ou du moins si 9,^ reste, quand 7i augmente indéfiniment, supérieur 
à un nombre positif s (et inférieur à t: — e). 

Or F,i(t) et F/i^-z) convergeant en moyenne vers i, et F^(^, i) 
tendant en général vers zéro, puisque t et t sont différents, cosO,^ tend 
en gênerai vers zéro, et y^ vers - • 

Supposons la suite (i) normalement dense. Les points excep- 
tionnels ^, T (autres que ceux de la droite t^=^i)^ pour lesquels il 
n'en serait pas ainsi, constituent un ensemble de mesure nulle en 
projection sur chacun des deux axes. Comme nous ne considérons 
que des fonctionnelles continues, on peut changer les valeurs àe,x{t) 
pour les points d'un tel ensemble sans changer la valeur de la fonc- 
tionnelle, et il est indifférent que les lois de probabilité de x{t) 
et x{i)^ ^ et T étant deux de ces points, ne soient pas indépendantes. 
Le théorème énoncé est donc démontré. 

Plaçons-nous maintenant dans le cas des suites également denses; 
les lois de probabilité de F(^) et F(t) peuvent alors cesser d'être 
indépendantes pour certaines lignes exceptionnelles. Les formules 
de Gâteaux, et par conséquent notre théorème sur l'identité des 
deux définitions de la moyenne, subsistent si la fonctionnelle U est 
normale, c'est-à-dire si l'intégrale (19) généralisée ne contient pas 
de groupes de points distincts jouant un rôle particulier, et même 
dans le cas plus général où sa variation seconde a la forme normale, 
c'est-à-dire si l'intégrale (19) généralisée ne contient pas de couples 
de deux valeurs distinctes de t^ soit t et t, jouant un rôle particu- 
lier; cela signifie que l'intégration par rapport à ^ et t (celles par 
rapport aux autres variables ti étant supposées effectuées) est 
effectuée dans une aire ou sur la ligne / = t, mais pas sur une ligne 
exceptionnelle; il importe peu alors que pour les points d'une telle 
ligne les lois de probabilité de x{^t') et xi^-z) cessent d'être indépen- 
dantes. Le résultat subsiste encore, naturellement, si ô^U n'étant 
pas normale, sa définition introduit de telles lignes exceptionnelles, 
mais qu'elles soient distinctes des lignes exceptionnelles relatives 
à la suite (t). 



CHAPITRE IV, 



LA MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES 

ET LA GÉOMÉTRIE DES SURFACES DANS L'ESPACE FONCTIONNEL 

APPLICATIONS A LA NOTION DE MOYENNE. 



Sommaire : La mesure des volumes et des surfaces. — La notion d'intégrale. 
— La variation de l'aire d'une surface. — Relations entre un volume et la sur- 
face qui le limite. — Variation d'un volume. — Les variétés à <» — 'i dimen- 
sions. — Décomposition en carrés d'une forme quadratique. — Forme nor- 
male de Gâteaux. — Forme normale quelconque. — Forme générale. — Le 
volume de l'ellipsoïde. — Les sections planes de l'ellipsoïde. — L'indicatrice 
et la courbure totale d'une surface. — La courbure géodésique totale et le 
théorème de Gauss. — Propriétés des surfaces parallèles. — Propriétés 
des contours parallèles tracés sur une surface. — La notion de valeur 
moyenne dans le cas des surfaces convexes. — Classification des surfaces et 
des volumes au point de vue de l'aspect de la notion de moyenne. — 
Remarques diverses. 

48. La mesure des volumes et des surfaces. — Nous avons vu au 
Chapitre II que la mesure d'un volume ou d'une surface était en 
général nulle ou infinie, et pour cette raison, aux notions de volumes 
et d'intégrales multiples, nous avons substitué celle de moyenne, 
qui conserve un sens. Il peut pourtant être utile de parler de volumes 
et de surfaces comme de quantités mesurables, et d'employer la 
notation d'intégrale de volume ou de surface. Gela est possible dans 
les conditions suivantes : 

Si la /i'^™'' section V;^ d'un volume V a pour mesure ^(«), on peut 
dire, en employant la notation des nombres transfînis, que V a pour 
mesure cD(to), la notation c5((jl)) désignant l'ordre de grandeur 
de o(ai) pour n infini. Si les volumes V et V sont semblables, leur 
rapport d'homothétie étant /: >> i, les mesures deV„ et V'„ seront cp(/i) 
et k^<^{n)^ et à la limite on représentera par cp(ci>) et /:'^cp(to) les 
ordres de grandeur respectifs de V et Y'. Cette notation est com- 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 3l5 

mode pour indiquer que ce ne sont pas des volumes ayant simple- 
ment des valeurs diflerentes, mais que leurs ordres de grandeur sont 
différents, le premier étant négligeable devant le second. 

Pourtant une précaution est à prendre. Les mêmes considérations 
s'appliquant aux volumes et aux surfaces, il peut j avoir lieu d'écrire 
des relations entre les volumes, les surfaces et les longueurs. Mais 
nous savons que deux points de l'espace E,^, /i'^'"" section de l'espace 
fonctionnel au sens de Gâteaux, dont la distance comptée dans 
l'espace fonctionnel est r, ont pour distance dans l'espace E,/, non r, 
mais rn = r\/ n ; ainsi une sphère de rayon R a pour n^^^^ section une 
sphère de rayon Ry/Az. Si l'on voulait définir les longueurs, comme 
les surfaces et les volumes, par l'ordre de grandeur des grandeurs 
correspondantes dans l'espace E,/, on serait conduit à une définition 
de la distance différente de celle étudiée jusqu'ici. 

On échappe aisément à cette difficulté, en remplaçant la figure 
considérée de l'espace E„ par une figure semblable réduite dans le 
rapport de ^ ii à i . Le volume de la sphère de rayon R sera alors 
mesuré par l'ordre de grandeur dans l'espace E^ de la sphère de 
rayon R, et non Ry/Ai. Cela peut être commode de dire que la az'*'"'*' sec- 
tion de la sphère de rayon R ayant l'origine pour centre a pour 
rayon réduit R. 

On arriverait directement à un résultat analogue en prenant 
la n'^^'' section au sens du Chapitre III, n*' 4!2. La /^'^""^ section d'une 
sphère de rayon R est alors une sphère de rayon R si le centre est à 
l'origine, en tout cas de rayon R/^ tendant vers R et du même ordre 
de grandeur que la sphère de rayon R^ à un facteur près de la forme 
(i -f- £)", £ tendant vers zéro. 

Mais on peut difficilement en calcul fonctionnel prendre ce point 
de vue comme définition de la mesure d'un volume. Sans doute la 
notion de l'espace fonctionnel rapporté à une infinité dénombrable 
de coordonnées rectangulaires facilite la conception des notions de 
volumes et de surfaces. Mais nous savons par le Chapitre III que le 
choix des coordonnées rectangulaires ou même l'ordre dans lequel 
on considère les coordonnées d'un système déterminé peut influer 
sur la valeur de la moyenne, c'est-à-dire sur la valeur relative des 
différentes parties d'un volume. La mesure d'un volume à ce point 
de vue n'aurait donc pas une expression bien définie. La plupart des 



3l6 TROISIÈxME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

considérations qui suivent sont valables avec les différentes définitions 
possibles. Mais, lorsque nous voudrons préciser une définition déter- 
minée, nous prendrons celle qui se rattache au point de vue de 
Gâteaux, avec la modification qui vient d'ctre indiquée, qui consiste 
à remplacer la n'^"''' section par la section réduite correspondante. 

49. La mesure d'une sphère de rayon i est, d'après le n° 4, 



I 
y/io;: 






Il n'j^a aucun inconvénient à la prendre comme unité de. volume, à 
condition de modifier en conséquence les unités de mesure des surfaces 
et différentes sortes de variétés situées dans l'espace fonctionnel. En 
désignant par "C^^ la mesure d'une variété à un nombre finip de dimen- 
sions, et par V(^_p la mesure d'une variété à co — p dimensions, 
définie, dans une région finie de l'espace fonctionnel, par p condi- 
tions d'égalité, toutes les relations que nous aurons à écrire entre les 
mesures de ces différentes sortes de variétés seront du type 

Elles seront homogènes par rapport à l'ensemble des quantités \'^(j, 
'^'^w-M '^^io-21 • • •• On peut alors adopter pour les volumes '^^(^ d'une 
part, pour les longueurs d'autre part, telles unités qu'on voudra. Les 
mesures des volumes du type pp résulte-nt d'une manière bien déter- 
minée de l'unité de longueur, tandis que celles des volumes du 
type "C^oo-/? dépendent à la fois de l'unité de longueur et de l'unité de 
volume du type V^- 

Pour les longueurs, nous conserverons bien entendu notre défini- 
tion habituelle. Pour les volumes du type "C^^^, nous prendrons 
comme unité la sphère du rayon i. 

50. Un volume fini de l'espace fonctionnel, mais assez grand pour 
comprendre une petite sphère à son intérieur ('), a sa mesure com- 

(') Pour comprendre l'utilité de ces restrictions, remarquons que le volume 

limité par la surface / \x\i'dt est infini, n'étant intérieur à aucune sphère, 

si p>2, et est au contraire nul, ne comprenant aucune sphère à son intérieur, 
si p < 2. 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 3l7 

prise entre deux expressions de la forme r^'^ et R". On doit donc 
s'attendre à ce que les volumes que nous avons à considérer soient 
fréquemment du tjpe aoPa^. 

L'ordre de grandeur d'un tel volume est défini par <7, que nous 
appellerons rayon de la sphère éqawalente à ce volume; d'une 
manière précise, le rayon de la sphère égale à sa /i'^"*" section tend 
vers a. On peut se demander s'il est utile, à côté de a^, de conserver 
le facteur cto'^. La réponse est évidemment affirmative. Nous avons 
vu par exemple que la moyenne d'une fonctionnelle définie dans un 
cylindre limité est en général effectivement la moyenne de valeurs 
différentes qu'elle prend dans des portions de volumes du même 
ordre de grandeur, et que l'on ne peut comparer qu'en tenant 
compte d'une manière précise du facteur c. 

On peut d'autre part indiquer des exemples qui donnent lieu à des 
difficultés assez sérieuses. Considérons une sphère de rayon R. Le 
plan E„, ^i'*™« section de l'espace fonctionnel, ne contenant en 
général pas exactement son centre, la coupe suivant une sphère de 
rayon réduit R|, dont on peut seulement dire qu'il tend vers R en 
croissant constamment, mais on peut placer le centre de la sphère 
de manière que R( tende vers R aussi lentement qu'on veut. Le 

rapport ( -tt ) de la n'*''"® section de la sphère considérée et de celle 

d'une sphère de même rayon ayant l'origine pour centre peut donc 
ne pas tendre vers i, ou même tendre vers zéro. Deux sphères de 
même rayon n'auraient pas des volumes égaux. Une telle conclusion 
est inadmissible. 

Gomme la difficulté provient de ce que le plan E/^ ne coupe pas la 
sphère suivant sa plus grande section, on peut y échapper en appe- 
lant ^'^'"^ section dhin volume^ non sa section par le plan E„, 
mais sa projection sur le plan E^^ ('). On obtiendrait peut-être 



(') Voici une autre difficulté qui se résout de la méiiie manière. Soit le cylindre 
de révolution r^ — a"=:i, a désignant la distance à un plan. Le plan E„ faisant 
avec l'axe du cylindre un angle très petit s, en général non nul, la section du 
cylindre par ce plan est un ellipsoïde ayant un axe égal à -: — > et les autres égaux 

_ 1 
à I ; le rayon de la sphère équivalente est (sine) « ; en général, e ne tend pas vers 
zéro assez rapidement pour qu'il devienne infini, et la valeur limite de ce rayon est 
une fonction de la direction de l'axe du cylindre. Au contraire, en prenant la projec- 
tion du cylindre sur le plan E„ (ce plan ne pouvant être perpendiculaire à l'axe 



3l8 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

de cette manière une meilleure définition de la notion de volume. 
Dans la suite, nous n'aurons pas besoin de distinguer les deux défi- 
nitions, et nous adopterons plutôt la première, qui facilite en général 
l'exposé sans rien changer d'essentiel aux résultats. 

51. Les facteurs de la forme mP semblent n'intervenir que rare- 
ment dans la comparaison des volumes, les facteurs essentiels à 
considérer étant c ou a^ suivant qu'ils sont du même ordre de gran- 
deur ou non. Par contre, les facteurs de la forme oj/^ jouent un rôle 
essentiel dans la comparaison des volumes et des surfaces. 

Dans l'espace E,,, la relation entre le volume X'^^ et la surface S,i 
d'une sphère de rajon R est 

A la limite, dans l'espace fonctionnel, on a 

3 = ^-. 

Le volume de la sphère, avec l'unité choisie, étant R^\ sa surface 
sera représentée par wR'*^~^ 

On trouve de même le volume \'^o)-i de la sphère de rajon R dans 
une variété linéaire à w — i dimensions, ou section diamétrale de la 

sphère de l'espace fonctionnel. Il suffit de former le rapport T.' » 

\ Il 

qui a pour valeur principale — 1/— i? de sorte qu'il vient 



\^o-i 



que pour un nombre fini de valeurs de /r, puisque z tend vers zéro), la /i'^"" section 
est un cylindre, dont le volume est infini. Le rayon de la sphère équivalente à un 
cylindre de l'espace fonctionnel est al(»rs toujours infini; cette conception, à ce 
point de vue plus satisfaisante, donne encore lieu à des difficultés {voir n° 83). En 
réalité, ce rayon doit être considéré comme indéterminé. 

Pour un volume fini et convexe, les deux conceptions sont équivalentes, non au 
point de vue de l'évaluation du volume, mais pour le calcul de la moyenne d'une 
fonctionnelle uniformément continue. Dans le cas d'une sphère, par exemple, peu 
importe que l'on considère le plan de la section E„, ou le plan parallèle passant par 
le centre; la différence des valeurs moyennes relatives aux deux plans tend vers zéro. 
Ce n'est que si l'on avait à prendre la moyenne dans un volume constitué par 
exemple par l'ensemble de deux sphères de même rayon, que la distinction indiquée 
deviendrait essentielle pour le calcul de la moyenne. 



CHAP. IV. — MKSUHE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 3[9 

On en déduit que la variété qui limite celte sphère, ou section dia- 
métrale de la surface de la sphère de l'espace fonctionnel, a pour 
mesure 

Il était d'ailleurs aisé de prévoir c|ue les mesures de v^, ^'^^-n 
>>, So)-i sont d'ordres de grandeur croissants. Ainsi la couronne com- 
prise entre les sphères de rajon R et R — <iR, inférieure évidem- 
ment à SdK, constitue, quelque petit que soit <iR, presque tout le 
volume \'>; il faut donc cjue S soit d'un ordre de grandeur supérieur 

De même la portion de V'^cd-m située à une dislance du centre 
supérieure à R — f/R, et qui constitue presque toute celte région, 

est la projection de la portion correspondante de la demi-sphère -> 

le rapport des éléments correspondants étant aussi petit qu'on le 

veut, si dJ\ est assez petit. Le rapport —^— est donc infiniment petit. 

Un cylindre circonscrit à la sphère et de hauteur i a pour 
volume \')(,)-i Gl pour surface ^^-i- Oi' il ^ sur une hauteur finie une 
section que la sphère n'a que sur une hauteur infiniment petite, les 
sections voisines devenant immédiatement néo^lioeables devant la 
section maxima. Il en résulte que ce volume ^^^-i et cette sur- 
face .S(,)_, sont d'ordres de grandeur respectivement supérieurs à ceux 
du volume \'^ ou de la surface ^ de la sphère de l'espace fonctionnel. 

52. La notion d'intégrale. — La notion de volume étant définie, 
il est facile d'arriver à la notion d'intégrale. 

Divisons un volume V en volumes partiels V,, Vo, . • ., V^, de 
mesures \'^<, ^^21 • • •? '^\v' Soient u une fonctionnelle bornée, et w,, 
W2, . . ., Up ses valeurs en des points choisis respectivement dans les 
volumes V,, V2, . . . , V^. Posons 

Supposons la loi de division adoptée telle que, pour y> assez grand, 
on arrive, si petit que soit le nombre positif £, à ce que les diffé- 
rences des valeurs de u en deux points d'un même volume V,- ne 
puissent pas dépasser s. En subdivisant ces volumes V/, et en for- 



320 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAIME FONCTIONNEL. 

mant à l'aide des nouveaux volumes partiels obtenus une somme a- 
analogue à 5, on a évidemment 

|a-5|<\^£. .' 

Considérons de même une division en volumes V, , Y',, . . . , V' de 
mesures ■ç\^ -^^K,^ . . ., V^^, tels que dans un même volume V la diffé- 
rence de deux valeurs de u ne dépasse pas s, et posons 

u'j étant une valeur prise par u dans le volume V) . Prenant mainte- 
nant un nouveau mode de division constitué par des volumes dont 
chacun appartient à un même volume Yi et un même volume V) , on 
est conduit à une somme a-, différant de moins de t^s; aussi bien de s 
que de s\ ce qui prouve que l'on a 

S 
De cette formule résulte que -^ a, quand z tend vers zéro, une limite 

qui ne dépend, ni des modes de division que l'on considère succes- 
sivement, ni du choix de la valeur Ui relative à chaque volume V/. 
Cette limite est la valeur moyenne de u dans le volume V ; son pro- 
duit par t^, qui représente l'ordre de grandeur de la somme s et est à 
un facteur fini près, si la valeur moyenne de a n'est pas nulle, du 
même ordre de grandeur que "C), est Vintégrale de u dans le 
volume V. Nous la représenterons par la notation 



/ 



u dp, 

V 



l'indice supérieur, mis entre parenthèses, indiquant le nombre de 
dimensions du domaine d'intégration, ou ordre de l'intégrale. 

53. Remarques. — i*' La définition de la moyenne qui précède se 
ramène aisément à celles des Chapitre II et III. Pour définir les 
valeurs relatives des différents volumes V/, il faut considérer leurs 
^^lèmes sections, et pourvu qu'on adopte dans les deux cas la même 
définition de la n'^"^^ section, cela revient au même de se placer au 
point de vue qui précède, ou à celui des Chapitres II et III. La véri- 



CIIAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 32 J 

fication de ce fait par un raisonnement rigoureux ne présente aucune 
difficulté. 

L'existence de la notion d'intégrale est donc bien établie dans les 
cas où nous avons pu former effectivement la valeur moyenne d'une 
fonctionnelle. Il reste intéressant de généraliser la théorie classique 
de l'intégrale définie en établissant l'existence de l'intégrale, en par- 
tant seulement de conditions relatives au mode de continuité de la 
fonctionnelle intégrée et de la surface limitant le volume V. Nous 
reviendrons sur cette question au Chapitre VI. 

2° Lorsqu'on définit l'intégrale d'une fonction continue dans 
l'espace ordinaire, ou dans l'espace à ri dimensions, il est indiffé- 
rent de prendre des volumes V/ ayant leurs dimensions très petites 
dans tous les sens, ou ayant certaines dimensions finies. L'essentiel 
est que dans chacun de ces volumes les valeurs extrêmes de la fonc- 
tion intégrée diffèrent de moins de s. Si l'on prend les volumes V/ 
très petits dans tous les sens, on obtient la définition classique de 
l'intégrale définie. Si l'on prend des volumes ayant certaines 
dimensions finies, par exemple ceux limités par les surfaces de 
niveau ii = const., on est conduit au point de vue de M. Lebesgue, 
qui permet l'extension de la notion d'intégrale à certaines fonctions 
discontinues. 

Dansi l'espace fonctionnel, il n'est pas possible de diviser un 
volume fini V en un nombre fini de volumes ayant leurs dimensions 
très petites dans tous les sens. Ainsi il n'est pas possible de diviser 
une sphère de rayon i en volumes dont chacun soit intérieur à une 
sphère de rayon donné t <^\] le volume de la sphère de rayon i est 
en effet supérieur à celui d'un nombre quelconque de sphères de 
rayon c. Il en résulte que, si l'on veut que l'aspect de la théorie soit 
celui du n" o2, le nombre de termes de chaque somme s étant fini, le 
point de vue de M. Lebesgue est seul possible. 

3** Le théorèuie de la moyenne, les théorèmes relatifs à l'addi- 
tion, soit des volumes V, soit des fonctions intégrées, se géné- 
ralisent sans difficulté. Il est aisé également de définir l'intégrale 
d'une fonctionnelle u ne restant pas finie, en se plaçant au point de 
vue de M. Lebesgue, c'est-à-dire en négligeant d'abord les portions 
du volume ou | ;^ | << DIL, puis en faisant augmenter Oli indéfiniment. 

4*^ Les considérations qui précèdent s'étendent aisément aux inté- 
grales de surface, et d'une manière générale aux variétés w — p fois 

LKVY. 21 



322 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

étendues. Nous désignerons de telles intégrales par la notation 



X 



{0)—p) 

u d<?. 

V 



Nous emploierons en principe les expressions volumes ou inté- 
grales de volumes^ dans le cas des régions à w dinlensions, portions 
de l'espace fonctionnel définies par des conditions d'inégalité, ou 
dans le cas des régions analogues situées dans une variété linéaire, 
variété dont la géométrie est identique, soit à celle de l'espace fonc- 
tionnel, soit à celle d'un espace à un nombre fiiil de dimensions. 
Dans le cas des variétés à 03 — i dimerisions, nous emploierons les 
expressions surfaces^ aires et intégrales de surfaces. Dans le cas 
des variétés à to — 2 dimensions, limitant une portion de surface, 
nous emploierons les expressions contours., mesures des contours^ 
intégrales étendues aux contours. 

54. La variation de l'aire d'une surface. — Considérons une sur- 
face S, qui se déforme, chacun de ses points ajant un déplacement 
normal dont nous désignerons la grandeur par 5v. Nous désignerons 
par i, l'aire de la surface et par K la courbure moyenne en chaque 
point. Dans l'espace E/^, en employant les mêmes notations affectées 
de l'indice ai, et en convenant toujours d'appeler courbure moyenne 
non la somme, mais la moyenne des courbures correspondant aux 
directions principales, la variation d'un élément d'aire d^n est 

(i) ■ hdèn-=~{n-i)Kn^^fdi>„. 

ce qu'on peut écrire, si la surface dépend d'un paramètre A, 

ou, si y^^ est le rayon de la sphère de l'espace E//_, dont le volume 
est d6n^ 

^^> -dT- —^''dï' 

Lorsque n devient infini, on est conduit à écrire, dans l'espace 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. SlS 

fonctionnel, les formules analogues 

(4) Ôc^S = — (w — i)KSv^S, 

La dernière de ces formules a seule une signification précise; les deux 
premières ne sont que des manières symboliques d'écrire la for- 
mule (6). Il est naturel de trouver, pour la vitesse de variation relative 
de d^^ une valeur infinie, puisque, non seulement cette aire varie, 
mais son ordre de grandeur varie, si K n'est pas nul, la variation de yj 
étant donnée par la formule (6); si l'on avait pour — -^ — 

d$_ 



„ une 
ah 



expression finie, cela indiquerait que le rapport -7— (de' désignant 
l'aire déformée) n'est ni nul, ni infini. 

Lorsque K = o, la vitesse de variation de yj est nulle; mais cela ne 
signifie pas que l'aire reste constante. Les seconds membres des 
formules (4) et (5) sont de la forme indéterminée o X 00, et la dérivée 
logarithmique — -^ — peut, suivant les cas, être nulle, finie ou iniinie. 
Si par exemple, en désignant par a,, «2? •••7 <^/o •••5 <^6S coor- 
données orthogonales dans l'espace fonctionnel, on considère la 
portion de surface du cylindre de révolution 

... . , l^^ 

intérieure au cylindre 



son aire, lorsque \ varie, R restant fixe, est évidemment proportion- 
nelle à X^— ' . Dans l'espace à n dimensions, le rayon de la sphère équi- 

^'alejite à cette aire (^) varie comme A''~*, facteur qui tend vers 1 



(•) Aussi bien dans l'espace E„ que dans l'espace fonctionnel, nous emploierons 
cette expression pour désigner le rayon de la sphère dont la section par un plan 
contenant le centre a l'aire considérée. Dans l'espace fonctionnel, l'aire de cette 

section et l'aire de la surface de la sphère sont dans le rapport . / ^ ; et il est 



7'm + «'' + 2H--- 


.4-aJ+^-t-.. 


ire 




«1 + «|+. 


..+ a|= l\, 



V 2710) 



indifférent de considérer l'une ou l'autre, les facteurs de la forme a** intervenant 
seuls dans le calcul du rayon. 



324 TROISIÈME PARTIK. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

quand n devient infini. Dans l'espace fonctionnel, le rayon considéré 
reste donc constant (et égal à R), comme l'indique la formule (6) 
(le cylindre considéré, n'ayant que p rayons de courbures finis, est 
une surface minima); mais l'aire elle-même varie comme A^~^ 

5o. Considérons maintenant la variation de l'aire finie 8. On peut 
être tenté d'écrire qu'elle a la valeur 



(7) . -(co-oy^ 



(ly) -1) 

K 8v di>. 



et, cette expression étant dépourvue de sens par elle-même, de 
penser qu'elle signifie que la dérivée logarithmique du rayon de la 

sphère équivalente à S est égale à la valeur moyenne de K -^. Il n'en 

est rien, et il y a lieu de n'employer qu'avec précaution des expres- 
sions de la forme (7). 

Supposons" en effet que K-^ n'ait pas la même valeur dans presque 

toute l'aire <8. Désignons par m, le plus grand nombre (algébrique- 
ment) tel qu'on ait, quelque petit que soit s, 

-K->m,-s 

dans une aire dont le rayon de la sphère équivalente ait la même 
valeur R que pour l'aire totale. Lorsque \ aune variation positive cCk^ 
on obtient une aire déformée pour laquelle le rayon de la sphère 
équivalente a la valeur R(i + m| d\). Pour aucune autre région de 
la surface, on ne peut avoir après déformation une aire comparable; 
en effet, pour toute autre région, ou bien le rayon de la sphère équi- 
valente est inférieur à R, et, variant d'une manière continue, ne peut 
devenir égal à R(i -f- m, d\) ; ou bien, ce rayon étant R, on a 

et il croît moins vite que pour la région considérée d'abord, qui 
constitue ainsi, après la déformation, presque toute la surface. La 
dérivée logarithmique de R, lorsque X croit^ est donc m^. 

Précisons le résultat obtenu. En désignant par R le rayon de la 
sphère équivalente à l'aire S, on a le droit de négliger des portions 



CH\P. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. SsS 

de Taire équivalentes à une sphère de rayon inférieur à Pi; les valeurs 
correspondantes de K-^ sont sans importance. Mais il faut tenir 
compte de toute valeur prise sur une aire pour laquelle le rayon de 
la sphère équivalente a la valeur R, bien qu'une telle aire puisse ne 
constituer qu'une fraction négligeable de l'aire totale, comme nous 
allons le voir par un exemple. 

Répartissons les coordonnées «o, ^3, •••5 <^« (supposées rangées 
dans un ordre normal et «< étant laissé de côté) en deux groupes, 
dont le premier les contienne presque tous, mais dont le second en 
contienne une infinité. Nous entendons par là que, si /i, et a?2 
désignent respectivement les nombres des coordonnées ai d'indice au 
plus égal à n appartenant à l'un et l'autre groupe, /îo devient infini, 
mais de manière que — tende vers zéro. Nous désignerons par ^,, 
b■2^ •.., ^o ... les coordonnées du premier groupe et par Cj, 
Co, . . ., c/, . . . celles du second groupe. 

Prenons pour volume V le volume 

et considérons les portions de ce volume limitées par des plans paral- 
lèles au plan a, = o. Admettons que les systèmes de coordonnées 
rangés dans l'ordre normal jouent le même rôle dans les évaluations 
de volumes que dans les calculs de moyenne; l'ordre de grandeur 
des volumes ou aires considérés s'obtiendra en considérant leur sec- 
tion par le plan des a^a.^. . .an- L'aire de* la section du volume V„, 
j^ième scction de V, par un plan <7,=:const., est évidemment pro- 
portionnelle à R"'y"^(a,). Pour n très grand, le deuxième facteur 
est négligeable devant le premier, et le rayon de la sphère équiva- 
lente à l'aire considérée est, dans l'espace fonctionnel, égal à R. Le 
volume V est donc découpé en tranches pour chacune desquelles 
le rayon de la sphère équivalente est le même; pourtant celle pour 
laquelle y («< ) est maximum est infiniment supérieure aux autres et 
compte seule pour le calcul de la moyenne d'une fonctionnelle. 

Les mêmes circonstances se produisent pour les tranches 
découpées par les plans rt, = const. dans la surface S qui limite le 
volume V. Presque toutes ces tranches sont négligeables devant celle 
pour laquelle f{ct\) est maximum, mais elles ont même rayon de 



326 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

sphère équivalente, et il suffit qu'une de ces tranches soit dilatée un 
peu plus que les autres, lorsque \ varie, pour l'emporter infiniment 
sur elles dans le calcul de l'aire déformée, et de la dérivée de celte 
aire. Si par exemple, dans l'équation du volume V, lorsque X croît, 
on remplace R par R[i + A«(a,)], c'est la tranche rendant i?(«i) 
maximum qui comptera seule dans le calcul de la variation de l'aire. 
Ainsi, parmi les contours C définis sur une surface quelconque S 

parla condition K-^r =:const., nous ne considérons que ceux pour 

lesquel le rayon de la sphère équivalente à C (ou à la portion d'aire 
voisine de G) a la valeur R. Désignons par /?î, et m-i la plus grande et 

la plus petite valeur (algébriquement) de — ^ y) S"^' ^^^ contours 

considérés. On a, d'après les considérations qui précèdent, qui 
s'étendent évidemment au cas où \ est négatif, 

... d\o^R { mi (r7X>o), 



d'X I m^ ((ifX > o). 

Si l'on considère la courbe donnant R en fonction de A, elle admet 
un point anguleux au point considéré, lorsque ni^ ^mo. Gela ne peut 
avoir lieu que pour des valeurs exceptionnelles de A, et l'on voit 
qu'en général m, = m2, c'est-à-dire que K-7T a presque partout la 
même valeur /??, les portions d'aire pour lesquelles celte quantité 
n'est pas comprise entre m — £ et m-j-s, non seulement étant négli- 
geables quelque petit que soit £, mais ayant un rayon de sphère 
équivalente inférieur à R. Ge résultat constitue une vérification assez 
curieuse du théorème général du n*^ lo. 

Si en particulier, pour une certaine valeur de A, l'aire rS est maxima, 

ou si elle varie sans que R varie, K-ry est nécessairement presque 
partout nul sur la surface correspondant à cette valeur. 

56. Gonsidérons un autre exemple, plus élémentaire que celui qui 
vient d'êlre considéré. Soit un faisceau linéaire simplement infini de 
sphères; leur intersection G est une sphère d'un plan à w — i dimen- 
sions; pour faciliter le langage, nous l'appellerons cercle. Prenons 
pour S une des portions de sphère limitée au cercle G, et désignons 
par 6 l'angle sous lequel elle coupe le plan du cercle, considéré 
comme aigu ou obtus suivant que S est la plus petite ou la plus 



LIIAP. IV. — MESURE DES VOILMES ET DES SURFACES. 3^7 

grande des deux portions de sphère séparées par C; désignons par p 
le rayon G. 

Si G est aigu, l'aire S est concentrée près de C, et, en comparant 
son aire S à l'aire ^o de sa projection orthogonale sur le plan du 
cercle C, on a 

o = r • 

cosG 

Elle croît donc avec 9, le rapport — devenant infini pour Q = — , mais 

le rayon R de la sphère équivalente reste égal à p, même pour Q = — 
{voii' la note du n° oi). Au contraire, pour 6 obtus, S constitue 
presque toute la sphère de rayon ■; — ^-^> et R, égal à ce rayon, croît 
avec 9. 

Si maintenant nous voulons appliquer les considérations du 
numéro précédent, il faut comparer les éléments des différentes 
sphères situés sur des trajectoires orthogonales à ces sphères, c'est- 
à-dire sur des cercles orthogonaux. Lorsque 6 croît, chaque élément 
d'aire est remplacé par un élément d'aire plus grand, le rayon de la 
sphère équivalente à cet élément croissant. Mais il croît d'autant 
moins vite que l'élément considéré est plus près du cercle G, et, tant 
que le voisinage de ce cercle constitue presque toute la sphère, c'est- 
à-dire tant que 6 ne dépasse pas -) on s'explique que cette aire croisse 

en restant du même ordre de grandeur, bien que ce soit une somme 
d'éléments pour chacun desquels l'ordre de grandeur aille en aug- 
mentant. 

L'ordre de grandeur de chaque zone sphérique comprise entre 
deux plans très voisins parallèles à celui de C étant défini par son 
rayon, on s'explique que, dès que 9 est obtus, apparaissent des zones 
qui l'emportent sur celle voisine de G, et que R augmente. 

57. Relations entre un volume et la surface qui le limite. — Nous 
avons déjà observé qu'un volume V, de dimensions finies, est con- 
centré sur la surface S qui le limite. Gette circonstance est tout à fait 
générale, que cette surface soit convexe ou non. En effet un volume V, 
homothétique de V, le rapport d'homothétie étant inférieur à i et 
très voisin de ce nombre, est négligeable devant V. Les régions de V 



328 TROISIÈME PARTIR. — MOVENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

extérieures à V constituent donc presque tout le volume V; or elles 
sont voisines de la surface S. 

Pour mesurer V, on peut donc considérer ce volume comme formé 
d'éléments dY voisins de la surface S, ayant pour bases des élé- 
ments <iS, et limités latéralement par des normales à cette surface; 
ils seront limités d'autre part vers l'intérieur de V à une surface S| 
voisine de S, et dont la détermination est sans importance; ce qui est 
à l'intérieur de cette surface peut être négligé. 

D'autre part on peut se contenter de considérer les portions de la 
surface S pour lesquelles la courbure^ moyenne K est dirigée vers 
rintérieur. Pour les autres, en effet, les éléments d\ considérés 
s'élargissent lorsqu'on s'éloigne de la surface, vers l'intérieur, et en 
les prolongeant au delà de S,, on a des éléments d\\ plus grands 
que les éléments dV correspondants. Étant à l'intérieur de V, ils ne 
constituent par leur réunion qu'une portion négligeable du volume 
total, et il en est de même a fortiori des éléments d\ corres- 
pondants. 

Pour la même raison, on peut négliger les portions de surface pour 
lesquelles K = o. 

Considérons maintenant deux éléments égaux, d'S et c/S', pris dans 
la région pour lesquels K est positif, et cherchons à comparer les 
éléments correspondants dW et d\' . A cet effet, considérons-les 
comme décrits par des éléments d'une surface S, allant de S à S, 
quand le paramètre \ dont elle dépend varie -de zéro à une valeur con- 
venable, et définie par la condition que K -^ = i sur toute la surface S. 

