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OF THE
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LEÇONS
SUR LE
PROBLÈME DE PFAFF
LEÇONS
SUR LE
PROBLÈME DE PFAFF
PAR
Edouard GOURSAT
MEMBRE DE L'IXSTITUT
PROFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS
PARIS
LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE J. HERMANN
6, RUE DE LA SORBONNE, 6
1922
c,
-, l\,al. ^.Vi. 1 : i
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&43
MATH.-
STAT.
USRARY
PRÉFACE
Cet Ouvrage complète ceux que j'ai déjà publiés sur les
équations aux dérivées partielles du premier et du second
ordre, mais sa lecture n'exige pas la connaissance des précé-
dents. 11 suffit que le lecteur soit au courant des théorèmes
classiques sur les systèmes complètement intégrables d'équa-
tions aux différentielles totales, théorèmes qui sont exposés
dans tous les Traités d'Analyse.
Les deux premiers Chapitres sont consacrés au problème
de Pfaff proprement dit ; j'expose les méthodes fondées sur
les propriétés du covariant bilinéaire, considéré d'abord par
Frobenius et par G. Darboux.
Dans les trois Chapitres suivants, j'étudie les propriétés des
formes symboliques de différentielles (formes extérieures de
M. Cartan), et leur application au problème de Pfaff lui-même
et à la théorie des invariants intégraux. Les propriétés de ces
formes symboliques pourraient être rattachées très aisément
au calcul tensoriel, mais il m'a semblé plus naturel de les
établir, indépendamment de toute théorie plus générale.
Enfin, dans les trois derniers Chapitres, j'expose quelques-
uns des progrès les plus récents acquis à la science, relatifs
aux systèmes de Pfaff. Les plus importants de ces progrès
sont dus à M. Cartan, dont on trouvera le nom presque à
chaque page de ces trois Chapitres. Je souhaite que cet exposé
rapide puisse engager les jeunes mathématiciens à étudier
plus à fond ces élégantes méthodes, dont l'auteur a déjà fait
de si belles applications.
ivirr?546
VIII PREFACE
J'adresse mes sincères remerciements à M. Boulanger et à
M. Cerf, qui m'ont prêté leur concours pour la correction des
épreuves.
Paris, le 3i mars 1922.
E. GOURSAT.
LEÇONS
SUR
LE PROBLÈME DE PFAFF
CHAPITRE PREMIER
1— FORMES CANONIQUES D'UNE EXPRESSION DE PFAFF
Le problème de l'intéçratioa des équations aux dérivées par-
tielles du premier ordre est un cas particulier d'une question plus
g-énérale, le Problème de Pfaff-, que nous allons étudier dans cet
ouvrag-e. On v verra que les diverses méthodes d'intéarration des
équations aux dérivées partielles sont aussi des cas particuliers
de méthodes plus générales permettant de résoudre ce nouveau
problème.
1. Énoncé du problème. — Le premier membre d'une équa-
tion aux dififérentielles totales complètement intési'rable
(i) (ù=X^dx^^-{- ... +X„dx,^ = o
est identique, à un facteur près qui ne dépend que des variables j?,,
à une diflFérentielle exacte, w = 'J-df{^), et l'intés-rale générale est
représentée par l'équation
(2) f{Xi,Xt,...,x„) = C.
Soit M„_i la multiplicité ponctuelle k n — i dimensions de l'espace
à n dimensions (a?^, x^, ..., x^), définie par la relation précédente
(') Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier
ordre, n" 26. Les renvois fréquents à ce volume seront indiqués par le mot
Leçons, suivi du numéro du paragraphe.
G. Prob. 1
2 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DK PFAFF.
OÙ la constante C a une valeur déterminée. Pour tout déplacement
infiniment petit du point (j3^, a?2, •••, ic,J sur cette multiplicité, les
différentielles dx^^, dx^, ..., dx^ vérifient la relation df^=i o, et
par suite l'équation (i).
Il est clair que l'on peut se proposer plus g-énéralement de
rechercher toutes les multiplicités, à un nombre quelconque de
dimensions, de l'espace à n dimensions, qui satisfont à la même
condition, quelle que soit l'équation proposée, complètement inté-
g-rable ou non. Soit M^_p une multiplicité ponctuelle à n — p
dimensions définie par les p équations distinctes
(3) /iK, 5^2, ..., a?J=o, /2 = o, ...,./;, = o;
pour tout déplacement infiniment petit du point (a:^, ..., x^^ sur
cette multiplicité, les valeurs correspondantes de dx^^^ ..., dx^ véri-
fient les p relations linéairement indépendantes
\
(4) dj\ = o, df^ = 0, . . . , d/p = o.
Si l'équation proposée a) = o est une conséquence des 2p équations
(3) et (4), nous dirons que la multiplicité ponctuelle M^_p est une
multiplicité intégrale^ ou, plus simplement, une intégrale, de
l'équation a) = o. La recherche de toutes ces multiplicités constitue
l'objet du Problème de Pfaff. Nous appellerons dans la suite
forme de Pfaff ou expression de Pfaff toute forme linéaire en
dXj^, ..., dx^, dont les coefficients sont des fonctions quelconques
de Xj^, x^t • .'î ^n'
Dans le cas d'une équation complètement intégrable, équiva-
lente à l'équation df::= o, on obtient immédiatement toutes les
multiplicités intég-rales, si l'on connaît la ïonctionf(x^,X:^...,x^).
En efiet, l'équation w ^ o expinme que cette fonction f conserve
une valeur constante quand on se déplace sur une intég-rale d'un
ordre quelconque. Toute intég-rale d'ordre inférieur an — i est
donc située sur une intégrale M^_j, et réciproquement. Pour avoir
toutes les intégrales M^_j,, il suffira d'adjoindre à l'équation y=C,
où la constante G a une valeur arbitraire,/? — i équations nouvelles
quelconques, formant avec la première un système de p relations
distinctes. Pour une équation de Pfaff à coefficients quelconques,
CHAPITRE I. FORMES CANOMQLES.
nous verrons de même que le problème est résolu dès que l'on
connaît les multiplicités intégrales dont Tordre est le plus arrand
possible.
Pour que l'équation (i) soit une conséquence des équations ^^4)»
linéaires en dx^, dx^, ..., dx^. il faut et il suffit qu'il existe p fac-
teurs \, \, ..., Àp, tels que l'on ait
X^dx^ + Xjrfxg + . . . -f X^dx^ = \,d/^ + \d/,_ + ... +\dj^,
pour tous les systèmes de valeurs de dx^, ..., dx„, et par suite que
les n équations
X,
+ \
dXi
(i = I, 2, ..., n)
soient compatibles en 1^,1^,....^^. en tenant compte des rela-
tions (3) qui définissent la multiplicité M„_p. Tous les déterminants
d'ordre /> + i déduits du tableau
(T)
x„
X,,-
.., X,
:>xi '
5/.
:^Xi '
à n colonnes et ^ + i lig-nes doivent donc être nuls en tenant
compte des relations (3).
Si les équations
(3)'
/,=C„ f^ = C,,
/. = c.
définissent une intég-rale, quelles que soient les valeurs des cons-
tantes Cj, Cj, ..., Cp. ces multiplicités forment une famille à
p paramètres, et il passe une de ces multiplicités par un point
quelconque de l'espace (au moins dans certaines résrions), et tous
les déterminants d'ordre p -}- i du tableau (T) doivent être identi-
quement nuls.
On peut exprimer autrement qu'un système de p équations
entre x^, x^, ..., x„ définit une intéja;'rale de Téquation (i ). Suppo-
4 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
sons ces équations résolues par rapport à /> de ces variables,
x^, a^j, ..., x^ par exemple, de façon que la multiplicité M„_p soit
définie par les p équations
les variables x _^^^ ..., x^^ n'étant assujetties à aucune relation.
Pour que cette multiplicité soit une intégrale de w = o, il faut et
il suffit que les fonctions cp^, cpj^ •■ > îp vérifient les n — p relations
(5) X,|^.+ ... + X,|^.4- X, = o {i = p 4- I, ..., n\
où l'on suppose x^,...,x^ remplacées par ç^, ^2, • • • . 'fp dans
Xj, Xg, ...,X„. Ces relations forment un système d'équations aux
dérivées partielles du premier ordre à p inconnues ; mais ce sys-
tème est d'une forme très particulière, et on ne peut lui appliquer
les théorèmes classiques d'existence, sans le transformer tout
d'abord, car chaque équation ne contient que les dérivées des fonc-
tions inconnues prises par rapport à la même variable. C'est par
des méthodes toutes différentes que l'on est arrivé à la solution
g-énérale du problème.
Il est cependant un cas particulier où l'on peut affirmer sans
examen que les équations (5) admettent une infinité de solutions,
c'est le cas où p= n — i. Le système (5) se compose alors d'une
seule équation, et l'on peut choisir arbitrairement n — 2 des fonc-
tions cfj, cpg, ..., <?„_!• Toute équation de Pfaff à n variables admet
donc une infinité d'intég-rales à une dimension, ou de courbes inté-
grales, dépendant de n — 2 fonctions arbitraires d'une variable.
L'existence de ces courbes intégrales est d'ailleurs à peu près évi-
dente a priori. En effet, si l'on adjoint à l'équation w= o des équa-
tions de même forme 0)^ = 0, ..., a)^_2 = o, linéaires en dx^, ..., dx^,
formant avec la première un système de n — i équations linéaire-
ment distinctes, on obtient un système d'équations différentielles
ordinaires, dont l'intégrale générale représente une famille de
courbes intég-rales de l'équation (1), dépendant de n — i constantes
arbitraires, dont on peut disposer de façon qu'une de ces courbes
passe par un point arbitraire de l'espace à n dimensions.
CHAPITRE 1. --- FORMES CANONIQUES. 6
Dans le cas de l'équation à trois variables, non complètement
intégrable,
dx^ — X3 dxi = o
il n'existe pas d'intéarrale à deux dimensions ; les seules intéorales
sont des courbes. Si a?j n'est pas constant pour une courbe inté-
grale, on peut prendre x^ pour la variable indépendante, et les
formules
OÙ f{x^) est une fonction arbitraire, représentent une de ces
courbes. Il existe, en outre, une famille de courbes intésrrales
dépendant de deux constantes arbitraires, définies par les relations
Pour faciliter les énoncés, nous appellerons élément linéaire
dans l'espace à n dimensions l'ensemble d'un point (x^, aîj, ...,a;^)
et d'une direction {dx^. dx^. ..., dx^) issue de ce point. Un élé-
ment linéaire est dit un élément linéaire intégral de léquation
w :^ o lorsque x^. Xi a?,,, dx^^, dx,, ..., dx^ vérifient la rela-
tion l'i). Chaque point d'une multiplicité M„_p définie par les p
équations (3) est l'origine d'une infinité d'éléments linéaires situés
sur cette multiplicité et qui vérifient les relations
dfi = o- d/^ = o dfj, = o.
Si M,._^ est une intégrale de l'équation de Pfaff w ^ o. tous ces
éléments linéaires sont des éléments intégraux, et réciproquement.
Dans la suite, tout élément linéaire issu d'un point déterminé sera
désigné seulement par Tune des notations (dx^, dx^, ..., dx^).
Pour Euler ('), une équation aux diÉFérentielles totales
P(x, y,s)dx-{-Q{x,i/,s)dy + R{x, y, s)ds=o
n'avait aucune signification, lorsque la condition d'intésrrabilité
n'est pas vérifiée. Monge (*) fit remarquer cependant qu'on ne
(M Insl. Calculi Integralis. Vol. Ul, Part. I (1770), p. 5.
(*) Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris (178^), p. 535.
D LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
pouvait considérer cette équation comme absurde, puisqu'il était
possible d'y satisfaire d'une infinité de manièi'es en prenant, pour
X, y, z des fonctions d'une seule variable indépendante. Mais le
problème a été posé pour la première fois dans toute sa généralité
par J. F. Pfaff dans un Mémoire classique ('), où il a montré que toute
équation aux dififérentielles totales, contenant an ou 2/1 — i varia-
bles, admet toujours des multiplicités intég-rales dont le nombre
des dimensions est au moins ég-al à n ou à n — i. La méthode
employée par Pfaff" exig-e les intég'rations successives de plusieurs
systèmes d'équations différentielles ordinaires. Cette méthode a
reçu depuis lors de nombreux perfectionnements, dont les plus
importants sont dus à Gauss, Jacobi, Natani, Clebsch, Grassmann,
Frobenius, Darboux, etc.
On trouvera un historique très complet de la question dans le
Traité de Forsyth (Theory oj diff&rential équations^ Part I, p. ,80,
1890), et au début d'un important Mémoire de M. Cartan dans les
Annales de l'Ecole normale supérieure, 3^ série, t. XI, 1899,
p. 289.
2. Changement de variables. — Toute expression de Pfaff"
w = X^c^ajj + X^dœ^ + . . . + Xndxn peut être mise sous une
infinité de formes différentes, au moyen d'un changement de
variables. Soient
(6) Xi = ^i{y^, y^, ..., yn) (i = 1 , 2, ..., n)
n fonctions 9,, 9,, ..., cpn dont le iacobien . 'y*' '^^' ■••' ^^^ n'est pas
identiquement nul ; les formules (6) définissent une transformation
ponctuelle faisant correspondre un à un les points de l'espace
(x^, x^, ..., Xn) et de l'espace {y^, y^, ..., z/«), ou tout au moins
les points de deux domaines D^ et Dy suffisamment restreints des
deux espaces. A un élément linéaire {dy^, dy^, ..., dyn) de l'espace
(') Methodus generalia ,œquationes dijferentiarum partialium,necnon œquationes
differentiales vulgares, utrasque primiordinis, inter quotcumque variabiles, com-
plète intefjrandi (Abh. der K. P. Akademie der Wissenschaften zu Berlin,
p. 76-136, i8i4-i8i5).
CBAPITBE I. — FORMES CANONIQUES. 7
(yi' ^2' •••' y«) correspond un élément linéaire {dxi. dx^, ..., dxn)
de l'espace {x^, x^, ..., x„), pour lequel on a
(7) dxi = ^dy, + ... 4-^rfy„ ^i= ^^ ^^-^ «)•
Si l'on remplace, dans la première forme w, les variables Xi et
leurs difiFérentielles par leurs expressions (6) et (7), il vient
n
(8) V Xidxi = \\dy^ 4- Yjrfy, + . . . + Yndyn,
1=1
où l'on a posé
(9) Y, = X,^+X,^ + ... 4-X„^" (/=i,2,...,n),
et où l'on suppose naturellement qu'on a remplacé 0*1, ..., Xn par
les fonctions 7^, ç:^, ..., çn dans les seconds membres. Les deux
formes de Pfaff
y Xidxi, V ^''^^"
se ramènent donc l'une à l'autre par un simple changement de
variables, et nous les regarderons dans la suite comme deux
expressions dififérentes d'une même forme. Il est évident que les
multiplicités intégrales des deux équations
V Xidxi = 0, 2 Yidi/i = o,
1=1 1=1
se correspondent par la transformation ponctuelle (6), de même
que les éléments linéaires intégraux se correspondent un à un par
la transformation linéaire (7).
Nous allons montrer dans les paragraphes suivants que 1 on
peut choisir les fonctions ç; de façon à ramener toute expression
de Pfaff w à une forme canonique particulièrement simple. On peut
8 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
remarquer tout de suite que, si l'on a choisi les fondions o; de
façon que les équations
yi=c„ ..., y,,-i = G
n— 1'
représentent une famille de courbes intégrales (ce que l'on peut
faire d'une infinité de manières), la nouvelle équation devra être
vérifiée quand on remplacera l/^, i/.^, ..., 1/^-1 P^^" t^es constantes
quelconques, et par suite le coefficient Yn sera nul.
Le principe de la méthode de Pfafï pour résoudre l'équation
(x) = o consiste à chercher d'abord un changement de variables
permettant de remplacer cette équation par une équation de même
forme où fig'ure une variable de moins. Pour que l'équation
Y^dy^ 4- ... + Yndi/n= o,
obtenue par le chang-ement de variables (6), ne renferme que
les n — I variables z/^, y^'i •••' Un—i^ P^^ exemple, il faut et il suffit
que Y,j soit nul, et en outre que le rapport de deux quelconques
des coefficients Y;, Y/^ [i <i n, k <^ n) soit indépendant de i/n. On
peut écrire ces conditions
(10) Y„ = o, ^=[xY/, /<n,
jj. étant une fonction ou une constante que nous laisserons indéter-
minée pour le moment. En remplaçant Y^, Y.^, ..., Y,; par leurs
expressions tirées des formules (9), on obtient un système de
n équations aux dérivées partielles, l'une du premier ordre, les
autres du second ordre, auxquelles doivent satisfaire les fonctions
<fi, 92» •••' ?«• Mais, pour l'objet que l'on se propose, il est inutile
d'avoir l'intég-rale générale de ce système, il suffît d'en connaître
une solution particulière.
Nous allons d'abord montrer qu'on peut remplacer le sys-
tème (10) par un système équivalent où ne fig-urent que les déri-
vées du premier ordre des fonctions inconnues. De la première des
équations (10),
Y„ = yx/,^=o,
CHAPITRE I. FORMES CAxNONIQUES.
on tire, en efiFet, en différentiant par rapport à y/,
« n I n \
R=l Â=l \/! = l /
D'autre part, on tire de l'expression (9) de Y/
n n / n
ce que l'on peut écrire, en tenant compte de la relation précédente.
^y
n n n n
J ■y 'Y' ^Xft Dyft TSvh V V ^^^ '^?^ "^y*
n ^mà Z^ ^Xh "^yi ^yn Zmi jimâ 3j?/, ?y,, ^yi '
A=:l /i = l " " Â = l/i = l
OU encore, en permutant les indices h et A' dans la seconde som-
mation,
n r n \
£Y/ __ Y» Djft \ Y^ / ?X/{ ?Xa \ DsA /
et l'équation
devient
en posant, pour abréarer,
Le système (10) est donc remplacé par le système équivalent
n
' \ n ' Il
10
LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
OÙ ne fig"urent que les fonctions inconnues 91,92' •••' ?«' ®^ leurs
dérivées partielles du premier ordre.
Ces équations seront certainement vérifiées, si \t. n'est pas nul,
par les intég-rales du système
(12)
[xXfe =0,
(k = ï, 2, . . ., n);
cela est évident pour toutes les équations (11), sauf pour la pre-
mière. Il en est de même de la première, car, si on ajoute les
n équations (12) après les avoir multipliées respectivement par
^ ^ respectivement, il vient, en tenant compte de la rela-
tion évidente «m + ahk = o,
^1
L'équation Y„ = o est donc une conséquence des équations (12)
si [JL n'est pas nul.
Le système (12) ne i^enferme que les fonctions inconnues cp« et
leurs dérivées partielles par rapport à la seule variable i/n- On
peut donc le considérer comme un système d'équations différen-
tielles ordinaires, et les fonctions 9/ ne peuvent dépendre des
variables y^, i/^, ..., ?/„_i que par l'intermédiaire des constantes
arbitraires dont dépend l'intég-rale générale du système.
Les écfuations (12) sont linéaires en ^* , ..., -?^^ , et le détermi-
nant formé par les coefficients est un déterminant symétrique
g-auche. Cela étant, plusieurs cas sont à distinguer :
lO Si le déterminant
(i3)
A =
'^H' ^12' •••' ^1«
^^21' ^^22' ••*' 2«
n'est pas nul, ce qui ne peut avoir lieu que si n est pair, on peut
CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. H
supposer j.^ i. et résoudre ce système par rapport aux déri-
vées -?^ ce qui donne un système de la forme
p^=:yi{zi^,0^, ..., On) 0=1. 2,..., n).
L'intéofrale générale dépend de n — i constantes arbitraires,
abstraction faite de la constante que l'on peut toujours ajouter
kyn. Soient, pour fixer les idées, *i, «I»^, ..., <I>„_j un système de
n — I intégrales premières distinctes des équations
^^^^ x; — — = x; =••'
OnidXi 4- ... + anndXn
posons
*i(^i xr) = y^^ ...; *„_i(a?i, -, J?J = yn-i-
En prenant ^j, ^.,, ..., ijn—i. comme constantes d'intégration, les
formules qui donnent l'intégrale générale du système (i2j,
définissent un système de n fonctions distinctes de y^, y^, ..., i/n
satisfaisant aux conditions voulues. La fonction Y^ est nulle, tandis
que la fonction Y,, qui satisfait à la relation — - = Y/, est de la
^y,i
forme e^'*4>,(yj, y.,, .... i/n—i)- Par le changement de variables que
nous venons de définir, la forme de PfafiF donnée w se change donc
en une nouvelle forme de Pfaff
il = ey^i^^dy, 4- ... + *„-,c?y„_i],
<ï>j,<tj *n-t étant des fonctions des n — i variables y^^, ..., yn—t.
seulement.
2** Si le déterminant A est nul, ce qui a toujours lieu lorsque n
est impair, le calcul précédent ne s'applique plus. Mais on peut
alors satisfaire aux n équations
(i4)' andx^ 4- ... + ai„dxn=^ o ,/ =1,2, .... n).
12 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
par des valeurs non toutes nulles de dx^, dx^i ..., dxa- Soient
, _. , dœ, dxx dx,i ,
(l5) -yJ- = -^=...=-—=dj/n
un système de solutions _de ces équations. On peut avoir
■X^X^ + ... + >„X„ :;£ o, ou AjX, 4- ••• + %iXn=^ o. Dans le pre-
mier cas, nous supposerons que l'on a /^ AjX/ = i, ce qui est
permis, puisqu'on peut multiplier tous les a/ par une fonction
arbitraire. Les calculs qui ont été faits plus haut prouvent que le
système
(lo/ Y«=i, ^=0
et le système
(il) yXh~=i, ' y T^ S > ^/iA-r^ i> =
A=l
k — l \ h = i
sont équivalents. Par suite, si les formules x/= 9((yi, •••, yn-i^Un) «.
représentent l'intég-rale g-énérale du système (i5), y^, y.y, ..., ijn-i
désig-nant n — i constantes arbitraires autres que celle qu'on peut
toujours ajouter à yn-, ces fonctions ç/ sont des intégrales du sys-
tème (lo)', et le chang-ement de variables correspondant conduit de
la forme donnée w à une nouvelle forme de Pfaff
il — Y^dy^ + ... + Yn-idyn-i + dyn,
où Y^, Yg, ..., Yn-i ne dépendent que de y^, y^, ..-, yn-i ■
Si l'on a a^Xj -j- ^^X, + ... + A«X«=:o, on voit de la môme
façon que le môme chang-ement de variables conduit de la forme
donnée co à la nouvelle forme de Pfaff
Çl=:Y^dy^ + ... + Yn-idyn-i,
où Yj, ..., Y,j_i ne dépendent que de y^, ..., y,i-i-
On peut donc toujours, par un changement de variables con-
CHAPITRE I. — FORMES CA.NO.MQLES. 13
venable, ramener une /orme de Pfaff w à n variables à Fune des
trois formes
(I) yn{y^dy^^-...+\'n-ldyn-i),
(II) ^'i^yi + •• -f Y„_,rfy„_, + dyny
(III) - Y,r/yi + ... +Y/,-.^yn-i,
Yj, ..., Yn_i we dépendant que de y y, y^, ..., yn-i-
On a écrit y^ au lieu de e^" dans le cas de la forme (I), ce qui
revient à changer la dernière variable ; remarquons aussi que
quelques-uns des coefficients Yj, ..., Yn_, peuvent être nuls.
Appliquons ce résultat aux cas les plus simples : « ^ 2. n =.3.
Soit w = Xirfj^i -j- XidjC'* ; on a ici A := (oij)* =: ( — -^ ^-^ I . Si
«lî^ o, on sait que w est une différentielle exacte dyi. Si an nest pas
nul, le système auxiliaire (i4) est
X. ' x, - '
c'est-à-dire l'équation w =: o elle-même. Si yi =:C est l'intégrale géné-
rale, la forme &» peut donc s'écrire yadyx, comme il est bien connu.
Soit <w ^Xirfa?i + X^djCi -\- X^djCf On a dans ce cas A := 0, et le sys-
tème ■ i4)' est ici
aiidxî -\- Oiîrfj-j =: o, ando'i -— fiadoc^ = o, a^idxi -^ Oi^djCi =^ o.
Si an =r flîî = O31 := o, &» est une différentielle exacte dyi. Si ces
trois coefficients ne sont pas nuls, on tire des équations précédentes
. _^, djci djci _ djCt
(lO. — — .
Oîî Oj, a,.
Supposons d'abord que X,023 + XjQj, -J- Xjau ne soit pas nul; on
peut satisfaire aux équations du système (i5)' et à l'équation
X ^'^' -4- X- ^^- — X ^^^ — I
' ^ dy^ ' ' dy, ' ^ dy^ ~ ''
Soient Xi = ?iiyi- ya- ys) l'intégrale générale de ce système: on a vu
que, par ce cbangement de variables, w prend la forme
Yirfyi -1- Ysrfyj + dy„
Yi et Yï ne dépendant que de yi, y^; Y,(/yi J- Y^dy» ne peut être une
différentielle exacte, sans quoi on aurait a^ = 0*3= 031 = o. Donc, par
un nouveau changement de variable, w prendra la forme Stdsi -|- dyz.
14 LEÇONS SLR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Si l'on a Xi^ss + X^a^i + X^oa =: o, w sera réductible à la forme y^di/i,
résultat classique.
De la proposition précédente on déduit sans peine, comme l'a
montré G. Darboux (*), le théorème fondamental suivant :
Toute forme de Pfaff w peut être ramenée à lune des deux
formes suivantes :
(a) z.dij, + ... + z^dy^ + dij ^^^,
(1^) Zidy, -f ... + z^dyj,,
où les fonctions yi, Zh constituent un système de variables indé-
pendantes, c' est-à-dire de fonctions indépendantes des variables
qui figurent dans (ù.
La proposition est immédiate pour une forme à deux variables,
et nous venons de la vérifier pour une foi^me à trois variables. Il
suffit donc de démontrer que, si elle est vraie pour une forme
an — I variables, elle subsiste pour une forme à n variables. La
forme w étant ramenée à un des trois types (I), (II), (III), il est
inutile de considérer le type (III) qui ne dépend que de n — i varia-
bles et pour lequel le théorème est admis. Quand aux types (I)
et (II), on peut y remplacer la forme k n — i variables
^idi/i + ••• 4- Yn-idyn-i
par un des types (a) ou (P). On obtient ainsi pour la forme w une
des quatre expressions suivantes :
yn{a^dv^ 4- ••• + ^^pdv^ + dv^^^)
yn{u^dv^ + ... + u^dv^),
u^^dv^ + ... + Uj,dv^ 4- dyn,
u^dv^ + ... + Updvp + dVp_^,^ + dyn,
les variables Ui, Vk étant des fonctions indépendantes des varia-
bles i^^, ..., yn-i- Les deux dernières expressions sont immédiate-
ment mises sous la forme (a), en écrivant dans la dernière
d{yn + Wp+i) au lieu de dv^^^ 4- dyn.
La première peut s'écrire
w^dv^ 4- .-. 4- Wj^dVp 4- i^p+idvp+i,
(') Sur le Problème de Pfaff. Bulletin des Sciences mathématiques, 2« série,
t. VI, 1882, p. 26.
CHAPITRE 1. — FORMES CANONIQUES. 1$
en posant u\ = y„Ui, ..., io^= ynU^, w^^^=z y„. et il est clair
que Uj, ..., i»p^.i, '^1, ..-, lOp+i sont des fonctions indépendantes des
variables qui fig"urent dans û>, comme les variables «/, vjt, yn-
La deuxième expression s'écrira de même
w^dv^ + ... + w^du^.
Le théorème est donc établi, mais ce premier aperçu laisse
subsister bien des questions. En particulier on ne voit ipas a priori
quelle est la valeur du nombre p. Nous laisserons de côté les
divers perfectionnements qui ont été apportés successivement à la
méthode primitive de Pfaff, pour exposer les méthodes plus
récentes fondées sur les propriétés invariantes de certaines expres-
sions associées à une forme de PfafiF (^). Remarquons toutefois que
le svstème (i4) va jouer un rôle fondamental dans la suite.
n n
3. Covariant bilinéaire. — Soient V Xidxi et V Y/rfy,- deux
expressions d'une même forme de PfafiF w au moyen de deux sys-
tèmes de variables diCFérentes ; nous supposerons, pour fixer les
idées, que les variables Xi s'expriment au moyen des variables yi par
les formules (6). Si, dans l'identité
n n
y^Xida^i = y^Yidyi,
1=1 1=1
on remplace y^, .... yn par des fonctions de deux paramètres
variables indépendants u et v, x^, x^, .... Xn sont aussi des fonc-
tions de ces paramètres, et, en égalant les coefficients de du et
de du dans les deux membres, on a les deux relations
3^ Dx. x„?^'= Y,^+ ... + Y„^,
Y ^^* -^ Y '''^2 _L _i- Y ^^« — Y ^y* 4- 4- Y '^y»
7>v do 3o Jo Do
(•) Ces nouvelles méthodes ont été employées simultanément par G. Frobr—
mus : Ueber das Pfaffs'sche Problem. Joarnal de Crelle, l. LXXXll {iS-j-]\,Y>p. aSo-
3i5, et par G. Darbocx : Sur le problème de Pfaff. Bulletin des Sciences mathé-
matiques, 2* série, t. VI (1882), pp. i4-36, 49-68.
16 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
DlfFérentions la première par rapport à t», la seconde par rapport
à M, et retranchons membre à membre ; les dérivées du second
ordre disparaissent, et on aboutit à une nouvelle relation où ne
figurent que les variables xi, i/k, et leurs dérivées du premier ordre
par rapport aux paramètres :
\ n f \
, k-\ \ )
n ( ) ^ { ^
^) î>y, Dy '" Dy,i Dy ( du ^ ) dy^ du '" di/,, du i dv '
Le premier membre de cette relation renferme deux termes
dxi dxh j 4 1 ft: • + + «^X/ , dXh
en dont les coemcients sont et ; ce premier
du dv dXk dxi *
membre est donc égal à
^ait
dXi dXk
'* ^; :; —
du dv
i, k
le coefficient aïk ayant la même signification que plus haut,
(lo) aih=- :; — ,
^ ' dXk dXi
et la sommation étant étendue à tous les arrangements deux à
deux des indices /, k. En tenant compte de l'égalité aih + dhi = o,
on peut encore écrire ce premier membre
V' / dXi dXk ^Xi dXk\
j^ \du dv dv du J
i, h '
la sommation étant maintenant étendue à toutes les combinaisons
deux à deux des indices /, Ar. Nous conserverons cette écriture
dans la suite. Le second membre de la relation obtenue a une
expression analogue : , ;_
y bih (^ ^ _ M ^\
^ ' \dU dv dv du J'
OÙ l'on a posé
dYi dYk
(i6)' biu
dijk diji
CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. 17
Multiplions les deux membres de la relation
par dudv ; elle peut s'écrire sous une forme plus abré£;"ée
(17) 2 «/ft {dxf^JCh — d^ck^xi) = ^ 6/A idyfiyh — dt/k^yi),
i, k i, k
en posant
f/x, = ^^ du, oxi = — - 8y, di/i = -^ du. Su, ^ ^^ Sy.
Du ' Dy ' ^ Du ' ^ Dt-
Remarquous que l'on a toujours, pour les deux systèmes de
ditïérentielles,
idxi = ~dy^-\- ... + ^- dyn,
àxi = ~6y,-^ ... +--ôy«,
'■ifi '■y>i
et l'on passe du premier membre de l'identité (17) au second
membre eu remplaçant dans ce premier membre les variables
■x^. Xj, ..., Xn et les deux systèmes de dififérentielles dxt, 5j?/ par
leure expressions au moyen des variables yi, et des deux systèmes
correspondants de différentielles dyi, hyi, qui se déduisent des
formules de transformation par lesquelles on passe de la pre-
mière forme ZXidxi de oj à la seconde forme iYjrfy,.
Le premier membre de l'identité (17) est appelé le covariant
bilinéaire (*) de la forme w, dénomination qui se justifie d'elle-
même. On représente ce covariant par w',
( ïQ) *^' = 2 "'*^ {dxi^Xk — dxk^Xi),
i,k
notation qui sera justifiée plus tard. Remarquons que, pour
former ce covariant w'j il est inutile de calculer séparément tous
les coefficients o/a-. Il est en général préférable de se servir de
l'expression symbolique
u' = 8w {d) — d(ù (8),
(') LiPscHiTz (Journal de Crelle, t. LXX, p. 78).
G. Prob. 9
18 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
ui{d) étant identique à w, et w(8) désignant ce que devient w (rf)
quand on y remplace d par 8 ; on doit en outre tenir compte, dans
le calcul, de l'identité ^dxi z=dùXi.
Remarques. — i" Lorsque la forme w est une différentielle totale
exacte, tous les coefficients auc sont nuls, et w' se réduit à zéro.
Inversement toute forme de Pfafï dont le covariant bilinéaire est
identiquement nul est une différentielle totale exacte ;
2° Quand on multiplie la forme w par un facteur constant G,
w' est m.ultiplié par le même facteur, mais il n'en est plus de
même quand on multiplie oj par une fonction de x^, . . ., Xn. Soit
a = k (ic^, X2, ..., Xn)(^ ; on a
Q.' = hi{d)—dLi{^) = 5k.oy{d) + A:8w(t/) — ^A:.w(8)— Â:c^w(3),
ou
£i' = k(x}' + u}(d)^k — oi{^)dk.
D'une façon générale, soient m^, w^ deux formes quelconques de
Pfaff :
0)^= A^dx^ 4- ... + AndXn , ^2= B^dx^ + ... + BndXn ',
on représente par [w^, w^] la forme bilinéaire
[A^dx^ -4- ... + Andxn\[B^^x^ + ... + B«8a?n]
— [A^8Xi + ... 4- An^Xn][B^dx^ -f ... + BndXn]
= 2 (A?Byt — Aa-B/) {dxihxk — dxk^Xi) .
i, k
Avec cette notation, le covariant bilinéaire de la forme kta a pour
expression
(/cw)' = /fo)' + [w, dk].
D'après leur définition même, les coefficients atk vérifient, comme
on s'en assure aisément, les relations
(20) aik^ak, = o, —-+—- + ^--=0,
pour toutes les combinaisons d'indices. Inversement, si n^ /onc-
tions atk des variables x^, x^, •••, ^« vérifient les relations (20), la
forme bilinéaire
Z_t ciikdxihxk,
i,k
CHAPITRE I. FORMES CANONIQUES. 19
OÙ la sommation est étendue à tous les arrangements des indices
i, k, deux à deux, est le covariant bilinéaire d'une forme de Pfajf.
En d'autres termes, il existe un système de n fonctions X^, X,, ...,X„
des variables x^, x^, ..., x^, satisfaisant aux — relations
' :>xk ^xi
La proposition est classique pour n = 3. Pour démontrer qu'elle
est ^^énérale, supposons-la établie dans le cas àe n — i variables,
et considérons les n i équations précédentes où i = i, et pre-
nons Xj = o. Elles donnent
et par suite
3Xyt
Xz
— I aik{Xi, ..., x,^)dx^ -\- 'Çk(x.,, ..., x„) {k = 2,Z,...,n).
Je.
En tenant compte des conditions (20), que l'on suppose véri-
fiées, les autres équations (21). où / et /c sont supérieurs à un,
deviennent ^
-— - ^-^^^ fljA-(Ci, X^, ..., Xn) = Oi/c {x.2, ..., X^).
Ces équations forment un système de même forme que le
premier, avec une variable et une inconnue de moins. D'autre
part, si l'on fait x^ = c^ dans les relations (20), où tous les
indices sont plus g-rands que un, on obtient un système de rela-
tions de même forme
(20) bik + 6a-,- = o, - — 4- \- - — = o^
:>xi :sxi DxA- '
La proposition étant vraie pour n — i variables, elle est donc
générale. Connaissant une première forme de Pfaff ayant un cova-
riant bilinéaire donné, on aura toutes les autres formes ayant le
même covariant en ajoutant à la première une différentielle exacte.
Deux éléments linéaires {dxi, dx^, . . ., dx^), (So^i, . . . ,Sx„) issus
du même point {x^, x^, ..., x^) sont dits en involution si les deux
svstèmes de différentielles dxi, hxi vérifient la relation w' = o. Il
20 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
résulte du calcul qui a conduit au covariant bilinéaire que deux
éléments linéaires intégraux appartenant à une multiplicité
intégrale à p dimensions (p > /) sont en involution. Si l'on prend
en effet sur cette intégrale M^ une intégrale Mj, telle que les coor-
données d'un quelconque deses points soient exprimées au moyen
de deux paramètres u, v, ces n fonctions vérifient les deux relations
2x,.'^=o, y:x,.
^.Xi V V . ^ Q .
d'où l'on déduit, par le calcul fait plus haut, que les différentielles
dxi, ^Xi correspondant respectivement à des accroissements du
et 8y des paramètres, vérifient la relation w' = o. Or on peut tou-
jours supposer que les courbes u =^ C, v = C qui passent par un
point de M^ sont tang'entes respectivement à deux éléments linéai-
res quelconques de la multiplicité intégrale considérée issus de ce
point.
Il résulte aussi de la propriété d'invariance de w' qu'à deux élé-
ments linéaires en involution (flfyj, ...,di/^), (S^i, ..., ôy„) de l'espace
{y il y 2' • • • ■> Ihù correspondent deux éléments linéaires en involu-
tion {dx^^, . . ., û?a?J, (Sa?i, ..., 8x„) de l'espace {Xi, x^, ..'., x^.
Remarquons aussi que deux éléments linéaires intégraux en invo-
lution de l'équation to = o sont des éléments linéaires intég-raux en
involution de l'équation i2 = A:a)^o, quel que soit le facteur k.
Ceci nous amène à considérer quatre espèces d'éléments linéai-
res possédant des propriétés spéciales :
1° Les éléments linéaires quelconques qui sont en involution
avec tous les autres éléments linéaires issus du même point.
2° Les éléments linéaires intégraux qui sont en involution avec
tous les autres éléments linéaires issus du même point.
3° Les éléments linéaires quelconques qui sont en involution
avec tous les éléments linéaires intégraux issus du même point.
4° Les éléments linéaires intégraux qui sont en involution avec
tous les éléments linéaires intégraux issus du même point.
Les éléments linéaires de chaque espèce sont définies par des
systèmes d'équations linéaires en dxi, ..., dx^, que nous allons
étudier. Ces quatre systèmes se réduisent toujours à deux systèmes
distincts, comme nous le verrons dans les parag-raphes suivants.
CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. 21
4. Interprétations du covariant bilinèaire. — Le covariant u
intervient dans le calcul de la première variation de l'intégrale f o, et
cette interprétation rend intuitive la propriété d'invariance relative-
ment à un changement de variables.
Considérons une forme de Pfaff à un nombre quelconque de varia-
bles indépendantes, '
w = Xidxi 4- . . + XndXn,
Xi . . . X,i étant des fonctions de cci, Xi, . . .,x„. Ces n variables étant
regardées comme les coordonnées d'un point dans l'espace à n dimen-
sions, les n équations
Xi=/i{f) {i= 1, 2, ..., n),
où / varie de /, à /j, représentent dans cet espace une variété à une
dimension ou courbe r, et l'intégrale définie
ru
I XidXi + . . . + Xr^dXn,
Ju
où l'on a remplacé xi par/if/) et dxi par /'i {t)di, est encore appelée
une intégrale curviligne prise le long de F et représentée par
= I XidXi
JT
I = / XtdXi + . . . -f X„dXn.
Quand on remplace la courbe F par une courl^e infiniment voisine,
l'intégrale prend un accroissement dont nous allons calculer la partie
principale. 11 suffit d'appliquer à ce cas particulièrement simple la
méthode générale permettant de calculer la première variation d'une
inlégrale ; j'indiquerai rapidement le calcul. Pour cela, imaginons
une famille de courbes variant d'une manière continue avec un
paramètre x et se réduisant pour x ^ o à la courbe F. Soient xi= fi {i, a)
les équations de cette famille de courbes, la fonction // (/, o) étant
identique à /i {l).
Nous supposerons que les limites ^o et /, sont elles-mêmes variables
avec a, et nous avons à calculer la dérivée F (a) de l'intégrale définie
22 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
par rapport au paramètre «. La formule classique de difFérentiation
donne
^m^,,
D/f
î>«»/
U=l J< = <i \-i=i At=t,
En'intégrant par parties la seconde intég-rale, on peut la remplacer par
1
Dans le produit ^I = \' {v.)Sca, on a sous le signe d'intégration les
termes suivants, en posant §xi = ^ (?«,
I jLd \dXi ^t ^Xn W /
_ / y dxi 7 — ' Sxk — I 7 , ^^ ,. 7 , — - dxfc,
ou, en permutant les indices i et A: dans la seconde intégrale,
Quant aux termes en dehors du signe | , en les réunissant, on a
l'expression suivante :
U-l At-h Li-i At=to
\ L»=i jt=ti u=i At^t,)
CHAPITRE I. — FORHfô CAN0!«1QUES. 23
Posons, comme plus haut,
O'A- = (j. A- = 1,2, . . . , n).
et, en outre,
<-'«=[if)..t+(fL>.
<->-=[(m.,f+(^L.h
nous avons pour, expression générale de S\
aikdœiâxk
Remarquons que (Aa?,)^, (Aj?2)j, ..., (Aa7r.)o représentent les compo-
santes du déplacement infiniment petit de l'orig-ine du chemin d'inté-
^ation quand on fait varier « de Sk, et (Aa?,)i, (Aar^),, ..., (AxJ, ont
une signification analogue. Si donc on fait varier le chemin d'intégra-
tion sans changer les extrémités, le terme tout intégré disparait, et la
formule générale qui donne 9I se réduit à
ol = I ^ y^aikdxi^JCh = I w'.
Jr^ k Jr
Supposons maintenant que l'on effectue un changement de variables
a?/ = fiiyi.yi, ...,yn) {1=1,2, ..., n),
la forme linéaire w se change en une nouvelle forme linéaire de diffé-
rentielles
wi = Yi</yi + ... ~ ^ndljMt
Yj. . . ., Y,i étant des fonctions de y^, y*, . . ., y^, et l'intégrale I, prise
le long d'une courbe F dans l'espace {xi, x,, ..., Xn), se change en
une intégrale
V = \\dyi + Yidy, + . . + Yndyn = / «,
prise le long de la courbe r' de l'espace {yi, y», ..., y„), qui correspond à
la courbe F de l'espace {xt, x^, ..., Xjt) par les formules de transfor-
mation. De l'égalité I := I', on déduit que les premières variations
sont égales, ol r= oV . Mais on peut calculer ôV de deux façons, soit en
partant de l'expression générale de jI, ce qui donne
oT- / y\ y.^i'^-^iyi^yk, bik = p^
-yîi ^ya
24
LEÇOiNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
soit en appliquant la formule générale du changement de variables à
l'intégrale âl, et remplaçant en même temps la variation rJxi par
En égalant ces deux expressions de (?!'> on a donc
J i k J i k
bikdijiSijk.
c'est-à-dire w' z=z w'j.
La condition w' zr o peut aussi s'interpréter géométriquement.
Prenons d'abord une forme à trois variables que nous écrirons
w = P {x, y, z) dx + Q {x, y, z)dy ^ K {x, y, z) dz ;
la relation w' =z o peut s'écrire sous forme de déterminant
&R_dQ
DP _ DR
^-^
^y ^z
D5 Da;
?J7 Dy
dx
dy
rfr
8x
h
^Z
Elle exprime que le plan passant par les deux éléments linéaires
(^dx, dy, dz) {Sx, Sy, Sz) contient le vecteur issu du point [x, y, r)dont
les composantes sont
DR_dQ ^_^ ^_^Z
Dy Dz ' Dr 7>x' Da; 7:^y '
ou vecteur-tourbillon du vecteur (P, Q, R) ; donc, pour que deux élé-
ments linéaires soient en involution, il faut et il suffit que le plan déter-
miné par ces deux éléments contienne le vecteur-tourbillon.
Il est facile d'en déduire la condition d'intégrabilité de l'équation
w =r o. Supposons en effet les axes rectangulaires ; toute surface inté-
grale passant en un point {x, y, z) de l'espace doit être normale au vec-
teur (P, Q, R) issu de ce point. Mais deux éléments linéaires quelcon-
ques du plan tangent doivent être en involution, et par suite ce plan doit
passer par le vecteur-tourbillon. Donc le vecteur-tourbillon et le vecteur
(P, Q, R) doiyent être orthogonaux ; c'est précisément la condition
d'intégrabilité.
On peut donner une autre interprétation, en considérant [dx,dy, dz)
et {Sx, Sy, Sz) comme les coordonnées homogènes de deux points dans
un même plan. La condition &/ = o exprime aussi que la droite qui
joint ces deux points passe par le point dont les coordonnées homogè-
nes sont égales aux composantes du vecteur-tourbillon.
Considérons maintenant une forme à n variables, et deux éléments
linéaires [dx^, . . ., dx,i), {Sxi, . .., Sx,) issus d'un même point. Soient
CHAPITRE 1. FORMES CANONIQUES. 25
Al et Al les points d'un espace à (n — i) dimensions dont les coordon-
nées homogènes sont (rfj*i, . . . , dxn) et {ijci, .... o J?,*)- Ces deux points
déterminent une multiplicité linéaire à une dimension, ou droite, dont
les coordonnées pluckériennes sont les binômes djCiOXk — dxkojci
(i, /f =r I, 2, . . ., rt) La relation '•>' ^ o exprime que cette droite appar-
tient à un complexe linéaire de Fespace à (n — i) dimensions .Celle inter-
prétation ne sera pas utilisée dans la suite.
5. Le système Si. — Etant dooné un élément linéaire
(cLcj, djCi, — djc^}, issu d'un point (x^, x^, ..., x^\ les éléments
linéaires issus du même point, en involution avec le premier, for-
ment en o'énéral une multiplicité k n — i dimensions. Il n'y a
d'exception que si la relation w' ^ o est vérifiée identiquement,
quelles que soient les valeurs de â.rj, 6x^, ..., ^x^. Pour qu'il en
soit ainsi, il faut et il suffit que dlr,, dx^, .. ., cLx^ vérifient les n
équations linéaires
I a^^dx^ + Oj^fc + . . . -|- aj„</j?„ = o,
\ a^idx^ + a^,dxg + . . . + a^^dx^ = o,
'')•"•■■"
l a^^dx^ + a^,dx^ + - . . -f- a^^dx,^ =o.
De tels éléments linéaires seront appelés .ç//i^M//ers ; les éléments
linéaires sing-uliers issus d'un point sont donc en involution avec
tous les autres éléments linéaires issus du même point.
Si n est impair, il y a toujours des éléments linéaires sinaruliers.
puisque le déterminant A des coefficients «/a est nul ('). Si n est pair,
et si A est différent de zéro, il n'y a pas d'éléments linéaires singu-
liers. C'est le seul cas où il n'existe pas d'éléments de cette espèce.
Soient it/Xj. dx:^, .., dx^ un élément linéaire singulier issu
d'un point (Xj, a*j, ..., x^, et (t/^i, c^y,, dy,^ l'élément linéaire
issu du point (y^, ^j, ..., y„) qui correspond au premier par le
chang-emeut de variables (6). Puisque le premier élément est en
involution avec tout autre élément linéaire issu du même point, le
second élément linéaire idy^^dy^^ ..., dy^ doit aussi être en
(') Pour démontrer qu'un déterminant symétrique gauche d'ordre impair
est nul, il suffit d'observer que ce déterminant change de signe, quand on
chance le signe de tous les éléments. Or cette opération ne change pas la
valeur du déterminant, puisqu'elle revient à échanger les lignes et les
colonnes.
26 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
involution avec tout autre élément linéaire issu du même point
dans l'espace (?/^, y^, . . . , ^„). Il faudi^a donc que l'on ait
^Yà^ihdijfiyk = o,
quels que soient 8//^, Sj/g, ..., S//^ et, par suite, que o?//i, dy^, ..., dy^
vérifient les n équations du système
biidy, + b^^dy, + . . . b^^dy,^ = o,
^ ,,, , b.,,dy, + b^^dy^ + ... b.^^dy^ = o,
bnidy^ + b,,4y.2 + . . . b,,^dy^, = o,
qui se déduit de la nouvelle forme dePfaff
o,m^\^dy, + Y^dy^ + ... + YJyr,
de la même façon que le système S^ se déduit de la forme primi-
tive. Le système S^^ est donc un système covariant de la forme w,
relativement à tout changement de variables.
En d'autres termes, si, par le chang-ement de variables défini par
n n
les formules (6), la forme /^ Xidx,- devient 2,^idyi, le système
/ =1 i =1
S^ se transforme, par le môme chani^ement de variables, en Sj^'^).
Supposons que le déterminant A soit ég-al à zéro, de sorte que
les n équations de Sj se réduisent à r équations linéairement dis-
tinctes (^ <C n). Ce système admet alors une infinité de multipli-
cités intég-rales à une dimension, dépendant de constantes arbi-
traires, si r = n — I, et de fonctions arbitraires si r<Z, n — i. On
peut en effet adjoindre aux r équations linéaires du système S^ un
système de n — r — i équations linéaires en dx^^, dx^, .. ., dx^, à
coefficients arbitraires, de façon à former avec les premières un
système de n — i équations différentielles ordinaires (')
(1) D'après l'interprétation donnée plus haut du covariant bilinéaire, ces
multiplicités intégrales à une dimension du système Sj sont les courbes
extrêmales pour l'intégrale yXido;, -f- Xjdajj -|- •••+ ^»'^^«- Des considéra-
tions empruntées au calcul des variations permettent de démontrer 'sans
aucun calcul que le système S, est complètement intégrable [Bulletin de la
Société Mathématique, t. XLIV, 1916, p. 26 et suiv.).
CHAPITRE 1. FORMES CANONIQUES. 27
Le système S^ est complètement iniégrable.
Si ce système comprend r équations linéairement indépendantes,
ces r équations sont équivalentes à un système de la forme
dfi ^ o, rf/^j = o, .... dfr = o,
fiifi-, ■•■,fr étant r fonctions distinctes des variables x^,...,x^.
Le théorème est évidemment exact si A n'est pas nul, car le
système S^ est équivalent aux n équations
dx^ = o. dx^ = o, . . . , dx^ = o.
Il est vrai aussi si le système Sj ne contient que n — i équations
linéairement distinctes ; ces équations forment alors un svstème de
n — I équations différentielles ordinaires et admettent par consé-
quent n — 1 combinaisons intégrables distinctes
dj\ = o. df, = 0. .... df^_^ = o.
Prenons le cas où le système S, ne contient que r équations
linéairement distinctes (r <in — i). Adjoisrnons à ces r équations
un système de n — r — i équations linéaires
Aiidx^ -}- ... -i- Aindxn = o, (/= 1,2, ..., n — r — i),
dont les coefficients sont des fonctions des variables Xi, choisies de
façon à former avec les r équations de Sj un système de n — i
équations différentielles ordinaires distinctes. L'intég^ration de
ce système donne une famille de multiplicités intéarrales à une
dimension du système Si dépendant de n — i constantes arbitrai-
res. Soient
/i ^^ ^1' Ji ^^ ^ï' •••» yit— 1 = C„_i
rintégrale générale de ce système auxiliaire. Ima&rinons mainte-
nant que l'on fasse un chansrement de variables, en prenant un
nouveau système de variables (^j, y,, ,.., y^) où y^ -=J\. H'^^fv»
•••» ^K-i =/«-!> 1^ dernière variable y„ restant arbitraire, à
condition déformer avec y^, y^, ...,y„_i un système de n variables
indépendantes. Par ce changement de variables, la forme donnée to
est remplacée par une nouvelle forme ^^ Xidyi, où l'on peut tou-
28 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
jours supposer que le coefficient Y„ a l'une des valeurs zéro ou un.
En effet, si Y„ n'est pas nul, on peut écrire
et si l'on a pris U à la place de i/^ pour la dernière variable indé-
pendante, la forme m devient, après le chang-ement de variables,
coii) = Y^dy^ + ... + Yn-idyn-i + dy,.
Quant au système Sj^, il est remplacé par le système SjO, qui
doit être vérifié quand ony fait ?/^ = Cj, ..., ?/„_i =G^,_,, ?/„ étant une
variable indépendante, quelles que soient les constantes Cj, C^,
G 1 On a donc hm = — '- == o pour toutes les valeurs de
l'indice i, et les coefficients Y/ sont indépendants de la variable y .^.
Le système 8^(1) se compose donc de n — i équations où ne fissu-
rent que les n — i variables y^, ?/.,, . .., y n^^,
(22) biidy^ -f •••, 4- bi.n-idyn-i = o (/ = 1,2, ..., n — 1),
et nous avons avons remplacé un système de r équations à n varia-
bles par un système équivalent de r équations an — i variables
seulement. Sir = n — 2, le nouveau système est complètement
intég-rable, et par suite il en est de même du premier. Sir<^n — 2,
le nouveau système (22) se déduit de la forme de Pfaff à n — i
variables Y^dy^ + . . + Y.^_^dy,^_i de la même façon que Sj se
déduit de la forme primitive. On pourra donc recommencer la
même transformation sur le système (22), et ainsi de suite. Il est
clair qu'on finira par obtenir un système équivalent à Sj de r équa-
tions à r -f- I variables, c'est-à-dire un système complètement inté-
g-rable. La proposition énoncée est donc établie.
Gela étant, imag-inons que l'on fasse un chang-ement de varia-
bles de façon que dy^ =0, ..., dyr = o soient précisément
r combinaisons intég-rables distinctes du système S^'*). Ce système
devant être vérifié quand on y remplace dyi, ..., dyr par
zéro, quelles que soient les valeurs de dyr+\, ..., dyn, on a
CHAPITRE 1. — FORMES CANONIQUES.
29
si l'un des indices /, A' est supérieur à r. Ces relations prouvent en
particulier que, si l'on regarde y^, y^, .... yr comme des paramè-
tres, l'expression
Yr+it/^r+J + ... 4- ^ndya
est la diflférentielie totale d'une fonction U des variables yr-fi, •••,yn,
et l'on peut écrire
Yr^idyr-i + ... + Y„dyn = dl]-(^f^^dy, + ... + ^^dyX
La fonction U est distincte des r variables y^, ..., yr. à moins
que ^r— 1. ..., Y/i ne soient nuis, et dans ce cas on peut supposer
U = o. Dans tout autre cas, on peut prendre U pour la nouvelle
variable yr-fi- Les nouvelles variables étant choisies de cette façon,
on voit que wt*) a l'une des deux formes
Yjf/y, -I- ... + \rdyr, ^idy^ + ... + "^rdyr + dyr+\.
La condition bih = o, où l'on suppose k > r. devient alors
dY/
^ — = o et prouve que les coefficients Y ne dépendent que des
variables yj, y,, ..., yr. Pour que le système Sj'^' relatif à la
forme w'i' soit équivalent aux r équations
dyi =^ o. ..., dyr = o,
il faut en outre que le déterminant
*ii ^«
6r.
bu
b*r
soit différent de zéro, ce qui exige que r soif un nombre pair,
r = ip ; résultat que l'on aurait pu prévoir a priori d'après les
propriétés des mineurs d'un déterminant symétrique gauche.
En résumé, le système S^ se compose toujours d'un nombre
pair 2/> d'équations linéairement distinctes ; si l'on a pris un nou-
veau système de variables (y^, ...,yn de façon quey^, ...,ygp soient
30
LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
2/) intégrales distinctes de Sj, w peut être ramenée à l'une des
deux formes
(I) Y,dy, + . . . + ^^^dy^^ + ^^2^+1,
(II) Y,dy, + . . . + Y.^dy^^,
Y^, Y2, ..., Ygj, ne dépendanfque des variables yi, y^, ... y^p.
On aura le nombre ajo en cherchant l'ordre des premiers mineurs
de A qui ne sont pas nuls. Quant au système complet qui détermine
les intégrales de Sj, on pourra l'obtenir en écinvant que l'équation
df:
?./
5./
,^/^. + -'+^/^^^ = o
est une combinaison linéaire des équations du système S^, c'est-
à-dire en égalant à zéro tous les déterminants d'ordre 2/) +• i
déduits du tableau
(2,, a, a ... Cti
(Ti)
IL
7>Xi
Le système S^, ou le système complet équivalent, ne sont pas
d'ailleurs des systèmes différentiels quelconques, comme nous le
verrons plus tard.
Pour reconnaître à laquelle des deux formes (I) ou (II) on peut
ramener w, il suffit d'observer que, dans le premier cas, l'équation
a)(i) = o est distincte des équations du système 8^(1), tandis que,
pour la forme (II), w(i)= o est une conséquence des équations de
8^(1). La forme donnée w pourra donc être ramenée à la forme (II),
si l'équation w = o est une conséquence des équations de Si, et
dans ce cas seulement. On aura la forme (I) si tous les détermi-
nants d'ordre 2p + i déduits du tableau
(T.)
«li
a,^ .
a in
«21
«22 •
«2ra
««1
«n2
• • «n»
X,
X, .
. x„
CHAPITRE I. — FORMES CANONIQCES. 31
ne sont pas nuls à la fois, et la forme (II) si tous ces déterminants
sont nuls.
6. Le système Sî- Classe d'une forme de Pfaff. — Les
éléments linéaires singuliers, qui sont eu même temps des éléments
intés^raux, véritient les équations du système S^,
aildx^ -f , . 4- Uindxn = o, (/= 1, 2, ..., n),
j</j?l +...-}- XndjCn = O,
que l'on obtient en adjoi^-nant au système S^ l'équation ù) = o. Il est
clair que ce système S, est lui-même un covariant de la forme a>
relativement à tout changement de variables.
Si l'équation w =o est une conséquence des équations de S^, le
système S^ est identique à S^. Si l'équation w = o est distincte des
équations de Sj, le système S, comprend 2/> + i équations distinc-
tes. Supposons w ramenée à la forme (I) ; après ce changement de
variables. Sj est remplacé par le système
tandis que le système Sj devient
dy, = o, dy, = o, ..., dy^p=o, dy^^^,=o.
Le système S^ est donc lui-même complètement intégrable. On
voit de plus, d'après les calculs du paragraphe précédent, que, s'il
n'est pas identique au système S^, on obtiendra la dernière inté-
grale de ce système par une quadrature quand on aura intégré
le système Si-
Soit c le nombre des intégrales distinctes du système S^, c'est-à-
dire le nombre des équations linéairement distinctes de ce sys-
tème ; ce nombre c s'appelle la classe (^) de la forme de Pfaff w. Ce
nombre c est égal au nombre minimum de variables au moven
desquelles puisse s'exprimer w par un changement de variables
convenable [^) .Nous avons démontré au paragraphe précédent que
si Si contient 2/), ou 2/> -f i équations distinctes, la forme w peut
être ramenée à la forme (1) ou à la forme (11). Dans les deux cas,
l'expression ainsi obtenue pour w ne dépend que de c variables. On
Cj Cette expression a été introdnite par Frobenius.
(*) On dit qu'une Tariable fiçure dans une forme de Pfaflf si elle fig-ure sous
le signe d ou dans l'un des coefficients.
32 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
ne peut pas obtenir pour w une autre expression où fîg"urent
moins de c variables ; supposons en effet que, par un chang-ement
de variables convenable, w prenne la forme
w(i) = Z^^dz^^ 4- . . . + Zqdzq,
le nombre q étant inférieur à c, et les coefficients Z/ ne dépen-
dant que des q variables 5^, ^2, ..-iZq. Il est clair que le système
82'^' correspondant à cj<i' ne peut renfermer plus de q relations
linéairement distinctes, puisqu'il ne renferme que q différentielles
dz^, ..., dzq. Il ne peut donc être équivalent au système Sj qui, par
hypothèse, renfermée > q équations distinctes.
Le môme raisonnement prouve que si, par un moyen quelcon-
que, on a obtenu pour w une expression où ne fig"urent que c varia-
bles, ces c variables sont des intég-rales du système S.,. On peut donc,
d'une infinité de façons, trouver des expressions dewoù ne figurent
■que c variables, mais on déduit toutes ces expressions de l'une
d'elles par un chang^ement d'un système de c variables en un nou-
veau système de c variables. Par la suite, nous dirons que toute
intégrale du système Sg est une variable canonique.
Pour obtenir la classe d'une forme de Pfaff, il suffit, d'après
cela, de chercher le nombre des équations distinctes de Sj, c'est-à-
dire l'ordre des déterminants du tableau T^, de l'ordre le plus
élevé, qui ne sont pas nuls.
Soit oj une forme d'ordre pair n = 2p. Si les coefficients X; sont
des fonctions quelconques des variables indépendantes, le déter-
minant A ne sera pas nul, et par suite la classe sera égale à 2p. On
voit de la même façon que, pour une forme à un nombre impair de
variables et à coefficients quelconques, la classe est ég-ale au nom-
bre des variables. Nous appellerons, dans la suite, ybr/ne ordi-
naire toute forme dont la classe est ég-ale au nombre des variables
qui y figurent, /orme exceptionnelle ionlQ forme dont la classe est
inférieure au nombre des variables qui y figurent. Connaissant la
parité de la classe d'une forme, il est facile d'avoir une limite du
nombre/) au moyen du nombre n des variables. Si la classe est
paire, on a ip ^n et, par suite, /J ^ — . Si la classe esf
impaire, on a 2/) -1- i ^ n, ou p <^ — ^^^— .
CHAPITRE I. FORMES CANONIQUES. 33
7. Les systèmes Sj etS^. — On obtient deux nouveaux sys-
tèmes différentiels associés à une forme de PfafiF en procédant
comme il suit. Pour qu'un élément linéaire {dx^, dx,, ..., dx,^)
soit en involution avec tous les éléments linéaires intégraux issus
du même point, il faut et il suffit que l'équation
n
w' = — ^ (aiidxi + Oiidxi -\- ... 4- aindXn)^Xi = o
1=1
soit une conséquence de l'équation
n
<0 (8) = ^ XiùXi = O,
/=1
c'est-à-dire que</jj, dx^, ..., dxn vérifient les relations
Ws'
aijdXi -^ . . . -^ aind-T,,
^ Xi
...=df.
t étant une variable auxiliaire, introduite uniquement pour facili-
ter le raisonnement.
(le nouveau système Sj qui est évidemment, d'après sa sisrnt-
fication, un covariant de la forme ta, est identique au système de
Pfaffà.è\k sisrnalé plus haut (u^ 2).
Enfin les éléments linéaires intégraux en involution avec tous
les autres éléments linéaires intégraux issus du même point véri-
fient un nouveau svslème d'équations S^, que l'on obtient en adjoi-
î>-nant à S3 l'équation w ^ o ; c'est le système caractéristique. C'est
aussi un système covariant de la forme w.
Les quatre systèmes S^, S^, S,, S^ se réduisent toujours à deux
systèmes distincts seulement.
Ecrivons le système S3, en chassant les dénominateurs,
(S3) GiidXi + . . . -|- UindXn = ^idt, 1 /= 1 , 2, ...,«) ;
deux hypothèses sont à examiner :
/^' Cas. — On peut satisfaire aux équations précédentes, san»
G. Leçons. /' 3
34 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFÀFF.
supposer dt = o. En d'autres termes, on peut trouver au moins un
système de solutions des équations
«iAi + «/2^2 4- . . . + aiii^n = ^i {i = 1,2, . . ., n).
On en déduit
2^ Xidxi = 2^ {aii\ + an\ + . . . + ain^n)dxi
i i
= — ^^1 2 ttiidXi — ^2 ^ a^dXi — ... — In^UnidXi,
i i ■ i
de sorte que, dans ce cas, l'équation a) = o est une conséquence des
équations du système S^. Réciproquement, si l'on a une identité de
la forme
2^ XidXi = 2^ li.h(ahidx^ + . . . + GkndXn),
i k
on en déduit
X; = p-ifli/ + . . . + \i.nani,
et l'on satisfait aux équations de Sg en posant f^^ = — [x^.
Supposons donc que w soit de classe 2/3 ; alors S, est identique
à S^, et S^ est identique à Sg. Des équations de S.,,
on tire en effet
2é dt 2^'''^^ir] = 2^^^^'
dt I .^ '" dt )~ '^ ' dt
ou
i h i
Mais le premier membre de cette équation est identiquement
nul, d'après les relations aiu -\- aui = o. L'équation w = o est
donc une conséquence des équations de Sg.
2^ Cas. — Si w = o n'est pas une conséquence du système Sj,on
ne peut satisfaire aux équations Sg qu'en posant dt =^ o; Sg est
identique à S^, et S^ à S^.
I
CHAPITRE I. FORMES CJLNO.MQUES. 35
En résumé, si w est de classe paire, Sj est identique à S^, et S^
à S3. Si u est de clas'se impaire, S3 est identique à Sj et S^ à Sj.
Les systèmes S^ et S3 sont toujours distincts, ainsi que Si et S^.
Le système S3 est complètement intégrable. Il suffit de le
démontrer pour une forme de classe paire ; or si l'on suppose «
ramenée à la forme
\\dy, + . . . 4- Ygprfyjp,
le svstème S3 contient seulement 2/> — i équations distinctes indé-
pendantes de / (*),
bjidyi-r ■ ■ + buipdyip b^p^dyi + • • • + bjp.jpdyip
Y. Y,p . '
avec ip variables, et la proposition est évidente. Nous voyons en
même temps que le système S3 contient une équation de moins
que S,, et toutes les intégrales de S3 sont aussi des intégrales de
S.,. Ces conclusions sont exactes aussi pour une forme de classe
impaire, puisque dans ce cas S3 est identique à S^.
Dans le cas où &> est de classe 2p -{- i, nous avons vu plus haut,
que si l'on a intégré S^ (qui est identique à S3), il suffit d'une
quadrature pour achever l'intéerration de Sj.
Supposons maintenant qu« w soit de classe 2p, et que Ton ait
obtenu les 2/5 — i intégrales des équations 83, qui sont indépen-
dantes de la variable auxiliaire /. Faisons encore un chano'ement
de variables de façon que ces 2p — i intésrrales soient précisément
^n^î' -M^îp-i^et soit
«(1) = Y,dy, + ... + Y,^_, dy,^ .^ + . . . -f \\dy^
la nouvelle expression de «o après cette transformation.
Le système 83(1) correspondant doit être équivalent au système
dUi = 0, ...,</y2p_i=o,
en faisant abstraction de la variable auxiliaire /. Ce système S3(*)
doit donc être vérifié, quels que soient c/y.,^, ..., dy^, quand on fait
dy^ = 0, . . . , dy,^_^ = o . De plus, puisque dans ce cas S^ est iden-
(') Ces équations sont distinctes, car le détermjnant des bik n'est pas nul,
puisque w est de classe a/>.
36 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
tique kS^, l'équation w(^' = o doit être une conséquence des équa-
tions dyi=zo, ..., c/^,j,_i = o, ce qui exig-e que l'on ait ¥2^ = 0, ...,
Y,j=:o. Les conditions
hhpdijtp + • • • + bindun bkïpdy-2p + • • ■ + bkndi/n / • / on_.^
devant être vérifiées quelles que soient les valeurs dedi/.^p, ..., of//„,
on doit avoir, pour toutes les valeurs de l'indice h supérieures
à 2/3 — I ,
bih hkh J_^ I ^Y/i-
Y/ Yk Y/ di/h Y/c Dy/i
Ces relations expriment que le rapport de deux quelconques des
coefficients Yj, . . . , Ygp_j est indépendant de y^^, ... , y ^^.
La forme «(•' peut donc s'écrire encore, en changeant un peu les
notations,
.(1) = K(Y,^^, + . . . 4- Y,,_,^^2.-i)^
Y), Yg, ..., ^2p-i "^ dépendantque de yi, î/^, ..,, y^p-i.-
Le facteur K ne peut êti^e une fonction des variables //i,y2, •••, ^2/^-1
seulement, car alors m serait de classe ip — i et non de classe 2yo.
On peut donc prendre ce facteur K pour la variable y^^ par
exemple, et écrire
j'i)
l/'ipC^idyi + ... + "iop-idy.,^^,)-
Les intégrales du système Sg sont évidemment y^, .. . , y^p-i-, y-zpi
et l'on voit que, dans le cas d'une forme de classe paire, l'intégra-
tion du systèmes, s'achève sans aucune quadrature quand on a
intégré le système S3 .
