Lehrbuch der Mechanik

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£e!)riitttl) ber Jletliattik

in etementarer ©arftenung

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€el)rlittcl) lier illed)ttnik

in clctncntatcr ©arftcHung

tnit SIntoenbungen unb Übungen au§ ben

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erfter 3;etl

^e($(tniß fefietr ^öxpex

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Dr. :XIe3E. Wnnifkt

^ireftor bcr ©täbtif(^cn Dbcrreolfl^ulc unb sprofeffot oii bct §ergoflI. 3:t(^nif(^en §oc^f(^uIe

ju Srautifd^iocifl

SBierte t^olltg umgearbeitete Auflage

C^inlettttitg* — $l§oronoiitte* — Se^re öom materiellen fünfte

^it eingcbturftcn ^IBbilbungcn

33raunfd^tücig
ffirud unb SScrIag oon griebrid^ aSieroeg unb ©ol^n

1900

%Ue 9ied^ie, namcnilid^ baSienige bet Über{e^ung in frembe Bpraä^en,

botbel^QÜen

JUL 5 1902 bll:> 1^^

SD.

r-«-

/

yi\x$ ha Potrrebe jutr erften ^luflage.

3ei ben SSorträgcn über äfted^ani! an ber l^iefigcn $ßromnätat
@ctt)erbef(^ule ift mir ber äftangcl cine§ geeigneten ßel^rbud^eS, ba8
t)on ben ©d^ülern jur 3tepetition foraic jum weiteren ©tubium htnul^i
werben lönnte, t)on 3al^r gu 3al^r fül^Ibarer geworben.

35ei Slbfaffung beS oorliegenben ßel^rbud^e^ lag eg in meinem
$ßlane, bie ©rengen im allgemeinen inne gu Italien, bie burd§ ba^
ärtinifterialreffript j3om 16. Quni 1850 für ben Unterrid^t an htn
preufeifd^en ©emerbefd^ulen beftimmt finb, unb bie, meiner Slnfid^t nad^,
aud§ an aufeerpreufeifd^en ©emerbefd^ulen erreid^t werben muffen, wenn
bie @d§üler gur gewerblid^en ßaufbal^n ober jum JBefud^e einer l^öl^eren
polgted^nifd^en Slnftalt gel^örig vorbereitet werben fotten.

®ie SJe^nblung beg Stoffe^ in bem oorliegenben ßel^rbud^e ift
eine elementare.

Um ha§> aSud^ für ben ©d^ulgebraud^ red^t geeignet gu mad^en,
^dbt id§ ba§, wa§ fid^ für ben SSortrag in ber klaffe eignet, unb baS,
wag ju l^äuglid^en Slrbeiten für bie ©d^üler benufet werben lann, oon^^
etnanber getrennt, fo bafe l^iemöd^ jebe Slbteilung in einen t^eoretifd^en
unb einen praftifd^en Xeil äerföHt.

aSei Slbfaffung beg tl^eoretifd^en S^eileg l^abe id^ mid^ an bie SSe^s
^anblunggweife, wie fie in htn ßel^rbüdCjern über analgtifd^e 9Wed^anif
gebräud^Iid^ ift, angefd^Ioffen. Gräfte unb ^räftepaare bienen ate
^ülfgmittel für bie oerfd^iebenartigen Unterfud^ungen, inbem bie
erfteren bei beabfid^tigter ober wirflid^ erfolgter gerabliniger SJewegung,
bie le^teren bei brel^enber ^Bewegung l^erangegogen werben.

©örliö, im Sluguft 1858. Jlb. ^etnicae.

VI »orrebc.

2ltt5 bev Vovvebe jur sweiten MfiaQc.

Dag l^termtt in oerbeffertcr Sluflagc erfd^etnenbe 2ti)xbnä) ber
®Iementar:s3Jied^antf fttmmt in ber Sel^anblung bcg (Segenftanbe^ mit
ber in ber erften Sluflage überein, bagegen bin id^ burd^ ben lang^
iäl^rigen ®ebraud^ oeranla^t n)orben, in ber Slnotbnung beg ©toffe^
Änberungen oorjunel^men. S^ empftel^It fid^ beim llnterrid^te an
unferen ted^nifd^en ©d^ulen, mo, oor Sel^anblung ber SJled^anif, in ber
Sßl^tifil bereits med^anifd^e Sßrobleme oorgefül^rt merben, mit ber SBes^
megungSlel^re ju Beginnen unb, nad^bem biefelbe auf htn materiellen
$ßunlt SluSbel^nung gefunben, bie Seigre mm (Sleid^gemid^te folgen gu
laffen. S)iefer t)on allen bebeutenberen SSerfaffem berartiger ßel^rs^
büd^er eingefd^Iagene (Sang ^at ben befonberen Vorteil, ba§ ©infad^e
bem ©d^mierigeren ooranguftellen unb gugleid^ bie für bie Sßra^ig nofc^
menbigen SJegriffe, mie SDlaffe, SlrbeitSgröfee, Slrbeitgftärle, oirtuelleS
äftoment, fd^on frül^geitig jum SJemufetfein ju bringen. Sin ba§
Sapitel t)on ber Bereinigung unb QtxUQunQ ber Gräfte, in meld^em
bie einfad^eren ^Probleme ber (Sbene in ben SSorbergrunb geftellt
mürben, reil^t fid^ bie ßel^re t)om ©d^merpunfte, fomie bie ^eranjiel^ung
ber einer JBemegung fid^ entgegenftellenben ^inberniffe. ®ie SJemegung
ber S!örper l^at burd^ eine rein geometrifd^e SBel^anblung biefeS (Segens:
ftanbeg eine ämedCmäfeige (Einleitung erfal^ren, meldte mit JBenufeung
ber im jmeiten Slbfd^nitte für htn materiellen Sßunit entmidCelten 5Be:=
megungSgefefee in ben meiften %&lim ber praltifd^en Slnmenbung au§==
reid^en bürfte. S)ie beiben Slnmenbungen ber ©tatif unb ©gnamif
auf Körper, mie fie nn& bie Statut in SGßirllid^Ieit liefert, bie Seigre
von ber (glafticität unb g^fttfl^^tt, foraie bie ßel^re oom ©tofe mad^en
ben SBefd^Iufe biefeS erften XeileS.

S)en Sled^nungen ift bag Mogramm unb ba§ 9Weter gu (Srunbe
gelegt, entgegen ber erften Sluflage, in meld^er $ßfunb unb gufe afö
©in^eiten bienten.

(SIeimiö, im Süiärj 1871. Jlb. ^nni^e.

»orrebe. VII

2ltt5 bev Vovvebe snv bvttten Mfia^e.

Die brttte Sluflage fttmmt in ber Slnorbnung be§ ©toffeS, fott)ie
in ber SJel^anblung be§ (Segenftanbeg faft oollftänbig mit ber jraeiten
Sluflage überein. ®er erfte Slbfd^nitt l^at burd^ Slufnal^me neuer Sluf^
gaben über SJeraegungen im allgemeinen nnh über ©d^mingungen eine
©rmeiterung erfal^ren, ba§ vierte Kapitel ift burd^ bie Semegung eine^
ßörperg um einen feften Sßunft t)ert)olIftänbigt unb ber im ämeiten
Seile ber äraeiten Slufloge oeröffentlid^te Slnl^ang über ^gropl^ifd^e
©tatif" ift ber Statur ber ©od^e nad^ bem erften Steile beigegeben
raorben,

©leiraife, im 3uni 1877. Hb. Petnicae.

Vovvebe 3uv vkvten ^Ittflage.

'^a^ SGßerl meineg oerftorbenen SSaterg/ roeld^eg l^iermit in neuer
©eftalt erfd^eint, l^at infofem eine beftimmte (Sefd^id^te, atö e^ ur^^
fprünglid^ au8 ben SBebürfniffen ber alten preu^ifd^en (Semerbefd^ulen
j^erüorgemad^fen ift unb fid^ bereu SntmidEelung ©d^ritt - für ©d^ritt
angepaßt l^at, big biefe, unter Slbfd^eibung ber (urfprünglid^ nod^
;,§öl^ere ©emerbefd^ulen'^ genannten) Dberrealfd^ulen, gegen bag ®xii>e
ber fiebjiger Saläre in8 ©todCen geriet.

§örte ba8 SBerf bamit aud^ auf, ein eigentlid^eg ©d^ulbud^ gu
fein, fö l^atte eg fid^ bod^ im Saufe ber Saläre, fo mele gteunbe,
namentlid^ im Greife ber S;ed^niler, bie eg üormalg alg ©d^üler lennen
gelernt l^atten, ermorben, ba^ aud^ meiter neue Sluflagen in Slugfid^t
genommen merben tonnten.

Sllg mein SSater nad§ einer imelgeftaltigen unb reid^ gefegneten
©c^ult^tigfeit in ©örlife, ©c^meibnife unb ©leimife im i&erbfte 1895
3U ©örlife alg ßiJnigl. Sßreu^ifd^er (Sel^eimer 3tegierunggrat bie Slugen
fd^Iofe, l^atte il^m nod^ bte Slufforberung beg SSerlageg, eine mm Stuf*
läge 3U bearbeiten, vorgelegen, bod^ l^atte er geglaubt, fid^ biefer Slrbeit
nid^t mel^r unterhielten gu bürfen.

vm fßombt,

Sllg mir barauf im i&erbfte 1898 biefelbe Slufforberung guging,
f)ult id^ e8 für geboten, im SBerein mit ber 3SerIaggbud^^nbIung, ju*
näd^ft bie SBebürfnigfrage unter Slüdfprad^e mit fad^oerftänbigen
greunben nod^mafö ju prüfen.

Stuf (Srunblage biefer Erörterungen fd^ien mir eine neue S9e;^
arbeitung be? SBerfeg, bei meld^er beffen ©igenart atö ted^nifd^e
3K e d^ an il burd§au§ gemalert unb im befonberen bie elementare
SBe^anblung beibel^alten merben follte, l^auptfäd^Iid^ für folgenbe
ftreife von einem gemiffen SBerte gu fein:

1. %üx bie ted^nifd^en 9WitteIf deuten, meldte bei ber Stuf*
nal^me i^rer ©d^üler ba§ Slbgang^aeugniS einer fed^^ftufigen
l^öl^eren ©d^ule (Siniäl^rig:sgrein)illigens:©d^ein) forbern.

2. %üx ©tubierenbe ber Uniperfität nnh anberex;^od^:«
fd^ulen, infofern fie fid^ mit äfted^anif in elementarer
35e]^anblung befd^äftigen motten.

3. gür S;ed§ntler, bie eg oorjiel^en, fid^ber elementaren
aftetl^oben jur ßöfung beftimmter ted^nifd^er Stuf gaben gu
bebienen.

4. gür S!anbibaten be8 l^öl^eren ©d^ulamtg unb für Dbers:
lel^rer, meldte fid^ ber in ber neuen preu^ifd^en $ßrüfung8s:
orbnung oom 12. September 1898 eingefül^rten Slngemanbten
aftatl^ematif jujumenben beabfid^tigen.

3nfoIgebeffen erflärte id^ mid^ bereit, ben in fid^ gefd^Ioff enen
erften S^eil beg SBerJeg (Sßl^oronomie, ßel^re oom materietten $ßunfte,
©gnamil ftarrer Körper unb S)gnamil fefter Körper) felbft neu gu
bearbeiten, fd^Iug aber jugleid^ ber 3SerIaggbud^]^anbIung oor, ben
jmeiten Xtxl (glüffigleiten unb (Safe) in anbere i^änbe gu geben, ba
mir bei meiner giemlid^ auggebel^nten amtlid^en Xl^ätigleit nur menig
freie ^ext jur SBerfügung ftänbe, mä^renb bod^ an unb für fid^ eine
möglid^fte SSefd^Ieunigung ber neuen Stuggabe münfd^engmert märe.

S)iefem 3Sorfd§Iage gemäfe mürbe iperr ©ojent JBater in Slad^en
für bie ^Bearbeitung beg jmeiten Xeileg gemonnen, unb gmar auf @m=s
pfel^Iung oon i^erm ©el^eimrat $ßrof. ^errmann in Slad^en, einem
alten greunbe meineg SSaterg.

Slad^bem bie nötigen SSerftänbigungen erhielt morben maren, im
befonberen aud^ barüber, bafe bie Einteilung beg SGßerfeg im atts:
gemeinen erl^alten bleiben fönne, ha^ eg aber gmedCmä^ig fei, bie
„Übungen'' ber älteren 8luflagen in. auggefül^rte ^.Slnmenbungen''

S^orrebe. IX

unb einfädle „Übungen" gu gerlegen, rourbe bte Bearbeitung he^
gönnen, unb graar fo, ha^ jeber ^Bearbeiter für feinen Seil bie üolle
SBerantn)ortung übemal^m.

SBäl^renb bie tl^eoretifd^en Slbfd^nitte be§ äroeiten S^eileg nur q^^
ringe Itbänberungen forberten, mu^te bie 2;i§eorie im erften Steile faft
gang von neuem aufgebaut merben; bie Slnmenbungen unb. Übungen
beburften in beiben Steilen einer forgfältigen Umarbeitung.

S5ei bem tl^eoretifii^en Aufbau be^ erften 2;eile8 hin i(§ baoon au§*
gegangen, ba| bie Äenntni^ ber erften ©lemente ber ärted^anil fo,
mie fie jeftt ber erfte ßel^rgang ber Jßl^gfil auf unferen fed^Sftufigen
pl^eren ©d^ulen bejm. in ben entfpred^enben klaffen unferer SSolIs:
anftalten oeranfd^aulid^t, üorauSgefefet merben barf.

SSon matl^ematifd^en ^ülf^mitteln mirb lebrglid^ bie Q.d^nU
matl^emtitil oermanbt, unb jmar in ber ^bgrenjung, mie fie etma
ber aieifeprüfung unferer altfprad^Iid^en (Sgmnafien entfprid^t 0/ wttter
gleid^mä^iger SSerüdfid^tigung ber aritl^metifd^en unb ber geometrifd^en
©ebiete.

S)ie Slbgrenjung be§ ©toffeg entfprid^t bem üblid^en Umfange
in ben ßel^rbüd^ern ber ted^nifd^en ärted^anif.

SSBag beffen SCnorbnung anlangt, fo mirb in SSegug auf ben
l^errfd^enben ©treit gmifd^en ©gftematÜem unb äftetl^obifern eine qz^
miffe mittlere ßinie verfolgt, infofern baS 3Ber! afö ©anjeg burd^aug
>en Slnforberungen ftrenger ©riftematif genügen mill, mäl^reub im
eingelnen, namentlid^ mit SlüdEfid^t auf Slnmenbungen unb Übungen,
gelegentlid^ aud^ einmal fpäteren SntmidEelungen vorgegriffen mirb.
3m befonbern mürbe barauf ©emid^t gelegt, bie SBegriffe ftetg an ben
$ßunften eingufül^ren, mo fie fid§ naturgemäß einftellen.

S)te SSel^anblung be^ ©toffe^ fott, innerl^alb ber gemäl^lten
©renjen ber ©enauigleit, ber miffenfd^aftlid^en ^ritif ftanb l^alten.
Slm liebften l^ätte i(| bie Sleil^e beg 2;aglorfd^en ©afeeg an bie
©pi^e geftellt, meldte ia für gange algebraifd^e gunitionen leidet auf
elementarem 3Bege abjuleiten ift, fo baß il^re meitere Slnmenbung unter
SBerüdEfid^tigung beg iebe^maligen SftefteS burd^aug oerftänblid^ gemad^t
mcrben fann, bod^ l^abe id^ fd^ließlid^ auf biefen Slugganggpunlt oer^

1) SBetgl. baau mein Jöud^ ^(Sontometrie u. f. ra." bei ®. 81. ©d^tüetfd&Ie
u. (Sol^n (@. Slppell^ang) in SSraunfd&toeig, 1888, bie SprügTamm==5Ibl^anbIun0 ;,S)ie
©runblage ber (Euflibifd^en ©eomettie beg 3)^a^eg^ SBraunfdöraeig 1887,
unb bie Sluffä^e ^.Slug bem ©ebiete beg tnatl^etnatif(J6'naturn)iffenfd6afts=
lxä)tn Ot)mnafiaI==Unterri(f)teg* in bm QaUtx ßel^rproben, ©eft 42 u. f.

y^

X ÜBorrebe.

äid^tet, um bte gange SBel^anblung möglid^ft elementar ju Italien. S)a*
gegen glaubte xä), gerabe mit 3tü(Jftd^t auf ba§ elementare ®epräge
beg SBud^e^, eine giemlid^ meit gel^enbe SSermenbung ber SSeltoren
oerantmorten gu bürfen, gumal baburd^ bie geometrifd^e . (unb gro*
pl^ifd^e) Seite ber äfted^anif gu beren red^nerifd^er Seite in ba^ ©leid^:?
gemid^t tritt.

S)ie ^nmenbungen unb ttiungen mürben bm tl^eoretifd^en &nU
midCelungen ©d^ritt für ©d^ritt angepaßt. ^I^re SluSmal^I geigt natura
gemä^ eine gemiffe SBillfür, gumal eg bei ber jefeigen Slu^bel^nung ber
$ß]^gfil unb ber ted^nifd^en SBiffenfd^aften nid^t mel^r möglid^ ift, in
einer äfted^anif biefeS ober jene^ ©onbergebiet aud^ nur einigermaßen
erfd^öpfenb barguftellen.

Sem eigentlid^en ßel^rbud^e l^abe id§ eine Einleitung üorauSs^
gefd^idEt, meldte bem ©oppelgmedCe bienen foll, bem ßel^renben t)on
oornl^erein ba8 allgemeine ,®epräge beg 3ßerfe§ gu üeranfd^aulid^en
unb bem ßernenben fd^Iießlid^ einen SftüdEblidE auf ba^ gange burd^s:
meffene (Sebiet gu gemftl^ren.

3llle§ in allem l^abe id^ oerfud^t, eine möglid^ft oollftänbige ©in^
fid^t in bie ©runblagen ber iafted^anif, gemäß btn SSebürfniffen ber
X^ed^nü, gu ©ermitteln, mäl^renb allerbingg auf SSoIIftänbigJeit in SBegug
auf bie SSel^anblung t)on ©onbergebieten, aud§ fd^on im i^inblidC auf
ben gu ©eböte ftel^enben Sftaum, oon oom^erein oergid^tet merben
mußte.

®abei !onnte id^ melfad^ auf meine, feit Salären an ber %tä)^
nifd^en ^od^fd^ule gu SBraunfd^meig für bie Slbteilungen I unb IV
lel^rplanmößig gel^altenen SBorlefungen unb Übungen au8 ber Sfted^anif
gurüdCgreifen, bei benen id^ im erften ©emefter (6 ©tunben SSorlefungen
unb 2 ©tunben Übungen in ber SGßod^e) in elementarer SJel^anb::
lung einen ÜberblidE über haS gefamte ©ebiet ber ted^nifd^en äfted^anif
gu geben l^abe,

®iefe 3SörIefungen unb Übungen finb urfprünglid§ entmorfen al§
ein Sluggleid^ gmifd^en ber üblid^en JBel^anblung ber ted^nifd^en
9Wed^anif unb ber tl^eoretifd^en 3luffaffung, meldte id^ in meinen
„©runbgügen ber Slementarssafted^anif' (SJraunfd^meig, 1883 bei
©. 31. ©d^metfd^fe u. ©ol^n) entmidEelt l^abe.

35ei biefem erften ©ntmurfe l^aben mir, abgefel^en von ber in btn
;^@runbgügen" angefül^rten ßitteratur unb abgefel^en von bem SBerfe
meines SSaterg, gang befonberg bie Sftitterfd^en Slrbeiten gute Sienfte
geleiftet, fpäter oor allem nod^ bie SBerle oon ^errn v. SBad^ in

SBorrebe. XI

Stuttgart unb bte fictnc ©d^rtft „©ubftana unb S5ett)egung^ oon
äft aktuell (JBraunfd^tüetg, 1881 bei %vkbx. SSietoeg u. ©ol^n).

Sei ber ©arftellung, rvxt fie im folgenben oorliegt, fonnte xä)
nod^ bie neuen ßel^rbüd^er von Qtxtn ßed in ipannooer unb iperrn
göppi in ärtünd^en me^rf ad^ 3U 3tate äiel^en, ebenfo bie Sirbetten von
©erm i^olämüller in i^agen.

Sie giguren würben faft alle neu entworfen, fie geigen, bem
mobernen ©tanbpunfte entfpred^enb, im allgemeinen ba8 ®epräge von
2^afelffiääen.

^errn ©ojent SSater in Slad^en möd^te id^ aud^ an biefer ©teile
meinen beften S)anl für feine mertüolle 9Witarbeiterfd^aft au^fpred^en,
ebenfo ber altbemäl^rten SSerlag^bud^l^anblung für i^re allfeitige Unters:
ftüfeung.

©d^liefelid^ bleibt mir nod^ übrig, meinem Kollegen an ber Dber:^
realfd^ule, iperm $ßrof. Dr. g^ttfner, für bie freunblid^e Übemal^me
einer ©urd^fid^t ber S)rudEbogen l^erjlid^ gu banfen.

Sraunfd^meig, im äftai 1900.

^tex. ^exnt^e.

3 n f? a I t

für bte
erftc Slbtetlung be§ erften S3anbe§.

C^ittlfettitttg (6. 1 bis 38). ©cite

L S)le SSerüegünöen materieller Äörper • 1

n. ariöt^ematifd^e, p^gfifalifd^e unb ted^nifi^e 3Ked&anif 4

HL SHe grunblegenbe (Sinteilung ber 3Jled&anif 6

IV. S)ie tüeitere dinteilung ber ted^nifd^en SJled^anif 16

V. SHc ©röften ber ted^nifd^en $0led5anif 20

1. Unenblid^sfleine unb unenblid6«0ro%e Oröfeen 20

2. aSeränberlid&e. unb Beftänbiße ©rdften 21

3. einfad&e Ordnen (@f alaren) unb SHd&tungggröften (SSeftoren) ... 22

@rfter SlBfd&nitt.
^^orottomie ober Steine Setoegungdleifre*

®rfte« Kapitel (@. 39 bis 75).
S)te ©runbBegriffe ber $]^oronomte.

§ 1. SBerüegung eines jtarren ÄörperS 39

§ 2. SBerfd^iebung unb S)re5ung eine« ftarren ÄörperS 40

§ 3. 2)ie SBeniegung eines jpuniteg auf feiner S^a^n unb ber glu% ber 3eit 44

§ 4. S)ie gleid^förmige SBeroegung unb il^^e @efd6n)inbigfeit 44

§ 5. S)ie ungleid&förmige SBeroegung unb bie S)urd)fd&nittSgefd&n)inbigfeit

für einen beftimmten ^ß^t^M^^^itt bean). für ein beftimmteS

SBa^nftüdC 48

§ 6. S)ie ©teHungSgleidöung 49

§ 7. SHe @ef(J6n)inbig!eit in einem beftimmten S^itpwnlte beam. an einer he^

ftimmten ©teile ber SJaljn 55

§ 8. S5ie S)urd&fd&nittgbefd&Ieunigung für einen beftimmten geitabfd&nitt

beam. für ein beftimmteS SJal^nftüdC 60

§ 9. SHe gleid^mäftig-geänberte a3en)egung nnh beren S5efd&Ieunigung ... 61
§ 10. S)ie ^efd^leunigung in einem beftimmten S^^V^^^^^ beam. in einem

beftimmten ^ßunfte ber SSal^n 65

§ 11. S)ie erfte unb bie awßite Slnnäl^erung für eine beliebige SBemegung. . 66
§ 12. S)er grapl^ifd^e gufommen^ang ber ©rö^en s, v, j bei beliebigen S5es

megungen 69

§ 13. S)er red^nerifd&e ^wf^mmen^ang ber (Sröften s, v, j bei beliebigen S5es

megungen 73

§ 14. 3Beitere SBcmerfungen au hm §§ 11, 12, 13 74

§ 15. S)ie S)imenfionen ber p^oronomif d&en @rö%en 75

§ 16. S)ie S3ebeutung ber Äonftanten in bzn SJemegungSgleid&ungen .... 75

XIV 1 3n]&alt

Srotitt» flapitel (©. 76 m 113).

§ 17. S)a8 ^Incip ber ©e^atrung (Sräg^eit) «nb ble UrbetDegttnö .... 76
§ 18. S)ie (S^efd^tDinbigleit cd» fßtftox unb ber ^Dbograpl^ einer beliebigen

SBeroegung 77

§ 19, IBeifptele für unftetige )Ben)egung»änberungen 78

§ 20. 2)aS ^ncip beS SßaraHelogrammlS für Urbeniegungen eines SßunÜeiS . 80
§ 21. 2)alS ^incip belS SßaroHelograntmlS für beliebige IBemegungen eines

^nfteS 83

§ 22. ^fammenfelung einer Süeil^e von Utbemegungen . 86

§ 23. Übertragung ouf beliebige ©en^egungen; bie )Bef d^leunigung alSSBeftor 87
§ 24. 2)er 5h:ümmung9!rei0 unb bie tangential «^ unb bie ^ormalbefdgleu:»

nigung für eine beliebige Jöeniegung 90

§ 25. 2)ie S3ebeutung ber (S^efamtbefd^leunigung al9 S^eltor 92

§ 26. S)ie Abweichung von ber Utberoegung (S)eoiation) 93

§ 27. Genauere S3etradgtung ber gtDeiten Slnnölgerung für eine beliebige f&e^

wegung 96

§ 28. 2)ie (Brunbmet^obe für bie IBel^anblung t)on )Ben)egungen 103

§ 29. S)iB ghroieftionSmetJobe für bie löe^anblung üon Jöeniegungen .... 103

§ 30. SDie jpolarmet^obe für bie SSe^anblung t)on SBeroegungen 105

§ 31. Übertragung ber drgebniffe auf Äörperberoegungen 113

Drittes flapitel (@. 114 bis 151).
aSeroegungen ftarrcr flörper.

§ 32. ßagendnberung eines ftarren flörperS burd& SSerbinbung oon SJerfd^ies:

bung unb ^e^ung 114

§ 33. ßagendnberung eines ftarren 5lörperS burd^ ©d^raubung 117

§ 34. Sufammenfeftung non ßagenänberungen eines ftarren flörperS aus
enblid^en Jöerfd^iebungen unb Drehungen unb bie entfpred&enben

Serlegungen - 120

§ 35. Sufammenfeftungen oon ßagenänberungen eines ftarren flörperS aus
elementaren 5Berfd&iebungen unb S)re5ungen unb bie entfpred^enben

Verlegungen ^ 127

§ 36. SHe ebene SSenjegung unb bie fpjärif d&e ©eroegung beS ftarren flörperS 133

§ 37. S)ie allgemeine ©emegung eines ftarren flörperS 135

§ 38. ^gemeine S3el^anblung ber SJlittelbemegung eines $un!teS; @a|; von

©orioliS 136

§ 39. Sielatiobemegung ftarrer flörper 138

8lnnjcnbungcn ber ^ßl^oronomic (@. 152 bis 198).

1. 2)ie )93efd^Iettnigung beS freien ^aUe» 152

2. 2)ie IBefd^teunigung beS fteien ^aUe» in il^ter )33e3ie]§ung sur IBemegung be9

(SrbmonbeS 155

3. 2)ie 9lormalbefd^(ettnigungen ber ^lanetbemegungen beS Sonnenf^ftemS . . 156

4. S)lc JBebeutnng ber Äepplerfc^en (Sefefte 157

6. 2)ie f&afin ber 91 e n) t o n f d^en (S^entralbemegttng 160

6. S)cr freie ^aü ttnb ber SJertifalnjurf »nb bie entfpred^enben »etöegungen attf

ber f d^ief en ebene ' 161

7. 2)ie ÄBurfberoegung 166

8. 2)ie larmonifd^e (gleid^mftßige) ©d&njingung auf geraber ßinie 172

0. S)ie larmonlfd^e (gleidöma^lge) ©d^njingung auf frutnmer f&afin 176

10. S)ie JBenjegungen beS (mat^cmatifd&en) 5|penbel8 in einer SJertifalebenc unb

in einer ©oriaontaleBene 176

3)lc cttiptifc^e ©d^njlngung 179

Sn^alt. XV

€eite

12. a)te tegulftte SBeQenBeiDegung 180

13. aJetclnigttng anjcicr regulfttet SBeEcn von »etfd^iebencr «mplltubc auf einet

(Setaben 181

U. S)le gicid&förmige »etoegung attf bcr (genjölönliclöen) 6clöta»bcnlinte .... 186

15. ^igoTonomifc^e Jöetrad^tung von Strxtvtn 188

16. Katbanog gerablinige gül^ntng einer ebenen gigut 192

17. ß eo n at bo S S3en) egnng einet ebenen Signr 195

18. 8fottca«It8 «ßenbercetfttdö 196

Übungen aur ^ß^oronomic (©. 199 H» 227).

9lt. 1 big 190 199

Srociter 8lBfd&nitt.

^er äiergattg tioit ber ^^oroitomie an? ^)|itami! (@. 228 biiS 271.)

(ßel^re vom materiellen ißunite.)

§ 40. S)ie bgnamifd^e ©mnbgleid^ung für materielle Äörperelemente (^tomt) 228
§ 41. SHe JBeaie^ung von Äraft unb SSefd&Ieunigung innerhalb ber bgna^

mifd&en ©runbgleid^ung unb ha^ SßaraHelogramm ber flräfte ... 231
§ 42. S)ie aJemrenbung ber bgnamifd^en ©runbgleid^ung bei ©emegungen

materieller flörper 231

§ 43. S)ie SBermenbung ber bgnamifd^en ©runbgleidöung bei JBemegungcn

ftarrer materieller Äörper unb beren (E^aralteriftif 233

§ 44. S)a8 iprincip ber jpaarmirlung unb bie Äräfte am ftarren Äörper . . 234
§ 45. SHc ©ebeutung ber bgnamif^en (Srunbgleid^ung bei SBerfd^iebungen

ftarrer materieller Äörper ^ 235

§46. S)ic löemegungSgleid&ungen ber S)gnamif für ein Stttom 241

§ 47. S)ie bgnamifd^en ©röften für materielle flörper 249

§ 48. S)ie löemegungSgleid^ungen ber Sgnamif für SSerfd&iebungen ftarrer

materietter flörper unb bie ©ebeutung bed SWaffenmittelpunfteg bei

beliebigen ©erpegungen 250

§ 49. Folgerungen a\x& ber b^namifd^en ©runbgleid&ung für ©re^ungen

ftarrer materieller flörper 253

§ 50. S)ie einf ad&e 3u>öng8ben)egung eineg materieHen Spunfteg ^rotittv 8lrt 258
§ 51. S)ie aufammengefe^e 3«^öugSben)egung eines materiellen ißunfteg

ameiter 8lrt unb bit ^ngierten flräfte ber Sfielatiobemegung .... 264

§ 52. S>ie (Sin^eiten unb hie S)imenfionen ber bgnamifd&en ©röfeen .... 269

3tnn)cnbungcn ber ßcl^re vom materiellen 5ßunlte (©.272 bis 298).

1. «TEgemeine» 272

2. 2)ie biinamif d^e S3ebeutttng beS 91 e n) t o n fdgen (Sef e^ed 275

3. S)ag Potential beg fteien ^aUt» unb bet (l^entta(ben)egttng 280

4. 2)ie (Snetgie bet (Sefd^offe .' . 284

5. 2)ie ]§atmonifd^e 6cl§mingimg bei lonftantet )33e(aftnng in SHd^tnng bet

@(j^n)ingungen 284

6. Sie ©cnttifugalbalön 285

7. S)a8 ©gfloibenpenber 287

8. 2)et ©d&rottngfngeltegnlatot 292

9. S)ie Slabiartutbine 295

10. Sie öftlic^e 8tbn)cid^ung be8 fteien SoEe» 297

Übungen a«^ ßel^re vom materiellen ^ßunlte (©. 299 bis 314).

9lt. 1 big 105 299

cS i tt f e i t it tt g.

I. 2)te 93ettiegungcn ntatettcUcr ^ötpcr. Unfer 2et6 btibet mit aQen
anbcrcn Sörpcm aufammcn unfere 8lu^enit)clt, im ©cgenfa^ ju bcr 3nncn*
mclt unfcrcS ®enlen8, SBoKenS unb gö^^cnS unb ju bcn 3nncnmeltcn
anberer SBcfen. 3)ic mannigfad^cn Scjicl^ungen aroifdöcu unfercr 3nneniDcIt
unb unfercr Slu^cnroclt mcrben ol^nc SttuSnal^mc burd^ unfercn ßcib ücr«
mittclt, nvb barum übertragen roir^bie Seobad^tungen^unb (grfal^rungen, bie
mir Bemüht unb unbemu^t an il^m mad^en, jum großen S^eit auf bie anberen
Sörper ber Slufeenroelt, balb mit SRed^t unb balb mit Unred^t.

S)a ber Sfflenfd^l^eit auf ber ®tufe il^rer Sinbl^eit (roie l^eute nod^ gunäd^ft
jebem Äinbe) aUeS Semeglid^e als lebenbig unb aUeg ßebenbige atö menfd^en«
öl^nlid^ galt, fo lö^t fid^ jene Übertragung aud^ in ber (Sefd^id^te ber SSerfud^e,
bie Seroegungen innerl^alb ber Slu^enmelt ju erllören, überall nad^*
meifen. Srtamentlid^ erinnern bie älteren Segriffe S^rägl^eit unb flraft
burd^ il^re Flamen beutlid^ an il^ren Urfprung, aber aud^ fo moberne Segriffe
mie 8lrbeit unb (Energie aeigen, menigfteng bei i^rem erften 3Iuf treten,
nod^ bie ©puren jener Übertragung.

(Sine fortfd^reitenbe ffiritil l^at ba^n gefül^rt, bie (Srllörungen für bie SBe*
megungen innerl^alb ber 3lu^enmelt, meldte ben Seobad^tungen unb (grfal^*
rungen am eigenen Seibe entnommen maren, ju berid^tigen unb beutlid^e
änfd^auungen unb fd^arfe Segriffe an il^re ©teile gu fegen, ©o ift man ju
einer SBiffenfd^aft gelangt, beren 3lufgabe fid^ folgenberma^en lenn*
jeid^nen lä^t:

®ie 31u^enmelt, meldte bie ©efamtl^eit ber materiellen Singe
(Sfflaterie) im SRaume umfaßt, ift mit ber Qtxt üeranberlid^.

Unter ben Seränberungen innerl^alb ber Slu^enmelt bilben bie Se*
megungen bie einf ad^fte Älaff e : l^ierbei m e d^ f e 1 1 ein Äörper mäl^renb einer
beftimmten 3^^^ f^ii^^ Sage gu anberen Sörpern im SRaume. Sel^ölt
ein Äörper feine ßage ju anberen Äßrpern im Sftaume bei, fo befinbet er
fid^ in Sftul^e.

Dbrool^I Seroegung unb Stulpe gunäd^ft afö (Segenfäge erfd^einen, fo
fül^rt bod^ bie Setrad^tung ber Übergänge au§ ber Sftul^e in bie Semegung

SBernicfe, aWcd^anir. i. i

2 Sittleitung. [I.

unb aus bcr SciDcgung in bic Slul^e baju, bic Slulje afö einen befonberen
3faII ber SenJegung, afö beten ©renafall anaufeljen.

Slamentlid^ bietet l^ierju bieUmlel^r bei SBeiDegungen Sßeranlaff ung,
n)ie fie ein fenfred^t nad^ oben geworfener Äörper jetgt, nad^bem er möglid^ft
f)oä) geftiegen, ober ein 5PenbeI bei feinem größten 3lu8fd^Iage nad^ ber einen
ober nad^ ber anberen ©eite. $ier bitbet ftd^ mitten in ber Semegung ein
Slugenblidt ber SRul^e, oor il|m ein Übergang jur SRul^e, l^inter il^m ein Über*
gang auS ber Slul^e unb jmar, ol^ne ba^ babei etma auf bie einmal ein*
geleitete SBemegung nod^ meiter eingemirft mürbe.

S)ie Unterfud^ung unb Srllärung ber SBemegungen innerl^alb
unferer 8tu^enmelt, etnfd^Iie^Iid^ be§ ©rengfalleS ber Stulpe, bilbet
ben ©egenftanb ber bejeid^neten SBiffenfd^aft, meldte ftd^ einerfeitS afö ber
grunblegenbe Seil ber ^ßtigfif barfteHt unb anberfeitS bie feften SluSgangS*
punite für bie flonftrultionen ber ied^nil liefert.

3u ber Slufgabe biefer SBiffenfd^aft ift oon oornl^erein jmeierlei au
bemerlen :

1. flörper ber 3lu^enmelt finb erfal^rungSgemä^ oft fel^r oeränberlid^e
©ebilbe, bei benen fd^Iiefelid^ nur bie 3Jlenge beg ©toffeS unoeränberlid^ gu
fein fd^eint. ®iefer SSeränberlid^Ieit unterliegt fomol^I bie äußere Segrenaung
(gorrn unb 3nl^alt) aK aud^ baS 3nnere ber Sörper. ®in Silb biefer SSer*
änberlid^Ieit geminnt man 3. SB., menn man ftd^ oorfteHt, xva^ ein beftimmteS
©tüdt ßiS im Saufe ber Qüt gemefen ift unb roa§ au§ il|m im ßaufe ber
Seit merben mirb.

S)a man einer fotd^en SSeränberlid^Ieit gegenüber im allgemeinen feine
ßagenbeftimmung oorne^men unb bemgemä^ erft red^t leine ßagenönberung
unterfud^en fann, fo mad^t fid^ ha^ Sebürfnig geltenb, a^^öd^ft Äörper ein*
aufül^ren, meldte möl^renb ber Unterfud^ung atö unoerönberlid^ gelten foHen,
unb bic an il^nen gemonnenen (grgebniffe oon gall au gall auf bie erfal^rungS*
mö^ig gegebenen ftörper au übertragen. 3Kan beaeid^net fold^e flörper afö
unoeränberlid^e ober afö ftarre Äörper.

3m allgemeinen lommen bie feften Äörper ber Slu^enmett bem Segriffe
eines ftarren ÄörperS am nöd^ften, aber aud^ eine rul^enbe SBaffermaffe lä^t
ftd^ als ftarrer Körper auf f äffen; e§ lommt babei nur barauf an, ba^ bie
tl^atfäd^Iid^ ftetS oorl^anbene aSerönbertid^feit für bie Qwtdt ber Unterfui^unß
afö unerl^eblid^ angefel^en werben barf.

3Iu§ fold^en ftarren Sörpern fegt man femer beftimmte ©gfteme
ftarrer ftörper a^fornmen, burd^ meldte beftimmte ftörper ober ftörper*
gruppen ber 8lu^enmelt möglid^ft genau bargefteHt merben fönnen.

S)ie ftarren ftörper, meldte a« fold^en ©qftemen a^f^mmentrcten, muffen
für gemiffc S^^^^f namentlid^ bei ber Unterfud^ung ber SBcmegungen oon
glüffigleiten unb ®afen, aber aud^ fd^on bei ber Unterfud^ung ber ßlafticitat
unferer SBaumaterialien, au^erbem aber für bie geftftellung ber grunb*
legenben Säge ber beaeid^neten SBiffcnfd^aft fo Hein oorauSgefegt
merben, ba'j^ fie nur fold^e Seroegungen iexQen fönnen, mie man fie audf) an
einem ^ßunlte ber ©eometrie ftubieren fann. ©old^e ftarre ftörper mögen

I-l etttlettunö. 3

3Itomci) l^etfeen, abgäl^Ibare ©ruppen t)on il^ncn 3JloIeIü[c, ben fdeitx^^
nungcn bcr Kl^cmie cntfpred^cnb.

2. Sage tft ein Seatcl^unggBegriff (relattocr Segriff)/ b. 1^. c§ l^at leinen
©inn, t)on ber Sage eineS flörperS au fpred^en, rocnn man nid^t l^inaufügt,
worauf fid§ biefe ßagenbeftimmung begießen foH. 3Kan mu^ ftetS einen
ffiörper Ä^ in feiner Sage afö gegeben anfeilen, roenn man bie ßage eineg
anberen ÄörperS Ä^ beftimmen miH. Um ju einer fold^en Seftimmung ju
gelangen, erfe^t man ben ftörper Ä^ burd§ einfädle, il^m angel^örige geo*
metrifc^e Sebitbe, unb beftimmt junöd^ft bie ßage eineS ^ßunlteS beg ftör*
perS ^^2 in Sejug auf biefe ©ebilbe, meldte man ftoorbinatenfgfteme
nennt. 3ft 3. SB. ber Äörper Ai unfere Srbc, fo erfe^t man biefe bmäj il^ren
Äquator unb il^ren erften SJleribian, momit natürlid^ an^ xf)v äftittelpunit
unb il^re gefamte Dberftäd^e gegeben ift. $anbelt eS fid^ nun barum, bie
ßage eineg ^ßunlteS in Sejug auf bie Srbe ju beftimmen, fo l^at man beffen
ßönge unb ^Breite unb feine Srl^ebung ober ©enhmg gegen bie Oberfläd^e
anjugeben. SBie oiele ^ßunlte beS ftörperS Ä^ in il^rer ßage gemcffen merben
muffen, um bie ßage beS St^xpzx^A^ angugeben, l^öngt oon beffen Sefd^affen»
l^eit ab. ßö^t fid^ ber Äörper Ä2 afö ftarrer ftörper auf f äffen, fo genügt
bie SBeftimmung für brei ^ßunfte, meldte nid^t in gcraber ßinie liegen.

S)er ftörper Ai mufe jebenfalfö afö ftarr angefel^en merben, menigftenÄ
fomeit afö bie il^m angel^örigen geometrifd^en ©ebilbe in grage lommen,
meldte für bie ßagenbeftimmung bienen follen.

SBitt man befonberS l^eroorl^eben, ba^ man in htm ftörper Ai bie fefte
ajeftimmung für bie ßage eineg ftörper^ A2 gegeben fielet, fo fprid^t man
oon ber relatioen ßage oon A^ gegen Ai. S)iefe SRebcmeife ift nötig,
menn man einen ftörper A^ in feiner ßage gegen einen ftörper A2 unb
biefen mieber in feiner ßage gegen ^1 beftimmt, moburd^ bann aud^ A^ in
feiner ßage gegen Ai beftimmt mirb. ©old^e oermittelte ßagenbeftim«
mungen fpielen bei ber Unterfud^ung oon Semegungen, meldte ja afö ßagen*
änberungen eine SReil^e oon ßagenbeftimmungen erforbem, gelegentlid^ eine
giolle. ällan fprid^t bann oon ber relatioen Semegung oon A^ gegen
A2 unb oon ber relatioen SBemegung von A2 gegen ulj unb enblid§ oon
ber relatioen Semegung oon A^ gegen Ai. So beftimmt man bie ^t^
megung eineS ftörperS (^43) in ber SRöl^e ber ßrboberfföd^e meift junäd^ft
gegen bie ßrbe (J.2), an beren SBemegungen er teil nimmt; für gemiffe gätte
ift eg aber notmenbig, anä) nod^ bie SJemegungen ber grbe gegen bie Sonne
(u4i) 3U berüdtfid^tigen unb nun aud^ bie Semegung be§ ftörperS (^4:0 gegen
biefe (^1) feftaufteHen. So befd^äftigt ben 2:ed^niler bei ber 5C^eorie einer
Surbine bie Semegung beS SBafferg (A^^) junäd^ft in Segug auf bie ©d^aufel
beg ^abz^ (A2) unb bann erft, burd^ SSermittelung ber Seroegung be§ SRabeg
(A2) gegen bie ßrbe (A^), in »eaug auf bie grbe (A^),

2)ag 8ltom wirb, nite oorgreifcnb bemerft werben mag, 00m materiellen
Sßunfte unterfd&ieben. S)a8 SItom ift ein materieller ghtnft mit einer SD^affe, bie
im aSergleid^ au ben als enblid^ angenommenen SDilaffen unenblid^ Hein ift. SHebu*
aiert man 3. )ö. ein ©d^mungrab auf einen materiellen ^unft, fo ift biefer matc*
rtelle ^unlt lein 8ltom.

1*

4 dinleitung. pi.

3m (Segcnfa^c au bcr relativen ßagc Bcan). SBcrocgung pflegt
man aud^ t)on bcr abfolutcn ßagc bcaro. Sciocgung ju fprcc^cn unb
crllört fie ate bie ßagc Bcan). Scracgung im uncnbßd^en Slaumc.

®iefc (SrKörung lie^ ftd^ Italien, folange man ftd^ btc ©onnc ober bod§
Bcftimmtc gijftemc ol^nc jebc fortfd^reitenbc SBcmcgung tjorftclltc, mcil man
bann in bicfe fcftftel^cnbcn Äörper ein unbemeglid^eS ftoorbinatenfgftem ge=:
legt unb gegen biefeS ßage unb Semegung beftimmt beulen lonnte." SRatürs:
Iid§ barf man bie Sßorftellung eineS unbemeglid^cn ftoorbinatenfriftemS im
Sftaume, für meld^eS aud^ ein Beftimmter Seil beS SRaumcS eintreten lann,
a\x(^ ijzntt nod^ feftl^olten, nur lö^t ftd^ in ber äfu^enmelt im QxnhM
auf bie BeoBad^teten Semegungen aller materiellen Äörper lein fold^eg fefU
fteöen. S)iefe Sorftellung ift ein Silb, bcm in ber Slu^enroelt nid^tS genau
entfprid^t, ebenfo mie eg Bei hem Silbe beS [tarren ÄörperS ber gaH ift.
3Iud^ l^ier ift e§ aroedfmä^ig, an biefem einfad^en Silbe feftgul^alten, b. 1^. ftd^
einen Seil beS SRaumeS ober ben gangen dianm afö einen burd^auS unBemeg?
lid^en Äörper ju beulen, meldf)er burd^ ein burd^auS unBeroeglid^eS ftoorbis=
natenfgftem erfegt merben lann, unb gegen biefe feften S)inge ßage unb
SBemegung gu beftimmen. SKan Bel^ölt fid^ Bei einer fold^en Seftimmung
ftetS oor, ba^ unbemeglid^e ©qftem fpöter Bemegtid^ ju beulen, falls eg bie
Qxvzdt ber Unterfud^ung erf orbern, unb gmar mieberum gegen ein junöd^ft
afö unBerocglid^ oorgefteHteg ©rjftem, meld^eg bemfelBen SSorBel^alte unter*
liegt u. f. f.

Semgemö^ oerftel^en mir unter einer aBfoIuten SBemegung eine
relatioe Seroegung, bereu Segiel^ungSlörper (Äi) für bie Qxoedt unferer
Unterfud^ung aK unBemeglid^ gelten lann.

3für oiele Unterfud^ungen reid^t eS auS, bie Srbe atö unBemegIid§ anju*
feigen. So mufe 3. S. bie Seroegung eineS 3Kenfd^en in einem SifenBal^nauge
gegen biefen aK relatioe Semegung Begeid^net merben, mal^renb bie SBe*
megung beS gugeS in Sejug auf bie Srbe unb bie burd^ fie oermittelte ^e^
mcgung be§ 3Jlenfd^en gegen bie ßrbe atö aBfoIute Seroegungen gelten Wunen.
ßntfpred^enbeS gilt für bie oben ermölinten Seifpiele.