D'après la formule (6), les sections des éléments d\ et dW' par 
chaque surface S sont du même ordre de grandeur (*), et si ces 
éléments ne sont pas égaux, c'est que leurs hauteurs ne sont pas 

égales, mais proportionnelles aux valeurs correspondantes de -jt; 

comme d'ailleurs les portions de volume non voisines de S sont 
négligeables, il importe peu que les surfaces 2 n'aient pas aux points 
correspondants même courbure moyenne que S; il n'y a qu'à consi- 
dérer les courbures moyennes K et K' des éléments <iS et <:/S', et 



(^) Nous disons du même ordre de grandeur, el non égaux. En se plaçant dans 
l'espace E„, et effectuant ensuite le passage du fini à l'infini, il est facile de lever 
Tobjection résultant de cette circonstance et de rendre le raisonnement rigoureux. 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 829 

l'on a 

dS ~ dS' ' 

dS, d6\ d-^^ d-^)' désignant respectivement les mesures des élé- 
ments dSj dS', <iV, dV' . 

On peut en particulier appliquer ce résultat en prenant pour ds' 

un élément d'une sphère de rayon a. Le rapport — j^ a partout la 

même valeur sur la sphère; cette valeur est donc —^, X^' et S' désignant 

le volume et la surface totale de la sphère. D'après le n° 51, cette 
valeur peut être désignée par w, et il vient 

/ \ j,c, dS 

(9) '='^' = iû;' 

et pour le volume total \'^, 

(.0) ^''=^^'-^(k 

D\L désignant une moyenne sur la surface S. 

De la formule (9) résulte immédiatement l'énoncé suivant : 

La moyenne, dans un volume V, d' une fojictionnelle unifor- 
mément continue, est égale à sa moyenne sur la surface S qui le 
limite, calculée en donnant à chaque élément de surface un poids 
proportionnel au produit de sa mesure par soji rayon de cour- 
bure moyenne. On peut d^ailleurs ne tenir compte que des por- 
tions de surface pour lesquelles ce rayon est fini et dirigé vers 
r intérieur. 

Remarquons que ces résultats supposent l'existence, sur presque 
toute la surface, de plans tangents déterminés, et continus à la 
Lipschitz (c'est-à-dire que les rayons de courbure principaux sont 
limités inférieurement). Ce n'est en effet qu'à cette condition que le 
volume situé entre S et S, sera, pour un choix convenable de Sj, 
décrit une fois et une seule par des éléments de normales à S. 

Si par exemple nous considérons le volume compris entre un plan 
et une calotte sphérique, et comprenant moins de la demi-sphère, 
presque toute la surface est dans le voisinage des points anguleux et 
nos raisonnements ne s'appliquent pas. Nous constatons en effet 
qu'une surface minima, le plan, constitue une fraction finie de la 



33o TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

surface totale, ce qui n'est pas possible pour une surface régulière 
fermée. 



58. Variation d'un volume. — Des remarques analogues à celles 
relatives à la variation des surfaces s'appliquent à la variation des 
volumes. Soit à étudier la variation de la mesure \') d'un volume V 
limité par une surface S qui se déforme, ou, ce qui revient au même, 
le volume décrit par cette surface. On peut la représenter par 
l'expression 

J^ {(0-1) 
s 

à condition de prendre les mêmes précautions que pour l'expres- 
sion (7). 

Nous savons que l'expression — (to — i)K8v(i^ de la variation 
de dS indique que, si K ôv ^ o, l'aire déformée devient, dès que X varie, 
négligeable devant l'aire initiale, de sorte que la variation de dé^ pour 
une variation finie de )^, si petite soit-elle, est — de. De même, 
l'expression ov dS du volume élémentaire décrit par l'élément dS 

indique que, pour une variation finie de X, on a le volume 777 -^ 

^^'^ ' K((xj — i) 

. fis ' . • 1 

ou, ce qui revient au même, -j^^ — ? puisque co et w — i sont équivalents; 

on retrouve ainsi l'expression (9). 

Le rajon de la sphère équivalente au volume \ est, d'après la for- 
mule (10), égal à celui de la sphère d'aire équivalente à Faire S. Sa 
variation est donc la même, et dépend des valeurs de Kôv. Cela peut 
surprendre à première vue, l'expression ù d'Ç =^ ov dS ne contenant 
pas K; mais si l'on remplace dS par sa valeur KiodY tirée de la for- 
mule (9), on a pour la variation ù d'Ç l'expression Kio^yd'Ç tout à 
fait analogue à l'expression (4) de ^ dS et entraînant les mêmes con- 
séquences. 

59. Les variétés à w — 2 dimensions. — Plaçons-nous d'abord 
dans l'espace E„, et considérons un cojitour C, ou variété k n — 2 
dimensions, intersection de deux surfaces S et S'. En un point A de 
ce contour, désignons par AN et AN' les normales à S et à S', par II 
le plan tangent à G, intersections des plans P et P' tangents à S et S', 
par AT une droite variable de ce plan. On peut étudier le contour G 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 33 1 

en étudiant ses sections par les plans à 3 dimensions ATNN' ; ce sont 
des courbes, admettant une normale principale AH, le plan ATH 
pour plan osculateur, et une courbure k que nous représenterons 
géométriquement par un vecteur v égal à k dirigé sijivant AH. 

Faisons décrire à AT le plan II. Soit v^ la moyenne, au sens géo- 
métrique, du vecteur v^ étant entendu que l'on accorde des poids 
égaux à des vecteurs décrivant des angles solides égaux; c'est une 
moyenne sur une sphère de l'espace à n — 2 dimensions. Chaque 
vecteur ç ayant pour projections sur AN et AN' les courbures des 
sections des surfaces S et S' par les plans ANT et AN'T, le vecteur Vm 
a pour projections les courbures moyennes K, et K'j de la section 
de S par le plan (11, AN) et de celle de S' par le plan (n, AN'). 

Nous appellerons la droite AH, qui porte ce vecteur, la normale 
principale moyenne du contour G; sa longueur K/„, courbure 
moyenne de ce contour; le plan déterminé par n et cette normale, 
plan osculateur moyen. 

Si 9 et 8' désignent les angles de la normale principale moyenne 
avec AN et AN', comptés positivement de AN vers AN', et a l'angle 
de AN et AN', on a 

(«2) I\/«= -R= -r,y 

cos6 cos6 

(i3) 6 — 0'=a. 

Les formules (12) généralisent le théorème de Meusnier; les for- 
mules (12) et (i3) permettent de déterminer A*, 9, et 6'. La construc- 
tion géométrique du centre de courbure moyenne (situé à la dis- 
tance 7 sur la normale principale moyenne) est la même que dans 
l'espace ordinaire; M et M' étant les points situés sur AN et AN' aux 
distances tt ^^ tff^ ce centre est le pied de la perpendiculaire abaissée 

de A sur MM'. 

Ces différentes notions s'étendent sans peine au cas de l'espace 
fonctionnel. Dans ce cas, en vertu des résultats connus sur la 
moyenne d'une fonctionnelle sur une sphère, on remarque de plus 
que : 

1^ Le centre de courbure des sections de C par les plans ATNN' 
sont presque tous confondus avec le centre de courbure moyenne; le 



332 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

plan osculateur a presque toujours la même position; le rajon de 
courbure a presque toujours la même valeur; 

2° Les nombres K, et K', sont égaux aux courbures moyennes K 
et K' de ces surfaces; les formules (i:^) s'écrivent donc 

(14) K,„= ^ *'' 



cosO cosO" 

les points M et M' sont les centres de courbure moyenne des sur- 
faces S et S'. 

60. Des considérations analogues aux précédentes s'étendent aisé- 
ment à la notion de courbure géodésique sur une surface. 

Pour une courbe tracée sur la surface S, la courbure géodésique 
est la courbure de sa projection sur le plan tangent; elle est repré- 
sentée par le vecteur i'o^, projection du vecteur ç sur ce plan. 

Lorsqu'on considère les différentes courbes tracées sur S, sections 
d'un contour G de cette surface par tous les plans à trois dimensions 
contenant le plan ANN, normal à G, les vecteurs i^«^ ont tous même 
direction AN,, située dans le plan tangent à S et normale à G. Leur 
moyenne est la projection du vecteur (',„, moyenne au sens géomé- 
trique des vecteurs v; c'est la courbure géodésique moyenne de G, 
projection de sa courbure moyenne, ou, ce qui revient au même, 
courbure moyenne de sa projection sur le plan tangent à S. Dési- 
gnant sa grandeur par K^, on a évidemment 

(i5) K^= K„,sin0 =KtgO. 

Nous désignerons par géodésiques d^ ordre to — 2, ou simplement, 
lorsqu'il n'y aura pas ambiguïté, géodésiques^ les variétés à w — 2 
dimensions pour lesquelles K-= o. (On définirait de même les géo- 
désiques de divers ordres; les remarques qui précèdent s'étendent 
en effet sans peine aux variétés à w — p dimensions; on peut aussi 
les étendre aux variétés à p dimensions; mais dans ce cas, les deux 
remarques finales dn numéro précédent ne s'appliquent pas.) 

La formule (i 5) nous montre que, si la surface S n'est pas minima, 
une géodésique est une variété à to — 2 dimensions dont le plan 
osculateur moyen est normal à la surface. 

D'après la formule (i4), une surface minima, contenant un con- 
tour G dont la courbure moyenne n'est pas nulle, admet pour plan 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 333 

tangent, en chaque point de C, le plan oscillateur moyen de ce contour; 
réciproquement, si elle est tangente à ce plan, sa courbure moyenne 
est nulle pour les points de G. Si C est sur une surface S non minima, 
nous voyons que la condition nécessaire et suffisante pour les sur- 
faces minima contenant G soient normales à S, est que G soit une 
géodésique de S. 

On remarque que la condition imposée à une surface contenant G 
d'être minima entraîne que cette surface ait un plan tangent déter- 
miné, comme si l'étude des surfaces minima dépendait d'une équation 
du premier ordre, et non du second. Des circonstances analogues 
joueront un grand rôle dans le Ghapitre suivant. Dans l'espace à 
n dimensions, une surface minima S contenant un contour G peut de 
plus avoir un plan tangent arbitraire ; mais celles qui touchent le 
plan osculateur moyen de G sont caractérisées par une circonstance 
particulière : elles ont avec la normale principale AH moyenne de G 
un contact du second ordre. Ainsi, la courbure moyenne étant la 
moyenne des courbures des sections normales de S tangentes à 
n — ■ 1 directions du plan P perpendiculaires deux à deux, on peut 
prendre n — 2 directions dans le plan 7t tangent à G, la dernière 
étant AH; les courbures correspondantes sont nulles en moyenne 
dans chacun des deux groupes. Lorsque n devient infini, la courbure 
relative à une direction unique n'a plus d'importance dans le calcul 
de la moyenne; il est alors indifférent que la surface 2 ait avec AH 
un contact d'ordre 2; la condition pour que sa courbure moyenne 
soit nulle est que les courbures normales correspondant aux direc- 
tions du plan n soient nulles en moyenne, c'est-à-dire que le plan 
tangent à S soit le plan osculateur moyen de G. 

61. L'étude de la déformation d'un contour sur une surface S est 
analogue à celle d'une surface dans l'espace. Il y a même identité, 
si S est un plan, rien ne distinguant la géométrie d'un plan à oj — i 
dimensions de celle de l'espace fonctionnel. On passe de là à une 
surface quelconque en assimilant chacun de ses éléments à un élé- 
ment de plan; il en résulte des erreurs sur les angles ou des erreurs 
relatives sur les longueurs, qui sont infiniment petites du second 
ordre, et par suite sans influence sur les variations premières des 
quantités considérées. Toutes les considérations des n°' 34 à 08 
s'appliquent donc, matatis mutandis ; précisons en particulier que 



334 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

la notion de courbure moyenne d'une surface est remplacée par celle 
de courbure g-éoc/ésique moyenne d'un contour. 

En particulier, par extension des résultats qui terminent le n** oo, 
si une surface fermée S est décrite par un contour G dépendant d'un 
paramètre a : 

i" Sauf au plus pour certaines valeurs exceptionnelles de X, la 
courbure géodésique moyenne de chaque contour G a presque par- 
tout la même valeur; 

2"" 11 existe évidemment au moins une valeur de A pour laquelle le 
voisinage de G constitue une fraction finie de la surface; pour le 
contour G correspondant, la courbure géodésique moyenne est 
presque partout nulle. 

Remarquons aussi que si une portion S de surface, d'aire S, est 
limitée par un contour G, de mesure G, dont la courbure géodésique 
moyenne soit presque partout dirigée vers S, on a, par générali- 
sation de la formule (lo), 

(.0) S = _^o,L(J-)=_i-/-'^"^'4§. 

62. Décomposition en carrés d'une forme quadratique. — Avant 
d'indiquer d'autres applications des notions de volume et d'aire, à 
l'étude du volume de l'ellipsoïde et de la courbure totale des sur- 
faces, il est nécessaire de rappeler quelques résultats, dus à MM. D. 
Hilbert (') et E. Schmidt (-), et rapidement devenus classiques, sur 
la décomposition en carrés d'une forme quadratique^ c'est-à-dire 
d'une fonctionnelle entière et homogène du second degré. Pour plus 
de détails, ou pour les points qui seront indiqués sans démonstra- 
tion, le lecteur peut se reporter au Mémoire de M. E. Schmidt ou 
aux Ouvrages déjà cités sur la théorie des équations intégrales (pre- 
mière partie, n° 100). 

Si étant donnée une forme quadratique U, nous arrivons à trouver 
une suite de fonctions orthogonales et normales 

/l(0, Ait), ..., fn(t), ..., 

(') D. Hilbert, Grundzuge einer aUgemeuien Théorie der linearen ïnlegral- 
gleichungen {Gôttinger Nachrichten, années igo^ et suiv.). 

(^) Schmidt, Zur Théorie der linearen und nlcht linearen Integralgleichungen 
{Mathematlsche Annalen, t. 63 et suiv.). 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 335 

telle que 

U = Cl af -4- C2 a| -H . . . -4- C/, a,^i + . . . , 



Un= f Mt)T{t)dt], 



la forme quadratique sera décomposée en cannés. Une telle décom- 
position n'est d'ailleurs pas toujours possible, comme nous allons le 
voir en cherchant à généraliser la théorie relative au cas des formes 
quadratiques de n variables. 

Les directions des axes de coordonnées a^^ a^^ . • ., a^, . . ., ou 
axes de la quadrique U=:const., s'obtiennent en cherchant les 
points où cette quadrique et la sphère r^rzzconst. ont même plan 
tangent, c'est-à-dire où la variation ô(XU — r-) est identiquement 
nulle, X étant un coefficient convenable. L'équation en x{t) ainsi 
obtenue est en général une équation intégrale, naturellement linéaire 
et homogène. 

63. Forme normale de Gâteaux. — Plaçons-nous d'abord dans le 
cas où U a la forme normale de Gâteaux 

(i;) ^~f I ?{fy '^)^{0^i''-)dtdz, 

o(^, t) étant symétrique et de carré sommable. On a 

8(XU — r») =2 r oa;it)dt\\ f ^(t, x) x(z) dz — x(t)\. 

Les fonctions x{t) annulant cette variation sont donc les solutions 
de l'équation de Fredholm, homogène et à noyau symétrique 

(i8) x{t) = \ f o{t,')x{'z)dz. 

11 n'existe de solution non identiquement nulle de cette équation 
que si X est une des racines 

(19) Xi, X2, ..., X,j, ... 

de son déterminant; ce déterminant étant une fonction entière de X, 
ces racines, que l'on appelle nombres fondamentaux ou caracté- 
ristiques de l'équation (18), ou bien sont en nombre fini, ou bien 



336 TROISIEME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

croissent indéfiniment. Dans la suite (19), nous supposerons chaque 
racine écrite un nombre de fois égal à son ordre de multiplicité. 

A une racine simple "k^ correspond une solution yrt(^) de l'équa- 
tion (18), définie à un facteur constant près. Nous supposerons ce 
facteur choisi de manière que^la fonction y„(^) soit normale. 

A h racines égales correspondent des solutions de l'équation (18), 
fonctions linéaires à coefficients arbitraires de h d'entre elles, qu'on 
peut supposer orthogonales et normales, et que nous ferons corres- 
pondre aux racines considérées. 

A la suite des nombres fondamentaux correspond ainsi une suite 
de solutions fondamentales 

(20) A(0, Ait), ..., fn{t), ... 

de l'équation (18). Je dis que ces fonctions sont orthogonales et nor- 
males. 

D'après la manière dont nous les avons choisies, elles sont nor- 
males, et celles qui correspondent à des valeurs égales de X sont 
orthogonales. Il reste à vérifier que deux fonctions /„(^) etfp{t)^ 
correspondant à deux valeurs distinctes A^^ et \p^ sont orthogonales. 

On a, par définition defn{t)j 

Mt)=\n f <^(t,z)Mz)ch, 

d'où, en multipliant par 'kpfp{t) dt et intégrant de o à i , 

, kp f Mt)fp(t)dt = -kn>^p f f <o{t,'z)f,{t)fn{'z)dtdx. 

Le deuxième membre ne change pas si l'on intervertit les indices n 
elp. Il en est donc de même du premier, ce qui donne 

(In-lp) f fn{t)fp{t)dt = 0. 

Le premier facteur n'étant pas nul, le résultat énoncé est établi. 

64. On peut établir une théorie des développements des fonctions 
de carrés sommables de deux variables en séries de fonctions ortho- 
gonales, analogue à celle déjà exposée dans le cas d'une variable. 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 337 

Nous considérerons à cet effet deux suites complètes de fonctions 



orthogonales et normales 



( 2 I ) 






Les fonctions /p(^)^-y(':), considérées comme fonctions des deux 
variables t et t, sont orthogonales et normales dans le carré 
o <i t<^i, o<<':<i. 

Soit d'abord une fonction cp(^, t) continue dans ce carré. On peut, 
pour chaque valeur de t, la représenter par une série de fonctions 
/n{t)^ les coefficients 






pouvant eux-mêmes se représenter par une série de fonctions gn{'^)' 
On est ainsi conduit à représenter cp(/, t) par la série 



(22) 
où 



2 ^''r,7fp(nê''/{'^. 



p = i q: 



(23) cp^,j= f f f,,(t)g^iz)f{t,z)dtdi. 

On vérifie d'ailleurs sans peine qu'elle converge en moyenne 
vers(p(^, t). 

Si la fonction co(^, t) n'est pas continue, mais seulement de carré 
sommable, on peut en approcher en moyenne, autant qu'on veut, par 
une fonction continue, et par suite, par une somme limitée de la 
forme (22). Or de toutes les sommes de cette forme, formées avec 
des systèmes déterminés d'indices yw, q, mais des coefficients indé- 
terminés, on vérifie sans peine que celle qui approche en moyenne 
le plus de C3(^,':) est celle formée avec les coefficients (23), projections 
de la fonction cp(^, t) sur les vecteurs qui représentent //,(^)^<y(T) 
dans l'espace fonctionnel à 20) dimensions qui représente les fonctions 
de carrés sommables de deux variables. 11 est donc certain que la 
série (22), p ei q prenant toutes les valeurs entières, converge en 
moyenne vers cp(^, t). 

Inversement, si les coefficients Cp^q sont donnés, et tels que S^ 
soit finie, on vérifie sans peine que la série (22) représente une 

LIÎVY. 22 



338 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

fonction cp(^, t) de carré soinmable, et que 

60. Appliquons ces résultats au cas où l'on prend pour fonction 
cp(^, t) la fonction symétrique, nojau de l'équation (18) et pour suite 
des /p(t) et pour suite des gph) la suite (20), supposée complète. Il 
vient 

^P,^= f fp(t)dt f f,{x)^{t,x)d-=± f f,{t)f,{t)dt, 

c'est-à-dire o, si p et q sont différents, etr— ? s'ils sont égaux. On a 
alors 

(,5) ,u,x)=/lii^'-^-...+ :MiiA(l)^..., 

Al A/2 

cette série étant, sinon convergente, du moins convergente en 
moyenne, dans le carré o<^^<^i, o<^':<^i, et 



f f ?H- 



(26) / / C&2(^ X)r//^T= r^ -4-...+ -^ 



formule qui montre que les X„, racines du déterminant de l'équa- 
tion (18), ne sont pas des nomb'res quelconques, mais doivent croître 
assez vite pour que cette série converge. 

En portant cette expression dans la valeur de la fonctionnelle U, 
on trouve 

(27)^ , U= yL+...-+-^+..., 

'^ 1 r^n 

série qui est bien convergente, puisque llaf^ est fini et que les an 
augmentent indéfiniment. 

66. 11 peut arriver que la suite (20) ne soit pas complète. Les 
séries ^Cp^qfp{t)fg(^^) ne représentent pas dans ce cas toutes les 
fonctions de carrés sommables. Le résultat fondamental de 
M. Schmidt consiste en ce qu'elles peuvent certainement représenter 
le noyau cp(^, t) dont la suite (20) est déduite. Alors les formules (25), 
(26) et (27) restent valables, la série de la première formule étant 
convergente en moyenne, et les autres étant convergentes. 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 339 

Pour montrer la possibilité, soit de ce cas, soit du précédent où la 
suite (20) est complète, il suffit de se donner a priori cette suite, finie 
ou infinie, et dans ce dernier cas complète ou incomplète, puis les X^ 
tels que la série (26) converge. La série (aS) définit alors la fonction 
de carré sommable cp(^, t), et il est bien évident que l'équation (18), 
pour ) =: A;j, admet la solution /;î(/), de sorte qu'en partant de cette 
équation, on retrouve la suite des fonctions /«(^) choisies. 

67. Gomme conclusion de ce qui précède, nous voyons que la 
fonctionnelle (17) est toujours décomposable en un nombre fini ou 
une infinité dénombrable de carrés orthogonaux. En d'autres termes, 
on peut rapporter la quadrique U 1= const. à ses axes, comme nous 
nous étions proposés de le faire. 

Si la suite (20) n'est pas complète, le système des coordonnées «j, 
«2. •••5 (^Wj ••• peut être complété par d'autres coordonnées 6,, 
b'2, .... Ces dernières n'intervenant pas dans l'expression (27), la 
quadrique U = const. est du type parabolique; d'une manière plus 
précise, c'est un cylindre, ayant ses plans générateurs parallèles au 
plan 

«j = «2 = . . . = (^11 = . . . = O. 

Si la suite (20) est complète, la quadrique U = i est du type 
ellipsoïde ou du type hyperboloïde suivant que les X^ sont ou non 
tous du même signe. 

Dans un cas comme dans l'autre, les demi-axes ont la valeur 
In = s/\n' On remarque qu'ils deviennent infinis, la série ^ -p^ étant 
convergente. 

68. Forme normale quelconque. — Des circonstances toutes diffé- 
rentes se présentent si U n'est pas une fonctionnelle de Gâteaux. 
Supposons-la de la forme 

(•28) U = r ^(t)x^(t)dt. 

La condition ô(aL — r-) =i o s'écrit 

x{t)[l 4^(0 — 1] = o. 

ï^our aucune valeur de X, elle n'est vérifiée pour une fonction non 
identiquement nulle, du moins en général. Pour expliquer cette circons- 



34o TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

tance, appliquons la méthode du passage du fini à l'infini. Remplaçons 
d'abord <|>(^)par une fonction simple d'ordre n égale successivement 

àtj>,, '^2, . . ., 'ha- Dans l'intervalle ( ? - j ? le facteur)/i>(0 — i s'an- 
nule si l'on prend A = -- , et la condition précédente est vérifiée si 

x(^i) est nul en dehors de cet intervalle. Si nous nous bornons aussi 
pour xij) aux fonctions simples d'ordre ai, nous n'avons qu'à prendre 

comme valeur de x{^t) correspondant à la valeur Xf=i j- •> la fonction 

Xii^t) égale à y/ ai dans l'intervalle ( ? - j et nulle en dehors de cet 

intervalle, et nous avons la formule de décomposition en carrés 

en posant ^(^) =: 2ai;rt(^), c'est-à-dire que \iz=i\Jnai est la valeur 
de xi^t) dans l'intervalle 



Quand n augmente indéfini aient, l'ensemble des valeurs caracté- 
ristiques de X tend vers l'ensemble de toutes les valeurs de -r-, — : on 

. ^^^^ 

dit qu'il forme un spectre continu^ tandis que, dans le cas précé- 
dent, on avait un spectre discontinu. La somme des carrés tend alors 
non vers une série, comme dans l'exemple précédent, mais vers une 
intégrale, qui n'est autre que l'intégrale (28). Chacune des fonctions 
Xii^t) ne converge pas en moyenne vers une fonction de carré som- 
mable, puisque son module fonctionnel restant égal à i , elle tend 
vers iéro, sauf en un point de l'intervalle (o, i) ; ceci explique que 
nous n'ayons pas pu trouver de fonction de carré sommable corres- 
pondant à chacune des valeurs caractéristiques À ■=^ ~rr~\ ^^ annulant 
a(XU-r2). 

C'est d'ailleurs cette circonstance qui caractérise le cas du spectre 
continu, et non le fait que les longueurs des demi-axes des n}^"^^^ sec- 
tions aient pour valeurs limites toutes les valeurs d'un certain inter- 
valle. Cette dernière circonstance est réalisée aussi par exemple pour 
la quadrique 



les Cn étant finis et partout denses dans un certain intervalle ; mais en 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 34 1 

direction, les demi-axes de la quadrique tendent vers des droites 
limites déterminées, situées dans l'espace fonctionnel, c'est-à-dire 
représentant des fonctions de carrés sommables ; c'est ce qui caracté- 
rise le cas du spectre discontinu. 

Si la fonction <{/(^) garde un signe constant sans s'annuler, la 
forme L sera définie, la quadrique U = const. étant du type ellip- 
soïde. Si ^(t) s'annule dans une partie de l'intervalle (o, i), la qua- 
drique L = const. sera un cylindre, elliptique ou hyperbolique sui- 
vant que les valeurs non nulles de ^(t) sont toutes de même signe 
ou non. Si '^(t) change de signe, en ne s'annulant que pour les points 
d'un ensemble de mesure nulle, ce qui est indifférent pour la fonc- 
tionnelle L , la quadrique est du type hyperbolique. 

De toute façon, les demi-axes de la quadrique U == i prennent 

toutes les valeurs de la fonction -^== • 

69. On obtient naturellement des circonstances plus générales 
pour la forme 

(29) • ^' = / / ^{t, 'z)x{t)x{')dtdi-\- j ^{t)x^(t)dt 

qui comprend les deux précédentes comme cas particulier. La condi- 
tion o(}.U — 7-2) = o s'écrit 

x(J)[j — l ^(f)] = \ f ro{t. z)xi'z)d'z. 

Tant que | ^ | -^ t^w-j ')i^ désignant le module maximum de 'i>(^), 

on peut diviser par i — \hiyl)^ ce qui ramène l'équation à la forme 
de Fredholm, et la solution est donnée par les formules habituelles; 
on ne peut avoir qu'un spectre discontinu. Mais le spectre peut 

devenir continu dès que | À | dépasse la valeur — • 

70 Forme générale. — Des circonstances différentes encore se 
produiront pour les formes qui ne sont pas normales. Soit, par 
exemple, la fonctionnelle déjà considérée 



<3o) U = /■ xU)x{\ — t)dt 



V — I x{t)x{\ — t 



342 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

La condition S(XU — /•-) = o s'écrit 

X^(i — t)=^x{t). 

Pour que cette formule soit vraie à la fois pour t gI \ — ^ ^, il faut 
que Irzrzhi. Pour la valeur caractéristique i, les fonctions x{^t) 
correspondantes doivent être telles que x{t) =^ x{y — ^), c'est-à-dire 
paire^ si on la prolonge pour t négatif de manière qu'elle admette la 
période i . Pour \^=z — i , les fonctions correspondantes seront 
impaires. On a ainsi deux valeurs caractéristiques d'ordres infinis, 
et en développant les fonctions paires en série de fonctions orthogo- 
nales et normales 

Mt), Ait), .... f,,it), ..., 

et de même les fonctions impaires en une série analogue de fonctions 
on arrive à la formule 



^^ r^r ^(^) -+-^(1-^) 1--^^ r'r x(t)~x{i-t) y 



dt=zi,(— i)«a2 



On voit que nous obtenons une décomposition en une infinité 
dénombrable de carrés, mais dans laquelle les coefficients alternati- 
vement égaux à — I et à -f- i , ne tendent pas vers une limite. Cette 
circonstance ne semble pas pouvoir se produire avec une fonction- 
nelle normale; en tout cas, elle ne le peut pas, comme nous l'avons 
déjà remarqué, si la suite des fonctions//, (^) correspondant aux axes 
est la suite (6) du Chapitre précédent. 

Elle se produira au contraire, en général, avec une fonctionnelle 
générale donnant lieu à un spectre discontinu, puisqu'une telle fonc- 
tionnelle peut être obtenue en choisissant arbitrairement les directions 
des axes, et une suite de nombres c,, Co, . . ., c„, . . ., dont les modules 
soient bornés, et en posant 

U = Cl a| -h C2 a| 4- . . . + c,j a;^ -I- . . . . 

71. Le volume de l'ellipsoïde. — Proposons-nous d'évaluer le 
volume de l'ellipsoïde dans les différents cas que nous venons de 
considérer. Soit d'abord Tellipsoïde c", d'équation 

(3i) u = ^-f-^-f-...-h^-f-...= i, 

Al A2 A/i 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SUBFACES. 343 

le système des axes des «i, a^-, . . ., «„, . . . étant supposé complet, et 
les \ji étant des nombres positifs, augmentant indéfiniment que nous 
supposerons rangés par ordre de grandeurs croissantes (si 2^ Y^ 

converge, U est une fonctionnelle normale de Gâteaux) . 

La section de cet ellipsoïde par le plan des a,, a^-, • . -, ci,i est un 
ellipsoïde, équivalent à une sphère du même plan, dont le rajon, 
moyenne géométrique des demi-axes v/)m,v/>*^2, ..., y/X,, augmente 
indéfiniment avec ai. A la limite, le volume de l'ellipsoïde i.' apparaît 
comme supérieur à celui de n'importe quelle sphère. 

Au lieu de la section de l'ellipsoïde C par le plan des a^^ a>. ...^a,n 
on peut considérer sa /i'^™^ section c„, soit au point de vue du n'' 48, 
soit au point de vue du Chapitre HT, les axes étant seulement diffé- 
rents de ceux de l'ellipsoïde. Nous allons montrer que les demi-axes 
de l'ellipsoïde C,i, rangés par ordre de grandeurs croissantes, tendent 
respectivement vers y/X,, y/Xg, . . ., de sorte que la conclusion relative 
au volume de l'ellipsoïde C reste exacte à ce nouveau point de vue. 

Pour simplifier le raisonnement, nous supposerons les \„ tous 
distincts; il n'y aurait aucun changement essentiel si l'on en suppo- 
sait plusieurs égaux. 

Pour n assez grand, le plan de l'ellipsoïde Cn approche autant 
qu'on veut de tout point de l'espace fonctionnel, et en particulier des 
extrémités de l'axe des «, dans l'ellipsoïde C. Par suite, €„ contient 
des points dont la distance au centre, évidemment toujours supé- 
rieure à \/T,, approche autant qu'on veut de cette valeur. Donc le 
plus petit demi-axe de l'ellipsoïde C^ tend en grandeur vers y/X( et 
par suite en position vers l'axe des a<. 

Dans la section de l'ellipsoïde Cn par le plan perpendiculaire à cet 
axe, plan qui tend vers le plan a^:= o^ la distance au centre devient 
et reste supérieure, pour n assez grand, à y/Xo — s, s étant un nombre 
positif arbitrairement petit. Les deux points de cette section les plus 
rapprochés du centre tendent alors vers les extrémités de l'axe des «2 
dans l'ellipsoïde »!'. Le second des demi-axes de l'ellipsoïde *!'«, rangés 
par ordre de grandeurs croissantes, tend donc versy/Xg; et ainsi de 
suite. c. Q. F. D. 

72. Plaçons-nous maintenant dans le cas de l'ellipsoïde 

32) U = A,af 4- A2a|4-. . .-h A,ja,^^. . .= i, 



344 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

les A„, tous positifs, ayant une limite fmie et non nulle —> Les lon- 
gueurs des demi-axes tendent vers L, et peuvent être tantôt infé- 
rieures, tantôt supérieures à cette valeur. On peut appliquer le 
principe du raisonnement précédent, en cherchant séparément les 
plus grands et les plus petits demi-axes de la /i'^™** section. On trouve 
ainsi que les demi-axes de cette section tendent respectivement 

vers -7=.) -7=^» • • •) le nombre de ceux qui ne sont pas compris entre 
v/â; y/As M F F 

L — £ et L-f-£ restant fini, quelque petit que soit s. f^e rayon de la 

sphère équivalente tend alors vers L. 

On peut même obtenir un résultat plus précis, dans le cas où le 

produit 

a une limite déterminée, finie, infinie ou nullef, mais indépendante de 

l'ordre des facteurs, c'est-à-dire quand la série 2( A„— -r^ ) n'est pas 

semi-convergente. Ce produit représente le rapport du volume de la 
sphère de rayon L dans l'espace E/^ à celui de la section de l'ellip- 
soïde (82) par le plan des a< «o- • • ^//« Si au lieu de cette section on 
considère la /i'^°* section de l'ellipsoïde dans un système quelconque, 
on démontre que le rapport du volume de la sphère de rayon L dans 
l'espace E„ à celui de cette /^'^'"° section a la même limite, finie, 
infinie, ou nulle. Ce résultat donne une idée plus précise du volume 
de l'ellipsoïde (32) que ne le fait la connaissance du rayon L de la 
sphère équivalente. 

73. Dans les cas que nous venons de considérer, les demi-axes ont 
une limite, finie ou infinie. Si par exemple cette limite est finie et 
égale à L, on peut, e étant arbitrairement petit, couper la surface par 
un plan diamétral à w — p dimensions (p étant fini), de manière que 
tous les points de la section soient à une distance du centre comprise 
entre L — s et L-f-e. Cette section est presque une sphère, et le fait 
que dans les directions conjuguées, en nombre fini, les demi-diamètres 
soient différents de L, ne change pas l'ordre de grandeur du volume. 
Ces circonstances ne sont possibles que dans le cas du spectre discon- 
tinu. Il reste à étudier le cas où, le spectre étant discontinu, les demi- 
axes n'ont pas de limite, et le cas du spectre continu ou mixte. 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 345 

Dans ces cas, les demi-axes n'ayant pas presque tous la même 
valeur, leur ordre n'est pas indiflerent, et le choix de la /i'^™^ section 
que l'on considère ne l'est pas non plus. Il faut alors se placer au 
point de vue indiqué n<* 48, lié au point de vue de Gâteaux. Comme il 
est souvent plus commode de se placer au point de vue du Chapitre III, 
il est intéressant de se demander dans quel cas ces points de vue sont 
équivalents. Il est probable que, comme c'était le cas dans l'étude de 
la moyenne, il j a équivalence des deux points de vue, soit pour une 
fonctionnelle U normale et une suite également dense, soit pour une 
fonctionnelle générale et une suite normalement dense. Nous ne l'avons 
pas démontré rigoureusement. 

