Full text of "Électricité et optique; cours de physique mathématique"

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COURS DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE

ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

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TOURS. " IMPRIMERIB DESMS FRÈRES

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COURS DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS

PUBLIAS PAR l.*A880CIATIOir AMICALE UBS 6LàVB8 BT ANCIENS ÉLBVBS
DB I.A FACULTÉ DBS 8CIBNCBS

COURS DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE

ÉLECTRICITÉ

ET OPTIQUE

LES THÉORIES DE MAXWELL
RT LA THfiORIB iLRCrROIAOUIfiTIQIlB DB Là LIlMfiRR

Leçons professées pendant le second semestre 1888-89

l>AR H. POINCARÉ, MEMBRE DE L'iNSTITUT
Hédigées par ê. BLONDIN, agrégé de l'Doivcnité

PARIS
GEORGES CARRÉ, ÉDITEUR

58, RUE Saint-André-des-Arts, 58

1890

^UNIVERsiTTi

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v--^
^'■1

ÙO^/S"

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INTRODUCTION

La première fois qu'un lecteur français ouvre le
livre de Maxwell, un sentiment de malaise, et souvent
même de défiance se mêle d'abord à son admiration.
Ce n'est qu'après un commerce prolongé et au prix
de beaucoup d'eflforts, que ce sentiment se dissipe.
Quelques esprits éminents le conservent même tou-
jours.

Pourquoi les idées du savant anglais ont-elles tant
de peine à s'acclimater chez nous ? C'est sans doute
que l'éducation reçue par la plupart des Français
éclairés les dispose à goûter la précision et la logique
avant toute autre qualité.

Les anciennes théories de la physique mathéma-
tique nous donnaient à cet égard une satisfaction
complète. Tous nos maîtres, depuis Laplace jusqu'à
Cauchy ont procédé de la même manière. Partant
d'hypothèses nettement énoncées, ils en ont déduit

ÉLBCTRICIT6 ET OPTlQUB. *

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VI INTRODUCTION

toutes les conséquences avec une rigueur mathéma-
tique, et les ont comparées ensuite avec Texpé-
rience. Ils semblent vouloir donner à chacune des
branches de la physique la même précision qu'à la
Mécanique Céleste.

Pour un esprit accoutumé à admirer de tels mo-
dèles, une théorie est difficilement satisfaisante. Non
seulement il n'y tolérera pas la moindre apparence de
contradiction, mais il exigera que les diverses parties
en soient logiquement reliées les unes aux autres et
que le nombre des hypothèses distinctes soit réduit au
minimum.

Ce n'est pas tout, il aura encore d'autres exigences
qui me paraissent moins raisonnables. Derrière la
matière qu'atteignent nos sens et que l'expérience
nous fait connaître, il voudra voir une autre ma-
tière, la seule véritable à ses yeux, qui n'aura plus
que des qualités purement géométriques et dont les
atomes ne seront plus que des points mathématiques
soumis aux seules lois de la Dynamique. Et pourtant
ces atomes indivisibles et sans couleur, il cherchera,
par une inconsciente contradiction, à se les repré-
senter et par conséquent à les rapprocher le plus
possible de la matière vulgaire.

C'est alors seulement qu'il sera pleinement satis-
fait et s'imaginera avoir pénétré le secret de TUni-

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INTRODUCTION VII

vers. Si cette satisfaction est trompeuse, il n'en est
pas moins pénible d'y renoncer.

Ainsi, en ouvrant Maxwell, un Français s'attend à
y trouver un ensemble théorique aussi logique et
aussi précis que l'Optique physique fondée sur Thypo-
thèse de l'éther ; il se prépare ainsi une déception
que je voudrais éviter au lecteur en l'avertissant tout
de 'suite de ce qu'il doit chercher dans Maxwell et de
ce qu'il n'y saurait trouver.

Maxwell ne donne pas une explication mécanique
de r électricité et du magnétisme ; il se borne à dé-
montrer que cette explication est possible.

Il montre également que les phénomènes optiques
ne sont qu'un cas particulier des phénomènes élec-
tromagnétiques. De toute théorie de l'électricité, on
pourra donc déduire immédiatement une théorie de
la lumière.

La réciproque n'est malheureusement pas vraie ;
d'une explication complète de la lumière, il n'est pas
toujours aisé de tirer une explication complète des
phénomènes électriques. Gela n'est pas facile, en par-
ticulier, si l'on veut partir de la théorie de Fresnel ;
cela ne serait sans doute pas impossible ; mais on n'en
arrive pas moins à se demander si l'on ne va pas
être forcé de renoncer à d'admirables résultats que
l'on croyait définitivement acquis. Gela semble un

U N I ^* "-; "R .o I T Y*

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VIII INTRODUCTION

pas en arrière ; et beaucoup de bons esprits ne
veulent pas s'y résigner.

Quand le lecteur aura consenti à borner ainsi ses
espérances, il se heurtera encore à d'autres diffi-
cultés ; le savant anglais ne cherche pas à construire
un édifice unique, définitif et bien ordonné, il semble
plutôt qu'il élève un grand nombre de constructions
provisoires et indépendantes, entre lesquelles les
communications sont difficiles et quelquefois impos-
sibles.

Prenons comme exemple le chapitre où Ton
explique les attractions électrostatiques par des pres-
sions et des tensions qui Tègneraienl dans le milieu
diélectrique. Ce chapitre pourrait être supprimé sans
que le reste du volume en devînt moins clair et moins
complet, et d'un autre côté il contient une théorie
qui se suffit à elle-même et on pourrait le com-
prendre sans avoir lu une seule des lignes qui pré-
cèdent ou qui suivent. Mais il n'est pas seulement in-
dépendant du reste de l'ouvrage ; il est difficile de
le concilier avec lés idées fondamentales du livre,
ainsi que le montrera plus loin une discussion appro-
fondie ; Maxwell ne tente même pas cette conciliation,
il se borne à dire : I hâve not been able to make the
next step, namely, to account by mechanical consi-

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INTRODUCTION IX

derations for thèse stresses in the dielectric (2^ édi-
tion, tome I, page 154).

Cet exemple suffira pour faire comprendre ma
pensée ; je pourrais en citer beaucoup d'autres j Ainsi,
qui se douterait, en lisant les pages consacrées à la po-
larisation rotatoire magnétique qu'il y a identité entre
les phénomènes optiques et magnétiques ?

On ne doit donc pas se flatter d'éviter toute contra-
diction ; mais il faut en prendre son parti. Deux théories
contradictoires peuvent en effet, pourvu qu'on ne les
mêle pas, et qu'on n'y cherche pas le fond des
choses, être toutes deux d'utiles instruments de
recherches, et peut-être la lecture de Maxwell serait-
elle moins suggestive s'il ne nous avait pas ouvert
tant de voies nouvelles divergentes.

Mais l'idée fondamentale se trouve de la sorte un
peu masquée. Elle Test si bien, que dans la plupart
des ouvrages de vulgarisation, elle est le seul point
qui soit complètement laissé de côté.

Je crois donc devoir, pour en mieux faire ressortir
l'importance, expliquer dans cette introduction en quoi
consiste cette idée fondamentale.

Dans tout phénomène physique, il y a un certain
nombre de paramètres que l'expérience atteint direc-
tement et qu'elle permet de mesurer.

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X INTRODUCTION

Je les appelle

L'observation nous fait connaître ensuite les lois des
variations de ces paramètres et ces lois peuvent géné-
ralement se mettre sous la forme d'équations diffé-
rentielles qui lient entre eux les q et le temps.

Que faut-il faire pour donner une interprétation
mécanique d'un pareil phénomène ?

On cherchera à l'expliquer soit par les mouvements
de la matière ordinaire, soit par ceux d'un ou plu-
sieurs fluides hypothétiques.

Ces fluides seront considérés comme formés d'un
très grand nombre de molécules isolées ; soient
m,, mj..., m^ les masses de ces molécules; soient
^f> Vu ^ii l^s coordonnées de la molécule m,.

On devra de plus supposer qu'il y a conservation
de l'énergie, et par conséquent qu'il existe une cer-
taine fonction — U des 3p coordonnées a?,, y,., z^, qui
joue le rôle de fonction des forces. Les 3p équations
du mouvement s'écriront alors :

cPxi rfU

(i) '^^■^="^,

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INTRODUCTION XI

L'énergie cinétique du système est égale à :
T=:|sm,(a?{» + y;« + ^;»}.

L'énergie potentielle est égale à U et l'équation qui
exprime la conservation de l'énergie s'écrit :

T 4- U = const.

On aura donc une explication mécanique complète
du phénomène, quand on connaîtra d'une part la
fonction des forces — U et que d'autre part on saura
exprimer les 3p coordonnées a?„ y„ Zi à l'aide de n
paramètres q.

Si nous remplaçons ces coordonnées par leurs
expressions en fonctions des ç, les équations (1) pren-
dront une autre forme. L'énergie potentielle U
deviendra une fonction des q; quant à l'énergie ciné-
tique T, elle dépendra non seulement des g, mais de
leurs dérivées q' et elle sera homogène et du second
degré par rapport à ces dérivées. Les lois du mouve-
ment seront alors exprimées par les équations de
Lagrange :

d dT cTT ^^^ dJJ _
^^^ dtdq,' dq.'^dqj,^^'

Si la théorie est bonne, ces équations (2) devront

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XII INTRODUCTION

être identiques aux lois expérimentales directement
observées.

Ainsi pour qu'une explication mécanique d'un phé-
nomène soit possible, il faut qu'on puisse trouver
deux fonctions U et T, dépendant, la première des
paramètres q seulement, la seconde de ces para-
mètres et de leurs dérivées ; que T soit homogène du
deuxième ordre par rapport à ces dérivées et que les
équations différentielles Réduites de l'expérience
puissent se mettre sous la forme (2).

La réciproque est vraie ; toutes les fois qu'on
pourra trouver ces deux fonctions T et U, on sera
certain que le phénomène est susceptible d'une expli-
cation mécanique.

SoienteneffetU(îi,...g2,...?n),T(îi,g'2,...,î «;...,
?i, ?2,..., ?n) ou plus simplement U {q,),T [q\, q,).
ces deux fonctions.

Que reste-t-il à faire pour obtenir l'explication
complète ?

Il reste à trouver |) constantes mi,..., tw^, m^; et
3 p fonctions des q :

?/(9'«,^2»-»^/.), 4<(^0^2-M^*.), ^i{qi*q2""i9n)

où

(.■=l,2...p)

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INTRODUCTION XIII

OU plus brièvement

que Ton puisse considérer comme les masses et les
coordonnées

^i = ?h Vi = l'/t ^i = ®/

desp molécules du système.

Pour cela ces fonctions devront satisfaire à la
condition suivante ; on devra avoir identiquement:

T(?,^g,0=3Sm,K«^-y;^+3';«)=|sm;(^;«+^;«+o;2)

où

Gomme le nombre p peut être pris aussi grand que
Ton veut, on peut toujours satisfaire à cette condition,
et cela d'une infinité de manières.

Ainsi dès que les fonctions U [qj)y T (ç'^^, qt) existent,

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XIV INTRODUCTION

on peut trouver une infinité d'explications mécaniques
du phénomène.

Se donc un phénomène comporte une explication
mécanique complète, il en comportera une infinité
d'autres qui rendront également bien compte de
toutes les particularités révélées par V expérience.

Ce qui précède est confirmé par l'histoire de toutes
les parties de la physique ; en Optique par exemple,
Fresnel croit la vibration perpendiculaire au plan de
polarisation ; Neumann la regarde comme parallèle
à ce plan. On a cherché longtemps un « experimen-^
tum crucis » qui permît de décider entre ces deux
théories et on n'a pu la trouver.

De même, sans sortir du domaine de l'électricité,
nous pouvons constater que la théorie des deux
fluides et ceUe du fluide unique rendent toutes deux
compte d'une façon également satisfaisante de toutes
les lois observées en électrostatique.

Tous ces faits s'expliquent aisément grâce aux
propriétés des équations de Lagrange que je viens
de rappeler.

Il est facile de comprendre maintenant quelle est
l'idée fondamentale de Maxwell.

Pour démontrer la possibilité d'une eocplication
mécanique de V électricité^ nous n'avons pas à noies

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INTRODUCTION XV

'prêoccv/per de trouver cette explication eUe-même^
il notes suffit de connaître l'expression des deux fonc-
tions T et U qui sont les deux parties de ténergie^
de former avec ces deux fonctions les équations de
Lagrange et de comparer ensuite ces équations avec
les lois expérimentales. '

Entre toutes ces explications possibles, comment
faire un choix pour lequel le secours de l'expérience
nous fait défaut ? Un jour viendra peut-être où les
physiciens se désintéresseront de ces questions, inac-
cessibles aux méthodes positives et les abandonne-
ront aux métaphysiciens. Ce jour n'est pas venu ;
l'homme ne se résigne pas si aisément à ignorer éter-
nellement le fond des choses.

Notre choix ne peut donc plus être guidé que par
des considérations où la part de l'appréciation per-
sonnelle est très grande ; il y a cependant des solu-
tions que tout le monde rejettera à cause de leur
bizarrerie et d'autres que tout le monde préférera à
cause de leur simplicité.

En ce qui concerne l'électricité et le magnétisme,
Maxwell s'abstient de faire aucun choix. Ce n'est
pas qu'il dédaigne systématiquement tout ce que ne
peuvent atteindre les méthodes positives ; le temps
qu'il a consacré à la théorie cinétique des gaz en fait
suffisamment foi. J'ajouterai que si dans son grand

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XVI

INTRODUCNION

ouvrage, il ne développe aucune explication com-
plète, il avait antérieurement tenté d'en donner une
dans un article du Philosophical Magazine, L'étran-
geté et la complication des hypothèses qu'il avait
été obligé de faire, l'avaient amené ensuite à y
renoncer.

Le même esprit se retrouve dans tout l'ouvrage.
Ce qu'il y a d'essentiel, c'est-à-dire ce qui doit rester
commun à toutes les théories est mis en lumière ;
tout ce qui ne conviendrait qu'à une théorie particu-
lière est presque toujours passé sous silence. Le lec-
teur se trouve ainsi en présence d'une forme presque
vide de matière qu'il est d'abord tenté de prendre
pour une ombre fugitive et insaisissable. Mais les
efforts auxquels il est ainsi condamné le forcent à
penser et il finit par comprendre ce qu'il y avait sou-
vent d'un peu artificiel dans les ensembles théoriques
qu'il admirait autrefois.

C'est en électrostatique que ma tâche a été le plus
difficile ; c'est là surtout en effet que la précision fait
défaut. Un des savants français qui ont le plusappro-

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INTRODUCTION XVII

fondi l'œuvre de Maxwell me disait un jour : « Je
comprends tout dans son livre, excepté ce que c'est
qu'une boule électrisée. » Aussi ai-je cru devoir insis-
ter assez longuement sur cette partie de la science. Je
ne voulais pas conserver à la définition du déplace-
ment électrique cette sorte d'indétermination qui est
la cause de toutes ses obscurités ; je ne voulais pas î

non plus, en précisant la pensée de l'auteur, la dé- j

passer et par conséquent la trahir.

J'ai pris le parti d'exposer successivement deux
théories complètes, mais entièrement dijBTérentes. *^

J'espère que le lecteur distinguera ainsi sans peine
ce qu'il y a de commun à ces deux théories et par
conséquent ce qu'elles contiennent d'essentiel. Usera
averti en outre qu'aucune des deux ne représente le
fond des choses. Dans la première j'admets l'existence
de deux fluides, électricité et fluide inducteur, qui
peuvent être aussi utiles que les deux fluides de
Coulomb, mais qui n'ont pas plus de réalité objec-
tive. De même l'hypothèse de la constitution cellu-
laire des diélectriques, n'est destinée qu'à faire mieux
comprendre l'idée de Maxwell en la rapprochant des
idées qui nous sont plus familières En agissant ainsi,
je n'ajoute rien à la pensée de l'auteur anglais et je
n'en retranche rien non plus; car il importe d'observer
que Maxwell n'a jamais regardé « what we may call

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XV m INTRODUCTION

an electric displacement » comme un véritable mou-
vement d'une véritable matière.

Je suis très reconnaissant à M. Blondin qui a bien
voulu recueillir et rédiger les leçons que j'ai professées
pendant le semestre d'été de 1888, ainsi qu'il l'avait
déjà fait pour celles que j'avais consacrées à l'op-
tique physique.

I Sa tâche a été cette fois plus difficile. La science

a marché avec une rapidité que rien ne permettait de
prévoir au moment où j'ai ouvert ce cours. Depuis
cette époque la théorie de Maxwell a reçu, d'une
manière éclatante, la confirmation expérimentale qui
lui manquait. Je n'avais pu exposer dans mes leçons
que les premières expériences de Rontgen et de
Hertz, auxquelles les conquêtes plus récentes et plus
complètes de ce dernier savant ont enlevé beaucoup
d'intérêt. M. Blondin a donc dû remanier et étendre
considérablement cette partie du cours.

Le chapitre XIII où sont exposées ces diverses
tentatives de vérification expérimentale, est entière-
ment son œuvre personnelle.

J'ai cru toutefois qu'il convenait de renvoyer à un
autre ouvrage les quelques pages qu'il avait rédigées
au sujet des expériences de Hertz. Cet ouvrage où
seront reproduites les leçons que j'ai professées en
1890 aura pour objet non seulement les théories

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INTRODUCTION XIX

électrodynamiques de Helmholtz, mais aussi la dis-
cussion mathématique des expériences de Hertz et
paraîtra très prochainement. U est donc préférable
d'en rapprocher la description succincte des expé-
riences.

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ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

CHAPITRE PREMIER

FORMULES DE L'ÉLECTROSTATIQUE

1. Avant d'entreprendre l'exposé des idées de Clerk Maxwell
sur rélectricité, nous commencerons par résumer rapidement
les hypothèses fondamentales des théories actuellement en
usage et nous rappellerons les théorèmes généraux de Télec-
tricité statique, en introduisant dans les formules les notations
de Maxwell.

2. Théorie des deux fluides. — Dans la théorie des
deux fluides, les corps qui ne sont pas électrisés, en d*autres
termes, qui sont à Tétat neutre, sont supposés chargés de
quantités égales d'électricité positive et d'électricité négative.
On admet en outre que ces quantités sont assez grandes pour
qu'aucun procédé d'électrisation ne permette d'erileVer à un
corps toute son électricité de l'une ou l'autre espèce.

8. Des expériences de Coulomb et de la déOnition des
quantités d'électricité, il résulte que deux corps ch6u*gés de
quantités m et i»' d'électricité, exercent entre eux une force

ÉLBCTBICITft BT (IPTIQUB. 1

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2 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

donnée par l'expression

(i) F^-/^:

où r désigne la distance des deux corps électrisés, supposée
très grande par rapport aux dimensions de ces corps. Une
valeur négative de F indique une répulsion entre les corps ; à
une valeur positive correspond une force attractive, f est un
coefficient numérique dont la valeur dépend de Tunité adoptée
pour la mesure des quantités d'électricité.

4. Théorie du fluide unique. — Dans la théorie du
fluide unique, à laquelle se rattache la théorie de Maxwell, un
corps à Félat neutre est supposé contenir une certaine quan-
tité d'électricité positive. Quand un corps contient une quantité
d'électricité positive plus grande que cette charge normale, il
est dit chargé positivement ; dans le cas contraire, il est chargé
négativement.

Pour expliquer dans cette théorie les attractions et les
répulsions électriques, on admet que les molécules d'électri-
cité se repoussent, que les molécules de matière se repoussent
également, tandis qu'il y a au contraire attraction entre les
molécules d'électricité et les molécules de matière. Ces attrac-
tions et ces répulsions sont d'ailleurs supposées s'exercer
suivant la droite qui joint les molécules et en raison inverse
du carré de la distance.

Dans ces conditions, la quantité d'électricité positive con-
tenue dans un corps à l'état neutre, doit être telle que la
répulsion qu'elle exerce sur une molécule électrique extérieure
au corps soit égale à l'attraction exercée sur cette molécule
par la matière du corps.

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FORMULES DE L'ÉLECTROSTATIQUE 3

5. Expression de la force électrique dans la théorie
du fluide unique. — Les forces qui agissent entre deux
corps électrisés sont alors au nombre de quatre : celle qui
8*exerce entre les charges électriques, la répulsion de la
matière qui constitue les corps, enfin les deux attractions qui
ont lieu entre l'électricité qui charge l'un des corps et la
matière qui forme l'autre. Si nous désignons par r la distance
qui sépare les corps, par (a et fji' leurs charges électriques res-
pectives, et par v et v' leurs masses matérielles, nous aurons :

Pour la force s'exerçant entre les masses matérielles,

a .
r-

.2 '

pour les attractions entre Télectricité et la matière,

fi et p^;

pour la répulsion entre les charges électriques

Y ^»
La résultante de ces forces sera

F = i [- «vv' + p(vK -I- vV) - -i^f-A,

Telle est l'expression générale de la force qui s'exerce entre
deux corps électrisés. Cette force doit se réduire à l'attraction

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4 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

newtonnienne, quand les corps considérés sont à Tétat neutre.

C'est ce qui aura lieu si la charge normale d'un corps à Tétat

vB
neutre a pour valeur -^ et si, puisque la force doit être attrac-

tive, on a a < *--•
Y

6. Si nous désignons par m l'excès de charge d'un conduc-
teur électrisé sur sa charge normale à Tétat neutre, la for-
mule (2) devient

i' = -r^ + (^-.)?'

Elle se réduit à la formule (i) quand on laisse de côté
l'attraction newtonnienne. La théorie du fluide unique conduit
donc pour les attractions et les répulsions électriques à la
même expression que la théorie des deux fluides. Toutes les
conséquences de la formule (i) subsistent par conséquent dans
la théorie du fluide unique.

?• Unité électrostatique de quantité. — Par le choix
d'une unité convenable de quantité d'électricité, on peut faire
en sorte que le coefficient numérique f de la formule (i)
devienne égal à 1. L'unité de quantité ainsi choisie esi l'unité
électrostatique de quantité d'électricité; c'est la quantité
d'électricité qui, agissant sur une quantité égale placée dans
Vair à l'unité de distance, exerce sur elle une force égale à
l'unité de force.

On a alors pour la valeur de la force qui s'exerce entre
deux masses électriques m et m' placées dans l'air à une dis-
tance r,

(3) F = -^'.

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FORMULES DE L'ÉLECTROSTATIQUE 5

8. Potentiel. Composantes de la force électrique. —

On appelle polenliel en un point le travail de la force électrique
agissant sur Vunité d électricité positive quand celle-ci va du
point considéré à t infini.

Dans le cas particulier où les masses électriques sont dis-
tribuées dans Tair, le potentiel a pour valeur V —^ rt étant

la distance du point considéré à la masse mi et la sommation
s'étendant à toutes les masses électriques du champ.

Nous désignerons par ip le potentiel en un point P, pour
nous conformer aux notations de Maxwell.

Si en P se trouve une masse électrique égale à m', les com-
posantes suivant trois axes de coordonnées de la résultante
des actions électrostatiques qui s'exercent sur P, sont,

,d^
dco

9. Si on suppose le point P à Tintérieur d'un conducteur
homogène et en équilibre électrique la résultante des actions
électrostatiques qui s'exercent sur ce point doit être nulle
car autrement l'équilibre serait détruit. Les dérivées par-
tielles du potentiel, -j^j -^f -^ sont donc nulles; par suite le
potentiel est constant à Tintérieur du conducteur.

10. Flux de force. — Considérons
un élément de surface dta et par le
centre de gravité G {fig, 1) de cet élé-
ment menons la demi-normale GN dans
un sens quelconque que nous pren-
drons comme sens positif. Si en G se
trouve une molécule d'électricité de masse m', cette molécule

Fig. 1.

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6 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

est soumise à une force GF dont les composantes suivant les
trois axes de coordonnées sont

,d^ .dtl ,M

— m T^^ — m -f-y — m -^^

dx dy az

^ désignant la valeur du potentiel en G. En appelant a, p, y
les cosinus directeurs de la demi-normale- GN, la projection
de la force GP sur GN a pour expression

(•â+ff+rS>

,d^

m -7*"»

dn désignant une longueur inflnîment petite GG' portée dans
le sens positif de la normale et d^ la variation du potentiel
quand on passe du point G au point G'.

Si la quantité d'électricité située en G est égale à Tunité,
la composante normale de la force qui s'exerce sur elle est

— -^' Le produit changé de signe,

de cette force par l'élément de surface dfù est ce que nous
appellerons le flux de force d travers Vêlement dia, ht flux de
force à travers une surface finie sera la valeur de Finlégrale

étendue à tous les éléments de la surface.

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FORMULES DE L'ÉLECTROSTATIQUE 7

It. Théorème de Gtauss. — Lorsque la surface est fermée
la valeur absolue de cette intégrale est 4irH, M désignant la
quantité totale d'électricité libre conlenue à l'intérieur de la
surface ; quant au signe il dépend du choix de la direction
positive de la normale. On peut convenir de prendre pour le
flux de force la valeur — 47rM ce qui revient à prendre pour
direction positive de la normale en un point de la surface
celle qui est extérieure à la surface; on dit alors que le flux
entre dans la surface. On peut donc énoncer le théorème sui-
vant :

Ije ftax de force qui entre dans une surface fermée à Fin-
lérieur de laquelle se trouve une quantité d'électricité libre M
est égal à — irrM.

12. Relation de Poisson. — Il existe entre la densité élec-
trique cubique p en un point d'un corps électrisé et les déri-
vées secondes du potentiel en ce point une relation importante
due à Poisson. Elle s'obtient très simplement en écrivant,
d'après le théorème précédent, que le flux de force qui entre à
travers un parallèlipipède rectangle infiniment petit conte-
nant le point considéré est égal à — Aizp dx dy dz^ dœ, dy , rfr,
étant les longueurs des côtés de ce parallèlipipède. On a alors,

dœ^ ^ dy^ ^ dz^ — ^''^'

Maxwell désigne le premier membre de cette relation par
— A*<|;, notation qui se rattache à la théorie des quaternions
dont Maxwell fait d'ailleurs un usage constant. Nous con-
tinuerons à désigner cette somme de dérivées secondes par
la notation habituelle A<];.

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8 ÉLECTRICrTÉ ET OPTIQUE

Le potentiel étant constant à Tintérieur d'un conducleur,
on a A^j/=o et par suite, d*aprèsla relation de Poisson, p = o.
A rintérieur d'un conducteur, il n'y à donc pas d'électri-
cité libre.

Une autre conséquence de la relation de Poisson est qu'en
tout point du diélectrique où il n'y a pas d'électricité libre
on a Aij; = 0. Par conséquent, le potentiel est une fonction
constante à l'intérieur d'un conducteur, tendant vers zéro à
l'infini et telle que l'on a A^}' = o en tout point non électrisé
d'un diélectrique.

18. Flux d'induction. — Lorsque le diélectrique qui sé-
pare les conducteurs est un corps autre que l'air les phéno-
mènes électriques mesurables changent de valeur. Aussi a-t-
on été qônduit à introduire dans les formules un facteur que
l'on appelle pouvoir indricteurêpéci/îque du diélectrique . Max-
well le désigne par K.

Le produit du flux de force élémentaire par ce facteur, est
nommé fliÂX d'induction.

Le fltux: d'induction à travers une surface finie est la valeur
de rintégrale

étendue à tous les éléments de la surface. Quand la sur-
face est fermée nous admettrons (ce que l'expérience confirme)
que la valeur de cette intégrale est — 47rM, la direction posi-
tive de la normale étant extérieure à la surface. Dans le cas

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FORMULES DE L'ÉLECTROSTATIQUE

OÙ le pouvoir inducteur spécifique est constant on a
K I ^di»> = — 47rM.

'/^^»=-

14. Potentiel d'une sphère électrisée en un point ex-
térieur. — La considération du flux de force permet de trou-
ver facilement la valeur

on un point P {/îg. 2) du \S'

potentiel résultant d'une

sphère conductrice élec- \

Irisée S placée dans Tair.
On trouve pour celte va-
peur : — j M désignant la

charge de la sphère et r

la distance du point au

centre de la sphère. De

même la considération du flux d'induction donne la valeur du

potentiel en P quand la sphère est placée dans un diélectrique

homogène dont le pouvoir inducteur spécifique est K.

Du centre de la sphère et avec un rayon égal à OP dé-
crivons une sphère S'. Par raison de symétrie, le potentiel à
la même valeur en tout point de S' ; par suite,

dn dr

est constant sur cette surface. On a donc pour le flux dlnduc-
tion a travers S'

Fig. 2.

f dn dr I dr

47rr».

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10 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

La surface élant fermée le flux dlnduclîon est égal à — AnU.
Par conséquent nous avons

K ^ 45tr» = — 4itM,
ar

^ 1 M

dr~ K r»'

,et par suite

la constante d'intégration étant nulle puisque le potentiel a
pour valeur zéro quand r est infini.

Le potentiel en un point d'un diélectrique de pouvoir in-
ducteur spécifique K est donc, dans le cas d'une sphère, égal
au quotient par K delà valeur qu'aurait eu le potentiel en ce
point si le diélectrique eût été Tair, lien est encore ainsi si,
au lieu d'une sphère conductrice électrisée, le champ élec-
trique est constitué par des masses électriques quelconques.

15. Remarques. — Cette conséquence nous permet de
trouver Texpression de la force qui s'exerce entre deux mo-
lécules électriques A et A' de masses m et m' situées dans un
diélectrique homogène. En eff'et, soit ^ la valeur du potentiel
au point où se trouve placée la masse m'. La force électrique

qui s'exerce sur cette masse est — m' -^i r désignant la dis-
tance des deux molécules supposées seules dans le champ. Or
si le diélectrique élait l'air, le potentiel au point A' serait — ;
sa valeur dans un diélectrique de pouvoir inducteur spéci-

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FORMULES DE L'ÉLECTROSTATIQUE 11

1 fK

fique K est donc, d'après ce qui précède, r» — et la dérivée de

cette quantité est — zz-^» Par suite, nous obtenons pour la
Wce électrique

, M 1 mm
dr K H '

elle est la K^ partie de la force qui s'exercerait entre les
mêmes masses électriques situées dans l'air.

La relation qui existe entre les valeurs que prend le poten-
tiel en un même point suivant que le diélectrique est Fair, ou
tout autre corps, permet de savoir comment doivent varier
les charges avec le diélectrique pour que le potentiel en un
point conserve la même valeur quel que soit le diélectrique.
Il est en effet évident que, puisque pour des charges iden-
tiques le potentiel se trouve divisé par K, il faut, pour avoir
le même potentiel en un peint, que les charges situées dans
le diélectrique de pouvoir inducteur K, soient K fois plus
grandes.

Si donc nous considérons deux petites sphères électrisées
et que nous maintenions constante la difi<érence de potentiel
entre ces deux sphères, l'attraction qui s'exercera entre elles
sera proportionnelle au pouvoir inducteur du diélectrique qui
les sépare. En effet, les potentiels étant constants les charges
m et m' des deux sphères seront en raison directe de K et

l'attraction doit être proportionnelle à -tt—

Ainsi T attraction électrostatique varie en raison directe de
K si ce sont les potentiels qu'on maintient constants, et en

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12 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

raison inverse de K si ce sont les charges qui demeurent cons-
tantes.

16. Extension de la relation de Poisson. — Gomme
nous Tavons dit, la relation de Poisson s'obtient en écrivant
que le flux de force qui entre à travers les faces d'un parallé-
lipipède rectangle est égala — Inpdxdydz. Le flux d'induc-
tion à travers une surface fermée étant égal à — 47rM,
comme le flux de force à travers cette surface, nous trouve-
rons une relation analogue ô celle de Poisson en écrivant
que le flux d'induction qui entre à travers les faces d'un
parallélipipède élémentaire est égal à — A'Kpdœdydz,

Nous pouvons d'ailleurs arriver très simplement h cette
relation en nous servant du lemme qui sert ordinairement à
la démonstration du théorème deGreen, lemme exprimé ana-
lytiquement par l'égalité

/aFrfo>=J f rfT,

dans laquelle la première intégrale est étendue à une surface
fermée et la seconde au volume limité par cette surface, a dé-
signant le cosinus de l'angle formé par Taxe des a? et la nor-
male à l'élément c?a> de la surface et F une fonction quel-
conque, mais continue des coordonnées.

Appliquons ce lemme à Tintégrale du flux d^nduction à
travers une surface fermée,

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irfJ-

FORMULES DE L'ÉLECTROSTATIQUE 13

Nous avons

et en ajoutant

/ \dx dœ'* dy dy"^ dz dz)

Si nous désignons par p la densité cubique en chaque point,
nous avons

M = / p6^T,

et par suite,

/ (^ K^4- — K^4- ~K ^^ rf = — 4 Ç d
j \Sx dx dy dy'^ dz dz) J ^ '

Cette égalité ayant lieu quel que soit le volume considéré, elle
sera vraie pour un volume infiniment petit; nous obtenons
donc

Zà dx dx ^'

Dans le cas particulier où le diélectrique est homogène,
c'est-à-dire dans le cas où K ne dépend pas des coordonnées,
cette relation se réduit à

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CHAPITRE II

HYPOTHÈSES DE MAXWELL

17. Fluide inducteur. — La caractéristique delà théorie
de Maxwell est le rôle prépondérant qu'y jouent les diélec-
triques. Maxwell suppose toute la matière des diélectriques
occupée par un fluide élastique hypothétique, analogue à
téther qui, en Optique, est supposé remplir les corps trans-
parents; il rappelle électricité. Nous verrons parla suite la
raison de cette dénomination, mais comme elle peut intro-
duire dans Tesprit une confusion regrettable pour la clarté de
l'exposition nous donnerons le nom de fluide inducteur à ce
fluide hypothétique, conservant au mot électricité sa signifi-
cation habituelle.

Quand tous les conducteurs situés dans le diélectrique sont
à l'état neutre le fluide inducteur est en équilibre normal.
Quand, au contraire, ces conducteurs sont électrisés et que
leur système est dans Tétat que Ton déflnit dans la théorie
ordinaire en disant que le système est en équilibre électrique,
le fluide inducteur prend un nouvel état d'équilibre que
Maxwell appelle équilibre contraint.

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HYPOTHÈSES DE MAXWELL 15

18. Déplacement électrique. — Lorsqu*une molécule
du fluide inducteur est dérangée de sa position d*équilibre
normal, Maxwell dit qu'il y a déplacement électrique. Les
composantes du déplacement sont les accroissements des
coordonnées de la molécule ; il les désigne par les lettres
A ffi ^ «l îl admet qu'elles ont respectivement pour valeurs :

K^ K^ K^

fà\ ^ dx dy , dz

11 résulte de cette hypothèse, dont nous verrons Torigine, des
relations entre les composantes du déplacement et la quantité
d'électricité libre contenue à l'intérieur d'une surface fermée
et, d'autre part, entre les dérivées de ces composantes et la
densité électrique en un point.

En effet, si nous portons les valeurs des dérivées partielles
de <j/, tirées des relations (4) dans l'expression du flux d'in-
duction à travers une surface fermée,

nous obtenons

(2) /(a/--f- Pi, + y/») ofc. = M

En second lieu, si nous portons ces valeurs dans la relation
de Poisson étendue au cas d*un diélectrique quelconque, nous
avons

(3) fï + ^4-^=p.

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16 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

19. Incompressibilité du fluide inducteur et de l'é-
lectricité. — L'étude des conséquences de ces relations con-
duit à regarder le fluide inducteur et Félectricité comme
deux fluides, incompressibles.

D'abord de l'hypothèse de Maxwell sur la valeur des com-
posantes du déplacement en un point il résulte immédiate-
ment que si l'électricité est en mouvement le fluide inducteur
y est aussi. En eflet, si nous modifions les charges électriques
des conducteurs placés h l'intérieur d'un diélectrique, nous
faisons varier en même temps la valeur du potentiel ^ en un
point quelconque du diélectrique, et, par conséquent les va-
leurs /, g, h des composantes du déplacement électrique qui
sont données par les relations (i).

20. Cela posé considérons une surface fermée dont Tinté-
rieur est occupé par un diélectrique homogène et par des
conducteurs en équilibre électrique possédant une charge
totale M. Donnons à cette charge un accroissement rf M et
supposons que le système des conducteurs soit encore en
équilibre électrique. Le fluide inducteur passe d'un état d'é-
quilibre contraint à un second état d'équilibre contraint et
pendant ce passage il y a déplacement de chacune de ses mo-
lécules puisqu'il y a mouvement de rélectricité. Cherchons
la quantité de ce fluide qui a traversé la surface fermée. Si
dt est le temps infiniment petit pendant lequel s'est eff'ectué
le passage de l'état initial du système à l'état final, la quan-
tité de fluide inducteur qfui est sortie par un élément dtù de
la surface est

dq z=z d(adtVnf

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HYPOTHÈSES DE MAXWELL 17

y„ étant la projection de la vitesse du déplacement sur la
normale extérieure à la surface fermée. La quantité de fluide
inducteur qui sort de la surface est donc, pendant le même
temps,

dQ = dùfYndoy.

Mais puisque f, g, h désignent les composantes du dépla-
cement, -j^7 -~> — sont les composantes de la vitesse, et par
suite la composante normale V„ a pour valeur

dfif.dg. dh
Portons celte expression dans c?Q, nous obtenons

<« = */(•!+ ^l + raz)

"77 I diû.

L'intégrale du second membre de cette égalité n'est autre
chose que la dérivée par rapport au temps du premier
membre de la relation (2). Nous avons donc

c'est-à-dire que la quantité de fluide inducteur qui sort de
la surface est égale à la quantité d'électricité qui y entre. Tout
se passe donc comme si Télectricité chassait le fluide induc-
teur, ou en d'autres termes, comme si le fluide inducteur et
Télectricité éjlaient deux fluides incompressibles.

ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE. 2

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18 ÉLECTRiaTÉ ET OPTIQUE

21. Remarquons d'ailleurs que rincompressibili té du fluide
inducteurpouvait se déduire immédiatement de la relation (3).
Cette relation devient, quand on considère un point du
fluide inducteur contenu dans un diélectrique à Tétat neutre,

Son premier membre n'est autre que la quantité que nous
avons désignée par dans un autre ouvrage (*) et nous
avons démontré que la condition = o exprimait l'incom-
pressibilité du fluide.

22. Image deFeffet de l'élasticité du fluide inducteur.

— Considérons d'une part deux conducteurs A et B {fig. 3)

Q4D

Fig. 3.

réunis entre eux par un fil métallique portant un commuta-
teur G et par un second fil sur le trajet duquel se trouvent une
pile P et un commutateur D. Prenons d'autre part deux ré-
cipients fermés A' et B' renfermant de Teau et de Tair et
réunis entre eux par un canal de communication portant un
robinet C et par un autre canal sur le trajet duquel se
trouvent une pompe P' et un robinet D'.

('} Voir Théorie malhématique de la Lumière, pages 25el26.

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HYPOTHÈSES DE MAXWELL 19

Supposons maintenant que les conducteurs Aet B étant à
Tétat neutre on ouvre le commutateur C et qu'on fermeté
commutateur D ; il s'établit un courant de courte durée dans
le fil ADB et bientôt nous avons un état d'équilibre électrique
dans lequel les conducteurs sont chargés d'électricités de
noms contraires, A positivement par exemple, et B négative-
ment. Si alors nous ouvrons le commutateur D et fermons le
commutateur G, les deux électricités des conducteurs se
recombinent à travers le filACDet ces conducteurs reviennent
à l'état neutre.

23« Pour comprendre le rôle que joue le fluide inducteur
dans cette expérience examinons ce qui se passe dans le sys-
tème des deux vases A' et B' quand on fait jouer la pompe et
qu'on établit avec les robinets C et D' les communications
que nous établissions précédemment avec les commutateurs
G et D. Supposons que les niveaux de l'eau dans les vases
soient dans un même plan horizontal, fermons le robinet G',
ouvrons le robinet D' et faisons marcher la pompe ; l'eau
passe d'un vase à l'autre, du vase B' au vase A par exemple.
Il en résulte une diminution de la force élastique de l'air de
B' et une augmentation de celle de l'air de A'. Si nous fer-
mons le robinet D' et si nous ouvrons en môme temps G', la
différence des forces élastiques de l'air dans les deux réci-
pients fait repasser l'eau de A' dans B' jusqu'à ce que les ni-
veaux soient revenus dans le même plan horizontal. Le sys-
tème est donc revenu dans son état initial comme dans l'ex-
périence électrique et nous pouvons regarder l'eau comme
représentant matériellement le fluide électrique ; l'accrois-
sement du volume de l'eau dans A' et la diminution dans B'

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20 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

qui résultent de la première phase de Texpérience hydros-
tatique représenteront les charges positive et négative des
conducteurs A et B dans la phase correspondante de Texpé-
rience électrique. Quant à Tair, le rôle qu'il remplit par
suite de sa force élastique peut être assimilé au rôle que joue
le fluide inducteur élastique dans Texpérience électrique
C'est donc l'élasticité du fluide inducteur contenu dans l'air
qui sépare les conducteurs et déplacé par les charges de ces
conducteurs qui est la cause de la combinaison de ces charges.
Ajoutons immédiatement que, bien que cette image hydro-
statique nous fasse concevoir la manière dont se comporte le
fluide inducteur dans la théorie de Maxwell, elle ne peut pas
être poussée trop loin car le fluide inducteur est incompres-
sible, propriété dont ne jouit pas Tair auquel nous l'avons
comparé. Cette image n'est donc utile que pour faire com-
prendre l'èff'et de l'une des propriétés de ce fluide : son élas-
ticité.

24. Tout courant est un courant fermé. — Le rôle
prépondérant attribué par Maxwell aux diélectriques, qui
dans la théorie ordinaire jouent un rôle passif, n'est pas la
seule diff*érence qui existe entre cette dernière théorie et celle
de Maxwell. Une autre diff'érence provient de la nature des
courants.

Dans la théorie ordinaire on admet l'existence de deux
sortes de courants : les courants fermés en général perma-
nents, et les courants ouverts, en général instantanés, qui
cessent quand par l'efl^et delà charge il se produit une difl*érence
de potentiel égale à la force électromotrice de la source élec-
trique. Ces courants ouverts se produisent lorsque, par

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HYPOTHÈSES DE MAXWELL 21

exemple, on met les pôles d*une pile en communication avec
deux conducteurs ou avec les deux armatures d'un conden-
sateur.

Dansla nouvelle théorie il ne peut y avoir que des courants
fermés. En effet, considérons le courant ouvert qui prend
naissance quand nous mettons les pôles d'une pile en commu-
nication avec deux conducteurs isolés A et B. Le conducteur
qui, en adoptant le langage de la théorie ordinaire, se charge
positivement, doit prendre, d'après la théorie de Maxwell,
une quantité de fluide électrique plus grande que celle qu'il
possède à l'état neutre. Dans l'autre conducteur, au contraire,
la quantité de fluide électrique doit diminuer. Mais le fluide
électrique étant incompressible, sa densité *demeure cons-
tante et on ne peut concevoir qu'il y ait condensation de ce
fluide en un point et raréfaction en un autre. Pour concilier
cette conséquence de l'incompressibilité du fluide électrique
avec le fait expérimental de l'existence du courant, Maxwell
fait intervenir le fluide inducteur qui remplit le diélectrique
isolant les deux conducteurs : le fluide électrique sort de l'un
des conducteurs, déplace le fluide inducteur du diélectrique
et fait rentrer dans l'autre conducteur une quantité de fluide
inducteur égale à la quantité de> fluide électrique sortie du
premier. Il y a donc fermeture du courant à travers le diélec-
trique et comme les molécules du fluide inducteur se déplacent
suivant les lignes de force, ainsi qu'il résulte immédiatement
des équations (1) qui définissent les composantes du déplace-
ment, nous pouvons dire que les courants ouverts de la théorie
ordinaire se ferment, dansla théorie de Maxwell, suivant les
lignes de force du diélectrique.

Les courants instantanés qui prennent naissance dans la

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22 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

charge ou la décharge d'un condensateur peuvent être éga-
lement considérés comme se fermant à travers le diélectrique
qui sépare les armatures. Dans la théorie de Maxwell nous
n'avons donc que des courants fermés.

25*. Ces déplacements du fluide électrique et du fluide in-
ducteur dans le cas d'un courant instantané peuvent être
matérialisés par une image hydrostatique. Il sufQt de rem-
placer Tair et Teau que nous avons pris précédemment par
de Teau et du mercure. Dans ces conditions si après avoir
fermé le robinet G' [fig, 3) et ouvert le robinet D', nous faisons
jouer la pompe, nous ne pouvons faire passer le mercure
d'un vase dans l'autre, ces vases étant remplis par deux fluides
incompressibles. Le passage du mercure ne peut avoir lieu
que si nous supposons les parties supérieures des deux vases
reliées par un canal permettant à Teau de passer en sens
contraire. Le mercure est alors Timage du fluide électrique,
Teau celle du fluide inducteur et le canal de communication
peut être assimilé à un tube de force du diélectrique.

26* Courants de conduction et courants de dépla-
cement* — Les courants fermés qui ont lieu à travers un
circuit conducteur sont appelés courants de conduction; les
courants résultant du déplacement du fluide inducteur, sont
nommé» courants de déplacetnent. Lorsque dans un môme cir-
cuit fermé nous aurons à la fois des courants de conduction
et des courants de déplacement, ce circuit ne sera autre
qu'un circuit ouvert de la théorie ordinaire. Mais outre ces
circuits et ceux qui ne comprennent que des courants de con-
duction, les seuls que Ton considère dans la théorie ordinaire,

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HYPOTHÈSES DE MAXWELL 23

nous rencontrerons dans la théorie àe Maxwell des circuits
fermés comprenant uniquement des courants de déplacement;
ces derniers circuits joueront un rôle considérable dans Fex-
plication des phénomènes lumineux.

Les courants de conduction étant ceux qui se produisent
dans les circuits bons cond-ucteurs, ils doivent nécessairement
obéir, pour être d'accord avec Texpérience, aux lois de Ohm,
de Joule, à celle d* Ampère sur les actions mutuelles .de deux
éléments de courants et aux lois de l'induction. Quant aux
courants de déplacement nous ne savons rien sur les lois
auxquelles ils obéissent; le champ est donc ouvert aux
hypothèses. Maxwell admet qu'ils obéissent à la loi d'Ampère
et aux lois de Finduction mais que les lois de Ohm et de Joule
ne leur sont pas applicables, ces courants ne rencontrant à
leur établissement d*autre résistance que celle qui résulte de
l'élasticité du fluide inducteur, résistance de nature tout à
fait différente de celle de la résistance des conducteurs.

27. Énergie potentielle d'un système électrisé. —
Considérons un système de conducteurs chargés d'électri-
cité positive et d'électricité négative- Ces charges représen-
tent une certaine énergie potentielle. Dans la théorie ordinaire
cette énergie potentielle est due aux travaux des attrac-
tions et des répulsions qui s'exercent entre les différentes
masses électriques du système; dans la théorie de Maxwell,
elle est due à l'élasticité du fluide inducteur qui est dérangé
de sa position d'équilibre normal. Cette énergie, qui est
susceptible d'être mesurée, doit avoir dans les deux théories
la même valeur, et par conséquent les expressions qui per«
mettent d'en calculer la valeur doivent être identiques. C'est

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U ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

en faisant cette identification que nous trouverons de nou*
velles propriétés du fluide inducteur.

28. Cherchons d*abord l'expression de l'énergie potentielle
considérée comme résultant des travaux des forces attractives
et des forces répulsives.

Soient dv un élément quelconque de volume de l'espace
X, y eiz ses coordonnées etp la densité de réleclricité libre
dans cet élément; la quantité d'électricité contenue dans cet
élément sera pefr et les composantes de la force électrique
qui s'exerce sur cette quantité d'électricité libre seront:

-prf-f' -9'^-fy' -P'^^f-

Supposons que la masse électrique contenue dans Télément
dr se déplace de façon que ses trois coordonnées subissent des
accroissements Sa?, 8y, tz.

Le travail de la force électrique appliquée à cette masse
électrique sera donc

Le travail total des forces appliquées aux différentes masses
électriques répandues dans tout Tespace sera représenté par
l'intégrale

étendue à l'espace tout entier.
Si donc nous appelons W l'énergie potentielle cherchée,

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HYPOTHÈSES DE MAXWELL 25

raccroissement de cette énergie sera donnée par la formule :

,4) .w=y^,(f.,+|..+fs.).

29. Évaluons . maintenant Taccroissement 8p de la densité
électrique p à Tintérieur de l'élément dt.

Considérons cet élément comme un parallélipipède rec-
tangle dont les trois arêtes de longueur a, p, y soient respec-
tivement parallèles aux trois axes de coordonnées de sorte que
di = a^y.

La quantité d*électricité qui entrera dans ce parallélipipède
en passant à travers Tune des faces perpendiculaire à Taxe
des X sera égale à p, densité du fluide, multiplié par hx,
déplacement du fluide projeté sur Taxe des x, et par py
aire de la face du parallélipipède.

Nous aurons donc pour l'expression de cette quantité d'élec-
tricité :

p8a7pY-

La quantité d'électricité qui entrera dans le parallélipipède
en passant parla face opposée aura une expression analogue.
Seulement pSa? n'aura plus la même valeur, en efl*et p et Zx
sont des fonctions de a?, y ei z; or quand on passe d'une face
à laface opposée, x a augmenté d'une quantité très petite ae
pZx est devenu :

La quantité d'électricité qui passe à travers cette seconde

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26 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

face aura donc pour expression

-[^+^-]pt.

Nous prenons le signe — parce que la normale intérieure à
cette seconde face est dirigée vers les x négatifs.

