v^. jVUssitii^ j^
LEERBOEK DER ALGEBRA.
\
LEERBOEK
DER
ALGEBRA
MET VRAAGSTUKKEN
DOOR
H. A. DERKSEN en G. L. N. H. DE LAIVE,
Leeraren aan de Hoogere Burgerschool te Nymcgen.
3^J.
-tAA. ( 0
( EERSTE DEEL. )
ZUTPHEN,
W. J. THIEME & Co.,
1899.
QPl
(52
VOORBERICHT.
Het leerboek der Algebra met Vraagstukken, dat wij hier laten
volgen, bestaat uit vier deelen. De eerste drie zijn bestemd voor
Inrichtingen van Middelbaar en Hooger Onderwijs en voor zelfstudie.
Het vierde deel is uitsluitend bestemd voor onderwijzers, die voor
de acte Wiskunde Lager Onderwijs studeeren.
De lezer zal bemerken, dat wij in de eerste drie deelen de theorie
der onmeetbare getallen niet besproken hebben, noch bij de wortel-
vormen, noch bij de logarithmen.
De reden daarvan is, dat het omvangrijke programma van het
eindexamen, zoowel van Hoogere Burgerscholen met vijfjarigen cursus
als van Gymnasia, den leeraar in de Algebra niet vergunt, deze theorie
met logische gestrengheid te behandelen.
Van een onderwijzer in de Wiskunde mag men echter eischen,
dat hij er een duidelijk inzicht in heeft; en de Commissie, die
examineert voor de acte Lager Onderwijs, onderzoekt dit ook
terdege. Daarom wordt de geheele theorie dezer getallen in het
vierde deel besproken.
Men zal ons vragen, of wij dan de theorie der onmeetbare getallen
geheel van Hoogere Burgerschool en Gymnasium willen verbannen.
Dit willen wij niet. Maar waar zij als inleiding tot de wortelvormen
en de logarithmen noodzakelijk is, achten wij een beknopte behan-
deling van den leeraar voldoende, om den leerling het noodige inzicht
in deze onderwerpen te verschaffen.
Negatieve getallen hebben wij beschouwd als tegengesteld aan
positieve getallen. Daardoor konden wij de voor leerlingen der eerste
klasse van Hoogere Burgerschool en Gymnasium zoo „lastige" eigen-
schappen van in hun oog „onmogelijke" aftrekkingen vermijden.
In het vierde deel wordt op beknopte wijze medegedeeld, welk
een rol de negatieve en imaginaire getallen in den loop der tijden
in de wiskunde gespeeld hebben.
VI VOORBERICHT.
Het zij ons vergund, op eenige punten de aandacht te vestigen :
1°. Alle definities hebben wij cursief, alle nieuwe termen
en alle eigenschappen, zwaar laten drukken, zoodat de leerling
spoedig wegwijs wordt in het boek, iets wat wij van zeer veel
belang achten.
2*^. Bij de theoretische behandeling van elk onderwerp hebben
wij eenige voorbeelden gevoegd met opmerkingen en vragen, om den
leerling te doen denken. Eerst daarna hebben wij opgaven laten
volgen ter toepassing van het geleerde.
3". De bewerkingen, die den leerlingen de meeste moeite veroor-
zaken, doordat zij gewoon zijn deze als kunstbewerkingen te beschou-
wen, (wij bedoelen: de ontbinding in factoren, het oplossen van
vergelijkingen van hoogeren graad dan den tweeden met twee of meer
onbekenden en van exponentiëele vergelijkingen) hebben wij als volgt
behandeld : Wij hebben ze teruggebracht tot groepen, het kenmerkende
van elke groep aangegeven, na elke groep opgaven geplaatst, en ten
slotte gemengde vraagstukken gegeven.
4°. Om ons hoofddoel — een duidelijke behandeling van de theorie
der lagere algebra — te bereiken, hebben wij eenige hoofdstukken
anders bewerkt, dan in menig leerboek geschiedt. Zoo hebben wij
b.v. bij de bespreking der wortelvormen een scherpe afscheiding
gemaakt tusschen wortels uit rekenkundige en wortels uit alge-
braïsche getallen. Bij de theorie der vergelijkingen hebben wij
scherp het verband tusschen vergelijking en gelijkheid aange-
geven, en daarop de eigenschappen der vergelijkingen gebaseerd;
terwijl wij de eigenschappen over invoeren en verdrijven van
wortels in afzonderlijke hoofdstukken hebben behandeld.
Aan den Heer T. M. Smout, leeraar aan de Rijkskweekschool
voor Onderwijzers te Maastricht, brengen wij hier onzen dank voor
de bereidwilligheid, waarmede genoemde heer ons manuscript heeft
ingezien.
En hiermede bieden wij ons leerboek aan onze collega's in de
Wiskunde aan. Voor welwillende op- en aanmerkingen hunnerzijds
houden wij ons aanbevolen.
DE SCHRIJVERS.
Nijmegen, 1 Maart 1899.
INHOUD.
Bladz.
Inleiding 1
^^amentelling 11
Aftrekking 15
Vermenigvuldiging 20
Deeling 34
Herhaling 42
Merkwaardige Produkten 47
Machten van een tvveeterm 54
Merkwaardige Quotiënten 59
Ontbinding in factoren 64
Grootste Gemeene Deel er 77
Kleinste Gemeene Veelvoud , 85
Breuken 88
Over den Graad van gebroken vormen 104
Herhaling 105
Vergelijkingen. Inleiding 112
Algemeene Eigenschappen der Vergelijkingen 115
Oplossing van één vergelijking van den eersten graad met één
onbekende 127
Vraagstukken, die met behulp van één vergelijking met één
onbekende kunnen opgelost worden 132
Algemeene Herhaling 146
VERBETERINGEN.
Blz. 5 regel 8 v. o. staat: PQ, BS; lees: PQ, QF, RS.
„ 10 regel 8 v. b. staat : qx^y ; lees : 9x^y.
„ 17 regel 5 v. b. staat: — xyz; lees: -\- xyz.
„ 19 Opgave 23 staat : veelterm ; lees : tweeterm.
„ 31 regel 2 v. o. staat: — ( — a; lees: — ( — a).
, 37 In voorbeeld 1 staat : (+ 5a) ; lees : ( — 4a).
„ 57 regel 13 v. b. staat: (ö + &)''; lees: {a -\- b)".
regel 7 v. o. staat : w -f 2 ; lees : n = 2.
„ 78 regel 15 v. o. staat: den, lees: de.
, 79 regel 1 v. o. staat: {6a-\-b); lees: (4a + è).
„ 91 de laatste noemer uit opgave 11 moet zijn: lx" — 19x4-10.
„ 95 In bewijs 2 van 93 staat: Uit — cX; lees: — c X-
INLEIDING.
1. Letters. In de rekenkunde stelt men de getallen meestal door
cijfers voor ; in de algebra meestal door letters. Die letters
kunnen willekeurige waarden voorstellen, maar eenzelfde letter
behoudt in eenzelfden vorm de eenmaal aangenomen waarde.
Zijn a en b twee getallen, dan stelt men de som of het
verschil dier getallen voor door ze naast elkander te schrijven
met het plusteeken (+) of het minteeken (— ) tusschen
beide :
a-\- b; a — b.
Hun produkt duidt men aan door :
ay^b of a .b of nog korter door ab.
Sa beteekent dus S\ a of a-\- a-\- a.
7| ab beteekent 7| X « X *•
2. In 3a is de letterfactor a met den cijferfactor 3 vermenigvuldigd ;
men noemt nu 3 den coëfficiënt van a.
De coëfficiënt is de cijferfactor, waarmee een letterfactor ver-
menigvuldigd is.
In 1^ ab is 1^ de coëfficiënt van ab.
De getallen a, «6, abc kan men beschouwen als vermenig-
vuldigd te zijn met 1, zoodat 1 de coëfficiënt is van elk dier
getallen.
3. Macht, a . a . « . a is het gedurig produkt van 4 factoren ieder
gelijk aan a ; men schrijft het eenvoudiger als a* en deze schrijf-
wijze heet een macht van a, a heet de basis of hetgrondtal
van de macht. Zoo is c^ = a . a .a; a' ■= a . a.
Een macht is een kortere schrijfwijze voor het produkt of
gedurig produkt van eenige gelyke factoren. Het getal, dat het
aantal gelijke factoren aanwijst, heet de exponent der macht.
1
Van a* is de exponent 4 ; van cc' is hij 5 en van c^ is de
exponent 2.
Het getal a zelf is geen produkt van gelijke factoren en dus
ook geen macht. Men is echter gewoon a ook te beschouwen als
een macht en wel als de eerste macht van a, zoodat dan 1 de
exponent is van a.
4. Het quotiënt van a en b stelt men voor door :
a : b oi Y-
o
5. Volgorde der bewerkingen. Van de zes bewerkingen
optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deeling, machtsverheffmg
en worteltrekking, gaat de machtsverheffing voor alle andere ;
dan komt de vermenigvuldiging ; daarna de deeling ; dan de
worteltrekking en eindelijk de optelling en aftrekking. Deze 2
laatste bewerkingen voert men uit in de volgorde, waarin ze
van links naar rechts voorkomen.
Wil men een wijziging in deze volgorde aangebracht hebben,
dan maakt men gebruik van haken, accoladen en tekst-
haken :
(....); {....}; [....].
Zoo beteekent :
a-{-b:c — d .f
dat het getal a vermeerderd moet worden met het quotiënt van
& en c ; dat deze som moet verminderd worden met het produkt
van d en f.
Daarentegen :
{a-\-b):c — d.f
beteekent dat de som van a en h eerst moet bepaald worden en
dat deze moet gedeeld worden door c ; dat het quotiënt eindelijk
moet verminderd worden met het produkt van d en f.
Wij hebben dus hier deze wijziging in de volgorde aangebracht,
dat de optelling voor de deeling gaat.
In {{a-\-b):c — d]f
hebben we eerst van a en è de som te bepalen en deze door c
te deelen ; het quotiënt moet verminderd worden met d en met
dat verschil moet f vermenigvuldigd worden.
Hier hebben we met 2 wijzigingen te doen :
1". de optelling voor de deeling.
2". de aftrekking voor de vermenigvuldiging.
I
^H Vergelijk ook :
■ (a + b):{c-cl)f
■ {{a-i-b):{c-d)}f
^B Komt eenzelfde bewerking achtereenvolgens meermalen voor
^^ dan verricht men ze in de volgorde, waarin ze voorkomt van
links naar rechts :
a: b : c: d
Opmerking : Een uitzondering volgt later bij de wortelgroot-
heden.
6. Een getal, dat niet bestaat uit deelen door de teekens -{-of —
verbonden, heet eenterm.
Produkten, machten, quotiënten, wortels zijn eentermen.
Alle andere getallen heeten veeltermen en worden naar het
aantal eentermen, waaruit ze bestaan, verdeeld in : tweetermen,
drietermen, viertermen, enz.
Als in een eenterni geen quotiënt voorkomt waarvan de deeler
een of meer letterfactoren bevat, dan heet de eenterm geheel.
Zoo zijn : 3^ d'b ; —^ geheele eentermen, daarentegen zijn :
o
—r- ; 3a''6 : cd
gebroken eentermen.
Wil men een veelterm als een eenterm beschouwen, dan plaatst
men hem tusschen haken,
a-\-b — c is een drieterm.
{a-\-b — c) is een eenterm.
7. Het aantal letter f actoren, die in een geheelen eenterm voorkomen,
heet de graad van den eenterm.
Zoo is 2>abc van den 3'^^'' graad; ia°^Wc van den Q^""'^ graad.
Zdjn van een veelterm alle terynen geheel en van denzelfden
graad, dan heet de veelterm gelijkslachtig of homogeen, en
dan is hij van denzelfden graad als elk der eentermen. Zoo is:
a' -f- 2a% + 3a''è"' + 4.ab^ — b'
gelijkslachtig en van den 4*^^"^ graad.
Zijn 7iiet alle eentermen, waaruit de veelterm bestaat, van den
zelfden graad, dan heet de veelterm ongelijkslachtig of hete-
rogeen; de graad van den veelterm wordt dan bepaald door
den eenterm, die den hoogsten graad heeft. Zoo is :
a-' — ^a'h 4- 4«'i* — bab -\- b'
ongelijkslachtig en Van den 7^"^" graad.
8. Positieve en negatieve getallen. Het voorstellen van getallen
door letters is niet het eenige kenmerk der algebraïsche getallen.
In de rekenkunde worden de getallen enkel beschouwd ten op-
zichte van het aantal eenheden, waaruit ze bestaan ; in de algebra
let men ook op zekere omstandigheden, waaronder zich die een-
heden voordoen.
Spreekt men van eene som van 7 Gld., dan kan dit zijn
7 Gld. bezit of 7 Gld. schuld.
Een beweging van 5 M. kan zijn een beweging voorwaarts
of achterwaarts; een beweging naar rechts of naar links; naar
boven of naar beneden.
Deze omstandigheden of toestanden, zooals men gewoonlijk
zegt, noemt men den positieven en negatieven toestand
der getallen en duidt men aan door het teeken -^ voor den
positieven toestand en door het teeken — voor den negatieven
toestand.
Men noemt dan + 1 de positieve eenheid en — 1 de
negatieve eenheid; zij zijn eikaars tegengestelde, en
men kent er de eigenschap aan toe nul tot som op
te leveren.
Vergelijk 1 Gulden bezit en 1 Gulden schuld.
9. Een positief getal is een getal, dat bestaat uit positieve een-
heden of deelen van positieve eefiheden, of positieve eenheden
en deelen ervan.
Voor de positieve getallen moet dus altijd het plusteeken
staan. Men is echter overeengekomen overal, waar aan de
beteekenis of aan de waarde van den vorm geen verandering
gebracht wordt, dat plusteeken te mogen weglaten.
+ 3a& en 3aè zijn dus dezelfde positieve getallen ; evenzoo
+ 12 en 12.
Een negatief getal is een getal, dat bestaat uit negatieve een-
heden of deelen van negatieve eenheden, of uil negatieve eenheden
en deelen ervan.
Voor de negatieve getallen moet altijd het minteeken staan.
10. Tivee getallen, die uit evenveel maar tegengestelde eenheden
bestaan, heeten tegengestelde getallen. Ze verschillen dus enkel
in teeken en bezitten de eigenschap nul tot som te hebben.
-f- 3a^ en — 3a^ ; + la'b en — la^h zijn dus tegengestelde
getallen.
Om aan te duiden, dat men van een getal het tegengestelde
moet nemen, plaatst men het getal tussehen haken met het
minteeken ervoor.
Zoo wordt dus het tegengestelde van — 3a voorgesteld door
— (— 3a).
Door de schrijfwijze + ( — 3a) verstaat men echter, dat het
getal — 3a niet van toestand veranderen moet.
Vraag. In hoeveel beteekenissen komen de plus- en min-
teekens voor?
1 1. Twee getallen zijn gelijk, als ze bestaan uit hetzelfde aantal
gelijke eenheden.
Een positief getal is grooter dan een ander positief getal,
naarmate het meer positieve eenheden bevat.
-f- 13 is grooter dan -\- 7,
men duidt dit korter aan:
+ 13 > + 7
en omgekeerd :
+ 7< + 13
Een positief getal is altijd grooter dan een negatief getal.
Een negatief getal is grooter dan een ander, naarmate
het minder negatieve eenheden bevat.
— 5>— 17.
Op de grens van de positieve en negatieve getal-
len staat nul.
De positieve getallen noemen wij grooter, de negatieve kleiner
dan nul.
Het aantal positieve of negatieve eenheden, waaruit een getal
bestaat, heet de absolute of volstrekte waarde van het getal :
V U T P Q R S
1 1 1 1 1 1 1 B.
A —3 ^2 —1 O +1 +2 +3
Denken wij ons van uit een bepaald punt P eener rechte lijn
AB naar rechts de gelijke stukken P^, R8 en ook naar hnks
de even groote stukken PT, TU, UV .... afgezet, en stellen
wij de positieve eenheid voor door PQ, dan is :
Pi? = 4-2 en PS= + S
maar wij moeten dan aan de deelen links van P de tegen-
gestelde beteekenis toekennen en dus :
Pr= — 1; PU=-2; PF=-3
het punt P zelf stelt dan nul voor.
12. De eigenschappen en bewerkingen der algebraïsche getallen
worden uit één grondeigenschap afgeleid. Deze luidt:
Een algebraïsche grootheid verandert niet, als
men ze in deelen splitst, die deelen op verschillende
wijze weer samenvoegt, mits men geen enkele alge-
braïsche eenheid bijvoegt of weglaat.
Van deze eigenschap wordt al dadelijk gebruik gemaakt, als
men een veelterm wil rangschikken.
Onder rangschikken verstaat men, de termen, waaruit een
veelterm bestaat, opschrijven in een volgorde, die aan een een-
maal vastgesteld beginsel beantwoordt.
Men rangschikt een veelterm meestal op drie wijzen:
P alphabetisch.
Zoo is Sa-\~ bb — 4c -\-2d — f-\-g — 3A — bk alphabetisch
gerangschikt.
2^ naar de opklimmende machten eener zelfde letter (rang-
letter).
3". naar de afdalende machten eener rangletter.
a' — 3a' + 5a^ — a + 1
is gerangschikt naar de afdalende machten van a
en 7 -f 5a; — 2x' + 3*;' — x'
naar de opklimmende machten van x.
Van deze drie wijzen komen de 1* en 3" het meest en dan
nog wel vaak vereenigd voor.
Moet men bv. een veelterm, waarin termen met de letters
a, b, c, . . . alphabetisch rangschikken naar de afdalende machten
der rangletters, dan schrijft men eerst de termen op, waarin de
exponent van a het hoogst is, daarna die, waarin de exponent
van a één lager is, enz.
Zijn er 2 of meer termen, waarin de exponent van a dezelfde
is, dan neemt men dien het eerst, waarin de exponent van b het
hoogst is, daarna dien, waarin de exponent van b één lager is enz.
Zijn er 2 of meer termen, die denzelfden exponent van a en
ook denzelfden exponent van b hebben, dan schrijft men het
eerst dien term op, waarin de exponent van c het hoogst is,
daarna dien, waarin de exponent van c één lager is enz.
Wij zullen deze rangschikking toepassen op den volgenden
veelterm :
a%' — ^a-bc' — 2a%' — ac' 4-- b'c^ + a%c — aV + 6ab' + ba'b'c —
— bc' + b'c + c' + abc" — ^ab^c' — 4ab'c — b^c\
De termen met de hoogste macht van a zijn .
a^h' H- a'hc — a'c' (1")
daarop volgen:
_ scrbc' — 2a'b' + ba'b'c (2)
dan :
— ac' 4- 5a&' + abc' — dabV — 4ab'c (3)
en eindelijk :
+ b'c' — bc* + b*c + c' — è'c' (4)
Vervolgens worden de termen uit (1) aldus gerangschikt:
a'b^ -^ a'bc — aV ;
die uit (2):
- 2a'b^ + ha'b'c — Sa'bc'
die uit (3) :
+ öab* — AaFc — Sab'c^ + abc' — ac*
en eindelijk die uit (4):
4- b*c — bV 4- b'c' - bc' + c\
De gerangschikte veelterm in zijn geheel is dus :
a'b^ 4- a%c — a^'c' — 2d'b' -\- ha'b'c — 3a'6c\+ 5a6* — 4a&'c —
3a6'c' 4- aic' — ac* 4- ^'c — è^'r + b'c' - èc" 4- c\
Opgaven.
1. AVelke beteekenis heeft 5jo; 4^g; l\xyz.
la
b
2a4-3è; 5a — 46; ^; 2a : 4^ ; 3aè : 5c.
2. Hoe kunt ge anders schrijven :
a4-«4-«H-«4-ö; a-\-a-\-b-{-b-\-b\ a-\-a-\-a-\-b-\-b-]-
-{-b-\-b; «4-^4-^4-^4-^ + c.
3. Als a = 5; è = 4 en c = 3, wat is dan de waarde van ;
3a 4- è ; 2a + 6 ; 4a 4- 36 4- 2c ; «è + c ;
5a — 36 ; 4a — 26 4- c ; 3a — 6 + 4c ; 2a6c
4. Schrijf eenvoudiger :
aXaX«X«; bXbXbXbXh; aX«+&.&.&;
aaa + 66 4- cccc ; aa -\-bb -\- c ; 2aaa 4- 36666 4- 4:cccc.
5. Hoe stelt men voor :
De som van a en 6.
De som van a en het dubbele van 6.
Het drievoud van a verminderd met het tweevoud van 6.
8
De tweedemacht van a ; de derdemacht van b.
De som van de tweedemacht van a en het tweevoud van b.
De som van de tweedemachten van a en b.
De tweedemacht van de som van a en b.
Het verschil van het drievoud van a en de derdemacht van h.
Het verschil van de derdemachten van a en b.
De derdemacht van het verschil van a en b.
6. Bereken eiken vorm uit 5 voor a = 10 en 6 = 3.
7. Omschrijf de beteekenis der volgende vormen :
3a + 2& + 4c; (3a+2)è + 3c;
(3a + 2) (è 4- 4) c ; (8a + 2) (6 + ie) ; 3a + 2 (è + 4c) ;
5a — 4è H- 2c ; 5a — (4è + 2c) ; (5a — 4) è -f 2c ;
5a-4(è + 2)c; a^ + b' — c'; {a+bf — c';
a^-\-{b — cY', {a+b){b — c); 2a + è — c : 3 ;
2a + (& — c) : 3 ; {2 (a + &) — c} : 3 ; { (2a + &) — c} : 3.
Is er aan den laatsten vorm ook iets op te merken ?
8. Bereken de waarde van :
400 — 60 + 80 — 50 4- 70.
400 — (60 + 80) — 50 + 70.
400 — (60 H- 80) — (50 H- 70).
400 — (60 + 80 — 50) + 70.
400 — (60 + 80 — 50 + 70).
(400 — 60) + (80 — 50 + 70).
400 — (160 — (80 — 50) } + 70.
400 — [160 — {80 — (30 + 26) } ].
9. Bereken: 3a + 5è X 2a — 3c ;
(3a -f 5è) 2a — 3c ; 3a + bb (2a — 3c) ;
(3a + hb) (2a — 3c).
Als a=15; b = 7 en c = 6.
10. Ook : a X ~^l voor a = 15 en b = 7.
a' — b'
a^p ip 4- q) Q a r
., I ■ r^-r voor a = 8; p = 6 en o = 5.
p' + 4pq -\- q" ^ ^
11. Van welken graad zijn elk der volgende eentermen:
bxt/ ; Sx^y ; lo^y^z ; aUcxh) ; abx^y^z
(a + bf ; 2a& (a — bf ; da'b {x — 'y)\
12. Schrijf een veelterm op, bestaande uit 4 eentermen, elk van
den vijfden graad.
9
15.
16.
17
18
19.
20.
Schrijf op :
Een gelijkslachtigen drielerm van den 2*^^" graad.
Een gelijkslachtigen vijfterm van den 6**'^'^ graad.
Een ongelijkslachtigen vierterm van den b^^"- graad.
Schrijf zoo eenvoudig mogelijk :
Sa-\-5a; 96 + 46 ; 7a — 3a ; Ibx — 12:» ;
4a6 4-7a6; 13a6 — 5a6 ; 8a6c -f 6a6c ; 2 X 3i^a6' ;
5a + 4a + 96 -f 36 ; 7a — 4a + 86 — 56.
Vul in :
9 maal de som van a en 6, plus 6 maal de som van a en
6 is
10 maal het verschil van a en 6, min 4 maal het verschil
van a en b is
12(a4-6)-f 17(aH-6) =
9 (a — 6) -f 6 (a — 6) =
13 (a + 6) — (a H- 6) =
7 (/ — 52) - 3 (/ - bq) =
7 {2x-]-\iy—z)—b{2x-}-3y-z)=^
6(a + 6) + 7(a4-6) =
15 (a — 6) — 3 (a — 6) =
2 (a + 6) — (a 4- 6) =
10 (p + 2^) + 3 (p + 29) =
8 (m'—mn) — 4 {m' — mn) =
3(a-h6 — c)-h5(a + 6 — c)=
Als ge 5 Gld. winst voorstelt door -|- 5 Gld., hoe moet ge
dan 7 Gld. verlies voorstellen ?
En als . 12 Gld. schuld door +12 Gld. wordt aangewezen,
welke beteekenis heeft dan — 12 Gld.?
Wat is het tegengestelde van :
4- 72 ; — 3^ ; + 4a ; en — 4| a6 ?
Hoeveel is -j- 6 en — 6 samen? + 12 en — 12?
+ 15a6 en — ] 5a6 ? — 3^a' en -f 3^a- ?
Wat is meer :
H- 7 of + 5 ; + 8 of + 13 ; + 6 of — 12 ;
H-9of0; — 3of0; — 5 of— 9;
— 5 of — ^', 4- ö of + ^a ; — a of — 2a ?
Is a-|-a-f6-f-c-l-a-l-64-c + c-|-^ =
a -h a H- a + 6 -f- 6 + 6 4- c -j- c H- c =
(a 4- a + a) + (6 4- 6 -i- 6) + (c + c+ c) =
3a 4- 36 + 3c
Zoo ja, van welke eigenschap heeft men dan gebruik gemaakt ?
21. Schrijf zoo eenvoudig mogelijk :
2a 4- 36 4- 4c 4- 56 4- 2c 4- 7a 4- 6 4- 2a 4- c ;
10
3ab 4- 2bc + bac -f 9bc + 9ac + 8ab + 5^.c ;
4:r'' + 7 H- 5a; 4- 9a! + 13 + 6a;- + 7 + 5x' + 3aj ;
22. Rangschik alphabetisch :
3c 4- 5e 4- 4a. 4- 9/" + 2& -f 6c? ;
4r + 2s + 3n + 8^) 4- 5? + 3^ 4- 2w 4- 3Z 4- 4m.
23. Naar de afdalende machten van x:
bx' 4- 7x' 4- 3a; 4- 9a:' 4- 5 + 6oif 4" 2a;' 4" x' ;
6xy + 5a;^i!/' + 7y' + ^a;V + -la^y 4- 6a;'' 4- 2xf.
24. Rangschik alphabetisch en naar de afdalende machten der ;
rangletter :
4a* — iOa%' 4- b' — 9a'c' 4" ^a'bc ;
8a%c — c' — 4:aV - ia'b' 4- a' + 4a6c' — 4ac' ;
a'c' 4- 2a'c' — a'c 4- ^a'b' — 2abc' — 4b'é' + a%'c - 2ab* + V'c'-
— b'c.
25. Bereken :
4a' — W
aX
3 (a 4- bf — ah'
voor a = 9 en è = 6.
26. Ook:
}a+(a+^j(2a-^j{:a4-&
voor a = 2; &=1 en c = 4.
27. Eveneens :
v^i-m^'^y^-l-
a a
b~b
voor a=10; b = ^; c = ^ en d = 4.
28. Rangschik den volgenden veelterm alphabetisch en naar de
afdalende machten der rangletters :
Ix'yz — 3a;' 4- 2xYz — bxfz -\- IxY — 4«/' + by'^z -\- Iz' —
— 2xYz 4- 8a;* — 7a;y^' — lOa;^^ + hx'y — 2a;0'' 4- 4a;V* +
+ Qcg\^ — 4a;V + 6a;y -f 4a;y^ — 7a;«/V — lOa;^'^- — 2y^-^8y'z\
HOOFDSTUK I.
Hoofdbewerkingen.
A. Samentelling.
13. Bepaling: De samentelling van iivee of meer algebraïsche
getallen is een beiuerking^ die ons al de eenhedeii dier getallen
leert vereenigen tot een enkel getal dat som heet.
Om aan te duiden, dat men 2 of meer algebraïsche getallen
moet samentellen, schrijft men ze tusschen haken met het plus-
teeken tusschen elke 2 op elkaar volgende getallen:
(+ 4) + (- 5) + (- 6) + (- 7) + (+ 13).
Men is echter gewoon dit eenvoudiger voor te stellen, door
de getallen naast elkaar te schrijven, ieder met zijn eigen teeken :
+ 4 — 5 — 6 — 7 4-13.
Om de som van twee of meer algebraïsche getallen te bepalen,
handelen we aldus :
H- 5 + 8 . . . . 5 pos. eenh. en 8 pos. eenh. zijn 13 pos. een-
heden, dus :
+ 5 + 8 = + 13
+ 5 — 8 . . . . Om 5 pos. en 8 neg. eenheden samen te tellen^
maken we gebruik van de grondeigenschap.
Wij splitsen de algebraïsche grootheid
+ 5 — 8
in de groepen : +5 — 5 — 3,
voegen de 2 eerste groepen eerst samen, waardoor men nul
verkrijgt (§ 10) en hierbij nog 3 negatieve eenheden gevoegd»
dan krijgen , we 3 negatieve eenheden ; dus :
+ 5 — 8 = — 3.
Evenzoo verklaart men :
— 5 — 8 = - 13 + 7a& — 3aè = + 4aè
-5 + 8 = + 3 — Vlah + 5a& = — lab
12
+ 2a + 3a = + 5a + hx'y — S^xSj = + l^x'i/
— 8a — 4a = — 12a — 4x^2/'^ — x^y' = — bx^y^.
Bepaling. Oetallen, zooals: + 3a6; — 5aè; + 7-|^aé; — ah,
die alleeri in getallen coëfficiënt of in het geheel niet verschilleti ,
heeten gelijksoortige getallen.
Uit de voorbeelden blijkt, dat men de som van gelijksoortige
getallen, als een enkel getal kan voorstellen.
-\-l abc — babc + 2aèc = (-1- 7 — 5 + 2) a&c = -f Aabc.
Ook de getallen:
+ 2(a + 6)^ -bia-^-bY; -^7{a-\-bf
zijn gelijksoortige getallen, die respectievelijk tot coëfficiënten
hebben: +3; — 5; -|-7; hunne som is:
{-\-S-6 + 7){a + bf = + b{a-\-bf.
Van ongelijksoortige getallen kan men de som niet eenvou-
diger voorstellen, dan door die getallen naast elkaar te schrijven
ieder met zijn eigen teeken.
Zoo is de som van + bab en — Sbc gelijk aan :
+ hab — Sbc.
Heeft men nu eenige algebraïsche getallen samen te tellen,
die niet alle gelijksoortig zijn, maar waarvan enkele het toch
wel zijn, dan schrijve men de gelijksoortige getallen naast elkaar
en telle die samen.
Voorbeeld:
Bepaal de som van:
+ 3a — 5è 4- 7c — 2è + 5a — 4c — 3a + 5i - 9c — 4c?.
Volgens de grondeigenschap mag men schrijven:
(+ 3a + 5a — 3a) + (— 55 — 26 + 5è) + ( + 7c — 4c — 9c) -|-
+ (- ^d)
of : (+ 5a) + (- 2b) + (- 6c) + (- id)
of nog korter:
+ 5a — 2è — 6c — éd.
14. De som van meer dan 2 gelijksoortige getallen kan men op 2
wijzen bepalen:
+ 4a: — bx — Sic + 7a; — 9x-{- 6x.
Eerste manier. Men kan de samentelling achtereenvolgens
van links naar rechts uitvoeren.
Tweede manier. Men make gebruik van de grondeigen-
schap, verdeele de som in 2 groepen, waarvan de eerste groep
13
alleen de positieve, de tweede alleen de negatieve getallen bevat :
(4- 4:X-\-7x-\- 6x) en ( — hx — 8x — 9^)
Vervolgens vereenigt men de getallen uit elke groep tot een
enkel :
-f llx en — 22a;
en telt ten slotte die twee sommen weer samen :
+ 17i);— 22^ = — 5a;.
Opgaven.
Hoeveel is :
+ 7 en +5 -f-9en+12 + 6 en + 10
— 9 en — 5 — 3 en — 8 + 2a en + 5a
+ 7a en + 9a — Sab en — 12ab — l^xi/ en — 6xi/
Ook:
+ 7 en — 7 + 6 en — 4 — 16 en + 12 —15 en +3
-f 12 en — 12 -f- 8 en — 10 — 17 en H- 5 — 12 en + 7
— 5 en + 5 + 15 en — 20 — 20 en + 6 — 6 en + 4
— 3a& en + 3a6 + i en — i — 2^ en + 1^ — 15 en + 3|-
Herleid de volgende sommen :
+ 7a — 3a — ISa'b -\- la% + \habc + 9a6c
+ 12r/è — 9a6 — 23aJ' + 40aè' -}- 14a'è' — 12a'è'
4-5a6 — 7aè — 16a' + 5a' + 5aJ' — 12a6'
— 8a'' + 6a' — 6a'è — 4a'6 + 6a5-' — 7aè^
Geef 4 vormen op die gelijksoortig zijn met : + 5a^^c ; ook 3
die gelijksoortig zijn met — 2 (a + è).
Herleid :
+ 4a + 3a 4- 5a + 6i — 7è — 2è 4- 5c -f 3c ;
+ 9a — 12a + 56 — 66 + 7è — 8c + 12c + c ;
H- Xhay — ^ay Ar 12bx + 9bx -\- 5cz — 6cz.
Ook:
+ 3a — 56 + 4c — 2& + 7c — 8a — 9c + 66 -f 5a ;
+ 7m — 12n -|- 3m — 5^ + 7w — 8m — 9;) H- 5w + 6;) ;
— bz-\- dy — 4:X -\- lly -f \2x -{-"èz — ^y — ^x -\-lz;
— 2ab + 3ac — 46' + ^ac — 76' -f 3a6 -h 6a6 + 46^
Bepaal ook nog de som van :
+ 15 (a + 6) en — 7 (a + 6); — 9 (a — 6) en + 12 (a — 6);
— Q (p -h q) en — 10 {p -{- q); — 3 [p' — pq) en + 20 (p' — pq) ;
14
+ 5a (a — h) en -f- 4:a (a — b); -\- lab [a — b) en — %ab {a — b);
- 16aMi? + 2) en + 12aMp 4- 2) ;
— ba^x{x — y) ; -\-17d'x{x — y); — 9a^x[x — y)en-\- a^x{x — y),
15. Moet men 2 of meer veeltermen samentellen, dan plaatst men
ze tusschen haken en het plusteeken tusschen elke twee op
elkaar volgende :
(+ 2a' — dab -f 5&-) + (— 4a' + 9ab + 26') + (— Sab -f- b' — c).
Om hiervan de som te bepalen, splitst men volgens de grond-
eigenschap eiken veelterm in eentermen, vereenigt vervolgens
de gelijksoortige eentermen en telt eindelijk de daardoor ver-
kregen sommen samen. Op deze wijze handelende krijgt men:
(-f 2a'' — 4a')+(— Sab -f 9ab — 3ai)+(4- 5è' + 2è-4- 5')+(- c]
= (- 2a-^) -f (+ Sab) + (4- 86^) -f- (- c)
of: — 2d' -\- 'èab -^ W — c.
Gemakkelijker wordt de bewerking door de veeltermen vol-
gens dezelfde letter te rangschikken en ze zóó onder elkander
te schrijven, dat de gelijksoortige eentermen onder elkander
komen te staan.
De vorige opgave wordt dan:
-f 2a'' — Sab -f 56-'
— 4a' H- 9aè -f 26'
— Sab-\- b' — c
— 2a' + Sab + 8b- — c
Opgaven.
Bepaal de som van :
1. + 2a — 36 -h 5c en -|- 4a + 96 — 2c ;
— 7a 4- 86 — 51c en + 14a — 96 + 48c
+ 6a - 126 — 20c en — 7a -f 156 — 4c
2. + 4a' — 3a6 + 6' en -f 7a' + 8a6 — 96'
+ bx' -\-S xy — 6y- -f- 4:xz en — 7a;' — 12xy -{- 10 y~ — 4^:'.
3. Hoeveel is de som van :
+ 4a'' — 6a6 + bW-Sbc + 4c' ; —66' + 46c — 9a'' -f 5c'— 3a6 ;
-f 66c + 9a' — 14c' + 4a6 -f 76-' ; + 5a6 + 66c -f 8a' — 4c' en
-I- 5a' H- 56' + 7c' + 3a6 — 96c.
4. Vermeerder de som van:
— bx^y -\- 9xy' -{- 6y^ en + l^y' — ^x^y -f- 8j/^
met de som van :
15
-f 2>{)x-y — l^xy"" — 5/ en 4- 17a;?/"' + 6/ — I2x^y.
Herleid :
(+ l\a' - 2d'h H- 66') + (+ 8a'6 — hah' — 3&') + (+ 5a' —
-4.a'h + 76') + (-9èa' + 7a&'-40&' + 6a»6) + (—15a' + 20&').
Hoe duidt men het tegengestelde aan van :
+ 2a -|- 2& ; — 3a + 5& en — 4a"^ — 5a6 en wat is dat tegen-
gestelde ?
Schrijf zonder haakjes :
— (+ 3a — 5&4- 4c) ; — (— 2a + 7& — 3c) ;
+ (-f 4.x — hy — 2z)', — (— 3a; + 4^ — 2z) ;
— {— hm -\- n — Ap) ; + (— 2w -f- 3n — 5p).
Verdrijf in de volgende vormen eerst de haakjes en herleid dan :
-f (-1- 3a + 5& — 2c) + (4- 9a — 76 -f- 12c) — (— 5& + 8c) ;
_|. (_|- 6a — 3& — 4c) — (+ 6a — 126 - 8c) + (+ 5a + 3c) ;
_ (_ 5a + 2a6 — 46-) — (— 2a6-|-36' + a')-f-(-a ~&'4-6a6).
Bepaal de som van :
+ Ix^ — 9a;' -f 6a;' — 12a; ; — 9a;' + 5a;' ;
— lOaf 4- 6a; ; — 5a;' + 6a;' 4- 4a;' — 13a; — 2 en + 70a;' +
+ 25a;' — 30a;' 4- 15a;' 4- 7.
Ook nog van :
4- 5a'6 (a -|- 6)' - 2a6^ (a + 6)' + 76' (a 4" Vf
— 6a'6 (a 4- 6)'— 5a6' (a 4- 6)' — 46' (a 4- 6)'^
4-2a^6(a4-6)' — 96'(a+6)'
4- 6a6- (a 4- 6)' 4- 6'(a+6)^
— a'6 (a 4- 6)' 4- 3a6' (a 4- 6)' 4-1 56'(a 4- 6)'
B. Aftrekking.
16. Bepaling. Be aftrekking is eeii bewerking, die ons een getal
(verschil) leert vinden, dat bij het eene (aftrekker) van 2
getallen opgesteld, het andere (aftrektal) tot soui oplevert.
Uit deze bepaling volgt dan :
Aftrektal = Aftrekker 4- Verschil.
Om aan te duiden, dat men 2 getallen moet aftrekken, schrijft
men het aftrektal en den aftrekker tusschen haken met het
minteeken tusschen beide :
(4a) - (+ 6)
of ook wel alleen den aftrekker tusschen haken :
4-«-(-f Z*).
16
17. Uit de bepaling volgt :
Het verschil van 2 getallen is gelijk aan het
aftrektal vermeerderd met het tegengestelde van
den aftrekker.
Immers :
(-f- a) — {-{-b) = -\- a — b, omdat -\- a — b gevoegd bij den
aftrekker + b oplevert :
+ &-f(+a — &)=+■& + «— & = + «
d. i. het aftrektal.
Vergelijk ook :
+ a — (— 6) = -f « H- &, omdat — b -\- {■}- a -\- b) =
= — b-^a-\-b = -\-a.
Evenzoo bepaalt men het verschil van 2 veeltermen :
+ 2a — 3& + c — (— 3a + 4& — 5c) =
4- 2a — 3& H- c + (-h 3a — 4& + 5c) =
(+ 2a -f 3a) 4- (— 3& — 46) -\- {c -\- 5c) = -f- 5a — 7& + 6c.
18. Ook kan men den aftrekker onder het aftrektal plaatsen en
dan de aftrekking verrichten :
4- 7a — 3a'b
— 5a •+• 5a^6
+ 7a + 5a = + 1 2a — ^d'b — ba-b = — 8ab
-{- 6ab — oaxy
+ 4a6 — 12axi/
+ 6ab — 4a& = + 2a& — baxi/ -\- \2axy = -\- laxy.
Deze schrijfwijze is in de meeste gevallen verkieselijk ; na
eenige oefening kan men de uitkomst dadelijk opschrijven.
Moet men een veelterm van een veelterm aftrekken, zoo
rangschikt men aftrektal en aftrekker naar dezelfde letter en
plaatst de gelijksoortige termen onder elkanker.
Voorbeelden.
1. Zoek het verschil van : -|- 5a — 3è -|- c? en — 4a -]- 5c — 2d-{-ie.
Alphabetisch gerangschikt krijgen wij :
Aftrektal + 5a — 36 -^ d
Aftrekker . — 4a -{- bc — 2d -\- U
Verschil + 9a — 3& — 5c + 3c? — 4c
2. Bepaal het verschil van:
+ bx^ — ^xy^ -\- dx^y — y'^ ~\- iyz~ — 5^:^ en
— ix^z + Sxy- — 4:X^ — 2//^ -f- by^z — 2yz''- — xyz.
17
Als wij beide veeltermen alphabetisch rangschikken naar de
afdalende machten der rangletter, dan krijgen wij :
-}- 5a^ -f 3^V ... — 2xy'' ... — y' . . . + ^yz" — hz"
— Ax^ — 4:X^z -\- Sxy^ — xyz — 2«/^ -h by'^z — 2yz^
-\- 9ic^ -j- 3x^y + 4iafz — bxy- — xyz -\- y^ — hy^z + 6yz^ — bz^.
Opgaven.
Bepaal de uitkomsten der volgende aftrekkingen :
+ 17 4-17 4-9 +7 —15 —6 +7
+ 13 — 5 —18 +10 +6 +9 +12
— 7
+ 16
15
23
20
16
+ ha
— 9a
— 4a
+ 3a
— bab
— lab
+ babc en — 20abc ;
— lab' en -\-Sab';
+ 9a6' en +17a&';
+ 100a'Jc en +86a'èc;
Bepaal het verschil van :
+ 90aè en — 60aè ;
— Sa'b en + 9a^b ;
+ 6ab' en — hab' ;
+ 20ai'c en + 13a6'c;
Schrijf zonder haakjes :
— (+3a — 56); — (— 2a + 76 — 4c) ; + (— 5a' + a6)
— i-{-x'-\- 2xy — Sy^ — z"' + 4:yz).
Verdrijf de haakjes en herleid dan :
+ (+ a — 36) — (— 2a + 76) + (— 5a + 76) ;
+ (— 2a + 36 — 4c) — (— 5a — 76 + 8c) + (— 3a — 46 — c) ;
-(+2a' — 3a6 + 6')+(— 7a6 + 56' — 3a')+(+7a'+86-'— 9a6);
— (— 2a-6 + 3a6' — 6') — (+ 5a'6 + 76'— 9a6-)+(+ 7a-6 — 3a6-).
Bepaal het verschil der volgende veeltermen:
+ 3:r"' — hxy + 7y' — 3x' + 7xy — 8y'
— 9a;- — lOxy + 4^/' — 19a;' + hxy + 6/
Ook van:
+ 4a- + 3a6 — 56"-
+ 7a- + 3a6 + 96'
+ 4a'6 + 5a'6- — 4a6^ + 76'
+ 5a'6 — 9a'-6' + 86'
+ 15a' + 3a6 + 66' — 76c + 3c'
— 6a* + 5a6— 96' — 26c + 8c'
7. AVat is het verschil van:
+ 9a- — 3a6 + 56' en — 7a' + 4a6 + 86' ;
18
— 15a' 4- 4a-& + 6a&' — W en + 18a' — 9ab' H- 7b' ;
+ 20a;' — 3a;V + ^^Y + 6xy^ — y'en— 2x' -f- 6xY— 7xt/-^ 5i/ ;
— 9x^-\- 6x'— 4x en — 10x'-\-4x^ — 6a;-+ 7aj — 8 ;
+ 3ip' — 4xY — 2xy* + y' en — 6x*y + 7^;^ — 9^ + 6y\
8. Bepaal het verschil van :
+ (H- 7a'' — Sah + 5&') — (— 4a' + 6a& — 9b') en
— (— ha' + 6a6 — &') + (— 7a& + 6a' — 10b').
Herhaling.
9. Tel de som van + 3a' — bab + 9b' — 4c' en + 6ab + 5&' —
— 4:c' -f- Sbc op bij het verschil van :
+ ba' -\- 46' — 2c' 4- 3a& — 46c en + 76c -f 2a6 — 3a' -f 5c"' —
— 46'.
10. Tel + 4a;' — hxy* + 7«/' op bij — ix'y + 6a;?/' — 9«/', verminder
deze som met + 8a;' — bx'i/ — lOy', en vermeerder de uitkomst
met het verschil van
+ 2a;' — «/' en — 6x-y + 7a;^ — 9f.
11. Van een aftrekking is het aftrektal gelijk aan
(-f 7«2 _ Sab 4- 156' — 4c') + (— 2a' + 5a6 — 36' 4- 46c)
en het verschil bedraagt
4- 9a' — 15a6 4- 3c' — 66c.
Bepaal den aftrekker.
12. Bepaal het verschil van de som van
— 2xt/ 4- 5«/' — 7a;' en 4" 3a;' — 7y' -\- ixy
en het verschil van
— 5a;' 4- 7y' — Sxy en — 9a;' — 6xy -\- 4y'.
13. Bepaal de uitkomsten der volgende aftrekkingen :
4-6(a4-6); — 5(a4-&); 4- 3a6 (c 4- <^)
— 7 (g 4- ^) ; — 10 (a 4- 6) ; — 12a6(c4-<^)
4-7(a;4-?/r-3(a;4-2/)4-15
+ 9(a;+y)^4-6(a;4-y)-16
14. Ook van:
— 5 (a;— 2^)'4- 3 (a;— 2«/)'4- 7 ix—2y); - 2 {a—b)'-\- S {a—b) — 20
— 9 {x—2yf— 5 (a;-2.y)'4- 16 {x—2y) ; + 6 (a— 6)'— 7 (a— 6) 4- 5
15. Trek van de som van :
4- 5w^ — ?>mn-\-4p- — 65' ; — 9mn -\- 6pq — Sp^ -{-4q'; -\- hm' —
19
— Sp' -f- 4ww en — 7m^ + 6$^ + i^g*
af de som van:
— 6m' — p^ — q'; + Stnn + ip' — 2pq -|- ^^ ^n — hm' -\- 6mn -}-
+ 4/ — 3pq H- 52'.
. Hoe stelt ge het tegengestelde voor van
+ 3a — (4-26 — 5c)?
— 4a + (— 26 + 5c) — d) ?
en -(-5a— {— 3a — (26 4-c — 6^)}?
Verdrijf de haakjes uit:
-{-f-3a-(-26 + c)}; + {- 3a f (- 5a - 6) };
-{-4a + (-36-fc)-(-6^)}; -{-(a + b)}.
Herleid :
15a — 486 — {+ 17c — (— 12a + 36) — (2c — 56) } — 16c ;
AOp -f- (35^ — (3r -f 6^ — 7p) -\- 5r} — [16p — {4q — 6r —
-(4^ + 22)}].
19. iSx — 36?/ — 27z — [ly -f- 5s — {lx -j- 35?/ — 28^) +
-f- (15a; + 7^;) } — {Qz — \\Uj-\-^x — (83^ —llx—\ly)\].
V). Eveneens :
6m + [4m — {8w — (20m + 14w) — 22w} — lln\ —
[17w + {13m — {hn + 6m) + 18w} -^ 16m].
21. kh A = hx — {3y-^2z)', 5 = 72/ — (5a; 4- 63) en C= 9^ -f
-f (4a; - 32/),
wat is dan :
A-\-{B-q; A-{B + C); {A-B)-{B-C),
22. Wat moet men bij
4a; — {7^/ + (32; — 5a;) — {2y — 3z) -f 4a;} optellen om — 5y —
— [7a; + {3^ — {9y + 4^) — (2a; + 3^/) } — 5s] tot som te krijgen.
23. Schrijf a -f- 6 -|- c op 3 verschillende wijzen als een veelterm.
24. Vul in: aH-6 — c = a + ( )
a-1-6 — c = a — (....)
a + 6 — c = 6 — (. . . .)
a — b -\- c — d = a-\- {. . ..)
a — b-}-c — d = {a — b) + {....)
a — 6 -|- c — d={a — 6) — (....)
a — 6 + c — d = {a-\- c) — (....)
ba — 2b — ec -{- 6d
5a — 26 — 6c + 3(7
4:6 = (5a — 6c) — (. . . .)
4c = (5a -\-dd) — i.,. .)
20
^a — 2b — 6c-\-Sd — 4e = ha— {....) — 4:6
ha — 26 — 6c-\-M — 4.e = {ha — 2b + M) — ( ).
25. Een jongen, die 2 veeltermen van elkaar moest aftrekken, ver-
wisselde aftrektal en aftrekker en kreeg toen tot uitkomst
-j- 2x^ — 3a;«/ — hy'^. Wat is de ware uitkomst ?
C. Vermenigvuldiging'.
19a. Alvorens de vermenigvuldiging van algebraïsche getallen te
behandelen, herhalen we van de rekenkundige getallen de vol-
gende eigenschappen :
a. Een produkt verandert niet van waarde, als men de fac-
toren verwisselt.
a y<^ b = b )><i a.
b. Een som wordt vermenigvuldigd met een getal, door eiken
term dier som met dat getal te vermenigvuldigen en de
komende produkten samen te tellen.
]py(^{a-\-b-\-c-\-d-\-...) =^p.a-\-'p.b-\-jp.c-{-p.d-\-.. .
c. Een gedurig produkt verandert niet van waarde, als men
de eerste 2 factoren verwisselt.
aXbXcXdXe = aXbXcXeXa.
d. Een produkt van 3 factoren verandert niet van waarde,
als men de twee laatste factoren verwisselt.
aX^Xc = bX(t'Xc.
e. Een gedurig produkt verandert niet van waarde, als men
2 op elkaar volgende factoren verwisselt.
aXbXcXdXeXf=ciXbXdXoXeXf-
f. Een gedurig produkt verandert niet van waarde, als men
de factoren in willekeurige volgorde plaatst.
aXhXcXdXe = cXdXaXeXb.
g. Een gedurig produkt verandert niet van waarde, als men
een willekeurig aantal factoren vervangt door hun produkt.
aXbXcXdXe = {aXcXe)XbXd.
h. Een produkt wordt vermenigvuldigd met een getal, als
men een der factoren van het produkt met dat getal
vermenigvuldigt.
aX{bXc) = {aXh)Xc
i. Een getal wordt met een produkt vermenigvuldigd, als
men het eerst vermenigvuldigt met den eersten factor,
21
die uitkomst met den volgenden enz. tot men alle fac-
toren van het produkt gebruikt heeft.
{aX.hXcXdXe)Xf^aXhXcXdXeXf-
Machten.
k. Het produkt van 2 machten van een zelfde getal is weer
een macht van dat getal, die tot exponent heeft de som
van de exponenten der factoren.
a"' X «" = «"* + "
/. De macht van een produkt of gedurig produkt is gelijk
aan het produkt of gedurig produkt van de gelijknamige
machten der factoren.
{ahcdf = a^'Y'd".
m. De m'^'^ macht van een getal wordt tot de w'^" macht
gebracht, door aan dat getal tot exponent te geven het
produkt der exponenten m en n.
Opgaven.
1. Welke eigenschappen zijn bij de volgende herleidingen gebruikt :
5 X 3f/ = 15a. 2a X 7 == 7 X 2a = 14a
9X5a&c = 45a&c 6a6X3=18a&
2ab X 3c = (2a& X 3) X c = 6a& X c = ^ahc.
2. Welke bij :
5 X (« + & -I- c) = 5a 4- 5&H- 5c.
(2a + 3& + 4c) X 6 = 6 X (2a + 36 -f 4c) = 12a + 186 + 24c
«3 X a' = a' ; d'X a'b' = {a' . a') . h' = aV
éW X a'b^ = («'&' X a-) X h' = {a'b') b' = aV/.
Herleid :
3X5«6
9a'6 X 5
7 X 9«&'
4a'a; X 6
4X2(a + 6)
7(a-|-6)X3
8 X 31 (a + 6)^
bxy {x-\-y)X 4.
Ook:
a X 3a6 a' X 3a-
a' X 7a'b a' X 2a'h'
a6 X 3a6 a'6 X 5a'6-'
a'b'X^a'b' a%Xa'c\
Eveneens :
3a-6 X 5a6'
^a%'c X 3a6^c'
22
2a='&' X 7a'&' ^xYz' X 3?/V.
6. Ook nog :
ba'h'z X 3aW a' {a + hfXa{a-\- bf
Ix-y X ^a'hxyz xy' [x + yf X (^ + vf-
Vermenigvuldiging van algebraïsche getallen.
19ö. Door 9 X — 5a& verstaan wij, evenals in de rekenkunde de
som van 9 getallen, ieder gelijk aan ■ — hab.
Nu bestaat — hdb uit hab negatieve eenheden ; moeten wij
die 9 maal nemen, dan krijgen wij 9 X 5a& negatieve eenhe-
den, dus 45a& negatieve eenheden of — 45«6.
Evenzoo is :
3X4-7 = 3X7 positieve eenheden = 21 positieve eenhe-
den = 4-21.
5 X + 3a^& = 5 X 3a*6 positieve eenheden = Iha'b positieve
eenheden = -1- Xha'b.
Op dezelfde wyze verklare men :
4 X — ^^'y = — 36icV
2i X — 6 (a + &) = — 15 (a + b).
Uit deze voorbeelden blijkt, dat de vermenigvuldiging in de
algebra dezelfde beteekenis heeft als in de rekenkunde, wanneer
de vermenigvuldiger een rekenkundig getal is. Is de vermenig-
vuldiger daarentegen een algebraïsch getal, dan kan men aan
de vermenigvuldiging die beteekenis niet meer hechten. Immers :
+ 3X + 5
kan niet beteekenen de som van plus drie getallen ieder gelijk
aan -f- 5. Men kan toch het getal -f- 5 éénmaal, tweemaal,
driemaal enz. nemen en daarvan de som bepalen, maar het
getal + 5 plus éénmaal, plus tweemaal, plus driemaal nemen,
is onzin.
Evenzoo kan — 3 X — 7 niet de beteekenis hebben welke
met die van de vermenigvuldiging in de rekenkunde overeen-
komt, zoodat wij genoodzaakt zijn te zeggen, wat wij zullen
verstaan onder vermenigvuldigen met een positief en negatief
getal :
Vermenigvuldigen met een positief getal beteekent : verme-
nigvuldigen met de absolute waarde van dat getal.
23
Voorbeelden :
-f5XH-7 = 5X+7 = 5X7 pos. eenh. = + 35.
4-6X— 8==6X — 8 = 6X8 neg. eenh. = — 48.
-f-aX + ^=«X+^ = «X ^ pos. eenh. = + ab.
-j-aX — b =a'X — b = a\ b neg. eenh. = — ab.
Vermetiigvuldigen met een negatief getal beteekent : verme-
nigvuldigen met de absolute waarde van dat getal en de uitkomst
in tegengestelden toestand nemen.
Voorbeelden :
- 4 X + 8 = - (4 X + 8) = - (4- 32) = - 32.
- 6 X - 9 = - (6 X - 9) = - (- 54) = + 54.
— aX+h = — {aX-\-h)= — {-^ab)=: — ab.
— aX — b = — {aX — b) = — {— ab) = + ab.
Uit deze bepalingen volgt de teekenregel :
Ben produkt is positief, als beide factoren gelijke
teekens hebben, en negatief, als ze verschillende
teekens hebben.
Vraag: Wanneer heeft het produkt van 2 algebraïsche
getallen hetzelfde teeken als het vermenigvuldigtal, wanneer het
tegengestelde teeken ?
20, Wij onderscheiden bij de vermenigvuldiging 4 gevallen,
P Geval: Vermenigvuldiging van 2 eentermen.
Il" Oeval: Vermenigvuldiging van een veelterm met een een-
term.
IIF Geval : Vermenigvuldiging van een eenterm met een veel-
term.
JF" Geval: Vermenigvuldiging van 2 veeltermen.
Eerste Geval.
Vermenigvuldiging van twee eenternaen.
21. Deze berust op de bepalingen gegeven in 19è en op de eigen-
schappen van 19a.
Zoo is van -|- 2ab X — 3«è het produkt negatief, omdat de
factoren verschillende teekens hebben en de absolute waarde
van het produkt is;
2ab X 3a& = 6a-i'
24
dus is :
-\-2ahX— 3a.& = — ^(vh\
Evenzoo verklaart men :
— hx'y X — ^xY = + 15a;V'
— 9xY X + 4a;«/'«' = — Söa^V'^'
— 2a{a-\-bfX — 3a& {a +bf = + bx% {a + bf.
22. Eigenschap. Een produkt verandert niet van waarde,
als men de factoren verwisselt.
^aX-\-b = + bX-\-a
— aX — b= — bX — et
+ «X-è = -èX + «
^aX+b = -^bX-a.
Door de verwisseling der factoren verandert de absolute
waarde van het produkt niet, daar
aXb = bX(i (Zie blz. 20, 19a — a).
Ook kan het teeken niet veranderen. Immers hebben vóór
de verwisseling de factoren hetzelfde teeken, dan heb-
ben ze dit na de verwisseling ook, zoodat in beide gevallen
het produkt positief is.
Hebben ze vóór de verwisseling verschillend teeken,
dan hebben ze dit na de verwisseling ook, zoodat in beide
gevallen het produkt negatief is.
Door de verwisseling der factoren is dus noch de absolute
waarde, noch het teeken veranderd.
Opgaven.
Bepaal de volgende produkten;
1. +5X-2. +9X-10. - 5X-7. -f- 7X-2i.
-7X-9. -^X-8. -1- 6X-f9. -lOX-8.
— 8X-3. — 7X + 5i. +10X-6. +8X4-9.
H-6X + 5. +3X-4i. -15X + 3. - 5 X - H.
-7X + 9i. -8X-5|. + 7X-8i - 4X + 5.
2. -haX — «. — 3aX + a. -f- 5a' X — 3a.
-{-aX + b. — 4a X + 2a. _ 7^ X + 2a\
— aX — b. _ a^ X + «. - 4a' X — 3al .
+ 5 X — 2a. ^a' X — a\ + 5a^ X ~ 4a\
3. f x'y X — xy. + ia% X — 3a'è^
~xYzX-¥xy\ ~ ba'b^ X — 2a'b\
25
— x^yz" X + xy'-
— y'z X + xy'z'.
— xY^ X — xy^z\
-h xy'z^ X — x^yz^.
— a^V X — x^yz^.
+ a;VVX~a:yV
+ 3a'-i' X — 4a'è\
— lab'c X — 2a'6^
— ha%c' X + 3a-èV\
— 2^ a'&'c X + 6aèV.
— Sa'èV X — hx'h'c\
+ 5a;«/V X — S^y^;,
— 4:X^yz' X — a;«/^2!.
4- 2a'b'd' X — «'c'<^.
— 5b'cd X — ^a'b'd.
-7ab{x + yrX-\-2ac{x-^y)%
^ha{x + y)X+^b'cix + yy.
X-h{a-hbYia-b)\
X-{a-byia-\-bf.
+ 2xYz X — Qxy'z\
— 4:x'yz'' X + 2a-i!/V.
— sJbc^d X + 2aM.
— hac'd X — ^ab'd.
-^2{x-hyYX-3{x + yf.
—3xy {a + bf X -f 5x' (a-^b)
— {a-\-by(a — by
+ 5 (a - bf {a + by
— 2ab {a — by {a-\-b)X — 4a' (a — 6) (a + è)'
4- 'óa'b'c {a-\-k — cy X + 5a'ir (a + ^ — c)\
+ 2a;V (^' + f - ^r X - Bxy' {x' + 2/-^ - z^y.
Tweede Geval.
Een veelterm te vermenigvuldigen met een eenterm.
23. Hierbij maakt men gebruik van de
Eigenschap. Ben produkt verandert niet van waar-
de, als men het vermenigvuldigtal in deelen splitst,
elk der deelen met den vermenigvuldiger vermenig-
vuldigt en de produkten samentelt.
Bewijs.
Zij gegeven — 5 X + 13, en splitsen wij + 13 in + 7 + 8 — 2,
dan hebben wij het tegengestelde te bepalen van 5 X (+7 + 8 — 2),
dat is van de som van 5 veeltermen, ieder gelijk aan :
+7+8 -2
De hoeveelheid, door die som uitgedrukt, verandert niet, als
men ze verdeelt in 3 groepen, bestaande uit 5 keer het getal
+ 7, 5 keer het getal + 8 en 5 keer het getal — 2, dus uit:
(5 X + 7) + (5 X + 8) + (5 X - 2).
En hiervan het tegengestelde genomen, is:
(- 5 X + 7) + (- 5 X + 8) + (- 5 X + 2).
26
, Op dezelfde wijze verklaart men :
-f 3 X (+ 2a - 3& + 4c) = (+ 3 X + 2a) + (-f- 3 X - 36) +
,-l-(4-3X-|-4c).
— a X (+ 2a — 5& — 3c) = (- a X + 2a) 4- (— a X — 5&) -I-
+ (- a X - 3c).
Uit deze eigenschap volgt nu :
Een veelterm wordt met een eenterm vermenig-
vuldigd, door eiken term, waaruit de veelterm bestaat,
met den eenterm te vermenigvuldigen en de komende
produkten samen te tellen.
Voorbeelden :
+ 5 X (— 3a + 46) == ( H- 5 . — 3a) + (4- 5 . + 46) =
= (— 15a) + (4- 206) = — 15a + 206.
— bx' X (+ 2x'— Sx + 5)=(— bx\-\- 2x')-{-{— 5x\— Sx)M— 5;»'.+ 5)
= (— 10;r^) 4- (H- 15^') + (— 2bx')
= — 10^" + 152;' — 2bx\
Het zal niet moeielijk zijn de uitkomst in eens te bepalen :
+ 7a;V X (4- ^^y — hxY 4- 4V — y') = + 21^V — 36xS/
4- 28xY — IxY
— 2a%^c X (— 5a'6'c- 4" 4a6'c'' — 36=^c') =
= 4- 10a'6V-' — 8a'6«c'' + 6a'6'c\
Derde Geval.
Een eenterm te vermenigvuldigen met een veelterm.
24. Wij bewijzen eerst de eigenschap :
Een produkt verandert niet van waarde, als men
den vermenigvuldiger in deelen splitst, het vermenig-
vuldigtal met elk dier deelen vermenigvuldigt en de
komende producten samentelt.
Bewijs.
Zij gegeven : 4- 6 X — 15 en splitsen wij 4" 6 in 4- 9 — 7 4-4,
dan zullen we bewijzen, dat
4-6X-15 = (4-9X-15)4-(-7X-15) + (4-4X-15);
volgens eigenschap 22 is :
(4- 9 — 7 4- 4) X — 15 = — 15 X (4- 9 — 7 4- 4) en dit is
volgens eigenschap 23 gelijk aan :
(- 15 X 4- 9) 4- (- 15 X - 7) 4- (- 15 X 4- 4).
Passen we nu op elk dezer produkten weer eigenschap 22
toe, dan krijgen we :
27
(+ 9 X - 15) + (- 7 X - 15) 4- (+ 4 X - 15)
Men kan deze eigenschap ook aldus uitdrukken :
Ben eenterm ■wordt vermenigvuldigd met een veel-
term, door den eenterm te vermenigvuldigen met
elk der termen, waaruit de veelterm bestaat en de
komende produkten samen te tellen.
Voorbeelden :
(— Sa- + 5a — 2) X — 3a& = + 9a^b — 15a'& + 6ah.
(-f- 2^7/ — Sxf + f) X 4- ^xf = + ^OxY — l^xY + 5^y'-
Opgaven.
1. Herleid:
3 X (— 5a + 2& — 4c) ; 6 X (— 2a — 3& + 8c) ;
1^ X (—« + & — c) ; a (2a' — 3a -f 5) ;
crb X {a- + « + 3) ; aW (— 2a'^6 + ah'' — b').
2. Eveneens :
— o X (— 2a -1- 8&) +«(—« — &) — 2a (— 3a + 56)
4- 6 X (+ 8a — 26) + b' (- a + 26) -f 6a* (+ 2a-— 3a)
— 3 X (— 2a — 56) - 3a' (- 2a + 56) — 5a- (+ «' — a)
3. Herleid:
+ 2a^'6' (3a-6'— 2a'6' + 3a6'c) ; — 5a-6' (— 2a6' + 3a'6' — éab'c)
— 7a"'6' (— 2a'+ 3a-6*— 4a'6'+ 56') ; — 6a='6' (— 2a-6 — 3a6c -\- 6')
— 9a-6V (- 3a-+ 5a6'— 7ac''+ b'— c') ; — 21c'6'(— 3a-+6*^— 5c').
4. Herleid ook :
+ 5 (— 2a 4- 36) + 4 (+ 3a — 26) — 6 (a + 56) + 9 (3a — 6) ;
+ a (— 2a + 36) — 26 (+ 3a — 56) — 2a (— 3a — 46)+6(— a— 6) ;
— 3a(4-5a — 26 + c) + 36(— 4a + 56 — c) — 2c(+3a— 26+5c),
5. Hoeveel is het verschil van :
+ 25c'^' (-f 4:c'd' — 4:bc'd' -{- 2Scd) en
— bc'd' (4- 18cd' 4- Séc'd — 24d%
6. Ook van : — 3a'6-' (— 2a'6 -f a'6"' — 3a'6' 4" arb') en
4- 2a-'6^ (— 3a' 4" 5a'6 — 4a6- — 6').
7. Herleid :
2a (3a — 6) 4" 4a (— 2a + 56) ;
— 2a (a — 36) 4- 5a ( 4a — 36) ;
— 2xy [x^ — 3xy) -\- y ( — Sx^ — xY '■>
4- ix" {x^ — 3:r 4- 2) — hx' (— 2^- 4- 4a: — 3) ;
4- 2a6 (a- — a6 4- 6') — 3a6 (2a' + ah — 56') ;
28
8. Ook : (3a + 2b) 2a ; (3a - 5^») X — 2a ; {6ab — hb') X — ^((h ;
{2x' — 2>xij + hy) X ^xy ; (2.^* _ 3a; + 5) X — 7:r.
9. Vul in:
— (2a + 3è) X 5a = — ( ) =
— [Ax^ — 3:r) X' = — ( ) =
— i^x' + 2xy — y') dxy = — ( ) =
10. Herleid:
(5a + 2b) 3a — (4a — 2b) 2a ;
( — ox^ + 3a;) xy — ( — 2x- — '^xy) ixy ;
{a^ + aè + h') a — (a'- -^ab + b')b\
[x^ + 2^;^/ + «/') ^ — {x^ + 2^;!/ -|- /) y.
11. Verdrijf de haakjes uit:
4- ^ (^ + 5) + 7 ; -\- x {x — ^) ^ 2x {— X -^ 2>)',
{x{x — ^)-\-b]x — ^X', 3 {iC — 2 (a; + 3) — 5} ;
6 {x^ — 2a; (3 — :r) + 5} — 4a? {re — 3 (a; — 6) + 5} ;
[24 + Qx [x- — 3a; (a; — 5) + 4} — 4a-' (— 3a; + 5) ] 2.
Vierde Geval.
Vermenigvuldiging van twee veeltermen.
25. Om twee veeltermen, b.v. :
— 5a' — 3a + 4 en + 2a- + 4a — 3
met elkaar te vermenigvuldigen, splitsen wij den vermenigvul-
diger 2a' -f- 4a ■ — ^3 in drie deelen : + 2a^ ; -f- 4a en — 3 ;
vermenigvuldigen, volgens eigenschap 24, het vermenigvuldigtal
met elk dier deelen en tellen de komende produkten samen :
+ 2a'X(— 5a' — 3a + 4)==— 10a'— 6a' + 8a'
+ 4a X(— 5a' — 3a + 4)= — 20a'— 12a' + 16a
— 3 X(— 5a' — 3a4-4)^= + 15a' + 9a— 12
— 10a' — 26a' + 11a' + 25a — 12
Gemakshalve schrijft men meestal den vermenigvuldiger onder
het vermenigvuldigtal, aldus :
— 3a'— 3a + 4
+ 2a' + 4a— 3
— 10a' — 6a'+ 8a'
— 20a'— 10a' + 16a
+ 15a'-f 9a— 12
— 10a' — 26a' + 11a' -f 25a — 12
29
Opmerking :' De veeltermen, die wij moesten vermenig-
vuldigen, waren beide gerangschikt naar de afdalende machten
van a. Was er gevraagd het produkt te bepalen van :
— hxtf + 3;r^ — 2y^ -\- dxy en — x' + ^ ' — ^1/
dan zouden we eerst beide veeltermen op dezelfde wijze rang-
schikken, alvorens de vermenigvuldiging uit te voeren :
4- 3^' + 3x'-y — 5^/ — 2y^
— x' — xt/ -\- y'
— 3^' — 3x-V + ^^f + '^^Y
— 3xhj — 3xY + 6xY + 2xy*
4- SxY + SxSf — öxy' — 2t/
— Sx" — ex'y + bx'y- + 10jc>'— 3xi/ — 2i/.
Andere voorbeelden :
a. X' -\- xy -\- y- b. 3x-\- by — 2z
x' — xy -\- y' Sx — by -\-2z
x^ -\-ci?y -\- x'y' ^x'A^Xhxy — '6xz
— o^y — o^if — xy^ — \hxy — 2by^-\-V)yz
4-ic'/ + xy^ + ƒ +6^0 +10^/0 — 4^;*
~x' + xY +^* 9^^ —25^+20^2;— 42;'
C X . , , — óX ~| X o
re'— 2;r\..+3
Jj * % % KJxh ^ Jj OU/
—2x^ + 6x' — 2x^ 4- 10^-
+3^^ — 9x^-hSx—lb
ic'— 2^'— 3^^ +10:^;'— lx' 4- ;r- + 3;r — 15.
Aan deze voorbeelden merkt men op, dat, wanneer men beide
veeltermen op dezelfde wijze rangschikt, de eerste en laatste
term uit het produkt door een enkele vermenigvuldiging verkregen
worden, terwijl de andere kunnen ontstaan zijn door samentelling
van enkele produkten. De eerste term van het gerangschikte
produkt is gelijk aan het produkt van de eerste termen der
gerangschikte factoren, en de laatste term van het gerangschikte
produkt is gelijk aan het produkt van de laatste termen der
gerangschikte factoren.
Zijn beide veeltermen gelijkslachtig, dan is het produkt ook
gelijkslachtig en wel van den graad, die aangewezen wordt
door de som der graadgetallen van beide.
Is een der veeltermen of zijn beide veeltermen ongelijk-
slachtig, dan is het produkt mede ongelijkslachtig ; ook nu is
30
de graad van het produkt = de som der graadgetallen vati
vermenigvuldigtal en vermenigvuldiger.
Opgaven,
1. Bepaal de volgende produkten :
(3:r+5) (2;r+6) ; (4a;— 3) (5^+2) ; (—x+b) (2^—3) ;
(3a;— 4) (—2^+5) ; (3a;+6) (— 4a;+7) ; {2x-\-b) [x—S) ;
2a + 3i) (a; + 5è) ; (4a— 2è) (a+3i) ; (2a+3^) (3a— 2è) ;
{ba— 4b) {2a— 3b) ; (3a-+2a) (a'— 5a) ; (a'— 3a) (a+5).
2. Eveneens :
(2a;' — 3a; + 5) (a; — 2) ; (— ix' + 3a; — 5) (2a; + 6) ;
(3a;' — 4a; - 5) (3a; + 4) ; (+ x' — 2a; + 1) (3a; — 2) ;
(2a;' -\-X7/ — ƒ) (2a; — 3y) ; (4a;' — 3xy + 2 ƒ) (x — 2y) ;
(a;' -\-xt/-j- if) {x-\-y); (x^ — xt/ -\- /) (x — y).
3. Bepaal ook het produkt van :
2a;"' — 3a; -|- 5 en x^ — 3a; — 2.
2a;' — X — 5 en a;' 4- 3a; — 2.
4a;' — Sxy + 2y' en 5a;' — 2xy -\- 3^'.
2a:;' — 3xy -\- y~ en 4a;' — Zxy -\- «/'.
X? + ^xy ■\- y^ en a;' — 2xy + «/'.
a' + 2a'6 + a&' — &' en a^ — ab-\- 2h\
4. Herleid:
(3a;^ 4- 5a;V — ^a;?/' + /) (2a;' — 3a:«/ + «/') ;
(+ 2a' — 3a' — 5 -+- a) (— 4a* — 5a' + 2a' + a) ;
(3a; 'f/ — 4y' + 2xy^ — 4.a;') (5a; ƒ — 3«/' + 2a;'^ — 3a;') ;
(— 2aè' + 3a' — 2a'6 + 5') (a' — 4&' — 2a&' + a%).
5. Eveneens :
(^a' - ia'& + lab' - |è') (l^a + IfJ).
(H:c' + 31/ - 2| a;^) (ia;' + 1^' - fa;^).
6. Bepaal de som van :
(a' — 2>ab + i') (« — 2h) en (2a' + aè — 3è') (2a + &).
Ook het verschil van :
(5a' + 2ab — 3è') (a' — ab -\- è') en (a' — 2a'è + è' — a&') X
X (a - 3&).
7. Herleid:
(a + è — c) (2a — 3& + 4c) ; (5a — 3& + 2c) (— 2a + i — 3c).
(2a; + 3// — 4^) (a; — 2«/ + «) ; (a + Z) 4- c — c?) (a — & + C + C?).
31
Ontwikkel :
(2a + Uf ; (a — 26/ ; i^óx-^y — zf ; (2a — 3è + 4c)- ;
(a + A — 2c + c^)'; (a' + a6 — è')'.
Vermenigvuldig a' + a6 + è^ met a — h;
x^ — x*y + x^y^ — x^y"^ + a;«/* — «/^ met a; + «/ ;
X* H- ic^i/'' H- y'' met x^ — x^y'^ -\- y^ ;
a^ + 2a-è + 2a6' + 6' met a' — '2a-6 + 2a&' — h\
10. Schrijf op :
2 eentermen, ieder van den 4^^* graad,
2 eentermen : een van den 2*^'^ en een van den 5®*^ graad.
2 eentermen: een van den 4^^^ en een van den 3*^^ graad.
Bepaal in elk dezer gevallen den graad van hun produkt.
] 1 . Als men een gelijkslachtigen veelterm van den 4®*^ graad ver-
menigvuldigt met een eenterm van den derden graad, wat weet
ge dan van het produkt?
Geef hiervan een voorbeeld.
12. Wat ontstaat er door vermenigvuldiging van een gelijkslachtigen
veelterm met een eenterm?
13. Wat door de vermenigvuldiging van een ongelijkslachtigen veel-
term met een eenterm ?
14. Wat door de vermenigvuldiging van 2 gelijkslachtige veeltermen ?
15. Wat door de vermenigvuldiging van een gelijkslachtigen met
een ongelijkslachtigen veelterm?
16. Wat door de vermenigvuldiging van 2 ongelijkslachtige veel-
termen ?
17. Herleid:
als A = '6x-\-2y — z en B = x — 'Sy-\- 2z.
18. Eveneens :
{A'-SA)B', {A'-A)X{B'-\-B)
voor dezelfde waarden van A en B.
19. Ontwikkel:
{a' + aè + b'f — {a' — 2ab -f b') (a' — ab — b%
20. Verdrijf de haakjes uit:
(a + 2b) { (a + 2b) (a — b) — {2a — 6) (a + 3è) } — (— a +
{ (a - 2hY + (2a - bf}.
32
Gedurige Produkten en Machten.
27. Bepaling. Vermenigvuldigt men het getal a met b, deze uit-
komst met een derde getal c, deze nieuive uitkomst met een
vierde getal d enz., dan ontstaat een gedurig produkt.
Dit gedurig produkt schrijft men aldus:
....XdXcXhXa
De laatste factor rechts is het vermenigvuldigtal.
Zijn alle factoren positief, dan is het produkt ook positief;
is één factor negatief, dan wordt ook het produkt negatief;
een tweede negatieve factor maakt het weer positief ; eenderde
weer negatief; een vierde positief enz., waaruit volgt:
Een gedurig produkt is dus positief, als er geen of een
even aantal negatieve factoren in voorkomen, en nega-
tief, als er een oneven aantal negatieve factoren in
voorkomen.
38. Eigenschap. Ben produkt verandert niet van waarde,
als men de factoren van teeken verandert.
— aX^-h = -\-aX — h
— a-l h = + aX^-'b.
Bewijs.
De absolute waarde is in beide gevallen dezelfde, nl. a.h.
Ook heeft het teeken van het produkt geen verandering onder-
gaan. Immers waren vóór de verandering de factoren van het-
zelfde teeken voorzien, dan waren ze dit na de verandering
ook, zoodat beide produkten positief waren.
Waren daarentegen de oorspronkelijke factoren van verschil-
lende teekens voorzien, dan zijn de nieuwe het ook en beide
produkten zouden dan negatief zijn.
29, Eigenschap. Een gedurig produkt verandert niet van
waarde, als men een even aantal factoren van teeken
verandert.
Bewijs.
De absolute waarde van beide produkten zal dezelfde zijn.
We hebben dus nog aan te toonen, dat ook de teekens van
beide produkten gelijk zijn.
Door de verandering der teekens van een even aantal fac-
toren kan het aantal negatieve factoren van beide produkten
slechts een even getal verschillen en dit heeft geen invloed op
het teeken van het produkt.
i
33
30. Eigenschap. Als men in een gedurig produkt een
oneven aantal factoren van teeken verandert, dan
verandert ook het produkt van teeken.
Bewijs.
De absolute waarde van beide prodakten is dezelfde, terwijl
de negatieve factoren in een oneven aantal verschillen. Is dus
het eerste produkt positief of negatief, dan zal het tweede
negatief of positief zijn.
31. Eigenschap. Machten van positieve getallen zijn weer
positief.
Het bewijs volgt uit 27.
32. Eigenschap. Machten van negatieve getallen zijn
positief f als de exponent even, en negatief, als de
exponent oneven is.
Ook dit bewijs volgt uit 27.
33. Eigenschap. Evenmachten veranderen niet van
waarde, als men het grondtal der macht van teeken
verandert; onevenmachten veranderen ook niet van
waarde, als men het grondtal van teeken verandert,
mits men voor de nieuwe macht het minteeken
plaatst.
Het eerste gedeelte wordt bewezen met behulp van 29 ; het
tweede met behulp van 30.
Opgaven.
1. Zijn de volgende gedurige produkten positief of negatief, en
waarom ?
-2X + 3X-5X-7; -2X-3X-5X + 7X-9X
XH-3X4-2X-«X-5è.
2. Herleid:
(«. + 2b) [a - U) (2a + U) (a-b); {2x'-\- xy + /) {x - 2y) {x^y);
(a* -\-ab-\- b') {a' — aè + b') [a -\-b){a — b);
{x' — xY -f y') {x' + xy-\- if) {x' — xyAr f)-
3. Herleid :
(a -f- bf ; (a — h)' ; (2a -f Wf en (2a -)- è — cf .
4. Ontwikkel :
(a- + aè — bj — {dr — 2ab + è') (a' — ah — b').
3
34
5. Ook : {(^' + xyf — {x^ — xyf] [x — y).
6. Hoeveel is :
(+2)^ (-3^; (-2^; (-4)'; (+3f; (-4)^ (-2)';
{-af; (+a)"; (-3af; (4-3^^; (-2éf; {-bab)\
7. Bewijs dat: (3't = 3* en {d'b'f = a'b\
8. Herleid:
{cr-hj; {—^(ThJ; (+2a^èVf; {—Wbcy-,
(— a'x'yy ; (- 3a V)' ; + (— 3a'è)' ; — (— 4.a'by.
9. Vul in: 108' = (2"' . 3Y = 2 • • . 3 ' •
10. Schrijf de volgende machten in de eenvoudigste factoren :
15^ 12^ 18^; 36^ 54^ 72^ 56^ 144^ 2160^
11. Herleid:
{^a'h'f; {WbJ; (2- . 3VöVf;
{Ua^b'cf; 12'X18%- 24' X 36^ 15'X 21*X 35'X 20*X 12';
{Iha-by X (lOa'è^)' ; {l^db'cj X [l^a'b'cy.
12. Herleid:
(- a'by X (+ a'bj ; (— a'b'cj X (+ a%J ;
(— ^a^y X (— 12a'è^)^' : (— I2a%j X (+ l^a^'bj.
13. Ook:{(-a7r; {(— a^^Tf; {(H-a^è^r; {—(-«?}';
(- 2a-è')' X (4- Qa^hy X (— 12a''5^)^
(— I2a'^»-c)' X (+ l'èd'bcy X (— Qab^cy.
14. Is {a — h)* = {b — ay zoo ja, waarom?
{a — hf = {b — af^
15. Schrijf nu {x — yf en ook {x — yY^ als machten van {y — x).
16. Herleid tot machten van (a — b):
{a-bfX{h-af', {b-afX{a-hf; {b-afXib-af;
{b - af X (« - bf X{a- bf X{b- af X (« - bf X{b- af ;
{(b-afrX{{a-bfY; {{a- bffXi- (b-affX{{b- aff.
D. Deeling.
34. Bepaling. De deeling van 2 getallen is een bewerking^ die
ons een derde getal (quotiënt) leert vinden, dat met het eene
(deeler) vermenigvuldigd, het andere (deeltal) oplevert.
Uit deze bepaling volgt :
Deeler X Quotiënt = Deeltal.
Deeltal _ ,
^ — -. — 7 = Deeler.
Quotiënt
I
35
35. Men onderscheidt 3 gevallen :
r Geval : Deeling van 2 eentermen.
//'' Geval : Deeling van een veelterm door een eenterm.
Iir Geval : Deeling van 2 veeltermen-
Eehste Geval.
Deeliug van twee eentermen.
36. + 12
+ 12
— 12
-12
+ 4 = + 3 . . . . omdat +4X+3= + 12
— 4 = — 3 omdat — 4X — 3= + 12
+ 4 = — 3 omdat + 4X — 3 = — 12
— 4 = + 3 omdat — 4 X + 3 = — 12.
Evenzoo verklaart men :
+ a:-\-b=+j
+ a:-b = -j
._a:+b = -j
-a:-b=+j.
Uit deze voorbeelden blijkt de teekenregel :
Het quotiënt is positief, als deeler en deeltal
dezelfde teekens, en negatief, als ze verschillende
teekens hebben;
alsmede :
De absolute waarde van het quotiënt is gelijk
aan het quotiënt van de absolute waarden van
deeltal en deeler.
37. In de rekenkunde heeft men de:
Eigenschap. Het quotiënt van 2 machten van een
zelfde getal is w^eer een macht van dat getal, die
tot exponent heeft, het verschil der exponenten.
15' : 15' = 15' omdat 15' X 15' = 15^+' = 15«
79. 76^ 7' omdat 7'X 7'= T+' = T
a}' : a^^=a^
(abf: {aby={abf
{a + è)'^ : (a + bf = {a -\- b)''
Algemeen : a"^ \aP = ti"-^ (waarin »i > /> -f 1).
36
Voorbeelden :
1. Het quotiënt te bepalen van — 12a^b' : -\- éci'b^.
Wij bepalen eerst het teeken ; dit zal negatief zijn, omdat
deeler en deeltal verschillende teekens hebben. Bovendien is de
absolute waarde van het quotiënt gelijk aan 12a^6^ : 4a'^é^= 3a&'
omdat : Aa-b' X 3a/>'' = VMK
Dus is :
— 12a%'' : 4- ia'b^ = — Sab\
Evenzoo verklaart men :
2. — bla'b'ó' : — llab'c = + 3a%'c'
3. — 6 (a + bfc' : + 4 (a H- è) c = — li (a + bfc.
Uit de voorbeelden kunnen we dus voor de deeling van
eentermen, den volgenden regel afleiden :
Om 2 algebraïsche eentermen op elkaar te deelen^
bepale men eerst het teeken van het quotiënt, en
vervolgens den vorm, die met de absolute waarde
van den deeler vermenigvuldigd, de absolute waarde
van het deeltal oplevert.
Opgaven.
Bepaal de volgende quotiënten :
1. + 12:-1- 3
H- 18:— 12
— 150:+25
2.
4.
+ 12ab^
— 3a '
— é2abc
+ 6ac
a" : a
a^:cr
a' : a'
a^ : a'
- 12:+ 6;
- 14:+ 4;
+160:— 82;
— 12ab
+ 12a'b
— 2Aa%'
— 20a^bV
+ iOa'b'c'
+ U '
— blabc
+ 17a
a'b' : a%
d-W : a-b^
a'b' : a^b"
aV'-.ci'b"
: — 4a'-
: — Qa'b'
: + lOaWc
: — hcf'b'c'
-15:— 3; +20:
-56:+ 8; —40:
-95:+19;-— 72:-
— 12ab
-12
SOabc
+ 6a : — 2a;
+ 9a6:+3è;
— 15aè: — 5a;
120a*è'c' : + 25a^è'c
+ bab'
— 4:8abcd
— 16ac '
a'b'c'
a'b'c''
a'b'c''
(a + bfc'
+ 30a'è' :
— 15a'öV- :
— 30a'èV :
— 48a'è^V' :
+ 90a*èV :
+ 4aè
— 42aècc^
+ 6abcd'
d'bc'
a'c'
^ : (a + bfc'.
— 6a'b
+ lOa'èc'
— 20aè'c'
— 6a'bY
— Iba'b'c.
37
{x-^yr-.ix-^-yf', {po-^yr:[xA-yy,
- {2x + 5^)^ : + {2x-\- 5yf; - 10 (^ + 5//)'^ : - 2 {x -^ hy)' ;
+ 20{^x—yY' : —8 {^x—yf ; —2Wb\2x-^yf : +3ai' (2^+</)'.
L6. Herleid :
(+ 20^1)^ X (— ^a^by (4- 12a^é^)^ X (— l^a^bj
{-2a'b'y ' (— öa'^è^- '
i-a%rX{~'a'br +{x-yYX~{y-xT
(+ a'Z»*)"^ X (— a'b'f ' 0/ — xf
Tweede Geval.
Deeling van een veelterm door een eenterm.
38. Deze berust op de eigenschap:
Een veelterm wordt door een eenterm gedeeld,
door lederen term, w^aaruit de veelterm bestaat,
door den eenterm te deelen en de gedeeltelijke quo-
tiënten samen te tellen.
{-^a — b~c-\-d): — e = {^a: — e)^{—b: — e)-h
Jr{-c:-e)^{-{-d:-e).
Om deze eigenschap te bewijzen, merken wij op, dat het
tweede lid, met den deeler — e vermenigvuldigd, het deeltal
oplevert, zoodat het tweede lid het quotiënt is.
Voorbeelden :
1. (+12a-15J+18.):-3 = +H2+-15* , 4- 18c _
ï
I
_3 ' _3 ' _-3
= (-+- 5a) + (+ bb) + (- 6c) = — 4a -h 5è — 6c.
Het zal niet moeielijk zijn, het quotiënt in eens oj) te schrijven :
— ba - 1
, -\-a'h'c-a'b'c'-{-a'b'c . ., ,_ _
3- ^r^^a = + ab - ac- + a-b\
Opgaven.
1. Deel : ■\- 12a — lU + 8c door +4; — 8; -|-3 en — 2.
„ — 15a^ — 12aè + 18ac door + 6a; — 4a en — 3a.
2. Deel : -f 15a' — 12a' + 7a door — 2a ;
— 20a* + 15a' — 8a' door — 3a- ;
-I- a'b' — a'b' 4- a'b" door — d'b' ;
— 48a^èV + 32a"^èV — iOa'bV door — 8a'b^c.
38
3. Bepaal de volgende quotiënten:
+ 20my + 25wy — Ibmy ^
— bm^ '
— da'Pc' — l2a'bV + Iba'bV .
-{-Sa'bV '
+ 6mnp~q — 12mn^pq — Ibmnpq^ ^
— Smnpg '
— 2d'b'
Derde Geval.
Deeling van twee veeltermen.
39. Om het quotiënt te bepalen van :
— 22a^ + 50a + 8«' — 25 — 11a' en + 2a' + 5 — 7a,
gaan we eerst deeltal en deeler rangschikken naar de afdalende
machten van a:
Deeltal .... + 8a* — 22a' — lla'^ + 50a — 25.
Deeler + 2a' — 7a + 5.
Denken we ons ook het quotiënt gerangschikt, dan volgt uit :
Deeltal = Deeler X Quotiënt of Quotiënt X Deeler,
dat de eerste term van den deeler, vermenigvuldigd met den
eersten term van het quotiënt, den eersten term van het deeltal
zal opleveren, zoodat de eerste term van het quotiënt gevonden
kan worden, door den eersten term van den deeler op den
eersten term van het deeltal te deelen :
-j— — 2 = -}- 4a' eerste term van het quotiënt.
Eerste term van het quotiënt X deeler levert op :
— 8a' — 28a' + 20a',
nemen we dit af van het deeltal :
-I- 8a' — 22a' — 11a' + 50a — 25
+ 8a' — 28a' + 20a'
-f- 6a' — 81a' + 50a — 25
dan zal deze rest gelijk zijn aan :
de overige termen van het quotiënt X deeler.
Van dit produkt is de eerste der overige termen van het
quotiënt X de eerste term van den deeler gelijk aan -|~ 6a', dus
eigenlijk :
tweede term quotiënt X eerste term deeler = -|- 6a' ;
39
40.
1.
we krijgen dus den tweeden term van het quotiënt, door den
eersten term van den deeler op den eersten term van de rest
te deelen:
-\-6a'
-^2d
i = + 3a
tTveede term van het quotiënt.
Tweede term van het quotiënt X deeler levert op :
+ 6a' — 21a' + 15a,
Nemen we dit van de eerste rest af :
+ 6a' — 31a' + 50a — 25
+ 6a' — 21a' + 15a
— 10a' + 35a — 25 ... . tweede rest
dan zal deze rest gelijk zijn aan:
de overige termen van het quotiënt X deeler.
Bij dit produkt is weer de eerste term der rest: — 10a' =
de eerste der nog komende termen van het quotiënt X de
eerste term van den deeler, of
derde term quotiënt X eerste term deeler = — 10 rt'.
Wij krijgen dus den derden term van het quotiënt, door den
eersten term van den deeler op den eersten term van de tweede
rest te deelen:
1 A 2
-; — r-^ = — 5 derde term van het quotiënt.
+ 2a-
Deze derde term — 5 vermenigvuldigd met den deeler levert
op : — 10a' + 35a — 25,
dat is juist de tweede rest, zoodat:
Deeltal = deeler X (+ 4a' + 3« — 5),
en bijgevolg + 4a' -{-3a — 5 het quotiënt vormt.
Men schrijft de bewerking aldus :
. . Quotiënt.
Rest.
Deeler :
Deeltal
-l-2a'
-f 8a*
+ 8a*
—
7a -f 5 1 1 -f 4a' -}- 3a — 5
22a'— 11a' -f 50a — 25
28a' + 20a'
-1-
4-
ea'-
6a'
- 31a' -1- 50a -
-21a'-}- 15a
- 25 . . .
- 10a' + 35a -
- 10a' -h 35a-
-25. . .
-25
O
2^^ Rest.
3^« Rest.
Een deeling, zooals deze, waarbij men tot een rest = nul
komt, heet opgaande deeling.
Andere voorbeelden.
Zij gevraagd het quotiënt te bepalen van:
40
6x~ — Sif — 10^' — 7x1/ -\- 1 Ij/z -{- llxz en Sx -\- y — 2z,
dan rangschikken we deeltal en deeler alphabetisch naar de
afdalende machten der rangletter:
Deeler : 3x-\- y — 2z \ \ 2x — Stj -{-bz Quotiënt.
Deeltal: 6^' — 7xy -\- llxz ^ Sy' -{- llyz — lOz^
6x' -f- 2xy — 4:XZ
— 9xy + Ibxz — 3/ -{-llyz— 10z\ . . P'« Rest.
— 9xy — Sy~ -j- 6yz
+ Ibxz -h byz — 10z\ . . 2^« Rest.
4- Ibxz + byz — 10^:'^
Ö
Gevraagd het quotiënt te bepalen van :
x'' + 34a;' -{- 2bx' 4- 30 — 25a;' — 20.r' — 8a; + 69 en
4a;' — 3a; — 5a;' + a;' + 6.
Rangschikken we deeler en deeltal naar de afdalende machten
van x:
-\- x' — bx" -]- é.x' — Sx -^ 6 I I + a;^ 4- 5^' — 4a;^ — 3a; 4- 10
-\-x\ . . . — 25a;' + 34a;' .... — 20a;' + 25a;"' — 8a; 4- 69
4-a;' — 5a;^4- 4a;"— 3a;^4- 6a;'
4- 5a;' — 293;** 4- 37a;' — 6x' — 20a;'
4- 5a;' — 25a;° 4- 20a;' — 15a;^ 4- 30a;'
— 4a;'' + 17a;' 4- 9x^ — bOx' + 2bx'
— 4x^ 4- 20a;' — 16a;^ 4- 12a;' — 24a;^-
— 3a;' 4- 25a;' — 62a;' 4- 49a;' — 8a;
— Sof 4- 15a;* — 12a;' 4- 9a;- — 18a;
4- 10a;' — 50a;' 4- 40a;- 4- 10a; 4- 69
4- 10a' — 50a;' 4" 40a;' — 30a; 4- 60
4- 40a; 4- 9
Daar de laatste rest : 4- 40a; 4- 9 van lageren graad is dan
de deeler, kunnen we de deeling niet meer voortzetten ; wij
zeggen in dit geval, dat de deeling niet opgaat. Het zou een
opgaande deeling geworden zijn, als het deeltal + 40a; + 9
minder was geweest.
Bij eene niet opgaande deeling is dus:
Deeltal — Rest = Deeler X Quotiënt
of Deeltal = Deeler X Quotiënt -|- Rest.
Opmerking. Daar bij de rangschikking van het deeltal
bleek, dat er enkele machten van de rangletter ontbraken, lieten
wij voor die ontbrekende termen in het gerangschikte deeltal
eenige plaatsen over.
41
Gevraagd het quotiënt te bepalen van :
x^ — cc'z — xif + ifz en x' -\- xij -^^ y'.
Het deeltal is gelijkslachtig, van den vierden graad, en
bevat de rangletters x^ y, z. Als deze veelterm volledig was,
zouden er in voorkomen termen met a;\ x^y, x^z, x°^y^, x'^y^i
jrz', xy^, ^y'^1 xy^'i ■^'«s^^» y\ \t^i V^^'" V^i •^*' Tusschen de
termen van het deeltal dienen dus eenige plaatsen open te
blijven, nl. : 1 plaats tusschen x^ en — X^z; 3 plaatsen tusschen
— x^z en xy^ ; 4 plaatsen tusschen — xy^ en y^z.
De deeling komt dan aldus te staan :
X' -\- xy -\- y' Il x' — xy — xz-\-yz
x\ . . . — x^z — X'if' -\-y^Z'
x*-\-x^y + "^V"
— x^y — oi^z — x^y' . . . . — xif.
— x^y — x'i/ . . . . — xy^.
— x^z ' -\-y^^-
— x^z. ... — x^yz ... — xy^z
x'yz . . . + xy^z + ifz.
x^yz ... -f- xy^z + y^z.
Opgaven.
1. (x-— 5a;— 24) :{x—S); (,x' + 7^ — 18) : (ic + 9) ;
y-\-7xy^l2y'') : {x-\-dy) ; (x' — 15^ + 36) : {x - 12) ;
(5a' + 6a — 8) : (a + 2); {a' -f d' + 1) : («' + a + 1) ;
(x' H- x' + 1) : (x'—x+l); {a' + 2a- + 2a + 1) : {a' + « + !)•
ix^ — 2x^-]-2x—l):{x — l).
2. Deel: 18a-' -f- 15aè -}- 26- door 6a + 6 ;
3a;-' + 14:xy + 15 ƒ door x -\-By ;
bx* — 22ic^ -]-x^ — 7x — 7 door x' — 4a; — 2 ;
35a;* + 9a;' — 62a;-' + 45a; — 9 door 7a;' — 8a; + 3 ;
10a;' — 21a;' — 20a;' + 21a; + 10 door 2x^ — 3a; — 5 ;
lOa'èV + Slabc'd + Ibcd' door 2abc -^^d;
Sa-bY+ 2^ahcdf-\- 2\c'd'f door 4aè -f 7c(i. "
3. Bepaal het quotiënt:
van 6a;'*' — 14a;« + 4a;'' — 21a;' + 14a;' -f- 9a;' + 12 — 15a.'' + 21a;'' en
— 2a;'' — 3 + 6a;' — 3a;-;
van — 16a;' + 2a/' — a; — 8a;' + 24a;' -f 17a;' — 23a;' — 4 + 13a; en
. + 4.^-^ _ 2a;3 -f a;' — 2a; + 1 ;
42
van x' + 34rr"^ + 25a?- + 60 — 25a;' — 20a;' — 48^ en
— hx^ 4- 4a;'' — ?>x-\-x'-{-Q.
4. Deel : a — 2b -[- c op 4èc — ilr — c^ -\- a^ ;
ax — hx ■]- c op 2èca; -}- aV — c' — èV' ;
a'-\-ab-^}r op a^ — h^;
a^ — ah^h^ op a« — è*^;
a' — a~h^ + 6^ op a'' + 5".
5. Herleid de volgende quotiënten :
{p^ — 2 ƒ — «^ — xy Ar dyz) : (x — 2y -\- z) ;
{2x~ -f- dy' — z^ — 7xy — xz — 2yz) : {2x — y -\-z);
ip' + 2^2 -\-q^ — r^)''ip + q — r);
{f — q^ + 2qr — r) :(p — q-[-r);
(3a' — 4aè + 9ac -\- Ubc — 4è' — 12c') : (3a + 2è — Sc) ;
(4a(^ -f ebd 4- 10c(^ + 12èe + 8ae + 20ce) : (2a + Sb-{- bc) ;
(3^' — 8^xy 4- Qxz + 6i/ — 8yz) : (2^ — 3^ + 4«) ;
(a' — 67a' — 49a' + 10a' — 25a — 4) : (a' + 4a — 7a' + 1) ;
(Ifa' — 4f aè' + 6|a'è' — 3f a^6 + 2 jè^ : {^a' — ^ab + ib%
Herhaling,
1. Schrijf zonder haakjes :
{a 4- (— 5a) — (— 9a) }' ; {— 23m — (— 3m — n) } X — 2mw ;
5a — [— 2a — {— a— (2è — 5a)4-(— 3a+2i) — 65} — (+2a)].
2. Wat is de waarde van :
X — {y — z)y voor x^ — 15 ; y = -\-26 en z = — 29
a-\- b{b — a) — c{c — a) voor a = 42 ; 5=11 en c = 17.
3. Als A = x — {y — z); B = x-\-2y — 2; en C=2a; — {y -\- z)
welke is dan de waarde van :
2A-{B-C); A-{-{B-C)];
A{B—C) — B{C—A) + C{A — B).
4. Welke kortere schrijfwijze bestaat er voor het gedurig produkt
van 72 factoren ieder gelijk aan 2??
Vul in :
«X«X<*X«X« enz. 100 factoren =
ay^ay^ay^ay^a enz. m factoren =
5. Wat is de beteekenis van :
a^ a'"; a'^"*'; oT -, a'"'?
6. Wat is de beteekenis van:
3a; 5a5; 9a*; 17a'^ 6a^ a'''^'; {x ^ yf'^ 'i
43
Welke eigenschappen liggen opgesloten in :
Bewijs die eigenschappen.
8. BevvijS; dat:
a"' X a" = a""^" ; «"" : a" = a"*"" ; {x"'^ = oT''.
(Er wordt verondersteld, dat w en w geheele rekenkundige
getallen zijn, en dat m grooter is dan n -\- 1).
9. Herleid;
2a'" + 3a'" — 6a"' + 9a'" — 85a'";
— (a + è)^ + 3 (a + hy — 5 (a + è)^ + 20 (a + è)^.
10. Vul in:
a"'X«'; a-'"+'X«';
a''"Xa'; «"~' X«';
a" X«'; «"+' X«';
a'" X«; a'""^' Xa;
11. a'"5" Xa'è';
a'ö*^ X «'"ö"" ;
a'"+'&"+'Xff&';
12. Herleid :
(a'^^bj ; {an*'^f ;
{{a^brY; {(a-ö)T;
13. Vermenigvuldig :
2a" — 3a"-' + a"~' met a"+' ;
a-b — a'^-'b^ + 2a"-'ö' met — 2aV+' ;
xy" + 2a;"-V'"^' — 3ic"-y+' met — 2a;"+V'"'*-
14. Bepaal het produkt van :
a" — 2a"-*& + a'^^b' met a^ -\- ab — b^ ;
a'" — 3a"^' + a"'-' — a"*-' met a" + a"+' — a"+' ;
«'"-1 _ 2a'"ö" + a'"+'&^" met a*""^ — a'"&^" — ö*".
15. Substitueer A = x-\- 2i/ en 5 = 2a; — ^ in de volgende vormen,
en herleid de vormen daarna:
^ + 5J9; U + 5)B; 5 (^ — 2B) ;
(3^ + 2) (^ — 2B) ; ^ — (^- — AB).
16. Bepaal de waarde van :
(-2rx(-2rx(+2)^ i+eyxi-i^yxiw
{(-2)T ' (-27rx(-8f •
a"-'X«'; a'"~'
X«"+';
a"" Xa"; «'"""
'X«"+^
^n+2^^2n. ^4m
X«'";
a"-^Xa; «""'
Xa;
^m-l^m+2 Xa;«/';
x'^+y^-'X^^^'Y"^;
x'^+Y'- x^'^'Y'^'-
(a^ö"')" ; («'"ö'^)'""
j
^ {(a + 3örr.
44
17. Verdrijf de haakjes en schrijf zoo eenvoudig mogelijk
X [20x — :r {— 3;r- + 5 (— 2^'- — ^x) -f 6}] ;
{{x — 3)- + (9 — 2x) (;r — 5) + 3^ — 7} (2 — x).
18. Vul in :
(a + ö)'» X (« + &)" = {a — 2bf Xia — 2hy-'
{a — xY'+' X{(i — x)= (a -f ö)?-^ X (« + Z>)""^*.
19. Bepaal de volgende quotiënten :
a''
a^
«»'+■'
: d- ;
a"'
a';
^m+7
«^
ar .
«^
^m-5
a%-
a'"
:a;
^2m+3
a'"+^
a"" ' : a"
~m — 7
a^^ : a".
20. Herleid ook :
(2a"* — a"'-' + a"'-' — 3a"'-') : a'
(— löa'^'ö**-' + 12a'"'-''ö" — 18a-"*-''&**+-) : — 6a"'&''.
21. Ook:
(+ a''"-'ö"-' — a''"*-«ö'* + a""-"ö"+') : -|- a"'-'b''-' ;
(a^+V-* 4- a^+'ö''-^ — a^+'ö^+') : — a'ö''-*.
22. Herleid:
(a + Z;)»» : (a + &)' ; (2a — x)""-' : (2a— x)* ;
{x — ^)^'" : {x — yf"^ ; (3a — 2yY'-' : (3a — 2ijf'-' ;
(a — ö)'^-' : (a — &)^-^
23. Voltooi:
a. Als 2 getallen hetzelfde teeken hebben, dan heeft de som
dier getallen (welk teeken ?)
b. Als 2 getallen verschillend teeken hebben, dan heeft de som
dier getallen ...... (welk teeken ?)
c. De getallenwaarde (absolute waarde) van de som van 2 getal-
len is gelijk aan de som der getallenwaarden dier getallen,
als
en gelijk aan het verschil dier getallenwaarden. als
terwijl het teeken in het eerste geval overeenkomt met
en in het tweede geval met
24. Ook dit :
a. Het verschil van 2 getallen, die verschillend teeken hebben,
heeft tot teeken, het teeken van
b. Het verschil van 2 getallen, die hetzelfde teeken hebben,
heeft tot teeken . . . . . .
c. De getallenwaarde van het verschil van 2 getallen, die het-
45
zelfde teeken hebben is gelijk aan , en van 2 getallen,
die verschillend teeken hebben, gelijk aan
25. Herleid, door eerst de buitenste haken te verwijderen :
— {— a + (a — 1) — 2} ; — {« — (2a + 3ö) — (— ö + a)} ;
—[—{—(— a— l) — 2a} — 3a] ; — a {— a + a (— a + 1)— 1} ;
— x[— 2x -t X {— Sx — X {2x — 1) + 5} — 2] — 7.
26. Als ge weet dat a en & positieve getallen zijn, onder welke
voorwaarden zijn dan de volgende vormen positief :
a — 3 ; 2a — 5 ; ö — 7 ; 3& + 1 ; ja — 15 ; b—9 ; 26 — 8.
27. Onder welke voorwaarden zijn de volgende vormen negatief :
x-t-9; 2.r+10; bx — 6 ; 8 — 2« ; 3.r-fl9.
28. Als a en è positieve getallen zijn, onder welke voorwaarden zyn
dan de volgende produkten positief:
(a — 5) (a — 3) ; (a + 7) (a — 2) ; (a — 3) (2a + 5) ;
(2a — 7) (è + 5) ; (3a — 7) {2b — 9) ; (5a — 10) (7 — 2b) ;
(a-3)(2a-5)(è— 4); (a + 3) (6— 4) (7-5) ; {a—bf; {b-bf.
29. Bepaal ook de voorwaarde, waaraan voldaan moet worden, opdat
die produkten negatief zullen zijn.
30. Welke waarde moet a hebben, opdat de volgende vormen nul
worden :
a — 5; a + 7; 2a — 3; 7a + 88; 9 — 5a; 2a -f 3; 5a.
81. Hoeveel is:
5X0; 7X8X3X9X0; 4X5X2X9X3X6X8X0.
Wanneer is een produkt van 2 of meer factoren nul?
32. Welke waarde moet a hebben, opdat de volgende vormen nul
worden.
7a; 5(a — 2); (a — 4)(a + 2); (7a — 5) (2a + 6) ;
3a (a — 5) (a + 2) (2a — 6).
33. Vermenigvuldig het verschil van x'^ — Sx'i/'~ -\- i/ en A:0(?y -\-
^xif — 9x^y' met x' -\- xy -\- y\ en deel de uitkomst door
{x^^f){x—yy.
34. Bepaal uit het produkt van
j? — ?>x'y + ^ ƒ — 2 ƒ en 2>x^ + 4:Xy — 5 ƒ
den coëfficiënt van öi?y* ; van xy^ zonder de vermenigvuldiging
in haar geheel uit te voeren.
46
35. Doe het eveneens voor de coëfficiënten van
oc^y"'., xif en x^'if'
in : {x' — 2x^y + ^xf — y') {a^ — hx'y -f ƒ).
36. Bepaal de volgende produkten, zonder de gedeeltelijke produkten
op te schrijven :
(^' + 5aJ — 3) (a; -f 2) ; [x' — 3a; + 2) [^x" + a; — 3);
{x' _ 2xy + 3/) (2a; + 5j/) ; (2a;^ - 3a;^ + f) {x' + 2xy - éy'^).
37. Herleid:
(4a + 3è + c) (4a + 3i — c) — (— 4a + 36 + c) (4a — 35 + c).
38. Deel:
a;"* — x^z — 2x^yz — ^xy^z — x-f — t^s door x^ + xy + ƒ .
39. Herleid tot de eenvoudigste gedaante:
(3a;^ — 4.yz) [yz (2x'— f) + ijz {2x' + ƒ) — 3a;'- [yz — y{x-\-z) }].
40. Bepaal de drie eerste termen van (3a;^ — ar -\-2x — 1)^ zonder
de machtsverheffing uit te voeren.
41. Deel x^"- + 40;'*^ + 4a;'" + o;'" door a;" + 1.
42. Ook : a;''"-+-^ — 6a;"^ + 120;'-*^-^ — 15ai-"-' + 19a;''^-' — lla;'"-" +
H- 60;'*^-' door
x^ — 2a;^-' + o;"-' — 3a;"-'.
43. Herleid:
(a:'" + ^y + /") (^'" — ^y + y'") + ^"V
44. Breng tot de eenvoudigste gedaante:
+ {b^x — 2a^y) — {bx"- — ay^ — Saxy] + (17a'a; — 17%) —
— (3aa;' + 2%'). Toel. Ex. Zeevaartsch.
45. Hoeveel is:
(2a;* — 3a;V + 2xf + 4a;y) X (2a;^ — «/■' + ix' — ^x'y). Idem.
HOOFDSTUK II.
Merkwaardige Produkten.
I. Vermenigvuldigt men a-\- b met a — b, dan krijgt men a^ — b^.
41. a-hb
a — b
a^ ^ ab
— ab — b'
In woorden:
De som van 2 getallen, vermenigvuldigd met hun
hun verschil, is gelijk aan het vierkant van het
eerste min het vierkant van het tweede getal.
Voorbeelden:
(3a H- 55) (3a — 5*) = (3a)' — [hhf = 9a' — 2bb'';
{7x' + Stjz) i7x' — i3ijz) = [Ix'y— l3yzf=4:9x' — %V ;
( — x^ -|- y^) ( — x^ — ƒ ) ; wij beschouwen — x^ als het eerste getal
en y'^ als het tweede, dan stelt de eerste factor de som en
de tweede het verschil der getallen voor, en het produkt is
dus:
( — a + è) ( — a-\- b); de gelijke termen uit iederen factor, d. i.
-\- b zetten we voorop : (+ b — a) (+ b -f- a). De eerste factor
is nu het verschil van + & en a, en de tweede de som van
-|- è en a. Het produkt is : (+ bf — (j^=^b' — c^.
Vraag. Had men den eersten factor ook als een som kun-
nen beschouwen?
{2x^y — Zfz) [—2x'y — 3y^ =
= (- 3fz + 2x'y) (- 3fz - 2x'y) =
(— Sfzf — (2xyY = dy'z' — ix'y\
48
Opgaven.
(a + 3) (a — 3) ; (a — 5J) {a + hb) ;
{x -{-y)ix — y); {2m—p) {2m -{-p) ;
{Sx + 5^) (3a; — 5^) ; (4m — n) (4w + w) ;
(2a + 6) (2a — b) ;
(a;-2//)(*' + 2^);
a^4-i)(i^-i).
2. (a' + ö') («' — &0 ;
(a& + cc?) (a& — cd) ;
(2a' + 30') (2a' — W) ;
{a'b — ab') {a% + ab^) ;
3. (— a + &)(« + ö);
(— ^ — ^) (^ — 2/) ;
(2a — 3&) (3& + 2a) ;
(2a' — 5ö') (— 2a' — 5&')
(3a;' -|- yz) (3rc' — li/^) ;
{bxy -f- 2;') (5a;2/ — z~) ;
(4a' — 3a&) (3a& + 4a') ;
(2^' 4- 3^) (-31/' + 2^').
(a + ö)(a-&)(a' + ö');
(2 + r)(2^+r^)(^-r)(2^-r^);
(aö + ac) (d'b' + a'c') (a& — ac) ;
(a" -1- &"') (a'" — &"') ;
/~3m+l ïj2to+3\ / 3m+l 2m4-3\ .
n. Uit
42.
a + &
a4-&
a' + ab
+ aö + &'
en
a' — ab
— ab + b^
a' — 2a& H- ö'
a' + 2a& + 6'
leeren we :
[a 4- &)' = a' + 2ab + ö'
(a — bf = a' — 2a& + öl
In woorden :
Het vierkant van een tweeterm is gelijk aan de
som van de vierkanten van iederen term en het
dubbelprodukt van beide.
Voorbeelden :
(2a + 3&)' = 4a' + 12a6 + 9b^ ;
(5a — 2bf = 25a' — 20a& + 4&' ;
(a' H- 3a5')' = a' + 6a'b' + 9a%* ;
{a^ + xYf = x'' + 2xY + x\f.
4.
{x 4- yf
[x — yf
(^+3)'
Opgaven
(2:r + 3^)'j
(4a; — hyf ;
(«' + «ö)^
(a;' + ^xy) ;
(a'-ia)^
(2a' 4- 3a&)'
49
(^-5^; (r + 9^); (a' + d'bf;
{a — 26)"-
(a + 3&)'
{x — !/zf
{y — py
ia' — af ; («^' + a^-'f ;
(:i;^ + /f; {2xy-Syzy.
5. Herleid F — P^ + a' als :
p=x — 2y; 2x—3y; oif -\- y^ ; af + ic«+' ;
^=iC + 2//; 2a; + 3y; x^ — y^ ; x" — x"+\
III. Past men het tweede merkwaardige produkt toe op het vier-
kant van een veelterm, b.v. van
a + ö + c,
door hiervan eerst den tweeterm
a + ib + c)
te maken, dan krijgt men
(a + & + cf = {a + (& + c)f = a' + 2a (ö + c) + (& + cf =
= a' + 2ab + 2ac + ö' + 2bc + r.
Evenzoo voor (a — & + c — c?)^ :
{a — b + G — dy = {ia — b)-\-{c — d)Y =
(a. — &)' + 2 (a — b) {c — d)-]-{c — df =
a' — 2ab + &' + 2ac — 2ad — 2öc + 2bd + r — 2cd + <?%
of gerangschikt :
a' — 2a& H- 2ac — 2a(^ + ö' — 2bc + 2öc? + c' — 2cd -f (^'.
In woorden :
Het vierkant van een veelterm is gelijk aan het
vierkant van den eersten term plus de dubbele pro-
dukten van dezen term met elk der volgende, dit
vermeerderd met het vierkant van den tweeden term
plus de dubbele produkten van den tweeden term
met elk der volgende enz.
Opgaven.
6. Ontwikkel met behulp der formule (a ± &)* de volgende vier-
kanten en rangschik de uitkomsten :
[a — b + cf; (2a — 3& + c)^ (a — 26 + 3c)' ;
(2a— 36+2c)' . (^3 + ö' — abf ; (a' -f a& — bj ;
{a-{-h-\-c + df', (a — 6 — c + cO'; [a-^b — c — dy.
Derksen en de Laiye, Alg. I. *
(x-
— x'i^ + ff ;
(x^
-2x^dT;
{x^-
- hx -f 6)^ ;
50
Vul onmiddellijk de uitkomsten in:
{x + 2y-{-Szf', {x-2y-\-z)',
{x' + 2xy — ff : {2x' + 3;r — 5)'^ ;
(a' — 2a& + hy ; («' — 3a?> + 2ö^)' ;
Ook:
{a-\-h — c + 2df ; («' + aö + ö' — ac -h c' -\- bef
(a — 2ö + 3c — 6? + e)- ; (;2;' + f + ^^ + ^')'.
Herleid : A' -^ A . B ^ B\
als ^ = ic" -j- ^" en B = x"" — y"".
rV. Vermenigvuldigt men a-\- p met « -|- 5
+ 5' . a-^ pq
dan krijgt men : é -\- [p -\- q)a -\- pq.
Het produkt van 2 tweetermen, die één term gelijk
hebben, is gelijk aan het vierkant van den gelijken
term, plus de som van de ongelijke termen maal den
gelijken, plus het produkt der ongelijke termen.
Voorbeelden :
(a +5) (a 4- 2) = a' -[- (5 + 2) a -f 10 = a' + 7a + 10 ;
{a — l) (a — 8) = a' + (— 7 — 3) a + 21 =-: a' — 10a + 21 ;
(a — 5) (a + 3) = a' + (— 5 + 3) a — 15 = a* — 2a — 15 ;
(«_|_9) (a — 4) = a-' + (9 — 4)a — 36 = a' + 5a — 36.
Opgaven.
10. Vul onmiddellijk het produkt in:
{x + 7) (a; — 4) ; {x - hz) (x -h 2z) ; {hx + 2y) {^x— 9y) ;
{x + 9) (^ 4- 3) ; {2x + 5) (2a; + 3) ; (4a + Sb) (4a— 5ö) ;
{x + 2y) {x + 3^) ; {Sx - 4) (3^ -f 7) ; (7a - 26) i7a - 5&).
11. (5a H- 2è) (5a — 34) ; (^' + 5a?) [x' — 9a;) ;
(6a; + 3«/) (6a; — 81/) ; (^' -|- 7a;2/) (a;' — 3a;?y) ;
(9«-2 4_ 3^2) (9^2 _ 5^2) . (^2^ _|_ 5^j2) (^^2^ _ loaè^).
51
45. De volgende vier merkwaardige prodiikten
I. (a + è)(a — è) = a' — i';
IL (a±èf = a^±2a6 + è-;
I ri. {a+h^-c-\-df=a^+2ab+2ac-\-2ad^h'-\-2bc^-2bd-{-c'-^2cd-^d'' ;
IV. (a 4-^) {a-\-q) = d' -\- {p -\- q) a -^ pq ;
komen vaak vereenigd voor, namelijk als men 2 veeltermen te
vermenigvuldigen heeft, die slechts verschillen in het teeken
van een of meer termen, zooals :
1. {0'-\- b — c-\- d — e)(« — b — c — d-\- e).
Om dit produkt te bepalen, zoeken we eerst de gelijke
termen uit beide factoren : a en — c\ die vereenigt men tot
één term, en daarna doet men dit ook met de tegengestelde
termen. Aldus :
{(a-c)H-(6 + d-g)} {{a-c)-{b^d-e)Y
\\'^ij hebben nu het verschil van 2 getallen te vermenigvul-
digen met hun som, en dus volgens I:
{a — cf — {b + d — é)\
en dit kan volgens II en III ontwikkeld worden in:
a' — 2ac 4- c- — {b' + 2bd — 2be + d' — 2de -f- é') =
a' — 2ac + c' — b' — 2bd -\- 2be — d^ -\- 2de — i.
2. Zij gevraagd (2a — '2>b + c) (2a -\-hh Ar c) te ontwikkelen.
Vereenigen wij eerst de gelijke termen uit beide fac-
toren tot een enkelen term:
{(2a + c) — 3è} {(2a + c) + 5é},
dan kunnen we dit produkt met behulp van IV ontwikkelen:
{(2aH-c) — 3è}{2a + c)4-5è} = (2a + c)-4-26(2a + c) — 15è'=
= 4a- + 4ac -f c' + 4a6 -}- 2hc — 15ó^
en nu gerangschikt:
4a"- + 4aè -f 4ac — 15^>- + 2bc -f- c\
Opgaven.
Onderstreep in de volgende produkten de gelijke termen uit
beide factoren, voor ge tot de ontwikkeling overgaat.
12. (a + ö-f c) (a + è — c); (a — 2è + 3(:) (— a + 26 + 3c) ;
(a-\-b — c) (a — b — c) ; (a — b — c){a-\-b-\-c)\
(a_|_2è-3c) (a-2èH-3c); (^"^ + ^c^/ + r) (^' - ^2/ + 2/') ;
(a;'-+^2/ + r) ix'^xy-f) ; (a^-2aè + è'0 («^ + 2aè + è^) ;
(ic"* + ic" + ;rP) (a;"^ — a;" H- a;^).
52
13.
14.
15.
16.
17.
a + 2è -f- 3c — M) (a — 26 -f 3c + M) ;
a — 2è 4- 5c — d) {a + 2b — bc — d)',
a-^b — 2c-{-d) {—a-\-b — 2c — d);
d" + ab-]-b^ — c') (a- — ab — b' — c') ;
y* + «/" + 2;^ + xy) {x^ — 2/' — z^ + a;«/) ;
a + è + c4-c? + «) (« — è + c — (i + c);
2x- + 3a; — 5) {2x^ — 3a; + 5) ;
a — 2è + 3c — 4c^ + e) {a — 2b — ^c — U — e) ;
a-\-^b — U — e-[-f) [a — 3b — id -]- e — f).
a-\-b + b) (a + J + 3);
a—b + b) {a—b — 7);
a + 2è — 3c) (a — 5ó — 3c);
a-\-7b—8c) (— 3a4-76— 8c) ;
(5a' 4- 3a — 6) (5a' — 7a — 6) ;
(5a- + 3a — 6) (5a' + 3a + 4) ;
(5a' + 3a — 6) (2a' + 3a — 6) ;
ia' + a + 1) (a' + 2a + 3).
2x^ -{-Sx^ — x-\-S) (— 2aP -\-dx^ — x — 3) ;
[a^ — 3x'y + 2xy' — y') [x^ + Sx'y + 2xy^ + y^) ;
X* + 2a^y + SxY - a;^/^ + ^/O {oc' - 2x'y -\- Sx'f + xf + y) ;
a' + a'è + aè' + b') (a' — a'b — ab' + b') ;
a' + a'6 + aè' + b') (a' — d'b — aW — b') ;
2aè 4- «' + &' — C-) (2a& — a- — è- + c').
(a + b + c) {a-^b-c)}X{ia-b + c) {- a -\- b -\- c)} ;
ab -\- ac-{- bc) (— ab-\-ac-\- bc) [ab — ac-\- bc) (ab -\-ac— bc);
x'-^y' + z') {-x'^y- + z') {x' - f + z') {-x'-y' + z').
Substitueer in den vorm:
P' + PQ^R'
voor P de waarde 2x-\-3y — 0,
voor Q ^ „ 2x — Sy-]-z,
voor R „ „ X — 2y-\-3z,
en herleid dan.
18. Stel ook : P ^=x^ — x' -\- x — 1,
Q^X^J^X^-^X+ 1,
R = x^-^ 2x— 1,
en herleid dan.
19. Ontwikkel ook nog:
{—a^b-\-c-\-d) [a-b^-c-^d) [a-^b — c-^d) [a + b-^c-d).
53
46. V. Door de vermenigvuldiging van a^ — ab -}- If met a-\- b
ontstaat a^ -\-b^:
a^ — ab -\- h'
a -^b
a^ — a'b -f- ab'
4- a'b — ab^ + f>'
a' + b\
In woorden :
De som van de vierkanten van 2 getallen min hun
produkt, vermenigvuldigd met de som dier getallen,
is gelijk aan de som hiuiner derdemachten.
47. VI. En uit {a — b) {d' + ab + ö') = a' — b' leeren we :
De som van de vierkanten van 2 getallen plus
hun produkt, vermenigvuldigd met het verschil dier
getallen, is gelijk aan het verschil hunner derde-
machten.
Voorbeelden :
{a + 2) (a' — 2a + 4) = a' H- 8 ;
{a — 2b) (a^ + 2aö + Ab') = d' — 8b^;
(x' + f) {x' - xY + /) = x'-h y\
Opgaven :
20. (a — 3) (a- + 3a -f- 9) ; (« + 5) («"' — 5a -f 25) ;
ix — y) {x"- ^xy^r f) \ (^ — 2«/) (^' + 2xy + ^f) ;
(a — 4) (a"' + 4a -f 16) ; (2a -j- 3ö) (4a'' — 6a& + 9^').
21. Vul in:
(p+g) X =/H-2^
(2p-3^) X =:8/-27j^
{x'-^y") X =a:«-27/;
(3a- + 5&'')X =27a' + 125&^
(a' — a%') X =d'' — a%' ;
(a;^t^ + yV)X =^a^f^fz\
22. Ontwikkel:
(a -I- ö) (a' + a& + &') (« — b) (a' — aö + &'0 ;
[a — 3ö) (a"^ — 3a& + W) (a -|- 3ö) (a' -f 3a& + W) ;
(a^ + ö^) (a-^ — a^ö^ + &'^
Machten van een t-weeterm.
48. Wij zullen den tweeterm a -\-b achtereenvolgens tot de 2*^®,
3de^ 4de^ 5^«... macht verheffen.
P*« macht . . a -\~b
a -\-b
2^" macht
d^ -\- ab
+ ab
+ b'
. a^ + 2ab + ö^
a +b
a'H-2a'öH-aó"'
+ a'b+ 2ab'-^
. a' -t- Sa'b +
a +&
3a ö' +
ö^
a' + Sa^b +
3a'&' +
3aT +
3a&=* + &*
. a' + ^d% +
a -Vb
6«'6' +
4a&' + b'
ê + 4a^ö +
6a^ö' +
^a%' +
4a'ö'+ aö*
3^^ macht
4*^^ macht
5<ï« macht . . a' + öa'ö + lOa'ö' + 10a'ö=^+ 5a&' + &^
enz. ^
Aan deze machten merken we op, dat de exponenten van a
met 1 afdalen, die van b met 1 opklimmen, terwijl alle termen
het plusteeken voor zich hebben. Men zou dus elke macht van
a-\-h onmiddellijk kunnen opschrijven, zoo men de coëfficiënten
der termen kende. Om die te bepalen, letten we op het volgende :
De coëfficiënten van de eerste macht zijn :
1 ... 1
die van de tweede macht ontstaan, door de vermenigvuldiging
met a-\~ b.
De coëff. van het 1®*^ gedeeltelijke prod. zijn : 1 1
Ode 1 1
1» » 1» II '■' » » j) ■*- ■•■
De coëff. van (a + b)~ zijn 1 2 1
Om (a + bf te bepalen, moeten we {a + by nog met a + b^
vermenigvuldigen. Daar van (a -f" ^)' de coëfficiënten.
12 1 i|
zijn, en deze door vermenigvuldiging met a oi b niet verande-
55
ren, zullen die van (a -|- bj^ verkregen worden door samentel-
ling van :
1 2 1
1 2 1
Evenzoo zijn
die van (a -f- b)* :
{a + bf
n ia-\-by
13 3 1
13 3 1
13 3 1
14 6 4 1
14 6 4
1
1 5 10 10 5
1 5 10 10
1
5 1
1
6 1
6 15 20 15
enz.
De coëfficiënten van de verschillende machten van a-\-b zijn
vervat in het volgende figuur, dat naar den ontdekker den naam
draagt van: Driehoek van Pascal.
P macht
1 1
2^ .
1 2 1
^^ n
13 3 1
4'^ „
14 6 4 1
ö*^ ,
1 5 10 10 5 1
6*^ ,
1
6 15 20 15 6 1
7« ,
1
7 21 35 35 21 7 1
8« .
1 8
28 56 70 56 28 8 1
9^' .
Om nu van een tweeterm bv. d' -f- bc de 5*^*^ macht te bepalen,
zoekt men eerst de coëfficiënten ; deze zijn : 1 . . 5 . . 10 . . 10 . . 5 . . 1.
Vervolgens bedenke men, dat de exponenten van het eerste
getal met 1 afnemen, die van het tweede met 1 opklimmen, en
dat alle termen verbonden zijn door het plusteeken. Derhalve :
(a-+6c)'=(a')'+5(a')'(6c)+10(a')'(èc)'+10(a-0-^(èc)'+5a'(6c)'+(6c)'
=a'°-h5a*èc-}-10a'èV+10a'^V+5a'6VH-èV.
49. Moet men [a — bf ontwikkelen, dan bedenke men dat :
a — 6 = a -|- ( — b) en dus :
[a—hf = {a-^{—b)f = a'-\-6a'{-b)-^lba'{—bY-\-20a'i—bf-\-
+lbd'(—by+6a{—bf+i—bY.
In deze uitkomst zullen alle termen, die een onevenmacht
van — b bevatten, negatief zijn :
56
liV.i
Aan dit voorbeeld merken we nu op, dat {a-\-bY en{a — bf
alleen verschillen in teekens; in het eerste komen alleen plus-
teekens, in het laatste afwisselend plus- en minteekens voor.
Opgaven.
1. Ontwikkel:
{a + bY; {a' + bj; {x^-yf-, {x' -^ yz)\
(a-^bf; (2a + 3è)^ {ax-^byf; (ax' — bf)
{ab + cf; {a-bf; {x'-ff', {a' - ab'f
2. Ook : {a-\-{— b)]* en {a + (— b)f.
3. Eveneens :
ia' — b'cY ; [a' — h'cf ; {2d - 1)* ; {x' — Syzf.
4. Ontwikkel: {{a-\-b) + c}\
5. Evenzoo : {a-{- b — cf en {a — b-\- cf.
6. Ontwikkel : (4a;'"+V — 2a;«/™-')' en {^x"^' — 3^"-f .
7. Ook nog: (a -f 2Z/ — cf en {2x + 3«/ — z)'.
8. Herleid zoo eenvoudig mogelijk:
{a^byXi.a-bY; {x' ^ ^ff X {x' - ^yj \
{a — Uy [a^ + 3aè + 96')'.
50. Door Newton is voor elke willekeurige macht van a-\-b een formule
gevonden, die den naam draagt van binomiaal formule. Zij is:
Het bewijs van deze formule wordt in de hoogere algebra voor elke
willekeurige waarde van n aangetoond, mits b<ia. In de lagere algebra
wordt de waarheid der formule voor elke geheele rekenkundige waarde van
n meestal bewezen met behulp van de theorie der combinaties en permu- •
taties. Doch ook zonder deze theorie kan men zich van de juistheid der
formule overtuigen, door middel van een Bernouilliaajisch BeTV^s,
dat is : men neemt voor een oogenblik aan, dat de formule waar is voor
zekere geheele waarde van n en toont dan aan, dat ze ook waar is voor
n-\- lm Kan men dan eene geheele waarde van n vinden, voor welke de
formule geldig is, dan is ze voor alle geheele waarden grooter dan n waar.
Wij zullen dit bewijs hier laten volgen.
Zij:
dan verkrijgen wij {a -j- 6)'H-i door nogmaals met a-\- bte vermenigvuldigen :
57
a-f_6
«nj+ ^ „n-IJ«+ !!fci) «n-.63_^ ^^^.2^^^ ^""''*+-
In deze uitkomst hangen de coëfficiënten en de exponenten van a en è
op dezelfde wijze af van den machtsexponent ff + '*? als ze in de formule
afhangen van den exponent n> Wanneer dit nu niet alleen waar is voor
de eerste vijf termen van het produkt, maar voor eiken term, dan mogen
wij daaruit besluiten, dat de formule ook waar is voor den exponent n-\-1f
wanneer zij dit is voor den exponent ft« Wij zullen dus nog laten zien.
dat de p''^ term van (a + è)"+' op dezelfde wijze uit ff + ' afgeleid wordt,
als de p^^ term van (ft + ft)" uit den exponent ff verkregen kan worden.
Uit de formule, die wij voor {a + ft)" als waar aangenomen hebben, kan
men zien dat:
T _n{n-\){n-2){n-Z)....{n -p + 2) „_.,_,..,-.
^^-1. 2. 3. 4 .... {j>-\f * •
Om nu te verkrijgen Tp van (a -j- ft)"+', merken wij op, dat deze gelijk
is aan aXTp-\-bX 2^-f.i van (a + ft) " .
aXT - »(^-l)(n-2)(n-3) {n-p + 2) _,
hXT ,_^(>^-l)(>^-2)(n-3)■..■(n-p + 3) _,
ftXi^i_j_ 2. 3. 4.., {p-2f ^ ■
^-- 1. 2. 3. 4. (^_2)(p-l)« * •
Een aandachtige beschouwing van de coëfficiënten en de exponenten uit
de termen Tp en Tp leert ons, dat beide op dezelfde wijze worden ver-
kregen respectievelijk uit de exponenten ff en n -{- 1, waaruit dan blijkt,
dat de formule waar is voor n-\- tf als ze waar is voor ff*
Nu weten wij, dat voor n = 2 :
(a4-ft)' = a'4-2«ft + ftS
welke vorm geschreven kan worden als:
(a ^by = a'^\ a^-i ft + ^Jl^a^-^ h\
zoodat wij zien, dat de formule waar is voor n + 2, en dus, blijkens ons
bewijs, ook voor w = 3 ; en is ze waar voor n = Z, dan ook voor w = 4 enz.
derhalve voor elke geheele rekenkundige waarde van n.
51. Opmerkingen. 1. Uit de formule blijkt dat {a + by met a" begint en
met ft" eindigt; dat de exponenten van a met 1 afnemen, die van ft met 1
opklimmen. Er zijn dus n termen waarin de factor a voorkomt, en 1 term
waai in hij niet voorkomt; zoodat (a + ft)" bestaat uit n-{-l termen.
58
Daar (a + 6)" = (& + «)" volgt hieruit, dat in de ontwikkeling van (a+ i)
de coëfBcienten van de uiterste termen en van elke 2, die evenver van di
uiterste afstaan, gelijk zijn.
De exponent van b uit eenigen term is 1 minder dan het ranggetal van
dien term ; de exponent van a is gelijk aan den machtsexponent, verminderd
met dien van b. Derhalve kan men den p'"^ term voorstellen door:
Tp = Coëff. X ««-( ï'-DöP-i
De coëfficiënt van eenigen term is een breuk waarvan teller en noemer
produkten zijn, die uit evenveel factoren bestaan.
De laatste factor uit den noemer komt overeen met den coëfficiënt van
b, de eerste is 1 en de som van de overeenkomstige factoren uit teller en
noemer is w+ 1. Bijgevolg zal van (a -f-è)" nu de 20ste term zijn:
7- „ _ nin-l){n-2).... (>z - 17) 0^ - 18)
^"~1. 2. 3 18. 19. "* ^
En in het algemeen :
^"-TT^r. 3 ip-2) (p-l) "" ^
Wil men (a — bY ontwikkelen, dan heeft men in de formule slechts b door
— 6 te vervangen; daardoor worden, alle termen, waarin i tot oneven macht
voorkomt, negatief.
Dat er in (a±è)" slechts n-\-l termen voorkomen, kunnen we ook uit^^
den coëfficiënt van den p'^'^"- term afleiden. Immers : M
_ w (?^ — 1) (w — 2) . ■ ■ . (n—p + ^){n —p + 2) '^
'~i- 2. 3 (p-2) (jt>-l) •
Is nvi p > n -\- 1, dan zal in den teller altijd een factor nul verschijnen,
waardoor de geheele coëfficiënt nul wordt, en die term verdwijnt.
Is n even, dan is w + 1 oneven, en de ontwikkeling van (a'db 6)" heeft een
11 ~\- 2
middelsten term, nl. den — ^ — den term.
Is n oneven, dan is w + 1 even, en de ontwikkeling van {a ± 6)" heeft
2 middelste termen.
HOOFDSTUK III.
Merkwaardige Quotiënten.
52. Er zijn drie merkwaardige quotiënten:
a'' — h\ g-" — 6'^"_ a^»+i^..fi2n+i
a — ft' ■ a-\-b ' * a-{-b
Zij heeten zoo, omdat hèt opgaande deelingen zijn, wier
quotiënten men onmiddellijk kan opschrijven, zonder de deelingen
uit te voeren.
53. I. ?"-**"
a — b
Het verschil van twee gelijknamige machten is
deelbaar door het verschil der grondtallen.
BewJijs.
Deelen we a — h op a" — h^ :
a — bid" — è"/a"-'
ar — oT-^ h
-f ar-' b — b^==b (a"-' — b""-'),
dan kunnen we schrijven :
= a"-' -f è X
a — b a — h '
Hieruit ziet men, dat a" — è" deelbaar zal zijn door a — i,
als a"~^ — 6"~' deelbaar is door a — h. Of in woorden :
Het verschil van 2 gelijknamige machten is deel-
baar door het verschil der grondtallen, als het ver-
schil van 2 gelijknamige machten dier grondtallen,
die 1 minder tot exponent hebben, deelbaar is door
het verschil dier grondtallen.
Dus:
a" — &" is deelbaar door a — b, als «""' — è""^ het is ;
a"~' — 6"~' is deelbaar door a — b, als a"" ' — i"~^ het is ;
60
^n-2 _ j«-2 jg deelbaar door a — h, als a""^ — 6""^ het is ; enz.
d^ — h^ is deelbaar door a — &, als af' — b^ het is ;
ar — b' is deelbaar door a — è, als a — b het is.
Nu weten wij, dat a — b deelbaar is door a — b, derhalve
is ook : a' — i^ ; a^ — 6^ ; a* — b^\ d' — V' enz. in het algemeen
a" — è" deelbaar door a — b.
Bepaling van het Quotiënt.
54. Passen we de formule
r- = a -\- b . r- —
a — o a — b
achtereenvolgens toe op c^ — 6'; d^ — b^\ «* — 6* enz. a" — 6";
dan krijgen wij :
a — b ^
a — b '
a^ — W a — b
7" = a-]- O . r =:a -f- b.
a — o a — b
3 l3 'i 12
r = a' + 6 . r ^= a^ -\- b (a 4- b) ^ a^ -^ ab 4- h\
a — b a — b < \ > j
^—1^ =a;'-{- b . ^^—^= a'-\- b (a'+ ab -\- b')=a'+ a% + ah'+ b\
a — b a — b
^^11^ = a' + b, "^^ =:a'4-b{a'-}- a% 4~ ab' -j- b') =
a — b a —b > \ > /
= a'-{~ a% ^- a'b' -\- ab^ -\- b'
enz.
In het algemeen :
a"^ ^«
a — b
We merken aan het quotiënt op, dat alle termen ten opzichte
der grondtallen van den n — 1®° graad zijn ; dat de exponenten
van het eerste grondtal met 1 afnemen, en die van het tweede
met 1 opklimmen, en dat alle termen positief zijn.
55. II "* ^
Het verschil van 2 gelijknamige evenmachten is
deelbaar door de som der grondtallen.
Bewijs,
Voor den noemer a -\-b kunnen we schrijven : a — ( — b) en
61
voor den teller : a'^" — ( — hf"' ; daardoor gaat het tweede merkw.
quotiënt over in :
g-" — (— 6)'"
a-{-b)
en is dus het eerste, waaruit de deelbaarheid blijkt.
Bepaling van het Quotiënt.
56. Uit I volgt, dat de gedaante van het quotiënt zal zijn:
+aM— èr"' + a(— 6)-"-"'4-(— èr-'.
Elke term, waarin b oneven exponent heeft, zal negatief
zijn. Het quotiënt is dus :
a
,2n— 1
a'"-'6 + d'^'-'b' — é'^-'W -f
57. III.
De som van 2 gelijknamige oneven machten is
deelbaar door de som der grondtallen.
Bewijs.
Voor den noemer schrijven we : a — ( — b) en voor den teller :
^3n+i — ^ — bf'^'^^ ; daardoor krijgt het derde merkw. quotiënt
de gedaante :
a-{-b) '
dit is weer het eerste, waaruit de deelbaarheid blijkt.
Bepaling van het Quotiënt.
58. Uit I volgt, dat het quotiënt zal zijn :
^2« _|_ ^2n (_ J) _|_ ^-in-ï (_ ^y _|_ ^2n-Z (_ Jj^ _^
-f aH— ^>r"' + « (— &r"* + (— *r.
Elke term, waarin h oneven exponent heeft, zal negatief
worden. Het quotiënt zal dus zijn :
a'" — (r^^'h + a'"-'è' — a^'^'b^ +
+ a'è'"-- — aè-"-' + è'".
Overzicht.
59. ^^^=a"-'+a"-'&+a"-'6'' + . . . . -^a^h"^ + aè"--+&"-^
a — o
62
a^"— &■''
a+6
=«'"-'— a'"-'&H-a-"-^*6'-
,2n+l
■f*'^
2«4-l
-=:a'~— a'"-'6+a-"-'-6''-
aH-&
Merk op dat :
in het P merkw. quot. in deeltal en deeler minteekens staan,
en dat de exponenten in het deeltal willekeurig maar
gelijk zijn.
in het IP merkw. quot. in het deeltal een minteeken, in
den deeler een plusteeken staat, en dat de exponenten in
het deeltal gelijk en even zijn.
in het IIP merkw. quot. zijn de teekens in deeltal en deeler
beide plus ; de exponenten in het deeltal zijn oneven en
gelijk.
' in het P, waar de deeler een verschil is, zijn alle termen
positief ; in het IP en IIP, waar de deeler een som is, zijn
de termen afwisselend positief en negatief.
2.
Opgaven.
Herleid de volgende vormen en zeg tot welk van de drie
merkwaardige quotiënten ieder behoort :
a'—b'
a — b
a'-b'
a^b
x + y
Doe ev(
a-^+27
a + 3
x' + f
x"- + f
X — 1
a — b
x' -\-y^
x-\-y
a'b'+c'
ab-\'C
8a^ — 125
2a — 5
x'^ — f
x'-y '
x' — 1
a + b
6 J6
a
a — b
44 4
xy — z
xy-\-z
a-\-b '
a'-b'
a — b '
a'—b'c'
a — bc
a' - b'
a-\-b '
a' + 3'
a + 3
a' — 16
a + 2
X
S2f
x — 2y '
10 ^10^5
a
81^^ — l&y*
dx+2y '
f' - q''
x' — 1
x-{-l
X
1
p — q
x+1'
Men kan x^^ — y^' beschouwen, als het verschil van 2 tweede-
machten, 2 derdemachten, 2 vierdemachten, 2 zesdemachten en
2 twaalfde machten. Waardoor is de vorm dan in elk dezer
gevallen deelbaar ?
63
4. Waardoor zijn de volgende vormen deelbaar ;
:r'-t-.yV; x'' + y'' ; x'' — f ; x'' — y'' ;
x' — y'z'; x''-hf'; x'^f; a''-hb'*;
af-\-f; x'' — y'" ; x'' + y'' ; a%''' — c'^rf*' ;
5. Bepaal de volgende quotiënten :
g''; + 6"" _ a^^^ — 6"^ ^ g"" + fc'"
a" + è'" ' "ÖM^^' «"' + 6" *
6. Bepaal van de volgende quotiënten de eerste en de laatste
drie termen :
^„-3 _ ^«-3 ^2-,«-2 _ j2m-2 ^2p+l _|_ J2„+I
a — ö' «4-^ ' a -\- b
^ix—i _j_ TAx—i -,Vln—'.i l8n—2 4mn LSmp
a + è"' ' d' — b' ' a^" + è^^ '
Wat is de rest der deeling van :
a* + b^ door « + ^ of door a — b?
a^ + *' door a — b?
a' — b~ door a-\- b?