Remarque L — filant donnée une forme de Pfaff w, soit H la forme
auxiliaire
a = Xn+l w + dXn+i,
OÙ Xn+i est une variable distincte des variables ,Vi, ..., x» qui figu-
rent dans M. Le covariant bilinéaire li' a pour expression
il' rz Xn+i w' + êxn+i w — dXn+i (XiSxi + • • + Xn^Xn)-
CHAPITRE I. FORMES CANONIQUES. 37
Le système analogue à S^ pour ia forme auxiliaire il est donc le su le-
vant
/ Xn+l{aiidXi -f . . . + aindJCn) — XidjCn^l ^o,
{li) ) XidXi + . . . + X„</j?„ = o,
( dxn^\ = o, (j" = I, 2, ..., n),
et se compose par conséquent du système S2 auquel on aurait adjoint
l'équation djcn-^i = 0. La classe de il est donc supérieure d'une unité
à la classe de w, ce qui paraissait évident a priori.
Les équations du système ^3, analogue à S3, pour la forme ii, sont
de même
Y-
(23) aiidxi + . . . 4- aindxn = — -^. ( t = i , 2, . . . , n).
et on en déduit, par une combinaison facile,
(23) \^ {aiidXi + • • • 'raindxn)dxi = o =
Cela posé, nous avons à distinguer deux cas, suivant la parité de la
classe de &>. Si w est de classe impaire, on ne peut satisfaire aux équa-
tions de (23) qu'en posant il = o, ahdxi -f- . . . -j- aindjCn ^ o ; le sys-
tème -i s'obtient en adjoignant l'équation fi = o aux équations de Sj .
Si 6> est de classe paire, on peut satisfaire aux équations de -3 sans
supposer il =: o, alors la relation précédente (23) donne w ^ o, et le
système Ï3 se réduit alors au système S3
aiidx, — ... — (ijndxn djCn-l
(i = 1,2,..., /i),
où l'on a écrit le dernier rapport — ^-^— à la place de di. Ce sys-
Xn+l
tème admet, outre les -'p — i intégrales indépendantes de j"«^i, une
autre intégrale où fijcure Xn~i-
Remarque II. — On a remarqué aussi que les systèmes Si et S4
sont toujours distincts : le premier Sj se compose d'un nombre pair
déquations, tandis que Sj renferme un nombre impair d'équations
linéairement distinctes. 11 est évident, d'après la signification même du
système S^, que ce système ne change pas quand on multiplie la
forme w par un facteur quelconque K, comme on peut s'en assurer par
un calcul direct. Nous avons fait remarquer, en effet (page 20), que
deux élémenls linéaires intégraux en involution de '.»:= o sont aussi
des éléments linéaires intégraux en involution de l'équation K&> = o.
WS LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Remarque III. — On peut opérer comme il suit pour avoir l'ordre du
système S^ :
aj^dXi + . . . + ajndxji _ _ amdx^ + . . . + an,n—\dxn—\.
XjC?aîi -b . . . + '^ndxn — 0.
Si on ég-ale les premiers rapports à dt, il faudra chercher le nombre
des équations linéairement distinctes du système
ai^dXi + . . . + ciindxn — Xidt = o, {i z= i, 2, ..., n)
XidXi + . . . 4- X,idXn= o,
où dxi, . . ., dxn, di sont reg-ardés comme les inconnues, et diminuer ce
nombre d'une unité. Cela revient à chercher l'ordre des premiers
mineurs du déterminant symétrique gauche
H =
«11
«12, •
.., «1«, -
- X,
«îl
«22, •
• • } «2/ij -
- X,
o«i
0»2j •
• • ? (inn> ~
- x„
X.
x„
• ■ } x,j,
qui ne sont pas nuls, et à diminuer ce nombre d'une unité.
L'ordre des premiers mineurs de H qui ne sont pas nuls étant tou-
jours pair, on voit bien que l'ordre de S4 est toujours un nombre
impair.
8. Formes de classe 2 et de classe 3. — Si une forme w est
décelasse un, le covariant bilinéaire doit être nul identiquement,
puisque le système S^ contient toujours un nombre pair d'équa-
tions linéairement distinctes ; w est donc une différentielle exacte
df, et, si l'on a prisy*pour la variable y^ par exemple, on a r^ = dy^.
Si w est de classe deux, le système S^ ne contient que deux équa-
tions distinctes et l'équation w = oest une conséquence de celles-là.
Il s'enëliit que tous les déterminants du troisième ordre déduits du
tableau (T2) doivent être nuls. Si l'on prend en particulier tous les
déterminants du troisième ordre que l'on déduit de ce tableau en
ass^bciant la dernière lig"ne à deux autres lig-nes quelconques, on
retrouve les conditions de la pag-e 127 des Leçons sur les équations
de premier ordre.
CHAPITRE I. — FORMES CANONIQITS. 39
qui expriment que léquation w = o est complètement inté^rable.
Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes pour que wsoit de classe 2,
car les équations du système S, se réduisent à deux équations
distinctes, et l'on peut évidemment prendre l'équation w = pour
l'une d'elles.
L'intég^ration de l'équation w = o permet de ramener cette équa-
tion à la forme canonique y.-,dyi,e\, cette intégration par la méthode
de Mayer exig-e une opération i .
Quel que soit le nombre des variables indépendantes, on peut
aussi employer la méthode de J. Bertrand. Soient en effet yi et y^
deux i ntégrales distinctes du système S) ; on a démontré que l'on
peut, par un changement de variables, mettre w sous la forme
Yidyi + Yidyi, ou Yj et Yo ne renferment que^j et^j, et il suffira
d'intégrer ensuite l'équation différentielle
Yidyi + Y^dy.y = o,
pour mettre enfin w sous la forme canonique u^dui.
Cette méthode exige les opérations 2, i et i. Elle semble donc
plus compliquée que la première, mais il est à remarquer qu'elle
n'introduit aucune difficulté étrangère au problème. En effet, si
l'on a intégré l'équation oj = o, il suffit d'un changement de varia-
bles pour ramener oj à une forme canonique y^dyi, et on a immé-
diatement l'intégrale générale yi = Ci, y,= Cg du système S^.
Prenons enfin une forme w de classe 3. Le système Sj se compose
de deux équations et le système Sj de trois équations. Si l'on prend
pour variables nouvelles yi, y^ deux intégrales distinctes de Si,
b> prend la nouvelle forme
V, = Yjrfy, + Y.dy.2 4- dy^,
y^ étant une variable distincte des deux premières qui s'obtient
par une quadrature (n'^ 5), et Yi; Yg ne dépendant que de yi, y,.
L'intégration de l'équation du premier ordre Yidyi + Ygrf^j = ^
permet enfin de ramener w à la forme réduite
z^dz^ + dy^,
Zi, Zo, y^ étant trois fonctions distinctes des variables Xi. Cette
méthode de réduction exige les opérations 2, i, une quadrature et
une autre opération i .
40 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Prenons par exemple une forme à trois variables Xt, x^^ x,^,
M =XidXi -f X^dx^ + X^dx^';
le covariant ])ilinéaire est identiquement nul, si l'on a à la fois
:>Xi ^ ^^_^ ^ "^
et w est alors de classe un, m = di/i.Sl le covariant l)ilinéaire n'est
pas nul, le système S^ se compose des deux équations
dxy r/j3g dx:i .
3X2 <JX:3 1^X3 D^X| î>Xi 5X2
2>X:i ^Xi DXj DX;j Z^O^a ^Xi
pour que w soit de classe deux, il faut et il suffit que l'équation
M = o soit une conséquence des relations précédentes, c'est-à-dire
que l'on ait
X /^"_^Wx f^ — ^Wx Z"^ — ^Wo
^\:>X3 T^xJ ^ ^\^Xi dxj ^ H^-^a ^xj
Nous retrouvons la condition classique d'intégrahilité.
Prenons le cas général 011 w est de classe trois, et supposons que
l'on ait obtenu une intégrale pai'ticulière du système S^. On peut
faire un changement de variables tel que, pour la nouvelle forme
w = ^idl/i + ^^dy% -H ^'idi/^, y^ soit une intégrale particulière du
système correspondant Sj. Il faut pour cela que l'on ait,
en posant
11 = j Y,di/2 4- Ygf/yg,
on peut encore écrire
M zzzz du -\- (Yi ^ j dyi = du + odyi.
Cette méthode, qui sera étendue plus loin à une forme quelcon-
que de classe trois, exige seulement une opération 2 et une qua-
drature.
CHAPITRE I. FORMES CANOMQUES. 41
9. Formes canoniques. — Les résultats des paragraphes
précédents peuvent être résumés comme il suit :
1° Etant donnée une forme de Pfa£F w de classe 2/> + i, on peut
la ramener à la forme
Wjp étant une forme de classe ip, où figurent seulement 2p varia-
bles, et la variable «jp^i ne figurant pas dans wj^. Celte réduction
exige l'intégration du svstème S3, puis un changement de varia-
bles où l'on prend 2.p intégrales distinctes de S3 parmi les nou-
velles variables. Ces ip variables sont celles qui fiarurent dans w^ .
Quant à «jp^^, on la détermine par une quadrature, et cette fonc-
tion n'est pas complètement déterminée, car on peut lui ajouter
une fonction arbitraire des 2/> variables qui fisrurent dans ro* , à
condition de modifier eu même temps les coefficients de cette
forme. ■
2*' Une forme m de classe 2/) peut être mise sous la forme
W2p_i étant une forme de classe 2/> — i où figurent seulement
2/) — I variables, et la variable u^^ ne figurant pas dans wg^. Cette
réduction exige l'intégration du système S3, puis un chang-emeat
de variables où l'on prend 2/) — i intésfrales distinctes de S3
parmi les variables nouvelles.
Le coefficient ttgp se détermine sans aucune quadrature, et on peut
multiplier ce coefficient par une fonction arbitraire des variables
qui figurent dans 'j^p^j, à condition de modifier en même temps
les coefficients de cette forme.
Il est facile de déduire de ces propositions l'existence d'une
forme canonique pour une expression de Pfaff. Supposons, pour
fixer les idées, que ',> soit de la classe 2/> + 1 ; après une première
transformation, nous pouvons écrire
&) =: (u,p + <^"2p-^l ;
la forme w^^ de classe paire peut à son tour s'écrire
&)2p = «2p"2p-i'
42 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
^tp—i étant une forme de classe 2/) — i où fig'urent 2/) — i variables
seulement. En continuant ainsi, on a une suite d'ég'alités
^223 + 1= ^2p "l~ ^^2p + ii ^2p ^^^= "2j3^2p— 1'
W2r+
1 — W2r ~r ût^2r+i> W2r — U^rfi^ir — i?
wjjg, W2j3_i, •••, W3, «2» '«^i soTit des formes de classe marquée par
l'indice, et, d'après la façon même dont on obtient ces égalités, les
variables «2^+1' ^2p^ ••■^ ^1 ^^^^ indépendantes, puisque la varia-
ble Ui ne fig-ure dans aucune des formes d'indice inférieur à i.
En éliminant w^, W2» •••, ^^p entre ces relations, on obtient pour
M^p+i l'expression
'^2p + i ^^^^ d^2p+i ~r ^2p^'^2jo— 1
+ ll2pUip-2dll2p~^ + ••• + "2p ■•• UiUtdu^,
ou, plus simplement, en changeant de notations,
"'2^+1 = -2^i^yi + V//2 + ... + Zpdy^ + d!/j,+„
i/i,y2, ••■iyp+ii ^ii ^25 •••» ^10 formant un système de 2/> + i fonc-
tions distinctes des variables primitives.
On verrait de la même façon qu'une forme de classe paire lù^p
peut être ramenée à la forme canonique.
wg^ = Zidij, + z^dy^ + . . . + Zpdy^,
i/i, ..., yp,2^, ..., Sp formant un système de 2/> variables distinctes.
Les résultats démontrés plus haut (no 2) se trouvent ainsi éta-
blis de nouveau, et d'une façon beaucoup plus complète.
Nous avons vu déjà comment on peut déterminer la classe d'une
forme, et par suite le type auquel elle peut être l'amenée. La démons-
tration précédente donne en même temps le moyen, au moins en
théorie, d'effectuer la réduction, par des intégrations successives
de systèmes complets et des changements de variables. Remar-
quons que toutes les formes successives que l'on rencontre, à partir
de la seconde, sont des formes oi'dinaires, dont la classe est égale
au nombre des variables qui y figurent.
CHAPITRE I. FORMES CA>"0NIQT:ES. 43
Puisque deux formes de même classe peuvent être ramenées à
une même forme canonique, on peut toujours passer de l'une à
l'autre par un changement de variables. Le seul invariant dune
forme de Pfaff, vis-à-vis du groupe des transformations ponc-
tuelles les plus générales, est la classe de cette forme.
Les propriétés des systèmes S^, S,, S3, S^ deviennent intui-
tives sur les formes canoniques. Pour une forme canonique d'ordre
impair, on a
"'ip-i = dz^^, — dyy^z, + dz^^i — dyM^ + ... ;
les systèmes S^ et S3 sont formés des zp équations
dy^ = o, ..., dy^ = o, f/r, = o dz^ = o.
Les systèmes Sj et S^ s'obtiennent en adjoignant aux précédentes
l'équation dy^^^.^^^ = o.
Dans le cas d'une forme canonique d'ordre pair, w'^p a la même
expression que tout à l'heure ; Si et S, sont formés des 2p équa-
tions.
dyi = o, .. . , dy^ = 0, dz^=o. ..., dz^ = o,
tandis que S3 et S^ sont formés des 2 p — i équations
d^i dr-2 dzj,
dy^ = o, ..., dyj, = o.
Si
"p
et admettent les 2/j — i inléarrales yt, y,, ..., y , — , .... ^^
'' ■
Exemple I. — Soit
M = xiXid.Ti + XtJCidXi + {jCi + JCsXs) dœ^ + œ^^dx^.
Les équations du système Sj se réduisent à quatre
dxy ■=. o, dx% = o, XidXi + dXi = o, x^dXi -{- x^dx^ ■= o,
et 'jj = oen est une conséquence. La classe est doncèg'ale à 4-
Le système S3 se compose des trois équations
x,dxi + x,dx, ^dx, = o, ^=d^ = ^tdx,-x,dx,-x,dx,
JCi Xi TiXi
et on voit facilement trois intégrales —, XiXs-^ x^, x^x^.
Xi
44 LKÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Posons — '^=zt/i, oc^x-i + œ^=iy2, œ^.x^ = y^, et prenons un nouveau
.Xi
système de variables Xi, x^, ij\, ya, y^ ; w devient
w = ,c, {dij^ + yi Jya) .
Comme on le savait a prioin, la forme dyt + yi'///3 est de troisième
classe, mais il est inutile de continuer le calcul, puisque cette forme
est canonique. En revenant aux premières variables, on obtient l'expres-
sion facile à vérifier
w = Xid{x^ + XtX:^ + Xid{X^X.^.
Exemple II. — Soit
W ^ XidXs + .X':)rf.r2 -f- XidX3.
La classe est t/'ois, et le système de PfafF se compose des deux équa-
tions
d (xj — Xj) _ d{x3-- Xj) _ d{xi — Xi)
X^ X-i Xi '
d'où l'on tire les intégrales X2 — Xi = //2, X2 — Xi = y^.
Si on prend .X'i, y^, y^ pour variables, il vient en effet
(i -^^ + -î^i (//s 4- .'/ 3J I + !/sdy2
Exemple 111. — Soit
w r= x^dx^ + Xidxi + Xïdx-i -\- x^dx^ + x^dx^^.
La classe est ft/iy, et le système S3 donne les quatre intégrales
X.2 — Xi — //2, Xi — ./:;i = yi, x^ — x'i = y^, x-^ — x'i = y.^.
Si l'on exprime w au moyen de ,r,, y2j Us, y^, y^, on trouve
-7^— + X, (//g + //3 + iji + ys) + y2c/y3 + y3^,'/4 + Uidy-,.
La forme
(>j(i) =: y^dyi + //3<:^y4. + //^f^ys est de classe quatre,
et l'on va voir, à l'exemple suivant, comment on la ramène à une forme
canonique.
Exemple IV. — Soit
w =r x^dxt -\- x-idx-i + Xidx^,.
CHAPITRE 1. FORMES CANO.MQLES.
45
Le déterminant A =
— I o o
1 o — I o
o I o — I
o o I o
est différent de zéro.
Le système S, est
on en tire les inlésrrales
J-3
en prenant les nouvelles variables i/i, y*, y,, a;^, on a :
x, = !/.je y» ^y, _ £i ^, j., = yj, a-3 = ysc ,!^
( Ut)
et w devient
( \ yi yt^ n
J^ .1^ .Tj
= yiyze ~ 'J' dy. + y^ ~ ^^ dy, = y.e ~ 'J' (dy, -- i^ rfyj j ,
ce qu'on peut écrire r^'/y* + z^dy^, r^, rs. y*, //s formant un système
de quatre fonctions distinctes.
10. Formation des systèmes de Pfaff successifs. — La
méthode de réduction précédente ex^ope l'intésrration successive des
svstèmes de Pfaff associés aux formes intermédiaires que l'on
rencontre dans la réduction. En utilisant la classification des inté-
grales due à Cauchy, G. Darboux (•) a montré que l'on pouvait
écrire ces systèmes de Pfaff successifs d'avant d'avoir effectué
aucune intégration, pourvu que l'on choisisse convenablement
les nouvelles variables. Supposons, pour fixer les idées, que w soit
une forme de classe zp à n variables x^, x^, .... x.^. Le système
S3 correspondant admet 2p — 1 intégrales distinctes ; il y a donc
(') G. Darboux. Sur le problème de Pfaff {Ballelin des Sciences Mathémati-
ques (18831, pp. 3o-34).
46 LEÇONS SUR LE PROBLÈxME DE PFAFF.
toujours n — 2p -\- i des variables Xi au moins qui ne sont pas des
intégrales de ce système.
Pour fixer les notations, nous supposerons que x^p, x^^+i, •••, x^
ne sont pas des intégrales de Sg, et nous désignerons par ui l'inté-
grale du système S.^ qui se réduit k Xi{i = i, 2, ..., 2p — i) quand
on y remplace x^j, par x^^p^ ^2p+i V^^ ^^ip+v ■••> ^n P^r ^'^n' ^^2p^
x^2p+iJ ..., x^^^ étant un système de constantes numériques. Si l'on
prend pour nouvelles variables Mj, m^, ..., U2p_i, x^^^ ..., x^., on
a vu plus haut que l'on a une identité de la forme
Xidxi = K [Ujc/M] + UjO^Mg + ••• 4- ^ ip-idu2p-i\i
(-1
Ui, Ug, ..., U2P-1 ^^ dépendant que de u^, m.,, ..., «gp-i-
Le facteur K n'est pas complètement déterminé, car on peut le
diviser par une fonction arbitraire de m^, u^, ..., «op-j' ^ condition
de multiplier les coefficients Ut par la même fonction.
On peut profiter de cette indétermination pour supposer que ce
facteur se réduit à l'unité quand on fait x^p = x^^p, . . ., x^^^x^^ ;
en efl'et, s'il se réduit à une fonction <}(ai, m,' •••' '^2p-y)i il suffira
de le diviser par 'h. Ce facteur K étant choisi de cette façon, faisons
maintenant
^yi Y'O nn — — — nr>"
•J^2p '^ 2p' •• • ' n *^ n
dans l'identité, précédente ; on a dx^p = o, ..., dx^ = et
«1, ..., M2j,._i se réduisent respectivement à x^, X2, ..., Xtp^i- Cette
identité devient donc
2p- 1 2/)— 1
^ Xi{xu...,x^p-.i,x\p, ...,x\)dxi= ^ Vi{x„...,X2p_,)dxi.
On a donc
Ll/(«33i, X%^ ..., ^op— i) ^~~^ ^iyp^i^ "^2 5 •••) '^•jip—i. J ^ 230' ••M <^ n/'
OU encore
Uj(a^, «2) •••) f^2p—i) = X/(tti, Ui, ..., u^p^i 't X 2pi • ■ • 1 X ^
(i= I, 2, ..., 2/>— i),
CBAPITRE I. — FORMES CAJiONIQUES. 47
ce qu'on peut exprimer comme il suit: La nouvelle forme ««>, j,
obtenue après la première transformation,
«^îp-i = Ujf/a, + ... + U,^i</«jj,_i ,
se déduit de la forme
Xidxi + . . . + X2p_, </xjp_j
en y remplaçant xi par m {i=ï, 2, ..., 2/î — i), x^^ par
x\^, ....x„parx\.
De même, si w est une forme de classe 2/) -f- i, le svstème S3
admet 2/) intég-rales distinctes, et on peut supposer que j:,^^^, ...^Xn
ne sont pas des intégrales de ce système. Soit, comme tout à l'heure
Ui une intégrale du svstème S3 se réduisant à xi pour x» ^.j =
^""ïp+i» . • .', Xn = x'^nii= 1,2...., 2/)). Si Ion prend pour nou-
velles variables m,, a,, ...,Ui^,Xij,^^, ..., Xn, on est conduit, comme
on la vu au n'^5 , à une identité de la forme
n
y Xidxi = du -h Vidui + . . . + U,prfajp,
ï-iî ï-2, ..., Uip ne dépendant que des variables Ui. f/j, ..., m, .
La fonction U n'est pas complètement déterminée, car on peut
lui ajouter une fonction arbitraire de u^. ...,«2^, à condition de
modifier convenablement les coefficients U,, et on peut profiter de
cette indétermination pour choisir la fonction U de façon qu'elle
soit identiquement nulle quand on y fait a?^^^^ ^ x**^ ^.j. ...,
Xfi ^^^= X^n-
Si l'on remplace maintenant Xip_^_^, ..., j?„ par les constantes
numériques a^-,^_j., x^'n dans les deux membres de l'identité
précédente, elle devient
2 Xiixi, ..., j?2p ; o^sp+i, ..., x^n)dxi = V L7(j?i, ..., x^^^dx,,
'=1 »>î
et on en conclut comme plus haut que la forme de Pfaff.
*^ip = ^idui + Vidui + . . . + Ujprfoj/
obtenue après la première transformation, se déduit de la forme
y^^dx^ -I- ... -I- Xjprfxj,
48 . LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
en y remplaçant x^ par Ui, ..., x^,^^ par u^^, iCj^+i' P'^"^ ^^'zp+i^ ■■•■>
Xn par x^'n . ,
On verra un peu plus loin (Chap. II, n» 18) une application
importante de cette propriété.
11. Rang d'une intégrale de 82- — Nous allons maintenant
exposer des méthodes de réduction qui exigent beaucoup moins
d'intégrations que la méthode générale qui précède. On peut les
rattacher dune façon très simple à la notion du rancf d'une inté-
grale du système So. Nous démontrerons d'abord un lemme sur les
systèmes d'équations aux diflerentielles totales. Soit
(24) Andx^ + Aiarfj?, + ••• + AindXn = o (« = I, 2, ..., m)
un système de m équations aux dilï'érentielles totales, compre-
nant r équations linéairement distinctes (r <^ m), formant un
système complètement intégrable. Pour que x^ soit une intégrale
de ce système, il faut et il suffit que les équations obtenues en
remplaçant x^ par une constante et dx^ par zéro dans les équa-
tions (24), se réduisent à r — 1 équations distinctes.
En effet, si les équations (24) forment un système complètement
intég-rable de /* équations seulement, dont x^ soit une intégrale, ce
système est équivalent à un système de la forme
df = 0, ..., dfr—i = o, dx^ = o,
et le premier membre de l'une quelconque des équations (24) est
une combinaison linéaire de df\, df^, . . . .^ dfr—-^. ,dx ^ . Ce système
ne contient donc que r — i équations distinctes quand on y rempla-
ce x^ par une constante, et dx^ par zéro. Inversement, si les
équations (24) se réduisent k r — i équations distinctes quand on
y fait Xy = C, dx^ = o, il faut évidemment que les r intégrales
distinctes /'j, ■..,fr du système (24) se réduisent à r — i fonctions
distinctes quand on suppose x^ constant, c'est-à-dire que .x'i soit
une fonction de ces r intégrales.
Cela posé, soit w une forme de Pfafî
^ Xidxi ;
CHAPITRE 1. — FORMES CANONIQUIS. 49
si l'on remplace dans cette expression jîj par une constante,
d'ailleurs quelconque, on doit remplacer dx^^ par zéro, et la'nou-
velie forme de Pfaff
&>(*)= Xjrfjîî -r ... + XndXn,
où J?j est rearardé comme un paramètre dans X», ..., X", peut être
d'une classe inférieure à celle de &>. Cherchons d'abord dans quels
cas cela peut arriver. Soit c la classe de &> : c'est aussi le nombre
des équations linéairement distinctes du système Sg,
ttiidx^ + ■•• + aindxn = o, {i = I, 2, .,., n),
+ ... 4- XndXn = 0.
La classe c^*^ de «(*) est de même é|»ale au nombre des équations
linéairement distinctes du système
' ) X^dXi^
(1) { c/cidxs + ... + ttkndxn = o, (Ar = 2, 3 ,..., n),
- \ X^dXi + ... + Xndxn = o ;
Ce nombre c'*) est au moins ég'al à c — 2. En eflet, si Ion avait
par exemple c'*) ^ c — 'i, le système obtenu en faisant dx^^ = o
dans les équations de Sj comprendrait au plus c — 2 équations
distinctes, puisqu'on obtient ce système en adjoignant «ne équation
au système S^'i). Or ceci est impossible, puisque, par hypothèse, le
système Sj se compose de c équations distinctes. L'abaissement de
la classe, quand on passe de w à <u'*', est donc au plus de deux
unités.
Il y a certainement un abaissement de la classe si x^ est une
intégrale du système S*. Dans ce cas, en effet, d'après le lemme.
précédent, les équations obtenues en faisant dx^ = o dans les
équations de ce système se réduisent à c — i équations distinctes.
Les équations du système S»'^, qui font partie des précédentes,
comprennent donc au plus c — i -équations distinctes. Pour démon-
trer la réciproque, nous examinerons séparément les formes de
classe impaire et les formes de classe paire.
/*"■ Cas. — Soit o> une forme de classe 2/> + i. Le système S?
contient 2/7+1 équations distinctes, tandis que, par hypothèse,
le système Sj(i' en contient seulement 2/) — i ou 2/>. Si S^^^) ne
contient que 2/> — i équations distinctes, le système S/*)
(Si(i)) a^îdXf -f . . . + akndiCn=o, (A- = 2, 3, . . ., n),
G. Leçons. 4
50 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DK PFAFF.
qui comprend toujours un noxahve pair d'équations linéairement
distinctes, se réduit forcément à un système de 2p — 2 équations
linéairement distinctes. En faisant dx^ = o dans les équations de
Sj, le système obtenu contiendra donc moins de 2/) équations, et
par suite x^ est une intégrale du système S^. Inversement, si x^
est une intég-rale de Sj, le système S^'*), qui contient moins de '2p
équations distinctes, en renferme up — 2, et le système 82'^* en
contient zp — i .
Supposons en second lieu que le système 82^^' contienne 2p
équations distinctes ; le système S^O en contiendra lui-même 2p.
La forme w(i> étant de classe paire, la dernière équation de S,'*) est
une conséquence des équations de S^<i). Il en est de même de
l'équation
ai^dx2 + . . . 4- ttindXn = o.
En effet, puisque les formes linéaires a^dx^ + ... -|- aindxn,
où « > I, sont des combinaisons linéaires de 2/> d'entre elles, les
formes linéaires andxi + a^dx^ + ... -\-,aindxn, où « > i, com-
prennent au moins 2/> formes linéairement distinctes ; elles ne
peuvent en contenir davantage, puisque le système S^ ne comprend
que 2p formes linéairement distinctes. Il en résulte que l'équation
a^^dx^ + . . . 4- amdxn = o
est une conséquence des n — i dernières équations de S^ et,
• comme elle ne contient pas dx^, elle est une conséquence des
équations de S^(i). Le système obtenu en faisant dx^^ = o dans les
équations de S2 se réduit donc à 2/3 équations, et par suite x^ est
une intégrale de S,, mais ce n'est pas une intégrale de Sj, comme
on vient de le voir. Dans le cas actuel, S^ est identique à S3, et on
peut énoncer la proposition suivante :
Etant donnée une forme w de classe 2/> + i, pour que la classe
de la forme w(^), déduite de tù en y remplaçant x^^ par une con-
stante quelconque, soit inférieure à 2 p -\- i, il faut et il suffit
que x^ soit une intégrale du système Sg. Si x^ est une intégrale
de Sg sans être une intégrale de S3, w(i) est de classe a/) ; si x^ est
une intégrale de S3, w(i) est de classe 2/3 — i.
CHAPITRE I. — FORMES CA?fONIQUES. 51
2* Cas. — Soit (u = X^dxi -(-••.+ X„cte, une forme de classe
2p, et supposons que la forme
a^^ = x,dx, + ... + x„rfx„,
où Xi est reg-ardé comme un paramètre, soit de classe inférieure
à 2/). La forme auxiliaire
9. = x,,^,{X,dx, + ... + XJx,) + dx,^^.
ou
x,.^i est une variable distincte de Xu a?,, •••, x„, est alors de
classe 2/> 4- I, tandis que la forme
û(i) = 0^,^, (X,rfx, + . . . + X,c/x„) + rfx.+,
est de classe 2/) ou 2/> — i (Voir n» 7. Remarque).
Cela étant, appliquons le résultat qui vient d'être établi pour les
formes de classe impaire à la forme fi D'après ce résultat, pour
que o(i) soit de classe inférieure à 2/) 4- i, il faut et il suffit que x^
soit une intég-rale première du svstème ï^, analogue à S,, pour la
forme a ; ce svstème e^t ici
ai^dx^ 4- . . . + ttindxn =0. (i = I, 2, ..., n)
X,dx^ + . . . 4- Xndxn = o,
^-^n+i = o
la variable auxiliaire a?,_^i ne tig-urant que dans la dernière équation,
pour que Xi soit une intégrale de ce système, il faut et il suffit que
Xi soit une intégrale du svstème formé par les n 4- i premières
équations, c'est-à-dire du système S,.
Pour que m<1) soit de classe 2/>— 2, il faut et il suffit que ii(»)soit
de classe 2^ — i , et par suite que Xi soit une intégrale du sys-
tème S3 analogue à S3 pour la forme a ; ce système est ici, puis-
que w est de classe paire,
a/i</j?t 4- ... 4- aindxn _ dxn~\
c'est-à-dire qu'il est identique au système S3 associé à la forme w,
SI l'on fait abstraction du dernier rapport où ne figure que la
variable auxiliaire.
La conclusion est la même que pour les formes de classe
52 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
impaire ; et, d'une manière g-énérale, la classe s'abaisse d'une
unité quand on passe de m à w(i> si Xi est une intégrale de Sg
{sans être une intégrale de S.,), et de deux unités si Xi est une
intégrale de S3.
Nous dirons dans le premier cas que Xi est de rang un, et dans
le second cas que Xj est une intégrale de rang deux.
Ces propriétés sont faciles à vérifier sur les formes canoniques.
Soit
'"sp+i = -^i^^i + ••• + Zpdy^ + dgp+i ;
si l'on remplace //^^^ par une constante, la nouvelle forme est de
classe 2p. La classe s'abaisse de deux unités si l'on remplace y i ou Si
par une constante ; si l'on suppose par exemple zi = C, on peut
écrire dy^^^ -\- Ctdyi ~ d{y^^^ + dyi) et, au lieu de trois varia-
yi, Si, y^^i, on n'en a plus qu'une y^.^^ + Cigi.
Prenons encore une forme de classe 2p. Si l'on suppose yi = C,
la classe s'abaisse de deux unités ; elle s'abaisse d'une unité seule-
ment, si l'on suppose 5/ =r::C. Mais elle s'abaisse aussi de deux
unités si l'on suppose le rapport — ég-al à une constante C, car on
peut alors écrire
2,dy^ -f 5.2C///2 = s^d(yi + C^.),
et, au lieu de quatre variables y^, y^, s^, 5-2, on n'en a que deux, x^^
et^i +C//2.
12. Nouvelle méthode de réduction. — La propriété précé-
dente des intég-rales du système S3 conduit à une méthode de
réduction plus simple que la premièi'e. Soit
M =Xidx^ -^ ... -\- X,,dx„
une forme de classe 2/) + i. Supposons que l'on ait obtenu une
intég-rale Mj du système S, correspondant ; si l'on fait un change-
ment de variables de façon que «i soit une des nouvelles variables
indépendantes, en prenant par exemple pourvariables, «1,0^2, ..., x^,
l'expression de w devient
CBAPITRE I. FORMES CANO.NIQIES. 53
Uj, Xs^*), ..., XJi) étant des fonctions des variables Mj, x^, ..., a?„.
D'après ce qui vient d'êti-e démontré, la forme
u^W = X.mdx. + ... + X,a)rfa;„,
où «1 est resrardé comme un paramètre, est de classe 2/> — i .
Soit Ui une intégrale du système de Pfaff correspondant S3<'), qui
est d'ordre 2/) — 2 ; cette intégrale dépend des variables x^, ..., Xn,
et aussi en g'énéral de «j qui y fig-ure comme paramètre. Prenons
pour nouveau système de variables «j, x^, ..., Xn, au lieu de
(Xj, ...,j?„); il faudra pour cela poser
J?.2 =J\Ui, Ui, j-g, ..., Xrt).
En faisant ce changement de variable dans la forme w elle-même,
on doit remplacer clx^ par
et w devient
«= U,'i'</«, + U,(i'^«, + X3'-2'c^j-3 + •..-[- X„(-2)rfx,,
tandis que w'*' a pour nouvelle expression
.,(1) = Uj'1V/m, + X3<2)rf^3 -[-...+ X«(9)rfx„.
Si dans cette forme &j<*' on regarde î/j comme constant, ainsi
que «,, la forme
«(2) = X3«-2)ctr3 + . . . + X„(2)</.r„,
où Mj et «2 ne figurent que comme paramètres, est de classe ^p— 3.
Soit u.^ une intégrale du système Sg^-) correspondant, qui est
d'ordre 2/) — 4- L'i nouveau chaueremeiit de variables permet
d'écrire w sous la forme
OÙ w'^3) est une nouvelle forme
qui est de classe 2/> — 5 quand on regarde «i, ?/2, «g comme des
paramètres dans les coefficients. En continuant ainsi, au bout
54 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
de p transformations de ce genre dont chacune diminue la classe
de deux unités, on aura pour w une expression de la forme
«1, U2, . . . , Up étant p variables indépendantes, \Ji^P\ .. . . , Uy'/')des
fonctions de ces p variables et de n — p variables Xi, et m^P) une
forme de classe un, quand on y reg"arde ii^, ..., u^ comme des para-
mètres. On a donc
JP)= d\ — (—du,+ ... +~du^,
la fonction V se déterminant par une quadrature, et on voit qu'en
modifiant un peu les notations, l'expression obtenue pour w peut
s'écrire
w = z^diji + 22^1/2 + . . . + Zpdijp -f c^y^+i ;
la forme m se trouve ainsi ramenée à une forme canonique, et cette
réduction exige les opérations 2p, 2.p — 2, ..., 2, et une quadra-
ture, avec des changements de variables.
La méthode est la même pour une forme de classe ip.La réduc-
tion à une forme canonique exige les opérations ip — i, 2/> — 3,
..., 3, I, et des changements de variables.
On a intégré par là-même les systèmes S3 et Sj relatifs à la
forme &>. Nous avons supposé, pour simplifier, que dans chaque
changement de variables, on conservait toutes les variables indé-
pendantes Xi, sauf une, qui figuraient dans la forme d'où l'on part.
Mais il est clair que cette hypothèse n'est nullement nécessaire ;
l'essentiel est de prendre une intégrale du système Sgi') auquel on
est parvenu pour l'une des nouvelles variables. Remarquons encore
que, quand on passe d'une forme «(') à la suivante, la classe diminue
de deux unités, mais le nombre des variables qui figurent dans la
nouvelle forme n'est pas forcément égal à la classe, comme il
arrivait dans la première méthode de réduction.
Exemple I. — Reprenons la forme considérée plus haut
w = x^x^dxi + XiX^dx^ + {x^ + XiXi)dXi + x^Xndx^
qui est de classe quatre. Dans la nouvelle méthode, on n'utilise qu'une
CHAPITRE I. — FORMES CA.NONIQrES. 55
des intégrales du système S3 ; posons, par exemple, j?, = J^sU,. L'expres-
sion de w devient
w = UyX^-dxt + JCîXiUidœ^ + j?, (u, -{-œi)dx^ + a:,ar^rfa;e,
d'après la théorie générale, si on considère «1 comme un paramètre,
cette forme w est de classe deux, et par suite l'équation obtenue en
l'égalant à zéro est complètement intégrable. On vérifie en effet immé-
diatement que l'on a
= x^ I u^XiX^ + x^Xi -^ u^x^ \,
en regardant toujours u, comme constant, et par conséquent, si l'on
considère aussi a, comme variable,
w = x^d \ u^XtX^ + x^Xi 4- u^x^ \ — x^{x^ + XiX3)du^ :
au moyen des variables primitives, w aura l'expression
w — x^d 5 ~^ -f XiX^ + X1X2 [ — (x^Xi + XiXi*) d( — ),
un peu différente de celle qui a été obtenue plus haut (no 9, Ex. I),
Exemple II. — Soit
w = x^dxi + XtdXi + Xi/dx3 + x^dXi + x^dxi
qui est de classe cinq (no 9, Ex. III). On a vu que .rj — a?, était une
intégrale de S3 ; posons 0*1 =: x-2 -{- Ui. La forme w devient
w = x^doi -j- w<'>,
où
oj») = f«, -i- 072 -f x.^dxt -j- 072^^3 + a?,rfa?4 + aj^eteg.
Conformément à la théorie générale, la forme w<') est de classe trois,
quand on y regarde «1 comme une constante, et le système Sa"» corres-
pondant admet les deux intégrales x^ — j?., j?. — x^. Pour continuer
l'application de la méthode, posons x^ =. x% -{- 1/2 ; w'*' devient
&)(*> =. Xfdui + &!<*>,
où l'on a posé
wW = («1 -j- j:-, -f jîj 4- Xi)dx2 + xarfj:?» + (o^î + Ui)dXi.
Cette forme w<*> est bien une différentielle exacte
f X2^ \
d l h X2X3 -f- a^jXj + X2«i + XjUâ ),
56 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
quand on regarde Ui et u^ comme des paramètres, et, si «i et Ui sont
considérés comme des variables, on a
w<*) := d ( — ^ + x-îXs + cczx^ 4- x^Ui + œ^u^ I — Xidut — x^^du2.
En remplaçant «i et «2 par leurs valeurs, on trouve successivement
w(2) =z d XiX^ + ^4^3 + XiX^ + Xid {x-i — X]) -\- x^d{x2 — x^)y
wH) z= w(*) + Xzd{Xi, — J72\
et enfin
w =: w(2) -|- .Tgrf(a?i — X^) + 0^30? (0^4 — Xi),
ou
w = a I aîiXs + Jî^a;., + XiX^ I
+ (^2 — x^)d{Xi — a?,) + (a?3 — x^)d{Xi — jj^).
Une forme w, de classe supérieure à un, peut être mise d'une infinité
de manières sous forme canonique ; connaissant une de ces formes
canoniques, on peut en déduire toutes les autres par une transformation
de contact {Leçons, chap. X, n"^ 18 ei 80).
Exercices
Ramener à une forme canonique les expressions suivantes :
XiXidXi + .r3(.x'i + Xi +'Xi)dxy + Xi(xi + .T3 + 3:i)dx-i + x^x^dXi
{X2 + Xs)dXi + {X3 + X^}dX2-\- {Xi + X.^)dX3 +
{Xs + Xs)dXi + (a?6 + xi)dx., + {xi + x-2)dxay
x^dXi + a>3 + dXi,X/,dxz + x^^dx^ + .e^dx^ + Xidxg,
Xidxi -\- 2Xidx-2-{- x^dx3-\- zx^dxi
Xi^dxi -{- X:i^dx2-^ 'i'i^dx2
CHAPITRE n
INTÉGRATION D'UNE EQUATION DE PFAFF
13. Classe d'une équation de Pfaff. — Quand on multiplie
une forme de Pfaft" ',> par un facteur K. fonction des variables qui
figurent dans ro, pouvant aussi renfermer d'autres variables, la
classe de la nouvelle forme Kw peut être ég^ale, supérieure ou infé-
rieure à celle de w. On le voit immédiatement si « est ramené à
une forme canonique ; si w est de classe paire 2/> et a pour forme
canonique s^dy^ + ... + s^di/p. il est clair que la forme K[z^di/^
4- ... 4- Spdyp) est au plus de classe 2p, mais elle peut être de
classe inférieure à 2p. si l'on prend par exemple K = . Si '.> est
de classe 2/> + i, et a pour forme canonique s^dl/^ + ... -i- ~pdi/^
+ dy^j^^, il est évident que la ïovmeK z^dy^ 4- ... -f- z^dy ^ -f dy^_^
est au plus de classe ip -\- 2. quelque soit le facteur K. Il résulte
de" là que, quel que soit K, la classe de K'>j ne peut dépasser la
classe de r>j de plus d'une unité, et cela ne peut avoir lieu que si '.^
est de classe impaire.
La classe de Kw ne peut non plus être inférieure de plus d'une
unité à celle de &>. car la multiplication par^rautrmenterait la
classe de Kw de plus d'une unité.
Nous appellerons classe de l'équation w = o la classe de la
forme Kw qui est la plus petite possible quand on prend pour le
facteur K une fonction arbitraire différente de zéro. Cette classe y
est toujours un nombre impair. Eu effet, si Kw est une forme de
classe paire, ayant pour forme canonique
^•> = -idy^ -!-...+ s^dyj,,
— w sera une forme de classe impaire zp - i .
58 LEÇOxNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Puisque la classe de « ne peut diminuer de plus d'une unité
quand on donne au facteur K toutes les formes possibles, il s'en-
suit que si M est une forme de classe impaire 2/> + i, la classe de
r équation w = o est égale à la classe de la Jorme w elle-même,
y = c.
Au contraire, nous avons remarqué tout à l'heure qu'en multi-
pliant une forme de classe paire 2/> par un facteur K convenable-
ment choisi, on abaisse la classe. Par suite, si w est une forme de
classe paire 2p, la classe de l'équation m = o est égale à 2.p — i,
Y = c — I.
Si on écrit la classe y ^ 2m + i, le nombre m est ég-al à p pour
une forme w de classe impaire 2/54- i, et à/> — i par une forme de
classe paire ip.
Pour trouver toutes les multiplicités intégrales d'une équation
de Pfaff w = o, il est évident que l'on peut multiplier le premier
membre par une fonction arbitraire K des variables qui y figurent,
et il est naturel de choisir ce facteur K de façon que la nouvelle
équation Kw = o renferme le plus petit nombre de variables pos-
sibles. C'est ainsi que la notion de classe d'une équation de Pfa^
s'introduit d'elle-même dans la question.
Le nombre m + i = J-i — est égal au plus petit nombre de dif-
férentielles que Ton puisse laisser dans l'équation t» = o par tous
les changements de variables possibles. En effet, supposons que,
par un changement de variables convenable, on ait mis w sous la
forme
(l) w = Ij\c/Mi + . . . + VrdUr,
aucun des coefficients U/ n'étant nul. Il est clair que l'équation
w = o est équivalente à l'équation
du^ -\-~du2 -h -.. +Yf ^"'■
dont la classe est au plus 2r — i. On a donc y -^ 2r — i, et par
suite r ^ "^ ' .
Nous dirons qu'une équation ^ = est ramenée à la forme cano-
CHAPITRE II. — INTÉGRATION d'uNE ÉQUATION DE PFAFF, 59
nique lorsque, dans cette équation, ne fiçurent que i-lL — =m + i
diflférentielles, y étant la classe de cette forme. Si, par un change-
ment de variables convenable, on a mis &» sous la forme
(2) « = ^,dy^ + . . . -\-\\dy„, + Y„^.,</y^+^,
l'équation w = o peut s'écrire, en divisant tous les coefficients par
Y
(3) Zidy, + . . . + z^dy^ + dy„,+^ = o
(f = I, 2, . ..,m).
Y/7J— 1
et l'on est ramené dans tous les cas à résoudre une équation
w :^ o, où &> est une forme canonique d'ordre impair.
Pour ramener une équation de PfafiF donnée w^oàla forme (3),
où le nombre m a la plus petite valeur possible, nous avons encore
deux cas à distinaruer, suivant la parité de la classe de u.
/*'■ Cas. —^ Supposons que w soit de classe paire 2/> ; on a dans
ce cas V = op — I. et par suite m + i =/>, de sorte que le pro-
blème revient à mettre une forme de classe paire 2p sous la forme
Y.dyt + . . . + Yp^/^p,
c'est-à-dire à mettre w sous forme canonique.
2« Cas. — Soit w une forme de classe impaire 2/> -|- i ; on a,
dans ce cas, v = 2p + i, et par suite m + i =/> + i, de sorte
qu'il s'aarit de ne laisser dans l'expression de « que p + i diffé-
rentielles. On a une première solution de ce problème si on a
mis w sous forme canonique
'M = s,dy^ + . . . + s^dy^, + dy
p+i'
mais ce n'est là qu'une solution particulière, où le coefficient d'une
des différentielles est égal à l'unité.
D'une façon générale, si la forme &> de classe 2p -\- i ne ren-
ferme dans son expression que /> + i différentielles
(4) » = Y^dy, -f- . . . + Y^dy^ + Y^^.dy^^^,
60 LEÇOxNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
il est clair que
Y, Yp
forment un système de 2/? + i variables distinctes, car autrement
l'équation w = o serait de classe inférieure à 2/) + i ; cette équa-
tion est donc ramenée à la forme (3) où m=/). En résumé,
si w est de classe impaire 2p -\- i, pour ramener l'équation w = o
à la forme canonique (3), il n'est pas nécessaire d'avoir
ramené w elle-même à une forme canonique. // suffit d'avoir
ramené w à une expression où ne figurent que p + i différen-
tielles, les coefficients de ces différentielles pouvant être quelcon-
ques.
Pour bien saisir cette distinction entre les deux problèmes, con-
sidérons une form? à trois variables
où Xi, X2 sont des fonctions quelconques des trois variables
Pour ramener (,> a une forme canonique, il faudrait intégrer
le système S3, qui est ici
dxi — dx^ dxy
:>X., DX, Z>X, Z>X,
dt,
:>Xj 3.C3 :>x-2 î>xi
c'est-à-dire le système le plfls général du second ordre ayant pour
multiplicateur l'unité. Nous voyons au contraire que l'équa-
tion M = o est mise immédiatement sous forme canonique si l'on
prend pour variables Xi, x^, et — ^ .
Prenons encore la forme la plus générale à trois variables
M = X^dx^ + X^dXi -\- X^dx^,
où X^^,Xo•,X^ sont des fonctions quelconques des variables cZ;i,J?2? ^3-
Pour la ramener à une expression où ne figurent que deux diffé-
rentielles, on peut procéder comme au n» 8, en considérant la
forme auxiliaire
r.,<i) = X^dXi + X^dx^,
où Ton regarde x^ comme un paramètre. Cette forme est de classe
CHAPITRE II. INTÉGRATION d'iNE ÉQUATION DE PFAFF. Gl
deux en g-énéral, et on peut la mettre sous la forme ii^du^ par ua
chang-ement de variables, pourvu qu'on ait intégré l'équation
différentielle w'^) = o, où x^ est traité comme une constante. Le
même chang-ement de variables appliqué à la forme w conduira à
une expression où ne fig-urent que deux différentielles dx^ et f/a^.
Ce procédé se rattache à la méthode g-énérale du parasrraphe
suivant.
14. Caractéristiques. — Dans l'étude d'une équation de
Pfaff, le système caractéristique S^ défini plus haut (n** 7) joue le
même rôle que le système de Pfaff" 83 dans l'étude de la forme de
Pfaff elle-même. Ce système S^, qui coïncide avec S3 si la classe
de w est un nombre pair, et avec So si la classe est un nombre
impair, s'obtient en écrivant qu'un élément intég-ral (dx^, dXo, ...,
rfxj est en involution avec tous les autres éléments linéaires inté-
graux. Il est évidemment le même pour une forme w et pour une
forme Kw, quelle que soit la fonction par laquelle on multiplie la
forme w ; c'est une conséquence immédiate de sa signification.
C'est aussi un covariant de w relativement à tout changement de
variables. On peut donc dire que le système caractéristique S^ est
un covariant de /'équation de Pfaff i^i = o, quand on effectue un
chang-ement de variables quelconques, et qu'on multiplie le pre-
mier membre de l'équation par un facteur quelconque. Nous avons
vu (no 7) que ce système est complètement intég-rable, et il se com-
pose d'un nombre impair d'équations, qui est précisément égal à
la classe v de l'équation w = o. Nous dirons, pour abrég-er, que
toute intégrale du système S4 est une variable caractéristique II y
a donc v variables caractéristiques distinctes pour une équation de
classe V.
Si une équation de Pfaff, de classe y, a été ramenée à une forme
canonique, /es y variables qui y figurent sont des variables carac-
téristiques. Les variables qui fig-urent dans une équation de Pfaff
sont les variables qui fig'urent sous le signe d, et les rapports de
deux coefficients quelconques des différentielles.
Supposons, en effet, qu'une équation de Pfaff', de classe
y = 2m -\- I, ait été mise sous la forme
^idyi 4- ... + s^dy„^ + dy„^^, =0;
62 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
pour cette forme canonique, le système caractéristique S^ se com-
pose des 2m -\- I équation
dy^ — o, ..., dij^^^ =0, dz^ = o, ...,dz^= o.
Les fonctions i/i, Zk des variables Xt sont donc des intégrales du
système caractéristique, quelles que soient les variables au moyen
desquelles on exprime la forme w. Si une équation a été ramenée à
une forme canonique, on en déduit donc immédiatement l'intég-rale
g"énérale du système caractéristique. Gela posé, pour ramener une
équation de PfaffM = o de classe 2/n + i, à une forme canonique,
on peut procéder comme au n** 12 pour ramener une forme de
Pfaffk une forme canonique; il suffit de remplacer le système de
Pfaff S3 par le système caractéristique S4. Les deux calculs sont
d'ailleurs identiques si w est de classe paire, car alors dans ce cas S3
et S4 coïncident pour la forme w, et pour toutes les autres formes
que l'on rencontre dans le calcul.
Soit, dans le cas g-énéral, Mj une intég-rale du système caractéris-
tique S4 ; si on prend pour variables m^, a?.,, ..., as^^, l'équatiou de
Pfaff s'écrit
O) =Uft/«i + X,(i)rf^2 4- ... + X^(^)dx„ = \]^du, + w(i) = o.
L'équation a)(i) =0 est de classe im, — i quand on y regarde u^
comme un paramètre. La propriété est immédiate si la forme w est
de classe paire 2/>, car S^ coïncide avec S3, la forme w est de
classe 2.p — I, et w(i) de classe 2/9 — 3. Si la forme w est de classe
impaire 2^+ i, la forme w(i^ est de classe 2p ou 2p — i, puis-
que S^ coïncide dans ce cas avec Sg, et l'équation w(i) = o est de
classe 2/) — I. En déterminant ensuite une intég-rale du système
caractéristique relatif à w(i)=o, et ainsi de suite, on démontre
comme au n" 12, qu'on arrivera à mettre l'équation w = o sous
une forme où ne fig-urent que m -\- i différentielles, c'est-à-dire à
une forme canonique.
Si par exemple w est une forme de classe impaire 2m -|- i, où ne
figurent que zm -f i variables, toutes ces variables sont des inté-
grales du système caractéristique, et en écrivant l'équation
X^dx^ -f to(i) = o,
l'équation w(i)= o, où l'on regarde x^ comme un paramètre, est
CHàPITRE II. — INTÉGRATION d'lNE ÉQUATION DE PFAFF. 63
de classe 2m — i. C'est la g-éoéralisation de la remarque qui ter-
mine le paraarraphe précédent.
Remarque. — On peut aussi comme plus haut (n» 11) ramener une
forme m de classe impaire 2p -\- i k n variables à une forme £1 =. «ï'jj , ^w
+ <'-c„a.j de classe paire. Si 11 a été ramenée à une forme canonique,
avec p -{- I différentielles, il suffira d'v remplacer ^^_^^ par une con-
stante pour avoir l'équation w = o sous forme canonique.
Soit w une forme à n variables, telle que l'équation u> = o soit de
classe y : en égalant à des constantes les y variables caractéristi-
ques, on obtient les équations d'une famille de multiplicités à
n — y dimensions dans l'espace à n dimensions
^^i = C^, «2 = C*, . . . u., = C.,,
telle qu'il en passe une par chaque point de l'espace (Xj, ..., Xn)-
Ce sont les multiplicités caractéristiques de l'équation w z^o.
Si n est pair, y étant impair, il y a toujours des multiplicités
caractéristiques à un nombre impair de dimensions. Si n est
impair, il y a des multiplicités caractéristiques à un nombre
pair de dimensions, lorsque oj est une forme exceptionnelle, où
le nombre des variables dépasse la classe ; si w est une forme ordi-
naire, il n'y a pas de caractéristiques.
15. Intégration d'une équation canonique. — Toutes les
multiplicités intégrales de léquation -.j = o de forme canonique
(^) -iC^^i + • . • + s,ndy>n + <ym-i = o.
peuvent être obtenues par des opérations algébriques (^).
Rappelons brièvement la solution. D'après l'équation (5), il
existe une relation au moins entre les variables y^.yt, ••'lym+i'
Supposons qu'il y ait h relations distinctes et h seulement entre
ces variables (o < A <^ m 4- ij ; au lieu de les supposer résolues
{') Leçons sur l'intégration des équations aujc dérivées partielles du premier
ordre (Chap. IX, pp. 3i5-33o).
64 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
par rapport à h des variables, écrivons-les sous la forme la plus
g-énérale
(6) '}i {ij„ ..., ij,„^,) = 0, . . . , '^hiyi, ..., !/„,+,) = o,
les h fonctions -i, étant distinctes, et l'une au moins renfermant la
variable IJ„^+^. La relation (5) doit être une combinaison linéaire
des li relations
(7) <^'|i = 0, . . ., d'ih = o,
puisqu'il résulte des hypothèses qu'il ne peut exister entre les
différentielles diji aucune relation linéaire distincte de celles-là. On
doit donc avoir une identité de la forme
s^dij^ + ... + z.Jij,,, + dy,,,^, = l,d<b, + ... + 'khd'lh,
Ài, ..., \h étant h coefficients indéterminés, ce qui entraîne les
m + I relations nouvelles.
( 5, = A,*.+ ... + x/-i^, (/ = ,,2,,..,m)
(8) i "', " , ■ ■
Ces m -f I équations sont distinctes, puisquetous les déterminants
d'ordre h que l'on peut déduire du tableau des dérivées partielles
des fonctions '}, ne peuvent être nuls à la fois. L'élimination des h
paramètres 1/ entre ces m + i équations conduira donc à un sys-
tème de m + I — A relations entre les variables i/i, zi,
(A: = I, 2, ..., m -1- I — h).
Inversement, toute multiplicité M dans l'espace à -xm -f i dimen-
sions telle que les coordonnées de l'un quelconque de ses points
XUv ••■■> Um+i ; -^1' •••' -m) vérifient les m + i relations (6) et (9) est
une multiplicité intégrale de l'équation m = o. On obtiendra donc
toutes les intégrales de l'équation w = o en prenant tous les sys-
tèmes de m fonctions distinctes '|'i,'}25 •■■■, 'kh des variables «//, l'une
au moins renfermant y.,^^^ [o <^h ^ m + i), et en adjoig-nant aux
m -j- I équations (G) et (9) un système de q relations choisies
£nAPITRE II. INTÉGRATION D UNE ÉQUATION DE PFAFF. 65
arbitrairement entre les variables yi, Zi, pourvu qu'elles ne soient
pas incompatibles avec les premières.
La multiplicité intégrale ainsi obtenue esta am +1 — {m + i -\-q)
= m — q dimensions, puisque les équations (6) et (9) sont au
nombre de m -j- 1. On obtiendra les multiplicités intégrales
d'ordre maximum en supposant q = o. Ea résumé, les multipli-
cités intégrales ayant le nombre maximum de dimensions sont
des multiplicités à m dimensions que fon obtient en établi ssani
entre les nm + i variables yi, Sf,- un système de m + i relations
de la forme (6) et (9), les /onctions 'li étant arbitraires .
Toute multiplicité intégrale M^j— y km — q dimensions est
située sur une multiplicité intégrale M„j à m dimensions, et
s'obtient en adjoisrnant aux équations qui définissent M„, q relations
nouvelles choisies arbitrairement et distinctes des premières.
Remarque. — On peut écrire les équations de M^ en adjoignant
aux relations (6) les équations
-,,'A + ...+-,„?i»
'•1 T r . . . -T '-A
, (/= I, 2, .. .,/»),
^!/ni~l ^!/m-\-i
qui donnent les variables r/ en fonction de /t — i paramètres
r^ ; --., ^— et des variablesy/,qui dépendent elles-mêmes de w — A-j- i
variables indépendantes.
Soient M^ une intégrale à h dimensîoas de l'équation (5) et
(yi"> •--» !/^m~i, ri", . , r'//i) un point ordinaire de Ma. Les coordon-
nées d'un élément de Ma voisin de celui-là peuvent s'exprimer au
moyen de h d'entre elles prises pour variables indépendantes. On
peut toujours prendre pour ces h variables indépendantes a. des
variables i/i et h — a des variables r/, toutes ces variables ayant des
indices différents.
En efiFet, si ym-^i est une des variables indépendantes, l'une au moins
des variables yi, y^, ..., y„ dépend de ym+i, et la relation
^Vl . .. -//:: . .. ^!/,.
^ym~i ^ym-i-% ^ym-^i
G. Leçons.
-f- I = 0,
66 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
que l'on déduit de l'équation de Pfaff (5) prouve que toutes les déri-
vées — ^i — , ..., — •rm__ ne peuvent être nulles à la fois. Si par exemple
'^ym-\-\ ^ym+i
Isi dérivée — --i^ — n'est pas nulle pour les coordonnées de l'clément con-
'^ym f 1
sidéré, on peut prendre yi pour variable indépendante à la place
de ym+l, en conservant les autres variables indépendantes.
D'autre part, supposons que deux variables de même indice, //i et z^
par exemple, fassent partie des h variables indépendantes. De la rela-
tion (5) on déduit les expressions de— ^^ et -^ au moyen des
dérivées .de y^, ■■•, ym, ~i, ■■-, Zm par rapport aux mêmes variables, et
la condition d'intégrabilité conduit à la relation
m
-y D(y/, r;) _ j , D (yg, Z'^ , , D(y,„,5,>t) _ ^
Z- D(.y„ r,) "^ D(y„ zy ' ' ' ^ D{y„ r.)
i =1
Il faudra donc que l'un au moins des indices 2, 3, ...,m ne figure
pas parmi les indices des variables indépendantes, sans quoi tous les
termes qui suivent le premier seraient nuls dans la relation précé-
dente. Nous pouvons supposer que l'on ait choisi les notations de façon
que les indices des variables indépendantes soient i, 2, ...,/> ; alors
toutes les dérivées
^, M, M, ^, où z>/,,
3yi ^z^ ayi Dr^
ne pourront être nulles pour l'élément initial. Supposons par exemple
que yP^'^ ne soit pas nul pour cet élément; on pourra alors prendre
yp->r\ pour variable indépendante à la place de y,. Les indices i et/>-f- i
figureront chacun une fois dans les variables indépendantes, et les
indices qui n'y figurent pas sont p + 2, ..., m. Si un des indices
2, 3, ...,/> figure encore deux fois dans les variables indépendantes,
«n peut recommencer la mêm^e opération, et ainsi de suite, jusqu'à ce
qu'on arrive à un système de h variables indépendantes où tous les
indices sont différents.
Ce raisonnement prouve en même temps que le nombre h ne peut
être supérieur à m.
On peut toujours supposer que les h variables indépendantes sont
yi. '/2, . ., y«'4a+i» ..., zh. Soient
■.s*»'
\ y/«+lI=I«/'+l (yi5 •••'Z/a ; -2'a+i' •••' -^'')' y^+2 = Uh^% ..., ym— Un
(10) <
i zh-i-i = vh+i{yi, •">yu. '■> ^K+v •••' ^^^' -^''^^ ~ ^''+^' •••' ^"^ ~ """
CHAPITRE II. — INTÉGRATION D UNE ÉQUATION DE PFAFF. 67
les expressions de yh-rli ■ --> y»» ^A-i-l, » -fm en fonction des varia-
bles indépendantes, u„ , Umi »,, , v^ désignant des fonctions
arbitraires qui prennent respectivement les valeurs yA-ft, . .., z,^^ pour
les valeurs y,", .-.jyg^, -"« , j> ---j -a". Nous écrirons l'expression
de ym+i comme il suit
(il) ym^i — iv{yx, ..., y„; s^^^, ..., sk) — y^^^^^^i^^ — ■■ . — yh^h
w étant une nouvelle fonction arbitraire qui doit satisfaire à une con-
dition initiale évidente. En portant ces expressions de yk-i-i, ..., y»,
ym-i-\, TA-fi, ..., Zm dans Téquation de Pfaff (5), et en égalant à zéro
les coefficients de dy^y . .., dy^, dz^ . , . ..ydzh^ on obtient les expres-
sion des autres coordonnées y^j, . , . . . . y., Zt, . . ., s^,
, Il — ^'^' ^ i,h>A ^"^^^ 4- 4- /. ^"»'
yh = + vh-i r ■ ■■ + i^u
(12)
z, = -^ - c/,^1 -''"^-t - . . . -o„,I^
^!/i ^yi ^ui
— v/i-t-l — . ■ • — t'i
^l/x ^!/u ^y«
Les formules (lo), (ii), et (12) représentent la multiplicité intégrale
Ma dans le voisinage de l'élément donné (').
En particulier si /i = m, il y a une seule fonction arbitraire w de rn
arguments, et les formules qui représentent une intégrale à m dimen-
sions sont les sui%-antes [Cf. Leçons, p. 819, formules (11)].
iym~i
(i3)|
16. Résolution de l'équation générale. — Soit w une
forme de Pfaff à n variables j:"i. Xh, ..., x^. L'équation
(i4) w = X^dxi +...-{- X^dx,^ = o
{•) CÀRTiLS. Annales de l'Ecole Normale Sapérieare, 3* série, t. XVI, p. 270.
= iviyi, ...
■■■' y^—rr
•>Zm
, J . ^u>
3m>
'■"«-Ll
. _ _ î>a'
îsio
'"^ ^y.
i
68 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
sera immédiatement résolue, d'après le paragraphe précédent, si
on a pu ramener cette équation à une forme canonique, où ne
fig'urent que m -{- i différentielles, quand cette équation est de
classe y = zm -\- i. Toute multiplicité intég-rale est définie, nous
venons de le voir, par un système de m + i relations, dépendant
de fonctions arbitraires, entfe les variables de la forme réduite.
Il s'ensuit que toute intégrale de l'équation (i4) est elle-même
définie par un système de m + i relations entre les variables Xi,
auxquelles on peut ajouter un nombre quelconque de relations
arbitraires nouvelles entre ces variables, pourvu qu'elles ne soient
pas incompatibles avec les premières.
Les multiplicités intégrales d'ordre maximum sont donc des
multiplicités an — (m + i) = n ^-^ — dimensions, si y est la
classe de l'équation a)=o;deplus, toute multiplicité intégrale
d'ordre inférieur à cette limite est située sur une multiplicité inté-
g'rale d'ordre maximum.
Il est facile d'avoir une limite inférieure du nombre n — '-^î — .
2
7+1
En effet si n est pair, n = 2p, y e-^^t au plus ég-al à 2p — i, -Lin —
est au plus égal à p, et par suite on an LJI — ^ ^; = — .
De môme si n = 2p -\- i, y est au plus égal à 2/> + i, et par
suite n — -*— t — ^ p. Dans les deux cas, les multiplicités inté-
2
g-rales d'ordre maximum sont d'un ordre au moins ég'al à la partie
entière de — (Cf. n" 6).
La méthode précédente de résolution du problème de Pfaff
exig-e la réduction de l'équation w = o à une forme canonique.
Nous allons montrer que les deux problèmes sont équivalents, du
moins si l'on demande une solution g-énérale, c'est-à-dire si l'on
veut déterminer toutes les multiplicités intég-rales d'ordre maxi-
mum. Supposons en effet que l'on connaisse toutes les multi-
plicités intég-rales d'ordre n — (m -f i) d"une équation u = o
à n variables de classe am + i. Prenons en particulier une
famille d'intégrales dépendant de m -\- i constantes arbitraires, de
CHAPITRE II. — INTÉGRATION d'cNE ÉQUATION DE PFAFF. 69
telle façon qu'il en passe une par chaque point de l'espace.
Soient
('^) /i = Ci' Tî ^= ^2, . . .,/„jj.i = C^^
les équations qui définissent cette famille de multiplicités.
Imaginons que l'on fasse un chang'ement de variables de façon à
prendreyi.y^. •••,f^^i oarmi les nouvelles variables. L'équation
transformée fi = doit être vériûée quand on y fait f//"j = o. ...,
df^j^i = o, quelles que soient les valeurs des autres différentielles.
Elle est donc de la forme
i^- = F,f//; + ¥,df, + . . . + F„.^,rf/,„^, = o,
et par suite l'équation w = o a été ramenée à une forme canonique
parce chansremeot de variables. On voit même qu'il suffit de, con-
naître une famille de multiplicités intégrales k n — (m -f i)
dimensions pour pouvoir effectuer la réduction.
Remarque. — Les conclusions précédentes peuvent être en
défaut pour certaines intégrales. Par exemple, l'équation
f/xj — x^JCidx.^ = o
de classe trois admet une intégrale à deux dimensions x^ = o. Si
l'on prend pour variables canoniques x^, x^x^ et x^, les deux
relations x^ = o, x^x^ = o, qui définissent une intésrrale, se
réduisent à une seule. De même l'équation de classe 2W — i
yidxi + . . . + y,nd-r^ = o
admet l'intégrale à m dimensions i/i = o, ..., y^=:o,qui ne rentre
pas dans le type général. On reviendra au Chapitre IV sur ces
solutions singulières.
17. Intégrales lieux de caractéristiques. — Quand on a
ramené une équation de Pfatl'à une forme canonique, il ne figure
dans cette nouvelle équation que les y variables caractéristiques, et
par suite toute intégrale d'une équation de Pfaff est définie par un
certain nombre de relations entre les variables caractéristiques,
auxquelles on peut adjoindre d'autres relations, en nombre quel-
conque, choisies à volonté, pourvu qu'elles soient compatibles avec
-1 s
70 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
les premières. Nous allons développer les conséquences de cette
remarque. Imag-inons que dans l'équation w = o on ait effectué un
chang'ement de variables, en prenant pour variables nouvelles
un système de y variables caractéristiques distinctes Mj, ..., k
avec n — y variables Uy_^^, ..., u^, choisies de façon à former avec
les premières un système de'n fonctions indépendantes des varia-
bles primitives. Après la transformation, les variables u^, u^, ..., Uy
fig-urent seules dans la nouvelle équation et, par suite, toute mul-
tiplicité intégrale est définie par un certain nombre de relations où
fig-urent seulement u^, u^, ..., Uy,
\ (i6) 1Ii(m„ ..., My)=o, ...,n;t(M,, ..., ay) = o, /c<I^,
auxquelles on peut adjoindre un nombre quelconque de relations
choisies arbitrairement, entre a^, «2, •••> m^-
Considérons une multiplicité intég-rale à p dimensions Mg définie
par les formules
(17) u, = 0](^,. ..., /„), ..., «.^ = '}^(/j, ..., /p,
(18) Uy^^ = '|';4.i(^i,".,y, • • -, «„ = 'InC^i, •••, y,
où ^1, ^2, •••» iû désig-nent p variables auxiliaires qui ne fig-urent
pas nécessairement dans toutes les fonctions v};/. Les conditions
pour que la multiplicité ainsi définie soit une intég-rale de l'équa-
tion de Pfaff ne renferment que les fonctions d^i, ..., i}p ; si elles
sont vérifiées, elles le seront encore quand on remplacera
'Iv-L-P ••••> 'î'mP^^' d'autres fonctionsquelconques, pouvant renfermer
de nouvelles variables indépendantes. En particulier, la multipli-
cité M' définie par les équations
(iq") l r f I i
( "7+1 — ,0+1' ■ ■ • ' « — «—'/+/"
OÙ /fl, 1, . . ., C_Yi û sont de nouveaux paramètres variables indé-
pendants de t^, ..., Iq, est aussi une multiplicité intégrale. Or cette
CHAPITRE II. — IMÉGRATIO-^ D OE ÉQUATION DE PFAFF. il
multiplicité M' est le lieu des multiplicités caractéristiques de
l'équatioa w = o,
issues des différents points de la multiplicité M^. Ou a donc le
théorème suivant :
Le lieu des multiplicités caractéristiques de l'équation de P/aj^
fa) = o, qui passent par les différents points d'une multiplicité
intégrale M de cette équation, est une nouvelle multiplicité inté-
grale M'.