74. Nous allons montrer dans un cas particulier qu'il en est 
bien ainsi. Considérons l'ellipsoïde U= i, U désignant la fonction- 
nelle 

(33) 11= r [xHt)-hx(t)x(\ — t)^x'^{i — t)]dt 



Pour définir ce volume, nous devons considérer sa (/i — lyème ^qç,_ 
tion réduite, en nous plaçant dans le champ des fonctions simples 
d'ordre n — i , ayant une valeur constante Xi^n — i dans chacun des 
intervalles ( — -— y -— — — \ . En groupant les termes d'indices i et n — f, 
U apparaît comme somme de termes de la forme 

1XiXji.i+ '2Xf,_i= o ( — ) -+- / — 



Le terme d'indice - pouvant évidemment être négligé, si n est pair 
et suffisamment grand, les demi-axes sont égaux, la moitié à i, l'autre 

moitié à — r^/ Leur moyenne géométrique, ou rayon de la sphère équi- 

v/3 

valente, tend donc vers j-y tandis que la valeur moyenne de U sur la 

sphère de rayon i est égale à 2. 

Prenons maintenant un système de coordonnées orthogonales, 
définies par des fonctions /n{t) de période i, et qui soient toutes 
paires ou impaires. Désignons par «„ les coordonnées correspondant 



346 TROISIÈME PARTIE — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

aux fonctions paires et bn celles qui correspondent aux fonctions im- 
paires. La fonctionnelle U prend la forme 

Pour que les demi-axes aient bien pour moyenne géométrique j^t 

il faut et il suffît que les fonctions /,/(^) soient rangées dans un ordre 
tel que les n premières fonctions comprennent un nombre de fonc- 
tions paires équivalent pour n infini à - • C'est précisément la condi- 
tion pour que la moyenne des coefficients soit = 2, c'est-à-dire 

pour que la valeur moyenne de U sur la sphère /- = i soit bien 2. 

Par généralisation, il est naturel de penser que les conditions pour 
que la moyenne géométrique des demi-axes soit la même aux deux 
points de vue, sont les mêmes que les conditions pour que la moyenne 
de U sur la sphère de rayon i soit la même aux deux points de vue ; 
ces conditions seraient donc que la suite des fonctions y'«(^) soit nor- 
malement dense, ou du moins n'admette comme ligne exceptionnelle 
aucune ligne qui le soit aussi pour la fonctionnelle U. 

75. Considérons maintenant le cas où U est de la forme 

(34) • u= r 6(/)^no^^ 

la fonction '^{t) étant positive ou exceptionnellement nulle. Sa 
j^ième section réduite est la fonction 

i — \ i ' 



où ^i désigne la moyenne de 'i>(^) dans l'intervalle ( — —> -j- 

L'ellipsoïde iin = i est donc équivalent à une sphère de l'espace E,i 
de rayon Ln défini par la formule 



de sorte qu'à la limite, le rayon de la sphère de l'espace fonctionnel 
équivalente à l'ellipsoïde U = i est la moyenne géométrique des 

valeurs de . c'est-à-dire le nombre positif L défini par la 



- CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 347 

formule 

Ce rayon est évidemment infini si la fonction '^(^) est nulle pour les 
points d'un ensemble de mesure positive. Mais il reste fini si ^{>(^)est 
une fonction continue ayant en un point une racine d'ordre entier. 

Il est facile de passer de ce cas au cas plus général où U est une 
fonctionnelle normale du second degré, 

(35) U= r ^{t)x'^(t)dt-{- f f 'f(t,z)x{t)x{z)dtdz. 






La présence de l'intégrale double, qui peut é\idemment changer le 
signe de U pour certaines fonctions x{t) et par suite la nature de 
la quadrique U = i , ne peut pas changer le rayon de la sphère 
équivalente, si cette quadrique reste un ellipsoïde. Cela tient à ce que 
cette intégrale est du type (3i) et par suite, quelque petit que soite, 
inférieure à s/'^ dans un plan à to — p dimensions, p étant fini. Les 
p dimensions ainsi négligées sont sans importance (sauf dans le cas 
où le carré d'un des demi-diamétres correspondants devient infini ou 
change de signe; mais dans ce cas la quadrique L ^ i cesse d'être un 
ellipsoïde). Pour les directions du plan à w — p dimensions consi- 
déré, l'intégrale double est négligeable devant l'intégrale simple^ à 
moins que celle-ci ne soit elle-même très petite par rapport à/"^; mais 
les directions pour lesquelles il en est ainsi, ou bien peuvent être 
négligées, ou bien ne le peuvent pas, et dans ce dernier cas le rayon 
de la sphère équivalente à l'ellipsoïde est infini, et le reste après 
addition de l'intégrale double. (Il n'y a d'ailleurs aucune difficulté 
à préciser ce raisonnement et le rendre parfaitement rigoureux.) 

76. Plaçons-nous dans le cas où la quadrique L = i est un ellip- 
soïde, et considérons les trois quantités suivantes : 
i" Le rayon L de la sphère équivalente; 

2^ La valeur moyenne de — sur la sphère r'^ =z \ (ou à son inté- 
rieur, ce qui revient au même); nous la désignerons par j^; l est alors 

le rayon de la sphère sur laquelle U est en moyenne et, par suite^, 
presque partout, égal à i. 



348 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

3*^ La valeur moyenne de — à l'intérieur de l'ellipsoïde U = i ; nous 
la désignerons par — • (Il résultera de la suite que c'est aussi la valeur 

moyenne du même rapport sur la surface de l'ellipsoïde.) 

Il existe une relation d'inégalité entre /, /' et L. Pour l'établir, 
considérons d'abord la «"'"'' section de l'ellipsoïde. Son équation, rap- 
portée à des axes convenables, est de la forme 

Al a| -H A2 a| H- . . . -t- A,j «2 __ I _ 

Les quantités Z^^, l'^^ et L,^, analogues à /^, l''^ et L^, mais relatives à 
cette n'^'"'' section, sont les moyennes harmonique, arithmétique et 
.géométrique des carrés des quantités )./=:—, carrés des demi-axes. 
On a donc 

Elles tendent respectivement vers /, L, /'. On a donc 

(36) l%h^l'. 

Ce résultat est facile à interpréter géométriquement. Si, en chaque 
point M de la sphère r'^ =z \ ^ on désigne par A la longueur du demi- 
diamètre de l'ellipsoïde qui passe par ce point (en d'autres termes, 

si l'on désigne par c- la valeur de U en ce point), A est sur presque 

toute la sphère égal à /. Mais, si l'on passe de la sphère à l'ellipsoïde 
en faisant se correspondre les éléments situés sur un même rayon, 
les éléments pour lesquels X>/ sont « tellement grossis », qu'ils 
peuvent constituer, après cette opération, presque tout le volume de 
l'ellipsoïde, bien que ne constituant auparavant qu'une fraction 
négligeable de la sphère. Le volume de l'ellipsoïde peut être ainsi le 
même que si X avait une valeur constante L >> /. 

On s'explique de même, en intervertissant les rôles de la sphère et 
de l'ellipsoïde, que l'on ait L^/'. Rappelons qu'au n" 23 nous avons 
déjà établi et expliqué géométriquement l'inégalité l^l' sans faire 
intervenir L. 

Il est intéressant de se demander dans quels cas on a l'égalité 

.(87) l = L=l'. 

Il est évidemment nécessaire et suffisant pour cela que, dans le calcul 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 34^ 

des moyennes (harmonique, géométrique, ou arithmétique) des 
carrés des demi-axes, ceux de ces demi-axes qui ne sont pas compris 
dans l'intervalle (L — e, L-|-e) aient, quelque petit que soit s, une 
influence négligeable. Cela n'est pas possible dans le cas du spectre 
continu, tout intervalle fini contenant des valeurs des demi-axes ayant 
un poids fini. Gela sera réalisé dans le cas du spectre discontinu, si 
les demi-axes ont une limite. Mais cela peut être réalisé sans qu'il y 
ait une limite. 

Supposons en effet les fonctions /„ (t) rangées dans un ordre nor- 
mal. Si l'on choisit une suite d'indices ai^, /?2, . . . , ai^, ... ? tels que 

le rapport — ' devienne infini, c'est-à-dire tels que leur densité 

moyenne — tende vers o, les demi-axes correspondants n'ont aucune 

influence sur le calcul de la moyenne; ils peuvent ne pas tendre vers 
la même limite que les autres sans que l'égalité (S^) cesse d'être 
vraie. La condition nécessaire et suffisante pour que cette égalité soit 
vraie est donc que, si petit que soit e. la suite des indices rip corres- 
pondant à des demi-axes non compris entre L — z et L 4- e, soit 

finie, ou telle que sa densité moyenne — tende vers o. Nous dirons 

np 

que, dans ce cas, les demi-axes de Tellipsoïde tendent pi-esque tous 
vers la limite L('). 

Bien entendu, il résulte de ce raisonnement que l'une des égalités 
/ = L et L = /' ne peut être vérifiée sans que l'autre le soit. 

77. Les sections planes de l'ellipsoïde. — Nous avons déjà observé 
que la géométrie de l'espace fonctionnel, et celles des plans à to — i ou 
à co — p dimensions, sont identiques, du moins en ce qui concerne 
les propriétés liées aux notions d'angle et de distance. Telles sont 
celles qui concernent les axes d'une quadrique, à l'extrémité desquels 
le plan tangent est perpendiculaire au rayon. Aussi renconlre-t-on 
dans l'étude des axes d'une section plane les mêmes cas que dans 

(') Dans la suite, nous emploierons l'expression presque tous, en parlant d'élé- 
menls liés aux fonctions d'une suite orthogonale, lorsque, ces fonctions étant ran- 
gées dans un ordre normal, la proportion — des indices négligés tend vers o. Qu'il 

s'agisse de tels éléments, ou d'éléments dépendant d'une fonction arbitraire, les mots 
presque tous, qui reviennent souvent dans celte étude, signifient donc toujours « en 
négligeant des éléments sans influence sur la valeur de la moyenne ». 



35o TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

l'étude de ceux de la quadrique : spectre continu ou discontinu ; lon- 
gueurs des axes ayant une limite ou n'en ayant pas ; dans le cas de 
l'ellipsoïde inégalité (36) ou égalité (37). 

Il reste à étudier les relations entre les propriétés de la quadrique 
et celles de la section plane. La circonstance essentielle que cette 
étude mettra en évidence est que ces propriétés sont les mêmes ; en 
ce qui concerne les différents cas que nous venons de distinguer, une 
cpiadrique et toutes ses sections planes se rattachent au même cas ; 
les valeurs des moyennes /, L, /' sont les mêmes pour un ellipsoïde 
et toutes ses sections planes. 11 ne peut y avoir d'exception que pour 
les propriétés pouvant être modifiées par un changement ne portant 
que sur un axe, comme c'est le cas pour la nature des quadriques au 
point de vue de la réalité des directions asymptotiques. 

Il suffit d'ailleurs d'étudier la relation entre une quadrique et sa 
section par un plan à (o — i dimensions. Dans ce plan, on étudie de 
même la relation entre la section complète et sa section par un plan 
n'ayant plus que w — 2 dimensions, et ainsi de suite. Les résultats 
ainsi établis en ce qui concerne les plans à w — i dimensions 
s'étendent donc aux plans à to — p dimensions, p étant fini. Bien 
entendu, il ne peut être question d'aller beaucoup plus loin (*) ; ainsi 
les propriétés des sections par des plans à un nombre fini de dimen- 
sions sont toutes différentes, et les longueurs de leurs axes sont sans 
influence sur le calcul des valeurs moyennes /, L, /'. 

78. Commençons par indiquer comment les calculs se présentent 
en pratique. Soit à étudier la section de la quadrique U == i par le 
plan V = o, les fonctionnelles U et V étant homogènes, de degrés 
respectifs 2 et i. A l'extrémité d'un axe, les plans tangents à la qua- 
drique et à la sphère / - = const., passant par ce point, ne seront pas 



(^) Nous disons à dessein beaucoup plus loin; on peul, dans certains cas, aller un 
peu plus loin. Si les axes sont rangés dans un ordre tel que la suite des fonctions 
correspondantes soit normalement dense, et si l'on considère ceux d'indices 

n 
, le rai)port — devenant infini avec /?, l'ensemble de ces axes est 

analogue par certaines propriétés à l'ensemble d'un nombre fini d'axes; il n'influe 
pas sur le calcul des moyennes, comme nous l'avons vu au n" 75. Le plan formé par 
tous les autres axes est, par contre, analogue à un plan à m — p dimensions, p étant 
fini; on peut, en employant le même langage qu'au n» 75, dire qu'il conl'icnlpiesque 
tous les axes. 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 35 1 

nécessairement confondus; mais leurs intersections avec le plan 
sécant sont confondues. On a alors 

(38) 8(U-+-yV— ^/'2) = o, 

P et y désignant des constantes convenables. Cette condition carac- 
térise les points des axes, et les longueurs des demi-axes sont les 

valeurs de —;=• 

Plaçons-nous dans le cas du spectre discontinu. La fonctionnelle U 
peut alors se mettre sous la forme 

les a„ étant finis, puisque U est continu, et le système des axes des 
a^, «2? •••, «7i, ••• étant supposé complet, ce qui est toujours possible 
en écrivant autant de termes nuls cju'il est nécessaire. La fonction- 
nelle V étant alors de la forme S Cn an (les c„ étant tels que la série 
^cl soit convergente), la condition (38) donne, pour toutes les va- 
leurs de /i, 

Tij-ant a,i de cette formule, et portant la valeur obtenue dans la con- 
dition V^ o, on a l'équation 

(39) -^ ^2 



^ ^ - a„ ~ "' 

qui détermine les valeurs de [^, inverses des carrés des demi-axes. 

Si, par exemple, les a« sont des nombres positifs décroissant 
constamment, il résulte immédiatement de la variation du premier 
membre de l'expression (39) qu'entre deux a,, consécutifs existe une 
racine de l'équation (39) et une seule. Gela donne une relation très 
nette entre les longueurs des demi-axes de l'ellipsoïde considéré et 
<le ceux de sa section plane. 

Dans des cas plus généraux, la conclusion est moins simple. Si les 
valeurs des a„ sont denses dans un certain intervalle, le premier 
membre de l'équation (39) est une fonction analytique d'un type 
considéré par M. Borel dans ses Leçons sur la théoiie des fonctions^ 
qui admet tous les points de cet intervalle comme points singuliers ; 
la discussion de l'équation (39) ne peut plus se faire d'une manière 
aussi élément ai l'e. 



352 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

Pour pouvoir conclure dans tous les cas, même dans le cas du 
spectre continu où l'application directe de la formule (39) est impos- 
sible, nous emploierons la méthode du passage du fini à rinfini, en 
considérant la 71'^^^ section de la figure constituée par l'ellipsoïde et 
sa section plane, et faisant augmenter n indéfiniment. 

Dans l'espace à n dimensions, les n quantités a,, a^ , . . . , a„ élant 
supposées distinctes et rangées par ordre de grandeurs croissantes^ 
les n — I racines de l'équation (ig) sont respectivement situées dans 
les intervalles (a, , 7,2), (aa, ag), . . . , (a^^., , a„). Si plusieurs des a sont 
égaux, si par exemple aL/i_^_i = (f.h+'i = . . . = y-h+k, il est évident géo- 
métriquement que cette valeur correspond k k — i axes égaux de la 
section plane [bien qu'elle ne vérifie pas l'équation (Sg) ; cela tient à 
ce que dans ce cas le facteur y, que nous avons laissé de côté en écri- 
vant cette équation, est nul]. On peut donc toujours dire qu'entre 
deux valeurs consécutives des a„, égales ou non, est située une valeur 
et une seule de j3 correspondant à un demi-axe de la section plane. 

A la limite, n augmentant indéfiniment, l'ensemble des valeurs 
limites des oli constitue le spectre de la quadrique. ( Il est indifférent 



d'appeler spectre l'ensemble des valeurs des a ou des quantités /.=:-; 
nous adopterons dans chaque cas la définition la plus commode; (;'cst 
ici la première. ) D'une manière précise, si a est un noml^re du 
spectre, et e un nombre arbitrairement petit, il existe dans rintervallc 
(a^£, a-f-s) au moins 'un nombre a/, pour toutes les valeurs de n 
suflisamment grandes (et non seulement pour une infinité de valeurs 
croissantes). De même, l'ensemble des valeurs limites des jj constitue 
le spectre de la section plane. La relation obtenue entre les a et les [i 
donne alors immédiatement les résultats suivants : 

i^ Si a' et ol" sont deux nombres a du spectre de la quadrique, et 
qu'il n'y ait aucun autre nombre a dans l'intervalle (a', a), il y a 
dans cet intervalle un nombre p et un seul, et réciproquement ; 

2" Si un nombre a' est limite d'une infinité de nombres a, il est 
aussi limite d'une infinité de nombres j3, et réciproquement ; 

3" Si l'ensemble des nombres a est dense dans un certain intervalle 
(a', a"), l'ensemble des nombres ^ est dense dans le même intervalle^ 
et réciproquement; 

4** Il n'y a aucun nombre j3, ni entre le plus grand des a et +20, 
ni entre le plus petit des a (algébriquement) et — 00. 



CHAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 3i3 

79. L't\ section (l'un ellipsoïde est toujours ellipli([ue. Mais la sec- 
lion (Fun hyperholoVde peut l'être aussi. Clierchons la condition 
nécessalr-e el sidtisanle pour que la section de la quadrique U =: i pai- 
le plan \ = o soil réelle et elliptique. 

Le plan V = o adniel le même diamètre conjugué par ra|)porl à 
toutes les (|uadriques U -f-X V- := i. On peut toujours déterminer )v, 
de manière que U + ^^V- soit positif sur ce diamètre, et par suite, 
si la section considérée est elliptique, dans tout l'espace fonctionnel, 
sauf à lOrigine. Il est donc nécessaire, et évidemment suffisant, qu'on 
puisse déterminera de manière que la forme U-j-XV^ soit définie 
positive. 

80. Nous savons que pour calculer les nombres / et /', qui se ra- 
mènent à des moyennes sur une sphère, il suffit de connaître sur un 
grand cercle les quantités dont on a à chercher la moyenne. Gela 
revient à dire que / et /' ont la même valeur pour un ellipsoïde et une 
section plane (dont le plan contienne le centre). 

Le même résultat est vrai pour le nombre L, raycni de la sphère 
équivalente à l'ellipsoïde. Démontrons-le par la méthode dvi passa<>e 
du fini à l'infini. 

Soient, dans la //'^""' section, L„ le rayon de la sphère écjuivalente 
à l'ellipsoïde, \u[^ la quantité analogue relative à sa section par un plan 
contenant le centre, /i,i la distance à ce plan des plans parallèles tan- 
gents à l'ellipsoïde. Ces quantités tendent, pour n infini, vers les 
quantités I^, L', h définies de la même manière dans l'espace fonc- 
tionnel. D'ailleurs // est fini (autrement le diamètre conjugué du plan 
sécant considéré étant infini, la quadrique considérée ne serait pas 
un ellipsoïde). La formule évidente 

•^w — ''n\ ^^11 ) 



\^n lUh, 



donne à la limite p =: i , sauf peut-être dans le cas où L' est infini ; 

mais, dans ce cas, L l'est aussi, et Ton peut toujours écrire L = L'. 

On sait d'ailleurs que les valeurs de /, L et /' pour l'ellipsoïde 
peuvent varier suivant la manière dont on définit la n}""^^ section. 
D'après ce qui précède, pour chaque définition, ces quantités auront 

liWy. 23 



3J4 TROISIEME PARTIE. — MOYENNIi lUNS LE DOMAlNi: FONCTIONNEL. 

I('« mêmes vaU'uis pour rellipsoïdc el pour loiilcs ses scclioiis planes 
( [)ar (les plans à to — i ou w — /; dimensions, cpii eonli<'nneiil l(; 
eentre). Si <k)n€ les suites df fonetions iioraialemenl denses jouissent 
biendeeette propriété (pie nous axoie cnonccc comme li'ès prol)able, 
de conduire au même résidtat que le point de vue de Gâteaux, non 
seulement pour / et /', mais aussi pour L, eela est vrai, non seule- 
ment poiii rellipsoïde de l'espace fonctionnel, mais pour to(ile> ses 
sections planes. 

8J. L'indicatrice et la courbure totale d'une surface. — Soil une 
surface S, passant par Fori^ine. Nous la l'eprésenterons. comme au 
n"" !2i, par l'équation 

U = L'i-+- - Ua-i-. . .=^ o, 

'È 

L| et (J.j étant des fonctionnelles homogènes de degrés respculifs i 
et 2, dont nous supposons essenriellement qu'elles ne sont pas iden- 
lupiement nulles. On peut alors, en multipliant L par un facleur 
convenable, supposer A, Ui = i . 11 suffira de nous placer dans ce 
cas, les formules générales s'()l)tenant sans peine en rempla(;ant U 

par . La distance d'un point de la surface, \()isin de Forigine, 

au plan tangent U< = o, est alors équivalente à- LU, et la courbure 

des sections normales est -f • 

U indicatrice de la surface à l'origine est la section de la quadrique 
Uo = 1 par le plan U) == o. Le rayon de courbure de la section nor- 
male est alors égal au carré du rayon de l'indicatrice. 

Les résultats obtenus relativement aux ^^ections planes des qua- 
driques s'appliquent à 1 indicatrice. On sait donc reconnaîtrez si l'in- 
dicatrice est elliptique (ce qui ne suffît pas, d'après ce que nous 
avons vu aux n*^* 63 à 6o de la première Partie, pour que la surface 
soit, dans le voisinage du point O, tout entière du même côté d(; son 
plan langent). Les axes de l'indicatrice définissent les directions 
principales et les rayons de courbure principaux . 

On peut de même former, uniquement en connaissant U2, et sans 
connaître U| (pourvu que A, Uj = i), les nombres /, L et /' relatifs 

à l'indicatrice. Le nombre j^» moyenne de U2 sur la sphère r^ 1= i , 



CHAP. IV. — MESURK DES VOLUMES ET DES SURFACES. 355 

égal à la valeur de AU à l'oriolnc, est la courlMire moyenne K déjà 
considérée. Ce sera la moyenne des courbures des sections princi- 
pales, si ces directions sont ran<;ées dans un ordre normal, ou si les 
valeurs correspondantes de la courbure ont une limite. 

Le nom-bre R= L- est ce que nous appellerons le rayon de cour- 
bure totale de la surface; c'est la moyenne géométrique des rayons 
de courbure, rangés dans un ordre normal. 

82. La notion de courbure totale est liée à celle de représentation 
sphérique. Bien que ces notions soient susceptibles de généralisation, 
nous nous placerons dans le cas des surfaces convexes, situées tout 
entières du même côté de chacun de leur plan tangent. 

Soit A un point de la surface S. Soit OM un vecteur de longueur 
unité, parlant de l'origine, et parallèle en direction et sens à la nor- 
male en A à la surface, dirigée du côté de la convexité. Le point M 
est par définition la représentation sphérique du point A; quand A 
se déplace sur la surface S, il décrit, sur la sphère /-^^ i, une figure 
qui est la représentation sphérique de celle décrite par A. 

Lorsque le point A décrit une aire S', le point M décrit une 

S' 
aire S'. Le rapport ^ est par définition la courbure totale moyenne 

<le l'aire S'. Sa limite, pour une aiie S' de dimensions très petites 
voisine d'un point A, est la courbure totale de la surface S en A. 

Il résulte immédiatement de cette définition que l'intégrale de la 
courbure totale dans une aire finie S' est égale à l'aire S' correspon- 
dante. En particulier, l'intégrale de la courbure totale sur une sur- 
face convexe (') fermée est égale à la surface de la sphère de 
rayon i, soit à (o, avec les unités indiquées n° ol ; on peut dire encore 
qu'elle est égale à l'angle solide total. 

Cette courbure totale est liée au rayon de courbure totale R. 
Remarquons que, dans le voisinage d'un point A, la représentation 
sphérique peut, sans erreur sur le rayon des sphères d'un plan à to — i 
dimensions équivalentes aux aires considérées, être assimilée à une 
transformation linéaire dans le plan tangent. 



(') 11 esl évidemment possible d'étendre cet énoncé au cas de surfaces non con- 
vexes; mais il faut définir dans ce but le signe de la courbure totale; cette question 
paraît assez délicate, surtout si sur certaines parties de la surface il y a une infinité 
de rayons de courbure principaux de chaque signe. 



336 TROISIÈME PARTIR. — WOVENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

PJaçoiis-iious (l'ahord dans la //'♦^'»'' scMlion. Les ji — - i direclic^ns 
[)rliic'i|)al('s soiil conservées en dliecliun, mais les longueiirs corres- 



pondanles sont agrandies, si l'on passe de la sphère à la surface S, 
dans d(^s rapports égaux: respeclivenienl aux lavons de courbure 
correspondants, c'est-à-dire aux carrés de> demi-axes de rindicatrie<\ 

Si Ton désigne par L,, la moyenne géométrique des demi-axes, 
et R„= 14 celle des rayons de courbe principaux, le rapport des 
aires correspondantes de la surface et de la sphère est L"~'. 

Passons à la limite; nous voyons que la courbure totale est y-^? 

c'est-à-dire que les aires, déformées en général, sont en moyenne 
agrandies dans le voisinage du point considéré comme si S était une 
sphère de rayon L. 

L'inégalité (36), appliquée à l'indicatrice, donne entre le rayon 
de courbure totale et la courbure moyenne l'inégalité 

< io) ^'^k 

L'égalité est possible, dans les mêmes cas que l'égalité {'^j). c'est- 
à-dire dans le cas où les rayons de courbure principaux tendent 
presque tous vers une limite. 

En particulier, une surface minima convexe a sa courbure totale 
nulle. Il existe de telles surfaces. Leur équation peut, avec des axes 
convenables, s'écrire 

les \,i étant positifs, ayant une limite inférieure positive, et devenant 
presque tous infinis. Tel est le cas en particulier si U est une fonc- 
tionnelle de Gâteaux, normale, et définie positive. 

83. 11 peut arriver que le rayon de courbin-e totale soit indéliM- 
miné; lors([u'un seul des rayons de courbure principaux est infini, 
cela suffit pour que la moyenne géométrique des n premiers rayons 
de courbure (les directions principales étant rangées dans un ordre 
normal) soit infinie. Mais si l'on prend la /i'^™*' section de la surface, 
au sens de Gâteaux, il n'arrivera en général pour aucune valeur 
qu'elle contienne l'axe infini de l'indicatrice; le |)lus grand demi-axe 
de la n^^""" section de l'indicatrice au^mente indéfiniment, mais en 



ClIAP. IV. — MESURH DES VOLLMES ET DES SURFACES. 357 

f;én(}ral pas assez vile pour que la moyenne, géométrique de ces demi- 
axes devienn<' inliuie. 

Cette indétermination n'est autre que celle déjà signalée, en note du 
n*^ ol, dans le cas du cylindre /- — a-=i i, a désignant la distance à 
un plan. Si Ton considère son volume comme infini, on est conduit 
à considérer son rayon de courbure totale comme infini, el sa cour- 
l)ure totale comme nulle. Mais on voil aiséuu'iil qu'une surface de 
révolution inscrite dans ce cylindre et ayant a\ec lui un contact 
d'ordre 2 a un rayon de courbure totale tendant \(*rs i lorsqu'on se 
rapproche des points de contact; les deux surfaces ayanl un contact 
du second ordre, on est ainsi conduit à dire que le rayon de cour- 
bure totale du cylindre c^st i. On voit donc que des considérations 
différentes peuvent conduire à des conclusions différentes, et qu'il 
faut considérer le rayon de courbure totale comme indéterminé dans 
les conditions indiquées. 

On peut naturellement avoir une détermination d'une autre 
nature, lorsque, les rayons de courbure principaux étant rangés dans 
un ordre normal, la moyenne géométrique des n premiers oscille 
entre deux limites, quand n augmente indéfiniment. 

84. A la notion de courbure totale se rattache celle de courbure 
géodésique totale. Il est sans doute possible de généraliser en utili- 
sant cette notion le théorème de Gauss sur l'intégrale de la courbure 
géodésique. Nous n'insisterons pas sur cette question. 

80. Propriétés des surfaces parallèles. — Plaçons-nous d'abord 
dans l'espace E,,. Soit S une surface parallèle à une surface Sq, et 
située à une distance h. En deux points correspondants Mf, et M, les 
directions principales sont parallèles, et. les centres de courbure 
principaux C^, Co, . . ., Cn sont les mêmes pour les deux surfaces, 
de sorte qu'on a entre les rayons de courbure correspondants, a/eto/, 
la relation 

d'où l'on déduit, pour la moyenne K,, des courbures principales de S, 
I / I I I 



K„ = 



■ n — \ r ~T- T -r- . . . -r- : 

/i \ 7-1 — h ao — n y.fi 

et 

/ , s dKn I / I 1 I \ 

(4'0 -77- = - — ^ -o + . • • -+- — 



358 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

Or, pour une xalcur (loinice de K„, le luinlnuim du second membn^ 
esl léalisé lorsque tous les p/ sont égaiix; sa valeur esl K;,. Dans ce 
cas toutes les surfaces parallèles ont, aux poinis Mq el M, un contact 
du second ordre avec des sphères concentriques. 

Dans tous les autres cas, on a donc 

7m ~ ^^'' > " 



ou 



;fe-')<- 



formule qui indique que' le centre de courbure C, situé à la dis- 
lance -r^ du point M, a un déplacement en sens inverse de celui 
(le M. 

On remarque d'ailleurs que, M variant entre deux centres de cour- 
bure consécutifs C^ et Gy sur la droite M^M, la courbure moyenin; 
\arie de — go à -+-20, s'annulant en un point et un seul, c[ue nous 
pouvons supposer être M^,. Les surfaces obtenues en faisant varier M 
de C/ à G/, autres que celle qui contient Mq, ont leur courbure 
moyenne non nulle au point M, la convexité moyenne étant du côté 
de Mq. Si alors on considère le.s éléments dS correspondant à un 
même élément cISq voisin de Mq, ils forment une sorte de tube à sec- 
tion variable, limité par des normales aux surfaces S. D'après la for- 
mule (i), la section maxima de ce tube correspond à la surface Sq, 
les sections décroissant des deux côtés, pour s'annuler aux points G/ 
et Gy. 

86. Effectuons le passage du fini à l'infini. La formule (42) donne 
à la limite 

dK _ 



(?) 



le symbole DXi désignant la moj^enne des valeurs de la quantité — ? 
toujours au moins égale à K-. 

Plaçons-nous d'abord dans le cas où cette moyenne est supérieure 
à K-. 11 en est ainsi dans le cas où différentes valeurs de p inter- 
viennent clans le calcul de la moyenne, c'est-à-dire où presque tous 
les rayons de courbures principauv ne tendent pas vers une limite, 



niAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SIRFACES. 359 

finie on infinie; eetle circonstance a d'ailleurs lieu en même temp> 
pour toutes les surfaces parallèles. Alors on a 

(45) ^(^ + /,)<o, 

ce qui montre que, non seulement K croît av(M: //, mais que — -\- h 

décroil, c'est-à-dire que le centre de courbure moyenne G se déplace 
en sens inverse de M. 

Si nous partons d'une surface S régulière en M, il n'y a aucun 
centre de courbure principal dans le voisinage de ce point; soient G, 
et Go les points de la normale en M, les plus voisins de ce point de 
part et d'autre, et qui soient centres de courbure principaux ou 
limites de tels centres. Tant que M se déplace entre G( et Go, les 
surfaces parallèles S sont régulières; au point G, et Go elles cessent 
de Tètre, les valeurs de la courbure des sections normales n'étant 
pas finies. Gomme il peut arriver qu'un seul des rayons de courbure 
principaux s'annule, cela ne suffit pas pour que la courbure moyenne 
devienne infinie, et K croît entre G, et Go, mais non nécessairement 
de — ce à -j-c/D. On ne peut donc affirmer que K s'annule entre G| 
et Go. Mais, d'après la formule (2), si K s'annule, le tube lieu des 
normales à un élément c/S a, au point où K s'annule, non seulement 
une section maxima, mais une section dont l'ordre de grandeur est 
maximum, c'est-à-dire que le rayon de la sphère équivalente est 
maximum. 

Plaçons-nous maintenant dans le cas où presque tous les rayons 
de courbure principaux ont une limite, qui est alors à la fois le 
rayon de courbure moyenne et le rayon de courbure totale; on a 

alors — - = K-. doù résulte que le point G, centre de courbure 

ah * ^ 

(moyenne ou totale) reste fixe quand h varie. Les sphères tangentes 
aux surfaces S et avant même courbure moyenne qu'elles sont des 
sphères concentriques. Le tube décrit par l'élément de section t/S a 
ses sections variant comme celles d'un cône de sommet G. 

Jl peut arriver en particulier que le point G soit à l'infini, c'est- 
à-dire que les surfaces S aient leur courbure moyenne nulle en M. 
Nous allons considérer spécialement le cas où il en est ainsi pour 
tous les points de la surface S, qui est alors minima; on a une famille 
de surface minima parallèles, cl le tube, lieu des portions correspon- 



36o TROISIÈME PARTIE. — MOVEN.NE DA>'S LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

dantes de ces surfaces, a une section, sinon constante, du moins telle 
que le rayon de la sphère équivalente soit constant. 

Dans le cas général, partant d'une surlace minima So. on obtienl 
des surfaces parallèles tournant leur convexité moyenne vers Sq, et 
les aires S correspondant à une aire donnée Sq de So diminuent, 
lorsqu'on s'éloigne de So, de manière que le rayon de la sphère équi- 
valente décroisse. Mais dans le cas où presque tous les rayons de 
courbure deviennent infinis, les surfaces S parallèles à Sq sont égale- 
ment minima, et les aires ^ correspondant à Faire Sq varient assez 
lentement pour que le rayon de la sphère équivalente soit constant. 
C'est une circonstance qui n'est pas possible dans l'espace E„, sans 
que les surfaces S soient des plans. 

Cela ne veut même pas dire, d'ailleurs, que toutes les aires S soient 
du même ordre de grandeur, en ce sens que leurs rapports seraient 
des nombres finis et que la moyenne d'une fonctionnelle délinie dans 
le tube dépendrait de ses valeurs sur les |différentes sections. Il 
est facile de former une condition suffisante pour qu'il en soit ainsi. 
Le rapport entre les aires élémentaires correspondantes dS et cISq est 

n^-n(-è)' 

ce produit étant entendu en supposant les directions principales 

rangées dans Tordre normal. Lorsque la série N — sera absolument 

convergente, cette condition sera sûrement réalisée. D'après les rela- 
tions que nous avons établies entre les axes d'une quadrique et 
ceux de sa section plane, cela revient à dire, U = o étant Téqualion 
de la surface S et Uo la partie homogène du second degré dans le 
développement de U dans le voisinage d'un point quelconque de S, 
que la quadrique Ll2= i peut se mettre sous la forme 

Y^ + ^-+-...-h Y^ +... = 1, 

la série ^^— étant absolument convergente; la série ^^^ l'est aussi, 

a fortiori^ de sorte que Uo est une fonctionnelle normale de 
Gâteaux. 