Bepaal de volgende quotiënten :
jx + yf — z' . (^ — yY — z' _ (a;- + ^xf + 125
(ic H- «/) — ^ ' 2; — «/ — z ' x' -|- 3a:; -|- 5
(g-^ + ^'T — «'6\ ja' -{- by — a*b\ (^" + y")^ — 0^"
a' -h a^» + *' ' «■■' — a& -h 6' ' a;" + ;y" + 2;" '
HOOFDSTUK IV.
Ontbinding in Factoren.
60. Bepaling : Onder het ontbinden in factoren van een veelterm
verstaat men het opzoeken van het grootste aantal factoren,
wier produkt den veelterm weer oplevert.
De veeltermen, die in factoren ontbonden kunnen worden,
kan men tot verschillende groepen terugbrengen :
61. Ie Groep. Alle termen, waaruit de veelterm bestaat,
zijn door een zelfden factor deelbaar.
Voorbeelden :
1. 5a + 156 — 30c. Elke term is door 5 deelbaar ; voert men die
deeling uit, dan is het quotiënt : a + 3^ — 6c. Derhalve :
5a + \hh — 30c = 5 (a + 36 — 6c).
2. ax-\-hx — ex. Elke term is deelbaar door x ; voert men die
deeling uit, dan is het quotiënt : a -}- 6 — c, en dus :
ax-\-hx — cx=^x{a-\-h — c).
Opmerking. Men zegt, dat men in :
5a + 156 — 30c = 5 (a + 36 — ^c)
den factor 5 buiten haakjes gebracht heeft.
Evenzoo heeft men in :
ax-\-bx — cx = x{a-\-h — c)
den factor x buiten haakjes gebracht.
3. a"^6 -f- obx — a6^ -\- ah. Elke term is deelbaar door ab ; brengt
men nu den factor a6 buiten haakjes, dan krijgt men :
a"'6 Ar abx — aby -\- ab = ab {a -\- x — y -\- 1).
Evenzoo verklaart men :
4. x^ — bx^y + 3a;^ = x:' {x — 5y + 3).
5. a"6c — a6^c + o^6c^ — abc = abc (a — 6 -f- c — 1).
6. {a + b)x + ia + b)y = ia-{-b){x + y].
65
Opgaven.
Ontbind in factoren :
ax — bx-\- ex ; 2ax -\- hx — i^cx ; ax -\- x.
2ax + 4:X ; Sab — b ; Sabc -j- 2abd — Sabc.
a^b — ia^c + d'd ; 2adx — Sbdx + bcdx.
a'b — Sa'l)' + a'b^ ; 3a'b^ — id'b^c + babY — éb.
iC^V — xY^ + a:^«/^« — ^o(?y'z ; a" + «"+' — a"+^
62. Ile Groep. Niet alle termen, waaruit de veelterm
bestaat, zijn door een zelfden factor deelbaar, maar
w^el kan men den veelterm splitsen in groepen van
gelijk aantal termen, die een zelfden factor bevatten.
Bovendien moeten na -weglating van dien gemeen-
schappelijken factor de overblijvende termen uit
iedere groep dezelfde zijn.
Voorbeelden.
1. ax -\- bx -\- ay -\- by -\- a -\- b.
In dezen zesterm komen drie termen voor, die door a, en drie,
welke door b deelbaar zijn. Rangschikken we nu de termen aldus :
{ax + ««/ + «) + {bx +&«/•+- &),
dan is de zesterm gesplitst in twee groepen, ieder van drie
termen. Uit den eersten drieterm brengt men den factor a
buiten haakjes, uit den anderen factor è; men krijgt dan:
a{x-^y-\-\) + b{x + y -{-!).
Hiervan is iedere term deelbaar door x-\-y -\-l^ en het
quotiënt is a + &, zoodat de vorm gelijk is aan :
(a. + y+l)(a+è).
Men schrijft deze ontbinding eenvoudig aldus :
ax-\- bx-\- ay -\-by -\-a-\-b = {ax-\-ay-\-a)-\-{bx-\-by-\-b)=^
2. Men had ax -\- bx -{- ay -\- by -\- a -\- b ook kunnen splitsen in
3 groepen elk van 2 termen, aldus :
{ax+bx)+{ay^by)-^{a-^b)=x{a + b)^y{a^b)-^\{a^b) =
{a + b){x^y-^l).
'6. a^x •\- abx — a^y — dby.
Derksen en de Laive, Alg. I. 5
66
Dezen vierterm schrijven we eerst als :
{q^x -\- abx) — (d'y -\- aby) en dit is gelijk aan :
ax {a -\-h) — ay (a 4- b) = [a -\- b) [ax — ay).
Uit den laatsten factor kan nog a buiten haakjes gebracht
worden, zoodat men krijgt:
{a -\- b) a{x — y), waarvoor men liever schrijft :
a{a -]- b) {x — y).
4. abdp + abcq — abcp — abdq.
Alle termen zijn deelbaar door aft, dus is de vorm gelijk aan :
ab {dp -j-cq — cp — dq).
Hiervoor kan men verder schrijven :
ab (dp — cp -\- cq — dq) =
ab {p{d — c) — q {d — c)} =^
ab {d — c) [p — q).
Opgaven.
Ontbind in factoren :
7. am -\- an -\- bm -\- bn ; am^ -f- an^ -f- bm^ -\- bn'.
8. ax-\- ay — bx — by; p^ -\- p^q -f- pq' + q"^.
9. x'^ -]- xy -\- xz -\- y2! ; xf' — ax-\r bx — ab.
10. iC' — 2^0 + 2xy — xz ; d'c -|- abc + a^d -\- abd.
1 1 . ?>p\-{-2f<i-{-^pqr'-\-2(fr- ; 4:pq+i6pr+ 1 O^s-h 1 5rs+8g^-f 1 2rt.
12. x^ -\- x'y -\- xy' -\- x'z + xyz -|- y^z.
13. p^ + fq — fr — pqr ; 20a-^ — 16a'6 + 5a6' — W.
14. Gjog-r -\-2q-\-2>r — Zpr — ^qr — 2pq + p — 1.
63. III® Groep. De vorra is het verschil van 2 vierkanten,
of kan daartoe herleid worden.
Voorbeelden.
1. «' — è'- = (a + ft)(a — 6).
Deze gelijkheid is het omgekeerde van het eerste merkwaar-
dige produkt, en kan aldus in woorden gebracht worden:
Het verschil van 2 vierkanten is gelijk aan h«
verschil der grondtallen, vermenigvuldigd met hi
som.
2. a'-b' = {d + h') (a' - b^) = {a' -f *"') (« -^ b) {a — b).
3. d'h — b' = b {a' — b') = b{a-^ b) (a — b).
4. a'x' - iV — «y 4- by = (aV — èV) — (aV — by) =
= x' ia' — 'b') - f [d' - h') = [a' - b') {x- - /) =
= {a-{-b){a — b) [x -\- y) [x — y).
67
Opgaven.
Ontbind :
15. 0^ — y'\ ix' — j/"- ; éo?' — 9«/^ ; a^b^ — c' ; a^ — 1.
16. ba- — 20b- ; 27a' — I2ab' ; d'b — 4a6' ; x' — x'y' ; a' — \.
17. m*— 16w^ rtf — n^; a%^ — bcd\
18. {p + qf — r' ; / — (? + r)' ; / — (^ — r)'.
19. (;r + 2/r-(^+5r; {x-yf-{z-'6)\
20. am^ — aw"^ + bnr — btï' ; dy — p-\- a\ — q.
21. rpot? — spx^ — rpy' + spy' ; «""«z — ab^y.
64. IV® Groep. De vorm is een drieterm, bestaande uit
twee positieve vierkanten, plus of min het dubbel-
produkt hunner grondtallen; of hij kan tot zooda-
nigon vorm herleid worden.
Voorbeelden.
1. a' -f 2ab + If = {a-\- b)\
2. a' — 2ab-irb' = {a — b)\
Deze gelijkheden zijn de omgekeerden van de tweede merk-
waardige produkten en kunnen aldus in woorden gebracht worden :
De som van tw^ee positieve vierkanten, vermeerderd
(of verminderd) met het dubbelprodukt der grond-
tallen, is gelijk aan het vierkant van de som (of het
verschil) der grondtallen.
3. a' -f 8a/> + 166' = a- -f 2 . a X 46 + (46)- = (a + Uf.
4. Bla-'é — ISaè- -^ b"" = h (Sla' — ISaè + è') = è (9a — bf.
5. d' — 2ab -\- b' — c'. De eerste drie termen zijn het vierkant
van a — b, daarom kan men voor den vorm schrijven :
(a — by — c\
waardoor wij tot de vorige groep gekomen zijn.
De ontbinding wordt dus :
a' — 2ab + è' — c' = (a — bf — c' = {a — b -\- c){a — b — c).
6. a' — h'' + 66 — 9 = d" — {b- - 66 -f- 9) = a' — (è — 3)' =
= (a -h è — 3) (a — 6 -f- 3).
Opgaven.
Ontbind :
22. a' + 6a + 9 ; a' — Sa + 16 ; x"' - lOxy -f 2by\
23. a;-H-4a;-f4; x^ — 6xy -\-9y-; 4;r- -f 12;z; -|- 9.
68
24. 25it;' — dOxp -f- 9/ ; 49^' + 7xij + i/ ; 4a;'- + 2a; 4- i.
25. 5a'' + 40a + 80; a'è — 12aè'' + 366^ 3i»V + öa;'/ + 3.
26. 4a;'— 12a;^ + 9/; 25/ + 30^g + 92' ; 49a' + 70aè + 256'.
27. Slx'y — lSxf-i-f; id'^ab-\-b^; a;^ + 8^' + 16a;l
28. (a' + 2ab + 6') — 9r ; a' + 6aè + 9&' — 16c-.
29. 4a' — 20aè + 25è' — 36c''; 27a' + 36aè + 12b' — 12c' ;
30. a"" — b^ — 2bc — c' ; d' — b'' -{- 2bc — c" ;
31. 16a;'' — 25/ — 30^^ — 9^' ; 25a'' — 49è' — 25c' + 70èc.
82. (a' + 2a& + b') -- (c' + 2cc^ + d') ; 4a' — 12aè + 9b' - 36c"' +
+ 60cd — 2hd\
33. 49a'' + 4&' — c' — M' — 28ab + 6cd.
34. 25a;' + 9f — 16^'' — ^Oxy — b6z — 49.
35. a'" + 2a"+l; a'"+' + 2a"+' + a ; a"+* + 2a"+' + a"+' ;
a"-' — 2a^-' + d'-^
65. V© Groep. De vorm is een drieterm of een tweeterm,
die twee positieve vierkanten bevat, en door toe-
voeging van een ander vierkant tot de vorige
gedaante kan teruggebracht worden.
Voorbeelden :
1. a'+a'è'-fè'.
d^ is het vierkant van a';
b* is het vierkant van è';
2a'è' is het dubbelprodukt der grondtallen.
Voegt men dus bij den vorm a'è', om er later weer a'ö' af te
nemen, dan krijgt men :
ia' + 2a'è' + b') - a^b' = (a' + bj — {abf =
(a' -f- ö' + ab) (a' 4- ö^ — ab) of gerangschikt :
(a' + a5 + è') (a' — ab + è').
2. a^+15a'è''4-64è'=(a*+16a'è'+64è*)-a'^<'=(a'+8è')'— (aè)'=:
= {a'-\-8b^-\-ab)ia' + 8b^ — ab)=^id'-\-ab+8b'){d' — ab^8b').
3. a' + iè^ = (a* + a'6' + ^ö*) — a'è' = {d' + ^ö')' — (abf =
= (a' + aö + iè') (a' - a& + 1*').
Opgaven.
Ontbind :
36. x'-\-xY-\-y'; a;* -f 7a;y + 16/ ; 4a;* + 7a;y + 16/.
37. a'— 23a'è' + ö^ a;' — 28a;'/ + 36/ ; a;' — 4a;'/ + 36/.
38. a;' + 4/; a;' -f 4a:y + 16/ ; ^x' -\- z\
69
39. ^'H-icy + Z; x''-^xY^y''-
40. 3^ — IxY + f; [a-V- bf + (a + bfc' -\- c\
B. VI© Groep. De vorm is een drieterm, die bestaat uit
één positief vierkant, eenige malen het grondtal van
dit vierkant en een derden term.
Dus van de gedaante:
Deze drietermen kunnen soms als een verschil van 2 vier-
kanten geschreven worden, en dan zijn ze te ontbinden.
Voorbeelden:
1. x^ -\- bx -\- 6 ;
x^ is het vierkant van x;
hx kan men beschouwen, als het dubbelprodukt van x en 2^.
Als derde term schrijve men nu (2^)", waardoor men verkrijgt :
x'-^hx-^^ = x'-^hx + {2\f - (i)^ = {x + 2\f - {^f =
= (^ + 2i + i)(^ + 2i--i) = (:r + 3)(a; + 2).
2. x' -f 2xY — 2iy' -= [x' -\- 2xY + f) —2hy'={x^+yJ—{hff=
= {x" + ^' + by') [x' + y' — bf) = (x' + 6y-) (x' — 4/).
De laatste factor is nog te ontbinden, dus krijgt men :
(x'+6f){x-^2y){x-2y).
67. Er bestaat echter nog een andere methode om vormen van de
gedaante : d' -\- pa-]- q te ontbinden, en deze methode berust
op het vierde merkwaardige produkt.
Een vorm van de gedaante:
a^ + i>« + q
kan ontbonden worden, als de derde term in 2 fac-
toren kan ontbonden ^vorden, Avier som gelijk is aan
den coëflBlcient van het grondtal.
Voorbeelden:
1. a' + 7a H- 12.
De derde term -\- 12 is gelijk aan -j- 5 X + 4>
en -\- 3 -{- 4 = -\- 7.
Men kan nu -|- 7a splitsen in + 3a en -f- 4a :
a' + 7a + 12 = a' + 3a + 4a + 12 = a (a -}- 3) -h 4 (a + 3) =
= (a -f 3) (a H- 4).
70
2. a' + 2a — 15. Daar — J5 = H-5X— 5en + 5 — 5 = -|-;2,
heeft men :
a'+2a— 15=a'+5a— 3a— 15=:a(a+5)— 3(a+5)=(a+5)(a— 3).
8. a' — 4ab — 21b^ = a' — U . a — 21b\
— 21b' = — 7lfX-\-3b en — 7b + :ih = - 4b
dus : a''— 4a&— 21ö"'=a'— 7a&+3a&— 21è"'=a(a— 7è)+3ö(a- 7b)=
= (a — Ih) [a + 3è).
Aan deze ontbindingen merkt men op :
kan men in a^ + pa -\- q den derden term ontbinden
in 2 factoren, wier som -\-p is, dan is de drieterm
gelijk aan:
{a 4- eersten factor) {a -\- anderen factor).
4. a'-j- 7a+10;4-10=-f 2X4-5en+ 2+5=+ 7; dus: (a+2)(a+5)
a'-14a+24; +24=-12X-2en-12-2=-14;dus: (a-12)(a-l)
a'+ 5a- 6;- 6=+ 6X-len+ 6-1=+ 5 ; dus : (a+6)(a- 1)
Opgaven.
Ontbind op 2 wijzen :
41. a' + 7a+10; a' — 7a + 10 ; a' — 3a — 10 ; a- + 3a— 10.
42. a' — 7a5 + 12è'- ; é — hab — 24& ; a' — lOaö + 21b\
43. d' — hab — 6b' ; a' + 9ab — 706' ; d' + 4a6 - 2lb\ ^
Ontbind op de tweede manier :
44. a;'+lla + 24; a'— 11a + 24; a-+14a + 24; a'— 10a— 24.
45. d' — 5a + 4 ; a' + 7a + 6 ; a' — 5a — 6 ; a'^ + 3a — 4.
46. a' + a— 2; a"' — 5a — 36 ; a' + 6a— 16; a'— lOa + 9.
47. a'— 12a + 35; a' — a — 2; a'+12a + 32; a"- — 4a — 45.
48. a'+7a& + 65^ a'+6a&-16è^ a' + llaè + 28&1
49. a^ — hab — 6b; d' -\-9ab — lOb' ; a' + 4aè — 216'.
50. 4a' — iab — 36' ; 4a'' — IBaè + 15è' ; 9a'' — 6a6 — 8b\
51. 16a' — 32aè + 15&^ 16a- — 48aè + 35i' ; 9a'— 15a&— 14è'.
52. 25a'& + 30a&' + 8b^ ; 49a'è — 42a'&' + 8a&^
68. Tot de gedaante van deze drietermen kunnen ook sommige
veeltermen gebracht worden, zooals :
a' + 6a& + 9b- + 5a + 15& + 6,
waarvoor men schrijven mag :
(a + Sbf + 5 (a + 36) + 6,
zijnde een drieterm van de gedaante :
a' -\- pa-\- q.
71
Daar -|- 6 ontbonden kan worden in -|-2X"h3, en +2-f 3:=H-5,
is die drieterm gelijk aan :
(a H- 36 + 2) (a + 3è + 8).
Opgaven.
Ontbind :
(a + &)"- H- 5 (a + 6) + 4 ; (a — bf — 3 (a — 6) — 10.
{a + bh)- -f 3c (a + 56) + 2c' ; (a; + 2f/)' -\-bz{x-\- 2y) + 6«'.
(2a; — 'dyf — 5^ (2x — 3y) — 24^' ; (5a — 21 f — c{ba — 2h)—2c\
a- H- 2aè + 6' + 3a + 36 + 2 ; d' — 2ab + 6' + 5a — 56 + 6.
a-H-6a6-h96-+7a+216+10 ; a'+8a6-|-166'-— 3a— 126— 10.
ar — I2xy + 36^/' — \Qxz + 60«/2; + 21^' ;
x' — lOxy + 25/ — 5a;0 + 25y2; — 24^'.
4a;' H- 12a;y + 9y' — \2xz — Vèyz -\- hz\
3a' — 15a + 12 ; 3a- + 6a6 — 66' ; a'6c + 12a6c + 326c ;
a' + 3a' — 4a ; a^'6 -f 7a'6' + 6a6' ; a'6 + ^a^h^ — 21a'6l
69. Vlle Groep. De vorm is een drieterm, die van den
vorigen alleen daarin verschilt, dat de eerste term
niet 1 tot coëfiBcient heeft, en daardoor in het alge-
meen geen vierkant is.
Zooals : 2a' + 7a + 5.
3a- + a — 4.
5a- — 7a6 — 66'.
Om deze vormen te ontbinden, vermenigvuldigt men ze met
den coëfficiënt van den eersten term en deelt weer door dien
coëfficiënt. Zij krijgen dan de gedaante van de vormen uit de
vorige groep.
2„.+7„+5=iM±Z_^±L0=(?«±Éli?2±2)=(2„+5) („+1).
Evenzoo :
O ö
En:
5a'-7ai-64'=<52>HM2i:?^'=(52=lS52±?^=(«.-26)X
5 5
X(5a+36).
70. Tot deze en de vorige groep behooren de moeilijkste ontbin-
dingen, zooals :
72
x^ -\- xi/ — ö^ — Axz -\- ISi/z — hz^.
Rangschikken we dezen veelterm naar x, omdat er in voor-
komt het vierkant van x :
x' -^{y — 4:z)x — {6 f — 13^/^ -h 5^').
De laatste term kan ontbonden worden in :
— (3^ — 02;) {2y — z) ;
waardoor de vorm wordt :
{x^ + {y-iz)x- m - 5^) {2y ~ z\
Dit is de gedaante van groep VI. Wij trachten nu den der-
den term in 2 factoren te schrijven, wier som y — ^z is; die
factoren zijn :
Zy — ^z en — (2y — z),
dus is volgens VI de vorm gelijk aan :
{x^{Zy -^z)\{x-[2y - z)\ = {x^%y -^z){x -2y -^ z\
Opgaven.
Ontbind :
61. 2a'' + 5a-h3; 3a'' + 4a — 4 ; 3a'— 11a +6.
62. 5a' + 12ai 4- 4è' ; 6a'' — aö — 5Z>^ 3a' + 14a5 + 8&1
63. 2a' — lla& — 6ö' ; 6a' + lOaö — 46' ; 12a' — 5aè — 36\
64. 7a' + 16aè + 46' ; 15a' + 4a6 — 36' ; 6a' + 1 la6 — 76'.
65. 8a' — 13a6 — 66' ; 6a' + 19a6 + 106' ; 5a' + 14a6 + 86'.
66. a;' + Zxy -\-lx-\- ^y -\-^^ ; ^^ + ^^y + ^ — 10|/ — 6.
67. a;' + 3ic^ — a;+ 12^ — 20; x^ — 2xy ^2x-\-^y —\h.
68. a;' + 2a;^-fic + ƒ 4-^ — 20; x' ^Zxy -^2x-^2y^-{-ly—\h.
69. a;' + Zxy - 7 x -\- 2y^ — Uy -\- 12 ; ic' + 8xy + 16«/' — 9r.
70. ic' + bxy + 2xz + 6y^ + 7yz — Sz'.
71. Vnie Groep. De vorm is een tw^eeterm, die tot de
groep der merkwaardige quotiënten behoort, of daar-
toe kan herleid worden.
Voorbeelden :
1. a^ — 6^. Dit stelt voor het verschil van 2 gelijknamige mach-
ten en is dus deelbaar door het verschil der grondtallen.
Derhalve :
a^ — 6' = (a — 6) {a' + a'6 + a'6' + a6' + 6^)
2. a^ -{- 6'. Dit is de som van 2 gelijknamige evenmachten en
als zoodanig noch deelbaar door de som, noch door het verschil
der grondtallen. Bedenkt men echter, dat :
73
dan ziet men, dat men den vorm ook als de som van 2 gelijk-
namige onevenmachten kan beschouwen, zoodat hij deelbaar is
door de som der grondtallen : d' + b^. Men krijgt dus :
a'-{-b' = ia'f + (by = («'^ -\- b') {a* — a'b' -f b').
Bij deze vormen houde men het volgende goed in het oog :
kan men een tweeterm beschouwen als het verschil
van t"wee vierkanten, dan geve men daaraan de
voorkeur boven elke andere beschouwing, omdat
men daardoor het gemakkelijkst komen kan tot al
de factoren, waarin de tweeterm ontbonden kan
worden.
Een voorbeeld zal dit duidelijk maken.
a^ — b^ kan beschouwd worden als het verschil van twee zesde-
machten, twee derdemachten, of twee tweedemachten.
Beschouwt men a^ — b^ als het verschil van 2 zesde machten,
dan krijgt men :
a' - b' = {a — b) (a' + a'b + a'V' + a^b^ + ab' + b\ of wel :
a« — 6« = (a + b) (a^ — a% + a^b' — d'b^ + ab' — b\
Beschouwt men den vorm als het verschil van twee derde-
machten, dan krijgt men :
a« — è« = {c^y — (b'f = (a' — b') {a' + d'b' + b*) =
= (a+b) {a- h) {a' + a'b' -\-b').
Beschouwt men hem eindelijk als het verschil van 2 tweede-
machten, dan heeft men :
a^-.b'={ay—{bj={a'+b') {a'—b')={a-\-b) {a^—xb-\-b') {a—b)X
Xia' + ab-\-b').
In het laatste geval krijgt men onmiddellijk vier factoren,
in het eerste slechts twee, en in het tweede geval slechts
drie factoren. Nu kan men natuurlijk op de eerste of tweede
manier ook wel tot vier factoren komen, doch de ontbindingen,
die men daartoe heeft uit te voeren, zijn niet zoo heel eenvou-
dig. De lezer voere die ontbindingen zelf maar eens uit.
Opgaven.
Ontbind :
a' — b'; a' + b""; 8a^* + 1 ; 27a;' ~ 8b'; I2ba%' — c\
J2. 27a' — i6V; a'-\-b'; xY -\- z' ; x'f ^ z\
73. d'b' + c'; ^m'^n'; mV — 27/ ; mV+Z?'.
74
74. c^-\.{h^cf; a'—{b — cf; a'' + b'' ; a}- — b'\
75. ei" + b" ; a' — è^ ; (tb'' + c'-^ ; a' — b^c'' ; a;'y — z\
76. a'« — è^*^ ; a'°6i^ - cV'<^ ; a'' - b''c' ; a'^è' — c'd'.
77. a;^^ + 2/^^\ als p oneven is, en ook als p even is.
78. oè^^ — if^, ook voor beide waarden van p.
79. a'-b'c''; a'^+^V"; a"^ — a//; r/ — aa;*'.
72. Het komt nog al eens voor, dat men een veelterm van hoogeren graad
dan den tweeden in factoren moet ontbinden, en dat men den vorm tot
geen der vorige groepen terugbrengen kan, zooals:
re" — 4a;'— 11.x 4- 30.
In dit geval is het raadzaam van de volgende eigenschap gebruik te
maken :
De rest der deeling van een veelterm in x en a door
jr — a is gelijk aan den vorm, dien men verkrijgt, door in
het deeltal x te vervangen door a.
Wij zullen deze eigenschap met een voorbeeld aantoonen.
Als men x* — Sax" ^ ba^x^ -{- la^x — a* door x — a deelt, zal de rest
gelijk zijn aan :
a* — Ba' + 5a' -f 7«* — a* = 9a\
Immers, welke waarde men ook aan x moge geven, altijd zal:
Deeltal = Deeler X Quotiënt + Rest
of
X* — 3aa;' + öa^ic* + Tft'.'ï — a* = (re — a) X Quotiënt + Rest.
Geeft men nu aan x de waarde a, dan gaat dit over in :
a* — 3a* + ba* + 7a* — a* = O X Quotiënt + Rest
of: 9a* = Rest.
Stellen we ons nu ten doel te ontbinden :
x" — 4x^ — ux + no,
dan merken wij op, dat de veelterm, als hij te ontbinden is, deelbaar zal
moeten zijn door:
xdbl; x±2; x±S; x±5; x±6; a±10; x±lb; x±80.
Passen wij achtereenvolgens de vorige eigenschap der rest toe, dan zien wij :
voor X = — 1, is .ï* — 4a;' — llx + 80 = 36,
dus is de veelterm niet deelbaar door x — (— 1) =^ x + 1 ;
voor x=l, is a;' — 4a;' — 1 lx + 30 = 16,
dus is de veelterm niet deelbaar door x — 1 ;
voor X = — 2, is X» - 4x' — llx + 30 = 28,
dus is de veelterm niet deelbaar door x — ( — 2) = x + 2 ;
voor X = 2, is x' — 4x'' — llx + 30 = O,
dus is de veelterm deelbaar door x — 2.
Voeren wij die deeling uit, dan krijgen wij :
x" — 4x' — llx + 30 = (x — 2) (x' — 2x — 15),
waaruit nu verder gemakkelijk is af te leiden :
(x — 2) (x + 3) (x — 5)
73. ^^et behulp van de eigenschap uit § 72 bewijst men nu gemakkelijk de
volgende twee eigenschappen :
Als de som der coëfficiënten van een veelterm, die slechts
een enkele rangletter x bevat, gelijk is aan nul, dan is de
veelterm deelbaar door jr — 1.
Gegeven : van ax* + bx^ -r ex^ -\- dx -\- e is a-\~b-\-e-\-d-\-e = (i.
Te be"wijzen: ax* -\- bx^ -\- cx^ -\- dx -{- e is deelbaar door x — 1.
Be^v^js.
De rest der deeling van ax* + bx^ -\- cx^ -\- dx -{- e door x — 1 is gelijk
aan a-\-b-\-c-[-d-{-e. En deze som is nul, dus is de veelterm deelbaar
door X — 1.
Als de som der coëfficiënten van de evenmachten der rang-
letter met den term, die de rangletter niet bevat, gel^k is
aan de som der coëfficiënten van de onevenmachten der
rangletter, dan is de vorm deelbaar door x-\-l.
Gegeven : van ax* + bx^ -\- cx^ -{- dx -\- e is a + c -j- e = è -)- rf.
Te be'wijzen: ax* ^ bx^ ^ cx^ -\- dx -\- e is deelbaar door x-\-\.
Bewijs.
De rest der deeling van ax* -\- bx^ -\- ex* -\- dx -\- e door ar + 1 is gelijk
aan a — b-\- c — d-\-e = {a-\-e-\-é) — {b-\- d). En daar a-\- e-\- e gelijk
is aan b-\-d, is deze rest nul; zoodat de veelterm deelbaar is door x-\-\.
Opgaven.
Ontbind :
80. a;» + 4a:* + a;— 6; a;" + 6a:»+ lla; + 6.
81. x^-\-2ax* — ba'x — ^a^; x^ — bax* — ^a^x + 2fda\
Gemengde Ontbindingen.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
{a' + ^') + (2a'è + 2ab^) ; a' + M'b + ^ab^ + b\
2a-b -I- 2ab'
Sa'b + Sab' — b\
a;' + 2a;' + 2a; + 1 ; o(? — 2x' + 2x — l.
4cd'b' — (a- 4- 6' — c')' ; a' + 6' + c' + 2a& + 2ac -f 2èc.
«2 ^ }jij^^i _ 2ab + 2ac — 2bc ; d'-\-b' + c' + (f + 2aZ^ + 2ac-\-
-\- 2ad + 2bc + 2bd -\- 2cd.
/ + bp'q + bpf -]-q'; a' -\- a'b -f ai'b' + d'b' + ab' + b\
a' — 7a — 6 ; a' + 6a' -f 1 la + 6.
x^ — bx' -|- 4 ; x'^"' — y*'" als m even is.
a' + 4a' + a — 6; a'-*'+ 4a' — 11a — 30.
4a'ö' — (a- + b' — 16f ; x^ — {y -\- zf.
a«_öV'; ar"" -f- /"', als w even is ; a"&' — c^' ; x*-^iy\
X* — x'z — xy'' + 2/'« ; a' — a'b^ + 6^ - a'6'.
a:' -f Sy^ + 6a;«/ (a; + 2y) ; a; (a; — 3) (a;' — 9) + 2a;"' — 18.
{a + b — 3cf — { (a + &)' — 27c'} ; a;*' + 7a;' — 8.
a-ö- + 15a&c — 16r ; 3a' + lOa&c — 8öV"'.
7a' + 14aö + 3c- -f- lOa + lOö H- 76'.
76
17. 3a'— 7a& + 2ö'; ba'—8ab — ib^; de"' -^ Ibcd — 24:d\
18. a' + &* 4- c* H- 2a'&' + 2aV + 2&V-.
19. (a + 3ö) (2a — 56) + (a + 3ö) (— a 4- 8ö) ;
20. (2x + 3i/r - {2x- y) {2x + 3^) + Sy (- 3^ + by).
21. (a; - 3^) {2x -^ y) + [x -\~ hy) {2x — y) — {2x + y) {^x - iy).
22. ü?'* + 2^)7^1/ — x^z — x^z^ — 2xyz^ -\- xz^.
23. acp^ ^ {bc -\- ad) pq -\- bdq^ ; {6x' — ISxy + 6y^f.
24. 10a^y^l9xY-\-6xy^; 8x-y — lOxy^ — 3y\
25. aö (a — ö) + &c (ö — c) + ca (c — a).
26. 4 (a& 4- cdf — [d' + &'- — c' — dj.
27. 2;r' 4- 3^V 4- 3a;r + «/' ; «' + 2a-& 4- a^c 4- aö' 4- 2a&c 4- b^c.
28. 2a'-^+' 4- 5a^+' 4- 3. Stel a^+^ = «/.
29. a' — a'ö — ö^ 4- «&' ; 4a'6' - 4a&=^ — bV ^-b' — 4a-c' 4- 4«öc-
30. {ac 4- ac? -t- &c 4- Mf 4- {ac — ad — bc^ bdf — (a' — bf —
— {c' — dj.
31. (2ac 4- ^ad 4- hbc -\- \hbdf + (2ac — Qad — hbc 4- 15&(^)~ —
— (2a — 50)' (5& 4- 2a)' — (c 4- 3(^)' (3(^ — c)\
32. 4- ir^ 4- y' 4- «' — 2aJT H- 2a?V -f 2/2?l
33. ic^ 4- ^' 4- ^' — 2^V' — 2^V 4- 22/V.
34. a;' 4- y' 4- ^* — 2:z;y — 2^V — 2«/V.
HOOFDSTUK V.
G-rootste G-emeene Deeler.
Bepaling. Een algebraïsche vorm^ die op 2 of meer andere
algebraïsche vormen deelbaar is, zonder dat de quotiënten
gebroken coëfficiënten bevatten, heet een gemeene deeler van die
vormen.
Zoo is a — h een gemeene deeler van :
d^ — b^; a^ — W en a^ — ah.
Bepaling. Be grootste gemeene deeler (G. G. D.)
van 2 of ineer algebraïsche vormen is de gemeene deeler dier
vormen, die zooveel letterfactoren bevat, als mogelijk is, en
waarvan de coëfficiënten zoo groot mogelijk xyn.
Zoo zijn de vormen :
12a"'&V; 8róV en 20a'bc^
deelbaar door:
2 ; 2'^ ; a; 2a; 2'a ; b ; 2b; 2^b ; ab ; 2ab ; enz.
doch hun grootste gemeene deeler is 2^abc~.
Om van eenige vormen den G. G. D. te bepalen, ontbindt
men die vormen in factoren en neemt het produkt van de
gemeene deelers elk met den kleinsten exponent, waarin hij
in een der vormen voorkomt.
Immers de G. G. D. van :
2\'W {a — bf ; 2' . Sa'b {a -f bf {a—bf en 2' . S'a'b^ {a— bf
moet bevatten de factoren : 2, a, b, {a — b).
De factor 2 kan geen hoogeren exponent hebben dan 2, want
geven we aan 2 een hoogeren exponent, dan zijn de laatste twee
vormen stellig niet meer door die macht van 2 deelbaar.
De factor a kan om dezelfde reden geen hoogeren exponent
hebben dan 2.
De factor b kan in den G. G. D, slechts eenmaal voorkomen,
omdat hij ook slechts eenmaal in den tweeden vorm voorkomt.
78
En (a — b) kan ook geen hoogeren exponent dan 2 hebben,
omdat in den tweeden vorm slechts (a — b)^ voorkomt.
De G. G. D. der drie vormen is daarom :
2- . a% {a — hf.
75. Kiezen we nog eens de vormen
2' . a'b' (a — bf ; 2' . SaWb {a + bf {a — bf en 2' . S'a'b' {a — bf.
Vermenigvuldigen wij één der vormen bv. den eersten met
den factor 5, die niet in de 2 andere vormen voorkomt, dan
kan die factor ook niet voorkomen in den G. G. D. der nieuwe
vormen :
2' . baV {a—bf; 2' . Sa'b [a + bf {a—bf en 2' . 3' . a'b' [a—bf.
Van deze is de G. G. D. ook:
2' . a"b [a — b)\
Hadden wij daarentegen den eersten vorm vermenigvuldigd
met 3, dan zou die factor in elk der vormen voorkomen en
daardoor ook in hun G. G. D. Wij leeren dus hieruit:
a. De G. Q. D. van eenige vormen verandert niet,
als men een dier vormen vermenigvuldigt met een
ondeelbaren factor, die niet in elk der andere voor-
komt.
Laat men omgekeerd uit den tweeden vorm den factor 3
weg, die niet in elk der andere vormen voorkomt, dan blijft
de G. G. D. nog 2'a^b {a — hf.
Laat men echter factor 2 uit den tweeden vorm, dan zal van :
2Vè' {a—hf',2. 3a% (a + bf {a — bf en 2' . 3 Vè' {a — b") den
G. G. D. zijn: 2a-b{a — by.
Had men echter één factor 2 uit den eersten vorm weggelaten,
dan zou de G. G. D. onveranderd gebleven zijn.
Wij zien dus :
b. De G. Gt. D. van eenige vormen verandert niet, als
men uit een dier vormen een ondeelbaren factor
weglaat, die niet in elk der andere voorkomt;
daarentegen kan de G. G. D. veranderen, als de
weggelaten factor ook in elk der andere vormen
voorkomt.
En laat men uit elk der vormen
2^a'b' {a — bf ; 2' . Sa'b {a -\- bf {a — bf ; 2' . 3' . a%' {a — bf
een gemeenschappelijken factor weg, b.v. a', dan zal van de
nieuwe vormen :
79
2VZ>- (a — bf ; 2' . 3a6 [a ■\- hf (« — hf ; 2' . 3'è' (r/ — bf
de G. G. D. zijn :
2- . è (a — A)-,
die dus den factor «' mist.
Derhalve :
Laat men uit elk van eenige vormen een gemeen-
schappelijken factor weg, dan wordt de G. G. D. van
die vormen door dien factor gedeeld.
76. Om nu den G. G. D. te bepalen van :
I2a'b - 12a'6' ; 18a'è' - 18a6'en iSa^h — 1 2a-6* -f Qah' ;
beginnen we elk der drie vormen in factoren te ontbinden :
I2a'b — I2a'b' = I2a'b (a' — è') = 2" . 3a'è (a -\- b) {a — b).
ISa'h' — \8ab' = 18ab^ (a' — h') = 2 . S'ab' {a -\- b) (a — b).
6a^b — 12a'b' + 6a6' = Qab {a' — 2ab + 6"') = 2 . 3 . aè {a — by
Wij nemen nu het produkt van de factoren, die in eiken
vorm voorkomen, lederen factor met den kleinsten exponent,
waarmee hij voorkomt in die vormen.
Derhalve is de G. G. D. = 2 . Sab {a - b).
TA] gevraagd den G. G. D. te bepalen van :
a^x + d^bx — ^ah'x ; a^y + 2d'by — ^ah'y en a^ — 9a"è'.
Wij merken op, dat de eerste vorm den factor x bevat, die
niet in de andere vormen voorkomt, zoodat we dien factor
mogen weglaten. Eveneens mag uit den tweeden vorm de factor
y verwijderd worden, zoodat we den G. G. D. hebben te
bepalen van :
a* + a^b — 6aè' ; a^ + 2d'b — 3a6' en a* — 'èd'U.
Ontbinden we eiken vorm in factoren :
a' + d'b — Qab'' = {a' -\- ab — 6b') = a (a + Sb) {a — 2b).
a^ + 2a"-6 — Sab' = a {a' -f 2ab — 3b') =a{a+ 3b) {a — b).
d — 9db' = d {d — 9b') = a- {a -f 3b) (a -^ b)
dan vinden we tot G. G. D. :
a (a + 3b).
77. Tot nog toe kozen wij alleen geheele vormen met geheele coëfficiënten.
Zien wij nu, hoe wij te handelen hebben, als de geheele vormen gebroken
coëfficiënten bevatten. Als voorbeeld kiezen wij :
4a — h en a' — iV^*.
Voor den laatsten tweeterm kan men schrijven : yV(16a' — fc*)=^ (6a+6)X
80
X (4a — b). Nu is klaarblijkelijk éa — b de eenige letterfactor, die op beide
vormen gedeeld kan worden, maar hij is niet de G. G. D., omdat de deeling
van den tweeden vorm door 4a — b een quotiënt oplevert, dat den gebroken
coëfficiënt tV bevat, wat volgens de bepaling van G. G. D. niet gebeuren
mag. De werkelijke G. G. D. is tV (4a — b). Immers deze vorm geeft
bij deeling op 4a — b en a* — j^b" respectievelijk tot quotiënten: 16 en
4a-\-b, waarin geen breuken voorkomen.
Zij ook nog gevraagd den G. G. D. te bepalen van:
isVa' + Wb + iaè' en ^^a'^b — ^ab\
Uit den eersten vorm brengen wij ^, uit den tweeden -^b buiten haken,
waardoor ontstaat:
Aa ifl^ + 6aè + 96") en ^ab (a' — %b^) of
■^a (a + ^by en -i^ab (a + U) (a — 36).
De gevraagde G. G. D. is: ■^a(a-\-Zb).
Opgaven.
Bepaal den G. G. D. van :
1. SOa'èV; iWh^c'd; lOa^h'c^ en 2Wbó'd\
2. 36 {a + bf (a — b); 24 {a + bf (a — bf ; 48 {a + b) {a—bf en
18 {a H- è)- [a — è)^
3. 30a'& [a^-bf {a-bf ; 24a-^&=^ (a+6) {a-bf en 72a'&'(aH-è)^(a— è).
4. a' — 2ab -f 5"^ ; er' — b^ en a^ — ah.
5. a^ + 2ab -\- h' ; a^ — ab'^ en a^è — ab\
6. a;* + 2a:;V + ic'V' ; ^^ ~ ^V^ en a;^ -f a;^^/^-
7. a' + 5a& + 66' ; a' — 3ab — 10b' en a' — 2ab — 8b\
8. 2a;''+6a;V— 20a;/; x'-^-llx'y^dOxY enSx^'—qx^y—UOxf.
9. 6a' — a& — 26'' ; Sa' + 13a6 — 106' en 3a' + «6 — 2b\
10. 10a;^?/H-a;y— 6a;«/^ ; Qx^yz-^lxy'z—by^z en 2a;V— 7a;/+3y^
78. Zijn de vormen, waarvan wij den G. G. D. willen bepalen,
moeielijk in factoren te ontbinden, dan slaat men een anderen
weg in. Alvorens dien weg aan te geven, dienen wij eerst de
volgende eigenschappen te behandelen.
79. Eigenschap I. Als X een gemeene deeler is van A
en jB, dan is X ook een gemeene deeler van
p. A±q.B.
Bewijs.
Daar X een deeler is van A en B, kan men A = M\ X
en B = N\ X stellen, dan is :
81
p.A = 'p.MXX
q.B=q.NXX
waaruit volgt : p . A±q . B = {p . Mdt q . N) X. X.
en dus is pA ± qB deelbaar door X.
80. Eigenschap II. Zijn A en B twee vormen, beide
gerangschikt naar de afdalende machten eener zelfde
rangletter, en is A niet van hoogeren graad dan
B, dan is de Gt. G. D. van ^ en ^ dezelfde, als die
van A en de rest der deeling van A op B.
Bewijs.
Stellen wij door Q het quotiënt, en door B de rest der dee-
ling van A op B voor, dan is :
B=QXA^R
en B— QXA = B.
Zij X de G. G. D. van A en B, dan moeten we bewijzen,
dat X ook de G. G. D. is van A en B. Daar X deelbaar is
op A en J?, is X ook deelbaar op ^ X ^ "f" ^» dat is op B, en
dus een gemeene deeler van A en B.
We moeten nu nog laten zien, dat er geen vorm X* van
hoogeren graad, of met grootere coëfficiënten bestaat, die op
A en B deelbaar is. Was dit wel het geval, dan zou die vorm
X^ ook deelbaar zijn op B — Q X ^ oi op R, en dus een gemeene
deeler zijn van A en R, wat in strijd is met de onderstelling,
dat X de gemeene deeler van den hoogsten graad en met de
grootste geheele coëfficiënten is^ die op ^ en 5 deelbaar is.
81. Van deze eigenschappen maakt men gebruik, om den G. G. D.
van 2 vormen door deeling te bepalen.
Zij gevraagd, den G. G. D. te bepalen van de vormen :
3a;' — 8a;' + 8;r — 8 en 2x^ — 9x' + 11a; — 2.
Daar beide vormen van denzelfden graad nl. den 3*^^*^ zijn,
is de G. G. D. ook hoogstens van den derden graad, en daar
uit de eerste twee termen dadelijk blijkt, dat noch de eerste vorm
op den tweeden, noch de tweede op den eersten deelbaar is,
zal de G. G. D. van beide gelijk zijn aan dien van een der
twee en de rest der deeling van dezen op den anderen. We
deelen nu den eersten vorm op den tweeden ; om echter breuken
Derkson on de Laive, Alg. I. 6
82
te vermijden vermenigvuldigen we den tweeden vorm eerst met
3 ; dit heeft geen invloed op den G. G. D., omdat 3 geen
factor van den eersten vorm is. (73. a).
Sx' — 8x' -\-Sx — 8/ 6a;' — 27a;' + 33a; — 6\2
6a;=^— 16a:^+16a;— 16
— lla;'H-17a;H-10
De G. G. D. der opgegeven vormen is dus dezelfde, als die
van — IW -\- ilx -f- 10 en 3a;^ — 8a;' + 8a; — 8 en kan dus
hoogstens van den 2^*^ graad zijn.
Om te zien, of hij — 11a;' + 17a: + 10 is, deelen we dezen
vorm op Qcüf — 8' + 8a; ^ — 8, na dezen laatsten eerst met 1 1
vermenigvuldigd te hebben, om breuken te vermijden. (73. a).
— 11a;"' + 17a; + 10 /33a;' - 88a;' + 88a; — 88\— 3a;
33a;' — 51a;'— 30a;
• — 37;r'H- 118a;— 88
De G. G. D. is dus dezelfde als die van :
— lla;' + 17a; + 10 en — 37a;' + 118a; — 88, of als die van :
— 1 la;' -f 17a; + 10 en 1 1 X (— 37a;' + 1 18a,- — 88), dat is van :
— 11a;' + 17a; + 10 en — 407a;' + 1298a; — 968.
Deelen we nu weer:
— 11a;"' + 17a; + 10/— 407a;' + 1298a; — 968\37
— 407a;' -f- 629a; + 370
+ 669a;— 1338
dan zien we, dat de G. G. D. dezelfde is, als die van :
— 11a;' + 17a: -f 10 en + 669a; — 1338, of als die van :
— 11a;' + 17a; + 10 en (669a; — 1338) : 669 = a; — 2. (73. b).
De G. G. D. kan dus hoogstens x — 2 zijn. Deelen we, om
dit te onderzoeken, x — 2 op — 11a;' -j- 17a; + 10
x — 2/— 11a;' + 17a; + 10\— 11a; — 5
— Ha;' + 22a;
— 5a; +10
— 5a; +10
O
dan blijkt, dat x — 2 werkelijk de G. G. D. is.
De bewerking schrijft men gewoonlijk aldus:
83
3a^'— 8a;'-h Sa;—
33a;"-— 88a;'+ 88a;-
33a;'— 51a;-— 30a;
-Xii
— 37a;--f 118a;—
— 407a;'-fl298a;— 968
— 407a;'+ 629a;-f- 370
669a;— 1338
669 / x — 2
G. G. D.: x — 2.
Xll
2a;'
9a;'+lla;— 2
6af*— 27a;'+33a;— 6
6a;'— 16a;'-fl6a;— 16
X3
— lla;'+17a;+10
— lla;'4-22a;
— 5a;-f 10
— 5a;-f 10
O
3a;
37
—11a;
— 5
Ingeval de laatste deeling niet opgegaan was, zouden de
vormen geen G. G. D. gehad hebben ; men noemt ze dan onder-
ling ondeelbaar.
12. Voorbeelden :
1. Gevraagd den G. G. D. te bepalen van :
Qx" + 9a;' — 15a;' — 3a; en 4a;' + 8a;' — 2a;.
Wij merken op, dat de eerste vorm geschreven kan worden als :
3a; (2af + 3a;' — 5a; — 1),
de tweede als: 2a; (2a;' + 4a; — 1).
Laat men nu uit den eersten vorm den factor 3a;, en uit den
tweeden den factor 2a; weg, dan wordt de G. G. D. door x
gedeeld, zoodat wij verplicht zijn den G. G. D. van 2af^ -f- 3a;' —
— 5a; — 1 en 2a;' -|- 4a; — 1 nog met x te vermenigvuldigen.
Zoeken wij van de laatste veeltermen den G. G. D. :
2a;' + 4a; — 1
2a;' 4- 8a; + 2
— 4a; — 1
2a;' 4- 3a;' — 5a; —
2ar' -\- 4x^ — x
— x'
— 4a; —
1
— 4a;'
— 4a;'
— 16a^^ —
— X
4
— 15a,- —
4
— 60a; —
— 60a; —
16
15
X4
X4
15
84
De vormen 2x'^ + 3a;^ — öx — 1 en 2a;' -\- 4-x — 1 hebben
geen G. G. D., dus geen gemeenschappelijken factor ; daaren-
tegen de oorspronkelijke veeltermen wel, nl. x. Dit is dus de
G. G. D. J
2. Zij gevraagd, den G. G. D. te bepalen van :
2x'^ — 9xy -{- xz -{- 10 ƒ — yz — 3/" en
3^"' — 7x1/ — xz-\- 2/ — 3i/z — 2z'.
Wij rangschikken eerst beide veeltermen naar de afdalende
machten van y, en kiezen den tweeden veelterm tot deeler.
Wij doen dit, omdat de term -\- 2y^ uit den tweeden veelterm
deelbaar is op den term -|- lOy' uit den eersten.
22/«+(— 7rr— 3%)</+(8ar«— a;x— 2*')
102/'+(— 9rr— %4-(
2a;''4- XK— Zx")
( 26a;4-14^)«/+(— 13a;''+6a;*-i- lx'')
Wij onderzoeken nu, of de coëfficiënt van \j uit de rest met
den term — 13^^ -}- ^xz -f- Iz' een factor gemeen heeft, en
trachten daarom den G. G. D. van die vormen te bepalen, doch
laten uit 26^ + 142; den factor 2 weg, die niet voorkomt in
— 13a;- + ^xz + Izr.
l^x -\- Iz
13a;- 4- Qxz^lz"
13a;'' — Ixz
-\-l^xz + Iz'
4- l^xz + Iz^
— x-\- 2
O
Van deze vormen is 13a; -\- Iz de G. G. D.
Deelen we nu de rest hierdoor, hetgeen op den te zoeken
G. G. D, geen invloed heeft, omdat
13a; -f- Iz
geen factor van den eersten deeler zijn kan, dan hebben we
slechts den G. G. D. te bepalen van den deeler en het quotiënt
dier deeling, dat is : 2y -\- ( — x -f- z).
2y-^{-x + z)
2/+ (— lx —^z)y-\- {2,30'— xz — 2;^'
+ (— 6a; — 4:z) y + (3a;'— xz — 2z'
-\- ( — 6a; — 4:z)y-\- (3a;- — xz — 2ir)
y
— Sx — 2z
o
De te zoeken G. G. D. is dus : 2y -\- ( — x-\-z) of — x-\-2y-\- z,
dus ook X — 2y — z.
85
1.
2.
?6.
'8.
9.
10.
11.
12.
13.
k-
15.
Opgaven.
Bepaal den G. G. D. van :
x^ — 5*"^ -\- ^x' Arhx — 6 en x^ — 3a;' — 6;r + 8.
X' — 20af' ^- 30^' + 19a; — 30 en x' + hx^ + 5ic' — 5^ — 6.
x^ _|_ 4a;3 _ ^£- _ 16:^: -I- 20 en x"" — 2x' — 23a; + 60.
x' — 16a;' + 86a;' — 176a; + 105 en
x' — 19a;' + 128a,' — 356a; + 366.
a;' — 11a;' + 39a;' — 41a;- — 32a; + 60 en
a;' + 2a;' — 7a;' — lOa;"' + 10a; + 12.
x' — 10a;' + 35a;- — 50a; + 24 en a;' — 8a;' + 17a; — 10.
a;* + 2aar^ — 3aV — 8a'a; — 4a' en x* — a\
2a;'* — x^y — 14a;Y' — Sa;^/' + 6«/' en
2a;' — x^y — 14a;Y' + 19a;^' — 6«/'.
4a;' — 6y' — z' -\- lOxy — Sxz + byz en
3a;' + llxy-{- 6/ — lOa;^ — 9yz + 3z\
ISa'b — bla^b + 87a'ö — 63a& en 8a'ö + 16a'& — 62a& + 30&.
2a' — 7a'' — 64a + 105 ; 4a' — 46a- + 144a — 126 en
2a' — 3a"- — 50a + 75.
12m' — w' — 9w' -\-7m — 2 en 18m* + 6m' — nï' — 4wi — 4.
x^a' — 2a;'a — 5a;'a — 2a;a"- — x'a' — 3ar^ en a;^a^ -|- x'''a + xa^.
a;' — a;' — x — 2 ; a;' — 3a;' -|- 3a; — 2 en a;' — 4a;'- -f- 5a; — 2.
2a;- — 3a;^+a;2^ — 2y^-\-Syz-
2x' — 4a;^y + 3a;^ -f- 2y' -
-z~; X' — Sxy-\-Sxz-\-2y' — byz-\-2z' en
dyz 4- z'.
Kleinste Gemeene Veelvoud.
83. Bepaling. Ee7i algebraïsche vorm, waarop twee of meer andere
algebraïsche vormen deelbaar zijn, xonder dat in de quotiënten
gebroken coëfficiënten voorkomen, heet een gemeen veelvoud
van die vormen.
Bepaling. Het kleinste gemeene veelvoud (K. G. V.)
van twee of meer vormen is het gemeene veelvoud van die vormen,
dat van den laagst mogelyken gt^aad is en de kleinst mogelijke
geheele coëfficiënten bevat.
Om van eenige vormen het K. G. V. te bepalen, ontbindt
men die vormen in factoren, en neemt het produkt van alle
factoren, die er in voorkomen, ieder met den grootsten exponent,
waarmee hij in een der factoren voorkomt.
Immers, als gegeven zijn :
86
dx^- lbx-{-lS; 6x' — 2ix + 24 en 2x' -\- 8^' -f ^x\
welke vormen, in factoren ontbonden, respectievelijk zijn :
3 (o; — 2) (« — 3) ; 2 . 3 (a; — if en 2x' {x + 1) (x + 3),
dan moeten in het K. G. V. voorkomen :
de factoren 2 ; 3 ; x' ; x ■\- 1 ; {x — 2)" en x -\- '6 ;
dus is het K. G. V. : 2.3. x' {x+ 1) {x — 2f {x + 3).
84. Moet men het K. G. V. zoeken van twee vormen, die moeilijk
te ontbinden zijn, dan maakt men gebruik van de
Eigenschap. Het K. G. V. van twee vormen is gelijk
aan hun produkt, gedeeld door hun G. G. D.
Bewys.
Laten J^ en 5 de twee vormen zijn, X hun G. G. D. ; zij nu
A = My(, X en B = Ny^Xy waarin M en N geen factoren
meer gemeen hebben.
Het K. G. V. is dan: MXNXX en de G. G. D. =X
Nu is :
AXB MXXXNXX
X X
dat is het K. G. V.
= MXNXX.
85. Van dezelfde eigenschap kan men ook gebruik maken, als men
het K. G. V. moet zoeken van meer dan twee vormen, die
moeielijk te ontbinden zijn.
Laat gevraagd worden het K. G. V. te zoeken van :
x'-\-x^-{- Sx' -^2x-\-2; x* -]- x' — x' — 2x - 2 en
x*-^x' + 4x^ 4- 3a; -1- 3.
Bepalen wij eerst den G. G. D. van de 2 eerste vormen,
daarvoor zullen wij vinden : x' -\- x -\- 1.
Nu is het K. G. V. dier twee vormen gelijk aan hun pro-
dukt, gedeeld door x^ -\- x -\- l, of gelijk aan een dier beide
vormen, vermenigvuldigd met het quotiënt van den anderen
vorm en den G. G. D., dat is :
X -]- x-f- 1
= {x' + 2) {x' -\-x^ — x' — 2x — 2). ■ (1)
Bepalen we nu het K. G. V. van dit produkt en den derden
vorm, door weer eerst den G. G. D. te bepalen. Wij onder-
zoeken dan eerst of x' -f- 2 een factor is van den derden vorm ;
door deeling blijkt dit niet het geval te zijn, zoodat we slechts
den G. G. D. van
87
a;' 4- ic' — x' — 2a: — 2 en x' -\- t^ -\- ix' + 3a; + 3
te bepalen hebben, waarvoor wij zullen vinden :
x' -\- X -\- 1.
Het K. G. V. van (1) en den derden vorm is dan :
(■r- -i-2) jx' -^x'' — x' — 2x — 2) jx' + a;^ + ^^^ + 3a; + 3)
a:' H- a; + 1
= (x' + 2) ix' — 2) {x* + x' + 4a;' + 3a; + 3).
Opgaven.
Zoek het K. G. V. van :
1 . 4a;* — ixy ; 6xy — 6y' en 2a;*2^ — 2xy'.
[2. x^ — xy' ; xy — 2xy' + y^ en Sx^y -f 3a;y-.
13. a* — aJf ; db — a6' ; en a'è - &\
ax — hx-]- ay — hy en drx — a^y — b'^x -\- Iry.
5. 3a'a;y — 3a^y + 3a^ — 3a^a; en Qahxy — 6a& — ^aby -\- 6abx.
16.
ro.
11.
12.
a;^ — 2a; — 15 ; x' -\- x — 30 en x' + 5a; — 6.
2a;' — 7a; — 15 ; 2a;' — 13a; -f- 15 en 2a;' -f 7x — 15.
x' — 2y^ 4- z' — xy-{- 2xz — yz en x' + 2y'^ — 2;^ -}- 3a;y + y^-
6a;' 4- xy — y^ — bx — 25 en 6a;' + y' — hxy + 25a; — \Qy + 25.
x' + 6a;' 4- 11a; + 6 ; a;' 4- 4a;- 4- a; — 6 en ar' — 2a;'' — 5a; -|- 6.
a;- — 1 ; a;^ — a;'' 4- a;— 1 ; a;^ + a;' 4" ^ 4- 1 en a;* — 1 .
HOOFDSTUK VI.
Breuken.
p
86. Bepaling. Een vorm van de gedaante -^, waarin P en Q
algebraïsche vormen zyn, heet een algebraïsche breuk.
De streep heeft de beteekenis van het deelteeken; verder
spreken wij, even als in de rekenkunde, van teller en noemer.
+ 3 — 5a — Sab'
Algebraïsche breuken zijn :
+ 7 ' +2b' — 5aV
Opgave: Onder welke voorwaarden zijn: — ^ en — ^
algebraïsche breuken?
Uit hetgeen bij de deeling geleerd is, volgt, dat een alge-
braïsche breuk positief is, als teller en noemer hetzelfde teeken,
doch negatief, als ze verschillend teeken hebben, en dat de
absolute waarde der breuk gelijk is aan het quotiënt van de
absolute waarden van teller en noemer.
„ . + 3a , 3a + 7 7
87. Eigenschap. Een algebraïsche breuk verandert niet
van waarde, als men teller en noemer beide van
teeken verandert.
Bewijs.
Door die verandering is de absolute waarde der breuk niet
veranderd. Ook het teeken is hetzelfde gebleven. Immers waren
voor de verandering teller en noemer van hetzelfde teeken
voorzien, dan zijn ze dit na de verandering weer, en dus is de
breuk in beide gevallen positief.
-\- a — a
89
Waren teller en noemer voor de verandering van verschillend
teeken voorzien, dan zijn ze dit na de verandering ook, en
beide breuken hebben dus een negatieve waarde.
+ a — a
88. Eigenschap. Verandert men in een algebraïsche breuk
alleen den teller of alleen den noemer van teeken,
■ dan verandert de waarde der breuk ook van teeken,
en men moet dus, om de breuk de oorspronkelijke
waarde te doen behouden, voor de nieuwe breuk
het minteeken plaatsen.
Het bewijs komt overeen met dat van de vorige eigenschap.
89. Eigenschap. Een breuk verandert niet van waarde,
als men teller en noemer met eenzelfden vorm ver-
menigvuldigt.
-\- a +aX — c
^^ ~ — 6 X — c'
Bewys.
+ a
De breuk — 7 heeft een negatieve waarde, stellen we die
voor door — jp, dan is volgens de definitie van breuk:
dus ook 4-aX — c = — èX — ^X — P = ( — *X — c)X — P
. , 1 + «X — c
en derhalve ;-^-^ ■= — p,
— bX — c
waarmee de eigenschap bewezen is.
90. Leest men de vorige eigenschap van rechts naar links, dan
krijgt men :
Een breuk verandert niet van waarde, als men
teller en noemer door een zelfden vorm deelt.
91. Van de twee laatste eigenschappen maakt men gebruik om
breuken te vereenvoudigen of gelijknamig te maken.
Bepaling. Meti noemt een breuk eenvoudiger dan een andere,
ivanneer teller en noemer in de eerste breuk van lageren graad
xijn dan in de tweede.
Zoo is — 7 eenvoudiger dan ^^ : en — ; — 7 ook eenvoudi-
— b ^ — b^ a-\-b
ger dan -r— ^j.
90
Om een breuk te vereenvoudigen, late men uit teller en
noemer al de gemeenschappelijke factoren weg.
. 2a% _ 2ab a^ — h~ _ (a ^h){a~~ b) ^ a—b
^^"^ '^ 3^ ~ ^ ' a' -f 2ab -}- b'^ {a + bf "" a-{-b'
Sa' H- 5a^> + 2b^ ^ ja + b) (3a + 2b) ^ a + 6
3«2 _ aè -^ 2b' ~ [a — b) (3a + 26) a — b'
Wij hebben, waar teller en noemer veeltermen waren, deze
eerst in factoren ontbonden, en de gemeenschappelijke factoren
uit teller en noemer weggelaten.
Wil men eenige breuken gelijknamig maken dan zoeke men,
na de breuken eerst zooveel mogelijk vereenvoudigd te hebben,
het K. G. y. der noemers, en geve elke breuk dit K. G. V.
tot noemer.
Voorbeeld :
^ - a 4- 5 a — b a^ — b' .
Gevraagd : ^ ; ; ' , ,., en -77 — —^ gelijknamig te
^ a — ab ab-\-b' ab — ab "^
maken.
De opgegeven breuken zijn gelijk aan:
a-\-h a — b (a — &) (a + b)
a{a — b)' b{a-\-b)' ab{a — b) '
a-fi
Hiervan is de laatste vereenvoudigbaar en gelijk aan — 7-
Wij hebben dus gelijknamig te maken
a-\- b a — b a-{-b
en
a{a — b)' b{a-{-b) ab ' ^
Het K. G. V. van de noemers is ab {a -\- b) {a — b)= ab (a^ — ö').
Om de eerste breuk tot noemer te geven ab {a^ — 6^), moet
haar noemer met b {a -\-b) vermenigvuldigd worden ; haar teller
dus ook :
a-\-b _ bja-hbf
a{a — b)~ ab{a' — by
Evenzoo moet de noemer der tweede breuk met a{a — b)^
vermenigvuldigd worden, en de teller eveneens:
a-}-6 a{a — b)'
b{a-\~b)~ ab{a' — b')'
En de noemer der derde breuk moet vermenigvuldigd worden
met a' — b^, dus ook de teller :
a + b^{a-\-b){d'-b')
ab ~ ab {a^ — b^)
1.
91
De gelijknamige breuken zijn dus:
b{a-\- by aia- bf {a + b) («' - b')
1 • 1 pn — ■ ■
ab ia' - b') ' ab [a' — b') ab {a' — b')
Opgaven.
Vereenvoudig de volgende breuken :
2a — 4b 2a — 2b a^ — ab g' — ab «W^
3a — 66 ' 3a' — 3^' ' ab — b' ' ab\ b' ' aWc'd' '
d' — aq — 2ap -\- 2pq Sd-b — ab' — 3a6c 4- b'^c
ap — 2f — aq-{- 2pq ' 5a^ — 3a'6 — bd^c -f Sabc '
a' + b- a' — ab^ 8a' — ab'
a' -f db' + b'c 4- d'c ' ^ö — 2a'W -\-W ' a' — ab' '
p- — q^ -f r^ — 2pr p^ — q^ + r^ — 2pr ^ f — (f — r' —2qr
p^ + (i — r' — 2pq ' f — q" — r — 2qr ' p^ — (f + r' —2pr'
a-+7afe+126- a^ — ab — 12b^ g' — 5a6 — 2ib'
■*• a' + 8aö -fl 56- ' d' — 5a6 + Gb' ' a' — 6a6 — IQb''
Maak gelijknamig :
a a-]- b
b' ^'^b'" ^+T
, a-\~ b a — b d' -{-b^ ab ab
^' ^[ZZl 5 ^qr^ ï a^ + ab ' oF+F ^" a-^ — 6''*
_j:+5 a;-H-l 3 — ic x-^2
l • • pn
x' — 4' x'-f3a; + 2' 2x — x'- x^-\-2x-\-\'
^ x^hy a: — 2^ ^^ a; — 3«/
I
iC" + hxy + 6 ƒ ' x' — 2xy — \hy- x^ — Zxy — lOy^ *
Vereenvoudig :
3a^ — ab — 3ac? -\-bd-^ cd — ac d'b — ab — «^ + a — fe + 1
Zab — b- — Sad -\-bd — bc -\- cd ' a'b — ab -\- a"" — a — b — ï
4a-6- — 9c-c?- a' -f ac + bc — b'
4:dW — 12abcd + 9c'd' ' a"' + 2ab -\-b^ + ac-\- bc
6x* 4- ^xy + y' 3.r- — lOrg + 3 14a;' — 17a; + 5
12a;- 4- 7a;_y + y' ' 12a;- — 13a; + 3 ' 28a;- — 29a; + 10'
25a;" — 25a; — 14 6a;- + 7a; -f 2 12a;- — 7a^ + b'
40a;- — 33a; — 18 ' 15ar' — 26a; + 8 ' 15a'ö — 2ab' — b' '
d' + W d'b" a^ + ¥
d'—2a'b-\-2ab'—b' ' a'+2a-6+2a6*+è' ' 2d'—d'b~2ab'-^b''
14
92
a^ -]-ac-\~bc — 6^ a^ -{- 2d'c — arb -\- ac^ — 2ahc — hc'
d' -\- 2ab -\- ac -j- bc -^ b^ ' a* -\- a^c -j- a& -\- &
Optelling en Aftrekking.
92. Eigenschap. De som of het verschil van 2 of meer
gelijknamige breuken is gelijk aan de som of het
verschil der tellers gedeeld door den gelijknamigen
noemer.
[-a) + {+b)-{-c)
+ P
-a +è
— c
+ P
Bewijs.
Stellen we :
— a
= — X', dan is — a = — xy^-\- p
+ P
-r— = + 2/; dan is -^ b = -\-yX-^P
= — z; dan is — c= — z\ -\-j)
-\-p
en dus: {-a)-t{-]-b)~{-c) = {-xX+p)-^i+yX+p)-
-i-^X-^p) = \{-oo)-hi-\-i/)~i-z)\X^P
en dus: ^-^) + (+^^)-(- -)^(- .) + (+,)-(- .),d.i.
gelijk aan ^ + +1 - =^.
Volgens deze eigenschap is dus :
u — b 2a — 3b a — hb_ a — b-h2a — 3b — a-\-bb_ 2a-j-b
a-\-b a-\-b a-j-b~ a + b ~a+6'
Zijn de breuken, die men moet optellen of aftrekken, niet
gelijknamig, dan worden ze eerst gelijknamig gemaakt.
Voorbeelden:
1. -A^H- ' ■ '
a^ — l a^ -^a-\-l a—l'
De noemers zijn : a^ — 1 = (a — 1) (a' + a -j- 1) ;
a' + a 4- 1
en a — 1
Hun K. G. V. is : [a— 1) {d' + a + 1) = a' — 1.
Schrijven we nu elke breuk onder dien noemer, dan krijgen we :
1 a—l d'-\-a-\-\ _ l-fg— l+a-+aH-l_ a'+2a+l
a^ -1 *^ a'—\ ^ a'—\ ~ a'— 1 " a^—l '
93
Zij gevraagd te herleiden :
3a — 4 . 2a
4a^ — 5a
a- — 5a + 6 a* — 4 ' a' — a — 6 a' —
3a' — 4a + 12 '
Ontbinden we de noemers, dan vinden we :
a-f5 3a— 4 2a— 3
4a-— 5a- 2
Het K. G. V. der noemers is: (a + 2) (a — 2) (a - 3).
^ij kunnen de breuken dus schrijven onder den noemer
(a + 2) (a — 2) (a — 3) en krijgen dan :
(a-f5)(a+2) (3a— 4)(a— 3) , (2a--3)(a— 2)
(a+2)(a— 2)(a— 3) (a-f2)(a-2)(a— 3) ' (a-h2)(a— 2)(a— 3)
4a^— 5a— 2 _
a'— 3a'— 4aH-12 ~
(a+5)(a+2) — (3a— 4)(a— 3) + (2a— 3)(a— 2)— (4a^— 5a— 2)
(a-|-2}(a— 2)(a-3)
a- + 7a+10 — 3a-'+13a— 124-2a^ — 7a + 6— 4a^ + 5a + 2
(a+2) (a— 2) {a — 3)
— 4a'' + 18a + 6
(a + 2) (a — 2) (a
Opgaven.
3)
Herleid :
a-\-b a — b
ah ab
x + ij
a — b a-\-h 2>x — 4?/
ab ab * X — y
bx — 3«/
2x
y
a-\-2b , 2a — &
x — y y — X X -
X 2x hx Aa
ïy'^Sy'~6y' 2Ïbc
a — b , 4a
y b
3b
-f-
x — y
b
+
3x
a — b'
3a ^
a -\-b
36 , bb
lac
- 3a 2a
4c
3ab'
+
2b
h -2a
Aab ' 6c
2b^~3a a—b
3b ba — 2b
"^ 3c
3a — ö
+
3ft — 3ö ' 4a — 4& ' 6a — 66 ' a + ö ' 2a -f 2ö
3x' 3x X — y x-\- y
{x — yf [x — y) ' 12a; — 4i/ Qx — 2y'
4a + 6
2c
4a + 2h
6a + 6i6 '
a — h a-[-h
a^h a — h'
a-\- h a -
2a — h 3a_
a -\-h a
b 2a' + ab + b'
ö-
ab 2ab — 2b''
+
5 (a + 6)
ab
m
am
hm
an
hn'
-zH-
94
Sa — 2b 2a — & Sa-\-b 2a — Sb
a' -\- 2ab -\- 6' ' a^ -h ab ab -{- b- ' a' — ab' "^ d'b — ö''
10. Schrijf 1; 2; 3; 5; a; ab; 2b en &' beurtelings onder den
noemer : a-{-b; a — b; d' — ab; a^ -{- ab -\- b'.
11. Herleid tot een enkele breuk:
a — b c. , a-\- b x a%
1 + zr-r-f. ; 2 + ; 5 + -. ; a-^ —
a + ö ' a — 6 ' X — «/ ' d^ — ab'
b-] r~T; ab-\-
a-\- b' a — b'
. „ ,^ , 1 7 d^ -^ah bc , . ac — bd
12. Ook:a + o -. ; a-\ -, — h -\ -:
b c — d c — d
. _, Sbc — c" - , 4:ah{2a — b)
a + 26 — c ^rr—. — ; a — b-\ ^ , ,., '.
a — 2b -\- c a^ -\-b-
13. Herleid:
a-\- X a^ — h ' 2x — ^ 2s — x
14.
ax-\- b d~x -\- ab ' x' -{- xy -\- xz -\- ijz x' — xz — yz -{- xy'
2x-\-Sy 2a — 36
ax^ — ay'^ — bx^ -\- by'^ d'x — b^x — b'y + d^y'
ax-\-hy hx-\~ ay m — n 2n — m m-\-n
a^x — aby abx — b'y' ^rri^ — 2mn Ibmn — bn' lOnni'
4.a-\-b 2a — b , 3 , ^ 1
a' + 6' a' — ab'' ' 2x — b ' x-\-l'
a+è, b-\-c 2
6'^ a* — d^c — ab^ -\- b^c d^ — ac — ab-^bc'
a-\- c b -\- c 2a -\- b
d^ — ah — ac-^ bc d^ -\- ab — ac — bc d^ — b''
17, X y \ ^^ fx'-ï-f j x'y — 2xy' -{- Sy
18.
X — y \ X -\- y X — y
2:r — 3 , x — 2 a — b a^b
x'-\- 82; + 1 5 ' «'+ 9a; 4- 1 8 ' 6a"'+ 7aè -j- 2&"' 4a--|- 8aè -f- 3é'*
^ 2x — y Sx — y
\2x' 4- Ixy -f ?/' 12a;' + iOxy + 2y''
20 2a; -1 / a;-3 2a; + 5 \
a;- + 5a:~ 14 "^W — 5a; + 6 a:'' 4- 10a; + 21/*
3a 2b Sc
a"'4-2a6-f 6'— 4c' a"'— i'4-2ac + 2èc d'— b' — 2ac — 2bc
95
bx — 1 X — 1 , 6a^ — x' -\- 1
23.
^- — 2a; + 2 ' a;* + 2^ H- 2 ' x* + 4
ap H- aq {a {p + q)-^ b}' — b^'
Vermenigvuldiging
en
Machts verhef f ing.
93. Eigenschap. Ben breuk wordt vermenigvuldigd met
een vorm, door den teller met dien vorm te verme-
nigvuldigen, of den noemer er door te deelen.
_ w ±_a _ ~cX-\- Cf'
^^-h~ -b '
— o — o : — c
-\- a ■
De breuk — r heeft een negatieve waarde ; wij stellen haar
voor door — p ; dan is :
en dus -cX+a = -cX{-bX-p) = ~bX{-cX—p),
dus ook:~ '^^^ "" = - cX- P = - cXzri'
2. Uit — c X — 7 = 7 , en dit is volgens Eigenschap 90
gelijk aan :
4-a
b: — c'
94. Eigenschap. Het produkt van twee breuken is geljjk
aan het produkt der tellers, gedeeld door dat der
noemers.
-fa — c__ -f aX — c
— b^—d -bX—d'
Bewijs.
Stellen we de waarde van — 7 = — «en van ^ = -f- Qi
— b ^ — d
dan is :
96
— c-= — dX-^q
J^aX-c={-hX-p)X{-dX+q)-={-bX-d)X{-vXM). „
95. Eigenschap. De macht van een breuk is gelijk aan
de gelijknamige macht van den teller, gedeeld door
die van den noemer.
- bJ (— è)*^ ■
Bewijs.
Volgens de definitie van macht en de vorige eigenschap is :
f-^aY +a-\-a-]-a-\-a
yZTb) ~ ZTl ^ ZTl -^ ZTl X zri X . • • enz. n factoren.
H-«X + o^X + ^X--''^ factoren (+ «)"
~~ — hX — bX — bX n factoren ~~ (^"ftf'
96. Bij de vermenigvuldiging van breuken maakt men nu steeds
van de vorige eigenschappen gebruik. Het is echter aan te
bevelen, veeltermige tellers en noemers in factoren te ontbinden
en de breuken zooveel mogelijk te vereenvoudigen.
Voorbeelden.
+ 2a'b'c — 30a>-'èV''
Alvorens te vermenigvuldigen, vereenvoudige men eerst elke
breuk, men krijgt dan :
4-2 — ba'c' _ — 2 . ha'c' _ , a^
— bahc^^ 4-2&' —b.2ab'c ' ¥
Opmerking. Men had hierbij ook anders te werk kunnen
I o ba^c^
gaan en van ^-7- X _, qtj de produkten van teller en noe-
mer niet behoeven te ontwikkelen, maar factoren uit de tellers
tegen diezelfde factoren uit de noemers kunnen weglaten, aldus :
4- 2 — baV
X 1 «72
— babc^^ +2&'
de aan teller en noemer gemeenschappelijke factoren zijn :
2, 5, a en c. Laat men die factoren uit de tellers en de noe-
mers weg, dan houdt men over :
97
_ s. (« — bf ^ ab-]- h'
ac
-b'
oV
+ J3-
a" — b^ ^^ é + aè ^^ a& — &"^*
Ontbinden we de tellers en de noemers zooveel mogelijk in
factoren, dan krijgen we :
a
^ja-6r^ &(«+&)
(a + è) (a — 6) ^^ a (a -f 6) "^ i (a — b)'
Laat men uit de tellers en de noemers de gemeenschappe-
lijke factoren : ab{a-\- b) {a — b)' weg, dan verkrijgt men als
1
uitkomst
a-f &•
x^ + Sxy -\- 2y' x~ -f- 5:ry -|- 4y'
d^ + Ixy 4- f x' + Ixy + 12y'*
Na ontbinding krijgen we :
{x + 2y) (a; + y) .. {oo 4 y) jx -\- iy) ^ a; + 2y
(;r + ^r '^(a; + 3i/)(a; + 42/) x + Sy'
m
n 4-
2w'
mn -f- w
-)x(»>*
m*w
miv
■)•
Hiervoor schrijven wij eerst :
m — n-\- T77— T— t) X f
mn' (m — w)
m
M (m -]- w)
of na vereenvoudiging :
\m — w + — j — )X (^ —
n^ {m — n)
n)\
m-\- n)^^ \"' m* 4- n'
Brengen we nu den term m — n uit den eersten factor onder
den noemer m-\- n, en den term m uit den tweeden factor
onder den noemer w^ •\- w^, dan krijgen wij :
m^ — ri^ -\- 2m^ m^ -\- mn^ — mn^ -\- n^
m-\- n
m^ -\- n~
X
m -\- ri
X .„2 I „2 = 1^ — mn-\- n .
m-\-n m^ -\- ri
Opgaven.
1.
-^ha^+b'
-^a%
&d
_ 3è /^ _ 2a ' — cd
Derksen en de Laive, Alg. I.
' ^ "^ a'6'"
98
Sax + 15^'^a; — Iba'xY — 2Wbz'
X 1 i? •>. ï -I i 1,3. .2 .5 X
■ H- bby ^^ — 16dy ' — Uh'u'z' ^^ 20xyu '
8. 20«xy.X 5^; WX^O^"'
6aöm X on r2 ■' ; TTT} X 24:abcd\
20a¥m~ \hrd
a'^ — ah a^ -\- ah a^ — 1f 2a-\-4:h
ah-\-b'^ ah — b'' 5a + 1Ö& ^ '¥^'¥ '
g^ — 2a6 + 6^ aH- ^>\ m'x' — nY ^ + y'
a^ 4- 2a& -I- b^ d^—W ic' + 2a2/ + y' mV + 2mw^ï/ + wy '
4a' — 12a6H-9&' . ., 2m^ — mw 'èm'n— 1 2m^''H-4w'*
aa?'' — 4a 3mw — 2w 4w^ — im^n-^mnr
2ax + 3a6 — 3bx + 2a^ 2ay — 2a- — 3aé + 3% _
■ 2a^ + 3a6 — 3by — 2d' ^ 2a:z; — 3a& — 3bx + 2a' '
a;' -t- / ^ a' — &' ^ a' + 2aè + b' ^ x' + xy-^y''
2a' + 3ac + 2a6 f 36c 4a^ + 12ac + 9c'
a' 4- 4ac -f 2a6 + Bèc ^ d^ — W
a' — W 2a* — 2b'
Ui X
10.
a* — 2a"'&- + b' ^^ Sa' — 12a'b' + 12&* '
x"^ — Sxy-\-2y' 2x'-\-xy — y- ^ ax-\-ahy x--\-2axy-\-ay'
4:X^-\-4:xy—Sy' 2x^ — 3xy — Sy' ' bx-\-aby x^-\-2bxy-\-b'y' '
Ba'— 4a64-6' ^ 3a'^— 2a6— 6'^ ^ ar-^ xy—2y' x'—xy—6x'
3a'+ 4aè+&' ^ 2a"'— 5aè-h 2è' ' x'—xy—2y^ ^ ^-^-j-a^^^—er
— Sbl' l— 5&V' l(ic + ^)i ' 1 [x + yf \
b\' /. aV' / , è'f /l r^
-é+^j'0-f)^(«+^
a è
iM"^?Jx(|^!jx(|^3'x(-.+
99
15.
Sa
+
2b
b
2 —
a+b
2x
+ (_3,^+4+«-^
)x(3^
3a —
-3 —
b ' a — 2bj'
ix
x—1
>«• i^^-^^-'-^^H^+^-'-^^y-
17.
18.
19.
> 20.
11.
52.
iS.
S4.
1 +
la —
i^ — 2 +
9a + 2y V
2q
y
1 + ^^^
4 +
27
1 +
20a
( 2m — n 2m -\- n
a' — ba-{~6'V ' 3a' H- 10a 4- 3
3p + g \
}
\ ni' — fi' m' — ww/ v4m'^ + mn
p — 2q-\- q
+
tn
p' -\- 2pq -\- q^ >
mp -\- np — 2n\
4:mn + n^ j'
L
1
x+\
x' — 2x -\- \
p-{-q \ ( 3
a;-' 4- 2;z.- + 1
(2^--q__
\3/ + 2pq
d* — b^ \y ^
a' — 2aè + b- '^ d' ^ ab
1 —
+
2 jx' + 1)
Sx" 4- 1
2q
H
^pq-\-^(l'}\pA^q p'—pq^(i p"" -\- i
b a' — a'b' a'b — ah" 4- b^
X „3 1 13 X „4
('
a — b I \ a-\- o '
aV -\- abx'
a' + è' • a'
2a='è + a'^è*'
xV^ ax-^1'
X
aic
a' — 6'^'
Deeling.
Eigenschap. Een breuk wordt gedeeld door een
geheelen vorm, als men den teller er door deelt, of
den noemer er mee vermenigvuldigt.
+_« , _+a: + g
-\-y'^'- +b '
+_« , _ 4-a
Bewjjs.
-|- a : 4- c
4-6
zal het quotiënt zijn omdat het, met den deeler ver-
menigvuldigd, het deeltal oplevert. Immers
H-cX
100
+ q: + c _ + c X (+ g : + c) _ +_a
2. Uit -r-j : -\- c = — -rj-r — volgt in verband met eigenschap 89
-\- a: -\- c -\- a
-\-b 4- ^^ X + c'
98. Bepaling. Onder het omgekeerde van een algehraïschen
vorm verstaat men een anderen algehraïschen vorm, die, met
den eersten vermenigvuldigd, -\- 1 tot produkt geeft.
+1 +1
Het omgekeerde van +3aè is , omdat -j-3aèX~r^— i=H-l-
Het omgekeerde van een algebraïsche breuk is een andere
algebraïsche breuk, die men verkrijgt, door in de eerste teller
en noemer te verwisselen. Immers, uit:
a — o a-\- o
volgt, dat — ; — r het omgekeerde is van 7.
^ ' a-\- b ^ a — b
99. Eigenschap. Het quotiënt van twee breuken, of van
een geheelen vorm en een breuk, is gelijk aan het
omgekeerde van den deeler, vermenigvuldigd met
het deeltal.
-\- a ^ — c -{- a — d
Bewijs.
-\- a — c . .... + a . . — d , ,.
— 7 : — -j is gelijk aan — 7 X 1 omdat dit produkt, met
den deeler vermenigvuldigd, het deeltal oplevert. Immers:
— c^^ -\- a^y —d_ -f a
-d^ -b^-c~ -b'
100. Van deze eigenschappen maakt men gebruik bij de deeling
van gebroken vormen.
Voorbeelden :
+20a\ 4-20a^ _ +5a _ +5a _ , ha
1. _g^2 : 4a _9^2^_4^^ _9è2s^_^, — ^9^3 — + 9^3-
Wij hebben hier van de breuk :
+ 20a^'
- 9&' X — 4a&
101
2.
3.
teller en noemer door 4a gedeeld,
a- — h- é — 2ab -\- b'
ah + 26'
iV
Deze breuken worden na ontbinding van tellers en noemers :
(a+6) [a—h] ja—bf _ (a+6) {a—b) («4-26) ja— 2b)
b{a^2b) ' ia-^2b) {a—2b)~ b{a-{-2b) ^ (a—bf
Hiervan kan men het produkt der tellers en dat der noemers
door {a — b) [a -\- 2b) deelen (Eig. 90) : men verkrijgt dan :
(a -h &) (a -f- 26)
b{a — b)
a c
b'^d
Schrijven we deeler en deeltal als een enkele breuk:
ad -\-bc ad — bc ad 4- bc
X
bd
ad-\- bc
bd ' bd bd ad — bc ad — bc'
Uit dit voorbeeld leeren we tevens een eigenschap kennen, nl. :
Het quotiënt van 2 gelijknamige breuken is gelijk
aan het quotiënt der tellers.
a'+l
heet, evenals in de rekenkunde, een
a' +
4. De vorm
a — 1
^_-j-_l
a—l
samengestelde breuk.
Men kan ze op 2 wijzen tot een enkelvoudige breuk herleiden :
1® door ze te beschouwen als het quotiënt van
, , a'-f 1 a' + l
a' -\ T- en .
a — 1 a — 1
2^ door teller en noemer met zulk een vorm te vermenigvuldigen,
dat de breuken uit teller en noemer verdwijnen.
Eerste manier:
a' + 1\ a'-\-l _ a' (a — 1) + a' + 1 . a'+ 1 _
0" +
a~ 1/ ■ a— 1 a—\
a^-\-l a' -f 1
a — 1
a
1
1.
102
Tweede manier:
Vermenigvuldig teller en noemer met a — 1 :
o" [a — l) -^ é -^ \ _o? ^l _
(f-\-l — a' + i — ^•
5. ïe herleiden:
Vermenigvuldigen wij teller en noemer met o? :
ja' + 1) {a' — g' + 1) — 1 _a' _
a {d' — 1) {d' 4- 1) + a ~ a'~^'
De eerste term uit den teller is een merkwaardig produkt
(45. V) en gelijk aan a^ — 1, dus is de teller a^.
Door ontbinding in factoren krijgt men voor den noemer:
a {(«- —\){a'-^\)^\] = a.a' = a\
De eindvorm is dus ci.
Opgaven.
1- T'-^' T'-^' T'-"' T^*' 6^"*-
2. f-:abc; ^-.abc'; "-+^.(a'-!,').
bc c^ ' a — h ^ '
_ ^ . c . 2mp ^ 4:m\ ^ 12a^bc ^ I6a^cx
' b'd' Sn^ ' 9w> ' 3bd'xy ' 49<«/' '
a^> + b' 2a + 26 2a; + 2y a;^ — ƒ
■ a' — aè*3a — 36' xy — y''' ƒ '
a''+a&.a'^+ 2ab + b^' g- — b' _ g'^ — 6"
a — 6 • a' — 2aè + 6' ' 5a + lOft ' 2a + 46 *
m^y' — n^g^ m^p' -|- 2mnpq -\- n^q'^
' p' + 2pg^-f'' /HhY '
3a^ — Sb^ ^ Sa' — 2ab — b^
Sa' + 4aè + b' ' 3a^ + a'b + Sab' + b' '
r g^a; 4- b'y — abx — aby ^ a'x -\- b^y — abxi/ — ab
d~b -\- ab~ ' a^b — ab^ '
103
^3^3 _ ^3^3 _ ^6 _^ a'c^ a'b + ab' + a'c + è' + aic + ^>*c
a^b^ — h'& + 6' — aV • h'^ — c^ — h\ + èc'
X I \ X ) \ a — o
a — of
1
a + 3 2a — lJ'\a-\-^ ' 2a — 1/'
w + «•
ö + c 2a&c \ / , ö — c
b — c b'
m-\-a.
+ ü
2ahc
b -\- c b' — c',
9. Herleid de volgende samengestelde breuken op 2 manieren:
iO. Ook
J^I i^i Üï
1-*' 1-*' 1-^
x+-^y-
^y
1 +
a-\-h
a-\-h'
a — b
a — h
a4-b
1 —
&+1
a — b
a-^b
a— 1
ö
a
è + l
a -\-l
x-^y
a
b
a' — 1
{a + 1) (6 + 1)
a
b
a"
1 (a-l)(6 + l)
11. Herleid :
J/2! 372; z xy) '^yz xz y x '
104
14, \ha - 1 + y:+ ^^ + M :(3« + 1 - ^fr ""+/)! X
i 2a- 4- « — 1 ' V 6a^ — 5a + 1 /\
'^/Va aV'Xtt a^'^aVS
15. Herleid nog
a-\-b _ 2b _ Q7> 1 ^^' + 5&^
a — b iab ' a&'- — &^
a+"i + ^CIö^ a — ö -f- ^. _ 22,2
1 + 1
1_ 1
b a
a-\-b-{-
26
a — b
Over den Graad van gebroken vormen.
101. In paragraaf 7 hebben wij gezegd, wat men onder den graad
van een geheelen eenterm of van een veelterm verstaat, die
uit geheele eentermen bestaat. In het volgende zullen wij zien,
wat wij onder den graad van een breuk moeten verstaan.
Vermenigvuldigen wij 3a"6^, die van den 7"" graad is, met
2a^6\ die van den 5^" graad is, dan ontstaat een produkt 6a%*,
dat van den 12"" graad is.
Wordt nu omgekeerd 6a^6'' (12*" gr.) weer gedeeld door
2a^b^ (S**" gr.), dan ontstaat het quotiënt 3a^&^ dat van den
(12—5)*° graad is.
Evenzoo is :
a^b'V (43*" gr.) : a^«6'¥ (3P" gr.) = a*bV (43—31)*" gr.
x'fz* (15*" gr.): x'^fz (6"" gr.)=a;VV (15—6)*" gr.
Wij zien dus, dat de graad van het quotiënt bepaald wordt,
door het graadgetal van het deeltal te verminderen met dat van
den deeler, als het quotiënt een geheele vorm is.
Passen we echter dezelfde definitie toe, indien het quotiënt
niet geheel, maar gebroken is, zooals bij :
a'6'' (8"" gr.) : c*d (5*" gr.) = ^ (8—5)*" gr.
C 0/
dan mogen we zeggen :
105
De graad van een breuk is gelijk aan het graadgetal van
den teller, verminderd met dat van den noemer.
Is de teller een gelijkslachtige veelterm en de noemer ook
of een eenterm, dan noemen wij de breuk ook gelijkslachtig.
Zoo is :
a' + a% — a'h' + ah^ — h'
a'b-{-ab'
eersten graad.
a%' + a'&'
gelijkslachtig en van den (4 — 3) of
Eveneens is -z gelijkslachtig en van den 3*" graad,
ca
I T
— T— gelijkslachtig en van den ( — 1)^" graad.
Opgaven.
Bepaal den graad der volgende vormen :
a' a'b' a%' a'%^
„ d'-hb\ a' + b\ a' — a* a' — b'
a^b' a'—W' «4-Ö ' a^ + b
o . . ab b^ 2 2ab' ,3
3. a- -\ ; a^-\ a6^
ca V c
2 , a^ - a%
ab c^
^' ? ¥■
b d c
Herhaling.
b"^ 1
1. Vermenigvuldig a — 26-1 met
a b'
a
2. Wat is de som van :
a + b-\ 7, a — 6 + , 7^2 en 2a ^ ^ . , ,, ?
a~ b \a — bf a^ — 2ab + b^
3. Vereenvoudig :
g' — Sab -\-ac-\- 26' — 2bc
a' — b'-\- 2bc — c''
106
4. Vervang in de breuk — r — de letter x door ;
- — T—^ en herleid dan.
3a -f- 2c
5. Herleid :
6. Als men in den vorm :
'a + è c -\- d\ . . /^a -j- è c -\-
, 1 ^ + 1
voor ic schriift — ; — ^, wat wordt dan de herleide vorm?
7. Herleid: «^ — ( — , ) tot een breuk, wier teller uit vier
factoren bestaat.
8. Zoek den G. G. D. van :
— 48a;' + 120a; — 72 en 12a;' — 48a;' + 60a; — 24.
9. Evenzoo van :
6a' — 6aV + 'lay' — 2/ en 1 2a' — 15a^ + 3«/*.
. ^ -r^ , 7 , c . » ,., , Ihcx — (?
10. Deel a — è + - in a' — è' '
X X
11. Herleid:
a'&* — x~ + 2a;^ — y^ _ { ab
— 1
èa; — by \x — y
12. Herleid elk der volgende vormen tot een produkt van 2 factoren :
{ax -f- byf + [ay — bxf ;
{ax -\- byf -}- (ai/ — hxf + a;'c + ffc^ ;
(aa; + 6^ + c^)' + (««/ — M^ + («2; — cxf -\-bz — cyf.
13. Herleid de volgende quotiënten :
a' — a-b^ a'b' — abY a'^ + &'°
a^ — (£-b ' «^6^ + ab'e ' a' + ö' *
14. Herleid :
\é — &^ aMi_&^/ v^ ja" - &^ _ a' — b'\
\f£~ _ &-^ X «2 + ö-^i ^ y -vb^ é- h'\'
\
107
15. Herleid :
t ^~y ^ + y) [ ^ + y ■ x — y\
,y x — y^l x — y x-\-y]
x +
16. Als ge weet, dat ad = bc, bewijs dan :
{b + c)ib-hd) = {a^c){c-hd)
en (a -f (^) (ö + c) — (a + c) [b ^ d) = {b — c)\
Examen Machinistenschool,
17. Deel x* — [b — a — c) a^-\- {ac — ab — bc) x' — abcx door x-\-a,
en het quotiënt door b — x.
18. Bepaal het K. G. V. van:
6a;' — 5a; — 6; 3a;' — a;' — 8a; — 4 ; 10a;' — 21a: + 9;
3a;' — a; — 2 en 7a;' — 4a; — 3.
19. Herleid:
/ , b-\- c 2abc \ f , b — c, 2abc \
20. Ontbind in factoren :
2a* + ab^ — a'ö — 2a'b\
21. Vereenvoudig:
xY — a'-h2ab — b\{ ^y _ A
ay — by \a — b
22. Deel — 4a' + 2 + 6a op — 4a' — 10a' — 8a + 21a' — 1.
23. Herleid:
8a + 5a; + 'èay -f- hxy f 2a b ^
24a;+16aa;+ 12a;.i?/+8aa;i/'V2aa;-f 3a: ' 8a + 12/
24. Zoek den G. G. D. en het K. G. V. van:
— 6a;' — 4a;' + 2a;' en + 9 — 10a;' + x\
25. Deel 3a; — 5 + 2a;' op 21a:' — 21a; + 10a;' — 20a;' + 10.
26. Herleid:
(a + ö
a' — 2ab + b^\ J._ a' — 2a& + &'
a -h ö J'\ 3a' + 2a& — öV'
27. Zoek den G. G. D. en het K. G. V. van:
— 4a' + 9; 2a' + a — 6;
4a' — 12a -]- 9 en 2a' — 7a' 4- Qa.
28. Deel — 4a& + 3a'+6&' op 56a&^'— 21a'— 30ö*+46a'& — 81a'6'.
108
29. Herleid:
\'dx' — y' 'x^ / ' V l^x" — 2v' "^
y' 00 — y / V lSx^ — 2y^ Sx-\-y''
30. Zoek den G. G. D. en het K. G. V. van:
x'-\-3x—l0; — lOx' — ibx -\- 2b ] a^ -\- 8x' -\- Ihx
2x' — ^Ox' en Sx^ -f 30a; + 75.
31. Deel 5x' -j- 2;r' + 5 — ^' — 20^' — 12^ door
2 — 6x — ix^ -\- 2x\
32. Herleid:
l^ "^ ¥)'\¥ - ijX(^i — ^^_^ ^^ (^, -\-d'— cd))'
Denk aan de volgorde der bewerkingen !
33. Zoek den G. G. D. en het K. G. V. van:
— 2x' + Sx' H- 18^ ; 216 — 78:r' + 6x' en
x' — 6x^ + 9a;'.
34. Zoek den G. G. D. en het K. G. V. van:
il)' {x^ -\- x'y -\- xy' -\- y^) ;
6a&' [x + yf en Wc {x' — y%
35. Vereenvoudig:
a — o
36. Eveneens :
/ j? + 2g p— '2^ \(2jp-\-q 2p — q
\f + i?^ H- g-' f —pq^qV'^p^ — q^ f + q^
37. Zoek den G. G. D. en het K. C. V. van :
15a;* + 2a;' — 1 ; 9a;' + 6a;' + 2a; — 1 en
9a;' 4- 6a;' + x\
Examen Adelborst.
38. Ontbind in factoren :
p' + q' + r' — 2p'f — 2pV — 2qV.
39. Zoek den G. G. D. van:
12^^" — m' + 9w' + 7m — 2
en \8m^ -f 6m' — m' — 4w — 4.
40. Ontbind in factoren: 2a;'"+' + 6a;'''+' — 56a;\
109
n. Wat is de G. G. D. van:
ISa'b — hla'h -|- 87a"'& — 63a&
en 8a'ö + 16a'ö — 62aö + 3oö. ('87)
il'. Zoek het quotiënt van:
+ 28a^-^'-^ en
«<? _ 2a'-' + Sa"-' — ia''-\
'■\. Herleid:
f -\-q' — r^ — 2pq f — q^ — r" — 2qr^
p- -^ q^ — r' + 2pq p^ — q~ — r' -\- 2qr'
4. Van den veelterm:
2^2u+i) _ ^^+i5!/+i _ 2a^+'c'-' — 30^'^+^^ — 7&^+'c'-' — 4c'<'-'>
is de eene factor : 2a*+' — 3b''+' — 4c'-'.
Welke is de andere factor?
('89)
5. Herleid zonder gewoon te deelen :
af 4- 8 f + 6xy {x + 2p) af — 8/ — Qxy {x — 2y)
x-\-2y X — 2y
6. Herleid tot de eenvoudigste gedaante:
\{a — h) {ax — g) / i
\ ab — a^ \ X ■\- '^y\ ^ ax — ay
a — ax-^ ay a ] a;^ — 43/^'
7. Wat is het K. G. V. van:
2a' — la' — 64a -|- 105 en 4rt' — 46a' + 144a — 126. ('90)
8. Herleid tot de eenvoudigste gedaante :
a) \ al a
(a + è)(a'^ + &^)
9. Eveneens :
1
1
1
ah
a
+
ft'
^
1
1
('91)
a + 6 ' y V & a ; ('93)
0. Zoek het K. G. V. van :
2a- — hal — W ; a' — 2a6 — 15&'
en 2a' — 9a'è — 6a6'-^-5è^ ('92)
110
51. Bepaal zoo eenvoudig mogelijk de volgende produkten :
(«'"* -f a"è" -h 6'") («■-'" — a"&" + è'") ;
(a^ + a'h — ah' + è') («' — «'& + ah' + 6') ;
(a-fè + c — rf)(a-h& — c+ö?)(a — 6-}-c + c?}(a — ^» — c — (/).
52. Ontwikkel:
(«' 4- 36-)'^ ; {a' — 2abY ; («' + aé — è?.
53. Bewijs de volgende gelijkheden :
(c - a) (c - &) "^ (è - a) (è - c) ^ (a - 6) a - c) ~ ^ '
a^ — hc b' — ca c^ — ah
' ih _L /.\ /-A _j_ ^-k "f" /■„ I ^\ /^ I i,^ "= ö ;
(a + è) (a + c) ^ (è + c) (è -f a) "^ (c + a) {c + ^'j
ftc , ca , ah
+ 7ï IVTÏ -X+ r TT ^ = 1.
(a — c) (a — &) ^ (è — c) (è — a) ^ (c — «) (c — 6}
54. Herleid :
hc ac , ai
a{a' — h'){é-c'y b{h'-a;'){b' — c')~^ c{é — V') [c' — a')'
55. Deel : 2bc^x + a'èV + 4aV — c" + 4a^'èa;' — è'cV door ahx -f-
+ c"^ — bcx -\- 2a'x\
56. Ook : a'èV - 2a'è'ic — a%' — 2ad — èV + a;' + 2aiV + a'a;'
door : a% — bx^ -\- ahx — ax^ -f- ^^•
57. Herleid zoo eenvoudig mogelijk :
(3a'^H-2è-') {ha%—lab') (fib-^a) i7ah'-]-ba'h)X{a-{-Qb} {2h'-~Sa').
58. Bepaal de quotiënten van :
a"— è" ^° ''''"• a^è^ + c^(^^ •
59. Eveneens van :
^ — {y-^f. x'-{y — zY
X — y -\- z ' x-\-y — z
60. Ontwikkel:
{a' + h' — c-f ; {ah — bc + caf.
61. Ontbind in factoren :
abc -\- ac -\- ah •\- bc -\- a -\- b -\- c -\- \ ;
ace + acf + ac?e -|- adf -\- bce -\- hef + bde -\- bdf ;
x^—2,x-[-dy — 2xy — 40 + y\
{aJrb^-cf + {a + bf + c\ '
a' — 2d'b + b^c + ai' + a'c — 2aic.
111
<»2. Bewijs dat:
deelbaar is door o -}- ö zonder de deeling uit te voeren.
63. Bepaal eveneens zonder de deeling uit te voeren de rest der
deeling van :
d' + 2d'b H- 2a6- + 36' -\-2a-\-2b door a-\-b.
64. Uit hoeveel termen bestaat het quotiënt van:
a'—b' a' - b\ a^" + b"^ a'' — h^ g^" — ó"^"
a — ó' a-\-b ' a-^b ' a^ — b^ ' a + b '
a'' ^ b''
65. Bepaal den 7^^" term van
den 9^^"^ term van
den 12^^" term van
a — b
a'' - W'
a+b '
a'' — b''
den 23***° term van
den 42*'®" term van
a-t-6 '
g^ + ó'^
g + 6 '
d" + A''
g + è
66. Is g* + è*' altijd deelbaar door a-\- b?
67. Onder welke voorwaarde is a^ — b'' deelbaar; en onder welke
voorwaarde a^ + è''.
68. Bewijs, dat (g + è -f- c)"' — g"' — è™ — c'" deelbaar is door het
produkt (g -4- è) (g -h c) (6 + c), als w oneven is.
Opmerking. Maak gebruik van de eigenschap, bewezen in § 72.
69. Bewijs dat:
-•' ^3 ^
4" 71 N /-, ' — r + 7 TT ïT = g + è -f- C
{a — b){a — b) ' (è — g)(é — c) ' (c — g)(c— è)
door gebruik te maken van dezelfde eigenschap.
/ü. Als —=— = — = .... -- dan is ook
b bi b-, b,,
pa-\-piai -hpiOi + p„g„ a ^ .. ,.
-7— j 7 — r^^ — i /T = ^~- Bewiis dit.
HOOFDSTUK VII.
Vergelijkingen.
Inleiding.
102. Geeft men in den vorm
x'^^lx^ — x — ^
aan x de waarde O, dan krijgt die vorm de waarde — 2 ; voor
x = \ wordt hij — 1^ ; voor a? = — 1 wordt hij nul ; voor
x=^ — 2 ook nul ; voor a? = 1^ wordt hij 4f .
Men kan zoo voortgaan en aan x verschillende waarden toe-
kennen, waardoor in het algemeen de veelterm ook verschillende
waarden verkrijgen zal.
De grootheid x, waaraan men verschillende waarden toeken-
nen kan, heet een veranderlijke grootheid.
Eveneens kan men in:
2rz; H- 3?/ — 42! + 15
aan x^ y Q.n z verschillende waarden toekennen, waardoor in
het algemeen ook de waarde van den veelterm zal veranderen.
Zij wordt voor :
a; = l; «/ = 3 en z=^^
2^ -[-3«/ — 4^-1-15=26
voor:
x^=1\ y = — 5en2; = 3
2a; 4- 3y — 4^ + 15 = — 8.
x^ y Qw z zijn ook veranderlijke grootheden. De andere groot-
heden, die in den veelterm voorkomen (dat zijn de getallen:
2, 3, 4, 15), en die geen veranderlijke waarden kunnen aan-
nemen, noemt men in tegenstelling tot de eerste standvastige
grootheden.
De veranderlyke grootheden stelt men voor door de laatste
113
letters van het alphahet; de standvastige door de eerste of
middelste letters^ of door cijfers.
103. Bepalingen.
1. Stelt men een vorm met veranderlijke grootheden gelijk aan
een anderen vorm met of zotider veranderlyke grootheden, dan
heet die voorstelling een vergelijking.
Zoo zijn :
a?-\-2c(^ — x — 2 = — 2,
x^-\-2ar — x — 2 = — 1|,
2x -\- ^ — 4:z -\- Ih = 26,
2a: + 3^/ — 40 -I- 25 = — 8,
x + hy~'dz=^ 27,
a;'4- 12==3a;+14,
ax -\- h =^ cy -\- d,
vergelijkingen.
De veranderlijke grootheden heeten de onbekenden der verge-
lijking.
Wat voor het gelijkteeken staat, heet het eerste lid, wat er
achter staat het tweede lid der vergelyking.
4. De waarden, die men aan de veranderlijken of onbekenden
moet toekennen, om aan beide zijden van het gelykteeken het
■zelfde getal te verkrijgen, noemt men de wortels der verge-
lijking.
Zoo is van :
x^-\-2x- — x — 2 = — ll,
^ een wortel ; eveneens zijn van :
x^-{-2x- — x — 2 = 0,
1 ; — 2 ; — 1 wortels.
5. Va7i de wortels zegt men, dat zij de vergelijking in een
gelijkheid doen overgaan of korter, dat zij aan de ver-
gelijking voldoen.
104. Verdeeling der vergelijkingen. Men verdeelt de verge-
lijkingen op drie wijzen :
1. naar het aantal onbekenden in:
vergelijkingen met 1, 2, 3 en meer onbekenden.
Voorbeelden :
\^(x 1)
2j; H- 3 = = is een vergelijking met één onbekende.
Derksen en de Laive, Alg. I. 8
114
dx -\- hy — 17 := 4:Z is een vergelijking met drie onbekenden,
2. naar den graad, waartoe de leden ten opzichte van
de onbekenden behooren, in:
vergelijkingen van den eersten, tweeden en hoogeren graad.
Voorbeelden :
2x' + 3a; — 15 == 6 (:r — 2)
is een vergelijking van den tweeden graad.
Sx + 4«/' — bz' = 72
is ten op/iichte van x van den eersten, ten opzichte van y van
den tweeden, ten opzichte van z van den derden graad.
3. naar het aantal der wortels in :
identieke; niet-identieke en valsche vergelijkingen.
Identieke vergelijkingen. Een vergelijking heet identiek^
als %e voor elke waarde der onbekende i7i een gelijkheid overgaat.
Zoo zal :
Li
voor elke waarde van x aan beide zijden van het gelijkteeken
hetzelfde getal opleveren, dus een gelijkheid worden. Een iden-
tieke vergelijking heeft oneindig veel wortels.
Voorbeelden :
3ic -1- 5 = (6a; + 10) : 2
{x -\- af =: a?' -j- 2aa; + «'
x^ — a*
■ ; =-x — a
X -]- a
zijn identieke vergelijkingen.
Niet-Identieke vergelijkingen. Een vergelijking heet
niei-identiek, als %e niet voor elke, maar slechts voor een
beperkt aantal waarden in een gelykheid overgaat.
Zoo levert :
x'' ^lx = —\2
voor x^^ — 3 de gelijkheid op :
9 — 2] = — 12.
Ook voor a; = — 4 ontstaat eene gelijkheid :
16 — 28 = — 12.
Voor a; = 3, of 4, of 2, of elke andere waarde ontstaat echter
geen gelijkheid.
Een niet-identieke vergelijking heeft een beperkt aantal
wortels.
115
Valsche vergelijkingen. Een vergelijking heet valsch, als
xe voor geen enkele waarde der onbekende in een gelijk-
heid overgaat.
Zoo kan :
6a; -f- 10 . .
3.-C + 5 = ■ — h 4
nooit een gelijkheid worden, welke waarde men ook aan x
geeft. Het tweede lid zal steeds 4 eenheden meer bevatten dan
het eerste.
De vergelijking
3^ + 5 = 5^^ + 4
is dus een valsche.
Een valsche vergelijking heeft geen enkelen wortel.
Opmerking. Als wij in het vervolg over vergelijkingen
(zonder nadere aanwijzing) spreken, bedoelen wij er steeds niet-
identieke mee.
Algemeene Eigenschappen der Vergelijkingen.
10.5. Eigenschap I. Als men beide leden eener vergelij-
king met een zelfde bekend getal, of een zelfden
vorm, waarin de onbekende voorkomt, vermeerdert
of vermindert, ontstaat een nieuwe vergelijking, die
evenveel en dezelfde wortels heeft als de oorspron-
kelijke vergelijking.
Gegeven : ^x' -\-h = ^x-\-2^ (1)
Te bewijzen : 4a;' -1- 5 ± 12 = 6a; + 23 ^i 12 (2)
heeft evenveel eu dezelfde wortels als (1).
Bewijs.
Wij moeten aantoonen, dat elke wortel van vergelijking (1)
ook voldoet aan vergelijking (2), en dat omgekeerd elUc wortel
van vergelijking (2) ook aan vergelijking (1) voldoet.
Bewijs van het eerste gedeelte.
Zij a een wortel van de eerste vergelijking, dan zal deze
wortel vergelijking (1) doen overgaan in de gelijkheid :
4a- -t- 5 = 6rt -I- 23.
Telt men bij beide leden dezer gelijkheid 12 op, of trekt men
-er 12 af, dan ontstaat een nieuwe gelijkheid en wel :
4a- + 5 ± 12 = 6a + 23 ± 12.
116
Deze gelijkheid verkrijgt men echter ook, door aan de onbe-
kende uit vergelijking (2) de waarde a toe te kennen, bijge-
volg is a ook een wortel van vergelijking (2).
De tweede vergelijking heeft dus alle wortels van
de eerste.
Bewijs van het tweede gedeelte.
Onderstellen wij nu, dat de tweede vergelijking ook nog een
wortel b had, dan zou ze voor x = b moeten overgaan in de
gelijkheid :
W -\- b ±12 = 6b -\-2S± 12.
En door van beide leden dezer gelijkheid 12 af te trekken,
of door bij beide leden 12 op te tellen, ontstaat weer een
gelijkheid :
46- + 5 = 66 -f 23.
Deze gelijkheid ontstaat echter ook uit de oorspronkelijke
vergelijking, door x = b ie stellen, zoodat b ook een wortel is
van vergelijking (1).
De tweede vergelijking heeft dus geen enkelen
wortel meer dan de eerste.
Beide hebben dus dezelfde wortels.
Opmerking. Men drukt deze eigenschap gewoonlijk korter,
ofschoon minder juist, uit door te zeggen :
Men mag beide leden eener vergelijking vermeer-
deren of verminderen met een zelfde getal of een
zelfden vorm, waarin de onbekende voorkomt.
106. Vermindert men beide leden der vergelijking:
4x' + 5 = 6^ + 23
met 6x, dan ontstaat:
4ic' + 5 — 6a; = 23.
De term 6x uit het tweede lid bevindt zich nu in het eerste,
maar in tegengestelden toestand.
Vermeerdert men beide leden van de vergelijking:
5a;' — 8 = 6a; + 15
met 8, dan ontstaat:
bx^ = 6a; + 15 + 8.
De term — 8 uit het eerste lid bevindt zich nu in het tweede,
maar in tegengestelden toestand.
Hieruit leeren wij, als gevolg van de eerste eigenschap:
Men mag een term uit het eene lid naar het andere
117
lid overbrengen, mits men dien term van teeken
verandert.
Met behulp hiervan kunnen wij nu uit een vergelijking een
andere met dezelfde wortels afleiden, waarvan het tweede lid
nul is ; of, zooals men zegt, een vergelijking op nul herleiden.
Voorbeeld:
hx-\-Si/ = iz~ 18.
Brengt men beide termen, waaruit het tweede lid bestaat,
naar het eerste over, dan wordt het tweede lid nul, daar dat
overbrengen niets anders is, dan beide leden met éz — 18
verminderen. Daardoor verkrijgt men :
bx + Sy — 4:Z-]-l8 = 0.
107. Eigenschap n. Men mag beide leden eener verge-
lijking met een zelfde bekend getal vermenigvuldigen.
Bewijs.
Zij bx -\- x^ = 8x -\- 4: (1)
een vergelijking, waaraan voldaan wordt door x = iv, dan zullen
we aantoonen, dat deze wortel ook voldoet aan:
7 {bx + x^) = 7{8x-\- 4), (2)
en dat omgekeerd, zoo w' een wortel dezer laatste is, zij ook
aan de eerste voldoet.
Bewijs van het eerste gedeelte: Daar w een wortel
is van
bx -\- x' = 8a; + 4,
zal deze wortel de vergelijking doen overgaan in de gelijkheid :
bw -\- ur = 8tv -f- 4.
Hieruit volgt dan ook de gelijkheid:
7 {bw + W-) = 7 {8w-\- 4),
welke laatste gelijkheid uit de vergelijking (2) verkregen wordt,
door aan x de waarde w toe te kennen ; derhalve is w een
wortel van de vergelijking (2).
Bewijs van het tweede gedeelte. Veronderstelt men,
dat vergelijking (2) een wortel w' had, dan zou deze wortel
vergelijking (2) doen overgaan in de gelijkheid:
7 {bw'-h w'') = 7 {8w' + 4),
waaruit ook de gelijkheid zou volgen :
bw' -I- tv'' = 8w' + 4.
Maar deze gelijkheid kan men ook rechtstreeks uit de eerste
vergelijking verkrijgen, door daarin aan x de waarde w' toe te
118
kennen. Derhalve zal w' ook een wortel zijn van
vergelijking (1).
Opmerking. Daar deelen door een getal hetzelfde is als
vermenigvuldigen met het omgekeerde van het getal, mag
men beide leden eener vergelijking ook door een
zelfde bekend getal deelen.
108. Eigenschap III. Als men beide leden eener verge-
lijking vermenigvuldigt met een vorm, die de onbe-
kende bevat, dan worden er in het algemeen nieuwe
wortels ingevoerd, en wel de wortels van de verge-
lijking:
vermenigvuldiger = O.
Bewijs.
Zij gegeven de vergelijking:
ax -h è = ex -4- d, (1)
en vermenigvuldigen wij beide leden met x -^ p:
[x + p) {ax -\- b] = {x -\- p) (ex + d), (2)
dan kan men volgens het gevolg van Eig. I voor deze laatste
vergelijking ook schrijven:
(x -^p) (ax 4- f>) — {x-\- p) [ex -|- c?) = O,
of
[{ax + è) - {ex + d)] {x-^p) = 0.
Hieraan wordt op twee wijzen voldaan :
1". door de wortels, die {ax -\- h) — {ex + d) gelijk nul maken,
of door de wortels van :
ax + 6 = c^r + c?,
2^ door de wortels, die x-\-p gelijk nul maken, dus door de
wortels van :
X -\-p = 0.
De wortels van vergelijking (1) voldoen derhalve ook aan
vergelijking (2), maar bovendien bevat deze nog de wortels van :
dat is : vermenigvuldiger = O.
109. Omgekeerd volgt hieruit :
Eigenschap IV. Zoo beide leden eener vergelijking
een factor gemeen hebben, die de onbekende bevat,
en men beide leden door dien gemeenschappelyken
factor deelt, ontstaat een nieuwe vergelijking, die
minder wortels heeft, dan de oorspronkelijke. Door
119
die deeliug zijn dus wortels verdreven, en wel de
wortels van de vergelijking:
deeler = O.
110. In eigenschap III komen de woorden „in het algemeen"
voor. Er schijnen dus gevallen te zijn, waarin de vermenig-
vuldiging met een vorm, die de onbekende bevat, geen ver-
meerdering van wortels veroorzaakt.
Beschouwen wij de vergelijking:
2^ + 3 = 4» (1)
en vermenigvuldigen wij, om de breuk te verdrijven, beide
leden met 2x — 7, dan ontstaat:
5 + 3 (2a; — 7) = 4^ {2x — 7). (2)
Indien er nu wortels ingevoerd waren, zouden het de wortels
zijn van de vergelijking :
2x- — 7 ^ 0.
Nu maken de wortels van : 2x — 7 = 0, het tweede lid van
vergelijking (2) ook nul, maar niet het eerste, daar dit gelijk
wordt aan 5 -|- O ; waaruit we dus mogen besluiten, dat verge-
lijking (2) de wortels van:
2a; — 7 = O
niet bevat, zoodat deze door de vermenigvuldiging niet zijn
ingevoerd.
Beschouwen wij nu nog de vergelijking :
^' +5- -4^, (1)
a;-f 7 ' a;+7'
en vermenigvuldigen wij beide leden met x-\- 7, dan ontstaat :
x--\-b{x-\-7) = 49, (2)
o£ x' 4- 5a; — 14 = O,
of (x 4- 7) (a; — 2) = 0.
Hieraan wordt voldaan door a; = 2 en x = — 7.
Nu blijkt bij onderzoek, dat 2 ook een wortel is van ver-
gelijking (1), daar:
maar — 7 niet, omdat :
9 ' 9
49 ,49
¥ + ^-"0
geen gelijkheid oplevert, daar het eerste lid steeds 5 eenheden
meer bevat, dan het tweede.
120
Hier is dus door de vermenigvuldiging met x-\- 7 wel degelijk
een wortel ingevoerd. De oorzaak ervan moet gezocht worden
in het feit, dat de vermenigvuldiging niet noodzakelijk
was, om de breuken te verdrijven.
Immers voor vergelijking (1) had men kunnen schrijven :
x' 49
x-\-7
x + 7- "'
nf
x' — 49
yjï.
x-^7
o£
x—7 = — b.
Hieruit besluiten wij nu tot :
Eigenschap V. Als men beide leden een er verge-
lijking vermenigvuldigt met een vorm, die de onbe-
kende bevat, dan worden er geen wortels ingevoerd,
indien die vermenigvuldiging beslist noodzakelijk is
om breuken te verdrijven.
Kan men de breuken dus verdrijven zonder vermenigvuldi-
ging, dan moet men dit doen.
49
Opmerking, Wij zeiden, dat —4-5 nooit gelijk kan zijn
49
aan -^ , en zullen dit in het volgende verklaren.
Vooreerst hebben wij na te gaan, wat we moeten verstaan
onder het quotiënt van 49 gedeeld door nul.
Vergelijken wij de volgende deelingen :
49 : 7 = 7
49 : 0,7 = 70
49:0,07 = 700
49 : 0,007 = 7000,
dan zien we, dat het deeltal onveranderd blijft, terwijl elke
deeler tienmaal zoo klein wordt, als de onmiddellijk vooraf-
gaande, en elk quotiënt daardoor tienmaal zoo groot. Door
dit tienmaal zoo klein maken van den deeler steeds voort te
zetten, zal men ten slotte tot een deeler komen, die zeer klein
is, ja, dien men kleiner kan maken dan welk getal ook. Het
quotiënt, dat telkens tienmaal zoo groot wordt, wordt dan
grooter dan eenig te denken getal.
Men noemt dan den deeler oneindig klein en het quotiënt
oneindig groot, en zegt, dat de oneindig kleine deeler zoo
121
weinig van nul verschilt, als men wil, m. a. vv. tot nul nadert.
Hoe meer nu de deeler tot nul nadert, hoe grooter het quotiënt
49
wordt ; vandaar, dat — tot quotiënt heeft een oneindig groot
getal. Men stelt dit voor door co.
49 49 _ . .
Is echter — oneindig groot, dan zal ook — + 5 oneindig
groot zijn, doch welke oneindig groote waarde men ook aan het
49
getallensymbool -r- moge toekennen, diezelfde oneindig groote
49
waarde zal men aan hetzelfde symbool uit "tt -|- 5 moeten toe-
kennen, zoodat deze laatste vorm altijd 5 eenheden meer zal
bevatten dan de eerste, en dus nooit volkomen gelijk aan dezen
zal kunnen zijn.
111. In het volgende zullen wij onderzoeken, wat er gebeurt, als men
beide leden eener vergelijking tot een zelfde macht verheft.
Zij gegeven de niet-ideutieke vergelijking:
2x-^b = x-{-S. (1)
Verheft men beide leden in het kwadraat, dan ontstaat:
{2x-\-hy = {x^S)\ (2)
of {2x-{-bf — {x-\-8y- = 0,
waaruit volgt :
\{2x-\-S)-ix-{-8)\ 1(2^ + 5) + (^ + 8)1 = 0.
Hieraan wordt voldaan door:
{2x-\-b}~{x-\-S) = 0, oi 2x -\- b = X -]- 8,
en i2x + 5) -I- (a; + 8) = O, of 2a; -f 5 = — (a; -f 8).
De tweede vergelijking bevat dus ook de wortels der eerste
en bovendien nog andere wortels, die door de machtsverhefiBng
zijn ingevoerd.
Nemen we nu de niet-identieke vergelijking
xJ^b = n—x, . (1)
41 en verheffen wij weer beide leden tot de tweede macht, dan
ontstaat :
(x-h^y = {n-xf,
of {x-\-hy — {11 — xy = o,
waaruit volgt:
122
{{x + 5) + (1 1 - x)] {{x -f 5) - (11 - o;)} = O,
of 16{(;r + 5)-(ll-a;)} = 0.
Hieraan wordt alleen voldaan door:
(;z; + 5) — (11 — x) = 0, of door a; + 5 = 11 — x, dat is de
oorspronkelijke vergelijking, zoodat er geen vermeerdering van
wortels heeft plaats gehad.
Ten slotte kiezen we een valsche vergelijking:
2x-\-b = 2x-\-8, (1)
waarvan we beide leden ook in het kwadraat verheffen :
{2x + 5)' = (2a; + 8)^ (2)
dan kunnen wij uit deze laatste afleiden :
{2x + 5)' — {2x -\- sy- = O,
of {{2x + 5) - {2x + 8)} X {(2^ + 5) -f- (2x + 8)} = O,
waaraan voldaan wordt door:
{2x -f 5) — {2x H- 8) = O, of 2x -]- b = 2x '\- S,
wat onmogelijk is, daar deze vergelijking valsch is,
en door:
{2x 4- 5) + (2;r + 8) = O, of 2x-\-5 = — {2x + 8),
wat wel mogelijk is, daar:
2x + h = — {2x-^8)
een niet-identieke vergelijking is, waaraan voldaan wordt door
x = — 3^, zoodat in dit geval de machtsverheffing weer wel
vermeerdering van wortels heeft veroorzaakt.
Uit deze drie voorbeelden besluiten wij tot
Eigenschap VII. Als men beide leden eener verge-
lijking tot een zelfde macht verheft, hunnen er
wortels ingevoerd worden.
Opmerking. Het zal later blijken, dat men soms ter bepaling
van de wortels der vergelijking beide leden tot een zekere
macht moet verheffen, en daar er dan door die machtsverheffing
wortels kiumen ingevoerd zijn, dient men de gevonden wortels
aan de oorspronkelijke vergelijking te toetsen, om te zien, of
ze al dan niet zijn ingevoerd.
112. Vatten wij het in dit hoofdstuk behandelde nog eens kort
samen, dan merken wij op, dat er zich 3 soorten van eigen-
schappen bij de vergelijkingen kunnen voordoen :
123
1. eigenschappen, die geen invloed hebben op de wortels,
2. eigenschappen, die wel invloed hebben op de wortels,
3. eigenschappen, die invloed op de wortels kunnen hebben.
I
Overzicht.
Eigenschappen, die wel
invloed hebben op de
w^ortels.
Eigenschappen, die geen
invloed hebben op de
wortels.
1. Men mag beide leden eener
vergelijking met een zelfde be-
kend getal, of vorm, die de
onbekende bevat, vermeerde-
ren of verminderen.
2. Men mag beide leden eener
vergelijking met een zelfde be-
kend getal vermenigvuldigen
of ze er door deelen.
3. Men mag beide leden eener
vergelijking vermenigvuldigen
met een vorm, die de onbe-
kende bevat, als die vermenig-
vuldiging beslist noodzakelijk
is ter verdrijving van breuken.
Één Eigenschap, die invloed l^an hebben op de wortels.
Als men beide leden eener vergelijking tot een zelfde macht
verheft, kunnen er wortels ingevoerd worden.
Op deze eigenschap komen wij later nog eens terug.
1. Als men beide leden eener
vergelijking vermenigvuldigt
met een vorm, die de onbekende
bevat, worden er wortels in-
gevoerd, als die vermenigvul-
diging niet noodzakelijk is ter
verdrijving van breuken.
2. Als men beide leden eener
vergelijking deelt door een
gemeenschappelijken factor, die
de onbekende bevat, dan wor-
den er wortels verdreven.
113. De vorige eigenschappen dienen, om de wortels eener ver-
gelijking te bepalen, of zooals men zegt: de vergelijking op
te lossen. Voor men echter tot de oplossing overgaat, is het
in het algemeen raadzaam, de vergelijking eerst met behulp der
genoemde eigenschappen tot de algemeene gedaante te
herleiden. Hieronder verstaat men voor vergelijkingen met één
onbekende een der volgende vormen :
124
ax -}- b = 0,
ax^ -\- bx -{- c = O,
ax^ + bx' -j- cx-\-d^^O,
waarin a, b, c en d geheele getallen voorstellen.
Naarmate het eerste lid ten opzichte der onbekende van den
eersten, tweeden, derden of hoogeren graad is, spreekt men
van : vergelijkingen van den eersten, tweeden, derden of hoo-
geren graad mét één onbekende.
Voor vergelijkingen met 2 onbekenden heeft men de vormen :
ax -j- by -\- c = O,
ax -f- bxy -\- cy -{- d = 0,
ax^ + è«/' + c^y -\- dx -\- ey -\- ƒ = O,
die men eveneens naar het eerste lid verdeelt in vergelijkingen
van den eersten, tweeden of hoogeren graad met twee onbekenden.
Zoo is :
ax -\- bxy -\- cy -\- d=^^
ten opzichte van x of van y eene vergelijking van den eersten
graad, doch ten opzichte van x en y van den tweeden.
114. Wij zullen nu door een paar voorbeelden laten zien, hoe men
een vergelijking tot de algemeene gedaante brengt.
Voorbeelden.
1. i[55-J4(. + .)-^(5^{]-U=,.
Verdrijven we eerst de haken, dan komt er :
110 7 7,4 4
"T-Ï2^-Ï2^ + r-2Ï-^-^^^^-
Verdrijven we nu de breuken, door beide leden der verge-
lijking te vermenigvuldigen met het K. G. V. der noemers, d.i. 84 :
3080 — AQx — 490 -f 48^ — Uy — 924 = 84«/.
Brengen we nu den term uit het tweede lid naar het eerste over :
3080 — 49a; — 49^ + 48^ — Uy — 924 — My = 0.
De termen rangschikkende en zooveel mogelijk vereenigende,
krijgt men :
— 49;r — 1002/ — ;s + 2156 = O,
waaruit door vermenigvuldiging met — 1 volgt :
49x 4- 100^ -\-z — 2156 = 0.
a;' + 5a; + 6, a; + 4 _
x-\-2> X — X — 20
125
Ontbinden wij de tellers en noemers der breuken in factoren,
als dit mogelijk is, dan krijgen we :
{x-{-2)ix + S) x-\-4: _
x-\-2 "^ (a;+4)(a: — 5)~ "^ '
of na vereenvoudiging :
x-\-S -\ = a: + 5.
X — o
Om de breuken te verdrijven vermenigvuldigen we nu beide
leden met x — 5 :
ix-\-S){x—b) + l = x' — 25
x' — 2x—l^-\-l=x' — 25
x^ — x^ — 2x—lb-{-l-{-2b = 0
— 2a; + 11=0
2ii; — 11 = 0.
Opmerking. Als wij de breuken niet eerst vereenvoudigd
hadden, maar dadelijk waren overgegaan tot vermenigvuldiging van
beide leden met het K. G. V. der noemers d. i. met (x -\- 2) {x-\- 4)
[x — 5), dan hadden we vermenigvuldigd met een vorm, die de
factoren x -\-2 en o; + 4 te veel bevatte, waardoor de wortels van
^ + 2 = 0
en ic + 4 = O
zouden ingevoerd zijn.
'il 1.1
OC'-f-- -T + -
X
Aan den laatsten term uit het eerste lid kunnen wij, door
teller en noemer met x te vermenigvuldigen, den noemer van
den eersten term geven, waardoor ontstaat:
x'-}-- -4-1
OX r—r = 2.
X-\- 1 X -\- 1
Door de gelijknamige breuken te vereenigen krijgen wij :
^^-h5rr = 2,
x-\-l
of X — 1 -\-bx = 2
6x—l — S = 0
6ic — 3 = O,
en na deeling door 3:
2a; — 1 = 0.
126
Opgaven.
1.
Herleid de volgende vergelijkingen tot de algemeene gedaante :
1 1 1
x-^ 3 x — 2 x^l
1 1
mx-\-p nx -\- q'
3. (3a; + 4)' - (3^ + 4) [Sx — 5) = {6x + 6)' — {2x + 3)'.
4. {{x + 4)^ -2{x — 2f} — {{x -\-l){x'-\-x^ 1).+ {x -f 2)^ = 0.
x^-\-2x-{-ï x^ — x — 2_x'-^6x — H
x'-\-3x-h2'^ x' — 4. ~ ic' + 9^ + 14 •
7. i{a-[b-x)]-\{x-{h-d)]-^{h-{a + x)] =
8. Is lx=^^x identiek, niet-identiek of valschV
9. Wat verkrijgt men, als men beide leden eener identieke, niet-
identieke of valsche vergelijking vermenigvuldigt met x — 3?
10. Tot welke soort van vergelijkingen behoort :
a; -|- 3 = .r — 5.
11. En tot welke:
12. Als men in de vergelijking :
2,x^ -\-bx'—lx-^l=0,
voor X substitueert z-\-2; z — 2 ; 2^; en -, ontstaat eene nieuwe
z
vergelijking, waarin z de onbekende is. Welke betrekking bestaat
er tusschen de wortels der nieuwe en die der oorspronkelijke
vergelijking ? (m. a. w. welke betrekking bestaat er tusschen de
waarden van z en van .r, die aan de vergelijkingen voldoen ?)
HOOFDSTUK VIII.
Oplossing van een vergelijking van den
eersten graad met één onbekende.
115. Elke vergelijking van den eersten graad met één onbekende
kan men met bebulp van de algemeene eigenschappen der ver-
gelijkingen, brengen tot de algemeene gedaante :
ax-\- b = 0.
Brengt men den bekenden term + b uit het eerste lid over
naar het tweede, dan krijgt men :
ax= — b
waaruit na deeling van beide leden door a volgt :
b
a'
Voorbeelden ;
Vermenigvuldigen wij beide leden met het K. G. V. der
noemers, d. i. 12, dan krijgen we :
12a; — 12 + 6a; — 12 = 4:ï; — 12 + 3^ — 12.
Daar in beide leden twee termen — 12 voorkomen, mogen
we die termen — 12 weglaten :
12x -\- 6x = 4rx -\- Sx.
Brengen we nu de termen, die de onbekende bevatten, alle
in het eerste lid, dan ontstaat:
12a; + 6a; — 4a; — 3a; = O,
of 9x = O,
waaruit na deeling door 9 : o; = 0.
2. L5|^+ 100 = ^+3,86-1
128
Hiervoor schrijven we eerst :
7 ^^
if^x + 100 = 1^ + 3,86 - ix,
of m^;+ 100 = 1^ + 3,86 — ia;.
Beide leden met 600 vermenigvuldigende :
251a; -h 60000 = 240a; -h 2316 — 1 00a?.
De termen met de onbekende naar het eerste lid, en de
bekende termen naar het tweede lid overbrengende:
251a; — 240a; -f- 100a; = 2316 — 60000,
of lila; = -57684,
na deeling door 111: x=: — 519t7yy.
3. 7(2a;+5)-f ?^?^^ = 5(2a; + 5) + 38.
o
In plaats van de haakjes te verdrijven, beschouwen wij 2x •]- b
als onbekende, die wij daarom door y zullen voorstellen :
of 7|^-52/ = 38
2|t/ = 38
y=l6;
dus : - 2a; + 5 = 16
2^=11
x = 6^.
4. 2x{x-{-6) — S{x-]-h)=7ix-\-6) — 4=x{x-]-h).
Wij merken op, dat beide leden deelbaar zijn door x -\- h,
voeren wij die deeling uit, dan krijgen we :
2^ — 3 = 7 — 4a;
2x -i- ix = 7 -\- S
6a; = 10
X = 1-g.
Door de deeling is een wortel verdreven, en wel de wortel van :
x-\-b = 0,
of ic = — 5.
De vergelijking heeft dus 2 wortels, die wij zullen voorstellen
door Xi en X2 ; n.l.
Xi — ^■g' ? "^2 — — O.
5n, (l ~\~ X , o " |~ X
a^b 1 — = ab^ . •
b a
Brengen wij de breuken, die de onbekende bevatten, naar het
eerste lid, en de bekende termen naar het tweede, dan krijgen wij :
b^-x
129
a-\- X
= a¥
d'b,
I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
a b
en na vermenigvuldiging met ab :
6' -\-bx — d' — ax:= a%^ — a^ö^,
of bx — ax = a^b'^ — a^b^ -\- a^ — b^
(b — a)v = arb' {b — a) — (b^ - a')
X = crb^ — a — b.
Opgaven.
Los uit de volgende vergelijkingen de onbekende op:
a;4-5 = 12; a; — 5 = 7; 1 ~x = Q.
8 = 3 + ic ; 3a; = 15 ;
2|a;=15; 3|a; = 4|;
3a; — 6 = 12 ; 5a; + 2 = 27 ;
2a;+5 = 3a;+6; 3a; — 5 = 2a; — 1 ;
4 — a; = 3a;-36; 5a; + 7 = 40— l|a;;
4a; — (3 — a;) = 12 ; 7^; + (2 — 3a;) = 10.
5 (2 — a;) = — 10; 3 (a; + 4) = 5a; + 3.
2 - 3a; — (4 + 5a;) = 14; - {3a; - (5 — x)] = 11.
3 (2 + a;) - 5 (2a; — 3) + 7 (a; — 2) = 7.
2 (2a; + 5) — 3 (13 — 2a;) = 4 (a; -f 5) — 2 (a; — 3) — 15.
72 + {3a; — (5a; + 7) — 6} = — {5a; — (9a; -f- 3) — 7} + 47.
4 [3 {2 (2a; + 1) — 1} + 2] + 32 = 100.
\x =
7.
2x-\-
5 =
= 7.
4a; —
3 =
= 35.
4a; + 5 =
= 6a;+l.
13 —
5a; :
= 1— a;.
14.
x-\-b=^a;
X — a = b;
b — x = a.
15.
p-\-x = q;
2x = éa;
%x = hb.
16.
ax^=2a;
bx=2b';
ax == i^.
17.
ax-\rb = Sb;
abx = bc ;
ax-\- c = b.
18.
a — bx = c —
- de;
2ax -f a& = Sax -
- ab.
19. |a?4-5=4^ + 6;
4/v«
ö — ■ -sX,
20.
21.
22.
23.
24.
--f 7 = i^-hl;
S%x -I- 2 = 4ir — 8.
x — ^ , 2x — Q
i (70^ — 3) = — 2.
2 ' 3
i(2^ + l)-
3 , 5^ + 2_.,,
T^ n n ■'■■2"^ ; ^
16 + 3 (15 - 8a;) = 12a; + 97.
5
7a; + 5
H r-^ = i^-
TS'
+
9a; — 5 _ 8a; + 6
10 ~ 5
+ 4i.
Derksen en de Laive, Alg. I.
130
25. 2x — l (3^ — 10) = ^^x-^2 {^x — 675).
26. ^+12-^ = 2^-15.
5 ^
97 2y-3 8 + 5y_ 6y-3
27. — ^^ -9--^^ 2^-
28. g T17 ^T^ 5 - g 8 + g^ .
29. (8 + 2x) {ix — 3) = (ic + 8) {8x ~ 18).
30. (12| + 1^) : 36,5 = (2,75ic — 24,6) : 85f .
7a;— 15 o ,/-oi ^/-11 ^ nc > 24a;— 10 5a;-fl4
31. — r-^ 8a;+(3-]-a;) (11 — a;)=116 — x — .
32. 2fa; — 3 (a; + 2) — 4 [5a; -h 3 — 2 (3|a;— 4)] = 6a;— (2 -3a;)— 53.
33. 6,847.-71-1- 5^:^^ = 2|.+ '^556^F^.
54 — 5a; 2|a; — 5 _ 1 -f- 8a; 31
19 "^ ^ 12 "~ 38 "^56^
o. 3,16a; + 4i .^ 8,24 — 0,4a;
^''- 2:8 ^'^ = 2:^--
36. 4 (5 [2 {3 (4a; — 5) -}- 2} — 10] — 36) = 96.
37. I (I [f {f (4 (a; - 7) + 3) - 2} 4- 7] - 4) = f.
38. (a — a;) (a; — b)== Sax — bab — x^.
39. {a — xy — {a-]-xf = 4:a\
4.0 ^^ — ^^ 8y — 6 bt/ — a Sy — a-\- b
,^ mx , nx ,
41. = m-\-n.
n p
. ax bx _.cx * i_ ^ ^
b c d b c d'
, - a — h . a-\- h d' -\- h^
43. ; — r X -\ ;- X ■
a-]- b a — h d' — b^'
y-1 ' 4 ' 8(2/ -1)
45. =^ 3 (2 4- a;) = - 3a; - 3.
7 — X .
131
46.
47.
-ib.
49.
50.
51.
52.
53.
P 54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
3 4- 24x' — 8:»" 7:r — 4
4x' - 25
15 — 2a;
2ic + 5
hx — 7
2 —
Uic
2x — h
— 2{x — 3).
16:»''+ 110^+ 39
3 — 4a;_ 12 — 6x
x-\-2 ~ x — 2
a_ _ j _ c ^
X d
Sa; -I- 3 4a; + H
12a;-— 6
7a: 4- 3
8a; + 3'
10 +
a;' — 4
3
% -\- z
4.h4-^
—
a
= 0.
z
16* t
z
a
— X
a -\- X
a — X
X
8a'
a
-\-x
a''
ax"
dx'
b -\- ex a + hx'
{X + 2) (^ — 3) = {x^2) {2x — 5).
2x {x -h d){x — b) = X {4:X — 7) {x -
{x — a){b — x)-\- (2a — xf — 2a {b
1 1^
X 1
5).
3a?) + Scx
X . q
1^ X
x +
x — 6
X — 4
X— 6
o; — 4
9 — x
+
2 +
£C + 5 _
X— 2~
5 — x_
6 "
7
X
X — 1
x — 2
^ — x
4 — X
4 — X
^•
X
+
o;
4'
a?
4
a?
6'
X
—
2 ,
r? ^
a;
x-\- 3
5t' — 5
a; — 1
o; — 3
a —
b-\-x
c-\-x
x-\-2a _^x
2b ~"
ax
c-{-x
2a
-d.
iab
X
2b ^x W — X'
401
25^- — l\x = \x {^\x — h)^^^x'
Ou
16a;' — 24a;' = 32a;' — 72a;'.
132
3a6c , a^" , {2a + h)h'x _^^^ , hx
^*- a-fè"^ (a+èf "^ a{a-\-hf - ^^^ i" « •
„^ . , , , , a' H- è'^ 2ahx . a-\- h
X" (a? + «) _ ^2 I (^^' — 1
67. 5^ + ^ = 74..^±_|.
68. (5a; + 3) (rr — 2) + (3^ + 8) (2ic — 1) = (2ic — 5) (^ — 2).
69. i ax-\-h =
70.
rr -f- a ^"^ — ax-V o^
a -f- 6^ c? + e^ *
Vraagstukken, die met behulp van één vergelijking
met één onbekende kunnen opgelost worden.
116. Elke vergelijking kan men beschouwen, als de algebraïsche
voorstelling van een in een vraagstuk aangeduide waarheid.
Zoo kan men :
3a; + 5 = 7^— 11
beschouwen, als de in vergelijking gebrachte waarheid, uitgedrukt
in het vraagstuk:
Het drievoud van een getal, vermeerderd met 5, is evenveel
als het zeven voud van hetzelfde getal verminderd met 11.
Het getal, waarvan dan in het vraagstuk sprake is, wordt
door X voorgesteld, en men zegt dan, dat het vraagstuk door
3^ + 5 = 7ic — 11
in vergelijking gebracht is.
Door die vergelijking op te lossen, wordt dan het bedoelde
getal gevonden.
Wij zullen door eenige voorbeelden laten zien, hoe men een
vraagstuk door middel van een vergelijking kan oplossen.
In de meeste gevallen wordt het getal, dat gevraagd wordt,
door X voorgesteld, en daarmee worden dan de in het vraag-
stuk aangegeven bewerkingen uitgevoerd.
'
133
Vraagstukken.
; 1. Vermenigvuldigt men een getal met 5, en neemt men van het
produkt 4 af, dan is de helft der rest gelijk aan het met 4
vermeerderde tweevoud van het getal. Welk getal wordt hier
bedoeld?
Oplossing.
Stel het gevraagde getal gelijk x, dan is 5maal dit getal min
4 gelijk aan : ^x — 4.
De helft hiervan is: — - — .
En het met 4 vermeerderde tweevoud van het getal is:
2a; 4-4.
Nu is de eerste uitkomst gelijk aan de tweede, derhalve is:
5a; — 4 = 4:i; + 8
x=l2
Het gevraagde getal is dus 12.
Opmerking. De oplossing van dit vraagstuk bestaat uit
3 deelen, die wij door a, è en c hebben aangegeven. In het eerste
gedeelte wordt het vraagstuk in vergelijking gebracht. In
het tweede deel wordt de vergelijking opgelost, en in het
derde deel wordt het antwoord geformuleerd.
A, B en C moeten 133 Old. deelen. B moet 2 gulden minder
ontvangen dan het tweevoud van A bedraagt, terwijl C 13
gulden minder moet hebben, dan A en B samen. Hoeveel komt
ieder toe?
Oplossing.
Stel het aantal guldens van A op x,
dan is dat van B 2x — 2 ;
samen hebben ze dus 3^ — 2,
derhalve krijgt C (3^ — 2) — 13.
Met hun drieën hebben ze dan:
a;-f- 2a; — 2 -f {^x — 2) — 13,
en dit aantal is 133, derhalve:
a; + 2a;— 2 + (3a; — 2) — 13 = 133
6ic — 4 - 13 = 133
&x = 150
x= 2b
134
c. A krijgt dus 25 Gld. ; B (2 X 25 — 2) Gld. = 48 Gld., en C
(25 + 48 — 13) Gld. = 60 Gld.
3. Een kapitaal, dat tegen 4 7o ^sjaars wordt uitgezet, brengt in
1 1 jaren evenveel rente op als een ander, dat 400 Old. grooter
is, en gedurende 6 jaar a 5| "/o uitstaat. Hoe groot is elk
kapitaal ?
Oplossing.
a. Stellen wij het eerste kapitaal op lOOiC Gld., dan is het tweede
100i» + 400 Gld.
lOOiC
Het eerste brengt per jaar op : X 4 Gld. = 4:X Gld.
in 11 jaar 1 1 X 4^" Gld. = 44r» Gld.
