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Full text of "Leçons sur la théorie des fonctions"

UC-NRLF 





m^^^^. W 






REESE LIBRARY 
UNIVERSITY OF CALIFORNIA 






<..7J-^ ^ S 




Ckn$ No 



u 






LEÇONS 



THÉORIE DES FONCTIONS 



EMILE BOREL, 

MAITRE DE CONFÉRENCES A l'kGOLE NORMALE SUPI^RIEUH li. 




PARIS, 

GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES 

DE l'observatoire DE PARfS ET UV RUHEAL DES LONGITUDES, 

Quai des Grands-Augiislins, ôô. 

1898 



LEÇONS 



SUR LA 



THÉORIE DES FONCTIONS 



L>.5376 PARIS. — IMPRIMERIE G A UTH lE R - V I LLARS ET FILS, 
Quai des Grands-Aiigustins, ô5. 



LEÇONS 



SUU LA 



THÉORIE DES FONCTIONS 



PAR 



Emile BOREL, 

MAVTRE DE GONFÉRENCKS A L'iiC.OLE NORMALE SUPÉRIEURE. 




PARIS, 

GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIKES 

DE l'oBSERVATOIKE DE PARIS ET DU BUREAU DES LONGITUDES, 

Quai des Grands-Augustins, 55. 

1898 

<Tous <lroits réserrés.) 




^ 



V 



1 i'i^i^i 



:X 



Monsieur Jules TANNERY, 

SOUS-DIRECTEUR DES ÉTUDES SCIENTIFIQUES A l'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE. 



llommaiie de respectueuse affection. 



PRÉFACE 




Le titre que j'ai cru devoir adopter est assez vague pour 
qu'il ne me semble pas inutile de donner quelques explica- 
tions sur l'objet de ces Leçons (^). Les dimensions de ce 
petit livre me dispensent, je l'espère, de dire que ce n'est 
point un Traité complet sur une branche des Mathéma- 
tiques dont l'étendue s'accroît chaque jour. Ce n'est pas 
non plus un exposé nouveau des principes de la théorie; 
ces principes, rendus classiques en France par la publica- 
tion du célèbre Cours autographié de M. Hermite, ont été 
exposés depuis dans plusieurs Ouvrages (-), qu'il n'y a pas 
lieu de remplacer. 

Mais la lecture des Mémoires originaux devient chaque 
jour plus difficile pour celui qui connaît seulement de la 
Théorie des fonctions les parties regardées actuellement 
comme classiques; il m'a dès lors semblé qu'on pouvait 
chercher à faire œuvre utile en tentant d'exposer, d'une 
manière élémentaire, certaines recherches qui, bien que 



(') A quelques modifications près, ces leçons sont la reproduction de confé- 
rences faites à l'Ecole Normale au printemps de 1897. 

(-) En se bornant aux livres écrits en français, on peut citer le Cours d'Ana- 
lyse de M. Jordan, le Traité d'Analyse de M. Picard, le Traité des fonctions 
elliptiques de MM. Tannery et Molk, et aussi l'excellent Cours d'Analyse de 
l'Université de Lille, par M. Demartres. Ces divers Ouvrages ne sont pas 
d'ailleurs exclusivement consacrés à la Théorie des fonctions. On doit signaler à 
part le Cours d'Analyse de M. Méray, où le savant professeur de Dijon expose 
cette théorie d'une manière systématique à un point de vue qui lui est per- 
sonnel. Ce point de vue a de nombreuses analogies avec celui de Weierstrass, 
mais M. Méray a édifié sa théorie à une époque où Weierstrass n'avait pas 
encore publié ses plus importants résultats, et s'était contenté de les faire con- 



Mil PREFACE. 

relativement récentes, prennent chaque jour une importance 
plus considérable. De ce nombre est la théorie des ensem- 
bles : c'est à elle qu'est consacré cet Ouvrage. J'ai tenu 
cependant à lui donner le titre de Leçons sur La Théorie 
des fonctions, car, en parlant des ensembles, j'ai cherché à 
ne jamais perdre de vue les applications. 

Ce n'est pas que je méconnaisse le très haut intérêt que 
présente par elle-même la théorie des ensembles; mais il 
m'a paru qu'il y avait lieu de distinguer nettement cet 
intérêt philosophique de l'utilité pratique de la théorie, 
c'est-à-dire de son lien avec d'autres parties des Mathéma- 
tiques. Aussi ai-je laissé de côté bien des résultats intéres- 
sants obtenus par divers géomètres au sujet des ensembles, 
parce que je n'aurais pu en donner d'applications ici même. 

Les trois premiers Chapitres sont un exposé des éléments 
de la Théorie des ensembles; j'ai cherché à les rendre aussi 
accessibles que possible, en supposant chez le lecteur un 
minimum de connaissances. 

Les trois derniers Chapitres contiennent des applications 
à la Théorie des fonctions : j'ai, cette fois, supposé connus 
certains résultats qui sont établis dans l'un quelconque des 
Ouvrages cités il y a un instant et semblent, par suite, 
pouvoir être regardés comme classiques. 

Je n'ai d'ailleurs pas cherché à remplacer la lecture des 
Mémoires originaux, mais seulement à la faciliter; aussi 
ai-je laissé des lacunes qu'il aurait été aisé de combler en 
transcrivant presque textuellement un certain nombre de 
pages de tel ou tel Mémoire : il y a toujours avantage, pour 
le lecteur qui désire approfondir une question, à recourir 
lui-même au Mémoire original. 

Des Notes sont consacrées à quelques questions qui se 
rapportent aux principes de la théorie des ensembles et 
dont la discussion aurait alourdi inutilement les premiers 
Chapitres. 



LEÇONS 



SUR LA 



THÉORIE DES FONCTIONS. 



UNIVERSITY 

CHAPITRE I. \^- ,^ 

NOTIONS GÉMÏRALES SUR LES ENSEMBLES. 



Nous ne chercherons pas à donner une définition du mol 
« ensemble )) : il nous paraît qu'il y a là une notion suffisamment 
primitive pour qu'une définition en soit au moins inutile; on 
peut seulement se proposer d'éclaircir par des exemples le sens 
de ce mot, mais ces exemples ne donneraient pas Vidée d'en- 
semble à celui qui ne l'aurait pas. On peut dire que l'on entend 
par ensemble une collection d'un nombre fini ou infini d'objets 
d'ailleurs quelconques; ce mot collection doit donc être pris dans 
le sens le plus large possible; par exemple, on dira V ensemble 
des nombres rationnels, V ensemble des nombres positifs, Ven- 
semble des fonctions continues d'une variable réelle, V en- 
semble des points situés sur un cercle donné et dont le sinus 
est incommensurable, etc. Nous supposons donc que nous avons 
Vidée d'ensemble; mais cette idée n'a point encore une netteté 
suffisante pour pouvoir figurer dans un raisonnement mathéma- 
tique; le but des quelques pages qui vont suivre est précisémeni 
de chercher à donner à la notion d'ensemble la précision qui esl 
nécessaire pour qu'on puisse l'utiliser dans des recherches rigou- 
reuses. 

La première difficulté qui se présente est la suivante : lorsqu'un 
ensemble est composé d'une injfinité d'éléments, quand doit-on 



2 CHAPITRE I. 

le considérer comme donné (')?11 est bien clair, en effet, que, 
si le nombre des éléments est fini, donner un ensemble, c'est 
donner tous ses éléments, sans en excepter un seul. Peut-on 
adopter une telle définition lorsque le nombre des éléments est 
infini : l'expression donner une infinité cV éléments AoxV^ViQ être 
regardée comme ajant un sens? 



La notion de puissance. 

On rencontre cette question pour la première fois dans les élé- 
ments, lorsqu'on aborde l'étude des séries (-) et l'on adopte 
d'habitude la définition suivante : une série infinie, u^, u^^ . . ., 
Un-, • . • est donnée, si l'on sait calculer le ternie général Un 
lorsqu'on connaît son rang n. En d'autres termes, Un est une 
fonction donnée de n. D'ailleurs, Un peut être donné explici- 
tement en fonction de /z, ou bien être seulement déterminé par 



(') M. G. Cantor, dans un des Mémoires de haute importance qu'il a publiés 
sur la théorie des ensembles, donne la définition suivante : « Je dis qu'un ensemble 
d'éléments appartenant à une sphère abstraite quelconque est bien défini quand, 
par suite du principe logique du troisième exclu, on peut le considérer déterminé 
de telle façon que : i° un objet quelconque appartenant à cette sphère abstraite 
étant choisi, l'on puisse regarder comme intrinsèquement déterminé s'il appar- 
tient ou non au système en question et que, 2° deux objets appartenant à l'en- 
semble étant donnés, l'on puisse regarder comme intrinsèquement déterminé s'ils 
sont égaux ou non, malgré les différences qui peuvent se présenter dans la ma- 
nière dont ils sont donnés. 

» En fait^ on ne pourra pas généralement effectuer d'une manière sûre et précise 
les déterminations en question avec les méthodes ou les moyens dont on dispose; 

mais là n'est pas la question Pour éclaircir ceci, je rappelle la définition du 

système de tous les nombres algébriques; on peut, sans aucun doute, concevoir 
être déterminé intrinsèquement si un nombre r\, choisi à volonté, appartient ou 
non aux nombres algébriques; néanmoins le problème qui consiste à trouver cette 
détermination par rapport à un nombre donné -r] est souvent, comme on le sait, 
un des plus difficiles. » {Acta mathematica, t. II, p. 363). On verra que nous 
nous plaçons à un point de vue très différent de celui de M. G. Cantor, dont nous 
avons tenu à citer textuellement ce passage, car il nous a paru très intéressant, 
mais en même temps assez difficile à comprendre pour que nous ayons craint d'en 
altérer le sens en, cherchant à le résumer ou à l'interpréter. 

(') On la rencontrerait aussi dans la définition des nombres incommensurables, 
par une fraction décimale ou par tout autre moyen; maison a alors moins l'habi- 
tude de la mettre en évidence; nous reviendrons plus loin sur ce point. 



NOTIONS GENERALES SUR LES ENSEMRLES. 3 

(ine loi quelconque, par exemple, par une relation de récurrence 
au mojen des termes précédents. Dans tous les cas, on connaît un 
moyen de calculer successivement, les uns après les autres^, tous 
les termes de la série, en les obtenant d'ailleurs chacun une seule 
fois('). 

Nous sommes ainsi amenés à proposer la définition suivante : 
Nous dirons qu'un ensemble est donné lorsque, par un moyen 
quelconque, on sait en déterminer tous les éléments les uns 
après les autres, sans en excepter un seul et sans répéter 
aucun d' eux plusieurs fois. Cette définition, à laquelle nous 
avons été naturellement conduits, paraîtra sans doute claire au 
lecteur non encore familier avec cette théorie; mais l'une des 
idées que nous serions le plus heureux de faire acquérir à celui 
qui veut arriver à penser par lui-même sur la théorie des fonc- 
tions, c'est que, dans toutes les questions où intervient l'infini. 
Il faut se méfier extrêmement de la prétendue clarté : rien n'est 
plus dangereux que de se payer de mots en pareille matière. 
C'est ce que nous allons constater en analysant cette définition, 
et nous serons ainsi conduits à plusieurs notions importantes. 

Que veulent dire, en effet, ces mots : Déterminer tous les élé- 
ments les uns après les autres? Reprenons l'exemple de la 
série u,,'^ donner, les uns après les autres, les éléments de l'en- 
semble Un^ a ici un sens parfaitement clair ; c'est donner d'abord u^, 
puis ?/o, puis î<3, puis z^/,, .... Mais, si nous prenons un autre 
exemple, et si nous considérons, pour fixer les idées, l'ensemble 
de tous les points d'une circonférence, que sera-ce que les donner 
tous, les uns après les autres? Dans quel ordre faut-il les prendre 
pour être assuré de les avoir tous? Sans étudier encore d'une 
manière approfondie cette embarrassante question, sur laquelle 
nous reviendrons dans les Notes, nous pourrions être tentés de 



(' ) On pourrait aussi imaginer que t«„ est une fonction de n que l'on conçoit, sans 
qu'elle soit explicite; au sujet d'une telle dépendance (entre a„ et n) qui ne 
correspond à aucune loi mathématique, on consultera avec le plus grand fruit un 
intéressant article de M. Jules Tannery dans la Bévue générale des Sciences 
(28 février 1897). La définition donnée par M. G. Cantor dans la note de la page 
précédente se rattache au même ordre d'idées. Mais nous n'insistons pas sur ce 
point, car, sans en méconnaître le très haut intérêt, nous devons constater qu'il 
a, actuellement, peu d'importance au point de vue purement mathématique. 



/[ CHAPITRE l. 

répondre : Pour avoir Ions les points d'un cercle, il suffît de le 
tracer avec un compas : la pointe du compas passera successive- 
ment par tous ses points, sans en excepter un seul. Il n'y a pas 
d'inconvénient à accepter provisoirement cette réponse, mais 
nous ne pouvons manquer d'être frappés des différences essen- 
tielles qu'elle présente avec celle que nous avons pu faire dans le 
cas de la série des u,i. Pour ne signaler actuellement qu'une de 
ces différences : dans la série un élément est immédiatement pré- 
cédé (et suivi) d'un autre élément parfaitement déterminé 5 il 
n'en est nullement de même sur le cercle : un point n'a pas de 
point consécutif. 

Qu'est-ce qui facilite notre conception de Vensemble formé 
par les termes de la série? Il est aisé de se rendre compte que c'est 
le fait d'avoir pu donner un indice à chacun de ces termes, de 
sorte que chacun d'eux corresponde à un nombre entier positif 
déterminé n. Dès lors, la conception que nous avons de Vensemble 
des Un est aussi claire que notre conception de Vensemble des 
nombies entiers positifs i, 2, 3, ..., /?, .... Or ce dernier 
ensemble nous est très familier (*); nous avons certainement le 
<lroit de le regarder comme connu. C'est grâce à cette connais- 
sance que les mots : l^ ensemble des u,i est donné ont pour nous 
un sens bien précis. 

Si nous cherchons à analyser le procédé par lequel nous nous 
sommes donné cet ensemble des Un^ voici ce que nous constatons : 
nous sommes partis d'un ensemble que nous avons considéré 
comme donné : l'ensemble des nombres entiers positifs; puis, à 
chaque élément n de cet ensemble donné, nous avons fait corres- 
pondre (-) un élément de l'ensemble qu'il s'agissait de définir et 
qui s'est trouvé ainsi donné d'une manière précise. Nos deux 
ensembles, l'ensemble des nombres entiers positifs, que nous 
désignerons par E, et l'ensemble des u,i, que nous désignerons 



(') Ce n'est point ici le lieu d'étudier les raisons pour lesquelles cet ensemble 
nous apparaît comme bien connu, ni les procédés par lesquels notre esprit a acquis 
cette connaissance. On trouvera un résume et une discussion des diverses opi- 
nions émises à ce sujet, ainsi que des renseignements bibliographiques, dans 
l'intéressante thèse de M. Couturat : De l'Infini mathématique. Voir aussi 
l'article de M. Jules Tannery, déjà cité. 

(^)Kof/- la note de la page 3. 



NOTIONS GENERALES SUR LES ENSEMBLES. i> 

|)ar U, sont donc liés d'une manière très simple. A chaque élé- 
ment (/i) de E correspond nn élément (?<//) de U et un seul, et réci- 
proquement à chaque élément {u,,) de U correspond le seul (') 
élément {n) de E. 

Il résulte d'ailleurs de là qu'à des éléments différents de l'un 
des ensembles correspondent des éléments différents de l'autre. 
On peut exprimer cette relation entre E et U en disant qu'il 
existe entre leurs éléments une correspondance univoque et 
réciproque; nous conviendrons de dire, plus brièvement, que les 
deux ensembles ont même puissance. La notion de puissance, 
introduite par M. G. Cantor, est fondamentale dans la théorie 
des ensembles; comme nous venons de le voir, deux ensembles 
sont dits avoir même puissance lorsqu'on peut établir entre 
leurs éléments une correspondance telle, quUi tout élément de 
chacun d'eux corresponde un élément et un seul de l'autre. 

Il est clair que, si deux ensembles A et B ont chacun même 
puissance qu'un troisième ensemble G, A a même puissance 
que B. Au lieu de dire que deux ensembles ont même puis- 
sance, on dit aussi que leurs puissances sont égales, de sorte que 
nous aurions pu exprimer le fait précédent en disant que deux 
puissances égales à une même troisième sont égales entre elles; 
mais nous préférons éviter ce langage, qui a l'inconvénient de 
suggérer une analogie entre les puissances et les grandeurs mesu- 
rables, analogie qui n'est pas suffisamment justifiée; nous revien- 
drons d'ailleurs sur ce point (ÎNote 1). 

En définitive, pour nous donner l'ensemble U, nous sommes 
partis d'un ensemble E, de même puissance que U, supposé 
donné. Il est clair que, d'une manière générale, si l'on regarde 
un ensemble quelconque comme donné, on pourra regarder 
comme donnés tous les ensembles de même puissance qu'on 
peut en déduire par un procédé analogue à celui qui, appliqué 
à E, nous a donné U. Par exemple, regardons comme donné 
l'ensemble formé de tous les nombres incommensurables compris 
entre o et i; soit a l'un quelconque d'entre eux^ prenons d'autre 
part, sur une circonférence de rayon R, une origine des arcs A 



(*) Bien entendu, on suppose que les u^ sont tous difTcrents, ou du moins 
pensés comme tels. 



6 CHAPITRE 1. 

et marquons tous les points M tels que l'arc AM soit égal à aaTtR. 
Il est clair que l'ensemble des points M sera ainsi défini : c'est 
Tensemble des extrémités des arcs incommensurables avec la 
circonférence. 

Si donc on se propose d'étudier les ensembles dans leur géné- 
ralité, la première question qui se pose est de savoir combien il 
V a de puissances diflerentes et la seconde, de connaître un 
ensemble possédant chacune des puissances existantes. Mais 
avant d'aborder ces difficiles questions, et aussi celle de savoir 
si l'on peut se donner des ensembles par un procédé différent de 
celui que nous avons indiqué, il ne sera pas inutile d'étudier 
les ensembles qui ont même puissjince que l'ensemble E des 
nombres entiers positifs. Nous reconnaîtrons, en effet, que cette 
puissance est la plus simple possible (*) et que les ensembles qui 
la possèdent ont des propriétés caractéristiques et importantes. 

Les ensembles dénombrables. 

Ces ensembles sont ails ensembles dénombrables ; so'ic'i ce que 
signifie cette expression : si un ensemble a même puissance que 
l'ensemble E, nous pouvons toujours convenir de désigner par u„ 
l'élément qui correspond au nombre entier n; nous pourrons 
alors ranger les éléments de l'ensemble dans une suite 

U^, ll-î, Ui, .... Un, • • •■> 

tout à fait analogue à celle des nombres entiers; dans laquelle 
chacun des éléments a un rang déterminé, un élément qui le pré- 
cède et un élément qui le suit immédiatement. 

Nous allons indiquer d'abord des classes importantes d'en- 
sembles dénombrables; nous montrerons ensuite qu'il j a des 
ensembles qui ne sont pas dénombrables, c'est-à-dire qui n'ont 
pas même puissance que E. 

Par définition même, est dénombrable tout ensemble dont 



(') Nous laissons de cùlé les ensembles composés d'un nombre fini d'élémcnls; 
pour eux la notion de puissance se confond avec la notion de nombre : ils ont 
même puissance lorsque leurs éléments sont en même nombre. 



NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES ENSEMBLES. 7 

chaque élément est affecté d'un indice, les indices prenant toutes 
les valeurs entières et positives. Supposons maintenant que nous 
ayons des éléments u^^ tels que l'indice a prenne seulement des 
valeurs entières positives, mais sans les prendre toutes; d'ailleurs, 
bien entendu, deux éléments différents ont toujours des indices 
différents. Dans ces conditions, l'ensemble des Uy_ est encore 
dénombrable ; en effet, les indices a étant des nombres entiers 
positifs, nous pouvons les ranger par ordre de grandeur crois- 
sante, désigner le plus petit par a,, celui qui est le plus petit 
parmi les autres par aa, le suivant par a.g, etc. Si nous posons 
ensuite 

nous reconnaîtrons que notre ensemble, pouvant se mettre sous 
la forme 

^'1, ^'2, t'a, •••, 

est dénombrable. Par exemple, on pourrait supposer que les 
indices a sont tous les nombres pairs, ou bien tous les nombres 
premiers, etc. On reconnaît ainsi que l'ensemble des nombres 
pairs, par exemple, a même puissance que l'ensemble E de tous 
les nombres entiers, et, effectivement, si l'on fait correspondre 
à chaque nombre pair le nombre dont il est le double, on aura 
réalisé une correspondance univoque et réciproque entre ces deux 
ensembles. On voit combien la notion de puissance se distingue 
de la notion de nombre; l'axiome arithmétique : le tout est plus 
grand que la partie, n'a pas d'analogue dans la théorie des puis- 
sances : l'ensemble des nombres pairs est une partie de E et 
cependant a même puissance que E ( * ). 

Considérons maintenant un nombre limité d'ensembles déncm- 
brables, trois pour fixer les idées 

U\, 112) ^Zi ■ • 1 

<'l^ t^2, ^3, 

Wi, «^2, «^3, 



(') On peut remarquer que la propriété d'avoir même puissance que certaines 
de leurs parties aliquotes caractérise les ensembles infinis; cette propriété a pu 
être proposée comme définition de ces ensembles, par opposition aux ensembles 
finis. 



CHAPITRE I. 



Je dis que l'ensemble de tous ces éléments est dénombrable ; 
suffit pour nous en convaincre., de poser 




^'i — •S3/-I) ^i — S-ii 



OU, si l'on préfère, M'écrire comme il suit les éléments les uns 
à la suite des autres, en inscrivant au-dessous de chacun d'eux le 
nombre entier positif correspondant, qui n'est autre que son rang 



uu 


<'l, 


Wi, 


u,, 


^•2, 


«^2, 


u-i, 


^3, 


^^3, 


\ , 


'^, 


3, 


4, 


5, 


6, 


7, 


8, 


9' 



On conclut de là immédiatement qu'un ensemble dont tous 
les éléments ont pour indices des nombres entiers différents, 
positifs ou négatifs, est dénombrable. 

Considérons maintenant un ensemble dont chaque élément a 
plusieurs indices, chaque indice prenant toutes les valeurs entières 
positives. Si nous nous bornons d'abord au cas de deux indices, 
nous pourrons écrire cet ensemble de la manière suivante 



Un 


lil2 


Un 


ihk 


U.21 


M22 


U23 


ur. 


W31 


M32 


ihz 


uv. 


Wii 


iHi 


W43 





Pour ranger ses éléments de telle manière qu'il apparaisse 
nettement qu'il est dénombrable, il nous suffira de les écrire 
comme il suit : 

'*ll5 ^21? ^12 5 ^31? ^22; ^13 5 i^41> ^32> ^^23, ^14 5 W51, .... 

Le procédé que nous venons d'employer s'étend immédiate- 
ment au cas où le nombre des indices dépasse deux; considérons 
l'ensemble de tous les éléments 

ûii, 111-2^ . . -, nip prenant toutes les valeurs entières et positives. 
Il est clair qu'il y a dans cet ensemble un nombre limité d'élé- 
ments pour lesquels on a 

n étant un nombre positif déterminé. Si l'on suppose successive- 



NOTIONS GÉXÉUALES SIR LES ENSEMBLES. <J 

ment n= p^ p -\- \ , p -\- i^ ...,on aura chaque fois un nombre 
limité d'éléments, que l'on pourra écrire sur une même ligne les 
uns à la suite des autres. On écrira d'abord l'élément U\^\^...^\ qui 
correspond -an = /?, puis ceux qui correspondent à /i = /? -f- i (en 
les rangeant dans un ordre quelconque), puis ceux qui correspon- 
dent à /z=/?-|-2, .... Gomme, pour chaque valeur de n, on 
en écrit un nombre limité, il est clair que tout élément de l'en- 
semble occupera dans cette suite un rang fini, car il est obtenu 
pour une valeur finie de n\ l'ensemble est donc dénombrable. 
Dans le cas où/? est égal à 2 ou à 3, on peut donner à ce raisonne- 
ment une forme géométrique, que nous allons exposer, en suppo- 
sant/? = 3. Elle s'étendrait d'ailleurs aux valeurs de p supérieures 
à 3 par l'emploi de la géométrie à plus de trois dimensions. 

Ayant choisi trois axes rectangulaires et une unité de longueur 
arbitraire, nous pouvons faire correspondre à l'élément u,n^,m.,m^^^ 
point dont les coordonnées sont m^^ m^^ m^. Nous obtenons ainsi 
tous les points dont les trois coordonnées sont des nombres en- 
tiers positifs. L^ensemble de ces points a manifestement même 
puissance que l'ensemble donné, d'après la manière même dont on 
l'a obtenu. 

Or, cet ensemble de points a évidemment les propriétés sui- 
vantes : 1° il contient une infinité de points; 2° une sphère quel- 
conque en renferme un nombre limité. Nous allons montrer que 
tout ensemble formé de points situés dans l'espace et possédant 
ces deux propriétés, a même puissance que E, c'est-à-dire est 
dénombrable. Pour le prouver, il nous suffit de faire voir que nous 
pouvons numérote?' les points de cet ensemble au moyen des 
entiers positifs, de manière que deux points différents aient deux 
numéros différents et que chaque point ait un numéro unique. 

Or, considérons une série de sphères concentriques de rayons 
croissants; nous supposerons, par exemple, que ces rayons sont 
successivement tous les nombres entiers positifs : la sphère S„ a 
pour rayon n. Par hypothèse, la sphère Si renferme un nombre 
limité (qui peut être nul) de points de l'ensemble : nous leur 
donnerons dans un ordre arbitraire les numéros i , 2, 3, ...,/?. La 
sphère So en renferme aussi un nombre limité; considérons seule- 
ment ceux qui ne sont pas encore numérotés et donnons-leur les 
numéros /? + i , /? -j- 2, . . . , ^; nous considérerons ensuite les 




CHAPITRE I 



points (en nombre limité) situés à l'intérieur de S3 et non encore 
numérotés; ils recevront les numéros ^ + i , </ -f- 2, ...,/'. Il est 
clair que, en procédant ainsi, chaque point aura un numéro difïé- 
rent; d'ailleurs tous les points seront numérotés, car, si R est la 
distance de l'un d'eux P au centre commun des sphères et si n — 1 
désigne la partie entière de R, le point P sera numéroté lorsqu'on 
considérera la sphère S«, ce qui arrivera certainement. L'ensemble 
des points considérés est donc dénombrable. / 

On voit que cette démonstration s'applique au cas où tous les 
indices ou quelques nns d'entre eux prendraient aussi des valeurs 
entières négatives et aussi au cas où certains indices ne prendraient 
pas toutes les valeurs entières. Mais ce que nous avons dit au sujet 
du cas où il y a un seul indice doit suffire pour que le lecteur 
soit convaincu que ce sont là des détails sans importance ne pou- 
vant introduire aucune difficulté. Nous ajouterons seulement une 
remarque : dans le cas où il y a plusieurs indices, il suffit que Vu/) 
d'eux puisse prendre une infinité de valeurs, le nombre des valeurs 
des autres pouvant être limité. 

L'une des applications les plus importantes des considérations 
précédentes est relative aux nombres rationnels. On obtient tous 

les nombres rationnels — en prenant pour q un nombre positif 

quelconque différent de zéro et pour p un nombre positif ou 
négatif, premier avec q. Il est clair qu'on obtient ainsi tous les 
nombres rationnels, et chacun une seule fois. Or, on peut poser 



P 



— — M 



y,?' 



p et q prenant les valeurs que nous venons de dire; l'ensemble 
des Up^q est manifestement dénombrable. De même, si nous con- 
sidérons, dans un espace, à un nombre quelconque {fini) de 
dimensions, tous les points dont les coordonnées sont des nom- 
bres rationnels, ils forment aussi un ensemble dénombrable; par 
exemple, dans l'espace ordinaire, on peut faire correspondre au 
point 

P p' p" 

q q q 

l'élément à six indices 



NOTIONS GENERALES SUR LES ENSEMBLES. 1 I 

Ces six indices prennent d'ailleurs une partie des valeurs 
entières (positives ou négatives); cela suffit pour que l'ensemble 
des éléments considérés forme un ensemble dénombrable. 

Remarquons maintenant que les observations présentées plus 
haut, sur la possibilité d'admettre que, dans une série à un seul 
indice, l'indice peut prendre seulement une partie des valeurs 
entières positives, sans que l'ensemble cesse d'être dénombrable, 
équivalent au théorème suivant : si, par un procédé quelconque , 
on choisit une infinité d'éléments parmi les éléments d'un 
ensemble dénombrable, on obtient encore un ensemble dénom- 
brable. 

Il en résulte que, si l'on considère, par exemple dans l'espace à 
trois dimensions, une infinité de points à coordonnées toutes 
rationnelles, on obtient un ensemble dénombrable, quel que 
soit le procédé par lequel on a distingué cette infinité de 
l'ensemble de tous les points à coordonnées toutes rationnelles. 

Remarquons, enfin, que lorsque nous parlons des points à 
coordonnées rationnelles, nous devons toujours supposer que 
nous avons choisi une unité de longueur, laquelle est d'ailleurs 
arbitraire. On en conclut immédiatement que l'ensemble des 
points dont les coordonnées sont de la forme 

m p ^^ r 

n "^ q ' s ^ 

//?, /z, /?, </, r, 6' étant des entiers arbitraires et a, [^, y des lon- 
gueurs quelconques déterminées, forme un ensemble dénom- 
brable. Plus généralement, il en est de même des points dont les 
coordonnées peuvent se mettre sous la forme 



m m , 

— an ,- a 

Il Ji 



Ak) 



•^ q ^ q' r ^(/,) r 

' = s -f + 7 T' + ---+7^ï'"' 



les longueurs déterminées et., . . . , a^^^, p, . . . , p^^^, y, • • • j "f^^^ 
pouvant être en nombre quelconque, mais fini, et les entiers m, 
n, yo, q^ /•, 5, ni, n'y . . . pouvant prendre toutes les valeurs pos- 
sibles ou étant soumis à des restrictions de nature quelconque. 



12 CHAPITRE 1. 

à condition, bien entendu, qu'il y ait une infinité de points dans 
l'ensemble. 

Les exemples que nous avons donnés nous paraissent suffi- 
sants (') pour faire comprendre au lecteur la nature des en- 
sembles dénombrables, considérés en eux-mêmes; nous allons 
maintenant les étudier dans leurs rapports avec les autres en- 
sembles. Il est vrai que nous n'avons pas encore démontré l'exis- 
tence d'ensembles non dénombrables; mais nous pouvons provi- 
soirement postuler cette existence, sans faire aucun cercle vicieux ; 
cette lacune ne tardera d'ailleurs pas à être comblée. 



Comparaison des ensembles dénombrables avec les autres 

ensembles. 

Nous allons d'abord montrer que, étant donné un ensemble 
infini quelconque, on peut toujours supprimer parmi ses élé- 
ments, une infinité d'éléments formant un ensemble dénombrable, 
sans que l'ensemble cesse d'être infini. En désignant par A l'en- 
semble donné, nous pouvons écrire 

A=D + A', 

D désignant un ensemble dénombrable et A' un ensemble infini; 
le signe -h signifie d'ailleurs que l'ensemble A est formé par la 
réunion des ensembles D et A' lesquels n^oni aucun élément 
commun. 

Pour démontrer cette proposition, il nous suffit de remarquer 
que, dire que l'ensemble A est infini, c'est dire que, étant donné 
un nombre quelconque 2/z, l'ensemble A renferme plus de in 
éléments. D'après cela, donnons-nous des nombres pairs crois- 
sants 

2/?i, 9,^2, 2/i3, in,, .... 

ij'ensemble A renfermant au moins in^ éléments, nous pouvons 
en choisir 2/i, et, parmi ces in^.^ en désigner un par ?/, ; l'en- 



(•) Dans le Chapitre suivant, nous étudierons un autre ensemble dénombrable 
très important, celui des nombres algébriques.' 



NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES ENSEMBLES. l3 

semble A renfermant au moins 2/10 éléments, nous pouvons en 
trouver 2(/Zo — /Zi) ne faisant pas partie des 2/7, déjà choisis 
et désigner l'un d'eux par u^^ .... Il est clair que, en continuant 
ainsi, nous formerons un ensemble dénombrable 

que nous pouvons désigner par D et 11 subsistera une infi- 
nité A' d'éléments, à savoir les i/i, d'abord choisis, excepté w,, 
les 2(/?2 — /Z) ) pris ensuite, sauf ^/o? • • • ? p'^s ceux, s'il y en a (' ), 
qui n'auront pas été choisis. 

Ainsi on voit que tout ensemble infini comprend un ensemble 
dénombrable : en ce sens, on peut dire que la puissance des 
ensembles dénombrables est la plus petite des puissances. 

Une proposition plus importante est la suivante : ['ensemble 
infini A', que l'on obtient en supprimant de A les éléments de 
l'ensemble dénombrable D, a même puissance que A.. En effet, 
de même que nous avons écrit 

A = D -4- A', 

nous pouvons écrire 

A'=D'-+-A", 

D' étant un ensemble dénombrable et A'' un ensemble infini. 
D'ailleurs, la réunion des deux ensembles dénombrables D et D' 
forme un ensemble dénombrable A 

D + D'= A; 
nous avons, par suite, 



V = D + A' :=. D + D' -f- iV = A -h A". 



il s'agit de prouver que A et A' ont même puissance; il nous suffit 



de récrire les égalités 



A = A ^- A", 
A'= D'4- A", 



et de remarquer que D' et A ont même puissance, puisque ce 
sont deux ensembles dénombrables. A et A' peuvent donc être 



(') On voit aisément qu'il y en aura si l'ensemble A n'est pas dénombrable. 
Dans ce cas il est évident que, si l'on supprime de A un ensemble dénombrable, 
il doit rosier un ensemble non dénombrable, sinon A serait dénombrable. 



l4 CHAPITRE I. 

regardés comme obtCDiis en ajoutanL à un même ensemble A" 
deux ensembles de même puissance D et A; ils ont donc évidem- 
ment même puissance (M. 

Ce théorème est très important (2), parce qu'il nous montre 
que, lorsqu'on étudie les puissances des ensembles non dénom- 
brables, on peut négliger sans inconvénient un ensemble dénom- 
brable d'éléments. Les ensembles dénombrables jouent ainsi, par 
rapport aux antres, le même rôle que les infiniment petits vis-à-vis 
des quantités finies. 

Nous allons montrer maintenant qu'il existe elTectivement des 
ensembles non dénombrables en faisant voir que : U ensemble des 
nombres réels compris entre o et \ n'est pas dénomhrahle. Il 
suffit, pour le prouver, de montrer que, si l'on a un ensemble 
dénombrable quelconque 

Ux, Ui, ll-i, ••-, Un, ■■' 

il j a des nombres compris entre o et i qui ne font pas partie de 
cet ensemble. Nous pouvons évidemment supposer que tous les u 
sont compris entre o et 1 . Figurons le segment de droite o-i et 
marquons-j les points w, et 112, en supposant, pour fixer les idées, 

Ui << U-2' 

Considérons maintenant les éléments successifs de noire 
ensemble, dans leur ordre naturel 

W3, "4, "5, ..., 

et soit 11^^ le premier d'entre eux qui est compris dans l'inter- 
valle Ui-U2 (on pourrait avoir ag^S). Il est clair que tous les 
points de l'ensemble compris dans l'intervalle 11^-11.2 ont un 
indice supérieur à ag ; car si l'un d'eux avait un "indice inférieur 
à ag on aurait dû le prendre au lieu de «^3- Continuons à consi- 
dérer les éléments successifs après Ur^^ et soit Ur/.^ le premier 



(*) Il résulte, en effet, de la définition même de la puissance que si deux 
ensembles peuvent être décomposés en un même nombre d'ensembles ayant res- 
pectivement mêmes puissances, ils ont même puissance. 

(') Comme exercice, le lecteur démontrera aisément d'une manière directe 
que l'ensemble des nombres réels, et l'ensemble A' des nombres réels non entiers, 
ont même puissance. Il pourra prendre pour D les nombres entiers n et pour T)' 

les nombres de la forme n H — > par exemple. 