Si la multiplicité M est à p dimensions, la multiplicité M' est au
plus à p 4- w — Y dimensions, mais elle peut en avoir moins. Elle
aura ce nombre maximum de dimensions si les y fonctions
<|/j, ..., d, sont des fonctions distinctes des p paramètres /^, t^, .... <q ;
les n fonctions «i, m,, ..., «^ définies par les formules (ïg) sont
alors en effet des fonctions distinctes des n + p — y paramètres
'i» •••■> 'n_74-o- Supposons en second lieu que les y fonctions
4*4, ..., '}.. des p paramètres f^, .... t^ ne soient pas distinctes, de
telle sorte que le point (u^, u^, ..., u^) décrive dans l'espace à
y dimensions une multiplicité à moins de p dimensions. Nous pou-
vons alors choisir les paramètres // de façon que les fonctions
'Yj, ..., ô, dépendent seulement de p' -c^p paramètres t^, ..., Z^' et
en soient des fonctions distinctes, les paramètres <o'+i' ""' '" ^^
fiarurant que dans les expressions Uy , j, ..., a„. La multiplicité M'
représentée par les formules (ig'lest alors visiblement k n — y + p'
dimensions seulement. On peut encore énoncer ce résultat comme
il suit. Soient {u^, ..., u^*) les coordonnées dun point de Mp,
t^y ...fdo'T t^s valeurs correspondantes des paramètres, t^, /», ...,tp'\
si l'on donne à ces paramètres les valeurs constantes t^, ..., (O" ^^^
autres paramètres /q' , j^, .•-, tp variant arbitrairement, le point
(«i, u^, ..., mJ décrit sur M^ une multiplicité à p — p' dimensions
qui appartient aussi à la multiplicité caractéristique
«t = Bi% ...,«,, = K.
7 •
72 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
La multiplicité M^ et la multiplicité caractéri.stitjue qui passe
par un point quelconque de Mq ont donc en commun un ' multi-
plicité d'ordre p — p'. Par conséquent lorsque la multiplicité inté-
grale Mp et la multiplicité caractéristique qui passe par un point
quelconque de M. ont en commun une multiplicité cT ordre o — p',
le lieu des multiplicités caractéristiques issues des différents
points de Mp est une multiplicité intér/raleM' an — y + ^'dimen-
sions.
Il résulte des propriétés précédentes que les multiplicités inté-
grales d'ordre maximum sont composées de multiplicités carac-
téristiques. En effet si M^ est une intég-rale, sans être un lieu de
caractéristiques, le lieu des caractéristiques qui passent par les
différents points de Mp aura évidemment plus de p dimensions.
Pour obtenir ces multiplicités intégrales d'ordre maximum
n — -i-^i^ — , il suffira de prendre le lieu des multiplicités caracté-
ristiques issues des différents points d'une multiplicité intég-rale
d'ordre ^ , n'avant aucune multiplicité commune avec la
2 '■
multiplicité caractéristique qui passe par un quelconque de ses
points. Ces intég-ralès sont représentées par les formules (19), où
l'on suppose que le nombre p a sa valeur maximum -^^ , les
y fonctions ^j;^, .,., '|„ étant distinctes.
Supposons par exemple que co soit une forme ordinaire à 2m
variables ; on a alors y = 2/n — i. Les caractéristiques sont à une
dimension, et les multiplicités intég-rales d'ordre maximum sont
d'ordre m. Ces intég-rales sont engendrées par les caractéristiques
issues de tous les points d'une multiplicité intégrale d'ordre m — i,.
non composée de caractéristiques.
Remarque. — Les conclusions qui précédent ne s'appliquent
pas aux intég-rales, dites sing-ulières, qui ne rentrent pas dans le
type g-énéral { Voir Chap. IV).
18. Application aux équations aux dérivées partielles.
— Les propositions précédentes g-éncralisent la méthode d'inté-
CHAPITRE II. — INTÉGRATION d'uNE ÉQUATION DE PFAFF. 73
gration de Cauchy pour une équiitlon aux dérivées partielles du
premier ordre.
Inversement cette méthode s'en déduit très facilement comme
cas particulier. En effet, l'intég^ration de l'équation aux dérivées
partielles
(20) p, =f{jCi, J?2, ..., x„, z,p^, ..., p,)
revient à la recherche des multiplicités intégrales à n dimensions de
l'équation de PfafF
(21) w =zfdx^ -f pïdxi + ... + Pndx,^ — dz = o.
Le covariant bilinéaire w' a pour expression
w' = o/f/oCj — dfhx^ -r opidXi — dp^^x^ +
... + tp^^dx^, — dp,ùx,^ ;
pour avoir les équations diflFérentielles du système caractéristique
S4, il n'y a qua remplacer de et ^r par yVtej -f- ... + p^dx,^,
f^x^ + ... -f- Pn^x,^ respectivement dans &>', et à égaler à zéro les
cœfficients de hx^ ..., ôj?,,. ô/>2, ,.. 8^,.. Ou obtient ainsi un système
de 2 A? — I équations différentielles
dx.* = ~ dxi, .... dx„ = — dx, ,
(^ '-:yp. ^"^Pn) '
L'équation w = o admet donc des caractéristiques à une dimen-
sion ; de tout élément de l'espace dont les coordonnées vérifient la
relation (20) part une de ces caractéristiques et une seule en géné-
ral. Le lieu des multiplicités caractéristiques issues de tous les
points d'une intégrale M est encore une intégrale. En particulier,
toute intégrale M^. est le lieu des caractéristiques issues de tous les ^ ^jVm
points d'une intégrale M,._j. La méthode de Cauchy se trouve ainsi ^5-0; \F.
rattachée à la proposition plus générale du n*^ 17, qui s'applique à ^*u.«iuc>
toutes les équations de Pfaff admettant des multiplicités caractéris- ci/v^ (Xf^
tiques. -
I/O. - >.>v-l '
74 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Quand on applique à l'équation (21) la méthode de Pfaff sous sa
forme primitive, il semble qu'elle exige non seulement l'intégra-
tion du système (22), mais aussi l'intégration de plusieurs autres
systèmes d'équations différentielles d'ordre in — 2, 2/î — 3, .,.,
successivement. C'est là une infériorité apparente de la méthode
de Pfaff, mais il suffit, comme l'a montré G. Darboux, (voir
n^ 10) de diriger convenablement les calculs, pour retrouver les
résultats de Cauchy. Soient X2, ..., X„, Z, P2, ..., P,^ les inté-
grales principales du système (22J, c'est-à-dire celles qui se rédui-
sent respectivement à x-i, ..., x„, z, p^, . ..,/>^pour a?j = .x," ; pre-
nons pour nouvelles variables x^ et ces intégrales principales. Dans
les formules de transformation
( 532 = r 2 ( J3i , J3i ', X2 , . . . , P„) , ...,X^==F.^(^Xi, Xi , X2 , • . . , P„) ,
(28) I p2 ='P^{x^,x^\ X,,...,PJ, ...,/>„= *,,(j3i,a?iO,X2,...,PJ,
les seconds membres représentent précisément les solutions des
équations différentielles (22) qui, pour x^^ = x^", prennent les
valeurs Xj, ...,X^, Pg, ..., P/i, Z respectivement. Après le change-
ment de variables (28), l'équation w = o se change en une équa-
tion où ne figurent que les variables caractéristi(|uesX2, ..., P„, Z,
et leurs différentielles. On a donc une identité de la forme
to = K [U^dX^ + ... + VndXn + V,t/P, 4- ... + yndPn + UdZ],
les fonctions Uj, V/, H ne dépendant que des variables Xi, Pk, Z. On
peut encore supposer (n^' 10) que le facteur K se réduit à l'unité
pour x^^ =a'i*'. En supposant x^ = x^^ dans l'identité précédente,
on en déduit que l'on a
U,= P/, V/=:0, (/>i), H=-I,
et l'équation w = o est ramenée à une forme canonique
(24) ■ P^dX^ + ... + PndXn — dZ = o,
après le premier changement de variables(23) qu'exige la méthode
de Pfaff.
Observons en passant .que la forme w elle-même est de classe
2n si y contient la variable z, et de classe 2n — r siy ne dépend
pas de £.
CHAPITRE 11. — INTÉGRATION d'uSE ÉQUATION DE PFAFF. 75
Remarque. — On a supposé pour le raisonnement que l'équation aux
dérivées partielles était résolue par rapport à l'une des dérivées par-
tielles, mais les conclusions sont indépendantes de cette hypothèse. En
effet, étant donnée une équation aux dérivées partielles du premier
ordre
F(a;i, . . ., Jî», r ; /)„ . . . , /),.) = o.
renfermant la dérivée pi par exemple, désignons pary(a;i, . . ., Xn, ^>
/>2. ~. ., Pn) la fonction que l'on obtiendrait en résolvant celte équation
par rapport à. pi- Si dans les équations du système caractéristique (22)
^f ^f '\f
on remplace les dérivées — ^ , -^, —par leurs expressions tirées des
équations
f +
DF
0,
DF , ?F 3/_
?r ^ D/3, Dr ~
DF ,
z 0, h
^pk-
DF
D/>i
2L = o.
on obtient
. un
i système d'équations différentielles
dxi _
ds
_ — dpk
*
P,
Pi/>i -r • - . -r PnPn
~ Xk + Zpk '
Xi
_ 3F
D/>A-
qui, joint
àL
a relat
ion F ;
= 0, est identii
que au système différentiel de
Cauchy.
Lorsque F ne renferme aucune des dérivées/)/, on a à rechercher
toutes les multiplicités intégrales de l'équation de Pfaff
dz — PidXi — ... — pndx,, = o,
dont tous les éléments vérifient la relation F = o.De la relation rfF = 0,
on peut tirer l'expression de Tune des différentielles dxi, dz au moyen
des autres, et on est conduit à une équation de Pfaff de forme cano-
nique.
19. Théorie de Lagrange. — La théorie de l'intégrale complète
de Lagrange et la méthode de la variation des constantes se rattachent
aussi très aisément à la méthode de Pfaff.Soiten effet r ^*(a;„ a?„ ;
Oi, ...,att)une intégrale dépendant de n constantes arbitraires de
l'équation du premier ordre
Pi =/wri, ... Xn, z;pî, ..., p„) ;
dans l'équatioD de Pfaff correspondante
bi =1 dz — fdxi — p^dxi — ... — p,,dx^ = o
76 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFaFF.
faisons le chang-ement de variables défini par les formules
les nouvelles variables étant ,t'j, . . . .r,j, «i, ... a,i. En tenant compte
de la condition
:^Xi \ D.x;2 :^Xu
cette équation prend la forme canonique
w = aai + . . . H aa,i rr o .
L'application de la méthode générale d'intégration d'une équation de
Pfaff mise sous forme canonique conduit précisément à la méthode de
la variation des constantes (Leçons n" 32).
Les caractéristiques sont définies par les n relations
.s = <i', pi— , [-bi~- = o,...,- +6„_i-_=o,
dxi aai ?a„ ^an—i ?««
et dépendent des 2« — i constantes arbitraires «i . . . a,i, bi, .. ., b,i—\-
Plus généralement, si l'on connaît une intégrale complète définie par
une équation de forme quelconque
• V(a:'i, . . . x,i, r ; a,, . . ., a,,) — o
d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre F(.rj, .... .r„, z ;
/>i, . . ., p,^ = o, l'équation de Pfaff correspondante prend la forme
w := — - aOi + . . . H rtO,j = 0,
quand on prend un nouveau système de in variables (.Z!;, aii), en posant
V r= 0, Y pi — =0 (j = 1,2, ..., n),
Zxi ^z
(Cf. Leçons n" 38).
On verra plus loin (Chap. IV) comment la seconde méthode de
Jacobi se rattache à la méthode de réduction du n*' 8 d'une forme de
Pfaff.
20. Equations simultanées du premier ordre. — Consi-
dérons encore un système de r équations aux dérivées partielles du
CHAPITRE II. — INTÉGRATION D U.\E ÉQUATION DE PFAFF. i i
premier ordre à une seule fonction inconnue,
f Pi =fAJ^i, ••-, -^1,2 ; pr-rU ..y Pn),
(25) <
l Pr =fr{x^, ..., JC„,J ; pr^i, ..., pn);
intégrer ce système revient à trouver toutes les multiplicités inté-
grales à n dimensions de l'équation de PfaflFà 2n -r i — r variables
(26) ro=y\dXi + -•• + frdXr -\- pr~ldXr+i -\- ...
+ pndxn — ds:= o.
Le covariant bilinéaire a pour expression
w' = ^fidXi — 4/1 OJ?! + ...-!- ùfrdXr — dfr^Xr
+ ) 8/)r-!-lrfj"r-fl — dpr-ir\^Xr~i -{- ... + ^p„dXn — dpnOXn V,
en remplaçant encore dz et Sr par leurs expressions tirées des deux
équations w (d) = o, w (â) = o, et en é«-alant à zéro les coefficients
de 5xj, . . . àj?„, o^r-fi, . . ., ^pn-, on obtient les équations diflféren-
tielles des multiplicités caractéristiques de l'équation (26) :
dxr-i-i 4 -'^^ dx. -i- ••• -i —— dxr = o.
>A ./^ ^ . Ifr
dXn 4- -^ f/j?, + ... 4- ^^^ rfjr = O,
dz^=f^dx^ + ... -^ frdXr + /)r-l</Xr-fl + .... + pndXn,
7)\
<//. = 5^ rfx, + ... + ^ d^, + /, < 1^ «fa, + ... + if fe j.
78 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Les 271 — 2r + I premières équations de ce système sont tou-
jours distinctes, et par suite la classe de l'équation w i= o est au
moins ég^ale à an — 2r -\- i. Pour qu'elle soit égale à cette valeur
minimum, il faut que les r dernières équations soient des consé-
quences des premières. Si donc on y remplace dxr+x, ..., dxn,
dz, dpr-\-\, ..., dpn parleurs v*ileurs tirées des premières équations,
les relations que l'on obtient doivent être vérifiées, quels que soient
rfXj, ...,dxr. En faisant le calcul, on trouve les conditions
(28) [pi —fi, pk — fk] = o, («, /c = I, 2, ..., r),
le crochet [a, v\ ayant la sig-nification habituelle :
Il ( \
ces conditions (28) expriment précisément que le système (25) est un
système en involution (Leçons, n^ 58). Si elles sont remplies, la
classe y de l'équation de Pfaff (26) est ég-ale à 9.n — 2r -f i, et les
multiplicités intégrales d'ordre maximum sont définies par un
système de n — a" + i relations entre les variables caractéristiques.
Ces multiplicités intég-rales ont donc an — r-{- i — (n — r + ï)=n
dimensions, tandis que les multiplicités caractéristiques ont r
dimensions. Toute multiplicité intég-rale d'ordre n est le lieu des
multiplicités caractéristiques qui passent par les différents points
d'une intég-rale Mn—r de l'équation w = o. Ces dernières multipli-
cités se déterminent sans aucune intég-ration, car il suffit d'adjoin-
dre les r équations (26) aux équations qui déterminent une multi-
citéintég-rale quelconque à n dimensions del'équationpif/o;, + ••• +
pndxn — dz=o.
La méthode d'intég'ratlon précédente conduit exactement aux
mêmes calculs que la méthode g'énérale de S. Lie (Leçons, Chap. IX),
et l'interprétation est la même. En effet, en écrivant que /'(x^, ...,
Xn,s; pr+i, '•-, Pu) est une intég-rale du système (27), on obtient
les équations
On peut aussi démontrer, comme dans le cas d'une seule équation,
qu'un chang-ement de variables permet de ramener l'équation to = o
CHAPITRE II. — INTÉGRATION DUHE ÉQUATION DE PFAFF. 79
à une l'orme canonique quand on a intésiTé le svstème (27). Soient
en eflfet X^-i-i, ..., Xn, Z, Pr-i-i, •••, P« les in — ir -{- i intégrales
de ce système qui se réduisent respectivement à aîr+i. •..,Xn,z;
Pr-i-i,.-../>/i pourj^j^ijjj'', ..., a7r = J?r'^. Quand on prend pour nou-
velles variables
X^, ..., Xr, Ar-|-l, •.., A^, Z, rr~it •••> "fti
le raisonnement employé dans le cas de /' = i s'applique sans
modification, et la nouvelle expression de w, après le chanarement
de variables, est
(30) .. = K [Pr+ldXr+l + ... + P„^„ — dZ] = o.
L'équation o} = o est donc ramenée à une forme canonique
(31) dZ — Pr+ldXr^i — ... - P„f/X„ = o,
et on en déduirait aisément les résultats précédents.
Remarque. — Les propriétés de l'intégrale complète pourraient
aussi se déduire très aisément de la méthode de Pfaff, comme pour
une seule équation. Nous verrons au chapitre IV comment la
seconde méthode de Jacobi se rattache à d'autres méthodes d'inté-
gration de l'équation g'énérale de Pfaff.
21. Remarques sur la méthode générale d'intégration. — Soit
«.) := o une équation de Pfaff de classe 2/h -j- i ; si l'on connaît une
famille d'intégrales, définies par m relations distinctes, telle qu'il en
passe une par chaque point de l'espace, on peut en déduire l'intéerrale
générale de l'équation. Soient, en effet,
y"i = Cl, . . . ,f,n ^ Crt
les relations qui définissent la famille d'intégrales considérée ; si l'on
prend un nouveau système de variables, telqueyi,/j, ...,/,„ fassent
partie de ces nouvelles variables, l'équation ?a := o sera mise sons une
forme canonique
W = F,rf/, -h . . . + Fmdfn, = 0.
et par suite on pourra obtenir l'intégrale générale (n" 15-16).
Ce résultat peut être £:énéralisé. Etant donnée une équation de Pfaff
w = o à /i variables, supposons que l'on connaisse une famille d'inté-
grales an — /■ dimensions^ telle qu'il passe une de ces intégrales par
-80 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DK PFAFF.
un point quelconque de l'espace. Ces intégrales sont définies par un
système de /■ relations distinctes
.A = Cj , . . ., fr =z Cr,
et l'on peut encore, par un changement de variables, ramener l'équa-
tion proposée à la l'orme
w n: Xiftei + X^dx.^ + . . . -|- Xrdxr = o ;
les multiplicités intégrales connues Mn~r sont alors représentées par
les r équations
Xi = Cl, Xi =€2, .. .,Xr = Cr.
Nous supposerons d'abord que les rapports
X2 X3 Xr
Xj Xj Xj
forment avec Xi, x^, ... .7r un système de n fonctions distinctes, ce qui
exige que 2r — i soit au moins égal à n, et par suite n — r ^ 'J—Zl . S'il
2
en est ainsi, nous pouvons évidemment prendre n — r de ces rapports
pour les variables Xr+i, . . ., Xn, les autres rapports pouvant être des
fonctions quelconques de a?], ...,Xr, ...,Xn.
Sur toute multiplicité intégrale Mh d'ordre h de l'équation w = o,
./'i, Xt, . . ., Xr sont des fonctions de h variables indépendantes
■ï'i = yi («1 j «'2. . . . , Uh), X2^= f^_, . . ., Xr ^^ fr;
en remplaçant Xi,X2,.. . .,Xr par 'ft, . . ., ©r dans l'équation de PfafF, et
en égalant à zéro les coefficients de dui, du2, . . ., duh, on obtient un
système de h équations avec n — r inconnues Xr-\-\, . . ., Xn. Ces équa-
tions sont compatibles, quelles que soient les fonctions yj, ^2» .••, fr,
pourvu que h soit inférieur ou au plus égal k n — r. Si h = « — r,
Xr-\-\, . . ., Xn seront déterminées dès que l'on aura choisi les fonctions
?!» fi, ■•-, fr. Si A <; « — /', les variables Xr^\, ...,xh devront vérifier A
équations seulement, auxquelles on pourra adjoindre n — r — h relations
choisies arbitrairement. En résumé, dans l'hypothèse considérée, on
pourra déterminer, sans aucune intégration, toutes les multiplicités inté-
grales de l'équation de Pfaff, d'ordre inférieur ou au plus égal à n — r.
X X
Il n'en est plus de même lorsque les rapports ^ ,..., —^ forment
Xj Xj
avec Xi, X2, .., Xr un système de r -\- s variables indépendantes
(/' -j- s <; n). On peut supposer alors que ces rapports dépendent seule-
ment des variables Xi, . ., Xr, Xr+i, . ., Xr-^s, et écrire l'équation
w =: dxi -f- f2dX2 + . • . + frdXr = O,
CHAPITRE II. INTÉGRATION DUNE ÉùLATION DE PFAFP. 81
S des coefficients s/ étant égaux aux variables a?r+i, .... JCr-~s. L'équa-
tion w =z o étant mise sous forme canonique, il y figure seulement y
variables canoniques yi,y;, .... y,, qui peuvent s'exprimer au moyen
de Xi, . . . , JCr+s,
ijl — Pi (X,, ..., Xr~s), ...ij— P (Oîi, . . . , Xr+s), '/ ^ /• + S,
et les relations
Pi(a:,, ..., xr-Ys) — Cl, ..., P (a^i, -.., J-r+s) = C
représentent des multiplicités caractéristiques à /i — 7 dimensions de
l'équation &> r= o.
"Soit M/i— r l'intégrale k n — r dimensions représentée par les relations
J?i = J?jO„ . . ., J-r = Xr^,
et M/i_j — ila multiplicité à n — r — s dimensions située sur la précé-
dente, dont on obtient les équations en adjoignant aux précédentes les *
équations
■aîr+l = JîV-H, ..., Xr~s =■ XOr~s. .
Cette multiplicité Mn—r-s est située sur la multiplicité caractéristi-
que définie parles relations
P/(j?„ Xi, ..., Xr^s) = Pi{Xi\ ..., J?»r+*), (t = I, 2, ..., y),
et la multiplicité intégrale M^—r considérée a donc en commun une
multiplicité M/j— r-s avec la multiplicité caractéristique issue d'un
quelconque de ses points. C'est donc un lieu de multiplicités à n — r — s
dimensions dont chacune fait partie d'une multiplicité caractéristique.
Les multiplicités intégrales Mn-r de cette espèce ne sont donc pas les
plus générales parmi les multiplicités intégrales à n — r dimensions,
et le résultat obtenu dans la première hypothèse peut s'énoncer comme
il suit
Soif (^ = une équation de Pfaff à n variables, dont on connaît une
famille d'intégrales Mn-r à n — r dimensions . Si Mn-r n'a aucune mul-
tiplicité commune avec la multiplicité caractéristique issue de Fun quel-
conque de ses points, oa peut obtenir sans aucune intégration toutes les
intégrales de Féquatioh w = o ayant au plus n — r dimensions.
Cette proposition généralise une propriété évidente de l'équation
ff' — fdXi — /JorfoCo — ... — pndXn = O,
à 2/1 variables (a?i, ... x^; =,pi, ...,/>„) ; on connaît a priori une famille
d'intégrales à n — i dimensions, définie par les relations
Xi =r Cl, Xt =: C2, ..., Xn = Cn, S =: Cn+l,
G. Leçons. 6
82 , LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
qui n'est pas composée de caractéristiques ; on peut donc obtenir sans
intégration toutes les intégrales ayant au plus « — i dimensions. On
peut faire la même remarque pour l'équation (26) à laquelle conduit le
problème de l'intégration d'un système d'équation aux dérivées par-
tielles du premier ordre.
De même, si l'on connaît une famille de courbes intégrales, l'équa-
tion de Pfaff peut être ramenée'à ne contenir que n — i différentielles :
w = Xidxi 4" •• . + Xn-id.Xn-i = o ;
si les rapports —^dépendent d'une autre variable x^, on pourra obtenir
sans aucune intégration toutes les autres intégrales à une dimension de
l'équation de Pfaff. Il n'en est plus de même si les rapports — ^ ne dépen-
Xa:
dent que des n — i variables Xi, x^, .•-, ocn—i', dans ce cas, les courbes
intégrales «i =: Ci, . . . , Xn—i = Cn-i sont situées sur des multiplicités
caractéristiques.
Lorsque la somme r -{- s est inférieure à n, la conclusion précédente
ne s'applique plus, mais l'intégration de l'équation &> = o est ramenée
dans ce cas à l'intégration d'une équation à un nombre de variables
inférieur à n. Il y a donc une simplification du problème. Si le nom-
bre 5 a sa valeur maximum r — i, l'équation est ramenée à une forme
canonique, et l'intégration est immédiate. Si s est inférieur à r — i, on
peut encore, en opérant comme tout à l'heure, trouver toutes les inté-
grales à s dimensions au plus dans l'espace {xi, x^, ..., Xr^s), et il leur
correspond des intégrales k n — /• dimensions au plus dans l'espace
{xi, X2, ..., Xn)- La méthode fournit donc de nouvelles intégrales, sauf
dans le cas où s est nul. L'équation w = ne renferme alors que les r
variables Xi, x^, ••-, Xr-
CHAPITRE m
FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES (')
22. Définitions et notations. — La théorie des formes
linéaires de différentielles peut être généralisée de plusieurs façons.
Ou peut tout d'abord, en restant au point de vue purement nlrfé-
brique, considérer des formes d'un degré supérieur par rapport
aux différentielles, par exemple des formes quadratiques
2^XiK^dxidxk, (/, Â:= I, 2, ..., n),
comme celles qui interviennent dans l'étude de la déformation des
surfaces, ou du problème analogue pour les variétés d'ordre quel-
conque dans un espace à n dimensions. Ces formes sont de vérita-
bles formes algébriques par rapport au.t différentielles ; quand on
effectue un changement de variables
(i) ^i = ?iiyi, yt^ ■'-, yn) (/ = i, 2, ..., n),
^u yn '■•■> yn étant les nouvelles variables, on doit remplacer dans
la forme quadratique chaque facteur dxi par '
-^dy^+ ... + -^ dyn.
et appliquer ensuite les règles ordinaires de la multiplication algé-
brique à chacun des produits dœidxk-
Mais on peut se placer à un autre point de vue. Si « est une
(') Auteurs à consulter :
H. PoiscARÉ. Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste (tome III) ; Sur
les résidus des intégrales doubles 'Acta Mathematica, tome IX) ; Ânalysis silus
(Journal de l'Ecole Polytechnique, i8gô/.
E. Ca^rtan. Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff
(Annales de l'Ecole Normale, 3' série, t. XVI, i8gg).
E. GouRSAT. Sur certains systèmes d'équations aux différentielles totales et sur
une généralisation du problème de Pfaff (Annales de la Faculté des Sciences de
Toulouse, t. VII, igi5j.
BaRALi-FoRTi. Introduction à la géométrie différentielle, suivant la méthode
deGrassmann (Gauthier-Villars, i8g8).
o4 LEÇONS SUR LE PROBLEME DE PFAFF.
forme de Pf'afl', 1=1 w représente une intégrale curvilig"ne éten-
due à une courbe G de l'espace à n dimensions. Si, au lieu d'une
intég-rale curvilig^ne, on considère des intégrales étendues à des
multiplicités à un nombre quelconque p de dimensions de
l'espace à n dimensions, on les représente par des symboles où
fig-urent sous le signe d'intég-ration des sommes d'expressions
telles que
Y (a:*!, x^, . . . , .T,J dx^dx^ . . . dx^, (p ^ n)
et le produit dx^dx^, ... dx^^ n'est plus un produit algébrique
au sens propre du mot, mais un produit symbolique pour lequel
les règ'les du calcul sont toutes difierentes des règ-les ordinaires du
calcul alg-ébrique. Ces règ-les, que nous allons rappeler, se dédui-
sent naturellement de la sig-nification attribuée à ces produits
symboliques.
Considérons d'abord, dans l'espace à trois dimensions, une inté-
g-rale de surlace 1 = j j A{x,i/,s) dxdy étendue à un côté
déterminé d'une portion de surface X, telle que les coordonnées
d'un de ses points s'expriment en fonction de deux paramètres
(a, v). Soit R la rég-ion du plan (m, v) qui correspond point par
point à la portion de surfage I ; Tintég-rale de surface 1 est égale à
l'intégrale double ordinaire
I = r r K{x,y, 2)^^^dudv,
étendue à la rég-ion R. Il résulte immédiatement de cette nouvelle
expression de l'intég-rale qu'elle chang-e de sig-ne quand on per-
mute X et u, puisque ^, ^' + ^ — - = o. On a donc :
^^ ^ D ?/, y) D(«, u)
j I Adxdy + j j Adydx
o,
les deux intég-rales étant étendues au môme côté de S ; ce que l'on
peut écrire sous forme abrég-ée
(2) dxdy = — dydx.
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQIES DE DIFFÉRENTIELLES. 85
Le produit symbolique dxdy change donc de signe quand on
permute les deux facteurs.
Cette règ'le d'apparence paradoxale est, comme on le voit, une
conséquence de la sig'nification même du produit dxdy. D'une
façon g-énérale, si l'on adoptait la notation ab pour représenter le
a b
déterminant
,,, , , il est clair que l'on aurait ab -^ ba = o.
a o i
Considérons maintenant une variété E^ à p dimensions de
l'espace à n dimensions, et soit
I = I F (a?j, x^, .... x^-^dx^dx.^ . . . dx^
une intégfrale multiple d'ordre p étendue à cette variété (pour sim-
plifier les notations, nous n'écrirons qu'un seul signe I , ce qui ne
peut entraîner aucune ambiguïté).
Supposons que les coordonnées x^, x^, ..., x,^ d'un point de E_
s'expriment au moyen de p paramètres indépendants Ui, u^, ..., u ,
de telle façon que la variété Ep corresponde point par point à un
certain domaine Rp de l'espace à p dimensions (m^, u.^, ..., «_).
L'intég-rale I est égalé à une intégrale multiple ordinaire étendue
au domaine R^,
où J?^,j?j, ...,a;„doivent être remplacées dans F parleurs expressions
au moyen de u^, u.y, ..., u^ (^). Quand on échange deux facteui-s
consécutifs dans le produit dx^dx^ ... dx^,, ou voit encore que
ce produit change de signe et, par conséquent, quand on permute
d'une façon quelconque les facteurs du produit symbolique
dx^dx^ ... 6/oCp, ce produit ne change pas de signe ou change de
(') Quand on permute les variables auxiliaires «/, le déterminant peut
changer de signe, les deux signes possibles correspondant aux deux côtés
d'une surface dans l'espace à trois dimensions. Nous supposerons que cet
ordre a été fixé une fois pour toutes.
Pour tout ce qui concerne les propriétés des intégrales multiples d'ordre
quelconque dans l'espace à n dimensions, je renverrai le lecteur aux Mémoi-
res cités plus haut de Poincaré.
86 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
signe, suivant que cette permutation peut être obtenue par un
nombre pair ou un nombre impair d' échanges entre deux fac-
teurs consécutifs.
Tout ceci s^étend évidemment à tout produit symbolique de la
forme
(3) Ydx^^Ux^^ . . . dx^^,
aj, a,, ..., ap étant p nombres entiers différents, pris parmi les
n premiers nombres, si on n'étudie que des intégrales dans
l'espace à n dimensions. Si l'on range ces indices dans un autre
ordre (a'j, t.'^, .,., a'^), le nouveau produit symbolique
Fdx„' dXa' ... dXa'
est égal au premier, ou égal au premier changé de signe, suivant
que les deux permutations (a^, ol^, ..., a^), (a'^, a'g, ..., a'^) sont de
même classe ou de classes différentes.
Il résulte aussi de la définition que tout produit symbolique (3),
où deux indices sont égaux, est identiquement nul, car le déter-
minant fonctionnel
a deux lignes identiques.
Les expressions symboliques telles que (3) seront appelées des
expressions monômes ; F est le coefficient, dx^dx^ . . . dx^ est
l'analogue de la partie littérale dans uiî monôme algébrique ordi-
naire.
Plus généralement, toute intégrale étendue à une variété
d'ordre p de l'espace à n dimensions est représentée par la notation
1 = /",
où w est une expression de la forme
(4) r^ = 2 ^«i«2 • • • «p dx^^dx^^ . . . dx^^,
les coefficients A^j^^^^ • • • « étant des fonctions des n variables
CHAPITRE III. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 87
x^. X,, ..., x^ et ia sommation étant étendue à toutes les combi-
naisons des n indices p ^ p. Nous dirons que w est une forme sym-
bolique de différentielles de degré p.
11 est clair que le degré d"une forme symbolique ne peut dépas-
ser le nombre n des variables, et que toute forme symbolique de
degré n se réduit à un seul terme
Fdx^dx^ . . . dx^.
On peut supposer par exemple que, dans chaque combinaison,
les indices sont rang'és par ordre de grandeur croissante, mais
cela n'est pas nécessaire. Quand on est amené à chanerer l'ordre
des Çacteurs dans un produit symbolique tel que dx^^ ^^«^ ••• ^^a .
le coefficient correspondant doit être changé de sisrne si la permu-
tation chanare de classe. A chaque combinaison d'indices p k p,
correspondent donc p\ fonctions A„ „ ••• a« 4"i ^® peuvent diffé-
rer que par le signe, deux fonctions Ajj j^, ... -et Ajj/ ^^f ... j^/ étant
égales si les deux permutations {l^, a,, .,., x^) et (i\, x',, ..., i'^)
sont de même classe, et de signes différents si les deux permuta-
tions sont de classes différentes.
Cette remarque trouve son application dans la réduction des
termes semblables, c'est-à-dire des termes où figurent les mêmes
différentielles , à l'ordre près. On peut toujours ramener les termes
semblables à contenir les différentielles écrites dans le même
ordre, en chanareant, s'il est nécessaire, le siarne de certains coeffi-
cients. Cela fait, on peut ensuite remplacer tous les termes sem-
blables par un seul, dont le coefficient est éaral à la somme des
coefficients de tous ces termes semblables. Par exemple, on a
Adxdyds -f Bdydsdx + Cdxdsdy = (A - B — Cjdxdyds.
La somme d'un nombre quelconque de formes symboliques de
degré p est une forme symbolique du même degré dans laquelle
on pourra réduire tous les termes semblables à un seul, en appli-
quant la règle précédente (^).
Remarque. — On pourrait ainsi convenir que, dans le second
membre de la formule (4), la sommation est étendue à tous les
(') Une forme est identiquement nulle lorsque, après réduction des termes
semblables, tous les coefficients sont nuls.
88 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
arrang-ements p à. p des n indices, en tenant compte des relations
qui existent entre les coefficients correspondant à une même com
binaison. Il est alors entendu que chaque produit
(IXfj^^ClX^^ ... cix^^
est mis à la place de
^ «^ '^2 ... ' «p du^du» ... du^,
M^, ^2, ..., Up étant p paramètres auxiliaires. La somme des ter-
mes qui se déduisent de l'un d'entre eux par une permutation dans
l'ordre des indices est bien ég-ale au produit
A„ ... „ ^ g,' «a' • • •' Xp) du.du^ ... du^.
On se sert aussi quelquefois de p systèmes différents de diffé-
rentielles, chacun d'eux correspondant à une des variables auxi-
liaires. Par exemple, une forme du second deg'ré
w = / kjkdxjdxk
s'écrira aussi, avec deux systèmes de différentielles,
w = 2^^ilii^^'i^^h — dXk^Xi),
la sommation et mt étendue à toutes les combinaisons des n indi-
ces deux à deux.
23. Changement de variables. — Considérons d'abord le
produit symbolique dx^dx^, et cherchons par quelle forme sym-
bolique on doit le remplacer quand on remplace les variables x/ par
de nouvelles variables yi liées aux premières par les relations (i).
Si les nouvelles variables yi sont remplacées par des fonctions de"
deux paramètres auxiliaires u, v, les variables xi se changent
aussi en des fonctions de ces paramètres, et le produit dx^dx^àoii
T)(x X9)
être remplacé dans tous les calculs par J,/' — ^ dudv. Mais on a,
'^ -^ D{u,v)
d'après les formules classiques du chang-ement de variables dans
CHAPITRE 111. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉREMIELLES. 89
les déterminants fonctionnels,
D{jCi,jPi) _ V Dto. œj) D(//„ !/k)
D(u,v) ^ ^{yi,yk) iy(u,v) '
la sommation étant étendue à toutes les combinaisons deux à deux
des indices /, k, qui peuvent varier de i à n. Cette formule peut
encore s'écrire, en multipliant les deux membres par dudv, et
remplaçant '-j'' '^'^' dudv par dyidyk.
C'est le résultat que l'on obtiendrait en efiFectuant le produit des
deux difiFérentielles cte^ et dœ^,
(^^dy,+^dy,+ ... -^^dyn)(^du, + ...-\-^duX
\3y, ^' :sy._ ^- ^?y„ ^ J\^y, ^' ^yn ^"F
suivant les rèsrles habituelles du calcul alg-ébrique en avant bien
soin d'écrire dans chaque produit partiel les facteurs dyi dans
r ordre même où ils se présentent, puis en tenant compte des
rèsfles spéciales au calcul svmbolique, c'est-à-dire des éjaralités
dyidyi = o, dyidyk + dykdyi= o.
Il est clair en eflFet que, dans ce produit, il y a un terme en dyidyk
qui a pour coefficient -^ —tl et un terme en dykdyi qui a pour
coefficient — ^ — - . La somme de ces deux termes est bien ésrale à
Zyk ^yi
— i-i^ — ^ dyidyk.
Le raisonnement est çénéral. D'après les formules du chang'e-
ment de variables, on a
D(j7„ j-i, ..., j-p) ^ V D(j?i.3?2, .-, J?p) D(y/,yA-, •■■, yi)
D(u„ a,, ..., «p) _ -- ^ D{yi, yk, .... yi) D(^/„ u^, ..., Up) '
la sommation étant étendue à toutes les combinaiisons des n indi-
90 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
ces p k p. En multipliant les deux membres de cette relation par
du^du^ ... dUp, elle devient
D(j;i..3;2, ...,œp)
i, k, ..., l
C'est encore le résultat que l'on obtiendrait en effectuant le pro-
duit des p différentielles
(5) dx.dx.. ... dx„ = y IHœuX„...,œp) ^ .^ ^ ^^
dxi = l^l dy, + . . . + -^ dy^,
dx, = ^^dy,^ ... +^^dy^,
7>l/l 7>yn
dx^='^dy, + ... +^^dy^
<>yi <^yn
d'après les règ-les ordinaires du calcul alg-ébrique, en ayant soin
d'écrire les facteurs dyi de chaque produit partiel dans l'ordre où
ils se présentent, et en n'écrivant pas les produits partiels où figure-
raient deux facteurs dyi égaux, puis en réduisant les termes sem-
blables comme on l'a expliqué au numéro précédent.
La méthode est la même pour une forme quelconque de degré/).
Il suffit d'appliquer la règle à chacun des monômes, puis de réduire
les termes semblables.
24. Produits symboliques. — Considérons d'abord deux
formes symboliques réduites à deux monômes
«^ = Xdx^dx^^ . . . dx^^, «y = Bdxpdxr^^ . . . dxp^
de degrés p ei q respectivement. Nous appellerons produit symbo-
lique des deux monômes Mp, wy, et nous représenterons par uipu^q le
monôme
wpwy = K'&dx^dx^^ ... dx^pdx^^ ... dx^^
obtenu en prenant pour coefficient le produit AB des deux coeffi-
cients, et en écrivant dans leur ordre tous les facteurs dxi de Mq à
la suite des facteurs de bip.
Il est clair que ce produit w^wy sera identiquement nul, si l'une
des différentielles dxi figure dans les deux monômes wp, a)y,etdans
ce cas seulement.
CHAPITRE III. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 91
Considérons maintenant deux formes quelconques, de degrés p
et q respectivement,
<^/) ^ A„ „ . . „ dx„ dx„ . . . dx„ y
^ ^^ '-iltti dp «I «2 OLp^
et imaarinons qu'on effectue successivement le produit de chacun
des monômes de oj^ par chacun des monones de a>y d'après la règle
précédente, puis qu'on fasse la somme de tous les monômes obte-
nus, en réduisant les termes semblables. La nouvelle forme ainsi
obtenue est par définition le produit symbolique des deux formes
tiip, o)ç, et se représente par (>>pWç,
tùpbia =: ^ A„ „ . . . „ Bc c . . . Q dx„ '. . . dx„ dxa . . dxa •
Il est clair que ce produit symbolique est de desrré p -\- q ; on
aura donc wpWy := o. si la somme p -\- q est supérieure à n, puis-
qu'il n'y a que n facteurs dxi différents.
La multiplication symbolique est évidemment une opération
distributive ; on a
&)j(ti)j 4- W3 -f ... + 0)/,-) = «jWj + WjWj + ... + WiUfr,
(Wj + W2)(a)3 -j- W^) = tOjUj + W^W^ 4- 0)^(1)3 + WgU^.
Mais l'opération n'est pas commiitative. Quand on échang-e les
deux facteurs wp, w^ du produit symbolique, on voit facilementque
chacun des monômes de ce produit est multiplié par ( — i)W ; on a
donc
(6) WpWg = ( I V^WyttJp.
Si les deux nombres p et q sont impairs, on a
(6)' bipOiq + tùqbip = o ;
si l'un des nombres p ou q est pair, on a, au contraire,
(6)"
"p^q — ^q^p-
Supposons en particulier «y ^ wp ; si /? est impair, la relation (6)'
prouve que le produit àtp.oip = (<Up)* est nul. Le carré dune forme
92 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
symbolique de der/ré impair est donc toujours nul identique-
ment.
Le produit symbolique d'un nombre quelconque de formes sym-
boliques wp, r^q, &Jr, ... se définit de proche en proche comme le
produit algébrique d'un nombre quelconque de facteurs. Par
exemple le produit MpMqMr s'gbtient en efï'ectuant d'abord le produit
symbolique wpw^, et en multipliant ensuite ce produit par wr. Il est
clair qu'il faut ici tenir compte de l'ordre dans lequel on écrit les
facteurs, à moins que tous ces facteurs ne soient de deg-ré pair.
Supposons que, dans le produit symbolique
nous intervertissions deux facteurs w , m,^, de deg'rés/>et q respec-
tivement, séparés par plusieurs autres facteurs dont la somme des
deg-rés est ég-ale à r, r étant nul si les deux facteurs w , w. sont
consécutifs. Pour faire cette opération, on peut faire passer w.
devant w , puis faire passer o)^ à lu suite des autres facteurs qui
séparaient w^ et w,^. Il est clair que cette opération revient à faire
une certaine substitution sur les rang-s des différentielles d'un
quelconque des monômes qui fig"urent dans le produit symbolique.
Pour faire passer w,^ devant u>^, on a à effectuer en tout qip + r)
échang-es entre deux facteurs dxi consécutifs dans chacun de ces
monômes ; pour faire passer ensuite u^ à la suite des facteurs qui
précédaient w^, il faut faire de nouveau pr échang-es de deux fac-
teurs c/j?/ consécutifs. Le produit symbolique est donc multiplié
par
(_ ï')qlp + r)+pr ::^ ( l)7P + r(P + l) ;
s'il n'y a pas plus d'un facteur de degré impair, dans le produit
symbolique, un seul des trois nombres p -\- q, pq, r peut être
impair, et le nombre pq + r{p + q) est toujours pair. Dans ce
cas, le produit symbolique est indépendant de l'ordre des facteurs.
Si les deux nombres /> et q sont de même parité, p -\- q est pair,
et pq est pair ou impair suivant que p ei q sont tous les deux pairs
ou tous les deux impairs. Donc, quand on échange deux facteurs
CHAPITRE III. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 93
dont les degrés sont de même parité dans un produit symbolique^
ce produit nechange pas si ces facteurs sont tous les deux de degré
pair, et il change de signe s'ils sont tous les deux de degré impair.
II en résulte que tout produit symbolique, qui renferme deux
facteurs identiques de degré impair, est identiquement nul. Car
ce produit doit chan^r de sig^ne quand on échansre ces deux fac-
teurs.
La puissance m''"" svmbolique d'une forme w est le produit sym-
bolique de m facteurs identiques à w. Toute puissance d une forme
de degré impair est, d'après ce qu'on vient de voir, identiquement
nulle. II n'en est pas de même en <»-énéral des puissances d'une
forme de desrré pair. Supposons w écrit sous la forme
W = OJj + Wj + ••• + «CT'
wj, w,, ..., w,^ étant des monômes. Comme le carré d'un monôme est
toujours nul, on a
car le produit de deux monômes de désiré pair est indépendant de
l'ordre des facteurs. On a de même
(03 — 2.3(fc)iWjW3 -I- W^WjW^ + ... -I- W,„_2W,^iW,„),
et d'une manière 2;-énérale. w^ s'obtient en multipliant par/>! la
somme de tous les produits/) à p des r monômes uj, wj, ..., w„.
Pour justifier la définition d'un produit symbolique de plusieurs
formes, il est essentiel de démontrer que cette définition est indé-
pendante .du choix des variables indépendantes. En termes plus
précis, soient ot^, oj^, ..., '.j„, plusieurs formes et râleur produit sym-
bolique. Si l'on fait un chang^ement de variables quelconque. les
formes «j, «j, ..., w,„ se changent en de nouvelles formes cj^, nr^, ...
TO^, ta se change en bt, et l'on a encore entre ces formes la relation
Cette propriété, qui joue un rôle capital dans la théorie des for-
mes symboliques, est encore une conséquence des formules du
chanarement de variables.
94 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Pour simplifier l'écriture des formules, considérons d'abord
deux formes monômes
wj = kdx^dx^dx^^ 6)2 = BdXj^dx^,
et leur produit symbolique
0) z=i wjWg =ARdx^dx,^dXç^dx_,^dx-,
les coefficients A et B étant fonctions de n variables indépendantes
a^j, x^, ..., x^. En introduisant un nouveau système de variables
y^, y 2, ..., y,^, «i se chang-e en une nouvelle forme
CT, := A t; -^1' -^a^-^a) dyhdi/idiJj,
la sommation étant étendue à toutes les combinaisons 3 à 3 des n
indices ; W2 se chang-e de même en une nouvelle foi^me
la sommation étant étendue à toutes les combinaisons des n indi-
ces 2 à 2. Dans le produit symbolique
"."= = *B 2^ Dfa;;;;;g' 2 |^|r^ dy,dy,dyjdy,dy,,
le produit dyhdyidyjdyndyi se présente évidemment plusieurs fois.
Calculons par exemple le coefficient de dy^dy^dy^dyj^dy^. Si nous
posons pourabrég-er
ce coefficient est ég-al, il est facile de le voir, au produit de AB par
la somme
(i, 2, 3)[4, 51- (1,2, 4) [3, 5] +(1,2, 5) [3, 4] + (1,3, 4) [2, 5]
-(1,3, 5)f2,4] + (I, 4, 5)[2, 3] -(2, 3, 4) [i, 5] + (2, 3,5) [i,4]
- (2, 4, 5) [i, 3] + (3, 4, 5) [1,2].
Or cette somme est ég-ale, d'après une propriété connue des
déterminants, au déterminant
P(3?l, X'i,, Xs, J?4, 3?s)
CHAPITRE IIF. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 93
et on démontrerait de même que, quelle que soit la combinaison
d'indices (A, i,j, k, f), le coefficient de dijhdyidyjdykdyi dans le
produit symbolique mirs^ est ég-al à
Df-r,. JCj, J?8, J-f x^
^iyh,yi,yj,yk,yî)
On a donc pour ce produit symbolique l'expression
'"'' = -^» 2 "pt; ";' t" ,T; «f <iy,dy>dyjdy^y,.
fYif i ^vy''' y^> yj' y^» y^)
Or le second membre n'est autre que la forme symbolique tït
déduite du produit w :=: w^w^ par l'introduction du nouveau sys-
tème de variables. On a donc bien
et la démonstration s'étend évidemment au produit de deux monô-
mes de deg'ré quelconque. Si les deu.x monômes wj, m, ont une diffé-
rentielle commune dxi, le produit « est identiquement nul. Il en
est évidemment de même du produit symbolique tUjTit,, qui con-
tient deux facteurs identiques du premier desrré.
Il est à remarquer que la régule du chans^ement de variables
(n" 23) dans le monôme Adx, . . . dx, revient à effectuer le pro-
duit symbolique obtenu en remplaçant 0^03^^^ ,..., <ij:^ par leurs
expressions développées.
Considérons maintenant deux formes quelconques
« ^ (Uj -|- w, -|- ... + «,„,
Q = Q^ + i2, -f ... + fir,
cDj, ûft étant des monômes . On a
m r
Soient ra, njj, CTj, ...,wm.. n, lli, n.,, ..., Ur. ceque deviennent les for-
mes oj, w^, ..., 'jim^ ^i. Q-i ^r par l'introduction d'un nouveau
système de variables ;
CT ^= TÎTj 4" ^2 -f- ... -|- TU/TJ ,
n= Hi 4- Hj 4- ... 4- Hr.
96
LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Le produit Mi^k se chang-e en nr/ll/i, etpar suite le produit mQ. se
change en l'expression
m r
qui est identique au produit-fra^ + ... + Tj3m){Wi^ + .•• + Wr) des
deux formes transformées. Le théorème est donc vrai pour le
produit de deux formes quelconques. Par un raisonnement bien
connu, on en conclut qu'il est vrai aussi pour le produit d'un nom-
bre quelconque de formes.
Application. — Nous dirons que/) formes linéaires w^, m^, ..., w^
sont indépendantes lorsqu'il n'existe aucun système de coefficients
\, \, ..., A^, dont l'un au moins n'est pas nul, tel que l'on ait
identiquement
(7) ^'l"l + ^'2^2 + ••• + \"p =0.
Pour que le produit symbolique de p formes linéaires soit nul,
il faut et il suffit que ces p formes ne soient pjàs indépendantes ,
lO La condition est suffisante . — Supposons en effet que les />
formes wj, w,, ..., w^ vérifient l'identité (7), le coefficient \^ par
exemple n'étant pas nul. On peut alors écrire cette relation
S. = [J-i^i + [^2^2 + ••• + F-p-i^^p-i.
et le produit
w^Wj ... w^ ='a)iW2 ...a>p_i([J.iWi + [x^oj^ + ... + ;J.j,_iW^,_i)
est nul, car chaque produit partiel contient deux facteurs linéaires
identiques.
2° La condition est nécessaire. — Supposons d'abord que l'on
ait n formes linéairement distinctes
ai^dx^ + ... 4- auidxn, {i = i, 2 ... n);
le déterminant
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 97
est alors difiFéreot de zéro. On véritie aisément, d'après la règ'le de
la multiplication symbolique, que l'on a
fe)^ù>2 ... w„ = \dx^dx^ ... dx^
et par suite le produit &>iw, ... cj„ n'est pas nul.
Si l'on a/j formes linéaire w^w», ..., ^p{p<in) indépendantes, on
peut toujours leur adjoindre n — p autres formes Wp+j, •••, w„ for-
mant avec les premières un système de n formes linéairement
distinctes. D'après ce que nous venons de voir, le produit w^w^ ••• <•>«
n'est pas identiquement nul. lien est donc de même du produit
25. Diviseurs linéaires d'une forme. — Une forme sym-
bolique il est dite divisible par une autre forme w, s'il est possible
de représenter la forme Q. par un produit symbolique dont w est un
des facteurs: il = Q.^o>; la forme w est alors un diviseur de Q.. II est
toujours possible de reconnaître par des calculs linéaires si une
forme donnée Q est divisible par un autre forme donnée w ; soient
en effet /> et /> — /' les deg'rés de ces deux formes. La forme Q^
doit être de degré r, et les coefficients inconnus de cette forme
doivent satisfaire à un certain nombre de relations linéaires que
l'on obtient en écrivant que les coefficients des mêmes termes dans
le produit symbolique Q^w et dans Çl sont identiques. Nous allons
nous occuper en particulier de la recherche des diviseurs du pre-
mier désiré d'une forme.
Pour que Q soit divisible par une forme linéaire w, il faut et il
suffit que le produit Qb>soit identiquement nul.
Il est évident que la condition est nécessaire, car le produit
symbolique Qw contient alors deux facteurs identiques du premier
degré. Pour démontrer que la condition est suffisante, supposons
que (i) contienne dx^, de telle sorte que l'on puisse exprimer </ic„
au moyen de dx^, dx^, ..., dx„_y, w,
dx^= xw + OL^dx^ + ... + i„_i</x„_i, X 7^ o.
La forme Q peut alors s'exprimer au moyen de dx^, dx,, ..., dx„_iy
w et s'écrire
Qi et ûj étant deux nouvelles formes qui ne renferment que
G. Prob. 7
98
LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
dx^^ dx^, ..., dx^^i. Le produit Qw = ii^w ne peut être identique-
ment nul que si la forme i2i est elle-même identiquement nulle.
Soit en effet
Ps^ik...idxidxk ... dxi
un terme quelconque de i2^ ; le coefficient de dxidxh •.. dxidxn dans
le produit symbolique Q^w est ég-al à — '^' "^ , et par conséquent ce
produit ne peut être nul que si tous les coefficients Aik...i sont
nuls. La forme ii est donc ég-ale au produit symbolique Sl^o).
Pour reconnaître si une forme Q, de deg"ré pan variables admet
des diviseurs linéaires, on cherchera à déterminer n coefficients
a^, ag, ..., a^ de telle façon que le produit
Qw = Çl((x^dxi + cL^dx^ + ... 4- oL^dx^J
soit identiquement nul. Comme ce produit est de deg'ré /> + i, on
, . n(n — i) ... in — p) , .• i - • x u
aura en tout — ■ '—- — ^; — —'-^ équations linéaires et homoerenes
1.2 ... {p-\-l)
pour déterminer les coefficients a,. Si ces équations sont incompa-
tibles, la forme Q. n'admet pas de diviseur linéaire. Lorsqu'elles
sont compatibles, elles admettent r systèmes de solutions linéaire-
ment distinctes, et par suite la forme £2 admet r diviseurs du pre-
mier degré w^, m^, ..., w^, linéairement indépendants.
La forme Q. est alors divisible par le produit symbolique
toi^a . . . Mp, ainsi qu'il résulte de la propi^iété suivante : Si une
forme Q. est divisible par k facteurs ( /c^ n) du premier degré
w^, (Oj, ..., w;^, linéairement distincts, elle est divisible par le pro-
duit W^0)2 .... WA-.
Il nous suffit évidemment de montrer que si le théorème est
établi pour k — i facteurs linéaires, il est vrai aussi pour k fac-
teurs. Soient
w; = (Xi^dXi -f- ... -1- (XindXn (i = 1 , 2. ..., k)
k formes linéaires indépendantes ; tous les déterminants d'ordre k
déduits du tableau
a,.
cL/fi y.k2
f^kn
CHAPITRE ni.
FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES 99
ne peuvent être nuls à la fois. Nous supposerons par exemple que
le déterminant
A =
«A-i ŒA-î
«A-ft
n'est pas nul, de sorte que dxi, dx^, ..., dxk peuvent s'exprimer
linéairement au moyen de wj, w,, ...,(ùti,dxk^i, •••, dxn-
Soit maintenant Q une forme telle que l'on ait à la fois
Qwj :=r o. Qw.^ = O, ..., ÛO);^ = O ;
nous voulons démontrer que Q est divisible par le produit symbo-
lique Wj(i>2 ... w^-. Le théorème étant admis pour A: — i facteurs, on
a déjà
Q
tOjWj ... WA-— lîij,
et la forme Qj peut s'écrire à son tour
Q, = iij + QgCoA- + i2„
ûg et Q3 ne contenant que les différentielles </xa-+i, ..., dxni et un
terme quelconque de Q^ étant divisible par une des formes
(Oj, . . ., a)/j_i. On a donc
û =: WjWg ... W/j_l(Û, 4- ûgWft),
î2wA- =: WjCO:, ... (i)A-— i^jW^-.
Pour que Qwa- soit identiquement nul, il est nécessaire que ûj
soit identiquement nul. Soit en effet
^ij ...idxidxj ... dxi .
un terme quelconque de Qj, tous les indices i, J, ..., l étant supé-
rieurs à k. Le coefficient de dx^ ... dxkdxidxj ... dxi dans aw^
est au signe près A,y.../A; il faut donc que l'on ait Aij .,.1 = o pour
toutes les combinaisons d'indices, et par suite on a
Il suit de là que, si une forme £1 admet r diviseurs linéaires
100
LEÇONS SUR LE PROBLÈMK DE PFAFF.
distincts et r seulement (^)^, ojg, ..., cv, cette forme est égale à un
produit symbolique de r -\- i facteurs
(8) ' il = iilWjOJg ... O),,,
la forme ii^ n'admettant plus de diviseur linéaire.
Cette décomposition peut cFail leurs être effectuée d'une infinité
de manières. Si l'on pose en effet
^1 = ^hi^i + û'jgW, + ••• + «IrWr,
777.2 = a2^M^ -\- r/jjoj, + ••• 4- a^pf^r,
Tjr = «ri^i + «/'i'-Ji + ••• + arrbir,
le déterminant des coefficients rt,/,- n'étant pas nul, on a
TJTjTïTn • . • ^r
JjWa ••• <'V,
an an . . . a,.
el il est aussi divisible par le produit to^cto ... v^r-
Hemarque. — Soitii une forme de dej^ré n — i an variables ; le
produit symbolique ii{ci.^dx^ -f ... + a^^dœ^^) contient un seul terme
en dx^dx^ ... dx^^. Ces coefficients a/ sont assujettis à vérifier une
seule relation linéaire ; il y a donc n — i diviseurs du premier
degré linéairement distincts et, par conséquent, toute forme il de
degré n — / à n variables peut être représentée par le produit
symbolique de n — i facteurs linéaires (CJ. n" 27).
Exemple. — En dehors du cas que nous venons de citer, une forme
symbolique quelcon(]ue n'admet pas en général de diviseur linéaire, si
ses coefficients sont arbitraires.
Considérons par exemple une forme du second degré à quatre varia-
bles,
ii = Ai^dxidxz + Aisdxidxs + A^dxidXi + A^^dx^dxa + A^^dx■idx^
+ A^^dxadx^ ;
le produit il{uidxi + oL^dX) -j- '^^dx^ + (Xidx\) développé est égal à
(Ai2«3 — Ai:ifZ2 + Ai^^'/i)dXidxzdx^
+ (Ai2«4. — A,4«2 + A^^r/.l)dx^dx■idx^
+ (Ai3«4 — Ai4«3 + A3i«i)dxidxridXi
+ (A23«+ — A2^«3 + A;nK2)dX2dX5dXi.
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 101
Pour que ce produit soit nul, les coefficients a,, «■>, «3, «* doivent
vérifier les quatre relations
I AajKi — AisK* + Ai-jK, = o,
1 A„Ot, — Ai4«3 + A,j«4 = o,
^^' ) Mi'^i — A,4«s + Aisa. = o,
» A3t«2 — Ajt«3 4- Aîsa^ = o.
H faut donc que le déterminant symétrique gauche
A =:
O A, 2 — Ai3 A^3
— A, 2 o A,4 — A; 4
A, 3 — An o Ast
— A25 A.2i — Aji o
(A,, A3, + A.jA^â + AnAj,)'
soit nul. S'il en est ainsi, les équations (9) se réduisent à deux équa-
tions distinctes, et la forme il admet deu.x diviseurs du premier degré
linéairement distincts. II était évident a priori (jue si il est divisible
par un facteur linéaire, il en admet une infinité. Si l'on a mis il sous
forme d'un produit symbolique
il =: wi&)2,
on aura aussi
pourvu que les fonctions ).i, ^2, ."1, ."2 vérifient la condition ).i!*.
On verra plus loin (Chap. Vil) que, par un changement de variables
convenable, on peut ramener un système de deux équations de Pfaflf à
quatre variables à l'une des formes suivantes
(I) dyi — ysrfyi = o, dy-^ — y^dy^ = o,
(II) dyi — o, dy^ — yidyi = o,
(UI) dyi = o, dy.> = o.
Lorsque le déterminant A est nul, la forme il peut donc être ramenée,
par un changement de variables, à l'une des formes suivantes ;
ii = K(rfy2 — !/3dyi){dy3 — y*rfyi),
il = Kdyi{dy3 — y+rfyi),
il = Kdyidiji.
26. Formes dérivées. — Soit
dx„ dœ. ... dx„
= 1\
«iKa . . . «p
une forme symbolique quelconque de degré p. On appelleybr/ne
102 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
dérivée de w, et on représente par la lettre w' la forme dé deg^ré
p + I définie par une somme de produits symboliques
(lo) w' = > c/A„ ^^ r,dx„dx„ ...c/x„.
En remplaçant tous ces produits symboliques par leurs expres-
sions développées, il vient
la sommation étant étendue à toutes les combinaisons des n indi-
ces /> 4- I à /> -f I . Les coefficients de cette nouvelle forme ont
deux expressions différentes suivant la parité de p. Si p est pair,
on a
(il) JId
^ '' «1«2 . . . «p+l
^k A ?A
__ «1OC2 • ■ ■ «p «2 • . «/)«JP+1 «fl+lKl • • . «fl— 1
3x 3a? -r ••• -r ^^^ »
«p+i «1 «p
avec des signes + seulement dans le second membre. Si p est
impair, on a
(^2) K
«2 . . . «p+t
3A 3A 3A
ai«2 . . . «p «2 . . . «p«p+l «p+l«i . . • «p— 1
«p+l «1 «p
avec le signe -|- et le signe — alternativement.
Si w est une forme linéaire
w = k-idx^ 4- ^%dx^ -I- ... + k^^dx^,
la forme dérivée w' a pour expression
i, h
ou, en remplaçant dxkdxi par dxj^xi — dxi^Xh, avec deux systè-
mes de différentielles (no 22)
^' = I] (^ - ^) (^^*^^' - ^^'^^'')-
i, k
CHAPITRE III. FORMES SyjlBOLlQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 103
La forme dérivée w' cT une forme de Pfaff est donc identique,
au signe près, au covariant bilinéaire (n'^ 3).
Nous allons monlrer dans ce paragraphe que les propriétés
essentielles du covariant bilinéaire s'étendent à la forme dérivée
d'une forme de degré quelconque. Nous allons d'abord démontrer
que to' est un covariant de w, relativement à tout changement de
variables. SI avec des variables nouvelles ^i, y,, ...,y«, la forme w
se change en n :
cj = 7 B „ du„ du„ . . . du„ ,
la forme w' dérivée devient, avec les mêmes variables, la forme a'
dérivée de ra,
Prenons, pour simplifier l'écriture, une forme du second degré,
et soient
to = ^Xjkdxjdxk, rn= 2^Bikdyidyk
i, k i, k
deux formes symboliques qui se déduisent l'une de l'autre par un
changement de variables x/= ç!/(^i, y^, ...,y/i). Supposons que
i/i, y^, ..., y„, et par suite 07^, x,, . ..,x,j soient exprimées au moyen
de trois paramètres auxiliaires a, v, w. Les formes w eta devien-
nent respectivement
- = 2 A,.- S -5^^ dudv + ^^p^ dvdw + ^^^dwda)
r.= y B,.- \ 5(p^ dudv 4- 5(^ dvdw + 5|p^ dwdul.
^^ ) D(«, v) \)(v, w) D(w, o) (
En égalant les coefficients de dudv, dvdw, dwdu dans l'identité
co = CI, on a donc les trois relations
2--^"'- D(«,., -J^. "■ D(«,., '
Vi D(J-/, J-fe) _ V p., D(///, //A-)
--i^* DK«) -^. '* DK«) •
104 LEÇONS SUR LK PROBLÈME DE PFAFF.
Différentions ces trois relations par rapport à lo, u, v respecti-
vement et ajoutons les relations obtenues ; en tenant compte de
l'identité
Dit»
B{u, v) )^ :^u ( D{o, w) S'^ :>v\ Yy(w,ii) )
il vient une nouvelle relation
y ^A;7f ( Tjjxu JCk) ^-7 D(a:i, Xk) ^xi D(xi,, xk) dx'
A^j^ ^xi \ D{u,o) 7^w '^ D(t),a)) D« "^ D{w,u) TïT
__ y ^B/^ ( D(///, //A-) 3/// D(//i, //fe) ?/// D(///, //A-) :>/// )
^.^^ ^^y; ^ D(«,/;) D;/' "^ D(?;, ;t>) ^m "*" D(«y, «) Dy y
ou plus simplement
y ^Mic T>{xi, Xk, xî) y dB/a: D(.y'\ //fe, y/)
ikl ^^' D(«, y, «>) ~,-^; 3y^ Y){u,v,w)
On peut encore écrire cette relation en multipliant les deux
membres par dudvdw^
2 ^^d^idxkdxi= 2] ^^ dijidijhdiju
/, ft, i
Xi '^'
ou
(i3) 2^ dkihdxidxh = ^ dBikdi/idyk.
i, k i, k
Or les deux membres de cette identité sont précisément les for-
mes dérivées w' etcr' des deux formes w et nr. La propriété énoncée
est donc établie pour les formes du second degré, et la démonstra-
tion est la même pour les formes de deg"rc quelconque.
Si une forme m est la somme de plusieurs autres m^ -f ... 4- ««V,
il est évident que w' est égale à la somme des dérivées w'^ + ••• + <^V-
Cherchons de môme la dérivée d'un produit <o = ««Ji^g, et considé-
rons d'abord le cas où w^ et w^ sont deux monômes,
(0 . = Adx„ . . . dx^, , 0), = Bdxo^ . . . dxa ,
(ù = a),a>„ =z ABdx^, ... dx„ dxo ... dxa .
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 105
On a
w' = {(^lOJo)' = (AdB + BdX)dx^ ... dx^ dxa ... dx^
= dkdx^dx^^ ... dx^^iBdxp^ ... dx^^)
+ i-iyXdx^^ ... dx^idBdx^^ ... dx^^\
c'est-à-dire
En reprenant le raisonnement du n" 24, on voit que la formule
est vraie pour le produit de deux formes s^'mboliques quelconques.
Plus sfénéralement, la dérivée d'un produit symbolique de m for^
mes Wj, Wj, ..., ft),jj a pour expression
(i4) (u^w, ... wj'= w>, ••• "mzb f^iw's •■• w„it ...
ce qui montre que la dérivée d'un produit est nulle, si chaque fac-
teur a une dérivée nulle.
On a déjà observé (n" 3) qu'une forme de Pfaff « est une difiFé-
rentielle exacte lorsque la forme dérivée w' est identiquement
nulle, et dans ce cas seulement. Si on convient de regarder une
fonction ordinaire des variables J7j, x,, . .., x^ comme une forme
d'ordre zéro, on peut dire que toute forme du premier ordre, dont
la dérivée est nulle, est elle-même la forme dérivée d'une forme
d'ordre zéro. La propriété précédente peut alors être considérée
comme un cas particulier de la proposition g-énérale suivante :
Pour qu'une /orme w de degré p soit la dérivée d'une forme de
degré p t— i, il faut et il suffit que la dérivée w' soit identique-
ment nulle.
On peut vérifier immédiatement sur les expressions (ii) et (12)
des coefficients J\o„ „ „ , . de oj' que la dérivée de w' est identi-
«jao • . • *p-rl *
quement nulle, c'est-à-dire que la forme que l'on déduit de w' de la
même façon que l'on déduit w' de w, a tous ses coefficients nuls. M^is
on peut le voir plus simplement en observant que la forme dérivée
d'un produit symbolique tel que
dXdx„ ... dx„
a, «p
106 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
est nulle, puisque tous les facteurs ont une forme dérivée identi-
quement nulle (formule i4). La condition énoncée est donc néces-
saire.
Pour prouver qu'elle est suffisante, nous n'avons qu'à g-énéraliser
la démonstration du n° 3, où 4e théorème énoncé a été établi pour
les formes du second deg-ré. Soit w une forme de degré quelconque
/> > 2 dont la dérivée est identiquement nulle, c'est-à-dire dont les
coefficients vérifient, suivant la parité de p, l'un des deux systèmes
de relations
:>A dA dA
o.
quelle que soit la combinaison d'indices {a.^,a.^, ..., a^+J. Nous vou-
lons démontrer qu'il existe une autre forme il de deg-i'é /) — i (et
même une infinité)
(i5)
aj ... «p
1
«2 ... «p+1
ap+l«i---«p-l
«p+l
1
«1
•+ ^x -
(i6)
3A
«1 ... «p
Tyx
—
?A
«2 ... «p+1
^X "^ '
«1
3A
«p-fl«i ..-«p-i
^x
«p
=i:c
«las . . . v.p-é^v.y • • • ^^ap_i
dont la forme dérivée il' est identique à w.