Het tweede brengt per jaar op: r^-r X 5|^ Gld. =
= (ir + 4) 5i Gld.
in 6 jaar 6 (rr -f- 4) 5| Gld.
Beider renten zijn even groot, dus :
b. Ux = 6 (it; + 4) 5|
44ic = 33rc 4- 132
110^=132
ir = 12.
Het eerste kapitaal is dus groot 1200 Gld. en het tweede
1600 Gld.
Vraag : Waarom zouden wij het kapitaal gelijk gesteld
hebben aan 100a?, inplaats van aan X?
4. Van een getal van vijf cyfers is het cijfer der eenheden eene 6
en dat der tienduizendtallen eene 2. Verwisselt men die cijfers
van plaats, dan is het nieuwe getal 16540 meer dan het tweevoud
van het eerste. Welk getal is bedoeld? (Examen Adelborst '88).
Oplossing :
2 • • • 6
6 • • • 2
a. Stellen wij het getal, gevormd door de tientallen, honderdtallen
en duizendtallen van het getal voor door X, dan bevat het getal
20000 -\-10x-\-6 = 20006 -\- lO-r eenheden,
en het nieuwe getal :
60000 + lOiT + 2 = 60002 + 10^ eenheden.
Nu is volgens de opgave :
2 X (20006 + Wx) = 60002 + lOx - 16540
135
h. of 20006 H- lOic = 30001 + 5a; — 8270
hx = 30001 — 20006 — 8270
5a; =1725
o; = 345
c. Het gevraagde getal is dus 23456.
117. Wanneer men een vraagstuk in vergelijking gebracht heeft,
dan kan uit de oplossing van die vergelijking blijken, dat het
vraagstuk onmogelijk is.
a. Wordt bijv. in een vraagstuk gevraagd het aantal personen te
bepalen, waaruit een gezelschap bestaat, en vindt men een
negatief of gebroken getal als antwoord, dan is dat vraag-
stuk onmogelijk.
b. Weet men, dat een zekere geldsom uit guldens, kwartjes en
dubbeltjes bestaat, en wordt het aantal van elk dier geldstukken
gevraagd, zoo moet men voor elk aantal een geheel positief
getal vinden, anders is het vraagstuk onmogelijk.
c. Wordt er gevraagd het aantal uren te bepalen, waarin iemand
een zeker werk kan verrichten, en zijn de gegevens in het
vraagstuk zoodanig, dat het antwoord negatief is, dan is ook
dit vraagstuk onmogelijk. Het antwoord kan geheel of gebro-
ken zijn, doch moet positief wezen.
d. Ook onmiddellijk, nadat men de vergelijking, waartoe het vraag-
stuk aanleiding geeft, heeft opgesteld, kan somtijds de onmo-
gelijkheid van het vraagstuk blijken, nl. als de vergelijking
valsch is, bijv. :
Van welk getal is hei f gedeelte plus 15 evengroot als de
helft van het getal plus het met 13 vermeerderde derdedeel.
De vergelijking wordt :
|a;+15 = 4a; + aa;+13).
Deze vergelijking is valsch.
Men zij echter voorzichtig met de beoordeeling der uitkomsten.
Wordt bijv. gevraagd naar de grootte eener "winst, die wij
door X hebben voorgesteld, en vinden wij voor x een negatief
getal, dan moeten wij ons vraagstuk wijzigen en het woord
winst in verlies veranderen. Evenzoo, waar sprake is van
het jaar, waarin zekere gebeurtenis plaats vond; stellen wij dat
jaartal door x voor, dan geeft een negatieve waarde van x te
kennen, dat die gebeurtenis plaats gegrepen heeft X jaar vóór
onze tijdrekening.
136
Een vraagstuk, dat aanleiding geeft tot een identieke verge-
lijking, is onbepaald.
5. Een gezelschap van 10 personen, bestaande uit mannen en
vrouwen, maakt een pleiziertochtje. De mannen verteren ieder
8, en de vrouwen 6 gulden per persoon. Het aantal guldens,
dat uitgegeven is, bedraagt 6 minder dan het veertienvoud van
het aantal mannen. Uit hoeveel mannen en vrouwen bestond
het gezelschap?
Oplossing.
a. Stel het aantal mannen op x, dan zijn er 10 — x vrouwen.
De mannen verteren ^x guldens.
de vrouwen 6 (10 — x) „
samen 8^ + 6 (10 — x) „
dit is 6 minder dan 14a;; derhalve:
b. ^x-\-Q (10 — x) = Ux — Q
^x-\-m — %x = Ux — 6
66 = 12x
ü-g- X
c. Het aantal mannen zou dus 5| bedragen, dit is onmogelijk,
derhalve is ook het vraagstuk onmogelijk.
6. Uit een waterkuip, die 1054 H.L. kan bevatten, voert een pijp
elke 3 minuten 51 H.L. water af ; door een andere pyp stroomt
in 4 min. 47 H.L. in de kuip; zoo nu de kuip half vol is
en de laatste kraan 20 minuten later dan de eerste wordt
geopend, vraagt men na hoeveel ?nimiten de kuip geheel vol
zal zjjn?
Oplossing.
a. Stel dat dit gebeurt X min., nadat de tweede kraan geopend is,
dan heeft de eerste reeds 20 minuten opengestaan, waardoor er
dus ^ X 51 HL. = 340 HL. wegvloeiden. Er waren 527 HL.
in, dus nu nog 527 — 340 = 187 HL. Door de eerste pijp gaan
er nog uit ^x HL.; door de tweede komen er in ^x HL,,
waarna er zich in de kuip zullen bevinden :
\%Q — ^x-]-^x HL.
Nu is de kuip vol, derhalve:
h. im—llx^ll^x= 1054
— ^x = 867
ic = -867X/T.
137
c. Het aantal minuten, dat er na het openen van de tweede pijp
verloopen moet, is negatief, derhalve is het vraagstuk
onmogeltjk.
Opgaven.
1. A is a? jaar; B 15 jaar ouder. Druk door eene vergelijking uit,
dat B If maal zoo oud is als A.
2. A heeft x gld.; B 2 maal zooveel; druk door eene vergelijking
uit, dat zij samen 20 gld. minder hebben dan het vijfvoud van A.
3. A legt per uur x K.M. af; B ^ K.M. minder. Hoeveel leggen
ze samen af in 9^ uur?
4. Als A per minuut X Meter, en B per minuut a? -|- 10 Meter
aflegt, druk dan door een vergelijking uit, dat B in 8 uur
evenveel aflegt, als A in 13.
5. A zet X gld. uit tegen 4 ^jo 's jaars ; hoe drukt ge de rente uit
van dat kapitaal in 1 jaar; in 3^ jaar; in «jaar; in è maanden.
6. A zet X gld. uit k 5 % gedurende 2 jaar en B 1500 gld. min-
der k h^ % gedurende 6^ jaar. Als nu beider rente even groot
is, hoe drukt ge dat uit?
7. A zet 2500 gld. a ic °/o gedurende 1^ jaar uit; druk door een
vergelijking uit, dat die rente 150 gld. bedraagt.
8. Een koopman koopt thee voor x gld., en verkoopt ze met 12^ %
winst. Bereken den verkoop.
9. Als iemand een partij goed verkocht heeft voor a gld., en daarop
X 7o wint, door welken vorm stelt ge dan voor :
l*' den inkoop; 2^ de winst?
10. Twee voetgangers gaan uit A en B elkaar tegemoet. De eerste
doet per uur X K.M. ; de tweede 1^ K.M. meer. Hoe stelt ge
de lengte van den weg voor, als ze elkaar na 4^ uur ontmoeten ?
11. Uit P gaat een ruiter met een snelheid van ^ K.M. in het uur.
Twee uur later volgt hem een wielrijder met een snelheid van
x-\- (5 K.M. in het uur. Stel door een vergelijking voor, dat
de wielrijder den ruiter in 3^ uur heeft ingehaald.
12. Hoeveel eenheden bevat een getal, bestaande uit:
5 eenheden en x tientallen?
X eenheden en 2 maal zooveel tientallen?
X eenheden en X — -5 tientallen ?
13. Hoeveel eenheden bevatten de getallen van het vorige vraagstuk,
als de eenheden en tientallen verwisseld worden?
14. Van een getal van 2 cijfers is het cijfer der eenheden x, dat
138
der tientallen 2 meer. Als men de cijfers verwisselt, krijgt men
een getal dat 18 eenheden meer bevat, hoe drukt ge dat door
een vergelijking uit?
15. Een getal van 3 cijfers heeft X tot cijfer der tientallen; het
cijfer der eenheden is 2 minder, en dat der honderdtallen 2
meer. Hoe stelt ge het aantal eenheden van dat getal voor?
16. En hoe een ander, dat ontstaat door verwisseling van:
a. eenheden met tientallen,
b. eenheden met honderdtallen,
c. tientallen met honderdtallen.
17. Van een breuk is de teller 2 minder dan de noemer, die x
eenheden bevat. Hoe stelt ge de breuk voor, die ontstaat door
den teller met 9 en den noemer met 17 te vermeerderen?
18. A verkoopt x K.G. kaas k 60 et. en 10 K.G. meer êl 58 et.
per K.G. Hoe stelt ge de gemiddelde ontvangst van 1 K.G. voor?
19. Een koopman verkoopt y meter laken voor 6^ gld., en 5 Meter
minder dan het 3-voud voor 5 gld. den Meter. Druk door een
vergelijking uit, dat hij per Meter gemiddeld 5,20 gld. ontvangt,
20. A is i»? jaar oud en B 8 jaar ouder. Hoe stelt ge door een vergelijking
voor, dat ze vóór 3 jaar samen een halve eeuw oud waren?
21. Een stoomboot legt in stilstaand water per uur y Meter af;
hoeveel legt ze af in stroomend water stroomop, als de snelheid
van den stroom op 1400 M. per uur gesteld wordt? En hoeveel
legt ze per uur stroomafwaarts af?
22. Van een rijtuig zijn de voorwielen x Meter in omtrek en de
achterwielen x -{- ^ Meter. Hoeveel omwentelingen maakt ieder
wiel over een weg van S^ K.M. ?
23. A heeft x gld. en B 40 gld. meer. Bij een spel verhest B en
moet dan aan A zooveel betalen, als deze reeds bezit. Daarna
verliest A, en nu moet deze aan B betalen zooveel als deze
nog bezit. Door welken vorm wordt ieders aandeel aangewezen ?
24. In een vat is 1 H.L. wijn; men tapt er xL. uit en vervangt
die door water. Welk gedeelte van het vat is nu wijn, en
welk gedeelte is water?
25. Als men bij zeker getal 8 optelt, dan is het 4'^*' deel der som
29. Welk is dat getal?
26. Telt men bij een getal 10 op, dan is deze som vijfmaal zoo groot
als het derde deel van het getal. Bepaal het getal?
139
Twee broers zijn samen 49 jaar oud. Als de oudste met den
jongste 13 jaren verschilt, hoe oud is ieder dan?
^28. Van welk getal is de helft, het derde en het vierde deel
samen 106 grooter dan het vijfde deel?
|29. Verdeel 150 in 2 deelen, zoodat het eene deel het f van het
andere is?
30. Verdeel 87 in 3 deelen, zoo dat het eerste deel 7 meer dan
het tweede, en 17 meer dan het derde deel is,
31. Iemand kocht 4 paarden voor 2760 gld. Het tweede kostte
hem 144 gld. meer dan het eerste, het derde 72 gld. meer
dan het tweede, en het vierde 24 gld. meer dan het derde.
Hoeveel kostte elk paard?
o2. Iemand kocht 20 M. laken voor 126 gld. Voor een tleel
betaalde hij 6,90 gld. per meter en voor de rest 4,50 gld. per
meter. Hoeveel meter van iedere soort kocht hij ?
o8. A is 2 maal zoo oud als B, en voor 22 jaar was hij driemaal
zoo oud. Hoe oud is A nu?
34. Een vader is 40 en zijn zoon 8 jaar. Na hoeveel jaren zal de
vader 3 maal zoo oud zijn als de zoon ?
35. Als men van het tweevoud van een getal 10 aftrekt en van
het dubbele der rest ook, dan is het f deel van het komende getal
24. Welk is dit getal?
86. Een wijnkooper heeft 2 soorten wijn van 60 et. en van 80 et.
Hij wil 5 H.L. wijn van 72 et. per Liter verkrijgen. Hoeveel
H.L. moet hij van iedere soort nemen?
37. Een kapitaal staat 3 jaar uit tegen 4^7o en brengt dan 162 gld.
rente op. Hoe groot is het?
38. Een ander kapitaal, dat h 5 "/o uitstaat, is na 1^ jaar 2580 gld.
groot. Hoeveel bedraagt dit kapitaal?
39. A heeft 2 kapitalen; het eerste, dat 600 gld. grooter is dan
het tweede, staat uit h i^^jo en het tweede k 57o. Van beide
trekt hij jaarlijks 144 gld. rente. Hoe groot is elk?
40. Twaalfhonderd gulden brengen in 11 jaar evenveel rente op
als 1600 gld, tegen 1^7o hooger in 6 jaar. Tegen welk % staan
die 1200 gld. uit?
41. Een heer, die jaarlijks 1494,50 gld. rente maakt, heeft het ^
van zijn vermogen a 47o, het f h 3|7o» het | è 4| en de rest
è 5 7o uitgezet. Hoe groot is zijn vermogen?
42. A heeft een kapitaal groot 5500 gld. Het j\ deel staat |-7o
hooger uit dan de rest, en hij trekt van het eerste deel in
140
1 mnd 30 gld. meer rente, dan van het tweede in 6 mnd.
Tegen welk 7o staat ieder deel uit ?
43. Twee rijtuigen vertrekken tegelijk uit A en B en rijden elkaar
tegemoet. Het eerste legt per uur 9|^ K.M., het tweede 9^ K.M.
af. Als A en B 200 K.M. van elkander liggen, waar zullen
zij elkaar dan ontmoeten ?
44. Verdeel 768 gld. zoo onder drie personen, dat de eerste drie-
maal zooveel krijgt als de tweede en de derde het derde deel
van wat de anderen samen krijgen?
45. A begint met een snelheid van 4 K.M. in het uur te loopen,
15 minuten later vertrekt van hetzelfde punt B, en volgt A
met een snelheid van 4f K.M. per uur. Na hoeveel tijd zal
hij A inhalen ?
46. Een garnizoen van 1000 man was voor 30 dagen van proviand
voorzien. Na 10 dagen kwam er versterking, en nu was de
provisie in 5 dagen verteerd. Uit hoeveel man bestond de
versterking ?
47. Hoeveel thee van 2,70 gld. per K.G. moet men mengen met
50 kilo van 3,60 gld., om thee van 3,30 gld. te verkrijgen ?
48. Een speler verloor eerst -^ van zijn geld en won er later 6
gld. bij ; maar nu verloor hij weer ^ van zijn bezitting, om er
ten slotte weer 1,80 gld. bij te winnen. Als hij hierna 37,80
gld. bezit, met hoeveel is hij dan het spel begonnen ?
49. Van een getal van 2 cijfers is het cijfer der tientallen 4. Ver-
wisselt men de cijfers, dan wordt het getal 27 grooter. Welk
is het getal ?
50. Een ander getal van 2 cijfers wordt door verwisseling der
cijfers 54 kleiner. Als ge weet dat het cijfer der tientallen 6
meer is dan dat der eenheden, bepaal dan het eerste getal.
51. Van een getal van 3 cijfers is het cijfer der honderdtallen de
helft van dat der tientallen, en dit is 1 minder dan dat der
eenheden. Schrijft men de cijfers in omgekeerde volgorde, dan
wordt het getal 297 grooter. Bepaal het getal.
52. Iemand kocht een rijtuig, een paard en een zadel voor 600 gld.
Het paard kostte tweemaal zooveel als het zadel, en het rijtuig,
anderhalf maal zooveel als het paard en het zadel te zamen.
Hoeveel betaalde hij voor ieder ?
53. Wanneer een kolonel zijn manschappen in een gesloten vier-
kant wil opstellen, houdt hij 60 man over. Maar als hij de
manschappen in een rechthoek plaatst, zóódat er 5 man meer
141
in het front staan en 3 man minder in de breedte, dan is er
1 man te weinig, om den rechthoek te vullen. Hoeveel man
zijn er?
Een koopman kocht thee k 2,30 gld. de K.G. en ^ meer koffie
h 80 et. per kilo. De thee verkocht hij tegen 2,50 gld. en de
koffie tegen 90 et. per K.G. en won daardoor 36 gld. Hoeveel
K.G. kocht hij van iedere soort ?
55. Van een breuk verschillen teller en noemer 15. Telt men bij
den teller 10 op en bij den noemer 13, dan is de waarde der
breuk ^. Bepaal de breuk.
56. Een legeering weegt 80 K.G. en bevat 7 deelen koper tegen
3 deelen tin. Hoeveel koper moet men er aan toevoegen, opdat
in de nieuwe legeering 11 deelen koper tegen 4 deelen tin
voorkomen ?
57. Twee personen houden een wedloop. Na zes minuten was de
eerste den tweede reeds 360 M. voor ; doch nu struikelde hij,
waardoor hij 4 minuten werd opgehouden, en in den verderen
loop 60 meter per minuut minder aflegde. Als de eerste nu
toch nog 2 minuten eerder den eindpaal bereikte, dan de tweede,
hoelang was dan de baan ?
58. Een vrouw heeft een partij eieren gekocht, de drie voor een
dubbeltje, en een tweemaal zoo groote partij de 4 voor 12 et.
Zij verkocht ze alle gelijk de 4 voor 15 et. en won nu op een
halven stuiver na juist zooveel centen, als het f deel der gekochte
eieren bedraagt. Hoeveel eieren had ze gekocht ?
59. A en B drijven ieder voor eigen rekening een handel met een
even groot kapitaal. A wint 1200 gld., B echter verliest zoo-
veel, dat nu zijn geld maar f is van dat van A. Nu geeft
echter ieder van hen aan den ander ^ deel van wat de gever
bezit, waardoor B's verlies tot op de helft verminderd is. Hoe-
veel bezat ieder bij het begin van den handel ?
60. Een getal van 4 cijfers heeft op de plaats der eenheden een 3,
op die der duizendtallen een 1. Zet men de 1 aan den rechter-
kant, dan is het getal gelijk aan het met 172 vermeerderde
drievoud van het oorspronkelijke getal. Welk is dat getal ?
(il. Iemand heeft 52 geldstukken: rijksdaalders en guldens. Wisselt
hij de rijksdaalders tegen guldens, en de guldens tegen rijks-
daalders, dan staat het aantal dezer laatste geldstukken tot dat
der eerste als 1 : 10. Hoeveel had hij van iedere soort ?
62. A, B en C bezitten samen 1000 gld. en willen graag ieder een
142
paard koopen van 450 gld. A. zou het kunnen koopen, als B
hem het 7*^^ deel van zijn geld wilde leenen ; C zou het kun-
nen, als A hem de helft van zijn geld voorschoot. Hoeveel
heeft ieder ?
63. Verdeel het getal 1000 in 2 deelen, zoodat de helft van het
met 30 verminderde eerste deel, staat tot het ^ van het met
50 vermeerderde tweede deel als 5 : 4.
64. Een heer verdeelt geld onder eenige armen. Geeft hij ieder
3^ gld., dan blijven er 12 gld. over. Geeft hij echter ieder 4^ gld.,
dan komt hij 12 gld. te kort. Hoeveel armen waren er, en hoeveel
geld wilde hij verdeden?
65. Twee kanonniers wierpen bommen uit een batterij. A had reeds
a worpen gedaan, toen B begon en wierp c bommen tegen B
d', daarentegen gebruikte B voor e bommen evenveel kruit als
A voor f. Hoeveel bommen moest B werpen, eer hij evenveel
kruit als A verbruikt had?
Stel in de uitkomst a = 9, c = 3, d = ^, e :^ 6, ƒ =5.
66. A leent aan B een zekere som gelds tegen 4^ 7o en aan C
200 gl. meer tegen 5 % en krijgt van beiden jaarlijks 276 gl.
rente. Hoeveel heeft hij ieder geleend?
67. Een metaallegeering weegt 37^ K.G. en bevat op elke K.G.
187,5 Gr. zuiver zilver. Hoeveel koper moet er aan toegevoegd
worden, om een nieuwe legeering te verkrijgen van 156^ Gr.
zuiver zilver op elke K.G.?
68. Een zilversmid heeft 2 staven zilver van 218f en 140f gehalte.
Hoeveel moet hij van ieder nemen, om 60 K.G. van 187^
te verkrijgen?
69. Een bode legt dagelijks b K.M. af; a dagen na zijn vertrek
wordt hem een tweede bode nagezonden, die h' K.M. per dag
aflegt; na hoeveel dagen haalt hij den eersten bode in?
70. 's Morgens om 7 uur vertrekt een diligence van P naar Q en
vordert per uur 9 K.M. Om 1 uur 25 min. 's namiddags ver-
trekt uit Q een koerier, die in 5 uur 72 K.M. aflegt, naar P.
Beide komen gelijktijdig op de plaats van bestemming ; hoever
ligt P van Q?
71. Een hond vervolgt een haas. Deze is 60 sprongen voor en
maakt 6 sprongen tegen de hond 5; daarentegen zijn 9 hazen-
sprongen even groot als 6 hondensprongen. Hoeveel sprongen
moet de hond doen, om den haas te pakken?
67. Uit een reservoir, dat 1054 H.L. kan bevatten, voert een
143
afvoerbuis elke 7 minuten 51 H.L. weg. Door een andere buis
kan elke 4 minuten 47 H.Li toevloeien; als de kuip half vol
is, en de laatste buis 11 minuten later dan de eerste geopend
wordt, na hoeveel minuten zal het reservoir dan vol zijn?
68. Een stoomboot en een zeilschip varen van M naar N. De
eerste legt in a uren b K.M. af, terwijl het tweede in dien tijd
slechts c K.M. vordert. Het schip is reeds d K.M. vooruit,
als de stoomboot afvaart en komt toch nog e uren later aan
dan de boot. Hoeveel tijd besteedt de stoomboot om van M
naar N te komen, en hoe ver liggen deze plaatsen van elkaar?
In de uitkomst substitueeren :
a = S; è = 56; c = 16 ; d = 26l', e = b.
69. Iemand heeft 2 zilveren bekers en één deksel, dat a D.G. weegt.
Legt hij het deksel op den eersten beker, dan is deze zoo zwaar
als de tweede; doch legt hij het op den tweeden, dan is deze
b maal zoo zwaar als de eerste. Hoe zwaar is iedere beker?
70. Een mengsel van salpeter en zwavel weegt 1 65 K.G. ; er bevin-
den zich op 7 deelen salpeter 4 deelen zwavel. Hoeveel salpeter
moet er bij, om een mengsel te verkrijgen, waarin op 7 deelen
salpeter slechts 3 deelen zwavel voorkomen ?
71. Iemand koopt 2 stukken laken; het eerste dat 12 meter korter
is, tegen 5 gld. en het andere tegen 6,50 gld. den meter. Nu
kost hem het tweede stuk op 2 gld. na zooveel guldens, als
3 maal het aantal meters van het eerste bedraagt. Hoe lang is
ieder stuk?
72. Een boer gaat met eieren ter markt. Hij verkoopt eerst de
helft en 4 ; daarna weer de helft der rest en nog 2 ; eindelijk
nog 6 eieren meer dan de helft der laatste rest. Zoo hij nu
nog 2 eieren over had, hoeveel eieren had hij dan?
73. Een vader laat bij zijn sterven eenige kinderen na, die zijn
vermogen op de volgende wijze moeten verdeden.
Het oudste zal a gld. nemen plus y der rest; het tweede
2a gld. plus Y van wat er nog overschiet en zoo voortgaande
ieder volgend kind a gulden meer dan het voorgaande en j-
der rest. Als op deze wijze alle kinderen evenveel krijgen, hoe
groot is dan het vermogen en hoeveel kinderen zijn er?
74. Twee getallen staan tot elkaar als 5 : 7. Vermeerdert men het
eerste met 21, het tweede met 11, dan verhouden ze zich als
14 : 15. Welke zijn die getallen ?
144
75. Van een getal van zes cijfers is het cijfer der eenheden 2.
Zet men dit links, dan ontstaat een getal, dat slechts ^ deel
van het oorspronkelijk getal is. Welk getal is dat ?
76. Door een gezelschap moet een zekere som gelds bijeengebracht
worden. Geeft ieder 2 gulden, dan krijgt men 28 gld. meer
dan de bedoelde som. Geeft ieder 1,25 gld., dan komt men
32 gld. te kort. Uit hoeveel leden bestaat het gezelschap; hoe
groot is de verlangde som, en hoeveel moet ieder bijdragen ?
77. Een koopman wint met zijn handel jaarlijks 20 ^o» gebruikt
echter jaarlijks 1000 gld. voor zijn onderhoud. Na 3 jaren
bevindt hij, dat zijn vermogen met 200 gld. meer dan het f
deel van zijn oorspronkelijk kapitaal vermeerderd is. Hoe groot
was dat kapitaal ?
78. De lengte eener kamer is 0,8 Meter meer dan de breedte. Van
een andere kamer, wier afmetingen ieder 2 d.M. meer zijn, is
de oppervlakte 1,88 M'. gropter. Welke zijn de afmetingen
der eerste kamer ?
79. Van een getal van 4 cijfers is het cijfer links eene 2 en rechts
eene 5. Verwisselt men die cijfers, dan is het nieuwe getal
652 meer dan het tweevoud van het oorspronkelijke getal. Welke
zijn de onbekende cijfers ?
80. Iemand verkoopt van een partij rogge de helft met 80 et. winst
per H.L. De andere helft verkoopt hij zóó, dat de verkoop
5 7o van den verkoop der eerste helft meer bedraagt. Zoo hij
op de laatste helft 15|^ 7o wint, hoeveel heeft hem dan de H.L.
gekost ?
81. Een stoomboot en een zeilschip maken beide een reis van M
naar N ; de boot legt alle 3 uren 7, het schip 2 G. M. af.
Het schip had reeds 3^ G. M. afgelegd, toen de boot vertrok,
en komt toch nog 5 uur later in N aan. Hoeveel uur heeft
de boot voor den overtocht noodig ?
82. Een diligence, die in 4 uur 5 G. M. aflegt, reed van A naar
B, hield daar één uur stil en reed weer naar A terug. Een
voetganger, die gemiddeld f G. M. per uur aflegt, vertrok
tegelijk met de dihgence en ontmoette deze op hare terugreis
na 9 uur. Hoever ligt A van B ?
83. Twee voetgangers vertrekken tegelijkertijd van A naar B. De
lengten hunner schreden verhouden zich als 5:6, en hun aan-
tal in gelijke tijden als 7:6. Toen de tweede voetganger de
plaats van bestemming bereikt had, moest de eerste nog 200
145
schreden doen. Hoeveel schreden moet ieder doen over den
weg AB ?
84. Een roeier, die in stilstaand water 140 Meter per minuut kan
afleggen, legt den afstand van 2 plaatsen, aan een rivier gele-
gen, stroomaf in 15 minuten en stroomop in 27 minuten af.
Hoeveel bedraagt de stroomsnelheid per minuut ?
85. Twee schippers moeten het ruim van een schip leegpompen.
Zij staan ieder aan een pomp. A doet 5 slagen tegen B 4 ;
maar 3 slagen van A voeren evenveel water af als 2 van B.
Als A reeds 50 slagen gedaan had, toen B begon, na hoeveel
slagen zal B dan evenveel water uitgepompt hebben als A ?
86. Twee lichamen bewegen zich van een zelfde punt in dezelfde
richting. Het tweede begint de beweging 3 uur later dan het
eerste. Als nu de snelheid, waarmee het eerste lichaam zich
beweegt, tot die van het tweede staat als 5 : 7, vraagt men na
hoeveel tijd het tweede lichaam het eerste zal ingehaald hebben ?
87. Een som van 20 gulden bestaat uit dubbeltjes, kwartjes en
rijksdaalders. Het aantal dubbeltjes staat tot het aantal kwartjes,
als 5 : 3, en tot het aantal rijksdaalders, als 10 : 3. Hoeveel geld-
stukken zijn er van iedere soort?
88. De afstand van 2 plaatsen A en B is 130 K.M. Uit A gaat
een bode naar B, en twee dagen later een bode uit B naarA.
Wanneer de laatste den eerste na 5 dagen ontmoet, en per dag
2 K.M. meer aflegt dan de eerste, hoeveel legt dan ieder per
dag af?
89. Een vader geeft aan zijne 4 zoons 8000 gld. en bepaalt, dat
de oudste 2 maal zooveel als de tweede zal ontvangen op 100
gld. na; deze op 200 gld. na driemaal zooveel als de derdeen
deze op 300 gld. na viermaal zooveel als de vierde. Hoeveel
moet ieder dan ontvangen?
90. Iemand leent 5000 gld. a 4 "/o 's jaars en 3|^ maand later leent
hij nog 4800 gld. Ti 5 ^'/o 's jaars. Na hoeveel jaren zijn de
interesten van beide kapitalen even groot ?
91. Een gezelschap bestond uit driemaal zooveel mannen als vrouwen.
Nadat 4 mannen met hun vrouwen vertrokken waren, was het
aantal mannen 4 maal zoo groot als dat der vrouwen. Hoeveel
mannen en vrouwen waren er?
92. Twee stukken laken van verschillende lengte worden verkocht
voor denzelfden prijs per Meter; het eerste stuk voor 00 en
het tweede voor 78 gld. Was ieder stuk 10 Meter langer geweest,
DerksiMi en de Laive, Alg. I. 10
146
dan zouden hunne lengten zich verhouden als 5 : ö. Hoe duur
is ieder stuk per Meter verkocht?
93. Een koopman koopt een stuk laken h 5| gld. den Meter. Bij
het nameten blijkt, dat hij 6 Meter meer heeft dan hij betaalde,
doch de kwaliteit is zoo slecht, dat hij den Meter voor 4^ gld.
moet verkoopen, waardoor hij 8^^ **/o verliest. Hoe lang was
het stuk?
94. Iemand koopt 20 H.L. rogge voor 180 gld. en verkoopt den
H.L. voor zooveel guldens, als 69 "/o van zijne winst ten honderd
bedraagt. Hoe groot is de verkoopprijs?
95. Een trein heeft een snelheid van 16 M. per seconde. Op een
gegeven oogenblik hoort een wachter een signaal van dien trein,
en 31f seconde later gaat de trein hem voorbij. Als men de
snelheid van het geluid op 330 M. per seconde stelt, hoever
was dan de trein van den wachter op het oogenblik, dat het
signaal gegeven werd?
Algemeene Herhaling.
1. Bereken de waarde van:
P^ - P.Q. + Q
voor P = ic'- -\- xy -\~ y' en Q = x' — xy -^ y\
2. Verdrijf de haakjes in :
— [— 2x\{x + 3)- — (^ — 5) {x -f 5) — 2x\ — b\\
3. Iemand liet bij zijn overlijden het volgende testament na: „\k
bezit een vermogen van 24000 gld., weet echter niet of mijn
broeder en zuster nog leven. Leeft mijn broeder alleen, dan
krijgt hij f, en de armen krijgen f. Leeft mijn zuster alleen,
dan krijgt zij f, en de armen krijgen f." Hoeveel krijgt ieder
als broeder en zuster beiden leven en de armen ook meedeelen ?
4. ( — Ihaahfxx -f- 6hxxcxy -f- 60abxyy -\- 6öaxz -f- ISOabfx^y —
— Ih6acxyy — 144 bxyyy -f- IbQxyz) : {Ibabfx — ^2byy —
— l3acy-{- 13z).
5. Ontbind in factoren :
^4,H _^ ^2,u ^m ^ ^4„ . ^^ _^ ^y _|_ ^^ ^ jp _|_ 5^ _^ 5 j ^ 5^_
6. Herleid:
3a'" (g + b)'"-'' «■"" — 2acd'"' 1
c'"+- d'"-' r c'"+' dr {a -f- hf ~' &'''■' f" ^a -\- by '
147
7. Los X op uit:
8. Eveneens uit:
2a''6'c + ah^x - 2ab^c — abc'd — ^a^x = (6' — 3a-&)a; — h'^cH.
9. Bepaal den G. G. D. van:
X* — hax^ -\- 5aV + 5a^a: — 6a'' en
10. Ontbind in factoren:
(a^ + hy — c'^ ; (x' + 1/')' + 8;ry .
11. Met welk getal moet men teller en noemer der breuk j- ver-
minderen, opdat de breuk tweemaal zoo klein worde?
12. Wat gebeurt er, als men van:
2:i; — 4 = 7 — 3a;
beide leden der vergelijking met x — 2 vermenigvuldigt ?
1 3. Een bode verlaat Q, welke plaats a mijl van P verwijderd is ; b uur
later dan hij uit Q vertrekt, verlaat een andere bode P; beiden
begeven zich in de zelfde richting. De eerste legt in d uren
c mijl af, de tweede in f uur e mijl. Hoeveel uur na het ver-
trek van den tweeden wordt de eerste ingehaald ?
14. Herleid :
x — 2 x-\-2 . 1 1
x"- — x-\-l x--{-x-\-l x—l x-^1'
15. Wat ontstaat er, als men beide leden eener valsche vergelijking
met X -{- 7 vermenigvuldigt ?
1 6 . Vermenigvuldig :
{2abf . cT . 2{aby . d? . f'' met (^«^^""'^
C 0/
17. Deel : — ohh' 4 (a' + a%Y — {a' -\- a%Y + aW door s' — a%\
18. Herleid:
1
2ö
- 1
a-\-b a-\-b
a — b ' a — b'
19. Een boerin bracht een mand met eieren naar de stad. Eerst
verkocht ze de helft met nog 8 eieren; later de helft van de
Derksen en de Laivc, Alg. I. 10*
148
rest en nog 4. Daarna werden haar 7 eieren meer dan de helft
der rest ontstolen, waarna er haar nog 4 overbleven. Met hoe-
veel eieren ging ze naar de stad ?
20. Herleid:
(a -\- bf — c'" a'<*^ + '" + &'<^ - "'
21. Herleid
W ' 2aV/
22. Ontbind in factoren :
'èx' — 1 3;:c' + 4 ; {2ab + icdf — (a' + &' — 4r — (^'')' ;
(12a)' — (9a' — c' + 4)' ; ^X' — 2xy — y'.
23. Een koopman, die gemiddeld 25 "/o 's jaars wint, neemt op het
einde van elk jaar 1200 GId. van zijn kapitaal af. Op het eind
van het vierde jaar bezit hij het dubbele van zijn oorspronkelijk
vermogen. Hoe groot was dat ?
24. Bepaal den G. G. D. van :
x'y'^ -\- x^y -f- ocy^ en x?y^ — lo^y — ^oocry — 2xy- — X'y- — 3x'.
„ ■ ^^ , . , 30a'"-^ Ud-^- — Ga'"-" èVt^'"'
25. Herleid : on n-Lr-\ -'j» ^7.2 7,.-i-i — t"-
20a"è ' c-^d' — Wd'^ : a^
26. Deel 2x^y — 2>X'y- -|- 2^»?^ — x^y — 2xy'-]-y'^-\-X'if door x-\-xy-\-y.
27. Twee lichamen bewegen zich in dezelfde richting met de snel-
heden c en d meter per seconde langs een cirkelvormige baan,
die een omtrek heeft van p meter. Wanneer hun afstand q meter
bedraagt, na hoeveel seconden zullen zij elkaar dan voor de
l«t% 2"*% 3*^^ maal ontmoeten?
28. Zoek den G. G. D. van:
x^ — yx^ — 7«/V + y^x + Qy^ en 2x^ — ^yx^ + ly^x -\- 6y^.
29. Bepaal het produkt van:
^3p + ^2p p 6n
a'ic« + 5a™+' ic''+^ — 2a'"'+' x""^"-^.
30. Los X op uit:
3a — hx , 2a — x a -\- f
1 ; — = — dx.
a — c d a — c
31. Om hoe laat staat de uurwijzer van een horloge tusschen 3 en
4, en de minuutwijzer in zijn verlengde?
149
32. Bereken :
1\ van {^ah — ^bT; T, van {x' — ^xi/Y\
33. Deel «"'+"6" — 4a"'+""'è'" + 42a'"+"-'&'" — 27a'"+"-'ö''^ door
34. Bij 500 Gram zilver van een gehalte 930 moet zooveel koper
gevoegd worden, dat het mengsel van het gehalte 750 wordt.
Hoeveel koper moet men er bijvoegen ?
35. Bepaal den G. G. D. van :
2x' — 7x' — 64^' + 105 ; éx' — 46*' -f 144* — 126 en
— 2*' + 3*' + 50* — 75.
36. Herleid zonder gewoon te deelen :
a' -\- {2bf -\- 6ab ja -f- 2b) a^ — 8^>^ — 6ab ja — 2h)
a + 26 "*" 2b ~a
37. Los * op uit:
3abc rt^ö^ (2a + b) b'x bx
^T~b "^ (a + bf "^' aia + bf ~ ~^ ~^'
38. Drie kooplieden A, B en C handelen samen. C geeft 16800
gld. ; A 960 gld. minder dan B. A laat zijn geld 7, B 14 en
C 12 maanden in den handel. Van de winst, groot 7206,50 gld.,
ontvangt B 2639 gld. ; hoeveel hebben A en B ingelegd ?
39. Herleid:
iW H- bV W + bV \ ^ / (a'bj "^
(a'by ' {a'bj
40. Eveneens
1 1
*"|-7 —
*■ _y / \X -\- 1/
\x-\- y I \y x)
41. Ik heb een aantal perziken, die mij 90 et. per dozijn kosten. Had ik
voor dezelfde som 5 perziken meer ontvangen, dan zou het dozijn
mij 12|- et. minder gekost hebben. Hoeveel perziken heb ik?
42. Wat is het kleinste gemeene veelvoud van:
(3*' -h Ixy — Qiff ; (— 6*- + *// + 2/)^^ en 2*' + Ixy -f 3^^
43. Deel:
^.Ui ^i..i ..4^2 Jl^\ ,/2 . ^ ^l„i . „h
door
xUf
*V
xhf
a'b
y^z-
d'c
*V
tf:a
c' : z'
x'y' : ab
ab'
x'
' b^c
bc'
c:z'
b
a c '
150
44. Wat is de coëfficiënt van a}^h^ in {a-\-bY^',
van a''b' in {a — hfi
van a}'b' in {d' - bj' ',
van a'hVd' in {2ab — ct^)".
45. Herleid :
/^m-\-n p -\- q\ /^ m -\rn p — q\
, m -\- n
als r = — i . .
V + 1
46. Welke van de volgende vergelijkingen zijn identiek, welke niet-
identiek, welke valsch?
2a; — 3 = 2ic — 5
2x — ?, = 2;r + 3
^X — o — óCC — o
(2a; — 3)' = (2a; — 5)'
(2a;— 3)' = (-2;:c + 3)-.
47. Los a; op uit :
1 X -\- a X'
X -\- a X — a d' — xr'
48. Van een kapitaal wordt 2 jaren achter elkaar rente betaald.
Vervolgens wordt het vierde gedeelte van het kapitaal afge-
nomen, en de rest 7 maanden lang op interest gezet. Vervol-
gens wordt weer van de rest het vierde gedeelte afgenomen,
en het overblijvende deel nog 14 maanden uitgezet. Als het
kapitaal tegen 4 7o uitstond, en de som van alle interesten
7^6093,75 bedraagt, hoe groot was dan het beginkapitaal?
49. Ontbind 4a;' — &xz — 10/ — 12a;.v + ^yz -f 9/ ;
d" + 8a + h' — 2ab — 8b -\- 15.
50. Los X op uit :
bx {3bc + ad)x hab (35c — ad)x 5a {2b — d)
2b— a~ 2ab{a-\-b) ~ 3c ~ d ~ 2ab (a — b) a- — 6' '
51. Iemand bezit /" 15000, waarvan hij een gedeelte tegen 5^0 en
de rest tegen 4 7o uitzet. Had hij echter het eerste gedeelte
tegen 4 "/o» en het tweede gedeelte tegen 5 % uitgezet, dan zou
hij ƒ80 meer aan rente ontvangen hebben. Hoe groot is elk
gedeelte ?
151
52. Herleid:
2x' — (3c + ^ + 2) x' 4- (3c 4- d)x
X* — X
ro p. ia-\-b)ia-}-b-\-c){a + b-c)
53. Evenzoo ^ •>,« . ^ ■> o , ^,.. ., — j n — —i.
2a'b^ H- 2aV + 2b'c' — a*—b* — c*
54. Een vader bepaalt bij testament, dat na zijn dood zijn oudste
kind 1000 gld. en het zesde deel der rest verkrijgt ; het daarop
volgende 2000 gld. en het zesde deel van de dan nog over-
blijvende som, en zoo vervolgens : elk volgend kind 1000 gld.
meer dan het voorgaande met nog {- van de overblijvende som.
Zoodoende zullen de kinderen evenveel verkrijgen. Hoe groot
is de nalatenschap, en hoeveel kinderen waren er ?
55. Herleid :
{a-\-b-]-c+df-\-ia—b-\-c-]-df-\-ia—b+c—d}''-^{a-{-b-c-df.
56. Toon aan, dat :
ix'—dy-y-\-d{x'-—d/) {2xy-\-dy-)-\'d\2xy+dyJ= {x'+dxy-^-dyy.
57. Deel x* — {b — a — c) x^ -\- [ac — ab — bc) x^ — abcx door x-\-a
en het quotiënt door b — x.
58. Ontbind in factoren :
2a' + aW — d'b - 2d'lr ;
2d'b + 5aJ' — 3^»' ;
a'b'' — 2ab' — Ibb' ;
2a' — 9a'b — 6ab' + 56^
59. Een som van 100 gulden bestaat uit kwartjes, guldens en rijks-
daalders. Het aantal kwartjes staat tot het aantal guldens als
4 : 3 en tot het aantal rijksdaalders als 5 : 3. Uit hoeveel geld-
stukken van elke soort bestaat die som ?
60. Herleid:
8a-\-5x-\- 8ay + hxy f 2a
-f
24:X -f 16ax H- 12xy -f 8axy ' \2ax -\- 3x 8a + 12
^<2 Jli ^30 ^30
61. Bepaal T^ van r—j— ; Ty^ van
a + b ' '' a — b
62. Herleid:
a*—b'
2ab
>^ ^_±_ab\ /a'^ — a^b' a' — 2a'b + a'6'\
+ b''' a — b )^[ a' + b' ' d' — ab-\-b' )'
152
63. Ook:
1
1
a
a
l
-1 + a
64. Ontwikkel: (3a — 26)" ; («'" — a"'"-'f ; a""-' -\- ab"-y .
65. Zoek den G. G. D. van :
6a-' — a'b — 3a'6' + 8a'6' — ab' en
ISa'b - 6a'b' — 4a'b'~\- 6ab' — 2b\
66. Bereken x uit:
67. Herleid :
{{p + g)' — r'} + (i? + </)' + ^ (j^ + g) + »-"
p^ 4- 2^9» + g-' — r'^ + 2r — 1
68. Iemand moet een algebraïschen vorm deelen door x' — 5x4-6.
Eerst deelt hij den vorm door x — 2, en krijgt als rest 5 ;
daarna deelt hij het quotiënt door x — 3, en houdt als rest
over — 4. Wat zal de rest zijn als hij den vorm deelt door :
x'' — bx -j- 6.
69. Als a en 6 geheele getallen zijn, is van de drie vormen : a -|~ ^j
a — b en ah er altijd één deelbaar door 3. Bewijs dit.
70. Schrijf {d~ + d') (b' -\- c^) als een som van twee vierkanten.
71. Bewijs, dat elk oneven getal geschreven kan worden als het
verschil van twee vierkanten.
72. Bewijs, dat een breuk, vermeerderd met haar omgekeerde, grooter
is dan 2.
73. Deel : i/ — (n — m — p-\-q) if ■\- (mp — tnn — ?nq — 7ip -\- nq —
— PQ) !/* ~\~ (mnq — m?ip — mpq -\- npq) if -f- mnpq door y' -j- m ;
het quotiënt door «/"" — n en dit quotiënt door y^ -\- p.
74. Ontbind:
75. Deel mqx'^ — {nq -h mr) x^' -\- (ms -f- nr -\- pq) x* — {ns -{- pr) x'-\-
-\r ps door mx^ — 7ix^ -f- p.
153
Rangschik in de volgende deelingen deeler en deeltal naar
één enkele rangletter en bepaal dan de quotiënten:
76. {ix* — 40.ry + mxyz + y' — 9ipV) : {2x' — tf + 6.ry — Sxz).
77. {— z' — 4x^z' H- Sx'yz"- — ix'tf +x^-\- ixijz' — 4.xz^) : {x' -f- 2;' +
4- 2xz — 2a;i/).
78. (9pV — öi^r/ra; — 4</V + 6/;'(/^' + 9/ + pY^' — 18i?rV) :
: {pqx — 3r- — 2qX' 4" S;)^;').
79. (r" — ipqrx + 4/f/'^'- — A:fqx' — q'x* -\- 2/rV) : {p'x^ + r' —
— 2^5;r — q'X^).
80. Ontbind in factoren:
81. Deel: ^^,+-^-^-^4--^ ^-ac door
82. Herleid:
ab
(-+4'+i)-'" ^* + «
+ *
83. Substitueer x = 7 in
a — o
ax — b bx 4- a , , . i i
: ; — 7, en herleid dan.
ba — a ax -\- b
84. Herleid: -^^ ., , ,, •
85. Eveneens:
^_=^X{-^' + 3 + x(x + 3)-3(x + l)}x(|^J.
|(2a-i)'.(6-a)'.(«-2i)t
^^- ^""^ "°S: j(26-a)\(a-4)'.(6-2^)») '
87. Vereenvoudig de yolgende breuken:
45a'^^>^c 4- 27a'b'cd — 9a'b'(P
SOd'b'c'd' 4- ISa'U'c'd' — 6a'cV '
6ac -^ lObc + 9ad + Ibbd ^ a^b^ 4- gV
6c* 4- 9crf — 2c — 3c? ' d'b- — cV*
89. Herleid. ,2
154
Van een wagen heeft een voorwiel een omtrek van 1,8 M. en
en het achterwiel van 2,4 M. Over een weg doet het voorwiel
660 omwentelingen meer dan het achterwiel. Hoe lang is die weg?
[p^ + pg — y»* — gi^) (2j>g — 2pr — 3g^ 4- Bgr)
P9. — 9'^ — pr -\- r^
90. Bepaal de volgende produkten :
{a? -\- x^ — X -\- \) {x^ — x^ — x—l);
{x'^xY-^y'-z') {x'-xY-y' + z')',
[x^ -\- x^' -\- x""-^) {x'' — x""-' -\- X''-'') ;
91. Zoek den G. G. D. en het K. G. V. van :
4èV + 4èV^ + 46-0^2/' + 4&V' ;
&ah~x~ -\- 12ab^xy + QabY en
Wcx"" — Wcy\
92. Van een getal van vijf cijfers is het cijfer links eene 2, en
het cijfer rechts eene 5. Verwisselt men die cijfers, zoo is het
nieuwe getal 3847 grooter dan het tweevoud van het oorspron-
kelijke. Welke zijn de onbekende cijfers?
93. Ontbind in de eenvoudigste factoren:
(2aè + 4.cdf — {é + h' — 4r — dj.
94. Herleid:
{x — c){x — b) .{x — a) [x — c) .{x — a) {x — b)
{a — ö) (a — c) "^ {h - a) {b ^ {c — a) {c — b)'
95. Bewijs, dat:
{aay + bb,Y + {ah — ba,f + a,V + ^-iV =
^{a'^h' + c'){a,' + b,').
ANTWOOKDEN
VRAAGSTUKKEN
VOORKOMENDE IN HET
LEERBOEK DER ALGEBRA
EERSTE DEEL
H. A. DERKSEN en G. L. N. H. DE LAIVE,
Leeraren aan de Hoogere Burgerschool te Nijmegen.
^
ZUTPHEN,
W. J. THIEME & Co.,
1899.
N.B. Den gebruiker van dit leerboek wordt verzocht de veran-
deringen aan te brengen, die wg bg de samenstelling
der antvroorden raadzaam geacht hebben.
De antwoorden, welke de leerlingen onmiddellijk kunnen
opschrijven, zjjn weggelaten.
INLEIDING.
Bldz, 8 en vervolgens.
8. 440 ; 280 ; 140 ; 380 ; 240 ; 440 ; 340 ; 264. 9. 1077 ; 2382 ; 465 ;
960. 10. 5A ; 23xVt- 35. ^rV 26. 6^^. 27. 7659589ff^.
HOOFDSTUK I.
Hoofdbewerkingen.
A. Samentelling.
Bldz. 14 en ver volgens.
3. 4- 17a''= + 3a& -\- \W + Abc — 2c'. 4. — ^xhj + 2\xif + \by\
5. — llfa^ + 8a-& + 2aö2— lOè^ 8. +12a + 36 4-2c; +5a+9& + 7c;
— 2ö.2 + Qah + ha. 9. + llx" + \Qx* — '2.1 x^ + Ihx'' - 19^ + 5.
10. + 2a62 (a + 6)* + 106^ {a + h)\
' B. Aftrekking.
Bldz. 17 en vervolgens.
4. —2a — 36; +66— 13c; + 2a'' — ISab + 12b'' ; + ia''b + Sab^—6b^
8. + 4a6 + 236^. 9. + lla'-^ + 2ab + 226^ — 86c — ISc^.
10. —2x'' + 7x^tj — 6xif-\-16y^ 11. — 4a2+17a6+ 126^+1060- 7c^
12. — 8x^ — X1J — hl/. 15. + Uin'' - 17mn — 9i>2 + 12p2 — ^l
17. —3a— 26 + c; — 8a — 6 : + 4a + 36 — c — cZ; + a + 6.
18. + 3a — 506 -31c; + 27^; + 31g — 4r. 19. +25a;+ 14// — 1560.
20. + lm — 19w. 21. — 4a; + 7^ — 1 70 ; + 6x — 7:^-5^ ; ' +19;r—
— 20?/+ 190. 22. - 1O^ + 12«/ + 120.
C. Vermenigvuldiging.
Bldz. 27 en vervolgens.
4. +2Sa—S2h; +4a24-4a6 + 9è^ —15a^-Qab~9ac-\-lbb^-^bc-10c\
5. + nOc^d'" + IdOc^d^ - 12i5c*d'' + ÖTöc^ti». 6. + 6a%^ — 3a ^&* +
+ 9a«i'' - 3a»6« + 6a^b^ — lOa*?»^ + Sa^è^ + 2a2&«. 7. — 2a« + ISab ;
+18a2-9a6; -ö^y^+Sa^^y^ +Ux*-32x''-\-2Sx^ ; ~4a%—ba^b^-\-17ab\
10. +7a2+10a6; +3a;«i/+12a;''y24-3^8y . +a«-68 ; 4-a;3+a;V-.fy'— */'•
11. +^2 + 5:» 4- 7 ; — a;^ + Sx ; +a;«— 3a;*— 4a; ; —3a;— 33 ; +26a;''-
— 128a; + 30; + UOa;^ + 48a; + 48.
Bldz. 30 en vervolgens.
20a;2 — 7a; — 6 ;
— 12a;2-3a; + 42;
4a2+10a& — 6è^
3a*— 13a«— lOa^;
— 8a;^ — i8a:
3a:«-8a;'^+7a;-2;
4a;' — llx^ij + 8xtj^ -
— 2a;2 + 13a;
2a;2 — a; - 15 ;
ea'' + 5a& — 662
a» + 2a2— 15a.
+ 8a; — 30 ;
1. 6a;2 + 28a; + 30; 20a;2 — 7a;-6; — 2a;2 + 13a;— 15;
— 6a;2 + 23a; — 20 ;
2aa; + 10aö + 8&a;+1562;
lOa^- 23a& + 1262;
2. 2a:8 - 7a;2 + lla; — 10 ;
9a;3 — 31a; — 20 ;
4a;' — 4:X^g — bxij^ + 3|/'; 4a;' — llx^ij + 8xtj^ — 4?/';
a;' + 2a; V + 2a;y'' + «/' ; a;' — 2a:^y + 2a;?/^ — ?/'.
3. 2a;* - 9a;' + lOa;^ — 9a; — 10 ; 2a;* + 5a;' — 12a;2 — 18a- + 10 ;
20a;* — 23a;'y + 28a;«i/2— 13a;?/' + 6?/*; 8a;*— 18a;»y-M5a;V'— 6a;?/' + ?/*;
a;* — 2xY + l/*-i a•'^ + a*è + a'62 + 2a''&' + 8a&*-25^
4. ex^ + x'y - 20xY + 19a;2</' — Ixij* + ï/^; 12a^ — 14a« + 15a^ +
-h 9a* -)-Sa^ + 2W - ha • 12a;« — 17a;V - 2(ixY + 43a;'t/' - 7a;>*—
— 2'6x}/ + 12?/«' ; 3a« + a^'h — lOa*^^ — 9a'ö' + 13a2&* + 6a&^ - 4&«.
5. |a* + ia'6 + |ia^ö2 + ^>,a6'-H&*; |:c* -lx'y + 2A^2y2-2Aa;2/' +
+ 2^\y\ 6. 5a' - a% + 2a&'^ - 56' ; 4a* + 2a'6 — ha^b"" + ab\
7. 2a2 — a6 + 2ac — 36^ + 76c — 40=^ ; — lOa^ + lla6 — 19ac — 36» +
+ 116c — 6c2. 2a;2 — a;y — 2a;2 — 6i/'^ + llt/2 — 4^;^ a'' + 2ac-b^^-
+ 2bd-\-c^ — d\ 8. 4a2 + 12a6 + 962; a2-4a6 + 4ö2; 9a;2 + 6a-// —
— 6a;^ + y^ — 2«/0 + s^. 4fi2_ i2a6 + 16ac + 96^ - 246c + 16c^
a"" + 2a6 — 4ac + 2arf + 6^ — 46c + 2bd + 4c2 — 4cd + (^^ ; a* + 2a'6 —
— a262 — 2a6' + 6*. 9. a' - 6' ; x" — y" ; a;« + a;*^/* + «/» ; a« + 6«.
17. 7.;c^+13a;y-7a;2 + 19^2_23^^ + 7^2. ig. 9a;' — 15a;2y+ 12a;«^ —
— 9a;-^ — 32x?/2 + 38a;?/^ + 2lxy - lla-^^ — 15a-^ — 12?/' + 20«/2^ + IS?/^ -
—Uy3^—2Ïy2-h2z^-^6z''; 9a;*-42a;'// + 30a;'^+6a;' + 13a;2|/2-28a;V +
4- a;2?/ + 13a;2.s2 _f. ^2^_ 3^2 _^ 84a;?/'— 158a;^2^ - 47a«/2 + 98a:?/^2_^ 60a;«/^ +
+ 7a?/ — 20a-^' — 19a.^2_5^^ ^ 36^4 _ 34^3^ _ 30^3 _|_ 73^2^2 4. 53^2^ +
+ 6y2 — 28?/^'-31i/^2— 7y^+4^*+6^'+2^2 jg^ 5ö3i+fl2j2_^^j8^26*.
20. — a' - 6a26 + 5a''' - 7ab^ — 8a6 + a + 26' + 56^
fildz. 33 en vervolgens.
2. 2a* + a^b — 20a^b^ - 18a&» + 30&* ; 2x* — xhj — 4xY - Sxi/—2y*;
a6_ft6. ^s^^Y + yS^ 3^3 _|_ 3^2j + 3(^2,2 + j3 . a8_. 3^25 +
+ 3a&2-&»; 8a3 + 36a2& + 54a&2 + 27ft»; 8a« + 12a2& — 12a''c+ 6a&2 —
- 12a6c+ Öac^ + 6« - 3&2c+3&c2 - c«. 4. 5a^b-Sa^b^—Sab^-\-2b\
5. 6a;V-6a;^y''+2^*y='-2a:y. 12. a'*&"; -a^'&'^^c^»; -2««32V«6«*;
_ 210311(^29^24^ 13 (j24. _a30è45. «84^63. ^36. _2"38a29ft57.
— 2^«3"a23è2«c'^^ 16. (a — &)^ -(a-ö)»; -(a-&)^ (a-&)2'';
Deeling.
J5/rf2. 37.
JE;/c?0. 41 en vervolgens.
1. ic + 3 ; X — 2 ; 2. 3a + 2& (de deeler moet zijn 6a 4- ft) ;
x + 4y-x — S; Sx + by; 5a; ^ — 2a;+3 (Rest x—1) ;
5a — 4; a« — a+1; 5iB2+7a; — 3; 50;^ — Ba; — 2 ;
x^ + x-\-l; a + l 5aftc24-3cc^; 2abf+Scdf.
x* — x-\-l. 3. x^ — 2x^ — 3x^ — 4; 2x* - ix" + x^ -h 6x — Sr
Rest ic — 1, (Verander den term — x van het deeltal in — x*) ; x* + bx^ —
— 4a;2 — 3ic + 10. 4. a + 2& — c; aa; + &a;— c; a* — a%-^ab^-b*;
a*-i-a% — ab^ — b* ; a^ + b^. h. x + y — z ; x—Stj — z; 2^-\-q + r;
p-\-q — r; a — 2& + 4c; 2d + 4e ; l^x — 2^y ; a''-\-7a^ — 4a — 124.
(Rest : — 849a2 + 475a + + 120) ; 7a^ — 6ab + bb\
Herhaling.
Bldz. 42 en vervolgens.
1. 25a2; 40mV*-2mw-^; 10a - 6&. 2. — 1445 ; 126.
3. Sx — by -^ 2z ; 2y + z; —2x''- 4xy + ^xz + ^z — 4^^
14. rt"+'- — a"+'& — 2a"62 + Sa^-'è^ — a"--&* ; — a"'+"+'^ + 4a'"+"+' —
— 3a"'+" — a"'+'"-* — a"'+"-=* ; a^'"+*6^'' — 2a-'"+^&"' + a-'"+'' — a-"'+'6*'' +
+ 2a-"'P'^ — a-"'-'&'" — a"'+'6'"* + 2a'"&^'^ — a''»-'&^". 15. \\x — %y
2a;2 + 3a;?y + 10a;-2y2_5^. _i5^+20?/; -9a;2-6a;/y-6x + 24f/2 + 8y
a:^ — ar»/ + ic— 6^2 + 2y. 16. 8;28.3^ 17. 13a;* + 15a;^ + 14a:^
x^ — 18a;2 + 75a; - 86. 35. 3 ; 2a + 2& ; 2a + 1 ; a^-^a; 2a;* +
+ 2x^ - Sx'' + 2a; — 7. 33. x-y, Rest — 2xhf-V^xhi*~^xy''^2xj^.
Verandert men den deeler in {x^ — .?/*) (a; — yY, dan is het quotiënt a; — y
en gaat de deeling op. 36. x^ + 7a;^ + 7a; — 6 ; 2a;* — 5a-^ — 2a;^ +
F
-T-ll^-6; 2x'+^> — 4a;i/2+15y»; 2a;* + a;V — 13a;V^+14:r//» — 4»/*.
37. 32a2+18è2— 2c2. 38. x^'—xij—xz-yz. 39. 9a;*«/'— 16^'</'s'.
40. 9a;« — 6.»^ + 13a;*. 41. x'" + 3r*" + a:"". 42. :»"+' — 4a;" -h
+ 3a;"-' — 2a;"-^ 43. x^" + «/-". 44. 16a^x — 2aV — 3a^ + a&a;—
^ 3oa;2 — axtj + 2ae/^ - b^'x — llbhj+h^'-h^x-^hyK 45. a;"'— 2ia:«»/+
+ 7a;^</2 — 8^a;*?/^ + ^Hxhj^ — 2xy^.
HOOFDSTUK IL
Merkwaardige producten.
Bldz. 49 en vervolgens.
5. a;^2 ^ 12yi2 ; 4a;2 + 27?/'= ; a;* + Zy"- ; a;''« + 3a;^«+''. 9. ^x'^'^ r"-
12. a' + 2a& + 62 — c^ -a2 + 4a6-462+9c^ a^ — 2ac - è^ + c^
u^ — b'' — 2bc — c2 ; «2 _ 4J2 ^ 126c — 9c2 ; a;* + a;^' + y* ; ^'^ +
-^ 2x^y -\- xY — P* ; a^ — 2a%'' + b*; a;^'" + 2a;'»+* + a;'^' — a;^".
13. a^ + Öac — 4&2+166rf + 9c'» — IGci'''; a''—2ad~^b^+20bc—2hc''+d^',
— «2 _ 2a(^ + i'' — 4&C 4- 4c2 — ^^^ . ^4 _ ^2^2 _ ^a^c^ — 2ab^ - 6*+c* ;
a;* 4- 2a;»// + xY — y* — 2^/'^' — ^* ; «' + 2ac + 2ae — 6^ — 2bd + c^ +
+ 2ce-d2 + e^; 4a!* — 9a;2 + 30a; — 25 ; a2_4^j _ 8a(;+4èS!+i6jrf_
__9(,2_6gg_^16^2_g2. a'^ — Sarf — 96^4-666 — 6&/•+16d2_g2-i-2eƒ_ƒ-.i.
14. a' + 2ab + 8a + è' + 8& + 15 ; 25a* — 20a« — 81a2 + 24a + 36 1
a^ _ 2a6 — 2a + 6^ + 2& — 35 ; 25a* + 30a» — a^ — 6a — 24 ;
^2 _ 3^^^ _ Q^c — 1002 + 9ÖC + 9c2 ; lOa* + 21a» — 33a2 — 36a + 36 ;
— 3»^- 14aö + 16ac + 49&2 — 1 126c + 640^ ; a*4-3a» + Ga"" 4- 5a + 3.
15. — 4a;« 4- 9a;* — 18a» 4- a;^ — 9 ; a;« - bxY - ^^Y — 2/* ; «' +
4-2a;«*/2 4-15a;*«/*4-5a;^«/«4-2/^ a^ — a*b^—a^b*+b^; a^-a**^— 2a»6»-
— 3a26* — 2a6^ - 6^ — a* 4- 2a262 + 2a'»c'' — ö* 4- 2b''c'' — c*.
16. -a*4-2a262 4-2a2c2 — 6*4-262c2_c4. _a46*4-2a*62c2 — a*c*4-
4- 2a26*c2 + 2a262c* — 6*c* ; a;» — 2a;*t/* — 2x*z* + y'' — 2y*z* 4- s^
17. 9x^ + 8xy + 2xz+At/ — 12yz-ï-9z\ 18. 2a;«- 2a;^4-5a;*4-4a;^ —
— 6a; 4- 1. 19. — a* 4- 2a^b^ 4- 2a2c2 + 2a^d^ 4- 8a6crf - 6* -f- 2b^c^ 4-
4-26^^" -c* + 20^(^2 — (i*.
£We. 56.
6. 2'*a;^'»-t-''y^ — 7 . 2'»a;''"'+V-*-^4-21 . 2^V"+y"+^— 35 . 2»V"'+y"+'4-
4- 35 . 2iV"+^2/'*'"-' — 21 . 2 V"+V"'~^ 4- 7 . 28a;""^Y"'"-^ - 2''a;y"'-' ;
32a;'"+^ — 240af"+^ + 720ar^"+^ — 1080a;''"--' 4- SlOa;''"-^ — 243a;'*"-''.
7. «» 4- 6a^b — 3a^c 4- 12a6« — 12a6c 4- Sac^ 4- 86» - 126^0 4- 66c2 — c» ;
16a;* 4- 96a;»// — 32a; »^ 4- 2l6xY— U4:xSjz-\-2^x^z'' 4- 2l&x;i^-2\Qxy^z +
-H72ay22_8a;^»4-81?/*— 108?/»^^-54.//2^a_l22/28+^^ 8. rt**-7a^26''4-
+ 21a^06* — 85a86<' 4- 35a«6« - 21a*6i« + la^^"" — 6^* ; a;»" — 45a*V* +
— 78732a3&»+ 531441^^^
HOOFDSTUK IV.
Ontbinding in factoren.
Bldz. 66 en vervolgens.
7. (a + ft)(m+n); (a+&) (m^ + n^). 8. (a-6) (a;+//) ; {p^'q){p'+q%
9. (^ + y) (a; + ^) ; (o; — a) {x + &). 10. {x — z) {x-\-2y) ; a{a^-h) {c+d).
W. q{?>p+2q){p^ + r^); (2p^hs-\-U) {2q-\-^r). l'^. {:ic+z){x^+xy-Vy^),
13. p{p + q){p — r); (5a - 46) (4a2 + &2). 14. (^ _ l) (2^ _ 1) {Zr—l).
16. 5(a + 26) (a — 26) ; 8a(3a + 26) (3a — 26) ; a6(a + 26) (a — 26) ;
x\x-\-y) (x—y) ; (a +1) (a—l) (a^+l). 17. {m''-\-4n'') (m+2«) (j»-2w) ;
{m* + n*) (m^ + n^) (m + w) (m — n) ; 6(a6 + cd) {ab — cd).
18. ip-hq-\'r)ip-{'q — r); {p + q+r) (p—q—r) ; {p-\-q—r)ip—q+r).
19. (a; -f 2/ + ^ + 5) (ic + t/ — z — b); {x — .V + ^ — 3) (o; — «/ — 2 + 8).
20. (a + 6)(m + «)(m-w); (jö + ^) (a4-l)(a— 1). 21. ii(r-s) (a;+?/)X
X(a;-y); aj/(a+6)(a— 6)(a2+62). 25. 5(a-f4)^ 6(a-66)2; 3(a;V'+l)'.
21. y(9x-y)^', (-|a + 6)2; a:%2 + 4)^ 2}^. (a + 6 + 3c) (a + 6 — Sc);
{a+36+4c)(a+36-4c). 29. (2a— 56+6c)(2a-56-6c); 3(3a+26+2c)X
X(3a + 26 — 2c). 30. (a + 6 + c) (a — 6-c) ; (a — 6+c) (a+6 — c).
31. (4a; -by — 3^) (4x + 5?/ + 3^) ; (5a — 76 + 5c) (5a + 76 — 5c).
32. (a-}-b + c-{-d){a + b—c — d); (2a — 36 + 6c — 5(Z) (2a— 36— öc+öc?).
33. (7a — 26 - c + 3(Z) (7a - 26 + c — Bt?). 34. {5x — Sy — Az — 7)x
K {ox-Sy-\-és+7). 35. (a"+l)2; a(a"+l)2 ; a''+'(a+l)^ a'"-'-'(a-l)^
36. {x^ +xy-\- y^) {x^ — xy-\- tj^) ; {x^ ■+■ xy -h 4y^) {x^ — xy -\- ^y^) ;
(2a;2,+ 3a;y+4y2)(2a;2 — 8a;«/ + 42/2). 37. (a^— "5a6 + 6'^) (a2+5a6 + 6'^);
{x^ — Axy — 6y^) (x^ + 4xy — 6y^) ; (x^ — Axy + &y^) {x^ + Axy + Qy^).
38. (a;2 + 2a;«/ + 2i/2) (x'' — 2xy-\-2y^) ; {x* — 2xY-^'^y*) (a;*+2a; V'+%*) ;
iix'' -hxz + z^) (ia;2 — xz + e^). 39. (a;* — xY + 2/*) (^' - ^7/ + 2/') X
X [x'^+xy^y^) ; (.-r» — x^-^V^) i'^^ — ^^y^+i/) {^'^--xy+y^) (x^+xy-hy^).
40. (a;* — Sa;'»?/^ +- y*) (x' + B^j^^ + 2/*) ; { (« + ö)' + (a + 6)c + c^} X
X{(a + 6)2-(a4-6)c-fc2}. 52. 6(5a+46) (5a+26) ; a6(7a-2ö) (7a-46).
53. (a + 6 + 4) (a + 6 + 1) ; (« — ö — 5) (a — 6+2). 54. (a+56+c) X
x(a+56+2c); {x+2y+2z) {x-{-2y+3z). bb. {2x—Sy—8z){2x-3y-{'3z);
(5a - 26 — 2c) (5a — 26 + c). 56. (a + 6 + 1) (a + 6+2); (a-6+2) X
X (a - 6 + 3). 57. (a + 36 + 2) (a + 36 + 5) ; (a + 46 - 5) (a+46+2).
58. {x — 6y — 3z) (x — 6y — Iz) ; {x — 5y — Sz) (a; — 5// + 3z).
59. {2x+3y—z){2x-]-3y~bz). 60. 3(a— l)(a— 4); 3(a2+2a6— 26'^) ;
6c(a + 4)(a-i-8); a(a + 4)(a — 1); a6(a + 66) (a + 6); a26(a + 76) (a— 36).
61. (2a + 3) (a + 1) ; (3a — 2) (a + 2) ; (3a — 2) (a — 3).
62. (5a + 26) (a + 26) ; (6a + 56) (a - 6) ; (3a + 26) (a + 46).
63. {2a + h) [a — 6h) ; 2(3« — b) {a + 2b) ; (4« - 36) (3a + b).
64. l7a + 2/>) (« + 26) ; (5a + Sb) (3a - &) ; (2a — b) (3a + 76).
65. (8a + 36) (a - 2&) ; (3a -f 26) (2a + 5&) ; (5a + 46) (a + 26).
66. (x -{- 2) (X -h Si/ + b) ; ix-2)(x-{-bij-\-3). 67. ix + i)ix-\'Sy~b);
[.v-S){x — 2y^b) 6S. ix-\-y + 5){x + i/ — 4); (x-hy+b) {x^2y—S).
69. [x + // — 4) (a; + 2// — 3) ; (a; + 4?/ + 3«) (a; + 4f/ — 3^).
70. (x + 2.V + Sz) (x + 3.y — ^). 71. (a _ 6) (a^ + «6+6 2) ; (a+6) X
x(a2 — «6 + 6^); (2a + l)(4a2_2a + l); (3a - 26) (9a2 + 6a6+462) ;
(5a6 - c) i2ba%^ + habc + c'). 72. (3a - \\bc) {%a^+ l\ahc + \b^c^) ;
(a^ + 6^) (a* — a^ftS + 5*) . (^2y2^^2) (^Y_^2^2^2_^^4) . (^2^8 + ^) X
X (o;*?/* — xYz + «^). 73. (a62 + c«) («^6* — ahh^ + c«) ; (^^m + n) X
X (|m^ — ^m« + w^) ; (/nw — 3/?) (m^«^ + 3mwj9+9p'^) ; {mn-\-pq) (m^n^ —
-tnnpq-\-pY)- 14:.{a-\-!i-^c){a^—ab~ac-\-b''-\-2bc+c^); (a— 6+c) X
X («2 -I- «/^ _ ac + b'^-2bci-c^) ; (a*+6*) (a»— a*6*4-68) ; («+6) (a— 6) X
X («2 + /,2) («2 _ «^ 4- &2) ((^2 + «J + ^2) (^4 _ ^2^2 ^ J4)_ ^5^ (^_^J) y
X (a* - a«6 + «^62 — «6=^ + 6*) ; (a — b) (a* + a% + a%^ + «6'' + 6*) ;
(«6^ + c^) (a*b^ — a^b^c^ -\- a^^c"" - ab^c^ + c^^) ; (a - bc^) (a* + a^bc^ ^
+ a^ö^c* + a6«c« + 6*c«) ; (a;^^ - z"") ix'Y + ^'2/'^' + ^*)-
76. (a + 6)(a — 6)(a* — a36 + a262-aö« + 6*)(a-* + a364-a'62 + a6^+6*);
(a2/,3_^<;2)(a86i8 + a«69c(^2 + a*6«c2(i*+ a26Vrf« + c*(i«) ; (a^ —b^c)ia^^-^
+ a^»62c+a^26*cM-a»6«c« + a«6«c*+a^6^öc° + 6»2^«) ; (a^6 — c^^^^j («1062+
a-'6c2(^3 + c*u^«). 79. (a + 6c2) (a-6c=»)(a2 — a6c2+6V) (a2+a6c2+62c*) ;
(a^ + b^c*) (a» — a*6«c* + 6*c«) ; a(a + 6) (a — 6) (a^ + 6^) ; a{a + a;)
(a — x) {a^ — ax-\- x"") (a^ -\- ax-\- x""). 80. {x — 1) (a; + 2) (a; +3) ;
(a; + l)(a; + 2)(a; + 3). 81. (a:+a) (a;-2a) (a; + 3a) ; (a; + 2a) ^ (a; — 5a) ,
Gemengde ontbindingen.
Bldz. 75 en vervolgens.
I. (a + 6)(a2 + a6 + 62); (a + 6)^ 2. (« — 6)(a'^— a6 + 6'''); {a-b)\
3. (a; + l)(a;2 + a;+l); (a: — 1) (a-^ - a; + 1). 4. (a + 6 + c) (— a +
+ 6 + c)(a — 6 + c)(a + 6 — c); {a + b + e^. 5. (a— 6 + c)^ (a +
+ 6 + c + (Z)^ 6. (/> + 2) (i)2 + 4pq + ?') ; (« + 6) (a« — a6 + 62)(a2+
4- a6 + 62). 7. (a + 1) (a + 2) (a — 3) ; (a + 1) (a + 2) (a + 3).
8. {X — 1) (a: + 1) (a; — 2) (ar + 2) ; 9. (a — 1) (a + 2) (a + 3) ;
(a + 2) (a — 3) (a + 5). 10. (a + 6 — 4) (a + 6 + 4) (— a + 6 + 4)
(a — 6 + 4) ; {x — y — z) {x^ -\- xy -{' xz + y^ + 2yz + e%
II. (a + bc^) (a^ — a6c2 + h^c") (a — 6c*) (a* + a6c2 + 6^0*) ; (a;»' + i/'")
^^im _ ^m^m ^ ylm^ . (^2J _ ^2) (^2ft _|_ ^,2) (a*62 + a*6c2 + C*) {tt^b^ —
— a'bc^ + c") ; ' (a-2 + a:?/ + y) {x^ — xy-{- iy% 12. {x — y) {x — z)
8
(x'' -{- xy -i- y') ; (« — hY {a -t- h) hi' + ah + l/'i. 13- {x + 2yy ■
(x — 1) (x - 2) (x + 3) {x - 3). 14. — 9c (« + &) (a + & — 3c) ;
(o; + 2) {x^ — 2x-^é)(x - 1) {x'' + x-h 1). 15. (aft + 16c) (ab — c) ;
(3a — 2bc) [a + 46c). 16. (a + & + 1) (7a + Ib + 3). (Verander + 3c'-^ in
+ 3). 17. (3a — ö) (a — 2ft) ; (5a + 2&) (a — 2ft) ; 3(c — c^) (3c + 8rf).
18. (a'^ + &''' + c''^)2. 19. (a + 35)^ 20. 4«/ (— 4a; + 13?/).
21. (2.r - «/) (— X + 4i/). 22. x{x + z){x — z) {x^2tj- z).
2d. {ap + bq)icp-\-dq); (2;r - 3//) '^ (3i» - 2?/) '^. 2^. xyibx^2y){2x+3y) ;
«/(4x- + !/) {2x — Sy). 25. (a — b) (a — c) {b — c). 26. (a+&+c— rf) X
X(a + è — c + (^)(a-& + c + rf)(— a + 6 + c+d). 27. (2a; + «/)(d;2 +
+ u;«/ + ;y2); (a-hft)2(a + c). 28. (2a-^+' + 8) (a^^-^ + 1).
29. (a + b) (a — 6) (a^ — «ft + 6^) ; (2a — bY {b + c) {b — c).
30. (a + ft + c — (^) (a + ft — c + rf) (a — & + c 4- rf) (— a + & + c + rf).
31. (2a + 5& + c - 3d) (2a + 5ft — c + Sd) (2a — 56 + c + Bd) (~ 2a +
4- 56 + c + 3rf). 32. (rc''^ + 2xy + //'-^ + ;z^ {x'' — 2xy -\-y^ + z').
33. {x' — y' — zy. 34. (a; + t/ + ^)(a; + «/ — ;^)(a;-y+2;)(a; — ï/— 2).
HOOFDSTUK V.
Q-rootste gemeene deeler.
Bldz. 80.
1. ba''bc\ 2. 6(a + 6) (a — 6). 3. 6a26(a + 6) (a — b). 4. a — 6.
5. a + 6. 6. a;^(ir + «/). 7. a+26 : 8. x{x-\-bij). (Verander — qxhj
in —9xhj). 9. 3a — 26. 10. y,
Bldz. 85.
1. a; — 1. 2. x'—l. 3. «+5. 4. a: — 7. (Verander 366 in 336).
5. tr^-a; — 2. 6.:»' — 3a; + 2. 7. cc + a. 8. 2rr — «/.
9. onderling ondeelbaar. 10. 6(2a — 3). 11. 2a — 3. 12. onder-
ling ondeelbaar. (Verandert men in den eersten veelterm — 9m^ in + 9w^
dan is de G. G. D. 3m + 2). 13. xhi -\- x"" -\- xa. 14. x — 2.
15. onderling ondeelbaar.
Kleinste gemeene veelvoud.
Bldz. 87.
1. I2xy{x~y). 2. Sxy(x—yY{x+y). 3. a6(a+6) (a— 6) (a2+a6+62).
4. (a + b) (a — 6) {x + y) (x — y). 5. Qa%{;x — 1) (?/ — !)(?/+ 1).
9
6. [x — h){x + 6) {x 4- 3) (a; — 1). 7. {2x + 3) {2x - 3) (u; - 5) {x + 5).
8. {:x^y-\-g){x-\-2y — g){x — 2y + z). 9. {<dx'' + xy —y' — hx — 2h)
(6x2+y2-5;z;|/ + 25a;-102/+25). 10. (a;+l) (ic-l) (a;+2)(ic+3) (ic-8).
11. (a+3è) (a— 36) (a+6) {a—h) (a+2ft) (a— 2&). 12. (j^^+l) (a;+l) (o;— 1).
HOOFDSTUK VI.
Breuken.
Bldz. 9i e« vervolgens.
^ , 2 « ^. , hd* ^ a — q b{Sa-b)
1- i; Q/ _i_?\; r; onvereenvoudigbaar ; — 5. 2. ; — e ^r;;
■ ; ry— r-.\-7 ït ; onvereenvoudigbaar. 3. rr ; , ,— ;
p-\-q-{-r a + 4b ,. , «+36 _, a^ — ab^
^ • 4. — T-vi ; onvereenvoudigbaar ; — r-ciJ' &• iT~2 — 7~2\ >
b{(i + bY h{a~by ab^ - a(a+6)2 a{a — bY
6. "
6(rt2_62^' h{a^-b^)' bia^' — Vy "'^a^ — 6^)' a(a2_j2^.
(a^+6^)(a-6) ««(a _ ft) _ a% xi^x + h) (x + \)^
a{a'' — b'') ' a(a.2 — 62)' ^«2_j2)- '• a;(a; + 1)^ (a;'^ — 4) '
a;(a;2 + 1) (a; + 1) {x — 2) (a; — 3) (^+ 1)^ (a; + 2) a;(a; + 2)^ (g; — 2)
xix+iyipc^'—A) ' a;(ic + l)V^' — 4) ' a<ar+ 1)^ (a;^ — 4)"
„ x^ — 'ihi/ x^' — Ay^ x^' — ^tf
o. " "
{x+2,y) {x+^y) (x-by) ' {x+2ij) {x-\-Sy} {x—hy) ' {x^2y) {x+%y) (x-by)'
a — (? 6 — 1 2a6 + 3cc? a — 6 + c 2a; + ?/
6 — (Z ' FTl' ^"" 2a6 — 3c(/ ' a-\-b + c ^^' ^x-\-y\
a; — 8
7 s^ ; onvereenvoudigbaar. 12. onvereenvoudigbaar ; onvereen-
voudigbaar ; -7-Tz — 7—t\. (Verander in den teller 12x^ in 12a 2).
° 6(5» + 6) ^ '
13. r ; — T~ï- (Verander den teller in a^ — 6^) ; r^ jr— rr.
a — 6 « + 6 ^ (2a — 6) (a — 6)
1/1 ^ — b-\- c a — 6
a + 6 + c ' a^ — ac + c^"
Optelling en aftrekking.
Bldz. 93 en vervolgens.
1 A _A 1 o a; g— 26 _^ 4^2 + 96^ - 28c^
^* 6 ' ~ a ' ■ ^- ~ x-y' u-b- **• 80^ ' 21a6c.
24a 2 - 14a6 — 9a - 46 ^ + 156 56 4a +116 ll(a — 6)
1 2a6 ' "" 3c- ^' 12(a - 6) ' 6(a + 6) '
4.
10
Sxy _ x-\-3t/ 2(aH^6J) TaHj)^ Ua'-^ab—Sb'
(x-l/V' ~MSx-yy *' a^-b^ ' a^'—h'"' °" 2ab{a-b) '
m'-* + «2 2a^-Sa^b—ab''-^2b\ 2a^ + &^ 2a
V' 7 /- I 7\Q ? 7'/,Q 7-2\' 11-
mn{a-by *"' ab{a + bY ' ab{a^ — b"")' **"a + è'
:V< — ft 6a: — 5y «^ &(2a + 6) a^è— a&'+l ^„ a^-è^
1». — — f — -
a — ft' X — |/' a — ft' a + ft ' a— ft
2ac -ad «^ — éft^ + ftc «« + Ta^ft — Saft^ — ft» ^ 1
c — d' a — 2b-\-c' «^ + ft'' ' a
x^ — 2xs-{-Sz^ bbx + bay {a'^—b'^)tj
{x + y) (cc + z) {x — z)' ' (a+ft) {(l—b) {x+y) {x—y) ' aft(aa; — bii) '
m^ + mn + 4n^ 2a« — 4aft^ + ft» 2a;»+a;^— 10^— 2
~ 10m«(3m — n) ' ^^ a(a+ft)(a— ft) {a^—ab+b'') ' (2« — 5)(a;+Ty"
a» + a^ft + 2aft^ + abc + ft» a'' -h ab — 2ac — b"" — Sbc
(a + ft)(a — ft)(a — c)(a2 + aft-r&^)' ~ (a + ft)(a - 6)(a ^^•
16
if 3a;2+12a; — 28 a^ + éaft + Sft^
17- „ I lo.
ar+«/" ^' (:» + 3) (ic + 5) (cc + 6) ' (2a + ft)(2a + 3ft)(3a + 2ft)*
IQ 4a;^ -xy-hy^ __ cc^ + Ure + 28
2(2a; + 1/) {Sx + «/) {4x + 1/)' (a; - 2) {x + 3) (a; + 7)'
_^ 3a2 + 5aft — 3ac- 2ft2 — ftc — 6c2
al. — -, — TTVT 7 I r> \ / i ?n — • (Verander in den noemer der
(a + ft) (a — ft + 2c) (a — ft — 2c) ^
eerste breuk + 2aft in — 2aft). 33. , . . .
X* + 4
a{p-\'q)^db
^^ a{p + g) + 2ft •
Vermenigvuldiging en Machtsverheffing.
Bldz. 91 en vervolgens.
8ccV^ 27mn 64a»&^ a^ 2(a+ft) {a—b){a''~ab+b^)
U'
lOft ' 5c • ^' ft2' 5(a2-hoft4-è2^ ' ((^+ft)(^24_^j_(_j
2\>
(mcc — riy) ix^ — xy-\- y^) ft(2a — 3ft)^ 3m — 2n
{mx + wy) (a- + «/) ' ' a{x^ + 2) ' 2m — n '
_ (2a 2 + 2aa! + 3aft — 3fta;) (2a + 3ft) /2a + 3ft .
6. (2a-3ft)^(cc+a) \2^^r3ft ^« het antwoord, als men in
-3aft); (^ + ^)(^--^)
den teller der eerste breuk + 3a& verandert in
(a+ft) (a^+aft+ft^)-
(g + ft) (2a + 8c)« 2(a + 2ft)(a - 2ft)(a'^ + ft^)
'- {a + 2ft)2 (a — 26) {a + 4c) ' 3(a — ft) (a + 6) (a^ — 2ft2)2-
(a; + y) (a; — y) (a; — 2y) _ a(a; + ay) (a — ft)^ (3a — ft)
(2a; + 3?/) (2a;2 — Sxy — 3^^) . j^^ + j^) • *'•(« + ft)(2a — ft) (a — 2ft) '
11
256rf« a^^h'^c'" {x — yY (aM-&T (a — ft)^ {a^_^-hy
~ ««6» • •^'^* tj\x + yY' ^^' ' a^ft*
26(a + &)(«^ + 6^) a6(a + h) h{a — 7b) (a + 2b)
^^ ~ a '^ a — b ' ^^ ""(«2 — 62)(«_2è)'
2(a + è)
( ^; — 6) {^x - 1). 16. (6a: -y){x- 4«/) ; ^ ^ \
.„ 3(6a - 1) {Aa' - 17a — 3) (a^ + 10a + 1) ^_ {p-q){p^-pq-^q'
(a — 2)((j — 8)(a4-3)(3«— l)(3a— 2) ■ p + j
19.- ?-",. 20.--^^.? ^. 21. -P-ï
w^ [m — »)■ ' (iC 4- 1) (a; — 1)' ' pq{p + q)'
b{a' + b') 4a%' a*x{ax - 1)
a — b ' ' a^ — b^' ' a — h
D e e 1 i u g.
Bldx. 102 en vervolgens.
Sb 2y a{a — b) 2(a + b)
3.
2a' {x — yY' a + b ' ^{a'' + ab + b^) '
{mp - nq) (p^ — pq -ï- q") 3(a^ + b^) (a^ + a6 + ^>')
(p + q) {mp -{-nq) ' (a + b) {Ba + &)
{ax~btj){a — b)^ {a — b) jb'' 4- c^) (&^ — 5c + c^) J_
^" (aa; — 6) (a — è^) ' (a* + 6*) (è^ + 6c + c^) ' ^' xy
1 •^'' — 2/' Q » B{a + b) 2(a: + 2)(a;-4)
; 3.
a-^(a; + t/)' ai^+y^' •■2a — è' (2a; + 3) (a; 4- 4) '
; 1. 9. 77 TT ; -r- (Verander den noemer in 14 1;
8. ^^''-'^^
3a 4- 2 ' • "' b{a - b)
a^ aia — b) 2a x + y a + b ^ a-\-b
Ua — by Ua + h)' ''^'a — b' x—y' a — b' a — b'
11.-. 12. "" ^''^^\ 13. a&{a^ 4- n 14. |a. 15.^;
y X — y ^ a-rb
,,ij^^U2^2.b^y (Verander in den teller 2V in 26^); ^ïqrp-
Herhaling.
Bldz. 10-5 g« vervolgens.
Aa^—%a%+Sab-'+ab a—2b _ a»— 2c«
1- " ~ *• 2' (a-ft)^ • ^* a4-&-c' ** &(3a4-2c)-
5. 1. 6.
12
(a + ft)8 + (a 4- hY{c + d) — {a -^ h) {c -{- d)^ + {c + df
a -\- h -\- c -{- d
9.a-y. 10. « + 6-A 11. ^^+^^~^. 12, ^^24.^2^^24.^2^ .
(«2 + è'-* + c^) (a;2 + ^/'-i). (Verander x''c in ic^c''') ; (a'^ + &2 + ca)(ic2 + 2/^ + 5;*').
13. «" + «& + 6^ a^-a^c + ac^ — c»; ai2_ ^9j44.^6j8_^3ji24. jie
14. -26>« + «*&* + &«). 15. --^^^. 17. -a;(^ + c).
18. (6a; 4- 1) (a; — 1) {bx — 3) (2a; - 3) (3a; + 2) (7a; + 3) (a; - 2) [x + 1).
19. 1. 20. a{2a-h){a+h){a-h). 21. ^1±^Z:J.
y
22. -4ia-3|; Rest 23|a + 6|. 23. ,^^. 24. G. G. D. is
(a;4-l) (a;-3) ; K. G. V. is 2a; V— 3) (a;+3) {x—1) (a;4-l). 25. 5a;2+3a;— 2.
26. ^^||j^j-2- 37. G. G. D. is 2a — 3 ; K. G. V. is a{2a - 3)^ X
X (2a + 3) (a + 2) (a— 2). 28. — 7a^ + Qah—hh''. 29. ^^^ (Keer
den aftrekker in het deeltal om). 30. G. G. D. is a; + 5 ; K. G. V.
is 80a;2(a; + 5)^ {x - 2) (2a; — 1) (ai + 3) {x - 5). 31. — \{x^ — 3a;— 5).
32. — (^-3^)'. 33. G. G. D. is « — 3 ; K. G. V. is 6a;2(a; — 3)^ X
X (a; -}- 8) (a; — 2) {x + 2) (2a; + 3). (Verander in den eersten drieterm + 1 Sa-
in + 9a;). 34. G. G. D. is h\x + y); K. G. V. is 36a&«c(a; + yY {x-y) X
— ZlTt] • (Verander den noemer in a^ — b'^ — ^.
36. ^^~^^^^P~^\ 37. G. G. D. is 1 ; K. G. V. is x%6x^—l) (Sx^-i-l) X
X (3a;+l)^ (3a;— 1) (x+ï). 38. —{p+q+r) {—p^q^rlp—q+rlp+q—r).
39. Onderling ondeelbaar. 40. 2a;*(a;3«+' _ 4) (^«+1 + 7). 41. j.
42. a'> — Za^-' + ha^>-^ — la^-\ 43. (^ 7 ^ ~ ^T. 44. «■^+' +
h — q — r\-
\p + q — rj
+ .-■ + .=-.. 45. 8X,. 46. '-|;+%+^'i%/ 47.2(„+5)x
X (2a3_23a2 + 72a-63). 48.—. 49.1. 50. (2a+&)(2a— 6) X
X (a + è) (a — 36) (a + 36) (a— 56). 51. a'™ + «^"'è'-" + 6'" ; a«— a^ft^ +
+ 4a3è8 _ «2^4 4_ J6 . (^4_2a2J2_2a2c2_2a2(^2„3^J^^4_J4_2J2p2_
— 262(^2 + c* — 2(;2^2 + (^*. 52. a'" + löa^è^ 4. 90^6^4 4. 270a*6« +
+ 405a268 + 2436i"; «»- 8a^6 + 24a«62-32«^6«+16a*6* ; a« + 3a^6~
— 5«^63 + 3«6^ - 6^ 54.^. 55. 2a2a;2 + 6(«4-6')^ — c^
13
56. x^ — {a - h)x^ — abx — a%. (Verander in het, deeltal — 2a^h*x in
- 2a%^x en in den deeler — ax^ in — «x^). 57. 225«^''&2— 8100a^o&*—
— 541a«6« + 19476a*'&« + 196a*&"— 7056a''6^2 58. «'" + «"&" + 6"'" ;
- y 2 _ 2i/2 4-2;^ ; x^ — a; V + xH -^xif — 2xi/z -\-xz^ — y^ + Sy^z—'^ijz^+z^.
60. a^ + Sa*b^ - 3a*c2+3a26* — 6a''62c2 + 3a'»c* + 6« — 3&*c2 + 36V— c«;
a3ft»+3a«&''c+3a»&c2+a3c«— 3a2&3c_6a2ft2^2_3„2jg8_|.3^j3g2_[_3^j2p3_j3^3^
61. («+l)(6 + l)(c + l); (a + &)(c + <?)(e+/'); (a; — i/ — 8)(a: — 1/ + 5);
-/ 4- ö + c)(2a2 + iab + ac + 26^ + &c + 2c'') ; (a + c) (a — è)^
HOOFDSTUK VIL
Vergelijkingen.
iNIiBIDING.
Bldz. 126.
1. x^'-\-6x — l = 0. 2. {m — n)x-\-p — q = 0. 3. 7a;2 + 7a; — 3 = 0.
4. 3a;^— 18a;2 — 18x — 79 = 0. 5. 4a^^ + a; — 4 = 0. 6. a: + 4 = 0.
7. iC + rt — & = 0. (Verander het tweede lid in ^x -ha — &)).
HOOFDSTUK VHI.
Oplossing van één vergelijking van den
eersten graad met één onbekende.
1. 7;]2;1. 2. 5; 5; 14. 3. 6 ; Wu ; 1. 4. 6 ; 5 ; 9-|.
5.-1; 4; 2. 6. 10 ; 5 ; 3. 7. 3 ; 2. 8. 4 ; 4f 9.-2;
— H. 10. Identiek. 11.5. 12. i- 13.1. 14. « — ft ;
ft 2
'/ + ft ; — a + ft. 15. — J9 + 2 ; 2a ; l|ft. 16. 2 ; 2& ; — .
2ft ^ ft-.- 18. "~;"^'^2ft. 19. 6; 10. 20. 20;25.
a « a ft
21. 3; 15. 22.4. 23. 8; 5. 24. —1. 25.20. 26.10.
27. W^^- 28. H. 29. 6. 30. 40. 31. 8^*. 32. 4.
33. inm- 34. 7. 35. 4H|J. 36. 2. 37. 12.
38. ,J^. 39. -.. 40. '^^. 41 "^^"^"^
2a — 6' *'*'• "~ ^"' 89 • mi? + w2-
<^<^ + hH-bc^
md-bH + bc^'
42. ^5^^;S^'. 43. i. 44. - H. 45. 2. 46. - 4.
47. Valsch. 48. 5A. 49. ^,^^/f_^^2- 50. g^^^. 51. 2a.
52- - S^- 53. -2 en 2. 54. O ; 5 en H. 55. -^^^
14
56. q. 57. 6. 58. 7. 59. O (De tweede breuk van het tweede lid
x-\-^\ ac — h + cd ah
IS = . 60. — — j -. . 61. — r-[. 63. O en 8,
X — 5/ d — 1 u-r h
(IC
63. O en 3, 64. 1 ,. (Verander den tweeden term van het eerste
lid in T-^^TTsV 65. ^^. 66. 1. 67. 3. 68. 1 en - 2|.
{a + &)7 n — h "
2a— b «« ^ «/" — cd
69. . 70. O en Yj.
a ce — of
Vraagstukken, die met behulp van één
vergelijking met één onbekende
kunnen opgelost worden.
Bldz. 138 en vervolyens.
25. 108. 26. 15. 27. Bljr. enlSjr. 28. 120. 29. 60 en 90.
30. 37, 30 en 20. 31. 540 gld., 684 gld., 756 gld. en 780 gld.
32. 15 M. en 5 M. 33. 88 jr. 34. Na 8 jr. 35. 17^.
36. 2 H.L. van 60 et. en 3 H.L. van 80 et. per L. 37- 1200 gld.
38. 2400 gld. 39. 6000 gld. en 5400 gld. (Verander „144 gld." in
„evenveel"). 40. 4 "/o. 41. 36600 gld. 42. Onmogelijk. Waarom?
43. lOli K.M. van A. 44. 432 gld., 144 gld., 192 gld. 45. Huur.
46. 3000 man. 47. 25 K.G. 48. 60 gld. 49. 47. 50.60,71,
82 of 93. 51. 245. 52. zadel 80 gld., paard 160 gld., rijtuig 360 gld.
53. 1504 man. 54. 108 K.G. thee, 144 K.G. koffie. 55. A-
56. 10 K.G. 57. Snelheden 120 M. en 60 M. per min.; lengte der
baan minstens 720 K.M. 58. 90 eieren. 59. 9600 gld. 60. 1453.
61. 20 gld. en 32 rd. 62. A. 400 gld., B. 350 gld., C. 250 gld.
63. 493tV en 506 /j. 64. 24 armen, 96 gld. 65. -^^ = 108 bommen.
66. Aan B 2800 gld., aan C 3000 gld. 67». 7|K.G. 68». 36 K.G.
van 218f en 24 K.G. van 140| geh. 69». Na 77377 dg.
70». 154 K.M. 71». 200 sprongen. 67*». 136 min. na opening der
1 • «ov o,, 1 . . (id-\-ce ^,„ n , -1 b(ad+ce)
toevoerbms. 00''. Stoomboot m , = 3M uur ; afstand -^-^ -' =
h—c *" ' a{b — c)
744 K.M. 691». ^4ri e^ 'yÊj ^■^' 70^ 35 KG. 71*>. Onmo-
gelijk. 72. 80 eieren, 73. Vermogen a .{b — ly ; aantal kinderen
b-1. 74. 35 en 49. 75. 857142. 76. 80 leden, 132 gld., 165 et.
77. 80000 gld. 78. 5 M. en 4,2 M. 79. 3 en 4. 80. 8 gld.
81. 4 uur. 82. 8 G.M. 83. 7200 en 6000 schreden. 84. 40 M.
85. 200 slagen. 86. 7^ uur. 87 20 db., 12 kw. en 6 rijksd.
9
15
88. 10 K.M. en J2 K.M. 89. 4900 gld., 2500 gld., 900 gld. en 300 gld.
90. If jr., nadat het eerste kapitaal is uitgezet. 91. 12 vr. en 36 m.
92. 3 gld. 93. 56 M. 94. 207 gld. 95. 528 M.
Algemeene herhaling.
Bldz 146 en vervolyens.
I. 2x^ij-\-2xY-^^^-^^xy^-xi/-^y''- 2. — 64;^* — 1088:»»— 4704a;''-
— 680a; -25. 3. Broeder 12631,58 gld.; zuster 6315,79 gld.; de
armen 5052,63 gld. 4. 12a;^/ — bax ; rest 130 axs. (Verander in het
deeltal den tweeden term in +65aacxy). 5. {d'"'-\-a'"b"+U^'') {é"'- a"'h'"+b-'') ;
(a + i + c)(a + 6 + 5). 6 — ^ c^+H^^^fia -^ ly •
7- 7. 8. 3^a_^a • 9. x-a. 10. {a^+h^-cd){a^^-2a'h^ +
+ a^'cd + ft* + hhd + cH"") ; {x + yf {x"- — 2a:*?/ -f- ^xh/ — 2a;«/« + y%
II. Met t>t _ — • 13. Als de eerste bode meer moet afleggen dan de
(bc—ad)f ^ {hc-\-ad)f ^^ 6
tweede, na — j j uren; anders na — ^ ^ uren. 14:.
de — cf ' ' de — cf ' ' x^ — 1'
2'i--n+^ fj3r— II l.3r—n f ir— \ l
16. ^2 ; 11 . - ub's' -^ ah* ^ a^b's' - a\ 18.—
d^ a
19. 120 eieren. 21.
4ai2&* - IQa^cH^ -r hQa^b^c^d^ - 496*c*
22. (a;+l)(a;— l)(3a;+2)(3a; — 2); (a +& -2c + d)(a + è+2c — (^)(— « +
+ 6 -f 2c + 6Z)(a - 6 + 2c + (^); (3« + c + 2)(3«-c + 2) (-.3a + c + 2) X
X (3a 4- c-2) ; {x-y) (3rc + y). 23. 15674,34 gld. 24. xhj+x^^xy.
25. ^^— . 26. 2a:2-8a;i/+2/'.
27. Voor de eerste maal na y^ sec. als od-, en -3 , als c < fHs.
c — d ' d — c
2 o — q 2 » — g
, tweede ,
derde
c — d " " " ' " d — c'
'óp — q Sp — q
" c- d " » "'"(^ — c'" " '
o„2»i+?^9 8a"'+"'a;^ a^x''
2S. x-Sy. 29. 20a"'"+V+'' - 56«-*'"+V + -^- — + ^,^ + ^.
30- -..?^+.+.d^-.+f^- 31. 49,S mm. na 3. 32. - -g^.^^-;
495
^^^x^Sj^ 33. a'» + 3rr-7/' — 6a'"--^?/". 34. 120 Gr.
35. 2a; - 3. 36. 8^//;. 37. -^. 38. A 10350 gld. ;
16
B. 11310 gld. 39. (-^rqrp-) • 4:0. 1. 41. 31 perziken.
2 2 2 2 2 2
42. (3a; - 2yf {2x + y^ (^ + 3y)^ 43. ^ + ^ i- ^.
44. 105 ; 125970 ; 495 ; 192192. 47. 1^12^- *8- 49242,42 gld.
(Verandert men 14 in 13, dan 50000 gld.).
49. (2a? — Sy — bz) {2x — Sy + 2z) ; {a — b + S){a — b-\- 5).
50. _ ^^^^^. 51. 3500 gld. a 5 "/o en 11500 gld. a 4 %.
52. '-^f^i^- 53. (_, + ,:+;_, + .)■ 54. 25000 gld.;
5 kinderen. 55. iia"" + ac -\- b"" — bc + c^ -\- cd -{- d^). 57. —x^'—cx.
58. a{2a — b) {a + 6) (« - 6) ; 6(a -f 3&) (2a - &) ; ^^(a — hb) {a + 36) ;
(a — 56)(a + &)(2a — 6). 59. 40 kw., 30 gld. en 24 rijksd.
60. 4-i. 61. +a^6- +a-6-. 62. ^^. 63 ^^'+^+'^
64. 729a« — 2916a^6 + 4860a*è2 — A2>20a^b^ + lOSOa^ft* _ 576a6^ + 646« ;
+a^6^"-"'. 65. 3«2-2a&+&^ 66. Hf. 67. ^^±^|!±^i'±?)+!:',
68. - 4a; + 13. 70. (a& + cdf + («c - &(^)^ 73. i/ - q.
74. {xhj + 1) (a;V' - x^y-y-^l); (xY + 1) (^'y' — ^'V' + !)•
75. ?a;-^-ra;2 + s. 'HQ. 2x''—6xy+Sxz-y". "11. x''+2xy—2xz-z^.
(Verander in bet deeltal +8a;^«/3^ in +8a;^«/2). 78. (3^+2g')a;^+p9'a;— 3r^
79. {p^ -\- q'^)x^ — 2pqx + r^. (Vul bij bet deeltal j:>*a;* in).
80. 2x\x"'+' + 7) {x^^+' - 4). 81. - a*c — ^ + ^. 82. 1.
(Verander in den teller van bet deeltal den factor &^4--^ in & + "T")-
a{a — b){b — 1)- ^^- "^^^ ' ^' ""• "• ""• (2a — 6)«
(Verander {b — 2a;)^ in {b — 2a)''). 87. öTji- (Verander in den noemer
— öa^c^t^^ in — 6a^&c2<Z'); -^ r; ï • 88. 4752 M.
' óc — 1 ab ~ ex
89. (p + (?) {2p - 3q). 90. a;« - 3a;* - a;2 - 1 ; x^ - xY - ^^Y +
+ 2xYz'' — y^ + 2«/''0* — z^; a;^" + a;'"-^ + a;'"-* ; a;-"+'* + 2a;-"-"' -
— x'-^-' -f- a;^"-'l 91. G. G. D. is 6''(a;+,</) ; K. G. V. is mab^c {x+yY X
X {x^ + i/){x — y). 92. Onmogelijk. (Verandert men 3847 in 3852, dan
zijn de onbekende cijfers: 6, 1, 4. 93 (a + 6 + 2c — d){a + b—2c-\-d)
(a — b -^2c + d) (-" a + & + 2c + d). 94. 1.
F
LEERBOEK DER ALGEBRA.
I
LEERBOEK
DER
ALGEBRA
MET VRAAGSTUKKEN
DOOR
H. A. DERKSEN en G. L. N H. DE LAIVE,
Leeraren aan de Hoogere Burgerschool te Nymegen.
TWEEDE DEEL.
ZUTPHEN,
W. J. T H I E M E & Co.,
1899.
INHOUD.
Bladz.
'^ergelijkingen van den eersten graad met twee onbekenden , 1
'^raagstukken, die aanleiding geven tot twee vergelijkingen met
twee onbekenden 13
)plossing van n vergelijkingen van den eersten graad met n
onbekenden 18
^Afhankelijkheid en strijdigheid van twee of meer vergelijkingen 22
Vraagstukken, die aanleiding geven tot n vergelijkingen van den
eersten graad met n onbekenden 29
Wortelgrootheden 32
Wortels uit rekenkundige Getallen 35
Wortels uit Algebraïsche Getallen 41
Hoofdbewerkingen met Wortelvormen.
Optelling en Aftrekking 46
Vermenigvuldigiug 49
Deeling 58
Worteltrekking uit Veeltermen 71
Wortels uit ééntermige Wortelvormen 75
Vierkantswortels uit tweetermen van de gedaante: A^ B'\yC,
waarin A positief is 77
Herleiding van de som of het verschil van twee vormen, ieder
van de gedaante: \^ (A ± B X^C}^ die elk op zich zelf al
of niet herleidbaar zijn 85
Oneigenlijke Machten 88
Over den graad van Wortelvormen 99
Imaginaire Getallen 101
VI INHOUD.
Bladz.
Vierkantswortel uit een complexen vorm 107
Vergelijkingen van den tweeden graad met één onbekende . .114
Vraagstukken, die door middel van vierkantsvergelijkingen
kunnen opgelost worden 124
Eigenschappen van de wortels eener vierkantsvergelijking van
de gedaante: x^ -{- px -\- q =^ O 129
Vergelijkingen samen te stellen, welker wortels afgeleid kunnen
worden uit de wortels eener gegeven vergelijking. . . . 136
Binomiaal- Vergelijkingen 143
Invoeren en verdrijven van wortels bij de oplossing van ver-
gelijkingen met één onbekende 145
Vergelijkingen, die door nieuwe onbekenden aan te nemen, als
vierkantsvergelijkingen kunnen opgelost worden .... 155
Gemengde Opgaven 164
Algemeene Herhaling ■= 166
VERBETERINGEN.
Bladz. 18 regel 14 v. b. staat: =1; lees: =11;
„ 19 , 10 V. b. , (1) en (2); lees: (1) en (3).
„ 24 , 14 V. o. „ 9.r- 3y-\-bx = l7;
lees : 'èx — Sy -\- 6x> = 17.
33 voorbeeld 3 staat : 3 X 2a (« + ^) = 6« (a + h) ;
lees : 3 X 2a (a + bf = 6a (a -|- bf
, 46 regel 8 v. b. staat : 5 K3 — 2 K3 = 4 K3 ;
lees: 5 K3 — 2 K3 = 3 K3.
46
47
64
82
109
109
yj/x
xyz
17 V. b. staat: IX-^fy; lees: K-i^
a — b. a— b
1 1 V. o. . {y^nb \Xab ;
a
lees:
1 V. b. staat:
lees :
a
a — b
b a
52 K2
V'ab
(5 + 2 K3) + K15
52 K2
]ynb.
y X ;
(5 + 2K3) + K13
7 V. o. staat : — 2 K(10 — 1^5) ;
lees: — 2 K(10 - 2 1X5)
. . a-K(»^+^>-^)
7 V, o. staat : // = ^
ö-X.
- g + \y{a' + //■)
2
± K
lees : y =
6 V. o. staat:
2 ^ ' ^ 2 y
lees:
± j IX 2 ^ ' ^ 2 V
140 regel 4 v. b. staat: «/^ + 3^ — 10 = 0;
lees: r + %— 10 = 0.
151 „ 14 V. b. staat : i«' — 12^ + 36 = O ;
lees: a;' — 13x -f 36 = 0.
I
►
HOOFDSTUK I.
Vergelijkingen van den eersten graad
met tvree onbekenden.
4,
118. Heeft men één vergelijking met twee onbekenden, bv. :
4:X-^by = 32,
dan kan men aan een der onbekenden, bv. aan x, verschillende
waarden toekennen. Geeft men aan x achtereenvolgens de
waarden : 3; 2; 1; 0; — 1; — 5;
dan gaat de vergelijking over in :
12 + 5y = 82 ; waaruit volgt : y
8 4- 5y = 32 ;
4 4- 5y = 32 ;
52/ = 32 ;
— 4:-\-by = S2;
— 20 + 5^ = 35;
Bij x = 3
bij x = 2
bij x= i
bij x=0
bij x= — 1
bij x = — 5
De bij elkaar behoorende waarden
wortels van de vergelijking:
ix + 5y = 32.
Andere stellen wortels zijn:
2 en 4^; 1 en 5|; O en 6|; — 1 en 7^; — 5 en lOf.
Kiest men nu een tweede vergeHjking in x en y, bv. :
7x-]-3y = 9,
dan heeft ook deze vergelijking een oneindig aantal stellen
wortels.
Derksen en de Laive, Alg. II. 1
»
»
y= 4^,
»
»
y= 5|,
n
n
y= 61,
V
n
y= n.
y>
»
.¥ = 10|.
behoort
y =
4,
n
y =
4i,
n
y =
5|,
»
y =
6|,
»
y =
7i.
n
y =
10|.
vaarden
3 en
4, vormen een stel
119. Neemt men echter de twee vergelijkingen:
4,oc-\-by = 32 (1)
en 3a? — 3^ = 9 (2)
als bij elkaar behoorend, dan stelt men zich ten doel, van de
verschillende stellen wortels, die aan vergelijking (1) voldoen,
die stellen te bepalen, die ook aan vergelijking (2) voldoen,
met andere woorden : stellen wortels te zoeken, die gelijktijdig
aan beide vergelijkingen voldoen.
De beide vergelijkingen vormen een stelsel vergelijkingen;
wij zullen in het vervolg een stelsel vergelijkingen door
een accolade aanwijzen:
l7x—dy = 9
120. Eigenschap. Ben stel wortels, dat gelijktijdig voldoet
aan twee vergelijkingen met twee onbekenden, zal
ook voldoen aan de vergelijking, die door optelling of
aftrekking van de leden dier vergelijkingen ver-
kregen is, en dus een stel wortels vormen van deze
nieuwe vergelijking en een der oorspronkelijke.
Bewijs.
Zij gegeven :
^4^+5^ = 32
l7x — Sy= 9 ^ '
waarvan Wi en w^ een stel wortels is, dan zullen wij aantoonen,
dat ook Wi en w-i een stel wortels is van
^11^ + 2^ = 41
} 4^ + 5?/ = 32 ^^
waarvan de eerste door samentelling van de leden der gegeven
vergelijkingen ontstaan is.
Wi en Wi zullen de gegeven vergelijkingen doen overgaan in
de gelijkheden:
4w;i + bwo = 32
en 7wi — SWi = 9,
waaruit door samentelling de gelijkheid :
llW,-\- 2W.2=4:1
ontstaat, zoodat Wi en w-y een stel wortels vormen van :
llx-\-2y = 4:l
en dus gelijktijdig voldoen aan:
Ux-\-2t/ = 4:l
en 4x 4 % == 32.
r
Omgekeerd kan men aantoonen, dat elk stel wor-
tels van stelsel B ook een stel wortels van stelsel
A is, zoodat A en B dezelfde stellen wortels hebben.
121. Eigenschap. Ben stel wortels, dat gelijktijdig voldoet
aan twee vergelijkingen met twee onbekenden, zal
ook voldoen aan een nieuwe vergelijking, die verkre-
gen wordt door een dier twee met een bekend getal te
vermenigvuldigen, en zal dus ook een stel wortels
vormen van deze nieu^we vergelijking en de andere.
Bewijs.
Gegeven :
I7x — 3y= 9, ^^
waarvan Wt en Wo een stel wortels is, dan zullen wij bewijzen,
dat Wi en w, ook een stel wortels is van :
\12x-\-lbi/ = 96
\ lx— 3y= 9, ^ '
waarvan de eerste verkregen is door beide leden van de eerste
vergelijking uit stelsel A met 3 te vermenigvuldigen.
Wi en w-> zullen beide vergelijkingen uit stelsel A tot gelijkheden
maken :
iw, -f bw., = 32
en 7wi — Sw-i = 9.
Vermenigvuldigt men beide leden der eerste gelijkheid met
3, dan ontstaat eene nieuwe gelijkheid :
12w, 4- IbWi = 96,
waaruit blijkt, dat Wi en w-z ook een stel wortels is van de
vergelijking :
12a; -f 15^ = 96,
en dus gelijktijdig zal voldoen aan :
12ic-h 152/ = 96
en 7x — 3«/ = 9,
dat is aan stelsel B.
Omgekeerd zal elk stel wortels, dat aan stelsel B
voldoet, ook aan stelsel A voldoen, zoodat A en B
dezelfde stellen wortels hebben.
Opmerking. De laatste eigenschap gaat ook door, als men
in plaats van: „vermenigvuldigt met" leest : „deelt door".
Uit § 120 en:§ 121 volgt:
Een stel wortels, dat voldoet aan:
^ aiX-\-h^y=^Ci
f üiX 4- h.,y = C2,
voldoet ook aan:
p {aiX + b^y) ± q {a,x -\- b^y) = pd ± qc^.
122, Met behulp van deze twee eigenschappen kan men nu de
stellen wortels bepalen, die gelijktijdig aan een stelsel van twee
vergelijkingen met twee onbekenden voldoen, of korter gezegd,
de twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen.
Er bestaan vier methoden ter oplossing van twee vergelij-
kingen met twee onbekenden. Voor men één dier methoden
gebruikt, is het in het algemeen raadzaam, de vergelijkingen
eerst tot de eenvoudigste gedaante :
ax-\- by = c
te herleiden.
123. I. Methode van Optelling en Aftrekking.
Zij gegeven:
\ 4.x+by = S2 (1)
^ 'M 7^ — 2y = 9 (2)
De stellen wortels, die aan (1) en (2) voldoen, voldoen
ook aan :
^j. \ 8x + lOy = 64
^ •-' i 36x — lOy = 45,
waarvan de eerste ontstaan is, door beide leden van vergelij-
king (1) met 2, en de tweede, door beide leden van vergelij-
king (2) met 5 te vermenigvuldigen. Dezelfde stellen wortels
voldoen dan ook aan de vergelijking:
iSx = 109,
die door samentelling van de overeenkomstige leden der laatste
twee ontstaan is, en voldoen dus gelijktijdig aan :
^ •'' / 4^ + 5t/ = 32.
Uit de eerste dezer vergelijkingen volgt, dat x slechts één
waarde kan hebben nl. 2^f ; deze waarde, gesubstitueerd in de
laatste ; geeft : 9^V -\- ^y = ^'2
of: 52/ = 2211,
waaruit als eenige waarde voor y volgt : y = 4^-f-|.
De gevonden wortels zijn dus:
Opmerking. Uit de oplossing van deze vergelijkingen blijkt,
dat X en y slechts één enkele waarde kurnen hebben, en er
dus ook maar één stel wortels bestaat, dat gelijktijdig aan beide
vergelijkingen voldoet. In Deel IV wordt in het hoofdstuk:
„Oplossing van de algemeene vergelijkingen van den eersten
graad. Discussie over de gedaante der wortels", bewezen, dat
twee vergelijkingen van den eersten graad met twee onbekenden
in 't algemeen slechts één stel wortels bevatten.
Ttveede voorbeeld:
,-j-, \ ax-\-by = c
( px-\- qy =-r.
Vermenigvuldigt men beide leden van de eerste vergelijking
met ^, en van de tweede met a, dan kan men het gegeven
stelsel vervangen door:
/ apx -\- bpy = cp
S apx + aqy = ar,
waaruit door aftrekking volgt:
{bp — aq) y z= cp — ar.
Men krijgt nu een derde stelsel vergelijkingen:
(III.) 1 ^^^ — n)y='cp — «^
\ axA- by = c.
TT. 1 1 , 1 cp — ar
Uit de eerste dezer twee volgt: y = -f^ ,
^ ^ bp — aq
En nu uit de tweede:
, bcp — abr
ax -\- -r = c
op — aq
bcp — acq — bcp -f- abr
ax — j
bp — aq
br — co
/jj — ±_
bp — aq'
Aan deze voorbeelden merkt men op, dat deze methode hierin
bestaat, het gegeven stelsel vergelijkingen te vervangen door een
ander stelsel, waarin eenzelfde onbekende in beide vergelijkingen
of dezelfde of tegengestelde coëfficiënten heeft, waarna men
de overeenkomstige leden van beide vergelijkingen slechts van
elkaar behoeft af te trekken of bij elkaar op te tellen, om één
vergelijking met één onbekende te verkrijgen.
Opgaven :
Los op volgens de methode van optelling en aftrekking:
^ 5:r + 6^ = 38 \ 6x—7i/=lS
( 7a; 4- 3// = 37. ( lla; + % = 133.
30^—1
5
32/ -5
-1- 3?/ — 4 = 15
+ 2a; — 8 = 7f .
6
7 -^ X 2x — y
= 32/
%ZZ_V^ = 18-5..
124. II. Methode der Gelijkstelling.
Zij gegeven:
j aa; + % = c (1)
f px-\-qy=r. (2)
Een stel wortels, dat gelijktijdig voldoet aan (1) en (2), vol-
doet ook gelijktijdig aan:
^ ax = c — by
( px=-r — qy
dus ook aan:
c — hy
x =
a
( p
Daar de wortels van (1) en (2) dezelfde moeten zijn, moet
de waarde van x uit (1) verkregen, gelijk zijn aan die uit (2)
verkregen. Dus :
c — by r — qy
a p
Wij houden dus één vergelijking met één onbekende over,
waaruit we deze kunnen oplossen.
Uit c — by r — qy
a p
volgt, na vermenigvuldiging van beide leden met ap:
p{c — hy)=za{r — qy)
cp — hpij = ar — aqij
{aq — bp)i/ =: ar — cp
ar — cp
y = = —
aq — bp.
Door nu uit beide vergelijkingen van stelsel (I) y op te lossen,
en die waarden aan elkaar gelijk te stellen, zal men x ver-
krijgen.
Men doet dit in de meeste gevallen echter niet, maar sub-
stitueert (vervangt) eenvoudig de gevonden waarde voor y in
een der oorspronkelijke vergelijkingen, bijv. in (1):
ax -\-
dbr
ax
aq — hp
acq — bcp
bcp
abr + bcp
aq — bp
cq — br
aq — bp'
Evenals de Methode van optelling en aftrekking steunt ook de methode
van gelijkstelling op de eig. van § 120.
ax-\-by = c (1)
px -\- qy = r, (2)
1 e — by
Het stelsel verg.
kan men vervangen door
a
r — qy
Aftrekkende ontstaat
of
y =
Q_£ ^_!] ^^ welke nog opgelost wordt
a p
met ax -\- by = e
ar — ep _ cq — br
aq — bp aq ~ bp
Opmerking. In den regel is de meth. van gelijkstelling langer, dan die
van optelling en aftrekking, omdat er breuken ontstaan, die verdreven moe-
ten worden. Alleen, wanneer één der onbekenden in beide verg. denzelfden
coëflBcient heeft, is het niet noodig, breuken te verdrijven.
Opgaven.
Pas de methode der gelijkstelling toe bij de volgende stelsels r
\2x-^ y=^lh. \ %x — ly = —l^.
\ x — ^=\l. \\2x+ y= 29.
3.
4.
9a; +^ =70.
5
n 13^ AA
ly — -^ = 44.
x-^i 7 "~ 14 •
hx^ iy Wy — 19
y
125. nj. Methode der Substitutie. *)
\ax-\-hy = c (1)
( px-\- qy = r (2)
Even als in het vorige geval drukt men een onbekende uit
één der twee vergelijkingen uit in de andere onbekende en de
bekende getallen ; bv. x uit (1) :
ax = c — by
c — by
a '
en substitueert deze waarde in vergelijking (2) :
.. c — by .
p X ^ -hqy = r,
waardoor men weer tot één vergelijking met één onbekende
gekomen is.
Herleidt men deze eerst tot de eenvoudigste gedaante :
p{c — by) + aqy = ar
pc — bpy -\- o,<iy = «»'
{aq — bp)y = ar — cp
dan vindt men :
ar — cp
^ ~ aq—b'p'
en substitueert men deze waarde in den vorm, dien men voor
X gevonden heeft, dan krijgt men :
abr — chp
aq — bp
X = »
„ acq — hcp — abr + hcp
a {aq — bp)
") Substitutie beteekent: „Vervanging" of ,In de plaats stelling".
cq — br
aq — bp'
Immers het stelsel
wordt vervangen door
of door
Aftrekkende ontstaat
Ook de methode van substitutie steunt op de eigenschap van § 120.
ax-\-by = c
px-{- qy = r
a
px -f qy = r
px-\- qy = r
(e-by)p
a
qy = r ^-^, welke opgelost wordt met :
c — hy
3.
4.
y =
ep
of
bp
br
aq — bp'
Opmerking. In den regel is ook deze methode langer, dan die van
optelling en aftrekking, omdat in de vergelijking met één onbekende in den
regel breuken voorkomen, die verdreven moeten worden. Alléén wanneer
één der onbekenden in de eene vergelijking een coëfficiënt heeft, die een
veelvoud is van den coëfficiënt van diezelfde onbekende in de andere
vergelijking, is het onnoodig, breuken te verdrijven.
Opgaven.
Pas de substitutie methode toe op:
126.
bx-{-
X —
8y =
4:1/ =
= 14.
= 7.
2.
\^X-\- y =
I 5x — 2y-
1^-
3^-f
-\y
-2y:
— 1
— ï'
= 24.
7a; —
21
^y-
-X
-^+^"
— 19
6
3
2
2x-{-
y
9^ —
8
1 _
32/+ 9
4
ix-\-hy
2
16 '
IV.
Methode van Bezout.
1
( a x-\-b y
' = C
aix-\- biy = e
(1)
(2)
5.
10
Vermenigvuldigt men een der 2 vergelijkingen, b.v. (1) met een onbe-
paald getal p en telt men er de 2e vergelijking bij op, dan verkrijgt men :
{ap -\- tti) X -\- {bp -\- b\) y = cp -\- C\.
Deze vergelijking zal eenvoudiger zijn dan een der opgegeven vergelij-
kingen, wanneer een der coëfficiënten van x oi y verdwijnt. Stelt men dus
ap-{- ai =0 dan blijft er over :
{bp + bi)y — cp-\-Ci,
ep + Cl
waaruit : y = t — tt"?
"^ bp-f-bi
maar uit : ap-{- ai =0 volgt :
_ ai
a '
Substitueert men deze waarde van p in den vorm voor y gevonden, dan
verkrijgt men :
y
— X ^ + Cl
a aci — ai e
cri ^^ , , , abi — aib
— Xb+bi
a
Door den coëfficiënt van y gelijk nul te stellen en verder op dezelfde
wijze te handelen, vindt men x.
Opmerking. Van deze vier methoden is de eerste in de meeste geval-
len te verkiezen boven een der andere. De methode van Bezout gebruikt
men wel eens, als de coëfficiënten zeer groote getallen zijn.
Overigens valt het in het oog, dat elk der methoden niets anders dan
een eliminatie (verdrijving) is van een der onbekenden.
Opgaven.
Los de volgende vergelijkingen op :
4|^
-Hy --
= 18.
%x
— ^Tuy --
= — 57.
S^x
+ 2i^ =
-- 151i.
o^x
-ny=
^-127i
7£c — 2 = 5?/ — 3.
8.^ -f 5 = 3^ + 31.
10^ — 7y = 8x— 55.
6x-\- Ib = Uy — QO.
9^x~ 7 = Q^y — 4|.
^y-20^ = -l^x-
Hoc — 7f = 84^ - 70|.
8.3?-15i = 3i^+31f.
11
5^4-8 = i±^ + 21.
^x + 14 13 — 8y _
25 — 3a; ly — 20^ _ 3y + 50
15
95.
3^a? — 40
+ 28i
2i^ - 10
24
+ 2x — 16^.
hx — 1 8y — 5 8a; + 2</ — 3 _ 40? — 5</ — 33
3 6 5 "~ 12 '
12=| + ^^_14U.
5 o
t^TF'
1 (8ic ~ 5) (4«/ + 4) — 16ii?|/ + 20 = ^xy —lx-{- 51.
10- 40,-3-^2^ = 4.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
|3^ 4^^ 2.
f 4 a ^
^ oiC — è?/ = a' 4" h^.
i bx-\-ay = a^ -\- ir.
4-
y
b a ~^ b
a-\- b a
ax-\-by = 2a.
qx+p , py— q
p-\-q p — q
P 1 ^gy_/+/
l~ "^ 2 I 2 '
q PP -T-2
1 + ^
P
x-\- 1 y+ 1 _ a I ^
a— l"^6— 1 a — l'^i— 1"
aa: 4- 6?/ := a (a — 1) -\- b {b — 1).
aby
b a — b
2a.
) « +
) ^ 4_ y _ ab-\- 1 ab — 1
I a— b a-\- b b a '
12
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
X
ai
4-^ — c
I
— + -f- = c,.
{a -h x) b + a¥ — cd' = {c + y) d -\- ab{l-{-2b) — cdil ^ 2d).
{c-\-x)d-\-cd{l—z) = (a + y)b — ab{l — d)-\- 2cd [l—b).
a — X b — y ^
b a ab'
a — X , b — y d'
b ab'
a
bx
+
^y
a
_2y—Sx 3a (g + 6) — & ja' + 25)
~ b ~^ ab
X
y
+ 1
^ _ ^^ + ^^ ^y_^ab[ —
a a-\-b b \b
abx -\- ba = by -\- Sa,
, , „ a^ — b^ 2a^
bx — ay = — c . r ;-.
^ ab b
{x-df -(y- by = {x + y) (x-y) - 16.
(x -\- y)~ — {x — yY = Sa? + 4:Xy — hy — 75.
4ic -
-y
3-
Qx -
- X
-hy
X =
15 — 4a;
4
- 3^
S + iy
^ —
8
X
15 _
y ~
1
14
X
y
6|.
Q2
X
y
IA.
4f
Sx
+ Zi =
mi
u.
Stel
^ on i = ,,e„ los dan eerst
y
p en q op.
22
2x — 4:y-\-'ó
5
+
15
6a; — by —
60
2x — 4y-\-3 S -\-by — 6x
9 5
27.
28.
29.
30.
13
^ 20 [lx — 2^ + 9) — 9 (8a; + 3y — 12) = 32.
/ 22 [lx — 2^ -f 9) 4- 15 [Sx + 3.y — 12) = 3822.
1 = Cl.
X y
a;
+ — = a
a? y a — h'
- b a + b ^ 2 ^' + *'
a-\- h . a — h ^
ax by
a — b a-\- b a^ + ö"
bx ay ab
— 2.
Vraagstukken, die aanleiding geven tot twee
vergelijkingen met tvree onbekenden.
1. Het tweevoud van een getal, vermeerderd met een ander, is 40.
Telt men echter het eerste bij het tweevoud van het tweede,
dan krijgt men 35. Welke zijn die getallen?
2. Het viervoud van een getal plus het drievoud van een ander
bedraagt 72 ; en het vijfvoud van het eerste, verminderd met
het tweevoud van het tweede, is 21. Welke zijn die getallen?
3. Het zesvoud van een getal is gelijk aan het viervoud van een
ander, en het viervoud van het eerste is 4 minder dan het
drievoud van het tweede. Bepaal die getallen.
4. Iemand heeft 2 soorten laken van 4 gld. en van 6 gld. den
Meter, samen voor een waarde van 472 gld. Had hij van de
eerste soort 10 Meter meer, en van de tweede de helft, dan
had hij voor een waarde van 356 gld. Hoeveel Meter heeft hij
van iedere soort ?
5. Men heeft 2 zakken met geld. Neemt men 15 gld. uit den
grootsten en doet die in den kleinsten zak, dan bevatten beide
zakken evenveel. Neemt men daarentegen 30 gld. uit den klein-
sten zak en doet die in den grootsten, dan bevat deze If maal
zooveel als de kleinste. Hoeveel gulden zijn in lederen zak?
6. A zegt tot B : geeft mij 100 gld. van uw geld, dan heb ik juist
CU
14
de helft van het uwe. Neen, zegt B, geef mij maar 50 gld. van
U, dan heb ik 5 maal zooveel als gij. Hoeveel had ieder?
7. Men vroeg een boer naar het aantal zijner koeien en schapen,
en hij antwoordde : Als ik van ieder 6 stuks meer had, dan zou
het getal koeien tot dat der schapen staan als 6:5; doch had
ik van elk 6 stuks minder, dan zouden die aantallen zich ver-
houden als 4 : 3. Hoeveel koeien en schapen had hij ?
8. Twee jongens A en B kochten peren. A gaf \ der zijne en
B \ der zijne aan C, waardoor deze er 1 0 kreeg, terwijl de andere
er evenveel overhielden. Hoeveel peren had ieder gekocht?
9. Voor 16 appels en 15 peren worden 7 stuivers betaald, en
voor 12 appels en 35 peren 10 stuivers. Hoeveel appels en
hoeveel peren ontvangt men voor 1 stuiver?
10. Een wijnhandelaar heeft 2 soorten wijn. Vermengt hij 3 L.
van de beste met 5 L. van de mindere soort, dan kan hij
daarvan den Liter verkoopen voor 20:^^ stuiver. Vermengt hij
echter 3f L. van de beste met 1\ L. van de mindere soort,
dan kan hij lederen Liter voor 1 gld. verkoopen. Wat kost de
Liter van iedere soort?
11. Iemand heeft twee soorten zilver. Smelt hij 10 KG. van de eerste
soort met 5 KG. van de tweede, dan krijgt hij zilver van 550
gehalte. Smelt hij daarentegen 1\ KG. van de eerste met
1^ KG. van -de tweede, dan krijgt hij zilver van 500 gehalte.
Van welk gehalte is iedere soort?
12. Een arbeider heeft in 13 dagen, van welke hij er 6 door zijn
vrouw geholpen werd, 21 gld. verdiend. En later tegen het-
zelfde dagloon in 7 dagen, van welke hij er 4 door zijn vrouw
geholpen werd, 12 gld. Hoe hoog is ieders dagloon ?
1^.^ Een kapitaal, op interest gezet, geeft na 8 jaar aan kapitaal en
interest 6846 gld. Wordt het echter l7o hooger uitgezet, dan
j^Yf zou het met den interest in 5 jaar tot ^054705* gld. aangegroeid
zijn. Hoe groot is dat kapitaal, en tegen welk % 's jaars stond
het uit?
14. Vermeerdert men den teller eener breuk met 1, dan is hare
waarde \\ vermeerdert men den noemer met 7, dan is de breuk
gelijk aan \. Welke is die breuk?
15. Een koopman koopt een stuk doek tegen 1,75 gld. den meter.
Hiervan verkoopt hij 60 meter tegen een zekeren prijs, de rest
echter tegen 1,80 den meter, waardoor hij Vè\ gld. wint. Had
hij 100 meter tegen den eersten prijs en de rest tegen l^^gld.
15
den meter verkocht, dan zou hij noch gewonnen, noch verloren
hebben. Hoeveel meter heeft hij gekocht?
1X7. Het soortelijk gewicht van zilver is a, dat van koper 6. Als
men nu uit beide metalen een bokaal vervaardigt, die d K.G.
weegt en een soortelijk gewicht c heeft, hoeveel K.G. moet
men dan van elk metaal nemen ?
18. Een metaallegeering bestaat uit koper en tin. Het S. G. van
koper is 8,8, van tin 7,3. Hoeveel bevindt zich van elk dezer
metalen in een legeering, zwaar 2153^ K.G., als deze een inhoud
heeft van 270 d.M.'?
Twee lichamen A en B zijn 160 Meter van elkaar verwijderd.
Naderen zij elkaar met eenparige snelheden, dan ontmoeten ze
elkaar na 8 seconden. Bewegen ze zich echter in dezelfde rich-
ting, zoodanig, dat het Uchaam met de minste snelheid door
het andere gevolgd wordt, dan zijn ze na 20 seconden op het-
zelfde punt. Welke snelheid heeft ieder lichaam ?
[20. Een getal van twee cijfers wordt in omgekeerde volgorde geschre-
ven, als men er 45 bijvoegt. Voegt men tusschen de tientallen en
de eenheden eene nul, dan wordt het getal 26 maal zoo groot.
Welk is dit getal?
|21. Een getal van drie cijfers heeft op de plaats der tientallen
eene 5. Zet men achter de tientallen een decimaalteeken, dan
verschilt het met het oorspronkelijke getal juist het -|^^ deel.
Trekt men van het getal een ander af, dat met dezelfde cijfers
maar in omgekeerde volgorde geschreven wordt, dan krijgt meu
weer een getal met dezelfde cijfers geschreven, maar waarvan
de oorspronkelijke eenheden de honderdtallen, en de oorspron-
kelijke honderdtallen dé tientallen zijn. Welk is dit getal ?
22. De bezetting eener vesting heeft vooiTaad voor een bepaalden
tijd ; kwamen er nog 500 manschappen bij, dan zouden ze 20
dagen minder genoeg hebben; maar gingen er 200 weg, dan
zouden zé 15 dagen langer met den voorraad toekomen. Hoe
sterk was de bezetting, en voor hoeveel dagen was de voorraad
voldoende ?
23. Een wijnhandelaar heeft twee vaten wijn ; uit het eerste verkoopt
hij 15 L. ; uit het tweede 11 L., waardoor de overblijvende
hoeveelheden zich verhouden als 8 : 3. Later verkoopt hij zoo-
veel, dat beide vaten tot op de helft geledigd zijn, en nu giet
hij in elk vat 10 L. water, waardoor de nieuwe hoeveelheden
zich verhouden als 9:5. Hoeveel L. bevat ieder vat ?
16
24. A reist van C naar D, en 3 dagen na zijn vertrek gaat B van
D naar C. Deze legt dagelijks 2 mijlen meer af dan A. Bij de
ontmoeting heeft B een ^-f ™^^1 zoo grooten weg afgelegd
als A. Was A 5 dagen minder lang onderweg geweest, en had
B dagelijks 2 mijlen meer afgelegd, dan zou B een 2| maal
zoo langen weg afgelegd hebben als A. Hoe ver ligt C van
D, en hoeveel mijlen legt ieder per dag af ?
25. Onder 14 mannen en 15 vrouwen werd eene som gelds zóó
verdeeld, dat de mannen evenveel, en de vrouwen eveneens
evenveel kregen. Had slechts de helft der mannen hun deel
gekregen, en was het hierdoor overblijvende gelijkelijk onder
de vrouwen verdeeld, dan zou elke vrouw 1 gld. meer gekre-
gen hebben dan een man, en men had nog 6 gld. overgehouden.
Hadden slechts 8 vrouwen haar deel gekregen, en was het
overblijvende gelijkelijk onder de mannen verdeeld, dan zou
ieder man het dubbele van dat eener vrouw gekregen hebben.
Hoeveel kreeg ieder man en iedere vrouw ?
26. Een tuin in de gedaante van een rechthoek moet in 6 gelijke
deelen verdeeld worden. Geeft men aan elk deel een lengte
gelijk aan ^ van de lengte en een breedte gelijk aan ^ van de
breedte des tuins, dan heeft elk stuk een omtrek van 54 D.M,
Handelt men echter omgekeerd, dan heeft elk stuk een omtrek
van 56 D.M. Hoe lang en hoe breed is de tuin?
27. Verdeel het getal 63 in drie deelen zoodanig, dat elk volgend
deel het voorgaand met evenveel eenheden overtreft, en dat
het 2-voud van het kleinste, het 3-voud van het volgend en
het 4-voud van het grootste deel 203 tot som geeft.
28. Een lichaam A beweegt zich met eenparige snelheid van P
naar Q, dat a meter van P ligt, en keert na aankomst dadelijk
weer naar P terug ; t seconden na het begin der beweging van
A, beweegt zich een ander hchaam B ook met eenparige snel-
heid van Q. naar P, en ontmoet voor de eerste 'maal A na ti
seconden, en komt voor de tweede maal na t-z seconden weer
met A samen. Welke snelheid bezit ieder lichaam, als:
1^ B in het tweede geval nog niet in P was?
2°. B reeds P bereikt had en weer op weg was naar Q?
29. Van 2 personen A en B, die van de plaatsen P en Q vertrekken,
is B a dagen later vertrokken dan A, maar loopt per dag b
uur langer dan A, en beiden komen in het midden van den weg
bij elkaar. Was A Ui dagen eerder vertrokken, dan had hij
17
per dag bi uur minder behoeven te loopen, om toch met B
tegelijk in het midden van den weg aan te komen. Hoeveel
dagen was B onder weg, toen ze samen in het midden aan-
kwamen, en hoeveel uur heeft hij per dag gereisd ?
30. Aan een werk zijn een zeker aantal mannen en vrouwen bezig,
samen krijgen ze hi gulden loon per dag, doordat ieder man
tti gulden en iedere vrouw bi gulden dagloon heeft. Na zekeren
tijd krijgt ieder man een loonsverhooging van a^ gulden, en
iedere vrouw van b^ gulden, waardogr ze samen h-y gulden per
dag verdienen. Hoeveel mannen en hoeveel vrouwen waren
werkzaam ?
31. Een stoomboot legt üi M. stroomop en b^ M. stroomaf in ti
seconden af. Ook zou de boot «2 M. stroomop en b.2 M. stroomaf
in U seconden kunnen afleggen. Bereken hieruit hoeveel meter
de boot per minuut zou afleggen, als hij alleen door den stroom,
en hoeveel, als hij alleen door den stoom werd voortgedreven ?
32. Twee kapitalen, waarvan het eene uitstaat k p "/o, het andere
k Pi 7o, geven in een jaar een gezamenlijke rente van /gulden.
Verwisselt men de procenten, dan is de gezamenlijke rente a
gulden minder. Hoe groot zijn die kapitalen?
Invullen: p = 5; ;?, = 4^; i = 284,40; a = 4,5.
33. Een diligence heeft zekeren tijd noodig om van A naar B te
komen. Een tweede wagen, die alle a uren b G. M. minder
aflegt dan de eerste, doet over denzelfden weg c uren langer.
Een derde wagen, die alle ai uren bi G. M. meer aflegt dan de
tweede, besteedt over denzelfden weg Ci uren minder dan deze.
In hoeveel tijd kan elke diligence den weg afleggen^ en hoever
ligt A van B?
Invullen : a = 4; 6=1; c = 4; ai = 3; èi = l|; c, = 7.
Dorksen en de Laive. Alg. II.
HOOFDSTUK II.
Oplossing van ji Vergelijkingen van den
eersten graad met n onbekenden.
127. Wanneer men een stelsel van vier vergelijkingen met vier
onbekenden heeft, dan kan men hiervan met behulp van de eigen-
schappen uit § 120 en § 121 drie vergelijkingen met drie onbekenden
vormen, die, verbonden met een der vergelijkingen uit het ooi'spron-
kelijke stelsel, een nieuw stelsel opleveren, dat dezelfde stellen
wortels heeft als het eerste. Daartoe heeft men slechts de coëfficiën-
ten eener zelfde onbekende in al de vergelijkingen gelijk te maken,
en dan de leden van een der vergelijkingen beurtelings met de over-
eenkomstige leden van de andere te vermeerderen of te verminderen.
Zij gegeven :
Sx-^by — 2z-\-u=l (1)
^ ^ ]bx — 2y — 3z-{-2u = Q (3)
{ éx -j- Sy — bz -\- u = —l. (4)
Daar in (1) en (4) de coëfficiënten van u dezelfde zijn, trekken
wij deze van elkaar af :
3x-]-by — 2z-]-u = ll (1)
4:X-{-2y—bz-\-u = —l (4)
— x^2y-\-Sz =12.
Vermenigvuldigt men beide leden van (1) met 3, en trekt men
er de overeenkomstige leden van (2) af, dan krijgt men :
9a; + 15^— 6^ + 3^ = 33 (1)
2x— 3y4- éz-\-Su = 20 (2)
7x -\- 18y — 100 = 13.
Vermenigvuldigt men beide leden van (1) met 2 en trekt men
er de overeenkomstige leden van (3) af, dan ontstaat :
6x + lOy — 4z-\-2u = 22 (1)
hx— 2y — Sz-\-2u = 0 (3)
x-\-12y— z = 22.
19
Het oorspronkelijk stelsel kan nu vervangen worden door:
[—x-{-2ij+^z =12 (1)
(ml 7a;+18t/ — 10^ =13 (2)
^ M x-[-\2y— z =22 (3)
f ^x+ hij— 2z-\-u=l\ (4); dit is (2) uit I.
Uit de eerste drie vergelijkingen van dit stelsel kan men twee
vergelijkingen met twee onbekenden vormen, die, verbonden met
een dezer drie en de vierde, een nieuw stelsel opleveren, dat
dezelfde wortels heeft als stelsel II.
Telt men (1) en (2) samen, dan ontsta,at :
— a;-l- 2^4-3^=12 (1)
x+l2y— g = 22 (8)
Uy H- 2^ = 34
of =7^/4- ^=17.
Vermenigvuldigt men beide leden van (1) met 7 en telt men
^r de overeenkomstige leden van (2) bij op, dan krijgt men :
— 7a;+ 14^ + 21^=84 (1)
7a;+18y — 10;g = 13 (2)
322/ -f 11^ = 97.
Men krijgt nu het derde stelsel:
( ly+ z =17 (1)
am ^^•y+ ^^^ ""^^ ^^^
^ ' \ x^l2y— z =22 (3)
f 3^ -f hy— 2^ + w = ll. (4)
Uit de eerste twee vergelijkingen vormen wij één vergelijking
met een onbekende, die, verbonden met een van die twee en
de beide andere vergelijkingen, een nieuw stelsel vormt. Jat
dezelfde stellen wortels heeft als het vorige stelsel.
Vermenigvuldigt men beide leden van (1) met 11 en trekt
men er de overeenkomstige leden van (2) af, dan ontstaat :
77i/ + lls = 187 (1)
(2)
(1)
(2)
(3)
(4)
32^-1- 11^; =
97
45y =
90
of: y =
2.
:Men
krijgt nu
het stelsel :
1 y
=
2
(IV)
] 72/+ ^
=
17
) x-^\2y- z
=
22
\ 3ir+ 5z/— 2^ +
u =
11
20
Door nu de waarde van y uit (1) in (2) te substitueeren,
vindt men 2; = 3.
Door de waarde van y en z m (3) te substitueeren, vindt
men a^= 1.
En door de waarde van x, y en z in (4) te substitueeren,
vindt men w = 4.
Aan dit voorbeeld zien we, dat wij het stelsel van vier verge-
lijkingen met vier onbekenden langzamerhand vervormd hebben
tot een ander stelsel bestaande uit:
een vergelijking met één onbekende,
een vergelijking met twee onbekenden,
een vergelijking met drie onbekenden,
een vergelijking met vier onbekenden.
Op gelijke wijze handelt men met een stelsel van n verge-
lijkingen met n onbekenden.