Qat man Bei einer Unterfud^ung bie notmenbige SBeftimmung über ben
flörper getroffen, meld^er Bei il^r atö uuBeroeglid^ gelten barf, fo lann ftatt
biefeS Sörperg auäj ba§ SBilb be§ unBeroeglid^en SRaumeg eintreten, fo ba§
man fügen barf:

S)ie Semegung eineS Sörperg ift Beftimmt, menn man ju jcber
3eit oon jebem feiner fünfte angeben lann, in meld^em 5ßunltc
be§ SRaumeS er rul^t.

II. aRat^cntatifd^e, p^^ftfalifc^e unb tc(^mfd)e SRei^amt S)ie Se^
merlungen 3U ber 3IufgaBe ber Beaeid^neten SBiffeufd^aft l^aBen fd^on gegeigt,
ha^ man mit Beftimmten SSorfteHungen, meldten in ber 3lu§enmelt lein
genaues SlBBilb entfprid^t, an bie Unterfud^ung il^rer Semegungen l^erantreten
m\x^. SHeS mirb fid^ aud^ meiter beftötigen. ©old^e SSorfteHungen pflegt
man atö matl^ematifd^e 3Infd^auungen unb Segriffe gu Beaeid^nen,
fie gel^ören unferer 3nnenmelt an, meldte burd^ SSermittelung unfereg Äör:=

II.] dtttleitung. 5

pcrS mit bcr gangen Slu^cnraelt in SScrbinbung ftcl^t, unb finb burd^ 3ln^
rcgung oon au^cn in un§ entftanbcn.

aftan Bcacid^net bic ßel^rc t)on ber Bewegung jc^t allgemein bm^
ba$ SBort aKc(|aniI, meld^eS urfptünglid^ ein SRame für bie fpörlid^en
Slnföngc ber in unferer geit fo Breit unb tief entmidf elten ted^nifd^en SBiffen«
fd^aften mar.

3Jlan lann biefc Sffled^anil t)on brci tjerfd^icbenen ®efid^t8pun!ten au§
entmidfeln unb unterf (Reibet bemgemöfe matl^ematifd^e (reine), pl^gfila*
lifd^c unb tec^nifd^e Sffled^anil.

SHefc brei ©ebiete fteßen gemifferma^en brei üBereinanber gelagerte
^platten von aBnel^menber ®runbftäd§e bar, morauS man aber meber auf
eine entfpred^enbe Slbnal^me ber SRauminl^alte ber eingelnen 5ßlatten, nod^ auf
eine entfpred^enbe SSerminbcrung il^reS SBerteS fd^Iie^en barf.

®iemat]^ematifc^e 3Jle(^an4lt fud^t bie matl^ematif d^en 9Inf d^auungen
unb begriffe, ju beren Silbung bie SeoBac^tung ber Semegungen bcr Sinken«
melt aSeranlaffung gegeben l^at, in möglid^fter SSeraQgemeinerung gu einem
roiffenfd^aftlid^en ©qfteme au§augeftalten.

3m ©egenfage ju il^r Befd^rönlt fid^ bic pl^qfilalifd^e SMed^anil
barauf, mit $ülfe jener matl^ematifd^n Slnfd^auungen unb Segriffe bie Se^^
megungen, meldte bie 31u^enroelt mirflid^ barBietet, gu unterfud^en unb ju
erllären, Bemül^t fid^ aber bafür, biefe, unterftügt t)on SeoBad^tung unb SSer*
fud^/ fo genau atö möglid^ in einer S^l^eorie jur ®arftellung au Bringen.

SBöl^renb bie pl^qfilalifd^e 3Jled^aniI ba^ gefamte ©eBiet ber Sc*
megungen, meldte bie 3lufeenroelt barBietet, mit gleid^mä^iger S^eilnal^me
BearBeitet, treten für bie ted^nifd^e Sffled^anil bie ieile jeneS ©eBieteS
in ben SSorbergrunb , meldte bm Sn^edten ber 2^ed^nil bienen. S)iefe l^at ja
bie 3IufgaBe, ben Sebürfniffen ber menfd^Iid^en ©cfellfd^aft entfpred^enb, bie
SJlateric ju neuer unb frud^tBarer gormung ju aroingcn, b. ^. t)on ber Sr*
Ilörung ber Slaturerfd^cinungen au beren SJerrocnbung fortaufd^reiten.

S)ie S^ed^nil forbert aber nid^t blo^ eine Sinfd^ränlung beS ©ebieteS ber
pl^rifilalifd^en 3Jled^aniI, fie oerlangt aud^, ba^ bie S^cilgebiete, meldte il^ren
Qxotden bienen foÖen, eine eigenartige unb in§ Sinaelne gel^enbe S)urd^BiIbung
crfal^ren. S)aBei tritt namentlid^ bie aeid^nerifd^c (grapl^ifd^e) Sel^anblung
ber 3IufgaBen ncBen beren red^nerifd^e ßöfung. Slu^erbtm finb ftetS
Befonbere ÜBerlegungen nötig in Seaug auf ben ®rab ber ®enauig!eit,
meld^er einerfeitS für eine Beftimmte Äonftrultion erforberlid^ unb anberfeitg
Bei il^r, nad^ Sffla^gaBe ber gemonnenen (Erfahrungen, erreid^Bar ift. 3m
Befonberen genügt für bie ted^nifd^e Sffled^ani! oft bie SenntniS geroiffer
©renaroerte eineg SSorgangeS, ol^ne ba'^ biefer felBft in feinen ßinaetl^eiten
Belannt a« fßin Brandet. @o lö^t fid^ a« ®- ^^^ Stanbfcftigleit einer SKauer
Beftimmen, roenn man ben größten SBert beS ßrbbrudfeg lennt, ber auf fic
einmirlen fann, ol^ne ba'j^ man baBei bie fe^r oermidEelten SSerl^ältniffe im
3nneren lodEerer SJlaffe genauer a« lennen Brandet. Sie SSefd^rönlung auf
ba§ SBefentlid^e unb bie 3lu8fd^eibung be§ ÜBer^üffigen Bei \ebzm Slnfage
einer 8lufgaBe unb Bei beren ©urd^fül^rung ift megen beS ölonomifd^en ®e*
prägeS ber ted^nifd^en 3Ked^anif BefonberS mid^tig. ÜBerl^aupt roirlt bic

6 (Sinleitunö. [in.

lüirtfd^aftltd^e Seite ber Sed^ntl l^icr ein, fo ba'^ j. SB. auä) btc Soften einer
Slnlage (SfflaterialerfpamiS u. f. w.) bei ben Äonftruftionen t)on t)omI|erein
mit 3U Berüdfic^tigen finb.

Sefonberg mag nod^ l^erüorgel^oben merben, ba^ bie S^ed^nil fel^r oft bie
ßöfung eines 5ßrbBtem8 ergmingen mu§ unb bemnad^ ba, mo bie pl^gfilolifd^e
SKec^anil feine auSreid^enbe ©tunblage bietet, oon ber ted^nifd^en SJled^anif
einen möglid^ft annel^mbaren ®rfag für eine fold^e Orunblage forbert unb
baburd^ anä) mieber bie pl^gfilalifd^e SKed^anil ju meiterem gortfd^reiten
bröngt.

S^l^atföd^Iid^ finb eg bie Stnforberungen ber Sed^nif gemefen, meldte ur*
fprünglid^ bie Slnregung ju ber 31u§bilbung ber äRed^anil gegeben Ijaben, unb
biefe anregenbe Äraft ift aud^ l^eute nod^ nid^t erlofd^en.

III. Sie grmtblegenbc @mteUun|^bcr aRcc^atiit SSon meld^em ®eftd^t§s=
punfte au8 man aud^ bie SSeroegungen betrad^ten mag, il|re Unterfud^ung
unb Srllörung mirb ftet§ in groei Stufen jerfaHen muffen, ß^^^öd^ft l^at
man bie Semegungen alg gegebene^ 3KateriaI an^ufel^en, fie ju betrad^ten,
ju oergleid^en unb ju orbnen, etroa fo, roie eg ber Sotanifer ober ^^^loge
ate ©tjftematifer mit ben oerfd^iebenen ^flan^en ober Spieren mad^t. ©arauf
^at man bie Sebingungen feftauftellen, unter benen beftimmte SBemegungen
entftel^en unb oergel^en, b. 1^. man l^at etma einen ©tanbpunit eingunel^men,
mie ber Sotanifer ober g^^^'I^^ß^ ^I^ SntroidEelungStl^eoretifer.

3Jlan Bejeid^net bie erfte ©tufe alg $]^oronomie (ßel^re oon ben
©efegen ber Seroegung), bie jmeite afö ®gnamil (ßel^re oon ben firäften).

3Iuf ber erften betrad^tet man nur bag Silb, meld^eg eine SJeroegung
barbietet; auf ber ^meiten BerüdEfid^tigt man aud^ bie gegenfeitige Seeins^
fluffung ber Bemeglid^en S)inge. ©o lann man 3. S. bie SBemegung einer
^ßenbellugel einmal Betrad^ten, inbem man nur bie Semegung beg aJlitteU
puniteg ber ^ßenbellugel auf feinem ÄreigBogen ing 3Iuge fa^t, man fann
fie aBer an^ mit SftüdEfid^t auf bie gegenfeitige Slngiel^ung oon $enbeHugeI
nx\b Srbe, mit SRüdEfid^t auf bie gabenfpannung u. f. m., Be^anbeln. Snners:
l^alB ber pl^qfilalifd^en unb innerl^alB ber ted^nifd^en aKed^anil fommen für
bie äbgrensung biefer Beiben Stufen Beftimmte ^ßrincipien jur ©eltung,
b. ]^. grunblegenbe 3Iuffaffungen, beren Sled^tfertigung in ber burd^göngigen
ÜBereinftimmung groifd^en ben aug il^nen gejogenen Folgerungen unb ben
entfpred^enben ©rfal^rungen liegt. 3Jlan fann fold^e 5ßrincipien nid^t
Bemeifen, aBer man fann il^re fjolgerungen oon gall ju gall an
ben SSorgöngen ber 31u§enmelt oeranfd^aulid^en, moBei man fid^
gelegentlid^ mit SJorteil Befonberer SJlobeHe, 3Ipparate u. f. ro. Bebient.

3unäd^ft fommt ^ier ein ^ßringip in fjrage, bag man frül^er $ßrincip
ber Xrögl^eit nannte, roöl^renb eg je^tmeift alg $rinctp ber Se*
l^arrung Begeid^net mirb. S)ie grunblegenbe Sluffaffung, meldte burd^ biefcg
^rincip für bie Seroegung gur ©eltung fommt, fte^t in fd^arfem ©egenfa^e
3U einer anberen 3Iuffaffung, meldte bie SKenfd^^eit auf if)rem Äulturroege
nur fel^r langfam üBerrounben l^at. S)ie attmöl^Iid^ ermad^enbe Äritif füfjrte
im 3^italter ©alileig u. a. baju, ba'j^ man ber leblofen Sfflaterie, meld^er

ra.] Einleitung. 7

man BtSl^cr eine Slrt t)on nieberem SBoHen unb $anbcln augefd^rieben l^atte,
nun biefe Sigenfd^aften abfprad^ unb fie afö träge bejeid^ncte, b. ^, im
Befonberen afö unfäl^ig, auS ftd^ l^erauS eine iBemegung ju beginnen ober il^re
oorl^anbene SBeroegung abjuönbem. 3Kan lann fid^ biefe neue 8luffaffung
an folgenbem Silbe Ilar mad^en: SBöre im ganzen SBeltenraume nur ein
8ttom tjorl^anben, fo mürbe eS ftetS in SRuIje bleiben, menn eg einmal in
SRul^e ift, ober ftet§ o^ne SBed^fel ber 9Kd^tung, bem ^vi\\t ber Qeit ent*
fpred^enb, gleid^förmig fortfd^reiten, menn eS einmal in Semegung ift. S)ie
ajeranlaffung au einer Säuberung feiner SBemegung (nad§ SHd^tung unb ®e*
fd^minbigfeit) lönnte nur oon au^en lommen, b. f). etma oon einem ameiten,
im SBeltenraume plöfelid^ auftretenben Sltome.

SBeaeid^net man bie t)on au^en Ijerantretenbe U r f a d§ c einer Sic*
megunggönberung, afö beren ©onberfölle bie Übergönge aug ber Stulpe
unb in bie SRul^c erf d^einen , mit bem 5ftamcn ft r a f 1 9, f o ftetten bie fträfte
bie Sebtngungen bar, unter benen SJeroegungen entftel^en ober oergel^en btixo.
ftd^ übcrl^aupt anbem, möl^renb bie SSemegung an unb für ftd§ ftetS fid§
felbft gteid^ bleibt, b. 1^. bel^arrt. S)emgemöfe fagt ba^ ^ßrincip ber
Sel^arrung au8: 3ebe SSemegung ift i^rem äBefen nad^ unoeränberlid^.

SHef eS ^ßrincip mirb ergangt burd^ ben ®a§ : Sitte SemegungSönberungcn
merben burd^ Kräfte beftimmt.

3lid^t 3ur ®rf)altung einer Semegung ift bemnad^ eine ftraft erforberlid^,
fonbem ju il^rer Ifnberung. ©d^eint eine Äraft ber Srl^altung einer Se*
tvzgaxiQ 3u bienen (3. 35. bie S^ßfi^^^ft einer ßolomotioe), fo bient fie tf^aU
fäd^Iid^ aur Überminbung anberer fträfte (a. S. ber SReibung), meldte für ftd^
bie Scmegung oerael^ren mürben.

Solange man ftraft nid^t begriff tid^ genauer beftimmt, atö eS biSl^er
gefd^el^en (Urfad^e ber SeroegungSönberung), ift ber ßrgänaunggfa^ a^^^ ^txn^
cipe ber SSel^arrung ai^tnlid^ unfrud^tbar, er giebt nur einen 8tugbrudt ftatt
eines anberen. greilid^ lönnte man bei bem SBorte ftraft ol^ne meitereS an
bie ßrfal^rungen beulen, bie man an feinem eigenen ftörper mad^t, menn
man burd^ i^n SeroegungSänberungcn anberer ftörper ^eroorruft, a- SS. burd^
äBurf, ©d^Iag, 3^0/ ®^* ^- f- ^- 2)^8 l^at man a\i^ urfprünglid^ getl^an,
aber biefe Erfahrungen ftnb t)tel au oerroidfelt unb lüdtenl^aft, afö ba^ fie ein
beutlid^eg SSilb oon bem geben lönnten, xva^ man mit bem Sßamcn ftraft
bcacid^nen mitt.

^ierau lommt nod^ bie ©d^roierigleit, ba^ mit bem SBorte ftraft
fd^on etroaS anbcreS^) beaeid^net mirb, nämlid^ a^nöd^ft ber 3ug, ben ein in
ber SRäl^e ber ®rboberftäc|e aufgel^angener ftörper auf feine Dberlage, ober
ber S)rudE, ben ein in ber Sßäl^e ber ©rboberflöd^e unterftüftter ftörper auf

*) aSeaeid^net man bie traft, wit cS woHfi aud^ gefd^tel^t, als Urf ad^e ber
SSemegung, fo benft man bei btm SBorte SSeroegung nid^t an einen 3«ft<i^b, fon«
btxn an ben Übergang aus ber 9liu^e in bie SSemegung ober an ben Übergang au»
ber SSemegung in bk ^iu^e.

*) S)a% ber ®ebraud& beS SBorteS Äraft aufeerbem nod^ mand^c anbere ^^wan^
lungen a^igt, mirb man leidet an SSeifpielen beftätigt finben; befonbcrg mag nod^
an ben SluSbrurf ^lebenbige Äraff erinnert merben.

8 dittlcitung. [IIL

feine Unterlage auSübt, fobann aUc ßrfd^einungen, raeld^e ftd^ mit biefem
©d^raerjug ober biefem ©d^merbrud, in gemeinem ßeben ©emic^t
genannt, jal^Ienmö^ig vergleichen laffcn, mie ber 3^0 ober S)rudE, ber Bei ber
aftuSIelarbeit ber ^enfc^en unb 5Eiere auftritt, ber ®ru(f be§ SBafferS unb
beg SBinbeg, be§ S)ampfeg u. f. m.

S)a^ ein fold^er Quq ober S)ru(f gelegentlich SBemegungSänberungen l^er*
oorrufen lann (3. 35. Bei bem Übergänge cineS geftofeenen ober gezogenen *
SBageng aug ber SRul^e in bie Semegung, Beim Steigen eineS ©eileS ober
htm j^oxt^aVi einer ©tüge), legt jmar bie SSermutung nal^e, ba'^ man mit
htm einen SBorte Äraft auglommen fann, um forool^I bie Sebingung
einer aJeroegungSönberung afö auc^ 3ug ober S)ru(f ju Bejeid^nen.
S)iefe aSermutung aBer gu Beftötigen unb jmar in einer SBeife, ha^ an bie
©teHe beg SBorteg Äraft eine Brauc^Bare SegriffSBeftimmung tritt,
mar eine gemaltige geiftige ßeiftung. Sßennen mir ben älteren Segriff ber
^öft (QviQ unb ®ru(f), meld^er fic^ auf rul^enbe Äörper Bejiel^t, bm
ftatifd^en SraftBegriff, unb ben neueren Segriff ber Äraft, monac^^ bie*
felBe Sebingung einer SemegungSänberung fein foH, ben linetifc^en
flraftBegriff, fo l^anbelte e§ fic^ barum, biefe Beiben begriffe in eine Se*
jiel^ung ju fegen, meiere für bie Unterfud^ung unb ©rllörung ber Se*
megungen (unb ber Stulpe) innerl^alB ber 3Iu^enroelt fruc^tBringenb ift. ®iefe
SlufgaBe mürbe ©d^ritt für ©d^ritt burd^ (Salilei, ipuqgl^eng unb Sßero*
ton gelöft.

2)ie 3lrBeiten ©alileig ermSgKd^ten eg aroar, bie SSeroegungMnberung
(in Sejug auf Sftid^tung unb (Sefd^roinbigfeit) junad^ft Bei ber Semegung eineS
3Itomg für jeben 3IugenBIidE burd^ eine mol^I Beftimmte ©rö^e oon Be*
ftimmter Jftid^tung, meldte man jegt Sefd^Ieunigung nennt, auSgubrüdEen,
fie geigten aBer nod^ nid^t, mie biefe ®rö^e gur SSeftimmung ber Äraft oer*
manbt roerben lann. Sag einfad^fte Seifpiel für eine fold^e Sefd^Ieunigung
ift bie Sefd^Ieunigung beg freien gaUeg, meldte ftet§ na^ bem 3KitteI|)un!te
ber Srbe gerid^tet ift unb im aKeter*©eIunbenfqftem im SKittel ben QabHzn^
mert 9,81 l^at. ©ie mirb allgemein burd^ g Begeid^net.

3Iuf bie Seftimmung ber Sraft burdf) bie Sefd^Ieunigung beuteten erft
bie 3IrBeiten oon ^uqgl^eng l^in, roeld^er bie Unterfud^ung beg pl^qfifd^en
^ßenbefö neBen bie oon ©alilei burd^gefül^rte Unterfud^ung beg matfiema*
tifd^en 5ßenbefö ftellte unb bamit bie Silbung eineg gang neuen SSegrip, ben
mir l^eute Sfflaffe nennen, oorBereitete. Steffen 3SoHenbung oerbanfcn mir
5Remton, ber bamit in ben ©tanb gefegt mürbe, anä) bie SegripBcftim*
mung ber Äraft gu geBen.

5ftemtong ßeiftung Beftanb barin, ben ©d^merbrudE ober ©d^mer«
gug, ben man lange afö etmag ßin^eitlid^eS angefel^en Ijatte, in ein un*
oeranberlid^eg ©lement (Sfflaffe) unb ein oeränberlid^eg (Element
(Sefd^Ieunigung) gu fpalten unb biefe Q^xU^nnq beg ftatifd^en Äraft*
Begrifft gugleid^ für bie Definition beg linetifd^en ÄraftBegriffg
nugBar gu mad^en.

3Jlan lann bie ßeiftung 5fterotong am einf ad^ften afö eine erfd^öpfenbe
flritil beg SegriffeS Xrägl^eit ber SKaterie Begeid^nen. S)a nöm«

III.] dinleituttö. 9

Ii(^ bic Urfad^c einer SeroegungSönberung erfal^rungSmö^ig von Äörpern ber
aiu^ennDcIt auggel^t, fo ift eg ebenfo etnfeitig, bte 3Katerie afö tröge ju
be^eid^nen, rate eg einfeittg raar, tl^r eine 3lrt von meberem SBoIIen unb
Qanhtln beizulegen. S)ie Äörper ber Slu^enraelt beeinfluffen fxä) oielme^r
ftetg gegenfeitig, b. 1^. e§ finb minbeftenS jraei noneinanber getrennte 3ltome
im Sftaume erforberlid^, roenn SJeraegungSönberungen ju ftanbe fommen foHen,
fie gelten bann aber oon beiben ältomen au§ unb treten an beiben ätomen
gu S^age, fo ba^ beibe gugleic^ in geraiffem Sinne tl^ötig unb in genjiffem
Sinne leibenb finb. ®iefe fic^ fotgerid^tig aufbröngenbe Sluffafjung ner*
tiefte fid^ für Sßeraton, ber forool^I ba^ ©alilei-ipuqgl^enSfd^e aI8 aud^
bag SoperniIu8sfiepIerf(|e Srbe' angetreten l^atte unb fid^ andj S)e§*
carteg' SSermöd^tniS ju eigen gemad^t l^atte, gu ber grunblegenben ©rs:
lenntnig, ba'j^ iebem . beftimmten Äörper ber Slu^enmelt eine beftimmte
Sffla^ga 1^1 gulommt, raeld^e foraol^I für feine ßinrairlung auf anbere Äörper
atö aud^ für bie ©inrairlung anberer Äörper auf il^n, foraof)! bei ftatifd^en
afö an^ bei linetifd^en SSerl^ältniffen, non SSebeutung ift. Sei bemfelben
Stoffe (5. 35. aSIei) roäd^ft biefe Sfflafeal^I unter fonft gleid^en Umftönben mit
bem SRauminl^alte beS betreff enben Äörperg, b. 1^. mit ber Sfflenge be§
Stoffes, bie ben Äörper bilbet. 35ei oerfdfjiebenen Stoffen (5. S. 35Iei unb
ßifen) ift eine SJergleid^ung biefer SJla^jafilen möglid^, menn man groei
SJlengen beiber Stoffe afö gleid^ anfielet, falls fie al§ SSelaftungen ber ge^^
roöl^nlid^en gleid^armigen iö^belroage beren Salfen l^origontal fteHen. (Sin-
beutige Seftimmung ber Stellung, gang abgefel^en oon allen bqnamifd^en
aSorauSfegungen.) ®enlt man fid^ auS ben oerfd^iebenen Stoffen einen be=:
ftimmten Stoff Ä auSgeroal^It unb etroa mit einem Subifcentimeter (ccm)
baoon alle anberen Stoffe auf ber gleid^armigen ipebelroage oerglid^en, fo
erl^alt man für itben Stoff bie Slngal^I oon Äubiicentimetern, meldte bem
einen flubiicentimeter be§ Stoffes Ä gleid^roertig finb. S)ie fo gewonnene
5EabeHe geftattet jebe Sfflenge eineS Stoffes B in eine SKenge beS Stoffes Ä
umgured^nen, fo bafe man nun bie oerfd^iebenen Stoffe fo bel^anbeln
lann, als roenn fie SJerbid^tungen eineS unb beSfelben ©runbftoffeS
mären. ®ie Sfflenge biefeS gebadeten ©runbftoffeS (ajlaterie) mirb Sfflaffe
genannt. Um gu i^rer äUeffung gu gelangen, roöl^It man einen Stoff, ber
überall leidet in gleid^er Sefd^affenl^eit gu l^aben ift, als äJergleid^ungSftoff
(Stoff Ä) aus, man nimmt SBaffer im Bitf^^nbe feiner größten ®id^te, b. f).
bei 40 ®. Stellt ein Äubiicentimeter oon fold^em SBaffer bie ©inl^eit ber
ajlaffe bar, fo mirb biefelbe SKaffc burd^ 0,0884 ccm Slei ober burd^
0,1333 ccm Sifen bargefteHt, roeil biefe Stoffmengen bzm einen Subiicentimeter
SBaffer an ber gleid^armigen ^ebelmage als SSelaftungen entfpred^en. ®S
entl^ölt 1 ccm SSIei bemnad^ 11,3 SBaffereinl^eiten, 1 ccm Sifen 7,5 SBaffer^
einl^eiten, b. f). in SSegug auf SBaffer fteHt SSIei gemiff ermaßen eine SSer^^
bid^tung beS Stoffes 00m SSerl^öItniS 11,3 : 1, gifen 00m SSerl^öItniS 7,5 : 1
bar. 3Jlan nennt bie Qoi)Un, roie 11,3 unb 7,5, aud^ mirflid^ S)id^tig*
leiten 1) ber betreff enben Stoffe unter ber SSorauSf e^ung , ba'j^ SBaffer als

@ie ftimmen überein mit ben fpecififd^en (Sen)td&ten.

10 (Sinlcitung. [HI.

•

Sinl^cit gilt. SRatürltd^ lonn man bic Sabellc ber S)i(^tig!eiten leidet für
jebcn anbeten Stoff al8 ©inl^eit umred^nen. Qat man bie ßinl^eit feftgefefet,
fo ergicBt ftd^ bie Sffla^aal^I ber 3Kaffe für jeben Äörper ate ^ßrobutt an^ ber
äRa^aal^l feines SRauminl^alteg unb ber ®i(^tigfeit beg Stoff eg, au§ bem er
Befielet. So gelangt man ju htm 5ßrincipe ber SKaffe, meld^eS man
folgenberma^en auSfprec^en lann: 3ebem Äörper fommt eine beftimmte
äRa^gal^I i\x, meldte baS ^ßrobuft ift aug ber aKa^jal^I feinet 9laums=
inl^alteS unb ber Sid^ttgleit beg ©toffeg, aug bem er Befielet, fie mirb bie
aHa^aal^I ber SKaffe genannt. 2)ie gegenfeitige Seeinfluffung ber Äörper
mirb ftetg burd^ beren äßaffen mitbeftimmt.

Sollen 3Itome jum 3lufbau oon ftör'pem ber Stu^enroelt bienen, fo mu^
man an^ i^nen 3Kaffe beilegen unb babei ftetg bie 3lnna]^me mad^en, ba^
bie aJlaffe eineg aufammengefe^ten ©ebtlbeg mit ber Summe ber 3Kaffen
feiner Steile üBereinftimmt. SRad^bem ber Segriff 3Kaffe eingeführt ift, lö^t
fid^ an^ bie Segriff gBeftimmung ber Äraft oomel^meri, junöd^ft in Sejiel^ung
auf ein 8ltom, unb gmar auf folgenbe SBeife: 3cbe Semcgunggönberung eineg
3ltomeg meift auf eine ffraft jurüdE, beren SKa^gal^I bag 5ßrobuIt aug ber
aKa^jal^t ber Sfflaffe beg Bemegten 9Itomcg unb ber 9Jlafea]^I ber an il^m
erfd^einenben Sefd^teunigung ift. S)ie Sftid^tung ber Sefd^Ieunigung ift
gugleid^ bie SRid^tung ber Äraft. Sie grud^tBarleit biefer Definition, meldte
an unb für ft(| nid^t ol^ne SBiUIür geBilbet gu fein fd^eint, liegt junäd^ft
barin, ba^ fie aud^ ben öfteren Segriff ber Äraft, monad^ biefe Qnq unb
®rudE bejeid^net, mit umfaßt. Sieg folgt aug ber 3lnnal|me, ba'j^ Quq unb
S)rudE überl^aupt nid^tg anbereg anzeigen, atö Bel^inbertc Seroegungg*
önberungen materieller fiörper, unb aug ber ÜBereinftimmung biefer
Slnnal^me mit ber ßrfal^rung. ©emgemö^ ift ftatifd^e Äraft nur Qe^
l^emmte finetifd^e Äraft.

So ermöd^ft im Befonbem ber Sd^merjug ober Sd^roerbrudt aug ber
ipcmmung, meldte ber freie gall eineg Äörperg burd^ 3"^if^ßn!örper erfäljrt,
unb barum lö^t fid^ biefer 3^0 ^^^^ ®rudE, gunöd^ft für ein 8ltom, burd^
[i . g barfteHen , f attg man beff en SJlaff e mit ^i unb bie Sef d^Ieunigung beg
freien gfaHeg bur(^ g Begeid^net. ®a aBer biefer 3^9 obtx ®rudE erfal^rungg^
mä^ig proportional jur 3Jlaff e roöd^ft , f o gilt ber 3lnf a§ ^i . g an^ für aug*
gebe^nte Körper. ipierBei ift bie Spaltung beg ftatifd^en ffraftBegriffg (3ug
ober S)rudE) in ein unoerönberlid^eg SIement (3Jiaffe) unb ein oerönberlid^eg
(Element (Sefd^Ieunigung) beutlid^ gu feigen.

Sie 3luffaffung ber ftatifd^en Sraft alg gel^emmter linetifd^cr
Äraft ift natürlid^ alg 5ßrinctp gu Betrad^ten.

©iergu ift gu Bemerfen, ba^ bie Sluflöfung einer in ber Slufeenroelt ge^^
gebenen ftatifc^en Äraft in bag 5ßrobu!t aug 3)taffe unb Sef d^Ieunigung , roie
fie fid^ Beim Sd^merbrudE ober Sd^mergug ergiebt, burd^aug nid^t immer nötig,
oieHei^t auc^ gar nit^t immer möglid^ ift.

SBenn mir g. S. bamit red^nen, ba^ ber SBiubbrudE Ijöd^fteng 125 kg
für ben Duabratmeter Beträgt, fo feigen mir baoon ab, ba'j^ mit bem SBorte
^SBinbbrudE" ein fel^r oermidEelter Sorgang Begeid^net mirb, für beffcn ge*
nauereg Scrftänbnig bie Semegunggönberungen ber eingelnen ßuftatome Beim

in.] eittleitung. 11

SInpratt an eine feftc äftauer 5U untcrfud^cn tüörcn. Sic SSerglcid^ung mit
bcm, auf bie gl^^e oon 1 qm glei^mä^ig oert eilten ©^raerbrudfe oon 125 kg
genügt unS voütommm, um bie ©i^erl^eit ber 3Jlauer gu prüfen.

gemer ift 5U bemerfen, ba^ bie üWid^e Unterf Reibung ber Äräfte in
3ftaffen!räfte unb in Oberfla^enlräfte für bie principiette Segiel^ung ber
ftatifd^en unb linetifd^en Kräfte feine SJebeutung l^at, ebenfo menig bie grage,
ob fi(^ bie äftaffenlräfte auf Dberflöd^enlräfte aurücffül^ren laffen ober ob
ba^ Umgelel^rte gilt ober ob mir bei biefer Unterf^eibung ftel^en bleiben
muffen.

®ie§ folgt aus ber Überlegung, ba'^ mir eine ftetS augönglid^e äftaffen-
fraft, btn ©d^merbrucf ober ©d^mer^ug eineS SelaftungSftüdeS in ber Jlöl^e
ber SrboberfIa(|e, melier auf ber gegenfeitigen Slngiel^ung ber äftaffen oon
Srbe unb Selaftung^ftüd beruht, 5um 3Keffen aller anberen Äröfte benugen,
babei aber bie SJelaftung für ben belafteten Äörper nur afö Dberflöd^en^^
Iraft oermenben !önnen.

®ie g^ud^tbarfcit ber Definition ber Sraft geigt fid^ ferner barin, baJ3
nur bei il^r bie gegenfeitige Sinmirfung jmeier Äörper auf bie
einfad^ftc gorm gebracht merben !ann, meldte fid^ oorfteßen lö^t. Sigl^er
ift über bcn Urfprung ber ftraft leine auSreid^enbe gcftfe^ung gemad^t
morben, c§ mürbe nur gefagt, ba^ fid^ an einem 3Itom, meld^eS allein im
SBeltenraume oorl^anben märe, !eine SJemegungSönberung unb fomit aud^
leine Äraft geigen mürbe. S)emgemöJ3 ift bie Äraft, meldte ber SemegungS*
önberung eineS 8Itom§ entfprid^t, nid^t allein burd^ biefeS SItom beftimmt.
©teilt man fid^ oor, baJ3 fid^ ^mci 3Itome Äi unb Ä2 rul^enb im Sftaume
befinben, aber aud^ nur biefe 3mei, unb ba^ biefe, abgefel^en oon ben äftajs^
äal^Ien i^rer äftaffen, oöttig gleid^artig finb, fo erfd^eint eg natürlid^, ba'j^ an
jebem ber bciben 3ltome eine Äraft auftritt, menn überl^aupt SemegungS*
anberungen oor^anben finb. ©oH ber ganae SSorgang einbeutig beftimmt
fein, fo muffen biefe Äräfte in ber SSerbinbungSgeraben ber beiben 3ltomc
liegen unb entgegengefe^ten ©inn l^aben. ©aben bie beiben 3ltome Äi unb
Ä2 bie äHaffen (ii unb ftg wnb bie SJefd^Ieunigüngen ji unb j^, fo treten an
i^nen be3m. bie Äräfte fiiji unb (i^ji auf. ©anbelt e§ fid^ bei biefcn
Äröften um ben, bie gan^e 31u^enmelt be^errfd^enben ©onberfall ber
3Jl äffen anfiel) ung, mie i^n ber faHenbe ©tein unb bie Srbe, ber 3Jtonb
unb bie Srbe, bie Srbe unb bie ©onne für Sörper barfteßen, fo liegt eS
nal^c, bie SJefd^Ieunigung oon Äi bem 8Itome Ä2 3U3ufd^reiben unb fie beffen
3Jlaffe proportional 3U fe^en unb ebenfo bie Scft^Icunigung oon Ä2 bem
SItom ^1 3U3ufd^reiben unb fie beffen 3Kaffe proportional 3U fegen. Unter
biefer SSorauSfegung ift ji = C . fi2 unb J2 = . fti , fo ba^ bie beiben
Sräfte bie ©eftalt Ki =: (ii , C ,^2 ^^^ ^2 = f*2 • ^ • f*i annehmen, b. ^.
bie beiben Kräfte, meldte l^ier aufeinanber 3uftreben, erljalten biefefben
SBerte.

aSerbinbet man mit biefem Srgebniffe bie ßrfal^rung, ba^ aud^ bie
Kräfte, meldte man aK Qug unb ®rudf beaeid^net, ftetS paarmeife auftreten
unb gmar fo, ba^ jebem guge in feiner Slid^tung ein ®egen3ug oon gleid^em
SBerte unb jebem S)rucEe in feiner SHd^tung ein Oegenbrudf oon gleid^em

12 (Sinlcitung. [Hl.

äScrtc cntfprid^t, fo gclongt man bnxä) aScraHgcmctnerung gu einem ^rin*
cipe, tüeld^eg ^rincip ber ^aarsSBirlung genannt merben mag.

Segetd^net man ^wex Kräfte oon gleid^em SBerte, meldte in einer (Seraben
liegen unb entgegengefegten Sinnet finb, afö Oegenlröfte, fo WJ3t ftd^
biefeS ^rincip, ooUftönbig atterbingS 3unäd^ft nur für jmei 3Itome, folgenber*
ma^en auSfpred^en: Äröfte treten ftetS paarmeife auf, unb jmar
als ®egen!räfte. gür amei Sttome liegen fie in beren SBerbinbunggs
geraben unb 3mar tritt an iebem ber beiben Sttome eine ber beiben Äröfte
auf. äftan pflegt biefe beiben« ©egenfröfte afö Slftion unb Sleaftion 5U unter*
f (Reiben, menn man fein Stugenmerl erft auf bie eine (Slftion) ritztet unb
bann bie anbere alS beren ©egenmirlung (Sleaftiün) auffaßt. S)arum l^ei^t
bief eS 5ßrincip avLii) ba§ ^rincip ber ©leid^l^eit non SBirlung (Stition)
unb ©egenmirlung (Slealtion).

Sin SJeifpiel für bie Sluffaffung gmeier ©egenfröfte atö Slftion unb
Sftealtion bieten bie in ber Sftöl^e ber ©rboberflöd^e bemeglid^en Äörper in
il^rer Segiel^ung jur ®rbe. Sei il^nen föttt ung einerfeitS i^r freier gall unb
anberfeitg, faHS fie aufgel^angen ober unterftügt merben, il^r ©d^merbrud ober
Sd^mer^ug (©emid^t) auf, mä^renb mir bie ®egen!raft, meldte an ber ®rbe
l^aftet, gunä^ft nid^t bemerlen. S)ief e ©egeniraft, meld^er bei ber äu^erft großen
SKaffe ber ®rbe eine äugerft Heine SemegungSönberung ber ®rbe entfprid^t,
erregt erft unfere 8Iufmer!famfeit, menn mir ba^ ©leid^gemid^t aufgel^angener
unb unterftügter Äörper nöl^er unterfud^en. 3lun !ommt fie un§ atö SRealtion
ber Srbe ht^m, ber mit biefer feft oerbunbenen Dberlage ober Unterlage 3um
Semu^tfein, balb afö eine Sraft, balb in Seitenfräfte gef palten. Sftun
fpred^en mir oon ber Sleaftion einer S^ragplatte ober eineS ^afenS ober
oon ben beiben ©tügreaftionen eineg l^origontaf gelagerten SallenS u. f. m.

hierbei tritt bie ©rbreaftion afö ftatifd^e Äraft auf, möl^renb i^re fine*
tifd^e aBir!ung§meife fid^ 3. 35. im SftüdfpraHe faHenber, mel^r ober minber
elaftifd^er Äörper 3eigt.

Stuf ben Umftanb, ba'^ oft nur bie eine ©eite beg SSorgangeS, ben man
afö ^aar^SBirlung beaeid^net, unfere Stufmerffamleit feffelt, ift e§ aud^ 3urücE=5
3ufül)ren, ba^ man üBert)aupt oon einer, auf einen Sörper mirlenben ßraft
3U fpred^en pflegt unb in biefer gegebenenfalls bie Urfad^e feiner SemegungS*
änberung fielet.

©ängen mir an bie Sette einer gemö^nlic^en SBanbul^r ben 3uge^örigen
©emic^tSWrper , fo ba'^ bie Ul^r in ©ang !ommt, fo geben mir ber gegen*
feitigen ßinmir!ung 00m ©emic^tSIörper unb Srbe ©elegenl^eit, bie UI)r 3U
treiben. Statt beffen fagen mir, ba^ eine ftraft, ber ©d^meraug (©emid^t)
be§ ©emid^tSIörperS, an ber Sette mir!t.

Sringen mir unfere ^anbfläd^en unter Stnfpannung ber 3Ku§!uIatur mit
einem ©egenftanbe in Serül^rung, um il)n fortaufd^ieben, fo feffelt un8 meift
bie äSir!ung unferer S^l^ötigleit unb nic^t bie 9tücEmir!ung be§ ©egenftanbeS
auf unferen Körper. S)e§^alb fprec^en mir aud^ I)ier oon ber Sraft, bie
ben ©egenftanb angreift.

Streng genommen, müßten mir Bei jeber ^ßaarsSBirlung ftetS beibe
flörper 3ufammen in il^rer gegenfeitigen SBirfung afö bie Urfad^e ber be«

ra.] Einleitung. 13

trad^teten SSorgöngc anfeilen. SBon einem SBinbbrudfe g. 33. fann erft bie
Siebe fein, tüenn ber SBinb ein me^r ober minber fefteS ©inbemiS trifft.
aSie auf anberen ©eBieten pflegt man aber aud^ l)ier einen S^eif ber Se*
bingungen aHein atö Urfad^e gu beaeid^nen, unter ber ftiHfd^meigenben aSorauS:^
fegung, ba^ aHeg Übrige afö ©elbftoerftönblic^eS ^ingugebad^t mirb. Unter
biefer SBorauSfegung red^tfertigt e8 fid^ aud^, bie Sraft, mie eS üBIid^ ift,
atö Urfad^e ber SJemegung^önberung ju begeid^nen, nur mü^te man fte
bann aud^ bie Urfad^e beg gugeg ober S)rucEe8 nennen, benn ftraft
bebeutet ja in beiben gäHen ben S^etl einer ^ßaaraSBirlung, meld^er gerabe
unfere Stufmerffamleit feffelt.

S5ei oielen 3Iufgaben betrad^ten mir gugleid^ ben einen S^eil ber oor*
l^anbenen ^aar^^SBirfungen oollftönbig, btn anberen nur nad^ ber einen
Seite feiner SBirlfamleit. S)iefe§ gefd^iel)t jebeSmal, menn mir einen be*
ftimmten Sörper ber 3luJ3enmeIt ober eine beftimmte Sörpergruppe in i^r
für bie SJetrad^tung oon allen übrigen Sörpern trennen motten ober muffen.
®enlt man fid^ biefe beftimmten Äörper ober biefe beftimmte Äörper:*
gruppe burd^ eine gemö^nlid^e attfeitig gefd^Ioffene ^&ä)t oon aßen übrigen
Körpern abgegrenzt, fo nennt man alle Äröfte, meldte ^ßaarsSBirlungen
innerhalb beg begrengten 9taume§ entfpred^en, innere firäfte, bie Äröfte
aber, meldte innerl^alb be§ begrenjten SlaumeS auftreten, möl^renb il^re
©egenfröfte fid^ an au^cr^alb beSfelben gelegenen Äörpem aeigen, äußere
Kräfte beS ÄörperS ober ber Äörpergruppe. Sie ©egenfröfte ber äußeren
Kräfte feffeln unfere 3lufmerlfamleit ebenf omenig mie bie 5ßaar*aBir!ungen,
meldte ooUftänbig au^erl^alb beS begrengten SRaumeg oor fid^ ge^en. ^nbexn
mir bie Segrenaung, fo änbert fid^ auc§ ba^ ©qftem ber inneren unb äußeren
Kräfte.

@o befd^äftigen un8 3. 35. bei einem faßenben Körper nur bie gegen*
fettigen ßinmirlungen feiner Sttome afö innere Kräfte unb bie (Sinmirlung
ber erbe auf i^n aI8 äußere Kraft.

3m SBerein mit ber Definition ber Kraft, monad^ biefe für ein Sltom
ba^ ^robuft auS einer, bem 8Itome augetjörigen Konftanten (3Kaffe) unb
beffen a3efd^Ieunigung ift, liefert ba^ ^rincip ber ^ßaar^aBirlung eine aiemlid^
umfaffenbe ©runbfage für alle meitere SJetrad^tungcn.

3lu§ ber ©leid^^eit ber ©egenfräfte folgt nämlid^, ba^ fid^ bie äftaffen
jmeier 3ltome, menn biefe allein im SRaume oor^anben finb, umgelel^rt oer*
galten mie bie a3efd^Ieunigungen, meldte an i^nen gugleid^ auftreten, ©em^^
gemäfe lönnte man ba^ SSerl^ältniS biefer 3Jlaffen au8 bem SBerl^ältniffe ber
gleid^äeitig an il^nen beobad^teten Sefd^Ieunigungen ableiten unb fo, nad^bem
bie ©inl^eit ber 3Jlaffe feftgefteHt ift, 5U einer Seftimmung il)rer 3Jlaffen ge*
langen.

9lud^ ba^ ^rincip ber Sel^arrung mirb burd^ ba^ 5ßrincip ber 5ßaar*
äßirlung umfaßt, äßenn jebe SemegungSänberung einer Kraft entfprid^t unb
Kräfte nur paarmeife an je amei Sltomen auftreten, fo ift jebe a3emegung§s^
änberung, im befonberen aud^ ber Übergang au§ ber Sftu^e unb ber Über*
gang in bie SRul^e, für ein aHein im SBeltenraume befinblid^eS SItom aug*
gefd^Ioffen.

14 einleitung. [HI.

®a eg ftd^ in bcr Slujsentrelt nic^t um ein 8Itom ober ein 5ßaar Don
Sltomen, fonbern um auSgebel^nte Rörper l^anbelt, fo mu^ ha& ^rincip ber
5ßaar s SBirf ung in feiner Sef^rönlung auf jmei 3[tome burd^ ein ^rincip
ergöngt merben, meld^eg ben Übergang oon SItomen 3U auggebel^nten
flörpern ermdglid^t.

Stellt ein 8Itom Ä einer ©ruppe Don n SItomen gegenüber, meldte gu»
nöd^ft aK ftarrer Äörper aufgefaßt merben mag, fo l)at man, abgefel^en von
ben gegenf eitigen SBirlungen innerhalb ber ®ruppe, bie gegenf eilige Sinmirfung
jebeg 3ltomeg ber ®ruppe unb beg SItomeg ^ gu betrad^ten. ®ilt baS
^rincip ber ^aar^SBirlung für je gmei 3ltome, fo crl^ölt Ä burd^ jebeg 8ltom
ber ©ruppe eine SJefd^Ieunigung, fo ba^ an il^m bie Sefd^Ieunigungcn
jifhf '",jn unb bie entfpred^enben Äräfte (i,ji, ft.J2/ - » -, i'^-jn jufammen
auftreten, möl^renb umgelel^rt oon beren ©egenlröften an jebem 8Itome ber
®ruppe eine erfd^eint.

©ier erließt fid^ fofort bie grage, 06 fid^ äße biefe ffiräfte ooneinanber
unabl^öngig unb unabl^öngig oon etma fd^on oor^anbenen S5e*
megungen bilben, b. 1^. ob fie ber Sleil^e na^ fo bered^net merben lönnen, afö
menn eg fid^ jebegmaf nur um ein 5ßaar oon Siltomen ^anbelte. Sagu
!ommt bie meitere grage nad^ einer SBcreinigung bft einzelnen Ärafte am
Siltom Ä unb innerhalb ber ©ruppe, ba ja baS 3ltom bei feiner Semegung
nur eine ßinie -oerfolgen unb bie ©ruppe, meldte ja afö ftarrer Äörper
oorauggefe^t mürbe, aud^ nur eine beftimmte 3lrt ber Semegung jeigen
fann.

SHefelben fragen treten nod^ bringlid^er auf, menn fid^ gmei ätomgruppen
gegenüberfte^en ober gar gmei Äörper innerhalb ber gangen Stufeenmelt, meldte
ja, abgefel^en oon il^rer gegenf eitigen Sinmirfung, auf jeben anberen ftörper
ber 3lu^enmelt einmirlen unb gugleid^ beffen SBirfungen auggefe^t finb.

®a§ ^rincip, meld^eS ^ier bie meitere Unterfud^ung be^errfd^t, fagt au8,
ba^ alle Semegungen, meldte in einem 8lugenbIidEe an einem SItome gugleid^
auftreten, ooneinanber unabl^öngig finb unb ftetS nad^ einer unb bcrfelben
aSorfd^rift oereinigt merben lönnen. 3n feiner änmenbung auf Gräfte ift biefeS
5ßrincip aug bem erften ßel^rgange ber $^qfi! al§ ®a§ 00m Parallelogramm
ber Sröfte belannt.