Ainsi la somme algébrique des masses électriques qui entre-
ront dans le parallèlipipède en passant à travers les deux
faces perpendiculaires à Taxe des x sera

dx ^^ ax

De même les masses électriques qui entreront en traversant
d'une part les deux faces perpendiculaires à Taxe des y, d'autre
part les deux faces perpendiculaires à Taxe des z seront respec-
tivement:

-imd. et _^rf..

dy dz

Or û?TBp n'est autre chose que la somme des masses électriques
qui entrent dans le parallèlipipède en passant à travers ses
six faces, on a donc:

(5^ . .^ d{çlx) d(phy) d(p^z)

^^ P"" dx dy dz

Cette équation n'est autre que celle qui est connue en
hydrodynamique sous le nom d'équation de continuité.

30. Rappelons que d'après un lemme dont nous avons déjà

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HYPOTHÈSES DE MAXWELL 27

fait usage, on a

f^^'^=f^^^'

F étant une fonction de a?,y,^ et les intégrales étant étendues,
la première à tous les éléments d<ù d'une surfaco fermée, la
seconde à tous les éléments du volume limité par celte sur-
face. Si la fonction F devient nulle à la surface et si on prend
pour surface fermée une sphère de rayon infiniment grand,
la première intégrale est nulle, chacun de ses éléments étant
nul puisque F s*annule à' Tinfini. On a donc pour une telle
fonction

dF -

•-r- rfT = O.

Dans le cas où F est un produit de deux fonctions u et t? ,
l'égalité précédente devient

j "^'^"'^j "

du ,

et nous en tirons

J"£''' = -J 'È'^''

nouvelle égalité qui va nous servir à transformer cAV.

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28 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

31 • Il vient en appliquant cette règle :

OU en additionnant et tenant compte des équations (4) et (5) :

OU en vertu de Téquation de Poisson généralisée :

-=-é/+{£(-i)+l(K|)+i(Ki)]-

En appliquant le môme lemme que tout à l'heure, il vient:

OU encore, en remarquant que le pouvoir inducteur K, n'est
pas altéré par les déplacements des masses électriques et par

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HYPOTHÈSES DE MAXWELL 29

conséquent que 8K =: o :

/*{é(''i)]^'=-/-iKi)=

On obtiendrait par symétrie deux autres équations analogues,
et en les additionnant et divisant par — 47r, on trouverait :

— ^j 9::lj\dcc)

L'énergie potentielle du système a donc pour valeur
(6) W

=ftMÈh

la constante d'intégration étant nulle , puisque l'énergie
potentielle doit être nulle quand tout l'espace est à l'état neu-
tre, et que dans ce cas le potentiel en chaque point a la raéme
valeur, zéro.

82. L'intégrale du second membre de l'expression (6) doit
être étendue à tout l'espace, mais il revient au même de ne
l'étendre qu'à l'espace occupé par le diélectrique car les élé-
ments de l'intégrale qui correspondent à des points situés à
l'intérieur des conducteurs sont nuls. En effet en tout point
d'un conducteur le potentiel a même valeur et par suite, ses

dérivées partielles -t^> -j^> ^> sont également nulles.

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30 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Celte remarque permet de transformer l'expression (6), en
tout point d*un diélectrique, nous avons d*après les hypothèses
de Maxwell,

' Ai: dx 4ic dy 4tK dz

et en portant les valeurs des dérivées partielles du potentiel ^,
déduites de ces relations dans le second membre de (3), il vient

=/?<.

(7) W= / f (/^-i-f,« + A«)rfT.

Telle est Ténergie potentielle d'un système électrisé exprimée
à Taide des notations de Maxwell.

83* Cherchons maintenant Texpression de cette énergie con-
sidérée comme résultant de la déformation du fluide indue-
teur.

Soient Xc?t, Yc?t, Zcfx les trois composantes de la force qui
agit sur un élément di dcffluide inducteur lorsque ce fluide
se trouve en équilibre contraint par suite de la charge des
conducteurs placés dans le diélectrique. Si les molécules élec-
triques qui composent le système subissent un déplacement
inflniment petit, les composantes/*,^, A, du déplacement de
rélément dx du fluide inducteur prennent des accroissements
8/*, Ig^ Ih, Le travail élémentaire de la force qui s'exerce sur
cet élément a pour valeur

[\lf -f- \lg + Zlh) c/t,

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HYPOTHÈSES DE MAXWELL 31

et le travail total sur tous les éléments du fluide inducteur est

rintégrale étant étendue à tout l'espace occupé par le diélec-
trique. La variation de Ténergie potentielle du système, qui
ne diffère que par le signe de la variation du travail, est donc

SW = — y(X8/-+ YS^ + ZZh) dx.

84. Élasticité du fluide inducteur. — L'identification
de cette expression avec la suivante

-f-

8W= / ^(/«/•+pB^+A8A)e;T.

déduite de l'égalité (7) nous donne pour les valeurs des
composantes X, Y, Z,

X = — ^A ^^"""k^» Z = — — à,

Ces relations nous montrent que les composantes de la force
qui s'exerce sur un élément d-c du fluide inducteur sont pro-
portionnelles aux composantes du déplacement électrique. La
force élastique du fluide inducteur est donc dirigée suivant le
déplacement et le rapport de sa grandeur à celle du déplace-

ment est égal à rrp' Nous verrons plus tard que dans le cas où

le diélectrique est un milieu cristallisé la force élastique n'est
plus dirigée suivant le déplacement; les conclusions précé-

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32 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

dentés ne s'appliquent qu'aux milieux diélectriques isotropes.

35. Il est à peine besoin de faire remarquer combien l'élas-
ticité du fluide inducteur est diff'érente de l'élasticité des gaz
ou de l'éther lumineux. Dans les gaz et dans l'élher l'énergie
potentielle dépend seulement des positions relatives des molé-
cules et non de leur position absolue dans l'espace; par suite
il n'y a pas réaction élastique quand un de ces fluides se
déplace sans se déformer. Il en est tout autrement pour le
fluide inducteur. Tout se passe comme si chacune des molé-
cules de ce fluide était attirée proportionnellement à la distance
par sa position d'équilibre normal. Il résulterait de là que si
l'on donnait à toutes ces molécules un même mouvement de
translation sans que leur situation relative variât, l'élasticité
n'en devrait pas moins entrer enjeu. Cette élasticité toute par-
ticulière que doit posséder le fluide inducteur parait difficile
à admettre. On ne conçoit pas comment le point mathématique
où se trouve une molécule de fluide inducteur en équilibre nor-
mal, pourraagirsur cette moléculepourlarameneràsa position
d'équilibre quand une cause électrique l'en aura déplacée. On
concevrait plus facilement que ce sontles molécules matérielles
du diélectrique qui agissent sur les molécules du fluide induc-
teur pénétrant le milieu pondérable. Mais cette hypothèse
ne lèverait pas toutes les difficultés, car elle n'expliquerait pas
l'élasticité du fluide inducteur répandu dans le vide. En outre
l'action delà matière sur le fluide inducteur entraînerait l'exis-
tence d'une réaction de ce fluide surla matière; or, on n'a cons-
taté aucune manifestation de celte réaction.

86. On pourrait encore supposer l'existence de deux fluides
inducteurs se pénétrant et dont les molécules de l'un agiraient

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HYPOTHÈSES DE MAXWELL 33

sur les molécules deFautre dès quelles seraient dérangées de
leurs positions d'équilibre normal. Mais si cette hypothèse a
Tavantage de ramener Télasticité spéciale au fluide inducteur
à l'élasticité telle qu'on la conçoit ordinairement, elle a l'in-
convénient d'être plus compliquée que celle de l'existence d'un
seul fluide. Aussi croyons-nous que l'hypothèse du fluide
inducteur de Maxwell n'est que transitoire et qu'elle sera rem-
placée par une autre plus logique dès que les progrès de la
science le permettront. On peut nous objecter que Maxwell
n'a pas introduit cette hypothèse du fluide inducteur; mais,
comme nous l'avons dit au commencement de ce chapitre,
si le mot n'est pas dans l'ouvrage de ce physicien, la chose
s'y trouve ; seulement ce que nous avons appelé fluide induc-
teur est désigné par le mot électricité ; dans le langage de
Maxwel l'électricité des diélectriques est supposée élastique,
tandis que l'électricité des conducteurs est supposée inerte.
Ces propriétés différentes attribuées à deux fluides désignés
par le même nom sont la cause du manque de clarté que pré-
sentent certains passages de l'ouvrage de Maxwell. C'est uni-
quement pour éviter cette obscurité que nous avons introduit
le mot de fluide inducteur dans l'exposé des idées de Maxwell.

87. Distribution électrique. — Pour achever de justiflei*
les hypothèses de Maxwell, il nous faut maintenant montrer
que les lois expérimentales de la distribution électrique en
sont une conséquence nécessaire.

Commençons par rappeler ces lois. On sait que cette distri-
bution ne dépend que d'une certaine fonction ^, le potentiel,
assujettie à diverses conditions. Dans toute l'étendue du
diélectrique cette fonction ij/ est continue ainsi que ses déri-

ÉLEGTRICITÉ ET OPTIQUE. )

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34 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

vées et satisfait à la relation

dx dx ^ dy dy ^ dz dz

en tout point d'un conducteur elle a une valeur constante,
mais en un point de la surface ses dérivées ne sont pas con-
tinues. Enfin cette fonction s'annulle pour les points situés à
l'infini.

L*étude de la distribution électrique sur un conducteur
conduit à introduire une nouvelle quantité, la densité élec-
trique superficielle. Si nous désignons par q la quantité
d'électricité répandue sur un élément de surface eio), la rela-
tion de Poisson, étendue au cas où le diélectrique est autre
que Tair, donne

K -7^ c?a) = — 47rg.

dn ^

La densité superficielle S- a donc pour expression

Aizdn

Hais on peut supposer que la couche de fluide électrique ré-
pandue à la surface a une densité constante et que son épais-
seur est proportionnelle à <x ; c'est à cette dernière interpré-
tation qne nous nous attacherons.

38. Revenons à la théorie de Maxwell. Dans cette théorie
nous avons deux fluides incompressibles, le fluide inducteur
et le fluide électrique auxquels nous admettrons que Ton
puisse appliquer les lois de l'hydrostatique. On sait que si p

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HYPOTHÈSES DE MAXWELL 35

est la pression en un point œ^ y y z, d'un tel fluide, les compo-
santes X, Y, Zy de la force élastique résultant du déplacement
de ce point, ont pour ysdeurs

X = ^» Y = ^, Z = ^•
dœ dy dz

Si nous désignons par ^ la pression en un point du fluide
inducteur, nous avons

dx dy dz

Mais nous avons vu dans le paragraphe 34 que les com-
posantes de la force élastique sont égales aux produits des

composantes du déplacement par — —• Nous avons donc

m i=-^A 1=-^.. f =-^*

De ces relations on déduit

' Atz dx '^ At: dx Â^ dx

Ces nouvelles relations sont précisément celles qui définissent
les composantes du déplacement, ^ désignant alors le polen-
tiel. Pour Justifier la manière dont nous avons défini, d après
Maxwell, les composantes du déplacement électrique, il nous
faut montrer que la pression ^ en un point du fluide induc-
teur n*est autre chose que le potentiel.

89. Le fluide inducteur étant incompressible, nous avons la

i^univehsity)

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36 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

relation

qui devient, en tenant compte des relations (8),

iLK^ + — K^4-— K^ = o-
dx dx^^ dy dy ^^ dz dz '

la fonction ^ satisfait donc à Tune des conditions imposées au
potentiel. Elle est aussi, comme le potentiel, constante à Tin-
te'rieur d'un conducteur, car Télectricilé qui remplit les con-
ducteurs n'est pas élastique, par conséquent X, Y, Z sont nuls
et il doit en être de môme des dérivées de ^.

Quand on passe d'un point du diélectrique à un point inté-
rieur d'un conducteur les dérivées de la fonction ^, ne sont
pas continues puisqu'elles passent d'une valeur finie à zéro.
Mais la fonction elle-même reste continue. Eii efiTet, si la
pression n'était pas la même des deux côtés de la surface
qui limite le conducteur l'équilibre n'existerait pas , puisque
le fluide électrique étant inerte, toute difl*érence de pression
aurait pour eflet de faire mouvoir ce fluide.

La fonction ^ jouit donc de toutes les propriétés du poten-
tiel ; par suite la pression du fluide inducteur en un point est
précisément le potentiel en ce point.

40* Montrons enfin que la théorie de Maxwell conduit à la
même expression que la théorie ordinaire pour l'épaisseur
de la couche électrique située à la surface d'un conducteur.

Soient S [fig, 4) la surface qui sépare l'électricité du fluide
inducteur dans l'état d'équilibre normal, et S' la surface de
séparation dans l'état d'équilibre contraint. L'électricité libre

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HYPOTHÈSES DE MAXWELL 37

étant l*excès de la quantité de fluide électrique contenue dans
le conducteur dans Tétat d'équilibre contraint sur la quantité
qui s'y trouve normalement, la charge du conducteur est la
quantité de fluide comprise
entre les deux surfaces S et
S'. Ce fluide étant incom-
pressible la charge en cha-
que point est donc propor-
tionnelle & la distance nor-

Flg. 4.

maie qui sépare les deux

surfaces. Considérons une molécule du fluide inducteur
située, dans Tétat d'équilibre normal, en un point m de la
surface S ; dans Tétat d'équilibre contraint cette molécule
viendra en m sur la surface S'. Le triangle mnm\ dont le
côté mn est la distance normale qui sépare les deux surfaces,
peut être considéré comme un trifimgle rectangle en n. L'é-
paisseur de la couche électrique est donc égale à la projection
du déplacement sur la normale à la surface (en réalité le dé-
placement est normal à la surface, mais nous n'avons pas
besoin de faire intervenir ici cette propriété du fluide induc-
teur). Cette projection a pour valeur

^+,, + „=_|(.| + ,|+,|)=_K|

C'est bien la valeur que donne la théorie ordinaire pour
l'épaisseur de la couche électrique.

41. Dans ce qui précède, nous avons été amenés à supposer
que la pression dans le fluide inducteur est égale à ^. Nous
nous trouvons donc en contradiction avec une autre théorie

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38 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

de Maxwell, où Ton trouve que la pression en un point du
diéletrique, au lieu d'être égale au potentiel, est proportion-
nelle à V (-f) • Nous reviendrons plus loin sur cette con-
tradiction.

42. La méthode précédente n'est pas la seule que l'on
puisse employer pour déduire de la théorie de Maxwell les
lois de la distribution électrique. Elle a d'ailleurs Tinconvé*
nient de ne plus subsister si le fluide inducteur n'existe pas
x)u si dans ce fluide il n'y pas de pression. Ayant fait remar-
quer que l'hypothèse du Huide inducteur ne devait être con-
sidérée que comme une hypothèse transitoire, il n'est pas
inutile d'indiquer une autre méthode donnant les lois de la
distribution électrique sans supposer l'existence de ce fluide.
Exposons cette méthode.

Pour qu'un système soit en équilibre, il faut et il suffît que
son énergie potentielle soit minimum. Nous obtiendrons donc
les conditions de l'équilibre électrique, en exprimant que
l'énergie potentielle W est minimum, ou, ce qui revient au
même, que la variation de W est nulle quand on donne à/*, ^, A,
des accroissements quelconques compatibles avec les liaisons.
Or, quelle que soit la théorie adoptée /*, g, h, doivent satisfaire
à la relation

qui exprime l'incompressibilité du milieu.

D'autre part, considérons un quelconque des conducteurs du
système. La charge M de ce conducteur sera une des données

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HYPOTHÈSES DE MAXWELL

de la question. On devra donc avoir

f{oif+?ff + yh)di^=:U

l'intégrale étant étendue à tous les éléments d(ù de la surface
du conducteur ; a, p, y désignant les cosinus directeurs de la
normale à cet élément et M une constante donnée.

Écrivons que la variation de l'énergie potentielle est nulle ;
nous avons

-fi

(/«/" + ^8fl' + *SA)«fT = o.

Hais à cause des liaisons nous avons aussi

fjri-f^'^-hi^k = o.

l'intégrale étant étendue h tous les éléments de volume dr du
diélectrique.

Le calcul des variations nous apprend qu'il existe une
fonction ^ telle que l'on ait identiquement

. En intégrant par parties l'intégrale correspondant au second
terme de la parenthèse, nous obtenons

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40 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Celte équation devant être satisfaite identiquement, tous les
éléments de la première intégrale doivent être nuls; on a

ce qui est précisément la relation donnée par Maxvell.
Il reste

LMnlégrale étant étendue à tous les éléments de surface
de iotis les conducteurs.

Cette équation devra être satisfaite pour toutes les valeurs
de 8/*, S^, oh satisfaisant aux équations de liaison, c'est-à-dire
telles que Ton ait pour cTiacun des conducteurs

AaB/'-f p8^ + yS/i) d(ù = o.

Les règles du calcul des variations nous apprennent que
cela ne peut avoir lieu que si ^ est constant à la surface de
chacun des conducteurs.

Ainsi le potentiel ^ a une valeur constante en tous les points
de la surface de chacun des conducteurs, cette valeur pouvant
varier d'ailleurs d'un conducteur à l'autre.

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CHAPITRE III

THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON

COMMENT ELLE ÇEUT SE RATTACHER A CELLE DE

MAXWELL

43. Hypothèses de Poisson sur la constitution des
diélectriques. — Dans la théorie de Poisson le rôle des dié-
lectriques est bien moins important qae dans celle de Maxwell.
Pour Poisson le diélectrique n'a d'autre but que d'empêcher
le mouvement de l'électricité. Mais pour expliquer l'augmen-
tation de capacité d'un condensateur quand on y remplace la
lame d'airpar une autre substance non conductrice, une hypo-
thèse est nécessaire. Une difBculté analogue rencontrée dans
la théorie du magnétisme avait été résolue de la manière
suivante par Poisson.

- Il s'agissait d'expliquer le magnétisme induit. Poisson re-
garde un morceau de fer doux aimanté par influence comme
un assemblage d'éléments magnétiques séparés hs uns des
autres par des intervalles inaccessibles au magnétisme et de
dimensions très petites. Dans chacun de ces éléments, aux-

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42 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

quels Poisson attribue pour plus de simplicité la forme sphé-
rique, les deux fluides magnétiques peuvent se séparer et
circuler librement.

~ Mossotti n'a eu qu'à transporter celte théorie en électrosta-
tique pour expliquer les phénomènes observés dans les dié-
lectriques. Dans cette hypothèse, Taîrest le seul diélectrique
homogène ; quant aux autres diélectriques, il se les repré-
sente comme constitués par de petites sphères conductrices
disséminées dans une substance non conduclrice jouissant
des mêmes propriétés que Fair. Les phénomènes attribués au
pouvoir inducteur spécifique s'expliquent alors par les effets
répulsifs et attractifs de rélectricité induite par influence dans
les sphères conductrices.

44. Dans cette théorie comme dans celle de Maxwell il
existe des courants de déplacement. En effet supposons un dié-
lectrique autre que l'air en présence de conducteurs électrisés;
l'électricité neutre des sphères conductrices du diélectrique
est décomposée : un hémisphère se trouve chargé positive-
ment, Tautre négativement. Si alors on met les conducteurs
en communication avec le sol l'influence sur les sphères du
diélectrique cesse et ces sphères reviennent à l'état neutre ;
l'électricité se déplace donc d'un hémisphère à l'autre, par
suite, il y a des courants de déplacement.

Il est probable que c'est la conception de Poisson et Mos-
sotti sur la naturedes diélectriques qui a conduit Maxwell à sa
théorie. Il dit l'avoir déduite des travaux de Faraday et n'avoir
fait que traduire sous une forme mathématique les vues de
ce célèbre physicien ; or. Faraday avait adopté les idées de
Mossotti. (Cf. Expérimental Researches, Faraday, série XIV,

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 43

§ 1679). Ajoutons que, ainsi que nous le verrons bientôt,
Tintensité des courants de déplacement n'a pas la môme va-
leur dans la théorie de Poisson et dans celle de Maxwell.
Nous montrerons cependant comment on peut faire con-
corder les deux théories.

45. On a fait malheureusement à la théorie du magnétisme
de Poisson de graves objections et il est certain que les calculs
du savant géomètre ne 'sont nullement rigoureux. Ces objec-
tions s'appliquent naturellement à la théorie de Mossotti qui
n'en diffère pas au point de vue mathématique.

C*est ce qui me décide à ne pas reproduire ici ces calculs ,
je me bornerai à renvoyer le lecteur qui désirerait en faire
une étude approfondie aux sources suivantes. Le mémoire
original de Poisson, sur la théorie du magnétisme a paru
dans le tome V des Mémoires de l'Académie des Sciences
(i8âi-i822). Une théorie plus élémentaire, mais passible des
mêmes objections, est exposée dans le tome 1®' des Leçons
sur l'Électricité et le Magnétisme de MM. Mascart et Joubert
(pages 162 à 177). C'est celle que j'avais développée dans mes
leçons.

Je renverrai également à l'article 314 de la seconde édi-
tion de Maxwell où le savant anglais présente d'une façon très
originale une théorie identique au point de vue mathéma-
tique à celle de Poisson et de Mossotti, mais s'appliquantà un
problème physique très différent, celui d'un courant élec-
trique à travers un conducteur hétérogène.

Mais je recommanderai surtout la lecture du mémoire de
M. Duhem sur l'aimantation par influence (Paris, Gauthier,
Villars 1888 ; et Annales de la Faculté des Sciences de Tou-

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U ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Joiise), où les calculs de Poisson et les objections qu'on y peut
faire sont exposés avec la plus grande clarté.

Je vais maintenant développer la théorie en cherchant à me
mettre à i'abri de ces objections ; pour cela, j'ai besoin de
connaître la distribution de l'électricité induite par une sphère
placée dans un champ uniforme..

46. Sphère placée dans un champ uniforme. — Pre-
nons une sphère conductrice placée dans un champ élec-
trique uniforme et désignons par^J/ la valeur du potentiel dû
aux masses électriques extérieures en un point de ce champ.
La force électrique s'exerçant sur Tunité de masse électrique
située en un point quelconque a pour composantes

-éî, _^, _£^.

dx dy dz

Si on prend Taxe des x parallèle aux lignes de forces du
champ^ cette force électrostatique, que nous désignerons par
<p, a pour valeur

La sphère conductrice placée dans le champ s'électrise par
influence et l'équilibre électrique est atteint quand la force
électrostatique due à la distribution sur la surface de cette
sphère est égale et directement opposée à <p en tout point
intérieur. Cherchons l'expression de cette force.

47. Lorsque la sphère conductrice est à l'état neutre, nous
pouvons la considérer comme formée de deux sphères égales,
ayant même centre, chargées, l'une d'électricité positive,

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 45

l'autre d'une quantité égale d'électricité négative; chacune de
ces deux charges, au lieu d'être seulement superficielle, étant
uniformément répandue dans tout le volume de la sphère ; la
résultante des actions exercées par ces sphères sur un point
extérieur est évidemment nulle, comme cela doit être. Si nous

Fig. 5-

déplaçons la sphère négative de manière que son centre vienne
en 0' [fig. 5), le centre de la sphère positive restant en 0, les
actions de ces sphères ne se neutralisent plus. Nous pouvons
.donc regarder la sphère conductrice soumise à l'influence
comme formée de deux sphères égales, électrisées en sens
contraire et dont les centres ne coïncident plus.

48. On sait que l'action d'une sphère homogène sur un point
intérieur situé à une distance r de son centre est la même
que si la masse électrique contenue dans la sphère de rayon r
était concentrée au centre de la sphère. En appelant p la
densité électrique en chaque point de la sphère on a pour la
force électrostatique s'exerçant sur le point considéré

14 4

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46 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Si donc on appelle a?Q, y^, z^ les coordonnées du centre de la
sphère, a?, y, z les coordonnées du point considéré, les com-
posantes de l'action exercée par la sphère sur Tunité de masse
électrique placée en un point intérieur ont pour valeurs

4 4 4

^ ic (oj — «Jp, 3 ^(y — yo)p> 3 '^ (^ — -^o) ?'

49. Appliquons ces formules aux deux sphères qui rempla-^
^ cent la sphère conductrice élecirisée par influence. Prenons

pour origine des axes de coordonnées le centre de la sphère
positive et pour axe des oc la droite qui joint les centres et
0' des deux sphères. Nous aurons pour la composante suivant
Ox de la résultante des actions qu'exercent les deux q[)hères
sur l'unité de masse électrique située en un point intérieur

^f y, ^f

4 4 4

- ira?p — - ic (a? — a?^>) p = - ica?op,

ccq désignant l'abcisse de 0'. Quant aux composantes suivant
les axes des y et des z, on voitjacilement qu^ell es sont nulles.
Il faut donc, pour qu'une molécule électrique intérieure à la
sphère soit en équilibre sous l'action du champ uniforme ^
et de l'électricité développée sur la sphère par influence, que
la ligne des centres des sphères positive et négative soit pa-
rallèle au champ et que la distance de ces centres satisfasse à
l'égaUté

D'ailleurs, comme les densités des sphères ne sont assujetties
qu'à la condition d'être égales en valeurs absolues nous pou-

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THÉOEIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 47

vons supposer que ces densités sont+i et — 1.11 vient alors,

(A) ^^ "= "" 3 ^^^0'

égalité qui nous donne la distance des centres des deux
sphères.

50. Nous pouvons trouver facilement la valeur du potentiel
résultant de la sphère inQuencée en un point M extérieur à
cette sphère. L'action d'une sphère homogène sur un point
extérieur étant la même que si toute la masse électrique était
concentrée au centre de cette sphère, le potentiel en M a pour
expression

' — r

l'K*-7)=i""^^

R désignant le rayon de chacune des sphères, r et r' la dis-
tance du point M aux centres et 0'. Nous appellerons <i>
l'angle delà direction OMavec Taxe des x et nous négligerons
les quantités infiniment petites du 2^ ordre, en regardant x^
comme du 1" ordre. Alors l'expression précédente peut
s'écrire

4 ,^3 Xq COSto)

OU en tenant compte de la relation (i)

(2) ?R'^-

La distribution électrique sur la sphère induite s*obtient
iout aussi simplement. L'épaisseur de la couche négative en

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48 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

un point P quelconque çst

nr»/ niv/ 3(pC0S CO .

par suite, Fépaisseur de la couche électrique superficielle est

donnée, en valeur et en signe par Tex pression -Î-— ^«

On dit qu'une sphère conductrice, sur laquelle la distribu-
tion électrique est la même que si elle était placée dans un
champ uniforme, esipola7*isée.

52. Polarisation des diélectriques. — Considérons
maintenant un diélectrique, constitué comme se l'imagine
Mossotti et soumis & l'action de corps électrisés extérieurs.
Chacune des sphères qu'il contient va se polariser. En efiFet
les dimensions de ces sphères étant très petites, dans le voisi-
nage de chacune d'elles, le champ électrique peut être regardé
comme uniforme.

Il est vrai que la distribution électrique à la surface d'une
de ces sphères ppurraétre troublée par l'influence des sphères
voisines; mais nous n'aurons pas à tenir^mpte de ces per-
turbations :

i** Parce que les sphères étant irrégulièrement distribuées,
leur influence tend à se neutraliser mutuellement;

2** Parce que si Ton admet que la distribution à la surface
d'une sphère n'est pas la môme qu'elle serait dans un champ
uniforme, ces irrégularités de la distribution sont exprimées
par des fonctions sphériques d'ordre supérieur; si donc on
considère le potentiel en un point situé à une distance r du
centre de la sphère, les termes qui dépendent de ces irrégu-

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 49

larités contiendront une puissance supérieure de - et seront

négligeables, si r est très grand par rapport au rayon de la
sphère.

Nous dirons alors qu'un diélectrique dont toutes les sphères
sont polarisées est lui-même polarisé.

53. Nous avons maintenant à définir les composantes de la
polarisation électrique qui correspondent à ce qu'on appelle
dans la théorie du magnétisme , composantes de la magné-
tisation.

Nous avons vu plus haut que le potentiel de notre sphère
par rapport à un point extérieur était égal à :

ou à

, ^\

en appelant u le volume de la sphère.

Si Ton avait pris des axes de coordonnées quelconques,
nous aurions trouvé pour le potentiel de la sphère polarisée,
en appelant œ^ y, z les cordonnées de son centre,

3m { û[<^ r , d^ ^j* _\^ ^ )

Îtc \dx dx dy dy '^ dz Ib J'

Imaginons maintenant un élément de volume d'z du diélec-
trique, contenant un nombre très grand n de sphères, et ce-
pendant assez petit pour que le champ puisse y être regardé

6lbgtricit6 bt optique. 4

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50 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

comme uniforme. Le potentiel des n sphères contenues dans
cet élément sera :

4it \dœ dx '^ dy dy'^ dz dz J
Posons

nu = Mt,

de sorte que h soit le rapport du volume des sphères au
volume total du diélectrique.
Posons en outre

. Zhd^ ^ 3AçW/ ^ 3AcW/.

Atz dx ^ dy A:: dz

il viendra pour le potentiel dû à l'élément polarisé dr

Les trois quantités A, B et C sont les composarUeê de la
polarisation, et le potentiel dû au diélectrique entier s'écrira

l'intégrale étant étendue au diélectrique entier; ou, en inté-
grant par parties.

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 51

La première intégrale est étendue à tous les éléments dia de
la surface qui limite le diélectrique, l, m, et n désignent les
cosinus directeurs de la normale à cette surface ; la seconde
intégrale est étendue au volume entier du diélectrique.

54. Soit maintenant V^ le potentiel dû aux corps électrisés
extérieurs. Soit s une quelconque des petites sphères conduc-
trices ayant pour centre un certain point et exprimons les
conditions de l'équilibre électrique sur cette sphère.

Décomposons le volume du diélectrique en deux volumes par-
tiels t?' eiv"; le second de ces volumes sera très petit et con-
tiendra la sphère s.

Considérons une molécule électrique située en O^cette molé-
cule devra être en équilibre sous Faction :

i*» Des corps électrisés extérieurs;

2* Du volume v' du diélectrique ; %

3^ Des sphères autres que s situées à Finlérieur de t?";

4** De la sphère s.

Nous supposerons que le volume »", quoique contenant un
très grand nombre de sphères, est assez petit pour que les com-
posantes A, B, C, puissent y être regardées comme constantes
et nous choisirons les axes de façon que B et G et par consé-
quent ^> ^.soient nuls.

Écrivons que les composantes de toutes ces actions suivant
Taxe des a? se détruisent.

Pour éviter toute confusion nous appellerons pour iin instant
x^ y,z les coordonnées du point attirant,^, tj, ( celles du point
attiré de sorte que :

r> = (ar-î)»-f-(y--,l)»+(^_Ç)»

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52 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Nous rappelons en outre que ^désigne le potentiel du champ
uniforme qui produirait sur chaque sphère conductrice leur
polarisation actuelle, et que le potentiel actuel est égal à
V + Vi = U. Nous continuerons à désigner les composantes

du champ uniforme par — -t^» — y^j — -j^*

rfV,
La composante due aux corps extérieurs sera ^*

La composante due à la sphère s sera + t^ puisque, par
hypothèse, la sphère est polariéée comme elle le serait sous
l'action d*un champ uniforme d'intensité — ^*

55. Je dis que si la surface <r qui sépare les deux volumes
partiels t?' et t?" est convenablement choisie, l'action des sphères
autres que s et intérieures à v' sera nulle.

En effet soient a, ô, c les coordonnées du centre d'une de ces
sphères le point étant pris pourTorigincLa force électrosta-
tique exercée par cette sphère au point aura pour compo-
sante suivant Taxe des œ:

_3ud'\> r Zu d<\> a* -\- b> + c* — 3a*

Il résulte de là que les actions des trois sphères qui ont res-
pectivement pour centres les points

(a, b, c), (ô, c, a), (c, a, b)

se détruisent.
Si donc la surface <j possède la symétrie cubique et ne

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 53

change pas quand on permute les trois axes de coordonnées,
lesactions des différentes sphères contenues àrintérieurdecelte
surface se neutraliseront. C'est faute cTavoir fait cette hypo-
thèse que Poisson n'a pas été rigoureux.

Nous supposerons, pour fixer les idées, que la surface a est
une sphère ayant son centre en 0.

56. Il reste à évaluer l'action du volume v.
Cette action est égale à

en appelant V l'intégrale

rf- rf- d-

étendue au volume v ; et on aura

y désignant la même intégrale étendue au volume v", d'où

^' _ rfV __ dT
rfÇ "^ G?Ç rfÇ *

Nous avons d'ailleurs, comme on l'a vu plus haut

la première intégrale étant étendue à la surface 9 et la seconde
au volume r\

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5i ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

On en déduit :

Si le rayon de la sphère <t est infiniment petit, if en sera de
même de la seconde des intégrales du second membre de
l'égalité précédente, mais non de la première.

D'ailleurs si ce rayon est très petit, A, B et C sont des
constantes et nous avons supposé que B et G sont nuls. Il
vient donc :

Or l est le cosinus directeur de la normale à la sphère ; c'est

donc - et l'on a :
r

-^= AJ -,d^ = i

TtA

57. L'équation d'équilibre s'écrit donc :
dV, , d^ tfV 4 ,

di rfÇ 3 '^ V V

Si au lieu de prendre pour axe la direction delà polarisation
au point considéré, nous avions pris des axes quelconques,

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 55

nous aurions trouvé, au lieu de l'équation unique que nous
venons de démontrer, les équations suivantes :

(l-K)f=4.A.

(l-K)f=4.G;
en posant pour abréger:

d'où

K— i

h =

K+ 2

Nous écrivons d'ailleurs -r- au lieu de -xr en revenant aux
ax a;

notations habituelles, ce qui n'a plus d'inconvénient puis-
qu'aucune confusion n'est plus à craindre.

58. On déduit de là en différentiant la première de ces
équations par rapport à a?, la seconde par rapport à y, la
troisième par rapport à ^ et ajoutant :

(ix\ dœ) dy\ dz ) dz\ dz)'^

. /dK , dB , dG\

Or V^ est le potentiel des corps extérieurs, on a donc
AV^ = o.

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56 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

D'autre part Téquation (3) montre que V peut être regardé
comme le potentiel dû k une couche de densité

/A -f- mB -f- nC

répandue à la surface du diélectrique, moins le potentiel
d*une quantité d'électricité répandue dans tout ce volume et
ayant pour densité

d^"^ dy dz
Il en résulte que :

et par conséquent

dx\ dx)^ dy\ dy)^dz\ dv/

Or, U = V -f- V^ désignant le potentiel, la comparaison de
« Téqualion à laquelle nous venons de parvenir avec les équa-
tions fondamentales de Télectrostatique montre que K n'est
autre ctiose que le pouvoir inducteur.

59. Ainsi, dans un diélectrique constitué comme se l'ima-
gine Mossotti, et de pouvoir inducteur K, le rapport du volume
occupé pair les sphères au volume total est égal à :

On trouve d'ailleurs

(.-K)g=*,A=_Mâ.

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 57

Le déplacement électrique de la théorie de Maxwell s'écrit
alors :

_Af5I — _?^ K ^'j; _ _ 3 K d^
'~ \-K dx'^ \izYL—idx 47rK + 2c^a?*

Les deux autres composantes du déplacement électrique sont
nulles si, comme nous le supposons, nous prenons pour axe
des X la direction de la polarisation au point considéré. Si en
même temps, revenant à nos notations du n'^46, nous appelons
<p l'intensité du champ uniforme qui polariserait nos petites
sphères comme elles le sont réellement, nous aurons :

^ d^

(4) r= ^ ^

47CK-I-2'*'*

" 60. Nous avons vu que dans la théorie de Poisson et Mossotti
la polarisation des petites sphères conductrices varie quand
on fait varier le champ électrique dans lequel elles se trouvent
placées, et que les courants qui se produisent dans ces petites
sphères et résultant de cette variation peuvent être com-
parés aux courants de déplacement de Maxwell. Il importe
de comparer Tintensité de ces courants de déplacement dans
les. deux théories.

Pour cela je vais calculer la valeur /^ du déplacement élec-
trique dans la théorie de Mossotti et la comparer à la valeur
de /'que nous venons de trouver.

Chacune de nos sphères est polarisée comme si elle était
soumise à Faction d'un champ uniforme d'intensité (p.

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58 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Donc d après ce que nous avons vu au n® 49 tout se passe
comme 8*il existait deux sphères de même rayon que la sphère
conductrice, Tune re mplie de fluide positif de densité 1,
Tautre de fluide négatif de densité I, et si la sphère négative,
coïncidant dans Tétat d'équilibre normal avec la sphère posi-
tive, subissait sous rinfluence d'un champ uniforme d'intensité «p
un déplacement œ^ donné par la formule

<P = — 3 wa?o.

Tout se passera donc comme s'il y avait déplacement
en bloc des fluides électriques de chacune des petites sphères.
Mais, les sphères conductrices n'occupent pas le volume en-
tier du diélectrique ; elles sont séparées entre elles par un
milieu isolant jouissant des mêmes propriétés que Tair, et la
somme de leurs volumes est au volume total du diélectrique
dans le rapport de A à l^La somme des charges positives
qui se trouvent sur ces sphères est donc h fois plus^petite
que la somme de ces mêmes charges dans Thypothèse où
tout le volume de diélectrique serait occupé par des sphères
conductricesJ Comme il en est de même des charges né-
gatives, il revient au même d'admettre que chacun des
fluides est répandu dans tout le diélectrique avec une densité
hy ou que chacun d'eux n'occupe qu'une fraction h du volume
du diélectrique avec une densité 1. La valeur du déplacement
moyen sera évidemment la même dans les deux cas. Si nous
adoptons la première hypothèse nous pourrons appliquer à
la sphère diélectrique les formules du n** 49 en y remplaçant
Wq par Aa?o, puisque dans ces formules la densité est sup-
posée égale à 1 et que maintenant elle est h. Cette quantité

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 59

hœ^ est donc le déplacemeiii moyen que subit le fluide né-
gatif dans le diélectrique soumis à Finfluence du champ. Si
nous remplaçons œ^ par sa valeur tirée de Téquation (1)

nous avons pour ce déplacement — h -^ ei par suite, pour le

déplacement du fluide- positif par rapport au fluide négatif,
qui ne diflière que par le signe du précédent,

r-^t-

Or on a:

(S)

Mais si par suite de cette relation les actions extérieures des
diélectriques sont les mêmes dans les deux théories, les in-
tensités des courants do déplacement n'ont pas la môme va-
leur dans Tune et dans l'autre. En eflet, si nous portons celte
valeur de h dans l'expression de f' nous obtenons pour la va-
leur du déplacement dans la théorie de Poisson

(6) r =

3jK_

47cK-f-2

qai diffère de celle du déplacement dans la théorie de Max-
well, donnée par la formule (4). Le rapport de ces quantités
est

(7)

C'est aussi le rapport des intensités des courants du dépla-
cement dans les deux théories. Dans Tair llntensité du cou- /

^^universitt)

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60 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

rant de déplacement est nulle quand on adopte les idées de
Poisson puisque la formule (6) donne f = o pour K = 1 et
que le pouvoir inducteur spécifique de Tair est Tunîté. Dans
la théorie de Maxwell, le déplacement dans l'air a, d'après la

formule (4), la valeur /*=:= -f-y et par suite, contrairement a ce

qui a lieu dans la théorie de Poisson, l'intensité du courant
de déplacement n'est pas nulle dans ce milieu. C'est là la dif-
férence la plus importante qui existe entre les deux théories
dont nous venons de comparer les conséquences.

61. Modifloation de la théorie de Poisson. — Cel-
lules. — Mais, ainsi que nous l'avons annoncé au commen-
cement de ce chapitre, il est possible en introduisant dans la
théorie de Poisson quelques modifications secondaires de
faire concorder ses résultats avec ceux de la théorie de Max-
well. C'est ce que nous allons montrer.

Remarquons que si les formules (5) et (7) , qui donnent h et le
rapport des déplacements, ne sont pas homogènes, cela tient
à ce que nous avons pris l'unité pour le pouvoir inducteur
spécifique de la substance isolante qui sépare les sphères con-
ductrices dans celle de Poisson.

Il serait facile de vérifier que si nous désignons parK| le
pouvoir inducteur de cette substance, les formules (5) et (7)
deviennent

K-I-2K/ /•"" K

Cette dernière formule montre que si K^ est très petit le
rapport des déplacements est voisin de l'unité. Les intensités

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 61

des courants de déplacement auraient donc sensiblement la
même valeur dans les deux théories si K^ était inOniment
petit, ce qui exige que h diffère infiniment peu de Tunité,
c'est-à-dire que l'espace non conducteur qui sépare les sphères
conductrices soit infiniment petit. Or, nous n'avons intro-
duit rhypothèse de la forme sphérique des conducteurs dis-
séminés dans le diélectrique que pour avoir plus de simplicité
dans les calculs ; les conséquences restant vraies pour une
forme quelconque des conducteurs nous pouvons nous repré-
senter un diélectrique comme formé de cellules conductrices
séparées par des cloisons non conductrices. Il suffit alors
pour faire concorder la théorie de Poisson avec celle de
Maxwell de supposer que ces cloisons ont une épaisseur infi-
niment petite, puisqu'alors h diffère infiniment peu de l'unité,
et, qu'elles sont formées d'une substance isolante de pouvoir
inducteur spécifique K^ infiniment petit. Montrons que cette
concordance se retrouve dans toutes les conséquences de la
théorie de Maxwell et qu'au point de vue mathématique cette
dernière théorie est identique avec celle de Poisson ainsi
modifiée.

62. Propagation de la chaleur dans un milieu homo-
gène. — La suite des calculs nécessaires nous conduira à des
relations tout à fait pareilles à celles qu'a établies Fourier dans
l'étude de la conductibilité de la chaleur. Dans le but de faire
ressortir l'analogie mathématique qui existe entre les phéno-
mènes électriques et les phénomènes calorifiques nous com-
mencerons par rappeler brièvement la théorie de Fourier.

Cette théorie repose sur les hypothèses suivantes: quand
deux molécules d'un corps sont à des températures différentes,

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ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

il y a passage de chaleur de la plus chaude à la plus froide ;
la quantité de chaleur qui passe pendant un temps donné est
une fonction de la distance, qui tend rapidement vers zéro
quand la distance croit, et qui ne dépend pas de la tempéra-
ture ; enfin cette quantité de chaleur est proportionnelle à la
différence V| — V, des températures des deux molécules. Il
résulte de ces hypothèses que la quantité de chaleur qui
passe pendant un temps dt d'une molécule à une autre est

(i)

dq^-- Cdt^y,

AY représentant la variation de la température quand on se
déplace dans le sens du flux calorifique et G étant une quan-
tité indépendante de la température.

63. Considérons un parallélipipède rectangle infiniment petit

B F 0'

a/^e/Ia'/

21Z9

H 0'

Flg. 6.

ABCD A'B'CD' (jîg. 6) situé dans le corps et prenons trois
axes de coordonnées respectivement parallèles à trois arêtes du

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THÉORIE DES DIÉLROTRIQUES DE POISSON

parallélipipède. Soient d^ son volume, dta la surface de sa
section par un plan perpendiculaire à Taxe des œ, a ei b les
coordonnées des deux extrémités A et A' d^une arête paral-
lèle à cet axe ; on a la relation

dt = dia (b — a).

Cherchons la quantité de chaleur QdtùcU qui traverse la
section d(ù pendant l'intervalle de temps cU, Pour cela calcu*
Ions de deux manières différentes l'intégrale

(2)

J {Qdiùdt) dx,

qui donne la somme des quantités de chaleur qui traversent
toutes les sections du parallélipipède perpendiculaires à oœ
pendant le temps dt.

L'intégration donne immédiatement, si Ton regarde comme
constante la quantité de chaleur qui traverse chaque section
dfû du parallélipipède infiniment petit,

Qdiùdt [b'-a) = Qc?TC?^

64. Pour trouver une autre expression de cette quantité,
coupons le parallélipipède par une section quelconque EFGH
perpendiculaire à Oâ; et prenons de part et d'autre deux molé-
cules M et M'. D'après les hypothèses de Fourier la quan-
tité de chaleur qui passe de l'une à l'autre pendant le temps
(2^ est

(3)

qdt == — Cc?^AV,

et la somme des quantités de chaleur qui passent par

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64 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQDE

toutes les sections du parallélipipède est

/ [qdt) dx,

Mais pour les sections qui ne sont pas comprises entre les
molécules il n'y a pas passage de chaleur et les éléments de
l'intégrale qui correspondent à ces sections sont nuls. Il suffit
donc de prendre pour limites de rintégrale les valeurs x et
a?-j- Aa?des coordonnées des points M et M'; oh obtient

[qdC) dœ z= qtixdt.

Les autres couples de molécules du parallélipipède donnent
des quantités analogues. Leur somme est précisément la valeur
de l'intégrale (2) et nous avons

(*)

Qdxdt = l^qLxdt.

Mais la relation (3) nous donne pour q,

en négligeant dans le développement les puissances de ùkx^
Ay, Az, égales et supérieures à 2, ce qui est permis, les
échanges de chaleur étant supposés n'avoir lieu qu'entre
molécules très voisines et les termes négligés étant alors très
petits par rapport aux premiers termes du développement.
Portant alors cette valeur de q dans la relation (4), nous ob-
tenons

(«) «^— -SE^^-'-^E^^-^^-SEc^-^^

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THÉORIE 0£S DIÉLECTRIQUES DE POISSON 65

C étant par hypothèse indépendant de la température, les
coefficients des dérivées partielles de V n'en dépendent pas
non plus. Par conséquent Q est une fonction linéaire et ho-
mogène de ces dérivées.

65. Si le corps considéré est isotrope cette fonction se réduit
à un seul terme. En effet, dans ce cas l'expression de Q ne doit
pas changer quand on y remplace x par — a? et il faut, pour
qu'il en soit ainsi que les dérivées partielles de V par rapport
à y et à ^ disparaissent du second membre. Nous avons donc
simplement

et si nous posons

SCAa?^

A = — >

d-ç

il vient

La constante A est le coefficient de conductibilité thermique
du milieu.

Le milieu étant supposé isotrope la valeur de ce coefficient est
la même pour toutes les directions ; nous aurons donc pour
la quantité de chaleur par unité de surface à travers un élé-
ment de surface perpendiculaire à l'un des autres axes de coor-
données

= -Arf7*

éLBCTRICITÉ ET Ol'TlQUG.

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66 ÉLEGTRICrrÉ ET OPTIQUE

D'une manière générale, nous aurons pour un élément
orienté d'une manière quelconque

(6) Q = -A

dn étant une longueur infiniment petite prise sur la normale
à l'élément.

66. Analogies avec le déplacement de réleotricitè
dans les cellules. — A l'intérieur de chacune des cell ules con
ductrices le potentiel ^ est constant, mais ce potentiel varie
brusquement quand on traverse les parois isolantes qui limi-
tent les cellules; ({^ est donc une fonction discontinue des coor-
données. Nous ne pourrions introduire celte fonction dans
nos calculs sans faire d'hypothèses sur sa forme , il est plus
simple déconsidérer à sa place une fonction continue dont la
valeur en chaque point diffère peu de celle de ^. Nous sup-
poserons que ces deux fonctions prennent les mêmes valeurs

aux centres de gravité G|, G^, G3 des diverses cellules;

l'erreur commise en substituant à^ une fonction continue

sera alors du même ordre de grandeur que les dimensions

des cellules, dimensions que nous pou-

€vons toujours supposer très petites.
Considérons une de ces cellules
V (A^« '^)- Lorsque le diélectrique n'est
pas soumis à Taction d'un champ cette
„, / cellule est à l'état neutre; dans le cas

Fig. i.

contraire elle présentera sur ses faces
84, Sa, S3, S4, des quantités d'électricité q^^ q^^ g„ g'4, mais
comme la cellule conductrice ne cesse pas d'être isolée la

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THÉORIE DBS DIÉLECTRIQUES DE POISSON 67

somme de ces quantités est Dulle :

Si la valeur du champ vient à changer, les charges de
chacune des faces de la cellule varient, mais leur somme

restant nulle, on a, en appelant dq^, dq^ les variations

produites pendant un intervalle de temps dt^

dq^ + dq^ + dq^ -[- c^^ = o.

Il ne peut donc y avoir augmentation de la charge de Tune
des faces que s'il y a diminution sur quelque autr«î. Suppo-
sons, pour fixer les idées que la charge de S, augmente et
que celle de S| diminue. Une certaine quantité d'électricité
passera de S, à S,, en suivant un chemin que nous représen-
terons par APB. Mais il revient évidemment au même de
supposer que Télectricité suit le chemin APGPB puisque
la portion PG qui joint un point quelconque P du chemin
réel au centre de gravité de la cellule est parcourue succes-
sivement dans les deux sens. On peut donc considérer le pas-
sage d'une certaine quantité d'électricité do S| à S, comme
résultant du passage de cette même quantité de G à S3 et du
passage d'une quantité égale mais de signe contraire de
G à S|. Tout se passe donc comme si, par suite de la variation
du champ, des quantités dq^, dq^ .... d'électricité allaient
du centre de gravité G aux diverses surfaces de la cel-
lule.

67* Prenons maintenant deux cellules contiguës de centres
de gravité G^ et G^ (fig. 8). Soient S| et S^ les faces de cha-
cune de cescellules qui se trouvent en regard. Ces deux faces

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68 ÉLFXTR[CITÉ ET OPTIQUE

peuvent être considérées comme les armatures d'un condensa-
teur à faces parallèles et infiniment voisines et si nous suppo-
sons que la charge de S^ augmente de c?</, il résulte néces-
sairement une diminution de charge — dq^ sur la surface en
regard de Sj. D'après ce que nous avons dit précédemment,
l'augmentation dq de la charge de S|
peut être considérée comme résultant
du passage de dq de G^ à S^. De même,
la diminution de la charge de Sj peut
être regardée comme provenant du
passage d'une quantité — dq de Gj à
pj g^ Sjj, ou ce qui revient au même, du pas-

sage de dq de Sj à G^. Mais alors c'est
comme si la quantité dq allait de G4 à G2. On peut donc dire
qu'il y a échange d'électûcité entre les molécules G^ et G^ et
nous commençons à voir apparaître l'analogie avec les phé-
nomènes calorifiques.