In vele gevallen kan men echter, door van dezen algemeenen
weg af te wijken, een kortere oplossing vinden. Met een paar
voorbeelden zullen wij dit duidelijk maken.
Eerste voorbeeld:
x-{-y-\-z-\-u = iO (1)
y-\-z -^u-{- t = 14: (2)
(I) \ z-\-u-\-t-\-x=lS (3)
u -]- t -\- X -^ y =~12 (4)
t+x-\-y-\-z = n. (5)
Telt men deze vergelijkingen samen, dan krijgt men :
4:X -\- éy -\- iz -^ 4:U -\- U = 60
waaruit na deeling door 4 volgt :
oc-\-y-\-z-^u-]-t = lb.
Trekt men van deze vergelijking beurtelings elk der vergelijkingen
uit stelsel (I) af, dan krijgt men:
^=5; x=l; y = 2; z = S en u = 4.
Tweede voorbeeld:
xy -\-xz -{- yz
(I)
xyz
yz -\- yu -\- zu
yzu
zu-\-xz-\- xu
= — 4:
= 4
xzu
xu -\- yu -\- xy
xyu
6.
(1)
(2)
(3)
(4>
21
Voert men de deelingen uit, dan krijgt men
z y X
—
4
(1)
(II).
1+1+1=
u z y
X u z
6
4
(2)
(3)
1+1+1=
y X u
—
-6,
(4)
it door samentelling volgt :
X y z u
0
of
^
y z u
0.
Door hiervan elk der vergelijkingen uit stelsel (II) af te trek-
ken, krijgt men :
- = 4, dus w = \',
= — 6, dus X = — ^ ;
-= — 4, dus^ = — ^;
- = 6, dus z = ^.
Derde voorbeeld:
6 1 _ 17
x+y+ z ' x — y+^ 20'
(1)
(I).
3 5 _ 19
X — y -\- z — X -{- y -\- z 12'
(2)
2 1 ^ ^ — ^
— X -\~ y -\- z x-\-y-\-z 6'
(3)
Stellen wij :
1 1 1
^-\-y-\-z x — y-\-z ^ —x-\-y-Yz
dan gaat dit over in :
{^P + q =u
(1)
(II). \ 32 + 5r-if
(2)
f52? +2r = |,
(3)
22
waaruit men, door uit (1) en (2) q te elimineeren, verkrijgt ;
,l^p-hr = U (1)
(III). 5?>+2r = f (2)
/ 6p+ q = kh (3)
Door uit (1) en (2) r te elimineeren, komt men tot :
P — TH
Hieruit volgt :
;> = tV; ^ = i en r = |,
zoodat men heeft :
x-\-y + z ^^'
1
(V.)
1
x-^y + z=l() (1)
of (VI.)
x-y + z=^4. (2)
1
'S"'
-;r + ^ + ^=6 (3)
— x-\-y -\-z
Trekt men de leden van (2) van de overeenkomstige leden
van (1) af, dan krijgt men:
2y = 6 ; dus y = 8 ;
(8) van (1) afgetrokken, levert :
2x= 4; dus x=2;
(3) en (2) samengesteld :
2z= 10; dus z = b.
Afhankelijkheid en strijdigheid van twee of meer
vergelijkingen.
128. In § 118 hebben wij gezien, dat aan een vergelijking met twee
onbekenden een oneindig aantal stellen wortels voldoen. Tevens
hebben wij geleerd uit de eigenschappen van §§ 105 en 107, dat
elk stel wortels, dat bv. aan:
2x-\-3y = 27
voldoet, ook zal voldoen aan een andere vergelijking, die ontstaat
door beide leden dezer vergelijking met een zelfde getal te
vermeerderen of te verminderen, of door beide leden met een zelfde
bekend getal te vermenigvuldigen of er door te deelen. Derhalve :
Elk stel wortels, dat voldoet aan :
2a; +3^ = 27, (1)
zal ook voldoen aan :
23
2a;^-3^/± 15 = 27±15, (2)
5(2;r + 3y/) = 5.27, (3)
2^ + 3y 27 ,..
—b— =T' (^)
en daar vergelijking (1) een oneindig aantal stellen wortels heeft,
zullen de vergelijkingen (2), (3) en (4), datzelfde oneindig aantal
stellen wortels hebben. Verbindt men nu vergelijking (1) met
vergelijking (2), of met (3), of met (4) tot één stelsel, dan krijgt
men telkens een stelsel vergelijkingen met twee onbekenden,
waaraan voldaan wordt door een oneindig aantal stellen wortels :
/2^+3«/ =27 ^2^ + 3^ =27.
1^ 2a; + 3^/ ± 15 = 27 ± 15. / 5 {2x + 2>y) = 5.27.
[2x-{- 2>y = 21
I 2x + 3.y = 27
f 5 5
Bepaling. Men noemt twee vergelijkingen met twee onbe-
kenden onderling afhankelijk, als zij een oneindig
aantal stellen wortels gemeen hebben.
129. Wil men twee onderling afhankelijke vergelijkingen oplossen,
dan zal men tot eindresultaat een gelijkheid of een identieke
vergelijking verkrijgen.
Immers uit:
\ 2a; + 7^ + 13 = 25 (1)
/8a; + 28^— 5 = 43 (2)
volgt, door de leden van vergelijking (1) met 4 te vermenig-
vuldigen, en van de leden der komende vergelijking de over-
eenkomstige leden van vergelijking (2) af te trekken:
57 = 57.
En uit :
\hx-\-^y= \2y — lx
\ ^x — 'èy = \2y -\- Ihx
volgt door samentelling der overeenkomstige leden :
8a; = 8a;.
Opmerking. Als een vraagstuk aanleiding geeft tot een stelsel
onderling afhankelijke vergelijkingen, dan is het onbepaald.
130. Vergelijkt men
7a; + 52/ = 25 (1)
met 7a; + 5«/=18, (2)
24
dan ziet men duidelijk, dat elk stel wortels, dat voldoet aan
vergelijking (1), niet kan voldoen aan vergelijking (2), omdat
onmogelijk dezelfde waarden voor x en y den vorm lx -j- hy
in 25 en in 18 kunnen doen overgaan.
Van de oneindig aantal stellen wortels, die aan vergelijking
(1) voldoen, zal dus geen stel gelijktijdig aan vergelijking (2)
voldoen.
De vergelijkingen van het stelsel:
\lx^hy = 2.h
\lx + hy = n
hebben dus geen stel wortels gemeen.
Bepaling. Als twee vergelijkingen met twee onbekenden
geen stel wortels gemeen hebben^ noemt men ze onderling
strijdig.
131. De oplossing van twee onderling strijdige vergelijkingen leidt
tot een ongelijkheid, of tot een valsche vergelijking.
Onderzoek dit, door de volgende twee stelsels op te lossen :
hx-\-ly = 2 (3ic -f 15) \^ax-\-by = c
X — 7«/ = 30 ( a^x -\- aby — c = — ax — by -\- c.
Opmerking. Als een vraagstuk aanleiding geeft tot een
stelsel onderling strijdige vergelijkingen, dan is het onmogelijk.
132. Als men van de beide vergelijkingen :
9x—2y-\-bz= 17 (1)
3x-]-4:y— z = 2S (2)
de overeenkomstige leden samentelt, ontstaat een nieuwe ver-
gelijking :
6x -\- y -\- iz = 40, (3)
waaraan voldaan wordt door alle stellen wortels, die ook aan
(1) en (2) gelijktijdig voldoen. (Zie § 120).
Daarentegen zal geen stel wortels, dat gelijktijdig aan (1) en
. (2) voldoet, kunnen voldoen aan :
6x-]-y-\-iz = 50. (4)
Nu weten wij, dat er een oneindig aantal stellen wortels
bestaat, dat gelijktijdig aan (1) en (2) voldoet, waaruit volgt, dat
de vergelijkingen (1) en (2), verbonden met (3), een stelsel
vergelijkingen zal opleveren, waaraan ook door een oneindig
25
3.
aantal stellen wortels zal voldaan worden. Dat stelsel vormt
dan een stelsel van drie onderling afhankelijke vergelijkingen.
Verbinden wij echter de vergelijkingen (1) en (2) met verge-
lijking (4), dan verkrijgen wij een stelsel van drie vergelijkingen
met drie onbekenden, waaraan door geen enkel stel wortels zal
voldaan worden. Dat stelsel bestaat dan ook uit drie onderling
strijdige vergelijkingen.
Opgaven.
Onderzoek de afhankelijkheid, strijdigheid of oplosbaarheid van
de volgende stelsels vergelijkingen :
bx-\-4:y — Sz = 12
— 2x-\-7ij-\-iz = S0
4:X-]-Sy = 18
7y-\-4:Z=16
7x—3z=19^
4x-}-Sy — 9z = 20
— 4:X + 7y — 3z=18
4:X — 2y — Sz = S
hx-]-Sy=17
2y — z = 8
Sy-n^=lS
2. Als van de vergelijkingen:
\ax -^by = c
ipx -]-qy = r
gegeven is, dat a : p = b : q = c : r, zijn de vergelijkingen dan
afhankelijk, strijdig, of oplosbaar?
3. En wat weet ge, als :
a:p = b : q^ maar elk dezer verhoudingen ongelijk is met c:r?
4. En wat, als a : p = c : r, maar ongelijk met b: q?
Opgaven.
Los de volgende stelsels vergelijkingen op :
x^^l
5^ + 32^=11
2a: +^4- 4^ = 18.
2x-\-Sij— z = 28
bx — 4y-\-6z = 29
X — Sy -{- hz = 11.
hx —12y=l
Sy-\-4:Z = 46
bz = 50.
ix 4- 6y = 15
9x — 5y = 24|
x-^Sy — bz = — 7^.
X — y= 2
x-]-y = 7
y — z = — 1.
4a; -f- 72/ =160
^ — bz= 98
^x-\-2z = 16.
20
ix
-1^ = 3
^x
-l-i^ = 8
iy
- f ^ = - 6.
2x
-3^ + 40 =
16
ix
-Si/-2z =
14
6x
— y^-z =
47.
Sx
4
^2^3
= 28
X
y 4_ ^ -
9 "^ 7
= 3
X
H- «/ + s =
= 55.
10.
12.
x-\- y — z = 22
X — y -\- z=^ — 2
X — y = — 5.
4.x—Sy-\-2z= 19
hx — 4^ — 3^; = 3
6rr + 5«/ — 40 = — 47.
^+1 I l
6 ^
iC+1
+
10
0+3
2
0 — 3
10 ' 3
4x -\- dy -\- 72 = 376
2^+^ + -_±_?_^4.1
^+ 1 I y
10
1,^+1
4ii; ^«/ + 1.
I^-|^ + |«=2
1^ + t^ — 1^ = ItItf
^— ^+ 2^ = 3145.
^— «/+ 0=3^V
3^:; + 5.y — 80 = — 9|-.
7iB — 2^ + 90 = 49tV-
4^ + 1^ — 24 = 80 — 4
12y + 6i = I0 — |:r + 167^
f?/ + 4| = 5^ - tV - 46 A.
iC
+
y =
a
2/
+
z =
b
a;
+
z ==■
c.
1
1
1
X
y~
20
1
1
1
+
^
0
10
1
1
1
a;
0
2
27
22.
23.
24.
25.
i5_i?=2
X y ""
2.5 ,1
— + — = lö
y z 2
2 10 _i
a; 2:
x^y — z^= 115
ic — «/ + 0 = 67
— oc -\- y-\r z = 59.
111^
iL_L. i: ==2
^ f/ 2:
1 1.1
h- = 4
a; i/ 2;
i_l_l— _6
X y X
12 16 24 _ 17
5a; 3y 2: 15
6 4 2 _1 ,^-
^ "^ % ~" 3^ ~ 16 ;
1 1 _ 1
"^ ~" y^ "~ Ï6*
a; — y -\- z — u ^ —
- 2
)2a;+ a;— 30+M=-
- 1
] 4a; — 2y --- z — w = -
- 7
' 5a; + 2y 4- 2« + ï* =
19.
' 5a; — 2y + 25! — 4m =
32
\ 8a; + 5.^ — 42; + 3w = -
-19
j 2a; — 4:y -\-6z — 2u =
37
[ hx— 7y — 3^! — u =
26.
; 2x-\-8y — 3z — bu =
400
) x — Sy-\-iz+2u =
900
j 4a; + y — 50 — 4m = -
-1300
f 5a; — 2?/ + 62; + u =
2000
28
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
15 14
X y
_9_ 35
x'^ ^y
12 1
i5 + l?=i.
15
+
y Iz
_2^
3w
+ A
bu
1 3
1
TT-
3a; 9y 0 w
X -2y — Sz -\- u-\- V = — 9.
2a; — 3w+ 2^ — 4t;4-^= — 118.
2y — 6z — 2u-\-3x — v ^ — 106.
02! — 2v 4- 3w — 4a; — 2/ = 23.
2v — 4ii-\-3y— z-\-x= 11.
2a; — 5?/ + 30 — 2w + 4tJ = 22.
5a; — y -\- 2z — 3u — 7v ^= — 67 .
x-]r 4:y — Sz — 4:U — 2v = — 6.
5a; — 2^/ — 70 + w — 3t; = — 27.
25.
4x-]- Sy— z — hu-\-
V =
{l-c)x+{b-^c)y =
2xz.
(c — a)y + (c + a)0 =
2xy.
{a~b)z-^{a^b)x =
2yz.
X\ -\- x.2 + a;3 + a?4 + a;5
= 21.
OOi + x.2 -\- Xs -]- Xi -\- Xe
= 22.
ooi + x-i + a;3 H- a;5 + a^e
= 20.
Xx -f- a;.2 + a;4 -|- a;., + a;6
= 25.
Xi + Xi -{- Xi -\- X'^ -\- Xq
= 23.
Xi-\-X-i-\-X^-\-X^-^ Xq
= 24.
3a; + 2?/ = 5.
2w— 0= 9.
4a; + 30 = 15.
hy-\-2u— 0.
^ + A = 8.
X y .
0 M
--—=-6
U X
29
33.
A + A^o.
X y
X z
u y
A + i = 5.
U Z
Vraagstukken, die aanleiding geven tot n vergelijkingen
van den eersten graad met n onbekenden.
1. Van vier personen A, B, C en D hebben A en B samen
evenveel als C en D ; A en C 300 gld. minder dan B en D ;
A, B en C hebben 50 gld. minder dan het tweevoud van D
bedraagt, en samen hebben ze 1000 gld. Hoeveel heeft ieder?
2. Een getal bestaat uit 3 cijfers. Verwisselt men de tientallen
met de eenheden, dan wordt het getal 18 kleiner ; verwisselt
men de honderdtallen en de eenheden, dan wordt het getal
198 grooter, en verwisselt men de tientallen met de honderd-
tallen, dan wordt het getal 360 grooter. Bepaal hieruit het getal.
3. Deelt men drie getallen respectievelijk in 24, 27, 36, dan zijn
de quotiënten gelijk. Deelt men ze echter in 44, 45, 42, dan
is de som der quotiënten 14. Welke zijn die getallen ?
4. Drie arbeiders A, B en C zullen samen een werk afmaken.
A en B zouden het samen in c, A en C in i, en B en C in a dagen
kunnen doen. In hoeveel dagen kunnen zij het samen doen ?
In de uitkomst invullen :
a = b; 6 = 42'V c = 35.
5. In ieder van drie vaten kfevindt zich een zekere hoeveelheid
water. Giet men uit het eerste If) liter in het tweede, dan
bevat dit het dubbele vun bet eerster giet men echter 30 liter
uit het eerste in het jdcrde, dan bevat dit luatste 20 liter min-
der dan het viervoud van wat ftog in het eerste is. Giet men
echter 25 liter uit het tweede in het .'«rrlp Üth Jbeyat dit 50
liter meer dan het drievoud van w ia het tweede' is.
Hoeveel liters waren in ieder vat ?
6. Geeft A aan B de helft van zijn vermogen, dan heefi uuze ;>^
maal zooveel als A overhoudt ; maar geeft A aan C de helft,
dan heeft deze evenveel sds A eerst had ; en als eindelijk B
30
aan C 9000 gld. geeft, zullen B en C evenveel hebben. Hoe-
veel geld heeft ieder ?
7. Bepaal drie getallen zoodanig dat :
het eerste, vermeerderd met 4, staat tot het tweede, vermin-
derd met 4, als 3 : 4 ;
het eerste, verminderd met 8, staat tot het derde, verminderd
met 12, als 1 : 3 ;
het tweede, vermeerderd met de helft van het derde, staat
tot het derde, verminderd met het | van het eerste, als 5 : 3.
8. Drie stukken zilver hebben een gehalte van 218f, IbQ^ en
187^. Als men het eerste met het derde, of het tweede met
het derde, of het eerste met het tweede samensmelt, krijgt men
zilver respectievelijk van 194|^ ; 175ff en 177yV gehalte. Hoe
verhouden zich de gewichten dier stukken ?
, 9. Drie personen A, B en C spelen onder voorwaarde, dat de
verliezer aan elk der anderen zooveel moet uitkeeren, als deze
bezit. Eerst verliest A, daarna B en eindelijk C, waarna ze
evenveel over hebben en wel ieder 100 gld. Met hoeveel was
ieder het spel begonnen ?
10. Iemand koopt 3 vaten wijn van verschillende soort, die respec-
tievelijk 90, 60 en 50 liter inhouden. Hij tapt uit het eerste in het
tweede vat 20 liter en bevindt, dat die gemengde wijn 90 et. per
liter waard is. De overige 70 liter vermengt hij met het derde vat,
welk mengsel hem nu 95 cent kost per liter. Indien hij echter
55 liter der eerste, 11 liter der tweede en 40f liter der derde
soort onder elkander gemengd had, dan zou hij daaruit wijn
van 93 et. per liter hebben kunnen samenstellen. Nu vraagt
men de waarde van den liter van ledere soort te bepalen.
11. Een wijnkooper heef t . 3 vaatjes wijn, gemerkt A, B en C;
het eerste bevat 58, het tw«ede 50 en het derde 40 liter. Hij
giet 30 liter van A 'n B, en. bevindt dat dit mengsel 43 stuivers
waard is; nu giet Kij 16 liter van dit mengsel in C, en krijgt
daardoor een tweede mengse! van 38 stuiver per liter ; eindelijk
giet hij 12 V' van dit tweede mengsel in A, en verkrijgt
daardoor 'ee mengsei van 45 stuiver per liter. Van
welke waan' ^dere soort?
1^2; Los X, y en z op uit:
a {x-]r y) — hz = c
a' {x-\- z) — h'y = c'
a"{y-\-z) — b"x=c".
31
Opmerking !
Als men x -\- y -{- z = s stelt, vindt men :
c c' c"
_ ^^Tl} '^ a'-\-b'^ a' + b"
S — 7 77
" 1^1^ 1
a-irb ' a' j-b' ' a"-\-b'
a"s — (^' a's — c' as — c
en a; = „ , ,„ : y = / , ,. en 2; =
a,"^y' ' if- a' + b' a-^b'
13. Twee vélocipedisten A en B gaan een wedstrijd aan om een
cirkelvormige baan van 1500 meters 13 maal af te leggen. De
eerste 5 minuten rijden zij even hard, maar dan versnelt A
zijn gang met ^^ van zijn oorspronkelijke snelheid ; na eenigen
tijd valt hij, waardoor hij een oponthoud heeft van 1 minuut,
terwijl B gedurende die minuut zijn snelheid tot op de helft
vermindert, om dan de rest van de baan af te leggen met een
snelheid, die 1^ maal zoo groot is als zijn oorspronkelijke snel-
heid. Na zijn val rijdt A 1| maal zoo snel, als hij oorspron-
kelijk deed, maar is 1100 meter achter, als B wint. Als B 48
minuten, nadat A weer begonnen is, het doel heeft bereikt, hoe
hard reden zij dan oorspronkelijk, en wanneer is A gevallen ?
(Toel. Ex. Marine 98).
14. Van een getal van 4 cijfers is de som der cijfers 12. Telt men
bij dat getal 189 op, dan krijgt men een getal, dat uit dezelfde
cijfers bestaat, maar in omgekeerde volgorde, terwijl 9|- maal
het cijfer der eenheden gelijk is aan het getal, gevormd door
de 2 cijfers aan de linkerhand. Welk getal is dat? (Idem).
15. Een wijnhandelaar heeft uit 3 soorten wijn een mengsel van
240 liter wijn verkregen, doordat hij de soorten gemengd heeft
in verhouding van 3:4:5. Bij dezen gemengden wijn voegt hij
160 liter uit dezelfde soorten gemengd, waardoor hij een derde
soort wijn verkrijgt, waarvan de eerste soorten in verhouding
8:5:7 voorkomen. Hoeveel van elke soort bevinden zich bij
het tweede mengsel?
HOOFDSTUK III.
Wortelgrootheden.
133. Bepaling. Door den n^-machtswortel uit een getal, verstaat
men een ander, dat, tot de n^^ macht gebracht, het eerste
oplevert.
Omdat 2^ = 8, daarom is 2 de derdemachtswortel uit 8.
Omdat {d~Y = a'^, daarom is a^ de vijfdemachtswortel uit a^'^.
Men schrijft dit aldus:
lK8 = 2; ^a''=:a\
Evenzoo is volgens de bepaling :
(l^5f = 5; {]yaby=:ab; {^p)^=p.
Het teeken V^, waardoor de wortel wordt aangeduid, is de
eerste letter van 't Latijnsche woord radix = wortel.
Het cijfer, dat in het wortelteeksn staat, heet wortel-
exponent, of wortelindex ; den wortelexponent 2 laat men
echter weg.
Bepalingen. Wortels, die denzelfden wortelexponent hebben,
heeten gelijknamige wortels.
Zoo zijn: 1?^5, |K7a, l^a^è gelijknamige wortels, daarentegen
zijn : ^ab, V2ab, i^^ab^ ongelijknamige wortels.
Gelijknamige wortels uit dezelfde getallen heeten gelijk-
soortig.
134. In § 5 leerden wij de volgorde der bewerkingen kennen ; de
wortelvormen maken op die volgorde een uitzondering, hetgeen
wij door voorbeelden zullen duidelijk maken.
I. «!/& en l/a&.
Beide vormen bevatten twee bewerkingen : een vermenig-
vuldiging en een worteltrekking.
In V^ah gaat de vermenigvuldiging vóór de worteltrekking.
33
n. Vbc en Vb X c.
In beide vormen gaat de vermenigvuldiging vóór de wortel-
trekking.
ni. a:Vb en 1/a : b.
In den eersten vorm gaat de worteltrekking vóór de deeling ;
in den tweeden gaat de deeling vóór de worteltrekking.
IV. Ka : Vb.
In dezen vorm gaan de worteltrekkingen vóór de deeling.
V. Va Vb.
In dezen vorm gaan de worteltrekkingen vóór de vermenig-
vuldiging.
Voorbeelden.
1. V^^a%'' = ba'b\
omdat i^a'bY = 2héb'\
omdat (2 . 'óa^b^ = 2' . S^a'b' = 216aV.
8. S^16a' {a + bf = S^2*a' (a + è)« = 3X2a(a+5)= 6a{a + b).
^-V^a'bY —
4. V^a'b^.'^ = VU'bX^ = V^a'b' = ^d'b.
Opgaven.
Herleid :
. ^-«^
2.
^a''\
3.
iya''b'';
l^a';
Va'b' ;
t^d'^b'' ;
iKa^'';
^a'%'' ;
^a''b'' ;
iya'\
^a'b'V.
i:^a^
i 4. 1/16 ; 1/9 ; iK32 ; 1/49 ; KIOO ; l/4a'' ; i^-^' ; iK64 ; 1^27 ;
1^64; ^27 a'b'; lK32a^i■-^
5. tKl6a^6«; l/144aW^ ^6^d'b'; ^a^'b''.
6. l/(a^ 4- Qab + 9&') ; iK(a* -\- 2ab -\- b'f ; t^{ar + lOaè + 25èT.
8. Is Via' + è-) = a 4- & ?
Verklaar uwe meening !
9. Herleid:
l5--(a' + 5a + 6)' (a' + 4a + 8)' (a' + 8a + 2) (a + 1).
Derksen en de Laive, Alg. II. " 3
34
10. Voltooi!
De w''*-machtswortel uit a"', is een macht van a, die tot
exponent heeft . . . ., mits ....
11. Schrijf 7 als een derdemacht, en 5 als een gedurig produkt
van vier gelijke factoren.
135. In de vorige paragraaf kwamen alleen wortels voor, die her-
leidbaar waren ; dit is niet met alle wortel vormen het geval.
Zoo is bv. ^ab in het algemeen niet herleidbaar, slechts dan,
wanneer men weet, dat de waarde van het produkt een derde-
macht is, en men die derdemacht kent, kan men ^ah herleiden.
Bijvoorbeeld : voor a = 6 en è = 4^, gaat t^ab over in i^2 7
en is gelijk aan 3.
Evenzoo is V^a herleidbaar, als a een vierkant is, in elk
ander geval kan Ya niet zonder wortelteeken geschreven wor-
den. Is bv. a=7, dan gaat l/a over in 1/7. Nu leert ons de
rekenkunde, dat er geen geheel of gebroken getal bestaat, welks
tweedemacht 7 oplevert ; maar wel leert zij ons een decimaal
getal vinden, welks tweedemacht men zoo weinig van 7 kan
laten verschillen als men wil ; dat decimale getal is een ver-
anderlijk getal.
Bepalingen. Een getal, dat men kan voorstellen door een
geheel of gebroken getal, heet een meetbaar getal.
Een getal, dat men niet kan voorstellen door een geheel of
gebroken getal, heet een onmeetbaar getal.
In plaats van meetbaar zegt men ook wel rationaal, in
plaats van onmeetbaar irrationaal.
4, 5|, 3,72, 0,476, 1/16, i^27a'&' zijn alle meetbare getallen.
Yl, t^\2, ^9a^b en in het algemeen p^a zijn onmeetbare
getallen.
Verder wordt in de rekenkunde aangetoond, dat alle eigen-
schappen, welke voor meetbare getallen bewezen zijn, ook geldig
zijn voor onmeetbare getallen.
Hiervan zullen wij in het volgende dikwijls gebruik maken.
35
Wortels uit rekenkundige G-etallen.
136. Eigenschap I. De wortel uit een produkt is gelijk
aan het produkt van de gelijknamige wortels uit
de factoren onder het wortelteeken.
lyabc = p-a X \yb X ^c.
Bewijs.
Door den w'^'^-machtswortel uit abc verstaan wij een meetbaar
of onmeetbaar getal, dat, tot de w''* macht verheven, abc oplevert.
Beweren wij nu, dat "C^a X i^b X 1^'C dat andere getal is, dan
moeten we slechts laten zien, dat dit produkt tot de w''^ macht
gebracht, werkelijk abc is.
Een produkt wordt tot een macht gebracht, door eiken factor
tot die macht te brengen, dus :
{^a x-iyhx iycT =■■ {^af X {c^bf X (i>-cr,
en dit is volgens de bepaling van wortel gelijk aan a ,b . c.
Van deze eigenschap maakt men gebruik, om zooveel factoren,
als mogelijk is, vóór het wortelteeken te brengen.
Voorbeelden.
1. ^«^5" a'b'' ontbindt men in twee factoren, waarvan de eerste,
de grootst mogelijke derdemacht is : a^b^ = a%^ X ötö^- Dus :
^a'b^ = ^aV . ab' = ^a'W X "^ab- = a%t^ab\
2. }ya'-h'' [a + 6)-^ = ^a'^b'" {a + hf . aV (a -f bf =
= ]ya'%'' {a + b^ X 'x^a'b' {a -}- bf =
= a%^ {a H- by ^dW (a -f- &)'•
3. i^54a'^'" = 1^2 . 3\ d'b''^= ^3' . a'ö' X 2a''6 =
= ^3V&' X l^2a'ö = 3a6' ^2a"-ö.
Opgaven :
Breng in de volgende wortelvormen zooveel factoren, als
mogelijk is, vóór het wortelteeken :
1. T/12; Vè', 1/20; 0^1 Ö ; 1^32;
1^54; iKl60; T^144; Va^\ l^a';
iKa^'; jya'b"'; ^a'b'' ; Va'b'c''; Va%c\
2. r«'öV; ^aW; lyaWV;
I^(a4-&r; f^l92; 1^375;
j:^162; 1/675; ^675.
36
3. Vl2a%;
hx^yV2{)xYz' ]
4. ]^128a'*6V';
Al^2'3V'^^>^V';
8K32a&^
2aVl'èdh*c;
^{a^h)\a-\-cf)h+cf ; ^m^{m + nfVn^
31/50icy ;
3»il/"8mV;
l/9a-'(« + &f;
137. Leest men de eerste eigenschap:
van rechts naar links, dan krijgt men:
Eigenschap II. Het produkt van eenige gelijk-
namige wortels is gelijk aan den gelijknamigen
wortel uit het produkt der getallen onder de wor-
telteekens.
Hiervan kan men gebruik maken om factoren, die vóór het
wortelteeken staan, er onder te brengen.
Voorbeelden:
1. 21/"3 2 is gelijk aan 1/2' ; dus is 21^3 = ■|/"2' X K3 =
= l/2\ 3 = K12.
2. at^ah a is gelijk aan ^a^; dus is a^ab = t^a^)>it^ah =
t^a^ . ah = t^a^h.
3. a%^a%' = ]^a''b^ X iKa'è' = i^a''b' . a^b' = ^a}^b\
5. (^ + y)V{x' - ,f) =V{x + yf XV [x- - y')= V{x + yy{x'-y')=
= V{x + ynx-y).
Opgaven.
Breng in de volgende vormen de factoren, die vóór het
wortelteeken staan, er onder:
1. 21/"3 2^3 2Vi 2lKi a]^ab.
b'
2. b^ab {a-\-b)^ab
3. 2a6^r|ï;
x\x — «/)|K
x-Yy
a%\ya'b\
x{x — yy
138. Eigenschap ni. De wortel uit een quotiënt is gelijk
aan het quotiënt van de gelijknamige wortels uit
deeltal en deeler.
37
Wij hebben maar weer te laten zien, dat het tweede lid, tot
de w'''' macht gebracht, t oplevert.
Volgens een eigenschap der breuken is :
\xyb) ~~ {xybf ~ b'
waarmee de eigenschap bewezen is.
Van deze eigenschap maakt men gebruik om wortels uit
breuken te herleiden. Men zegt, dat de wortel uit een breuk
herleid is, als er onder het wortelteeken geen breuk meer voor-
komt, en zooveel factoren, als mogelijk is, vóór het wortelteeken
gebracht zijn.
Hierbij onderscheidt men drie gevallen :
a. Men kan uit teller en noemer den wortel trekken.
b. Men kan alleen uit den noemer den wortel trekken.
c. Men kan noch uit den teller, noch uit den noemer den
wortel trekken.
Voorbeelden:
^'- ^- 1^64 K64 8'
^' ^lyV~l^bV~ b'c'
€. 6. l/v. Alvorens tot de herleiding over te gaan, zorge inen eerst,
dat men ,deri wortel uit ' den noemer kan trekken ; jnen ver-
menigvuldige daartoe teller en noemer van de breuk r met
o
38
b, waardoor men verkrijgt :
^h-^ ¥-Ty¥- b - i^^'
7. B^— ^. Opdat uit den noemer de wortel getrokken kunne wor-
oc
den, moet de noemer 6V zijn ; men vermenigvuldige daarom
teller en noemer met V'c:
hc' 6V ^öV oc bc
8. 1^—rrr^' Men vereenvoudigt eerst de breuk onder het wortel-
a*bY
teeken
^ ^4ï,5J5 ^ \.\ 1^ ï>5 15.
b b
Somtijds kan men den wortel uit een breuk herleiden, door een
factor, die vóór het wortelteeken staat, er onder te brengen.
Voorbeelden :
9. 2^i = 13/2^ Xl^i = 1^2\i= 13/2%
10. a-&lK^ = abf^d' X 1^-. = abf^d . \ = abf^a'b\
a a' a'
In dit voorbeeld is van d'b één factor a onder het 5*^^ machts-
wortelteeken gebracht.
11. 21K-f = 3 . 7Kf = 31/7' X KI = 3K7' X I = 31X35.
Opgaven.
Herleid :
1.
l^Y;
i5^32a-.
^81a^
•^ 166«*
2.
lX3f;
lX5TVa^
; lX3|a«;
.,,a\a-rbr
3.
F-f;
IX- •
IX «^^^ •
4.
lX3f;
IXIJ;
Ki;
i^h
5.
^f;
IX- •
IX-
39
b. r^; 1^^; V^^; KA; KA-
8, Herleid op 2 manieren ;
10 7
a ^ y y X
aè + 26- ' ''^ 2a;'è + ibxy + 2^"
a^è'^ ' ^a^l + a^V a^ + 2ö^è + a^è^ •
12. vi^ + JLV W1+4 +
«/ :r / Va; x' x
139. Leest men de derde eigenschap van rechts naar links, dan
krijgt men :
Eigenschap IV. Het quotiënt van 2 gelijknamige
wortels is gelijk aan den gelijknamigen wortel uit
het quotiënt van de getallen onder de w^ortelteekens.
140. Eigenschap V. De waarde van een wortel uit een
macht verandert niet, als men wortelexponent en
machtsexponent door een gemeenschappelijken fac-
tor deelt.
Bewijs.
We moeten maar weer laten zien, dat het tweede lid, tot
de mn"^" macht gebracht, a"^ oplevert. Nu kan men (^ dP tot
de mn^" macht brengen, door den vorm eerst tot de mf'% en
daarna de uitkomst tot de w'''' macht te brengen.
We krijgen dan :
Omgekeerd volgt hieruit nu ook weer :
141. Eigenschap VI. De waarde van een wortel uit een
macht verandert niet, als men wortelexponent en
machtsexponent met een zelfde geheel getal ver-
menigvuldigt.
40
Van eigenschap V maakt men gebruik om wortels met lageren
wortelexponent te schrijven ; van eigenschap VI om ongelijk-
namige wortels gelijknamig te maken.
Voorbeelden :
1. |!J/a^&'V^ Hiervoor kan mèn schrijven i^(a6*c^)^ waarvan wortel-
en machtsexponent door 3 deelbaar zijn, dus :
2. ^2^(1^ {x~ -\-2xy -]r y^T' Hiervoor kan men eerst schrijven:
tK5V {x -f- yf.
Nu kan men de wortel- en machtsexponenten door 2 deelen,
men krijgt dan :
Vha{x-^yf={x + y)Vha{x + y).
3. i^a' ; Yah', ^ab^; tylc^J? zijn ongelijknamig. De wortelexpo-
nenten zijn : 3, 2, 6, 4, waarvan het K. G. V. 12 is. We kun-
nen die wortels nu als 12*^^ machts wortels schrijven :
Opgaven.
Herleid tot wortels met lagere wortelexponenten :
1. t^2^\ P^9; |>27; ^d--, ^a\
Maak gelijknamig :
3. Va\^oh\ lydh en ^dh\
4. l/2a; lK3a^ ^db' en P'ab\
5. i^'a'; iKa&; l/"3a ; ^db; ^d en ^dh'^,
6. iTa"; t"^ a^ \ }^d en i^a"\
7. Maak ^db^^ tot een 8«**-machtswortel.
142. Eigenschap VII. De wide-machtswortel uit den wde-
machtswortel van een getal is gelijk aan den «w.nde-
machtswortel van het getal.
Bewijs.
Wij moeten slechts aantoonen, dat het tweede lid tot de w^®
gebracht, op zal leveren : i>^^.
41
Nu is :
("-i^)»' = p^i) X v^P X v^i> {'^ factoren)
= i^p -P 'P -P (*w factoren)
= ^^'"=]>-j9.
Wortels uit Algebraïsche Getallen.
143. A. E venmachts wortels uit positieve getallen.
l/+4 = + 2 en — 2, omdat (+ 2)- = -\- 4.
en ook (— 2)' = + 4
jy -\- a^ = -\- a^ en — a\ omdat (+ a")* = -{-a'
en ook ( — a'Y = -{- a^
Algemeen : ^ + a'"* = + a^ en — a^
Hieruit leeren we : Evenmachtstvortels uit positieve getallen
hebben 2 waarden : een positieve en een negatieve
waarde. De positieve waarde heet de positieve wortel, en
de negatieve waarde heet de negatieve wortel.
Om aan te duiden, dat men bjj een evenmachts-
wortel de positieve waarde bedoelt, is men over-
eengekomen voor het w^ortelteeken het plusteeken
of niets te zetten ; terwijl men de negatieve waarde
aanduidt, door voor het w^ortelteeken het minteeken
te plaatsen.
Onder K 4- 16 verstaan wij dus in het vervolg -\-V •¥ 16,
dus + 4, en niet — 4.
Daarentegen onder — ]/ -f- 16 de waarde — 4.
144. B. Evenmachtswortels uit negatieve Getallen.
1/" — 4 is noch +2, noch -2, omdat (± 2)^ = -|- 4 en
niet — 4.
iF — «•' is noch -}-«-, noch — a^ omdat (±: a^)® = + a^"^
en niet — a'"'.
Algemeen : |^J a^"^ is noch + a*', noch — a^.
Wij leeren hieruit :
Evenmachtswortels uit negatieve getallen zijn noch positief,
noch negatief. Zij kunnen dus niet voorgesteld worden door
algebraïsche getallen^ die wij tot nu toe hebben leeren kennen,
42
en vormen daarom een nieuwe soort van getallen, die
men imaginaire getallen noemt.
In tegenstelling met de imaginaire getallen, noemt men alle
andere reëel.
De imaginaire getallen worden later behandeld.
145. C. Onevenmachtswortels uit positieve Getallen.
^ + 8 is alleen +2, en niet — 2, omdat alleen (+2)^= -|- 8.
iK + «'° = 4- a', en niet — a^, omdat alleen (+ «T = ~\~ ^'°'
Algemeen :
^V^' + a'"''"^'' = + a^ en niet — a"".
Hieruit leeren wij :
Onevenmachtswortels uit positieve getallen hebben slechts één,
en wel een positieve "waarde
^ -I- a = -f l?^a ; ^ J^a% = + ^a'b.
146. D. Onevenmachtswortels uit negatieve Getallen.
^3^ — 27 = — 3, en niet + 3, omdat alleen (— 3f = — 27.
iK — a^'" = — a^, en niet + a^, omdat alleen ( — a^f = — a^'\
\y — a = — iT^a, en niet -j- l^«> omdat alleen ( — [yaf=^ — a.
Algemeen :
Wij leeren hieruit:
Onevenmachtswortels uit negatieve getallen hebben slechts één,
en wel een negatieve waarde.
Opmerking. In de hoogere algebra wordt bewezen, dat de
wortel uit een getal juist zooveel waarden heeft, als de wortel*
exponent bedraagt.
Zoo heeft: r>^ -f- 81 vier waarden.
l5^ — 27 drie waarden.
^ -\r a n waarden.
Doch de meeste van die waarden zijn imaginaire getallen,
terwijl wij bij onze beschouwing van de wortels alleen de reëele
waarde der wortels op het oog hadden.
Daarom zeggen wij nu :
Evet2machtstvortels uit positieve getallen hebben twee reëele
waarden.
Evenmachtswortels uit negatieve getallen xvjn imaginair.
Onevenmachtswortels uit positieve getallen hebben één reëele,
positieve ivaarde.
43
Onevenmachtswortels uit negatieve getallen hebben één reëeUy
negatieve waarde
[*i. Daar de eigenschappen, die wij in de vorige les hebben
leeren kennen, alleen betrekking hebben op wortels uit reken-
kundige getallen, mogen wij ze zonder nader onderzoek niet
toepassen op wortels uit algebraïsche getallen. Uit een onder-
zoek, of die eigenschappen op wortels uit algebraïsche getallen
toegepast mogen worden, zou ons blijken, dat het in sommige
gevallen "wel, in andere niet mag. Als voorbeeld diene het
volgende :
Is ^ + a = i>(4-«r = l!^ + a^?
De derdemachtswortel uit + a is positief en zijn getallen-
waarde gelijk aan ^a.
De twaalfdemachtswortel uit -f- a* is ook positief en zijn
getallen waarde p3-a*, of wat hetzelfde is l^a.
Derhalve is : ^ + « = ;^ + a\
Is ^-a = ^{--ay = {^ + a"?
^ — a is negatief en zijn getallenwaarde ^a.
^^ -|- a* is positief ; daar een negatief getal nooit gelijk kan
zijn aan een positief, daarom is:
^— a niet gelijk {>{— a)\
Maar is 1^ — a soms gelijk aan -y^ a* ?
Ook dit is niet mogelijk, daar 1^ — a een reëel, en ^ a*
een imaginair getal is.
Bij herleidingen van wortels uit algebraïsche vormen houde
men in het oog, dat door die herleidingen de vorm niet van
wezen, maar alleen van gedaante verandert ; dat wil zeggen :
een positieve vorm moet positief, een negatieve
negatief, en een imaginaire vorm imaginair bljjven.
Om nu de eigenschappen van het vorige hoofdstuk te kunnen
toepassen op wortels uit algebraïsche getallen, herleide men
deze eerst tot wortels uit rekenkundige getallen.
Voorbeelden.
1. 1^ — a^è\ Deze vorm heeft een negatieve waarde, en wel:
_ f^a'b' = — Ka'6' . a'b = — abp^a'h.
2. 15/ _|_ ^5j7^8 ^ _|_ i^a^lPé" = + dbc^hY,
3. — 2\y'ab. Wil men den factor vóór het wortelteeken er onder
brengen, dan bedenke men, dat de vorm negatief moet blijven ;
daarom late men het minteeken vóór den wortel staan, en schrijve :
a'
U
— 2]Xab = — l^iab.
4. 1^ — 'j-. De breuk onder het wortelteeken heeft een positieve
waarde:
1^^ = 13/+^.
De vierdemachts wortel uit -\- j- heeft een positieve en een
negatieve waarde, doch hier wordt de positieve waarde bedoeld.
Men heeft dus:
5. ^^ — dr-, '^-\-ab'\ \y -\- ah. Wil men deze wortels gelijknamig,
dus tot 30^**" machtswortels maken, dan handele men aldus :
p/ 4- aè = + l^ab = 4- ^a'W'.
Opgaven.
Herleid de volgende wortel vormen :
1. K + «'; — K + ö^ — iK + aV; K + a'&'V'.
2. l^H-a«; 1^ — a;V"; IV — a"&V^ —f^-\-a%Y\
3. — ^ 4- «'"è'" ; 15^ + a^V-'^ix 4- 1/)^ ; ^ + a'^è'^c'"".
5. -IK + «•'&' V^ +{> + a«'X* + cr; ^-\-aV\
7. Wanneer is V^(a^ --- 2ab -\- b') = a — b, en wanneer ö — a?
,\y{a^ — 2a -|-l)=a — ^1, en wanneer 1 — a?
— V^C»^ — 6a +9) =a — 3, en wanneer 3 — a?
8. Welk onderscheid is er tusschen ]/'( — af ; ]y — a^ en {1^ — af ?
Breng in de volgende vormen zooveel factoren, als mogelijk
is, vóór het wortelteeken: '
llvM;1^H^i^.a9«); vlMKlK — a-*b'); IV -f- a^^èV^ V,
45
15.
16.
17.
18,
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
1^(-I^— O; -IK— 8»'^"+*; +K4-16a'-6; — i?>-H-32aV.
Welke tweevoudige beteekenis kan \y- — a hebben ?
Herleid de wortels uit de volgende breuken:
•^" 27' "^256^' ^ 8' '^— 6^^' ^ {—h)'''
IK
-K
— 25
IK
^10 ; ^ + jo^9 :
IK
— 72' "^"^èV'
a a
bV
+ a;e- ; -IK+-4; —pqV-\
«2/ y PI
x' y'
c'd'
7.) t*
ao*iK — Tö.
o
(Pas hier op!)
Maak gelijknamig:
1^- — a'; }y + a'b; iK + a'i' en iV — a'Z>'.
^ +0"; ]y — a^b^; iK + a'è^c' en ^^ + d~bc\
Is ,> — a* = i^ — a?
Onder welke voorwaarde is |/-(a — 6)^ = jK(« — è).
Herleid :
ba c/ + cV^
cd^ ha' '
(«+&)V^
aH-^'
a+ è a
als a> b.
a; + 2/ ic-2/ — 2a;/ + y^
IK (— a^^;io — a^'b') ; ^ (6 — a)' (a — bf.
30. 1^ — a —
3(a + l)
^
— ic' + 6xy — 9 ƒ •
46
Hoofdbewerkingen met Wortelvormen.
Optelling en Aftrekking.
148. Volgens eene eigenschap der getallen, die ook voor onmeetbare
doorgaat, is 3a + 7a = (3 + 7) a = 10a.
Past men deze eigenschap toe, als a = V^b is, dan krijgt men :
3 1/5 + 7 1/5 = (3 + 7) 1/5 = 101/5.
Evenzoo is :
51/3 — 21/3 = 41/3 ; 6Va + bVa — SVa = SVa.
gyab — 121/aö = — SVab ; 5l^a' — 7i^a' + 2i^a' = 0.
a^yx + bi^x — cl^^x -\- dl'^x = (a -f è — c + d)t^x.
Uit deze voorbeelden blijkt, dat men de som of het verschil
van gelijksoortige wortels bepaalt, door de coëfficiënten der
wortels op te tellen of af te trekken, en die uitkomst met den
gelijksoortigen wortel te vermenigvuldigen.
Zijn de wortels niet gelijksoortig, dan kunnen ze soms door
herleiding gelijksoortig worden :
yz xz xy y z' xz x-y
= — Vxyz -\ Vxyz -4 V^xyz =\ 1 1 1 V^xyz =
yz xz xy \yz xz ' xy)
x-\-y-\-z^^
= — -^—^ — Vxyz.
xyz
Van ongelijksoortige wortels kan men de som of het verschil
niet eenvoudiger voorstellen, dan door die wortels naast elkaar
te schrijven met het plus- of minteeken er tusschen.
Zoo is de som van 21/a en 31/6 gelijk aan 21/a -f- SVb, en
hun verschil : 21/a — 31/6.
149. Moet men wortels uit algebraïsche getallen optellen of aftrek-
ken, dan herleide men deze wortels eerst tot wortels uit reken-
kundige getallen.
Deze opmerking geldt voor alle bewerkingen : Verricht met
wortels uit algebraïsche getallen geen bewerking of
herleiding, voor die wortels herleid zijn tot wortels
uit rekenkundige getallen.
Voorbeelden.
1. ^ — a'bc + 2^ + ab'c — a^ — ^.
a'
47
Voor deze vormen kan men schrijven :
hé
— ^dhc + 2 t^ah'c -\- a^ — =
CL
= — afyabc + 2bi^abc -\- ci^abc = (— a + 2& + c)i^abc.
a' — 2a'b + ah' a% — 2ab' + b'
' b a '
De eerste teller is gelijk aan a[a — 6)'; de tweede è (a— 6)',
zoodat men schrijven kan :
^,a{a-bf ^^b{a-bf
b a
De eerste vorm stelt een positieven, de tweede een nega-
tieven wortel voor ; daarom wordt de eerste vorm
de tweede : —(a — b)V — = Vab^ als a>h',
a a
daarentegen wordt de eerste vorm — r — V^ab ; de tweede
^^^ Vab, als a<^b.
a
Wij hebben dus :
b a a a
la_^_a^^y^^^(a--Vfy^ als a>b.
\ b a I ab
En:
ya{a-hf _yb{a-bl^b_-a^^^_h_--a^^
b
b
Ib-a _ b_-a^ ^^^ _ _ {a-bl ^^^ ^ ^ ^^
\ h a / ab
Opgaven.
1. 5T/2-f 3K2 — 6K2 + 4K2— 1/2
2. SVi + SV^ — bVi + lVk.
3. iVab -f SVab — %Vab -\- 2Vah.
4. haVx^2bVx — {a — U)Vx.
5. ^ab — 2x^ab -f h^^ah + Ix^ab.
48
6. 2Vxt/ — S}^xt/ -\- W^xy — i^xy.
7. V[a—h)- 2V{a-^h)-^lV{a-^b)—hV{a-^b)—QV{a^-h) . a>b.
8. |K2 — K7H-5T/3 — K2 + 4|K2 + 5l/2 — 4K7 — 6K3.
9. 1/12 + 1/75 - Ki + 21/"tV-
10. 1/24 + 21/54 - 1/216 + 1/150.
11. 21/28 — 1/63 + iKl 75 -1/7.
12. lK16 — i^''128 + 1^250 + IK54.
13. Va% — 1/aè' + Va^W + |/4ai.
14. al/a'è'c + 6l/a&*c — l/a^&V.
15. 1/| -f 21/i + 31/24 — 1/54.
16. 1/ {a' + 2a^è + aö^) + 1/ (a^ + 4a'6 + 4a6') - V4tah\
17. iKa'èV + i^-a'èV — iKa'èV.
18. ]^^ \ yy y0^'y-\-2xf-\-y'
y X X '
19. v'-^ + v'-^-vK+v'-^.
o a a b
20. 21/8 — 71/18 + 31/72 — ^1/50.
2 1 . l/45c' — 2l/80c' + 31/5a-c.
22. 51^48 — 3^256 + 6i?^500 — 9i3--1296 -|- 5i5--108.
23. 31^576 — 81^72 + 15^6561 + 7i5--1944.
24. 4^24 — 61^81 + 10^3 — 21^376 + 15^i.
25. l/^-i/A + aK-\-l/(^ + 2 + A
o a ab \b a
26. 6ai^— -3è]^^' + 3c^4.
^ — y «+«/ x-\-y x — y
28 ,3>+^)' «+^'3^«-6
{a~bf a — ha-\-b'
30. i5^ + 40 + 1^ — 5000 — 4^ — 625.
49
31. — ^ {— a — b) -\- x}^ {a -\- b) — A^ {— aoé" — bx").
32. 4i^ — «W + 5^1^ + 27:ry4- A^ — 64ay .
33. ;> — :c-"+* + p^ + ^'"+' + fi — a;'"+', als n oneven is.
34. K^ -f- 1/ + -^ - I^ (- «6)1
2-aoc -|- 4a o*
— yz —xz {—oc){~y) ^ xyz
38. {x' — f) V ^~ ^ ~ ' y"^' -..Y[x — y)\ als ic > ?/•
X y
39. (a' — 1) 1/ — ?-j- — K (9a^ + 9a').
a-\-l
40. 1/ (a' — 2a'b + ai') + V {a% — 2ab' + h'), als 6 > «.
^ ^^ <V — 2a;V + a:y^ ^^ gr^ + 2a:y + a;y^
a;' + 2a;y + y' (x — yf
x'y + 4xY' -h W
^ x^ + 2xy + f ,alsa;>2/.
42. {2 + a)V [^ + (2 - a) K [±^- (1 -f a^) Ky^^, als a
pos. en <: 1.
. _ ,/- a' — 2a'ö + ah' . . a^' + 2d'b +«&',/-_ 25a'6
a'ö 4- 2ab'' + &^^ a'6 — 2aö' -{- b' ' a* — 2d'b' + //'
als a neg. en > h.
X — 3?/ ^ ^x\f — \2xy' + 12y' a; — 2y \2x^ — 12xy + 3y'
* ic — 2i/ ;r^ — Qx^y -\- 9x^y^ 2x — y x^y — 4xy' + 4?/'*
als X pos. en > 3?/.
Vermenigvuldiging.
150. De vermenigvuldiging van wortel vormen berust op de tweede
eigenschap der wortels uit rekenkundige getallen. (Zie § 137).
Derksen en de Laive, Alg. II. 4
50
Men onderscheidt vier gevallen'.
r Geval. Vermenigvuldiging van eentermige wortelvormen.
ir Oevfil. Vermenigvuldiging van een veeltermigen wortelvorm met
een eentermigen.
IIF Geval. Vermenigvuldiging van een eentermigen met een veel-
termigen wortelvorm.
IV^ Geval. Vermenigvuldiging van twee veeltermige wortelvormen.
Eerste Geval.
151. Het eerste geval berust geheel op de bovengenoemde eigenschap:
xyaxxyixf^cx-..-=xyahc....
lya' X f^ab X P^abc = l^d' . ab . abc = f^a'b'c = af^ab'c.
aV%-XbV-XcVabc =
bc a
= abc V- T- • — . cibc =■ abcVabc.
bc a
Uit deze voorbeelden ziet men^ dat de wortels, om vermenig-
vuldigd te kunnen worden, gelijknamig moeten zijn. Zijn ze dit
niet, dan make men ze eerst gelijknamig.
Voorbeelden.
1. l/aX^-'a^l^^'X i^'«' = l^«'.
2. ^2|xk!^X>^^.
cd c a^
Het K. G. V. der wortelexponenten is 12 ; we maken de
wortels dus tot 12*^''-machts wortels :
~ ^ c'd' ' c' ' a' ~~^ c ~~
Heeft men wortels uit algebraïsche getallen te vermenigvul-
digen, dan make men die wortels eerst tot wortels uit reken-
kundige getallen.
51
Voorbeelden :
1 . 2iK — d'h X — 5i4/ — ah' X 4|3-- — nb =
= — 2^d'b X 5l^aè' X — 4lKa6 =
= 40^ aV; . ai\ ai = + 40^a'è' = + iOab^^ab.
2. K=-;Xol^^X-ftr^.
De eerste breuk heeft een positieve waarde, en dus
V
-:='^+^=+^r
De tweede breuk is negatief, en dus :
De derde is ook negatief, en dus :
Men heeft nu
V —
lXaiy-^X-biy^,=
= -^V^X-al^^X+hl^Y-
Maakt men nu de wortels gehjknamig
n X — «ly- jïïö X + ^i> rr
_1_ ;« "" \/ „ 30 '* \/ I z, 3n
+ 1/ öT
nh 30 "f_
a'W
f,h -^0 " '^ _^ 30 17117
Opgaven.
1. K2XK3; V'2aXK3a; l/5a&XK2a; VSahXVb.
2. 2T/3X3V^2; al/aX^l^^c; 2l/3aX5l/"2a ; aVabXbVbc.
3. 1/6X1^3; K6X1/2; K15XK5; V^18Xl^l5.
,4. i5-a-X^«&; l^^a'&Xl^a'è'; iKa'è'Xl^a'i'; l^a'bc'X^cr'bY.
5. 2l/fX3l/4A; a^a'X^'^a'; -f- 1^&' X - l^«'&'c.
o c
6. nXKf; l^|Xl^4i; l/|xi^^;V(a+&rXl^(a+ér.
7. Va {a + ?^) X Vab (« + &); ]/(a- + aè) X ^{ah -\- b%
52
10. KaX^«; lKa'Xl3^ö; l^a'bX'^ab'Xf^ci'b'.
11. K2X1K2; K-^Xl^-; K-Xl^yXl^-.
o a c o a
12. IK^^XI^^XI^^; l^(a + 2+-)xKfl + - + 4\
13. Ka X 13^(« + ^')' X ^a' X iT («"- + 2aó + bf X i/ «'"(« + bf\
14. ira"X !>"«'"; l^«Xl>"«Xl^^«.
15. ■^— 2aè X ■^— 4a'&' ; 1^+ 3aV X 1^— Saè'^ X 1^— 4a'i.
16. l^-a'6-cXl^+a'è^cXl^— «V; 13^+^X1^— -X^—o^c.
17. ■^-12X^+18X'^- 7^X1^+5; ^(a-è)X^(&-a)\
als a>&.
18. f^—Sa'bX^+^ab'; l/+2Xl3^+2; 13/+5X1^— 5.
19. ^_6X]^^+12; K+6Xl^-15Xl3^+20; p+a^X^-a^
als w oneven is.
20. (Vaf = VaXVaX = Va'-- = Vul dit in.
21. if^a'by; {aiya'bf; {^^x^^.
22. {—2V2f; {—^afyabj; {— ia'bfyarbf.
23. {Viaf^aff; {^{2^2)'}'; (1^(91^3)^.
24. {xVxyf X {yVxyf X (- l^^y )'.
25. (F'- a^öO' X (1^+ ab'Y X (— - 1^— «'ö'J.
26. (^- a^)^ X ^(- «&')' X (— aiy— abf X (- ahf^^ abj,
27. 1^{1^(-^^1^-^)T; {-nf^^vfX{^pq:'y~qf.
53
Tweede Geval.
152. Volgens een eigenschap, die zoowel voor meetbare als onmeet-
bare getallen geldt, wordt een veelterm met een eenterm ver-
menigvuldigd, door eiken term van den veelterm met dien
eenterm te vermenigvuldigen, en de komende produkten samen
te tellen.
Voorbeelden :
1. l^abc X (Vab — 3Vc + 2Vabc) =
= {Vabc X Vab) -\- {Vabc X — ^Vc) -f (Vabc X + 2Vabc) =
= abVc -f- (— ^cVah) + (-f 2abc) =
= abVc — ScVab + 2abc.
2. Vab X {Va — Sf^ab + ^ab') =
Vab XVa- 3Vab X f^ab + Vab X ^ab' =
Va:'b — 'ó^aW . a-b- + f^ aV .aV =
aVb — diya'b' + bp'a'.
3. IK — a'b X (alK + ab — bl^ — a:'b' — iK + ab'%
Wij herleiden eiken wortel eerst tot een wortel uit een reken-
kundig getal, en voeren daarna de vermenigvuldiging uit:
— P^a'b X {af^ab + bl^a'b' — f^ab') =
— af^a'b . ah — bf^a'b . ai'b' + ^crb . ab' =
-- a'f^b' — abV^a + ab.
Derde Geval.
153. Dit wordt na verwisseling der factoren, hetgeen ook met on-
meetbare getallen geschieden mag, het tweede geval.
Opgaven.
1. KÏÖX(K2 + K3 + l/5; K3Ö^X (3aK + K5 + ]^ 2a).
2. K6X(K^ + K| + K6); \^ab^x{v-^-hV^-hV-jj.
3. l^Ï5 X (1^15 + K30 - K45) ; KêX (2^2+3^^- ;/2f).
4. (^12 + 1^15 + IK 20) X "^12; >
{aiya'b 4- b^b-c— cf^ab) X cf^ac\
5. (Ka-MKa)XlKa; (l/a + «^«) X iKa.
54
8. "I^+Ï8X(15^— 3+15^— 15) ; (l^-a'/^+^+a6'')X"l^-a-6l
V — ö -f- ay I
10. (^ - ?^ + K^=3^' -ly- ia'b'c) X 1^ - 6a^6V.
11. ió/{_i3/_(a^ + 2a6 + èOrxfK--4i; + l^ + -T-i;l
\ a -f- 6 a -f: 0/
12. (^ — a + K + a — l5^ + a)Xl^ + a.
13. (1^ — a'6 4- I/^ + aè' — 13^ + ab') X—f^— a'b\
14. {13^{— aby + 1^(+ aè')^'} X 1^ - a-b\
Vierde Geval,
154. Moet men V2a -{-VSa — Yba vermenigvuldigen met
2V2a — 3V^3a -[- 4K5a, dan splitst men den vermenigvuldiger
in de deelen:
2V2a ; — 3l/8a en + 4l/5a.
Men vermenigvuldigt nu het vermenigvuldigtal met elk van
die deelen, en telt de komende produkten samen.
Men schrijft de bewerking aldus:
V2a + VSa — Vba
2V2a — SVSa-\-4Vba
4a -\- 2aV6
— 2aK10
— 9a-
- 3aK6
-f 3a]/15
— 20a
4- 4aVlO + 4al/15
25a— a]/6 + 2al/'10 4- 7al/15.
Kan men echter de vermenigvuldiging met behulp van de
merkwaardige produkten verrichten, dan geeft men daaraan de
voorkeur.
Voorbeelden :
1. {Va + V2a) {Va — V2a) = {Vaf - (l/2a)' = a - 2a = — a.
(^a6- 4- l^a'5) (^aö' — f^a^b) = (l^^aö')' — (l^a'ö) ' =
= ölKa'6 — al^aö-.
55
2. (51/2 + 3Vsy = (51/2)-^ + 2(51/2) (31/3) + {dVSf =
= 50 + 30V^6 + 27 = 77 + 301/6 ;
(al/a - bVby = (al/a)' - 2(al/a) (bVb) + (61/ö)' = «"' -
— 2abVab -\- b\ ■
K (1/7 + 1/5 - 1/3) (1/7 — 1/5 - 1/3) = {(1/7 - 1/3) + V6}X
XiiVl — 1/3) - 1/5} = (1/ 7 - 1/3)' — (1/5)' = 7 — 21/21 +
+ 3-5 = 5 — 2K21.
4. (l/a + 1/6)^^ = {Vaf + 3(l/a)^ (l/ö) + 3(l/a) (1/è)' + (1/6)^ =
= aVa + 3al/ö + SbVa + öl/è = (a + 3&)l/ a + (3a + è) 1/è.
Opgaven.
1. (3 + 1/2) (5 + 1/2); (1/6 + 1/3) (21/6 -31/3);
(1/5 + 1/2) (1/10 — 1/5).
2. (2 + 31/3) (3 + 21/3) ; (l/a + il/c) [cVa + èl/c) ;
(21/5 + 3]/2) (1/5 - 1/2).
3. {2Vab + 31/ac — 2Vbc) {Vab + l/6c — Vac).
4. (1/5 — 1/10 + 1/15) (1/6 + 1/5 —1/2).
5. (21/aö + 31/ac — l/èc) (4l/a5 + 2Vac + 1/èc). - -
6. (1/6 + 1/12 + 1/15) (21/6 — 31/3 — 1/15).
7. (41/3 + 1/5 — 21/6) (31/3 — 21/5 + K6).
8. (1/2 + 1^3) (3^2 - 1/3) ; (2^/2 + 1/3) (1/2 — 3^3).
9. (l/a — l^b) {Va + ^è') ; (21/2 + 1^^2) (1/2 — 2^2).
10. i^x — f^x' + V>^x') [2t^x - ^x" + ^x').
11. (^4+1/2) (21/2— 1^4) ; (al/a+Z^l/6) (^;l/a~al/fe) (l/a+l/fc).
12. (2^5 + 3B/6 — 21/10) (— 1K5 + 31K3 — 41/10).
13. (1/ + 3 — l/ + 2)(— 21/ + 3 + 1/ + 2);
(liK - afc + ^ + ac) (2 1^ + a6 — "^ — ac).
14.
15.
16.
^-l + r' + --K+-)(-
o a c
13/ — a6 + ^ + a6c).,
,(-i?r)'(
]^ _ /^ _ ^ +i^ -^ 15/L_^j (^ _^^ _^ ^ _|_ p^^)
56
17. {^{a + bf + lK(-a — b)} X {2F'(« + bf — Sl^{a' + a'b)}.
18. 1^ — a'è — K 4- a'6c^) (IK + a'èc — K + a6'c).
19. (IK — a'-è — IK + abc') (V -\-ab-^^ a¥c%
20. (K + 2 + IK + 6 + IK + 15) (2K + 2 — 15/ + 6 + 21K+15).
^^- ^ a^-16^^4a^-l^''^ a^ + 8 'a^««>^-
22. -^1K(^'' — 4;r + 4)X-^^V^(^' — 3^ + 2)XlKfci^",
als o; > 2.
Merkwaardige Produkten :
23. (1/13 4- Vlh) (1/13 — 1/15) ; {Va + Kö) (Ka — Vb) ;
(21/a + 1/^)) (2 l/a — 1/è).
24. (3^a'6 + 2^a6-') (S^a'^è — 2lKa&-) ;
(l/a + ^ — a) (l/a -h IK + a).
25. (iKa + iKè) (iKa — ]Kö) (l/a 4- 1/^) ;
(lKa'6^ + iKa^è^) (iKa'ö' — iKa'è'^).
26. (^ — 2a6 + f/ — 3a'^6) (IK — 2rt& + IK + 3a"'è) ;
27. (1/7 + Vhf ; (1/3 + 1/2)-^ ; (2 —1/3)^ ; (5 — 2K3)^
28. [Vx — yVzf-, {^a^-\-^af', {f^a'b—f^ab'f ; {Vxy+Vyzf.
29. (^— a'+^a)'; (21K+^'— 3lK+:r^)' ; [af^—a^+bp'—hy.
30. (1/2 + 1/3 + 1/5)'; (1/6 + 1/3 + 1/2)^ {Vab-hVbc-\-Vacf.
31. (iKa' — "^aö + f^bj ; (1/10 + 1/5 + 1/2 + 1)\
32. (l/p + 1/^+ l/r)' ; (^ _ «2 _|_ ^ _ ^^ _J_ ^ _|_ J2)2^
33. (1/5 + K2 + 1/3) (1/5 + 1/2 — 1/3) ;
(l/a - 1/6 + c) (l/a + 1/7) — Vc).
34. (1/7 + 2K10 + 21/5) (K7 — 21/10 — 21/5).
35. (5 + 31/6 — 21K6) (5 — 31/6 — 21K6).
36. (l/6 + l/5 + l/3 + l/2)(l/6 — 1/5 + 1/3 — 1/2).
37. (l/a + lKa + lKa + ^a)(l/a — iKa — iKa+ti^a).
38. (Vp -\-Vq-\- Vr) {Vp -\-Vq- Vr) {Vp — K? + Vr) X
Xi-Vp-hVq-hVr).
39. (^ + a' + f/ + r^ + ^ + c)(^-a'+^+è^+lK+c')X
X (^ + a' + iK-è'^ + ^ + c'O X (lK+a^+lK+è'-+^-r).
57
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
Breng in de volgende vormen de factoren, die voor het wor-
telteeken staan, er onder :
aV (l + ^) ; (^5 + 1^2) K7— 21/10; (1/5 — 2) l^T+WÏÖ.
(10 — 2K5)K5 + 2K5; (10 + 21/5) K5 — 2K5.
(2 4- 1/3) 1/2—1/3; (4 — 1/7) VT+VT
Herleid de volgende produkten:
l/(l/a + l/è) X !/(!/« - l/è) ; 1/(5 — 21/5) X V^(5 -f- 21/5).
K6 4-21/5X 1^6 — 21/5; Ka + 1/è X "l^a — K*.
K2 4-1/3 X K7 — 41/3 ; K7 + 21/6 X 1^7 — 21/6.
K5+272 X K33— 201/2; Ka+l/èc X Ka^+Ó'c— 2ail/c.
{K2^+7 - K2a;— 2/}'+ {^2Öc^fJ-\- ^2x—yY, als ic > |2/-
{ K6-f 21/5 — K6-21/5f.
Ll/{la' + |a Ka- — è'} + l/{|a'- — ^a Ka' — è'}]', als a' > &''.
[l/{2r — r K4r- — a'} X K{2r' + r K4r' — a'}, als 4r
a-.
en
• 2r.
K^^"'^ — r} {2? — ig' + K^j' — r^}, als g- pos. is
als a < % b.
^jX3öKfa^-^ + i^
V a a" } V 3 9
V[Va + 1/&) X K(K« - K6), als Va < 1/&.
(l/a + K6)^ (1/a-l/è)^ {xVx-^yVyf.
[xf^xf — 2/K^V)' ; (Ka'ö — Ka*'?.
(1/5 + Viy — (1/7 — l/5)\
Herleid door ontbinding in factoren:
{Vx + Vyf — (1/2; — Vyf.
Ontwikkel: {oT^a + bl^bf.
Herleid: {Va — Vb -\-Vcf.
Bepaal den 7<^^'" term van: {f^a^b +f^abrf,
en den 12'»<^" term van {a^a'b — b^abT-
58
63. (]/10 — 1/8 -h 1/7 — 1/5) (1/10 -\-V8 -V7 — 1/5).
G4. (1/15 — 1/10 + 1/3 — 1/2) (1/ 15 -h 1/10 —1/3 — 1/2).
65. (1/7 — 1/3 +1/5 - 1/ 11 -h 2) (1/7 — 1/3 -h 1/5 + 1/11 - 2).
Deeling.
155. Men onderscheidt 3 gevallen:
r Geval. De deeling van twee eentermige wortelvormen.
ir Oeval. De -deeling van een veeltermigen door een eentermigen
wortel vorm.
///" Geval. De deeling van een een- of veeltermigen wortelvorm
door een veeltermigen wortelvorm.
Eerste Geval.
156. Het quotiënt van twee eentermige wortelvormen bepaalt men
met behulp van eigenschap IV, § 139 ;
xya'.xyb=xyl.
o
Voorbeelden :
1. 1/15:1/3 = 1/^ = 1/5.
o
2. 1?/— : 1^— = IK — : — = ^- r = IKtö- = t ^alc.
hc c- \hc c-J bc ah W h
Aan de voorbeelden ziet men, dat de wortels gelijknamig
moeten zijn, om op elkaar gedeeld te kunnen worden. Zijn ze
niet gelijknamig, dan worden ze eerst gelijknamig gemaakt ;
c ' c c^ ' c' V c^ ' c^ )
c ao' ac ac
Ook merke men op, dat men in het algemeen geen breuk-
vormen onder het wortelteeken laat staan, en geen wortelteeken
in den noemer eener breuk.
Heeft men door wortels uit algebraïsche getallen te deelen,
dan herleide men deze eerst tot wortels uit rekenkundige getallen.
59
a
'o. IK— a'ö' : IK— a'b = — f^ab' : — ^a'b = -f- jK^' =
ab
i>^ 1
= -I- IK- = + i 1K«^61
Men kan echter ook anders te werk gaan, en het quotiënt
in den vorm eener breuk schrijven. Men zegt, dat het quotiënt
eerst dan herleid is, als er in den noemer geen wortelteekens
meer voorkomen, en men in den teller zooveel factoren, als
mogelijk is, vóór het wortelteeken gebracht heeft.
7. V^ab : l^a'b = W7~~ïï,' ^^^ vermenigvuldige teller en noemer
met ^aè", om den wortel uit den noemer te verdrijven, waar-
door ontstaat :
Vab X ]Ka^>- _ ^a'h' . lKa-6' _ lya'b' _ bf^db _
ab ab ab ab
= of -IKa o.
a a
Opgaven.
1. 1/6:1/3: 1K10:1K2; 1K18:^2; 1K24 : 1K6.
2. Vöa:V2^a; "|Kl2aMK4a; l^löxy' '.l^bx/.
3. 1/30:1/15; f^aif^a'; l^abil^a-, iyab:f^a'b\
4. 1/3:1/5; 21/3:31/5; K2':l/2; 3:1/3; a:Va; a:^a.
5. 8^12:61K18'; 5lK20:3lK15; al^ab : b^ab\
H. Vabip^a'b; f^Sa-.Vab; 2l/a6 : lK2aè.
7. lya'b'il^ab-; ^ba :Vba; aV^:b^^.
o b
8. p/f :l}/2^; li/üi':^^.
bc c ca
60
c^ ' d^b^ ' d'b ' c^
10. V^:l^^; aV-^:iy^; a^~:bV~.
0 0 0 0 ba
11. (21^9x V : l^Sa^y^;') : l/3a^^ X 2lK3.r>. (Pasop!)
12. Vx X "^V : ^r X K^y ; Vab X iKa-è : l^^a'ö X ^a'b\
13. (al^y : bV y) X (^'F'a' : aV~).
14. «:!//->; ai : l^^öc ; 5 : 2K2 ; 3 : 2K5.
15. 3:1/2; 6:1^3; 5:13/2; a : IKè^ èclKaè'c.
16. 1^^ — ha% '.ly + ab; 21K — 30aV : — 31^ + 6ab\
17. alK — 2^a='6^ : bf^ + 2='a^&' ; l^ + ;r>MJ/ — y'z\
18 i3/ZI_8A . i3/:^i^y . i3/_^._i4/ 1 «'*'
• ^ + 3c(^^ • "^ - 9c'd ' "^ c^^ • ^ "^ r^ •
19 i^ZL^ . i^JIl^ . /'i^_^.i3/ É!Vfi/-J-^.ii/ *
Tweede Geval.
157. Om een veeltermigen wortelvorm door een eentermigen te
deelen, deele men eiken term, waaruit het deeltal bestaat, door
den eentermigen deeler, en telle de quotiënten samen. Dit
berust op een eigenschap van de deeling, die zoowel voor
meetbare als onmeetbare getallen geldig is.
Immers :
Va-{-Vb — Vc-]-Vd , ,.., ..
r-? zal gelijk zyn aan :
Va Vb Vc Vd , - , ^^ ^ -
77 — l- rj ry — h 77^, omdat deze laatste vorm, met den
Ve Ve Ve Ve
deeler vermenigvuldigd, het deeltal oplevert.
Voorbeelden.
)/6 + Kl5-l/18 1/6 1/15 1/18 ,..,,., ,..
^' 73 -ï73"+F3--173-==^^ + ^^-^^-
2 "ya-b — lyab' + l^d'b' _ f^d^b _ l^ab' f^a'b' _
= ^a — ^b-^ fy-ab.
61
Deze wijze van deelen is te verkiezen, als elke partieele deeling
gemakkelijk verricht kan worden. Is dit niet het geval zooals bij :
1/3 — 1V5 H- 1^2
1/6
dan beschouwe men het quotiënt als een breuk en vermenig-
vuldige teller en noemer met 1/6, om den noemer rationaal te
maken ; men verkrijgt dan :
(1/3 — 1K5 H- 1^2) X 1/6 _ 31/2 — 1^5 . 6^ + 1^2'^ . 3^
6
v-
— a
-b
6
a
— 6-
— a
Men herleide eerst de algebraïsche tot rekenkundige wortels :
^ _1_ 13/ ^ I 14/ ^
b ^^ b ^ ^ b'
7 , en vermenigvuldige nu teller en noe-
V —
a
mer met V —
a
{^T+^T^^wV^a
b_
a
b\ b a b a I
y(l + 1^ aö + ^ lKa^)= y + y l^aè + y 15/al
Opgaven.
1. (1/12 — 1/18 + 1/6) : 1/2 ; (161/15 — 71/5 + 321/50) : 41/5.
2. (91/54— 181/12+271/15) : 31/3 ; (151/8+101/7— 81/2) : 41/5.
., 51/2 + 21/3 — 31/6 ^ l/gé + l/ac — 1/^c
'^' 1/30 ' 1/aèc
4. ^^H-yl^/ï-yK^' + lK/r
62
5. 1^2 + ^2-1V-2 + 1^2 l^a yö__^ÖV .
I/-8 \ f) c al ab
\ c aci c bc
7. (f^'^-aV-—ab l^aiv) : Ka&c.
8. Bewijs, dat: 1>-^ : 1>- ^ = 1!^ ^-X i:^^.
^—15+13^+12— ]3^— 18 T^— 4+^+12— 5TK+6
2^—3 ' —31^—15
fy—a'h'c ' iZ-f
11. (l3/_4-l/+2+l^-2):l6/-2; {^-+'-x'-'l^\-xy)
10 1^(— «F— T^C- af , ^
12. — ^^ —— , als X en y oneven zi]n.
Derde Geval.
158. De deeler is een veeltermige wortelvorm. Men onderscheidt
hierbij drie gevallen :
a. De deeler is een tweeterm, die geen hoogere dan tweede-
machtswortels bevat.
Gedaante: —^ yr.
Va±Vh
h. De deeler bestaat uit meer dan twee termen, die geen hoo-
gere dan tweedemachtswortels bevatten. ■
Teller
Gedaante: —^ — ; — y% — .
Va±Vh±Vc
c. De deeler is de som of het verschil van twee hoogere-
machts wortels.
Teller
Gedaante: :^ — r~ï^7I-
Teller
159. Geval a: — — . Vermenigvuldigt men teller en noemer
met Ya ^ Vb, dan wordt de noemer (Va)' — (Vbf :=a — è,
en dus rationaal.
63
Voorbeelden.
5
^ _■ , . Vermenigvuldig teller en noemer met V^3 — 1^2, of
de breuk met -pr- — -, dan krijgt men :
5 1/3 - K2 _ 5 (1/3 - 1/2) _
1/3 + 1/2^1/3-1/2- 3-2 -^^^^'=^ ^^^
1/7 + 1/5 ^ 1/7 + 1/5 1/7 + 1/5 _ (1/7 + 1/5)' _
1/7—1/5 1/7 -1/5 ^1/7 + 1/5 ~ 7 — 5 ^
Teller
160. Geval b: ^. .,...,.
V a±V b-±.V c . . . .
In dit geval make men van den noemer eerst een tweeterm,
door eenige termen tusschen haakjes te plaatsen, en passé dan
de vorige bewerking toe.
Voorbeelden.
1/5 + 1/3 ^ 1/5 + 1/3 (l/5 + l/3) + K6 ^
1/5+1/3 — 1/6 (1/5 +V^3) — 1/6^ (1/5 + 1/3) + 1/6
^ (K5 + 1/3) (1/5 + 1/3 + 1/6) ^
8 + 21/15 — 6
^ (1/5 + 1/3) (1/5 + 1/3 + 1/6) ^
2(1 + 1/15)
_ (1/5 + 1/3) (1/5 + 1/3 + 1/6) >^ K15 — 1 _
— 2(1/15 + 1) ^^ 1/15 — 1
^ (1/5 + 1/3) (1/5 + 1/3 + 1/6) (1/15 — 1)
2(15-1)
22 + 121/2+61/15 + 21/30
28
= ^ij (11 +61/2+3K15+1/30.
Bij deze vormen zij men echter voorzichtig met het tusschen
haakjes plaatsen van de termen uit den noemer, want dat dit
lang niet onverschillig is, zullen we uit de volgende voorbeel-
den leeren :
521/2
2. Gevraagd: ^ _^ ^^3 ^ ^^3 te herleiden.
o ,. •• 521/2 , , . , ,
öchrijven we eerst: oi/qx 1 i/iq^ ^" herleiden op de ge-
wone wijze :
64
521/2 (5+21/3)— 1/13 _52(5+2l/3— 1/13)1/2
1 r X
(5-|-21/3)H-Kl5 '^ (5+21/3)— 1/13 37 + 201/3—13
_52(54-2l/3— 1/13)1/2 ^ 13(5+21/3— Kl3)l/2 6— 51/3 _
~ 4(6+51/3) "~ 6+51/3 ^6— 51/3 ~
13 (5 + 21/3 — 1/13) (6 — 51/3) 1/2 ^
~ 36—75
(5+21/3~l/13)(6— 51/3)1/2 ^ —13K6— 61/26+51/78 _
~ —3 ~ —3 ~
= 4il/6 + 21/26 — l|l/78.
Had men echter in den noemer: 5 + 21/3 + 1/13 de twee
laatste termen bij elkaar genomen, en dus geschreven:
521/2
5 +(21/3 + 1/13)'
dan zou de herleiding geworden zijn:
521/2 5— (21/3+1/13) ^ 52(5— 2l/3— l/13)l/2_
5+(2l/3+l/13) ^5— (21/3+1/13) ~~ 25-25—41/39 "~
_ 52(5 — 21/3 — 1/13)1/2 ^ 13(5—21/3—1/13)1/2 1/39 ^
"~ —41/39 ~ —1/39 ^1/39""
_ 13(5 — 21/3 — 1/13)1/2 X V^39 _ 51/78 — 6V26 — 13K6 _
~ —39 ~~ —3 ~"
= 4^V6 + 21/26 — If 1/78.
Deze bewerking is iets korter. Dit ligt in de omstandigheid,
dat het vierkant van 5 evengroot is, als de som der vierkanten
van de termen 21/3 en 1/13.
3l/3
2 + 1/3 + 1/7*
Omdat: 2^=4; (1/3)^=3; {V7f=7;
en 4 + 3 = 7 is, nemen we in den noemer de eerste twee
termen bij elkaar:
31/3 2 + 1/3 — K7 ^ 3(2 + ^3 — 1/7)1/3 _
(2 + 1/3) + 1/7 ^ (2 + 1/3) - 1/7 41/3 ~
= 1(2 + 1/3 — 1/7).
, „.. 1 + 21/35
4. Zij gegeven : y^j^y^^y^^-
Daar (1/5)'^ = 5, (1/7)' = 7 en (1/11)^=11, en men twee
dezer vierkanten door optelling niet gelijk kan maken aan het
overblijvende vierkant, is het oogenschijnlijk onverschillig, welke
65
vormen uit den noemer men bij elkaar neemt. Daar echter in
den teller 1/^35 voorkomt, die door de vermenigvuldiging van
1/5 en 1/7 ook ontstaat, neme men deze twee wortels in den
noemer bij elkaar:
1 + 21/35 1 + 21/35 1/5+1/7—1/11
(1/5 + 1/7) + 1/1 1 (K5+l/7)+l/ll ^^ iVb+V7)-yn
_ (1 + 21/35) (1/5 + 1/7 -l/'ll) _
12+21/35-11 -1/5 + 1/7-1/11.
161. Bevat de noemer vier tweedemachtswortels,bv.l/a+l/&+l/c+l/<^
(welke de teekens der termen zijn, is onverschillig), dan ver-
menigvuldige men teller en noemer met een vorm, die in twee
teekens met den noemer verschilt, hv. metV^a-\-V b — l/c — V^d.
De noemer wordt dan :
{Va + V'bf — {Vc + Vdf = a + è — c — rf+ 2Vab — 2Vcd.
Als a, b, c en d getallen zijn, wordt de noemer dus een
drieterm ; zijn het geen getallen, dan kan men, door a-\~ b — e — d
tusschen haken te plaatsen, er een drieterm van maken. In
ieder geval hebben wij toch een drietermigen noemer verkregen,
die nog maar twee wortels bevat.
Deze drieterm wordt een tweeterm, als a-\-b = c-{-d;
m. a. w. als er twee getallen in den noemer voorkomen, waarvan
de som der vierkanten gelijk is aan de som der vierkanten van
de andere twee getallen. In dit geval moet de vermenigvuldiger
dus zoo gekozen worden, dat men de teekens verandert van
die twee termen, wier vierkanten samen zoo groot zijn als de
som van de vierkanten der andere twee termen, b.v.
1/10 + 1/8 + 1/7+ 1/5
1/10— 1/8 + 1/7 — K5'
Daar 8+7 = 10 + 5 is, kieze men als vermenigvuldiger voor
teller en noemer 1/10 + 1/8 — 1/7 — 1/5 ; dan heeft men de
volgende herleiding:
1/10 + 1/8 + 1/7 + 1/5 ^ 1/10 + 1/8 + 1/7 + 1/5
1/10 — 1/8 + K7 — 1/5 (1/10 — 1/5)— (K8 -1/7)^
V 1^10-^/5 + 1/8-1/7 ^(1/10 + 1/8^- (l/7-fV/5)^^
^ (1/10 — 1/5) + (1/8 -1/7) (1/10 -1/5)' -(1/8 -1/7)-^
_ 18 + 81/5 — 12 — 21/35 _ 6 + 81/5 — 21/35 ^
~ 15 — 101/2— 15 + 41/14 ~ 41/14—101/2 ~
_ 3 + 41/5 - 1/35 ^ (3 + 4]/5 — 1/35) (21/14 + 51/2) ^
— 21/14 — 51/2 "~ (21/14 -51/2) (21/14 + 51/2)
Derksen en de Laive, Alg. II. 5
66
6 VU + 15|/2 + 81/70 -f 201/10 — Uj/lO — 51/70
6K14+15K2+3K70+6^i0^^,^^2,^2+iK70+l/10.
6
162. De drieterm: {a+ h — c —d) -{- 2Vab — 2Vcd wordt een
eenterm, als 2Vab = 2Vcd is, m. a. w. als het produkt van twee
termen uit den noemer gelijk is aan het produkt van de twee
andere termen. Dit nu zal plaats hebben, als :
Va:Vc = Vd: Vb,
m. a. w., als de termen in den noemer zoo gerangschikt kunnen
worden, dat ze een evenredigheid vormen.
Dit geval zal zich voordoen bij den volgenden vorm:
K15 + KIO + j/ 3 4- K2
K15 — KIO 4- K3 — K2'
Daar het produkt van den eersten en vierden term uit den
noemer gelijk is aan dat van den tweeden en derden, neme
men den eersten en vierden, alsook den tweeden en derden term
tusschen haakjes. De herleiding wordt dan :
K15 + 1/ 10 + K3 + K2 ^ K15 — K2 -f IXIO — ]yS
(K15-K2)— (Kio— K3) ^^ {K15—K2) +(1X10— 1/3)
_(K154-K10)'— (1X3+K2)'^ 25+10K6- (5+2K6) _
~(K15— K2r— (K10-K3f "" 17-2K30- (13- 2K30) ~
Opmerkingen. 1^. Men had dit voorbeeld nog eenvoudiger
kunnen behandelen met behulp van de ontbinding in factoren :
K15+K104-1/3+1/ 2 ^ (K3-|-K2)K5+l(i/ 3+K2) __
1/15— K10+K3— 1/2 ~ (K3— l/2)l/5+l(K3— K2) "~
^(1/ 54-1X1/ 3+K2)_K3+K2 _^(1/3H-K2f^ ^
(K54-1)(K3-K2)~K3— 1/ 2 3—2 "^ ^
2". Over het rationaal maken van den noemer, indien er meer
dan vier tweedemachtswortels in voorkomen, raadplege men
Deel IV.
Jl cliGr
163. Geval o. p^a ^p- b
Kiezen wij daartoe in de eerste plaats als voorbeelden :
p p p p
FV+^' ï/a — -^ö ' iKa + 1/6 ' l/a — p'b'
3.
67
P
l^a -h f^b'
Wij verwijzen naar § 57, waar men de eigenschap zal vinden:
De som van twee gelijknamige oneven machten is deelbaar door
de som der grondtallen.
Daar a de derdemacht is van l^a, en b de derdemacht van
^b, zal a-^b deelbaar zijn door ^a-\-'^b. Vermenigvnldigt
men nu teller en noemer met a -\- b, dan ontstaat de volgende
herleiding :
P _ P x^'^^
f^a+f^b p'a-^f^b^ a + b'
De eerste noemer is deelbaar op den tweeden teller; voert
men die deeling uit, dan krijgt men:
p (iKa- — t^ab + t^b')
a-\-b
P
iKa — f^b'
Wij verwijzen naar § 53, waar bewezen is de eigenschap:
Het verschil van twee gelyknamige ?nachten is deelbaar door
het verschil der grondtallen.
Dus is a — b deelbaar door l^a — ^b. Vermenigvuldigt
men nu teller en noemer der breuk met a — b, dan ontstaat de
volgende herleiding:
f^a — lyb p'a — l^b^^a — b'
De eerste noemer is deelbaar op den tweeden teller; voert
men die deeling uit, dan ontstaat :
a — b
P
t^a + fyb'
In § 55 is bewezen : Het verschil van twee gelijknamige even
machten is deelbaar door de som der grondtallen. Dus is a — b
^eelbaar door ^a -\- 1^& ; vermenigvuldigt men teller en noe-
mer met a — 6, dan ontstaat door toepassing dezer eigenschap
de volgende herleiding:
P ^ P .a—b_p{^a'—iy'a'b-\--^ab'-'^b')
y^a-\-t^b~t^a+t^b^a—b~' a-b
68
4 l -
lp § 53 is bewezen: Eet verschil van twee gelijknamige
machten is deelbaar door het verschil der grondtallen. Dus is
a — h deelbaar door iVa — ^b. Vermenigvuldigt men dus
teller en noemer met a — b, en voert men de genoemde deeling
uit, dan ontstaat :
, p _ p a—b_p(^a'-\--^a'b-\-^ah'+'^b')
^a—^b^t^a—f^b^a—b" a — b
164. De merkwaardige quotiënten, die wij bij deze herleidingen
gebruikt hebben, wijzen ons ook den weg aan, dien wij bij de
volgende algemeene gevallen moeten inslaan :
p '
5.
P'a - p^b'
Volgens § 53 is p^a — p^6 steeds deelbaar op a — &, on-
verschillig of w even of oneven is. Men herleidt dus als volgt:
P __ P v^ « — ^ _
Xya — Xyb~P^a — p'b^^a — b
_piP^a''-'+Xya''-b+Xya''-%'-{- .... +l!3^a^6"-^+iya&"-^+P^6"-')
a — b
6. P
Volgens § 57 is ^pt'a + -|;^'6 deelbaar op a^b. Men her-
leidt dus :
P V V " + ^ =:
'X^'a -f -^'^'6 'X^'a + -^'^'è ^ a^b
7. ' P
Volgens § 55 is i}a-\-p-b deelbaar op a — b. De herleiding
wordt :
P ^ P ^ <^ — ^ ^
l>a^^b {:>a-\-^b'^a — b
a — b
Opgave. Wijs in de voorgaande voorbeelden het verband
aan tusschen de noemers der gegeven breuken en der herleide
69
breuken. Hoe komen de teekens voor in de vormen, waarmee
de tellers ten slotte vermenigvuldigd zijn ?
165. Hoe men herleiden moet, wanneer de noemer de som of het
verschil is van twee ongelijknamige wortels, zal het volgende
voorbeeld duidelijk maken.
P
^a + Vb'
Door toepassing der eigenschap : Een wortelvorm verandert
niet van tvaarde, als men exponent in en onder het wortel-
teeken met hetzelfde getal vermenigvuldigt, kan men l^a en Vb
tot zesdemachtswortels herleiden. De noemer wordt dan
l^a- + f^b'. Nu is a' — b^ deelbaar door f^a' + l^è' volgens
§ 55, waardoor men tot de volgende herleiding komt :
P P_ V ^'~^' —
l3 /N _-2 13
2.
3.
6.
_ p jaiya' — a1^a-6^ 4- ab — h^a'b^ + b^f^a — b'Vb)
~ a' — h'
Opgaven.
2 6 2]/5 3|/"2 Vab
K3-I-1/2' K5 + K8' K54-1/2' V2-[-Viy' Va — Vb'
V^—VS 21/5 — VS Va-\-Vb. 2Ka — SVb
Vb -{-VS' 31/5+21/3' Va — Vb' hVa^4Vh'
31/5 — 81/2 71/12 — 4K27_ 71/5 — 6l/3 al/é-6]/a
81/2 — 4]/5 ' 81/3 H- 21/2 ' 41/2 + 31/6 ' a _ ^6'
è a
51/2 — 3K6 1/14 — 1/7 a:
81/2 4-21/6' 1/21 + 1/14' V{x + y) — Vx'
y{x + y)-Vix-yy ^1«^>^-
l/(^ + 22/)-l/2/' l/(a + />) + l/(a-6r^'' '*^'''
x-^V(x'-l) , ^^
0^-1/(^^-1)' ^^' ''^^'
1 2K15 2 + K2+K3
K2 + K3 + K6' K3 + K5 + K6' 2 — K2+1/3'
70
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
47 .
K2+K3-K5'
181/3 — 12K2
K2-I-K3 + K5'
2K3 + K2
K2 + 1/3 + K5
K2+K3— K6
21/ 3+3K2+K6 '
K2 — K3 + K6 ■
3K3 — 21/ 2
12K2
5K8 — 31/ 2 — 2K3 ' 3— K2+K6'
8 + 2K42
K10+K8-K6*
___6j/_5___
1 + 1/ 5H-K6*
K5— K3— 2K2
2K2+3K3+K19 ' K5 +K3+2K2*
- K7 2 — K3 — K5 -r K6
K5 + 1/6 + K7'
2 — K3 + K7
2+K3 + K7'
K6+K19
K2 + K3 + K6 + K7 ' 2 + K3 + 1/ 5 + 1/ 6 '
2 — K3 — K5 4- K6
4 + 6K2
3+K35
2 + K3 — 1/5 — 1/6'
4 + 4K15 .
K3 + K5 + K6' K3 + 1/5 + K6' K5+1/64-K7*
1 + 21/14—21/ 15 ^ Vx—\yy—]/ {a—x)-H^{a—y)
V 2+K3+1/5+K7'
a — &
als a > a? en a >
13/7-1^2
^5 + 1^2
^5 — "^2
6
l^a-&'
l^a + iKé*
l^x-
l^a; — 1^1/' 13^3—1^2'
aT^6 -\- hl^a ^x + l^y
aiya — bf^b ' l^a'ö — "^ró'^ ' iK^z; — iKy'
al^ö 4- bl^a K5 — 1^3
1
1-
(« + &)!/ (a^ + a) — {a — b)V (a'
K5 4- 1^3 '
1 /
K2 + 1^2'
-^(, als X pos. is en <
- a)
{a — b)V ia' -\-a) — [a + b)V (a'
/I/5 + 1/3 21/3 + ]/15\ _ /2}/
als a > 1.
Vl/5— 1/3 2]/3
21/3— 41/5— 6]/7
1/3 31/5 + l/3\
Vlh) ''[Vb-\-VS ^ 1/5 — 1/3 /
^p~^q . 1/2-1/3+1/5+1/6
1/3-1/5—1/7 ' iKp+lK?' 1/2+1/3+1/5+1/6'
a;K(a' — ^') + 2/K(a' — ^'')'
als a^
iC en a'
y
71
Ka + K* + Kc "^ Ka — [/ b + Kc"
156 4- 12 K 11 3 — K2 + K3 — K6
6 + 14K2 — 2K11' 3 +K2 + K34-K6"
als a pos. is en > 1.
K(a-l)+^(^._j)
26.
27.
28.
x^—Sx—2-\-{x^-—l)\y(x'—4) (Ontbind teller en noemer eerst
re'— 3a;+2+(;r'— 1)K(^— 4)' in factoren).
(ƒ' — hg^ — m) l^m — 2gm\y^h
f + gVh + iym •
]y(a + a:) - K(a - a:) 4- K (g +y) - K(a-y)
\yia + x) + iy{a-x)-{-]y{a + y) + ]yia-yy
als az^ X en ar^-y.
Worteltrekking uit Veeltermen.
A. Vierkantswortel.
166. Verheft men (a + ö + c + c^ + . . .) tot de 2'^« macht, dan kan
men dit op verschillende wijzen doen :
(a+&+c+^-h . . .)'=a-+2a(&+cH-^-h . . .)+(&+c+(^+ . . .)%
(a+&+c+c^+ . . .)^=(a+&)'+2(a+&) {c^d-\- . . .)+(c+(^+ . . .)%
(a+ö+c+e^+ . . .y^=(a4-ö+c)'+2(a+&+c) (c^ + • • .)+(^+ • • OS
enz.
Omgekeerd leeren deze formules ons den vierkantswortel uit
een veelterm trekken, die gerangschikt is naar de opklimmende
of afdalende machten eener rangletter.
Zij 9a^ + 12a^ — 2a- — 4a + 1 de veelterm, dan zal de eerste
term van den wortel gelijk moeten zijn aan -|- Sa', zijnde de
vierkantswortel uit 9a*. Trekt men het vierkant van dien eer-
sten term af van den veelterm :
9a' + 12a' — 2a' — 4a -f- 1
9a^
+ 12a' — 2a' — 4a + 1
dan zal deze rest bestaan uit :
2 X 3a^ X (andere termen) + (andere termen)^
72
en daar bij de ontwikkeling van dezen vorm 't allereerst de
tweede term van den wortel vermenigvuldigd wordt
met 2 X 3a', zal deze tweede term verkregen worden, door
2 X den eersten term van den wortel te deelen op
den eersten term van de rest:
+ 12a'' : 4- 6a' = + 2a.
De tweede term is dus -f 2a, en den wortel kan men nu
voorstellen door:
+ 3a^ -\-2a-\- andere termen.
Van den veelterm moet dus afgenomen kunnen worden:
{-\- 3a^ -|- 2a + andere termen)^ =
(+ 3a^ + 2a)^ -f- 2(3a' + 2a) (andere termen) -j- (andere termen)'.
Nu is (+3a' + 2a)'=(-f 3a')^-l-2(+3a')X + 2a+(+-2a)'=
= (+ 3a')' + {2 X + 3a- + 2a} (+ 2a).
Van den veelterm is {-\- 3a')' reeds afgenomen ; van de rest
moet dus eerst nog afgenomen worden:
{2 X + 3a' + 2a} (+ 2a) = + 12a' -f 4a'.
Rest : 4- 12a' — 2a' — 4a + 1,
af + 12a' H- 4a'
blijft — 6a' — 4a H- 1 •
Deze nieuwe rest moet nu gelijk zijn aan:
2 X (H- 3a' + 2a) X andere termen + (andere termen) '.
Bij de ontwikkeling hiervan ontstaat als allereerste term :
2 X (4- 3a') X de derde term van den wortel, zoodat
wij dezen derden term kunnen vinden, door den eersten
term van de rest te deelen door 2 maal den eersten
term van den wortel:
— 6a':-f6a'=— 1.
De derde term is dus — 1 ; de 3 eerste termen van den
wortel zijn dus : + 3a'^ 4" 2a — 1.
Van den veelterm moet dus (4- 3a^ 4" 2a — 1)' afgenomen
kunnen worden. Nu is :
(4-3a'+2a-l)'=(+3a'+2a)'+2(4-3a'+2a)X— 14-(-l)'.
En daar reeds (4- 3a' + 2a)^ van den veelterm afgenomen
is, moet er nu nog af:
4-2(4-3a^+2a)X-H-(-l)'=:{2(4-3a'4-2a)-l}X-l=
=— 6a"'— 4a4-l.
Na deze aftrekking blijft er niets meer over, derhalve is
4- 3a* + 2a — 1 de wortel.
Men schrijft de bewerking aldus
73
V{9a* + 12a'' — 2d' — 4a + 1) = -[- 3a' + 2a — 1
(4- 3a')- = 9a^
+ 12a' - 2a"'
(+6a' + 2a)2a= + 12a'+ 4a'
— 6a' - 4a + 1
(+ 6a'+ 4a — 1) X— 1 = - 6a' — 4a + 1
O
Opmerking. Het zal den lezer duidelijk zijn, dat wij bij
onze verklaring alleen den positieven wortel op het oog hadden.
Opgaven.
Trek den positieven vierkants wortel uit :
1. a- -f 4a6 + 2ac + ib' + 4öc -|- c\
2. 4a' 4- 12a& — 4ac + 9è' — 6bc + c\
3. a' + 2a' — 3a' — 4a + 4.
4. a'b' + aV + 6'c' — 2a'&c + 2ab-c — 2ahc\
5. ia'b' — 20ab'c + 28a''5c -f 25iV — 70aöc' + 49a'c\
6. 9a'-"+' + 42a'-^-- + 103a'^-' -f 126a^-''' + SW""-''.
7. x' — 6xy H- lOxz — Uxu-\- 9/— 30y2;-|-42yM-f 25/'— 70^w4-49w'.
8. iyx'-]-2f^xY-}-l^/.
9. X — 2t^xY + ^x'z + f^y'' — il>?/V + \Vz.
10. (a- — 2ab + ^') x'^-2 (a' — è'') o;' + 3 [a' + a'è' + 6^) ar +
+ 2 (a' + a^6 + a'è' - a'ó^» — aè' — b'')x-^ {a' — 2a'6' + b').
11. rz;^^ — 2a;'y + 2,x'Y — ^^'Y + 5a:y — 4:xY + Sa^V' —
— 2xy* + «/'^
12. x'-]- 2{a + 1 y + (a' + 2>)x' — 2(a' — a — ly + (3a' + l)x' —
— 2a(a — \)x -|- a'.
13. ^V + 2;s'a; (^' + 1) + ^' (ic' + 1) — 2^iï; {x^ + 1) + ^'.
14. w'-^' — 4 (w — l)^n" + 4 (m — 1)'^ + 2 (w — 2fw' — 4 (w— 1)^ X
X{n — 2f -f (n — 2)'^
15. p'z' — 2pV +i>V H- 2y (^1 — ^]z' — 2y{p — y)z^ + ^ —
74
B. Derdemachtswortel.
167. De derdemachtsworteltrekking uit veeltermen berust op de formule:
{A + By = A''-\-BArB-\-SA.B' + B'' =
= A' + {BA^ + (SA + B) B} B.
Zij bijvoorbeeld :
a" + Sa" + Qa' + la' + 6a' + 3a + 1
de veelterm, waaruit wij den derdemachtswortel willen trekken, dan zal
de eerste term van den wortel a^ zijn, zijnde de derdemachtswortel uit den
eersten term van den veelterm.
Stelt men nu den wortel voor door a* + J5, dan moet van den veelterm
afgenomen kunnen worden:
(a' + By = {ay + {3 {a^ + (3 . a' + B) B]B.
Neemt men er nu eerst (a')^ = «' af, dan is de rest:
Za" + 6a* +■ Ta" + Öa" + 3a + 1 == {3 {ay + (3 . a' + £) B]B.
Nu ontstaat bij de ontwikkeling van het tweede lid het allereerst het
produkt van den eersten term, waaruit B bestaat, met 3(a')'. Men kan den
tweeden term dus vinden, door 3(a')' = 3a* te deelen op den eersten term
van de rest:
+ 3a^3a* = a.
We weten dus nu, dat de wortel kan voorgesteld worden door {ct^-\-a)-\- C,
zoodat van den veelterm afgenomen moet kunnnen worden:
(«' -f- «)" -f- [3(a* + ay + {3(a* + a) + G]C]C en dus eerst al :
(a« + ay = (ay + {3(a'')= + (3 . a*» + a)a}a.
Nu is er al (ay afgenomen, zoodat we van de rest nog moeten afnemen :
{3(a'')'' + (3 . «« + a)a] a = 3a' + 3a* + a'
De rest is : 3a'' + 6a* + la" + 6a' + 3a + 1
{B(ay + (d.a*-\-a)a}a=da' + Ba'-\- a'
-L 3a* + 6a' + 6a' + 3a + 1.
Hiervan moet nog afgenomen kunnen worden :
[3(a' + ay + {3(a' + a) + C}C]a
Bij deze ontwikkeling ontstaat als eerste term :
3(a')'Xde eerste term, waaruit C bestaat;
d. i. de derde term van den wortel, zoodat we dien derden term kunnen
vinden door den eersten term der rest te deelen door 3(a')':
+ 3a*:3a*=l.
Van den wortel kennen we nu reeds :
a' + a + l,
zoodat we (a' + a + l)' van den veelterm moeten kunnen aftrekken of:
(a« + a)^ + [3(a» + a)'' + {3(a' + a)+l}l]l.
Er is reeds afgetrokken (a' + a)'; van de rest moet dan nog af:
[3(a' + a)'' + {3(a* + a) + l}l]l;
3(a' 4- a)' = 3a* 4- 6a'' + 3a'
{8(a' + a) + 1}1 = 3a' + 3a+l
(3a* + ea" + 6a' + 3a + 1) X 1,
en dit is juist de rest, dus is de gevraagde wortel :
a' + a + l.
75
Men schrijft de bewerking aldus :
^(a« + Sa"* + 6a* + Ta'' + 6a^ -f 3a + 1) = a» + a + 1
(ay = a^
+ 3a» + 6a* + Ta"
3a*
+ 3a^4-a'
(3a* + Ba" -j-a*)Xa= 3a' + 3a*+ a"
+ 3a* + 6a' + 6aM-3a + l
3a* + 6a» + 3a^
3a' + 3a + l
(3a* 4- 6a'' + 6a» + 3a -f 1)1 = 3a* + 6a'' -f 6a^ + 3a+ 1
O
i
Opgaven.
1. -^(Sa" - 12a*6 + 6a5* — ft").
2. \/{a' — Ba'b + Bob' — i" + 3a V — 6aic + Bb^c + 3ac* — Bbc^ + c").
3. v/(8w'' — 36w» + 114m* — 207m'' + 285m^ — 225?» + 125).
4. '^(64a" — STÖa*" + 2160a" — 4320a» + 4860a' - 2916a» + 729a').
5. v^iaya — BaYb + BbYa — b^b f 3aV^e — Ql/abc + Bbyc + Bc^a —
— BcYb + c|/'c).
Wortels uit eentermige Wortelvormen.
168. In § 142 hebben wij de eigenschap bewezen, die in de vol-
gende formule h'gt opgesloten :
Deze eigenschap heeft alleen betrekking op wortels uit reken-
kundige getallen.
Voorbeelden :
2. \y{a^a).
Dezen vorm kan men op twee wijzen herleiden :
1**. Men brengt den factor a, die voor den derderaachtswortel
staat, er onder ; daardoor verkrijgt men :
1/ (l3/a^) = l6/a* = Kfr.
2". Men kan den vorm beschouwen als den tweedemachts-
wortel uit een produkt, en daarop eigenschap I van de wortels
uit rekenkundige getallen toepassen. Zoodoende verkrijgt men :
1/ {afya) = l/aX\y (^a) = 1/ a X 1^« = 1^«' X l^a =
Wil men deze eigenschap ook op wortels uit algebraïsche
76
getallen toepassen, dan moet men de vormen eerst herleiden
tot wortels uit rekenkundige getallen.
Voorbeelden :
1. 1^ (— 15^ + «).
]5^ + ö^ is positief en gelijk aan l^a ; dus is :
lK(-iy + a) = ^{-(+l^a)}==^(-T^a).
Dit is een onevenmachtswortel uit een negatief getal en dus
negatief, terwijl de absolute waarde gelijk is aan : l5^(]^a).
Men krijgt dus :
^ (- ^a) = — iy i^a) = — ^a.
Opgaven.
Herleid :
1. 1/(1/2); 1/(^3); ViP'cr); ^(^a'); P'iP'i^a)].
2. Bewijs, dat l^(l^a) = ]y{\^a) en herleid met behulp hiervan :
3. K(«Ka); l^(aK«); K(«l^a); ^{a'^a).
'^ &Ka' aK«' i3/«!' 1^«*
7. l^{— a-öK(a&K4-«'è')}; M— a;V(— a^Vl^ — ^V)}.
8. IK{— aV(— al^-«&')}X"l^(— «'»^-i) : X^{—aiy—b-fya).
9. ik}— 3a;l^— -{xi^j— /^l^^{ : f^[—x^—xy].
\ y ] I t/i
10. |K{(- - a — è) 13^' [- a(a + hf 1^(- a — 5f ]}l
77
(l. l^l-h a'^^i— a\y 4- «)} X 1^1- «' i^^i-h a-Va)].
i2- '*'ï^X'^?ï7^^^^p-X^^-
Vierkantswortels uit tweetermen van de
gedaante: A± B\yC,
waarin A positief is.
169. Eigenschap. Als twee tweetermen, ieder bestaande
uit een meetbaar en een onmeetbaar deel, aan
elkander gelijk zyn, dan moeten de meetbare deelen
en ook de onmeetbare deelen gelijk zijn.
Gegeven : . a-{- hX^c =^'p\- qlXr.
Te bewijzen : a = p en b]yc = q\/ r.
Bewijs.
Uit : «4- b\yc=p-]~ q\yr,
volgt : {a — p)-\- b\yc = qX^r.
Verheft men beide leden tot de tweede macht, dan verkrijgt men :
{a — pf + 2(a — p)h]yc + Wc = gV.
Nu is het tweede lid meetbaar, derhalve moet het eerste lid ook
meetbaar zijn. Maar in het eerste lid komt de onmeetbare term :
2(a — p)b\yc
voor; die moet dus verdwijnen, en daartoe is noodig, dat een
der factoren, waaruit hij bestaat, nul zij. Dat kan geen andere
zijn, dan a — p.
Uit a — ^ = 0, volgt: a=p; en dus ook èl/c = g-j/r.
170. De tweetermen :K7 + K2; K7 — K3; 5 — K3; 2K7 + 5;
zijn alle positief, en bestaan uit de som of het verschil van
twee getallen, die beide of een van beide onmeetbaar zijn.
Verheft men ze tot de tweede macht, dan krijgt men:
{1^7 -h]y2,f= 9 + 2K14;
{K7 — \ySf = 10 — 2K21 ;
(5 — K3)' = 28-10K3;
(2K7 4-5)' = 53 + 20K7.
Al deze uitkomsten zijn weer tweetermen, maar nu bestaande
uit een positief meetbaar deel, en een onmeetbaar deel, en
hebben dus de gedaante:
A±Biyc.
78
171. Wil men omgekeerd den positieven vierkantswortel uit een
dier tweedemachten herleiden, b.v. uit: 28 — 101X3, dan moe-
ten wij komen tot 5 — 1X3.
De weg, dien wij daartoe inslaan, is de volgende:
Daar het teeken van het onmeetbare deel in 28 — 10 1X3
negatief is, zal 28 — 1X3 het vierkant zijn van een verschil, dus :
of van het verschil van twee onmeetbare getallen, en daarom
van de gedaante: iXa^ — IX^?/; (1)
öf van het verschil van een meetbaar met een onmeetbaar
getal, en daarom van de gedaante : x — ]/ y, (2)
óf van het verschil van een onmeetbaar met een meetbaar
getal, en daarom van de gedaante : X^x — y. (3)
In de laatste twee gevallen kunnen x en y ook als
tweedemachtswortels geschreven worden, zoodat dus de vormen
(2) en (3) kunnen teruggebracht worden tot de gedaante (1) ;
maar een vorm van de gedaante (1) kan niet geschreven wor-
den in de gedaante (2) of (3). Daar men niet weet, tot welke
der drie gedaanten 1X(28 — 131X3) te herleiden is, moet men
dezen vorm gelijk stellen aan IX j? — IXi/.
In dezen vorm is öc > ?/, daar gevraagd Tvordt den
positieven vierkantswortel van 28 — 10 IX 3 te be-
palen.
Men stelt dus 1X(28 — 101X3) = l^x — l^y.
Verheft men beide leden tot de tweedemacht, dan ontstaat :
28 - 10K3 =x-\-y — 2\yxy,
waaruit volgt, volgens de voorgaande eigenschap :
x-\-y = 28 en 2]/^xy = 10K3,
dus: {x-\-yf = 784: en 4xy = 300,
of: x' + 2xy-\-y^ = 784:
4xy = 300
af
y IS.
op
volgt door samentelling : 2x = b0,
dus X = 25
en y = 3
Wij hebben dus : K(28 — 101X3) = 1/ 25 — 1X3 = 5 — [/ 3.
X
' —
2xy + «/' =
:484,
dus:
x — y =
:22;
X —
y
kan
niet
—
22
zijn, omdat
x>
Uit:
x — y =
22,
en :
X -^ y =
28,
79
'. 72. Nemen wij nu het algemeene geval :
\y(A -\- B\yC) = l^^x -j- \yy, waarin wij mogen aannemen, dat
iC > ^ is, omdat in een som van twee getallen de termen in
willekeurige volgorde mogen geschreven worden.
Verheft men beide leden tot de tweedemacht, dan ontstaat :
A-{-BiyC = x-{-y-h2\yxij,
waaruit, door toepassing der voorgaande eigenschap, volgt :
x-\-y = A en 2\yxy = B]yC;
dus : x^ -\- 2xy -{- y' = J.'^
en : 4cxy = B^C, .
of : x' — 2xy -j-, y' = A' — B'C',
en daar x'z^-y is, zal x — y= den positieven vierkantswortel
uit ^ — B^C moeten zijn, dus :
x — y = V{^A^ — B'C).
Uit : x—y = K.4' — B'C,
en : x-]- y== A^
volgt : 2x=^A + K^' — B'C ^^
en: 2y = A —\^A' — B'C;
A + V^A' — B'C
dus : x =
en: y =
Men heeft derhalve:
2
A — l^A' — B'C
2
173. Aan deze uitkomst merken wij op:
Is A^ — B'C een zuiver vierkant, dan is het tweede lid de
som van twee eentermige wortelvormen, en daarom eenvoudiger
dan het eerste.
Is echter A^ — B'C geen zuiver vierkant, dan bestaat het
tweede lid uit de som van twee vormen, die ieder de gedaante
hebben van het eerste lid, en dus is het tweede lid niet een-
voudiger dan het eerste.
Hieruit besluiten wij ;
Een vorm van de gedaante :
]yiA±BlXC)
is te herleiden, als het vierkant van het meetbare
80
deel, verminderd met dat van het onmeetbare deel»
een zuiver vierkant is.
Opmerking. Had men \y{A — B\yC) willen herleiden,
dan zou men dezen vorm gelijk gesteld hebben aan X^x — X^y^
De bewerking zou overigens dezelfde zijn gebleven.
Voorbeelden :
1. Herleid: K(ll 4- 2K30).
Omdat :
11' — (2K30)' ^ 121 — 120 = 1
een zuiver vierkant is, is de vorm herleidbaar.
Stel : K(l H- 2K30) = K^ -f Vy,
dan is: 1 1 -f 2K30 = x -f 2/ + 2Ka^«/,
en dus :
dus ook
x^-y=n en 2j/ iCi/ = 2|/ 30,
x'-\- 2xy-\-y^ = 121
ixy — 120,
af
waaruit volgt : ar — 2xy -\- y"- = 1
x — y= 1,
en daar : x -\- y = 11
op
2x= 12
2y= 10;
dus : X = 6 en y = b;
derhalve : K(l 1 + 2K30) = K6 + K5.
Herleid: K(30 - 12K6).
Omdat :
30' — (12K6)' = 900 — 864 = 86
een vierkant is, is de vorm herleidbaar.
K(30 — 1 21X6) = K^r — 1/ «/
30 — 12K6 = x-hy — 2i/xy
x-\-y = ^0 en 2K^«/ = 12K6
x" + 2xy + / = 900
4xy =864
: ^^
x^ — 2xy -\- y"' = 36
X — y = 6,
en X -{- y = 30
op
2x = 36, dusic=18
2y — 24, dus y = 12.
81
K (30 — 12K6) = K18 — K12 = 8K2 — 2K3.
Herleid : K {4 4- K (25 -f 4K6)}.
Onderzoeken wij eerst of 1/ (25 -j- 41/6) te herleiden is :
25' — (41/'6)' = 625 — 96 = 529 = 23- ;
dit is dus te herleiden. Voert men de herleiding uit, dan zal
men vinden:
2K6 4- 1.
Derhalve is:
K{4 + K(25 + 4K6)} = K(4 4- 2K6 4" 1) =K(5 + 2K6).
En daar: 5' — (21/'6)' =25 — 24-= 1, ook een volkomen
vierkant is, zal ook deze vorm nog te herleiden zijn. Wij zullen
ervoor vinden:
K34-K2.
174. Uit het voorgaande is ons gebleken, dat een tweetermige
wort el vorm aan twee voorwaarden moet voldoen, om er den
vierkantsvvortel uit te kunnen trekken.
Eerste voorwaarde: de tweeterm moet bestaan uit een
positief meetbaar getal en een onmeetbaren tweedemachtswortel.
Tweede voorwaarde : het vierkant van het meetbare deel,
verminderd met het vierkant van het onmeetbare deel, moet weer
een vierkant xyn.
Ontbreken beide of een van beide voorwaarden, dan dienen
wij te onderzoeken, of de vorm door een herleiding geschreven
kan worden in een andere gedaante, die wel beide voor-
waarden bevat. Wij zullen dit met een paar voorbeelden ophel-
deren.
1. Zij gegeven: K(7K5 4" 10K2).
Wij zien dadelijk, dat deze vorm niet voldoet aan de eerste
voorwaarde, doch merken tevens op, dat uit 71/^5 4- 101/2 de
factor 1/5 gehaald kan worden, en men dus schrijven kan :
l/{(7 4- 21/10)1/5),
zijnde de wortel uit een produkt en dus gelijk aan :
1/(7 + 21/10) X1^5.
De eerste factor voldoet aan de eerste voorwaarde, en daar :
7' — (21/10)' = 49 — 40 = 9
een vierkant is, voldoet hij ook aan de tweede voorwaarde,
zoodat wij
1/(7 4-21/10)
kunnen herleiden ; wij zullen er voor vinden :
Tiorkscn on do Laive, Alg. II. "
82
K5-}-K2.
De opgegeven vorm is dus gelijk aan :
(K5 + K2) X 1^5 =^b' 4- 1K20.
2. Zij gegeven K(12 + 7K3).
Deze vorm voldoet wel aan de eerste voorwaarde ; daar echter :
12- — (7K3)' = 144 — 147 = — 3
geen vierkant is, voldoet hij niet aan de tweede voorwaarde.
Schrijft men echter :
12 + 7K3 = (7 -1- 4K3) X K3,
dan wordt de opgegeven vorm :
K {(7 + 4K3) X K3} = K(7 + 4K3) X 1^3,
waarvan bij onderzoek de eerste factor aan beide voorwaarden
blijkt te voldoen en dus herleid kan worden. Wij zullen er voor
vinden : 2 -{- 1X3. Derhalve is :
1X(12+7K3)=1X{(7+41X3)XK3}=1X(7+41X3)X13>^3=
=(2-f-lX3)XlV'3=2lK3+lK27.
175. Als een onherleidbare tweedemachts wortel van de gedaante
1X(J. ± B\yC) vermenigvuldigd moet worden met een anderen
tweetermigen wortelvorm, dan geschiedt dit het eenvoudigst door
den vermenigvuldiger ook onder het wortelteeken te brengen.
Voorbeeld :
(1 + 1X5) IX(10 - 21X5).
Merken wij eerst op, dat de vorm positief is, en dus na
herleiding nog positief moet zijn, dan kunnen wij schrijven :
(1 -f K5) 1X(10 — 2K5) = 1X(6 H- 2K5) (10 — 21X5) =
= 2K(3 + K5) (5 — 1X5) = 2 1X(10 + 2K5).
Daarentegen is (1 — 1X5) 1/^(10 + 2l/'5) negatief; daarom
wordt de herleiding :
(1-1X5)K(10+21X5)— (1X5-1)1/(10+21X5)=
=— K(6— 21X5) (10+21X5)=-21X(3— 1X5) (5+1X5)=
=— 2K(10— 1X5).
176. Komt een onherleidbare tweedemachtswortel van de gedaante
1X(^ ± B\yC) in den noemer eener breuk voor, dan verme-
nigvuldige men het allereerst teller en noemer met V^( J. =F JBlXC).
Voorbeeld.
1. Zij gevraagd te herleiden :
1 + 1X5
K(5-1X5)*
83
Vermenigvuldigt men teller en noemer met : ^^(S -|- l^b),
dan verkrijgt men :
(1 + K5) K (5 -t- K5) ^ (1 + 1^5) K (5 + K5)
K (5 — K5) (5 + K5) 2K5
Nu nog teller en noemer met 1^5 vermenigvuldigende :
(1 H- K5) K5 (5 + K5)
10
Brengt men eindelijk nog den factor : 1 -\- X^ö onder het
wortelteeken, dan krijgt men :
K5(6 + 2K5)(5 + K5) _ K5 (40 + 16K5) _
10 ~" 10 ~
Opgaven.
[1. Onderzoek, welke van de volgende vormen herleidbaar zijn,
welke niet. Herleid de eerste.
K(5+2l/6); K(18-f 2K45); 1/(9 +6K2); 1/(2 — 1/2);
1/(5—21/3); V{ 6-21/5); K(5 +5|/3); |/(10-4|/3);
1/(5— 1/6) ; l/(3a— al/5) ; l/(2a-hal/3) : V{2a^\^2a — 1),
als 2a > 1.
2. Herleid:
1/(7+21/10); 1/(7—21/10); 1/(20-21/91); 1/(13—21/30).
Ook:
3. K(17 + 4K15); K(21 — 12K3); K(70 -h 24K6).
4. -K(4a-haK7); - K(tV - iK5) ; -K(U -f 2Ki) ;
5. K(2a— K4a^— 1), als a pos. en >i; \y[p^-2—\yp[p^4)]',
\y{a-\-b—2iyab}.
6. Als 1/(11 +41^6) = ]/j; + l/«/ gesteld wordt, dan is:
en ic — «/=...
Vul dit in, en bereken dan a? en ly.
7. Herleid met behulp van de vorige opgave :
K(8±2K15); K(2±K3); K(7±K13); K(5 ± K21).
Herleid :
8. KIKS -f K(19 + 8K3)} ; K{4 + 2K(6 + 2K5)}.
84
9. -K{4 4-K(25 + 4K6)}; K{7 + 4K3).
10. 1^(175 — 100K3) ; MlO -f- K(337 -f- 1 68K2)}.
11. K(7K5 + 10K2); K(6K2 + 5K3).
12. K(9K2 + 4K7); K(13K11 — 22K2).
13. K00K3 — 15); K(3 + 2K3).
14. K(6K5 — 10); K(12 + 7K3).
15. K(K27 4-2K6); K(K32 — K24).
16. K(3K5 + K40); K(3K6 -1- 2K12).
17. K(K18— 4) ; K{2— K(4~4a-)}, als a pos. is en kleiner dan 1.
18. I/{ap — 2aV^(ap— a"')}, a pos. en <:^ ; iy{2p-\-q — 2'iy2pq].
19. K{9a' + 4a-& — I2d'\yb} ; K(19K7 + 28K3).
20. K{/ + 6pg + 5r — 2(^ -|- 2g) K(2p<z + g')}.
91 , ^i3a , , ^/12aV 4aVV
22. k}&' — a^» -I- j + K(4a&' — Sa'è- + a'è)j.
Herleid tot de eenvoudigste gedaante :
23. (5-K3)K(5 + K3); (3 - K6) M3 + K6) ;
(5 + 2K6) K(5 — 2K6).
24. (4-K7)K(4 + K7); (5 + 2K5) K(5 - 2K5) ;
(10 — 2K5) K(5 + 2K5).
25.
26.
2-V3 h-V2 ^ 2—1/3 K2— I
K(7+4K3)' 1/(33—201/2)' 1/(4—1/3)' 1/2+1/(3+21/2)'
5 6_ K13— K26 2— K5
K(5+2K5)' K(6+3K2)' K(5+2K3)' M10-2K5)'
2^_ K(2 + K3)^^2 + K3
K(2— K3) "^ 2-K3
5 K(2+K2)
3)' K(2— K2)'
K2 K{K2 + K(2 + K2)}
.o K(5+K3) K(2+K2) - .-5+K5 ,^ ... ,..
^^' K(5-V^3)' K(2-K2) - V-353p5-,^^"^^^'""^^^''^''^'>
29.
30.
K{K2 + l/(2-K2)}' K{-K2 + K(2 + K2)r
^/^ + ^ 2 + K5 \ ^ ^{^ - ^5+3K5i-
85
Herleiding van de som of het verschil van
twee vormen, ieder van de gedaante:
die elk op zich zelf al of niet herleidbaar zijn.
177. De som of het verschil van twee vormen, ieder van de gedaante
\y{A dt B 1/C), kan tot een enkelen vorm van die gedaante
gebracht worden, onverschillig of elke vorm op zich zelf her-
leidbaar is of niet.
Zoo is van : K(7 + 2K5) + K(7 — 2K5)
elke vorm afzonderlijk niet herleidbaar.
Merkt men echter op, dat de tweeterm een positieve waarde
heeft, dan zal die waarde niet veranderen, als men den tweeterm
in het kwadraat verheft en uit die uitkomst den positieven
vierkantswortel trekt.
Aldus is :
K(74-2K5)+l/(7-2l/5)=+T/{K(7+2K5)+l/(7-2K5)f =
= +K{7+2K5+7— 2K5+2K(7+2K5)(7— 2K5)} =
= +K{14+2K(49— 20)}=:+K(14+2K29).
En daar van dezen laatsten vorm:
W — (2K29f = 196 — 116 = 80,
geen vierkant is, is de vorm verder niet meer herleidbaar.
Is gegeven :
K(7-2K5)-l/(7-f2K5)
dan handelt men even als in het vorige geval, doch merkt het
allereerst op, dat de vorm een negatieve waarde heeft. Men
verheft hem weer tot de tweedemacht en trekt uit die uitkomst
den negatieven tweedemachtswortel :
1/ (7 - 21/ 5) - 1/ (7 + 2K5) =
- K (1/ 7 - 2K5) -1/(7 + 21/ 5)f =
—1/ {7-2K5-f 7-f2K5-2l/ (7— 2K5) (7-|-2K5)}=
—K{14—2K(49— 20)}=— K(14— 21/^29).
welke v^orm, evenmin als de voorgaande, verder te herleiden is.
Ook als elke wortel op zich zelf herleidbaar is, behandele
men den tweeterm op dezelfde wijze :
K (5 4- 21/ 6) - K(5 - 2K6).
86
Deze waarde is positief, dus :
K(5 + 2K6) — K(5 — 2)/ 6) =
+ V {K(5 4- 2K6) - ]/ (5 - 2K6)}-^ =
+K{5+2K6+5— 2K6— 2K(5-f2K6)(5-2K6)}=
4-K{10— 2K(25— 24)}=+V/(10-2)=4-2K2!
178. Op dezelfde wijze behandele men de som of het verschil van
tweedemachtswortels uit drie- of viertermige wortelvormen.
Voorbeeld :
K(15 — K6 + 61/" 2) — V (15 + K6 — 6K2).
Eerst onderzoekt men of de vorm positief of negatief is.
Daar 6\/2>]/6,
is : 15 — jXe + 6K2 > 15 -h K6 — 6K2,
zoodat ook :
1/(15 — K6 4- 6K2) > K(15 + K6 — 6K2),
waaruit blijkt, dat de vorm eene positieve waarde heeft.
Men krijgt nu :
K (15 — K6 -t- 6K2) - 1/(15 + K6 — 6K2) =
4- Kil/ (15 — K6 4- 6K2) — K(15 + K6 — 6K2)r =
H-l/{15-l/6+6l/24-15-f-K6-6K2— 2Kl5-'— (K6-61/2n==
4- K{30 — 2K225 — 78 4- 24l7^} =
4- K{30 — 2K1474-24I/ 3}.
Hiervan is K 147 + 241/' 3 herleidbaar en gelijk aan 124-V^3;
dus wordt de opgegeven vorm :
+ K(30 — 24 — 2K3) = 4- K (6 — 2K3).
Opgaven.
1. Welken vorm verkrijgt men, door in den onherleidbaren vorm
V^6 4- 21/3 de herleiding toch door te voeren.
Schrijf zoo eenvoudig mogelijk :
2. K5 4- K3 + ^^^5 — 1/3 ; 1^5 4- 1/7 — 1^5 — 1/7 ;
K12 — 21/3 4- 1^12 4- 21/3.
3. K16— 21/5— Kl64- 21/5; 1/(104-2K5) — 1/(10— 21/5).
4. -1/(74-41/2)4-1/(7-41/2); 1/(134-K12)-1/(13-1/12).
5. l/{a 4- l/(« — Z»)! — l/{« - Kö^^} ; als a > &.
6. -1/(5-1/5) 4- l/(54-K5); -1/(6+21/5) -1/(6-21/5).
87
7. K(6 — 2K5-fK2) + K(6 + 2l/5 + K2).
8. K(6 + K15 - 1/3) - K(6 - K15 -f K3).
9. K(K5 - K2 + K3) - K(K5 + K2 + K3).
10. K(K5 + K2 + K3)-K(K5 + K2-K3).
11. K{4 + K (11 4- 6K2)} - K{10 - K(ll -}- 6K2)j.
12. Kl't + K(19 - 0K2)} - K{6 - - K(19 + 6K2)}.
13. K(24-K3+2K10+K30) — M-2-1-1/3+2K10-K30).
14. (4 + K7)1^4 — 1/7 + (4 — K7) 1^4 + K7.
15. (2 + K3)K2 — 1/3 - (2 — 1/3)K2 + K3.
16. l/{6 H- 1/(13 4- 41/3)} ± l/{9 - 21/(4 -f 21/3)}.
18. l/(2K3+l/5+l/6-M/10) H- 1/(21/3+1/5 -1/6-KlO).
i
HOOFDSTUK IV.
Oneigenlijke Machten.
179. Uit de bepaling, die wij iu §3 van macht gegeven hebben,
volgt, dat de machtsexponent steeds een geheel rekenkundig
getal moet zijn, grooter dan één. In diezelfde paragraaf hebben
wij de eerste oneigenlijke macht leeren kennen, zooals : a, b, x, y ;
die wij als eerste machten beschouwden, en waaraan wij den
exponent één toekenden. Behalve deze oneigenlijke machten
zijn er nog andere.
Zoo kunnen a"*"^; a+^; «""*; a~^; a^; a ^; a^ \ a^ onmo-
gelijk machten zijn, al hebben ze er ook de gedaante van.
Immers a'^^ kan niet zijn een kortere schrijfwijze voor het
produkt van + 5 factoren ieder gelijk aan a ; daar het aantal
factoren steeds door een rekenkundig geheel getal aangegeven
wordt. Evenmin kan dat aantal negatief, gebroken of nul zijn,
waaruit dus blijkt, dat geen exponent positief, negatief of
gebroken zijn kan. Toch heeft men in de algebra ook deze
getallensymbolen ingevoerd, en wij zullen nu nagaan, hoe men
tot die symbolen gekomen is, en wat men er onder te verstaan
heeft.
Machten met positieve exponenten.
180. Evenals -\-6 hetzelfde is als 6; -|- 5 als 5; -{-n als n, zoo
kennen wij aan a"*"*' geen andere beteekenis toe dan aan a^ ; aan
a"*"" geen andere dan aan a' ; aan a"^" geen andere dan aan a".
Bepaling. Machten met positieve exponenten zy?i andere
schrijftvijxen voor machten met de overeenkomstige rekenkundige
exponenten.
89
Machten met negatieve exponenten.
H. Bij de deeling van machten hebben wij geleerd, dat a'^ : a'
= a* ; d. i. in woorden :
Het quotiënt van twee machten van een zelfde getal is weer
een macht van dat getal, die tot exponent heeft het verschil
der exponenten uit deeltal en deeler.
Passen wij deze eigenschap toe op het geval, dat de deeltal-
exponent kleiner is dan de deeler-exponent, zooals in a' : a^^,
dan ontstaat a~^, zijnde een macht met een negatieven exponent,
wat, zooals we reeds opmerkten, geen macht kan zijn, al heeft
die vorm ook de gedaante eener macht. De beteekenis, die wij
aan a^^ geven zullen, moet in overeenstemming zijn met de
wijze, waarop die vorm verkregen is. Nu is hij verkregen uit
de deeling van a' door a'^ ; maar dat quotiënt kan ook ge-
schreven worden als :
o}' a''
a~^ en —^ stellen dus beide hetzelfde quotiënt voor, bijgevolg
Cv
zeggen wij nu : a~^ is niets anders dan een andere schrijfwijze
1
voor -TT-
a
Evenzoo is :
(f 1
a^ : a^ =z a~^ en ook a"^ : a^ = — 3 = -^,
dus a~'' een andere , schrijfwijze voor —^,
Eveneens is :
a~~ een andere schrijfwijze voor — r,
a~^ een andere schrijfwijze voor — p of — .
Bepaling. Machten mei negatieve exponenten xijn andere
schrijfwijzen voor breuke?i, die 1 tot teller hebben, en tot noe-
mer machten met de overeenkomstige rekenkundige exponenten
90
Machten met den exponent nul.
182. Deelt men a'' door a'^, eu past men daarop de voorgenoemde
eigenschap toe, dan ontstaat a^. Daar echter a}~ : a}' ook gelijk
is aan 1, hechten wij aan a^ geen andere beteekenis toe, dan
dat a" een andere schrijfwijze voor de eenheid is.
Bepaling. Machten met den exponent nul zijn andere schryf-
wyze7i voor de eenheid.
Opgaven.
Wat is de beteekenis der volgende getallensymbolen :
1.
a-'; b-'; c+'-' ; <^-" ; a'^
2.
2+' ; 3-^ ; a'' . h'' ; a+'b'^ ; a-'b\
3.
a-'b-'; (a-\-b)-~c+'; a^ {c — df ; x-yz+K
4.
xr'^y'^'^z^ ; a"- -f- b'"' ; a+'^ -f- «~^ ; a^V^^; ; x~hj~^z'.
K
Schrijf als machten :
11111 1
d'' e' (a+&)'' x' {xyf' {a-bf
Schrijf als een produkt of gedurig produkt van machten :
J_ J_ 1 1 1
d'h''' a'b'' x'fz''' a\b — cY' xffz''
_ a^ j^ a;'b a'b (a + bf x^
W' èV' 7d'' Jd}' c' [a - bf ' ^='
xf f 2,' a'b {c — df
3a''&' 2^V«' 2\5-' c'<^ (a — 6)' '
Machten met gebroken exponenten.
183. Bij de herleiding van wortelvormen leerden wg :
Wij deelen dus den wortelexponent op den machtsexponent
onder het wortelteeken, als die deeling opgaat. Doen wij dat
ook, wanneer die deeling niet opgaat, dan ontstaat een macht
met gebroken exponent.
X^a' = a^ lya' = a^^
^d' = a^ ^a'=a^.
Daar echter gebroken exponenten als exponenten geen betee-
91
kenis hebben, moeten wij aan machten met gebroken exponenten
een beteekenis geven, en lettende op de wijze, waarop ze ont-
staan zijn, zeggen wij :
Bepaling : Machten 7net gebroken exponenten xtjn andere
schrijfwijxen voor tvortelvormen ; de noemer van den gebroken
exponent vormt den ivortelexpone7it, en de teller den exponent
der macht, ivaxiruit die wortel getrokken moet worden.
Derhalve :
3
oJ is een andere schrijfwijze voor U^a ,
a^ is een andere schrijfwijze voor Ix^a",
«" is een andere schrijfwijze voor p^a"*.
Opgaven :
Wat is de beteekenis van :
3 2 5 3 »'+" ^
9. rt^ ; 6^; a^ ; b'^ \ a 'p \ y^.
Schrijf als een produkt of gedurig produkt van machten met
gebroken exponenten :
10. ^ya'b; lyaV'; f^a'b' ; \yaW{a-\-hf; P^a^bH.
11. l^a'èV; l^a*(a + è)^; ^^ (a -f è)^ (a — 6)'V ; fya%'c\'
12. f^a% {c — df ; K(« — bf {a + by ; Ka'&'c {a + b — c)\
184. Bij de bewerkingen met eigenlijke machten hebben wij eigen-
schappen geleerd, die in de volgende formules uitgedrukt zijn:
I. a'" X a" = «'"■^'^
II. (a"7 = oT^
III. d"' : a" = «"*-", (mits m>n-\-l).
Voor we deze eigenschappen mogen toepassen op oneigenlijke
machten, moeten wij eerst onderzoeken, of deze eigenschappen
ook voor oneigenlijke machten waar zijn.
Wij zullen dus nagaan of:
F. «-^ X or" = «"*"'• !"• (i^ X, «^ = a^ "^ ^.
IF. (a--p)-« = a^". ir. (at)~ = a^.
p r p r
III". a-^ : a-" = a-^'+'. III'\ «^ : a"^ = ai ~ '^.
_ jo _r_ _p_ r
T. a 1 . a ' = a '1 ^ .
(_p\ ^ j^
p
III". a 1 : a « = a ?
92
Onderzoek :
a~^ is een andere schrijfwijze voor — ,
a~' is een andere schrijfwijze voor — ,
a~^ X (^"'^ is een andere schrijfwijze voor
.p+i^
a'
en —f^q^ kan ook geschreven worden als a~^~*,
dus a-" X öt"' = a"""'.
De lezer bewijze evenzoo II" en IIP.
a<i) ^ is een andere schrijfwijze voor p~ \« * / ,
en dit laatste voor iJ- {p^a'J, d. i. voor ^aP'\
Maar i^J-a^"" kan weer geschreven worden als
al^, derhalve is :
ai) ^ == a<i\
De lezer bewijze evenzoo I* en III^.
-- ... 1 1
III". a « is een andere schrijfwijze voor — of voor q, ^„
aï
-- . .... 1 1
a * is een andere schrijfwijze voor — ;r of voor -= — ;.
as ^
Derhalve heeft
a i:a ^ tot andere schrijfwijze ~^^ : — of ^,
^' i* nv p^ ^^ l^a'^''"*", en dit is weer hetzelfde als de schrijfwijze
gr _ ps r p P , I'
a «s «s of a~~~i of a~ «^ ^.
De lezer bewijze evenzoo P en IP.
185. Wij zijn nu in staat herleidingen en bewerkingen met gebroken
en negatieve exponenten uit te voeren, en zullen dit met een
paar voorbeelden toelichten.
(3 2\ -2 / 8\ 1
d^h^) X [a-^h^)^.
Bij de machts verheffing moeten we de exponenten vermenig-
vuldigen en krijgen daardoor:
3, 4 5,3, 3 5 4 3
93
Bij de vermenigvuldiging van machten met hetzelfde grondtal,
moeten we de exponenten samentellen, waardoor we voor het
laatste produkt krijgen:
3 5 413 n 113
Te herleiden tot vormen zonder gebroken en negatieve exponenten :
03 Kt 3 03 1 Q5
a '^ï; a ^^; {a - b) ^; a ^H ^c"^.
KT 1 1
a
[a — h)~^ ={a — h)-' . {a — bY = ^^ M» - h)\
o 3 IQ 5 I.IS S610
Herleid met gebroken en negatieve exponenten, en schrijf alleen
den eind vorm zonder gebroken en negatieve exponenten :
191 1111
Jb'c + ab^^d
In den teller brengen wij d^b ^ buiten haakjes en in den
noemer ook:
ah^^ibc' — ad') bc' — ad'
111/1 i\ 1 4
an^^ (b'^c + d^d) h^c + a^d
(è^c)'— [a^d)
b^c -f a^d
= b^c — a^d = c\yb — dlXa.
4. Evenzoo :
iy{2~'^h~^\y28-'ab^^) X \y(sa~~^f^2U-').
Door de worteltrekkingen uit te voeren krijgen wij:
of
2~^ . 3~T^2— 17~%W X 2^a~h^^^7'^n~^ ;
of
94
1 1_1_1 1 1_L1 l_i_l 1 1 2 2.
of
2" . 3" . 7~W' = 7~^ = 7"" \ 7"^' = I IV7'.
o. Ook: -^[ ~['
a^ — h ^
1
Vermenigvuldigen wij eerst teller en noemer met h^ om den
negatieven exponent uit den noemer te verdrijven, dan krijgen we :
a^b^ + 1
1 1
-1
1 1
Vermenigvuldigen wij nu nog teller en noemer met a^ 6^ -|- 1 ,
dan ontstaat:
{ah^ + 1/ _ a& + 1 + 2ah^ _ a6 + 1 ?__ i/^^
ah — 1 ah — 1 ab — 1 ab — 1
6. ïe herleiden:
In dezen vorm komt voor *^ — ^x~'^\yQx, zijnde een oneven-
machtswortel uit een negatief getal, waaruit volgt, dat die
wortel negatief is en dus gelijk aan :
-~^^x--\yQx.
Deze waarde moet echter vermenigvuldigd worden met den
vorm ( — 2xf, die ook negatief is, waardoor het produkt weer
positief wordt, zoodat de vorm vervangen kan worden door:
'^\{2xf'yïör%y^\.
Wij kunnen hierbij verder nu handelen als in voorbeeld 4,
maar ook op de volgende wijze:
^y\{2xfy^x-^\yQx] = ]2'x'{3-'x-'6''x^)^^ =
33/ „ 1 1 1\ 1 33/1 1 3\ 1
= 2^x^ (3-';r-'2^3^;r^7 T^ = 2ïa;ï (2^3 %~^) ^'^ =
38 1 1 1 19 1 15 19 2315
= 2%^2^ï3 ^^a; ^ = 2^ï3 ^^a^'^ï = 3"' . 2^^ . S'^^a:^^ =
= ii^2'^ . ^'^x'\
Gebroken en negatieve Wortelexponenten.
186. Past men de eigenschap: „Een wortelvorm verandert niet van
waarde, als men de exponenten in en onder het wortelteeken
95
door een gemeenschappelijken factor deelt," ook toe voor het
geval, dat deze exponenten onderling ondeelbaar zijn, dan is
het mogelijk, dat in het wortelteeken exponenten ontstaan, die
gebroken, negatief, of gebroken en negatief zijn.
Deelt men bv. beide exponenten in den vorm l^a" door 3,
5
dan ontstaat het symbool : ^a^.
Deelt men beide exponenten van : '^a~* door — 2, dan ont-
staat het symbool : ï^a^.
En deelt men beide exponenten van ; l^a~* door — 4, dan
ontstaat : j/- ci .
In verband met de wijze waarop gebroken en negatieve woi-
telexponenten ontstaan zijn, zeggen wij nu :
Onder ^a verstaan wij een andere schrijfwijze
voor : l^a'.
Volgens deze bepaling is dan :
3 4X5 4x5
3 _É_ 3 1 3 1 V 3
Ql 2 —2 Q 2 3 2
In het algemeen
_ m q m
4. Zij gevraagd te herleiden :
Voert men de worteltrekkingen uit, dan krijgt men :
X
1 . _ 2 8 . 2 3 . 3 , Q . 8
— 2 : — f ^ — 2 : f
jT X 8 1
^ c ^ c^
5. Zij gevraagd te herleiden :
;?
{aah ')
90
Hiervoor mag men schrijven :
/ 2 5\ 4 ^4 8,1_0
3^ .a
Opgaven.
1. Bewijs, dat ah^ = a^b^. J
2. Schrijf zonder gebroken exponenten :
2 3 2 14 12 5 2,3 5
21 34 4 24 24 34 21,34 44
3. Schrijf de volgende vormen als een produkt van twee factoren,
waarvan in den eersten factor alleen geheele positieve of nega-
tieve, en in den laatsten gebroken rekenkundige exponenten
voorkomen, en schrijf ze dan zonder gebroken en negatieve
exponenten. (Zie voorbeeld 2).
2 3 1 2 Ql Al 03
a '^; b ^; c ^; d ^', a '^^; b ^^; c '^'^;
X ^1/ ^ ; X '^y ^ \ X ^y ^ \ x y ,
Ol Ql 5 2 3 5 1 —91
a '^H "^^c^; a^b ^c ^; (a—b) '^b + c) ^^ ;
21 ^ 3^
X ^y^ {x -\- y) ^ .
4. Schrijf als produkten van machten :
13/^ 15/-^ Vy— 14/^ t^ab X l^a'c'
do Zc
5. Bewijs dat: -35-71:^= -^tt^. Welken regel kunt ge hieruit afleiden?
C Ct Qj o
6. Herleid de volgende vormen met gebroken en negatieve expo-
nenten, en schrijf alleen den eindvorm zonder die exponenten :
3 7 3 5 /oi\2 58 21
a ^X«^; a ï:a ^; [aV^ ; aH'^ X « ^^^ ;
Ql 95 17 13 / 91\3
01Q1 211 191 91
91 Ql 1111 /91l\ 1 1
97
Ol Ql 3 91 / 02 Ql 3\ 5
8. a^^r^raV^; (a^^è^^c ^}^.