NOTIONS GÉNÉRALES SLR LES ENSExMBLES. l5 

d'enlre eux qui est compris dans Fintervalle u^-U2\ nous dési- 
gnerons de même par Ur^^ le premier élément compris entre u^^ 
et Ua, et, d'une manière générale, par ?^a„+, le premier élément 
compris dans l'intervalle ?/a„~^'a,.+,- ^ est clair d'abord que, si 
l'un de ces intervalles ne renfermait aucun point de l'ensemble, 
nous aurions constaté par cela même l'existence de points compris 
entre o et i et n'appartenant pas à l'ensemble; nous pouvons donc 
supposer que la suite des a,^ se prolonge indéfiniment; d'ailleurs, 
les a^ étant des nombres entiers croissants, cf,,i augmente indéfini- 
ment avec n. Enfin, d'après la manière même dont sont choisis 
les Wq(^ , tous les éléments de Tensemble compris entre u^^^ et ««„+, 
ont un indice supérieur à a,;.^, . Cela posé, les nombres w,, w^^^, 
u^^^ . . ., «a.„+,5 • • • ^^^^^ visiblement croissants et tous inférieurs 
aux nombres décroissants u^-, Ha^-) ^^ae> • • • ? '^aj»? • ... La première 
de ces suites a donc une limite (^_, la seconde une limite w. et l'on 
a ç^w. Je dis que le nombre v n'appartient pas à l'ensemble; en 
effet, si l'on avait 

nous pourrions prendre Ji assez grand pour que l'on ait a,/ >> k et 
nous arriverions à cette conclusion contradictoire que l'élément ^^A 
est compris entre «a,, et Uol^+i^ l^ étant inférieur à a„. Donc, il J a 
entre o et i au moins un point qui n'appartient pas à l'ensemble 
dénombrable choisi arbitrairement^ u^^ u^^ • . • , Un-, .... Il en 
résulte que l'ensemble des points compris entre o et i n'est pas 
dénombrable et, par suite, qu'il j a une infinité non dénom- 
brable de points qui n'appartiennent pas à l'ensemble dénom- 
brable considéré ( ' ). 

Nous connaissons donc un ensemble non dénombrable; on peut 
remarquer que l'existence de cet ensemble résulte du théorème 
suivant : Des nombres croissants, tous inférieurs à un nombre 
fixe, ont une limite. Or ce théorème est une conséquence de la 
définition des nombres incommensurables et, à quelque point de 
vue que l'on se place, postule la notion du continu. Nous ne nous 



(') Ce raisonnement est analogue à celui-ci : Élanl donné un ensemble, si nous 
savons démontrer que, lorsqu'on en supprime un nombre fini quelconque d'élé- 
ments, il en reste au moins un, nous pourrons affirmer que l'ensemble renferme 
une infinité d'éléments et, par suite, qu'il en reste une infinité. 



i6 ciiAPiTiii!: I. 

étendrons pas pins sur l'origine et la nature de cette notion que 
nous ne l'avons fait sur la notion de l'ensemble E des nombres 
entiers positifs; nous admettrons que l'ensemble C des nombres 
compris entre o et i nous est donné, sans rechercher comment il 
pourrait l'être effectivement. Les ensembles ayant même puis- 
sance que l'ensemble G seront dits avoir la puissance du con- 
tinu. 

/ 

Les ensembles qui ont la puissance du continu. 

Parmi les ensembles ayant la puissance du continu, nous pou- 
vons citer tout d'abord^ d'après un théorème démontré tout à 
l'heure, les ensembles que l'on obtient en supprimant, parmi les 
nombres compris entre o et i, un ensemble dénombrable quel- 
conque; par exemple, en supprimant tous les nombres rationnels. 
D'autre part, il est aisé de voir que l'ensemble de tous les points 
situés sur une droite, ou sur une ou plusieurs courbes analytiques 
quelconques, a la puissance du continu, car on peut aisément 
établir une correspondance univoque et réciproque (') entre les 
points de tels ensembles et les points compris entre o et i . 

Il est, d'autre part, évident que, si l'on réunit une infinité dénom- 
brable d'ensembles dont chacun a la puissance du continu, l'en- 
semble ainsi obtenu a aussi la puissance du continu. Car on peut, 
par exemple, constater que le premier ensemble a même puissance 
que les points compris entre o et i , le second même puissance que 
les points compris entre i et 2, le troisième même puissance que 
les points compris entre 2 et 3, etc., de sorte que l'ensemble formé 
par la réunion de l'infinité dénombrable d'ensembles considérée a 
même puissance que Vensemble de tous les nombres positifs, 
c'est-à-dire la puissance du continu. 

Mais un théorème bien plus remarquable et qui est une des 
plus belles découvertes de M. G. Gantor est le suivant : si l'on a 
une infinité d'ensembles ayant la puissance du continu, cette infi- 
nité (dans laquelle chaque ensemble est regardé comme un élé- 



(' ) Si l'on cherche à établir analytiquement une telle correspondance elle pouria 
laisser de côLc des points isolés en nombre limité : nous savons que cela n'a aucune 
importance. 



NOTIONS GENERALES SUR LES ENSEMBLES. I7 

ment) ayant elle-même la puissance du continu, l'ensemble total 
formé par la réunion de tous les éléments des ensembles consi- 
dérés a aussi la puissance du continu. La forme géométrique que 
l'on peut donner à cet énoncé le rendra peut-être plus clair : 
considérons deux axes rectangulaires et un carré dont les côtés 
ont pour équations 

j-=o, x = i; y = o, y = i. 

Il est clair que l'on obtient tous les points intérieurs au carré 
par la réunion de tous les points situés sur toutes les parallèles au 
côté jK = o, menées par les divers points du côté œ = o. Sur 
chacune de ces parallèles on a un ensemble qui a la puissance du 
continu et l'ensemble de ces parallèles (chacune d'elles étant un 
élément) a évidemment aussi la puissance du continu. Le théorème 
de M. G. Cantor revient donc au suivant, et c'est sous cette forme 
qu'il a été énoncé par son auteur : l'ensemble des points intérieurs 
au carré a même puissance que l'ensemble des points compris 
entre o et i. 

Remarquons d'abord que nous pouvons nous borner à consi- 
dérer les points à coordonnées incommensurables, car nous savons 
que l'ensemble F des nombres incommensurables compris entre o 
et I a même puissance que l'ensemble G de tous les nombres 
compris entre o et i . Nous pouvons établir entre les éléments 
de r et de G une correspondance univoque et réciproque. Dési- 
gnons par a, p, y, . . . , les éléments de Y qui correspondent res- 
pectivement aux éléments a, b, c, ... de G et faisons corres- 
pondre au point de coordonnées 

X = a, y — b, 
le point de coordonnées 

57 = a, JK= (3; 

nous constatons ainsi que l'ensemble des points intérieurs au 
carré (que l'on j comprenne ou non ceux qui sont sur le péri- 
mètre) a même puissance que l'ensemble des points intérieurs 
dont les deux coordonnées sont incommensurables . 

Le théorème à démontrer revient donc à ceci : V ensemble des 
points intérieurs au carré et dont les deux coordonnées x^ y, 



l8 CHAPITRE I. 

sont incommensurables, a même puissance que V ensemble des 
nombres incommensurables z compris entre o et i . 

En d'autres termes, il suffit de faire voir que Ton peut, à tout 
système de deux nombres incommensurables x, y compris entre o 
et I, faire correspondre un nombre incommensurable :;, compris 
entre o et i, de manière qu'à tout couple x^ y corresponde un 
seul nombre z et, à tout nombre z^ un seul couple x^ y. 

Or il est très aisé de réaliser une pareille correspondance. Il 
nous suffit de remarquer avec M. G. Gantor que, si l'on réduit en 
fraction continue un nombre z compris entre o et i, on obtient 
im développement de la forme 



as 



aj, a^, 7-3, a,, . . . étant des entiers déterminés dont aucun n'est 
nul. Donc, à tout nombre z considéré correspond une suite bien 
déterminée d'entiers positifs, dont aucun n'est nul, 

(0 «1, ^2, a3, ..., 

et, réciproquement, une telle suite détermine d'une manière 
unique le nombre z. Gela posé, il nous suffira de déterminer x 
et y par deux suites infinies extraites de la suite (i), d'après une 
loi déterminée, par exemple, par les deux suites 



a.,, «i, «6, 



c'est-à-dire de pose 



I 

a,+ 



«3 



Il est clair que la connaissance de z détermine, d'une manière 
unique, x et y, et que, réciproquement, la connaissance de x et 
dey détermine z d'une manière unique. La proposition que nous 
avions en vue est donc établie. 11 est clair que la démonstration 




NOTIONS GENERALES SLR LES ENSEMBLES. I9 

ne serait en rien modifiée, si, au lieu de deux variables x,y^ on 
en avait un nombre fini quelconque. 

Supposons maintenant que nous ayons une infinité (dénom- 
brable) de variables 



dont chacune peut prendre toutes les valeurs incommensurables 
comprises entre o et i et appelons point tout système de valeurs 
données à ces variables, deux points étant différents dès que 
toutes les variables n'ont pas les mêmes valeurs pour ces deux 
points. Je dis que l'ensemble des points ainsi obtenus a la puis- 
sance du continu. Pour le faire voir, posons, n étant un indice 
quelconque et les u des nombres entiers positifs, 



Uni 



Uni 



UnZ 



Nous savons, d'une infinité de manières, ranger les termes du 
tableau à double entrée 



W12, 



W«i, U,i<îi 



ip-, 



dans une série simple 



Unj 



. t^A-, 



Choisissons un procédé déterminé (d'ailleurs quelconque) pour 
opérer cette transformation; nous poserons 



Vi-^ 



^2 



et nous ferons correspondre le point z au point (5,, Zo, ..., 
Zn^ . . .). Nous aurons ainsi réalisé la correspondance exigée; on 
lèverait aisément la restriction imposée aux z d'être incommen- 
surables. 



20 CHAPITRE I. — NOTIONS GENERALES SUR LES ENSEMBLES. 

Les considérations précédentes sont très importantes parce 
qu'elles nous montrent que, si l'on fait abstraction de la conti- 
nuité de la correspondance entre deux ensembles continus, il 
n'y a pas de différence essentielle entre les ensembles continus à 
une dimension et les ensembles continus à deux (ou trois . . .) 
dimensions, entre les fonctions d'une variable et les fonctions 
de plusieurs variables. Nous entrerons plus loin dans quelques 
détails sur ce sujet (Note III); notre seul but, dans ce Chapitre, 
a été de préciser un peu la notion d'ensemble. 

Voici la conclusion à laquelle nous arrivons; nous connaissons 
actuellement deux puissances : la puissance des ensembles dénom- 
brables et la puissance du continu; nous pouvons définir des 
ensembles ayant l'une de ces deux puissances en supposant 
définis, d'une part, l'ensemble E de tous les nombres entiers 
positifs, d'autre part, l'ensemble C de tous les nombres compris 
entre o et i . Nous sommes d'ailleurs certains que les puissances 
de E et de G sont différentes. Ces notions nous suffiront pour les 
applications que nous avons en vue. Nous reviendrons dans les 
Notes sur plusieurs points que nous avons laissés de côté el 
chercherons notamment à éclaircir un peu les notions générales 
d'ensemble et de puissance. 



CHAPITRE II. 

LES NOMBRES ALGÉBRIQUES ET l'aPPROXIMATION DES INCOMMENSURABLES. 



Généralités sur les nombres algébriques. 

On appelle nombre algébrique toute racine d'une équation 
algébrique à coefficients entiers ( ' ). 
Soit a + i ^ une racine de l'équation 

f et g étant des polynômes à coefficients réels et entiers. Il est 
clair que l'équation 

(•2) J\y)—ig{y)^^ 

admet la racine a — /[j. 

Formons l'équation qui admet pour racines toutes les quan- 
tités de la forme 

X ->r y 

z ^ ~, 

'1 

X étant une racine quelconque de (i) et y une racine quelconque 
de (2) et soit 

(3) * F(.-) = o 

cette équation. On reconnaît immédiatement 

i*^ Que cette équation a ses coefficients entiers (-); 
2" Qu'elle a ses coefficients réels; 
3° Qu'elle admet a pour racine. 



(') Il est clair que si les coefficients d'une équation sont rationnels, on peut 
les rendre entiers sans changer les racines de l'équation. 

(*) Après que l'on a, s'il est nécessaire, multiplié son premier membre par un 
facteur convenable. 



•11 - CHAPITRE II. 

On verrait d'une manière analogue que [3 est racine d'une cer- 
taine équation algébrique à coefficients entiers réels. 

Il en résulte que Ton peut se borner à considérer les nombres 
algébriques réels, c'est-à-dire les racines réelles des équations 
algébriques à coerficients entiers réels. Si a et j^ sont deux tels 
nombres, vérifiant respectivement les équations à coefficients 
entiers 

(4) . F(a)-o, 

(5) G([i) = o, 

il est clair que ^ = a + /[3 vérifiera une équation à coefficients 
entiers que Ton obtiendra en éliminant ^ entre l'équation (5) et 
l'équation ^ 

(4)' ¥{x-i^)^o. 

On obtiendra donc aisément tous les nombres algébriques, si 
l'on connaît les nombres algébriques réels. Celte proposition est 
d'ailleurs plus curieuse qu'utile et, si nous l'utilisons plus loin, 
on reconnaîtra aisément que nous pourrions nous en passer en 
modifiant à peine les raisonnements. Voici une proposition ana- 
logue, mais plus générale et plus importante : les racines des 
équations à coefficients algébriques sont elles-mêmes des nom- 
bres algébriques. 

Considérons en effet une équation 

(A) J\x', a, ^, .... À) = o 

/ étant un polynôme à coefficients entiers par rapport à l'in- 
connue O) et aux nombres algébriques donnés a, [^, . . . , A. 

Par hypothèse, ces nombres sont des racines d'équations à 

coefficients entiers 

cp(a) = o, 

(B) 



M Ça) — o. 

Il est clair qu'en éliminant a, ,3, . . . , A entre les équations (A) 
et (B) on obtiendra une équation à coefficients entiers 

¥{x) = o 



NOMBRES ALGEBRIQUES ET APPROXIMATION DES INCOMMENSURABLES. 23 

(|Lii admettra toutes les racines de (A); donc ces racines sont des 
nombres algébriques. 

Il en résulte que L'ensemble des nombres algébriques com- 
prend tous les nombres que Von peut définir à V aide des 
nombres entiers supposés connus, et d'un nombre fini d'opé- 
rations algébriques. 

Cette proposition montre l'importance des nombres algé- 
briques et fait prévoir qu'ils ont un grand nombre de propriétés 
arithmétiques intéressantes ( ^ ) ; nous allons en indiquer quelques- 
unes. 



L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable. 

Parmi les équations à coefficients entiers que vérifie un nombre 
algébrique (^), il y en a une dont le degré est moins élevé que 
celui des autres (^); ce degré sera dit le degré du nombre algé- 
brique. 

Considérons un nombre algébrique de degré n] il vérifie une 
équation de la forme 

(a) /??o^"H- mi^«-i -h . . .H- /??« = 0, 

/??o, ni^^ . . . , nin étant des nombres entiers positifs ou négatifs (''). 



(') L'une des propriétés les plus importantes des nombres algébriques est la 
suivante : étant donné un nombre quelconque (fini) de nombres algébriques A, 
on peut déterminer un nombre algébrique H, tel que tous les nombres A soient 
égaux à des polynômes en ^ à coefficients entiers. Cette proposition se démontre 
aisément par les méthodes dues au génie de Galois; mais ce n'est point ici le lieu 
de les développer. On peut consulter à ce sujet quelques Chapitres de M. Jules 
Drach dans V Introduction à Vétudede la Théorie des nombres et de l'Algèbre 
supérieure (Paris, Nony, 1895). 

(^) Nous nous bornons, pour plus de netteté, aux nombres algébriques réels; il 
n'y aurait que très peu à modifier dans le cas contraire. 

(') Cette équation est irréductible dans le domaine naturel ; mais nous n'avons 
ici nul besoin de la théorie de l'irréductibilité. 

(*) Si nous tenons à préciser, c'est-à-dire à ne pas écrire deux fois la même 
équation, nous pouvons supposer : 1° que m„ est positif; 2° que /?i,,, ««,, ..., m„ 
sont premiers entre eux dans leur ensemble. Mais ces détails sont ici sans 
importance. 



24 CHAPITRE II. 

Si l'équation (a) a/? racines réelles ('), nous les désignerons par 



/Mo.'W,,/nj,...,7M„,l> 

^m^^.m^,>n.....,mn.'2^ 



^m, 



,7W,,Wj,...,W„,^- 



dans un ordre d'ailleurs arbitraire. 

Nous voyons ainsi que les nombres algébriques de degré n 
peuvent être représentés par une lettre x affectée de n + 2 indices 
prenant seulement des valeurs entières (et ne les prenant d'ailleurs 
pas toutes, ce qui est sans importance); ils forment donc un 
ensemble dénombrable; si on les désigne par 

^{n) ^in) -An) ^{tv 

y 1 ' J -i ■> J i 1 • • • ' J ({ 1 ' ' • 1 

on voit que tous les nombres algébriques peuvent être repré- 
sentés par une même lettre y affectée de deux indices entiers et 
forment par suite un ensemble dénombrable. Ce résultat fon- 
damental est dû à M. G. Cantor qui l'a établi d'une manière un 
peu différente. Etant donnée une équation (à), appelons ran<j;^ 
d'une racine quelconque de cette équation, la somme 

I niQ 1 + 1 Tiii I -h I m-i [ -h . . . -4- [ m„ \ -\- n. 

Il est manifeste que le nombre des équations de rang donné est 
limité. En considérant successivement des équations de rang 3, 
4,5, . . . , on pourra ainsi ranger tous les nombres algébriques en 
une série simple, ce qui prouve que leur ensemble est dénom- 
brable. Il est à peine besoin de faire observer que les nombres 
rationnels sont un cas particulier des nombres algébriques. 

Une des conséquences importantes de la proposition de M. G. 
Cantor, c'est qu'iJ existe dans tout intervalle une infinité non 
dénombrable de nombres non algébriques. On peut même affirmer 
que l'ensemble des nombres non algébriques compris dans un 
intervalle donné, a la puissance du continu. 

L'existence de nombres non algébriques a été reconnue pour la 



(') Si l'une de ces racines est un nombre algébrique de degré n, il en est de 
même des autres, d'après la théorie de l'irréductibilité. Si l'on n'admettait pas 
ce point, il suffirait de dire que l'on considère seulement celles des racines qui 
sont des nombres algébriques de degré n. 



NOMBRES ALGÉBRIQUES ET APPROXIMATION DES INCOMMENSURABLES. l5 

première fois par Lion ville, à l'aide de considérations très inté- 
ressantes que nous allons développer dans un instant. Mais le 
procédé que nous indiquerons, d'après Liouville, pour former 
des nombres non algébriques est très artificiel et l'on ne connaît 
aucune propriété des nombres que l'on définit ainsi. Le problème 
qui consiste à déterminer si un nombre, défini par un procédé 
analytique déterminé, est ou n'est pas algébrique, est un des 
plus difficiles qui puissent se poser aux géomètres, car il semble 
qu'on ne puisse indiquer aucune voie générale pour l'aborder; 
les moyens qui conduisent au but pourront varier complètement 
suivant la manière dont le nombre est défini. 

Aussi, lorsque M. Hermile, en iS^S, démontra que le nombre e 
n'est pas algébrique, ce résultat appela l'attention universelle. 
C'était en effet le premier exemple effectif, si l'on peut ainsi 
dire, d'un nombre transcendant (*), c'est-à-dire le premier 
exemple d'un nombre transcendant défini d'une manière simple 
par l'analjse et non pas seulement par des séries arithmétiques, 
comme les nombres de Liouville. Cet exemple était d'ailleurs 
d'autant plus intéressant que le nombre e, au moins dans l'état 
actuel de la Science, est le plus important parmi ceux qui s'intro- 
duisent en Analyse. 

D'ailleurs, une fois la voie ouverte par M. Hermite, on connut 
bientôt de nouveaux nombres transcendants. M. Lindemann, par 
une savante généralisation de la méthode employée par M. Her- 
mite pour le nombre e, démontre que iz est transcendant. 11 
démontre même la proposition plus générale suivante : 

Si l'on a la relation 

les nombres x et y ne peuvent pas être tous les deux algé- 
briques, à moins que L'on n'ait 

07 =o, JK = I- 

Si l'on pose ^ := i , on a jk = ^ ; c'est le résultat de M. Hermite ; 
si .r = -/, j^ = — I , on obtient le résultat de M. Lindemann cité 
en premier lieu. 



(') Tout nombre non algébrique s'appelle transcendant. 



•26 CHAPITRE II. 

jNous pouvons donc ajouter à la liste des nombres transcendants 
les logarithmes naturels de tous les nombres algébriques et 
tous les nombres dont les logarithmes naturels sont des 
nombres algébriques. 

Ces propositions, dont l'importance est considérable, parce 
qu'elles nous font connaître des nombres transcendants très 
simplement définis, ne nous donnent, comme il est aisé de s'en 
assurer, qu'une infinité dénombrable de nombres transcendants. 
Au contraire, les procédés de Liouville, que nous allons mainte- 
nant exposer, en font connaître une infinité non dénombrable. 



Les recherches de Liouville. 

La méthode de Liouville consiste essentiellement dans la consi- 
dération des nombres rationnels qui approchent d'un nombre 
incommensurable déterminé. 

Désignons par ^ un nombre algébrique réel de degré /^, véri- 
fiant l'équation à coefficients entiers 

Soit — une fraction irréductible, valeur approchée de i; d'une 
manière précise, nous supposons que - est compris dans un cer- 
tain intervalle a, jB contenant ^, et d'ailleurs quelconque; il est 
clair que, si :r appartient à l'intervalle a, p, il existe un nombre M 
tel que l'on ait 

(I) \f'{x)\<^\. 

Cela étant, remarquons que, f{x) étant un polvnome à coefficients 
entiers, si l'on y remplacé x par un nombre rationnel — ? on 
obtiendra un résultat de la forme 



A 



q) q<- 



A étant un nombre entier; donc, si — n'est pas racine (') de 

(') On peut toujours supposer que l'équation f{x) =o n'admet pas de racine 
rationnelle; sinon le nombre \ vérifierait une équation plus simple. 



NOMBRES ALGÉBIUQIES ET APPROXIMATION DES INCOMMENSURABLES. 27 

l'équation /(:r) = o, on a |A|>i et, par suite, 



(2) 



K 



qii 



Cela posé, supposons que — soit dans l'intervalle a, ,3 et remar 
quons que, par hypothèse^ fÇi) est nul; on a 

On peut donc écrire, en vertu des inégalités (i) et (2), 



c'est-à-dire 

(A) 






>r 



> 



Mq'' 



Ainsi, étant donné un nombre algébrique ;, de degré /i, et un 
intervalle a, [3 comprenant q, on peut déterminer un nombre M 

tel que, quel que soit le nombre — dans Vintervalle a, [3, on ait 
V inégalité (A). 

Si nous supposons q > M, l'inégalité (A) devient 



(b; 



^-d> 



On voit d'ailleurs aisément que cette inégalité est, au moins 
pour les valeurs de q dépassant une certaine limite, vérifiée 

même lorsque — est extérieur à l'intervalle a, 3. 

Nous pouvons donc affirmer que, \ étant un nombre algébrique 
de degré n, on a V inégalité (B) dès que q dépasse une certaine 
limite (limite qui ne dépend que de ç). 

Nous pouvons donc affirmer que, étant donné un nombre ^, s'il 
existe des valeurs de q dépassant toute limite et telles que l'on 
ait pour chacune d'elles 



(P) 



-\ 



qii+i 



le nombre ; ne peut pas être un nombre algébrique de degré n. 
Supposons maintenant que nous puissions faire la même démon- 



28 CIIAPITUK II. 

slration pour chaque valeur de n, nous pourrons affirmer que \ 
est un nombre transcendant. 

Il importe de remarquer que, si l'on donne à - et à ^ des 

valeurs déterminées, l'inégalité (P) ne peut être vérifiée que pour 
un nombre fini de valeurs de n ; mais il peut arriver que, ^ étant 
donné, quelle que soit la valeur fixe attribuée à /r, l'inéga- 
lité (P) soit vérifiée pour une infinité de valeurs de ~ ; mais ces 

valeurs ne restent pas toutes les mêmes lorsque n varie. L'es- 
sentiel, pour qu'on puisse affirmer la transcendance de c, est 

qu'il y ait, pour chaque valeur de 72, une infinité de valeurs de — 
donnant lieu à l'inégalité (p). 

Or, il est facile de former des nombres ^ ayant cette propriété; 
posons 

(3) ^ = - 

a<, ao, . . . , o-ui ' • • étant des nombres entiers positifs que, pour 
fixer les idées, je suppose inférieurs à lo, de sorte que \ est en 

réalité écrit sous forme de fraction décimale ('). Désignons par- 
la somme des m premiers termes de la série qui définit ç; nous 
avons évidemment ^ = lo' •2-3... m ^^ 

> /! _. ^'«H °^/»-t-2 . 



t, _^ a. 


1 ""' 


""' 1 


a« 




' iqI 


.2 10I.2.3 


101.2.3.4 • 


• -^ ,ol.2.3. 


.11 ••'••■ 



On en conclut immédiatement 



<-r 



Il suffît donc de prendre m >> /i + i pour prouver que l'inéga- 
lité (|3), dans laquelle n a une valeur déterminée, est vérifiée 

pour une infinité de valeurs de — • Le nombre ; est donc trans- 
cendant. 

Il est aisé de voir que l'on peut ainsi définir une infinité non 
dénombrable de nombres transcendants et même, si l'on veut. 



(•) On suppose qu'il y a une infinité de nombres a qui ne sont pas nuls. 



NOMBRES ALGÉBRIQUES ET APPROXIMATION DES INCOMMENSURABLES. 29 

une infinité ayant la puissance du continu. Posons, en efifet, 

(/\ ,, ^ ai , «2 «3 , . "^^ , 

^'*'' ^ 10 "^ lo^ lo-^ ~^" '"^ 10'* 

Si l'on donne aux a toutes les valeurs entières inférieures à lo, 
^ prendra toutes les valeurs comprises entre o et i . Si l'on sup- 
pose de plus qu'il y a une infinité de nombres a qui ne sont pas 
nuls, on exclura en apparence certaines valeurs rationnelles des ^'; 
mais on obtiendra ces valeurs en remarquant que o, 5, par exemple, 
peut s'écrire 0,49999 • • • ^t (\\ie^ dans la série (3), on n'a pas 
exclu le cas où, à partir d'un certain rang, tous les a sont égaux 
à 9. On a donc un ensemble ayant la puissance du continu. Or, si 
à cliaque élément ^' de cet ensemble, on fait correspondre le 
nombre \ pour lequel les a ont la même valeur dans les for- 
mules (3) et (4), on aura défini un ensemble de nombres trans- 
cendants \ ayant la puissance du continu. C'est le résultat que 
nous voulions obtenir. 

L! approximation des nombres incommensurables . 

La remarquable propriété des nombres algébriques, que nous 
avons démontrée d'après Liouville, nous amène à dire quelques 
mots de l'approximation des incommensurables en général. On 
sait que, étant donné un nombre incommensurable a, on peut 
trouver, d'une infinité de manières, une suite infinie de nombres 
commensurables ayant pour limite a; chacun d'eux peut être 
regardé comme une valeur approchée de a; mais il est clair 
que la connaissance d'une ou de plusieurs de ces valeurs appro- 
chées ne peut fournir aucun renseignement sur la nature arith- 
métique (') de a; il en est tout autrement si l'on considère une 
infinité de valeurs rationnelles de plus en plus approchées, 
comme nous allons le voir. Mais il importe tout d'abord de 
mettre un peu d'ordre parmi ces valeurs approchées et c'est là 
le but de la théorie des fractions continues arithmétiques. Je 
rappelle brièvement les résultats fondamentaux de cette théorie. 

Etant donné un nombre incommensurable réel a, on peut le 



(') Â cause de l'homogénéité du continu. 




3o CHAPITRE II. 

mellre, d'une seule manière, sous la forme 



a = «o-i- 



«2 



«3 



les a étant des nombres entiers dont le premier seul («o) peut 
être nul ou négatif, les autres étant essentiellement positifs. Si 
l'on pose 

1*0 = i , Pi = <^o> • • • 1 ï*« + i = (^n P« + P«-i 

P 
les fractions irréductibles -^ sont les réduites. 

Elles sont alternativement approchées par excès et par défaut, 
et l'on a 

P«Q«+i~P«+iQ/. = (-0". 

On déduit aisément de là la propriété fondamentale des réduites : 
chacune d'elles est plus approchée que toute fraction ayant les 

termes plus petits. En d'autres termes, .- étant une fraction quel- 

P 
conque et ~ une réduite, si l'on a 

< 



a 
6-' 



%l-' 



on peut en conclure a >> P,/, h ^ Q/^. 

1! résulte de là que, dans létude de l'approximation du nom- 
bre a au moyen de nombres rationnels, on peut en général (') se 
borner à considérer les réduites. Il est d'ailleurs aisé d'indiquer 
deux limites de l'approximation obtenue à l'aide d'une réduite 
donnée. Nous supposons, pour plus de netteté, a positif. 

INous partirons des inégalités évidentes 



Pn P/i+; 



Q« Q«+5 



< 



q;"^I< 



• n * n- 



(') Dans certaines questions, il pourrait y avoir intérêt à considérer aussi les 
fractions intermédiaires. ( Voir, par exemple. Sekret, Algèbre supérieure, 
5" édition, t. I.) 



NOMBRES ALGÉBRIQUES ET APPROXIMATION DES INCOMMENSURABLES. 3l 

En remarquant que 

1 P/J Qrt4-2 — P« + 2 Q« I ^ • 



et 

on en conclut 

(0 

On a d'ailleurs 

et l'on en déduit 



IP.Q; 



Q/2 P/n-i I — • 



Q«Q/ 



< 



P« 



< 



Q«Q.- 



<^«Q« -T- Q/2-l! 



Q« 



Q. 



<^/»Q/i<Q«+i<(««-+-OQ/i» 



Les inégalités (i) deviennent enfin 



(^^) 



(«/, a,i+i + «rt-i-i 






^^ < 



^/.Q.1 



et fournissent deux limites de l'approximation donnée par la 
réduite de rang n. 

Pour en donner une application immédiate, supposons que a 
soit un nombre algébrique déterminé de degré /■, nous savons 
qu'il existe un nombre M tel que l'on ait, quels que soient/? et q. 



<i 



Uq>- 



/ i 

En prenant p = P„, q = Q/i et comparant avec la deuxième 
des inégalités (2), on en conclut 



(3) 



an < MQ- 



Ainsi, étant donné un nombre algébrique a de degré /■, on 
peut trouver un nombre M tel que l'inégalité (3) ait lieu pour 
toute valeur de n. Dans le cas où /• = 2, on voit que tous les «„ 
sont inférieurs à un nombre fixe M, ce qui s'accorde avec ce 
résultat bien connu que la fraction continue est alors périodique, 
il est évidemment très aisé de former des fractions continues qui 
ne vérifient pas l'inégalité (3), soit pour une valeur déterminée 



> 



32 



CHAPITRE II. 



de /', soit même quel que soitV (') : on a ainsi de nouveaux 
exemples de nombres transcendants. 

Mais ces résultats, déduits de la seconde des inégalités (2), ne 
diffèrent pas sensiblement de ceux que nous avions obtenus par 
la simple considération des fractions décimales; au contraire, la 
première des inégalités (2), que nous récrirons sous la forme 
suivante 



(4) 



In 

Qn 



> 



yClriCt, 



^«+1 



~^^l ' 



va nous permettre d'obtenir des résultats auxquels ne conduirait 
pas la seule théorie des fractions décimales. Supposons que tous 
les quotients incomplets an soient compris entre i et 10, par 
exemple : 

(5) 1 =«/i< 10 (/i = i, 2, 3, . . .), 

et désignons par h un nombre entier quelconque compris entre 
Q/i-i et Q„ ; nous avons, 

(6) Q,.>^'>Q«-i> -^Q.. 

puisque Q/i <C (<^«-i + OQ"-t ^^ <2/i_j -H i ^ 10. D'autre part, 
a étant un entier quelconque, on a, en utilisant les inéga- 
lités (4), (5), (6) et la propriété fondamentale des réduites, 



I I v« 



> 



> 



looQ/^j 1000062 
Ainsi, l'inégalité (5) a pour conséquence la suivante 



(7) 



> 



100006- 



a et 6 étant des entiers arbitraires. Nous voyons ainsi que la 
propriété des nombres algébriques, due à Liouville, n'est nulle- 
ment caractéristique et que l'on peut trouver une infinité de 
nombres transcendants a vérifiant l'inégalité (^), c'est-à-dire se 
comportant, au point de vue de l'approximation, comme les 
nombres algébriques du second degré. 



(') Il suffit, par exemple, de prendre a„ > Q«. 



NOMBRES ALGÉBRIQUES ET APPROXllM VTIOX DES INCOMMENSURABLES. 33 

Il est clair, en effet, que l'ensemble des nombres a, dont le 
développement en fraction continue satisfait aux inégalités (5), a 
même puissance que Tensemble des nombres a' définis par l'égalité 

(Il [ n.J I (l;, — I 

a = H ~-— — ■ -+ . . .H !-..., 

9 9- 9' 

les a vérifiant tonjonrs les inégalités (5) et il est clair cpie l'en- 
semble des yJ n'est autre (') que l'ensemble des nombres compris 
entre o et i (j compris o et i). L'ensemble des a a donc la puis- 
sance du continu et renferme par suite des nombres transcen- 
d a n ts . 



( ' ) Voir la remarque faite page 29 sur le cas où, à partir d'un cerlain rang, tous 
les <7,, seraient égaux à 9 (et, par suite, lésa,,— 1 à S). D'ailleurs celte difficulté, 
ne concernant qu'une infinité déntinibrable de points, est ici sans importance. 



CHAPITRE m. 

LES ENSEMBLES PARFAITS ET LES ENSEMBLES MESURABLES. 



Nous avons considéré jusqu'ici les ensembles à un point de 
vue purement abstrait; la notion de puissance peut être conçue 
indépendamment de la nature des éléments et une représentation 
concrète nous a été commode, mais non indispensable (*) pour 
distinguer entre elles les puissances que nous avons appris à 
connaître. Nous allons, au contraire, étudier, dans ce Chapitre, 
deux notions de la plus grande importance, mais en relation 
étroite avec la signification concrète particulière des éléments de 
l'ensemble. 

Nous supposerons que les éléments sont des points d'une 
droite, et le lecteur verra sans peine quelles considérations 
s'étendent au plan, ou à un espace d'un nombre quelconque de 
dimensions {^). 

Les ensembles parfaits. 

La notion fondamentale d'où découlent toutes les considéra- 
lions développées dans ce paragraphe est celle d^ ensemble dérivé. 
On appelle ensemble dérivé d'un ensemble donné l'ensemble 
des points tels que, dans le voisinage de chacun d'eux, se 
trouve une infinité de points de V ensemble donné. En d'autres 
termes, soit A l'ensemble donné, la lettre a désignant l'un quel- 
conque de ses éléments. On dira qu'un point a! est un point 



(') On peul dire tout au moins qu'une représentation concrète déterminée 
n'est pas indispensable, ou, si l'on veut, que les propriétés étudiées (par exemple, 
1>, i3) sont indépendantes de l'exemple concret choisi. 

(") On peut voir à ce sujet Jordan, Cours d'Analyse, t. 1, 2« édition. 




« LKS ENSEAIBLES PARFAITS ET LES ENSEMBLES MESURABLES. 35 

limite de l'ensemble A si, quelque petit que soit s, il existe 
un point a distinct de a' et dont la distance à a' soit inférieure 
à £. L'ensemble des points limites a' constitue un ensemble A', 
qui est dit dérivé de A. On voit que cette définition fait inter- 
venir des éléments étrangers à l'ensemble lui-même, mais dépen- 
dant seulement de sa représentation concrète : par exemple, les 
points de la droite qui n'appartiennent pas à l'ensemble. 

Pour donner immédiatement une application de cette défini- 
lion, démontrons que, si l'ensemble. A^ se réduit à un point, 
l'ensemble A est dénombrable. Remarquons d'abord qu'un inter- 
valle fini qui ne renferme aucun point de A' ne peut renfermer 
qu'un nombre limité de points de A (*); dès lors, si nous suppo- 
sons que le point unité de A^ a une abscisse nulle et si nous con- 
sidérons tous les intervalles de l'une des deux formes 



(ai, n -\- i). 



n étant un nombre entier positif ou négatif (différent de o et 
de — i), chacun de ces intervalles renfermera un nombre limité 
de points de A. Or ces intervalles sont en infinité dénombrabh; 
et tout point de A est compris dans l'un d'eux (sauf le point 
zéro, s'il appartient à iV); donc l'ensemble A est dénombrable. 