68. Appelons G la capacité du condensateur formé par les
surfaces S^ et Sj, ^J'i et ^^ les valeurs du potentiel dans cha-
cune des cellules ; nous aurons pour la valeur absolue de la
quantité d'électricité située sur S| et S^

^ = G (^, - +2).

Comme c'est la face de la cellule dont le potentiel est le
plus élevé qui se charge d'électricité positive, l'électricité
positive, dans le déplacement fictif que nous avons supposé
s'efi'ectuer entre les centres de gravité, passe d'un centre de
gravité à un autre de potentiel moins élevé. Par conséquent,
en appelant A^ la variation du potentiel dans le sens du

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 69

déplacement, nous avons pour la quantité d'électricité qui
passe d'un centre de gravité à un autre

Pendant un intervalle de temps dt^ la variation de la diflé-
rence de potentiel A*)/ entre les poirUs considérés sera dt -j AtJ;

ou dt^ -^; par suite , la quantité d'électricité qui passe d'un
de ces points à l'autre pendant ce même intervalle est

dq=:^ Cdt\ ^'
dt

Cette formule est identique à la formule (1) du n"* 62 qui
donne la quantité de chaleur qui passe d'une molécule à une
autre, C étant d'ailleurs dans Tune et l'autre formule indépen-
dant de la quantité dont la variation est indiquée par A.

69. La loi des échanges d'électricité étant la même que celle
desécbanges de chaleur dans la théorie de Fourier, nous ob-
tiendrons la quantité d'électricité rapportée à l'unité de
surface à travers un élément quelconque en remplaçant dans

la formule (6) (65), la température V par la quantité -^- En

appelant, comme le fait Maxwell,

udtùdij vdiadt, wdaydt

les quantités -d'électricité qui traversent pendant le temps dt
des éléments dtù respectivement perpendiculaires aux axes d^

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70 ÉLECTRICITÉ KT OPTIQUE

coordonnées, nous aurons

dtdœ

Or, u, t?, %D sont dans la théorie de Maxwell les compo-
santes de la vitesse du déplacement électrique, et par suite,
puisque /*, g^ h, représentent les composantes de ce déplace-
ment,

df dg dh

Si donc on adopte pour «,!?, «?, les valeurs que nous venons
de trouver, on oblient pour/*.

Comme dans la théorie de Maxwell,

on voit que la théorie des cellules concordera avec celle de
Maxwell, si nous posons

A = — •

70. Cherchons à retrouver la relation qui dans la théorie
de Maxwell exprime Tincompressibilité du fluide inducteur.

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 71

La quantité totale d'électricité contenue dans chaque
cellule étant nulle à chaque instant, la quantité d'électricité
qui pénètre pendant un intervalle de temps quelconque &
travers une surface fermée qtii limite un volume est égale-
ment nulle. Or, u, v, to, étant les composantes suivant les
trois axes de la vitesse avec laquelle s'effectue le mouvement
de l'électricité, la composante de cette vitesse suivant la
normale h un élément dta de la surface est

au -}- pt? -[- YW?>

a, p, Y, désignant les cosinus directeurs de la normale. Par
suite , la quantité d'électricité qui traverse dw pendant l'unité
de temps est

(au + P^ + Y^) ^»

et la quantité qui traverse la surface fermée pendant le même
temps est égale h l'intégrale

/ (au -[- P^ + T*^) <^

étendue à tous les éléments de cette surface. Pendant un
intervalle de temps dt, la quantité d'électricité traversant la
surface fermée est le produit de l'intégrale précédente par dt.
En intégrant par rapport au temps, on aura la quantité
d'électricité traversant la surface pendant un temps quelconque,
et, comme cette quantité est nulle, l'intégrale obtenue doit
être égale à o. Si nous remarquons que u, Vy tv sont les
dérivées par rapport au temps des composantes f g^ h du
déplacement, nous avons pour cette intégrale

(9)

J{<^r-{-^-\-fK)dm

= 0.

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72 ÉLECTRICITÉ ET ÔPTIOUE

Or, on sait que

f<^=f%'-

la première intégrale étant étendue à une surface fermée, la
mde, au volume limité par cette surface. En transformant
a même manière les deux autres termes de Tintégrale (9),
s obtenons

jdx'^ dy* dz)

ette égalité devant être satisfaite quel que soit le volume
sidéré, nous en concluons

df dg j^ dh

dœ'^ dy~^ dz

est bien la relation qui, dans la théorie de Maxwell, lie
e elles les dérivées des composantes du déplacement du
le inducteur d*un milieu diélectrique.

1. Identité des expressions de Ténergie potentielle.

[ontrons enûn que la théorie des cellules conduit à la même
ression de Ténergie potentielle que la théorie de Maxwell,
n sait que Ténergie potentielle d'un système de conduc-
s électrisés est égale à la demi-somme des produits de la
rge de chaque conducteur par son potentiel. Les charges
surfaces en regard dé deux cellules contiguës sont égales
e signes contraires ; par suite, si ^^ et ^^ ^^^^ ^^^ potentiels
îes cellules, le terme fourni à l'énergie potentielle par ces

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 73

charges est

- ^ç^, — q^^J = - - q^^.

^ D'ailleurs si G est la capacité du condensateur formé par les
surfaces considérées, on a

et le terme précédent devient

En développant Ai|/ par rapport aux puissances croissantes
de ùiXj Ay, A^y et en négligeant les puissances de ces quantités
supérieures à la première, nous obtenons

Considérons donc un élément de volume </t assez petit pour
que nous puissions admettre que les dérivées partielles de ^
ont la môme valeur en tout point de cet élément, mais assez
grand toutefois pour contenir un très grand nombre de cellules,
et par conséquent, un très grand nombre de petits condensa-
teurs.

L'énergie potentielle cW de cet élément, sera la somme des
énergies potentielles des divers petits condensateurs qui y
sont contenus, on aura donc :

(.0) ^ = I S<=M)'=|(£)"S'=^+Î(t)"2'='^'

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74 ÉLECTRICrre ET OPTIQUE

Mais nous avons fait remarquer & propos des phénomènes
calorifiques que dans le cas d'un milieu isotrope, les sommes

]^GAa7Ay, ^GLy^z, ^C^z^œ
sont nulles. Nous avons posé

dx dt dx

Par conséquent, nous aurons pour Ténergie potentielle de
l'élément 6?t,

^=f'[(iy+(i)'+(f)'}

Si 'nous remplaçons dans cette expression les dérivées
partielles par leurs valeurs tirées de la relation (8) du n* 69,

et des relations analogues qui contiennent g et h, et si nous

donnons à A la valeur j- que nous avons été conduits à lui

attribuer pour faire concorder la théorie des cellules et de
celle de Maxwell, nous obtenons

dVf=^{f^+g^ + h^)dr.

L'énergie potentielle du volume fini sera donnée par Tinté-
grale

w= / ~(/« + ^^ + ^')rf^.

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THÉORfE DES DIÉLECTWOUES DE POISSON 75

Cette expression est identique à celle que nous avons
déduite (82) de la théorie de Maxwell et, comme dans cette der-
nière théorie, l'énergie potentielle d*un système électrisé se
trouve dans le milieu diélectrique qui sépare les conducteurs.

72. Remarque, — Dans les calculs précédents , nous avons
admis qu'en chaque point du diélectrique , la force électrique
ne dépend que de Tétat électrostatique du système électrisé.
S'il en était autrement, si, par exemple, outre la force électro-
motrice due aux actions électrostatiques, s'exerçait une force
électromotrice d'induction, les formules auxquelles nous
sommes parvenus devraient être modifiées.

En particulier, la composante /* du déplacement ne serait
plus donnée par la formule

mais par la formule

47C \dx )

où X désigne la composante suivant l'axe des œ de la force
électromotrice d'induction.

Pour le montrer cherchons ia variation Ai|/ du potentiel
quand on passe du centre de gravité 6| d'une cellule au
centre de gravité G^ d'une cellule contiguë. Elle est égale à
la variation brusque H qui se produit quand on traverse la
paroi isolante augmentée du travail qu'il faut effectuer à ren-
contre des forces d'induction pour faire passer l'unité d'élec-
tricité positive de G| à Gj. Si donc — X, — Y, — Z sont les
composantes de la force électromotrice d'induction quand on

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76 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

passe de G| à 6,, on a pour Ai|/.

A^ = H + X^x 4- YAy + Z^z.

La charge électrique q d'un de nos petits condensateurs
sera égale au produit de la capacité de ce condensateur, par
la différence de potentiel H de ses deux armatures; il viendra
donc:

î = — CH = — CA^ -}-C (XAo?-}- YAy + ZLz)
et, au lieu d'avoir simplement

on aura

,= -c[^(§-x)+.,(|-v)+..(3-z)}

Dans toutes nos formules, il faudra donc remplacer

par

La formule

devient donc

dx dy dz

f(i_X ^-Y Î^-Z.
dûo ^ dy ^ dz

iit d^

''^'^Kdx

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 77

dx-^ K ^•

73. Cas des corps anisotropes. — Il importe, pour pou-
voir établir la théorie électromagnétique de la double réfrac-
tion de voir ce que deviennent ces formules dans les corps ani-
sotropes.

Reprenons la formule (10) du n* 71. Si dans cette formule

on regardait -^j ;/ ®^ 7^ comme les coordonnées d'un point

dans l'espace et oTW comme une constante, on aurait Téqua-
tion d*un ellipsoïde.

Si l'on fait un changement d*axes de coordonnées, cet ellip-
soïde fictif conservera la même forme, mais sa position par
rapport aux axes variera.

Prenons donc pour axes de coordonnées les axes de cet
ellipsoïde, son équation deviendra :

"^ "~ 2 \dic} ^ 2 \dy) ^ 2 \dz) '
et un aura :

\ dt dx dx

Reprenons la formule (5) de la théorie de Fourier (64).
En vertu des équations (il) elle se réduira a

UNIVERsiTTj

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78 ÉLBGTRiCrrÉ £T OPTIQUE

Or nous avons vu au n® 69 que pour passer de la théorie
de Fourier à celle des échanges d'électricité qui ont lieu

encore y

entre nos cellules, il suffit de changer V en -^- Il vient donc

dtdx

et de même

dtdy cUdz »

La seule différence avec les équations (7), c'est que les coef-
ficients de ^^' rf^' rfî^ ^® ^^^^ P'^* égaux entre eux.

On en déduit :

' dx ^ dx

dy iîr dy

dz \-K dx

en posant

S'il existe des forces électromotrices d'induction dont les
composantes soient X, Y et Z, ces formules deviennent :

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THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON

On trouve d'ailleurs :

=/''w=y2.rfKê+ë+ê>

74. Discussion. — La théorie des cellules ne peut pas plus
9lre adoptée définitivement que celle du fluide inducteur. Cette
constitution hétérogène parait difficile à admettre pour les
diélectriques liquides ou gazeux et surtout pour le vide inler-
planétaire. J'ai tenu néanmoins à exposer ces deux théories :
elles seraient incompatibles si on les regardait comme expri-
mant la réalité objective, elles seront toutes deux utiles si on
les considère comme provisoires. Si je m'étais borné à dé-
velopper l'une d'elles, j*aurais laissé croire (ce que croient
bien des personnes, mais ce qui me semble faux) que Max-
well regardait le déplacement électrique comme le véritable
déplacement d'une véritable matière.

Le fond de sa pensée est bien différent comme nous le
verrons plus loin.

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CHAPITRE IV

DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS SOUS L'ACTION

DES FORCES ÉLECTRIQUES

THÉORIE PARTICULIÈRE A MAXWELL

75. Forces s'exerçant entre conducteurs électrisés.

— Jusqu'ici, nous avons supposé dans notre élude que les con-
ducteurs électrisés restaient immobiles. Or, nous savons, par
exemple, que deux conducteurs électrisés se repoussent ou
s'attirent suivant qu'ils sont chargés d'électricité de même
nom ou d'électricité de noms contraires. L'électricité agit
donc sur la matière. Quelle est la nature de cette action? C'est
ce que nous ne pouvons dire avec précision, ignorant la na-
ture de la cause de l'action, la nature de rélectricité. Toute-
fois nous n*avons nullement besoin de la connaître pour avoir
la valeur de la force qui s'exerce entre deux conducteurs; il nous
suffit d'appliquer le principe de la conservation de l'énergie.
En effet considérons deux conducteurs C et C possédant
des charges électriques M et M'. Supposons que le conducteur
C puisse se déplacer, mais sans tourner autour de son centre
de gravité. La connaissance des coordonnées Ç, tj, Ç de ce
point suffira alors pour définir la position de C dans l'espace.
L'énergie potentielle du système des deux conducteurs dépend
évidemment de la position du conducteur C par rapport au

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DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS SOUS l' ACTION ÉLECTRIQUE Bl

conducteur G' et aussi des charges de ces conducteurs. La po-
sition de G se trouvant définie, d'après notre hypothèse par
les coordonnées de son centre de gravité, l'énergie potentielle W
du système est donc une fonction de ces coordonnées et des
charges M et M' ; nous pouvons poser

W=:^F(?71,Ç,M,M').

Pour que le système soit en équilibre, il faut appliquer au
conducteur mobile G une force égale et contraire h la force
qu'exerce sur lui le conducteur G' ; soient — X, — Y, — Z
les composantes de la force qu'il faut appliquer à G. Puisqu'il
y a équilibre la somme des travaux virtuels de toutes les forces
agissant sur le système, tant intérieures qu'extérieures, doit
être nulle. Pour un déplacement hl du centre de gravité de
G le travaU de la force extérieure est — X8S, celui des forces

intérieures est -;=- 8Ç; nous avons donc

- X8Ç + ^ 85 = o.

Nous tirons de cette équation pour la valeur de la compo-
sante X de la force exercée par G' sur G,

76. L'hypothèse la plus simple et la plus naturelle que l'on
puisse faire pour expliquer les attractions et répulsions entre
conducteurs électrisés est d'attribuer ces actions à l'élasticité
du Quide répandu entre les conducteurs et de chercher à appli-
quer à ce fluide les principes ordinaires de la théorie de l'élas-
ticité. Malheureusement les conséquences de cette hypothèse

tlifiCTRiaTA RT OPTIQUE. 6

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Si ÉLECTRICITÉ BT OPTIQUE

ne sont pas conformes aux faits expérimentaux. En effet, dans
un fluide élastique les forces élastiques résultant de déplace-
ments très petits sont des fonctions linéaires de ces déplace-
ments. Par conséquent Thypothèse dans laquelle nous nous
sommes placés conduirait à admettre que la force qui s'exerce
entre deux* conducteurs électrisés est une fonction linéaire des
charges éltK^triques des conducteurs. Il en résulterait qu'en
doublant les charges de chaque conducteur on devrait avoir
, une force double ; or, on sait que si les charges de deux cour
ducteurs viennent à être doublées la force qui s'exerce entre
eux est quadruplée.

Bien d'autres hypothèses ont été proposées pour expliquer
cette action des conducteurs électrisés. Si quelques-unes ont
le mérite de conduire à des conséquences conformes à l'expé-
rience elles présentent l'inconvénient d'être compliquées et
aucune raison ne peut être invoquée pour faire préférer l'une
de ces théories à l'autre. Aussi, ne nous étendrons-nous pas
sur ce sujet et nous bornerons-nous à exposer la théorie que
Maxwell a proposée.

77. Théorie de Maxwell* — Prenons un élément de volume
dx d'un conducteur éiectrisé et soit p la densité de rélectricité
libre au centre de gravité de cet élément. Par électricité libre
nons entendons dans la théorie des deux fluides, Texcès de
l'électricité positive sur l'électricité négative ; et dans la théo-
rie du fluide unique Texcès de l'électricité contenue dans
Télément sur la quantité que ce même élément contiendrait
à l'état neutre. Les deux théories sont d'ailleurs absolument
équivalentes.

La masse électrique de l'élément est donc pcft, et si ^ est la

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DfPLACfiMENT DES CONDUCTEURS SOUS L'ACTION ÉLECTRIQUE 83

valeur du potentiel an centre de gravité la force qui s'exerce
sur cette masse électrique a pour composantes

-p^'â' -p^^5^' -p^^S*

L'expérience nous apprend que la force qui agit sur l'élément
matériel lui-même est égale à celle qui agit sur Télectricité
qui y est contenue et par conséquent que cet élément ne
pourra se maintenir en équilibre que si on lui applique une
force destinée à contrebalancer l'attraction électrostatique.

Si on appelle Xeft, Ydx, Zdx les composantes de cette force ,
on devra avoir:

Dans l'idée de Maxwell, qui dans toutes ses théories cherche
à éviter l'hypothèse des actions électriques s'exerçant à dis-
tance, les répulsions et les attractions des conducteurs sont
dues à des pressions sur la matière pondérable se transmettant
à travers la matière diélectrique. — Cherchons la résultante de
ces pressions.

78. La pression qui s'exerce sur un élément de surface n'est
pas nécessairement normale à cet élément. Désignons par

les composantes suivant les trois axes de la pression qui
8*exerce sur un élément perpendiculaire à l'axe des x; par:

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84 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

les composantes de la pression sur un élément perpendicu-
laire à oy; enfin par

Pzxdii

P^y e/(i), Pzz <^^

les composantes sur un élément perpendiculaire à oz. Ces
neuf quantités suffisent pour déterminer la pression sur un
élément de surface orienté d'une manière quelconque. D'ail-
leurs, ces neuf quantités se réduisent à six. En effet la théorie
de Télasticité nous apprend qu'on doit avoir:

(2)

* ary — * y«

* y« — * y«

* JfZ — * ^

79. Considérons maintenant un parallèlipipéde rectangle

(Jîg, 9) dont les arêtes,
que nous supposerons
parallèles aux axes de
coordonnées, ont pour
longueurs eio?, dy^dz^ et
écrivons que ce parallè-
lipipéde est en équilibre
sous Faction des pres-
sions qui s'exercent sur
ses faces et sous l'action
de la force extérieure
dont les composantes
sont Xc?T, Yrfr, Zc?t.

Fig. 9.

Les équations qui expriment que la somme des moments
des forces par rapport à chacun des trois axes de coordonnées
est nulle conduisent précisément aux relations (2). Exprimons
donc seulement que la somme des composantes Kuivant un

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DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS SOUS l'ACTION ÉLECTRIQUE 85

des axes des forces qui agissent sar le parallélipipède est
nulle.

La pression qui s'exerce sur la face ABCD a pour composante
parallèle à Ox, ^xxdy dz\ la pression qui sVxerce sur la face
opposée EFGH a pour composante suivant la même direction

{Pxar-| — zf^ ^) ^y^^« Nous adopterons la notation de

Maxwell qui regarde les tensions comme positives et les pres-
sions comme ne'gatives ; la résultante de ces deux forces se ré-
duit alors à leur somme algébrique.

^^dxdydz='^'''

dx.

Nous trouverions de la môme manière pour la somme algé-
brique des composantes parallèles à Ox des pressions qui
s'exercent sur les autres faces du parallélipipède,

dr.

dx*

La somme de ces quantités doit être égale à — Xdx; nous
avons donc

dy ' dz

-p'^'â'

En écrivant que les sommes des composantes des pressions
suivant lesaxes desy et des -y sont égales aux composantes de
la force extérieure suivant les mêmes axes, nous obtiendrons
deux équations analogues. En divisant les deux membres de
chacune de ces équations par dx, nous aurons, en tenant

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86 ÉLECTRiaiÉ ET OPTIQUE

compte des relations (2) :

(3)

rfP.

rfP,

xs..

dx
dx

rfP„

dy
rfP,

V».

dy
rfP

££

rfP.

rfP;

dx
d^

80. Ce système de trois équations contient six inconnues; il
admet donc une inOnité de solutions. Maxwell prend la sui*
vante :

W {

— l[(i)'-(|)'-(£)']

p _ Kf/d^y

(S)'-(i)l

- B^Wdz) \dœ) \dy) \

p _p -IL^^
^^ -^" — i^dxdy

ly, .

_ _li^d±d^
~ " ~ 4it dy dz

_Kd^d^

* arx — "sx —

47C dœ dz

Montrons que ce système de solutions satisfait bien aux
équations (3). On a

dP^_Kmd^
dœ 47C \dx dx^

d^ <P^ d^ iéP^ \
dy axdy ds/dxdzj

çgpary _ K_ /c?i çPjj; , d^.^£±

dy
dz

= -(•

47C V

)•

dx dy^ ' dy dœdy
^ Ji^\dœ dz^ "*" dg:dœdz/

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DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS SOUS l' ACTION ÉLECTRIQUE ^

et le premier membre de la première équation devient, après
réduction,

47C dœ \dx^ ^ dy^ ^ dz^J "" 47c dœ ^'

Or on a vu (12) que dans un miJieu diélectrique homogène,
on a

KAij/ = — 47cp.

Par conséquent le premier membre de Téquation considérée
peut s'écrire

ce qui montre que cette équation est satisfaite.On s'assurerait
de la même manière que les deux dernières des équations (3)
sont vérifiées par la solution adoptée par Maxwell.

81. Prenons pour axe des a? la direction de la force électro-
motrice en un point et pour axes des y et des z deux droites
rectangulaires perpendiculaires à cette direction. Si nous dési-
gnons par F la valeur absolue de la force électromotrice,
nous avons dans ce nouveau système d'axes

dœ dy dz

En portant ces valeurs dans les relations (4) , nous obtenons

KF>

* ara; —

8ic

KF»

8it \

Pjty — Pyx — "y* — "*w — "** — "** — ®'

fr'-^

Pyy — ^zz — o_ T

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88 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Il résulte de ces égalilés que la pression sur un élément de
surface perpendiculaire à la direction de la force électromo-
trice ou parallèle à cette direction est normale à cet élément.
Sur un élément oblique par rapport à cette direction,la pression
est oblique ; la composante suivant la direction de la force
électrorootrice étant positive, il y a tension suivant cette
direction ; pour une direction normale la pression est né-
gative, il y a donc d'après la notation adoptée par Maxwell,
pression au sens propre de ce mot suivant cette direction.
En outre la tension qui s'exerce sur un élément perpendi-
culaire à la force électromotrice et la pression qui s'exerce
sur un élément parallèle à cette force sont égales en valeur

absolue.

82. Discussion. — La théorie précédente, considérée en
elle-même, rend bien compte des lois connues des attractions
électrostatiques. Si on l'adopte, il faudra admettre que ces
attractions sont dues à des pressions et à des tensions qui se
développent dans un fluide élastique particulier qui rempli-
rait les diélectriques.

Mais il faudra supposer en même temps que les lois de
Télasticité de ce fluide difl'èrent absolument des lois de l'élas-
ticité des corps matériels que nous connaissons, des lois de
l'élasticité admises pour Téther luminifère, qu'elles difl^èrent
enfln des lois que nous avons été conduits à admettre pour
l'élasticité du fluide inducteur.

Pour ces deux fluides hypothétiques en effet, comme pour
les fluides pondérables eux-mêmes, les forces élastiques sont
proportionnelles aux déplacements qui les produisent, et il en
serait de même des variations de pressions dues à l'action de

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DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS SOUS l' ACTION ÉLECTRIQUE 89

ces forces. La pression, quelles que soient d'ailleurs les hypo-
thèses complémentaires queVon fasse, devrait donc s'exprimer
linéairement à Taide du potentiel et de ses dérivées. Au
contraire nous venons d'être conduits à des valeurs de la pres-
sion qui sont du 2* degré par rapport aux dérivées du po-
tentiel.

Une fois que rompant avec des habitudes d'esprit invétérées
nous aurons consenti à attribuer ces propriétés paradoxales
au fluide hypothétique qui remplit les diélectriques, nous
n'aurons plus d'objection à faire à la théorie précédente con-
sidérée en elle-même. Mais cependant, si elle n'implique pas
de contradiction interne, on peut se demander si elle est com-
patible avec les autres théories de Maxwell, par exemple avec
la théorie du déplacement électrique que nous avons exposée
plus haut sous le nom de théorie du fluide inducteur.

11 est évident que la conciliation entre ces deux théories
est impossible ; car nous avons été conduits à attribuer au
fluide inducteur une pression égale à ^; au contraire dans la
théorie nouvelle la pression du fluide qui remplit les diélec-
triques a une valeur toute difl^érente.

Il ne faut pas attribuer à cette contradiction trop d'impor-
tance. J'ai exposé plus haut en eflet les raisons qui me font
penser que Maxwell ne regardait la théorie du déplacement
électrique ou du fluide inducteur que comme provisoire, et
que ce fluide inducteur auquel il conservait le nom d'élec-
tricité, n'avait pas à ses yeux plus de réalité objective que les
deux fluides de Coulomb.

83. Malheureusement il y a une difflculté plus grave. Pour
Maxwell, et c'est un point auquel il tenait évidemment

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9J ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

beaucmip^, l'énergie potentielle,

=yi.^+..

'\-^h^)dx

est localisée dans les divers éléments de volume du diélec-
trique, de telle façon que l'énergie contenue dans l'élément dr
a pour valeur

ou, en supposant K = 1, pour simplifier, et appelant F la force
électromotrice :

Ffrfr

Si donc F subit un accroissement très petit dP, cette éner-
gie devra subir un accroissement égal à :

,rar 2FdF .

/
*

Nous prendrons comme élément de volume dx un parallèli-
pipède rectangle infiniment petit dont une arête sera paral-
lèle à la force électromotrice F et dont les trois arêtes auront
pour longueurs a,p et y» de telle sorte que

a^Y = dx.

Cherchons une autre expression de cette énergie.

Il est naturel de supposer que Taccroissement dW de l'é-
nergie localisée dans cet élément dr est duc au travail des
pressions qui agissent sur les faces de ce parallèlipipède. Les

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DÉPIAGEMENT DES CONDUCTEURS SOUS l'ACTION t

arêtes du parallèlipipède qui, lorsque les p
nulles ont pour longueurs a, p, y, prennent sous
ces pressions des longueurs

*(l-fe,), M* + «a). t{* +

Si nous supposons que ces quantités e|, t^,
des accroissements dt^, dt^y dt^t les travaux (
^xx9 Pyy, P55, sur les diverses faces du paralléli

F* F^

87C '^^ ^ 87c

F» F*

La somme de ces travaux est

~ 5; ï* P^^a == "" ftl ^^ ^^2»

F» F*

— dx (rfei — rfe, — <is,).

Si nous attribuons Ténergie potentielle au:
pressions, nous devons avoir égalité entre ce
la variation rfW de l'énergie, c'est-à-dire

^ rfT (de^ — de, — de,) z=: -g^pd

ou,

^ ^ ^ 2dF
d£i — dcj — de, = -pr*-

En intégrant nous obtenons

e^ — 62 — 63 = 2 logF -f consl.

Ce résultat est inadmissible, car dans l'état d'é

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- f

9'i ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

avons F = o et régalité précédente ne pourrait alors avoir lieu
que si e^ ou 63 devenait infini, conséquence évidemment ab-
surde.

84. La théorie du § 77 est donc incompatible avec l'hypo-
thèse fondamentale de la localisation de l'énergie dans le
diélectrique, si Ton regarde cette énergie comme potentielle.
Il n'en serait plus de môme si Ton regardait cette énergie
comme cinétique, c'est-à-dire si l'on supposait que le diélec-
trique est le siège de mouvements tourbillonnaires et que W
représente la force vive due à ces mouvements. Mais on ne
peut encore adopter cette interprétation de la pensée de Max-
well sans se heurter à de grandes difficultés.

Lorsque le savant anglais applique les équations de La-
grange à la théorie des phénomènes électrod^'namiques, il
suppose expressément, comme nous le verrons plus loin, que
l'énergie électrostatique

/Ë2F

{f'+ff^ + h^)dr

est de l'énergie potentielle et que l'énergie électrodynamique
est au contraire cinétique

Aussi réserve-t-il l'explication par les mouvements tourbil-
lonnaires pour les attractions magnétiques et électrodyna-
miques et ne cherche-t-il pas à l'appliquer aux phénomènes
électrostatiques.

J'arrête ici cette longue discussion qui me semble avoir
prouvé que la théorie précédente, parfaitement acceptable
en elle-même ne rentre pas dans le cadre général des idées
de Maxwell.

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CHAPITRE V

ELECTROKINÉTIQUE

85. Conducteurs linéaires. — La propagation de Télec-
iricité, en régime permanent dans les conducteurs linéaires est
réglée par deux lois : la loi de Ohm et celle deKirchhoff.

D'après la première, laforce éleclromolrice qui agit entre les
extrémités d'un conducteur est proportionnelle à la quantité
d'électricité qui traverse l'unité de section de ce conducteur
pendant l'unité de temps. Dans le cas où la section du con-
ducteur est partout la même, comme dans un fil cylindrique,
la force électromotrice est proportionnelle à la quantité d'é-
lectricité qui passe à travers cette section pendant l'unité
de temps. Cette quantité est appelée t intensité du courant
qui parcourt le conducteur; nous la désignerons par i. Si
le conducteur est homogène et si aucun de ses points n'est le
siège de forces électromotrices, la force électromotrice entre
ses extrémités est égale à la différence ^^ — <{/, des valeurs
du potentiel en ces points et la loi de Ohm conduit k la rela-
tion

}

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Gooolç.

91 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Mais dans le cas le plus général il existe en difTérents points
du conducteur des forces électromotrices qui sont dues soit à
un défaut d'homogénéité, soit à des phénomènes calorifiques
ou chimiques, soit enfin' à des effets d'induction. En désignant
par SE la somme des forces électromotrices de cette nature
qui existent en divers points du conducteur linéaire, nous
avons alors

(i)

Ri = ^^ — ij/, + SE.

Dans ces deux formules R est ce qu'on appelle la ré-
sistance du conducteur. Cette résistance est liée à la longueur
/ et à la section diù du conducteur par la relation

(2)

R =

Cdiû

où C est un facteur ne dépendant que de la nature du conduc-
teur et qu'on nomme coefficient de conductihiUlé spécifique.
La loi de Kirchhoff n'est autre que l'application du principe
de continuité. D^aprôs cette loi, si plusieurs conducteurs
linéaires aboutissent en un même point de l'espace, la somme
des intensités des courants qui les traversent est nulle.

86. Nouvelle expression analytique delà loi de Ohm.

— Si nous portons dans la formule (1) la valeur de la résis-
tance donnée par la relation (2) nous obtenons

Considérons un élément infiniment petit de longueur dx
du conducteur. Appelons — d^ la différence des potentiels

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ÉLEGTROKINÉTIQUfi

entre deux extrémités quand on se déplace dans le
flux d'électricité, et Xdx la variation des forces éle
trices de toute autre nature. L'équation précédente
alors

Mais puisque i est la quantité d'électricité qui
pendant l'unité de temps la section du conducteur, le <

— est la vitesse du déplacement de Télectricilé; en ap

cette vitesse nous avons

idœ
Cd,o~

-d'^ + Xdx

-!+"■

Cdiû~

(») c-=-â+''

équation équivalente à la loi de Ohm dans le cas d
ducteur linéaire.

87. Conducteurs de forme quelconque. — L'ans
la conductibilité électrique et de la conductibilité cal
conduit à étendre la loi de Ohm aux conducteurs
dimensions. D'ailleurs cette extension se trouve justi
la concordance des conséquences théoriques et des fai
rimentaux observés dans quelques cas particuliers.

Admettons donc cette généralisation de la loi de (
nous appelons ^ le potentiel en un point quelconqi
élément dr du conducteur, X, Y, Z les composante
force électromotrice d'origine quelconque qui s'exer

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ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

point, et enfin, u, v, w les composantes de la vitesse de
rélectrîcité en ce point, noas aurons pour chacune des direc-
tions parallèles aux axes de coordonnées une relation ana-
logue à la relation (3). Ces trois relations sont

(4)

u dj^

u
C

do)

+ x,

t£ rftjj

+ Z.

Remarquons que u, t?, to désignent les mêmes quantités
qu'en électricité statique : les composantes de la vitesse de dé-
placement électrique. Ce sont donc encore les dérivées par
rapport au temps des composantes ^ g, h du déplacement de
Maxwell.

Quant à la loi de Kirchhoff, il est évident qu'elle peut être
étendue aux conducteurs à trois dimensions puisqu'elle n'est
qu une conséquence du principe de la continuité. Les inten-
sités étant proportionnelles à u, v, w, cette loi conduit à la
relation

— A^ — A.—

Dans la théorie de Maxwell où félectricité est supposée
incompressible, cette relation, qui exprime la condition d'in-
compressibilité du fluide, est toujours satisfaite, que le régime
permanent soit atteint ou ne le soit pas.

88. Différences entre les courants de conduction et

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ÉLKGTROKINÉTIQUE 97

les courants de déplacement. — Suivant Maxwell, le
fluide inducteur qui remplit un milieu diélectrique tend à se
déplacer sous Tinfluence des forces éleclromotrices comme
Télectricilé qui remplit un milieu conducteur. Mais tandis que
dans le premier cas ce déplacement s'arrête bientôt grâce à la
réaction élastique du fluide inducteur, il n'en est plus ainsi
dans le second, le fluide répandu à Tintérieur des milieux
conducteurs ne jouissant pas de propriétés élastiques. Il en
résulte que les courants de déplacement ne peuvent durer que
pendant le temps très court nécessaire à l'établissement de
l'équilibre. Au contraire les courants de conduction peuvent
se maintenir tant qu'un agent extérieur maintient une force
électromotrice entre deux points d'un conducteur. C'est là
une première différence entre les courants de conduction et
les courants de déplacement.

Une seconde résulte des équations qui expriment les lois
auxquelles obéissent ces courants. Les équations (4) établies
pour les courants de conduction, peuvent s'écrire

(8)

dy~ G

i=^-.

^ UN IV EH

D'autre part, nous avons montré (72) que s'il existe à l'inté-
rieur d'un diélectrique des forces électromotrîces (que nous
avons supposées dues à l'induction, mais que nous pourrions
supposer d'une autre nature s'il était possible d'en concevoir),

iLBCTBICITé BT OPTIQOB, 7

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GoooIp

98 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

les équations des courants de déplacement doivent s'écrire
rfo; - * K''

Le rapprochement des équations (5) et (6) fait voir immé-
diatement que tandis que les courants de déplacement dé-
pendent de la grandeur du déplacement, les courants de
conduction dépendent de la vitesse de ce déplacement.

89. Popr bien comprendre la différence qui en résulte pour
les deux courants prenons les deux exemples suivants comme
termes de comparaison. En premier lieu supposons qu*on
élève un corps pesant le long d'un plan incliné où le frotte-
ment est nul; on accomplit un travail qui se retrouve sous la
forme d'énergie potentielle sensible. Supposons maintenant
que le mouvement s'effectue sur un plan horizontal où le
frottement est considérable ; quand la puissance cessera
d*agir le corps restera en repos ; le travail accompli ne se
retrouve plus sous forme d'énergie potentielle sensible, il se
retrouve sous forme de chaleur. Dans le premier cas le travail
dépend du déplacement du corps, dans le second de sa vitesse*
Nous trouvons quelque chose d'analogue dans les deux espèces
de courants : la production de courants de déplacement pro-
duit une variation de l'énergie potentielle du système qui dé-
pend du carré du déplacement ; les courants de conduction
donnent lieu à un dégagement de chaleur.

Une autre comparaison empruntée à l'hydrodynamique

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ÉLEGTROKmÉTIQUE 99

permet également de se rendre compte de la différence qui
existe entre les deux espèces de courants. Prenons une pompe
P [fig* 10) portant deux tubes latéraux AB et FE communiquant
entre eux par deux tubes verticaux BG et DE et par un tube

s^sss

F A

Flg« 10.

horizontal CD. Supposons cette pompe remplie de mercure,
ainsi qu'une partie des tubes, et soient M et N les niveaux du
mercure, situés à Torigine dans un même plan horizontal,
dans les tubes verticaux. Admettons enfin, que le tube CD et
les parties des tubes verticaux, non occupées par le mercure,
sont remplies d'eau. Si nous faisons fonctionner la pompe, un
courant liquide se produit dans l'appareil et dans un certain
sens, le sens ABGDE Fpar exemple, et le niveau du mercure
s'élève QD M et s'abaisse en N, jusqu'à ce que la différence de
niveau donne lieu à une pression suffisante pour empêcher le
jeu de la pompe. Le travail dépensé est alors employé à pro-
duire une différence de niveau ; il se retrouve sous forme
d'augmentation de l'énergie potentielle du système et cette
énergie dépend de la position des niveaux du mercure. Nous
avons là une image fidèle d'un courant de déplacement»
Modifions légèrement Tappareil précédent. Donnons aux

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iOO ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

tubes une très faible section et supposons que ces tubes et la
pompe soient complètement remplis de mercure. Quand on
fait mouvoir la pompe, le mercure se déplace, et par suite de
sa viscosité il oppose une résistance au mouvement du piston.
Lorsque cette résistance est égale à la puissance qui agit sur
la pompe le mercure se meut avec une vitesse constante et ce
mouvement a lieu tant que dure le fonctionnement de la
pompe. Le travail de la puissance se retrouve sous forme de
chaleur développée par le frottement des molécules liquides
et la quantité de chaleur dégagée dépend de la vitesse. Nous
retrouvons dans cet exemple l'image complète d'un courant
de conduction : régime variable pendant la période d'établis*
sèment, régime permanent se produisant ensuite, transfor*
mation du travail en chaleur.

90. Loi de Joule. — La quantité de chaleur dégagée dans
un conducteur traversé par un courant est d'après, la loi de
Joule, proportionnelle au carré de Tintensité de ce courant.
Dans la théorie de Maxwell le travail nécessaire pour vaincre
la résistance opposée par un élément de volume dx h la propa-
gation de Télectricité a pour expression

dfy dg. dh étant les composantes du déplacement qui a lieu
pendant un intervalle de temps dl. Cette expression peut
s'écrire :

ou, TT-^ dr di.

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ÉLECTROKIMÉTIl
Pour le conducteur tout entier, c(

^dt j (u« + V*

Il est proportionnel au carré de 1
chaleur qui résulte de sa transfori
comme le vent la loi de Joule.

Maxwell, dans son ouvrage consacr
ressauts à l'étude de la conduction,
dans tous les développements qu'il
nous bornerons à ce que nous ver
l'électrokinélique.

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IHAPITRE VI

MAGNÉTISME

niétiques. — Lois des actions magné-

i les points principaux de Tétude du ma-

lans les phénomènes magnétiques tout se
stait deux fluides magnétiques jouissant,
ilectriques, de propriétés opposées dans
oques : les fluides de même espèce se
es d'espèces contraires s'attirent,
ractions et répulsions sont identiques à
s fluides électriques : la force qui s'exerce
magnétiques varie en raison inverse du
et proportionnellement aux masses agis-
pour unité de masse magnétique celle
\ masse égale placée à Tunité de distance,
le à l'unité, et convenant de donner des
IX masses magnétiques de nature difi*é-
mr la valeur de la force s'exerçant entre

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MAGNÉTISME 103

deax masses m ei m'^ placées à une distance r,

Dans ces conditions une force répulsive est négative ; une
force attractive est positive. La formule précédente a été éta-
blie expérimentalement par Coulomb et son exactitude est
confirmée par la concordance de ses conséquences avec les
résultats de Texpérience.

92* Masse magnétique d'un aimant. ^La seconde loi
fondamentale du magnétisme est que dans un aimant quel-
conque la sonune algébrique des masses magnétiques, définies
comme on vient de le. voir, est nulle. Celte, loi découle du fait
expérimental qu'un aimant placé dans un champ magnétique
uniforme, comme celuiproduit par la Terre, ne prend pas de
mouvement de translation. En effet, si la masse magnétique
totale de Taimant n*était pas nulle, Taimant serait soumis à
une force et non à un couple et cet aimant se déplacerait
sous Faction du champ.

93. Constitution des aimants*— La rupture d*un aimant
en un grand nombre de petits niorceaux donne naissance à
autant de petits aimants et chacun d*eux présente deux pôles de
même intensité et de signes contraires. En rassemblant en*
semble ces petits aimants on reproduit Taimant primitif avec
toutes ses propriétés. On peut donc admettre qu'un aimant est
constitué par des petites particules contenant deux masses
magnétiques égales et de signes contraires. La somme algé-
brique des masses de chaque particule est nulle et, par suite.

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104 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

la masse totale de Taîmant tout entier est aussi nulle, comme
l'exige la loi précédente. Cette hypothèse sur la constitution
des aimants n'est donc pas en contradiction avec l'expérience.

94. Potentiel d'un élément d'aimant.— Composantes
de l'aimantation.— Prenons une .des particules élémentaires,

de volume dx, qui composent
un aimant et cherchons la
valçur du potentiel en un
pointP(/ty. 11). Soient m et
— m les masses magnétiques
placées aux points infini-
ment voisins A et B de cet
élément; r^^r^ les distances de ces points au point P. Le
potentiel en P est

Fig. 11.

,_ m m /l 1\
dù = =m( ) =

r,u

Abaissons de A la perpendiculaire AG sur la droite BP ; r, — r,
est, à des infiniment petits du second ordre près, égal à BG.
Avec la même approximation nous avons, en appelant eia la
distance AB, et e l'angle de OP avec la direction BA,

r^ — r j = cfci cos s,

r,r

4^2

^-^♦.3

a distance du point P au point 0.
uite, la valeur du potentiel en P est

cfû —

mda cos e

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MAGNÉtISME

Transformons celte expression en y intro<
composantes A, B, G de V aimantation ou nuig\
Ces composantes sont définies par les relations su

mdœ = Acfc, mdy = Brfr , mdz =

où db, dy^ dx désignent les projections de la drc
vaut trois axes rectangulaires.

Nous avons, si $,yi,Ç sont les coordonnées du p
y y z celles du point 0,

da r ^ da r ' da \

et par conséquent pour la valeur de dû,

,^ c&i cos c /5 — ^ j I "n — y j I

^ = ^-71— =^(^-73-^ + -^^^^ +

Mais le carré de la distance du point au poi;
nous en tirons

• d'
\ — œ i dr r^

r^ r^ dx dx

Nous aurons de la même manière

^'- C-. 4

r* dy r* d^

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CITÉ ET OPTIQUE
rîré :

d'- di ,

relations qui définissent les compo-

ai ■ di\

imant. — Le potentiel d'un aimant
it les potentiels dus à chacun de ses
leur

par une surface fermée, nous pou-
>Rion. En désignant par i, m, n les
)rmale à un élément dtù de la sur-
ixes de coordonnées nous avons en

/ /A— dit) — f "T"- dt,
f r J dx T

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MAGNÉTISME

' Si nous transformons de la même man
fermes de Tiniégrale qui donne û nous ob
quantité.

,^J/A-fmB + nG^^y;

On pent donc considérer le potentiel e
résultant d*nne couche de magnétisme ré
de l'aimant et de densité

<j =z= /A -{- wB -}- nC,

et d'une masse magnétique occupant tou
mant et de densité

P ■" \dx'^ dy"^ d.

96. Remarquons que la relation de Po
point extérieur à Taimant :

Aû=: O,

et pour un point intérieur :

97. Potentiel d'un feuillet magnéti
un aimant limité par deux surfaces inQnii
gées de couches magnéti(j[ues égales et^
Sien chaque point de la surface la ma^
maie à cette surface, et si le produit le d

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108 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

gnétisation I par Tépaisseur e de l*aimant est constant, Tai-
mant prend le nom de feuillet magnétique. Le produit cons-

p tant \e s*appelle la
puissance <> da feuil-
let.
Prenons un élément A
d'aire diù sur la surface du
feuillet ; la charge de cet
élément est cdiù, n étant la
densité de la couche magné-
tique S au point A. La por-
tion AB du feuillet qui correspond à cet élément de surface
peut être considérée comme un aimant infiniment petit pos-
sédant des charges fsdiù et — <yefto) aux points A et B distants
de e. La formule (1) du § 94 donne iH»ur le potentiel en P de
cet élément, ^

FI g. 12.

Cette expression peut être transformée. En effet, la magné-
tisation étant dirigée suivant BA, on a

ndiù e = Wt = \diù9 = ^d(ù,

et par suite

dQ =

^ diù COS e

Mais -— 2 — - est l'angle solide c&p sous lequel l'élément de
feuillet est vu du point P; on peut donc écrire
dû = ^d^.

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MAGNÉTISME i09 ^.

Pour un feuillet de dimensions finies, on aura

<•

c'est-à-dire :

Le potentiel d*un feuillet magnétique en un point extérieur
est égal au produit de sa puissance par Tangle solide sous ^-

lequel le feuillet est vu du point considéré ; ce produit est
pris avec le signe -f- ou le signe — suivant que la face vue
est positive ou négative.

98. Force magnétique en un point extérieur. — Les

composantes de la force qui s*exerce sur Tunitéde masse ma-
gnétique positive placée en un point extérieur sont les dé<»
rivées partielles du potentiel en ce point prises en signe con-
traire. En les désignant par a, p^ y» ^^"^ avons

dQ ^ dû dû

09. Foroe magnétique dans l'intérieur d'un aimant.

— Nous ne pouvons connaître la force qui s'exerce sur Tunité
de masse magnétique placée à l'intérieur de l'aimant sans y
creuser une petite cavité permettant d'y placer un petit
aimant d'épreuve ; mais l'existence de cette cavité modifie
Faction de l'aimant et cette modification dépend de la forme
donnée à la cavité. Pour faire le calcul de la force en un point
de la cavité, il faut donc en connaître la forme.

Maxwell ne considère que deux cas particuliers dans les-
quels la cavité est un cylindre très petit dont les génératrices
sont parallèles à la direction de la magnétisation. Dans le
premier cas la hauteur du cylindre est infiniment grande par

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110 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

% rapport à sa section ; dans le second elle est infiniment petite.

i Appelons û le potentiel de TaiiBant tout entier en un point

» intérieur et Q^ le potentiel de la masse cylindrique enlevée

> pour former la cavité en ce môme point. La diOérence û— Û|

^ est la valeur du potentiel de Taimant en P quand hi cavité y est

creusée. La force sur Tunitéde masse magnétique a ators pour

composantes

dœ dœ dy "• dy 2F dz

lOO. Cherchons la valeur de û| quand la hauteur du cylindre
est grande par rapport à la section, û^ est la somme de deux
intégrales, l'une étendue à la surface, Fautre au volume. Cette
dernière est infiniment petite du troisième ordre et peut être
négligée vis-à-vis de la première. Mais dans celle-ci les élé-
ments correspondant auK bases du cylindre peuvent aussi être
négligés, ces bases étant infiniment petites par rapport à la
hauteur; il n'y a donc à tenir compte que de la surface latérale.
Or, en tout point de cette surface la normale est perpen-
diculaire à la direction de magnétisation ; par suite, la pro-
jection /A -|- /nB -f- nC de la magnétisation sur cette normale
est nulle et les éléments de l'intégrale correspondante à la
surface latérale sont encore nuls. Il en résulte donc que l'on
peut alors négliger la quantité û^. On a pour les composantes
de la force magnétique

* dx^ ^ dy^ ^ dz^

expressions identiques à celles qui donnent les composantes en
un point extérieur.

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MAGNÉTISME

141

101. Induction magnétique* — Passons maintenant au
cas où la hauteur de la cavité cylindrique est très petite par
rapport à la base. Gomme précédemment, nous pouvons dans
la valeur de Û, négliger l'intégrale étendue au volume. Dans
rinlégrale double les éléments fournis par la surface latérale
sont nuls puisque la normale à chaque élément de surface est
perpendiculaire à la direction de magnétisation ; il suffit donc
d'étendre l'intégrale double à la surface des bases du cylindre.

Pour trouver la valeur de celte intégrale prenons pour axe
des œ une parallèle à la direction de magnétisation ; cet axe
sera alors perpendiculaire & chacune des bases du cylindre
Pour chaque élément de l'une d'elles nous aurons ^ = i, m == o,
n = 0, et pour chaque élément de l'autre /== — 1, w = o,
n = 0. Dans ce système d'axes particulier nous avons donc
pour la valeur de û|,

'■=/^"-/

— diû ,

chacune des deux intégrales étant étendue à la surface des
bases. Cette valeur est la même que si Ton supposait que chaque
base du cylindre est recouverte d'une couche de magnétisme
ayant respectivement pour densités -f- A et — A. L'étendue de ces
couches étant très grande par rapport à leur distance, qui est
égale à la hauteur du cylindre, l'action qu'elles exercent sur
l'unité de masse magnétique placée entre elles a pour valeur
iwA. Cette force est dirigée du côté de la couche négative,
c'est-à-dire en sens inverse de la magnétisation.

La cavité, qui a un effet contraire à celui dû cylindre aimanté
de même volume, produira donc ufte augmentation de la

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GoooIp

ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

lirection de la magnétisation et cette augmenta-
. Par suite la composante suivant oœ de la force
dmant sur Tunité de masse placée à Tintérieur

a = — -j — f- 47tA ^ a -|- 47cA'

d que si au lieu de prendre le système particu-
nt nous avons fait usage, nous prenons des axes
tous obtiendrons pour les composantes de la
cessions analogues à la précédente,
an tes sont donc

a = OL -j-47cA,
ô = p -f47rB,

C =:y+^C.

3pelle les composantes de t induction magnélique
le taimanL

rquons que la quantité

ddœ -|- ^dy -f ^dz

entielle totale, puisqu'elle est égale à — dù^
quantité

adx + bdy \- cdz

lifTérence entre la force magnétique et Tinduc-
ue consiste dans la valeur de la somme des dé-
es de leurs composantes : cette somme est nuUe

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MAGNÉTISME 113

pour rinduction magnétique; elle ne Test pas pour la force
magnétique.
Montrons en effet que

da , db . de
On a

dœ'^ dy'^ dz'^ dx"^ dy'^ d^'^ Kdx'^ dy'^ dzj'
ou

da . db , de Ar^ . * /^A , rfB , dG\

Or,

dX ^^ dB j^ dC

dœ'^dy'^dz'^^'

et la relation de Poisson donne, pour un point intérieur,

Au = — 47rp.