Um biefeg 5ßrincip auf 3ltomgruppen unb auSgebel^nte Äörper auSgu*
belinen, muffen über beren Sefd^affenl^eit oon gaH gu %aU beftimmte SSoraug^
fegungen gemad^t merben, meldte ben in ber 31ufeenmelt gegebenen SJegie^ungcn
möglid^ft genau entfpred^en. ©0 genügt 5. 33. bie 3lnna^me, ba'^ ein Äörper
ftarr ift, um für biefen bie Unterfud^ung meiter burd^fül^ren gu lönnen.

3Kan begeid^net bag 5ßrincip, meld^eg gur (Srgängung beS 5ßrincipe8 ber
^ßaarsSBirlung l^erangegogen merben mufe, afö ^rincip ber Superpofttion
(Ubereinanberlagerung) ber Semegunöen ober afö 5ßrincip ber Unab^öngigleit
ber aSemegungen ober afö ^rincip beg Parallelogramms. SBir merben
ben legten Flamen wäijizn.

Unter aHen Umftönben benft man fid^ in biefem principe fomol^I bie
SBoraugfegung ber ermähnten Unab^öngig!eit ber einzelnen Semegungen ate
aud^ bie SSorfd^rift für i^re SSereinigung gufammengefa^t.

IIL] (Sinleitung. 15

S)ag ^rincip be§ Parallelogramm^ ift urfprünglid^ in smei oer^
fd^iebenen ©ä§cn 3ur ©citung gdommcn, in bcm ©a§e t)om ^ßarallelo*
gramm ber Scmcgungen (3lriftotcIeg, ©alilei, Jlemton) unb im
©afee t)om Parallelogramm ber Äröfte (©teoin, SSarignon,
Slemton).

®8 ift mieber ein gcid^en für bie gi^ud^tbarleit ber Definition ber Äraft,
ba^ fid^ burd^ il^n biefe beiben ©ö^^ aufammengie^en unb gu einem principe
erließen laffen. ®a nad^ biefer Definition Kräfte, meldte an einem Sltome
5ugleid^ mirlen, ben augenblidflid^en Sefd^Ieunigungcn proportional finb unb
beren SKd^tungen I)aben, fo mu^ für bie SSereinigung ber Äröfte unb für
bie aSereinigung ber Scfd^Ieunigungen biefelbe SSorfd^rift gelten. ®ie
SBorfd^rift für bie aSereinigung ber Sefd^Ieunigungen folgt aber aug ber aSor:^
fd^ift für bie SScreinigung ber äSege, meldte man aK Parallelogramm ber
SJcmcgungen begeid^net. S)iefc8 lautet in .feiner einfad^ften gorm, nömlid^ für
5mei gleid^förmige Semegungen auf gerabcr ßinie: SBürbe ein SItom in einer
beftimmten geit burd^ eine Semegung I oon nad^ A^ unb burd^ eine Se*
megung II oon nad^ Ä2 gefül^rt, fo mirb eS burd^ bcibe Semegungcn gu*
fammen in berfelben geit oon nad^ htm oierten SdEpunfte Ä bt^ 5ßaraIIeIo«
grammg öefü^rt, meld^eS burd^ bie ^un!tc 0, Äi, A^ beftimmt ift unb ^mar
auf ber Diagonale OA,

Dag 5ßrincip ber ^ßaarsSBirlung unb baS 5ßrincip beg ^arallelo«
gramm§ bclierrfd^en, im SSerein mit ber Definition ber Sraft, bie gc*
famte p]^r)filalifd^e unb ted^nifd^e 3Kcd^aniI.

3Jlit i^nen ift bie Sfteil^e ber ^rincipien, meiere in ber 3Ked^aniI gur Od*
tung fommen, atterbingS burd^aug nod^ nid^t erfd^öpft, aber i^re Sefpred^ung
genügt für ein genaueres aSerftönbniS ber ©lieberung unb be§ 3lufbaue§
ber ted^nifd^en 3Jled^aniI.

gür bie pl^gfifalifd^e 3Ked^anif ift meiter gu bemerfen, ha^ burd^auS nid^t
alle Semegungen ber Sörpcr burd^ bie ©cfe^e ber Semegung unb ben 3Kaffen<
begriff ooHftönbig erüört merben !önnen, e8 gilt bie§ für einen großen S)eil
ber aSemegungen, afö beren 2^ rag er man urfprünglid^, im ©egenfage ju ber
magbaren 3Kaffe, fogenannte 3mponberabiIien einfül^rte. 31I§ SJeifpiele
mögen bie SJemegungen eineg StnIerS ju feinem 3Kagnete ober bie Sagen*
änberungen bemeglid^er, oon eleftrifd^en ©trömen burd^floffener Dra^tfpiralen
angeführt merben. gür bie Se^anblung biefer ©rfc^einungen finb mieberum
^rincipien nötig, meldte in einer p^gfüalif d^en 3Jted^anif il^re ©teHe ftnben muffen.

3nner]^alb ber tec^nifd^en äftec^anif merben biefe (Srfd^einungen oorläufig
auSgefd^Ioffen, meil bie ©ntmidfelung ber S^ed^nif erft oerl^ältniSmäfeig fpöt
baju geführt l^at, aud^ biefe ©ebiete menigftenS teilmeife nu^bar 3U mad^en,
nur ha% ©ebiet ber SBörmeerfd^einungen fann Bereits afö angegliebcrt gelten.
Dbmol^I ha^ ©ebiet fold^er ätnglieberungen fid^erlic^ mit ber Seit mad^fen
mirb, fo mirb bod^, fd^on im ^inblidf auf bie nötige 3lrbeitSteiIung, ber alte
©tamm ber tec^nifc^en aJled^anif, nömlid^ bie ßel^re oon ben S9e*
megungen, meldte burc^ ben Segriff SJlaffe be^errfd^t merben, ein
für ftc^ befte^enbeS ©anaeS bleiben.

Diefem ©ebiete gelten unfere meiteren Setrad^tungen.

16 dinlettung. [IV.

gür aUc principiellcn Sefttmmungcn aber, tüeld^e innerhalb
bicfeS ©ebictcS unb feiner möglid^cn ©rraetterunöen etmo nötig njerben, gilt
afö oberfter ®runbfa^, ba^ fte einbeutig finb, b. 1^. ba^ bei i^rcr SSer*
u)enbung lein Qwti^el barübcr entfielet, raelc^e SJcraegung ein Sörpcr bcr
Sttu^enmelt unter beftimmten SJebingungen auSfül^rt.

IT. ^it tueitete Einteilung bet ted^nifd^en SOted^anif* S)ie beiben
§auptabf(^nitte unferer SBiffenfd^aft, bie $t)oronomie unb bie ©gnamü, laffen
fid^ nun genauer lenn^eid^nen.

1. 3n ber 5ß]^oronomie lianbelt e§ fic^ barum, bie Semegung
eineSftarren ÄörperS möglit^ft noHftänbig gu unterfud^en unb bar#
aufteilen, ot)ne babei ben SJegriff artaffe 5U Derroenben ober begriffe, bie au8
x^m abgeleitet raerben lönnen, xüxe 3. S5. ber Segriff Kraft. S)abei geigt cg fid^,
ba^ bie aScmegungen eineS ftarren Äörper§, gunäd^ft bie ^ßaraHelnerfd^iebung
unb bie 9Id^fenbreI)ung, ftctS auf bie Seraegungen non fünften gurüdfweifen,
fo ba^ bie Unterfud^ung unb SarfteHung ber aSemegung eine§ 5ßunlte8
in ben 3JlitteIpun!t ber 5ß]^oronomie tritt. 3n il^r rairb, unter Serüdffic^tigung
beS 5ßrincipe§ ber Sel^arrung, bie fd^arfe SJegriffSbeftimmung ber ©e-
fc^n)inbigfeit unb ber Sefc^Ieunigung eineS 5ßunlteg für einen beftimmten
3eitpunft gemonnen. 3Kit bem Segriffe Verlegung (S)i§Ix)Iation) gu^
fammen bilben fie bie ©runblage jeber meiteren Unterfud^ung. Verlegung,
®efd^minbig!eit unb Sefd^Ieunigung gehören gu bm Sftid^tungggröfeen, b. ^.
fie erforbem neben ber Eingabe eineg beftimmten SBerteg nod^ bie 3Ingabe
einer beftimmten Sftid^tung, menn fie belannt fein f ollen. Sl^re Bereinigung unb
Qerlegung mirb unter gemiffen, oon %aii ju gaU gu beftimmenben aSorauS*
fegungen burd^ ba^ 5ßrincip be§ Parallelogramm^ be^errfd^t. Snner*
l)alb ber tec^nifd^en 3Ked^ani! ift eg nic^t üblid^, in ber 5ß^oronomie aud^
anbere Äörper gu beljanbeln afö ftarre, man übermeift bie pl^oronomifd^e
Unterfud^ung anberer Äörper, menn fie innerhalb ber S)qnamil notmenbig
mirb, biefem 3lbfd^nitte.

®ie ©rö^en ber ^ßl^oronomie finb au§ gmei ©runbeinl^eiten gebilbet,
ber ©inl^eit ber ßänge, meldte bie gange ©eometrie bel^errfd^t (Snl^alt beg
gied^tedES = a . b, Snl^alt beg SRed^tlantg = a . b . c) unb ber (Sinl^eit ber
Sauer, aI8 meldte im allgemeinen 3Jleter unb Sefunbe gemäl^It merben.

gür 5ß]^oronomie ift aud^ ba^ gleic^bebeutenbe SBort ftinematüO in
©ebraud^, ebenfo ber SIuSbrudE Steine Semegungglel^re ober Sftatl^e*
matifd^e Semegungglel^re.

2. 3n ber S)qnamif tritt neben ben ©inl^eiten ber 5ß]^oronomie bie
Sinl^eit ber 3Kaffe aI8 neue (Sin^eit auf, fo ba^ bie abgeleiteten Sinl^eiten
I)ier auf bie brei ©runbeinl^eiten ber ßänge, S)auer unb 3Kaffc gurücE*
meifen.

^) 2)ag Söort ^nematil n)irb aud) gebraudjt, um ben S:cil ber ^pi^oronomie
gu begcitj^nen, weldjer bie SSewegung Icbiglid^ im (Sinne ber ©eomctrte, b. 1^. ol&ne
SBerüdffid&tigung ber geit, bctrad^tet. S)tcfer l^ei^t aud6 ©cometric ber SJeracgung
ober ©eometrifdie S3cn)egung8lct)re.

IV.] (Sinlcttung. 17

S)tc Stnl^eit bcr 3Jloffc tft tnncrl^alB bcr tcd^nifc^cn SKcc^ant! frül^er
ftctg aus bcr Sin^Ht ber ftatifd^cn Rraft abgeleitet morben. 3Kan ging oon
einem Beftimmten ©c^tüerbriicE ober ©d^treraug (©etrid^t) auS alS ßinl^eit
ber ffraft unb leitete barauS gemö^ ber ©leid^ung: >

©eraid^t = 3Kaffe x g^I^^efc^Ieunigung
bie aWaffe ab.

gür ein ffiloftüd afö gin^eit ber Äraft, raeld^eg ftraft^Äilo l^eifeen

nrag, l^at man f omit atö äftaff e anjuf efeen :

1 ffraft^gito _ 1
gattbefc^Ieunigung g

unb bcmixad^ mirb bie Sinl^eit ber SKaffe l)ier burd^ /jf ftiloftüde bargefteßt.

SKit biefem ted^nifd^en 3Kafefr)fteme für ftraft unb SKaffe ringt
augenblidflid^ nod^ ba^ pl^qfüalifd^e SDlaM^ft^tn für Rraft unb SDlaffe.

$ier mirb für ted^nifd^e aSer^öItniffe bie SKaffe eineS JKIoftüdfeg aK
Sinl^eit ber 3Jlaffe genommen, fte mag 3JlaffcnsÄiIo l^ei^en. 3^r entfprid^t
gemö^ ber ©leid^ung:

©emtd^t = aJlaffe x gfallbefd^Ieunigung
bag Oemid^t

1 äftaffemSilo x gattbefd^Ieunigung = g

unb bemnad^ mirb bie Sinl^eit ber Rraft l)ter burc^ ba^ ©emid^t oon

- ffiiloftüdf bargefteHt, fte ift alfo unabl^öngig oon g.
y

Sie SJe^iel^ung beiber 3JlaJ3fgfteme mxb baburd^ beftimmt, ba^ bie ®in=
J^eiten beS ted^nifd^en ©qftemg ^^mal (b.l^. angenähert 10 mal) größer fmb atö
bie Einl^eiten be§ p]^i)fi!alifd^en, für ted^nifd^e gmedfe gebraud^ten^ ©gftemS.

®er gleid^3eitige ©ebraud^ beiber ©r)fteme innerhalb ber S^ed^nil unb
ber Umftanb, ba^ ein ÄiloftüdE einmal in Segug auf feinen ©d^merbrudf
ober ©d^mergug (©emid^t) unb einmal in Segug auf feine SJlaffe gemertet
mirb, ma^fxi gur SSorfid^t.

S8 ift ^medfmö^ig, ftetS in Erinnerung ju bel^alten, baJ3 bie gemöl^nlid^e
§ebeln)age ber SJlaffenoergfeid^ung bient. Stellt il^r äSaöen für be*
ftimmte Selaftungen Ijorijontal, fo be^ölt er biefe ©teÖung bei, unabl^öngig
oon bem Orte, an bem man fid^ befinbet. S)agegen bienen gur afteffung
ier Äräfte fogenannte ®gnamometer, meldte in Keinem SJla^ftabe afö geber^»
magen, balb für Qug unb balb für %x\xd eingerid^tet, im töglid^en ©e*
braud^e finb (5. 33. atö a3riefmagen, gleifd^magen u. f. m.). S)ie ©tettung,
meldte ber Seiger einer fold^en SBage bei einer beftimmten Selaftung 3eigt,
ift burd^auS abl^öngig oon ber ©teile, an ber man fid^ befinbet, meil ber
©c^merjug ober ©d^merbrucE ate 5ßrobuft aug äftaffe unb fjattbeft^leunigung
burd^ bie SSeränberlid^Ieit ber gaHbefc^Ieunigung felbft oeränbert mirb.

S)a nun bQS> ©emic^t eine§ ÄörperS oon g abl^ängt unb g auf ber
Srbe, innerl^alb unb oberhalb berfelben oeränberlid^ ift, fo mu|i man bei

^) 3n ber ^l^^fi^ wäl^It man ©ramm unb Zentimeter ftatt Kilogramm unb
3Retcr.

SBÄnlde, aWed^tmif. I. o

18 einleitung. [IV.

ftrcnger SSetrod^tung im ted^mfd^en ®r)ftem l^inaufügen, für lüefd^e ©teile ber
Srbe bie S)eftnitü)n beg Äraft^Äilog gelten foK. 3Kan tüöl^It meiftenS eine
Stelle im äfteereSnioeau unter 45° breite. ®a bie SJeränberlid^feit pon g auf
ber Dficrflö^e ber Srbe für ted^nif d^e aSer^ältniff e im allgemeinen t>erf d^minbenb
Hein ift, fo l^at biefe genaue SJeftimmung jebod^ meift feinen praltifd^cn SBert.

Sieben ber flraft ift unter bcn Sinl^eiten ber Sgnamil befonberg eine
^eroorjul^eben, meldte balb afö Äraftmoment, balb atö Sffrbeit unb Balb
atö Energie erfd^eint 3Kan l^at neuerbingS mel^rf ad^ nerfud^t, biefe ßinl^eit
unb ^roar aK ©nergie in ber Sgnamif an bie Stelle ber Äraft treten 3U
laffen.

S)er erfte Slbfd^nitt ber Sgnami! bient ber aSerbinbung oon
^oronomie unb S)gnamil, er mirb in ber ted^nifd^en äJled^anil meift alS
ße^re nom jnateriellcn fünfte beaeid^net. S)amit foll auggebrüdCt
merben, ha^ ber ^unft, mefd^er in ber 5ß]^oronomie nur al8 geumetrifd^eS
©ebilbe belianbeft mirb, jegt atö S^röger oon SDlaterie (3Kaffe) erfd^eint unb
fomit geeignet mirb, bei ber ®arfteHung oon Äörpem ber Slu^enmelt oer^
mcnbet 3U merben. 3KaterieIIe 5ßunfte finb nid^t notmenbig mit einer SKaffe
belaftet 3U beulen, meldte unenblid^ allein ift im aSergleid^ mit htn SJlaffen,
bie mir mirlli(§ beobad^ten. ©oH biefeg ber %(& fein, fo mirb ber materielle
5ßunft afö 3ltom begeid^net. SHefen 3lbfd^nitt bel^errfd^t bie Definition ber
firaft, meldte man mo^I aud^ bie bgnamifd^e ©runbgleid^ung nennt.

gür bie meitere ©ntmidCelung ber S)qnamil muffen bie 9Iuf gaben, bei
meldten Sörper unter htm Sinflu^ Don Kräften in Slul^c finb, getrennt
merben non ben 3luf gaben, bei meldten bie Körper unter bem (Sinfluft ber
flräfte in Semegung finb; man nennt ba§ erfte ©ebiet ©tatil, ha%
jmeite Äinetil^). ®iefe Unterfd^eibung Ireugt fid^ mit einer ameiten ®in:=
teilung, monac§ in ber ^gnamil ber Steige nad^ bie ftarren Körper xmb
bie ben Slggregatguftänben entfpred^enben Sörperarten ber 81u^enmelt
bel^anbelt merben muffen.

3n ber ted^nifd^en 3Ked^aniI ift eg übficft, mit ber S)gnamil be§ ftarren

Körper^ 3U beginnen unb baS Silb, melc^eS er barfteHt, mcl^r unb mel^r htn

Regierungen angupaffen, meld^ bie Körper ber Slu^enmelt, namentlid^ bie

feften Körper, geigen. ^aä)hzxa man htn ftarren Körper gang aHgemein

unter htm Einfluß oon Kräften befymbelt l^at, fefet man noraug,

baJ3 er fic§ in gegenfeitiger ®inmir!ung mit ber Erbe beftnbet

unb unterfud^t gunäd^ft ha% ©gftem ber babei an bem Körper auftretenben

Kräfte in ber ße^re nom ©d^merpunfte. ©arauf bel^anbdt man

bie entfpred^enbe ©rbreaftion, treidle bei aufgeliangenen unb geftü^ten

Körpern, meift in mel^rere ©eitenfröfte gef palten, auftritt, unb nermanbte-

SReaftionen in ber ßel^re non ben Sleaftionen. S)ann betrad^tet man

bie S^angentialreaftionen, meldte in htn Serül^runggflöc^en ber Körper auff

treten, 'menn fie aufeinanber gepreßt merben, in ber ßel^re non ber 9tei:=

bung.

- ■ ■' •■'■•■ ' ■ ' ,

^) gür IHnettl ift avi6^ nod) btc ältere Segeidönung S)t)namil in Oebrauc^, fo
ha'^ii bann ein SBort für bie gufammenfaffung oon <StatiI unb S)t)nan:iil aur ßel^re
tjon ben Säften fe^It. . :

IV.] • einlettuttg. 19

S)te bctben 3lßfd^nittc oon bcn Sftcafttoncn nnb t)on ber Slciöung 6Ubcn
bie ©runblagc für bic ajcl^anblung ftatifd^er Slufgobcn, bod^ leitet bie
ßel^re oon ber Sfleibung bercttg jur S tu etil über, ba eg fid^ bei ben ent*
fpred^enben Slufgaben fd^on um Semeguugeu uuter Siuflu^ uou Äröfteu
l^oubelt, aHerbiugS meift uou Äröfteu, bie fid^ gcgeufeitig auf^ebeu. S)eu
Sefd^Iu^ Bilbet bie Siuetil ftarrer Sörper.

3u ber golge be^aubelt mou bie fefteu Äörper ber Sttufeeuttielt, raelc^e
fid^ oft atö ftarre Äörper auffaffeu laffeu, mit 3lüdfftt^t auf i^re tliatfäd^^:
liefen gormänberuugen, junöd^ft mieber iu ftatifd^er, banu in linetifd^er
©infid^t. S)ieS fü^rt ju ben beiben Äapiteln Slafticität unb gfeftigleit
unb ®to^ fefter Äörpcr, b.enen uod^ bie allgemeine Onmblage für eine
3:^eorie ber ärtafd^inen aur Seite tritt.

Sarauf gel^t man 3U btn glüffiglelten unb ®afen über, meldte man
afö glüfftgleiten uon bleibenbem SSoIumen unb glüffigleiten
non uerönberlid^em aSoIumen unterfd^eibet, meil glüffigleiten unb ®afe
5ufammen ben feften Sörpem gegenüber fo niel ©emeinfameg Bieten, ba^
bagegen il^r Unterfd^ieb oer^ältni^mö^ig jurüdCtritt.

Slud^ l^ier beginnt man mit ben ftatifd^en 8luf gaben unb gel^t bann
5U ben ünetifd^en über.

©tatifd^e unb ünetifd^e 3Iuf gaben ftel^en in allen ©ebieten in einem
engen guf ammenl^ange , meld^er burd^ baS ^rincip von b*3IIembert 5um
3lu§brudE gebrad^t mirb.

Sntfpred^enb ben alten ßlementen ^^enex, SBaffer, 2uft unb ®rbe*,
meiere tl^atfä^Iid^ ein Silb ber brei Slggregatauftönbe unb beS äßittefö für
i^re Überfül^rungen (geuer) barfteßen, ^at man lange S^it bie Erbe atö
Seifpiel ber feften, ba§ SBaffer afö SJeifpiel ber flüffigen unb bie
2uft aK aSeifpiel ' ber gafigen Äörper angefel^en. S)arauf berul^ jegt
nod^ üblid^e Sftamen für einzelne 3lbfd^nitte ber ärted^anif, meldte gerabe in
ben Sel^rbüd^em ber ted^nifd^en SKed^anif ein göl^eS ßeben friften.

aJlan unterf d^eibet 1) in biefer ©inftd^t:

1. ©eobgnamif ]

a) ©eoftatil > in Sejug auf bie feften Äörper.

b) ©eofinetil j

• 2. §i)brobt)namif ]

a) ^gbroftatil > in aSejug auf bie flüffigen Äörper.

b) ©gbrofinetil = ©gbraulil^ j

3. äerobgnamif 1

a) 3Ieroftatif > in SJejug auf bie gafigen Äörper.

b) 8IeroKnetilj

^) S)abei ift für SHnctil n)ieberum m^ S;eil nod6 boS Sßort ^r^namif in ®e*
brau^, xoä^xmb für bie ße^re oon bcn Äräften eine SBeaeid^nung fe^lt. SBcrgl.
anmerf. @. 18.

*) ©tgentlidö ^S3cn)egung bcg SBafferg in Slöl^rcn*. 8In btcfem roid^tigen S3ci:=
fpiele n)urbe bie Unterfudjung urfprünglid^ gefül^rt.

2*

20 ßlnleitung. • \y.

©cl^en lüir von bicf cn ocroltcten aScacid^nutiöen ab , f o geiüinnen vdxx
folgcnbc eintcilung ber ted^nifd^en aßet^ani!.

I. 5ß]^oronomtc (Sftttne SenjcgungSlel^rc) atö ßcl^rc oon bcn ©cfeftcn
bcr ajeiüegung ol^nc JRüdfid^t auf btc beiüegcnben ftröfte h^w. auf bte äftaff c :

1. S)ie ©runbbegriffe.

2. Sic Sftid^tungSgröftcn.

3. Sie ajcraegung bt^ ftarrcn Rörpcrg.

IL S)gnami! atö ßcl)rc oon ben Äräften:

1. S)cr materielle $unlt.

2. Sie Sgnamil beS ftarren ftörperS.

a) Strafte am ftarren Sörper.

b) Ser ©d^mcrpunft.

c) ©tati! (ße^rc t)om ©leid^gemid^t) atö ßel^re von ber Slul)e
unter bcm Sinflujs non Rräftcn.

a) Sleaftioncn.
ß) SReibung.

d) ffinettf atö ßel^re non ber Semegung unter htm ©nflujs
tjon Äröften.

3. Sie Sr)nami! feftcr Äörper,

a) glafticitöt unb geftigfeit.

b) @to^.

c) Slßgemeine S^l^eö'rie ber SRafd^inen.

4. Sie Sgnamil flüffiger Äörper Don bleibenbcm unb nerönber*
lid^em SSoIumen.

Y. Sie ®rögcn ber ted^nifdjctt aWec^attif. Sie ©röjsen, meldte in
ber afted^ani! auftreten, geben nod^ 3U brei Semerlungen 8InIaJ3.

ßrfteng fpielen neben ben aud^ im SSerfe^r beg gemöl^nlid^en ßebenS
oermenbeten ©rö^en aud^ ©rö^en eine mid^tige SftoHe, wdä)^ man im ®egen*
fa§ 3U bicfen atö unenbli(^*llein 3U be^eid^nen pflegt. Sie treten mit
Sftotmcnbigleit auf, meil fid^ bie ^rincipien ber SKed^anif aunäd^ft nur für
Semegungen non 3ltomen unb aud^ für biefe nur in Se^ug auf eine oer::
fd^minbenb s f leine geit au§fpred^cn laffen. SluS einer, jzbt angebbare Qaf)l
überfteigenben SKenge fold^er unenblid^ * Ilcinen ©rö^en ^at man bie enb«
lid^en ©rö^en aufzubauen, b. f). bie ©rö^en, meldte man gemeinl^in !ennt.
Sem 3lufbau entfpric^t natürlid^ eine entfpred^enbc gerlegung. ©rö^en, bie
3U ben enblid^en ©rö^en in berfelben Se^iel^ung ftel^en, mie biefe 3U ben
unenblid^ s Keinen, merben unenblic^r^gro^ genannt.

Sa§ SIrbeiten mit fold^en ©rö^en forbert befonbere SBetrad^tungen, bie
man atö ©renabetrad^tungen 3U be3eid^nen pflegt, meil meber baS
UnenbIid^:sSleine nod^ ba§ UnenbIid^*©ro^e etmag 31nfd^aulid^e§ ift, fonbern
burd^ bie SBetrad^tung einer unBegren3ten 3lbnal^me htixo. gunal^me enblid^er
©rö^en erfd^Ioffen merben mu^. 3Jlan ftettt babei ber ©ren3e StuII bie
®ren3e Unenblid^, meldte burd^ ba^ 3^^^^ qo bargefteHt mirb, gegenüber
unb fagt: Sine ©röfee ^ei^t unenblid^s^IIein be3m. uncnbIic^:=gro^, menn fie

VJ dittleitung. * 21

burd^ 3lbna]^mc einer enblid^cn ©röjse Bis 3ur Orenge SRuII fiegit). burd^
3unal)me einer enblic^en Orö^c big jur ©renge Unenblid^ entftanbcn gebadet
roirb.

Sefonberg fpielen bie SSerl^öItniffe unenblid^^IIeiner ®rö^en
ht^w, aud^ unenblid^^gro^er ©rfl^en bei biefen Setrod^tungen eine
gro^e SRoQe, weil biefe SSerl^öItniffe enblii^ fein fdnncn. S)afe biefeS ber galt
ift geigt om einfad^ften bie fortgefegte (Snoeiterung eineS SJmd^eS, einmal burd^
einen ed^ten Srud^ unb einmal, burd^ einen uned^ten SSrud^. ärtan l^at 3. 33.:

^ • ^— ^ • —— • — -
2 5 5 5

^ 3.i 3.1.1
5 .55

2 2.5 2.5.5

3 3.5 3.5.5

3m erften gaHe merben auf ber redeten Seite Saldier unb Jlenner

immer Heiner Bis gur Orenge 3lnU, im gmeiten galle merben auf ber redeten

Seite 3ö^Ier unb Sftenner immer größer bis gur ©renje Unenblid^, möl^renb

2
bie Iin!e Seite ber ©leid^ung in beiben gällen ben SBertl^ -5- angeigt.

S)ie gmeite a3emer!ung fielet mit ber erften in engem gufammenl^ange.
S)a baS Unenblid^* Steine begm. ba^ UnenbIid^=®rofee burd^ Slbna^me htiw,
Qnnaffme einer enblic^en Orö^e gemonnen mirb, fo mufe man fid^ enblid^e
®rö^en, meldte gu einem Sd^Iuffe auf ba^ Unenblid^^Sfeine begm. Unenblid|s
@ro|e benuftt merben, fe^r oft nic^t ftarr, fonbem flüffig beulen, 3Jlan
nennt fie bann oeränberlid^e ober oariabele ©rö^en, aud^ mol^I furg 85 er*
änberlid^e ober SSariabelen, unb begeid^net im ©egenfag ju i^nen
©rö^en oon fefter äfta^gal^I afö beftänbige ober tonftante ©rö^en, lurg alS
©eftänbige ober Sonftanten. ®aS einfad^fte Silb für eine oerönber:«
lid^e ©rö^e ift ber SBeg, ben ein $unft bei feiner Semegungi) gurüdKegt.
®en!t man fid^ bie Stredfe AB oon Ä naä) B ol^ne Umlel^r burd^Iaufen, fo
möd^ft ber burd^Iaufene SBeg (oon Ä auS gered^net), möl^renb ber nod^ gu
burd^Iaufenbe SBeg (oon B auS gered^net) abnimmt unb gmar mä^renb ber
©emegung begm. oon U^ AB unb oon BA bis. 0. ©rfegt man bie
StredCe AB bnxä) einen ^albftral^I oon A auS, fo merben bie ©rengen beS
SBegeS SluH unb Uncnblid^. S)en!t man ben ^albftral^I mit ber ©efamtlieit
ber pofitioen 3^^^ befegt, fo ba"^ bie SRuH auf A fättt, fo lann man jebe
QaiH als bie äHafegal^I beS bis gu i^r burd^Iaufenen SBegeS auff äffen unb
bamit bie SSorftellung oerbinben, ba^ fie gerabe fo entftanben ift mie
jener SBeg. S)e^nt man biefe SSetrad^tung auf einen gmeiten §albftral)l auS,
ber mit bem erften gufammen eine ©erabe bilbet, fo lann man biefe Sluf*
faffung aud^ auf bie ©efamtlieit ber negatioen Qaiiltn auSbel^nen unb fo
baS gange ©ebiet ber reellen Qaiiitn als ben Spielraum einer SJariabeln an:=
feigen. ®ie SJemegung ift ftetig, b. l). fie überfpringt leinen 5ßunft ber

*) S)lcfe n)eift n)icberum auf ben gfl"6 ber Seit gurüd.

22 eittlettung. [\\

SSal^n, unb barum bcnft man ftd^ aud^ bie fßaxxäbät, vomn fic oon — oo
ü6cr nad^ + ^ voanbtxt, in ftcttgcm Sfuffc. ga^t man bic SSariabele
nid^t Bloft als 8<^^I öuf, fonbern afö SRa^aal^I einer Orö^c, fo üBertrögt
man ba§ SemegungSBüb aud^ auf biefe.

Seäcid^net man einen SRec^enauSbrudC , mcld^er aug 3^^^« heivo. au8
SRafeaal^Ien oon ©röfeen gefiilbet tft, als eine gunition biefer ®rö^en, fo
ift bie gunition non Äonftanten mteber eine ffonftante, möl^renb eine gunif»
tion, meldte nur ober aud^ äJariabelen entl^ält, metft felbft oer&nberlid^ ift.

D6 eine beftimmte ®rö^e atö flonftante auf juf äffen ift, l^öngt fel^r oft
oon bem ®rabe ber ©enauigleit ab, mit bem man arbeitet. So ift 3. $. bie
gaffbefd^Ieunigung g für oiele Sesiel^ungen atö Sonftante 3U betrad^ten,
mäl^renb fte bei genaueren 8Infä§en afö aSariabele erfd^eint, abhängig oon
ber geograpl^ifd^en Sreite beS Seobad^tunggorteg unb oon feiner $ö!^enlage
3ur Srboberfläd^e.

Sritteng gerf aßen bie ©röfeen ber 3Ked^ani! nod^ in gang anberer
^infid^t in gmei oerfd^iebene Stoffen.

Sie ©röfeen ber einen Ätoffc fmb burd^ SIngabe ber ßinlieit unb
einer 3KaJ33a]^I oollftänbig beftimmt unb laffen ftd^ infolgebeffen nad^ ben
Siegeln ber siritl^metil Bel^anbeln. ©ierl^er gel)ören SBinlel, ßönge,
glöd^e, aSoIumen, S)auer, S)urd^fd^nitt8gefd^n)inbig!eit, ©urd^fd^nittgbefc^Ieu*
nigung, SDlaffe u. f. m.

Snnerl^alB biefer Stoffe toffen fid^ ©rflften oon berfelben (Sinl^eit junöd^ft
abbieren unb fubtral^ieren. 3n formeller ^infid^t ftel^t aud^ ber Slnmenbung
ber anberen Sfted^nunggarten auf fie nid^tS entgegen, bod^ !ann l^ier nur oon
gaU 3U gaU entfd^ieben merben, oB bem Srgebniffe ber Sfted^nung eine be:=
ftimmte Sebeutung gulommt. @o fü^rt 3. 33. für 3 m ba^ Duabrieren 3U
9qpi, möl^renb ba^ Duabrieren oon 3 @e!unben an unb für fid^ leine Säe^
beutung l^at.

SJei ber SJilbung ber aBgeleiteten ©röfeen ber äfted^ani! fpielt aud^ bie
äftultipitfation unb Sioifion oon ©röfeen oerfd^iebener Sinl^eit eine SftoKe.
S)iefe abgeleiteten ®rö^cn, beren Sinl^eiten au8 btn brei ©runbeinl^eiten
ßönge, Sauer unb 3Kaffe gebilbet merben, finb fogar gerabe3u burd^
bie SRed^nungSarten gelennseic^net, meldte 3U il^rem Slufbau nötig finb.

3Jlan überträgt l^ier bie Sied^nungSarten, meldte an btn äHa^*
iaffUn 3U vollixel)tn finb, auf bie ©röfeen fefbft, mäl^renb biefe, ftreng
genommen, al§ 3öI)Ißn, nämlid^ im aSerl^öItniS 3U il^rer ßinlieit, in bie SRed^^:
nung eintreten. S)ie 3Irt beS 3lufbaue§ an^ ben ©runbeinl^eiten mirb babei
©imenfion genannt, unb man beaeid^net babei bie ßönge burd^ /, bie Sauer
burd^ t, bie äftaffe burd^ m.

®o l^at 3. SS. bie ©efd^minbigfett atö SSerljältnig 3n)ifd^en SBeg unb Qext

bie Simenfion ^ßänge : Sauer* ober lürser — = IKt-K So l^at bie

T

ajefd^Ieunigung aK aSerl^öItniS 3mifd^en ©efd^minbigfeit unb geit bie Simen-
fion ;, (ßönge : Sauer) : Sauer* ober fürser -- =21.^-2. ©o l^at bie Äraft

VJ (Sittlettung. 23

iifö 5ßrobuft aus Sttaffe unb Sefd^Ieunigung bte S)tmenfton m^ ,n , t-^, ha^
Äraftmomcnt als 5ßrobitft avi% Äraft unb 3lrm bte S)imcnfion m^,P.t-'^,
bic airbctt als 5ßrobuIt auS Straft unbSBcö ebenfaHS bic S)imenfion mKP.t-^
iic ßncrgic als l^albcS 5ßrobu!t auS SDlaffe unb ©efd^roinbigleitSquabrat
ttJtcbcrum bte S)tmenfion m^.P.t-^. S)ie ®Ietd^ungen. ^raifd^en ben ©röjsen
bicfer Älaffe muffen, ftetS l^omogen fein, b. 1^. eS muffen auf ber Knien unb
ber redeten Seite ber Oleid^ung ©rö^en berfelBen Slrt ftel^en, tüoBei bie
SIrt lebiglid^ burd^ bie Simenfion beftimmt ift ®o ift 5. SB. bie ©leid^ung:

7 SlrbeitSein^eiten — 3 ©efd^minbigleitSeinl^eiten = 4 SBegeinl^eiten

o^ne jeben ©inn, njöl^renb bie ©leid^ung:

7 3lrbeitSein]^eiten — 3 SraftmomentSeinl^eiten = 4 Snergieeinl^eiten

einen mol^I beftimmten Sinn giebt, meil l^ier aHc auftretenben ©rö^en von
ber Stmenfion m^.P.t-^ unb bemnad^ nergleid^bar finb. S)ie S)imenfion
lennaeid^net bie ©ittl^eit il^rer 3lrt nad^, beftimmt fte aber nid^t oöttig, meil
aufeerbem feftgcfteßt tüerben muJ3, meldte ßönge (3. SJ. Stteter ober Kenti:=
meter u. f. m.) als ©inl^eit ber ßängenmeffung u. f. m. gelten foH. gür
bcn Übergang oon einer (Sinl^eit gur anberen, 3. 33. t)on Äilogramm ju
®ramm, leiften bie S)imenfionSformefn gute S)ienfte.

ajjan l^at für bie ©röjsen biefer erften ftlaffe ben Stamen ©lalaren
norgef dalagen , meil bie ©efamtl^eit ber aKaftgal^Ien einer beftimmten ©rö^e
biefer fliaffe bie einfädle ©fala ber reeHen Saluten gfebt begm. einer ent^
fpred^enben Einteilung (ßöngenma^) entfprid^t.

3m ©egenfaft ju biefer erften ftlaffe ftel^t eine gmeite RIaffe von
©rö^en, meldte, für il^re Seftimmung neben ber 8Ingabe einer äHa^ga 1^1
nnb einer (Sinl^eit aud^ nod^ bie 3Ingabe einer SRid^tung erf orbern. SRan
nennt fte Sftid^tungSgrö^en.

S)aS SBort Sftic^tung mirb ^ier einbeutig gebraudtjt unb jmar in fol-
genbem Sinne: S)enlt man fid^ oon einem fünfte im SRaume alle mög*
lid^en ^albftral^Ien gebogen, fo begeid^nct jeber biefer ©albftral^Ien in feinem
SSerlaufe oon auS eine beftimmte 9Hd^tung (öalbftral^fenbünbel).

S)ie beiben SHd^tungen, meldte gtrei auf berfelben ©eraben gelegene
^albftral^Ien beS SünbelS l^aben, leiten entgegengefe^te SRid^tungen.

aSon ber SHd^tung ift ber Sinn gu unterfd^eiben. S)enlt man fid^ eine
beliebige ßinie AB einmal von Ä nad^ B unb einmal oon B nad^ Ä burd^-
laufen, fo unterfd^eibet man biefe beiben Slrten beS S)urd^IaufenS, inbem man
oon bem Sinne AB unb bem Sintte BA fprid^t, meldte einanber entgegen:^
gefegt finb. Dft oergletd^t man ben Sinn mit ber SJemegung beS U^rgeigerS
(+) unb bcren ©egenbemegung ( — ).

gür gerabe ßinien möre eS nxä)t nötig, ben Sinn AB von bem Sinn
BA i\x unterf d^eiben , l^ier !äme man mit ber Eingabe ber beiben SHd^tungen
A B unb BA auS.

ßegt man einer SRid^tungSgrö^e eine beftimmte Sftid^tung bei, fo
f agt man bamit, ba^ fie einem beftimmten ©albftral^Ie beS SJünbelS parallel
ift unb fo oerlöuft, trie biefer ^albftra^I oon auS gejogen ift.

24

(Einleitung.

[V.

Sag arbeiten mit foldöcn SRid^tungSgrö^en xoxxb fel^r erlcid^tert, wenn
man fie burd^ aSeftoren (SRidjtungSj'tredEen) barf teilt.

Sc^on in bem etnieitenben Äe^rgange ber 5ßl^t)ftl lommen f old^e SHd^tungS«
grj^en unb aud^ bie entfprec^enben aSeltoren oor, minbeftenS Bei ber Se»
l^anblung ber ftröfte.

Um eine Straft burd^ einen SJefttrt; barjuftellen (oergl. gig. 1), gießt man
einer ©trecEe, meldte bie SHd^tung ber Rraft l^at, eine ß&ngc, beren SRafe^al^I
mit ber äHa^jal^I ber Rraft übereinstimmt (3. 35. 5 cm bei 5 kg). S)ie

gig. 1.

SHid^tung begeid^net man cntmebcr
burd^ einen 5ßfeil ober burd^ bie
angäbe OA.

3ingemein ift ein SScftor
eine ©tredfe, meldte bieSftid^*
tung unb Tla^^a^l einer
Slid^tungggrö^e in il^rer
SHid^tung unb 3JlaJ33a^I bar*
ftcllt.

S)er 5ßunlt (0), Don bem ber
aSeltor ausgebt, mirb Urfprung
aenannt.
3lud^ bie ©runblage ber SSeltorenlel^re mirb Bereite in bem
erften 2el)rgange ber $^gfil 3ur 3Infd^auung gebrad^t, fie tritt ^icr als
^Parallelogramm ber Äröfte auf. Um jmei fträfte, meldte oon einem fünfte
auggetien, ju oereinigen, fteHt man fie burd^ il^re aSeftoren mit bem gemein*
famen Urfprunge bar unb ^iel^t in bem, burd^ biefe SSeftoren Beftimmten
Parallelogramm bie oon auSgclienbe diagonale. S)iefe ftettt eine neue

gig. 2.

Sraft bar, meldte bie SBirlung ber
Beiben gegebenen ftröfte in fic^ oer*
einigt, aBer aud^ mieber in jene beiben
^^>^. ftröfte gerlegt merben lann.

^ Slßgcmein gilt (oergl. gig. 2) :

^.-''''' Smei aSeftorcn Vi unb Fj merben oer*

einigt, inbem man il^nen benfelBcn
Urfprung gieBt unb in htm, nun
burd^ fie Beftimmten ^arattelo*
gramm bie diagonale V au8 aiel^t. Siefe diagonale V erfe^t bie Beiben
gegebenen SSeftoren Vi unb Fg. Umgele^rt mirb ein oon auSgel^enber
aSeftor F in jmei aSeftoren gerlegt, inbem man il^n jur diagonale irgenb
eines 5ßaraHcIogrammS mad^t. S)ie beiben aSeltoren Vi unb Fg, meldte oon
auSgelien unb alfo mit ber ©iagonale gleid^en UrfprungS finb, erfe^en
ben gegebenen ajeftor F.

Vi unb Fg l^eifeen ©eitenoeftoren, F l^eiftt SKittcIoeftor. ®ie
3ufammenfe§ung ber Seitenoeftoren gu einem SKitteloeftor ift einbeutig,
bie gerlegung eineS aSeßorS in ©eitenoe!toren ift unenblic^^oiel*
beutig.

vj

Einleitung.

25

gi9. 3.

S)tcfc8 ^Parallelogramm bcr SSelloren* ift fein ßcl^rfa^, c8
ficgeid^net eine SBorfd^rift für bie aSereinigung unb 3^rf^0iJng von aSeltorcn.

DB biefe SJorfd^rift auf Beftimmte SRid^tungggrö^en bcr
3Ked^anif, meldte man al§ SJeftoren bargeftcllt f^at, angcmanbt
merben barf ober nid^t, löfet [xä) nur von gaß ju gfall entfd^eiben unb
jmar burd^ ba^ ^rincip beS ^araUelogrammg.

gür bie SSereinigung unb SexhQun^ ber Sftid^tungSgröften, Bei meldten
biefe Slnmenbung erlauBt ift, ergeBen ftd^ mic^tige Folgerungen.

Qai man nämlid^ eine Steige oon SSeltoren, Fj, V2, . . v Vn 8u oereinigen,
fo gieBt man il^nen junöd^ft benfelBen Urfprung unb oereint bann Fi unb
Fa 5U einem SMittcIoeftor Fi, 2. biefen 3JttttcIoeftor Fi, 3 unb f;, 3U einem
neuen 3KitteIoeItor Fi, 2, 3 u. f. f., inbem man jeben einäelnen ©d^ritt bürc^
ba^ Parallelogramm auSfül^rt.

gig. 3 ftcQt bag SSerfa^ren für oier aSeftoren bar, ber leftte SSeltor
^1/2/8/4/ toeld^er Fi, F2, F3, F4 aufammenfajst, ift aud^ burd^ F begeid^net,
au^erbem burd| 4.

Um biefen SSeltor F 3U finben, bebarf man offenbar nid^t ber ganjen
gigur, meldte ber fortgefeftten Äonftruftion beg Parallelogramms entfprid^t,
es genügt baju beren Slanblinie 12 3 4, meldte auS ben, 3u Ämm
offenen ©tredCenjuge oon einl^eitlid^em Sinne aufammengefügten SSeftoren Fi,
Fa, F3, F4 Befte^t (12 # Fa, 23 # F3, 34 # F4). . S)er »eftor F ober
4 fi^Ite^t btn offenen ®tredEen3ug
12 3 4 unb ivoax ift fein Sinn
bem Sinne beS @tred(en3ugeS entgegen ;
in ber x^XQnx entfprid^t ber Sinn beS
offenen ©tredtensugeS ber SJemegung
eines U]^r3etgerS, ber ©inn ber ©d^IuJ3==
linie perläuft biefer Semegung entgegen,
©emgemäft genrinnt man ben ©a§ :
©ineSHeil^e oonSSeftoren FiFa,..., Fn
mirb oereinigt, inbem man fte ber
3lei!^enac^3u einem ©tredEen3uge oon
einl^eitlid^em ©inne oereinigt unb biefen
©tredEen3ug burd^ einen SSeltor oon
entgegengefefttem ©inne oBfd^Iiejst. S)er
fd^Iieftenbe aSeltor F erfe^t bie Sleil^e
ber ein3elnen SSeltoren.

gemer gilt: Ein aSeftor F mirb in eine Sleil^e oon aSeltoren Fi,F2, . . ., F«
3erlegt, inbem man il^n aur ©d^Iu^Iinie irgenb eineS offenen ws^gliebrigen
©tredtenaugeS oon einl^eitlid^cm, il)m entgegengef e§tem ©inne mad^t. ®ie
n ©eiten beS ©tredEen3ugcS, beren SHd^tungen burd^ btn ©inn beS ©tredfen*
3ugeS Beftimmt merben, erfegen, als Sfteil^e oon ^eltor.en aufgefaßt, ben
gegebenen SSeltor F.

Wlan nennt aud^ l^ier bie SSeftoren Fi, Fg, . . ., F„ ©eitenoeltoren
unb F attitteloeltor. S)ie Bereinigung ift mieber einbeutig, bie
3erlegung ift mieber unenbIid^«oieIbeutig.

26

Einleitung.

[V.

' ®te gange Setrad^tung gilt für SSeftören oon belieBtger SHd^tung im
Jftaume. Sa fid^ auf bem 9letprette parallelen fel^r leidet giel^en loffen, fo
tft biefe ^Bereinigung unb QzxltqunQ burd^ 3^^nitng fcl^r einfad| gu erl^alten,
namentlid^ für ben goK, ba^ alle SSeltoren in einer ffibene liegen.