On appelle ensemble parfait tout ensemble qui est identique 
avec son dérivé. Un exemple simple fera comprendre le sens 
de celte dénomination. Considérons l'ensemble A formé de^ 
points compris entre zéro et un, non compris zéro et un. Il est 
clair que l'ensemble A' se compose de l'ensemble A, plus les 
points zéro et un : l'ensemble n'est pas parfait; il le devient si 
on lui adjoint les points zéro et un. De même, l'ensemble des 
points intérieurs à un cercle n'est pas parfait, si l'on ne con- 
sidère pas tous les points de la circonférence comme en faisant 
partie. 

La définition que nous venons de donner est celle de M. G. 
Cantor; M. Jordan donne une définition différente : il appelle 



(') Car s'il en renfermait une infinité, on pourrait le diviser en deux intervalles, 
chacun de ceux-là en deux, etc., et dans chaque division, un intervalle partiel au 
[rtoins renfermerait une infinité de points; ces intervalles partiels de plus en plus 
petits et compris les uns dans les autres tendent vers un point limite. 



36 CHAPITRE III. 9 

ensemble parfait un ensemble qui contient tous les points de 
son dérivé, mais qui peut contenir aussi des points n'apparte- 
nant pas à son dérivé. Nous verrons qu'il est à peu près indiffé- 
rent de choisir l'une ou l'autre de ces deux définitions; lorsqu'il 
sera nécessaire de préciser nous dirons qu'un ensemble parfait 
de M. Cantor esi absolument parfait, et un ensemble parfait de 
iM. Jordan relativement parfait. ^l^\s nous allons tout d'abord 
démontrer le théorème suivant qui fait voir pourquoi cette dis- 
linclion n'est pas essentielle ; tout ensemble relativement par- 
fait ne diffère de son dérivé que par une infinité dénombrable 
de points. 

[l s'agit de prouver que, si un ensemble A contient tous les 
points de A', l'ensemble B des points de A qui n'appartiennent 
pas à A' est dénombrable. Supposons, pour fixer les idées, que 
lous les points de A appartiennent à un segment fini de droite; 
on verra aisément qu'une démonstration à peine différente s'a[)- 
pliquerait au cas où A est formé de points quelconques d'un 
espace à n dimensions. Soit b un point de B, c'est-à-dire un 
point de A qui n'appartient pas à A'; je dis qu'il existe un 
nombre h tel qu'il n'y ait pas de point de A^dans l'intervalle b — //, 
b -^ h. Car, si un tel nombre h n'existait pas, il y aurait des 
points de A' aussi rapprochés que l'on veut de 6, et, par suite, des 
points de A aussi rapprochés que l'on veut de 6, qui serait par 
suite un point de A' contrairement à l'hypothèse ('). 

Ce premier point établi, je dis que, A étant un nombre positif 
quelconque, les points de B tels qu'il n'existe pas de point de A/ 
dans Tintervalle b — A, b -|- A, sont en nombre limité. En effet, 
soit b\ un de ces points; par hypothèse, l'intervalle bi — A, ^, + A 
ne renferme pas de point de A'; il renferme donc un nom])re 
limité de points de A cl, par suite, un nombre limité de points 
de B. Soit b^ un autre point de B, non situé dans l'intervalle bt — A, 
bi -\- h ; l'intervalle ^2 — ^^i f^i + f^ renfermera de même im nombre 
limité des points cherchés. Désignant par b-^ un des points cherchés, 



(') Et\ d'autres termes, soit e une constante positive quelconque; il existerait 
un point a' de A' tel que \a' ~ b\ <e; mais, d'après la définition de A', il existe 
un point a de A (distinct de b) et tel que |a - a'| < s; on a donc \a — b\ < -iz 
et, comme s est arbitraire, b est un point de A'. 



LES ENSEMBLES PAUFAITS ET LES ENSEMBLES MESURABLES. O'J 

n'appartenant pas à ces deux intervalles, nous considérerons de 
même Tintervalle ^3 — h, ^3 4- //. 

Or il est clair que, le point milieu de chacun de ces intervalles 
n'appartenant jamais à un autre intervalle, /i de ces intervalles, 
dont chacun a une longueur 2/1, recouvrent, si l'on a soin de ne 
pas compter deux fois les parties communes, une longueur totale 
au moins égale à (n -+- i)h; leur nombre est donc forcement 
limité, et, par suite, le nombre des points de B ayant la propriété 
requise. 

Considérons maintenant une suite arbitraire de nombres posi- 
tifs décroissants et tendant vers zéro, par exemple : 



I I I 

I , - ) - ' • • • ' 
•2 3 /t 



et soit B,i Tensemble des points de B définis en prenant h= -; 

B/i comprend un nombre limité de points; soit Cn Tensemble des 
points qui appartiennent à B,i et n'appartiennent pas à Bn-t ('1 est 
clair que B,/ renferme tous les points de B/;_,); on aura 

B = GiH-G2-i-G3 + ...+ G„-^... . 

et, chacun des termes de cette somme renfermant un nombre 
limité de points, B est dénombrable. On remarquera que nou^ 
sommes assurés que tout point de B appartient à un groupe C„ 
de rang déterminé, par le théorème que nous avons démontré 
d'abord : à tout point 6 de B correspond un nombre fini /i, tel 
(ju'il n'y ait pas de point de A' dans l'intervalle b — h, b -{- h. 

On voit qu'un ensemble relativement parfait ne fait défaut à 
la définition de l'ensemble absolument parfait, que par une infi- 
nité dénombrable de points. On ne peut cependant pas en con- 
clure que tout ensemble relativement parfait est formé d'an 
ensemble absolument parfait et d'un ensemble dénombrable ; 
car, si nous conservons nos notations, A est formé de l'ensemble A' 
et de l'ensemble dénombrable B; mais l'ensemble A' n'est peut-être 
pas absolument parfait : il coïncide avec le dérivé de A, mais non 
nécessairement avec le dérivé de A', car A' n'est qu'une partie 
de A. La proposition que nous venons d'énoncer est cependant 



38 CHAPITRE m. 

exacte ('); mais sa démonstration est trop longue pour que nous 
la donnions ici, n'ayant pas besoin du théorème par la suite. 

On peut remarquer que, chemin faisant, nous avons implici- 
tement démontré ce théorème : tout ensemble dérivé A! est rela- 
tivement parfait, c'est-à-dire contient son dérivé A'^; car, tout 
point de M\ ayant dans son voisinage des points de A', a aussi dans 
son voisinage des points de A, et par suite appartient à A'. 

La notion opposée à celle d'ensemble parfait est celle d'en- 
semble isolé : on appelle ainsi tout ensemble qui n'a aucun élé- 
ment commun avec l'ensemble dérivé; on démontre qu'un tel 
ensemble est dénombrable par un raisonnement identique à celui 
des pages 36, 3-; mais, tout ensemble dénombrable n'est pas 
isolé; par exemple, l'ensemble des nombres rationnels compris 
entre o et i admet comme ensemble dérivé l'ensemble de tous 
les nombres compris entre o et i ; il n'est donc pas isolé. 

Nous dirons qu'un ensemble A est dense {^) dans un intervalle 
a, b, lorsque tout intervalle, quelque petit qu'il soit, renfermé 
dans a, 6, contient des points de A. Dès lors, l'ensemble dérivé A' 
comprend tous les points de a, b. Donc, un ensemble A, dense 
dans l'intervalle «, h comprend, s'il est parfait, tous les points 
de (2, b. Cette remarque fait comprendre l'importance de la notion 
iY ensemble parfait ; l'étude et la classification de ces ensembles 
est beaucoup plus simple que l'étude des ensembles non parfaits, 
surtout quand ceux-ci ne sont pas dénombrables. Mais j'ai hâte 
de quitter ces généralités pour montrer comment on se trouve 
naturellement conduit à considérer certains ensembles parfaits, 
lorsqu'on étudie de plus près la question qui a fait l'objet du 
Chapitre précédent. 

(') Le résultat essentiel d'où se déduit immédiatement cette proposition est dû 
à M. Bendixon : Acta niathematica, t. II, p. 4^91 théorèmes D, E, V . 

(») On emploie souvent l'expression : condensé dans l'intervalle a, b, dans le 
sens que nous donnons à dense dans l'intervalle a, b. Il nous semble que cette 
expression n'est guère correcte et peut donner lieu à des erreurs : le mot condensé, 
(le même que les mots compris, concentré, concourant, contenu, semblant im- 
pliquer réunion de tous les éléments en un même lieu, et par suite le complément 
précédé de dans, paraissant avoir, après condensé, le même sens absolu que dans 
la phrase : x est compris dans l'intervalle a, b et non le sens relatif qu'il a 
lorsqu'on dit : y est positif dans l'intervalle a, b (mais pourrait être positif 
aussi dans d'autres intervalles). Les Allemands emploient d'ailleui's le mot dicht 
et non le mot verdicht. 



LES ENSEMBLES PARFAITS ET LES ENSEMBLES MESURABLES. Sç) 



Les ensembles parfaits qui ne sont denses dans aucun 
intervalle. 

Considérons les nombres rationnels compris enlre o et i et 
associons à chacun d'eux - l'intervalle 

(a) ^---r ^ + -.- 

Nous obtenons ainsi une infinité dénombrable d'intervalles 
situés sur la droite ; nous allons considérer l'ensemble A des points 
qui sont compris entre o et i et qui n'appartiennent à aucun de 
ces intervalles; on remarquera que chaque extrémité de tout 
intervalle, ayant une abscisse rationnelle, est le milieu d'un autre 
intervalle; il n'est donc pas nécessaire de spécifier si l'on consi- 
dère les extrémités d'un intervalle comme en faisant ou \\''en 
faisant pas partie : la définition de A n'en est pas modifiée. 

Il est à peine besoin d'indiquer le lien étroit qu'il y a entre la 
considération de l'ensemble A et la question de l'approximation des 
incommensurables. Il est clair que A est formé des nombres incom- 
mensurables ^ ayant cette propriété que l'on a, quel que soit — ? 



I 



Qu'il existe de tels nombres ç, nous en sommes assurés par la 
théorie des fractions continues ; tel est, par exemple, le nombre ^ ; 

mais cette théorie nous apprend peu de chose sur l'ensemble A; 
de plus, elle repose sur des propriétés particulières des nombres 
rationnels et ne s'étendrait pas, au moins aisément, à l'approxi- 
mation des incommensurables par des nombres algébriques d'une 
classe déterminée, par exemple. 

Nous pouvons d'abord démontrer sans peine que l'ensemble A 
est parfait; car, si un point a/ de A' n'appartenait pas à A, «' devrait 
être intérieur à l'un des intervalles (i) (sans coïncider avec ses 
extrémités), ce qui est absurde puisque cet intervalle ne contient 



4o CHAPITRE 111. 

pas de polnL de A. Donc, tout point de A' appartient à A. Nous 
pouvons affirmer, par suite, que A n'est dense dans aucun inter- 
valle*, car, si A était dense dans un intervalle, il comprendrait tous 

les points de cet intervalle, ce qui est absurde puisque les points - 
ne font pas partie de A et qu'il j en a dans tout intervalle. 

Nous avons ainsi un exemple d'un ensemble parfait ('), qui 
n'est dense dans aucun intervalle. 11 importe d'approfondir la 
nature d'un tel ensemble et, tout d'abord, de démontrer qu'il 
n'est pas dériombrable, sans faire appel à la tliéorie des fractions 
continues. 

Soit o-i un intervalle donné; sa longueur est égale à un; 
soit <7)-6, un intervalle compris dans l'intervalle o-i cl de lon- 
gueur a, ; il est clair que l'ensemble A des points qui appartiennent 
à l'intervalle o-i sans appartenir à l'intervalle a^-b^ est formé 
de tous les points de certains intervalles dont la longueur totale 
est I — a,. (Si, pour fixer les idées, on suppose o << a, <C ^, << i , 
ces intervalles sont o-a, et b^-i .) 

Soit maintenant a.^-b-j, un autre intervalle compris dans l'inter- 
valle o-i et n'ayant aucun point commun avec l'intervalle a^-b^ ; 
soit 7-2 la longueur de a.y-b.> (a^, de même que ai, est essentielle- 
ment positif). Il est clair que l'ensemble A des points de Tinter- 
valle o-î qui n'appartiennent ni à a^-b^^ ni à a^-b.y est formé de 
lous les ])oints d'un nombre limité d'intervalles, dont la longueur 
totale est i — a, — a^. 

Plus généralement, si l'on supprime de l'intervalle o-i un 
nombre limité d'intervalles a-b^^ a^-b^i •••, cin-bni n'ajani 
aucune partie commune, et de longueurs respectives aj , àa, . . ., 
7.//, l'ensemble A des points restants est formé de tous les points 
de certains intervalles, en nombre limité, et dont la longueur 

totale est 

I — (ai + a2-r-. . .-f- -la)' 

Si l'on ne faisait })lus l'bjpothèse que les ensembles a^-b^^ 
a-2-b.2 ci,i-b,i n'ont pas de point commun, la conclusion 



(') Nous, savons d'ailleurs déjà par la ihcorie des fractions continues que A 
n'est pas dénombrable; nous pouvons donc, d'après le théorème de M. Bendixon, 
en déduire un ensemble absolument parfait et ayant la même propriété. 



LKS KXSEMHLKS PAKFAITS liT LES ENSEMBLES MESURABLES. 4I 

serait la même, sauf que l'on pourrait affirmer seulement que la 
somme des intervalles dont les points forment A est supérieure 
ou égale à r— (a, + a^ +. . . + :/.„). Dans tous les cas, si l'on 

su])pose 

ai-f- 0:2-4-. . .H- a,i < 1, i . 

cette somme n'est certainement pas nulle et, par suite, l'en- 
semble A a la puissance du continu. 

Supposons maintenant que, à chaque nombre entier n^ nous 
fassions correspondre un intervalle cia-bn-i de longueur a,; ; en 
d'autres termes, que nous supprimions de l'intervalle o- [ les points 
d'une infinité dénombrable d'intervalles ; supposons, en outre, que 
la série à termes positifs 



soit convergente et que sa somme s vérifie l'inégalité 

que pourrons-nous dire de l'ensemble A formé des points de l'in- 
tervalle o-i qui n'appartiennent à aucun des intervalles a,i-ha] 0\\ 
peut remarquer que cet ensemble peut n'être dense dans aucun 
intervalle; il est d'ailleurs aisé de voir qu'il comprend tous les 
points des intervalles dans lesquels il est dense; mais une pre- 
mière question se pose avant toutes celles-là : cet ensemble A 
existe-t-il? c'est-à-dire : peut-on conclure de l'inégalité 



A^ ^ 1 



qu'il j a des points n'appartenant à aucun des intervalles an-h„'l 
Bien que ce point soit à peu près évident, il ne sera pas inutile de 
le démontrer en toute rigueur, car cela nous fournira l'occasion 
de faire plusieurs remarques iipportantes. 

La première de ces remarques est la suivante : nous voulons 
démontrer qu'il existe des points non intérieurs à certains inter- 
valles; ou, en d'autres termes, que l'hypothèse d'après laquelle 
tout point du segment o-i appartient à l'un de nos intervalles 
est absurde ;ye dis que Von peut ne considérer comme apparte- 
nant à un intervalle que les points intéiieuis, à U exclusion 



4'2 CHAPITRE III. 

des extrémités. En effet, agrandissons, à chacune des extrémités, 
chaque intervalle an-ba d'une fraction £ de sa longueur; c'est- 
à-dire prenons bnh\^=^ anCij^^= ta,ibn^ les points a'n el b'„ étant 
d'ailleurs extérieurs à l'intervalle a„-b,i. 

L'intervalle ci,-b'n a pour longueur (i 4- it)a,ib„ ; la somme de 
tous les intervalles <7 ',-/;', , a'.,-b'.^, . . . est donc 5' = (1 + '^s)?; mais, 

si l'on a 

5 < I, 

on pourra toujours choisir un nombre positif £ lel que l'on ait 

(l -+- 1ô)S < 1. 

Or l'hypothèse que tout point de Fintervalle 0-1 serait compris 
dans un des intervalles <2„-6„ (sans exclure les extrémités) condui- 
rait à ce résultat, que tout point est compris dans un des inter- 
valle ci\-b\^ (en excluant les extrémités); nous allons montrer que 
cette dernière hypothèse est incompatible avec l'inégalité 

s'<\. 

Nous allons démontrer pour cela le théorème suivant, dans 
l'énoncé duquel il est expressément entendu que les mots inté- 
rieur à un intervalle eiLcluenlXes extrémités. 

Si Von a sur un segment limité de droite une infinité 
dénombrable d^ intervalles partiels, tels que tout point de la 
droite soit intérieur à V un au moins des intervalles, il 
existe (^) un nombre limité d^ intervalles choisis parmi les 
intervalles donnés et ayant la même propriété [tout point de 
la droite est intérieur à, au moins, l'un d'eux). Numérotons 
nos intervalles d'après une loi quelconque, mais déterminée; je 
dis qu'il existe un nombre N, tel que tout point de la droite soit 
à l'intérieur d'un intervalle dont le rang ne dépasse pas N. En 
effet, nier l'existence du nombre N, c'est affirmer que, quel que 
soit le nombre donné n, il existe sur la droite un point tel que 



('j On liouvera dans ma TJicsc une autre démonstration de ce lliéorème, 
démonstration qui donne un moyen au moins théorique de déterminer eiïecti- 
vement les intervalles en nombre limité dont il est question. 



LES ENSEMBLES PARFAITS ET LES ENSEMBLES MESURABLES. 45 

tous les intervalles qui le renferment ont un numéro supérieur 
à n. Il est clair d'ailleurs que, si l'on divise le segment de droite 
en deux segments égaux, l'un au moins de ces segments aura la 
même propriété; car, si pour chacun de ces segments il existait 
un nombre N, soient N' et N" ces deux nombres, il suffirait de 
prendre pour N le plus grand des deux. Si nous continuons à 
diviser le segment en deux parties égales et si nous conservons 
toujours le segment pour lequel il n'existe pas de nombre N (ou 
l'un d'eux, s'il j en a plusieurs), nous obtiendrons des segments 
de plus en plus petits, renfermés les uns dans les autres et avant 
la propriété suivante : quel que soit le nombre /?, chacun d'eux 
contient au moins un point qui n^ est renfermé dans aucun 
inter^'alle de rang inférieur an. Mais ces segments emboîtés 
les uns dans les autres et dont chacun est égal à la moitié du pré- 
cédent ont un point limite a; ce point a est, par hypothèse, à 
V intérieur d'un intervalle de rang déterminé k, puisque nous 
avons supposé dénombrable l'ensemble de nos intervalles; les 
extrémités a^, bk de cet intervalle ne coïncident d'ailleurs 
pas avec a (à cause du sens restreint que nous attachons au mol 
intérieur)] donc, cet intervalle aj^- bk comprend tout entier l'un 
des segments qui ont pour limite a, ce qui est absurde, puisque 
les points de ce segment seraient ainsi tous compris à Tinlérieur 
de cet intervalle a^- b^ dont le rang est un nombre fixe. L'exis- 
tence du nombre N est donc établie. 

Mais il est évident que si des intervalles, en nombre limité N, 
sont tels que tous les points d'un segment leur sont intérieurs, 
la somme des longueurs des intervalles est supérieure à la lon- 
gueur du segment. C'est ce qui n'est pas possible, si les N inter- 
valles sont choisis parmi une infinité d'intervalles, dont la somme 
totale est inférieure à la longueur du segment. 

Nous pouvons donc affirmer que V hypothèse 

ou, ce qui revient au même, V hypothèse 

a pour conséquence r existence certaine de r ensemble A, c'est- 
à-dire l'existence de points n'appartenant pas aux intervalles 



44 CIIAPITIIE 111. 

donnés (sans qu'il soit d'ailleurs maintenant nécessaire de dislin- 
guer si l'on exclut ou non les extrémités). 

Nous pouvons ajouter que l'ensemble A n'est pas dénombrable, 
car s'il était dénombrable nous pourrions, désignant ses points 
par a,, a.j, ..., a,/, ..., entourer le point a,/ d'un intervalle 

d'étendue égale à —■> et joindre ces intervalles aux intervalles 

donnés; la somme s deviendrait 

£ £ £ 

Si — S ^ h -- -+-... H h ... ~ S -h S, 

et il est clair que, si l'on a 

on [)eut choisir s de telle manière que l'on ait aussi 

.V, <i. 

Par conséquent, il existerait des points n'appartenant pas aux 
intervalles a,ib,i et ne coïncidant certainement avec aucun des 
points a, , a^,, . . . , a//, . . . . Il est donc impossible que cette suit(; 
dénombrable renferme tous les ])oints de A; donc A n'est pas 
dénombrable. 

Nous avons insisté sur cette démonstration parce qu'elle nous 
a paru de nature à éclairer un peu la conception que chacun peut 
essayer de se faire du continu. Après avoir rélléchi à ce lait, que 
/'o/i peut enlever cVune droite tous les points compris clans 
chacun des intervalles 

i? _ _L , A' _^ J_ , 

q q-^' q "^ ^y ^ ' 

et cju^ il reste encore des points, en infinité non dénombrable, 
on sera moins disposé à croire que Ton sait ce que c'est que le 
continu et à raisonner sur lui comme sur une notion intuitive et 
parfaitement claire. 

Voici un autre exemple, dans lequel on serait aisément amené 
à une conclusion inexacte. 

Considérons les intervalles 

• p ^ ^ P_ ^ 1_ /y = I , 2, 3, . . . , ce 

q q-^' q q^ \p ^\, )., ..., q — \ 



LliS EMSIiAlBLES PARFAITS K T LKS ENSKMHLKS iMFiSLRABLES. fa 

Leur étendue totale est, puisqu'il y en a ^ — [ coirespondanl à 
I même dénominateur q. 



^-^-'^^{^ 






en désignant par INI un nombre aisé à calculer. D'ailleurs, si l'on 
tient à ne pas compter plusieurs fois leurs parties communes, on 
aura des intervalles, toujours en infinité dénombrable, et dont 
l'étendue totale sera inférieure à sM; mais ce point a peu d'im- 
portance. 

Donnons à t la valeur j n étant un nombre entier; désignons 

par E/j l'ensemble formé de tous les points intérieurs aux inlci- 
valles correspondants, et considérons la suite des ensembles 

(E) E,, Eo, ..., E„, ...; 

il est clair que cliacun d'eux renferme tous les points contenus 

dans les suivants; l'intervalle E^^ est d'ailleurs formé de tous les 

points compris à l'intérieur d'intervalles dont la longueur totale 

. ., . , M 

est inierieure a — • 
n 

Ces préliminaires terminés, nous allons porter notre allenlion 
sur l'ensemble E formé des points qui appartiennent à tous 

les E/^; cet ensemble E comprend assurément tous les points — ; 

mais il n'est pas évident a priori {\w^ 'A renferme d'autres points. 
Cet ensemble E a d'ailleurs la propriété remarquable que l'on 
peut enfermer ses points en une série d'intervalles dont la somme 
est aussi petite que l'on veut; car tous les points de E sont des 
[)oints de E/^ et, par suite, sont compris dans des intervalles d'une 

lonirueur totale inférieure à — • Nous allons montrer que E a la 

puissance du continu. 

11 suffit (') pour cela de faire voir que l'ensemble des nombres 
transcendants ç étudiés page 28, appartient à l'ensemble E; 
c'est-à-dire de montrer que chacun de ces nombres ^ appartient à 



(') Voir la Noie I. 



46 CHAPITRE lll. 

l'un quelconque des ensembles E/^. Or chacun de ces nombres z, 
est tel, qu'il existe une infinité de valeurs de p el de q vérifiant 



'inégalité 



^-f 



I 



Puisqu'il j a une infinité de telles valeurs de q, nous pouvons 
supposer q ^ n et nous aurons 



ï 
< — 

nq 



ce qui prouve que ç appj 

Nous sommes maintenant à même de comprendre une notion 
qui nous sera très utile, la notion d'ensemble mesurable ('). 



Les ensembles mesurables. 



(le 
e 



Tous les ensembles que nous considérerons seront formés 
points compris entre o et i . Lorsqu'un ensemble sera formé d 
tous les points compris dans une infinité dénombrable d'inter- 
valles n'empiétant pas les uns sur les autres et ayant une lon- 
gueur totale s, nous dirons que l'ensemble a pour mesure s. 
Lorsque deux ensembles n'ont pas de points communs, et que 
leurs mesures sont s et s' , l'ensemble obtenu en les réunissant, 
c'est-à-dire leur somme, a pour mesure s -{-s'. D'ailleurs, il 
importe peu dans la définition de la mesure d'un ensemble, ou 
dans celle de la somme de deux ensembles, que l'on néglige, ou 
que l'on tienne tel compte que l'on veut des extrémités des inter- 
valles, en infinité dénombrable. 

Plus généralement, si l'on a une infinité dénombrable d'en- 
sembles n'ayant deux à deux aucun point commun et ayant res- 
pectivement pour mesures 5,, .ç^, • . • , s,i, . . ., leur somme (ou 



(') On comparera avec fruit les définilions que nous allons donner avec les 
définitions plus générales que donne M. Jordan dans son Cours d'Analyse. Le 
problème que nous éludions ici est d'ailleurs tout difTcrent de celui ([u'a résolu 
j\l. Jordan. 



LES ENSEMBLES PARFAITS ET LES ENSEMBLES MESURABLES. 

ensemble formé par leur réunion) a pour mesure 



Tout cela est une conséquence de la définition de la mesure. 
Voici maintenant des définitions nouvelles : si un ensemble E a 
pour mesure s, et contient tous les points d'un ensemble E' dont 
la mesure est s' , //ensemble E — E', formé des points de E qui 
HL appartiennent pas à E', sera, dit avoir pour mesure s — 5'; de 
plus, si un ensemble est la somme d'une infinité dénombrable 
d'ensembles sans partie commune, sa mesure sera la somme des 
mesures de ses parties et enfin les ensembles E et E' ayant, en 
vertu de ces définitions, s et 5' comme mesures, et E renfermant 
tous les points de E', l'ensemble E — ^ E' aura pour mesure s — .ç^ 

Le théorème fondamental démontré pages 41-43 nous assure que 
ces définitions ne seront jamais contradictoires entre elles (*); 
nous sommes donc libres de les adopter; nous sommes d'ailleurs 
assurés aussi que la mesure d'un ensemble ne sera jamais une 
quantité négative; mais un ensemble peut avoir pour mesure zéro 
et avoir la puissance du continu. Tel est l'ensemble E considéré 
tantôt. Si nous reprenons les notations de la page 4^ et si nous 

désignons par a/^ la mesure de E/^ ( a,; << — j > l'ensemble E,/ — E,,.,., 

aura pour mesure ti.,i — a,;^, (nous savons que E^^ renferme tous 
les points de E„^,). L'ensemble A des points qui n'appartiennent 
pas à E„ a pour mesure i — a,^ (c'est la différence de l'ensemble 
de tous les points du segment o-i etdeE„). L'ensemble des points 
(jui n'appartiennent pas à E peut être regardé comme formé en 
ajoutant à A les ensembles E/^ — E„^,, E,,^, — E^^^o? •••> sa 
mesure est donc 

i — '^i + (2(/i— 3c«+-i)-<- (a^+i — a„+2) + - . .= I 

puisque a,,i tend vers zéro pour m infini. Donc, l'ensemble E 
obtenu en retranchant cet ensemble de l'ensemble de tous les 
points o-i, a pour mesure zéro. 

Ainsi un ensemble qui a pour mesure zéro peut être non dénom- 



(') II est du moins aisé d'obtenir ce résultat par des procédés tout à fait ana- 
logues à ceux que l'on a employés pour établir ce théorème. 



48 CHAPITRE m. 

brable; mais tout ensemble dénombrable a pour mesure zéro; 
c'est une conséquence aisée de ce qui précède. 

Les ensembles dont on peut définir la mesure en vertu des 
définitions précédentes seront dits par nous ensembles mesu- 
rables, sans que nous entendions impliquer par là qu'il n'est 
pas possible de donner une définilion de la mesure d'autres 
ensembles; mais une telle définition nous serait inutile; elle 
pourrait même nous gêner, si elle ne laissait pas à la mesure les 
propriétés fondamentales que nous lui avons attribuées dans les 
définitions que nous avons données (*). 

Ces propriétés essentielles, que nous résumons ici parce 
([u'elles nous seront utiles, sont les suivantes ; La mesure de la 
somme d'une infinité dénombrable d'ensembles est égale à lu 
somme de leurs^mesures ; la mesure de la différence de deux 
ensembles est égale à la différence de leurs mesures (-); la 
mesure n^est jamais négative ; tout ensemble dont la mesure 
n'est pas nulle n'est pas dénombrable. C'est surtout de cette 
dernière propriété que nous ferons usage. Il est d'ailleurs expres- 
sément entendu que nous ne parlerons de mesure qu'à propos 
des ensembles que nous avons appelés mesui'ables. 

Cependant, si un ensemble E contient tous les éléments d'un 
ensemble mesurable E,, de mesure a, nous pourrons dire que la 
mesure deE est supérieure à a, sans nous inquiéter si E est mesu- 
rable ou non. Inversement, si Ei contient tous les éléments 
de E, nous dirons que la mesure de E est inférieure à a. Les 
mots supérieure et inférieure n'excluent d'ailleurs pas l'égalité. 



(') Le procédé que nous avons employé revient en réalilé à ceci : nous avons 
reconnu qu'une définilion de la mesure ne pouvait être utile que si elle avait 
certaines propriétés fondamentales : nous avons posé a priori ces propriétés et 
ce sont elles qui nous ont servi à définir la classe d'ensembles que nous regar- 
dons comme mesurables. Cette manière de procéder présente de grandes ana- 
logies avec les tnélhodes introduites par M. J. Drach, en Algèbre et dans la théorie 
des équations diirérenliellcs {voir, par exemple, l'Ouvrage cité (p.aS) et Comptes 
rendus, janvier iSgô). Dans tous les cas, elle procède de la même idée fonda- 
menlale : définir les éléments nouveaux que l'on introduit, à l'aide de leurs pro- 
priétés essentielles, c'est-à-dire de celles qui sont strictement indispensables pour 
les raisonnements qui doivent suivre. 

{^) Fiien entendu quand on parle de la somme de plusieurs ensembles, on sup- 
pose qu'ils n'ont, deux à deux, aucun élément Commun et, quand on parle de 
leur dilTérence, on suj)pose que l'un d'eux renferme tous les éléments de l'autre. 




LES ENSEMBLES PARFAITS ET LES ENSEMBLES MESÎJHASLES. 49 

Il est aisé de voir que les propriétés essentielles s'étendent, avec 
des modifications convenables, à ces nouvelles définitions : en 
quelque sorte, un calcul d'égalités se trouve remplacé par un 
calcLd d'inégalités qui peut parfois rendre les mêmes services. 

Nous allons démontrer, en terminant, une proposition impor- 
tante, qui montrera la liaison intime entre les notions diverses 
introduites dans ce Chapitre : tout ensemble parfait (') 
limité (-) est mesurable. 

Soit en effet A un ensemble parfait dont tous les points sont 
dans l'intervalle o-i et soit a un point de cet intervalle, n'appar- 
tenant pas à A; je dis qu'il existe un intervalle ab comprenant a 
et ne renfermant pas de point de A, a et b étant d'ailleurs des 
points de A. (L'un des points a ou b pourrait ne pas appartenir 
à A; il coïnciderait alors avec le point o ou le point i). En effet, 
A étant parfait, a n'appartient pas à A'; il existe donc un 
nombre £ tel qu'il n'y ait pas de point de A dans l'intervalle a, 
a + £, £ étant positif. D'autre part, en excluant le cas où il n'y 
aurait pas de point de A dans l'intervalle a- 1 , il existe un 
nombre £' tel qu'il y ait au moins un point de A dans l'inter- 
valle a, a -|- £'. Il est manifeste que tout nombre positif Tj, ou bien 
a la même propriété que £, ou bien a la même propriété que £' et 
l'on voit aisément qu'il existe un nombre b tel que, si rj << 6, il 
n'y a pas de point de A dans l'intervalle a, a -f- r,, tandis qu'il y 
en a si •/! >> b. Or, il est aisé de voir que le point 6, ou bien appar- 
tient à A, ou bien (=*) appartient à A'; or, A est parfait; donc, 
dans tous les cas, b appartient à A. On démontrerait de même 
l'existence d'un point a en prenant £ et 7) négatifs; l'intervalle 
ab est l'intervalle cherché. 

Ainsi, A étant un ensemble parfait, tout point a qui n'appar- 
tient pas à A se trouve dans un intervalle ab ne renfermant 
d'autre point de A que ses extrémités. Si nous considérons main- 



(') Le mot parfait peut être pris ici dans le sens large de M. Jordan; le résul- 
tat serait vrai, a fortiori, s'il avait le sens que lui donne M. Cantor. 

{") On dit qu'un ensemble est limité lorsque la distance de deux quelconques 
de ses points est inférieure à un nombre fixe. 

(') Car, si le point 6 n'appartient pas à A, il y a des points de A distincts de b, 
dans l'intervalle b, b -\- h, quelque petit que soit le nombre positif h; donc b 
appartient à A'. 

4 



/ 

5o CII.VPITRK III. — l.KS ENSEMBLES PARFAITS, ETC. 

tenant un autre point a', ne faisant pas partie de A et non situé 
dans ab^ nous aurons un intervalle analogue a u\ etc. D'ailleurs, 
l'ensemble des intervalles que l'on peut ainsi définir est certai- 
nement dénombrable, puisque la somme de leurs longueurs est 
au plus égale à l'unité. L'ensemble A s'obtient donc en retran- 
chant de l'ensemble o-i une infinité dénombrable d'ensembles 
mesurables; il est donc mesurable (^). 

Cette démonstration nous fait en môme temps connaître le 
moyen le plus général de construction d'un ensemble parfait situé 
sur le segment o, i. Pour se donner un tel ensemble, il suffit de 
se donner une infinité dénombrable d'intervalles «, ^, , «o 60, . . . , 
((,1^111 •••? assujettis d'ailleurs à certaines restrictions. On en 
conclut aisément que l'ensemble de tous ces ensembles parfaits à 
la puissance du continu. Nous verrons que, d'autre part, l'en- 
semble de tous les ensembles de points situés sur le segment o^ i, 
a une puissance plus élevée que celle du continu (2). Cette 
remarque suffit à montrer quelle restriction considérable on 
apporte à la notion d'ensemble, lorsqu'on assujettit un ensemble 
à èire parfait et, par suite, combien il est naturel que l'on puisse 
être conduit ainsi à des résultats plus simples. 



(') Nous avons eu d'ailleurs un exemple d'un ensemble mesurable non parfail; 
car il était dense dans tout intervalle. 
(^) Voir Note I, pages 109-110. 



CHAPITRE IV. 



LE PROLONGIÏMENT ANALYTIQUE. 



Les Chapitres précédents ont été surtout consacrés à la théorie 
des ensembles; ceux qui suivent contiendront les applications de 
cette théorie à la théorie des fonctions. 



La définition du prolongement analytique. 

La notion de prolongement analytique est devenue trop clas- 
sique, pour qu'il soit nécessaire d'en exposer en détail les prin- 
cipes; nous allons nous borner à rappeler sans démonstration les 
résultats essentiels sur lesquels elle est fondée. Nous désignerons, 
suivant un usage assez répandu, par ^^(^x — a) une série ordonnée 
suivant les puissances positives de ^ — a et convergente dans un 
certain cercle, dont le rayon est différent de zéro, et dont le centre 
est le point a. 

Gela posé, la première proposition fondamentale est la sui- 
vante : Etant données deux séries ^[x — a) et ^S(x — ^), si 
leurs cercles de convergence ont une partie commune et si les 
deux séries ont même valeur, ainsi que toutes leurs dérivées 
en un point iivtérieur à cette partie commune, elles ont même 
somme en tous les points où elles sont toutes deux conver- 
gentes. Dès lors, chacune des deux séries est dite un prolon- 
gement analytique (') immédiat de l'autre. En pratique, pour 
obtenir un prolongement analytique d'une série donnée ^^[x — a), 
on est amené à prendre un point 6, intérieur au cercle de conver- 
gence de ^{x — a) et à développer ^{x — a) suivant les ^ms- 



(') Il est à peine besoin de remarquer que, lorsqu'on donne ^ {x — a) el ô, 
^{x — b), s'il existe, est déterminé d'une manière unique. 