01 Ql 6
9. («2i^-3i,li)-. ^
FAï
a%' b^,
11. iy{a-'b'\/ {a%-')} ; ^ la"~VK(a~"^^è^^)( ;
l3/(al/ a)^ ; ^{af^iaV off ; ^{a-'^{a-'\/ a)-^]-\
(43 32,
,1 2 / 11 ^ 11\2J 2 l „ / 11 3v -3l4
13. Vy '^^[a ^^Va^^)y, a ^^h-'t^ {a ^V»^) r.
1 1 2 1?^ —
15. ^^— X
(frv<
Ï13/-/.2 ƒ"' \ ^-,r^ ï
^i^c- r^ 3^^
3 ( 3 112
3 91 11 -91 5 ^1
19. i^-a'^^r^; i^^-a^è '^^.
20. Bepaal de waarden van :
(2--)-- en 2-'"' ; (4^)^ en 4^^^^.
21. Herleid:
Dorksen en de Laive, Alg. II. '
98
22. Herleid:
a ^ -\-b ^ . g ^— ^i ^ . a ^ + o
1 ï ' 5 5 ' 2 2 '
a""^ + ö""^ a^ + è^ a '^ -hb^
23. Ontwikkel:
(«-•' + b-' — c^ + <^^) (a"' — b-' + c^ + c^"^).
24. Vermenigvuldig, zooals ge gewone veeltermen vermenigvuldigt:
2a--' + a^^h"^ — 3a-^r^ + a'~^h~^^— 2a-'b~\
met a' — 2a^h^ -f 3aè — 2ah^^^ — h\
25. Ook: «-"' + «-'"-' è-'-^ + 2a-™- V^ — a-"'-'ö-'%
met «"* + 2a'"+'&^ — 3a'"+'è'" + a'"+'6'"..
26. Deel: 16a^^^ — 40a^^^ + 22a'^'^ — 55a^^T (j^or:
3 6
2a ^ — 5a\
27. Eveneens : i^x^^ — ^^x' + |i — ^-^c^'^- _ 2x-'' door:
^x ^ — 2x ^.
28. Ontwikkel : (a^^ — a"^^)'; (a^^è + aö^*)'.
29. Herleid : (7 + 4K3)"~^ ; (6 — 2K5)~^.
30. Ook : (19 + 8K3)~"^" + (19 — 8K3)~t
en (2 + K3F — (2 - K3)^.
31. Verminder: i(a^ + 3a~^) (a^ — 2a~^) met ^(a^+2a~^)X
X (ct^ — 3a ^\ vermenigvuldig de rest met 6(1 — a^*)-' en deel
het produkt door:
.1
^. Toel. Ex. Un.
32. Herleid den vorm:
jx + -^xY) l^jtj + P^xY)
'j^x^i/
/ 3 3\3
tot de gedaante : \x'^ -\- i/^P. Eind-Ex. Gymn.
99
VS. Herleid :
K. Ook:
[2i(7-4K3) ^-3^i ']l Idem.
J5. Ook: ^~5^~X(-^-gl!^. Idem.
J6. Herleid
p*[aK{«-V(aKa)}J *
/ 5 *^\5
tot de gedaante: \a^-]-b^)^. Idem.
Over den graad van Wortelvormen.
187. Als men een eenterm van den 4*" graad tot de 5''* macht ver-
heft, krijgt men een eenterm, die van den 20'""" graad is.
{a%f = a''b^20' gr.).
Een eenterm van den m'"*" graad verheven tot de 7i'^^ macht,
levert een eenterm van den m/ï'^®" graad.
[aT'bJ r= a''"b'
(a"^b'^'~^Y = a-"^b^^~^
Om nu omgekeerd den graad van een wortel vorm te bepalen,
behoeft men slechts den wortelexponent te deelen op den graad
van het getal, waaruit de wortel getrokken moet worden, wan-
neer die wortelvorm te herleiden is.
Aldus is ^d'U van den (25 : 5)«" graad,
l^a'&'c'^ van den (24 : 6)"" graad.
Wil men dezen regel ook doen doorgaan voor het geval de
wortel niet te herleiden is, dan dienen we dus voor den graad
van wortelvormen de definitie te geven :
De graad van een wortelvorm is het graadgetal van den
vonn, ivaaruit de ivortel getrokken moet worden^ gedeeld door
den icortelexponent.
Derhalve is dan :
4Ka' van den f" graad.
100
l^a'b'ic—df van den | of 1^'" graad.
a'b^a^W van den 3 + 7 = H'"'' graad.
1>^35^8 van den (3 + 5 + 6 — 5 — 9 — 8) : 7"^" = — 1}""" graad.
Nu kan men den graad ook bepalen door de vormen met behulp
der gebroken en negatieve exponenten als produkten te schrijven^
en de exponenten samen te tellen.
(1%^ 5 7 2
Zoo is : l^—^r- = d^b^c ^ van den
^ + i-l = -H graad.
Evenzoo is:
a^l^a 2 1 5 12
]3^ir3 — ï=2 = ci^ 'Ci^ • b ^a '^b^ van den
2_4_1 ._5 1_1_2 1 3'len rrraoA
ïiF ï ^r-g- — — Ts graad.
Opgaven.
Bepaal den graad van de volgende vormen:
1. K(«K«); Kai>a; K(«e-«) ; ^{a'f^{a'^a')],
blXa a\Xa { \ b n
, _ a''b-''{c-^dr'' «^ 3 _c^
I — 24 ' U\e-'d--l\ J •
31
I « VQ^ ^ . -1-2 /„-3,3/- ö^ ^ \ I
8. a-'b^ + a-^^ ^^ - aP — a^6^^.
HOOFDSTUK V.
Imaginaire Getallen.
r
188. In § 144 hebben wij de evenmaclitswortels uit negatieve getal-
len, imaginaire getallen genoemd. De eenvoudigste imaginaire
getallen zijn -hl/' — 1 en — 1/ — 1. Men noemt ze de
positieve en negatieve imaginaire eenheid, en stelt ze
gewoonlijk voor door -]-i en — i.
In plaats van -f- 31/ — 1 schrijft men dan -\-Si', in plaats
van — 71/ — 1 schrijft men — 7i.
Evenzoo : K— 3 = K— 1.3 = K— 1 . K 3 = iK3
— K- 5 ■= — K— 1.5 = — K— 1 . K5 = — iK5.
Twee imaginaire getallen noemen wij gelijk, als zij bestaan
uit een gelyk aantal positieve of negatieve imaginaire eenheden.
Dus, opdat ai = hi zij,
moet a = b zijn.
189. Daar imaginaire getallen een geheel nieuwe soort van getallen
vormen, zijn wij verplicht te bepalen, wat wij onder bewerkingen
met imaginaire getallen moeten verstaan.
Bepalingen :
de som i
I het verschil I - • - j n
7 7j) van twee imaqmaire getallen,
\het produkti
het quotiënt )
verstaat men de uitkomst, die men xou verkrijgen, wanneer i
een reëele factor was, daarby bedenkende, dat i' gelijk is aan — 1.
Wij zullen achtereenvolgens de hoofdbewerkingen met eenige
voorbeelden toelichten .
Onder
102
Optelling.
1. 131/- l-f 5K-1 + 7K— 1.
Hiervoor kan men schrijven: •
13^^-5^+7^ = 25^=25i/— 1.
2. K-20 + K-5 + K-45 + K-i.
Hi ervoor kan men schrijven :
2iK5 H- ïK5 + 3iV/5 + 1 iK5 =
= (2i + ? + 3i -f I ï) 1/ 5 = 6|iK5 of 6|K— 5.
Aftrekking.
3. a\y—l—b\y—l = ai — &i = (a — b)i of (a — &)K— 1.
4. 3K- 12 — 5K— 75-1- 8K— 3 = 6zK3 — 25«K3-f 8iK3 =
= (6ï — 25i + 8i)l/ 3 = - lliK3 of — IIK— 3.
Vermenigvuldiging.
5. +4K— IX— 5K— l=4-4^•X— 5i==— 20r=-20X— 1=+20.
6. 2K— « X — 3K— 6 = 2iK« X — 3iKö = — öi'Ka^^ =
= — 6 X — lKa& = + ei^ab.
Machtsverheffing.
7. Bepaalt men de opeenvolgende machten van i, dan krijgt men ;
r = — 1.
i^ = r\i = — i,
f' = i^ y( i = -^ i.
i' = fy^i= — 1 X «' = — i'
f = i' X i= — iX i= — r = — (— 1) = -h 1.
i^ = i'Xi = +lXi = + l
^=:^^x^= + *■x*•=^-i'= + (-l) = -l,
enz.
Hieruit zien wij :
Een macht van i is gelijk aan :
+ 1, als de exponent een viervoud is,
— 1, als de exponent een viervoud -|" 2 is,
+ i, als de exponent een viervoud -f- 1 is,
— i, als de exponent een viervoud — 1 is.
103
Oy-af X Oy-abf X {]y-ccbf X K-
Hiervoor kan men schrijven :
(iiyaf X iiiyabf X {üyahf X «V ab =
f" . alX« X i'a'h'Xyah X *'«'é' X ü^ab =
ah.
4K— 70 _ 4flX70 ,
51X— 14 ~~ 5^1X14'
krijgen wij :
Deeling.
teller en noemer deelende door «1X14,
4K5.
10. 3 : 21X — 1 = — ; teller en noemer met i vermenigvuldigende ;
3i „ .
Anders.
3
Voor -^ kunnen wij schrijven :
— 3(— 1)^ — 3f
2i ~ 2^
21X— 1 + 31X— 1 ^ 2i 4- 3i ^
21X— 1 — 3K— 1 ~ 2i — 3i
K--2 + K— 3 _ ijX2 + 0^3
IX— 2 — IX— 3 "~ iK2 — ilX3
(K2+lX3r
hl
3;
— i).
K2 + 1X3
K2 — K3
2 — 3
= —(5 -f- 21X6).
K— ö'; K— «6';
Opgaven.
Schrijf met den factor i:
V—2; K— 3; V—a; K— «'; V—a"
K-12; K-75; 1/-^; K-S^; V-2i', K— ^; K— è».
Schrijf met den factor i en herleid dan:
V — 2 + V— 8 + V— 18 ; K— 50a'' + V— 2a' + K— 8a\
V- 12 + !/•- i -K- 27 ; V-3/ + K- i^* - V- 27.
y_ 25 + V- 36— iK— 64 ; V— 20 + Sy— 5 -f 4^— 80.
K— 32ar2/' -f K— 18ay — V— 128a;V + SxV— 50/.
«_K_A + ,K--^-Kf-^-2-A
ö a ab \ b a
3.
4.
5.
6. V-
104
bc ac ab
8. Y— 8^ + V— 16^ —V—^^ —V— 12.
9. Bepaal de volgende machten van i :
i'', e-, r"; i""; r' ; f"; i'' ; i^' ; i'' ; i'''+' ; i'""-'.
10. Schrijf in de volgende vormen eiken factor met * ; herleid
daarna de produkten, en schrijf de uitkomsten weer zonder i.
1^_ 2 X 1^—3 ; K -5 X V— 10 ; 2V— 3 X 31/— 6.
—V—aXV—ah', 2V—^yV—\2; 5K— 2X3K— 6.
aV—aX — aV—a-, 2K— 5X31/— 10; K— |-X1/— 3^.
V-2\ X V-n ; 21/-2 X 3K-3 X V-QXV~\2XV-h
aV— a X V— Y X y— -^ X V"— ^ X V— abc X|K— «c.
V{a — b)X V{b — a), als a>b.
Y{x — y)X y^iy^ — ^')» als X pos. en <C «/.
11. Herleid de volgende machten:
(il/2f ; (iK2f ; (^K3)^ (K— a)^' ; {K(a — 6)p als a < è.
12. Bepaal het produkt:
van V—2 + K— 3 —V— 5 en K— 6,
van Y — ab -f- V — hc -\- V — ac met V — ahc^
van K— 5 + 1/"— 10 + 1/— 2 met 2 1/ — 5.
13. Herleid:
(K-2 + K-3) (2K-2-1/-3);
(2i/— 2 + 3K— 3) (]/- 2 — 21/— 3) ;
^—a^V—h) (21/— a — 31/— &) ;
(al/— a 4- bV— b) {bV— a — aV— b) ;
(1/— 2 + 21/— 3 + 1/- 6) (21/— 2 —1/— 3 -f 3|/- 6).
14. Ook:
{V-a^V-b) (V-a-V-b); (21/-2-1-1/-3) {2V-2~V-S);
{aV—a-^bV—bf; (1/- 2 -]/— 5)'; (K— 3 -f 21/— 6)- ;
(K_2-K-3 + l/-6)^ (i/-i+K-i + l/-i)^
(1/- 2 + K- 3 - K- 5) (1/- 2 - 1/- 3 +1/- 5) ;
(1/— a — 1/— 6 + 1/— c) (l/-a4-l/— & — 1/— c);
(1/— a+l/— 6+1/ — c— 1/— É^) iV—a—V—b^V—c-hV—d).
15. Ontwikkel:
(1/— a + V— bf ; (1/— a — V— bf.
(i + il/-lf; (|_.K_l)3.
105
16. Herleid de volgende quotiënten:
K— 12;K— 6; K— 50:]/— 10; V-ab:V—b.
V—i2:V—7; V—32:V—S; V—2:V—d.
V— 5 : V— 2 ; V— a : V— b ; V— a'b ; V— ah\
17. Herleid:
2__ |/3 2K5 T/-6 3^10
]/ — 2' K — 3' K — 10' 2K — 30' 2K — 6*
18. Ook:
K— 6+]/— 3^ V—20-\-V—lb—V—h 2]/— 2+1/— 3
]/— 3 ' 2K— 5 ' K— 6
2V—a-\-SV—b V—a-\-V—b—Vc
V—ah ' K— a^»c
19 Evenzoo :
1/— 2— ]/•— 3 2K— 2+T/-3 ^ K— 2— 3K— 3
K— 2+]/— 3' K— 2— K— 3 ' 2K— 2-K— 3*
T/— 2+T/— 3+1/— 5 K— 3+]/— 10+]/— 7
1/— 2+1/— 3-1/— 5 ' 1/— 3+1/— 10-}/- 7'
a; — a Y{x — a)
20. Is V
V{a — x)
190. Onder de imaginaire vormen spelen de complexe getallen
een voorname rol.
Bepalingen. Complexe getallen zijn tweetermen, be-
staande uit een reëel en een imaginair deel, dus van de
gedaa7ite : a ± bi.
Men zegt, dat 2 complexe getallen
a-\-hi en p -\- qi
aan elkaar gelijk zijn, als de reëele deelen gelijk zijn, alsmede
de imaginaire.
Uit a-\- bi =p + qi,
moet dus volgen :
a=p en b = q.
Tivee complexe vormen, die alleeii verschillen in teeken vóór
het imaginaire deel, heeten toegevoegd complex :
a-\-hi en a — hi.
Tivee complexe getallen, die alleen verschillen in teekens vóór
de reëele en voor de imaginaire deelen, heeten tegengesteld
complex.
a-\-hi en — a — hl.
106
191. Bepalingen.
' de som ]
Onder ( , . , , . ) van twee complexe getallen verstaat men
] het produkt (
f het quotiënt ]
de uitkomst^ die men xou verkrijgen, wanneer i een reëele
factor was, daarhy bedenkende, dat i^ gelijk is aan — 1.
Optelling.
1. (7 + 31/— 1) -h (5 - 6K — 1) + (4 4- 5K-1) =
= (7 + 3z) + (5 - 6^•) + (4 + U) =
= (7 + 5 + 4) + (3^• — 6^ H- 5i) = W-\-2i of 16 + 21/— 1.
2. De som van twee toegevoegd complexe getallen is reëel.
Immers {a + bi) -\- {a — bi) = {a -\- a) -\- {b — b) i = 2a.
Aftrekking.
3. (7 + 1^ — 3) — (— 2 + l/-12) = (7 + il/3)-(-2-l-2il/3)==
= 7 + il/3 + 2 - 2il/3 = (7 4- 2) + (l/3 — 2l/3)i = 9 — il/3.
Vermenigvuldiging.
4. (3 4- K — 2) (5 — 21/ — 2) = (3 + iK2) (5 — 2iV2) =
= 15 — 6il/2 + 5il/2 — 4r = 15 + 4 — il/2 = 19 — il/2.
Machtsverheflang.
5. {a -f &0' = a' + 3a' bi + 3a6' i' + 6¥ =
= a' + 3a' èi — 3a5'- — ö'i =
= ia' — 3ab') + (3a-& - b')i.
Deeling.
6. Om , ,. te herleiden, vermenigvuldigen wij teller en noemer
met c — di, waardoor wij verkrijgen :
(g + bi) (c — di) (ac -\- bd) -\- [bc — ad)i __
<r-^d' """ c'-{-d' ~
ac-\- bd bc — ad .
15
Te herleiden ' ^ ^.
3 — 1/ — 6
15 _ 15 _15(3 + il^6)_,
3 — l/-6"~3-il/6~ 3-^ + 6 — ^-t-«^^ö.
107
2 + 1/ -- 3 2 + tl/3 (2 + tVdf
2 — y — S 2 — ïV3 (2 — iV3) (2 + i]/3)
= T-T^ = n = T + T 'K 3.
Vierkantswortel uit een complexen vorm.
192. Bij de behandeling van vierkantswortels uit positieve getallen
in § 143, alsmede bij de behandeling van vierkantswortels uit
tweetermen van de gedaante : a ± bV^c, zagen wij, dat die wor-
tels een positieve en een negatieve waarde konden hebben.
De positieve wortel werd aangeduid, door vóór den wortel
geen teeken of het plusteeken te plaatsen ; de nega-
tieve wortel door er het minteeken voor te plaatsen.
Bij de wortels uit complexe vormen is dit niet mogelijk, daar
men bij deze, als bestaande uit 2 soorten van eenheden : reëele
en imaginaire, welke laatste noch positief noch negatief reëel
zijn, van geen positieve waarde spreken kan.
Evenmin kan men zeggen, dat men met ;
Va±bi
den positieven wortel, en met :
— V^^Ji
den negatieven wortel bedoelt ; zoodat men aan :
^a ± bi,
als hij te herleiden is, een tweevoudige beteekenis moet
toekennen.
Immers, daar
{S-\-V- 2y = 7 + 6V—2,
en ook: ( - 3 — V— 2)' = 7 + QV— 2,
zal men omgekeerd
V^(7 4- 61^ — 2) moeten voorstellen door :
± (3 + 1/-— 2).
Zien wij nu hoe wij die herleiding uitvoeren.
Stel : l/"(7 + 6V - 2) = ± {Vx + iVy)
dan is :
7 + 6V — 2 = x — tj-\- 2iVxy.
De reëele deelen moeten nu gelijk zijn en de imaginaire
eveneens :
x — ij = l 2iVxy = QV— 2.
108
Door beide vergelijkingen tot de tweedemacht te verheffen
en van elkaar af te trekken, verkrijgt men:
x^ — Ixy -\-'if= 49
— 4:Xy-\- =—72
af
x" + 2xy 4- ƒ = 121
x-\-y = 11
Wij stellen hier x-\-y=ll en niet gelijk — 11, omdat zoo-
wel X als y positief moeten zijn.
Uit ^ x-\-y = ll
en X — y=l
op
volgt: 2a7= 18
x= 9
y= 2
De vorm 1/(7 -f- 61/2), die wij gelijk stelden aan ± (j/a; -f- iVy),
is dus:
± (3 -I- iV2).
Tweede voorbeeld:
Te herleiden:
V{— 22 + lOil/3).
Het reëele deel, waaruit de complexe vorm :
— 22 + lOil/3
bestaat, maken we eerst positief, door te schrijven :
IX(- 22+ lOil/3) = K — (22 — l0i\yS) = iiy{22\— lOiKS).
Stellen wij nu :
K(22 — lOiKS) = ± (K^ — i\yy),
waarin x en y nu positief zijn, dan volgt daaruit :
22 — lOil/3 = x — y — 2ï\yxy,
en hieruit weer :
x — y = 22, en — 10iK3 = — 2i\yxy.
Beide vergelijkingen in het kwadraat v^erheven en van elkaar
afgetrokken, leveren op :
X' — 2xy -\- y- = 484
— ixy = — 300
af
x' -f 2xy -\~f= 784
109
x—y = 22
op
2a; = 50
^ = 25
y= 3
Derhalve is :
K(22 — 10iK3) = ± (K25 — /K3) = ± (5 — i]/ 3),
en dus :
V(— 22 + 10iK3) = i\y{22 — 10iK3) = + (5« + ]/ 3).
Derde Voorbeeld.
Beschouwen wij nu het algemeene geval, n.1. de herleiding van
]/{a± bi),
waarin a en & positief zijn.
Stellen wij
' \/{adzbi) = ±{\/x±il/ ij),
dan is :
a^bi = X — y ± 2i]/ y,
dus :
X — y = a en 2Ï[/ xy = bi,
waaruit volgt :
x^ — 2xy -\- y"^ = ar
— 4:xy = — b^
af
er -|- 2xy -\- y' = a^ -{- b'
x + y = V{a'-\-b')
X — «/ = a
op
2x = a-{-V{a' + b-)
2
a — V{a'-{-b')
x =
y =
2
en dus V{a ±bi) = ± \V — ^ ± tV ^ ^ .
Als nu n^ + ö', dat is «- — (&i)\ o^ li©* vierkant
van het reëele deel, verminderd met het vierkant
van het imaginaire deel, een zuiver vierkant is, dan
is de vorm in het tweede üd eenvoudiger, dan die
in het eerste.
110
193. Opmerkingen:
1". Als wij aan |/ (a ± bi) twee waarden toekennen, dan zijn wij
verplicht aan vormen zooals :
\/{a±bi)-\-]y{c±di),
vier waarden toe te kennen.
Wij zullen dit met een voorbeeld duidelijk maken.
Zij gegeven :
V (2 + 41/ -2) + 1/ (2 - 4l/"-2).
Daar (2)'— (éj/ — 2)' = 4 — (— 32) = + 36
een zuiver vierkant is, is elke vorm afzonderlijk herleidbaar ;
voert men die herleiding uit, dan vindt men voor den eersten :
±(2+]/-2)
en voor den tweeden :
±(2-j/"-2).
De som van beide vormen kan dus zijn :
a. + (2 + 1/ -2) + (2 - 1/ -2) =4.
b. + (2 4- 1/ —2) — (2 — !/■— 2) = -f 2K— 2.
c. — (2 + 1/ —2) -f (2 — 1/ —2) = — 2K— 2.
d. — (2 -I- 1/ —2) — (2 — iX— 2) = — 4.
2°. Bij al de imaginaire vormen, die wij behandelden, kwamen
geen andere voor dan tweed emachts wortels uit negatieve getal-
len, niettegenstaande wij alle evenmachtswortels uit negatieve
getallen imaginair genoemd hebben, dus ook :
lK-1; ]^-2; i>-«..
De reden, waarom wij deze imaginaire vormen, niet in onze
beschouwing opnamen, ligt hierin, dat ze, zooals de hoogere
algebra ons leert, eigenlijk complexe vormen zijn, en dus alle
tot de gedaante a±bi teruggebracht kunnen worden.
Wij zullen dit voor een enkel geval laten zien, en kiezen
daartoe: 1^ — 1.
De vierdemachts wortel uit — 1, is de tweedemachts wortel
uit den tweedemachts wortel van — 1, welke laatste ±: i is.
Derhalve is:
V^— 1 = K* en ook — K— i
Om l^i te herleiden, beschouwen wij i als een complex
getal : o -\- i, en herleiden op de gewone wijze :
Waaruit volgt :
111
X — y = 0 en 2ï\yxy = i.
x^ — 2xy -\- i/''^= (y
— 4tXi/ = — 1
af
x^ 4- 2xy -f- i/^ = 1
x-]-y = 1
X — y = O
op
2a; = 1
X = -^
y = i
Dus is K* = ±(Ki + ïKi).
Evenzoo l^—i = ± (Ki — «Ki).
Wij ktijgen dus voor 1^ — 1, deze vier waarden:
«. KI + ^Ki
c. Kè - ^i^i
Wil men nu herleiden : IV — 5, dan bedenke men, dat
}^ — 5 = IV — 1 X 1^5, en men dus de vier wortels vinden kan,
door elk van de 4 vierdemachtswortels uit — 1 met 1V5 te
vermenigvuldigen, welke laatste factor als een rekenkundig getal
beschouwd moet worden, en dus slechts één waarde vertegen-
woordigt.
Opgaven.
1. Waaraan moet voldaan worden, opdat de complexe getallen :
3 + 2/K— 1 en 2x—h\y—l gelijk zijn?
2. Bepaal x en y, als ge weet, dat:
{2x + 5) + 2yV—^ = (3y — 1) + xV—2.
3. Schrijf de volgende complexe getallen in de gedaante a ± hi
en herleid dan :
(3 + 2V—1) + (5 — 31/— 1) — (4 -1-21/— 1);
(4 H- V-%) + (5 - K-18) + (6 - l/-i) ;
(6 + 1/ —5) — (3 + 1/- 20) + (5 — 31/-45).
(a + 61/ - 1) + (c + c^l/- 1) + {e + fV- 1).
4. Geef van elk der volgende complexe getallen het toegevoegde
complexe aan:
1/3 + 21/— 5; 1/5 — 31/ — 2; —5+1/— 6; 21/3 — l/— 3.
112
5. Geef twee complexe getallen aan, wier som reëel is; ook twee
wier som imaginair is.
6. Doe hetzelfde voor het verschil.
7. Herleid:
(3 + V-2) (5 -^ V-2) ; (K3 + V—2) (K3 - 2V- 2).
8. Ook:
(7 _ y— 5) (2 — SV— 5) ; (1/5 -f V— 10) (21/5 — V— 10).
9. {Vx->rV—y){Vx-V—y); (1^2 + 1^— 3) (1^2 - K- 3).
(21/2+3K- 3)(2K2-31/- 3) ; {^V-a-^V-ab){hV'-a-Vab).
10. Herleid:
(l/;r-l-l/-2/)^ (K^-l/-y)^ {Vx^V-yf {Vx-V-y)\
{V^-V-2f', (2K3-3K-3)^ {V^-\-^V-2y.
11. Herleid: (i — i*K3)^ (- ^ — |ïl/3f .
1 2. Eveneens : (1 + V— 2)^ (1 — K— 2)\
13. Hoeveel is: (K— 3 -f- 1/6)1
14. Herleid:
{a 4- ii)' — (a — uy
op twee manieren, 1" door eerst ontbinding ; 2*^ door de bino-
miaal-formule.
15. Herleid:
5 7 5 + 21/-1 a+&i
16
17
1/3-1-1/— 2' 1/3-1-21/— 1' 5 — 21/— 1' a — bi'
41/— 2 36 31/5 — 21/— 3
51/3 — 2|/— 5' 2H-21/— 3' K3 — 31/— 2 '
21/6 — 3k"— 3 31/2-1-1/— 6 1/6 -|- 21/ -3
41/2 — 51/— 6 ' 1/3 — 1/— 6 ' K6 — 21/— 3'
18. {1^H^+ *^^^}' + {^^^ — i^x^}\
19. {^^^ -f i^x^Y — {^^^ — ï^^l'.
20. Herleid:
1/(2 — 21/— 3) ; l/(— 3 + 41/— 1) ; 1/(5 + 21/— 6)
1^1— 41/— 3; ^ a— 6— 1/— 4aè; als a > ö, en ook als a < è.
21. Eveneens:
1/(44 -f- 141/— 5) ; T/(- 2 + 21/ - 15) ; l/(- 5 — 21/ — 14).
22. Bepaal de vier waarden van :
113
15^(31 + 12|/ — 10) ; 1K(— 28 — !&[/ - 2).
23. Eveneens van: IK— 16 ; IK— 81.
24. Herleid; K(2]/—l); VSi.
25. Herleid :
1/ (1 + 41/ - 3) + ]/ (1 - 4K- 3).
2—1/ — 5 5 — 21/ — 3
26. K
27
2 — 3[/ — 5 ' K(l -f 41/ — 3)*
5 — 1/ — 5 5-hl/ — 5
V (5 + 1/ -5) ' 1/ (5-1/- 5)-
28. Herleid:
(7i — 21/ 3) (7 — 2^1/3) 2'^ (-3)-' .
y (- 37 - 28i 1/ 3) "^ 2_e (_ 3)-H''
29. Als. = ^ + ^1^' il/(2 + 2Kl2)
en «/ =
4 ' 4
3 + 1/13 il/ (2 + 21/ 12)
30
31
32,
4 4
wat is dan de waarde van : oi^ -\-y^ — Xj/?
4K5 — 20 1
fK-10-5K-i' 2 + 1/-3-1/-5-
14 — 1/ 15 - 7i/ — 3 — 2]/ — 5
7—1/ — 5
;l/4(^
, / (a-C , , . acl/ 4a \
|/j__ec? + ,^_ j.
33. V{-j. dT-'-^—J-
34. 1/ ?^; K2c(^*; 1/ (5-^i).
35. K{aT' — «'è' — a'ö' — 2a'bfH]y{a + 6)}.
Derksen en de Laive, Alg. II.
HOOFDSTUK VI.
Vergelijkingen van den Tweeden Graad
met één onbekende.
194. Bepalingen. Elke vergelijking van de gedaante:
ax' -\-bx-]- c = Of
waarin b en c ook nul mogen jci/'n, alsmede elke vergel'^king,
die zonder vermeerdering of vermindering van wortels tot die
gedaa,nte gebracht kan worden, heet vergelijking van den
tweeden graad of vierkantsvergelijking.
Zijn & en c beide of een van beide nul, dan is de vergelijking
onvolledig.
Wij zullen echter onder een onvolledige vierkantsver-
gelijking alleen verstaan een vierkantsvergelijking van de
gedaante :
ax^ -f- öx = o,
terwijl wij een vierkantsvergelijking van de gedaante :
ax^ -{-0 = 0
zuiver noemen.
Oplossing van de Vierkantsvergelijkingen.
A. ZuiVEEE Vierkantsvergelijkingen.
195. Zij gegeven:
ax' -\- c = o.
De wortels dezer vergelijking zullen ook voldoen aan
ax^ = — c,
dus ook aan : x^ =
a'
1.
115
c
Nu zijn er twee getallen, waarvan de tweedemacht is, nl.
a
Xi=-\-Y en x., = — V .
a ' a
Beide voldoen aan de vergelijking:
ax' -f- c = o.
Men schrijft ze doorgaans in eens met een dubbelteeken,
aldus :
x = ±V--.
a
Opmerkingen.
c
lo. Beide wortels zijn reëel, als positief is ; dus
wanneer c en a verschillend teeken hebben.
2°. Beide wortels zijn imaginair, als negatief is; dus
wanneer c en a dezelfde teekens hebben.
3". Het zal niet moeielijk zijn in te zien, dat beide wortels
van de vergelijking:
ax^ = O
overgaan in x = 0. Men drukt dit uit door te zeggen, dat deze
vergelijking twee gelijke wortels nul heeft.
Voorbeelden :
hx^—l = 0
2. ^x- + 20 = 0
hx' = 7
x' 4- 60 = 0
^' = i
X' = — 60
X =±V^
a; = ±l/— 60
a^i- + il/35;
a;, = 4- 1^— 60 = + 2i 1/15.
x^= — \V^h.
x. = — V— 60 = — 2/ 1/15.
49/^ 1\^ 25 O
Stel X — ^ = y, dan gaat de vergelijking over in :
^y- 2 5 V 6 4
dus: y =±|-5,
yy = -^U en «/, = — ff.
Derhalve ook :
7 40 pn /v. 7 —
ïff en X ^ —
116
waaruit volgt :
^1 = ff en x-i = |.
. Q, . ^r.. , 2x-Vb b{x + V2)a-^Vb)_2x-^7
4. 3(^ + 1/2) + -^-^ -,-~^ -^^=V2'
Merken wij op, dat teller en noemer van de laatste breuk
uit het eerste lid deelbaar zijn door x + V^2, dan kan men
voor de vergelijking schrijven :
Qr _L.i/-9^_u2^-^^ 5(l+K5)_2^+7
Vereenigen wij nu de breuken met gelijken noemer, dan
ontstaat :
of 3(x + 1/2) + ^I^Sy2^ == O ;
waaruit na vermenigvuldiging van beide leden met x — V^2 volgt :
3(ic- — 2) — 12 — 6K5 = 0
of 3;r' — 18 — 61/5 = O
3^' = 18 +61/5
x' = & + 21/5
a; = ± 1/(6 + 21/5).
^1 = 4- 1/(6 -f 21/5) = l + K5
a;2 = — 1/(6 + 21/5) = — 1 - 1/5.
Opgaven.
Los de volgende vergelijkingen op :
1. ^x" — 75 = 0 ; ^x- — 25 = O ; 2,x' + 12a = 0.
11 , V^ X — p 2p — X
X — 5 X — a X -f-p 2p -\- X
2bx _ Ijx^Z) ^ p + x _ x+q
' X — 3 X ' p — X X — 2*
, 10 + 5a;^ , 5 — 8a; ^ 2 i oom
4. —^ 4.x = — 2 8a;' + 827i.
^ a-\-l <, a x^ — 2ah , ,
5. r— X 7ö = r h «O.
ab b^ b '
6. (a; — 5)1/5= * ^^
^4-1/5 ^ + ^
117
7. Van een zuivere vierkantsvergelijking is één wortel 2 — V^ — 3;
welke is de andere ?
8. Van welke zuivere vierkantsvergelijking is een wortel gelijk
aan S — Vh?
B. Onvolledige vierkantsvergelijkingen.
196. Zij gegeven :
ax^ -\- bx = 0.
Door ontbinding van het eerste lid ontstaat:
X {ax -1- &) = 0.
Nu wordt een produkt nul, wanneer een der factoren nul
is ; de waarden van x, die het produkt : x [ax -\- h) tot nul
maken, zijn dus:
^1 =: O en ax-^b = 0
ot Xi = .
a
Opmerking :
Van een onvolledige vierkantsvergelijking is één der wortels
steeds nul; den anderen wortel vindt men door oplossing van
een vergelijking van den eersten graad.
Voorbeelden.
1. 3x^ -\-^x = 0
x{3x-\-b) = 0
Xi = 0 en 3a; + 5 = O
2. 5 (3 — xf -h6{3 — x) = 0.
Stel 3 — x = y, dan wordt bovenstaande vergelijking :
5^ + 62/ = 0.
waaruit volgt :
2^ (5y + 6) = O
2/1 = 0 en 5y + 6 = O
Derhalve ook :
y-2 = — f •
S — x = 0 en S — x = — %
Xi = 3. x-z = 4-^.
Opgaven.
Los de volgende vergelijkingen op:
1. rr' 4- 3a; = O ; ax' -^{a—l)x = 0.
118
_ X- . 21/2 9a;
^- I ?7 +
o: — 3' 3 .'T— 3
a:;
o g'^ + ct^^ 2 _ a& + 6^ , ,
a'H-aK6 + a6+&K6'^ ■"(«-!- 1/ ö)(aH-6)^ "^
^ ^'
+ — f(^+^)-
a
C. Volledige Vierkants vergelijkingen.
197. Zij gegeven :
ax^ -\-bx-\- c=^0.
Deelt men beide deelen der vergelijking door den coëfficiënt
van x^, dan ontstaat de vergelijking:
X -\ X -\ — = o.
a a
Men kan dus altijd zorgen, dat de coëfficiënt van x' gelijk 1
wordt, en dus de volledige vierkantsvergelijking de gedaante
geven van:
x"' -}-px -{- q = Q.
Wij zullen ax^-\-bX'^G=o de algemeene, en x'-\-px-\-q=o
de gewone gedaante van de volledige vierkantsvergelijking
noemen.
Brengt men q naar het tweede lid, dan ontstaat:
x^ -]- px= — q.
Nu is x' het vierkant van x, en px het dubbelprodnkt van
^p met x; door nu beide leden met (^p)' of ^p^ te vermeer-
deren, wordt het eerste lid een kwadraat, en de vergelijking
krijgt de gedaante:
x' -\-px -\- \p^ = \p' — q
of {± [x + ^p)f = {± il^if - 4g)}^
Aan deze vergelijking wordt voldaan, als men een der wortels
uit het eerste lid gelijk stelt aan een der wortels uit het tweede
lid. Dit kan op vier manieren geschieden, nl. :
^+iP = + ^l^(/-4?) (1)
^H-iP = -i^(/-4g) (2)
~x-^p = -]-^V{f-4tq) (3)
-x-ip=-iVip'-4q) (4)
110
Vermenigvuldigt men beide leden van vergelijking (3) met
— 1, dan ontstaat vergelijking (2) ; vergelijking (3) levert dus
dezelfde waarde voor x op als vergelijking (2).
Vermenigvuldigt men beide leden van vergelijking (4) met
— 1, dan ontstaat vergelijking (1) ; vergelijking (4) levert dus de
zelfde waarde voor x op als vergelijking (1).
De waarden van x, die aan de oorspronkelijke vergelijking
voldoen, worden dus gevonden door de vergelijkingen (1) en (2)
op te lossen en zijn dus :
^ + iP = 4- i^(/ — 4<Z) en x-\-ip = — \V{f — 4g)
^1 = — ii> + ¥^(/ — 42) en x^ = — i;> —^Vif — ^ï)»
welke beide wortels in één vorm kunnen voorgesteld worden:
x=^ — \p± \V{p^ — iq).
Voorbeelden.
2. x^ + 6a; — 4 =0
x^ -\- 6x =4:
^* 4- 6x + 3' = 4 4- 9
\x+SY = {Vld)\
Hieraan voldoen :
ic-f 3=K13 en a;-f 3=— 1/13.
iCi=— 3-4-1/13 en a;,=— 3— 1/13.
1. a;' — hx — 14 = O
x^ — 6x=U
x' — bx-\- (2^y = 14 4- 6i
{x-2iy = m]\
Hieraan voldoen :
X— 2^=4:1 en a;— 2^=— 4|
of: 0^1=7 en Xi=~2.
Opmerking.
Let men op de formule :
die de beide wortels voorstelt van de vergelijking :
x' -[- px -\- q = O,
dan kan men van de vorige vergelijkingen de wortels dadelijk
opschrijven, door in de gevonden formule voor p te substituee-
ren, respectievelijk — 5 en + 6, en voor q . . . — 14 en — 4.
Zoo krijgt men onmiddellijk :
In 1.
In 2.
a: = -iX-5±i]/ {(— 5r-4X-Ul
a; = 2i ± i 1/ (25 + 56)
re = 2| ± 4|
a;,= 2^ + 4^ = 7
x.r= 2i — 41 -= - 2
a; = — |X + 6±i]/(36 — 4X — 4)
x= — S±iV^2 = — S±Vl3
^,= — 3 + VIS
x,= — S — VlS.
120
198. In het vervolg zullen wij altijd een volledige vierkantsverge-
lijking terugbrengen tot de gewone gedaante:
x^ -}- i)X -f- Q' = o,
en dan direct toepassen de formule der wortels :
ac = — iP ± i V{p^ — 4g),
of in woorden :
De twee wortels eener vierkantsvergelijking van
de gewone gedaante:
x^ -\- x>x -\- q = 0,
z\jn gelijk aan het tegengestelde van den halven
coëfficiënt van x, vermeerderd of verminderd met
de helft van den wortel uit het verschil van het
vierkant van den coëfficiënt van x en viermaal den
bekenden term.
Voorbeelden.
3. x^ + \2mnx = {m^ — 9n^)'
X' 4- 12mnx — {m^ — 9n')' = O
X = — 6mn ± ^ l/{144mV + 4 (m' — QnJ}
X = — 6mn ± I l/"(144mV + 4m* — 72mV + 324n*)
X = — 6mn db ^ l/(4m' + 72mV + 324w*)
X = — 6mn ± I {2m' + 18n^)
Xi = — 6mn -\-in^-\- 9n^ = {m — 3w)''
Xi = — 6mn — m^ — 9n^ = — {m-\- Snf.
4. {a — lYx'-\-2{Sa—l)x — ia+\=0.
Om de gewone gedaante te verkrijgen, moet men eerst beide
leden van de vergelijking deelen door (a — 1)^ ; dan ontstaat :
2 . ^ 3a — 1 ia — l .
{a — iy « — 1)'
x =
(a-ir*^^/^- {a-iy ^ ^'{a-iy\
3^-1 4-1,.-^, {Sa-iy^(4a-l)(a-iyi
[a-iy'^^^r- {a-iy ]
3rt — l . ]
{a-iy {a-iy
V{9a'— 6a + 1 + 4a'— 9a'-t- 6a — 1)
3a— 1 . 1 ^, „
[a — \y [a — \y
_ 3a — 1 2aKa
^- (a-ir {a-\y
121
a;, =
— 3a -t- 1 + 2aVa 2aVa — 3a + 1
Xi =
{a - ir
— 3a + 1 — 2aVa
(«-ir
— 2aVa — 3a + 1
{a-lf
(«-ir
(3 + K3)x' — 6a; — 4|/3 = 0.
Na deeling door 3 + 1/3 ontstaat de gewone gedaante :
6 41/3
X' —
3 4- K3 "" 3 -f V^3 ^
36 161/3
x =
3 + 1/3
__3
3 + 1/3
4- ' T/i
:.+
±iK4
3 + 1/3^
i 9 4(3 + 1/3)1/3/
/(3+l/3r"^ (3 + l/3r i
; 1/(21 + 121/3)
"^ 3 + 1/3-" 3 + 1/3 •
Daar 21' — (12l/3r een vierkant is, kan men 1/(21 + 121/3)
herleiden tot de gedaante l/a +1/6.
Men vindt dan :
K(21 + 121/3) = 8 + 21/3 (Zie § 172).
Dus
Xa =
X, =
3 3 + 21/3
3 + 1/3 3 + 1/3
3 + 3 + 21/3 _ 6 + 21/3
3 + 1/3 "~ 3 + 1/3
- 3 — 21/3 _ — 2|/3
3 + 1/3 "3+1/3
= 2
= 1
1/3.
Opgaven.
Los de volgende vergelijkingen op, door van het eerste lid
een volkomen vierkant te maken:
x' - 2x— 3 = 0.
x' — ldx-{- 16 = 0.
x"' — öx — 24 = 0.
x'— 7x-\- 9 = 0.
x'+ 3a; + 5 = 0.
X- + (a + è) a; + aö = 0.
Los de volgende vergelijkingen op, door toepassing van de
formule voor de wortels eener vierkantsvergelijking van de
gewone gedaante (§ 198) :
X'
— 7a; + 12 + 0
x'
— 4a; +
3 =
= 0
x'
+ 6a; +
8 =
= 0
X'
+ 5a; +
3 =
= 0
X-
— 2a; +
2 =
= 0
x'
+ ^ +
1 =
= 0
122
7^x' + i}x = 39.
Slx' + 15 (lx — 23) = 0.
X-\-'l
X — 1
+ X
14i.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
1
a
X , a
h = (
a X
2x 2x — b
X
X — 3
^Ix"- — \x
4a; — 35 36 — 5a; _
5 x
96.
2|a;' — 4fcc = 304.
4,05a;' — 7,2a; = 1476.
5a;'- — 7a; — 48 = 0.
X
6 -h 5a; 3a; — 4
2^2
l/r 16
3 4^2
TT-S-'
4(5— a;) 5(5 4"^;)
5,— 7a; 89 _
"^ 25 — x' ~ 105 ~
^i^a; + f' = 0.
bx d' —
a abx
h'
a;'+l=a;( 1 ^1 Vmn.
\m n }
ax' — d' {x + h') = ah {x — ah).
1 1 3 + a;'-
p — x p -\- X p —
bx a' -\- h^ a
a abx b '
x' — 3a;l/'5 — 9 = 0.
x' — 5a; — K6 = 0.
a;' — 2a;K3 4-1=0.
x"- — 5a; 4- 1 = — Vo.
x" — x^- iVb = f.
X-
123
25. X' — 2ax 4- a' — ö'- = O .
26. x' — xV2-^iV3 = 0.
27. x'-^xV7 — VS = 0.
X 1
28.
a — h 2Va — x'
29. £:t^2_^+K3^
o:" — 1/3 re — 1/2
30. 4 + ^J + K" + D=^-
31. 8^(a^ — 2)"' + 71a; = 360.
32. .X'' — ^ax + 2a' = 36^' — hdb — 2&'.
12 — 5^^ 3 + 4ir^
n' , ^ 3w'-fnV 3m'«a^4-2«' 2«-(2m'w+l)
35. — x-\- mn x' — 2mn 1 ^ = -> •
p P P F
36. x' + o? — c' = 2ax -\- {b — 2c)b.
37. x\m' + 2n') + ai2a + b) — mx{3a — b) =
= Smnx^ + 6ö' — nxiia + b).
38.
ur,x 1) 1 ^ -34^^-2)
óa.(.aa. 1) 1 2J.2- 2«
39.
^ ., «ic 2a"~ 7bx b-
■"^ 3 3 ~ 6 6*
h ' 4a'6
, 40. ^- ic — — -r ^ H = 0.
|k 6 c" a
42. _«_? + l + 4 = 0.
oa; có ax ao
43. ^ + ^Va = ö-^ + V/a.
a?
: 44. ^'(2 — 1/— 1) — 2a;(l — 20 + 7i = 4a:il/'3 + 14 — 8tl/3 — 41/3.
124
45. x' — x[\ — K3)i 4-1/3 = 0.
46. 6:r' — x{^V2 — 3K— 5) = 2V— 10.
47. Zoek een formule voor de wortels van :
ax^ -\-hx-\-c-= 0.
48. Pas die formule rechtstreeks toe op :
5^2 _ 3;^ __ 3 = o ; 2x'' — 5;z; — 228 = O ;
3^- + xVh — 10 = O ; abx^ — {o" — b^)x — ab = 0.
2x' -f- Sax -\-3a — 2 ^=: O ; adx — acx"^ = bcx — bd.
Vraagstukken, die door middel van vierkants-
vergelijkingen kunnen opgelost worden.
1. Van welke 2 getallen is de som 25 en het produkt 136 ?
2. Welk getal is 8190 minder dan zijn vierkant?
3. Van welk getal is het vierkant 45 meer dan het twaalfvoud ?
4. Bepaal een getal zoo, dat, als men het 8^*^ en het 9*^*^ deel met
elkaar vermenigvuldigt, dit produkt met het tweevoud van het
getal vermeerdert, en deze som nog met 23 vermenigvuldigt, men
een uitkomst verkrijgt, die 216 minder is dan het vierkant van
het getal.
5. In welk talstelsel is 527 geschreven, als het in het tientallig
343 is?
6. In het jaar 1860 antwoordde A, toen men hem vroeg, hoe oud
hij was :
Vermenigvuldig ik het aantal mijner jaren van vóór 4 jaar
met dat van over 6 jaar, dan krijg ik een getal, dat, als jaartal
beschouwd, mijn geboortejaar met 6 overtreft A, Hoe oud was
A in 1860?
7. Onder eenige arbeiders worden 50 Gld. gelijk verdeeld. Als er
5 arbeiders minder geweest waren, zou ieder 5 Gld. meer krij-
gen. Hoeveel arbeiders waren er ?
8. Iemand kocht een zilveren doos, die hij later weer voor 30 Gld.
verkocht, waardoor hij 2-| maal zooveel 7o wint, als de doos
hem guldens had gekost. Voor hoeveel had hij ze gekocht ?
9. Een wijnhandelaar koopt 2 soorten wijn, samen 11 H.L. voor
493^ Gld. Verkoopt hij soort A voor den prijs van soort B,
dan krijgt hij 170 Gld. Verkoopt hij echter soort B voor den
prijs van soort A, dan ontvangt hij 253^ Gld. Hoeveel heeft
125
hij van iedere soort gekocht, en wat is de prijs, dien hij per H.L.
besteedt ?
10. A reist van P naar Q in 15 uur. Tegelijk gaat B van een 5
K.M. verder van Q verwijderde plaats R ook naar Q. Als ze
tegelijk aankomen, en B voor elke 7 K.M. een half uur minder
noodig heeft dan A, hoe ver ligt dan P van Q?
11. Iemand vermaakt aan zijn erfgenamen 24000 gld. Voor echter
de verdeeling plaats had, stierven 4 erfgenamen, waardoor ieder
der overigen 1000 gld. meer ontving. Hoeveel erfgenamen
waren er ?
12. Twee stukken land, A en B, zijn samen 850 H.A. groot, en
hebben in het afgeloopen oogstjaar evenveel opgebracht. Was
de opbrengst van 1 H.A. van A even groot geweest als de
opbrengst van 1 H.A. van B, dan had A alleen 16000 gld.
opgebracht. En als 1 H.A. van B evenveel als 1 H.A. van A
opgeleverd had, zou de opbrengst van B 13500 gld. bedragen
hebben. Hoe groot was ieder stuk ?
13. Uit een vat, inhoudende 400 L. zuiveren wijn, wordt een
gedeelte afgetapt en vervangen door evenveel water. Na behoor-
lijke vermenging worden er later 78^^ L. meer afgetapt dan
de eerste maal, en weer door water vervangen, waarna er even-
veel water als wijn in het vat is. Hoeveel liter werden de eerste
maal afgetapt ?
14. Twee kooplieden A en B drijven handel. A geeft 5 maal zoo-
veel geld als B en wint 16 "/o, terwijl B 20 7o wint. Zoo het
produkt van het aantal guldens hunner kapitalen vermeerderd
met dat van het aantal guldens hunner winsten 56889 is, hoe-
veel heeft dan ieder ingelegd?
15. Iemand heeft eenige ponden thee en bevindt, dat, als hij het
pond voor 2f maal zooveel stuivers verkoopt, als hij ponden
heeft, hij dan juist zooveel meer dan 7,75 gld. ontvangt, als
hij minder dan deze som ontvangt, wanneer hij het pond voor
half zooveel stuivers, als hij ponden heeft, geven wilde. Hoe-
veel ponden heeft hij ?
16. Iemand verkoopt een partij kaas voor 119 gld. en wint nu juist
zooveel 7o» als de partij hem guldens (gekost heeft. Hoeveel
bedroeg de inkoop ?
Een ander verkoopt een kast voor 24 gld. en bevindt, dat hij
zooveel ten honderd verliest, als de kast hem guldens gekost
heeft. Voor hoeveel was de kast gekocht?
126
18. Een wijnkooper koopt eenige okshoofden wijn voor 2880 gld.
Indien hij voor dezelfde som 90 okshoofden meer had gehad,
dan zou hij per okshoofd 16 gld. minder betaald hebben. Hoe-
veel okshoofden heeft hij gekocht ?
19. Twee boeren zijn met eieren ter markt geweest. A met 9()
eieren, waarvan hij er 6 heeft overgehouden, terwijl B er twee-
maal zooveel als A mee naar huis neemt. Zoo nu het aantal
eieren, dat A verkocht heeft, staat tot het aantal dat B had,
als die, welke B verkocht heeft, tot die welke A heeft overge-
houden, vraagt men, met hoeveel eieren B naar de markt ging,
20. Onder eenige personen moeten 231 gld. gelijk verdeeld worden,
waardoor ieder 10 gld. meer krijgt, dan er personen zijn. Hoe-
veel personen waren er dan ?
21. Een vrouw koopt voor 80 gld. linnen ; indien men nu bevindt,
dat de el "haar 20 et. minder zou gekost hebben, wanneer het
stuk 20 el langer was geweest, zoudt gij dan daaruit de lengte
van het stuk kunnen bepalen ?
22. Een som van 2400 gld. moet onder 2 compagnieën soldaten
gelijk verdeeld worden. Daar de eerste compagnie 40 man ster-
ker is dan de tweede, zoo ontvangt ieder man van de eerste
5 gld. minder dan een man van de tweede compagnie. Hoe
sterk was iedere compagnie ?
28. Twee koeriers A en B worden gelijktijdig langs denzelfden
weg naar een plaats afgezonden, die 15 K.M. van het uitgangs-
punt verwijderd is. Als nu A ieder uur ^ K.M. meer aflegt
dan B, en daardoor 2 uren vroeger op de plaats van bestemming
is, vraagt men hoeveel K.M. ieder per uur aflegt.
24. Iemand heeft gedurende verschillende tijden twee werklieden
in dienst gehad, die ieder een verschillend loon ontvingen. De
eerste heeft 6 weken meer dan de tweede gewerkt en 96 gld.
verdiend, terwijl de andere maar 54 gld. heeft ontvangen.
Indien echter de tweede zoolang als de eerste, en deze zoolang
als de tweede gewerkt had, zouden zij evenveel ontvangen
hebben. Men vraagt, hoeveel weken ieder gewerkt heeft, en tegen
welk weekloon.
25. Iemand koopt 2 vaatjes wijn, houdende te zamen 52 L., en betaalt
voor beide 53,40 gld. Het grootste kost 23,40 gld. meer dan
het kleinste. Was het grootste gevuld met de soort uit het
tweede vat, en dit met wijn uit het eerste, dan zouden beide
evenveel gekost hebben. Hoeveel L. bevat ieder vaatje?
127
26. Het getal a in twee deelen te verdeelen, zoodat het verschil
der deelen middelevenredig *) is tusschen de deelen zelf.
27. Twee kooplieden handelen samen, waartoe zij 500 gld. bijeen-
brengen. A blijft in den handel 5 maanden, en ontvangt voor
kapitaal en winst 525 gld. B, wiens geld echter slechts 4 maan-
den in den handel geweest is, ontvangt voor kapitaal en winst
210 gld. Hoeveel heeft ieder ingelegd?
28. Drie kooplieden A, B en C hebben 450 gld. in een zaak
gestoken. A neemt zijn geld na 3, B na 4 en C na 2 maanden
terug, waardoor zij respectievelijk 130, 210 en 240 gld. terug
ontvangen. Als de inleg van B tot dien van C staat als 8 : 4,
hoe groot is dan ieders bijdrage?
29. ïwee regimenten vertrekken gelijktijdig uit P en Q elkaar
tegemoet. Als ze elkaar ontmoeten heeft het regiment uit P
a mijlen meer afgelegd dan dat uit Q, en als ze met dezelfde
snelheid voortmarcheeren, zal het eerste nog 1) dagen noodig
hebben om in Q, en het tweede nog c dagen om in P te
komen. Hoeveel mijlen ligt P van Q?
30. Een winkeher heeft een vat wijn. Uit dit vat tapt hij 75 L.
en vult het met water weer aan. Voor de tweede maal tapt hij
er \ uit en vult het weer met water aan. Eindelijk tapt hij er
weer 15 L. meer dan \ uit en vult het opnieuw met water.
Als er nu -^ meer water dan wijn in het vat is, vraagt men
hoeveel liter er in waren?
31. Iemand neemt 375 gld. op interest voor tweemaal zooveel maanden,
als het 7o 's jaars bedraagt. De tijd verschenen zijnde, krijgt
hij op zijn verzoek nog half zooveel maanden uitstel, als hij
het geld reeds gehad heeft, maar moet nu 1 7o 's jaars meer
rente betalen. Als hij op den vervaldag 400 gld. schuldig is,
vraagt men hoe lang hij het geld gehad heeft.
hlx
32. Wanneer men de breuk —^ tot haar eenvoudigste gedaante
Xo I
cc4
herleidt, krijgt men — . Welke is de onvereenvoudigde breuk?
I o
33. Het getal driehonderd vier en vijftig wordt in een ander talstelsel
voorgesteld door 542. Wat is het grondtal van dit stelsel ?
34. Men vraagt de lengte en de breedte van een rechthoek te bepalen.
*) Men zegt, dat een getal middelevenredig is tusschen twee andere, als het
vierkant van het eerete gelijk is aan het produkt der twee andere.
128
die met een gegeven vierkant gelijken inhoud heeft, doch waarvan
de omtrek b meter grooter is dan de omtrek van het vierkant.
35. Twee koopheden, A en B, hebben een gemeenschappelijken
handel gedreven en daartoe samen 800 Gld. bijgedragen. A is
3 maanden en B 2 maanden bij dien handel betrokken geweest,
waardoor A 552 Gld. en B 352 Gld. terug ontving. Hoeveel
heeft ieder ingelegd ?
36. Een koerier vertrekt uit een zekere stad A naar eene andere
B, en legt per dag 8 mijlen af. Nadat hij 27 mijlen heeft afge-
legd, wordt hem uit B een ander koerier tegemoet gezonden,
die den geheelen weg in 20 dagen zou kunnen afleggen. Zoo
nu deze koeriers elkaar ontmoeten, wanneer de tweede zooveel
dagen op weg geweest is, als hij mijlen daags aflegt, vraagt
men naar den afstand der plaatsen A en B.
37. Een vat, dat geheel gevuld is, heeft drie kranen van verschil-
lende grootte, en kan, door alle gelijktijdig te openen, in vier
minuten leegloopen. Opent men echter elke kraan afzonderlijk,
dan zal het vat door de eerste kraan leegloopen in f van den
tijd, welke de tweede kraan daartoe besteedt ; terwijl door deze
laatste het vat drie minuten spoediger kan worden leeggetapt,
dan door de derde kraan. Nu vraagt men, in hoeveel tijd het
vat door iedere kraan afzonderlijk kan leegloopen.
38. Twee reizigers, A en B, vertrokken gelijktijdig uit twee plaat-
sen, P en Q elkaar tegemoet. Toen zij elkander ontmoetten,
had A 30 K.M. meer afgelegd dan B. Als zij met dezelfde
snelheid doorreizen, komt A na 4 dagen te Q, en B na 9 dagen
te P aan. Hoe ver ligt P van Q verwijderd?
39. Twee ploegen arbeiders hebben twee even groote geldsommen te
verdeden. In de eerste ploeg zijn 8 man meer dan in de
tweede ; ieder arbeider van de eerste ploeg krijgt 9 Gld. minder,
dan elke arbeider van de tweede ploeg. Het aantal guldens,
waaruit elke som bestaat, is 392 meer, dan het aantal arbeiders
van beide ploegen samen. Hoe groot is het aantal arbeiders ?
Hoeveel Gld. worden onder elke ploeg verdeeld, en hoeveel
krijgt ieder arbeider ?
40. A en B reizen elkaar tegemoet uit twee plaatsen, die 988 K.M.
van elkaar verwijderd zijn. A legt dagelijks 36 K.M. af, en het
aantal dagen, dat er verloopt, eer zij elkaar ontmoeten, is 3
grooter dan het vierde deel van het aantal K.M., dat B per dag
aflegt. Hoeveel K.M. heeft ieder bij de ontmoeting afgelegd ?
129
Eigenschappen van de wortels eener vier-
kantsvergeiyking van de gedaante:
X' -\- px -\- q = 0.
199. De formule:
die wij in § 198, voor de wortels eener vierkantsvergelijking
van de gewone gedaante in woorden uitgedrukt hebben, stelt
ons in staat, zonder oplossing der vergelijking, te oordeelen
over den toestand van de wortels, als de coëfficiënten ^ en ^
reëel zijn :
1. is p^ — éq^-O, dan vindt men voor x twee onge-
lijke, reëele getallen ;
2. is p^ — 4(/'<0, dan vindt men voor x twee toege-
voegde complexe getallen;
3. is p^ — ^q = 0, dan vindt men voor x twee gelijke
getallen ;
4. als de coëfficiënten p en q meetbaar zijn, zullen,
indien j/ — éq een vierkant is, beide waarden
van X meetbaar zijn.
Voorbeelden.
i. x' -h lx 4- 5 = 0.
Daar 7'^ — 4 X 5>0, heeft de vergelijking twee verschillende
reëele wortels.
2. x'' — 3x4-10 = 0.
Daar ( — 3)' — 4 X 10<cO, heeft de vergelijking tot wortels
twee toegevoegde complexe getallen.
3. x' — 6x-^9 = 0.
Daar ( — 6)' — 4X9 = O, heeft de vergelijking twee gelijke
wortels.
Opgave: De lezer schrijve de wortels dezer vergelijking en
in formulevorm op.
200. Telt men de wortels der vergelijking x^ -\- px -\- q = O bij
elkaar op :
Xi = — ip-\- \V{f — 4g)
Xi = — ^p — \V jp' — 4g),
dan verkrijgt men : Xi -\- Xi=- — j?,
waaruit dus volgt de :
Derksen en de Laive. Alg. II. 9
130
Eigenschap. De som van de wortels eener vier-
kantsvergelijking van de gewone gedaante is gelijk
aan het tegengestelde van den coëfficiënt van x,
201. Vermenigvuldigt men de wortels met elkaar, dan ontstaat:
= (- ^Pf - {^Vif - ^Q)f = V - i (/ - H) = a,
waaruit volgt de :
Eigenschap. Het produkt van de wortels eener
vierkantsvergelijking van de gewone gedaante is
gelijk aan den bekenden term.
202. Met behulp van deze eigenschappen kunnen wij een vergelijking
samenstellen, waarvan de wortels gegeven zijn.
Zij gevraagd een vergelijking op te schrijven, die +5 en — 7
tot wortels heeft.
De som der wortels is — 2 ; de coëfficiënt van de eerste
macht der onbekende, die wij door x zullen voorstellen, is dus
+ 2.
Het produkt der wortels is — 35 ; de bekende term dus ook,
en de gevraagde vergelijking is dus :
x--]-2x — 3b = 0.
203. Ook stellen deze eigenschappen ons in staat, om, nadat men
zich overtuigd heeft, dat beide wortels reëel zijn, gevolgtrekkingen
te maken omtrent grootte en toestand der wortels :
1. Is p positief en q positief, dan is de som der wortels
negatief en het produkt positief. Beide wortels moeten
dus negatief zijn.
2. Is p positief en q negatief, dan is de som der wortels
negatief en het produkt ook. Daarom moeten de wortels
verschillend teeken hebben ; terwijl de volstrekte
waarde van den negatieven wortel het grootst
moet zijn.
3. Is p negatief en q positief, dan is zoowel de som als
het produkt der wortels positief, zoodat beide wortels
positief zijn.
4. Is p negatief en q negatief, dan is de som der wortels
positief en het produkt negatief. De wortels hebben dus
verschillend teeken, terwijl de positieve wortel de
grootste volstrekte waarde heeft.
131
Wij zullen dit met een enkel voorbeeld ophelderen. Zij gegeven :
x' 4- xVh — 7 = 0.
Omdat iy^f — 4 X — 7 > O, zijn beide wortels reëel; hunne
som is — 1/5 en hun produkt — 7. Omdat hun produkt negatief
is, moet de eene een positieve, en de andere een negatieve
waarde hebben. En daar himne som negatief is, moet de nega-
tieve wortel de grootste getallen waarde hebben.
Opmerking.
Als q negatief is, dan is — ^q positief, dus jp^ — iq ook ;
V^iV' — 4g') is dus reëel ; en de beide wortels der vergelijking :
x' -r- px -\- q = O
zijn dus reëel, als p en q reëel zgn.
Vraag. De wortels der vergelijking :
ax' -)- 6j; 4- c = O
met reëele coëfficiënten, zijn reëel, als a en c verschillend tee-
ken hebben. Waarom ?
204. Een andere, zeer belangrijke eigenschap van de vierkantsver-
gelijkingen, stelt ons in staat, alle mogelijke vormen van den
tweeden graad in factoren te ontbinden. Deze eigenschap luidt :
Als Xi en Xt de Tvortels zijn eener vierkantsverge-
lijking van de gewone gedaante, dan is het eerste
lid te ontbinden in :
{x — Xi) {x, — x).
Bewijs.
Daar Xi-\-X-i= — p en Xy . x.i = q, kan men voor het eerste
lid schrijven :
X^ — {Xi -\-X.2)x-\- .T; . X-,
Ol 00 — 00 1 m 00 OO2 • 00 ~j~ 00^ • Jf^'i
00 \00 — *Ay I ) — 00-> [00 — JOit
of {x — Xi) [x — Xi).
Voorbeelden.
1. Ontbind: re' + 7a; + 12.
Men stelt :
x' -h 7a; + 12 = O,
en zoekt de wortels van deze vergelijking:
132
ic, = — 3i + i = -3
x., = — Si — i = — é.
De gevraagde ontbinding is dus :
{x-i-S)}{x-{-4)}=^{x + S){x + 4.).
2. Te ontbinden : 12x' + 13iC — 14.
Daar de genoemde eigenschap alleen toegepast mag worden,
als de coëfficiënt van x^ gelijk is aan 1, zullen wij eerst den
factor 12 buiten haakjes brengen en dus schrijven :
12a;' H- 13x — 14 = 12 {x^ + ^x — i|).
Nu zoeken wij de wortels van:
Jy -f- Y^x YY — ^«
Deze zijn :
^ 13-4-1 T/Yl 6 9 1 * 14- 12%
X
— in — ¥T»
/v — 1 3 -4- 2 9
rp 13 119 1
Xi -g-r -f- *— -
"ST 1" IT — -g-T — -g-»
y. 13 29 42 7
Derhalve is:
En dus:
l2oir + 13a; — 14 = 12 [x' + \%x — {^) = 12 {x — f) (a; + ^) =
= 3(a;-f)4(a; + ^) = (3aj-2)(4a; + 7).
Ontbind : x' — Ux — 2xK3 + 45 + 18]/3.
Rangschikken wij naar x :
x' — (14 + 2VS)x -\- (45 + 18K3).
Bepalen wij nu de wortels van :
x' — (14 + 21/3)a; + (45 -f 18K3) = O
x = 7-\-VS±iV {(14 -h 2K3)' — 4 (45 + 181/3)}
a; = 7 + 1/3 ± iK4 {(7 -f Vsy — 45 — 18K3}
x = 7-\-VS± l/"(52 + 14K3 — 45 — 181/3)
a; = 7 + 1/3 ± 1/(7 - 41/3).
Daar 7' — (41/3)* een vierkant is, is 1/(7 — 41/3) te herleiden
tot de gedaante : l/a — ■ 1/5.
Men vindt daarvoor : 2 — 1/3.
Dus a; = 7 + 1/3 ib (2 — 1/3)
a;i = 7 + K3 + 2 — 1/3 = 9
a;^ =7 + K3 — 2-1-1/3 = 5 + 21/3.
133
I .
V x' — 14a; — 2xVS 4-45 4- 18K3 = {x — 9){x'-b — 21/3).
4. Ontbind : (m — n)x' — nx — m.
Door den factor (m — n) buiten haakjes te brengen, krijgen w^ :
(m — n)ix^ —
n m
X
m — n m — n
Zoeken wij nu de wortels van :
., n m -
X' X = 0.
m — n m — n
Deze zijn :
2(m — n) ^ /(m — nf ~'~ (m — nf j
n
x =
1,^**^ 4- 4m(w — n)
— "3- K 7— TT
2(w — w) (w — n)
n
x =
, - /• w^ — 4mw 4- 4w^
^t-a-"^ ZZ Tfi
a; =
2(m — w) ~~ ^ (m — w)^
« _. n — 2m
2(m — n) 2(w — w)
w , n — 2m 2(w — m)
2{m — n) 2{m — n) 2(m — n)
n n — 2m 2m m
x-, =
2{m — n) 2{m — n) 2{m — n) m — n
Dus is :
r^
n
m
= {x+l)(x-
m
m
— n
m — n
m — W/
En
derhalve :
Yi
- n) X' -
- nx -
- m ^={m —
n) {x-]-l)ix■
m
m —
n
{x
4- 1) {{m -
n) X — m).
)=
5. Te ontbinden : 6xr — xy — 12 ƒ — Sbz^ 4- a^^; 4- 41y^.
Rangschikken wij eerst den veelterm naar de afdalende mach-
ten van X, en beschouwen wij x als de eenige onbekende :
6a;' -]-{z— if)x — (12y' — ilyz 4- 35;^-) =
_fib_L.^-y, ]2lj-4lyz±Spz'l
"^f 4--g-^ g y
Bepalen wij nu de wortels van :
,z-y )2/-Uyz + Sbz^_
X -t ^ X - _ U,
dan krijgen wy :
134
y-^ , .,M'^-yf , J2^-41y^ + 35^r
-■^2"'*'^^/ 36 "^* 6 r
_ y — ^
12
iC =
y
12
± ^1^ ;/ (^2 — 2^;? 4- / + 288/ — 984^^ + 840^-)
± ^1^ Y (841^^ - 986i/« 4- 28^).
De vorm onder het wortelteeken is het vierkant van 29-2 — 17^.
dus is ;
X =
12
12
_ ^ — ^ + 29g— 17y _ 28z—lQy _ 7g — 4y
^'~~ 12 ~" 12 "^ 3
y
29,? H- 171/ _ 18^ — 30^ 3.y - 5»
12 12 2
Men heeft dus :
6a?^ — ic?/ — 12?/' — 35^' + a;^ + 41«/5; =
= (3a; — 7^ + 4y) (2a; — 3t/ + ^^),
of gerangschikt :
(3a; + 4?/ — 70) (2a; — 3^ + 5^).
Opgaven.
Bepaal de som en het produkt der wortels van de volgende
vierkantsvergelijkingen :
x^ — 8a; + 12 = O
x~ + 6a; — 15 = 0
x" + 10a; + 10 = O
a;' H- a; -1- 1 = O
3a;' - 6a; + 5 = O
x^j^lx = 0.
2a;' -h 5a; — 8 = O
—x^ H- 6:^ = 13
—5a;'' + 7a; = 10
2. Onderzoek, of de wortels van deze vergelijkingen reëel of ima-
ginair zijn.
3. Van de vergelijkingen :
a;' + aa; 4- 15 = O en x^ — 7a; -)- a =: O
is 3 een Avortel ; bepaal in beide gevallen de waarde van a.
4. Onderzoek, of de wortels der volgende vergelijkingen reëel of
imaginair zijn ; in het eerste geval, of ze beide hetzelfde teeken
hebben en welk ; of dat ze verschillend teeken hebben, en welke
wortel dan de grootste getallenwaarde heeft :
135
x' + ^x
— 12 = 0
x"^ — lx
4- 5 = 0
x^ — bx
+ 3 = 0
x' + ^x
+ 25 = 0
x^-\- xVb^ 1=0
x^— lx — 6 = 0
x" -\- hx — 10 = O
x'+llx —50 = 0
aj'-+ a;l/3— 1/2=0
x^+ xVb^V2=0.
5. Stel vierkantsvergelijkingen samen, waarvan de wortels zijn :
2 en 3; 4 en — 5; — 6 en — ^; rt-j-^ena — b;
— 2 + 1/^3 en 3 — 1/3 ; 5 — 1/2 en 7 + 1/2 ;
a-\- bi en a — bi; ^ -\- |il/3 en ^ — 4*1/3.
6. Van welke vierkantsvergelijkingen is één wortel altijd nul ?
Van welke vierkantsvergelijkingen zijn de wortels tegengestelde
getallen ?
7. Welke waarde moet q hebben, opdat de wortels van
hx^—9x-hq = ö
reëel, imaginair, gelijk zijn ?
8. Bepaal q zoodanig, dat de eene wortel van de vergelijking uit
N**. 7, het dubbele is van den anderen.
Ook dat de eene het omgekeerde is van den anderen wortel.
9. Bepaal onder dezelfde voorwaarde de grootte van p in:
x' -]- px — 20 = 0.
10. Als men de wortels van :
X' -r px -\- q = 0
door Xi en Xi voorstelt, bepaal dan, zonder de wortels te zoeken,
de waarde van:
/y» — 1 ■ [,. /y* — ' • ^Y* — ^ I /r> — - • /v» — 3 I /y» — 3
*A/\ ^^ tAy • tA/j |~ tA/2 9 «^l I *^-l •
11. Bepaal, zonder van ^'^ + 5a; -|- 8 = O (1) de wortels te bepalen,
een andere vergelijking, die tot wortels heeft:
a. De som der wortels van (1), en de som hunner omgekeerde
waarden.
b. De som van de vierkanten der wortels van (1), en de som
hunner derdemachten.
c. De som van de omgekeerde waarden van de vierkanten en:
van de derdemachten der wortels van (1).
12. Los, door gebruik te maken van de eigenschappen der wortels,
de volgende vergelijkingen op :
a;' + 9a; + 18 = 0; oc' -{- ax -{- ab = b\
136
13. Ontbind in factoren van den eersten graad:
x''-\-bx-]- 7; x^ -^ 2qx + g' — p^ ; 2^' ~ 7ic — 9 ;
Sc(^-\-6x — 4 ; a- + (21/3 — 3K2)a — 6K6 ; bx' + 3a; — 8 ;
a:- + 5a;4-14; ar —abV2 — ib'; 7x' — x-^6;
a^ — ah — 2V- -f 2rtl/3 + 5è]/3 — 9 ;
a;' — 2ic + icl/"3 — 21 - 111/3 ;
a;"^ — 2y^ — 08' 4- xy — xz-\- lyz.
14. Voor welke waarde van a heeft de vergelijking : x^-\-ax-\-d' — 1=0
twee gelijke wortels ?
17"ergelijkingen samen te stellen, -wrelker -wortels afge-
leid kunnen worden uit de wortels eener gegeven
vergelijking.
205. Zij gegeven de vergelijking:
x'' — ^x- 10 = O (1)
en zij gevraagd:
a. Een vergelijking samen te stellen, waarvan de wortels 7
meer zijn, dan die der oorspronkelijke vergelijking.
Eerste manier:
Noem Xi en x.}, de wortels van (1), en y de onbekende van
de gevraagde vergelijking ; dus de wortels y^ en y-,^ dan zal :
X^-\- Xi = ^; XyX-, = — 10.
Nu is : y^=-. Xi -\- 7
y-z = x.i-\-7
2/1 + ^-2 = ^1 + a;, + 14 = 3 + 14 = 17
en y, X yi = i^i X ^z) + 7 (a:, + x.,) + 49 =
= —10 + 7X34-49 = 60.
De gevraagde vergelijking is dus :
y-— 17«/4-60 = 0.
Tweede manier:
Elke waarde van x, die aan (1) voldoet, zal met 7 vermeer-
derd een waarde voor y opleveren in de gevraagde vergelijking;
tusschen x en y bestaat dus de betrekking:
x-]-7=y
of x=-y — 7.
I
137
Verandert men dus in (1) de x 'm y — 7, dan is de komende
vergelijking de gevraagde; deze luidt dus:
(y- 7)^-30/- 7) -10 = 0,
of na herleiding:
f — 17?/ -h 60 = 0.
206. b. Een vergelijking te bepalen, waarvan de wortels 8 minder
zijn, dan die van vergelijking (1).
Eerste manier:
Zij weer y de onbekende van de gevraagde vergelijking, en
zijn yi en y^ de wortels, dan is:
yt=Xi — 8
y^ = Xi — 8
y^+y,= [x, -+- X,) — 16 = 3 — 16 = — 13,
en yiXyi= {x, — 8) {x-, — 8)=XiXxi — ^ (^i + ^^ +
H- 64 = — 10 — 8 X 3 H- 64 = 30.
De gevraagde vergelijking is dus :
rH-13i/+30 = 0.
Tweede manier.
De X van de oorspronkelijke vergelijking en de y van de
gevraagde vergelijking zijn nu verbonden door de betrekking:
x — S = y,
of x = y-hS.
Verandert men dus de x van (1) in ^ -|- 8, dan ontstaat de
gevraagde vergelijking :
(y + 8f-3(2/ + 8)-10 = 0,
of- herleid : ƒ + 13?/ + 30 = 0.
207. c. Een vergelijking te bepalen, waarvan de wortels viermaal
zoo groot zijn, als die van vergelijking (1).
Eerste manier.
Hier is weer : yi = ixi
y> = iXi
y,Jry, = 4{x,-\- ^,) = 4 . 3 = 1 2
en yi . y-i = 4iCi . 4:X> = 16a7i .x.-=\Q . — 10 = — 160.
De gevraagde vergelijking is dus :
ƒ — 'l2«/— 160 = 0.
De lezer bepale de vergelijking zelf op de tweede manier.
188
Opmerking.
Vergelijkt men de oorspronkelijke vergelijking :
x' - 3a; — 10 = O
met de verkregen vergelijking :
/•— 12«/ — 160 = 0;
dan blijkt, dat de coëfficiënt van de tweede macht van de on-
bekende dezelfde gebleven is, die van de eerste macht van de
onbekende met 4 vermenigvuldigd is, en de bekende term met 4".
Deze opmerking stelt ons in staat, om van een vergelijking,
waarin de coëfficiënt van de eerste macht van de onbekende
en de bekende term breuken zijn, een andere vergelijking af te
leiden, welke geheele coëfficiënten bevat.
Zij gevraagd naar de wortels der vergelijking :
^' — wu^ — jh = 0. {»)
Wij merken op, dat er een vergelijking met geheele coëfficiënten
ontstaat, wanneer men den tweeden term met 30, den derden
term met 36"^ vermenigvuldigt.
De vergelijking :
heeft dus wortels, die 30 maal zoo groot zijn, als de wortels
van vergelijking (ex).
De wortels van vergelijking (/3) zijn :
«/i = 3 ; y> = —2.
De wortels van vergelijking (<sj) zijn dus :
Xi = ^-jj of ^^ ; aji = ^^ of y-j.
208. d. Een vergelijking samen te stellen, welker wortels 5 maal
zoo klein zijn, als die van vergelijking (1).
Tweede manier:
^n is y = -,
dus by = X.
Verandert men x in 5«/, dan gaat vergelijking (1) over in:
(5?/)- — 3 . 5^ — 10 = 0.
25^' — 15^ — 10 = 0,
waarvoor men ook kan schrijven :
n,"- 3^. 10 — o
Opmerking :
Vergelijkt men de oorspronkelijke vergelijking:
x' — 3a; — 10 = O
139
met de verkregen vergelijking :
dan blijkt, dat de coëfficiënt van de tweede macht van de onbe-
kende dezelfde gebleven is, die van de eerste macht van de
onbekende door 5 gedeeld is, en de bekende term door 5".
Deze opmerking stelt ons dikwijls in staat, om v^an een ver-
gelijking, waarin de coëfficiënten van de eerste macht van de
onbekende en de bekende term groote getallen zijn, een andere
af te leiden met kleinere coëfficiënten.
Zij gevraagd naar de wortels der vergelijking:
X' — 60ic — 2016 = 0. (öi)
Wij merken op, dat de coëfficiënt van x deelbaar is door 12,
en de bekende term door 12^.
Voeren wij die deeling uit, dan zullen de wortels der ver-
gelijking:
r - 52/ - 14 = O (/3)
12 maal zoo klein zijn, als de wortels van vergelijking («).
De wortels van vergelijking (/3) zijn :
^. = 7; ^2 = — 2.
Die van vergelijking (iSj) zijn dus :
«/, = 7.12 of 84; «/, = — 2 . 12 = — 24.
209. e. Een vergelijking te bepalen, waarvan de wortels de omge-
keerden zijn van die van (1).
Eerste manier:
Nu is yx =
X,
"'^i'
, , 1 1 a;, H- iCi 3
dus Ui + yz = = — r-z — = TTT =
^ ^ Xi Xi x^y^Xi — 10
3
10
x/ i 1 1
^""y'^^y-' x,xx, -10 10'
De gevraagde vergelijking is dan :
/4-A2/-tV = 0.
210. Een vergelijking samen te stellen, waarvan de wortels de
tegengestelden zijn van die van (1).
TAveede manier.
Daar y — — x,
moet x= — y zijn.
140
Substitueert men deze waarde van x in vergelijking (1), dan
krijgt men de gevraagde vergelijking :
(-yr-3(-2/)-10=0,
of herleid : «/' + 3t/ — 10 = O
Opmerking.
Men zal opgemerkt hebben, dat de tweede manier telkens de
gemakkelijkste is. Resumeeren wij het behandelde in de vorige
§§, dan ziet men :
Om van :
X- -\- -px A^ q =^ ^
1. de wortels met a te vermeerderen, verandere men x my — a;
2. om ze met a te verminderen, verandere men x in y -\- a\
3. om ze a maal zoo groot te maken, verandere men x m - ;
a
4. om ze a maal zoo klein te maken, verandere men x \n ay ;
5. om de omgekeerde wortels te verkrijgen, verandere men xm- ;
y
6. om de tegengestelde wortels te verkrijgen, verandere men x in — y.
Evenzoo kan men verklaren :
7. moeten de wortels de vierkanten worden van die der oorspron-
kelijke vergelijking, dan verandere men x in Vy ; enz.
Opgaven.
1. Stel zonder de wortels van
x^-^bx — 1 = 0
te bepalen, eene andere vergelijking samen, waarvan de wortels
3 meer, a meer; 5 minder; h minder zijn dan die van de
opgegeven vergelijking.
2. Vermeerder de wortels van
X- -I- 7^ + 9i = O
met a. Welke waarde moet a hebben, opdat de nieuwe verge-
lijking een zuivere vierkantsvergelijking zij?
3. Los de volgende vergelijkingen op, door ze eerst tot een zuivere
vierkantsvergelijking te vervormen :
x'-\-^x — h = 0', 3a;'+5a; — 2 = 0;
x^ -{- ax — 6 = 0; ax"^ -\- hx -\- c =0.
4. Stel een vierkantsv^ergelijking op, waarvan de wortels de derde-
machten zijn van die van :
a?' 4- 3a; — 5 = 0.
I
141
5. Eu een andere, waarvan de wortels de derdemachtswortels zijn
van die van :
üc' -\- 9x -\- S = 0.
6. Stel een vierkantsvergelijking samen, waarvan de wortels het
drievoud zijn van die in :
x' + 7x — S = 0.
7. Bepaal de wortels van
met behulp eener andere vergelijking zonder breuken.
8. Los ax' -\- bx -\- c = O
op, zonder vooraf door a te deelen (vermenigvuldig beide leden
met a, en bedenk, dat aV = {ax)').
9. Van de' vergelijking :
Ax'-rBx-^C = 0,
is een wortel 1^ ; bepaal den anderen als J. : C = 3 : 4.
10. Van de vierkantsvergelijking :
X' -\- px -\- q = O,
staan de wortels tot elkaar als (3 + V2) : (3 — V2), terwijl
het verschil der wortels gelijk is aan:
éVS + 6K2 + 12
V2-\-V3-\-VQ'
Bepaal de waarden van p en q.
11. Van de vergelijking:
ax^ -\- bx -\- c =: O,
is:
^ItfI X (^ï - ^ X ^^]~^ ^^^ ^°'^^^-
Bereken den anderen wortel als c= a.
12. Stel een vierkantsvergelijking samen, die tot wortels heeft:
het vierkant van den grootsten en het negatieve vierkant
van den kleinsten wortel der vergelijking:
x^ — Sx-\-VS—l=0.
13. Voor welke waarde van p heeft de vergelijking:
x' + {p-\-l)x + {p-\-l) = 0,
twee gelijke wortels?
14. Gegeven de vergelijking:
x'-{-3x — ^ = 0.
142
Telt men bij het eerste lid x"' -]r bx -]r c op, dan ontstaat
een vergelijking, waarvan de wortels 2 maal zoo groot zijn,
als die van de oorspronkelijke. Telt men daarentegen bij het
eerste lid op x^-^px-\-q, dan ontstaat een nieuwe vergelijking,
waarvan de wortels 2 grooter zijn, dan die van de oorspronkelijke.
Bepaal b, c, p en q, zonder de vergelijking op te lossen.
15. Als twee vierkantsvergelijkingen één wortel gemeen hebben, dan
is de gemeenschappelijke wortel ook een wortel van de verge-
lijking, die door aftrekking van de eerste twee ontstaat. Bewijs dit.
16. Bepaal in x^ — bx -\- q =0
de waarde van q zoodanig, dat de vergelijking een wortel gemeen
heeft met:
x--\-Sx^2 = 0.
17. Van het volgend tweetal vergelijkingen weet men, dat ze één
wortel gemeen hebben, bepaal dien wortel, zonder de vergelij-
kingen op te lossen :
j ic' -f 2:z; - 15 = O
fa;' — 7a; +12 = 0.
18. Van de vergelijking
x^ — x — 30 = 0 (1)
is één wortel tweemaal zoo groot als een wortel van
re- 4- a: — 12 = O (2).
Bepaal dien wortel, zonder de vierkantsvergelijking op te lossen.
N.B. Leid uit de tweede vergelijking eerst een andere af,
waarvan de wortels 2 maal zoo groot zijn, Zoudt ge ook anders
te werk kunnen gaan?
19. Van de vergelijking:
x^ — 19;r -f 84 = O (1)
is één wortel 5 meer, dan een wortel van de vergelijking:
x"- — Ibx -}- 56 = 0. (2)
Bepaal dien wortel zonder oplossing der vierkantsvergelijking.
20. Bepaal in:
ix^ — Ibx -f g = O
den bekenden term zoodanig, dat de tweede wortel het vierkant
is van den eersten.
21. Bewijs, dat, als ^ en g de wortels zijn van de vierkantsverge-
lijking:
ax^ -{- bx-\- c = 0
143
men heeft:
22. Ontbind in twee factoren, die ten opzichte van x van den eersten
graad zijn :
x^ -\- ax — bx-\- X -\-2a — ab -]- b — 2.
23. Bepaal, zonder van ax' -\- bx -\- c = O de wortels te bepalen,
de waarde van ;
X[ 1^ Xi
X'i X\
24. Voor welke waarde van m zal de vergelijking:
a;' + 7 4- 4m' — l^mx + 15m = O
twee gelijke wortels hebben.
Binomiaal-vergelijkingen.
211. Bepaling. Elke vergelijking van de gedaante:
aac" + ft = O,
alsmede elke vergelijking, die zonder vermeerdering of vermiii-
dering van wortels tot deze gedaante kan teruggebracht ivorden,
heet binomiaal-vergelijking.
Deze vergelijkingen worden opgelost, door met behulp van
de merkwaardige quotiënten het eerste lid in factoren te ont-
binden, en daarna elk der factoren = O te stellen.
Voorbeelden.
1. x' + 27 = 0.
Beschouwen wij het eerste lid als de som van twee derde-
machten, dan is dit te ontbinden, waarna de vergelijking wordt :
{x 4- 3) {x^ — 3a; + 9) = 0.
Hieruit volgt:
ic + 3 = O en ic' — 3a; + 9 = O
a;, = — 3 ; a; = H d= |l/(9 — 36)
X, = 1^ + l|i]/3
X., = 1| - ^^V3.
2. Welke zijn de drie derdemachtswortels uit 1 ?
Deze moeten voldoen aan de vergelijking :
x^=l,
of a;' — 1 = O
(a;— l)(a;--|-a;+l) = 0,
waaruit volgt :
144
X — l = Oena:;^ + iï;+l = 0
a;, = -f 1; X =-|±|l/(l-4)
x,^-\-\-\iVZ
X3 = T^ •2"*K o.
De derdemachtswortel uit 1 heeft dus één reëele en tvvee
complexe waarden.
Opmerking :
De complexe derdemachtsvvortels uit 1 bezitten de volgende
eigenschappen :
(- i + i*K3)^ = - i - ia^3 of (x.;)' = X,
(- i - ^y^f = -i+ i^'^3 of {x,y = X,
(- i +i*K3) (- ^ — i*K3)=: 1 of X, Xx, = X,.
3. Welke zijn de 4 vierdemachtswortels uit 1?
Deze moeten wortels zijn van de vergelijking :
x'=l,
of < x'—\=Q
{x'+\){x-r\){x—\) = 0,
waaruit volgt :
x^-\-l = {); a;H-l = Oena;— 1=0
x^ = — 1 Xi=^ — 1 Xi=^-\-l
Xi=^-{-i
Xi = — i.
De vierdemachtswortel uit 1 heeft dus één reëele positieve
waarde, één reëele negatieve waarde en twee imaginaire waarden.
Opmerking.
In de hoogere algebra wordt de eigenschap bewezen:
Ben vergelijking van den nden graad met één
onbekende heeft n -wortels.
Uit de behandelde voorbeelden blijkt nu duidelijk de reeds
in § 146 genoemde eigenschap:
Elk getal heeft n ni'e-inachtswortels.
Opgaven.
Los ic op uit:
1. j;3_^8 = 0; ^' — 8 = 0.
2. Bepaal de drie derdemachts wortels van — 1.
3. Ook van +7 en — 7 ; van + 5 en — 5.
4. Welk verband bestaat er tusschen de drie derdemachtswortels van:
145
+ len4-5?
— len — 5?
-I- 1 en -h a?
— 1 en — a?
5. Bepaal de vierderaachtswortels uit 16 ; ook uit 10.
Invoeren en verdrijven van wortels bij de oplossing-
van vergelijkingen met één onbekende.
212. Wanneer men met een vergelijking een bewerking verricht,
waardoor aan de nieuwe vergelijking meer wortels voldoen, dan
aan de oorspronkelijke, dan zegt men, dat die meerdere wortels
zijn ingevoerd. Voldoen aan de nieuwe vergelijking minder
wortels, dan zegt men, dat die mindere wortels zijn verdreven.
Let men nu op de in § 211 genoemde eigenschap uit de
hoogere algebra :
Elke vergelijking van den nden graad met één
onbekende heeft n wortels,
dan volgt daaruit:
Heeft een bewerking ten gevolge, dat de graad van de
vergelijking hooger wordt, dan zijn er wortels ingevoerd ;
en wordt door eenige bewerking de graad der vergelijking
lager, dan zijn er wortels verdreven.
Het verhoogen van den graad eener vergelijking heeft plaats,
door beide leden te vermenigvuldigen met een factor, die de
onbekende bevat, of door beide leden der vergelijking tot een
zelfde macht te verheffen. Vermenigvuldiging en machts-
verheffing kunnen dus oorzaak van invoeren zijn.
Evenzoo kunnen de tegenovergestelde bewerkingen : deeling
door een vorm, die de onbekende bevat en worteltrekking
uit beide leden, oorzaak van verdrijven zijn.
Wij zullen de reeds vroeger behandelde eigenschappen, betrek-
king hebbende op het invoeren en verdrijven van wortels, her-
halen, en eerst daarna nieuwe eigenschappen aangeven.
I. Invoeren, | n. Verdrijven.
a. Door Vermenigvuldiging.
213. Als men beide leden eener
vergelijking vermenigvuldigt met
Derksen en de Laive, Alg. II.
a. Door Deeling.
Als men beide leden eener ver-
gelijking deelt door een gemeen-
10
146
een vorm, die de onbekende bevat,
dan worden de wortels ingevoerd
van de vergelijking:
vermenigvuldiger = O,
tenzij de vermenigvuldiging beslist
noodzakelijk is ter verdrijving
van breuken.
h. Door Machtsverhefflng.
1. Zij de gegeven vergelijking :
^ — x = h — 2x. (1)
Verheft men beide leden tot
de tweedemacht, dan ontstaat:
9—%x+x'=2b—2Qx-\-ix\ (2)
Terwijl aan verg. (1), die van
den eersten graad iS; slechts één
wortel voldoet, voldoen er aan
verg. (2), die van den 2'^*^'^ graad
is, twee wortels. Er is dus één
wortel ingevoerd. Welke die wortel
is, blijkt uit de volgende beschou-
wing:
Het eerste lid van (2) is de
tweedemacht van 3 — x en — 3+^';
het tweede lid van (2) evenzoo van
5 — 2x en — 5 + 2^:;.
Vergelijking (2) kan dus ont-
staan door beide leden van de
volgende vier vergelijkingen tot de
tweede macht te verheffen :
2> — x = h — 2x, (1)
3 — a; = — 5 + 2a;, (3)
— ^J^x==^ — 2x, (4)
— 3 + a; = — 5 H- 2:z;. (5)
Vermenigvuldigt men beide
Teden van (4) met — 1, dan ont-
staat (3) ; vermenigvuldigt men
beide leden van (5) met — 1,
dan ontstaat (1).
Er zijn dus slechts twee van
schappelijken factor, die de onbe-
kende bevat, dan worden de wor-
tels verdreven van de vergelijking :
Deeler = 0.
h. Door Worteltrekking.
1. Zij gegeven:
(5 — 7.^f = (9 — 6a;)l (1)
Trekt men uit beide leden van
(1) den vierkantswortel slechts op
één manier, dan ontstaat:
5 - 7a; = 9 — 6ic. (2)
Terwijl aan de oorspronkelijke
vergelijking, als zijnde van den
2den graad, twee wortels voldoen,
voldoet er aan verg. (2), die van
den 1*^" graad is, slechts één wortel.
Er is dus één wortel verdreven,
welke die is, blijkt uit de volgende
beschouwing.
De vierkantswortel uit het eerste
lid is zoowel + (5 — lx) als
— (5 — lx), en die uit het tweede
lid zoowel + (9 — 6a;) als
— (9 — 6a;), zoodat men door uit
beide leden van (1) den vierkants-
wortel te trekken eigenlijk komt
tot de volgende vier vergelijkingen:
5 — 7a; = 9 — 6a;, (2)
5 — 7a; === — 9 + 6rr, (3)
— 5 -t- 7a; = 9 — 6a;, (4)
_ 5 + 7a; = — 9 4- 6a;. (5)
Het zal den lezer duidelijk zijn,
waarom (4) dezelfde wortels heeft
als (3), en (5) dezelfde als (2).
Er zijn dus slechts twee van
elkaar verschillende vergelijkin-
147
elkaar verschillende vergelijkin-
gen, n.1. (1) en (3), die, door beide
leden in het kwadraat te brengen,
vergelijking (2) doen ontstaan. Nu
is (1) de oorspronkelijke verge-
lijking zelf, zoodat men den inge-
voerden wortel vindt door verg.
(3) op te lossen.
Het eerste lid van (3) is het
zelfde als het overeenkomstige
van (1) ; het tweede lid van (3)
is het tegengestelde van dat
van (1).
Regel. "Wanneer men
beide leden eener vergelij-
king tot de tweedemacht
verheft, en er worden wor-
tels ingevoerd, dan voldoen
die aan de vergelijking, die
men verkrijgt, door een der
leden van de oorspronke-
lijke vergelijking van tee-
ken te veranderen.
Opmerking.
Niet altijd worden door deze
machtsverheffing wortels inge-
voerd.
Had men bv. op te lossen :
V{x + 4) = 3
V
x-\-4: = 9
37= 5
dan blijkt, dat de gevonden wortel
wel aan de oorspronkelijke verge-
lijking voldoet, dus niet is inge-
voerd.
Daar men nu alleen dan beide
leden eener vergelijking tot de
tweede macht verheft, als er in
de vergelijking een vierkantswor-
gen, n.1. (2) en (3), welker wortels
voldoen aan (1). Beide hebben
hetzelfde eerste lid, terwijl de
tweede leden van teeken ver-
schillen.
Gaat men dus van de oorspron-
kelijke vergelijking:
(5 — 7x)- = (9 — 6xT (1)
over tot :
^ — 7x = 9 — 6x, (2)
dan zijn de wortels van :
b — 7x = — 9-h6x (3)
verdreven.
Regel. Wanneer beide
leden eener vergelijking
vierkanten zijn, kan men uit
deze twee andere vergelij-
kingen verkrijgen, door uit
het eene lid op één manier,
uit het andere op twee ma-
nieren den vierkantswortel
te trekken,
m. a. w. : De vergelijking
^2 _ jgi waarin ^ en ^ vor-
men zijn, die beide of een
van beide de onbekende
bevatten, kan men splitsen
in:
A = B,
en A = — B.
148
tel voorkomt uit een vorm, die
de onbekende bevat, zoo volgt
uit het voorgaande, dat men in
dit geval nooit zeker is van invoe-
ren, en men dus altijd de na
de machtsverheffing gevon-
den wortels moet substi-
tueeren in de oorspronke-
lijke vergelijking.
2. Zij de gegeven vergelijking :
a; — 2 = 5, (1)
en brengt men beide leden tot
de derde macht, dan ontstaat de
vergelijking :
ix — 2f = b\ (2)
Daar (1) van den eersten en
(2) van den derden graad is, zijn
twee wortels ingevoerd. Wij zullen
die twee ingevoerde wortels trach-
ten te bepalen.
Bedenken wij, dat er drie
vormen zijn, die tot de derdemacht
gebracht 1 opleveren, nl. ;
l;-i + iïK3en-i-iiK3,
dan zien wij, dat (x — 2)^ de derde-
macht is van de volgende drie
vormen :
x — 2',
{x-2)i-i-^iiVS);
{x-2)i-i-iiV3).
Evenzoo zal 5^ de derdemacht
zijn van:
5;
^{-i + ¥V3);
Stelt men nu beurtelings elk
der drie derdemachtswortels uit
{x — 2)^ gelijk aan een der drie
derdemachtswortels uit 5^, dan
2. Uit het hiernaast behandelde
blijkt, dat men wortels verdrijft,
wanneer men uit beide leden eener
vergelijking, die beide derde-
machten zijn slechts op één manier
den derdemachtswortel trekt.
Men dient uit het eene lid
op één, en uit het andere op
drie manieren den derde-
machtswortel te trekken ;
m, a. w.:
De vergelijking
a' = :b'
moet gesplitst worden in:
A = B,
A = B{-l-iiV3).
i
149
ontstaan er negen vergelijkingen:
a;— 2=5 (a)
x-2=5{-^-\-iiVQ) (b)
:r-2=5(-i-iiK3)(c)
(^-2)(-i-fiiV3)=5 (d)
{x-2)i-i+iiVQ)=H-^-]-itVS) (e)
{x-2){-}-^iVS)=h ig)
(:c-2)(-i-i^•K3)=5(-i+i^K3) (A)
(a:-2)(-i-|iT/3)=5(-i-iil/3) (i)
Met toepassing van de eigen-
schappen der complexe derde-
machtswortels uit 1 (zie § 211 ; 2),
blijkt, dat e en * denzelfden wor-
tel hebben als «,
g en f denzelfden als 6,
d en h denzelfden als c;
zoodat (a), [b) en (c) de eenige
verschillende vergelijkingen zijn,
waarvan beide leden tot de derde-
macht verheven, verg. (2) doen
ontstaan. Deze hebben alle drie het
zelfde eerste lid, terwijl de tweede
leden zijn:
5, en 5 vermenigvuldigd met
de complexe derdemachts wortels
uit 1.
Deze laatste twee vergelijkingen
leveren de ingevoerde wortels op.
Regel. Wanneer men beide
leden der vergelijking:
A = B
tot de derdemacht brengt,
dan voldoen, als er wortels
ingevoerd zijn, deze •wortels
aan de vergelijkingen:
Opmerking. Het zal niet
moeielijk vallen in te zien, dat
150
er niet altijd wortels worden inge-
voerd, wanneer men beide leden
eener vergelijking tot de derde-
macht brengt.
Dus ook nu weer is het nood-
zakelijk, na deze machtsverheffing,
de gevonden wortels in de
oorspronkelijke vergelij-
king te substitueeren.
3. Verheft men beide leden
der vergelijking:
A = B
tot de vierdemacht, en worden
er wortels ingevoerd, dan zullen
deze ingevoerde wortels voldoen
aan de vergelijkingen:
A=^ — B,
A = Bi,
A = — Bi.
Dit blijkt onmiddellijk, als men
bedenkt, dat de vier vierdemachts-
wortels uit 1 gelijk zijn aan:
-h 1 ; — 1 ; -j- i en — i.
In het algemeen :
Verheft men beide leden
eener vergelijking tot de
ti«#e-niacht, dan zullen, als
er wortels ingevoerd wor-
den, deze voldoen aan de
vergelijkingen, die men ver-
krijgt, als men het eerste
lid gelijk stelt aan het
tweede lid, vermenigvuldigd
met de overige (n — 1) nt^o-
machtswortels uit 1.
Ook hier geldt de opmerking:
Dient de machtsverheffing
om iK'e-machtswortels uit
vormen met de onbekende
3. Trekt men uit beide leden
eener vergelijking, die beide vier-
demachten zijn, nl.:
A' = B'
slechts op één manier den vierde-^
machtswortel nl. :
A = B,
dan verdrijft men die wortels,
welke voldoen aan :
A = — B,
A = Bi,
A = — Bi.
In het algemeen.
Zijn beide leden eener
vergelijking nrfe-machten,
dan kan men deze splitsen
in n andere vergelijkingen,
welke men verkrijgt, door
uit het eene lid op één, en
uit het andere op n manie-
ren den tl «'e-machts wortel
te trekken.
151
te verdrijven, dan moet men
de gevonden wortels in de
oorspronkelijke vergelij-
king substitueeren.
Voorbeelden.
1. x — y'x = 6. (1)
Brengt men direct beide leden tot de tweedemacht, dan blijft
in het eerste lid de onbekende nog onder het wortelteeken staan.
Daarom brengt men den term x naar het tweede lid over.
— yx = (5 — X,
en verheft men nu beide leden tot de tweedemacht, dan ver-
krijgt men :
x = S6 — 12x-\- x\
of : x' — 12a; + 36 = O,
waaruit volgt : iCi :=: 9 en x, = 4.
Daar door de machts verheffing wortels kunnen ingevoerd zijn,
moet men beide wortels in de oorspronkelijke vergelijking sub-
stitueeren.
Het blijkt, dat x = 9 voldoet, en dat x = 4: ingevoerd is.
Daar — X^x =Q — x de vergelijking is, die tot de tweede-
macht gebracht werd, zal x = 4: voldoen aan de vergelijking :
]yx = 6 — X.
2. ]y{2-\-x) — K(ll —x) = l.
Verheft men beide leden der vergelijking tot de tweedemacht,
dan komt in het eerste lid een term :
— 2K(2 4-^)(ll — ^),
die dus onder het wortelteeken een vorm van den tweeden
graad bevat. Brengt men echter eerst — 1/(11 — x) naar het
tweede lid, en verheft men daarna tot de tweede macht, dan
gebeurt dit niet:
K(2+rg)^l-i-K(ll— ^)
1/
2-\-x=l-]-ll—x-{- 2K(11 — oc).
Men laat nu alleen den wortelvorm in het 2'^'' lid staan:
2-\-x — l — n-]-x = 2K(11 — x)
of: — 10 -^2x = 2\y{ll — x)
2/ — 5+ a;= 1X(11 — x)
K
2h — \0x^x^ = ll — x
x' — 9a; -h 14 = 0.
152
Hieruit volgt : iC, = 7 en a^a = 2.
Daar men tweemaal in het kwadraat verheven heeft, bestaat
er kans, dat er wortels ingevoerd zijn. Bij onderzoek blijkt, dat
x = 7 alleen voldoet.
De ingevoerde wortel zal nu voldoen
of aan : K(2 + x) = — 1 — K(ll — x),
öf aan: 5 — x = \y{ll — x).
Hij voldoet aan de laatste vergelijking. J|
K(2:r -t- 2) + K(7 + 6^) = K(7x + 72). ^
Verheft men beide leden tot de tweedemacht, dan ontstaat :
2^ + 2 + 7 -f 6^ + 2\y{2x + 2) (7 + Qx) = 7a; + 72.
Laat men den wortelvorm alleen in het eerste lid, door alle
andere termen naar het tweede lid te brengen, dan verkrijgt men :
2\y{2x + 2) (7 -\-Qx) = — x-\- 63,
waaruit door tweedemachts verheffing :
4.{2x ^ 2) (7 + 6^) = x^— 126^ + 3969 ;
48a;- + 104;2; 4- 56 = a;' — 126;^ + 3969 ;
47a;- + 230a; — 3913 = 0.
559
En hieruit zal men vinden : a^i = 7 en a;.2 = j=- .
Bij substitutie blijkt, dat a^i = 7 alleen voldoet. Niettegen-
staande tweemaal tot de tweedemacht verheven is, is toch slechts
één wortel ingevoerd.
Vraag : Als ge bedenkt, dat lx -\- 72 zoowel het kwadraat
is van :
K(7a; + 72),
als van —V\lx + 12)\
en dat 4(2a; -f- 2) (7 -|- Qx) zoowel het kwadraat is van :
2K(2a; + 2) (7 + 6a;),
als van : — 2K(2a; + 2) (7 + 6;r),
zoudt ge dan ook nog twee andere vergelijkingen uit de gegevene
af kunnen leiden, die door machtsverheffing doen ontstaan de
eindvergelijking :
4(2a; + 2) (7 + 6a;) = a;'- — 126a; + 3969.
^{x -f- !/■ 2) — t^{x — V2) = V 2. (Eindex. H. B. S. 1868).
Door beide leden tot de derdemacht te verheffen, verkrijgt men :
X + V2 — 3p-{x H- V2f {x — V2) + 3^(a; -f V2) [x — V2f —
— x-\-V2 = 21/2,
of — 3l^(a; + V2f {x — V2) + 3i^(ic + V2) {x — K2)' = 0.
153
Het eerste lid kan ontbonden worden, waardoor de verge-
lijking wordt :
— S^{x + V2) (x — V2) X {^(^ -1- V2) — l^{x — 1/2)} = O,
en daar volgens de gegeven vergelijking, de factor tusschen
accolades, gelijk is aan T/"2, verandert deze in :
Ql^ix + 1/2) {x — 1/2) X 1^2 = O,
waaraan alleen voldaan kan worden door :
iy{x + 1/2) {x — 1/2) = O,
waaruit verder volgt :
iy{x + 1/2) = O of l^ix - 1/2) = O
a;4- 1/2 = 0 , a; — 1/2 = 0
Xi = — V2 , x, = V2.
Bij onderzoekt blijkt, dat beide wortels voldoen.
5. a^ — 3x' + 3it; — 1 = 64.
Daar beide leden dezer vergelijking derdemachten zijn, kan
men schrijven :
{x — ly = 4^
en deze kan men splitsen in de volgende drie (§ 212, b, 2) :
a. x—l=4; b. £C— 1=4(— i+iïV3); c. a;— 1=4(— i— ^iV 3),
waaruit volgt :
x^ = hx iTa = — 1 4- 2il/3 ; x^ = —l — 2il/3.
Opgaven.
1. K(^ + 7) = K(2^ — {K5) ; K(^ + 2)=lK(10a;-|-ll).
2. 5 4-K(2a^+l)=2a;; x + K(7 — a;) = 5.
3. K(a;+l) = H-K(^ — 4); K(^+16) = 2 + K^.
4. K(5a^ 4- 1) = — 4 ; K(2a; — 7) = -K(ic+ 1).
6
5. K(4a;+l)=K(7:r+2)-l ; K(^4-4)-K(5^-24)=j^^^_^^^.
6. K(5a;+7) + K(^4-l) = 2K(3:r-f 1).
7. K(l + 4^) — K(l — 4ii;) = 4K^.
8. 6 + K(4ic' — 36) = 2ta;.
9. 1/4. + 1/(3 + .) = p(i^j.
10. K(3^' — 479) 4- 31 = 3ic.
11. K{^ + 6 — K(2a; — 6)} = 3.
154
^^' X H-K(2 — x') ^ X — 1X(2 — x') ^ ^'
13. K(l +px) + K(l — p^) = ax.
14. K(4a;— 3)H-K(5^+l)=K(15a; + 4).
4(ï
15. |/(^ + ^)_i^^ ______
16. K(«' + a;) + K(^'' — ^) = a + 6.
17. K(«-f 5) — K(7+icK2)=— 2 + K3.
V^(a + èic) H- \y{a — hx) a
\y{a-\-bx) — iy{a — bx) ~ T'
N.B. Vervang deze vergelijking eerst door een meer eenvoudige,
door gebruik te maken van een eigenschap der evenredigheden.
12 + K(3 7}-^) .
19
12 — K(3 + ^)
vo l/(^+5) + K(:r-3)_
K(^ + 5) — K(^ — 3)
21. aK(^ -I- 26) = &l^(a; + 2?>).
Ka^ 20 -K^^
K^ — 5"^ K^
23. (K6^ — 5) (15 — iy2bx) = {Ql^x — 7) (7 - 2K^).
OA ■, yC' — ^ , .è + ^ , ,1 -h a;' , , .1 — X' a
b -\-x a — x l — x^l-\-x^ b
25. iy{x-\-a) — l^{x — a) = l.
26. 13^(1 + xf — 1^(1 — ^^) = -^(1 — a;)l
'27. iy{a + ;r)-^ — K(a- — x') + ^(a — xf = 2a.
28. lK(a; + Ka) — K(^ — Ka) = Kö.
29. K(a — a;) + K(^ — 6) = K(a — 6).
K(^^ + 3a; + 2) + K(3a; - a;^ - 2) _ ,
K(^' + 3^ + 2) — K(3^ — x' — 2)~^
5-K(25-^)
• K(5 + K^)-K(5-K^) •
oo g ^ I g 'TT X ^
Ka + V{2a — x) "^ 1/a -h l/(2a + ^) ~ "^ "**
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
a;K2
-f
155
-a;K2
-ê. = K10.
\-\X{\-x') ' 1 + K(1-^^)
lX(j> + qx) + V^O — ga;) __ j?
\^{p -h ga:) — V^Ci) — qx)~ q'
p — l/x , p + l/'a; 2p
2
+
2 + K(3'-^) 3-K(r-a:)
"^{p ■\- x) -h l^(i) — x) = f^hp.
\y[x + Ka;' — lOa^ — 119} = 1/41.
Bepaal de limiet van :
K[2 + K{2 + ^2 + V^24~T:}] enz.
K(2a;^ - f ^ + 6) + l/(2a;'^ _ 5^ + i) = i.
iy{x 4- 6) - K(^ + 1) = K(^ - 2) - l^ix - 3).
K(^' + a; 4- 6) — K(^' + 5a; — 1) = — 1.
K(a; H- 30i) — l^fa; — 30^) = 1.
{x + K^)' — {x + ]Xxy = 1260.
K(4 + a;) ' K(9 — o;) 6'
(a — bx)\^x = aV^(a; + a) + l)x\y{x -\- a).
K(« + ^)' + l^(a' — ic-) + K(a — ic)' = 6a.
a; Va; a ) a
\^x = K{1 + a;K(16 -f a;"')}.
l^(a' + g)-K/;V'v
d\x^ g)
^{a -\-x) =^{x'' + 5aa; + h').
Vergelijkingen, die door nieuwe onbekenden aan te
nemen, als vierkantsvergelijkingen kunnen
opgelost -worden.
214. A. Algemeene gedaante: aa5^'" + öjc"' + c = O.
Men stelle x"' = y^ en bedenke, dat y niet negatief kan zijn,
als a;'" een e venmachts wortel voorstelt; b.v. als m = ^.
156
Door deze substitutie wordt de vergelijking:
af -\-by-\-c = Q,
welke verder als vierkantsvergelijking wordt opgelost.
Voorbeelden:
1. a;' — Qx^ — 16 == 0. (1)
Stel x^ = y, dan wordt de vergelijking :
y'^ — 6y — 16 = O
{y-8){y + 2) = 0
yi = 8; y, = — 2.
Nu is vergelijking (l) gesplitst in twee andere; n.1.
0(^ = 8 (2)
x^ = — 2. (3)
Van beide vergelijkingen kunnen wij, met behulp van § 212,
b, 2, de wortels onmiddellijk opschrijven.
Vergelijking (2) heeft tot wortels :
Xi = 2,
iC2 = 2(-i + iiK3)-=-l + ïK3,
x, = 2{—^ — }iVS) = —1 — iV^.
Vergelijking (3) heeft tot wortels :
Xi = — 1^2,
«•5 = - (- i + W^) 1^2 = a - iiK3) 1^2,
2. Kiezen wij nu de reeds vroeger besproken vergelijking:
x — Vx=^Q,
1
of a; — ic^ = 6.
Stel x^ = y, dan wordt de vergelijking :
ƒ — «/ — 6 = O
(2/-3)(^ + 2) = 0
2/i=3
2/2 = — 2, welke niet voldoet, daar y = Yx
niet negatief kan zijn.
We moeten dus nu oplossen :
^1 = 3 of Vx=^
x = ^.
Opmerking.
Het vierkant van den wortel — 2, die niet voldoet, geeft
den wortel x = 4,, die bij de vroegere oplossing door machts-
verheffing was ingevoerd (§ 212, voorbeeld 1).
157
215. B. Algemeene gedaante : aV' -\-hV-\- c=^0.
Hierin stelt V een vorm voor, die de onbekende bevat. Men
stelt dien vorm = «/, en lost daarna op de vierkantsvergelijking :
W + è«/ -}- c = 0.
Voorbeelden :
1. (4rc- — 12a; — 15)- + (2a; — 3f = 26. (1)
Deze vergelijking heeft nog niet de aangegeven gedaante.
Om haar daartoe te herleiden, zetten wij voor {2x — 3)^ in de
plaats : 4a;' — 12a; + 9 = {^x' — \2x — 15) + 24.
Vergelijking (1) verandert daardoor in :
(4a;^- — \2x — 15)"- + {4rx' — I2x - 15) + 24 = 26. (2)
Stelt men nu 4a;^ — 12a; — 15=?/, dan verandert (2) in:
r + ^-2 = 0. (3)
De wortels van vergelijking (3) zijn :
2/1 = -2
^•2=1.
Men moet dus achtereenvolgens oplossen :
4a;' — 12a; — 15 = 1. (4)
4a;' — 12a; - 15 = — 2 (5)
4ar — 12a; — 15 = 1 (4)
4a;- — 12a; —16 = 0
H x^— ^x— 4 = 0
(a; — 4) (a; + 1) = O
X — 4 = 0 geeft Xi = 4.
a; + 1 = O geeft X2 = —
4a;' — 12a; — 15 = — 2 (5)
4a-' — 12a; — 13 = O
4/ a;' — 3a; — ^ = O
X =|±iK(9+13)
3 H- "l/'22
X3
Xa
3 — 1/22
2. 10a;' — 4a; 4- 6l/(5a;' — 2a; + 1) — 18 = 0. (1)
Voor lOiö'- 4a;— 18 kan men zetten: 10a;'— 4a; + 2 — 20 ==
= 2(5a;' — 2a; + 1) — 20 = 2{V{hx' - 2a; -f- l)f — 20.
Vergelijking (1) wordt dus :
2{K(5a;' — 2a; + 1)}' + 6l/(5a;' — 2a; + 1) — 20 = 0. (2)
Stelt men l/'(5a;' — 2x -\- 1) == y, dan kan y niet negatief zijn.
Verg. (2) verandert nu in :
2tf 4- 62/ — 20 = O (3)
y'-\-3y — 10 = 0
iy-\-b){y-2) = 0
2/1 = 2
yi = — 5 (voldoet niet).
158
Men moet dus oplossen de vergelijking:
iy{bx' — 2x-\- 1) = 2
bx' — 2x-\-l = 4:.
bx' — 2a; — 3 = O
x^ — ^x — 1 = 0
a;, = 1
X2= 3.
Deze wortels voldoen beide.
Opgaven.
Los de volgende vergelijkingen op :
1. x' — l^xr -\- 36 = O ; x' — 6x^^4. = 0.
2. 64^;" — 364a;'- - 225 = O ; a;' — 2a;' — 3 = 0.
3. {x^ — 2x + 3)' + 3 {x' — 2a; + 3) = 18.
4. 5 (ƒ — 5)- —7{tf — h) — b2 = 0.
5. £c' 4- 4^ H- 7 + 5K(^' + 4^ 4- 7) = 14.
6. K2/ — 81^2/ + 15 = O ; 15« + 6K^ = 13| — 8K^.
7. 2/'-22/-9-2K(/-22/-6)-=0.
8. 3K(a:' — 8a; + 20) + (^ — 4)' = 6.
9. a;' — 9^ -f 8 = O ; x'-\- S^x' +1=0.
216. C. Wederkeerige Vergelijkingen.
In § 209 hebben wij gezien, hoe men uit een vergelijking
van den tweeden graad een andere afleidt, waarvan de wortels
de omgekeerden zijn van de wortels der gegeven vergelijking.
Men verandert dan x in — . Natuurlijk gaat dit ook door voor
vergelijkingen van hoogeren graad, dan den tweeden. Blyft de
vergelijking door die omkeering der wortels dezelfde^ dan keet
ze een wederkeerige vergelijking.
Dit nu heeft plaats bij drie soorten van vergelijkingen:
I. als de vergelijking de gedaante heeft :
aoic" + aix^"^ -f a2ic"~'^ + • • • • -\-(hX' + «lO; + «o = O (1),
159
onverschillig of n even of oneven is; m. a. tv. als het gerang-
schikte ee7'ste lid van de op nul herleide vergelijking van links
71 aar rechts dezelfde coëfficiënten heef t^ als van rechts naar links.
Verandert men n.1. x in -, dan wordt verg. (1) :
«o I öT. o.. a. a^ , .
Jy U/ iAJ JU JU
Vermenigvuldigt men beide leden van verg. (2) met x"' ter
verdrijving van breuken, waardoor dus geen wortels ingevoerd
worden, dan ontstaat :
ao 4- a\OC + a^^cir +....+ a-iOf'''- -\- a,ic"'~' + aoa;". (3}
Deze verg. (3) is dezelfde als (1).
n. als de vergelijking van even graad is, de middelste term ont-
breekt, en de coëfficiënten van links naar rechts tegengesteld zijn
aan die van rechts naar links; h.v.
a^fic^ -\- axO? — üiX^ -\- a-iX^ — a\X — «0 = 0. (1)
Verandert men x in — , dan wordt verg. (1) :
öo , ai a-i «2 a, . .
x''^^~x''^x'^~x~'^' ^^^
Vermenigvuldigt men beide leden met x^, dan wordt verge-
lijking (2) :
«o 4- «1^ — «2^^ + a^x'' — aiX^ — a^x^ = O,
of aoa:" -|- a^a^ — o-ix"^ + a^a? — a^x — «0 = 0,
welke vergel. dezelfde is als (1).
Aan deze soort van vergelijkingen valt op te merken, dat
zoowel + 1, als — ] een wortel is, hetgeen blijkt, als men vergel.
(1) schrijft, als volgt :
a, {x^ — 1) + a,x (a;* — 1) — a^x' (ar — 1) = 0. (3)
Deelt men beide leden van (3) door X' — 1, dan worden de
wortels verdreven, die voldoen aan de vergelijking:
re' — 1 = O,
dit zijn : a; = 1 en a; = — 1.
De vergelijking, die na de deeling ontstaat, is van de
eerste soort, hetgeen duidelijk wordt, als men de deeling
uitvoert :
JU X 1 oU X 2 r\ /o
«o -2 7 + «1^ — ï o.» = o (d
X — 1 X' — 1
ao (a;* -\- x- -\- \) -\- axX (ar + 1) — aiX~ = O
Ot.x'^ -f a,ic^ 4- («o — di) x^ + aiX + ao = 0.
160
III. als de vergeli/Jdng van oneven graad is, en de coëfficiënten van
rechts naar links tegengesteld zijn aan die van linies naar
rechts; b.v.
tttix^ — ttiX^ 4- ctz^ — «2^^ + «1^ — «0 = 0. (1)
Verandert men hierin ic in -, dan blijft de vergelijliing de-
00
zelfde gedaante behouden.
Aan deze soort van vergelijkingen valt op te merken, dat
x=: 1 altijd een wortel is, hetgeen blijkt, als men de vergelijking
schrijft :
ao{af — 1) — a,x{x^ — 1) + a.zx\x — 1) = 0. (2)
Deelt men beide leden van (2) door x — 1, dan wordt ver-
dreven de wortel, die voldoet aan x — 1 = 0,
zijnde x= 1.
De nieuwe vergelijking is van de eerste soort, hetgeen uit de
deeling blijkt :
. x^—1 x^—1. ., . ,„-
öo -z ttiX + üiX' = O (2)
X — 1 X — 1
ttoix* -f-^ + ^^ + ^ + l) — aix(x~ -\-x-\-l)-\- üiX^ = O
«0^"* + («o — cii)x^ 4- («o — «I + «i)^' + («o — «0^ -f- ao = 0.
Daar de wederkeerige vergelijkingen van de tweede en derde
soort teruggebracht kunnen worden tot die van de eerste soort,
zullen wij alleen deze verder bespreken.
De wederkeerige vergelijkingen van de eerste soort kan men
verdeden in:
a. die van even graad, b.v.
1. x^ 4- 4.^x^ -f- h^x^ + 4^» + 1 = 0. (1)
Vereenigt men de termen uit het eerste lid, die gelijke
coëfficiënten hebben, dan ontstaat:
(^^+1) 4- ^ {x'^x) 4- 5^- = 0.
Deelt men nu beide leden door x^, waardoor geen wortels
verdreven worden, daar x^ geen gemeenschappelijke factor is
van beide leden, dan verkrijgt men :
k"' + i^) + ^^l"^ + ^) + ^^ = ^- ^^^
Stelt men nu : x •{ — = 2/,
«2/
dus: (^+^j=,/,
161
2.
of;
dan wordt :
a^' + 2 H- -^ = y\
^' + -^=/-2,
X
waardoor de vergelijking (2) overgaat in :
.V^-2 + 4èy + 5i = 0
y•'--\-^y^^ = 0
{y+\){y^^)=.0
y, = ~-l
y^ = ~^.
Men moet dus nog oplossen:
^■+^=-
1
^+-i=-
3è.
X ■^~=~ 1
X
x+\ = -^^
a;'^ + 1 = — x\x
a;- + :c + 1 = 0
^2 = -i— iïK3
x' ^-1 = — 3ix\^
a:' + 3^5C 4- 1 = 0
(^4-3)(.^ + i)=0
X^ — o
(3)
(4)
Xi — ^.
Men merke op, dat X\ en jj,. eikaars omgekeerden zijn, even-
zoo iC:5 en Xi.
Opmerking.
Was de gegeven vergelijking van den ö*'^" graad geweest,
dan had men beide leden moeten deelen door x^. Had men
x-\ — dan weer = y gesteld, dan was er een vergelijking ont-
X
staan van den derden graad naar y, die in het algemeen met
behulp der lagere algebra niet opgelost kan worden. Van deze
soort kan men dus geen vergelijkingen oplossen, die van hoo-
geren graad zijn, dan den 4'^*"".
x' + hx" + 10a;-' + loo; + 9 = 0. (1)
De eerste en laatste term hebben niet denzelfden coëfficiënt.
Stelt men echter x^ = 9y\ oi x = /yl/3, dan gaat deze verge-
lijking over in :
9y' + 15y'K3 + 30/ + 15?/V/3 +9 = 0, (2)
welke van de gedaante is van het eerste voorbeeld.
Dorksen en de Laive, Alg II. 11
162
b. die van oneven graad, b.v. :
X-' — ^x' + 21a;' -^ 2^x' — 3a; -}- 1 = 0. (1)
Schrijft men deze vergelijking aldus :
ix^ + 1) — 3a; (x' + 1) + 2f a;' {x A- 1) = O, (2)
dan blijken beide leden deelbaar te zijn door x -\-l; waaruit
volgt de
Eigenschap. Elke wederkeerige vergelijking van
de eerste soort van oneven graad heeft een "wortel,
die voldoet aan de vergelijking:
öc + 1 == O.
Deze wortel is x = — 1.
Deelt men beide leden door x -\- 1, dan ontstaat een weder-
keerige vergelijking van den 4*^*=" graad, waarvan de wijze van
oplossen besproken is.
217. Resumeerende, blijkt dus, dat het mogelijk is, met behulp der
lagere algebra op te lossen :
1. Wederkeerige vergelijkingen van even graad, waarvan de coëf-
ficiënten van links naar rechts tegengesteld zijn aan die van
rechts naar links, en waarvan de middelste term ontbreekt.
Deze mogen van geen hoogeren graad zijn, dan van den zesden.
2. Wederkeerige vergelijkingen van oneven graad, onverschillig of
de coëfficiënten van links naar rechts dezelfde zijn, als die van
rechts naar links of tegengesteld aan elkaar. Deze mogen op
zijn hoogst van den 5'*'^" graad zijn.
3. Wederkeerige vergelijkingen van even graad, waarvan de coëffi-
ciënten van links naar rechts dezelfde zijn, als die van rechts
naar links. Deze mogen op zijn hoogst van den 4'^'^'^ graad zijn.
Opmerking :
De binomiaal-vergelijkingen worden opgelost met behulp van
wederkeerige vergelijkingen. Evenwel geeft de hoogere algebra
ons een middel aan de hand, om de binomiaal-vergelijkingen
op te lossen, onafhankelijk van de wederkeerige vergelijkingen.
218, J). Het verdient opmerking, dat sommige vergelijkingen van
hoogeren dan den tweeden graad, opgelost kunnen worden met
behulp van de eigenschappen van § 72 en § 73, Deel I.
Zoo merkt men op aan de vergelijking:
^' — 21a; + 20 = O, (1)
dat de som der coëfficiënten van het eerste lid gelijk is aan
163
nul. Het eerste lid is dus deelbaar door x — 1, en Xx-=\ is
een wortel van verg. (1). Voert men de deeling uit, dan ont-
staat de vergelijking:
a;' + iK - 20 = O <2)
(a:+5)(a; — 4) = 0
x-i = — 5
X;i = 4.
Deze zijn de twee andere wortels van verg. (1).
Opmerking Ook door ontbinding had men de drie wortels
kunnen vinden :
a;' — 21a: + 20 = O
a;' — a; — 20a: -f 20 = O
a-(a:- - 1) - 20 (a; — 1) = O
x{x + 1) (a; - 1) — 20 (a: — 1) = O
(a; — l){a:(a^ + 1) - 20} = O
[x — 1) {x' + a; — 20) = O
(a; — 1) (a; + 5) (a; — 4) = 0.
Stelt men elk der factoren gelijk nul, dan blijkt, dat de
wortels van (1) zijn:
Xi = l; x>= — 5 en a^s = 4.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Opgaven.
Los de volgende vergelijkingen op:
a;' + lx- + fa; + 1 = 0.
x' - Va^' -\-ifx—l = 0.
4ar^ — 3a;' — 3a: + 4 = 0.
x^ -\- ax' — ax — 1 = 0.
ar^ + aa;' + aa; -f- 1 = 0.
6x* — Shx" + 62a;' — 35a; + 6 = 0.
8a;* — 54a:=^ + 101a;- - 54a; + 8 = 0.
10a;' — 77a;' + 150a;- - 77a; + 10 = 0.
9.
10.
11.
a;' — af' 4- ^^ — ^ + 1 = — ^'•
a
af' + 3a:' + 4ar'' + 4a:- -f 3a; -f 1 ^ 0.
x' + 3a;' + 2f ar' + 2|a:' + 3a: + 1 = 0.
15a:" -I- 28a;-' — 245a:' + 245a:' — 28a: - 15 = 0.
12.
üoikseii 011 de Laive, AI". II
161
13. a) x' + 1 r= O ; c) af' -\- l = O ;
b) x' - 32 = O ; d) x' -1= 0.
14. x' + 2x' ~2x~l = 0; x' 4- 3.T'- - 6;r - - 8 = 0.
15. .'T'' — ax' -\- ax — 1 = 0; x^ -\- ix' -\- x — 6 =: 0.
16. dx' -\- l\x' — SSx' — 33.x- + ll:r + 6 = 0.
Gemengde opgaven.
1. liyx\+l^x — {y=0.
2. {x-\-iyxy — i3{x-\-iyxy-\-m = o.
""' ^ ^0-x^^ 6 + x ~ ^^•
X
Hlx' 4- 22|a:' — 22f.r + 8^.^ —1=0.
' +-_I— ^
6 ^ + K(l — a-) ^ a; + 1
x — \X{l — ir) X — r
7. 5,r"' — 3.T + 9 = fi\y{bx' — 3rr).
8. l^ix — 1) (a,- - 2) = 1 -K(^ - 3) (.«■ - 4).
9. iJ\ {d' + ax)^ . (a — a;)~^ H- (a- — a^r)^' . (a + a:)~^ j
l/(a- — x')
X-\- b
V^ + 3/
24=0.
x-\-3
11. (3^ - 4) (ic + 1) -f- 5K (3.r- - ^ + 5) = 15.
12. aj-' — 2|^' + a;' -h 2^' - 20^ + 32 = 0.
^^- \b-{-x} ^h-\-x) ~'^-
14. a {a + 2.^ — l/(a- — ix^)} = bx{a+2x-\- V{a' — ix')}.
j V{V{x'-{-a'x)-i-V{x'-a'x)}-\-V{V{x'-]-a'x)-V{x'—a'x)} _
' V{V{x'-\-d^-^V(x-a'x}}-V{V{x'-Yf/x)-Vix'--a-x)} ~
16. Als van een op nul herleide 4'^'' maclitsvcrgelijking van de
gedaante :
x' + ax' + /;x^ + r.r + ^ = 0.
165
Xi ; Xi', x-i en x^, de wortels zijn, clan is het eerste lid gelijk aan :
{x — x^ {x — Xi^ {x — Xi\ {x — x^.
Bewijs dit.
17. Ontbind in 4 factoren van den eersten graad:
^x' — bx' — 38aj' — 5x' -f 6 ;
4a'— 153«'-h324;
x^ + .y'.
18. Los X oj) uit:
x^ 4- ax' -\- bx -\ — 7 ^^ O .
a
19. x'-{-2x' — öx— 6 = 0.
20. x' — 8x- — 3x + 90 = 0.
21. x"^— iiax- + Ihrx — 6a' = 0.
22. (^ — 3)' — 3 (^- — 60;) = 31-
23. K(12 4-^')-|-K(^ — 3)=K(33 -2a;).
25. (a + ^p + 6(a — 4^ = 5(rt' — ^-ji
26. (^- — 1)' + 5 (^ — 1)'' -f {x — 1)' — 16x-- 4- 12 (r - 1) = 0.
27. y-l + 4K^^-| = --?-.
.y 4- 1 </ + 1
28. o;'" —1 = 0.
29. 1^(72-^) — Mlö— ^) = 2.
31. Twee getallen te bepalen, waarvan het eerste gelijk is aan het
tweevoud van het andere, en zoodanig, dat de met 16 ver-
meerderde derdemacht van het grootste, vermenigvuldigd met de
derdemacht van het kleinste, gelijk is aan 6264.
32. Iemand koopt kalveren en betaalt per stuk zooveel guldens, als
hij kalveren gekocht heeft. Hij verkoopt ze met zooveel procent
winst, als één kalf guldens heeft gekost. Voegt men bij het
aantal guldens der winst het getal 20, dan is de vierkantswortel
uit deze som gelijk aan ^ van de winst. Hoeveel kalveren heeft
hij gekocht?
166
33. Voegt men bij Slmaal de negende macht van een getal, het
getal zelf, dan is de som 82maal de vijfde macht. Welk is dat
getal ?
34. Los X op, uit :
^{x -f- 3000) - ^{x — 904) = 4.
a; H- K (18 — xr) ^ X — K(18 — 'jy) "^ Ï6'
36. a^ + ^^ = &^ + è^f^^-t
\a -\- ex )
37. x' — ax" ^hoS- — ax -\- \ ^^,
38. oif H- 3^' -I- 4^' + ix- + 3^ -I- 1 = 0.
39. In de vergelijking :
(1 - ^f ix' ' (1 + iC)'^'
substitueere men x = — — ; tot welke vergelijkins: komt
c -\- y o .1 o
men dan ?
40. Bepaal x uit :
Vix'-\-4:)-]-V{x--i) Vjx' + 4) - i/te-^ - 4) _
V{x'' + 4) - Vix' — 4) "^ K(a!- + 4) H- l/(;r' - 4) ~
= iV(2x'— 10^-4-9).
Algemeene Herhaling.
2ab
1. Herleid :^:|^ + "'| + ^J---^|, als ^^,_^,.
2. Verdeel 2 in twee deelen, die tot elkander staan als
K{7 + K(21 — 12K3)} : 1K(28 - 16K3).
3. Los X, y en z op uit :
^K2+ «/K3-h z\y6 = n
3x\yd -f 2i/K2 — 4^ =6
15^ — 7«/K6 -f 2eK3 = 0.
4. Substitueer 2ït = a;4-- en 2!? =: « H — in:
X y
2{uv — K(w- + 1) (r — 1)}.
167
^- Herleid. 1/(10 + 7K2) *
6. Een getal bestaat uit drie cijfers ; de som der cijfers is 15,
terwijl het cijfer der eenheden het drievoud is van dat der
honderdtallen. Voegt men 396 bij het getal, dan krijgt men
een ander, dat uit dezelfde cijfers bestaat, maar in omgekeerde
volgorde geschreven wordt. Welk is dat getal ?
8. Ook : fy[a-'bl^{a~~h^{a — b) Ka}], als a>b.
9. De afstand van twee plaatsen, A en B, is 130 K.M. Uit A gaat
een bode naar B ; twee dagen later een bode uit B naar A
den eerste tegemoet. Wanneer de laatste, na 5 dagen geloopen
te hebben, den eerste ontmoet en per dag 2 K.M. meer aflegt,
vraagt men, hoeveel dagen hij noodig heeft, om den geheelen
weg af te leggen.
] 0. Herleid : K(5 -f 2K3 — K2) + K(5 - 2K3 -f K2).
11. Los X op uit :
bx- — 3^ + 2 = ei^ibx' — 3x).
12. Ook uit: ;r*' — 17;:c*H- 16 = 0.
13. Iemand brengt bij een wijnkooper twee kruiken en laat die met
wijn vullen ; de eerste met wijn van a et., de tweede met wijn
van b et. den liter. Hij zou daarvoor c et. betalen, doch ont-
vangt d et. terug, omdat de kruiken verwisseld waren. Hoe-
veel L. kan elke kruik bevatten ?
14. Bereken den middelsten term in de ontwikkeling van: (|«* — éfï"'^)"";
ook de laatste drie termen van : (1^4^^ -f- ï^f)"^.
15. Wat wordt x' -\- xi/ ■{- y', als men :
^ = i{K(ö + 2«)+K(ö-2a)}
en 2/ = i{K(ö -f- 2a) - K(ö - 2a)}
stelt, als ö>2a?
16. Ontbind in factoren :
(3a5 - 4öc)(5c(2a'' — ö') f bc{2(r -f &-) — 3a"-[öc — b{a -f c)]} ;
x'^' — x' — x'-^-x; x'^x'^2h\ x'—\^x-^Z\x-Z^',
^x- -f 7a; — 6 — Zax + 2a.
1G8
17. Schrijf als een verschil van twee vierkanten :
er +• dab -j- 3rtc -f- 2b'- ■\- ibc -{- 2c' ; x' -f- a^ — bx -\- x -\-
-\-2d — ab'^b — 2.
,« TT , . . 2Kö ^_
1». rterieid: 2^^2-f V^3-f Kö-fVe + KlO-
lO. Een vos, die door een hond vervolgd wordt, is den hond GO
sprongen voor. De vos doet 9 sprongen tegen de hond 6 ;
maar 3 sprongen van den hond zijn gelijk aan 7 sprongen van
den vos. Men vraagt, hoeveel sprongen de hond moet doen,
om den vos in te halen.
20. Twee personen, A en B, die op zekeren afstand van elkander
wonen, komen overeen om op bepaalde dagen op hetzelfde
oogenblik van huis te gaan, elkaar tegemoet. Wanneer nu beiden
den afstand te paard afleggen, heeft de ontmoeting na 30 minuten
plaats ; gaan beiden te voet, dan na 60 minuten ; gaat A te
paard en B te voet, dan na 40 minuten ; gaat B te paard en
A te voet, dan na 45 minuten. In hoeveel tijd zou A of B
alleen den weg te paard of te voet kunnen afleggen, en hoe
lang is de weg?
21. Om zeker werk te voltooien had A alleen ni maal zooveel tijd
noodig als B en C samen ; B alleen 7i maal zooveel tijd als
A en C samen ; C alleen p maal zooveel tijd als A en B samen
noodig hebben om dat werk af te maken. Men vraagt hieruit
aan te toonen :
m,-\-l w -f- 1 i> -f- 1
22. Los X en y op uit :
\{ x-^2y-^d){ x—\) = {)
l{2x- ^ + 5)(2/y-f-3)=0
23. Herleid:
\d'\y{d^ — x-)}~i^ ^ \ oT'^ia — xY \
\ a — x \ ' liyx^itrx-' — l)i
OA ni lyx'-h^xY -2iyx\/
24. Ook noo; :
25. Herleid eveneens:
\xyz + V- Axz\ \xyz -f v' Axzf
( rjv y ) ( tjv y )
161»
26. Als b = ]y{2r — riy{ir—a')}
en a = ir {K(10 + 2K5) f 1X3 - K15},
hoe groot is dan />?
27. Herleid: K(14K3 + 6K15).
28. Iemand heeft drie vaten wijn, elk bevattende 50 L. Hij heeft
dien wijn verkregen, door twee soorten te samen met water
te vermengen en wel zoodanig, dat in het eerste vat op 35 L.
van de eerste soort, 8 L. van de tweede soort en 7 L. water
zijn. In het tweede vat op 40 L. van de eerste soort, 6 L. van
de tweede en 4 L. water. In het derde vat op 38 L. van de
eerste soort, 5 L. van de tweede en 7 L. water. Hoeveel L.
moet men uit elk vat nemen om 100 L. te verkrijgen, waarin
de hoeveelheden wijn tweede soort en water gelijk zijn, terwijl
er zesmaal zooveel wijn eerste soort als water in is?
29. Herleid: 1/(11 — 5}/ — 3) ± 1/(11 + 5^ — 3):
1/(10 — 61/ — 3) ±1 1/(42 -f 6K ~ 3).
30. Herleid tot de eenvoudigste gedaante :
f,; — f/ _ c- + 2bc ja + by — 2c{a-]-b)— Sc^
a' — /r + 2ac + c' ^ (a + 6)' — 6c {a -}- b) -h 9c' ^
{a + b - Scf - {{a + bf -27c'}
^ V{a-\-2b) — Vb
31. Eveneens:
1/6 {a' - b'')
\y 6 {!/' — a') X 1^48 {a — b)X V{ct' + b') {a' -j- U') '
:(«■'.+ ai 4- ö'A
als a en b positief zijn, en a:>- b is.
32. Wat is de waarde van x in :
V(2x' — 5:r + 6) + Vi2x' — 5^ + 1) = 1.
33. Ontbind in vier factoren van den eersten graad:
6x' — hx' — 38a;- — 5x-{-Q.
34. Herleid tot de eenvoudigste gedaante:
35. Los X op uit : K(l -h 4x) — IX(1 — ix) = él^x.
170
•36. Herleid tot de eenvoudigste gedaante:
{13 4- 2K6 — 6K(4 + 2K6)P
37. Als u = {fyéb^y\a~h)' : (aV)~t
vraagt men de vierkants vergelijking op te schrijven die to
wortels heeft : w en u~\
38. Los X op uit :
ex' + Ux' — 33a,' — 33^- + 11^ + 6 = 0.
39. Ook uit : l^ibx + 1) — K(3a: — 5) = K(^ — 3).
40. Los X en y op uit :
1
+ = 1
x-\-ij ' x—y *^'
2(it^ + ?y) 5(^ — ?/)
41. Ook uit:
{ar — b') {bx -f 3?/) = 2ab{4a — J)
a^?/ T—r + fcc^ = Z>V + «ö(a + è
•^ a-\-b ./ I V I
42. Toon aan, dat uit het stelsel :
X = by -\- cz -\- du
y = ax -\- cz -\- du
z -^ ax -\- by -\- du
u = ax -\- by -f- cz
volgen moet : — r-— - + i — r^ H ; — 7 + , , ^ = 1.
^ a-\-l b -\-l c-\- l d-]-l
43. Maak den noemer van :^ . rat ionaal.
l^a ^^b-^a^b
44. Los de volgende vergelijkingen op :
a;' — 2 = O en ^' 4- 1 = 0.
45. Ook de volgende : K(2u; + 3) + K(5 — ^x) = K(4a; + 7).
46. Maak den noemer der volgende breuk rationaal.
K(« + b) -V K(a - ^) + K(a + c) + K(« - g)
K(« -^-b)— \^{a - />) 4- V^{a + c) - K(a — c) '
als a:>' b en ook a> c
171
Los X, y en z op uil :
^'(^ — y) + ^(2^ i-3y) - 3 = 0
m^x — y) — m{Sx -f 2^) + 2 = O
Sx-\-2y-^z — 3 = 0.
Van de vergelijking x' -\- px -^ 1^2 =: O is gegeven, dat de
wortels zich verhouden als : ( — 1 -f- V^5) : (3 + V^5). Bereken^.
19. Twee personen loopen elkander tegemoet op een weg, die 33
K.M. lang is ; de eerste doet over één K.M. 2 minuten minder
dan de tweede. Zij ontmoeten elkaar na 3 uur. Hoeveel K.M.
doet elk per uur ?
50. Herleid :
(K3 + K2) K(5 + 2K6) 4- (K3 - K2) K(5 - 2K6).
51. Ook : K(15 + K6 + 6K2) — K(15 — K6 - 6K2).
52. Ontbind in zes factoren van den eersten graad ten aanzien
van X :
x' — 16a;' + 64.
53. Herleid tot de eenvoudigste gedaante :
13>/(Y-4K2); 1K(14 4-8K3); K(10 - 6K5).
54. Welke waarden van x voldoen aan :
\y{8x 4- 9) + K(7iP + 1) — \y{30x + 19) = 0.
55. Uit twee punten, welker afstand 1800 M. bedraagt, vertrekken
twee lichamen elkaar tegemoet, het eerste 5 seconden later dan
het tweede ; zij ontmoeten elkaar op het midden van den weg.
Indien nu het eerste in elke seconde 6 meter meer aflegt dan
het tweede, vraagt men naar hunne snelheden.
56. Substitueer x = — K(7 + 4K3) in :
^K3 — 2{x—li)- (4K3 — 7)x\ en herleid dan.
57. Iemand koopt drie partijen linnen tegen 50 cent, 60 cent en
70 cent den Meter. Als hij de drie partijen tegen 65 et. den
Meter verkoopt, wint hij 5"/,,. Verkoopt hij den Meter echter
met 10 cent winst, dan bedraagt de geheele winst half zooveel
als de inkoop der tweede partij. Als de eerste twee partijen
bij inkoop 40 gld. meer kosten dan de derde partij, hoe groot
is dan elke partij ?