La somme considérée est donc nulle.

103. Magnétisme induit. — Certains corps placés dans
un champ magnétique s*aimantent par influence. Poisson
admet que les composantes de la magnétisation induite en uù
point d'un tel corps sont proportionnelles aux composantes de
la force magnétique en ce point. Posons donc ^.^SeESE i^BaioîT>s.

.universityJ

A = xa, B = xB, C = XY. \ r^A. <^^

D*après les formules précédentes, les composantes de Tin*

âLKCTRICITifc ET OPTIQUB. S

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Googl^

)

il4 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

duction seront, au même point,

ûj = a + 47rA = (i -|- ^'^^) *>
6 = p + 47rB = (i + 47cx) B,
C = Y -|- 47rC = (1 + 47cx) Y-

En posant

l^ =

= (1 + 4«x),

ces formules deviennent :

a = |xa

b = i,p

(

c = (*Y-

- Maxwell appelle [i. la capacité magnétique inducUve, Celte
quantité est analogue au pouvoir inducteur spécifique K de
Télectrostatique; elle est plus grande que Tunité pour les corps
magnétiques, égale àTunitédanslevide, pluspetiteque Tunité
pour les corps diamagnétiques.

104. La simplicité des formules précédentes peut faire
illusion sur la difficulté de la détermination de l'induction eu
un point d'un corps. C'est que nous n'avons pas tenu compte
de ce que x et [jl ne sont pas des constantes ; en second lieu
nous avons supposé n'avoir en présence que des aimants per-
manents où la force coercitive est infinie et des aimants pro-
duits par influence dans lesquels la force coercitive est nulle.

Les corps naturels ne satisfont pas à ces conditions. La force
coercitive ne peut jamais être ni rigoureusement nulle, ni
rigoureusement infinie. De plus le coefficient x n*est pas une

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MAGNÉTISME 1 15

constante. C'est une fonction de l'intensité du magnétisme

Va* -j- B* -f- C* à laquelle on a donné le nom de fonction ma-
gnétisante. On n'aie droit de regarder x et [jl comme des cons-
tantes que si la magnétisation est très fsiible.

C'est ce que nous supposerons toujours dans ce qui va
suivre, et cela sera d'autant plus légitime que pour la plupart
des corps [jl diffère très peu de i.

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Google,

CHAPITRE VÏI

ÉLEGTROMAGNETISME

105. Lois fondamentales. — Plusieurs modes d'expo-
sition peuvent être adoptés pour trouver l'action exercée par
un courant fermé sur un pôle magnétique et montrer que cette
action peut être assimilée à colle d'un feuillet magnétique de
même contour. Nous ne suivrons pas celui de Maxwell qui
prend comme point de départ Téquivalence d'un courant
infîniment petit et d'un aimant ; nous nous appuierons, pour
arriver aux formules de Maxwell, sur trois lois démontrées
par l'expérience et sur une hypothèse.

Les trois lois expérimentales sont les suivantes :

i® Deux courants parallèles de même intensité et de sens
inverses exercent sur un pôle magnétique des actions égales et
de signes contraires;

2** Un courant sinueux exerce une action égale à celle d'un
courant rectiligne qui aurait les mêmes extrémités;

3° La force exercée par un courant sur un pôle magnétique
est proportionnelle à l'intensité du courant, c'est-à-dire à la
quantité d'électricité qui traverse une section du conducteur
pendant l'unité de temps.

Les deux premières de ces lois ont été démontrées par

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ÉLEGTR0MA6NÉTISME

117

Ampère; la troisième a été vérifiée par de nombreuses expé-
riences: les unes effectuées en déchargeant des batteries char-
gées de quantités d'électricité connues, comme dans les
expériences de Colladon et de Faraday ; les autres plus pré-
cises, faites avec le yoltamètre.

106. Hypothèse* — L'hypothèse que nous joindrons aux
lois précédentes, est que les composantes de la force agissant
sur un pôle magnétique sontles dérivées partielles d'une même
fonction qui ne dépend que de la position du pôle par rapport
au circuit.

Cette hypothèse paraîtra la plus naturelle si Ton songe qu'il
doit y avoir conservation de l'énergie dans le système. Mais
faisons observer que ce n'est pas la seule qui soit compatible
avec le principe de la conservation de l'énergie ; l'hypothèse
adoptée pourrait donc se trouver en défaut sans que le prin-
cipe de la conservation de l'énergie cesse d'être vérifié.

D'après cette hypothèse nous pouvons poser pour les valeurs
a,p,y des composantes de la force agissant sur l'unité du pôle,

dx ^ dy

__da
^~ dz'

La fonctionûest appelée \Qpotentielà\x circuit parcouru par
le courant. Pour en trouver l'expression nous aurons recours à
quelques théorèmes que nous allons établir tout d'abord. Nous
négligerons d'ailleurs, pour plus de commodité, la constante
d'intégration de la fonction û.

107. Théorème I. — Le potentiel dû àun circuit est égal
à la somme des potentiels dus aux divers circuits suivant
lesquels on peut le décomposer.

€

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as ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Celte propriété découle imme'diatement de la loi fondamen-
tale des actions exercées par deux courants parallèles et de
sens inverses.
En effet, soit ABCD (Jîg. 13) un courant fermé; nous pouvons

le décomposer en deux circuits
ABCA et AGDA parcourus dans
le sens des flèches. Le circuit
AG étant parcouru par deux

courants de même intensité mais

de sens inverse n'exerce aucune

action sur un pôle magnétique ;

*^' * par conséquent le potentiel du

circuit total doit être égal à la somme des potentiels des deux

circuits partiels ABCA et AGDA.

La généralisation de ce théorème à un nombre quelcon-
que de circuits partiels est évidente.

108. Théorème II. — Le potentiel d'un circuit fermé

plan en un point extérieur situé
dans son plan est nul.

a. Supposons d'abord que le
circuit possède un axe de sy-
métrie OA {/Ig. 14), et plaçons
un pôle magnétique en un point
quelconque de cet axe. Si
nous faisons tourner le circuit
autour de son axe de symétrie,
le pôle magnétique conserve
toujours la même position par
rapport au circuit et, par conséquent, le potentiel en ne

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ÉLEGTR0MA6NÉTISIIE

119

varie pas. Mais quand le circuit a tourné d*un angle de 180"^, il
revient dans son plan primitif et le sens du courant représenté
dans la position initiale par les flèches de la figure 14, est,
après cette rotation, représenté par les flèches de la figure 15.
Le courant a donc changé de sens par rap-
port au point 0, et d'après la loi des cou-
rants de sens inverses, la force qui s'exerce
sur le pôle a changé de sens. De ce chan-
gement dans le sens de la force résulte un

changement dans le signe
du potentiel Q ; comme
d'autre part ce potentiel
doit conserver la môme
valeur il doit être nul. ^^8- 16.

b. Si le circuit a la forme d'un rectangle
curviligne BGDE {fiç, 16), formé par les
arcs de cercle BG et DE et par les portions
BD et CE des rayons
BO et GO le potentiel
en est nul puisque
ce point appartient à
l'axe de symétrie OA de la figure.

c. Quand le circuit fermé se compose
d'une série d'arcs de cercles concentrique
AB, CD,... {fiç. 17), réunis par des portions
rectilignesGD,DE,... passant par le centre
commun 0, le potentiel en ce point est
évidemment nul, d'après ce qui précède
et d'après le théorème I.

/ ' /
/ » /

/ '7

Flg. 18.

d. Passons enfin au cas général d'un circuit plan de forme

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120 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

quelconque {fig. 18). Prenons sur le circuit des points très
voisins A, B, C,... et par ces points faisons passer des arcs de
cercle ayant pour centre un point quelconque du plan du
cincuit. En menant par un nombre égal de rayons convena-
blement choisis, nous pourrons former un circuit fermé
KahVcc\,, dont les divers éléments sont très rapprochés des
éléments du circuit donné. D'après le principe des courants
sinueux, Faction de ces deux circuits sur un pôle magnétique
est la même. Or, nous venons de voir que le potentiel enO dû
au courant sinueux composé d*arcs de cercle concentriques et
et de portions rectilignes dirigées vers le centre est nul. Par
suite il en est de même pour un circuit de forme quelconque.

109. Théorème III. — Quand un circuit fermé est trace
sur la surface latérale cTun cône de telle manière que chacune
des génératrices du cône rencontre le circuit un nombre pair
de fois, zéro pouvant être un de ces nombres ^ le potentiel du
sommet du cône, supposé non enveloppé par le circuit, est nul.

En effet, en traçant sur la surface du c6ne{/îg. i9)des|^éné~

Fig. 19.

ratrices infiniment voisines, nous pouvons décomposer le
circuit en éléments plans tels que AGDBA. Le point étant
situé dans le plan de chacun de ces circuits partiels le po-

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ÉLKGTROMAGNÉTISME 121

tentiel en ce point dû à fun quelconque d'entre eux est nul ;
la somme de ces potentiels, c'est-à-dire le potentiel dû au cir-
cuit total, est donc nulle.

110. Théorème IV. — Quand deux circuits fermés y
tracés sur la surface latérale d'un cône et coupant toutes les
génératrices au moins une fois ^ sont parcourus par des courants
de même intensité et de même sens par rapport à un observa-
teur placé au sommet du cône le potentiel en ce pointa la même
valeur pour chacun des circuits.

Soient ACE et BDF [fig. 20) les deux circuits parcourus
par des courants dont le sens est indiqué par les flèches pla-

Fig. 2a.

cées extérieurement. Si nous supposons ces circuits parcourus
en même temps par des courants égaux en intensité mais dont
le sens, indiqué par les flèches intérieures, est contraire à
celui du courant réel qui les traverse, le potentiel en dû à
Tensemble de ces quatre courants est évidemment nul. Il sera
encore nul si nous ajoutons à ces courants des courants de
même intensité mais de sens différents parcourant deux géné-
ratrices quelconques du cône, AB et CD. Mais Tintensité étant

f '

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122 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

la même pour tous les courants, nous pouvons considérer le
système comme formé :

1* Du circuit fermé ACDB parcouru dans le sens indiqué
par Tordre des lettres; 2*» du circuit fermé ABFDÛEA; 3*» du
circuit BDF ; 4° du circuit AEG. Le potentiel en dû à cha-
cun des deux premiers circuits est nul, car chacun d'eux
satisfait aux conditions du théorème précédent. Le potentiel
dû h. Tensemble du troisième et du quatrième circuit est donc
nul et par conséquent le potentiel résultant du circuit BDF
parcouru par le courant réel est égal et de signe contraire
au potentiel résultant du circuit AEG parcouru par le
courant fictif de sens contraire au courant réel qui traverse
ce circuit. Le potentiel du courant réel traversant le circuit
AGE est égal et de signe contraire au potentiel du courant
fictif qui parcourt ce même circuit en sens inverse ; il est
donc égal au potentiel du courant réel qui traverse BDF.

Faisons d'ailleurs observer que les deux circuits considérés,
au lieu d'être placés sur la surface d'un même cône, comme
nous l'avons supposé, pourraient appartenir à deux cônes
distincts mais superposables.

111. Potentiel d'un courant fermé. — Prenons un
circuit fermé quelconque parcouru par un courant, et cher-
chons le potentiel en un point extérieur au circuit.

Du point comme sommet traçons un cône s' appuyant sur
le contour du circuit. Ce cône découpera sur la surface de la
sphère de rayon unité une surface dont la valeur <p mesure
l'angle solide sous lequel le circuit est vu du point 0. Nous
pouvons décomposer ce cône en une infinité de cônes infini-
ment déliés de même angle solide et supposer le circuit donné

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ÉLEGTR0MA6NÉTISME 1^3

décomposé en une infinité de petits circuits fermés tracés sur
la surface de ces cônes. Ces cônes de même angle solide, étant
inûniment petits, peuvent être choisis superposables et le po-
tentiel en est le même pour chacun des circuits tracés sur la
surface de l'un d'eux. Le potentiel du circuit total est la somme
de ces potentiels ; il est donc proportionnel au nombre des
cônes élémentaires et, par suite, à l'angle solide <p.

Mais, d'après la troisième loi fondamentale que nous ayons
énoncée, l'action exercée par un courant fermé sur un pôle
d'aimant est proportionnelle à l'intensité de ce courant ; par
con8équent,en négligeant la constante d'intégration dans l'ex-
pression de la fonction potentielle, cette fonction doit égale-
ment être proportionnelle à l'intensité du courant. Nous pou-
vons donc écrire

l'intensité étant mesurée au moyen d'une unité telle que le
coefficient de proportionnalité soit égal à 1, unité que l'on
appelle unité électro-magnétique cCintensité.

L'action d'un circuit sur un pôle magnétique changeant de
signe quand on change le sens du courant qui le traverse, le
signe de <pt doit dépendi;e du sens du courant. Appelant face
positive du circuit celle qui se trouve à gauche d'un observa-
teur placé sur le circuit dans le sens du courant et tourné
vers l'intérieur du circuit, on convient de donner à la valeur
de l'angle solide le signe + ou le signe — suivant que c'est la
face positive ou la face opposée qui est vue du point consi-
déré. En adoptant cette convention et celle qui consiste à re-
garder comme positive une force attractive et comme négative
une force répulsive, les composantes da la force exercée par un

♦'

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ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

courant fermé sur Tunilé de pôle sont donne'es par les relations
déjà écrites

___dù
^ " dz

112. Cas d'un circuit infiniment petit. ^ Soient AA '
(/?^. 21) la projection d'un circuit infiniment petit et AOA* le

A' A

cône élémentaire d'angle solide d^ passant par ce circuit. Le
potentiel au point a pour valeur

dÇX = irf(p.

Or, (Ap étant Taire de la section BB ' découpée par le cône sur
la sphère de rayon i, Taire de la section AA" découpée par ce
môme cône sur la sphère de rayon OA = r, est r^d^. D'ailleurs
en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, on peut
considérer cette aire AA'' comme la projection de Taire rfw du
circuit AA' sur un plan perpendiculaire à OA. Nous avons
donc

r V<p = diù cos e ,
et par suite

idiù cos %

(i)

d^ =

Cette expression est analogue à la formule

^ c?u) cos e

(2)

efÛ:

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ÉLECTROMAGNÉTISME 125

que nous avons trouvée (97) pour le potentiel d'un élément de
feuillet magnétique de puissance ^. Par suite un élément de
courant fermé a le même potentiel qu'un élément de feuillet
de même surface et de puissance égale à l'intensité du cou-
rant.

113. Équivalence d'un courant fermé et d'un feuillet
magnétique. — Les intégrales des formules (1) et {"i) étendues
à une même surface donneront, la première le potentiel d'un
courant fermé de forme quelconque, la seconde, le potentiel
d'un feuillet de même contour. Si on suppose ^ = f, ces
intégrales ont la même valeur, à une constante près. Par
conséquent les composantes a, p, y de la force exercée par
un courant fermé sur l'unité de masse magnétique sont égales
à celles de la force qu'exercerait un feuillet magnétique de
même contour et dont la puissance ^ serait égale à l'intensité
électromagnétique i du courant. Il y a donc équivalence dans
les effets d'un courant fermé et d'un feuillet magnétique.

Il y a cependant lieu de faire remarquer que les fonctions
potentielles ne jouissent pas de propriétés identiques dans les
deux cas. Montrons qu'en effet le potentiel d'un aimant est
une fonction uniforme, tandis que le potentiel d'un courant
fermé peut prendre en chaque point de l'espace une infinité
de valeurs.

La variation du potentiel d'un courant ou d'un feuillet
quand on passe d'un point à un autre par un chemin quel-
Conque est égale et de signe contraire à l'intégrale

^-AUFORNi^

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126 ÉLECTRICITÉ BT OPTIQUE

prise le long du chemin parcouru puisque a, p, y sont les
dérivées partielles du potentiel changées de signe.
Les conditions d'intégrabililé

d^__d^ d%_d^ d^_dj

dy dx dz dœ dz dy

étant remplies, l'intégrale prise le long d'une courbe fermée C
quelconque sera nulle ; il y a toutefois à cela une condition.

Par cette courbe G faisons passer une surface quelconque

et soit A la portion de cette surface qui est limitée par la

courbe fermée G. Pour que l'intégrale soit nulle, il faut que

les forces a, p, y et leurs dérivées premières soient finies en

tous les points de Taire A.

Mais si la courbe fermée enlace le courant, ce courant
viendra certainement couper l'aire A au moins en un point
et au point de rencontre, les forces magnétiques a, p, y seront
infinies. L'intégrale prise le long d'une courbe fermée en-
vacant le courant n'est donc pas nulle et la fonction û peut
prendre en un même point deux valeurs différentes.

114. Travail des forces électromagnétiques suivant
une courbe fermée enlaçant le circuit. — La difiiérence
entre ces deux valeurs, qui est égale à l'intégrale

/ <idx + ^dy -j- -(dz

prise le long de la courbe décrite C, représente le travail de
la force électromagnétique dans le déplacement. Pour avoir
ce travail, considérons le feuillet F {fig. 22) équivalent au
courant. Le potentiel de ce feuillet étant une fonction uniforme

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Pig. 22.

ÉLKCTROM AGNÉTISME 1 27

devra reprendre la même valeur quand on reviendra au point P '
après avoir parcouru la courbe fermée G. Or la variation
subie par le potentiel est
égale à l'intégrale

prise le long de la courbe

G, plus la variation brusque

que subit le potentiel quand on traverse le feuillet en allant

de P' au point infiniment voisin P. Soit H cette variation ;

on aura donc :

H + C{aLdœ -|- pdy -|- ydz) = o.
c

Il nous reste donc à calculer celte variation brusque H.

Nous avons facilement cette variation dans le cas particulier
où le feuillet forme une surface fermée. £n un point extérieur
le potentiel est nul puisque l'angle sous lequel le feuillet est
vu de ce point est nul. En un point intérieur il est =b 4 7c<t»,
suivant que c'est la face positive du feuillet ou sa face
négative qui est tournée vers Tintérieur de la surface fermée.
La variation du potentiel quand on passe de la face négative
à un point de la face positive est donc An4^.

Dans le cas où le feuillet ne forme pas une surface fermée
la variation du potentiel est encore la même. Soit en efiet A6G
{fig. 23) un feuillet dont nous supposerons la face positive,
située du côté convexe. Au moyen d'un second feuillet ADG
de même contour et de même puissance que le premier et
dont la face positive est également tournée du côté convexe,

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128 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

nous pouvons former un feuillet fermé ABCD. Quand on passe
du point P en un point P'inQniment voisin et situé de l'autre
côté du feuillet Tangle sous lequel on voit ce feuillet fermé
augmente de Atz, Gomme Tangle sous lequel est vu le feuillet

ADG reste le même, l'angle solide
correspondant à Tautre feuillet
ABC doit augmenter de 4 tc. Par
suite la variation du potentiel
est encore 4 7c4>.

Si dans la figure 22 nous
supposons que la face négative
du feuillet équivalent au courant
'^' " * est du côté du point P, le po-

tentiel augmentera de 4 m quand on passera de P en P '
et, d'après ce que nous avons dit, le travail de la force élec-
tromagnétique sera — 4 izi quand un pôle unité décrira la
courbe fermée PCP 'P dans le sens indiqué par Tordre de»
lettres c'est-à-dire en pénétrant dans le feuillet par sa face
positive. Nous pouvons donc écrire quand l'intégrale est prise
le long d'une courbe fermée

/ ddx + pdi/'\- ydz = zh 47rî

le second membre étant pris avec le signe -|- quand le con-
tour d'intégration enlace le circuit en pénétrant par sa face
négative et avec le signe — dans le cas contraire.

Faisons observer que le contour d'intégration peut enlacer
plusieurs fois le circuit ; alors le travail électromagnétique
est égal à autant de fois ± 4 tti qu'il y a d'enlacements.

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ÉLEGTROMAGNÉTISME 129

115. Cas de plusieurs courants. — S*il y a plusieurs
courants la force exercée sur Tunité de pôle placée en un point
de Tespace est égale à la résultante des forces exercées par
chacun d'eux et le travail électromagnétique, quand le pôle
décrit une courbe fermée, est égal à la somme des travaux

des composantes, clest-à-dire à V ± 4 tti, la sommation s'é-

tendant à tous les courants enlacés par la courbe. On a donc

(4) f<ida!+pdi/-^ydz = 4^,^±i.

Cette relation peut d'ailleurs être interprétée autrement. En
effet si nous considérons une surface S passant par la courbe G,
tous led courants pour lesquels l'intensité est prise dans la
formule (1) avec le même signe, le signe + par exemple,
traversent cette surface dans le même sens ; les courants pour
lesquels l'intensité est prise avec le signe — traversent au
contraire la surface en sens inverse. L'intensité d'un courant
étant la quantité d'électricité qui traverse une section du
circuit pendant l'unité de temps, nous pouvons considérer

V ± I comme égale à la quantité d'électricité qui traverse

dans un certain sens la surface S pendant l'unité de temps.
Par conséquent, le travail électromagnétique, quand on se
déplace sûr une courbe fermée G enlaçant plusieurs circuits,
est égal au produit par Ait de la quantité d'électricité qui
traverse pendant l'unité de temps une surface S limitée à la
courbe G.

116. Nouvelle expression du travail éleotromagné*
tique suivant une courbe fermée. — Si nous désignons

iUECTRICITft BT OPTIQUB. 9

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}
i

130 ÉLBGTRIGITÉ ET OPTIQUE

par u, V, Wy les composantes de la vilesse de rélectricilé
dans un des circuits , par dUa la section de ce circuit par la
surface S et enfin par /, m, n les cosinus directeurs de la nor-
male à cet élément prise dans une direction convenable, nous
aurons pour la quantité d'électricité qui traverse la sur-
face S :

Mais nous pouvons remplacer le signe ^ du second
membre par le signe i et étendre Tintégration à toute la sur-
face Sy les éléments de cette surface non traversés par un
courant donnant dans l'intégrale des éléments nuls. Par con-
séquent la formule (i) peut s'écrire

1(2) / acte -f- prfy -|- ydz == 47c / (fti -|- mt?-|- nw) rf»,

la première intégrale étant prise le long de la courbe G, la se-
conde étant étendue à la surface S.

117. Transformation de Tintégrale curviligne. —
Nous pouvons transformer l'intégrale curviligne du premier
membre. Dans le cas où la courbe G est plane cette transfor-
mation est très facile. En effet, si nous prenons le plan de
cette courbe pour plan des œy, l'intégrale considérée se réduit à

Taoto + pe/y,

où « et p sont des fonctions continues et uniformes des coor-
données w et,v. Or, on sait que dans ces conditions la valeur

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ÉLBGTR0MA6NÉT1SM£

«1

de rintégrale précédente, quand le contour d'intégration est
décrit de telle sorte que l'espace illimité se trouve à gauche,
est égale à celle de l'intégrale

J{î-

~dy)

dœdy

étendue à Taire plane limitée

par la courbe G.

Kfifectuons une transfor

mation du même

genre dans le cas où l'inté

grale curviligne est

prise le long d'un contour

triangulaire ABC

dont les sommets sont situés

sur les axes

de coordonnées {fig. 24).

y Nous pouvons

obtenir la valeur de l'inté-

grale en prenant suc-

cessivement pour con- /

^A -

tours d'intégration OAB /

OBC, OBA et addition- //

/ ^

nant les trois résul- J^

tats obtenus, puis- -^

Pig.

14.

qu'en opérant ainsi

chacune des droites OA, OB, OC est prise deux fois en sens
inverses et que les côtés du triangle sont parcourus dans le
sens ABC. Nous avons donc

ABC

OCA.

OAB

OU, en transformant les intégrales curvilignes du second
membre pour lesquelles le contour d'intégration est dans un

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132 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

des plans de coordonnées,

ABC %J

+/(f-l)^'-+/(£-|)'^^-

Supposons le tétraèdre OABC infiniment petit et dési-
gnons par disi Taire du triangle ABC et par /, m, n les cosinus
directeurs de la normale au plan de ce triangle. Nous avons
pour les projections du triangle sur les plans de coordonnées,

OBC = Wo) , OCA = wAo , OAB = nrfo).

Les intégrales du second membre de Tégalité précédente
devant être étendues à Tune de ces surfaces infiniment petites,
les quantités placées sous le signe d'intégration conservent
très sensiblement la même valeur et peuvent être placées en
dehors du signe d'intégration; nous avons donc pour la valeur
de l'intégrale curviligne prise le long d'un contour trian-
gulaire infiniment petit,

/(^+M.+T.^)=<|;-|).*.+».(|- 1) A.

Si l'intégrale curviligne doit être prise le long d'une courbe
quelconque G limitant une surface finie, nous pouvons toujours
décomposer cette surface en éléments triangulaires infini-
ment petits et obtenir l'intégrale curviligne en faisant la
somme des intégrales prises le long des contours triangulaires

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ÉLECTROMAGNÉnSME 133

limitant ces éléments; par conséquent, puisque chaque inté-
grale triangulaire est donnée par Tégalité précédente, nous
avons pour rintégrale curviligne prise le long du contour C,

/(^+f..+,*)=y[,(i-a)+»(è-i)

+"(g-i)]-.

rintégrale du second membre étant étendue à Faire limitée par
la courbe C.

118. Relations de Maxwell. —Remplaçons dansTéqua*
tion (2) l'intégrale curviligne par la valeur que nous venons
de trouver, nous obtenons

/['(i-f)+"fê-â)+»(i-i)]--

= 47C j{lu + wt? -j- nto) dtû.

Cette égalité devant avoir lieu quelle que soit la aurface d'inté-
gration et par conséquent quels que soient l, w, n, il vient

"~ 47r \c/y dz/
An \dz dx)

A-K \dœ dy)

Ces formules, établies par Maxwell, lient les composantes
w, t?, to de l'intensité du courant aux composantes a, p. y

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134 ÉLECTRrciTÉ ET OPTIQUE

de la force électromagnétique. Faisons observer qu*elle8
s'appliquent aux courants de déplacement aussi bien qu'aux
courants de conduction, les couranis de déplacement étant
supposés obéir aux lois d'Ampère.

119. Action d'un pôle sur un élément de courant. —

Puisque dans la théorie de Maxwell tout courant est un cou-
rant fermé, l'assimilation d'un courant fermé à un feuillet
magnétique permet de déterminer l'action exercée par un
isystème quelconque de courants sur un système d'aimants.
Par l'application du principe de l'égalité de l'action et de la
réaction on en déduit immédiatement l'action qu'exerce un
système d'aimants sur un système de courants. Le problème
de la détermination des actions réciproques qui ont lieu entre
les courants et les aimants se trouve donc complètement
résolu. Mais nous pouvons envisager l'action exercée par un
pôle d'aimant sur un courant fermé comme la résultante des
actions exercées par le pôle sur les différents éléments du
circuit parcouru par le courant. Nous sommes donc conduits
à chercher Texpression de ces actions élémentaires.

120. Considérons le système formé par un pôle d'aimant
égal à l'unité et un circuit parcouru par un courant d'inten-
sité i. Si f est l'angle solide sous lequel le circuit est vu du
point P où se trouve placé le pôle, les composantes de la
force qu'exerce le courant sur ce pôle sont

d<f d^ dj

dœ dy dz

Les composantes de la force exercée par le pôle sur le courant
étant égales et de signes contraires à ces quantités, le travail

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ÉLBGTR0MA6NÉT1SME

135

de celte force pour un déplacement infiniment petit du circoit
sera c^, c'est-à-dire la variation de l'angle solide sous lequel
le circuit est vu du point P.

Cela posé prenons un circuit AHB dont un élément AB
{fig, 25) peut se mouvoir suivant sa propre
direction. Si nous donnons à AB un dé-
placement suivant cette direction Tangle
solide sous lequel le circuit est vu du
point P ne varie pas. Le travail de la force
électromagnétique dans ce déplacement
est donc nul et par suite cette force n*a
pas de composante suivant AB : t action élémentaire est nor^
maie à Vêlement,

121. Pour avoir l'expression de cette force et déterminer
complètement sa direction, évaluons de deux manières diffé-
rentes le travail qu'elle accomplit quand l'élément AB du cir-
cuit AMB {fig, 26) passe de la po-
sition AB à la position AB'. Il faut
supposer qu'il y a un fil métalli-
que, dirigé suivant BB' et son
prolongement, et sur laquelle la
partie mobile AB du circuit glisse
en s'appuyant constamment.

Ce travail est égal à l'angle so-
lide dt^ sous lequel le triangle
ABB' est. vu du pôle P. Les di-
mensions de ce triangle étant
infiniment petites par rapport aux longueurs des droites PA,
PB, PB',nous pouvons regarder ces droites comme égales

Fig. 2«.'

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136 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

entre elles ; autrement dit nous pouvons confondre la surface
du triangle avec la surface découpée dans la sphère de rayon
PA = r par Tangle trièdre P. La surface du triangle ABB' est
donc rf«pH et le volume du tétraèdre PABB' est

Mais on peut évaluer le volume de ce tétraèdre d'une autre
manière en prenant pour base le triangle FAB. Si nous dési-
gnons par F Tangle BPA sous lequel Télément de courant est
vu du point F et par h la projection de BB' sur une normale
au plan PABnous avons pour le volume du tétraèdre

2 3

et en égalant les deux expressions trouvées par ce volume,

(1) d,=\\-

Tel est le travail de la force f qui s'exerce sur Télément AB.
Nous en aurons une autre expression en écrivant qu'il est
égal au produit de la force par la projection sur la direction
de la force du chemin parcouru par le point d'application. Si
nous admettons que la force est appliquée au milieu C de l'é-
lément, le chemin décrit par le point d'application est CC',qui
est la moitié de BB'. En appelant h' la projection de BB* sur
la direction de la force f, le travail de cette force est

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ÉLEGTROMAGNÉTISME 137

et puisqu*il est déjà donné par la relation (1) nou8 avons

' r

p
Celte égalité est satisfaite si h =A' et si ^= - ; mais h=i h'

exprime que la force est normale au plan PAB. Par conséquent
la force exercée par un pôle cC aimant sur un élément de
courant est normale au plan passant par le pôle et par Vête-
ment. Sa valeur pour un pôle magnétique de masse m et pour
une intensité i du courant traversant Télément est

f^Vlil.

Comme Tangue P dépend de r et varie en raison inverse de
cette quantité, l'action élémentaire/* varie en raison inverse du
carré de la distance du pôle à Téiément.

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CHAPITRE VIII

ÉLECTRODYNAMIQUE

122. TraTail éleotrodynamique. — Nous admettrons
que deux circuits parcourus par des courants d'intensité i et
t" étant en présence, le travail des forces agissant sur l'un
d'eux, lorsqu'il se déplace par rapporta l'autre, est donné par
un certain potentiel T proportionnel aux intensités i et T et
ne dépendant, quand i et t' restent constants, que de la forme
et de la position relative des deux circuits. Cette hypothèse se
trouve vérifiée expérimentalement par les conséquences qui
s'en déduisent.

128. Solénoldes. — Partageons une

courbe AB{fig. 27) en une infinité d'arcs

égaux ab de longueur infiniment petite S

et par les milieux de ces arcs menons les

plans C normaux à la courbe. Dans chacun

de ces plans traçons des courbes fermées

égales, d'aire chit et contenant le point

d'intersection de leur plan avec la courbe

AB. Si nous supposons chacune de ces courbes parcourues

dans le même sens par des courants de même intensité t, ce

système de courants porte le nom de solénoide.

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ÉLEGTRODTNAMIQUE 139

Chacun des courants qui composent le solénoïde est équi-
valent, au point de vue de l'action exercée sur un pôle d'ai-
mant, à un feuillet magnétique de même contour et de puis-
sance t. Si nous prenons pour épaisseur de ces feuillets la
longueur $ des arcs élémentaires, les quantités de magnétisme

que possède chacune de leurs faces seront -{-r dta et — ^ ^ ;
les faces en contact de deux feuillets consécutifs possèdent
donc des masses magnétiques égales et de signes contraires
et leur ensemble n'a aucune action sur un point extérieur.
Par conséquent l'action du solénoïde se réduit à celles de deux

8 8

masses magnétiques '\-- cUoei — ", dta situées aux extrémités

de AB. Ce sont les pôles du solénoïde.

Si la courbe AB est limitée, le solénoïde a deux pôles égaux
et de noms contraires ; si la courbe AB a une de ses extré-
mités à l'infini le pôle correspondant du solénoïde est rejeté
à l'infini et l'action du solénoïde se réduit à celle de l'autre
pôle ; enfin si la courbe AB est fermée le solénoïde n'a plus
de pôles.

124. Solénoldes et courants. — L'expérience montre
que l'action d'un solénoïde fermé
sur un courant e^t nulle. De ce ^^----— --^

fait expérimental il est facile de a^^ ^\

déduire que l'action d'un solé-
noïde ouvert ne dépend que de
la position de ses pôles.

Soient T le potentiel relatif p. ^

à l'action exercée par un solé-
noïde AC3 (Jîç. 2S) sur un courant se déplaçant dans son

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140 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

voisinage et T' le potentiel relatif à l'action d'un second so-
iénoïde BDA choisi de manière à former avec le premier un
solénoïde fermé ; nous aurons pour le potentiel de Tensem-
ble de ces deux solénoïdes

T + r = o.

Cette égalité est satisfaite tant que le solénoïde ACBDA reste
fermé quelles que soient les déformations que nous fassions
Subir aux portions qui le composent. Si en particulier nous
ne déformons que le solénoïde ACB le potentiel de BDA con-
serve la même valeur T' et, à cause de l'égalité précédente,
T ne varie pas. Le potentiel d*un solénoïde ACB conserve
donc la même valeur quand ses pôles A et B restent dans les
mêmes positions ; en d'autres termes le potentiel ne dépend
que de la position des pôles du solénoïde.

125. Le raisonnement précédent subsiste encore lorsque
l'un des pôles, B par exemple, du solénoïde ACB est rejeté à
l'infini, car il suffit pour obtenir un solénoïde fermé d'y ad-
joindre un second solénoïde dont le pôle de nom contraire à
B est également rejeté à Tinfini. Mais dans ces conditions l'ac-
tion du solénoïde ACB se réduit à celle du pôle A; le poten-
tiel d'un pôle de solénoïde dépend donc uniquement de sa po-
sition par rapport aux courants qui agissent sur lui.

126. Faisons observer qu'au début de rélectromagnétisme
nous avons admis que le potentiel d'un pôle magnétique sou-
mis à l'action de courants fermés ne dépendait que de la po-
sition du pôle par rapport aux coursuits ; et c'est sur cette
seule hypothèse qu'ont reposé tous nos raisonnements. Puis-

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ÉLBCTRODYN AMIQUE 1 41

qu'il en est de même pour le potentiel d*un pôle de solénoïde
soumis à raction de courants fermés, nous démontrerions delà
même manière que dans ce nouveau cas le potentiel est encore
de la même forme. Le potentiel électrodynamique d'un pôle
de solénoïde sera donc proportionnel à Tangle solide (p sous
lequel on voit de ce pôle les faces positives des courants qui

agissent sur lui, et à la masse magnétique ± — r- équiva-

lente au pôle du solénoïde dans les actions électromagnétiques.
Comme d'autre part nous avons admis (121) que le potentiel
d'un courant qui se déplace en présence d'un autre courant
d'intensité r est proportionnel à H nous aurons pour le poten-
tiel d'un pôle de solénoïde soumis à l'action d'un seul courant

T =±a-j-^.

Des expériences précises ont montré que le coefficient a est
égal à l'unité quand les intensités sont exprimées en unités
électromagnétiques ; nous avons donc

. , , ^ or THfc' ^

T = ±:— i'» (nNIVKRSITY,

£AUFORNlA:,

c'est-à-dire que l'action électrodynamique qui s'exerce entre
un pôle de solénoïde et un courant est égale à l'action électro-
magnétique qui a lieu entre ce courant et une masse magné-
tique dz -r- dont le signe est déterminé par le sens du cou-
rant dans le pôle solénoïdal.

127. Lorsque le solénoïde a deux pôles A et 6 {fig, 29) on
peut) sans changer son action, lui ajouter un solénoïde BG

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^^2 ÉLECTRiaTÉ ET OPTIQUE

s'étendant àTinfinidans une direction C et parcouru par deux
courants de sens inverses d'intensité égale à
celle du courant qui parcourt AB. L'ensemble
de ces trois solénoïdes peut être considéré
comme deux solénoïdes infinis dont l'un a
son pôle en A, l'autre, son pôle en B et dans
lesquels circulent des courants de mime in-
tensité et de sens contraires. Ces deux pôles
équivalent à deux masses magnétiques égales
et de signes coniraires de sorte que le solé-
noïde fini AB est assimilable à un aimant

uniforme de même longueur.

Fig. 29.

128. Potentiel éleotrodynamique d'un oourant infi-
niment petit. — Un courant infiniment petit peut être con-
sidéré comme un élément de solénoïde de longueur S. Si donc
sa surface est dtù et son intensité t\ il peut être assimilé à

deux masses magnétiques 4- -r- et r- placées en A et B

à une distance S Tune de l'autre.

Appelons û le potentiel de l'action
qu'exerce le système des courants fixes
sur l'unité de magnétisme positif pla-
cée au point k {fig. 30). Au point B,
infiniment voisin de A le potentiel sera
û -f- C3^. Par conséquent le potentiel
des deux masses magnétiques qui rem-
placent le courant infiniment petit a pour expression

5--^

Fig. 30.

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ÉLEGTRODYNAMIQDE i43

En désignant par x, y, z les coordonnées du point A, il
vient'

dœ ^ dy ^ ~ dz

on encore

rfÛ = -^ (acte -f- prfy 4. ^dz).

a, p, T étant les composantes de la force qu'exerce le sys-
tème de courants fixes sur Tunité de pôle magnétique situé
en A.

Si nous appelons /, w, n les cosinus directeurs de la direc-
tion AB de la normale au plan du courant infiniment petite
les quantités dx^ dy^ dz ont pour valeurs

dx = Z8, dy= m8, dz = nB,

et l'expression de d£k peut se mettre sous la forme
dû r= — (a/ + pm + yn) 8.
On a alors pour le potentiel du courant infiniment petit,

— ûto îyî = t (a/ -f pm + ^n) dtD,

c'est-à-dire que le potentiel cFun courant élémentaire est égal
au produit de son intensité par le flux de force qui pénètre
par sa face positive.

120. Potentiel éleotrodynamique d'un courant
fermé. — Dans le cas où l'on a un système de courants fixes
agissant sur un courant fini mobile on peut décomposer le
courant mobile en une infinité de courants élémentaires de

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144 ÉLECTRICITÉ BT OPTIQUE

même inlensité et circulant dans le même sens. Le potentiel
du courant ainsi décomposé est égal à la somme des potentiels
des courants élémentaires ; il est donc

(1) T = if{oLl'\^pm + yn)dio

rintégrale étant étendue à toute la surface d'une aire courbe
ou plane quelconque limitée par le courant mobile.

130. Autre expression du potentiel d'un courant. —

L'intégrale précédente étendue à une surface peut être rem-
placée par une intégrale curviligne prise le long du circuit
traversé parle courant. C'est la transformation inverse & celle
que nous avons employée au § 117. En se reportant à ce que
nous avons dit à cet endroit il est facile de voir que l'intégrale

(2) T = if{¥dœ + Gdy + Edz)

prise le long du circuit mobile est égale à '
/ / L Wy ^^/ W^ dxj^ \dœ dy/J

diù

étendue à une surface limitée par le même circuit. Si donc
on veut que l'intégrale (2) représente le potentiel, donné par
l'intégrale (1), d'un courant fermé, il faut qu'on ait

dy dz

(3) ( 6=2^ — Sïi

^ ^ ^ ^ dz dx

_dG_dF
^ dx dy

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ÉLEGTRODYNAMIQUE m

Les quantités F, G, H ainsi introduites sont appelées par
Maxwell les composantes du moment électro-magnétique (le
mot moment est pris dans le sens de quantité de mouvement),

131. Cas d'un courant se déplaçant dans un milieu
magnétique. — Jusqu'ici nous avons implicitement supposé
que s'il existe des aimants en présence du courant mobile,
celui-ci ne les traverse pas. Examinons le cas où le courant
mobile se déplace dans un milieu magnétique.

Il peut y avoir indécision sur le choix des quantités à
prendre pour les composantes a, p, y de la force qui s'exerce
sur l'unité de pôle. Nous avons vu, en effet, à propos des
aimants, que la force qui agit sur un pôle placé à l'intérieur
d'une cavité creusée dans un milieu magnétique dépendait
de la forme de la cavité, et parmi les valeurs qu'elle peut
prendre nous en avons considéré deux : Tune {la force magné-
tique) ayant pour composantes

dû ^ dQ rfû.

^=-5^' P^"V ^^^di'

l'autre [Vinduction magnétique) de composantes

a = a + 47rA, ^ = P +• 4itB, c = y + 4icC

û désignant le potentiel de l'aimant et A, B, G les composantes
de la magnétisation au point considéré.

Mais la forme des équations (3) permet de lever facilement
l'indétermination et montre qu'il faut y introduire les com-
posantes de l'induction magnétique. £n effet, en prenant les
dérivées des deux membres de chacune d'elles respectivement

ÉLBCTaiCITÉ BT OPTIQDB. tO

Digitizp

146 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

par rapport h œ^ y, z^ on obtient

dx ^ dy ^ dz

Or nous avons vu que cette condition n'est pas satisfaite
par les composantes de la force magnétique dans le cas d'un
point intérieur aux masses magnétiques tandis qu'elle l'est
toujours pour les composantes de l'induction. C'est donc
ces dernières qu'il faut introduire dans les formules ; celles-ci
deviennent

(*)

182., Une indétermination du même genre a lieu pour les
formules du § 118 qui donnent les composantes Uy v^ w de la
vitesse d'un courant en fonction de %, p, y, mais il est facile
de la lever en montrant que dans ce cas on ne doit pas prendre
les composantes de l'induction.

En effet, plaçons-nous dans le cas particulier où le circuit
mobile n'est traversé par aucun courant ; nous aurons alors
u = o = U7 = o. Si donc on prenait les composantes de l'in-
duction il viendrait

de db ^ ^ db da

dy dz^ ^ dz ûte"~' dx dy'^ *

conditions qui ne sont pas satisfaites en général. Nous ne
pouvons donc prendre les comi[)osante8 de l'induction et nous

-dy-

rfG
" dx

dP
- dx'

_rfH
dx

_dG_
dx

dP
~dy

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ÉLECTRODYNAMIQUE 147

devons conserver les composantes a, p, y de la force magné-
Uque. Nous nous contenterons de ce double aperçu, en
l'absence d'une théorie plus satisfaisante.

188. Détermination des composantes du moment
électromagnétique. — Abandonnons le cas où le courant
mobile se meut dans un milieu magnétique et cherchons les
composantes P, G, H du moment magnétique.

Les trois équations différentielles (3) ne suffisent pas pour
déterminer ces quantités car il est facile de voir que si P, G, H
est une solution de ces équations, le groupe de valeurs

où X est une fonction quelconque des coordonnées est égale-
ment une solution du système. En effet, le second membre
de la première des équations devient quand on substitue à
F, G, H les valeurs précédentes,

rfy(^+5^)""rf^(®+^)='^

da_

d'A

m rf»3f

dydx

dz dydz

cOI dG
dy dz

et le dernier membre de celle suite d'égalités est égal à a puis
que, par hypothèse, F, G, H forment une solution du système.
On verrait par un calcul semblable que les deux autres équa-
tions sont également satisfaites.

184. Pour déterminer les composantes P, G, H nous devons
donc leur îmopser la condition de satisfaire à une nouveUe

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148 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

équation. Maxwell prend pour cette équation de condition,

En tenant compte de cette relation il est possible de trouver
entre les composantes u, t?, t^ de la vitesse du courant et les
composantes F, G, H du moment magnétique trois relations
qui nous permettront d'obtenir les valeurs de ces dernières
quantités. Nous avons, d'après les formules du § 118 et les
formules (3) du § 130.

df rffi d^G 6PF d^F

d^n

dy dz dxdy dy^ dz^ "^ dœdz

ou, en ajoutant et retranchant au second membre la quantité

ePF

-^ et groupant les termes d'une manière convenable

dœ^ "** dœdy ""^ dxdz da? dy^ dz^
ou enfin

(6) 4«. = ^-AP.

Si on suppose que Téquation (5) est toiyours satisfaite, c*est-
à-dire qu'elle est une identité, les dérivées partielles de J
sont nulles et la relation (6) se réduit à

AF -f- ^ww = o.

Cette équation étant analogue à l'équation de Poisson,
F peut être considéré comme le potentiel d'une matière atti-
rante de densité m. D'après ce que nous savons sur la forme

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ÉLEGTRODYNAMIQUE 1 49

(lu potentiel qui satisfait à une telle équation nous pouvons
poser immédiatement

=/"-

l'intégrale étant étendue à tous les éléments (fr de l'espace
tout entier ; u est la valeur de la première composante du
courant au centre de gravité de l'élément dr et r est la dis-
tance de cet élément au point a?, y, z.
Nous obtiendrons par des calculs analogues

G=ArfT. H= C^dr.

Ces valeurs de F, G, H satisfont nécessairement aux équa-
tions différentielles (3) ; montrons queTéquation de condition
(5) est également satisfaite et pour cela cherchons les déri-
vées partielles de F, G, H qui y entrent.

135. Donnons à un point de coordonnées a?, y, z un dépla-
cement parallèle à Taxe des x et de grandeur dx; la distance
de ce point aux différents éléments de la matière attirante fic-
tive de densité u croît de dr et le potentiel F au point consi-

déré augmente de --r dx. Mais supposons qu'au lieu de dé-
placer le point attiré x^ y, z^ comme nous venons de le faire
en laissant fixe la matière attirante, nous donnions aux di-
vers points de la matière attirante un déplacement égal à — dx,
en laissant fixe le point a?, y, z^ cela reviendra absolument
au même. L'accroissement dr de la distance du point attiré au
point attirant sera évidemment le môme, si l'on donne au point

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150 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

attiré un déplacement quelconque, ou si c'est le point attiré
qui subit un déplacement parallèle égal et de sens contraire.
Gela revient à supposer que la densité u au centre de gravité

de l'élément devient après le déplacement, m -}- ^ cte. Nous
avons donc

J "

la première intégrale étant étendue à tout le volume occupé
par la matière attirante après le déplacement, la seconde au
volume occupé avant le déplacement. Or ces deux champs
d'intégration sont les mêmes puisque tous deux comprennent
Tespace tout entier ; par conséquent, nous avons simplement

d'où

dP
dx

rdx '•

Nous obtiendrions des expressions analogues pour les diffé-
rentielles partielles de G par rapport à y et de H par rapport
kz ; leur addition donne

j^dF dG ^^

dz'~ J r \cla) "^ dy ' dz)

Tous les éléments de cette dernière intégrale sont nuls
puisque, pour Maxwell, l'électricité est incompressible et

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ÉLEGTRODYNAMIQUE 151

qae Téquation qui exprime cette incompressibilité est

dx"^ dy~^ dz
L'équation de condition (5) est donc satisfaite.

136. Revenons au cas où le milieu étant magnétique, les
composantes F, 6, H du moment électromagnétique sont
liées à celles de Tbiduction par les équations (4). Il est facile
de s'assurer que ces équations et l'équation de condition (5)
seront satisfaites si l'on prend pour F, 6, H le produit des
valeurs trouvées par le coefGcient de perméabilité magné-
tique (A du milieu ; nous avons donc

= IL j ^dt, G = IL j ^dx, H = JA / ^ c/t.

137. Valeurs de F, Qy H pour un courant linéaire. —

Plaçons-nous dans le cas particulier où en présence du cou-
rant mobile il n'y a qu'un seul courant dont le circuit est
formé par un fil de faible section efo. L'intensité de ce dernier

courant étant désignée par i, la vitesse de l'électricité est j- et

la direction de cette vitesse est celle de la tangente au cir-
cuit menée dans le sens du courant. Les cosinus directeurs de

cette tangente sont — > ^> -— (en appelant ds l'élément d*arc

du circuit), de sorte que l'on a pour les composantes u, v^ to
de la vitesse de l'électricité

♦ dce i dy i dz

dfs ds dfs ds de ds

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152 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

OU, puisque chds = rfr,

(7) « =

idœ

rfT'

t? =

W =

Par conséquent la composante F du moment magnétique
en un point de l'espace peut s'écrire

et nous avons pour les trois composantes

(8) P=»-Jt' ^ = 'f^^ "^'/^''

138. Formule de Neumann. — Soit G {fig, 34) un cir-
cuit fixe parcouru par un courant d'intensité t, et G' un circuit
mobile parcouru par un courant d'intensité t". Le potentiel
électrodynamique T du courant G' par rapport au courant G
a pour valeur,

T == r f{¥dx'^Gdy' -f- Hàz").

Dans cette expression F, G, H sont relatives au circuit G

puisque ce circuit est seul en
présence du circuit mobile ; si
jdé donc nous supposons que ce
circuit est formé d'un 61 de fai-
ble section, F, G, H sont don-
nées par les expressions (8)
trouvées précédemment et dans
lesquelles r est la distance du
milieu de l'élément ds au milieu de l'élément ds\ En portant

Klg. 31.

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ÉLEGTRODYNÂMIQUE 153

ces valeurs dans Texpression de T nous obtenons
-, .^ / . / dœ dœ -f- dy dy -f- dz dz'

"V J

et, en appelant s Tangle des deux éléments ds et ds\

(9)

m '"il ûfe^' COSe

Telle est la forme donnée par Neumann au potentiel électro-
dynamique d'un courant par rapport à un autre.