52 ciiAPiTUli: IV. 

sances positives de x — b, parla formule de Tajlor; mais il n'y 
a aucun inconvénient à employer l'expression prolongement 
analytique immédiat dans le sens un peu plus large c[ue nous 
lui donnons; seulement, étant donnée une série 0:'(x" — «), on n'a 
pas de procédé de calcul direct pour reconnaître s'il existe une 
série ^^{x — ^), ayant les propriétés voulues, lorsque h est exté- 
rieur au cercle de convergence de ^1^(^ — a). 

Voici maintenant la deuxième proposition fondamentale : Si 
Von a plusieurs séries '^^{x — a), ^J?(^ — />), 0?(^ — <^)? — • ^ 
<i\^ — /), telles que leurs cercles de convergence recouvrent 
complètement une aire S à contour simple, et cela de telle 
manière cjuc tout point de S soit intérieur à r un au moins 
des cercles; si, de plus, on peut ranger ces séries en une suite 

les comprenant toutes, et telle cjue deux consécutives soient 
toujours le prolongement analytique immédiat V une de 
V autre, on pourra affirmer que, dans le cas oit les cercles de 
convergence de deux séries non consécutives quelconques se 
trouvent avoir une partie commune, ces deux séries sont le 
prolongement analytique immédiat V une de l'autre. 

Dès lors, l'ensemble des séries considérées définit une fonction 
analytique uniforme dans S ; chacune de ces séries est dite, d'apiès 
Weierstrass, un élément de cette fonction analytique. 

Considérons maintenant une courbe fermée C sans point double ; 
soient a^h^c^ . . ., /des points de Cet ^^{x — a), ^^{^x — h), . . . , 
(.^(/ç — /) une suite de séries dont chacune est un prolongement 
analytique immédiat de la précédente; on suppose que, en par- 
courant la courbe dans un sens déterminé, on rencontre successi- 
vement les points a, ô, c, ...,/. Supposons maintenant que les 
cercles de convergence de ^^(^ — /) et 9:\.2; — a) aient une partie 
commune et que, d'autre part, tout point de la courbe soit inté- 
rieur à l'un au moins des cercles de convergence. L'ensemble de 
ces cercles recouvre ainsi une sorte de couronne à laquelle la 
courbe est intérieure. 

Cela posé, deux cas généraux pourront se présenter : 

I " La série ^!^{x — a) est un prolongement immédiat de 9?(^ — /) ; 
nos séries définissent alors une fonction uniforme dans la cou- 



LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE. 53 

roiine, mais non nécessairement (*) uniforme à l'intérieur de C; 

2" La série ^^{^x — a) n'est pas un prolongement analytique 
de ^i'(.r — /); alors la fonction n'est pas uniforme dans la cou- 
ronne C et l'on pourra, en général, tourner indéfiniment dans le 
même sens, en suivant G, sans retrouver une série qui soit le 
prolongement analytique immédiat de '^{^x — a). Si cependant, 
après avoir décrit m fois le contour G, on trouve une telle série, 
la fonction est dite algéhroïde à m déterminations dans la cou- 
ronne; elle n'est d'ailleurs pas nécessairement (-) algébroïde à 
l'intérieur de -G. 

Donnons-nous maintenant, a priori, une série ^J?(^ — a)\ si 
elle a des prolongements analytiques immédiats, nous les obtien- 
drons certainement, en prenant divers points à l'intérieur de son 
cercle de convergence et en formant le développement de Taylor 
correspondant; nous procéderons de même avec ces nouvelles 
séries et, en continuant indéfiniment, nous obtiendrons tous les 
éléments de fonction analytique que l'on peut déduire de l'élé- 
ment donné et qui constituent avec lui wnc fonction analytique. 
Telle est la définition la plus générale donnée par Weierstrass de 
la fonction analytique. Nous y reviendrons plus loin (Ghap. VI) 
pour la discuter et tenter de la généraliser; nous allons nous con- 
tenter ici d'en étudier avec quelque détail certaines conséquences. 



Un théorème de M. Poincaré. 

Nous allons exposer d'abord une remarque importante cjui 
paraît due à M. Poincaré (^). 

Etant donné un élément ^^(^x — a) de fonction analytique, 
il est clair qu'il existe une infinité non dénombrable d'élé- 



(') Il suffit de considérer la fonction \/ {z — ot) ( ^ — ?) et un contour G entou- 
rant les deux points a et jâ. 

(*) Tel est le cas, par exemple, de la fonction \]z + log^^ -■, si le contour C 

z — p 
entoure les points a, p, o. 

(') Sur une propriété des fonctions analytiques {Rendiconti del Circolo 
mateniatico di Palermo, tome II). Cf. Volterra, Sulle funzioni analitiche 
polidrome {Atti délia Reale Accademia dei Lincei. Série quarla. Rendi- 
conti, IV^, p. 355). 



54 CIIVPITRK IV. 

nients ^S{x — b), dont chacun est un prolongement analytique 
immédiat (') de ^{x — a). Chacun de ces éléments <X'(^ — b) 
permet de définir de même une infinité non dénombrahle d'élé- 
ments ^S(x — c) et ainsi de suite. On peut donc se demander 
d'abord s'il est possible d'indiquer un procédé régulier pour 
trouver sûrement la valeur de la fonction en un point qu'il est 
possible d'atteindre, et ensuite, dans le cas où la fonction n'est 
pas uniforme, si l'on est certain d'obtenir toutes les valeurs de la 
fonction en un point, en employant une méthode régulière. Il est 
aisé de se rendre compte que ces questions sont intimement liées 
avec la suivante : quelle est la puissance de l'ensemble des valeurs 
que peut prendre la fonction en un point donné? Il est clair, en 
effet, que si cette puissance est la première, c'est-à-dire si cet 
ensemble de valeurs est dénombrable, on pourra espérer les avoir 
toutes au moyen d'une suite régulière d'opérations, c'est-à-dire 
d'opérations effectuées successivement dans un ordre déterminé 
et formant par suite aussi un ensemble dénombrable. Au contraire, 
si la puissance de cet ensemble de valeurs dépassait la première, 
on ne pourrait pas être certain d'obtenir l'une quelconque d'entre 
elles après un nombre suffisamment grand d'opérations, quelle 
que soit d'ailleurs la loi à laquelle on assujettisse ces opérations. 

Voici la réponse donnée par M. Poincaré à ces questions : On 
peut définir toute fonction analytique au moyen cV une infi- 
nité dénombrable d'éléments ^{x — a)] par suite, l'ensemble 
des valeurs qu'une telle fonction prend en un point est dénom- 
brable, et l'on obtiendra sûrement l'une quelconque de ces valeurs 
par un nombre fini d'opérations. Il est clair, d'autre part, que si 
le nombre de valeurs est infini, il faudra une infinité d'opérations 
pour les avoir toutes; mais on est assuré que, l'ordre des opéra- 
tions à faire étant fixé une fois pour toutes, chaque valeur sera 
obtenue par une opération de rang déterminé. 

Voici la remarque très simple à l'aide de laquelle MM. Poincaré 
et Volterra ont obtenu ces résultats essentiels (2). 



(1) Le seul cas d'exception est celui où la série ^^ {x — a) n'admettrait a//Cf//« 
prolongement analytique; son cercle de convergence serait une coupure. 

(') On rapprochera avec intérêt ces résultats du suivant, tout à fait analogue 
à celui qu'énonce M. VVeierstrass dans sa lettre à M. Schwarz {Weierstrass Werke, 



LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE. OD 

Considérons un élément <^{œ — a) et les cercles de conver- 
gence G de tous les éléments U?(^ — 6) que l'on obtient par la 
formule de Taylor, en prenant pour b un point quelconque inté- 
rieur au cercle de convergence de ^S{x — a). Parmi les cercles G, 
désignons par G' ceux dont le centre a pour coordonnées deux 
nombres rationnels : tout point intérieur a l'un des cercles G 

EST intérieur, a l'uN DES CERCLES G'. 

Or, nous savons que les cercles G' forment un ensemble dénom- 
brable; soient ^,, b.2^ • • -, bn, - . . leurs centres; nous aurons une 
infinité dénombrable d'éléments 9?(^ — bt), ^^{x — b.2)^ ..., 
^j^(x — b„), . . . , dont la considération, au point de vue de la défi- 
nition de la fonction analytique, rendra exactement les mêmes 
services que l'infinité 7ion dénombrable de tous les éléments 
^^(x — b). Nous pourrons, de même, à chaque élément 9?(x — 6/), 
faire correspondre une infinité dénombrable d'éléments 

et l'ensemble dénombrable des éléments 

( y) ^{x — du) ( i, A- = T , 2, . . . , ce) 

rendra exactement les mêmes services que l'ensemble non dénom- 
brable des éléments 

que l'on obtiendrait en prenant pour c un point quelconque inté- 
rieur au cercle de convergence de l'un des éléments '^^[x — b). 

En d'autres termes, tout point intérieur au cercle de conver- 
gence de Tun des éléments (y) est intérieur au cercle de conver- 
gence de l'un des éléments (y'). Si l'on continue de même, on 
verra que l'ensemble des éléments que l'on obtient en répétant de 
nouveau la même opération [c'est-à-dire en prenant tous les 
points à coordonnées rationnelles, intérieurs aux cercles de con- 
vergence des éléments (y)], éléments que l'on peut désigner par 

(û) ij^(^x — dii,i) (t, A-, /, =0, 1, '2, ..., oc), 

t. II, p. 236) : toute fonction algébrique peut être définie à l'aide d'un nombre yî/n' 
d'éléments (en supposant que le point à l'infini est ordinaire et que ^ i -\ est la 
forme des éléments correspondants). 

" OF THK ^y 

UNIVERSITY 



56 CHAPITRE IV. 

donne tous les points intérieurs aux cercles de convergence des 
éléments 

(8') q^i^oc-d), 

que l'on obtiendrait en partant des éléments (y') et en prenant 
pourfl? tous les points A intérieurs à leurs cercles de convergence. 
On peut continuer de même et répéter cette opération une 
infinité dénonibrable de fois; car, d'après la définition de Weier- 
slrass, le domaine dans lequel est définie la fonction analytique 
s'obtient en répétant m fois l'opération qui nous a permis de 
passer des éléments (y') aux éléments (8') et en faisant croître 
m indéfiniment. La fonction est définie en tout point intérieur à 
l'un des cercles de convergence ainsi obtenus, et correspondant à 
une valeur finie de m. Or, nous savons que, si nous effectuons 
parallèlement l'opération qui nous a permis de déduire les élé- 
ments (8) des éléments (y), nous obtiendrons, après m opéra- 
tions, un ensemble d'éléments qui pourra être représenté par 

(|i.) ^^{x— la,a.,....y.,„) («i, «2, . . ., a/„ == I, 2, 3, . . ., co) 

et que le point A sera certainement intérieur à l'un des cercles de 
convergence de l'ensemble (|jl). 

Or, nous savons que l'ensemble des éléments tels que (ia), et 
correspondant à toutes les valeurs de m, est dénombrable, car 
c'est un ensemble dénombrable d'ensembles dénombrables. 

Donc, une infinité dénombrable d^ opérations nous donnera 
la valeur de la fonction en tous les points oit elle est définie 
diaprés Weierstrass. Par suite, si en un point elle a une infinité 
de valeurs, l'ensemble de ces valeurs sera dénombrable: Qa Q'àl 
ce dernier résultat que se proposait 'd'atteindre M. Poincaré dans 
la Note citée plus baut. 

Mais il importe essentiellement de remarquer que la démon- 
stration de M. Poincaré s'applique seulement aux points intérieurs 
aux cercles de convergence et non aux points de la circonférence. 
Pour ceux-ci, le premier des résultats énoncés ne serait pas exact; 
quant au second, il exigerait, semble-t-il, de nouvelles recherches. 
Sans nous étendre beaucoup sur ce point, considérons une fonc- 
tion admettant, comme ligne singulière essentielle, un arc de 
courbe autre qu'un cercle, et convenons d'appeler valeur de la 



LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE. OJ 

fonction en un point Xq de l'arc la limite vers laquelle tend sa 
valeur lorsqu'on s'approche de ce point par un chemin quel- 
conque, non tangent à la ligne singulière, lorsque cette limite 
existe. 11 est clair que l'on ne pourra obtenir cette valeur par la 
méthode du prolongement analytique, qu'en considérant un élé- 
ment ^ï{x — a), dont le cercle de convergence soit tangent à l'arc 
au point x^. On voit que pour obtenir Ja valeur de la fonction, 
quand elle existe en tous les points de l'arc, il est nécessaire de 
considérer une infinité non dénombrable d'éléments (*) ^^{^x — a). 
Cette remarque accroît encore l'importance de la proposition de 
MM. Poincaré et Volterra, qu'on aurait pu être tenté de consi- 
dérer comme évidente. 



Remarque de Weierstrass sur les séries de fonctions 
uniformes. 

Nous allons maintenant exposer une remarque importante, due 
à Weierstrass, et relative aux séries dont les termes sont des fonc- 
tions uniformes^ nous verrons qu'un fait remarquable, qu'il a dé- 
couvert à l'aide de calculs assez compliqués, est une conséquence 
immédiate de l'existence de fonctions analytiques non uniformes. 

Considérons un élément de fonction analytique, représentant 
une fonction non uniforme dans une couronne ayant une partie 
commune avec son cercle de convergence; ce sera, par exemple, 
la série suivante 

rr., . X X- X^ X"- 

(P(a7)= - H ■ + — +.. .H h... 

^12 3 n 

qui représente, comme l'on sait, la fonction log( j? non uni- 
forme dans une couronne entourant le point x^^\. D'ailleurs, la 
série 'ï*(^) représente la détermination de la fonction qui se 
réduit à zéro pour ^ = o. 

(') On pourrait croire qu'il suffit de ciiercher la valeur de la fonction en une 
infinité dénombrable de points, formant un ensemble partout dense sur l'arc, par 
exemple aux points dont l'abscisse est rationnelle; mais la valeur de la fonction, 
telle que nous l'avons définie, n'est pas nécessairement une fonction continue sur 
l'arc et, par suite, il est absolument indispensable de la calculer en tous les 
points de cet arc. 



58 CHAPITRE IV. 

Figurons une couornne T entourant le point .r =: i et suppri- 
mons de cette couronne la portion qui n'est pas couverte de 
hachures {/ig'. i); il est manifeste que, dans la portion restante, 

toute branche de la fonction lo» est uniforme. Considérons 

l'une de ces branches, par exemple celle dont la partie imagi- 
naire est égale à izi lorsque x est réel; nous aurons déflni, dans le 
domaine D couvert de hachures, une /onction analytique uni- 
forme bien déterminée. Désignons cette fonction par ^{x). Con- 
sidérons maintenant la série (i^(^); c'est une série dont les termes 
sont des fonctions uniformes dans le domaine D et qui d'ailleuis 
n'y admettent aucun point singulier. Cette série est convergente 
en deux parties séparées de D, F, et Fo ; d'ailleurs, dans chacune 



Fiff. 




d'elles, elle est uniformément convergente. Mais, ce qu'il y a de 
remarquable, c'est que, dans F,, la somme de la série ^i^(x) est 
égale à cp(.^), tandis que, dans le domaine Fo, la somme de la 
série ^[x) est égale à 'f (^) — 2iTt; c'est une conséquence immé- 
diate des propriétés du logarithme. 

En résumé, nous avojis un domaine D d\in seul tenant, et, 
dans ce domaine, une fonction analytique uniforme ^{x)] nous 
avons d^ autre part une série, dont les termes sont des fonc- 
tions uniformes n admettant aucun point singulier dans D; 
cette série converge en deux portions séparées de D : dans 
V une de ces portions sa somme est o(^); dans l^ autre, sa 
somme n'est pas 'f (^)- 

Ce résultat, qui est une conséquence immédiate de Vexistence 
de fonctions non uniformes, suffît à mettre neltemcnt en évidence 
la différence essentielle qu'il y a entre une expression analy- 



LK PROLONGEMENT ANALYTIQUE. Sg 

tique et une fonction analytique ; une même expression analy- 
tique, pourvue de sens en deux régions Y \ et 1^2 d'un domaine D 
d'un seul tenant et égale^ en tous les points de F,, à une fonction 
analytique uniforme dans D n'est pas nécessairement égale à la 
même fonction dans Fo. Admettons maintenant le résultat sui- 
vant, qu'on est naturellement conduit à regarder comme vraisem- 
blable et qui est d'ailleurs aisé à démontrer (^) : étant donné un 
dojnaineT)^ limité par une courbe sans points singuliers, et une 
fonction 'f (^), uniforme dansD^ on peut trouver une série ^{^) 
dont les termes sont des fonctions uniformes dans D qui, 
dans tout ce domaine, concerne uniformément (-) et a pour 
somme cp(^). 

Considérons alors la série 

cette série est uniformément convergente dans les domaines F, 
et F2 ; sa somme est zéro dans F, et ^ir: dans Fo ; d'ailleurs, F, 
et Fo font partie d'un domaine D à contour simple dans lequel 
les termes de la série sont uniformes et n^ ont aucun point 
singulier. 

Nous voyons ainsi qu'une même série 

peut avoir pour somme, en deux régions d'un domaine D dans 
lequel- ses termes sont uniformes, soit iItz, soit o; il est clair 
d'ailleurs que, si f{x) et g{x) sont deux fonctions uniformes 
dans D, la série 

•^^^'^"'" ^ [^(^j-/(^)][^(:r)-^(:r)] 

a pour somme f{x) dans F, et g{x) dans F2. Par suite, étant 
donnée une série 

^f{^) 



(' ) Voir, par exemple, Painlevé, Sur les lignes singulières des fonctions ana- 
lytiques {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1888). Voir aussi 
les recherches plus récentes de MM. HilberL et Painlevé, sur les développements 
en séries de polynômes. 

(-) Du moins, la convergence est uniforme dans tout domaine intérieure D. 



6o CHAPITRE IV. 

doiit les termes sont des fonctions uniformes dans an do- 
maine D, si cette série converge uniformément dans deux 
portions séparées T ^ et T2 de D, on ne peut^ si V on ne fait 
aucune autre hypothèse, indiquer aucun lien entre les deux 
fonctions analytiques définies par cette série dans T ^ et T^. 
Ces deux fonctions n'ont aucun rapport nécessaire entre elles. 

La méthode par laquelle nous avons olnenu ce résultat est 
théoriquement simple, car elle s'appuie sur des propriétés élé- 
mentaires des fonctions analytiques dont les conséquences se pré- 
sentent naturellement, sans qu'il soit besoin d'aucun artifice de 
calcul. IMais, d'autre part, la série obtenue est d'une nature com- 
pliquée et, si nous pouvons prétendre que notre méthode a l'avan- 
tage de ne pas exiger le calcul effectif de ses termes, on peut nous 
répondre justement que c'est bien heureux, car nous aurions pu 
être gênés pour faire ce calcul : nous nous contentons de savoir 
qu'il est possible. 

On peut arriver à des résultats analogues à l'aide de séries 
présentant un caractère tout dilïérent : leur signification théo- 
rique est compliquée; le calcul de leurs termes, au contraire, est 
simple et, si l'on voit moins aisément les raisons théoriques géné- 
rales du résultat obtenu, on aperçoit par contre, très nettement, 
le mécanisme simple de calcul qui fournit ce résultat. Chacun, 
suivant la nature de son esprit, jugera l'une de ces méthodes 
préférable à l'autre, c'est-à-dire de nature à mieux lui faire com- 
prendre la raison du fait analytique qu'elles font connaître 
toutes deux. iVussi allons-nous, après avoir indiqué la première, 
donner un exemple de la seconde, qui est celle de Weierstrass. 
Nous ne choisirons pas d'ailleurs l'exemple primitif de Weier- 
strass, dont l'exposé exige d'assez longs calculs, mais un exemple 
dû à M.. Jules Tannery et que Weierstrass a lui-même commu- 
niqué à l'Académie des Sciences de Berlin, le 21 février 1881. 
Il repose sur la remarque bien simple suivante : l'expression 



a, lorsque m augmente indéfiniment, -+- i comme limite si |.2;|<Ci 
et — I comme limite si |.r|> i. Dès lors, si nous désignons par 



/«l, /?i2i 



LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE. ()I 

des nombres positifs croissants et si nous considérons une série 
telle que la somme de ses n premiers termes soit 

^>t = zirr ' 



la somme de cette série sera + i ou — i, suivant que le module 

de X sera inférieur ou supérieur à un. 

11 est aisé de calculer le terme général de la série, connaissant 

la somme de ses n premiers termes; si, pour fixer les idées, on 

prend 

/??«= 2', 

on a 



et l'on obtient la série 



x-i — I 



dont la somme est + i et — i suivant que |x*| << i ou |^'| >> i . On 
déduit de ce résultat des conséquences analogues à celles que 
nous avons développées précédemment; remarquons cependant 
que les deux régions dans lesquelles la série a une somme diffé- 
rente sont ici séparées par une ligne (le cercle de rayon lui) telle 
qu'un arc quelconque de cette ligne renferme une infinité de 
points, dont chacun est singulier pour une infinité de termes de 
la série. A cause de cette circonstance, les résultats que l'on en 
déduit ne sont pas identiques à ceux que nous avons énoncés 
tout à rbeure. Mais nous reviendrons sur ce point, dans le Cha- 
pitre VI; le Chapitre V est consacré à l'étude de la convergence 
de certaines séries, étude qui nous est indispensable pour noire 
but, mais qui ne joue qu'un rôle auxiliaire et que nous avons, 
|)ar suite, mise à part, afin de pas interrompre trop sou\ent les 
raisonnements par des calculs accessoires. 



CHAPITRE V. 



SUR LA CONVERGENCE DE CERTAINES SERIES REELLES. 



Gomme nous venons de l'expliquer, les résultats seuls de ce 
Chapitre sont indispensables pour l'intelligence de ce qui va 
suivre; il n'est pas nécessaire d'en connaître les démonstrations. 
i^e lecteur pour qui ces démonstrations ne présenteraient pas 
d'intérêt en elles-mêmes peut les omettre sans inconvénient, et 
lire seulement les résultats que nous résumons à la lin du Cha- 
pitre. 

Les séries dont nous allons nous occuper sont de la forme 
suivante : 



2; 



les coefficients K,i et les exposants nin étant des nombres réels 
positifs; la quantité réelle qI positWe r,i est d'ailleurs définie par 

l'égalité 

ri -={x — a„ )^ -+- (7 — bn )- -4- U — c,,)- H- . - . , 

les variables ^, jk, ^, ... étant en nombre fini quelconque h. De 
plus, on suppose que la série 

est convergente, et enfin que les exposants JUfi sont tous inférieurs 
à un nombre fixe m. Dès lors, il est clair que si l'on considère, 
dans l'espace à h dimensions, l'ensemble E des points 

a- = a,,, y ^- b„, z = c„, 

et son ensemble dérivé E^ la série (i) est certainement conver- 
gente pour tout point x, y, :;,... qui n'appartient pas à E'. 11 



SUR LA CONVERGENCE DE CERTAINES SÉRIES RÉELLES. G3 

existe en effet alors un nombre ri tel que l'on ait, pour toute 

valeur de œ, 

r,, > r, ; 



on en conclut, nia étant inférieur à m, 



en supposant ('), ce qui est permis, t, <; i . Les termes de la 
série (i) sont donc respectivement inférieurs aux termes de la 
série convergente à termes positifs 

A. 






Le problème que nous nous proposons, c'est l'étude de la 
convergence de la série pour les points de E'. Nous supposerons 
d'abord le nombre h des variables égal à un, puis égal à deux, 
et l'on verra aisément qu'en se bornant à ce dernier cas on ne 
restreint qu'en apparence la généralité. Nous supposerons d'abord 
que l'on a m« = i, quel que soit n\ cette restriction n'est pas non 
|)lus essentielle et a seulement pour but de simplifier les notations 



et le langage. 



Séries à une seule variable. 
Nous posons donc 



c'est-à-dire 



'•/! = (-^ — «/0^ 



r,, — \x — a, 



et nous considérons tout d'abord la série à termes positifs 

^^) Tir: 

Nous désignons par E l'ensemble des points an, par E' l'en- 
semble dérivé, et nous savons déjà que, la série 



(*) II est clair que, si in^ n'est pas entier, /•'"'» est supposé essentiellement 
positif, et par suite a un sens bien précis. 



64 CHAPITRE V. 

étant supposée convergente, la série (2) est convergente lorsque :?; 
n'appartient pas à E^ ('). Il est clair que, pour étudier la conver- 
gence de la série (2) lorsque x est compris entre o et i (-), par 
exemple, on peut négliger tous les termes correspondant à des 
valeurs de an non comprises dans cet intervalle. Nous suppose- 
rons donc que tous les an sont compris entre o et 1, et nous 
étudierons la convergence de la série dans cet intervalle. Nous 
allons utiliser pour cela la proposition élémentaire suivante, rela- 
tive aux séries à termes positifs : 

Pour qu'une série soit convergente, il suffît que ses termes 
soient, à partir d'un certain rang, respectivement inférieurs à 
ceux d'une série convergente arbitraire, donnée d'avance. 

De plus, si les termes de la série étudiée sont fonction d'une 
ou de plusieurs variables, et si, pour un ensemble de valeurs de 
ces variables, on peut choisir la même série de comparaison (^), 
la série est uniformément convergente pour cet ensemble de 
valeurs. 

Enfin on peut dire, et c'est presque une tautologie, que, si une 
série est convergente, on peut trouver une série convergente de 
comparaison à l'aide de laquelle sa convergence peut être dé- 
montrée : il suffit de prendre la série dont chaque terme est le 
double du terme correspondant de la série donnée. Malgré son 
extrême banalité, cette remarque ne nous sera pas inutile. 

Désignons par 

la série convergente à laquelle nous allons comparer la série pro- 
posée : 

Nous écrirons que l'on a, sauf pour un nombre limité de valeurs 



(') Réciproquement, si les a„ sont finis, et si la série (3) est divergente, la 
série (2) est divergente pour toute valeur de x. 

(^) Les limites étant exclues. 

(') On suppose, en outre, que le rang à partir duquel les termes de la série 
étudiée sont inférieurs à ceux de la série de comparaison peut être fixé indépen- 
damment des valeurs particulières des variables. 



SUR LA CONVERGENCE DE CERTAINES SÉRIES RÉELLES. 65 

de II 

^- '-^ Un-, 

c'est-à-dire, puisque toutes les lettres désignent des quantités 
positives, 

(3) ' ''">77'* 

Ces dernières inégalités ont une interprétation géométrique 
simple : nous avons posé 

rn=\x — an\, 

L'inégalité (3) exprime donc simplement que le point x ne se 
trouve pas dans l'intervalle, d'étendue — -, obtenu en portant de 
chaque côté du point an une longueur égale à — ^- Nous i>oserons 

A„ 

et nous considérerons l'ensemble des intervalles 

(4) aa—Vfi, «„+p,.; 

l'inégalité (3) devant être vérifiée, quel que soit n, sauf peut-être 
pour un nombre limité de valeurs, le points ne doit appartenir 
qu'à un nombre fini (^) des intervalles (4). 

Or ces intervalles forment, par leur réunion, un ensemble 
mesurable, dont la mesure est inférieure ou égale à 

nous serons donc assurés qu'il existe des points x n'appartenant 
qu'à un nombre limité de ces intervalles si cette mesure est 
finie (-), c'est-à-dire si la série 

(5) ^Vn 



(') Il faut évidemment de plus, comme nous l'avons déjà dit, que le point x 
ne coïncide pas avec un point a,^. Cependant, dans ce cas, nos raisonnements 
s'appliqueraient à la série dont on aura retranché le terme infini. 

(-) Il est clair, en effet, que si chaque point de l'intervalle o-i appartient à une 
infinité d'intervalles, la somme de ces intervalles est infinie. 




66 CHAPITRE V. 

est convergente. L'étude du cas où cette série ne serait pas con- 
vergente est très délicate; nous la laisserons de côté. 

Nous supposons donc que la série (5) est convergente; soit v 
sa somme. Nous allons montrer, dans cette hypothèse, que la 
série proposée est uniformément convergente pour un ensemble 
de valeurs de x dont la mesuj-e peut être supposée aussi voisine 
que Von veut de un. Prenons, en effet, comme série de compa- 
raison 



(•') 


^«:.= 


Nous avons posé 


Un 



et 



nous aurons, en prenant 



égalité fondamentale 









Or les termes de la série proposée (2), sont certainement tous 
inférieurs à ceux de la série (i'), si l'on suppose que x n'est situé 
dans ancun des intervalles 

(■4") «■// — f/î, Cla-\-v',.,, 

intervalles dont l'étendue totale est 

l'Lv' — - • 
■'• -^^ Il — j 

L'ensemble des valeurs de x satisfaisant à cette condition a une 

mesure égale ou supérieure (^) à i — y* Or on a pu choisir k de 

manière que cette expression diffère de i aussi peu que l'on veut. 
Il est clair d'ailleurs que, si l'on considère des valeurs de k de plus 
en plus grandes, l'ensemble des valeurs de x acquerra sans cesse 



(') Elle est supérieure lorsque les intervalles (4') empiètent les uns sur les 
autres: leur mesure est alors inférieure à leur étendue totale. 



SLR LA CONVERGENCE DE CERTAINES SÉRIES RÉELLES. 67 

(le nouveaux points; quelle que soit la valeur fixe de A", la con- 
vergence est uniforme pour tous les points de l'ensemble corres- 
pondant; la convergence n'est pas uniforme lorsque l'on considère 
simultanément toutes les valeurs de k et toutes les valeurs de x 
qui leur correspondent. Tout ce que l'on peut affirmer, c'est que 
l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles la série n'est pas con- 
vergente a pour mesure zéro (') et que, par suite, l'ensemble des 
points de convergence est partout dense (-). 

Tous ces résultats ont été obtenus en supposant la convergence 

de la série 

2(^„; 

on avait d'ailleurs posé 

A. 
^'« = — 

Un 

et la série 

était une série convergente quelconque. 

Nous avons vu, d'ailleurs, qu'on obtenait certainement la con- 
dition nécessaire de convergence de la série proposée, en prenant 
pour ^11,1 une série convergente arbitraire^ c'est-à-dire en ne 
faisant pas d'autre hypothèse sur cette série à termes positifs, que 
celle de sa convergence. 

Nous sommes ainsi conduits à nous poser la question suivante : 
étant donnée la série 

peut-on trouver une série convergente 

(6) Sw« 
telle que, en posant 

(7) ^/i= — y 

U,i 



(') Mous ne sommes d'ailleurs pas assurés que cet ensemble soit mesurable; 
en employant le langage expliqué p. 48, nous devrions dire que sa mesure est 
inférieure ou égale à zéro; mais la mesure n'est jamais négative. 

(') Ce dernier point, qui ne suffirait pas à entraîner le résultat d'où nous le 
tirons, est d'ailleurs évident. II est clair, en eiïet, que le raisonnement qui nous 
a prouvé l'existence des points x dans l'intervalle o-i s'appliquerait à tout autie 
intervalle. 



68 CHAPITRE V. 

la série 

(8*) 2p„ 



soit convergente? 



Il est aisé de répondre à cette question; en effet, l'inégalité 

nous montre que la convergence des séries (6) et (8) et la rela- 
tion (7) entraînent la convergence de la série à termes positifs 

Réciproquement, si cette série est convergente, il suffira de 
prendre 

Un = Vn = \/A«, 

pour que la relation (^) soit vérifiée et que les séries (6) et (8) 
convergent. 

La convergence de la série 

est donc la condition nécessaire et suffisante pour que nous puis- 
sions étudier la série proposée par la méthode simple de la 
page Ç^Ç)^ et cette méthode nous conduit immédiatement au 
résultat suivant : en posant 

r ensemble des points x pour lesquels la série proposée a tous 
ses termes inférieurs à ceux de la série convergente 

a une mesure supérieure à i — s. 

Pour tous ces points, la somme de la série est manifestement 



inieneure a 

£ 



a 

£ 

On verrait aisément que, pour la série 



A„ 






nia^m, 



SUR LA CONVERGENCE DE CERTAINES SERIES REELLES. bg 

il suffirait de poser 

A„ 

et de supposer la convergence des deux séries 

2 Va 
et 

2 Un, 

d'où J'on conclurait la convergence de la série 

V A '«-(-1 
— ' "'^ /i • 

Cette remarque nous sera utile plus tard. 

Séries à deux variables. 

Nous allons maintenant étudier le cas où il j a plus d'une 
variable dans la série; comme nous l'avons dit, nous suppo- 
serons qu'il y en a deux^ afin de simplifier le langage géomé- 
trique. 

Nous posons donc maintenant 

/•/t > o 

et nous considérons la série à termes positifs 

nous écrirons, de même que tout à l'heure, 

A, 

— < u,i 

et, par suite, 

(0 ra>Vn, 

en posant 

Ua 

La série 

(2) 2w„ 



CHAPITRE V 



sera supposée convergente; mais Finterprélation géométrique des 
inégalités (i) ne sera plus la même que précédemment. Ces inéga- 
lités expriment, en effet, que le point x est extérieur aux divers 
cercles ayant respectivement pour centres les points a,i^ bn^ et 
pour rayons r,/. Or Faire de l'un de ces cercles est Tïi'j; ; la somme 
de ces aires sera donc finie si l'on suppose convergente la série 

(3) Sp^ 

Dès lors, en remplaçant Ua par kunt on démontrera aisément 
que la série proposée est uniformément convergente |)Our tous les 
points obtenus en supprimant une infinité de cercles dont l'aire 
totale a pu être supposée aussi petite que l'on veut; par suite, 
dans toute région du plan il y a des points de convergence. 
D'ailleurs, on voit facilement que la convergence des séries (2) 
et (3) exige la convergence de la série 

et que, réciproquement, si cette série est convergente, il suffît de 
prendre 

;«,, = A^, ('„ = A';*, 

pour pouvoir faire les raisonnements qui précèdent. 

Mais nous ne nous étendrons pas sur ces résultats, qui ne nous 
seront pas utiles. Ils supposent d'ailleurs une étude des ensembles 
de points à deux dimensions, étude qui, dans ses éléments, n'est 
pas difficile, mais que nous n'avons pas faite. Nous aurons, au 
contraire, grand besoin des résultais que nous allons obtenir en 
étudiant la convergence de la série sur les diverses courbes que 
l'on peut tracer dans le plan. Nous ferons tout d'abord l'hypo- 
thèse que la série 

est convergente; par suite, nous pourrons supposer que les séries 



et 



sont aussi convergentes. 



SUR LA CONVERGENCE DE CERTAINES SERIES RÉELLES. JI 

Dès lors, les cercles G définis par les inégalités (i) seront tels, 
que la somme de leurs diamètres pourra être supposée aussi 
petite que Von veut (en changeant Ua en kun)- 

Cela posé, considérons une droite quelconque, tracée dans le 
plan des deux variables réelles x^ y. Nous obtiendrons des points 
de la droite pour lesquels la série est converg^ente, en supprimant 
les intervalles intérieurs aux cercles C; or, toute corde d'un cercle 
étant plus petite que le diamètre, la somme des segments de la 
droite qui sont intérieurs aux divers cercles G est inférieure à la 
somme des diamètres de ces cercles et peut, par suite, être sup- 
posée aussi petite que l'on veut. On arrive par suite sans peine, 
dans l'étude de la convergence de la série sur une droite arbi- 
traire, aux résultats mêmes que nous avions obtenus dans l'étude 
du cas d'une seule variable; il est inutile de les répéter en détail. 

D'ailleurs, ce que nous venons de dire pour une droite s'applique 
à toute courbe satisfaisant à l;i condition suivante : la somme des 
arcs en chaque point desquels le rajon de courbure est inférieur 
à £, tend vers zéro en même temps que £. En effet, si le rayon de 
courbure en tout point d'un arc est supérieur à un nombre fixe, 
on peut affirmer qu'un cercle suffisamment petit intercepte sur 
cet arc un segment au plus égal au diamètre du cercle [à des infi- 
niment petits près d'ordre supérieur, le diamètre étant regardé 
comme l'infîniment petit principal (^)]- 

Ainsi, en excluant des courbes d'un caractère tout à fait excep- 
tionnel, l'étude de notre série à deux variables sur une courbe 
quelconque conduit aux mêmes résultats que l'étude de la série 
à une seule variable, quand on fait la même hypothèse fonda- 
mentale : la série 



est convergente. 