87. Remarque. - Nous avons déjà remarqué que, envisagée loca- 



CHAP. IV — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. 30 1 

lement, une surface niinima est presque un plan, en ce sens que la 
courbure des sections" normales est presque nulle dans presque 
toutes les directions. Cela ne veut pas dire que les courbures de 
presque toutes les directions principales soient nulles ou tendent 
vers zéro, et, la courbure moyenne, étant la moyenne de ces cour- 
bures, sera en général une moyenne au sens habituel du mot, des 
valeurs différentes ayant un poids fini dans le calcul de la moyenne. 
Ce cas étant le cas général, on peut, d'après ce qui précède, dis- 
tinguer l(\s cas suivants, dans lesquels la surface minima ressemble 
de plus en plus à un plan, chaque cas étant un cas particulier du 
précédent : 

i" Cas où, en chaque point, presque tous les rayons de courbure 
deviennent infinis; les surfaces parallèles à la surface considérée 
sont alors également minima, ce qui n'a pas lieu en général; 

2^ Cas où tous les rayons de courbure deviennent infinis; 

3*^ Cas où U2 est une fonctionnelle de Gateau\; 

4** Cas où > — con\erge en tous les points, de sorte que les aires 

correspondantes rS et -S' de deux surfaces parallèles ont un rapport 
fini. 



88. Propriétés des contours parallèles tracés sur une surface. — 
Plaçons-nous dans l'espace E,/. Soit un contour Cq, variété d'ordre 
n — 2 tracée sur une surface S. En chaque point de la surface, soit/* 
la plus petite distance, comptée sur la surface, au contour Cq. Les 
contours C, d'équations A^const., sont les nctwlovw^ parallèles îiu 
contour Cq sur la surface S. 

Les géodésiqu(^s d'ordre i, ou courbes (^lieux de points à i para- 
mètre) ayant leurs plans osculateurs normaux à la surface, jouent 
dans l'étude de ces contours le même rôle que les droites dans l'étude 
des surfaces parallèles. Soit AqA une telle géodésique, partant d'un 
point Kq de C© normalement à ce contour; soient M et M' ses points 
d'intersection les plus voisins de Aq, des deux cotés de ce point, 
avec des géodésiques analogues inliniment voisines. Ils jouent le 
même rôle que, dans l'étude des surfaces parallèles, les centres 
de courbure les plus voisins de la surface. 

Si 7 est la distance AqA comptée sur cet arc, le contour / = const. 
peut être appelé aussi contour parallèle à C^. Cette (h^inition se 



362 TROISIÈME PARTfi:. INIOVKNXK DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

distingue de la précédente parce que / n'est pas nécessairement la 
plus petite distance de A au contour Cq. Il faut pour cela que A soit 
sur Tare MM', car dans le cas contraire / sérail supérieure à la dis- 
tance de A à Co comptée sur une géodésique voisine de AqA et 
convenablement choisie; mais l'arc MM' peut ne pas convenir tout 
entier, car il peut arriver que la distance de A au contour C„, 
comptée sur une autre géodésique non infiniment \oiMnede AqA, 
soit inférieure à /. Certaines parties des contours / = const. peuvent 
donc ne pas convenir à la définition donnée d'abord des contoitrs 
parallèles. Les contours parallèles A = coust., identiques pour les 
petites valeurs de h aux contours /= const., s'obtiennent, lorsque // 
augmente, en supprimant des parties de ces contours correspondant 
à des parties de plus en plus grandes du contour initial. Ils décrivent 
la surface S une fois et une seule. 

îSous allons étudier la variation de la mesure de ces contours suc- 
cessifs. Cette étude est liée à celle de la variation de la courbure 
géodésique moyenne Ko,^par laquelle nous allons commencer. 

8^. La coEïrbure normale de la surface S étant connue, la cour- 
bure moyenne et la courbure géodésique moyenne d'un contour i] 
sont liées à l'angle H de son plan oscillateur avec la surface. Dans 
l'étude de la variation de 8, lorsqu'on passe de Co au contour paral- 




lèle C en décrivant une géodésique normale à C, les éléments du 
troisième ordre n'interviennent pas, et l'on peut supposer la valeur 8o 
de B constante sur le contour Cq. La surface minima So, conte- 
nant Co et faisant avec S Fangie 0„, a un contact du second ordre 
avec la normale principale moyenne AoINf,. 

Soit C le contour parallèle à (^o « une distance très petite ft. On 



CIIAP. IV. — JIKSl HE DKS VOLl.AIES ET DES SURFACES. 363 

peut rassiiiriicr à rinlersectiou de S avec une surface ^ parallèle à S,, 
à la (li^tanc(; // sin9„; Terreu]', inlininient petite du second ordre pai- 

rapport à //, est sans influence sur la valeur de — • 

Soit 0, l'angle que tont en A les surfaces S et 1\ Le j)lan langent 
à ^^ parallèle au plan tangent ^'o f'^i ^^^i point H \oisin de A^, la 
direction Jiniite de Ao H étant AoN^, est, av<'e une erreur infiniment 
petite du second (n-dre, parallèle an plan langent à -o <^'i^ '^o- La 
vaj'ialion 0| — 0^ provient chnic de ce que le plan tangent à S a 
tourne'', et est équivalente à — /,//, /r désignant la courbure normale 
de S dans la direction normale à (^o. 

D'autre part, la surface S tonrne sa convexité moyenne vers Co ; 
la courbure géodésique moyenne de G, comptée positixement du 
côté des /i croissants, est donc plus grande que si S était minima, 
c'est-à-dive que 0^6,. On a donc 



ou 



<—/.-/* 



^^-- 



Si alors la surface S est convexe, et qu'en tout point le rayon de 
courbure de la section normale soit inférieur ou égal à un nombre 
fixe R, pour toute valeur positive de A, 

et par suite 



(46 



,, . cotO ^ I /^ /A 



La variation relative de la mesure © du contour C est d'ailleurs 
donnée |)ar la formule 

OK désignant la moyenne. Donc log8 croît moins rapidement, ou 
décroît plus rapidement, que si K« était constamment égal à sa 

limite inférieure ^ col(Bo— -jtJj atteinte dans le cas de la sphère de 

rayon Pi. 



364 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

Supposons cpie pour le coiilour iiiilial Cq, on ait K„=ro, c'esl- 
à-dire que ce soit une géodcsique d'ordre n — 2, sur la surface 
considéiée. Dans le cas de la sphère de rayon R, cette géodésiquc 
esr sa section par un plan contenant le centre, et Q décroît jusqu'à o 

(|uand h varie de o à ^^— . Dans le cas d'une autre surface, convexe, 

et ayant le rayon de courbure des sections normales toujours au 
plus égal à R, le rapport de 9 a sa valeur initiale, décroît au moins 
aussi rapidement que pour la sphère, et s'annule pour une valeur 

de A au plus égale à ^^-. Il en résulte évidemment, S' désignant Taire 

ainsi décrite quand h varie de o à sa valeur maxima, et ^(a) Taire 

décrite quand /i varie de o à a, que le rapport — ^ est, quel que 

soit a, minimum dans le cas de la sphère. J^e même résultat s'applique 
pour la partie de S correspondant aux valeurs négatives de h. Par 
suite, la partie de S pour laquelle h est compris entre un nombre 
positif yJ et un nombre négatif a" constitue, quels que soient ces 
deux nombres, une fraction de la surface de plus en plus voisine de 
Tunité quand, R restant fixe, n augmente indéfiniment. 

A la limite, dans l'espace fonctionnel, on obtient le résultat sui- 
vant : si une surface fermée convexe a le rayon de courbure de ses 
sections normales toujours au plus égal à un nombre fini R, et si Cq 
désigne une géodésique fermée (d'ordre to — 2) de la surface, le voi- 
sinage de Gq constitue presque toute la surface. 

90. Ce résultat peut d'ailleurs s'établir plus simplement. 

Dans l'espace fcnictionnel, la surface ininima Sq limitée à £0 (dont 
nous établirons plus loin l'existence) est orthogonale à S. Le tube^ li- 
mité par les normales à S^ aux points de 80, a, d'après le n^87, toutes 
ses séchons S d'un ordre de grandeur au plus égal à la section de Go- 
Or Il est eijTonscrit à S, et, dès qu'on s'éloigne d'une dislance h du 
conloui" 3<), la partie de S intérieure à S, obtenue en négligeant sur le 

C(»ntour umt bande de largeur au moins égale à ——5 est dun ordre de 

grandeur inférieur à celui de S, ela foj'tiori à celui de ^o- Le voisi- 
nage de S,) constitue donc presque tout le volume intérieur à S. 

Le raisonnement du n® 89, plus long, avait l'avantage de nous 
donner un lésidtat applical)le à l'espace E„. Dans cet espace, la sur- 



ClIAP. IV. — MESURi: DES VOLU.MKS ET DES SURFACES. 365 

face mininia liiiiilt'c à Go, et la surracc iiiininia conlenànl Co et ortho- 
gonale à S, sont distinctes. On ne peut alors étendre le principe du 
raisonnement précédent ([u en négligeant les parties du volume non 
situées dans le voisinage de la surface, ce qui est légitime si n est 
grand. On peut alors raisonner sur une surface minima orthogonal*' 
à S. Mais dans ces conditions, il est plus simple de raisonner sur la sur- 
face, et non snr le volume intérieui-, et de remplacer les surfaces S 
paiallcles à ^^^ par les contours C parallèles à Co 5 <^n est ainsi conduit 
aux raisonnements du n" 89. 

y l . La notion de valeur moyenne dans le cas des surfaces con- 
vexes. — Considérons toujours la surface fermée S, con\e\<% et telle 
que le rayon de courbure des sections normales soit toujours au plus 
égal à m\ nombre fini R. Nous allons démontrer, dans le cas d'une 
telle surface, le lliéorémc général énoncé n^ lo, déjà démontré dans 
le cas de la sphère, d'après lequel une fonctionnelle uniforménnnit 
continue L a presque partout la même valeur. Cela revient au même, 
dans ce l)ut, d'après le n" 57, de considérer les valeurs de U sur la 
surface S ou dans le \olume V qti'elh^ limite; si en effet une j^ortion 
de S constitue presque toute la surface, son voisinage constiluepres(|ue 
tout le \olume. 

Il existe au moins une \aleur Uo de U telle que la portion de la sur- 
face S pour laquelle Uq — £ <^ U <^ Uo+ £ constitue, quelque petit 
que soit z, une fraction finie de l'aire totale. D'après le n" 61, le con- 
tour Go d'équation U = Uo a alors une mesure au moins du même 
ordre que les contours U -^ const. voisins de lui, de sorte que sa cour- 
birre gé<^désique moyenne est nulle prescpic partout. 

Raisonnons d'abord comme si elle était partout nulle. Le voisinage 
du contour L =1^0 constitue presque toute la surface; en vertu de la 
continuité uniforme, dans ce\oisinageL est très peu différent de Lo, 
et le théorème est démontré. 

92. Il r(\ste à revenir sur l'assimilation entre un contour dont la 
courbure géodésique moyenne est nulle presque partout, et un con- 
tour pour lequel elle est nulle partout. A cet effets plaçons-nous 
d'abord dans l'espace E„, et, (!omme nous l'avons fait dans le cas de 
la sphère, commençons par résoudre un problème de calcul des vaiia- 
tlons : 



366 TROISIKME PARTIE. — MOVENNK DANS LK DOMAIXK FONCTIONNEL. 

Parmi tous les contours Urnitant une aire donnée -lo sur la sur- 
face -S, trouver celui de mesure minima. 

Désignons par 4^ et 8 les mesures du contour {\ et de l'aire qu'il 
limite, et définissons sa déformation par le déplacement normal y.* de 
chacun de ses points. On a 

( 



OrS = / ÔV<^3, 



c 

de sorte que le minimum ne peut avoir lieu que pour un contour pour 
lequel K^r soit constant. Ce contoui' ne pcul (railleurs admelire aucun 
point conique ou lieu de points coniques; en elFet, on peut modifier 
le contour en évitant ces points, et de manière que la variation de 8 
soit très petite en valeur absolue par rapport à ceJle de i^, cotte der- 
nière étant négative; on peut ensuite modifier le contour dans sa 
partie régidière, de manière à redonner à S la valeur voulue -l.; la 
valeur finale de <^ est alors inférieure à la valeur initiale, qui ne peut 
constituer un minimum. Vdineltant i'evistence de ce minimum, nous 
voyons qu'il existe un contour régulier, fermé sur lui-même^ pour 
lequel Ko. ait une valeur constante a. Admettons de plus, par laison 
de continuité ('), que a varie d'une manière continue de -f- x à — - X) 



(') Il y a d'ailleurs quelque difficulté à rendre la démonsLralion rigoureuse sur ce 
point. Il peut arriver en effet que, pour une valeur r%i' de l'air rXi (ou pour plusieurs 
valeurs), le minimum de la mesure du contour soit réalisé pour deux contours 
différents Ci et C^, les contours voisins du premier donnant le minimum (juand l'aire 
est inférieure à ^h>\ ceux voisins du second le donnant quand l'aire est supérieure à 
cette valeur. La courbure géodésique moyenne est alors une fonction de l'aire dis- 
continue pour cette valeur. 

On peut échapper à cette difficulté en remplaçant le problème de minimum absolu 
par un problème de minimum relatif. Un contour C^ réalisant le minimum, pour 
une valeur très petite Jloo de l'aire, on cherchera, pour les valeurs de l'aire un peu 
supérieures à «lo^, le contour voisin de Cq et de mesure aussi petite que possible, et, 
«•()ntinuant de même, on aura une famille de circonférences géodésiques fermées 
dépendant de olo d'une manière continue. L'une d'elles sera alors une géodésique 
fermée, et la conclusion du texte subsiste. 

Pour une étude plus approfondie de c^ette question, dans le cas des surfaces con- 
vexes de l'espace ordinaire, voir Poincaré, Sur les géodésiques des sur/aces con- 
vexes (Transactions of math. amer. Society, t. VI, igoS; voiv notamment le 
paragraphe 7 de ce Mémoire), et Hadamard, Sur quelques questions de calcul des 
variations (Ann. Ec, Norm., 1907; voir le n° 7). 



CflAP. IV. — MKSLRK DES VOLLMKS ET DKS SUHFACKS. SGj 

quand ^X, \ari<' de zrro à 1 aiic totale ^ de S. nous \ovons que a ^ an- 
nu l<' et qxie par suite il <'\i.stt' un contour régulier, fermé sur lui- 
même, et d(nit la courbure géodésique inovenue soit partout nulle; 
nous désignerons par -S,, la xaleiir de 1 aiic liinil^'c [)ar ce contour. 

Le \(nsinage de ce contour, lien des |)oints situés aune distance de 
lui inlej'ieurc à £, a une-fjire sensihleincnt ('gale à .(^£. Nous savons que, 
pour n assez grand, il €onslitue picscpic loulc la surface. Cela sera 
vrai a fortiori pour les autres contours entourant la même aire -S„, et 
ayant par suite une mesure (^supérieure. Or, parmi les aires définies 
par une inégalité de la forme U <^ Lq, il en existe certainement une 
égale à S^^. Le voisinage du contour IJ ;= L'o <'onstitue alors presque 
toute la surface; en d'autres termes, pour n assez grand, la \aleur Uo 
compte seule dans Je calcul de la mojenne. 

93. Le raisonnement précédent prête encojc à une oJ)je(iion; zj 
aj)paraît tantôt comme un nombre fini, indépendant de /i, tantôt 
comme un nombre infiniment petit. Pour iMmdi'c le raisonnement 
rigoureux à ce j)Oint de \iie, nous [)rendrons un noml)re £ bien déter- 
miné, el a^^iiWevows voisinage de G, el désigneions par \'^ç(C), ou 
simplement \'^(C), le lieu des points de S dont la distance à C, 
comptée sur la surface, soit inférieure à £. Considérons le problème 
de calcul des \arjations suivant : 

Parmi tous les contours limitant une aire donnée -l. sur la sur- 
face S, trouver celui pour lequel KHCj) ait une aire minima. 

La variation de Taire 'C> de 'Q (C) est de la forme 



0V=J(7.l 



aO&v^a. 



a, et C/.2 désignant le rapport, à l'élément «?©, les éléments corres[H>n- 
dants des contours parallèles C< et C> qui limitent la région \'M CV 
La solution du problème (\st alors un contour pour le([uel 
a, — 7-2= const., et, par raison de continuité, on peut encore troiixcr 
une valeur ,So de A^ telle que la constante soit nulle, eta, ^a^.. Les 
portions correspondantes des contours C| et C^ sont égales. 

Or les régions ('lémentaires correspoiidaiiles (Tune famille de (Con- 
tours parallèles foinient, comme nous le sasons, un tube dont la sec- 
lion, maxima pour celui dont la courbure géodésique moyenne est 



368 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DA^S LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

nulle, décroît des deux côtés, au moins aussi \ île que sur la sphère 
de rayon R. Le maximum a alors lieu nécessairement entre C, el C2, 
et, si non seulement les rayons de courbure des sections normales de 
S sont fiiiis^ mais qu'ils soient des fonctions uniformément continues 
du point considéré de S et de la direction de la tangente, il est à peu 
près équidistant de G, etG2; autrement, la décroissance de la section 
de chaque tube élémentaire se faisant à peu près suivant la même loi 
des deux côtés de la section maxima, les sections par G, et Go ne 
pourraient être égales. D'une manière précise, on peut limiter infé- 
rieurement la distance à chacun des contours G, et G2 de cette section 
maxima; soit7| cette limite inférieure. Gomme les sections décroissent 
au moins aussi rapidement qne sur une sphère de rayon R, la fraction 
de chaque tube située dans \'^(G) est au moins égale à la fraction de 
Taire d'une sphère de rayon R comprise entre deux plans parallèles 

situés de part et d'autre du centre à la distance R sin ^ • La fraction 

de Faire de la surface S intérieure à\'>(G)est alors certainement 
inférieure à la même quantité, et tend vers i quand /i angmente indé- 
finiment. 

Gela est alors vrai a fortiori pour tout contour G limitant la même 
aire 80, et en particulier pour le contour U = Uq, L'o étant défini par 
la condition que L soit inférieur à Uo sur une aire égale à Sq» Getle 
valeur de Uo compte donc seule, pour n très grand, pour le calcul 
de la moyenne. c. q. f. d. 

94. Classification des surfaces et des volumes au point de vue de 
l'aspect de la notion de moyenne. — INous appellerons surface de la 
première catégorie toute surface finie sur laquelle toute fonction- 
nelle uniformément continue a presque partout la même valeur. Les 
autres surfaces finies sont dites de la deuxième catégorie. 

D'après ce qui précède, il est particulièrement simple, dans le cas 
des surfaces convexes, de montrer qu'elles sont de la première caté- 
gorie. Mais ce résultat une fois obtenu, il est facile de former d'autres 
surfaces de la première catégorie. 

Donnons à chaque point M d'une surface S un déplacement, paral- 
lèle à une direction {\xe^ et de longueur a variable; nous supposerons 
que a, considéré comme fonction du point M, soit continu et admette 
une dérivée fonctionnelle bornée, c'est-à-dire que, si ds désigne un 



CHAP. IV. — MESURE DFiS VOLUMES ET DES SURFACES. BGf) 

arc élémentaire de la surface S, et da la variation correspondante de a, 

-j- existe et son module a une limite supérieure indépendante du 

point i\[ et de la direction de l'arc c/s. Le déplacement considéré 
transforme la surface S en une autre surface S' telle cpie les rapports 
des longueurs ou des aires de S' aux longueurs ou aux aires corres- 
pondantes de S soient finis. Il en résulte aisément, si la surface S est 
de la première catégorie, que la surface déformée Test aussi. 

En répétant cette opération, on peut obtenir des surfaces d'un très 
grand degré de généralité, qui sont de première catégorie. 



9o. La distinction en deux catégories que nous venons de faire au 
sujet des surfaces, ou des volumes qu'elles limitent, s'étend aisément 
à toutes les variétés à une infinité de dimensions. 

Soit une surface S de la première catégorie, limitant un volume A . 
Désignons par ^/,, u^-, ..., Up les valeurs moyennes de fonctionnelles 
Li4, Lo, ...1 U^, sur la surface S ou dans le volume V. La variété <'H,,, 
à iù — j) dimensions, lieu des points de \ P^^ur lesquels L]^=zu^, 
{]2^=iii^ •••, Uy,= Up^ constitue presque tout le volume ^ . Il en ré- 
sulte qu'elle appartient à la première catégorie. Si en ellet une fonc- 
tionnelle l a\ait des valeurs distinctes dans deux fractions finies de 
la région dl^,, elle aurait à peu près les mêmes valeurs dans les por- 
tions de \ voisines respectivement de ces deux fractions de <R^,, et 
n'aurait pas par suite la même valeur dans presque tout le volume V. 

En partant d'une région ^Kp^ à m — p dimensions, et de n'importe 
quelle catégorie, il est facile de constituer des volumes de la deuxième 
catégorie. On peut obtenir un volume en considérant le lieu de ré- 
gions Ap dépendant de p paramètres À,, Ào, ..., Â^; si toutes ces ré- 
gions sont du même ordre de grandeur, c'est-à-dire si les rapports de 
leurs mesures sont finis, on obtient un volume V de deuxième caté- 
gorie. 

Considérons dans ce volume /> fonctionnelles L<, Uo, ..., L^^. Les 
variétés définies dans \ par les conditions L< = d,, L.,= C2, ..., 
{]pZ=Cp sont en général telles que leur voisinage constitue une 

fraction finie du volume total, du moins si le point c^, Co, Cp de 

l'espace E^ est dans un certain volume de cet espace. Alors la moyenne 
d'une fonctionnelle de la forme/(Li, , L2, ..., L^) sera donnée par 
une intégrale d'ordre/?. 

I.KVV. 2( 



370 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

Supposons mainlenanl les réj^ions cR/, de la première caléi;orle, el 
considérons un nombre quelconque q de fonclionnelles L < , l 2^ • • • , ^ q- 
Chacune d'elles a presque partout la même valeur dans chacune des 
régions c'R^. Par suite, en négligeant seulement des (Vaclloiis négli- 
geables du \olume total, ces fonctionnelles sont des fonctions de À,, 
Ao, ..., \p. Quelque grand que soit ^, les systèmes de valeurs des 
fonctionnelles considérées, réalisés dans une fraction finie du solume 
total, dépendent au plus de y> paramètres. I.a moyenne d'une fonction- 
nelle de la formey'(L^, Lu, ..., Ly) sera donnée par une intégrale 
d'ordre p. 

Ce nombre/; dépend évidemment seulement du volume (onsidéré, 
et non du choix des régions .Pi^^ qui le décri\cnt. \(uis dirons (pi'un 
tel volume, ou la surface qui le limite, sont de la deuxième caté- 
gorie^ et d'ordre p. Ce volume ne peut être décrit par (h's varii'tés 
de la première catégorie que si elles dépendent d'au moins p para- 
mètres; et si elles dépendent de plus de p paramètres, c'est (pie cer- 
taines sont négligeables devant les autres, et celles dont il v a lieu de 
tenir compte pour les calculs de moyennes dépendent e\aclemenl de 
p paramètres. 

96. Il ]>eut exister des volumes de la deuxième ( alégorie et d'ordre 
iii(ini. Tel est le \olume \' défini par les conditions 

x\<a\, x\<C.a\. . . . , ,r;-; < aj-), . . . , 

les a,i étant tels que - a'^ comergc. 

Ce volume présente cette particularité d'être trop petit |>our pou- 
voir contenir une sphère à son intérieur. Quelque petit que soit le 
jayon p d'une telle sphère, il n'y a qu'un nombre fini de \aleurs de aji 
supérieures à en valeur absolue, et les diamètres de la sphère cor- 
respondant aux valeurs de a,, inférieurs à g en valeur absolue sortent 
du \olume coiisi(h''ré. 

Considérons alors le volume \ , lieu des sphères (h; rjiNon 11 ayant 
leurs centres dans le voluuie \ '. Il est de dimensions finies, et, si 
grand que soit />, les cooidonnées X\^ ./o, .-•, Xp prennent, dans des 
fiaclions non négligeabh'S du Nolume total, des valeurs indépen(!ant<'S. 
i.e \olume \ est donc de deuxième catégoiie et d'ordie infini. 

.Mais il présente une circonstance assez remarquable. Soient a une 
fonctionnelle uniformément continue, et L , , en chaque point ]\J, le 



CHAP. IV. — .Mi:SLRK DliS VOLUMES ET DES SURFACES. 37I 

« potentiel sphériqiie », moyenne de IJ d^ns la sphère de'centreMet 
(le rayon R. On voit aisément que la moyenne de L dans A est égale 
à celle de L , dans \ < . Proposons-nous de la calculer avec une eireur 
au plus égale à un nombre positif s, aussi petitque nous voulons, luais 
déterminé; désignons par tj le module de continuité uniforuie de la 
lonctionnelle l dans le volume V, correspondant à s; il convient 
aussi dans le volume V, pour la fonctiounelle l , . Prenons alors/? 
assez grand pour ([ue 

«/.+ 1-1- «7^+2 +.-.< iq2- 

On peut, pour le calcul de la moyenne chercliée, remplacer par zéro 
tous les X d'indices plus grand (jue p. L, se réduit alors à une fcuic- 
tion o(^,, X21 ..., Xp), et la moyenne cherchée est, à une erreur 
près, au plus égale à s, 

.>-«.«.... a,. X, X,., ■ ■ V-„,, '?^^- ^^' • • • • ^"^ '^^' ''^' • • • ''■'■"• 

Les seules valeurs de U qui comptent pouj- le calcul de la moyenne 
sont celles deU|. On peut se contentei' de considérer des valeurs 
dépendant d'un nombre fini de paramètres, (jui ne dépend pas de la 
l'onctionnerie considért'c mais seulement du module de coutinuilé 
uniforme Tj (^orrespondanl à la précision cherchée; ainsi, poui- une 
précision donnée, il sera le même pour toutes les fonctionnelles dont 
les dérivées premières ne dépassent pas un nombre déterminé, et plus 
généralement pour toute famille de fonctionnelles égaJemeut v\ uni- 
formément continues. ISaturellemenI vv nombre/» augmente indéfini- 
ment avet; la précision cherchée. 

Cette circonstance s'étend à tous ies \olumes de deuxième caté- 
gorie et d'ordre infini (^). On peut d^^nc les connaître assez bien, au 
p(>int de vue du calcul de la moyenne des fonctionnelles, en n'étudiant 
que ceux d'ordres finis, dont la généra ticm à partir des volumes de 
la première catégorie csl 1res simple. Ou \oil donc le lôlc essentiel 
que joueni ces volumes de la première ealégoiie. 



(') Pour y écliapper, il faudrait engendrer un volume \ en donnant à une variété 
cR de la preniièrc calégorie des déplacements dépendant d'une infinité de paramétres, 
et d'amplitudes moyennes telles que la somme de leurs cariés ne converge pas. Mais 
alors le volume V ne serait pas situé dans une région (inie de l'espace. 



372 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

97. Remarques diverses. — Considérons un volume V, convexe, 
limité par une surface S. On peut considérer plusieurs quantités liées 
à l'ordre de grandeur de ce volume. Il est intéressant de les comparer 
entre elles. 

Un raisonnement superficiel pourrait conduire à penser que, si la 
surface S est de la première catégorie, ayant presque partout même 
rayon de courbure moyenne et même rayon de courbure totale, elle 
est presque une sphère^ et que ces diverses qviantités sont égales. Il 
n'en est rien. 

Une première grandeur à considérer est le rayon R de la sphère 
de volume équivalent à celui de V. On démontre sans peine que c'est 
aussi le rayon de la sphère de surface équivalente à celle de S, et 
qu'on ne change pas non plus ce rayon en remplaçant le volume V 
et la sphère par leurs projections sur vm plan à to — p dimensions. 
Bien entendu, la mesure de la projection du volume dépend du plan 
choisi, mais le rapport entre les mesures de deux telles projections, 
fini ou infini, ne peut être de l'ordre de grandeur de a^{a^i), et 
est sans influence sur le rayon de la sphère équivalente. 

D'autre part, si la surface S est de la première catégorie, le rayon 
de courbure totale a presque partout la même valeur R', tandis que 
si on le considère comme fonction du point de la sphère sur laquelle 
on représente l'ellipsoïde, il a presque partout la même valeur R'. 

Les nombres R, R', R" ne sont pas nécessairement égaux. Par des 
remarques analogues à celles du n'' 76 sur l'inégalité (36), on peut 
montrer que 

(47) , R'^R^R''. 

98. Il y a d'autre part une relation entre la courbure moyenne K, 
et la distance p du plan tangent à un point fixe O; nous compterons 
cette distance positivement vers l'inlérieur. A cet efTet, faisons varier 
la surface S, en la remplaçant par une surface homo thé tique par 
rapport à O et très voisine, le rapport d'homothétie étant i-j-s. 
Faisons se correspondre les points des deux surfaces situés sur une 
même normale à S; leur distance esips. Chaque élément d'aire varie 
alors d'une surface à la voisine comme dans une homothétie de 
rapport 1 -+- Kpz. Pour l'ensemble de la surface, d'après la formule (8), 
la variation relative du rayon R de la sphère équivalente est alors 7?i, e 
ou 7112^^ suivant le signe de e, m, et /^/o désignant les valeurs extrêmes 



CilAP. IV. — MESURE DES VOLUMES ET DES SURFACES. SyS 

(le Ky>, en ncij;lii;eaiil celles qui ne seraient prises que sur des portions 
(le la surface pour lesquelles le rayon de la sphère équivalente serait 
inférieur à R. D'autre part, comme il s^aj^it d'une homothétie, cette 
variation relative est égale à s, quel que soit le signe de cette quantité. 
Donc /y/, = /?i.2=^ I. Le produit K/> est presque partout égal à i . 
Jl est remarquable que cet énoncé s'applique quel que soit le 
point O, et quelle que soit la surface. Si elle est de la première caté- 
gorie, on peut dire que jo et — ont presque partout une même valeur h. 
Si elle est de la deuxième catégorie, p et — sont presque partout égaux, 

et nous désignerons leur valeur moyenne commune par h. La for- 
mule (lo) s'écrit alors (') 

( 48 ) h= -—■ 

Montrons par un exemple que /i n'est pas nécessairement égal à R. 
Nous n'avons qu'à reprendre l'exemple, déjà considéré n*' 74, de 
rellipsoïde 

do 
C'est une surface de la première catégorie. On trouve aisément 



de sorte que le calcul de h se ramène au calcul* de la valeur moyenne 

r- 
de /•-, ou de — ) sur la surface, ou ce qui revient au même à l'intérieur 

(voir nuniéro suivant). Comme une dilatation suivant les axes modifie 
tous les volumes dans le même rapport, on ramène aisément ce calcul 
à celui de la moyenne sur une sphère, et l'on trouve que /- a presque 



(') On a une formule analogue dans l'espace E,,. La variation du volume K-' dans 
l'homothétie de rapport i -f z est en elTet 



dV = n\z 



I pz dS = -S/ic. 



On a donc n\ =: /i-S, h désijijnant la moyenne de p sur la surface S. A la limite, 
on retrouve la formule du texte, dont on a ainsi une démonstration très simple. Le 
raisonnement du texte a par contre l'avantage de montrer la relation entre/? et k. 



J/f TROISIEME PARTIE. — MOYENNK DANS l.K DOMAIXK FO.NCl loXNEL. 

parloiil la valeur 77- Donc /t =: y—, tandis que, les denii-axcs de rellip- 

soïde eianl é^aux les uns à i et les autres à — ? on a R =1= T-:r* 

s/ 'S v'J 

UD. Les surfaces de la premièie catégorie étant telles que toute 
fonctionnelle uniforniéinent continue j a presque partout la même 
valeur, cela est vrai en particulier de la courbure moyenne. D'api-ès 
le n"^ 57, nous pouvons alors affirmer que, pour une telle surface, 
cela revient au même de prendie la moyenne d'une fonctionnelle 
uniformément continue sur cette surface ou dans le volume qu'elle 
limite. Ces deux moyennes sont égales. 

Cette propriété n'est d'ailleurs ni générale, ni caractéristique des 
surfaces de la première catégorie. Considérons par exemple une 
surface S de la deuxième catégorie, et d'ordre i, décrite par des con- 
tours C, de la première catégorie, et situés dans des plans parallèles, 
INjur tous ces contours, le rayon de la sphère équivalente a une même 
valeur Pi. D'autre part, chacun des plans parallèles est presque partout 
normal à la surface S (autrement l'ordre de grandeur de la mesure 
du contour varierait, et R ne serait pas constant). La valeur moyenne, 
sur chaque contour C, de la courbure moyenne K de la surface est 
donc aussi celle de la courbure moyenne du contour. L'exemph' du 

numéro précédent (M montre qu'elle peut n'être pas égale à — ? et par 

suite qu'elle peut varier d'un contour à l'autre ; alors, d'après le n'\^l, 
les dilFérents contours C n'auront pas le même poids pour le cahnd 
de la moyenne d'une fonctionnelle sur la surface S et dans le volume 
qu'elle limite. Si au contraire la moyenne de Kest la même pour tous 
les contours C, les moyennes d'une fonctionnelle quelconque sur la 
surface et dans le volume sont égales. 



(') JJans cet exempte nous considérions une surface de l'espace tonclionnel; il 
suffit d'en prendre la sectiori par un plan contenant le centre pour avoir un contour C 
jouissant dans un plan d'une propriété analogue. 



CHAPITRE V. 

LES FOXCTIONNELl.KS HARMONIQUES. 



SoMMAlFU-: : Formule de (k'rivation des fonctionnelles composées. — Consé- 
quence relative à certaines équations aux dérivées fonctionnelles. — Formule 
fondamentale |)Our l'étude du problème de Cauchy. — Extension de la 
formule de Green. — La formule de Green sur une surface. — La formule 
de Green et le potentiel. — Le potentiel de double couche. — Remarques 
sur la solution du problènie de Diriclilet et les propriétés des surfaces 
minima. — Les problème de Gaucliy el de Diriclilet pour des variétés quel- 
conques situées sur une surface fermée convexe. — Cas de surfaces non 
con\e\e?. — La notion de variété minima; conclusion relative au problème 
de la détermination fl'uhe fonctionnelle harmonique par ses vahMiis sur une 
variété quelconque. — Cas des variétés minfima. — Le potentiel de simple 
cou<h(\ — Le potentiel de volume, — Le problème de \eumann. 

100. Formules de dérivation des fonctionnelles composées. — Soit, 
pour fixer les idées, une foiielion^ z=z /"(U, \ , W ) de trois fonction- 
nelles [ , \ , W. Clierelions à exprimer A(ï> en fonction de AU, A^ . 
A\\ . Ou a d'abord, pour les dérivc-es |)reiuièf^es, la formule évidente 

Si Ton calcule la vai'iation de <ï>p, en supposant que les variations 
secondes de U, V , W soient de la forme normale, on trouve 

+/^t :/f .v,+/v^v:,v:,.,+/v^.^v:,w^,)5^l^'.• 
Dou(^ la variation seconde de <ï> est aussi de Luiue normîde, et Ton a 

, , ) <i4. -/r l;;.. -4-yv v;;..-f-/w w:u. 