La symétrie de cette formule par rapport à i et f, kds et
ds montre que le potentiel électrodynamique de G' par rap-
port à G est égal au potentiel électrodynamique de G par
rapport à G'.

189. Nouvelle expression du potentiel électrodyna-
mique d'un courant. — La formule

T = tf(Fdx+ Gdy + Hdz)

peut facilement se mettre sous une autre forme qui nous sera
utile dans ce qui va suivre.
Des valeurs (7) établies au g 137 on tire immédiatement

idx = tuhj tdy = vdx, xdz = wdr,

et en portant ces valeurs dans Texpression de T, il vient

(10) T = APw-f Gt? + Hm?) c?t.

rintégrale étant étendue à l'espace occupé par la matière
conductrice qui constitue le circuit mobile.

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154 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

140. Potentiel électrodynamique d'un courant par
rapport A lui-même. — On peut par la pensée décomposer
un circuit traversé par un courant en une infinité de circuits
de section infiniment petite. Ghsicun des courants ainsi obte-
nus possède par rapport aux autres un potentiel électrody-
namique ; la somme de ces potentiels est ce qpi'on appelle le
potentiel du courant par rapport à lui-même. Cherchons l'ex-
pression de ce potentiel.

Soient w, v, to les composantes de la vitesse de l'électricité
en un point du circuit, F, G, H les composantes du moment
électromagnétique en ce même point, et T le potentiel du
courant par rapport à lui-même. Si nous donnons à, u, v, w^
les accroissements rfw, c?t?, cîm?, ces quantités F, G, H, et T
prendront respectivement les accroissements dF, dG, <ffl et
cTT. Le courant qui circule alors dans le circuit peut être
considéré comme résultant de la superposition du courant
primitif et du courant provenant de l'accroissement donné à
la vitesse de l'électricité ; nous appellerons ce dernier, courant
supplémentaire. L'accroissement cTT du potentiel peut donc
être regardé comme égal à la somme du potentiel du courant
ancien par rapport au courant supplémentaire et du potentiel
du courant supplémentaire par rapport à lui-même. Le poten-
tiel du courant primitif par rapport au courant supplémen-
taire est, d'après l'expression (10) du potentiel d'un courant

C{udF -{- vd(j -f o^rfH) rfr.

Quant au potentiel du courant supplémentaire par rapport à
lui-même ce sera une quantité infiniment petite du second

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ÉLEGTRODYNÀMIQUB 155

ordre et on pourra le négliger ; on a donc

dT =J{ud¥ + rc» + wdS) dx.

Mais on peut considérer dT comme étant égal au potentiel
du courant supplémentaire par rapport au courant primitif
augmenté du potentiel du courant supplémentaire par rap-
port à lui-même. En négligeant ce dernier, il vient

dT =f{Ydu -}- Gdv -f Rdw) dr,

et en additionnant les deux valeurs de dT puis divisant par 2,

dT = |/(F^M + udF + Gdv -f t?^ -|- Edw + icdH) du.

rfT = I dji^u + Gt? -f Htt?) rfr,

L'intégration donne pour la valeur du potentiel du courant
par rapport à lui-même

(H) T = |y*(Fw + Gr + H«?) dx.

141. Remarquons que le raisonnement qui nous a conduit
à cette expression s'applique tout aussi bien au cas d'un sys-
tème de plusieurs courants qu'à celui d'un courant unique.
Cette expression représente donc d'une manière générale le
potentiel électrodynamique d'un système de courants par rap-
port à lui-même. Il faut alors étendre l'intégration à tout le
volume occupé par les conducteurs matériels du système, ou
bien encore à l'espace tout entier, ce qui revient au même

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156 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

puisque le système est supposé n'être en présence d*aucQn
autre système de courants.

142. Expressions diverses du potentiel d'un sys-
tème de courants par rapport à lui-mèmé. — Nous
avons établi au § 134 que la composante F du moment élec-
tromagnétique en un point de l'espace est donnée par la for-
mule

p= r^

r étant la distance du point considéré à Télément de volume
c?t' pour lequel la composante de la vitesse est u\ Au point de
Tespace occupé par un élément de volume d'z d'un système de
courants les composantes du moment électromagnétique rela-
tif au système lui-même seront donc

^=Ç^J±, G=f^^, H=f^. •

En portant ces valeurs dans Texpression (10) du potentiel
électrodynamique du système par rapport à lui-môme il vient

■^ = 2

. Chacune des intégrales doubles du second membre de cette
égalité doit être étendue à toutes les combinaisons possibles
de deux éléments dx et dr. Ces éléments appartenant au
même système de courants, un même élément de volume
joue le rôle de dr et de dt' et chaque intégrale contient deux
fois le même élément différentiel. Si Ton ne prend qu'une

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ÉLECTRODYNAMIQUE 1 57

seule fois chaque élément différentiel il faut, dans Tégalité
précédente, porter le double du résultat obtenu par Tintégra-
tion ainsi conduite. Le "facteur - disparaît donc et on a la
formule

(12) T = r TîîîiliEElilifE rf, d.'.

143, Dans l'expression (il) du travail électrodynamique,
nous pouvons remplacer w, t?, to par leurs valeurs:

"~ Ait \dy dzj

Ait \dz dx)

^ ~" 47C \dx dy) '
. nous obtenons

-= hf[^ (^.-S)+«(l-S+H(i-l)>-

Considérons l'intégrale

'î-'--

en intégrant par parties, il vient

m étant le cosinus de Taxe des y avec la normale à

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itt ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

cUû de la surface qui limite le volume d^intégratioo. Si, comme
nous en avons le droit, nous étendons les intégrales triples à
l'espace tout entier, les composantes cl, p, y> ^^ ^^ ^^'^^ V^
s'exerce sur un point de la snrtefie limitant le volume sont
nulles, puisque le point est rejeté à Iliifini. Les éléments de
rintégrale double sont donc nuls et l'intégrale elle-même est
égale à zéro. Nous avons donc simplement

En effectuant une transformation analogue pour les autres
intégrales de l'expression précédente de T et portant les va-
leurs obtenues dans cette expression > on obtient

144. Cette nouvelle forme du potentiel peut être simpli-
fiée en tenant compte des groupes d'équation (3) et (4) qui
donnent les valeurs des différences des dérivées partielles de
F, G, H, dans le cas où le système de courants est dans un mi-
lieu non magnétique et dans le cas où il est au contraire
dans un milieu magnétique. Nous avons dans le premier cas

et dans le second

^=^/(»* + ^* + ^i''''-

k.-

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ÉLEGTRODYNAMIQUfi 159

145. Cas d'un système de conducteurs linéaires. —
Quand les circuits qui composent le système sont linéaires le
potentiel électrodjmamique du système par rapport à lui-
même peut se mettre sous la forme qu'a donnée Neumann au
potentiel de deux systèmes de courants linéaires l'un par
rapporta l'autre. En effet, d'après les formules (7) et (8) éta-
blies au § 137 les composantes de la vitesse de l'électricité en
un point sont

idœ idy idz

OT ax ox

et les composantes du moment électromagnétique au même
point sont

p=.^r^. G=i'Ç^, h=»Yt-'-

£n portant ces diverses valeurs dans l'expression (9) elle
devient

■î'//

dœdaf -f" ^ydr/ -f- dzdz'

ou, en appelant t l'angle formé par deux éléments quelconques
du système de courants,

1 .- / / dsds' cos»

146. Cas d'un système de deux courants linéaire

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160 ÉLEGTRiaTÉ ET OPTIQUE

Appelons C^ et C, ces deux courants et affectons les quanti-
tés qui entrent dans nos formules des indices i oii 2 suivant
qu'elles se rapportent au courant C^ ou au courant Cj. Nous
avons pour les composantes du moment électromagnétique
en un point

c^ c^

ce sont donc des fonctions linéaires et homogènes des inten-
sités i^ et i^ des deux courants.

Le potentiel électrodynamique de ce système de courants
par rapport à lui-même est donné par la formule (il)

T = \f{Pti + Gte -f Hwj) dx

Or, en un point du premier circuit on a
fidr = i^dœ^ , vdx = i^dy^ , todr = i^dz^ ,

et en un point du second

udt = tjctea, vd'c = i^dy^^ todt = i^djr^.

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ÊLEGTRODYNAMIQUE 161

Par conséquent Tintégrale (9) donne
'=1 / {Fdœ,+Gdt/,+Edz,)^'^ j (Fcto,-fGrfy,+Hû?^3).

T est donc une fonction linéaire et homogène par rapport à
i^ et t^ et par rapport à F,G,H. Mais nous venons de voir que
ces dernières quantités sont homogènes et du premier degré
en 2| et i^; par conséquent T est une fonction homogène
et du second degré en i^ et t^, et nous pouvons écrire

' Les quantités L, M, N ne dépendent évidemment que de la
forme et de la position relative des deux courants C| et G^.
Il est d'ailleurs facile de voir leur signification. En effet M
étant le coefficient de t| tj dans la valeur de T,M estégalàTin-
tégrale

dœ^ dx^ -|- dy^ dy^ -f~ ^^h ^^i

prise le long d'un des circuits ; c'est donc le potentiel électro-
dynamique de l'un des courants par rapport à l'autre. On
constaterait aussi simplement que L est le potentiel du
courant G| supposé seul par rapport à lui-môme et que N est
le potentiel de G^ supposé seul par rapport à lui-même.

^ Oï- THE

UNIVERSITT;

élbctkicitA et optique.

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CHAPITRE IX

INDUCTION

147. Forces èlectromotrices d'induction. — Dans
l'étude de rélectromagnétisme et de rélectrodynamique nous
avons implicitement supposé que les intensités des courants
restaient constantes. Or on sait que, lorsqu'il y a déplacement
relatif de courants ou de courants et d'aimants, il se produit
des phénomènes particuliers connus sous le nom de phénch
mènes dinducUon et dont la découverte est due à Faraday.
Ces phénomènes se manifestent dans les circuits par la pro-
duction de courants temporaires dont les intensités s'ajoutent
à Tintensité du courant primitif et qui peuvent être attribués
à des forces électromotrices que l'on nomme forces électro-
motrices cCinduction,

D3S expériences faites sur l'induction, il résulte que si les
intensités t^ et i^ de deux courants fixes G| et G, subissent
dans l'intervalle de temps dl des accroissements di^ et di^^ les
forces électromotrices d'induction développées dans les cir-
cuits sont, pour le circuit C^,

di^ I B^
^dt ^^ dt

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INDUCTION 163

et pour le circuit G,,

148. Cherchons l'expression de la force électromotrice
résultant du déplacement de circuits traversés par des cou-
rants d'intensités constantes.

Prenons d'abord le cas où un seul des circuits se déplace de
G en G'. L'expérience prouve que tout se passe comme si le cou-
rant G était supprimé et qu'en G' soit créé un nouveau courant
de même intensité. Or, d'après ce que nous avons dit dans le
paragraphe précédent, à une variation di de l'intensité % du
courant G correspond une force électromotrice d'induction

di
A ^ dans le circuit G. Par conséquent, la suppression du cou-
rant Gy qui équivaut à une diminution % de l'intensité de ce

courant, produit une force électromotrice — -3-; et la création

du courant G' une force électromotrice (A + dk) ^> dK étant

la variation du coefflcient A quand le courant passe de G en G'*
Nous avons donc pour la force électromotrice résultant du
déplacement

Il serait facile de voir que si deux courants G| et G^ sont
en présence les forces électromotrices résultant de leur dé-
placement relatif sont, pour le circuit G^,

. o?A , . (fB

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i64 ÉLECTRICÏTÉ ET OPTIQUE

et pour le circuit C,

.. û?B , . dC
'^-dl + '^W

Dans le cas où les deux courants varient d'intensité
en même temps qu'ils se déplacent les forces électromolrices
d'induction sont, pour chacun dès deux circuits, égales à la
somme des forces électromotrices qui résultent de chaque
genre de variation pris séparément ; on a donc pour le cir-
cuit G|,

k ^ i -D^h \ • ^A. , , dB d .., , ^ . .

et pour l'autre circuit Cj,

149. Détermination des ooefflcients A, B, G. — Les

cofficients qui entrent dans l'expression des forces éleclro-
motrices d'induction peuvent être déterminés par l'application
du principe de la conservation de l'énergie.

Prenons deux circuits dans lesquels les courants d'inten-
sités t| et 1*2 sont fournis par des piles de forces électromo-
trices E| et E3. La quantité d'énergie chimique détruite dans
la pile se transforme en partie en chaleur dans la pile elle-
même tandis que l'autre partie se retrouve sous forme d'éner-
gie voltaïque. L'expérience apprend que la quantité d'énergie
voltaïque produite dans le temps dt est

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INDUCTION 165

.'CetCe énergie voltaïqùe se retrouve sous forme de chaleur
produite dans les conducteurs par lé phénotuène de'Jôûle et
sous forme de travail mécanique résultant du déplacement
des conducteurs. Si R^ et R^ sont les résistances des deux
circuits les quantités de chaleur dégagées sont R^tJ ^^ ^^
R^t'I^fô Quant au travail mécanique fourni par le système il
est égal h la variation cTT du potentiel électrodynamique du
système par rapport à lui-même, ou plus exactement à la
partie de cette variation qui est due au déplacement des cir-
cuits, sans tenir compte de la partie de cette variation due à
Taugmentation des intensités. Ce potentiel a pour expression
dans le cas de deux circuits

T=5[Leî + 2M|-tV-f-Nel]:

. On en .tire,

dT=l [i^dL + ^^i^dhL + tje^].

L'excès de l'énergie voltaïqùe fournie au système pendant
le temps rf^.sqr l'énergie recu.eilUe sous. forme de chaleur et
de travail mécanique pendant le même temps est donc .

V -

(i) E^i^dt + E^i^dt — R^i^dt — R^tldi — cTT.

D'après le principe de la conservation de l'énergie cette
expression doit être nulle dans le cas où le système décrit un
cycle fermé. Si le cycle n'est pas fermé, elle doit être une
difiTérentielle exacte. En exprimant que c'est une différentielle
exacte nous obtiendrons les valeurs de A, B, C.

160. Pour transformer l'expression (1), écrivons les lois

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166 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

d*Ohin pour chacun des circuits en observant que, puisqu'il
y a déplacement des circuits il y a production de forces
électromotrices d*induction ; nous avons

E, + |(Ai,+Bi,) = R,.-„
et

En multipliant les deux membres de ces relations respecti-
vement par i^dt et i^cU^ nous obtenons

E^i^dt — R^i^dt = — i^d (At\ + Bt,),
et

E^i^dt — B,t|rf/ = — i^d (Bt^ -|- Ci^.

Si nous remplaçons les quatre premiers termes de l'expres-
sion [î) parla somme des seconds membres des relations pré-
cédentes, nous avons

(2) '-'ùd{\t^+Bii)^i^d{Bi\+Ct^)--^[i^^d^^

Dans le cas où il n'y aurait ni déplacement ni déformation
des circuits cette expression se réduirait à

Ai^di^ — Bi^di^ — Bi^di^ — Ci^di^

elle serait donc la différentielle exacte de la quantité
(3) -|(Ai7+2BiV, + Ctî).

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INDUCTION 167

Qnand il y a déplacement des circuits la différentielle de
cette quantité est

et pour que Texpression (2) reste la différentielle de la même
quantité (3) il faut qu'il y ait identité entre cette différentielle
et le développement de l'expression (2) qui est

— ki^di^ — Bt\di^ — B^2d^^ — Ci^di^ — i}dk — St^tjcffi — tJ^C

L'identification donne les relations

|rfA = rfA+|rfL,

rfB = 2rfB -f dily

|rfC = rfC + |rfN,

qui se réduisent à

dA = — rfL dB = — rfM c«3 = — rfN

d'où l'on tire en intégrant et en supposant nulle laconstante
d'intégration

A = — L, B = — M, G = — N.

Ainsi les coefficients qui entrent dans l'expression des forces
électromotrices d'induction sont, au signe près, les coeffi-
cients L, M, N de l'expression du potentiel électrodynamique
du 8}rstème de courants. Aussi appelle-t-on souvent coeffi-

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168 ÉLKXTRICrrÉ ET OPTIQUE

cienis d*induction ces derniers ; L el N sont des coefficients
dé self-induction et M le coefficient dinduction mutuelle
des deux courants.

151. Théorie de Max'well. — La théorie de Tinduction
sous la forme que nous venons de lui donner, a été dévelop-
pée pour la première fois par Helmholtz dans son mémoire
sur la Conservation de la force et peu de temps après par sir
W. Thomson ; celle de Maxwell est différente et pluR com-
plète à bien des égards. On peut en effet, par Tapplication des
^nations de Lagrange à Tétude du mouvement des molécules
du fluide impondérable que Maxwell suppose présider à la
manifestation des phénomènes électriques, retrouver les lois
de rinduction et celle de l'Électrodynamique.

152. Dans les chapitres qui précèdent, nous avons été
amenés à conclure que les hypothèses faites par le savant an-
glais n'étaient que provisoires, et que, tout en nous satisfai-
sant mieux que Thypothèse des deux fluides, elles n'avaient
pas, même aux yeux de leur auteur, plus de réalité objective.
Au contraire notis touchons ici, à ce que Je crois, à la vraie
pensée, de Maxwell,

Au début de sa théorie, Maxwell fait les deux hjrpothèses
suivantes :

1® Les coordonnées des molécules du fluide impondé-
rable dépendent des coordonnées des molécules matérielles
des corps soumis aux phénomènes électriques et aussi des
coordonnées des molécules des fluides hypothétiques (électri-
cité positive et électricité négative) de la théorie ordinaire de
rÉIectricité ; mais nous ignorons complètement la loi de cette
dépendance ;

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INDUCTION 169

2** IjC potentiel électrodynamique d'un système de courants
n'est autre que la demi-force vive du fluide de Maxwell; c'est
donc de l'énergie kinétique.

1S3« Pour introduire dans les équations de Lagrange. les
paramètres qui définissent la position d'une molécule du fluide
de Maxwell il faut, par suite de la pren ière hypothèse, con-
naître les paramètres qui définissent la position d'une molé-
cule de nos fluides hypothétiques. Or la position d'une molé-
cule d'électricité A qui parcourt un circuit linéaire G est par-
faitement déterminée si on connaît d'une part, la position du
circuit dans l'espace, et d'autre part, la longueur* de l'arc OA.
compté à partir d'une origine déterminée 0. Par conséquent
si x^J a?2, â?,,... sont les paramètres qui définissent la position
des molécules matérielles qui constituent le circuit, la posi-
tion d'une molécule du fluide im(!>ORdé]^ahle de Maxwell dé-
pend des paramètres s, x^^ œ^^ a?,.

Mais, au lieu de s on peut prendre une fonction de cet arc
6ar la connaissance de cette fonction permettrait de détermi-'
ner * et par suite la position d'une molécule d'électririté siir
le circuit G ; Maxwell prend la quantité

idt

(|ui est, ainsi que nous allons le démontrer, une fonction
de 5.

En efiet la section du conducteur, qui peut être variable
d'un point à un autre, est une fonction <p {s) de l'arc s; la vi-
tesse de l'électricité, quotient de l'intensité par la section du

conducteur est alors —rr et comme cette vitesse a aussi pour

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170 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

valeur —? nous devons avoir
at

d» i_

d'où nous tirons,

fidt=f^[s)ds = ^{s)

9^ étant la position de la molécule d'électricité à Torigine des
temps. Par conséquent, y est une fonction de 9 seulement et
nous pouvons prendre pour les paramètres dont dépend la
position d'une molécule du fluide impondérable de Maxwell
les quantités y, œ^^ œ^y... x^.

154. Application au cas de deux drouits. — Si nous
désignons par i^ et i^ les intensités des courants qui tra-
versent ces circuits et si nous posons

^Ùdt, et y, = fi^dù

la position d'une molécule du fluide impondérable de Maxwell
dépendra des paramètres y^ et y^ et des n paramètres œ^^ a?,»
ofn qui déBnissent la' position des molécules matérielles des
conducteurs. Par conséquent le mouvement du système formé
par les deux courants sera donné par un système de n -f- ^
équations de Lagrange

d dT _ dT r.
didql dqt'^^^'

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INDUCTION 171

OÙ Çi est un quelconque des pai'amètres et Qt le coefficient de
0^/ dans l'expression

du travail correspondant à un déplacement virtuel du sys-
tème.

155. L'énergie kinétique T qui entre dans ces équations
est la somme de la demi-force vive T^ des molécules maté-
rielles du système et de Ténergie kinétique des molécules du
fluide impondérable de Maxwell. Cette dernière étant, d'après
la seconde hypothèse, le potentiel électrodynamique du sys-
tème par rapport à lui-même, nous avons dans le cas consi-
déré où deux courants seulement sont en présence,

T=T,+|(UÎ+2M.V, + N,-|).

Le premier terme T^ de cette somme ne dépend que des déri-
vées œ^f œ^.,.f Xn des paramètres o^^, œ^,,. â?», des molécules
matérielles.

La position des molécules du fluide impondérable dépen-
dant des paramètres y^, y^» ^o ^2*** ^n Tensenlble des
trois derniers termes de la somme précédente pourrait dé-
pendre de ces n -|- 2 paramètres et de leurs dérivées. Mais
L, M, N, ne dépendant que de la forme et de la position rela-
tive des circuits, sont des fonctions de a?,, â?2...â7A seulement ;
de plus t^ et i^ sont, d'après les intégrales qui définissent
t/i et y,, les dérivées t/l eiyi de ces quantités par rapport au
temps. Par conséquent l'énergie kinétique des molécules du

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172 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

fluide impondérable dépend uniquement de a?|, a?^... a:„ et de
yi etyi.

156. Occupons-nous maintenant du sçcond .membre des
équations. Si nous supposons le courant qui parcourt le circuit
G, entretenu par une pile de force électromotrice E|, Ja quan-
tité d'énergie voltaïque qu'elle fournit pendant le temps rf^est
E^^^df• ou E,8y|. Or dans les idées de Maxwell la force électro-
motrice est une force qui agit sur les molécules du fluide im-
pondérable ; par suite E^8y| est un travail résultant du dé-
placement des molécules de ce fluide.

Mais la force électromotrice de la pile n*est pas la seule force
qui agit sur les molécules du fluide impondérable ; il faut en-
core tenir compte de la résistance qu'oppose le milieu au
mouvement de ces molécules et dont le travail se retrouve sous
forme de cbaleur dans le conducteur. La quantité de chaleur
ainsi produite étant, d'après la loi de Joule, R^i}dt, le travail
acccompli par le fluide impondérable est — R^iJcU^ ou
— R^t^Sy^.

" Nous avons donc pour le travail du fluide impondérable
dans le circuit C^ '

et pour Tensenible des deux circuit

(E, - R,t,) Zy, + (E, - Rata) Sy,.

. Quant au travail des molécules matérielles, il ne dépend
que des paramètres a?^, a?2, ... a?;» ; nous le représenterons par

de sorte que nous aurons pour le travail accompli dans un

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INDUCTION 173

déplacement virtuel tant par les molécules du fluide impon-
dérable que par les molécules matérielles

et il nous faudra, dans chacune des équations de Lagrange,
prendre pour second membre le coefficient de l'expression
précédente qui se rapporte au paramètre* considéré.

157. Valeurs des forces électromotrices dlnduction.

— L*équation de Lagrange. relative au paramètre y^ est

Mais T ne dépend pas de y^ puisqu'aucun de ses termes

n'en dépend; par conséquent -r- =r o. On a aussi -j-^ = o

car T4 étant Ténergie kinétique des molécules matérielles il
ne dépend pas de y[. L'équation précédente se réduit donc à

dt
ou

^(Lt, + Mt,) = E,-R,t,

fi4-|(Lt|+Mi,) = R,t,.

La force électromotrice d'induction est donc la dérivée pai*
rapport au temps, changée de signe, de Lt^ + Mij, C'est l'ex-
pression à laquelle noua étions parvenus par la méthode de
Thomson.

En écrivant l'équation de Lagrange relative au second
paramètre y^, nous trouverons pour la force électromotrice

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174 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

développée dans le second circuit

158. TraTail des forces éleotrodynamiques* -— Si

nous prenons une des équations de Lagrange relatives aux
paramètres a^, œ^... 00^9 nous obtiendrons le travail des
forces électrodynamiques pour un déplacement correspon-
dant à Taccroissement Zœt du paramètre considéré.

En effet, en observant que Ltf -f- S Mt^t, -{- Ntj[ ne dépend
pas de la dérivée œl, queT^ ne dépend pas de a?/, et que I4 et
tj ne dépendent ni de œ/ ni de xi nous avons

Si nous supposons en outre qu'à Tinstant considéré le sys-
tème soit au repos, T^ sera nul, et nous aurons pour le travail
résultant d'un déplacement virtuel,

XtZwi = — I («Î^L + 2i>j8M + tJSN).

Hais ce travail est celui des forces extérieures qui agissent
sur les molécules matérielles du système ; celui des forces
électrodynamiques est de signe contraire. Il est donc égal à la
variation de la fonction

J(Liî + 2MiV, + Niî)

qui est, comme cela devait être, le potentiel électrodyna-
mique du système par rapport à lui-même.

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INDUCTION 175

159. Cherchons maintenant le travail des forces électrody-
namiques exercées par le courant G^» supposé fixe, sur le cir-
cuit G^.

Le circuit G3 ne se déformant pas, $N est nul et le travail
des forces électrodynamiques se réduit à

|(tîSL + 2i,i,8M).

Mais le premier terme de cette somme se rapporte à l'ac-
tion que le courant G| exerce sur lui-même. Par conséquent
le travail des forces électrodynamiques dues à Taction du
courant C^ sur le circuit C4 a pour expression t^î^SM. D'ail-
leurs Mt^tj, potentiel électrodynamique du courant G4 par
rapport au courant G, a pour valeur (129)

Mt^ij = ù r (^* + ^P + '^ï) ^^

quand G4 se déplace dans un milieu non magnétique, ou plus
généralement

M14/2 = ii f {la -{- tnb -^nc) âto

quand G| se déplace dans un milieu magnétique en un point
duquel les composantes de Tinduction magnétique sont a, b,c;
nous aurons donc pour le travail des forces électrodynamiques
qui s'exercent entre G^ et Gj

I48 j{la + w*+ ne) diû.

160. Expression des forces électrodynamiques. —

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176 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Si nous désignons par Xo^t, Yg?t, Zât les composantes de la
force électrodynamique due à Faction du courant G^ sur un
élément a?, y, z du circuit C|, le travail de ces forces quand
Télément se déplace de S.'o, 8y, tz sera

{XZœ+Yht/'{'ZZz)dT;

par suite le travail des forces électrodynamiques qui agissent
sur Gf sera, quand le circuit tout entier se déplace ou se
déforme,

y^T (XSa; -t- Y8y + ZSj'},

l'intégration étant prise le long du circuit G|. En égalant
cette expression du travail à celle que nous avons trouvée
précédemment nous obtenons la relation

(1) Jdr {XZx + Y8y + ZZz) = i^tfila -f- m6 -f- ne) cUa,

dont nous allons évaluer le second membre.
Soient G^ (Jîg, 32) la position initiale du circuit G^ et Gj sa
position anale. Nous pouvons par
ces deux positions faire passer
une surface A et prendre pour
champ d'intégration de

/ (te 4" ^f^ + wc) rfto),

Fig. 32.

Taire limitée sur cette surface par
la courbe G^. La variation de cette intégrale quand le circuit
passe de G^ en G4 est alors la valeur de cette même intégrale

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INDUCTION 177

étendue à Faire comprise entre les deux courbe». Pour trouver
cette valeur considérons un élément mn du courant G^ dont
la position après le déplacement est m'n\ La figure mn mfn
peut être considérée comme un parallélogramme dont le côté
mn a pour projections dœ^ dy^ dz et le côté mm\ égal au
déplacement, looy Zt/, Zz; nous avons donc pour les aires des
projections de ce parallélogramme sur les plans de coor-
données

IcUù = lydz — Izdy^

mdiù = Izdœ — Ixdz^

ndiù = Zœdy — hydzj

et, par conséquent,

8 Ç{la'\-mb-\-nc)diûz=zCa(^ydz — lzdy)'\-h{^zdœ'-lxdz)

-f- c [lœdy — lydx
En portant cette valeur dans Tégalité (i) il veut,

r^T (XSâ?+ Y8y +Zaz)=i4 Acdy — Wz) lX'{'{adz—cdx)Zy

{hdx — ady"^ Iz ;
ce qui nous donne en identifiant

\dx = i^ {cdy — hdz\
Ycfc == i| {adz — cdx)y
Zdt = i^ {bdœ — ady).

Mais on sait que

tult = ï^dœ, vdx = i^dyJ todr = t^dzj

par conséquent, les trois équations précédentes peuvent

ÉLICTRICITÉ BT OPTIQUB. 12

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17«

ÉLECTRICITÉ RT OPTIC

&'écrir©

X=zcv — bto

(2)

Y = ato — eu

( Z = 6u — av.

161. Cas d'un nombre quelconque de courant. —
Forces électrodjrnamiques. — Les formules précédentes
8*appliquent au cas où un nombre quelconque de courants
Gj^G,..., Git, agissent sur l'élément considéré du circuit G^. En
effet, appelons a|, 63, c,, a,, 63. .., c« les composantes de l'induc-
tion magnétique duc aux divers courants au point où se trouve
l'élément de G^. La force électrodynamique produite par l'en-
semble des courants est la résultante des forces produites par
cHacun d'eux ; sa composante suivant Taxe des x est donc

Z = Cjt? — bju) + c,t? — b^w -f- ... + Ci»t? — bnfjo^
ou

X = (C3 + C3 + ... + c«) r — (ôj + 6, -f ... + b^) u>

ou, eoQn, en désignant par a, b, c les composantes suivant
les trois axes de la résultant^ des inducti,ons magnétiques
dues aux courants G^, G3... G^

X = cv — bu>.

On peut également tenir compte de la force électrodyna-
mique due au courant C4 lui-même. Pour cela décomposons
ce courant en deux portions, Tune ne comprenant que l'élé-
ment considéré, l'autre, le reste du circuit. On peut négliger
l'action de la première portion sur elle-même et on est alors

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INDUCTION 179

ramené à la recherche de la force électrodynamique due à
l'ensemble de n courants c^, c^, c,... c^. Si donc on appelle
a, àf c les composantes de Tinduction magnétique due à tous
ces courants on a encore pour la composante suivant Taxe
desx

X = c» — bto.

Les formules (â) sont donc générales.

162. Foroes électromotrioes d'induction. — Nous
avons trouvé que, lorsqu'il n'y a qu'un seul courant Cj placé
en présence du courant Gp la force électromotrice totale d'in-
duction développée dans le circuit C| est

Le terme —^ ne dépendant que de l'action du courant C|
sur lui* même, la force électromotrice d'induction due seule-
ment au courant C^ est donnée par —rf^ dérivée que nous
allons mettre sous une autre forme.

La variation BMt^ de la quantité M^, quand le circuit C4 se
déplace et que les intensités des courants varient, peut être
considérée comme la somme de la variation résultant du dé-
placement, les intensités restant constantes et de la variation
due au changement des intensités dans les circuits supposés
fixes. Or nous avons démontré (157) que la variation de
Ui^^\ due au déplacement relatif des deux circuits dans les-
quels les intensités conservent les mêmes valeurs, est

SMi^ij^rii Ça{^ydz^lzdy)'\-h{T^zdas--'lxds)^c{lxdy'-'lydœ) ;

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180 ÉLECTRICITÉ BT OPTIQUE

par conséquent, nous aurons pour la variation correspon-
dente de Mt,, l'intégrale du second membre.

Pour avoir la variation de Mt^ résultant du changement
des intensités prenons M^^^ sous la forme

MtVa = i^jYdx + Gdy + ndz.

Puisque les circuits ne se déforment ni ne se déplacent, le
contour dlntégration reste le même et la variation deMi)
se réduit à

JlFâx-^-lOdy + mâz.

Nous aurons donc pour la variation totale de Hz,

Ja {Zydz — Zzdp) -f b {^dœ — Zxdz) -f- c [Ixdy — lydz]

+ JzFdx^lGdy -f- IRdx

et par suite, pour la force électromotrice d*induction

^^^='-fa{y'dz—z'dy)'{'b{z'dw^z'dz)+c{x'dy-'y'dw)

ou encore

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INDUCTION

181

163. Si nous désignons par P, Q, R les composantes sui-
vant les trois axes de la force électromotrice d*induction par
unité de longueur, la force électromotrice dans le circuit G|
est donnée par l'intégrale

En identifiant avec Texpression précédente de la force élec-
tromotrice noua obtiendrons trois relations dont la première
est

fvdx=j{cy'-bz'-^)dco.

Nous en tirons par différentiation

(1)

mais il est évident que nous pouvons ajouter au second mem-
bre de cette dernière relation la dérivée partielle — -^ d'une

fonction uniforme — ij/, car, en intégrant, l'intégrale rela-
tive à ce terme sera nulle et la relation (1) sera encore satis-
faite. Nous avons donc pour les composantes de la force élec-
tromotrice d'induction par unité de longueur

= c^_jy_^_^

dt dœ

(2)

Q = az' — caf ~-T- — -f-
dt dy

R_. , „,. rfH d^

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18Î ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

164. Montrons maintenant qae ces éqaations sont encore
applicables au cas où un nombre quelconque de courants G,,
G,,... Cj» sont en présence du courant G |.

La force électromotrice dlnduction développée dans G 4 par
Tensemble des n — 1 autres courants est égale à la somme des
forces électromotrices développées par chacun d'eux ; on a
donc pour la composante P,

Or ^cet^ b sont les composantes suivant deux des axes de

l'induction magnétique au point considéré sur G^ ; Vp est la

composante du moment électromagnétique au mémo point;

quant à ^4^ ^'^^^ ^^^ fonction uniforme des coordonnées. Par

conséquent la première des équations du groupe (2) s'applique
au cas d'un nombre quelconque de courants pourvu que l'on
prenne pour b, c, et F les valeurs de ces quantitée dues à l'en-
semble des courants agissants. On verrait de la même ma-
nière que les deux autres équations sont également appli-
cables.

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INDUCTION IK3

165. On ' peot ausgi tenir compte de Faction du courant
Ci sur lui-^inéme. En effet nous pouvons considérer le ' cir-
cuit G| comme fbtmé de deux portions, l*uné se^ réduisant à
rélément de circuit pour lequel on cherche les composantes
de la force électromotrice, l'autre comprenant le reste du cir-
cuit. Cette dernière portion peut être confondue avec le cir-
cuit C| lui-même, de sorte que si Ton néglige Tinduction de
rélément sur lui-même l'induction provient des n circuits C|
Cjv C». Les composantes de la force électromotrice seront
donc données par les formules (2) où a, b, c, F, G, H seront
les valeurs dues à tous les courants.

166. Signifloation de 4/« — La fonction ^ est une fonc-
tion quelconque des coordonnées assujettie à la seule condi-
tion d^étre uniforme. Maxwell admet que c'est le potentiel
électrostatique résultant des masses électriques qui peuvent
exister dans le champ.

Cette hypothèse aurait besoin d*étre vérifiée expérimenta-
lement par la concordance entre les valeurs mesurées des
forces électromotrices d'induction et les valeurs fournies par
les équations (â) où ^ s^ait donnée par l'expérience et les
quantités a, *, c F, G, H par les formules

ô = p + 47cB,

'= f— ' *^= Tt^ ^= f^'

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184 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Toutefois il est toujours permis de prendre pour ^ le po-
tentiel électrostatique car les quantités F, G, H n'ont pu être
déterminées qu*en les supposant liées par Téquation différen-
tielle

et nous sommes libres d'abandonner cette hypothèse. Si
nous n'avions pas introduit cette, hypothèse nous aurions
trouvé pour F, G, R des valeurs de la forme

.=/..

^ dx

X étant une fonction arbitraire des coordonnées et pour les
composantes P, Q, R de la force électromotrice par unité de
longueur

^ M dt r dxdt dx

- , , {dvdt d*/ M

I dt r dydi dy

^ I dt r dzdt dz

Il est donc toujours possible, en choisissant convenablement
la fonction arbitraire -^ de faire en sorte que la fonction ^
qui entre dans ces équations et les équations (2) représente le
potentiel électrostatique.

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CHAPITRE X

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU CHAMP MAGNÉTIQUE

167« Équations du champ magnétique. — Récapitu-
lons les équations qui lient entre elles les composantes en un
point de Finduction magnétique, de la force et du moment
électromagnétiques, de la force électromotrice d'induction et
de la vitesse de Téiectcicité.

Dans le § 103 nous avons vu, que si a, p, y sont les compo-
santes de la force magnétique en un point d*un milieu magné-
tique dont le coefBcient de perméabilité est (jl, les composantes
de rinduction magnétique au même point sont données par
les équations

a = {ta,
(I) l *=I*P»

Si au point considéré passe un flux d'électricité, les compo-
santes u, V, to de la vitesse de ce flux peuvent être déduites
des composantes de la force magnétique au moyen des rela-

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186 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

lions établies au S 118 :

l 47CM :;= 3^ — -^^
I dy dz

/If\ < M ^ Éf

(II) 4^ = ^^^,

f , M d<L

^ dw dy

Quant aux composantes F, 6» H du moment électromagné-
tique elles sont liées (§ 131) à celles de Tinduction magnétique
par les équations différentielles

_rfH rfG^
dy dz

d¥ dR

do) dy

Mais puisque a, b, c sont les produits de a, p, y par un fac-
teur constant p. et que a, p, y dépendent de u, v, w les
composantes F, G, H du moment électromagnétique sont elles-
mêmes des fonctions deu, v, to. D'après ce que nous avons
dit aux § 137 et 166 ces fonctions ont pour expressions:

+1'

(IV) G = ,xJ frfx + |,

Enfin la force électromotrice résultant de rinduction élec-

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ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU CHAMP MAGNÉTIQUE 187

troroagnétiqae et des masses électriques à Tétat statique a
pour composantes, ainsi que nous l'avons montré au § 163,

168. Équations des courants de conduction. —Dans
les formules Qllf, u, v, to désignent les composantes de la
vitesse de l'électricité sans distinction du mode de mou-
vement : conduction ou déplacement. Dans le cas où Ton a un
courant de conduction ces composantes doivent en outre
satisfaire aux équations qui expriment la loi de Ohm. Au §87
nous avons vu que si G désigne la conductibilité électrique du
milieu et X la variation par unité de longueur de la projection
suivant Taxe des x des forces électromotrices résultant de v

toute autre cause qu'une différence de potentiel statique, '

nous avons pour la premières de ces équations, [

---^-4-X

Lorsqu'on suppose que ces forces électromotrices sont dues
uniquement à l'induction exercée par les masses magnétiques
et les courants qui varient ou qui se déplacent dans le champ,
le second membre de cette dernière équation est égal à P.
Par conséquent, nous avons alors pour les trois composantes
de la vitesse de l'électricité dans un courant de conduction

u =CP,

(VI) i t.=CQ,

tt? = CR.

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188 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

169. Équations des courants de déplacement. — Les

équations précédentes ne sont pas applicables aux courants de
déplacement, ces courants étant supposés ne pa's suivre la
loid'Obm. Quant aux équations (111) elles doivent être satis-
faites puisque, comme nous l'avons déjà dit (118), Maxwell
admet que les courants de déplacement obéissent aux lois
électromagnétiques et électrodynamiques d*Ampére. Mais
outre ces dernières équations, il en existe trois autres qui lient
les composantes de la vitesse de Télectricité, dans un courant
de ce genre, aux composantes de la force électromotrice.

Nous avons vu, en effet (72), que les composantes du dé-
placement électrique sont données par trois équations dont la
première est

X ayant dans cette formule la même signification que dans le
' paragraphe précédent. Si donc, nous admettons que les

* forces électromotrices soient dues uniquement à une différence

de potentiel statique et à l'induction des aimants et des cou-
rants placés dans le champ, le facteur entre parenthèses dans
l'expression de f est égal à — P ; par suite, nous avons alors,

/■= — P

(Vn) j g = ^Q,

En dérivant ces équations par rapport au temps, il vient
pour les composantes u, v, to de la vitesse du déplacement

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ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU CHAMP MAGNÉTIQUE 189

électrique

K rfP

(VIII)

KrfQ
K dR

Équations des courants dans un milieu imparfai-
tement isolant. — Le groupe d'équations (VI) s'applique
aux milieux conducteurs, comme les métaux ; le groupe d'é-
quations (VIII) s'applique, au contraire, aux milieux parfaite-
ment isolants. Lorsque le corps est imparfaitement isolant,
Maxwell admetque le courant électrique vrai, duquel dépendent
les jphénomènes électromagnétiques, a pour composantes la
somme des composantes du courant de conduction et du cou-
rant de déplacement ; nous avons donc dans ce cas

(ix) { « = CQ + ^f.

Remarquons que l'hypothèse de Maxwell soulève une diffi-
culté. En effet, le milieu possédant des propriétés intermé-
diaires entre celles des conducteurs et celles des isolants, la
force électromotrice qui produit le courant doit vaincre deux

espèces de résistances : l'une analogue à la résistance % des

métaux, l'autre du genre de celle qu'oppose un isolant. Il

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190 ÉLEGTRiaTÉ ET OPTIQUE

semble donc que, contrairement aux vues de Maxwell, Tinten-
site du courant et, par suite, les quantités u,t;,tr dussent alors
être plus petites que dans un milieu conducteur ou un milieu
parfaitement isolant.

171. M. Potier a substitué à Thypothèse de Maxwell
une hypothèse plus rationnelle. Il admet que la force électro-
motrice en un point est la somme de celle qui donne lieu au
courant de conduction et de celle qui produit le déplacement.
Nous avons alors, en tirant des équations (VI) et (Vil) les va-
leurs des composantes de la force électromotrice et addition-
nant ;

(X) ( = g + |f».

172. Les formules (IX) et les formules se réduisent à celles
des courants de conduction, les premières pour K = o, les
secondes pour K=: oo . Un conducteur doit donc être considéré,
d*après Maxwell, comme un diélectrique de pouvoir inducteur
nul, et, d'après H. Potier, comme un diélectrique de pouvoir
inducteur infini.

La conséquence de Thypothèse de M. Potier s'interprète
facilement dans la théorie des cellules.

Dans cette théorie, en effet, on se représente un diélectrique
parfait comme formé par des cellules parfaitement conduc-
trices séparées les unes des autres par des intervalles parfai-
tement isolants.

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ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU CHAMP HAffllÉTIQUE 191

Qu'arrivera-t-il alors pour un corps tenant le milm entre
les diélectriques et les conducteurs, c'est-à-dire pour un dié-
lectrique imparfait ?

Les formules de Maxwell et celle de M. Potier donnent à
cette question deux réponses différentes.

Adoptons-nous les formules de Maxwell? G*est supposer que
les intervalles qui séparent les cellules ne sont plus parfaite,
ment isolants mais que leur conductibilité spécifique G n*est
plus nulle.

178. Adoptons-nous au contraire les formules de M. Potier ;
cela revient à supposer que les cellules conductrices ne sont
plus parfaitement conductrices et que leur conductibilité G
n'est plus infinie.

Il est peu probable que la réalité soit aussi simple que le
supposent MaxweU et M. Potier. Peut-être devrait-on adopter
une combinaison des deux hypothèses : des cellules imparfai-
tement conductrices, séparées par des intervalles imparfaite-
ment isolants.

Tout cela a d'ailleurs peu d'importance ; toutes ces hypo*
thèses ne peuvent être regardées que comme une première
approximation, appropriée à l'état actuel de la science; et
dans cet état actuel, on n'a intérêt à considérer que des con-
ducteurs ordinaires ou des diélectriques regardés comme
parfaits.

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CHAPITRE XI

THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE

174. Conséquences des théories de Maxwell. —

Des diverses théories que nous avons exposées dans les Cha-
pitres précédents, il résulte nettement que la préoccupation
constante de Maxwell est de trouver une explication des
phénomènes électriques et électromagnétiques, générale-
ment attribués à des actions s'exerçant à distances, par le
mouvement d*un fluide hypothétique remplissant Tespace.
Nous avons pu constater que Maxwell n'avait qu'imparfaite-
ment atteint son but ; en particulier nous avons vu dans le
Chapitre YI que, s'il est possible de rendre compte des
attractions et des répulsions électrostatiques au moyen
des pressions et des tensions d'un fluide remplissant les dié-
lectriques, les propriétés qu'il faut alors attribuer à ce fluide
sont incompatibles avec celles que Maxwell lui suppose dans
d'autres parties de son ouvrage. Ainsi, malgré les eflbrts
de Maxwell, nous ne possédons pas encore une explication
mécanique complète de ces phénomènes; néanmoins les tra-

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 193

vaux de ce physicien ont une importance capitale: ils
démontrent la possibilité d'une telle explication*

175* Mais laissons de côté les quelques contradictions que
nous avons relevées dans Tœuvre de Maxwell et attachons-
nous plus spécialement à la théorie qu*il a proposée pour
expliquer FËlectromagnétisme et Tlnduction et que nous
avons exposée dans le Chapitre IX. Une des conséquences
les plus importantes de cette théorie, et cette conséquence
mérite à elle seule toute notre admiration, est Tidentité des
propriétés essentielles de Téther qui, d'après Fresnel transmet
les radiations lumineuses et du fluide que Maxwell suppose
présider aux actions électromagnétiques. Ainsi que le fait
observer ce dernier, cette identité de propriétés est une
confirmation de l'existence d'un fluide servant de véhicule
à l'énergie.

« Remplir l'espace d'un nouveau milieu toutes les fois que
l'on doit expliquer un nouveau phénomène ne serait point
un procédé bien philosophique ; au contraire, si, étant arri-
vés indépendamment, par l'étude de deux branches différentes
de la science à l'hjpothèse d'un milieu, les propriétés qu'il
faut attribuer à ce milieu pour rendre compte des phé-
nomènes électromagnétiques se trouvent être de la même
nature que celles que nous devons attribuer à l'éther lumi*
nifère pour expliquer les phénomènes de la lumière, nos rai-
sons de croire à Texisteoce physique d'un pareil milieu se
trouveront sérieusement confirmées. » Maxwell. Traité
(t Electricité j t. II, § 781.

176. L'éther et le fluide de Maxwel jouissant des mêmes

ÉLBCTRICITÉ IT OPTIQUS. 13

/^ r^^ or THE \

(UNIVERSITY)

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194 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

propriétés, la lumière doit être considérée comme un phéno-
mène électromagnétique et le mouvement vibratoire qui
produit, sur notre rétine, Timpression d'une intensité lumi-
neuse doit résulter de perturbations périodiques du champ
magnétique. S'il en est ainsi, des équations générales de ce
champ doit pouvoir se déduire Texplication des phénomènes
lumineux. C'est à cette explication qu'on a donné le nom de
Théorie électromagnétique de la lumière.

Cette théorie conduit nécessairement à des relations entre
les valeurs des constantes optiques et des constantes électriques
d'un même corps. Si ces relations se trouvent satisfaites
numériquement par les données de Texpérience, elles cons-
titueront autant de vérifications, indirectes mais néanmoins
très probantes, de la théorie. L'une des meilleures vérifications
de ce genre est l'accord satisfaisant que l'on constate entre
les valeurs trouvées par Foucault, Fizeau et M. Cornu pour la
vitesse de propagation de la lumière et celle qu'on déduit de
la théorie électromagnétique. Cherchons donc la formule qui
exprime cette vitesse en fonction des constantes électriques
mesurables du milieu où s'eflectue la propagation.

177» Équations de la propagation d'une perturba-
tion magnétique dans un diélectrique. — Tous les corps
transparents étant des isolants plus ou moins parfaits, si
toutefois on excepte les solutions électroly tiques, bornons
d'abord notre étude à la considération des diélectriques. De
plus admettons que les molécules matérieUes du milieu qui
propage les perturbations magnétiques sont en repos.

Par suite de cette dernière hypothèse les composantes
œ\ y\ z\ de la vitesse d'un point matériel sont nulles et les

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THÉORIE ÉLBGTR0MA6NÉTIQUB DR lA LUMIÈRE i95

équations (V) du § 167 se réduisent aux suivantes :

cU dœ

n dQ d^

^ = -1^-4'

"^ "" dt dx

Le potentiel électrostatique '^ étant dû à des masses élec-
triques ne varianl ni en grandeur, ni en position, cette quan-
tité et ses dérivées partielles par rapport kœ, y, z sont indé-
pendantes du temps; par conséquent en dérivant les équations
précédentes par rapport à <, nous obtenons

(*)

La pertuii)atioa magnétique étant supposée s'effectuer
dans un milieu diélectrique, les composantes u, v, to de la
vitesse de l'électricité sont liées aux compensantes de la force
électromotrice par les équations (VIII) d*où nous pouvons
tirer les dérivées de P, Q, R par raj^ort à t. En portant les
valeurs de ces dérivées dans les équations précédentes nous
avons

A V^^

(2) ( 4^=^K^,

4^ = ^K^.

dP
dt

d*F

dt~

dfi'

rfR

dt~

d*U

dt*

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196 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Pour avoir les équations différentielles qui donnent F,
G, H en fonction du temps, il nous faut exprimer u, v, to en
fonction de F, G, H et des dérivées de ces quantités. Pour
cela adressons-nous aux groupes d'équations (I), (II) et (lll).