On aurait pu d'ailleurs déduire ces résultats de ceux que nous 
avions démontrés pour le cas d'une seule variable et, si notre étude 



(») Nous supposons, bien entendu, que la courbe considérée est telle que les 
mots arc^ rayon de courbure, ont un sens, et que le rayon de courbure est une 
fonction continue de l'arc n'admettant point une infinité de maxima et de minima. 
On pourrait s'affranchir d'une partie de ces restrictions, mais cela n'a pour nous 
aucun intérêt. 



72 CHAPITRE V. 

se bornait là, elle ne fournirait pas une véritable généralisation 
de ces premiers résultats. Nous allons obtenir, au contraire, des 
conséquences vraiment nouvelles et importantes pour la suite, en 
considérant, non plus une courbe isolée, mais une famille de 
courbes. 

Courbes de convergence unijorme. 

Proposons-nous d'abord de rechercher comment se comporte 
la série proposée, 

sur un ensemble de droites parallèles D ; nous supposons toujours, 
bien entendu, que la série S y/A,^ est convergente. Soit D' une 
droite perpendiculaire aux droites D; chaque droite D est déter- 
minée parle point, oii elle rencontre D'. Si nous considérons un 
des cercles C, les droites D qui le rencontrent déterminent sur D' 
un segment dont la longueur est égale au diamètre du cercle con- 
sidéré : c'est sa projection orthogonale sur D'. A l'ensemble des 
cercles G correspond ainsi un ensemble de segments, dont la 
somme peut être rendue aussi petite que l'on veut, puisqu'elle 
est égale à la somme des diamètres des cercles. 

Mais, d'après la manière même dont ces segments ont été con- 
struits, il est clair que toute droite D, déterminée par un point 
de D' n'appartenant à aucun de ces segments, ne rencontre aucun 
des cercles G. Par conséquent, en choisissant convenablement la 
constante k, dont nous avons déjà fait usage, nous pourrons 
affirmer qu'il existe sur un segment quelconque de D' un en- 
semble E, dont la mesure est aussi voisine que l'on veut de la 
longueur totale de ce segment et qui, de plus, est tel que, sur 
toutes les droites D déterminées par les points de E, la série est 
uniformément convergente, Gar, sur toutes ces droites, on a 
pour toute valeur de /?, 

k étant un nombre fixe et la série 



SLR LA CONVERGENCE DE CERTAINES SERIES RÉELLES. 78 

étant convergente. D'ailleurs, si Ton pose 

et si l'on considère un segment de D' dont la longueur est /, on 
pourra affirmer cjue la mesure de l'ensemble E est supérieure à 

Comme nous l'avons dit plus haut dans des circonstances 
analogues, on peut affirmer que la convergence a lieu pour un 
ensemble de mesure /, mais elle n'est pas uniforme pour cet 
ensemble, bien qu'elle le soit sur chaque droite D. 

L'importance du résultat précédent dans les applications est 
due à ce fait que la série convergeant uniformément sur certaines 
droites D, sa somme est une fonction continue de la position du 
point x^ y lorsque ce point décrit l'une de ces droites. On ne 
pouvait évidemment rien affirmer de pareil, pour une série con- 
vergeant uniformément pour les points d'un ensemble non continu. 

Il est d'ailleurs aisé de généraliser le résultat précédent, en 
remplaçant la famille de droites parallèles D, par une famille de 
courbes F satisfaisant à des conditions très générales. Voici ces 
conditions restrictives dont plusieurs ne sont pas indispensables 
ou font double emploi, mais qui ne nous gêneront pas pour les 
applications. Nous supposons que l'on peut associer à la famille F 
une famille F' telle que, dans une région A du plan, ces deux 
familles de courbes déterminent un réseau de parallélogrammes 
infiniment petits sans point singulier. Nos conclusions s'appli- 
quent alors à la région A^ elles s'appliqueraient à tout le plan si 
tous les points d étaient intérieurs à la région A. 

Voici ce que nous entendons par un réseau sans point singu- 
lier; on a, dans la région A, 

à tout système de valeurs de w, v correspond un seul système de 
valeurs de x^ y et réciproquement; les courbes F et F' s'obtien- 
nent respectivement en prenant w = const., t' = const., et, en 



74 CHAPITRE V. 

posant 

dx'' -f- dy'^ = E «:/«2 _|_ ^ F du dv -f- G dv'^, 

les quantités essentiellement positives 

E, G, EG - F2 

sont, dans tonte la région A, comprises entre deux nombres posi- 
tifs fixes. 

On voit aisément alors que l'une quelconque des courbes V 
peut jouer le même rôle que la droite D' dans la démonstration 
précédente : les courbes F qui rencontrent un cercle G interceptent 
sur F' un segment dont le rapport au diamètre du cercle est com- 
pris entre deux nombres fixes et l'on démontre ainsi aisément 
que les courbes F ont les mêmes propriétés essentielles que les 
droites D, au point de vue de la convergence de la série proposée. 

Sans examiner tous les cas où les courbes F ne satisfont pas aux 
conditions exigées, ce qui a lieu, par exemple, si, dans l'aire A 
considérée, elles ont une enveloppe, nous allons étudier un cas 
particulier important, celui où les courbes F sont des droites pas- 
sant par un point fixe. Il est clair d'ailleurs que, si ce point fixe 
n'était pas un ])oint «', nous rentrerions dans un cas déjà étudié; 
nous supposons donc que nous avons des droites A passant par un 
même point x^ lequel est un point limite de l'ensemble des a. La 
première question qui se pose, dans l'ordre d'idées où nous 
sommes restés jusqu'ici, est la suivante : Y a-t-il des droites A sur 
lesquelles la série est convergente? Nous remplacerons cette ques- 
tion, par la suivante, plus restrictive : Y a-t-il des droites A qui 
ne rencontrent aucun des cercles G? Nous supposons d'ailleurs le 
système des cercles G défini de la manière la plus générale; le 
rayon du cercle Cn est Vu et Ici série 

est convergente; ce sont là, pour le moment, nos seules hypo- 
thèses. 

11 est clair d'abord que le point x doit être extérieur à tous les 
cercles G; sinon, toute droite A rencontrerait l'un au moins de ces 
cercles; on a donc certainemeni, pour toute valeur de /?, 



SUR LA CONVERGKNCE DE CERTAINES SÉRIES REELLES. 75 

Menons du point x les deux tangentes au cercle C,i', l'angle de 
CCS deux tangentes est visiblement 



•2 arc SI 11 — 

f'n 



le symbole arc sin désignant un arc compris entre o et^; d'ail- 
leurs, il est clair qu'une droite A rencontre ou ne rencontre pas 
le cercle d suivant qu'elle est intérieure ou extérieure à cet 
angle. 

On conclut aisément de là que, pour qu'il existe des droites A 
ne rencontrant aucun des cercles C«, il suffit (^) que l'on ait 



(i) > 2arc siii— < 2T. 

■M^ /'il 



11 est donc tout d'abord nécessaire que la série 

soit convergente et il est manifeste que cette condition suffit, car, 
si elle est remplie, on pourra toujours vérifier l'inégalité (i) en 
remplaçant v,t par ki^/^ et choisissant convenablement la con- 
stante k. On pourra de même démontrer qu'il existe des droites A 
dans un angle aussi petit que l'on veut, ayant son sommet au 
point X. Tout cela est une conséquence de la convergence de la 
série 

nous allons indiquer un cas très étendu dans lequel on peut 
trouver une infinité de points x tels que cette série soit conver- 



(') L'inégalité que nous écrivons exprime qu'il existe des demi-droites, issues 
du point X et ne rencontrant aucun des cercles C„; mais leur prolongement 
au delà de a? peut en rencontrer; pour qu'il n'y ait pas de droites passant par x 
et ne rencontrant aucun de ces cercles, il faut écrire 

4^^ arc sin -^ ■< 27c, 

mais ce facteur numérique est sans importance. 



76 CHAPITRE V. 

gente. Il suffit que la série 



2 



soit convergente; on pourra en effet, alors, trouver une infinité 

de points ^ tels que l'on ait 

j 

k étant une constante convenablement choisie; en prenant d'ail- 
leurs 

s 
Va = k'ki, 

les deux séries 
et 



seront convergentes, ce qui est le résultat désiré. 
Par conséquent, lorsque la série 

2 

est convergente; on peut trouver, dans toute région, une infi- 
nité de points x, tels que par chacun de ces points passent une 
infinité de droites sur chacune desquelles la série proposée est 
convergente. L'ensemble de ces droites a d'ailleurs une mesure 
angulaire aussi voisine que l'on veut de tt, si on les considère 
comme prolongées dans les deux sens, ou de 27i, si on les regarde 
comme des demi-droites. 

Gomme nous l'avons dit plus haut, ces résultats s'étendent sans 
peine à une série de la forme 

n 

seulement, au lieu de supposer la convergence de l'une des séries 

2 12 

V/V3 yA2 VAS 

-'^^,11 ^^*-/i' ^^ni 



il faut, suivant le but que l'on désire atteindre, supposer la con- 

2A(;, 



vergence de la série 




SUR LA CONVERGENCE DE CERTAINES SERIES RÉELLES. 77 

OÙ p est une fonction de m, aisée à déterminer; d'ailleurs,/» tend 
vers zéro lorsque m augmente indéfiniment. Par exemple, la con- 
vergence de la série 

y A /ii+l 

entraîne, pour la série (i), les mêmes conséquences que la conver- 

i 
gence de la série SAJ^ entraînait pour la série 

Une application importante de ces remarques est la suivante : 
Supposons que la série 

soit convergente, quelque soit le nombre positif fixe p\ c'est 
ce qui a lieu certainement si l'on suppose convergente la série 



"" ['-il' 

qui est à termes positifs à partir d'un certain rang, puisque A,, 
tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment; jjl est un nombre 
positif quelconque. 

Considérons, dans cette dernière hypothèse, avec la série 

II 

toutes les séries que l'on en déduit en prenant les dérivées de 
chaque terme un nombre quelconque de fois, soit par rapport 
à x^ soit par rapport à y. Ces dérivées s'expriment d'ailleurs 
linéairement au moyen des séries obtenues en dérivant chaque 
terme par rapport à z'/^. Nous pourrons affirmer que, si la série 



est convergente, chacune de ces dérivées a toutes les propriétés 
de convergence que nous avons énoncées plus haut. On pourrait 



CHAPITRE V. 



même démontrer des propositions un peu plus précises, par 
exemple celle-ci : on peut trouver des courbes telles que, par 
chacun de leurs points, il passe une infinité de courbes sur 
lesquelles la série est convergente, etc. Mais nous préférons 
insister sur un fait plus important; nous venons de dire que 
chacune des séries dérivées est convergente sur une infinité de 
courbes; on ne peut pas en conclure qu'il y a des courbes sur 
lesquelles toutes les séries dérivées sont convergentes. On arrivera 
à ce résultat en prenant pour r^ les termes de la série conver- 
gente 



lOiT .— 



multipliés au besoin par une constante A", et en raisonnant comme 
])récédemment. On trouvera ainsi, dans les mêmes conditions 
que plus haut (p. -^3) des courbes sur lesquelles toutes les séries 
dérivées sont convergentes; d'ailleurs, sur chaque courbe la con- 
vergence est uniforme, d'où l'on conclut aisément que la dérivée 
de la fonction par rapport à l'arc de la courbe peut se calculer en 
appliquant simplement la règle de dérivation des séries. 

Il suffit pour cela de se rappeler qu'une série uniformément 
convergente peut être intégrée terme à terme. 

Nous allons, en terminant, résumer ceux des résultats acquis 
dans ce Chapitre dont nous aurons besoin plus loin. 

Etant donnée une série de la forme 



T(-^,r)=^ 



A« 



[(^-a„)2+(_X-6,0M'"" 



on suppose que les A,j et les nia sont des nombres positifs; 
les nin sont inférieurs à un nombre fixe et les A« sont tels que 
la série 

dans laquelle a désigne un nombre positif, est convergente ( ' ). 

(') On suppose que les A„ tendent vers zéro; cette dernière série pourrait aussi 
être convergente si A„ augmentait indéfiniment avec n. 



['-il 



SUR LA CONVERGEXCK DE CERTAINES SERIES REELLES. 79 

En même temps que la série cp(jr, y)^ on considère les séries 
obtenues en prenant les dérivées partielles d' ordre quelconque 
de tous ses termes. 

Cela étant, on peut trouver dans toute région du plan une 
Infinité non dénombrahle de courbes G sur lesquelles toutes ces 
séries à termes positifs sont uniformément convergentes. SI 
l'on considère toutes les droites D parallèles à une direction 
donnée et un segment de droite cr de longueur l non parallèle 
à cette direction, on peut trouver sur ce segment un ensemble 
dont la mesure diffère aussi peu cjue l'on veut de l et tel que 
toute droite D passant par un point de cet ensemble ait la pro- 
priété fondamentale des courbes G. 

// en est de même lorsque Von considère les droites T) passant 
par un point O et que l'on remplace le segment i par un arc 
de cercle de centre O, si Von suppose que le point O ne coïncide 
avec aucun des points (x = a,i, y ■= />„), ni avec aucun point 
de l'ensemble dérivé de l'ensemble formé par ces points. On 
peut cependant, dans toute région du plan, même si tous les 
points de cette région appartiennent à V ensemble dérivé dont 
nous venons de parler, trouver une Infinité non dénombrable 
de points pouvant être pris pour le point O. On peut aussi 
trouver une Infinité non dénombrables de tels points sur toute 
courbe G. 



CHAPITRE YI. 



LA NOTION DE FONCTION D UNE VARIABLE COMPLEXE. 



C'est à Cauchj que revient la gloire d'avoir fondé la théorie des 
fonctions d'une variable complexe, en faisant connaître notamment 
la relation cju'il y a entre le rayon de convergence de la série de 
Taylor et la situation des singularités de la fonction ( ' ). D'ailleurs, 
là comme dans plusieurs autres parties de la Science, Gauclij a 
laissé beaucoup à faire à ses successeurs; mais on a pu dire que 
chaque nouvelle découverte dans la théorie des fonctions ajoute, 
s'il est possible, quelque chose à l'idée que nous avons de son 
génie. Nous ne pouvons faire ici l'historique du développement 
immense qu'a pris dans la seconde moitié de ce siècle la Science 
nouvelle créée par Gaucliy; contentons-nous de citer les noms 
célèbres de Puiseux, Riemann, Weierstrass. L'exposition des 
idées de Riemann trouverait plutôt sa place dans des leçons sur 
les fonctions algébriques; nous prendrons pour guide, dans ce 
Chapitre, les célèbres Mémoires réunis par Weierstrass sous le 
titre commun : Abhandlungen ans der Functionenlehre^ en 



(') Dans une Notice des plus intéressantes sur Weierstrass f^Acta mathematica, 
t. XXI), M. Mittag-Leffler paraît affirmer que le développement des idées de Weier- 
strass est indépendant des travaux de Cauchy. 11 nous semble qu'il importe peu 
que Weierstrass ait ou n'ait pas connu tel Mémoire particulier de Cauchy; mais 
il n'est pas douteux qu'à l'époque où Weierstrass a pu commencer à étudier les 
Mathématiques,, la notoriété de Cauchy était trop grande, ses travaux déjà publiés 
trop nombreux et trop répandus, pour qu'il fût impossible de ne pas subir l'in- 
fluence de sa pensée. De même, actuellement, il serait impossible de penser sur 
la théorie des fonctions en faisant abstraction complète de l'influence de Weier- 
strass, ne lirait-on pas une seule ligne écrite par lui. La part de Weierstrass 
dans le développement de la théorie est assez grande et assez belle pour qu'il soit 
inutile de chercher à l'augmenter en enlevant à Cauchy le mérite d'avoir été là, 
comme sur bien d'autres points, un initiateur et un précurseur. 



LA NOTION DE FONCTION d'cNE VARIABLE COMPLEXE. 8l 

tenant compte de divers travaux ultérieurs et notamment de la 
Thèse (') de M. Painlevé. 

Fonctions analytiques et expressions analytiques. 

L'une des idées fondamentales que nous devons à Weierstrass, 
c'est la distinction précise entre les deux notions de fonction 
analytique et à'expression analytique. Nous savons déjà ce 
que l'on doit entendre, d'après Weierstrass, pâv fonction ana- 
lytique : c'est l'ensemble de tous les éléments ^{x — a) qui se 
déduisent les uns des autres par la méthode du prolongement. 
Quant aux mots expression analytique, ils désignent, dans leur 
sens le plus général, toute expression dont on sait, au moyen 
d'opérations analytiques connues (addition, multiplication, divi- 
sion, intégration définie ou indéfinie, etc.) calculer la valeur 
quand on connaît la valeur de la variable (-). Le nombre des opé- 
rations peut d'ailleurs être fini ou infini ; un exemple de ce dernier 
cas nous est fourni par la considération des séries ou des produits 
infinis. On sait d'ailleurs que, sous des conditions très larges, une 
expression analjticjue représente dans un certain domaine une 
fonction analytique (^); d'autre part, toute fonction analytique 
peut être représentée par une expression analytique (par exemple 
par la série de Taylor, ou par l'intégrale de Gauchy), au moins 
dans une partie de son domaine naturel d'existence. 

Néanmoins, ces deux notions se distinguent nettement, car la 
notion de fonction analytique est plus précise et la notion d'expres- 
sion analytique plus large et en quelque mesure plus naturelle. 
L'importance de la notion de fonction analytique est due surtout 
à ce fait que deux fonctions analytiques ne peuvent coïncider le 
long d'un arc de courbe fini sans coïncider dans tout leur domaine 



(') Sur tes lignes singulières des fonctions analytiques {Annales de la 
Faculté des Sciences de Toulouse, 1888). 

{'-) M. Mittag-Lefder a donné parfois, aux mots expression analytique, un 
sens plus étendu que nous n'avons pas cru devoir adopter ici. 

(') Par exemple, toute série dont les termes sont des fonctions analytiques 
représente une fonction analytique dans un domaine d'un seul tenant, si elle 
converge uniformément dans ce domaine. 



^'2 CHAPITRE VI. 

d'existence ('); au contraire, nous avons vu qu'une expression 
analytique peut avoir des régions diverses de convergence et être 
nulle dans l'une seulement de ces régions. 

On peut se borner à considérer des fonctions analytiques et 
les définir uniquement par des séries de ïajlor; c'est le point de 
vue auquel se place systématiquement M. Méray; mais on ne peut 
se dissimuler que ce procédé qui a, il faut le reconnaître, une 
très grande beauté théorique, présente des inconvénients consi- 
dérables. D'abord, pour définir une fonction analytique dans tout 
son domaine d'existence, il faut en général une infinité d'élé- 
ments ^${x — a) et chacune de ces séries '^^[x — a) diverge en 
des points où la fonction existe. Nous avons vu, d'après M. Poin- 
caré, que, si l'on exclut les points qui forment la frontière du 
domaine naturel d'existence, on peut se borner à considérer une 
infinité dénomhrahle d'éléments; mais, dans certains cas, la con- 
sidération de la valeur de la fonction en ces points peut rendre 
des services et il est alors nécessaire de considérer une infinité 
non dénomhrahle d'éléments. 

Enfin, et ce dernier inconvénient est peut-être le plus grave, le 
développement de Taylor ^^{^x — a) ne met nullement en évidence 
les propriétés essentielles de la fonction que l'on étudie, préci- 
sément parce qu'il s'applique à toutes les fonctions. La connais- 
sance de son domaine de convergence nous fait connaître seule- 
ment la distance au point a du point singulier le plus voisin, et il 
est extrêmement difficile d'obtenir d'autres renseignements sur la 
fonction par l'étude de son développement de Taylor; c'est seu- 
lement dans des cas extrêmement particuliers (-) que l'on peut 

(') Ce théorème, aisé à démontrer lorsque l'arc de courbe est analytique, 
devient beaucoup plus délicat à seulement énoncer lorsque l'arc de courbe est 
quelconque et que les fonctions sont définies d'un côté seulement de cet arc. Il 
nous semble qu'il se transforme alors en la proposition suivante due à M. Pain- 
levé {Thèse, p. 28-29) : étant donnée une fonction analytique définie dans une 
aire A, limitée par une courbe C, si cette fonction est nulle sur un arc de C, elle 
est nulle dans A. Dans cet énoncé la courbe G est un ensemble de points tels que 
le plan se trouve divisé en deux régions A et A' telles que l'on ne peut aller 
par un chemin continu, d'un point de A à un point de A', sans que ce chemin 
renferme au moins un point de C; un arc de G se définit d'une manière ana- 
logue. 

(^) Gitons cependant un théorème très remarquable dû à M. Iladamard {Comptes 
rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. GXXIV, p. i5o3) qui fait 



LA NOTION DE FONCTION d'uNE VARIABLE COMPLEXE. 83 

tirer quelque chose de cette étude, grâce aux briJlantes et pro- 
fondes recherches de MWI. Hadamard et Fabry. 

Aussi est-il naturel de se poser la c[uestion suivante : Etant 
donnée une fonction analytique, peut-on trouver une expression 
analytique qui converge en tout point du domaine naturel 
d^existence de la fonction (*), et qui représente cette fonction? 
11 est d'abord clair que si l'expression analytique est uniforme, 
c'est-à-dire n'a qu'une valeur pour chaque valeur de la variable, 
elle ne peut représenter qu'une fonction uniforme; il est donc 
naturel de se borner, au moins dans une première étude, aux 
fonctions analytiques uniformes (-). D'ailleurs, un remarquable 
théorème de M. Poincaré (^) nous apprend que, si une variable 
complexe j^ est une fonction non uniforme de nature quelconque 
d'une variable complexe x, on peut expiimer x e\ y en fonction 
uniforme d'une même variable complexe t. Les fonctions non 
uniformes sont ainsi ramenées, à un certain point de vue, aux 
fonctions uniformes. 

Nous énoncerons donc ainsi, en la restreignant, la question que 
nous posions tout à l'heure : étant donnée une fonction analytique 
uniforme ayant un domaine naturel d'existence D, absolument 
quelconque, peut-on trouver une expression analytique uniforme, 
qui représente cette fonction en tout point de D? Sous sa forme 
la plus générale, la question a été résolue pour la première fois 



connaître une relation entre les singularités de développements de Taylor tout 
à fait généraux et liés simplement les uns aux autres. 

('*) Cf. Weierstrass {loc. cit.), Werke, tome II, page 83 ob es môglich 

sei, arithmetische , ans der Vevànder lichen x und ans unbestinunten Con- 
stanten zusammengesetzte Ausdi-Ucke zu bilden, welche sànimtliche Func- 
tionen einer bestimmten Klasse — und nur dièse — darstellen. On voit que la 
question posée par Weierstrass est à la fois moins générale et plus précise que 
la nôtre. Nous reviendrons sur ce point à la fin du Chapitre. 

(') A ma connaissance, le seul résultat général sur la représentation analytique 
des fonctions analytiques non uniformes est dû à M. Picard {Mémoire sur les 
fonctions entières et Traité d'Analyse, t. II). M. Picard suppose que l'on es 
dans le voisinage d'un point isolé de non-uniformité. On pourrait évidemment 
étendre beaucoup ce résultat par des méthodes analogues à celles de M. Mittag- 
Leffler que nous citerons bientôt; mais cette extension facile serait dépourvue 
d'intérêt, à moins que l'on n'obtienne un résultat complètement général, ce qui 
paraît exiger des considérations assez délicates et en tout cas très longues. 

( = ) Poincaré, Sur un théorème de la théorie générale des fonctions {Bul- 
letin de la Société mathématique de France, t. XI). 



84 CHAPITRE VI. 

par M. Runge (Acta mathematica, t. VI). Plus récemment, 
M. Painlevé en a repris l'étude par des méthodes nouvelles et a 
publié des résultats importants el très généraux [Comptes rendus, 
janvier et février 1898, passim)\ la démonstration doit en paraître 
dans les Acta mathematica. 

De ces diverses recherches, nous retiendrons notamment le 
résultat suivant : on peut trouver, dhine infinité de manières, 
une série de fractions rationnelles qui converge absolument et 
uniformément dans tout domaine D' intérieur à T) et qui 
représente la fonction dans tout le domaine D. La question que 
nous avions posée se trouve ainsi résolue par l'affirmative; mais 
les théorèmes de M. Runge et de M. Painlevé ne fournissent pas 
seulement la réponse à cette importante question; ils soulèvent 
d'autres questions non moins intéressantes. Du moment, en effet, 
où l'on est assuré qu'il existe, pour chaque fonction uniforme, 
une infinité d'expressions analytiques uniformes propres à la 
représenter dans tout son domaine naturel d'existence, il est 
naturel de chercher à choisir parmi ces expressions. Le point de 
vue auquel on devra se placer ressort de la citation de Weier- 
strass que nous avons faite tout à l'heure : l'expression que 
l'on choisira doit mettre en évidence le mieux possible les pro- 
priétés caractéristiques de la fonction, et en particulier ses sin- 
gularités. Lorsque l'ensemble d.es singularités n'est pas dénom- 
brable, on peut penser que la méthode de M. Runge ou celle 
de M. Painlevé les mettent en évidence autant qu'il est possible 
de le faire. On ne peut, en effet, songer à faire figurer explici- 
tement dans une expression analytique une infinité non dénom- 
brable de singularités; il semble dès lors, que tout ce qu'on 
peut exiger, c'est que l'ensemble E des singularités de la 
fonction coïncide avec l'ensemble obtenu en adjoignant à l'en- 
semble E des singularités de l'expression analytique, son 
ensemble dérivé E'. Mais il j a une infinité d'ensembles E ayant 
cette propriété (que E + E' coïncide avec E); dans bien des cas, 
l'un de ces ensembles E se distingue nettement de tous les autres 
et doit être regardé comme formé des véritables singularités de 
la fonction, les points de E' n'étant pas singuliers en eux-mêmes, 
si l'on peut ainsi dire, mais seulement comme limites de points 



LA NOTION DE FONCTION d'lNE VAIUABLE COMPLEXE. 85 



Le théorème de Al. Mittag-Leffler. 

Le problème qui nous occupe a reçu depuis longtemps de 
M. Mittag-Leffler une* solution moins générale que celle de 
M. Runge ou de M. Painlevé, lesquelles s'appliquent à toutes 
les fonctions uniformes, mais bien plus précise dans les cas, 
d'ailleurs très étendus, où l'on peut l'utiliser. Indiquons V un de 
ces cas : soient E l'ensemble des points singuliers d'une fonction 
uniforme, E, l'ensemble dérivé de E, Eo l'ensemble dérivé de 
E,, ..., En+i l'ensemble dérivé de E//, .... S'il existe un 

nombre p tel que l'on ait 

Ep = o, 

c'est-à-dire tel que l'ensemble E^ ne renferme aucun point, la 
méthode de M. Mittag-Leffler (' ) s'applique et l'on peut trouver 
une expression analytique qui représente la fonction en tous les 
points non singuliers et dans laquelle chaque point singulier 
est mis en évidence, ainsi que la nature de la singularité de 
la fonction en ce point. 

Nous ne pouvons étudier en détail la méthode générale de 
M. Mittag-Leffler, mais, en prenant pour exemple le cas parti- 
culier traité par Weierstrass et qui fut l'origine des recherches 
de M. Mittag-Leffler, nous allons chercher à préciser dans quelle 
mesure on peut dire que la fonction uniforme est déterminée par 
la connaissance de ses singularités. 

Considérons, avec Weierstrass, la dérivée logarithmique d'une 
fonction entière; c'est une fonction uniforme, n'admettant à dis- 
tance finie d'autres singularités que des pôles simples; chaque 
pôle a pour résidu -f- i si les zéros de la fonction entière consi- 
dérée sont simples. 

Donnons-nous une infinité de points 



et proposons-nous de former une fonction uniforme admettant ces 
points comme pôles simples, le résidu de chaque pôle étant + i . 

(') Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes 
d'une variable indépendante {Acta mathematica, t. IV). 



86 CHAPITRE YI. 



Nous pouvons supposer que les On sont rangés de manière que 
leurs modules n'aillent pas en décroissant; il sera d'abord néces- 
saire de supposer que \(^'n\ augmente indéfiniment avec n. Cette 
condition étant remplie, si la série 



j 
>7i 



est convergente, on peut prendre pour la fonction cherchée, 
l'expression anal\ tique 

(0 y-.--^- 



Mais ce n'est évidemment pas là l'expression analvtique la plus 
générale répondant à la question; il est clair que, si l'on désigne 
par G [z) une fonction entière arbitraire, on peut prendre aussi 
bien comme solution l'expression suivanle 



(1) ■ ^^-"-^^"2^- 



Ainsi, le problème que nous nous étions posé est indéterminé; 
mais il est aisé de le rendre déterminé en complétant son énoncé : 
il suffit d'exiger que l'expression analytique cherchée soit la 
dérivée logarithmique d'une fonction entière de genre zéro. 
Dès lors, l'expression (i) fournit la solution unique de ce nouveau 
problème (à une constante additive près). 

Or, en disant que la fonction cherchée était la dérivée loga- 
rithmique d'une fonction de genre zéro, on a fixé en quelque 
mesure la manière dont elle se comporte à l'infini ('); cela a suffi 
pour la déterminer, grâce à cette hypothèse préalable la con- 
vergence de la série 

Si Ton n'avait d'abord supposé cette convergence, on n'aurait 
pu arriver aussi simplement à rendre unique la solution du pro- 
blème. Pour nous rendre compte nettement de ce fait, examinons 



(') On peut rapprocher les considérations du texte d'une Note que j'ai publiée 
sur V interpolation {^Comptes rendus, mars 1897). 



LA NOTION DE FONCTION D UNE VAIUABLE COMPLEXE. 

le cas où la série 



est convergente, la série 



T 



étant divergente; une solution particulière du problème est alors 
fournie par la série 

^ r j _L _i_ ^ ^ ^J!ll ] 

^lz — a,i an ajj "' ' ai,[ \ 

et la solution la plus générale, par l'expression analytique 

Est-il possible ici, au moyen de conditions supplémentaires, 
relatives à la manière dont la fonction se comporte à l'infini, de 
distinguer parmi l'infinité des solutions que renferme la for- 
mule (4). Il semble d'abord que la solution (3) se sépare nette- 
ment des autres; il suffit de clianger ^ en ^ — ^o pour constater 
que cette distinction est en partie artificielle. Mais, si nous assu- 
jettissons la fonction cliercliée à être la dérivée logarithmique 
d'une fonction entière de genre />, nous pourrons affirmer 
que Gr(^) est un poljnome de degré au plus égal à y? et l'expres- 
sion (4) ne renfermera plus que/;>-f- i constantes arbitraires (dont 
l'une peut être négligée). 11 suffira donc d'avoir, sur la manière 
dont se comporte la fonction à l'infini, des renseignements qui 
permettent d'écrire p relations entre ces constantes inconnues 
pour que la fonction soit entièrement déterminée, aune constante 
additive près. On voit que cette solution est moins satisfaisante 
que dans le cas où le genre est égal à zéro. Mais on peut dire tout 
au moins rjue, même si l'on ne cherche pas à préciser complète- 
ment la solution, la seule hypothèse que le genre est/) suffit à 
diminuer considérablement l'indétermination, puisqu'il ne sub- 
siste plus que/? constantes, au lieu d'une infinité. 

Il n'en est plus du tout de même lorsqu'il n'existe pas de 
nombre p tel que la série 



88 CHAPITRE M. 

soit convergente; on sait que dans ce cas, on est obligé, pour 
avoir une solution du problème, d'introduire des polynômes dont 
le degré dépasse toute limite; on peut, par exemple, considérer 
l'expression 

V / I _I_ £_ ^ f^V 

Zd\z — aa a a al '" a% } ' 

mais il est aisé de voir qu'il n'y a plus aucune manière qui ne 
soit artificielle, pour distinguer cette expression de celles que 
Ton obtient en lui ajoutant une fonction entière arbitraire. S'il 
est possible de déterminer la solution au moyen de conditions 
supplémentaires, c'est bien probablement au moyen de considé- 
rations compliquées et très délicates. 

Les difficultés que nous venons de signaler croîtraient beaucoup 
si l'on étudiait, au point de vue de la détermination de la fonc- 
tion au moyen de ses singularités, le cas le plus général traité 
par M. Mittag-Leffler, dans le Mémoire que nous avons cité. 
Néanmoins, si l'on peut reproclier à la solution de M. Mittag- 
Leffler le défaut de renfermer un certain arbitraire, et cet arbi- 
traire est peut-être impossible ou extrêmement difficile à ne pas 
introduire, on peut dire que les éléments essentiels àe la repré- 
sentation analytique sont déterminés par la connaissance des 
singularités de la fonction et ce fait suffit pour distinguer nette- 
ment cette représentation de celle de M. Runge dans laquelle 
les ])ôles des fonctions rationnelles introduites sont à peu près 
complètement arbitraires (^). Mais cette dernière a, par contre, 
l'avantage d'être absolument générale. 

Les représentations analytiques connues. 

Pour résumer les résultats acquis sur le problème de la repré- 
sentation analytique des fonctions uniformes, nous pouvons dire 



(') La même objection peut être faite aux divers développements de M. Pain- 
levé, que nous avons déjà cités. Le développement sous forme de produit infini 
paraît être celui où les propriétés de la fonction sont le mieux mises en évidence. 
D'ailleurs, M. Painlevé se proposait un but tout différent du nôtre : au lieu de 
rechercher un développement unique, il a cherché, semble-t-ii, à introduire le 
plus d'arbitraire possible dans sa solution, ce qui peut être très commode dan» 
certaines applications. 



LA NOTION DE FONCTION d'uNE VARIABLE COMPLEXE. 89 

que nous en connaissons deux solutions complètes; l'une est 
fournie par le théorème de Taylor, l'autre par le théorème de 
M. Runge (*). Ces deux solutions ont une très grande impor- 
tance à cause de leur généralité; mais chacune d'elles a de graves 
inconvénients dont les principaux sont, pour la série de Tajlor, 
de diverger en des régions où la fonction existe ; et, pour la repré- 
sentation de M. Runge et celles de M. Painlevé, d'être possibles 
d'une infinité de manières. 

Indépendamment de ces deux solutions générales, oh connaît 
des représentations analytiques qui ne s'appliquent qu'à des 
classes particulières de fonctions, mais qui, dans les cas où l'on 
peut les emplover, sont très utiles, parce qu'elles mettent en évi- 
dence les propriétés de la fonction. Parmi ces représentations 
particulières, la plus importante est celle de M. Mittag-Leffler 
dont nous avons déjà parlé. 

Il est donc naturel de se proposer le problème suivant : recher- 
cher pour les fonctions uniformes une représentation analytique 
qui mette en évidence leurs propriétés essentielles et qui, pour 
une fonction donnée, soit unique; de telle sorte que les expres- 
sions analytiques, égales à zéro dans toute une région du plan, 
sans être identiquement nulles, soient exclues. On exige de plus 
que l'expression analytique converge dans une région aussi 
étendue que possible. 

Il semble que l'on ne peut guère espérer résoudre d'un seul 
coup ce problème pour toutes les fonctions; il est donc nécessaire 
de le restreindre en faisant des hypothèses sur les singularités des 
fonctions étudiées. A cause de la diversité des hypothèses possi- 
bles, il y a là un champ considérable de recherches; c'est à force 
d'étudier des cas particuliers, parmi ceux qui paraissent les plus 
intéressants, que l'on arrivera peut-être à avoir quelques idées 
sur la solution du problème général. 

On peut poser la question sous une forme un peu différente 
qui la fera peut être mieux comprendre. 



( ' ) Il serait très aisé de déduire de chacune de ces deux solutions des solu- 
tions de même nature et ayant respectivement les mêmes propriétés; mais ces 
généralisations aisées, qui peuvent peut-être rendre des services dans la pratique, 
ne paraissent pas avoir d'intérêt théorique. 



go CHAPITRE VI. 

On connaît d'une part, des expressions analvtiqiies qui ne peu- 
vent représenter zéro sans être identiquement nulles et qui sont 
susceptibles de représenter des fonctions uniformes; mais, ou bien 
ces expressions analytiques ont un domaine de convergence qui 
diffère du domaine d'existence de la fonction (série de Taylor), 
on bien elles ne peuvent représenter que des fonctions soumises 
à certaines conditions restrictives (théorème de M. Mittag-Leffler). 
On connaît, d'autre part, des expressions analytiques susceptibles 
de représenter des fonctions uniformes quelconques dans tout leur 
domaine d'existence; mais ces expressions peuvent représenter 
zéro sans être identiquement nulles (théorème de M. Runge). 

Le but idéal à atteindre, c'est de trouver une représentation 
réunissant les avantages de la série de Taylor et des séries de 
M. Runge ou de M. Painlevé, sans avoir aucun de leurs inconvé- 
nients, et le but immédiat, c'est de trouver une telle représenta- 
tion pour des classes de fonctions de plus en plus étendues. 