Nous le démontrerons en supposant que p est un nombre pair ;
la démonstration serait toute pareille pour^ impair. Considérons
d'abord une forme de degré/) k p -\- i variables, que nous écri-
rons, eu modifiant un peu les notations du cas général,
w =A^dx2 ... dXp^^ 4- A^dxs ...dx^^^^dx^^ -\- ... + k^j^^dx^ ... dx^ ;
la forme dérivée contient un seul terme qui est, p étant pair,
^,^/^ aA^ ^^_ࣱL\dx,dx,..,dxp+u
et les conditions (i5) se réduisent à une seule
(17) ^ + ^-|,..'. 4-^A^=o.
îyXi ?>X2 d^Xp+i
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 107
Cette condition étant supposée vérifiée, soit fi une forme de
degré p — i
Q = C^f/x.2 ... dXp -\- C^dœ^ ... dœ^^dx^ + ... -|- C^dx^ ... dx^_i,
où ne figure pas la difiFérentielle dXp^,^ ; on a, puisque p — i est
impair,
\:>xi 3a-2 ?j?p/ * - ^
^— dx^ . . . dx„dx„,,
"^ â^TT ^-^3 • • ■ dx^^.dx, — ... + —^ dx^^.dx, . . . dx^,.
Pour que cette forme ft' soit identique à w, il faut que l'on ait
aXl 3J?2 3J?3 '"' ?J?p ' P+''
P»
On tire des./) premières relations
C^= j A^rfjîp-r-t 4- U,, ...,Cp= / ApC?Xp-f-i +U
€.'«0 . •'^«0
(Xq étant une constante choisie à volonté, et L\, Ug, •-., U^ c^es
fonctions arbitraires des p variables Xi, x,, ..., x^,. En. rempla-
çant Cj, Cj, ..., Gp par les expressions précédentes dans la der-
nière des relations (i8), et en tenant compte de la condition (17)
que vérifient les coefficients A/, elle devient
(^9) 'i: + '-§+ - +'^^^ K.d^. ...,^p;a,) = o.
On peut choisir arbitrairement p — i des fonctions U/, et la
dernière s'obtient par une quadrature.
La proposition est donc établie pour une forme de degré/) à yo + i
variables. Pour prouver qu'elle est arénérale, il suffira donc de
montrer que, si elle est vraie pour une forme de degré p à. n — ■ i
108 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
variables, elle est encore vraie pour une forme de deg-ré p k n
variables.
Soit w une forme de deg-ré pair k p k n variables dont les coeffi-
cients A„ „ ,^ vérifient les relations (i5) pour toutes les com-
binaisons d'indices p k p. lï s'ag-it de prouver qu'il existe une
forme de deg-ré p — i ,
(20) ii=>C' „ „ dx., ... dx
telle que l'on ait, pour toutes les combinaisons d'indices,
Nous pouvons même supposer que la différentielle dx^ ne figure
pas dans ii, de telle sorte que tous les coefficients C
où l'un des indices est cg-al à n, sont nuls.
En considérant les relations (21) où l'un des indices est ég-al à ?i,
où l'on a par exemple a^ = /z, on en tire
A . «1 . ■ . «p— 1
«1 . . . «p_i« 3^.^^
et par suite
a^ étant une constante, et U„ „ „ , (x, .a:^, ..., .Xn-i) unefonc-
tion arbitraire des n — i variables j?^, ..., Xn~i. Il reste à montrer
que l'on peut choisir ces fonctions U „ , de façon à satisfaire
^ i «1 •• . «p— 1 *
aux autres relations (21) où tous les indices sont inférieurs à n.
Si, dans une de ces relations, on suppose tous les indices infé-
rieurs à n, elle devient, en remplaçantles coefficients Gij.,, i parles
expressions précédentes
3U DU
" . , «/?«! . ■ ■ «fl-2
«/)— 1
«p— 1
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 109
OU, en tenant compte de la condition (i5), où les indices sont
. ?A ?U 3U
A — I 8(|«j...gp ^^ I gi«a---«p— 1 ^-<2 ••• «p
» «/> «1
DU
+ ..• —
«p«l . ■ ■ «/>— -2
«p— 1
On peut encore écrire cette condition
3U ^ 3U.
•Tn =: «0 "«p «p— 1
(22) rA ) = «I. ■.«/>-! _ — ''z^'^' • • • "/'-^
et on a, pour déterminer les fonctions U//... /, un système d'équa-
tions tout à fait pareilles aux équations (21), où x^ a été remplacé
dans le premier membre par une constante a^. Or. si l'on prend
dans les conditions (i5) le groupe formé par les conditions où ne
fig-urent que les coefficients dont tous les indices sont inférieurs
k n, ce groupe de conditions exprime précisément que la forme Wj
déduite de oi, en v remplaçant j"„ par la constante x^ et dx^
par zéro, a une dérivée w'j identiquement nulle. Le théorème
que nous voulons démontrer étant supposé vrai pour une
forme de degré p k n — i variables, les équations (22) sont
donc compatibles par rapport aux fonctions U^ , ..., l;^ _i» ®* P^^
conséquent le théorème est vrai aussi pour une forme de degré p k n
variables.
La démonstration prouve même que. si les relations (i 5) sont
vérifiées, il existe une infinité de formes i> de degré p — i ayant w
pour forme dérivée, et dont les coefficients se déterminent par des
quadratures. Si l'on a obtenu une de ces formes il, toutes les autres
s'en déduisent immédiatement. En effet, si deux formes il, Oj ont
la même forme dérivée w, la différence il — li^ a une dérivée iden-
tiquement nulle, et par suite cette différence est la dérivée d'une
forme^ de degré/) — i. La réciproque est évidente. Si l'on a
Q' z= CD, il est clair que la forme ii + ci' a aussi w pour forme
dérivée, quelle que soit la forme de m de degré p — i .
110 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Les formes dérivées interviennent dans la g-énéralisation de la for-
mule de Stokes. Soit m une forme symbolique de degré/?; l'intégrale
Ip = Jm, étendue à une multiplicité fermée E^ d'ordre /> de l'espace an
dimensions, est égale, d'après le théorème de Stokes généralisé, à une
intégrale d'ordre p + i étendue à une multiplicité Mp^\ n p -\- i dimen-
sions limitée par Ep, et cette nouvelle intégrale est représentée par/w',
où w' est précisément la forme dérivée de w (i). Cette liaison entre les deux
formes symboliques w, m' explique bien pourquoi w' est un covariant
de M, car elle est évidemment indépendante du choix des variables. Elle
explique aussi pourquoi la dérivée de o' est identiquement nulle. En
effet, l'intégrale /&/ étendue à une multiplicité Ejo-i-i peut être rempla-
cée par l'intégrale /w étendue à la multiplicité Ep qui limite Ep-t-i. Il
s'ensuit que V Intégrale Jm' étendue à une multijûicité fermée est nulle,
puisque la multiplicité Ep disparaît dans ce cas. Or l'intégrale /w',
étendue à une multij)licité fermée Epfi peut à son tour être remplacée
par l'intégrale /m" (où m" est la forme dérivée de m') étendue à une
multiplicité V'p-\-2, limitée par Ep-)-i. Cette intégrale devant être nulle,
quelle que soit la multiplicité Ejo-t-2, il s'ensuit que la forme m" est
identiquement nulle. Inversement, si une forme w de degré/) est telle
que l'intégrale /w étendue à une multiplicité fermée quelconque Ep
est nulle, m est une forme dérivée. Car l'intégrale /w' étendue à une
multiplicité quelconque Ejj-f i doit être nulle^ ce qui ne peut avoir lieu
que si w' est identiquement nul.
Les formes dérivées jouissent donc, dans la théorie des intégra-
les multiples d'ordre quelconque, des mômes propriétés que les
différentielles totales dans la théorie des intég-rales curvilig-nes.
Cette analogie justifie le nom de différentielles totales que leur a
donné Poincaré ; pour éviter toute méprise, nous les appellerons
différentielles totales symboliques.
Remarque. — Si dans une forme dérivée on remplace l'une des
variables par une constante, et la différentielle correspondante par
zéro, la forme à n — i variables obtenue est encore une différentielle
totale symbolique. En effet si l'on fait par exemples; ^= G, «?iCj=:o,
la forme obtenue ne renferme plus que les termes
J^ «iKâ . . . (Xp «1 «2 «p
(') Je renverrai pour la démonstration aux travaux cités de Poincaré. On
suppose, bien entendu, que tous les coefficients de la forme w, ainsi que leurs
dérivées, sont continus dans un domaine renfermant les multiplicités dont
il est question dans l'énoncé. Voir, sur ce sujet, plusieurs Mémoires de
M. BtiHL dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse (1912-1918).
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 111
OÙ tous les indices sont différents de l'unité, et les relations qui
expriment que cette forme est une différentielle totale symbolique
sont comprises parmi celles qui expriment que la forme considérée
est une forme dérivée.
27. Extension du problème de Pfafi'. — Etant donnée une
forme linéairede différentielles co ^:=A^^dx^^ -\- A^dx^ + ... -{- A^dx^,
où les coefficients A,- sont des fonctions des n variables xi, le pro-
blème de Pfaffpeut être posé comme il suit : Trouver dans Tespace
à n dimensions toutes les multiplicités Mr à r dimensions
(i ^r <^ n) telles que Vintégrale foy, étendue à une ligne quelcon-
que située sur Mr, soit nulle. Si, au lieu d'une forme linéaire, on
prend une forme symbolique w de degré quelconque p, une
généralisation toute naturelle du problème précédent consiste à
trouver dans Vespace à n dimensions foutes les multiplicités
Mr à r dimensions (p ^ f"<i '0 telles que l'intégrale fuy, étendue
à une variété quelconque d'ordre p faisant partie de Mr, soit
nulle.
Ce problème d'une si grande srénéraJité comprend la plupart des
problèmes classiques. Toute multiplicité de l'espace à n dimen-
sions, satisfaisant à la condition précédente, sera dite une multi-
plicité intégrale, ou plus simplement une intégrale, de l'équation
(28) W =r o.
Nous ne nous occuperons que des intégrales appartenant à des
familles d'intésrrales telles qu'il passe une intégrale de cette famille
et une seule par chaque point de l'espace, ou tout au moins d'un
domaine assez restreint de l'espace. Ces intégrales Mr sont alors
représentées par un système d'équations
(24) /i = C„ /, = C^, ...,fn-r = Cn-r,
Cj, C2, ..., Cn-r étant des constantes arbitraires.
La détermination de ces familles d'intégrales à r dimensions se
ramène à l'intéerration d'un système d'équations aux dérivées par-
tielles du premier ordre, dont l'étude ne semble pas avoir été
abordée, lorsque p est > i . Il est facile de former ce système
112 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAPF.
d'équations en s'appuN ant sur les propriétés d'invariance d'un pro-
duit symbolique.
Proposons-nous d'abord de rechercher s'il existe des familles
d'intégrales k ii — i dimensions. Soit
(25) f{x^, Xj, ..., xJ = G
une équation définissant une famille d'intég-rales de cette espèce.
Imag-inons que l'on prenne un nouveau système de variables de
façon que l'équation de cette famille d'intég-rales soit, avec les nou-
velles variables,
la forme w se chang-e en une nouvelle forme symbolique ttt de deg-ré
p en di/^, di/z, ..., dt/j^. Pour que l'intég'rale J^ra étendue à une mul-
tiplicité quelconque de deg-ré p, sur laquelle ?/^ est constant, soit
nulle, il faut et il suffit évidemment que di/^^ figure dans tous les
termes de m ou, ce qui revient au môme (no 25), que le produit tjdi/^
soit identiquement nul. Si l'on revient aux variables primitives, le
produit Tidy, se transforme en wdf{n° 24), et l'on peut énoncer le
théorème suivant :
Pour que les muUiplicItés M^^_^ définies par r équation f =^ C,
soient des intégrales de r équation w =o, il faut et il suffit que le
produit sijnibolique o)df soit identiquement nul.
En ég-alant à zéro les coefficients de tous les termes de ce produit
développé, on obtient un système d'équations linéaires aux déri-
vées partielles du premier ordi^e qui doivent être compatibles pour
que l'équation w = o admette des familles d'intég-rales an — i
dimensions. Dans le cas particulier où p = n — i, le produit sym-
bolique (àdf ne renferme qu'un terme en dx^dx^ ... dx.^, et le
système qui détermine /'se compose d'une seule équation.
En simplifiant un peu les notations, écrivons
w = K^dx^ ...dx^ + A^dx^ ... dx^dx^ 4- ••• + A^dx^dx^ ... f/^„_i ;
le produit wdf a deux expressions difterentes suivant la parité
de n. Si n est impair.
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 113
et, si n est pair.
Suivant la parité de n, la fonction/ doit satisfaire à l'une ou
l'autre des deux équations
Le résultat s'explique facilement dans l'espace à 3 dimensions : soit
« = Xdijds -\- Bdsdx + Cdxdy ;
on a
r.Hlf= ^A^+B^ + C^^ dxdydz.
Pour que l'intégrale /&>, étendue à une portion quelconque d'une sur-
face S représentée par l'équalionyï^^ soit nulle, il faut et il suffit
que la fonction /(a:*, y, r) vérifie la condition
(26)" A -5/ _i. B ^+ C ^ = o.
' Djf- ?y ' Dr
Ceci est bien d'accord avec la signification de l'intégrale Tw, car un
élément de cette intégrale est égal à (Acos a + B cos S -{- C cos v) diy
a, p, '/ étant les angles que fait la normale à la surface avec les axes, et
la condition (26)" exprime précisément que la normale est perpendicu-
laire à la droite de paramètres directeurs A, B, C.
Si w est de degré quelconque, et admet r diviseurs du premier
degré linéairement distincts w^, w^, ..., w^, la forme w est égale à un
produit symbolique
la forme i> n'admettant plus de diviseur linéaire. Pour que le pro-
duit b)dj soit nul, df doit être un diviseur de w et par suite une
combinaison linéaire des r diviseurs wi, Wî, . . . , w^.
On est donc ramené à la recherche des combinaisons intésrra-
bles d'un système de r équations de Pfaff {^Leçons, n" 25). Si w
G. Prob. 8
114 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
n'admet pas de diviseur linéaire, on ne peut avoir (Aidf=2 o, quelle
que soit la fonction y.
La recherche des familles d'intégrales à r dimensions conduit à
un problème d'analyse plus compliqué. Supposons que les équa-
tions (i?^) représentent une famille d'intég-rales, et imag'inons que
l'on ait choisi un nouveau système de variables tel que cette famille
d'intégrales soient représentée par les équations
Soit w ce que devient la forme oj avec ce nouveau système de
variables. Pour que l'intég-rale /tâs, étendue à toute multiplicité
d'ordre />, sur laquelle ?/j, y.^, ..., i/n-r ont des valeurs constantes,
soit nulle, il faut et il suffit que chaque terme de nr contienne au
moins un des facteurs dy^, ..., dyn—r, ou, ce qui revient au même,
que le produit symbolique mdy^ ... dyn—r soit identiquement nul.
En revenant aux variables primitives, nous avons donc la proposi-
tion suivante :
Pour que les équations (24) représentent une famille d'inté-
grales à r dimensions de V équation w := o, il faut et il suffit que
le produit symbolique
^dfdf^...dfn-r
soit identiquement nul.
En égalant à zéro tous les coefficients de ce produit symbolique
développé, le nombre des équations obtenues est ég-al au nombre
g" des combinaisons de n objets n -\- p — r h n -\- p — a*. Le
nombre des fonctions inconnues étant ég-al à r, il y a lieu de pré-
sumer que ces équations sont compatibles dès que r est égal ou
supérieur à C" ^~'^ , et ne le sont pas, tout au moins si les coeffi-
cients de 0) sont quelconques, si r est inférieur à C ^ , mais il y
aurait lieu de pousser plus loin cette étude, ce qui serait sans
doute possible en généralisant les méthodes employées par
M. Cartan pour les systèmes de Pfaff (*). 11 serait important en
particulier de connaître la valeur minimum de /z — r. Il est un cas
(') Voir une note de M, Cerf dans les Comptes rendus {tome 170, p. 874; 1920).
m.
CHAPITRE m. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉREMIELLES. 115
limite où les équations du système précédent se réduisent à une
seule, c'est le cas où p =r : on peut même choisir arbitrairement
n — r — I des fonctions y), et la dernière est déterminée pai-
une équation linéaire du premier ordre. L'existence de ces mul-
tiplicités intégrales à /) dimensions était évidente a priori; en
effet, si l'on se donnait j^^^i , . . , x,, en fonction de 0;^, . . . , JTp, ces
n — p fonctions doivent satisfaire à une seule condition pour que
l'intégrale f ta étendue à la multiplicité ainsi définie soit nulle .
Rejiarque. — Pour qu'une multiplicité définie par les // — /■ équa-
tions/i := o. ^2 = o, . . ., /n—r ^ o soit une intéorale, il n'est pas néces-
saire que le produit symbolique 'jf//"! ... rf/"/i_r soit nul identiquement ;
il suffit que tous les coefficients de ce produit développé soient nuls en
tenant compte des équations yV= o elles-mêmes.
Les conditions pour qu'une multiplicité Mr soit une intégrale d'une
équation symbolique a = o peuvent s'écrire d'une autre façon. Consi-
dérons la multiplicité Mr définie par les formules
Si on remplace dans w les variables aîr-i- 1 » •■•,0Cn par les expressions
précédentes, et les différentielles par les expressions correspondantes,
en ayant soin de conserver l'ordre des facteurs dans tous les produits,
on obtient une forme symbolique «, de degré p à r variables, qui doit
être nulle identiquement, puisque l'intégrale ^W] étendue à une multi-
plicité quelconque d'ordre p dans l'espace à r dimensions {xt, JCi, ..., Xr)
doit être nulle. Il en est ainsi en particulier toutes les fois que r est
inférieur à p, ce qui conduit à considérer toute multiplicité d'ordre
inférieur à p comme une multiplicité intégrale d'une équation symbo-
lique quelconque de degré />.
Si r est supérieur à/>, les fonctions yr+l, ..., ?/i devront satisfaire à un
certain nombre d'équations renfermant les variables, les fonctions
inconnues, et les dérivées partielles du premier ordre de ces fonctions.
Tout système d'équations aux dérivées partielles à un nombre quel-
conque de variables et d'inconnues peut toujours se ramener à un sys-
tème d'équations de Pfaff, en faisant figurer dans ces équations un
nombre suffisant de dérivées des fonctions inconnues. Dans le problème
actuel, la réduction à un système de Pfaff peut s'effectuer très simple-
ment. Considérons un système de r équations de Pfaff
wi = aiidjci 4- aiidxi + ... + aindxn = o
{i =z i,2,...r);
une multiplicité intégrale de ce système sera aussi une multiplicité
116
LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE l'FAFF.
intégrale d'une équation symb()li([ue <> ~ o de degré supérieur si, en
remplaçant /• des différentielles dxi parleurs valeurs tirées des relations
Mi =z O dans la forme i). = o, on arrive à une forme identiquement
nulle. On obtient ainsi un certain nombre de relations entre les coeffi-
cients a//i- des formes w/ et les coefficients de la forme il. Ces relations
j)ermettenl d'exprimer les o/A-au moyen des variables œ^, x.^, ..., Xn et
d'un certain nofnbre d'indéterminées /i, ).2, ...,'>(/. En substituant dans
les équations mï =o, on arrive à un système d'équations de Pfaff entre
les // + q variables ,T"i, Xi, ...Xn, /i, î?, .. ., \, ces dernières variables
ne figurant que dans les coefficients.
La métliode précédente donnera bien toutes les intégrales, car elle
généralise la dernière méthode indiquée pour déterminer les multipli-
cités intégrales Mr.
Le résultat est particulièrement simple lorscjue la forme symbolique
donnée est le produit de /) formes de Pfaff il =r mi^^ ... m^. Soit Mp une
multiplicité intégrale à /* dimensions représentée par les équations
Xi = <fj{iu, ..., ur), {i — 1,9., ... n);
quand on rem])lace les variables xi et leurs différentielles par les fonc-
tions çp( eld-jii dans les formes de Pfaff w,, wj, ... on obtient p formes de
Pfaff IIj, lia, ..., n^, où ne figurent plus (|ue les variables ui et leurs
différentielles. Pour que Mr soit une multiplicité intégrale de l'équa-
tion symbolique il = o, il faut et il suffit que le produit [I1II2 ... ll^soit
identiquement nul, c'est-à-dire (no 24) qu'il y ait une relation linéaire
entre ces /> formes, ).ini -(-...-!- /^.II^ = o. La multijjlicité Mr est donc
une intégrale d'une é(juation de Pfaff de la forme
),ir,j, -f /gf,)2 -(- ... + l/)f>)p =Z O,
et la réciproque est évidente, car ou déduit de la relation précédente que
le produit symbolique «1^2 ... ^p est identiquement nul. L'intégration
de l'équation si/mbolique wjwg ... r,)p z= se /'amène donc à l'intégration
de l'équation de Pfaff
A]Wj + /2W2 -)-...+ )./jWp = o,
on entrent n -\- p — / inconnues, les variables Xi et les rapports
Par exemple, l'intégration de l'équation symbolique
(flfys — y-idy{){dy.i — ij,,dij^) = o
se ramène à l'intégration de l'équation de Pfaff
dyi — Uidyx — l {dys — y^dy^) = o.
CHAPITRE III. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 117
qui est de forme canonique
dtjî — ulyi - (iji — ty^'.dyi = o.
Les intégrales M2 sont représentées par les formules
et par d'autres formules qu il serait facile d'écrire (n" 15).
Si les équations v, =: o, ..,«p=ro forment un système complète-
ment inlégrable, ce système est équivalent à p équations d/i rr o,
.... dj'p = o, et l'équation symbolique peut s'écrire df\dfi ... df^ := o.
Toute solution s'obtient en établissant une relation au moins entre
fi,fi, ••■,fp- L'équation de Pfaff correspondante tydfi -\- ... -{-\pdfpZ=:o
conduit bien au même résultat.
On reviendra plus loin sur ce sujet (n" 32)
28. Les formes de degré n — 1. — Revenons au cas d'une
forme w de degré n — i k n variables. Si l'on prend un nouveau
système de variables indépendantes (y^, y,, ...,y„_i, y„) tel que
i/i, i/i, '■-, i/n-i soient n intéarrales indépendantes de l'équation
tùdf=o, la dernière variable y „ restant quelconque et distincte des
premières, w se chang-e en une nous'elle forme symbolique ci, divi-
sible par dy^dy^ .,. dy,^_^, et qui par conséquent ne contient qu'un
terme
T^ = Kdy^dyi ... dy^_^^.
Si le facteur K ne dépend que dey^, y,, ..., y„_j,etest indépen-
dant de y„, on peut prendre 1 Kc(yj pour variable à la place de y^y
et l'expression précédente devient
ni = dy,dy,^ ... dy,^_i.
Lorsque le facteur K contient y,j, on peut prendre ce facteur K
lui-même pour la dernière variable y,^. et l'on a alors
m=y„dy^dy, . . . dy,^_^.
En résumé, foute /orme symbolique de degré n — i à n variables
peut, par un choix convenable des variables indépendantes, être
ramenée à F une des deux formes.
(I) dy^dy^ . . . dy^_^, (II) yjy, . . . dy^_,.
Il est aisé de savoir a priori quelle est celle des deux exprès-
118 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
sions qui convient à une forme donnée w. En effet, la forme
réduite (I) a une dérivée nulle, tandis que la forme réduite (II) a
pour dérivée dij^dy^ . . . dy^_^. La forme w peut donc être rame-
née à la forme réduite (/) lorsque sa dérivée est nulle, et à la
forme {II) dans le cas contraire.
Considérons encore une forme a> de de^ré n — 2 à n variables. Si w
n'est pas une différentielle totfiie symbolique, sa dérivée w' est une
forme d'ordre n — i à n variables, et par conséquent on peut
l'écrire, avec un choix convenable des variables indépendantes,
œ' = dy^^dy^ . . . dy^_^.
Les deux formes w et y^dy^ ... dy ^^_^ ayant la même forme déri-
vée, leur différence est la dérivée il' d'une forme a de deg'ré n — 3,
et la forme w a pour expression
On remarquera l'analogie de cette expression avec la forme
réduite d'une forme de Pfaff à trois variables.
29. Multiplicateurs d'une forme. — On peut aussi étendre
aux formes symboliques la théorie du facteur intégrant. Soit w une
forme symbolique de degré p ; une fonction [x des variables indé-
pendantes a^^, x^, ..., x^ est un multiplicateur ou un facteur inté-
grant t^ouv iù si le produit [xw est une différentielle totale symboli-
que. Pour que a soit un facteur intégrant, il faut et il suffit que
l'on ait identiquement
([XO))' = ILOi' 4- {d\l.)M=0.
En égalant à zéro les coefficients des différents termes de la
forme ([xw)' développée, on a un système d'équations linéaires
(mais non homogènes) par rapport aux dérivées partielles du pre-
mier ordre de la fonction 1 = log [x. Ces équations doivent être
compatibles pour qu'il existe un facteur intégrant pour w. S'il en
est ainsi, l'intégrale générale de ce système est de la forme
A=.l, + F(/„/,,...,A),
où ^1 est une intégrale particulière, F une fonction arbitraire et
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 119
fit fi, •.',fq les y intégrales distinctes du système linéaire ethomo-
g'ène que l'on obtient en supprimant les termes indépendants
de À dans les équations qui déterminent 1. Mais, d'après la façon
même dont on obtient ces équations, yj,/*^, ...,/y sont précisément
des intéarrales du svstème que l'on obtient en écrivant que le pro-
duit symbolique wrf/" est identiquement nul.
S'il n'existe pas de fonction f satisfaisant à cette condition, la
forme w admet au plus un facteur intégrant qui s'obtient par une
quadrature. S'il y a une infinité de facteurs intégrants distincts, la
forme o> est és^le à un produit symbolique
« = QdfdJ^ . . . d/ç,
et l'expression ^nérale des facteurs intégrants est
H- = H-iDC/i,/,, • . • . A)»
n désignant une fonction arbitraire. Le produit u-w peut s'écrire
comme produit symbolique - »
aa> = ±(st,û)n(/„/„ ...,/ç)d/,df,... dfç;
or ^df^dfi ... dfq est une différentielle totale symbolique. Il fau-
dra donc que le produit u.,a soit aussi une différentielle totale sym-
bolique.
On voit que, dans le cas où w admet plusieurs facteurs intégrants
distincts, l'équation w =z o admet des intégrales à ^ — i dimen-
sions : si U.J et a, sont deux facteurs distincts, l'équation — =:= G
«*s
représente une famille d'intégrales de cette espèce.
Les formes pour lesquelles le facteur intégrant a le plus haut
desfré de généralité possible sont les formes représentées symboli-
quement par un produit de différentielles totales tel que
K<//i .. . c(/"p. il en est ainsi, en particulier, si /) = n — i, et l'on
est ainsi amené à la théorie du dernier multiplicateur de Jacobi.
Soit comme plus haut
to = Ajrfj?2 ... dx^ -f- AjC/j?3 ... dx^dx^ + ... + A^c/jJj ... dx„_i ;
l'équation qui exprime que |i.w est une différentielle totale symbo-
120 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
lique est difîérente, suivant la parité de n. Si n est impair, cette
condition est
et, si n est pair,
Dans le premier cas, [x est un multiplicateur pour le système
d'équations différentielles dont l'intég-ration donne les intégrales
de réquation tùdf^= o. Dans le second cas, tx est un multiplica-
teur pour le système
qui doit remplacer le précédent.
On voit immédiatement, d'après cela, que la connaissance de
n — 2 intégrales de l'équation Mclf^:^ o et d'un multiplicateur per-
met d'achever l'intégration par une quadrature. Supposons en
effet que l'on ait effectué un chang-ement de variables de façon que
^1' ^2' •••' ^M— 2 soient les n — 2 intég-rales connues; si [x est un
multiplicateur, \uù est une différentielle totale symbolique qui,
après le chang-ement de variables, prend la forme
Pour que la dérivée de \jm soit nulle, il est nécessaire que l'on
ait
et en posant
on a aussi
lL(^=zdi/^ ...dy,^-^dz;
s est donc une nouvelle intégrale de l'équation o}df=-. o.
CBAPITRE 111 — FORMES SYMBOLIOIES DE DIFFÉRENTIELLES. 121
On peut obtenir la dernière intégrale sans aucun changement de
variables. Le produit uw est en effet de la forme
a<u = d/i ... dfn 1 («ir/j?, + ... + a^dxri).,
les coefficients ai pouvant être calculés par identification. Puisque fiw
est une forme dérivée, ^aidn est aussi une différentielle exacte (no 26).
On a étendu la définition du multiplicateur de Jacobi aux systè-
mes complètement intécrrables. Avec la théorie des formes svmbo-
liques, cette extension est bien facile Soit
(27) w/ = Qiidx^^ -f- . . . + QindXn = O (? = 1 , 2, ... s)
un système complètement intég^rable de s équations, équivalent au
système
(27)' d/i = o, df^=o, ..., dfs= o,
fufii • ■ --fs étant s fonctions distinctes. On a
o>/ = )./irf/\ + ... 4- \sdft,
le déterminant A des coefficients a/^- étant diÉFérent de zéro. Consi-
dérons le produit symbolique
toute fonction u. des variables (x^, . . , , o;,,) telle que u.a soit une
différentielle totale symbolique est un multiplicateur du sys-
tème (27). D'après ce qui a été démontré plus haut, il existe une
infinité de multiplicateui*s, dont il est facile d'avoir l'expression
générale. Imaginons en effet que l'on ait effectué un changement
de variables de façon que 5 des nouvelles variables y^, y,, ■•', l/s
soient précisément les intégralesyj.y,, ...,fs du système. Le pro-
duit symbolique Q. devient Ac(y, . . . dys., et l'on a
;jii = 'J-^dyi . . . dys.
Pour que (uLfî)'soit identiquement nul, il sui^tque jiA ne dépende
que de yi, ..., ys. Le quotient de deux multiplicateurs distincts est
toujours une intégrale du système (27).
La connaissance d'un multiplicateur est de la même utilité que
pour un système d'équations différentielles. Si l'on connaît s — i
122 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
intégrales premières y"^,y2) •••■,fs—\ et un multiplicateur ;;., on a
encore une relation de la forme
( n \
[xii = dfidf^ . . . dfs-\ \ 2^ ciidxi >,
les coefficients ai se calculant par identification. Pour que ([J-ii)' soit
nul, il faut que l'on ait
et on aura une nouvelle intég-rale par une quadrature
lidxi.
/n
30. Intégrale intermédiaire d'une équation symbolique. —
Toute multiplicité intégrale Mr d'une équation symbolique oi = o
d'ordre p est aussi une intégrale de l'équation m' =: o. La proposition
est évidente si /• = />, puisque toute multiplicité d'ordre /> est une inté-
g-rale d'une équation symbolique d'ordre/) + i- Si on a /' >/;, l'inté-
grale J"m', étendue à une multiplicité quelconque d'ordre/) + i, appar-
tenant à la multiplicité Mr, est égale, d'après le théorème de Stokes
g-énéralisé, à l'intégrale J^m, étendue à la multiplicité M^, qui limite
Mp+i ; cette multiplicité Mp appartient elle-même à la multiplicité Mr,
et par conséquent l'intégrale J'm, étendue à Mp, est nulle, puisque Mr est
une intégrale de l'équation w ^ o.
Réciproquement, soit Mr une intég-rale à r dimensions de l'équation
symbolique w' = o, de degré/) + i. L'intégrale J'w' étendue à une mul-
tiplicité quelconque Mp-\-i, appartenant à Mr, est nuUe^ et par suite
l'intégrale Cm, étendue à une multiplicité ye/'mee quelconque M^ située
surMr, est nulle aussi. Supposons la multiplicité Mr représentée par
les équations
Xr+i =fr+l{Xi, ..., Xr), ..., Xn= fn{Xi, X^, ..., Xr) ',
si on remplace dans w les variables Xr+u ..., ocn et leurs différentielles
par fr+i, . . ., fn, dfr-\-i, . . ., dfn respectivement, on obtient une forme
symbolique wi de degré/) où figurent seulement/* variables OJi, ...,Xret
leurs différentielles, et l'intégrale f^i étendue à une multiplicité fermée
quelconque à p dimensions de l'espace à /• dimensions {xi, . . . , Xr) doit
être nulle, de sorte que l'intégrale Jm^ étendue à une multiplicité
quelconque à /) + i dimensions du même espace doit être nulle, ce qui
CHAPITRE m. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 123
exige que l'on ait «/ :=. o, ou '>>^ ^=. (wâ)', «a étant une forme symboli-
que de degré/) — i à /■ variables Xu X\, ..., Xr. La multiplicité Mr est
donc une intégrale d'une équation de la forme
(28) « = n',
n étant une forme symbolique de degré /> — i, et inversement, quelle
que soit cette forme n, toute intégrale de l'équation (28) est aussi une
intégrale de l'équation w' = o. Nous dirons que l'équation (28), où figure
une forme arbitraire, est une intégrale intermédiaire de l'équation
w' ■=z o. L'analogie avec la théorie des équations aux dérivées partielles
est évidente. Pour qu'une équation symbolique admette une intégrale
intermédiaire, il suffit qu'il existe un multiplicateur pour le premier
membre
Remarque. — Le raisonnement semble être en défaut si r =z p, car
toute multiplicité d'ordre /) est une intégrale de l'équation w' =0, mais
le théorème est encore exact. Soit Mp la multiplicité définie par les
équations
J'p+i = y/>-|-i(a"i, ...,a*p), ..., Xn = »n(j?i,a.'2, ...,xp);
si on remplace dans &> les variables a?/>-i-i, .... Xn etleurs différentielles
par les fonctions op-fi . .., fn^t rf»p-(-i, . . ., dran, il vient
w =:/{xi, ... Xp)dxidx2 ... dXp.
Soient F (Xi, . . ., Xp) une fonction telle que =z f, el U la forme de
degré p — i
fl =: FdXi . . . dxp ',
la multiplicité Mp considérée est bien une intégrale de l'équation
M = n'.
Dans le cas particulier où la forme dérivée 0/ est du second ordre,
w est une forme de PfaÉF, et l'intégration de l'équation symbolique
w' ^ o est ramenée à l'intégration de l'équation de Pfaff
w = dxn-{-U
à. n -{- i variables a?j, x^, . . ., Xn+l .
Prenons par exemple l'équation symbolique (')
dxidx% — dxsdx^ := o ;
{'■) On est conduit à cette équation, quand on cherche toutes les transfor-
mations ponctuelles d'uu plan qui conservent les aires [Bulletin des Sciences
Mathématiques, 2* série, t. 4^j ^9^7)- J'^i montré dans cet article comment on
peut trouver toutes les solutions de l'équation plus générale
dyidi/i . . . dyn =: dxidx^ . . . dxn-
124 LEÇOiNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
elle admet l'intégrale intermédiaire
Xidx<i -\- .T^dxs = dœ!^.
Si X2 et œs sont dfes variables indépendantes, la solution générale est
donnée par les deux relations
x,=^, x,=^,
f{x=i, x^ étant une fonction arbitraire de x^ et de x^.
31. Application aux systèmes canoniques. — Soit
/ N dxi &H diii DH , • >
(29) -77 = T-t' n- — ^r- (i = i,2, ...«)
dt Tyiji dt dxi
un système canonique, où H est une fonction des 2« variables œ\ i/k,
/» n
et de t. H, Poincaré (') a démontré que / 2. dxidiji est pour ce sys-
/n
tème un invariant intégral.
Considérons les intégrales
(3o) Xi z=z fi{a\, . . ., an\ f)i, . . .,bn; t), i/i = (i>i{ai, . . . , bn; t)
qui, ])our / = /y, prennent les valeurs ai, hi respectivement.
Lorsque le point de coordonnées («/, bi) décrit une multiplicité Mq à
deux dimensions dans l'espace à 2/i dimensions, le point {xi, yi) décrit
lui-même une multiplicité M< à deux dimensions dans ce même espace,
et les deux intégrales multiples
f \^ dxidgi, l \^ da/dbi
sont égales, quel que soit t. En d'autres termes les fonctions _/;, y/ satis-
font, (|uel (jue soit t, à l'équation symbolique
n n
(3i) 2. dxidjji — 2, daidbi = o,
i=i i=i
([ui peut être remplacée par l'intégrale intermédiaire
n n
(82) 2j yitixi + 2, (^i^^'i = '^^'^•
(i) H. Poincaré, Les méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste, t. III, p. l^?>.
CHAPITRE III. FORMES SYMBOLlyUES DE DIFFÉRENTIELLES. 125
Les 2« variables ,Xi, bk sont indépendantes, puis({ue, pour / ^ /o»
X\, . . ., Xn se réduisent respectivement à «i, ..., «„, et les valeurs ini-
tiales ai, bh peuvent être choisies arbitrairement. Il ne j>eut donc y
avoir aucune relation linéaire entre les différentielles dxi, clbi, et par
suite les fonctions cherchées yi, a>i, vérifient des relations de la forme
(33) iji=-—, ai = ^ (i = i, 2, ... h),
:>jci ^bi
Vêtant une fonction des 2/1 variables œi, bh et de /. D'après les condL
tions initiales, cette fonction V doit se réduire à 6ja?| -»- biJCî -l-...-j-6„a?„
pour / = /q, pour que les fonctions a?/, i/i définies par les relations (33)
se réduisent respectivement aux valeurs données pour / = i^. De plus,
ces fonctions doivent être des intégrales du système canonique (29). On
obtient ainsi les conditions
\- 7 1 = o,
3a-i ^ îsxiisj'k ?yA- ^-Tiist
3*V . V "^-V ^H
o.
que l'on peut écrire
- — î — . + H a-,, ..., à„, -- , ..., - — , / [ = 0,
. 3V
J?l, ..., Xn
3aî,
3V A)
,/ U = o.
^^.. jS
Il s'ensuit que h H ( X\, ..., ,r„ ; , ..., - — , / | ne peut dépendre
que de la variable t, et des paramètres a,, . .,<?,, Or on ne chansre pas les
équations (33) en ajoutant à V une fonction quelconque de a,, ..., a„, t.
On peut donc supposer que l'expression précédente est nulle, et la con-
clusion est la suivante:
Les intégrales du système canonique (2g} qui prennent les valeurs ini-
tiales ai, bi, pour t =: /o, sont données par les équations (33). où Mxi, . . • a?« ,"
6,, b-i, ..., bn, t) est une intégrale de l'équation aux dérivées partielles
^^^) ,^+ H( x,, ...,a*„, ;^, ..., :^, /) = 0,
»/ \ JoT, ^X,i /
qui, pour t =1 1^, se réduit à biXi -f- . . . + baX^-
Ce résultat est identique à celui que l'on déduit de la première
méthode de Jacobi (Leçons, n^ 5oj.
126 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
32. Rang d'une forme symbolique. — Soit
il = 7 A„ „ „ dx„ dx^^ . . . dx^,
une forme quelconque de degré p k n variables. Prenons une per-
mutation quelconque de /) — i des indices (a^, ag, . . ., ocy,_i), et
écrivons l'ensemble des termes de a où fig'ure le produit symboli-
que dx^^dx^^^ . . . dx^^^_^,
n
V A„ „ „ .idx„ dx^, . . . dx ,dxi.
/ . «1«2 . . ■ «p-l' «1 «2 «/J— 1 ' ^
Si nous supprimons le produit t/ic^ ...dx^ _ dans chaque terme,
il reste une forme de Pfaff
n
En opérant ainsi avec toutes les combinaisons des n indices/) — i
kp — I, on obtient un système de formes de Pfaff, que nous
dirons associées à la forme w, et en égalant toutes ces formes à
zéro, on obtient un système S d'équations de Pfaff que j'appellerai
pour abréger le système associé à la /orme w.
Pour trouver la signification de ce système, nous démontrerons
d'abord le lemme suivant.
Lemme. — Soient w^, «2, .,., w^ des formes de Pfaff linéaire-
ment distinctes. Si on développe le produit symbolique w^oi^ ... w
toutes les formes de Pfaff associées à cette forme symbolique
sont des combinaisons linéaires de Wj, w^, ..., w .
Il suffit évidemment de prouver que le coefficient de dx^dx^...
dXp_^, par exemple, s'exprime uniquement au moyen de w^,
C02, . . ., M^. Soit
w/ = Uii^dx^ + ai^dx^ + . . . 4- aindxn, (i = i, 2, ...,/));
si l'on prend chacun des facteurs dx^, dx2, . . ., dx^-^, dans l'un
CHAPITRE m. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 127
des facteurs w^, . . . ,
à la forme de Pfaff
"p_i,le coefficient de ctTjÉteg ... dx i esterai
'i,p-i
\
, — «pi'^'^?! ... — a^,^Xj^ j .
J>— 1. 1 "p-t. 2 ••• "p— ip— 1
En opérant de même avec tous les autres produits symboliques
qui renferment rfj?, . . . dx^^^, on voit que le coefficient de ce pro-
duit symbolique est ég'al à une combinaison linéaire des formes
Wj, wj, . . ., tjy, diminuée du déterminant
a^^^dx^ -f .
'1, p— 1'
+ «Lp-i^O-p-i
'i- p— 1'
+ «2.p-l<^p-l
qui est identiquement nul, comme somme de déterminants ayant
deux colonnes identiques.
Cela posé, supposons que la forme donnée il puisse s'exprimer
symboliquement aiî moyen de /"formes de Pfaff w^, w». .... Ur linéai-
rement distinctes (/> -^ ^ '^ n).
n= Va.
Xp «1 «2 «p'
les coefficients A,
étant des fonctions quelconques des
variables x^, x^, ..., x^; d'après le lemme précédent, toutes les
formes de Pfaff associées à la forme n s'exprimeront linéairement
au moyen de w^, a>2, . . ., wr. et par conséquent le système associé S
comprend au plus r équations distinctes.
Réciproquement, supposons que le système S contienne r équa-
tions distinctes et r seulement, de telle sorte que toutes les formes
de Pfaff associées à li soient des combinaisons linéaires de r formes
de Pfaff linéairement distinctes wi, wj, ....w^. Admettons, pour
fixer les idées, que le déterminant des coefficients de dx^, dx%i ...,
dxr dans ces formes est différent de zéro ; les n formes
fc)j, w^, . . ., Wr, Wr+l = dXr+ii .■■t'^n = dXn
128 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE 1>FAFF,
sont alors linéairement distinctes, et la forme symbolique Q. peut
s'exprimer au moyen de celles-là (n" 25 p. 99)
2c
.S,/3, ... <^,,''§,'"^, ••■ '^8,
Soient aj, a^, . . ., aj,_^ un système quelconque de p — i indices
diflerents ; par hypothèse, la forme associée correspondante
s'exprime au moyen des r formes w^, Wg, . . ., ov- Ceci ne peut avoir
lieu que si les fonnesoy r^-{, ■••■, <>hi ne figurent pas dans l' expression
de il. En effet, mettons à [)art dans il la forme Li^^dx,^, où fig-ure
dx^, et soit iij ^^ différence il — iiidx^ qui s'exprime au moyen
de Wj, .,.,w^j_j. Les indices^ a,, ol^, . . . , a^_i étant supposés
inférieurs à n, la portion de w„ „ „ , qui provient de il,
s'exprime au moyen des formes w^, ... w„_i, tandis que la partie
qui provient de ii^^a?,^ est ég-al au produit de dx^ par le coefficient
àe dx,, dx„ dans il, . La forme oj „ , renfermera donc
«1 . . . «/)— 1 1 «1 . . . «/)— 1
un terme en dx„ à moins que le coefficientde</.r ...dx dans il,
soit nul. Ceci ne peut avoir lieu pour toutes les combinaisons des
n — I indices 1,2, ..., n — \,p — i kp — i à moins que la forme fi^ ne
soit identiquement nulle, c'est-à-dire à moins que w^ ne figure pas
dans l'expression de il. On verrait de la même façon que les formes
w^^-i, . . . , w„_i ne peuvent figurer dans il si toutes les formes de
Pf'aff associées sont des combinaisons linéaires de wj, wa^ • • -, ^r-
En rapprochant ces deux résultats, on voit que lorsque les
équations du système S se réduisent à /• équations distinctes
Wj = 0,6^2 = 0, ... w,. = o,
la forme symbolique il peut s'exprimer symboliquement au moyen
des r formes linéairement distinctes wj, wg, . . . , a)/« (i). Elle ne peut
s'exprimer au moyen de moins de r formes linéaires distinctes,
puisque dans ce cas les équations du système associé se réduiraient
à moins de r équations distinctes. Nous dirons pour abréger que
(') Ce théorème peut être consjdcré comme l'extension aux formes symboli-
ques d'un théorème d'als^èbre, relatif aux formes algébriques ordinaires.
Pour qu'une forme algébrique F (x^, x^, ...,Xn) de degré p à n variables puisse
s'exprimer au moyen de r formes du premier degré linéairement distinctes, il
faut et il suffit que toutes les dérivées partielles d'ordre p — i de la forme F se
réduisent à r formes linéairement distinctes .
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 129
la forme symbolique est de rang r. On peut d'ailleurs remplacer
Wj, w,? • • • > wr par r combinaisons linéaires distinctes de ces formes.
Il est évident que ce nombre r est un invariant, relativement à
tout changement de variables. Le système S est de même un sys-
tème covariant. Supposons en effet que la forme ii s'exprime sym-
boliquement au moyen de /* foi*mes de Pfaff linéairement distinctes
cji, (i>2, a>3, ..., w,., et ne puisse s'exprimer au moyeu de moins de r
formes de^Pfaff. Le système S est alors équivalent aux r équations
ûj, = o. Si, par un changement de variables xi = '^1(1/^, ■■., yn), les
formes W), ..,, wr se changent en r formes de Pfaff FI^, ..., II;., la
forme fi elle-même se change en une nouvelle forme symbolique
qui s'exprimera au moyen des formes n^, II,, . . ., n^., et les équa-
tions du système associé à la nouvelle forme sont des combinai-
sons linéaires des /* équations II,= o. D'ailleurs ces équations ne
peuvent se réduire à moins de réquations distinctes, caria forme fi
pourrait alors s'exprimer au moyen de moins de r formes de
Pfaff. Les équations du système S se transforment donc, par un
changement de variables, en un nouveau système d'équations de
Pfaff qui est précisément le système associé à la forme transformée.
Le rang r d'une forme de degré p k n variables est au moins
égal k p et au plus égal à n. Si les coefficients de la forme il sont
quelconques, on a r 1= «. Le rang est égal k p si la forme consi-
dérée est le produit symbolique de/> formes de Pfaft'et dans ce cas
seulement, ce qui fournit un moyen de reconnaître si une forme
de degré p est décomposable en un produit de p formes de Pfaff.
Pour une forme de Pfaff" w, le système associé se réduit à l'équa-
tion a> =3 o elle-même et le rang est égal à un.
Remarque. — Si une forme n k n variables s'exprime au moyen
de n — V formes de Pfafl" distinctes, on ne peut en conclure immé-
diatement que la forme est de rang n — v. On peut seulement
affirmer que le rang est au plus égal k n — v, car les équations
de S contiennent au plus n — v équations distinctes.
Applications. — i» Etant donnée une forme il de degré supé-
rieur à un, on ne peut pas toujours, par un changement de varia-
bles, la ramener à une forme où figurent moins de n différentielles.
G. Prob. 9
130 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
En eflet, si dx^^ par exemple ne figure pas dans il, le rang est au
plus égal an — i , puisque il s'exprime au moyen de n — i formes
de Pfaff seulement, dxi, . . . , dx^__^^.
Cette condition est suffisante . Soit en eflet n une forme de rang
r <<! n, qui s'exprime au mojen de r formes linéairement distinc-
tes o)^, Wg, . . . , w,.. Ainsi qu'on l'a déjà démontré à plusieurs repri-
ses, nous pouvons choisir un nouveau système de variables y^, ..., y^,
tel que les équations
représentent une famille d'intégrales Mj à une dimension des
r équations w; = o. Les formes m^, w^, . . . , w^ s'expriment donc au
moyen des différentielles f/?/i, . . ., dy^_^ seulement, et la forme ii
elle-même ne renfermera pas dg^.
20 Pour une forme symbolique du second degré
n = / Kjkdxjdxh,
le système associé S se compose des n équations
(35) khdxi + khdXi + ... + kindxn = o, (i = i, 2, ..., n)
dont le déterminant est un déterminant symétrique gauche. Ces équa-
tions se réduisent donc à un nombre pair d'équations distinctes, et par
conséquent le rang d'une forme symbolique du second ordre est toujours
un nombre pair. Une forme de cette espèce peut être ramenée à une
forme simple qui rappelle la forme canonique d'un covariant bili-
néaire. En effet toute forme du second degré de rang 2f) pe t s'écrire
comme il suit
(36) il = wjwa + '•«'3^4 + • . • '^^p_^^^p'
wi, W2. •••} <« étant 2p formes de Pfaff linéairement distinctes, La pro-
priété est évidente si p = i . Pour démontrer qu'elle est générale, il
suffit de vérifier que, si elle est vraie pour une forme de rang zp — 2,
elle est vraie pour une forme de rang 2/3 . Si il est une forme de rang 2p,
on a
£l = Mi (yAiftwAJ+ VB,A-wjwfe, {i.,k=2, 3, ...,2p)
wi, W2, ..., w étant 2p formes de Pfaff distinctes. La forme ^^BikMjMh est
r
CHAPITRE III. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉREMIELLES. 131
de rane: inférieur à zp ; comme elle est de rang pair, elle est au plus de
rang 2 — 2. Elle ne peut être de rang inférieur à 20— 2, car il serait
de ransr inférieur à 20. La propriété étant admise pour une forme de
rang 20 — 2, il s'ensuit qu'elle est vraie pour une forme de rang 2a.
La démonstration prouve d'ailleurs que £1 peut être mise sous la
forme (36) d'une inhnité de manières.
Si le déterminant de Pfaff relatif aux équations (35) est nul, la
forme il est de ranc inférieur à n, et on peut la ramener à une forme
où ne figurent que 11 — i différentielles. C'est ce qui a toujours lieu si n
est impair. Si n := 4> et si ce déterminant est nul, on a /■ = 2, et la
forme £1 est le produit de deux formes de Pfaff wjwa, comme on l'a déjà
démontré (no 25).
30 Reprenons une forme il à n variables et de rang /• inférieur à n.
Si l'on a choisi les variables t/i, 1/2, ..., y m de façon que les formes de
Pfaff wj, 0)2, .. , wr ne renferment pas di/n- il en sera de même de £1, et
toute multiplicité Mp à p dimensions définie par n — p relations de la
forme
/i(yi. ...,y«-i) = Cl, ...,//j-p(yi, ..., yn-i) = Cn-p,
où ne figurent que les n — i variables t/i, y*, ..., yn-\ est une multipli-
cité intégrale de l'équation 11 = o, car le produit £l^//i ... d/n—p-, qui est
de degré n et ne renferme que « — i différentielles, est identiquement
nul. Ces intégrales s'obtiennent en associant suivant une loi arbitraire
les intégrales Mj à une dimension, représentées par les équations
yi z=. Ci {i ^ 1,2, . . ., n — i), du système de Pfaff
ai| =: o, 'dj :^ O, . . . , «r ^ O.
Plus généralement, supposons que le système précédent admette une
famille d'inté^-rales My à q dimensions, telle qu'il passe une de ces
intégrales par un point arbitraire. On peut alors choisir un système de
variables y,, ...,y,i, tel que les différentielles rfyn—^-j-l, •.., dynoe fisru-
rent pas dans les formes «/, et ces intégrales Mç sont définies par les
n — q équations
yi = Cl, . . ., yn—ç := Cn—q-
Les différentielles f/yn—y+l, ..., dyn ne figurent pas non plus dans la
forme il, et le produit HdJ^i ... dfn+i—p—q est identiquement nul,
quelles que soient les fonctions fi,/*, •■., fn+l—p-q des n — q varia-
bles yi. .. , yn—q On obtient ainsi des intégrales à p -\- q — i dimen-
sions de l'équation symbolique £1 = 0, engendrées par les multiplicités
My associées suivant une loi arbitraire.
4*> Les raisonnements de ce paragraphe prouvent qu'une forme sym-
bolique qui s'exprime au moyen des r formes de Pfaff
"=2^SiS, ...s,"^i-«p.
132 LEÇONS SUR LK PROBLÈME DE l'PAFF.
ne peut être identiquement nulle s'il n'existe pas une relation linéaire
au moins entre ces /■ formes. Toute intégrale de l'équation symbolique
il == o satisfait donc à une ou })lusieurs relations de la forme
/,/&)] -(- ),2/'»2 + • • • + >ri''ir := («' =: 1,2, ... q).
En écrivant que la relation il ^ o est une conséquence des équations
précédentes, on obtient un «ertain nombre de conditions entre les
coefficients C^ p et les coefficients /a/, qui permettent d'exprimer
tous ces coefficients au moyen dos variables X\, ..., j"„, et d'un certain
nombre de paramètres arbitraires iii, ..., ils. On est ainsi conduit à un
système d'équations de Pfaff à a -^ s inconnues a,"i, ..., ^t^, «i, ..., ««.
33. Classe d'une forme dérivée. — Les formes de Pfaff
Wj, Wg, . . . , Wr au moyen desquelles s'exprime une forme symboli-
que i\ de degré supérieur pouvant être quelconques, il est clair que
le système S associé à une forme il n'est pas en g-énéral complète-
ment intégrable". Mais le système associé à une forme dérivée est
toujours complètement intégrable.
On le vérifie immédiatement pour une forme dérivée du second
deg-ré qui, d'après la théorie d'une forme de Pfafl", peut être rame-
née à la forme canonique
dx^dx^ + • • . + dxir—idx=ir ;
le système associé se compose des ar équations dxiz=. o.
Pour ne pas compliquer l'écriture, nous démontrerons la propo-
sition pour une forme dérivée du 3" ordre ; la méthode est d'ailleurs
générale (^).
Soit £i' une différentielle totale symbolique du troisième ordre
(87) il' = ^ kikidxidxhdxi ;
«, A-, '
le système associé S' se compose des équations de Pfafï'
(38) 2 ^ikidxi =0 (/, /;:= I, 2, ..., n).
Nous voulons établir que, si ce système se compose de r équa-
(') Annales de la Faculté de Toulouse, t. VII, iqi5, p. 20 et suivantes.
CHAPITRE 111. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 133
lions linéairement distinctes, il est équivalent à un système de
r équations
dfi, = o, df^= o, ..., dfr =^ o,
y*!, /i, . . . ,fr étant r fonctions indépendantes de o*,, x^, . . . , x^.
La démonstration est tout à fait analog'ue à celle qui a été déve-
loppée au no 5, pour le système S,, qui n'est au fond que le système
S' correspondant à la forme dérivée w' dune forme de Pfaff. La
propriété que l'on veut établir est encore évidente si le système S'
contient n ou n — i équations distinctes. 11 suffit donc d'examiner
le cas où ce système S' contient seulement r équations distinctes
{r <^n — i). On peut alors adjoindre à ce système n — r — i équa-
tions de Pfaff
Ai^dxi + . . . -I- Aindxn = o, (i z= j, 2, ..., n — r — i),
dont les coefficients peuvent être choisis arbitrairement, à condition
de former avec S' un système de n — i équations linéairement
distinctes. Le système ainsi obtenu admettant n — i intégrales
premières, supposons que l'on ait choisi un nouveau système de
variables {y^, y^, ..., y„) de façon que ce système admette les com-
binaisons intésrrables dyi = o, ..., dy,.^_y = o. Après ce change-
ment de variables, la forme il' se change en une nouvelle forme
o' = ]^ Bibidyidykdyi,
i. A-, /
qui est aussi une différentielle totale symbolique, et le système S'
devient, par le même changement de variables,
n
2^ Bikidyi = o {i, k= 1,2, .,., n).
1=1
Ce système doit être vérifié identiquement quand on y fait
dy^ = o, ..., dy,^_^ = o ; tous les coefficients B,A-n sont donc nuls,
quels que soient les indices / et k. D'autre part, puisque la
forme il' est une différentielle totale symbolique, on a les relations
?B,A7 ?BA-/n , r^Bini 3B;,/A-
— 4- = O,
:syn Tyyi Zyk ^yi
qui deviennent ici — - — = o, puisque Ba-m = 6,7,2 = B,a„ = o.
^yn
134 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Après le chang-ement de variables, la forme ii' et le système S' ne
renferment donc ni y^, ni dy^^. On a donc, par ce chang-ement de
variables, ramené le système S' à un système de r équations an — i
variables.
Si r =^ n — 2, le théorème énoncé est établi. Si r <^ n — 2, on
remarquera que le nouveau système S' est associé à une forme
dérivée il' k n — i variables. On peut donc, par un nouveau chan-
g-ement de variables, le ramener à un système équivalent de r équa-
tions an — 2 variables, et ainsi de suite. On finira donc par le
ramener à un système de r équations à r + i variables, c'est-à-dire
à un système complètement intég-rable.
Voici une conséquence importante de ce théorème. Le système S'
étant complètement intégrable est équivalent à un système de
r équations
dfi=o, df^ = o, ..., dfr = o;
nous prendrons un nouveau système de variables [y^, y^, ..., y^),
où y^ =fif •• • -, IJr =^fr- Avec ce nouveau système de variables, la
forme Ii' devient
(39) fi' = 2 Biiddyidykdyi,
i, k, l
et le système associé S' doit être vérifié identiquement quand on y
fait dy^^ = 0, . . ., dyri quels que soient dyr-\-i, . . ., dyn- H faut
pour cela que tous les coefficients Qihh où l'un des indices est supé-
rieur à r, soient nuls, et on en déduira, comme plus haut, que les
autres coefficients sont indépendants de yr+i. • • • , yn- Dans la
nouvelle expression de il' ne Jiyurent donc que les r variables
y^, . . .,yr et leurs différentielles dy^, . . . , dyr.
Quelles que soient les variables choisies, on ne peut trouver
pour n' une expression où fig-urent moins de r variables (soit dans
les coefficients, soit sous le signe d). En effet, si l'on pouvait
mettre li' sous une forme
n' = ^ dhidzidzkdzi,
i, h, l
OÙ ne fig-urent que r — s variables Zi, z^, . . ., Zr—s et leurs diffé-
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 135
rentielles, dans les équations du système associé ne figureraient
que r — s différentielles (ls^, . . . , dzr—s, et par suite ce système ne
pourrait renfermer r équations linéairement distinctes.
Ceci permet d'étendre la notion de classe à une forme symboli-
que de degré quelconque. On appelle ainsi le nombre minimum"
de variables au moyen desquelles on puisse exprimer cette forme
par un choix convenable des variables, ces nouvelles variables
fig-urant soit dans les coefficients, soit sous le signe d. Le résultat
qui vient d'être démontré prouve que la classe d une forme dérivée
est égale au rang de cette forme.
Nous dirons qu'une forme de classe r est ramenée à une forme
réduite lorsque dans son expression ne figurent que r variables
et leurs différentielles. Il y a évidemment une infinité de manières
de ramener une forme dérivée à une forme réduite, mais toutes
ces formes se déduisent l'une de l'autre par un changement de
variables portant sur les r variables qui y figurent. Soient en
effet
^^ihidyidyhdyi, ^Cmdzidzhdzi {i,k, 1= i, 2, ... r)
deux expressions réduites d'une même forme dérivée. Le système
associé S' peut être écrit sous l'une ou l'autre des deux formes
(dy^ = o, ...,dyr = o) [^dz^ = o. ..., dzr = o).
Il s'ensuit que les équations yi^= C/, ou 5/ i=C', (/= i, 2, ..., r)
représentent l'intégrale générale d'un même système complète-
ment intégrable de r équations. On a donc des relations
yi= Y/f-^i» •••> ^r), et l'on passe d'une des formes réduites à l'autre
par un changement de variables.
Les variables qui figurent dans une forme réduite de û! consti-
tuent donc un système d'intégrales du système associé S'. Si l'on
peut ramener n' à une forme réduite, on a par là même intégré le
système S' .
34. Classe d'une forme quelconque. — La classe d'une
forme symbolique quelconque se définit comme la classe d'une
forme dérivée. Il est clair que, quand on passe d'une forme li à sa
dérivée 9.', on n'introduit aucune variable nouvelle qui ne figure
136
LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
pas dans il ; la classe ne peut donc aiig-menter. Par suite, si lY est
de classe r, iiest au moins de classe r, mais elle peut être déclasse
supérieure à r. Supposons la l'orme li' de classe r mise sous une
forme réiluite où lîg-urent seulement r variables et leurs différen-
tielles ; on peut par des quadratures (n" 26) déterminer une
forme 'ij ayant pour dérivée il' et où ne fîg-urent que les mêmes
variables qui iig-urent dans il'. Celte forme ii^ est donc de classe r,
et la différence il — <i] est une différentielle totale symbolique qui
peut dépendre d'un nombre quelconque de variables ne fig-urant
pas dans o! . Si Li n'est pas une forme de Pfaft', sa classe peut donc
être un nombre quelconque supérieur à r.
Pour déterminer la classe d'une forme de deg-ré supérieur, pre-
nons par exemple une forme du second degré, qui ne soit pas une
forme dérivée
(4o) a = 2^ kikdxidxh ;
/, h
le raisonnement est d'ailleurs g-énéral. Soit ii^ la forme auxiliaire
(40 Ll,= ë^"+'ÇI = 6^"+' (y^AikdxidxX
\i, h I
où Xn+\ est une nouvelle variable indépendante, qui restera la
même dans tous les chang-ements de variables portant uniquement
sur les n variables a?^, x^^ . . ., x,^. La forme dérivée a\ a pour
expression
(42) il', = e'^"'^^Q! + e"^"+Va)«+iii
__ g*«+i K ^ x^iudxidxhdxi + 2u ^ihdxidxkdxn+\i ,
' /, k, I _ i, k )
(/, /c, / ^ I, 2, . . . , n).
Le système S'i associé à la forme ii'i se compose de deux g^rou-
pes d'équations
(43) 2a Aikdxk = o, (/ = 1 , 2, . . . , n)
(44) 2^Aihidx/ -f Aikdxn+i =o, (i, k= 1, 2, ...,n).
/=i
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉREMIELLES. 137
Ce svstcme S\ est complètement intéairable, d'après la proposi-
tion o-énérale du paragraphe précédent. C'est aussi un système
covariant de la forme Q, relativement à tout chaa£;«meat de varia-
bles portant uniquement sur les variables o'j, x,, . . ., œ^.
Si Ton adjointaux équations du système S\ l'équation dXn+\ = o,
on obtient un nouveau système complètement intégrable qui,
abstraction faite de la dernière équation (la seule qui contienne
da^n-i-i), se compose des deux g-roupes d'équations
n n
(45) 2^ Aikffrk = 0. y^ Xihidxi = o, (i\k'= i , 2, ..., n).
k=l 1=1
Ce système S + S' s'obtient donc en prenant toutes les équations
des deux systèmes S et S'. Il est évident, d'après cela, que c'est un
système, covariant de la forme £i, et il serait facile de démontrer
directement qu'il est complètement intég-rable, par un raisonne-
ment tout pareil à celui du numéro précédent.
Si le système S -\- S' se compose de q équations linéairement
distinctes, la forme il est de classe q.
Soit en effet d/i = 0, . . ., d/q = «i^un système de q intésrrales
premières distinctes de S + S'. Si l'on prend un nouveau système
de variables (j/i, ..., y„) telles que ^j ^ y^, . . ., yç z=J'ç, la
forme il se chansce en une nouvelle forme
i^- = y^ Bikdyidyk.
et le système S -j- S' correspondant à cette forme doit se composer
des q équations dy^ = 0, . . . , dyq = o. Tous les coefficients B,*,
B/A/, où l'un des indices est supérieur à q, doivent donc être nuls.
Il s'ensuit que les difiFéreutielles dy^, . . ., dyq figurent seules dans
l'expression de li. De plus, tous les coefficients B,;., où / <;; ^ + i,
k <Z.q -r 1, ne dépendent que de y^y y^, ..., yq. On a par exemple,
si / < r/ -f- I . A' < </ -f I ,
B/A« = - — + ^; — + -:; — = o,
^'Jn ^iji ^tjk
et par suite — '— = o ; on démontrerait de même que B/h est indé-
pendant de yn-\-, ■•■, yq+i-
138 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
En second lieu, il n'est pas possible d'exprimer a. au moyen de q'
variables z^, z^, . . . , Sq' et de leurs différentielles, si c/' <I q. En
effet, le système S + S', ne contenant que q' difïérentielles, ne
pourrait se composer de q équations linéairement distinctes.
Soit c la classe d'une forme i.1, c' la classe de la forme dérivée.
Lorsque le système S ne renferme pas d'équations linéairement
distinctes des équations de S', on a c= c', et il suffira d'intég-rer le
système S' pour ramener il et il' à une forme réduite par un même
chang-ement de variables.
Si c > c', le système S -(- S' contient c — c' équations de plus
que le système S'. Pour intég"rer le système S + S', on intégrera
d'abord le système S', et il restera ensuite à intég-rer un système
complètement intég-rable de c — c' équations.
Exemple. — Soit il = x^dx^^dx^ -}- x^dx^dx^ + dx.^dx^ ; on a
Le système S' ne comprend que trois équations distinctes
2Xxdx^ + dx^ = o, dx^^ = o, dx^ = o,
tandis que le système S -f S' comprend quatre équations
dx^^ = o, dx^ = o, dx^ = o, dxj^ = o.
La forme il est donc de classe quatre, et la forme il' de classe
trois. On peut écrire en effet
il — dX\CiXoCt{^XiXr> -\- Xa) ,
Remarque. — Toute forme de degré p et de classe/? peut être
ramenée à la forme il = Kdy^dy^ • • • <^yp^ où K doit être une
fonction de y^, . . . , i/^. On peut donc supposer K= i , et ii est une
différentielle totale symbolique.
Toute forme de deg-ré p et de classe p + i peut de même être
ramenée à la forme yp+idy^dy^ . . . dy^ (n" 28), et n'est pas une
différentielle totale symbolique. La forme dérivée est aussi de
classe p ■\- \.
Application. — Etant données/) fonctions quelconques indépendantes
f\, h, ■•'■> fv de n variables x^, x^, . . ., Jîw(n > P), les déterminants
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 139
fonctionnels A — P/i-A •• fp) où «,, aj, ..., «p sont/)
nombres entiers différents choisis parmi les n premiers nombres, véri-
fient des relations différentielles et des relations algébriques. On
obtient ces relations en exprimant que la forme symbolique
o = Va dx dœ, . . . rfj?„ = (ff\(fA ■ ■ • ^/p»
...^ «,C<2 . . «p «1 «* «p
OÙ le signe IS est étendu à toutes les combinaisons p -À p des n indices,
est une différentielle totale symbolique de classe/). On a les relations
différentielles en écrivant que il est une différentielle totale symboli-
que, et les relations algébriques en écrivant que il est de classe p. Ces
conditions sont suffisantes pour que les fonctions A^ ^^ ^ soient les
jacobiens de p fonctions /i,/i, . . .,/p par rapport àp des variablesa?/,
car toute forme de degré p et de classe p, qui est une différentielle
totale symbolique, est réductible à la forme df^d/i ... djp. Il suffit
même, nous venons de le voir, que cette forme soit de classe y). On peut
donc écrire les conditions de deux façons, soit en écrivant que £1 est
une différentielle totale symbolique, et que les équations de S se rédui-
sent à p équations distinctes, soit en écrivant que les équations du
système S + S' se réduisent à/) équations distinctes.
35. Analogies avec une forme de Pfaff. — Le système S'
est l'analogue du système Sj étudié au u'^' 5, et le système S 4- S'
l'analogue du système S^ (n<» 6), qui détermine la classe dune
forme de Pfaff. On peut expliquer comme il suit pourquoi les
svstèmes S' et S + S' sont une généralisation naturelle des systè-
mes Si et Sj. Etant donné une forme symbolique de degré p
il = y A, „ „ dx„ dx„ . . . dx„ ,
considérons p éléments linéaires différents
{dx^\ dx^', ..., dx„% {dx,\dx^\ ..., dx„% ...,{dx,p, ..., dx„p),
nous dirons que ces p éléments sont en involution relativement à
la forme i», s'ils satisfont à la relation
2-^..a. . . . ap {^^)' (^« J • • • (^•^«i')' = ''
la sommation étant étendue à tous les arrangements des n indices
D à. p.
140 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Dans le cas particulier où/)=:2, si la forme donnée est la forme
dérivée co' d'une forme de PfafT w, la définition de deux éléments
linéaires en involution coïncide bien avec celle qui a été donnée
plus haut (no 3) 11 résulte aussi de cette définition que p éléments
linéaires distincts appartenant à une même multiplicité intégrale
de l'équation ii = o sont en involution relativement à la forme il.