S)er ®a§ Icl^rt anä), ba^ von htm ^ßarallelogramm, roeld^eg ben
3lu8ganggpunlt ber Setrad^tung bilbete, nur bie eine §ftlfte, b. ^, ein
SreiedE, nötig ift, um bei gmei aScftorcn bie ^Bereinigung ober 3^ri^0""0
burd^gufül^ren. (SJergl. gig. 4.)

S)abei geigt ftd^, ba^ eS glcid^gültig ift, meld^eS ber beiben S)reiedEe
benuftt mtrb. ®er ©tredfengug beS einen ®reiedEe8 ift aber bnx^ bie Sfteil^e
Vi, V2, ber anbere burd^ bie Sfteil^e V^, V^ gebilbet, fo ba^ alfo bei gmet
SScItoren bie Sfteil^enfolge für bie Silbung ber Sd^Iu^Iinie beS ©tredfengugeg
gleid^gültig tft.

®g fragt ftd^, ob bie Sfteil^enfolge ber SBcItoren aud^ bei n SSeltoren
gleid^gültig ift für bie SBilbung ber ©d^Iu^Iinie. Um biefe grage gu be^
antworten, gel^t man baoon auS, bo^ jebe SReil^^nfoIge oon n Elementen in
iebe onbere SReil^enfoIge biefer n Elemente übergefül^rt merben lann burd^
fortgefeftte SSertaufd^ung oon je gmei Sftad^borelementen.

©OH 3. 35. bie SReil^enfoIge 1, 2, S, 4, 5 in bie SRei^enfoIge 2, 4, 1, 5, 3
übergefül^rt merben, fo oertaufd^t mon erft 1 unb 2, bann 3 unb 4, barauf
1 unb 4 unb enblid^ 3 unb 5.

SBcnn alfo bie Sd^Iufelinie eines ©tredfenjugcg au8 SSeltoren bei ber
aSertauf d^ung gmcier beliebiger benadibarter ©tredfen unnerönbert bleibt, fo bleibt

gtg. 4.

fte an^ bei beliebiger 8Inorbnung ber SSeftoren
unoerönbert

®a nun bie SSertaufd^ung gmeier beliebiger
benod^barter ©tredfen lebiglid^ ba^ eine S^eilbreiedE
il^reg ^ßaroHelogrommS burd^ beffcn anbereS
SCeilbrciedE erfeftt unb biefer S^oufd^ ol^ne Ein-
fluß auf bie ©röfee unb Soge ber augeprigcn
S)iogonale ift, fo ift bie ©d^Iupnie cineS
©tredfenaugeg ou8 SSeftoren oon ber Sfteil^enfolgc
ber aSeltoren unabl^öngig.
®emgemö^ gelten bie ©öfte über Bereinigung unb SzxltQunQ oon SSel-
toren aud^ bei beliebiger 3lnorbnung.

SHefeS drgebniS erinnert an bie gemöl^nlid^e 8Ibbitton (unb ^Svib^
traltton) ber Slritl^metif, für meldte bie SInorbnung ber $ßoften beliebig ift,
meil für amei oon il^nen ba^ SSertaufd^ungggef eft a + b = b + a gilt.

®§ liegt bal^er nal^e, gu fragen, ob an^ bog gmeite ®efe§ ber gemöl^ns
lid^en 3lbbitton, ba^ SSerfd^meläungggefeft, für bie SSef toren eineS
©tredfengugeg gilt. ®8 entfprid^t ber gormel a + l)+c = (a + h)-\-c
= a + Q) -{- c) unb fagt an^, ba^ eg gleid^gültig ift, ob man innerl^alb
ber Steige ber gu abbierenben Soften gmei für fid^ oereinigt unb bann ben
näd^ften l^inaufügt ober ob man gu btm erften bie (Bnmmt ber beiben fot
genben l^inaunimmt.

V.]

(Einleitung.

27

®a^ aud^ btefcS ®cfc§ für btc SScreimgung unb 3^rfß0""9 ^^^ 3Jef«^
toren gilt, geigt gig. 5 für brci SSeltoren. $ier cntfpred^cn ftd^ Fi, Fj, Fg
unb a, h, c; Fj^a unb a + 5, Fa,^ unb b + c, Fi, 2. 3 unb a + h -^ c,

S)a nun bic bcibcn ©runbgefefte ber gcraöl^nlid^en Slbbttion (unb @ub*
traftion) bei ber ^Bereinigung (unb Qzxltg;anQ) von SJeltoren in ®dtung finb,
fo liegt cg nal^c, für biefe Sßereinigung (unb QexltQnxtQ) aud^ ba^ geläufige
SBort ^3lbbitii)n* gu gebraud^en unb eg burd^ einen Buf^ft genauer ju lenn^
geid^nen. 3Kan nennt biefe SSereinigung , raeld^e an^ afö ^ßölqgon^
bilbung begeid^net werben lann, SSeltorenabbition ober geometrifd^e
Slbbition im ©egenfaft ju ber genjöl^nfid^en S^^^^^^^^^^^^*^^ (unb
©falarenobbition) ober aritl^metifd^en Slbbition. SBegen il^rer aSerroen*
bung auf bzm SRei^brette l^ei^t fie xvoSji anä) grapl^ifd^e 8lbbition.

gig. 6.

aSefonberS l^öufig lomrnt neben bem einfad^en ^Parallelogramm ber gaH
oor, in bem e§ fid^ um brei SSeltoren l^anbelt, meldte nid^t in einer ©bene
liegen. (SSergl. gig. 6.)

$ier finb oon aug fed^S ©tredfenjüge möglid^, gemö^ ben 3lnorbnungen
1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 3, 1; 2, 1, 3; 3, 1, 2; 3, 2, 1.

Sie bilben jufammen ein ^ßaraMepipebon , in meld^em bie in tnU
fpringenbe Siagonalad^fe F bie SSereinigung ber gegebenen SSeltoren Fi, Fj, F^
borftellt, fo ba^ fid^ umgelel^rt F in biefe SSeltorcn gerlegen löfet. SlUe fed^S
©tredtengüge fül^ren oon ju bem ffinbpunfte oon F (ober oon biefem
m 0).

3Kan nennt biefen gaU ba^ ^aralleleptpebon ber SSeltoren.

$aben n SSeltoren biefelbe SRid^tung, fo mirb il^r ©tredfengug eine eingige
©tredte, bie ©d^Iu^Iinie biefelbe ©tredte, einfd^Iiepd^ ber Shd^tung. 3n biefem
gaHe fielet bie geometrifd^e Slbbition ber aritl^metifd^en fel^r nal^e.

§aben unter ben n SSeltoren m biefelbe Sftid^tung unb (n — m) bie
entgegengefegte SRid^tung, fo lann man erft bie m SJeltoren ga einer ©tredfe I
oereinigen unb bann bie (n — m) SSeltoren gu einer ©tredte II. SSeibe ©tredfen
l^aben, in angebrad^t, entgegengefefete SKd^tung. 3ft I > n, fo ift bie
©d^Iu^Iinie ein SSeltor oon ber SRid^tung I; ift II > I, fo ift bie ©d^Iu^Iinie

28 einleitung. [V.

ein SÖeltot oon ber SHtc^tunfl ET; t^t II = I, fo ^t bie ©(^fufetitite ben Sßkrt

3n biefem gelle ift eS jroeiJmfl^ig, auf einet ©eroben, roelt^e bie Beiben
Stic^tungen entfielt, bie eine biefer Slic^tungen buii$ einen $feil ^einoiju^eBen
unb aUt SBeltoren biefet 9H(f|tung als pDfitio, bie anbeten alS negario ju bes
geid^en. SKon tonn bann bie SBeltoten einfa(^ algeöraifd^ (+ unb — )
abbieten unb an bent Sotjeic^en bei Summe entfi^eiben, ob bei bet ä^rs
eintflung ein SBeltor ber einen ober ber anberen 9ti(§tunfl entfielt, fflet
SonbetfoÜ 9iun entfprii^t bec 3lull bec SRei^ung.

®aS ©rgefiniS Ütutt roitb nii^t Mofe in biefent ©onberfalle trennt,
fonbern iebeSmal, nienn fii^ bet Stterfenjug bet ißeltoren oon
felBft fi^Iiefet.

gut btet Jßeltoten bilbet fidi bo6ei 3. 33. ein Steied oon einheitlichem
©inne feine« UmfangeS.

©in man Seltoten afS fo(c^ ttettior^e&en, fo tann man ftdi beS
äeic^enS [F] bebienen, fo bofe F bie aJla&sat|I beS SeettotS [F] beaeicEinet.

c^i- 7 39enugt mon ouftetbem

□ i ..■■'" fto l^ic Sßettorenabbition, ben

3"!^«" +' — . ~ entfpre^enb,
bie 35^6" 4-' — ' ==■ f'' '"'"'
man bie aJereinigung unb 3«=
legung 6ei n SBettoren burd)
bie C"

[F,]i[FJ+...[r.litFl

batftcllen, o^ine aJern)ed^fe=

lungen befür^ten ju muffen.

unb nun nocff ben Segeln bet

gemit^nltc^en (aiitlimetifi^en)

abbttton unb Subttattion at=

beiten unb aucCi beten 9[uä=

brüde (©nmme, S)ifferenj k.)

benugen.

gut aroei ffiettoten gilta-ffi.:

[ni

ilFJ

^[F]

[F,]

±[n

^[F,]

[F,l

A[1

^ [F,].

Oft ift eS 3nietftna&ig, bie gh^tungen ber Sßeltoten butifi SBintel ju
meffen unb gmifc^en biefen unb i^ren Söngen ©leii^nngen aufaufteHen, roelc^e
bie SBereinigung unb bie äetlegung oon SBeftoren ja^Ienmäfeig borftetten.

SJicS gilt 3unac^t für ben cinfaififten goÜ, in bem eS fii^ um aroei
ajeftDten ^anbeft. ttid«^ ja Bei gemeinfamem Utfptunge ftetS in einer
@bene liegen.

3n gig. 7 tfl bet asintel, atttifr^en F, unb F burdi ip-,, anrifdien V3
unb F butc^ 9)3, aroifd^en F, unb F3 buti^ <p bejeidinet, fo ba^ qo, + y, = y ift.'

V.] (Sittlettuttfl. 29

3ebeg SCeilbreted beS ^araUcIogrammS ent^ölt bie ©tu* V^, V^, V,

©cmgcmö^ faffen ftd^ alle 3luf gaben aug btm (Sebtete biefer ®rö^en
bur(§ bie gormein ber genjöl^nlid^en ^Trigonometrie löfen.

SSefonberS l^eroorsul^eben ftnb bie Oleid^ungen, meldte bem flofinuSfag
unb bem ©inugfaft entfpred^en, nömlid^:

F2 = V^ + VI — 2 FiF, cos(180o — q))\

= VI + VI + 2V^V^co8V i ' * ' *

unb

Fl : Fa : F = sin (p2 : sin qPi : sin (ISO^ — (p) \

= stn 9?2 • st»* 9^1 • 5*^ 9 }

mäjiXQ ftnb bie ©onberföHe (p = 0^ 90^ 180^ 270o. fjür 9? =
ift F = Fl + Fa. Dies aeigt anäj bie (Sleid^ung für F^ ba cos 0^ = 1

unb alfo F^ = (Fi + Fa)^ unb F = (±) (Fi + F,) ift. gür Fi = Fa
gilt F = 2 Fl = 2 Fa. ^ür 9? = 90« ift bag Parallelogramm ein
3te(§te(f, fo ba^ ber Safe beg ^ßrjtl^agoraS gilt. $ier ift cos 90^ = unb
F2 = Ff + VI; ebenfo gilt F . cos 91 = Fi unb F . cosg^a = V^ ober
F . sm 9i = Fa unb F . sin g?2 = ^i Joegen (p^ -\- q)^ = 90®. gür
Fl = Fa ift 9i = g?a = ^ö®. ^ür 9 = ISO^ ift F = ± (Fi — V^)
unb amar gilt für Fi > Fa ba^ getd^en + unb für Fa > Fi ba^
3eid§en — , faHS F pofitio ausfallen foH. gür Fi = Fa gilt F = 0.
gür (p = 2700 ift ba^ ßrgebniS für bie 3le(§nung baSfelbe mie für
(p = 900.

Slufeerbem oerbient no(§ ber ©onberfaH Fi = Fa allgemein l^eroor^:
gel^oben gu merben. $ier ift ba^ ^Parallelogramm eine Sftaute; man \)at

9i = 92 = — 9 unb V = 2 Fl cos -l" •

gür mand^e Qxüedt finb aud^ (oergl. gig. 7) nod^ bie folgenben
©leid^ungen nüftlid^:

i^^^ «, — ^1 _ Fa . sin y
*^^^^^ - fTT^ - Fi+ n.cos^p'

. Fl 4- Fa . cos 9 . , Fl

cot 9i = -^ ^r =^ COt(p + -= :

Fa . siw 9 V2 , stnq) ,

S)ie gormein für ^mei SSeltoren gelten an^ bei brei SSeltoren für ben
©onberfaH, bafe fid^ il^r ©tredfenjug fd^lie^t, ba')} alfo bie SSeltorenfumme
SRua ift.

$ier tritt nur F3 an bie ©teUe oon F afö SSeftor mit entgegengefegter
SRid^tung.

gül^rt man bie Slu^enminfel a^, a^, «3 beS SSeltorenbreiedEg ein, fo finb
biefe gugleid^ bie Sw'ift^cnminfel ber SBeltoren bei gemeinfamem -Urfprunge.
(aSergt. gig. 8 a. f. ©.)

®ie ©leid^ung Fi : Fj : F3 = siw^a • s«^9i : sm 9 gel^t bann über in:

Fl : Fa : F3 = sin «i : sin «a : sm «3 3)

30

(Stnleitung.

[V.

, aWan legt bicjeS ffirgcbniS in einem befonberen Softe nieber, bem Saft
t)on benbreiSßeltoren, raeld^er lautet: ©d^lie^t [v^ bet ©ttedtenjug breier

gig. 8.

a<

aSeftoren , fo oerl^alten
fte fld^ wie bie SinuS
il^rer 8nji|d^enn)in!el.

SBoQte man bief e ärt
ju rechnen, nömlid^ mit
$ülf e ber äBinlel ^i, 9)3, qp
graifd^en ben ©eitenoe!«
toren unb htm SKitteloel«
tor, öuf n aSeftoren av&^
belinen, fö mürbe felbft
in bem gaHe, bafe alle
aSeltoren in einer Sbene

liegen, fd^on für w = 3 ein Ergebnis von \t^x gmeifell^aftem SBerte gemcnnen

werben.

ajlan f dalägt beglialb einen ganj anberen SBeg ein. fjür ben gaQ eineg

ebenen StretfengugeS fül^rt man bie gange SRed^nung auf ben ©önberfaH

cp = 900 ^ejm. 9 =± 270^ für gmei SSeltoren aurüdt.

©aju gerlegt man jeben SSeftor nad^ Slngabe ber gig. 9.

®urd^ ben Urfprung be§ SSeltorS ftnb gmei, aufeinanber fenfred^te

©erabe X unb Y gejogen, meld^ floorbinatenad^f en l^ei^en unb, fdllS eS

gig. 9.

m.

1

-^►x

IV.

nötig ift, alg Slbfciffenad^fe ober
Xi=3ld^fe unb Drbinatenat^fe ober
r ^ 3l(|f e unterf d^ieben merben.
9luf jeber Sld^fe begeid^net ein
Doppelpfeil bie SHd^tung ber aSef*
toren, meldte atö pofitio gelten
foU. S)urd^ bie 8Id^fen mirb für
V ein ^Parallelogramm 00m
SBinfel 9? = 900 angebeutet,
meld^em bie QtiltQnnQ oon [V]
in F(*> = V, cosu unb F(y>
= V . sin u entfprid^t. ®cr
SBinlel a mirb oon btm 5ßfeile
ber X*8Id^fe an^ im ©inne beS
beigegebenen ©rel^ungSp feileg ge-
meffen, fo ba^ u für einen

aSeltor im SBinlelraume I gmifd^en Oo unb 90®, für einen aSeftor im SBinlet

räume II gmifd^en 90^ unb 180® liegt u. f. m.

gür [V] im SBinlelraume I ift 7^^) pofitio unb F(y> pofttio.

^ * /r ^ II /r ^ negatio , , pofitio.

^ ^ . . III ,r ^ negatio ^ ^ negatio.

^ ^ ^ >. ly /r ^ pofitio ^ ^ negatio.

.©agfelbe.aSorseid^enfd^ema gilt für cosa unb sina.

V.] dinleitung. 31

Snfolgebeffen f teilen bie ©leid^ungen F(*> =zy,co8(x, unb V^^ =zY.smu
bic Ordnen 7^*^ unb V^y^ einfc^Itepd^ beS aSorgetd^cnS in aUen Dter SBinlcI*
räumen bar, fo ha'i^ man auf btefe aSorgetd^cn bei ber 2itxlt%\xxiQ t)on [7] gar
nid^t befonberS ju ad^tcn brandet.

SKan l^at alfo allgemein folgenbe SSe^iel^ungen :

(Segeben: V, a ©egeben: .T^*), Fö/)

F(*> = F . cos« F2 = (F<'))2 4- (F<y))2

F^y) = F . siwa cosu ^^^ -r=r unb sma = -^r«

r

4)

SBenbet man biefe QtxltgaxiQ auf w SSeltoren Fi, Fg, . . ., "^n cm, meldEie
mit ber Xs:3ldE|fe bejm. bie SBinlel «i, «2. . . ., «n bilben, fo erl^ölt man
n ©eitent)e!toren in ber Z^SÜd^fe unb n ©eitenocitoren in ber rs3ld^fe/ meldte

begm. burc§ Ff*^ Vt\ .... F^*^ unb Ff^\ 1^^\ . . .,. F^^^ beseid^net merben

mögen. S)urdö gemöl^nlid^e algebraifd^e (+ unb — ) Slbbition laffen fid^ bie

n aSeltoren in ber XMä)\t ju X unb bie n SSeftoren ber r*8ld^fe ju T oer*
einigen, fo bafe man l^at:

X = FiCOS«! + F2Cösa2 + • • • Fncosan)

/ • • • • 5)
Y = Vi sin «1 -j- Fg sm of2 + ' * * ^n sin a« j

®amit ift ba§ ©t)ftem ber w SSeltoren gurüdtgcfül^rt auf gmei SSeltoren,
t)on benen einer in ber Z^Sld^fe unb einer in ber r^Sld^fe liegt. S)iefe laffen
ftd^ (9 = 900) J^ einem SSeftor [F] vereinigen, gemö^ ber (Sleid^ung 4)
begm. gig. 9, möbei F(^> unb X fömie V^y^ unb Y fid^ entfpred^en. ©em^
gemftfe gilt, faHg [F] mit ber X^Sld^fe ben SBinlel a bilbet:

F» = X2 + ra

F . cos a == X unb F . sin cc = Y

cos a = — unb stna = —

6)

®a§ oben gegebene aSorgeid^enf d^ema, auf X unb Y begm. coscc unb
sin cc angemanbt, geigt üon üoml^erein ben 3Bin!eIraum an, in bem [ V] Hegt.
Um biefe Setrad^tung auf n SSeftoren auggube^nen, beren Stredtenjug fid^
im Slaume minbet, errid^tet man in fenfred^t 5U ben 3ld^fen OX unb
OY eine britte 3ld^fe OZ (oergl. gimmeredfe). ®ie ©bene, meldte burd^ bie
Xs3Id^fe unb bie r^^Sld^fe beftimmt mirb^ J^ei^t XT^ßbene, u. f. m., ber
Slaum gerföUt l^ier in a^t SBinfelröume. 3Kan gelangt nun gu einem, bem
©onberfaHe 9 = 90® in ber . Sbene entfpred^enben SSerf al^ren im SRaume,
menn man einen SSeltor [F], btm ^arallelopipebon ber SSeltoren entfpred^enb,
nad^ ben 3ldt)fen jerlcgt. Solan beftimmt babei (oergl. gig. 10 a. f. @.) bie
aKd^tung be§ SJeltorg [F] gegen bie Steffen, inbem man bie brei SBinfel a,/3,y
ftetS auf bem Iü|:3eften äßege gegen bie mit 5ßfeilfpi§en oerfel^enen Seiten ber
ai^fen mifet, fo ba^ biefe äöinlel in ben ©rengen 0» . . .. 1 80 0; liegen, ßg
ift bann^,' mie für a unb y in gig. 10 beutlid^ (oergl. bie diagonalen in ben
©eitenebenen) gu f eifert ift: . l \ : . '.

32 dinleitung. [V.

Y(x) _- Ycosoc,
F(y> = Vcos ß,
F(') = Vcos y.

S)a nad^ einem belannten ©afte ber ©tereometrie boS Ouabrat ber
©iagonalad^fe cineS 9le(f|tlant§ gleid^ ber Summe ber Duabrate breter an«
fto^enben flanten tft, fo gilt:

= F2(cos2a + COS2/3 + cos^y).
S)cmnad^ ift:

b. \ bie brei SBinlel a, ß, y finb, mie anä) in geometrifd^er §inft(^t leicht
5u crfelien ift, nid^t tjöneinanber unabl^ängig. Qat man gtuei t)on il^nen,

Z giß. 10.

3. 83. a unb /3, beftimmt, fo ift anä) cos^y einbeutig beftimmt unb bemnad§
anäj cos y biS auf "ta^ aSor^cid^en ±.

Um cos y tuirllid^] gu beftimmen , formt man cos^ a unb cos^ ß um
gemäfe ber (Slctd^ung 1 ■\- cos2tf> =. 2cös2g? unb gelangt fö ju:

cos

y = ib V — cos (a + /3) cos (a — /3).

ßtegt ;[F] in ber zr*®bene, fo ift «4-/3 = 90« unb bemnad^
cosy = 0, b. ]^. y = 90«. Siegt [F] nid^t in ber Xr^^öbene, fo ift
a 4- /3 > 900 yxa\^ bemnad^ — cos{a\ ß) eine pofitioe (Srö^e, fo ba^ ber
8Iu§brudE unter ber Duabratmur^el burd^ — cos (a + ß) nid^t negatio mirb.

®ie Sftid^tung oon [F] ift bemnadEi burd^ 3lngabe oon a unb ß unb beg
SSoraeid^enS oon cos y einbeutig beftimmt ; ftatt beS aSorgeidöenS oon cos y
lann an^ bie 3lngabe bienen, ob y fpig ober ftumpf ift.

V.]

(Einleitung.

33

3lIIgcmetn mag bcmerft n)erben, ba^ eine 3ttd§tnng in ber @6ene burt^
einen SBinfel (uergl. a int ©rjftem XY) beftimmt tft, im Sftaume bnrd^
am ei SBinfel (oergl. I^ier a unb ß im ©tjfteme X YZ) unb eine ergön^enbe
aSeftimmung. ßegtereg ^eigt andi) ba§ ©gftem ber ßöngen unb breiten für
bie ßrboberfläd^e, mo iebenfaHS für bie breite l^tnsugefügt merben mu^, ob
fte nörblid^ ober füblid^ 5U nehmen ift.

®a§ aSoraeid^enfd^ema für bie a^t SBinlelräume, einmal für bie Seiten-
oectoren unb einmal für cosu, cosß, cosy angefegt, ^eigt a\x^ ^\tx, ha^ bie
©leid^ungen ber fjigur, 10 für jebe ßage oon [F] gelten. 3Jlan l^at alfo
allgemein :

(Segeben: F(^>, V^y\ F(^)

F2 = (F(^))2 4- {y^y)y -[- (7(«))2

©egeben: Y, a, ß, y

y (y) _ Ycosß
F(^> = y cosy

cos a

cos ß =

cos y =

F

7(y)

y(^)

7)

cos^a 4" <^s2 /3 + cos2 y = 1 ober cosy = ± V — cös(a + ß)cos(a — ß)

Qat man nun n SSeltoren Fj, Fg, . . ., Yn, meldte mit ben 31(§fen bejm.
bie SBinM («i, /3,, y,), («2, /?2. ^2)/ • • •/ («n, ßn, yn) bilben, fo bezaubert
man jeben biefer SSeltoren am Urfprunge mä) ben (Sleid^ungen 7).

So erl^ölt man je n Seitenocftoren innerl^alb jeber %ä)\e, S)ie SJel*

loren in ber XMi^\t f{*^, Ff ^ . . ., Y^"'^ laffen fid^, mie im gaQe beS ebenen
©tredtengugeg, 3U einem SSeftor X ^ufammenf äffen, u. f. m. Solan l^at bann:

X= Fl cos «1 -|- ^2Cösa2 + • • • Fncosa» 1

Y= Y^cosßi + Y^cosß^ + • . • YnCOSßn [ • • • 8)

Z = Y^ cos yi + F2 cos ^2 + • • • Vn cos yn f

9Iu§ biefen brei ©eitenoeltoren bilbet man nun gcmä^ fjig. 10 einen
Sftitteloeftor [Y], mobei fid^ F(^) unb X F^^) unb Y, F(*) unb Z ent*
fpred^en. Silbet [F] mit ben 3ld^fen begm. bie 3öin!el a, ß, y, fo gilt:

F2 = X2 + r2 + Z2

Fcos a = X Fcos/3 = Y, Ycosy = Z

cos u = —, cos ß

-, cosy = y

9)

S)a^ bie ©leid^ungen 8) unb 9) bie ©leid^ungen 5) unb 6) afö ©onber^
faH enthalten, ift leidet gu erfel^en.

3n meld^em SBinMraume ber Sölitteloeftor F liegt, ift au§ htm SSor^
jeid^enfd^ema für bie ad§t SBinfelräume oon oorn^erein gu erlennen.

S)ie red^nerifd^e SBe^anblung ber geometrifd^en 3lbbition geftattet eine
elegante ßufammenfaffung, menn man ben Saft benugt: ®ie ^rojeftion eineS
gefd^Ioffenen ©tredfengugeg oon ein^eitlid^em Sinne l^at für jebe 3ld^fe btn
SBert SRuH.

SBetnidfc, SWcd^anil. I. q

ai Einleitung. [Y.

S3ct ber SBereinigung von n SSeftoren gelangt man im allgemeinen ju
einem offenen StreÄenäuge oon einlieitlid^em Sinne unb ju einer ©d^lu^Iinie
oon entgegengefeitem @inne, fo ba')} eine Umlel^rung bed Sinnet ber Sd^lngj*
linie gu einem gefd^Ioffenen ©tredtenjuge oon einl^eitlid^em Sinne fül^rt.

Shirc^ ^ojeltion biefeS ©trcdenaugeS auf bie X:«8I(f|fe gewinnt man
fofort bie Oleid^ung:

Vi cos Ol + V2C0sa2 + • • • Vncosan — Vcosa = 0,

meldte mit ben entfpred^enben ®Iei(f|ungen für bie r«8I(^fe unb ZM^\z mieber
ju ben ®Ietd^ungen 8) unb 9) fül^rt.

©oK fi(| ber ©tredenjug ber SBeftoren oon felbft fd^Iie^en, fo mn%
beffen 5ßrojeItion auf aUe brei Steffen ben SBert 9luII l^aben.

®iefer mid^tige gaß, in meldEiem bie aSeltorenfummebei geometrifdEier

8lbbition JluU ift, geigt ftd^ in ben ®Ieid^ungen 6) unb 9) baburd^ an, ba^

augtcid^

X=0, Y=0, Z=0 10)

ift.

S)a nömlid^ F^ bie Summe ber Duabrate ber reellen ®rö^en X, Y, Z
x% fo lann V nur beti SBert 9luII ^aben, menn jebe biefcr ®rd^en felbft btn
SBert SftuII l^at.

Sei mand^cn Slufgaben fpielt anc^ ber red^nerifd^e 8lugbru(f für ben
gmifd^enminlel 9 gmeier SSeltoren Vi unb Fj im SRaume, ber btm SBinlel g>
beS 5ßaraQelogramm8 in ber ffibene genau entfprid^t, eine SRotte.

$aben Fj unb V^ beam. bie SBinlel («i, /3j, yi) unb {cc^, ßz, ^2) Ö^flen
bie 3ld^fen, fo gilt:

cosq) = cosai cosa^ + cosßi cosß^ + cosyi cosy^ • • H)

aSerbinbet man bie Snbpunftc ber in entfpringenben SSeftoren [FJ
unb [F2] burd^ eine Strcdte m, fo ift nad^ btxn gemöl^nlid^en flofinuSfafte:

y? + yi — »w2

1. cos w = — ^ — - — •

^ 2 Fl F2

S)a aber m S)iagonalad^fe in einem 5ßaraIIelepipebon ift, beffen anftofeenbe

flauten beam. bie Unterfd^iebe oon vf^ unb vi'^^ F?^ unb F^^\ F^'^ unb Fi'^
ftnb, fo ift mit 9lüdtfid^t auf bie ®leid^ngen 7):

= y2 ^ Yi _ 2{vf^ V^^^ + V"^^ vT + V['^ Vi'^),
3lug 2. unb 1. folgt, gleid^faHg mit SftüdEfid^t auf bie ©leid^ungen 7):

yix) yix) _^ yiy) y(y) _^ yiz) y(zy

3. cos (p =

v.v,

2

yf) yix) y^y) y(y) y(z) yiz

+ "TT- • "t7 r

Vi V2 . Vi V2 Vi V2

= cos Ofi cos «2 + CÖS ßi cos ß2 "h COS ^j COS ^2'

©OH 9 = 90^ fein, fo ift cos 9 = 0, b. f). man f)at :

V.]

(^tflettung.

cos Ol coso^ + cosßi cosßi + cosyi cosy^ ==

für (p = 900.

35
. 12)

giß. 11.

Sunt ©d^Iuffe Betrachten voxx tioä) bie aäcgiel^ungen art)tfci)en jtüei SSef*
torenbreicden auS benfetten aSeltoren bei oerfd^iebenen Urfprüngen, unb gwar
unter ber aSorauSfe^ung, ba^ babei bie ganje gtgur in einer ©bene liegt.
3n gig. 11 ift bie Äonftrultion für bk beiben Urfprünge unb 0' bur^*
gefül^rt. 3Kan ftel^t föfort, ba^ bie brei ^orallelogramme, oon benen jebeä
burd^ bie oerf d^iebenen
Sagen beSfetten SSel* I

torg beftimmt rairb, ^<

in einer einfad^en SJe*
aiel^ung ftel^en. %üQt
man nömlid^ ber
©umme ber ^ßaroDes:
logramme Oll'O'
unb 12 2'1' auf ber..
redeten ©eite ba^
SeItorenbreiedtO'1'2'
l^inau, möl^renb man
auf ber linlen Seite
baS aSeftorenbreicdf 012 fortnimmt, fo entfielet bag ^ßarattelogramm 02 2' 0'.
Um biefe SJejiel^ung auf einen geeigneten 3IugbrudE gu bringen, benfen mir
uns ba^ aSeftorenbreiedt erft am Urfprünge gegeid^net unb bann an ben
Urfprung 0' oerf droben, fo ba^ babei' auf OX gleitet unb bie S)reie(f8*
feiten ftetS paraKel ju fid^ fettft bleiben, gür biefe SSerfd^iebung gilt
bann ber Saft: S)ie Summe ber SßaraUelogrammflöd^en, meldte bie beiben
©eitenoeltoren V^ unb Fi befd^reiben, ift gleid^ ber 5ßaraQelogrommfIftd^e^
meldte ber 3JHtteIoeftor F befd^reibt.

Sejeid^net man bie SBinlel ber SSeftoren gegen bie X*3ld^fe be^m. mit
«1, «2 unb cc, fo l^aben biefe ^ßaraßelogramme für 0' = s afö ®runb*
Knie be^m. bie §öl^en Fj sin o^, V^ sin a^ unb V sin a, b. 1^. man f^ai :

Vissina^ + V2ssinu2 =^ Vssinu 13)

ober nad^ Slilgung oon s

Vi sin «1 + V^sina2 = V sin a.

SHefe ©leid^ung ftellt bie bereits entnridtelte SBejiel^ung ber flompo*
nenten oon V^, V^ unb V nad^ ber r*3ld^fe bar, fo ba^ ftd^ av& \^x
mieberum buri^ 3KuItiplifation mit s bie entfpred^enbe (Sleid^ung jmifd^en
ben SßaraHelogrammflöd^en gewinnen lö^t.

SKuItipIi^iert man bie (Sleid^ung für bie flomponenten nad^ ber X^Sld^fe
mit s, fo erfjölt man:

V^scosai + F2Scosa2 = Vscosa 14)

3)iefe ©leid^ung bejiel^t fid^ auf eine entfpred^enbe SSerfd^iebung be^
aScItorenbreiedES, bei ber auf ber r*9ld^fe um s oorrüdtt.

36 dinleituhö. [V-

®tefe aSetrad^tung Wfet ftd^ ol^nc toeitereS auf beliebig oiele SSeltoren
Vu ^2f . . V Fn auSbel^nen.

aSon ben beiben Komponenten Vcosa unb Vsina cineS SSeltorS [F]
liegt ftetS bie eine Vcosa inner l^olb ber Oeraben OX, raeld^e burd^ bie
aSerfd^iebung s beftimmt roirb, bie anbere Vsina au^erl^alb biefer ®eraben
unb sraar fenlred^t ju il^r. 3nfölgebeffen bejeid^net man Vscoscc afö
innere^ unb Vssina afö öu^ereS ^ßrobult beS SSeftorg [V] ünb ber
aSerjd^iebung s, %a^i man au(^ bie SSerfd^iebung s afö SSeltor auf, fo !ann
man nod^ bie Komponenten scosa unb ssma bilben, oon bcnen bie erftere
innetl^alb ber ©eroben liegt, meldte burd^ [V] beftimmt mirb, möl^renb
bie festere au^erl^alb bief er ®eraben liegt unb jmar f enf red^t gu if|r. S)o8
innere 5ßrobuft ber äJeltoren [V] unb [s] mirb bzmnac^ gebilbet, inbem
mon ben einen SSeltoymit ber Komponente beg anberen multipliaiert, meldte
innerl^alb ber (Seraben beS erften SSeftorS liegt S)ie anbere Komponente
liefert baS entfpred^enbe äußere ^robuft.

S)emgemä^ taffen ftd^ bie (Sleid^ungen 13) unb 14) in il^rer Slui^bel^nung
auf n aSeltoren folgenberma^en auSfpred^en:

SBenn n SJeftoren [FJ, [V^l . . ., [Vn] ben aKitteloeltor [F] liefern, fo
ift fomol^I baS innere aK anä) ba^ öu^ere 5ßrobuft beS aWittcIoeftorS [V]
unb einer SSerfd^iebung [s] gleid^ ber Summe ber entfpred^enben ^robufte ber
eingelnen ©eitenoeftoren.

S)abei finb bie SSorjeid^en ber eingelnen 5ßrobufte forgföltig gu be*
ad^ten, mie fie ben (Sleid^ungen 13) unb 14) bejm. 5) unb 6) entfpred^en.

Dag öufeere ^ßrobult Vssina f)ai für a = 0^ . , . 180^ ba^ SSor::
jeid^en + unb für a = 180» . . . 360o ba^ aSorjeid^cn — .

3ur aSeranfd^auIid^ung bief er SSerl^öItniffe ift eg groedtmöfeig, oon bem
Gnbpunite 0' ber SSerfd^iebung [s] auf [V] ein 2ot p gu föBen. %üx bie

gig^ ;12. ^^0^ ^^" [^] ""^ W ^" 9^9- 12 ift

j? = s siw a unb bemnad^ Vp = Fs sm a,

fo ba^ alfo bag äußere Sßrobuft aug

F unb p gebilbet erfd^eint. ©oH biefe

SBegie^ung für jebe 2age oon [F] unb

[s] gelten, fo mu^ man bem 5ßrobuIte

Fi? für a = 0« . . . 1800 bag »or^

3eid^en + unb für a = 180^ . . . 360^

bag SSor^eid^en — geben. S)enft man

fid^ 0' alg ©rel^punft für eine Se*

"^^" X megung, meldte bem Pfeile oon [ F] ent*

fprid^t, fo ftimmt biefe Semegung in

i^rem ©inne für « = 0« . . . 180»

überein mit ber U^raeigerbemegung,

für cc = 180<^ . . . 3600 mit bercn ©egenbemcgung, b. ^. man l^at bem ^xo^

bulte Vp bag SSorjeid^en + ober — ju geben, je nad^bem bie Seroegung

um 0' mit ber U^rjeigerbemegung übereinftimmt ober nid^t.

fjür ben 3IugbrudE ^öu^ereg ^robult" ift aud^ berSftame^älloment*

gebröud^Iid^, namentlid^ menn [F] eine Kraft barfteHt, unb ^mar gemä^ folgenber

V.]

(Einleitung.

37

©cfinttion: Unter htm SKomente etneg SSeltorg in SBcjug auf einen
5ßunlt 0' oerftel^t man baS ^ßrobult an^ her SKa^jal^I beg SSeltörS unb ber
SRafea^^I i>e8 t)on 0' auf i^n geföHten ßoteS (3lrm beS SJeftorg für 0') unb
jnjar mit htm Sßorjeid^en -f ober — , je na^tm bie SBemegung um 0' mit
ber Ul^rjeigerbemegung übereinftimmt ober nii^t.

3n gig. 13 finb beibe göHe bargefteUt: bie ^ßaraHelogrammflöd^en fteHen
ha^ 3Koment, bie fd^raffierten Sreiedtgfläd^en baS l^albe 3Koment bar.

©er @aö über baS äußere 5ßrobuIt geminnt innerl^alb biefer SSer^
anf(^auli(f|ung, bei meld^er alle äJeftoren il^ren Urfprung in J^aben, nun
folgenbe gform:

gür n SSeltoren oom Urfprunge tft ba^ SJloment beS 3KitteI*
oe!tor§ in SSejug auf einen 5ßunft 0' gleidEi btx Summe ber 3Ko*
mente ber einjelnen aSe!toren in aSegug auf benfelben $unlt Ö'.

3Kan bejeid^net biefen Sag ate ben äJlomentenfag für SSeltoren.
S)a§ innere 5ßrobuIt Vscosa ^at für a = 0® . . . 90» unb für
a = 2700 . . . 360» ba^ SSoraeid^en + unb für « = 90» . . . 270» ba»

gig. 13. gfig. 14.

=^

B

SSor3ei(§en — . S^x SSeranfd^auIid^ung biefer SSerl^öItniffe ift e§ gmedEmöfeig,
bie aSerfd^iebung im Sinne be8 SSeltorS oon ber entgegengefegten SSerfd^iebung
3U unterfd^eiben, je na^btm bie Komponente [Vcoscc] in il^rer SKd^tung mit
ber SHd^tung oon [s] übereinftimmt ober nid^t. ®ag SSorjeid^en + entfprid^t
bem erftercn, ba^ SSor^eid^cn — bem leftteren gälte. %nx ben 3lu§brudt
^inneres ^robult* ift aud^ ber 9lame ,3lrbeit* gebröud^Iid^, naments^
lid^ menn [V] eine Äraft barfteHt, unb jmar gema^ folgenber Definition:
Unter ber SIrbeit etneS SSeltorS für eine SScrfd^iebung [s] oerfte^t man
baS ^robult an^ ben aKa^jal^Ien ber aSerfd^iebung unb ber Komponente beg
aSeftorg, meldte in bie burd§ bie SSerfd^iebung beftimmte (Serabe fällt, unb
aroar mit bem SSoraeid^en + ober — , je nad^bem bie SSerfd^iebung im ©inne
beS aSeftorS erfolgt ober ntd^t.

3n gig. 14 finb beibe gatte bargefteUt.

3)er Sag über bag innere ^robuft gewinnt innerl^alb biefer aSer*
anfd^aulid^ung, bei meldEier alle SSeftoren il^ren Urfprung in f)ahtn, nun
folgenbe gorm:

38 (ginleitunfl. [V.

gür n SSeltoren t)om Urfprunge ift bie 8lrBett bcS SKittel^
oeltorS für eine SSerfd^tebung 0' = 8 glcid^ ber Summe ber
Arbeiten ber eingelnen SBeÜoren für biefelbe SSerfdEiiebung 00* = s.

Sluf einen Unterfd^ieb beS inneren unb beS äußeren ^ßrobufteS begm. bc8
SRomenteS unb ber Slrbeit mag nod^ aufmerifam gemad^t mcrbcn. S)en!t
man ftd^ bie Sbene ber 3^i^nui^9 einmal t)on obzn unb einmal vm unten
betradjtet, fo bleiben bie SSeftimmungcn ber SSorjeid^en für bie 3lrbeit bie«*
fetten, mäl^renb bie Seftimmungen ber SSorgeid^en für baS ättoment fid^
umlel^ren. (Seid^nung auf ®Ia8 ober ^ßauSpapier !) SBiH man aud^ für baS
SRoment eine bnx^an^ einbeutige SBeftimmung l^aben, fo mu^ man bie eine
©eite ber S^i^n^ene, 3. SB. bie obere, ein* für aHemal aI8 biejenige Seite
l^eroorl^eben , auf meldte ber SSefd^auer blidt, unb in meld^er aud^ ba^ 5ur
aJergleid^ung bienenbe Qifferblatt ber Ul^r liegenb gebadEjt mirb. S)a eS ftd^
aber für bie ^ßrajiS nur um ben Unterfd^ieb in ben SSorjeid^en ber SJlomcnte
l^anbelt, fo ift eS giemlid^ gleid^gültig, meldEie 3Komente atö pofitio unb meldte
afö negatio begeidEinet merben, menn nur ber ©egenfaft fettft fd^arf be:^
adjtet mirb.

(Srfter Stbfc^nttt.

"^ffoxonomu ober ^eine ^eweflunflsreliie,

drftcS flapttel.

f te ©runibegriffe hex ^tfaxammit.

1. Semegung einel^ ftatren ^ör^erl^. S)te Sage eine§ ftarren StörperiS
(ocrgl. ®inlettuttg, ©. 2 u. f.) im SRaumc ift bclannt, wenn man von icbem
feiner 5ßunlte angeben lann, in vozl^em Sßunfte beS SlaumeS er liegt.

Um biefe ßagenbeftimmungen burd^jufül^ren, fd^rönft man bie freie SBe*
mcglid^leit beS ftörperS nad^ unb na^ ein.

SBäl^It man gunöd^ft einen $unlt Ä beS flörperS an% unb legt il^n
in ben Sßnnft Ä' bcg SRaumeS, fö lann fid^ ber flörper nod^ um Ä htstv. A'
bemegen, er fann ©d^menlungen (^unftbrel^ungen) nm Ä bejm. A' aug«
fül^ren. S)abei bemegt fid^ jeber anbere $unlt B bi^ flörperS auf einer,
feinem feften 3tbftanbe t)on Ä entfpredEienben Äugel, er befd^reibt eine fpl^ö*
rifd^e ßinie.

SBeifpiel: Äugelgelenl eineS (SaSarmeS.

SBöl^It man nod^ einen jmeiten 5ßunft B beS ÄörperiS an^ unb
legt i^n in ben $ßunlt B' beS ^anmt^ (AB = A'B"), fo ift bie ®erabe^-B
beS flörperg in il^rer Sage beftimmt, b. 1^. aßen fünften be§ flörperS, meldte
auf ber ®eraben AB liegen, finb beftimmte fünfte be§ 3laumeg einbeutig
angemiefen. ®er fldrper lann fid^ nod^ um bie 3ld^fe AB begm. A'B^ be*
megen, er lann ©rel^ungen (Sld^fenbre^ungen) nm AB beam. A'B' an^^
fül^ren. S)abei bemegt fidEi jeber anbere $unft C beg ftörperS auf einem
feinem feften SIbftanbe döu ber Sld^fe entfpred^enben Äreife, beffen Sbene
fenfeed^t gur 8Id^fe ift.

aSeifpiele: Siöber, i&ebel, SBeHen u. f. m.

SBöl^It man nod^ einen britten 5ßunlt C beS flörperg aug, meld^er
fid^ natürlid^ nid^t auf ber bereite feftgelegten ®eraben AB befinben barf,
unb legt il^n in ben $unlt C beg ^anme^ iAG=A'C' unb BG = B'C),
fo ift ber gange flörper in fetner Sage beftimmt, b. f), allen fünften beiS

40 (SrfteS Äapitel. [§ 2.

flörperS finb bcfttmmtc 5ßunlte be§ SftaumcS cinbeuttg angcraiclcn. 3) er
flörper ift unBetüeglid^.

Scifpielc: SlufftcHung cincg brcibcinigcn S^ifd^cg. Stoppen eineS fid^
brel^enben SRabeS burd^ geftllemmcn be§ SRabfranjeS.

2)er Setüetö biefer Setrad^tungen folgt unmittelbar aug ben (Srnnbföften
(Sljiömen) bcr ©eometrie, njonad^ ein ^unlt im Slaume einen unb nur
einen ^unft, gmei fünfte im Slaume eine unb nur eine ©erabe, brei
^unlte im Sftaume, meldte nid^t in einer (Seraben liegen, eine unb nur eine
(Ebene beftimmen.

S)enlt man fid^ bie fünfte A, B, C beg ÄörperS 5U einem ftarren
S)reiedE üerbunben, meld^eS in ber golge Säemegung^breiedE l^eifeen mag,
\o ift bie ßagenbeftimmung be§ ÄörperS auf bie ßagenbeftimmung eine^
fold^en ©reiedfg gurüdtgefü^rt.

SBeifpiel: SBö^It man für bie ®rbe ben Sftorbpol, ben 3KitteIpunft unb
ben 3luIIpun!t ber ßängenmeffung (auf htm Äquator) als ©dfen beS Ses=
megungSbreiedES, fo ift bie ßage ber Srbe im SRaume gegeben, föbalb bie
ßage biefeg S)reiedE§ im SRaume belannt ift.

Seftimmt man nun bie ßagenönberung eineg fold^en SBemegungS*
breiedES be8 ftarren flörperS, fo beftimmt man bamtt'jugleid^ bie ßagen*
önberung beg Äörperg felbft.

S)emgemö^ ift bie Semegung eineS ftarren flörperS beftimmt,
menn man:

1. bie ßage beg SemegungSbreiedE^ ABC xm Äörper fennt
unb menn man

2. bie ßage beS SBemegungSbretedtS ^jBC im Sftaume für jeben QeiU
punit angeben lann.

% ä$erf(^tebung unb 2)re^ung eine^ ftarren ^örperd« Unter ben
aSemegungen eineg ftarren fförperS finb gmei, fomol^I in tl^eoretifd^er als anä)
in praltifd^er ^infid^t oon befonberer Sebeutung, bie SSerf d^iebung, ge*
nauer ^araKeloerfd^iebung (SlranSIation), unb bie ©rel^ung, genauer
Sld^fenbrel^ung (SRotation).

3n tl^eoretifd^er ^infid^t ift ju bemerlen, ba^ \xä) alle Semegungen
eines ftarren ÄörperS auf SSerfd^iebungen unb S)re^ungen jurüdEfül^ren
laffen, in praftifd^er ©infid^t, ba^ bie Semegungen, meldte bei unferen
3Kaf deinen oermenbet merben, in übermiegenber SBe^räa^I SSerfd^iebungen
unb ©rel^ungen finb.

Seifpiele: ättafd^inenmobeHe.