Si les variations secondes de L, \ , W ne sont pas de la forme 



376 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

normale, l'expression de Ô4>'j. peut contenir d'autre termes, provenant 
de la différentiation de U'^., V'^, W^. Mais cela ne changera rien aux 
terme en 5^, et la formule (i) reste exacte. 

Si même les variations premières de U, V, W n'étaient pas de la 
forme normale, mais dépendaient spécialement de certaines valeurs 
de ^, soit t\ t\ . . . , la variation 8$'^. contiendrait des termes en o^(i'), 
ox{t")^ ..., et, si t est précisément égal à l'une de ces valeurs t^ ^ 
t\ . . ., l'un de ces termes se réunit au terme en ox, et la formule (i) 
ne serait pas exacte. Mais ces valeurs particulières de / constituent 
au plus un ensemble de mesure nulle, de sorte que, même dans ce 
cas, la formule (i) est presque partout exacte. 

En tout cas, en intégrant par rapport à t entre o et i , il vient 

(-2). Aa>^/^-AU+/{.AV+/;vAW. 

Les formules (i) et (2) montrent que les calculs des dérivées 
secondes ou paramètre difterentiel du second ordre <^^.î et Atï> se font 
par les formules qui ne conviennent habituellement que dans les cas 
des dérivées premières. Cette conclusion ne s'applique pas, bien 
entendu, à la dérivée <I>'^.,.^ pour laquelle on a 

formule tout à fait analogue à celle relative aux fonctions composées 
à l'aide de fonctions ordinaires. 

Il résulte en particulier de ces formules que : 

i*' Si U, V, W sont des fonctionnelles de Gâteaux, il en est de 
même de ^ ; 

2" Si U, V, W sont des fonctionnelles harmoniques, il en est de 
même de ^. 

En particulier, on voit que les fonctionnelles LJ et f{\j) sont 
en même temps harmoniques. On peut donc reconnaître si une 
fonctionnelle est harmonique lorsque l'on connaît les surfaces de 
niveau U = const., sans connaître la valeur de U correspondant à 
chaque surface. Nous avons déjà obtenu un résultat plus précis en 
démontrant (n° 25) que les fonctionnelles harmoniques sont celles 
pour lesquelles les surfaces de niveau sont uiinima. 

101. On peut obtenir les mêmes résultats par la méthode du pas- 



CHAP. Y. — PONCTIOXMsLLES HARMONIQUES. ^77 

sage du (ini à l'infini. Si, au lieu de U, V, W, <I\ on eonsidère des 
fonctions ?/, c, iv C2 de /i variables indépendantes, on a 

<)-^'^ _ ()f à-'it df ,nv âf âHv 
()x'f <ffi ôx'j Ov àx; <hv (),rf 



^dh^^^'HIdty^!!!!!'!^ 



()U- \()X,/ ÔV- \()Xi/ ' ()w 

ou, en désignant par A la moyenne des 7i dérivées —7 > 

ax/ 

ôf i)f , ùf I (d'^f , <nf, d-^f ^ 

A© =. -f-A?^ -h -fA(^ + --^ A(p + - -4A,z^-^ -4 AiP4- -4-AiCv . 
ou ÔV (IW II \ôu- <)v^ ow^ 

Lorsque n devient infini, A, ?<, A, p et Aj çv restent finis, et l'on a bien 
à la limite la formule (2). 

De même, l'expression de — j donne à la limite la formule (i ), les 

termes en ( — 1 , f -— 1 et ( — j étant négligeables a cote des 
autres. 



102. Conséquence relative à certaines équations aux dérivées 
fonctionnelles. — Considérons l'équation 

(3) AU=/(U). 

Désignons par F(a) une fonction primitive de yt^- D'après la for- 
mule (2), cette équation s'écrit 

AF(U) = i, 
ou, coîume A/'-= 2, 



A 



i^(.)-^ 



Sa solution générale est donc définie implicilement par la formule 



F(U)-- = V 



où V désigne une fonctionnelle harmonique quelconque. 
Ainsi l'équation (3) se ramène à V équation de Laplace : 

AV = o. 
La solution du problème de Dirichlet relatif à l'équation (3), c'est- 



uv 



378 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

à-dire la recherche d'une solution prenanl sur une surface une valeur 
donnée Uq se ramène à la recherche d'une fonclionnelle harmoniqu» 

égale sur celle surl'ace à F(Uo) — ^ • Si la solution de ce problème 

est unique pour l'équation de Laplace, il en est donc de même po 
l'équation (3). 

On remarque que ces circonstances sont analogues à celles qui se 
présentent dans l'analyse ordinaire pour l'équation du preml(;r 

ordre — =f(u)^ et tout à fait difTérenles de celles qui se présentent 

pour l'équation \(/ == /'(a). Ainsi on sait que, pour l'équation ^(i = \(f^ 
en analyse ordinaire, la solution du problème de Dirichlet, bien 
déterminée en général, devient indéterminée pour certaines \aleurs 
de A. Au contraire, en analyse foncti(vnnelle, l'équation 

(4) AU = XU 

admet comme solution générale, d'après ce qui précède, la fonction- 
nelle 

U = e - =\\ e \ 

W, ou ce qui revient au même son logarithme A , étant une fonclion- 
nelle harmonique quelconque. Le problème de Dirichlet est donc 
déterminé pour Féquation (4) comme il Test pour l'équation de 
Laplace, dans des conditions que nous préciserons ])lus loin; cela 
ne peut pas dépendre de A. 

103. Formule fondamentale pour l'étude du problème de Cauchy. 
— En analyse ordinaire, le problème de Cauchy, relatif à une équation 
aux dérivées partielles du second ordre, consiste à cliercher une 

solution 7i connaissant sa valeur et celle de la dérivée normale -7- sur 

une surface; pour résoudre ce problème, il est commode de résoudre 

1 équation chulK^e par ra[)port a -p;-- 

En cherchant la formule aiudogue relative à réqMation de Laphice 
en analyse fonctionnelle, on ol)lient des eirconslances tout à fait 

différentes : —7— n'intervient pas dans l'iViuation. ALi est en elfel une 

moyenne entre une infinité de dérivées secondes, et une de ces déri- 



CHAP, V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. ^79 

vées, prise isolé nu;n.l. est sans influence sur sa valeur; AU ne dépend 

pas de — — -• 

* en' 

iNous pouvons par contre obtenir une relation entre les valeurs 

de u sur la siirtace et — — • iNous desionerons par — 7- et -7—- les (ieri\ ces 

relatives à un déplacemenl sur une section normale de la surface S, 
ds désii;nant l'élément d'arc décrit; pour un déplacement correspon- 
dant sur la tangente, la dérivée première a la même \aleur, et nous 

désignerons la déiivée seconde par —j-^ (^ ' ). On a d'ailleurs 

dn _ (PJ^ _ /. 5^ 

«Ya- ds^ ' <^/v 

A" désignant la courbure de la section normale correspondante; les 
déplacememts considérés ayant lieu en effet dans un [dan à deux 
dimensions, les formules de la géométrie ordinaire s'appliquent sans 
difficulté. 

Or AU est la moyenne des dérivées se(M)ndes telles que — 7-r> rela- 

tives à tout(;s les directions de fespace; c'est une moyenne sur une 
sphère, et pour la calculer on peut ne tenir compte que des points 
situés dans un plan à o) — i dimensions contenant le centre; on peul 

donc considérer AU comme la mo\enne des valeurs de —7-— dans 

loutes les directions du plan tangent. Désignons par A^U la moyenne, 

dans les mêmes conditions, des valeurs de —7—-; cette (ruantité ne 

dépend que des \aleurs de U sur la surface. Désignons enfin |)ar K la 
courbure moyenne de la surface S. Nous obtenons la formule 

(5) Al =àsl -K^, 

d'après laquelle le |)roblème de Gaucliy relatif à Téquation de Laplace 



I 1 • • 1 1 . fP u 

(1) Nous. avons employé dans des condilions analogues la notation -j— ( première 

r^arlie. Cliap. \ }. Ici il y a lieu d'éviter la confusion avec la variahic /, argument 

de la fonction x(t). Nous écrivons de même ici -7- au lieu de -7— pour la dérivée 

normale, pour réserver la lettre // aux eonsidéralions relatives à l'espace à n dimen- 
sions. 



38o TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

t'ii analyse fonctionnelle apparaît comme analogue au prol)lùnie de 
Cauchj de l'analyse ordinaire relatif aux équations du premier oidre, 
el non du second. 



104. On remarque d'ailleurs que, si la surface S est minima, la 
dérivée normale n'intervient même pas. L'équation de Laplace se 
réduit à A>^LJ= o; c'est une condition ne faisant intervenir que les 
\aleurs de U sur la surface; nous dirons lorsqu'elle est vérifiée que 
la fonctionnelle U est harmonique sur la surface S (définition 
ajjplicable que cette surface S soit minima ou non). 

Considérons alors un volume V décrit par une surface minima S, 
dépendant d'un paramètre X, deux positions différentes de cette sur- 
face étant sans point commun. La condition nécessaire et suffisante 
pour que la fonctionnelle \} soit harmonique dans ce volume est 
qu'elle soit harmonique sur chacune des surfaces S ('). 

Cette remarque renseigne sur la nature analytique des fonction- 
nelles harmoniques. La forme de la fonctionnelle harmonique définie 
sur chaque surface peut varier d'une façon tout à fait arbitraiie d'une 
surface à l'autre. On peut en particulier ajouter à U une fonction 
arbitraire de À. Cette fonction peutn'être pas analytique, avoir des 
dérivées discontinues, être discontinue elle-même. 

Revenons alors à la formule (5). En n'importe quel point M d'une 

surface non minima S, la dérivée normale —r- peut ne i^as avoir la 

en ^ *- 

même valeur des deux côtés de la surface, comme on le voit en appli- 
quant la remarque précédente à une famille de surfaces minima dont 
Tune, que nous désignerons par S, touche S en M. La formule (5) ne 
s'applique qu'à une des valeurs de -t-« 

Il est facile de préciser laquelle. On peut supposer que la surface 2iJ, 
si K n'est pas nul en M, soit tout entière dans le voisinage de ce point 
d'un même côté de S, celui de la convexité moyenne; -y- peut être 
discontinu à la traversée d'une telle surface il. Les valeurs de l sur S 



(') Ce résultat comprend comme cas particulier celui du ji" 25 d'après lequel il 
suffit, pour que la fonctionnelle U soit harmonique, qu'elle soit constante sur chacune 
des suifaces S. D'ailleurs la formule (i3) du n* 24^, dont nous avons déduit ce résultat, 

n'est autre que la formule (5) appliquée aux surfaces de niveau U = consl.; -y- a alors, 

au signe près, la valeur y/'^iU. 



CHAP. V. — FONCTIONNELLES HARiMONIQUES. J8I 

ne dépendent alors évidemment que des valeurs de cette dérivée du 
côté de la concavité moyenne de S; c'est donc la valeur relative à C(; 
côté, et au point M, qui intervient dans la formule (5). 

On peut arriver au même résultat en remplaçant dans ce raisonne- 
ment la surface S par le plan tangent à la surface S en M. Cette sur- 
face n'est pas nécessairement tout entière du même côté de ce plan, 
mais elle Fest presque tout entière (puisque dans presque toutes les 
directions la courbure normale a la même valeur non nulle K), et cela 
suffît pour conclure. 

105. De cette formule, on peut tirer d'importantes conséquences 
relatives aux différents problèmes qui peuvent se poser pour la déter- 
mination des fonctionnelles barmoniques. 

1° Si une fonctionnelle barmonique est connue d'un côté d'une 
surface minima, cela ne permet pas de déterminer sa valeur en aucun 
point situé de l'autre côté. A fortiori^ si elle est connue du côté de 
la concavité moyenne d'une surface S pour laquelle R soit de signe 
constant, on ne peut rien en déduire concernant sa valeur de l'autre 
côté. Si S est une surface ouverte limitée par un contour (], on ne 
peut donc espérer la déterminer que dans le volume compris entre S 
et une surface minima limitée à C. Si S est une surface convexe 
fermée, on ne peut espérer la déterminer qu'à l'intérieur. 

2"* Plaçons-nous dans ce dernier cas. Les surfaces U = const. sont 
des surfaces minima dont on connaît l'intersection avec S. Le ])ro- 
blème de Dirichlet (détermination de U à l'intérieur connaissant ses 
valeurs sur la surface) se ramène donc au problème de détermination 
de la surface minima limitée à un contour donné. 

On [)ourrait poursuivre ces remarques. Mais la démonstration de 
l'unicité de la solution du problème de Diricblet nécessite l'extension 
de la formule de Green à l'analyse fonctionnelle. Nous allons étudier 
cette extension. Nous reviendrons ensuite à l'étude des propriétés de 
cette solution. 

106. Extension de la formule de Green. — Formons d'abord cette 
formule par la métbode du passage du fini à l'infini. Dans l'espace E,,, 
considérons un volume '<' limité par une surface S. Nous désignerons 

par — la dérivée d'une fonction u suivant la normale à la surface S, 



)N^. TROISIKME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

<iiriî;ée vers rexlérieiir, et poserons 

i /O^H d'il à-it 

En désij;iiant par u et c deux ronctions eontinues dans '<? ainsi que 
leurs dérivées des deux premiers ordres, la formule de Green s'écrit 



/ (uXv ~ ç A' u ) d'<? = — I 



{(\) I {u\\~çù.'u)dV= - I ^"%-''^^'^^' 



l^our n'avoir à la limite que des quantités finies, divisons les deux 
membres par v'^, uiesure du volume \'^; // ayant la même signiiicalion 
qu'an n"" 98, en note, et OlLt;) et D\L^ désignant des moyennes relatives 
respectivement au volume V et à la surface S, il vient 

(6') h dW^) ( /^ A' p — r A' a ) = ;))l ^{u -— — v*-r-, 

^ \ dv rfv 

Le passage du lini à Tinlirii conduit alors aux formules 

/'*'"' I /^<^-i'/ d\ dV \ 

(-, ^^ (UAV-VAU)<«> = -i_/; (uJ;-v^)*, 

( 7' ) h OrLx;)( u AV _ V AlJ ) = OlLs (u -^ — V ^\ - 

Elles sonl équivalentes, la première étant écrile sous forme symbo- 
lique, et la deuxième ne contenant que des ([uaulités finies. 

Le raisonnement par induction qui précède ne conslitue ])as une 
démonstration. Pour démontrer ces formules, il suffirait de montrer 
que, si ?/ et r sonl les valeurs de U el \^ dans la /^'^'"'' section du 

1 , 4 ; i / d". dv ^ • i' , 1 

volume V. lu. A r, -^, -r-, tendent unilormement vers leurs 
' ' «Tv dv 

limites AU, A\, — ^- -y* Or il en est bien ainsi pour les deux pre- 

d'i d'j ' ' 

mières, du moins moyennant des conditions assez peu i'e>lri<'li\es 
imposées aux fonctionnelles U et \ . Au coulraire, la normale à la 
surface S en un poinl fixe fait avec le plan de la /i''""' section un angle 
qui tend v€rs zéro, mais le maximum de sa valeur dans toute la sec- 
tion peut ne pas tendre vers zéro quand // augmente indéfiniment, et 

du 1 •/. , d\} .. 

par suite -7-7 peut ne pas tendre unitoiinement vers —r-, l/our cette 

raison, une démonsti-ation par induclion des foiniules (-) el*(j ) ne 



CHAP. V. — FONCTIONNKLI.ES HARMONIQUES. 383 

paraît pas facile; nous allons opérer autrement, en nous appuyant sur 
les résultats déjà obtenus dans l'espace fonctionnel. 



107. Plaçons-nous d'abord dans le cas d'une surface S de la pre- 
mière catégorie. Tl suflit alors de démontrer la formule 

(8) /<;)rLv;(AU)-orLs(^ 

En multipliant les fonctionnelles intégrées par V, qui a presque par- 
tout la même valeur, la formule resie exacte; intervertissant les fonc- 
tionnelles U et V, et retranchant l'une de l'autre les formules obtenues, 
on obtient la formule (" )• 

Supposons d'abord que la fonctionnelle U soit harmonique; il 

s agit de montrer que la dérivée —r- est nulle sur presque toute la sur- 
face. Or U a presque partout une même valeur Lq. Le contour C, 
défini sur la surface par IN-quation U^Uq, constitue donc presque 
toute la surface, et par suite sa courbure géodésique moyenne 
prcs(|ue jiartout nulle (n*^ 61); en d'autres termes, la surface minima 
définie dans <) par l'équation U = U,,, qui coupe la surface S suivant 
le contour C, la coupe suivant un angle presque partout droit. 

Donc — est nul sur presque tout le contour C, (;'est-à-dire sur 

presque toute la surface. 

Un raisonnement analogue conduit à la formule (^8) quand U 
n'est pas harmonique. Définissons comme dans le cas précédent le 
contour C, d'équation U= U,,, constituant presque toute la surface 
et dont le plan osculateur moyen est normal à la surface S en des 
points M constituant presque toute la surface. En \\\\ tel point, dési- 
gnons par K la courbure moyenne de S, qui est aussi celle de C, et 
par l'angle de cette surface avec la surface U = Uo. Ea courbure 
moyenne de cette surface est, d'après le théorème de Meusnier, 

K coso. 



y/A, l 
On a d'autre part évidemment, pour les points M considérés. 



et par suite 



AT 1/ ^U 
A L = K — — 

œt 



Gomme d'autre part, pour presque tous les points M considérés, AU, 
K, et — sont égaux a leurs moyennes, on a 

et, la surface étant de la première catégorie, eTcs=: ^^Fla;), ce qui établit 
la formule (8). 

108. Considérons maintenant une surface S, de la deuxième caté- 
gorie et d'ordre i. On peut la considérer comme lieu d'une simple 
infinité de contours C de la première catégorie, et dont les mesures 
sont du même ordre de grandeur, de sorte que, pour chacun d'eux, 
la courbure géodésique moyenne est presque partout nulle. 

On peut considérer chacun de ces contours comme constituant 
presque toute une surface S', inscrite dans S et intérieure à S, et, en 
appliquant la formule (8) à cette surface, on voit qu'on a une relation 
analogue sur le contour G; les courbures moyennes de S et S' le long 
de G étant égales, elle s'écrit 

Les contours G divisent la surface S en tranches Si, S^, .-., S^ ; 
sur chaque tranche S/, d'aire cS/, K a presque partout une même 
valeur K/, et l'on a 



i:^'-^'--(f)=Eê^"--(^^-)' 



dXLi désignant une moyenne sur la tranche S/. Or la moyenne sur S 
s'obtient en donnant aux diverses tranches S/ des poids proportion- 
nels à leurs aires, tandis que la moyenne dans 'Q s'obtient en leur 
donnant des poids proportionnels ^ ^' La formule précédente donne 
donc, à la limite, 

ce qui établit la formule (8). 



CIIAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 38> 

Ce raisonnement se généralise sans peine à deux points de vue. 
D'une part, on peut raisonner sur la formule {j') au lieu de la for- 
mule (8). D'autre part, au lieu de surfaces de la deuxième catégorie 
et d'ordre i, lieu d'une simple infinité de contours C, on peut consi- 
dérer une surface de la deuxième catégorie et d'ordre p, lieu de 
variétés de la première catégorie dépendant de p paramètres. La for- 
mule de Green est donc établie pour toutes les surfaces d'ordres 
finis. 

On peut passer de là aux surfaces dont l'ordre est infini, en remar- 
quant qu'une telle surface S peut être considérée comme limite de 
surfaces S' d'ordres finis, telle que la moyenne sur S' d'une fonction- 
nelle uniformément continue tende vers sa moyenne sur S. Il est 
probablement possible de supposer que le voisinage de S et S' est 
d'ordre i, c'est-à-dire que l'angle des plans tangents aux deux sur- 
faces tend vers zéro, et cela uniformément sur presque toute la surface. 

Alors les valeurs moyennes de -^j et de p (distance du plan tangent 

à un point ii\e), sur S', tendent respectivement vers les valeurs 
moyennes des mêmes quantités sur S, et la formule de Green en 
résulte. 

Nous ne chercherons pas à rendre ce raisonnement plus rigoureux. 
Peut-être serait-on conduit à quelques restrictions concernant le mode 
de continuité du plan tangent à la surface. Ce qui précède nous 
permet de considérer la formule de Green comme établie dans 
presque tous les cas. D'ailleurs les résultats principaux que nous en 
déduirons dans la suite reposent sur l'application au cas de la sphère, 
qui ne présente aucune difficulté. 

d09. La formule de Green sur une surface. — On peut établir sur 
une surface des formules analogues à celles relatives à l'espace, et ne 
faisant intervenir que les valeurs d'une fonctionnelle sur la surface. 

Considérons d'abord une surface fermée. S, de la première caté- 
gorie. La comparaison des formules (5) et (8) montre que, sur cette 
surface, A^U est presque partout nul. Ce résultat s'étend, par un rai- 
sonnement analogue à celui du numéro précédent, aux surfaces de la 
deuxième catégorie et d'ordres finis, que Ton peut considérer comme 
lieux de variétés de la première catégorie sur chacune desquelles A^U 
est presque partout nul, puis à celles d'ordre infini. 



586 TROISIÈME PARTIE. — MOVENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL 

On peut alors indifléremment écrire 



DV. 



(^^slj) =^0, 01is<AsU) = o. 



La première formule n'est qu'une forme différente de celle de Groen; 
la deuxième apparaît comme une généralisation de la formule 



/ 



d'il , 



relative au cas de l'espace à deux dimensions, ou plus généralement 
à une ligne fermée dans un espace quelconque. 

Si l'on considère une portion de surface ouverte, il j a deux cas à 
distinguer, suivant que le voisinage du contour G de cette surface 
constitue ou non presque toute la portion considérée. Ainsi, divisons 
une surface fermée S', par un contour G, en deux portions de sur- 
face Si et S2. En général elles seront d'un ordre de grandeur différent; 
pour la plus petite, le voisinage du contour G constitue presque toute 
la surface, tandis que pour l'autre il n'en constitue qu'une fraction 
négligeable. Gela revient à peu près au même d'écrire la formule de 
Green pour cette dernière portion de surface, ou pour toute la sur- 
face fermée. Nous nous contenterons alors de considérer une por- 
tion de surface S, située presque tout entière dans le voisinage de 
son contour G. La formule qui généralise la formule (8) s'écrit alors 



(9) 



h 0]Ls(As U) = ORc (^) . h = DRc (~ 



-j- indiquant une dérivation relative à la direction du plan tangenl à S 

normale à G, et K^ la courbure géodésique moyenne de G. On écrit 
de même la formule qui généralise la formule (7 )• 

Si la surface S est minima, on peut la considérer comme consti- 
tuant presque tout un volume, limité par une surface S contenant G 
et normale à S, et la formule (9) n'est pas autre chose que la for- 
mule (8) appliquée à ce volume. 

Dans le cas général, on établit la formule (9) en raisonnant sur la 
surface comme nous l'avons fait dans l'espace pour établir la lor- 
mule (8). On considère d'abord le cas d'un contour G de la première 

catégorie, et l'on démontre que A^L, -^ et Ko- sont presque partout 



CHAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 38; 

liés par la idation 

qui donne la formule (9) puisque chacune des quantités considérés a 
presque partout la même valeur. On passe de là aux contours de la 
deuxième catégorie, d'ordre fini, puis infini. 

110. Dans l'espace E„, il existe une relation simple entre les for- 
mules de Green dans l'espace et sur une surface; l'une peut se déduire 
de l'autre. 

Considérons par exemple un volume \'^ limité par deux surfaces 
parallèles Sq et S, et une surface latérale S, lieu des normales à S le 
long du contour C qui limite cette surface. La formule de Green, 
dans le cas où ç =1^ s'écrit 

n / àud-Ç= / -j-dS— -j-^^o^ / -j-^^- 
Écrivons qu'elle reste vérifiée quand S varie, Sq restant fixe. Il vient 

-T-7 désignant une dérivée suivant la direction du plan tangent à S 
normale à G. Or 

n\u — -—■ =z{n— \)^tu, 

Stu désignant l'expression de A^a pour le plan tangent, et 

K r- du 

As ?fc = A/ ^* 4- K ^— 
La formule précédente s'écrit donc 

'""-'Uu 






C'est la formule de Green sur une surface. 

D'une manière générale, la formule de Green, pour une surface, 
indique que celle relative à l'espace reste vraie, quand une portion S 



388 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

de la surface à laquelle on l'applique se déforme, et en particulier est 
remplacée par une surface parallèle. 

On peut étendre ce raisonnement à l'espace fonctionnel, et cela 
donne une nouvelle démonstration de la formule (g). Il suffit encore 
d'appliquer la formule (7) au volume V compris entre deux surfaces 
parallèles et une surface latérale S, et de faire varier celle des deux 
surfaces qui est de l'ordre de grandeur le plus élevé. 

Ce procédé de démonstration suggère en même temps une remarque 
nouvelle. Si l'on applique la formule de Green à une surface S', et 
que l'on déforme une portion S de cette surface d'un ordre de gran- 
deur inférieur à celui de S', la modification considérée n'est pas sus- 
ceptible d'agir sur les valeurs moyennes de AU et -r-? et par suite de 

modifier la formule de Green; le raisonnement qui précède nous 
montre que cette formule, écrite sous la forme (7), et où les 
termes principaux sont de l'ordre de grandeur de l'aire 8' de S', 
apparaît comme si exacte que les termes d'un ordre de grandeur 
inférieur varient de quantités égales. 

Une aire peut de bien des manières se décomposer en tranches dont 
les rayons de sphère équivalente p varient de zéro à R, et d'épais- 
seur y (p)6Zp. L'ordre de grandeur de cette aire apparaît alors comme 
défini par la valeur, pour n très grand, de 



(10). ^ f f(p)pn-ldp. 

Jusqu'ici, nous avons assimilé cette quantité à sa valeur princi- 
pale/(R) — ; c'est-à-dire que nous n'avons tenu compte que du con- 
tour dont le voisinage constitue une tranche qui l'emporte sur les 
autres. Mais la remarque qui précède nous suggère qu'il peut y avoir 
lieu de tenir compte des différents termes de l'expression (10). Les 
procédés employés jusqu'ici sont trop grossiers; il faut trouver un 
moyen de grossir les tranches trop petites de manière à leur permettre 
de figurer dans une moyenne au même titre que les autres. C'est ce 
qui va se produire dans l'application de la formule de Green au 
potentiel, application qui va nous conduire à des résultats tout diffé- 
rents de ceux qui précèdent. 

HL La formule de Green et le potentiel. — On sait le rôle que 



CHAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 089 

joue, dans l'espace E/^, rapplication de la formule de Green au cas 

où l'une des fonctions qui y figurent est -:—;i '' désignant la distance 

à un point fixe A. A la limite, pour Ji infini, —j^., devient nul ou infini, 

et ne conduit pas à une fonctionnelle déterminée, que l'on puisse 
faire figurer dans la formule (7). Cela n'empêche pas que la formule 
de Green, écrite dans les conditions indiquées, conduit à la limite à 
une formule bien déterminée, mais qui ne sera pas une application de 
la formule (7 ). 

Plaçons-nous dans le cas d'un point A du volume \ ,1 limité par la 
surface S^. Désignons par a-,^ la surface de la sphère de rajon i dans 
l'espace E,^, et désignons toujours par Aw non la somme, mais la 

Ô' Il 

moyenne des dérivées secondes — ^; comptons la dérivée normale 
à S positivement vers l'intérieur. 

La formule de Green prend la forme connue 



/ N I r~'U d I I du\,^ 

(II) Us^= , ^ / \U—, 7, 7 -7— «S 



rn-2 d^ 






On remarque aisément que cette formule présente l'aspect que nous 
attendions; les portions de volume voisines de A sont très petites, 
si 71 est grand, mais la multiplication des éléments correspondants 
par le facteur —^^ qui est très grand, conduit à un produit qui reste 

fini quand n augmente, et l'on est conduit à ce résultat que, dans 
l'espace fonctionnel, les valeurs de A« dans les différentes couches 
concentriques entourant le point A auront une influence sur la valeur 
de M^. 

Pour faciliter le passage à la limite, transformons l'expression (11) 
qui comprend trois termes : un potentiel de double couche, un poten- 
tiel de simple couche, et un potentiel de volume. 

1° Potentiel de double couche. — Remarquons que 
~l-l-\dS ={n — i)^^d$, = {n — 2)do, 

d,\rn-i) ^ '',.«-1 ^ ^ '' 

désignant Fangle de la normale en un point M de l'élément <i.S avec 



Sgo TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

la droite MA, et d'^ l'angle solide sous lequel on voit cet élément du 
point A. Le terme considéré s'écrit donc 



(..) 






n J^ 



C'est la moyenne de la fonction u sur la surface S, en accordant à 
chaque élément de surface un poids égal à l'angle solide sous lequel 
on le voit du point A. En d'autres termes, c'est la moyenne sur une 
sphère de centre A sur laquelle on effectuerait la perspective de la 
surface S. Nous l'appellerons « moyenne de z^ sur la surface S, vue du 
point A », et la désignerons par 51^A(t<). 

Gomme Gâteaux l'a remarqué, certe interprétation rend très 
facile le passage du fini à l'infini. Pour éviter toute difficulté dans ce 
qui suit, nous considérerons une surface convexe de l'espace fonc- 
tionnel; nous reviendrons plus loin sur le cas des surfaces non con- 
vexes. Par définition même de la moyenne dans l'espace fonctionnel, 
la valeur de ^I^a(U), ou moyenne d'une fonctionnelle U sur une sur- 
face S, vue de A, est la limite de l'expression analogue dans l'es- 
pace E,i, en prenant pour E^ la /i'^'"^ section de l'espace fonc- 
tionnel, pour S/, la /i'*"™" section de S, et pour u les valeurs de U 
sur S,/. 

2^ Potentiel de simple couche. ■ — On peut, comme pour le poten- 
tiel de- double couche, mettre en évidence l'élément dz>. Ge terme 
s'écrit alors 

n — '1 \cosO «V / 

La fonction dont on prend la moyenne restant finie, ce terme tend 
vers zéro à la limite. Le potentiel de simple couche disparaît, tandis 
que le potentiel de double couche a une limite finie. 

3"* Potentiel de volume. — Réunissons tous les éléments de 
volume intérieurs à un cône de sommet A et d'ouverture très 
petite dz); désignons par p la distance au point où l'axe de ce cône 
perce la surface. L'élément de volume s'écrit r"~' drdo^ et par suite 
le terme considéré s'écrit 



(n — 2)a; 



.f-%,f^^u,r=-^^o^u^ 



p 

/• ^u di 



CIIAl». V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. Ss)! 

S (iésigRant une sphère de centre A et de rajon i, et ^Itja moyenne' 
.'5ur cette sphère. 

Eftectuons le passage du fini à l'infini; 'Aî^ tend vers AU. et 
cela uniformément, moyennant des conditions très peu restrictives 
imposées à la fonctionnelle U. Pour le montrer, prenons pour /z'^'"* 
section celle relative au point de vue du Chapitre III, les axes étant 
définis par la suite des fonctions trigonométriques rangées dans 
l'ordre habituel. Supposons par exemple que U ait sa variation 
seconde normale; il résulte aisément du n" 41 que la convergence 
de \u vers AL est uniforme pourvu que 



'^■H-)- 






dt dtx 



soient inférieurs en module à un nombre déterminé lorsque t 
varie dans l'intervalle (o, i) et que le point représentatif de x^i) 
décrit le volume V. De même, si la variation S-U n'est pas normale, 
il suffit de conditions très peu restrictives pour assurer la conver- 
gence uniforme de Aw vers AU. Le potentiel de volume s'écrit donc 
à la limite 



-'''\L 





' /-AU dr 





OIl^ et G ayant la même signification que dans l'espace E„. 

J^a formule (ii) donne donc à la limite la formule fondamentale 



(i3) 



Ua = Oli a( u ) — Oit, ( r ' /AU dr\ 



et, dans le cas des fonctionnelles harmoniques, on a 

(i4) UA=ortA(U). 

11^. On remarque que, contrairement à ce qui s'est produit pour 
la formule (7'), la méthode du passage du fini à l'infini suffit comme 
démonstration de la formule (i3). Il n'est d'ailleurs pas difficile de la 
vérifier directement. 

D'après les propriétés connues de la moyenne sur une sphère, 
p est dans presque toutes les directions égal à sa moyenne R, et l'on 
ne risque pas de rien changer à la formule (i3) en remplaçant S par 



302 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

une sphère de centre A et de rayon R. 11 suffit donc de démontrer la 
formule dans le cas d'une telle sphère. 

Soit AM un rayon de la sphère. Tenant compte de la formule (5), 
et A^U étant, en chaque point du volume considéré, relatif à la sphère 
de centre A qui passe en ce point, on a 



R^^ .R .U 



Ua=Um— r ^dr = VM-h f r^sVdr—f r\V 



dr. 



Prenons la moyenne de cette expression lorsque M décrit la 
sphère. On a d'ailleurs, par une interversion de Tordre des intégra- 
tions (*), 

011 (^ f rAsUrfrj = f ;0)l,(AsU j ^r = o, 

yîLr désignant une moyenne sur la sphère de rayon 7^; en effet, nous 
savons que la moyenne de A>^U est nulle pour toute surface fermée. 
11 vient alors 

Ua=01L(U)-D1l( / /-AU.//), 



u)-3r.(^^ 



formule identique à la formule (i3), puisque S est une sphère d(i 
rayon R. 

1J3. En prenant pour S une sphère de centre A, luuis voyons que 
la valeur d^ une fonctionnelle harmonique au centre d^ une 
sphère est la moyenne des valeurs qu^ elle prend sur la sphère. 

Nous connaissions déjà ce théorème pour les sphères infiniment 
petites. 

Réciproquement, toute fonctionnelle jouissant de la propriété 
indiquée est harmonique; il suffit en effet, d'après le Chapitre 11, 
que cette propriété soit vraie pour les sphères infiniment petites (en 
d'autres termes qu'elle soit vraie pour o-U, considéré comme fonc- 
tionnelle de S^), pour que U soit harmonique. 

114-. Revenons au cas d'une surface convexe quelconque. Le 
problème de Dirichlet consiste, comme dans l'espace E„, à déter- 

(^) Celle opération se légilime par un raisonnement tout à fail analogue à celui 
du n" 116. II suffit que As U soit uniformément continu. 



cil A p. V. — FONCTIOxXNELLES HARMONIQUES. 89 3 

miner une solution dé l'équation AU z= F | [jp] | connaissant sa valeur 
sur S. 

Si ce problème admet une solution, la formule (i3) nous montre 
qu'elle est unique, et nous donne le moyen de la former. 

Dans l'espace E^, on sait qu'on ne peut obtenir ce résultat que par 
l'introduction de la fonction de Green. Dans l'espace fonctionnel, la 
disparition du potentiel de simple couclie, c'est-à-dire du terme de 
la formule (i i) qui contient la dérivée normale, entraîne cette consé- 
quence que la solution s'obtient d'une manière beaucoup plus élémen- 
taire que dans l'espace 1L„. 