Un élément linéaire [dx^^, dx^, . . ., dx^^) est un élément singu-
lier pour une forme il s'il est en involution avec p — i autres élé-
ments linéaires quelconques relativement à cette forme. Les équa-
tions du systèmes déterminent précisément les éléments sing-uliers
pour la forme il, et les équations S' les éléments sing-uliers pour la
forme dérivée il'. Dans le cas limite où la forme il est une forme
linéaire, les éléments sing-uliers pour cette forme ne peuvent être
que les éléments intég-raux eux-mêmes. On voit d'après cela que le
système Sj (n'^ 5) définit les éléments singuliers pour la forme
dérivée œ', et le système Sg les éléments singuliers pour les deux
formes o) et m'. Les systèmes S' et S -\- S pour une forme de degré
quelconque jouent donc le même rôle dans l'étude de cette forme
que les systèmes S^ et Sg dans l'étude d'une forme de Pfaff.
L'analogie avec la théorie d'une forme linéaire se poursuit plus
loin. Le système S\ écrit plus haut est évidemment l'analogue du
système S^ (n" 7) ou système caractéristique pour une équation de
Pfaff, tandis que le système S" formé par le second groupe des
équations de S'^
n
(S") 2j Aikidxi + Aikdxn+i = o, (/,/?== I, 2, .. , n),
est l'analogue du système Sg, ou système de Pfaff'.
Si Ton peut satisfaire aux équations de S" sans supposer
dXn-\-i=^o, le système S -(- S' est identique au système S'. Si nous
posons en effet
dxi -. ,
= fU,
dXn+l
les équations de S" s'écrivent
X A/ftA/ + A/ft = o,
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 141
et on en déduit
l l k ) A
de sorte que les équations du système S sont des conséquences des
équations de S'.
Par conséquent, lorsque les deux formes 1>, iV sont de classes
différentes, on ne peut satisfaire aux équations de S' qu'en prenant
(ix,^_^.^ = o. Ce système S" est donc identique à S', et le système S',
est identique à S + S'.
Lorsque les deux formes il, ii' sont de même classe, les équa-
tions de S sont des conséquences des équations de S', et les deux
systèmes S', S^' sont identiques. On voit en effet, par une combi-
naison imjnédiate, que les éléments linéaires qui vérifient les rela-
tions S' vérifient aussi les relations
2 kikldXhdxi + dXnJfi ^2 ^ikdxk\= o,
qui deviennent, en tenant compte de la condition A,a/ + \iik = o,
dxn+i fy^ Aikdxk\ = o.
Si dx^j^^ n'est pas nul, on retrouve les équations du système S.
Si c^J"„j.i = o, le système S' est identique à S' et, par hypothèse,
les équations de S sont des conséquences des équations de S'. Tous
les éléments linéaires qui vérifient le système S' vérifient donc
aussi le système S et par suite le système S/.
Des quatre systèmes complètement intégrables S', S -+- S\ S^, S',
il y a donc au plus deux systèmes distincts.
36. Classe d'une équation symbolique. Caractéristiques.
— Le système S^' donne la classe de C équation a = o. Supposons
que ce système se compose de m 4- i équations distinctes. Il admet
alors -ni intégrales indépendantes de J?„+i et une dernière intéerrale
dépendant de x,^^^ de la forme
142 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
qui s'obtiendra par une quadrature quand on aura obtenu les inté-
g-rales premières indépendantes de Xn_^.^. Imag-inons que l'on fasse
un chang-ement de vaiùables de façon que y^^, y^, ,. . ., !/„i soient
précisément m intég-rales de S^', la varialde auxiliaire £C^+i n'étant
pas chang-ée. Les équations
n n
2 Bikdyii = o, 2^ Bikidyi + Btkdxn+i = o
devront être vérifiées quand on y remplacera c/y^, dy.^, . . . , dy^ par
zéro. 11 faut pour cela que tous les coefficients Bj/j, où l'un des
indices est supérieur à m, soient nuls, de sorte que il ne renfer-
mera que les différentielles dy^, . . . , dy^^. Il faut de plus que les
relations
n
2j Bihidyi + Bikdxn+i = (/ ^ m, k<^m)
l = m+i
se réduisent à une seule, ce qui exige que le rapport -p-^^ — soit indé-
pendant des indices i et k. Mais on a.
„ î^Bik . dBkl , 3Bh DBift
:>yi ^yi :>yk ^yi
Le rapport - — - — ^ doit donc être indépendant de yi {l ]> m), et
par suite le rapport de deux coefficients quelconques de il est indé-
pendant des variables ?/,„_,_j, ..., y^, et l'on a pour li une expression
de la forme
(46) il => K 2 Cikdyidyii {i, /c = i , 2, . . . , m),
i, k
les coefficients Cih ne dépendant que des variables y^, ..., y^. Par
un raisonnement déjà employé plusieurs fois, on démontre que la
forme li ne peut être mise sous une forme analog-ue, où le nom-
bre m serait remplacé par un nombre inférieur. C'est ce nombre m
que j appelle la classe de V équation il = o.
Nous avons maintenant deux cas à disting-uer. Si le facteur K
ne dépend que des variables z/j, y^^ . . ., y^, on peut évidemment
supposer K = i. La forme il est elle-même de classe m, mais la
classe de ii' peut être un nombre quelconque inférieur à m.
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 143
Si le facteur K dépend d'autres variables que y^, y^, ..., y„^^ on
peut supposer K = ym~i- Les m + i équations du système S'i se
réduisent à
dy, = o, ...,dy„,= o, </y^+, + y^+idœ^+i = o.
La classe de fi estw 4- i, tandis que la classe de l'équation n^o
est seulement m. Dans ce cas, la classe de a' est aussi m + i, puis-
que les systèmes S\ et S + S' sont différents.
En résumé, nous avons trois nombres à considérer : i° la
classe c de la forme n ; 2^ la classe c' de la forme II' ; S** la classe y
de l'équation £1= o. Ces nombres ne peuvent être tous les trois
différents, puisque l'on a y = c, si c ]> c'. Dans le cas d'une forme
de Pfaff, deux de ces nombres sont toujours différents.
Pour une forme de degré supérieur, ces trois nombres peuvent
être égaux.
Par exemple, pour la forme Q.=x^dx^dx^ -\-x^dx^dx^ + dx^dx^,
les systèmes S', S', S + S', S'i sont identiques et donnent dxi = o
(/ = I, 2, ..., 6). Les trois classes sont égales à 6. 11 en est ainsi
toutes les fois que le système S est équivalent à S'. Au contraire,
pour une forme ^p^jC^yi . . . dy j„on a c=c'=:p-i- 1, -•■ = p.
Le système S^'i où x^_^.^ est regardé comme un paramètre
auxiliaire, est encore le système caractéristique pour V équation
Il = o. Toute multiplicité intégrale de ce système, c'est-à-dire
toute multiplicité dont tous les éléments linéaires vérifient les m
équations de S^', est une nniltiplicité caractéristique. 11 existe des
multiplicités caractéristiques M„_„ k n — m dimensions représen-
tées par les équations
Ul = C^, .. . , y„i = ^m"
où y^, . . ., y^ sont m intés^rales de S/, indépendantes du paramè-
tre J?„+i, et toute multiplicité caractéristique s'obtient en prenant
une multiplicité arbitraire sur une de ces multiplicités M,._„,. Nous
dirons que y^^, .... y^ forment un système de variables caractéris-
tiques.
Le lieu des multiplicités caractéristiques M„_„^ issues des diffé-
rents points dune multiplicité intégrale quelconque Mr de Céqua-
144 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
tion il = o est aussi une multiplicité intégrale de la même
équation.
La démonstration est toute pareille à celle du n" 17. Supposons
l'équation ii=: o ramenée à une forme réduite où ne fig-urent que
les m variables caractéristiques //i, . . ., y,.^^^ et leurs ditterentielles.
Soient
(4?) Ui = ?'("i' «2' •• • ' ^r), {i = l, 2, ... n)
les équations qui représentent une intégrale M^ à r dimensions,
M^, ..., Ur étant /' paramètres arbitraires. Les conditions qui expri-
ment que les équations (4?) définissent une multiplicité intég-rale
ne font intervenir que les m fonctions cp^, ..., cp^^. On peut donc
remplacer 9^^^, ...,9^ par des fonctions absolument arbitraires
des /' paramètres ui ou d'autres pai-amètres. Les équations
y, = 9^(«j, ..., Ur), . . ., l/m=0,n{u^, ..., Ur),
f/w+i = «/■+!, . . ., l/n^ Ur-{-n-m,
où Mr 4-1 5 • • ■, fir-\-n-m sont de nouveaux paramètres arbitraires,
représentent donc aussi une multiplicité intég-rale qui sera à
r -\- n — m dimensions au plus. Il est clair que cette multiplicité
est le lieu des multiplicités caractéristiques M„_.„j issues des diffé-
rents points de la multiplicité M,.. En particulier, le lieu des mul-
tiplicités caractéristiques M„_^ issues des différents points d'une
multiplicité quelconque d'ordre inférieur à y; est une multiplicité
intégrale.
Remarque. — Considérons lepi'oduit symbolique de /) formes de
Pfaff distinctes
il = W^Wj ... Wp.
Si les /j équations o)/ = o forment un système complètement
intégrable, ce produit peut être ramené à la forme
il = Kûfyi ... dy^;
//i, . . ., ijj^ sont les variables caractéristiques, et la détermination
des multiplicités caractéristiques est ramenée à l'intégration du
système des p équations oj/ = o.
Plus g-énéralement, si il est le produit de p formes de Pfatf ^«e/-
CHAJ»ITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 145
conques linéairemeat distinctes, la classe de l'équation il = o est
égale à la classe du système de Pfaff formé par les/> équations
t),= o ÇsoÏT plus loin Chap. VI).
37. Remarques sur rintégratîcn des systèmes précédents —
Les systèmes S', S -^ S', ne soot pas des systèmes ditl'éreuliels quel-
conques. 5"/ Von connaît toutes tes intégrales du système S', sauf une,
on peut achever Fintégration par une quadrature. Supposons que le
système S' se compose de r équations distinctes et que Ton connaisse
/■ — I intégrales premières. On peut supposer que l'on ait e£Fectué un
changement de variables tel que ces intégrales premières soient
yi, yi, ....yr—i. Les r équations distinctes du système S' doivent donc
se composer des r — i équations dyi =i: o, . . ., dyr—i ^ o, et d'une seule
équation distincte de celles-là. En d'autres termes, les équations du
système S' doivent se réduire à une seule, quand on y faildyi = o, ...
dyr—l = o. Elles ne peuvent d'ailleurs être toutes vérifiées identique-
ment après cette substitution, car le système S' ne comprendrait alors
que r — i équations distinctes au plus. Tous les coefjicients Bîki, où
deux des indices sont supérieurs à r — /, doivent être nuls. Supposons,
par exemple, que l'on ait B/a./i :;zf: o, A et k étant supérieurs à r — i Les
deux équations du système S', où l'on a fait dy^ ^ o, dyr—i = o,
n a
2 Bikldyi = 0, ^ Bihidyi = o,
l-r l=r
ne peuvent se réduire à une seule, car la première contient un terme
tadyhet ne contient pas de terme en dyk-, tandis que c'est l'inverse
pour la seconde.
Cela étant, prenons un système de valeurs pour les indices / et A*
tel que tous les coefficients Biftj (où l^r) ne soient pas nuls. La rela-
tion générale
,,o, ^Bifti 3B/,jfc , ^Bihi :^Bhih
(A8) -;^ 1 = o
^ ^ ^!/h ^yi :>yk ^yi
devient, puisque Bhih = Bihi = o, si l et h sont X r,
n
Le premier membre de l'équation \ BjAtrfy^ =r o, où Ton resfarde
l-r
yi, . .., yr—l comme des paramètres, est donc une différentielle exacte,
et la dernière intégrale s'obtient bien par une quadrature.
G. Leçons. 10
l46 LEÇONS SUR LÉ PROBLÈME DE PFAFf.
Le théorème classique de Jacobi sur le multiplicateur peut être con-
sidéré comme un cas particulier de cette proposition. Supposons en
effet que le système d'équations différentielles
,r N djc^ dx^ dxn
admette pour multiplicateur l'unité, c'est-à-dire que l'on ait
y^=o.
Si n est impair, par exemple, la forme
ii/i— 1 = Airf.z?2 . . . dxn + A^dXf . . . dXndxi + • • • + ^ndXi . . . dxn—i
est une différentielle exacte (no 26), et le système S' correspondant est
identique au système donné (ooV
On démontrerait de la même façon que, si l'on connaît toutes les
intégrales du système S -|- S' sauf une, les intégrales connues compre-
nant celles du système S', on peut trouver la dernière intégrale par
une quadrature.
Dans le cas où l'on a c = 7 + i, on a vu au numéro précédent que
si l'on a intégré le système caractéristique, on a sans aucune intégra-
tion la dernière intégrale du système S -\- S'.
Quant au système caractéristique lui-même, l'exemple cité à la fin du
numéro précédent prouve qu'il peut être un système complètement
intégrable quelconque.
38. Rang d'une fonction relativement aune forme sym-
bolique. — Soit ii une forme symbolique de degré p k n varia-
bles, et de classe c. Si, dans cette forme, on remplace l'une des
variables, Xi par exemple, par une constante C et dx^ par zéro, on
obtient une nouvelle forme an — i variables 11^ de classe
c\ = c — r, r étant positif ou nul. Nous dirons que r est le rang-
de x^ relativement à la forme H. Plus généralement, /"(iCi, ..., x„)
étant une fonction quelconque, supposons que nous établissions
entre les n variables Xi la relation y=C, d'où résulte la relation
«//"= o entre leurs différentielles. Ce cas se ramène immédiate-
ment au précédent par un changement de variables. Si par exem-
ple/" contient j?i, on peut conserver les variables x^, . . . , x^ ; en
remplaçant x^ par sa valeur tirée de y = G, et dXi par sa valeur
tirée de û[/ = o, on obtient une forme n^, à n — i variables, et de
CHAPITRE IM. — FORMES SYMBOLIQUES DE DlFrÉRENTIELLES. 147
classe c, £= r — r. Le nombre r est le rang de la fonction J
relativement à la forme li.
Supposons il ramenée à une forme réduite, c'est-à-dire exprimée
au moven de c variables y^, y,, . . ., yc» et de leurs différentielles.
Si la fonction donnéey"ne s'exprime pas au moyen des variables
y^, . . ., i/c seulement, mais renferme d'autres variables, il est clair
que la relation y == G ne modifie pas l'expression de la forme
réduite, et par suite le rang- de^est éjçal à zéro. Les seules fono
lions f(jCt, . . .»a;„) dont le rang relativement à une forme a n'est
pas nul sont donc les intégrales du système S + S\ dont l'ordre
est égql à la classe de a.
Pour trouver le rang: d'une fonction y*(xi, ...,J„), on peut
appliquer la règ-le générale suivante (').
Soient c la classe de la forme n, et y la classe du produit sym-
bolique Qjdf; le rang de f relativement à la forme a. est égal à
c — Y 4- î .
Supposons toujours a mise sous une forme réduite, où figurent
seulement les variables y^, ..., yc et leurs différentielles. Si la
fonctionyest indépendante de y^, .... yc, il est clair que le pro-
duit iifZ/'est de classe c + î ; il est d'ailleurs aisé de s'en assurer
en observant que le système S + S' relatif à ce produit contiêût
une équation de plus, soit df=^ o, que le système correspondante
la forme £ï. On a dans ce cas y z= c + i, et par suite r = o. con-
formément à ce qui vient d'être énoncé.
Si y* est une intégrale du système S + S', nous pouvons évidem"
ment supposer que l'on a.f=yi. Nous pouvons écrire 11^=11^
-j- ^My^, n^ et fijétant deux formes de degrés /> et/? -^ i respective-
ment, la première n^ ne renfermant pas dy^. Soit c^ la classe de la
forme rij quand on y x-egarde y^^ comme un paramètre ; ce nom-
bre Cj est inférieur à c, et le rang de yx est c ^ Cx. D'ailleurs on
a ûj = 0.dyi = n^t/yi et par suite a/ =: n^dyi^ n^' désignant la
forme dérivée de llj où l'on regarde y^ comme un paramètre. Les
équations du système S -f S' qui déterminent la classe de la
forme n^ s'obtiennent donc en adjoignant la relation dy^ = o aux
équations du système analogue dont l'ordre est égal à la classe dt
(') Compte* rendus, t. i6&, p. 54i, iQ'?»
148 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFP.
la forme Hj où yi est regardé comme un paramètre. Ou a donc
Y = Cl 4- I > et par suite r =z c — y + i .
Il est à remarquer que l'énoncé est en défaut sj'o^ disparaît ;
dans ce cas y et c^ sont nuls, et ij^ est de rang- c. Ceci ne peut arri-
ver que si la forme ii est divisible par un facteur df.
Pour qu'une fonctiony soit de rang- r, il faut donc que le pro-
duit lit//' soit de classe c — r + i. En écrivant que les équations
du système correspondant S + S' se réduisent à c - r 4- i équa-
tions distinctes, on a un système d'équations aux dérivées partielles
simultanées du premier ordre auxquelles doit satisfaire la fonc-
tion y. Ces systèmes n'ont pas été, je crois, étudiés jusqu'à présent.
Exemple. — Soit ii = dxidœidœs + dœidxj^dx^ ; on a il' = o,
ild/= dxidxidjcaipidxj^ + p-^dx^ + p^dx^)
+ dx^dx^dXfipidxi + p^dx^ + pidx,^), pi = -^ .
Les équatîoDS du système S' relatif à ilc(/ donnent les 6 conditions
dxi = 0, à moins que l'on n'ait à la fois /Ji =: p^ = p^=: o, oup^ := p^
=/>g=o. Il y a donc deux familles de fonctions de rsrng trois, les
fonctions F(,ri, Xi, X3) et les fonctions ^{Xi, x^, Xg). Toute autre fonc-
tion est de rang un.
Remarque. — Il n'existe pas toujours de fonctions de rang supérieur
à un pour une forme symbolique il. Soit par exemple il2 une forme du
second degré de classe 5 ; s'il existe une fonction de rang- deux par rap-
port à cette forme, on peut, par un choix convenable des variables,
l'écrire
il2 = Xidx^dxi + (Aio?,ri + Aj(/j72 + ^s^x^ -f Aidx/^dx^^.
La forme la plus générale du second degré à cinq variables ne peut
être ramenée à cette forme, car elle dépend de dix coefficients arbi-
traires, il-2 n'en renferme que quatre, et le changement de variables le
plus général n'introduit que cinq fonctions arbitraires.
Généralisation. — On peut g-énéraliser cette théorie, en consi-
dérant un groupe de fonctions au lieu d'une fonction unique.
Soientyj,y2, . . . ,fq un système dey fonctions distinctes des varia-
bles indépendantes. Si l'on prend un nouveau système de varia-
bles, tel (\viQ fi = Ui, • • -ifq "= IJq^ il peut arriver qu'en faisant
CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 149
yi = C/, di/i =0 (i = 1,2, . . ., q) dans la forme £i, la classe de la
nouvelle forme soit inférieure de r unités à la classe de la forme £i.
On dit alors que le groupe de fonctions {f^^^fi,, ...,y^)estde
rang^ r relativement à la forme a. Pour que r soit positif, il faut et
il suffit que. parmi toutes les fonctions de la forme ^{fi^fz, •■ifq)'.
il V ait une ou plusieurs intéerrales du système S + S'; la démons-
tration est toute pareille à la précédente. On peut donc se borner à
étudier les groupes formés d'intégrales du svstème S + S'. Soient,
par exemple, /"j et f^ deux intéarrales de ce système, de rangs r^
et Tj respectivement ; si les relalionsyj = Cj,^, = C, abaissent la
classe de il de r unités, r est le rang du groupe ifi,/^- H est à
remarquer que r est au moins égal au plus grand des deux nom-
bres Tj, Tj. mais il n'est pas forcément égal à Tj -f r,. Ainsi, pour
la forme de PfafiFoij = y^dz^ -\- y^dz^, les fonctions y^, y^ sont de
rang un, et r^, z^ sont de rang deux ; les couples (y^, z^, (y^, z^)
sont de rang: deujc aussi, les couples (s^, y^), {zt, yi\ (yi, y^) sont
de rang trois, le couple (rj. Zi) est de rang ^Mrt/re. Voici un autre
exemple où r est supérieur k r^ -\- r^. Pour la forme du second
degré x^dXydx^ + x^dx^dXj^, x^ et x.^ sont de rang un, tandis
que le couple {x^, x^) est de rang quatre. On reviendra en détail
sur ce sujet pour une forme de Pfafif (Chap. IV).
Application. — Une difFérentielle totale symbolique du second degré
est toujours de classe paire, puisque le rang de cette forme est toujours
un nombre pair (no 32). II s'ensuit que le rang d'une fonction y relati-
vement à il' est téro ou deux; en reprenant une suite de raisonnements
tout à fait analogues à ceux du n' 13, il ssrait facile d'en déduire
directement que cette forme il' peut être ramenée à une forme canonique
dyids, + . . . + dypdzp,
si elle est de classe 2p Nous laisserons au lecteur le soin de développer
lui-même la démonstration, sans supposer connue la réduction d'une
forme de Pfaff. On peut prendre pour y, une fonction quelconque de
rang deux (voir n» 12).
39. Formes du second degré à quatre variables. —
Soit il une forme du second degré à quatre variables
(5 1 ) ^' — 2 '^ikdxidxft, (/, /f = 1 , 2 , 3, 4) ;
f50 LEÇONS SFR LE l^ROBLÈME DE PPAFF.
si celte forme est une différentielle totale symbolique, elle est de
classe 2 ou 4, et peut être ramenée à une des formes canoniques
^Ui^ifii ^Ui^U'i + dy^^Uii y il y^^ Z/31 Z/4 ^tant des fonctions dis-
tinctes des variables x^^, x^, x^, x^. Si n n'est pas une différentielle
totale symbolique, elle est de classe 3 ou 4 ; si elle est de classe 3,
elle peut être ramenée à la forme canonique y^di/ydy^ (n° 34), les
trois fonctions y^^, y^, y^ étant distinctes. Considérons enfin le cas
général où il est de classe 4? sans être une différentielle totale
symbolique.
La forme dérivée
(5.) a' = 2 </A«rf^,rfx. = {^^ + ^H + ^^) dœ,dx,dx,
_^ (^ ^îhl + ^\ dx,dx,dx,
\ 3j?2 ^Xi ^Xi y < 1 -
+ l'AlL + ^^ 4- ^\ dx,dx,dx.
n'est pas identiquement nulle, et l'on a observé qu'elle était de
troisième classe. On peut la ramener (n*' 34) à la forme canonique
Q! ^^ dy^dy^dy^, en prenant pour y^, y,, y^ trois intég-rales dis-
tinctes convenablement choisies de l'équation linéaire aux dérivées
partielles
(53) «W/=-(^+^ +
_)_ /Mil 4- ^''^^i I
On peut môme ramener iV à cette forme canonique d'une infinité
de façons en remplaçant y^, y^, y^ par trois fonctions Y/(^,, //g, y^)
(/ = I, 2, 3), dont le jacobien — — - — - — ^ est éffal à l'unité.
D'après sa siernification. réquation {53) est un covariant de la
^^A,,^
\ '-^
?a?3 ,
1 :>Xi
3A„^
\ '^
^Xi ,
/ :^Xi
5A,, \
1 '•^"
3^1 }
' ^X-i
5A31 ^
CHAPITRE 111. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 151
forme a, relativement à tout changement de variables, puisque
toute intéarrale de cette équation annule identiquement le produit
symbolique ddf, qui est un covariaut de n. Le système d'équations
différentielles
(54) ''"' -'''-'
»A,. ^ l^y^ ^ 5A^ ?A3^ _^ ^A^ ^ c\\
^Jr^ '^x-i ?a*3 ?j?i "^.r, ^x^
jAti ;>Ajâ ?.A„
?a?î :>a-4 îsx^
ÎSXs ^Xt ;>Xs
associé à l'équation aux dérivées partielles (53), est aussi un sys-
tème covariant de la forme fi.
Les intégrales de l'équation- {53) sont de rang 2 ou 4 relative-
ment à la forme a.
Il suffit évidemment de prouver que l'intégrale i/i par exemple
est de ranar 2 ou 4- Or. puisque l'on a i^- =dy^dy^dy^y ou en con-
clut que la forme ii peut s'écrire
w étant une forme de Pfaff à quatre variables y^, y^-y^, ^4- Si l'on
fait maintenant ^i = C, w' devient une différentielle totale symbo-
lique à trois variables et du second degré ; elle est donc de classe
deux, à moins d'être identiquement nulle, ce qui ne peut arriver
que si il est divisible par dyi.
Réciproquement, soity*(j7j, x^yX^. X4)une fonction de rang deux
relativement à la forme f». Cette forme peut s'écrire il = lodf + II,
oj étant une forme de Pfaff. n une forme du second degré qui ne
contient pas la différentielle df, et qui est de seconde classe quand
on regardey comme une constante. On peut donc, en choisissant
deux autres fonctions /"jj^^, distinctes de y, mettre encore a sous
la forme
il = i^^df -\- df^df^,
on en tire il = d(MidJ\ et par suite f est une intégrale de l'équa-
tion (53) a'£//= o.
Il existe donc pour une forme générale du second degré à quatre
variables une infinité de fonctions de rang deux, qui sont des
132 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
fonctions arbitraires de trois fonctions indépendantes. Ce sont des
fonctions distinguées relativement à cette forme. Nous avons vu
qu'il n'existait pas de fonctions de cette espèce pour une différen-
tielle totale symbolique du second ordre de classe 4^4 variables.
Si la forme il admet un facteur intégrant sans être une différentielle
totale symbolique, on peut l'écrire II =: yjili, la forme 111 étant une
différentielle totale symbolique de classe quatre. La variable y^ est
nécessairement de rang- deux relativement à celte forme fl,, qui peut
alors s'écrire dij^diji -\- dy^dy^,, d'après la remarque qui termine le
paragraphe précédent. La forme il peut donc être ramenée à une forme
canonique
^ — !/i{d!/idy.2 + dy^dy^),
et l'équation (53) devient-^— rr o.
Si II n'admet pas de facteur intégrant, il n'existe pas de forme cano-
nique. Nous venons de voir que II peut être ramenée à la forme.
H := yidy^dys + a (i),
H'i) étant une différentielle totale symbolique qui contient nécessaire-
ment une variable y^. distincte des variables yt.yt, y^. Cette forme 11(1;
peut être de classe 2 ou 4- Si elle est de classe deux, on peut écrire II
sous la forme
Il = yidyidy^ + rf//+ri/,
y étant uue fonction arbitraire de yi, y^, y^, yi- Si 11(1) est de classe
quatre, elle renferme les quatre variables y^, y^, y^, y^, et on peut la
mettre sous la forme
Hd) = dyidj + 11(2),
Il " étant une autre différentielle totale symbolique de classe deux. Si
y ne renfermait pas y^, la forme yxdy^dy^ -\- dy^df serait une forme de
classe trois, que l'on pourrait écrire par un changement effectué sur
ces variables seulement, Sidz^dz^ et l'on serait ramené au cas précé-
dent. Si ycontienl la variable y^, on peut posery= y^, et H prend la
forme
i^ = yxdyidy-i + dy^dy^ + df^df-,,
fi et,/2 étant deux fonctions arbitraires. Il est évident a priori qu'on
ne peut trouver pour II de forme réduite où figurent moins de deux
fonctions arbitraires, puisque cette forme contient six coefficients kih,
et un changement de variables n'introduit que quatre fonctions arbi-
traires.
CHAPITRE m. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRE.NTIELLES. 153
Remarque. — L'intégjTale i H' est un invariant intégral absolu
pour le système d'équations différentielles (54), et l'intégrale / flun
invariant intégral relati/ pour le même système (Voir chapitre V).
L'équation symbolique D.=z o admet toujours une infinité d'intégrales
à deux dimensions dépendant d'une fonction arbitraire de deux varia-
bles. Si l'on considère, pour fixer les idées, jCi et jCî comme deux varia-
bles indépendantes, la multiplicité 'SU définie par les deux équations
X3 = /{jcj, jCi), Xi = fi^i, Xi) est une intégrale de l'équation Ilnro,
pourvu que les fonctionsy et y vérifient une seule relation
n (xu Xi, f,^,^,^ ,^, ^\ = o,
\ oXi iSx9 3a?i ?J?2/
que l'on obtient en remplaçant x^, J?^, dxs, dXi pnr /, v, df, dv respec-
tivement dans la forme fî. L'une des fonctions y, ç> peut être choisie
arbitrairement, et la seconde est déterminée ensuite par une équation
aux dérivées partielles du premier ordre. On a déjà remarqué (nos 27
et 30) que les équations de ces multiplicités peuvent être écrites expli-
citement, après l'intég-ration d'une équation de Pfaff, lorsque la forme fl
est le produit symbolique de deux formes linéaires, ou lorsqu'elle
admet un multiplicateur (*).
(') Certains problèmes de fféométrie conduisent à des équations symboli-
ques de la forme (5i). En voici un exemple, qui se rattache à un problème
étudié par M. Axel Es^nell (Comptes rendus, t. 171, p. 11 19).
Considérons la congruence de droites définie par les équations
X— J? _ Y — y _Z — r
a b (' '
où X, y, r, a, b sont des fonctions de deux paramètres arbitraires u et v.
Pour que la surface S lieu du point (x, y, 5) soit la surface moyenne de cette
congTuence, il faut et il suffit que les fonctions x, y, s, a, b vérifient l'équa-
tion symbolique
dady — dbdx -j- dsibda — adb) zz o.
La surface S étant donnée, on peut poser
X :zz Xi, y zr x^, dz zi Pidxi -\- Pidx^, a =: x^^, b =: x^,
et cette équation devient
Ci =: pyXffLcydx^ -f- (i — ptX3)dxidXi -|- (/>j.r< — i)dx^X3 — p^^dx^x^ := o ;
il serait facile d'en déduire les résultats de M. Axel Eernell.
La forme Q, admet un facteur intégrant si la surface S est un plan et dans
ce cas seulement.
CHAPITRE IV
APPLICATION DES FORIVIES SYMBOLIQUES
AU PROBLÈME DE PFAFF (0
40. Dérivées successives d'une forme linéaire.— Soient w
une forme linéaire de différentielles à n variables
w =;= Aidxi + k^dx^ + . . . + Ky^dx^
et w' la forme dérivée
to' = dk^dx^^ + dk^dx, 4- • ■ . -\-dk,^dx^.
Le produit symbolique
to" = a)w' = {k,dx, 4- . . . + kjx„){dk,dxl + • . . + dkjx^)
est une forme du 3" ordre que nous appellerons la seconde forme
dérivée de w. De même le carré symbolique
-'" == ^ (-? = ^ (dk.dx, + . . . dkjxj^
= \ dkidxidkhdxk,
i, h
OÙ la sommation est étendue à toutes les combinaisons des indices
2 à 2, est la troisième forme dérivée de o). Le produit symbolique
to'v=: wa)"' = (AiC/a3i + ..• -\-kndxn) (^ dkidxidkxdxh)
est la quatrième forme dérivée de w. D'une façon générale, la
dérivée d'ordre impair 2m — i de w est égale à la puissance m'ème
symbolique de 0/, divisée par m !
(!) Voir le Mémoire déjà cité de M. E, Cartan, Sur certaines expressions
différentielles et le problème de Pfaff (Annales de l'Ecole Normale Supérieure,
3' série, t. i6. i8gg, p. 23g-3.32). Le contenu de ce Chapitre est extrait pres'
que entièrement de ce Mémoire, sauf quelques changements dans les
démonstrations.
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYifBOLIQUES. 155
c'est donc la somme de tous les produits m km. des produits sym-
boliques dX^dx^. dXfdXf, . . .,dX^dx^. La dérivée d'ordre pair am
est égale au produit de w par w'âm— i)
La dérivée d'un ordre quelconque/) est donc une forme de degré
Supposons qu'avec un nouveau système de variables (y^, . . . , y^)
la forme w se change en une forme m linéaire par rapport aux
différentielles dyi. On a déjà démontré (n" 26) que, par ce change-
ment de variables, la forme dérivée lo' se chanere en cj'. Le produit
symbolique b»" •= ojto' se transforme donc en le produit symboli-
que liiEr' = m'. La même propriété s'étend à toutes les formes déri-
vées de ta, qui se déduisent de t-j et de «./ par des multiplications
symboliques. Si un chanarement de variables transforme la forme
linéaire w en une nouvelle forme linéaire m, la même transforma-
lion change la dérivée wiP) en la dérivée nifP>.
Soit w = foj -f- Wj la somme de deux formes linéaires. On a évi-
demment to' := to\ + oj''.,, et une dérivée d'ordre impair w'-3"»— i) est
égale à la puissance «j'ème symbolique (/) de w' divisée par m !
^{2m-i) _ _L (y' ^ y' y».
Comme w'^ et w'^ sont des formes d'ordre pair, on a aussi
m.' ( I ^ *'
+ ^^^^(-'iV^-V*)' + - + K)"*|,
ce que l'on peut encore écrire
(l) w(2^-l) = w^(-2'"-l) -f w,i-2'«-Vi 4- ^ Cp9Wj(2/>-l)wjP?-ï),
Cpq étant un coefficient différent de zéro, et la somme des deux
nombres positifs/? et q étant égale à m. On remarquera qnil ne
Jîg lire dans Vexpession de bii-"*—^'i que les dérivées d'ordre impair
de oj, et de Wj.
(*) Il ne faut pas confondre les deux expressions fw)"» et «<■•), dont la pre-
mière désigne la puissance //j'ème symbolique de u, qui est nulle, tandis que
la seconde représente la wiême forme dérivée de «.
156 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
On a de même
chacun des produits partiels contient une forme dérivée d'ordre
pair et une forme dérivée d'ordre impair. On remarquera que,
dans les deux cas, toutes les dérivées d'ordre impair de w^ et de oj,
y figurent.
Remarque. — Si, dans une forme linéaires, on supprime le terme
en dx^ et qu'on reg-arde x^ comme une constante dans les coeffi-
cients de dx^, ..., dx,^, on obtient une forme linéaire to^kn— i
variables. Quand on fait de môme <id?, = o dans la p'^^^^ forme
dérivée oAp), on obtient une forme de deg-ré /) -f- i qui est précisé-
ment la ^lème forme dérivée de w^, où a^j est considéré comme un
paramètre. Il est évident en eflet qu'on aboutit au même résultat
en faisant dx^ = o au début des calculs qui conduisent de oj et
de (,)' koAp), ou en effectuant ces calculs sans faire cette hypothèse,
et remplaçant ensuite dx^ par zéro dans le résultat obtenu. Or
supposer dx^ = o dans w et w', ceLi revient à remplacer w par Wj
et la forme dérivée w' par w'j. Il es^ d'ailleurs évident que si la
forme m'p) est nulle, il en est de même de wi^P).
41. Nouvelle détermination de la classe d'une forme de
Pfaff. — Toutes les formes dérivées successives d'une forme w de
classe c sont elles-mêmes de classe c au plus, car si w ne renferme
quec variables j:^, a72,...,a?(. et les différentielles dxi, dx^, . . .,dxc,
il est de môme de toutes ses formes dérivées. La dérivée w(c), étant
de deg-ré c -f 1, sera donc nulle; la à^"^^ forme dérivée w(c) d'une
forme w de classe c est nulle. Il en est évidemment de même
des formes dérivées suivantes.
Réciproquement, si la c'ème forme dérivée de w est nulle, la
forme w est au plus de classe c (^).
('} La démonstration serait très facile en s'appuyant sur les propriétés des
formes de Pfaff établies au chapitre I, mais la démonstration du texte est
indépendante de cette théorie.
CBAPITBE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 157
D'une façon plus précise, nous allons démontrer que les c — /
premières formes dérivées oi\ w", . . ., wic-i) d'une forme w de
classe c ne sont pas nulles.
11 en résulte que, pour avoir la classe d'une forme linéaire w, il
suffira de former la suite des dérivées successives de w ; si la pre-
mière forme dérivée qui est nulle est w""), la classe de w est m.
La proposition est évidente pour une forme de classe un. Elle est
aussi très faciles établir pour une forme de classe deux. Si"a> est
une forme de classe deux, on peut l'écrire, par un choix convena-
ble des variables, w = i/idi/, ; on a alors
b)' = di/idyt, cj" = w'.w = difidy^ X Uidy^ = o,
w'" = — {dyidy^f = o, to'^ = w"co = o.
Pour établir que le théorème est général, il suffira donc de mon-
trer que, s'il est vrai pour les formes de classe inférieure à c, il est
encore vrai pour les formes de classe c.
Soit w une forme de classe c. Nous pouvons supposer qu'elle ne
contient que c variables et leurs différentielles
<i) = Aj</Xj -|- Agf/Xj + . • + Acdxc,
Aj, Aj, . . . , Ao étant des fonctions des c variables x^, Xi, . . .,Xc. et
de celles-là seulement. La forme u^ obtenue en faisant dx^ = o
dans w,
(Oj = Aidx^ -1- . . . + kcdxc,
est au plus de classe c — i, quand on regarde dans les coefficie;its x^
comme une constante, car cette forme ne renferme plus que les
c — I variables x^, x^, . . ., Xc- Elle ne peut être de classe infé-
rieure à c — 2. Supposons en effet qu'elle soit de classe c — 3 par
exemple. On pourrait alors choisir un nouveau système de varia-
bles y^, . . ., yc-2, fonctions de J?!, x^, . . . , Xc, telles que l'on ait
.., = B, (^dy.. _ ^^l ^o-,) 4- . . . + B^, (^dyc-, - ^ dx.^
Bg, B3, . . . , Bc— 2 étant aussi des fonctions de x^, y^, . . . , yc—iy et
l'on aurait
tu = Bjf/xj + ^%dy% -r • • • + ^c-odyc—^.
Cette forme w ne peut être de classe c. En effet, si Bj ne dépend
158 LEÇONS SL'R LE J'ROBLÈME DE PFAFf.
que de as^, y^^ . . . , ^c-?. w ne renferme que ces c — 2 variables et
leurs différentielles. Si Bj est indépendant de ic^, //a, . . . , yc-2> on
peut poser ^^^^= yr. i^ ijc—i étant une nouvelle variable, et w ne
renferme encore que c — i variables.
La forme w^ est donc de classe c -^ 2 ou de classe c— i , quand
on regarde x^ comme une constante dans les coefficients A2, ..., Ac.
On peut toujours choisir la variable x^ de façon que la classe de
(assoit c — 2. Supposons en effet que la classe de w^, où l'on donne
à x^^ une valeur constante, soit c — i . La forme dérivée a)(c— 2) ne
peut alors être nulle, car il en serait de même de la forme obtenue
en faisant dx^ = o dans w('^-2) ; or, d'après la remarque qui ter-
mine le parag-raphe précédent, cette nouvelle forme est identique à
la forme dérivée 6Ji(c-2), prise en regardant jjj comme un paramè-
tre dans les coefficients de Wj. Cette forme ne peut donc être nulle
dans l'hypothèse où l'on se place.
La forme cûi^^-'^) est donc une forme de degré c — i à c variables
dont tous les coefficients ne sont pas nuls, et l'équation
w'c-%df= o
admet c — i intégrales distinctes. Supposons que l'on prenne un
nouveau système de variables y^, y^, . . ., yc, àe façon que y^ soit
Tune de ces intégrales. La forme w se transforme en une nouvelle
forme
CT = B^dy^ + B^dy^ -f . . • Bcdyc,
et l'on a la relation
m^'^-^^dyi =0.
Il s'ensuit que la forme à laquelle se réduit th'^— 2) quand on y fait
dy^ = o est nulle, c'est-à-dire que la (c — 2)ième forme dérivée de
Toi = B^dy., 4- ... 4- Bcdyc
où l'on regarde y^ comme constant, est nulle. Cette forme cr^, ne
pouvant être que de classe c -- i ou c — 2, quand on fait cette
convention, est donc de classe c — 2, et nous retombons sur la
première hypothèse (^).
C) On peut remarquer que le raisonnement prouve directement qu'une
fonction y ne peut être d'un rang supérieur à deux relativement à une forme
de PfafF, et qu'il existe effectivement des fonctions de rang deux (Cf. n» H).
CHAPITRE IV. — Al'MlCAllO.N btS FUHMtS SYMBOLIQUES. 159
On peut donc toujours supposer que l'on a choisi la variable œ^
de telle façon que la forme '^j^
ojj = Ajcfo-j + . . . -I- AcdjCc-,
ou l'on fait x^ = G, est de classe c — 2. On peut alors prendre un
nouveau système de varia blés y 2» •••,yc-i, fonctions de.r^, a;,,..., JCc
de façon que l'on ait
Bî, ..., Bc— 1 étant des fonctions de x^^, y^ yc—x- et l'on a aussi
w = Bj^a^i -h ^idyi + • • . -r Bc-idyc-\.
Le coefficient Bj est forcément indépendant de x^. y.,, . . ., yc—i-,
sans quoi w^ ne pourrait être de classe c. On peut donc prendre ce
coefficient pour une nouvelle variable Xc, et, en revenant aux pre-
mières notations, on voit que toute forme « de classe c peut, en
choisissant convenablement les variables, être mise sous la forme
Wj ne renfermant ni Xc, ni dxc, ni dxi, et cette forme étant de
classe c — 2 quand on y regarde Xi comme une constante
Il est facile d'en déduire que les formes dérivées m^'— ^\ w'*""^', ne
sont pas nulles. Démontrons-le par exemple pour la première.
Puisque «^ est de classe c — 2 quand on y reg-arde x^ comme un
paramètre, on a
„,(e-i) = o. Mi('^-2t = ç^dx^, Mj<<^-3t — ûî ^ Çi^dXi,
Û2 étant une forme différente de zéro, où cte^ne fig-ure pas. D'après
les formules qui donnent les formes dérivées d'une somme, on a
w(<^-l) = «/<•-! ' + C^^Xcdx^fù^^^-'^) + C^dxcdx^bi^^c-^) ,
Gj, Ci étant des coefficients numériques dont le second Cj nest
pas nul ; il reste donc
,jc-i) ^^ Cidxcdx^P.,,
et cette forme ne peut être nulle, puisque fi» ne renferme ni dx^,
ni dxc- On verrait de la même façon que dans la forme w(''~^)(yl>-i),
IGO LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
tous les termes qui renferment dxc ne peuvent être nuls. Le théo-
rème énoncé est donc établi (*).
42. Systèmes adjoints à une forme linéaire. — Soit wune
forme linéaire de classe c k n variables Xi, x^, . . . , ,x„ (c <^ n).
La forme dérivée oA^-^) n'étant pas nulle, l'équation symbolique
(3) a>'c-l)4/'=0
est équivalente à un système complet Xj d'équations linéaires
en -^ ,-•'■, -^ , Qui est dit ad /'oint à la forme w. H est évident que
ce système Xj est un covariant de la forme w relativement à tout
changement de variables. En effet, supposons que, par un nouveau
choix de variables {y^, ...,//^), w se chang-e en une nouvelle
forme cr = B^di/^ + • • • + B„c^y„, et/(a;i, . . . , aîj en (pf^/i, ..., y^) ;
le produitsymbolique'o(c— liesse chang-een njf^-^Wcp et l'équation (3)
est remplacée par l'équation de même espèce
(4) Tn(^-i)^cp = o.
La forme w étant de classe c, on peut choisir les variables
î/ii l/i^ •••■» ya ^^ façon que u ne renferme que les c variables
yi, yi, . . ., yc et leurs différentielles. Gomme ct(^-I) est de classe c
au plus et n'est pas nulle, on a forcément, avec ce système de
variables,
v,{c-i) — Adyidy^ . . . dyc,
A étant une fonction de y,, y 2, ■ . • . ?/c» diflérente de zéro, et l'équa-
tion (4) est équivalente algébriquement au système complet
O, . . .,— ^= O,
^!/c+i ^y
qui admet les c intégrales distinctes 9 = y^^, . . . , ç = ^c-
Le système adjoint Ij admet donc c intégrales distinctes qui
sont précisément les variables canoniques, figurant dans la forme
l'éduite de &j (no 6). Si en particulier c = «, une fonction quel-
conque de j?i, . . , x^^ est une intégrale de ce système.
(*) La démonstration donnée par M. Cartan est un peu différente {Annales
de l'Ecole Normale Supérieure, 3" série, t. 16, p. 254-25j).
CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 161
Soit de même 'J''--' la (c — a)'*™* forme dérivée de w. L'équation
symbolique
(5) ^{c-'î)df= o
est équivalente algébriquement à un nouveau svstème complet S,
qui est le second système adjoint à la forme w. Il est évident que
ce svstème I^ ^st encore un co variant de a> relativement à tout
changement de variables. Ce point admis, prenons le même
svstème de variables que tout à l'heure, de façon que w se change
en une forme a où ne figurent que les c variables ^j, ..., yc et leurs
différentielles. La forme dérivée ci'<^-^' ne renfermera elle-même que
ces variables, et on aura
Bj{<^-2) = %^dy^ ... dyc ■{■ x^dy^ ...dycdy^ + . . . + Xcdy^ ... dyc-i,
les coefficients z, ne dépendant que de y^, . . .,yc, et l'un au moins
nétaut pas nul. Le produit 'Jp--^df s,q change en
ra(c-'i)dz =Y^dyi... dyc + x^dy^ ... dycdy^ + ... + xcdy^ ... dyr-i l
et, pour que ce produit symbolique soit nul, il faut et il suffit que
Ton ait
O, ..., --
(6)
?yi ^yi ~ ^ijc
Ce svstème qui n'est autre que le svstème ïj, écritavec les nou-
velles variables y, ...,y^ admet évidemment c — i intégrales
indépendantes Y^, Yj, . . ., Yc_i, fonctions de y^, y^.
Le second système adjoint S^ admet donc c — / intégrales dis-
tinctes, qui sont elles-mêmes des fonctions des c intégrales du
premier système I^.
Il est facile d'avoir la signification de ces intégrales. Soit eu
effet yi =^fi une de ces intégrales. L'équation
taic—^di/i = o
G. Leçons. \[
162 LÈÇOiNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
exprime, comme on l'a déjà remarqué au numéro précédent, que
quand on fait ij^ = C, dy^ = o dans la foi me w exprimée au
moyen de n variables dont fait partie y^^, la classe est diminuée de
deux unités. Les intégrales du système Sj sont donc identiques
aux intégrales premières du système de' Pfoff S^ {n° 7), et par
suite ^2 6st le système complet associé au système complètement
intégrable S3.
Les deux systèmes Sj et ï^ sont les systèmes complets adjoints à
lajorme w, qui admettent respectivement c et c — i intég-rales
distinctes. Toute intég-rale de I.^ appartient à X^ et est de rang
deux ; toute intégrale de S^. n'appartenant pas à ig' ^^t de rang
un {n° 11). On voit que l'on peut très facilement, au moyen des
formes dérivées successives, avoir tous les éléments nécessaires
pour la réduction d'une forme de Pfaff.
Exemple. — Soit
M = ,r\X'idx2. + x^^XidXi + [x^ + XzX^)dx^ -\- x^x^dx^ ;
on a successivement
w' =: XidxidX'i-\- X2dxydXi-\- dxidxi -\- x^dx-^dx^ -{- x^dx^dx^,
w" = mm' = Xs^x^dxidxidx^ -\- x^x^x^dxidxzdx/^ + x^x i^dx\d x.i,dx^
+ x^ix ^x ^dx^dxidxv, + Xzx^dXidx^dx^ + XiXzX^dxidx^dx^
+ XiXsX^dxidx^dx^ — XiX^dxzdx^dx^,
m'" z= — {m')^ =: XiX^dXidxtdx^dX/^
+ x^x ,^dx idx^dx-idx^^ — x^dx^dx^dx^dx^,
r„"" = M"'M = 0.
La forme m est donc de quatrième classe. Le premier système
adjoint li déduit de o}"'d/ := o se compose d'une seule équation
* Zx-i :\Xi 2^x.^
qui admet les quatre intcg-rales distinctes
X\y X^j X/^X^^ X /^ — p .ï' 2*373 •
L'équation 'J'df =. fournit de même un système complet Zj formé de
deux équations
o^Xt i>X^ i-'J^s
D/ Z>/ D/
x,zr X2--^-\- Xi -^ = o,
* î>Xi D^-2 :>xs
CHAPITRE IV. AI'PLICATIO-N DES FORMES SYMBOLIQUES. 163
qui admel les trois intégrales — - , x^jc-i -f- x^, x^x^. Si l'on prend pour
^3
Xi
variables
Xi, Xi, Xi, XiXs 4- Xi= y^, XiX^ = i/^,
on trouve immédiatement pour '^ une forme canonique
w = Xidi/i + Xsdy^.
Nous allons calculer les formes dérivées de l'ordre le plus élevé
pour une forme canonique. Soit
une forme canonique de classe paire im, les variables indépendan-
tes étant Xi, Xi, . . ., a;,„, p^, . . ., /),.,. Nous avons d'abord
r^Çim-i ) -- Ç^ _ 'dptdxi -r dptdxj -f- • • • + dp^dx^)' "
m .' m .'
= dp^dx^ dp,dxi . . . dp^dx^;
puis
^K^m-<î)= w(2/w-3„j
("'—!)!
_ idpidx.+^^+dMn- ^ (^^^^^^ ^ ... +/> AJ.
Dans le développement de ce produit symbolique, il y a un seul
terme contenant dxi qui est
pidx^dpidx, . . . dp^dx,,,
et les autres termes s'en déduisent par permutation. On a donc
w(2m— 2) = p^dxidpidxi . . . dpjix^ 4- dp^dxip^dx^^ . . . dp^dx„ 4- ... ;
on peut remarquer que «af^'"-^) se déduit de wt^m-ij g^ remplaçant
successivement dpi par /),, dpi par/>g, . . ., et faisant la somme des
monômes ainsi obtenus.
Une fonction quelconque des 2m variables x,, pk est une inté-
g^rale de l'équation '^i'^'n—^>d/= o, tandis que le produit &)'"2^— -)rf/
est égal à
— (/>! ^ + />» ^ + ••• + P-^^ dp^dx^dp.dx,... dp^dx^.
164 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
L'équation symbolique w(2«i— 2)0^ ^= o est donc équivalente à
l'équation linéaire (Cf. no 9)
<>pY '>Pï <>Pin
qui admet les im — i intégrales
^ y. P^ Pm
P\ Pi
Calculons encore le produit symbolique
/ etcf étant deux fonctions quelconques des variables Xi, pk- On a
^(•2ot_3) _ {^')"'~^ ^ j dpidœi + ... + dpr^dœm)"'-^
(m— i)! (m — I)! '
ou encore
^j(2/n-3) — dp^dx^ ... dp^dx^^ + dp^dx^dp^dx^ ... dpjix^^^
■\- ... ^ dp^dx,... c^/)„,_i</^,„_i .
Le produit symbolique dp^dx^ ... dp„^dx„^dfd<^ est évidemment
égal à
et de même pour les autres produits partiels. On a donc
c'est-à-dire {Leçons n^ 48).
(7) ^('irn-?,)dfdr^ = (/, ^)dp,dx^dp^dx., . . . dp^dx„,.
Prenons maintenant une forme canonique de classe impaire
zm + I, que nous écrirons
M = ds — p^dx^^ — p^dx^ ... — p„^dx^.
On a
w' = dx^dpi + ..• + dx^dp^
f,j(2/n-i) ::^ l^ij_ __ dp^dx^dp^dx^ ... dp^dx^
«(î/w)— «(î/w-i) X w = dzdpidXi ... dp^^dx^^.
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 165
Toute fonction de z, Xt, ••.»/>m ^^^ une intégrale de (J'^df= o,
tandis que l'équation 6j'^^-*)<//'=o est équivalente à — ^= o (n" 9).
Calculons aussi le produit symbolique
f et -z étant des fonctions quelconques des im -f- i variables
z. Xi, ph-
Il est clair que f/rc(/?i<ya:j ... dp^^.dx^ figure dans tous les pro-
duits partiels. En prenant le facteur dz dans w, on voit comme tout
à l'heure que la somme des coefficients obtenus est
m
En prenant le facteur dz dans df ou dans i/s, on reconnaît de
même que la somme des coefficients obtenus est égale à
m m
?3> V' "^f «>/" V «>?
On a donc {Leçons n" 49)
m
(8) „«»-^rf/d, = yJ^(^^ + /,-îj)
1 = 1
-^ G^ -^ />/^)|rf5c//,.rfa.. ... dp„,dx„,
= '/' rdzdp^dx^ ... dp„,dx^.
43. Groupes de fonctions conjuguées. — Les propositions
qui font l'objet du paragraphe précédent se généralisent facile-
ment. Soientyj,yj, . . .,/'q un système de q fonctions distinctes de
Xj, 0^2' •••■• -^nCy^C f^)- Imaginons-tjue l'on prenne un nouveau sys-
tème de variables telles que q de ces variables soient les q fonc-
tions yi, fi, " ■* fq elles-mêmes, les n — q autres variables
yq-Y\i ••■■tUn pouvant être choisies d'une façon quelconque de
manière à former avecyj,^, . . .,fqww système de n variables dis-
166 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF,
tinctes. La forme linéaire w se chaiig-e en une nouvelle forme
linéaire
(9) m = B^c(/i -f ... + ^qdfq -(- Bç+ldl/qJ,i + .•• + T^ndi/n,
Bj, ..., B,i étant des fonctions àe/i,/^ •-••, fq^ yq+\i •■•, yn-On pourra
par exemple prendre pour nouvelles variables, avecy^j/a, ...,fq,
n — q des variables xi, soit Xq^i, . .., Xn ; des q relations
. dfi=^£-dx,+ ... + '^^dx^ {i. = i,2, ...q),
on tirera dxi, ..., dxq en fonction de d/i, ...,dfq, dxqj^i, ..., dxn, et
en les portant dans m, on aura la nouvelle forme to, où il faudra
encore remplacer x^^, ..., Xq dans les coefficients par leurs expres-
sions au moyen dej^j, ■••■,fq, Xq-^i, . . ., Xn-
Si dans la nouvelle forme non supprime les termes en dj'^, ..., dj'q,
et qu'on remplace ensuite dans By^ 1, ..., B„ les nouvelles variables
J\, •'••,fq pfir des constantes quelconques a^, ...,aq, on obtient une
nouvelle forme
Wq = Bq-^-idyqj^i + . . . + Bndyn,
de classe c — r (r "^ o), c étant la classe de w. Nous dirons que les
relations
,. { fi = f'i ' f2 = fiv ■■■, A = ftq,
\ df^. = 0, df^ = o, ..., dfq = o
abaissent la classe de w de r unités, ou, d'une façon plus abrég-ée,
que les q fonctions f^,/^, . . .,fq forment an groupe de rang r.
Le nombre r ne peut évidemment être supérieur à la classe c
de M. Pour que les q fonctions distinctes f\,f\, fq forment un
groupe de rang r, il faut et il suffit que le produit symbolique
(11) ^iO-Ddfdf^ _,,dfq
soit nul, tandis que les produits symboliques (J^^df^ ... djq, où
i <Cc — r, sont différents de zéro.
La condition est nécessaire. En effet, si l'on a pris un nouveau
système de variables /i,' ..., fq, yq^A, ■•, yn, la forme dérivée
ct(c— z") de la forme nr, déduite de w par ce chang-ement de variables,
ne doit renfermer aucun terme où ne fie-ure au moins une des
CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 167
difFérentielles df^^ dfq, puisque cette forme dérivée doit être
nulle, quand on suppose df^^ =o, . . ., dfq^ o. Réciproquement,
si le produit symbolique (ii) est nul, la forme cr^'^-'"* est nulle
quand on y supprime tous les termes en df^, ..., dfq. Les rela-
tions (lo) abaissent donc la classe de « d'au moins r unités. Elles
ne peuvent l'abaisser de plus de r unités ; en- effet, si elles l'abais-
saient davantage, le produit symbolique tJ^^—^—^'^df . . . dfq devrait
être nul.
Il résulte de là que. si un produit symbolique
rjn^^df.-.dfq
est nul, il eu est de même de tous les produit symboliques
<.'«-l>e(/; ... dfq, «Cn+Î.^/, ..: dfq, ... .
L'équation m^'^—^^dj = o, où r > 2, ne peut admettre d'autre
intéerrale quey^G, puisqu'on a remarqué plus haut n^ 41) que
les relations y = o. df^= o ne peuvent abaisser la classe de «» de
plus de deux unités.
Le ransr d'un groupe de q fonctions n'est pas forcément éçal à la
somme des ranai's des q fonctions y^, y,, . . . ,fq de ce groupe. Par
exemple, les deux fonctions x^. j?., sont de ransf deux pour la
forme w == dx, + x,dx.^ 4- x^dx^. et le groupe (j?,, x.^) est lui-
même de ransr deux. Dans ce cas, le ranar du groupe est inférieur à
la somme des rangs des deux fonctions qui constituent le groupe.
H peut aussi être plus grand ; ainsi, pour la même forme,
j"i et Xi + — sont de rang un, tandis que le srroupe ixi^Xi -\ ^|
est de rang trois, car si Ion pose ar, = a, a?i -\- ^ =z b, la forme m
Xi
devient
Xîd I 0^3 + (6 — à)Xr,\.
Le rang d'un groupe de q fonctions distinctes ne peut être
supérieur à 2q. Soient, en effet, w^ la forme que l'on déduit de w
en établissant la relation^ = a^ entre les variables, w» la forme
que l'on déduit de «i en établissant une nouvelle relation y^ ^«j,
et ainsi de suite ; la dernière forme obtenue '^tq est identique à xs.
Dans la suite des formes w,. w,, ..., wy, la classe ne peut s'abaisser de
168 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
plustle deuxunitésquand on passe d'une forme àla suivante(n'' 41).
La dernière forme wg = rn est donc au moins de classe c — 2q, et
ce minimum ne peut être atteint que si chaque relation nouvelle
fi = ai abaisse la classe de deux unités. De plus, cet abaissement
de deux unités dans la classe doit toujours avoir lieu quel que soit
l'ordre dans lequel on effectue les opérations, quand on introduit
une relation de plus entre les variables. Nous dirons que ^ fonc-
tions distinctes_/j, /g, '..,fq formant un g-roupe de rang- iqi^iq^c)
constituent un groupe de q fondions conjuguées, ou plus simple-
ment un groupe conjugué. Des explications qui précèdent résul-
tent immédiatement les conséquences suivantes :
i" Pour que q Jonctions distinctes y"^, f, . . .,fq forment un
groupe conjugué, il faut et il suffit que le produit symbolique
ro(^-^i)dfi ... dfq
soit nul.
2" Si f, f^, . . .,, fq forment un groupe conjugué, r fonctions
quelconques f^ , ■ ■ •■,f^ appartenant à ce groupe forment aussi
un groupe conjugué de r fonctions.
On peut supposer en effet que l'on passe de w à cr en introdui-
sant d'abord les r relationsy^ = aj, ..•,/^ = Or, ce qui doit con-
duire, on l'a vu, à une forme de classe c — 2r.
En particulier, chacune des fonctions du groupe doit être de
rang- deux, mais la réciproque n'est pas vraie, comme on l'a
remarqué plus haut.
Pour une forme w de classe 2p ou 2p -{- 1, il ne peut exister de
g'roupe conjug-ué de plus de zp fonctions. La connaissance d'un
groupe conjugué de 2p fonctions permet de ramener w à une
forme canonique par un changement de variables.
Soit M une forme de classe 2/9, et soit {f\,fi, •..■, fp) un g-roupe
conjug-ué de p fonctions. Quand on prend un système de variables
parmi lesquelles fig-urent ces /> fonction s y"/, m se chang-e en une
nouvelle forme linéaire
(12) m = ^sdf + . . . + B^c//;, + B^+^c^^^+i -f ... + ^ndyn-
Si l'on remplace dans cette forme df^, ..., df^ par zéro, la classe
de la nouvelle forme doit être zéro, quelles que soient les constan-
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 169
tes par lesquelles on remplace /"i, . . .,f^ dans B^,^,, . . .,B„. Il faut
évidemment pour cela que ces coefficients B^^j, ..., B,, soient
nuls, et la forme rs se réduit à ses p premiers termes
Les/> coefficients Bi, . . ., Bp doivent former asec fi, . . .,f^ un
système de 2p fonctions distinctes ; sans quoi la forme ni serait de
classe inférieure à 2p. En prenant pour variables ces 2p fonctions,
la forme &> est donc ramenée à une forme canonique
CT = Zidyy + . . . -f- Zpdy^.
Connaissant un groupe conjugué de p fonctions, on voit que
cette réduction exige seulement un changement de variables tel
que les p fonctions yi.ys, . . ■■,/,, du srroupe soient précisément/)
des nouvelles variables, les autres pouvant être prises d'une façon
arbitraire. On peut aussi obtenir les coefficients B, par un calcul
d'identification avant tout changement de variables.
Considérons maintenant une forme oj de classe 2.p -{- i. et soit
ifiyft" •••■> fp'i **° groupe conjugué de p fonctions pour cette
forme. Le même changement de variables que dans le premier cas
conduit à une nouvelle forme a dans laquelle l'ensemble des ter-
mes qui suivent les p premiers
Bp+iC^yp^i + . . . + B„rfy,
représente une forme de classe un, c'est-à-dire une différentielle
totale d\j, quand on regarde yi, ■",J'p comme des constantes dans
Bpj.j, . . ., B„. On peut donc écrire
^P^idy^.. + . . . + BJy„ = dU -^d/, - . . . -'^d/^,
et par suite
^ = Cdf, + . . . + C^d/^ + du.
Les 2p + I fonctionsy*!, •••,fps Cj, ..., C^,, U doivent encore être
distinctes et, en les prenant pour nouvelles variables, tj est ramené
à une forme canonique
co = z,dy^ + . . . 4- z^dy^ + dy^^,.
On voit que cette réduction exige, outre le changement de varia-
bles, une quadrature.
170 LEÇONS SUR LE PROBLÊME DE PFAFF.
44. Détermination d'un groupe conjugué. Première
méthode. — De la définitioa même d'un groupe conjugué, on
déduit aisément une méthode de recherche de ces groupes.
Soient (^ une forme de classe e, eiy'i une intégrale de l'équation
symbolique
(13) w(c-2)^/:z=0,
équivalente au système complet adjoint 2^, qui admet c — i inté-
g-rales distinctes. L'équation symbolique
(i4) <^{c-i)dJ\df=o
est elle-même équivalente à un système complet admettant c — 2
intég-rales distinctes, y compris y"==yi. Supposons en effet que
l'on ait pris la fonction y^ elle-même pour l'une des variables, et
soit w^ la forme déduite de w en posant J'^ = a^, df^ = o. Cette
forme w^ est de classe c — 2, et l'équation symbolique (i4) est
équivalente à l'équation
(i5) u>,(c-i^df=o
que l'on déduit de l'équation (i4) en supprimant dans 6j(c— 'i) tous
les termes où fig-ure d/i. La forme wi étant de classe c — 2, l'équa-
tion wi'<^— *)<//' = o admet c — 3 intég-rales distinctes, qui peuvent
dépendre dej\ en même temps que des autres variables, et qui
sont données par l'intég-ration du second système adjoint à la
forme wi. Soity, une intég-rale de ce nouveau système. L'équation
symbolique
(16) , Jo-&>dj\df,d/=0
admet à son tour c — 5 intég'rales distinctes, non compris les
intég-rales évidentes /*=yi, y =^2- En effet, pour la même raison
que tout à l'heure, cette équation symbolique est équivalente à
l'équation
(17) ^.J.c-&)df=o,
0)2 étant la forme que l'on déduit de « au moyen des quatre rela-
tions
/i ^ ^i'./2 = ''^2' ^fi = O5 df\ = o ;
CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 171
cette forme w^ étant de classe e — 4» l'équation (17) admet c — 5
intéarrales distinctes, qui s'obtiendraient par l'intégration d'un sys-
tème complet, dont on connaît déjà deux inté2;'ralesy^,y*j.En con-
tinuant de la sorte, on en déduit la méthode g^énérale suivante
pour obtenir un groupe de q fonctions conjuaruées relatif à une
forme w de classe c iq ^—\ .
On cherche une intégrale fi de r équation symbolique
Jc-^)df= O,
puis une intégrale f^, distincte de/^, de F équation
c^^^-^^'d/idf^ o,
puis une intégrale J".^, distincte de/^ ^t.f2-> ^^ l'équation
^(c-(.)df,dfidf= o,
et ainsi de suite, .. enfin une intégrale fq, indépendante de
fi^ff ' • -'fq-u de V équation &>(«" -2^'c(/*i . . . dfq-\df=o.
Cette recherche exi are les opérations c — i,c — 3, ...,c — zq -\- i.
Eu particulier, si c = 2/), la recherche d'un groupe âe p fonctions
conjuguées exige les opérations ap — i, 2/) — 3, ...,3, i. Si
c = 2p -\- I, cette recherche exige les opérations 2p,ip — 2, ...,4,2.
Les intégrations à eÉFectuer pour ramener m à une forme canonique
sont donc les mêmes que celles qu'exisre la méthode du n° 12, qui
ne difiFère pas essentiellement de celle-ci. Mais la nouvelle méthode
offre cet avantaare, de n'exiger un chançremeut de variables que
lorsqu'on a achevé de déterminer la moitié des fonctions qui doi-
vent figurer dans la forme réduite, tandis que le procédé du n" 12
suppose un changement de variables après chaque intégration (').
Remarque. — Lorsque w est de classe impaire 2/> + i, après avoir
déterminé les/) fonctions yi,y2, ...,fp d'un groupe conjugué, on peut,
avant tout changement de variables, déterminer une intégrale fp-^i,
indépendante de fi,f±, . . . , fp, de l"équation symbolique
wrf/i .. . (Iff4f= o.
C) Pour une forme de classe paire, la méthode de réduction de Frobenius
ne difiFère que par la forme de celle qui vient d'être exposée. Pour une
forme w de classe impaire, Frobenius commence par déterminer une fonc-
tion/ telle w — df soit de classe paire.
172 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
La forme donnée w peut alors s'exprimer au moyen des différentielles
dfi, ..., dfp, dfp-\-\ seulement, dont on peut, comme tout à l'heure, cal-
culer les coefficients Bj par identification :
« =: Birf/i -f . . . + Bpdfp + Bp-i-irf/p-j-i.
De plus B/j-i-irf/Jg-f-i doit être de classe ««, quand on y regarde /,, .,.,/'p
comme des constantes, ce qui exige que Bp-t^i ne dépende que de
I\ifï'> •• ifp+^- Il suffit alors de prendre pour variable / B^+icÇ/Jj+i,
à la place A& fp-\-i, pour obtenir une forme canonique.
Exemple. — Soit
w = x^dXi -\- XidXi — x?,x^dx^ — x%x^dx«, + '^idXf^ ;
on a
w' =r — x^dx^dx^ — x^dx^dx^ -\- dx^dx^,
w'" =: — (&)')2 = — x^dx^dx^dx^dx^ — x^dx^dx^dx^dx^,
oiV — o ;
d'autre part, on s'assure aisément que m"" =z 'J"m n'est pas nul. La
forme «o est donc de cinquième classe. On voit immédiatement, sans
qu'il soit nécessaire de développer, que/"^ x^ est une intégrale de
w"'o[/ = o ;
on peut donc prendre /"i =z x^. On reconnaît de même quey =: x-i est
une intégrale de l'équation symbolique
(ù'dfidf = — (x^dx^dx^dx^ + oc^dxidx«,dx^)df =: o .
Il en résulte que si l'on remplace .Tg et Xg par des constantes dans w,
on obtient une différentielle totale. On peut écrire en effet
w = Xidxg + d{xiXî — X:)X^Xi) + x.yVidxs,
et M est mis sous forme canonique.
45. Détermination d'un groupe conjugué. Deuxième
méthode. — Nous démontrerons d'abord les deux lemmes sui-
vants :
Lemme 1 . — Soit m une forme de classe c. Si Von a
w(c-3)to^ z= O,
Wj étant une autre Jorme linéaire^ la classe c est un nombre
impair, et wj est identique à m à un fadeur près.
CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 1"3
Lemme II. — Si Von a
la classe c est un nombre pair et wj est identique à w.
Il suffit évidemment de démontrer ces lemmes pour une forme
canonique. Soit
'^ = y^dx, + . . . + y^dx„
une forme de classe c = 2m ; on a
«(c-3, _ .j^n-3) = 1^2^ = sdy.dx, . . . dy^_,dx^_„
chaque produit partiel se déduisant de dyidxi . . . dy„^dx^ en sup-
primant un groupe de deux facteurs dyidxi (n» 42. p. i64). Pour
qu'un produit symbolique
ÇLdy^dx^ . . . dy^idx„_^){lciidxi + ^^idyi)
soit nul, il faut que tous les coefficients a, et S, soient nuls, car le
terme xidx^dy^dx, . . . dy^^dx^ par exemple ne se réduit avec
aucun autre.