S)ie Semegung eineS ftarren ÄörperS mirb SSerfd^iebung genannt,
menn ein SemegungSbreiedE ABC beS fiörperS fid^ ftetS parallel gu fid^
felbft bemegt. ßiegt ba^ ©reiedE einmal in ben Sftaumpunften Au B'u C[
unb ein anber SBal in ben 9taumpun!ten Ä2, B2, C2, fo ift bann ^ier
A[B'i II Ä2B2 unb A'^C'i 'II Ä2C2 unb an(!^ B[C[ II B^Cl b. ^. amei
ßagen beS SemegungSbretedES laffen fid§ al§ ®runbfIädE)en eineS breifeitigen
^riSmaS auffaffen unb bemnad^ finb aud^ al§ beffen Kanten bie ©tredEen
A'iA2, B\B'2, C'i C'2 einanber gleid§ unb parallel.

§ 2.] S^erfdgiebung unb 2)te]gung eines ftarten AörperS. 41

Stimmt man einen beliebigen 5ßunft beS Sörperg D l^ingu, beffen ent*
fpred^enbe ßagen im SHaum Dl unb 2>i finb, jo ift Ä^I)\ // -4i2>i u. f. m.
unb barum ift aud^ Di Di = J-i -42 unb Di Di // J-i Ä^ u. j. m., b. 1^. olle
5ßunfte beg flötperS ftnb in ber gmeitcn Soge gegen bie erfte ßoge um
©treden üerfd^oBen^ bie unter fid^ gleid^ unb einanber paraM finb.

©inb Äu Ä2, A'z, . , . Sagen oon A, meldte nad^einanber mäl^renb ber
Semegung eingenommen merben, unb finb Di, Di, Di^ ... bie entfpred^enben
ßagen oon B, \o ift ber ©tredfengug ^i ^i Js . . . bem ©tredtenauge
Dl Di D 3 . . . fongruent, unb bie entfpred^enben StredEen beiber ^%t, mie
^4i-4i unb Di Di, finb einanber parallel.

3e naiver aneinanber man bie ßagen ^i, -4i, -4^, . . . üon A annimmt,
um fo nöl^er rüdfen aud^ bie Sagen Di, Di, Di, . . . üon D aneinanber,
unb um fo genauer ftellen jene ©tredtengüge bie ßinien bar, auf benen fid^
A unb D tl^atföd^Iid^ bemegen.

äBenn fid^ alfo A auf einer beliebigen ßinie bemegt, fo befd^reibt D
eine biefer ßinie fongruente ßinie. SBeibe ßinien finb paraHel^gelagert, b. 1^.
amei entfpred^enbe 5ßun!tpaare -4i, A'z unb Di, Di bilben ein ^Parallelogramm.

SSringt man bie beiben ßinien burd^ aSerfd^iebung oon -4i nad^ Di gur
S)edEung, fo unterfd^eiben fid^ bie Semegungen oon A unb D in leiner SSeife,
b. \). bie Säemegung oon D ift ein genaueg Sttbbilb ber Semegung oon A,

®agfelbe gilt für bie Semegung oon A unb C, oon A unb D u. f. m.

Sei ber SSerfd^iebung eincg ftarren Äörperg finb alfo bie S5e*
megungen aller 5ßunlte beS ÄörperS genau biefelben unb geücn
auf unter fid^ fongruenten unb parallelsgelagertcn ßinien oor fid^.

S)emnad^ l^at man nur bie SBemegung eineg Äörperpuniteg A
genauer ju unterfud^en, um bie SBemegung beS ganjen Äörperg gu be*
ftimmen, oorauSgef cgt , ba^ man aa^erbem bie Stellung beS SemegungS*
breiedtg J. D C im Slaume für einen beliebigen 5ßunf t ber oon A bef d^riebenen
ßinie fennt. ®ie ßinie, meldte A befd^reibt, Reifet eine ßeitlinie für bie
aSerfd^iebung ber Äörperbemegung.

Seifpiel: S)ie Semegung ber Srbad^fe bei il^rer Semegung um bie ©onne
ift (in erfter Stnnöl^erung) eine aSerfd^iebung. SBäl^lt man htn 3Kittelpunft
ber Krbe alg 5ßunft A, fo ift bie oon A burd^laufene ßinie bie Krbbal^n.
Sennt man bie ßage ber Srbad^fe im SRaume für einen 5ßunlt biefer Säal^n,
fo lennt man fie awi^ für alle anberen 5ßunfte ber SSal^n. SRorbpol unb
©übpol befd^reiben ßinien, meiere ber ßrbbal^n fongruent unb ju il^r parallel^
gelagert finb; bie Sttd^fe felbft befd^reibt einen fd^iefcn ©tjUnber. SBürbe fid^
bie Srbe nid^t um iljre Sttd^fe breljen, fo mürbe bie einmalige geftfteUung
ber ßage beS SJemegungSbreiedtS im Sftaume (aufeer ber Sld^fe löme nod^
etroa ber SftuHpunft ber ßängenmeffung auf bem Äquator in grage) für bie
ßage ber ganjen Srbe im SRaume beftimmenb fein.

S)ie aSemegung eineS ftarren Äörperg mirb ©rel^ung, genauer Sld^fens»
brel^ung (Slotation) genannt, menn ^mei 5ßunfte A unb D eineS aSemegungS*
breiedfg mit amei 5ßunlten Ä unb D' be§ SHaumeS jufammenf allen, fo ba^
fid^ ber Äörper nur \xm bie ©erabe AB beam. A' B', meldte 3td^fe l^ei^t,
bemegen lann. (aSergl. § 1.)

42

(SrfteS Stapittl

[§2.

S)cr brittc $unlt C bc8 SBcrocgungSbrctcdfS Befd^teiBt einen ftreiS, beffen
SBene jur Sld^fe fenhed^t fielet, unb an^ar ift ber 8lBftanb beS fünfte» C
t)on ber 3ld^fe ber SRabiuS btejeS ftreifeS.

S)a8felbe gilt t)on iebem vierten Sßunlte D beS ÄörperS, faltö er nid^t
in ber 3l(^fe ul-B liegt.

Slud^ bei biefer Senjegung lä^t fid^ bie Seroegung beg gangen
ftörper» auf bie Sen^egung eineg fünftes aurüdtfül^ren.

SÄHe fünfte be8 ÄörperS , wcld^e benf elben SlBftanb r von ber 8Id^fe
l^aben, liegen auf. einem geraben ftreiScglinber oom 3labiu8 r, beffen 3ld|fe
bie S)re]^ung8ad^fe ift. Sitte biefe 5ßunlte l^aben genau biefelbe SSeroegung,
b. f). bie Salinen, roeld^e fie burd^Iaufen, finb fongruent, unb Bei entfpred^en«
ber S)edfung biefer Salinen finb bie SSeroegungen ber einjelnen ^unifte nid^t
uoneinanber gu unterfd^eiben.

Qwex 5ßunlte wn ben Stbftänben ri unb rg l^aben uerfd^iebene SBe*
roegungen. Um biefe Semegungcn miteinanber ju oergleid^en , jeid^net man
bie ^Punfte beg ÄörperS an^, meldte bie ßin^eit ber ßängenmeffung (im
attgemeinen Im) atö 3tBftanb üon ber 3ld^fe l^aBen. 3^re ©efamtl^eit
Bilbet ben Sinl^eitScglinber, meld^er burd^ eine (Ebene fenhed^t jur Sld^fe

gig. 15. in einem Sinl^eit^lreife gefd^nitten mirb.

8luf einem fo(d^en Sinl^eitSfreife bemegt
fid^ jeber ber auSgejeid^neten fünfte, ber
fogenannten Sinl^eitSpunlte.

2egt man nun fenhed^t gur ©rel^ungS^
ad^fe eine SBene, fo werben ber Ktjlinber
com SHabiuS r unb ber ffiinl^eitgcqlinber
begm. in ftreifen t)om 3labiu8 r unb vom
aiabiuS 1 gefd^nitten, beren gemeinfamer
3KitteIpunft in ber ®re]^ung8ad^fe liegt,
fünfte beiber Sreife, meldte auf einem
SflabiuS liegen, mögen entfpred^enbe
5ßunlte l^cifeen.

ajemegt ftd^ nun (üergl. gig. 15) ein 5ßunft W beS Äörperg, meld^er
ben 3lBftanb r oon ber 3ld^fe l^at, .aug ber Sage P' in bie 2age P, \o Bemegt
fid^ ber entfpred^enbe ßinl^eitSpunft an^ ber Sage E' in bie ßage E.

saug fp : E^ = r : 1 folgt Fp = r . E^, b. 1^. ber Sogen jfp,
ben ein beliebiger 5ßunlt W com Slbftanbe r bcfd^rcibt, ift ftet§ ba^ 5ßrobu!t

au8 bem entfpred^enben Sogen am ©inl^eitSlreife E'E unb bem Slbftanbe r.
S)emgemä^ Brandet man nur bie SBemegung eineS ©inl^eitgpunfteS
JU Beftimmen, um bie Semegung iebcS beliebigen ^ßunlteS W vom
SIBftanbe r barguftetten.

gür bie »ered^nung oon E^ gilt für 2iE'0E = s:

]

b. 1^.:

E'E : 2jr = «0 : 360o

E' E =

3600

. 2n.

§2.]

SDetfdgiebung unb S)re^ung eines ftarren £drperS.

43

SKan Bcacid^net

360«

• 2 jr mit .3trcu8 t)on a' ober .3lrcu8 a* unb

lürjt biefe Seactd^nung aB burd^ arc a, tüobci baS SBort Sttrcug (Sogen) ftetS

ben Sögen (im Sinl^eitSlreife bebeutet, b. 1^. an einem ftreife, beffen

StobiuS bie ffiinl^eit ber gemälzten ßängenmeffung (im aUgemetnen 1 m) ift.

30 \

gür 30 l^ot man 3. S. ^^^ = 3-^ mit 2 ä 3U multipliateren , yxva arc 3o

^u erl^alten. S)ie gebtöud^Itc^en ßogaritl^mentafeln enti^alten meift aud^
tBCrcuStabeßen , meldte biefe JRed^nung erfparen. S8 entfprec^en fid^ 360^

imb 2ä, 1800 unb %, 90^ unb -^, 6O0 unb ^, 45« unb -?-. 30«

<i o 4

unb -^ u. f. f. ®urd^ bie ßinfü^rung beS 8lrcu8 gel^t bie ®Ieid^ung für P' P

b

Über in: ^^

P' P = r . arc a.

©e^t man für eine beftimmte 3led^nung feft, bafe ber SBinfel a ftetS
burd^ feinen Streng auggebrüdtt merben foH, fo c^^g ^(^^

fann man ber Jlürae megen a ftatt arc a f d^rei*

Ben, alfö aud^ P* P z= r . b.

®en Sogen E' E, meld^er burd^ bie reine
30 1^1 arca beftimmt mirb, nennt man aud^
^rcuSmeg ober SBinlelmeg; er entfielet a\x%

>em entfpred^enben SBege P' P eineS $unlte8

im 8l6ftanbe r oon ber Std^fe burd^ Slebultion

/P' P\
auf bie Sinl^eit ( j •

ßegt man burd^ ben flörperpunft W, meld^er
aunöd^ft mit P' aufammenf äUt, unb bie ©rel^ungS^s
ad^fe eine Sbene, fo brel^t ftd^ biefe (EBene um
ben Sßinlel a, mäl^renb W oon P' nad^ P ge*'
langt. ®ie beiben 3ld^fenpunlte A unb B BÜben
tnit W ein SemegungSbreiedt.

©el^t man oon bem urfprünglid^en Se:s
megungSbreicdf ABC auS, fo l^at man oon C
ein 2ot GQ auf bie Sld^fe AB ^u fäUen, auf
biefem 2ote bie ßage beS ßinl^eitSpunlteS -E 3U
Beftimmen, fo baft QE = 1 ift, unb nun
bie Semegung biefeg fünftes E auf feinem
Jbeife gu oerfolgen. Äennt man bie Sage oon

E 3U jeber geit, fo fennt man aud^ ju jeber 3^^^ bie Sage beS ftarren
ÄdrperS.

Seifptcle: 3ld^fenbrel)ung ber Srbe unter Serüdtfid^tigung oon 5ßunften
in oerfd^iebenen Sreitcn, in ©d^ad^ten unb im 2uf träume. Serfd^iebene
^unlte auf bem JftabiuS eineS ftd^ brel^enben SRabeS.

STtg. 16 b.

44 drfteS Stapxtcl [§ 3 u. 4.

Um bcn Untcrfd^teb wn Xranglation unb Slototiön gu ucranfd^aulici^en^
laffcn roir einen beftimmten Körper einmal eine SranSlatiön auf einem
ftreife t)om 3labiu8 r unb einmal eine Sftotation augfül^ren. 3n giß- 1^
(a. t). ©.) ift bie Semegung eineg ©d^nitteS beS flörperS für beibe götte
bargefteUt; bei ber Xranglatiön befd^reibt jeber 5ßunlt einen ftreiS vom
Slabiug r, bei ber Jftotation befd^reibt jeber 5ßunlt einen, feinem Slbftanbe
von ber SÄd^fe entfpred^enben XheiS.

SHg SBeifpiel für bie Sufammenfefiung einer oermidtelteren aje^f
megung an^ SSerfd^iebungen unb ©rel^ungen mag bereits üorläufig
bie gemöljnlid^e ©d^raubenbemegung (Äartgicl^er u. f. m.) angefül^rt werben,
©ie entfielet, menn ein Äörper ftd^ gerablinig oerfd^ebt unb ftd^ jugleid^ um
eine beftimmte ßeitlinie ber SSerfd^iebung breljt unb menn babei \0Tv6f)l bie
burd^ bie SSerfd^icbung atö aud^ bie burd^ bie S)re]^ung erjeugten ßinien ftetS
ber Qtxt proportional mad^fen.

3lug ben Setrad^tungen beS ganjen ^ßaragrapl^en folgt, ba^ bie Unter*
fud^ung ber Semegungen eineg 5ßun!teg bie ©runblage für bie Unter*
fud^ung ber SBemegung eineS ftarren ÄörperS bilbet.

3. Sie äSetticgnng eitted fünftes auf feinet äSal^n nnb ber ^Inff
ber 3^tt. S)ie ßinie, meldte ein 5ßunft bei feiner Semegung befd^reibt, mirb
Sal^n genannt.

^an oergleid^t bie Semegung eines fünftes auf feiner Sal^n mit bem
gleid^förmigen Sftuffe ber 3cit. meld^er angenäl^ert burd^ bie Semegung
ber ©pi^e eineS Ul^rjeigerS oeranfd^aulid^t mirb.

Um biefe SSergleid^ung bei einer beftimmten Scmegung burd^gufül^ren,
mi^t man immer bie 3citbauer (z), innerl^alb meld^er ein beftimmteS Sal^n*
ftüdt, SBeg genannt, burd^Iaufen mirb, fomic bie ßange biefeS SBegeS (w) unb
fud^t au8 einer Seilte fold^er 3Keffungen über bie Slrt ber Semegung 8luf*
fd^lufe 3U erl^alten. 3}m allgemeinen mifet man ben SBeg (w) in 3Ketem (m)
unb bie geit (z) in ©efunben (").

4. 2)ie gleid^fötmtge SSetticgung mtb i^te ©efc^uiinbigfcit ^an

nennt bie Semegung cineS 5ßunfte8 gleid^förmig, menn fte btv^ Sluffe
ber 3eit entfprid^t, b. f). menn in gleid^en, nod^ fo Meinen 3^tt^^Üen
gleid^e Sal^nftüdEe (SBegc) burd^Iaufen merben, fo ba^ alfo ber burd^Iaufene
äBeg (w) ber Qtxt (z), innerl^alb meld^er er jurüdEgelegt mirb, ftetS propor*
tional ift.

Sei biefer ScmegungSart genügt megen ber ^Proportionalität oon w unb
z eine e inaige 3Keffung oon äufammengcl^örigen SBerten oon SBeg unb
3eit, um eine genaue ftenntniS ber ganzen 33emegung ju erlangen.

SBerben 3. S. 5 3Keter in 2 ©e!unben burd^Iaufen, fo l^at man ben
9Infa§:

w 3Keter ; 5 3Keter = z ©elunben : 2 ©elunben,

ober fürjer, unter SEilgung ber (Sinl^eiten 3Keter unb ©efunben,

w : 6 = z : 2,

§ 4.] SHe glctd&förmigc ©emcgung unb il^rc ©efd&ttJtnbigleit. 45

3Kan gelangt l^icr ju bcr ©leid^ung 2w = 6 z, b. ^ w = 2,6 jg ober
je? = 0,4: w, lüeld^e nun geftattct, ben SBeg w ju bcred^nen, tDeld^er njöl^rcnb
einer bcftimmten 3^it ^ jurüdgelegt roirb, unb umgclc|rt. ©efit man j. S3.
if = 10, fo folgt w = 2b, b. ^. roäl^rcnb 10" xDXxb ein SBeg t)on 25 m
burd^Iaufen; fegt man w = 17,5, fo folgt ^ = 7, b. 1^. ein SBeg oon 17,5 m
XDXxb in 7" burd^laufcn. ^

S)em Seifptele w = 2,5 ^ entfprid^t bie aDgcmeine ©leid^ung w = c.z,
3)ie aSejiel^ung 3n)ifd^en SBeg (w) unb 3^^^ W "^i^i> <itfo bei ber gleicfy»
förmigen SBemegung burd^ eine ©leid^ung bargeftellt, meldte in w unb z vom
erften ®rabe ift.

S)er fefte SBert (ftonftante) c ber ©teid^ung w = c . z ergiebt fid^ atö

- unb läfet fid^ bemnad^ burd^ ®ioifton aufammengel^öriger SBerte t)on w
z

5

unb ier beftimmen. SBerben, mie oben, 5 m in 2" burd^taufen, fo ift c = -

= 2,5 unb man gelangt mieber ju ber ©leid^ung w = 2,5 ;er.

3Kan nennt bie Äonftante c bie SKa^gal^r (SBert) ber ©efd^minbigfeit
ber gleid^förmigen Semegung, meil fte ba^ langfamere ober rafd^erc
fileid^mäfeige gortfd^reiten beS 5ßunfteg auf feiner SSal^n beftimmt.

S)ie Sinl^eiten 3Keter unb @e!unben, meldte bei ber Säeftimmung oon c
Dermanbt mürben, fegt man gelegentlid^ §in3u, 3. 35. c = -7777 = 2,5 — unb

^ sec

lieft babei — al8 ^3Keter burd^ ©efunbe* ober ^3Keter in ber ©elunbe*.

S6C

<SeSt man allen S^^len ber ©leid^ung w = c . z il^re Sinl^eiten 3U, fo gel^t
bie 3ö^lengleid^ung w = c . z über in bie ©rö^engleid^ung:

w 3Keter = (c -^^ — r— j • ( z Selunben ) •

©icl^t man bie ©inl^eiten 3Keter unb ©efunben in biefer ©Icid^ung mie
atgebraifd^e 3^^!^^ ^'^f \^ ^^ßt fi^ txuf ber rechten ©eite ^©efunbe* gegen
,(Se!unbe*, uvi> eS bleiben auf beiben Seiten ber ©leid^ung ©röfeen berfelben
Slrt, nämlid^ ^3!fteter*, ftel^en; l^ebt man aud^ nod^ ^älleter* auf ber linfen
<3eite gegen ^3!fteter* auf ber redeten Seite, fo gelangt man mieber 3U einer
3a§Iengleid^ung. 3}ebe ©röfeengleid^ung fann fd^lie^lid^ nur ©röfeen ber*
felben Slrt be3m. beren 3Kafe3a]^Icn oergleid^n. S)iefe ©igenfd^aft nennt
man bie §omogeneität (©leid^artigleit ber beiben Seiten) einer ©röftcn*
flteid^ung. (SScrgl. Einleitung @. 22 u. f.)

Um biefe ^omogeneitöt beutlid^ 3um Slugbrudt 3U bringen, fielet man bie
©cfd^minbigleit afö eine neue Sinl^eit an, meldte au8 ben ßinl^eiten 3Keter
unb ©elunbe burd^ eine, ber ©ioifion ber ^oij^tn entfpred^enbe ©röfeenopcra*

*^^" ( ©efuSe ) 3«fctmmengefeöt ift.

SSa^It man für bie SJeftimmung oon c bie 3eit ^ = 1", fo gelangt
man 3U ber ©leid^ung w =^ z,b. \). bie 9Kafe3aI)I ier ®efd^minbig!eit

46 ®t\U» AopitH. [§ 4.

ftiimnt üBerein mit ber SKa^ja^I bcS in ber S^itctnl^eit (Selunbc)
gurüdgelegten äBegei^.

8lu8 ber ®Ictd^ung:

w =^ c . z, b. ^. SBeg = ((8cfdött)tnbtglett) . (3eit)

folgen bie ©leid^ungen:

c = -, b. ]^. ©efd^tDtnbiglcit = -^-r^

unb

^ k t o x äSeg

> •

©efd^tpinbigleit

15)

8lug biefen (Sleid^ungen tann Bei ber gleid^förmigen Seroegung
ber aieil^e naä) SBeg^ ©efd^toinbigleit unb Qtxi je au8 ben anberen bciben
©tüdfen beftimmt werben.

Slud^ bie je ©Icid^ungen finb l^o mögen, roenn man bie Sinl^eiten 3Beter^

®ie Xl^eorie ber gleichförmigen Semegung eine« 5ßun!te8 K^t fid^
ol^ne meitereg auf Semegungen t)on Körpern übertragen, menn* biefe SSer*
fd^iebungen ober ®re]^ungen finb.

®a bei ber äJerfd^iebung eineg Äörperg aUe feine 5ßun!te biefelBe
SBemegung l^aBen, fo barf man t)on einer gleichförmigen aSerfd^ieBung
beS ganjen ÄörperS fpred^en, menn fid^ einer feiner 5ßunfte W gleid^förmig
Bemeflt. 2)ie Sal^n non W ift baBei eine Leitlinie ber äJcrfd^iebung. ®er
SBeg (w) beg 5ßun!teg W unb beffen ©efd^minbiglcit (c) bürfen l^ier gugleid^
als SBeg beS ÄörperS unb ©efd^minbigleit beg flörperg Begeid^net
merben, unb bemnad^ ift bie ©leid^ung «? = c . ^e^ u. f. m. aud^ für bie Sßer*
fd^ieBung non flörpem nerroenbBar. '

aSei ber SDrel^ung eineg Äörperg ift bie SSemegung beg 5ßunIteS W
burid^ bie Semegung eineS 5ßunlteg auf bcm Sinl^eitgfreife Beftimmt. SBemegt
fid^ ein ©in^eitSpunft (ober aud^ W) gleid^förmig auf feiner SSal^n, fo barf
man bie SSemegung beg gangen Äörperg alg eine gleid^förmige S)re§ung
Bejeid^nen. Säei biefer Säemegung ift bie geit T, mä^renb meld^er ber Körper
einen oollen Umgang mac^t, wn Säebeutung. 3lIIe 5ßun!te beg Äörperg^
meldte oon ber Std^fe ben SttBftanb r l^aBcn, Befd^reiBen in ber 3^ii ^ ftreife

üon ber ßänge 2r7t, b. 1^. fie Beiüegen fid^ mit ber ©efd^minbigfeit c = -r-n^—

gür biefe 5ßun!te gilt bemnad^ (w = c . z) bie ©leid^ung :

2 rn

w = —^ . z,

gür r = 1, b. 1^. auf htm Sinl^eitgf reife, für meldten bie ©leid^ung

2 7t

w =^ arce gilt, l^at c btn Befonberen SBert y = -^ unb bemgemäfe ift
j^icr w = arc e :=. y , z.

§ 4.] S)ie gicid&förmige ©erocgung unb il|re ©efd&roinbigleit. 47

2^
3Kan nennt y = -yr ^^^ StrcuSgcfd^njtnbtgleit ober SBinleU

16)

gefd^njinbtgfeit, rocil fie baS 3Ka§ für bie rafd^ere ober longfamcre
gleid^mäfeige ßrjeugung beg Slrcug ober beS augel^örigen aKittelpunftS*
n)inlelß ift.

SBüI man bie ®ejcl^n)tnbigleit c gegenüber y befonberS l^eroorl^eBen , fa
nennt man fie ßineargefd^minbigfeit, mcil ftc ein 3Kafe für bie ßr^^
geugung ber SJal^nlinie (für 5ßunfte im 8lbftanbe r oon bcr 3k^e) ift.

S)te Sal^fen c unb y fmb burd^ bie ©leid^ung c = r . y oerbunben, fo

hoüs^ y =z ^ ift, b. ]^. man erpit bie SBinfelgefd^minbiglcit beS

flörperg, menn man bie ©efd^minbigleit eines 5ßunlte8 im Sttbftonbe r oon

ber ä[(§fe auf bie Sin^eit rebujiert (c : r).

S)ief c (Sleid^ung entfprid^t genau ber ©teid^ung w =: r , arcs, meldte

w
3U arca = - fül^rt, b. 1^. man erl^ölt ben SBinlelmeg eineS Äörperg,
r

menn man ben SBeg eineS 5ßunlte§ im Slbftanbe r oon ber Sld^fe auf bie

Sinl^eit rebu^iert (w : r).

Sei ben S)re^ungen an 3Kafd^inen Beftimmt man meift (unmittelbar

ober burd^ SSelocimeter) bie Slnjal^I ber noUen Umbrel^ungen für eine größere

3eitbauer unb fteUt barauS junöd^ft bie Slnjal^l ber Umbrel^ungcn für bie

ajlinute (Sourenaa^I) feft. 3Bad^t ber Sörper u Umbreljungen in ber "^u

nute, fo ift für einen 5ßunlt im äfbftanbe r oon ber 3td^fe ber SBeg in ber

SRinute u .2rjt unb hzmxiaii ber SBeg in ber ©elunbe — ^^^r — , b. 1^.

man l^at:

u . 2rJt . u , 2%

c = unb V == •

60 ^ 60

S)er Söert oon |^ ift 0,1047, oon |^ = 9,5493, fo ha^ gi(t:

c = r . y unb y = 0,1047 m unb u = 9,5493 y • • • 17)

3für einen erften Überfd^Iag ift y = 0,1 w unb w = 10 y ju fefien, b. I).
bie SBinlelgefd^minbigleit ift angenähert ein 3^^ntel oon ber
Slnaal^I ber Umbreljungen in ber 3Kinute u. f. m.

®a arce eine reine 3^^! (p^^^ ©röfeeneinl^eiten) ift, fo forbert bie
^omogeneität ber ©leid^ung arcs = y . z, ba^ aud^ y . /s eine reine Qaijl

ift, unb bemnad^ mu^ bie (ginl^eit für y aI8 reciprofe ©elunbe ( )

\ S6C /

2x

angefe^en merben. S)amit ftimmt aud^ ber 3lu8brudE — für y überein.

S)ie SJemcgungen in ber Slufeenmelt, meldte mir gl eid^ förmig nennen,
entfpred^en in übermiegenber aJte^rja^I bem Säegriffe ber gleid^förmigen S5e*
megung nur unoottlommen. S)ie 3Id^fenbre§ung ber Srbe bt^rv. bie cnt*
fpred^enbe fd^einbare S)re^ung beg ipimmelSgcmöIbeg fd^eint, fomeit unferc

48 (SrfteS Stap'xttt [§ 5.

SBcoBad^tungcn reichen, in aller ©trcngc atö gtcid^förmigc Scrocgung bctrad^tct
njerben ju bürfen; i^r cntfprcd^en bic SJctDegungen in unfcren U^rcn. S)q§s
feI6e gilt a\xä) für bic görtpjTangung bcr SBcIIcnbenjcgungcn inncrl^alfi l^omos
gcncr ©toffc, g. ». für bie beg 2i(§tc8 unb bcg ©d^aQcS.

S)er JBegriff bcr ©Icid^förmigf cit bcr Bewegung ift ein 3Jta^ftab,
ben xüxx in unferem Snneren Bilben, um il^n in bcr 3tufecnn)elt ju oer^^
iDcnben.

Db eine Scmcgung bcr Stufecnnjclt ate glci(i^förmig angcfcl^cn njcrbcn
barf ober nid^t, l^ängt im aDgemcinen t)on bem (Srabe bcr ©enauig*
leit ab, bm mir bei il^rer Untcrfud^ung unb SScrmcnbung feftfefien.

5. Sie ttnfileid^fötmtge äSeioegung unb bie 2)ut(l^f(^nttti^8ef(l^iotnbt8-
fett für einen beftimmten ^eitabfd^nitt bejtti. für ein beftimmted 93al^n»
ftftrf. S)ic Scmegung cinc§ 5ßunltc§ l^cifet ungleichförmig, mcnn bie
Proportionalität aroifd^cn SBcg (w) unb Qext (js), mcl(§er bie ©Icid^ung
w = c . z entfprid^t, nid^t oorl^anbcn ift, mcnn alfo in gteid^cn S^itteilen im
allgemeinen unglei(|e Sal^nftüdte burd^Iaufen merben.

S)a8 cinfad^fte Seifpicl für eine fold^e Semegung, an mcld^cm il^r SBefen
juerft bcfannt murbc unb an meld^em eg aud^ l^eute nod^ am bcftcn Mar
gemad^t merben fann, ift ber freie gtiH (of^m 3tnfangggcfd^minbigfcit) im
luftleeren Siaumc. ^icr finb, mie bie Serfud^c aeigen, bic SBegc in nod^
fo ficincn aufcinanber folgenbcn Scitteilen oon glcid^cr 3)aucr ben
ungcrabcn Qaiiltn 1, 3, 5, . . . proportional, fo bafe mäl^rcnb ber erften,
amcitcn, brittcn, ♦.., n*®^ ©cfunbc bie SBcgc Iw, Sw, 5w, ..., (2w — 1)«?
burd^Iaufen merben. (SScrgl. bie SSerfud^c an ©alileig fd^iefer Sbene, an
0. SB a bog g^Bbrett, an bcr Sltmoobfd^cn fJfaHmafd^ine.)

3tud^ bei ungleid^förmigen Scmcgungcn lafet fid^ bie gormet ber

gleid^förmigen Setocgung (w == c . z) mit aSorteii oermenben. 3Bcnn

man ben beftimmten SBcg w, mcld^cr in einer beftimmten Qtxt z burd^Iaufcn

mirb, 3U biefer ing SScrl^ältnig fe§t, fo crl^ält man eine beftimmte ©cfd^minbig*

w
feit c = -, meldte man afö S)urd^fd^nitt§gcfd^minbiglcit für bie

z

beftimmte "^zM z ober für ben beftimmten SBcg w beaeid^nct. SBöre
bie Semegung möljrcnb bcr 3^^ z gleid^f örmig , fo mürbe bcr SBcg «; mit
bcr ©cfd^minbigfeit c burd^Iaufen merben, b. 1^ bic ©urd^fd^nittSgefd^min*
big!cit für it f. m.- ift bie ©cfd^minbigfeit einer glcid^förmigcn 396:=
megung, bei mcld^cr u. f. m. ©reift man ocrfd^icbene SBa^nftüdtc Wi, w^,
w^, , . , i^crauS, meldte bt^xt>, in bcr 3^^^ z^, z^, z-^, . . . burd^Iaufcn merben,

fo finb bic cntfpred^cnbcn S)urd^fd^nitt8gefd^minbig!eiten — = Ci, — = C2,

-i. = Cg, . . . im allgemeinen ungtcid^.

S)a§ Seif piel beg freien %aViZ% giebt w, Sw, bw,. . ., (2n — l)w afö fold^e
S)urd^fd^nitt8gcfd^minbig!citen für bic erftc, ^mcite, britte, . . ., w*® ©clunbc.

Dft lommt c8 nur barauf an, bei einer 33emegung eine fold^c S^urd^
fd^nittSgcfd^roinbigfcit au Icnncn. S)ie gcbräud^Iid^en SEabcIIcn für ©c^^

§ 6.] S)tc ©tcHungÄgleidöung. 49

f d^roinbiglctten entl^altcn faft burd^mcg fold^e ®urd^fd^nittggef(^n)tn*

m

big leiten. SBenn j. S. für einen fjufegängcr 1,4 — , für ein Slcnnpferb

sec

12 — , für eine SBrieftauBe 30 — u. f. n). atö ©efd^roinbiglcit angegeben

SGC S6C

wirb, fo folgt burd^ eine einfädle Überlegung/ ha^ eS fid^ l^ier nur um
3)urd^f^nitt8gcfd^n)inbigleiten l^anbeln lann.

aSeifpiele: S)er äftittelpunlt ber ®rbe beu)egt fid^ ungleid^förmig auf feiner
Sal^n, er l^at in ber Sonnennähe (^eril^el) oer^ältniSmä^ig gro^e, in ber
©onncnfeme (Sttpl^el) oerJ^öItniSmä^ig Heine unb baaroifd^en mittlere Durd^*
f d^nittSgefd^minbigleiten , er burd^läuft aber bie ganje Sal^n (iebenfaßS ans=
flcnäl^crt) immer in berfelben Seit (Sol^r). gür niele gmcdfe reid^t eS a\x%,
bie Smrd^fd^nittSgefd^minbigfeit c für bie gange Sal^n au fennen.

|[]^nlid^e SBetrad^tungen gelten aud^ für bie regelmäßige Semcgung eineg
ÄolbenS, ber am 8lnfangc unb ßnbe je eineg ©ingangeg unb ©ergangeS für
einen SÄugenblidf in Shi^e ift unb in ber SKitte eine beftimmte maximale
S)urd^fd^nitt8gefd§n)inbigfcit geigt. SBenn er bcn gangen SBeg (^ubl^öl^e) cincS
Einganges ober eineg Herganges ftetS in berfelben gcit burd^läuft, fo ift eS
für Diele ^vozit auSreid^enb, bie S)urd^fd^nittggcfd^minbigleit für bie ^ubl^öl^e
3U lenncn.

6* 5Die Steflungi^gleti^nng^ ®a bie SHird^fd^nittggcfd^minbiglcit nur
für einen beftimmten S^ttabfd^nitt htixo. für ein bcftimmteS Sal^nftüdf eine
Sebeutung l^at, fo mad^t fid^ ha% SäebürfniS geltenb, geitabfd^nittc in il^rer
ßagc innerl^alb ber gefamten Seit unb SSal^nftüdfe in i^rer 2agc auf ber
33a]^n gu beftimmen.

®abei l^at man bie auSbel^nungSlofen S^itpun!te, meldte einen S^t*
abfd^nitt oon beftimmter ®auer begrengen, oon biefem auggcbcl^nten S^^^^^
abfd^nitte {z) felbft genau gu unterfd^eibcn, ebcnfo bie auSbel^nungglofen
Sal^npunltc, meldte ein Sa^nftüdE oon beftimmter ßänge begrengen, oon
biefem auggebel^nten SSal^nftüdEe (w) felbft.

f5für bie ßagcnbeftimmung ber S^itabfd^nitte bietet bie gemöl^nlid^e ^z\U
red^nung ben nötigen Slnl^alt. §ier ift, menn mir unS ber Sinfac^l^eit megen
6ei ber ©cnauigfeit ber Eingabe auf iSal^re befd^rönfen, ein beftimmter
Seitpunft gegeben, inbem man bie Saläre mitteilt, meldEie oon i^m big gu
e^rifti (Seburt ober oon ©l^rifti ©eburt bi§ gu i^m ocrfloffen finb. ßl^rifti
©eburt ift ber 3lnf anggpunft . (SRuKpunlt) ber S^itmeffung, in SSegug auf
weld^en bie 2age cineS beftimmten anberen S^^punlteS angegeben mirb,
inbem man bie S^it^QW^i^ feftfteUt, meldte gmif d^en beiben S^itpunften liegt;
iabei l^at man bie ^zxi oor K^rifti (Seburt oon ber ^zxi nai^ ©l^rifti ®eburt
au unterfd^eiben, b. ^, bie SSergangen^eit in 33egug auf ben SRuHpunft oon
ber S^tii^fi in 39ßgug auf biefen. gül^rt man biefe SBeftimmung für groei
Beliebige S^itpunltc burd^, fo mirb bie ßage beg oon il^nen begrcngten
Seitabfd^nitteg gegeben unb gugleid^ aud^ beffen S)auer beftimmt.

demgemäß mä^lt man aud^ in ber älled^ani! für bie ßagcnbeftimmung
innerl^alb ber S^it ßinen beftimmten S^itpunlt als 3tnfang8pun!t (ShiUpunlt),

SB c tut de, ^t^amt. I. a

50

Chrfte« Äapitet.

[§6.

3. ». 12 Ul^r (12»^ 0' 0") mittagg am »eoBad^uuflStagc (31. m&xi 1899)
unb Bcftimmt gegen i^n bic 2age anbercr 3^iiP"nti^ i>^^^ ^^^ Sttngabe ber
S)Quer ber injiüifd^en oerfloffenen Seit. ®abet ift eS am einfad^ften, bte
Sßergangenl^cit unb bte S^^^^ft in Scaug auf ben SiuDpun!t btiw. atö nega*
tioc unb pofitioe 3^^^ gu unterft^eiben nnb bie entfpred^enben StngaBen burd^
+ Bearo. — 3U begeid^nen.* ®ö ift 3. ». 11^ 45' 20" am SBönnittage he^
»eoba^tunggtageg burd^ — 0^ 14' 40" unb 1^2' 12" am Sftad^mittage beS
SBeoBad^tungStageg bnxä) +1^2' 12" 3U Beseid^nen; Beibe Slngabcn 3U*
fammen Be3eid^nen einen beftimmten Seitabfd^nitt oon ber ®auer 1^ 16' 52".
gbenfö beftimmen bie 3Ingaben + 1 ^ 2' 12" unb + 1 ^ 4' 26" einen beftimmten
Seitabfd^nitt t)on ber ®auer 0^2' 14".

SHe ffiinrid^tung unferer U^rcn (Sifferblötter) ocranfd^aulid^t un8 biefc
gan3e 8Iuffaffung.

ffiine fold^e 8lngabe, mie + 1^ 2' 12", be3eid^ncn mir im allgemeinen
burd^ t unb nennen fie bie Stellung be^ betreffenben g^i^Pi^^^teg (inner*
l^alb ber gan3en Seit), mä^renb mir bie ®auer beS Sßitabfd^nitteg
bisher burd^ /s be3ei^net l^abcn. Qwü ©teDungen <' = 1^ 2' 12" unb
t = 1^ 4' 26" beftimmen bemnad^ bie ßage eineg beftimmten geit*
abfd^nitteg oon ber ®auer z = t — t' = 2' 14" = 134".

S)iefe gan3c Setrad^tung läfet ftd^ leidet auf bie ßagenbeftimmung von

S3a]^npun!ten übertragen. 9Kan mö^It auf ber Sal^n einen beliebigen

gig, 17. gig. 18. 5ßun!t atö SftuUpunIt unb

bcftimmt bie Sage cine^
5ßuntteg P auf ber »a^n burc^
Eingabe ber auf ber Sa^n
gemeffenen Sntf emung OP.
Um S)oppeIbeutig!eiten 3U ner*
meiben, fie^t man bie ©tüdEc
OP auf ber einen Seite be^
SRuIIpunfteg aI8 pofitio, auf
ber anberen atö negatio arr
unb begeid^net fie burd^ +
be3m. — . SÄt Seite ber pofttioen StüdEe mad^t man burd^ eine ^ßfeilfpi^e
auf ber SSa^n lenntlid^.

So l^aben 3. ». (nergl. gig.l7) bic 5ßun!te Pj, Pg, P3, P4 be3m. bie Snt^
fernungen OP^ = + 5, OF^ — + 9, OP^ = — 3, 0P, = — 7, mofür
man in 3lbtör3ung fd^reibt: P, = (+5), P, = (+9), Pg = (— 3),
P4 = (~ 7).

®ie Entfernung OP, meldte im allgemeinen in 3!ftetcrn gemeffen mirb,.
foH bie Stellung non P (auf ber Sa^n) l^eifeen unb burd^ baS S^i^^^n s
bargefteHt merben.

Um nun (gig. 18) ein »al^nftüdf P' P = w, ba% burd^ bie 5ßunlte P'
unb P begren3t mirb, in feiner 2age 3U beftimmen, mifet man OP' = s^
unb OP = s] man l^at bann OP — OP' = s -— s' = w. SBenn nun
ber SBeg w in ber Qzxt z oon einem 5ßun!te W burd^Iaufen mirb unb mcnn
w burd^ bie Stellungen s' unb s unb z burd^ bie Stettungen V unb i be*

§ 6.] S)ie (SteaunöSßleid&ung. 51

fttmmt ift, jo nimmt bcr bcmcgßd^c 5ßmtlt TF imtcrl^alb ber 3^it t' . . . t

auf bcr Soi^n alle ©teUungcn s\ . . s ein.

3ft btc Scmcgung gleid^förmtg, fo fü^rt btc ©letd^ung w = c/s ^m bcr

StcIIungSglcid^ung:

s — s' = c(^ — t').

aSeginnt ber geitabfd^nttt, bcn mir betrad^ten, im SRuIIpunfte ber Scitmcffung,
mag \xä) burd^ paflenbe SBaljI bc§ iftunpunitcg iebenfallS für einen bc:»
ftimmten Seitabfd^nitt ftetg errei(§en läfet, fo ift *' = 0. äftan i)at bann
^ = t — 0, b, f). bie ©tellung t mifet l^ier gugteid^ bie ®auer ^ ber Sc*
megung für bcn betrad^teten Sttbfd^nitt. Unter biefer SJorauSfeöung ift:

s — s' = et ober s = s' -[- et

@e§t man l^icr f = 0, fo ift s = s', b. 1^. s' bebeutet bann bie ©tel*

lung beg 5ßun!te8 W auf bcr Sal^n im 3^itpunfte t =*0. Sejeidinet man

biefe befonbere Stellung , meldte bem SBeginn ber S^itmcffung entf prid^t / mit

So, fo J)ai man:

s = sq + et 18)

S)iefe ©leid^ung fott bie StellungSgleid^ung ber gleid^förmigcn
aSemegung l^ei^en ; in il^r bebeutet sq bie ©tcDung oon W gur Qtii t = 0,
s bie Stellung gu einer beliebigen gcit t nnb c bie ©efd^minbigfeit ber Sc::
megung. S)a^ eine fold^e ©Icid^ung ftetS eine gleid^förmige Seroegung bar^s
ftettt, ift leidet ju geigen.

Sann man eS burd^ eine geeignete SSaijl oon auf bcr ^af^n errcid^cn,
ba^ So = ift, b. f), ba^ fid^ bcr 5ßunlt W bei beginn ber 3^it«ißffung im
SRuKpunft bcr Sal^n befinbet, fo erhält bie ©tcttungSgleid^ung bie ©eftalt
s = et, bie mit bcr ©leid^ung w = ez in bcr gorm übercinftimmt. ©ier
mi^t bie ©tcKung s gugleidE) bie ßönge beS burd^Iaufencn SBcgcS, cbcnfo roic
bie Stellung t guglcid^ bie S)aucr bcr oerfloffenen Seit angiebt.

®g ift nü§Ii(^, ben Unterfd^ieb gmifd^en SBeg (w) unb Stellung (s) aud^
in ber a3e3eid^nung bauemb fcftgul^altcn, mcil SBcge oon gleid^er ßänge an
oerfc^iebenen Stellen bcr SBal^n im attgemcinen bei ber Setrad^tung bcr Se^;
mcgungcn fcljr perfd^iebene Säebeutung ^aben. dagegen lann ber Untcrfd^ieb
jmifd^cn ber ®auer (/) unb ber Stellung (t) in ber SBegeid^nung gurüdEtrcten^
meil S^itabfd^nitte oon gleicher S)auer inner|alb beS gangen S^itenfluffcg an
unb für fid^ !eine Unterfd^iebe barbieten.

®ie aSebeutung ber StellungSglcid^ung s = So + et beftel^t barin,
ba^ man an% ifyc für jebcn SBcrt oon t bcn gugel^örigen SBert oon s bered^nen
unb fomit bie ßage eineS fid^ gcmä§ jener ©leid^ung bemegenben 5ßunfte§ W
auf feiner SBal^n für ieben g^i^P""^ angeben lann.

3ft So = 2 unb c = 3, fo finbct man an^ bcr ©leid^ung s = 2 + St,
g. a. s = + 17 für e = + 5 ober s = — 7 für t = —S, b. ^. W ift
auf ber pofitioen Seite ber SSa^n 17m oom SftuKpunlte entfernt, menn 5"
oom SRuHpunlte ber gcitmcffung au§ oerfloffcn finb, ober W ift auf ber
negatioen Seite ber Sa^n 7 m oom SRuKpunfte entfernt, menn nod^ 3" bü^
gum 3luIIpun!te bcr g^itmeffung oerflie^en muffen.

52

drfted Kapitel.

[§6.

SßiH man alfö eine Scroegung, bcrcn ©tcHungSgleid^ung gegeben ift,
oeranf d^anlid^cn , fo l^at man in bicfer, bem gf^^ffe ber gett fölgenb, für
möglic^ft t)tele SBerte Don f bte jugel^drigen äßerte Don 5 3U bered^nen unb
bte fo entftel^enbe Xa belle jeid^nerifd^ ju ücrmenben.

3n Sejug auf ben SßuHpunft * = bejetd^net man mit ^ = — oo
SBerte ber aSergangenl^eit, meldte jebe angebbare ®rö^e überfteigen, unb mit
t= +00 aBerte ber Swiunft, meldte jebe angebbare ®röfee überfteigen, fo
ba^ bie aSejeid^nung ^ = — oo . . . . . . + 00 ben gefamten gflufe ber
Seit barftefit. SKan lieft fie: SSon t gleid^ 3Kinu8 * Unenbli^ über t gleid^
$ßun 8U t gteid^ 5ß(u§*UnenbIid^.

SBeld^er 5EeiIe ber ganzen Säemegung für eine 8lufgabe befonberS in
gtage lommen, lä^t fid§ natürlid^ nur oon g^II ju gaU feftfteHen.

8lfö »cifpiele geben mir a^^nö^f* We %abtUt für s =2 -\- 3t unb
5 = 2 — 3 t unb bie entfpred^enben giguren.

» = 2 + 3 * gig. 19. 5 = 2 — 3* gig. 20.

t

s

00

— 00

3

— 7

— 2

— 4

1

1

+ 2

+ 1

+ 5

+ 2

+ 8

+ 3

+ 11

— 00

+ ^

s — für *

2
3

t-+9

t--m

:0

t--9^

t«-3^

t

8

00

+ X

— 3

+ 11

2

•

+ 8

1

+ 5

+ 2

+ 1

1

+ 2

— 4

+ 3

— 7

— 00

— 00

5 = für * = 4- -Q--

®ic erfte ©leid^ung f teilt eine gleid^förmige SSemegung bar, meldte im
©inne ber ©teHung^meffung oerläuft, bie jmeite eine gleid^förmige SBe*
megung, meldte biefem ©inne entgegengel^t. S)a im erften x^aUt c = + 3
unb im gmeiten gaUe c = —3 x% f nennt man bie erfte Scmegung eine
aSemegung mit pofitiüer ©efd^minbigfeit, bie ameite eine. SSemcgung mit
negativer ©efd^minbiglctt, b. f). bie ©efd^minbigfeit mirb pofitit) genannt,
menn bie Säemegung mit bzn äfta^jal^Ien ber ^a^n üerläuft (mitlöufig); fie
mirb ncgatit) genannt, menn bie Säemegung gegen bie 3Sta^iai)ltn ber Sal^n
üerlöuft (gegenlöufig).

allgemein l^at man c = — ^ — -, b. 1^. man I)at :

t

©efd^minbigleit =

©tettungSönbcrung

Sugc^örige 3^itbauer

gür pofitioe SBcrte t)on t ift c pofitio, menn s — sq pofttit) ift, b. I).
menn s im Sinne ber 3Kafe3aI)Ien ber Sa^n l^inter sq liegt u. f. m.