Nous avons jusqu'ici utilisé la notion de fonction analytique 
sous la forme précise que lui a donnée Weierstrass; il n'est pas 
inutile de remarquer que la solution comjilète de notre problème 
conduirait probablement à une grande extension de cette notion. 
Ceci pourra être expliqué plus clairement après l'étude un peu 
détaillée de certaines expressions analytiques particulières. 



Remarque sur les séries de fractions rationnelles. 

Les expressions analytiques uniformes qui se présentent les 
premières sont les séries de fractions rationnelles (*). Soit 

une telle série; P//(5) et Q«(^) sont des polynômes. Nous suppo- 
sons, bien entendu, qu'il existe au moins une région du plan dans 



(') Elles comprennent comnne cas particulier les séries de polynômes (et les 

cries de puissances) ; d'ailleurs, en changeant z en — une série de polynômes 

devient une série de fractions rationnelles; elle ne s'en distinguait que par le 
rôle spécial du point à l'infini. 



I.A NOTION DK FONCTION d'uNE VARIABLE COMPLEXE. 9I 

laquelle cette série est convergente; nous supposerons de plus 
qu'il existe une région dans laquelle la convergence est absolue 
et uniforme. Gela étant, deux cas sont à distinguer : la série peut 
rester, ou ne pas rester, absolument et uniformément conver- 
gente lorsqu'on décompose les fractions rationnelles en éléments 
simples. Nous exclurons le dernier cas : indiquons brièvement 
pour quelles raisons. Soit 

Zàiz — an)'"" 

la série obtenue après la décomposition en éléments simples ('); 
si cette série ne converge pas absolument, elle a des valeurs 
différentes lorsqu'on modifie l'ordre de ses termes; par suite, la 
fonction n'est pas déterminée par la connaissance de ses singula- 
rités (les points ctn) et de la manière dont elle se comporte en ces 
points (définie par les coefficients h,i et les exposants /««). C'est 
là un premier motif pour ne pas considérer de telles séries. En 
voici un deuxième; nous serons amenés tout à l'heure à supposer 
que les valeurs des exposants ?7i,i sont inférieures à un nombre 
fixe; sinon la série pourrait représenter zéro; il est aisé de voir 
que, même avec cette restriction, en supposant, par exemple, 
les nin tous égaux à un, on aurait le même inconvénient si l'on 
ne suppose pas la série absolument convergente. 

En effet, si l'on a une série de fractions^rationnelles ajanl des 
pôles multiples, on peut trouver une série de fractions ration- 
nelles qui en dift^ère aussi peu que l'on veut (en excluant des 
régions aussi petites que l'on veut autour des pôles) et qui n'ait 
que des pôles simples. Cette remarque, que je dois à M. Painlevé, 
suffit pour démontrer que l'iiypotlièse de la convergence absolue 
est nécessaire si l'on veut que la série à pôles simples ne puisse 
pas représenter zéro. Mais nous n'insistons pas sur ces considéra- 
tions, en somme accessoires, et seulement destinées à montrer 
cjue les restrictions que nous faisons ne sont pas purement arbi- 
traires, mais découlent de la manière dont nous avons posé le 
problème de la représentation analytique des fonctions uniformes. 



(') On pourrait avoir, pour une ou plusieurs valeurs de i\, a,^=Qc 
devrait alors être remplacé par z. 



92 CHAPITRE VI. 

Nous supposons donc que la série 



le 



an y 



est absolument et uniformément convergente dans au moins une 
région du plan. Les points a,i^ que nous appelons les pôles de 
la série ne sont pas nécessairement tous distincts; l'ordre d'un 
pôle a,t est le plus grand des exposants 77i,i qui lui correspon- 
dent. Nous exclurons le cas où cet ordre est infini; on peut, en 
effet, faire alors deux hypothèses très différentes. Il peut arriver, 
d'une part, que l'ensemble des termes qui correspondent à un 

même pôle a constitue une fonction entière de : c'est ce qui 

a lieu dans les développements de M. Mittag-Leffler dont nous 
avons déjà parlé et que nous n'avons pas l'intention d'étudier ici. 

Il peut arriver, d'autre part, que l'ensemble des termes qui 
correspondent au pôle a forme une série qui converge seulement 
à l'extérieur d'un certain cercle a. M. Appell a donné, dans un 
Mémoire déjà cité, des exemples de séries de ce genre, avec trois 
pôles, et représentant zéro dans une région du plan, et un dans 
une autre région. C'est une raison suffisante pour exclure ces 
séries de nos considérations. 

Nous supposons donc non seulement que la série est absolu- 
ment et uniformément convergente, mais encore que l'ordre de 
chaque pôle est fini. Là se bornent les hypothèses restrictives 
rendues indispensables parla nature du problème à résoudre ('). 
Nous allons malheureusement être obligés de faire d'autres 
hypothèses, d'un caractère plus arbitraire, et justifiées seule- 
ment par le désir d'obtenir des résultats simples. Mais nous 
avons tenu à les distinguer nettement des précédentes (-). 



(') On pourrait sans doute montrer aisément qu'il est nécessaire, au même 
point de vue, de supposer que les ordres des divers pôles sont tous inférieurs à 
un nombre fixe : ce n'est pas une conséquence du fait que chacun de ces ordres 
est fini. Mais ce point nous semble très peu important. 

(^) Les restrictions que nous allons introduire ne sont évidemment pas les 
seules qui conduisent à des résultats simples ; il est évidemment aisé d'en trouver 
d'autres; il semble qu'il le soit beaucoup moins de les trouver toutes et surtout 
de les étudier méthodiquement. 



LA NOTION DE FONCTION d'uNE VARIABLE COMPLEXE. y3 



Etude de certaines séries de fractions simples. 

Les hypothèses restrictives peuvent porter, soit sur les pôles a,i 
soit sur les coefficients A/^, soit enfin sur les uns et sur les autres. 
Nous allons ici, pour fixer les idées, ne faire aucune hypothèse 
sur les points a,i'i leur distribution dans le plan pourra être abso- 
lument quelconque (M; mais nous serons amenés à imposer des 
restrictions considérables aux exposants nin et aux coefficients A„. 
On pourrait, au contraire, en faisant certaines restrictions sur la 
distribution des a,i^ obtenir des résultats (2) avec moins de restric- 
tions sur les K,i et les ni,i. Mais notre but ici est moins d'atteindre 
une grande généralité que de montrer comment on peut obtenir 
des résultats précis avec des hypothèses, en somme assez larges. 
Nous supposerons tous les exposants m,i égaux à l'unité; nous 
considérons donc la série 

et nous supposons, en outre, que Von a (^) 

lim '{/\n = o. 



(') On suppose cependant qu'il existe des aires ne renfermant aucun point «„ ; 
sinon il ne pourrait pas exister des aires en tous les points desquelles la série 
soit convergente. 

(") Foir, par exemple, E. Borel, Sur quelques points de la théorie des /onc- 
tions, première Partie {Annales de l'École Normale, iSga). 

(^) Cette hypothèse est identique à la suivante; la série 

a un rayon de convergence infini; c'est une fonction entière de Z. On peut 
remarquer que nous avons été amenés, par la considération de résultats de 
M. Appell, à faire une hypothèse analogue à propos des séries de la forme 

^') 2d\{z -ar ~^ {^ -~br "^ (T^'^0 ' 

si aucune des trois séries 

SA^Z'», SB„Z", SC^Z" 

n'avait un rayon de convergence infini, la série (i) pourrait représenter zéro 



94 ciiAprrRK VI. 

Enfin, rappelons que l'ensemble des cin est absolument quel- 
conque, mais que cependant il n'est pas dense dans tout le 
plan; il existe, par suite, des aires ne renfermant pas de points a,i 
et dans chacune desquelles la série déQnit une fonction analytique. 
Mais, dans des régions de convergence séparées, les deux fonc- 
tions analytiques ainsi définies n'ont a priori aucune relation 
entre elles (^); nous allons démontrer que si la somme de la série 
est identiquement nulle dans une région du plan, elle est nulle 
dans toute région où elle converge : ce qui est une des propriétés 
caractéristiques des séries de Taylor, 

Pour démontrer cette proposition nous remarquerons d'abord 
cjue si l'on pose 







57 ^ o, 



on a 



et 



( ao — ^JYH-'— ^^'7) 






clans une de ses régions de convergence et un dans l'autre. Il est curieux que 
l'on soit amené à faire la mémo restriction sur les coefficients de la série 




que sur ceux de la série 



(') Si l'on a une région dans laquelle il n'y a pas de point a et que cette 
région soit limitée par une courbe fermée dont tous les points appartiennent à 
l'ensemble dérivé de l'ensemble des points a, on ne doit pas regarder comme 
évident que cette ligne est une limite naturelle de la fonction analytique égale 
à la série dans la région considérée. Ce point n'est même pas aisé à démontrer 
dans le cas général; [on peut consulter à ce sujet le Mémoire déjà cité en 
Note (p. gS)]; mais il est facile de voir que les cas dans lesquels il n'en serait 
pas ainsi, doivent être regardés comme exceptionnels et il me paraît même pos- 
sible de démontrer que ces cas ne peuvent se présenter avec les restrictions 
faites ici sur les A„. Mais l'étude détaillée de ces questions exigerait de longs 
développements dont ce n'est pas ici le lieu. Nous tenons surtout à faire voir 
que l'on peut obtenir certains résultats sans aucune hypothèse sur les «„. 



LA NOTION DE FONCTION d'uNE VARIABLE COMPLE>LE. 95 

en posant 

A' — ^^^'-T^/t +- ^)' 

On peut écrire enfin 

^•■É x> — an ^ÊÊà -o — a ,1^ 

en posant 

L'égalité (i) exprime que la fonction considérée conserve sa 
forme par une transformation ho mo graphique (^). Par suite, 
s'il existe deux régions séparées dans lesquelles la série soit con- 
vergente, si Ton désigne par c et cl deux points appartenant 
respectivement à ces régions, il suffira de poser 



pour que la série transformée en z' soit convergente dans le voi- 
sinage des points z' = o et z'=cc, c'est-à-dire à l'intérieur d'un 
cercle de rayon assez petit et à l'extérieur d'un cercle de rajon 
assez grand. D'ailleurs, entre ces deux cercles, la distribution des 
points «/^ est quelconque. Reprenant les anciennes notations, nous 
considérons une série de la forme 



Ir^ 



les points a étant tous compris à l'intérieur d'une couronne circu- 
laire ayant pour centre le point ^ = o. Quant aux A, nous suppo- 
sons simplement pour l'instant que la série S|A^ est convergente ; 
nous introduirons seulement tout à l'heure les autres hvpothèses 
que nous avons faites à leur sujet. 

Nous nous proposons, étant admis que le développement en 
série de Taylor de la fonction proposée à l'intérieur du petit 



(') On voit aisément que les conditions de convergence supposées pour les „ 



a 



sont sûrement vérifiées pour les A,,, si le point z = - n'est pas un point a„; 
c'est bien ce qui a lieu dans l'application que nous ferons dans un instant. 



.96 CHAPITRE VI. 

cercle de la couronne est identiquement nul ('), de chercher ce 
qu'on en peut conclure pour le développement à l'extérieur du 
grand cercle. Posons 



2|A.I 



= £«; 



s„ désigne l'erreur que l'on commet en s'arrêtant au n'''''^^ terme 
dans le calcul de la somme des modules des A. 

Cela étant, nous avons, en désignant par Xn l'inverse de a,,, 



et, par suite, 



a,, — Z \ — XnZ Â^ 

rt rz 00 p :=z os 



Nous avons donc, par hypothèse (^), quel que soit/?. 

(i) :^\nx',l = o (/? = I, :>., 3, . . .). 



Désignons par et ^ les rayons des deux cercles qui limitent la 
couronne ; on a 

et, par suite, 



P<l.r„l<a 









<z,.,aP. 



Nous avons donc, 0^ ayant un module inférieur à l'unité. 



Xix'^-h AiX''-^. ..-hAaCc''= 0/,a«£„. 



Posons 

(x — Xi)(x — X2) . . . {x X,i) = X'i-+- UiX'^- 



u,x'^-^ 



(') C'est évidemment une conséquence immédiate du fait que la somme de la 
série est nulle dans une région intérieure au petit cercle. 

(') Dans le cas où B n'est pas nul, la relation n'est pas vérifiée pour /? = i, 
mais on voit aisément que ce point n'a aucune importance. 



LA NOTION DE FONCTION d'UNE VARIABLE COMPLEXE. 97 

Nous conclurons facilement de ce cjui précède qu'en désignant 
par 1,1 la -somme A, -|- Ao -f- . . . + A,; on a 

-^ a^ 6„_3 a«-3 4- ... — Un-i Oi a] — Un'Sa = o. 

Or on a visiblement 

I W/i j > 3", 

-T- 1 Ml I a«-> + . . . -4- j w„_] I a -h I ^^„ ] . 

Or le second membre de cette inégalité est évidemment infé- 
rieur à 

(a-4-I;r,[)(«4-|^2|)...(aH-|^„l)<(2a)«. 

Nous avons donc finalement 

Donc, si nous supposons que l'on ait 

la série A, + xA-o -r • • • -H A/^ 4- . . . aura pour somme zéro. Dans 
ces conditions nous démontrerons absolument de même que la 
série 

A, ^ Ag , 1 Ai* . 

a pour somme zéro; il suffit, en effet, de poser '—^ = A' et de rai- 

sonner sur les A' comme nous venons de le faire sur les A, les z 
seront multipliés par un facteur compris entre a et p, et la con- 
dition (2) continuera à être vérifiée. Nous démontrerons donc 
que, quel que soit A, on a 

Al _^ As _^ -i- ^ -^ -=o 

Il en résulte que le développement de la série 

V^ A,, 



98 CHAPITRK Vr. 

suivant les puissances décroissantes de z, développement valable 
pour les points extérieurs à la couronne considérée, est identi- 
quement nul. 

Il est clair que la condition (i) est vérifiée si le rayon de con- 
vergence de la série 

^' A 7 



1% 



est supérieur à -g-. Or nous avons supposé cette série conver- 
gente dans tout le plan de la variable Z. Il est alors aisé de voir 
que la fonction 

ne peut pas être nulle dans une portion du plan où elle est holo- 
morphe sans être nulle dans tout le plan. En effet, soient Ci et C2 
deux contours à l'intérieur desquels elle est holomorphe, et G' un 
contour assez grand pour ne renfermer à son extérieur aucun 
point a. Nous tracerons deux cercles concentriques, l'un extérieur 
à Cl, l'autre extérieur à G' et deux autres cercles concentriques, 
l'un intérieur à Go, l'autre extérieur à G'. D'après ce que nous 
avons vu, la fonction supposée nulle à l'intérieur de G,, par 
exemple, le sera à l'extérieur de G' et, par suite, à l'intérieur 
de G2 ; ce qu'il fallait établir. 

Propriétés essentielles des séries étudiées. — Conclusion. 

Ges résultats s'étendent sans difficulté au cas où les termes de 
la série sont d'un même degré différent du premier; il suffit, en 
effet, d'une intégration ou de plusieurs intégrations successives 
pour rentrer dans le cas que nous venons de traiter; on voit aisé- 
ment que les constantes introduites par l'intégration sont nulles, 
ear on pourrait évidemment conclure de ce qui précède que la 
série ^{z) ne peut pas être égale à un polynôme en z. Gela revient, 
en effet, à supposer que les relations (i) ne sont vérifiées qu'à 
partir d'une certaine valeur de /? ; la démonstration en est à peine 
modifiée. 

Nous avons tenu à donner cette démonstration parce qu'elle 
donne un exemple des procédés que l'on peut employer pour étu- 



LA NOTION DE FONCTION d'UNE VARIABLE COMPLEXE. 99 

(lier la série considérée lorsque les a sont quelconques; mais la 
proposition elle-même que nous avons démontrée nous paraît 
beaucoup moins importante que la suivante : 

On peut tracer dans toutes les régions du plan une infinité 
non dénombrable de courbes sur lesquelles la série est absolu- 
ment et uniformément convergente, ainsi que toutes ses dé- 
rivées. 

Cette proposition est d'ailleurs une conséquence immédiate des 
théorèmes du Chapitre précédent (^); nous renvoyons à ce Cha- 
pitre pour ce qui concerne Vinfinité des courbes considérées. 

Remarquons simplement que, sur chacune de ces courbes C, la 
série représente une fonction continue, admettant des dérivées de 
tous les ordres, qui sont représentées par les séries dérivées. Il en 



(•) En effet, les modules des termes des diverses dérivées de la série consi- 
dérée sont de la forme 

lA J 



[(^-aj^ + (r-?„r]'^ 



pour la dérivée d'ordre p — i, en posant «,^ = a„ 4- i|3„. D'ailleurs, l'hypothèse 

lim y/A„ =; o 

n=zao 

peut s'écrire 

et, par suite, le logarithme ayant un sens arithmétique 



:'est-à-dire que l'on a, à partir d'une certaine valeur de n, 



et la série 




est convergente, car elle a ses termes, au moins à partir d'un certain rang, re; 
pectivement plus petits que ceux de la série convergente 



100 CHAPITRE M. 

résulte qu'en un point où se croisent des courbes C, en nombre 
fini on infini, la dérivée de la fonction est la même, quelle que 
soit Ja courbe G sur laquelle on se déplace. 

Citons une autre conséquence du fait que la série 



est absolument et uniformément convergente sur une courbe C. 
On peut, le long de la courbe C, intégrer la série terme à terme 
et son intégrale est absolument et uniformément convergente et 
représente l'intégrale de la fonction. On en conclut le théorème 
suivant, qu'on peut considérer comme presque évident, mais qui 
ne semble pas aisé à démontrer directement : si l'ensemble des a 
est dense à l'intérieur d'une aire, il est impossible que, dans un 
espace E aussi petit que l'on veut de cette aire, les valeurs que 
prend la fonction sur les diverses courbes G que l'on peut tracer 
dans cet espace E coïncident avec les valeurs d'une fonction holo- 
morphe sur ces mêmes courbes G. En effet, l'intégrale de la fonc- 
tion le long d'un contour fermé quelconque compris à l'intérieur 
de cette aire serait nulle; on en conclurait que la somme des 
résidus A/^ de la fonction relatifs aux pôles compris à l'intérieur 
de ce contour serait nulle. Or, on peut tracer un contour tel 
que G, aussi voisin que l'on veut d'un contour quelconque donné 
à l'avance; de ce fait et de celui que la série des modules des h. 
est convergente, on conclut immédiatement que tous les résidus 
sont nuls, c'est-à-dire que la série est identiquement nulle. 

Mais nous n'insistons pas sur ces propriétés que l'on pourrait 
multiplier; nous voulions seulement montrer comment on pou- 
vait introduire dans le calcul des expressions analytiques dont 
les valeurs, en des régions diverses de convergence, soient liées 
simplement entre elles, [l semble dès lors, qu'on puisse songer 
à étendre la définition donnée par Weierstrass de la fonction 
analytique et regarder dans certains cas, comme étant la même 
fonction, des fonctions analytiques ayant des domaines d'exis- 
tence séparés. Mais il est nécessaire pour cela de faire des restric- 
lions sur la nature des expressions analytiques que l'on considère, 
et c'est parce qu'il n'a voulu faire aucune restriction de ce genre 
(jue Weierstrass a résolu par la négative la question qu'il avait 



L.\ NOTION DE FONCTION DUNE VARIABLE COMPLEXE. 101 

posée sous la forme suivante : Es war claher der Gedanke 
nicht abzmveisen, oh nicht uberhaupt in dem Falle, wo eiii 
arithmetischer Ausdruck ¥ {x) in verschiedenen Theilen 
seines Geltungsbereichs verschiedene monogene Functionen 
der coniplexen Verànder lichen x darstellt, unter diesen cin 
nothwendiger Zusanimenhang bestehe, der bewirke, dass 
durcJi die Eigenschaften der einen aucJi die Eigenscliaften 
der andern bestinimt seien. IVàre dies der Fait, so wiirde es 
daraus folgen, dass der Begriff der monogenen Function 
erweitert werden milsste. ( Weierstrass, Werke, t. \\, p. 212.) 

Il serait nécessaire de parler aussi d'une objection faite par 
M. Poincaré aux tentatives de prolongement d'une fonction au 
delà d'une ligne singulière fermée; nous renverrons pour ce point 
au Mémoire déjà cité en note (p. 93). Contentons-nous de 
dire que les arguments de M. Poincaré sont irréprochables, si 
l'on ne fait aucune restriction sur la nature des expressions ana- 
Ivtiques que Ton considère; or nous avons insisté à diverses 
reprises sur la nécessité qu'il y avait, à notre point de Aue, à 
faire de telles restrictions. Notre désaccord avec M. Poincaré 
n'est donc qu'apparent; il provient de ce que nous avons étudié 
deux problèmes, en apparence identiques, mais en réalité diffé- 
rents. 

Il ne nous est pas possible de donner à ce Chapitre une con- 
clusion décisive et définitive^ car, à notre avis, la question qui y 
est examinée n'est pas entièrement résolue et appelle de nouvelles 
recherches. Nous serions satisfait si nous avions convaincu nos 
lecteurs que, ni les travaux fondamentaux de Weierstrass, ni les 
travaux ultérieurs de MM. Mittag-Leffler, Appell, Poincaré, 
Runge, Painlevé, ne résolvent entièrement la question des rap- 
ports entre la notion de fonction analytique et d'expression ana- 
lytique. On peut même dire, sans exagération, que l'étude et 
la classification des expressions analytiques, non susceptibles de 
représenter zéro sans être identiquement nulles, est encore à 
faire à peu près entièrement. 



NOTE I. 



LA. NOTION DES PUISSANCES. 



V égalité et V inégalité des puissances. 

Nous avons dit que deux ensembles ont même puissance, lorsqu'on 
peut établir entre leurs éléments une correspondance univoque et réci- 
prpque; mais nous nous sommes contentés de considérer, d'une part, des 
ensembles dénombrables ou de première puissance, (ïaulre part, des 
ensembles ayant la puissance du continu; c'est-à-dire, que nous avons 
toujours comparé les puissances à des puissances données (ou considérées 
comme telles). Dans l'étude sommaire que nous allons faire de la notion 
générale de puissance, nous procéderons de même, en ce sens que nous 
ne séparerons jamais la notion abstraite de puissance de la notion plus 
concrète d'ensemble et que nous ne cbercherons pas à concevoir la puis- 
sance en soi, indépendamment de tout ensemble possédant cette puis- 
sance (1). 

Étant donnés deux ensembles A et B, nous désignerons par Ai une 
partie aliquote quelconque de A, c'est-à-dire un ensemble comprenant 
uniquement des éléments de A, mais ne les comprenant pas tous; de 
même Bj désignera une partie aliquote quelconque de B. Gela étant, 
si l'on compare A et B, quatre cas sont logiquement possibles et s'excluent 
réciproquement. 

1° // existe un Ai ayant même puissance que B et il n'existe pas 
de Bi ayant même puissance que A. 

•1° Il n'existe pas de Ai ayant même puissance que B, et il existe 
un Bi ayant même puissance que A. 

3° // existe un Ai ayant même puissance que B et aussi un Bi ayant 
même puissance que A. 

4° // n'existe, ni un Ai ayant même puissance que B, ni un Bi ayant 
même puissance que A. 



(') Daprès M. G. Cantor, la notion de puissance s'obtient en partant de l'idée 
d'ensemble, par une double abstraction : abstraction de l'ordre et de la nature 
des objets. Mais il ne nous semble pas que cette remarque suffise pour permettre 
de raisonner sur les puissances indépendamment de tout substratum. 



LA NOTION DES PUISSANCES. I03 

Les deux premiers cas ne diffèrent que par l'échange de A et de B ; 
dans le premier cas, on dit que la puissance de A est supérieure à celle de B 
et dans le second que la puissance de B est supérieure à celle de A. On 
démontre d'ailleurs très aisément (i) que si la puissance d'un ensemble G 
est égale ou inférieure à celle d'un ensemble B, laquelle est égale ou infé- 
rieure à celle d'un ensemble A, la puissance de G est égale ou inférieure 
à celle de A, l'égalité n'ayant lieu que si les puissances de A et de G sont 
toutes deux égales à celle de B. 

D'autre part, il est clair que ces deux premiers cas non seulement sont 
logiquement possibles, mais sont réellement possibles; il suffit de prendre 
pour l'un des ensembles, un ensemble dénombrable et pour l'autre, un 
ensemble ayant la puissance du continu. 

On peut aussi donner des exemples du troisième et du quatrième cas. 
Pour le troisième, il suffit de prendre pour A et B deux ensembles 
infinis ayant même puissance ; nous savons, en effet (p. i3), que l'on 
peut, en retranchant de A, par exemple, un ensemble dénombrable, 
obtenir un ensemble Aj, qui est une partie aliquote de A et qui a même 
puissance que A, c'est-à-dire même puissance que B. On obtiendrait de 
même un ensemble Bi ayant même puissance que A 

Le quatrième cas, enfin, se présente lorsqu'on a deux ensembles com- 
posés d'un même nombre fini d'éléments. Il est clair, en effet, qu'une 
partie aliquote quelconque de l'un d'eux ne saurait avoir même puissance 
que l'autre. 

La question qui se pose maintenant est la suivante : 

Lorsqu'on est dans l'un des deux derniers cas, peut-on affirmer 
que les deux ensembles A e^ B ont même puissance (-)? 

Nous allons démontrer qu'il en est ainsi dans le troisième cas,* mais, 
dans le quatrième cas nous ne savons rien. C'est une question qu'il serait 
très important de résoudre; car. si on la résout par l'affirmative, dans le 
quatrième cas comme dans le troisième, on pourra affirmer que, deux 
ensembles quelconques étant donnés, ou bien ils ont même puissance, ou 
bien la puissance de l'un est supérieure à celle de l'autre, au sens précis 
que nous avons donné à ces mots. Si, au contraire, ce quatrième cas se 
résout par la négative, il pourra exister deux ensembles A et B tels qu'il 
soit impossible de comparer leurs puissances : la puissance de A ne 
pourra être dite, ni égale, ni supérieure, ni inférieure à celle de B (3). 



(') Il suffit de se servir du procédé de projection que nous expliquons à la 
page suivante. 

(') D'ailleurs si l'on admet ce point, on prouvera aisément que, dans le troi- 
sième cas, les ensembles renferment une infinité d'éléments et dans le quatrième 
un nombre fini. 

(') Ces difficultés, dont j'avais vainement cherché la solution dans les publica- 
tions de M. G. Cantor m'avaient, à diverses reprises, vivement préoccupé et, 



104 NOTE I. 

Tout en souhaitant vivement que cette question importante s'éclaircisse, 
il nous paraît l)ien difficile que l'on puisse tirer une démonstration 
précise et rigoureuse des hypothèses purement négatives du quatrième 
cas, si on laisse à l'idée d'ensemble toute sa généralité. C'est pour cette 
raison que nous n'avons pas cru devoir donner de place ici aux travaux 
de M. G. Gantor sur la numération des puissances, car il nous a semblé 
qu'on ne pouvait actuellement bâtir une telle numération sur une base 
absolument sûre. Mais nous sommes loin de méconnaître l'importance 
de ces recherches, car, en dehors de leur intérêt philosophique et même 
si elles n'aboutissent pas à leur but idéal, elles peuvent rendre de très 
grands services. Par exemple, nous aurons à nous servir bientôt (p. 127) 
du théorème que nous allons maintenant démontrer : Dans le troisième 
cas les puissances de K et de B sont égales. Rappelons que les hypo- 
thèses, dans ce troisième cas, sont les suivantes : 

Jl existe une partie aliquote Ai, de A, qui a même puissance que B et 
il existe une partie aliquote B, de B qui a même puissance que A. Jl 
faut prouver que A a même puissance que B. 

Les ensembles B et Aj ayant même puissance, il existe une projection 
de B sur Ai c'est-à-dire une loi d'après laquelle les éléments de B et 
de Aj se correspondent d'une manière univoque et réciproque. Il existe 
même une infinité de telles projections; mais nous en choisissons une 
bien déterminée. Jl est clair que, par une telle projection, à toute partie 
aliquote de B correspond une partie aliquote de A,; soit A2 la partie 
aliquote de Ai qui correspond ainsi à Bi : A2 a, d'après la définition même 
de la puissance, même puissance que Bi et, par suite, même puissance 
que A. D'ailleurs A2 est une partie aliquote de Aj, qui est lui-même 
une partie aliquote de A. Tout revient à dire que, A2 ayant même 
puissance que A, Ai « aussi même puissance que A (car B a même 
puissance que Ai). 

Par hypothèse A2 a même puissance que A; choisissons une projection 
déterminée de A sur A2 ; Aj qui est une partie aliquote de A deviendra 
une partie aliquote A3 de A2, et A2 qui est une partie aliquote de Aj 
deviendra une partie aliquote A4 de A3. C'est ce que nous indiquons sur 



ayant eu l'honneur de faire la connaissance de M. G. Ganter au Congrès de 
Zurich (août 1897), j*^ m'empressai de les lui soumettre. Il voulut bien m'in- 
diqucr, pour le troisième cas, le théorème que nous venons d'énoncer et dont la 
démonstration termine ce paragraphe; cette démonstration inédite est due à 
M. Félix Bernstein et a été donnée pour la première fois clans le séminaire de 
M. G. Gantor, à Halle. Quant au théorème lui-même, M. G. Gantor le considère 
comme exact depuis fort longten)ps; il a bien voulu me communiquer verbale- 
ment que son sentiment est le même an sujet du quatrième cas; j'indique dans le 
texte les raisons qui ne me permettent pas de partager entièrement sa manière 
de voir sur ce dernier point. Qu'il me soit permis de remercier vivement M. G. 
Gantor de l'obligeance avec laquelle il m'a communiqué les renseignements qui 
précèdent et m'a autorisé à les publier ici. 



L.V NOTION DES PUISSANCES. Io5 

la figure schématique ci-contre, où la projection de A sur A2 est une 
transformation homothétique. D'ailleurs A3 a même puissance que Ai et 
A4 môme puissance que A^ et que A. Si nous projetons A sur A4, Aj et 
A2 seront projetés suivant A5 et Ag; A5 sera une partie aliquote de A4 et 
aura même puissance que Aj et A3; Ag sera une partie aliquote de A5 et 

Fis:. 2. 




aura même puissance qu» 
une suite d'ensembles 



Al A2, A4. En continuant ainsi, on formera 
A, Al, A,, A3, A4, . . ., 



tels que chacun d'eux est une partie aliquote du précédent et tels de plus 
que tous les ensembles d'indice pair ont même puissance que A et tous 
les ensembles d'indice impair même puissance que Ai. 

D'ailleurs cette suite se prolonge indéfiniment, c'est-à-dire que l'en- 
semble Kn est défini, quel que soit l'entier n; il renferme d'ailleurs 
sûrement des éléments, puisqu'il a même puissance que A ou que Ai, 
suivant que n est pair ou impair. 

Considérons maintenant (') l'ensemble D formé des éléments communs 



(•) En introduisant l'ensemble D, je modifie légèrement la démonstration que 
M. G. Canlor m'avait communiquée (i;oi>Note de la p. io4), afin d'éviter l'intro- 
duction des nombres transfinis. Cette modification est d'ailleurs sans importance. 



I06 NOTE I. 

à tous les ensembles A, Ai, A2, • . • , A„, .... Cet ensemble D peut d'ail- 
leurs ne renfermer aucun élément. Il est clair que cet ensemble D peut 
s'obtenir en retranchant successivement de A les ensembles 

A — Al, Al — A2, A2 — A3, ..., A„— A„+i, 

Nous pouvons donc écrire 

A = D+(A — A,)-f-(Ai — A2) + (A, — As)-!-... 

et chacun des symboles entre parenthèses désigne un ensemble déterminé, 
puisque A„^-] est une partie aliquote de A,i. On peut écrire de même 

Al=D-+-(A,-A2)-^(A2-A3)-4-(A3-A4) + .... 

11 est maintenant aisé de démontrer que les ensembles A et Ai ont même 
puissance; il suffit de remarquer qu'on peut les regarder comme formés 
d'une infinité dénombrable d'ensembles ayant deux à deux nlême puis- 
sance. Il résulte, en effet, du mode de projection par lequel on a obtenu 
les ensembles A3, A4, ... que A — Ai a même puissance que A2 — A3, 
que A4 — Ag, que Ae — A7, .... De même, les ensembles Ai — A2, A3 — A4, 
A3 — Ae, . . . ont tous même puissance. Il suffit, dès lors, d'écrire l'expres- 
sion de Al sous la forme 

A, ---: D -^(A2— A3)-t-(Ai— A2) + (A4 — A5) + (A3 — A4) + (A6— A7) + . . . , 

pour reconnaître que chacun des termes de cette série a même puissance 
que le terme de même rang de la série qui définit A. 

Le théorème est donc démontré (i). Nous en ferons surtout usage sous 
la forme suivante : lorsqu'une partie aliquote de A aura même puissance 
que B, nous dirons que la puissance de A est inférieiwe ou égale à 
celle de B et que la puissance de B est supérieure ou égale à celle 
de A. Dès lors, lorsque nous aurons pu démontrer que la puissance d'un 
ensemble A est à la fois supérieure ou égale et inférieure ou égale à 



(») Il importe de signaler une grave erreur qui pourrait être suggérée par la 
démonstration précédente. Nous avons vu que A — A, et A^ — A, avaient même 
puissance, à cause de la projection au moyen de laquelle nous avions obtenu A3; 
mais ce n'est nullement une conséquence du fait que A^ a même puissance 
que A et A3 même puissance que A,. Il est aisé de s'assurer que, deux ensembles A 
et B ayant même puissance, et leurs parties aliquotes respectives A, et B^ ayant 
aussi même puissance, on n'en peut rien conclure pour A — A, et B — B,. Il 
suffit de prendre, par exemple, pour A l'ensemble des points compris entre o et 2, 
pour B l'ensemble des points compris entre o et 1, et pour A,, ainsi que pour B,, 
l'ensemble des points d'abscisses incommensurables compris entre et i. L'en- 
semble A —A, a alors la puissance du continu, tandis que l'ensemble B — B, est 
dénombrable. On aurait pu d'ailleurs supposer aussi A, et B^ tous deux iden- 
tiques à B. 



LA NOTION DES PUISSANCES. IO7 

celle d'un ensemble B, nous pourrons affirmer qu'elle lui est égale. Sous 
cette forme, le théorème paraît évident; mais il importe de remarquer que 
s'il n'avait pas été préalablement démontré il n'eût pas été légitime d'in- 
troduire ce langage. 



La formation d^ ensembles ayant des puissances de plus en plus 

grandes. 

On pourrait se demander si tous les ensembles n'ont pas, ou bien la 
puissance des ensembles dénombrables, ou bien la puissance du continu 
et, s'il en était ainsi, l'utilité pratique, sinon l'intérêt théorique, des 
recherches sur les puissances en général serait singulièrement diminuée. 
Nous allons voir que l'on peut, par une méthode due à M. G. Cantor, 
définir des ensembles ayant des puissances de plus en plus grandes; 
nous rechercherons ensuite, à la fin de ce paragraphe, si l'on peut con- 
cevoir de tels ensembles. 

Indiquons d'abord comment on peut définir un ensemble ayant une 
puissance supérieure à celle d'un ensemble donné E. Désignons par x un 
élément quelconque de E et par f{x) une fonction de l'élément x^ ne 
pouvant prendre que Vune des deux valeurs o et \ . Cette fonction est 
d'ailleurs définie d'une manière déterminée pour chaque élément de E. 
Je dis que l'ensemble F formé par toutes les fonctions telles que f{x^ a 
une puissance supérieure à la puissance de E. Bien entendu, deux fonc- 
tions f{x) sont regardées comme distinctes si elles n'ont pas la même 
valeur pour tous les éléments de E. 

Montrons d'abord que l'on peut trouver une partie aliquote Fi de F 
ayant môme puissance que E. Il suffit de faire correspondre à chaque 
élément a? de E la fonction y(a7) qui prend la valeur o pour cet élément x 
et la valeur i pour tous les autres éléments de E. L'ensemble de ces fonc- 
tions f{x), qui sont toutes distinctes, constitue une partie aliquote Fi 
qui a même puissance que E. Donc la puissance de F est supérieure ou 
égale à celle de E; il nous suffit de faire voir qu'elle ne lui est pas égale, 
pour que nous soyons assuré qu'elle lui est supérieure. C'est là une con- 
séquence des définitions et théorèmes du paragraphe précédent. 