Les équations (1) et (III) nous donnent

dn dG
^"-'-^Ty^di'

, rfF e/H
^'^~dcc dy

Au moyen de ces équations calculons les dérivées de a, p, y,
par rapport à a;, y, ^ et portons les valeurs ainsi trouvées
dans les équations (II); nous obtenons

di
^\M = — —, AH,

J désignant la somme des dérivées partielles :

j _ç^ rfG rfH

dœ'^ dy ~^ dz

L'élimination de u, v, %o entre ces dernières équations et
les équations (2) nous conduit aux équations différentielles

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THÉORIE ÉLECTR0MA6NÉTIQDE DE LA LUMIÈRE 197

cherchées

-, cPF ^„ rfj

(A) i K,^ = AGV-|,

Soas cette forme, ces équations sont semblables à celles
du mouvement d'une molécule d*un milieu élastique (^) et
par conséquent à celles du mouvement d'une molécule
d'éther ; c'est une première confirmation de l'hypothèse s^r
la nature électromagnétique des vibrations lumineuses.

178. Ces équations élant linéaires et à coefficients cons-
tants, les dérivées par rapport h une variable quelconque des
fonctions F, G, H qui y satisfont, sont aussi des solutions de
ces équations ; en outre, il. en est encore de môme combinai-
son linéaire de ces dérivées. Par conséquent les composantes
a, ^, e de Tinduction magnétique, liées aux composantes du
moment électromagnétique par les relations (III) satisfont aux
équations (A). D'ailleurs dans ce cas ces dernières se simpli-
fient car la quantité J est alors

da i_ ^^ i_ de

dœ"^ dt/' dz

et nous savons que cette somme de dérivées partielles est
(1) Voir Théorie malhémcUique de la lumière, p. 42, ,

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198 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

nulle (102) . Nous avons donc

Quant aux composantes a, p, y de la force magnétique
elles doivent également satisfaire aux équations (A) puis-
qu'elles ne diffèrent de a, b, c que par un facteur constant ;
la somme J des dérivées partielles subsiste alors dans les
équations.

Enfin les composantes u, v, ta de la vitesse du déplacement
étant des fonctions linéaires et homogènes des dérivées de
a, p. Y, sont aussi des solutions des équations (A). L'hy-
pothèse de rincompressibUité de Félectricité étant exprimée
par la condition

J disparaît des équations.

179. D'ailleurs si comme le suppose Maxwell (188), les
composantes F, 6, H du moment électromagnétique satisfont
à l'identité

les équations (A) et celles qui donnent les composantes de
la force magnétique ne contiennent pas J. Mais l'abandon
de cette hypothèse ne modifie en rien les résultats auxquels
conduit la théorie électromagnétique de la lumière car J

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THÉORIE ÉLECTROKAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 199

disparait lorsqu'on suppose périodiques les perturbations du
champ magnétique.

En effet dérivons les équations (A) par rapport à œ, y, z^ et
additionnons; nous obtenons après simplification

J doit donc être une fonction linéaire du temps, ou une cons-
tante, ou zéro ; il en est de môme pour les dérivées de J par
rapporta a?, y, x. Or, si F, G, H sont des fonctions pério-
diques du temps, J et ces dérivées sont également des fonc-
tions périodiques ; par suite ces quantités ne peuvent être
ni des fonctions du premier degré en f, ni des constantes;
elles sont donc nulles.

180. Cas des ondes planes* — Supposons que les phé-
nomènes électromagnétiques qui ont lieu dans le diélec-
trique ne dépendent que du temps et de la coordonnée z du
point considéré. Dans ce cas ces phénomènes sont, au même
instant, identiques pour tous les points d*un plan parallèle
au plan des ayy; on dit alors que les perturbations magné-
tiques forment des ondAs planes.

Les composantes F, G, H du moment électromagnétique ne
dépendant pas deœ, ni de y, les dérivées de ces quantités par
rapport kœ et à y sont nulles et les équations (A) se rédui-
sent à

cP¥
dz^

(B)

^^\dfl =

^^'dF-d?\

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200 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Cette dernière équation montre que dans le cas où les per*
turbations sont périodiques la composante H est nulle. Par
conséquent le moment électromagnétique est situé dans le
plan de Tonde. Il en est de même des au très quantités, vitesse
de Télectricité, force électromagnétique, etc., dont les com-
posantes satisfont h des équations semblables aux équations
(B). On peut donc dire que, comme les vibrations de l'éther
dans la théorie ordinaire de la lumière, les perturbations
électromagnétiques périodiques sont tranversales,

181. Vitesse de propagation d'une onde plane pé-
riodique. — Si nous posons

les deux premières des équations (B) deviennent

cPG _ ^, d^G

dt^ "" dz^'

Sous cette forme, ces équations sont identiques à celles qui
donnent les composantes du déplacement d'une molécule
d*un milieu élastique dans le cas d'un mouvement par ondes
planes transversales. Nous pouvons donc considérer les per-
turbations électromagnétiques comme se propageant avec

une vitesse égale à -7=-

182. Valeur de oette vitesse dans le vide. — Le

coefficient de perméabilité ^ du vide étant égal à 4 dans le

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 201

système de mesures électromagnétiques, la vitesse de propa-

gation des ondes planes dans ce milieu est égale à -p,

K étant exprimé dans le même système. Cherchons la valeur
de cette quantité.

L'une des composantes du déplacement électrique est
donnée par la formule*

Le pouvoir inducteur spécifique n'ayant pas de dimensions
dans le système électrostatique, les dimensions du déplace-
ment dans ce système sont celles du quotient d'un potentiel
par une longueur et, par suite, celle du quotient d'une quan-
tité d'électricité par le carré d'une longueur. Il s'ensuit que
si on passe d'un système de mesures à un autre dans lequel
l'unité de longueur a Conservé la même valeur que dans le
premier, les noïnbres qui mesurent le déplacement dans l'un
et l'autre système sont dans le même rapport que ceux qui
expriment une même quantité d'électricité. Si donc nous
appelons t? le rapport de l'unité électromagnétique de quantité
d'électricité à l'unité électrostatique, le nombre qui exprime,
soit une quantité d'électricité, soit un déplacement dans le

premier système est égal au produit de - par le nombre qui

mesure la même grandeur dans le système électrostatique.
D'autre part on sait que le rapport des unités de force électro-
motrice dans les deux systèmes de mesure électrique est
inverse de celui des unités de quantité ; donc le nombre qui

exprime ^ dans le système électromagnétique est le produit

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20? ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

de V par la mesure de cette quantité au moyen de Tunité élec-
trostatique. Il en résulte que la valeur du quotient de f par
-^ et, par suite, la valeur de K se trouvent multipliées par

— quand on passe du système électrostatique au système

électromagnétique. Le pouvoir inducteur spécifique du vide
étant 1 dems le système électrostatique, sa valeur est -^ dans
le système électromagnétique.

Si nous portons cette valeur de K dans Texpression de la
vitesse, nous avons

la vitesse de propagation d'une perturbation électromagné-
tique est donc égale au rapport v des unités de quantité
d'électricité dans les deux systèmes de mesures électriques.

188. Cette dernière quantité a été déterminée par de nom-
breux expérimentateurs au moyen de méthodes que Ton peut
classer en trois groupes suivant que v est donné par le rap-
port des unités de quantité d'électricité, ou par celui des
forces électromotrices, ou enfin par la comparaison des capa-
cités. Voici les résultats de quelques-unes de ces déter^nina-
tions pour le quotient par 10*® de la valeur de v exprimée en

unités C. G S.

1" groupe. Weber et Kohlrausch . 3,1074

Maxwell 2,8800

Thomson 2,8250

2»* groupe. { Kichan et King . . . 2,8920

Shida 2,9580

Exner 2,9200

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE

303

/ Ayrton et Perry
J.-J. ThotnsoD.

Klemencic .

3"* groupe. /

Himstedi

E.-B. Rosa.

2,9410
2,96a0
3,0180
3,0140
3,0074
3,0081
2,9993
3,0004

Pour la vitesse de la lumière dans le vide, M. Cornu a
trouvé 3,004 X 10^® centimètres avec une erreur probable-
ment inférieure à Viooo* ^^ ^^>^ 4"^ ^^ nombre ne diffère que
d'une quantité très petite, de l'ordre des erreurs expérimen-
tales, des valeurs de v données par MM. Klemencic, Himstedt,
Rosa, d'après des méthodes paraissant présenter la plus
grande précision. La théorie de Maxwell reçoit donc une
confirmation aussi satisfaisante qu'il est permis de la sou-
haiter.*

Ajoutons que tout récemment, M. Hertz a pu produire dans
l'air des ondes électromagnétiques et mesurer leur vitesse de
propagation. Il a trouvé un nombre du même ordre de gran-
deur que la vitesse de la lumière. G*est encore une vérification
très satisfaisante de la théorie électromagnétique de la
lumière, si Ton tient compte de la difficulté de la mesure des
quantités qui entrent dans le calcul de M. Hertz. Nous revien-
drons plus tard sur ces expériences.

184. Relation entre Findice de infraction et le pou-
voir inducteur d'une substance isolante. — La per-
méabilité magnétique des milieux transparents étant très
sensiblement égale à celui du vide, le rapport de la vitesse de

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204 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

propagation Y^ (}es ondes électromagnétiques dans le vide de
la vitesse Y de ces ondes dans un milieu transparent est

K étant le pouvoir inducteur spécifique de ce dernier milieu

exprimé dans le système électrostatique.

D'après la théorie ordinaire de la lumière ce rapport est

égal à Tindice de réfraction absolu n. Il en résulte que Ton

doit avoir

K = n^

Mais, puisque n varie avec la longueur d'onde, celte rela-
tion ne peut évidemment être satisfaite que si les quantités
K et n se rapportent à des phénomènes de même période.
Nous devons donc prendre l'indice de réfraction qui corres-
pond à des ondes de très longue période, ces ondes étant les
seules dont le mouvement puisse se comparer aux opéra-
tions lentes à l'aide desquelles on détermine le pouvoir
inducteur spécifique. La valeur de cet indice peut être
obtenue approximativement en faisant X = oo dans la for-
mule de Caucby,

n=A + ^ + 5^,

nous avons ainsi, n = A.

* Des expériences faites sur le spectre calorifique, il résulte
que la formule de Gauchy ne suffit pas pour représenter les
indices des radiations de longuen période ; la formule qui les
représente le mieux est de la forme :

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 2Ô5

On trouverait ainsi pour X = oo , w = oo ce qui est inad-
missible : mais ce qui montre combien il faut peu se fier à
des extrapolations de ce genre. C'est sans doute là la princi-
pale cause des divergences que nous signalons plus loin.

185. Au moment où Maxwell écrivait son Traité, la paraffine
était le seul diélectrique dont le pouvoir inducteur ait été
déterminé avec une exactitude suffisante. Une seule vérifica-
tion de la relation K = n' était donc possible ; encore était-
elle peu satisfaisante. MM. Gibson et Barclay avaient trouvé
pour le pouvoir inducteur delà paraffine solide 1,975, dont
la racine carrée est 1,405. Or ce nombre difi'ère sensiblement
de la valeur 1,422 de Tindice de réfraction, pour une lon-
gueur d'onde infinie, déduite des expériences du D' Gladstone
sur la paraffine fondue. Toutefois, les nombres comparés se
rapportant à deux états différents de la paraffine, leur diver-
gence ne peut infirmer la théorie; aussi Maxwell en conclut-il
seulement que si la racine carrée de K n*est pas l'expression
complète de l'indice de réfraction, elle en forme le terme le
plus important.

186. Depuis, on a fait de nombreuses déterminations des
pouvoirs inducteurs spécifiques des corps transparents; en
voici les résultats, au point de vue qui nous occupe.

Pour les solides la racine carrée de K diffère de l'indice de
réfraction d'une quantité quelquefois considérable. D'après
M. Hopkinson les indices de réfraction des différentes espèces
de verre sont toujours plus petits que la racine carrée de leur
pouvoir inducteur; pour certains verres ils ne sont que la
moitié de cette racine.

La relation K = n* se trouve un peu mieux vérifiée dans

UNIVERSITT,

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206 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

le cas des liquides. Pour certains hydrocarbures liquides,
les expériences de MM. Hopkinson, Négréano, Palaz montrent
que la vérification est assez satisfaisante. Les deux tableaux
suivants résument, le premier les résultats de M. Negréano, le
second ceux de M. Palaz; dans ces tctbleanx Tindicede réfrac-
tion se rapporte à la raie D du sodium.

K \/k fiD

Benzine pure 2,2921 1,5139 1,5062

Toluène 2,2420 1,4949 1,4912

Xylène (mélaDgedeplusieunisomèreB) 2,2679 1,5059 1,4897

Mélaxylène 2,3781 1,5421 1,4977

Pseudocumène 2,4310 1,5591 1,4837

Cymène 2,4706 1,5716 1,4837

Essence de térébenthine . . . 2,2618 1,5039 1,4726

Benzine 2,3377 1,517 1.4997

Toluène nM 2,3646 1,537 1,4949

» n«2 2,3649 1,537 1,4848

Pétrole ordinaire nM 2,1234 1,457 1,4487

» » n«2 2,0897 1,445 1,4477

» rectiûé 2,1950 1,481 1,4766

La vérification est beaucoup moins bonne si Ton prend des
huiles végétales ou animales. Pour celles sur lesquelles il a
opéré, M. Hopkinson a toujours trouvé n > v^. M. Palaz
arrive à une conclusion inverse pour Thuile de navet et
rhuile de ricin :

Huile de navet VK = 1,737 no = 1,4706

Huile de ricin 2,147 1,4772.

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 207

Récemment, M. Goiiy {* ) a mesuré le pouvoir inducteur spécî*-
fique de l'eau par Tattraction qu'éprouvent deux plateaux
électrisés entre lesquels se trouve une couche de ce liquide;
il a trouvé K = 80. Il en résulterait, d'après la relation de
Maxwell, n = 9 environ, nombre h peu près sept fois plus
grand que l'indice de réfraction réel ; cette relation est donc
dauK ce cas, tout à fait en défaut. Il est vrai qu'elle n'a été
établie que pour les corps isolants, condition qui est loin
d'être satisfaite par l'eau, toujours plus ou moins conductrice
par suite des sels qu'elle contient. Mais au moins on devrait
trouver pour K des valeurs de plus en plus petites lorsqu'on
prend de l'eau de plus en plus pure ; or c'est précisément
l'inverse qui parait avoir lieu.

Enfin, si nous passons aux gaz, nous trouvons un accord
très satisfaisant entre les valeurs de y^ ^^ celles de n. Le
tableau suivant donne les valeurs de ces quantités pour
quelques gaz; les valeurs du pouvoir inducteur spécifique
résultent des expériences de M. Boltzmann.

Air

Acide carbonique.
Hydrogène. . .
Oxyde de carbone.
Protoxyde d'azote.
Bicarbure d'hydrogène.

K \/k n

1,000390 1,000295 1,000294

1,000946 1,000473 1,000449

1,000264 1,000132 1,000138

1,000690 1,000345 1,000340

1,000984 1,000492 1,000503

1,001312 1,000656 1,000678

Protocarbure d'hydrogène 1,000944 1,000472 1,000443
187. En résumé, la relation K = n^ est vérifiée pour les

(«) Comptée rendus, t. GVI, p. 640 ; 1888.

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208 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

gaz et quelques liquides; elle est en défaut pour la plupart
des liquides, des solides, et surtout pour Veau. Malgré la mul-
tiplicité des recherches, nous ne sommes donc pas. mieux ren-
seignés que Maxwell sur le degré d'exactitude qu'on doit
accorder à cette relation.

Mais si Ton excepte l'eau, qui s'écarte complètement des
diélectriques par sa nature électrolytique dès quelle renferme
une trace d'un sel en dissolution, les divergences constatées
entre n et la racine carrée de K ne sont pas de nature à faire
abandonner cette relation, surtout si Ton tient compte des
conditions défectueuses dans lesquelles on l'applique. En
premier lieu les substances étudiées en vue de sa vérification
sont souvent loin d'être des isolants parfaits comme le suppose
sa démonstration. Comme isolants, laplupartdes solides sont
beaucoup moins bonsque les gaz et quelques liquides tels que
le pétrole et la benzine bien pure ; or ce sont précisément ces
derniers corps qui vérifient le mieux la relation de Maxwell.
En second lieu, le pouvoir inducteur et l'indice de réfraction
varient avec la température, et généralement les mesures des
deux quantités à comparer sont faites à des températures
différentes. Enfin, on sait que, quelle que soit la méthode
employée pour la mesure de K, les résultats dépendent de la
rapidité des variations du champ dans lequel se trouve placée
la substance ; peut-être donc, la relation dont il s'agit se
trouverait-elle mieux satisfaite si les variations du champ
étaient aussi rapides que les vibrations lumineuses. Pour ces
diverses raisons il ne faut pas s'étonner si la vérification de
cette relation n'est pas aussi satisfaisante que la comparaison
du rapport v et de la vitesse de la lumière dans le vide.

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THÉORIE ÉLEGTROHAGNÉTIQUB DE LA LUMIÈRE 209

188. Direction du déplacement électrique;— Considé-
rons une onde plane électromagnétique. Prenons pour plan
des œy un plan parallèle à Tonde et choisissons pour axe
des œ une direction parallèleà celle du moment électromagné-
tique; nous avons alors G = o, H=o. Quant à F, son
expression dépend de la nature de la perturbation; admettons
qu'on ait

F = Aco8Ç(-j — V^.

D'après les équations (III) du chapitre précédent, les com-»
posantes de l'induction magnétique, sont alors

^" dy dz '

, d¥ rfH . 27: . ÎTT , «,,

__dG_d^__
dœ dy

L'induction magnétique est donc parallèleà l'axe des y,
c'est-à-dire perpendiculaire à la direction du moment électro-
magnétique. Il en est de même de la forcé magnétique qui a
même direction que l'induction puisque les composantes de
ces deux quantités ne diffèrent que par un facteur constant (x.
' Les composantes de l'induction étant connues les équa-
tions (II) permettent de calculer celles de la vitesse du dépla-
cement; nous trouvons

dz due

jT r^^ or THF

. rfp rfa

(UNIVERSITY

^^--.^UFQRNi^^^^

ÉLECTRICITt BT OPTIQUE.

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ilO ÉLteCTRlCTTÉ ET OPTIQUE

équations qui nous montrent que la ritesse du déplacement
est, comme le moment électromagnétique, paraDèle à Taxe
des X. C'est éridemmeiit aussi la direction du déplacement
lui-même, et d'après les équations (VII), celle de la force élec-
tromotrice qui le produit.

Ainsi en un point d'une onde plane, le déplacement élec-
trique et le moment électromotrice ont même direction;
la force électromotrice et Tinduction] leur sont perpendi-
culaires; ces directions sont d'ailleurs situées dans le plan de
l^^nde.

189* Mais, lorsque les perturbations électromagnétiques
sont assez rapides pour donner naissance aux phénomènes
lumineux, qu'elle est la direction du déplacement électrique
par rapport au plan de polarisation de la lumière ? L'hypo-
thèse de Maxwell sur l'expression de l'énergie kinétique du
milieu qui transmet les ondes et l'étude des diverses théories
proposées pour l'explication de la réflexion vitreuse nous per-
mettent de répondre facilement à cette question.

Nous savons que dans les théories ordinaires de la lumière»
les phénomènes observés dans les miUeux isotropes s'inter-
prètent tout aussi bien, soit en admettant, avec Fresnel, que
les vibrations de Téther sont perpendiculaires au plan de pola-
risation, soit en admettant, comme le font Neumann et
Mac-CuUagh, que ces vibrations s'eflTectuent dans le plan
de polarisation. Nous avons montré, en outre, à propos
de la réflexion vitreuse (<), que ces deux hypothèses con-
duisent à des résultats opposés pour la densité de l'éther ; si
Ton adopte celle de Fresnel, la densité doit être considérée

(*) Théorie malhémaliqut dt la Lumière, pp. 320 olsuiv.

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THÉORIE ÉLBGTR0MA6NÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 211

connue variable ; si Ton prend celle de Neumann et Mac-
Gallagh, cette densité est constante.

Mais dans Tune et l'autre théorie l'énergie kinétique a pour
valeur

|/p(V» + 7,'» + !:")rfT

p désignant la densité, 1% V, Ç' les composantes de la vitesse
de la molécule d'éther. Suivant Maxwell, l'énergie kinétique
n'est autre que le potentiel électrodynamique du système de
courants qui existent dans le milieu ; l'expression de cette
énergie est donc, dans le cas où le milieu est supposé ma*
gnétique (143),

l/(aa + p* + Yc)rfT,

ou, en exprimant les composantes de l'induction au n
des composantes de la force électromagnétique.

lïx/(x> + p« + r')rf^.

Pour faire cadrer la théorie de Maxwell avec la théorie
naire de la lumière qui, jusqu'Ici, s'est trouvée d'accord
l'expérience, nous devons admettre que dans ces deux
ries les expressions de l'énergie kinétique sont identi
Nous devons donc avoir

Or, (X étant constant pour un milieu isotrope» la prei
de ces égalités nous indique que la densité p de l'éthei

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212 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

être une constante ; nous devons donc adopter l'hypothèse de
Neumann et Mac-Gullagh. Mais alorâ la force électromagné-
tique, qui, d après les trois dernières égalités, a même direc-
tion que la vibration de la molécule d'éther, est située dans le
plan de polarisation. Par conséquent, en nous reportant à ce
qui a été démontré dans le paragraphe précédent nous arri-
vons à cette conclusion : le déplacement électrique est per-
pendiculaire au plan de polarisation, si toutefois Ton adopte
les hypothèses de Maxwell.

100. Propagation dans un milieu anisotrope. —
Double réfraction. — Jusqu'ici nous avons implicitement
supposé que le milieu isolant qui propage lés perturbations
électromagnétiques est isotrope; cherchons maintenant ce
que deviennent les équations du champ lorsque le diélec^
trique est anisotrope.

Nous avons vu (73) que l'analogie delà loi des échanges
d'électricité entre les cellules d'un diélectrique avec la loi des
échanges de chaleur danfe la théorie de Fourier, conduit, si
l'on choisit convenablement les axes de coordonnées, aux va-
leurs suivantes pour les composantes du déplacement élec-
trique dans un milieu anisotrope.

"—Ht--)-'

'^ désigne le potentiel électrostatique, X, Y et Z, les compo-
RATites de la force électromotrice due à toute autre cause

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 213

qu'une différence de potentiel. En supposant cette force
électromotrice due uniquement à Tinduction produite par
les courants et lescdmanls du champ, ces égalités deviennent

( -£«■

lOl* Mais il n*est pas nécessaire pour établir ces formules
de s'appuyer sur Thypothèse de la constitution cellulaire, dés
diélectriques.

D'après les formules (VII) du Chapitre précédent, les com-
posantes du déplacement électrique dans un milieu isotrope
sont proportionnelles -à celles de la force électromotrice ; par
suite, riiypothèse la plus simple qui se présente, est d'admettre
que, pour un milieu anisotrope, ^ g, h sont des fonctions
linéaires et homogènes de P, Q, R,

/'=AP + BQ + GR,
i7 = A'P + FQ + C'R,

A = AT + B^Q + cm.

' D'ailleurs les neuf coefficients A, B, G,... ne sont pas abso-
lument arbitraires. Montrons en effet qu'ils forment un déter-
minant symétrique.

' Si nous donnons aux composantes du déplacement des
accroissements ef/*, dg, dh, le travail correspondant de la force
électromotrice est •

Pdf+Qdg + ïidk,

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214 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

OU, d'après les relations précédentes

P [AdP + BdQ + CrfR) + (A'rfP + B'c^Q + CdR)

+ R (A'rfP + V'dQ + C'rfR),

ou encore

(AP + A'Q:+ A"R) dP + (BP +B'Q+B''R) dQ

+ (CP+C'Q+C'^R)ûfR.

Pour qu'il y ait conservation de l'énergie cette expression
doit être une différentielle exacte. Cette dernière condition
s'exprime par trois égalités dont la première «st

d{\F + A^Q + A^R) rf(CP + C^Q + C^'R) .
e^R "" rfP '

nous en tirons

A-' = C.

Les deux autres égalités nous donneraient

B = A', G' = r ,

ce qui montre bien que le déterminant des coefficients est
symétrique

Le nombre de ces coefQcients se trouve donc réduit à 6.
Par le choix des axes de coordonnées nous disposons des va-
leurs de trois d'entre eux ; nous pouvons donc faire ce choix
le telle sorte que les coefficients qui ne sont pas sur la diago-
Qale du déterminant se réduisent à zéro ; les valeurs de /, g,
h se réduisent alors aux expressions (i).

192. Nous devrions faire, pour les équations qui donnent

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THÉORIE ÉLECTROMAGiN^TIQUE DE LA LUMIÈRE 215

les composantes a, b^ c de rinductîon magnétique en fonc-
tion des composantes a, 6, y de la force électromagnétique,
la môme hypothèse que celle que nous venons d'adopter pour
exprimer/; g, h en fonction de P, Q, R. Nous serions aina'
amenés à remplacer les équations (I) du chapitre précéden
par trois équations de même forme n'en différant qu'en c<
que le coefficient {jl attrait dans chacune d'elles une valeu
différente {jl, [tf fx"^. Mais la perméabilité magnétique des corp
transparents étant toujours très voisine de l'unité, ce coeffi
cient n'a guère d'influence sur le résultat des calculs. Pour n
pas compliquer inutilement la question nous admettrons qu
[X est constant et égal à 1.

103. En dérivant les équations (1) par rapport à I, e
en remplaçant dans les seconds membres des équations ains

trouvées, -^» "dt^^ Tf P^^ '^^ valeurs obtenues au § 17*3
nous avons les relations

4irw =
Alto =
Aitiv =

qui peuvent s'écrire

(C)

rffP
dt* '

rf»G

dt* '-

d*tt

dfi ''

— -g ivu,

: — ^,4w>,

: — g;4ltK».

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216 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Nous avons d'ailleurs (167)

dy dz

"^' *"=!-£•

dx dy

n, puisque nous avons supposé (x = i, les équations (III)
i 167 deviennent

dy dz

^ ^ dx dy

îls sont les trois groupes d'équations qui permettent de
rminer les valeurs, à un moment quelconque, des élé-
ts d'une perturbation magnétique en un point d'un
ectrique anisotrope , lorsqu'on connaît leurs valeurs
aies.

94. S'il est vrai que la lumière est due à une perturbation
e genre, ces équations doivent nous conduire à Texplica-
de la double réfraction que présente la lumière lors-
ille traverse un milieu anisotrope. L'étude que nous
as faite de ce phénomène (^), nous permet de montrer
1 en est bien ainsi, sans entrer dans de longs développe-
its.

Théorie mcUhémaliqtie de la Lumière, p. 217 à 318.

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 217

Nous savons que si on désigne les composantes du déplace-
ment de la molécule d'éther par ty y[yK dans la théorie de
M. Sarrau, par X, Y, Z dans la théorie de Neumann, par u,
Vy to dans celle de Fresnel, on a les neuf relations (^)

■au

d*X.
dt*~

cvo

dL
dy

dY
'Tz'

da>

rfY

dK
'dy'

dûB

Ces équations deviennent identiques aux groupes (G), (D) et
(E) du paragraphe précédent si nous y faisons

M = 4lt«,...,

X = «,..., 1 = ]

(«)Io«.e»l.,p.279.

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918 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Or les trois théories optiques de Fresnel, de Neumann, et
de H. Sarrau expliquent également bien tous les faits obser-
vés puisque, jusqu'ici, aucune expérience n'a pu faire pré-
férer l'une à l'autre ; nous pouvons donc être assurés que les
groupes d'équations (C), (D), (E), déduits de la théorie de
Maxwell, permettront d'expliquer tous les phénomènes
connus et ne seront en contradiction avec aucun d'eux

195, En particulier, l'équation des vitesses de propagation
des deux ondes planes provenant d*une même onde inci-
dente doit être identique dans la théorie électromagnétique
et dans les théories optiques. Dans ces dernières elle est

+ v7— T + vTZ—. = ^'

V> — a ^ V> — ô ^ V» — c

/, m, n étant les cosinus directeurs de la normale au plan de
Tonde ; par conséquent elle devient avec les notations de la
théorie électromagnétique

KV« — 1 ^ KT« — 1 ^ K^î - 1

n en résulte que les vitesses de propagation suivant les
axes de coordonnées sont inversement proportionnelles aux
racines carrées des pouvoirs inducteurs suivant ces mêmes
axes ou, ce qui revient au même, que ces racines carrées sont
proportionnelles aux valeurs des indices de réfraction sui-
vant les axes d'élasticité du milieu.

196; Cette relation se trouve assez bien vérifiée pour le
soufre cristallisé. Les pouvoirs inducteurs suivant les trois
axes d'élasticité d'un cristal de cette substance sont respec-

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 219

tivement, d'après M.Boltzmann(<): 4,773,-3,970, — 3,811.
Les racines carrées de ces nombres : 2,184, — 1,91, — 1,95
diffèrent peu des indices de réfraction correspondant anx
mêmes directions: 2,143, — 1,96, — 1,89.

Les autres substances anisotropes étudiées donnent des ré-
sultats bien moins satisfaisants. D'après les expériences faites
par M. J. Curie (*) sur le quartz, le spath, la tourmaline, bé-
ryl, etc., la racine carrée de K est toujours beaucoup plus
grande que Tindice de réfraction ; toutefbis, conformément à
la théorie, les cristaux positifs, comme le quartz, possèdent
un pouvoir inducteur plus grand suivant la direction de Taxe
optique que suivant une direction perpendiculaire, tandis que
pour les cristaux négatifs, comme le spath dislande, c*est sui-
vant cette dernière direction que le pouvoir inducteur est le
plus grcmd.

La relation K = n^ n'est donc que très imparfaitement
vérifiée. Mais, comme dans le cas des corps isotropes, nous
devons faire observer que les conditions que suppose réta-
blissement de cette relation ne sont pas remplies par les
substances étudiées. Plusieurs d'entre elles sont hygrométri-
ques et acquièrent, par la couche d'eau qui les recouvre, une
conductibilité qui peut expliquer jusqu'à un certain point les
divergences observées. Cette manière de voir se trouve d'ail-
leurs confirmée par les résultats obtenus pour le soufre, sub-
stance remarquable par ses propriétés isolanteé et par la dif-
ficulté avec laquelle la vapeur d'eau se condense sur sa sur-
face.

(1) Wiener Sitiungiberichte, t. LXX, part. II, p. 342,1S74.
{*) Lumière Ueelrigue, t. XXIX, p. 127, 16S8^

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ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

197. L'identiGcaiion des équations des § 193 et 194 nous
permet de déterminer les directions relatives des diverses
quantités qui définissent le courant de déplacement en un
point, et leurs directions par rapport au rayon lumineux et
par rapport au plan de polarisation.

Nous savons que les directions ON el OP (/î^. 33) des vi-
brations de Neumann et Fresnel sont rectangulaires entre elles
et situées dans le plan de l'onde, et que les directions OS et
ON des vibrations de H. Sarrau et de Neumann, également
perpendiculaires entre elles, sont dans un plan normal au

rayon lumineux OR. Or, de
ridentité des équations que
nous venons de rappeler, il ré-
sulte que la vitesse du déplace-
ment électrique est parallèle à
la vibration de Fresnel, la force
électromagnétique parallèle à
celle de Neumann , enfin le
moment électromagnétique, et
par suite, la force électromo-
trice parallèles à la vibration de M. Sarrau. Nous en cour
cluons que le déplacement électrique s'efi'ectue dans le plan
de Tonde perpendiculairement à la force électromagnétique,
et que cette dernière quantité, située dans le plan de Tonde,
est perpendiculaire à la direction du rayon lumineux et à la
force électromotrice, elle-même normale au rayon. Dans le
cas d*un corps isotrope, la direction de ce rayon se confond
avec celle de la normale On au plan de Tonde et par consé-
quent la force électromotrice prend la direction du déplace-
ment comme nous le savions d^à.

Fig. 33.

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 321

Quant aux directions par rapport au plan de polarisation il
résulte de ce que nous savons sur la position de ce plan relati-
vement aux vibrations de Téther que la force électromotrice
et le déplacement sont presque normaux au plan de polarisa-
tion tandis que la force électromagnétique lui est sensible-
ment parallèle. Si Ton passe au cas d'un milieu isolrope ces
quantités deviennent rigoureusement perpendiculaires ou pa-
rallèles au plan de polarisation.

198. Propagation dans un milieu imparfaitement
isolant. — Absorption delà lumière. — Nous avons dans
ce cas le choix entre les formules (IX) de Maxwell et les for-
mules (X) de M. Potier (170 et 171). Ces deux groupes d
formules conduisant aux mêmes résultats, prenons celles di
Maxwell et cherchons quel est alors le mode de propagation
d'une onde plane électromagnétique.

Si nous prenons le plan des xy parallèle au plan de Tonde e
Taxe des 07, parallèle àla direction du moment électromagnéti
que, nous avons G= H = o, et les équations (1) du§n7 si
réduisent à la. première

dt ~ dfi' ^-^SE^UbSaÎÎÎ^
d'où nous tirons : (tJNIVERSIT

en négligeant la constante d'intégration qui doit être null(
lorsque les perturbations sont périodiques. En portant ces va
leurs dans la. première des équations (IX) de Maxwell

W = GP + 1- -TT»

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2S2 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

nou8 obtenons :

(1) „ = _c---^.

Mais les groupes d'équations (I), (II), (III) du § 167 nous
donnent :

cfy dz \s,\ dy^ dz^J

ou, puisque, par suite du choix des axes de coordonnées, F ne
dépend pas de y

^ = -^d?^

nous avons donc en éliminant u entre l'équation (i) et cette
dernière

d^F d^¥ dP

Cette équation est satisfaite par une fonction périodique du
temps de la forme

pourvu que les coefiQcients n et m satisfassent à la relation

Mais n ayant pour valeur -==■> T désignant la période de la

fonction, cette quantité est réelle; par suite m* est une quan-
tité essentiellement imaginaire. Il en est de même de m et

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 2^3

nous pouvons poser

m =z q — pi. . .

En portant cette valeur de m dans Tégalité précédente et
en écrivant qu'il y a égalité entre les parties réelles et les
parties imaginaires nous obtenons les deux conditions

La fonction périodique satisfaisant à l'équation (2) peut
alors s'écrire

dont la partie réelle, la seule qui nous intéresse au point de
vue des conséquences expériinentales, est :

P = erP* cos {nt — qz).

199. Si l'on fait abstraction des variations de P résultant
du facteur cos {nt — qz\ cette expression nous montre que la
valeur du moment électromagnétique varie comme Texponen-
tielie erP*. Or d'après la seconde des équations de condi-
tion (3), peiq sont de même signe ; par suite, si la direction
de propagation de l'onde plane considérée est celle des z po-
sitifé, p et ^ sont positif et er-p* décroît quand z augmente.
La valeur du moment électromagnétique diminue donc à
mesure que l'onde pénètre plus profondément dans le milieu
considéré.

Il en est de même pour le déplacement électrique et la
force électromagnétique puisque les valeurs de ces quantités

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224 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

se déduisent de celles du moment électrom^agnétique par une
suite d*équations différentielles linéaires et du premier ordre
qui laissent subsister dans leurs expressions le facteur erP^.

Il en est encore ainsi pour la vitesse de déplacement d*une
molécule d'éther luminifère puisque nous avons vu (189) que
celte vitesse est proportionnelle à la force électromagnétique.

Par conséquent, lorsque les perturbations magnétiques
seront assez rapides pour donner lieu aux phénomènes lumi-
neux, Tintensité de la lumière, proportionnelle au carré de
la vitesse moyenne d'une molécule d'élher, devra varier
comme er^P^.

200. Dans le cas où la substance considérée possède un
pouvoir inducteur spécifique très faible et une perméabilité
magnétique voisine de i. la valeur de p, déduite des équa-
tions (3) montre que celle quanlilé est sensiblement propor-
tionnelle à la racine carrée de C. Il résulte donc de ce qui
précède que rinlensité de la lumière transmise par un tel
milieu est d'autant plus faible que C est plus grand; en
d'autres termes, plus un corps est conducteur pour l'électri-
cité, plus il est opaque pour la lumière.

n y a un grand nombre d'exceptions à cette règle. Toute-
fois, d'une manière générale, les corps solides transparents
sont de bons isolants tandis que les corps solides conducteurs
sont très opaques. En outre, il résulte des recherches de
M. J. Curie (^) sur les diélectriques que la liste de ces corps
rangés par ordre de conductibilité croissante est presque
identique à celle de ces mêmes corps rangés par ordre de

0) LmMèf étMrique^ t. XXIX, p. 322 ; 1888.

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE ^5

diathermanéilé décroissante. Voici ces deux listes ; celle des
pouvoirs diathermanes est déduite des travaux de Melloni.

CùndueiibiliU éleelrique Pouvoir dialhermanedieroi$9anl

croisianl du premier au dernier du premier au dernier

Soufre. Sel gemme.

Sel gemme. Soufre.

Fluorine. Fluorine.

Spath dislande. Spath d'Islande.

Quartz. Quartz.

Barytine. Verre.

Alun. Barytine.

Yerre. Tourmaline foncée.

Tourmaline foncée. Alun.

On pourrait encore citer Tébonitequi a été signalée comme
se laissant facilement traverser par les radiations obscures.

201. Contrairement à la loi précédente les électrolytes
sont bons conducteurs de Télectricité et généralement trans-
parents. Maxwell explique ce fait en faisant observer que la
conductibilité des électrolytes n'est pas de même nature que
celle des métaux. Dans ceux-ci les molécules matérielles sont
en repos; et Télectricité seule est en mouvement ; dans les
électrolytes, au contraire, les ions se meuvent d'une électrode à
l'autre et le transport de l'électricité s'effectue par les ions
qui deviennent ainsi les convecieurs de l'électricité.

On peut en trouver une autre explication qui a été égale-
ment donnée par Maxwell. L'énergie absorbée parle passage
de l'onde à travers la substance doit se retrouver nécessaire-
ment sous une forme quelconque. Dans les métaux elle se

ÉLICTRIClTé ET OPTIQUE. 15

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2^6 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

transforme en chaleur. Dans les électrolytes elle sert à effec-
tuer la séparation des ions. Hais le sens du mouvement des
ions dépend de celui du mouvement électrique ; par suite,
Teffet produit par le passage d'une certaine quantité d'élec-
tricité dans un sens se trouve détruit par le passage d*une
même quantité en sens inverse et une succession de courants
alternatifs comme ceux qui résultent des perturbations ca-
pables de produire la lumière ne peut donner lieu à une
décomposition. Il n'y a donc pas d'énergie absorbée et l'inten-
sité lumineuse à la sortie d'un électrolyte doit être sensible-
ment égale à l'intensité de la lumière incidente.

202. Maxwell a fait quelques expériences pour vérifier
quantitativement si l'intensité lumineuse décrott bien comme
l'exponentielle e - ^p*. Il a opéré sur le platine, l'or, l'argent
qui, réduits en lames très minces, laissent passer la lumière.
Il semble résulter que la transparence de ces corps est beau-
coup plus grande que ne le voudrait la théorie. Mais ce résul-
tat s'explique facilement ; l'épaisseur des lames n'est pas uni-
forme et une forte proportion de la lumière transmise traverse
une épaisseur beaucoup plus faible que la valeur de z prise
dans le calcul de l'exponentielle.

SM>8. Réflexion des ondes. — Les lois de la réflexion de
la lumière peuvent se déduire des équations du champ ma-
gnétique» Dans une note publiée dans la traduction française
du traité de Maxwell (t. II, p. 507), M. Potier a montré qu'on
retrouve ainsi les formules données par Fresnel pour la
réflexion vitreuse et celles de Gauchy et Lamé pour la ré-
flexion métallique. Ces formules ayant été vérifiées par l'ex-
périence, leur déduction de la théorie de Maxwell est une

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE ^7

nouvelle confirmation de cette théorie. Cependant, les va-
leurs numériques des constantes, déterminées par les mé-
thodes optique et électrique ne concordent pas ; le désaccord
notable pour les diélectriques transparents est encore plus
marqué pour les métaux. En particulier la réflexion de la
lumière sur le fer devrait différer, d'après la théorie de
Maxwell, de la réflexion sur les autres métaux puisque le
coefficient de perméabilité magnétique du fer est environ
30 fois plus grand que celui de la plupart des métaux; or
Texpérience n'a, jusqu'ici, révélé aucune particularité dans
les lois de la réflexion sur le fer.

Cette divergence peut s'expliquer si l'on suppose que Tin*
duction magnétique est un phénomène qui n'est pas instan-
tané. Avec des vibrations extrêmement rapides, le phéno-
mène n'aurait pas le temps de se produire.

On pourrait invoquer un argument à l'appui de cette ma-
nière de voir. Les expériences de M. Fizeau sur la vitesse de
propagation de l'électricité à travers un fil ont prouvé que
cette vitesse est plus faible dans le fer que dans le cuivre.
Cela s^explique aisément: car gr&ce au phénomène de l'ai*
mantation transversale qui se produit dans un fil de fer par*
couru par un courant, la self-induction du fer est plus
grande que celle du cuivre.

Au contraire, les expériences de Hertz donnent pour la
vitesse dans le fer la même valeur que pour la vitesse dans
le cuivre, comme si, dans ces alternances extrêmement
rapides réalisées par l'illustre physicien de Carlsruhe, le fer
n'avait pas le temps de se magnétiser par induction. « Auch
Eisendrâhte machen keine Ausnahme von der aligemeinen
Regel, die' Hagnetisirbarkeit des Ëisens kommt also bei so

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2i8 ÉLEGTRICrrÉ ET OPTIQUE

schneUen Bewegungen nicht in Betracht (Hertz, Wiedemanh's
Annalen, t. XXXIV, page 658).

204. Énergie de la radiation. — Dans les théories or-
dinaires des phénomènes lumineux, le milieu qui transmet la
lumière renferme, de l'énergie sous forme d'énergie poten-
tielle et sous forme d'énergie kinétique ; l'énergie potentielle
est due à la déformation du milieu, supposé élastique ; l'éner-
gie kinétique résulte de son mouvement vibratoire. L'énergie
totale d'un élément de volume reste constante et par suite,
quand l'énergie potentielle varie, l'énergie kinétique varie en
sens inverse d'une quantité égale.

Dans la théorie électromagnétique, on suppose également
que l'énergie du milieu est en partie potentielle, en partie
kinétique. L'énergie potentielle, due aux actions électrosta-
tiques, a pour expression (32).

w = /|

{r+9^+à')d^\

l'énergie kinétique est le potentiel électrodynamique du sys-
tème de courants développés dans le milieu, c'est-à-dire (144),

-j L

r-(aa + pô+Yc)rfT.

Cherchons les valeurs de ces deux quantités dans le cas
d'une onde plane parallèle au plan deso^ et dans li^quelle le
moment électromagnétique est dirigé parallèlement à Taxe

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 229

des œ. NouB avons alors, d'après le § 181,

G = H = o, Q = R = o, gz=h = 0,

a = Y = o, a = c = Oj

et les expressions des deux formes de l'énergie deviennent

Mais les équations (VII) et (III) du champ électromagné-
tique nous donnent

' k-K kn dt

^ dF

de sorte que nous avons pour les valeurs de Ténergie poten-
tielle et de Ténergie kinétique rapportées à l'unité de volume

La fonction F, devant satisfaire à Téquation différentielle

(180),

„ d*F _d*F

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230 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

est de la forme

où

nous avons donc

^=vfe'

f VA(.-V,),

f = /-(«-v.).

et par conséquent

Les valeurs (1) et (2) des deux formes de l'énergie sont donc
égales entre elles ; quand Tune d'elles varie, Tautre varie dans
le même sens de la même quantité. Nécessairement, puisqu'il
y a conservation de l'énergie dans le système tout entier,
l'énergie perdue dans un élément de volume doit se retrou-
ver dans un autre élément. Ces conséquences difièrent de
celles des théories ordinaires de la lumière que nous avons
rappelées en commençant.

205. Tensions et pressions dans le milieu qui trans-
met la lumière. — Nous avons vu (81) que dans un milieu
diélectrique en équilibre contraint, un élément de surface per-
pendiculaire aux lignes de force subit une tension normale
dont la valeur par unité de surface est égale au produit de

g- par le carré de la force électromotrice, tandis que sur les

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 231

éléments parallèles aux lignes de force s^exercent des pres-
sions qui, rapportées à Tunité de surface, ont la même valeur
que cette tension. Si donc nous prenons Taxe des œ parallèle
aux lignes de force et si avec Mcucwell, nous convenons de
représenter les pressions par des quantités négatives, nous
anrons pour les valeurs des tensions et des pressions, par
unité de surface, qui s'exercent sur des éléments perpendi-
culaires aux axes de coordonnées,

.^ pa p — _ ^ pa p — __
Stc*^' *^^^~" Stc*^' ^"-^ 87C

Mais, avec ce système d*axes, Ténergie électrostatique rap-
portée à Tunité de volume a pour valeur

W=|/. = ^P.;

par conséquent les tensions et pressions par unité de surface
sur les éléments considérés sont égales à l'énergie électro*
statique par unité de volume.

206. La loi des attractions et des répulsions étant la même
pour les masses électriques et les masses magnétiques nous
devons nous attendre à trouver des tensions et des pressions
analogues aux précédentes dans le champ magnétique.
Maxwell traite le cas général où il existe dans le champ des
aimants et des courants. La méthode qu'il emploie est sujette
à des objections. Mais il est inutile d'envisager le cas général
puisque, d'après l'hypothèse d'Ampère, le magnétisme per-
manent s'explique par des courants partie ulaires. Nous pou-
vons donc supposer qu'il n'y a que des courants circulant

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232 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

dans un milieu dont la perméabilité magnétique est égale àl ;
nous y gagnerons en rigueur et en concision.

Considérons un élément de volume dx, et soient u, v, lo les
composantes de la vitesse de Télectricité au point qu'il oc-
cupe. D'après notre hypothèse, Tlnduction magnétique en
ce point se confond avec la force électromagnétique et les
formules (2) du § 160, qui donnent les composantes delà force
électrodynamique rapportées à Tunité de volume deviennent

X = Y» — Pw?,
Y = au? — yUf

Z = pu — OLV,

Les composantes u, v, to de la vitesse de Téiectricité étant
liées à celles delà force électromagnétique par les équations
(II) (167) la première des équations précédentes peut s'écrire

*'^=r(i-i)-p(i-f;>

OU, en ajoutant et retranchant au second membre le produit

—
dœ

dx'^ ^ dy ^ ^ dz dx ^ dx ^ dx

Mais, puisque la force électromagnétique est égale à Fin-
duction magnétique, la relation qui lie les composantes de
cette dernière quantité (102)

—M—M—

dœ^ dy'^ dz^^'

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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 233

devient

nous pouvons donc ajouter le produit a (— -f* "^^ "h ^) au

second membre de la relation qui donne 47rX sans en changer
la valeur, et nous avons

4-X — —4-6 — 4- — — — — 6^— ^

dœ"^ ^ dy"^^ dz dx ^ dx ^ dx

J-a — 4- •^4-a^*

En rangeant convenablement les termes du second membre ,
on voit que Ton peut écrire

et de même

207. Supposons maintenant que les forces électrodyna-
miques soient dues à des pressions ou tensions résultant de
l'élasticité du milieu et désignons les composantes des tensions
par

^xxdiùy ^xydiùj Pxj<i(i), pour un élément normal à Taxe des a?,
PyxC^o), Pyyrfio, Pyj^io), pour utt élément normal à Taxe des y,
^zxdiù^ Ptpdiù, P,«rfci>, pour un élément normal à Taxe des z.

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234 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Un parallélipipède élémentaire de volume dx et dont les
faces sont parallèles aux plans de coordonnées doit être en
équilibre sous Taction de ces neuf forces et des trois compo-
santes Xrfr, YrfT, ZrfT de la force électrodynamique. En écrivant
que ce parallélipipède ne peut prendre aucun mouvement de
rotation autour d'un quelconque des axes de coordonnées,
nous obtenons les relations

et en écrivant qu'il ne peut y avoir translation suivant ces
mêmes axes, nous avons

dœ "^ dy ^ ds

dx "^ dy * dz ^
Z^^!^z,dPj^, dP^

do) *^ dy ^^ dz

L'identification de ces valeurs de X, Y, Z avec celles que
Ton déduit des équations obtenues dans le paragraphe précé-
dent, nous donne :

Px.

(«»-

-p1_

y').

P.V

■"Sic

(p._

■T»-

«'),

P«

1
~8«

(t'-

■ «>-

P.y =

= Pyx

=^-

Py= =

= Pz.

Pzx =

= P,x

-n.

~4it

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THÉORrE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE S3K

Lorsqu'on prend les axes de coordonnées de telle sorte que
raxedesâ?8oU parallèle à la force magnétique, onap=Y=o,
et par conséquent les six dernières composantes des tensions
que nous venons de calculer sont nulles. Les trois premières
deviennent

a^ a^ a^

OTT 07f OTT

Un élément perpendiculaire aux lignes de force magnétiques
éprouve donc une tension normale et les éléments parallèles
à ces lignes de force, des pressions normales. Les valeurs de
cette tension et de ces pressions rapportées à l'unité de sur-
face, sont égales entre elles. Elles sont aussi égales à l'éner-
gie électrodynamique par unité de volume puisque cette éner-
gie devient, par suite du choix des axes de coordonnées,

208« Appliquons ces résultats au cas d'un milieu transmet*
tant des ondes planes, en prenant le plan des œy parallèle à
Fonde et Taxe des œ parallèle au moment électromagnétique.

La force électromotrice ayant même direction que le mo-
ment électromagnétique les lignes de forces électriques sont
parallèles à l'axe des x; un élément perpendiculaire à cet axe
subit donc une tension normale dont la valeur par unité de
surface est égale à l'énergie électrostatique W rapportée à
l'unité de volume. Mais les lignes de force magnétiques sont
perpendiculaires aux lignes de force électriques puisque laforce
électromagnétique et la force électromotrice sont rectangu-
laires entre elles ; par suite, l'élément considéré est parallèle

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236 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

aux lignes de force magnétique, et, de ce fait, il éprouve une
pression normale dont la valeur par unité de surface est égale
à l'énergie électrodynamique T rapportée à l'unité de volume.
Ces deux quantités W et T étant toujours égales entre elles
(204), la pression et la tension qui s'exercent sur l'élément se
compensent.