Il reste à montrer l'existence de la solution. Il suffit à cet eifet de 
vérifier que la formule (i3) donne bien la solution du problème. 
iSous devons dans ce but étudier successivement les deux termes de 
la formule (i3), le potentiel de double couche et le potentiel de 
vohime_, et montrer qu'ils vérifient bien les propriétés voulues, tant 
au point de vue de leurs valeurs sur la surface S que des valeurs 
de AU. L'étude du potentiel de double couche nous permettra 
d'abord de conclure dans le cas des fonctionnelles harmoniques. 
jNous étudierons ensuite le potentiel de simple couche, puis le poten- 
tiel de volume. L'étude des potentiels de surface, dans le cas de la 
sphère, a déjà été faite par Gâteaux [Bulletin de la Société mathé- 
matique^ ig2o). 

1 15. Le potentiel de double couche. — Nous savons que la moyenne 
d'une fonctionnelle sur une sphère est égale à sa moyenne sur une 
section de la sphère par un plan contenant le centre. Si A tend vers 
un point P de la surface, on peut prendre ce plan parallèle au plan 
tangent en P. La surface étant toujours supposée convexe, sa section 
par ce plan est tout entière voisine de P, et, si la fonctionnelle U 
donnée sur la surface est uniformément continue, ses valeurs âur 
cette section tendent vers Up. Ces valeurs étant les seules à consi- 
dérer pour le calcul de la moyenne Dl'l^(U), cette moyenne tend 
vers U|,. 

D'autre part, la définition du potentiel s'étend sans peine au cas 
d'un point extérieur. L'intégrale (12) conserve en effet un sens bien 
défini. Par un point extérieur A on peut, la surface S étant convexe, 
faire passer un plan qui n'ait pas de point commun avec elle; le voisi- 
nage de l'intersection de ce plan avec une sphère de centre A consti- 



3<)4 TROISIÈMK PARTIE. — MOVENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

tuant, pour ji assez grand, presque toute cette sphère, l'angle solide 
sous lequel on voit la surface S du point A ne constitue qu'une frac- 
tion de (jfi qui tend vers zéro. L'intégrale (12) tend donc vers zéro. 
Quand on traverse la surface, de l'extérieur à l'intérieur, le poten- 
tiel de double couciie augmente brusquement d'une quantité égale à 
la densité. D'ailleurs, au point P de la surface, la perspective de la 
surface comprend une demi-sphère, concentrée pour ji très grand à 
son intersection avec le plan tangent en A; il en résulte que la valeur 

du potentiel de double couche en ce point est - Up, moyenne arith- 
métique des valeurs prises de part et d'autre de la surface dans le 
voisinage de ce point. 

116. Il reste à montrer que 01^^(11) est une fonctionnelle harmo- 
nique du point A. Gela est évident à l'extérieur, où ce potentiel est 
nul. Pour le vérifier à l'intérieur, il suffît de montrer que sa valeur 
en un point intérieur A est égale à la moyenne des valeurs qu'il prend 
sur une sphère 2, de centre A, et de rayon inférieur à la distance de 
ce point à la surface. 

Nous allons utiliser la méthode du passage du fini à l'infini. Dési- 
gnons par S„ et S^^ les ;z'*^'"'** sections de S et S, et, en chaque point M 
du plan E,^ de la /i'""" section, par/,^ (M) et /(M) les valeurs de 01Lm(U) 
calculées respectivement dans E,^ et dans l'espace fonctionnel. Le 
théorème à démontrer est vrai dans l'espace E/^, c'est-à-dire que/„(A). 
est la moyenne des valeurs de /„(M) sur la sphère S,;. Il s'agit de 
montrer que/(A), limite dey,i(A), est la moyenne de /(M) sur ï^ 
( 'est-à-dire la limite de la moyenne dey*(M) sur ^,1. 11 suffit alors de 
montrer que /«(M) tend uniformément vers /(M) sur la sphèie S. 

Soit Q un point de la sphère 2' de centre M et de rayon i , inter- 
section avec cette sphère de la demi-droite MP, P étant sur S. 

Posons 

U,.= cp(M, Q). 

La fonction/(M) est alors la moyenne de cp(M, Q) quand Q décrit 
la sphère ^\ 

Etant données les hypothèses faites (surface S convexe; point M 
intérieur et à une distance de S limitée inférieurement), on peut 
limiter inférieurement le rapport de l'élément d'arc décrit par Q sur 
une sphère 2' à l'élément correspondant décrit par P sur S. Par suite, 



CIIAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. Sg ) 

si U est une fonctionnelle uniformément continue sur S, les fonc- 
tionnelles Ci (M, Q), considérées comme fonctionnelles de Q dont la 
forme dépend de M, sont également et uniformément continues. 

Le raisonnement précédent s'applique bien entendu en prenant la 
définition de la continuité d'une fonctionnelle liée à la définition 
habituelle de la distance. Supposons que le résultat soit valable avec 
d'autres définitions de la continuité, en particulier avec celle qui 
j)ermettra de démontrer les propositions admises au n'^ 19. D'après 
la deuxième de ces propositions, f,i(M) tend bien uniformément 
vers y (M), et le résultat annoncé est bien obtenu. 

Nous reviendrons au n° 14o sur le point qui reste à préciser, dans 
le raisonnement précédent. 

117. Une autre méthode, pour démontrer que /(A) est la moyenne 
de y(M) sur la sphère S, et que par suite le potentiel de double 
couche est harmonique, consiste à le démontrer d'abord dans le cas 
où S et S sont deux sphères concentriques. La généralisation esl 
immédiate par le raisonnement suivant : 

La surface S étant une surface convexe quelconque, M étant fixe, 
la distance MP, considérée comme fonction du point Q où MP coupe 
la sphère S', a la même valeur cd(M) sur presque toute cette spiière. 
Au point de vue du calcul de la moyenne /(M), la surface S peut 
donc être remplacée par une sphère de centre C ou de rayon C3(M), 
ou encore par n'importe quelle autre sphère la coupant suivant un 
grand cercle, par exemple la sphère de centre A et de rayon \/p^-]- o-, 
p désignant la distance MA. D'ailleurs, les valeurs données sur S 
importent seules, et, s'il est commode de supposer cette fonction- 
nelle définie en dehors de S, nous pouvons la définir arbitrairement, 
la continuité étant seulement respectée dans le voisinage de S. 

Le point M décrivant la sphère S, de centre A et de rayon p, o(M) 
a presque partout une même valeur a, et l'on ne change rien, au 
point de vue du calcul de la moyenne de /(M) sur cette sphère, en 
remplaçant C3(M) par sa valeur constante a, c'est-à-dire en rempla- 
çant /(M) par la moyenne, vue de M, des valeurs données sur la 
sphère iixe S' de centre A et de rayon \/p--\-a-. La moyenne de/(M) 
est alors égale, le théorème à démontrer étant supposé vrai pour la 
sphère S', à la moyenne de U sur cette sphère. Gomme, par la 
manière même dont elle est formée, elle ne dépend que des valeurs 



396 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

de U sur S, c'est que presque toute la sphère S' est concentrée dans 
son intersection avec S; cela revient alors au même de prendre la 
moyenne de C, vue du point A, sur S ou S'. Cette dernière étant 
égale à la moyenne de /(M) sur S', il en est de même de la première. 

C. Q. F. 1). 

118. Pour compléter ce raisonnement, il faut en justifier le point 
de départ, c'est-à-dire vérifier notre théorème de la moyenne dans le 
cas où S et i] sont deux sphères concentriques. Dans ce cas, J^(M) 
étant la moyenne de U sur le cercle G, la moyenne de /(M) sur S 
dépend linéairement des valeurs de U sur S. « Par raison de symé- 
trie, les valeurs de U sur deux éléments d'aires égaux ont des coeffi- 
cients égaux. » Il en résulte que cette moyenne est égale, à un facteur 
constant près, à la moyenne de TJ sur la sphère S; ce facteur est 
d'ailleurs égal à l'unité, comme on le voit en faisant U = i . Nous 
arrivons ainsi au résultat par un raisonnement intuitif. Mais, pour le 
rendre rigoureux, il faudrait revenir sur la partie de ce raisonne- 
ment écrite entre « ... », et chercher à la justifier par le passage du 
fini à l'infini. On n'échapperait pas, ainsi, à la nécessité de s'appuyer 
sur les propositions admises n** 19. 

On ne peut y échapper qu'en assujettissant les valeurs données 
de U sur la sphère S, non à vérifier certaines conditions de conti- 
nuité, mais à être représentable par une série uniformément conver- 
gente du type étudié n"" 18, chaque terme étant une somme d'inté- 
^ales définies. La démonstration consiste alors en un calcul 
élémentaire, qui n'est autre que celui par lequel on vérifie que la 
composition de deux lois de probabilité de la forme de Gauss conduit 
à une loi de la même forme. 

Supposons par exemple que 

U = / ^[^{t), t] dt. 

Si \{^t) et V](^) sont deux fonctions de module fonctionnel égal à 
l'unité, les fonctions p?(^) et p5(/^) -|-aT, (^) sont représentées par 
les points M et Q du raisonnement précédent. La fonction y( M) est 
alors la moyenne de 



lJ|[pÇ(0-f-«r,(0]l=y cp[pi(0-i-«T,(^), t 



dt 



CHAI*. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 397 

à r Intérieur de la sphère 
D'après le n'' 18, elle a la valeur 



= / dt j r^\^\(t)-^-ari, t]e -^ dt^. 



La moyenne de /(M), lorsque M décrit la sphère S, est alors 
~- j dt j i (p(ûÇ — rtr^.Oe ■' d\dr, 

I r ' r'^'*' — — 

= — = / rf^ / o(^/p2_Ha2^ t)e '- dl, 

c'est-à-dire la moyenne de U sur la sphère S. La vérification est 
tout à fait analoofue dans le cas des autres inté^rrales considérées n^ 18 
(î;o//' Gâteaux, Bull. Soc. math.^ M)^9)- 

119. Remarques sur la solution du problème de Dirichlet et les 
propriétés des surfaces minima. — Les propriétés du potentiel de 
double couche nous permettent, du moins dans le cas des volumes 
limités par des surfaces convexes, envisagés jusqu'ici, de conclure à 
l'existence et à l'unicité de la solution du problème de Dirichlet pour 
l'équation de Laplace, comme dans le cas de l'analyse ordinaire. 
Nous allons voir, en examinant la nature de cette solution, qu'elle 
jouit de propriétés tout à fait différentes de celle qu'on rencontre 
dans l'analyse ordinaire. 

Nous savons qu'une fonctionnelle harmonique U (nous désignerons 
maintenant par cette notation la fonctionnelle harmonique obtenue, 
aussi bien à l'intérieur que sur la surface) est caractérisée par le fait 
que les surfaces U = const. sont minima. Une surface S, d'équa- 
tion U = Uo peut donc, comme nous l'avons déjà remarqué au n** lOo, 
être définie comme surface minima, limitée au contour G défini sur 
la surface S par la même condition U = Uo- Le problème de déter- 
miner une surface minima par la connaissance d'un tel contour est, 
dans l'analyse ordinaire, différent du problème de Dirichlet relatif à 
l'équation de Laplace. En analyse fonctionnelle, ces deux problèmes 



398 TROISIÈME PARTIK. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

sont équivalents, la détermination des différentes surfaces S équiva- 
lant évidemment à celle L'. 

Si Ton remplace les valeurs données de U sur la surface par des 
valeurs de la forme 

ç(U)=U + X(U-Uo)S (X>o), 

la même transformation sur U donne à l'intérieur la solution du 
nouveau problème posé. Sur la surface U = Uq, la valeur de la solu- 
tion n'est pas modifiée. Il en résulte que, vue d'un point A de cette 
surface, la surface S paraît concentrée sur le contour C; si en effet 
il n'en était pas ainsi, la moyenne des valeurs de X(U — Uq)- sur la 
surface S, vue de A, serait positive, et la valeur de la solution en A, 
qui est augmentée de cette moyenne par le changement des données, 
serait modifiée. 

Nous obtenons ainsi une propriété des surfaces minima qui géné- 
ralise une propriété déjà connue du plan, Si une surface minima S, 
contenant un point A, coupe suivant un contour G une surface 
fermée S entourant ce point, le contour C, vu du point A, paraît 
constituer presque toute la surface. La valeur en A d'une fonction- 
nelle harmonique ayant des valeurs données sur S ne dépendant 
donc que des valeurs données sur G; on l'obtient toujours par le 
calcul de la moyenne M^(w), mais les valeurs de U sur G inter- 
viennent seules dans ce calcul. 

Gonsidérons en particulier le cas où U est une fonctionnelle 
linéaire, nulle en A. Désignons par <!* le plan U = o. Les valeurs de L' 
sur S, ou sur G, vues du point A, sont presque partout nulles, 
puisque 011^(1]) = IJj^=:b, et que sur la sphère de centre A, sur 
laquelle on effectue la perspective de S, une fonctionnelle est presque 
partout égale à sa moyenne. En d'autres termes, le contour G, vu 
de A, paraît presque situé dans le plan ^X. Vue d'un de ses points, 
une surface minima paraît presque un plan, puisqu'il en est ainsi 
de tout contour G situé sur cette surface et entourant ce point. Nous 
généralisons ainsi une propriété des surfaces minima que nous avons 
déjà établie localement. 

11 ne faut pas que les mots « presque un plan », que nous employons 
pour rendre plus intuitifs les résultats obtenus, en fassent oublier le 
sens et fassent croire que l'analogie avec un plan est plus complète 
qu'elle ne Test en réalité. Lorsque nous disons, dans ce qui précède, 



CII.VP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. '■)[)[} 

que la surface ^, vue de A, est presque confondue avec le plan ^Jp, 
9i* représente n'importe quel plan passant par A, et non comme on 
pourrait le croire le plan langent à la surface S. Pour bien voir le 
sens de cet énoncé, appliquons-le au cas où la surface S elle-même 
est un plan, soit ^' . L'intersection d'une sphère de centre A et des 
plans ^ et ^' constitue presque toute la sphère, et par suite presque 
toute l'intersection de ^' et de la sphère; en d'autres termes, vue 
de A, l'intersection de ^^ et ^-S' constitue presque tout l'espace, et par 
suite presque tout le plan ^'. On peut donc dire que le plan ^' est 
presque confondu avec ^J?, entendant par là que seuls les points de 
leur intersection comptent pour le calcul de la moyenne d'une fonc- 
tionnelle, vue de A, mais non qu'ils font un angle très petit. C'est 
dans le même sens que nous disons qu'une surface minima est presque 
un plan. 

120. Les remarques qui précèdent permettent de présenter sous 
un aspect différent la solution du problème : Trouver une surface 
juinima ^ limitée à un contour C. 

Soit Cft la /i'^'"*' section de C. Désignons par S^ la surface minima 
de l'espace E,^ limitée à C/^. On peut montrer que '^u tend vers il 
quand n augmente indéfiniment. 

Soit d'autre part S^^ la surface lieu des points A d'où le contour C/, 
piiraît diviser l'espace en deux angles solides égaux; un tel point A 
étant pris comme point de vue, la perspective de G sur une sphère 
de centre A la divise en deux aires égales, et par suite, si n est assez 
grand, son voisinage constitue une fraction de plus en plus grande 
de la sphère; la moyenne d'une fonctionnelle définie sur la sphèr(; 
ne dépend à la limite que de ses valeurs sur la perspective de C, 
c'est-à-dire que le contour C, vu de A, constitue presque la surface S. 
C'est donc que A est sur S. La surface Yl^ tend vers ^. 

Dans l'espace E,,, la détermination de S^ est un problème trans- 
cendant. Celle de ^\^ est au contraire un problème élémentaire, dont 
la résolution dépend du calcul d'une intégrale définie d'ordre n — \ , 

qui représente l'angle solide; en l'égalant à- (7„, on a l'équaticjn 

de ^\i sous forme implicite. A la limite, les surfaces S^^ et ^„. tendent 
toutes les deux vers ^. Le problème transcendant se ramène au 
problème élémentaire. 



4oo TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

121. Les problèmes de Cauchy et de Dirichlet pour des variétés 
quelconques situées sur une surface fermée convexe. '— Plaçons- 
nous encore, pour commencer, dans le cas d'une surface S fermée et 
convexe. Nous avons vu que si l'on se donne les valeurs de la fonc- 
tionnelle harmonique IJ sur un contour G de cette surface, cela 
suffit, contrairement à ce qui a lieu dans l'analyse ordinaire, pour la 
déterminer sur la surface minima S limitée à G. Si l'on considère 
sur S deux contours G et G' sans points communs, les surfaces 
minima ^ et S' limitées à G et G' sont aussi sans points communs. 
On peut, en effet, se donner des valeurs de U sur la surface, qui 



aient sur G une valeur constante u et sur G/ une valeur constante u' 
différenle de w; on a alors U = u sur S et L= u' sur S', ce qui 
prouve que ces surfaces sont sans points communs. 

Supposons maintenant que U soit donné sur une surface ou- 
verte S,, constituée par une des portions de S séparées par le con- 
tour G. On peut décrire cette surface par des contours G', partant 
du contour G et arrivant à se réduire à un point. Les surfaces 
minima S' limitées à ces contours décrivent alors tout le volume 
compris entre S et la surface S limitée à G. Dans ce volume, la fonc- 
tionnelle U est bien déterminée. Elle est, au contraire, indéterminée, 
aussi bien à* l'extérieur de S que dans le volume V, intérieur à S 
et situé de l'autre coté de iJ; pour la déterminer dans ce dernier 
volume, il faudi^ait se donner ses valeurs sur S de l'autre côté de G. 

Nous voyons ainsi que le prolongement de la fonctionnelle U, 
définie dans Vi, est indéterminé au delà des surfaces S et i^; il en 
résulte que les surfaces minima définies dans ce volume ont un pro- 
longement indéterminé à l'extérieur; on peut, en effet, choisir une 
fonctionnelle harmonique U, définie dans Vi et ayant sur la surface 
considérée la valeur constante Lq; il n'y a à l'extérieur de W ^ aucun 
point où l'on connaisse la valeur de U ; il n'y en a par suite aucun 
qui soit certainement situé aur la surface minima U=:Uo. Le pro- 
longement de cette surface est indéterminé. 

Dans le cas de la surface ouverte S,, la solution du problème de 
Dirichlet, comme dans le cas de la surface^ fermée S, est représen- 
table par le potentiel d'une double couche de densité U étalée sur S,. 
Ge potentiel, qui représente dans Y ^ la solution cherchée, est nul en 
dehors de ce volume. Gela est bien évident, ce potentiel pouvant 
être considéré comme le potentiel d'une double couche étalée sur 



CFIAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 4oi 

toute la surface S, mais dont la densité serait nulle au delà de C; il 
représente alors une fonctionnelle harmonique ayant les valeurs 
voulues sur Si et par suite dans V^, et évidemment nulle aussi bien 
en dehors de S que dans le volume intérieur à S situé de l'autre 
côté de ^. 

On remarque la discontinuité de ce potentiel. 11 est discontinu, 
non seulement à la traversée de S, comme cela a lieu dans l'analyse 
ordinaire, mais à la traversée de la surface S, qui ne porte aucune 
masse attirante. Gela tient à la discontinuité de l'angle solide sous 
lequel on voit S' quand on traverse S. Nous avons déjà remarqué que 
la portion du volume Vi voisine de S peut être décrite par une sur- 
face minima ^i, qui se déforme en partant de S sans que deux de 
ses positions aient de point commun; on peut de même définir de 
l'autre côté de S des surfaces analogues S". L'intersection avec S de 
chacune des surfaces S, S' ou 2", vue d'un point de la surface consi- 



,, — v^ , 



p< 



dérée, paraît constituer presque tout l'espace. S'il s'agit d'une sur- 
face S', cette intersection appartient à S(, et par suite, vue d'un point 
de S', c'est-à-dire d'un point quelconque de V<, la surface Si paraît 
constituer presque tout l'espace. Vu d'un point de S, c'est son con- 
tour G qui paraît constituer presque tout l'espace. Si l'on se place 
de l'autre côté de S, la surface 2", qui paraît constituer presque tout 
l'espace, ne coupe pas Si, et par suite, l'angle solide sous lequel est 
vue cette surface ne représente plus qu'une fraction négligeable de 
l'angle solide total. 

Le potentiel de double couche est donc discontinu^ d'' une part 
à la traversée de la surface attirante^ d^ autre part à la traversée 
des surfaces minima limitées^ soit aux contours qui limitent la 
surface attirante^ soit (ce qui revient au même) aux contours sur 
lesquels la densité est discontinue. 

122. Gonsidérons le cas où la portion de surface Si est très petite. 
T.a solution du problème de Diriehlet est alors seulement définie 
dans un très petit volume V| voisin de S,. Ge problème apparaît 
alors comme identique au problème de Gauchy. 

Nous avons déjà remarqué que, d'après la formule (5), sur une 

surface non minima S. la dérivée normale première -7- intervenant, 

LÉVY. 26 



40i TROISIEME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

mais lion la dérivée seconde -j-^ > le problème de Cauchv se pré- 
senle comme pour les équations du premier ordre de Fanaljse ordi- 
naire. D'autre part, nous venons de voir que le problème de Diricldet 
s'étend au cas de surfaces ouvertes. Toute différence entre les deux 
problèmes a disparu. 

Ce problème unique est, par la manière dont il se pose, analogue 
au problème de Gauchj relatif aux équations aux dérivées partielles 
du premier ordre. Mais la solution est entièrement différente, sur- 
tout par la région où elle est définie. Dans le cas d'une surface 
fermée S, elle est définie à l'intérieur et indéterminée à l'extérieur; 
dans le problème considéré de l'analyse ordinaire, elle est définie 
des deux côtés de la surface, mais n'est en général pas prolongeable, 
en restant uniforme, dans toute la région intérieure. Dans le cas 
d'une surface ouverte Si, la différence est encore plus nette; nous 
venons de voir que la région où U est définie est limitée par S, et 
une surface minima S; or il n'y a aucune analogie entre ces surfaces 
et les caractéristiques des équations aux dérivées partielles du pre- 
mier ordre. 

La différence entre les deux problèmes apparaît d'ailleurs dans le 
calcul des dérivées normales successives. INous avons remarqué, en 
effet, à propos de la formule (5), que la valeur de -7- déduite de cette 
formule était relative au côté de la concavité moyenne, et que, de 
l'autre côté, la dérivée normale pouvait avoir une valeur différente. 

123. La surface S étant toujours supposée convexe, considérons 
sur cette surface une variété "Ç définie par un nombre fini de condi- 
tions d'égalité ou d'inégalité. Les conditions d'inégalité expriment 
qu'un point quelconque de \'> est situé sur une région S,, limitée par 
un contour C, simple ou multiple; les conditions d'égalité expriment 
qu'il est sur l'intersection d'un certain nombre de contours C|, 
Co, . . . , C^. Il est facile de définir la région dans laquelle une fonc- 
tionnelle harmonique est déterminée si l'on se donne sa valeur en 
tous les points de la variété "C^. C'est la région Si commune au 
volume V , et aux surfaces Si, S2, ..., S^,, en désignant par 2, S), ..., S^ 
les surfaces minima limitées respectivement aux contours C,G|, ...,C^, 
et par \^ le volume compris entre S^ et S. 

En effet, la variété •<> où la fonctionncdle U est donnée apparte- 



CHAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 4o3 

nant à S|, celte fonctionnelle ne peut être déterminée que pour des 
points du volume V, où elle serait déterminée si ses valeurs étaient 
données dans toute l'aire S,. On voit de même qu'elle ne peut être 
déterminée que pour des points appartenant aussi à chacune des sur- 
faces S, , ^2 5 • • ••) ^p^ et par suite à la région Si. 

Soit inversement A un point de cette région. La fonctionnelle U 
j a la valeur OI'Lj^(lJ), moyenne de U sur la surface S, vue de A. Le 
point A étant dans Vi, les valeurs de U pour les points de S non 
situés sur S< sont sans influence sur le calcul de la moyenne; A étant 
sur S,, il en est de même des points n'appartenant pas à C, ; il en 
est de même aussi de ceux n'appartenant pas à Co, •.., ou Gp. Les 
valeurs de U, données pour les points de la variété X\ suffisent donc 
à déterminer U^^= DXLj^CU). 

Gela revient à dire que, vu de A, le voisinage de la variété \'^ paraît 
constituer presque toute la surface S, ou que la perspective V' de \'^ 
sur une sphère de centre A constitue presque toute cette sphère. 
Cela revient alors au même de prendre la moyenne sur 'C)' ou sur 
cette sphère. Par analogie avec le théorème du n'^ 57, ramenant la 
moyenne dans un volume à une moyenne sur la surface qui le limite, 
on peut en eff'et montrer que la moyenne sur la sphère se ramène à 
«ne moyenne dans \'>', calculée en donnant à des éléments de mesures 
égales des poids proportionnels à des nombres finis, mais non néces- 
sairement égaux. Gomme la fonctionnelle considérée a la même valeur 
sur presque toute la sphère, et par suite sur presque toute la variété '<>'. 
le fait que ces poids ne soient pas égaux est sans influence sur la 
moyenne; il faudrait que leurs rapports soient de la forme a^ (ou 
a^~P-^ ^ a y^ \) pour que cela modifie la moyenne. On peut donc dire 
que U^, pour un point A de la région .R, est la moyenne des valeurs 
données sur la variété "C^, vue de A. Gette moyenne est un potentiel 
de double couche généralisé. 

11 est d'ailleurs peut-être préférable de considérer la double couche 
comme étalée sur S, mais de densité nulle en deliors de <?. Le poten- 
tiel de double couche qui en résulte a alors les valeurs voulues 
dans c'R, et est nul en dehors de cette région. Gette circonstance 
généralise mieux ce qui se produit si V est une portion S, de la 
surface S, ^ étant alors le volume V,. 

Dans le cas général, on peut définir la région A de la manière 
suivante : la condition nécessaire et suffisante pour qu'un point A 



4o4 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

soit extérieur à 31 est qu'on puisse trouver une surface niinima con- 
tenant ce point et sans point commun avec \'>. 

Si en efl'et un point A est dans la région ,R, n'importe quelle sur- 
face minima contenant ce point coupe S suivant un contour F qui, 
vu de A, constitue presque toute cette surface. Comme la variété ^'^^ 
vue de A, constitue aussi presque toute cette surface, non seulement 
le contour Y et la variété "Ç ont des points communs, mais ces points, 
vus de A, constituent presque toute la surface S. On ne peut donc 
pas faire passer par A une surface minima sans point commun 
avec x?. 

Supposons au contraire le point A non situé dans la région Si. Si, 
par exemple, il est situé en dehors de V|, on peut faire passer par 
ce point une surface minima tout entière du même côté de S, et par 
suite sans point commun avec V- H suffit, par exemple, de définir à 
l'intérieur de S une fonctionnelle harmonique U par la condition de 
prendre sur S des valeurs, constantes sur l'aire S< et sur son con- 
tour C, et croissant quand on s'éloigne de S| ; la surface U = const., 
qui passe par le point A, est alors une surface minima sans point 
commun avec S. Dans tous les autres cas où A n'est pas dans la 
région A, on voit de même qu'on peut faire passer par ce point une 
surface minima sans point commun avec l'une des surfaces S,, 
So, ..., Sy,, et par suite avec t?. Le résultat énoncé est donc bien 
établi. 

Dans ce qui précède, nous avons supposé p fini. L'extension de 
ces résultats est possible dans certains cas où p devient infini; nous 
reviendrons sur cette question au n° 127. 

124. Cas de surfaces non convexes. — Soit un point M d'une 
surface S, où la courbure moyenne ait une valeur non nulle K; sup- 
posons l'équation de cette surface de la forme <I> = o, <[î étant une 
fonctionnelle admettant en M des variations première et seconde au 
sens deM. Fréchet (avec notre définition habituelle de la distance /). 

Dans le voisinage du point M, on peut définir une surface 
minima Sq par la condition que la courbure de sa section normale 
tangente à n'importe quelle direction du plan tangent soit égale à la 
courbure de la section correspondante de la surface S, diminuée 
de K. Cette surface est située tout entière du même côté de S. 

Soit S une surface minima très voisine de S,, et située tout entière 



CHAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. ^OJ 

par rapport à elle du côté de la concavité moyenne (elle pourra, par 
exemple, être déduite de Sq par une translation parallèle à la nor- 
male en M). Elle coupe S suivant un contour fermé C, qui entoure 
complètement le point A où elle coupe la normale en M (dans 
l'exemple indiqué, G différera très peu de l'intersection de S avec 
une sphère de centre A). La donnée d'une fonctionnelle harmonique, 
sur S et dans le voisinage de M, suffit donc pour la déterminer en A 
et sur toute la portion de S limitée à G, et par suite en n'importe 
quel point, voisin de M, situé du côté de la concavité moyenne. 

Au contraire, par un point situé du côté opposé, on peut faire 
passer une surface minima ne coupant pas S, du moins dans le voisi- 
nage de M, et la fonctionnelle est indéterminée en ce point. 

Ges remarques vont nous permettre de généraliser les résultats 
précédents aux cas de surfaces non convexes. 

125. Soit d'abord une surface fermée S sur laquelle K conserve 
un signe constant (nécessairement positif si la normale est comptée 
positivement vers l'intérieur). On peut dire qu'elle est co/içexe en 
moyenne^ ou qu'en chaque point il existe une surface minima tan- 
gente qui la laisse tout entière du même côté. 

Il n'y a dans ce cas rien à changer aux résultats développés dans 
le cas des surfaces fermées convexes. Les surfaces minima limitées 
aux contours \} = const. sont deux à deux sans point commun, et 
la fonctionnelle U est bien définie sur chacune d'elles. Le potentiel 
de double couche, qui représente la solution à Fintérieur, est nul à 
l'extérieur. 

126. Soit maintenant une surface fermée S sur laquelle K n'ait 
pas un signe constant. En un point M, où K est négatif, on peut 
définir une surface minima S, tangente à S en ce point et intérieure 
à S dans le voisinage de ce point. Elle recoupe évidemment S suivant 
un contour G, entourant com'plètement M. T^a valeur de la fonction- 
nelle harmonique U en M est déterminée par ses valeurs sur G, et la 
donnée de U en M est surabondante. Les points de S où il est inutile 
de se donner U comprennent alors tous les points où K est négatif, 
mais peuvent comprendre certains points où K est positif [par 
exemple, dans le cas d'une surface de révolution ayant l'axe et la 
nu'îridienne figurés ci-après {fig' 4)]- 



io6 



TROISIEME PARTIE. 



MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 



Désignons par S, la portion de S où il est nécessaire de se 
donner U, et par S2 le reste de la surface. Ces deux régions sont 
séparées par un contour G sur lequel K=: o (ou plusieurs contours 
analogues). Soit I la surface minima limitée à G (un plan, dans le 



Fig. 4. 




cas de la figure). Elle touche S suivant le contour G; en eilet, ce 
contour, étant situé sur une surface minima, et étant fermé, ne peut 
avoir qu'exceptionnellement sa courbure moyenne nulle; les deux 
surfaces S et S, qui contiennent ce contour et ont leur courbure 
moyenne nulle, ont alors pour plan tangent le plan osculaleiir moyen 
de ce contour (d'après le théorème de Meusnier). 

Si la fonctionnelle harmonique U est donnée sur la surface ou 
verte S,, elle est évidemment bien déterminée dans tout le volume 
compris entre S, et S. Le potentiel de double couche, qui définit la 
solution dans ce volume, est nul dehors, et par suite discontinu à la 
traversée de Si et 2. 

Supposons maintenant U donné sur toute la surface S^, ses valeurs 
étant compatibles, c'est-à-dire que les valeurs données sur S2 sont 
déterminées par les autres comme il vient d'être dit, et cherchons ce 
que représente le potentiel de double couche de densité U sur toute 
la surface S. Pour simplifier, supposons K négatif sur toute la 
région S2 {fig- «^)- Ee volume V, compris entre S| et S et le vo- 
lume Vo compris entre S2 et S sont tous les deux convexes en 
moyenne, et, de même qu'à l'intérieur du premier la solution est 
représentée par L^, potentiel de double couche étalé sur S, à l'inté- 
rieur du second elle est représentée par LU potentiel de double 
couche étalée sur S2. Le signe du potentiel de double couche dépen- 
dant du sens positif de la normale, ce dernier terme change de signe 
si, au lieu de considérer la surface S2 comme limitant Vo, on la con- 
sidère comme limitant le volume V intérieur à S. Le potentiel de 



CHAP. V. — FONCTIONNELLKS HARMONIQUES. 4^7 

double couche de deusité U sur toute la surface S a donc la valeur 
U< — U2. Gomme dans le cas d'une surface convexe, il représente l 
à Fintérieur et zéro à l'extérieur (aussi bien dans Yj qu'en dehors de 
ce volume). 

Fi-. 5. 



On remarque qu'il est continu à la traversée de ii. On aurait pu 
se demander si une surface telle que 3], « surface minima bouchant 
les trous d'une surface S », ne pourrait pas être une surface de dis- 
continuité pour le potentiel de double couche. 11 n'en est rien, et 
Ton ne trouve comme surfaces de discontinuité que celles déjà 
signalées, c'est-à-dire les surfaces attirantes, et les surfaces minima 
limitées, soit aux contours de surfaces attirantes, soit aux contours 
sur lesquels la densité est discontinue. 

127. La notion de variété minima; conclusion relative au pro- 
blème de la détermination d'une fonctionnelle harmonique par ses 
valeurs sur une variété quelconque. — Les remarques du n*' 123 rela- 
tives aux variétés situées sur une surface convexe s'étendent aisément 
au cas de variétés qui ne sont situées sur aucune surface convexe. Elles 
s'étendent aussi aux cas de variétés définies par une infinité de con- 
ditions d^égalité ou d'inégalité. Pour pouvoir énoncer les conclusions 
sous une forme générale, nous allons introduire la notion de variété 
minima. Nous dirons qu'une vaiiété i est minima si toute surface 
la contenant a sa courbure moyenne nulle en chaque point de a-. 
Ainsi le contour, intersection de deux surfaces minima non tangentes, 
a sa courbure moyenne nulle, et est une variété minima. 11 en est de 
môme de l'intersection de p surfaces minima si, pour les points de 
cette intersection, sauf peut-être certains points particuliers, les plans 
tangents à ces p surfaces ont des équations indépendantes. 



4o8 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

Pour qu'une variété a- soit minima, il est nécessaire et suffisant 
que : 

1° Elle soit assez étendue; 

2° Elle ait sa courbure moyenne partout nulle. 

Précisons d'abord le sens de la première condition. En un point M 
de (7, choisissons un système complet d'axes orthogonaux qui soient 
tous tangents ou normaux à a-. 11 faut qu'ils soient presque tous 
tangents, au sens du Chapitre III, c'est-à-dire que, si on les range 
dans un ordre normal, la fréquence de ceux qui sont normaux à c 
tende vers zéro. Cette condition sera sûrement remplie si la variété i 
est définie par un nombre fini de conditions. 

La moyenne d'une fonctionnelle du second degré, sur une sphère 
de centre M, est la moyenne des valeurs qu'elle prend aux extrémités 
des axes considérés. La condition précédente exprime donc qu'il 
suffit de considérer ceux tangents à S, et que par suite la moyenne 
dans la sphère considérée de l'espace fonctionnel est égale à sa 
moyenne dans sa section par le plan tangent à u. Cette section cons- 
titue presque toute la sphère. En particulier, la courbure moyenne 
d'une surface S contenant a- est la moyenne des courbures de ses 
sections normales tangentes à la variété i. 