Prenons en second lieu une forme de classe impaire 2m -f- i
« = </r + yidXi + . . . + yjix^ ;
(m—i)l
= {^dy.dx, . . . dy^^dx^ {dz + y^dx^ + • . •)•
On a déjà la relation w(<^-'>» = o; si l'on a aussi w(<^— 3),^^ =0,
0)1 étant une autre forme linéaire, le produit symbolique
«(c-3.(tOj — Kto)
sera nul, quelque soit le facteur K. Choisissons ce facteur de façon
que wi — Kw ne renferme pas ds,
Wi — Kw = Ixidxi 4- ^Pidyi ;
on aura
CLdy^dx^ . . . dy^^dx^_,){dz + lyidxi)(L%idxi + ^hdyi) = o.
En considérant tous les termes qui contiennent dz, ou voitj
174 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
comme tout à l'heure, que tous les coefficients a/ et P/ doivent être
nuls, et w^ est identique à Kw.
Le second lemme se démontre de la môme façon. Pour une
forme w de classe paire
on a
w(o-2i ^ {^:.dy,lx,dy^ . . . dy,,_^dx„,_^)r^,
Si l'on a d'auti^e part w(c-2)-- «('^-3)^^^ w^ étant une forme linéaire,
' on en conclut que le produit rJ''-'^)(^M — wj) est nul, ce qui exige, on
vient de le voir, que m^ = w.
Pour une forme de classe impaire
o^ = dz + y^dxi + ... + ^/„^6^^„^,
«(c-2) = dyidx^ . . . dy^^dx^,,,
w(c-3) = (Idy^dXi ... dy„,_,dx,,_^){dz + y.dx^^ ... + y„^dx„,).
On ne peut avoir
car le premier membre ne contient pas dz, tandis que le second
membre renferme des termes en dz, à moins que M^ ne soit nul.
Cela étant, soient w une forme linéaire de classe c et {J\, ...,fq)
un groupe conjug-ué de q fonctions iq<i — \. V équation symbo-
lique y
(i8) . r.i'^-'^^-^W.df, . . . df,df= o
est équivalente au système
(ig) „,^<^-^)df— o, ... w(c-3)^/^(//= o, . . ., t^^o-Z)dfqdf= o.
Il est évident en effet que toute fonction y qui annule le produit
symbolique (i8) annule aussi tous les produits symboliques (19)
(no 44). Pour démontrer la réciproque, comme la propriété est
indépendante du choix des variables au moyen desquelles on a
exprimé w, nous supposerons qu'on a ea?primé w au moyen de
C variables canoniques j/i,/^, • • ■,J'q ety*sont alors des fonctions
CHAPJTRK IV. — APPLICATION DES FORMES STMBOLlnUES, 17Ô
des mêmes variables. ^La relation (i8) exprime que/ est de ranar
deux par rapport à la forme -m déduite de w au moyen des q rela-
tions
établies entre les variables canoniques. Cette forme ci est de
classe c — zq par hypothèse, et par suite les fonctions de rang- deux
par rapport à in sont déterminées par un système complet qui
admet c — ay — i intég^rales distinctes, en plus des intégrales
évidentesyj,^^, .. .,y^. L'équation (i8) conduit donc pour déter-
minery"à un système complet S qui admet c — q — i intég-rales
distinctes. Comme la fonction y dépend de c variables, tout système
de y 4- I équations linéaires et homog^ènes par rapport aux déri-
vées dey est équivalent au système S, pourvu que ces équations
admettent toutes les intég-rales de 1 et soient linéairement distinc-
tes. Or les q -{- i équations du système (19) sont linéaires par rap-
port aux dérivées dey, car «(<^-2) et 'J-'^—'^'^dfi sont des formes de
deg^ré c — i, et ces équations admettent toutes les intég-rales du
système 1. Il suffit donc de montrer que ces q 4- i équations (19)
sont linéairement distinctes pour prouver que le système S est
identique au système (19).
Si les y dernières équations (19) n'étaient pas linéairement dis-
tinctes, on aurait une relation de la forme
«(0-3) \ \df, + Hdf, + . . . + VA \ df= o,
où \, )2, . .., \ sont des fonctions des variables indépendantes,
non toutes nulles, qui devrait être vérifiée quelle que soit la fonc
tiony II ne peut en être ainsi que si le produit
«(0-3)(X,cfy + . . . + \dfq) = o.
Ceci exig-e que \c//*t + • • • + \d/q soit identiquement nul, ou
bien que AjcÇ/*! 4- ••• + ^^-qdfq soit identique à wà un facteur près, la
classe c étant un .nombre impair. La première hypothèse est à
rejeter puisque tous les coefficients /, ne sont pas nuls, et que les
fonctionsy,y2, ...,yySont indépendantes. La seconde hypothèse est
aussi à rejeter, car la classe de w serait au plus ég-al à 2y, et
comme c est impair, on aurait c <[ sy, ce qui est absurde.
176 LEÇOiNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Si la première des équations (19) était une combinaison linéaire
des autres, on aurait de même une identité de la forme
..(0-2) = .,(c-3)(X^jy; + . . . + \df,^.
Il faudrait que \dfi + . . . 4- \dfq fût identique à w, et l'on
aurait c = 2y. L'équation symbolique (18) n'a alors aucun sens.
De la proposition précédente on déduit une nouvelle méthode
pour déterminer un groupe de q fonctions conjug-uées.
Soit fi une intégrale de Véquation &j<o— 2)(/^:^ o, on cherchera
une intégrale fi, distincte def, du système
^(c ^')df=z 0, r^ic-M/\df= O,
puis une intégrale/.^, indépendante de J\ et fi^ du système
«(c-2)r//=o, r,>{c-3)dfdf=o, ro«^-^)df^df=o,
et enfin une intégrale fq, indépendante dej^,/^, •••>fq 1 ^" ^U^'
tème
w(c-2)(//= o, w(o-3)^/^<//= o, . . . ^i<^-^)dfq-\df = 0.
Il résulte en effet de la proposition précédente, que les groupes
successifs {/,, />), {/,, /g, /g), . • • (/i,/?, . . . ,/y) de 2, 3, ...,q
fonctions sont des groupes conjugués.
Il est clair que le nombre des intégrations à effectuer est le
même dans les deux méthodes, puisque nous n'avons fait que rem-
placer un système complet par un système complet équivalent.
Mais la nouvelle méthode est beaucoup plus simple pour la forma-
tion des systèmes complets successifs dont on a à rechercher une
intégrale particulière, car chacun d'eux contient toutes les équa-
tions du système précédent ; de plus dans chacune de ces équations,
il ne figure qu'une des intégrales déjà obtenues. Supposons en
particulier que la classe de m soit égale au nombre n des variables
indépendantes qui figurent dans cette forme. Chacun des produits
symboliques
est de degré n et par suite contient un seul terme en dx^dx^.-. dx^^t
En égalant à zéro un quelconque de ces produits, on obtiendra donc
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 177
-3/" 3/"
une seule équation linéaire en-^ , ... , -=^ . Chacun des svstèmes
complets successifs se déduira donc du précédent en lui adjoig'nant
une seule équation formée au moven de la dernière intégrale
obtenue.
Dans le cas général où le nombre n des variables est supérieur à
la classe c de w, la première équation (a'<^-'^)df fournit un système
complet de n — c + i équations. Pour avoir chacun des systèmes
complets successifs, on adjoindra au précédent une équation nou-
velle distincte des précédentes, que l'on déduira de la dernière
intégrale obtenue, en égalant à zéro le coefficient de l'un des
monômes dans f,M—'^^dfidf, fi étaniXdi dernière intégrale calculée.
Dans le cas où le nombre des variables est pair 2/* et ésral à la
classe, la méthode précédente pour déterminer un g-roupe conjugué
de /"fonctions est due à Clebsch, qui n'a jamais étendu complète-
ment sa méthode aux autres cas.
Exemple. — Considérons la forme de Pfaff (Fors\-th)
w = x^lœi + œsdjCi + Xidxi + œ^dXi -\^ x^jc^ -f x^dx^ ;
les formes dérivées d'ordre impair ont les expressions suivantes
w' = dXfdXi + dXfdXi + dXidxz + dx^dXi + dx^dx^ + dxidx^
w'" = — (m')* = dxidxjdxjdx^ -f- dxidx^dxtdXi + dxidx^dx^dx^
+ dXidx^dx^dXi -\- dx^dx^dx^dx^ + dxidx^dx^dxi
+ dxidxidx^dxs -\- dx^dxidx^dxi + dxtdxsdxgdXi,
«V ::= 1. («y _ o
D'ailleurs w"" = w"'« renferme évidemment un terme en
dx^dXidXidx^dx^
qui ne se réduit avec aucun autre ; la forme w est donc de cinquième
classe. Pour ramener w à une forme canonique, il faut d'abord détermi-
ner une intégrale de l'équation
.'"<//= (^ + ^ + ^) (dxxdxidx^dx^dx^
■ + dxidxidx^dx^dxg + dx^dx^dXidx^dx^
i -^ + -^ -r -^ ) {dxtdxsdXidx^dXg
+ dXidx^dXgdxxdx^ + dxldxidx%dx^dx^) = o,
G. Leçons. 12
178 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFP.
équivalente au système complet
d,Xi Dœa D.-Cy
d.ï;2 ?>œi :>Xf,
Soil/i =0^3 — Xi une intégrale de ce système. Nous avons ensuite à
chercher une intégrale du système complet obtenu en ajoutant aux
deux équations précédentes l'équation symbolique w"c?(j73 — Xi)df-:= o.
On trouve facilement, en faisant le calcul, qu'il suffit d'adjoindre au sys-
?/"
tème précédent l'équation ^i— =r o. La fonction ^2 = a?^ — a^i est une
intégrale du nouveau système.
En posant X:^ — Xi =z v/3, x^ — Xi=: y^, la forme w peut s'écrire
w =: x»dxi -f- {xi + y%)dxi + x^dx^ + x^,dy'i + x^dxi^
+ y^dx^ + x^dx^ + x^dy.^ + x^dxi^,
et on vérifie immédiatement que si l'on y remplace y^ et y«, par des
constantes, on a une différentielle totale
d{xxXi + y^x^ + x^x,, + ^,0-6 + ^50,-4).
On a donc, en reg'ardantyj et y^ comme des variables,
w = d{x^x% + Xty-i + XxX^ + a^i^jg + y^x^)
+ (.z-^ — x^dy-!, + («g — a;4)(/yg,
et enfin, en remplaçant ys et y^ par leurs expressions,
w = c/(cc2a;3 + a^io^e + x,,x^) + (.q?^ — x^^di^x-^ — X\)
-\-{x^—x^d{x^ — Xi).
46. Forme canonique d'une équation de Pfaff. — On a
déjà démontré (n'^ 15) que l'on peut trouver explicitement les inté-
grales d'une équation de Pfaff w = o de classe y= 2m — i, si l'on
a ramené la forme w à ne contenir que m différentielles, de telle
sorte que l'équation w = o s'écrive
(20) « = Bic?/i 4- ... 4- B^c//„ = 0,
fil/il • - -if m étant m fonctions distinctes. Nous dirons alors que
V équation m = o de classe 2m — / est mise sous forme canonique.
La forme &> elle-même peut être de classe 2m ou déclasse 2m — r
(n*' 13). Si w est de classe paire im, les 2mfonctionsyj,y2» •••ijm^
B^, ..., B^ doivent être distinctes, sans quoi w serait de classe
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 179
inférieure à 2m. L'expression (20) est donc aussi une forme cano-
nique pour w, et il revient au même de mettre la forme m ou l'équa-
tion o> = o sous forme canonique. Le problème revient à la recher-
che d'un groupe conjug-ué de m fonctions {f^.fi, •••^y^)-
Il n'en est plus de même si w est de classe impaire 2m — i ;
Bjf//"j + . • • + B„<5^,j^ n'est une forme canonique pour ro que si l'un
des coefficients B/ est ég-al à l'unité. Les m fonctions (^^,^"5, ..., J"^)
forment alors un arroupe de rang- 2m — i pour la forme w, et la
réduction de l'équation w = o à une forme canonique est équiva-
lente au problème suivant :
Déterminer un groupe de m fonctions distinctes {f^, ■",/„) qui
soit de rang 2m — / par rapport à la forme w.
Il est clair en efl'et qu'avant obtenu un groupe de cette espèce, si
l'on prend un nouveau système de variables de telle façon que les
m fonctionsy, de ce groupe fassent partie des nouvelles variables,
fa> ne doit contenir que les différentielles df^, ..., rf/*„^, puisque w
doit être de classe nulle, quand on y remplace ces différentielles
par zéro.
D'une façon générale, nous dirons qu'un groupe de q fonctions
distinctes {f.fi, ••■yfq) ^st senii-conjugué par rapport à une
forme w, lorsque les relations
/ \ ^fi^= ^i^ •••ijq=aq-,
^ ^ }df, = 0,...,dfç =
abaissent la classe de « de zq — i unités. Les q fonctions
fi,fî, •■•■.fq vérifient l'équation symbolique
(22) ^i---^9+i>df...dfç = o;
inversement, si q fonctions distinctes f, . . .,fq satisfont à cette
relation, les équations (21) abaissent la classe de m de 2y — i unités
au moins : les fonctionsy^, ■.•■,fq forment donc un groupe con/M^Me
OMsemi-conj ligué. En reprenant les raisonnements du n" 43, on voit
facilement que, si q fouctionsyi, ■■■,fq forment un groupe conju-
gué ou semi-conjugué, r quelconques de ces fonctionsy^, .••,/*«
vérifient la relation
(23) "«'-^+^>rf/«,...^y«, = o.
180 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
c'est-à-dire forment aussi un groupe conjug-ué ou semi-conjug-ué.
En particulier, chacune des fonctions du g-roupe est au moins de
rang- un, et l'on a
Pour déterminer un groupe semi-conjug-ué de q fonctions, on
peut suivre deux méthodes tout à fait analog-ues aux deux métho-
des exposées plus haut pour les g-roupes conjug-ués.
Première méthode. — On cherche d'abord une intégrale J\ de
Véquation
„,io-\)df= 0,
puis une intégrale f^, distincte de J\, de l'équation
r.,(o-Z)df,df=z o,
puis une intégrale f^, indépendante defi,/^, de Véquation
o.(''^-^)df,df,df=o,
et enfin une intégrale fq^ indépendante de J\, ...,fq—i de l'équa-
tion
^(C-^q+Ddf^ ^ _ dfqdf=z O.
Si la classe c est égale au nombre n des variables indépendantes
x^, ..., £C„, on peut prendre pour/'^ une fonction arbitraire de ces
variables.
En particulier, pour ramener une équation m = o, où &> est de
classe 2m — i, à une forme canonique, on a à chercher successive-
ment une intég-rale particulière de chacune des équations
^(2m-2)^y_ o, oi(2m-i)c/f^clf= O, . . .
rJ^)dJ\ ... df^_.^df= o, ^df, . . . df^_^d/= o,
puis à faire un chang-ement de variables, de façon que/j.yj» •■••,Jm
fassent partie des nouvelles variables.
On a ainsi à déterminer une intégrale particulière de plusieurs
systèmes complets successifs dont chacun admet toutes les inté-
g-rales du précédent. Ces systèmes complets peuvent être remplacés
par d'autres systèmes équivalents, plus faciles à former. Il suffît
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES STMBOUQUES. 181
pourcela de reprendre les raisonnementsdun** 44. Soit(y"j,y2, ...,J^q)
un srroupe conjusrué ou semi-conjug'ué relativement à une forme w
de classe c ; l'équation symbolique
(24) ^(c-Oq-i)df^ . . . d/qdf= O
est équivalente au système
(2Ô) rJc-Dfif =o, «'<• -^)d/\ d/=o, ..., J<'-^)dfqd/ = o .
On a déjà observé que toute fouctionyqul annule le produit
svmbolique (a^) annule aussi tous les produits (aô). Pour démon-
trer la réciproque, comme la propriété est indépendante du choix
des variables au moyen desquelles on a exprimé w. nous suppose-
rons ta exprimée au moyen de c variables canoniques ',fi,fi, •••■>fq
et y sont alors des fonctions des mêmes variables. Cela étant,
soit CT la forme déduite de w au moyen des q relations yi = «i, . . .
fq =aq ; cette forme peut être de classe c — 2y + i ou de classe
c — 2q. Si CI est de rang c — 2çr -j- i, la relation (24") exprime
que y est de rang 2 par rapport à m ; c'est donc une intégrale d'un
système complet qui admet c — zq intégrales distinctes, en plus
des intégrales évidentesy*^, ...,/q. Si ra est de range— zq, l'équa-
tion (24) exprime quey est de rang 1 au moins par rapport
TO ; c'est donc une intégrale d'un système complet qui admet c — 2q
intégrales distinctes, non compris les intégrales y^, y,, ...,yq.Dans
les deux cas, nous voyons que l'équation (24) est équivalente à un
système complet S admettant c — 2q intégrales distinctes. Commey"
dépend uniquement des c variables canoniques, tout système de
q équations linéaires et homogènes par rapport aux dérivées par-
tielles du premier ordre dey est identique à "1, pourvu que ces
q équations soient linéairement distinctes et admettent toutes les
intégrales de S.
La première des équations (26) exprime queyne dépend que des
variables canoniques; les q équations suivantes w(^— 3)^.^ ^^^ o
forment comme on l'a vu (n^ 44) un système de q équations linéai-
rement distinctes admettant toutes les intégrales de l'équation (^24).
Elles forment donc un système complètement intégrable équiva-
lent à S.
On déduit de cette proposition une nouvelle méthode pour déter-
182 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
miner un groupe semi-conjugué de q fonctions relatif à une
forme w de classe ciq<^ — ^t_L \ _
Deuxième méthode. — Soit f^ une intégrale particulière de
r équation M^'^—^^dJ = o ; on cherckera une intégrale J\, distincte
de f^^, du système
o,io-i)df= o, o,i'^-^)df,df= o,
Duis une intégrale /^^ indépendante de J\ etf^, du système
«(c-i)rf/= o, t,^«^-^)dj\df— o, „,{c~'i>)df^df = o,
enfin une intégrale fq^ indépendante de J\, . . .,fq-i, du système
fJo-i)df= o, t^«--^)df^df— o, ... ..(«-3)c//q_i(//= o.
En particulier, si la classe c est égale au nombre des varia-
bles Xi qui figurent dans w, on peut prendre pour/" une fonction
arbitraire de ces variables, et supprimer la première équation
a)(c-i)c//'= o dans tous les systèmes suivants.
Si nous rapprochons la première des méthodes précédentes pour
déterminer un groupe semi-conjug-ué de m fonctions relativement
à une forme w de classe 2m — i de la méthode du n" 43 pour déter-
miner un groupe conjugué de m fonctions relativement à une
forme w déclasse 2m, on en déduit aussitôt la méthode générale
suivante pour ramener l'équation de Pfaff m = o k une forme cano-
nique, qui s'applique quelle que soit la classe de w.
Soit m le plus petit nombre entier tel que la forme dérivée w^-'")
soit nulle. On cherchera une intégrale fii de l'équation
puis une intégrale/2, distincte de/i, de l'équation
a'^m-i)clfdf= o,
puis une intégrale/^, indépendante de f^ ^^ f^i ^^ l'équation
o.(''"'-^)df,df,df= o.
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 183
enfin une intégrale f,,^, indépendante def^^f^. ...^f^^^^deV équa-
tion
^df^df^ . . . df^_^df= o.
Ayant obtenu ces m fonctions fi,/.,, ...,/"„, il suffira défaire
dans w un changement de variables, tel gue f^, ..., /"„, soient m
des nouvelles variables.
La première équation dont on a à chercher une intégrale
J2m-2)(if—o
admet toujours, comme on l'a déjà observé plusieurs fois, 2m — i
intégrales distinctes. Elle est donc équivalente à un système com-
plet, formé de n — 2m + i équations linéairement indépendantes,
que l'on appelle le système adjoint à l'équation w = o.
Pour former les systèmes complets équivalents aux équations
<ai'^"'—^)d/^d/=o, e^^'^'^~^^df^df,df= o, ou peut d'ailleurs employer
l'une ou l'autre des méthodes qui ont été indiquées plus haut, sui-
vant la classe de la forme w. Nous dirons, pour abréger, que
m fonctions {fii, ...,/",„), déterminées comme il vient d'être dit,
forment un groupe conjugué relativement à l'équation w = o. Il
existe évidemment une infinité de groupes conjugués de m fonc-
tions pour une équation de Pfafï de classe 2w — i. Nous allons
montrer que les m fonctions d"uQ groupe conjugué peuvent être
déterminées par des conditions initiales analogues à celles qui
déterminent les intégrales principales d'un système complet dans
le domaine d'un point (jc^^, x^'^, ..., x,^^).
Soit &) une forme à n variables, de classe 2m ou 2m — i, dont
tous les coefficients sont holomorphes dans le voisinage d'un point
(ajj**, JC2", ...,x,^^). Il en est évidemment de même de tous les
coefficients des formes dérivées successives w', w", ..., w''^'"— ■^> et, si
le point (Xi^^ x^, . . . , x^) n'a pas été choisi d'une façon particu-
lière, tous les coefficients de w'2«>— 2) ne sont pas nuls pour ce sys-
tème de valeurs. Nous supposerons par exemple que le coefficient
de dx^dx^ . . . dx^m—i n'est pas nul dans cette forme pour les
valeurs jjj", ..., x,^'^ des variables indépendantes. Comme w(2'«-2)
= c/'î'^-^vy, tous les termes de «(-'«-*) qui ne renferment que les
difiFérentielles dx^, dx^, ..., dx^,^^_^ ne peuvent avoir des coeffi-
cients nuls pour ce système de valeurs. En choisissant convenable^
184 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
ment l'ordre des indices, on peut évidemment supposer que
(o(2/n— 4) contient un terme en dœ^ . . . g^^2»i-2 dont le coefficient
n'est pas nul pour x\ = a^j*', . . ., a?„ = xj'. Il est facile de pour-
suivre le raisonnement et, en définitive, nous pouvons supposer
que pour le système de valeurs x^'^, ..., x^" :
le coefficient dedx^dx^ . . . dx^„^_^ n'est pas nul dans cC^m-^i) ^
le coefficient de dx^ . . . dx^^_^ n'est pas nul dans r,)'2/«-4) ;
le coefficient de dxrdxrA,-\ ■ ■ • dx=im—r n'est pas nul dans Jc^'^-'^) ;
le coefficient de dx.^^^ n'est pas nul dans w.
Pour former le système complet adjoint à l'équation w = o, il
suffit d'annuler dans le produit r,^'^"'—'^)df les coefficients des
monômes
CIX^CIX^ . . . (^J^im—l^'^Zm+i^
On obtient ainsi en effet n — a/n + i équations que l'on peut
résoudre par rapport aux dérivées.
?X-2m ' ^X-im+i ' ■ ■ ■ ' dXn '
les seconds membres renfermant les dérivées -^ , ..., , et
:>Xi ^X-2m-i
les coefficients de ces dérivées étant holomorphes, d'après les hypo-
thèses faites, dans le domaine du point {x^^, . . . , a;^"). Ce système
est forcément identique-au système adjoint à l'équation w = o,
puisqu'il renferme le même nombre d'équations linéairement
distinctes. Par suite ce système admet une intég-rale «i holo-
morphe dans le domaine du point (a^i*', ..., x^^^) et qui se réduit
à x^ pour J32m = ^2m°i •••» ^« = ^n^ ! daus le domaine du point
considéré, elle est représentée par un développement de la forme
U^ = X^^ + {X, — X,^) + <X2,„(X2„,— ^2^) 4- ... 4- ^,XX,^ —^n) + ■••
tous les termes non écrits contenant au moins un des facteurs
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 185
^im — ^^m^y '■'■> ^n — ^n^' ^ous poseronsyi = «i, et nous aurons
ensuite à chercher une intégrale, distincte de «i, de l'équation
«(2'«-4)rfM,f//=zO.
Cette équation est équivalente à un système complet admettant
zm — 2 intégrales indépendantes, y compris l'intégrale évidentewi.
Ce système est donc formé de n — 2/« + 2 équations linéaire-
ment distinctes. Pour les obtenir, il suffit d'égaler à zéro les coeffi-
cients des monômes
uX^uX^ . . . uX2„^_^CtX^,„_^, dX^aX^ . . . uJJ^m— 2^'*^îmi • • •
du produit symbolique (ù(^"^—^)duidf. En observant que le coeffi-
cient de dxiàsiX\sdui se réduit à l'unité pour les valeurs Xj", ..., j?„**,
et que le coefficient de dx^ . . . dx^^^^^ n'est pas nul par hypothèse
pour ce système de valeurs, on voit que ces coefficients renferment
respectivement les dérivées — — , ..., -=^ multipliées par un
coefficient qui n'est pas nul pour les valeurs initiales considérées,
et en outre des termes en -^ , ..., — ''■^ — . Ou obtient ainsi un
système de n — 2m 4- 2 équations que l'on peut supposer réso-
lues par rapport à — — , ..., -^ , les coefficients des dérivées
^Xim - 1 "^Xn
^^ , ..., — — — étant holomorphes pour x, =j;,^, ..., x^^^xj^.
Ce système admet une intég'rale «2» holomorphe dans le domaine
du point {x^, ..., a;,j") se réduisant à j?, pour J^sm-i ^ ■^°2»n-i» •••
J3„ = a?„ .
Cette intégrale est évidemment différente de u^, et on verra de
même que l'équation symbolique
fj.^'n-^)du^du^df= o
peut être remplacée par un système complet de n — 2m -f- 3 équa-
tions qui admettent une intégrale 11^, indépendante de «j et u^,
holomorphe dans le domaine du point {x,^, . . . , j?/) et se rédui-
sant à a?3 pour
/y\ — . — 'V>U -r» - 'V»
•^im—% "^ 2«i— 2» •••> •*'n "^n •
186 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFP.
Il est clair que le raisonnement peut se continuer jusqu'à la der-
nière équation
(àdu^^ . . . du^_^df ^= o,
qui est équivalente à un système complet de n — m équations
admettant une intég-rale m,,^ holomorphe dans le domaine du point
{x^\ ..., x,,o), se réduisant à x.,^ pour a?,„+, = x\+,, ..., x^ =a?/.
En résumé, on obtient ainsi un groupe conjugué de m fonctions
{u^, u^, ..., M„J, qui sont holomorphes dans le domaine du point
(Xj", ..., xj^), et qui se réduisent à x^, . . ., x.^^ respectivement,
lorsqu'on y fait
r.0 .-f^ . ,^0
^ in+ii •••' "-^n "^n ■
Nous dirons pour abrég-er que ce g-roupe est un groupe princi"
pal relativement au système de valeurs initiales x^^, ..,., xj^.
47. Solutions singulières. — On a déjà remarqué que l'équa-
tion g-énérale de Pfaff peut admettre certaines intégrales auxquelles
ne correspondent pas d'intég-rales de l'équation ramenée àsa forme
canonique (no 16). Il est possible maintenant [de voir comment on
peut définir d'une façon précise ces intégrales et reconnaître s'il en
existe. Soient w = o une équation de Pfaff de classe im — i à
n variables, et M/j une multiplicité intégrale à h dimensions de
cette équation. Nous supposerons que l'on peut trouver sur cette
multiplicité un point {x^^, ..., xj*) tel que tous les coefficients
de M soient holomorphes dans le voisinage de ce point, et que tous
les coefficients de w^^^i— 2) ne soient pas nuls pour ce système de
valeurs. Nous allons montrer que cette intégrale Mh peut être
obtenue par la méthode générale de résolution exposée antérieu-
rement (n" 15).
On vient de démontrer en effet qu'il existe m fonctions
M^, «2? •••■> ''to> formant un groupe conjugué pour l'équation « =o,
holomorphes dans le domaine du point (jJi", ...,x^^^) et se rédui-
sant respectivement k x^ ■•, x^, quand on y fait ic^_^^= x^m+v ••■■>
x^ = xj'. Ces m fonctions forment évidemment avec x^^^, ..., x^^
un système de n fonctions distinctes, et si on les prend pour varia-
bles indépendantes, l'équation w = o devient
(26) w = Uic/a^ -I- . . . + U^(/m^=o,
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES STMBOUQUES. 187
Uj, Uj, . . . , U^ étant des fonctions holomorphes de u^. . . ., u^,
jc„+i, ..., x^ dans le domaine du point a, =0','', ..., u„, = xj*,
x^^i = x'^^^^, ..., x„ = x^. Le coefficient U^ n'est pas nul pour
ce système de valeurs, car U^* est ésral au coefficient de dx^
dans 6j pour les valeurs Xi°, ..., x^. d'après la définition même des
fonctions a,, ..., u^, et par hypothèse ce coefficient n'est pas nul.
Pour obtenir toutes les iotésrrales de l'équation u = o passant au
point considéré, on peut donc diviser tous les coefficients par U„,,
ce qui ramène l'équation à la forme canonique
(27) v^dii^ + . . . + y„._irfM„^_i + du„^ = o.
t>j, Wj, ..., w„_i étant aussi des fonctions holomorphes de a;^, ..., x^
dans le domaine du point {x^\ ..., xj). Les 2m — i fonctions
«1» •••» «m» ^1' ^ii •••» ^»i-i sont distinctes, sans quoi l'équation
(0 =:r o serait de classe inférieure à 2/« — i .
Par hypothèse, l'intéerrale Ma de l'équation &> = o est représentée
par un système d'équations
Xi-=çi{t^, .... //,) / = I, 2, ..., n),
les n fonctions 91 étant holomorphes dans le domaine d'un système
de valeurs /j", ..., t/,^ pour les h variables t^. ..., /a, et prenant les
valeurs Xi^, ..., x„^, pour /^ = /j", ..., /^ = 'a". En remplaçant
x^, ..., j"„par 9j 9„ dans les 2m — i fonctions Ui. Vk, on a les
équations d'une multiplicité intégrale M' de l'équation transformée.
Imaginons que l'on ait pris pour variables «,, ..., «„, Vi, ..., i»„,_i,
et n — 2m -|- I des anciennes variables x,, x„. La multipli-
cité M' est définie par un certain nombre de relations entre les
variables «/, ua-, et la multiplicité M/i s'obtient en adjoigant aux rela-
tions précédentes un certain nombre d'autres relations où figurent
les autres variables. Cette intégrale M/, peut donc être obtenue par
l'application de la méthode générale du n° 15.
Les seules intégrales auxquelles ce procédé ne s'applique pas
sont donc les intégrales (') telles que les coordonnées de tous leurs
points annulent tous les coefficients de &j'-'"-^>.
(') Nous laissons de côté les intégrales telles que l'un au moins des coeffi-
cients de w cesse d'être holomorphe dans le voisinage de l'un quelconque des
188 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Nous appellerons intégrales singulières les intégrales de l'équa-
tion M = o satisfaisant à cette condition.
Pour qu'il existe des intégrales singulières, il faut donc que les
équations obtenues enég-alantà zéro tous les coefficients de a)(2w— 2)
soient compatibles. Si ces équations n'admettent pas de systèmes
de solutions communes formant une multiplicité à r dimensions
(r^o), il n'existe pas d'intégrales sing-ulières. Si ces équations
définissent une multiplicité, cette multiplicité peut se décomposer
en plusieurs multiplicités analytiquement distinctes. Soient
(28) . /) =0, ...,//( =
les équations qui définissent Tune de ces multiplicités Mn-h- Le
système (28) étant supposé mis sous forme normale, on peut tirer
de ces équations h des variables, cr^, ..., .r/i par exemple en fonc-
tion des n — h autres variables, et en remplaçant x^, ..., Xh par
leurs expressions dans l'équation proposée, on sera conduit à une
nouvelle équation de Pfaff w^ = o à n — h variables, dont toute
intégrale fournira une intég-rale sing'ulière de l'équation proposée.
Cette équation w^ = o peut avoir elle-même des intégrales singu-
lières, que l'on recherchera de la même façon. Il est clair que cette
suite d'opérations aura un terme, puisque le nombre des variables
va en diminuant quand on passe d'une équation de Pfaff à la sui-
vante.
Remarque. — 11 pourrait se faire que l'équation w = o admette des
intégrales singulières, telles que les coordonnées de tous leurs points
vérifient non seulement les relations (28), mais aussi celles que l'on
obtient en égalant à zéro tous les jacobiens des A fonctions /"i, ...,fh,
par rapport à h quelconques des variables X\, x.2, ..., Xn,- En adjoignant
aux relations (28) ces nouvelles équations, on obtiendra un nouveau
système que l'on étudiera comme le premier, s'il est compatible, et
ainsi de suite.
points de cette intégrale. Par exemple l'équation
w zz xdx -\- ydy -\- ^i — œ^ — y^d: ziz o
admet des intégrales à deux dimensions qui sont des sphères de rayon un
ayant leur centre sur or. Elle admet en outre pour intégrales le cylindre
x''' -\- y^ zz: I, et toutes les courbes de ce cylindre.
CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 189
Exemples : lo Soit l'équation de PfafF
oj := x^djci + JCsdjCz + JCidjCi -{- JCidœ^ = o ;
on a
w' =z dxidxi + dxidx^,
'.t'" = — (w'i* = — dxidxidxzdXi,
2
ojiv =: — XidxidXidxzdXidx^,
w^' = o.
On a ici m = 3, «(S/n-î) ;= 'jiv. Toute intégrale singrulière doit appar-
tenir à la multiplicité Xi = o. En tenant compte de cette relation,
l'équation proposée se réduit à
x^dxi = o,
dont l'intégrale générale est Xt =. a, et qui admet aussi une intégrale
singulière x^^o L'équation proposée admet donc des intësrrales sin-
gulii^res à trois dimensions, représentées par l'un des systèmes d'équa-
tions
(a) Xi = Xit =L o, (|3) Xi =:o. Xi =z a,
o a est une constante arbitraire. Toute multiplicité à une ou deux
dimensions située sur une des multiplicités précédentes est aussi une
intégrale singulière
20 Considérons l'équation non complètement intégrable
w = AidXi + A^Xi + Ajrfccs =. o,
où Al, A-2, A3 sont des fonctions de Xi, Xi, x^.
Dans ce cas //? = 2, et l'on a
.(•2m -2, = «" ^ 0.0/ = [a, (^-^ - ^-^\
+ A. (^Al-'Al\ + A, {^J^-^-^'\dx,dx,dx,.
Toute intégrale singulière doit satisfaire à l'équation
qui, par hypothèse, n'est pas vérifiée identiquement. Si les variables
figurent dans cette relation, on pourra exprimer l'une des variables au
moyen des deux autres et, en portant dans léquation oj := o, on obtient
en général une équation de Pfaffà deux variables. L'équation proposée
admet donc en général une infinité de solutions singulières à une
dimension.
190 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Prenons par exemple (*)
w t= a;j(i — xi^ — x%^)dxi + XtX^dXi + x^^dx^ = o ;
la condition (29) est ici
•i.x^x^sc'é.x^^ + a?2^ + j?32 _ 1) — o
Cette équation se décompose en quatre autres et, en traitant séparé-
ment chacune d'elles, on obtient trois familles d'intég-rales singulières
il une dimension
(«) X\ ~ o, Xi"^ + ^3" = a,
((3) 072 = o, 2j?i2 — a?i* + 0^3* = a.
(7) x^ = o, Xi = a,
a étant une constante arbitraire, et une intégrale singulière à deux
dimensions
(^) a?i« +^72^ + 0338 - I.
48. Intégrales appartenant à une multiplicité donnée. —
La détermination des solutions singulières, de même que l'inté-
gration d'un système d'équations aux dérivées partielles du premier
ordre (no^ 18, 20) conduisent à rechercher les intégrales d'une
équation de Pfaff appartenant à une multiplicité donnée, c'est-à-
dire telles que les coordonnées de tous leurs points vérifient un
système donné de h relations distinctes du premier ordre
(3o) /i(iCi, ^2, • . • , x,^ = o, /a = o, . . . ,/a = o.
Ainsi qu'on l'a déjà indiqué au numéro précédent, ce problème
se ramène au problème général. Les équations (3o) étant mises
sous forme normale, si l'on tire de ces h. équations les expressions
de h des variables au moyen des n — h autres variables, et qu'on
les porte dans ij = o, on a une nouvelle équation de Pfaff wj =z o
an — h variables. On peut déterminer a priori la classe de la
nouvelle équation de Pfafl" au moyeu du lemme suivant.
Soit p le plus petit nombre entier tel que tous les coefficients
du produit symbolique ià(P)df ... dfh soient nuls en tenant compte
des relations [3 o) elles-mêmes. Ce nombre p est égala la classe
de la forme de Pfaff m^ déduite de <>> par la substitution précé-
dente.
(*) Gartan, loc. cit., p. 282.
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 191
Imasrinons en etFet que l'on prenne un nouveau système de
variables {i/i, ..., yn) tel que yi, ..., yh soient identiques à
/t' ... ./a ; on peut toujours faire un changement de variables de
cette espèce en considérant un système de valeurs (oti", ..., J7„**)
satisfaisant aux relations (3o), et tel que toutes les fonctions
fi, ..., fh soient holomorphes dans le voisinaare de ce sys-
tème, sans que tous Jes jacobiens des h fonctions f^^ . . .,fh par
rapport à h quelconques des variables j?,- soient nuls pour les
valeurs Xi = Xi^. Si Ion pose y^ =/i, ..-, y/t =ffi, on peut tirer en
eflFet de ces h équations les expressions de h des variables xi au
moyen de y,, ..., y/i et des n — h autres variables Xi, et ces expres-
sions seront des fonctions holomorphes dans le voisinaare du sys-
tème de valeurs correspondantes des nouvelles variables. Toute
fonction holomorphe de Xi, ..., x„, dans le domaine du point
(j?^*', ..., J?„''), se chang-e en une fonction holomorphe des nouvelles
variables dans un autre domaine, et la forme w est remplacée par
une nouvelle forme
(3i) ro = B^dy^ 4- . • • + Bhdyft -f Bh+idyk+i + ... -f Bndyn,
B^, ..., B„ étant des fonctions des nouvelles variables. La forme
wj déduite de w par la substitution dont il s'ag-it est identique à la
forme nTy
CTo =: B^h+idyh+i + . . . + Bn^dyn,
déduite de m, en remplaçant y j, ..., yn^ dy^, ..., dyn par zéro, avec
le nouveau système de variables. Il est à peu près évident que u'ose
déduit de o' par la même substitution. En effet, si dans la forme ro'
ct' = dB^dy^ 4- . . . -f- dBhdyh + dBh^idyh+i + ... -f dBndyn
on fait ^j =: y.^ = ... yh = dy^ = . . . = dyh = o, il reste la
forme
imvy^-^"^
l'indice o indiquant que l'on remplace y^, ..., y/, par zéro après la
différentiation. Mais on a aussi
192 LKÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
car il revient évidemmeiU au même de remplacer ?/j, ... ,y/j par
zéro avant ou après la différentiation. La forme obtenue est donc
identique à la forme dérivée de nj^,,
û=X
ayh^jdijh+i-
'» j
Les formes dérivées successives de nr se déduisant de n et de cr'
par des multiplications symboliques, il est clair que la forme
CTo'P* se déduira de nj'/'j en remplaçant dans celle-ci les varia-
bles ij^, ..., i/h et leurs différentielles par zéro, quel que soit/?.
D'autre part, le produit (ù(p)df^ . . . dfh se transforme en ts^P' dy^ . . . dyh
par le chang-ement de variables effectué plus haut. Il est clair que
si l'on remplace y^, ..., y/i par zéro dans tous les coefficients de ce
produit symbolique, il se réduira, en tenant compte des produits
partiels nuls, à
rsJP)dy^ . . . dyn.
Ce produit est donc nul si p est ég"al ou supérieur à la classe
de cTg, et dans ce cas seulement, ce qui démontre lelemme énoncé.
Remarquons que l'abaissement de la classe quand on passe
de CT à cîo peut être supérieur à 2h (Cf. n" 43). Si par exemple on
fait x^ = o dans la forme x^tu, la classe s'abaisse de c unités, si
cette forme est de classe c.
Nous pouvons dire encore, en nous reportant aux résultats du
n° 46 que si m est le plus petit nombre entier tel que zj('^"^)df^ , . . d/h
ait tous ces coefficients nuls en tenant compte des relations {So)
elles-mêmes, V équation m = o est remplacée par une équation de
Pfaff de classe im — i quand on y fait la substitution précé-
dente.
Pour ramener à une forme canonique cette nouvelle équation,
qui s'écrit t;sq = o avec les variables ^/j-j-i, . ., yn-, on a rechercher
une intégrale particulière de m systèmes complets successifs. En
se reportant aux résultats précédents (n° 46), on peut écrire ces
systèmes complets avant tout changement de variables. En effet,
on voit aisément, en reprenant le raisonnement de tout à l'heure,
que si tous les coefficients du produit symbolique
^,[2m-^2k)df . . . dfhdfh+i ... dfk
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMHOLIQUES. 193
sont nuls en tenant compte des relations (3o), les k — h fonctions
/X+i, ...jyfc forment un groupe conjug'ué pour la nouvelle équa-
tion, et réciproquement. On aura donc à chercher successivement
une intégra le yX+i du système obtenu en égalant à zéro tous les
coefficients du produit wP*"— 2)rf^, . . . dfhdf, puis une iuté-
gTaleyA-j-2 du système obtenu en égalant à zéro tous les coefficients
de &»<2m— 4)^^ _ _ , dfh-\-\df, . . . , et enfin une intégrale fh^m du
système obtenu en égalant à zéro tous les coefficients du produit
a)c(/"^ . . . dfhA-m-idf, les variables étant supposées liées par les
relations (3o). Si l'on choisit ces m fonctions y)i_i, . . .,fh~màe,
façon qu'elles soient indépendantes, même en tenant compte des
relations (3o), l'équation w := o prendra la forme canonique
quand on feray^ = o, ....fh = o après la transformation.
On peut encore distinguer les solutions générales du problème et les
solutions singulières. Le nombre m étant défini comme on vient de le
dire, une intégrale fait partie de l'intégrale générale si les coordonnées
d'un point quelconque de cette intégrale n'annulent pas tous les coeffi-
cients de «a("2w— 2)rf/", . . . dfh. Soient (xi", ..., jj/i**) les coordonnées d'un
point satisfaisant aux équations (3o) et n'annulant pas tous les coeffi-
cients de «(•2"» -2)c(/"i . . . dfh. Il est clair que ces coordonnées n'annu-
lent pas non plus tous les coefficients du produit dj\ ... dfh, c'est-à-
dire tous les jacobiens des h fonctions f, ...,fh par rapport à h
quelconques des variables x^ ..., Xn. On peut donc faire le change-
ment de variables indiqué plus haut et, en poursuivant le raisonne-
ment comme au n" 47, on verra facilement que toute intégrale de
l'équation w =: o passant au point (a?!*, ..., Xn^) et vérifiant les A rela-
tions (3o) correspond à une intégrale non singulière de la nouvelle
équation de Pfaff.
Les intégrales singulières sont celles qui annulent tous les coefficients
de &»("2w» -î)^//"! ... dfh- On les détermine, comme plus haut, en adjoignant
aux relations (3o) celles qu'on obtient en égalant à zéro tous les coeffi-
cients de <w("2'n— "îjrf/'i . . . dfh, ce qui conduit à un nouveau problème de
même nature que le premier.
49. Intégrales à un nombre donné de dimensions. —
L'intégration d'un système d'équations aux dérivées partielles du
premier ordre à une seule fonction inconnue conduit à un pro-
blème plus particulier, qui revient à déterminer les intégrales
G. Lefons. 13
194 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFP.
d'une équation de Pf'aff, situées sur une multiplicité donnée, et
ayant un nombre donné de dimensions .
Ce problème peut évidemment être formulé ainsi : Trouver les
intégrales d'une équation de Pf a ff dé finies par un système de
r équations, parmi lesquelles h relations {/i << r) sont données à
Pavance.
Il est aisé de reconnaître à l'avance si ce problème admet des
solutions au moyen des deux lemmes suivants.
Lemme A. — Si une intégrale d'une équation de Pfaff est
définie par un système de r relations, les coordonnées d'un
point quelconque de cette intégrale annulent tous les coefficients
de w(2^).
Cette propriété étant indépendante des variables au moyen des-
quelles on exprime la forme m, nous supposerons qu'on a pris un
système de variables Xi, ..., Xn, tel que l'intég-rale en question
M,t_r soit définie par les r relations
(82) X^:= O, ..., Xr=^0.
Les coefficients Ar+i, ..., kn de la forme
w = X^^dx^^ + . . . + krdXr + kr+\dXr+i + . . . + kndx,i
doivent donc s'annuler quand on y fait a;^ = o, ..., Xr = o. Dans
la forme dérivée
0)' = dk,^dx^ 4- . , . + (/Ar4-ic/d3r+l + • ■ • + dkndXn,
toutes les dérivées — ^^ sont nulles aussi pour / "> o, / ^ o,
quand on y remplace J?i, ..., Xr par zéro, de sorte que le coefficient
de dxr-^idxr-\-j est nul pour ce système de valeurs.
Il s'ensuit que si l'on ne conserve, dans chacun des r ■\- i fac-
teurs du produit
que les termes dont les coefficients ne sont pas nuls pour
Xi = o, ..., Xr^=o, chacun de ces termes contiendra au moins
l'une des différentielles dx^, ..., dxr- Comme il y a plus de facteurs
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 195
que de différentielles, tous les coefficients du produit symbolique
sont certainement nuls, quand on y fait œ^ = o, ..., JCr= o. Le
raisonnement prouve qu'il en est de même pour toutes les formes
dérivées suivantes wt^r-i)^ «(^r+^t^ , ^ .
Lemme B. — Si une intégrale dune équation de Pfaff (^=^0
est définie par un système de r relations parmi lesquelles h rela-
tions sont données à F avance fi = o, ...,fh = o, les coordonnées
d'un point quelconque de cette intégrale annulent tous les coeffi-
cients du produit symbolique u'-''-^)dJ'i . . . dfh-
Nous pouvons, comme tout à l'heure, supposer la multiplicité
Mn— r définie par les r relations (82), y\, •■■,fh étant précisément
Xi, ..., Xh elles-mêmes. La forme symbolique w^-'"— 2*) est de dearré
2r — 2A + I , et tous les termes de cette forme qui ne sont pas nuls
pour Xx =0, ..., Xr=^ o contiennent au moins r — h + i des diffé-
rentielles dxx, ..., dxr, et par conséquent l'une au moins des diffé-
rentielles dxi^ ..., dxh- Le produit rJ'^—^^^dxi . . . dxh a donc tous
ses termes nuls, en tenant compte des relations (32), et il en est de
même des produits
^>ir-^+i)fjlxi . . . dxh. «<-^-2A+«)</x, . . . dxh, . . .
Le premier lemme est évidemment un cas particulier du second,
obtenu en supposant h = o.
Le même raisonnement prouve que, si tous les coefficients du
produit oùdfi . . . dfr sont nuls en tenant compte des équations
' fi = 0, ...,fr= O,
ces équations définissent une intégrale de w = o.
Cela étant, pour avoir les intégrales de l'équation '^j = o définies
par un système de r relations entre les variables, parmi les-
quelles h relations sont données à l'avance,
(33) f{x,, ..., Xn) = 0, /, = o, ..../h = o,
on formera le produit symbolique
^i'^r-mdf, . . . d/H,
et on éçralera à zéro tous les coefficients. On obtiendra ainsi unc«r-
196 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
tain nombre de relations qui doivent être vérifiées par les coordon-
nées de tous les points des multiplicités cherchées.
En adjoignant ces relations aux précédentes (33), on obtient un
système de h' ^ Ji relations distinctes. Si h' est supérieur à r, ou
si ces h' relations sont incompatibles, le problème n'admet pas de
solutions. Si h' <^ r, on opérera sur ce nouveau système comme
sur le précédent, et ainsi de suite. En continuant de cette façon, on
constatera l'impossibilité du problème, ou bien on arrivera à un
système de k équations distinctes {k <^ r),
(34) /i=o, ...,fk = o,
comprenant les équations données (33), telles que le produit sym-
bolique w'2r— 2/1:)^^ . (Jj^i^ ait tous ses coefficients nuls, en tenant
compte de ces relations elles-mêmes.
Si k ^= r, les équations (34) définissent une multiplicité inté-
grale, satisfaisant aux conditions du problème.
Supposons k <i r, et soit m le plus petit nombre entier tel que
tous les coefficients du produit symbolique
^^'^"'^df.df, ... dfk
soient nuls, en tenant compte des relations (34) ; ce nombre m est
par hypothèse au plus ég-al k r — /c. On a vu au paragraphe pré-
cédent que la recherche des intég-rales de l'équation w = o, situées
sur la multiplicité définie par les équations (34), se ramène à la
résolution d'une équation de Pfafl" de classe 2m — i. Les intégra-
les non sing-ulières de cette équation sont définies par un ou plu-
sieurs systèmes de m relations, auxquelles on peut adjoindre de nou-
velles relations choisies arbitrairement. Si l'on adjoint à l'un de ces
systèmes de m relations les k équations (34), on a un système de
m -\- k <^ r relations définissant une intégrale de l'équation (0= o,
et les coordonnées d'un point quelconque de cette intégrale véri-
fient m + k relations, parmi lesquelles sont les k relations (34).
Si m -f /c <; r, il suffira de leur adjoindre r — (m + k) relations
choisies arbitrairement, pour avoir une intég'rale satisfaisant aux
conditions voulues, et il est clair qu'on les obtiendra toutes de cette
façon.
La méthode s'applique en particulier pour A' = o, et permet de
CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMBOLIôUES. 197
déterminer toutes les intégrales dew = o qui sont définies par un
nombre donné r de relations distinctes, c'est-à-dire toutes les inté-
grales à un nombre déterminé de dimensions.
Remarque. — L'équation
(35) air-^)df, ...dfk = o
entraîne d'autres relations de même forme où ne figurent
qu'une ou deux des fonctionsyj, ...■,fh- Supposons, en eflPet, qu'il
existe une intégrale définie par r relations seulement, parmi les-
quelles la relationyi= o. Il résulte du lemme B que les coordon-
nées d'un point quelconque de cette intégrale annulent tous les
coefficients du produit w^-'"--><///. De même s'il existe une intégrale
définie par r relations, parmi lesquelles les deux relationsy/^ o,
fj == o. le même lemme prouve que les coordonnées d'un point
quelconque de cette intégrale annulent tous les coefficients des
produits oi^r-i)(ifid/j, oyi'ir-^^dfidfj.
Il s'ensuit que la relation (35) entraîne les relations suivantes
a'ir--i)dfi = o,
^ ^ ' ^(^-^)dfidfj = o. u>(^''-i)dfidfj = o (/.y = I. 2 ... A),
toujours en tenant compte des relationsyi = o elles-mêmes.
Inversement, sous des hypothèses très générales, le* rela-
tions (36), ou un certain nombre d'entre elles, peuvent remplacer
l'équation (35), et M. Cartan en a déduit une nouvelle méthode de
résolution du problème qui est très analogue aux méthodes expo-
sées plus haut (n<* 43-46) pour la formation d'un groupe conju-
gué ou semi-conjugué.
Nous renverrons à son Mémoire pour les détails de cette méthode,
ainsi que pour la recherche des solutions singulières.
50. Application aux équations aux dérivées partielles.
— Reprenons le prohlome de l'intégration d un système d équa-
tions aux dérivées partielles
i/iC-^i» -3;,, ..., ar„, z ; />i, ..., p^) = o,
/«(^t. -ï"?. •••' ^H. ^ ; A>i. ■•y Pn) = o,
/hi-Ti, Xj, ..., X^, Z, Pi, •., Pn) = Or
198 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
OU le problème équivalent qui consiste à déterminer, dans l'espace
à 271 -f I dimensions, une intégrale à n dimensions de l'équation de
Pfaff
(38) o) = c/5 — p,dx, — ... — pjx,^ = o,
dont tous les éléments vérifient les h relations données (87). C'est
un cas particulier du problème étudié au paragraphe précédent, et
dans le cas actuel le nombre r est égal à /z + 1 . D'après la remar-
que qui termine ce paragraphe, nous pouvons adjoindre aux rela-
tions (3o) celles que l'on obtient en égalant à zéro tous les coeffi-
cients des produits symboliques
<.i2r-^)dfi, ^^"^^-Mfidfj ; (/,y = I, 2, ..., n);
icir= n + i, w('^''-2)=: w (^«^ est de degré an -f- i, et le produit
w('2''-2)^ est identiquement nul, quelle que soit la fonction y.
Quant au produit "^^^''-''^dfidfj, ou J^-n-'^^dfidfj, qui a été calculé
plus haut (no 42), il ne contient qu'un seul terme
[fi,fj]dzdx,dp, ... dxjp^,
et nous voyons que tous les éléments des intégrales cherchées
doivent satisfaire aux relations
(39) [A fj] = o, {i,J = 1,2, ... n);
c'est le théorème fondamental de la théorie des systèmes en involu-
tion {Leçons, n» 58).
La méthode d'intégration de Jacobi se rattache aussi très facile-
ment aux méthodes d'intégration d'une équation de PfafF, qui ont
été exposées dans ce Chapitre.
Les raisonnements du numéro précédent, appliqués au cas
actuel, prouvent que l'on peut toujours ramener l'intégration du
système (87) à Tintég-ration d'un système en involution, si l'on ne
constate pas l'impossibilité du problème; ces raisonnements ne
diffèrent pas d'ailleurs de ceux du n" 58. Supposons donc que les
équations (87) forment un système en involution, c'est-à-dire que
les équations (89) soient des conséquences alg-ébriques des rela-
tions (87). Nous pouvons même supposer que l'on a mis les
équations (87) sous une forme telle que les conditions [fi,/j] == o
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES STMHOLIQUES. 199
soieot des identités. La classe c de w étant sn + i, les ^ fonctions
/i, ...,fh vériûeut donc les relations
i^ic-i)dfi = o, i^'c-3^dfid/j = o, {i\j= I, 2, ..., n),
et par suite ces h fonctions forment un groupe conjugué ou semi-
conjug^ué par rapport à w (n° 46). On peut alors déterminer un
groupe semi-conjus;'ué de /î + i fonctions, comprenant les fonc-
tionsy,,^,» •••ifh- Pour cela, on cherche d'abord une intégrale
Jh+u indépendante dey^, ...,fh, du système
tù(e-^)df= o, iàic-^)df^df= o, ..., iùip-^^dfhdf = o ;
la première équation est vérifiée d'elle-même, et ce système se
réduit à
[/i./] = o, ... [A/:-o.
On a ensuite à chercher une intégrale //i+-2, indépendante de
J^^ ...yfh^i du nouveau système
[/i./] = o, . . . [/h,f] = o, [fh+uf] = o,
et ainsi de suite. Ayant ainsi déterminé un système de n + i fonc-
tions distinctes y\, ...,fh, ■■•ifn^\ en involution, ces n + i fonc-
tions forment un s^roupe semi-conjugué pour l'expression w, que
l'on peut par conséquent mettre sous la forme
w = ri^i 4- ... 4- '^hdfh -r . . . -f o„+ic//"„-ui.
Les équations
/l ^ o, ...,/a = 0,fh^i = rt/,4-1, ...,/n-i-l = «n+t,
où a^i—i, ..., On-^i sont des constantes arbitraires, donnent donc
une solution du problème. C'est une intégrale complète, et la
méthode précédente est identique à la méthode de Jacobi généra-
lisée par Maver. Toutes les autres intégrales se déduiraient de
même des solutions de l'équation de Pfaff
définies par n -r i — h relations, ce qui conduit précisément à des
résultats déjà exposés (Leçons, n° 51).
Dans le cas particulier où /"j, //, ne renferment pas s expli-
200 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
cîtement, les crochets [fi,fj] se réduisent aux parenthèses {fiyfj),
et la méthode peut être simplifiée de façon à retrouver la méthode
même de Jacobi.
Supposons donc que l'on ait h fonctions distinctes /^, ..., //,,
indépendantes de 5, telles que les parenthèses { fi, fj) soit nulles
identiquement. La variable z ne fig-ure pas dans les coefficients
des équations du système complet
[/;,/] = o, ...,[/,,/] =
qui déterminent /a+1. Si l'on adjoint à ces équations la relation
^=0, on obtient un nouveau système complet
(ÂJ)=o,...,(A,f) = o
pour déterminer une fonction / des 2n variables Xi, ph.
La même remarque s'appliquant aux systèmes suivants, on peut
donc déterminer de proche en proche n fonctions distinctes
/i5 •••■,fh, '■•ifn, ne renfermant pas z, et telles que toutes les
parenthèses (fi,fj) {i,j = i, 2, ..,, n) soient nulles. Ces n fonc-
tions forment un g-roupe conjugué par rapport à la forme w, car la
relation co(c-2)^/'=: o se réduit dans ce cas à ^ = (n° 43). Si
donc on prend pour nouvelles variables
9^, ..., 9^ étant n fonctions convenablement choisies indépendan-
tes de z, formant avec y^, ..., f^ un système de 2n fonctions
distinctes des variables Xi, pk, on sait que w prendra la forme
(^=dz -\- ^^df 4- . • • + <fndfn + dfn+i,
Jn+i étant une fonction des variables (xi, pk) qui se détermine par
une quadrature (no 43). On aura donc dans ce cas une intégrale
complète
fi_= O, ...,fh = 0,fh->ri = ah-{-i, ...,Jn=an, Z=fn+i. + ««+-1,
qui s'obtient par une quadrature, quand on a déterminéy)i-fi, ...,/'n-
Cette méthode n'est pas distincte au fond de la méthode même de
Jacobi. Supposons en effet, afin de nous placer dans le cas consi-
CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES. 201
déré par Jacobi, que lejacobien ^•^' •^ ne soit pas nul pour
tous les systèmes de valeurs qui annulent y^, ..., fh. Imaginons
que l'on prenne pour variables 3^, j?^, ..., x^ Qiy^:=f^ ,...,y„=y,;
il faut pour cela résoudre les n équations
(4o) fi=yi^-",fn = yn
par rapport à /)j, ...,/)„ et porter les expressions ainsi obtenues
dans w, ce qui conduit à une nouvelle expression de cette forme
y^+i étant une fonction de x^, ...,x^,y^, ..., y„. Si l'on regarde
dans l'identité précédente y^^, ..., y^ comme des paramètres, la
fonction y„^j, considérée comme fonction des seules variables
x^, ..., x,^ a évidemment pour diflerentielle totale
/>!» •••> Pn étant les fonctions des variables x^, ..., a?„ et des para-
mètres y^^, •••» y„ déduites des relations (4o)
51. Application aux transformations de contact. — Les
théorèmes classiques {Leçons, n°* 75 et suivants) se déduisent très
facilement des propriétés d'invariance des formes dérivées et des
produits symboliques. Soient Z, X^, ..., X,„ P^, ..., P^ un système
de 2/1 + I fonctions des 2n + i variables s,x^, ..., x^, p^, ..., /)„,
telles que l'on ait identiquement
(40 dZ - P,dX, -...- P„rfX, = {ds - p,dx, - . . . -pjxj,
p étant une fonction non identiquement nulle des variables
z, Xi, fh- L'identité précédente peut s'écrire
(42) Û = pw,
en posant
a = dZ-V,d\,- ...-P„rfX„,
w = dz — p^dx^ — ... — />„</x„ ;
de sorte que la forme de Pfafî fi se change en pw, quand on y rem-
place les variables Z. Xi, Pa- par leurs expressions au moyen des
variables, z, Xi, pk-
202 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
De la relation (42) on déduit
(a')" = (pw' + ofpw)'^= p"(a)')'^ + n(pa)')«-ir/pXw,
(fl')"n = p''+^(w')«w.
On a donc
çii^n) — p«+la)(2/z)^
OU (no 42)
ûfZflfX^ . . . rfP„ = f+^dzdx, . . . dp^,
c'est-à-dire
(43) D(Z,X,.....P) ^
ce qui prouve que les an + 1 fonctions Z, X;, P/^ sont nécessaire-
ment distinctes.
Soient F, * deux fonctions quelconques des variables Z, X^, Pat,
/et ç ce que deviennent ces fonctions lorsque l'on remplace ces
variables Z, X/, P/^ par leurs expressions au moyen des variables
r, xi, pjc. On montre comme tout à l'heure que l'on a
et par suite on a l'identité
(44) fl(2«-2)^0^<î> = )>n^(in-2)dfd'^,
quelles que soient les fonctions F, 4>. Les produits symboliques
qui fig-urent dans cette formule ont été calculés au n° 42.
ii<2«-2)t/Ft/* = [F, *]^Z^X, ... dPn,
^{in-2)dfd<f = [f, oidzdx, . . . dpn,
en posant
tï^' *] ^ 2- fp:- (^ + P' ^) - 5p7 fe + P'- TZ
En rapprochant les formules (43) et (44)» on en déduit la nou-
CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMROLIQUES. 203
velle identité
(45) p[F, *] = [f, 9].
Appliquons cette identité à tous les couples de fonctions obtenus
en prenant pour F et 4» deux quelconques des fonctions Z, X/, P/t]
nous obtenons les relations établies directement
(46)
[Z, Xi] = [Xi, Xk] = [Xi, Pk] = [Pi, Pa] = 0, i^ k
[Z, Pi] = - oPi, rp^ Xi] = p.
Dans ces formules ; Z, X,l désigne maintenant
et de même pour les autres crochets.
Réci proquement , étant données n-\- i fonctions indépendantes
Z, A'i, . . . , A'„ des 2n -{- I valables z, X), ..., x,^, p^. ...,/?„, satis-
faisant aux relations
(47) [Z,X.-] = o, 'Xi,Xu] = o,
il existe n autres fonctions P^, ..., P„ des mêmes variables telles
que l'on ait identiquement
(48) dZ -P^dX,-...- P,//X, = .(ds -p^dx,-... -pjx„),
p étant une fonction non identiquement nulle.
Les relations (47^ expriment en effet (voir n" 46) que les n -|- i
fonctions Z, X^, ..., X„ forment un groupe semi-conjugué pour w.
On a donc une identité de la forme . .
0) = A^dX, 4- . . . + A„cffi:„ + K^.dZ,
qui est évidemment équivalente à la relation (48), car le coefficient
A„^j ne peut être nul, puisque w est de classe 2az + i •
On peut aussi obtenir de cette façon les crochets de p et de l'une
quelconque des fonctions Z, X/, P^. La relation qui donne (û')"
peut en effet s'écrire
Q(2n_l) ^_ pn(o(2fl-l> _ s''-la><2'»-2)</p ;
F étant une fonction quelconque des variables Z, X/. P*, et / ce
204 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
qu'elle devient après la substitution, on a donc l'identité
Les expressions de ces produits symboliques ont été obtenues
plus haut :
Qi^n-DdF = ^ dZdX, ... dPn = p«+i -^ dzdXi . . . dpn,
i^('in-i)df = ^ dzdx, . . . dpn,
o,{^n-^)dfdp = [p,f]dzdx, . . . dpn.
En remplaçant dans l'identité précédente, il vient
(49) p'i=Ptf+tP'^3-
En remplaçant F par les 2ti + i fonctions Z, X;, Pfe, on obtient
les expressions des nouveaux crochets :
(50) [p,Z]=p«-p5?, [p,x,-]=-p'^,
[?,P.] = -Pf.
52. Transformations de contact homogènes. — Une trans-
formation de contact homog'ène est définie par 2n fonctions
Xj, ..., X^, P^, .,., P,^ de 2n variables iCj, ..., x,^, p^, ..., /)„ telles
que l'on ait l'identité
(5i) P.o^X, 4- . - . + P„dX„ = p,dx, + . . . + pjx,,.
En désig-nant par il et w le premier et le second membre de cette
relation, on a
c'est-à-dire
(52) dX^^dP^ ... dK^dP^=^ dx^dpi ... dx^dp,^,
ce qui montre que les 2n fonctions X/, P^: sont indépendantes,
puisque leur déterminant fonctionnel est ég-al à l'unité. Soit F une
fonction quelconque des variables Xi, P/c, et/" la fonction des varia-
bles Xi, pk obtenue en remplaçant dans F les Xi, Pk par leurs
expressions. L'identité
CHAPITRE IV. — APPUCATIO-N DES FORMES SYMBOLIQUES. 205
devient, en tenant compte de la relation (62),
En prenant pour F l'une des fonctions X,-, Pa-, nous avons
Pi- 1- ••• +/>/«r— = P/,
ce qui montre que les A'/ son/ des fonctions homogènes de degré
zéro, et les P/ des fonctions homogènes de degré lin, des varia-
bles p^, ..., pn {Leçons, n^ 80).
On a enfin, en désig-nant par F, <ï» deux fonctions quelconques
des X,, Pa-, et par^et 9 les fonctions des j?/, /)a- obtenues par la
substitution,
ou, en tenant compte de la relation (62),
■^ / c-»F ?* DF D* \ \^ { ^f ^? V '^? \
2d \Wi âx7 ~ 3X7 3P77 ~~ '^ \^ ^r7 '"' 507 ^/ ■
* =1 1=1
Cette identité, appliquée à deux quelconques des fonctions X,-,
Pa-, donne les relations connues [Leçons, n*^ 80\
C {Xi, Xft) = o, (X,-, Pk) = o, {Pi, Pk) = 0, i ^ k,
( (P/, X/) = I .
Réciproquement, étant données n fonctions indépendantes
X^, . . ., Xn des 2n variables x,, ..., Xn, Pi, ■• , Pn, homogènes et
de degré zéro en p^, ... />«, e< satisfaisant aux relations
{Xi, Xfr)= o (/. A- = I, 2, ... n),
il existe n autres fonctions P^, .... Pn des mêmes variables défi-
nissant avec les premières une transformation de contact homo-
gène.
Les n fonctions Xj vérifient en effet les relations
a)(2«-2)rfX,- = o, a'in-3)dXidXk = O,
206 LEÇONS SUR LE PROBLÊME DE PFAFF.
qui expriment que ces fonctions forment un groupe conjugué pour
la forme w. On a donc bien une identité de la forme
co = p^dx^ + . . . + pndXa = P^dX^ + . . . + P«^X,j.
Addition au n" 42. — Etant donnée une forme linéaire w, on a vu
comment on pouvait, à l'aide des dérivées &/, w", ... obtenir des formes
covariantes dm w. On peut aussi obtenir des formes covariantes d'un
système déformes linéaires. Si w,, m^, . . ., w^ sont d'autres formes de
PfafF, il est clair que le produit symbolique
OÙ l'on a h -\- p ^ c — i est un covariant du système des forme w, wj,
. . ., Mp. Si, par un chang-ement de variables, r,>. wi, , . ., Wp se chan-
gent en de nouvelles formes ii, il], . . ., ilp, on a identiquement
il(A)Ili . . . ap = M(h)o>^ . . . Mp.
Si, par exemple, on a c =: n, h-\~ p = ii — i, le produit symbolique
wWwj . . . Mp contient un seul terme en ctej . . dxn, et le coefficient de
ce terme est un invariant relatif (Cf. G Darboux, Bulletin des Sciences
Mathématiques, tome VI, 2e série, 1882, p. 49).
CHAPITRE V
INVARIANTS INTEGRAUX (»)
53. Définitions. Généralités. — Les invariants intégraux
ont été considérés pour la première fois par H. Poincaré, qui en a
fait d'importantes applications à la Mécanique Céleste. La théorie
des formes symboliques de difiFérentielles permet d'établir de la
façon la plus naturelle les propriétés fondamentales de ces inva-
riants.
Considérons d'abord un système de trois équations différen-
tielles
/ ^ dx du dz
X, Y, Z étant des fonctions de j?, y, z. Pour faciliter les énoncés,
nous supposerons que ces équations définissent le mouvement
d'une molécule dans l'espace, la variable / représentant le temps.
La molécule qui, au temps /= o, est en un point M^ (x^,, ^o» ^o^ 6st
venue au temps / en un point M/, de coordonnées {x, y, z). Lors-
que le point M(, décrit un certain domaine D^ de l'espace, le point
Mf décrit un domaine correspondant D^ Cela posé, soit
Y{x, y, z) une fonction des variables x, y, s ; nous dirons que l'in-
tég-rale triple 1=: 1 1 1 F(x, y, z)dxdydz est un invariant
intégral du système .(i) si la valeur de cette intégrale triple, éten-
due au domaine D/. est ég'aie à la même intés^rale étendue au
domaine D^. Par exemple, si les équations (i) définissent le mou-
(') Auteurs k consulter :
H. PoixcARÉ, Les Méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste, tome III, en
particulier le Chap. XXII.