58. Herleid: [lK(2~^^3~^K2-'«^ö)'T^'XK(8a~'^lK9Z>-').
59. Herleid : {(H — i K33 — 2K5) (H -f i K33 - 2K5)}^.
172
60. Wat is de waarde van , , „ als :
X* -f- «/"
x = {2-{- VW en ?/ = (2 — K3)^?
61. Bij een wedloop geeft A aan B den eersten keer 44 M. voor,
en bereikt 51 seconden eerder het einde der baan. Den tweeden
keer geeft A aan B 1 minuut en 15 seconden voor, en nu blijft
A 88 Meter achter. In hoeveel seconden legt ieder van hen
de baan af, die 1670 M. lang is?
2. Herleid;
[(^ + 2' - ^Iföt^ + 1^(1 + -)| !nr^ + 1|]' + 1'
als X positief is en <Cl.
63. Ook:
64. Ook:i:J4-^X^ + 4S^Xi*+^l
c '^
ar TT 1 -j «^^ — 2bVa
o5. Herleid: p-—^ tt-t-
2aVa — biyb .
66. Vereenvoudig :
K(7+6K3-f6K-5-t-2K-. 15)+K(7— 6K3 -61/"-5+2l^-15).
67. Los op op uit: 7K(|.« — 5) — k(| + 45j — |l/(10a; + 56) = 0.
68. Ook uit: {x — 2K5)^ — 5^ = f ^ ^^.
\{b-x) V
69. Twee boden vertrekken gelijktijdig van A, de eerste naar B,
en de tweede naar een 12 K.M. verder gelegen plaats C. Zij
bereiken gelijktijdig, na 8 uur namelijk, de plaatsen hunner bestem-
ming. Als de eerste over een weg van 18 K.M. één uur langer
doet dan de tweede, hoever ligt A dan van B, en hoeveel K.M.
legt elke bode per uur af?
70. Los X op uit:
X {x + 1) (^ + 2) {x-^S) = 120.
ANTWOORDEN
VRAAGSTUKKEN
VOORKOMENDE IN HET
LEERBOEK DER ALGEBRA
TWEEDE DEEL
H. A. DERKSEN en G. L. N. H. DE LAIVE,
Leeraren aan de Hoogere Burgerschool te Nijmegen.
^
ZUTPHEN,
W. J. THIEME & Co.,
1899.
N.B. Den gebruiker van dit leerboek wordt verzocht de veran-
deringen aan te brengen, die wij bij de samenstelling
der antwoorden raadzaam geacht hebben.
De antwoorden, welke de leerlingen onmiddellijk kunnen
opschrijven, zijn weggelaten.
HOOFDSTUK I.
Vergelijkingen van den eersten graad
met twee onbekenden.
N.B. Bfl vergelijkingen met meer onbekenden worden eerst de
waarden van x aangegeven, daarna die van y, «, ti enz.
Bldz. 6. 1. 4, 3. 2. 8, 5. 3. 7, 5. 4. 3, 2.
Bldz. 7. 1. 8f, — 2f. 2. 2, 5. 3. 6, 10. 4. 6, 5.
Bldz. 9. 1. 4, —f. 2. 8, -4. 3. 4, 6. 4. 10, 2.
Bldz. 10. 1. 12, 10. 2. 18, 30. 3. 7, 10. 4. 4, 9. 5. H, 2|.
6. 12, 15. 7. 14, - 4. 8. 17|||i, 128|Hf. (Verandert men in de
3^/+50 . 5</ + 60 ,
eerste vergelijking de breuk -^— k in — — ^ '> "f^ïi voldoen 20 en 100).
9. 2, 1. 10. 4, 7. (Verander in de eerste vergelijking den factor
4t/ + 4 in 3«/ + 4). 11. 2a, 3a. 12. a-\-b, a-b. 13. ^^, ^^
14. — , — . (Verander de tweede vergelijking in 1 = — 2"T~)-
15. a — 1, & — 1. 16. a^—b^, T — . 17. -f -, ,
ab aibi -— a^bi
ï , . 18. ab, cd. (Verander in de tweede vergelijking 0 in b).
ai&2 — azbi ^ ö j ö /
,^ a«+a&2— ac2-&(?2 ^2^_^^2+j3^j^2 / ^ . , ^
19- ^24.^^2 . ^2_(_^2 • 20. a, è. I Verander in het
tweede lid der tweede vergelijking -^ in — 1. 21. —7, — 7 — •
22. 15, 9. 23. 2, 3. 24. 4, 6. 25. 2, 6. 26. 8, 2.
27. 12, 16. 28. ph^±^ a^h-a^^ ^^^ a + b, a - b.
O2C1 — O1C2 «201 — aiC2
6> + fc)^ + aV— 6)2 6> + 6)2 + aV — 6)2
2a62((^ + 6) + a(a - 6)»' 2«2è(a — ö) — &(a -\-b){a — by
Vraagstukken, die aanleiding geven tot
twee vergelijkingen met twee
onbekenden.
Bld% IS en vervolgens.
1. 15 en 10. 2. 9 en 12. 3. 8 en 12. 4. 40 en 52 M.
5. 180 en 150 gld. 6. A 200 gld., B 700 gld. 7. 3Ö koeien en 24
schapen. 8. A 30 en B 28 peren. 9. 4 appels en 5 peren.
10. 120 et. en 90 et. 11. 450 en 750. 12. dagloon van den raan
120 et., van de vrouw 90 et. 13. 4200 gld. a 7| 7o. (Verander
6051,25 gld. in 6063,75 gld.). 14. U. 15. 150 M.
^ ^ ad(b — c) ^, ^ ., bd(a — c) ,, ^
17. -77 r K.G. zilver, -^ j^ K.G. koper. 18. 1069,2 K.G.
c{b — a) c{a — b) ^ '
koper en 1084,05 K.G. tin. 19. 14 M. en 6 M. 20. Onmogelijk
(waarom?). 21. Eveneens. 22. 1000 manschappen, 60 dagen.
23. 79 en 85 L. 24. A per dag 4 mijlen, B 6 mijlen ; weg 112 mijlen.
25. Elke man 10,5 gld. ; elke vrouw 7 gld. 26. Lengte 36 D.M.,
breedte 30 D.M. 27. 14, 21, 28.
00 11, -A A {h-\-ti)a {t2—ti)a
28. a, snelheid van A ^^-^-^^^^-^^^ M. ; van B (,^ + ,^), + gM, ^•
(3^1 —h)a {2t + 3^1 — t2)a
' " " {k—h)t n ; . „ (t2—ti)t
nn (« + «i)«?'i (b -\- bi)aib
29. — 7 r- dg. ; — j -— uren. (Men onderstelle, dat elk per uur
ai o — abi ^ aib — abi ^ ' ^
^ a ^\ nr, ^l(&l+&2) 61A2 Al(a+a2) — «1 ^2
evenveel anegt). oU. ■ f r — mannen, 7 r — vrouwen.
° ' ai02 — asbi 0261 — ai02
q^ {(<*i + *i)^2 — («2 + 62)^1} («162 — a^bi)
2{a\h — «2^1) {bih — 62^1) * '
{{b\ — ai)k — (&2 — 02)^1} (ai&2 — «261 ) „^ 100 {/(j9 — pi) -r api]
1{a\h — a^tx) {biU — bitx) ^' ' p^ — pi^
of 3420 gld. ; ^^^{^(P^-P^^ — ^P) of 2520 gld. 33. Eerste dilig. in
abi c(ci — c) cciiabi — aib) n j •
-T 7 — 01 12 uren ; tweede m — r- v — 01 Ib uren ; derde m
abic — aibci abic — aibci
aibcijci — c) w • bbicci{abi — aib) (ci — c) „ ,„ ^ ,,
-T 7— of 9 uren ; Weg is -rr — . ^o of 12 G. M.
abic — aibci ' ° (abiC — aibciy
HOOFDSTUK II.
Oplossing van n vergelijkingen van den
eersten graad met n onbekenden.
Bldz. 25 en vervolgens.
1. 1, 2, 3^. 2. 6, — H, 2. 3. 5, 8, 6. 4. 4^, 2^, 3^. 5. 5, 2, 10.
6. 12, 16, - 10. 7. 7-2V, 2|i, 10^. 8. 10, 15, 3. 9. 8, 4, 3.
10. - 1, - 5, 4. 11. 16, 18, 21. 12. 46||, 39^, SO^SiV
13. 3, 11, 27. 14. 2|, 2|, 8. (Verander in de eerste vergelijking ^z
in ^z. 15. 2^, 3^, 4:^. 16. 12, 16, 5. (Verander in de tweede ver-
,.., . -, . o\ <„ a-^c — b a-\-b — c b-\-c — a
gelijkmg Iz in 8z}. 17. g ' 2 ' 2 '
18. - 5^, - 4i, 3^1^. 19. H, 1|, 30. 20. 91, 87, 63. .
21. i, h i' 22. 12, 16, 24. (Verander in de tweede vergelijking het
tweede lid ^^ in f, en voeg bij het eerste lid der derde vergelijking — j.
23. 1, 2, 3, 4. (Verander in de tweede vergelijking -hxm-\-y).
24. 2^^^, - SiU, H^%, - mh 25. 100, 200,' 300, 100.
26. Stelt men ^ = a, ~ = b, — = c, — — = d, dan vindt men a = ^,
b = ^V> ^ — "sV» ^ = O ; waarbij behooren x= S, y =7, 0 = 5, m = cc.
27. 10, 12, 15, 20, 30. 28. 2, 4, O, 1, 10. 29. U^ + c), ^{a-\-c),
Üa + b) en O, O, 0. 30. 3, 4, 2, 7, 5, 6. 31. 3, —2, 1, 5.
32. ih H. VA, H- 33. U, - ih - ih i¥t-
Vraagstukken, die aanleiding geven tot
n vergelijkingen van den eersten
graad met n onbekenden.
Bldz. 29 en vervolyens.
1. A 200, B 300, C 150, D 350 gld. 2. Onbepaald (waarom?)
3. 8, 9 en 12. 4. ^^ ^ "J_^ ^^ = 30 dg. 5. 80, 100 en 150 (Ver-
ander in den voorlaatsten regel van het vraagstuk „meer" in „minder").
6. A 24000, B 30000, C 12000 gld. 7. 20, 36, 48. 8. 3 : 6 : 10.
9. 162i, 87| en 50 gld. 10. 120, 80 en 60 et. 11. A 48 st., B 40 st,
C 36 st. per L. 13. Oorspr. snelheid 200 M. per min.; A viel 25 min.
na den afrit. (Verander in de opgave -^\ in ■^\). 14. 1902.
15. 100 L. van A, 20 L. van B, 40 L. van C.
HOOFDSTUK III.
WORTELGROOTHEDEN.
"Wortels uit rekenkundige getallen.
Bldz. 35 en vervolyens.
3. 2aV'ób; 12bV2a; lhxtjV2y; abi^2ab^ ; Qa%'Y2ac; 6m^ny2m',
Kixhfz^Vhxijz; ba''b^\/2bc ; 2xyz^yz''. 4. iab^'z^^ 2a%z'' -,
2a%^c^^2ab; ^b^'c^^bc^ ; la%^c^^\08b^c^ -, {a^-b)V{a+b);
2>a\a+b)Va • (a+b) (a+c) {b+cf^{a + è) (a + c)^ ;
3m^n\m + nY-^m*n\m + nf ; 2a(a + b)}^ a(a + b).
Bldz. 38.
6. — iKaftc^ -i-iKa&'cc?2 ; —^y {a. + h) [a -\- c) ; ||/3 ; ^|/15.
7. i- ;/a; 4-1^ &; ^iKa^ftV; ^i^a*6c^ yl^a^6^ 8. ^a'';
a;^a;V' ; I^^y'- 9- ïï^f^^'' + 26) (2a + h) ; ^l/2a&(a-+2i/).
r 11 a;4-l
Wortels uit algebraïsche getallen.
Bldz. 44 en vervolgens.
11. +«"; +aV&; + aft^cSp^a^g^ 12. + a^^^a^ +2a-"iKa;
+ 4al/J ; — 2a6i^2a&«. 13. + ah^'c^Va^^c ; — a^^-^'d'-"-'.
2a , a , a ^ . 1 1 .
15. -I; +5ji; -i; +^3-; +-^. 16. -yi^«; — pl^«';
+ j^8l^«^ -yl^-aè^ +yl^a«W. 17. - AK2 ; -Y^t-ahc^;
-ylKac^ — yiKa^èV. 18. — ^'ax^ -, + y^ï^xY ; -Vpq;
— ab^ah. 19. + iKy^ ^ ^ ^^^' ^^^ a > 2& is en — ^J^^«^
als a <: 2& is. 20. — {^Ui'^ ; + ^a««*^« ; + ^«"6*^ en - j>«»«62^
^^ a-\-l ^ a-f-1 a— 1, , ,. 1 — «,
25. ]/a ; ; Va, als a > 1 is en y aals « < 1 is.
(l (l Cl Oj
26. lK625a^cc?'' ; 1/^ ra; dus imaginair, als a en /; beide positief zijn.
27. -^r-^(aJ — y) {x^y)^ ; 2(iJ— ï) als ^ > ^ is, en 2(2—^) als^X ^ is.
28. - a6iK(a^ + &^) ; (« - 6)^1^ (a — h). 29. (&^-a*)|^ (&+«) (&-«)'
als h > a en (a^ — ft2)i^(« + &)(« — ft)' als ft < a is ; — 1^(^' — a; + 1).
Optelling en aftrekking.
Bldz. 47 e« vervolgens.
1.51/2. 2. 6il/'2. 3.0. 4. (4a + 5ft)l/a:. 5. (6+ 5a;)^aft.
&. %Vxy—4:^xy. 7. l/(«-ft)-6]/(« + ft). 8.5^2 — 51/7 —
— 1/3 + 41/2. 9. 71/3. 10. 7V/6. 11- 2^1/7. 12. 6f^2.
6
15. {ab-\-a — b + 2)Vab. 1^. (a^b - abh-\-b^)\^ac. 15. 3|K6.
16. (2a + 6)l/«. 17. {-~ab-\-ac + bc)^a''bh'. 18. ^^'^''^^^^~^\/^xij.
19. 5a^ + 2a«6 + 3a&«-&yg^^^ ^^ _ ^^^^ ^^^ (3a-5c)1/5c.
23.331^4 — 44^6. 23.173^9. 24.515^3 — 4^47.
27. '"
-^— + ^.0-3». )^^a^-&^"+^
x'—y'
30. + 121^-5. 31. {bx + l)Ma + &). 32. -^y^
CL
33. {-2x^ + x)\-y-x. 34. =^^^-^^Ka&.
' ^ -25a9c2 + 10a«&2c2 — 6a«6^c + 46^ , ^
35. ^ 2^p^ l?^2aèc. 36. 2y^xy{x — y\
37. ^^^^Va^V'^'- 38. 4a;^T/(^ - y). 39. — 31/ {a + 1).
40. 1& — a)Va + {b- a)Vh. 41. '^^ ~/^ ^/^ V^y.
42. 31/(1 - «2). 43. ^^^l/a6. 44. ^K3y.
Vermenigvuldiging.
^^c?0. bl en vervolgens.
4. ai?^5 ; a&i^-^a ; abVb ; abc^c^ 5. 61/3 ; a^bf-^a ; — ^a^è^^.
6. il/2 ; 1^2 ; 1 ; (a + &)^(a + 6). 7. a(a + 6)1/6 ; (« + 6)l/a6.
8. at^-a%c^ ; — i^^a^c^. 9. 1^45 ; (a + l)^(a + 1). 10. i^^a^ ;
lKa(a+l). 13. a^(a4-6)^l/a. 14. |^a»^^+"' ; |3;iaï'«+-ï"-+?'-.
15. +2a62; +2a6T^3a26l \^. -^ abc^ah; + a^b\
17. +8^300; +a-6. 18. — ^3^a"6^°; +lV2^ — 1^5«. (Ver-
ander 1/ — 5 in i^ — 5). 19. - ^2^03^ ; — 2^3^«5^ ; — ai^a.
X*
2\.a%^t^a%^- a^fy-ab''; —^x^yz^ 22.-161/2;
— 243a«68l^a26 ; + 2^''a^^b^'>^ab^ 23. a'°; 2^V2; 3".
24. x^Y^^Y 25. — 6i*i^a*62. 26. +a^^b^*^a.
27. .r^ic; — p^^g-^^i^^jjg'^.
Bldz. 53 e« vervolgens.
1. 21/5 + 1/30 + 51/2 ; 3al/10+51/6a-h2al/15. (Verander 3al/ in l/3a).
2. 1/3+1/2+6; aVc+bVa-\-cVb. 3. 15+151/2-151/3; 7i/3— 4.
4. 21^18 + 1^180 + 2^30; a^c^bc^ + bc^^ab^ — c^ ^ a^'bc''.
5. i^a3 + ^«^; ^a'-a^a\ 6. i?--4 + 1/2 + ^^^32 ; a + l^a&^
al 1
7. ^ + yl^aè - p-i<i/a'6. 8. — 3tt'-2 — 3i?--10 ; + abi^a ~ ab^b.
9. +iF«2— 1^6^ +atK2a&2 + aiK3a6^ 10. +a&i^4a(7+2a6i^6—
~aèci^2aè. 11. iK&(a + &)-iKa(a + 6). 12. — i^^a^+i^a"^— l/a.
13. — a^ab"-^ + ab^ab* — ab]^ ab. 14. - a6|Ka& — abi^^ab*.
bldz. 55 ert vervolyens.
1. 17 + 81/2 ; 3 - 3^/2 ; — 5 + 51/2 + 21/5 — 1/10.
2.24+131/3; ac + 6V + t{l+c)l/ac; 4+1/10. 3. 2a6 — 8ac —
— 2ftc + al/6c + 5cl/aft. 4. 5 — 21/15 + 21/10 + 21/5 + 51/3 — 51/2.
5. 8aö + 6ac — &c + 16al/ftc — 261/ ac + cVab. 6. — 21 + 31/2 +
+ 31/10 — 151/5. 7. 14 — 51/15 — 61/2 + 51/30. 8. 3i^^32 +
+ 3i^6 — 1/6 — 1^243 ; 2iP32 + 1/6 - 6i^6 — 3i5' 243.
^. a — b+^a%^ — ^a%''; 4 — 3|>- 8 - 21/2. 10. 4x — x^x^ —
— x^x — 2^x^-^{x + 2)Vx. l\. 4.-2^2^2^2- {b^—ab^)\/^a—
— (a» - a2ö)l/&. 12. 80 - 2^52 - ^^2^^^h^ — 6i^2^5^ +
+ 6^5*33 + 9i>-2 . 32 _ 61K233 . 52 — Ikri^ 2^3 . 52.
13. - 8 + 31/6 ; — 2i^a2j2 _^ f^a%c + fx-a^c^
14. iKa^fe^gZ _ 1^ „2^2 _ ,^^,2^2 _ ^^^2 4_ 1^ J2g ^_ j^ J2
15. Y^'t/ — 20-^ xy + ^iKa;^ 16. ^-^^{^pY^^ — l^ij'^V»).
17. 2(a + &)iK(a + è) — (3a + 2) (a + i^ + 3aiK (a + 6)'-
18. ab''c'']/'a - ac|^a«&V' — aiKè'c + b\^a%'c\ 19. — ai^a&^ —
— t^a^bV — i^a^b^c^ — c^a''b\ 20. 4 + f^ 24 + 4iVl20 — 1/6 +
+ i;>48600 + 2iK 15.
^^(2a + 1)2 (a + 2)' (a — 2)^" (2a — 1)» (4«''^ — 2a + lf{a^ - 2a+ 4)»
■ (a + 2) (a — 2) (2a — 1) (a^ — 2a + 4) '
22. x{^x\x—V)^{x — 2Y. 23.-2; a-&; 4a — t.
24. 9a|Ka&2 — ^b^a% ; a — t^a\ 2b. a - b ; b^a^—a^b^
26. |K4a«&2_«^9a&2, 27.12 + 21/35; 5 + 21/6; 7 — 41/3;
37 — 201/3. 28. a; + y2;z — 2«/|/a;^ ; a^i^a + 2a + i^'a^ «iKaft^—
— 2ab + JiKa^i ; a;«/ + t/2; + 2yV'xz. 29. a|^a — 2a + i^'a^
4a;l/a; — 12x]yy + 9l/;»y ; a^iKa + 2ab^a^b^ + è^i^^;.
30. 10 + 2y"6 + 21/10 + 21/15; 11 + 61/2 + 41/3 + 21/6; a6 + &c+
+ac+26l/ac+2al/&c+2cl/a6. 31. {a-2b)^^ a+3^^ a%^—{2a-b)iyb.
18 + 121/2 + 61/5 + 4^/10. 32. p + 21/^2 + 2l/jor + j + 21/ ^r + r ;
(a — 26)iKa - ^ «^^^ + (ö + 2a)iK&. 33" 4+21/10 ; a-b-c+2Vbc
(verander c in l/c). 34. —53 — 401/2. 35. -29— 20i^-6+4t/6.
36. 2 + 61/2 - 21/10. 37. a + 2^a8 - l/a - 2^8^'a« - ]V« + l^a.
38. -p2 + 2^ï + 2^r— 22 + 25r-r^ 39. - a\i/a2 + 2a6|Ka6 +
8
-\-2ac^ac — b-^^b''-\-2bc^hc — c^^c\ 40. l/(a^ + a); 3;
1/(63— 401/2-28]/5+18l/10). 41. 1/(200+401/5) ; 1/(200—401/5).
42. 1/(2 + 1/8) ; 1/9(4 — 1/7). 43. a: - ^. 44. l/(a — ft) ; 1/5.
45. 4:;V{a^-J>% 46. 1;5. 47. Vil', V{a^—ahVc-¥aVhc—hcVh)
als a > &l/c en 1/ (— a' + a&l/c — al/&c + èc|/&) als a < &l/c.
48. 8x. 49.4. 50. «' + «&. 51. ar. 52. i?"— M + ^'-
öS. &2(4è2_ 9^2^^ 54. _,^|(a_j^2(|/-^4.|/j)|_ 55. (a + 3&)l/« +
+ (3a + h)Vh ; (a + 36)l/a — (3a + V)Vh ; (a;*+3a:ï/«)l/a;+(3:ï«i/+«/*)l/t/.
56. ^^—^xY^xy^^^xY^^^'y—xY'^ a''b~Sab^^a%-\-Sab^ab''—ab\
57. 961/35. 58. {6x-^2y)Vy. 59. pl/a&+p0/a5^
60. (a« + 10a2&*)iKa2 + Ba'^fe + bab^)^ab + (lOa^ft^ + &6^iK6l
62. 21a*6*iKa6^ (Verander den exponent 5 in 8) ; — 2^ 3 . 5 . 13 . 23 .
. 29 . 31 . a^^ft^^I^aft^ 63.41/14—101/2. 64.4. 65.-21/21 +
+ 21/35-21/15+41/11.
D e e 1 i n g.
Bld0. 59 en vervolgens.
3.1/2; 4»^a^ -^i^a^ö; ^l^a'-'è^ 4. il/15 ; t^l/15; 1/2;
1/3; l/a; ^a^. 5.^1^18; |i^l08 ; ^^iKaft^. g. --^«6^;
Y^9ab^;- iM6a&. 7. yv^aè**; il^5»; pi^a&«.
8. -^V>a2&V^ 4^^"^'' 9. -^|K6V(a + &); -^^bc{a + b).
10. -^l^a^è^ ai^-aft; ~i^a&^ H' 3^1>3'^'^"^"•
12. ^iKo; V ; yj.%"&^». lS.^^ab\ 14. yK&; — 1^6V;
11/2; TSTr]/"5. 15.11/2; 2|^/9; 4^4; yiK&^ — ti-a«&c« (Lees
bc^yab^'c). 16. — ^5a ; liKSaft. 11. — -^i^2*a*b'' ■ - —(yxY^^-
IS. -^^■^ecd'xY; ^{>a%'c''d\ 19. -^,^a^^6"c^«(?";
y^a'6^«.
5Zrf2!. 61 en vervolgens.
2. - 12 + 91/2 + 91/5 ; I-AKIO + il/35. 3. il/15 + ^1/10 - |l/5 ;
yl/c + yl/6-yl/a. 4. yl^^^^ --^K?- yTV?+ylKi>2«.
5. tK2 + ^2-l+ii^2-; "^^ + ^^"-'^^ 6.|lKa3W +
- tVÉ^BOO + iVl^lOO - i^50. 10. — ^l!^«"*"<^'' + -^l^«'c2 +
+ yiKa^è^. 11. ^2 + 1^-2 + 1. (Verander i3- — 2 in ^ — 2) ;
jB/c^z. 69 en vervolgens.
1. 2(K3 — ]/2) ; 3(1/5 - V^3) ; -1(5 - 1/10) ; |(— 1 + 1/3) ;
al/6 + &l/a 36-71/15 a + 6 + 2l/a&
T — . &• 4 — 1/ 15 ; ^ ; v; ;
a — o DO a — o
10a+12& — 23l/a& 17 + 21/10 12-1/6
25«— 16è • ^ ~ 12 ' 46 '
211/30 + 241/6 — 541/2 - 281/10 aè ,
— 22 ' ^^è^l^«-^^)-
29 _ 17i/"3 T
4.- 2g-^; -2 + 1/6-1/3 + 1/2; ~{V{x^y)^-VA\
WVix + y) + V{x - y\ 5. l/(rr + 2y) + l/t/ ; ^"^(«^ " *') -
2a;2.-l+2a;l/(a;2— 1). 6.
6
- 12 + 71/2 + 51/3 - 1/6
23
101/3 + 121/5 - 151/6 + 81/10 8 + 41/2 + 161/3 + 61/6
14 ' 23 •
7. iK2l/3 + 3K2 + 1/30) ; ~^^^/^^^ ;
12(- 26 -31/2 + 101/3 + 121/6) ^ 3 ^ ^^^^ _ ^^^^^ ^ ^^^^ ^
1/6 + 1/7-K5; -6 + 101/3 + 41/5-31/15 ,. , . ^ .^^ _
l/"7 1/"Q
-il/10 -il/15; ^ \ 3(1 + 1/5-1/6).
— 3 - 31/2 - 1/3 + 41/6
10. 12 5 ^VK114 + 11/3 - WK19 + i +
+ il/88 - f 1/6 ; ^^^ ~ ^>^6. 1 1. 3|/2 - 1/21 - 21/3 + 1/14 ;
1/15 + 21/6 -2K5- 81/2; i(38 —271/2 — 221/3- 181/5 + 161/6 +
+ 121/10 + 101/15-71/80). 12.2(1/3+^5-1/6); 1/3+1/6-1/5;
i(l/5 + 1/7 - 1/6). 13. 1/2 — 1/3 - 1/5 + 1/7 ;
Vx{a — x)-\rVy{a — y) — Vyja — x) — Vxia—y)
y — x
14. iKa'^ + l^^aè + ^è^. 1^49 + ,^ 14 + 1^4; i/7 +2|K50 + 2|K20);
a^ah^ — a^h'' + iKa*6* — ftlKa" + fei^^a^j
__ , 15. ^-^i _ ,^a:'// +
10
6(.K27 + ^18 + rK12 + ,.-8)/ 16. ^«^^^^^±M1^
(g + b) {\^^a + i^b) + 2^a''b'' x + ^tyx^'y + 2l/^^/ + 2|:Ka;t/^ + y
a ~b ' a; — y
. «Va - a^\^^b-\- a[ya%* — ab -h b\yaV — b^ b""
17- «3 _ j2 ;
«^ + 2a|Ka&^ + 26iK«'& + &'
a^ — è'" '
67 — 251^1125 + 25|K9 — 15^5 + 15i^ 3 — 3i^l0125
^g ; 41/2 — 4i3^2 +
+ 4^2 — 4 + 2i>-32-2iK4. 18. 1/(1 - «).
-o g" — &^ + 2a6l/(a^ - 1) 2(194 + 621/5 + 91/15 - 101/3)
^^- a^ — 2a'''6 + &2 • -^U. -^ .
_, 196 + 381/15 — 161/21 + 221/35 i> — 2i5^/j«2+21/joö— 2iVw'+9
ai. — , ; . — .
59
p — q
- 4 — 21/3 - 21/5 — 1/15 + 21/2 + 21/6 + 1/10 + 1/80.
„„ y{a^-x^)+xV (a'-x'){a^-y') 2{]/a+Vc){a-b+c+2Vac
»«• /^_!_ ,.\ y„2 Z2^ ^- öO
(ic + ?/) («2 _ a;2) • '^•'- «24-^2+^2— 2a&-2ac-2èc"
24. -3+1/11+7K2; 5-2K6. 25. -''-«+2+2(«-l)l/(«'+lX..+l)^
a(a — 2a — 1)
(^+1) {^^+ar^+(a;^+^+2)K(a^^-4)} /,, _
ao. (x—l) {x^-\-4x^+Sx+6) • lVerandertmenir''uitdenDoemerin
(a; + l)l/(a;^ 4)\
x^, dan is de uitkomst __ j\A i 2/)- 37. /"l/m — /yl/Am — m.
gg l/(g + x) (a -{- y) -\- V{a -x){a — y) - !/(«' — a^') — l/(a' — y')
a; + ?/
Worteltrekking uit veeltermen.
A. Vierkantswortel.
Bldz. 73.
1. a + 2è + c. 2. 2a + 36 — c. 3. a'^^ + a — 2. 4. ab — ac + bc.
5. 2a& + 7ac — 5&C. 6. 3a*'+'+7«-^-'--'* + 9a""'^-l 7- x — ^y + hz-lu.
8. iyx' + iK«/l 9. l/« - ^'y + ii^0. 10. (a — &)a;2 + (a^ +
+ a& + &> + (a^* — b^). 11. a;8 — a;««/2 + xY — ^'!/' + ?/'•
12. a;^ + (a + l)j;''^ - (a — \)x + a. 13. ^'o; + z{x^ ^ l) - x.
14. w^ - 2(n - 1)- + {n — 2>'-. 15. p^* - ph^ + ^^^^ 7 ^\
B. Derdemachtswortel.
i^/c^^ 75.
1. 2a — J. 2.a-b-\-c. 3. 2w^ — 3m + 5. 4. 4a^ — 12a3 + 9a.
5. l/a — 1/& + l/c.
11
"Wortels uit ééntermige wortelvormen.
Bldz. 7 6, en vervolyens.
3. i^a^ l/a; i^-a^; ^ya\ 4. ^^a^^, ^'a'; xt^ xt/. 5. \{^a^b^ ;
^a' ; ^a*b^ ; p^a»'"+»-\ 6. y^aSf^è^a 7 _ ^«asji* .
— ^x'Y' 8. — ^«^«è. 9. ^3i»a;»«2/'- 10. {a-\-b)^a'\a-\rb)^'.
11. «li^a^ 12. —{^p^'xY^^-
Vier kants wort el s uit tweetermen van
de gedaante ^± B]/ C, waarin A
positief is.
Bldz. 83 en vervolgens.
2. K5 + 1/2; Vb~V2; 1/13—1/7; 1/10—1/3. 3.2^/3+1/5
— 34-2K3; -4 + 31/6. 4. — i{l/14a + l/2a); —-^1/2 + ^^10
— il/6-il/2. 5. i{l/(4a + 2) + l/(4a-2)}; |{|/(2^ + 8)-l/2i?}
l/a— l/&alsa>6enl/6— l/aalsa<:6is. 7.1/5 + 1/3; |(l/6±l/2)
i(l/26±K2); i(l/14±l/6). 8. 1+1/3; 1+^5. 9. -V2—VS
i(l/6 + l/2). 10.1(1/30-1/10); 1 + 1/2. 11.1^125 + 1^20
1^27 + 1^12. 12. iJ-98 + iV8; i>-ll3_^44.
13. i(iV2700 — iVSOO) ; i(i>108 + iM2). 14. 1^125 — i5-5 ;
2i^3 + iV27. 15. i^l2 + i5-3; i>18-iV2. 16. iV20 + i5-5;
lV24 + 1V6. 17. i5-8 — i5^2 ; 1/(1 + a) — 1/(1 — a).
18. V{ap — a^) — a als p z> 2a en a ~ V{ap — a^) als p <:2a is en
1/2;? — Vq als 2^ > ^ en l/^ — V2p als 2^^ < </ is. 19. 3a — 2al/6 als
a en & pos. zijn en è <: 2^ is, en — 3a+2al/& als a en è pos. zijn en b>2\ is ;
Xy 1008 + ÏK343. 20. p + 2q—Vq{2p + ?). 21. yl/3a6 - ^1/2
als 3rf2 > 2a&c=' en -^ 1/2 — yl/3ai als 3^^ < 2a6c2 is.
22. il/(4&2 __ 3^^ + ,,2^ + |/^j^ 23_ j/22(5 — 1/3) ; 1/3(3 — 1/6) ;
1/3 + 1/2. 24. 1(1/14 — 1/2) ; 1/5(5 + 2V/5) ; 21/(50 + 10^5).
ori 7 .,XQ 21 + 51/2 1/13(16 -91/.3) 9 - 4V/2
^Ö. / - 4K 3 ; j^ ; ^3 — ; ^^ .
26. 1/5(5 - 2V/5) ; 1/(12 — 6v/2) ; (1 — V2)V{h — 21/3) ;
— -Al/(250 - 1101/5). 27. 2 + 1/3. 28. ^^^^^ ^^^ '
1 + 1/2: ~-^^^. 29. l/{2 — 1/(4-21/2)}; 1/(1 +1/2) + |^' 2.
30. 1/15+1/3.
12
Herleiding van de som of het verschil van
twee vormen, ieder van de gedaante
]/ iA±B]yC), die elk op zichzelf al
of niet herleidbaar zijn.
Bldz. 86 en vervolgens.
I. 1/(3 + 1/6) + 1/(3-1/ 6). 2. 1/(10 + 21/22) ; 1/(10- 6l/2) ;
21/(6+1/33). 3. —21/(8—1/59); 21/(5—21/5). 4. —1/(14-21/17)
1/(26 — 21/157). 5. l/{2a — 2l/(«' — a + b)]. 6. 1/(10 - 41/5)
-21/5. 7. V/(12 + 21/2 + 4K3 + 2V/6). 8.1/(12-21/15-21/3)
9. -1/2(1/5+1/3-1/(6+21/15)}. 10. l/2{V/5+l/2-l/(4+2l/10)}.
II. 1/(14 - 21/47). 12. l/{8 - 2t/(- 8 + 61/2).
13. 1/(21/3 + 4K10 - 6). 14.31/14. 15. —1/2.
16. l/(14±2l/37). 17. l/{12±(2l/15+2l/3) }. 18. 1/(2+41/3+21/5).
HOOFDSTUK IV.
Oneigenlijke machten.
Bldz. 96 e» vervolgens.
6. l^a; v>a; al/a; &i!!^a& ; ~i^a''^b'' ; —^f^a. T.b^a**b^;
hW^^a^^'^cH^ ; y^i^a^'è'" ^Lees den eersten factor iKa%~^*) ;
^31,4 1,8 ^,2^8 7 14
l>a-6-. 8. ai^a^ft-; ^i^W; ^3; '^^>a%c^. 9.^,;
ï,2„ ^2 122 1 9
^,l/-a a , ^2^3i^ao c , ^^y c. lu. ^2^2!^^ » <^ ; 5^1^"'^ 5
14. -^4{^2^0a"; -^i!>2a*. 15. ^A>a'hh\ 16. ^^l^-^- 17. a^a^
18. -4i>«''&'' ; Til^^'^'- 19. a'^è^lKa; — iKa'^è. 20. 16enii^8.
V^2 oi al/& - &l/a >^a5(Ka-l/5)M^-&)^ x.
1/2 en 2V . 21. ^,^ ; ^^^^ ; -21/^!/.
(\^2_|. ^-1 3) — li\ ;^ 2
Verander de opgave in l-s-j — ö-^,( I. 22. — iKa^ riK«*è* +
+ ylK5^ ai^a'— «[^a^è^+Sl^a^è^- &l^a^ —^t^a i^b^ +
b b^ 2a' 1
+ -2l^a'6 — —i^a + è^^ft. 23. a — 5 ; a V« + tf»^»^' + Tö ?
tt . öt 0 0
13
2 r 2c* , 1 2c* . , „ 1 2c* I , o
^ + |2l^^^-|6 + f8Ko-c + ,Kci^ 24. -p + |,l/a&-y +
14 Q 4 Ih ^h 2h^
4- hl^ab - — + -^Ka& + -^ sVah — -^. 25. « W" — 2a^b'^ +
+ aft» _ 4 + J;^ - ^. 26. llil^^a^^^ + 8^a'. 27. ^a;» - ^xVx-h
+ Al^.1- 28. (a' - 3a2 + ^ - A)k« ; a«6«(a+3i^a«6+3i^a&«+6).
29.2-1/8; ia + K5). 30. T^^; |/2. 31.1.
33. />4a6è{a + 6)2V — &)2«. 34. 1. 35. ^2^a\
HOOFDSTUK V.
Imaginaire Getallen.
Bldz. 103 en vervolgens.
2. 6ïl/2;; 8mV2. 3. — |«V3; C^^+i? -3)il/3. 4. S^j; 2h'l/5.
5. (— ^xy + Ba 2^2 + 40;ri/*)il/2i/. 6. (— — K«& + yl^*)»-
7. (6c + ac — a&)il/a6c. 8. — HiT/3. 10. - |/6; -51/2;
— 181/2 ; al/6 ; - 12 ; - 301/3 ; a« ; — 301/2 ; - il/15 ; - 2
72ï ; — a^c ; (a - 6)^- ; (2/ - x)iV {x + y). 11. - 2il/2 ; 4il/2
— 27 ; - atl/« ; {h — a)HV{b - a). 12. - 21/3 - 3l/2 + 1/30
— fl6l/c — &cl/a — acl/è ; — 10 — 101/2 — 21/10. 13.-1 — 1/6
14 + 1/6; -2a + 8ö + l/o&; - a^ft + «6^+ (a^ - 6'')l/a& ;
-16—31/6-101/3—151/2. 14. —a+b; -5; — a»— 2a&l/a&-&» ;
-7 + 21/10; —27 — 121/2; -11+21/6 — 41/3 + 61/2;
-1— iK6 — il/3 — il/2; 6 — 21/15; — a + & — 2l/&c f c ;
_ a _ 21/ac + 6 — 2l/6c — c + rf. 15. — (al/a+3al/6+86l/a+6l/6)ï ;
(— al/a + 3al/6 — 3&l/a + 6l/6)t ; — i + i^ ; - i — i*"-
16.1/2; 1/5; l/a; 1/6; 2; il/6 ; il/10; yKa&; yl/a6.
17. -tl/2; —1; -il/2; ^1/5; —in/15. 18.1+1/2;
i + iK3; ||/8 + il/2; |-l/6+-^Ka; ^K&c + ^l/ac + ^l/a&.
19.-5 + 21/6; -7—31/6; — I-I/6 ; i(6 + 51/6+31/10 + 21/15) ;
i(K21 + 1/30). 20. Niet als a; > a, wel als a? < a.
Bldz. 111 «« vervolgens.
2., = _«_(i+J^,,_M^^. 3.,4-3.-, 15-U.r2;
14
8_10il/5; (a + c + e) + (& + (? + /•>-. 7. 17 + 2il/2; 7 — iVQ.
8. — 1— 23il/5; 20 + 5J1/2. 9. a; + «/; 5; 35; —{26a+baVb)—
— {ab-{-baVb)i. 10. x — y + 2iVxy ; x — y—2iYxy; {x—'èij)Vx-^
+ {%x-y)iVy', {x-dy)Vx-{Sx — y)iVy; 1-2/^6; — 15-36/ ; i.
11. —1; 1. 12. —7—4^1/2; -7+4iV2. 13. -3|/6+15jI/3.
.. , .r. r^ r. 21+20i a^—l^-\-2abi
14. (8a«6-8aft«K 15. ■|/3-r]/2; 1/3 -2ï; — 29— ; ^2.|.^2 •
20,-]/6 - 8]/ 10 9(1 - ?V3) T/15 + 2K6 + (31/10 - 2)t
16. 95 ; 2 ' 7
161/3+451/2+12(5— 1/6>' — 2+l/6+(2|/3+l/2)i — l+2ii/2
1'- 182 ' 3 ' 3 •
\S.2[yMy — x + V^^^^^)i\: 1^. UV{x^-y^). 20. ±(1/3-0;
±(2i + 1) ; ±(1/6 + i) ; ±(2 — il/3) : ±(l/a — iK&) in beide gevallen.
21. ±(7+il/5); ±(l/3+tl/5); ±(1/2-/1/7). 22. ±i{(-2+l/10)-
— (2+l/10>-} en ±i{ (2 + 1/1 0)+(- ■2+1/10)?;} ; ±(2-/1/2) en ±(1/2+2/).
23. ±(1/2 +/1/2) en ±(1/2-/1/2); ±(|l/2+|/l/2) en ±(|l/2-|/l/2).
24. ±(1 + /) en ± (il/6 + -1/1/6). 25. ±4 en ±2/1/3.
26. ±^^^S ±^~f^^. 27. il/(15-21/l/5); il/(15+21/l/5).
28. ± (7 - 2/1/3) - 2K3. 29. ^^ + 1^^13 -24^3 - 61/39
30. 2(1/2 + 1/10)/ ; (12 + 21/15) W-1^^ 3^_ ^ _,^.^3_
/al/c ^ \ „„ /5aK(? 2a/l/6c?\ „. , ^^ /. , .
32. ± i^-y^+iVcd). 33. ± (-f- - — |— ). 34. ±^(1+.);
± (1 ± i)Vcd ; ± i{ 1/(10 + 2K26) — / V/(- 10 + 21/26)}.
35. ±{ay' — a&/l/(a + 6)}. (Verander — a^ö^ j^ _ ^2^3)_
HOOFDSTUK VI.
Vergelijkingen van den Tweeden Graad
metéénonbekende.
Bldx. 116 e« vervolgens.
1. ± 5 ; ± 2i ; ± 2iVa. 2. ± 6 ; ± l/(a' + h'') ; ±i>l/2.
3. ± i/1/14; ±Ki)?. 4. ±10. 5. ±-|-K(&*-2&' + i).
6. ± 1/(29 — 31/5).
jB/c?^. 117 ert vervolgens.
1. O en - 3 ; O en ^— ^. 2. O en 9 - 21/2. 3. O en '^—^.
a a
Bldz. 121 en vervolgens.
1.3 en 4; 3 en — 1 ; 3 en 1 ; 6i± il/105; — 4en — 2; 8 en— 3;
15
-2i±il/"13; 3|±il/13; l±i', -li±i/]/ll; -^±^1]/^;
« ^ . r. A 71 ±1/3521
— rt en — &. 2. 2 en - 2, 6. 3. 6 en - 6, 9. 4. j^ .
15 ± 31/5
5. «2—1 en 1. 6. 6 en 3,15. 7- — ~Y^—- 8. 6 en — 4^.
9. 12en — 10^2^. 10. 20en — 18|. 11. ^-^ .
12. 21 en — Si. 13. 2 en — t^W^. 14. y en y.
^2 J2 ]^ ]^
15. 1 en — rs — . 16. — j/mn en — \^mn. 17. O en a + 6.
18. 1 ± il/2. (Verander den noemer van het tweede lid in p^ — x^).
19. -len^^^. 20. ^^^^^ . 21. 2 + 1/6 en 3- K6.
22. 1/3 ± 1/2. 23. 2 4- 1/5 en 8 - K5. 24. |l/5 en 1 - \Vh.
— l/7±(2+l/3)
25. a±h. 26. i(l/6+l/2)enK3l/2-l/6). 27. — ^^ \ — —^.
28. Va ± Vb. 29. ^^"^^^ ± ïV K23 (67 — 421/6).
3^_ -(^ + 2)±K(&- + 4ac)^ 31. 8 en - 4, 9. 32. 2a+b en a+2&.
33. 2a + ^±K(-4a-+^16a6 + 4a + 9.«-8ft) 3^ ^ ^^ 3^
„^ 2wn 2m^n^ -\- 3m^ + n^ „_ , , , .
35. en — . 36. a — b-r c en a + o — c.
2a — Sb a + 2b 3a + 26 2a — 3&
^^ m - 2« ^"^ ;ir=7i- **-• 4a6 ®" 2a262 •
„^ 2a + 6 2a -6 ^^ b^ b Jb"" 1\
39. -^en--^. 40. -3±-l/(^--).
41. -I- en - — . 42. 5 ± a. 43. 6^ en l/a.
o a
44 4-2l/3+(-3+4l/3)i+l/{146+8l/3-(72+56l/8)i} 45 .^^„.y 3
5
46. 11/2 en - itl/5. 47. ~ ^ ^ ^f ~ ^'"^. 48. - 1 en 1,6 ;
^ ^ a 6 , 2-3a b d
12en-9i; — 1/5 en iKö ; yen — — ; — 1 en — g— ; -yeny.
Vraagstukken, die door middel van vier-
kants ver gelijkingen kunnen
opgelost worden.
Bldz. 124 en vervolgens.
1. 8 en 17. 2. 91 en —90. 3. 15 en —3. 4. 72 en — 4^.
5. Achttallig stelsel. 6. 42 jr. 7. 10 arbeiders. 8. 20 gld.
16
9. 8| H.L. van 33^ gld. en 7| H.L. van 50 gld. per H.L. 10. 30 K.M.
11. 8 erfgenamen. 13. 400 en 450 H.A. 13. 75 L. 14. A 525
gld. en B 105 gld. 15. 10 ponden. 16. 70 gld. 17. 40 gld. of
60 gld. 18. 90 okshoofden. 19. 30 eieren. 20. 11 personen.
21. 80 el. 22. 120 en 80 man. 23. A H K.M. en B. 1} K.M.
24. 24 wk. en 18 wk. 25. 32 L. en 20 L. 26. i^a(5 + K5) en
iiö«(5 — 1/5). 27. A 350 gld., B 150 gld. 28. A 100, B 150 en
C 200 gld. 29. \__l mijlen. 30. 300 L. 31. 15 mnd.
32. Ilf. 33. 8. 34. Is de zijde van het vierkant a, dan is de
lengte van den rechthoek a -\- \h -{- ^\/^ {9>ab -\- h^) en de breedte a + |^& —
— il/(8a5 + &2). 35. A 480 gld., B 320 gld. 36. 180 mijlen of
60 mijlen. 37. Door de eerste kraan in 10 min., de tweedein 12 min.,
de derde in 15 min. 38. 150 K.M. 39. Eerste ploeg: 24 man,
432 gld., elk krijgt 18 gld. ; tweede ploeg : 16 man, 432 gld., elk krijgt
27 gld. 40. A 468 K.M. en B 520 K.M.
Eigenschappen van de wortels eener
vier kan ts vergelijking van de
gedaante x^ -]- px -f g = O.
Blz. 134 en vervolgens.
8. 2 = 3f ; g = 5, 9. p = db 3ïl/"10 ; onmogelijk (waarom?).
10. i.^-22; -^{v^-%q); v'-^v^^'^f: -^\ ^^^^ ;
_ P^P ~ ^g\ Il ^|g^-2 _^ 45^ 4. 25 = O ; bjx^ _ 4a; - 45 = O ;
cƒ32768a;2 - 4288^: — 45 = 0. 13. {x + 2\ — |il/3) (ic + 2| + \iV^) ;
{x-\-q~p){x + q+p); (3« + 3 - 1/21) (o; + 1 + ^1/21) ;
(a — 31/2) (a + 21/3) ; {x+2\— i«l/31) {x + 2^ + i^'l/Sl) ;
(a - 2&1/2) {a + &1/2) ; (2a: — 9) (x + 1) ; (a - 26 + 31/3) (a + & — 1/3) ;
{x — 1) (5a; + 8) ; (a; — 3 — 21/3) (a; + 1 + 81/3) ; (7a; - i — i^l/167)
(« — tï + tV^K167); (a; — ^ + 2e) (a; + 2:v — 3;2). 14. a = ±|l/3.
5?c?0. 140 en vervolgens.
1. 2/'—?/— 13 = 0; J/2 — (2a — 5)ï/ + a2 — 5a — 7 = 0; 2/2 + 15«/-f43=0 ;
^2 + (2& + 5)t/ + &2 + 5& - 7 = 0. 2. 3f 4. i3^«/' + 3i^«/ — 5 = 0.
5. i/<* + 9«/'' + 8 = 0. 6. 2/' + 21«/-27 = 0. 9.1. 10. ^^=-61/3;
^=21. 11. |(_ 1+1/2). 12. «/^ + (3 — 61/3)?/ - 4 + 21/3 = 0.
13. ^ = — 1 en 3. 14.0 = 9; c = - 28 ; ^ = — 5; g = — 8.
16. 2 = — 6 en -14. 17. 3. 18. 6. 19. 12. 20. 13^ en — 62^.
7,2 o
22. (a- + a - 1) (a; - 6 + 2). 23. — ^— • 24. w = ^\ ± ^1/813.
17
Biuomiaal-vergeljjkingen.
Bldz. 144 en vervolgens.
1. — 2 en 1 db «1/3 ; 2 en — 1 ± iVd. 2. — 1 en ^ ± 4 i|/3.
3. 1^7 en (- I ± i iVS) 1^7 ; — i^7 en (| ± ^ il/3) 1^7 ; |^5 en
(— 4 ± i iVS) ^5 ; — 1^5 en (I ± i iK3) 1^5. 5. ± 2 en ± 2/ ;
±l/10en±tVlO.
Invoeren en verdrijven van wortels bij de
oplossing van vergelijkingen met één
onbekende.
Bldz. 153 en vervolgens.
1. 7 + |/"5 ; 7 en — 1. 2. 4 ; 3. 3. 8 ; 9. 4. valsch, waarom ? ;
valsch, waarom ? 5. 2 ; ± 5. 6. -^^ . 7. 0. 8. 5 en 3f .
— 7±2l/13
9. 3-^^ . 10. 15 en 16. 11. 3 en 5. 12. O en 1/3.
2
13. — 2 1/(«^ — p'^) als a^<z2p''' is, anders geen wortel. 14. 3.
15. geen wortel. 16. O en ft ^ — a'^. 17. 21/6. (Verander in het
tweede lid 1/3 in 1/2). 18. ^g ■ ^a- 19. 6. 20. 4.
21. - 26 en « . 22. 100 en 11-^. 23. 4 en 2^. (Verander
i/« • i/-ifi ^ 9d («-^>)(«^ + 4)-(a+;>)cl/(c^-f 4)
l/6.f m 1/16:^;). 24. ^,^s _|_ ^x ;
± 1/ ± \_^2b • ^^- "^^^ 3(8a«+15a^+6a-l). 26. -i±il/5.
27. ±^l/3(8a^+15a''+6a-l). 28. ±lbVSb{{6b''+8a)Va-\-b{lba—b^)].
29. a en i. 30. 1/2. 31. 16. 32. ±|ai. 33. |.
34. ^y "■ 35. a'^ 36. ±li>l/5. 37. 25. 38. 2.
39. Geen wortel. 40. 3. 41. 5. 42. 94^. 43. 4, -1^=^*1^23
-l±K(l±4il/35)/-' ^^ ^ ^^ ^_ ^5_ -a^±2ail^
2
46. =t ]/{a^ — (^ — 2a) ^}. ( Verander den tweeden term van het eerste
lid in-iH»' — ^').) 47. 1^^ . 48. O en 3. 49. —.9 +
+ 7-9-i — rr^ia^-^c)^. (De derdemachtswortel heeft drie waarden).
{a^-rc)a ^ ^ ^
50 ^-=^
^"- Sa ■
18
Vergelijkingen, die door nieuwe onbeken-
den aan te nemen, als vierkantsvergelij-
kingen kunnen opgelost worden.
Bldz. 158.
1. ±3en±2; ±2en±l. 2. ± 2| en ± f » , ± 1 en ± i]/3.
3. 0,2enl±2i]^2. 4. ±3en±|l/15. 5. — 1 en — 3.
6. 81 en 625; -i^. 7. 5 en — 8. 8. twee wortels x = 4:.
9. 2, 1, — 1 i iVS en - i ± iil/3 ; — 2, - |, 1 ± i\^S en ^ ± iiVS.
Bldz. 168 en vervolgens.
1. — len— iitii]/15. 2. 1, 3 en ^. 3. — 1 en ^ .
4. 1 en — i{a+l±l/(a+3) (a— 1)}. 5. —1 en i{—a+l±V{a—S) (a+l)}.
6. 2, 8, i en i. 7. 2, 4, ^ en i. 8. 2, 5, | en i
11. —1, —2, — i en 1 ± 1 iKl5. 12- ±1, 3, -5, i en — i. (Ver-
l+l/o±il/(10— 21/5)
9 ^4- J_^| ji ±]/r5 + — ) ■ 10. ±i en drie wortels —1.
11. —1,-2, --ieni:±iiKl5. 12- ±1, 3,
ander den vierden term in + 245a; ^). 13- «/ — 1, .
1 - 1/5 ± il/(10 + 21/5) ^ , ^ - 1 + V5 db il/(10 + 21/5)
en ^ ; 6/ 2, ^ en
en^±|«l/3. 14. 4- 1 en 3 wortels — 1 ; 2,-1 en — 4. 15.±len
|a ± i l/(a^ - 4) ; 1,-2 en — 3. 16. - 1, - 3, - i, 2 en |.
Gemengde opgaven.
Bldz. 164 ew vervolgens.
7._|/13 -3±il/7 -5±i|/ll
1. 8 en - 27. 2. 1, ^^ , 2~^ ^" 2 '
3. 26i en — H. 4. 1, 3, i en 2 ± i/3. 5. O en 5. 6. 0.
7. - — ^^-^. 8. Geen wortel. 9. ±ia(-l+|/3).
10. — 2f en — 8|. 11. U en — 1. 12. — 2, twee wortels 2 en
8a — &{c±l/(fi' — 4)}3 ^^ ",
i^^^^"^' 13. 8+(;±i/v--4)r- ^*- -^^ ^" '•
15. a' + 8a + 8. 17. (^ + 2)(2r + l)(a; - 3) (3a; - 1) ; (2a + 3)X
X (2a - 3) (a + 6) (a — 6) ; {a; + i«/(l + ï)K2} {rr - iy{l + il/2)} {a; +
x-^, .o * 6— a2+l/(a*— 2a26— 36^)
+12/(1-1)1/2} {o; -i«/(l-0l/2}. 18. - -en '-^ '-.
19
19. 2, - 1 en - 3. 20. - 3, 5 en 6. 21. a, 2a en 3«.
22. 5, 1 en 3 ± /. 23. 4. 24. |. 25. la en ifa.
26. - 1, 3, - 3 en i zb i ïV 3. 27. ± 2l/(3 - K?). 28. ± 1,
±{1 + v/5) ± iVm - 2K5) ±(1 - 1/5) ± «1/(10 4- 21/5)
— en ;i .
4 4
29. 8 en 80. 30. 5 en —6. 31. Het kleinste getal kan zijn:
3, 8(— i + i /1/3), - 1^29 en (i ± I /l/3;i^29. 32. 20.
33. ± 1, =t /, O, ± ^ en ± fi. 34. 5000 en — 7096. 35. O en ± 5.
06. J= «< en .
c
„„ « + VV--4ft + 8) ± l/{2a2 _ 46 _ 8 + 2aV/(a' — 4è +8)}
d/. I en
a — l/(a^ — 4& + 8) ± ;/{2a^ — 4^ - 8 — 2aV/(«' - 46 + 8)}
4 •
38. ± i en drie wortels — 1. 40. ± 3 en ± 1.
Algemeene Herhaling.
Bldz 166 en vervolgens
& + l+]/(-36^ + 2& 1-1) 3±]/3 4|/3 + 11]/ 2
1. 2ft * '^- 3 • ^' •'■" 13
11K3 + 31/2 -174 + 3411/6 ,1 x y
y = ï2 , z= 3^2 • ^-^^^+7 + ^ +
-r — ± 1?/ — — 1 1/ yx^ + ~T "f" 6) i> '"-l i^^^^' .'/^ ^. 1 is. [Verandert men
00 v \
den vorm in 2{uv — l/(»^ — l)(y^ — 1)}, dan vindt men f" )•
5. -It- 1+1/3)1/(58-411/2). 6. 276. 7. ^a\a-hY''{a+hY''.
8. -^{;i««»&*»(a --- hy\ 9. lOf dag. 10. 1/2(5 + 21/2 - 1/3).
^^"3i:V-(329±120K7) j2 ^ j_ ^ ^_ ^.^^^ ^.
^ O -^ , ac — hc + hd ^ ^ , , oc — bc — ad ^
ld. üe eerste 5 r^ — l^v de tweede 5 }-§ L.
a^ — 52 ' ^2 __ ^2
14. - 8064 ; + J^ ,3^3, + ^^V^, + ^f^ i?-9. 15. a + ft.
16. a'^ft^^g^ + 4f)(3a - 4c); u{x — \Y {x + l)^ {x'' + l) {x'' — x -\- \) X
Xix^' + x^l) {X* + 1) ; [x^ + 3x+5) {x''—^x + 5) ; {x—2) (ar-3) (x— 5) ;
f^^°-^ + 7'- - («-±1^7. 18. (.- 1 + VmV2 + VZ-V^).
X z= \ lil O I 24
19. 72. 20. Onmogelijk, waarom ? 22. rhr\ Tii T-
?/ = — Hl ' I — Hl — i
20
/p ^^x^y 2 2
23. 1. 24. i -■ 25. — Vxzo, als xyz>v'^ is en — l/?)w
«t». i. «^ ^^_^ V ^ y
als xj/^ < t;^ is. 26. /> = \r K[8 - 2l/{9 + 1/5 + 1/(30 - 6K5)}].
27. Spi/a + t^'TS. 28. 33iL., 2.5L., 41|L. 29. i 51/2 en ±il/6 ;
±2l/(25-2tl/3) en ±2l/(l+2il/3). 30. — 9c(o.+ö-c){l/(a+2&)+l/i}.
31. _ |,^8(a* - «2&' + 6y («2 + aft + ft^). 32. Geen wortel.
33. {x 4- 2) (2r 4- 1) (a; - 3) (3x - 1).
34. ^y(^.+i_^«+.) • ^o- ^- ^t>- - 1/ '^•
37. ahx"" - {a^ + 6^)^ + ab = 0. 38. - 1, — 3, 2, -1 en - ^.
« ^ .^ y, ^ <ib ab
39.7. 40. a; = 4, ?/ = l. 41. ic=-xi;. '/ = 1-
43. ^ ^ab{a + b) • ^^'' De^§30^
— 1 + 1/5 ± j KlO + 21/5 _ 1 _ 1/5 ± i KlO-21/5
44.1^^2, 1 ■ en ^ ;
± i, ± -Kl/3 + i) en ± i(l/3 - r. 45. i-
^^ l/(«' - ö^) + l/(a-^ - c^) + l/(a + &) (« + c) + 1/ (g — ?>) (a - c)
46. ^qr^^ .
_ 1 '^lizl _ 2(3w-l)(m — 1)
*"• ^~ 2m— r ^~ m{2m - ï)' ^ ~ m{2m - 1)
48. i>=± 1/(21/2 + 21/10). 49. 6 K.M. en 5 K.M. 50.10.
61. 1/(6 + 21/3). 52. (.r+ 1 -il/3)^x + l+il/3)2(:c-2)2.
53. i(i^54 - iV27) ; i(t^72 + 1V8) ; ï(iV125 - iV5). 54. 5 en 9.
55. 36 en 30 M. 56. 5. 57. 500 M, 700 M. en 900 M.
bS. ^ ^S''a''b\ 59. KI/ 10 -1/2). 60. ïVK6.
61. A in 300 sec, B in 360 sec. (Verander 1670 in 1760). 62. 1/(1 + x).
(Verander den noemer der eerste breuk in 1/(1 — x) en zet tusschen de
accoladen een deelteeken). 63. — ^— r^ — _ m2 t^^^- 64. ttIiz-c**-
65.
{a^b-2b]/a){B2a''Va+16a%^b-\-8a*bhyd^b*+4:a%*+2ab''i^a^b^+b^T^b'')
Ma^ - b^
66. ± 6 en ± 2(1/3 + il/5). 67.20. 68.6. 69. AB = 36 K.M.,
De eerste per uur 4| K.M., de tweede 6 K.M. 70. Stel x = i/ — 1|.
Men zal vinden : x = 2, — 5, — H ^^ i il/39.
P.,. -ar.
LEERBOEK DER ALGEBRA.
I
LEERBOEK
DER
ALGEBRA
MET VRAAGSTUKKEN
DOOR
H. A. DEEKSEN en G. L. S. H. DE LAIVE,
Leeraren aan de Hoogere Burgerschool te Nijmegen.
DERDE DEEL.
ZUTPHEN,
W. J. THIEME & Co.,
1899.
I
INHOUD.
Bladz.
Over de oplossing van n vergelijkingen met n onbekenden,
waarvan minstens één vergelijking van den tweeden of
hoogeren graad is 1
Twee vergelijkingen met twee onbekenden, beide van den
tweeden graad 5
Invoeren en verdrijven van wortels bij de oplossing van ver-
gelijkingen van hoogeren graad met twee of meer onbekenden 8
Vergelijkingen met kunstgrepen 10
Gemengde opgaven 31
Vraagstukken, die aanleiding geven tot vergelijkingen van
hoogeren graad met meer onbekenden 34
Ongelijkheden 39
Onbepaalde vergelijkingen 46
Reeksen,
Rekenkundige Reeksen 61
Meetkundige Reeksen 68
Logarithmen 81
Logarithmische en Exponentiëele Vergelijkingen 106
Gemengde opgaven 122
Samengestelde Interestrekening 124
Permutaties en Combinaties 145
Rekenkundige Reeksen van hoogere orde 154
< lemengde opgaven 164
VERBETERINGEN.
Bladz, 5 regel 13 v. o. staat: ?/; lees: y'.
„ 6 „ l V. b. , welks ; lees : waarvan de.
,; 46 „ 9 V. o. „ den ; lees : dan.
, 91 , 4 V. o. , 0,00081; lees: 0,30081.
„ 109 , 15 V. o. , ^; lees: ^.
„ 138 „ 3 V. b. „IV; lees: VI.
HOOFDSTUK I.
Over de oplossing van n vergelijkingen met
n onbekenden, waarvan minstens één ver-
geliijking van den tweeden of hoogeren
graad is.
Bén vergelijking van den tweeden graad en één
of meer vergelijkingen van den eersten graad.
219. Nemen wij de vergelijkingen:
\ 3a;' — 2xy -\- 4tf — 10a; — 12?/ — 7 = O (1)
/ 5a; — 2^/ — 5 = O, (2)
dan zullen wij nagaan, welke der vroeger behandelde methoden
het meest geschikt is, om een der onbekenden te elimineeren.
Wanneer wij de methode van optelling en aftrekking willen
volgen, kunnen wij in de vergelijkingen (1) en (2) de coëffi-
ciënten van X aan elkaar gelijk maken. Wij vermenigvuldigen
daartoe beide leden van vergelijking (2) met 2, en tellen beide
leden van de komende vergelijking op bij de overeenkomstige
leden van vergelijking (1) :
3a;* — 2a;i/ -f 42/' — 10a; — 12?/ — 7 = 0 (1)
10a;— 4«/— 10 = 0 (2)
op
Sx'' — 2xy + 4.y^ -16y — 17 = 0 (3)
Daar in vergelijking (3) de onbekende x nog voorkomt, is
deze manier niet geschikt voor de eliminatie van x.
Evenmin is het mogelijk met deze methode de onbekende y
te elimineeren.
De methode van optelling en aftrekking is dus in dit geval
niet geschikt, om een der onbekenden te elimineeren.
Willen wij de methode van gelijkstelling toepassen, dan moeten
wij in beide vergelijkingen x als eenige onbekende beschouwen, dus
(1) rangschikken naar de afdalende machten van x als volgt:
Derksen en de Laive, Alg. III. 1
3^' — {2y -f 10) a; + Ay' — \2y — l = O,
en hieruit x oplossen :
. = ^_H±iKf-?ï±i«2-4.*l^l^f^{. (4)
Deze twee waarden van x moeten nu beide gelijk gesteld
worden aan de waarde van x uit vergelijking (2) :
Daar de vorm onder het wortelteeken in (4) niet altijd een
vierkant is, zal men in de meeste gevallen vergelijkingen
moeten oplossen, waarbij de onbekende onder het wortelteeken
voorkomt ; dus :
Ofschoon deze methode ons tot het doel kan leiden, is zij niet aan
te bevelen, omdat de oplossing der vergelijkingen te lang duurt.
Willen wij de methode van substitutie toepassen, dan drukken
wij uit vergelijking (2) een der onbekenden uit in de andere,
en substitueeren de gevonden waarde in vergelijking (1).
Omdat in vergelijking (2) de onbekende y den kleinsten coëf-
ficiënt heeft, leiden wij uit (2) af :
y = ^-^. (6)
Daar wij voor y een vorm zetten, die van den eersten graad
is naar x, zal door die substitutie een vergelijking ontstaan,
die van den tweeden graad is naar x ; n.1. :
a^_2^ . ^JSZlD + 4 . 25M_io^_.i2 . 5(2^_7=o. (7)
Ij 4 a
Herleiden wij deze tot de gewone gedaante, dan ontstaat :
-<^ Yï*^ ^ ¥TT ^1
waaruit volgt:. = H±iK(|-:-f)
.^ = |5 ± ^1^1/(85^ _ 23. 192)
/Y* • 8 5 — I— 5 3»
a;i=|f-}-f f of 3 ; waarbij blijkens (6) behoort : «/i= — ^ of 5 ;
aJa = if ; waarbij blijkens (7) behoort : y^ = ^^^ = — ff.
Aan het stelsel vergelijkingen (1) met (2) voldoen dus de
stellen wortels :
2/ = 5 1 -n-
Uit deze oplossing blijkt, dat de methode van substitu-
tie moet toegepast worden, indien men één verge-
Ijjiiing van den eersten graad en één van den tweeden
graad, beide met twee onbekenden, moet oplossen.
Opmerking.
220. Wij vonden hier twee stellen wortels ; dit aantal is gelijk
aan het produkt der graadgetallen van de gegeven
vergelijkingen.
Dit komt, doordat de vergelijking (7), die na de eliminatie
van y ontstaan is (resulteerende vergelijking), van den
tweeden graad is.
Het is echter zeer goed mogelijk, dat de som van de coëf-
ficiënten van de tweede macht van de onbekende in de resul-
teerende vergelijking nul is. Dan is deze vergelijking van den
eersten graad, en dan voldoet dus slechts een stel wortels aan
het gegeven stelsel.
Voorbeeld :
\Sx^ — 22xy -h lö^' = 27 (1)
\ 2a; — 3i/ = 3 (2)
Uit (2) volgt:
_3(l + y)
. = —2—. (3)
Substitueert men deze waarde in (1), dan ontstaat de resul-
teerende vergelijking :
8.9il+^^_22,?ü^ + 15,^ = 27
18(1 4- yf - 33y (1 + y) + 15y^ = 27
3/6(l + 22/ + y^)-ll^(l+2/) + 5r=9
6H-12y+6y^-lly-ll^ + 5/ = 9
?/=3,
en dus blijkens (3): x = ^^^-^^ of 6.
221. Heeft men een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbe-
kenden, waarbij één vergelijking van den tweeden graad en de
beide andere van den eersten graad, dan handelt men als volgt :
Uit de vergelijkingen van den eersten graad drukt men twee
der onbekenden in de derde uit, en substitueert de gevonden
waarden in de vergelijking van den tweeden graad.
(1)
(2)
(3)
Voorbeeld :
Bepaal drie getallen, die met gelijke verschillen opklimmen,
zoodanig, dat de som van hun vierJcanten 83 is, tei'wijl de
som van Smaal het eerste, 2mmil het tweede en Afmaai het
derde getal 4:1 is.
Oplossing :
Noem de getallen x, y en z, dan zal :
y — x=-z — y, of
x-\- z^=2y
3x -^ 2y -\- 4.Z = 47
We drukken uit (1) en (2) x en z uit in y; daartoe schrijven
wij deze vergelijkingen in de gedaante :
\ x-{-z = 2y (1)
I3x -^ 4:Z = 4:7 — 2y, (2)
waaruit volgt : \x==10y — 47
(z = 4:7 — 8y.
Substitueeren wij deze waarden in (3), dan ontstaat :
(lOy — 47)' + 2/' + (47 — Syf = 83
100/- — 940y 4- 2209 + ƒ + 2209 — 752^/ + 64?^' = 83
165^ — 16922/ -f 4335 = O
y— 66 ^^y\ KK-2 n j
55"'
11
2/ = W ± iV^555 (282' - 289 . 275)
^^±-^1/1282'
y = 'Tf^-^V i^ö^- - (282 + 7) (282
y = \-i ± -i^V{2S2' - 282' + 7"^).
y^ = 5^, waarbij behoort Xi = ^^ — 47 of 5^^,
en 2:1 = 47 —
yz = 5, waarbij behoort x-i = 50 — 47 of 3,
en ^, = 47 — 40 of 7.
De gevraagde getallen zijn dus :
7)1
289 /t58 .
6 5 ^'5'Z >
X=b-^\
3-
y = Hi
5.
0 = 4f|
7.
Opgaven.
-• /
4.
b.
x-\-y = — 6.
xy = — 2592 ;
x^ -\- xy -\- y^ = 63.
x — y= — ^;
x'' + if = 500
x — y
ax -\- by = a^ -\- ö^
2 2 " T,"
X — y —Cl' — o ;
x^ + xy -\- z' = 12
^x -\-2y— 0=4
X —^y-\-4:Z =7
^ a; — «/ = 24.
i a;y = 4212.
I a;- + «/' = 125.
/ xA-y = h.
{x-^4:y-\-(y-8f^b92
X — y =8.
\ 2x-\~Sy = 5a — b
( x^ +y- =2 (a' + b%
xr -\-xy — y'^ -]- z^ = — 10
\ 2x +dy-\-bz =0
Sx —4y = 18.
Twee vergelijkingen met tv/ee onbekenden, beide van
den tweeden graad.
222. Laat gegeven zijn de vergelijkingen :
\ Sx' — hxy + 7r — 2a; 4- 5«/ — 4 = O (1)
/ — 2oif -\- 2>xy — 5 ƒ + 6ri' H- 2^/ 4- 3 = 0. (2)
Om weder de methode van substitutie te kunnen toepassen,
zullen wij uit (1) en (2) eerst een nieuwe vergelijking afleiden,
die ten opzichte van één der onbekenden van den eersten graad is.
Daar de coëfficiënten van x'^ gemakkelijker gelijk te maken
zijn dan die van «/," zullen wij beide leden van vergelijking (1)
met 2 vermenigvuldigen, en beide leden van vergelijking (2)
met 3, en daarna optellen :
Qx' — lOxy + 14/ — 4;^; -f 10^ — 8 = 0. (1)
— ex^ + 9xy — Iby^ + 18^ + 6i/ 4- 9 = O (2)
op
— xy — y" + 14;r+16^4- 1 = 0. (3)
Uit deze vergelijking, die van den eersten graad is naara?,
lossen wij o; op :
— xy -\- lix =-y' — 16?/ — 1.
(_y + 14)^ = /_16^-l
y" — 16?/ — 1
2/+ 14
(4)
6
Voor X vinden wij dus een breuk, welks teller van den
tweeden graad is naar y, terwijl de noemer van den eersten
graad is naar y,
Substitueeren wij in (1) voor x de waarde (4), dan ontstaat
de vergelijking :
{U-yf ^y- U-y ^^y ^- U-y + ^^ ^^^^
Vermenigvuldigen wij, om de breuken te verdrijven, beide
leden van deze vergelijking met (14 — yY, dan ontstaat :
3(/ — 16y — ly — by (ƒ — 16y — 1) (14 — y) +
+ (7/--f5«/-4)(14-^r-2(r-16|/-l).(14-^) = 0. (5)
Deze vergelijking is van den vierden graad naar y ; en zulke
vergelijkingen zijn in het algemeen met behulp der lagere algebra
niet op te lossen. (Vraag: Wanneer wel?)
De reeds in Deel II (§ 211) aangehaalde eigenschap: Een
vergelijking van den n^^'^ graad mei één onbekende^ heeft n
wortels, toont ons, dat vergelijking (5) vier wortels zal hebben ;
wij zullen deze «/i, ^2, y-s, yi noemen.
Bij elke waarde van y behoort blijkens (4) slechts één waarde
voor X. Noemen wij de bij «/i, y-zi 2/3, «/t behoorende waarden
respectievelijk x^, x-,, a?3, x^, dan voldoen dus aan (1) en (2)
de volgende stellen wortels:
00 — OOi OO2 00^ 00^
y = yAyAyAyi'
Opmerking.
223. Uit deze oplossing ziet men, dat aan twee vergelijkingen met
twee onbekenden, beide van den tweeden graad, in den regel
vier stellen wortels zullen voldoen. Dit aantal is gelijk aan
het produkt der graadgetallen van de gegeven ver-
gelijkingen.
Het is echter mogelijk dat in de resulteerende vergelijking
(5) de coëfficiënt van y'', soms zelfs nog meer coëfficiënten ver-
dwijnen. Dan levert vergelijking (5) minder dan vier waarden
voor y op. Het aantal stellen wortels bedraagt dan ook minder
dan vier.
Dit zal b.v. het geval zijn bij de volgende vergelijkingen :
( Qx^ — l^xy^ 6 ƒ + 22a; — 23«/ — 18 = O (1)
\ —éx' + Uxy — 12y' + 2x -^ y— 7=0. (2)
Vermenigvuldigt men beide leden van (1) met 2 en van (2)
met 3, en telt men op, dan wordt de coëfficiënt van x^ gelijk nul :
12ar' — 26xy -f- 12/ + 44a; — 46^ — 36 = O (1)
—12a;- + i2xy — 36^ + 6a; + 3«/ - 21 = O (2)
op
Uxy — 24r 4- 50a; — 43y — 57 = O
24/ + 43y 4- 57
a; = . (3)
16ij + 50
Substitueert men deze waarde in (2), dan ontstaat :
^24/ + 43«/ + 57Y , ., 24/ + 43y-f57
_ /24/ + 43, + 57|
V 16y + 50 j^'-^y
16// + 50 y ' ^* 16^ + 50
,„ .. , „ " 24/ + 43w 4- 57 , ^ ^
-1%- + ^- 16, + 50 +^-^-Q'
of na verdrijving der breuken :
-4.(24/+43y-f57r4-(14//4-2.)(24rH-43f/+57)(16y-h50)+
+ (-12/4- r-7)(162/+50r=0.
Ontwikkelt men het eerste lid van deze vergelijking, dan
wordt de coëfficiënt van /:
— 4 . 24' 4- 14 . 16 . 24 — 12 . 16' = 0.
De coëfficiënt van ?/'' wordt dus nul^ zoodat de vergelijkingen (1)
en (2) niet vier stellen wortels hebben.
Men mag dus zeggen : het aantal stellen wortels, dat voldoet
aan twee vergelijkingen met twee onbekenden, beide van den
tweeden graad, bedraagt op zijn hoogst 2 X 2 of vier.
224. Met behulp der hoogere algebra kan bewezen worden, dat
het aantad stellen wortels, die aan twee vergelijkin-
gen met twee onbekenden, respectievelijk van den
graad p en q, voldoen, op zijn hoogst pq bedraagt.
Evenzoo kan bewezen worden, dat het aantal stellen
wortels, die aan drie vergelijkingen met drie onbe-
kenden, respectievelijk van den graad ?>, q en r^
voldoen, op zijn hoogst pqr bedraagt.
225. De in de voorgaande §§ behandelde methode van substitutie
zal blijken niet altijd de meest eenvoudige te zijn, wanneer
men vergelijkingen van hoogeren graad met meer onbekenden
wil oplossen. In vele gevallen mag men ze zelfs niet eens
toepassen, daar de resulteerende vergelijking met één onbekende,
waartoe men na de substitutie geraakt, dikwijls van hoogeren
graad is dan van den tweeden.
De meest voorkomende methoden, waarop vergelijkingen, van
hoogeren graad met meer onbekenden, of zoogenaamde verge-
Ijjkingen met kunstgrepen opgelost worden, zullen op de
volgende bladzijden besproken worden.
Soms moet men dan beide leden van twee vergelijkingen
met elkaar vermenigvuldigen of op elkaar deelen. Daar hierdoor
wortels kunnen ingevoerd of verdreven worden, zullen wij eerst
behandelen :
Invoeren en verdrijven van wortels bij de oplossing
van vergelijkingen van hoogeren graad met
twee of meer onbekenden.
I. Invoeren.
226. 1. Vermenigvuldigt men de
overeenkomstige leden van:
\^2x — b = ^y — l (1)
/3^ — 2 = 4ic4-6 (2)
met elkaar, dan ontstaat een nieuwe
vergelijking (produktvergelij-
king):
{2rr-5)(3y-2)=(3^-7)(4a^+6), (3)
die van den tweeden graad is.
Lost men (3) op met (1), dan
voldoen daaraan meer stellen wor-
tels, dan aan (2) met (1).
Immers, stelt men beide leden
van (1) gelijk aan nul ; en lost
men deze vergelijkingen op:
2a; — 5 = O en 3^ — 7 = O
x = 2^, y = 2i,
dan vindt men een stel wortels,
die wel voldoen aan (1) met (3)
maar niet aan (1) met (2).
Dit stel wortels is dus ingevoerd.
Had men (3) met (2) opgelost,
dan zouden die wortels ingevoerd
zijn, welke men verkrijgt, als men
beide leden van vergelijking (2)
gelijk nul stelt ; dus :
3?/ — 2 = O en 4a; -f 6 = O
y
ï»
II. Verdrijven.
1. Zijn de leden eener verge-
lijking deelbaar door de overeen-
komstige leden eener andere ver-
gelijking, zooals :
i(2^-7)(^-2)=(3^-5)(2a;+3) (1)
i x—2 = ^—b, (2)
en voert men de deeling uit, dan
ontstaat de vergelijking (quo-
tientvergelijking) :
2^ + 3y — 5 = 2rr — 5«/ + 4, (3)
welke verder met de eenvoudigste
der gegeven vergelijkingen, dus
met vergelijking (2) (deeler-
vergelijking) wordt opgelost.
Men vindt dan echter minder
stellen wortels, dan wanneer men
(1) met (2) oplost.
Immers stelt men beide leden
der deelervergelijking (2) gelijk
nul, en lost men deze vergelij-
kingen op:
x — 2 = 0 en3?/ — 5==0
^ = 2 y=H,
dan vindt men een stel wortels,
die aan (1) met (2) wel voldoen ;
maar niet aan (2) met (3). Dit
stel is dus verdreven.
9
Regel. Vermenigvuldigt
men beide leden van twee
vergelijkingen met meer
onbekenden met elkaar en
lost men de produktverge-
lijking op met een der
gegeven vergelijkingen,
dan voert men de wortels
in, die men verkrijgt, als
men beide leden der laatste
vergelijking gelijk nul stelt.
2. Bevat een der leden van
de gegeven vergelijkingen de on-
bekende niet; b.v.
^3^4-5 = 8 (1)
\2x^l = y + ^, (2)
en lost men de produktvergelij-
king :
(3y + 5)(2^-h7) = 8(^ + 9) (3)
op met vergelijking (1), dan mag
men beide leden van (1) niet
gelijk nul stellen.
Een der vergelijkingen:
3^ -1-5 = 0 en 8 = 0
is immers valsch.
Er worden dus geen wortels
ingevoerd, als men (8) oplost met
(1), wel als men (3) oplost met (2).
Regel. Lost men een pro-
duktvergelijking op met die
vergelijking, waarin een der
leden geen onbekende be-
vat, dan wordt er geen stel
wortels ingevoerd.
Regel. Zijn beide leden
eener vergelijking deelbaar
door de overeenkomstige
leden eener andere verge-
lijking, en voert men de
deeling uit, dan ontstaat
een nieuw^e vergelijking.
Lost men deze quotiënt-
vergelijking op met de dee-
lervergelijking, dan worden
die wortels verdreven, wel-
ke men verkrijgt, als men
beide leden der deelerver-
geiyking gelijk nul stelt.
2. Bevat een der leden van de
deelervergelijking de onbekende
niet ; b.v.
(2^-7)(3y-10) = 6(2^-3) (1)
3^-10 = 8, (2)
en lost men de quotientvergelij-
king :
2x-l=l{2y-2,) (3)
op met de deelervergelijking (2),
dan mag men beide leden van
de deelervergelijking niet gelijk
nul stellen.
Een der vergelijkingen :
32/ — 10 = O en 8 = O
is immers valsch.
Er worden dus geen wortels
verdreven.
Regel. Lost men een quo-
tientvergelijking op met
een deelervergelijking, dan
wordt geen stel w^ortels
verdreven, wanneer een der
leden van de deelerverge-
lijking geen onbekende be-
vat.
10
Opmerking.
Bij de voorgaande regels is ondersteld, dat de beide verge-
lijkingen geen breuken bevatten. Bevatten ze echter wel breuken,
of ontstaan er breuken, wanneer men beide leden eener ver-
gelijking deelt op de overeenkomstige leden eener andere
vergelijking, dan gaan de bovengenoemde regels niet meer
onveranderd door. Zie hierover § 230.
Vergelijkingen met Kunstgrepen.
227. Op de volgende bladzijden worden eenige methoden behandeld,
volgens welke sommige vergelijkingen met kunstgrepen kunnen
worden opgelost. Doorgaans gebruikt men echter meer dan één
methode bij de oplossing van een stelsel vergelijkingen.
A. De methode van optellen en aftrekken.
228, Deze methode past men toe :
a. Wanneer er een vergelijking met slechts één onbekende
ontstaat, als men de overeenkomstige leden der gegeven ver-
gelijkingen bij elkaar optelt of van elkaar aftrekt.
Voorbeeld :
\ x' + 2x1/ -f- 2 ƒ = 29 (1)
I xy -{- f-\- X = 13. (2)
Vermenigvuldigt men beide leden van vergelijking (2) met
2 en trekt men af, dan ontstaat :
x^-\-2xi/-\-2f =29 (1)
2xy + 2/ -\-2x = 26. (2)
af
•*/ — ^00 — Oj
of : x'—2x—3= O, (3)
of: {x — S)ix-\-l) =0,
waaruit volgt : x — 3=0, (4)
;z; 4- 1 = 0. (5)
Daar vergelijking (3) met (2) of (1) moet opgelost worden,
zullen de vergelijkingen (4) en (5), die beide zijn verkregen
uit (3), elk afzonderlijk moeten opgelost worden met (2) of
met (1). Men verbindt (4) en (5) elk met (2), omdat deze
kleinere coëfficiënten bevat dan (1), en krijgt daardoor twee
nieuwe stelsels vergelijkingen ; n.1. :
11
^^^- / a;y + y^ + :r=13 (2) ^" ^^'^- / :rz/+/ + x=13. (2)
(I). Substitueert men iC = 3 in (2), dan ontstaat de vergelijking :
^y + f+ 3 = 13
/ + 3y — 10 = o
(yH-5)(y-2) = 0;
dus : 2/i = — 5
2/2 = 2,
zoodat aan het stelsel (I) voldoen :
a; = 3
3.
2/ = — 5
(ü). Substitueert men a; = — 1 in (2), dan ontstaat de vergelijking
— y-\-y'~ 1 = 13.
zoodat aan het stelsel (II) voldoen :
07 = — 1
1 - ^1^57
Aan het gegeven stelsel (1) met (2) voldoen dus ;
x = ^
3
— 1 —1
y = -h
2
i + iV^57 i-iK57
Wanneer door optelling en aftrekking een vergelijking van
lageren graad ontstaat. Om haar te kunnen toepassen, moeten
de coëfficiënten der termen van den hoogsten graad in beide
vergelijkingen dezelfde of tegengesteld zijn.
Voorbeeld :
o6- — hxy -\-2y- -\- Qx — y = — 5 (1)
x' — bxy -f 2y' — 2x-\-9y = — 7. (2)
Door aftrekking ontstaat:
8x — lOy = 2,
of 4:X— by = l. (3)
Nu moet vergelijking (3) opgelost worden met (2) of met (1).
Wij lossen haar op met (1). Daar vergelijking (3) van den eersten
graad is, is de methode van substitutie de aangewezene. We
schrijven daartoe (3) als volgt:
l + 5y
en substitueeren deze waarde in vergelijking (1), waardoor ontstaat :
1.
4.
12
(1 + 52/r - 20y (1+5^/) + 322/'^ -I- 24 (1 + 5y) - 16«/ = - 80\16
l-f 10^+ 25r — 202/ — 1002/' + 32r + 24 +120?/— 162/+80=0
— 431/' + 942/ + 105 = 0.
^#2 94^/ 105 n
,„ . „./94'- , 420
y = if±Al^(94^ + 420.43)
o , 1+5.3 ^ ,
2/i = 3 ; en dus a;, = of 4,
4
^2= — II; en dus X, = ^ ~ ^ of — f|.
Aan het stelsel (1) en (2) voldoen dus:
x = 4: I —II
2/ =3 I -If ■
Opgaven.
x^-{-2y-— x^ij = 2S \x--{-y--^x^y=176
Sx' — 2y'-^hx—ij= 1; }x^ -f^a: — y = iSQ,
^' + r + a^ + 2/ = 510 ^ 6{x + y) + ^xy = 136
x^-[-y'^ — x — y = hiO; { 7{x -\- y) — 2xy = 32.
x' + xy — y' = — Sl J1352/— 6:z;'=8ir^
x^ — xy -\- y^- = 49 ; ( 4by — 8^' = Qx.
a^(2/ + 2) = 25 j(^-«)' + (^-«^)(2/-*) + (^-^r = ^E|
y{x-4)= 3. oM-è' , , ,
5. Het aannemen van nieuwe onbekenden.
229. Men moet zorgen, dat men evenveel nieuwe onbekenden aan-
neemt, als men oorspronkelijk had.
Voorbeeld :
j \ x'^-2f = h9 (1)
\^x^— y'= 2. (2)
Men neemt x^ en y' als nieuwe onbekenden aan, èn stelt
X? = a en 2/^ = J, waardoor men verkrijgt het stelsel :
^ a -I- 2& = 59 (1)
^3a— 6= 2. (2)
13
Dit selsel van twee vergelijkingen van den eersten graad
met twee onbekenden heeft tot wortels :
U= 9 (3)
h = 2b. (4)
De waarden voor x, die aan (8) voldoen, zijn x = ±S.
De waarden voor y, die aan (4) voldoen, zijn «/ = ± 5.
Elke wortel van (3), verbonden met een wortel van (4), geeft
een stel wortels, die aan (1) en (2) voldoen.
Dit kan op vier manieren geschieden:
Xi= 3, yi= 5;
X.2 = 3, y.z = — h
0^3 = — 3, 2/3 = 5
0^4 = — 3, «/4 = — 5.
De stellen wortels, die aan (1) en (2) voldoen zijn dus:
x = S \ 3 1—81—3
«/ = 5 I —5
5 I —5.
l yz -\- xz — xy = bxyz (1)
2. ) 2yz — Sxz -\- xy = Sxyz (2)
f — Syj5 -\- éxz — 2xy = — 9xyz. (3)
Wij merken bij deze drie vergelijkingen op, dat de termen
van de eerste leden produkten van twee der factoren x, y en
z bevatten, terwijl de tweede leden het produkt xyz bevatten.
Men deelt nu beide leden van deze drie vergelijkingen door
het produkt xyz, dan ontstaat het stelsel :
(1)
(2)
(3)
xyz
xyz
xyz
- en - als nieuwe onbekenden aan, dan
x' y z
heeft men drie vergelijkingen van den eersten graad met drie
onbekenden.
Elimineert men - uit (1) en (2), en daarna uit (2) en (3), dan
Neemt men nu
ontstaat het stelsel:
14
X y
X IJ
Elimineert men hieruit -, dan ontstaat :
y
- = 6, oi x = ^.
2 2
Vergelijking (5) geeft dan : 3 = 7, of -
(4)
(5)
waaruit volgt :
Vergelijking (1) geeft verder : 3
waaruit volgt :
y
4,
2 — i = 5, of i = — 4,
z z
Bovendien zullen aan het oorspronkelijke stelsel ook nog
voldoen a; = 2/ = 2; = O, omdat in de drie gegeven vergelij-
kingen niet anders voorkomen, dan termen, die de onbekende
bevatten.
Aan het oorspronkelijke stelsel (1), (2) en (3) voldoen dus :
x =
i
0
y^
1
0
z =
-i
0.
xy Ar xz ^ 16 (1)
3. xy + yz = l (2)
xz-\-yz — 15. (3)
Stel yz voor door a, xz door &, xy door c, dan wordt het
stelsel :
c + 6 = 16 (1)
c + a = 7 (2)
6 + a = 15 (3)
Door optelling vindt men :
2{a-\-b-^c) = 38
a-\-h-\rc =19.
(4)
Trekt men van vergelijking (4) respectievelijk de vergelij-
kingen (1), (2) en (3) af, dan ontstaan :
15
a = S oi yz = S (5)
b •-= 12 of xz = 12 (6)
c = A oi xy = 4. (7)
Vermenigvuldigt men de vergelijkingen (5), (6) en (7) met
elkaar, dan ontstaat:
xYz' = 144. (8)
Laat men vergelijking (8) in de plaats treden van een der
vergelijkingen, waaruit (8) is afgeleid, dan worden geen wortels
ingevoerd, omdat de tweede leden geen onbekende bevatten.
(§ 226).
Trekt men uit beide leden van vergelijking (8) den vierkants-
wortel, dan kan men haar splitsen in :
xyz = 12,
en xyz = — 12.
Men moet dus nog oplossen de stelsels:
(I).
(9)
'OlG£klc! '
(10)
yz =
3
(5)
xz =
12
(6)
xyz =
—
12
(10)
yz= 3 (5)
xz=12 (6) en (II).
xyz = 12 (9)
(I). Door deeling vindt men gemakkelijk, dat aan dit stelsel
voldoen : a? = 4; y=l', z = d. Daarbij zijn geen wortels ver-
dreven, omdat de tweede leden der deelervergelijkingen geen
onbekende bevatten (§ 226).
(II). Evenzoo blijkt, dat aan dit stelsel voldoen : x== — 4 ;
y = -l; z==-S.
De stellen wortels, die aan (1), (2) en (3) voldoen, zijn dus :
X = 4:
— 4
y = l
-1
z = 3
— 3.
4. Bij vraagstukken, waarin alle termen eener evenredigheid onbe-
kend zijn, krijgt men in den regel eenvoudige vergelijkingen,
als men de som der uiterste termen, de som der middelste
termen en het produkt der uiterste of middelste termen als
nieuwe onbekenden aanneemt; b.v. :
Va?i welke evenredigheid bedraagt de som der termen 24,
de som hunner tweedemachten 170 en de som hunner derde-
machten 1368?
Noem de evenredigheid :
X : y = z : u,
16
dan zijn de vergelijkingen :
xu =yz (1)
X +y -\-z -\-u =24 (2)
x'-\-y'-]-z'-\-u' = nO (3)
x'-\-y' + :^'-hu' = 136S. (4)
Stel nu xu = yz = a; x-{- u = b; y -}- z = c.
Vergelijking (2) wordt dan:
6 + c = 24 ; (5)
(3) kan geschreven worden als :
{x 4- uf —2xu-\-{y-i-zY—2yz=170;
oib'-\-c' — 4a =170; (6)
(4) eveneens als:
{x-\-u)(x^ — xu-\-u^)-{-{y-\-z){if — yz-\-z~) =1368,
of \x+u){{x-\-uY—^xu]+{y + z){{y-\-zf — ^z} = l^&%,
b (6^ — 3a) + c (c' — 3a) = 1368.
}fJ^c^ — ^a{h + c) =1368.
{b + c) {y" — bc+c^ — 3a) = 1368.
of daar volgens (5) : è -|- c = 24 is :
&' — 6c-f r— 3a = 57. (7)
Men heeft dus nu op te lossen het stelsel :
( . è + c = 24 (5)
6' + c'- — 4a =170 (6)
/ 5' — 6c + c' — 3a = 57. (7)
Daar a slechts in (6) en (7) voorkomt, en wel tot de eerste
macht, is het beste, dat men a elimineert uit deze twee verge-
lijkingen.
Na deze eliminatie ontstaat de vergelijking :
— &' + 4&C — & = 282, (8)
die in de plaats treedt voor vergelijking (7).
Men heeft dus nu op te lossen het stelsel :
( & + c = 24. (5)
j W + c' — 4.a =170. (6)
f — &'•-!- 4&c — c' = 282. (8)
Daar (5) en (8) een stelsel van twee vergelijkingen met
twee onbekenden vormen, en (5) van den eersten graad is, past
men de methode van substitutie toe, ter berekening van h en c.
Uit (5) volgt : ^> = 24 — c.
Substitueert men deze waarde in (8), dan ontstaat;
17
- (24 - cf + 4 (24 — c) c - c' = 282
— 576 -f 48c — c' -f 96c — 4c' — c» — 282 = O
— 6c' 4- 144c — 858 = 0.
— 6/ c' — 24c 4- 143 = 0.
(c — ll)(c - 13) = 0.
Hieraan voldoen :
c, = 11; dus &, = 24 — 11 of 13; en volgens (6) «, = 30:
c.,= 13; dus 6.2 = 24— 13 of 11; en volgens (6) a, = 30.
Men heeft dus op te lossen de stelsels :
( c of ?y + 2: = 11 (9) l c oi y -\- z = l2> (13)
] a oi yz =30 (10) ] a oi yz =30 (10)
>• U of x^u = \2. (11) «" W \h oi x^ w=ll (14)
{ a oi xu =30 (12) { a oi xu =30 (12)
) Aan de vergelijkingen (9) ea (10) voldoen :
y = 6 ; dus 2; = 5
en ?/ = 5 ; dus z^=Q.
Opmerking :
Dat
y = 5
6
— de stellen wortels zijn, die aan de vergelijkingen
5
\ y + z=ii
I yz = SO
voldoen, blijkt, als men y -^ z beschouwt als de som en yz als
het produkt van de wortels der vierkantsvergelijking :
X^- 11X4-30 = 0.
Aan (11) en (12) voldoen: a: = 10 en w = 3,
of : o; =: 3 en w = 10.
Elk der stellen van (9) en (10), moet gecombineerd worden
met elk der stellen van (11) en (12), zoodat aan het stelsel (I)
voldoen :
a;=10
10 1
3
3
y= 6
5 1
6 1
5
z= 5 1
6 1
5 1
6
w= 3 I 3 I 10 I 10
(II) Aan (13) en (10) voldoen : ^ = 10 ; dus « = 3
en ^ = 3 ; dus z = 10.
Aan (14) en (12) voldoen: x= 6; dus w= 5
en x= 5 ; dus w = 6,
zoodat aan het stelsel (II) voldoen :
Derksen en de Laive, Alg. III.
18
7.
10.
x= ü \
6 1
5
5
y = 10 \
■ 3 1
10 1
3
z= 3 1
10 1
3 1
10
u = 5 I 5 I 6 I 6
De volgende evenredigheden voldoen dus aan de vraag:
10:
6= 5:
3
10:
5= 6:
3
3:
6= 5:
10
3:
5= 6:
10
6:
10= 3:
5
6:
3=10:
5
5:
;10= 3:
: 6
5:
: 3 = 10:
: 6,
Opmerking. Dit zijn juist de acht manieren, waarop men
de termen eener evenredigheid kan schrijven.
Opgaven.
U5- 4' + (12 + #=657 U:r + 4r-+(2/-8f = 592
K5-a;) X(12 + ^)=-216. ' ( x-y =8.
\ x+y-h2Vix-^y) =12 ^ \x' -{- if - x - y=7^
i x'^ — ƒ =:41. ' ix -\-y -\-xy =23.
\x-^y-{- V{x + «/) = 12 \ x-^y—2Vxy—Vx-\-Vy=2
lx'-\-f =45. ■ / Vx-\-Vy =7.
\ x' + bxy — 24^^ = O
/ X + 8y = 2{x — 2y).
\ ar + iy — 2V{x^ + 4^/ + 28) = 20
/ '6x —2y =2.
!y^ z:=XZ
X -\-y -\-z =37
^' + 2/' + «' = 481.
\ X' + ï/^ + xy{x + ^) = 68
\x^^f ' = 12 + 3;r' + Sy\
C. Het met elkaar vermenigvuldigen of op elkaar
deelen van de overeenkomstige leden van eenige
vergelijkingen.
230. Men herleze daartoe 8 226.
19
Voorbeelden.
Hier volgt een voorbeeld, waarbij gedeeld wordt, en tengevolge
van die deeling wortels worden verdreven :
\x'-iy- = 2xy (1)
\x -j- 2«/ =^xy. (2)
Deelt men beide leden van vergelijking (1) door de overeen-
komstige leden van vergelijking (2), dan ontstaat de vergelijking :
x-2y = 2, (3)
welke verder met de deelervergelijking (2) wordt opgelost.
Maar nu worden de stellen wortels verdreven, die men ver-
krijgt, als men beide leden der deelervergelijking gelijk nul steil.
Wij hebben dus twee stelsels vergelijkingen op te lossen, n.1. :
1^-2^ = 2 (3) i^ + 2y = 0 (4)
^^' \x-[-2y = xy (2) ^" ^^^^- / xy=:0. (5)
(I). Daar vergelijking (3) van den eersten graad is, past men
<3e methode van substitutie toe :
Uit (3) volgt: ie = 22/ + 2.
Substitueert men deze waarde in vergelijking (2), dan ontstaat :
2y-^2 + 2y = {2y+2)y
2+iy = 2f-^2y
2y' — 2y — 2 = 0
y'-y- 1 = 0.
2/i = i + iK5;dusa;, = 3-|-K5;
2/i = ^- — il/5 ; dus x, = d — 1/5 ;
Aan het stelsel (I) voldoen dus:
x = d-\- K5 I 3 — K5
<II.) Uit (4) volgt :
x = — 2y.
Substitueert men deze waarde in (5), dan ontstaat:
-2f = 0
2/3 = 0; dus X3 ook = O
1/4 = 0; dus Xi ook = 0.
Aan het stelsel (ü) voldoen dus;
g; = 0 I O
y=0 1 O •
Indien men stellen wortels, die dubbel voorkomen, slechts
éénmaal opgeeft, dan voldoen aan (1) en (2) dus:
a; = 3+ K5|3— ]X5|0
2/ = i + 4K5 I 4-iK5 I O'
20
2. Nu volgt een voorbeeld, waarbij gedeeld wordt, en geen wortels
worden verdreven:
x^ _ 4 ƒ 4- iyz — z^= 60 (1)
x^ — Axtj 4- 4 ƒ —z^ = —l2 (2)
X + 2y — z = 10 (3)
Het eerste lid van vergelijking (1) is te ontbinden:
{x — 2ij -\- z) {x -^ 2y — z) = 60. (1)
Evenzoo kan men voor vergelijking (2) schrijven:
{x — 2tj-\-z){x — 2ij — z) = — 12. (2)
Deelt men (3) op (1), dan ontstaat:
x — 2ïj-]-z = 6. (4)
Vergelijking (4) treedt in de plaats van (1), en daar een der
leden van de deelervergelijking (3) geen onbekende bevat, wordt
geen stel wortels verdreven.
Men mag dus het stelsel (1), (2), (3) vervangen door het
gelijkwaardige (aequivalente) stelsel : *) (4), (2), (3).
Deelt men (4) op (2), dan ontstaat:
x—2y—z— — 2. (5)
Laat men vergelijking (5) in de plaats treden van (2), dan
wordt evenmin een stel wortels verdreven, zoodat men het oor-
spronkelijke stelsel vergelijkingen kan vervangen door het aequi-
valente stelsel:
x + 2y — z= 10 (3)
\x — 2y-\-z= 6 (4)
x — 2y — z = ~ 2. (5)
Dit stelsel heeft tot wortels x = 8; i/==S; ^ = 4; hetwelk
dus het eenige stel wortels is, dat aan (1), (2) en (3) voldoet.
Vermenigvuldigen en deelen geschiedt tegelijk, wanneer een der
leden van de eerste vergelijking het quotiënt, en een der leden
van de tweede vergelijking het produkt is van twee vormen,
die de onbekenden bevatten :
2x -t- Sy _ ^
Sx — 4y~^
(1)
{2x + Sy) (Sx — 4y) = 56. (2)
Door vermenigvuldiging ontstaat:
{2x H- SyY = 196. (3)
*) Men noemt een stelsel A gelijkwaardig of aequivalent met een stelsel B,
als alle stellen wortels van A ook voldoen aan B, en omgekeerd.
21
Door deeling van (2) door (1) ontstaat :
iSx-iyy=l6. (4)
Het stelsel (1) met (2) mag vervangen worden door (3) met (4).
Nu kan men vergelijking (3) splitsen in :
2x + Sy= U (5)
2x-^3i/ = — 14. (6)
Evenzoo kan men vergelijking (4) splitsen in :
Sx — 4y = 4: (7)
Sx — 4:y = — 4:. (8)
Nu moet men elk der vergelijkingen (5) en (6) combineeren
met één der vergelijkingen (7) of (8) ; echter zoodanig, dat
zoowel het produkt van 2x -\- ?>y en 3a; — 4y, als het quotiënt
dier vormen positief wordt.
Men combineere dus (5) met (7), en (6) met (8), waardoor
men de volgende twee stelsels verkrijgt :
^2x+?>y = U (5) [2x+?>y = -U (6)
^^•/3a; — 4^/= 4 (7) ^ ^' Hx — 4.y==— 4. (8)
Aan stelsel (I) voldoen iC =-- 4 en ?/ = 2.
Aan stelsel (II) voldoen x = — 4 en y = — 2.
Aan het gegeven stelsel (1) met (2) voldoen dus :
ic = 4 I — 4
y = 2\-2.
4. Soms deelt men beide leden eener vergelijking op de overeen-
komstige leden eener andere vergelijking, ten einde een gemeen-
schappelijken factor weg te laten vallen :
^ a;^-j-^=35 (1)
\xy{x + y) = ?>^. (2)
Deelt men beide leden van vergelijking (1) door de overeen-
komstige leden van vergelijking (2), dan ontstaat :
x^-xy±l^ ■
Deze vergelijking lost men verder met (1) op.
Nu kan men gemakkelijk bewijzen, dat uit de evenredigheid :
a c
b~d
a-\- Sh a — b
volgt: 74^M = 7^d'
22
Past men deze eigenschap toe op de evenredigheid (3), dan
ontstaat :
X' — xy -\-y^ -\- 2>xy x^ — ocy -\- y- — xy
7 + 3.6 " "~ 7 — 6 '
of -W—^Y~' ^^^
Daar beide leden van vergelijking (4) tweedemachten zijn,
kan men haar splitsen in :
£±^= ^of^=U2/. (5)
—^ = p^ of 2/ = Hx. (6)
De vergelijkingen (5) en (6) zijn beide afgeleid uit (3). Daar
(3) verbonden is met (1), moet men elk der vergelijkingen (5)
en (6) verbinden met (1).
Men kan dus het oorspronkelijke stelsel splitsen in de vol-
gende twee stelsels.
\ X = ly (5) \ y =Hx (6)
^^' W-\-y' = S^ (1) ^ ^' (x'-\-y' = 3b. (1)
(I). Substitueert men (5) in (1), dan ontstaat de vergelijking :
f= 8,
waarvan volgens § 213, Deel II, de wortels zijn:
2/i = 2 ; waarbij behoort : ari = 3 ;
y,=2{—^-]-^iVS) of — l+^K3; waarbij behoort: ^2=— l-|-H-l|i]/"3;
y,=2{—^—^-iVd) of — 1— il/3; waarbij behoort: Xs=—li—l^iVS.
(II). Substitueert men (6) in (1), dan ontstaat de vergelijking:
3 6^3 qe
x'=8;
waarvan volgens § 213, Deel II, de wortels zijn :
a;4 = 2 ; waarbij behoort : y4 = S;
x,=2{—:^-]-^iVQ) of — l-f iV3 ; waarbij behoort : y,z=—l^-\- l^iVS •
Xe=2{—i—iiVS) of — 1— iT/3 ; waarbij behoort: i/o=— 11— UiVS.
De stellen wortels, die aan het oorspronkelijke stelsel voldoen,
zijn dus :
x=3 I —U-{-UiVd I — 1^— l|i]/3 I 2 I —1 + iV3 1—1 — iVS
y=2 i —1 + il/3 I —1 — iV3\3\ — li+l^il/S |— 1|— l|il/3*
Opmerkingen :
1". De vergelijkingen (1) en (2) blijven dezelfde, als men x in y,
23
en 1/ 'm X verandert. Daaruit mag men besluiten : als aan (1)
en (2) voldoen x = a en y = b, dan zullen aan datzelfde stelsel
ook voldoen x = b en y = a. Vergelijkt men de zes gevonden
stellen wortels met elkaar, dan ziet men, dat de laatste drie
uit de eerste drie kunnen afgeleid worden, door de waarden
van X en y te verwisselen.
2^'. Bij de oplossing van dit stelsel vergelijkingen (1) en (2) zijn
geen wortels verdreven, door de deeling van de beide leden van
vergelijking (2) op de overeenkomstige van vergelijking (1), omdat
in beide vergelijkingen een der leden de onbekende niet bevat.
5. Bevatten in beide vergelijkingen beide leden echter de onbe-
kenden, en deelt men ze dan op elkaar, ten einde een gemeen-
schappelijken factor weg te laten vallen, dan worden wel wortels
verdreven. De regel van § 226 gaat dan echter niet geheel
door; niet alle "wortels, -welke men verkrijgt, door
beide leden der deelervergelijking gelijk nul te stel-
len, worden dan verdreven. Dit blijkt uit de oplossing
van het volgende stelsel vergelijkingen :
\ - {x-S)iy-2) = 7i2x-'b) (1)
/ {y — 2) {^x — 2y-^h) = 2x—h. (2)
Deelt men beide leden van vergelijking (1) door de overeen-
komstige van vergelijking (2), dan ontstaat :
3^_2;y+5 = ^' ^^^
welke vergelijking men combineert met (2). De oplossing van
dit stelsel wordt aan den lezer overgelaten.
De vergelijkingen, die men verkrijgt, als men beide leden
der deelervergelijking gelijk nul stelt, zijn :
\{:y-2) i^x - 22/ + 5) - O
/ 2a; — 5 = 0.
Dit stelsel kan men splitsen in de volgende twee stelsels.
^^'- / 2^; - 5 = 0. en (XI). j 2iC-5 = 0.
(I). De wortels van dit stelsel worden verdreven, omdat y — 2 een-
factor is van het eerste lid van vergelijking (1) en 2x — 5 een
factor van het tweede lid.
(II). De wortels van dit stelsel zijn geen verdreven wortels. Ze
voldoen niet aan vergelijking (1), omdat ^x — 2y -^h geen
factor is van het eerste lid van vergelijking (1).
24
Opgaven.
\ X -\-y =&. ' ( X — y =8.
\ (x+8f-hiy + 5f = 10234 \ x' + xy= 150
/ x-]-y =21. i y^J^xy=lh.
\ xf-xSj = -12 g ^ (a; + 5) (2/ + 3) = 2f a?V
/ a;/ + x'^y = 84. * ^ 6(2/ + 3) = bxy.
1.
3.
5.
yzu = 24. ( ./ ^
^ [ x^ -\- y"^ = 28 , ^ 1 ., y — = ar.
( xy -\- xy = 12. j ^ ~ ~ ^
l{x+V^l^x%y+\yi-\-f)=I)'
\ {x —y) (^' — y^) = ^xy.
f (x' — 'u^\ (x* — v') = 4:bx''v\
( (^' — /) {x* — y') = 45a;y
D. Het eerste lid van een op nul herleide verge-
lijking kan in factoren ontbonden w^orden.
231» Wanneer het eerste lid van een op nul herleide vergelijking
in factoren ontbonden kan worden, kan deze vergelijking gesplitst
worden in twee of meer andere, die van lageren graad zijn dan
de oorspronkelijke vergelijking. Elk dezer moet dan verbonden
worden met de andere vergelijkingen van het gegeven stelsel,
waardoor men twee of meer nieuwe stelsels verkrijgt, die van
lageren graad zijn dan het oorspronkelijke stelsel.
Voorbeeld.
\ x^ — y'—7x-\-7y = 0. (1)
( xy = 2. [2] (Eindex. H. B. S. 1887).
Vergelijking (1) schrijft men als volgt :
{x — y) {x^ + xy-\-y')—l[x — y) = O
{x — y) {x" -{-xy -^ y' — 7) =0,
welke vergelijking gesplitst kan worden in :
x-y = ^ (3)
en x^ -\-xy-\- y^ — 1 = 0. (4)
Elk dezer laatste twee vergelijkingen moet nu met verge-
lijking (2) verbonden worden, zoodat men de volgende stelsels
heeft op te lossen :
25
^ \x-y=^0 (3) ^ ^^ + ^^ + ^-^_7 = 0 (4)
• / xij = 2 [2) ^ ^- \ xy = 2. (2)
(I). Aan dit stelsel voldoen :
a; = ]/2 I — K2
y = K2 I -K2.
(II.) ïelt men de leden der vergelijkingen bij elkaar op :
x'-\- xy-]-y'=l (4)
xy =2, (2)
op
dan ontstaat : x^ + 2xy 4-^ = 9, (5)
of {x+yf = ^
Vermenigvuldigt men beide leden van vergelijking (2) met
3, en trekt men de komende vergelijking af van (4), dan ontstaat:
x'+ xy^-y'=l (4)
Zxy = 6, (2)
af
x^ — 2xy -\-y^ = l^
of {x-yf=l. (6)
Het stelsel (II) wordt dus vervangen door het stelsel (5)
met (6).
Nu kan men vergelijking (5) splitsen in:
x-\-y= 3, (7)
en x-\-y= — S. (8)
Evenzoo kan men vergelijking (6) splitsen in ;
x-y= 1, (9)
en X — y=:—l, (10)
Elk der vergelijkingen, uit (5) afgeleid, moet nu gecombi-
neerd worden met elk der vergelijkingen, uit (6) afgeleid, zoodat
men de volgende stelsels heeft op te lossen ;
.TTn\^+2/ = 3 (7) \x-\-y=:~S (8)
^^^^^' I x — y=l (9) ^^^' ( x--y= 1 (9)
(IV) \^+y= 3 (7) ^ x-^y = -S (8)
Door optelling en aftrekking vindt men :
aan (III) voldoet : x= 2 met y = 1
aan (IV) voldoet : x = 1 met y =: 2
aan (V) voldoet : x = — 1 met y = — 2
aan (VI) voldoet : x= ~ 2 met y= — 1 .
Aan het oorspronkelijke stelsel (1) met (2) voldoen dus :
26
a; = K2| — |^2|2| 1| — 1 I — 2
^ = |/2 I — K2 I 1 I 2 I — 2 I — 1 •
Opmerking :
Tot dezelfde stelsels (I) en (II) komt men door de volgende
redeneering :
Men deelt beide leden van (1) door x — y. Daar door die
deeling geen breuken ontstaan, zal men den deeler x — y gelijk
nul moeten stellen, en deze vergelijking moeten oplossen met
vergelijking (2).
De quotientvergelijking x^ -\- xy -\- y"^ — 7 = 0 moet daarna
ook nog opgelost worden met vergelijking (2), zoodat men tot
de volgende stelsels komt :
m \^-i/ = o (3) pn an \^'+ocy-\-f-7=o (4)
^'^^' \ xy =2 (2) ^" ^^^^' / xy:=2 (2)
Opgaven.
\ xy — hx — 3iï/ + 15 = O \ x' + hxy -f 6/ = O
' \ > + f = 34. ' \ x^^ Qxy + <dy- = 64.
\ x'-\-2xy^ y^=2—x—y \ x^ -\- y^ — Q7x — 67y = O
( x'-\-4xy-{-4:y'=4:-^Sx-\-6y. ( x—2y=h (H. B. S. 1893).
S x?-2^x'y-2lxf+f=^ \ x-^y^4.V^^^Ty =21
' i 2x-{-Sy = 9. I 2x'-\- xy-\-y'=74:.
E. Worteltrekking.
232. Indien beide leden van een der vergelijkingen w"*" machten
zijn, splitst men deze vergelijking in n andere vergelijkingen,
en lost elk van deze met de overige vergelijkingen op.
Voorbeeld.
\ x'' — 6xy -\- 9/ — 6^ + ISy = 27 (1)
( Sx'' — 2xy — 5y =5. (2)
Bij vergelijking (1) valt op te merken, dat het eerste lid het
vierkant zal worden van x — 3^ — 3, als men er 9 bijvoegt.
Doet men dit bij beide leden, dan verandert vergelijking (1) in :
{x — 3y — Sf = 6-,
welke men kan splitsen in :
x — Sy — 3= 6 oi x — Sy = 9, (3)
en x — Sy — S = —6oix — 3y = — 3. (4)
Elk dezer vergelijkingen moet gecombineerd worden met (2),
zoodat men heeft op te lossen de stelsels :
3.
4.
27
U-=3i/-f9 (3)^„.ttM ^ = 3</-3 (4)
'^ ^* / 3a;- — 2xy—hy ^ 5 (2) ^ ^' / 3a;-— 2a;«/— 5</=5. (2)
Elk stelsel bestaat uit één vergelijking van den eersten graad
en één vergelijking van den tweeden graad, zoodat men verder
de methode van substitutie kan toepassen.
Opmerking.
Wanneer men niet direct opmerkt, dat het eerste lid van
vergelijking (1) een kwadraat wordt, als men er 9 bijvoegt, kan
men ook op de volgende wijze tot de vergelijkingen (3) en (4)
komen :
Men schrijft vergelijking (1) als volgt :
{x — SijY — 6ix — Sy)~27 = 0.
Deze vergelijking is van den tweeden graad, en als men
X — Si/ als nieuwe onbekende aanneemt, is :
x — 3y = S^ iK(36 + 108).
x — Sy = S±6;
dus : x — Sy = 9. (3)
en x — Sy= — S (4)
Opgaven.
} x' -f Sxy {x-^y) = 21— f \ x' — 3a;' + 3a; = 9
i a; + 2«/ = 4. ' / ƒ — 2ft/ + a; = 3.
i x' — 'Qxy + 9.2/' H- 2(a; — 3^/) — 15 = O
i x[y +1) = 12.
i?+i-:+--(^^-^7
X — y^ = 56
\xy{x-y) = \^. ^- ) ^_|_y^^'--^'
l x'^^y' ^z^^^xy — 2xz — ^iz=\2\
6. j 4a;' — 20a;?/ -f 25?/' = 49
\ x -\-y -\- z =9.
F. Machtsverheffing.
233. Soms verheft men beide leden eener vergelijking tot een
zelfde macht, ten einde met behulp van deze vergelijking een
meer eenvoudige af te leiden :
Voorbeeld.
ic -f y = 5 (1)
ic^ -f- y^ = 97. (2)
Verheft men beide leden van (1) tot de vierdemacht, en trekt
men er beide leden van (2) af, dan verkrijgt men :
28
x^ + ^:0^^J 4- ^xry' + 4a; ƒ + j'/ = 625 (1)
x' +?/*= 97 (2)
4a;% + ^x-y- + 4a;^' = 528
af
2j2x\j + 8a;"y + 2V = 264
ic^ {^y? + 3a;«/ -I- 2/) = 264
x\){2{x ^r yY — xy\ =264,
of, daar x-\-y=-h is : ic^/f^O — xy) = 264
icy — h^xy + 264 = 0. (3)
Deze vergelijking (3) is van den tweeden graad naar xy^ en
geeft dus twee waarden :
xy = 25 ± -^1/(2500—1056)
rr^ == 25 ± 19
a;?/ = 44, (4)
en xy^=^. (5)
Vergelijking (3) is afgeleid uit (1) en (2) ; dus moest opgelost
worden met de eenvoudigste der gegeven vergelijkingen, dus
met (1).
Nu is vergelijking (3) gesplitst in (4) en (5). Elk dezer ver-
gelijkingen moet dus nog met (1) opgelost worden. Men heeft
dus de volgende stelsels op te lossen :
i^ + ^ = 5 (1) \xAry = ^ (1)
^^^' \ xy = Ai (4) ^" ^^^^- \ xy = Q.. (5)
(I). Uit (1) volgt:
y = 5 — 00.
Substitueert men deze waarde in (4), dan ontstaat de vei-
gelijking :
(5 — x)x = 44
x"- — 5^ + 44 = 0.
^ = 2i± -^1/(25— 176).
a?! = 2^ + ^iVlbl ; dus y, = 2^ — ^iVVol
x^ = 2\ — iil/151 ; dus y.i = 21+ ^iVlhl.
Aan het stelsel (I) voldoen dus :
a; = 2^ + |^•K151 | 2j — |iK151
^ = 2i-iiK151 I 2i+iiKl51.
(II), Uit (1) volgt :
x = h — y.
Substitueert men deze waarde in (5), dan ontstaat de verge-
lijking :
29
(5 — ^) y = 6
/-52/-6 = 0
y^ = 2', dusa;3 = 3
tfi = 3 ; dus Xi = 2.
Aan het stelsel (1) met (5) voldoen dus :
rc = 3 I 2
y = 2 I 3.
Aan het gegeven stelsel (1) met (2) voldoen dus :
x = 2i-\-^i\yibl I 2| — ^eK151 I 3 I 2
y = 2l-iiK151 I 2i^-i^K151 I 2 I 3.
Opmerkingen.
1". Men zou geneigd zijn te denken, dat er wortels ingevoerd zijn,
doordat men beide leden van vergelijking (1) tot de vierde-
macht heeft gebracht.
Wij hebben echter het stelsel (1) met (2) vervangen door
het stelsel (1) met (3). Deze 2 stelsels nu geven volgens den
algemeenen regel (§ 224) evenveel stellen wortels.
2*^. Deze methode kan altijd toegepast worden, als de som of het
verschil van twee onbekenden en de som of het verschil van
hunne gelijknamige machten gegeven is. Men merke op, dat
deze wijze van oplossen eigenlijk daarop neerkomt, dat men
X -\- y {oi X — y) en xy als nieuwe onbekenden aanneemt.
Opgaven.
\x-\-y=7 \x'-^y' = 6b
'■ (x'-^f=lSd. ' (x' + f = b.
( X -\-y =b. ( x--]-y^ = 97.
\ x' -{- xy -\- y- = 7 1^ x — y =1
i x'-^xY-]-y' = 2l. i x^ — y^ = 2ll.
G. Homogene vergelijkingen.
234. Men noemt een vergelijking homogeen, als alle termen van
denzelfden graad zijn, en de bekende term ontbreekt. Men kan
een homogene vergelijking altijd splitsen in zooveel vergelij-
kingen van den eersten graad, als de graad der vergelijking
bedraagt.
Heeft men dus een homogene vergelijking met een of meer
30
andere op te lossen, dan moet men elk der vergelijkingen van
den eersten ,graad, waarin de homogene vergelijking gesplitst
kan ^^orden, combineeren met de overige vergelijkingen :
Voorbeeld :
^ 12rr- — mxy - 14^ = 0. (1)
/ 'óx^ — hxy + 6/ —7x^4:y—8 = 0. (2)
Deelt men beide leden van vergelijking (1) door y\ dan ont-
staat de vergelijking:
^ - " (3)
12.^
13
14=0.
y
Daar door deze deeling breuken ontstaan, worden geen wortels
verdreven, en is vergelijking (3) dus dezelfde als vergelijking (1).
00
Beschouwt men in (3) — als onbekende, dan blijkt, dat de
waarden voor — ziin :
y ^
(4)
(5)
(I).
en (II).
Elk dezer vergelijkingen moet nu opgelost worden met (2),
zoodat men de volgende twee stelsels heeft op te lossen.
- = i (4)
y
^oc'' — ^xy + 6y' — 7x -\- iy — S = 0. (2)
Sx^ — 6xy + 6^ - 7^ + 4«/ — 8 = 0. (2)
Het oplossen van deze stelsels, waarbij telkens één vergelijking
van den eersten graad met één vergelijking van den tweeden
graad gecombineerd is, levert geen moeilijkheden op.
Opmerking :
(4)
en
Tot de vergelijkingen
X
y ""
l oi x =
iy,
X
-^ oi x =
-%y.
y
(5)
had men ook kunnen komen, door in vergelijking (1) x als
eenige onbekende te beschouwen :
31
13y 14/-
^ 12 12 ~
0.
x=H.±^K|^+^«^'^
144 ' 12 /
^ ==M2/±^V^841.
^.=M2/ of iy.
^'2 = — M2/ of — !«/.
(1)
(4)
(5)
Opgaven.
1.
3.
5.
l x' + Sxy-]-2tf = 0 ^ ix'-bxy-^6f = 0
\ r^x — ly = 16. "' \ x' + ^xy -{■ f = 18.
I x" + 2xy 4- 5/ = 25 r a?' + 2a^ + 3iy' = 75
I 2.r'— xy+ y' = 4:. \ 3x'-^f =9.
(Leid uit deze twee vergelijkingen eerst een homogene ver-
gelijking af).
2x^ -\- xy — ƒ = 5
x^ — xy — «/^ = 1 1 .
6.
X- — xy -]- 2y^ = 7
3x^ 4- ^y — y' =■ 1-
5.
7.
Gemengde Opgaven.
r y
X — y == ^^
x_+j__
l+xy
x — y _
l—xy
36
— T^-
— 21
y ^
3;r' + 4r = 91
( x^ — xy— 12/ = O
2. { , , 4a; ^
240
X — y X — y
x^-{-if = 353. (H."b. S. '730
x^ — xy-\- if
X' — y'
124
44
{x' +xy + f) K(^* + r) = 185.
[x' -xy + f) \y{x' + /) = 65.
32
10.
12.
14.
16.
17.
18.
^¥4-/ = 61
a;j/ = 35
xz = 15
2/2^ = 21.
iy^ = 9xz
9z^ = A:xy,
11.
I ^[x' + f)=^l^{x ^y)
\ %x' ^ y') == U{x' -\- f).
x{x -\- y -\- z) = 27
y{x + y + z) = l^
z{x -{- y -{- z) = 36.
13.
■^' + if
xyz
x^ -\- z'
xyz
xyz
x-\-y
xyz
x -\- z
xyz
y-\- z'
2.
15.
xyz
x^ — yz = 10
y~ — xz = —
z^ — xy=\.
^^ + tf -\-xy = l^
X- -f- z^ -\-yz = 28
y^-hz' -h yz = 37.
{x-\-2yYX{x—l)~^ =
6 — 2K5
K(14 — 6K5)*
I (^-l)^ = l-K(^ + 2^).
X -\-y =z
x~ -j- y' = z^
X' -\- y^ -\- z"^ =^ 8.
19.
20. Elimineer y en z uit :
y^ — z~= 4:X {a 4- 1)
y -{- z = 2x
x^-\- y^ + z^= 2d\
22.
I xlXy + y\Xx = 2640
I ^K^-|-?yK2/ = 2728.
21.
23.
z'—2x^—zVS—bx=2VS-\-d
yV2-\-zV3—x=0
yVS'\-4.zV2-\-2xVS=0.
{x' + 3xy — 2y' = 4
2x' — bxy-{- / = 13.
^ +2/ =7
^ + ^' = 9.
33
24.
26.
30.
32.
33.
35.
37.
39.
41.
43.
X -\- y =12
24éi
y ^
25.
\ x^ -]- y^ =zb{x — y).
{a — xf — {a — x)y-\- y-
X — y = c.
{x^?>yf{x'-^f) = \
{x-^f{x'-y^)=l.
28.
27.
29. cc' + if-^z' = x^ + y'^0' = x + y^z=\.
\ x^ + y^ + xy [x -]- y) = a
{x'-^y^xY = h.
K
2x
fl^F
2a?
X- — {y — zf^=a
y' — {x — zf = h.
z~ —{x~ yf = c.
Sx—2y 31.
x'~8=2x{2y—S).
^' + («/ — ^y = a
y' -{-{oc — zf = h
z- + {x — yf = c.
Opmerking. Voor de eerste verg. kan men schrijven
{x-]ry — zY-\-{x-\- s — y)' = 2a enz.
{x + y){x'^ + f) = hm
(x + y)xy =210.
ix'-]-y' = {a-\-b){x-y)
\ X' — xy-\-y''
l + ^+i±^ = a
\-y
1 + X
+
1 — X
1 —X
= b
14-2/
X -\- xy^ = 28
xy -\- xy' = 12.
x -\-xy -\- xyr-\- xy^=4tö
x'-\-xY-\-xy-\-xY=820.
h'
y =
i_
X
x^
{a
-1)(6+1)
a' — h^
(a-l)(ö-l)'
,2
+ -, + ^ + ^ = 124
y^ y ' X- ' X
36.
38.
40.
42.
44.
a — h
xf + f = 62
x^y -h X' = 468.
81 ƒ — 64 = 72x^y
9y — 8= Qx'^y^.
x'^ -]- y^ -\- xy ^ 19
x'-\-z'-\-xz = 39
y^ 4- z' -\- yz = 49.
1
a
xr — y
2 '2
[x-\){jy-lY
x = y-\-2.
Derksen en de Laive, Alg. III.
8 2
:^4-y7
1 1
^-\-y-^ =
S^x
5 /y»
45.
46.
47.
48.
34
X ^ y
xy^ — = 14,85 + - + ^.
xy y ^
Neem se -\-y en Xy ais nieuwe onbekenden aan.
cc' -f ƒ + ^' = 29
2^2; — 7 =y'
2x ■=^z.
{x — y-\rz){x^y~z){x^ry-Vz) = ^(r{y^z — x)
{y — x^-z)yx\-y — z){x-\ry^z) = W{x-^z — y)
(x — y -r z) (y — X -\- z) (x '\o y -\- z) = 4c^ (^ + ^ — ^)-
X -\- y -\- z =21
x' + z'' — y- = 117
xz = ƒ .
49.
= 2 50.
x^ — y^_
1 -^^
X : y = z :u
x-^u=8
y-\-z = 7
x' -\- y' -{- z' -\- u' = 65.
Vraagstukken, die aanleiding geven tot vergelijkingen
van hoogeren graad met meer onbekenden.
1. Van een balk zijn de oppervlakken van grond- en boven vlak
elk 160 d.M.' ; de oppervlakken der beide zijvlakken elk 3f
d.M.^ ; de oppervlakken van voor- en achtervlak elk 96 d.M.'
Men vraagt naar de afmetingen van den balk.
2. Van twee getallen bedraagt het produkt a en het quotiënt b.
Welke zijn die getallen ?
3. Van twee getallen bedraagt de som der kwadraten 106, terwijl
hun produkt 45 is. Welke zijn die getallen ?
4. Twee kuben hebben samen een inhoud van 91 d.M.^, terwijl
de som hunner lengten 7 d.M. bedraagt. Hoe lang zijn de
ribben van die kuben ?
5. Iemand heeft een stuk land in den vorm van een rechthoek.
Hij beplant het met boomen, zoodat de buitenste rijen 1 M.
35
van de randen komen te staan. Zet hij de boomen in de lengte
2^ en in de breedte 2^ M. van elkaar, dan kunnen er 2385
staan. Zet hij ze in de lengte 3^ en in de breedte 2f M. van
elkaar, dan kunnen er 1517 staan. Hoe lang en hoe breed is
dat stuk land ?
6. Deelt men een getal van twee cijfers door de som der cijfers,
dan is het quotiënt 6 en de rest 8. Deelt men het getal door
het produkt der cijfers, dan is het quotiënt 2 en de rest 18.
Welk is dit getal ?
7. Het oppervlak van een rechthoek bedraagt a c.M.^ terwijl de
diagonaal b c.M. lang is. Men vraagt naar de lengten van
basis en hoogte van dien rechthoek.
8. Van een rechthoekigen driehoek bedraagt de omtrek 8 d.M.
en het oppervlak 30 c.M.^ Hoe lang zijn de zijden van dien
rechthoekigen driehoek ?
9. Van een rechthoekigen driehoek is het oppervlak 6 c.M.^ ter-
wijl de hoogtelijn op de hypothenusa 2f c.M. bedraagt. Hoe
lang zijn de zijden van dien rechthoekigen driehoek ?
10. Twee punten bewegen zich met eenparige snelheid in tegengestelde
richting langs den omtrek van een rechthoekigen driehoek ; hun
snelheden verhouden zich als 23 tot 37. Zij beginnen beide
bij het hoekpunt van den rechten hoek, en ontmoeten elkaar
voor de eerste maal op het midden der schuine zijde, en voor
de tweede maal op een afstand van 7 d.M. van het hoekpunt
van den rechten hoek. Hoe lang zijn de zijden van dien recht-
hoekigen driehoek ?
1 1 . Op een afstand van 1100 M. maakt het voorwiel van een
wagen 165 omwentelingen meer dan het achterwiel. Maakt men
den omtrek van het voorwiel \ M., dien van het achterwiel
4 d.M. langer, dan maakt het voorwiel op dienzelfden weg
150 omwentelingen meer dan het achterwiel. Men vraagt naar
de omtrekken van voor- en achterwiel.
12. A en B vertrokken van twee plaatsen P en Q elkaar tege-
moet ; A vertrok 1 uur vroeger dan B. Toen zij elkaar ont-
moetten, had A. 4^ K.M. minder afgelegd dan B. Zij vervolgen
hun weg, en nu komt A 2 uren later te Q aan, dan B te P.
Men vraagt naar den afstand van P tot Q, en naar de snel
heden van A en B.
13. Een spoortrein krijgt 48 minuten na zijn vertrek een defect
aan de machine, waardoor hij 36 minuten wordt opgehouden,
36
en zijn reis slechts met ^ der oorspronkelijke snelheid kan
voortzetten. Hij komt nu 1 uur en 24 min. te laat op de plaats
van bestemming aan. Was het ongeluk voorgevallen, nadat hij
80 K.M. meer had afgelegd, dan zou hij 1 uur te laat op de
plaats van bestemming zijn aangekomen. Hoe lang is de weg?
14. A en B hebben samen goed gekocht, ASM. minder dan B.
A moet er 3 gld. minder dan B. voor betalen. Had A zijn goed
gekocht tegen den prijs per M. van B, dan had hij 40 gld.
moeten betalen. Had B zijn goed gekocht tegen den prijs per
M. van A, dan had B 54 gld. moeten betalen. Hoeveel M.
heeft ieder gekocht?
15. Een belegerde vesting heeft nog voldoenden voorraad om den
strijd 10 dagen vol te houden. Waren er 200 man minder, en
kreeg elk der overigen per dag -^ K.G. minder, dan zou de
vesting het nog 8 dagen kunnen volhouden. Dit zou ook het
geval zijn, als er 100 man minder waren, en elk der overigen
^ K.G. per dag minder kreeg. Hoe sterk is het garnizoen, en
hoeveel krijgt elk per dag?
16. In een evenredigheid bedraagt de som der uiterste termen 8,
de som der middelste 7, en de som van de tweedemachten der
uiterste verminderd met de som van de tweedemachten der
middelste bedraagt 15. Welke is de evenredigheid?
17. In een evenredigheid bedraagt het produkt der uiterste termen,
de som van alle termen 35, en de som van hun kwadraten
325. Welke is die evenredigheid?
18. In een evenredigheid is de som der uiterste termen 11, die der
middelste 13 ; de som der derdemachten van alle termen bedraagt
1368. Welke is die evenredigheid?
19. Een vat kan door een buis in zekeren tijd gevuld, door een
tweede buis in een anderen tijd geledigd worden. Laat men
beide buizen 3 uren openstaan, dan is het vat gevuld. Maakt
men de openingen der buizen grooter, zoodat de eerste buis
15 min. minder noodig heeft, om het vat te vullen ; de andere
evenveel minder om het vat te ledigen, dan is het vat na 112^
min. gevuld. In hoeveel inin. kan de eerste buis het vat vullen,
en de tweede buis het vat ledigen?
20. Iemand heeft twee even groote partijen laken tegen verschil-
lende prijzen voor 500 gld. gekocht. Hij verkoopt beide partijen
met 1 gld. winst per M., meet op het eene stuk 1 M., op het
andere 2 M. in, en wint 81 gld. Had hij beide partijen met
37
fO,bO winst per M. verkocht, en op ieder stuk slechts ^ M.
ingemeten, dan zou hij 44^ gld. gewonnen hebben. Men vraagt
de lengte en den inkoopsprijs van ieder stuk.
21. Wanneer men bij vier termen eener meetkundige reeks respec-
tievelijk de getallen 7, 9, 8, 1 optelt, ontstaan vier termen
eener rekenkundige reeks. Welke zijn die reeksen?
(Eenige getallen vormen een meetkundige reeks, wanneer het quotiënt
van het tweede en eerste getal gelijk is aan het quotiënt van het derde
en tweede getal, dit weer gelijk aan het quotiënt van het vierde en
derde getal enz.
Eenige getallen vormen een rekenkundige reeks, wanneer zij met
gelijke verschillen opklimmen).
22. Wanneer men bij vier termen eener rekenkundige reeks respec-
tievelijk de getallen 4, 3, 4, 8 optelt, ontstaan vier termen
eener meetkundige reeks. Welke zijn deze reeksen?
23. Bepaal vier getallen eener rekenkundige evenredigheid zoodanig,
dat het produkt der eerste twee gelijk is aan 126, dat der
^middelste gelijk aan 238, en dat der laatste twee gelijk is aan 374.
Vier getallen vormen een rekenkundige evenredigheid, als hetversohi
van het eerste en tweede gelijk is aan het verschil van het derde en vierde)^
24. Van vier getallen, die rekenkundig evenredig zijn, is de som
50, het produkt der uiterste 126 en dat der middelste 156.
Welke zijn die getallen?
25. Van vier getallen eener meetkundige evenredigheid bedraagt
het produkt der eerste twee 63, dat der laatste twee 847 en
de som der beide laatste 80. Welke is die evenredigheid ?
26. Van vier getallen, die meetkundig evenredig zijn, bedraagt
de som 64, de som hunner vierkanten 1700, en hun produkt
11025. Welke zijn die getallen?
27. Van drie getallen eener meetkundige reeks bedraagt de som
147 en de som hunner vierkanten 13377. Bepaal die getallen.
28. Het produkt van vier termen eener rekenkundige reeks bedraagt
880. Als ze met 3 opklimmen, welke zijn dan die getallen?
29. De som van drie termen eener meetkundige reeks bedraagt 26,
en de som van hun vierkanten 364. Welke zijn die getallen?
30. Drie getallen bezitten de volgende eigenschappen: Deelt men
hun produkt door de som van het eerste en tweede getal,
dan vindt men als quotiënt : 8|. Deelt men hun produkt
door de som van het eerste en derde getal, dan is 7^ het
38
quotiënt. Deelt men hun produkt door de som van het tweede
en derde getal, dan vindt men als quotiënt : 6f , Welke zyn
die getallen?
31. Een vol vat kan door twee kranen geledigd worden. Men opent
de eerste kraan alleen gedurende ^ van den tijd, waarin de
tweede alleen het vat zou ledig maken. Men sluit de eerste
kraan, en opent de tweede, tot het vat ledig is. Had men beide
kranen tegelijk opengezet, dan was het vat in 2f uur minder
afgetapt ; maar door de eerste kraan was dan f maal zooveel
geloopen, als nu door de tweede kraan wegloopt. In hoeveel
tijd kan het vat door elke kraan worden geledigd?
32. Iemand bezit 9000 gld. en ontvangt daarvoor 380 gld. interest.
Had hij een gedeelte uitgezet tegen het procent van het andere
gedeelte, dan zou hij daarvan 225 gld. interest ontvangen hebben.
Het tweede gedeelte, uitgezet tegen het procent van het eerste
gedeelte, zou 160 gld. interest opgebracht hebben. Men vraagt,
tegen welke procenten de twee gedeelten uitgezet zijn.
33. Twee plaatsen, A en B, zijn door een spoorweg verbonden,
waarvan de lengte d K.M. bedraagt. Een goederentrein vertrekt
van A naar B ; a min. later vertrekt een sneltrein van B naar
A. Beide treinen leggen met eenparige snelheid den geheelen
weg zonder oponthoud af. De goederentrein komt te B aan b
min., nadat ze elkaar gepasseerd zijn, en Iegelijk de sneltrein
in A. Hoeveel K.M. legt elke trein per uur af?
Na de oplossing neme men : a = 364, b = 120, d = 195.
(Eindex. H. B. S. 1896).
34. Twee punten bewegen zich met eenparige snelheden naar de
hoekpunten van een rechten hoek ; het eene is daarvan «, het
andere b c.M. verwijderd. Na t sec. bedraagt hun afstand cM.,
t' sec. later is hun afstand nog d M. Men vraagt de snelheden.
Na de oplossing neme men ; a= 12; b = 19; ^' = 6;c=17;
d = lS.
HOOFDSTUK II.
Ongelijkheden,
235. Uit de bepalingen, die in § 11 van Deel I gegeven zijn van
ongelijke algebraïsche getallen, volgt onmiddellijk:
Een getal is grooter of kleiner dan een ander^ als het
gelyk is aan dit laatste, vermeerderd of verminderd met
een positief getal.
Is dus p een positief getal, dan zal a grooter zijn dan 6, indien :
a = b-\-p;
daarentegen zal a kleiner zijn dan b, indien :
a = b — p.
Uit deze bepaling volgt dan weer omgekeerd :
1^. dat men nul moet beschouwen als grooter dan elk nega-
tief getal, omdat nul gelijk is aan elk negatief getal, vermeer-
derd met zijn tegengestelde waarde. Zoo is : O = — b -\- b, en
dus O > — 5.
2". dat een positief getal grooter is dan nul, en ook grooter dan
elk negatief getal.
3". dat een negatief getal grooter is dan een ander negatief getal,
als de absolute waarde van het eerste kleiner is dan die van
het tweede :
— 5>— 13,
omdat : - 5 = — 13 + 8.
Bepalingen. Twee ongelijke getallen, door de teekens „groo-
ter dan" of „kleiner dan" verbonden, vormen een onge-
lijkheid.
Als twee ongelijkheden het zelfde teeken hebben, dan
spreekt men van ongelijkheden in den zelfden zin;
zooals : — 13 > — 20 en -4- 9 > + 7.
In het tegenovergestelde geval spreekt men van ongelijkheden
40
in tegengestelden zin; zooals: -|- 12 > — 5 en — 7 <; — 2.
De ongel'ijke getallen, door de teekens „grooter dan^ of „kleiner
dan" verbonden, vormen de leden der ongelijkheid.
236. Eigenschap. De ongelijkheden:
a>b {1} en n — bX) (2)
volgen onmiddellijk uit elkaar, welke ook de teekens
van a en b zijn.
Bewijs.
Uit: a^>b, volgt: a = b-\-p, waarin^ positief is, en uit
deze gelijkheid volgt:
a — b =p,
dat is : . a — è > 0.
Opmerking. Men bewijst evenzoo. dat de ongelijkheden :
a < è (1) en a — & < O, (2)
onmiddellijk uit elkaar volgen.
237. Als men beide leden eener ongelijkheid met een
zelfde getal vermeerdert of vermindert, verkrijgt
men een nieuwe ongelijkheid in denzelfden zin.
• Gegeven : a r> è
Te bewijzen : a± c:>-b±c.
Bewijs.
Uit ; az>b, volgt : a = b -\-p, (waarin p pos. is) en uit deze
gelijkheid door vermeerdering of vermindering van beide leden
met c :
Derhalve is :
a ± O Z> ± c,
omdat bij de grootheid b dt c een positief getal moet opgeteld
worden, om a± c te krijgen.
Opmerking. Telt men bij beide leden der ongelijkheid :
a — b:>' c,
op : b = b,
dan ontstaat : a > c -|- ^ ;
waaruit wij leeren :
Men mag een term van het eene lid eener onge-
lijkheid naar het andere brengen, en omgekeerd,
mits men het teeken van dien term verandert.
41
238. Eigenschap. Als men beide leden eener ongelijkheid
met een zelfde getal vermenigvuldigt, verkrygt men
een ongelijkheid in denzelfden of in tegengestelden
zin, naarmate de vermenigvuldiger positief of nega-
tief is.
Gegeven :
a>i).
Te bewijzen:
ma>mè, als m positief,
ma < mb, als m negatief is.
Bewijs.
Uit:
a > &, volgt :
a — 6 > 0, dus positief,
en is zoowel o — è, als m positief, dan is ook m {a — h)
positief, dus grooter dan nul.
Is daarentegen m negatief, dan is m{a — b) negatief en dus
kleiner dan nul.
Wij hebben derhalve, indien m positief is :
m {a — b) > O,
of ma - mö > O,
of ma > mb ;
en als m negatief is :
m {a — h) <C O,
of ma — mb<cO^
of ma < mb.
239. Opmerking. De factor m kan een breuk zijn, bv. ^ ; der-
halve heeft men ook de
Eigenschap: Als men beide leden eener ongelijk-
heid door een zelfde getal deelt, verkrijgt men een
ongelijkheid in denzelfden of tegengestelden zin,
naarmate de deeler positief of negatief is.
240. Eigenschap. Als men de overeenkomstige leden
van eenige ongelijkheden in denzelfden zin optelt,
ontstaat weer een ongelijkheid in denzelfden zin.
Gegeven : a :> 6 ; a' '^■b' ; a" > b".
Te bewijzen : a-\- a' -^a" >b ^b' -\- b".
Bewijs.
Uit de gegeven ongelijkheden volgt:
a — b>0\ a' -h' >{) en a" — b"> 0.
De som van eenige positieve getallen weer positief zijnde,
heeft men dus ook :
42
(a - è) + (a' -
_ b') + («'' - è'0 > 0,
of
(a + a' + a'0 -
-(^. + ^.' + 5^0 >0,
of
a-^a'^a''
> è + 6' 4- ö^'
241. Als men van de leden eener ongelijkheid de over-
eenkomstige leden eener andere ongelijkheid in
tegengestelden zin aftrekt, krijgt men een ongelijk-
heid van denzelfden zin als de eerste.