Supposons alors la courbure moyenne de o- nulle au point M. Pour 
presque toutes les directions tangentes à o-, on peut Iracer sur o- une 
ligne tangente à la direction considérée et dont la courbure soit nulle. 
D'après le théorème de Meusnier, la section normale de S tangente à 
cette direction a a fortiori sa courbure nulle, et par suite cette sur- 
face a sa courbure moyenne nulle. 

Si d'ailleurs l'une des conditions précédentes n'était pas j-éalisée, 
on pourrait aisément définir une surface contenant a- et dont la 
courbure moyenne ne soit pas nulle. Ces deux condilions sont donc 
bien nécessaires et suffisantes pour que la variété a- soit minima. 

La deuxième condition équivaut à dire que la variété a- peut être 
définie comme intersection de surfaces minima dont les plans tangents 
soient indépendants, c'est-à-dire qu'aucune de ces surfaces n'est tan- 
gente (sauf peut-être en des points j)articuliers) à l'intersection des 
autres. 

Si l'on considère, sur une variété o-, une variété définie par une 
condition d'égalité, sa courbure moyenne est évidemment égale à sa 



CHAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 4o9 

courbure géodésique moyenne. Si elle est nulle, c'est-à-dire si cette 
variété est une géodésique de t, c'est une variété minima à une 
dimension de moins que a-. Elle peut être définie comme intersection 
de (7 et d'une surface minima non tanoente à a-. Réciproquement, une 
telle intersection est une géodésique de o-. 

On peut, au sujet de ces variétés, se proposer de déterminer une 
variété minima a- limitée à une variété non minima "v?. La solution est 
la suivante : o- est le lieu des points A tels que la perspective de V^ vue 
de A, sur une sphère de centre A (ou du moins le voisinage de cette 
perspective), constitue presque toute cette sphère. 

Si la variété tp n'est pas assez étendue, la variété a- ne comprend 
aucun point. 

On peut alors énoncer de la manière suivante les résultats relatifs 
au problème de la détermination d'une fonctionnelle harmonique U 
j)ar la donnée de ses valeurs sur une variété <? : 

i" La région où U est déterminé est la variété minima n limitée 

2^ Le contour de a- comprend des portions de "Ç] il peut com- 
prendre en outre des géodésiques de a-, qui sont elles-mêmes des 
variétés minima sur le contour desquels on peut faire des remarques 
analogues. 

Si t? comprend, soit des portions de telles géodésiques, soit des 
points n'appartenant pas au contour de a-, la donnée de L pour ces 
points est surabondante. 

3° Soit \'>' une variété définie sur 'Ç par la condition U =-. u; la 
variété minima limitée à \v' constitue dans a- le lieu des points pour 
lesquels U = m. 

On peut rendre ces résultats intuitifs en concevant qu'une variété 
minima puisse être matérialisée par une nappe d'un liquide visqueux, 
comuie une surface minima de l'espace ordinaire. La portion d'une 
telle variété que l'on doit concevoir comme pouvant être ainsi maté- 
rialisée doit être limitée par un contour convexe, c'est-à-dire qu'en 
aucun point sa courbure géodésique moyenne n'est dirigée vers 
l'extérieur. Concevons de plus qu'une telle nappe puisse exister si 
elle est maintenue sur les parties de son contour non constituées par 
des géodésiques. La région cr considérée ci-dessus est alors constituée 
parla nappe pouvant être maintenue parla variété tp. 

Si \'^ est une surface, a- est une portion de volume. Si, pour faciliter 



4:o TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

la représentation des nappes considérées, par analogie avec Fespace 
ordinaire, on admet qu'elles peuvent au plus constituer des surfaces, 
il faut alors concevoir le volume où U est défini comme limité par la 
surface P et par des nappes de licpiide visqueux bouchant les trous 
de celte surface. 

128. Cas des variétés minima. — Les variétés minima jouent dans 
ce qui précède un rôle particulier. Une fonctionnelle harmonique est 
harmonique sur une telle variété, c'est-à-dire que AU = A^U, A^U 
étant défini comme A^U dans le cas d'une surface. U est alors défini 
sur (7 si Ton se donne ses valeurs sur le contour de cette variété, 
comme cela a lieu dans le cas des surfaces minima. 

Pour faciliter le langage, plaçons-nous dans le cas d'une surface 
minima finie S. 

Etudions d'abord le potentiel de double couche de densité U étalée 
sur S. Il est nul dans tout l'espace. Des deux côtés de S, cela résulte 
évidemment de la possibilité de faire passer par chaque point de 
cette région une surface minima ne contenant pas 2. (Si la surface 21 
était illimitée, si par exemple elle était constituée par un plan indéfini, 
elle serait vue d'un des points considérés sous un angle égal à la 
moitié de l'angle solide total; le potentiel de double couche serait 
alors égal à la moitié de la moyenne des valeurs de U à l'infini.) 

Pour un point A de S, on peut montrer que, sur un contour G 
entourant ce point, vu de A, l'angle du plan tangent à S avec le 
rayon venant de M est presque partout nul. La surface S est alors 
vue tellement en raccourci que sa perspective sur une sphère de 
centre A est presque partout sans épaisseur. Bien que le voisinage 
de cette perspective constitue presque toute cette sphère, la surface S 
est donc vue de A sous un angle solide nul, et le potentiel de dou])le 
couche est nul (* ). 

159. Une autre question se pose, au point de vue de la détermi- 
nation de L dans le voisinage de S, d'un côté déterminé de cette 

(') Il n'en est. pas de même du polenlicl de simple couclie. Le potentiel de simple 
couche sur une variété minima, en particulier sur un plan à w — i dimensions, est 
dans cette variété analogue à ce qu'est dans l'espace le potentiel de volume, que- 
nous étudierons plus loin: il vérifie l'équation de Poisson, A étant seulement rem- 
placé par A.. I']n dehors de cette variété, il est nul. 



CHAI». V. — FONCTIONNELLES IIARMONIQLES. , 4'» 

surface. La valeur initiale de l ésl harmonique sur S, c'est-à-dire 
que AsU = o. Quelles sont les conditions imposées aux dérivées 
normales successives? 

Partons de l'expression qui donne la variation de la valeur de -j-7 

relative à une direction principale, quand on remplace i] par une 
surface parallèle infiniment voisine. On a 

, r/-' U d-' oU d'- \} ^ds d^ oU , f/2 u , 

rt.y- d,s^ ds^ ds ds- ds- 

ou, en prenant la moyenne pour toutes les directions principales, 
rani>ées dans un ordre normal, 

et, d'après la formule (5), 

(i3) Au — A^ oU 4- 9. û/2 DlL A— 7 — — K^ — on — olv -7-- 

\ ds'^ / dn- du 

Deux cas sont alors à distinguer pour les surfaces minima. 

Premier cas. — Surfaces minima pour lesquelles presque tous les 
rayons de courbure deviennent infinis; ôK est alors nul {voir i\^ 87 )7 
et la formule (i5) s'écrit 

(16) ÔAU=AvoU, 

de sorte que la condition à imposer à -j-i pour que AU reste nul, est 

que cette dérivée soit harmonique sur !S. De même toutes les dérivées 
normales successives sont liarmoniques sur !S. 

Deuxième cas. — Surfaces minima pour lescpielles presque tous 
les rayons de courbure ne deviennent pas infinis. 

11 existe d'autres termes dans la formule à écrire, qui prend la 

forme 

, d\} d\} 

Av -7 1- « -7 V- b = o, 

-" dn dn 

a et b étant des fonctionnelles déterminées sur S. D'après le n" lOîâ^ 
on peut raisonner sur les équations de ce type comme si A ou Av 
étaient des dérivées ordinaires. Cette équation s'intègre alors comme 



412 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

une équation différentielle ordinaire du premier ordre (' ). La solution 
est de la forme 

a et ^ étant des fonctionnelles déterminées, et u une fonctionnelle 
harmonique sur S. 

Les mêmes circonstances se reproduisent pour le calcul des dérivées 
normales successives. 

130. Revenons sur le premier cas, et supposons que la valeur de U 
sur la surface S soit constante. Cherchons quelle est la condition pour 
qu'une surface S' voisine de S, la distance de S' à S ayant en chaque 
point une valeur 8,^, soit minima. Il est à cet effet nécessaire et suffi- 
sant qu'une fonctionnelle, égale sur S à une constante u et sur ^' à 
une constante u + 8 1/, soit harmonique sur 2', c'est-à-dire d'après le 

numéro précédent, que — soit harmonique sur S. Or, d'après le 

O A(\(\ ^^ ^^ 1 • T T • 

n lUU, ?r- et V- sont harmoniques en même temps. La condition 
on ou 1 i 

nécessaire et suffisante pour que S' soit minima est que on soit har- 
monique sur 2. 

Ce résultat s'étend au cas où la surface 2' nest pas infiniment voi- 
sine de S. Si, en chaque point M de S, on porte sur la normale une 
longueur MM' =/(M), la condition nécessaire et suffisante pour que 
la surface lieu du point M' soit minima, est que /(M) soit harmo- 
nique sur S. Cet énoncé, comme celui relatif au cas où la surface S' 
est très voisine de 2, ne s'applique bien entendu que si 2 appartient 
à la première des catégories de surfaces minima distinguées au n'' 87 
et au n*» 129. 

Il s'applique en particulier si 2 est un plan. Désignons par a<, 
<22, ..., a^ ... un système de coordonnées rectangulaires, rangées 
dans un ordre normal; prenons pour 2 le plan a, :=o. Nous voyons 
que la condition nécessaire et suffisante pour que la surface 



(•) L'opération de quadrature est seulement remplacée par la résolution de 
l'équation Av;U = <I>, qui s'exprime par un potentiel de simple couche (d'après la 
note précédente). On généralise de même aisément la théorie des équations ou sys- 
tèmes d'équations linéaires d'ordres quelconques. 



CHAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 4l3 

soit minima est que la fonctiony* soit harmonique. C'est un résultat 
déjà connu; cela revient en effet au même de dire que/ est une fonc- 
tion harmonique de ao, . . ., a^, . . ., ou que / — ai est une fonction 
harmonique de a,, ao, . . ., a,ij ... ; cela donc revient aussi au même 
que de dire que les surfaces/ — a, = const. (déduites de l'une d'elles 
par une translation), sont minima. 

131. Le potentiel de simple couche. — Pour montrer les analogies 
et les différences entre le potentiel de simple couche et le potentiel 
de double couche, il nous suffira de nous placer dans le cas d'une 
surface S fermée et convexe, ou du moins à courbure moyenne tou- 
jours dirigée vers l'intérieur. 

Soit, dans l'espace E„, un potentiel desimpie couche, de densité a. 

Si on le multiplie par le facteur — introduit à propos du 

potentiel de double couche, nous avons vu au n** 111 que le produit 
tend vers zéro quand Ji augmente indéfiniment. Si au contraire on le 

multiplie seulement par — j il prend, d'après le n® 111, la valeur 

(.7) U,= 3iu(^j^j, 

qui a un sens bien déterminé, et reste finie, pour n infini; c'est cette 
valeur que nous appellerons « potentiel de simple couche de 

densité a )). C'est un potentiel de double couche de densité u. -• 

' ^ ' cosO 

En chaque point A, cette remarque en définit bien la valeur, mais 
comme cette densité est fonction de A, il est nécessaire de préciser 
les propriétés qui résultent de cette définition. 

En premier lieu le potentiel de simple couche est évidemment nul, 
comme le potentiel de double couche, à l'extérieur de S. 

Considérons maintenant un point A, situé sur la normale en 
un point M de la surface, du côté intérieur, à une distance très 
petite h. Par ce point, faisons passer une surface minima S, normale 
à AM, et telle que la courbure normale relative à chaque direction ait 
la valeur k — K, k étant la courbure normale de la surface S en M 
relative à la même direction, et K la courbure moyenne de la 
surface S en M (cette surface S a déjà été considérée n° 12o). Vue du 
point A, la surface S parait concentrée dans le voisinage de son inter- 



4l4 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

seclion G avec S. Or sur le contour G, vu de A. a presque par- 
tout une même valeur, qui tend vers R= — quand Ji tend vers zéro; 
a a de même presque partout une même valeur qui tend vers [ji,,. 
Donc le potentiel de simple couche prend en A une valeur qui tend 
vers RjjLp quand h tend vers zéro. 11 se comporte, au point de vue des 
valeurs à Fextérieur et des valeurs sur la surface, comme un potentiel 
de double couche de densité aR, R étant le rayon de courbure 
moyenne. 

Ge résultat nous met sur la voie du théorème suivant, déjà établi 
par Gâteaux dans le cas de la sphère : Le potentiel de simple couche 
de densité jji est égal au potentiel de double couche de densité ijlR. 

Pour le démontrer, on peut employer deux procédés : 

i*^ Il suffit, étant donnés les résultats déjà obtenus, de démontrer 
que le potentiel de simple couche est harmonique. On peut le 
démontrer en reproduisant les raisonnements des n"** 116 et 117, qui 
s'étendent sans difficulté au potentiel de simple couche, pourvu que 
l'on suppose R uniformément continu. 

9.^ On peut le vérifier directement. 

La dislance r d'un point quelconque M de la surface S au point 
intérieur A, la surface étant vue de ce dernier point, a presque partout 
une même valeur p. L'intersection G de S et de la sphère de centre \ 
et de rayon p, constituant presque toute cette sphère, a sa coLirbure 
géodésique moyenne presque partout nulle, c'est-à-dire qu'en presque 
tous les points le plan oscillateur moyen de G est normal à la sphère. 
J^our les points où il en est ainsi, on a, d'après le théorème de 
Meusnier, 

^ cos ^^ cos ~" '^ ' 
et, comme ces points, vu de A, constituent presque toute la surface 

(i8) Ua = ^A (l^^) = 31U([^R), 

<(' (pu démoutrc le résultat énoncé (' )• 

(') Si le point A est variable, la seconde expression est évidemment préférable à 
la première. S'il est fixe, il peut être indiqué d'employer la première qui ne fait pas 
intervenir le rayon de courbure moyenne de la surface, mais seulement le plan 
tancent. 



CIIAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 4l5 

132. Le potentiel de volume. — Considérons, dans l'espace E/^, le 
potentiel U« dû à des masses de densité — réparties dans vin volume V,/. 
Le volume V^ peut être considéré conime décrit par des surfaces S,t 
dépendant d'un paramètre ). qui varie de a à [3. Définissons la défor- 
mation de la surface S„, quand A augmente de d\ par la donnée du 
déplacement normal de chaque point, un = -r- dX. Désignons par iin 

le potentiel dû à une simple couche de densité -^ établie sur la 



surface S^. On a 

(19) ^ri= j Undl. 



Supposons que n augmente indéhnimenl, V„ et S^ désignant 
les /i'^™*^* sections d'un volume V et d'une surface S de l'espace fonc- 
tionnel. Pour que la formule (19) reste vraie à la limite, il suffit 
que Un tende uniformément vers sa limite u. Le potentiel u se rame- 
nant par la formule (17) à un potentiel de double couche^ cette con- 
vergence uniforme s'établit par le même raisonnement qu'au n"* 116, 
moyennant certaines hypothèses assez peu restrictives sur la conti- 
nuité de ijL et le choix des surfaces S : il faut que u. et —r- soient con- 
tinus au sens du n° 116; il faut éviter que presque tout le volume V, 
vu de A, paraisse concentré sur une seule surface S, comme ce serait 
le cas si l'une de ces surfaces était une surface minima contenant A. 
On évite sûrement toute difficulté en prenant pour surfaces S des 
sphères de centre A, ou bien des sphères ayant pour centre un point 
différent B, si la sphère de centre B passant par A ne contient aucune 
masse attirante. 

Le potentiel U de densité a dans le volume \ étant par définition 
la limite de U/i pour n infini, nous avons alors la formule 



(20) U = r intk. 



Supposons en particulier qu'on prenne pour surfaces S des sphères 
de centre A. Désignons par R le maximum de la distance à A d'un 
point du volume V, et par 0rt7-((j.) la moyenne de la densité sur la 
sphère de rayon 7^; il vient 

(21) ^ ^ I '^'^^r{v-)rdr. 



4l6 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

On peut intervertir Tordre des deux intégrations, c'est-à-dire 
écrire 

(22) U = 01L ( / [J./V// 



{{■'" 



l'intégrale étant prise le long de chaque demi-droite partant de A, 
et 3H(') désignant la moyenne des valeurs obtenues. Cette formule 
s'établit sans difficulté en écrivant la formule analogue dans 
l'espace E,i, et passant à la limite. Dans cette formule, on peut rem- 
placer les limites d'intégration par r' et /-", distances à A des points 
Où chaque demi-droite partant de A entre ou sort dans le volume A . 
ce qui donne 

(23) U = 01l( r ixrfir 

si A est dans le volume V, et l'on retrouve l'expression utilisée for- 
mule (i3). 

Enfin, une fonctionnelle définie sur une sphère étant presque par- 
tout égale à sa moyenne, on peut remplacer r' et r" par leurs 
moyennes p' et ^" , et écrire 



(24) 



U = d\\ i r ixrdr\ = f DrLr{li)rdr. 



133. De ces formules, de la dernière par exemple, résultent 
immédiatement les propriétés suivantes : 

1° Le potentiel U est nul en tout point par lequel on peut fai/e 
passe/- une surface minima ne coupant pas le volume V. 

En effet, chacun des potentiels de surfaces dont il est la somme est 
nul dans ces conditions. 

La région où U est nul est alors la même que s'il s'agissait d'un 
potentiel dû à des masses réparties sur la surface qui limite le 
volume V. Celle où U n'est pas nul comprend le volume \ ; de plus, 
si ce volume est limité par une surface composée de plusieurs nappes 
(nappe extérieure S, nappes intérieures S', S", ...), ou si la nappe 
extérieure comprend des régions S<, So, ..., où la courbure 
moyenne est dirigée vers l'extérieur, la région où U n'est pas nul 
comprend les volumes intérieurs aux surfaces S', S ', . . . , et ceux 



CllAP. V. — FONCTIONNELLES HARMONIQUES. 4 '7 

compris entre les portions de surfaces S/ et les surfaces minima ï^ 
limitées à leur contour. 

2° Dans toutes les régions où il n'y a pas de niasses attirantes^ 
le potentiel est harmonique. 

Pour le démontrer, il suffit de montrer que sa valeur au centre 
d'une sphère est égale à la moyenne de ses valeurs sur la surface de 
la sphère, s'il n'y. a pas de masses à son intérieur. Cette propriété 
résulte aisément de ce qu'elle est vraie pour chacun des potentiels de 
surfaces dont U est la somme. 

13i. Etudions maintenant le potentiel au point de vue de la con- 
tinuité. 

Remarquons d'abord qu'au centre d'une sphère de rayon p le 
potentiel dû à des masses de densité inférieure en valeur absolue à un 
nombre donné îjl' réparties à l'intérieur de cette sphère, est inférieur 

à ut.'— • Il tend vers o avec o. De cette circonstance résulte la con- 

tinuité du potentiel à l'intérieur des masses attirantes; le raisonne- 
ment est exactement le même que dans la théorie ordinaire du 
potentiel; il repose sur la convergence uniforme de l'intégrale qui 
définit le potentiel. 

Il y a toutefois une différence, provenant de ce que nous n'avons 
pas démontré que le potentiel est continu en tout point n'appartenant 
pas au volume V. Ce résultat n'est pas exact. On peut alors seulement 
énoncer le résultat suivant : Si le potentiel est discontinu en un 
point A, cette discontinuité n^a pas une cause locale; elle subsiste 
certainement si Con supprime les masses situées dans une spJière 
de centre A et de rayon suffisamment petit. 

Ce résultat s'applique en particulier si le point A est situé sur une 
surface où la densité est discontinue, par exemple sur la surface S qui 
limite le volume V. Mais en ces points la dérivée normale est discon- 
tinue. Pour nous en rendre compte, considérons un point A, où le 
rayon de courbure moyenne de S ait une valeur c^fl, et soit dirigé vers 
l'intérieur. Prenons sur la normale en A à la surface S, du côté 
intérieur, un point B situé à une distance h du point A. Un plan 
normal à AB passant par B coupe la surface S à une distance équivalente 
dans presque toutes les directions à ^'?.Ali. Le potentiel en B est 

LIÎVY. 27 



4l8 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

alors équivalenl à un potentiel de densité u._^ dans une sphère de 
centre B et de rayon y/2<d/i, c'est-à-dire à '^.j^Sih. La dérivée normale, 
comptée positivement vers l'intérieur, augmente donc brusquement, 
quand on passe de rç\l(''rieur à l'intérieur, de o à a^'R- (Dans l'espace 
ordinaire, on sait que la dérivée du potentiel de volume est continue 
dans ces conditions.) 

Considérons maintenant un point A de la surface S, dans le voisi- 
nage de laquelle cette surface soil minima. Soit C le contour de la 
portion S de cette surface qui est minima. Dans presque toutes les 
directions, la distance des points de G au point A a une même 
valeur p. Supposons pour iixer les idé<^s qu'au delà de C la courljure 
moyenne de S soit dii'igée vers l'intérieur, de sorte que la surface S 
peut être prolongée de manière à ne pas couper le volume V. En un 
point \oisin de A extérieur à \ , le potentiel est nul, tandis qu'en un 
point intérieur voisin de A il a la \al3ur 

Il est donc discontinu. Il est de même discontinu toutes les fois 
que la densité est discontinue sur une surface minima. 

Ceci n'est pas en contradiction avec le fait que la discontinuité ne 
peut pas avoir une cause locale. On peut modifier la densité à 
l'intérieur d'une sphère de centre A et de rajon p'<^ p, de manière à 
la rendre conlinue. La discontinuité subsistera, mais n'aura plus que 
la valeur 

'9' 



£ 



Ainsi les régions voisines de A contribuent à la discontinuité pour 
une fraction infinitésimale, et L ne peut augmenter brusquement 
(l'une quantité finie que si la surface minima sur laquelle la densité 
est discontinue s'éteud à une distance finie du point A. 

On remarque que cette discontinuité peut exister en un point où la 
densité soit continue. La seule cause de discontinuité possible est 
l'existence d'une surface minima S à la traversée de lacjuelle u. aug- 
mente brusquement d'une quantité [jl, . Le potentiel U augmente alors 
à la traversée de S d'une quantité égale au potentiel du à une simple 
couche de densité a, élalée sur 2::. Si le contour de S est composé de 



CHAP. V. — FONCTIONNKLLES HAIlMO:?^IQUES. 4 r 9 

plusieurs parties, ou s'il n'a pas sa roiirbure géôdésique moyenne 
toujours dirigée vers S, il existe des points n'appartenant pas à S où 
le potentiel de surface considéré n'est pas nul. Le potentiel de 
volume est alors discontinu en ces points. 

135. Généralisons maintenant la formule de Poisson, relative à la 
valeur de AU en un ])oint A. Nous utiliserons pour y arriver le 
résultat du n" 22, d'après lequel la moyenne de U — U^ sur une 

sphère de centre A et de rayon très petit r est équivalente à ~ AUv 

Pour calculer cette moyenne, divisons le potentiel en deux termes 
U' el U ', le premier correspondant aux masses extérieures à la petit;; 
sphère, le deuxième aux masses intérieures. Le terme U' étant har- 
monique à l'intérieur de la sphère de rayon /•, la moyenne de 
\j' . — U'^ est nulle; il n'y a qu'à tenir compte de U' — \j\. Or, sur la 
sphère, L"=:o, ce potentiel étant continu, et nul à l'extérieur; 
L'y est d'autre part équivalent à u^ — H vient donc 

(25) AUA+[JtA=0, 

formule qui constitue bien la généralisation de celle de Poisson. 

De ces propriétés résulte que le potentiel de volume joue Ijien^ 
pour la résolution de l'équation de Laplace à second meml)re, le rôle 
que nous attendions. Dans un volume limité par une surface dont la 
courl)ure moyenne est toujours différente de zéro et dirigée vers l'in- 
térieur, il est nul sur la surface, et le problème de Dirichlet relatif à 
l'équation de Laplace à second membre est bien résolu par la for- 
mule (i3). Dans le cas contraire, nous savons que la solution du pro- 
l)lème relatif à l'équation sans second membre n'est pas possible en 
général, et il en est a fortiori de même de l'équation à second 
membre. 

136. Le problème de Neumann. — Dans l'espace E;^, on sait que la 
solution du ])ro])lème de Neumann est analogue à celle du problème 
de Dirichlet, le rôle que joue le potentiel de double couche dans ce der- 
nier problème étant seulement joué par le potentiel de simple couche. 
On pourrait s'attendre à ce qu'il en soit de même dans l'espace fonc- 
tionnel; il n'en est rien, et la symétrie entre les deux problèmes dis- 
paraît. Dans la formule de Green, le potentiel de simple couche 



420 TROISIÈMK PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

devient négligeable devant le potentiel de double couche, et l'étude 
directe du potentiel de simple couche nous a montré qu'il n'était pas 
en réalité distinct du potentiel de double couche. 

Dans ces conditions, on peut se demander si le problème de 
Neumann, comme celui de Dirichlet, peut se résoudre d'une manière 
plus élémentaire que l'on ne s'y attendrait d'après ce qui a lieu dans 
l'analyse ordinaire. La réponse semble être affirmative. 

Il est probable en effet que les théories relatives à Téquation de 
Laplace à second membre dans l'espace fonctionnel s'étendent 
à Féquation analogue relative à une surface non minima de cet 
espace ('), soit 

(•>-6) AsUm = /|[M]|, 

M désignant un point quelconque de la surface S. S'il en est ainsi on 
peut ramener à des calculs de moyenne la détermination de la solu- 
tion de cette équation prenant une valeur constante sur le contour C 
de la surface S considérée, si celle-ci est ouverte; le cas de la surface 
fermée S se traite comme cas limite; il est évidemment nécessaire 
pour qu'il existe une solution que la fonction /(M) soit presque par- 
tout nulle, et dans ce cas L n'est déterminé qu'à une constante près. 
Pour la détermination d'une fonctionnelle harmonique à l'intérieur 
d'une surface fermée S, cela revient au même^ d'après la formule (5), 

JTT 

de sç donner sur la surface les valeurs de -7— ou celle de A^L. Il faut 

an 

que -7— soit nul presque partout. D'après les remarques qui précèdent 

sur l'équation (26), U est déterminé à une constante près sur la sur- 
face, et par suite à l'intérieur. 

(') Dans le cas des surfaces minima, nous savons que le problème n'est pas dis- 
liact du problème analogue dans l'espace. 



CHAPITRE VI, 



JUSTIFICATION DE LA NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS 
DE LA SPHÈRE. QUESTIONS DIVERSES. 



Sommaire : Le cas des fonctionnelles de Gâteaux. — Etude d'un autre cas par- 
ticulier. — Étude d\in cas plus général. — Généralisations du théorème de 
Gâteaux, — La notion d'écart. — Application à la moyenne dans une sphère. 
— Application au potentiel de double couche. — Questions diverses. 

137. Nous avons étudié dans les Chapitres I à IV de la troisième 
Partie les propriétés de la moyenne dans l'espace fonctionnel, mais 
nous avons admis l'existence dé cette moyenne, en dehors de certains 
cas où, la fonctionnelle étudiée étant représentée par des séries uni- 
formément convergentes d'intégrales définies, cette moyenne est 
aisée à calculer, et son existence établie par ce calcul même. 11 y au- 
rait lieu de combler cette lacune en généralisant le raisonnement 
classique par lequel on établit l'existence de l'intégrale définie. 11 
s'agirait d'arriver au résultat, sans supposer aucune représentation 
particulière de la fonctionnelle étudiée, en partant uniquement d'hy- 
pothèses relatives à son mode de continuité. 

Nous allons exposer cette justification dans le cas de la sphère. 
Commençons par un cas simple. 

138. Le cas des fonctionnelles de Gâteaux. — Une fonctionnelle de 
Gâteaux U, uniformément continue dans une sphère S dera^onR 
ayant l'origine pour centre, est caractérisée par cette propriété que, 
pour II assez grand, la difTérence U^ — L'h est inférieure en module, 
dans toute la sphère, à n'importe quel nombre donné £, LI désignant 
la projection de A sur le plan de la /i'^'"'^ section. La fonction qui cor- 
respond au point H étant la fonction simple d'ordre n ayant dans 

chacun des intervalles ( ? - j même valeur moyenne que celle qui 



/i22 TROISIK.MFÎ PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

correspond au point A, la propriété qui précède n'est pas autre chose 
en effet que la propriété CJ^ du ii*^ 80 de la première Partie, énoncée 
sous forme géométrique. 

Dans le calcul de la moyenne de U dans la sphère ï, on peut donc 
j-emplacer U^ par U„, en ne risquant de commettre sur la moyenne 
qu'une erreur au plus égale à £. La moyenne de L dans la sphère se 
ramène ainsi à une moyenne dans une sphère 2,^ de l'espace E„, chaqu(^ 
élément de volume dXn ayant un poids proportionnel à la fraction de 
la sphère S dont il est la projection. ' 

Soit /'la distance au centre de I d'un point de l'élément considéré, 
et p =: y/R- — A'-. La moyenne dans la (n -j-p)'"'""'^ section de ï, à une 
erreur près inférieure à £, s'écrit 

/ / • • • / f-i-^i^ •2,%, . . . , ^/i) p/^ dxi dxo . . . cLr,i 

— j 



* «^0 ^0 



^1, X-2^ •••, Xn désignant les coordonnées du point II, et u[x^. 
X-2-, ..., X/i) la valeur de U en ce point. Lorsque y; devient infini, les 
éléments voisins du centre, où p est maximum, deviennent prépon- 
dérants pour le calcul de la moyenne, et l'expression précédente tend 
vers Uo, valeur de U au centre de la sphère. La moyenne de U dans 
la sphère S«+;,, pour/? assez grand, c'est-à-dire dans la splière 2,^, 
pour 71 assez grand, est donc comprise entre LIo — £ et Lo+ î. Comme 
il en est ainsi quelque petit que soit s, elle tend vers L^. Donc 
la moyenne de U dans la sphère S existe et est égale à U^ ('). 

Ce résultat est très particulier et n'apprend rien que nous ne 
sachions déjà; les fonctionnelles de Gâteaux étant représentables par 
des séries uniformément convergentes de polynômes noimaux de 
Gâteaux, l'application des formules de Gâteaux permet de définir la 
moyenne, non seulement pour ces fonctionnelles, mais même pour 
des fonctionnelles beaucouj) plus générales. Mais il nous donne une 



(') Par un raisaniiement tout différent, moins rigoureux, mais plus intuitif, on 
peut dire : dans l'espace E„, si une fonctionnelle est linéaire par rapport à chacune 
des coordonnées, sa valeur au centre d'une sphère est la moyenne de ses valeurs sur 
la sphère. Ce résultat est vrai à la limite pour les fonctionnelles de (iateaux. 

C'est d'ailleurs un cas particulier du théorème analogue pour les fonctionnelles 
harmoniques. 



ClIAP, Vr. — NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHERE. 4^3 

idée (le la manière dont on peut espérer arriver à étal)lir rexistenc(; 
de la moyennes en parlant d'hypothèses reLitives au mode de conti- 
nuité de la fonctionnelle L . 

139. Étude d'un autre cas particulier. — Soit t=:/(;) la fonction 
somniatoire de x{t)^ c'est-à-dire la mesure de l'ensemble des valeurs 
de ^, comprises entre o et i,pour lesquelles x"^^. Les fonction- 
nelles U que nous allons considérer sont ccdles qui ne dépendent que 
<ley*(E). Elles prennent donc la même valeur pour deux déterminations 
de,2^(^)qui se transforment l'une dans l'autre par une suljstitution 
(effectuée sur la variable t et n'altérant la mesure d'aucun ensemble. 
Tel est le cas des fonctionnelles représentables par des intégrales dé- 
finies de la forme 

/ I '" f ^[^(fi), ^ih), ..., x{ti,)]dtydt,.,.(lfi„ 

^ *' «-^0 

dans lesquelles la fonction intégrée ne dépend pas explicitement de 
/ , , f.2i . . . , tp. 

Nous supposerons de plus que U soit une fonctionnelle continue 
de/(c). Comme d'ailleurs /(^) est essentiellement une fonction non 
décroissante, cela revient au même de supposer qu'il s'agit de conti- 
nuité liée au voisinage uniforme ou au voisinage en moyenne, 

Pour étudier la moyenne de \j dans la sphère ï, ou, ce qui revient 
ail même, sur sa surface, prenons une fonction :r(^) sur sa /i'*""^*^ section 

-/,. Ce sera une fonction, égale dans chacun des intervallesf 7 - ]■, 

' ^ \ n nj 

a une valeur constante Xi^ et telle que x'^ -{- xl -{-...-]- x^ =: /?R-. 
Chacun des Xi^ pour 71 assez grand, a la loi de Oauss pour loi de pro- 
babilité. Il résulte alors de raisonnemenis connus de calculs de pro- 
babilité que, pour 71 assez grand, la répartition des valeurs ^,, 
x-2' ..., Xn reproduit sensiblement la courbe dcGauss. D'une manière 
[)réeise, pour /i assez grand, la fonction sommatoire f{i) diffère de 
la fonction de Gauss 

dans tout l'intervalle ( — x, -+- 00), de moins de s, sauf dans une fraction 
de la sphère S;^ égale à s', e et £^ étant arbitrairement petits. 



4?4 TROISIEME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

Par suite U, sauf dans une fraction négligeable de S,;, tend vers la 
valeur obtenue pour /(?) = cp(Ç), c'est-à-dire en prenant pour x {() 
j.a fonction (L(/) inverse de ^(i). La moyenne de U dans la sphère S 
existe donc, et a la valeur U I [^(^)] |. 

140. Étude d'un cas plus général. — Passons à une catégorie de 
fonctionnelles très générale, qui comprend les précédentes com nu; 
cas particulier. Nous supposerons que, s étant arbitrairement 
petite on puisse déterminer n de manière que^ si x (t) et y (t) sont 
deux fonctions intérieures à la sphère S et ayant même fonction 

sommatoire dans chacun des intervalles I ? — ) 5 on ait certai- 

\ n n) 

nement 

(•^) |U|[7(0]|-U|[a:(0]||<s. 

Cette propriété est évidemment beaucoup moins restrictive que la 
propriété Ç, des fonctionnelles de Gâteaux; elle définit donc une caté- 
gorie plus étendue de fonctionnelles. Nous l'appellerons propriété 5C 
(définie dans la sphère ^; on peut de même la définir dans un volume 
quelconque). 

Choisissons le nombre n de manière à vérifier l'inégalité (2), et 
étudions la moyenne de U sur la [np)'^"^^ section Yi„p de S, /; étant 
très grand. D'après la loi des grands nombres, chacune des moyennes 



.f.^ 



{t)dt= ^lll:.P±A. 
_i 

n 



est presque égale à R-, sauf dans une fraction négligeable (\e ^np', on 
peut donc, pour calculer la limite de la moyenne, supposer ces 
moyennes égales à R-. De même, d'après le numéro précédent, on ne 
néglige que n fractions négligeables de S,/^, en supposant que dans 
chacun des intervalles considérés, la fonction sommatoire de x(t) 
diffère très peu de — cp(ç). L'ensemble des erreurs ainsi commises sur 
la moyenne est, pour^ assez grand, inférieur à s. 