Si l'ensemble F a même puissance que l'ensemble E, nous pouvons 
désigner par fy{x) la fonction qui correspond à un élément jk de E et, 
si y est un élément quelconque de E, le symbole fy{x) pourra représenter 
un élément quelconque de F. Or, nous allons faire voir qu'il existe une 
fonction /( 57) distincte de toutes les fonctions /j(a7); il suffit de consi- 
dérer la fonction /(a?) définie par les inégalités 

dans lesquelles x est un élément quelconque de E. Ces inégalités défi- 
nissent complètement la fonction /( a?), car sa valeur pour un élément 



f08 NOTE I. 

quelconque :r de E ne pouvant être que o ou i, eJIe est connue, si l'on 
sait qu'elle n'est pas égale k fx{or) qui ne peut être aussi que o ou i. Or, 
il est clair que la fonction f{x) ainsi définie n'est égale à aucune des 
fonctions y^y(:r); car, si fy{x) est l'une de ces fonctions, la fonction /(r) 
ne prend pas la même valeur poura7=j^, car on a 

Donc, la puissance de F n'est pas égale à la puissance de E; donc elle lui 
est supérieure. 

Il est aisé de voir que, si l'on prend pour ensemble E un ensemble 
dénombrable, l'ensemble F a la puissance du continu; car, si à chacun 
des nombres o, i, 2, ..., n, ... on fait correspondre la valeur o, ou 1, 
on peut représenter cette correspondance par une fraction décimale 

0,101 1 looi . . . 

supposée écrite dans le système de numération binaire. Nos lecteurs achè- 
veront aisément le raisonnement à l'aide des principes posés dans le 
Chapitre I. Ils reconnaîtront, en particulier, que le cas où, à partir 
d'un certain rang, tous les chiffres décimaux seraient égaux à i, donne 
lieu à une difficulté aisée à écarter. 

Si l'ensemble E a la puissance du continu, on peut dire que l'ensemble F 
est, par exemple, l'ensemble des fonctions discontinues d'une variable 
réelle, prenant seulement l'une des deux valeurs o ou i. Cet ensemble a 
une puissance supérieure à celle du continu (^). 

Considérons cet ensemble F et séparons toutes les fonctions qu'il ren- 
ferme en deux classes, cette séparation étant d'ailleurs faite suivant un 
mode quelconque. 

L'ensemble de ces modes de séparation a une puissance supérieure à 
l'ensemble F. On peut continuer ainsi indéfiniment, c'est-à-dire construire 
une infinité dénombrable d'ensembles ayant des puissances de plus en 
plus grandes. D'ailleurs, lorsqu'on a une telle infinité d'ensembles 

El, E2, E,,, ..., 

tels que la puissance de chacun est supérieure à la puissance du précé- 
dent, il est clair que l'ensemble formé par la réunion de tous leurs 
éléments a une puissance supérieure à celle de chacun d'eux. Cette 
remarque, qui est due à M. G. Cantor, montre combien est considérable 
la multiplicité des puissances possibles; mais nous n'insistons pas sur ce 
point. Nous préférons consacrer la fin de ce paragraphe à la discussion 



(') On verrait d'ailleurs aisément que l'on aurait un ensemble de même puis- 
sance que F, si l'on supprimait la restriction que f{x) est nécessairement égal 
à o ou à I, et que l'on considère l'ensemble des fonctions discontinues quel- 
conques. ( Voir, pour ce point, page is'j.) 



LA NOTION DES PUISSANCES. IO9 

du procédé de M. G. Gantor, dans le cas le plus simple où il nous fait 
connaître un ensemble dont la puissance est supérieure à celle du con- 
tinu : l'ensemble F des fonctions discontinues, de variable réelle, ne 
prenant que les valeurs o et i. Cet ensemble est logiquement défini; mais 
je me demande si nous en avons quelque conception. Pouvons-nous, en 
effet, concevoir la fonction discontinue la plus générale d'une variable 
réelle (même en supposant que les seules valeurs de la fonction sont o 
ou i)?Il est nécessaire, en effet, pour donner une telle fonction de donner 
sa valeur pour toutes les valeurs réelles de la variable. Or, cet ensemble 
de valeurs n'étant pas dénombrable, il n'est pas possible d'indiquer un 
procédé qui permette de les avoir toutes, c'est-à-dire d'en atteindre une 
quelconque au bout d'un temps limité. On voit quelle est la difficulté 
qui se présente ici; elle est autrement grave que la difficulté analogue 
dans la définition de l'incommensurable générale, pour laquelle nous 
renverrons à un article de M. J. Tannery déjà cité (en note au bas de la 
page 3). En effets si nous ne pouvons pas définir l'incommensurable 
générale de la même manière qu'un ensemble dénombrable, nous pouvons, 
du moins, semble-t-il, concevoir comme défini un nombre incommensurable 
quelconque, car nous pouvons définir les n premiers chiffres d'une frac- 
tion décimale, quel que soit n, et faire croître n indéfiniment. Nous ne 
pouvons rien faire de pareil pour la fonction discontinue générale d'une 
variable réelle, car il faut donner sa sdAawc pour une infinité non dénom- 
brable de valeurs de la variable. Nous reparlerons plus loin de cette 
difficulté. 



La puissance des ensembles de fonctions. 

Aussi nous semble-t-il difficile d'introduire la considération de telles 
fonctions, et, en général^ de toutes les classes de fonctions dont l'ensemble 
a une puissance supérieure à celle du continu; car, on ne peut se servir, 
dans le calcul, d'une fonction que si elle est définie au moyen d'une infi- 
nité dénombrable d'éléments. Tel est le cas des fonctions continues, et 
aussi des fonctions discontinues seulement pour une infinité dénombrable 
de valeurs de la variable. De telles fondions |)euvent, en effet, être défi- 
nies, au moyen d'une infinité dénombrable de conditions et même, si l'on 
veut préciser davantage, au moyen d'une infinité dénombrable de nombres 
entiers {}). 

Il en est de même pour les ensembles de points. On peut dire que 
chaque fonction f{cc), égale à o ou à i pour toute valeur réelle de la 
variable, sépare les nombres réels en deux classes et, par suite, définit 
deux ensembles de points : l'ensemble des points pour lesquels la fonc- 



(') Ces conditions ne sont d'ailleurs pas arbitraires; nous reviendrons sur ce 
point dans la Note III. 



IIO NOTE 1. — L.V NOTION DES PUISSANCES. 

tien a la valeur o et l'ensemble des points pour lesquels la fonction a la 
valeur* i. Donc, l'ensemble F de ces fonctions est identique à l'ensemble 
de tous les ensembles possibles (ayant pour éléments des nombres réels); 
cet ensemble a donc une puissance supérieure à celle du continu et son 
élément général (c'est-à-dire un ensemble arbitraire de nombres réels) 
ne peut être défini qu'au moyen d'un ensemble de conditions ayant la 
puissance du continu. C'est ce qui rend les raisonnements sur ces ensembles 
généraux si difficiles et parfois impossibles; c'est ce qui les rend aussi le 
plus souvent inutiles dans l'état actuel de la Science, car il ne semble 
pas qu'il soit aisé d'introduire dans un raisonnement l'un de ces ensembles, 
défini par une infinité non dénombrable de conditions. Au contraire, nous 
avons vu (p. 5o) que l'ensemble des ensembles parfaits a la puissance du 
continu. On voit aisément qu'il en est de même des ensembles que nous 
avons appelés mesurables; c'est ce qui permet de raisonner plus aisément 
sur ces classes particulières d'ensembles et d'en découvrir des propriétés. 
En résumé, il y a lieu, soit dans les ensembles de points, soit dans les 
fonctions discontinues, de distinguer deux grandes classes : les ensembles 
et les fonctions qui ne peuvent pas être définis par une infinité dénom- 
brable de conditions et ceux qui peuvent l'être. Ces derniers seuls semblent 
pouvoir être actuellement considérés avec profit. 



NOTE II. 

LA CROISSANCE DES FONCTIONS ET LES NOMBRES DE LA DEUXIÈME CLASSE. 

Le théorème de Paul du Bois-Reymond. 

On sait que, pour mesurer une longueur L avec une unité de longueur 
donnée /, on remarque que l'on peut trouver un entier n tel que Ton ait 

nnh<{n-\-\)l. 

Si l'on pose L — ni = /i, on pourra trouver un entier n^ non nul et 

tel que 

nJ,U^{n,^i)l,. 

En continuant de même, on posera / — iiy ly = l-, et l'on définira la mesure 
de L par la fraction continue 



I 
/Il H — 



Ce procédé reçoit souvent le nom à'algoi^ithme d' E uclide ; on sait que 
son succès tient aux faits suivants : 

i" On a la notion de la suite indéfinie des nombres entiers; 

2° Étant données deux grandeurs de même nature L et l. il existe un 
nombre entier m tel que m/ > L ; c'est ce qu'on appelle, en général, 
V axiome d'Archùnède; 

S'' Enfin, tout nombre incommensurable peut être entièrement défini 
par une infinité dénombrable de nombres commensurables. 

Considérons deux fonctions/(a7) et ^(57) de la variable réelle positives? 

et supposons que ces fonctions soient croissantes et qu'elles croissent 

indéfiniment lorsque x augmente indéfiniment; supposons, de plus, que le 

f(x) . . ,,^ . . ,,, . 

rapport ^^ — ^croisse indéfiniment avec a?; nous pourrons convenir d écrire 
^^ ^(57) 

f{x)>g{x) 
et de dire que la croissance de /(^) est supérieure à la croissance de ^(37). 



. f(.T) 

Si ^ — - lend vers une limite finie (ou reste compris entre des limites 

finies) lorsque x augmente indéfiniment, les croissances def(x) et de g'{cv) 

seront dites égales; si ce rapport tend vers zéro, la croissance de /(a?) 

sera dite inférieure à la croissance de g{x). Il importe de remarquer 

qu'étant données deux fonctions positives croissantes, la croissance de 

l'une d'elles n'est pas nécessairement supérieure, égale ou inférieure à 

f{x) 
celle de l'autre, car le rapport "—— peut, lorsque x augmente indéfini- 

g{x) 

ment, prendre alternativement des valeurs aussi grandes que l'on veut et 
aussi petites que l'on veut. C'est là une différence importante entre les 
croissances et les grandeurs; mais cette difficulté ne se présentant pas 
avec les fonctions usuelles, on peut la réserver dans une première étude ( * ) 
et supposer que l'on considère un ensemble de fonctions croissantes posi- 
tives, telles que deux quelconques d'entre elles soient co/?2/?a7-«è/es ( c'est- 
à-dire aient des croissances, ou égales, ou inégales dans un sens bien 
déterminé). On peut alors se demander s'il est j)ossible de créer pour un 
tel système une théorie analogue à celle de la mesure des longueurs. Les 
remarquables travaux de Paul du Bois-Reymond ont montré qu'il n'en est 
pas ainsi et que l'étude de la croissance des fonctions est beaucoup plus 
compliquée que l'étude de la mesure des grandeurs continues. Malgré ce 
résultat négatif, les recherches de Paul du Bois-Reymond n'ont pas été 
infructueuses; elles l'ont conduit à de nombreux résultats positifs dont le 
plus important nous paraît être le théorème que nous allons maintenant 
démontrer (2). 

Du Bois-Reymond a obtenu ce théorème en cherchant à construire une 
suite de fonctions croissantes ayant, par rapport à l'ensemble des autres, 
les propriétés fondamentales du système des nombres entiers qui servent 
de base à l'algorithme d'Euclide. D'une manière précise, il a recherché si 
l'on peut trouver une suite dénombrable de fonctions croissantes 

('■?) ?l(-2^)> ?2(^), ^-ii^), ••', ?«(^), •••, 

telles que l'on ait 

Oi(a:-)< 02(^)< ?3(^)<- • • 

et que, ^{x) étant une fonction croissante quelconque donnée, il existe 
un indice m donnant lieu à l'inégalité 



(') On serait amené, pour la résoudre, à reprendre en la complétant la théorie 
des enveloppes d'indétermination de Paul du Hois-Reymond. 

(^) M. Pincherle a fait aussi sur la croissance des fonctions des recherche» 
intéressantes; inais nous ne pouvons les exposer sans dépasser les limites de celte 
Note. 



CROISSANCE DES FONCTIONS ET NOMBRES DE LA DEUXIEME CLASSE. II 3 

Le théorème de Paul du Bois-Reymond consiste en ce que Von ne peut 
pas tj^ouver de suite telle que (cp). Sous une forme plus nette, étant 
donnée une suite dénombrable quelconque (cp) de fonctions croissantes, 
on peut trouver effectivement une fonction croissante ^{oo), telle que 
l'on ait, quel que soit m, 

C'est sous cette forme positive que nous allons démontrer le théorème 
de Paul du Bois-Reymond; c'est d'ailleurs sous cette forme surtout qu'il 
peut rendre des services en Analyse. Mais nous avons tenu à indiquer le 
lien qui le rattachait à la théorie de la mesure des grandeurs, ne serait-ce 
que pour faire voir, par un exemple précis, comment l'étude approfondie 
des principes d'une théorie élémentaire, telle que celle de la mesure des 
grandeurs, peut conduire à des résultats analytiques importants. 

Nous considérons donc une suite de fonctions croissantes 

(cp) <pi(^), ?2(^), ••., On{x), On-^-li^), ■■'■ 

Par hypothèse, la croissance de On+i{x) est supérieure à celle de 0^(0^), 
c'est-à-dire que ^""^' augmente indéfiniment avec x; on ne peut en 

^n (^ ) 

conclure que, pour toute valeur de x, la valeur numérique de 0;j+i(.t) 
est supérieure à celle de cp„(a7). Mais on peut remplacer la suite (c?) par 
une nouvelle suite de fonctions croissantes 

ayant les propriétés suivantes : 

1° Deux fonctions de même indice ^n{^) et ^n{x) coïncident à partir 
d'une certaine valeur de x (qui dépendra en général de n). 

2° Pour toute valeur de x la fonction '\>,i(x) a une valeur supérieure 
ou égale à la valeur des fonctions Ofi{x), ^,i-i(x), . . . , ^i(x). 

Il suffit de montrer que l'on peut déterminer successivement les fonc- 
tions '\>ri{^) de manière qu'elles aient ces propriétés. Supposons que nous 
ayons pu déterminer les n premières; nous allons voir que nous pourrons 
sans difficulté déterminer la fonction ^„+i{x). En effet, par hypothèse, 
la croissance de <fn+i{^) est supérieure à celle de cp„(a7) et, par suite, à 
celle de ^n(^), qui coïncide avec ç)«(^) pour les valeurs suffisamment 
grandes de x. 

Donc, à partir d'une valeur suffisamment grande de x, la valeur de 
cp„+i(.r) est supérieure à celle de ^n(x)- Dès lors, si l'on prend, pour 
chaque valeur de x, la valeur de ^n-hi(^) égale à la plus grande des valeurs 
des deux fonctions cp,j+i(.r), ^n(^), on sera certain qu'à partir d'une 
certaine valeur de x la fonction ^n^i(x) coïncidera avec ^n+i(^); elle 
satisfera d'ailleurs visiblement aux autres conditions exigées. 

Considérons maintenant la suite (tj;) et définissons la fonction ^{x) par 
les égalités suivantes 

^{n) = ^,{n). 

8 



I l4 XOTE II. 

Ces égalités donnent la valeur de la fonction (|^(a7) pour toutes les valeurs 
entières de x\ on peut la définir pour les valeurs non entières par inter- 
polation linéaire (i). 11 résulte évidemment des [hypothèses faites sur la 
suite {^) que la fonction '^{x) est croissante ; je dis qu'tV en résulte aussi 
que sa croissance est supérieure à celle de la fonction '^„i(x), quelque 
soit l'entier m. En eflet, pour ^ > /?î + i, la valeur de ^{x) est visible- 
ment supérieure à celle de ^,n-¥dx)\ donc le rapport ^^^' . est supérieur 
au rapport -J^l±l — ^ et ce dernier augmente indéfiniment lorsque x 
augmente indéfiniment, car, à partir d'une certaine valeur de x, il coïncide 
avec le rapport 'ÎJ!^±li^. 

Le théorème de Paul du Bois-Reymond est donc démontré. 



La Jorniation d'une échelle de types croissants. 

Ce théorème nous fournit le moyen, étant donnée une suite dénom- 
brable de fonctions telles que la croissance de chacune d'elles est supé- 
rieure à la croissance des précédentes, de trouver une fonction dont la 
croissance est supérieure à celle de chacune des fonctions de la suite. 

Nous dirons qu'un ensemble E de fonctions ^ {x) constitue une échelle 
de types croissants (2) si deux fonctions quelconques de cet ensemble 
sont comparables entre elles et si, de plus, une fonction croissante quel- 
conque '^{x) étant donnée, il existe dans l'ensemble une fonction ^{x) 
supérieure à '^{x). La connaissance de l'ensemble E permettrait évidem- 
ment de faire un premier pas dans la théorie de la mesure des croissances : 
le théorème de du Bois-Reymond exprime qu'un tel ensemble ne peut 
pas être dénombrable. Nous allons néanmoins chercher à en construire 
un, ne serait-ce que pour donner une idée des difficultés que l'on ren- 
contre lorsque l'on veut définir un ensemble non dénombrable sans faire 
appel à l'intuition du continu. 

Remarquons d'abord que, si l'on a une fonction croissante ^{x), dont 
la croissance est supérieure à celle de x^ la fonction ç[<y(^)] a une crois- 
sance supérieure à celle de ^{x)] car, si l'on pose ^{x) = X, on a 



ç)[cp(ip)] _ cp(X) 
o{x) X 



( ' ) C'est-à-dire en posant pour n^x "^n -\-i 

(') Deux fonctions dont les croissances seront égales sont dites appartenir au 
même type. 



CROISSANCE DES FONCTIONS ET NOMBRES DE LA DEUXIÈME CLASSE. Ij5 

et, par hypothèse, le dernier rapport augmente indéfiniment avec X; or X 
augmente indéfiniment lorsque x augmente indéfiniment. 
Si l'on pose 

0[0{X)] = Cp2 (^), 

la suite ^{x), cp2(^), • • . , ^,n(x), . . . est une suite dénombrable de fonc- 
tions telles que la croissance de chacune soit supérieure à celle de la pré- 
cédente. Nous pouvons supposer, pour fixer les idées, (o{x)= e^. D'après 
le théorème de du Bois-Reymond, il existe une fonction "^{x) dont la 
croissance dépasse celle de chacune des fonctions c^,n.{x)\ nous savons 
construire une telle fonction et nous pouvons la désigner (i) par ^(^{x). 
Par hypothèse, l'inégalité 

(i) m > n 

avait pour conséquence 

(2) ?//i(^) > ?«(^); 

d'autre part, nous avons, quel que soit /??, 

(2)' Ç>60(^)>?/«(^). 

Nous pouvons donc convenir d'écrire 

(')' oj>m, 

cette inégalité (i)', dans laquelle m est un nombre entier arbitraire, n'étant 
pas autre chose qu'une manière commode d'écrire l'inégalité (2)'. 
Nous poserons 

Ç(/«-l)a)[?a)(^)] = ^mcài^)' 
Il est clair que la suite des fonctions 

Ç6o(^), ?2co(^), ••., ^moi(^), •.., 
a les mêmes propriétés que la suite 

o(x), ^^(x), ?/«(^), 

Nous pouvons, par le théorème de du Bois-Reymond, trouver une fonc- 
tion 

dont la croissance soit supérieure à celle de chacune des fonctions (fm^i^)- 



(') En ce moment, nous introduisons cette notation, sans qu'il soit nécessaire 
d'expliquer quel sens on peut lui attribuer : c'est une simple notation commode. 
Nous verrons plus loin comment elle se rattache à la théorie des nombres trans- 
fmis de M. G. Gantor. 



1 l6 NOTE II. 

En opérant sur '^(^2(3?) de la même manière que sur Oij^(cc) on peut obtenir 
une fonction (i) 0(a^{x), puis à l'aide de celle-ci une fonction cc»(,)4(.r), et 
généralement une fonction <fu>'»{x) dépendant d'un entier m. De l'ensemble 
de ces fonctions le même théorème permet de déduire une fonction ^oi'»(x) 
dont la croissance dépasse celle de chacune d'elles. On peut continuer 
ainsi indéfiniment, c'est-à-dire, chaque fois que la répétition d'un pro- 
cédé déterminé aura fourni une infinité dénombrable de fonctions, en 
obtenir encore une nouvelle par le théorème de du Bois-Reymond. On 
voit que ce théorème joue à peu près le même rôle que, dans la formation 
de la suite des nombres entiers, le principe : après chaque nombre entier 
il y en a un autre. 

Mais il importe de remarquer une différence essentielle : d'après sa 
nature même, le procédé de Paul du Bois-Reymond sera applicable du 
moment que l'on aura un ensemble dénombrable de fonctions. Or, si 
nous nous donnons un ou plusieurs procédés déterminés pour former des 
fonctions à croissance de plus en plus rapide, et si nous les appliquons 
indéfiniment, il est clair que nous obtiendrons toujours une infinité 
dénombrable de fonctions; car répéter indéfiniment une opération ne 
peut, pour l'instant, être autre chose que la répéter n fois, et faire croître 
l'entier n indéfiniment. Par suite, si l'on procède ainsi, et si l'on part 
d'un nombre limité d'opérations (ou même d'une infinité dénombrable), 
on n'obtiendra jamais qu'une infinité dénombrable de fonctions. 

Nous aboutissons ainsi à une antinomie : d'une part, l'application indé- 
finie du théorème de Paul du Bois-Reymond, joint à tels autres procédés 
d'itération que l'on pourra indiquer, ne peut fournir qu'une infinité 
dénombrable de types de croissance; d'autre part, du moment que l'on 
a seulement une infinité dénombrable de types, le procédé de du Bois- 
Reymond est encore applicable. Cette antinomie nous impose la nécessité 
logique d'étendre le sens du mot indéfiniment; pour éviter toute con- 
fusion, nous éviterons de modifier le sens de ce mot et préférerons intro- 
duire le mot nouveau transfiniment. 

Répéter transfiniment Vdi^^WcdLÙon du procédé de du Bois-Reymond, 
ce sera la répéter chaque fois que l'on aura une infinité dénombrable de 
types croissants, quel que soit le procédé par lequel on a obtenu cette 
infinité. Par conséquent, par définition môme, on obtient ainsi une infinité 
non dénombrable de types; car, si l'on obtenait seulement une infinité 
dénombrable, on devrait encore appliquer le même procédé, sans en 
rester là. L'infinité de types ainsi obtenue sera dite être de la seconde 
puissance et l'on démontre en efTet aisément que tout ensemble qui n'est 
pas de première puissance (p. i3 et 102) a une puissance égale ou supé- 



(') A un certain point de vue, il pourrait paraître plus naturel de désigner 
celte fonction par .p^yi(^), en regardant w* comme le carré de w% de même 
que w' est le carré de w. Mais ici nous sommes libres de choisir arbitrairement 
nos notations. 




CROISSANCE DES FONCTIONS ET NOMBRES DE LA DELXIEJIE CLASSE. II7 

rieureàla seconde, ce qui justifie cette dénomination (i). On peut remar- 
quer que la relation entre la notion de seconde puissance et le théorème 
de Paul du Bois-Reymond est exactement la même que la relation entre 
la notion de première puissance et le théorème : après chaque nombre 
entier, il y en a un autre. Mais Tinduction qui nous amène à la notion de 
la seconde puissance paraît être de nature supérieure à celle qui nous 
amène à celle de la première puissance, quoique cependant elle s'impose 
comme tout aussi nécessaire. 

Il y a lieu maintenant de se demander si, pour les fonctions croissantes, 
il existe une proposition analogue à l'axiome d'Archimède que nous avons 
rappelé au début de cette Note, c'est-à-dire si, étant donnée une fonc- 
tion croissante quelconque, on finira par la dépasser en répétant trans- 
finiment les procédés que nous avons indiqués. II nous semble que c'est 
là un axiome qui doit être admis au même titre que l'axiome d'Archi- 
mède et d'une manière tout à fait générale; il est, en tous cas, certain 
que cette proposition n'est pas douteuse si, par les mots : fonction quel- 
conque, on entend une fonction qui puisse être effective me Jit définie, 
c'est-à-dire telle que l'on puisse, par un nombre limité d'opérations, cal- 
culer, avec une approximation donnée, sa valeur pour une valeur donnée 
de la variable. 

Désignons par (S) la suite transfinie de fonctions croissantes que 
nous venons de définir. Cette suite a les propriétés fondamentales sui- 
vantes : 

1° Deux fonctions quelconques sont comparables entre elles. 

'^" Etant donnée une fonction quelconque de S, il y en a une qui la 
suit immédiatement. 

3° Une fonction quelconque étant donnée, il y a dans S une infinité de 
fonctions qui lui sont supérieures. 

Cette suite S possède ainsi quelques-unes des propriétés fondamentales 
de la suite des nombres entiers. On peut en déduire un ensemble S qui 
possédera de même quelques-unes des propriétés fondamentales de l'en- 
semble des nombres rationnels. 11 suffit pour cela de procéder exacte- 
ment de même que pour obtenir ce dernier ensemble : la considération 
des fonctions inverses des fonctions de S donnera des fonctions croissant 
de moins en moins vite; en les multipliant par la variable .r, on aura des 
fonctions à croissance /?/w5 rapide que a?, mais aussi peu que possible; 
par le procédé de l'itération, répété transfiniment, on formera un ensemble E 
de fonctions à croissance plus rapide que x et moins rapide que celle de x"^, 



(') En effet, tout ensemble non dénombrable a évidemment la propriété sui- 
vante : si l'on en extrait un ensemble dénombrable quelconque, il y subsiste 
encore un élément, et l'on peut répéter celte opération transfiniment, car, si on 
ne la pouvait répéter qu'indéfiniment, l'ensemble serait dénombrable. Cela suffit 
pour que nous soyons assurés que lensemble non dénombrable a une puissance 
égale ou supérieure à celle que nous appelons la seconde. 



Il8 NOTE II. 

par exemple. Cet ensemble 2 sera d'ailleurs de seconde puissance et aura 
les propriétés suivantes : 

1° Deux fonctions quelconques de 2' seront comparables entre elles. 

2° Si l'on considère une fonction quelconque, comparable à toutes les 
fonctions de S, et dont la croissance est comprise entre celle de x et celle 
de x''-, la croissance de cette fonction sera entièrement définie par la suite 
transfinie des fonctions de S dont la croissance est plus grande et la suite 
transfinie des fonctions de S dont la croissance est plus petite. 

D'ailleurs, réciproquement, tout mode de division des fonctions de 2 
en deux ensembles, tels que chaque fonction du premier ait une crois- 
sance inférieure à toute fonction du second définit un mode de crois- 
sance, mais à ce mode ne correspond pas nécessairement une fonction. 
De même que toute division en deux classes de l'ensemble des nombres 
rationnels définit une grandeur, mais à cette grandeur ne correspond 
pas nécessairement un nombre, tant que l'on n'a pas convenu d'appeler 
nombre les nombres incommensurables. Il y aurait lieu de même ici, 
pour compléter ce continu fonctionnel, analogue au continu linéaire, 
d'introduire des fonctions idéales, analogues aux nombres incoînmen- 
surables. 

Une fonction idéale, c'est u?i mode de division de l'ensemble E 
en deux classes telles que toute fonction de la première classe soit 
inférieure à toute fonction de la seconde classe et telles, de plus, qu'il 
n'y ait pas dans la première classe de fonction supérieure à toutes les 
autres, ni dans la seconde classe de fonction inférieure à toutes les 
autres. 

Par exemple, rangeons dans la première classe les fonctions ^{x) telles 

r" dx 
—, — - n'ait pas de sens et dans la seconde les fonctions 
-0 ?^-^) 

X°^ dx 
ait un sens. Nous aurons ainsi défini une 

Jonction idéale telle que, si on la désigne par 0(^7), l'intégrale 

dx 



£ 



O(^) 



est à la fois pourvue et dépourvue de sens. Cette propriété est tout aussi 
absurde pour celui qui regarderait 6(37) comme une véritable fonction, 
que la suivante, pour celui qui ne considérerait que de véritables nombres : 
il existe un nombre dont le carré est égal à 2. 

D'ailleurs, il ne faut pas oublier que les fonctions de S sont supposées 
toutes comparables entre elles. Si nous sommes partis, pour la formation 
de S, de la fonction exponentielle e^, nous dirons que les fonctions de S 
et de S appartiennent au type exponentiel et les fonctions croissantes qui 
s'introduisent naturellement leur seront comparables. 

Nous avons dit que l'ensemble S est de la seconde puissance, c'est- 



CROISSANCE DES FONCTIONS ET NOMBRES DE LA DEUXIEME CLASSE. II9 

à-dire d'une puissance inférieure, ou égale, à celle du continu; il est aisé 
de voir que si on le complète à l'aide d^es fonctions idéales, on obtient un 
ensemble dont la puissance est égale ou supérieure à celle du continu. 
Nous nous contenterons de ces indications (i). 

Que l'ensemble de toutes les fonctions croissantes (non idéales) ait une 
puissance égale à celle du continu, c'est une conséquence du fait que 
l'ensemble des fonctions continues a la puissance du continu, et il est clair 
que nous pouvons nous borner, pour définir la croissance, à considérer les 
fonctions continues croissantes. 

Donc, la puissance de l'ensemble des fonctions croissantes est au plus 
égale à celle du continu; mais, d'autre part, elle lui est au moins égale, 
car cet ensemble renferme en particulier l'ensemble des fonctions x'^, où 
a est un nombre incommensurable quelconque : donc elle lui est égale. 
Ce point nous a paru utile à établir en toute rigueur, car il avait été con- 
testé par du Bois-Reymond dans sa Théorie générale des fonctions. 



Les nombres de M. G. Cantor. 

Nous sommes maintenant à même d'exposer, comme nous la compre- 
nons, la formation des nombres plus grands que Vinfmi introduits par 
M. G. Cantor. Citons d'abord textuellement quelques passages de M. G. 
Cantor (Acta matheniatica, t. II, p. SSS-Sgg) : 

« La série (I) des nombres entiers réels et positifs I, 2, 3, ...,v, ... 

doit sa formation à la répétition et à la réunion d'unités qu'on a prises 

pour point de départ et que l'on considère comme égales La formation 

des nombres entiers réels finis repose donc sur le principe de l'addition 
d'une unité à un nombre déjà formé; Rappelle jjremier principe de for- 
mation ce moment qui, comme nous le verrons bientôt, joue aussi un rôle 
essentiel dans la production des nombres entiers supérieurs. Le nombre 
des nombres v de la classe (I), formés de cette manière, est infini et parmi 
tous ces nombres il n'y en a pas qui soit plus grand que tous les autres. 
Il serait donc contradictoire de parler d'un nombre maximum de la 
classe (I); toutefois, on peut d'autre part imaginer un nouveau nombre, 
que nous aj)pellerons 10, et qui servira à exprimer que U ensemble (I) 
est donné d'après la loi dans sa succession naturelle. On peut même 
se représenter le nouveau nombre w comme la limite vers laquelle tendent 
les nombres v, à condition d'entendre par là que tu sera le premier 
nombre entier qui suivra tous les nombres v, en sorte qu'il faut le déclarer 
supérieur à tous les nombres v. En associant le nombre to avec les unités 



(') La première considération des fonctions idéales est due à Paul du Bois- 
Reymond; j'ai cherché à compléter un peu ses trop brèves indications. Dans un 
Mémoire récent, M. Pringsheim a fait, aux idées de Paul du Bois-Reymond sur 
ce sujet, des objections que je n'ai pu arriver à comprendre. 



primitives, on obtient à l'aide du premier principe de formation ces 
nombres plus étendus 

to -^- I , w -F 9., . . . , to -J- V, ... ; 

comme par là on n'arrive encore une fois à aucun nombre maximum, on en 
imagine un nouveau que l'on peut appeler 2 w et qui sera \t premier après 
tous les nombres obtenus jusqu'à présent v et w + v, .... 

» La fonction logique qui nous a donné ces nombres w et 2w est 

évidemment différente du premier principe de formation; je l'appelle 
deuxième principe de formation des nombres réels entiers et je définis 
mieux ce principe en disant : Étant donnée une succession quelconque 
déterminée de nombres entiers réels définis, parmi lesquels il n'y en a 
pas qui soit plus grand que tous les autres, on pose, en s'appuyant 
sur ce deuxième principe de transformation, un nouveau nombre 
que l'on regarde comme la limite des premiers c'est-à-dire qui est 
défini comme étant immédiatement supérieur à tous ces nombres 

» La formation de nouveaux nombres, comme on le voit, est sans 

fin; en suivant les deux principes de formation on obtient toujours de 
nouveaux nombres et de nouvelles séries de nombres, avec une succession 
parfaitement déterminée. 

» On pourrait donc croire d'abord que nous allons nous perdre à l'in- 
défini dans cette formation de nouveaux nombres entiers infinis déter- 
minés et que nous ne sommes pas en état d'arrêter provisoirement ce 
procédé sans fin pour arriver par là à une limitation semblable à celle 
que nous avons trouvée, en fait, dans un certain sens, par rapport à 
l'ancienne classe de nombres (I); là, on n'employait que le premier prin- 
cipe de formation et on ne pouvait pas sortir de la série (I). Mais le 
deuxième principe de formation ne devait pas seulement nous conduire 
au delà du système de nombres employé jusqu'à présent; il nous apparaît 
encore certainement comme un moyen qu'on peut combiner avec le pre- 
mier principe de formation pour ariixer à pouvoir franchir toute limite 
dans la formation abstraite des nombres réels entiers. 

» Mais, si nous remarquons maintenant que tous les nombres obtenus 
jusqu'à présent et ceux qui les suivent immédiatement remplissent 
une certaine condition, nous verrons que cette condition, si on la pose 
comme obligatoire pour tous les nombres à former immédiatement, 
nous apparaît comme un troisième principe qui vient s'ajouter aux deux 

premiers et que j'appelle principe d'arrêt et de limitation G^tte 

condition est : que le système des nombres qui se trouvent dans la, 
suite des nombres avant celui que l'on considère et à partir de i soit de 

la même puissance que la première classe de nombres (I) La deuxième 

classe de nombres (II) définie par l'adjonction de ce principe n'acquiert 
pas seulement une puissance plus élevée que (2), mais précisément la 
puissance immédiatement supérieure et, par conséquent, la deuxième 
puissance ». 



CROISSANCE DES FONCTIONS ET NOMBRES DE LA DEUXIEME CLASSE. 121 

On voit l'analogie qu'il y a entre le deuxième principe de M. G. Gantor 
et le théorème de Paul du Bois-Reymond et, en même temps, les différences 
profondes qui les séparent. "Lq principe est posé a priori; par suite, si 
on l'admet, on doit lui accorder une valeur absolue; il débordera tout, 
si on ne l'arrête, ce qui est le rôle du troisième principe. Le théorème, 
au contraire, n'est pas un postulat; c'est un fait mathématique qui ne 
repose sur aucune considération a priori, mais sa puissance est bien plus 
limitée : il porte en lui-même le principe d'arrêt, car il n'est applicable 
qu'autant que l'ensemble déjà obtenu est dénombrable. D'autre part, 
comme son application indéfinie conduit seulement à un ensemble 
dénombrable, auquel il est encore applicable, il y a là une antinomie qui, 
comme nous l'avons vu, ne peut se résoudre qu'en attribuant un sens au 
mot transfminient et admettant, par suite, qu'en appliquant transfmi- 
ment le théorème on aura un ensemble de fonctions de puissance supé- 
rieure à la première obtenu ainsi d'une manière nécessaire (^). 

On peut se demander si, au contraire, il n'y a pas beaucoup d'illusion 
dans l'idée que nous nous sommes faite, après M. G. Gantor, de la puis- 
sance du deuxième principe de formation. 

Il semble en effet, quand on y regarde d'un peu plus près, que ce prin- 
cipe n'ait nullement le pouvoir de créer par lui-même de nouvelles puis- 
sances, c'est-à-dire de nous élever, par sa seule force, au delà de la pre- 
mière puissance. 11 est bien clair que, si nous utilisons le premier et le 
deuxième principe, l'un après l'autre, une infinité dénombrable de fois, 
nous n'obtiendrons jamais qu'un ensemble de première puissance. 