§6.]

^ie ©teEungSgletd^ung.

53

81I§ nöd^ftcS Scifpiel mag bic StcKungSglcid^ung s = mt^ bc^anbelt
tüerbcn unb ätmr für w = + 5.

gig. 21.

«

s

— c©

+ 00

— 3

+ 45

— 2

+ 20

1

+ 5

+ 1

+ 5

+ 2

+ 20

+ 3

+ 45

+ 00

+ 00

S)tc SciDcgung gel^t crft gegenläufig t)on + oo big jum SRuUpunlte ber
Sal^n, feiert in biefem um unb gcl^t bann mitläufig bis su + oo jurüdt.

Stfö legtet Seifpicl mag bie ©teHungSgleid^ung s = r cos ( 360^--^
ober s = r cos(2 jr . —j bel^anbelt merben unb iXüax für r = 5m unb
^ = ^^"- Sig. 22. ,^

*

Söinlel

3lrcu8

©oftnuS

s

+ 1

+ r

i-

90»

71

2

i-

180«

71

1

— r

1.

270«

Sn
2

T

360«

271

+ 1

— r

-<VT,

t=iT,fT,4T,

S)ie Semegung ift eine l^armonifd^c ©d^mingung, meldte red^tS in B be*
ginnt; i^re 31mplitube ift r = 5m, i^re SDauer T = 20". 3ur 3eit
t = 0, T,2Z. . . befinbet fi^ ber 5ßun!t in B, gur Seit * = ^ T/f T,
f T, ... in 0, 3ur 3eit t = ^ Z ^ T, ^ T , . . in L. Sie 5ßunlte B unb
X finb Umfel^rpunlte ber Semegung.

SKit $ülfc ber ©tellungSgleid^ung einer Semegung läfet fid^ bie
Surd^fd^nittSgefd^minbigfeit für einen beftimmten geitobfd^nitt begm. für
bag juge^örige Sal^nftüdE ftet§ bered^nen.

S)a3U begeid^nen mir brei 3^itp^"^t^/ meldte im Sinne beS S^itenfluffeS-

54

®rftc8 Äapitel.

[§6.

aufeinonbcr folgen, bitrc^ f ' . . . f . . . t", unb bic augd^örigcn Stellungen auf
ber Sal^n, weld^e ben Sal^npunltcn P' . . . P . . . P" entfpred^cn mögen, burd^
s' . . . s . . . s". SBir nennen ferner bog SBa^nftüd P'F= OP — OP' = s — s'
ein oör P gelegenes unb haf^ »al^nftüdf PP" = OF" — OP—s" — s
ein l^inter P gelegenes Sa^nftüd, Beibc Sal^nftüde bei P gelegen.

gür P'P unb PP" finb bann J-=4 "^^ J>— -7 ^^^ Surd^fd^ittS^^

gefd^nnnbigleiten av& ber ©teHungSgWd^ung ju bered^nen.

3n bem befonberen fJfaHe, in bem t' unb f" oon t gleid^ njeit entfernt
ftnb, fo ba^ t — t' = t" — t = z ift, !ann man jugleid^ t' = t — xi unb
^" = ^ 4- jer fegen.

3n oiclen göllen ift s eine Summe oon gemöl^nlid^en ^otengen üon *,
eS entftcl^en bann bei ber Silbung oon s ^ s' unb s" — s ©lieber t)ön ber
gorm:

tP _ (ty — ip _ ^i _ £y

""^ 0">> — (ty = it + zf —tp

unb jmar im Söller ber S)urd^fd^nitt8gef d^minbigf eit , möl^renb bie ju^
gel^örigcn SRenner < — i! =i e unb f" — * = ^ fmb.

3Kan erl^ält l^ier bie Tabellen:

t-(t- z) ^ ^

2.

3.

4.

^g — (^ — ;g)2 _

2f — ;er

t^—(t—zy_

z

t^ — (t

SP^Stz + z^

zy

= 4:P — ß t^z + Atz^ — z'

{t + z)-t ^^

(t + ^y — t^ _

z

2t + z

z

(t + zY — t^

z

= 4fS + ßt^Z + Uz^ + ;^3j

19)

Sntfprcd^cnbe Steigen beiber XabeHen merben einanber gleid^, menn man
bie aSoraeid^en üon z umlel^rt.

ipanbelt e§ fid& 3. SB. um bie ©teHungSgleid^ung:

s z= ÜQ -[- a^t -\- a^t^ -\- a^ t^,

fo folgt au§ ben Si^abeHen fofort:

j^^ = «1 + a^{2t — z) + a,(St^ — Stz + z^)
unb

jf

= ai + «2 (2t + z) + ai(St^ + Stz + z^).

t" — t

3ft bie aied^nung bei ben SBertcn ao = 3, Oj = — 4, ag = + 3,
«3 = — 5 für <' = 20, ^ = 25, f = 30 burd^aufül^ren, fo ift:

s — s'

t — t

7 = — 7494 unb

s" — s
t" — t

= —11214,

§ 7.] S)ie ®efd&n)lnbtö!eit in einem beftimmten S^itpnnitt u. f. n). 55

b. 1^. tnnerl^alb bcr fünf ©clunben, njcld^c jnjtfd^en f = 20 unb t = 25

üerflie^cn, ift bic S)urd^f d^nittSgefd^roinbigleit 7494 — unb . jroar gegen bm

sec

<Sinn ber ©teHungSaa^ten ber Sal^n; Bei einer gletd^förmigen Seraegung
n)ürbe alfo ber SBeg s — s' in 5" mit einer ©eft^minbigleit non 7494 —

gegenlöufig gurüdtgetegt merben u. f. m.

SBin man anä) s', s, s" !ennen lernen, fo rcd^net man beffer ol^ne jene
Tabellen; bie JUed^nung ergiebt für bag »eifpiel s'= —38877, s= —76347,
s" = —132417.

S)er ©ong ber JRed^nung lä^t für jebe g^rm ber ©tcHungSgleid^ung
eine lurgc 3i^fö"^J^c"f<Jffwng ju, faHS man einen 8Iugbrudf, meld^er an^ t
nwb belannten Ordnen ao, %, . . . aufgebaut ift, eine gi^^fti^n von t nennt
unb t^n burd^ f(t), gelefen gunhion non *, begeic^net. S)ie ©Icid^ung
s = f(t) fteHt bann irgenb eine ©teHungSgtei^ung bar, aug meld^er
s' =f(f) bejm. s" =^ f{t") }dQi, inbem man an bie ©teile oon t überall
t' Bejm. t'* fc^t. 3Kan beregnet bie fjfunftiön oon t, meldte bie ©teUung s
Beftimmt, für i! unb t", fo ioü^ man s' unb s" mhtn s erl^ölt, Bilbet bie
ffiifferenjen s — s' unb s" — s unb bioibiert fte Begn:). bur(| f — f' = ^
nnb t" — t = z. 3Ban l^at bann:

^-^' ^ /(O -/(o ^ /(o -/o - ')

t — t' t — t' z

unb

SlUgemein gilt:

S)urd^f(^nitt§gef(ftn)inbig!eit = -^ — tt^ — tt^t-c

^ ^ Swgel^önge ^zxihavitx

7« Sie 6(efci^tuinbt8fcit in einem Beftimmten ^txti^vintit Be^. m
einer Beftimmten ©tette ber Sa^m S)er Segriff S)urd^f(^nitt§gefd^n)insr
bigleit mirb für eine weitere Sinfid^t in ha^ SBefen ber ungleid^förmigen
Semegung non großer SBebeutung, faUg man bie SBegriffe ^^xtütvxtnt
unb SBegelement einfül^rt.

SBie man bie SreiSIinie al§ ein regelmäßige^ SSieledt mit unenblid^:*
oielen ©eiten non unenblid^^: Heiner SttuSbel^nung auffaßt, fo beult man fid^
au6) eine Beftimmte 3^itbauer au8 unenblid^^nielen, unter ftd^ gleid^en
Seilen non unenblid^^^IIeiner S)auer Beftel^enb. ^thtn fold^cn 5tcil nennt man
ein 3^itelement. ®er SBeg, meld^er bei einer Beftimmten SBemegung in
einem Beftimmten 3^itelemente burd^Iaufen mirb, l^eißt bci% gu jenem '^AU
elemente gehörige SBegelement. ®ie SBegelemente , meldte Bei einer Be=s
ftimmten Seroegung gu einer Sleil^e aufeinanber folgenber (unter fid^ gleid^er)
3eitelemente gel^örcn, finb im allgemeinen ungleid^, nur bei ber gleid^*
förmigen Semegung finb aud^ bie SBegelemente augleid^ mit ben 3^itelementen
ftetS unter fid^ gleid^.

20)

56 (SrfteS Äapttel. [§ 7.

Um ein SBegelemcnt gciotff ermaßen greifbar gu mad^en, fc^t man eS
3U bem 3^^^^^^^^^^/ i^ toeld^em eS burd^laufen mirb, inS aSerl^öltntö^
b. f), man btibet bte entfpreti^enbe 2)urd^fd^nittggefd^n)inbtglett, toeld^e
im oDgcmcinen einen enblid^en SBert f)at.

S)ic S)urd^fd^nittggefd^n)inbigleiten für eine Sleil^e t)on SBegelementen^
n)eld^e gu einer Steige aufeinanber folgcnber (unter fid^ gleid^er) geitelemente
gefjören, fteUen unS biefe unftd^tbaren SBegelemente fogufogen in einer übcrauiJ
jtarlen Sßergröfterung bar. Um bie Seniegung genau lennen gu lernen, mu§
man fte genjiff ermaßen milroflopifc^ betrad^ten. SBie unS ®inge, bie für
baS unbewaffnete 8luge nid^t fid^tbar finb, burd^ baS SRilroflop ftd^tbar ge*
mad^t merben, fo erfd^einen bie SBegelemente infolge ber S)it)ifir)n burd^ bie
3eitelemente afö cntfpred^enbe SDurd^fd^nittSgefd^minbigleiten. Sei biefer SSer*
grd^erung l^aben mir SSerljaltniffe vot unS, bie einer öl^nlid^en 9lbbilbung
entfpred^en. SSie bag SSerfiältniS groeier beftimmten StredEen auf Äarten oon
oerfd^iebenem 3Jla^ftabe baSfelbe ift, fo bleibt aud^ ba& SSerl^ältnig gmeier
SBegelemente in i^rer Slbbilbung burd^ bie entfpred^enbcn ®urdöf(^nitt8*
geft^minbigleiten erhalten. Um oon biefen immerl^in rollen SSergleid^en gu
einer weiteren Älörung ber SSegriffc SBegelement, ^^itelement unb ber ent*
fpred^enben ©urd^fd^nittSgefd^roinbigfeit f ortgufd^reiten , fteUcn mir folgenbe
Setrad^tungen an. 3e Heiner bie 3^itbauer (z) ift, möl^renb ber bie Se*
megung cineS 5ßunltc8 W bctrad^tet mirb, um fo Heiner ift aud^ im au*
gemeinen ber gugel^örige SBeg (?^) oon W, möl^renb bie gugel^örige SDurd^*

fd^nittSgcfd^minbiglcit (—\ babei einen bcträd^tlid^en äBert bel^alten lann.

gür

z — 0"A w; = 0,3 m

z = 0",01 w = 0,03 m

z = 0",001 w = 0,003 m

i|t ftetg ^ = 3 ^
z sec

®8 berul^t bieg auf ber Sigenfd^aft ber S3rüd^e, bei Srmeiterungen il^^en
SBert beigubcl^altcn. (Sergl. Sinleitung ©. 21.)

©elbft menn man bie 3^^^^^"^^/ möl^renb ber bie Semegung eines
5ßun!teS W betrad^tet mirb, Heiner unb Heiner merben beult big gur ®renge
^SftuD", bel^ölt bie cntfpred^cnbe ®urd^fd^nittggef(^rombiglcit im ungemeinen
nod^ einen enblid^cn SBert. 8ltö aSeifpiel für einen berartigen Orengübergang
aug einem anberen Oebiete mag angefül^rt merben, ba^ arce : sine fid^ bem
SBert 1 unbegrcngt nöl^crt, menn man e Heiner unb Heiner merben beult
big gur ®renge 3luII. ©icr geigt eine SJergleit^ung ber S^abeUen für arca
unb ^n e, etma oon 5^ abroörtg, ho!^ bie SBerte beiber Orö^en in um fo me^r
S)ecimalen übercinftimmen , je Heiner £ ift. SDieg lö^t fid^ aud^ leitet geo»
metrifd^ beuten.

©ine 3ßitbauer z, meldte mir big gur (Srenge SHuU Heiner unb Heiner
merben laffen moHen, mag r genannt merben, bamit fie fid^ in ber Segeid^«
nung l^croorl^ebt.

SDag 3ßidöcn für ben Orengübergang ift Um, eine StbHirgung beg latei*
nif(^en SBorteg [?«w?es (®renge). S)urd^ Umx = 0, gelefen ^ Limes oon t

§ 7.] S)te (SefdötDinbtgfett in einem befttmmten gcttpunite u. f. n). 57

gleid^ SHuU", brüdfen tütr bie Slufforberung auS, ftd^ r Heiner unb Heiner
n)erbenb ju benfen bi§ gur Orenje StuH.

Qai man g. 39. bie ©teöunggglcid^ung s = 5 f ^ fo l^at bie ®urd^^
fd^nittSgefd^nrinbigfeit für ein Sal^nftüdf F' P, u)eId)eS burd^ bie 3^itpunltc t^
unb t Bejtimmt ift, ben SBert 10 t — bt, fattS man f — <' = r feftt. SHefer
SBert nähert fid^ me^r unb mef|r bem SBerte 10 *, je Heiner bie Q^xibautv r
mirb, meldte für ba^ ®urd^Iaufen beS SBegeS F' P erforberlid^ ift, unb er*
reid^t ben SBert 10 t für r = 0. ®ie SBegeid^nung für ba^ ©rgebnig biefer
S3etrad^tung t[t:

lim[10t ^ bt]t = o=10i.

3Jlan lieft: Limes non 10^ — 5rfürr = gleid^ 10*.

SDiefcr ©renjmert ber SDurd^fd^ntttSgefd^minbigleit fjei^t bie ®e*
fd^minbigfeit gür Qext t hziw, bie (Sefd^minbigleit im S3af|npunlte P.

S)a§felbe Ergebnis liefert bie S3etrad^tung beg SSa^nftüdfeg PP', meI(^eS
burd^ bie gcttpunite t unb <" beftimmt mirb. ©egt man t^' = t -^ t, ]o
^at bie ®urd^f(^nittggefd^minbiglett ben SBert 10* + 5r, unb man gelangt
bei ber ©rengbetrad^tung miebcr gu 10*.

gür * = + 3 ift 5. 35. 10* = + 30 unb s = + 45, b. ^. gur Seit
* = + 3" befinbet fid^ ber 5ßunlt an ber ©teHe + 45 m unb ^at bie ®e*

fd^minbigleit + 30 — • fjür * = — 3 ift 10 * = — 30 unb s = + 45,

See

b. f), 3ur Qtit t = — 3" befinbet fid^ ber Sßunit an ber ©teile + 45 m
unb ^at bie (Sefd^minbigf eit — 30 S)erf clben ©teile + 45 m cntfprid^t

sec

m

auf bem i&ingange beS 5ßunfteg bie ©efd^minbigleit — 30 — , auf bem 3tüdE*

sec

m

gange bie ©efd^minbigleit +30 —

sec

Stcnnt man baS S3al^nelement, roeld^eS P' P entfprid^t, baS SSaJ^n*
element nor * begm. vor P unb ba^ SSal^nelement, meld^cS PP" entfprid^t,
baS S3ai|nelement l^inter * begm. l^inter P, fo fül^rt ber ©rengübergang
für beibe Sal^nelemente gu bcmfelben Srgebniffe. SBir faffen bie beiben
S3a]^nelemente gufammen unter bem 3tamen: S3a]^nelement bei * begro. bei P.
9lun gilt folgenbc Srllörung:

Unter ber ©efd^roinbigfcit gur Qtxi * begm. im 5ßunlte P oerftel^t
man ben ©rengmert^ ber S)urd^fd^nitt8gef^roinbigfeit (lim t = 0)
für ein S3al^nftüdf bei * begro. iei P. 3n Sttblürgung fann man au^
fagen: Unter ber ©efd^roinbigf eit gur Qtii t begro. im 5ßunlte P t)erftel)t
man bie S)urd^fd^nittSgefd^roinbigIeit für ein S3al)nelement0 ßci *
begro. bei P.

^) a3ei ben gebräud^Iid^en gunHionen (Spotengfumme, ©inug u. f. ro.) gelangt
man burd^ ben ©rengübergang, mag man nun oon PP oberPP" au8gc|en, ftets
gu einem beftimmtcn SBerte. (Sg gicbt aber aud^ gunitionen, bei meldten bieg
nid^t ber gall ift, f o ba^ bann üon einer ®ef d^roinbigleit im ^eitpunfte * überl^aupt
nid^t gcfprod^en roerben barf.

58 . drfte» Stapxttl [§ 7.

SBtr bcjctd^nen bicfe ©cfd^tDinbißleit (velocitas) mit v. gür il^rc Sc*
rcd^nung gilt faHg bic ©tcHungSöIeid^ung s = /(<) gegeben ift, ber Slnfag :

. = um r/(o-/(^-^)]

L ^ Jr=0

ober J 21)

unb 3tt)ar, je nad^bem man 3ur aSered^nung boS SSal^nftüd t)or ober hinter
t Bejtt). P BenugtO-

Sftan nennt ben SluSbrudf für v, ber roieber eine gunftion non t x\t,
bic SIblettung t)on s = /(O unb bejeid^net f(t) felbft atö ®tamms=
funition,

3n furgem Slugbrude fagt man: v xvxxb burd^ 9lbleitung ber ©tel^
lungggleid^ung erl^alten.

3u beachten ift noc^, ba"}^ v für jeben geitpunft t einbeutig bcftimmt
ift, nid^t aber für itbm aSa^npunft P, ba ein bemeglid^er 5ßunlt W einen
beftimmten 5ßunlt P ber aSal^n mefirere 3KaIe mit oerfd^iebenen ©efd^roinbig*
feiten burd^Iaufen lann.

5Pofitioe SBcrte non v geigen an (oergl. gormet 21), ba^ bie Semegung
mitlöufig ift, negatioe, bafe fie gegenlöufig ift in Sejug auf bie ©teÖungS*
gal^Ien ber Sal^n.

Solange bie abfoluten SBerte oon v mad^fen, nennt man bie Semegung
befd^Ieunigt, folange bie abfoluten SBerte oon v abnefjmen, nennt man bie
Seroegung oergögert.

gntl^ält bie ©teUungSgleid^ung nur ^ßotenaen oon t, fo giebt bie S^abeHe
auf @. 53 bie SRed^nung für bie Slbleitung für ;? = 0. 3Jlan l^at:

1. 1

2. 2 t

3. 3 V^

4. 4*3

• • • •

8IIIgemein gilt, ba^ ein Olieb t^ in ber ©tammfunition für beren 8lb*
leitung ba^ ©lieb ptP-"^ liefert, gür t^ — 1 crgiebt fid^ afö STbleitung 0,
für t^ ergiebt fid^ K» = 1, für t^ ergiebt fid^ 2 f u. f. m.

SSeifpiel : s = Uq -\- Uit + Uzt^ + a^t^

li^t^^^- v = + ai + 2ac,t + ^a^P.

3ur 3eit * =;;= 3 ift 5. S. bei btefer ©teUungSgleid^ung:

«; = ai + 6 a2 +27 a^,
S)ie ©tellungSgleid^ungen s = rsin(mt) begm. s ^= rcos(mt) füijren
^u V = mrcos (m t) unb v = — mrsin (m t),

äJlan l^at nömlid^ im erften fjaöe s' = r sin (m t') unb

s — s= r[s^n(lw<) — stn(mt)\ = 2rstn ( ^ j cos ^

*) ©te^e bie oor^ergel&enbe SInmerlung.

§ 7.] S)ie (Sefdötütnbigfeit in einem Beftinunten Qtxtpmdtt u. f. n).

gfür <' = < — r ift alfo:

59

s — s = 2 r s«n -tt- cos m

i'-i)

mx

2^eilt man auf betben ©etten burd^ '^, bomtt ftd^ auf ber redeten

©ettc s«w-^ : -5- bittet, fo ift:

— s m ^ 2

r 2 mr

cosm

('-!)

unb man crl^dlt für Um r = :

t; = m r cos («i ^),
mcil ba^ SSer^öItniS non ©inuS unb SIrcuS für lim r = bcn SBert 1 unb

^ — -^ f ür Um r = bcn SBert t erhält.

Sine entfpred^enbe SRed^nung ift im groeiten gaffe burd^jufü^ren.

gür m = -7=7- begm. = -p=- erl^ölt man au bem Seifpiel ber gig. 22

bie (Sefd^minbigfeit v = — - r - sin (2x—j, meldte folgenbe 2^abeDe

liefert:

t =

t =

t =

t =

4
T

2
ST

4
t = T

v=

2Är

t;

+ 27Cr

V

V =

S)ie ©efd^minbigleit ift im Umlel^rpunlte B äunöc^ft SluH, ^at in ben
SBert -=— ö^i einem SJemegungSftnne ( — ) t)on B nad^ L, ift im Umlel^r*

punite L mieber SHuff, l^at nun in roieber ben SBert — ^ bei einem S5e^

wcgungSfinne (+) t)on i nad^ J2 u. f. f.

gür bie ©teÖungSgleid^ung s = r e"^* x\t v = m . r e'^K

man fiai:

s" = re*»<" unb s" — s = r(f*" — e*»*)-
gür f = t + r ift e»"*" = e»«* . e"** unb s" — s = r . e»«* (c*"* — 1)

unb

s" - s

r ' e

>m^

gm* _ 1

60 C^fted StapittL [§ 8.

®te gormcl e* = 1 + -- + r— ^ + j— ö— ö H Ifef^tt für x=mt:

1 ^ 1.2 ^ 1.2.3 ^

unb

^* 1 /l 1 \

= m + t l-m^ + -m^r + . . . j

gür Zm r = gcl^t bte rechte ©ctte in m ü6er.

fjür aSerfd^icBungcn unb ®rcl^ungcn oon Äörpern finb aöc bicfe
Setrad^tungen ofjtit n)ettered gültig. S)abei begeid^nen toit bie oeranber^

lid^c SBinIcIgcfd^n)inbtgIeit — burc^ q), roö^^cnb bie lonftante SBinlct

gefd^njinbiglcit — nad^ u)ic oor burd^ y Bcgcid^ct niirb; bie Oefd^minbiglcit

auf beut Sinl^citSlreife l^ci^t alfo (p, njenn fie oerönbcrlic^, unb y, u)cnn fie
lonftant ift.

8. Sie Sur(^f(^ntttdBef(^Ientitgtittg fär einen Beftintntten 3^ii^
abfc^nitt Bejio. für tin Beftintntted Sa^nftüdf. 9lad^bem bie (Sefd^minbigleit
für iebcn geitpunlt Bcgu). für jcbe ©tcDc bcr Salin BefKmmt roorbcn ift^
tafet ftd^ aud^ bie 3lbn)eid^ung ber ungleid^förmigen S3en)egung non
ber, bem gCuffe ber Seit entfpred^enben gleid^förmigen Senjegung genauer bar*
ftellen, alg eg burd^ Eingabe von SDurd^fd^nittSgefd^roinbigleiten mögltd^ ift.

3ft bie (Sefd^roinbigleit am SInfange eineS beftimmten 3citabfdönitte8 v'
unb an beffcn Snbe v, fo xDVcb ba^ entfpred^enbe Sal^nftüdf mit ber
31nfang8gef(^n)inbigleit v' betreten unb mit ber Snbgefd^minbtgfeit v
oerlaffen, roäl^renb ingmifd^en v' auf irgenb eine SBeife in v übergel^t. SDie
Säuberung ber (Sefd^minbigfeit für biefen S^i^ö^f^^^t beträgt v — v', ©egt
man biefe Snberung v — v' jur 3^^ z, in meld^er fte oor ftd^ ging, inS
aSerl^öItniS, fo erl^ölt man ein 3Ka^ für bie Slbmeid^ung ber ungleid^förmigen
Scmegung non ber gleid^förmigen, junäd^ft für einen beftimmten gcitabfd^nitt
bejm. für ein beftimmteg Sal^nftüdE. 3Kan nennt:

V — v'

z

22)

bie Surd^fd^nittSbefd^Ieunigung für ben betrad^teten Slbfd^nitt ber
3eit begm. für ba§ betrad^tete Sal^nftüdf, b. %:

ffv ^f^ »ixoti f^r • (Sefdöminbigleitgönberung

gür eine gleid^förmige Semegung i|at biefe ©urd^fd^nittSbefd^Ieunigung
ftetS ben SBert SHuII, ba l(itx v = c unb v' = c ift. S)a bie (Sefd^minbig«

feit bie Sinl^eit — I|at unb l^ier eine (Sefd^minbigleit v — v' burd^ eine geit*

sec

bauer z geteilt erfd^eint, fo \^ai man megen ber §omogeneitöt ber ©leid^ungen

§ 9.] SHe QUx^mä^XQ^Qtänbtxtt Jöenjegung unb bcren löefd^Ieunißung. 61

bic gin^cit ber »cfd^Ieuntgung ate — : sec = -r^ fcftAufeSen; man lieft

sec (sec)^

^3Jlcter burd^ ©clunbcnsDuabrat'' ober auc^ ^SKeter in ber Duabrat^^Selunbe".

3ft 3. 3). v = 9— unb t;' = 3— unb ;? = 2", fo ift ^^-=ll'

sec sec g

= — 2 — ~ "2" ~ ^ 7 — ^' ^' ^' ^" ^^" betrad^tetcn 2 ©elunbcn önbert
ftd^ bie ©efd^iftinbigleü, trofe aller ©d^n^anlungen im einjelncn, im gangen
um 6 — , in 1" alfo um 3 — . fjfönbe man bei einer Seroegung für jebcn

sec sec

nod^ fo Ileinen Seitabfd^nitt für 1" benfelBen SBert 3 — ate Snberung ber

sec

©efd^nJtnbigleit, fo mürbe bie ganse Seroegung bie Sefd^Ieunigung 3 °^

(sec)2

äetgen.

3Kan bered^net bie Surd^fd^nittSbefd^Ieunigung auS ber (Sefd^min^^
big! eitSgleid^ung (v) genau fo mie man bie ©urd^fd^nittggefc^minbig^
leit au8 ber ©teÖungSgleid^ung (s) berechnet.

^üx V = ao + Oit^ + «2^* + «3^^ folgt 3. S3.:

^ ~ ^ =ai + aa (2 i — jer) J^ a^ (ßt^ — Stz + z^),

S)ic aSetrad^tung gilt mieberum ol^ne mcitereg für SSerfd^ieBungen unb
ffirel^ungen oon flörpem.

9. Sie gleic^mägig^geätiberte ä^ettieguttg unb beten ä^efd^Ieunigun^.

SBcnn bie SDurd^fd^nittSbefd^Ieunigung für \zhzn nod^ fo Ileinen Slbfd^nitt ber
Seit hzixo. für ba8 sugeijörige Sa^nftüdE benfelBen SBert h l^at, fo barf man
oon einer Scfd^Ieunigung h ber ganjen Seroegung fprec^en. 3Kan nennt
fold^c S3croegungen gleid^md^ig^^gedubert. Sie Bilben unter ben ungleid^*
förmigen Semegungen bie einfad^fte fliaffe, meil Bei il^nen bic Säuberung
ber (Scfd^minbiglcit ftetS ber geit proportional ift, mdl^renb ber biefe
^nberung erfolgt.

(^ie ftel^en in einer Beftimmtcn Segiel^ung ju ben gleid^förmigen
aSemegungen, Bei meldten bie Snberung ber Stellung ftctS ber g^it
proportional ift, md^^enb ber biefe Snberung erfolgt. Srfeftt man in ber
©teHungSgleid^ung ber gleid^förmigen SSeroegung s burd^ v, fo erhält man
bie ©efd^minbigleitggleid^ung ber gleid^mä^igsgeönberten SSemegung. 3ft
nämlid^ v — v' ftetS proportinal gu t — t\ fo gilt, fallg man bie lonftante
©urd^fd^nittSBcfd^Ieunigung h nennt:

Segt man ^' = 0, fo ift v = v'+ht unb man erl^ölt «? = «;' für ^ = 0.
aSegeid^net man biefe Befonbere ®ef d^minbigleit , meldte b^m StnfangSpunlte
ber geitmeffung entfprid^t, mit vq, fo l^at man:

V = v^ + ht ......... 2S)

62 @rfted Stapittl. [§ 9.

afö (Scfd^nJtnbiBlcttgglctd^ung bcr Qkxäjmä^XQ^ ^eänbetttn SBeitJcgung, enU
fpred^cnb bcr SteHungSgleid^ung s = so -{- et btx glcid^förmtgcn SSciocgung.
Um für bie glctd^mä^tg^sgeanbcrtc SSetücgung aud^ bie ©teUungSglcid^ung
abjuictten, ^^t man ju heaäjten, bafe ifjrc ©cfd^roinbtgf eit in ber gctt ,,,t
glctd^möfetg t)on vo auf v mä(^ft unb bafier in bcr 3Jlittc bicfcr 3^it/ b. 1^.

im gcitpunltc -^ il^rcn ®urd^fd^nittSmcrt ^ ^ ^ erreicht, gür eine gleit^^

förmige SBemcgung mit ber ©cfd^minbtglcit c = ^^ ^ ^ mürbe ber SBcg tc

mä^i^cnb bcr gcit t ben SBcrt c . ^ = ^^ ^ ^ ' * fy^^^^ unb bcmgemö^
gilt aud^ für bie gleid^mä^igsgcänbcrte Scmcgung:

©cftt man «; = s — s', fo ift:

gür < = ift s = s'. Scacid^nct man btcfcn befonbcrcn SBert von s'
micbcr mit Sq, fo ift:

s = So + «'o^ 4- -g-*' 24)

bie ©tellungSgleid^ung bcr glcid^möfeig^gcönbcrtcn SScroegung. ®abci bebeutet
So bie Stellung jur Qtit t = 0, Vq bie ©efd^roinbiglcit jur gcit t = unb
l bie lonftante SDurd^fd^nittSbcfd^Icunigung ober lurg bie Scfd^Ieunigung
ber Semegung.

aSilbet man für s = ao + Oit + a^t^ bie Slblcitung v = Oi + 2a^t^
fo ift V = Ol für ^ = 0, b. ^. a, = Vq. SluS v = vq + 2 o« ^ folgt

— - — ' = 2 oa, b. 1^. bie aSemegung ift gleid^mä^ig * geönbert, unb jroar ift

b =: 2a2 ober a2 = |5.

gür bie SIbIcitung bcr ©teHungSgleid^ung lann folgenbe ftrengere Sc*
trac^tung bicncn, beren ©ebanlengang für fpöterc Unterfud^ungen mid^tig ift.

3Bir teilen bie Seit . . . t ein in w Xcilc oon ber S)aucr t, fo ba^
n • r = Hft. fjür j[cben bicfcr S^cüe ift bann bie SlnfangSgefd^minbiglcit
unb bie ©nbgcf d^minbigf eit burd^ bie ©Icid^ung v = Vq -\- ht ju bcftimmen^
fo bafe man folgenbe S^abcÖe ^^t:

r

r 2r

2r 3r

(n — 1) T . . . nt

Vo t;o + ^ ^

Vq -\- hr ^0 + 2&r

t;o + 2&r «;o + 35r

^0 + (^ — l)ht. . , Vq -\- nhz.

S)a bie @cf d^minbigf eiten für bie einjclncn gcitpunlte 0, r, 2 r, . . ., n r
ftetS mad^fcn, fo erl^ölt man für bie entfpred^enben SBcgc w^, w^, . . ., Wn
3U Heine SBcrtc, mcnn man fid^ oorfteHt, ba^ icber mit ber jugcfiörigen

§ 9.] 2)ie 0leid&mä%t0:5geänberte Jöemegung unb beten SSefdöIeuntgung. 63

SlnfangSBcfd^rainbiglctt gana burd^Iaufen tüirb, gu grofee SBcrte
bagcgcn, lücnn man ftd^ üorftcHt, bofe jcbcr mit bcr gugcl^örigcn ®nb*
gcfd^minbiglcit gana burd^Iaufcn mtrb. Seaeid^net man ben SBcg mit w,
fo crl^ölt man im crften ^aüt eine untere ©renae Wu für w, im anleiten ^aUt
eine obere (Srenae Wq für w, b. 1^. eg gilt:

Sßun ift:

Wu =^ Vq . t -{- (vq + ht) T -\- ' ' ' [vq + h (n — 1) r] r
= n(vot) + hr^ [0 + 1 + 2 + ' " (n — 1)]

= w(t;oT) 4- 5r2-l-^ ^

= t;o (nr) + — \{nxf — (n t) . t]

= ^0^ + -2-0^ — *4
Sbenfo ift:

i(;o = t;J + _ (^2 ^ ^^).

2ö^t man r Heiner unb fleiner merben, fo näl^ern fid^ w^ unb w^ ber
©renae t;o^ + -^-i'^ unb bemnad^ ift, ba w ftetS an^if^^n «'m «ttb w^ liegt:

fjür enblid^e SBerte oon r Beträgt ber fjel^ler w^ — w Bei ber erften
Setra^tung -^tx unb ber gel^Ier w^ — w Bei ber anleiten Setra^tung

gür SIufgaBen auS \izm ©eBiete ber gleid^möfeig ^ geönberten aSemegung
ift neBen ber ©teÖungSgleid^ung unb neBen ber ®ef d^minbigleitSgleid^ung noc^
eine meitere Oleid^ung mid^tig. 3JluItipliaiert man v — v^ = bt unb

V -{- Vq = 2(vq + -q- miteinanber, f o entfteijt :

t;2 _ v^ = 2b (vot + ^A = 2bw,

b. ]^. es ift:

Iv^ -^^v,' = b(w) = b(s — So).

fjür t' unb s' ergieBt fid^ nod^:
unb man erl^ölt burd^ ©uBtraltion ber ©leid^ungen für s unb s':

1^2 _ i^'2 _ 5 (s _ g') ^ 5(^) 25)

b. ]^. für jebeg Sal^nftüdf {w) = s — s' ift bie ©iffcrena ber l^alBen
Duabratc oon ßnbgefd^minbigfeit (v) unb SlnfangSgefd^minbigleit

64 @rfte8 Äapitel. [§ 9.

(«;') glcid^ bcm 5probuItc an^ Scfd^Icuntgung (h) unb SBcg (w). SDtcfc
©Icid^ung foU aScrbinbungSglctd^unB l^et^en, rocil ftc s, v unb h auglcid^
cntfjält.

ajlan unterfd^cibct btc glctd^möfttg * geönbcrtcn Scrocgungcn in glct(§s
mö^tg^bcfd^Icuntgtc unb in glcid^mö^ig^ocrgögerte Scrocgungcn.
3ft bic Scnjcgung mitläufig in SScjug auf bic ©tcHunggjal^Icn bcr Safin,
fo finb «; unb v' pofitit), unb man l^at l) > für t; > t;' unb 5 <; für

V < t;', mcil -^^^^^ — = h ift. 3m crftcn x^aUe, b. 1^. für eine pof itioe Säe*

fd^Ieunigung h bearo. für mad^fenbcS t; l^ei^t bie SBemegung glcid^mä^ig^
befd^Ieunigt, im festeren gaUe, b. 1^. für eine negatioe Sefd^Ieu:^
nigung (SSeraögcrung) beam. für abncl^menbeg v l^ei^t bie SSemegung
gleic^mäfeigsocrjögert.

3ft bie Scmegung gcgenlöufig, fo gilt ffintfpre^enbcg.

Unter ben SBemegungcn ber 8lu^enmelt finb namentlid^ ber freie
%aU; fomie ber Sßertilalmurf nad^ unten unb nad^ oben Seifpicie
für gleid^mäfeig := geönbcrte SBemegungen , norauggef efet , ba^ man bei ben
äjemegungcn ber flörper t)on bem Sinfluffe bcr umgebenben ßuft abfielet.
35ei biefen SBemegungen l^at bie aSefc^Ieunigung, meldte l^ier (gravitas) burd^

g bejeid^net mirb, ben SBert 9,81

m

(8ec)2

gfür ben freien fjall gilt s = -~ i^ unb v = gt.
gür ben SSertifalrourf nad^ wten gilt bei Vq aI8 SlnfangSgcfd^minbigleit
s = Vfit + -|-<2 ^xib V = Vq -^ gt

aSeibe Semegungen finb gleid^mö^igsbcfd^Ieunigt.

®er SSertilalmurf nad^ oben ift junäd^ft eine gleid^mafeig^oerjögerte
33en)egung unb iwax, big ber l^öd^fte 5ßunlt bcr Sal^n erreid^t ift, bann eine
gleid^mä^ig := befd^Icunigte Scmegung, meldte mit ber aScmcgung beg freien

%atie§ übercinftimmt. 3Kan l^at l^ier s = vot — -^t^ unb v = vq — gt,

fo ba^ V für ^ = ... — t)on v^ bis abnimmt, für f = —•••• oo

9 9

aber feinem abfoluten SBcrte nad^ fortgefcftt annimmt.

8IIIc Semcgungen auS ber SRuIje unb alle Scmcgungen, meldte in Sftu^c
übcrgel^cn, laffen fid^ angcnäl^crt aI8 gleid^möfetgsgeänbert auf f äffen, fo a- ^-
bie Seroegung cineS Sifcnbal^naugeS bei ber Slbfal^rt unb Slnfal^rt, bie a3e:=
megung non 3Jlafd^inenteiIen beim SInlauf unb 81blauf U; f. m.

S)abei barf man bie fjormeln beg Sßaragrapl^en oljue meitereg auf SSer*
fd^iebungen unb ®re]^ungen t)on Sörpern übertragen.

Sei ©rcl^ungen fann man bie aSefd^Ieunigung h auf bie ©in^eit rcbu*

h
aieren, b. I). — = /3 bilben. 3Jlan nennt bann /3 bie (fonftante) aBinIeI:=

befd^Ieunigung ber Semegung (= Sefd^Icunigung auf bem ®inf|eit§Ireife).

§ 10.] S)le SSefd^leunigung in einem beftimmten g^i^Pi^^We. 65

®S gilt bann:

6 = 60 + q>ot + -^r^

^ = 9o + ßt

Qfür iebe glei(^mä^t0:?gcönbcrte Serocgung tnnerl^alB bcr Slufecnroclt
muffen bic flonftanten Sq, Vq unb l Bejro. öq, (po unb ß butd^ SJerfud^c
.bcftimmt merbcn, mobei man aöcrbingg bic Scftimmung von Sq Besro. <Jo
meift burd^ eine paffcnbc SBafil beS SftuUpunfteö für bic ©tcHung^aal^Ien
fparcn lann.

10. Sie Sefd^teunigung in einem beftimmten S^^^P^^^^ ttit». in
einem beftimmten ^nnfte ber ^af^n. 3ft eine nngletd^förmige aScmegung
nid^t gleid^mä^tg geönbcrt, fo mufe man bic Scfd^Iennigung für jcbcn QexU
pnnlt beam. für bcn augcl^örigen aSal^npnnlt bcftimmen nnb jmar auS bcr
S)nrd^f(^nitt8bcfc^Icunigung burd^ einen ©rcnjübcrgang genau fo, mie bic @e*
fd^minbiglcit au§ bcr ®urd^f(ä^nitt8gcfd^minbigfcit beftimmt murbc.

Unter bcr Scfd^Ieunigung jur Qexi t beam. in bem burd^ t
beftimmten aSal^npunlte P ocrftcl^t man bemnad^ bcn ©rcnarocrti)
bcr ®urd^fd^ntttSbefd^Icuntgung Qimt =z 0) für ein aSal^nftüdf bei t
btixü. bei P.

aScjcid^nct man bic Scfd^Icuntgung burd^ j, fo ift:

j = Um ober j = lim

l t Jit=o L ^ Jt=o ,

3Kan ^ai alfo j genau fo afö Stblcitung oon v gu bcftimmen, mic man
V afö 9lblcitung oon s beftimmt i).
3ft •

s = ÜQ -\- % < + aa <* + «3 <3,
fo ift junöd^ft:

V = üi -\- 2 02 ^ + 3 as <^
unb bann:

; = 2 aj + 6 «3 f.

Sk man j auS § burd^ gmei cinanber folgenbc Stbleitungcn gcminnt, fo
nennt man j aud^ bic ameite 31bleitung oon s.

®icfc Setrad^tungen laffen fid^ ol^ne mcitcreS auf aSerfd^iebungen unb
S)re]^ungcn oon flörpem übertragen.

Sei S)rel^ungen fann man aud^ bic aScfd^Ieunigung j auf bic ßin^eit

rebugieren, b. 1^. — = t bilben. 3Kan nennt bann l bic (oeränberlid^e)

äBinf clbefd^Ieunigung gur gcit t beam. im 5ßunltc P (= aScfd^Icu«
nigung auf bem ©inl^eitSfretfe).

aWit ber aScftimmung bcr Scfd^Ieunigung für j[cben gcitpunft t
ift bic ctroa oorljanbcnc Stbmeid^ung einer gegebenen Semegung

26)

*) SJergl. bie SInmcrIung auf ©. 56.
SBcrnitfe, aWed^anif. i.

66

(Srtted itapitel.

[§11.

oon bcr ßictdöförmigcn, bem gettenfluffc entfprcd^cnbcn Serocgung
bargcftellt.

11. Sie erfte ttttb bie jioeite Slttttiil^erutig für eine beliebige Se«
uiegmtg.

S)ic gormcin für bie glei deform ige SSertjegung lauten:

1. ©teHunggglctd^ung : s = So + et

2. (Sefd^toinbiglcitSgleid^ung : v = c

3. Sefd^IeunigungSglcid^ung: j = 0.

3m befonbcrcn gilt für Stellungen:

1. 6 =6o + yt

2. q> = y

3. t = 0.

®ie fjormeln für bie gleid^mö^ig*geänberte Seroegung
lauten :

s =So + «?o^ + y*^

1 . ©teKungSgleid^ung :

2. ®ef d^njinbigleitSgleid^ung : v := v^ -\- ht

3. aSef d^IeunigungSgleid^ung : j = b

4. aSerbinbungSgleid^ung :

> •

1 -,a

2

^^ — it;o2 = b(s — So)

3m befonberen gilt für ©rel^ungen:

ß

27)

1. <J =<J, + <jPo« + -|-<a

2. tp = ^^ + ßt
S. L =ß

SDie aSinlelgrö^en, xütlä)t bmäj gried^ifd^e Sud^ftaben bejeid^net
ftnb, entftcl^en ftct^ au^ ben entfpred^enben ßineargröfecn, racld^c burd^
lateinifd^e Sud^ftaben beactd^nct finb, burd^ JRcbuItion auf bie Einheit, fo

s V

ba^ — = <Sy — = 9) u. f. ro. ift. 3Kan l^at olfo nur bie ©auptgleid^ungen

T T

.(Blieb für (Slieb burd^ r gu bioibieren, um bie ©leid^ungen für Semegungen
auf bem ßinl^cit^frcife ju erl^alten.

Dbige Olcid^ungen foUen unter btxn SHamen aSenjegungggleid^ungen
jufammengefa^t mcrben.

aWan f(^reibt bie Scnjcgungggleid^ungen, meldte für bie Seit . . . ^
aufgefteUt finb, leitet für bie Qzxt t' . , , t ober t , , . f um, mobei man
jmedEmöfeig t — f ober t" — t bnxäj z begm. r begeid^net.

fjür bie gleid^förmige Seroegung fül^rt s = So + cf unb s' r= So + ß*'
3U ber bereits belannten Oleid^ung s — s' = c (^ — i'\

Sei ber gleid^mäfeig^geönberten SSemegung l^at man 3. 35.:

s"-s = t;o(*"-0 + -|-0"^-^0

§ 11.] S)ie erfte unb ätDelte Slnnäi&erung für eine beliebige iöeraegung. 67

unb für f — ^ = r bemnad^ :

s" — s = t;or + ^^^^'^ + "^'^

= r(i;o + 50 + -|-r2

= r t; + — r2,

b. ]^. eS gilt:

s" = s + ^r + -|-r2 . 27 a)

Sbenfo l^at man:

v" = v -\- hr 27b)

SDer aSoIIftänbigfett roegcn mag aud^ nod^ bie frül^cr (@. 63) fd^on er*
toäl^nte aSerbinbungSgletd^ung l^injugcfügt toerbcn:

it;"2 _^^2==6(s"_s) 27 c)

®tefe Umf d^reiBung ber §auptformeIn für bie ^txi t\ . . t ober t . . , t"
leiftet gute ®icnfte, roenn man bie Semegung Bei einem bcftimmten QeiU
punite t, bem ein beftimmtcr Sal^npunlt P entfprid^t, au unterfud^cn f)at

Stile biefc gormein ftnb oon meittragenber Sebeutung, mcil itbe nn^
gleid^förmtge SSemegung für ein geitelement in erftcr Slnnö^crung afö
gl eid^ förmig unb mcil jebe ungleichförmige Semegung, meldte nid^t gleid^*
tnä^ig 5 geänbert ift, für ein 3^^^^^^^^"^ ^^ äroeiter Slnnäl^erung afö
gleid^mäfeigsgeänbert angefe^en mcrben barf.

gür bie erfte Slnnöl^erung giebt bie gleid^mäfetg:sgcänberte SBcmegung
felbft baS einfad^fte SSeifpicI. ^üx fte mürbe ber SBeg (©. 63) angenöl^ert
als Wu Bered^net, inbem man iebeS S3aI)nftüdE mit ber gugel^örigen 3Infang8s=
gefd^minbigfeit gang burd^Iaufen badete, er mürbe angenäljert atö wq bered^net^
inbem man jebeg SaljnftüdE mit ber auge^örigen Snbgefd^minbigfeit ganj
bur(^Iaufen badete. ®er g^^Ier betrug im erften galle — Ihtv unb im
aroeiten ^^aüt -\-^btt. Sine ©renjbetrad^tung führte oon Wu unb -Wq gemä^
ber ©leid^ung Wu <i w < Wq ^vl bzm genauen SBerte w.

gür ein S3af)nftüdf, baS in ein Element übergcljen foH, gilt foIgenbeS.
©eine 3InfangSgefd)minbigfeit tft augleid^ bie Snbgeft^minbigfeit be§ ooran:^
ge^enben, feine Snbgeft^minbigfeit jugleid^ bie Slnfangggefd^roinbigfeit be§
folgenben Sa^nftüdfeg. Segeic^net man alfo bie Oefd^roinbigleit jur geit t
mit V, fo lö^t ftc^ jebeS ber beiben, bei t gelegenen S3aI)nftüdEe (oor unb
l^inter P) angenähert burd^ vv barfteUcn, mobci r eine angebbare, im SSer:*
gleid^ ju ben ffionftanten ber Semegungggleid^ungen fe^r Heine Sauer be:=
beutet.