On verrait qu'il en est de môme pour un élément perpendi-
culaire à l'axe des y.

Pour un élément perpendiculaire à Taxe des -ar, c'est-à-dire
parallèle au plan de l'onde, la pression électrostatique s'ajoute
à la pression électromagnétique, de sorte que la pression
totale par unité de surface est égale à l'énergie totale par
unité de volume.

209. Maxwell a calculé la pression qui s'exerce sur une
surface éclairée par le soleil. En admettant que l'énergie de
la lumière qu'un fort rayon de soleil envoie sur un espace
d'un mètre carré est de 124,1 kilogrammètres par seconde,
l'énergie moyenne contenue dans un mètre cube de l'espace
traversé par le rayon est d'environ 41,36 x 10 -^ kilogram-
mètres ; par suite la pression moyenne par mètre carré est
41,36 X 10 -« kilogrammes ou 0»%0004136.

La moitié de cette pression étant égale à' l'énergie électro-
statique et à l'énergie électrodynamique, il est facile d'obtenir
les valeurs de la force électromotrice par unité de longueur
et de la force électromagnétique. Maxwell a trouvé que la
force électromotrice est d'environ 600 volts par mètre et que
la force électromagnétique est 0,193 en mesure électromagné-
tique, soit un peu plus du dixième de la composante horizon-
tale du champ magnétique terrestre en Angleterre.

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THÉORIE ÉLEGTROMAGNÉTIQUR DE LA LUMIÈRE ^37

210. Interprétation des pressions éleotrodyna-
miques* — Nous avons fait remarquer (84) que TexisteDce
des pressions électrostatiques s'accordait mal avec l'hypo-
thèse fondamentale de la localisation de l'énergie dans le
milieu diélectrique. Les pressions électrodynamiques s'inter-
prètent plus facilement et dans un mémoire publié dans le
Philosophical Magazine (^), Maxwell en a donné une expli-
cation qui présente un certain intérêt.

— ^ ^ ' ^ dx étant

supposée de l'énergie kinétique nous pouvons regarder le
milieu dans lequel s'effectuent les phénomènes électrodyna-
miques comme constitué par des molécules animées de mou-
vements de rotation. Si a', p', y' sont les composantes du
mouvement de rotation d'une des molécules supposée libre,
l'énergie kinétique résultant de ce mouvement est proportion-

a'a -1- ft'a -1_ y'a
nelle à — a — "^ ^^^ ^^^^ possible d'identifier Tex-

pression de l'énergie électrodynamique avec celle de l'énergie
du milieu tourbillonnant en prenant les composantes de la
rotation proportionnelles à celles de la force électromagné-
tique. La direction de cette force devient alors celle de l'axe
de rotàUon de la molécule.

Si nous supposons cette molécule sphérique, elle tendra à
s'aplatir aux pôles et k se renfler à l'équateur. Un élément
de surface perpendiculaire à l'axe de rotation se trouvera
sollicité par une force normale dirigée vers le centre de la
molécule; au contraire, un élément situé su r l'équate ur paral-

/^ ^ OF THE ^

(«) Phil. Mag. ; années 1861 el 1862. U N I VERSIT Y

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t^ ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

lèlemeni à l'axe subira une force normale dirigée vers Texté-
rieur de la molécule tournante. Comme Taxe de rotation a
même direction que la force magnétique, un élément perpen-
diculaire à cette force est donc soumis à une tension, tandis
qu'un élément parallèle est soumis à une pression. La diffé-
rence algébrique entre les valeurs de cette pression et de cette
tension est due à la force centrifuge ; elle est proportion-
nelle à a'« + p'* -j- y'^» c'est-à-dire au double de l'énergie
kinétique. Nous retrouvons donc bien les résultats du§S07.

Dans son mémoire, Maxwell suppose que la rotation des
molécules magnétiques se transmet de Tune à l'autre au moyen
d'un mécanisme de connexion formé de petites molécules
sphériques dont le rôle peut être assimilé à celui d'engrenages.
L'induction magnétique est alors due à Tinertie des sphères
tournantes, la force électromotrice est Teffort exercé sur le mé-
canisme déconnexion, enfin le déplacement de l'électricité est
le déplacement résultant des déformations de ce mécanîsKie.

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CHAPITRE XII

0"
POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE

211. Lois du phénomène. — La rotation du plan de
polarisation de la lumière sous l'influence d*un champ magné-
tique créé par des aimants ou des courants est le phénomène
le plus remarquable de ceux qui mettent en évidence les
actions réciproques de la lumière et de l'électricité.

Découverte par Faraday en 1845, la polarisation rotatoire
magnétique a été ensuite étudiée par Verdet qui a établi les
lois suivantes :

i° La rotation du plan de polarisation d'une lumière simple
est proportionnelle à l'épaisseur du milieu traversé par le
rayon ; elle varie à peu près en raison inverse du carré de la
longueur d'onde de la lumière employée;

â® Elle est proportionnelle à la composante de l'intensité
du champ magnétique suivant la direction du rayon ; la rota-
tion est donc maximum quand la direction du rayon coïncide
avec celle du champ ; elle varie comme le cosinus de l'angle
formé par ces deux directions lorsqu'elles ne coïncident pas;

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240 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

3*" Sa grandeur et son sens dépendent de la nature du milieu.
Les corps diamagnétiques dévient le plan de polarisation dans
le sens du courant qui, tournant autour du rayon, donnerait
au champ sa direction actuelle ; les corps magnétiques,
comme les dissolutions de perchlorure de fer dans Talcool ou
Téther donnent une rotation inverse. Toutefois cette dernière
loi présente quelques exceptions ; ainsi le chromate neutre de
potasse, quoique diamagnétique, produit comme le perchlo-
rure de fer une rotation de sens inverse à celui du courant.

212. Une différence importante distingue la polarisation
rotatoire magnétique de la polarisation rotatoire que pré-
sente naturellement certaines substances cristallisées comme
le quartz, et plusieurs liquides comme l'essence de thé-
rébentine.

Dans ce dernier phénomène la rotation au plan de polari-
sation est encore proportionnelle à Tépaisseur de la substance
traversée, mais le sens de cette rotation change en même
temps que la direction de propagation du rayon; en d'autres
termes le sens de rotation reste toujours le même pour un
observateur qui se place de manière à recevoir le rayon de
lumière. Par suite les plans de polarisation de deux rayons
traversant, suivant des directions opposées, une même épais-
seur d'une substance active, subissent des déviations égales
mais de sens inverses. Il en résulte que si un rayon polarisé
rectilignement, après avoir traversé une substance, est
réfléchi sur lui-même de manière à la traverser une
seconde fois en sens inverse, le plan de polarisation de la
lumière émergente se confond avec celui de la lumière
incidente.

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 241

Dans la polarisation rotatoire magnétique le sens de ]a
rotation est indépendant de la direction du rayon; il ne
dépend, pour une substance déterminée, que de la direction
du champ magnétique. Un rayon lumineux que Ton fait
passer deux fois en sens inverses à travers cette substance au
moyen d'une réflexion subit donc une rotation double de
celle qui résulterait d*un seul passage.

Cette propriété a été mise à proflt pour augmenter consi*
dérablement la rotation observée en faisant traverser plusieurs
fois la substance par le môme rayon S, à Taide de deux miroirs

Pig. 34.

plans M et M' {fig, 34) disposés presque normalement à la
direction du rayon. Cet artifice et l'emploi d*un champ
magnétique très puissant ont permis à M. H. Becquerel et à
M. Bichat de découvrir presque simultanément le pouvoir
rotatoire des gaz qui avait échappé aux observations de Fara-
day et de Verdet.

213. Essais d'explication de la polarisation rota-
toire magnétique. — Avant Maxwell plusieurs tentatives
avaient été faites dans le but d'expliquer la rotation du plan
de polarisation sous Tinfluencc d'un champ magnétique.

Dès Tannée qui suivit la découverte de Faraday, Airy (*)

(^) Philosophical Magaiine, juin 1846.

élb^bicit6 bt optiqub. 16

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Uî ÉLEGTRIQTÉ ET OPTIOOB

proposa plusieurs formules exprimant cette rotation en fonc-
tion de la longueur d'onde dans le vide de la lumière
employée et de l'indice de réfraction de la substance pour
cette lumière. Airy avait été conduit à ces formules par les
travaux antérieurs de Mac-GuUagh sur la polarisation rota-
toire du quartz. Comme nous l'avons vu dans un antre
ouvrage {*) la rotation du plan de polarisation d'un rayon se
propageant suivant l'axe du cristal s'explique par l'addition
de certaines dérivées du troisième ordre des composantes du
déplacement d'une nK)lécule d'éther aux seconds membres
des équations du mouvement de cette molécule ; ces équa-
tions deviennent alors, si Ton prend pour axe des z la direc-
tion du rayon lumineux,

P dC^ "" dz^ ^ dz^

En substituant aux dérivées du troisième ordre, par rapport
à J8r, les dérivées du même ordre prises par rapport à ^ et à^,

(») '-^A^^-^%

où m est un coefQcient dépendant de l'intensité du champ
magnétique, X la longueur d'onde dans le vide, i l'indice de
réfraction. La substitution de dérivées du troisième ordre

(<) TMoirit malhimatigue de la lumière, p. IS2.

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POLARISATION ROTATOIRE HAiHtÉTIQUB 243

prise uniquement par rapport au temps + j^ *t
conduisit à une autre formule

(II) o = mi{i-xf).

Enfin, en prenant les dérivées du premier ordre par rapport
au temps + -^ et — ^» il arriva à une troisième formule

(III) o = m(i-xf^.

214, Quoique très différentes, ces formules rendaient
compte des faits observés par Faraday qui n'avait fait aucune
mesure quantitative. Ce physicien avait seulement démontré
que la rotation dépend de la nature de la radiation en cons-
tatant qu'avec la lumière blanche, Timage donnée par Tana-
lysenr présente des colorations rapidement variables avec la
position de la section principale de celui-ci ; toute formule
contenant la longueur d*onde était donc acceptable. En 1847,
M. Ed. Becquerel (*) eut Tidée de comparer le phénomène de
Faraday à la polarisation rolatoire présentée par l'eau sucrée ; il
trouva que ces deux phénomènes étaient absolument analogues ;
par suite la loi de Biot semblait applicable à la polarisation
rotatoire magnétique, c'est-à-dire que la rotation devait être
en raison inverse du carré de la longueur d'onde. La formule
(III) qui est loin de remplir cette condition devait donc être
rejetée.

Des expériences directes, faites avec le plus grand soin,

(1) Comffei rendm de 1^ Académie de$ êoienees, t. XXI, p. 952.

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â4i ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

furent entreprises par Verdet, en 1863, pour mesurer la rota-
tion du plan de polarisation de radiations simples, de longueurs
d'onde connues, sous Tinfluence d*un champ magnétique;
leurs lésultats furent comparés aux valeurs fournies par
chacune des formules précédentes dans lesquelles le coefO-
cienl m était déterminé au moyen des données d'une expé-
rience. Gomme on devait s'y attendre d'après les résultats de
M. Becquerel, la formule (III) donne des nombres s'écartant
beaucoup de ceux fournis par l'expérience ; la formule (II) con-
vient mieux, mais la formule (I) est celle qui est préférable ;
en particulier, pour le sulfure de carbone, les nombres donnés
par cette dernière formule ne diflerent des résultats de l'expé-
rience que d'une quantité de l'ordre de l'erreur expérimentale.
Des trois formules proposée par Airy la première est donc la
seule à conserver.

215* Mais, si la concordance de la formule (I) avec l'expé-
rience justifle l'introduction des dérivées -f- rrrr. et — . , -

dans les seconds membres des équations du mouvement d'une
molécule d'éther, aucune considération théorique ne préside
au choix de ces dérivées, à l'exclusion des autres; on ne pos-
sédait donc pas encore de théorie de la polarisation rotatoire
magnétique. Il est vrai que Airy n'avait pas proposé ses
formules comme donnant une explication mécanique de la
rotation du plan de polarisation mais seulement, dit-il,
« pour faire voir quelle peut être expliquée par des équations
qui semblent de nature à pouvoir se déduire de quelque hypo-
thèse mécanique plausible, quoique Ton n'ait pas encore
formulé cette hypothèse. »
Quelques années avant les expériences de Verdet, M. Gh.

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE S45

Neumann (*) avait tenté de combler cette lacune. Neumann
suppose que les molécules du fluide électrique des courants
particulaires qui, d'après Ampère, prennent naissance à Tinté-
rieur d*un corps aimanté agissent sur les molécules d'éther ;
en outre il admet que ces actions réciproques, comme celles
qui s'exercent entre deux molécules électriques dans la théorie
de Weber, sont modifiées par le mouvement relatif de ces
molécules. Il résulte de ces hypothèses qu'une molécule
d*éther est soumise non seulement aux forces résultant de
rélasticité de Féther, mais encore à des forces, variables avec
le temps, provenant des actions des molécules électriques
voisines. Neumann démontre que la résultante de ces der-
nières forces est à chaque instant proportionnelle à la vitesse
de la molécule d'éther et à la force magnétique et perpendi-
culaire au plan de ces deux directions. Par conséquent, si
nous considérons une onde plane se propageant suivant la
direction du champ magnétique, et si nous prenons le plan
des œy parallèle à Tonde, les composantes suivant les axes
des œ et des y, de cette résultante auront respectivement pour
valeurs

-^"dt ''- -''di'

a étant un coefficient proportionnel à Tintensité du champ.
Nous aurons donc pour les équations du mouvement d'une
molécule d'éther

^dfl = d? + ''dt'

cPy\ _ î^_ ^

P dfl "■ dz^ ^ dt

{}) Die magnetiêche Drehung der Polarx$ation$ebene des Liehtes»
Halle, 1863.

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246 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Ces équations ne diffèrent des équations de Mac-CuUagh
(213) que par la substitution des dérivées deY^etipar rapport
à t aux dérivées du troisième ordre de ces mêmes quantités par
rapport à z ; par suite elles doivent conduire pour la valeur
de la rotation du plan de polarisation à la formule (III), for-
mule en complet désaccord avec Texpérience. La théorie de
Neumann, bien que remarquable par la simplicité des hypo-
thèses, doit donc être rejetée.

216, Théorie de Maxi^ell, — Ainsi, au moment où
Maxwell écrivait son Traité, il était reconnu que la théorie de
Neumann conduisait à une formule en complète contradiction
avec les résultats expérimentaux, et que, des formules pro-
posées par Airy, la formule (I) était celle qui s'acccurdait le
mieux avec ces résultats. Il sufGsait donc, pour obtenir une
théorie acceptable de la polarisation rotatoire magnétique,
d'expliquer par des hypothèses plausibles, l'addition des

dérivées -j- "^ et — , , , aux équations du mouvement

d'une molécule d'éther dans un milieu isotrope.

Faisons observer que l'introduction de ces dérivées dans
les équations du mouvement peut, indépendamment de toute
idée théorique, s'effectuer de deux manières différentes.

Pour le montrer rappelons en quelques mots comment on
arrive aux équations du mouvement d'une molécule d'éther
dans un milieu isotrope (^). Si nous appelons U la fonction
des forces qui résultent de l'élasticité de l'éther lorsqu'un
ébranlement se propage dans ce milieu, le mouvement d'une
molécule de masse m subissant un déplacement l suivant

(t) Théorie mcUhémalique de la lumière, pp. I à 48 et 176 à 182.

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POLARISATION nOTATOIRE MAGNÉTIQUE 247

Taxe des x, est donné par Téquation

si \ n*est qu'une des composantes du déplacement et y), et C
les deux autres composantes, nous aurions en outre deux
équations analogues. Lorsqu'on admet que les forces qui
s'exercent entre les molécules n'agissent qu'à des distances
excessivement petites, la fonction U peut s'écrire

\] = fwdT,

W étant la valeur de la fonction des forces, rapportée à l'unité
de volume, au point occupé par l'élément dt, et l'intégrale
étant étendue à tout l'espace occupé par l'éther. L'étude de W
montre que c'est une fonction des dérivées partielles des
divers ordres de Ç, yj, Ç par rapport aux coordonnées a?, y, ^,
et, par diverses transformations, on arrive à mettre les équa-
tions du mouvement (1) sous la forme

r étant l'une quelconque des dérivées de l par rapport à a?, y, z;
r une quelconque des dérivées secondes de Ç par rapporta ces
mêmes variables. Ces équations nous montrent que les termes
de W qui ne contiennent ces dérivées qu'à la première puissance
doivent disparaître lorsqu'on suppose les déplacements pério-
diques. Par conséquent, si nous négligeons les termes du
troisième degré par rapport à ces dérivées et si nous désignons
par W) l'ensemble des termes du second degré, l'équation

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248 ÉLECTRICITÉ ET OI>TIQCE

précédente devient

En général, le second membre de cette équation contient
des dérivées de Ç, 7|, Ç, par rapport à a?, y, ^, de tout ordre à
partir du second, mais pour les milieux isotropes les dérivées
d'ordre impair disparaissent. Cette équation se simplifie encore
dans ce cas, Iorsqu*on considère une onde plane perpendicu-
laire à Taxe des z ; il ne reste plus que les dérivées
d'ordre pair de 5 par rapport à z. L'équation précédente peut
alors s'écrire

Les deux autres équations du mouvement s'obtiendraient en
remplaçant dans celle-ci, \ par ir|, puis par C*

Mais les équations générales telles que (2) peuvent se
mettre sous la forme indiquée par Lagrange,

où U a la môme signification que précédemment et où T dé-
signe l'énergie kinétique,

T=|/(r* + >|'> + r)rfT,

S', V» C représentant maintenant les dérivées par rapport au
temps. Cette dernière équation n'étant qu'une transformation

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 249

de l'équation (2), il est évident qu'elle ne peut contenir» comme
celle-ci, que des dérivées d'ordre pair dans le cas d'un milieu
isotrope. Par conséquent, pour que les équations du mouve-
ment contiennent des dérivées d'ordre impair il faut intro-
duire des termes complémentaires, soit dans l'expression de
la fonction U relative aux corps isotropes, soit au contraire
dans l'expression T de l'énergie kinétique. On a donc deux
moyens dififérents pour arriver aux formules d'Airy.

217. Dans les théories ordinaires de la lumière c'est la
fonction U qui, changée de signe, représente l'énergie poten-
tielle du milieu, que l'on modifie toutes les fois qu'il s'agit
d'expliquer les phénomènes présentés par les milieux aniso-
tropes. Dans la théorie de la polarisation rotatoire de Maxwell,
c'est, au contraire, l'énergie kinétique T qui est modifiée,
U conservant la même expression que dans un milieu iso-
trope. Quant aux raisons invoquées par ce physicien pour jus-
tifier cette modification et surtout pour arriver aux termes
complémentaires qu'il convient d'introduire dans T pour
retrouver la formule (I), elles laissent beaucoup à désirer
comme précision et comme clarté. Nous y reviendrons plus
tard; pour le moment acceptons sans explications le résultat
des spéculations de Maxwell et montrons comment l'équa-
tion (4), et les deux qui s'en déduisent par la substitution
de Yi et C à S, conduisent dans le cas d'une onde plane, à la
formule (I).

Si nous posons

dy
op étant une fonction quelconque et a, p, y les composantes de

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250 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

la* force magnétique, le terme complémentaire introduit par
Maxwell dans l'énergie kinétique a pour expression.

(») '=/t'^(|-ê)+v|(â-f)

Dans le cas d*une onde plane parralèle au plan des œy^ les
composantes C» >!, C ne dépendent ni de x, ni de y ; par suite,
on a :

d^i"^ dz
et le terme complémentaire se réduit à

/r(vS-r£3)*.

L'énergie kinétique est donc égale à

218. Cherchons ce que devient Téquation (4) lorsqu'on y
porte cette valeur de T.
Si nous supposons X constant, nous avons

ddT_ T/ d^l d^-n \ .

di^-J Vdfi'-^^dP^t)'^'''

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 251

Le terme principal de T ne donne rien dans --=■ ; quant au

terme complémentaire, il faut le transformer pour pouvoir
calculer sa dérivée par rapport à Ç. Or, on peut écrire

la première intégrale du second membre étant étendue à la
surface du volume considéré, et X désignant le cosinus de
Tangle formé par Taxe des œ avec la normale à Télément diù
de cette surface. Si nous supposons les intégrales de volume
étendues à l'espace tout entier ses éléments de l'intégrale
double se rapportent à des points situés à l'infini. Comme on
peut supposer que Ç, 7|, C sont nul? à l'infini, les éléments
de cette intégrale sont également nuls, et nous pouvons
écrire

En effectuant une transformation analogue pour l'intégrale
du second membre de l'égalité, précédente nous obtenons

J dz dz^^- I ^ dz* **'•
La dérivée par rapport à Ç de cette dernière intégrale est

/&■-

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252 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

par suite le terme complémentaire de T donne

-^'^j-Bdt^'^

dans Téquation (4) et celle-ci peut s'écrire :

D'après Gauchy -jr- a pour expression dans un milieu iso-
trope

^« dz* ^^*dz'^ ••'

C'est d'ailleurs ce qui résulte de la forme du second membre
de l'équation (3). L'équation (4) et celle qui s'en déduit en
remplaçant \ par i) deviennent donc

/ f^J_9r -^_A ^_LA f^J_

219. Cherchons à satisfaire à ces équations en posant
(7)

Ç = r C08 (nt — qz)
ifj =: r sin (n^ — qz)

éfj^alités qui expriment que la molécule considérée décrit une cir-
conférence de rayon r. En substituant ces valeurs de ^ et y^, nous
obtenons, après suppression des facteurs communs, Téqua-

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 253

iioD de condition

(8) pn2 - 2Cyq^n = \,q^ + A,q* +...

En divisant les deux membres par q^ nous avons une équa-

tion du second degré en - Ce rapport exprimant la vitesse

de propagation du mouvement, nous avons donc deux valeurs
pour cette vitesse. Mais le coefficient Ao étant positif et les
coefficients A|...y étant très petits, Tune de ces valeurs est
négative et il n'y a pas lieu de la considérer, si Ton ne s'oc-
cupe que des phénomènes qui se passent au-dessus du plan
des œy.

Si nous donnons à n deux valeurs ne différant que par le
signe, ce qui correspond à deux molécules décrivant la cir-
conférence de rayon r en sens inverses, les valeurs positives

ti
de - sont différentes, pourvu toutefois que y ne soit pas nul.

Un rayon circulaire droit ne se propage donc pas avec la
même vitesse qu'un rayon circulaire gauche, par conséquent
l'un d'eux prend une avance sur l'autre et si ces rayons pro-
viennent d'un même rayon polarisé rectilignement ils se com-
posent à la sortie du milieu pour donner un rayon polarisé
rectilignement mais dont le plan de polarisation n'a pas le
même azimut que la lumière incidente ; il y a donc rotation
du plan de polarisation.

220. Évaluons cette rotation. On sait qu'elle est égale à la
moitié de la différence de phase que les rayons droit et
gauche contractent, l'un par rapport à l'autre, en traversant
le milieu et qu'elle s'etfectue dans le sens du mouvement des
molécules du rayon qui va le plus -vite. Si donc nous dési-

OF THE ^

:VERSITTJ

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254 ÉLECTRICITÉ ET OPTIÛUB

gnons par ^ et par <^' les valeurs de q pour le rayon droit et
pour le rayon gauche et par c Tépaisseur du milieu traversé,
le plan de polarisation tournera dans le sens des aiguilles
d'une montre d'un angle égal à

Mais d'après l'équation de condition (8), q dépend de y.
Comme d'ailleurs la variation de q due à l'action magnétique
n*e8t toujours qu'une très faible fraction de la valeur même
de q^ nous pouvons écrire

? = ?o + ^Y.

q^ étant la valeur de q pour une force magnétique nulle.
Cette quantité q^ doit donc satisfaire à l'équation (8) dans
laquelle on prend y = o ; par suite on a

pn» = Ao5^J^-A^9{ +

Les quantités (^ et q^' doivent satisfaire à cette même équa-
tion (8) dans laquelle on donne à n des valeurs ne différant
que par le signe ; à la valeur positive de n correspondra la
valeur <^* puisque d'après les équations (7) on a un rayon cir-
culaire gauche se propageant suivant la direction positive de
l'axe des z quand n est positif ; à la valeur négative de n cor-
respondra au contraire la valeur q'; par conséquent nous
aurons

pn^ + 2GY(?'*n = Ao<?'» + A^^'^ +

pn> - 2CYî''»n = Ao/» + A,/^ +

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POLARISATION ROTATOIRE MAONÉTIQUE 255

La comparaison des trois dernières relations montre immé-
diatement que Ton a (jt>q^ et ^< ç^; nous devons donc
écrire

«'' = «o + ^^' S^' = «'«-^^

Si nous portons ces valeurs de q' et ^ dans Texpression de
la rotation, nous obtenons

2 Wy ^ dt)

ou, eu confondant les valeurs des dérivées de q' et de q' par
rapport & y,

(9) «=-<'ï^-

221. En dérivant par rapport à y les deux membres de
Téquation (8) où nous considérons n comme constant, nous
avons

- ÎC% - «W,» ^ = («W + 4A,,. + ) ^ = 1 1.

Mais, admettre, comme nous l'avons fait, que la quantité q
ne varie que très peu sous Tinfluence d'un champ magné-
tique, c'est supposer que le coefficient C est très petit. Nous

pouvons donc négliger le terme K^'^qn ^ par rapport aux

termes du second membre, et il vient alors

(10) ^ = _2C,»«|.

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256 ÉLECTRJCITÉ ET OPTIQUE

Si maintenant, dans Inéquation (8) nous regardons y comme
constant nous avons en dérivant par rapport à n

2p«-2G,,«n-4C,,ng = (2Ao,-h4A,,3+ )g=g|-

Pour la même raison que précédemment le terme ^Cyq^n
peut être négligé par rapport à 2p« et le terme ACyqn — par
rapport à ceux du second membre ; par suite nous obtenons

^ dq dn

Si nous portons dans la relation (10) la valeur de -^ tirée
de cette dernière égalité, nous avons pour la valeur de la
dérivée partielle -^»

(11) £(2 = ..C2frf2^

^ ' dy p dn

Pour exprimer cette dérivée en fonction de la longueur
d'onde dans le vide X, de la lumière considérée et de Tindice
de réfraction i du milieu, remarquons que Ton a

ql = 27ut et nX = SttV,

V étant la vitesse de propagation dans le vide. De ces deux
relations nous tirons

et par conséquent

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE ?57

En outre, en différentiant ia seconde, nous obtenons
Xdn -)- nctk = o,

d'où

dn'^ dk dn dX

L'égalité (12) peut donc s'écrire

dn V \ rfX/ '

si nous portons cette valeur dans la relation (il) et si dans

celte relation nous remplaçons q par sa valeur -r-> nous
obtenons

Par conséquent, en posant
4it»C

pV ="*

la valeur de la rotation donnée par la formule (9) deviendra
Nous retrouvons donc bien la formule (I) d'Airy.

l. Interprétation du terme complémentaire de
l'énergie kinétique. — Il s'agit maintenant d'expliquer l'in-
troduction du terme complémentaire (5) dans l'expression de
l'énergie kinétique du milieu. Gomme nous l'avons dit les

ÉLBCTRiaTâ BT OPTIQUB. 17

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S58 ÉLECTRICITÉ £T OPTIQUE

explications de Maxwell n'ont pas toute la rigueur qu'on dé-
sirerait y rencontrer. Essayons cependant de les reproduire,
Maxwell pose ainsi la question : L'expérience apprend
qu'un milieu isotrope soumis à l'action d'un champ magné-
tique fait tourner le plan de polarisation de la lumière ; par
conséquent un rayon polarisé circulairement ne se propage
pas avec la même vitesse suivant qu'il est droit ou gauche.
Or si les composantes du déplacement d'une molécule d'éther
sont exprimées par les équations (7), nous aurons un rayon
circulaire droit ou gauche suivant que n est négatif ou positif.

La vitesse de propagation suivant l'axe des ^ est - ; comme

elle doit avoir une valeur différente pour le rayon droit et
pour le rayon gauche, à deux valeurs de n ne différant que
par le signe doivent correspondre deux valeurs de q diffé^
rentes et de signes contraires; ou bien, ce qui revient au
même, à une valeur de q doivent correspondre deux valeurs
de n différant par la valeur absolue et par le signe. Mais le
milieu considéré constitue un système dynamique dont l'état
est déterminé, à chaque instant, par un certain nombre
d'équations. Nous avons donc à rendre compte de ce fait que,
pour une valeur déterminée donnée à l'une et à l'autre des
quantités ^ et r, il y a deux valeurs distinctes de n qui satis-
font à ces équations.
Écrivons l'équation de Lagrange relative au paramètre r,

dt dr' dr ^ dr*

Ge paramètre ayant une valeurdéterminéene changeant pas
avec le temps, r est nul ; par conséquent le premier terme

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POLARISA-nON ROTATOfllE MAGNÉTIQUE S59

dispafalt de i'éqoation précédente, qui devient

dl , dV

Mais T, énergie kinéiique du système, est une fonction homo-
gène du second degré des vitesses de ce système ; T contient
donc w^i poisqae n est la vitesse angulaire d*une molécule
d'éther. Il peut égaleomt contenir des termes où se trouvent
les produits de n par d'antres vitesses et aussi des termes
dans lesquels ces vitesses entrent au second degré mais où ne
figure pas n. Quant à U, Maxwell suppose qu'il conserve la
valeur qu'il possède dans nn milieu isotrope non soumis à
l'action du magnétisme ; par suite, U ne renferme que des dé-
rivées de Ç et Yj par rapport à z; il ne contient donc pas n.
Par conséquent l'expression la plus générale de Téquation de
Lagrange que nous venons de considérer est

An* 4- Bn + C = o.

Puisque, d'après ce qui précède, cette équation doit être
satisfaite pour deux valeurs de n inégales en valeur absolue,
il faut nécessairement que B soit différent de zéro. Gomme
les termes Bn proviennent uniquement de l'énergie kinétique,
celle-ci contient donc au moins deux séries de termes.
L'une, An', est homogène et du second degré par rapport an;
c'est l'expression de l'énergie kinétique d'un milieu non sou-
mis à l'action du magnétisme. L'autre contient la première
puissance de n; elle est due au champ magnétique et par
suite elle représente le terme complémentaire qu'il s'agit
d'expliquer ou au moins une partie de ce terme.

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260 ÉLECTRICITÉ ET OPTrQDE

223. Voici maintenant les conclusions que Maxwell dédoit
de ce qui précède :

« Tous les termes de T sont du second degré par rapport
aux vitesses. Donc les termes qui renferment n doivent ren-
fermer quelque autre vitesse. Or cette autre vitesse ne peut
être ni r' ni q\ puisque, dans le cas que nous considérons,
r et ^ sont constants. C'est donc une vitesse existant dans le
milieu, indépendamment du mouvement qui constitue la lu-
mière. De plus, ce doit être ayant une quan ti té avec n une rela-
tion telle qu'en la multipliant par n le résultat soit unequantité
scalaire ; car, T étant une quantité scalaire, ses termes ne
peuvent être que des quantités scalaires. Donc celte vitesse
doit être dans la même direction que n ou dans la direction
contraire, c'est-à-dire que ce doit être une vitesse angulaire
relative à Taxe des z.

a Or cette vitesse ne peut être indépendante de la force
magnétique; car, si elle se rapportait à une direction fixe
dans le milieu, les phénomènes seraient différents quand on
retourne le milieu bout pour bout, ce qui n'est pas le cas.

« Nous sommes donc amené à cette conclusion, que cette
vitesse est obligatoirement liée à la force magnétique, dans le
milieu où se manifeste la rotation magnétique du plan de po-
larisation {Traité d'électricité, t. II, § 820). »

Un peu plus loin (§ 822), Maxwell ajoute :

« Lorsqu'on étudie l'action du magnétisme sur la lumière
polarisée, on-est donc conduit à conclure que, dans un milieu
soumis à l'action d'une force magnétique, une partie du phé-
nomène est due à quelque chose qui, par sa nature mathé-
matique, se rapproche d'une vitesse angulaire agissant autour
d'un axe dirigé suivant la force magnétique.

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 261

<( Cette vitesse angulaire ne peut être celle d'aucune partie
de dimensions finies du milieu, tournant d'un mouvement
d'ensemble. Nous devons donc penser que cette rotation est
celle de parties très petites du milieu tournant chacun autour
de son axe. Telle est l'hypothèse des tourbillons molécu-
laires. 9

224. Ainsi, d'après Maxwell, l'explication de la polarisa-
tion rotatoire magnétique doit résulter de l'existence de tour-
billons dans le milieu soumis à l'action d'un champ magné-
tique, tourbillons que nous avons déjà vu intervenir dans
l'interprétation des pressions électrodynamiques (210). Mais
quelles sont les lois qui régissent les mouvements de ces
tourbillons? Maxwell avoue notre ignorance absolue sur ce
sujet et, faute de mieux, il admet que les tourbillons d'un
milieu magnétique sont soumis aux mêmes conditions que
ceux queHelmholtz (*) a introduits dans l'Hydrodynamique,
et que les composantes d'un tourbillon en un poiat sont égales
à celles de la force magnétique en ce point.

Une des propriétés des tourbillons de Helmholtz peut
s'énoncer comme il suit : soient P et Q deux molécules voi-
sines sur l'axe d'un tourbillon ; si le mouvement du milieu a
pour effet d'amener les molécules en V et en Q', la droite P'Q'
représente la direction de Taxe du tourbillon, et la grandeur
de celui-ci est modifiée dans le rapport de PQ à P'Q'.

Si nous appliquons cette propriété aux tourbillons d'un mi-
lieu soumis au magnétisme, nous aurons, en applant a, p, y,
les composantes de la force magnétique au point P, a', p' y\
les composantes de cette même force quandle point Pest venu

{>) Sur U mouvement tourbiUonnaire ; Journal de Crelle, vol. LV, 1858.

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362 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

en P', et Ç, v|, C, les composantes du déplacement du point P,

225. Les composantes de la vitesse angulaire d'un élémoiit
du milieu ont pour valeur

/ION / _ i rf M rfC\

Or, puisque d'après les conclusions du § 223 l'énergie kiné-
tique doit contenir cette vitesse, le terme correspondant,
dans le cas où les axes de coordonnées sont quelconques par
rapport à la direction de la force magnétique, doit être de la
forme

et le terme complémentaire de l'énergie kinétique d*un
certain volume du milieu a pour expression

2Cy (a>^a' + a),p' + cojy') dt.

Si dans cette pression nous remplaçons a', p\ y par les

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(14)

POLARISATION ROTATOIRE MA6NÉTI0UB 263

yaleurs (12) et oo^ , (d,, 03, par les valeurs (13) nous obtenons

"/[•(l-i)+Kf-S)+^(^l)]*

, fr dn/dx: *A , ftrfî/rfc' rfïAj. 'i^(<^ li'M^

_ Cr rfg/dÇ' dC\,.d^(d\' <K\, rfjM' rfç'M .

Montrons que si l'on étend Tintégration à l'espace tout
entier la première intégrale de cette somme est nulle dans le
cas qui nous occupe. En effet, en intégrant par parties,
le. premier terme de cette intégrale donne

L'intégrale de surface se rapportant & la surface limite,
qui est à l'infini d'après notre hypothèse, Ç et a sont nuls ;
par suite l'intégrale elle-même est égale à zéro. Dans l'inté-
grale triple du second membre entre la dérivée ^ ; si donc

le champ magnétique est uniforme, comme c'est générale-
ment le cas lorsqu'on étudie la polarisation rotatoire magné-
tique, cette dérivée est nulle et l'intégrale triple l'est aussi.
En prenant ainsi successivement tous les termes de la pre-

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364 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

mière intégrale de Texpression du terme complémentaire, on
verrait qu'ils sont tous égaux à zéro. 11 n y a donc à consi-
dérer que les trois autres intégrales de cette expression

Celles-ci peuvent se mettre sous une ^utre forme. Considé-
rons en effet le premier terme de la première d'entre elles;
nous obtenons, en intégrant par 'parties

/•£f'"=/-='i'^-/-î'

■«*.

dœdy

ou, puisque l'intégrale de surface est nulle pour les mêmes
raisons que précédemment

dx dy I dœdy

Le second terme de Favant-dernière intégrale du terme
complémentaire nous donne, en opérant de la même ma-
nière,

/d-ndi:' , r w£[!3 .

et nous avons pour la somme des deux termes considérés

dœ \dx dy)

Une transformation analogue effectuée sur tous ks termes

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POLARISATION ROTATOIRB MAGNÉTIQUE 265

et un groupement convenable de ceux-ci montreraient que
l'expression (14) se réduit bien à Texpression (5) que nous
avons introduit (217) comme terme complémentaire dans
Ténergie kénétique du milieu soumis à Taction du magné-
tisme.

226. Difficultés soulevées par la théorie deMax^welL
— Dans la théorie que nous venons d'analyser, Maxwell
semble avoir complètement abandonné la théorie électroma-
gnétique de la lumière. Nous avons, en effet, implicitement
admis avec ce physicien, que lorsqu'une onde se propage
dans un milieu placé dans un champ magnétique, les com-
posantes Ç, Tj, et Ç du déplacement d une molécule d'élher ne
dépendent pas directement de la force magnétique. Or, nous
avons vu (189) que la concordance de la théorie électro-
magnétique de la lumière avec les théories actuellement
adoptées pour l'explication des phénomènes lumineux exi-
geait que les dérivées par rapport au temps de l, yi, Ç soient
respectivement égales aux composantes a, p, y ^^ 1^ force
magnétique. Pour que la théorie de Maxwell sur la polari-
sation rotatoire magnétique s'accorde avec la théorie électro-
magnétique il faudrait qu'il en fût encore ainsi; c'est ce qui
ne semble pas avoir lieu.

D'autre part les formules de Helmholtz semblent 6tôsez dif-
ficilement applicables au cas qui nous occupe. Elles s'ap-
puient sur les principes de l'Hydrodynamique qu'il serait sans
doute malaisé d'étendre à l'éther, puisqu'il faudrait y sup-
poser une pression uniforme dans tous les sens.

Elles supposent en outre qu'il y a entre les composantes du
déplacement et celles du tourbillon, certaines relations qui

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266 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

pourraient

s'écrire :

a :

dydl

dzdt

d»5

d*X,
dxdl

Y =

dxdt

d>\
dydt

et dont Maxwell ne

tient

, pas compte.

227. Admettons pour un instant que les dérivées \\ V» C
sont respectivement égales à a, p, y et cherchons les consé-
quences de cette hypothèse.

Le terme principal de l'énergie kinétique devient

^/(*'+P' + T')rfT.

Les binômes alternés qui entrent dans l'expression (14) du

terme complémentaire ou les dérivées par rapport au temps

de ceux qui se trouvent dans Texpression (5) de ce même
terme ont alors pour valeurs

dy dz dy dz

dz dx dz dx

^ __ ?^' — le _ ^.
dx dy dx dy

Mais d'après les équations (II) du § 167 les seconds membres
de ces égalités sont respectivement égaux à 4irM, 4irt?, 4xm>,
Comme u, v, u?, sont les dérivées par rapport au temps des
composantes f^ g^ h du déplacement électrique nous obte-

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 267

nons donc en intégrant,

dy dz^^^'

dx dy

Par conséquent Texpression (5) du terme complémentaire
peut s'écrire

(.6, 4^y'(.f+pj?+,g).,.

Les quantités désignées parles symboles ^***' renfermant

les produits des composantes de la force magnétique par les
dérivées du déplacement électrique prises par rapport à œ^ y,
z^ ce terme complémentaire est du troisième degré par rap-
port à ces quantités. Dans le terme principal de T, a, p, y
entrent au second degré, mais les dérivées du déplacement
électrique n'y figurent pas. Par conséquent, en général les
équations du mouvement seront linéaires, comme cela a lieu
dans les théories ordinaires de la lumière ; dans la polarisa-
tion rotatoire, elles cesseront d'être linéaires par suite de
rintroduction du terme complémentaire. Il en résulte que
dans ce dernier cas la vitesse de propagation des perturba-
tions constituant la lumière dépendra de oc, % y et par consé-
quent de l'intensité lumineuse qui est fonction de ces quan-
tités. Cette conséquence est tout à fait contraire aux faits
observés dans tous les autres phénomènes lumineux ; il est

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268 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

donc permis de douter qu'il y ait accord entre la théorie élec-
tromagnétique et la théorie de la polarisation rotatoire ma-
gnétique.

228. Toutefois il ne faudrait pas sur cette conclusion, se
hâter de rejeter cette dernière théorie. C*est qu'en effet, dans
les conditions où se font les expériences, on se trouve dans
un des cas particuliers, où quoique le terme complémentaire
soit du troisième degré, les équations du mouvement sont
linéaires.

Pour le montrer considérons une onde plane polarisée, et
prenons pour plan des xy un plan parallèle à Tonde. Le dé-
placement électrique s^effectuant dans le plan de Tonde (180)
la composante h est nulle. En outre fti gnt dépendent ni de
X ni de y. Par conséquent le terme complémentaire (16) se
réduit à

47:C

/^(•^+fi)-

Les composantes a, p, y de la force magnétique peuvent
être considérées comme la somme des composantes de la
force magnétique du champ constant dans lequel se trouve le
milieu traversé par Tonde et des composantes de la force ma-
gnétique du champ dont les perturbations périodiques don-
nent lieu aux phénomènes lumineux. Ces dernières compo-
santes sont variables avec le temps. Mais nous savons que la
force magnétique du champ périodique est dirigée dans le
plan de Tonde ; sa composante suivant Taxe des z est donc
nulle dans le cas qui nous occupe. Par suite la quan-
tité Y qui entre dans Texpression précédente du terme com-

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POLARISATION ROTATOIRB MAGNÉTIQUE 269

plémentaire a pour valeur la composante suivant Taxe des z
du champ constant produit par les aimants ou les courants.
Cette quantité étant constante le terme complémentaire n'est

plus que du second degré par rapport à a, p, -j^ et j- et les

équations du mouvement redeviennent linéaires.

On peut d'ailleurs faire voir autrement que y est une cons-
tante. En effet, écrivons l'équation de Lagrange relative à
cette quantité ; nous aurons

Or d'après Cauchy, U ne dépend pas de C ; par suite il est in-
dépendant de y et le second membre de cette équation est
nul. Le premier terme est aussi nul puisque T, qui a ici pour
valeur

ne contient pas y'. Par conséquent Féquation précédente se
réduit à

rfy

ou, en remplaçant T par la valeur précédente et effectuant la
dérivation.

Pour que y soit constant il suffit donc que le second terme

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270 ÉLBÇTftlCnt BT QPTIQUB

le soit également. Or, si nous tenons compte ëes rdstkNM (15)
qui donnent les composantes du déplacement, nous atroiis
pour ce terme

ou, puisque Tonde est perpendiculaire à l'axe des z.

ou enfin

Mais l ei -¥[ étant les composantes du déplacement d'une
molécule d'éther, ces quantités satisfont aux équations

Ç = r cos {nd — qz),
Tj = r sin {nt — qz).

Si nous calculons les dérivées de Ç et ii par rapport à / et
leurs dérivées secondes par rapport à ^ et si nous portons les
valeurs ainsi trouvées dans le terme précédent, nous obtenons

Crhiq^ [— cos {nt—qz) cos (w^— g^)— sin (nt—qz) sin (rU'—qz)]

= — Gr^nq.

C'est donc une quantité indépendante de <; par suite y est
constant.

229. Une autre difficulté de la théorie découle de Tapplica-
tion des propriétés des tourbillons d'HelmhoUz aux tourbil-
lons moléculaires d'un milieu soumis au magnétisme. En

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 271

effet il faut nécessairement que l'énergie de ce milieu ait pour
valeur

è/(«* + P'4-Y')rf^-

Or, si a, p, y sont, comme l'admet Maxwell, les compo-
santes d'un tourbillon d'Helmholtz l'énergie kinétique du
milieu a une valeur toute différente.

Il parait assez difficile d'aplanir cette difficulté. On ne
pourrait guère y parvenir qu'en modifiant profondément la
théorie de Maxwell et ces modifications la rapprocheraient
de la théorie proposée par M. Potier.

230. Théorie de M. Potier. — Cette théorie est fondée
sur les deux hypothèses suivantes:

1* La matière pondérable participe dans une certaine
mesure, variable avec la longueur d'onde, au mouvement de
l'éther;

2o Les molécules d'un corps pondérable deviennent de
véritables aimants sous l'action d'un champ magnétique.

La première hypothèse, déjà admise par Presnel, semble
(confirmée par les expériences de M. Fizeau sur l'entraîne-
ment de l'éther; la seconde est conforme au mode ordinaire
d'interprétation des propriétés magnétiques ou diamagné-*
tiques des milieux pondérables.

De ces deux hypothèses il résulte que chaque molécule
aimantée du milieu éprouve un déplacement périodique lors-
qu'un rayon traverse ce milieu. En général ce déplacement
n'est pas une translation, les deux pôles de l'aimant se dépla*
çant de quantités inégales ; la direction de l'axe magnétique

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272 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

d'une molécule change donc périodiquement ainsi que les com-
posantes de son moment magnétique et, par suite, des forces
électromotrices d'induction prennent naissance dans le milieu.
Ces forces s'ajoutant à celles qui résultent de la perturbation
magnétique constituant la lumière, la loi qui lie cette pertur-
bation au temps se trouve modifiée et on conçoit que le plan
de polarisation change d'azimut.

231. Montrons, en effet, que les hypothèses de M. Potier
conduisent à introduire dans l'expression de Ténergie kiné-
tique le terme complémentaire de Maxwel et, par conséquent,
permettent de retrouver la formule (I) d'Airy.

Soient a?, y, ^ et a? + Zœ, y + 5y, z + 8-8' les coordonnées
des pôles d'une molécule aimantée dans sa position nor-
male, et -^ m et — m les masses magnétiques respectives de
ces pôles; nous avons pour les composantes du moment ma-
gnétique de la molécule,

mZWf w5y, mS^.

Pour avoir les valeurs nouvelles de ces composantes
lorsque la molécule est dérangée de sa position d'équilibre
par l'effet de la perturbation lumineuse, il nous faut connaître
la direction suivant laquelle la matière pondérable est en-
traînée par cette perturbation. Nous admettrons, ce qui est le
plus naturel, que cette direction est celle du déplacement
électrique. Gomme d'ailleurs, dans la théorie électromagné-
tique, le déplacement électrique est perpendiculaire au plan
de polarisation (189), cette hypothèse revient à admettre que
la matière pondérable se déplace suivant la direction de la
vibration de Fresnel. Si donc /*, g, h sont les conaposantes du

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 273

déplacement électrique au point œ, y,^, et c un coefficient de
proportionnalité, nous aurons pour les coordonnées de Tun
des pôles de la molécule déplacée,

et pour les coordonnées de Tautre pôle,

a?4"8aj + e/*-f"^V» y + 5y + e^ 4" ^?^> s-j-^z + th-^tZh.

La variation 8/* de la composante / du déplacement pour
les variations Sa?, 8y, hz des coordonnées peut se développer
suivant les puissances croissantes de ces dernières quantités ;
en négligeant les termes du second degré et des degrés plus
élevés, nous aurons

Par conséquent les composantes du moment magné-
tique de la molécule déplacée sont données par

m (Sa? + ttf) = mtœ '\- t-L mZœ + e ~- mly + c ^ wSa?,

et deux autres expressions analogues. yP ^ ^ ^^ R S I T Y)

282. Introduisons les composantes de la magnétisation.
Soient Â, B, C ces composantes au point a?, y, z; A', B', G leurs
nouvelles valeurs quand ce point s'est déplacé de s/; «^, ^h;
nous avons

Agît = mSa?, B8t = wSy, Crfr = m%x

A'rfT=m(Sa?-f-»8/), B'dT=m(8y-f-s8^), C'cfr=m(8-3r-f-e8A),

ÉLICTftiCITÉ BT OPTIQUI. 18

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274 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

dxéisLui le volume de la molécule aimantée. Par suite la
dernière égalité do paragraphe précédent peut s'écrire

v=* + .(*|+b|+c£).

Haie les composantes de la magnétisation aont liées à celles
de la force magnétique (103) par les relations

A = xa, B = xp, G = xy

X étant la fonction magnétisante. Par conséquent Tégalité pré-
cédente devient, lorsqu'ony remplace A, B, C par ces valeurs,

^'-- + «(«£ + p| + rd,j

^4.6^^.^

(1) A'=x«+.xjf

233. D'autre part Tinduction magnétiquea pour composantes

et ces composantes deviennent après le déplacement de la
molécule

a' = tt' + 47:A', y = p' + 47c]B', c' = y' + 47cC',

Montrons que les composantes a', p', y' de la force magné-
tique qui entrent dans ces dernières égalités sont respective-
ment égales à a, p, y.

Nous avons en décrivant par rapport à x les deux membres
de l'équation (1).

dk' dd , d df
dœ cto ' d^ dx

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 275

En dérivant B' par rapport à y et C par rapport à ^ et ad-
ditionnant les trois dérivées partielles ainsi trouvées, nous
obtenons

dco dy "^ dz ^/^ T" * ^^. "•" * ^^

dœ

^ rfv \dœ^ dy^ dz)

Mais par suite de l'incompressibilité de Télectricité la somme
des dérivées partielles -^? ^j -t- est égale à zéro ; par suite,
Tégalité précédente se réduit à

cto'rfy'o^ dao'^ dy "^ dz

Le premier membre est, au signe près, la densité au
point 0? + t/; y + «^> '^ + «^ ^® ^'^ distribution magnétique
fictive pouvant remplacer dans ses effets le corps soumis à
rinfluence du champ ; le second membre représente la même
quantité au point a?, y, z.