D'une manière plus générale, quel que soit le procédé déterminé de 
formation que l'on indique, du moment que ce procédé sera complète- 
ment exprimable au moyen d'un nombre fini de mots, parmi lesquels 



(') Une difficulté assez sérieuse provient de ce que le théorème de Paul du Bois- 
Reymond ne conduit pas à une fonction déterminée, car il peut être appliqué 
d'une infinité de manières. Il ne conduit surtout pas à la plus petite des fonctions 
supérieures aux fonctions données. Mais on peut remarquer que, pour former la 
fonction <]^{x) au moyen de la suite (j', (^), •••, ^„(^)> ••• (en reprenant les 
notations de la page ii3), on se sert en réalité d'une certaine fonction croissante; 
nous avons posé 

nous aurions pu prendre, plus généralement, 

e(/î) étant une fonction croissante quelconque. Mais il est naturel de ne prendre 
pour 6(/i) qu'une des fonctions croissantes qui ont été définies jusque-là, et non 
pas une fonction à croissance tellement rapide qu'on ne l'ait pas encore atteinte. 
On peut prendre aussi pour 6(/i) la fonction inverse des fonctions croissantes 
déjà considérées; mais on n'a le choix qu'entre une infinité dénombrable, ce qui 
est l'essentiel. 



122 NOTE II. 

peut figurer le mot indéfiniment, on n'obtiendra jamais qu'un ensemble 
de première puissance, si le mot indéfiniment signifie toujours : aussi 
souvent qu'il y a de nombres entiers. Et nous n'avons pas le droit de 
donner un autre sens au mot indéfiniment, si nous n'avons pas la notion 
d'une puissance supérieure à la première; or c'est précisément cette 
notion qu'il s'agit d'acquérir : nous tournons dans un cercle. 

Si nous introduisons l'expression transfiniment, en lui donnant le sens 
précis de aussi souvent qu'il y a d'éléments dans un ensemble de 
deuxième puissance, nous pourrons dire que l'application transfinie du 
deuxième principe donnera des nombres de deuxième classe, mais on 
n'obtiendra jamais ainsi un ensemble de nombres de troisième puissance. 
Il faudrait avoir déjà l'idée d'un ensemble ayant cette puissance, afin de 
répéter l'application du deuxième principe aussi souvent qu'il y a d'élé- 
ments dans cet ensemble. 

En d'autres termes, le deuxième principe de formation ne peut nous 
faire acquérir la notion d'une puissance que nous n'aurions pas déjà; et 
il semble bien douteux que nous ayons une idée quelque peu précise de 
ce que peut être une puissance qui dépasse la deuxième (*). Il est bien 
probable que, avant d'acquérir une telle idée, si nous y arrivons jamais, 
il aura été nécessaire d'étudier d'une manière approfondie les ensembles 
de deuxième puissance, de telle manière que nous sachions en user aussi 
commodément que des ensembles dénombrables. Le jour où ce résultat, 
dont l'importance pour la Science serait considérable, sera atteint, on 
aura une base solide pour l'étude des puissances supérieures; mais on ne 
peut nier que, actuellement, l'expression transfiniment n'ait encore pour 
nous un sens moins précis que l'expression indéfiniment^ de sorte que 
nos connaissances précises sur les puissances diverses n'excèdent guère la 
remarque suivante : il y a des ensembles dénombrables [et des ensembles 
non dénombrables, cette dernière notion étant surtout négative. 



(') Je laisse de côté ici, sans m'inquiétcr de savoir si elles sont ou non dis- 
tinctes des puissances des classes de nombres, la puissance du continu et les 
puissances qui s'y rattachent (ensembles de fonctions, etc.) dont nous acquer- 
rons la notion par des procédés tout différents. Il se présente, en effet, lorsqu'on 
emploie ces procédés pour définir les puissances, une difficulté très grave : on 
définit des puissances de plus en plus grandes, mais on ne sait pas si elles sont 
consécutives, c'est-à-dire s'il n'y a pas, par exemple, une puissance intermédiaire 
entre celle du continu et celle de l'ensemble des fonctions discontinues. 



NOTE m. 

LA NOTION DE FONCTION EN GENERAL. 



La notion de fonction est extrêmement générale et comprend plusieurs 
notions particulières que l'on peut considérer séparément: c'est ainsi que 
l'on peut distinguer, entre les fonctions d'une ou de plusieurs variables, 
les fonctions continues et discontinues, les fonctions analytiques d'une 
variable complexe et les fonctions de variable réelle, les fonctions ayant 
ou n'ayant pas de dérivée, etc. Nous nous proposons de jeter un coup 
d'œil d'ensemble sur ces diverses notions, et, en particulier, de tâcher de 
nous rendre compte en quoi elles diffèrent et en quoi elles sont analogues. 



Les fonctions discontinues. 

Occupons-nous d'abord de la notion la plus générale de la fonction, 
sans aucune restriction : ce sera une fonction discontinue. Une fonction y 
de trois variables x, y, z, par exemple, sera définie par cette seule con- 
dition, qu'à tout système (i) de [valeurs des trois variables x, y, z cor- 
respond une valeur bien déterminée (2) de f{x, y^ z). Il est aisé de voir 
que le nombre des variables importe peu dans une telle notion; nous 
savons, en effet, que l'ensemble des points de l'espace a même puissance 
que l'ensemble des points d'une droite compris entre o et 1. Si, au 
système de valeurs x, y, z correspond ainsi la valeur X comprise entre o 

et I, il suffit de poser 

f{x,y, ^)==cp(X), 

pour définir une fonction <p(X) d'une seule variable X, qui correspond 
d'une manière bien déterminée à la fonction /(a;, jKj ^)- Cette correspon- 
dance est d'ailleurs réciproque et univoque : deux fonctions étant regardées 



(') On pourrait considérer seulement les systèmes de valeurs appartenant à 
un certain domaine; pour les autres, la fonction ne serait pas définie. 

( = ) On pourrait supposer, plus généralement, qu'il y a plusieurs valeurs, ou 
même une infinité dénombrable; on verra aisément que les conséquences qui 
suivent n'en seraient pas modifiées. 



124 NOTE III. 

comme distinctes lorsqu'elles ont une valeur différente en Vun au moins 
des points où elles sont définies, à deux fonctions distinctes /{x, y, z) 
correspondent deux fonctions distinctes cp(X) et réciproquement. 

Par conséquent, l'ensemble de toutes les fonctions discontinues d'un 
nombre quelconque de variables a même puissance que l'ensemble des 
fonctions discontinues d'une variable réelle X assujettie à rester com- 
prise entre o et \. 

11 est facile de ramener la puissance de ce dernier ensemble à une puis- 
sance définie d'une manière un peu plus simple. Remarquons d'abord que 
Ton n'introduit pas de restriction sérieuse en supposant que la fonc- 
tion cp(X) a constamment une valeur comprise (i) entre o et i. Si nous 
écrivons cette valeur dans le système de numération de base 2, elle sera de 
la forme 

(a) o(X) =z 0,101001 1 1 ... , 

tous les chiffres décimaux étant égaux à o ou à i. 

Remarquons que, X étant un nombre quelconque compris entre o et i, 
tous les nombres positifs sont de la forme n -t- X, n étant un nombre 
entier. Gela étant, nous pouvons définir un ensemble de points de la 
manière suivante : le point n -{-^^ appartiendra à l'ensemble s\, dans la 
valeur (a) de o(X), le ^''"""^ chiffre décimal est i ; il ne lui appartiendra 
pas si ce n}^'^^ chiffre décimal est o. Il est clair que chaque fonction o(X) 
permet de définir un tel ensemble; d'ailleurs, cet ensemble est unique si 

la fonction ne prend aucune valeur commensurable de la forme -— <, car 

un tel nombre peut se mettre de deux manières différentes sous la 
forme (a), en vertu de l'identité 

i I I [ 

1= — I tH -\ rH--- = t>>m'--- 

9. '22 1^ '1* 

Réciproquement à un tel ensemble correspond une fonction unique ç(X); 



(') En effet, il suffît de remplacer cp(X) par la fonction <]^(X) ainsi définie : 

Si 

o<cp(X)<i, <]^(X):-. ;^?(X), 



.<9(X)<o, <^(X)= ^cp(X) 

.<=?(X)<+a^, 'I(X)--^. ' 



oo<cp(X)<--i, 4^(X)^i 



4cp(X) 

1 
4?(X;' 



on voit aisément que, réciproquement, la connaissance de la valeur de <^(X) 
détermine celle de 9(X). 



LA NOTION DE FONCTION EN GENERAL. 123 

donc, l'ensemble des fonctions cp(X) a une puissance au plus égale à la 
puissance de V ensemble des ensembles de points réels positifs. Mais il 
est clair que cette puissance est la même que l'ensemble des ensembles de 
points compris entre o et i ; et, comme un tel ensemble peut être considéré 
comme correspondant à une fonction cp(X) prenant seulement les deux 
valeurs o et i, on voit que l'ensemble de ces ensembles a une puissance 
inférieure ou égale à l'ensemble des fonctions tj>(X); ces deux puissances 
sont donc égales. 

Nous voyons donc, en définitive, que (0 l'ensemble des fonctions dis- 
continues d'un nombre quelconque de variables réelles a même puis- 
sance que l'ensemble des fonctions discontinues d'une variable réelle, 
comprise entre o et i, ces fonctions prenant seulement la valeur o ou 
la valeur i; ou, ce qui revient au môme, que l'ensemble des ensembles 
de points compris entre o et j. 

Nous avons déjà montré que cette puissance est supérieure à la puissance 
(lu continu; mais il ne nous paraît pas inutile d'insister encore sur la diffi- 
culté qu'il y a à définir un tel ensemble. Étant données, en effet, deux 
fonctions discontinues ç(X) et cpi(X) que nous pouvons, d'après ce qui 
précède, supposer égales toujours à o ou à i, le problème de reconnaître si 
elles sont identiques ou différentes présente une difficulté toute particu- 
lière. Il n'est pas possible, en effet, de fixer une méthode telle que, si elles 
sont différentes, on en soit assuré sûrement au bout d'un nombre fini 
d'opérations; cela tient à ce que le continu n'est pas dénombrable. Si les 
fonctions (p(X)et cpi(X) étaient continues, il en serait tout autrement; en 
effet, si deux telles fonctions coïncident pour les valeurs commensurables 
de X^ elles coïncident pour toute valeur de X ; si donc elles ne sont pas iden- 
tiques, on s'en apercevra sûrement par la seule considération des valeurs 

commensurables : il existe un nombre commensurable — tel que cp ( — 

q ^\q 

et CÛ1 ( — ) diffèrent, c'est-à-dire aient seulement m chiffres décimaux 

* \q J 

communs, m étant un nombre déterminé. 

Dès lors, si l'on range tous les nombres commensurables en une suite 

Uy , ^2) ' • ' ', ^^11: • • • 

ce que l'on sait faire, et si l'on calcule les valeurs c^{ui), ..., o{Un), 
coi(mi), . . ., oiiun), avec n chiffres décimaux exacts, il arrivera nécessai- 



( ' ) Si, employant un langage introduit par M. G. Cantor, nous désignons par a 
le nombre cardinal des points compris entre o et i, ce théorème peut être tra- 
duit par l'égalité 

n étant un nombre entier quelconque; on pourrait d'ailleurs supposer aussi que // 
est un nombre de la deuxième classe. 



126 NOTE m. 

rement, si l'on fait successivement cette opération pour 

/i = I, 2, 3, . . . , 

que, pour une valeur y^/i te de /i, c'est-à-dire au bout d'un nombre Jînl 
d'opérations, on sera assuré que les deux fonctions ne sont pas identiques. 
D'ailleurs, il est évident que ce nombre ne sera pas connu d'avance 
et que, par suite, l'on ne pourra pas, de calculs aussi longs qu'ils soient, 
conclure à l'identité des deux fonctions. Mais, si elles diffèrent, on est 
sûr de s'en apercevoir avec assez de persévérance. Il n'y a rien de pareil 
pour les fonctions discontinues : une telle fonction est définie par une 
infinité non dénomhrahle de conditions ; en pratique^ cela revient à dire 
qu'il est impossible de la définir. II y aurait lieu de distinguer parmi les 
fonctions discontinues les plus générales, qui paraissent devoir être exclues, 
au moins pour l'instant, des considérations mathématiques, des fonctions 
dont la discontinuité est assujettie à des restrictions. Ces restrictions 
doivent être de nature telle que la fonction puisse être entièrement 
définie par une infinité dénombrable de conditions. L'ensemble des 
fonctions satisfaisant à ces conditions restrictives a alors même puissance 
que le continu. Parmi les fonctions satisfaisant à des conditions restric- 
tives de ce genre, je citerai les fonctions discontinues seulement en une 
infinité dénombrable de points, que plusieurs géomètres ont considérées 
avec profit. Mais je ne puis m'étendre longuement sur ce sujet; je tenais 
seulement à indiquer la restriction indispensable qu'on doit apporter à 
l'idée générale de fonction, si l'on veut pouvoir l'utiliser (^). 



Les fonctions définies par des conditions dénombrables. 

On peut évidemment imaginer une infinité de classes de fonctions, 
telles que les fonctions de chaque classe soient entièrement définies à 
l'aide d'une infinité dénombrable de conditions (2) de sorte que la puis- 
sance de l'ensemble formé par les fonctions d'une classe est précisément 
la puissance du continu. Nous nous proposons d'étudier quelques-unes de 
ces classes de fonctions, en particulier au point de vue des rapports 
qu'elles ont entre elles; on apercevra aisément, d'ailleurs, ce qui, dans 



(') Cela ne veut pas dire que l'on ne puisse trouver quelques résultats s'appli- 
quant à toutes les fonctions et pouvant rendre des services; tel est, par exemple, 
le beau théorème de M. Darboux sur lintégrale définie : il existe toujours une 
intégrale par excès et une intégrale par défaut {voir Jordan, Cours d'Analyse). 
Mais de tels résultats sont forcément rares et ce théorème lui-même, malgré sa 
beauté théorique, n'a d'applications possibles que si l'on restreint beaucoup la 
généralité de la notion de fonction. 

(^) Bien entendu ces conditions sont simples; on peut supposer, si l'on veut, 
que chaque condition se traduit par le fait que l'on donne un nombre entier. 



LA NOTION DE FONCTION EN GENERAL. 127 

nos considérations s'appliquerait sans modification à telles autres classes 
que l'on voudrait considérer. 

On appelle fonction analytique de plusieurs variables x, y, z toute 
fonction qui peut être représentée par un développement de la forme 

(i) (^^{x -a,y-b,z~c) = 3a,p,y Aa,p,y (^ - ^)^(r - ^)^(^ - ^)^ 

ordonné suivant les puissances positives de a; — a^ y — h^ z — c, et con- 
vergent dans certains cercles^ c'est-à-dire sous les conditions 



\X 



— «!</•, |7 — Z> [</•', \z — c\<r\ 



r, r\ r" étant des nombres positifs déterminés. 

La condition que le développement (i) ne diverge pas pour tout sys- 
tème de valeurs (i) de x, y, z est essentielle; elle s'exprime par des 
inégalités assez compliquées auxquelles doivent satisfaire (2) les coeffi- 
cients Aa^p^y. Désignons par E3 l'ensemble des développements tels 
que (i), les coefficients Ac^^^^y étant absolument quelconques, et par F3 
l'ensemble des développements qui satisfont à la condition dont nous 
venons de parler : l'ensemble F3 est précisément l'ensemble des fonctions 
analytiques à trois variables; il est une partie aliquote de l'ensemble E3. 

D'une part, il est aisé de montrer que l'ensemble E3 a la puissance du 
continu (p. 19); d'autre part, on voit aisément que l'ensemble F3 a une 
puissance supérieure ou égale à celle du continu (car, l'un des coeffi- 
cients, par exemple Ao,o,o peut évidemment prendre une valeur arbi- 
traire); donc l'ensemble F3 a précisément la puissance du continu : mais 
V établissement effectif d'une correspondance univoque et réciproque, 
entre les éléments de F3 et les nombres compris entre o et i, par exemple, 
paraît un problème ardu (3), tandis qu'une telle correspondance est, au 
contraire, très aisée à établir, si, au lieu de F3, on considère E3. 

Un phénomène analogue se produit lorsque l'on compare les ensembles 
de fonctions analytiques dépendant d'un nombre différent de variables; 
nous allons l'étudier avec un peu plus de détail. 

Pour simplifier l'écriture nous allons comparer l'ensemble F2 des 
fonctions analytiques à deux variables et l'ensemble Fi des fonctions 
analytiques à une variable. Nous considérerons en même temps les 



(') Les systèmes de valeurs, pour lesquels l'un au moins des binômes x — or, 
y — 6, z — c serait nul, sont ici exclus. 

(') On peut consulter à ce sujet une Note de M. E. Lemairc, Bulletin des 
Sciences mathématiques , 1897. 

C) Il semble que la seule voie à suivre soit précisément celle qui a servi à 
démontrer le théorème sur lequel nous nous sommes appuyés (Note I, p. 106), 
mais cette marche, théoriquement simple, n'est pas sans présenter des difficultés 
pratiques assez sérieuses. 



128 NOTE III. 

ensembles E2 et Ei formés par les développements non assujettis à la 
condition de convergence (i) : 

(E2) ZAa,p.rV^ 

Les ensembles F2 et Fj sont respectivement des parties aliquotcs de E2 
et de Ei; tous ces ensembles ont d'ailleurs la puissance du continu et par 
suite deux quelconques d'entre eux ont même puissance. Mais nous allons 
voir qu'il est très aisé d'établir une correspondance univoque et réci- 
proque entre les éléments de E2 et de E,, tandis qu'il n'en est pas de 
même si l'on considère F2 et Fi, bien qu'on soit assuré que ces ensembles 
ont même puissance. 

Pour établir la correspondance entre les éléments de E2 et ceux de Ei, 
il suffit {Cf. p. 8) de poser 

sous la condition 

(a) Il — *— h a. 

Lorsqu'on donne a et ^ cette relation permet de calculer ;i ; si l'on 
donne n, on prendra d'abord pour a -i- ^ le plus grand nombre entier u 

vérifiant l'inégalité 

u{u -\-\) 



ce qui revient à dire que, v étant la racine carrée à une unité près par 
défaut de 8/i -t- i, iu -v- i est égal à p si p est impair et à (^ — i si <^ est 
pair. 

Connaissant ti = a -h p, la relation {a) donnera 

u{u -\-\) 



et l'on aura ensuite ^ — m — a. 

La correspondance entre les éléments de E2 et ceux de Ei est ainsi très 
simplement définie; mais il est aisé de se rendre compte que cette cor- 
respondance transforme certaines séries E^^ dwergentes pou7\toutes les 
valeurs de x et de y en séries E^ convergentes pour certaines valeurs 



(') Nous supposons que les centres des cercles de convergence coïncident 
toujours avec l'origine; il n'y aurait pas plus de difficultés à étudier les ensembles 
plus étendus (mais de même puissance} qu'on obtient en les supposant arbi- 
traires. 



LA NOTION DE FONCTION EN GENERAL. I29 

de z. Il suffit, en efTet, de poser, par exemple, 

Aa,p=Ma,p(logM)«, 

Mo(,p étant un nombre compris entre i et 2, par exemple. En effet, si la 
série E2 était convergente pour x =^ Xq, y = y^-, la série 

serait convergente sous la seule condition que le nombre réel r soit infé- 
rieur à 1^0 1 et à |jo|; or, en désignant par M„ la somme des valeurs de 
Ma,p pour a -t- ^ = w, cette série peut s'écrire 



^M,,(logw)«r' 



et il est manifeste qu'elle n'est convergente pour aucune valeur de /•, les 
nombres M^^ étant tous supérieurs à un. 
D'autre part, si l'on pose 

B„ = Ma,p(loga)", 

comme l'on a, par hypothèse, 

Ma,p < 2 
et, d'après (a), 

u <. 1 s/n, 
on en conclut 

B„<(logn + i)2v'« 

et il en résulte aisément que la série 

2B„^« 
est convergente pour |^| <i. 

On verrait aisément que toute correspondance simple établie entre les 
éléments de Eo et ceux de Ei donne lieu aux mêmes difficultés quand on 
considère F2 et F^ ; la correspondance est alors en défaut pour certains 
éléments de l'un de ces deux ensembles; à chacun de ces éléments ne 
correspond aucun élément de l'autre ensemble. 

Malgré ce grave inconvénient, la correspondance que nous venons de 
réaliser est intéressante à cause de sa simplicité, et aussi de la propriété 
suivante, qui est évidente et qu'elle n'est pas d'ailleurs la seule à posséder : 
à la somme de deux séries elle fait correspondre la somme des deux 
séries correspondantes (Ei). Il est donc naturel de se demander si l'on 
ne pourrait pas s'en servir utilement, en se résignant à faire abstraction 
des éléments de Fi auxquels ne correspond aucun élément de F2. Mais 
nous allons rencontrer une autre difficulté; nous venons de remarquer que 
si, aux fonctions cpi(ir, y) et 'J^ï{x, y) correspondent respectivement les 

9 



l30 NOTE III. 

fonctions ^i{z) et ^^i^), à la fonction <Oi{x, y)-\- ^.ii^, y) correspondra 
la fonction ^i{z)-+- z^^i^}- Pai' suite, à la fonction 

?(^5 7) = ?i(^, y) H- £?2(^, y) 

correspondra la fonction 

Si nous supposons que s soit un infiniment petit, nous pourrons être 
tentés de dire que la fonction (û{x,y) est infiniment voisine de la fonc- 
tion cfi{x,y) et, par suite, d'énoncer le résultat suivant : A deux fonctions 
infiniment voisines ^\{x, y) et o{x,y) correspondent deux fonctions 
infiniment voisines '^\{z) et '^{z). Mais, en y regardant de plus près, on 
se rendra compte que la définition que nous venons de donner implicite- 
ment est tout à fait arbitraire et que rien ne la justifie. Il est certain 
que, suivant le genre de recherches que l'on fera, il peut être commode 
d'adopter telle ou telle définition des mots : fonctions infiniment voi- 
sines. Ce n'est point ici le lieu de discuter les diverses définitions que l'on 
pourrait proposer. Mais il nous semble que, si l'on ne se borne pas à 
considérer la fonction au voisinage d'un point, il n'y a pas lieu de consi- 
dérer le développement 

comme infiniment voisin de celui qu'on obtient en faisant s — o; car, 
quelque petit que soit £, dans le coefficient de ^"(n-ea'^), c'est le second 
terme qui est le plus grand à partir d'une certaine valeur de n. 

Une observation analogue s'appliquerait au développement en série de 
la fonction 

es + £6='. 

Sans insister sur ces questions, on pressent la nature des difficultés qui 
se présenteront si l'on tient qu'à deux fonctions infiniment voisines corres- 
pondent deux fonctions infiniment voisines. 11 faudra choisir les définitions 
d'une manière convenable, en ayant soin cependant de n'y point mettre 
trop d'arbitraire. On y arriverait sans doute ici sans trop de peine; mais 
avec d'autres classes de fonctions il pourrait en être tout autrement; la pre- 
mière difficulté que nous avons signalée se présenterait d'ailleurs aussi (i). 

Parmi les classes de fonctions que l'on pourrait ainsi considérer, on 
peut citer l'ensemble des fonctions d'une variable réelle développables en 
série de Fourier : 

(F) aQ-h'^{anCosnx -\- bns'mnx)\ 

on peut citer aussi l'ensemble des fonctions continues d'une ou plusieurs 

(') Cf. un intéressant Mémoire de M. Pincherlc : Sur le calcul fonctionnel 
dis tributif {Math. Annalen, t. 49). 



LA NOTION DE FONCTION EN GÉNÉRAL. l3l 

variables réelles. Pour donner ces dernières fonctions, il suffit de donner 
leur valeur pour les systèmes de valeurs toutes commensurables des va- 
riables; ou, plus généralement, pour les points d'un ensemble dénombrable 
dense dans tout le domaine où la fonction doit être définie. Mais ces valeurs 
ne sont pas arbitraires : le fait que la fonction est continue les assujettit 
à des conditions d'une nature très compliquée. 

Aussi l'établissement effectif d'une correspondance univoque et réci- 
proque entre les éléments de deux de ces nouveaux ensembles est un pro- 
blème encore plus difficile que ceux dont nous avons parlé tout à l'heure. 
On s'en rendra compte aisément en cherchant à établir une telle corres- 
pondance entre les fonctions continues d'une variable réelle, d'une part, 
et les fonctions analytiques d'une variable complexe, d'autre part. A plus 
forte raison aura-t-on des difficultés inextricables si l'on veut introduire 
la considération de fonctions infiniment voisines. 

Ces faits montrent combien la notion de puissance, malgré son utilité 
incontestable et son intérêt, est peu riche en conséquences, parce que 
c'est, au fond, une notion très superficielle. La puissance d'un ensemble 
concret est une de ses propriétés (i), mais c'est loin d'être la plus impor- 
tante. Aussi, sans méconnaître l'intérêt de ce résultat, par exemple : l'en- 
semble des fonctions analytiques de deux variables a même puissance 
que l'ensemble des fonctions analytiques d'une variable, on doit 
avouer qu'il est bien moins fécond en applications qu'on ne pourrait le 
croire d'abord. Il peut cependant, joint aux remarques qui précèdent, 
nous aider à comprendre assez nettement le rôle des fonctions arbitraires 
en Analyse. 



(') La théorie des types ordinaux paraît être autrement riche que la théorie 
des puissances; mais elle paraît aussi autrement difficile à édifier entièrement. 
Aussi ai-je renoncé à l'idée que j'avais eue primitivement d'y consacrer une Note; 
car j'ai craint d'être à la fois trop long et trop incomplet. Pour donner quelque 
idée de l'objet de cette théorie, je citerai le théorème suivant, dû à M. G. Cantor : 
Soient deux segments de droite, de longueur égale à V unité et sur chacun 
d'eux un ensemble dénombrable partout dense; on peut toujours numéroter 
les éléments de chacun de ces ensembles de manière que la lettre a désignant 
les éléments du premier et la lettre b les éléments du second, la disposition 
relative de a„ et de a„, soit la même que la disposition relative de 6„ et de b^^. 

Il est nécessaire, évidemment, si l'extrémité droite, par exemple, de l'un des 
segments appartient à l'ensemble correspondant, qu'il en soit de même de l'extré- 
mité droite de l'autre segment. J'ajouterai que l'on peut, en modifiant légèrement 
la démonstration de M. Cantor, compléter son théorème en ajoutant que, s étant 
un nombre positif quelconque donné à l'avance, on peut s'arranger de manière 
que, quels que soient m et n, les segments a^^^a^ et b^^^b^^ vérifient les inégalités 

.-e<^»<,H-s; 

mais, bien entendu, si e devient de plus en plus petit, on pourra être obligé de 
modifier le numérotage à mesure que s variera. 



[32 NOTE III. 



La notion de fonction arbitraire. 

Dans bien des problèmes qui se traduisent par des équations aux déri- 
vées partielles, et, en particulier, dans bien des questions de Géométrie et 
de Physique mathématique, on est amené à dire que la solution générale 
dépend d'un certain nombre de fonctions arbitraires à un nombre déter- 
miné d'arguments. Par exemple, la solution générale du problème de la 
déformation d'une surface renferme deux fonctions arbitraires (ïune 
variable; la famille de Lamé la plus générale dépend de trois fonctions 
arbitraires de deux variables. Quel sens doit-on attribuer à celte « termi- 
nologie qui a quelque chose d'un peu indéterminé (i) »? Si nous ne con- 
naissions pas les résultats établis dans le paragraphe précédent, nous 
aurions pu être tentés de croire qu'elle exprime ceci : L'ensemble des 
surfaces applicables sur une surface donnée a même puissance que 
V ensemble des systèmes de deux fonctions arbitraires d'une variable. 
Ces fonctions arbitraires doivent d'ailleurs être supposées continues (2) 
pour que la surface correspondante soit continue; et analytiques, si l'on 
veut borner le problème à la recherche des surfaces analytiques. 

Cette proposition est incontestable, mais elle resterait exacte si nous 
remplacions dans son énoncé les mots une variable par les mots deux 
variables, ou trois variables; car l'ensemble des fonctions continues (ou 
analytiques) de deux ou trois variables a même puissance que l'ensemble 
des fonctions continues (ou analytiques) d'une variable. La notion de 
puissance ne suffit donc pas pour justifier la manière de parler qui nous 
occupe; nous allons en rechercher l'origine pour tâcher de mieux en 
comprendre le sens. Cette origine est évidemment dans les théorèmes 
d'existence des intégrales des équations aux dérivées partielles. Bornons- 
nous, pour plus de netteté, au cas des fonctions analytiques, dans lequel 
ces théorèmes d'existence ont été mieux étudiés; des remarques analogues 
s'appliqueraient, mutatis mutandis, si l'on considérait des fonctions de 
variables réelles satisfaisant, ainsi que leurs dérivées, à des conditions de 
continuité convenables. 

Étant donnée une équation aux dérivées partielles, par exemple la 
suivante 

d^z „/ dz dz d'^z â^'z\ 

^'^ ^==^(,^'^'^''^' ^' d^' -ôy& 

comment a-t-on été amené à dire que l'intégrale générale de cette équa- 



( ' ) Darboux, Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées cur- 
vilignes, t. I, p. 3. 

(») On doit aussi supposer vérifiées certaines conditions de continuité relati- 
vement à leurs dérivées. .Mais nous n'avons pas à entrer ici dans ces détails. 



LA NOTION DE FONCTION EN GÉNÉRAL. l33 

tien dépend de deux fonctions arbitraires à'une variable? Supposons, 

pour plus de netteté, que la fonction F soit une fonction analytique 

entière des variables dont elle dépend et donnons-nous pour ^ = o les 

, . 1 ^ dz . , . , 

développements en série de ^ et de -r- suivant les puissances de jk, 

!z = Ao^AijK-h A2J2-1-..., 
dz 

L'équation aux dérivées partielles (i) permettra alors de calculer toutes 
les dérivées partielles de z pour a? = o, jk = o et, si l'on pose 



on pourra écrire 

(3) ^ = S2:Ga,p:rVP. 

Les coefficients Ga,p sont des fonctions des A et des B, et d'ailleurs, 
quels que soient les A et les B, le développement (3) satisfait formellement 
à l'équation (i); mais, d'après le théorème de Gauchy, il est convergent 
dans le cas et dans le cas seulement où les développements (2) le sont. 

Il est clair que chaque système de séries ('i) détermine une seule 
série (3) et réciproquement chaque série (3) détermine d'une manière 
unique (i) le système des séries (2). Donc, l'ensemble des séries (3) a 
même puissance que l'ensemble des séries ('2), c'est-à-dire la puissance du 
continu; mais il est clair que l'on peut ranger les coefficients A et B de 
manière qu'ils soient les coefficients d'une série unique, à une ou à 
plusieurs variables. Si donc ils sont regardés comme des nombres tout à 
fait arbitraires, il n'y a aucune raison pour rattacher l'ensemble des 
séries (3) à l'ensemble des séries (2), plutôt qu'à l'ensemble des séries 

par exemple. Mais le théorème de Gauchy nous apprend, et c'est là le 
point essentiel, que, parmi les développements (3), on obtient tous ceux 
qui sont convergents en choisissant les A et les B de manière que les 
développements (2) soient eux-mêmes convergents. Nous arrivons donc 
au résultat suivant : Les conditions de convergence du développement 
formel de l'intégrale générale (développement formel qui renferme, 
quelle que soit la nature de l'équation aux dérivées partielles considérée, 
une infinité dénombrable de constantes arbitraires) sont identiques aux 
conditions de convergence des développements en série d'un nombre 



( ' ) Il suffit, en effet, de faire x =1 o dans la série (3) et dans sa dérivée par rap- 
port à X pour avoir les séries (2). 



134 NOTE III. — LA NOTION DE FONCTION EN GENERAL. 

déterminé de fonctions analytiques à un nombre déterminé d'argu- 
ments. 

Tel est le sens précis que l'on doit attribuer à l'expression : dépendre 
de p fonctions arbitraires de n variables. Il y aurait lieu de reprendre, 
à ce point de vue, l'étude des diverses questions dans lesquelles cette 
expression s'introduit, de manière à se rendre compte de la légitimité de 
son emploi. 

Dans certains cas, dont plusieurs sont bien connus, il n'y a aucun incon- 
vénient à substituer une seule fonction arbitraire d'une variable à plusieurs 
fonctions arbitraires d'une variable ( ^ ) : mais la question n'a pas été étudiée 
en général; nous nous contentons de la signaler. 



(') Parmi les procédés que l'on peut employer, en voici un qui est très général, 
dans le cas des fonctions de variables réelles : il suffit de partager le domaine 
dans lequel la fonction donnée est définie, en plusieurs autres (qui peuvent être 
en infinité dénombrable); on a ainsi autant de fonctions que de domaines et 
d'ailleurs, par une transformation simple, on peut étendre le domaine dans lequel 
chacune d'elles est définie. 

Pour les fonctions de variable coujplexe développées en série de Taylor on peut 
écrive f{x) = o {x') -\- X']^[x''-) et faire correspondre k f{x) les fonctions ^{y) 
et 'i^{y). Ces divers procédés peuvent d'ailleurs être variés à l'infini. 



FIN. 



TABLE DES MATIÈRES. 



Pages, 

Préface i 

Chapitre I. — Notions générales sur les ensembles i 

La notion de puissance 2 

Les ensembles dénombrables 

Comparaison des ensembles dénombrables avec les autres ensembles. li 

Les ensembles qui ont la puissance du continu 16 

Chapitre IL — Les nombres algébriques et V approximation des incom- 
mensurables ^ I 

Généralités sur les nombres algébriques 21 

L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable 23 

Les recherches de Liouville 26 

L'approximation des nombres incommensurables 29 

Chapitre III. — Les ensembles parfaits et les ensembles mesurables 34 

Les ensembles parfaits 34 

Les ensembles parfaits qui ne sont denses dans aucun intervalle ... 39 

Les ensembles mesurables 4^ 

Chapitre IV. — Le prolongement analytique 5i 

La définition du prolongement analytique 5i 

Un théorème de M. Poincaré 53 

Remarque de Weierstrass sur les séries de fonctions uniformes 67 

Chapitre V. — Sur la convergence de certaines séries réelles 62 

Séries à une seule variable 63 

Séries à deux variables 69 

Courbes de convergence uniforme 72 

Chapitre VI. — La notion de fonction d'une variable complexe 80 

Fonctions analytiques et expressions analytiques 81 

Le théorème de M. Mittag-Leffler 85 

Les représentations analytiques connues 88 

Remarque sur les séries de fractions rationnelles 90 

Etude de certaines séries de fractions simples 93 

Propriétés essentielles des séries étudiées. — Conclusion 98 

NOTES. 

Note I. — La notion des puissances 102 

L'égalité et l'inégalité des puissances 102 

La formation d'ensembles ayant des puissances de plus en plus 

grandes 107 

La puissance des ensembles de fonctions 109 



l36 TABLE DES MATIÈRES. 

Pages. 

Note II. — La croissance des fonctions et les nombi^es de la deuxième 

classe III 

Le théorème de Paul du Bois-Reymond m 

La formation d'une échelle de types croissants 1 14 

Les nombres de M. G. Cantor 119 

Note III. — La notion de fonction en général 128 

Les fonctions discontinues 128 

Les fonctions définies par des conditions dénombrables 126 

La notion de fonction arbitraire 182 




FIN DE LA TABLE DES MATIERES. 



Imprimerie GAL'THIER-ViLLAKS ET FILS, quai des Grands-Auîfustins 



ERRATA 



Page 35, ligne iP). au lieu de unité, lire unique. 

Page 8'|, ligne rîp, au lieu de l'ensemble E, lire l'ensemble C 

Page 84, ligne 33, au Heu de coïncide avec E, lire coïncide avec C. 




l36 TABLE DES MATIÈRES. 

Pages. 
Note II. — La croissance des fonctions et les nombres de la deuxième 

classe 1 1 1 

Le théorème de Paul du Bois-Reymond m 

La formation d'une échelle de types croissants 1 14 

Les nombres de M. G. Cantor 119 



Paris, - Imprimerie GAL'THIER-VILLARS ET FJLS, quai des Grands-AuRusiins, 55. 



INDEX. 



Pages. 

Chap. I. — Notions générales sur les ensembles i 

CiiAP. II. — Les nombres algébriques et l'approximation des 

incommensurables 21 

Chap. III. - Les ensembles parfaits et les ensembles mesu- 
rables 34 

Chap. IV. — Le prolongement analytique 5i 

Chap. V. — Sur la convergence de certaines séries réelles .... 62 

Chap. V^I. - La notion de fonction d'une variable complexe.. . 80 

NoTKS 102 

Table des matières . i33 




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