3m aEgemeinen l^at man r fo Hein au mö^Ien, ba^ ber gel^Ier
für VT aufeer^alb ber OenauigfeitSgrenae ber Slec^nung (a. S. für fünf S)eci*
malen) liegt.

gür

s = Uq -j- ait -j- üzt^ + a^t^

5*

68 (^teS Stapitcl [§ 11.

unb

V = üi + 2 öj ^ + 3 aa <a
l^at man:

VT = (üi + 2ait + Stti t^) r.
®agcgcn ift:

P'P= s — s' = (oi + 2a2< + Sait^)t — . (oj + SagOt« + agts

unb

PP" = s" — s = (ai + 2a^t + Sast^)T + (oa + Sa^t)T^ + a^t^

es u)trb alfo forool^I P'P aI8 aud^ P" P bnxä) vt nur fon)ctt genau
bargcfteHt, ätö crftc Sßotengen t)on r in fjragc fommcn, raöl^rcnb P'P unb
P"P in ben ^bf^txtn ^Potcnjcn ron t gegen vt 8Ibu)eid^ungen geigen. ®arum
nennt man biefe S)arftcIIung eine erfte Slnnäl^erung.

3Ba8 unfer Seifpiel lel^rt, gilt ganj allgemein.

SBöl^It man t fo Hein, baft bie ©lieber mit t^, v\ , . . au^erl^alb ber
(SenauigleitSgrenje ber SRed&nung liegen, fo erfefet bie erfte Slnnöl^erung ben
genauen SBert.

©teilt man eine SReil^e aufeinanbcr folgenber Sal^nftüdte, meldte ben Qzit^
punften t, t -\- v, . . „ t + nt cntfpred^en, in erfter Slnnöl^erung bar, |o
lann man, roie bog Seifpiel ber gleid^möfeig^^geänberten Semegung geigt, burd^
einen ©rengübergang einen genauen SBert ableiten für ben SBeg.

SDicf elbe Unbeftimmtl^eit, meldte in ber aSermcnbung oon t; für P' P ober

P" P liegt, geigt fid^ aud^ Bei ber ©erfteHung von v auS j, ba fomol^I "~

i;" — V

afö an(!^ beim ©rengübergangc gu j fül^ren unb bemnad^ v — t?'

t

= jt unb v" — t; = j r gleid^bered^tigte Slnnöl^erungen finb. S)ief e Un*

beftimmt^eit oerfd^roinbet aber bei ber i&erftellung ber gmeiten Sttnnöl^erung,

für meldte mir bie SSerbinbungggleid^ung \v^ — ^i/^ z=j .w benuften.

$ier ift angenöl^ert:

unb

gür

ift
unb

3Jlan l^at:

^^-2 -j -—2—'^

ppn _ l (v" + v)(v'' -v) _ ^' + v

-2 ~j -~2~'^'

s = ao + aif + Oa^ä + a^t^
V = Ol + 203^+ Sa^t^

j = 2 «2 + 6 «3 ^.
= üi + da2 — 5 h 3 ag ~

2 -1 I --2 2

unb erl^ält für *' = < — r in Slnnöl^erung:

§ 12.] Siier ßtap^ifc^e Sufammen^ng bet SrÖfeen s, v, j u. (. ro. 69

®6enfo ift in ainnä^erunß;

gier nitrti d|o P'J" imb ^''P foroeit genau (uergl. ®. 68 nfeeit) bai=
flefteat, als er^te unb aroeite ^Botengen ooti t in grage (ommen. ©arurn
neimt man tiefe SiaifteQung eine jroeite Stnnä^ung.

aSoS unfer Seifpiel le^rt, gil-t ßanj allgemein.

SBä^It man t |o Hein, bafe bie ©lieber mit i», t*, . - . aufeer^ott bec
©enauigleitSgrenjen ber 31e(^nun9 ließen, fo etfeSt bie jioeiie Stnnä^runß
ben genauen SBert.

13. 3)cc gtoy^if^c ^nfammen^ang bet @T3gm «, v, J iti bclic
fiigen ajemeflungttt. 1. S>ie gformel ber gleitfifötmigen ffieroegung w = c.z
ober s = So -I- c( ftetlt ben Sßeg w ober s — so aI8 ^obutt aii8 ben
5I(la6aaI)Ien ber ©efi^roinbigleit unb ber 3U0eI)8tigen 3e*töaner bar. SHefeS
ißtobult läfet (irfi (oetgl. gig. 23) otS SReäited ceranfi^auri^en, fo ba^ alfo
bie Paftsalil ber gifii^e beS SRecfitedeS ben Sßeg w = s — Sg barfteQt.
Siß. 23. gifl. 24.

l'i'. i: !(iyH. ;. :ftellun0 \A%\ fii^ auf betieöige SBeniegunflen auSs
be^neit. S:eilt man 6ei einer folgen bie ^i\l t in n ^ile oon ber gletci^en

Souer r imb entfprecEien biefer Einteilung bie Stellungen &„, Si, . . ., s„, f»

fmb ^i-^" = (h. ^*-^ = cj, . . ., '^ ~ ^~' = c„ bie S)ur<^fc^ttt8^
gefi^roinbigleiten für bie einjelnen aufeinanber folgenben 3eita5fi|nitte oon
ber ffiauer t. Süurc^ 9Ibbition ber Oleidiungen für Cj, c^, ..., c„ ert|Ölt man:

ober

«l=:Sn — Sfl=^Cir + CjT + ■■■c„r.

§ienia(f| löfet fii^ w ^ s, — s, als eine Summe Don Sftee^teden bar=
fteQen, wie e§ ^ig. 24 jeigt.

3e Heiner man x annimmt, mn fo nö^er rüden bie 3>ttpunfte auf
ber Sa^n aneinanber unb um fo melir näliem fict) bie 3)uriJ|f^nitt§gefi§roinbigi'
leiten ben ©efc^roinbigteiten in ben eingelnen SBa^npunften. Sentt man baf)er
mit $ülfe ber ©ef^roinbigleitsgteitfiung au jebem 3eitp«nte im Sßerlaufe ber
3eit ... * bie ©eft^roinbigteit v Beftimmt unb trägt man bie aufammen*

70 erftce OapUeL ^ 12.

geliörigm ffiJerte oon ( utib e ats ?lb(cijfen unb Otbmoten auf, fo fteHt b\e
bamit Beftimmte gläi^« l>^ ®*8 w == s — Sn bot, rote eS Sigut 25 jeigt.

SDte begimgenbe Stnte mag ©efc^ioinbigleits^^if "i^ fjttim unb
bte juflefiörige glätte mog burdEi Fl (v X öeaetc^net roerben.

Siemgetnäg gilt ber ®ag: 3)ie ©tcUungSAnbeiung (äSeg) lutrb
bei jebei Seroegung buid) bie entff)re(fienbe ^Ifitfie ber ®efc^ii)in=
bigIeU=3ettItnte bargeftellt.

3ft bie ®efi^iDinbigfeits3ettItnie füt ttgenb eine S9en)egimg
geic^erifi^ gegeBen (j. 8. but(^ SHegiftrieroppatate), fo ift beren gläc^ S""'
minbeften in 9Innäf|erung &eteiienliar.

Verlegt mon bie giäc^e (fenfrec^ ju t) in n ©treiben mn gteiäiet
ajteite I, fo (ann mon biefe Streifen, bet erften 9Innät|entng entfprei^enb,
entroeber gemöfe ben SlnfangSgefi^roinbigleiten ober gemfl^ ben ®nbgef(j|miubig=
leiten, alfo in boppelter Seife, alg Stei^tede bereifjueu. ^a^ man bie

Streifen als a:rQpeae auf f "" t" ^' ■ t u. f. ro.V fo benufet man bie jroeite
91nndl|enmg.

atu^etbem tft noi^ eine angenäherte Sierec^nung üblic^, nieli^e man ol8
©impfonfc^e äiegei ju bejeic^nen pflegt, ©ie beruht barauf, bag man

bie t^ädie (fentrei^t ju () in eine grabe ffl^nja^I (») oon gleid^ breiten
©tteifen jerlegt unb bie ®ef^roinbig(eit=36i'tinie burd^ ^arabelbogen erfet)t.
SRemit man bie ©efdEiroinbigleiten ber S^itpuufte «o, 'i, ■ ■ -, f«, fo giebt
biefe Slnna^erung:

m^Lt)^-^ ["0 + ^n + H^l + V, + ■ ■ ■ r„_,)

+ 2 (r, + t.4 + ■ ■ ■ «,_0] . (.

gfir bie Serec^nang folcEier SIö<^en bienen auc^ eigene SIpporofe, luelc^c
Sntegrotoren ober im befonbcren ^tanimeter feigen.

§anbett e8 fii^ um ben aSeg, loeli^er ber ^eit t' . . .t entfprii^t, fo
I|at man: ,

F}. (f 1 = K C*' 1 — K (" 1 0-

^üt bie gleic^mö^ig = geünberte SBeivegung ift bie }roeite ^nn&fierung
(Sropeg) eine genaue 2)arflel[ung , roeil f|ier bie ®ef(f|n)inbigteit=3eit=
linie eine aur Qeitai^fe geneigte ®erabe ift (oergl. Sig. 26).

S)a (I = Ho + i) ( gilt, f Q ift v — v^ ftetS proportional p ( — 0.

man \)ai:

§12.]

S)er gropl^ifd^e Sa\ammtxi^anQ ber Ordnen 5, v, j u. f. xo.

71

gür bic fllcid^förmtgc JBetücgung tft bic erftc Slnnöl^crung (Slcd^tcdf) eine
genaue SarfteHung, tüeil I|ter bie ©efd^tüinbigleit^^SeitUnte eine gur
geitad^fe parallele ©erabe tft (t; = c).

2. ®enau btefelben Überlegungen gelten für bie ®efd^n)inbigleit8änbe:=
rung, fattS man bie JBefd^IeunigungsgeitCinie geid^net. 3Kan f^ai:

Sie ®ef(^n)inbigleit§änberung wirb bei jeber ^Bewegung burd^
bie entfpred^enbe gläd^e ber aSefd^Ieunigung*3^i^Ii^i^ bargeftellt.

gür bie gleid^möftig*geänberte ^Bewegung ift biefe Sinie eine parallele jur
Seitad^fe ( j = h), für bie gleid^förmige Senjegung ift biefe ßinie bie Qeit*
ad^fe felbft ( j = 0).

3. 8lud^ bie SSerbinbungSgletd^ung ber gleid^möfeigs=geänberten Semegung
fül^rt 3u einer grap^ifd^en S)arf teHung , roeld^e für jebe ungleid^förmtge JBe«
n)egung gültig ift.

S)ie redete ©eite ber ©leid^ung':

^ i;2 — ^v^ = h(s — So) = h . w

W^t ftd^, wie gig. 27 jeigt, afö SRed^tedf barftellen.

Setlegt man nun bei irgenb einer ungleid^förmigen Semegung bie geit t
in n gleid^e Steile t)on ber Sauer r, fo jerföHt ber entfpred^enbe SBeg in bie

gig. 27.

unöleid^en ©tüdfe Wi, w^, , . ., w„. Slennt
man bie Oefd^minbigleiten, meldje ben ein*
jelnen S^itpunlten ber ©inteilung entfpred^en,
ber SReil^e nad^ v^, v^, . . ,,Vn, fo mirb w^
mit ber ©efd^minbigleit t'o betreten unb mit
ber ©efd^minbtgleit Vi oerlaffen, w^ mit ber
©efdjminbigleit v^ betreten unb mit ber ®e*
fd^minbigleit v^ oerlaffen u. f. f.

gür ben befonberen gaß, ha^ bie einaelnen ©tüdfe w^, w^, . - .,Wn
in gleid^mö^igsgeänberten Semegungen beam. mit ben Sefd^Ieunigungen

— - — = h, = 1)2, . , V = ^n burdglaufen merben,

TT TT IT

gilt in aller Strenge:

K w.- - - -■:

2 ^1 2 ^0

it;2 _ 1^2
2 ^1 5 *'l

= 5, Wi

1 -,2 1 ^,2

unb eS ergiebt ftd^ bei Slbbition fömtlid^er ©leid^ungen:

S)ie redete Seite ber \o entftanbenen ©leid^ung fteHt eine Summe t)on
aied^tedfen bar, mie eS gig. 24 für Ci r + Cg r + • . . c„ r oeranfd^aulid^t.
fßon biefem befonberen gaHe au8 löftt fi^ nun ein ©d^Iuft für jebe

72

(ErfteS Stapittl.

[§12.

unglcid^förmiflc Sctücgung matten. 3e Heiner man r annimmt, um \o nö^er
rüden bie Xeilpunlte auf ber Sol^n aneinanber unb um fo mel^r nö^ern ft(§
bie S)ur(i|f(i|nitt8Bef(^Ieuniflun8en hi, hz, . . .,ln ben SBefd^leunigungen (j) in
ben einjelnen JBa^npunften. ©emnad^ lann bei einem ©renjöbergange
(lim r = 0) t^atföd^Iid^ jebe Semegung afö eine Stttt von oerfd^iebenen^
aneinanber f^Ke^enben gleid^mö^ig^geönberten SSemegungeu angefe^en merben^
mie eS aud^ bie oben bel^anbelte jmeite Slnnö^erung geigt.

Irögt man alfo bei einer ungleid^förmigen Semegung bie jufammcn*
gel^örigen SBerte t)on s unb j atö Slbfcifjen unb Drbinaten auf, fo ftellt bie

bomit beftimmte gWt^ (t)ergl. gig. 28) bie ®rö^e

Vn

2 ^0

bar. S)ie

begrenjenbe ßinie mag Sefd^IeunigungsSBeglinie l^ei^en unb bie ju*
gel^örige g^öd^e mag burd^ Fl ( j JL to) ober f!^ ( j J_ w) bejeid^net merben.

gig. 28. gig. 29.

o

/

m

>

t'

y

'fi

>v

. . _V

•

' >

^

_> ;

K---

■-T-

--->{

2)emgemä§ gilt ber ©ag: S)ie Snberung be§ falben DuabrateS ber
@efd^n)inbigleit mirb bei jeber SSemegung burd^ bie entfpred^enbe
glä(|e ber S9efd^Ieunigungs»2BcgIinie bargeftellt.

gür bie gleid^möftig ^ geänberte SSemegung (j = V) ift biefe ßinie eine
. parallele gur SBegod^f e , für bie gleid^f örmige SSemegung ( j = 0) ift biefe
ßinie bie SBegad^fe felbft.

4. S)ie ®efd^minbigleit:*8eitlinie (oergl. 1.) oeranfd^aulid^t aud^
bie aSefd^Ieunigung unb jmar burd^ bie Xangente beS SReigungSminlefö
il^rer Xangente gegen bie gcitad^fe.

3ft. t;' bie ©efd^minbigleit 3ur ^t\i t* unb v bie ©efd^minbiglcit 3ur
Seit t, \o] ^ai (oergl. gig. 29) bie ©elante F' V bie SReigung 8 gegen bie
Seitad^fe unb^eg gilt:

3e [nöl^er F' beim ©renjübergange (Zmr = 0) an F l^eranrüdft, um
fo näl^er rüdft aud^ bie ©elante Y^Y an bie Xangente in F l^eron, unb
man l^at:

Um = 7 =

tang x,

falfö man bie SBinlel ber Xangente in F gegen bie geitad^fe mit r begeid^net.

S)a tangz eine reine 3^^! ift, mö^renb j in

m

(sec)

2

gemeffen mirb, fo

§ 13.] S)er red&nerifd&e gufQmmenl^ang ber (Stößen s, v, j u. f. w.

73

m

muffen in ber Seid^nung für sec (^oriaontal) unb — (oerttfal) gleid^e

sec

©treden oerraenbet roerben, n)enn tang r o^nt roeitereg bte Sefd^Ieunigung
barfteßen foH.

5. SBilbet man ani^ nod^ bte äBegsgettItnte, fo oeranfd^aulid^t unS
biefe bte Oefd^mtnbtglett burd^ bte 2:angente beS 9letgunggmmlefö tljrer
Sangente gegen bte Seitad^fe. ©ter gilt:

lim = V =

L ^ Jt^o

tang t.

3n ber 3ßi^ttung muffen für sec (^ortjontal) unb m (oerttlal) gleid^e
©tredfen Dermenbet merben, xotnn tangt oI|ne meitereg bte (Sefdjminbtgfett
barfteHen foH.

13* ^tt red^nertfd^e ^ufammett^ang ber ®t^tn s, v, j bei belic«
bigcn äJemegungen. 3Iu§ s xoxth v unb au8 v wirb j burd^ SIbleitung
gemonnen.

Umgeleljrt mirb v auS j unb s au8 v gewonnen, inbem man ha^ SSer^
fal^ren ber 81bleitung rüdfgöngig mad^t.

Unferen JBeifptelen entfprid^t für biefe beiben Übergönge folgenbe Soppel*
tabeHe:

1. Übergang tJon ber ©tammfunftion aur Slblettung*).

6tammfunItton . . . .
Slbleitung

Äonftante

t^

sin (m t)
-\- m cos (m t)

coß {m t)
— m sin (ni t)

ßmt

2. Übergang tjon ber Slbleitung aur ©tammfunftion*).

Slbleitung

©tammfunition ....

9luII
Äonftante

P + 1

sin {m i)
cos (m /)

m

+

cos (m t)
sin (m t)

m

ß«i t
emt

m

gür enblid^e ©ummen unb ©ifferengen merben beibe Übergönge auS^*
gefül^rt, inbem man fie an ben einjelnen 5ßoften oornimmt.

3u bemerlen ift ttöd^, ha'^ bie Seftimmung ber Slbleitung auS ber
©tammfunftion ooltftönbig ift, mal^renb bie umgef eierte Seftimmung nur
bis auf eine flonftante gelingt. $at man 3. 33.: s = «o + ^ti ^ + «2*^
fo ergiebt fid^ oollftönbig: v =^ a-^ + 2a2^. 8lu§ t; = a, + 2a.2< folgt
bogegen s = Äonftante + aj ^ + a? t\ \xnb bie ßüdfe, meldte ba^ SBort Äon^s
ftante begeid^net, lö^t fid^ nur auffüllen, menn ber Söert ber flonftanten aufter^
bem gegeben ift. 3n unferem gaHe erl^ölt man s = Äonftante für < = 0,
b. ^. bie flonftante füllt l^ier bie ßüdfe für s^ m%, fo hoü^ bie DoHftönbtge
Seftimmung t)on s a\x6i bie Stngabe be8 SBerteg t)on so erforbert.

S)iefe Semerlung entfprid^t htm Umftanbe, ba§ dud^ bei ben grapl^ifd^en
S)arfteIIungen be§ § 12 nur s — s^, v — v^, Iv'^ — \v^ gegeben mürben.

*) ©ier bebeutet p eine gange pofttioe ^d^l, m eine beliebige ^a^l.

I

74 drfte» Äopitel. [§ 14.

fo ba^ s, r, Iv^ crft ooUftönbig befttmmt ftnb, wenn bie SBcrte für So, v^,
^^0 ciuftci^bcm 3ur äJcrfügung ftcl^cn.

14. 993eitcre Semerfitngen jn bcn §§ 11, 12, 13. äRcl^rfad^ würben
t)on Seifpielcn SSorfc^riften abgeleitet unb bann bie aSemerlung l^injugefügt,
baft biefe SSorfd^riften allgemein ©eltung l^aben. Qwc Sled^tfertigung biefer
SBemerlung mag nod^ angeführt mcrben, ba^ bie gebröud^Iit^en gunitionen
t)on i, meldte für s, t?, j oorfommen, eine beftimmte SarfteHung julaffen,
meldte Jben SRamen XagIor*fd^er ßel^rfag fül^rt. Sc^eid^net man bie
Ableitung t)on /(t) burd^ f(t), bie 3lbleitung oon f(t) burd^ /"(Q u. f. m.,

fo gilt f(t + T) =/(o + f /' (0 + j^/"(0 + o^-^'"(^) + • • •

gür s = f(t) ift t? = /' (0. b. f). man I|at :

unb bemnad^ if t r . t; eine erfte Slnnöl^erung für s" — s,
gürs =/(0 ift f"{t)—j, b. ^. man l^at:

s" -s = x,v + ^.j + x^ [\r(t) + . . .]

unb htrana^ ift r . t; + Ijt» eine gmeite Slnnöl^erung für s" — s, meldte

3n ber fogenannten Differential* unb 3ntegralredönung merben SIemente
burd^ haf> gcid^en d für baS Stuge Icnntlid^ gemad^t, fo ha^ dt, ds, dv '^AU
element, SBegelement, ®efd^minbig!eit8elcment be^eid^nen.

3n biefer SSegeid^nung ift für s = f(t):

1. » = ||=m

ajlulttpliaiert man 1. unb 2. ftreuameife miteinanber, fo erl^ölt man nod^:

^ dv .ds V j .,

3. v-Tz = j -T- ober vdv = jds.
at dt

Scnugt man aud^ nod^ ha^ geid^en j ber Differential« unb 3ntegrafc
red^nung, um ben Übergang t)on ber SIbleitung aum Stamm 3u begeid^en,
fo folgt au8 1:

s = flonftante + \ v . dt
unb au8 2: ^

V = flonftante + J i • ^ ^
unb aug 3: -

i f;2 =r ftonftante + \ j . ds,

Die fjormeln ber Differential^^ unb 3ntegralred^nung, meld^er bie ftr engen
Semeife für bie ^ier gegebenen SSorfd^riften julommen, geftatten, bie Tabellen
beg § 13 fel^r er|eblid^ gu ermcitern.

§ 15, 16.] S)te SBebeutung ber Äonftanten in ben a^etoegungSgleid^ungen. 75

15* 2)ie 2)tntenfionen ber :p]^oronotnif(l^en ©rögett* Stennaetd^net man
oHgcmctn bic Sinl^ctt ber Sönge burd^ l unb bie ©inl^eit ber ScHbouer burd^
t, fo ]^at jebe ßinie (SBeg) bie S)imenfton l^, jebe giätfje bie Simenfion P,
jcbeS aSoIumen bie Simenfion Z', raä^renb ber SBinlel, aföStrcuS bargefteüt
ober burd^ ©inuS, ftoftnug u. f. vo. gemeffen, afö reine 3^^! erjd^eint unb
bemnad^ bie Simenfton P f)at

3Jlan f)at femer für bie (2inear*)®efd^n)inbi gleit = -^-^ bie Simen^
fton — = ZI . <-i, für bie (ßinear*) SSefd^Ieunigung = — ^^ . ■ — bie

S)imenfton ILil^ = n . t-\

©nblid^ i)at ber SBinIeIn)eg bie Simenfion l^, bie SBinlelgefd^min*
bigleit bie Simenfton l^t-^, bie SBinlelbefd^Ieunigung bie Simenfion

16* 3)te Sebeittung ber ^onftanten in ben Settiegungdgleid^nngen.

SIuS ber ^omogeneitöt einer ©leid^ung folgt für s = ao + «i ^ + «2 ^* i ,

ia^ iebcS ©lieb ber redeten Seite eine ßönge barfteHen muft, roeil bie Knie
©eite eine ßönge barfteHt. 8g ift alfo a© eine ßönge (so). SBenfo ift aj t

eine ßönge, alfo a^ oon ber S)imenfton — , alfo eine ®efdön)inbig!eit.

z

©benfo ift a^t^ eine ßönge, alfoaj oon ber SHmenfion — , alfo eine Sefd^Ieu*

Ttigung.

giuS V = ai + 2ait + ' ' ' folgt v = Ui für t = 0, b. ^, «i be*
beutet bie @efd^n)inbigleit jur Qeit ^ = 0.

8Iu8 j = 2^2 + • • • folgt j = 2a2 für * = 0, b. 1^. aa bebeutet bie
l^albe JBef d^Ieunigung (| jo) 3ur Seit t = 0.

Sei S3en)egungen ber 81uftenn)elt muffen biefe flonftanten burdj S9e*
obad^tung (unb SSerfud^) beftimmt merben.

S)a§ Hafftfd^e Seifpiel für i^re Seftimmung ift ber freie gall beam. bie
SBemegung auf ber fd^iefen Ebene (©alilei).

©d^Iieyid^ mag nod^ barauf aufmerifam Qzmaä^t merben, ba^ eine
©teHungSgleid^ung oon ber gorm s = ao + a^t + a2f^ + a^t^ + - - - ol^
©umme ber ©leid^ungen sq = Uq, Si = ait, sj = oa^^^ Ss = a^t^, . . .
oufgefa^t merben lann unb ba^ bemnad^ ani^ bie entfpred^enbe Semegung
aus einer gleid^förmigen Semegung (si = a^ t), einer gleid^mä^ig^^eönberten
Semegung ol^ne SlnfangSgefd^minbigleit (sa = «a *^). ^^^ Semegung oon ber
gorm S'i = % ^\ u. f- f. aufammengefegt Qtba^t merben barf.

3wetteS Sap'itti.

•

17* 3)ad ^rtnci:^ bet Sel^attiing (S^rSg^eit) utib bte Uriettiegiutg.

gür btc S3cn)egun0cn in bcr 8lu^cnn)clt gilt (ocrgt. (ginicitung, ©. 6 u. 7)
bie gnmblcgcnbe 3luffafjung: S)ic Sctoegung ift il^rcm SBcfcn nad^
glcid^förmig unb gcrablinig.

S)icfc 8luffafjung, tocld^c man otö ^rincip ber SBcl^arrung (S^räg:«
^cit) ju begcid^ncn pflegt, gieBt für bic weitere Unterfud^ung t)on JBemcgungen
ber 8luftenn)elt folgenbe Oefid^tSpunlte :

1. Sine gleid^förmige SSenjegung ouf geraber ßinie ift, lebiglid^ afö Se*
roegung Betrachtet 0/ einer ßrflarung roeber föl^ig nod^ bebürftig, fo ba^
anäj xfjx unoerönberteS fj^rtbefte^en (Sel^arrung) aK felbftoerftänblid^ gilt.

2. 3ebe Snberung be§ ©efd^minbigfeitSroerteS unb jebe 3li(i|tung§önbe:=
rung, roeld^e man bei einer Semegung beobachtet, bebarf einer befonberen
©rllärung unb jmar fmb babei bie Urfad^en foltfjer Semegunggönberungen
nid^t in ber beftel^enben Seroegung ju fud^en.

©rläuterung be§ $rincip§ an SSeifpielen au^ ben ßel^rbüd^em ber 5ß]^t)ftl.

3ltö befonbere 8lrten ber SemegungSönberung erf(|einen junöd^ft ber
Übergang au8 ber Stulpe in bie SBemegung nnb auS ber SSemegung in bie
SRul^e, bei benen bie (Sefd^minbigfeit oom SBerte anftcigt ober gum SBerte
finit. S)a aber überl^aupt bei ber Snberung einer Semegung, meldte bem
Übergange ber ©efd^minbigfeit t)on v' in v entfprid^t, nid^t ha^ gortbeftel^n
t)on v' ober v, fonbem bie (Sefd^minbigleitSänberung v — v' ju erHören ift^
fo l^anbelt e§ fid^ l^ierbei für v ^ v' um ben Übergang oon v' -{- ju
v' +■ (v — v'), b. f). oon i\x V — v' unb für v <i v' \xm ben Übergang
oon V + (v' — v) iVL V -^ 0, b. f). oon v' — v i\i 0.

S)a bie gleid^förmige JBemegung auf einer (Seraben gemö^
htm ^Principe ber SBel^arrung 3U allen anberen SemegungSarten in ©egenfaft
tritt, fo red^tfertigt e8 fid^, fie burd^ einen befonberen Slamen auSjuaeid^nen^
fie mag Urbemegung l^eiften.

^) S)aS (Sleid^geraid^t ber Äröfte, htm eine fold&e Jöewcgung entfprid^t, liegt
5ier nod) aufeerlialb ber Jöetrad&tung.

§ 18. S)te ©cfd^iüinbigleit al8 SJeftor u. f. lo. 77

®me Bcftimmte Urbcrocgung eincS $unltc8 TT tft ooHft&nbig gegeben,
iDenn man bie 2age gmeier 5ßunlte P' unb P feiner JBal^n unb bie ent:*
fprcd^enben 3^itpunlte i! unb t lennt. S)te 5ßunlte geben bie 2age ber
®eraben im SRaume, auf ber bie Semegung mit ber ©efd^minbigfeit

c = -, oor fid^ ge^t. SRimmt man auf ber Sa^n einen beftimmten

$unlt jum Slullpunite unb mi^t man bann OP' ^= s' unb OP = s,
fo ift:

s — s' = c(t — 0/ i>. 5. s = (s' — cO + et

So

bie ©tellungggteid^ung ber SBemegung.

S)enlt man P' näl^r unb näl^er bei P gelegen, fo tritt fd^Iie^Iid^ ba§
P'P entfpred^enbe »al^nelcment an bie ©teile bc8 SSalinftüdcg P'P. S>tm^
nad^ ift eine Urbemegung burd^ ein Sal^nelcment unb ba^ jugcl^örige 3^^**
elcment ooHftönbig beftimmt, unter ber aSorauSfegung , ba^ biefe (Elemente
aud^ il^rer 2age nad^ gegeben finb. Surd^ ba^ SScrl^ältniS ber beiben 8Ie*
mente mirb bie ®cf(|minbigfeit c, burd^ bie 2age be8 SSal^nelcmenteS mirb
bie 2age t)on P unb bie Siid^tung ber SSemegung, burd^ bie Steßung t bie
^Sejiel^ung ber SSemegung 3um ^n\\z ber 3^^^ gegeben.

^an lann biefe Überlegung auf eine beliebige SSemegung über*
tragen, menn man fie in erfter Slnnöl^erung betrad^tet unb t)on biefer
an^ burc^ einen geeigneten ©ren^übergang ju einer genaueren S)arfteIIung
fortfd^reitet.

18. 2)te 6(efc4ttittibigfett aU SSeftor unb ber $obogta)i]| einer
beliebigen Settiegung* S)re^t fid^ irgenb eine ©efante P'P ber Sal^n um
P \o, ba^ fid^ P' nad^ P l^in bemegt, fo gcl^t bie ©elante in bie Xangente
t)on P über, menn P' mit P sufammenfäßt. Qit^i man alfo in einem
5ßunlte P ber Sal^n bie Xangente, fo beftimmt biefe im SSerein mit bem
©inne P'P bie augenblidftid^e Slid^tung ber SSemegung, für meiere bie P ent^*
fpredjenbe ©efd^minbigleit v mäl^renb eines 3ßitelementeg mafegebenb ift..
änfolgebeffen gilt ber @a§: 3ebe Semegung löftt fid^ für ein StxU
element bejm. auf einem Sal^nelemente al8 Urbemegung auf*
faffen.

S^rögt man auf ber S^angente in P, ber augenblidttid^en SRid^tung ber
Semegung folgenb, oon P au8 eine ©tredfe ab, beren 3Ka^3a^I mit ber
Ma^aal^I ber ©efd^minbigfeit «; in P übereinftimmt, fo lennacid^net biefe
©tredfe, afö äJeltor (oergl. ©inteitung, ©. 24) aufgefaßt, bie btm 5ßunlte P
entfpred^enbe Urbemegung. 3nfoIgebeffen fa^t man bie ©cfd^minbigleit,

meldte biSber nur eine beftimmte Qafjl oon befonberen ©rö^eneinl^citen ( — )

\8ec/

mar, felbft al§ aSeltor auf, inbem man il^r ben 5ßunft P, bem fie entfpridE)t,
als Urfprung, bie augenblidflidje SRid^tung ber Semegung in P afö SRid^tung
unb il^ren SBert (v) alS 2änge gicbt. S)enft man fid^ bei einer beliebigen
Semegung in iebcm 5ßunfte ber Sal^n bie guge^örige ©efd^minbigfeit afö

78 Stt>t\te» Äopltel. . [§ 19.

SScftor aufgetragen, fo erl^ölt man ein ©efamtbilb t)on ber Übereinftimmung
unb bem Unterfd^iebe biefer JBewegung unb ber Urbewegung (oergl.
3fig. 30).

S)a biefe erfte Slnnöl^erung bie Bewegung t)on SIement ju Clement at&
Urbemegung jetgt, fo ift erft bie jmeite 3lnnö]^enmg für bie geftfteHimg
berSBemegungSönberung auf einem ßlemente geeignet. Sei ber jmeiten
Slnnö^erung l^at man junöd^ft jmei aufeinanber folgenbe SSa^nelemente, unter
aSerüdftd^tigung il^rer 2age im SRaume, gu betrachten unb bann für ben
5ßunft, meld^er beiben Kiementen gemeinf am ift, einen ©renjübergang burd^^^
3ufü]^ren. S8 l^anbelt ftd^ alfo l^er junöd^ft um brei unenblid^snal^e 5ßunlte,
meldte jmar ftetS in einer Sbene, aber im allgemeinen nid^t mel^r, mie bie
beiben unenblid^^nal^en fünfte eineS SIementeS, auf einer (8erabe liegen.

S)a bie Unterfud^ung ber jmeiten Slnnül^erung aiemlid^ oermidfelt ift, fo
ift eS jmedfm&^ig, fie junöd^ft burd^ eine erfte älnnö^erung oon gleid^er
(8enauigleit gu erfegen, inbem man nid^t bie ©tellung^Ieid^ung unb bie

gig. 30. gig. 31.

H4

Sa^n, fonbem bie als SSeftor aufgefaßte Oefd^minbigleit jum ©egenftanbe
ber SSetrad^tung mad^t.

Sagu beult man fid^ bie ®cfd^minbig!eit v gur 3ßit t nid^t, mie bisher,
in htm SBaljnpunlte P aI8 SSeftor l^aften, fonbem in bem fid^ bemegenben
$unlte W. Übertrögt man bie @efd)minbigfcit alS SSeftor üon jebem Sal^n*
punfte auf ben fid^ bemegenben $unlt W, \o bilben bie (Snbpunite biefer
aSeftoren, mie 3. 33. if„ iTg, H,, . . ., in gig. 31 eine ßinie, meldte (nad^
Hamilton) ber ©obograpl^ ber SSemegung genannt mirb. SBöl^renb W
auf ber Sal^n (oergl. fjig. 31) oon Pi big P4 fartfd^reitet, fd^reitet ber ßnbss
punft H von [v] auf htm ©obograpl^en von Hi bis H4 fort.

©tredfen mie WH^, WH2, . . . aeigen fama^I bie l^nberung beS SBerteS
t)on [v] als aud^ bie Snberung ber Slic^tung oan [v] an.

S|e mir unS einer Unterfud^ung beS ©obograpl^en jumenbcn, muffen
mir nodj über bie Semegungen ber 8lußenmelt meitere Sluffd^Iüffe ju geminnen
fud^en.

19« ä3eifpte(e für unftcttge äJeiaegitngSänberungeit. f^ür bie SrICö«
rung t)on SSemegungSanberungen geben unS bie Seobad^tungen einmaliger,
aiemlid^ rafc^ oerlaufenber SemegungSönberungen einen gingerjeig. Sei il^nen
läßt fid^ fel^r oft beutlid^ feftfteKen, baß bie oorl^anbene Semegung burd^
ben ©injutritt einer neuen Semegung umgeftaltet mirb.

Setfpiel: ©erabe auffteigenber Slaud^, ben ein SBinbftoß faßt.

§19.]

S3eifpiele für unftetige aJeiüegungSänberungen,

79

SBir betrachten aunöd^ft einen fold^en SSorgang etraaS näl^er (ocrgl. gig. 32).

8luf einem ru^enben, tirva in einem flanale angefeilten ©d^iffe bewegt
fid^ ein ©egenftanb tranSIatorifd^ unb ixoax gleichförmig auf geraber ßinie,
fo ba^ einer feiner 5ßunfte W in SSe^ug auf bie feften Uferlinien MN unb
OP besm. in Segug auf bie fefte Äanalfol^te auf ber ©eraben AB' ^oxU
fd^reitet. Äommt ba^ ©c^iff mäl^renb ber Seraegung t)on W felbft tranB*
latorifd^ in Semegung, etma ftromabmörtS nad^ ßöfung ber ©eile, unb groar
gleid^förmig in ber SfHd^tung BC\ fo mirb bie SSa^n oon W burd^ biefe
SSemegung in SSejug auf bie fefte ftanalfo^Ie geönbert. ©eftt bie SSemegung
be8 ©d^iffeS ein, menn W auf J.ß' nad^ B gelangt ift, fo oerfd^iebt fid^

gig. 32.

nun bie SBal^n oon W gegen bie fefte
Umgebung in ber Qexi t um ein be«
ftimmteg ©tüdt BC, mä^renb W felbft
in biefer 3^it t auf feiner SSa^n um ein
beftimmteS ©tüdf BB' fortfd^reitet. S)abei
erreid^t W in SSegug auf bie fefte Um^^
gebung ben $unft C unb jmar, mie I|ier
borgreifenb bemerft merben mag, in gerabs^
Unigeif unb gteid^förmiger SSemegung.

Sie aSemegung oon W in SSe^ug auf - o
bie fefte Umgebung ift alfo bie gebrod^ene

ßinie ABC, nnb gmar mirb bie ©tredfe ^C in ber Qtxt t burd^Iaufen.
S)iefe ©tredfe ift bie eine diagonale be8 burd^ BB' unb BC gebilbeten
5ßaralIeIogramm§ unb gmar bie diagonale mit btm Urfprunge B, b. ^.
ber SBeg BC ber einen Semegung fegt fid^ au8 ben SSegen BB' unb
BC ber 3ufammentretenben SSemegungen nad^ bem ^ßaraHelogrammgefege
(oergl. Einleitung, ©. 25) jufammen. ®iebt man t ben SBert 1", fo fteHen
BB' unb BC bie ©efd^minbigfeiten oon W bejm. oor unb nad^ bem ©im
tritte ber ©d^iffgbemegung bar, mä^renb B C bie ©efd^minbigleit beS ©c^iffeS
barfteHt. ©ie£)t man biefe <?tredfen aK SSeftoren an, fo jeigt fic^, bafe aud^
bie (Sefd^minbigfeit ber einen SSemegung au8 ben ©efd^minbigfeiten ber i\x^
fammentretenben SSemegungen nac^ bem ^ßaraHelogrammgefege ermädEjft. ®en!t
man W im fünfte B befinblid^, fo ftellen bie 5ßun!te B' unb C ben ©obo*
grapsen bar unb beren Sßerbinbunggftredfe B' G ift bie l^inaugefommene ©e^*
fd^minbigfeit be§ ©dE)tffeg. SSegeid^nenb für unfer SSeifpiel ift, ba^
bem 5ßunlt W 3U feiner urfprünglid^en Semegung burd^ aSermitte^s
lung be§ ©c^iffeS eine jmeite Semegung mitgeteilt mirb, meiere
fid^ mit ber erften SSemegung ju einer britten SSemegung oerbinbet,
unb ba^ biefe britte Semegung t)on ber erften in SRid^tung unb
©efd^minbigfeit abmeid^t.

SB !^at feine ©c^mierigfett, eine meitere Snberung ber SSemegung oon
W ju be^anbeln. fjafet 3. 33. ber SBinb ba^ treibenbe ©c^iff in ber SRic^*
tung D, fo bafe eS tranSIatorifd^ in gleid^förmige Semegung auf geraber ßinie
gerät, fo erleibet bie Sal^n ABC eine neue SSred^ung ber be^anbelten 9Irt.

8tnbere paffenbe Seifpiele bieten Äörper bar, meldte burc^ ©töfee (©d^Iöge)
in Semegung gefegt merben. SBirb eine rul^enbe Äugel oon homogenem ©toffe

80

3n)eite9 5tapitel.

[§20.

fo flcftoften, ba^ bic Slid^tung bc8 ©to^eS burd^ i^rcn 3KittetpunIt (Ecntral^:
ftofe) ge^t, fo befinbct ijfid^ bicfer 3KitteIpunIt nac^ SSeenbigung beS atemlidö
üerroideltcn ©to^oorgangcS in UrbctDcgung. Senlcn xoxx unS TT aI8 SKittct
punit einer l^omogenen flugel, welche fid^ mit ber ©efd^ratnbiglcit ci auf einer
©eraben beroegt, fo wirb ein Eentralftoft, beffen SRid^tung bie SRid^tung ber
aSa^n fd^neibet, ben 5ßunlt W auf eine anbere (Serabe bröngen, auf ber er
fid^ bann (im aHgemeinen) mit einer anberen Oefd^minbigleit bemegt. S)urd^
eine SReil^e t)on fold^en Stößen lann man htm SDlittelpunIte W ber ftugel
einen ©tredfengug atö SSa^n geben, beffen einzelne Seiten mit beftimmten
(im aHgemeinen unter fid^ ungleid^en) ®efd^minbigleiten burd^Iaufen merben.

SBeg unb ©efd^minbigleit ermäd^ft für jebe Seite beS ©tredfenaugeS (ü:^
ber bereits Dor^anbenen unb ber neu J^ingutrctenben ®efd^minbig!eit gemö^
bcm ^ßaraßelogrammgefege, mie eS an bem Seifpicie beS ©djiffeS (ABC)
auSfüfjrlid^ erläutert mürbe.

S)er gufömmenfegung entfprid^t eine S^^tegung, menn man fid^
ben aSorgang ber Si^fommenfeftung mieber rüdfgöngig gemad^t beult.

5ß]^gfi!alifd^e 8lpparate 3ur aSeranfd^auIid^ung beS ^ßaraHelogrammS ber
SBege unb ber ©efd^minbigleiten.

20. ^a^. ^rtncip bei^ ^araUelogrammi^ für Urbemcgungen einei^
^unfted. 3lug ber Setrad^tung berartiger SSeifpiele gewinnt man ein

gig. 33.

^rincip für bie gufammen*
fegung (unb Serlcgimg) ber
^ Scmegungen in ber 31u^enmelt.
*"> göt Urbemegungen lann
man i^m folgenbe gaffung
geben: S)ie einjelnen Se*
megungen, meldte fid^ au
einer Semegung oer*
e.inigen, lommen in biefer

ft£t§ gemäft bem 5ßrincipe ber SSeljarrung 3ur ©eltung.

I' ^ Söt stoex Urbemegungen, meldten ein 5ßun!t W gugleid^ unterliegt, he^

beutet bieg foIgenbeS:

1. S)ie aSafjn jeber ber beiben Semegungcn erleibet eine äJerfd^iebung
in ber 3lid^tung unb mit ber ©efd^minbigfeit ber anberen Semegung.

2. S)er 5ßun!t W, meld^er ben beiben Semegungen unterliegt, befinbet fid^
ftetS auf ben beiben fid^ oerfc^icbenbcn Sahnen, b. ^. er liegt ftetS
in beren augenblidflid^em ©d^ittpunlte.

gur Srlöuterung biefer Segiel^ungen bient %\q, 33, für meldte Ci = 2 Cg
ö«t.

S)cr 5ßunft W, meld^er fid^ oon big Ä auf I mit ber ©cfd^minbig:^
feit Ci bcmegt l^at, mirb in Ä oon einer jmeiten SSemegung erfaßt, meldte
il^n für fic^ auf II mit ber ©efd^minbigfeit Ca fortführen mürbe, fo baft in A
3mei Semegungen 3ufammentreten. 3laä) unferem principe bemegt fid^ nun
I mit ber ©efd^minbigfeit Ca tranglatorifd^ in ber SRid^tung oon II unb II
mit ber ©efd^minbigfeit Cj tranSlatorifd^ in ber Slid^tung oon I. (Selangt

§ 20.] S)ag jprincip be« SParattclogramm» für Urberaegungen eines spunfteg. 81

iDöl^renb ber Seit t sugleid^ I in bie ßage (I) unb II in bie 2age (71), fo
bcfinbet fid^ W m^ 3t6Iauf ber 3eit t in 5.

3Kan fann fid^ aud^ oorfteHen, ba^ T^ bie ©trede ÄA^ mit ber ®t^
fd^roinbigfeit Ci in ber Qtxi t burd^Iöuft, n)&]^renb biefe ©tredfe felbft tranS*
Catorifd^ mit ber ®efd^n)inbigleit c^ in bie ßage Ä^ B bemegt mirb, ober ba^
W bie ©tredfe ÄÄ2 mit ber ©efd^minbigleit Cj in ber Qeit t burd^täuft,
mä^renb biefe ©tredfe felbft tran^Iatorifd^ mit ber ©efd^minbigfeit Ci in bie
Sage ÄiB rüdtt.

SBenn bie erfte Semegung für fid^ W in ber gcit t oon Ä nad^ Ä^
fül^rt unb menn bie jmeite Semegung für fid^ TF in ber Seit t oon Ä
nad^ Ä2 '\uf)xt, fo führen beibe Semegungen jufammen W in ber Seit t
ouf irgenb einem SBege nad^ bem vierten ©dtpunite beS burd^ ÄAi xinb ÄÄ2
beftimmten ^ßaraHelogrammS.

S)ie aSemegung t)on W ift mieber eine Urbemegung, mie ftd^ leidjt geigen
Wfet.

Sunöd^ft fd^neiben fid^ bie ©eraben I unb II mä^renb i^rer SJemegung
ftetS auf ber S)iagonaIe AB, b. 1^. biefe ©erabe ift bie SSal^n t)on W.
Sieljt man nömlid^ burd^ einen beliebigen 5ßunft B' ber diagonale bie
^Parallelen B'A'i unb B'A'2 bejm. ju ^^1 unb BA2, fo folgt au8 ber ^f)n^
lid^feit ber entftanbenen Sreiedfe:

AA[ ^AB' _AÄ2
AA^~ AB ~ AA^'

Srreid^en bie ©eraben II unb I beam. bie Sagen ÄiB' unb Ä2B' in ber
Seit a unb *", fo gilt megen ber ©leid^förmigfeit il^rer Semegungen:

2. ^^ = 1 unb 3. ^^ = ^.

StuS 1. folgt, ba^ bie linfen Seiten oon 2. unb 3. einanber gteid^ finb,
fo ba^ olfo auc^ i^re redeten ©citen gleid^ finb, b. 1^. man l^at t' = t",

S)a alfo bie ©eraben II unb I bie Sagen ÄiB' unb A2B' ju ber^^
felben Qext erreid^en, fo ift ber beliebige 5ßunft ^' ber diagonale ein 5ßunlt
auf ber Sal^n oon W.

S)a^ bie aScmcgung auf AB ani\ gleid^förmig ift, jeigt bie ©leid^ung:

AB' _ e

• AB ~ t

meldte fid^ au8 1. in SSerbinbung mit 2. ober 3. für t' = i" ergiebt.