Gegeven : a z^- b en a^ <z. b' .
Te be"wijzen : a — a' :>'b — b'.
Bewijs.
Uit : a' <:b' volgt : b' > a',
en dus : a -\- b' '>- b -^ a' .
Brengt men den term a' uit het tweede lid naar het eerste,
en den term b' uit het eerste lid naar het tweede, dan verkrijgt
men : a — a' :>}) — h'.
242. Eigenschap. Als men de overeenkomstige leden van
twee of meer ongelijkheden van denzelfden zin met
elkaar vermenigvuldigt, ontstaat weer een ongelijk-
heid van denzelfden zin, indien alle leden positief zijn
Gegeven : a > a ; a^ >- è' en a" '> b" . Alle leden zijn positief.
Te bewijzen : a a'a" > h b'b" .
Bewijs.
Deelt men de leden der gegeven ongelijkheden respectievelijk
door de positieve getallen : è, b' en b" (§ 239), dan krijgt men :
a , a' ^ al' ^
T>'' y^i' F>'-
Wanneer elk van deze drie getallen grooter is dan 1, zal hun
produkt zeker grooter zijn dan 1, derhalve:
aa'a
'nll
1,
b b'b"
waaruit door vermenigvuldiging van beide leden met het posi-
tieve produkt b b'b" volgt :
a a'a" > b b'b".
Gevolg. Als men beide leden eener ongelijkheid
tot eenzelfde macht verheft, krijgt men weer een
ongelijkheid in denzelfden zin, als beide leden der
ongelijkheid positief zijn.
243. Als men de overeenkomstige leden van twee onge-
lijkheden in tegengestelden zin op elkaar deelt,
ontstaat een ongelijkheid van denzelfden zin als
de deeltal-ongelijkheid, wanneer alle termen positief
zijn.
Gegeven : a :> b ; a'<C b' . Alle leden zijn positief.
m •. .. a b
Te bewijzen : -7 >> ^.
Bewijs.
Schrijft men voor de tweede ongelijkheid :
b' > a'
en vermenigvuldigt men de overeenkomstige leden van :
a > è,
en b' :> a\
dan ontstaat : ab' > a'h^
waaruit, na deeling door het positieve produkt a!b\ verkregen
wordt :
a b
Toepassingen.
1. Welke geheels positieve waardeii van x voldoen aan :
7a; + 5 > 3^ + 24 ?
Oplossing.
Brengt men de termen met x naar het eerste lid en de
bekende termen naar het tweede, dan krijgt men :
lx~Zx-> 24 — 5
4it;>19
De geheele positieve waarden van x^ die aan de ongelijkheid
voldoen, zijn dus : 5, 6, 7, 8, enz.
2. Welke geheele ^positieve waarden van x voldoen gelijktijdig aa^i
de volgende twee ongelijkheden:
3ic + 5>a;+19 (1)
en 7ic + 8 > 11a; H- 3 (2)
Oplossing. ,
Uit (1) volgt : 2a; > 14
x>l.
44
Uit (2) volgt:
5 >4i3?
1^ > X, oi x<: 1|.
X moet kleiner zijn dan 1^ en tegelijk grooter dan 7, waaraan
door geen enkele waarde van x kan voldaan worden.
Welke geheele positieve ivaarden van x en y voldoen aan de
volgende ongelijkheden :
^x + hy > 7, (1)
en 4:X — hy>9? (2)
Oplossing.
Door samentelling van de overeenkomstige leden van (1) en
(2) verkrijgt men :
7x :> 16
x>2^.
De waarden, die x hebben kan, zijn dus: 3, 4, 5, 6, 7 enz.
Substitueert men elk dezer waarden van X in de beide onge-
lijkheden, dan krijgt men :
voor x = S: 9 + 5^/ >* 7 en 12 — 5«/ > 9,
of 5«/ > — 2 en 5«/ <: 3,
dus: ^> — I en «/ < f-
Hieraan wordt door geen enkele positieve waarde van y voldaan,
voor a? = 4 : 12 + 5y > 7 en 16 — 5^ > 9,
of % > — 5 en hy < 7,
dus : 2/ > — 1 en «/ < If .
Hieraan wordt voldaan door y = 1.
voor x = b: 15 + 5^ > 7 en 20 — 5«/ > 9,
of 5?/ > — 8 en 5«/<:ll,
dus : y^ — If en «/ < 2^.
Hieraan wordt voldaan door y = 1 en 2.
Zoo kan men verder gaan en onderzoeken, of voor eenige
waarde van x ook een geheele positieve waarde voor y bestaat,
die aan beide ongelijkheden voldoet.
Opmerking. Omdat de ongelijkheden van denzelfden zin
waren, en de coëfficiënten van y gelijk, maar verschillend van
teeken, kon men door samentelling y elimineeren, en dus een
grens voor x vinden.
Waren de coëfficiënten echter gelijk geweest, en van hetzelfde
teeken voorzien, dan zou men y niet kunnen elimineeren, omdat
men de ongelijkheden niet mag aftrekken.
45
Betvijs, dat a + ^ > 2\/'ab, indien a en b positief en ver-
schilleiid xijn.
Het gestelde zal waar zijn, als:
a — 2Vah -|- 6 > O,
of als : {Va — V bf > 0.
Dit nu is waar, omdat het vierkant van Va — Vb steeds
positief moet zijn.
Gaat men nu omgekeerd te werk, zoo is :
(Va — !/&)•- > O
a — 2Vab -\-b>0
a + 6 > 2Vab.
5. Bewijs, dat :
{a + è) (6 + e) (c -f- a) > 8a6c
indien a, b en c positief en verschillend zijn.
Uit vraagstuk 4 volgt:
a-\-h> 2Vab
6 + c > 2Vbc
c + « >* 2Vac,
waaruit door vermenigvuldiging volgt:
(a + è) (& 4- c) {c-\- a)> 8abc.
Opgaven.
1. Welke geheele positieve waarden van de onbekenden voldoen
aan de volgende ongelijkheden:
5a;+ 17>3a;+20; 6a; + 15 < 9:z;+ 8 ;
3^— 12 > 7a; — 28; bx — 9<3ic+2?
2. Welke geheele positieve waarden van x voldoen gelijktijdig aan :
3a: H- 5 > X + 11 en 7.'C -|- 18 <C 4a; + 6 ?
3. Door welke waarde van x en y wordt voldaan aan :
\ 2x-{-3y>28 \ 4:X-\- y>SO
I Sx — 4y>12? I —x-\-7y>20?
4. Eveneens aan :
\ 4x-{-hy>42 i 4a? -4-22/ > 20
( dx-{-2y<Sb? / 3iC+ 2/>4?
5. Welke geheele positieve waarde van x voldoet aan :
4:X* X^
(x-hlf [x-hiy
?
46
6. Bewiis, dat -i- -f- — > 2 ; druk dit in woorden uit.
ba
7. Bewijs ook, dat voor positieve waarden van a, ö en c :
ahc >{b-\- c — a){a-{- c — h){a-\-h — c).
8. Ook, dat:
6a6c <C aè (a -|- 5) -j- ac {a-\- c) -\- bc {b -\- c),
en 6róc<c:2(a'+ If -^ c").
9. Bewijs ook, dat :
■m'-
2
waarin m geheel is.
10. Bewijs, dat in een rechthoekigen driehoek de som van hypo-
thenusa en hoogtelijn grooter is dan de halve omtrek.
Onbepaalde Vergelijkingen.
Eén Vergelijking van den eersten graad met twee
onbekenden.
244. Indien er gegeven is één vergelijking van den eersten graad
met twee onbekenden, zooals :
2a; + 3«/ = 44,
dan hebben wij in Deel II, § 118, geleerd, dat men aan een
der onbekenden een willekeurige waarde kan toekennen, en
daarna de andere onbekende oplossen. Het aantal stellen
wortels, dat men op die wijze kan verkrijgen, is onbepaald
groot. Voegt men er echter de beperking bij, dat de wor-
tels geheele getallen moeten zijn, of binnen zekere grenzen
moeten liggen, den worden daardoor de wortels beperkt. Die
beperking is niet altijd uitdrukkelijk vermeld, maar ligt zeer
vaak opgesloten in het vraagstuk, dat tot de vergelijking aan-
leiding heeft gegeven. Wij zullen dit met een voorbeeld dui-
delijk maken :
Iemand heeft een kwartje en wil daarvoor sigaren koopen
van 3 et. en van 2 ei. per stuk. Hoe kan dit geschieden?
Stellen wij het aantal sigaren van 3 et. door x, en het aantal
van 2 et. door y voor, dan moet 3x -\- 2y = 2h zijn.
47
Daar het aantal sigaren, dat men koopen kan, geheel moet
zijn, volgt uit den aard van het vraagstuk reeds, dat x en y
geheele positieve getallen moeten voorstellen.
Zien wij nu, hoe wij die getallen kunnen vinden.
Uit : 3a; + 2y = 25
volgt : 2?/ = 25 — 'óx,
25 — 3a; „ _ , \—x
dus : y =
— of y = 12 — X -\
Daar zoowel y als x geheele getallen moeten zijn, zal de breuk
ook geheel moeten zijn.
Stellen wij die geheele waarde voor door p, dan moet
1 — x = 2p zijn,
dus : x=^l — 2/>.
Substitueeren wij de waarde van x in :
//=12-rr+i^,
dan krijgen wij :
y=l2-l-^2p-\-p,
of y=ll-^3p.
Uit x= l — 2p en y = 11 -\- Sp volgt nu, daar x en y
geheele positieve getallen moeten zijn, dat :
1 — 2^ > O en 1 1 + 3p > O,
of: 2p<zl en 3^>— 11,
dus : ^ < ^ en ^ >- — 3f .
De waarden van p, die hieraan voldoen zijn :
O, — 1, — 2 en ~ 3
waarbij behooren :
x= 1 I 3 I 5 I 7
y=n I 8 I 5 I 2 '
Hiermee is het vraagstuk opgelost.
245. Evenals in het vorige vraagstuk het geval was, stelt men zich
bij de oplossing van een vergelijking van den eersten graad
met twee onbekenden meest altijd ten doel, de geheele positieve
waarden van x en y te bepalen, die aan de vergelijking vol-
doen. De wijze van oplossing komt overeen met die uit
48
ons voorbeeld; doch loopt niet altijd zoo spoedig af, hetgeen
uit de volgende oplossing blijkt :
Be geheele 'positieve waarden te vinden, die voldoen aan:
Oplossing.
Uit 7a;— 11^ = 54 volgt: 7x = b4: -\- lly, dus:
x = 5i+lL^of, = 7 + ,+^. (1)
Daar x en y geheel moeten zijn, is het uoodig, dat ook
— =-^ geheel zij.
Stellen wij die geheele waarde voor door p, dus :
7 — ^'
dan is : 4:y = 7p — 5
7p — 5
2/ = -^—.
of: y=p-l-^^l^. (2)
Daar y en p geheel moeten zijn, is het uoodig, dat ook
-^—1 — geheel zij. Stellen wij deze geheele waarde door q
voor, en dus :
3»— 1
of: 3p =42 4-1,
m wordt : p = -^-x — ,
Een geheele waarde voor q zal ook een geheele waarde
)or p opleveren, i
waarde r, en dus :
dan wordt : p = -^-x — , oip = q -\- ^-^ — . (3)
q -\- 1
voor p opleveren, als geheel is. Noemen wij die geheele
ö
+ 1
3
of : q = Sr — 1,
dan vinden wij, door deze waarde van q in (3) te substitueeren :
p = 4:r — 1.
Deze waarden van p en q, gesubstitueerd in (2), geven :
y = 4r — 2H-3r— 1, of i/=7r — 3. (4)
49
En de waarden van p en y in (1) gesubstitueerd, geeft :
a; = 7 + 7r — 3 + 4r — 1 of flc = llr + 3. (5)
Nu weten wij reeds, dat r een geheele waarde moet voor-
stellen ; opdat echter x en y behalve geheel, ook nog positief
zullen zijn, moeten wij aan r zulk een waarde toekennen, dat
zoowel llr -|- 3, als ook Ir — 3 positief zijn.
Derhalve: llr + 3 > O, en 7r — 3 > O,
of : r > — y\ en r > f ,
dus: r=l, 2, 3, 4, enz.
Door substitutie dezer waarden van r in (5) en (4) vinden
wij dan :
a;= 14 I 25 I 36 I 47, enz.
y= 4 I 11 I 18 I 25, enz.
Opmerking. Wij hebben x '\n y uitgedrukt, omdat x den
kleinsten coëfficiënt had.
246. De oplossing der onbepaalde vergelijkingen, zooals deze in de
vorige paragraaf behandeld is, kan somtijds aanmerkelijk bekort
worden. Wij zullen de voornaamste bekortingen toelichten,
en kiezen daartoe de vergelijking :
ax -{-by = c.
I. Als a -\- b^>- c, dan is het vraagstuk onmogelijk. Immers x
en y moeten geheele positieve waarden hebben, en dus zal
ieder minstens 1 zijn ; derhalve moet ax -\- by minstens a-\- h
tzijn, zoodat ax -\- by nooit gelijk kan worden aan een getal c,
dat kleiner is dan a-\- b.
Vergelijk : lx-\-^y ^^%.
II. Als a en h een factor gemeen hebben, die niet in e
voorkomt, dan is het vraagstuk ook onmogelijk.
Vergelijk : 8^ — \2y = 18.
8a; bevat den factor 4, evenzoo 12y ; derhalve moet 8a; — V2,y
&. een viervoud zijn ; 18 is geen viervoud, derhalve kan door geen
^^ geheele waarden voor x en y aan de vergelijking voldaan worden.
III. Als a en c een ondeelbaren factor bevatten, die niet in b
voorkomt, bevat y dien factor.
Zij gegeven :
lix — ^y = 49.
Daar 14 en 49 beide deelbaar zijn door 7, moet het eerste
lid der vergelijking :
14a; — 49 = 5«/
Derksen en de Laive, Alg. III. , *
50
een zevenvoud zijn, derhalve moet 5?/ het ook zijn, en daar 5
onderling ondeelbaar is met 7, moet y deelbaar zijn door 7.
Stellen wij dus : y=7z, dan gaat onze vergelijking over in :
Ux—h,7z = 49,
waaruit na deeling door 7 volgt :
2^ — 5^ = 7
2x =7 + 50
X
7 + 50 „ _,^,l + 0
= 2 of ^ = 3 + 20+ ^ .
1 -\- z
Stellen wij nu — ^ = p, dus :
l + 0 = 2p,
of : 0 = 2^ — 1,
dan vinden
wij : y = 14p — 7,
en
x= Sp + 1.
Nu moet ;
,
Up—7>0 en 5p + 1 > 0
14|? > 7 bp> — l
p>^ p>—h
Hieraan wordt voldaan door:
^ = 1, 2, 3, 4,. .
waaruit volgt :
x=Q, I 11, I 16, I 21,
2/ = 7, I 21, I 35, I 49, . . . .
IV. Als b en c een ondeelbaren factor gemeen hebben, die niet
in a voorkomt, moet x dien bevatten.
V. Als a<C.h^ dan drukke men x in y uit :
ax = c — hy
a
Stellen wij het quotiënt der deeling van a op c door c' voor,
en de rest door c" ; evenzoo het quotiënt der deeling van a
op h door h', en de rest door b", dan kunnen wij schrijven :
/ ./ , c"-b'^y
'^ a
Als nu h' één meer genomen wordt, en dientengevolge de
nieuwe rest h'" in volstrekte waarde ■< h" wordt, dan is dit vaak
een aanmerkelijke bekorting, vooral wanneer daardoor h'" op c"
51
deelbaar is. Immers dan kan de factor V" uit den teller ver-
wijderd worden, waardoor de coëfficiënt van y gelijk 1 wordt.
Voorbeelden.
Welke geheele positieve waarden van x en y voldoen aan :
\lx Ar 33y = 514.
Oplossing.
Daar X den kleinsten coëfficiënt heeft, drukken wij xmy uit :
17a; = 514 — 33y, dus a;=^^^~^^^, of:
Wij hebben het quotiënt van — 33«/ : 17 op — 1y gesteld,
waardoor de rest + y werd. Hadden wij — y tot quotiënt
genomen, dan zou de rest — 16?/ geworden zijn.
4 -\- tl
Stel J^ =p, dus y=Vlp — 4, dan wordt :
ic = 30 — 34;) + 8 -f^, of öc = 38 — 33/>.
Nu moet : 38 — 33p > O en 17p — 4 > O,
of: 33i?<38 en 17i?>4,
dus : p < 1/j en j? > 3*^.
Hieraan voldoet alleen ^9 = 1, waardoor ic = 5en«/ = 13 wordt.
Bepaal een getal, dat door 11 gedeeld tot rest 3, en door 17
gedeeld tot rest 10 geeft.
Oplossing.
Noemen wij het eerste quotiënt x, dan is :
getal = llic + 3,
en het tweede quotiënt y noemende :
getal = 17?/-}- 10.
Derhalve is :
llit;-f-3 = 17?/-f 10
l\x=\ly-^l,
dus : X = — Krz .
Wanneer wij 11 op 17y deelen en als quotiënt y nemen, is
de rest 6y. Kunnen wij nu 11 zoodanig op 7 deelen, dat er
een (positieve of negatieve) rest overblijft, die deelbaar is door
6, dan kunnen wij dien factor 6 afzonderen. Wij nemen daarom
— 1 als quotiënt van de deeling van 11 op 7, dan is de rest
52
-|- 18, welke rest deelbaar is door 6. Wij krijgen dus de vol-
gende herleiding :
x = -^ = y — l-\ Yl — = «/ — li-6.•^-jY-•
Stel nu ^ =P', dus y4-3 = llj?,
dan is : y = lip — 3
waaruit volgt : X=llp — S — 1 -{- 6p = V7p — 4.
Nu hebben wij het getal zoowel voorgesteld door 11a; + 3,
als door 17«/ -f- 10. Substitueeren wij in deze vormen voor x
de waarde lip — 4, en voor y de waarde lip — 3, dan ver-
krijgen wij in beide gevallen:
187jo — 41.
Daar het getal geheel en positief moet zijn, is :
187p — 41>0
p kan dus zijn 1, 2, 3, 4 enz.
Deze waarden gesubstitueerd in den vorm : 187^ — 41, die
het getal voorstelt, leveren op :
146, 333, 520, 707 enz.
voor de gevraagde getallen.
247. Wanneer men onmiddellijk een stel geheele waarden kan
opschrijven, die aan één vergelijking met twee onbekenden
voldoen, dan stelt ons de volgende eigenschap in staat, direct
de algemeene waarden op te schrijven.
Eigenschap.
Zij x=^2^j y = Q ©eii stel geheele waarden, die aan
de vergelijking ax -\-hy = c voldoen, dan zijn de
algemeene -waarden:
x-=jy ±ht
y = qzpat.
Bewijs.
Substitueert men deze algemeene waarden in de gegeven
vergelijking ax -\- hy = c, dan ontstaat :
a{p±bt) -^b{q=f at) = c
ap -\-bq = c,
en deze laatste regel is een gelijkheid. Immers x=p en y^q
vormen een stel wortels van de vergelijking ax -\- by = c.
53
Toepassing.
Aan de vergelijking bx -^ly = 94,
wordt voldaan door : x= 16, y =2.
De algenaeene waarden zijn nu X^^ i& — 7#
y= 2 4-5*.
Opgaven.
Welke geheele positieve waarden voor x en y voldoen aan
de volgende vergelijkingen :
1. 5a; +7^ = 172. 2. bx-7y = n2.
3. 63^+50^ = 1440. 4. 29a; -f 3% = 981.
5. 8a; + 23?/ = 19. 6. 8a; — 23</ = 20.
7. — 44a; + 13^/ = 27. 8. 19a; — 89?/ = — 41.
9. 21a; — 38?/ = 209. 10. 5a; — 4?/ = -- 53.
11. Verdeel het getal 159 in twee deelen, zoodat het eene dee
door 8 en het andere door 13 deelbaar is.
12. Bepaal een getal, dat door 39 gedeeld 16, en door 56 gedeeld
27 tot rest overlaat.
13. Iemand verkoopt twee soorten rijst : van 20 et. en van 12 et.
per K.G. Hoeveel geheele kilogrammen kan hij van iedere waar
voor 8,40 gld. geven ?
14. Een partij beuke- en eikeboomen werd verkocht voor 4775 gld.
Gemiddeld kostte een beuk 5,40 gld. en een eik 10,20 gld.
Hoeveel boomen werden van iedere soort verkocht, als ge weet,
dat er van elke soort niet meer dan 340 waren ?
15. Op hoeveel manieren kan men 5,25 gld. met dubbeltjes en
kwartjes betalen?
17. Het getal 27 is geschreven in een vreemd talstelsel ; 53 in een
ander. Als de som van beide getallen in het tientallig stelsel
56 bedraagt, welke zijn dan die vreemde talstelsels?
17. Welke getallen tusschen 2000 en 3000 laten bij deeling door
17 en 11 respectievelijk tot resten 7 en 5?
18. Bepaal twee getallen, die 10 verschillen, en gelegen zijn tusschen
3000 en 5000, zoodanig, dat het kleinste deelbaar is door 25
en het grootste door 19.
19. Welke geheele positieve waarden zal x in de vormen :
3a; +11 7a;— 13 9a; + 10 , , , , .^ „
; ; en = moeten hebben, opdat elke
5 o 7
breuk een geheel getal worde?
20. Van een opklimmende rekenkundige reeks met een even aantal
54
termen is de som van de termen 175. Als men de som van
de beide middelste termen op 149 deelt, verkrijgt men dezelfde
uitkomst, als wanneer men het verschil dier termen van 27
aftrekt. Men vraagt die reeks te vinden, als nog gegeven is,
dat alle termen geheele getallen zijn.
Twee Vergelijkingen van den eersten graad met drie
Onbekenden.
24Ö. Zij gegeven het stelsel :
\ 2x -]- hy -\- ^z = 108
( Sx—2y-\-7z = 9h,
en stellen wij ons voor, de geheele positieve waarden van x,
y en z te zoeken, die aan beide vergelijkingen voldoen.
Wij beginnen één der onbekenden te elimineeren, b.v. x,
waardoor wij verkrijgen één vergelijking met twee onbekenden, nl. :
19?/ — bz= 134.
Lossen wij deze op :
5. = 19e,-134; , = i^i^M = 42, - 27 + i^.
Stel ~7^ = p, dus y = l — 5p,
5
dan is :
^ = 4: — 20p — 27 -\-p = — 23 — 19p.
Substitueeren wij de waarden van y en z in de eerste ver-
gelijking, om te zien, of wij dan ook een geheele waarde in p
voor X krijgen :
2a; + 5 — 25p — 69 — Ö7p = 108
2a;=:172 + 82j?.
Daar de coëfficiënt van x deelbaar is op het tweede lid, vin-
den wij hier toevallig ook een geheele waarde in p voor X, en wel :
X = QQ-\- élp.
De onbekenden x, y en z zijn dus nu ieder uitgedrukt door
een geheelen vorm in p, en daar die vormen geheele positieve
waarden moeten hebben, stellen wij :
86 4- 41_p > O ; 1 — 5p > O ; — 23 — 19;? > 0.
41;? > — 86 hp<Cl 19p < — 23
De eenige waarde van p, die aan deze voorwaarden voldoet
is — 2 ; daardoor jvordt :
x = 4:; y = ll; ^=15.
t9. Behandelen we nu nog het stelsel :
\ 2x-\-Uy — lz = 341
/ 10a; 4- iy + 9^ = 473.
Na eliminatie van x verkrijgen wij :
66y — 44^ = 1232
22/ 3«/— 2^ =--56 •
Stel y = 2p, clan gaat deze vergelijking over in :
3 . 2p — 20 = 56
2/ 32?— 0 = 28
;§; = 3p — 28
Substitueert men deze waarden voor ^ en 0 in de eerste der
gegeven vergelijkingen, dan krijgt men :
2x + 28?) — 21j) 4- 196 = 341,
of : 2x-\-lp = 145
2x = 145 — lp
145 — lp_
72 — 3^ +
P
2 ^^ ' 2
Men ziet dus, dat x niet door een geheelen vorm in p kan
voorgesteld worden en stelt daarom :
1
p
p=:2q
p = — 2q -h 1.
Daardoor wordt dan :
x=72-\-6q
3 -f g r= 69 4- 7g
t/ = — 4g H- 2
^ = — 25 — 6q.
Wil men nu voor x, y en 2;geheele positieve waarden hebben,
dan moet men stellen :
694-7^>0; — 4(7 + 2>0; — 25 — 6^>0.
7r/> — 69 4^<:2 6^< — 25
2>-9f ^<| q< — i\.
De eenige waarden van q, die. hieraan voldoen, zijn :
~5; —6; —7; —8; —9.
Daaraan beantwoorden respectievelijk :
^ = 34
1 27
1 20
1 13
1 6.
y = 22
1 26 1
30 1
1 34 1
38.
11 17 23 29.
56
Opmerking. Op dezelfde wijze handelt men altijd met een
stelsel, waarin het aantal vergelijkingen één minder is, dan het
aantal onbekenden.
Opgaven.
Bepaal de geheele positieve wortels van :
X
2y^z^h ^ 3« + % -f 2^ =^ 17
1. < ^ 2.
' \ 2x-\- y — z=7 ' ( X -\- y -\- z = 6.
•_ \ 10x — 'dy = 4: \ Sx-\-2y — bz = — U
I hy — 2s = L ' \ ix — ly+^2=hi.
4a; + 32/ H- 22^ = 80
a; + 2^ + 50 = 48.
6. Bepaal het kleinste getal, dat bij deeling door 6, 8, 15 respec-
tievelijk tot resten 4^ 4, 13 geeft.
7. A, B en C krijgen samen niet meer dan 200 gld. A en B ont-
vangen samen 10 gld. minder dan het viervoud van C ; B en C
ontvangen samen 30 gld. meer dan A. Hoeveel krijgt ieder ?
8. Bepaal drie getallen zoodanig, dat hunne som 58 is, en het
drievoud van het eerste, het tweevoud van het tweede en het
viervoud van het derde 199 tot som geeft.
9. Welke drie op elkaar volgende getallen, die tusschen 4000 en
6000 liggen, geven bij deeling door 9, 8, 7 respectievelijk
8, 4, 2 tot resten?
10. Van de rekenkundige reeks :
10, 17, 24, 31 ... .
drie opeenvolgende termen te vinden, die respectievelijk door
3, 11, 13 deelbaar zijn. De getallen moeten liggen tusschen
5000 en 10000.
Bén Vergelijking van den eersten graad met drie
Onbekenden.
250. Om de geheele positieve waarden van x, y en z te bepalen,
die gelegen zijn tusschen .10 en 20 en voldoen aan de vergelijking:
3:r + 4«/ + 5^=153,
beginnen wij weer met x op te lossen, als zijnde de onbekende
met den kleinsten coëfficiënt :
153 — 4v — 5^ ^, y + 2z
57
02. Ij. y + 22!
ötelt men nu - —
ö
a, dan is :
yz=3a — 2z
en x^=bl — 3a + 2^ — z — a = 51
Omdat X, y en z positief moeten zijn, hebben wij :
da — 2z>0 en bl — 4a-\-z>0,
bl-hz
-4:a-\-z.
of
■^z en
Stelt men nu, daar z tusschen 10 en 20 ligt :
z=ll ', dan vindt men :
a kan zijn, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
Onderzoekt men, welke waarden X en y dan respectievelijk
krijgen, dan merkt men op :
bij a= S, 9, 10, 13, 14, 15
behoort: x=^0, 26, 22, 10, 6, 2,
welke waarden voor x niet voldoen, daar ze niet tusschen 10
en 20 liggen.
Men onderzoekt dus de waarden, die bij a = 11 en 12 behooren,
en zal vinden :
en :
Evenzoo vindt men :
als z = 12 is, voldoen :
a = 12, 13
a;=15, 11
2/ = 12, 15
iC = 18 en 14,
y = 11 en 14.
als z=- 14: is, voldoen :
a=13
a;=13
en
als z = IS is, voldoen :
a = lS
x=12
y=lZ
Voor de waarden van z'^-lh
20 vindt men geen waarden
voor X en ^, die tusschen 10 en
20 liggen.
De stellen wortels, die tusschen 10 en 20 liggen, zijn dus:
a;^ 18 I 14 I 15 I 11 I 12 I 13
y = 11 I 14 I 12 I 15 I 13 I 11
^ = 11 I 11 I 12 I 12 I 13 I 14.
251. Wanneer de onbekenden in het eerste lid alle hetzelfde teeken
hebben, en de bekende term in het tweede lid heeft ook dat
teeken, dan kan de onbepaalde vergelijking ook als volgt opge-
lost worden :
Zij de vergelijking :
3a; + 52/-fll;3=70 (1)
58
De onbekende, die den grootsten coëfficiënt heeft, is z. Deze
bereikt haar grootste waarde, als de andere onbekenden zoo
klein mogelijk zijn, dus als a; = 1 en ^ = 1 is. De onbepaalde
vergelijking (1) wordt dan :
3 + 5 + 11^=70
112 = 62
'TT-
z kan dus zijn : 1, 2, 3, 4, 5.
z = \.
(1) wordt :
Dus: 3 + 5a
5a
a
dus kan :
dan is :
en :
3a; + öz/ = 59
ac = 3 + 5a
2/ = 10 — 3a.
O en 10 — 3a > — O
— 8 — 3a > — 10
— I; «
a = O, 1, 2, 3 zijn,
x= 3, 8, 13, 18,
2/ =10, 7, 4, 1.
^1 •
0 = 2.
0 = 3.
(1) wordt
3^ + 5^ = 48.
öc=16 — 5&
y = ^b.
Dus : 16 -
- 55 > 0 en 3ö > 0
~
-5&>— 16 5>0;
&<3i;
dus kan :
ö= 1, 2, 3 zijn,
dan is :
X = 11, 6, 1,
en :
y= 3, 6, 9.
(1) wordt
3a; + 5«/ = 37
0? = 9 — 5c,
1/ = 2 + 3c.
Dus: 9 —
5c >0 en2 + 3c>0
—
5o— 9 3c> — 2
c<lt; c> — 1
dus kan :
c = 0, 1 zijn.
dan is :
a; = 9, 4,
en :
i/ = 2, 5.
59
Z = 4:.
(1)
wordt
y =
2,x+ by
--7 — 5d
-. 1 + 3d.
= 26
Dus
: 7-
hd>0
en l-\-Sd>Q
M>—1
3d>-
1
^<1|;
d> —
1 .
F »
dus
kan :
d =
0, 1 zijn,
dan
is :
X =
7, 2,
en :
y =
1, 4.
0 = 5.
(1) wordt :
Dus: 5
Sx-\-by = 15
ac = 5 — 5e
2/= 3c,
0 en 3e > O
— 5 3e > O
1 e>0.
Men kan dus geen geheele waarde vinden voor
e, derhalve ook geen geheele positieve waarden
voor X en y.
Aan de gegeven vergelijking voldoen dus :
be
be
e-
x= 3
8
13
18
11
6
1
9
4
7
2
?y=10
7
4|
1
3
6
9
2
5
1
4
0= 1
2 2 2 3 3 14 4.
Opmerkingen.
1*^. Wij hebben de grootste waarde berekend, die de onbekende
met den grootsten coëfficiënt verkrijgen kan, omdat wij dan de
onbepaalde vergelijking met drie onbekenden in het kleinste
aantal onbepaalde vergelijkingen met twee onbekenden kunnen
sphtsen.
2". Men kan deze methode niet toepassen, als de coëfficiënten
in het eerste lid niet alle hetzelfde teeken hebben ; b.v. bij de
vergelijking :
4:X — by+ 11^=70;
want nu bereikt z haar grootste waarde niet, als a?= 1 en
y = 1 is. Voor a; = 1 en y = 2 toch bereikt z een grootere
waarde.
Opgaven.
Welke geheele positieve waarden voldoen aan :
1. ^x— 32/ + 7^ = 37.
60
2. 11^4-25^+104^ = 4000.
3. 15r»+2l2/+ 352! = 101.
4. Hoe kan men de breuk yff verdeelen in drie andere echte
breuken, die tot noemers hebben de getallen, 5, 8 en 12 ?
5. Een gezelschap van dertig personen bestaat uit mannen, vrou-
wen en kinderen, en heeft 50 gld. verteerd. Zoo ieder man 3
gld., iedere vrouw 2, en ieder kind 1 gld. verteerd heeft, vraagt
men, hoeveel mannen, vrouwen en kinderen er geweest zijn.
6. In een mand zijn appels, peren en pruimen, samen 54 stuks, ter
waarde van 97 cent. De appels kosten 2 et. per stuk, 4 peren
kosten 7 cent en 3 pruimen 5 cent. Hoeveel vruchten van iedere
soort waren er?
7. Gevraagd in de rekenkundige reeks : 7, 20, 33, 46, enz., de
kleinste twee op elkaar volgende termen te bepalen, waarvan de
eerste door 23, en de tweede door 19 deelbaar is.
8. Welke geheele positieve waarden voldoen aan:
( x-\-2y — z-]-u = 9?
HOOFDSTUK III.
Reeksen.
Rekenkundige reeksen.
252. Bepaling. Men zegt, dat een getal b rekenkundig middel-
evenredig is tusschen de getallen a en c, als het verschil
tusschen a en b even groot is als het verschil tusschen b ene ;
dus als voldaan wordt aun de gelijkheid:
a — b = b — c.
Zoo is 5 rekenkundig middelevenredig tusschen 2 en 8.
^—T — is rekenkundig middelevenredig tusschen p en q.
Vraag. Is het woord rekenkundig middelevenredig wel goed
gekozen ?
253. Bepalingen, ^en rij van getallen noemt men een veelsis, als
elk der getallen (bij een bepaald getal te beginnen) volgens een
vaste wet uit een of meer voorgaande kan worden afgeleid.
Wanneer nu in een rij van getallen de middelste van elk
drietal termen rekenkundig middelevenredig is tusschen de beide
uiterste, dan zegt men, dat die getallen een rekenkundige
reeks vormen.
Zoo vormen 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 enz. een rekenkundige reeks.
Evenzoo: a, a-\-v, a -\- 2v, a-^3v, a-\-4:V enz. (1)
Geeft men in de reeks (1) aan a een willekeurige waarde
en ook aan v, dan krijgt men een rekenkundige reeks.
(1) is daarom een algemeene voorstelling van een
rekenkundige reeks.
De getallen, die deel uitmaken van een reeks, noemt men de
termen.
De eerste en tweede term eener rekenkundige reeks zijn wille-
keurig. De derde term wordt verkregen, door den tweeden term te
62
vermeerderen met het verschil v der eerste twee termen. De vierde
term wordt verkregen, door den derden term met hetzelfde
verschil te vermeerderen, enz.
Men kan dus ook zeggen :
Ben rekenkundige reeks is een ry van getallen^ waarvan
elke term verkregen ivordt door den voorgaanden met eenzelfde
getal te vermeerderen.
Dit getal v heet het verschil der reeks.
< Eveneens kan men uit de algemeene voorstelling eener reken-
kundige reeks (1) afleiden :
Men verkrijgt een term eener rekenkundige reeks uit den
volgenden, door dezen met het verschil te verminderen.
Noemt men den laatsten term nu l, dan is de voorlaatste
l — V, de daaraan voorafgaande l — 2v, enz.
75 V positief, dan worden de termen voortdurend grooter ;
de reeks heet dan opklimmend.
Zoo is 5, 9, 13, 17, 21 ... . een opklimmende reken-
kundige reeks, waarvan het verschil 4 is.
Is V negatief, dan worden de termen voortdurend kleiner;
de reeks heet dari afdalend.
Zoo is 5, 1, —3,-7, — 11, . . . . een afdalende
rekenkundige reeks, waarvan het verschil — 4 is.
254. Uit de schrijfwijze (1) blijkt, dat b.v. de vijfde term verkregen
wordt, door den eersten term te vermeerderen met 4maal het
verschil ; de achtste term b.v., door den eersten term te ver-
meerderen met 7maal het verschil ; of in woorden :
Elke term eener rekenkundige reeks is gelijk aan
den eersten term, vermeerderd met zooveel malen
het verschil, als het ranggetal van den term, ver-
minderd met 1 bedraagt.
Bedraagt het aantal termen der reeks n, dan zal de laatste
term <„ oi l = a -\- {m —l)v zijn. (2)
255. Als gevraagd wordt, hoe groot de som van alle termen eener
rekenkundige reeks is, dan schrijft men de reeks tweemaal onder
elkaar als volgt :
8 is de som der getallen a^ a -\- v, a -{- 2v, . . l — 2v,l — v^ l.
■ Ook is S de som van 1,1 — v, l — 2v, . . a -\-2v, a -\- v, a.
Telt men nu op, dan vindt men :
63
2 S = {a -]- 1) -\- {a -{■ l) -{- [a + l) enz. (n keeren),
of : 2S = n{a-\-l),
dus: S = in{a-]-l), (3)
of in woorden :
De som van de termen eener rekenkundige reeks
wordt verkregen, door de som van den eersten en
laatsten term te vermenigvuldigen met de helft van
het aantal termen.
256. De formules voor l en s noemt men de hoofdformules.
Deze zijn dus :
l = a-\-{n — l)v, (2)
s = ^n(a-{-l). (3)
In deze formules komen vijf grootheden voor :
l (laatste term),
a (eerste term),
n (aantal termen),
V (verschil),
s (som van n termen).
Kent men drie van die grootheden, dan kan men met behulp
van de twee hoofdformules de andere twee bepalen.
Voorbeelden.
1. Zij gegeven : v = S, n = 9, s = 129 ; en gevraagd a en l.
Wanneer men de gegeven waarden substitueert in de formules
(2) en (3), dan ontstaan de vergelijkingen :
l = a + 24. (2)
126 = 4i {a + l). (3)
Uit deze twee vergelijkingen, met twee onbekenden moeten
a en ^ berekend worden. Men schrijft ze daartoe als volgt:
Z — a = 24. (2)
l-{-a = 28. (3)
Door optelling vindt men 21 = 52, of Z = 26.
Door aftrekking vindt men 2a = 4, of a = 2.
2, Zij gevraagd, de grootheden Z en w uit te drukken in a, v en s.
Daartoe beschouwt men l en n als de onbekenden der ver-
gelijkingen :
l = a^{n— l)v (2)
s = \n{a + l). (3)
Ten opzichte van deze letters is vergelijking (2) van den
eersten graad en vergelijking (3) van den tweeden graad.
64
Men substitueert dus l = a-\-{n — l)v in vergelijking (3),
waardoor ontstaat :
s = ^n .{a -\- a -Y {n — l)v]
s := an-{- ^fi'v — ^ nv.
Rangschikt men deze vergelijking naar de afdalende machten
der onbekende w, dan ontstaat :
^n^v -\-n{a — ^v) — s = O,
of : w H .n = 0,
V V
v — 2a ■ , M2a — vf , 8s/
waaruit volgt : n = —^ — ± |1X j -^ \- — j,
„ , , ... v-2a±]y{{2a-vY-^8vs] ...
01 na herleidmg : n = . (4j
Hierbij valt op te merken, dat n geheel en positief moet
zijn. Is nu aan de eerste voorwaarde voldaan, dan zal blijken,
dat men soms één, soms twee waarden voor n vindt.
Substitueert men de gevonden waarden voor n in vergelijking
(2)j dan vindt men :
, \v — 2a±iy{{2a — vf-]-8vs] J
i = a-{-] y.
\v — 2a ± K{(2a — vf + 8vs] — 2v\
l = a-{-
2v
/ = - -^ ± lK{(2a - vf -f 8vs].
(Li
Opmerking.
Het is niet noodig, dat drie van bovengenoemde vijf groot-
heden gegeven zijn ; voldoende is het, dat er drie vergelijkingen
gegeven zijn, welke betrekkingen aanduiden tusschen deze drie
grootheden.
Men drukt dit uit door te zeggen : Een rekenkundige
reeks is bepaald door drie gegevens.
Opgaven.
1. Van een rekenkundige reeks van 20 termen is de eerste term
3 en het verschil 4. Hoe groot is de achtste term? Hoe groot
is de (|)-|-3)de term; hoe groot de (2p -|- ^)de term? Hoo
groot is de som van de 20 termen?
2. Van een rekenkundige reeks is de 1^^ term 25 en de 10"^^
term 31. Men vraagt den 20^'*^'' term.
3. Van een rekenkundige reeks is de som der eerste 3 termeril
65
30, de som der laatste 3 bedraagt 93. Hoe groot is de som
van alle termen, als het aantal termen 10 bedraagt?
4. Uit hoeveel termen bestaat een rekenk. reeks, waarvan de
tweede term 10, de laatste 37 en de vijfde term 19 bedraagt?
5. Men vraagt de som van alle oneven getallen, die kleiner zijn
dan 100.
6. Een rekenkundige reeks bevat 18 termen. De som der middelste
termen is 31^, terwijl het produkt van den eersten en laatsten
term 85^ is. Bepaal die reeks.
7. Van een rekenk. reeks bedraagt de som der eerste 4 termen
46, de som der laatste 3 is 130, en de som van alle termen
is 242. Men vraagt die reeks te bepalen.
8. Men vraagt te bepalen de som van alle getalen <: 6p (waarin
p een geheel getal voorstelt), die deelbaar zijn door 3, maar
niet door 6.
9. Voor het graven van een put wordt voor den eersten M. 4 gld.
betaald, voor eiken volgenden M. 1,5 gld. meer dan voor den
voorgaanden. Hoeveel kost die put, als hij 30 M. diep moet
worden ?
10. Men vraagt het verschil van de termen eener rekenkundige
reeks te bepalen, als de eerste term 7, de middelste 22, en de
som van alle termen 242 bedraagt.
11. Op een der beenen van een hoek van 30** zijn, te beginnen bij
het hoekpunt, naast elkaar stukken afgezet van a M., en uit
elk van die deelpunten loodlijnen op het andere been neerge-
laten. Hoeveel bedraagt de som van 20 van die loodlijnen?
12. Beantwoord dezelfde vraag :
a. voor een hoek van 60°.
&. » „ « , 45«.
13. Een reeks heeft 2p termen ; de middelste termen zijn a en b.
Hoe groot is de som van alle termen van die reeks?
14. Bij een wedren werd bepaald, dat de eerstaankomende 100 gld.
zou ontvangen, en elke volgende mededinger 10 gld. minder,
dan de voorgaande. Als de anderen samen 350 gld. ontvingen,
hoeveel mededingers zijn er dan geweest?
15. Elf soldaten hebben een vijandelijke versterking genomen. Tot
belooning mogen zij een som gelds verdeelen, zoodat hun aan-
deelen een rekenkundige reeks vormen. De eerstbinnenkomende
ontvangt 350 gld. ; de 4^^® en b^'^ samen 595 gld. Hoe groot is
de te verdeelen som?
Derksen en de Laivc, Alg. III. 5
66
16. Iemand zeide : Sedert ik in betrekking ben, heb ik in het
geheel reeds 4050 gld. bespaard ; in het laatste jaar alleen 234
gld. Elk jaar spaarde ik 6 gld. meer over, dan het voorgaande.
Hoeveel had die man het eerste jaar bespaard, en hoeveel jaren
was hij reeds in betrekking?
17. Twee lichamen A en B bewegen zich langs een rechte lijn in
dezelfde richting ; A bevindt zich 21 M. voor B, en legt in
de eerste seconde 11 M. af, en in elke volgende echter 3 M.
meer, dan in de voorgaande. B legt in de eerste seconde 8 M.
af, en in elke volgende 5 M. meer dan in de voorgaande. Na
hoeveel seconden, en op welken afstand van de plaats waar B
begon, wordt A ingehaald ?
18. Drie getallen vormen een rekenkundige reeks. De som van de
tweedemachten van het eerste en tweede getal is 689 ; de som
van de tweedemachten van hef tweede en derde getal bedraagt
929. Welke zijn die getallen?
19. Twee regimenten, A en B, bevinden zich in twee plaatsen, die
103^ K.M. van elkander verwijderd zijn. Om zich te vereenigen
vertrekt het regiment A 3 uren vroeger dan het regiment B, met
een snelheid van 3 K.M. in het eerste, 3^ K.M. in het tweede uur
en zoo voortgaande : elk volgend uur ^ K.M. meer afleggende.
Regiment B begint met een snelheid van 6 K.M. per uur, en
legt ieder volgend uur ^ K.M. minder af. Wanneer zullen die
regimenten elkaar ontmoeten?
20. Hoe groot is het aantal termen van een rekenkundige reeks,
waarvan de eerste term — 10 is, het verschil — 2, en de som
— 28?
21. Druk s en n uit in a, v en l.
22. Evenzoo a en n in v, l en s.
23. Welke is de rekenkundige reeks van 4 termen, wier verschil
a is, en wier termen b tot produkt hebben ?
(Eindex. H. B. S. 1867).
24. Drie rekenkundige reeksen hebben samen 60 termen, waarvan
de som 561^ is. Als van de eerste reeks de eerste term 2 en
de laatste 5 ; van de tweede reeks de eerste term 1 en de
laatste 23 ; van de derde reeks de eerste 3 en de laatste 18
is, hoe groot is dan het aantal termen van elk der drie reeksen ?
(Eindex. H. B. S. 1882).
25. Van een rekenkundige reeks is de n''" term gelijk aan het
vijfde deel van het met 1 verminderde viervoud van het rang-
67
getal. Hoe stelt ge nu 7'„ voor; en waaraan is dan in deze
reeks T„ 7},, ^,7 gelijk?
26. Van een rekenkundige reeks wordt T„ voorgesteld door 2n + 3.
Hoeveel bedraagt de som van n termen van die reeks?
27. Van een andere rekenkundige reeks wordt T„ voorgesteld door:
— - — . Zet die reeks links van den eersten term voort. (Stel
daartoe n = 0, — 1, — 2, — 3 enz.).
257. Men xegt, dat er p termen geïnterpoleerd of ingelascht
worden tusschen elk tiveetal termen eener rekenkimdige 7'eeJcs,
als de ingelaschte termen met die van de oorspronkelijke reeks
een nieuwe rekenkundige reeks vormen.
Zij de oorspronkelijke reeks :
a^ a-\- V, a-\-2v^ . . . . (tx)
Noemt men het verschil der nieuwe reeks Vi, dan kan men
deze voorstellen als volgt :
«, a-\-Vi, a-\-2vi, . . . a-\-(p—l)vi, a-\-pvi, a-\-{p-\-l)v„ ... (/3)
Daar p) termen ingelascht worden tusschen a en a-\- v, is de
tweede term van reeks [x] dezelfde, als de {p-\-2Y^ term van
reeks (/3) ; dus :
a -\- V = a -\- {p -\- l)t'i
ip + 1)^1 = V
"■ = 27+1' (*>
of in woorden :
Als men p termen interpoleert tusschen elk twee-
tal termen eener rekenkundige reeksj dan verkrijgt
men het verschil der nieuwe reeks, door het oor-
spronkelijke verschil te deelen door een getal, dat
1 meer is, dan het aantal termen, die geïnterpoleerd
moeten worden.
Opgaven.
1 . Tusschen de opeenvolgende termen 7 en 13 eener rekenkundige
reeks wenscht men 8 termen te inierpoleeren. Welke zijn deze
termen ?
2. Tusschen de opeenvolgende termen a en b eener rekenkundige
reeks wil men q termen interpoleeren. Hoe groot is het verschil
der nieuwe reeks?
68
3. Tusschen elk tweetal termen der reeks 5, 9, 13, . . .29,
33, wenscht men 3 termen te interpoleeren. Hoe groot is de
som der nieuwe reeks?
4. Hoeveel termen moet men interpoleeren tusschen elk tweetal
der reeks :
8, 11, 14 . . . 26, 29,
opdat de som der nieuwe reeks 1591 zij?
5. Hoeveel termen moet men tusschen elk tweetal opeenvolgende
termen der reeks :
10, 22, 34, 46, 58, 70
interpoleeren, opdat de som der nieuwe reeks 1680 zij ?
6. Van een rekenkundige reeks van 20 termen i.s de eerste term
10 en de laatste 50; van een andere reeks van 9 termen is de
eerste 6 en de laatste 84. Hoeveel termen moet men in die
beide reeksen tusschen elke twee opeenvolgende termen inter-
poleeren, opdat na de interpolatie de som van al de termen in
beide reeksen even groot zij ?
(Eindex. H. B. S. 1876).
Meetkundige reeksen.
258. Bepaling. Men xegt dat een getal b meetkundig mi(
delevenredig is tussche7i twee andere getallen a en c, al
het quotiënt van a en h hetzelfde is, als het quotiënt van b en
c, dus als voldaan ivordt aan de gelijkheid:
a b
T~~c'
Zoo is zoowel +6 als — 6 meetkundig middelevenredig tus-
schen 4 en 9, omdat :
± — A
6 ~ 9'
, 4-6
maar ook : ^ = —^ — .
— o y
Zoowel 4- Vab als — Vab is meetkundig middelevenredig
tusschen a en b.
259. Bepaling. Wanneer in een rij van getallen de middelste vax
elk drietal opeenvolgende termen meetkundig middelevenredig is
tusschen de beide uiterste, dan xegt men, dat die getallen ecu
meetkundige reeks vormen.
69
Zoo vormen de getallen 5, 10, 20, 40, 80 enz. een meet-
kundige reeks. Evenzoo de getallen :
a, ar, ar^, ar^ enz. (1)
Geeft men in deze reeks aan a een willekeurige waarde, en
ook aan r, dan ontstaat een meetkundige reeks ; (1) is daarom
een algemeeue voorstelling van een meetkundige reeks.
De achtereenvolgende getallen heeien de termen.
De eerste en tweede term zijn willekeurig. De derde term
wordt verkregen, door den tweeden term te vermenigvuldigen
met het quotiënt van den tweeden en eersten term ; de vierde
term, door den derden met hetzelfde quotiënt te vermenigvul-
digen ; enz.
Men kan dus ook zeggen :
Ben meetkundige reeks is een ry van getallen^ waarvan
elke volgende term. verkregen tvordt, door den voorgaanden met
een zelfde getal te vermenigvuldigen.
Dit getal v heet de reden der meetkundige reeks.
Is V in volstrekte waarde > 1, dan worden de termen
voortdurend grooier in volstrekte waarde; de reeks heet dan
opklimmend.
Zoo zijn:
5, 10, 20, 40, 80, 160 ... .
7, — 21, 63, — 189, 567, ....
opklimmende meetkundige reeksen, waarvan de redens respec-
tievelijk 2 en — 3 zijn.
Is r in volstrekte waarde << 1, dan worden de terinen
voortdurend kleiner in volstrekte waarde; de reeks heet dan
afdalend.
Zoo zijn :
O 11 1 1
"> ~2i ~Si ^ï» TO"» • • • •
, afdalende meetkundige reeksen, waarvan de redens respectie-
velijk ^ en — \ zijn.
260. Uit de schrijfwijze (1) blijkt, dat de vierde term verkregen
wordt, door den eersten term te vermenigvuldigen met de derde
macht van de reden. De zesde term wordt verkregen, door den
eersten term te vermenigvuldigen met de vijfde macht van de reden.
In het algemeen zal een term van een meetkun-
dige reeks verkregen worden, door den eersten term
70
te vermenigvuldigen met een macht van de reden,
welker exponent 1 minder is dan het rangnummer
van den term.
Bedraagt het aantal termen der reeks w, dan zal dus de laatste
term t„ of 7 = ar"~' zijn. (2)
261. Als gevraagd wordt de som te bepalen van n termen eener
meetkundige reeks, dan handelt men aldus :
a. voor een opklimmende meetkundige reeks.
Men vermenigvuldigt alle n termen der reeks met r, en trekt
van die som de som van de n termen der eerste reeks af :
rS = ar + ar' -f arH- -\- ar""-- -\- ar""'' -\- ar''
S = a -\- ar -]- ar- -]- + ffr"-'4- ar'"' + ar'"-'
rS—S= — a -\-ar''
S{r—l) = air''—l)
r" — 1
S = a -, (3a)
t' — 1
of in woorden :
De som van de termen eener opklimmende meet-
kundige reeks wordt verkregen, door den eersten
term te vermenigvuldigen met een breuk, waarvan
de teller 1 minder is, dan die macht van de reden,
welker exponent gelijk is aan het aantal termen.
De noemer der breuk is 1 minder dan de reden.
Opmerking :
Bedenkt men dat l = ar'^~\ dan kan men de formule (3a)
1 1, •• . « rl — a
ook schril ven : >3 = ^.
J r — 1
De leerling brenge deze formule in woorden.
b. voor een afdalende meetkundige reeks :
Daartoe vermindert men de som van n termen der reeks|
met de som der termen, nadat deze met r vermenigvuldigd zij».]
S=a-\-ar-\-ar-{- -f ar"-' + ar""-' + ar""-'
rS= ar -\- ar + ar^-\- -f- ar"-' -f- ar""' -|- ar".|
S — rS=a — ar"
;Sf(l— r) = a(l — r")
1 r"
S=a^ — — {31
1 — r
of in woorden : 1
De som van de termen eener afdalende meetkui
71
kundige reeks wordt verkregen, door den eersten
term te vermenigvuldigen met een breuk, w^aarvan
de teller 1 is, verminderd met een macht van de reden,
welker exponent gelijk is aan het aantal termen.
De noemer der breuk is 1 verminderd met de reden.
Opmerkingen.
1." De formule [Sb) kan uit (3a) afgeleid worden, door teller en
noemer der breuk met — 1 te vermenigvuldigen.
2^ De formules (3a) en (3è) zouden ook als volgt kunnen afge-
leid worden :
S = a-^ar-^ar-]- + ar*^"' + ar*^"' + ar""'
5 = a (1 + r + r' + . . +- r"~' + ^""' + »•""')•
De vorm tusschen haakjes is het quotiënt der deelingen :
1 — r" ^ r'^ — 1
ot
1 — r r — 1 '
dus: S=a\~^''\ (Sb)
1 — r
n -I
of: S = a- =-. (3a)
r — 1
262. De formules voor ^ en s noemt men de hoofdformules.
Deze zijn dus :
l = ar"-* (2)
r*" 1 1 — r"
S = a f, of>Sf=«^ . (3)
r — 1 1 — r
In deze formules komen vijf grootheden voor :
a (eerste term),
l (laatste term),
n (aantal termen),
r (reden),
s (som der termen).
Kent men drie van die grootheden, dan kan men met behulp
van de twee hoofdformules de andere twee bepalen.
Voorbeelden :
1. Zij gegeven: a = 8, n = b, 1 = 4:0^,
en gevraagd : r en s.
AVanneer men de gegeven waarden in de formules (2) en (3)
substitueert, dan ontstaan de vergelijkingen :
401 = 8r' (2)
s = 8- ^. . (3)
72
Vergelijking (2) bevat alleen de onbekende r. Schrijft men haai-
re = -14-
en bepaalt men zich tot de reëele wortels dezer vergelijking,
dan zal men vinden :
r, = 1| ; ri = — \\.
Substitueert men r=-\\ in vergelijking (3), dan wordt deze :
s,-8. ,_j
„ 243 — 32
s, = 105^
Bij r = — 1^ behoort:
''-^' -1-1
^ 243 + 32
'■' = ^' 80
s,=-27i.
De gevonden waarden zijn dus :
^ lil 11
s = 1054- 27i
2. Zij gevraagd a en l uit te drukken in r, n en s.
Daartoe beschouwt men a en Z als de onbekenden van de
vergelijkingen :
l = ar''-' (2)
*•■"• — 1
s = a ;-. (3)
r — 1
In vergelijking (3) komt de onbekende a alleen voor; men
berekent dus a daaruit, en vindt :
s (r — 1)
Substitueert men deze waarde in vergelijking (2), dan vindt men j
s{r-l) _gr-^(r-l)
r — 1 r — 1
Opmerkingen :
l'*. Het is niet mogelijk elke der vijf grootheden uit te drukkeaj
in drie andere. Dikwijls zal men stuiten op een algebraïsch^
vergelijking, die niet op te lossen is, of op een exponentieeU
vergelijking (waarover later meer). Dit laatste zal het gevf
zijn, indien men n in drie der andere grootheden wil uitdrukker
73
Het is niet noodzakelijk, dat drie van bovengenoemde vijf
grootheden gegeven zijn; voldoende is het, dat er drie verge-
lijkingen gegeven zijn, welke betrekkingen aanduiden lusschen
deze drie grootheden.
Men drukt dit uit door te zeggen : Ben meetkundige
reeks is bepaald door drie gegevens.
Opgaven.
1. Welke is de 16^*^ term der reeks :
2, 6, 18, 54 ?
Welke is de p^^ term ?
2. Van een meetkundige reeks van 5 termen is de eerste term 3
en de reden 1^. Hoe groot is de som dezer 5 termen?
3. Van een meetkundige reeks is de 5*^** term 250 en de 3*^® term
10, Hoe groot is de eerste term?, hoe groot de T*^*^ ?, hoe groot
de (p— 5)"^« term?
4. Welke is de tiende term der reeks :
3, — 6, 12, - 24, 48 . . . . ?
5. Hoe groot is de som van 10 termen der reeks :
in (^ 91 5 5 ï»
lU, o, ^^, Tl 'S • • ' • •
6. Van een afdalende meetkundige reeks van 6 termen is de som
der eerste 3 termen 7, de som der laatste 3 is ^. Welke is de
eerste term ?
7. Uit hoeveel termen bestaat een meetkundige reeks, als de tweede
term — 54, de laatste term — ^^ en de vijfde term 2 is ?
8. Uit hoeveel termen bestaat een meetkundige reeks, waarvan de
laatste term 192, de middelste term 24 en de som der eerste
twee termen 9 is ?
9. Van een meetk. reeks is de eerste term p, de tweede — q,
hoe groot is de tiende term? de n'^" term?
10. Van een meetk. reeks is de 4'^'' term y^p en de 5^*^ terra
— V^q. Hoe groot is de eerste term, de 10*^*^ term?
11. Drie getallen te vinden, die een meetkundige reeks vormen; de
som is 310, en het produkt van het eerste en laatste getal is 2500.
12. De eerste term van een meetkundige reeks is ^^5 ^^ som der
eerste 4 termen is 1 meer dan de reden. W^elke zijn de vier
termen?
13. Van een meetkundige reeks is de reden f, de middelste term
1 en de laatste term ^^. Men vraagt de som.
74
14. Vier kooplieden drijven samen handel en verdienen 5% van
hun kapitaal of 1625 gld. Als hun inleggelden een meetkundige
reeks vormen, waarvan de reden f is, hoeveel heeft elk dan
ingelegd ?
15. Men vraagt te berekenen :
a, als gegeven is : r = 2, 1 = 480, s = 945
l, 9 „ „ : a = 16, w = 6, s = 56.
16. Druk l uit in a, r, s.
s in a, n, l.
17. Uit een vat, inhoudende a L. alcohol, neemt men b L. et
vult dit aan met water. Nadat deze vloeistoffen behoorlijl
gemengd zijn, neemt men er weer b L, uit, en vult weer aaï
met water. Dit doet men n keeren. Van welk gehalte is m
de vloeistof?
363. Men zegt, dat er p termen geïnterpoleerd of ingelascht
worden tusschen elk tweetal termen eener meetkundige reeks~
als de ingelaschte termen met die der oorspronkelijke 7~ceks een
nieuive meetkundige reeks vormen.
Zij de oorspronkelijke reeks :
a, ar, ar, ar^ . . . . {c^)
Noemt men de reden der nieuwe reeks r,, dan kan men
deze voorstellen als volgt :
a, ari, «r,-, .... ari^~\ ari^, ar^^^\ a.r^'^' .... (,0)
Daar p termen ingelascht worden tusschen a en ar, is de
tweede term van reeks (<%) dezelfde, als de (p -\- 2Y^ term van
reeks (/3); dus :
ar
ar^
of in woorden :
Als men p termen interpoleer b tusschen elk twee-J
tal termen eener meetkundige reeks, dan verkrijgt,
men de reden der nieuwe reeks, door dien wortel
te trekken uit de oorspronkelijke reden, welks
exponent één meer is, dan het aantal geïnterpo-
leerde termen.
Opmerking.
Bij de berekening van ^\^r, ter bepaling van de nieuwl
reden, neemt men in den regel alleen de reëele wortels.
I
2.
3.
I
75
Opgaven.
Tusschen de opeenvolgende termen 8 en 72 eener meetkundige
reeks wenscht men 1 term te interpoleeren. Welke term is dat ?
Tusschen de termen a en 6 eener meetkundige reeks wenscht
men p termen te interpoleeren. Hoe groot is de nieuwe reden ?
Tusschen elk tweetal termen der reeks :
5, 40, 320, 2560,
interpoleert men 2 termen. Hoe groot is de som der nieuwe
reeks ?
Men vraagt den achtsten term der meetkundige reeks, die men
verkrijgt, als men tusschen a en h interpoleert p termen.
Afdalende meetkundige reeksen met oneindig veel termen.
A G D E FQB
264. Wanneer men van een lijn AB, welker lengte wij a zullen noemen,
eerst de helft neemt: AC-, daarbij voegt de helft van AC, of
CD ; daarbij weer de helft van CD, of DE ; dan weer de
helft van DE, of EF; daarbij weer de helft van EF, of FG,
enz. ; dan zal de som der lijnen :
AC+CD-\-DE-^EF^FG+ . . . .
hoe langer hoe meer naderen tot de lijn AB of a, en als men
zeer veel van die lijnen neemt, er ten slotte zoo weinig van
verschillen, als men wil.
Men noemt nu de lijn AB, die een bepaalde lengte a heeft,
de grens'waarde of limiet, waartoe de som der lijnen:
AC^CD^ DE^-EF+FQ . . . .
nadert.
Bepaling. Onder een grenswaarde o/" limiet verstaat men
een standvastige grootheid, ivaartoe een vei'anderlyke grootheid
meer en meer nadert, zoodat het verschil tusschen de standvastige
en veranderlijJce grootheid ten slotte zoo klein wordt, als men wil.
265. Wanneer men een afdalende meetkundige reeks beschouwt :
o 2 3 2 2
^J ff» 7» -JTi "ST» • • • •
dan merkt men op, dat de termen voortdurend kleiner worden,
en ten slotte zoo klein als men wil. De vraag doet zich onwil-
lekeurig voor : nadert de som van de termen dezer reeks ook tot
een limiet, als men het aantal termen voortdurend laat toenemen ?
76
Eigenschap. Als een afdalende meetkundige reeks
oneindig veel termen bevat, is de limiet, waartoe de
som nadert, een breuk, welker teller de eerste term
is; de noemer is 1, verminderd met de reden.
of : Lim. s = ^ — — (4|
1 — r ^ *
Gegeven : a, ar^ ar', ar^ ....
is een afdalende meetkundige reeks met oneindig veel termen
dus r -^C 1 in volstrekte waarde.
Te bewijzen :
a. dat
b
standvastig is.
l — r
dat de som van p -\- 1 termen minder van
de som van p termen.
verschilt, dan f
c. dat het verschil tusschen
en de som van n termen zoo
a.
1 — r
klein wordt als men wil, als n oneindig groot is.
Bewijs :
In elke afdalende meetkundige reeks heeft a een bepaalde
standvastig.
waarde, evenzoo r. Dus voor elke reeks is
b. /Sp_|_i
1
.P4-1
— ar^+'
Sp — a
1 — r
1 — r^
1 — r
ar^+'
l — r
a — ar
ar
Het verschil tusschen
Het verschil tusschen
a
1 — r
a
en S
ar
i-,+\
p+i
IS
l — r'
r
en Sn is
ar
Nu is
ar
,p+i
in volstrekte waarde
1
ar
, omdat r in vol-'
a
c. S,
1 — r '" ""'" ^1 — r
strekte waarde < 1 is ; dus Sp^i verschilt minder van ,
dan Sp.
a{l — r") a — ar"" a ar'"'
l — r 1
Het verschil tusschen
ar"
en Sn is dus ü =
^"
1 — r ~" '" 1 — r 1 — r
Daar r < 1 is, verschilt r" zoo weinig van nul als men wil,
77
indien n oneindig groot is. Daar z een standvastig getal is,
zal het produkt . r" ook zoo weinig van nul verschillen,
als men wil.
Opmerking :
Dat r" zoo weinig van nul verschilt als men wil, indien de
volstrekte waarde van r < 1 is, en n oneindig groot, kan men
als volgt aantoonen :
De volstrekte waarde van elk getal, dat kleiner is dan 1,
kan men voorstellen door :
.. , waarin d een bepaald positief getal is.
Nu is :; — ; — - = -r. — ; — r— , of, iudicu mcu den noemer volgens
het binomium van Newton ontwikkelt :
1
1+W(^+....*
Daar d een bepaald getal is, terwijl n zoo groot genomen
kan worden als men wil, zal nd eveneens zoo groot gemaakt
kunnen worden als men wil, zoodat de noemer :
\^nd^-....
oneindig groot kan gemaakt worden, waardoor dan de waarde
der breuk :
1 of 1
\-\-nd^.... {\^df
oneindig klein wordt.
Voorbeelden :
1. Bepaal de limiet^ waartoe de som der termen van de afdalende
meetkundige reeks :
o 2 2 2 2_
nadert.
In deze reeks is de eerste term 2, en de reden ^; dus vol-
gens formule (4) :
Hm. ^=-^=3.
2. De limiet te bepalen, waartoe de zuiver repeteerende breuk
0,235 nadert.
0 23:5-^^^-1-2^^4-2^^-1-
In deze reeks is de eerste term :rp^ en de reden
Dus : Lim. S =
235 .. 1
JqF en de reden j^
235
10' 235 235
1 10' — 1 999'
10'
3. I)e limiet ie bepalen, waartoe de gemengd repeteerende breuk
0,23$U nadert.
a9^^^(K 23 516 516, 516,
0,235510 = -,+ ^ + ^+^ + ....
De termen van af den tweeden vormen een afdalende meet-
kundige reeks, waarvan de eerste term z-r^- en de reden — rg is ;
dus : Lim. S =
516
23 . 10'
10^ ' 1 _ A-
10'
Tim o -23 516 _ 23(10' -1)4- 516
10'"^ 10-(10'-1)~ 10^(10' — 1) •
23000 — 23 + 516 _ 23516 - 23
™' 99900 ~ 99900 *
Opgaven.
1. Bepaal de limiet, waartoe de zuiver repeteerende breuk, 0,41
nadert.
2. Bepaal de limiet, waartoe de gemengd repeteerende breuk 0,23516
nadert.
3. Van een oneindig voortloopende afdalende meetkundige reeks
is de eerste term 6 en de limiet der som 9. Bepaal de reden.
4. Bepaal de limiet, waartoe een afdalende meetkundige reeks
nadert, waarvan de eerste term 1/2 is en de tweede 1/2, als
men het aantal termen voortdurend laat toenemen.
5. Evenzoo voor de reeks :
K3 , K6 , 2K3
1/2 + K3 ' (K2-|-K3r ' (K2-I-K3)' ' • • •
6. Evenzoo voor de rij van getallen :
11"^ 11''"^ 11'"^ iv~^ ir"^ 11**"^ ir "^ ii«"^ ir"^ 11'""^'
79
Van eene afdalende meetkundige reeks met oneindig veel termen
is de vierde term 20, en de achtste is 5. Men vraagt de limiet,
waartoe de som nadert.
Men vraagt de waarde van x in de volgende vergelijking:
Li„.(,?/. + 1+^ + ^+. . .)=3.
Uit een punt gelegen op een der beenen van een hoek van 60",
en van het hoekpunt verwijderd op een afstand a, laat men
een loodlijn neer op het andere been ; uit het voetpunt weer
een loodlijn op het eerste been, enz. Hoe groot is de som dezer
loodlijnen ?
10. Doe hetzelfde voor een hoek van 45".
11. Als men de eerste 3 termen van een meetkundige reeks, ver-
menigvuldigt met de eerste 3 termen van een rekenkundige
reeks, die met 3 begint, verkrijgt men in volgorde de produkten
12, 60 en 252. Men vraagt de termen van die reeksen.
12. Er is gegeven een rekenkundige reeks van 3 termen, de eerste
term is 12 en het verschil 2. Men vraagt den eersten term
van een meetkundige reeks, welker reden 2 is, en waarvan de
som der eerste 3 termen even groot is als de som der reken-
kundige reeks.
13. Bepaal de som van :
14. Van een meetkundige reeks is de som der eerste 2 termen 18,
die der volgende 2 is 4^. Bepaal den 6'^^'* term. Hoe groot is
de som van oneindig veel termen der reeks?
15. Van een meetk. reeks van 6 termen is de som der eerste 4
termen 225, die der laatste 4 is 56^. Welke zijn die termen?
16. Van een meetkundige reeks van 3 termen is de som der mid-
delste termen 240 en de som der uiterste 560. Welke zijn die
termen ?
17. In een cirkel, met straal = r, beschrijft men een vierkant;
in dit vierkant beschrijft men een cirkel ; in dezen cirkel weer
een vierkant enz. Hoe groot is de som der oppervl. van de
cirkels, hoe groot de som der oppervl. van de vierkanten ?
18. Hetzelfde, wanneer in den cirkel een gelijkzijdige driehoek
beschreven wordt.
80
19. De som van 3 termen eener meetkundige reeks is 42 en de
som hunner tweedemachten is 756. Welke termen zijn dat ?
20. In een gelijkzijdigen driehoek wordt een cirkel beschreven. Men
trekt een raaklijn // de basis ; en in den gelijkzijdigen driehoek,
die daardoor ontstaat, beschrijft men weer een cirkel enz. tot
in het oneindige. Men vraagt de som der oppervlakken van al
die cirkels, als de zijde van den gelijkzijdigen driehoek = a is.
21. Doe hetzelfde voor een gelijkbeenigen driehoek met een tophoek
van 36*', als de opstaande zijde = a is.
22. Een lijn a wordt in de uiterste en middelste reden verdeeld,
en men zondert het grootste stuk af. Het kleinste stuk wordt weer
in de uiterste en middelste reden verdeeld, en daarvan het
grootste stuk afgezonderd, enz. Hoe groot is de som van al deze
afgezonderde grootste stukken ?
23. Een grootheid a wordt in twee deelen verdeeld, zoodanig, dat
de som van de vierkanten der deelen gelijk is aan tweemaal
het verschil der vierkanten. Het grootste der verkregen deelen
wordt weder op dezelfde wijze verdeeld, en zoo gaat men voort
tot in het oneindige. Bepaal de som van al de grootste deelen^
die men aldus verkregen heeft, indien a positief is.
(Eindex. H. B. S. 1875).
HOOFDSTUK IV.
Logarithmen.
266. Bepalingen. Onder de logarithme van een getal verstaat
men den exponent van de macht, waartoe men een stand-
vastig getal moet verheffen, om het eerste te verkrijgen.
Dai standvastige getal heet grondtal of basis van het
logarithmenstelsel.
Logarithmen, die hetzelfde grondtal hebben, heeten gelijknamig.
Volgens de bepaling van logarithme is :
3 de logarithme van 64 voor het grondtal 4, omdat :
4' = 64.
Men schrijft dit korter aldus:
nog. 64=3
(lees : de vier logarithme van 64 is 3).
Evenzoo is :
*°log. 100 = 2, omdat 10" = 100 ;
Mog. 125 = 3, omdat 5' = 125 ;
'log. 4096 = 4, omdat 8' = 4096.
Om 'log. 4 te bepalen, bedenke men, dat 8 = 2^ en 4 = 2^;
men moet nu den exponent bepalen van de macht, waartoe men
2^ moet verheifen om 2^ te verkrijgen.
2
Die exponent is f, daar (2^)^ = 2'. Derhalve :
«log. 4 = f.
Evenzoo vindt men :
«log. i=— I, omdat 9~^ = (3')~^ = 3-' = ^;
'"log. 0,1 = — 1, omdat 10"' = yV = 0,1 ;
'•nog 125 = 1|, omdat 25^^' = (5')^^ = 5' = 125 ;
nog.K3 = i, omdat 9^ = (3')^ = 3^ = K3.
Volgens de bepaling van logarithme is ook :
g'log- 15 = 15; 17'°'°g- " = 17 ; /'°g-« = «.
Derksen en de Laivc, Alg. III. 6
82
Opgaven.
1. Schrijf de volgende getallen als machten van 3, en bepaal daarna
hunne logarithmen voor het grondtal 3 :
9; 27; i; ^t ; 1; 243; K27 ; 1^81 ; Ki-
2. Bepaal de logarithmen der volgende getallen voor bet grondtal 4 :
2; 8; 1; 16 ; ' 32 ; i ; y^^ ; è; ^16; 1^8; ^^\.
3. Bepaal :
«log. 4 ; «log. 16 : «log. 32 ; «log. 1^^^ ; «log. ^^ 128 ;
«log. i;^ 64; «log. 2; «log. ^ ; «log. i ; «log. ^ ;
'log. -h-^ 'log. 36; '^%g. 125; "log. ^V; 'log. 243.
4. Herleid : S'l^g' ^ h^^^' ^ ; 7^^^'^^; 12'^^ë^ ^\
5. Eveneens : lo'^^S- « x o'^^^' ^ X s'^^^' '.
Algemeene Eigenschappen der Logarithmen.
267. De getallen, waarvan wij in de vorige paragraaf de logarithmen
voor een aangegeven grondtal leerden bepalen, konden alle
geschreven worden als machten van het grondtal met geheele,
gebroken of negatieve exponenten, in het kort met meetbare
exponenten. Zoo schreven wij :
i = {2y = 8^,
waaruit dan volgde : «log. 4 = f .
Al de logarithmen, die wij vonden, waren geheele getallen
of breuken, dus meetbaar.
Dat dit niet altijd het geval is, leert:
268. Eigenschap I. De logarithme van een getal, dat niet
geschreven kan worden als een macht van het
grondtal, is onmeetbaar.
Bewijs.
Zij 18 het getal en 12 het grondtal van het logarithmenstelsel,
dan moeten wij aantoonen, dat ^^log. 18 niet voorgesteld kan
worden door een geheel getal, en ook niet door een breuk.
a. Het getal 18 ligt tusschen 12^ en 12^,
dus ^'log. 18 ligt tusschen 1 en 2,
en daar tusschen 1 en 2 geen geheel getal ligt, kan ^"'log. 18
geen geheel getal zijn.
83
b. Kon ''log. 18 een breuk zijn, gelegen tusschen 1 en 2, b.v.
If , dan moest volgens de bepaling :
12^^=18 zijn,
of 12« =18'\
dus : 2'' .^' = 2\ 3'^
en dit is onmogelijk, omdat de ondeelbare factoren 2 en 3,
waaruit beide produkten bestaan, in beide niet in een gelijk
aantal voorkomen.
Derhalve is ^^log. 18 ook niet door een breuk voor te stellen
en dus onmeetbaar.
Opmerking. In de volgende eigenschappen worden bewer-
kingen uitgevoerd met machten, waarvan de exponenten zoo-
wel meetbaar als onmeetbaar kunnen zijn. De rekenkunde leert
ons, wat men onder machten met onmeetbare exponenten te
verstaan heeft, alsmede, dat alle eigenschappen, die voor mach-
ten met meetbare exponenten bewezen zijn, ook doorgaan voor
machten met onmeetbare exponenten.
269. Eigenschap II. De logarithme van een produkt is
gelijk aan de som van de gelijknamige logarithmen
der factoren.
Bewijs.
AVij noemen g het grondtal, en zullen bewijzen, dat :
^log. abc = "log. a + "log. b -\- ''log. c.
Daartoe hebben we slechts te laten zien, dat het tweede lid
voldoet aan de bepaling van logarithme, m. a. w. dat :
^^^log.a+"log.&+/log.c^^j^^
Nu kan men de macht :
"log. a -\- ^log. b + "log. c
ontstaan denken uit het produkt :
"log. a V . "log. b V / "log. c
9 ^ Xg ^ Xg ^ ,
en dat is : abc. ;.
270. Eigenschap III. De logarithme van een quotiënt is
gelijk aan het verschil van de gelijknamige loga-
rithmen van deeltal en deeler.
Bewijs.
"log. j = "log. a — "log. h.
84
Immers de macht :
iog. a — ^log. b
kan men ontstaan denken uit het quotiënt :
^log. a
*^^— r d. 1. uit -T-.
9 ^
271. Eigenschap IV. De logarithme van een macht is
gelijk aan den machtsexponent, vermenigvuldigd
met de gelijknamige logarithme van het grondtal
der macht.
Bewijs.
Wij moeten bewijzen, dat :
nog. a^ = p X 'log. a,
en dus weer laten zien, dat het grondtal g, verheven tot een
macht, die tot exponent heeft p X ^og. a gehjk is aan a^.
Nu kan men de macht :
'p X ''log. a
ontstaan denken uit :
272. Eigenschap V. De logarithme van een wortel is
gelijk aan de gelijknamige logarithme van het getal
onder het wortelteeken, gedeeld door den wortel-
exponent.
Bewijs.
Wij moeten bewijzen, dat :
''log. Xy a=^ — ^og. a,
71/
en toonen maar weer aan, dat het grondtal g, verheven tot
een macht, die tot exponent heeft:
— ^log. a, gelijk is aan Xya.
Men kan de macht :
^nog. a
ontstaan denken uit den wortel vorm :
Xyg'^''^-'', dat is uit Xya.
Opmerking. De vorige eigenschappen zijn alle rechtstreeks
bewezen uit de bepaling, die van logarithme gegeven is. Mer
zou ook aldus te werk kunnen gaan :
85
Voor Eigenschap II :
Stel Hog.a=p, Hog.b = q en "log. c = r,
dan is: a = g^ , b = g'' en c = g'\
waaruit volgt :
abc =.g^ .gi . g' — 5^^+«+'",
en (lus is :
^log. abc =^ -p -\- q -\- r ^ '^Xog. a + ^log. b -\- "log. c.
De lezer bewijze evenzoo de eigenschappen : III, lY en V.
Opgaven.
In de volgende opgaven is het grondtal g voor het gemak
van den leerling weggelaten.
1. Herleid tot veeltermen :
log. abcd ; log. 3a& ; log. — ; log. — ^ ; log. a* ;
C C€v
log. a'b' ; log. -r ; log. '—^ ; log. ^ ^3^\ '- ;
log.l^a; log.l^a^ log.l^/aV; log.l3>^^; log.^-;
log r^-^> log 1Kg;g^^ log ^W+jr.
log. ia' - b') ; log. ia' - bf ; log. ^(a' - bf (c' + 2ce; + d'-) ;
log. l^{alK(a -f 6)}^ ; log. f^ia^bl^ia + bfY ;
log.K[aM.^(cW)}];log.^^|^
2. Als ge weet, dat ^%g. 2 = 0,30103 en '"log. 3 = 0,47712, be-
paal dan :
'"log. 4; '%g. 8; '%g. 9 ; ^og. 81 ; '"log. 6 ; '%g. 12;
'"log. 18 ; '"log. I ; '"log. U ; '"log. 1,5 ; '"log. 6| ; '"log. 4^ ;
'"log. 5; '"log. 15 ; '"log. i; ^log. i ; ''log. ^^ ; ^%g. ^.
3. Uit welke herleidingen zijn de volgende vormen ontstaan :
log. 3 + log. a ; log. a + log. b — log. c ; 3 log. a ; 2 log. 6+log. c ;
log. a — log. 6-|-31og. c; 2 log. (a-\-b)—3 log.(a— &)-f-51og.(a4-c) —
— 2 log. (a—c) ; log. a + i log. b ; f log. a + log. ö — | log. c ;
i (log. a 4- i log. ö — I log. c) ;
^ (log. a + I (log. 6 — i log. c)} ;
a {log. a -|- « (log. a-\- a log. a)} ;
86
6
9.
4. Bereken a;, als :
log. X = log. 12 -\- log. 5 — log. 3,
log. x = 2 log. 5 + 3 log. 2 — log. 20,
log. x = i (log. a-\-i log. &) — i log. c,
log. a; = 1^ log. 15 — ^ log. 7 -h log. 21 — log. 5.
5. Bepaal de logarithmen van :
— 8; +4; — |;^ — 32 voor het grondtal : — 2,
+ 81 ; — 9 ; + i ; ~i; -f ^V ; + 243 voor het grondtal : — 3,
^2 ; 1K32 ; 1^4' ; 1^(tV)' ; 1^0,25' voor het grondtal F'S.
Voor welk grondtal is :
log. 27 = 3; log. 36 = 2 ; log. 27 == i ;
log. 10 = 2 ; log. 10 = i ; log. -^ = — 2 ;
log. 4 = 1; log.l6 = lf; log.35 = f?
7. Bereken ic, als :
log. x'='3 log. a-\-^ log. b — f log. c -f- 5 log. d ;
log. x = 2 log. (a -j- &) 4- -g- log. (a — &) — ^ log. (a' — &"').
B. Als b meetkundig middelevenredig is tusschen a en c, dan
is log. b rekenkundig middelevenredig tusschen log. a en log. c. ;
Bewijs dit.
Hoeveel is :
lo""'<'g-5xio"'"8-18_io'°l<'g-12.
10. Hoeveel is x, als :
log. log. x = S log. 2 + log. (log. 6 — log. 5) ;
log. log. x = S log. a -f- log. (2 log. b
ilog.c)'
Eigenschappen van het Briggsche Logarithmenstelsel.
273. Berekent men voor een eenmaal aangenomen grondtal de loga-
rithmen der getallen, dan verkrijgt men een logarithmenstelsel
voor dat grondtal. Echter zijn niet alle getallen geschikt om
tot grondtal van een logarithmenstelsel gekozen te worden. Zoo is :
a. 1 ongeschikt voor grondtal ; want tot welke macht men 1 ook
moge verheffen, steeds verkrijgt men weer 1. Het getal 1 zou
dus oneindig veel logarithmen hebben, terwijl alle andere getallen^
er geen zouden hebben.
b. Een negatief getal, bv. — 5, is ook ongeschikt voor grondtal.^
Immers voor het grondtal — 5 zouden niet alle getallen een
87
logarithme hebben ; 25 zou 2 tot logarithrae hebben, omdat
( — 5)^ = 25 ; daarentegen zou 125 geen, maar — 125 weer wel
een logarithme hebben.
Er zijn twee logarithmenstelsels in gebruik; het eene heet
het Nepersche stelsel, naar den ontdekker der logarithmen
Neper, en waarvan het grondtal een onmeetbaar getal e is,
waarvan wij de beteekenis hier niet zullen nagaan ; het andere
heet het Briggsche stelsel, en heeft 10 tot grondtal. In het
vervolg spreken wij alleen over dit laatste.
Beschouwt men de termen der schaal van ons talstelsel :
100000 ; 10000 ; 1000 ; 100 ; 10 ; 1 ; 0,1 ; 0,01 ; enz.
waarvoor men ook schrijven kan :
10"' ; 10* ; 10^' ; 10' ; 10' ; 10" ; 10 "* ; 10"' ; enz.
dan merkt men dadelijk op, dat hunne logarithmen respectie-
velijk zijn :
5; 4; 3; 2; 1; 0; — 1; — 2 enz.
Als onmiddellijk gevolg van de bepaling zien wij dus, dat
in het Briggsche stelsel, de logarithme van een term
der schaal van ons talstelsel gelijk is aan het aantal
nullen uit dien term, en positief, -wranneer die nullen
rechts, negatief, als ze links in dien term staan.
Bovendien leert ons Eigenschap I van § 268, dat in het
Briggsche stelsel de logarithme van een ander getal
dan een term der schaal onmeetbaar is.
274. Beschouwt men het getal 375, dat gelegen is tusschen 10' en
10^ dan moet de logarithme van 375 gelegen zijn tusschen 2
en 3 ; dus :
log. 375 =2-1- een onmeetbare decimale breuk.
Neemt men echter het getal 0,375, waarvoor men schrijven
mag ^VA» <3an is :
log. 0,375 = log. tVtfV = log. 375 — log. 1000 =
= (2 -|- een onmeetbare dec. breuk) — 3 ^
= een onmeetbare dec. breuk — 1.
Van de getallen, die geen termen der schaal zijn, kan men
de logarithme dus voorstellen door een onmeetbare decimale
breuk plus of min een geheel getal.
Be onmeetbare decimale breuk heet mantisse, het geheele
getal heet wijzer.
275. Eigenschap I. Van de logarithmen der getallen
grooter dan 1 is de wijzer positief en één minder
dan het aantal cijfers in de geheelen van dat getal.
Bewijs.
Nemen we daartoe de getallen :
3485 ; 27,965 ; 47869,523.
3485 is grooter dan 10^ en kleiner dan 10^ ; dus log. 3485
ligt tusschen 3 en 4, en is dus gelijk aan 3 -|- een onmeetbare
decimale breuk.
27,965 is grooter dan 10' en kleiner dan 10'; dus log. 27,965
ligt tusschen 1 en 2, en is dus gelijk aan 1 + een onmeetbare
decimale breuk.
47869,523 ligt tusschen 10' en 10' ; dus ligt log. 47869,52:^
tusschen 4 en 5, en is dus gelijk aan 4 -j- een onmeetbare
decimale breuk.
276. Eigenschap II, Van de logarithme eener decimale
breuk kleiner dan 1 (maar positief) is de wijzer nega-
tief, en bestaat uit zooveel eenheden, als er nullen
aan den linkerkant van de breuk staan, (de nul voor
het decimaalteeken meegerekend).
Bewijs.
Kiezen wij de getallen :
0,78; 0,0027 en 0,05891,
waarvoor wij ook mogen schrijven :
78. 27 . 5891
TJi'U ' Töl5TrTy » TÜ'U'UVIJ-
Dan is :
log. 0,78 = log. yY^ =log. 78 — log. 100 = (1 H-een onmeetb. dec. br.)
— 2 = een onmeetbare dec. breuk — 1.
Evenzoo is :
log. 0,0027 =log.r^Vï)ir = log-27—log.l0000(l+een onmeetb. dec. br.]
— 4 ^ een onmeetbare dec. breuk — 3.
En:
log. 0,05891 = log. yfwU = log. 5891 — log. 100000 =
= (3-|-een onmeetb. dec. br.) — 5=een onmeetbare dec. breuk — 2.,
277. Eigenschap III. Als twee getallen een term dei
schaal tot quotiënt hebben, dan hebben hun loga^
rithmen dezelfde mantisse.
Bewijs.
Beschouwen wij daartoe de getallen :
1637; 163,7; 163700; 0,01637.
89
Zij log. 1637 = 3,21405, waarin de inantisse tot in 5 deci-
malen nauwkenrig is opgeschreven, dan zullen wij aantoonen,
dat van de andere getallen de mantisson, tot in 5 decimalen
nauwkeurig, ook worden voorgesteld door : 0,21405.
Daar 163,7 = 1637 : 10, is :
log. 163,7 = log. 1637 — log. 10 = 3,21405 — 1 = 2,21405.
Evenzoo :
163700 = 1637 X 100, dus :
log. 163700 = log. 1637 + log. 100 = 3,21405+2 = 5,21405.
En:
0,01637 = 1637: 10% dus:
log. 0,01637 = log. 1637 — log. 10'' = 3,21405 — 5 =
= 0,21405 — 2.
278. Gebruik der logarithmen.
Van de rij der getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6 enz. heeft men de
Briggsche logarithmen berekend tot in 4, 5, 7 decimalen
nauwkeurig en deze vereenigd in een tafel. Hoe men uit zulk
een tafel de logarithme kan vinden, die bij een gegeven getal
behoort, en omgekeerd het getal kan bepalen, dat bij een gege-
ven logarithme behoort, zullen wij in het volgende omschrijven.
Wij bedienen ons daarbij van een logarithmentafel in 5 deci-
malen, maar merken vooreerst op, dat de nauwkeurigheid dezer
logarithmen zoodanig gesteld is, dat de eigenlijke waarde der
logarithme minder dan ^ eenheid van de vijfde decimaal met
de in de tafel aangegeven logarithme verschilt.
Op de eerste bladzijde komen de getallen van 1 tot en met
100 voor. Naast de kolom der getallen, waarboven meestal
staat : Num. (d. i. Numerus of Getal), vindt men de kolom
hunner logarithmen, waarboven Log. staat. De wijzers zijn
meestal hierbij ook vermeld.
Voor de getallen boven 100 is de tafel anders ingericht.
De wijzers zijn nu niet meer vermeld ; deze kunnen trouwens
voor ieder getal dadelijk opgeschreven worden. Het zijn alleen
de mantissen, die nu aangegeven zijn, en wel op een eigen-
aardige wijze. Men heeft namelijk opgemerkt, dat de logarith-
men, behalve in het begin van de tafel, langzaam veranderen.
Zoo heeft men door berekening gevonden :
log. 5610 = 3,74896
log. 5611=3,74904
90
log. 5612 = 3,74912
log. 5613 = 3,74920
log. 5614 = 3,74927
log. 5615 = 3,74935
log. 5616 = 3,74943
log. 5617 = 3,74950
log. 5618 = 3,74958
log. 5619 = 3,74966.
In deze logarithmen verschillen de mantissen alleen in de
laatste drie decimalen. Men kan daarom de mantissen van deze
rij getallen volkomen duidelijk aangeven door :
I 01234 5678 9
561 174 896 904 912 920 927 935 943 950 958 966
De eerste twee cijfers der mantissen staan nu slechts één-
maal aangegeven, de volgende drie cijfers vindt men door
die groep te nemen, welke zich bevindt in de rij, waarvoor
561 staat, en in de kolom, waarboven het vierde cijfer van het
getal staat.
Voorbeeld :
Zij gevraagd in de tafel te zoeken :
log. 56,16.
Aan het getal zien wij, dat de wijzer 1 is ; verder merken wij
op, dat van log. 56,16 de mantisse dezelfde is als van log. 5616.
Van log. 561 begint de mantisse met 74, in deze rij bevindt
zich in de kolom, waarboven het vierde cijfer 6 staat, de groep
943 ; de mantisse is dan : 0,74943 en daarom
log. 56,16 = 1,74943.
279. Voor het volgende zie men naar de uitslaande tafel aan het
einde van het boek.
Van log. 1910 tot en met log. 1949 beginnen de mantisst
met 28 ; deze twee cijfers zijn echter niet in iedere rij herhaald^
men heeft dat slechts éénmaal gedaan. Moet men dus van
een daar tusschen gelegen getal, b.v. van 1937 de log. bepalen,
dan ziet men in de rij, waarvoor 193 en in de kolom, waar-
boven 7 staat, de groep 713; deze laat men nu voorafgaan
door de twee cijfers die in de opengelaten ruimte vooraan
het eerst er boven staan, dat is het tweetal 28. Van log. 1937
is de mantisse dus: 0,28713 en daar de wijzer 3 is, heeft men :
log. 1937 = 3,28713.
i
91
Daar log. 192 dezelfde mantisse heeft als log. 1920 vindt
men op dezelfde wijze :
log. 192 = 2,28330.
Bij het getal 1950 gaan de eerste twee cijfers van de mantisse
van 28 over in 29 ; deze blijven 29 tot bij het getal 1995 ;
voor 1996 echter gaan de eerste twee cijfers van de mantisse
weer over van 29 in 30. En deze overgang is in de rij, waar-
voor 199 staat, aangewezen door de groep der laatste cijfers
met een sterretje aan te duiden. Dus zal van log. 1996 de
mantisse zijn : 0,30016.
Evenzoo is de mantisse van :
log. 1997 .... 0,30038
log. 1998 . . . . 0,30060
log. 1999 .... 0,30081.
280. Om de logarithme te zoeken van een getal van vijf cijfers
b.v. van log. 21657 handelen wij aldus :
De wijzer is 4 ;
van log. 2165, dus ook van log. 21650 is de mantisse 0,33546
van log. 2166, dus ook van log. 21660 is de mantisse 0,33566
verschil 0,00020
Wij zeggen nu: als het getal 21650 met 10 toeneemt, neemt
de mantisse toe met 20 eenheden van de laatste decimaal ; als
het getal met 1 toeneemt, neemt de mantisse toe met 2,0 een-
heden van de laatste decimaal, en als het getal met 7 toeneemt,
en dus 21657 wordt, zal de mantisse toenemen met 7 X 2,0 = 14,0
eenheden van de laatste deciniaal ; wij dienen dus bij de 5 cijfers
van de mantisse behooreude bij log. 2165 te voegen 14, om
de mantisse te verkrijgen, die bij log. 21657 behoort, waardoor
deze wordt : 0,33560. Dus is : .
log. 21567=4,33560.
Ander voorbeeld :
Om de logarithme van 199,89 te zoeken, bepalen wij eerst
den wijzer, deze is 2. Verder is van log. 199,89 de mantisse
dezelfde als van log. 19989.
Van log. 1998, dus ook van log. 19980 is de mantisse : 0,30060
Van log. 1999, dus ook van log. 19990 is de mantisse: 0.00081
verschil : 1)~0ÖÖ2Ï
Als het getal met 10 toeneemt, neemt de mantisse toe met
21 eenheden van de laatste decimaal; als het getal met 1 toe-
92
neemt, zal de mantissé met 2,1 toenemen, en als het getal met
9 toeneemt, en dus van 19980 overgaat in 19989, zal de man-
tissé toenemen met 9X2,1 = 18,9. Wij moeten dus 30060
met 18,9 vermeerderen om de eerste vijf decimalen van de
mantissé, behoorende bij log. 19989, te verkrijgen. Nu heeft men
aangenomen om een halve en meer dan een halve eenheid der
laatste decimaal voor een geheele eenheid te rekenen, en wat
minder is dan een halve eenheid der laatste decimaal te ver-
waarloozen. Daardoor moet de vermeerdering der mantissé dus
met 19 plaats hebben, waardoor deze wordt : 0,30079.
Wij schrijven deze interpolalie aldus :
log. 199,a0 = 2,30060
9 19^
log. 199,89 = 2,30079.
Op gelijke wijze handelt men, als men de logarithme moet
zoeken van een getal, dat uit zes cijfers bestaat.
Zij gevraagd te bepalen : log. 203357.
De wijzer is 5.
Van log. 2033, dus ook van log. 203300 is de mantissé : 0,30814
Van log. 2034, dus ook van log. 203400 is de mantissé : 0,30835
verschil : 0,00021
Als het getal met 100 toeneemt, neemt de mantissé toe met
21 eenheden der laatste decimaal; als het getal met 10 toeneemt,
neemt de mantissé met 2,1 toe; voor een toename van het
getal met 50 krijgen we dus eene toename der mantissé met
5 X 2, 1 = 10,5 eenheden der laatste decimaal.
Voor een toename van het getal met 1, neemt de mantissé
toe met 0,21, en voor een toename van het getal met 7, zal de
mantissé toenemen met 7 X 0j21 = 1,47 eenheden der laatste
decimaal. Wij hebben dus:
Toename getal met 50 ... . Toename mantissé met 10,5
Toename getal met 57 ... . Toename mantissé met 11,97
(wat gerekend wordt voor 12). De te zoeken mantissé is dus:
0,30814 + 0,00012 = 0,30826.
Schrijfwijze : log. 203300 = 5,30814
,50= 10,5
7 = 1,47
log. 203357 = 5,3082597 ;
waarvoor men schrijft : log. 203357 = 5,30826.
93
Op gelijke wijze kan men handelen, waar het geldt, de
logarithme te zoeken van een getal, dat uit 7 cijfers bestaat ;
in zeer vele gevallen zal echter het 7'^'' cijfer weinig invloed
op de mantisse hebben.
281. De wijze, waarop wij geinterpoleerd hebben, is echter nog al
tijdroovend; om dit te verhelpen heeft men aan den rechterkant
van iedere bladzijde hulptafeltjes aangebracht, waarboven P.P.
|(partes proportionales = evenredige deelen) staat. Deze
tafeltjes geven de verschillen aan van de naast elkaar staande
mantissen, die op de bladzijde voorkomen, benevens de toename
van de mantisse voor het vijfde cijfer. Wil men met behulp
van deze tafehjes b.v. bepalen de mantisse van 1923578, dan
handelt men als volgt:
mantisse van log. 1923 is ... . 0,28398 ;
verschil met de mantisse van log. 1924 is 23 eenheden van
de laatste decimaal.
In het hulptafeltje rechts, waarboven 28 staat, vindt men :
voor het vijfde cijfer 5 een toename van .... 11,5
voor het zesde cijfer 7, het 10**^ deel van 16,1 . 1,61
voor het zevende cijfer 8, het 100^'^ deel van 18,4 0,184
samen 13,294 = 13
De mantisse is dus :
0,28398 -f 0,00013 = 0,28411.
Opmerking. Het interpoleeren berust op de niet geheel
juiste stelling: De aangroeiingen der logarithraen zijn evenredig
met de aangroeiingen der getallen.
282. Wij zullen nu nagaan, hoe men omgekeerd het getal bepaalt,
waarvan de logarithme gegeven is.
Zij gegeven : log. a = 2,29513.
In de tafel zoeken wij de mantissen op, die met 29 beginnen,
en trachten de groep der volgende drie cijfers te vinden, die
gelijk is aan 513.
Deze groep bevindt zich in de kolom, waarboven 3 staat, en
in de rij, waarvoor 197 staat, zoodat de mantisse behoort bij
het getal 1973. Daar verder de wijzer van de logarithme 2 is,
moet het aantal cijfers in de geheelen drie bedragen, zoodat
het te zoeken getal 197,3 is.
283. Zij gegeven : log. a = 0,32742 — 1.
94
Wij zoeken in de tafel de mantissen op, die met 32 beginnen,
en trachten de groep der volgende drie cijfers te vinden, die
gelijk is aan 742. Deze groep staat niet in de tafel, maar de
naastkleinere groep is 736. Boven de kolom, waarin dieze groep
staat, bevindt zich het cijfer 5, en vooraan de rij, waarin 736
staat, bevindt zich het getal 212 ; zoodat de mantisse 0,82736
behoort bij het getal 2125; maar dan behoort:
bij het getal 21250 ook de mantisse 0,32736
terwijl bij 21260 behoort de mantisse 0,32756
verschil : 0,00020
Deze mantissen verschillen 20 eenh. van de laatste decimaal,
terwijl 0,32736 met de gegeven mantisse 0,32742 slechts 6 eenh.
van de laatste decimaal verschilt.
Als de mantisse met 20 toeneemt, neemt het getal met 10
toe ; als de mantisse met 2,0 toeneemt, neemt het getal met
1 toe, en als de mantisse met 6 toeneemt, neemt het getal
met 3 toe. Om dus het getal te verkrijgen, waarbij de mantisse
0,32742 behoort, moeten wij het getal 21250 met 3 vermeer-
deren, en vinden dus : 21253. Daar verder de wijzer — 1 is, staat
aan den linkerkant van het getal één nul. Het te zoeken
getal is dus : 0,21253.
Opmerking. De bepaling van het vijfde cijfer kan ook
geschieden met het hulptafeltje, waar 20 boven staat, zijnde het
verschil van de groepen, waartusschen de laatste drie cijfers
van de mantisse inliggen. In dat hulptafeltje zien wij, dat een
toename van de mantisse met 6,0 veroorzaakt wordt door het
daarvoor geplaatste cijfer 3. Dit is het vijfde cijfer.
Zij gegeven : log. a == 1,30874.
Wij zoeken in de tafel de mantissen op, die met 30 beginnen,
daarna de groep 874 of de naastkleinere groep, dat is 856.
Deze groep bevindt zich in de kolom, waarboven 5, en in de
rij, waarvoor 203 staat, en vormt dus met 30 er voor de
mantisse, die bij hét getal 2035 behoort. Nu verschilt de groep
856 met 878, zijnde de volgende groep, 22; en met de groep
874 van onze mantisse 18.
In het hulptafeltje, waarboven 22 staat, zien wij de mantisse
vermeerderen met 17,6, dat voor 18 telt, door het vijfde cijfer
8. Derhalve behoort onze mantisse bij het getal: 20358, en
daar de wijzer 1 is, heeft het getal twee cijfers in de geheelen
en is dus 20,358.
95
1.
Als laatste voorbeeld zullen wij het getal a zoeken, dat vol-
doet aan :
log. a = 0,28498.
In de tafel zoeken wij weer eerst de mantissen, die met 28
beginnen, en de groep, die of gelijk is aan 498 of de naastklei-
nere groep ; d. i. 488, welke zich bevindt in de kolom, waar-
boven 7 en de rij, waarvoor 192 staat. Deze mantisse behoort
dus bij 1927. Nu verschilt groep 488 met 511, zijnde de
volgende groep, 23 ; en met de groep 498 uit onze mantisse
10. In het hulptafeltje, waar 23 boven staat, zien wij geen
vermeerdering van mantisse met 10, wel van 9,2 voor het
vijfde cijfer 4. Nu moet er nog door het zesde cijfer een ver-
meerdering van 0,8 ontstaan. Men kan het cijfer 3 kiezen,
waarvoor als zesde cijfer eene vermeerdering van 0.69 ont-
staat.
De totale vermeerdering is dan :
9,2 -f 0,69 = 9,89 of 10.
Ook had men als zesde cijfer 4 kunnen kiezen, dat eene
vermeerdering van 0,92 zou veroorzaken, waardoor de totale
vermeerdering zou geworden zijn :
9,2 + 0,92 = 10,12 of 10.
Daar echter 9,89 minder van 10 verschilt dan 10,12, doet
men beter als zesde cijfer 3 te nemen.
De gegeven mantisse behoort dus bij het getal : 192743.
De wijzer is O, dus heeft het te zoeken getal 1 cijfer in de
geheelen en is dus : 1,92743
Toepassingen :
^ . 7,485 X 0,3962
^''^^^^'' 0,49587—'
Stel dezen vorm gelijk aan x, dan is :
log. X = log. 7,485 + log. 0,3962 — log. 0,49587.
Alvorens nu de logarithmen op te zoeken schrijven wij eerst :
log. 7,485 =
log. 0,3962 =
op
log. 0,49587 =
af
log. x=
; X=
96
Dit noemen wij het schema, en als dit opgeschreven is,
zoeken wij de logarithmen en vullen die in het schema in.
Wij krijgen dan :
log. 7,485 =0,87419
log. 0,3962 = 0,59791 — 1
0,47210
log. 0,49587 = 0,69537 — 1
op
af
log. ^ = 0,77673
a;= 5,9804
Opmerking. Bij de samentelling moest de som eigenlijk
zijn : 1,47210 — 1 ; de negatieve wijzer valt nu echter tegen
den positieven wijzer weg.
Bij de aftrekking moest van de mantisse 0,47210 de grootere
mantisse 0,69537 afgetrokken worden. Om die aftrekking te
kunnen verrichten zonder tot verschil een negatieve mantisse
te verkrijgen, denke men zich het kleinere aftrektal met 1 ver-
meerderd en verminderd, aldus :
1 —1
0,47210
0,69537 -
2. Bereken : x = 'jy
verschil: 0,77673
3,742'
af.
12,358*"
Door logarithmeneming ontstaat :
log. x = ^{S log. 3,742 - 4 log. 12,358)
log. ■ 3,742 =
log. 12,358 =
Schema.
-X3 =
-X4 =
af
:5
log. X =
x =
Vullen wij nu dit schema in, dan krijgen wij :
97
log. 3,742 = 0,57310
X 3 = 1,71930 (a)
log. 12,358 = 0,09195
X 4 = 4,36780
af
0,35150 — 3
2—2 (6)
log. a; = 0,47030 — 1
a; = 0,295327.
Opmerkingen: 1". Bij de aftrekking (a) hebben wij het
aftrektal met 3 vermeerderd en ook met 3 verminderd, om in
het verschil een positieve mantisse te verkrijgen.
2*^. Het verschil 0,35150 — 3 moest door 5 gedeeld worden (&), en
om geen gebroken wijzer te verkrijgen, telden wij bij de mantisse
2 op, en trokken er 2 meer af. Wij deelden dus 2,35150 — 5
door 5.
3. Bereken: a: = J!>185,963*^
log. x = i^ log. 185,963.
Nemen we van beide leden weer de logarithmen :
log. log. X = log. 426 — log. 712 4- log. log. 185,963.
Schema en Berekening.
1 - 1
log. 426 = 2,62941
log. 712 = 2,85248
af
0,77693 — 1
log. 185,963 = 2,26942 ; log. log. 185,963 = 0,35591
op
log. log. X = 0,13284
log. ii;= 1,35780
a; = 22,793.
Opgaven over Briggsche Logarithmen.
1. Toon aan, dat log. 75 onmeetbaar is ; evenzoo log. 80.
2. Bepaal de wijzers van de logarithmen der volgende getallen
378 ; ' 25,89 ; 0,795 ; 0,0938 ; 7564,29.
Derksen en de Laive, Alg. III. 7
98
Als de mantisse van log. 2376 gelijk is aan 0,37585, bepaal
dan : log. 0,2376 ; log. 23,76 ; log. 2376 ; log. 2,376 ; log.
0,002376 ; log. 23760 ; log. 0,02376 ; log. 237600.
Zoek in de tafel de logarithmen der volgende getallen :
a.
14 b.
7,38
c. 4836
d. 802,5
59
9,25
5972
476,3
394
0,47
6254
50,09
486
83,5
8976
3,446
985
9,47
7749
0,3817
2957 h.
5,973
c. 58379
d. 952,786
32,38
0,982
48207
3092,45
0,1627
3756
59,387
378,496
0,01028
4,28
468,37
25,8379
4,3795
b. 49,283
0,28576
7,59346
49,8379
0,083759
582,763
6,984735.
6. a.
7. Hoeveel cijfers staan er in de geheelen van een getal, als de
logarithme er van tot wijzer heeft: 1, 2, 3, O, 4?
En wat weet ge van het getal, als de logarithme er van tot
wijzer heeft : — 1, — 3, — 2, — 5?
8. Zoek de getallen op, die bij de volgende logarithmen behooren :
a.
2,40312
b. 1,54691
c.
2,81010
2,69548
2,46583
3,79007
2,67578
0,89421 — 1
0,69044 — 1
3,61731
0,90184 — 1
0,57047 — 2
4,57136
0,83289 - 2
2,49519.
2,37812
e. 0,38756
f
6,38471
3,14596
2,49301
0,52300 — 1
0,49387 — 1
0,59217 — 2
2,58176
2,38756
0,38592
0,42379 — 3.
9. Welke getallen hebben tot logarithmen: 0,23; 0,01; 0,005?
10. Schrijf de volgende logarithmen met een positieve mantisse
een negatieven wijzer :
log. a=— 1,23785; log. c = — 4,30876 ;
log. b= — 0,47956 ; log. d= — 2,88576.
99
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Bepaal log. a — log. h zoo, dat de mantisse in h^t verschil
positief blijft :
log. a = 2,37856 ; 0,31456 ; 1,27856 ; 0,28765 — 1 ;
log. b = 2,48379 ; 2,03758 ; 1,95837 ; 1,93576.
Kan de wijzer van een logarithme wel een breuk zijn?
Als log. a = 0,23785 — 2; bepaal dan: | log. a ; ^ log. a ;
^ log. a ; f log. a (eerst vermenigvuldigen met 2) ; f log. a.
Bereken de waaide van x uit elk der volgende vormen:
:z;= 3,789X45936;
_ 4.8376X9,584
^ ~" 6,839
;z; z= 1/39,47 ;
X = 1X0,2783 ;
X = 4,8376' ;
_ 42,83 X 1,276-
^~~ 3,58* '
1
x =
X = 5,876 X 0,947 X 38,296.
_ 4,7865 X 19,48
^^ 0,08376
X = 1/5,849 ;
X = 1/0,028359.
a;=l,29587^
7,263'
X =
x = ]y
3,735'
457,3'
K4,786 '
1
2,88 X 0,47^**
3,851/47,96
x =
987,2' '
37,851/29,37
0,2851/394,7
497,2
^==1X
^58,492 •
4,231/37,86
3,851^29,47*
;r = 2,7961^-
K2
a; =
4,583
1/6,279
xiy
47,89'
X = f^ia^b), als a = 4,279 en b = 128,375.
a; = l/^K^, als «=0,489; Z> = 100 en c = 32,58.
Bepaal log. log. 47,39 ; log. log. 5,9376 ; log. log. log. 5983,6 ;
log. log. 4,58392.
Bepaal x, als :
log. log. X = 0,49376 — 1 ; log. log. x = 0,42783 — 2.
log. log. a; = 0,10357 ; log. log. re = 0,16576.
a; = 3,785^''"^ .c = 5^49,87.
X = ^^"37,94-
X = ^3-^4,837^'''".
100
29. a:== 1^(0,3785' + 4,9376^).
Stel 0,3785' = ?/ en 4,9376' = 0.
30. . = ^5,36 + K«|f ).
31. Bereken de logarithme van 12 voor het grondtal 5 ; van 37
voor het grondtal 8 en van 100 voor het grondtal j/'lO.
32. Bewijs, dat "log. h X "log. c = iog. c.
33. Bepaal, uit hoeveel cijfers 352'°'^ bestaat.
34. Hoeveel nullen bevinden zich aan den linkerkant van 0,385'"?
35. Herleid zonder van een logarithmentafel gebruik te maken:
lO^^g- ^ 4- log. 15 + 2 log. 2 — log. 6 ;
lO^og 15 _^ 2 j^g_ g _^ ^ ^^g_ 2 _ log. 40.
36. Bereken x zonder logarithmentafel uit :
il, log. X ^ , , ,4-
2 log. 25 + log. 14 + 4
37. Van twee getallen is de som \ en de som hunner logarithmen
gelijk aan — 2. Welke zijn die getallen ?
Logarithmen van Negatieve Getallen.
284. Daar geen enkele macht van 10 ooit negatief kan zijn, kan
ook omgekeerd een negatief getal geen logarithme hebben. Toch
komen in berekeningen met logarithmen vaak negatieve getallen
voor ; wij zullen daarom nu verklaren, hoe men in zulke geval-
len te handelen heeft.
Voorbeelden.
, ^ , (— 2,375)^1^— 2,386-'
1. Bereken x = ^
1K(- 3,487}^
De teller der breuk bestaat uit twee factoren, waarvan de
eerste factor (— 2,375)'' positief en de tweede : 1^ — 2,396"
negatief is, zoodat de teller een negatieve waarde heeft. De
noemer daarentegen is positief, waaruit nu volgt, dat de breuk
zelf en dus ook x negatief is.
_ 2.375^ 1^2,386^
^~ 1^^3,487' '
101
derhalve is :
_ _ 2,375^ 1^2,386-
^~ 1^3,487-^
log. [—x) = i log. 2,375 + -I log. 2,386 — § log. 3,487.
Schema en Berekening,
log. 2,375 = 0,37566
X 4 = 1,50264
log. 2,386 = 0,37767
X2
0,75534
: 5 = 0,15107
¥
1,65371
log. 3,487 = 0,54245
X2
1,08490
: 3 = 0,36163
op
af
log. (—;r) = 1,29208
— a; = 19,592
x = — 19,592.
Aan dit voorbeeld ziet men, dat men het teeken van den
vorm het allereerst moet bepalen, en in geval dat teeken
min is, het voor de x plaatsen, waardoor in den vorm alle
teekens kunnen weggelaten worden.
2. Bereken : x = f^''0.014965"T
log. X = -^-11- ff log. 0,014965
= iUU (0,17508 - 2) = nUi X - 1,82492.
Dus: - log. ^ = i|||fX 1,82492
log. (— log. x) = log. 17694 H- log. 1,82492 — log. 85926.
Schema en Berekening,
log. 17694= 4,24783
log. 1,82492= 0,26124
op
1+4,50907—1
log. 85926= 4,93412
af
log. (—log. x) = 0,57495— 1
—\og.x= 0,37579
log. x = — 0,37579.
102
De logarithme van x is nu negatief; daar in de tafel alle
mantissen positief zijn, moeten wij — 0,37579 zóó herleiden,
dat de mantisse positief wordt. Dit kunnen wij doen, door er
1 bij Ie voegen en er daarna weer 1 af te nemen, dus :
log. o; = (1 — 0,37579) — 1 = 0,6242 1 - 1
X = 0,42093.
285. Er bestaat echter nog een andere, meer rechtstreeksche wijze
van berekening, waarbij men de minteekens laat staan, zooals
ze in den vorm voorkomen. Wij dienen dan echter eerst dui-
delijk te maken, wat wij verstaan onder de onbestaanbare
logarithme van een negatief getal, b.v. van log. — 3, en wij
zeggen :
Door de logarithme van een negatief getal verstaan wy de
logarithme van de absolute ivaarde van dat getal. Achter die
logarithme zetten wij een minteeken of een n tusschen haakjes.
Is log. 3 = 0,47712,
dan stellen wij log. —3 voor door 0,47712 (— ) of door 0,477 12 (w).
Door deze schrijfwijze is het getal, waarvan de logarithme
gegeven is, ondubbelzinnig bepaald, daar het minteeken of de
w, tusschen haakjes achter de logarithme geplaatst, aanduidt,
dat het getal, waarbij die logarithme behoort, negatief is.
Uit deze verklaring volgen onmiddellijk de volgende regels :
1. De samentelling van een even aantal logarithmen, waarachter
(n) staat, geeft tot som een logarithme zonder {n) ; daar die
som dan de logarithme voorstelt van een produkt van een even
aantal negatieve factoren.
2. De samentelling van een oneven aantal logarithmen, waarachter
(n) staat, geeft een logarithme met (w). Waarom ?
3. De aftrekking van twee logarithmen, ieder met (w), geeft een
logarithme zonder (w). Waarom ?
4. De aftrekking van twee logarithmen, waarvan slechts één door {n)
gevolgd is, geeft weer een logarithme met {n). Waarom ?
5. Wordt een logarithme met (w) vermenigvuldigd met een even
getal, dan ontstaat een logarithme zonder {n) ; is echter de
vermenigvuldiger oneven, dan ontstaat een logarithme met (w).
Waarom ?
6. Wordt een logarithme met (n) gedeeld door een oneven getal,
dan ontstaat een logarithme met {n). Waarom ?
103
Vraag : Wat moot men doen, als men een logarithme met
(n) moet deelen door een even getal ?
Wij zullen nu de vorige twee voorbeelden volgens deze wijze
berekenen.
_(— 2,375)^1^-2,386'
^~ 1^(— 3,487)-^
Wij merken op, dat 1^ — 2,886"' = — 1^2,386' en we dus :
_ (— 2,375)' X — 1^2,386"^
^~" 1^(— 3,487f
kunnen stellen, waaruit volgt :
log. o; = 4 {log.' 2,375 {n)} -f (f log. 2,386) (n) - f (log. 3,487(w)}.
Schema en Berekening,
log. 2,375 (w) = 0,37566 (w)
X 4 = 1,50264
log. 2,386 = 0,37767
X2
0,75534
0,15107 (n)
op
1,65371 (n)
log. 3,487 (n) = 0,54245 (n)
X ^
1,08490
0,36163
af
1,29308 {n)
- 19,592.
log.a? =
x = -
2. x = '^'0,0U96b''"''.
log. ^ = Ufli log. 0,014965.
log. log. X = log. 17694 + log. log. 0,014965 — log. 85926.
Schema en Berekening.
log. 17694= 4,24783
log.0,014965=0,17508—2=— 1,82492
log. log. 0,014965 = 0,26124 {n)
op
4,50907 (n)
14- -1
log. 85926 = 4,93412
af
log. log. X = 0,57495 — 1 (n)
log. x= — 0,37579 = 0,62421 — 1
x= 0,42093.
104
Opgaven.
38. x =
40. x =
Bereken x in :
14.837F'— 59,47
— 83,654
K— 5,847' X M— 3,483)''
39. x =
3,487' X 15^349,27
2,836*
^ (— 27,83)-
41. a; = 'j^'0,0278. 42. x = {^0,27845'''
43. a; =="^0,2715='''''-.
45. a; = 'P-^0,09132"'^'''.
46. a; = 1^0,94517 — 0,04548.
^(log. 0,765)'*
44 :r-ï^-t:i^^
^ ^13/- 0,0278'
47. ^=1,28074 -^
0,31426'
48. x= ,„ > ; als a = — 0,04311
iKc
49. Bereken o: uit
50. Ook uit
b = 0,28168
c= -0,00276.
.1^3
0,06
1^0,6"
\og.x = ^^', als a = — 0,035415
b = — 1,24579.
51. Bereken de waarde van p^x uit:
a; = ^{d' — h') ; als a = 1,22574
Z) = 0,91334.
52. Bereken :
X = V^{0,0h79S-'''''' — 0,8425'''''').
53. Bereken : «i^0,0025'^'°°«'\
54. Bereken x uit :
a; = ^:|^'0,78969.
55. Bereken x en ook ic^, als :
56. Bereken x en ^x, als :
i;c = 3^^«0,790084''^'*'-.
(Breda),
idem.
idem.
idem.
idem.
idem.
idem.
idem.
idem.
(Adelborst).
4
105
0.43-05
57. Bereken: 0,56781°'"^'"
58. Bereken : x = (1,47896-''^'' + 0,39749)-'^
59. Bereken x, als :
_0,82868"'^^^- — 1^0,18642
^""ë-^- 0,020109 ~~-
60. Bereken x uit :
^—^ + '|>' 0,46888''*^'«^°
0,89466
log. X =
184,83
61. Ook uit:
10
_2
, , ij0,086432
log. log. X = ^
X ï^ — 4,83688 — "^0,414144
0,132339
62. Hoeveel is de logarithme van :
'i^'0,167849, als 8,6424 het grondtal is, minder dan 0,80871 i
HOOFDSTUK IV. 1^
L ogari thmisch e en Exp onen tiëele
Vergelijkingen.
Logarithmische Vergelijkingen.
286. Bepaling: Onder een logarithmische vergelijking ver-
staat men een verfielyking, ivaarin de onbekende onder liol
teehen log. voorkomt.
De oplossing van deze vergelijkingen berust op het beginsel :
Als twee logarithmen gelijk xyn, dan zijn ook de daarbij
behoorende getalle?i gelijk.
Voorbeelden :
1. log. {x-^l):=—2.
Daar — 2 de logarithme is van 10"'^ of 0,01, volgt hieruit :
x-\-l= 0,01
a; = — 0,99.
2. log. ]y{x - 1) + log. K(^ + I) = 1,5 - log. 2. (1)
Men kan het eerste lid als een eenterm schrijven :
log. ly^ix — 1) 4- log. 1/ {x -|- f) is de som van de logarithmen
van twee getallen ; welke men vervangen kan door de logu
rithme van hun produkt : log. l^ {x — l){x-\- f).
Daarna schrijft men het tweede lid als een eenterm :
3
1,5 — log. 2 of log 10^ — log. 2 is het verschil van de logarit
men van twee getallen, hetwelk men vervangen kan door
1 , • , , .1 KlO'
de logarithme van hun quotiënt : log. — - — .
Li
Voor vergelijking (1) kan men dus schrijven :
;a-
I
107
log.K(^-l)(^4-|)=log.
1/10'
(lus is :
K(^-l)(^+|)==
KlO'
Verheft men beide leden tot de tweede maeht, dan ontstaat
de vergelijking :
{x —l)ix-\- 1) = 250
X — g X -g — ^ou
x' — ix— 250| = O,
waaruit volgt : x =i-±^ K(i + 4 . 250f)
of: ^, =z:^+^::=16
en . x-i — ^6 — » •
De wortel x> voldoet niet aan de gegeven vergelijking, omdat
deze zoowel \y^{x — 1) als \y^{x -\- f) imaginair doet worden,
zoodat log. 1^{x — 1) en log. l/(a; + f) geen beteekenis hebben.
De wortel a?; = 16 voldoet dus 'alleen.
log.- (x + 1) — 2 log. f^'ix 4- 1) - 2f ■= 0. (1)
Bedenkt men, dat log. f^ix -\- 1) = ^ log. {x -\- 1), dan kan
men voor vergelijking (1) pchrijven :
log.-^ (;r + 1) - I log. (^ + 1) - 2| = 0.
Neemt men log. (a; 4~ 1) als nieuwe onbekende aan, dan zijn
de wortels dezer laatste vergelijking :
log.(:r+l) = ^±-|K(f + 4.f)
log. {x-\-l)=k±: f.
Bij log. {x-\-l)=^-\-l- of 2 behoort : .r+l=100, of a;,=99 ;
bij log. (a;-|-l)=— I behoort: ic+l^yJ^^lOO,
of: ^, = TATr 1^100— 1.
Bxponentiëele Vergelijkingen.
(7. Ouder een exponentiëele vergelijking verstaat men een
vergelijking, waarin de onbekende als machts- of wortelexponent
voorkomt.
De oplossing van deze soort van vergelijkingen berust op de
volgende beginselen :
a. Als twee machten van een zelfde getal gelijk zyn, dan zijn
ook hun exponenten gelijk; uitgezotiderd als het grondtal lofO is.
(Waarom ?)
108
b. Als twee getallen gelijk xijn, dan zijn ook hunne logarithmen
gelijk, en omgekeerd.
Bij de oplossing vau een exponentiëele vergelijking zal men
dikwijls komen tot een logarithmische vergelijking.
Niet alle exponentiëele vergelijkingen kan men oplossen. Die,
welke men kan oplossen, behooren tot de volgende groepen :
A. Beide leden eener exponentiëele vergelijking zijn
machten van een zelfde grondtal.
288. Men past dan het eerstgenoemde beginsel toe, en stelt de
exponenten aan elkaar gelijk. Komt men zoodoende tot een
vergelijking van den eersten of van den tweeden graad, dan
kan men de exponentiëele vergelijking oplossen.
1. 5'-^ = ö'-'+l
De exponenten aan elkaar gelijk stellende, vindt men :
x = 6.
Ofschoon deze gelijke machten niet hetzelfde grondtal hebben,
kan men ze gemakkelijk tot machten van hetzelfde grondtal
herleiden :
^3x __ r^i\x -5
ASx __ A2X—U)
dx = 2x— 10
x = — 10.
3. "^V = 'p^'a'.
Welke waarden de exponenten in de wortelteekens ook heb-
ben, men mag beide leden met gebroken exponenten schrijven :
_J 5
ax+z = a^^+ï.
Is nu a verschillend van l of O, dan mag men hieruit besluiten :
3 _ 5
ic + 2 ~ 2a; + 1
6a; + 3 = 5a; 4- 10,
dus: x = 7.
Is a echter 1 of O, dan vindt men voor x oneindig veel
waarden.
4. 3^ +6. 3"+' ==171.
Het eerste lid is geen macht, maar een som ; het tweede lid is
ook geen macht. Men kan voor deze vergelijking echter schrijven :
109
3"(l-f 6.3) = 171
19.3"= 171
3-' = 9
3^ = 3',
dus: x = 2.
5. 2-^-^ : é^-*-** =\.
Men schrijft eerst alle machten als machten van 2 :
x-t•^ x-\-i
x-\-l xA-i
dus : = — 3
X — 3 X — 4
[x ^l){x — 4) — [x 4- 4) [x — 3) = - 3 {x — ^){x — 4)
X- + 3;r — 28 — {x' -^x—\2) = — 2,{x-—lx-\- 12)
3a;"' — 19x + 20 = O
ic' — -V^r + ^ = O
X ='l ± iK121,
^i =-6^+ ¥ = 5.
-r jL9 11 1 1
'^i '6 76 ^1^-
Opgaven.
1. 5^*+^ = 5'-^; 2. 43:c+5 _ 2^^+27^
3. K9'=K3'; 4. r'-5^+«=l.
^- (y) ="(!)' ^- 5-'-"-^^ = 0,2.
7. 5*" = 625; 8. 10. 10'^-^ = |+' 1000000.
x+i ix~Z
9. 625^+^ : 15625^^^ = 0,04 ; 10. 8'+--^ = ^^^''-^^+\
11. 3" — 4. 3"-' = 45; 12. (5^'+^-')'"'^ = 1 .
B. Niet beide leden zyn machten van een zelfde getal,
maar produkten, quotiënten^, machten en wortels
van verschillende getallen.
289. Kan men, door van beide leden de logarithmen te nemen,
komen tot een vergelijking van den eersten of tweeden graad,
dan is de exponentiëele vergelijking op te lossen.
110
Voorbeelden :
1. ö'-" = 30.
Het is gemakkelijk aan te toonen, dat men voor X een
onmeetbaar getal zal vinden. Daar echter voor onmeetbare
exponenten, de eigenschappen der machten, en dus ook die der
logarithmen doorgaan (zie Deel IV), zal men, het tweede beginsel
in toepassing brengende, van beide leden de logarithmen mogen
nemen : ^
2x log. 5 == log. 30 1
_ log. 30
^'~2Iog.5'
of, daar het verkieslijk is, voor den noemer log. 25 te schrij-
ven : (Waarom ?)
log. 30
X =
x =
log. 25
1,47712
1,39794
log X = log. 1,47712 — log. 1,39794
log. 1,47712 = 0,16941
log. 1,39794 = 0,14549
log. ic = 0,02392 ^
rr= 1,05663.
Men brengt de machten van hetzelfde getal naar een zelfde lid :
Brengt men in het eerste lid d''^^ buiten haakjes, en in het^
tweede lid 2'^~', dan ontstaat :
1)
[x
3"
- (3^ - 1)
8 . 3-'--'
= 15.
(2'-
2^-1
3^-'
15
2^;-!
"~ 8
—
1 5"^~'
1) log! 1,5
^ 1
= 1,875;
= log. 1,875
log. 1,875
X — 1 =
log. 1,5
0,27300
0,17609
log. {x—l} = log. 0,27300 — log. 0,17609
lil
log. 0,273 = 0,43616
log. 0,17609 = 0,24574
log. {x
X
af
1) = 0,19042
1 = 1,55032
a; = 2,55032.
Men schrijft eerst 9"^"" als een macht van 3 :
Oix c3.e— 2 cyix—i ni—x
Deelt men nu beide leden door 3'"""* ; dan ontstaat :
81 .5'-"-'= 7*-",
waaruit, door van beide leden de logarithmcn te nemen, volgt :
log. 81 + (3a; — 2) log. 5 = (1 — a;) log. 7
3ic log. 5 + a; log. 7 = log. 7 — log. 81 + 2 log. 5
X (3 log. 5 + log. 7) = log. 7 — log. 81 + 2 log. 5
_log. 7 — log. 81 + 21og. 5
^~ 31og. 5 + log. 7
Nauwkeuriger en gemakkelijker wordt de berekening, wanneer
men daarvoor schrijft :
_log. 7 — log. 81 + log.25
^~ log. 125 -f log. 7
_log. 175— log. 81
^~ log. 875
2,24304 — 1,90849
x =
2,94201
0,33455
log. x
2,94201
log. 0,33455 — log. 2,94201
log. 0,33455 = 0,52447 — 1
log. 2,94201 = 0,46864
af
log. X = 0,05583 — 1
a:== 0,113718.
Opmerking.
Men heeft hier beide leden eener vergelijking gedeeld door
3'^'^~\ dat is een vorm die de onbekende bevat. De vraag is,
of hierdoor geen wortel verdreven is.
Laat men de volstrekte waarde van den negatieven exponent
van een macht van 3 voortdurend toenemen :
3-\ S-\ 3-\ S-'
112
dan wordt de waarde van de macht voortdurend kleiner :
111 1
ir» ¥i 2r? ïT»
4.
Door de volstrekte waarde van den negatieven exponent
grooter en grooter te nemen, wordt de waarde van de macht
ten slotte zoo klein, als men wil, en nadert dus hoe langer hoe
meer tot nul. Men drukt dit uit als volgt :
3-^ = 0.
De waarde van x dus, die van 2x — 4 een oneindig groot
negatief getal maakt, doet de macht 3^'""'' nul worden.
Daartoe dient men echter aan x zelf een oneindig groote
negatieve waarde te geven ; a; = — co zou dus de verdreven
wortel zijn; men is echter overeengekomen, slechts eindige
waarden als wortels eener vergelijking te beschouwen.
Door de overeenkomstige leden der gegeven vergelijking door
g2x-4 ^g deelen, is dus geen wortel verdreven.
log. X
X
19 16
Toel. Ex. Univ. 1887.
Neemt men van beide leden de logarithmen, dan ontstaat :
— log. X X log. X = log. 1916 — log. 2759,
— log. ^x = 3,28240 — 3,44075,
log. ■^ic = 0,15835,
log. a;=±K0,15835.
log.a;= K0,15835
log. log. x= ^ log. 0,15835
, , 0,19962-1 1,19962
log. log. x= = —-
log. log. ^ = 0,59981
log. ic = 0,39794
Xi — — u^O,
1
log. a,- = — KO, 15835
log. x = — 0,39794
log.^=l — 0,39794 — 1
log. a; = 0,60206 — 1
x.f= 0,4.
Vraag : De twee waarden van x zijn eikaars omgekeerden.
Kunt gij dit verklaren?
5.
(^+l)log.(^+l)
0,01.
(Eindex. H. B. S. 1866).
Neemt men van beide leden de logarithmen, dan ontstaat :
log. (^+ 1) X log. {x-{-l) - 3 log. (^+ 1) = - 2
log.' (a; + 1) — 3 log. {x -\- 1) -{- 2 = O
{log. {x^l)- 1} {log. {x-^l)-2} = O,
dus
of:
dus
113
log. (a; -f 1) — 1 = O en log. (ic -f 1) — 2 = O,
log. (a: + 1) = 1 en log. (^ + 1) = 2,
:ï;+ 1 = 10 en x+l = 100,
Xi = 9 x-, = 99.
Jog.^a; — 5 log. x
1000000 . x'^^' -" " '"^- •" = 1. (Eindex. H. B. S.).
Neemt men van beide leden de logarithmen, dan ontstaat:
6 + (log. ^x — 5 log. x) log. x = Q
log. *x — 5 log. -a; -f- 6 = O
(log.-'ic — 2) (log.' x~^) = O,
dus : log.'ic = 2
log. x = ± K2
rr. Berekenen we eerst de waarde
van 07, die behoort bij :
log. X = K2
log. log. X = ^ log. 2
, , 0,30103
log. log. X = ^—
log. log. ^ = 0,15052
log. ic = 1,41423
x,= 25,9556.
c. Nu die, welke behoort bij :
log. X = 1/3
log. log. x=^ log. 3
, , 0,47712
log. log. X ==
en log.'a; = 3
log. a; = ± K 3.
b. Daarna die, welke behoort bij :
log.a? = -K2;
dus: log. ic = — 1,41423
log.ic=2 — 1,41423 — 2
log. ic = 0,58577 — 2
x,= 0,038527.
d. Ten slotte die, welke behoort bij :
log.a; = -K3;
dus : log. x=^— 1,73204
log. x = 2 — 1,73204 — 2
log. X = 0,26796 — 2
x,= 0,0185335.
log. log. X = 0,23856
log. ;r= 1,73204
X:i-= 53,956.
7. Zij gevraagd n uit te drukken, in a, r en s. (Over de betee-
kenis dezer letters zie § 262).
De formule, die de betrekking uitdrukt tusschen deze letters is :
r"— 1
s =a
r—l
In deze vergelijking moet men den term r", die de onbekende
n als exponent bevat, afzonderen. Daartoe schrijft men boven-
staande vergelijking als volgt:
a
..n _s[r — \)-\-a
Derksen en de Laive, Alg III.
114
Neemt men nu van beide leden de logarithmen, dan ver-
krijgt men :
n log. r = log. {s {r — 1) -]- «} — log. a
log. {s (r — 1) -|- a} — log. a
log. r
Opgaven.
1. 2^^ = 769; {sy = r^ii,
2. x^""^- ^ = 10"'^'^^" ; x~ ^''^' ^ = 0,50724.
3. 0,45225~¥ = 67,246. (Cadet 1890).
4. lO^^S' ^'^ + log. 35 + 2 log. 2 = 3,2-"- + log. 14. (Cadet 1891).
5. Welk getal is de logarithme van 7, als 12 het grondtal is van
het logarithmenstelsel?
y e^—'ix ^2x+3 __ 25'~'''*^~^ 4- 2^-"+^.
8. (|f)"X(f)^ = t. (Eindex. H. B. S. 1867).
0. ^i>'2 = 3^+l Idem.
10. 100^^^^- ^ ~ ^^' = X. Idem.
11. :r^ + ^°S-^ = 2. (Eindex. H. B. S. 1871).
12. (1000000 a;)^^^''^~^^''^'-'^=l.
13. 0,0734^^^^-^ = 0,89752. (Adelborst 1896).
14. e'"' =73209.
15. Men vraagt n uit te drukken in : a, r, l.
Evenzoo in : a, l, s.
Ook in : r, Z, s.
(Over de beteekenis dezer letters zie § 262).
C. De beide leden eener exponentiëele vergelijking zyn
sommen of verschillen.
290. Bij deze soort van exponentiëele vergelijkingen kan men soms,
door een nieuwe onbekende aan te uemen, een oplosbare ver-
115
gelijking verkrijgen. De wortels van deze vergelijking doen dan
exponentiëele vergelijkingen ontstaan, die tot een der voorgaande
groepen kunnen teruggebracht worden.
Voorbeelden :
1. 6^+' — 6"-' = 25f . (Eindex. H. B. S. 1896).
Men merke op, dat 6'*^~' kan geschreven worden als ^ . 6^,
en 6^+* als 6 . 6^.
De gegeven vergelijking wordt daardoor :
6 . 6" — i . 6'"- = 25|.
Stelt men nu 6"^ = y, dan verandert 6*"" in y"'.
De vergelijking wordt nu :
62/ — if = 25f
/ — 36i/+155 = 0
(i/-31)(2/-5) = 0.
Stelt men y — 31 = 0, dan ontstaat de exponentiëele verge-
lijking: 6^ = 31.
Stelt men y — 5 = 0, dan ontstaat de exponentiëele verge-
lijking: 6^=5.
Deze twee vergelijkingen worden opgelost volgens Groep B.
Men zal vinden :
:r, = 1,91655
X, = 0,83334.
Opmerking : De waarden, die men hierboven voor y heeft
gevonden, waren beide positief ; daardoor ontstonden twee expo-
nentiëele vergelijkingen, die verder opgelost konden Avorden.
Een macht van een positief getal kan echter niet negatief zijn.
Heeft dus de vergelijking in y een negatieven wortel, dan kan
daaruit geen waarde voor x afgeleid worden. Dit is het geval
bij de volgende vergelijking :
2. 5.3'"+^ — 8'"K3 = 18. (Eindex. H. B. S. 1894).
Merkt men op, dat K3 = 3^ ; dus 3'"- K3 = 3"^^ ^ ^ ; dan
3_2; _1_ 1
zal, als men 3 == y stelt, de vergelijking worden :
5.r — 2/— 18 = 0
y = tV ± tV
y =tV±U
116
los:.
Uit yi = — -^ kan men geen waarde voor x afleiden.
Uit y-i — 2 volgt :
"> o"^ ~r Y — — o
Men zal vinden : x = 0,04364.
^2^°g-^-2.^^«g-^-15 = 0.
Daar x ^" de tweede macht is van x ^' , stelt men
X ^' =y. Nu levert een negatieve waarde van y geen waarde
voor X op. (Waarom niet?)
De vergelijking wordt dan :
y' — 2«/ — 15 = O,
(2/-5)(2/ + 3) = 0,
2/1 = 5,
^2 = — 3 (geeft geen waarde voor x) .
Uit ?/, := 5 volgt nu :
log. X w
X ^ =: 5.
log. X X log. X = log. 5,
log.-':r = 0,69897,
log. x = ±. K0,69897.
log. x = — K0,69897
dus : log. x= — 0,83604
log. x=l — 0,83604 — 1
log. X = 0,16396 — 1
x,= 0,145867.
log. X = K0,69897
log. a; = i log. 0,69847
0,84446—1
log. log. X
log. X = 0,92223 — 1
log. X = 0,83604
X(= 6,8555.
Opgaven.
^2 log. X _ 47^1og. x_^^^^^ (Eindex. H. B. S. 1891).
^2 log. X _ 4^. log. X _ 3^ ((.^^^^ lggl)_
3'+^ 4- 3--^ = 30. (Eindex. Gymn. Zutphen 1892).
2 — 10'" = 10". (Eindex. H. B. S. 1866).
16" — 7. 4-" = 8.
^2 log. a; + 2 _ j2 = :r^^^- ^ "^' 1.
3a;
1 + 3 log. x^.^_ 2^-1-3 log. x^
117
D. Vergelijkingen met meer onbekenden, waarvan op
zijn minst één een exponentiëele vergelijking is.
291. Met behulp van de vroeger aangegeven methoden elimineert
men dan alle onbekenden op één na. De resulteerende verge-
lijking is dan een exponentiëele vergelijking, die op een der
vroeger aangegeven manieren kan opgelost worden.
Zijn de gegeven vergelijkingen echter alle exponentiëele ver-
gelijkingen, dan is het dikwijls noodig er eerst vergelijkingen
uit af te leiden, waarin de onbekenden niet meer in de exponen-
ten voorkomen, en dan eerst over te gaan tot elimineeren.
Voorbeelden:
l 3" + 4^ + 5= = 136 (1)
1. (I). I 8-^ — 5 . 4" = — 1 (2)
f 3^ . 4=^ =18 (3)
Stelt men : 3'' = a, 4'' = b, h' = c,
dan gaat het stelsel (I) over in :
l a+& + c=136 (1)
(II). « — 5& = — 1 (2)
I ah = 18. (3)
De vergelijkingen (2) en (3) van dit stelsel bevatten slechts
de onbekenden a en h.
Uit (2) leidt men af:
a = U — \.
Substitueert men deze waarde in (3), dan wordt deze verge-
lijking :
(53 — 1) 6 = 18
5fc--è— 18 = 0
^ = TV±iK(^^3 + V)
è = TV±TVK361
h 1 -4-19
èi=-|;^3 = 2. (4)
Daar h of 4^ niet negatief kan zijn: (Waarom niet?) behoort
bij öi geen waarde voor «/ ; dus kan men er ook geen waarden
voor X en z uit afleiden.
Men heeft dus slechts op te lossen het stelsel :
b = 2 (4)
(III). { a — hh = - l (2)
a -f 6 + c = 136. (1)
118
Uit ö of 4^ = 2 volgt : y = }.
Uit (2) volgt : a of 3^" = 5ö — 1 of 9 ; dus ic = 2.
Uit (1) volgt : c of 5' = 136 — a — è of 125 ; dus z = d.
W- I ^log.^ + Iog.y _^ (2)
Na de oplossing te nemen : a = 20, b = ^.
(Eindex. Gymn. Leeuwarden 1889).
Neemt men van beide leden de logarithmen, dan ontstaat :
I (log. a;4-log.«/)log. 2/=log. & (2)
Stelt men : log. x=p, log. y = q,
dan wordt het stelsel (II) :
\ (P -f 2) P = log. a (1)
lip + q)q = log. b. (2)
Deelt men beide leden van (1) door de overeenkomstige
leden van (2), dan worden geen wortels verdreven, daar de
tweede leden geen onbekende bevatten. De quotientvergelijking :
p log. a
q log. b'
in vergelijking (2) gesubstitueerd geeft :
(f (log. a -f- log. b) = log." h
., _ log.^ b
log. a -\- log. ö'
of daar log. a -f- log. b = log. ab is :
2 log. ' b
log. ab
log. b
^ ~" Klog. ab'
-r^.. lojï- b , , . .... .,., log. a
Bij g- = r—rp behoort blijkens {o) : p —
-D" lo^-^ /'Q^ log. a
\y\og.ah " y> y-)'!- \y\og.ab'
Daar log. a;=^ en log. y = q is, zullen de waarden, die men
voor X en y vindt, zijn :
119
10
log.a
log. \y^ab
lo^. b
10
log. b
log. lyab
Stelt men voor a en b respectievelijk 20 en ^ in de plaats,
dan vindt men :
x=10^^^-^Ki20
io-i«g-20of,v
y=10^«g-iof i
10 - '^S- i of 2
^ 2''+2 5-'+' = 40000 (1)
/ 5v-i . 2^-- = 20 (2)
Deelt men beide leden van (2) op de overeenkomstige van
(1), dan zal de exponent van de macht van 5 niet meer y
bevatten. Daardoor ontstaat :
(I).
2^-^ = 2000
5\2--^--2*5'
2'^ = 2'
2a; = 4
x = 2.
Substitueert men deze waarde in (1), dan ontstaat :
2^ . 5''+' = 2^ 5'
2/+l==4
^ = 3.
\ x' = f (1)
\ c(? = y' (2) (Eindex. H. B. S. 1872).
Neemt men van beide leden der vergelijkingen de logarithmen,
dan ontstaat het stelsel :
\ y log. x = x log. y (1)
Ulog.ri; = 2log.^ . (2)
Deelt men beide leden van (2) op de overeenkomstige leden
van (1), dan ontstaat de vergelijking :
1=1 <^)
die verder moet opgelost worden met de deelervergelijking.
Ook zullen aan het oorspronkelijke stelsel voldoen de wortels,,
die men verkrijgt, als men beide leden der deelervergelijking
gelijk nul stelt. (Zie § 226).
(II).
120
Men heeft dus op te lossen de stelsels :
(III). \ i=Y ^^^n(IV) ! ol'^'-''^n
I ^.^^ (2) I 21og.^ = 0
(III). Uit (3) leidt men af: y == ^x.
Substitueert men deze waarde in (2), dan ontstaat :
x^ = {^x}'
x"" — lx"- = o,
waaraan voldoen : a?i = O ; dus ^i = O,
a;., = f ; dus yz — ^.
(IV). Aan dit stelsel voldoet alleen: log. a; = 0 of Xs=l,
en : log. y=0 of 2/3=1.
Aan het oorspronkelijk stelsel (I) voldoen dus :
x = 0 \ 1 \ l
2/ = 0 I 1 I ^-
Opmerking : De waarden x = 0 en y = 0 doen vergelij-J
king (1) overgaan in : ™
O" = 0\
welke uitdrukkingen onbepaald zijn.
l a;'-'= 100(1)
^* ^^'^* I (log. a;)^°S' ^ = 0,2 (2). (Eindex.H.B.S. 1898).