DE DoKDER, Rendiconti del Circolo Matemaiico di Palermo (igoi-igos).
E. GorRSAT, Journal de Mathématiques, tome IV, 6* Série, igo8.
— Ibid., tome I, y Série, igiô.
— Annales Scientifiques de la Faculté des Sciences de Toulouse, tome VII, igi5.
208 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
vement d'un fluide incompressible, le volume du domaine Y>t est
constant, et l'intégrale II dxdydz est un invariant intégral ,
On définit de la même façon les invariants inlég'raux de lig-nes et
de surfaces. Si le point Mq décrit une lig"ne Lg ou une surface So,
le point Mt décrit une lig"ne L< ou une surface S^ Une intégrale
curvilig^ne
/
ci.dx 4- 'fidy + ^dz
est un invariant intég'ral du système (i), si la valeur de cette inté-
grale prise le long- de la lig^ne ht est indépendante de t et ég-ale à
la même intég^rale curvilig-ne prise le long de L^. De même, une
intég-rale de surface
//
Pdydz + Qdzdx + B.dxdy
est un invariant intég-ral, si la valeur de cette intég'rale étendue à
la surface St est indépendante de /.
Ces définitions s'étendent aisément à un système d'un nombre
quelconque d'équations difPérentielles
/ \ uXi UCC2 ClXn ,
nous supposerons que les fonctions X; sont uniformes et continues,
ainsi que leurs dérivées partielles, et ne renferment pas le temps t.
Nous appellerons trajectoire toute multiplicité à une dimension T
de l'espace à n dimensions représentée par les équations
(^) ^1 =Â(t), x,=f,[t), ..., x,=f^{t),
/ilO' /sCO» • • -i/nif) formant un système de solutions des équa-
tions (2). De chaque point (^^^ x^^, ..., xj>) de l'espace à n dimen-
sions part une trajectoire F qui est décrite par le point (a?^, x.^,
...., xj lorsque ^ varie.
La valeur initiale de t étant supposée nulle, considérons dans
l'espace à n dimensions une multiplicité quelconque à p dimen-
sions E^ ; de chaque point {x^'^, x/, ..., x^^) de cette multiplicité
part une trajectoire et, au bout du temps ^, le point mobile est
CHAPITRE V. — INVARIANTS LMÉGRADX. 209
venu en un point (a*j, x^, ..., x^). Le lieu de ces difiFérents points
est une autre multiplicité kp dimensions Ep, qui correspond point
par point à la multiplicité E^. Soit d'autre part w une forme sym-
bolique de deia^ré p^n,
(4) w= 7 Aa.ij .... x^dx dic .... dx ;
si rintég-rale multiple d'ordre^
a la même valeur pour les deux multiplicités Ep et E' quel que
soit /, l'intésrrale I,, est un invariant intégral d ordre p du sys-
tème (2). Le nombre/) pouvant varier de i à /i, il y donc n espèces
d'invariants intéarraux.
11 résulte des propriétés des formes symboliques de différen-
tielles (\uQtout invariant intégral se change en un invariant inté-
gral quand on effectue un changement quelconque de variables.
Soit en effet 1= / w un invariant intégral tiu système (2) ; si l'on
effectue sur ce système le changement de variables défini par les
formules
où les fonctions .;/ ne renferment pas le temps /. la forme symboli-
que <o se chang-e en une nouvelle forme symbolique m, et le sys-
tème (2) lui-même est remplacé par un système de même espèce
ou Yj, Yg, ..., Y„ sont des fonctions de y^, y,, ..., y^, ne renfer-
mant pas la variable /. 11 est clair, d'après la définition même
d'un invariant intégral, que l'intégrale 1^= j ^ est un invariant
intégral pour le nouveau système (2').
De tout invariant intégral 1= j o) du système (2), on déduit
un nouvel invariant intégral 1'= / w' du même système, w' étant
la forme dérivée de w. Supposons en effet la forme oj de degré />,
G. Prob. n
210 LEÇONS SUR LK PROBLÈME DE PFAFF.
et soit E„^| une multiplicité k p -\- i dimeosions de l'espace à n
dimensions. De tout point (x^°, x^^, . . . , x.J') de cette multiplicité
part une trajectoire, et le point qui, pour t = o, coïncide avec le
point (x^'^, x^^, . . . , x,j") est venu ,au temps t en un point de coor-
données (x^, x^, . . ., ^,J. Soit En+i 1g lÏGu de ce point (x^, ..., x^^)
lorsque le point {x^^, ..., a:„") décrit la multiplicité Ep^^. Ces
deux multiplicités E„_j^| et EL j sont limitées par deux multipli-
cités fermées à p dimensions èp et 8^ qui se correspondent point
par point comme les multiplicités Ep^^j et E„|^i elles-mêmes.
Or les deux intégrales / w' étendues aux deux multiplicités
YP ,, et E^ 4 sont ég-ales respectivement, d'après la formule de
Stokes généralisée, aux deux intégrales 1 w, étendues aux deux mul-
tiplicités %p^ èp, et par conséquent ont la même valeur. De tout inva-
riant intégral d'ordre p du système (2) on peut donc déduire, par des
différentiations seulement, un nouvel invariant d'ordre /> + i du
même système. Si on représente par I^ l'invariant intégral i w, on
représentera par lp_^^ l'invariant intégral I oj', et j'appellerai
l'opération par laquelle on passe de Ip à I^^^ l'opération (D).
Cette opération appliquée à un invariant i w' conduit à un résul-
tat identiquement nul, et par conséquent on ne peut déduire de
cette façon d'un invariant I^ qu'un seul invariant nouveau, et seu-
lement lorsque la forme w n'est pas elle-même une forme dérivée.
Remarques. — i<> H. Poincaré a aussi considéré des invariants
intégraux d'une autre espèce, tels que
/
K,' (^{xi, dx'i),
<î> étant une véritable forme algébrique d'ordre m par rapport aux
différentielles, et non plus une forme symbolique. Ils se définissent
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 211
comme les invariants intégraux du premier ordre I 7 Xidxi,
dont ils sont une srénéralisation naturelle.
2" Il est évident que, dans la définition d'un invariant intégral,
l'hvpothèse que les fonctions X, ne renferment pas le temps n"a
rien d'essentiel. Dans la suite, à moins de mention expresse, nous
supposerons les X/ indépendants de t.
S** Au premier abord, il semble que la notion d'invariant intégral
est tout à fait distincte de celle d'intégrale première. Cependant les
deux notions peuvent se rattacher l'une à l'autre par un passage à la
limite. 11 suffit pour cela de considérer les trajectoires issues de plu-
sieurs points dont on fera «-randir ensuite le nombre indéfiniment de
façon à ce qu'ils forment une multiplicité à une ou plusieurs dimen-
sions. On est ainsi conduit à un système d'équations linéaires, appelé
par H. Poincaré équations aaœ variations, dont il a déduit les propriétés
des invariants intégraux. Nous ne nous servirons pas dans la suite de
cette interprétation (').
54. Invariants relatifs. — Les invariants intégraux que nous
venons de définir, où les domaines £„ et £„ ne sont assujettis à
aucune restriction, sont des invariants absolus. Il existe aussi des
intégrales / w qui ne possèdent la propriété d'invariance que si
les domaines E„, E„ sont des domaines fermés. De tels inva-
riants ont été appelés par H. Poincaré invariants relatifs: nous
les désignerons par la lettre J. Il est clair qu'on obtient un inva-
riant relatif en ajoutant à un invariant absolu une intég-rale de dif-
férentielle totale symbolique quelconque, puisque cette intégrale
étendue à une multiplicité fermée est nulle. Réciproquement, on
démontrera au paragraphe suivant que tous les invariants relatifs
s'obtiennent de cette façon.
Soit Jp = 1 to un invariant relatif, w étant une forme symboli-
que de degré p, qui n'est pas une dififérentielle totale ; V intégrale
I w' est un invariant absolu d'ordre /) + i. En effet, les valeurs
(*) Voir aussi le Traité de Mécanique de M. Appell (tome II, p. !\bo)-
212 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
de l'intégrale / w' étendue aux deux domaines E„,_i, Ep^^, défi-
nis précédemment, sont égales respectivement aux deux valeurs de
l'intégrale / w, étendue aux deux multiplicités fermées 8>p, èp,
qui limitent les deux domaines ^p-\.i, Ep^i, et ces deux intégrales
sont ég-ales, puisque / w est un invariant relatif.
L'opération (D) appliquée à un invariant relatif J^, qui n'est pas
une intégrale de différentielle totale symbolique, conduit donc
aussi à un invariant absolu Jj^ + i d'ordre /> + i.
Le raisonnement qui précède conduit aussi à la conclusion
suivante : Pour qu'une intégrale 1 w, qui n'est pas un invariant
absolu, soit un invariant relatif il faut et il suffit que I w' soit
un invariant absolu.
Réciproquement, si / o>' est un invariant absolu, j o) est un
invariant relatif ou un invariant absolu. On verra, au paragraphe
suivant, que l'on peut toujours ajouter à w, et d'une infinité de
manières, une différentielle totale symbolique w, d'ordre p, de
façon que / (w + m) soit un invariant absolu.
55. Existence des invariants intégraux. Forme canoni-
que. — Le système d'équations différentielles (2) peut être ramené
à une forme canonique par un changement de variables. Soient/"^,
y2' • • • ' fn-i ^^ système de (n — i) intégrales distinctes de l'équa-
tion du premier ordre :
X(/) = X,-^ + X,-^+ ... +X, -5^ = 0;
le système (2) admet les n — i intégrales premières
et une dernière intégrale de la forme
CHAPITRE V. INVARIANTS* INTÉGRAUX. 213
la fonction y], ne dépendant, comme les premières, que des varia-
bles Xi, J^g, .... a?„. Cela posé, si l'on prend un nouveau syçtème
d'inconnues y^—f^, .... yn-i=fn-i^ '=fn^ le système (2) se
change en un nouveau système de n équations difiFérentielles dont
l'intégrale générale est représentée par les formules
ce système a donc la forme simple suivante, que nous appellerons
forme canonique
(6) fhl--^-^ _ (h/n - i _ ^ _ ^^
O O ' ' ' O I
Il est d'ailleurs évident que le système (2) peut être mis sous
forme canonique d'une infinité de manières.
En efifet, le système (6) ne change pas de forme quand on prend
pour nouvelles inconnues n — i fonctions distinctes r'(yi' •••t^n— 1)
des inconnues yt, et qu'on remplace s par s + 'Y^y^, •••? ^n-i)»
<!/ étant une fonction arbitraire.
Cela étant, soit 1= / w un invariant intégral absolu d'ordre />du
système (2) ; après le chanarement de variables qui vient d'être
défini, la forme w se change en une forme symbolique ra des diffé-
rentielles dyi, ..., dy^_i, dz dont les coefficients sont foncions
des yi et de z. L'intégrale / nr est un invariant intégral pour le sys-
tème canonique (6) Il est facile de trouver à quelles conditions
doit satisfaire la forme w pour qu'il en soit ainsi. Soient E„ un
domaine à p dimensions de l'espace à n dimensions (y^, y^, ...,
yn—i' -)' et Ep le domaine que l'on déduit du premier en ausr-
mentant les coordonnées z de tous ses points d'une même quan-
tité t, sans changer les autres coordonnées. Pour que les valeurs
de l'intégrale / nr, étendue à ces deux domaines, soient éarales
quel que soit /, il faut et il suffit que la forme symbolique cr ne
change pas quand on change 5 en r ^- C, quelle que soit la con-
stante C. ce qui aura lieu si les coefficients de cette forme ne
dépendent pas de 5 et dans ce cas seulement. Donc, pour que Vin-
214 LEÇONS SUR LE PHOBLÈ.ME DE PFAFF.
tégrale j tu soit un invariant intégral absolu du système cano-
nique (6), il faut et il suffit que les coefficients de la forme nr
soient indépendants de z.
De tout invariant intégral absolu du système canonique (6) on
déduira inversement un invariant intégral absolu du système (2),
en revenant aux inconnues primitives Xi, x^, ..., x^. Il existe
donc une infinité d'invariants intégraux absolus de tous les
degrés (de i à n) pour un système quelconque de n équations
différentielles (2). On peut écrire explicitement les expressions
g-énérales de ces invariants, si l'on peut ramener le système à une
forme canonique, c'est-à-dire si l'on connaît Fintég-rale g-énérale
de ce système.
A tout invariant intég-ral relatif du système canonique corres-
pond de même un invariant intégral relatif du système (2), Il est
facile d'avoir l'expression générale des invariants intégraux relatifs
du système canonique (6). Soit en effet J = 1 cr un invariant
intégral relatif de ce système ; l'intégrale / w est un invariant
absolu du même système (n» 54) et par suite les coefficients de la
forme cr' ne dépendent pas de z. On peut donc écrire ro'= ra^ + ci2ûf5,
cT^ et HT, étant deux formes symboliques de degré p -\- i ei p respec-
tivement, si CT est de degré p, qui ne contiennent ni z, ni dz. Or,
on doit avoir Ttr'^ + T^\dz-=o, et par suite cr'^ = nT'2 = o. On
peut donc trouver deux autres formes ii^ et fig' ^^ degrés p et
p — I respectivement, ne renfermant ni z^ ni dz^ et telles que l'on
aiti2'i=7TTi, f2'.,= nT2(no26). Si l'on pose Q = i2^ + ilcfiz .Xmihgv^'è
j Q. est un invariant intégral absolu du système (6), et l'on a
Q,' z:zzw'. La différence w — Q. est donc une différentielle totale sym-
bolique, et par suite tout invariant intégral relatif est la somme
d'un invariant intégral absolu et d'une intégrale de différentielle
totale symbolique.
Il est clair que cette décomposition d'un invariant relatif peut
être effectuée d'une infinité de manières, car on peut toujours ajou-
ter à un invariant absolu une intégrale de différentielle totale qui
CHAPITRE V. INVARIANTS INTÉGRAUX. 215
soit elle-même un invariant absolu, et il existe évidemment une
infinité d'invariants absolus de cette espèce.
Les invariants intégraux du système canonique (6), qui sont de
la forme
IV
*(y/. s ; di/i, ds),
s'obtiennent de même en prenant pour<ï> une Jorme algébrique de
degré m par rapport aux difiFérentielles dyi, ds, dont les coeffi-
cients sont indépendants de z.
•
Remarque I. — Connaissant r intég-rales premières distinctes
fi, fi, •••,fr, indépendantes de t du système (2) (r^n — i), on
peut en déduire des invariants intég'raux de ce système. Soit en
effet t>y{fi, df) une forme symbolique des différentielles df, df,
..., dfr, dont les coefficients ne dépendent que de f, f fr.
L'intégrale \ w est un invariant intégral des équations (2). Il
suffit d'observer qu'avec un système de variables canoniques y^,
y^, ..., y„_i, s, cette intésrrale s'écrirait 1 cr, la forme symbolique cr
ne renfermant que les variables y^, y. y, ..., yr et leurs différentiel-
les. Par exemple, si /"est une intégrale première des équations (2),
/
df est un invariant intégral absolu. Il est facile de le vérifier.
Soit l'o un arc de courbe joignant deux points Aq, B^, de l'espace
à n dimensions au temps ^ = o ; au temps /, les points Aq, Bq sont
venus en deux points A, B, et l'arc r^, est venu coïncider avec un
arc r joignant les deux points A et B. On a bien
fdf=A-A=f,-A.= fdf
Les invariants intégraux de cette espèce seront étudiés plus loin
(no 60).
Remarque II. — Une intégrale / df peut être un invariant
intégral, sans que f= C soit une intégrale première du système.
216 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Par exemple, pour le système canonique (6), / dz est un invariant
intégral, sans que 5=G soit une intég-rale première. D'une façon
g-énérale, pour que 1 df soit un invariant intég-ral du système
canonique (6), il faut et il suffit que/" soit de la forme
C étant une constante quelconque, cp une fonction arbitraire de
y^y^^ ...,^„_i(cf. n0 63).
56. Relations entre les coefficients d'un invariant. —
Etant donnés un système différentiel de la forme (2) où les fonc-
tions Xj ne dépendent pas de t, et une forme symbolique w de
deg-réyo en dx^, dx^, ..., dx^, dont les coefficients ne dépendent pas
non plus de t, nous nous proposons de rechercher les conditions
auxquelles doivent satisfaire les coefficients de cette forme pour
que I w soit un invariant intégral absolu. Considérons, comme
au no 53, un domaine variable Ep de l'espace à n dimensions, et
soit \Jit) la valeur de l'intégrale / w étendue à ce domaine. Pour
que / w soit un invariant intég-ral, il faut et il suffit que l'on ait
-~ = o. Or cette dérivée peut se calculer par les règles habituelles
de différentiation sous le signe intég-ral Nous supposerons pour
cela que l'on donne à ^ un accroissement 8^, et nous calculerons la
partie principale de la différence \Jt -f 8/) — 1^(05 ^"^ regardant It
comme l'infiniment petit principal. Soient (iCi, x^, ...,x^ les
coordonnées d'un point quelconque de la multiplicité Ep, et
(^1' y^i •••■> yn) l^s coordonnées du point correspondant de la mul-
tiplicité Ep+^' ; on a
yi = Xi +X (Xi, x^, ...,Xn)^t+ ...,(/== 1 , 2, ... n),
les termes non écrits étant infiniment petits d'ordre supérieur au
premier en 8/. Ecrivons les deux intégrales lp{t), lj,{t -f- 8/) sous
forme explicite, en exprimant les coordonnées d'un point quel-
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 217
conque de Ep et de £„ au movea de p variables auxiliaires
u^,u^, ...,ap :
dans ces formules, les sommations sont étendues à tous les arran-
gements p à p des indices m» 22); A'^ ^ ^^ désigne ce que
devient A^ ^^ ^ quand ou y remplace x, par y/, et les deux inté-
grales sont étendues à un même domaine de l'espace à p dimen-
sions.
Soit A'3 g g ' • • • ^ ' ^ un terme quelconque de la
seconde intégrale; on a, en n'écrivant pas les termes infiniment
petits d'ordre supérieur au premier.
^'P^Pf ■■■% = HiPt ..•pp'^^ (^PiPt . . . ?p) ^' + • • •
où l'on a posé
Dtf, ?a, ~'~ ^ ?a-A- 3oi
Dtfp ^Op "*" ^ ?j[-/t Dup "^ • • •
Cherchons le coefficient de -r — ' • • • àt dans la nou-
velle intég^rale. Pour que le produit
X' • • ■ ' p
piPi ■ . Pp ?U, DOi DUn
218 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
donne un terme de cette espèce, deux hypothèses sont possibles et
deux seulement :
1° On peut avoir p^i = aj, jSg = a^, . . . , P^ == a^,, ce qui donne le
produit
V(K \ ^ _^ . . "^'. Rf
[ «i«2 . . . «jj OMj :^u., ' ' ' D«p
2° On obtient encore un produit de la forme voulue en suppo-
sant que toutes les ég-alités j3/ = a/ sont vérifiées, sauf une seule.
Si, par exemple, on a i^^ = a^, ... P/_i = a/_i, P;^ir=:a/+i, ...
P^ = a^, Pi étant quelconque, on a le produit partiel
DXq d^x Zx
A __Ëi_Jîi ^8/
«1 . . . a-i-i &/«/+! . . . «,; 3J3 ?Mi DM„ '
et la somme des produits ainsi obtenus en faisant varier ^i peut
s'écrire
,._^ ,v '^x î>x
Comme l'indice variable Pi peut remplacer l'un quelconque des
indices a^, a^, . . . , a^, on voit qu'en définitive le coefficient de
:>x T^x
— — - • ■ ■ — — ^ 8; dans l'intégrale I (^ + §0 ^ pour expression
(7) B^^^^ _ _ ^^ = X (A^^^^ ^ _ ^ ^J
Quand on permute les indices a,, a^., . . ., a^, on voit aisément
que l'expression B^ ^ « "^^ change pas, ou change de signe,
suivant que la nouvelle permutation est de même classe que la
première ou de classe différente.
La dérivée —rf est donc représentée par une intégrale définie
étendue au domaine E„,
(B) ^f=f".
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX.. 219
OÙ n est la nouvelle forme symbolique
(9) " = 2 ^«i«. . . . «p ^^«1 d^a, • • • ^-^V
les coefficients B étant donnés par les relations (7).
Ces formules peuvent être résumées dans la rè^le suivante, qui
permet de calculer très simplement la forme fi : on remplace dans
w chaque coefficient kih...ipcir\. (A,a.- ... /), et à la forme ainsi
obtenue on ajoute la somme des monômes que l'on déduit de w en
remplaçant successivement dans chaque terme de w une quelcon-
que des diff'érentielles dxi qui y figurent par dXi.
Pour que I soit un invariant intéq-ral absolu, il faudra que l'inté-
grale I a soit nulle, quel que soit le domaine d'intég-ration, c'est-
à-dire que tous les coefficients B „ soient nuls, et ces condi-
tions sont évidemment suffi.santes. Donc, pour que l'intégrale
I ^^ «1X2 . . . «p «1 «2 *p
soit un invariant intégral absolu, il faut et il suffit que Fon ait,
pour toutes les combinaisons d'indices p à p, les relations
4- A £1^4- ' V -^
"^ Ki/j . . . ap 3^ "^ • • • "^ ' Kl . . . «p-i h :sj;
«s «p
Pour que l'intégrale (10) soit un invariant intégral relatif, il
faudra que l'intégrale / w' soit un invariant absolu. On obtiendra
les mêmes conditions en écrivant que l'intégrale / ii, étendue à
une multiplicité fermée quelconque, est nulle, c'est-à-diie que
l'on a il' = o identiquement (').
(') La recherche des invariants intégraux se rattache à la théorie des
transformations infinitésimales. Considérons S.\f) comme le symbole d'une
transformation infinitésimale, à un invariant intégral du système (2) corres-
220 . LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Le système (2) étant donné, les fonctions Xi sont connues et
les C^j coefficients A«ja2 . . . «p de la forme w doivent vérifier les C^
équations du premier ordre (11), qui constituent un système nor-
mal (Leçons, n" 1). Ces équations admettent donc une infinité
d'intég-rales, ce qui est bien d'accord avec les résultats du para-
graphe précédent. Comme vérification, si le système (2) a la forme
canonique, on doit prendre Xj^X2= . . = X^__^ = o, X^ = i,
^^« «
et les équations (11) se réduisent à i ^ ■ ■ ■ -p __ ^ _
Remarque. — Si les fonctions X/ dépendent de t, les coefficients
de M étant indépendants de t, le calcul précédent s'applique sans
modifications, et on obtient les mêmes conditions (11) pour expri-
mer que / w est un invariant intég-ral. Au contraire, si les coeffi-
cients de w dépendent aussi de t, on voit aisément qu'il faudra
ajouter des termes renfermant les dérivées de ces coefficients par
rapport à ^.
Il est à remarquer que les équations (11) n'admettent pas toujours
d'intégrales indépendantes de /, lorsque les fonctions X/ dépendent de t.
Par exemple, le système
dxi dx9 ,
^ = ai
n'admet pas d'invariant intégral de la forme jFdx^dxi, F étant indé-
pond une forme symbolique r,) admettant la transformation infinitésimale
X(y) et réciproquement. La forme m étant donnée, la recherche des systèmes
d'équations différentielles pour lesquels Cm est un invariant intégral revient
à la recherche des transformations infinitésimales qu'admet cette forme m.
Les transformations finies, par lesquelles une forme m se rhang'C en elle-
même, forment évidemment un groupe, d'ordre fini ou infini, et la question
est liée à la théorie des groupes, qui est en dehors du plan de cet ouvrage.
On connaît depuis longtemps un certain nombre d'intégrales, dans le plan
ou dans l'espace, ayant une signification géométrique simple, qui conservent
la même valeur pour toutes les transformations d'un groupe, tel que le
groupe des mouvements. Ce sont sans doute les premiers exemples connus
d'invariants intégraux. Par exemple, quand tous les coefficients de w sont con-
stants, la forme il sera identitjuement nulle, si les fonctions X/ se réduisent
à des constantes. Le groupe correspondant se compose des translations de
l'espace à n dimensions.
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 221
pendant de /, car le système (ii) se compose dans ce cas d'une seule
^^ation
et conduit à deux équations distinctes n'admettant que la solution
banale F =: o.
57. Invariants d'ordre n et n — 1. — Un invariant intégral
d'ordre n
-/
!,.= / F(a*i, Xi, ..., x^dxidxt . . . dx^
dépend d'un seul coefficient F ; la forme ii se compose d'un seul
terme, et. en égalant le coefficient à zéro, on obtient une seule équa-
tion
que l'on peut encore écrire
4(X,F) + 4(X,F)+...+,-|-(X.F,=o.
Or cette équation exprime que F est un multiplicateur pour le sys-
tème (2), ce qui nous conduit à un théorème de H. Poincaré.
Pour que l'intégrale l Fdxi . . . dx^ soit un invariant inté-
gral du système (2), il faut et il suffit que F soit un multiplica-
teur de ce système.
Avec un système de variables canoniques f^i, y*, . . ., y„_i, s),
un invariant intégral est de la forme / Fdy^ . . . dy^^ _ j dz. F
étant une fonction arbitraire de y^^, y^. ..., y„_i, indépendante
de z. Les propriétés classiques du multiplicateur s'en déduisent
bien aisément.
Un forme oj de degré n en dx^, dx^, ..., dx^ est toujours une
forme dérivée ; par conséquent, tout invariant intégral d'ordre n
peut être déduit d'une inBnité de manières, par l'opération (D),
d'un invariant intégi-al d'ordre n — i (n** 54\ et tous ces inva-
222 LEÇONS SUR LK PROBLÈME DK PFAPF.
riants intégraux d'ordre n — i ne diffèrent que par une intégrale
de difTérentielle totale.
Inversement, H. Poincaré a indiqué une méthode qui sera géné-
ralisée plus loin (n*' 61), permettant de déduire d'un invariant
intégral d'ordre n un invariant intég-ral d'ordre n — i. Il suffit
pour cela d'interpréter les résultats du n" 29 dans la théorie des
invariants intégraux. Supposons que les dénominateurs Xj des
équations (2) ne renferment pas t, et soit Q^^-i 1^ forme symboli-
que de deg-ré n — i
où Ton ne prend que des sig-nes + si n est impair, tandis que l'on
prend alternativement le sig'ne + et le sig-ne — lorsque n est
pair. On a
^„_ idf=z + X{f)dx^dx2 • • • dx^,
de sorte que toute intégrale de l'équation X(y)= est aussi une
intég-rale de l'équation Çl^_^df=^ o, et réciproquement. Avec un
système de variables canoniques (//^, y^^ .., ijn-i-, -S"), la forme Q^_j
sera divisible par dy^di/^ .. . dy^_^^ et l'on aura
K-i = ^dy.dy^ ... dy^_^,
K pouvant être une fonction quelconque de ?/^, ..., y^^_i, s. En
g'énéral / ^t_i ne sera pas un invariant intég'ral du système (2);
po.r que Jm.„_. soit „„ invariant intégral de ce sptème, il
faut et il suffit que le produit MK soit indépendant de z, ou, ce
qui revient au même, queMî2,j_j soit une forme dérivée. Ceci exige
que l'on ait
c'est-à-dire que M soit un multiplicateur. Be tout multiplica-
teur M du système (2), on déduit donc un invariant intégral
d'ordre n — / de ce système, f Mii^.^^.
Il est à remarquer que quand on chang"e le multiplicateur M, la
CHAPITRE V. INVARIANTS INTÉGRAUÏ. 223
forme sous le signe intégrral a tous ses coefficients multipliés par
un même facteur. Les invariants intégraux d'ordre n — i que l'on
obtient ainsi ne sont pas les plus srénéraux de cet ordre; nous
venons de remarquer en effet que la forme MQ,,_j s'exprime uni-
quement au moyen de y i, ■•, y„_i et de leurs dérivées; elle ne
renferme ni s, ni dz (voir plus loin, n** 60).
Considérons maintenant une forme quelconque de degré n — i
que nous écrirons
w„_j = Ajf/j?, . .. cte„ih A^c^3 ... dx^dx^ + - • .
H- X^^dœ^dœ^ . . . dx^_i,
avec des signes -f seulement si n est impair, et le signe -i- et le
signe — alternativement si n est pair.
La forme o correspondante (page 219) a pour expression
. D. = X{\^)dXo . . . dx„ zb • • • zt X(A„)</j?i</x2 . . . dx^_^
+ A^[dX,dx^ . . . dx„ 4- dx^dX^ . . . dx^ + . . •]
+ A^r^/Xg . . . dxjdx^ + dxJdX^ . . . dx^ + .••]
+
zb A„[rfXirfj?, . . . dx^_i + dXidX^ ... dx„_i + - - - J
et le coefficient de dx^dx^ . . . dx^, par exemple, est égal à
X(A0-A(X0 4-A,H,
où l'on a posé
ao^va.-^, H=y^,
et les autres coefficients ont des expressions analogues. En écrivant
que tous ces coefficients sont nuls, on voit que /es conditions néces-
saires et suffisantes pour que j w,_i soit an invariant intégral
expriment que l'on a identiquement
(12) X(A(0)-A(X(/)) + HAr/)=o,
quelle que soit la fonction f.
Cette remarque est due à M. Kœnigs(*), qui en a déduit des
(•) G. KcEMGS, Sur les invariants intégraux {Comptes-rendus de l'Académie
des Sciences, t. CXXII, p. 20, 6 janvier 1896).
224 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
conséquences intéressantes sur lesquelles on reviendra plus loin
(n*^ 59). On voit immédiatement que, si la condition (12) est véri-
fiée, les deux équations X(/) = o, A(y)^::=o, forment un système
complet, lorsqu'elles ne sont pas identiques. On peut aller plus
loin en observant que les deux équations
(a) X(/) = o, ■ A(/) + M/=o,
où M = — 4- ... + " " , forment aussi un système en involu-
tion (Leçons n» 18). En effet, il faut et il suffît pour cela que la
relation
X(A(/) + M/) - A(X(/)) - MX(/) = o,
soit une conséquence des premières. En tenant compte de la con-
dition (12), cette relation devient
X(M)/- HA(/) =- S X(M) + HM j /= o .
Or la relation X(M) -f- HM = o exprime que M est un multiplica-
teur, ce qui est bien exact, puisque la forme dérivée de <^n—i ®^*
Mdœ^, . . ., dx,^.
On obtient le système (a) en cherchant les intégrales de l'équa-
tion X(yj:=:o, qui sont en miéme temps des multiplicateurs pour
la forme w^_i. On a en effet
K_i/)'=<-i/+-«-i^/-[A(/) + M/Jc/a^, ...dx,;
les équations X(y)=o, A(/") = o s'obtiennent de même en cher-
chant les intég-rales de X(/)==o qui satisfont aussi à la relation
(ù^^_^dJ'=o. On peut donc énoncer le résultat suivant: Si l'intégrale
/
^n-i ^^^ "'* invariant intégral, les équations linéaires
K-i// = o, Xf/) = o
Jorment un système en involution, et par conséquent les équations
iw^_jt//'=:o, X(/) = o Jorment un système complet d'équations
linéaires et homogènes .
Ce résultat pouvait être prévu a priori, et il est facile de le véri-
fier si le système (2) a été ramené à la forme canonique (6). Avec
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 225
les variables canoniques (^i, y^, . . ., yn—i.-< ')■> ^^ forme w«_i, qui
fig-ure dans un invariant intégral d'ordre n — i, s'écrit en efiFet
Tn^_j et ra„_2 étant des formes de deerré n — i et n — 2 respective-
ment, qui ne renferment que les variables y^, . . ., y^—i' et leurs
différentielles, tandis que l'équation X(y^ = o se réduit à -^ = o .
Siyest une fonction quelconque de //i, y^, . . ., y,i_i, on a identi-
quement ci„_jrf/=o, {m,,_^f)'=o, et par suite (w„_i/)'=(nj^2/)'rf^.
Toute intégrale de l'équation linéaire du premier ordre {ts^^^J')'=o^
indépendante de £, est donc un multiplicateur pour w„_i. On voit
de même que les deux équations u^^_^df= o,— = o admettent
n — 2 intégrales communes distinctes.
Remarque. — Nous avons supposé que les deux équations
X(y")=:o, A(y)=:o sont distinctes, c'est-à-dire que tous les rap-
ports^ ne sont pas égaux. Si tous ces rapports sont ésraux, on a
w,._^ = KQ„_^, Q„_j étant la forme définie plus haut, A(/) = KX(/),
et la condition (12) devient
X(K)-fHK = o;
elle exprime que K est un multiplicateur pour le svstème (2^, et
nous retrouvons les invariants intégraux I„_j considérés tout
d'abord.
58. Invariants du premier ordre. — Soit
une forme de Pfaff dont les coefficients A, sont des fonctions des n
variables jc^, x,, . . ., x^, indépendantes de t. Pour que l'intéarrale
l^= I ùi soit un invariant intégral absolu du système (2), les coef-
ficients Aj doivent satisfaire aux n relations
(,3) X(A.-) + A,^ + . . . + A,g =0, (>= I, 2, •..., n)
G. Prob. i5
226 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
que l'on peut établir directement, ou qui se déduisent des condi-
tions g-énérales (i i), quand on y suppose p = i.
Ces conditions permettent de vérifier facilement que
A,X, + A2X2+...+A,X,=Gte ■
est une intégrale première du système (2), théorème dû aussi à
H. Poincaré, et qui sera rattaché plus tard à une proposition plus
générale (n° 63).
Lorsque l'invariant intégral a été ramené à une forme canoni-
que, les conditions (i3) prennent une forme simple, qui conduit à
un élégant théorème dû à M. Kœnigs (^). Supposons d'abord que
la forme w soit de classe impaire 2p -\- 1 <^ n ; si l'on a pris un sys-
tème de variables y, y^, ..., ij^, z^, z^, ..., z^, u^, ..,, Uq
(2/) 4- ^ -(- I = n) tel que w prenne la forme canonique
oi=Zidy^-\- ... -]-Zpdy^ + dy,
le système (2) est remplacé par un système équivalent
di/ dj/i di/j) rfzj dz2 dui du_
(ï4) Y — Y, Yp— Z,~ Zp~Ui Vq
où Y, Y^,...,Yp,Z^^, ...,Z/), U^, ...,Uy sont des fonctions des varia-
bles y, yt, Zh, Uh et de t.
Pour exprimer que l'intégrale
(i5) h= j Zidy^+ ... +z^dyp-\-dy
est un invariant intégral {^) absolu du système (i4), observons que
la forme n. qui figure dans l'expression de la dérivée
dl
dt
'-= fa
prend dans ce cas une forme particulièrement simple
il = c/Y + Z,dy^ + . . . + Z^dy^ + z,dY, + . . . + z^dY^.
(1) Comptes Rendus, tome CXXI, p. 8j5, g décembre j8g5.
(*) La liaison entre ce problème et la recherche des transformations de
contact infinitésimales est évidente (voir Sopiius Lie, Théorie der Transfor-
malionsgruppen, tome II).
CBAPITRE V. — lNYARIAi<TS INTÉGRAUX. 227
Pour que I^ soit un invariant intégral, les fonctions Y, Y/, Z*
doivent donc vérifier les n relations
^y /^ ^y ^yi /^ ^y
(i6)^ *=' *='
&Y , V î>Yft 3Y , v* ^^'^
1-7 5* =0, h 7 -fc =0,
C/=I. 2, ...,/)), (A=I, 2...., y).
On satisfait d'une façon très élégante à ces conditions en intro-
duisant la fonction auxiliaire.
(17) H = 2--*Yft4-Y;
k
les 2/) équations qui suivent la première deviennent
On a ensuite
T' '"'
et, en substituant ces expressions dans la première et dans les q
dernières relations (16), elles deviennent
(19) ^=«' ^,^''- (^'^'-^'---y)-
Le système (i4) est donc de la forme
^^^' dt ~ ^zi • dt—~ Tyyi '
(21) J§(_=H- V,-,i^,
^ ^ rf/ — '"" •••' dt — ^?'
H étant une fonction quelconque de l/i,---,!/p, s^. Sp et de /. ne
228 LEÇOiNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
renfermant pas les variables y, Mj, ..., Uq, et les fonctions IJ/j
étant arbitraires. Ce système (i4) est donc ramené au système
canonique (20) suivi des équations (21) et (22). En particulier, si
n=L2p -\- I , le système (22) disparaît.
Lorsque la forme w est de classe 2/), on peut de même choisir
2p -{• q=n variables de façon que l'invariant I^ ait la forme cano-
nique
\, = j z,dy, + ...-{- z^dij^,
le système d'équations différentielles (i4) étant remplacé par le sui-
vant
, ,,x dy^^ dj/p^ ihi dz£ flu^ dug
^ ^^ Yi Yp— Zi Zp — U, 117 — ^^'
les dénominateurs Y,, Z/,-, Ua étant des fonctions des variables iji,
zii, u/i et de t. Pour obtenir l'expression de -jp , il est inutile de
recommencer le calcul ; il suffit évidemment de supprimer les
termes qui renferment Y et y dans l'expression obtenue plus haut.
Les conditions (16) sont alors remplacées par les suivantes
P
(16) 2^+2^*^ = 0, 2^-^^-o, 2,^/.^=o,
h=i h k
(/=i, 2, .. .,/)), {h=i, 2, ..., q).
P
Si l'on pose H = ^ Sk^k, elles deviennent
£H___2 ^_Y EL —
Le système (i4')se compose donc encore d'un système canonique
de 2/; équations
dt~dzi' dt ~ ^yi' {i — i, 2, ..., p)
et d'un système de (/ équations
duh
dt
= {]/„ {à=i, 2, ..., q),
CHAPITRE V. IXTABIAXrS INTÉGRAUX. 229
OÙ les Ua sont quelconques. La fonction H ne dépend que des 2/»
variaJbles yu Zi, et vérifie la relation
-k
*=1
c'est donc une fonction homogène et du premier desrré des si.
Du théorème de M. Kœniars on déduit très aisément un impor-
tant théorème de H. Poincaré. Considérons un système canonique
quelconque
, ,. dyi m d:, :H
où H est une fonction arbitraire des yi. des r,. et de t. Si on lui
adjoint l'équation
' dt ^ yyk
nous venons de voir que l'intégrale
'i^^i + ^i^y* + . . . 4- Spdy^ -h dy
/■
est un invariant intésrral absolu du système formé par les équa-
tions (28) et (24). On en déduit que l'intégrale obtenue par l'opéra-
tion (D) (n« 54)
Iî= j dy.ds, + dy^dz^ ^ . • . + dy^dz^
est aussi un invariant intéarral du même système, et, comme la
variable y ne figure, ni dans l'invariant Ij. ni dans les équations
(28), on en conclut que I, est un invariant intégral pour le système
canonique (Cf. n» 62).
59. Composition des invariants intégraux. — Si les deux
intéarrales" / w, I 73, où w et ni sont deux formes symboliques du
même desrré, sont des invariants intésrraux d'un système d'équations
230 LEÇONS SUR lE PROBLÈME DE PFAFF.
diflerentielles, il est clair que l'intégrale 1 Cw + C'cr est un invariant
intégral du même système, quelles que soient les constantes C, C.
Connaissant deux invariants de degrés quelconques, 1 wP, / w^
du même système, on peut en déduire un nouvel invariant par une
multiplication symbolique.
Supposons d'abord que les dénominateurs X/ du système d'équa-
tions différentielles
ne dépendent pas de t. On peut alors, par un chang-ement de varia-
bles portant uniquement sur les variables a:/, ramener ce système à
une forme canonique
(26) ^=^^ = ...=.i^^'^ = -^ = J/.
^ '^ G O I
Soient w^, wy deux formes symboliques, de deg'rés p ei q respecti-
vement, en dx^^ ..., dx^, telles que les intégrales !/)= 1 w^,
\qz=z j (ùq soient deux invariants intég-raux du système (25). Après
le chang-ement de variables qui ramène le système (aô) à la forme
canonique (26), ces formes symboliques w^, o)ç se transforment en
deux nouvelles formes symboliques iip, Liq, dont les coefficients ne
renferment pas 5 (n''55). Il en est évidemment de même du produit
symbolique %,%, et par conséquent | D.p<lq est un invariant inté-
g-ral absolu du système canonique (26). L'intég'rale 1 w^w^ est donc
aussi un invainant intég-ral du système (26), et nous pouvons énoncer
le théorème suivant, que H. Poincaré a déduit, par une analyse
savante, mais difficile à suivre, de l'étude des équations aux varia-
tions.
'/""'/
Si les deux intégrales I w^, / w^ sont deux invariants inté-
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAIIX. 231
graux absolus du système {20), Uintégrale j wpotq est un inva-
riant intégral absolu du même système.
Le même raisonnement prouve que, siy = Cest une intéerrale
première indépendante de / et I w un invariant intég^ral, 1 /co est
aussi un invariant intégral. En effet, par le changement de varia-
bles précédent,y s'exprime au moyen des variables y/, et la forme
fui se chanare en une forme FQ, qui ne contient pas z.
Le théorème s'étend aussi aux systèmes 1^20;, dont les dénomina-
teurs X/. ou du moins quelques-uns, renferment la variable/ ; on
-suppose toujours que top, w^ sont indépendants de t. Nous avons
remarqué en effet que les conditions (i i) qui expriment que
/""/
<^iq sont des invariants intégraux ne renfermant aucune
dérivée partielle des X/ par rapport à ^ Si ces conditions sont véri-
fiées, les intégrales f Wp, I co^ sont des invariants intégraux du
système (20), où l'on aurait remplacé, dans les X,, t par une con-
stante quelconque. Les conditions qui expriment que 1 w^wy est
un invariant intégral sont donc des conséquences des équations
qui expriment que I Wp et 1 wq sont des invariants intégraux,
puisqu'il en est ainsi quand on donne à / une valeur constante
quelconque dans les X,.
Il est clair que le théorème s'étend au produit symbolique d'un
nombre quelconque de formes symboliques w^, wy, w^, ..., qui
figurent dans les expressions des invariants absolus. L'énoncé
n'exige pas non plus que toutes ces formes soient différentes. De
tout invariant absolu | w^, on déduira de nouveaux invariants
représentés symboliquement par I (wp)^, I (wp)', ... Tous ces
invariants sont nuls si p est impair.
Connaissant un ou plusieurs invariants intég'raux du système
232 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
(26), si l'opération précédente permet d'en déduire un invariant
intégral d'ordre n, on aura un multiplicateur du système. Si, en
procédant d'une autre façon, on peut en déduire un autre invariant
d'ordre n, le quotient de ces deux multiplicateurs donnera une
intég-raledu système, pouvant d'ailleurs se réduire à une constante.
Supposons, par exemple, que l'on connaisse un Invariant intég-ral
du second ordre Ig^ / Wj d'un système de an équations, la puis-
sance symbolique («2)" n'étant pas nulle, et en outre deux inté-
grales y^, /g de ce système. L'intég-rale 1^^= / {<^^'"' est un inva-
riant intég-ral d'ordre n, ainsi que l'intég-rale
/
Le quotient des deux formes symboliques
(W2)«
est donc une nouvelle intég-rale du système proposé.
Le théorème classique de Poisson n'est qu'un cas particulier de
cette remarque. Supposons que le système considéré soit un sys-
tème canonique
, . dxi ?H dpi MI - . .
(=7) nt^ij;!' ir=-—, ('=■.=.-.«)•
Ce système admet l'invariant intégral (n» 58) :
I2 = / 0)2 = / 2 dxidpi.
La puissance symbolique (wj)" est identique à n\dx^dp^...dx^dp^,
et par conséquent le système (27) admet pour multiplicateur
l'unité, comme il est bien connu. D'autre part, si/"^ et f^ sont deux
intégrales de ce système, I {'^^'^~^df\df^ est aussi un invariant
intégral d'ordre n. Or le produit symbolique sous le sig-ne inté-
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 233
arral est ég-al, à un facteur constant près [n'^ 42), à {J^./,)dx^dp^...
dxndpn, la parenthèse {/i,/^) ayant le sens habituel. L'expression
{fi^fù ^*' donc une intégrale du système {2j). Les g-énéralisations
bien connues du théorème de Poisson s'établissent de la même
façon.
On pourrait évidemment imaginer un grand nombre de combi-
naisons d'invariants intégraux conduisant à des théorèmes analo-
si-ues au théorème de Poisson ; nous n'examinerons que lune
d'elles. Supposons que l'on connaisse un invariant intégral
I^_j= I (^n—i *iu système (aô), où les X, ne dépendent pas de /, et
une intésrrale J de ce système indépendante de / ; l'intégrale
d/ est aussi un invariant intégral du système (25), et par
svm-
suite il en est de même de l'intég-rale i <i>„_^dJ'. Si le produit sj
bolique ui^_^^df n'est pas nul, on aura donc un multiplicateur du
système.
Il est facile de vérifier ce résultat, en se reportant au calcul qui
a été fait à la page 228. Ecrivons, en reprenant les notations de ce
paragraphe,
a>„ ^=\idx^...dx^-hAfdx^...dx„dXi -\- ...+ A„ctej...cte„_j,
de sorte que l'on a
±: ^n-i(^f= Hf)dXi ■ ■ • dx,.
Si l'intégrale 1 (^n—i est un invariant intégral, on a identique-
ment
X(A(/))-A(X(y)) + A(/)2 3^=°'
et par conséquent, si y est une intégrale de X(y) = o. on a la
relation
n
X(A(/))4-A(/)2]^ = «'
1=1
234 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
qui prouve que A(/) est un multiplicateur. Si l'on connaît déjà un
autre multiplicateur M, le quotient [{ sera une nouvelle inté-
i ^ M
grale ; si l'on connaît deux intég-rales a et p, A(a) et A(^) sont deux
multiplicateurs et par suite le quotient — \^ est aussi une inté-
'■ A(d)
^rale (*).
On peut déduire facilement de co qui précède la solution d'un pro-
blème étudié par M. Buhl (î). Etant donné un système d'équations
différentielles (26), où les X; ne dépendent pas de /, soient Bj, B2, ..., B,i
de nouvelles fonctions de j?,, .7?2, . . .,Xn, et B(/) l'expression
B(/) = B,^ + B,^^+...+B.,^;
M. Buhl s'est proposé de déterminer les fonctions B/ de façon que
B('f) soit une intégrale de l'équation K(f):=.o, toutes les fois que f est
une intégimle de la même équation.
Il existe toujours une infinité de solutions de ce problème. Soit en
effet In-i ^ J'^n—i un invariant intégral du système (2^), tel que ««-i
ne soit pas identique, à un facteur près, à la forme Qn—i définie à la
page 222. On a alors
Mn-idf=: A{f)dXi . . . dXn,
A{f) étant une expression linéaire et homog-ène en — - — , • • > — ~ — ? et
les deux équations X(f) = o, A{f) =: sont distinctes. Nous venons de
voir que A(f) est un multiplicateur du système (aS), si y est une inté-
grale de l'équation X{f) = o. Soit d'autre part M un multiplicateur
déterminé quelconque du système. L'expression
•'(/) = ¥^
donne une solution du problème de M. Buhl.
On les obtient toutes de cette manière. Soit en effet
(') Voir la note déjà citée de M. Kœnigs (Comptes Rendus, t. CXXII, p. 25 ;
6 janvier i8g6).
(') Thèse de Doctorat.
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 2B6
une expression linéaire par rapport aux dérivées -^ , satisfaisant à
renoncé. Considérons la forme symbolique
x3n—i = BidjCi . . . djcn =t B*dxi . . . dxndjii + . . . ± Bn<ia?i dxn—\ ;
d'après sa définition même, on a
Hr vsn^\df^ B{f)dxi . . . djCn,
et par suite, M désignant un multiplicateur du système (20),
=t Mcjn-irf/= MB{/)dœi . . . dxn-
Posons w/j— 1 :=:±Mni/i— 1, et observons que MB(y) est un multiplica-
teur du système (25) toutes les fois que _/" est une intégrale de X(y) r= o.
Il suit de là que r intégrale J»n—\.df est un invariant intégral du sys-
tème (20) si f est une intégrale de F équation X(f}^ o.
Imaginons que l'on prenne un système de variables canoniques
(yi. yi, . - ., y/1— 1. t) pour le système (25); la forme &•«— 1 s'écrira
an^i = Kdyidyt . , , dyn-i + Hn^arfr,
K étant une fonction quelconque et 11/1—2 une forme de degré n — 2 où
ne figurent que les diÉFérentielles dyi. Les n — i intégrales
/ wn^xdyi =: / Wn—^yidz («' = i, 2, . , , « — l),
doivent être des invariants intégraux. Il faut donc que les n — i pro-
duits symboliques Un—-2dyi ne renferment pas s, et par suite que les
coefficients de la forme n^—o soient indépendants de s. L'intégrale
JUn-'idt est donc un invariant intégral. Si l'on revient aux variables
Xi, ..., x„, on voit donc que la forme w/j— 1 est la somme de deux
formes
w/j^l = Hil/i-i -f Un—i,
£Ln-\ étant la forme de degré n — i définie plus haut (no B7)^ et
ri/j— 1 étant un invariant intégral du système. On a donc
J
w„_irf/=Ha«_irf/+ nn_i<//,
= [H.X(/)+At{/)]rf/,
Ai(y^ se déduisant, comme on vient de l'expliquer, de l'invariant inté-
236 LEÇONS SLR LE PROBLÈME DE PFAFF.
gral d'ordre n— i I Il/i—if//"; eu remplaçant wn—irf/" par cette expres-
sion, il vient
B(/)=^^ + |x(/)
Il est clair que la solution ainsi obtenue n'est pas plus générale que
la première, car, si B(y) est une solution, il en est de même de
B(/") -j- LX(/), quelle que soit la fonction L,
60. Invariants attachés aux trajectoires. — Reprenons un
système de n équations différentielles dxi= Xidt, (/= i, 2, .,., n),
où les Xi ne dépendent pas de f, et soient J'i,/^, ••■,J',i-i ^^^ inté-
grales premières distinctes, indépendantes de t, de ce système.
Quand on multiplie toutes les fonctions X, par un même fac-
teur indéterminé 'k{x^. ..., «„), le nouveau système
/ _ Q\ dxj dX'i dXn 7,
aXj /X2 ^'X,i
admet encore les n — i intégrales y^,y2i ••-ifn-ii ^* '^ dernière
intégrale seule, où figure le temps, dépend de a. En d'autres ter-
mes, l'introduction du facteur a ne modifie pas les trajectoires,
mais seulement la loi suivant laquelle chaque trajectoire est par-
courue.
Soit w une forme symbolique de deg-ré yo en dj\, . ., df^^_^, dont
les coefficients ne dépendent eux-mêmes que de /'^, /"j, ..•,/,i_i.
L'intég-rale / co est un invariant intég^ral du système (28), quel que
soit ). (n" 55). Nous dirons dans la suite que cet invariant inté-
gral est attaché aux trajectoires du système d'équations différen-
tielles dxi=:Xidt {i=i, 2, ...,n), et nous le désig-nerons par la
notation If,, quand nous voudrons mettre cette propriété en évi-
dence.
Si nous prenons un nouveau système de variables (y^, ^2' •••■>
yn-i, z) où ?/i=/i, ..., yr.-i=fn-i^ 1© systèmc (28) est remplacé
par un système
(29) '^=...=^^± = ^ = df,
^ ^^ o op.'
CHAPITRE V. — IN VARIANTS INTÉGRAUX. 237
OÙ a peut être une fonction quelconque de ^j, y^, ..., y,j_i, -• Une
intégrale i Q. sera un invariant intégral de ce système, quel que
soit a, pourvu que la forme Q. ne contienne ni r, ni dz. On voit
par là ce qui distingue un invariant intésrral absolu quelconque
d'un système canonique d'un invariant intégral attaché aux tra-
jectoires.
Pour que I Q soit un invariant absolu, il faut et il suffit que
les coefficients de Q. ne dépendent pas de z.
Pour que j Q. soit un invariant attaché aux trajectoires, il
faut que îi ne contienne ni s, ni dz.
Il existe donc une infinité d'invariants intég-raux d'un ordre
quelconque (de i à n) attachés aux trajectoires pour un système
de n équations différentielles. Soit / Q un invariant intégral
absolu du système (2). Pour que cet invariant soit attaché aux tra-
jectoires de ce système, il faut et il suffit que / Q. soit encore un
invariant intégral pour le système obtenu en remplaçant X,par aX,-,
et cela quel que soit a. Supposons Q de degré />
i- == 7 -^r, r. r. ^X „ dx^, • . . dx„ ',
J^ aïKo . . . «p «1 «-2 «p
par hypothèse, les coefficients A^^ ^ ^ vérifient les condi-
tions (II) (page 219) pour toutes les combinaisons d'indices pk p.
Ces coefficients doivent vérifier aussi les relations que l'on obtient
en remplaçant X/ par).X/. Or. ces nouvelles relations deviennent,
en tenant compte des premières,
V r^A«. . . . an^h -:^ + X^^,, , X/, -^ 4-
] r^A«2...«p'
Xp-i
et doivent être vérifiées, quel que soit X. Si l'on j fait successive-
238 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
ment l = x^, . . ., 1=2 x,^, on voit que les coefficients A^ ^
doivent vérifier toutes les relations
pour toutes les combinaisons des n indices p — i kp — i. On peut
énoncer ce résultat de la façon suivante : Pour que 1 Q, soit un
invariant intégral attaché aux trajectoires du système (^), iljaut
et il suffit que les coefficients de Q. vérifient les conditions {i i), et
que toutes les équations du système de Pfaff attaché à la forme Q
(n*^ 32) soient vérifiées quand on y remplace dxi par Xi
(i=i,2, . . ., n).
Les conditions (3o) expriment que les formes de Pfaff o)^, w^, ...,
tir, associées à la forme symbolique Q s'expriment linéairement
au moyen des (n — i) formes df, ..., df^^^, en désig-nant par
■f\.ifi> •••ifn-i un système de n — i intégrales distinctes de l'équa-
tion
i —i
En effet, l'équation de Pfaff"
II
i=-.i
sera vérifiée, d'après la relation (3o), si l'on remplace Xi, x^, . . . ,
x^ par des fonctions d'une variable indépendante satisfaisant aux
équations (2), c'est-à-dire par des fonctions d'une variable indé-
pendante satisfaisant an — i relations/"^ = Cj, . ..,/',j_i = C^_^.
Les équations w^ ^^ ^ = o sont donc des conséquences des
équations df-=o,...,df^_^^=:o, et par suite les formes de Pfaff
associées à la forme Q sont des combinaisons des « — i formes
df, df2, . . ., df^__^. La forme symbolique ii s'exprime donc elle-
même au moyen de ces différentielles seulement. Telle est la
signification des conditions (3o). Quant aux conditions généra-
les (11), qui s'appliquent à tous les invariants intégraux, elles
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 239
expriment que les coefficients de il s'expriment aussi au moyen de
y l'y 2' • ••1 Jn~i'
Remarque I. — Lorsque 1 ii est un invariant intégral attaché
aux trajectoires, il est à peu près évident que l'intégrale | £î' est
aussi un invariant attaché aux trajectoires. En eCFet, si on a
ramené le système d'équations différentielles à une forme canoni-
que, o ue renferme que y,, ..., y„_i, difi, ..., dy,^_^, et il est clair
qu'il en est de même de <V. Il est aisé de vérifier ce résultat direc-
tement et sans aucune transformation.
Supposons, pour fixer lès idées, que le degré/) de II soit pair;
la forme dérivée o' a pour expression
où Ton a posé
«10(2 . . . «p'
DA - 5A 5A.
«ia-2 • ■ ■ «p xo . • «pi ^«1 . . . «p— 1
«p
:SJCi 'Do? ' ' Do?
Il s'agit de montrer que les relations
(3') i:-\...vX'=''
_ /?A DA - • &A .
sont des conséquences des relations (ii) et (3o).
La relation à vérifier peut s'écrire
/DA »A .
Y/ A X , V / *-' . «pf , . fr^i .. . ap-i \
^(\<^-2...up) + Z\~^ + ••• -^ ^- X, = o,
240 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
OU, en remplaçant XfA^ ^^ ^\ par sa valeur tirée de la rela-
tion (i i),
DA . DA .
L^^-n — +... +2^x/ — - — -
Mais, /> étant pair, on a
««2 . . «;? «2 . . . «/)«' ■ ■ ■ ' «, . . . «;}— l/ ««1 . . . Up-i''
et il reste
^ (2 K ... «p.'^') + - + ^ (l: A„, ... „,_„xA=o;
cette relation résulte immédiatement des conditions (3o).
Le calcul prouve aussi que le système formé par les équa-
tions (il) et (3o) est équivalent au système formé par les équa-
tions (ii) et (3i). Ce résultat est bien d'accord avec les proposi-
tions établies antérieurement sur la classe d'une forme symbolique
(n^ 33). Si l'on remplace X/ par dxi dans les équations (3i) et (3o),
on obtient les deux systèmes d'équations de Pfaff S et S', qui sont
associés respectivement aux deux formes o. et n'. Les équations (3 1)
et (3o) expriment donc que les intégrales de ce système complète-
ment intégrable font partie des n — i intégrales premières/"i,y2,
...,fn—\ du système (2). Si l'on suppose la forme a ramenée à une
forme réduite, elle ne contiendra donc dans son expression que les
n — I intégrales premières de ce système et leurs différentielles.
C'est précisément ce qui a lieu pour une forme ii, lorsque I fl est
un invariant attaché aux trajectoires.
Remarque II. — Si l'intégrale / D. est un invariant intégral atta-
ché aux trajectoires d'un système de n équations différentielles (2),
CHAPITRE V. — IWARIUSTS INTÉGRAUX. 241
non» venons de voir que la forme û est au plus de classe n — i .
Réciproquement, soit
p ^^ «i«. ... «p a, OLp
une forme symbolique de degré p à n variables, et de classe
inférieure à n. L'intég^rale 1 w^ est un invariant inté|çral attaché
aux trajectoires pour un système au moins d'équations différentiel-
les. En effet les équations
n n
i 1=1
qui se présentent dans l'étude de la classe d'une forme symboli-
que (n'- 33), se réduisent an — i équations distinctes au plus,
quand on y regarde \, '/~^; ..., A/, comme des inconnues. Soit
Xi = Xi, .... A„ = Xn un système de solutions non toutes nulles;
nous avons démontré plus haut que | w^ est un invariant intégral
attaché aux trajectoires pour le système
dxi dœ,t , ,
Si Wp est de classe n — i , les fonctions X/ sont déterminées à un
facteur près. Si w^ est de classe n — r, Xi, ..., X^ dépendent
linéairement de r coefficients arbitraires. La propriété peut encore
s'établir sans aucun calcul. Si la forme w^ peut s'exprimer au
moyeu de n — r fonctions distinctes y*^, y, /„—r et de leurs
diflFérentielles, f w est un invariant intégral \p pour tout système
d'équations dififérentielles admettant les n — r intégrales pre-
mières .
/i = C^,/o = Cj, .. .Jn-r=Cn—r-
61. Formation de ces invariants. — H. Poincaré (') a
indiqué rapidement un procédé permettant de déduire d'un inva-
(•) Les Méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste (t. III, p. 33,.
G. Prob. * 16
242 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
riant du second ordre un invariant du premier ordre, qui est préci-
sément un invariant attaché aux trajectoires. On lui doit égale-
ment un procédé (^) pour déduire d'un invariant intég-ral d'ordre n
un invariant intég-ral d'ordre n — i . En réalité, la méthode de
H. Poincaré s'applique à tout invariant intégral, quel qu'en soit
l'ordre, et permet de déduire d'un invariant intégral absolu
d'ordre/), non attaché aux trajectoires, un nouvel invariant inté-
gral absolu d'ordre /> — i, attaché aux trajectoires.
un invariant intégral absolu non attaché aux ti^ajectoires. Posons
Soit I, = / 0), = / >>„.„. ^^^ dx^^ dx^^ . . . dx^^
C = \^A X- •
b, ai«2 . . . «p—i À^ «i«« . . . «p-l« ' '
l'invariant \^ n'étant pas attaché aux trajectoires, toutes les fonc-
tions G„ „ „ , ne sont pas nulles à la fois. Soit wn_i la forme
symbolique de degré p — i
wn_i = 7 G dx . . . dx
effraie j '
l'intégrale j (^p—i est un invariant intégral absolu attaché aux
trajectoires .
Il suffît, pour le démontrer, de vérifier que les relations
sont des conséquences des conditions (n). Or on a
'(X1X2 ... «p-
(^aia2 ... ap_i)
(') Acta Mathematica, t. XJJI, p. 66 {i8go)
^Xh'
i h
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 243
Remplaçons X ('Agj ^ Apar sa valeur tirée des formules (ii);
il vient
I h
En remplaçant de même les C par leurs valeurs, la relation à
vérifier (3i) devient
i h
i h \ ' «1 ' ^
+ S [Ù^ ^'^h^i ... up-ii^' + - + S^ 2^K, ...up-^Jii) = o,
ou, en supprimant les termes qui se détruisent à première vue,
il suffit de permuter les indices i et h dans l'un des deux membres
pour obtenir une identité.
/""-
L'intégrale / wp—i est donc bien un invsu*iant intégral.
C'est un invariant attaché aux trajectoires. Nous avons en
effet
n
^^aiao . . . up.ih^>' = Z^Z^-^«iao . . . up^o/ii^i^k.
h=\ h i
et les termes du second membre se détruisent deux à deux, car il
change de signe quand on permute les indices i et h.
Pour abréger, j'appellerai l'opération (E) l'opération qui vient
d'être définie, et qui permet de déduire d'un invariant absolu I^,
non attaché aux trajectoires, un invariant Ip_i attaché aux tra-
244 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
jectoires. Cette opération, appliquée à un invariant 1^, conduit à
un résultat identiquement nul. Nous avons appelé plus haut opé-
ration (I>) l'opération qui conduit d'un invariant intégral absolu 1^^
ou d'un invariant relatif J^, représenté par l'intégrale / w, à un
invariant I^_^i = 1 w'. Appliquée à un invariant L, elle conduit
aussi à un invariant identiquement nul.
Il est facile, en se servant des conditions (ii) et (3o), de démon-
trer les propriétés suivantes (^).
L'opération (D) appliquée à un invariant I^ conduit à un inva-
riant Ip^i c'est-à-dire à un invariant attaché aux trajectoires, qui
est en même temps égal à une intégrale de différentielle totale
symbolique.
L'opération {E) appliquée à un invariant Ip conduit à un inva-
riant lp'J\.
Les opérations (D) et (E) sont permutables.
Ces propriétés sont immédiates si l'on suppose le système (4)
ramené à une forme canonique. Nous y reviendrons au paragraphe
suivant.
J
Remarque. — Pour appliquer l'opération (E) à un invariant
w, il est commode d'appliquer cette opération à chacun des
monômes de la forme w successivement.
Par exemple, soit ï^ un invariant absolu du deuxième ordre
h= j ^^ihdxidxk ;
l'invariant \\ que l'on en déduit a pour expression
li= / ^kik[Xidxh — ^kdxi).
(*) Journal de Mathématiques (6' série), tome IV {igo8), p. 344-
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 245
62. Interprétation de la méthode précédente. — Consi-
dérons d'abord un svstème de trois équations
dœ du dz .
où X, Y, Z ne dépendent pas de /, et un invariant intégrral du
troisième ordre
1 =
,1 ," n
I I j Udxdydi
Soit Sq une portion de surface limitée par un contour fermé P ;
les trajectoires issues des différents points de S^ engendrent un
tube de trajectoires, limité par une surface Si, lieu des trajectoires
qui rencontrent le contour F. Soit m,, {Xq, y,, 5^) un point de S^, ;
le point de l'espace qui est au point' m^ au temps / = o, est venu
en un point m au temps / = T, et le lieu de ce point m est une
surface S qui limite avec S^ et Sj un domaine D, le temps T ayant
la même valeur pour tous les points de S(,. Pour calculer l'inté-
arrale I étendue au domaine D, supposons les coordonnées d'un
point de S^, exprimées au moyen de deux paramètres \^ii, v), de façon
que Sg corresponde point par point à un domaine fermé R du plan
(a, v). Le domaine D de l'espace correspond alors point par point
à un domaine cylindrique de l'espace à trois dimensions (m, u, t)
limité par les deux plans / = o, f = T, et l'on a
1 = fffwœdy<ts = fffyi ^^dadodt
= r f Tm \^^Z +B^X + 2^y] dadodl
JJJ LD(«.r) D{a,v) D{u,v) J
ce que l'on peut encore écrire
1= I dt I j M\ Xdydz + ydzdx + Zdxdy j ,
246 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
l'intégrale de surface / / étant étendue à la section Si du
/.('
domaine D que l'on obtient en donnant à t une valeur constante
comprise entre o et T. L'intégrale I est une fonction de T dont la
dérivée pour T = o, par exemple, a pour expression
(■^j = / / M(Xdijdz -f Ydzdx -\- Zdxdij).
Nous définirons un autre domaine A analogue à D de la façon
suivante. A chaque point m^ de Sq faisons correspondre un
nombre 6 variant d'une manière continue avec la position de m^.
Sur la trajectoire issue de ce point mp, prenons les points a^, et ^
occupés par le mobile, qui part de m^ au temps / = o, aux épo-
ques / = 6 et # = e + T.
Sur chaque trajectoire issue d'un point de Sq, nous prenons ainsi
quatre points /Wq, m, jaq, [x, correspondant aux valeurs ^ = o,
< = T, ^=6,^ = 6 + T.
Lorsque le point m^ décrit Sq, le point m décrit S, et les points
[Xq, [jl décrivent aussi deux sections S„, S du tube de trajectoires.
Soit A le domaine intérieur à ce tube compris entre I^ et S. Il est
clair que ce domaine A se déduit de la surface Sg de la même façon
que D se déduit de S. La dérivée par rapport à T de l'intégrale
triple
[j = / / / Mdxdydz
J J J^
est donc égale aussi, pour T = o, à
l-^\ = jj M{Xdijdz + Ydzdx + Zdxdy).
D'autre part, l'intégrale /^ étendue au domaine A est égale à
Vintégrale I étendue au domaine D. On passe en effet du
domaine D au domaine A en ajoutant à D le domaine 8 compris
entre S et I, et retranchant ensuite le domaine 8q compris entre S^
et Sq. Or les deux valeurs de I étendues à ces deux domaines sont
égales, puisque par hypothèse I est un invariant intégral.
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 247
On a donc aussi ( -t= ) ^ ( -rp) , et la valeur de l'intégrale de
surface
I| = r r },l{Xdyds + Ydsdœ + Zdxdy),
étendue à une section quelconque du tube de trajectoires, a une
valeur constante. Cette intégrale est donc un invariant du second
ordre attaché aux trajectoires ; c'est précisément celui que l'on
obtient en appliquant l'opération (E) à l'invariant intégral du troi-
sième ordre I .
Le raisonnement qui précède est dû à H. Poincaré (Acta Mnthe-
matica, t. XIII, p. 66). Il est aisé de l'étendre à un invariant
d'ordre quelconque ('). Soit
(33) h= ( ^K r. V d^n dx^ ... dx^
un invariant intégral d'ordre p du système
l-\l\ dx^_dxi__ _d_£^_j.
où les X, ne dépendent pas de / ; je supposerai, pour fixer les
idées, que la sommation indiquée par le signe S est étendue à
tous les arrangements p a p des n premiers nombres. Soit Ep-t
une multiplicité k p — i dimensions de l'espace à n dimensions
(a?i, x^, ..., a?„), non composée de trajectoires du système (34).
Quand on fait varier ^ de o à T, le point (a7j, x^, ..., x^)
qui, pour / == o, coïncide avec un point (a^, a^, ..., a„), de
E;,_i décrit un arc de trajectoire allant du point (a^, a^, . . ., a„)
à un point {b^. 6.,, . • ., /'„) et ces portions de trajectoires engen-
drent une multiplicité à p dimensions E^, limitée par Ep_i,
par la multiplicité E'p_i décrite par le point (6^, b^, ..., b„) et
par une autre multiplicité E"p-i engendrée par les segments de
(•) Journal de Mathématiques (7* série), tome 1 iiQiô). p. 24a.
248 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
trajectoires issues des points de la multiplicité Ep_2 qui limite
Ep-i. Nous allons calculer l'expression de Tintég-rale Ip étendue à
la multiplicité E^. Pour cela, supposons les coordonnées (a^,
«2, •'•idn) deEp_i exprimées au moyen de/) — i variables indépen-
dantes, de façon que E^-i corresponde point par point à un certain
domaine R/)_i k p — i dimensions de l'espace («j u^, ..., Up—i).