Par conséquent la distribution fictive n'est pas modifié^
par le déplacement des molécules aimantées. La force ma-
gnétique en un point doit donc conserver la même ?aleur que
ces molécules soient, ou non, dans leurs positions d*équilibre.

284* Puisque nous avons

a' = a + 4icA',
nous obtenons en remplaçant A' par sa valeur (i)

a' = a (1 + 4irx) -t- 4irxc

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276 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Or on sait que

1 -j- 4itx = [A ;
par suite si on pose

x« = 8wC,

(C ne désignant pas la composante de la magnétisation suivant
l'axe des z), on obtient pour les composantes de Tinduction

a' = fxa + 327c^C ^i
y = fxp+3Vcf.

L'énergie kinétique du milieu,

T= r-:i±M±sia,,

aura donc pour valeur

Nous retrouvons donc la même valeur que dans la théorie
de Maxwel, le terme complémentaire étant mis sous la

forme (16) (<).

(1) Postérieurement à Tépoqae où ces leçons ont été faites diaprés les in*
dicalions verbales de M. Potier, ce savant a exposé sa théorie de la polari*
sation rotatoire magnétique dans deux notes publiées, Tune dans la traduc-
tion française du Traité de Maxwell (t. II, p. 534), Puutre daB« les
Comptée rendus de l'Aoadimie de» Sciences [t. CVUI, p. 510). Dans ces

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 277

285. Théorie de M. Ro\7land ('). — Avant M. Potier,
M. Rowland avait essayé de concilier la théorie de la polarisa-
tion rotatoire magnétique avec la théorie électromagnétique
de la lumière en introduisant une hypothèse dont l'origine
résulte d*une interprétation d'un phénomène découvert peu
de temps auparavant par M. Hall (').

Rappelons en quoi consiste le phénomène de Hall. Soit ABGD

deux notes, M. Potier détermine les composantes de la force électro motrice
induite par le déplacement des molécules aimantées et démontre qu'en
chaque point du milieu cette force électromotrice est normale au courant
qui passe par ce point, dirigée dans le plan de Tonde, proportionnelle au
courant et à la composante suivant la direction du rayon de la force magné-
tique. Introduisant ensuite les composantes de cette force électromotrice
dans les équations du champ magnétique, il en tire les équations diffé-
rentielles qui donnent à chaque instant les composantes de la perturbation.
Il arrive ainsi dans le cas d*une onde de plan parallèle au plan des xy,
soit aux équations

qui donnent les composantes du moment électromagnéUque, soit aux
équations

qui donnent le mouvement d^une molécule d*éther. Ces deux groupes
d*équalioDS contenant des dérivées du troisième ordre conduisent comme nous
Pavons vu, à la rotation du plan de polarisation.

Le mode d'exposition de M. Potier, qui n*est d'ailleurs pas identique
dans les deux notes, diffère donc beaucoup de celui que nous avons
adopté; il se rapproche de celui que nous suivrons dans Texposé de la
théorie de M. Rowland.

(*) PhUosophical Magcuine, avril 1881 ; BUscâbi et Joubrat. TraiU
d'éleelricUi t. I, p. 702 et suiv.

(S) American Journal of Mathemaiieê, t. II, 1879.

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278 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

(/f^. 35) un conducteur métallique très mince taillé en forme de
croix, parcouru par le courant d'une pile de A en B et dont
les extrémités CD de la branche transversale communiquent
avec un galvanomètre. En déplaçant les points d'attache des
fils du galvanomètre on arrive facilement à ce qu'aucun cou-

Fig. 36.

rant dérivé ne traverse le galvanomètre. L'appareil étant
ainsi disposé, si on le place dans un champ magnétique très
intense de telle sorte que son plan soit perpendiculaire à la
direction du champ on voit l'aiguille du galvanomètre dévier.
Pour la plupart des métaux et pour un champ magnétique
traversant le plan de la figure d'avant en arrière la déviation
du galvanomètre indique que le courant qui traverse cet
instrument va de G en D dans la branche transversale du
conducteur; le courant AB paraît donc entraîné suivant la
direction de la force électromagnétique qui s'exerce sur le
conducteur lui-même. Pour le fer, le déviation de l'aiguille
du galvanomètre et, par suite, le courant dérivé changent de
sens ; néanmoins on peut encore dire que le courant est en-
traîné suivant la force magnétique, puisqu'à l'intérieur d'une
lame de fer, par suite de l'aimantation sous l'influence du
champ extérieur, le sens des lignes de force et la direction de
la force magnétique ont changé de signe.

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 279

Ces faits peuvent évidemment s'interpréter en admettant
qu'une force électromotrice prend naissance sous Faction du
champ magnétique et qu'elle est dirigée suivant la force ma«
gnétique qui agit sur U matière pondérable du conducteur.
Quant à sa grandeur, comme l'effet observé est toujours trôs
petit, on peut admettre quelle est proportionnelle à la force
magnétique. Toutefois cette explioaition est peu satisfais
santé, car elle devrait s'appliquer à tout conducteur quelles
que soient ses dimensions, et le phénomène de Hall ne se pro*
duit plus dès que l'épaisseur de la lame dép«asse quelques
dixièmes de millimètre. D'ailleurs, elle a été mise en doute
par des expériences récentes, notamment par celles de
H. Righi et M. Leduc, qui ont montré qu'une hétérotropie
spéciale du conducteur sous l'action du champ était la meil-
leure explication des faits.

236. Quoiqu'il en soit, M. Rowland adopte l'hypothèse de
la production d'une force électromotrice et suppose qu'une
force électromotrice du même genre se développe dans un mi-
lieu non conducteur placé dans un champ magnétique lorsque
ce milieu est parcouru par les courants de déplacement résul*
tant de la propagation de la lumière. C'est d'ailleurs cette
même force électromotrice que M. Potier introduit au moyen
d'hypothèses plus acceptables que celles de H. Rowland.

Cette force électromotrice étant proportionnelle à la force
électromagnétique et ayant même chrection que celle-ci, nous
aurons pour ses composantes

P^ = t (cv — ÔM?),

(1) { Qi = • {^^ — ^\

R^ = t (^ — av).

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280 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

L'induction magnétique se compose de Tinduction du champ
constant auquel est soumis le milieu et de Tinduction du
champ périodique donnant naissance à la lumière. Les com-
posantes de la première sont fAX|, (jl^^, (jly^, les composantes
de l'intensité du champ constant et uniforme étant a^, P|, Y4 ;
celles de la seconde sont données par les équations (III)
du § 167. Nous avons donc,

dR dG ,
dF du
dG dF ,

2S7. Si l'on considère une onde plane parallèle au plan des
xy les variables ne dépendent ni de a?, ni dey et les équations
précédentes se réduisent à

dG ,

c = îAy^.

Les équations (II) du § 167 qui donnent les composantes
Uy v^ to de la vitesse du déplacement électrique deviennent

4to =

dz —

idb
\f.dz

*KV =

doL
dx~

i.da
^dz

4ictt7 = o.
En y remplaçant les dérivées de a et de 6 par rapport à z.

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 281

par leurs valeurs déduites des équations (â), nous obtenons
puisque ol^, p^, y^, sont constants

[X dz^ dz |jL dz^

(3) { 4^v — — ^ — -4- !^ — — * ^^,
[X dz^ "^ dz jl dz^

hno =1 o.

Nous pouvons donc, à Taide des relations (2) et (3), expri-
mer les composantes de la force électromotrice données par
les équations (1) en fonction du moment électromagnétique ;
nous trouvons pour les composantes parallèles au plan de
Tonde

^* Ak dz^

^' "~ 47r dz^'

quant à la troisième composante il est inutile de la considérer
car étant perpendiculaire au plan de-l'onde elle ne peut avoir
aucua effet sur la perturbation magnétique constituant la
lumière. Les composantes de la force électromotrice résultant
de celte dernière perturbation étant (177)

dt ^ dt

nous aurons pour les composantes parallèles au plan de Tonde
de la force électromotrice totale

dt k-K dz^'

dG , ty. ûPP
= — — +T^-T-^'

dt ^ 4ir dz^

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282 ÉLECTRiCrrÉ ET OPTIQUE

et, par suite des équations (VIII) du § 169,

dt* 4ic dz*dt

aPG . Ktn d*F
<ft> "ï" 4ic dz*dt

4^ = _k5« + '^''*F

/M 1^ A-

En remplaçant les premiers membres de ces équations par
leurs valeurs (3), nous obtenons enfin

(PF . KcY4 d^G _i ^y
rf^> "^ 47r (f^>(^ — fx rf^»'

rf»G K6Y4 (PF _i cPG

D*après la remarque faite au § 178, a, p, y satisfont à des
équations de même forme ; par suite il en est de même des
composantes Ç, 7|, C du déplacement d'une molécule d*éther
dont les dérivées par rapport à rsont (, 7|, (. Nous retrouvons
donc les équations du mouvement qui ont conduit Airy à une
expression de Tangle de rotation du plan de polarisation
d'accord avec l'expérience.

288. Phénomène de Kerr. — A la polarisation rotatoire
magnétique se rattache un phénomène découvert en 1876 par
M. Kerr (*) et qui consiste dans la rotation du plan de pola-
risation d'un rayon pelarisé réfléchi sur le pôle d*un aimant.

La lumière d'une lampe, polarisée par un nicol et réfléchie
par une lame de verre inclinée à 45*, tombe normalement
sur le pôle, s'y réfléchit et, après avoir traversé la lame de

(1] PhUoêophieal Magaùne, 5* série, t. III, p. 32t (1877); t. V, p. 16!
(1878).

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POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 283

verre et un nicol analyseur, est reçue par rœil. Une masse de
fer, qui est percée d'un trou conique pour permettre le pas-
sage aux rayons lumineux, est placée très près de la surface
réfléchissante, dans le but de rendre très intense Taimantation
de cette surface.

Ayant placé le polariseur dans une position telle que les
vibrations qui tombaient sur les pôles étaient parallèles on
perpendiculaires au plan d'incidence, et ayant tourné l'ana-
lyseur jusqu'à l'extinction, M. Kerr vit reparaître la lumière,
bien que faiblement, en aimantant par un courant le pôle
réfléchissant. Hais comme M. Kerr ne disposait que d'une
faible force magnétique, pour rendre Faction plus évidente,
il déplaçait légèrement le polariseur ou l'analyseur avant de
faire l'expérience, de manière à ce que l'extinction ne fût pas
complète. Au moment où l'on fermait le courant dans une
certaine direction, la lumière reçue par l'œil augmentait;
dans la direction contraire, elle diminuait et souvent l'on
arrivait tout à fait à l'extinction. Cette diminution de l'inten-
sité se produisait si, avant le passage du courant, on avait
tourné l'analyseur dans une direction contraire à celle du
courant d'aimantation. M. Kerr en conclut qu'il se produi-
sait, par l'aimantation, une rotation du plan de polarisation,
en sens contraire aux courants d'Ampère.

M. Kerr observa également une rotation lorsque le rayon
tombe obliquement, sur la surface réfléchissante ; mais dans
ce cas les phénomènes se compliquent de la polarisation ellip-
tique due à la réflexion métalllique, à moins cependant que
les vibrations du rayon incident soient ou parallèles on
perpendiculaires au plan d'incidence.

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284 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

239. M. Gordon (<) et M. Fitzgerald (^) répétèrent bientôt
ces expériences avec des champs magnétiques très puissants ;
les résultats qu'ils obtinrent confirmèrent les travaux de
M. Kerr. Plus récemment l'étude de ce phénomène a été
reprise par M. Righi (^) qui Ta rendu plus facilement obser-
vable en l'amplifiant par des réflexions successives du rayon
lumineux sur deux pôles d'aimant convenablement chsposés.
Enfin M. Kuntz {*) s'est également occupé de cette question;
il a montré que la réflexion sur le nickel et le cobalt donnait
aussi naissance au phénomène de Kerr ^ de plus, il a reconnu
que la rotation du plan de polarisation dans le cas de l'inci-
dence normale, qui change de valeur avec la couleur de la
radiation, est plus grande pour les rayons rouges que pour
les rayons violets : la dispersion est donc anormale.

Mais malgré ces nombreux travaux et les recherches théo-
riques de M. Righi (') Texplication complète du phénomène
de Kerr fait encore défaut. On ne peut affirmer si c'est un phé-
nomène nouveau ou s'il est dû uniquement au pouvoir rota-
toire magnétique de l'air qui environne les pôles. Aussi,
n'insisterons-nous pas plus longuement sur ce sujet.

(*) PhUosophical Magazine, 6* série, t. IV, p. 104 (1877).
(«) PhiloBophieai Magazine, 6* série, l. III, p. 529 (1877).
(S) Mémoire présenté à TAcadémie royale des Luccbi (14) décembre 1884.
(*) Wied, Ann., octobre 1884.

(^) Loc.cit. et nouveau Mémoire inséré dans les ÀnnaUê de chimie et
de phyeique, septembre 1886.

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CHAPITRE XIII (*)

VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES DES HYPOTHÈSES
DE MAXWELL

240. Nous n'âvons indiqué jusqu'ici que deux vérifications
des théories de Maxwell : Tégalité des vitesses de propagation
de la lumière et des perturbations électromagnétiques, et la
vérification de la relation K = rfi. Mais, outre que ces vérifi-
cations sont indirectes, nous savons que la seconde laisse
beaucoup à désirer. De nouvelles expériences étaient donc
nécessaires pour s'assurer de la justesse des hypothèses de
Maxwell.

Ces hypothèses se réduisent, au fond, aux deux suivantes:

1** Les courants de déplacements exercent, comme les cou-
rants de conduction, des actions électrodynamiques ou élec-
tromagnétiques et des actions d'induction ;

S"" Dans un champ électrique et dans un champ magné-
tique ; il existe des tensions suivant les lignes de force et des
pressions dans les directions perpendiculaires à ces lignes.

{}) Ce chapitre entier est i^œu^re personneile de II. Blondin.

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286 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

La vérification de la première hypothèse est toute récente ;
celle de la seconde est antérieure de quelques années.

241. Déformation électrique des diélectriques. —

L'existence de tensions et de pressions dans un diélectrique
placé dans un champ électrique, a nécessairement pour effet
une déformation de ce diélectrique.

La déformation du verre d'une bouteille de Leyde parait
avoir été découverte dès l'époque de Volta. D'après une lettre
de ce physicien, l'abbé Pontanet a observé que lorsqu'on
charge une bouteille de Leyde dont l'armature interne est
constituée par un liquide conducteur, ce liquide éprouve une
diminution apparente de volume. En rapportant ce phéno-
mène, Volta Fattribue à une augmentation de volume du
verre de la bouteille sons Tinfluence d'une pression due aux
charges des armatures.

Ce phénomène et son explication étaient complètement
oubliées lorqu'en 1877, M. Govi (*) le signala de nouveau. Il
reconnut qu*il se présentait avec divers liquides, mais ne put
l'observer avec le mercure ; il attribua sa production à une
contraction du liquide.

242. Expériences de M. Buter. — Deux ans plus tard,
M. Duter (') montra que le phénomène se produit quel que
soit le liquide employé et qu'il n'est pas dû à une contraction
du liquide.

L'appareil de M. Duter se compose de deux cylindres AB
et CD (fig. 36) portant deux tubes capillaires ah et cd; deux

(1) iVt40vo Cimenlo, XXI et XXII ; Comptée rendus, t. LXXVII, p. 857 ;
1878.
(*) Comptes rendus 1879 ; Journal de physique, 1** sërie> t. VIII, p. S8«

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YÉRIPIGATIONS DBS HYPOTHÈSES DB MAXWELL 287

entonnoirs, fermés par des robinets R et R', permettent de
remplir de liquide l'on et l'autre cylindre. On obtient ainsi
une bouteille de Leyde dont les armatures, constituées par le
liquide, peuvent être chargées par une machine électrique en
faisant communiquer les pôles de cette machine avec les fils
de platine e et /*. Quand on charge la bouteille le niveau

]K'

Sth

Flg. 36.

s'absûsse lentement dans le tube ab et s^élève dans le tube cd;
lorsqu'on décharge la bouteille les niveaux reprennent, à très
peu près, leurs positions primitives. L'élévation du niveau
dans le tube cd pendant la charge montre bien que le phéno-
mène est dû à une déformation du cylindre AB ayant pour
effet d'augmenter son volume intérieur et non à une contrac-
tion du liquide.

H. Duter a trouvé que les variations de volume sont pro'*
portionnelles au carré de la différence de potentiel des arma*
tures et en raison inverse de l'épaisseur du verre du tube AB.

S48. Soupértences de M. Righi, — M. Righi (^) emploie un
tube de verre de 1 mètre de longueur recouvert, intérieure-

(1) Comptée rendui t.LXXXVIII, p. 1262; 1879 ; Journal de Physique^
1* série, t IX.

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288 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

ment et extérieurement, d'étain. Lorsqu'on charge le conden-
sateur ainsi formé, le tube de verre s'allonge et cet allonge-
ment est amplifié au moyen d'un levier dont la petite branche
s'appuie contre l'extrémité du tube de verre et dont la grande
porte un miroir. Un rayon lumineux, réfléchi par ce miroir,
donne une image dont le déplacement sur une échelle divisée
permet d'évaluer l'allongement du tube.

H. Righi trouve que cet allongement est proportionnel au
carré de la différence de potentiel et en raison inverse de
l'épaisseur du tube.

244. Expériences de M. Quincke, — H. Quincke (^) a fait
de nombreuses expériences avec l'un et l'autre des dispositifs
précédents. Comme MM. Du ter et Righi, il a trouvé que les
variations de volume et de longueur sont proportionnelles au
carré de la différence de potentiel, mais, contrairement aux
conclusions de ces physiciens^ il croit pouvoir déduire de ses
expériences que ces variations sont inversement proportion-
nelles au carré de l'épaisseur du tube de verre employé.

En comparant la variation de volume et la variation de
longueur obtenues avec un même tube de verre, M. Quincke
a reconnu que la variation de volume rapportée à l'unité de
volume est le triple de la variation de l'unité de longueur.

245. M. Quincke s'est également occupé des diélectriques
liquides (') et il a pu mesurer la valeur des pressions qui
s'exercent normalement aux lignes de force.

(*) SiUungêbtrichte der K, P, Akad, der Wisfienschaflen »u Berlin ;
18%0.

()) Wiedemann AnnaUri, t. XIX, p. 705, 1883 ; t. XXVIU, p. 529, 1886 ;
. XXXn, p. 530, 1887.

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VÉRIFICATIONS DES HYPOTHÈSES DE MAXWELL 289

Son appareil se compose d'un condensateur plan dont les
armatures A et B {fig. 37) sont placées dans un vase conte-
nant un liquide diélectrique, de l'essence de térébenthine, par
exemple. Le support du plateau inférieur B est isolant. Du
centre du plateau supérieur s'élève un tube vertical qui com-

Fig. 37.

munique, d'une part, avec un manomètre M contenant un
liquide de faible densité, d'autre part, avec un tube dessé-
chant à chlorure de calcium portant un robinet R.

Les deux plateaux étant en communication avec la terre, on
insuffle par R, au moyen d'une poire en caoutchouc, de l'air
sec dans l'intervalle des deux plateaux, de manière à former
une bulle plate de â à 5 centimètres de diamètre. La pression
de l'air dans cette bulle est supérieure à la pression atmos-
phérique et l'excès dépend de la hauteur du niveau FH au*

dessus de A, ainsi que de la constante capillaire du liquide.
6lbctrigit6 bt optique. 19

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290 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

Si alors on charge le condensateur, la pression P du liquide,
perpendiculairement aux lignes de force, remporte sur la
pression électrique correspondante P' de Tair de la bulle» et
celle-ci se contracte. 11 doit en résulter un accroissement de
pression P" = P — P' ; c'est en effet ce qu'indique le mano-
mètre.

246. D'après Maxwell les pressions P et P' ont pour va-
leurs (81),

K étant le pouvoir inducteur du liquide, et K' celui de l'air
et F l'intensité du champ entre les armatures du condensa-
teur. K' étant voisin de l'unité, nous pouvons écrire

P'^ — P — P' — F^

Stt

Dailleurs, si on désigne par e la chstance des armatures et
par ipi et '{/^ leurs potentiels, on a très sensiblement

e
et par conséquent

On voit par cette formule que la variation de pression in-
diquée par le manomètre doit être proportionnelle au carré
de la différence de potentiel des armatures et en raison in-
verse du carré de leur épaisseur. C'est ce qui a été vérifié par
M. Quincke.

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VÉRIFICATIONS DBS HYPOTHÈSES DE MAXWELL 291

247. Eœpériences de M. BoUzmann, — De» recherches
de M. Boltzmann sur le pouvoir inducteur spécifique des
gaz(^}, il est possible, de déduire, comme le fait M. Lipp-
mannO, qu'un gaz soumis à l'action d'un champ électrique
éprouve de ce fait, des variations de volume lorsque la pres-
sion demeure constante.

L'appareil employé par M. Boltzmann se compose de deux
plateaux métalliques A et B placés sous une cloche dans
laquelle on peut faire le vide; des écrans métalliques pro-
tègent ces plateaux contre toute influence extérieure. Le pla-
teau A est relié d'une manière permanente au p6ic positif
d'une pile de 300 éléments Daniell dont l'autre pôle commu-
nique avec le sol; le plateau B communique avec une des
paires de quadrants d'un électromètre de M. Mascart dont
l'aiguille est électrisée et dont l'autre paire de quadrants com-
munique avec le sol.

L'appareil étant rempli de gaz, on met le plateau B en
communication avec le sol pendant un instant; les deux paires
de quadrants de l'électromètre étant alors au potentiel du sol
l'aiguille se met au zéro. Ensuite on fait le vide dans l'appa-
reil, l'influence du plateau A sur le plateau B n'étant plus la
même, l'aiguille de l'électromètre dévie. De cette déviation
il est possible de déduire, par le calcul, la relation qui lie la
capacité Gq du condensateur dans le vide à sa capacité G dans
un gaz où la pression est p. M. Boltzmann a trouvé pour cette
relation.

Y étant une constante dépendant de la nature du gaz.

(1) Wiener SUr. berichte, l, XLIX, p. 795, 1874.

(S) AnncUe$ de Chimie et de Phyêique, 5* série, t. XXIV, p. 45.

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292 ÉLECTRICITÉ KT OPTIQUE

248. Si nous désignons par m. la charge d*un des plateaux
du condensateur et par <); la- différence de potentiel de ces pla-
teaux, nous avons :

_ (1) m = G^ = C,(l-{-yp)^

Pour des accroissements d^ et dp de la différence de po-
tentiel et de la pression, cette charge croîtra de

'^"'= d^'^^-^dp'^P

■ (2^

dm = cd^ 4^ hdp,

en désignant respectivement par c et A les dérivées partielles
de m par rapport k^eipy dérivées dont les valeurs se dé-
duisent de (i).

Mais, d'après le principe de la conservation de Télectricité,
l'expression (2) doit être une différentielle exacte ; nous avons
donc:

^^ dp "■ d^'

Appliquons maintenant le principe de la conservation de
l'énergie. Soit dv l'accroissement de volume résultant de l'aug-
mentation dp de la pression ; par suite de cette variation de
volume l'énergie potentielle du système augmente de — pdv.
La variation d'énergie électrique du condensateur résultant
de l'accroissement dm de la charge des armatures est ^dm.
Par conséquent la variation totale de l'énergie potentielle du
systènxe pour des accroissements simultanés de la pression et

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VÉRIFICATIONS DES HYPOTHÈSES DE MAXWELL 293

de la différence de polenliel est:

dU =z — pdv -|- "^dm.

En remplaçant dans cette expression dm par sa valeur dé-*
duite de (1) et exprimant ensuite quedV est une différentielle
exacte, nous obtenons

' , dv , /de dh\

ou, en tenant compte de la relation (3),

dv ,

249. La variation de volume résultant d'un accroissement
d^ de la différence de potentiel, la pression étant maintenue
constante, est donc:

dv = — hd^

ou en remplaçant h par sa valeur tirée de (1),
rft? = — G^yd^.

Par conséquent quand la différence de potentiel passe brus*
quement de à <)/, celte variation de volume est

Si nous désignons par S la surface des plateaux et par e
leur distance, le volume de gaz soumis à Faction électrique a

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294 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

pour valeur

et la capacité C^ du condensateur dans le vide est donnée par

Si nous remplaçons G^^ par cette valeur dans l'expression
précédente de àv et si nous divisons par tenons obtenons pour
la variation de volume rapportée à Tunité

V """"Site»'

elle est donc proportionnelle au carré de la différence de po-
tentiel et en raison inverse du carré de Tépaisseur de la
couche gazeuse soumise à l'action du champ.

Les nombres donnés par M. Boltzmann pour la valeur du
produit fp permettent de calculer cette variation de volume.
Elle est excessivement petite, toutefois elle a été constatée
directement par Texpérience, par M. Quincke.

250. Discussion des résultats des expériences précé-
dentes. — Dans toutes les expériences que nous venons de
rapporter les variations de volume ou de longueur sont tou-
jours proportionnelles au carré de la différence de potentiel.
D'autre part, dans le cas des gaz et des liquides elles sont en
outre inversement proportionnelles au carré de la distance
des armatures des condensateurs employés ; dans le cas des
solides, cette dernière propriété n*est pas nettement établie,
mais elle semble néanmoins résulter des travaux de Quincke.

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VÉRIFICATIONS DES HYPOTHÈSES DE MAXWELL S05

Sinoos TadmettODS les résultats de ces diverses expériences
concordent avec la théorie des diélectriques de Maxwell. En
effet les tensions et les pressions étant dans cette théorie pro-
portionnelles au carré de Tintensité F du champ, les varia-
tions de volume et de longueur d*un corps soumis à ces pres-

sîons doivent être proportionnelles à P, c'est-à-dire à -^

puisque dans les conditions des expériences l'intensité du

champ a pour valeur ^'

Remarquons en outre que les expériences de M. Righi et
celles de M. Quincke sur les liquides montrent clairement que
dans les directions normales aux lignes de force du champ ce
sont bien des pressions qui s'exercent sur les diélectriques.
Mais que peut-on en conclure relativement aux forces qui
s'exercent suivant les directions mêmes des lignes de forces?

251. De ses expériences sur le verre, M. Quincke avait cru
pouvoir déduire que les diélectriques, au moins les solides,
sont soumis à des pressions suivant n'importe quelle direc-
tion.

Nous savons qu'un des résultats de ces expériences est que,
pour un même tube deverre la variation de l'unité de volume
est égale trois fois à celle de l'unité de longueur, c'est-à-dire,
en désignant par v le volume et / la longueur,

^ = 3 ^^
V l

C'est l'analogie de cette relation avec celle qui lie les coeffi-
cients de dilatation thermiques, cubique et linéaire, qui a
fait penser à M. Quincke que sous l'action d'un champ élec-

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296 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

trique le verre se dilate également dans toutes les directions
et que, par suite^ il existe des pressions aussi bien dans la
direction des lignes de force que dans les directions normales
à ces lignes.

Mais, comme Ta fait remarquer M. J. Curie, cette relation
peut s'établir a pynori, et sa vériflcation par l'expérience ne
prouve nullement qu'il y ait pression suivant les lignes de
force.

Soit, en effet, une enveloppe de verre ayant un volume in-
térieur V et soit l une longueur tracée sur sa paroi latérale.
Supposons que l'enveloppe, en conservant la même épaisseur,
éprouve une dilatation latérale uniforme. La surface de l'en-
veloppe reste semblable à elle-même et nous avons

—=[-1)'

en négligeant les quantités du second ordre.

Nous avons supposé que l'épaisseur restait constante. Mais
dans le cas où cette épaisseurs varierait de Ae sous l'influence
de tensions ou de pressions, la relation précédente ne cesserait
pas d'être d'accord avec l'expérience. En effet, la variation de
volume résultant de cette variation d'épaisseur est égale au

produit de — par le volume du verre qui forme l'enveloppe,

tandis que la variation de volume provenant de la dilatation

latérale est égale au produit de —7- parle volume intérieur de

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VÉRIFICATIONS DES HYPOTHÈSES DE MAXWELL 297

l'enveloppe. Si donc — et y sont du môme ordre de gran-
deur, comme cela devrait avoir lieu d'après les valeurs des
pressions et des tensions, la variation de volume due au pre^
mier phénomène est négligeable par rapport à celle qui ré-
sultedu second, le volume du verre de Tenveloppe étant né-
cessairement beaucoup plus petit que le volume inlérieur.

En résumé Texpérience met hors de doute l'existence des
pressions normales aux lignes de force, et jusqu'ici, elle ne
contredit pas celle des tensions suivant les lignes de force ;
de nouveaux travaux seraient nécessaires pour éclaircir ce
dernier point.

252. Double réfraction électrique. — Aux phénomènes
de déformation électrique se rattachent immédiatement les
phénomènes de double réfraction que présentent les diélec-
triques homogènes soumis à Faction d'un champ électrique.
On sait en effet qu'un corps solide homogène, comme le verre,
devient biréfringent lorsqu'on le soumet dans une seule direc-
tion à une traction ou à une compression.

La double réfraction électrique a été découverte en 1875 par
M. Kerr (*). Une lame de verre rectangulaire est percée, pa-
rallèlement à sa plus grande dimension, de deux trous dont
les axes sont dans le prolongement et dont les fonds sont à
quelques millimètres l'un de l'autre. Dans ces trous on intro-
duit deux tiges de cuivre mises en relation avec les pôles d'une
bobine de Ruhmkorff ; ces pôles sont en outre réunis aux deux
branches d'un excitateur où jaillissent les étincelles.

(*) PhUosopkical Magaiine, 4* série, t. L, p. 337 et 446 (1875); .V série
t. VIII, p. 85 (1879) ; t. IX, p. 157 (1880).

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298 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQtJE

La lame ainsi disposée est placée dans le sens de son épais-
seur entre un polariseur et un analyseur ; on règle la position
du polariseur de telle sorte que le plan de polarisation de la
lumière qui tombe sur la lame soit à 45"^ de Taxe des deux
trous qui y sont percés ; enfin on tourne l'analyseur de façon
qu'il y ait extinction de la lumière quand la bobine ne fonc-
tionne pas.

Lorsqu'on met en marche la bobine la lumière reparaît len-
tement dans le champ de l'analyseur et atteint son maximum
au bout de 30 secondes environ; déplus elle ne peut être éteinte
par la rotation de l'analyseur mais on ramène facilement l'ex-
tinction en interposant une lame de verre que Ton étire per-
pendiculairement à la direction des conducteurs qui amènent
le courant. I^ lame de verre soumise à l'action des décharges
se comporte donc comme si elle était soumise à une tension
suivant les lignes de force. .

La résine présente un phénomène analogue.

253. M. Kerr a également opéré sur divers liquides. Une
petite cuve rectangulaire contient le liquide. Deux trous percés
dans deux parois opposées laissent passer les conducteurs dont
les extrémités, plongées dans le liquide, sont à quelques mil-
limètres de distance ; on règle l'écartement des branches de
l'excitateur de telle sorte que les décharges ne s'effectuent pas
à travers le liquide. Les phénomènes ne diffèrent de ceux que
présente le verre qu'en ce qu'ils sont instantanés ; ils dispa-
raissent au moment même où les décharges se produisent
entre les branches de Texcitatenr.

Ayant mesuré la différence de marche des deux rayons
lumineux qui se propagent à travers le sulfure de carbone au

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VÉRIFICATIONS DES HYPOTHÈSES DE MAXWELL 299

moyen d'un compensateur Jamin et la différence de potentiel
<]/ correspondante avec un électromètre à longue échelle de
sir W. Thomson, M. Kerr a reconnu que la différence de

marche est proportionnelle k\ie étant la distance des élec-
trodes.

Les expériences de M. Kerr ont été répétées par divers
physiciens notamment par M. Quincke et par M. Blondlot {*),
Le premier s'est attaché à vérifier la proportionnalité de la
différence de marche au carré de la différence de potentiel ;
le second à vérifier que dans le cas des diélectriques liquides
la double réfraction se produit et cesse en même temps que
Faction électrique (*).

(*) Comptu rendus, t. CVI, p. 349; 1888.

(*) Toutes ces vérifications, si intéressantes à divers points de vne, ne me

iSaraissenl pas absolument concloantes. Les pressions observées sont bien,

comme l'exige la théorie, proportionnelles au carré de la différence de

potentiel, mais le coefficient de proportionalité observé, variable avec le

diélectrique considéré, n*est pas égal au coefficient calculé. H. Vaschy

{Comptes rendus, tome GIV) a cherché à rendre compte de ce fait de la

manière suivante. Appelons F la force électrostatique; K, le pouvoir induo-

P
teur du diéleclique considéré, K^ celui du vide. La pression est p=:K —

ps
dans le diélectrique, elle serait p, = Ej r- dans le vide. M. Vaschy admet

oie

que l'éther subit la pression pi et que la matière pondérable subit la
pression p — pi qui est la pression observée. Tant que des mesures
directes ne Tout pas confirmée, cette conjecture de M. Vaschy reste très
douteuse ; la comparaison avec le phénomène optique de l'entrainemenl de
Téther (Cf. Théorie mcUhtmalique de la lumière, page 382) ne suffit pas
pour l'imposer.

D'ailleurs Helmholtz a démontré que, quelle que soit la Uiéorie adoptée,
le principe de la conversation de l'énergie nécessite l'existence de pressions
et de tensions à IMntérleur des diélectriques; ces pressions et ces tensions
doivent varier comme le carré de la différence de potentiel et dépendre en
outre du pouvoir inducteur, et de sa dérivée par rapport à la densité du
diélectrique» Les expériences précédentes devaient donc donner le même
résultat, que les idées de Maxwell soient vraies ou fausses.

Quant à la double réfraction diélectrique, il n'est rien moins que certain

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300 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

254. Pressions dans un champ magnétique. — Nous
avons vu (207) que dans un milieu non magnétique les tensions
suivant les lignes de force du champ et les pressions sui-

vant les direclions normales à ces lignes ont pour valeurs r--

On s'assurerait facilement que dans un milieu de perméabilité
magnétique (x ces pressions et tensions sont données par

l'expression ^ a*.

M. Quincke (*) a pu mesurer les pressions normales aux
lignes de force au moyen d'un dispositif analogue à celui que

Kig. 3».

nous avons décrit à propos des diélectriques liquides soumis à
l'action d'un champ électrique.

qu'elle puisse s'expliquer par une simple déformaUon mécanique. Elle est
probablement plus considérable que celle que produiraient des pressions
mécaniques égales aux pressions électrostatiques observées. H. P.

0) Viedemann AnnaUn, t. XXIV, p: 347; 1885.

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VÉRIFICATIONS DES HYPOTHÈSES DE MAXWELL 301

Deux pièces polaires cylindriques sont vissées sur les
extrémités des bobines A et B {fig, 38) d'un électro-airaant de
Ruhmkorff disposé verticalement. Sur la pièce polaire de la
bobine inférieure est placé un disque de fer et sur ce disque
on fixe, au moyen de cire à cacheter un large anneau de
verre de quelques centimètres de hauteur. Au fond de la
cuvette ainsi formée on place une vessie pleine d*air ; cette
vessie communique par un tube de cuivre, qui traverse la
pièce polaire et la bobine supérieure, avec un manomètre à
sulfure de carbone M et avec un tube renflé contenant du
chlorure de calcium et fermé par un robinet R. On remplit
ensuite la cuvette d'un liquide magnétique ou diamagnétique,
le chlorure de manganèse par exemple, et on rapproche les
pièces polaires jusqu'à une distance convenable. Enfin, au
moyen d'une poire en caoutchouc, on insuffle de l'air par le
robinet R, de manière que les parois de la vessie s'appliquent
contre les faces polaires ; on ferme le robinet R et on lit la
pression dans le manomètre.

Quand on fait passer le courant dans les spires de Télectro-
aimant le liquide éprouve une pression transversale

et Tair de la vessie une pression /_ _, ^ ^i'IJ"^ i

1 , ^^--^g ^UPOTHlA! ^

P ■=-- a*.

87t

La différence de ces deux pressions

F'=:P — F=JV-^»*
8ic

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30â ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

est celle qui est indiquée par la variation des niveaux du
liquide manométrique. On voit qu'elle doit être proportion-
nelle au carré de l'intensité du champ.

En mesurant l'intensité du champ au moyen de la quantité
d'électricité induite dans un spirale que l'on retire brusque-
ment du champ, M. Quincke a constaté que cette proportion-
nalité se vérifie assez exactement. D'ailleurs, la mesure de la
pression et celle de . l'intensité du champ ne pouvant avoir
lieu en même temps, on ne peut affirmer que cette dernière
quantité possède au moment où l'on observe la pression la
valeur mesurée antérieurement : on sait, en efiet, que le champ
d'un électro-aimant possède généralement des valeurs difi'é-
rentes dans deux expériences où cependant la distance des
pôles et l'intensité du courant excitateur sont les mêmes. En
outre M. Quincke a constaté que les armatures changent de
forme par l'aimantation et se rapprochent l'une de l'autre ;
il résulte de cette action un changement notable du volume
de la vessie et par suite une variation de la pression de l'air
qu'elle contient. Pour ces deux raisons il ne peut y avoir un
accord complet entre la formule théorique et l'expérience.

255« Au lieu de se servir d'un manomètre pour mettre en
évidence les pressions magnétiques, on peut employer des
tubes en U contenant un liquide. On dispose alors l'électro-
aimant de manière que ses faces polaires soient verticales et
on place entre elles une des branches du tube. L'autre branche,
beaucoup plus large que la première, est située hors du
champ magnétique. Dès qu'on excite l'électro-aimant le niveau
monte dans la branche soumise à l'action du champ; dans
l'autre branche, sa variation est inappréciable, par suite de la

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VÉRIFICATIONS DBS HYPOTHÈSES DE MAXWELL 303

grandeur du diamètre de cette branche. Les résultats obtenus
au moyen de ce dispositif concordent avec ceux que donne la
méthode du manomètre.

La méthode du tube en U a permis à M. Quincke de re-
chercher s*il y avait tension ou pression suivant les lignes de
force du champ. A cet effet, Télectro-aimant étant disposé
verticalement, on introduit la petite branche du tube dans le
canal de la bobine supérieure de manière que le niveau du
liquide se trouve au milieu du champ magnétique. M. Quincke
a reconnu ainsi que suivant la direction des lignes de force
le liquide est soumis à des pressions. Ce résultat, contraire à
la théorie, aurait besoin d'être confirmé.

256. Actions électromagnétiques des courants de
déplacement. — Les actions électromagnétiques des cou-
rants de déplacement sont difficiles à mettre en évidence,
car, en outre que ces courants sont instantanés, aucun dis-
positif ne permet de multiplier leur action sur l'aiguille ai-
mantée, comme cela a lieu dans le galvanomètre pour les
courants de conduction. On ne peut, non plus, faire usage de
courants mixtes formés à la fois de courants de déplacement
et de courant de conduction car l'action électromagnétique
de ceux-ci, toujours prépondérante, cacherait entièrement
celles des courants de déplacement. Aussi, n'est-ce qu'en 1885
que M. Roentgen (*) a tenté de montrer expérimentalement
l'existence de l'action électromagnétique des courants de dé-
placement.
* L'appareil de M. Roentgen se compose d'un disque d*ébo-

(>) SUsungaberichU der Bérliner Akademie der Wis^eruchaften ^
26 février 18S5-, et Philosophical Magatine, mai 1885.

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304

ÉLECTRICCTÉ ET OPTIQUE

tite A [fig, 39) de 0°°*,6 d'épaisseur sur 16 centimètres de
diamètre, mobile autour d'un axe vertical et susceptible de
prendre des vitesses de 120 à 150 tours par seconde. Deux
plateaux de verre B et G sont disposés parallèlement au dis-
que, Tun au-dessous, Tautre au-dessus ; leurs faces internes

=1 A

=1C

Fig. 39.

sont revêtues de feuilles d'étain et sont séparées du disque
par un intervalle de 1 millimètre. Les feuilles d*étain collées
sur le plateau inférieur forment deux demi-couronnes sépa-
rées par intervalle de 1*", 4 de largeur; elles communiquent
respectivement avec les armatures interne et externe d'nne
batterie chargée. La partie métallique du plateau supérieur
communiquant avec le sol, le champ électrique entre les
plateaux B et G possède des directions inverses de part et d'autre
du diamètre ef du plateau inférieur ; par conséquent, dans les

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VÉRIFICATIONS DES HYPOTHÈSES DE MAXWELL 305

régions voisine» du plan vertical passant par ce diamètre les
lignes de force passent rapidement d*une direction à une
direction opposée. Quand on fait tourner le disque d'ébonîle
des courants de déplacement prennent donc naissance dans
ces régions ; ces courants ont d^ailleurs des sens différents de
part et d'autre du centre de ce disque.

257. Il est possible d'évaluer Tiotensité de ces courants.
Nous savons que le déplacement est donné par

r=è'

OÙ P est la force électromotrice par unité de longueur ; nous
avons donc pour Tintensité

Or, dans rintervalle de temps nécessaire pour que le disque
mobile décrive un arc égal à la distance «p qui sépare les
extrémités des demi-couronnes métalliques du plateau infé-
rieur, P varie d'une certaine valeur F à une valeur ne diffé-
rant que par le signe — P; nous pouvons donc prendre
ciP = 2P. Le temps correspondant à cette variation de la
force électromotrice est

n 2irr

n étant le nombre de tours du disque par seconde et r le
rayon extérieur des demi-couronnes; en remplaçant ces

iLBCTRICITÉ BT OPTIQ*)B. 20

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306 ÉLECTRICITÉ ET OPTIQUE

quantités par leurs valeurs on trouve

j. 1 1,8 1 .

'^' = 150 275^7 = 4405 *""~"-

Nous avons donc pour la limite du courant de dépicu^inent

f=^^2Fx4400.

OU en prenant K = 2

^=Fxi400.

Si donc on prend F égal à. une unité électrostatique de
potentiel, soit 300 volts, on a pour Tintensité du courant en
unités électrostatiques

i X 1400.

Comme un ampère vaut 3 X iO* unités électrostatiques
cette intensité est donc inférieure à jjrg ampères.

Malgré la petitesse de cette intensité, M. Roentgen a pu ob-
tenir une déviation d*un système astatique disposé au-dessus
de Taxe de rotation du disque ; une des aiguilles de ce sys-
tème est à une très petite distance du disque; l'autre en est
éloignée de 22 centimètres. Dans ces conditions cette dernière
aiguilles n'est pas influencée par les courants de déplace-
ment qui agissent uniquement sur Taiguille la plus rappro-
chée.

Gomme on devait 8*y attendre la déviation du système as-

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VÉRIFICATIONS DES HYPOTHÈSES DE MAXWELL H07

tatiqae change de sens quand on intervertit les signes des
charges qui se trouvent sur les demi-couronnçs.

268. Actions induotives des courants de déplace-
ment. — C'est à M. Hertz que Ton doit la preuve expéri-
mentale de l'existence de ces actions. Ces expériences devant
être analysées et discutées dans un prochain ouvrage en
cours de préparation, nous ne ferons que les signaler.

FIN

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TABLE DES MATIÈRES

Page»

Introduction ' v à xix

CHAPITRE PREMIER
Formules de réleotrostatiqne

Théorie des deux fluides i

Théorie du fluide unique 2

Expression de la force électrique dans la théorie du fluide

unique 3

Unité électrostatique de quantité 4

Potentiel. — Composantes de la force électrique. ... 5

Fluxdeforce 5

Théorème de Gauss 7

Relation de Poisson 7

Flux d'induction 8

Potentiel d'une sphère électrisée en un point extérieur. . 9

Remarques 10

Extension de la relation de Poisson 12

CHAPITRE II
Hypothèses de Maxwell

Fluide inducteur 14

Déplacement électrique 15

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310 TABLE DES MATIÈRES

iDcompressibilité du fluide inducteur et de rélectricité. . 16

Image de VeKei de Télasticité du fluide inducteur. ... 18

Tout courant est un courant fermé 20

Gourants de conduction et courants de déplacement. . . 22

Énergiepotentielled*un système électrisé 23

Élasticité du fluide inducteur 34

Distribution électrique 33

CHAPITRE III

Théorie des diélectriques de Poisson
Gomment elle peut se rattacher à oelle du fluide Inducteur

Hypothèse de Poisson sur la constitution des diélectriques. 41

Sphère dans un champ uniforme 44

Polarisation des diélectriques 48

Modification de la théorie de Poisson . — Cellules. ... 60
Propagation de la chaleur dans un milieu homogène. . . 61
Analogies avec le déplacement de l'électricité dans les cel-
lules 66

Identité des expressions de Pénergie potentielle. ... 72

Cas des corps anisotropes 77

Discusssion 79

CHAPITRE IV

Déplacement des conducteurs sôuâ Taotlon des forces
électriques
Théorie particulière à Maxwell

Forces s'exerçant entre conducteurs électrisés 80

Théorie de Maxwell 82

Discussion 88

CHAPITRE V

Electre -klnétlque

Conducteurs linéaires 93

Nouvelle expression analytique de laloi de Ohm 94

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TABLE DES MATIÈRES 311

Conducteurs de forme quelconque 95

Différences entre les courants de conduction et les courants

de déplacement 97

Loi de Joule 100

CHAPITRE VI
Kagnétisme

Fluides magnétiques. — Lois des actions magnétiques. . 102

Masse magnétique d'un aimant 103

Constitution des aimants 103

Potentiel d'un élément d*aimant. ~ Composantes de Faiman-

talion 104

Potientel d*uD aimant 106

Potentiel d*un feuillet magnétique 107

Force magnétique en un point extérieur 109

Force magnétique à l'intérieur d'un aimant 109

Induction magnétique 111

Magnétisme induit 113

CHAPITRE Vni
Éleotromagnétisme

Lois fondamentales 116

Hypothèse 117

Théorème I 117

Théorème H 118

Théorème III 120

Théorème IV 121

Potentiel d'un courant fermé 122

Cas d'un circuit infiniment petit 124

Équivalence d'un rourant fermé et d'un feuillet magnétique. 125
Travail des forces électromagnétiques suivant une courhe

fermée enlaçant le circuit. 126

Cas de plusieurs courants 129

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3i!2 TABLE DES MATIÈRES

Page*

Nouvelle expression du Iravail clectrodynamique suivant une

courbe fermée 129

Transformation de Finlégrale curviligne i30

Relalionde Maxwell 133

Action d'un pôle sur un élément de courant 134

CHAPITRE VIII
éleotrodyn amiqne

Travail électrodynamique 138

Solénoïdes 138

Solénoïdes et courants 139

Potentiel électrodynamique d'un courant inûniment petit . 142

Potentiel électrodynamique d'un courant fermé 143

Autre expression du potentiel d'un courant 144

Cas d'un courant se déplaçant dans un milieu magnétique . 145
Détermination des composantes du moment électromagné-
tique 147

Valeurs de F, G, H pour un courant linéaire 151

Formule de Neumann 152

Nouvelle expression du potentiel électrodynamique d'un

courant 153

Potentiel électrodynamique d'un courant par rapport à lui

même 154

Expressions diverses du potentiel d'un système de courants

par rapport à lui-même 156

Cas d'un système de conducteurs linéaires 159

Cas d'un système de deux courants linéaires 159

CHAPITRE IX
Indnotion

Forces électromotrices d'induction 162

Détermination des coefficients A, B, C 164

Théorie de Maxwell 168

Application au cas de deux circuits 170

Valeurs des forces électromotrices d'induction 173

Travail des forces électrodynamiques 174

Expression des forces éleclrodynamiques 175

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TABLE DES MATIÈRES 313

Page»

Cas d*uD nombre quelconque de courants. — Forces électro-
dynamiques 178

Forces électromotrices d'induction 179

Signification de <^ 183

CHAPITRE X
Éqnationç générales du ohamp magnétique

Equations du champ magnétique i85

Équations des courants de conduction 187

Équations des courants de déplacement 188

Équations des courants dans un milieu imparfaitement iso-
lant 189

CHAPITRE XI
Théorie éleotromagnétiqne de la lumière.

Conséquences des théories de Maxwcl 192

Équations de la propagation d'une perturbation magnétique

dans un diélectrique 194

Cas des ondes planeo 199

Vitesse de propagation d'une onde plane périodique . . . 200

Valeur de cette vitesse dans le vide 200

Relation entre l'indice de réfraction et le pouvoir inducteur

d'une substance isolante 203

Direction du déplacement électrique 209

Propagation dans un milieu anisotrope. — Double réfrac-
tion 212

Propagation dans un milieu imparfaitement isolant. — Ab-
sorption de la lumière 221

Réflexion des ondes 226

Énergie de la radiation 228

Tensions et pressions dans le milieu qui transmet la lumière. 230

Interprétation des pressions électrodynamiques 237

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314 TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE XII
Polarisation rotatoire magnétique

Lois du phénooràie 239

Essais d'expIicatîoB de fat polansaiiou rotatoire magnétique. 241

Théorie de Maxwell . . . , 246

Interprétation du terme complémentaire de Ténergie kisé-

tique 257

Difficultés soulevées par la théorie de Maxwell 2Ô5

Théorie de M. Potier 271

Théorie de M. Rowland 277

Phénomène de Kerr • 282

CHAPITRE XIII
Vérlfioations expérimentales des hypothèses de Kazwell

Déformation électrique des diélectriques. — Expériences de

M. Duter, de M. Righi, de M. Quincke, de M. Boitzmann . 286

Discussion des résultats des expériences précédentes . . . 294

Double réfraction électrique 297

Pretaûms dans un ehamp magnétique ........ 300

Actions électromagnétiques des courants de déplacement . 303

Actions inductives des courants de déplacement .... 307

or THE

ERSITT,

Tours. — Imprimerie DESLIS FRÈRES

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