D'autre part, d'après la propriété 5C, on commet une erreur au 
plus égale à z en remplaçant oc{t) par une fonction particulière ayant 
la fonction sommatoire considérée, par exemple la fonction X,, (^) 
égale, dans chacun des intervalles (- 5 -] t à 'l (jit — /4-1). 



C1I\P. VI. — NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHERE. 4^5 

Donc, si Ton choisit n, puisj», suffisamment grands, la moyenne 
de U sur la sphère llap difl'ère de lj|[X^i(^)]| d'au plus as; donc la 
moyenne de U sur la sphère S, ou dans celte sphère, existe, et est 
égale à la limite de U|[X,i(^)]|. 

141. Généralisations du théorème de Gâteaux. — La propriété (/,, 
qui caractérise les fonctionnelles de Gâteaux, est, d'après le théorème 
de Gâteaux, identique à la propriété Ç, qui indique que ces fonction- 
nelles peuvent être représentées par des séries uniformément con\er- 
gentes de polynômes normaux de Gâteaux. Par analogie, on peut 
penser que la propriété 3t caractérise les fonctionnelles représentables 
par une série uniformément convergente de polynômes normaux 
quelconques. 

Avant d'étudier cette queslion, nous démontrerons un théorème 
analogue concernant une propriété intermédiaire entre les propriétés 
(J, et 3C. 

Nous dirons qu^une fonctionnelle U |[jc(^j]| possède la pro- 
priété Cjpdans un domaine fonctionnel Si si^ étant donné un nombre 
positif £ arbitrairement petite on peut déterminer n de ma- 
nière que^ -^(0 ^^ y{^) étant deux fonctions du domaine A 
ayant mênies valeurs moyennes d'ordres i, 2, ..., p dans chacun 
des intervalles I > - ) , 07i ait certainement 

ui[j(0]l-U|[^(0]l|<- 

Les propriétés Ç,, (j'2, ..., Ç/?, ..., 5C sont évidemment de moins en 
moins restrictives. 

Nous dirons d'autre part qu'un polynôme normal, somme de termes 
de la forme 

(3) f f •" f ?^'i' ^2, ..., t,,)x^^(ti)x^2(f^)...x^i.(t,,)dtidfi...df,, 

est de classe p si les exposants a/ sont tous au plus égaux à p. 

Nous appellerons distance de degré p de deux fonctions x{t) et 
y (t)^ ou des points correspondants de l'espace fonctionnel, le nombre 
positif rp défini par la formule 



1 



•-'0 



f \y{t)-x{t)\pdt. 



i'l6 TROISIÈME PARTIi^. — MOVENXt: DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

A cette définition correspond la notion de coiitLJiuilé de degré p 
d'une fonctionnelle. Lue sphè/'e généralisée de degré p sera le lieu 
des points dont la distance de degré p à un point fixe a une valeur 
constante. 

Ces déiinitions posées, on a le théorème suivant : 

La condition nécessaire et suffisante pour qté une fonction- 
nelle U soit^ dans une splière généralisée de degré p^ représen- 
table par une .série uniformément convergente de polynômes 
normaux de classes p et continus de degré p ('), est cju^elle soit 
continue de degré p dans cette splière et y possède la propriété (Jp. 

La démonstration est analogue à celle du théorème de Gâteaux 
(première Partie, n*^ 8(î). 

Nous ne recommencerons pas la démonstration du fait que la con- 
dition est nécessaire, la démonstration indiquée dans le cas où p = i 
s'appliquant sans modification. 

Inversement, soit U une fonctionnelle continue de degré p dans la 
sphère généralisée de degré /) 

(4) f \^(j)\"dt^R';„ 

et y possédant la propriété (jp. I^our démontrer le théorème, nous 
allons montrer qu'on peut la représenter avec une erreur au plus 
égale à £ en valeur absolue par la somme d'un nombre fini de termes 
de la forme (3). 

Dans la sphère considérée, les moyennes /??/,y, définies par la for- 
mule 



5) 



im,-,,)i=n f\^{t)dt, ( '-'' ■'' •--' '') 



sont limitées supérieurement. On peut évidemment définir une fa- 
mille de fonctions y (^) dépendant de np paramètres, telle qu'il existe 
une fonction et une seule définie par chaque système de valeurs des 



(') La condition que ces polynômes soient continus de degré p impose aux 
fonctions 9(^1, t.,, ..., ^,,) certaines restrictions faciles à préciser. Ainsi, si 
«j = aj = ... = a;, = /?, il faut que cp(^i, t^, ■-., ?/,) soit une fonction mesurable 
bornée. I^our le cas de p = >, voir première l'artie, n" 79. 



CIIAP. VI. — NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHERE, 4^7 

moyennes /?z, , et que la distance de degré p de deux fonctions de 
cette famille tende vers zéro si les moyennes relatives à Tune d'elles 
tendent respectivement vers les moyennes relatives à l'antre. 

Soit alors x ( t) une fonction vérifiant l'inégalité (4). Soit X«(^) la 
fonction de la famille considérée ayant dans cliacun des intervalles 
les mêmes moyennes d'ordre i, 2, ..., p. Si 7^ est assez 



I i 

— ) — 
n 



grand, on commet sur la fonctionnelle IJ une erreur au plus égale li- 
en remplaçant x{t) par X/,(^) (d'après la propriété (Jp). On obtient 
ainsi une nouvelle fonctionnelle 

u;j[-^(oji = ui[x«(oji 

qui est une fonction continue des np moyennes ni^^^^; on peut, avec 
une nouvelle erreur an plus égale à -> la remplacer par un polynôme. 
En l'cmplaçant dans ce polynôme les jn^^^. par leurs valeurs (5), on 
obtient une fonctionnelle U„|[^(/)]|, différant de IJ d'au plus £, et 
représentée par une somme de termes de la forme (3). 

c. o. E. D. 
En opérant comme nous venons de l'indiquer, on trouve pour 
o( ^1, ^21 •••• f/i) des fonctions discontinues. Parle même procédé que 
pour le théorème de Gâteaux, on peut s'arranger pour avoir des fonc- 
tions continues. 

112. On peut clierclier à étendre les résultats précédents au cas où 
p devient inlini. Désignons symboliquement par x^'^ une fonction en- 
tière de la forme 

les coefficients étant tous positifs. Comme dans le cas du degré fini, 
on définit aisément les notions de dis tcuice de degré o), spJière géné- 
ralisée de degré oj, fonctionnelle continue de degré (o. 
J3ésignons par '^i;^ le volume intérieur à la splière généralisé 



i 



g\_\{^xt)\\dt = g{^\ 



et par "<^a le volume liomotbétique du précédent, par rapport à l'ori- 
gine, dans le rapport A\> i . Le théorème suivant paraît vraisem- 
blable : 



428 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

La condition nécessaire et suffisante pour quhine fonction- 
nelle U soit représentable par une série de polynômes normaux 
' et continus de degré co dans le volume "Ç qui converge uniformé- 
ment dans n importe quel volume V^a, est qu^ elle soit uniformé- 
ment continue de degré to et possède la propriété 5C dans n im- 
porte quel volume Kh- 

Gela revient au même de dire de deux fonctions qu'elles ont même 
fonction sommatoire dans un intervalle ou qu'elles ont mêmes 
moyennes de tous ordres, si ces moyennes sont finies, ce qui a lieu 
nécessairement à l'intérieur du volume \'>. Cette remarque montre 
bien l'analogie de la propriété Cjp et de la propriété 5C, qui est la limite 
de la précédente pour/? infini, et l'analogie de ce théorème et du pré- 
cédent. Le fait que la condition soit nécessaire se démontre, comme 
pour le précédent, par la méthode indiquée à propos du théorème de 
Gâteaux. 

Pour démontrer qu'elle est suffisante, on peut la supposer vérifiée, 
et chercher à représenter U par un polynôme normal avec une erreur 
inférieure à un nombre £ arbitrairement petit. On fera à cet effet trois 

erreurs successives inférieures à -: 

1° En remplaçant x (t) par une fonction X (^), ayant même fonction 

sommatoire dans chacun des intervalles ( > - ) > et qui soit crois- 

\ n n] ^ 

santé, ou du moins non décroissante, dans chacun de ces intervalles; 

si n est assez grand, l'erreur est bien, d'après la propriété 5€, infé- 

, e 
rieure a .-; 

2** En remplaçant X(i) par une autre fonction Y(^), ayant dans 
chacun des intervalles considérés même moyenne d'ordre i, a, ..., /?, 
et dont la forme dépende suivant une loi déterminée de ces np 
moyennes ; si /? est assez grand, cela est vraisemblablement possible 

en commettant sur U une erreur inférieure à -; 

S"" En remplaçant U|[Y (/)]|, qui est une fonction continue de np 
variables, définie dans un domaine fini, par un polynôme. Ge poly- 
nôme, considéré comme fonctionnelle de x{t)^ est bien un polynôme 
normal. 

La seule difficulté consiste dans la deuxième opération. S'il s'agit 



CHAP. VI. — NOTION DK MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHERE. 4^9 

de fonctions quelconques, la connaissance de ses moyennes d'ordres 
I, 2, .. ., p dans un intervalle ne donne pas une connaissance très 
exacte de ces fonctions, et deux fonctions X(^) et Y(^) peuvent avoij* 
même moyenne de tous les ordres sans qu'il soit possible de trouver 
pour leur distance de degré y> une limite supérieure meilleure que la 
somme de leur distance à l'origine. 

Si au contraire il s'agit de fonctions croissantes appartenant au 
volume "Ç^, la connaissance des/? premières moyennes les définit assez 
l)ien, si yo est grand; cela revient à dire qu'une loi de probabilité est 
bien connue si l'on connaît les valeurs moyennes d'ordres i, 2, ...,/> 
de la variable x obéissant à cette loi, et si l'on sait que la valeur 
moyenne de «(l^rl) est inférieure à g{p). Dans ces conditions, on 
peut sans doute montrer, si p est assez grand, et si X(^) et Y(^) ap- 
partiennent à un môme volume '^fc, que la distance de degré p de ces 
deux fonctions a une limite supérieure 7,, fonction de k et de/?, et 
tendant vers zéro quand k augmente indéfiniment. En vertu de la 
continuité uniforme de U, l'erreur sur cette fonctionnelle résultant 
du remplacement de X(^) par Y (t) peut alors être rendue inférieure 

a - en prenant/? assez grand. 

143. La notion d'écart. — L'idée qui nous a conduit à définir la 
propriété (Jj, est la suivante :- la connaissance des /> premières 
moyennes d'une fonction dans un intervalle définit assez bien les va- 
leurs de la fonction, mais sans rien apprendre sur les valeurs corres- 
pondantes de la variable. Si l'intervalle considéré est très petit^ cette 
indétermination est sans importance. Aussi, si l'on se donne les 

moyennes de degré i, 2, ...,/? dans tous les intervalles ( ■ 5 -) 1 

71 el p étant grands, la courbe représentative de la fonction apparaît 
comme bien connue, en ce sens qu'on en connaît les différents points 
avec des erreurs qui ne peuvent être très grandes ni sur l'abscisse, ni 
sur l'ordonnée. 

On peut préciser la nature du voisinage entre deux fonctions x (t) 
ely{t) ayant ainsi mêmes moyennes de degrés i, 2, ...,/? dans tous 

les intervalles ( , -), en introduisant une nouvelle définition de 

la distance, que nous appellerons écart de degré p. 

Concevons entre les variables t et t, variant toutes deux entre o 



1 )0 TIIOISIEME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

et 1, une correspondance biunivoqiie telle que les mesures des en 
semblés correspondants soient égales. Posons 

p^-=(^-T)24-[^(0-r(^)? (P>0) 

et 



'/; = f pp dt. 



Nous appellerons écart de degré p des fonctions x{t) etjv'(^), et 
désignerons par Zp^ le minimum de Cp lorsqu'on fait varier la loi de 
correspondance entre t et':(^). On définirait de même l'écart de 
degré to. 

Si les fonctions .a^(^) et j^(^) vérifient l'inégalité (4), on j)eut, à 
condition que Ji soit assez grand, trouver deux fonctions \{t) et /i(^), 

constantes dans chacun des intervalles ( 7- )? et dont les dis- 



tances d(^ degré p h x {t) el y( L) soient aussi petites qu'on veut. On 
en déduil aisément que, dans la définition de Zp^ on peut se contenter 
de considérer les correspondances entre i et t obtenues en divisant 
l'intervalle (o, i) en n parties égales, et en permutant ces intervalles 
partiels. On a ainsi seulement une infinité dénombrable de nombiYN e^,, 
dont le minimum est £^;. 

Une des valeurs possibles de Cp^ obtenue pour t = t, est la distance 
du degré /;, z-^, entre les fonctions ^ (i) et y (^). Il en résulte é\i- 
demment que ZpSf'p- Deux fonctions x{t) ely{t) peuvent donc, au 
point de vue actuel, apparaître comme plus voisines que si l'on déllnit 



(>) Il y a une grande analogie entre ceLle notion d'écart et l'écart de deux 
courbes considéré par M. Frécliet. I*our arriver à la définition de M. Fréchet, il faut 
eiïectuer à la définition du texte les nnodifications suivantes : 

1° Remplacer e , nio\enne de degré p de p, par le maximum de p; il y a entre 
ces deux points de vue la diiïérence déjà signalée entre le voisinage viniforme et le 
voisinage en moyenne; 

2" Supprimer, dans la loi de correspondance enlrc t et x, la condition que les 
ensembles correspondants aient même mesure. Si l'on n'a pas pour objet d'étudier 
des fonctionnelles représentables par des séries d'intégrales où t est la variable d'in- 
tégration, cette condition est sans intérêt; 

3° Imposer par contre à cette loi de correspondance d'être continue. 

La définition de M. Frécliet est naturelle lorsque l'on considère deux courbes 
voisines comme deux traits continus tels qu'avec un crayon imparfaitement pointu 
on ne puisse pas les distinguer. La nôtre est naturelle dans les questions où x (t) 
et j' (/) sont des fonctiqns mesurables, ce qui est le caractère de presque toutes les 
questions traitées dans le présent Ouvrage. 



ClIAP. VI. — NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHÈRE. 43 1 

leur voisinage par la dislance Vp. Cela esL vrai surtout si, sortant du 
domaine défini par l'inégalité (4 j, on peut avoir des distances Vp de- 
venant infinies. Ainsi, la distance l'p^ (p^\) de deux fonctions du 

type 

. , I 

x{i)=- 

t — a 

est infinie, tandis que Técart Sp de celles qui correspondent à deux 
valeurs infiniment voisines de a est infiniment petit. 

La définition de la continuité d'une fonctionnelle liée à la notion 
d'écart ep est donc plus restrictive que celle liée à la distance /'y,; mais 
elle ne l'est pas beaucoup plus. Si, dans une spliére généralisée 
de degré /?, on considère une famille de fonctions œ[t) dépendant 
d'un paramétre a, de manière que la variation de chaque point de la 
courbe représentative de ^(^), quand a varie de o«, puisse se décom- 
poser en une variation ox et une variation ot très petites en moyenne, 
une fonctionnelle U, définie dans cette sphère, sera en général une 
fonction continue de a. 11 serait même sans doute assez difficile de 
donner une fonctionnelle continue, avec la définition Vp de la distance, 
qui ne le soit pas avec la définition s^, au moins pour une valeur de q 
supérieure à /?, ou en tout cas avec la définition de l'écart s,^. Aussi 
les fonctionnelles continues avec la définition £(,>, et une fonction g'{x) 
très rapidement croissante, semblent être à peu de chose près les 
fonctionnelles les plus générales que Ton puisse concevoir, ayant une 
continuité que l'on puisse mettre en évidence sans faire intervenir les 
dérivées àex[t). 

La restriction, très peu restrictive, ainsi introduite, est cependant 
suffisante, si la continuité est uniforme, probablement pour permettre 
la représentation des fonctionnelles considérées par des séries unifor- 
mément convergentes, en tout cas la démonstration rigoureuse de 
l'existence de la moyenne dans une sphère, résultats que nous 
n'avons pu obtenir avec la définition haliituelle de la distance. Pour 
les démontrer, il suffit de montrer que la définition de la continuité 
liée à l'écart Zp entraîne la propriété 3C. 

Eh effet, deux fonctions x{l) et j'(/), ayant mêmes fonctions som- 

matoires dans chacun des intervalles ( , -j peuvent se ramener 

l'une à l'autre par un changement de varia])les faisant dans chaque 
intervalle se correspondre les points où elles ont mêmes valeurs. 



432 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

On a alors p << - ? et par suite Zp, et même l'écart obtenu en rempla- 
çant Cp par le maximum de p, sont au [)lus égaux à -• Si donc n est 

assez grand, et si U est uniformément continue dans son domaine, on 
a dans ce domaine 

|U|[y(0.]|-U|[^(0]lf<^, . 
c'est-à-dire que U possède la propriété 5C. 

144. Application à la moyenne dans une sphère. — Le fait qu'une 
fonctionnelle soit représentable par une série uiiifoi ménient conver- 
gente dans un domaine permet de définir la moyenne de cette fonc- 
tionnelle comme somme de la moyenne des différents termes. Si les 
séries précédentes sont uniformément convergentes à l'intérieur de la 
sphère S, d'équation 



/ 



x^(t)dt= \V 



ou dans presque tout le volume de cette sphère, on peut donc appli- 
quer les formules de Gâteaux relatives à la moyenne dans une sphère, 
et cela donne une nouvelle démonstration du théorème du n" 140. 
Nous devons donc comparer à la sphère ]S les volumes dans lesquels 
nous avons établi la convergence uniforme dans nos séries de 
polynômes. 

Dans la sphère S, m2p désignant la moyenne d'ordre 2p de la fonc- 
tion de x{t)^ m\'l^ est presque partout égal à sa valeur moyenne 

c'est-à-dire que ju-ip est pres(|ue partout égal à sa moyenne 

IM,>= R'v^i -3. ..(2/> — I). 

Si donc on considère une représentation par une série de polynômes 
normaux de classe 2/? uniformément convergente dans une sphère 
généralisée de degré 2p et de rayon au moins égal à jao/j, elle est 
valable, non toute la sphère S, mais presque toute cette sphère. I>a 
série considérée, qui ne saurait évidemment converger dans toute cette 



'CIIVP. VI. — NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHÈRE. 433 

sphère (si p ;> i), converge tout de même uniformément dans presque 
toute cette sphère. 

On obtient des résultais analogues pour les moyennes d'ordres 
impairs, ou pour celles d'ordre to. En prenant par exemple g{x) = e^^\ 
on trouve comme moyenne de l'intégrale 



1 



1 





(c'est-à-dire de la fonction caractéristique de Poincaré)dans la sphère S 

la valeur e ^ . Si alors le nombre p du n" 142 est au moins éeral à ? 

la série obtenue est bien uniformément convergente dans presque 
toute la sphère S. 

Tant que la fonction g' (oc) croît moins rapidement que e^-^'\ X étant 
une constante convenable, la valeur moyenne dans la sphère S de 



X 



c'est-à-dire l'intégrale 



v'U 



a un sens pour R assez petit, et, si l'on choisit p de manière que_^(p) 
soit presque au moins égal à cette valeur, le volume V dans lequel la 
série qui représente U est uniformément convergente comprend 
presque toute la sphère S à son intérieur; cela suffît pour qu'elle soit 
applicable au calcul de la moyenne. 

Si au contraire — ^^ — - devient infini, il n'existera aucune sphère S 

à l'intéreur de laquelle on puisse affirmer que la série qui représente U 
dans \'> soit presque partout uniformément convergente; il pourra au 
contraire arriver que cette fonctionnelle soit infinie dans presque toute 
la sphère S, et cela quelque petit que soit le rayon R. 

143. Application au potentiel de double couche. — Soit U une 
fonctionnelle définie sur une surface S et dans son voisinage, et pos- 
sédant la propriété 5C. Nous supposerons la surface- S fermée et con- 
vexe, et ayant une équation de la forme <I> = o, la fonctionnelle <ï> ayant 
elle-même la propriété 3C. Nous supposerons de plus qu'on ait, sur la 

iJiVY. 28 



434 TROISIÈME rARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

surface S et dans son voisinage, 

et que les surfaces ^ := const. soient convexes. Nous allons montrer 
que dans ces conditions le potentiel OI'Ia(U) dû à des masses de den- 
sité U réparties sur S a en chaque point A intérieur à cette surface une 
valeur bien déterminée, et que c'est une fonctionnelle harmonique du 
point A. Nous allons pour cela, utilisant les résultats du n° 140, rendre 
rigoureux les raisonnements du n^ 116. 

Désignons par P et P^ deux points de la surface S, par Q et i}' leurs 
perspectives sur la sphère S' de centre M et de rayon i, et par P', le 
point situé sur la demi-droite MP' et à une distance de M égale à M P; dé- 

i\lP MP' 

signons par lie rapport^ = ^, et par o{l),x{t), x'{t), x\{t), 

y[t)^y^{t)\es fonctions représentées respectivementpar les points M, 
P, P', P;,QetQ\ On a 

^(0 = ?(0 + >^[7(0-?(0], 

Supposons les points Q et Q' choisis de manière que les fonctions 
correspondanlesy(/) cl y\t) aient même fonction sommatoiie dans 

chacun des intervalles/ *~)' ^^ montrons que, si Ji esl assez 

grand, Up — U^ est sûrement inférieur en module à n'impojte quel 
nombre donné t. 11 en résultera bien que Up=cp(M, Q), considéré 
comme fonctionnelle du point Q, a la propriété 5C, et, par suite, 
d'après le n^ 140, que le potentiel de double couche Ollji(U), moyenne 
de co(M, Q) sur cette sphère, existe. 

Or étant donnée l'hypothèse relative aux fonctions y et )^', les fonc- 
tions X et x\ ont aussi même fonction sommatoire dans chacun des 
intervalles ( , - )• On a donc, si n est assez orand, 

|Up-Up,|£i, |4v,! = |1>Pi-*..l§^'- 

Or, l(^s surfaces $ =: const. voisines de S étant convexes, et le 
point M étant dans une certaine région intérieure à ces surfaces, on 
peut trouver une limite inféiieure a de l'angle de MP' avec ces sur- 
faces. La variation d(; <!>, j)oui- un déplacement dl sur celle droite. 



CHAP. VI. — NOTfON DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHÈRE. 43 > 

est donc au moins m sina«?/, et est de signe conslanl, tandis que celle 
de U est au plus M dl. Il en résulte que 

I Up, - Up, I < -^l— 1 *p. - <î>p, I ^ - , 

• ,j • , t m 'è'\\\ ^ r\ 1 

SI 1 on a pris £'= r-; — . Un a alors 

lUp,-Up|^s, 

ce qui entraîne l'existence de la moyenne Mj,(l]) =y"(M). 

Si, d'après le n° 140, on précise le nombre n pour lequel la 
moyenne /«(M) de o(M, Q) dans la /i''"'*' section de S' diffère de 
y'(M) de moins de £, il est certain qu'on peut le limiter supérieure- 
ment dans toute région intérieure à S, l'angle a étant limité inférieu- 
rement, et le point M n'intervenant dans les raisonnements que })ar 
cet angle ('). Donc/,; (M) tend uniformément vers /(M), et les rai- 
sonnements du n*^ 140 sont bien rendus rigoureux. 

D'ailleurs on peut élargir les hypothèses faites. On sait que la 
moyenne y*( M) ne dépend que des valeurs de U sur certaines pailles 
de la surface;- on peut alors supprimer les autres, et le résultat obtenu 
s'étend ainsi aisément an cas de surfaces ouvertes. On Télend de même 
sans peine au cas de surfaces non convexes. 



146. Questions diverses. — Nous pensons avoir montré, par ce 
qui précède (;t spécialement dans cette dernière Partie, combien l'ana- 
lyse fonctionnelle est un domaine vaste et méritant encore de nou- 
velles recherches. Pour terminer, nous allons érîumèrer un certain 
nombre de questions, posées dans ce qui précède ou ([ui se posent 
naturellement, et non complètement résolues. 

1° Représentation des fonctionnelles continues . — Les théorèmes 
de Gâteaux, et leur généralisation exposée dans le |)résent Chapitre, 
semblent ouvrir le chemin à de nouvelles recherches. 11 y a lieu, avant 
tout, de démontrer le théorème énoncé comme probable au n" 142; 
s'il n'est pas exact sous la forme indiquée, il suffit certainement d'une 
légère modification à l'énoncé. 



(') Cette remarque, sous une forme moins générale, n'est pas autre cliose que la 
proposition 2° du n° 11 G. 



436 TROISIÈME PART E. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

2'' Justification de la notion de moyenne, — La question semble 
maintenant résolue pour la sphère. Mais elle reste entière pour le cas 
d'un domaine quelconque. 

Dans l'espace E/^, S désignant une surface intérieure à la sphère S, 
et <ï> désignant la distance à cette surface, la moyenne d'une fonctioi>- 
nelle U sur cette surface peut se définir par la formule 






3'^»(") = 'i]î'.^^^§r^ 



;)1L^ désignant la moyenne dans le volume intérieur à la sphère S. On 
pourrait songer à employer une méthode analogue dans l'espace fonc- 
tionnel. Mais il y aune difficulté fondamentale, les valeurs de 0)1^(17) 
ne dépendent que des valeurs de U sur la surface de la sphère S, tandis 
que Ms(U) dépend effectivement des valeurs de U à l'intérieur de 
cette sphère. La formule précédente n'est donc pas applicable dans 
l'espace fonctionnel. 

On peut alors prendre les moyennes dans la n''™® section de S, et 
faire augmenter indéfiniment en même temps n et \. Si \ croît assez 
rapidement par rapport à n^ on aura bien à la limite la moyenne 
de U dans le volume voisin de S. En écrivant Ke~''^' au lieu de e~^*^% 
K désignant la courbure moyenne de la surface S, on aura de même 
la moyenne de LJ sur cette surface. 

La fonction dont on prend la moyenne variant quand n augmente, 
on ne peut pas appliquer simplement les formules relatives à la sphère. 
Bien que l'aspect de la difficulté soit complètement modifié, elle semble 
rester aussi grande. 

'à'^ Classification des surfaces au point de vue de V aspect de la 
notion de moyenne. — Il serait certainement intéressant de déve- 
lopper et préciser la classification indiquée à la fin du Chapitre IV . 

4** V ordre normal d^ une suite de fonctions ortJiogonales. — 
Une suite de fonctions orthogonales et normales 

/i(0, Mt), ..., Mt), ... 

étant rangées dans un ordre normal, nous savons quelles sont les 
permutations qu'il est possible d'effectuer sans que cet ordre cesse 
d'être normal. Elles sont caractérisées par cette condition que, c,, 



CHAP. VI. — NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHÈRE. 487 

Co, ..., C/î, ... désignant une suite quelconque de nombres infé- 
rieurs à I, la moyenne 



5 



lim 

n-t-«o 



ne change pas par la permutation considérée. Cette condition définit 
un groupe de substitutions indépendant du choix des fonctions /,î(^). 
Par contre, nous avons considéré comme vraisemblable que toute 
suite complète de fonctions orthogonales admet un ordre normal. Il 
serait important de démontrer ce théorème. 

5** U ordre normal d\ine suite de fonctions orthogonales et le 
nolunie de V ellipsoïde . — INous avons montré les propriétés de l'ordre 
normal au point de vue du calcul de la moyenne arithmétique. Ainsi, 
cela revient au même, si une fonctionnelle est définie dans une sphère 
très petite, de calculer sa moyenne au point de vue de Gâteaux, ou la 
moyenne des valeurs qu'elle prend aux extrémités des axes, rangés 
dans l'ordre normal. 

Nous avons admis une propriété analogue en ce qui concerne le 
volume de l'ellipsoïde ; le rayon de la sphère équivalente serait la 
moyenne géométrique des demi-axes rangés dans l'ordre normal. 

Jl serait intéressant de démontrer ce théorème, ou bien de montrer 
s'il faut substituer à l'ordre normal un autre ordre, qui ne serait pas 
non plus parfaitement défini, le groupe de substitutions permettant de 
passer d'un ordre possible aux autres étant évidemment le même que 
pour l'ordre normal. 

()*' Les fonctionnelles harmoniques sur les surfaces. — Nous 
avons vu que la théorie des fonctionnelles harmoniques sur une sur- 
face minima était identique à la théorie des fonctionnelles harmoniques 
dans l'espace. De même, la théorie des fonctionnelles harmoniques 
sur une surface non minima est identique à la théorie des fonction- 
nelles harmoniques dans un espace fonctionnel non euclidien. Le déve- 
loppement de cette théorie, et la résolution du problème de Dirichlet 
correspondant, entraîneraient, comme nous l'avons vu, la résolution 
du problème de Neumann dans l'espace fonctionnel euclidien. 

-" Equations des types Jiyperboliques et paraboliques. — En 
introduisant, comme argument de la fonctionnelle U, en plus de la 
fonction x{t) ou un paramètre a, on a des types d'équations parabo- 



438 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL. 

liqiies ou h\ pcilioliqucs telles que 

A.^U=:A,.U, 

Alj = -— , 
()y. 

AL = -— . 

Cette dernière équation est analogue à l'équation du son. La plu- 
part des théories de l'analyse elassique se généralisent sans peine : 
caraetérisliqiies, propagation- des ondes, représentation de la solution 
par un potentiel sphérique. 

11 j a une différence essentielle en ce qui concerne le développe- 
ment des solutions en séries d'harmoniques. On peut toujours appeler 
harmonique y une solution de la foiine V| [^(i)J |cp(a), V et cp devant 
vérifier le^^ équations 

AV = XV, cp"(a) = Xcp(a). 

Mais le problème de Dirichlet relatif à cette équation en V se ramène 
au problème analogue relatif à Féquation de Laplace, et n'introduit 
pas de solutions fondamentalesy correspondant à certaines valeurs de A. 
11 ne semble donc pas possible de généraliser les développements en 
séries d'harmoniques. Si c'est possible, loules les valeurs de A 
jouant le même rôle, c'est une intégrale et non une série qu'il y a lieu 
de coiisidérer. 

8*^ Application aux équations intégrales. — On a vu que le poten- 
tiel dû à une double couche de densité égale à l'unité étendue sur 
une surface fermée S sans point double est nul à Textérieur et égal à 
r unité à l'intérieur. Si la surface S a des points doubles, la valeur du 
potentiel en chaque point est un entier, indiquant combien de fois la 
surface S entoure ce point. 

Considérons alors une transformation ponctuelle, faisant corres- 
pondre à un pointM, représentant une fouclion./ (^), un point P repré - 
sentant une fonction jk(05 P'"' exemple y(t) pourra être un polynôme 
normal en xi^t)^ dont la forme dépend de /, e'csl-à-dire une somme de 
termes de la forme 

^ f '" f 9(^ h, t,, ..., tn)x^^{t,)x^-^{t.)...x'=^h{t,,)dt,dt^... dtn. 



CHAP. VI. — NOTION DE MOYENNE DANS LE CAS DE LA SPHERE. 4^9 

Soit à chercher pour coii)bien de points M, inlérieiirs à une surface S, 
le point P occupe une position donnée A. Quand M décrit la surface S, 
P décrit une surface fermée S, et le nombre cherché est égal à la valeur 
en A du potentiel dû à une double couche de densité unilé étalée sur 
la surface S. 

Ce potentiel se ramène à une moyenne, sur une yplière S' de 
centre A, d'une fonction égale en chaque point Q au nombre de 
points P de S dont Q est la perspective, chacun d'eux étant compté 
pour -|- I ou pour — i suivant que la normale intérieure à S en ce 
point fait avec la direction PA un angle aigu ou obtus. On serait donc 
ramené à une moyenne sur une splière, si l'on savait déterminer 
l'intersection de la demi-droite AQ avec la surface S; mais cela con- 
stitue un problème exactement aussi difficile que le prol)lème pro- 
posé. 

Dans l'espace ^m on échappe à cette difficulté par un changement 
de variables, ramenant l'intégrale relative à la surface S' à une inté- 
grale relative à la surface S. Dans l'espace fonctionnel, on ne peut 
avoir recours à ce procédé. Le rapport des éléments d'aires corres- 
pondants n'est pas une quantité finie, mais une quantité de la 
forme /x^~*^ avec les notations du Chapitre IV, de sorte que l'inté- 
grale considérée ne se ramène pas à la moyenne d'une fonctionnelle 
bien définie sur la surface S. Aussi, même dans le cas simple où la 
surface S est une sphère, et où la moyenne d'une fonctionnelle définie 
sur i] peut, en général, se calculer par les formules de Gâteaux, la 
solution théorique qui précède ne semble pas aisément permettre un 
calcul effectif. Peut-être les remarques qui précèdent serviront-elles 
tout de même à obtenir la solution du problème. 



FIN. 



TABLE DES MATIÈRES, 



PREMIERE PARTIE. 

LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL. 
Chapitres. Pages. 

I. — L'origine et les principes du calcul fonctionnel i 

II. — La notion de Continuité dans le domaine fonctionnel ii 

III . — Fonctions sommables et fonctions à variation bornée 23 

IV. — Variation première et fonctionnelles linéaires 4^ 

V . — Variation seconde et fonctionnelles du second degré 77 

VI . — Fonctionnelles de degrés quelconques 100 

Vil. — Considérations géométriques. Notions sur les séries de fonctions 

orthogonales 116 

VIII. — Transformations ponctuelles dans l'espace fonctionnel i3o 



DEUXIEME PARTIE. 

LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE. 

I, — Les équations aux dérivées fonctionnelles généralisant les équations 

aux différentielles totales if)! 

II. — L'équation aux dérivées fonctionnelles de la fonction de Green 171 

III. — Transformations et applications de l'équation aux dérivées fonction- 

nelles de la fonction de Green 192 

IV. — Les équations aux dérivées fonctionnelles partielles 210 

V. — L'extension des équations de Jacobi Hamilton 233 

VI. — Types divers d'équations aux dérivées fonctionnelles et de systèmes 

d'équations 242 

TROISIÈME PARTIE. 

LA NOTION DE MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL 

ET l'Équation de laplace généralisée. 

I . — La sphère dans l'espace îi n dimensions 261 

II. — La notion de valeur moyenne dans l'espace fonctionnel 274 



4 |2 TABLE DES MATIERES. 

Chapilic's. Paj;cs. 

III. — De l'emploi d'une "10011116 dénombiable de cooi'données dans l'espace 

fonctionnel 298 

IV. — La mesure des volumes et des surfaces et la géométrie des surfaces 

dans l'espace fonctionnel. Applications à la notion de moyenne 3i4 

Y, — Les fonctionnelles harmoniques 075 

\ I. — Justification de la notion de moyenne dans le cas de la sphère. Ques- 
tions diverses 4^1 



65492 Paris. — Imp. Gautiiier-A'illars et (,'% quai des Grands-Augustins, 55.