Les coordonnées d'un point de E^, sont alors des fonctions de
M], «25 '••iUp—i, etde^, qui vérifient les relations —:=:X'.
L'intégrale cherchée peut s'écrire
''' = JlK^. . . . «.^ • • • fe ^ <"" • ■ ■ ''«-''"•
la sommation indiquée par le sig-ne 2 étant étendue à tous les
arrangements d'indices p à /). On peut encore écrire I^,
PC^ ^,., ^£z±du,...dup-u
j a.^ ... v-p-i 2^uj ^Up-\ ^ ^
(35) I^ =
dt]
en posant
(36)
^«l«2
cette expression de I peut aussi s'écrire, sous la forme abrégée
équivalente,
(37) lp= dt ^C dx^dx^, ■ • • dx '
L'intégrale I^ est donc une fonction de T, dont la dérivée pour
T = o a pour valeur
(38) (^) = r yG„„ „ .dxdx^ ...dx^ .. -
Considérons une autre multiplicité ê^ définie en partant de Ej,_.^
d'une façon plus générale. A chaque point (a^, ..., aj de Ep_i fai-
sons correspondre un nombre variant d'une manière continue
avec la position de ce point. Sur la trajectoire issue de ce point,
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGR.AUX. 249
prenons les points (a,, ..., a„) et (^4, ..., ^„) occupés par le mobile
qui part du point [a^ a,j) au temps / ^ o, aux époques / = 0,
/ =T + ; il y a ainsi sur chaque trajectoire issue d'une point de
Ep_, quatre points de coordonnées (a/), (6,), (a,), (^j) respective-
ment qui correspondent aux valeurs / = o, ^ = T, / = 9,
/ = 9 + T. Lorsque le premier de ces points décrit Ep_^, le point
(bi) décrit E'p_^, et les points (x,) et (^3,) décrivent deux autres mul-
tiplicités 6p_,, 6'p_,.
Soit &p la multiplicité eng-endrée par la portion de trajectoire
comprise entre les deux points (xi) et (^i), e^ et e'^ les domaines
décrits par les seg-ments de la même trajectoire compris entre les
points (a,) et (i,), (6,) et (S,). On obtient le domaine «5^ en ajou-
tant au domaine E^ le domaine e'^ et retranchant le domaine Cp.
Mais les points des deux domaines e^ et e'^ correspondent deux à
deux à des valeurs de { qui diffèrent d'une quantité constante T.
Les valeurs de l'invariant intég-ral Ip, étendues à ces deux
domaines, sont donc é^-ales. Par suite il en est de même des
valeurs de I^ étendues aux domaines E^ et 6^; les valeurs des deux
dérivées sont donc égales pour T:^o.
Or il est évident que le domaine 6p se déduit du domaine &p^i
comme E^ se déduit de Ep_j. La valeur de l'intégrale.
est donc ésrale, quel que soit 0, à l'intégrale (38).
L'intégrale \p—\ est précisément l'invariant intégral que l'on déduit
de \p par l'opération (E). La démonstration prouve bien que la valeur
de cette intégrale étendue à une multiplicité à p — i dimensions,
obtenue en prenant un point à volonté sur toutes les trajectoires
issues des différents points de E^—i, est égale à la valeur de la
même intégrale étendue à Ep_i. C'est donc un invariant intégral
attaché aux trajectoires.
Cette interprétation de l'opération (E) est évidemment indépen-
dante du choix des coordonnées qui fixent la position d'un point
dans l'espace à n dimensions. Cette opération est donc covariante
pour le système (34). En termes plus précis, soient 1^=1
w„ un
250 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
invariant intégral de ce système, lp—\ = / Mp—i l'invariant inté-
gral qu'on en déduit par l'opération (E) ; si on effectue une trans-
formation de coordonnées définie par les formules xi = cp/ (y^^,
y^i •••» yù {^ ^= '' 2, ..., n), le système (34) est remplacé par un
nouveau système
(34') ^=...=!!^=dt,
les deux formes wp et w^-i sont remplacées par deux formes vjp et
cjyj-i, et les deux invariants intégraux Ip et Ip_i s'écrivent, avec les
nouvelles variables,
I/) = 1 ^p, I/î— 1 = j ^p—i-
La forme ^p—\ se déduit de la forme v^p de la même façon
que la forme t^p—i se déduit de w^, les variables xt étant rempla-
cées par les variables yi et les fonctions Xi par les fonctions Yi res-
pectivement.
Supposons en particulier que le système (34) ait été ramené à
une forme canonique (n*' 55). Avec les variables canoniques
//i, ^2» •• -5 yn-\, z, la forme m^ s'écrit
"V = ^p + %-idz,
Q,^ et i2^_i étant des formes de degré p et p — i i^espectivement, en
di/i, ..., dyn—\, dont les coefficients ne renferment pas z. L'opéra-
tion (E) appliquée à l'invariant I^ = \ ^%> conduit à l'invariant
r . * . . .
Ijj_i = / ^jo— 1, qui est bien un invariant attaché aux trajectoires.
L'opération (D) appliquée au même invariant Ip conduit à un inva-
riant Ip_j_i = I Q'p -\- Çl'p-idz. Enfin les deux opérations (E)
et (D) appliquées successivement à l'invariant Ip conduisent, quel
que soit l'ordre dans lequel on les applique, à un seul invariant
nouveau I^' ^ = I iip_i. De l'invariant intégral Ip, on peut donc
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRArX. 251
déduire, en général, trois nouveaux invariants Ip_i, I^^, Ip'*, et
trois seulement. Quelques-uns de ces invariants peuvent disparaî-
tre ; si, par exemple, l'invariant \p est ésral à une intégrale de dif-
férentielle totale, on a Q'p = Q'p-i=o, I^_^i et l^' ^ sont nuls. Si
l'invariant Ip est attaché aux trajectoires, ûp_i = o, Ip_i et Ip'
disparaissent. Enfin, si l'on a ûp_t = o, û'^ = o, les trois invariants
que l'on déduit de Ip sont identiquement nuls. Les théorèmes
énoncés à la fin du paraerraphe précédent sont évidents sur ces for-
mes réduites. On voit de même que tout invariant Ip_i peut se
déduire, d'une infinité de manières, par l'opération (E), d'un inva-
riant Ip, et que tous ces invariants I^, ne diflfèrent de l'un d'eux que
par un invariant d'ordre p attaché lui-même aux trajectoires.
Ejcemple. — Supposons que le système (34), où n = 2/), admette
l'invariant intégral
î^= j j cLjCydXi + dxzdXi + ... -f dxip—idxtp ;
l'invariant que l'on en déduit par l'opération (E) est un invariant I^*',
qui a pour expression
'■■'=/
ij' " =r I X,dXi — Xsrfxi + ... -f Xyt—idxtp — Xipdxjp-i.
La forme de Pfaff qui est sous le sis^ne intégral doit être une diffé-
rentielle exacte, ce qui exige que le système (34) soit un système cano-
nique (cf. n^ 58).
Remarque I. — D'un invariant relatif Jp= / w^, qui n'est pas
une intégrale de différentielle totale, on déduit un invariant inté-
gral absolu Ip_j_i = I fû'p. Si cet invariant L_i.i n'est pas attaché
aux trajectoires, on en déduira par l'opération (E) un invariant I^'*.
D'un invariant intégral relatif, 00 peut donc toujours déduire un
invariant intégral attaché aux trajectoires.
252 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Lorsque l'invariant / w'^ est attaché aux trajectoires, on peut
dire que l'invariant lui-même J^ est attaché aux trajectoires. Con-
sidérons en effet une multiplicité Ep_^.^ limitée par une multiplicité
fermée E^, et sur chaque trajectoire issue d'un point de E^^^ pre-
nons un point à volonté. Le lieu de ces points est une multipli-
cité E'^^j limitée par une multiplicité E'^, dont chaque point est
situé sur une trajectoire passant par un point de E^, et inverse-
ment. L'invariant / w'^ étant par hypothèse un invariant
Ip!|_^i, les deux intég-rales étendues à E^+i et à E'p-^-i sont égales ;
il en est donc de même des deux valeurs de l'intégrale J^ étendue
aux deux multiplicités E^ et E'^,. Il s'ensuit que J^ est un invariant
intégral relatif pour tous les systèmes d'équations différentielles
que l'on obtient en multipliant les fonctions X/ par un facteur
arbitraire k{xi, x^, . . ., x^.
Remarque II. — II est aisé de reconnaître si un invariant intégral
\p :=■ l Mp peut être ramené à la forme / ilp—\dz avec un système de
variables canoniques. Soit
/ Mp—\ = / ilp -1
In-1
l'invariant qu'on déduit de Ip par l'opération (E). Avec les variables
canoniques, on voit immédiatement que l'on a Mp=i Mp—idz. Il faut
donc que la for/ne fop soit, le produit de la forme Mp-i par une différen-
tielle exacte.
Cette condition nécessaire est aussi suffisante. En effet, si l'intégrale
/ Wp est un invariant intégral, on a
Mp = Op -]-<lp-idz,
£lp et £lp-\ ne renfermant que les variables yi et leurs différentielles.
La forme wyj_i qui figure dans l'invariant \p~i est égale à £lp—\ ; pour
que WjD soit divisible par Mp—i, il faut donc que Q.p soit divisible aussi
par %)-!, et l'on a
Mp-=. Mp—i{dz + rii),
rii étant une forme de Pfaff en r/yj, ..., di/n—i. Si la forme linéaire
dz -f- rii est une différentielle d{z -\- 4>), il suffira de remplacer z par
z + ^.
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 253
63. Relations entre les invariants et les intégrales. —
La connaissance d'un invariant 1^= 1 up d'un système d'équa-
4.'
lions difiFérentielles
(39) i|i-=...=^ = </,.
OÙ les dénominateurs X/ ne dépendent pas de /, permet en géné-
ral de simplifier le problème de l'intésTration. Soit n — r la classe
de la forme w^ ; si on ramène cette forme à une forme réduite où
ne fig-urent que n — r variables, ^i, y^, ..., i/n—r et leurs différen-
tielles, nous avons vu (n** 60) que^i, y*, ..., j/n-r sont des intégra-
les distinctes du système (Sg). La détermination de ces n — r fonc-
tions exige l'intégration d'un système de n — r équations aux
différentielles totales complètement intégrable, et nous avons vu
les simplifications qui pouvaient se produire dans Tintéarration de
ce système. Dans le cas le plus défavorable, où /*= i. et où w est
une forme dérivée, on a vu que l'on peut toujours achever l'inté-
gration du système S' associé à la forme w^ par une quadrature,
si l'on connaît 72 — 2 intégrales distinctes. La connaissance de
l'invariant I a>^ offre donc le même avantage que la connaissance
d'un multiplicateur.
Après ces généralités, nous allons examiner en détail quelques
cas particuliers. Soit M un multiplicateur du système. L'invariant
I„^ / yidjCi . . . djCn est un invariant I„, mais il ne peut être un
invariant I*. car la forme sous le signe Intégral est de classe n.
En lui appliquant l'opération (E), on obtiendra donc un invariant
ln-1 = / '^n-U
qui est nécessairement de classe n — i. Cet invariant n'est autre
que l'invariant / Mûn_i considéré au n* 57 .
Pour déterminer les n — i intégrales de l'équation yiQ.n—\df=o,
254 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
nous avons vu qu'il suffisait de connaître n — 2 intégrales dis-
tinctes, et la dernière s'obtient par une quadrature.
La simplification est la même si l'on connaît un invariant
l^_i, car un invariant de cette espèce est de la forme MQ,i_i, où M
est un multiplicateur. Supposons en second lieu que l'on connaisse
un invariant \n—\ = I f^/j— 1 qui ne soit pas attaché aux trajectoi-
res. Nous avons vu (n» 57) que les équations
O)n-idf=0, X(/)=0
forment dans ce cas un système complet; on aura donc n — 2
intég-rales premières du syst"^me (89) par l'intég-ration de ce sys-
tème complet.
Au lieu d'opérer ainsi, on pouvait d'abord déduire de hi-i un
invariant 1^_2 = / w,j_2, et ramener ensuite la forme ««-2 à une
l^_2 = / W;j_2,
forme réduite. Mais il est à remarquer que les calculs sont au fond
identiques. Supposons en effet que l'on ait pris un système de
variables canoniques; avec ces variables, o)n—i et w«-2 ont les for-
mes suivantes
Oin-i = Un-i -\-Un-2dz, w,i-<2=^n—'2,
U/i-i et Un-2 ne renfermant que les variables i/i et leurs dift'éren-
tielles, tandis que l'équation X(/") = ose réduit à -^ = 0. Les deux
systèmes
(4o) oin-idf=o, X(/) = o,
(40') 0)^-2^/= o, X(f) = o,
sont donc identiques, puisqu'ils s'écrivent avec les variables cano-
niques
Un-2df=o, |7 = o-
Supposons que l'on ait déterminé n — 2 intég'rales distinctes
fil fît ...^fn—2 du système (4o'). Si la forme w,t_2 est de classe n — i
on peut l'écrire
^ w«_.2 = Yd/^df-i, . . . dfn-2,
CHAPITRE V. — INVARIANTS INTÉGRAUX. 255
et le coefficient F, qui s'obtient par un simple calcul d'identifica-
tion, est une nouvelle intégrale du système (Sg). Si w„_o est de
classe « — 2, il est clair que l'on ne peut déduire la dernière inté-
g'rale du svstème (2*)) de la connaissance de cette forme.
Le calcul est évidemment le même si l'on connaît directement un
invariant I^j_2. D'une façon g-énérale, supposons que l'on con-
naisse un invariant 1»= i ^p, où la forme wp admet r diviseurs
linéaires distincts d/i, ..., d/r, de sorte que l'on peut écrire oip
comme un produit symbolique
U)p = Çldfi . . . d/r,
la forme Q n'admettant plus de diviseur linéaire qui soit une diffé-
rentielle exacte. Les deux équations
oi^df=o, X(f) = o
admettent encore les r intég-rales distinctes y*!, ...,fr, que l'on
obtiendra par l'intégration d'un système complet, facile à former
en partant de w^. Le procédé même permet de reconnaître si- la
forme w^ admet des diviseurs de la forme voulue, et d'en détermi-
ner le nombre sans aucune intég'ration (n'' 25).
Nous examinerons encore le cas où l'on connaît un invariant
intégral absolu du premier ordre du système (89)
Il =' I "1= I \dx^ + ... + kndxn-
Nous pouvons reprendre le raisonnement du n" 62 en supposant
p=z i ; la multiplicité Ep_^ se réduit alors à un point, et l'on en
conclut que l'opération (E), appliquée à la forme wi, conduit à un
invariant intégral cFordre zéro, c'est-à-dire à une intégrale du
système (89)
A,X,-t- ... +A„X« = Gte;
c'est au fond la méthode même de H. Poincaré pour établir ce
théorème déjà cité plus haut (n*' 58).
256 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Le résultat est illusoire si AjXj -j- ••• 4- A«X« se réduit à une
constante K. Si cette constante est nulle, l'invariant considéré Ii
est un invariant I^, et il suffira de ramener m^ à une forme cano-
nique, ou, plus simplement, d'intég-rer le système Sa correspon-
dant (n** 6) pour avoir c intégrales distinctes du système (89), si
la forme wj est de classe c. ,
Si la constante K n'est pas nulle, considérons le système auxi-
liaire k n -\- 1 inconnues, x^, ..., œn, Xn+i,
Il est évident que l'intégrale
r= I X^^dx^ + ... + AndX/i — KdXn-\-i
est un invariant intégral attaché aux trajectoires pour ce système,
d'après la relation lA/X/ — K=o. Il suffira donc de ramener
w^ — Kdxn+i à une forme canonique pour avoir des intégrales de
ce système auxiliaire (89').
Supposons d'abord w^ de classe paire 2/9 ; on peut alors, par un
changement de variables, la ramener à la forme canonique
^idyi + ••• -^ ^pdi/p.oày^, ...,y^,£^, ..., 5^ sont 2/> fonctions distinc-
tes des variables x^, x^, ..-, x,i. On aurait donc pour la différence
w^ — Kc/a?«-fi la forme canonique
z^dij^ + ... + Zpdyp — Kdxn^u
et Xn-{-i serait une intégrale du système (89'), ce qui n'a pas lieu.
Il faut donc que w^ soit de classe impaire 2p -\- \ \ elle admet
alors la forme canonique
z^dij, -f- . . . + zpdijp + dijp^\,
les variables i/i, Zk ne dépendant que de x^, ..., Xn, et w^ — Kdxn-\-\
admet aussi la forme canonique
z^dy^ + • •• + Zpdyp + r/(^p+i — Kaî^+i).
Le système (89') admet donc les 2/> -f i intégrales
yi = Ci, Zi = C'i, yp^i — Kxn+i=Cp^i, (/= i, 2, ...,/>),
CHAPITRE V. INVARIANTS INTÉGRAUX. 257
et par suite le système (89) admet les 7.p intég^rales
yi = L/, Si = L I,
et une intégrale première, qui renferme le temps,
yp+i — ^f=^p+i'
Remarquons qu'il n'est point nécessaire, pour avoir ces inté-
grales premières, de ramener <^)^ à une forme canonique. Nous
avons vu en effet (v9 5) que, si l'on a intégré le système S^ associé
à cette forme, il suffit d'une quadrature pour ramener Wj à la
forme
^'idyi + V^t/y, + ... + Y.pdi/^^ + rf^jp+i,
Yj, Yj, ..., Yjp ne dépendant que de ^j, y,, ..., y^^. Les nouvelles
variables yi,yi, ■•■il/ip+i sont des fonctions des variables x^, ..., J?/»,
qui s'obtiennent par l'intégration du système S^ et une quadrature.
Les 2/> équations y/i^C/ représentent alors des intégrales premiè-
res du système (Sg), et la dernière intégrale, qui renferme le
temps est y^p+i — Kt = G,p+i.
Supposons enfin que l'on connaisse un invariant relatif
J^= I Wj. qui ne soit pas une intégrale de diflFérentielle exacte,
du système (Sg). L'intégrale 1 w/ est un invariant absolu Ig du
même système. En lui appliquant l'opération (E), on en déduit un
invariant absolu du premier ordre (n° 61), 1-2 "^^ / ^i- La forme
de Pfaff m^ doit être une différentielle exacte df, et les dérivées
vérifient la relation SXj-=^::=o, puisque cet invariant est un
invariant If. La fonctiony est donc une intégrale du système (39),
et par conséquent de tout invariant relatif du premier ordre du
système (3g) on déduit, par une quadrature, une intégrale de ce
système (*). La méthode s'applique aussi à un invariant absolu I^,
mais l'intésrrale à laquelle on est conduit est identique à l'intégrale
de Poincaré SA,X,-.
(') Journal de Mathématiques (4* série), tome JV, igoS, p. 356.
Probl. 17
2o8 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Ce résultat est illusoire si l'invariant / w/ est un invariant L'*.
/"''
Si la forme w/ est de classe 2/), il suffira d'intégrer le système S'
associé à cette forme pour avoir ajo intégrales du système (Bg). Or,
le système S' est ici identique au système Sj (n*^ 5) associé à la
forme w^ (*).
Remarque. — Soit I* = | wp un invariant intégral du système (Sg)
de classe r<^n — i ; si on sait intégrer le système S + S' relatif à la
forme Wj,, on peut, par un changement dé variables, exprimer cette
forme au moyen de r variables seulement yi, ya, . . ., yr et de leurs
différentielles. Le même changement de variables, appliqué au sys-
tème (89), conduit à un système admettant les intégrales i/i, 1/2, .. ., yr,
et qui est, par conséquent, de la forme
(39") '^=...^'^=.$^=...=-$^=.dt.
^ ^ ' ir+i in
/•
Il est clair que la connaissance d'un invariant intégral I cop, où eop
s'exprime uniquement au moyen de yi, . . ., i/r, di/i, . . ., dyr, ne peut
être d'aucune utilité pour l'intégration du système
/,,^ dyrj-i_ _ dyn _,
Mais si l'invariant 1* a été déduit par l'opération (E) d'un inva-
riant lp-\-i = / Mp-\-i, après le changement de variables, la forme wp-j-i
ne s'exprimera pas uniquement au moyen des variables yi, y^, . . -, yr,
et de leurs différentielles, et on pourra en déduire un ou plusieurs
invariants intégraux pour le système (4i). Je renverrai pour ce sujet
aux Mémoires déjà cités (^).
(») Ibid., p. 353.
(*) Journal de Mathématiques (7" série), tome l,p. 252. Annales de la Faculté
des Sciences de Toulouse, t. VII, igi5, p. 38-^5.
CHAPITRE VI
CLASSE D'UN SYSTÈME DE PFAFF. CARACTÉRISTIQUES.
Les systèmes les plus généraux d'équations de Pfafif ont d'abord
été étudiés par Biermann (*), qui s'était proposé de rechercher
l'ordre maximum des multiplicités intég-rales, en supposant qu'il
passe une de ces multiplicités par chaque point de l'espace. Il a
trouvé ainsi, lorsque les coefficients sont quelconques, que ce
nombre maximum est égal au quotient, à une unité près par défaut,
du nombre total n des variables par le nombre r des équations
ausrmenté de l'unité. Différents géomètres ont repris depuis lors
l'étude du cas srénéral, sans arriver d'ailleurs à une démonstration
entièrement rigoureuse du théorème précédent. Des résultats plus
précis ont été obtenus ensuite par Engel, von Weber, et surtout
par Cartan (*), qui a donné une méthode générale pour trouver
dans tous les cas l'ordre maximum des multiplicités intégrales non
singulières. Nous exposons dans les chapitres suivants les prin-
cipaux résultats de Cartan. •
64. Généralités. — Considérons un système de r équations
linéaires par rapport aux difiFérentielles dx^^, dx^, •.., dx„,
iWj = X^^^dx^ -(- Xj26^J?2 + • • • + X^ndXn = O,
Wj^Xji^JJi + Xjjf/j?, -f- . . . -f- X,ndXn = 0,
Wr= XridXi -f- Xpidx^ -f • . . + XrndXn = O,
dont les coefficients Xik sont des fonctions analytiques ; dans cer-
(•» Uelter n simultané Differentialgleichungen der Form Y-X dx zz. oiSchlôm.
Zeitschrift, t. XXX (i885), p. 23S-2U).
(*) Sur l'intégration des systèmes d'équations aux différentielles totales (Anna-
les de l'École Xormale, 3* série, t. XVIII, igoi,p. 2^i-3ii).
Voir aussi : F. EIsgel. Berichte Ges. Leipsig (t. XLI et XLII, 1 889-1 890) ;
Remarques ajoutées à une nouvelle édition de V Ausdenungslehre de H. Grass-
mann (Leipzi?, 1896), p. 479-
E. VON Weber. Berichte Ges. Leipzig (t. L et LU, 1898-1900) Sitzangsberichte
Akademie Mûnchen (t. XXV et XXX : 1895-1900). Afathematische Annalen,
t. LV (190a).
260 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
tains cas, il suffit de supposer que ce sont des fonctions continues
des variables x^, x.^, ...^Xn, admettant des dérivées continues,
tout au moins dans certains domaines de l'espace à n dimensions.
Nous appellerons encore élément, linéaire intégral de ce système
tout élément linéaire (dx^, dx^, ...,dxn), issu d'un point (x^,
x^, ..., Xn), pour lequel les </j?/ vérifient les équations (i). Une
multiplicité intégrale du système est une multiplicité ponctuelle
de l'espace à n dimensions dont tous les éléments linéaires sont
intégraux. Si cette multiplicité M„_/, est définie par p relations
distinctes
(2) /i(Xi, . . ., a?n) = o, fp{x^, . ..,Xn)—o, {p<n),
les équations du système (i) doivent être des conséquences des
équations (2) et de celles qui s'en déduisent entre les dxi,
(3) dJ\ = o, ..., dff,^o.
Lorsque les coordonnées {x^^, x^, . . . , Xn) d'un point de M„_p sont
exprimées au moyen de p = n — /) paramètres h^, u^, . . ., a , '
les équations (i) devront être vérifiées identiquement quand on y
remplace Xi par cf, et dxi par -' du^ + • • • + '' du , et les fonc-
tions cpj, cp^, . . ., On doivent vérifier le système de rp équations aux
dérivées partielles ainsi obtenues.
On peut toujouis supposer que les r équations du système (i)
sont linéairement distinctes; c'est ce que nous ferons désormais, à
moins de mention formelle. On a donc r-^n; si r = n, les équa-
tions (i) donnent dx^ = 0, . . . , dxn = o, et n'admettent pas d'inté-
g-rales, sauf peut-être des multiplicités dont tous les points annu-
lent le déterminant des coefficients Xih Q). Si r ::= n — i, le
(') Les équations (i) sont supposées linéairement distinctes, c'est-à-dire que
tous les déterminants à r lignes du tableau
; Xii,Xi2, . . ., Xin
X2i,X22> . • ■ j Xsn
(t;
Xri,Xr2) . . .5 Xrrt
ne sont pas identiquement nuls. Soit M^^ une multiplicité ponctuelle à p
CHAPITRE VI. — CLASSE d'u>' SYSTÈME DE PFAFF. 261
système (i) est identique à un système de n — i équations diflFé-
rentielles ordinaires entre n variables ; il admet donc une famille
de multiplicités intégrales à une dimension dépendant de n — i
constantes arbitraires, et peut être, par un chansrement de varia-
bles, ramené à la forme
(4) ^/i = o dfn-i=0,
fi^fî-> '--ifri—ï étant n — I fonctions indépendantes des variables xi.
Lorsque r est inférieur k n — i, le système (i) admet toujours une
inBnité de multiplicités intésrrale- à une dimension, car on peut
adjoindre aux r équations du système n — r — i équations de même
forme à coefficients arbitraires, choisies de façon à former avec les
premières un système de « — i équations distinctes, c'est-à-dire un
système de n — i équations différentielles ordinaires. Ces intégra-
les dépendent de w — r — i fonctions arbitraires d'une variable. Si,
par exemple, le système (i) est résolu par rapport à ctr^, dœ^,...,dxr,
on peut choisir poura;r-|-i, ..., o^n- ides fonctions arbitraires de Xn,
et Xj, — Xr sont déterminés par un système d'équations différen-
tielles ordinaires.
Le système (i) peut être, d'une infinité de manières, remplacé
par un autre système de même forme admettant les mêmes inté-
grales. Posons en efl'et
Q,- = A,j<Oj + .. . 4- Vwr (/ = 1 , 2, ..., r),
les coefficients 'f^k étant des fonctions des variables x^, ..., Xnt
dont le déterminant est différent de zéro. 11 est clair que le sys-
tème
(i*) i2i = o, ..., Qr=o
admet les mêmes intégrales que le premier système et inversement.
dimensions, telle que les coordonnées de l'un quelconque de ses points
annulent tons les déterminants d'ordre o du tableau (T) (o^ r) ; les coor-
données d'un point quelconque de cette multiplicité peuvent s'exprimer au
moyeu de p paramètres a,, ...,Bj^ et en remplaçant .r,- et dxi par leurs
expressions dans les équations du système S, on est conduit à un nouveau
système de PfafF de o — i équations à p variables.
On pourrait opérer de la même façon pour obtenir les inté^ales du sys-
tème S qui appartiennent à une multiplicité donnée quelconque à moins de
R dimensions.
262 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
De pareils systèmes sont dits équivalents. En particulier, on peut
toujours remplacer un système de Pfaff de r équations par un sys-
tème de r équations résolues par rapport à r des différentielles dxi.
On s'est d'abord proposé de trouver le nombre maximum de
dimensions que peut avoir une multiplicité intégrale de S. Ce
nombre est évidemment au plus égal an — r, et ce maximum n'est
atteint que si S est un système complètement intégrable, tout au
moins quand il passe une intégrale k n — r dimensions par un
point quelconque de l'espace (n*^ 16). Dans le cas général, il sem-
blerait naturel de raisonner comme il suit. Si le système S possède
des intégrales M à p dimensions, on peut supposer n — p des varia-
bles XI exprimées au moyen des p variables restantes, x^^, •'•■,x
par exemple. Soient
Xi = <:ji(Xi,...,X^) (/=:p-|- I, ...,7l)
les équations de cette multiplicité. En remplaçant x , ..., Xn et
dx , ...,dxn par leurs expressions dans les équations (i), et en
égalant à zéro les coefficients de dxi, ..., dx , on a un système
P
de pr équations aux dérivées partielles pour déterminer les n — p
fonctions inconnues. En admettant que ces équations sont compa-
tibles, pourvu que leur nombre soit au plus égal au nombre des
fonctions inconnues, il faudra que l'on ait
rp<n — p, ou P<;n^'
pour qu'on puisse affirmer qu'il existe des intégrales à p dimen-
sions. Le raisonnement manque évidemment de rigueur, quoique
la conclusion soit exacte, lorsque les coefficients X;a: sont quelcon-
ques. Mais on n'obtient ainsi qu'une limite inférieure de la valeur
maximum de p.
Von Weber et Cartan ont étudié la question d'une façon beau-
coup plus approfondie, et obtenu des résultats très généraux.
Leurs recherches sont basées sur l'emploi de certains systèmes
covariants du système S.
CHAPITRE VI. — CLASSE DÏN SYSTÈME DE PPAFF. 263
65. Premier système associé. — Soit M^ une multiplicité
intég^iale (p> i) du système S : soient {dxi dx^), (8x1, ..., 8a?^)
deux éléments linéaires issus d'un même point (j?i, Xj. .... x^)i et
appartenant à cette multiplicité. Ces deux éléments linéaires
satisfont (n" 3) aux r relations
(5) ti)', ^ o, . . . , to'r= o,
bi'ii ayant la même signification que plus haut
w'f, = Bui/,(d) — d<o/i{^) .
Nous dirons encore que deux éléments linéaires intégraux (djci)
et (Bxi) sont en involution quand ils vérifient les r relations (5).
Les équations qui expriment que deux éléments linéaires sont
intégraux et en involution
( <^i(d)=o, . . .,wr((i) = o,
(6) < toi(5) =0, .... a)r(8) = o,
( w'i=0, ...,0}'r = O
forment le premier système associé à S. Les ar premières équa-
tions forment deux groupes de r équations distinctes, mais les r
équations de la dernière ligne ne sont pas toujours distinctes entre
elles, et quelques-unes peuvent être des combinaisons des premiè-
res, comme nous le verrons par la suite.
Le système (6) reste le même quand on remplace le système (1)
par un système équivalent. Si l'on pose en effet
(7) Qi = hi<»i + ... + >-/rWr. (/= 1 . 2, ..., r)
on en déduit
Û'/= aû/(«0 — dQi{B) = À/i5wj(c0 + . -.
-I- lir^u>r(d) + i»^{d)oli^ + ... + «r(rf)5A,>
+ (^r(d)iXr — Wi(8)cD.,i — ... — a)r(8)<A,>,
264 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
et les équations (6) entraînent les équations de même l'orme
(60 j iî,(5j=o, ..., S2,(8)=:o,
Inversement, si le déterminant des coefficients lik n'est pas nul, on
tire des relations (7)
(7') w« = p./iiii + ... 4- l^/riV («■= I, 2, ..., r),
les coefficients p.jft étant des fonctions de a^^, ..., Xn, et les rela-
tions (6') entraînent les relations (6).
Supposons de même que l'on effectue un changement de varia-
bles œi = (!^i{i/i, y 2, . . ., yn), et soient
Mi=:Yi^dy^ + ... + Yindyn
la nouvelle expression de la forme w; au moyen des nouvelles
variables. D'après la propriété d'invariance du covariant bilinéaire,
le système (6) est remplacé par le système de .même forme déduit
du système de Pfaff obtenu en faisant le chang-ement de variables
dans les équations ( 1 ). En d'autres termes, le système {G) est un cova-
riant du système de PJaff S, relativement à tout changement de
variables.
66. Caractéristiques. — Parmi les éléments linéaires inté-
graux issus d'un point, il y a lieu de distinguer ceux qui sont
en involution avec tous les autres éléments linéaires intégraux
issus du même point; ce sont les éléments caractéristiques.
Un élément caractéristique {dxi) vérifie d'abord les r équa-
tions (i) ; il satisfait en outre aux équations obtenues en écrivant
que les r équations (6) de la dernière ligne, considérées comme des
équations linéaires en Sx^, Sa?,, • • -, Saî„, sont des conséquences des
r équations de la ligne précédente qui, par hypothèse, sont distinc-
tes. Imaginons ces 2r équations ordonnées par rapport à ^Xi , ..., S,r„;
CHAPITRE VI. CLASSE D UN SYSTÈME DE PFAFF.
265
puisque les r premières sont distinctes, l'un au moins des déter-
minants d'ordre r déduit du tableau.
Xii Xj, ... x,„
X,, X,, ... x,„
X., ... X.
est différent de zéro. Soit
4- (a'^^dXi + a'^^dx^ + ••• + a'^ndxn)^x^ + ...
le covariant bilinéaire de w/. Pour que les r équations w'/ := o soient
des conséquences des r équations 6)/(8) = o, où Sxj, ..., ^Xn sont
regardées comme les indéterminées, il faut et il suffit que tous les
déterminants d'ordre r 4- i déduits des tableaux
Xa
X^t
X.
a\^dx^ + a'^^dx^-k- ...-}- a\ndxn, o^^^dx^ + a',2</j?2+ . • ■ + a'^ndxn..
soient nuls. On adjoint ainsi aux r équations w, i= o un certain
nombre d'équations nouvelles qui sont également linéaires en
dx^, dx^, ..., dx,^. Le système ainsi formé
(8)
i^{d)=o,...,oir{d) = o, n^{d) = o, ...,nj^d) — o
est le système caractéristique. Il est évident, d'après sa significa-
tion même, que c'est un covariant du système de PfafF relativement
à tout changement de variables.
Si le système de PfafF est résolu par rapport à r différentielles,
dXi, ..., dxr par exemple, on peut former plus simplement les
équations qui définissent les éléments caractéristiques, en portant
dans &)',, ..., m't les expressions de àx^, ^x^, ..., ^Xr tirées des
équations w,-(8) = o, et en égalant à zéro les coefficients de
8j?r+i, •••. 8j?n après la substitution. Le système (S) contient au
moins r équations linéairement distinctes, et il en contient au
plus n. S'il en contient n, ces équations n'admettent pas d'autre
266 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
solution que dxi = o, et il n'y a pas d'éléments caractéristiques.
Dans tout autre cas, il y a des éléments de cette espèce.
Quel que soit le système de Pfaff S, le système caractéristi-
que (8) est complètement intégrable.
Pour le démontrer, nous suivrons exactement la même marche
qu'au n^ 5. La proposition est évidente si le système contient n
ou n — I équations linéairement distinctes. Supposons que ce sys-
tème contienne seulement n — p équations linéairement dis-
tinctes (/)> i). On peut alors trouver, et d'une infinité de façons,
une famille de courbes caractéristiques (c'est-à-dire de courbes
dont tous les éléments sont caractéristiques), dépendant de /i — i
constantes arbitraires, de façon qu'il passe une de ces courbes par
un point arbitraire. Imag-inons que l'on ait effectué un changement
de variables tel que les équations de cette famille de courbes
caractéristiques soient
^i=Gi, ..., ^«_i = C„_i,
la variable ijn pouvant être choisie à volonté, pourvu qu'elle forme
avec y^, y^, . .., yn—i un système de n fonctions indépendantes des
premières variables. Le système (8) se transforme en un système
où ne fig-ure pas la difféi^entielle dyn, puisque ce système doit être
vérifié quand on y remplace y^^, y^, ..., yn—i par des constantes
quelconques. En particulier les équations du système de Pfaff (i)
ne contiendront pas dyn après la transformation. Supposons ce
système résolu par rapport à c^^j, dy^^ ..., dyr,
ai=zdyi—[Yi,r+idyr+i-\' ... -f Y/,„_iû??/n^i] = o (i= i,2,...,r).
Les relations
a'i = 8Y;, r+idyr+i + .. . -f 8Y/, n-\dyn-\
— dYi, r+i^yr+i — ••• — dYi^ n-\^yn-l = O
doivent être vérifiées par tous les éléments linéaires intégraux 8^'
du nouveau système quand on prend dyi = o, ..., dyn— i = o. Or,
le coefficient de dyn après cette substitution est, au sig'ne près,
&Yj, r+i s, , , îvY;, «_i 5;
CHAPITRE VI. — CLASSE d'uN SYSTÈME DE PFAFF. 267
il faudra donc que l'on ait
^yn ~^' ■■■' ^yn ~^'
et la variable yn ne fiarure plus dans le système de Pfaff après le
chang-ement de variables. Il est évident que les équations qui défi-
nissent les éléments caractéristiques ne contiendront elles-mêmes
que^j, y^, ..., yn—u dy^, ..., dyn—t, et formeront encore un sys-
tème de n — p équations linéairement distinctes, puisque ce sys-
tème se déduit aussi du système (8) par un changement de varia-
bles. Après p — I transformations de cette espèce, on sera donc
ramené à un système de n — p équations an — p -\- i variables,
c'est-à-dire à un système complètement intéarrable.
Pour donner une application de ce résultat, supposons que le sys-
tème de PfaflF S soit complètement intégrable. On peut alors, par
un changement de variables, le remplacer par un système équivalent
iij = dyi = o, ..., iîr = dyr ^= o ;
les covariants bilinéaires a'j, ..., fi'» sont nuls identiquement, et le
système caractéristique se confond avec le système de Pfaff lui-
même. Donc, pour un système de Pfaff complètement intégrable,
tout élément intégral linéaire est un élément caractéristique.
Réciproquement, tout système dé Pfaff, pour lequel cette con-
dition est satisfaite, est complètement intégrable. En effet, les
équations du système (8) se réduisent alors aux r équations du
système de Pfaff lui-même. Puisque ce sy.<;tème caractéristique (8)
est, on vient de le démontrer, complètement intégrable, il en
résulte que le système de Pfaff est complètement intégrable.
On peut encore énoncer cette proposition comme il suit. Pour
que le système de Pfaff (i) soit complètement intégrable (•), il
faut et il sujfit que les r équations w'j = soient vérifiées par deux
systèmes quelconques d'éléments (dxi), {Bxi) qui vérifient res-
pectivement les 2r équations «^(rf) =o, w/,(à)=zo.
Nous appellerons dans la suite variable caractéristique toute
(') Cette condition a été donnée par Frobkxics sous une forme équivalente
{Journal de Crelle, t. LXXXII, 1887, p. 3/6). Il est aisé de voir que le dernier
énoncé s'applique aussi au cas où les r équations du système de PfaflF ne
sont pas linéairement distinctes.
268 LKÇONS SUR LE PROBLÊME DE PFAFF.
intégrale du système caractéristique, multiplicité caractéristique
toute multiplicité dont tous les éléments linéaires sont caractéris-
tiques. Si le système (8) se compose de y<; « équations linéaire-
ment distinctes, les multiplicités caractéristiques d'ordre maximum
sont an — y dimensions, et toutes les multiplicités caractéris-
tiques d'ordre inférieur an — y s'obtiennent en prenant une mul-
tiplicité arbitraire sur une multiplicité caractéristique d'ordre
maximum.
67. Classe d'un système de Pfafif. — La classe d'un sys-
tème de Pfaft" est le nombre minimum de variables que l'on puisse
laisser figurer dans les équations de ce système par un chang-e-
ment de variables convenable, deux systèmes équivalents étant
reg-ardés comme identiques. La classe est égale à l'ordre du
système caractéristique (cf. n" 14), c'est-à-dire au nombre des
équations linéairement distinctes du système (8). Supposons en
effet que ce système renferme y équations linéairement distinctes
(r-^y<^n). Comme il est complètement intég-rable, nous pouvons
supposer qu'on ait pris un système de variables indépendantes
(yj, y 2, ..., yn) tel que le système caractéristique soit équivalent au
système >
dy 1=0, ..., dy^^ = o.
Après ce chang-ement de vai^iables, dy ,^, ..., dyn ne doivent pas
figurer dans les équations du système de Pfaff' transformé, puisque
l'élément linéaire (dyi==-o,...,dy=^o^dy,^,...,dyn^ est un
élément intégral, quels que soient dy ,^, .. ., dyn- Si nous sup-
posons le système de Pfaff' résolu par rapport à r différentielles,
dy^, ..., o?yr par exemple,
dyi = Y,-, r4 1 dyr+i -i- . . . +Y .^dy^, {i =1,2, .. ., r)
on démontrera comme au paragraphe précédent que les coeffi-
cients Yi^r-{-i, •■', Y. doivent être indépendants de y^tJ, ■••, yn,
et par suite les équations du système transformé ne renferment
que les y variables //j, . . . , y , et leurs différentielles.
CHAPITRE VI. CLASSE d'cN SYSTÈME DE PFAFF. 269
Oa ne peut -mettre le système de PfafF sous une forme où figu-
rent moins de y variables. En efiFet, si, par un chansreraent de
variables convenable, on a mis le système de Ptaff sous une forme
où fig-urent seulement q variables z^, z^, ..., Zq et leurs différen-
tielles, les équations du système caractéristique, qui sont linéaires
en dz^, dz^. ...,dzq, contiendront au plus (f équations linéaire-
ment distinctes. On ne peut donc avoir </<Ct-
Si, en procédant de deux façons différentes, on a mis le système
de Pfaff sous deux formes équivalentes, l'une ne renfermant que
les y variables (i/i, y^, ..., y,) et leurs ditTérentielles, l'autre ne
renfermant que y variables /r^, z^, ...,z \et leurs différentiel-
les, le système caractéristique peut lui-même être mis sous les
deux formes équivalentes
dy^ = o, ..., dy,^ = o,
ou
^^1=0, ..., dz^=o.
Il en résulte que 2^1, -», -.-^z, sont des fonctions de y^yy^, ...,y ,
et l'on passe d'une des formes du système de Pfaft à l'autre par un
simple chanarement de variables effectué sur y variables seule-
ment. Lorsqu'un système de Pfafi' de classe y a été mis ainsi sous
une forme où n'entrent que y variables et leui's différentielles,
nous dirons qu'il a été ramené à une forme réduite. 11 suffit, pour
mettre un système sous forme réduite, de prendre pour variables
indépendantes un système de y variables caractéristiques dis-
tinctes.
Dans le cas où y = «, toutes les variables sont caractéristiques,
et l'on ne peut diminuer le nombre des variables qui fig-urent dans
les équations du système. Si '{=r, nous avons vu que le système
est complètement intégrable. On ne peut supposer y = r-|- i. En
effet tout système de r équations de Pfaff où fig'urent seulement
r + I variables est complètement intégrable, et par suite de classe
r. Le cas le plus simple, après celui des systèmes complètement
intég'rables, est donc celui oùy=r + 2, qui sera étudié plus
loin (chap. VII).
Les théorèmes établis plus haut sur les multiplicités caractéris-
270 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
tiques d'une équation de Pfaff s'étendent immédiatement aux sys-
tèmes de Pfafî, et s'établissent de la même façon (n" 17).
Le lieu des muliipliciiés caractéristiques d'ordre maximum
passant par tous les points d'une intégrale M d'un système de
Pfaff est une nouvelle intégrale M' dont l'ordre est au plus égal
àp + y.
Les multiplicités intégrales d'ordre maximum sont engendrées
par des multiplicités caractéristiques d'ordre maximum.
La définition du rang d'une fonction y(a?j, x^^ ..., Xn) relative-
ment à une forme de Pfaff (n** 11) s'étend sans difficult à un sys-
tème d'équations de Pfaff. On dit qu'une fonction y est de raujo;- p
relativement à un système de Pfaff S lorsque, en établissant entre
les variables Xi et leurs différentielles les relationsy=C, dJ'=zo,
le système S se chang-e en un nouveau système de classe y ■ — p.
On voit im.médiatement que p est nul si y n'est pas une intégrale
du système caractéristique, et que p est au moins ég-al à un, si/
est une intégrale de ce système. Mais le nombre p peut être supé-
rieur à un. Prenons par exemple le système de classe cinq
les fonctions x^, x^, Xr, sont de rang- /ro/.s, tandis que x^ et ic^sont
de rang- un. La proposition suivante S(> démontre de la même façon
que le théorème analog-ue relatif aux formes symboliques (n" 38).
Le rang d'une Jonction f relativement à un système de PJaff S
est égal à y — yj + i, y étant la classe de S, yj la classe du sys-
tème Si obtenu en adjoignant l'équation dj'= o au système S .
D'une façon g-énérale, supposons que l'on ait obtenu p intég-ra-
les y, ...,/'jjda système caractéristique. Si l'on fait un chang-e-
ment de variables de façon que ces intég-rales soient/» des nouvel-
les variables y^, •■•, y^, par exemple, le nouveau système de Pfaff",
où l'on fait yi = Ci, dyi=o, est au plus de classe y — p, mais il
peut être de classe inférieure. Par exemple, si ce nouveau système
est de classe r, il sera complètement intég"rable.
On peut aussi quelquefois simplifier l'intég-ration du système
caractéristique, à l'aide de certains systèmes covariants. On en
verra un exemple plus loin (n*' 76, p. 3ii).
CHAPITRE rt. — CLASSE d'uî» SYSTÈME DE PFAFF. 271
Exempte. — = Soit Sa un système de deux équations de Pfaff à
cinq variables,
i (ù^ = A^dœ^-\- Afdx^+ ... + A^dx^ = o,
^ l 0),= B^dx^ + B^dx, + ... + Bjrfxj = ;
nous supposerons, pour fixer les idées, que l'on peut résoudre ce
système par rapport à dx^ et dx^. Dans les covariants w'j, w'g, on
peut remplacer dx^, dx^, 6x^, 8x5 par leurs expressions tirées des
équations &>,•(</) = 0, ci>,-(8)=o, et l'on obtient deux conditions de
la forme ci-dessous pour que deux éléments linéaires intégraux
soient en involution :
b)\=Ci{dx^6x^ — dx^àXf) 4- Cf^dx^^i — dXi^x^)
+ C^i^dx^^x^ — dx^ùXi)=o,
oi'^=D^{dx2^X3 — dx^Bx^) + D^{dx^6xi — dx^Bx^)
-\- D3{dx^6x^ — dXi^Xi)=o.
Considérons (dxi, dx^, dx^), (Sx^, Bxg, 8x3) comme les coordon-
nées homosrènes de deux points m, a d'un plan, et soient Pi. P^les
points de ce plan de coordonnées (C^, Gj, G3), (D^, Dg, D3). La
relation w', =0 exprime que les points m, u., P, sont en ligne
droite, et la relation <i)'2^o exprime que les points aw, a, P, sont
en ligne droite. Pour qu'il y ait un élément caractéristique, il faut
et il suffit que les deux points P^, P^ soient confondus, ou que Ion
ait
Cj Cj Cj
le système est alors de classe quatre. Il en est ainsi en particulier
si l'une des équations bi\ = o, fc)'j=o est vérifiée identiquement.
Si les deux relations sont vérifiées identiquement, le système est
complètement intégrable (voir n*' 65).
Considérons en particulier le système
( wj = dv + Arfa -f Brfa; -{- Cdy =. o,
( Ui=: dw + Aidu + Bido; + Cidy = o.
272 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
où les coefficients A, B, C, Ai, Bj, Ci sont des fonctions des deux
variables x,y seulement. On a
w'i = ^^— — ~ j {dxBij — dijSx) — ~ {dySu — dhSij)
-\ (duSx — dxSu) := o,
tyx
W 2 ■
^Bi DCi
3y Djî
j {dxSij — dijS.T) "^ [dijSu — duSy)
-\ {duSx — dxSu) = 0.
Pour qu'il y ait un élément caractéristique, il faudra que l'on ait
DB ?C OA 5A
d^y 7>x __ ^y ^x
~Sb[ »Ci "'âÂ^~5Â7 '
d^y ?yx Tyy ^x
D(A Al) .
Il faut donc que le iacobien J, , ' — ^ soit nul. Si A et Ai se rédui-
,, . , »A DAi DA DAi
sent a des constantes, les quatre denvees , , , sont nul-
îsx î>x ^y î^y
les et le système caractéristique se réduit aux quatre équations
dx = o, i^!/ = 0, dv -\- Adu = o, dw -\- X^dii = o,
et le système est de quatrième classe, à moins que l'on n'ait en même
m dc ?Bi aCi , ,
temps = , =: — — , et le système est alors complètement
' :^y ^x :>y :^x '' *^
intégrable.
Supposons que l'on ait Ai =: y(A), A n'étant pas constant et dépen-
dant de la variable x par exemple. Le système sera de quatrième
classe si l'on a
DBi :>Ci
3y ^Jî
68. Application des formes symboliques. — On peut pré-
senter les résultats qui précèdent sous une forme un peu plus
g-énérale, en utilisant les résultats et les notations du chapitre III.
Etant donnée une forme symbolique il de degré quelconque/) en
dxi, ..., dx^^ soient wi, wg, ..., w„ n formes de Pfaff linéairement
distinctes en dx^^, ..., dx^; la forme a peut s'exprimer par un
polynôme symbolique de degré/) en w^, Wg, ..., w^^. Rappelons
encore la notation suivante. Soient i2 et II deux formes symboli-
CHAPITRE VI. — CLASSE d'uN SYSTÈME DE PFAPF. 273
ques de même degré, et w,. w^, ..., w^ des formes de degré quel-
conque, dont chacune est de desré inférieurou au plus égal à celui
de il. Si l'on peut trouver de nouvelles formes r.^, ...^tz^ telles que
l'on ait identiquement
Dous écrirons cette relation sous forme de cong-ruence
iï ^ n (mod. Wj, Wg, .... w ) ;
il est clair que la congruence précédente entraîne la suivante,
n'z^Il' (mod. Wj, ..., Wp, w'j, .,,, (u'j,),
d'après la règle qui donne la forme dérivée d'un produit symboli-
que (n» 26).
Supposons en particulier que o soit le covariant bilinéaire d'une
forme de PfafiF w, et que w^, w,, ..., w^ soient aussi des formes. de
Pfaff.
La congruence
w'^o (mod. w^. Wg, ..., w_),
équivalente à l'égalité
w' = ';r,fc)j + -gtoj + ... 4- Tî^Wp,
où -îîi, iTj, ..., it sont de nouvelles formes de PfafiF, exprime que
deux éléments linéaires quelconques {dx^^, dx^, ..., dx^, (^ar^,
Sjîj, ..., 8ar„) satisfaisant aux relations
(ùi{d)z=0, w,-(8)^o, (/= I, 2, ...,/j)
sont toujours en involution relativement à l'équation b) = o. En
effet, le produit symbolique T.^w^ par exemple représente la diffé-
rence des deux produits
6>,(t/)rj^o)— o>i(5jîîi(É0,
et par suite ce produit symbolique est nul si l'on a à la fois
b)j(£/)^o, Wj(8) = o. Il en est évidemment de même des autres pro-
duits ti>j-rc,-.
Cela posé, soit S un système de Pfaff de r équations
ti»j = o, w^^o, ..., wr = o;
G. Pmb. ' 18
274 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
aux r formes ojj, Wg, ..., Wr adjoig'nons p = n — /* formes nouvel-
les Tn^, TOj, ..., ro^, de façon que les r + p=:n formes w,-, to^ soient
linéairement distinctes. Toute forme symbolique il de degré quel-
conque, et en particulier tout covariant bilinéaire w';, peut s'expri-
mer symboliquement au moyen de ces n formes. Si l'on réunit
ensemble les produits symboliques où ne fig^urent que les formes
TTJ^, njg, ..., ra„, le covariant w'/ peut s'exprimer de la façon sui-
r
vante,
w'j = TT/^OJ j + . , . -f TiirOir + ^ Ai/i/cW/iW/^, (/i, A^ = 1 , 2 , . . . , p)
h,k
les -Kiii étant d'autres formes de Pfaff, et les coefficients Aihk étant
des fonctions des n variables .X'/. Nous écrirons ces ég-alités sous
forme de cong-ruences,
w' i ^2^Aih/crshm/c (mod. o)j, Wg, ..., Mr), {î = I, 2, ..., r).
h,k
Dans les paragraphes précédents, nous avions supposé que les r
formes w^, w^, ..., w^ étaient linéairement distinctes relativement
aux différentielles dx^^, ..., dxr, et nous avions pris T!Tj = ûfiCr+i,
.... 7CT =dxn, mais il n'est pas nécessaire que ces formes auxiliai-
res nr^, T02, ..., w soient des différentielles exactes. Il suffit qu'elles
forment avec w^, . . ., w^ un système de n formes linéairement indé-
pendantes. Tout système de valeurs de TOj, tsj' •••' ^p définit un
élément intégral du système de Pfaff. Pour que deux éléments
linéaires intégraux {dx^, dx^, ..., dxn), (Sa?^, ..., ^Xn) soient en
involution relativement au système, il faudra, d'après une remar-
que antérieure, que l'on ait les r relations
2 Aihk \ ■^h{d)TSk{P) — T^h{d)T^hi^) ? = o (i = 1 , 2 , . . . , r) .
h, k ^
Cherchons encore comment seront déterminés les éléments carac-
téi'istiques. La forme symbolique
Zj Aihk^h^k
h,k
CHAPITRE VI. — CLASSE DUN SYSTÈJIE DE PFAFF. 275
étant de rang- pair 2v peut être ramenée à une forme réduite
K 32)
n,n2 + rijn^ + ... -î- n^.,_in^.,,
rii, Ilg, ..,,112, ét^ïit 2v formes linéairement distinctes qui s'expri-
ment linéairement au moyen de.cij, ..., cr^. Tout élément intéarral
(rfx^, ..., djc^) qui satisfait aux 2v relations
n, t=o, ..., n^,.^=: o
est en involution avec tous les éléments linéaires intéerraux du
système relativement à Téquation a)/= o. En efifet on a
nin^ = ni(d)ni{o) — n,(d)ni{ù)=o,
quel que soit l'élément intégral {^Xi, ..., ^x^)- Inversement, soit
(5xi, ..., 8x„) un élément linéaire intégral quelconque du sys-
tème, nj(8), .,., ri,.^(à) ont des valeurs arbitraires pour cet élément,
et le polynôme symbolique
n.n, + ngn^ + ... + n..,.!»,.,
ne peut être nul quel que soit cet élément intégral que si Ton a
n,{d)=o, ...,n,,(^)=o.
On a démontré antérieurement (n" 32) que les 2v équations 11,= o
sont équivalentes aux équations
y. A/iA-TOA: = O , ^ Aj2AI!JA- = O, . . . , ^ A,oA-TîJA- = O .
A- A- A-
En faisant successivement i=i,2 /•, ou obtient un sys-
tème d'équations qui déterminent les éléments caractéristiques.
Pour qu'un système de Pfaff soit complètement intégrable, il faut,
et il suffit que tous les éléments linéaires intégraux soient carac-
téristiques, c'est-à-dire que tous les coefficients Aja/i soient nuls. On
a alors les r congruences
wV^o(mod. W), wj, . . . , (Or),
et inversement ces r congruences expriment que le système est
complètement intégrable (*).
(*) Cartan, Bulletin de la Société Mathématique, p. 348, t. XXIX ^igoi).
276 LEÇONS SUU LE PHOBLÈME DE PFAFF.
69. Exemples. — lo Considérons le système de deux équa-
tions simultanées du second oïdie
(9) i'=J\x,iJ,z,p,q,s), l = o{œ,y,s,p,q,.s);
à toute intégrale de ce système correspond une intégrale à deux
dimensions M, du système de Pfaff à 6 variables x, y, z, p, q, s.
(10) (0, = pd.v + qdy — f/s = o,
0)2 z=zj'dj' -\- sdy — c//> = o , 0)3 = sdx + 9c/// — c^r/ = o .
Inversement toute inlég-rale M2 du système (10) donnera une
intégrale des équations (9), pourvu que les équations qui détinis-
sent M2 ne donnent qu'une relation entre x, y, z. Formons w'j,
w'2, w'g ; en y remplaçant dz, dp, dq, 5ir, 8/), 8y par leurs expres-
sions au moyen de dx, dy, ô,/-, Zy tirées des équations (10) elles-
mêmes, il reste
(o'j = 0, <o'2 = ^ [dx^y — c/yS.r) + — (dx^s — ds^x) -\- dy^s — dsoy,
w'3 = y^ [dylx — dxhy] -\- ^(dy^s — ds^y) + dx^s — ùxds,
où l'on a posé, pour abréger,
dx ~ dx "^ d7 f' + ?/> -^ + dq ^'
(l d d ? ?
dy dy ^ dz^ dp dq '
En égalant à zéro les coefficients de 8a?, 8//, 8.ç dans w'^ et o)'.,, on
obtient les six relations suivantes pour définir les éléments carac-
téristiques
^ -— - dij + — ^ ds=o, -~ dx — c/.s'=o, -— dx -\- du == o,
r -~- c^v — dH= o, -~ o^.r4- — '^ ds = o, -^ du -j- dx=o.
\ dx ^ ' dx ds ds ''
Parmi ces é(|uations, il y en a toujours au moins deux de dis-
tinctes ; la classe du système (10) est donc cinq ou six. Pour que
le système soit de classe cinq, il faut et il suffit que le système (i i)
se réduise à deux équations seulement. En égalant les deux
CHAPITRE VI. — CLASSE d\'> SYSTÈME DE PFAFF. 277
valeurs de^^ ,.on a une première condition
dx *
(I2) ^^=1.
En ég^alant ensuite les expressions de ds tirées des autres rela-
tions, on obtient une nouvelle condition seulement
(i3) ^^4-^ = 0.
fix ds aij
Si les deux conditions (12) et (i3) sont satisfaites, les équations (10)
et (11) se réduisent à cinq équations; il y a une famille de courbes
caractéristiques, déterminées par les équations différentielles
l dy^= — djc, dz = pdx -}- qdij, dp =zfdx + sdy^
f dq = sdok -\- ody, ds = ^ dx.
Toute intégrale à deux dimensions M» est eng-endrée, d'après
la théorie g-énérale, par une famille de caractéristiques issues des
diflFérents points d'une intégrale à une dimension du système. Il
suffira, pour obtenir celles-ci, de trouver six fonctions Xq, //q, 5o,
Pai Ço^ *o tl'un paramètre a vérifiant les équations
) r>a 3x >)a du î^9 aa
V :>y. — *•» ?a "^ •« 3« •
Le système (g) est dit alors en involution, et admet une infinité
d'intégrales dépendant d'une fonction arbitraire. Pour résoudre
le problème de Cauchy, c'est-à-dire pour déterminer les intégrales
passant par une courbe donnée, on peut supposer x^, y^,, r^ don-
nées en fonction de 2 ; les équations (i5) déterminent alors pf^. </<,,
5y par l'intégration d'une é(|ualion différentielle du premier ordre.
L'intégrale cherchée M» est le lieu des multiplicités caractéristi-
ques issues des différents points (x^, y^, r^, P(^. q^, s^) ainsi obte-
nus (•). On remarquera que le problème de Cauchy. admet une
infinité de solutions dépendant d'une constante arbitraire.
(1) E. GocBSAT, Journal de l'Ecole Polytechnique, 2* Série, .3' cahier (iSgj),
p. 102.
E. Cartan, Annales de f École^ormale Supérieure t. XXVII, J« Série, (igio).
278 LEÇOxNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
a'' Soient a et deux fonctions des cinq variables x, //, s, p, q
et d'un paramètre u. En éliminant ce paramètre u, entre les deux
relations
, ... K ^ — "^ — a = o,
^^^) J . A
( .S' — Mf — 0=0,
on obtient une équation aux dérivées partielles du second ordre
F(^, y, z, p, q, r, s, t)=o,
dont l'intégration revient à celle du système de Pfaff
( (^^=pdx -^ qdi/ — dz = o,
( 0}., = udq -\- adx + bdij — dp:=^o. . .
En remplaçant dans w'i, oj'2, ds, dp, 85, 5/* par leurs expressions
tirées des équations (17) elles-mêmes, et en égalant à zéro les coef-
ficients de 8^3, 8?/, Bq, Sm, on obtient les nouvelles relations
udq -\- bdij=^o, bdx — dq = o, iidx -[- dy=^o,
— dx-\ du -\- dq= o,
q -\ b p — a — ] di/
-f (^ -{- u — \ dq-\- ^du=o,
{- — q -\ b p — a — ) dx
\di/ ' Zz ' dp Do; ds^ Dr//
+ ( \- u — 1 dq au=o,
( a ~ -\- — ) dx -{- ( u 1 ] du — du = o.
Les équations des deux premières lignes donnent i/j: = o, dy = o,
dq^=o, à moins que les fonctions a et Z> ne vérifient la condition
Da D16 , ,
u h b = o.
du Dm
Si cette condition est vérifiée, on peut poser
a
d^(œ. //. z. p, y, u)
(18) { . '"
b = ^^^-^
du
— 1^
CBAPITRE VI. — CLASSE d'uN SYSTÈME DE PFAFF. 2" 9
y étant une fonction auxiliaire de x, y, s, p, q, ii. En écrivant que
les trois dernières équations donnent la même valeur pour — , on
obtient une seule condition nouvelle à laquelle doit satisfaire la
fonction <y. Si cette condition est vérifiée, l'intég-ration de l'équa-
tion aux dérivées partielles considérée est ramenée à l'intégration
d'un système d'équations diflférentielles ordinaires, celui qui définit
les caractéristiques du système dePfafiF (17) (•).
3* On a déjà remarqué (n" I8) que réquation de Pfa£F à an variables,
dont rintéfirralion est équivalente à l'intéçration de réquation du pre-
mier ordre
3r _ f( _££_ 2L \
est de classe 2« — i. Cette équation admet donc des caractéristiques à
une dimension, qu'il suffit de déterminer pour que le problème soit
résolu.
Considérons maintenant un système normal de /* équations du pre-
mier ordre (/• > i),
les seconds membres y*/ étant des fonctions des variables Xi, des /"fonc-
tions inconnues zh, et de leurs dérivées du premier ordre par rapport
aux variables jc^, , a;,,. A tout système d'intégrales des équations (19)
correspond une intégrale à n dimensions M„ du système de Pfaff
(20) W( = fidxi -\-pi-2da--2 + . . . + pindxn — dti = (/ = I, 2, ..., r),
où l'on a remplacé dans y, la dérivée —^ — par phk. Inversement, à toute
multiplicité intégrale à n dimensions M,; de ce système (20) correspond
un système d'intégrales des équations (19', pourvu que Xi, J?o, . . ., x,i
soient des variables indépendantes sur cette multiplicité. En effet, les
relations (20) prouvent que le long de Mn, toutes les variables si, pik
peuvent s'exprimer au moyen de a?,, x^., . . ., Xn, et l'on a
?--/ _ :>:i _ :szi _
(M Pour l'étude des équations de cette classe, et leurs rapports avec les
systèmes en involulion (9), voir E. Goursat, Leçons sur l'intégration des équa-
tions aux dérivées partielles du second ordre ttome I, p. 210, tome II, p. i64-
tji), et le Mémoire de E. Cartas cité à la page 277.
280 LKÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Il semble assez naturel de rechercher dans quels cas la méthode de
Cauchy est applicable au système (19). H faut pour cela que le système
de Pfaff (20) admette des caractéristiques.
On a
f.i'i = dfi^Xi ~ ofidXi + dpti^x.^ — dx^,^pi2 4- . . . + dpUi'^Xn — dXnSpin,
si l'on remplace dans dficX ofi les différentielles dzh, ^zh par leurs
expressions tirées des équations (20) elles-mêmes, les éléments carac-
téristiques doivent satisfaire aux relations obtenues en égalant à zéro
les coefficients de c?.2;i, . . ., ox.,i, et de tous les Sp/ih, après cette substi-
tution. Le coefficient de Spitk, si h est différent de i, est égal à
^■^' dx,
^phk
V'i
Si l'une des dérivées — "^ (i qit h) n'est pas nulle, on a donc, pour
^phk ^ ^ ' ^ ' ' V
un élément caractéristique, dx\:=:o; les équations w'« = o prouvent
alors que l'on a, quel que soit i,
dXi = o, dx2 = 0, . . . , dxn = 0, dpi^ = o, . . . , dpin =^ o, dfi = 0,
et par suite dsir= o, pour un élément caractéristique.
Il ne peut donc y avoir d'éléments caractéristiques pour le système
de Pfaff' (20) que si toutes les dérivées— — sont nulles lorsque h et /
sont deux nombres différents. Le système (ig) doit donc être de la
forme
(19) ^^=fi[œ,,œ„...,xn;s,,.,,...,.r;-^,...,-^J,
(i= 1,2, ...,r).
Cette condition étant supposée remplie, le coefficient de Sph, par exem-
ple dans w'i est
Vi
— dxi — dx2 ;
on doit donc avoir, pour un élément caractéristique,
3/>i2
dxi + dx^ =r o.
Oii vient de démontrer que dxi ne peut être nul pour un élément
caractéristique. Il faut donc que -- — soit indépendant de i ; il se réduit
>^pi2
donc à une fonction de x^, x<i, . . ., Xn', r). ..., r„ indépendante de /.
CHAPITRE M. — CLASSE d'uN SYSTÈME DE PFAFF. 281
Il eo est évidemment de même de — ^^ , . . -, , et par suite la
J>/>i"3 f^pia
fonction fi est de la forme
fi = Aï/)/» 4- . . . + \npin + B/,
A|, .... A/j. Bi, . . , Br ne dépendant que de Xi, . . ., Xny -\, ■ . -, -r. En
achevant les calculs, on vérifie que le système (20) admet des multipli-
cités caractéristiques à une dimension, mais ce résultat était évident
a priori, car le système est alors un système de la forme signalée par
Jacobi (Levons, Chap. II, p. 99).
4" Considérons le système des quatre équations simultanées
:>œ^Xi 3j?î- ' ' ?j?j* :sxi- dj?o2
à une seule fonction inconnue s; c, c' , d' . c'" désisfnent des constantes.
En prenant comme inconnues auxiliaires
Dr 3r Dr 3*r ?*r
pi = ^— , p-2 = ^ — , />3 =
Dar, ?j?î ^A'3 ^J"!- ^J?,^
l'intégration du système (21) se ramène à la recherche des intégra-
les M3 du système de PfaÉF
(22)
/ rfr =zpidxi -{- ptdxi -[-piidxs,
\ dpi = udxi + {v + c)dxi -f (a + o -I- c')dxs,
j dpi =z{v + c)dxi 4- vdxi 4- (2w + cf')dxi,
\ dpi =i(u -\- v + c'
)dxi + (21' + c")dxi + (« + 3w + c"')dx3.
pour lesquelles il n'e.xiste aucune relation entre a?j, x^, X3. En ég'alant
à zéro les covariants bilinéaires, on voit facilement que ce système
admet une famille de caractéristiques à une dimension déterminées par
les équations (22) elles-mêmes jointes aux relations
(23) du = 0, rfr = o, dxi = dXi ^ — dxs .
La caractéristique issue du point Xi**. Xf,", Xs^, s^, pi'^, p^'^, p^^, «•>, v" de
l'espace à neuf dimensions est représentée par les formules
/ « = 0", r=l'0, J?, = a-,» + /, J?2 = J?2«+/, X3 = X3'>—t,
(24) l/'>=V+(^-'*% />2=/>2» + (C-c")/, p,=p.:fi-^{c' + (/' — c"'jt
^ r = ro ^ (/),« + Pi'' -KV + f c - c' - c" -^ ^^/2,
< désig'nant une variable auxiliaire.
L'intéafration est donc ramenée à la recherche des intésfrales à deu.x
282 LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
dimensions du système (22). Cherchons par exemple les intégrales
pour lesquelles œ^ est égale à une constante x^^ . Le système (22)
devient
dpi^ — u<^dxi^ + (y« + c)t/.r2<',
dp^o = (yo + c)dxi^ + yOrf.a7^o^
dp«o = («0 + y" H- c'jdXi^ + (2^0 + c")dx-^ ;
l'intégration du système formé par les trois premières équations se
ramène à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du second
ordre à deux variables indépendantes
, . , 5-" , . ,
En prenant pour inconnue auxiliaire la dérivée r , on est conduit à
une équation du premier ordre, et on en tire facilement l'intégrale
générale de l'équation {26),
Dr"
/"et » étant des fonctions arbitraires. On a ensuite pi" r=
^ ^ ^ :>XiO '
Il 3^"
Saîâ"
"" = Td^V^ =y"(-3:'i<' + x^') + î'"(-^i'')'
PsO = 2f{x,^ + a;.2«) + *'(a,-iO) + c'^CiO + (.n^^o + C,
C étant une nouvelle constante. En remplaçant r", pi", p^", p-^^ par les
expressions précédentes dans les équations (24), les formules qui don-
nent les valeurs de Xi, Xt, x-^, z, le long d'une caractéristique 