Uit (1) volgt : y log. a; = 2,
of : log. x= — . (3)
Substitueert men deze waarde in (2), dan ontstaat :
Neemt men van beide leden de logarithmen, dan ontstaat :
log. y (log. 2 — log. y) = log. 0,2.
Vervangt men nu log. 0,2 door — 1 -j- log. 2, dan wordt
deze laatste vergelijking :
log. 2 . log. y — log.V = — 1 + log- 2, waaruit volgt :
log. 2 . log. y — log. 2 = log.^y — 1
log. 2 (log. y—l) = (log. 1/ + 1) (log. y - 1). (4)
Deelt men beide leden dezer vergelijking door log. y — 1,
dan ontstaat :
log. 2 = log. y + 1,
log. 2 — 1 = log. ?/, '^
121
log. 2 — log. 10 = log. y
log. 0,2 = log. y
y, = 0,2. (5)
Ook wordt aan (4) voldaan door den wortel der vergelijking :
log- y — 1 = 0.
Deze is : log. y = 1
yi= 10. (6)
De vergelijkingen (5) en (6) moeten beide gecombineerd wor-
den met (3), zoodat men heeft op te lossen de stelsels :
(II).
^ = 0,2.
, 2
log. x = — .
(5)
(3)
en (III).
^=10.
, 2
log. x = —
y
(6)
(3)
(II). Daar y =■ 0,2 is, zal log. X = -^- zijn,
of : log. X = 10,
dus : x,^ W\
(III). Daar 2/=10 is, zal log. .r =■ y^^ zijn,
of : log. X = 0,2,
Xf= 1,5849.
Aan het gegeven stelsel (I) voldoen dus :
a;=10'"| 1,5849
^ = 0,2 l'lO •
Opgaven.
1.
xy = 10
x-^«g-y = 0,01.
2~^ : 3""^^ = 4.
2. !
3^'+' . 9"+' = 81
32/ + 5
9^ ^'
^^ = 32768
^^ = 1,5.
I 5^-' X 4^+' = 25600
l K5"+' X ■^4''-' -= 100.
122
Gemengde opgaven.
3. 3 . 4"' 4- -1- . 9^+- = 6 . 4-^+' — 1 . 9*^+'. i
, 2 log. a; I K loo;. ic , ^ ^
4. a ^ + 5a *= -f- 6 = 0.
5. 2 (log. 3)-" — 3 (log. 3)" +1=0. (K. M. A. 1897).
6. 5:r^^g-^-^2^^^-^=4. (Cadet 1895).
7. Bereken x uit de vergelijking 0.2'^ = )/(«■ — &''),
als a = 273,075 en 6 = 272,985.
8. Los rr en «/ op uit : j ^,^_; ^ g,,_^, ^ ^^^^^
9. ?-^ = 0,25'^-\ 10. 4V^'^+" = 64a; X 2V^<'^+".
i 2-^+3-^ = 11 i y^a; = 2
• / 2"-' + 3" =82. / a;. (0,06)-^' = 0,001728.
U2 + log.y_^()Q(^^_ (10*^)(^«g-^^)
13. ^ 1 r» 14. zr-, = 1.
.(^^"S-^-2_o,01. (10^^) ^^«g-^
(Eindex. Gymn. Utrecht 1892). (Eindex. H. B. S. 1867)
\ x'' = 16384 ^ 2 . 3<^— ^ +4 . 5'-^= 38
^* / i!^2187 = |a;. / 3 . 5-^+^—7 . 3°-^-+'=— 192.
17. (ff-' ,^f=(^i;v'9)-^-^-'.
18. 11 . 4-^+- + 8326 . 9-— ' = 132 . 9'^+' ~ 8 . 4'-"-^'.
/ a(2a-+;/)^ ^ ^_^^ (2-^3^ =18
19 ] a'^<-^--+''' ^ 20. 2'-^ . 10'' = 500 . 2=
/ (:.+.v)^'^S-'^^^+^)=KlO. f 6^ . 7^ = 7\ 36.
(Eindex. H. B. S. 1874).
21.
10 ■^"■^X(|=f)=i
48-'
123
24.
25.
27.
28.
2x-{-Sy — z
52(2a-+j/-.) _ g ^ 52X+.V-. _|_ 5 ^ Q_
Voor welke waarde van a is het vraagstuk onbepaald ?
(Eindex. H. B. S. 1880).
log. l^{12:z; (3a; - 1) -f 5 (o; — 6)} — 2 log. f^(x — l) = |.
2,09691 + log. (a; — 3) = 3 + log. x — log. (3 + ar).
l 7-'-f-- = 6-"+' i 2^+-''~- + 2'+^-^ = 48
(Cadet 1894).
Uit een vat, dat 1 H.L. zuiveren alcohol bevat, worden 5 L.
genomen en vervangen door water. Uit dit mengsel neemt men
weer 5 L. en vervangt deze door water. Hoeveel malen moet
men dit doen, om een mengsel te krijgen, dat 40 % alcohol
bevat ?
Uit een vat, dat 250 L. alcohol bevat, worden eenige L. geno-
men en vervangen door water. Van dit mengsel neemt men
weer hetzelfde aantal L. en vervangt ze door water. Wanneer
men deze bewerking 20 keeren verricht, is er in het vat nog
slechts 75 L. zuivere alcohol. Hoeveel L. worden er telkens
uitgenomen ?
HOOFDSTUK VI.
Samengestelde Interestrekening.
292. Wmineer een kapitaal op interest uitstaat, en na afloop van
eiken termijn van rentebetaling de verschenen rente niet in
ontvangst genomen, maar hij het kapitaal gevoegd wordt, dan
xegl 7nen, dat het kapitaal op samengestelden interest
is uitgezet.
De termijn van rentebetaling is meestal een jaar, maar kan
ook ^ jaar, \ jaar, een maand enz. zijn.
Vraagstuk I.
293. Wanneer eeii kapitaal van 1200 gulden d 4 7o op samenge-
stelden interest is uitgezet, hoe groot is het dan geivorden na
15 jaren?
Oplossing.
100 gld. brengen in 1 jaar op: 4 gld. rente,
1 gld. brengt in 1 jaar op : y^^ gld. rente,
en is dus aangegroeid tot 1 + i4-(y of 1,04 gld.
Het kapitaal, groot 1200 gld., is derhalve na 1 jaar geworden:
1200 X 1,04 gld.
Men zet nu deze som het tweede jaar weer uit a 4 "/o.
Elke gulden, die bij het begin van het tweede jaar op interest
is uitgezet, is op het einde van het tweede jaar geworden : 1,04 gld.,
dus de som van 1200 X 1»04 gld. zal op het einde van het
tweede jaar geworden zijn :
1200 X 1,04 X 1,04 gld. = 1200 X 1,04'^ gld.
Men ziet dus, dat op het einde van zeker jaar het kapitaal
1,04 maal zoo groot is, als bij het begin van dat jaar; dus is
het kapitaal
125
op het einde van het derde jaar geworden : 1200 X 1,04^ gld.
„ „ , „ „ vierde „ , : 1200 X 1,04* gld.
enz.
, „ „ „ , lö'i'^ jaar is het geworden : 1200 X 1,04" gld.
Opmerking: Wanneer een kapitaal van Kgld. hp 7» 'sjaars
op samengestelden interest wordt uitgezet, dan is het na verloop
f P Y
van n jaren {n is een geheel getal) geworden : Jril+.ï^r^i gld.
Vraagstuk II.
294. Hoe groot wordt een kapitaal van K gld., dat a p % per jour
uitstaat, 7ia ^ jaar, na 1 maand, na m jr. {m <Z. 1) ?
Oplossing.
Doorgaans redeneert men als volgt :
Een kapitaal, dat h p ®/o per jaar uitstaat, brengt in \ jaar
^p^io; in 1 md. y^P^Io', in m jr. mp ^fa op; dus;
K gld. wordt na een half jaar: iTl 1 4- r^ jgld.
KgV\. , , , maand: ^(l+gg)gld.
^gld. „ „ mjr.: ^(l+^)gld.
Wiskundig juist is deze redeneering niet:
Een kapitaal toch, dat p °/o per jaar opbrengt, is na verloop
van een jaar niet zoo groot geworden, als een kapitaal, dat
b. V. elk half jaar \ p 7o opbrengt.
Stelt men, dat p 7o rente per jaar ontvangen gelijk staat met
x7o rente per half jaar, dan zal
K gld. na een half jaar geworden zijn : X ( 1 -}--Trx)gld.
en na een heel jaar: ^(I+tttt:) gW.
Staat een kapitaal h p 7o per jaar uit, dan wordt het na ver-
loop van een jaar : Ky 1 "l~ t^) gJd.
Dus,.oet: Jf (l + ^) =if(l + J^) .ij„,
"'■■ (i+ïlöJ= 0+4)
126
1+^ = l+-^-\^
100 V ' loo;
Een kapitaal^ dat d p % per jaar is uitgezet, is dus 7ia ver-
loop van een half jaar geworden '. K\\ ■\- z~^ gld.
Stelt men, dat p "/o rente per jaar ontvangen gelijk staat met
y 7o per maand, dan zal
K gld. na 1 maand geworden zijn : K[ 1 -f-T^j gld.
iiTgld. , 2 maanden , , :^(^l + ^Jgld.
K gld. na 1 jaar zal geworden zijn: üTfl-f-T^T:) gld
Na 1 jaar is het echter ook geworden : Z'fl+v^lg
Dus moet: ir(l + ^f =ir(l Hh^) zijn,
ld.
«^•- '^ + ïoö)="^ + Ioö
1 + ^=0+4)'^-
100
I^a 1 maand moet dus het kapitaal vermenigvuldigd ivordcn
met den factor ( 1 + Tnn)^^-
P VV
Na 5 mnd. met den factor f 1 + f^ )
In het algemeen na m jaren (m < 1) met den factor 1 1 + ~— j .
Een kapitaal van K gld., dat a p % per jaar is uitgezet, is
dus na verloop van m jaren {m <; 1) geivorden : Ky 1 -|- r^-r ) gld.
Vraagstuk III.
295. Hoe groot ivordt een kapitaal va7i K gld., dat gedurende 7i -\- m
jaren {n is geheel en m<:l) ap^JQ op samengestelden interest
is uitgezet?
127
Eerste manier:
Volgens Vraagstuk I wordt een kapitaal van K gld. na ver-
loop van n jaren: Kil -f- ^^1 gld.
Staat het nu nog m jaren uit, dan wordt het volgens de
eerstbehandelde manier van Vraagstuk II vermenigvuldigd met
den factor 1 + -r^.
Dus wordt het kapitaal na n-\- m jaren :
Deze manier, hoewel onnauwkeurig, wordt doorgaans in de
praktijk gevolgd.
Tweede manier.
Volgens Vraagstuk I wordt een kapitaal van K gld. na ver-
loop van n jaren : ^( 1 + t^ j gld.
Volgens de wiskundig juiste berekening van Vraagstuk II
wordt dit kapitaal, dat nog m jaren uitstaat, vermenigvuldigd
met den factor 1 1 + r^ 1 gld.
Het kapitaal wordt dus na verloop van n -\- m jaar :
B.^. = k{i + ^J (l + ^J' of k{i + ^f. (2)
296. In de formules (1) en (2) komen voor de grootheden :
K (beginkapitaal),
Kn+m (eindkapitaal),
p (percent),
n en m (tijd).
Elk van deze grootheden kan berekend worden, als de andere
drie gegeven zijn ; deze berekening geschiedt met logarithmen.
P
Als daarbij de logarithme van den factor 1 + t^ Daet het
aantal jaren vermenigvuldigd moet worden, zou men een onnauw-
keurigheid begaan, indien men de logarithme van den factor
P
1 + i~ in 5 decimalen opschreef. Elke logarithme toch is een
onnauwkeurig getal, dat op zijn hoogst ^ eenheid van de vijfde
128
decimaal verschilt met de werkelijke logarithme. Vermenigvul-
digt men dit onnauwkeurige getal met het aantal jaren, b.v. 12,
dan is het produkt op zijn hoogst 12 X i = 6 eenheden van
de vijfde orde te groot of te klein. Deze onnauwkeurigheid kan
men voorkomen, door de log. van 1 -f" -^ in 7 decimalen te
nemen, en na vermenigvuldiging de laatste 2 decimalen weg
te laten.
De meest voorkomende logarithmen van 1 -\- -^ met 7
decimalen, zullen wij hier laten volgen :
pog. 1,01 =0,0043214. I log. 1,05 =0,0211893.
Mog. 1,015 =0,0064660. j log. 1,0525 = 0,0222221.
\ log. 1,02 =0,0086002. log. 1,055 =0,0232525.
\ log. 1,025 = 0,0107239. f ^^g- 1'0575 = 0,0242804.
' log. 1,03 = 0,0128372. \ log. 1,06 = 0,0253059.
) log. 1,0325 = 0,01 38901. ' log. 1,065 = 0,0273496.
log. 1,035 = 0,0149403. ( log. i,07 = 0,0293838.
log. 1,0375 = 0,0159881. log. i,075 = 0,0314085.
log, 1,04 =0,0170333. Mog- 1,08 =0,0334238.
log. 1,0425 = 0,0180761.
log. 1,045 =0,0191163.
log. 1,0475 = 0.0201540.
Wij zullen het voorgaande met eenige voorbeelden toelichten,
daarbij echter alleen de wiskundig juiste manier volgen.
Voorbeelden :
1. Iemand, wiens zoon waarschijnlijk over ^ jaren en 10 maanden
xyn studiën aan de universiteit zal heginnen, wenscht op dat
tijdstip in het bezit te zyn van 5000 gld. Hoeveel moet hij nu
op samengestelden interest uitzetten bij een spaarbank, die hem
^ 7ü rente geeft ?
Oplossing.
Stel, dat hij x gld. op samengestelden interest uitzet, dan
heeft hij na 8 jaren :
X X 1,035' gld.
Nu zet hij zijn kapitaal nog 10 maanden uit ; in dien tijd
wordt zijn kapitaal vermenigvuldigd met den factor 1,035|l,
129
zoodat hij dus bezit :
X X 1,035^^ gld.
Men heeft dus de vergelijking :
a;X 1,035^^=^5000
5000
X -■=
1,035°^
log. X = log. 5000 — 8f log. 1,055
log. 5000 = 3,69897
81 log. 1,035 = ^^X^f^^^^^- = '-^^^ = 0,13197
af
log. :z; = 3,56700
a; = 3689,75.
Dus hij moet nu 3689,75 gld. op samengestelden interest
uitzetten.
Na hoeveel jaren is iemand^ die 4820 gld. rijk is, in het bezit
van 9000 gld., als hij zijn geld a 4 7o op samengestelden inte-
rent kan uitzetten ?
Oplossing.
Stel, dat hij na x jaren in het bezit is van 9000 gld., dan
zullen de 4820 gld., onverschillig of x geheel of gebroken is,
aangegroeid zijn tot :
4820 X 1,04-^ gld.
De vergelijking is dus :
4820 X 1,04" = 9000
log. 4820 + X log. 1,04 -= log. 9000
X log. 1,04 = log. 9000 — log. 4820
log. 9000— log. 4820
X =
x^=
x =
log. 1,04
3,95424—3,68305
0,0170333
0,27119
0,0170333
log. X ^^ log. 0,27119— log. 0,0170333
log. 0,27119= 0,43327—1
log. 0,0170333 = 0,23130—2
log.a;= 1,20197 ^
a; = 15,921.
Derkscn en de Laive, Alg. III. 9
130
Dus na 15,921 jaar of 15 jaren en 336 dagen (als men een
jaar op 365 dagen rekent) is hij in het bezit van 9000 gld.
Opgaven.
1. Iemand heeft over 5 jaren te vorderen 5000 gld. Men wil
hem nu betalen. Met hoeveel kan dit geschieden tegen een
rentestand van 5 7o ? (De gevraagde som heet contante
waarde).
2. De bevolking van een stad telde einde 1850 juist 20000 inwoners ;
en op het einde van 1870 bedroeg dit aantal 30000. Hoeveel 7ü
was de gemiddelde toename per jaar ?
3. Iemand moet over 1^ jaar 3000 gld. betalen. Het komt hem
beter uit, dat over 5 jaren te doen. Hoeveel moet hij dan
betalen? Rente 4 7o.
4. Een spaarbank neemt van iemand 10000 gld. op samengestelden
interest h 3 7o' Zelf zet zij haar geld bij een andere bank uit
k 4 7o- Hoeveel bedraagt de winst voor de spaarbank na 8 jaar
en 4 maanden ?
5. Iemand moet over 10 jaren ontvangen 4000 gld. Na hoeveel
jaren (van nu af gerekend) is de waarde der vordering 3500
gld. ? Rente 3^ 7o.
6. Na hoeveel jaren wordt de bevolking eener stad verdubbeld,
als de gemiddelde jaarlijksche toename 2^ 7o bedraagt ?
7. Iemand leent een som van 600 gld. Hij teekent daarvoor een
schuldbekentenis van 850 gld., te betalen over 5 jaren. Hoe-
veel 7o interest wordt hem in rekening gebracht ?
8. Iemand is schuldig 1000 gld. te betalen over 10 jaren. Hij
wenscht echter reeds te voldoen na 4 jaren en 8 mnd. Met
hoeveel kan hij dan volstaan ? Rente 4^ 7o-
Vraagstuk IV.
297. Als ieinand hij het begin van elk jaar 100 gld. op sameiigc-
stelden interest intxet a 4 7o> hoeveel heeft hij dan iia 12 jarcit f
Oplossing.
Na 1 jaar heeft hij 100 X 1,04 gld.
Bij het begin van het tweede jaar voegt hij 100 gld. bij zijn
131
kapitaal ; dus dat jaar zet hij 100 X ^^'^'^ + 100 gld. op interest.
Deze zijn op het einde van het tweede jaar geworden:
100 X 1,04^ -h 100 X 1,04 gld.
Het derde jaar zet hij 100Xl,04''+100Xl,04+100gld. op interest;
oj) het einde van het derde jaar zal hij dus hebben :
100 X 1,04' + 100 X 1,04' + 100 X 1,04 gld. enz.
Op het einde van het 12'^'' jaar zal hij dus hebben :
100X1,04^-4-100X1,04"+ .... +100Xl,04'+100Xl,04gld.
Beschouwt men deze rij van getallen als een opklimmende
meetkundige reeks, dan is 100 X 1,04 de eerste term en 1,04 de
reden; dus is hij op het einde van het 12*^'^ jaar in het bezit van:
100 X 1,04 X ^'^f~ ^ gld.
Opgave. Wanneer hij bij het begin van elk jaar a gld. op
samengestelden interest uitzet ^ ^ 7o I dan is hij na n jaren in
het bezit van :
100
De leerling bewijze dit.
Opmerking.
Had hij op het einde van elk jaar, in plaats van bij het begin
a gld. op samengestelden interest uitgezet, dan had hij van elke
a gld. één jaar minder interest ontvangen ; en dan was :
. P
" = « • ~ — • (4)
ÏÖÖ
298. In deze formules (3) en (4) komen de volgende grootheden voor :
Kn (eindkapitaal).
a (jaarlijksche bijvoeging).
n (tijd).
p (percent).
Omdat de grootheid p voorkomt in de vormen :
Tnn) ^° uü\^ ^^^" ^^ "^^^ berekend worden.
Er zijn dus drie verschillende soorten van vraagstukken,
welke met behulp van deze formules kunnen opgelost worden.
(i+'
132
Voorbeelden :
Een ambtenaar sluit met een maatschappij van levensverzeke-
ring een contract^ dat zij 10000 gld. bij zyn overlijden zal
uitbetalen aan zijn erfgenajuen. Als zijn vermoedelijke levens-
duur nog 32 jaren bedraagt, welke premie moet hij dan bij het
begin van elk jaar betalen, als de maatschappij 4'^! o berekent?
Oplossing.
Stel, dat hij bij het begin van elk jaar x gld. betaalt, dan
is de maatschappij hem na 1 jaar schuldig: a; X 1»04 gld.
Bij het begin van het tweede jaar betaalt hij weer x gld.,
dus bij de maatschappij staat het tweede jaar ic X 1»04 -l-a;gld.
op interest. Na 2 jaren is de maatschappij hem dus schuldig:
a;X 1,04' -1-^X1,04 gld.
Na 3 jaren zal de maatschappij hem schuldig zijn:
X X 1,04' -\-xX 1,04- + ^ X 1,04 gld.
Na 32 jaren dus:
rz;Xl,04'-+a;Xl,04''4- +;z:Xl,04-^+«X 1,04 gld.
Deze getallen vormen een meetkundige reeks, waarvan x X 1,04
de eerste term is, en 1,04 de reden.
1,04'^— 1
De som is dus a; X 1,04 X
0,04
rld.
De maatschappij moet na 32 jaren 10000 gld. aan zijn erf-
genamen betalen; dus:
1 04'^ — 1
. xXhO^X-^^^^. =10000
x =
0,04
10000 X 0,04
1,04X(1,04'^
Stel 1,04'' = a
log. a = 32 log. 1 ,04
log. a = 32X0,0170833
log. a = 0,5450656=0,54507
a = 3,5081.
1)'
Dus x =
10000 X 0,04
1,04 X 2,5081
10000
26X2,5081
10000
65,2106
log. ^ = log. 10000 -log.65,2106
log.l0000 = 4
log. 65,2106 = 1,81431
log. a;= 2,18569
a;= 153,35.
Hij moet dus bij het begin van elk jaar 153,35 gld. stortcn.jj
133
Na hoeveel jaren zal men in liet hexit zijn va?i 10000 gld.,
als men hij den aanvang van elk jaar 200 gld. op samengestelden
interest uitzet a 5 7o?
Oplossing.
Na 1 jaar bezit men 200 X 1,05 gld.
Bij het begin van het tweede jaar voegt men er 200 gld. bij.
Men bezit dus op het einde van het tweede jaar :
200 X 1,05- + 200 X 1,05 gld.
Op het einde van het derde jaar zal men in het bezit zijn van :
200 X 1,05' + 200 X 1,05- + 200 X 1,05 gld., enz.
Noemt men het gevraagde aantal jaren x, dan bezit men na
X jaren :
200Xl,05-'H-200Xl,05"-^+ +200X1,05-+200X1,05,
of: 200 X 1.05 X-^^-.
Men heeft dus de vergelijking:
1 AK,^- 1
200X1,05X- :-. n. =10000
0,05
200X1,05(1,05^— 1)=500; of: 1,05 (1,05-^ — 1)=2,5
1,05^-^^=2,5-]- 1,05; of: l,05"-^'=3,55
loo- S ^^
(a;-fl)log. l,05=log.3,55; of: x-^l=.^f^f^
log. {x -\- l)=log. log. 3,55 — log. log. 1,05
log. log. 3,55=log. 0,55023 = 0,74054—1
log. log. l,05=log. 0,0211893= 0,32612—2
log.(a;+l)= 1,41442
a; + 1= 25,967
x= 24,967
Daar in de door ons gebruikte formule (3) ondersteld is, dat
n een geheel getal is, en de voor x gevonden waarde > 24 is
en <C 25, mag men daaruit besluiten, dat men na 24 jaren nog
niet in het bezit is van 10000 gld.
Na 24 jaren is men in het bezit van een som :
1 0^^ — 1
y = 200 X 1,05 Xqq^
of: ^ = 4200(1,05"— 1).
Stel nu eerst 1,05'^ = 6, dan is :
log. & = 24 log.' 1,05 =24X0,0211893
log. h = 0,50854
&= 3,2251,
waaruit volgt : y = 4200 X 2,2251,
of : tj = 9345,42.
134
Bij het begin van het 25***^ jaar voegt men 200 gld. bij het
kapitaal, en bezit dan dus 951:5, 42 gld. Noemt men z het gedeelte
van het jaar, dat het kapitaal dan nog moet uitstaan om tot
10000 gld. aan te groeien, dan zal :
9545,42X1,05^ = 10000
log. 9545,42 4- z log. 1,05 = log. 10000
_ log. 10000 — log. 9545,42
^'~ log. 1,05
__ 4 — 3,97980
^~ 0,0211893
0,02020
0,0211893
log. z = log. 0,0202 — log. 0,0211893
log. 0,0202 =0,30535—2
log. 0,0211893 = 0,32612—2
log. ^ = 0,97923— 1
0 = 0,9533
Dus na 24,9533 jaar of na 24 jaar en 348 dagen is men in
het bezit van 10000 gld.
Opgaven.
1. Een beginnend ambtenaar neemt zich voor, bij het begin van
elk jaar 100 gld. op samengestelden interest te plaatsen. Hoeveel
bezit hij na verloop van 20 jaren, als hij 3f 7o rente van zijn
geld geniet?
2. Een vader zet bij de geboorte van zijn zoon 200 gld, op samen-
gestelden interest rl 3^%: Dit doet hij elk jaar op diens ver-
jaardag, ten einde een fonds te vormen, waaruit zijn zoon later
studeeren kan. Hoeveel bezit de zoon, als hij 18 jaren oud is?
(Laatste storting op den 17*^*^" verjaardag).
3. Iemand plaatst bij het begin van elk jaar 200 gld. op samen-
gestelden interest ^ 4 7o. Na hoeveel jaren bezit hij 3000 gld. ?
4. Hoeveel moet iemand op het einde van elk jaar op samenge-
stelden interest uitzetten è, 3|- 7o» om op het einde van het
twaalfde jaar 4000 gld. te bezitten?
5. Als men 5000 gld. ö, 4 7o op samengestelden interest uitzet, en
behalve de rente op het einde van elk jaar nog 300 gld. erbij
voegt, hoeveel heeft men dan op het einde van het twaalfde jaar?
6. Een fabrikant zet voor eiken werkman, die een jaar bij hem
gewerkt heeft, 10 gld. op samengestelden interest è 3|- 7o- Hoeveel
135
krijgt de werkman, die 25 jaren bij hem in dienst is geweest ?
Als men 10 jaren lang bij het begin van elk jaar 100 gld. op
samengestelden interest uitzet jt 4 "/o ; en daarna ophoudt met
bijstorten, hoeveel bezit men dan op het einde van het 30*'*' jaar ?
Vraagstuk V.
299. Als men zijn kapitaal^ groot 30000 gld. a 4 7o op samenge-
stelden interest uitxet, en er op het einde van elk jaar 2000
fjld. voor levensonderhoud afneemt, hoeveel bezit men dan nog
na 10 jaren ?
Oplossing.
Op het einde van het eerste jaar bezit men 30000 X 1»04 gld.,
doch neemt er 2000 gld. af, zoodat men dan heeft :
30000 X 1,04 — 2000 gld.
Dit kapitaal staat het tweede jaar uit, en groeit dus aan tot
(30000X1,04— 2000)Xl,04gld.=30000Xl,04'—2000Xl,04gld.
Men neemt er op het einde 2000 gld. af, en bezit dus dan :
30000 X 1,04'^ — 2000 X 1,04 — 2000 gld.
Op het einde van het derde jaar zal men bezitten :
30000 X 1,04' — 2000 X 1,04- — 2000 X 1,04 — 2000 gld.
Op het einde van het tiende jaar dus :
30000 X 1,04'" — 2000 X 1,04' — 2000 X 1,04' — ...._
— 2000 X 1,04 — 2000 gld.
Alle termen, voorzien van een minteeken, vormen een meet-
kundige reeks, die opklimmend is, als men 2000 ais eersten
term beschouwt. De reden is dan 1,04, en het aantal termen
10. Dus bezit men op het einde van het 10*^*^ jaar :
1 04'" 1
30000 X 1,04"' — 2000 X ^ ^^ gld.
Opgave. Wanneer men een som van A gld. op samenge-
stelden interest uitzet h p %, en er op het einde van elk jaar
a gld. voor levensonderhoud afneemt, dan bezit men na n
jaren nog :
^" = ^r-^ïööj -^- — jr — • (^)
100
De leerling bewijze deze formule.
136
300. In deze formule (5) komen de volgende grootheden voor :
Kn (eindkapitaal).
A (beginkapitaal).
a (jaarlijksche vermindering).
p (percent).
De grootheid p komt voor in de vormen ' 1 + —ttt. \ en -r-,
en kan dus niet berekend worden, als de andere vier grootheden
gegeven zijn. Er zijn dus vier verschillende soorten van vraag-
stukken, die met behulp van deze formule kunnen opgelost
worden.
Voorbeeld :
Iemand heeft ziJ7i vermogen, groot 40000 gld., a 4 7o op
samengestelden interest uitgezet. Aan het eifide van elk jaar
neemt hij er 3000 gld. voor levensonderhoud af. Na hoeveel
jaren' bezit hij nog 10000 gld.?
Oplossing.
Na 1 jaar bezit hij nog 40000 X 1,04 — 3000 gld.
Deze som wordt het tweede jaar op samengestelden interest
uitgezet en wordt dus :
(40000X1,04— 3000)Xl,04gld. of 40000X1,04'- 3000Xl,04gld.
Dan wordt er weer 3000 gld. afgenomen, zoodat hij dan bezit :
40000 X 1,04' — 3000 X 1,04 — 3000 gld.
Evenzoo blijkt, dat hij op het einde van het derde jaar bezit :
40000 X 1,04^ — 3000 X 1,03' — 3000 X 1,03 — 3000 gld.
Stelt men nu het aantal jaren, na welke hij nog 10000 gld.
zal bezitten op x, dan heeft hij op het einde van het x''" jaar :
40000 X 1,04" — 3000 X 1,04""^ — 3000 X 1,04^-' — ....—
— 3000X 1,04 — 3000 gld.
1 04" — 1
of 40000 X 1,04" — 3000 X ' q q^ — gld.
Men heeft dus de volgende vergelijking:
1 04" — 1
40000 X 1,04" — 3000 X ' ^ ^^ - = 10000,
of 40 X 1,04" — 75 X 1,04" + 75 = 10
35X1,04" = 65
1,04" = 11
X log. 1,04 = log. 65 — log. 35
_ log. 65 — log. 35 _ 1,81291 — 1,54407 _ 0,26884
"^^ log. 1,04 "~ 0,0170333 ~ 0,0170333
137
log. a; = log. 0,26884 — log. 0,0170333
log. 0,26884 =0,42949 — 1
log. 0,0170333 = 0,23130 — 2
log.a;= 1,19819
^=15,783
Daar in de door ons gebruikte formule (5) ondersteld is,
dat n een geheel getal is, en de voor x gevonden waarde > 15
en <: 16 is, mag men daaruit besluiten, dat hij na 15 jaren
meer dan 10000 gld. bezit, op het einde van het lö*^*^ jaar
echter geen volle 3000 gld. van zijn kapitaal mag nemen, wil
hij 10000 gld. overhouden.
Na 15 jaren bezit hij nog volgens form. (5) :
1 04'^ 1
y = 40000 X 1,04'^ - 3000 X ^ q^ .
of : tj = 75000 — 35000 X 1 ,04'\
Stelt men nu 1,04'^ = b, dan is :
log. 6 = 15 X 0,0170333 = 0,25550,
en 6 =1,80096.
Derhalve is : y = 75000 — 3500 X 1,80096 = 11966,40.
Zet hij deze 11966,40 gld. h 4 "/o gedurende het 16'^*' jaar op
interest uit, dan groeit het kapitaal aan tot :
11966,4X1,04 = 12445,06.
Op het einde van het 16'^'' jaar mag hij dus slechts 2445,06
gld. van zijn kapitaal nemen, wil hij 10000 gld. overhouden.
Opgaven.
Iemand heeft zijn vermogen, groot 50000 gld., è 5 7o op samen-
gestelden interest uitgezet, en neemt er op het einde van elk
jaar 3500 gld. voor levensonderhoud af. Hoeveel bezit hij nog
na 10 jaren?
Iemand heeft een hypotheek van 10000 gld. genomen op zijn
huis h 5 7o en zal jaarlijks 1000 gld. terugbetalen. Op het einde
van het 6'^'^ jaar wenscht hij het resteerende van de schuld in
eens af te doen. Hoeveel moet hij dan betalen?
Iemand heeft een kapitaal, groot A gld. op samengestelden
interest uitgezet h p 7o 's jaars. Hij ontvangt de rente elk half
jaar, maar voegt deze bij het kapitaal, en neemt er slechts a gld.
voor levensonderhoud af. Hoeveel bezit hij na n jaren ?
Iemand heeft een som van A gld. geleend hp'^jo. Op het einde
van de eerste 5 jaren lost hij a gld. af; op het einde van de
138
volgende 5 jaren h gld. Hoeveel is hij na 10 jaren nog schuldig?
Men neme A = 20000 ; jö = 5 ; a = 2000 ; b = 1500.
Vraagstuk IV.
301. Men vraagt, met hoeveel men nu een schuld kan afdoen van
500 gld., die 12 jaren lang op het einde van elk jaar beta£ild
moet worden. Interest Sl^/o.
Oplossing.
De schuld van 500 gld., die over 1 jaar betaald moet worden,
kan men nu afdoen met gld. ; want dit is het bedrag, dat
in 1 jaar aangroeit tot 500 gld.
Evenzoo blijkt, dat men nu , gld. moet betalen, om de
schuld van 500 gld. af te doen, die men over 2 jaren moet
betalen. Om de 500 gld., die over 12 jaren vervallen, contant
, . , 500 , ,
at te doen, zal men nu moeten betalen : j^^ gld.
l,Uo5
Men moet dus nu betalen :
500 500 500 500
1,035"^ 1,035-^^ "^ 1,035^' ^ 1,035'-' ^
Deze getallen vormen een meetkundige reeks, welke opklimmend
is, als men ^ ^^ki.> als eersten term beschouwt. De reden is dan
1,035'^
1,035 en het aantal termen 12.
JU., 500 1,035^'— 1 ,,
Men moet dus betalen: 77^;^ • — nTïöH 8 *
l,Uoo U,Uoo
Opgave. Wordt gevraagd hoe groot de som jK" is, (contante
■waarde) waarmede men een schuld van a gld., die n jaren
lang op het einde van elk jaar betaald moet worden, kan afdoen,
als het percent p is, dan zal men vinden :
I P
K^, " > ^°°- . (6)
' 100/ 100
De leerling bewijze deze formule.
Opmerking.
De formule (6) had ook uit formule (5) kunnen afgeleid Jl
worden. Iemand toch, die de som van JL gld. uit formule (ö)"
139
bezit ; deze h p "/^ op samengestelden interest uitzet, en daar-
van aan het einde van elk jaar a gld. afneemt, zal na n jaren
niets meer bezitten. Men had dus in formule (5) het eindkapitaal
K„ = O kunnen stellen, het beginkapitaal A = K. Formule (5)
verandert dan in :
P
^=M^+4j-« — :f — '
100
welke dezelfde is als formule (6).
)2. Deze formule (6) wordt bij de volgende berekeningen gebruikt :
bij levensverzekeringen. Dan stelt K de koopsom voor,
waarvoor men zich gedurende n jaren een lijfrente van a gld.
kan verzekeren, indien de maatschappij een rentestandaard van
j? 7o heeft aangenomen.
bij leeningen Dan stelt K de geleende som voor, en a wijst
de annuïteit aan, die men gedurende n jaren aan het einde
van elk jaar moet aflossen, om de schuld te delgen.
Voorbeeld :
De gemeente N. gaat voor het bouwen eener nieuive hoogere
burgerschool een leening aan van 100000 gld. a 4 "/o, die zij
in 10 jareyi ivil aflossen. Hoe groot is elke annuïteit ?
Oplossing.
Stel, dat de gemeente N. jaarlijks x gld. aflost.
X gld. op het einde van het eerste
X gld. „ „ r, „ „ tweede
jaar = ---- gld. contant.
X gld.
tiende
= Tfi¥'^^'^-
De gemeente zou de schuld dus kunnen aflossen door een
contante betalinsr van :
1,04^ 1,04-^
of van :
X
1,04'"
1,04"'^ 1,04'*^^^^^''
1,04"'"" 0,04
Men heeft dus de vergelijking :
gld.
140
X — ^TTT— ^ = 100000
X =
1,04^*''" 0,04
100000 X 1,04^° X 0,04 _ 4000 X 1,04'"
1,04'"— 1 "~ 1,04^''— 1 • I
Stelt men nu 1,04'" = &, dan is: "
log. è = 10 X 0,0170333 = 0,17038,
en 6 =1,48023.
^ , , . 4000X1,48023 5920,92
Derhalve IS ^- = —^^^^^23 ^Ö;48Ö23
log. X = log. 5920,92 — log. 0,48023
log. 5920,92 = 3,77239
log. 0,48023 = 0,68154 - 1
af
log. X = 4,09085
.r= 12326,9
Op het einde van elk jaar moet de gemeente dus 12326,90
gld. betalen.
Opgaven.
1. Iemand koopt een lijfrente van 3000 gld. bij een levensver-
zekeringmaatschappij, die 3^ 7o interest berekent. Als zijn waar-
schijnlijke levensduur nog 22 jaren bedraagt, hoeveel moet hij
dan betalen ?
2. Iemand heeft een lijfrente gekocht van a gld. 's jaars, gedu*
rende n jaren betaalbaar. Hij wenscht deze te veranderen in
een andere, gedurende w jaren betaalbaar. Hoe groot zal deze
zijn ? Interest p %.
Men neme a = 2000 ; w = 20 ; 7n = Ih ; p =^ é.
3. A. wordt bij testamentaire beschikking universeel erfgenatm ;
maar tevens wordt in het testament bepaald, dat aan den bediende
van den erflater op het einde van elk jaar 300 gld. moet betaald
worden. Voor hoeveel kan A. deze verphchting afkoopen, als
de bediende waarschijnlijk nog 15 jaren zal leven ? Interest S^ "/o-
4. Een gemeente moet voor het onderhoud van een weg jaarlijks
1000 gld. betalen. Voor welke som kan zij deze verplichting
afkoopen ? Rente 4"/o.
5. Voor een bosch wordt 20000 gld. geboden door iemand, die
5 "/o van zijn geld wenscht te maken. Voor hoeveel gld. hout
denkt hij jaarlijks te kunnen kappen ?
141
Een rentenier bezit 50000 gld., waarvan hij 3^ 7o geniet. Om
zijn inkomen te verhoogen, gebruikt hij 20000 gld. tot aankoop
van een lijfrente. De levensverzekering-m'J, waarbij zulks
geschiedt, berekent 3 7o, en de waarschijnlijke levensduur van
den rentenier is nog 20 jaren. Hoe groo^ is nu zijn jaarlijksch
inkomen ?
Hoeveel moet men 1 Januari 1900 betalen, ten einde 31 Dec.
1906, 31 Dec. 1907 tot en met 31 Dec. 1910 een jaarlijk-
sche lijfrente van 1000 gid. te kunnen ontvangen? Rente 4 7o.
[8. A. bezit een eeuwigdurende rente van 800 gld. ; hij wenscht
deze te veranderen in een lijfrente van 2500 gld. Hoe lang zal
deze loopen? Rente 3^7o.
A. heeft een lijfrente, die n jaren duurt en op het einde van
elk half jaar betaalbaar is ; hij wenscht deze te veranderen in
een lijfrente, die m jaren duurt en op het einde van elk kwartaal
betaalbaar is. Hoe groot is deze laatste? Percent =p. Men
neme n = 20 ; 7w = 15 ; ^ = 4|.
iO. Een gemeente heeft een schuld van 150000 gld. aangegaan a 4 7o.
De eerste 5 jaren betaalt zij geen rente en lost ook niet af.
Daarna begint ze af te lossen. Hoe groot is elke annuïteit, als
de geheele schuld na 25 jaren gedelgd moet zijn ?
J03. Vraagstukken over samengestelden interest, welke niet tot de
vorige groepen kunnen teruggebracht worden, lost men in het
algemeen als volgt op :
De bedragen, die men ontvangt en die men betaalt, herleidt
men tot denzelfden datum, en stelt daarna de verkregen sommen
aan elkaar gelijk.
Voor dien datum kiest men doorgaans den eersten of laatsten
dag, die in de opgave genoemd wordt.
Voorbeeld.
Iemand wenscht 1 Januari 1900, 1 Jan. 1901. ... tol e?i
met 1 Jan. 1906 een som gelds te betalen, ten einde 31 Dec.
1912, 31 Dec. 1913 tot en met 31 Dec. 1920 een som van
1000 gld. te kunnen ontvangen. Hoeveel moet hij daarvoor bij
het begin van eerstgenoemde jaren sto?'ten ?
Oplossing.
Herleiden wij alle bedragen tot den eersten datum : 1 Jan. 1900,
en noemen wij de premie, die hij betaalt, x gld.
142
X gld. op 1 Jan. 1900 = x gld. op 1 Jan. 1900.
o^gld. „ 1 „ 1901 =^gld. . 1 r, 1900.
X gld. , 1 .„ 1902 =ï||êgld- . 1 '. 1900.
X gld. op 1 Jan. 1906
X
Som =
1,04'
1,04' - 1
]gld. , 1
gld.
1900.
1,04'' 0,04
1000 gld. op 31 Dec. 1912 =:i^^^gld. op 1 Jan. 1900.
1000
{a.)
1000 gld. „ 31
1913
1,04'^
rld.
1900.
1000 gld. op 31 Dec. 1920
Som
1000
1,04
1000 1,04' — 1
1,04'^' • 0,04
Uit (^.) en (/3) volgt:
X 1,04^ — 1 1000 1,04^—1
gld.
gld.
1900.
(/3)
1,04'^ ' 0,04
X =
Stel 1,04''^ = ^.
log. 6 == 9 log. 1,04
log. 5 = 9 X 0,0170333
log. b = 0,15330
0 = 1,42332.
1,04-' ' 0,04
1000 1,04"— 1 1,04^X0,0-1
1,04'^' ■ 0,04 ' 1,04^—1
1000 X (1,04'^— 1)
1,04''(1,04' — 1) •
Stel 1,04' = c.
log. c = 7 log. 1,04
log. c = 7X0,0170333
log. c = 0,11923
c = 1,3159.
Dus X =
1000 X 0,42332
423,32
1,04'^ X 0,3159 1,04'^ X 0,3159 '
log. X = log. 423,32— (15 log. 1,04 + log. 0,3159).
log. 423,32 = 3,62667 — 1
15 log. 1,04 = 0,25550
log. 0,3159 = 0,49955 — 1 0,75505—1
op = af
log. a;= 2,87162
rr = 744,08.
143
Hij moet dus 1 Jan. 1900, 1 Jan. 1901 . .
1 Jan. 1906 een som van 744,08 gld. betalen.
tot en met
Opgaven.
1. Een vader wensclit bij de geboorte van zijn zoon een zekere
som op samengestelden interest te zetten k 4 7ü, opdal deze
van af zijn 19^*^" verjaardag gedurende 6 jaren een som van
1000 gld. ontvangt (studieverzekering). Hoeveel moet hij storten ?
2. Hoeveel zou de vader jaarlijks moeten storten, indien hij dit
wil doen van af de geboorte tot en met den 18***^" verjaardag?
3. Iemand heeft aanspraak op een dadelijk ingaande lijfrente van
a gld. gedurende n jaren. Indien hij de eerste ontvangst m jaren
uitstelt, hoe lang kan hij dan nog diezelfde lijfrente genieten ?
Neem a = 800 ; 7i = lO ; m = 4.
4. Op een gemeente rust de verplichting, om over a jaren en
verder alle b jaren een som van A gld. bij te dragen tot onder-
houd van een weg. Waarmee kan deze verplichting afgekocht
worden ? Rente p 7o. Men neme a=: i, h = 6, A= 100, p = 3-|.
5. Iemand bezit het vruchtgebruik van nominaal 20000 gld. Certif.
N. W. S. 2^7o gedurende 20 jaren. Met welk kapitaal staat
dit gelijk, als de rentestand 4 % is ? (van de halfjaarlijksche coupons
wordt 1 7o administratieloon betaald).
6. Hoeveel kan iemand, die p 7o van zijn geld wenscht te maken,
bieden voor een bosch, dat over a jaren en verder alle b jaren
voor A gld. hout oplevert?
Men neme p = ^, a = 3, 0 = 5, A = 200.
7. Iemand neemt 1 Jan. 1900 een hypotheek van 20000 gld. k
5 7o op zijn huis, onder voorwaarde, dat hij deze schuld in 12
jaren aflost, te beginnen 1 Jan. 1905. Hoe groot is elke aflossing?
8. Iemand zet gedurende a jaren, aan het begin van elk jaar, A
gld. op samengestelden interest h p 7o. Welke som kan hij ge-
durende de volgende b jaren, bij^ het begin van elk jaar, daar-
voor terug ontvangen?
Men neme A = 2000, a = b, b=^6, p = 4.
(Eindex.H.B.S. 1879).
9. Iemand wil zorgen, dat van 1 Jan. 1878 tot en met 1 Jan. 1900
aan een vereeniging ieder jaar 240 gld. wordt uitgekeerd. Hij
stort te dien einde van 1 Jan. 1853 tot en met 1 Jan, 1870
144
jaarlijks een zelfde som. Hoe groot is deze som? Interest 4 7o.
(Eindex. H.B. S. 1877).
10. Aan iemand, die zijn huis wil verkoopen, worden 3 aanbiedingen
gedaan. A biedt 48000 gld., te betalen over 12 jaren. B wil
gedurende 12 jaren aan het einde van elk jaar 3200 gld. betalen.
C biedt 10000 gld. contant en verder aan het einde van elk der
eerste 7 jaren 3400 gld. Wie doet het voordeeligste bod, als
men den interest van het geld op 4 % stelt ?
(Eindex. H. B. S. 1869).
11. Iemand betaalt nu 10000 gld.; hoe lang kan hij daarvoor een
lijfrente genieten van 1500 gld., als de eerste storting plaats
heeft na 5 jaren ?
12. Van een schuld betaalt men in de eerste 5 jaren 3|- 7o, na
dien tijd echter 4 "/o interest. Wanneer men van den beginne
af jaarlijks 6 % van het oorspronkelijke kapitaal tot betaling
der rente en aflossing der schuld stort, na hoeveel jaren is dan
de geheele schuld gedelgd ?
13. Hoe groot is de contante waarde eener lijfrente, die elk vol-
gend jaar e maal zoo groot wordt als het voorafgaande, wan-
neer zij n jaren bij het begin van ieder jaar genoten wordt ?
Rente p %.
14. Hoe groot is de contante waarde eener lijfrente, die n jaren
genoten wordt op het einde van ieder jaar, als de eerste lijf-
rente r, de tweede 2r, de derde 8r enz., de laatste nr gld.
groot is ? Rentestand p 7o-
HOOFDSTUK Vil.
Permutaties en Combinaties.
304. Heeft men een groep van n grootheden (elementen), dan kan
men zich die grootheden op verschillende wijze gerangschikt
denken. Let men daarby niet op de waarde der grootheden,
maar uitsluitend op de volgorde, ivaarin zij geplaatst zijn,
dan wordt de groep der n grootheden een permutatie dezer
grootheden genoemd.
Kiezen wij als voorbeeld drie grootheden, die wij door a, h, c
zullen aanduiden, dan kan men van deze grootheden de volgende
permutaties vormen :
abc hca
ach bac
Van de vier grootheden : 5, 7, 8, 9, kan men de volgende
24 permutaties vormen :
cab
cba
789
798
879
897
978
987
589
598
859
895
958
985
8 579
8 597
8 759
8 795
8 957
8 975
9 578
9 587
9 758
9 785
9 857
9 875
Het aantal permutaties, die men van n groothede?i vormeii
kan, zidlen wij voorstellen door JP^.
Dit aantal kan gemakkelijk bepaald worden. In de eerste
kolom van de hierboven opgeschreven permutaties van de
vier grootheden 5, 7, 8, 9, vindt men die, welke beginnen
met de grootheid 5. Laat men in die kolom de grootheid 5
weg, dan houdt men alle permutaties over, die met de grootheden
7, 8, 9 gemaakt kunnen worden ; hun aantal is P3.
Het aantal permutaties, die met 5 beginnen, is dus P3 ; even-
eens is het aantal permutaties, die met 7, of 8, of 9 beginnen,
Dcrksen en de Laive, Alg. III. 10
146
gelijk aan P3, zoodat het geheele aantal permutaties van de 4
grootheden geUjk is aan 4 X -Pa-
Men heeft dus :
P4 = 4 X P3.
Op dezelfde wijze kan men aantoonen :
Pe = 6XP5
P.^wXi'n-..
Daar men nu met 1 grootheid slechts 1 permutatie vormen
kan, heeft men :
P, = 1
P, = 2XPi-=2Xl
P3=:3XP2 = 3X2X1
P4=-4XP3-=4X3X2X1
P5 = 5XP4 = 5X4X3X2X1.
enz.
jp„ = nX(** — l)(w— 2)(w — 3) . . . .3X2X1.
Het produkt der eerste 71 geheele getallen ivordt meestal voor-
gesteld door n! en gelezen n faculteit.
Men heeft dus :
Pn = n! (1)
Opgaven.
Hoeveel verschillende getallen van vijf cijfers kan men vormen
met de cijfers : 7, 8, 9, 1 en 3 ?
Hoeveel bedraagt de som van de getallen van zes cijfers, die
men vormen kan met de cijfers: 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Op hoeveel verschillende manieren kan men 7 personen te gelijk
op één bank doen plaats nemen?
305. Bevinden er zich onder de n grootheden, die wij willen per-
muteeren, eenige gelijke, zooals bij de volgende vijf : a, 6, &, b en c,
dan geven wij aan die gelijke grootheden eerst verschillende
indices, en duiden de drie gelijke grootheden & aan door : h^,
hl en hi.
Onder al de permutaties, die men dan met a, ^1, ö^, ^3 en c
kan vormen, zal ook voorkomen de groep :
61 hl hi a c
hl hi hi a c
147
hi bi bi a c
bi bs bi a c
bi bi b> a c
b.) bi bi a c,
zijnde de groep, die gevormd wordt, door achter alle permutaties
van de grootheden b,, bi en 63 de groep nc te voegen. Het
aantal permutaties in deze groep zal dus gelijk zijn aan P3.
Laat men nu de indices weg, dan vormen al de permutaties
in deze groep slechts één en dezelfde permutatie, n.1. bbbac.
Hieruit ziet men, dat men al de permutaties van a, b, b, h en c
vereenigen kan in groepen van P3 permutaties, die alle dezelfde
permutatie vormen, waaruit dus blijkt, dat het aantal permutaties
van vijf grootheden, waaronder drie gelijke voorkomen, gelijk
is aan het aantal permutaties van vijf verschillende grootheden
gedeeld door het aantal permutaties van drie verschillende groot-
heden ; het gevraagde aantal zal dus zijn :
5]
3!'
Evenzoo vindt men voor het aantal permutaties van n groot-
heden, waaronder p gelijke :
n !
p !'
Zijn er bij de n grootheden p gelijk aan a, en bovendien nog
q gelijk aan /;, dan is het aantal verschillende permutaties :
n I
p.'Xq r
Opgaven.
1. Hoeveel verschillende getallen kunnen door omzetting van de
cijfers gevormd worden uit het getal : 33445 ?
2. Hoeveel verschillende letterverbindingen kan men maken van
de woorden : Amsterdam ; Wilhelmina ; Napoleon ; Mississippi ?
3. Onder 7 letters komen eenige a's voor, en men kan er 210
verschillende permutaties van maken. Hoeveel <x's zijn er ?
306. Bij de groepen, die wij in de voorgaande paragrafen behan-
delden, kwamen steeds in elke groep alle grootheden voor.
Men kan echter uit n grootheden een groep van in groot-
heden vormen, die men xich weer in eene bepaalde volgorde
148
gerangschiJd kan denken. Zulk een groep heet clan een variatie
van n grootheden, 7n aan m. Twee variaties kunnen dus
verschillen 5f in de grootheden, waaruit ze zijn samengesteld,
of in de volgorde, waarin de grootheden geplaatst zijn.
Zoo zijn acd en hac twee variaties van de vier grootheden
a, 6, c en d drie aan drie, die verschillen in de grootheden,
waaruit de variaties genomen zijn, terwijl acd en cad twee
variaties drie aan drie van dezelfde vier grootheden zijn, die
alleen verschillen in de volgorde der grootheden.
Het aantal variaties van n grootheden m aan m wordt voor-
gesteld door Vn\ en wij zullen aantoonen, dat dit aantal
gelijk is aan:
n (n — 1) (n — 2) (n — 3) .... (n — m -\- 1).
Om de variaties op te schrijven van n grootheden 2 aan 2,
voege men achter de eerste grootheid beurtelings elk der n — 1
andere grootheden. Er zijn dus n — 1 variaties, die met de
eerste grootheid beginnen ; evenzoo zijn er n — 1 variaties die
met de tweede, derde, .... n^^" grootheid beginnen, zoodat het
geheele aantal variaties van n grootheden 2 aan 2 is :
V^ = n{n- 1).
De variaties 3 aan 3 worden opgeschreven, door achter elk
der variaties 2 aan 2 elk der n — 2 andere grootheden te
plaatsen. Uit één variatie 2 aan 2 vormt men dus n — 2 varia-
ties 3 aan 3, dus uit n {n — 1) variaties 2 aan 2 vormt men
n{n — 1) (w — 2) variaties 3 aan 3. Hieruit blijkt dus :
n = {n-2)Vl = n{n-l){rt-2).
Evenzoo vindt men :
F,t =(«-3) Vi=nin-l){n—2]in -3)
VI =(w— 4) F^=n(w— l)(w— 2)(w-3)(w— 4)
y:^=:(n-m-\-l) Vr'=ri(n—l){n—2){n—3)....in—ni-{-l) (2)
Opgaven.
. Op hoeveel wijzen kan men het luiden van 5 klokken afwis-
selen, als men te beschikken heeft over 8 klokken?
1. Iemand heeft 15 vrienden ; hoe vaak kan hij een verschillend
gezelschap van 10, van 12 personen bij zich noodigen?
1, Iemand heeft 5 stukken doek, elk van een andere kleur. Op
149
hoeveel verschillende wijzen kan hij daarvan vlaggen maken,
ieder bestaande uit 3 kleuren?
Uit 10 personen worden er door loting 4 gekozen, hoeveel ver-
schillende groepen zal men kunnen verkrijgen, en hoe vaak zal
ieder persoon kunnen gekozen worden ?
307. Onder Combinaties van grootheden verstaat mende groepen,
ivaarbij op de rangschikling in de groep niet gelet wordt,
zoodat bv. ab en ba dezelfde combinatie vormen. Het aantal
combinaties van n grootheden m aan m duidt 7nen aa?i door C^.
Heeft men vijf grootheden a, 6, c, d en e, en vormt men
daarvan alle variaties 3 aan 3, dan krijgt men de volgende
variaties
abc
acb
b a c
b c a
c ab
eb a
ab d
adb
bad
b da
dab
db a
ab e
a eb
b a e
b e a
eab
eb a
acd
adc
c ad
c d a
d a c
de a
ace
a e c
c a e
c e a
e a c
e c a
ade
aed
da e
d e a
e ad
e da
bed
b de
eb d
c db
db c
de b
boe
beo
c b e
c e b
eb o
e eb
b de
bed
db e
deb
eb d
edb
ede
eed
d e e
d e e
eed
ede
wier aantal gelijk is aan : 5X4X3 = 60.
Deze 60 variaties kan men echter verdeelen in 10 groepen
van zes, die uit dezelfde grootheden bestaan, en dus slechts
één enkele combinatie vormen, zoodat het aantal combinaties
van vijf grootheden drie aan drie gelijk is aan 60:6 = 10.
De vormen, die in deze 10 groepen voorkomen, zijn de varia-
ties van de vijf grootheden drie aan drie ; en het aantal, waaruit
elk der 10 groepen bestaat, is gelijk aan 't aantal permutaties
van drie grootheden.
Wil men nu in het algemeen het aantal combinaties bepalen
van n grootheden, m aan m, dan redeneert men aldus :
Onderstel, dat men 1 combinatie van n grootheden m aan m
gevormd heeft, dan zal men uit de grootheden dezer combinatie
7n I permutaties van dezelfde m grootheden kunnen afleiden,
en zoo telkens een variatie van n grootheden m aan fil ver-
krijgen, waaruit dus volgt :
,„ ,,„, . ^«. — II- t^in-V) (n-2) . {n-ni -j- 1)
'm. I
m: 1.2.3....
Met behulp van deze formule vindt men :
m
(3)
150
n
T
n{n — 1)
1 . 2
n{n—l){n — 2)
1.2 . 8
M (w — 1) (n — 2) (n -
-3)
a[ =
r<3 —
^n
fii
" ~ 1 . 2 . 3 . 4 •
^ Hieraan ziet men, dat het aantal combinaties van n groot-
heden 1 aan 1, 2 aan 2, 3 aan 3 enz. juist de bekende
binomiaal-coëfflcienten opleveren (zie Deel I § 50).
Dat dit zoo zijn moet, zullen wij in het volgende bewijzen.
308. Ontwikkelt men het produkt der n factoren :
{x 4- a,) {x + a.) (a? + %) • • • (x -{- a„),
dan ontstaat een gelijkslachtige veelterm van den n'*''" graad,
die slechts positieve termen bevat, terwijl de hoogste macht van
X uit dien veelterm x'^ is. Behalve deze macht komen er ook
in voor termen met a;"~\ x'""^, x""^, . . . x^, x^ en x^ terwijl er
ook één term zal zijn, die x niet bevat. Wanneer men nu slechts
weet, waarmee elk dezer verschillende machten van x nog ver-
menigvuldigd moet worden, dan kan men het ontwikkelde
produkt onmiddellijk opschrijven. Wij zullen dit voor a;"~"' trach-
ten te bepalen.
De term, waarin a;'^~"* voorkomt, is van den w''"' graad ten
aanzien der letterfactoren x^ «i, a>^ . . . a^- Daar er ?i — m
factoren x in voorkomen, zal hij nog vermenigvuldigd moeten
worden met groepen van ni factoren, die men uit de w waarden
«1, «2, «3 . . . ün vormen kan, en elke groep van ni dezer
factoren zal daarbij voorkomen. Het aantal dezer groepen is
dus het aantal combinaties van n grootheden m aan m en dus
gelijk aan CT, terwijl, als de grootheden a,, a^, «3, . . . ««,
onderling gelijk zijn aan a, elke groep a"' zal zijn, zoodat de
term x'^""' vermenigvuldigd moet worden met:
n " •
Het gedurig produkt der n factoren is echter door die gelijk-
stelling overgegaan in de n'^'^ macht van x -]- a.
Stelt men nu in :
n (* 1
die de coëfficiënt van ic"""' is, ni achtereenvolgens gelijk aan •
O, 1, 2, 3, . . . n, dan krijgt men: »
151
-I- . . . crVa"-' + Gr'ip«"-' + c: «".
309. De binomiaal-coëfficienten hebben verschillende merkwaardige
eigenschappen, waarvan wij er eenige zullen aantoonen.
Vooreerst volgt uit:
ar' =
n{n—l){n — 2) .
.{n-
-m+1)
1.2 . 3 . . .
_ w (w — 1) (n — 2) .
. .{n-
. m
-w + 2)
en
dat
1 . 2
M — m + 1 ^,„_,
m
8 (m — 1)'
6'"
Hieruit volgt :
In de ont-wikkeling van {x -\- a)' is iedere coëfficiënt
gelijk aan den voorgaanden, vermenigvuldigd met
den exponent van x in dezen voorgaanden term, en
gedeeld door den exponent van a in den term, dien
men wil opschrijven.
Met behulp hiervan kan men zeer spoedig de ontwikkeling
van een bepaalde macht van x -]- a opschrijven. Zij b.v. gevraagd
te ontwikkelen :
(x-^ay.
De eerste twee termen zijn x" en 7x% ; de derde term bevat
x^d' en zijn coëfficiënt is
7X6
= 21, zijnde de coëfficiënt 7
van den tweeden term maal den exponent van X in dien term,
gedeeld door den exponent van a in den derden term:
Wij krijgen dus :
7 f\
x' 4- Ix'a + -^afa of x' + 7x'a -j- 21;rV
voor de eerste drie termen.
De vierde term zal zijn :
de vijfde term :
de zesde term:
de zevende term:
de achtste term :
3
25X4
00 0/ — ót^OO Cv .
21 X o _4^,3_ OX^A^f
xht" = 85a;^a^
35 X 3 , , ^, . ,
— - — xa = 21;r aP,
5
.21X2
6
7X1
xa' = Ixa!',
a' =
152
310. Een andere belangrijke eigenschap is, dat de coëfficiënten
van twee termen, die even ver van de uiterste af-
staan, gelijk zijn,
m. a. w., dat: CT = O,?-"'.
Heeft men b.v. zes grootheden a, b, c, d, e en f, en neemt
men er twee uit b.v. a en b, dan blijven er 6 — 2 over. Nu
kan men met de twee grootheden a en 6 slechts één enkele
combinatie ab vormen, terwijl men met de 6 — 2 overblijvende
grootheden ook slechts één enkele combinatie van 4 grootheden
vormen kan.
Naast de combinatie ab wordt dus gevormd de combinatie
cdef. Neemt men 2 andere grootheden bv. c en f, dan zal de
daarmee gevormde combinatie cf één en niet meer dan één van
4 grootheden overlaten, nl. abde. Hieruit blijkt dus, dat het
aantal combinaties van zes grootheden, twee aan twee, gelijk is
aan het aantal van zes grootheden (6 — 2) aan (6 — 2), of :
<^6 ^6 •
Evenzoo verklaart men :
/^5 /nrl2— 5 . /-t28 /n84— 28 .
Oi2 Oi-) , O34 • 1^34 ,
in het algemeen : Qt = C^-'^
Opmerking. Men kan deze eigenschap ook uit de gevonden
formule zelf afleiden, aldus:
rim__n{n—l){n—2)....{n — m-\-l)_
1. 2. 3. ...
m
_ {n (n - 1) (w — 2) . .
..(n — w-f 1)}X1.2.3..
. .{n — m)
1.2. 3. ..
m XI. 2. 3..
..{n — m)
nf m.
' (w + 1) (w 4- 2) . . . . (w -
-l)Xn
mf {n — m)! m.
{n — m) f
__n{n—l){n—2).
. . . (m 4- 1) _ ^n-„^
3 {n — m)
Opgaven.
1. Schrijf in eens de ontwikkeling op van:
{x + aY' ; (x — ay ; {x + af' ; {x - af.
2. Hoeveel snijpunten hebben 10 lijnen, waaronder geen evenwij-
dige voorkomen?
Als er onder die tien 4 zijn, die evenwijdig loopen, hoeveel
snijpunten ontstaan er dan?
153
3. Hoe groot is: C\; Cl', Cl; Ci?; C?ó\?
4. Hoe kunt ge uit Fis verkrijgen ^^15?
5. Hoeveel verschillende wachtposten van 6 man kan men uit 60
manschappen samenstellen, en hoe vaak zal één bepaald persoon
op wacht staan?
6. In hoeveel punten kunnen 12 vlakken elkaar op zijn hoogst
snijden ?
7. Als er onder die twaalf 4 zijn, die evenwijdig loopen, terwijl 3
andere een gemeenschappelijke snijlijn hebben, hoeveel snijpunten
zijn er dan?
8. Het aantal combinaties 3 aan 3 van n voorwerpen is ^-g van
het aantal combinaties 5 aan 5 van die n voorwerpen Hoe
groot is w?
9. Hoe groot is n, als:
Ci+, = 9XCl
C\ = 3f X C\
F^F„^, = 5: 12
F^=12XF^ ?
"2"
10. Iemand heeft 7 broeken, 6 vesten en 5 jassen. Op hoeveel
verschillende manieren kan hij zich kleeden ?
H. Ontwikkel:
Idb'' 4c' f , ,, ., j,.. .,
(^--i^^J' (i + '-^sr; iiya-biy.
12. Bepaal:
Tg van (— X -f 2y)'' ; T,-, van {2x — SyY' ;
r,o van (a' — abf* ; T,, van I- z-'A
13. Herleid : K(61 + 28V"'3)" ; K(5 — 2ï\yUf.
HOOFDSTUK VIII.
Rekenkundige Reeksen van hoogere orde.
311. Wanneer fnen een willekeurige r^' van getallen opschrijft, h.v. :
3, 8, 10, 17, 29, 37,
en men leidt hieruit een tweede rij af, door achtereenvolgens
de verschillen van twee op elkaar volgende termen der eerste
7'ij neer te schrijven :
5, 2, 7, 12, 8,
dan wordt deze rij de rij der eerste verschillen genoemd.
Leidt men op dezelfde tvijze hieruit iveer een nieuive rij af :
-3, 5, 5, - 4,
dan ivordt deze de rij der tweede verschillen ^/moemc?, m.r .
Zoo is van de rij der getallen :
3 , 10 , 20 , 35 , 48 , 59 , 75 ,
7 , 10 , 15 , 13 , 11 , 16 , de rij der eerste verschillen.
3,5, —2 , —2 , 5 , y, V r, tweede ,
2,-7,0,7, „ „ „ derde „
—9,7,7, » , « vierde
313. Zijn de getallen, die de rij der eerste verschillen vormen, alle
gelijk, dan is de oorspronkelijke rij een geivone rekenkundige
reeks, ook wel rekenkundige reeks van de eerste orde
genoemd.
Schrijft men een rij op, zoodat de rij der eerste verschillen
een rekenkundige reeks van de eerste orde is, en de getallen,
die de rij der tweede verschillen vormen, dus gelijk zijn, dan
heet deze rij een rekenkundige reeks van de tweede
orde.
Zoo is :
2, 9, 19, 42, 58 een rekenk. reeks der tweede orde ; .1
155
want de rij der eersle verschillen :
7, 10, 13, 16 is een gewone rekenk. reeks,
en de rij der tweede verschillen :
3, 3, 3, levert gelijke getallen op.
7;/ het algemeen xal een rij vati getallen een rekenkundige
reeks van de n*'© orde hceten, als de reeks der n'^' ver-
schillen een rij van gelijke getallen oplevert.
Zoo is de volgende reeks van de vierde orde, omdat de rij
der vierde verschillen gelijke getallen oplevert :
1 , 16 , 81 , 256 , 625 , 1296 , 2401 , 4096 ,
15 , 65 , 175 , 369 , 671 , 1105 , 1695 ,
50 , 110 , 194 , 302 , 434 , 590 ,
60 , 84 , 108 , 132 , 156 ,
24 , 24 , 21 , 24.
Den xlen term eener rekenkundige reeks van hoogere
orde te bepalen, als de eerste term dier reeks, en
de eerste termen der achtereenvolgende rijen
van verschillen gegeven zijn.
313. Zij de eerste term a,
de eerste term van de reeks der eerste verschillen b,
tweede
»
c,
derde
»
d,
vierde
»
e,
vijfde
n
f,
zesde
n
9^
enz.
dan kunnen de tweede termen van al die reeksen gemakkelijk
gevonden worden. Immers zij ontstaan, door den eersten term
der reeks met den eersten term der volgende reeks te vermeer-
deren ; ze zijn dus :
h, b-{-c,
c, c-]- d,
d, d-{- e,
e, e 4-/,
156
De derde term van een der reeksen wordt gevonden, door
den tweeden term dier reeks te vermeerderen met den tweeden
term der volgende reeks:
«+ h
h-\-c
a -\- 2b ■\- c is dus de derde term der eerste reeks.
0+ c
c-\-d
h -\-2c-\- d is dus de derde term der tweede reeks, enz.
zoodat men heeft :
a, a -h b, a -\- 2b -{- c,
b, b -\- c, h -\- 2c -{- d,
c, c-\- d, c-\-2d-\- e,
d, d-]-e, cZ-f 2e4-/,
e, e + f, e + 2f+g.
Daar de coëfficiënten der vormen, die de derde termen voor-
stellen, ontstaan door optelling der coëfficiënten:
1 1
1 1
12 1,
zullen de coëfficiënten dezelfde zijn, als de binomiaalcoëfficienten
van {a -\- bf.
De vierde term van een der reeksen wordt gevonden door
den derden term dier reeks te vermeerderen met den derden
term der volgende reeks:
a + 2&4- c
b-\-2c^d
a -\- 2>h ■\- '^c -\- d is dus de vierde term der eerste reeks en
vertoont de coëfficiënten van (a -f" h)^.
Evenzoo zal de vierde term der tweede reeks zijn : &-|-3c-j-3c?+e.
Uit de wijze, waarop de termen der eerste reeks zijn ont-
staan, blijkt, dat de x'^^ term zal bestaan uit de sorn der ach-
tereenvolgende eerste termen der verschilrijen, respectievelijk
vermenigvuldigd met de binomiaalcoëfficienten van {a -|- hy~\
Dus zal :
rMi , / ■l^^ , (^—1) (05—2) , (öC— l)(flC— 2)(X— 3) , ,
y.-=«+(ac— 1)&H-^ 12 "^ 12 3 "^
^ (ac_l) (jg_2) ipc-Z) (ag-4)^ ^ ^^^
157
Wanneer Tj. den algemeenen term voorstelt van een reken-
kundige reeks van de vierde orde, zullen de rijen der vijfde,
zesde . . . verschillen nullen opleveren. Dus dan is f=zg= . . .=0.
Dan is T^ een veelterm, die ten opzichte van x van den
vierden graad is. Zulk een veelterm bevat 5 coëfficiënten. Een
rekenkundige reeks van de vierde orde is dus bepaald door 5
gegevens.
Evenzoo beredeneert men, dat T, van een rekenkundige
reeks van de nt/o orde zal voorgesteld -worden door
een veelterm van den ndlen graad naar x, en dat
zulk een reeks bepaald is door (n + 1) gegevens.
Van het bovenstaande vindt men toepassingen in de volgende
Voorbeelden :
1. Bepaal den negenden term van de reeks der derde orde:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343.
Oplossing.
Men bepaalt de achtereenvolgende rijen van verschillen :
7 , 19 , 37 , 61 , 91 ,127 ,
12 , 18 , 24 , 30 , 36 ,
6,6,6,6.
Dus in formule (1) moet ingevuld worden :
ic = 9; a=l, 6 = 7, c=12, (^ = 6, e = /'= . . .=0.
Dus Tg = 1 + 8 . 7 + ^r^ 12 + ^'\'1 6, omdat de andere
termen O worden.
T; = 1 -f 56 + 336 H- 336 = 729.
2. Van een rekenkundige reeks der tweede orde is de p^^ term
i (j9' — hp-\-^). Welke is die reelis?
Oplossing.
Vult men in de formule voor den^''"" term, die \ (p' — 5^ + 6)
is, voor p respectievelijk in 1, 2, 3, 4, 5 . . . , dan blijkt,
dat de gevraagde reeks is :
1, O, O, 1, 3 . . .
3. Van een rekenkundige reeks van de tweede orde is de tweede
term 3, de vierde term \1, de vijfde term i^. Welke is die reeJcs ?
Eerste manier. Noem de niet bekende termen respectie-
velijk A, B, C . . . , dan kan men de onbekende rekenkundige
reeks als volgt voorstellen :
158
A, 3, B, 11, 18, C, D,
3 — A, B—S, 11— B, 7, C— 18, D—C,
A-\-B—6, U—2B, B-4, C— 25, D— 2(7+18,
20— 3B—A, SB— 18, C—B— 21, D— 3C+43.
Daar de rij der derde verschillen uit nullen bestaat, zal :
20 — 35 — ^ = O
35 — 18== O
C—B— 21 = 0
D — SC-\-4S = 0,
waaruit volgt B=6, A = 2, C=27, D = SS.
De gevraagde reeks is dus 2, 3, 6, 11, 18, 27, 38 . . . .
Tweede manier. De x"^" term van een rekenkundige reeks
van de tweede orde is een vorm, die van den tweeden graad
naar x is. Men stelt daarom dezen vorm = Px^ -{- Qx-}- B.
Stelt men hierin respectievelijk x = 2, 4, 5, dan ontstaan de
l^egeven termen 3, 11, 18; dus zal:
4:P+2Q-]-R = S
16P -^ 4:Q + R = 11
25P+5^-f i2=18,
waaruit volgt: P=l; Q = — 2', B = S.
De ic'^" term is dus : x^ — 2x -{- 3.
Stelt men hierin x = 1, 3, 6, dan ontstaan de ontbrekende
termen 2, 6, 27.
De reeks is dus 2, 3, 6, 11, 18, 27.
Opgaven.
1. Van een rekenkundige reeks van de vierde orde is de eerste
term 8 en de eerste termen der achtereenvolgende verschilrijen
zijn 6, 44, 60, 24. Bepaal hieruit door optelling de eerste 6 termen.
2. Wanneer de eerste term eener rekenk. reeks van de derde orde
en van de opvolgende verschilrijen respectievelijk 1, — 3, 5
en — 8 zijn, bepaal dan den zevenden term.
3. Bepaal T,o en Tr^ van de reeks, 1, 3, 6, 10, 15 enz.
4. Bepaal de eerste zes termen der reeksen, wier algemeene ter-
men zyn:
Tx=l — 2X'^x\
159
Wat is de algeraeene terra van elk der volgende reeksen :
8, 14, 64, 218, 560 . . .
0, 7, 22, 51, 100 .. .
1, 6, 21, 56, 252, 462 . . . ?
Van een rekenkundige reeks van de derde orde is de eerste
term 5 ; de eerste termen van de achtereenvolgende verschilrijen
zijn respectievelijk 2, 1, 2. Welke is de x''-'' term?
Van een rekenkundige reeks van de derde orde is de eerste
term 1, de derde 13, de vijfde 121, de zesde 241. Welke is
de f' term?
De eerste 3 termen van een rekenkundige reeks van de tweede
orde zijn respectievelijk 2, 3, 6. Welk rangnummer heeft de
term 51 ?
De som van x termen een er rekenkundige reeks van
hoogere orde te bepalen.
314. Zijn de x termen, waarvan men de som wil bepalen, respectievelijk :
A, B, C, D, E . . . (x)
dan kan men deze reeks beschouwen als te zijn de rij der
eerste verschillen, van de volgende reeks, «die met O begint:
O, A, A-\-B, A-^B+C, A-^B-^C+D, A+B-\-C-\-D-]-K . . {(3)
De zesde term van reeks (/3) is de som van 5 termen der
reeks {<»). De iC + 1^® term van reeks (/3) is de som van x
termen der reeks (^).
Past men nu de in de voorgaande § gevonden formule (1)
toe, dan blijkt de a; -f l''*^ term van reeks (/3) te zijn :
^ , . , x{x — l) ^ ^ x(x — l) (x —2) ,
Q + ^^ + 1 . 2 ^ + 1. 2 . 3 -^ +
x(x — l){x — 2) {X - 3)
+ 1.2 . 3.4 '^+- • • ^^^
waarin b, c, d . . . respectievelijk de eerste termen van de
rijen der tweede, derde, vierde . . . verschillen van reeks (/3)
voorstellen.
De formule (2) stelt dus ook voor de som van x termen
van reeks (^), waaruit volgt :
De som van x termen eener rekenkundige reeks
van de nde orde wordt voorgesteld door eene veel-
term zonder bekenden term, die van den graad
n-\-l is.
160
Voorbeelden :
1. Bepaal de som vaji de derde machten der getallen 1, 2, 3. ..
tot en met p.
Oplossing.
1 , 8 , 27 , 64 , 125 , 216 , 343,
rij der eerste verschillen
„ „ tweede ,
„ „ derde
7 , 19 , 37 , 61 , 91 , 127 ,
12 , 18 , 24 , 30 , 36 ,
6,6,6,0.
Men moet dus in formule (2) substitueeren :
^ = 1, ö = 7;c=12;(^=6;;r = p.
n.,, o _, , V{V~^)n , j)(j)-l)(p-2) p(j>-l)(p-2)(p-3)
42?+14/— 14j9+8/— 24p'+16p+p'— 6/+11/— 6/j
2. E'en Icogelstapel heeft de gedaante van een regelmatige driexy-
dige pyramide. In elke ribbe liggen 10 kogels. Hoeveel kogels
bevat die stapel ?
Oplossing.
Er zijn 10 horizontale lagen.
De bovenste bevat : 1 kogel.
„ volgende „ : 1 -f 2 = 8 kogels.
„ derde „ : 1 4- 2 -f 3 = 6 „
„ vierde , : 1 + 24-3 + 4 = 10 ,
„ vijfde „ :l+2 + 3 + 4 + 5 = 15 ,
Men moet dus de som van ] O termen bepalen der reeks :
1, 3, 6, 10, 15,
2, 3, 4, 5 is de rij der eerste verschillen.
1, 1, 1 y, ^ „ „ tweede
5.0 = 10 + ^ 2 + ^%^- . 1 = 10 + 90 + 120 = 220.
3. Een kogelstapel heeft de gedaante van een afgeknot driezydig
prisma. Het grondvlak is een rechthoek, die 20 kogels in de
lengte en 10 kogels in de breedte telt. Hoeveel kogels bevat de
stapel ?
Oplossing.
In de onderste horizontale laag zijn 20 X 10 = 200 kogels,
in de volgende 19X9 = 171 kogels,
161
in de derde 18 X 8 = 144 kogels,
in de bovenste 11X1^=11 »
Begint men van boven, dan moet men dus de som van 10
termen bepalen der reeks :
11, 12X2, 13X3, 14X4, 15X5, 16X6, 17X7,...
of 11 , 24 , 39 , 56 , 75 , 96 , 119,
13 , 15 , 17 , 19 , 21 , 23 , rij der 1« versch.
2,2,^,2,2, „„2° ,
Dus S,o = 10 . 11 + ^^ 13 + ^^ '^ • ƒ 2 = 935.
Opgaven.
1. Bepaal de som der getallen: 10", 11', 12^ 13'-, 14', 15'.
2. Bepaal de som van 10 termen der rekenk. reeks van de tweede
orde, waarvan de eerste term 2, de tweede term 3, de vierde
term 11 is.
3. Van een rekenkundige reeks van de tweede orde is de ^^'^ term
p' — 2^ -|- 3. Hoe groot is de som van p termen van die reeks ?
4. Van een volledigen vierhoekigen kogelstapel bevat elke ribbe
12 kogels. Hoeveel kogels liggen in dien stapel?
5. Van een onvolledigen driehoekigen kogelstapel bevat elk der
onderste ribben 13, elk der bovenste ribben 5 kogels. Hoeveel
kogels liggen in dien stapel?
6. In een langwerpigen kogelstapel (gedaante van een afgeknot
driezijdig prisma) bevat de langste ribbe van de onderste laag
16 kogels; de rug bevat 7 kogels. Hoeveel kogels liggen in
dien stapel?
7. In een onvolledigen langwerpigen kogelstapel liggen langs de
langste zijde van de onderste laag 15, langs de kortste zijde
12 kogels. In het geheel zijn er 6 lagen. Hoeveel kogels bevat
deze stapel?
Het Interpoleeren van termen in een rekenkundige
reeks van hoogere orde.
315, Men kan, evenals bij reken- en meetkundige reeksen, ook bij
rekenkundige reeksen van hoogere orde eenige termen inter-
poleeren tusschen elk tweetal van de oorspronkelijke reeks. Dan
Derksen en de Laive, Alg. III. 11
162
moeten deze geïnterpoleerde termen met de oorspronkelijke een
rekenkundige reeks van dezelfde orde vormen.
Noem de gegeven reeks:
Wanneer men lusschen elk tweetal p termen interpoleert, dan
ontstaat een nieuwe reeks, die we zullen noemen:
flj ^2» ^3 • • • ty, (p)
< waarin ^i van reeks (/3) dezelfde is als Ti van reeks {x\ en
ty van reeks {(3) dezelfde als T,, van reeks {x).
Daar tusschen Ti en T^ p termen geïnterpoleerd worden, zal
t,p^2 van reeks (/3) dezelfde zijn als T2 van reeks {«).
Evenzoo blijkt : /a^i+s van reeks (/3) = T^ van reeks {pt),
^3j)-H » » (p) = Ti „ „ {x).
De coëfficiënt van p in het rangnummer van een term der
reeks (/3) is 1 minder dan het rangnummer van den overeen-
komstigen term der reeks {x), terwijl de bekende term in het
rangnummer van een term der reeks (/3) dezelfde is als het
rangnummer van den overeenkomstigen term der reeks {x), dus :
t^x-\)v-\-x van reeks (/3) = Ty; van reeks {x)
en daar ti^a:-\)v+x = tj is, zal :
ix—l)p + x = ^J zijn,
dus x=^ , , .
jp-f 1
Nu is Tx van reeks (x), zooals wij gezien hebben gelijk aan :
~ , x~l^ ^ (x-1) ix-2)^ ^ (.r-l) {x-2) (x-B) ^^ ^ ^ ^
' 1' 1.2 ' 1.2.3
Dus zal ty van reeks (/3) verkregen worden, als men voor x
y ~\~ p
substitueert: , ^, waardoor men verkrijgt:
p+1 ''^
y + p_i (vAlz Afy-^p
-\- -^-— ■ ^— ^— ^ ^-|-... of na herleiding:
i^ + 1 2> + l 2(ï> + l)
, y — 1 y — p — 2 y — 2p — 3
waaruit de wet van voortgang duidelijk blijkt.
168
Voorbeeld :
Zij gegeven de reeks der derde orde:
1 , 1 , 28 , 163,
rij der eerste verschillen : O , 27 , 135,
„ „ tweede „ 27 , 108,
„ „ derde „ 81.
Laat verder gevraagd ivorden 2 termen te i7iterpoleeren tus-
schen elk tweetal der gegeven reeks; en xij in het bijzonder
gevraagd^ welke de achtste term der nieuwe reeks is.
Oplossing.
Men substitueert nu in de formule (3) :
a = l; 0 = 0; c = 27; 6^=81, e = f=...=0; p = 2; g = 8;
waardoor ontstaat :
^8 = 1+1. |. 27 + ^. i.i. 81 = 57.
Opgaven.
1. Interpoleer 3 termen tuschen elk tweetal der reeks 2, 3, 6, 11, 18.
Welke is de G*^*" term der nieuwe reeks ? (Daar er van de
oorspronkelijke reeks 5 termen gegeven zijn, moet men deze
reeks beschouwen als een rekenkundige reeks van de vierde
orde. Waarom?)
2. Een thermometer wees aan : 6 uur 's morgens GO*' F.
7 „ „ 67" F.
8 „ „ 75« F.
9 „ , 80« F.
10 „ , 83" F.
Hoe warm was het waarschijnlijk te half negen?
3. In een logarithmentafel met 7 decimalen vindt men:
log. sin. 50'= 8,1626808 — 10
„ „ 51^ = 8,1712804—10
„ „ 52^ = 8,1797129 — 10
„ ^ 53' = 8,1879848 — 10.
Men vraagt te berekenen log. sin. 51''20".
4. Iemand, die aan zijn erfgenamen 10000 gld. wil nalaten, moet
de volgende jaarlijksche premies betalen :
op 30jarigen leeftijd 232 gld.
op 35jarigen leeftijd 268 gld.
op 40jarigen leeftijd 318 gld.
op 45jarigen leeftijd 380 gld.
Hoeveel moet hij ten naaste bij op 33jarigen leeftijd betalen?
164
Gemengde Opgaven.
Eindexamen Gymnasium.
1. Een rekenkundige reeks van 3 termen verandert in een meet-
kundige reeks, als men 3 bij den eersten term optelt. De som
van de termen der meetkundige reeks bedraagt 57. Welke is
de rekenkundige reeks ?
2. De 35 tanden van een rad zijn achtereenvolgens genummerd,
evenzoo de tusschenruimten van de 47 tanden van een ander
rad. Indien nu de eerste tand van het eerste rad in de eerste
ruimte van het tweede rad grijpt, hoeveel omwentelingen moet
dan elk rad maken vóór de eerste tand van het eerste rad in
de achtste tnsschenruimte van het tweede rad grijpt ?
3. Welke waarden van x en y voldoen aan :
} x^ + a^y- 4- ^y H- f = 280 ?
4. Los a; en 2/ op uit :
\ x--{-y\yxy = 9
/ 2/^ -j- a; lyxy = 18.
5. Een getal wordt in zeven deelen verdeeld, die een meetkundige
reeks vormen. Het verschil van de eerste twee deelen is 972,
dat der laatste twee 4. Welk is het bedoelde getal ?
6. Bewijs : + r = —; •
log. p log. p log. p
7. Ook: 0: = a_, + CL..
8. Bereken de waarde van x uit :
^2 1og.a;4-4_^50_15^1og.:. + 2^
9. Van een meetkundige reeks van n termen is gegeven :
P=het gedurig produkt der termen,
S = de som der termen,
Si= de som der omgekeerde termen.
Men vraagt te bewijzen: P'={-^) .
10. In elke meetkundige reeks is :
S—a
S-l
Bewijs dit.
165
Admissie-Examen Veeartsenijschool.
11. Iemand wil een kapitaal van 12000 gld. zoodanig in twee deelen
verdeelen, dat, als hij het eene tegen 3^ en het andere tegen
4 7o uitzet, interest op interest gedurende 10 jaren, de alsdan
verkregen kapitalen even groot zijn. Hoe groot is elk deel ?
12. De som van vijf termen eener rekenkundige reeks is 35 en
hun produkt 10395. Bepaal die reeks.
13. Wanneer men een getal vermeerdert met 576 en vermindert
met 3176, zijn de beide uitkomsten derdemachten, welker wor-
tels 2 verschillen. AVelk is dat getal ?
14. Los X en y op uit :
2a^ + 2/ + ^-:16i
15. Herleid tot de eenvoudigste gedaante
.2 5
16. Los X op uit : af — x~'' = 3 (1 -f- x'"^).
Admissie-Examen Kon. Mil. Academie.
17. Twee wielrijders wonen in plaatsen, die op 15 K.M. van elkaar
verwijderd aan een weg AB gelegen zijn. Vertrekken zij op
hetzelfde oogenblik ieder uit zijn woonplaats in de richting
AB, en rijdt elk zoo snel mogelijk, dan haalt de een den ander
na 3 uren in. Vertrekken zij een tweede maal weder op het-
zelfde oogenblik ieder uit zijn woonplaats in de richting AB,
doch besteedt nu ieder over elke 15 K.M. afstand een kwart
uur meer dan de vorige maal, dan heeft de eerste 5 uur noodig
om den ander in te halen. Hoeveel K.M. kan elk der wiel-
rijders per uur afleggen? (1 uur). 1895.
18. Iemand, oud 40 jaar, sluit een contract met een levensver-
zekeringmaatschappij, dat bij zijn overlijden aan zijne erven
10240 gld. zal worden uitgekeerd. Hij betaalt hiervoor terstond
1596 gld., en verder na verloop van ieder jaar 216 gld. Als
de maatschappij in staat is voor de kapitalen, die zij beheert,
166
3 7o rente uit te keeren, op hoeveel jaren stelt zij dan den ver-
moedelijken levensduur van dien veertigjarige? (1^ uur). 1895,
19. Van een rekenkundige reeks is het verschil 3, de laatste term
62 en de som 670. Men vraagt het aantal termen en den eersten
term te bepalen ; vervolgens de som te vinden van de termen
der nieuwe reeks, die men verkrijgt door tusschen elke twee op-
eenvolgende termen drie termen te interpoleeren. (f uur). 1895.
20. Men verdeelt de reeks van de opvolgende oneven getallen
zoodanig in groepen, dat elke groep een term meer bevat dan
de voorafgaande en de eerste groep uit slechts één terra bestaat ;
van iedere groep worden de termen samengeteld, aldus :
1, (3 + 5), (7 + 9 + 11), (13 +15 + 17 4- 19), enz.
Hoe groot is de som van de termen in de ii''''' groep ?
Als men op dezelfde wijze de termen van de reeks 1, 4, 9,
16, 25, ... in groepen verdeelt, hoe groot is dan de som van
de termen in de eerste n groepen? (1 uur). 1896.
21. Los X op uit de vergelijking:
Q^. 4.
4^ -f- K i^x' — 11 X + 4) = ^ ^. (f uur). 1896.
X — u
22. Iemand brengt een kapitaal, groot 5000 gld. naar een bankier,
die geld opneemt tegen Sl^/o 'sjaars. Hij vraagt telkens na
verloop van een jaar ^ gedeelte terug van de som, die hij dan
bij den bankier te goed heeft, en bij het einde van het 25*"^
jaar het geheele tegoed, dat alsdan 2256,50 gld. bedraagt. Hoe
groot is _p? (1 uur). 1896.
23. Tusschen de getallen a en 6 interpoleert men 7i termen zoo-
danig, dat alle termen samen een meetkundige reeks vormen ;
bereken de som s' van de termen der reeks zonder den laatsten
term h mee te tellen ?
Men interpoleert vervolgens tusschen elk paar termen der
gevonden reeks nog een term, zoodat weer alle termen samen
een meetkundige reeks vormen. Opnieuw wordt de som S|
van alle termen, behalve den term è, bepaald. Hoe groot is
s, :s? (1 uur). 1897.
24. Een wielrijder A rijdt van P naar Q met een snelheid van
15 K.M. per uur. Na het f deel van den weg te hebben afge-
legd, moet hij, wegens een defect aan zijn rijwiel, te voet zijn
weg vervolgen. (Snelheid te voet ^^ K.M. per minuut). Een
tweede wielrijder B, die zich insgelijks van P naar Q begeeft.
167
rijdt A voorbij, nadat deze 20 minuten geloopen heeft, en
komt 40 minuten daarna A van Q uit weder tegemoet. Als nu
gegeven is, dat B 34 minuten later dan A uit P is vertrokken
en zich slechts 4 minuten in Q heeft opgehouden, vraagt men
te berekenen :
1*'. den afstand van P naar Q,
2!\ de snelheid van den wielrijder B, in de onderstelling dat
deze standvastig is. (1 uur). 1897.
25. Voor welke meetbare waarden van a en 6 heeft de vergelijking:
(9 + 41/5)^- - (3 -f \yb)x -f (a + hVo) = O
twee gelijke wortels?
Voor de bedoelde waarden van a en b kan uit het eerste lid
de vierkantswortel getrokken worden, welke is die wortel ?
(f uur). 1898.
26. Iemand houdt van zijn inkomen maandelijks 10 gld. over, welke
hij in een spaarbank vvenscht te beleggen. Deze spaarbank
schrijft telkens na verloop van 2 maanden de verschenen rente,
naar den maatstaf van 3 "/o 's jaars, bij het tegoed van den
inlegger. Welk verschil maakt het nu voor den inlegger op zijn
tegoed na een tijdsverloop van 5 jaren, of hij bij het einde
van elke twee maanden 20 gld., dan wel bij het einde van een
half jaar 60 gld. inbrengt? (1^ uur). 1898.
27. Los X en y o\) uit de vergelijkingen :
Eindexamen H. B. S.
28. Een spoortrein krijgt 1 uur na zijn vertrek een ongeluk, waar-
door hij 1 uur wordt opgehouden. Hij zet de reis voort met
^ der vroegere snelheid en komt 3 uur te laat op de plaats
der bestemming. Was het ongeluk voorgevallen, nadat 50 K.M.
meer waren afgelegd, dan zou de trein If uur te laat zijn aan-
gekomen. Hoe lang is de weg? 1887.
29. De som van de uiterste termen eener meetkundige reeks van
3 termen is 25 ; het gedurig produkt der 3 termen is 1000.
Bepaal hieruit die reeks. 1888.
168
30. Bereken a? en «/ uit:
\ x\yy + y = 40
/ icV + r = 1312. 1889.
31. Een vat met een inhoud van 300 L. is gevuld met jenever
van 50 7o. Men tapt er een zeker aantal liters uit en vult het
met water aan. Daarna tapt men er 13 liters meer uit dan den
eersten keer en vult het weer aan met water. Nu is de jenever
in het vat van 44 7o- Hoeveel liters heeft men den eersten
keer afgetapt ? 1894.
32. Herleid tot de eenvoudigste gedaante :
1/(6— 2]/5— 1/2)— l/(6+21/5+l/2)+l/(16—2Kl0). 1895.
33. Bepaal drie getallen, waarvan het eene middelevenredig is tus-
schen de twee anderen, als hun som 35 en de som hunner
tweedemachten 525 is. 1895.
34. Bepaal x en y uit:
^ x'-\-'!^ =9
\ x' + xy-^f = l {x' -xy + if). 1897.
35. Een vat, voor een vierde gevuld, heeft een toevoer- en een
afvoerkraan. Als de eerste 1^ uur alleen open staat, en daarna
beide kranen 10 uur, is het vat leeg. Als echter beide kranen
tegelijk zoolang openstaan van den beginne af, als de eerste
tijd noodig zou hebben om het vat verder alleen te vullen, is
er evenveel weggeloopen, als er door de tweede kraan in f uur
wordt weggevoerd. In hoeveel uren zou de eerste kraan het
vat geheel kunnen vullen, de tweede geheel ledigen ?
36. Een land heeft een bevolking van a zielen. Gemiddeld sterven
jaarlijks h menschen. Na hoeveel jaar is de bevolking verdub-
beld, als het getal gestorvenen tot dat der geborenen 's jaars
in reden staat als p : q'^ Na de algemeene oplossing te nemen :
a = 3 millioen ; h = 60000 en p:q=b:6. 1897.
37. Men vraagt getallen te bepalen, die door 11, door 15 en door
19 gedeeld zijnde, respectievelijk 1, 10 en 5 tot resten over-
laten. 1898.
38. Herleid:
1/(15 — 1/6 — 61/2) — 1/(15 + 1/6 + 61/2). 1898.
169
39. De som der 4 termen eener rekenkundige reeks is 42 ; de som
hunner omgekeerde waarden is yV^. Welke zijn die 4 termen ?
(Dit vraagstuk kan niet opgelost worden, tenzij de termen
symmetrisch worden uitgedrukt).
40. Van een meetkundige reeks is de eerste term a en het aantal
termen n. Een andere meetk. reeks heeft denzelfden eersten
term en dezelfde reden ; doch dubbel zooveel termen. De som
der termen van de tweede reeks is m maal zoo groot, als de
som der termen van de eerste reeks. Welke zijn die reeksen ?
41. Het verschil tusschen de som der termen op de even plaatsen
en die op de oneven plaatsen eener meetkundige reeks van
2n termen is d ; de som van alle termen is s. Hoe groot is
de eerste term en de reden ?
Neem w = 4, cZ=150, s = 250.
42. De som der termen van oneven rangorde eener meetk. reeks
van 5 termen is 364 ; de som der termen van even rangorde
is 120. Welke is die reeks ?
43. Van 5 getallen vormen de eerste drie een meetkundige reeks,
de laatste vier een rekenkundige reeks. De som der laatste vier
is 60, en het produkt van het tweede en vijfde getal is 144.
Welke zijn die 5 getallen ?
44. Een schuld van 10000 gld. zal in 14 jaren door jaarlijksche
aflossingen worden betaald. De eerste 7 jaren staat het kapitaal
uit Ji 4 7o ; de volgende 7 jaren A, 4|- % op samengestelden
interest. Hoe groot is elke aflossing ?
45. Drie broeders, van welke de oudste 17, de middelste 15, de
jongste 13 jaren is, hebben elk, toen zij 10 jaren oud waren
2000 gld. ontvangen en è, 4 % op samengestelden interest
uitgezet. Zij zullen een zaak openen, als zij samen 15000 gld.
bezitten. Wanneer zal dit plaats hebben ?
46. Hoeveel bedraagt de som van de n termen der reeks :
1 H- 2x + 3.r"' + + (ri — 1) a;"-'' + w . x''-' ?
47. Iemand stort bij het begin van zijn 45'^^ jaar 4000 gld. bij een
maatschappij van levensverzekering, om van zijn 65®'*^ jaar af
aan het einde van elk jaar een lijfrente van 630 gld. te hebben.
De maatschappij zet het geld A, 3|^ "/o op sameng. interest. De
170
man leeft tot zijn 78*^"' jaar. Wint of verliest de bank, en
hoeveel ?
48. Iemand geniet n jaren lang een lijfrente van a gld. Hoe lang
moet hij die missen, om t jaren lang een lijfrente van b gld.
te kunnen genieten ? Interest p 7o'
Men neme n=lh; a = 500, t= 12, b = 700 ; p = 'ó
ix -\- y = z -\-2 l xys = — 16
;r- + /-==^-^+10 50. hc+^4-0= 1
^ x'-^if = z'-ir^l^. I x'-^y' + ^'= 1.
x: y = z : u ix-\-y-\-z-\-u= 12
j ^ — y ~^ ^ — f('= 4 ] x^ -\- y"' -^ z"' -\- u^ = 50
' x'-^y'-^z''^u'= 50 W' H- 2/' 4- ^' 4- «^' = 1394
x^ — y^ -{- z^ — 21^=196. [ xy = zi(.
53. Van een rekenk. reeks van de tweede orde is de derde
8, de achtste is 78 en de tiende 127. Welke is de 15''^ de
19'^'' term; hoe groot is de som van 19 termen?
54. De derde, vijfde, achtste, negende term eener rekenk. reeks
van de derde orde, zijn respectievelijk 8, 32, 158, 236. Welke
is de twintigste term, en hoe groot is de som der eerste 12 termen ?
55. Eenige kogels liggen in den vorm van een vierzijdige pyramide ;
op elke ribbe liggen er 15. Hoeveel kogels zijn er in het geheel ?
56. Hoe groot is de contante waarde eener lijfrente van a gld., die
elk jaar m keeren zoo groot wordt; en gedurende n jaren aan
het eind van elk jaar betaalbaar is ? Kente p 7o.
57. Los X op uit: -^ .,/.., ... , ., = ic H .
^ X' {x -\- 1) -^1 X
58. Van de vergelijkingen :
ax^ -\- bx -\- c = O ; aiX' -]- biX -\- Ci = O en
{a H- Aa,)^- 4- (è + ^bi)x + (c + Ac,) = O
wordt de som en het produkt der wortels respectievelijk voor-
gesteld door:
s en p; Si en pi; S en P.
Als gegeven is, dat: P = p -\- pi, bepaal dan A, en druk S
uit in s, Si, p en pi.
59. Los X op uit:
1 ^ 4-7
3 _-^^-t-d - 3.,_, -O.
171
60.
Fei.
62.
^63.
[64.
65.
Wanneer men de eerste n termen der rekenk. reeks a, a-\- t\
a-\-2v enz., met de overeenkomstige /^ termen der meetk. reeks
a, ar^ ar^^ ar^ enz. vermenigvuldigt ontstaat een nieuwe reeks.
Hoe groot is de n'^" term van die reeks?
Welke is de som van n termen der reeks, die ontstaat, als men
de termen der meetk. reeks a, dr, a^ enz. vermenigvuldigt met
de overeenkomstige termen der reeks 1, 2, 3, 4, 5 enz. ?
Van een rekenkundige reeks van de vierde orde is gegeven,
/, = 3, U = 14, h = 128, to = 374, t^ = 882. Gevraagd wordt,
de eerste 12 termen op te schrijven.
Bereken x en y uit :
l\-l^-»-- / 1 \l/y 1
66.
67.
68.
L
37 ■V27/ 6561'
3l^.r 91/y ^ 243.
Evenzoo uit:
Sx + l^y _ 3 3a; — \Xy
Sx — \yy ■" 2 "^ 3.^ + \yy
3^ + ^ = 34 — eKSa; + ^ + 6.
Van een meetkundige reeks van 10 termen is de reden = 2,
en de som der termen = 93 ; van een rekenkundige reeks is
het verschil f. Als men weet, dat het produkt der vierde termen
van beide reeksen gelijk is aan den derden term der reken-
kundige reeks, hoeveel termen moet deze laatste dan bevatten,
wil de som van beide reeksen gelijk zijn?
Als a=19 en 6=13, dan is de som der wortels van een
vierkantsvergelijking :
{a' + a'6' + h') (a* — d'h' 4- h') '
en het produkt der wortels:
[26i)a2M«-^i«)~^r ']"•'"' X 5 (a-Héi)"5=^-
Bepaal die vergelijking.
Bereken x uit: (o; — 7)''''''' = 0,070075'''T
Bereken de waarden van a, è en c uit :
a^^S- * = 10"
,Iog.a_iooO\
172
69. Van een rekenkundige reeks is de eerste term 8 en liet ver-
schil 7. Men wil eiken term van deze reeks zoodanig in drie
deelen splitsen, dat al die deelen samen weer een rekenkundige
reeks vormen. Gevraagd den eersten term en het verschil van
die nieuwe reeks te bepalen.
70. Van een meetkundige reeks van 6 termen is de eerste term
100. Neemt men van alle termen de logarithmen, dan is de
som dier logarithmen 7. Welke is die reeks ? (Zonder loga-
rithmentafel).
71. Een waterleiding, die 151 M. lang moet worden zal gemaakt
worden uit buizen, die If, 2^ en 3 M. lang zijn. Hoeveel
buizen van elke soort kan men nemen ?
72. Bepaal de waarde van x uit :
log.^ (J^ -f 1) -t- log. 4 (^'--i)Xlog. 0^4-i)-log. (^-1)'- Oc+l)X
X log. (^ - 1) -f log.'- 2 4- log. {x"' - 1) log. 2 = 0.
73. Het verschil tusschen de som van de termen met oneven en
die met even rangnummer van een meetkundige reeks van 8
termen bedraagt 150 ; de som van alle termen is 250. Welke
is die reeks ?
75.
77.
74. Los X op uit de vergelijking:
,2a;
3* +5.3
x-{- ay -\- a^z -f- «^ = O
x-^hy-\-h''z + h^ = 0
X -\- cy -\- c^z -\- c^ = 0.
42^ -i
76.
= 126.
^ + ay-\-a^z -h a^u -f- a'' = O
x-^hy-\-h''z-^b^u-\-h' = 0
x-{- cy -\- c^z-\-c\ -\-c^ = 0
x-\-dy-\-d^z -]-(Pu-\-d^=0.
Aan welke voorwaarde moeten de coëfficiënten der volgende
drie vergelijkingen voldoen, opdat deze onderling afhankelijk zijn :
bz — cy =^ A
ex — az = B
ay — bx^= C?
Nnm.
Log. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P.P.
190
27
875
898
921
944
967
989
*012
*035
*058
*081
191
28
103
126
149
171
194
217
240
262
285
307
1
'A3
2,3
192
330
353
375
398
421
443
466
488
511
533
2
3
4
4,6
6,9
9,2
193
556
578
601
623
646
668
691
713
735
758
5
11,5
194
780
803
825
847
870
892
914
937
959
981
6
13,8
195
29
003
026
048
070
092
115
137
159
181
203
l
16,1
18.4
196
226
248
270
292
314
336
358
380
403
425
9|2Ö,7 1
197
447
469
491
513
535
557
579
601
623
645
22
2,2
4,4
6,6
8,8
11,0
198
667
688
710
732
754
776
798
820
842
863
1
199
885
907
929
951
973
994
*016
*038
*060
*081
2
3
4
5
200
30
103
125
146
168
190
211
233
255
276
298
6
13,2
7
15,4
201
320
341
363
384
406
428
449
471
492
514
8
0
17,6
19,8
202
535
557
578
600
621
643
664
685
707
728
203
750
771
792
814
835
856
878
899
920
942
21
204
963
984
*006
*027
*048
*069
*091
*112
*133
*154
1
2
3
2,1
4,2
6,3
205
31
175
197
218
239
260
281
302
323
345
366
, 206
387
408
429
450
471
492
513
534
555
576
4
5
8,4
10,5
207
597
618
639
660
681
702
723
744
765
785
6
7
12,6
14,7
208
806
827
848
869
890
911
931
952
973
994
8
16,8
209
32
015
035
056
077
098
118
139
160
181
201
y
1
2
3
4
18,9
20
2,0
4,0
6,0
8,0
210
32
222
243
263
284
305
325
346
366
387
408
211
428
449
469
490
510
531
552
572
593
613
212
634
654
675
695
715
736
756
777
797
818
5
10,0
213
838
858
879
899
919
940
960
980
*001
*021
6
7
12,0
14,0
' 214
33
041
062
082
102
122
143
163
183
203
224
8
9
16,0
18,0
215
244
264
284
304
325
345
365
385
405
425
1
216
445
465
486
506
526
546
566
586
606
626
19
217
646
666
686
706
726
746
766
786
806
826
1
2
1,9
3,8
1 218
846
866
"885
905
925
945
965
985
*005
*025
8
5,7
' 219
34
044
064
084
104
124
143
163
183
203
223
4
5
6
7
•)0
9,5
11,4
13,8
220
34
242
262
282
301
321
341
361
380
400
420
8
15,2
9
17,1
Nnm.
Log. 0
1 2
3
4
5
6
7
8
9
ANTWOORDEN
VRAAGSTUKKEN
VOORKOMENDE IN HET
LEERBOEK DER ALGEBRA
DERDE DEEL
BOOR
H. A. DERKSEN en G. L. N. H. DE LAIVE,
Leeraren aan de Hoogere Burgerschool te Nijmegen.
^
ZUTPHEN,
W. J. THIEME & Co.,
1899.
N.B. Den gebruiker Tan dit leerboek wordt verzocht de veran-
deringen aan te brengen, die wjj bij de samenstelling
, der antwoorden raadzaam geacht hebben.
De antwoorden, welke de leerlingen onmiddellijk kunnen
opschreven, zijn weggelaten.
HOOFDSTUK I.
Over de oplossing van n vergelijkingen
met n onbekenden, waarvan minstens
één vergelijking van den tweeden
of hoogeren graad is.
Één vergelijking van den tweeden graad en één of meer
vergelijkingen van den eersten graad.
-54 1 48 a;=78
-54
Bldz. 5.
x=a
y=4:8 1—54' j/=54| -
x=S I —6 «=10 [ -5
y=6\ -3'" tj=—b I 10 •
a;=20 I —20 a;=20 1 ~i
-78"
X
=b
1
y=10 I -10' ^=12
16-
5. ij=2
z=S
a(a2+3&2)
b{Sa''+by
x=a-\-h
la-llb
13
y=a—b
lla+lh'
13
b^-a'
4.5 2. ^ — 9 I 141
-7|f; y=-^ I -5AV.
-o^ z=l I 3i||
Vergelijkingen met Kunstgrepen.
A. De methode van optellen en aftrekken.
Bldz. 12.
x = 2
— 3
t/ = 3en — 3|
— 1 + 1/89;
4
a; = 12| 12
13
13
«=— 7^±2^]/33 x=2\ 6
y=—7^^2iV3r ^^672-
ar = 5 i 10 x = 2a\ 2a \0
y = 4: I — 5| 4 I — 5*
x=3 I 3 1—3 1—3 x=0 I 3
3.
O
y^8 i — 5 I 5
y=0\2\ O
.y = 3| i ' y = 2b
a O I a + 2&"
B. Eet aannemon van nieuwe onbekenden.
Dldz. 18.
a;=-19 1 14
-4 I 29
y
=—21 I 12 I -36 I — 3"
2.
x=20\ —i
x=-
1295—1031/13
144
4. ^-|-'-^. (Verander 72 in 26). 5
y=Vl I —16"
ic=6|3
721-1851/13-
y- 144
:r=9 i20i
2/=5 i 3'
X- = 4 I — 10
y = 5 1-16-
y=3 I 6" «/=16 I 6^-
!/=0-
16
9. r/ = 12|12.
^ = 16i 9
10.
a:==^^^-±^l/(4424-1482/l/3)
3+3^1/3
±^1/(442 -1482^1/ 3)
^=-^^^-T^^l/(442-M482él/3)
3+3ïl/3
::p^^V'(442-1482il/3)
C. Het met elkaar vermenigvuldig'en of op elkaar deelen van de
overeenkomstig:e leden van eenige vergelijkingen.
Bldz. 24.
1.
5.
2.
3; = 53 [ — 45
53"
y = 4|2
2/ = 2 i 4" ''• ^ = 45,
x-^4| — 2zli2;|/8
2/ = 3i-H±Hïl/3-
a; = 4|3|0
3
^=11 I 7
:r=10
10
6.
?/ = 10l 14" "'• «/ = 5 I — 5'
y=l I —\ ± iïl/3
a; = 3| O
«/ = 2 I - 1 ± ïl/3
y = 2
3'
2!=3
li±Hïl/3-
g. ?/ = 3 I 4 I 0.
w = 4| — 2 i. 2/1/3
\±\iV^ I 3| — li±li?l/3
^ = 21210
- 1
10.
2a&
3 I — 1-1 ± l|il/3 I 1 I —\± \iV2> •
a; = 0!4|2
11
y^
y
0 2 14-
2a&
D. Het eerste lid van een op nul herleide vergelyking kan in
factoren ontbonden worden.
Bldz. 26.
a; = 3l 3 1-3
«/ = 5 I —5
x=zn I-
5 •
919
2.
o; =16
16 a;= — 8
; — . O,
21 3
y = -n\-l\2'
5.
a; = — 9 I ^»y I 3
y = 9 |2A|r
y = 6
6.
a; = 1 I 3i
y = ^\H'
E. Worteltrekking.
Bldz. 27.
1.
a; = 2| -7 + 3il/3
1 — 7 - 3^V3
y = \\. 5i-Htl/3
a: = 3 1 3 1 il/3
|5i+liil/3 •
1 - iV^
2/ = 2 I O I 1 ± 1/(4 - «1/3) I 1 db K(4 + JK3)*
a;=6
4±21/13
2/ = l|-3| \
±
-b
4a
2/ =
(a-&)V + 6)
7i
4a
1
VIS
4.
4 I - 2 ifc 2il/3 1 — 21 l±tYS
{a-by{a + b)
«2-
4a
ia + bY{a — b)
4a
1 ± /!/ 3 I — 4 I 2±2iVS'
a^ + ö^
/, , ^a^ + ön
2i
6. y = m-l\S\±
9 |2| lOf
F. Machtsverhefflng'.
Bldz. 29.
o; = 5 I 2 a; = 2 I 2 | - 2 [ — 2 | 1 |
7;^2"|"5"- '^•i/ = l|-l| 1 I — 1|2|
x = ib±V {36^ + 21/2(6* + a)] \ ^b±V{-
1
2 I - 2 I - 2"
362 + 2l/2(&* + a)}
^ = 46 =p 1/ {36^ + 21/2(6* + a)} 1 16 t KI - 36^ + 21/2(6* + a)}'
a; = 4|9| — 31-1 ± 2iil/151
y = 9l4l-31iT2iil/15r
a; = 3 I — 2 I -J zb Hil/3
g; = 2|l|-2| -1
i/ = 1 I 2 I — 1 I — 2'
2/ = 2
i±Hil/3-
a; = U
2/ = -U
x = ±l I
5.
6.
115
G. Homogene vergelgkingen.
if/rf^. 81.
2.
:±,9^K38|±AK22 _ a; = ±l|±/^l/29
y =±4| ±1/19"
^ = ± l|iV5 I ± 2
t/ = ± l^^•l/5 I ± 3"
a; = ± 1 I dr ^\l/53
y = ±2\^ Ml/53'
|6- - «/ = ±-j3^]/38|=b^il/22- "• ^ = ±2 I ±111/29-
O (Verander in de eerste vergelijking 75 in 57 en in
de tweede vergelijking 9 in 19).
(Verander in de tweede vergelijking 11 in — 11).
Gemengde Opgaven.
Bldz. 31.
m x =
81 3
5.
1
2.
a: = O I 7i
y = o|ui 1
3.
a: = 30| A
iil/13
2/ = ± 2 1 iF lil/13 •
6.
a; = ± 12 j ±411/3
7/ = ±10|:f2|1/3-
7.
0^=17
a: = Jr4| j=3
«/ = ±3 |±4' /=
R ^
: =
±3
^•J
X-
±2'
= ±3
11.
y
= ±2.
z
X
= ±4
= ±1
14.
1 *i
«/ = rfc3.
^ = ±6
x = \\
9.
2/ = 0|H^iKll|liTHK2'
a; = 0l6| 6 1—61—6 «
3. 13. y
x=±h
10. j/ = ±7.
2; = ±3
:1| l l-ll
12. y=0|3|-8| 3
=2
—2
1 ^.^
2 = 0|2|-
a- = ±4
-2| 2
a; = ±2
15.
2/ = ±2. 16. y = ±3
1^4
s = ±3
a; = 0
z = ±A
O
;j=3|-3|-3| 3
(Verander in de tweede
vergelijking tjz in a;^).
i ±1*1/3)^4
(-
y =
18. t/ = ^4| O K-jirji]/ 3)0^4
O
a; = 2 4-l/3
19. t/ = 4]/2 + 2l/6
0 = 13/-4 I ^4 I (— -^ ± ijV3)^4 I (- i ± iiK3)^4
1-1/3
20. 3a;» + 6a;(a+l)2=2a».
21/6.
21.
22.
24.
26.
z = — S— 21/3 I 3
~ , - — , ., ^,ö- (Verander in de tweede vergelijking 13 in —13).
?/ = ± 3 I =p -^tV ló
a;= 144 i 100 | 72(— 1 ± il/ 3) | 50(- 1 ± il/3) „^ a:=3i±^VKl5
= 100 I 144 1 50(- 1 ± il/3) I 72(— 1 ± il/ 3)*
ab{a + ft)
a: = 3|9i6±2il/87 '^
23.
y=HT^\Vi^'
x = 0
25.
«2 + 6^
y
«/ = 9|3!6:f 2il/87'
(Verander 247 in 246).
^ 3 — b
x = ^{a-\- c)± |(a — c)V 3^ _ ^
3^=T
O
a6(& — a)'
a^ + b""
27. y = 0 en a;=de 5 vijfdemachtswortels uit 1 ; ?/= de 5 vijfdemachts-
wortelsuit— -^^ en o: = — yil/3 ; y — de 5 vijfdemachtswortels uit ^gg-
. , b^±bVici^b-\-b^)
en x—i/iyS. 28. Stelt men x+y=p en xy=q, dan is 2^= -g ,
terwijl p =
ag**
IS.
a; = 0|l|0
29. y = 1 1 0 1 0.
;S = 0|0|1
30.
a; = 2|4
y = l|2-
31.
X
= ± 2j^ Vahc
y
= ^ 2ac^^^^-
z ■
— x + y-{-z = ± V2(b + c)
33. X — y -{- z = ± y2{aTJ).
x + y — z = ± V2ia + ft)
33.
^=7|7(- i + iJK3) 1 .3 I 3(- i ± iïK3)
a;=±al/
35.
36.
38.
«/ =
3|3(-
ab±
l/" { (a& — a -
-by-hiab]
a + &
a — b
a + b
±6 1
db iVS9 1 ± i|/6(l ± iVQ2S)
34.
a^— a6+62
y=±bV-
-ab-hb''
2/ = ±2 I ±iïj/39 I T^K6(1± il/623)
(Verander 62 in 52).
x = 0\ — 4: a; = l|27.
2/ = ||±ti- '*^- ^ = 3
37.
o; =11 27
2/ = 3|i •
rr-* Bovendien
^ y
x = ±2\±^\/7
twee stellen wortels voor x en ij volgen. 40. 2/ = i3|± ^1/7.
^^ ± 5 I T 2^]/7
1
:» =
41.
43.
45.
& + 1
"6 - 1
a; = 3i — 1
g + l
«— 1'
b + 1
1±tV
42.
1/133
«/ =
y = l | — 8| — l±-ii5l/133'
x = 2 |10| — ^ I— tVI 10
44.
1 + «& ± 2«
1 - ab
l + ab±2b'
l~ab
a; = 0|9
y
018
-il 2 1-^
10
21
2 I-tVI -i
2 1 — 21 — 2
— i 10
46. «/ = 3
3-8,
47. Men zal vinden — x-{-i/ -\- z =
= ± — l/2a&c, X
a '
a;=12
4|— 4
y + z-
8 I 24:±3iVl7
zfc -T-y^2abc, x-\- y — z = ±:
-V^abc.
48. y = 6 I 6
27
49. y = n±iV7.
z= 3 I 12 I 24T3^■]/17
a; = 6l6|2|2| 4+ iK186
^ = H±i|/7
4 — ^1/186
50.
y = 3|4|3|4|3-|=l= iiV759 \ 3^ db |it/759
g = 4|8|4[3|3|:f 1^1/759 | 3| zf |tl/759
M=2|2j6|6| 4- il/186 | 4 + il/186
(Verander in de laatste vergelijking 65 in 1649).
Vraagstukken, die aanleiding geven tot
vergelijkingen van hoogeren graad
met meer onbekenden.
Bldz. 34 en vervolgens.
1. 64 d.M, 2i d.M., 1^ d.M. 3. ± Vah en ±-^Vah.
3. 9 en 5 of — 9 en — 5. 4. 4 en 3 d.M. 5. 132 M. en 101 M.
6. 74. 7. Lengte \{V{h^-V2a)^-V{h''—2a)], breedte \{V{h''+2d)—
— 1/(62 — 2a)}. 3 5^ 12 en 13 c.M. 9. 3, 4 en 5 c.M.
10. 5, 12 en 13 d.M. 11. 2\ M. en 4 M. 12. Onbepaald. Waarom?
13. 200 K.M. 14. A 15 M., B. 18 M. 15. 600 man, 1| K.G. perdag.
16. Onbepaald. Waarom? Verandert men „de som der uiterste termen
is 8" in „het verschil van den eersten en laatsten term is 4", dan is de
evenredigheid 6:4 = 3:2 of 6:3 = 4:2 of — 2:4 = 3: — 6 of — 2:3 =
= 4: — 6). 17. 6:8 = 9:12 op 8 manieren geschreven. (Vul 72 in
na „uiterste termen"). 18. 6 : 10 = 3 : 5 of 6 : 3 = 10 : 5 of 5 : 10 = 3 : 6
of 5 : 3 = 10 : 6. 19. 60 en 90 min. 20. Elk stuk 50 M. lang, 1 M.
eerste stuk 4 gld., 1 M. tweede stuk 6 gld. 21. De meetkundige reeks
is 3; 6; 12; 24. 22. De rekenkundige reeks is 4; 9; 14; 19.
23. 9; 14; 17; 22. 24. 7 ; 13 ; 12 ; 18. 25.21:3 = 77:11.
26. 3:21 = 5:35. (Op 8 manieren geschreven). 27- 7 ; 28 ; 112.
28. 2; 5; 8; 11 of — 2 ; —5; —8; —11 of —^±^iV'^%',
— li ± i/K79 ; li ± \iVn ; 4i ± -i*l/79. 29. 2 ; 6 ; 18.
30. dr 3, ± 4 en ± 5. 31. Beide kranen in 3^ uur. (Verander f in -|).
30£?{a— 2& + l/(a2 + 462)}
32. 4en4i7o.
de goederentrein
33. De sneltrein
%M{a + 2& — ]/(«' + 46^)}
ah
db
224 K.M.
=-^|rK.M.;/r
34. Stelt men
^ = 8, dan vindt men voor beide snelheden \ M.
HOOFDSTUK II.
Ongelijkheden.
Bldz. 45 en vervolgens.
1. .r = 2, 3, 4 enz.
2. Geen waarden.
x = 3, 4, 5 enz. ; x = 1. 2 en 3 ; a; = 1, 2, 3, 4 en 5.
„ a;=10 I 11 I 12 lenz.
"■ y = 3, 4 I 3, 4, 5 I 2, 3, 4, 5 I enz. '
^=7 17, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 lenz. ^ ic = l, 21 1
71 E i • 4. .. ■ I .,■- ; geen waar-
y = 4 1 5 I enz. y = 14 | 15 ' ^
den. (In de opgaven 8 en 4 worden geheele positieve waarden voor x en
y bedoeld). 5. x = \, 2, 3 enz.
Onbepaalde vergelijkingen.
Een verg^emking van den eersten graad met twee onbekenden.
Bldz. 53 en vervolgens.
, a; = 33 I 26 1 19 1 12 I 5 „ ar = 40 I 47 1 54 1 enz. „ ^
1. -1 g I 1 1 I 1 r; I oi • »• A I r> I 1 ^ I • t». Cireen geheele
y = 1 I 6 I 11 I 16 I 21 t/ = 4 I 9 I 14 I enz. ^
pos. waarden. 4. .. .. 5. Geen geheele pos. waarden.
a; = 14 I 37 I 60 I enz. x = b | 18 | 31 | enz. a; = 40| 129
"• ï/ = 4 |12|20|enz." '' ?/ = 19 | 63 | 107 | enz.' ^-t/ = 9\28'
^ a; = 19l57 .^ a: = 3 | 7 1 11 1 enz. ^^ ,^ ,^„ ^^^^ „^
9- Kiö«- 10. ,„00 07 • 11. 16 en 143 of 120 en 89.
«/ = 5 I 26 y = 17 I 22 I 27 I enz.
12. 1147, 3331 enz.; algemeene gedaante 2184a — 1037.
^„ van 20 et. 3 I 6 I 9 1... 139 ^. ^ ,.., „,
ld. 71S — 1. gg I «rv I ce I I e • 14- Onmogelijk. Waarom? (Ver-
van 12 et. 65 I 60 I 55 I ... I 5 '^ "^ ^
andert men 10,20 gld. in 10,30 gld., dan 251 eiken en 332 beuken).
15. Op 10 manieren. 16. Achttallig en zestallig stelsel.
17. 2183, 2870, 2557, 2744, 2931. 18. 8125 en 8135; 3600 en 3610;
4075 en 4085; 4550 en 4560. 19. 3 + 5a; l+6a; 2 + 7a.
20. 4, 7, 10 . . . 28, 31. (Verander 149 in 140 en 27 in 7).
Twee vergel^kingen van den eersten graad met drie onbekenden.
Bldz. 56.
a; = 5 I 6 I 7 I enz. a; = 3 1 1
a: = 1 1 4 1 7 1 enz.
3. y = 2 1 12 1 22 1 enz.
1. ^ = 3 I 6 I 9 I enz. 2. y = 1 | 2
2 = 6 I 11 I 16 I enz. 0 = 2 \~S ^ = 3 | 28 | 53 | enz.
a; = 6 I 23 I 40 I enz.
4. y = 9 I 56 I 103 I enz. 5. ic= 12, «/ = 8, ;? = 4. 6.28.
0 = 10 I 89 I 68 I enz.
A 5[10[...|80|85gld.
7. B 25 I 28 I I 70 [ 73 gld.
C10|12| 1 40 1 42 gld. 0 =26|27|...|40|41
(N.B. De bedoeling is, dat elk een
geheel aantal guldens ontvangt). 9. Het kleinste der drie getallen kan
zijn 5579, 5075, 4571 en 4067. 10. Het kleinste getal is 6681 en 9684.
(Verander het getal 7 uit de opgave in 3).
a; = 31| 29|...| 3 | 1
8. i/ = l 1 2 |...|15|16.
Een vergelijking van den eersten graad met drie onbekenden.
Bldz. 59 en vervolyens.
x= 1
enz. x= 1, 2, 3 enz.
1. y = 2 + 7j? I 7 + 7j? I enz, y — 7«— 10 + bx.
z = b -\- 3p\6-{- Bp I enz. z = Sa-\- 1 -{- x
x= 11, 36 ...436 I 22, 47 . . . 322 | . .
21
3. y = lbl, 140... 8 I 142, 131
10
1
z= l I 2 I ... I 36 I 37
3. a; = 8; y = l; z = 1. 4. | + f + ^^2 ; -f + i + tV
1| 2 \'...\ 8 I 9 mannen 20 | 19 | . . . | 12 | 11 appels
5. 18 I lö I ... I
11 I 12
4 I 2 vrouwen .
18 I 19 kinderen
36 I 40 peren
7. 2438 en 2451.
30 I 27 I ... I 6 I 3 pruimen
x=l
2
1 1
2
3
4
3
4
5
6
8
y = -^\
L
1 4
3
2
1
4
3
2
1
1
z = ^ \
5
4
4
4
4
3
3
8
3
2-
« = 9 I 10 I 4 i 5 i 6 I 7 I 1 I 2 I 3 I 4 I 1
HOOFDSTUK III.
Reeksen.
Rekenkundige reeksen.
Bldz. 64 en vervolgens.
1.81; 4^+11; 8i) + 4<? — 1; 820. 2.51. 3.205. 4.11.
5. 2500. 6. 3, 4i, . . . . 27, 28^. 7. 7, 1^0, 13 ... . 31, 34, 37. (Ver-
ander het getal 3 uit de opgave in 4). 8. Bp^. 9. 772,50 gld.
10.3. 11.105a. 12. a/105aK3; 5/ 105al/2. \^. p{a + h).
14. 6 mededingers. 15. 3025 gld. 16. 90 gld., 25 jr.
17. 7sec.l61M. 18. ±17,±20,±23ofTl8il/2,±l|V/2,±2Hl/2.
19. 13 uren na het vertrek van A. 20. 4 of 7. (Verander — 2 in 2).
21.
l -\- a t , l — a\ l — a ,
= ^s- 1 + ; n = + 1.
2 \ V I V
(-iy
2vs\ • n = \ +
l
22. a = \v + V
23. De eerste term is: — l\a ± W {^a"" ± AV {a^ + h)}
32 of 16, 29 en 15. 26. w' + 4n
^Kv-f
2s}
24. 13, 15 en
Bldz. 67. 3. 551. 4. 11. (Verander 1591 in 15721). 5. 7. (Verander
1680 in 1640). 6. In de eerste 6 + 16a, in de tweede 24 + 57a termen.
10
Meetkundige Reeksen.
Bldz. 73 en vervolgens.
2. 39t\. 3. I ; 6250 ; 2 . o'^-\ 4. — 1536. 5. 6if|.
6. 4. 7. 8 termen. 8. 7 termen. 9. — ^ ; (— 1)"-' ^.
jj 'p
10. —^Vq; ^l/i>. 11. 250, 50 en 10 of 10(18 — 1/299), - 50 en
10(18 + 1/299). 12. i^, ±A, ff, ±Vr of -^h, -^\, -h, - ^■
13. 5tV4. 14. 18500, 9000, 6000 en 4000 gld. 15. a=15; / =
86 of 100. (Verander in deze opgave n = 5 in w = 3 en s = 56 in s = 76).
n n
16. ; = « + ('-'>; . = '-!l^»il'. 17
5/c^^. 75. 3. 5115.
Bldz. 78 en vervolgens.
i5^4
1 4-1 Q 23281 Q 1 4. - KI fi 73
7. 80 ±801/2. 8.-27. 9. a|/3. 10. a(l + l/2).
11. De meetk. reeksen zijn 4, 12, 36 of 4, 28, 196; de rekenk. reeksen
zijn 3, 5, 7 of 3, 2|, If. 13. 6, 12, 24. 13. Stelt men 1 + ïfö ='*.
/ r^ — 1 \
\ r—l )
dan is som = -, ^r-^ — . 14. Te = ^ of — |. Lim. s = 24 in
beide gevallen. 15. 120, 60, 30, 15, 7^, 3f en 360, — 180, 90, — 45,
22|, — 111. 16. 20, 60, 180, 540. (Verander het getal 3 uit de opgave
in 4). 17. 2m'^; Ar\ 18. t«r^ rV3. 19. 6, 12, 24.
20. ^naK 21. ^V««V5. 22. a. 23. al/8.
HOOFDSTUK IV.
Logarithmen.
Bldz. 85 ew vervolgens.
Q 1 Q 1 *^ 1 3 1 ^2 1 «^' 1 (a + &)> + c)«
3. log. 3a; log.—; log. a^; log. è^'c; log. -^; log- L ^)3(^ _ ^^2;
log.ai5-A; log.^jT^; log-V-^^^; log. ^Jal/— j ; log. {a(a . a«)«}« ;
11
\og.^[a(!y{a(!y{aC>'a)}\. 4. 20; 10; ^ ; |i^ 77175.
9.78. 10. (r; (^J
Bldz. 98 e» vervolgens.
14. 17,4048; 213,105. 15. 6,7793; 1113,18. 16. 6,2826; 1,80175
0,52755; 0,30495. 17.113,21; 3,6547. 18.0,42455; 175,133
19. 0,26774; 4,0469. 20. 144,174; 6,8687. 21. 13,142; 1,4794
22. 9,031 ; 0,84362. 23. 2,24395. 24. 1,06341. 25. 0,22419
0,88853-1; 0,76129—1; 0,82035-1. 26. 2,0498; 1,0636; 18,5917
29,156. 27. 297,55; 3,32985. 28. 1,01686; 1,20658. 29. 1,8963
30. 3,9136. 31. 1,54393; 1,73644; 4. 33. Uit 255 cijfers
34. 5 nullen. 35. 4; 16. 36. 7656,25. 37. i en -^.
Bldz. 104 en vervolgens.
38. —0,69228. J39. 2,1142. 40. —0,95905. 41. 0,97428.
42. 0,76897. 43. 0,30931. 44. 1,15753. 45. 0,84734. 46. 0,94517.
47. 1. 48. —0,78375. 49. 0,217405. 50. 0,87914. 51. 0,91632.
52. 3,7794. 53. 0,7952. 54. 0,93398. 55. a;=:0,65828; ar^=0,75938.
56. a:=0,82672; i5^a;=0,7944. 57. 0,66618. 58. 1. 59. 10^«.
1
60. 1,0233. 61. 10^"^ . 62. 1.
HOOFDSTUK V.
Logarithmis che en Exp oneutiëele
vergelijkingen,
Bldz. 109. 1. 0,8. 2. 3,4. 3. rV 4. 2 en 3. 5. —5. 6. 5 en 2.
7.2. 8. 2en— 3. 9. 2 en i. 10. 2|en-i. 11.4. 12. 3;len-2.
Bldz. 114. 1. 9,587; —13,701. 2. 3,64325 en 0,27448 ; 3,491 en 0,28645.
3. 3,9776. 4. -1,2338. 5. 0,7831. 6. 5. 7. — |. 8. 1,27494.
9. -2,43858 en -0,56142. 10. 100 en l/lO. 11. 0,0000087196 en
1,14684. 12. 1; j^e; 172,227 en 0,0058063. 13.0,137528. 14.1,1388.
log, l — log, a log, l — log, a
15. n = 5 hl; n = -. r -. , n"rl;
log. r log. {s — aj — log. {s — l)
log, l — log.{W — (r — l)s]
n = ; r 1 .
log. /•
Bldz. 116. 1. 10 en 0 1. 2. 5,4654 en 0,18297. 3. ±1. 4. 0.
5. 1,5. 6. 0,03775 en 2,649. 7. 1 en 0,46416.
12
a:^=5,0639 | -5,0639 a;=8,O057 « ^ - "^ï^n 9^ I n
*• ï/=7,793 I 0,12832 " ^- 2/=7,891 " **' ^=4" ^- ^~_o ^25 | q
Onbepaald als a=l of O is.
Gemengde Opgaven.
Bldz. 122 ew vervolgens.
I. 1,15636 en —2,7413. 2. 100 en -j-U- 3. - \. (De laatste
exponent is ic + 1). 4. a^°=' * = — 2 of — 8. 5. O en 0,9367.
6. 1; 5,9693 en 0,167527. 7. -1,20997. 8. x = 2; ij = S.
9. 3 en — 1. 10. 35. (Verander het tweede lid in 64x2^^^^).
11 o A 10 Q K 10 ^= 10 I 10000
II. a:==2;y = 4. 12. ^ = 8;y = 5. 13. ^^^^^ \ ^^^ ■
14. 1 ; 5 en 0,0001. 15. a; = 4 en ?/ = 7. lQ.x = i',y=l.
17. 1 en -2. (Verander \yi in i^f). 18. —6,0143.
2/ = 9 I 19 I — 10,8 I — 0,8 J^S ^ ~
a;= 0,625 | 1 Onbepaald
22. y=2,5 |2 voor a = 0 23. 2 en l^V 24. 9.
0 = 3,75 I 3 ena = l.
_„ a:= — 2,15846 „^ a; = 2| | 20 «,^0
öO. TTööTTF- "o. j-r-i r5- 37- 18 keeren ; den laat-
y = — 1,17205 y = 4^ \ — ld
sten keer slechts 4,32 L. 28. 14,605 L.
HOOFDSTUK VI.
Samengestelde Interestrekening.
^/rf^. 130. 1. 3917,60 gld. 2.2,047%. 3. 8441,46 gld. 4. 1072,40 gld.
5. 6,1182 jr. = 6 jr. en 48 dg. (1 jaar = 365 dg.). 6. Na 28 jr. en
29 dg. 7. 7,21570. 8. 790,77 gld.
Bldz. 184 en 135. 1. 3010,55 gld. 2. 5071,50 gld. 3. Na 12 jaren;
bij het begin van het 12^'*^ jaar behoeft hij slechts 194,81 gld. te plaatsen.
4. 273,94 gld. 5. 12518 gld. 6. 389,51 gld. 7. 2735,80 gld.
/ V \'' \ ÏÖö) ""
Bldz. 137. 1. 87422 gld. 2. 7599 gld. 3. A 1+.-^ - a ) {-, •
\ "^100/
4. 28525,40 gld.
13
Bldz. 140. N.B. Is geen tijd genoemd, dan hebben de betalingen op het
einde van het jaar plaats.
1. 45501 gld. 2. -, ^\n-.»,/ ^v^ ï=2445 gld.
3. 3455,28 gld. 4. 25000 gld. 5. 1000 gld. 6. 2394,30 gld.
7. 3518,60 gld. 8. 11 jaren lang; aan het einde van het 12'ie jaar
533 gld. 9. Als de halfjaurlijksche lijfrente A is, dan is de kwartaal-
liifrente — -^^ = 602,29
gld., als men ^=1000 stelt. 10. 13428 gld.
Bldz. 143 en vervolgens.
I. 2587,70 gld. 2. 189,44 gld.
g (n - m) log, (l + 4) - log. ) (l + 4)""" - (l + 4)'^ + l!
'^^- {' + 4)
Stelt men i> = 4, dan 12 jaren lang; het dertiende jaar krijgt hij slechts
^(1 + 4)'"
187,28 gld. 4 Met -^ ^ = 467,27 gld. 5. 6794 gld.
(1+4) -'
(Bepaal 1,04"^ met worteltrekking = 1,019804). 6. 1141,55 gld.
7. 2742,90 g!d. 8. 2066,60 gld. 9. 105,65 gld. 10. De contante
waarden der aanbiedingen zijn: A 29980,70 gld., B. 30032 gld., C. 30407 gld.
II. Als de rente 47o is, dan 9 jaren; den tienden keer ontvangt hij slechts
807,35 gld. 12. 27 jaren lang moet hij 6°/o betalen, op het einde van
het 28»t« jaar slechts 4,93%. 13. Als de lijfrente A gld. is, dan is de
, . r^ioo/
contante waarde A
Ji*-
y ^ 100/ y ^ 100/
Vi . ;. \ v^ "^ ïöö) ~ ^ p I
l^ + ïo-oj T -^ Pïööi^
f 100 1
)/. , p \ r'^ioo) ^ i p (. , p_\
14
HOOFDSTUK VIL
Permutaties en Combinaties.
Blds. 146. 1. 120. 2. 279999720. 3. Op 5040 manieren.
Bldz. 147. 1. 30. 2. 90720: 907200; 10080; 34650. 3. 4.
nidz. 148. 1. Op 56 manieren. 2. 3003 malen; 455 malen. 3. 60
malen. 4. 210 groepen; 84 malen.
Bldz. 152 en 153. 2. 45 ; 39. 5. 59 X 58 X 55 X 19 X 14 wacht-
posten ; 59x58x19X11x7 malen. 6. 220. 7. 59, als de snij lijn
niet // loopt met de andere vlakken. 8. 12. 9. 11 ; 6 ; 7 ; 10.
10. Op 210 manieren.
HOOFDSTUK VIÜ.
Rekenkundige Reeksen van hoogere orde.
Bldz 158 en vervolgens
1. 8; 14; 64; 218; 560; 1198. 2. -102. 3. 210; 120.
4. 2i ; 1 ; i ; 1 ; 2^ ; 5. O ; 5 ; 22 ; 57 ; 116 ; 205. 7^ ; 3 ; — 26-^ ;
— 111; -292^; —625. h. T^. = x^—6x^+\0. T^=x^—2x''+6x-b.
— 419a;^ + 6940:r* — 41965a;3 + 116600a;^ — 146556^ + 65520
6. ^ — . 7. 22J^ — 62)^-\-42) + l. 8.
Bldz. 161. 1. 955. 2. 305. 3. ~ |^J3i>^ ^ ^^^
o
5. 485. 6. 715. 7. 730.
Bldz. 163. 1. 3-r^ 2. Bijna 78** (nauwkeurig 77111").
3. 8,1741095 - 10. 4. 251,81 gld. .
Gemengde opgaven.
Bldz. 164 en vervolgens.
1. 9, 18, 27 en 24, 18, 12. 2. 15 en 11 omwentelingen.
3. ^^LI|Il±i5^. 4.^. 5.2186. 8.2,59556;
,0,0038527 ; 2,01114 en 0,0049723. 11. 6144,60 gld. a 3i7o en 5855,40 gld.
a 4>. 12. 3, 5, 7, 9, 11 of 7-1/229, 7— |l/229, 7, 74^1/229, 7+^229.
15
13. 17000 en - 14400.
14.
sc = e
lOi
65 ±1/113
8
y = 4
-i
— 7=F 1/113-
8
15.
1
,10"
16. 2 en - 1. 17. 15 en 20 K.M. 18. 23 jr. en 205 dg.
19. Aantal termen 20; eerste term 5; som der nieuwe reeks 2579|.
«« . w« + 3«^ + 6n* + 7n»4-5w2 + 2« «^ . ,
20. n^ ; —j^ . 21. 4 ; J- en 0.
22. 15. 23. s =
14
h — a
— 1
1^
a
+1. 24. P^=80K.M.;
snelheid 5=20 K.M. 25. a = H; * = — i- De wortel is (2+l/5)a:—
— -^( — 1 + 1/5). 26. In het eerste geval heeft hij na 5 jaren 646,80
a; = 8 I 4
gld. ; in het tweede geval 642,60 gld.
28. 100 K.M. 29. 5, 10, 20. 30
27.
a^=18 I I
32. 0. 33. 5, 10, 20, 34.
?y = 4 I 36*
1 I -|±iil/3 I 2
31. 12 L.
— 1 ± il/3
y = 2 I - 1 ± il/3 I 1 I — -^ ± \iV%'
35. In 5 u. vullen ; in 4 u. ledigen.
36. Na , , "^^ ,==250 ir. Is het
aantal gestorvenen recht evenredig met de hevolking, dan na
^^^' ^ 174 jr. 37. 3135a+100. 38. —1/(6+21/3).
'««•)>+l(-i+f)!
39.6,9,12,15. ^0. a, a{^m—l), a(^m—iy enz. 4:1. r
s+d
:of4;
a=-
2(fo(s-rf)-2
42. 4, 12, 36, 108, 324. 43. 3, 6, 12,
18, 24 en 32, 24, 18, 12, 6. 44. 967,92 gld. 45. na 18 jr. en 114 dg.
46. .. —-, rvg. 47. Bij het begin van het 78« jaar 1941,60 gld.
gewonnen. 48. 4 jr. en 248 dg.
a; = l I 5 I -2±1/19 x=4: \ 4 | — 4 1 — 4 j 1 1 1
49. // = 5 I 1 I -2=Fl/19. 50. y=-4| 1
1 I -4
4 1 4
x=Q
51
52.
.y=3 1
-2|
3
-2|
1
-6
1 i
-6
^=2 1
-3|
2
-3 1
6
-1
^1
-1
M=l
x=2
y=3
w=6
6
-1 I -1
z=l
-31-312
4 —4
1 1-6.1.
2 I 3 I 3 1 1
-6 I -2 I -2
1 |6|6
3|2|2|6|6|1|1
(Bovendien voldoen nog de wortels
6 j 1 I e I 2 I 3 I 2 I 3' ^^^ vergelijkingen x + y-\rz + u = \2,
1I6I1I3I2I3I2 {x-\-y){z+u)=—22% en xy=zu=\^d,).
16
53. ri6 = 302; Ti9=496; ,S\9 = 3268. 54. 7'2o = 3272; ^12 =2039.
'')"''-('+if-ori
55. 1240 kogels. 56. 7 zrir^i 7 —y
(1+4) (— i-ÏFo)
,„ l+l/2±l/'(-H-2]/2) l-l/2±il/(l+2l/2) _. a%
57. 2 en 2 • 58. X=-^;
S=^ — ^ifi^ 5g_ 2,28174. 60. T„, = {a + (w - 1) v] ar^-';
r— 1 r — If r— 1^
61. ^^W-1— ^^^^zir^^l- 63. 2, 8, 6, 14, 32, 67, 128, 226,
x= 2 I i-fr
374, 587, 882, 1278. 63. « = 1 ; y = 4. 64. , ,,, .
' ' ' '' y =4: \ 11.J
65. 9 termen. (Lees den laatsten regel: „opdat de som van de termen der
rekenk. reeks 28 zij'.) 66. a;^ — 192:r + 5120 = 0. 67. 7,00049147.
68. «=10=*^^; & = 10^^; c:^10^^. 69. Eerste term If; verschil 5.
70. 100, 10^100, 10^10, 10, ^-10^, 13^10.
86,79 9,2 I 80,73 10,3 | | 5 | 1 buizen van If M.
71. 2,7 .... 57,62 I 5,10 .... 55,60 I | 2 | 1 „ » 2^M.
1 ! 2 I I 46 I 49 , , 3 M.
72. iV2{2±V2). 73. a=187HH; r=i. 74. i- 75. a;=-a&c;
y = bc -h ac -\- ab ; z = — (a -\- b -^ c). 76. x = abcd ; y = — {abc +
+ abd + acd + bed) ; z = ab -{- ac -\- ad -\- bc -\- bd -\- cd ', u = — (a + i +
-\-c^d). n. Aa + Bb-{-Cc=: 0.
PLEASE DO NOT REMOVE
CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET
UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY
P&A Sci,
Live Music Archive
Librivox Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland Museum of Art
Internet Arcade
Console Living Room
Books to Borrow
Open Library
TV News
Understanding 9/11