SRennt man bie SSemegungen I unb II ©eitenbemegungen (fom*
ponierenbe Semegungen ober Komponenten) unb bie SSemegunfl, ju ber fie
äufammentreten, 3KitteIben)egung (refultierenbc Scmegung ober SRefuItante),
fo gilt bemnad^: S)er SBeg ber 3KitteIbemegung ermäd^ft auS ben
SBegen ber ©eitenbemegungen nad^ bem Parallelogramms
principe.

©iebt man *' btn äBert 1", fo ftelleu AÄi, AÄ2 unb AB' afö »ef^
toren bie ©efd^minbigfeiten ber brei Semegungen bar, b. ^, bie ©efd^min*
bigfeit ber 3Jlittetbemegung (3JlitteIgefd^minbigIeit) bilbet fi(| au8

SBcrnide, SKed^anif. l. 6

82 Smiie» Äapitel. [§ 20.

bcn ©cfd^tDtnbiglctten bcr ©eitenbctDegungen (Settengcfd^rüinbig*
leiten) nai\ htm ^ßarallelogrammprincipe.

(SS tft leidet, biejc Setrad^tung auf ntel^rere UrbctDegungen auSjubd^nen.
S)a bie JBeiDegung anf AB eine Urbetoegung tft, tüeld^e an bie ©teile ber
Urberaegungen auf I unb IT getreten ift, fo tft eine britte Urberoegung III
mit I unb II ju Dereinigen, inbem man III mit ber Semegung auf AB
genau fo oereinigt, mie e§ mit J unb II gefd^al^. 3lufeerbcm mu^ allerbing^
nod^ gegeigt merben, ba^ bei biefer Bereinigung alle brei Semegungcn I, II,
in gleid^mä^ig berüdftd^tigt merben, b. % ha^ bie SReilienfoIge 7, U, III gu
bemfelben Krgebniffe füf)rt, mie bie golge I, III, II unb bie gotgen II, III, I
begm. II l III unb 777, I, II beam. 777, 77, 7.

gül^rt bie britte JBemegung (oergl. fjig. 34) ben 5ßun!t W in ber
3eit <, in meld^er il^n 7 unb 77 gufammen nad^ B fül^ren, für f id^ nad^ A^,

fö ift ber üierte Scfpunft C beg auS
^C3 ^^®' ^ -B unb AAs beftimmten 5ßaraMo:=

grammS ber Drt t)on W jur Qeit t,
faHS bie SSemegung auf AB unb
777 3uf am men in-®ettung ift.

Siefer Ort C ift ber Sdfpunlt beS

©tredtenjugeg J.^i jBC, toeld^er auS

• ^^,,^^j(#^iJ5)unb^^(#J?C)

^ atö aSeftoren gebilbet merben lann.

^3 ®ine aSertaufd^ung in ber fjf^fge bcr
Semegungen I, II, III fül^rt bem*
nad^ nur gu einer SSettaufd^ung ber
aSeftoren in jenem ©tredfenguge unb
. babei gelangt man ftetS (oergl. Sin»^

/^2 teitung, ©. 24 u. f.) au bemfelbcn

5ßunlte C.
gür f = 1 fteHt biefer ©tredfcnaug ba^ $ßoIt)gon ber ©efd^minbigleitcn
für 7, 7i, 777 bar, mä^renb AG beffen ©d^Iufetinie ift, b. 5. bie äftittelgef^min^
bigfeit mirb aud^ l^ier burd^ geometrifd^e Stbbition ber ©eitengefc^minbigfeitcn
gewonnen.

Um bie SSetrad^tung auf n Urbemegungen au^a^bel^nen, brandet mon
nur anaunel^men, ba^ ^J5 in f^ig. 34 bereits auS w — 1 Urbemegungcn
entftanben ift nnb ba^ A A^ ate nt ba^u fommt. ©o gelangt man au bem
©a§e : SBenn ein 5ßunf t W gleid^a^^^iö ^^u n Urbemegungen ergriffen mirb,
meldte il^n für fid^ in ber 3^it t beam. oon A nad^ A^, oon A xxaä) A.2, . , .
oon A nad^ An fül^ren mürben, fo fül^ren fie if)n auf am men nad^ einem
$ßun!t JV", meld^er ber Knbpunft be§ ©tredtenaugeS ift, ber oon A au8 bur(§
AA^, AAi,,.,, AAn atö SJeftoren gebilbet merben fann. S)ie SSemegung von
W, meldte atö SKittelbcmegung ben einaelnen ©eitenbemegungen gegenüber*
tritt, ift eine Urbemegung auf ber ©erabe AN, beren ©efd^minbigfeit
burd^ geometrifd^e 3lbbition an^ ben ©efd^minbigleiten ber ©eitenbemegungen
ermöd^ft. ©d^tie^t fid^ ber ©tredfenaug ber SBege ober ber il^m äl^nlid^e bcr
©cfd^minbigleitcn t)on felbft, fo ift 5ßunlt W in Slul^e. gür bie SSetrad^tung

§ 21.] S)ag Sprincip bcg ^axaUtloQxamm» für beliebige SBeioegungen v. f. n). 83

ift eS ganj gleid^gültig, ob bte ©eraben J, 17, ... in einer Kbene liegen
ober nid^t. 3ft erftereg ber ^aU, fo finb a\xi\ bie beiben ©tredfengüge eben,
im ani)eren fjalle finb fie geraunben.

gür ben gaÜ breier ©eraben, rael^e nid^t in einer ßbene liegen, fteHt
gig."34 ein ^araHelepipebon bar, beffen S)iagonaIa(^fe ÄC ift. .gier lann
man oon einem ^ßaraKetepipebon ber Söege unb ber ©efd^minbigfeiten fpred^en,
mie fonft oon einem ^Parallelogramm bei gmei Semegungen. 8tu^crbem ift
l^ier bie SSorfteHung aulöffig, ba^ bie ßbene oon I unb II tranSIatorifd^ an
ber ©eraben lU mit ber ©efd^minbigleit oon III fortfd^reitet unb ba§ Snts=
fpred^enbeg für bie anberen beiben (Sbenm gilt, mobei bann W ftetS im
S)ur(|fd^nitt8punlte ber brei Ebenen liegt!

3m übrigen I|at man an ber SBorfteHung feftjul^alten, ia^ jebe ber
n Salinen burd^ bie w — 1 übrigen begm. in beren 3li(|tung unb mit beren
©efd^minbigfeit tranSlatortfd^ oerfd^oben mtrb unb ba^ ftc^ W ftetg im
©d^nittpunlte aller n ©eraben befinbet.

S)ie aSBege ÄAi, AA^, . , ,, AAn ftellen, atö SSeltoren aufgefaßt, einen
befonberen gaU oon SSerlegungen (S)igIofationen) bar, ba man unter ber
aSerlegung eineg 5ßunlteg W, meld^er fid^ auf irgenb einer SBa^n oon
A nad^ P bemegt/bie ©tredfe AP, afö Sßeftor aufgefaßt, oerftel^t. gür biefe
aSerlegurigen [AA^], [^^2]. • • •/ [^^n] unb für bie ©efd^minbig^^
leiten [c,], [c^\ . . ., [c„] gelten alle ©ä^e, meldte in ber Einleitung,
©. 24 u. f. in Sejug auf bie ^\x\ammtn\t%yxnQ unb ^txlt^yxnQ oon
aSeftoren abgeleitet mürben.

21. 2)ad $rinct:p bed ^araüelogrammi^ füi: beliebige ÜBettiegungen
eine^ ^uitfted* ffia.jebe Semegung mölirenb eineS geitelementeS aß Wx^
bemegung aufgefa^ merben barf, fo gilt ha^ 5ßrincip beS ^Parallelogramm^
möl^renb eineg 3^itelemente8 auc^ für bie SSereinigung unb bie gerlegung
beliebiger SSemegungen, meldte einen 5ßunlt W augleid^ ergreifen.

S)ie aSerlegungen ber einjelnen SSemegungen finb l^ier SSaJ^netemente,
il|re aSerljältniffe gu bem Settelement, für meld^eS bie Setrad^tung gilt, bie
entfprcd^enben ©efd^minbigletten. S)emnad^ gilt ber ®a§: SBerben einem
fünfte, W jur ^t\i t augleid^ n oerfd^iebene ©efd^minbigfeiten [vj, [v2]^ . . . , [/Vi]
erteilt, fo erroöd^ft feine ©efd^minbigleit [v] au8 biefcn nad^ htm 5ßaralIeIo-
grammprincipe.

®ntfpred^enbeg gilt für gerlegungen.

3Jlan fprid^t aud^ I|ier oon ©eitengefd^mtnbigleiten unb 3KitteIgefd^minbig*
leit. 3lHe ©äfee, meldte in ber Einleitung @. 24 u. f. in a3e3ug auf bte
gufammenfegung unb QexleQntiQ oon äJeltoren abgeleitet mürben^
gelten aud^ für [v^], [V2], . . ., [vn] unb [v].

Db bag 5ßaraHeIogrammprincip bei beliebigen a3en)egungen, meldte einen
5ßunlt äugleid^ ergreifen, aud^ für eine enblid^e Q^t gilt, mie eg bei ben
Urbemegungen ber gaH mar, bebarf einer befonberen Unterfud^ung. ®g fraßt
fid^, ob aud^ l^ier bie SSerlegung beg 5ßunlte§ ftetS an^ btn SBerlegungen
ber ©eitenbemegungen nad^ \bexn 5ßaraHeIogrammprtncipe beftimmt merben
barf ober nidfit.

6*

H 3n)eite8 ÄapiteL [§ 21.

SBir Hären bicfe gragc crft an aroci Säet fpiclcn :

1. S)ie Sctücgung oon T7 tDcrbc burd^ jroci @citcnBctt)cgungcn bcftimmt,
bcrcn Salinen jtüci ftd^ fd^ncibenbc ©erabe ftnb unb bcrcn ©teHungSglcid^ungen
für bcn ©(^nittpunft ber (Seraben atö SRulIpunft s = c* unb s = J^^^
lauten. Sie Seroegung t)on T^ entfprid^t bann angenöl^ert ber Seraegung
beB 3KttteIpunIteS einer l^omogenen Äugel, welche in ber Ställe ber Srbober*
flöd^e mit ber ©efd^minbigleit c geworfen wirb (I), roäl^renb il^r bie Srbc
bie aSefd^Ieunigung g erteilt {II).

3n gig. 35 ftnb für beibe SSeroegungen auf ben Salinen I unb iJ bie

Stellungen für t = r, 2z, St, . . . beaeid^net ; bie einjelnen Sieilc auf I

4 <v. QR werben babei (s = et) unter ftd^

^ gleit^, bie eingetnen Steile auf II
entfpred^en babei (s = ^gt'^) ben
ungeraben Qa^m. SSilbet man au§
ben aSerlegungen Ol, 02, 03,...
auf I unb II nad^ bem SßaraHelos:
grammprincipe bie 3JlitteIt)erIegungen
Ol, 2, 3, . . ., fo beftimmen
beren ©nbpunfte l, 2, 3, ... bie Salin
III, meldte eine 5ßarabel ift.

S)enlt man* jxd^ JBal^n I in ber
giid^tung von II burd^ ^Bewegung II
unb augleid^ Sal^n II in ber 3lid^*
tung von I bmä) Semegung I
tranSIatorifd^ nerfe^oben, fo ift
»a^n III ber Drt beg @d^nitt:=
punfteS ber ftd^ nerfd^iebenben Sal^*
nen I unb IL

S)iefe aSorfteHung entfprid^t ben SSerl^öItniffen ber 8lufeenmelt,
ba 07 nad^ bem 5ßrincipe ber Sel^arrung für jcbe 2age von W bie 9lid^s
tung ber lonftanten ©efd^minbigleit [c] barfteHt unb ba bie Sinmirlung ber
6rbe, folange man beren 3KitteIpun!t alg unenblid^*fern be*
trad^ten barf, für jebe Sage oon W ber SRid^tung unb Sintcilung oon
II entfprid^t.

S)iefe aSorfteHung fielet aber 3u ben SSerl^ältniffen ber Stu^enmelt
in ©egenfafe, fobalb man bie Entfernung smifd^en bem Srbmittel*
pun!te unb W alg enblic^ anfielet, weil bann ^owöf)l bie SRid^*
tung afö aud^ bie ©inteilung für ll non .ber geid^nung 071 ber gigur
abweidet.

©ie^t man W atö 3KitteIpunft beS OBonbcl' an,' fo mu^ man biefc
genauere 8luffaffung 3u ©runbe legen, b. 1^. bie Semegung beg 3KonbeS um
bie ®rbe löfet fid^ nid^t au8 ben enbli(^en Verlegungen ber ©eitenbemegungen
nad^ bem 5ßaralIeIogrammprincipe beftimmen.

2. S)ie Semegung oon W werbe burd^ 3wei ©eitenbewegungen beftimmt,
beren eine (7) ben 5ßunft W auf ber ©tredfe i2 in ber Qext t gleid^förmig

§ 21.] S)aS $rincip beS SParattelogrammg für beliebige Jöeroegungen u. f. tD. 85

t)on A nad^ B fül^rt, raä^renb bie anbere (JI) sugleid^ btc ©tredc OB
gleid^förmig brel^t i). (SSergl. gig. 36.)

©elangt OJB tüäl^renb ber 2Ai t in bie 2age 0B\ fo l^at TF am ®nbc
biefer 3ßit bie Stellung B\ Sie aSeraegung i würbe für fit^ W in ber
Seit t nad^ 5 fül^ren, bie Seraegung II n)ürbe für ftd^ TF in ber 3^^ t naä)
A! füljren, beibe Seraegungen aufammen fül^ren W nid^l xi(xi^ htm vierten
Kdfpunfte 5" beg biird^ bie SScrlegungen \AB\ unb [^^'] beftimmten
5ßaraMogrammg, fonbem natf) J?'.

S)ie Setrad^tung unferer Seifpiele crgiebt eine aHgemetne SSorfd^rift für
bie aSerroenbung beS 5ßaraIIeIogrammprincip§ unb jroar gemö^ folgenber
Definition: '^von ©eitenberoegungen foHen ein aSerfd^iebunggfgftem
(tranSlatorifd^eg Softem) genannt werben, -roenn

gig. 36.

gig. 37.

1. bie aSal^n ber 3(RitteIben)egung afö geometrifd^er Ort be§ ©d^nitt*
puniteg ber fid^ beroegenben Sahnen ber ©eitenJbewegungen aufgefaßt
werben lann,

unb roenn babei:

2. bieJBal^n jeber ber beiben SSeraegungen ftetB eine SSerfd^iebung
in ber augenblidflid^en Slid^tung unb mit ber augenbIidfCi(|en ©c*
fd^minbigfeit ber anberen SJemegung crleibeti

3Jlan überaeugt fid^ jbann leidet baoon, ba^ bie SSermenbung beS
5ßaralIeIogrammprincipc8 bei enblid^en äJerlegungen bann, imb nur bann
erlaubt ift, menn bie entfpred^enben ©eitenbemegungen ein SSerfd^iebungg*
fgftem bilbcn.

®g mag nod^ befonberiS barauf aufmerifam ^txa(MS)i merben, "to^ bie
©eitenbemegungen burd^aug nid^t auf geraben SSal^nen t)or fid^ geljen
muffen, t% Ijanbelt fid^ nur barum, ^^(x^^ bie t)on ©lement au Klement ftetS
auläfftge aSermenbung beS SßaraHcIogrammprinct^S ambemeglid^en 5ßunItT7

^ S)iefe8 SJcifpiel rourbe, abgefel^en oon feiner praftifd^en SBiditigleit, auf^
genommen, meil ftd& in ßc^rbüd&cm oielf ad^ bie drllärung finbet: ®in spunit ift
gmei SBeroegungen augleid^ unterworfen, menn er ftd& auf einer ßinie bemegt, bie
felbft in ©emegung ift.

I

86 . 3n><^it«S Äapttcl. [§ 22.

immer ju bemfclben ©rgcbniffe füf)rt, mtc cm bcn urfprünglid^ gc*
gebcnen Salinen bcr Beiben ©eitenbemegungen.

SBirb (oergl. gig. 37 a. t). ®.) ber 5Pun!t TF innerl^alb ber 3^^ * i>«^^ -^
allein t)on A nad^ -4i unb burd^ II allein oon 4 nad^ A^ gefüf)rt, fo füllten
i^n Beibe S3emegungen jufammen innerl^alb ber S^t t oon 4 na(^ B, falls bie
©eitenbemegungen J unb II ein JBerfd^iebungSftiftem bilben. ®ie Sßerlegungen
[JlJLi] unb [AA^] genügen, um bie ßage oon B ju beftimmen. SHeS
gilt für jeben enblid^en SBert oon t unb für jeben nod^ fo Keinen SBert
oon t

3ur aSeranfd^auIid^ung biefer SBorfteDung lann man fid^ oorfteQen, bafe
eine centrifd^ bur(|bo]^rte Äugel auf einer ©tange A Ai (bejm. A A^) gemö^
Semegung I geleitet, möl^renb bicfe ©tange felbft in ben gül^rungen AA^
unb AiB (bejm. AA^ unb A^B) gemöfe Säemegung II oerf droben mirb.
S)er 3RitteIpunIt ber Äugel entfpri^t htm fünfte W, fattg AA^ unb AA^
in ber Qeit f burd^Iaufen merben.

ffiS ift leidet, bie Definition beS SBerfd^iebungSftiftemS auf n Seiten*
bemegungen auSjubel^nen unb bemgemä^ bie SBermenbbarleit beS $araMo*
grammprincipS bei enblid^en SBerlegungen ju begrenzen.

Db SSemegungen ber Slufeenmelt, meldte an einem 5ßunlte W
als ©eitenbemegungen jufammentreten, al8 ein SBerfd^iebungS*
fgftem aufgefaßt merben bürfen ober nid^t, mu^ oon gall ju fSfall
unterfud^t merben.

3ft bieS äuläffig, fo gelten aud^ für enblid^e SBerlegungen bie ©ä§e,
loeld^e in ber Einleitung ©. 24 u. f. gegeben mürben.

22. ^vi\avxvxvx\tiivin% einer Steige non Urbetoegitngen. äSenn fid^
ein $unlt W mit ber ®efd^minbig!eit c^ gleid^förmig auf einer ©eraben ße^
megt unb menn gu biefer SSeroegung nad^ einer beftimmten 3^t eine gmeitc
Urbemcgung l^inautritt, nad^ SBerlauf einer weiteren 3^it eine britte u. f. f.,
jo befd^rcibt W einen ©tredtenjug. 3m ©egenfaft ju ber früf)er ge^^
joäfilten Sejeid^nung foHen bie ®efd^minbig!eiten ber fiinjutretetÄen Se*
toegungen z^, z^, z^, . . . genannt merben, bie ©efd^minbigleiten oon W in
ien einjelnen teilen beS ©tredfengugeS c^, c^, Ca, . . . Unter ber aSorouS*:
feftung, ha');^ bie einjelnen Urbemegungen ftetS nad^ 31blauf berfelben geit r
auftreten 4mb ba^ aud^ bie urfprünglid^e Semegung (co) oon W möl^renb
ber Seit r betrad^tet mirb, burd^Wuft W jebe ©eite (oergl. gig, 38 a) beS
OtredtenjugeS P^, P^, Pa, . . . in berfelben 3^^^ ^ ^'^ »^^n l^at:

- Vq, Vi, t/2 . . .

X t X

W ^at bie ©tredte Po -Pi w^it ber ®ef d^minbigleit Cq in ber 3^tt r burd^*
laufen, im fünfte Pi ift eine Semcgung mit ber ©efd^minbigfeit z^ l^inju*
getreten, meldte W m äSerein mit ber erften Semegung in bie Sal^n PiPg
^mingt, im fünfte Pg ift eine Semegung mit ber ©efd^minbigfeit Z2 l^inju-
getreten, meldte ben 5ßunft W im SSerein mit ben beiben (bereits auf P1P2
vereinigten) Semegungen in bie Sal^n PgPs bröngt u. f. f.

§23.]

Übertraöung auf beliebige ©eraeßunöen u. f. to.

87

®cr ©obograp]^ ber Setoegung, tpeld^er l^icr (ocrgl. gig. 38 b) au8 bcn
^ßunftcn Hq, Ex, Hz,... befielet ftcHt in ben aScrbinbung^ftrcden ^i = Hq Hu
02 = HiBi, . . V fcilfö man fie aK Sßcftorcn auffaßt, bie ©efd^totnbiglettcn
ber fiinjutretcnbcn Setpegungen bar. Silbet man j-S. au8 [cq] unb [zi] im
fünfte Pi afö Urfprung ba8 5ßaraHcIogramm, fo tft beffen diagonale [cj
bie ©efd^njinbtgleit für PiP^, ®er SBinlel Si iXDx\d)en [cq] unb [cj im
§obograp]^en ftcHt auglcid^ ben SBinlel ber 5ßoIqgonfeiten FqFi unb PjPa

gig. 38 a.

gfiß. 38 b.

bar, gemeffen im
©tnne ber Seme*
gungSpfetle u. f. f.,
mäl^renb cq, Ci, ...
ben 5ßoIggonfeiten

proportionol finb.

flönnte man

btn ©tredenaug

F0F1JP2 ... in

eine Äuroc übers:

fül^ren, fo lie^e fid^

unf ere S3etra(|tung

auf Beliebige SSemegungen übertragen, ffiaju möre nötig, ba^ bie Seiten,

mie PqPi, unb bie SBinlel, mie £1, beS ©tredenjugeS PqFiP2 ... htm

SBerte SftuH unbegrenjt angenöl^ert mürben.

Srftereg erreid^t man baburd^, ha^ man t, lefttereS baburd^^ ba^ man
Zu Z2, . . . (oergl. ben ©obograpl^en) Keiner unb Heiner merben W^t, mobei
hoS> aSetl^ältniS ^ : r im allgemeinen einen enblid^en SBert Bel^alten mu^.

gig. 39.

23. Übertragung auf beliebige Setoegmtgen; btt Sefd^Ieunigung
aW ^ttUt. aKeffen mir bei einer beliebigen Semegung alle t ©eJunben
bie ©efd^minbigleit, fo erl^alten mir burd^ bie
gcmeffenen SBerte v^, Vi, . . . unb bercn SRid^*
tungen eine SReil^e t)on 5(hinften Hq, Ei, ...
beg $obograp]^en, mie eg gig. 39 jeigt.

3Kan !önntc [vq] burd^ bie Qufaftgefd^mtn*
bigfeit [0^] in [vi] überfül^ren, ebenfo [vi] burd^
^2] in [va] u. f. f. 3e Heiner man r mäl^It,
um fo bid^ter rüden bie 5ßunlte Hq, H^, ...
jufammen unb für limx = bilbet fid^ ber
QoboQxapf) afö ßinie.

S^l^atföd^Iid^ mirb [vq] bei ber Semegung f tetig in [v^] fibergefül^rt, fo
ba^ [^1] in gig. S9 bie S)urd^fd^nittggefd^minbig!eitgönberung für
ben Übergang oon [vq] in [vi]' barftellt unb jmar afö SBeltor.

SKan l^at l^ier:

unb alfo

[^1] ^ M ^ K].

88 Sweiteö Äapitcl. [§ 23.

ßbcnfo tote frül^cr bie Anbetung beS ®cfdpn)inbigfett8njcrtc8 «;i — vo

im aSerf)äItnt8 ju ber gctt t, in mcld^cr bicf c Snbcrung t)or fid^ gcl^t , afö

©urd^fd^nittgbcf^Icxmigitng begctd^nct tuurbc, fo lann jcftt bie Anbetung bcr

©cf^imnbigfcit afö SScItor, b. 5. [t^J ^ K] =ä: [^1] im JBer^öItniS ju bcr

Seit r, in meldtet bicfc Snbcrung t)or fid^ gcf)t, atö eine gerid^tetc ©urd^s^

fd^nittgbefd^Ieunigung angcfcf)cn merbcn.

r^ 1
gür Zm r = gel^t bicfc gcrid^tete S)urd^fd^mttSbcfd^Icunigung ^-^

in eine SBcfd^Icunigung olg SBcItor über; bie SRid^tung bicfe^
aScftorS mirb burd^ bie Orcnalagc bcr ©cfante HqHi, b. 1^. burd^ bie (nad^
i7i gerid^tetc) 2:angente be^ ©obograpfien in I/q bargefteHt, bcr SBcrt

Sf^

beg aScItorS burd^ ben (im allgemeinen enblid^en) ©renamert t)on — • S)iefer
(Srenamert fteHt aber augleid^ bie ©efd^minbigfeit für bie ©rgeugung

TT TT

beS ^obograpl^cn in Ho bat, meil bie mittleren ®cfd&minbigleiten — — -

X

unb — benfelben ©renamert l^aben, möl^renb au^erbem bie Slid^tung biefer

Oefd^minbiglcit aK SSeftor mieberum burd^ bie (nad^ E^ gerid^tete) 2:angente
in Hq beaeid^net mirb.

®urd^ bicfc Setrad^tung ftnbet man für jcbcn beftimmtcn S^üpw^^^ *
eine beftimmte Sefd^Ieunigung al8 SRid^tungSgröfte, meldte nun bie Sef d^Ieu«
nigung (al8 SBcftor) ber Semegung für ben S^itpunlt t l^ciftcn
mag, fie ift a^^ßl^i^ für benfelben 3^itpunft t bie ©efd^minbigfeit (aI8 SJcftor)
für bie ßraeugung beS burd^ ben 5ßunlt H befd^riebenen ©obograp^cn. ®em^
gemö^ gilt bcr ®afe: gür ieben ^^itpunlt ift bie Sefd^Ieunigung
bcr Semegung (al§ SBcItor) gegeben burd^ bie gleid^aeitige
©efd^minbiglcit (al§ SScItor) für bie ©raeugung be§ Qobo^
grapl^en.

9Ifö aScifpiel für bie SSermenbung biefeg ©aJeS bcl^anbcln mir aunöd^ft
bie gleid^förmige Semegung auf einem Äreife. §icr ift (nergl. gig. 40 a
unb 40b) ber §obograp]^ ein ÄreiS, metd^er gleid^förmig mit ber ©efd^minbig*
feit X burd^Iaufen mirb unb a^Jar in berfclben ^txi, in meld^er W ben
gegebenen flreiS oom Slabiug r mit ber ©efd^minbigfeit c burd^Iöuft. SBirb

biefer in ber 3^^^ T burd^Iaufcn, fo ift c = —^ unb x = —7p-, b. %.
man ^at x : c = c : r unb x = — 2)ie Sefd^Ieunigung ber Semegung

T

(afö aSe!tor) l^at l^icr alfo ben lonftanten SBert — ®ie Sftid^tung biefer

Sefd^Ieunigung mirb burd^ bie entfpred^cnbe SCangente beS ^obograpl^en ge*
geben unb geftattet, [x] in bie Hauptfigur (H unb P entfpred^en fid^) ga
übertragen. ®a [x] in P auf [c] fenfred^t ftcl^t, fo ift bie »efd^Ieunigung l^icr
f enlred^t aur S:angente in F, b. J). fie liegt in ber fogenannten Sftormalen. Sine
fold^e Sefd^Ieunigung mirb Slormalbefd^Icunigung genannt unb burd^

§23.]

Übertragung auf beliebige JBetoegungen u. f. to.

89

Un] Beacid^net, fo ba^ jy = — ift, il^r 5ßfctl jctgt ftctg nad^ htm ^xittU

T

punhe bcg flrcifcg.

Um X = JN 3U lonftruieren, bient gtg. 41, n)eld^e bcr ©leid^ung
X : c = c \ r entfprid^t. ©elbftoerftönblid^ lann man bie brci gigurcn 40 a,
40 b unb 41 in eine aufammensicl^cn.

Sig. 40 a. gfig. 40 b. gig. 41.

P c

%\xtä) ffiinfül^rung ber lonftanten SBinlcIgefd^minbigfett y = — unb

T

ber Umlaufgaeit T =
JN> aKan l^at:

2r7t

erl^ält man m)d^ brauchbare Umformungen für

c2

JN = —
r

)N =

JN = r

4;r2

2»2

unb

T = 27t y^

1 3n

28)

gül^rt man nod^ bie Slnjal^I u ber Umbrel^ungen in ber 3Rinute ein,
fo gilt (oergl. ©. 46) angenöl^ert y •= 0,lu unb bemnad^ aud^ angenöl^ert
j^ = 0,01 r u\

3Itö mettereg S3eifpiel Bel^anbeln mir bie gleid^mä^ig^geänberte S3emegung
auf einem flreife. §ier Beftimmen (nergl. Qfig. 42 a unb 42 b) bie ®e*

gig. 42 a.

gig. 42 b.

fd^minbigfeiten [v\ in P
unb [t/'] in P" bie
5ßunfte H uitb H"^ beg
igobograpf)en. ®em Über^^
gange oon Jv] in [v"]
entfprid^t bie 3"fö6«
gefd^minbigleit [-e^] unb
jmar alg ©urd^f^nittS*
gefd^nrinbigleit non ht^
ftimmter Slid^tung.

Um [z\ 3u beftimmen, mad^en mir WQ= WH", fo ho!^

[^'\^[BQ] + [QH"}
\% unb beftimmen bie flomponenten [HQ] unb [QH"\

HQ

man l^at nun HQ = WQ — WH = v" ^ v = hr unb fi^ = &^

90

3n}eite8 StapUel.

[§24.

ba ja v'' = V + ht tft. S)ie Sufaftßcfd^inbtglett [ö-ff"] cntfpri(^t einer
gleid^förmigen ÄretSBeiDegung mit ber ©efd^iDinbigJeit v", fo ba^ l^ier,

^^^ — 3U Bilbcn
^ Jt=o

ift ^^-^, iDofür aber — gefegt roerben barf, ba v" = t; + fcr für r =

f T

in t; übergcl^t. ©emgemöfe erraöd^ft bie Sefd^Icunigung, roeld^e M entfprid^t,
au8 gtuei Komponenten, beren eine ben SBert h l^at unb in if)rer Slid^tung
übereinftimmt mit ber in P im ©inne ber Semegung gcjogenen S^angente.
2)tan nennt eine fold^e S3efd^Ieunigung 2:angentialbefd^leunigung unb
begeid^net fie burd^ [jt], fo ba^ in unferem Seifpiele jt = h ift.

S)ie anbere Komponente ift eine Sftormalbefd^Ieunigmtg vom SBerte — •

Um bie gefud^te Sefd^Ieunigung barjufteHen , f)at man bemnad^ bie auf*
einanber fenfred^t fte^enben Komponenten [jt] unb [jx] 3u einer Oefamt*

gig. 43.

»►Tang.

Norm.

befd^Ieunigung [ja] ju oereinigen, mie eS
gig. 43 3eigt.

®ie aSetrad^tungen biefeS gmeiten SJcifpietö
laffen fid^ junätlft auf jebe ungleid^förmige Se*
megung, beren SJal^n ein ÄreiS ift, übertragen,
ba jebe aSerocgung in jmeiter 8lnna^erung aK
glcid^mäftig^geönberte Semegung aufgefaßt mer*
ben barf, man f)at nur h burd^ ben SBert j für
bie ©teile P ju erfefeen.

gür jebe ungleid^förmige Semegung, beren
Sal^n ein Kreis ift, gilt bemnac^ (oergl. gig.43):

JT = j unb JN = —

T

unb
unb

3g = yjT + 3n

It c 1n

cosoc = ^ unb sin a = -^

JQ

JG

29 a)

24. ^et ^rfimmungdtreid unb bie tangentiale nnb bie 9lotmaU
befd^Ieunigung für eine beliebige Setoegnng. S)ie SSeifpiele beS oorigen
5ßaragrap]^en f)aben eine meitgel^enbe tl^eoretifd^e Sebeutung, ba fid^ bie
ffirgebniffe ber Setrad^tung auf eine gang beliebige Sal^n (ftatt beg KrcifeS)
übertragen laffen.

Stimmt W auf einer beliebigen Sa^n nad^einanber bie ßagen P', P, P"
ein, fo gel^t burd^ biefe brei 5ßunfte, faUg fie nid^t in geraber ßinie liegen,
ftetS ein unb nur ein KreiS.

ßa^t man bie $un!te P' unb P" oon beiben ©eiten au8 fid^ auf P ju
bemegen unb beult man für iebe ßage ber, brei fünfte burd^ fie einen KreiS
beftimmt, fo bef)ält biefer KreiS felbft bann nod^ im aÖgemeinen (auS*

§ 24.] S)er Ärümmunö8!rei8 u. b. %anQmtxaU u. b. 91ormaI6ef d&Icuniöung u. f. to. 91

gcfd^Ioffcn fmb 3. S3. ©piftcn ber Äuroc) einen enbltd^en Slabiug p, wenn bte
fünfte P' unb P" mit P gufammenfallen. SKan nennt bicfcn flreiS vom
SftabiuS Q bzn ÄrümmungSfeeiS ber ihtroe im ^JJuttfte P unb nennt ferner

- bie flrümmung ber fluroe im 5ßunfte P. 3Iud^ bie ©renjföllc q = unb

Q=co, meldte junöd^ft au^efd^Ioffen merben, l^abcn il^re SJebeutung;
^ = geigt 3. S3. eine Spige ber fluroe an, ^ = qo eine geroblinige
©teile ber fluroe, mie fie 3. 33. 6ei SBenbepunlten auftritt.

®ie l^ier Betrad^tete Krümmung l^ei^t ^erfte Krümmung ' ber gemun*
benen Äuroe (Sal^n)^ menn man if)r gegenüber bie SBinbung im SRaume afö
^3meite Krümmung ' unterfd^eibet. S)ie ßbene, meldte P', P, P" in ber
@rcn3lage beftimmcn, l^ei^t bie ©d^miegungSebene (Dglulationgebene) t)on
P. Setrad^tet man 3mei aufeinanber folgenbe ©d^miegungSebenen, inbem
man einen oiertcn $unft ber S5af)n, ber oor P' ober l^inter P^' liegen myx^,
3U ber Oruppe P\ P, P" ^x\^m\mmi, \o ift ber 8teigung§n)infel 3meicr fold^er
©d^miegungSebenen ein mid^tigeg SeftimmungSftüdt für bie gmeite Ärüm«
mung. gür ebene flurrjen ift bie 3n)eite Krümmung ftet^ SftuK, fo ba^ man
i|ier bie erfte Krümmung ol^ne meitereS afö Krümmung bc3eid^net.

®ie aSemegung auf ber Kuroe t)on P' über P nad^ P" iann
burd^ bie Semegung auf bem KrümmungSIreife t)on P crfe^t
merben, fatlS P unb P" unenblid^*naf)e Qimr = 0) Bei P liegen.

Um alfo bie SJcmegung für ben Safjnpunlt P 3U Ienn3eid^nen, l^at man
nur bie SJemegung auf bem KrümmungSireife t)on P für biefen Safinpunlt
P 3U unterfud^en. gür biefen gilt aber, faUg man r mit q oertaufd^t, gemö^
oorigem 5ßaragrapf)en:

JT = i unb JN = —

unb

unb

cosoc = ^- unb sina = ^
3g 3g)

Qfür eine ebene Kuroe, beren ©leid^ung in red^tminleügen Koorbinaten
y=f{x) ift, gilt:

^- 7^) ^^*)

3ft h(x% Duabrat oon f'{x) gegen 1 3U oernad^löffigcn , mie c8 bei fel^r
flad^en Kuroen für eine geeignete 91d^fenlage {x, y) ber gall ift, fo ift:

Q = -^ 6e3m. -^ = /"{x) 30b)

eine braud^bare Slnnöl^erung.

Oft lö^t fid^ Q aud^ gemä^ g^rmel 29 b) bered^nen, b, f). man l^at:

3n

29 b)

92 3n>^ttei» Aapitel. [§ 25.

SBirb F 3ur 3^it < crrctd^t, fo l^at man ^' ctraa aug ber ©tcDungS*
gleid^ung für t 3U berechnen, cBcnfo v\ btc gcomctrifd^c Untcrfttd^ung bcr
aSal^n liefert ferner ben SBert t)on ^ für bie ©teile P.

Die SRid^tung t)on [jr] srigt bie Xangente in F an, meldte im Sinne
ber Semegung ju jiel^en ift. S)ic 9Hd^ung t)on [jV] jeigt bie 8tormaIe in
P an, meldte nad^ htm 3KitteIpunft beg ffirümmungSfreifeS 3U ^iel^cn ift.
®arum l^ei^t [jn] aud^ ßentripetalBefd^Ieunigung. 3Iu8 ben ©eiten^?
bcfd^Ieunigungen [ jr] unb [)V] ermad^ft [je?] nad^ bem 5ßaraIIeIogrammprincipe.

25. Sie Sebeutnng ber ©efamtbefd^Ienntgitng aU ä^eftur. äRit ber
ajeftimmung t)on [jö] ift bie SSergleid^ung einer beliebigen Semegung mit ber
Urbemegung beenbet. S)ie ^txltQun^ t)on [je] in bie beiben ©eitenbefd^Ieu*
nigungen [jr] unb [jn] aeigt beutlid^ ben Uhterfd^ieb groifd^en ber Wx^
bemegung unb einer Semegung, meldte feine fold^e ift. 2)ie tangentiale
©eitenbefd^Ieunigung [jr] liegt in ber augenblidtlid^en Slid^tung bcr SJes
megmtg unb fteöt lebigli^ bie Ifnberung beg ©efd^minbigfeitSmerteS v
hax, mag aud^ bie Übereinftimmung t)on jr unb j anjcigt. ®ie normale
©eitenbefd^Ieunigung [jn\ ftel^t fenfred^t ju ber augenblidflid^en SRid^tung ber
Semegung unb ift lebiglid^ für bie Snberung in ber 3tid§tung ber ©es
fd^minbigfeit, b. 1^. für bie flrümmung ber Sal^n, ma'iiiQthtvi>.

©olange ;V = ift, tritt feine Snberung beg ©efd^minbigleitSmerte^
ein, b. 1^. bie Semegung ift gleid^förmig. $ier ift [je] = [jn], b. \ bie
(Sefamtbefd^Ieunigung entfprid^t lebiglid^ ber ftrümmung ber Sal^n.

©olange jn = ift, tritt feine Snberung in ber 3tid^tung ber S9c*
megung ein, b. 1^. bie Säemegung ift gerablinig. S)icg jeigt aud^ ber Sau

oon jjv = — , ha für ein enblid^eg v ber SRabiug p ben SBert 00 annel^men

mu^, menn jn = Q fein foH. ©ier ift [je?] = [jr], b. \ bie ®efamtbef d^Ieu^
nigung entfprid^t lebiglid^ ber änberung beS Oefd^roinbigfeitSmerteS.

©olange jn = unb jr = ift, l^at aud^ [ja] ben SBert SftuH, b. 1^.
bie Semegung ift eine Urbemegung.

2)ie gleid^ma^igs^geanberte Semegung mirb burd^ einen fonftanten SBert
oon [jr] gefennjeid^net, möl^renb ein fonftanter SBert oon [jn] bei fonftantem
V auf ein fonftanteS p, b. 1^. auf eine gleid^mä^ige ihümmung ber a3a^n
(Äreig) l^inmeift.

©teilt man fid^ unter [jq] eine oon au^en an W l^erantretenbe ®in?
mirfung oor, fo bewirft beren flomponente [jr] bie Snberung beg ©efd^min^
bigfeitSmerteS unb beren Komponente [j^] bie Krümmung ber S3af)n.

Seaeid^net man bie Urfad^e einer SSemegungSönberung burd^ ba^ SBort
Äraft, fo befielet beren SBirfung in ber ©rjeugung ber SSemegunggs:
önberung [ja]-

®a [jo] ber ©renjmert beS SSerl^öItniffeg einer beftimmten ©efd^minbig*
feit (afö aSeftor) gu einer beftimmten 3eit ift, fo fann [ja] genau fo auS
©eitenbefd^Ieunigungen ermad^fen, mie eine (Sefd^minbigfeit an^ ©eiten*
gefd^minbigfeiten ermad^fen fann.

§ 26.] Die 8lBn)ci(j&un0 oon bcr Urbewegung (2)et)iation). 93

S^rcten 3. S9. an TT t)on au^cn n ocrfd^icbene Sinroirfungcn f)cran,
tpeld^c fid^ als w Sefd^Ieunigungcn [ji], [j,], . . ., [jn] barfteHcu laffcn, fo
ertDöd^ft [je?] au§ btefcn nad^ bem 5ßaraDclogrammprtncipc. 8lu(^ für bie
Sufammcnfcgung unb 3^rf^0i*^9 ^^^^ SSefd^Ieuntgungcn an einem $unft W
gelten bie Säfte, njeld^c in bcr Sinleitung ®. 24 u. f. abgeleitet rourben.

Darauf barf man aber nid^t etroa fd^Iie^en, ba'Jii bie Oefamtbefd^Ieuni^
flung einer S3en)egung, n)eld^c aug ©eitenbenjegungen entftel^t, ftetS aug ben
einjelnen S9ef d^leunigungen bief er ©eitenberocgungen nad^ bem ^ßaraHelogramm*
principe gebilbet merben barf. ?lur für SBerfl^iebunggfgfteme ift bief^g SSer^
fal^ren ol^ne meitereS auläffig.

26* ^te Stbtoetd^ung tum bcr Urbetoegung (SeHtatton). S)te SBer«
gleid^ung ber Urbemegung mit einer beliebigen Seroegung, mel^e leine fold^e
ift, lö^t fid^ aud§ burd^fül^ren, inbem man unmittelbar bie unenblid^sHeinen
aSerlegungen beftimmt, meldte für jeben 3eitpun!t bie Slbmeid^ung t)on
ber Urbemegung barfteHen. ©ine fold^e Seftimmung, bei ber man auf bie
ameite 8lnnäf)erung ber Semegung (oergl. ©. 78) jurüdfgrcifen mu^, liefert
einen meiieren Sluffd^Iu^ über bie Sntftel^ung einer beliebigen SJemegung.

Qkfit man in einem fünfte P ber Sal^n, g|g 44

in meld^em bie ©efd^minbigfeit beS 5ßun!te8 W p *

ben SBert v l^at, bie S^angente unb trögt man v y^T^^^^Z^'^''--^^

femer auf biefer in ber augenblidtlid^en 9Ud^« j/^ i '^Ov j

tung ber Semegung non P an^ vr =^ P U ab, ^/ ^ a.

fo fteHt bie StredEe PV ben SBeg bar, ben W d^ -^sL

in ber 3^t r burd^Iaufen mürbe, faHg feine p"^**^^^

tf)atföd^Iid^e Semegung im 5ßunlte W in eine

Urbemegung überginge. Semegt fid^ W tf)atföd^Iid^ auf feiner SSal^n, in ber
3eit r t)on P big P", fo fteKen bie 5ßunfte TJ unb P" für bag ®nbe beg
3ettabfd^nitteg r btn Unterfd^ieb in ber ßage oon W für bie beiben oer^:
glid^enen Semegungen bar. SSerbinbet man JJ mit P" burd^ eine ©tredfe
JJP'\ fo giebt biefe, alg SBeltor aufgefaßt, ein 3Ka^ für btn ßagenunterfd^ieb
t)on TJ unb P" bejm. für ben Unterfd^teb ber SBerlegungen [P IJ\ unb \PP^*\

S)te ©leid^ung [PP"] A [PCr] + [ü-p"] erl^ölt eine befonbere Sebeutung,
menn man aud| [crP"] alg SBerlegung auffaßt unb fid^ bie ©tredfe f/P"
Bejm. PI^ {^ TJP'^ aud^ in ber '^txi x burd^Iaufen benft. 3Ran lann ftd^
bann nämlid^ oorfteHen, ba^ bie tl^atföd^Iid^e Semegung auf PP'^ bie 3RitteI=:
bemegung aug ber gleid^förmigen Semegung auf PTJ unb einer beftimmten
»emegung auf PD ift. Jläl^ert ftd^ bie SBerlegung [f/p"] besm. [PD] bei
abnel^menbem r einer beftimmten ©renae, nad^ SBert unb Slid^tung, mie eg
im allgemeinen ber gaH ift, fo nennt man biefe SSerlegung nad^ ooUjogenem
©rengüberganae bie 9Ibmeid^ung für bzn Qeitpunft t bejm. für btn SJal^n^
punft P. Sie beftimmt im SBerein mit [P V\ bag Sal^nelement \PP*'\ unb
ift natürlid^ felbft unenblid^:=flein.

ÄBir Beftimmen bie aibmeid^ung junöd^ft für einige Säeifpiele. S5ei einer
gleid^mäftig geönberten Semegung auf geraber ßinie ift P P" = tT + \b r^,
mö^renb PU = vt ift. ®a ^ier [PU] unb [PP"] auf einer ©eraben

94 3«>eite8 Äapitel. [§ 26-

liegen, auf ber bttnnaä) aud^ [PD] liegt, fo ift PD = ^br^. Seim Oreng*
übergange lim r = erl^ölt PD felBft ben SBert SftuH, bagegcn liefert ber

PD

©rcnaübergang für — - ben enblit^en SBert ^ K S)ie SlBnjeid^ung ift ölfo

l^ier eine unenblid^ ? Heine Oröfee, beren Sßerl^öItniS ju r2 enblid^ ift, man
nennt fie eine unenblid^ ^ Heine ®rö^e gmetter Orbnung in Sejug auf r.
S)ie ©trede FU = vt mirb aud^ beim ©rengübergange unenblid^srflcin, möl^*:
renb il^r SBerl^ältnig ju r enblic| ift, man nennt fie eine unenbttd^* Heine
Orö^e erfter Drbnung in Sejug' auf r. SHe @tr cde PP" ift bie Summe ber
beiben ©rö^en vr unb J fer*, t)on benen bie erfte non ber erften Drbnung
unb bie gmeite t)on ber jmeiten Drbnung unenblid^^Hein ift.

9IIg jmeiteg S3eifpiel mag bie gleid^förmige SBemegung auf einem Äreife
bienen, gemä^ gig. 45.

®er Sogen PF'^ f)at l^ier biefelbe ßönge mie bie ©trede P f/". Segeid^net
man. bie lonftante Oefd^minbigfeit ber Ärcigbemegung mit c, fo ift

PU'= PP" = c r. 2)er Sogen PP" gel^ört jum SKittelpunltSminlel b unb
f)at bemnad^ für r afö SRabiuS ben SBert r . arca ober lürjer r . a. %v&

6 C

ber ©leid^ung er = rs folgt, ba^ - = - einen enblid^en SBert l^at, b. B.

a ift, für limr = unenblid^^Hein oon ber erften Drbnung in Segug auf r.
®emä^ ber ©leid^ung:

•^■"* = * - rrfrä + 1.2/3.4.5 - ' • '

r

l^at bie ©el^ne PP'' = 2r . sin ^ in jmeiter Slnnöl^erung ben SBert
2r .-^ = rs, meld^er mit bem SBerte für ben Sogen PP'^ unb für bie

»

©tredfePü' genau übereinftimmt. S)emgemä^ ift baS S)reiedE PUP*' bei ber

angenommenen ©enauigicit über ÜP'* alS Saftg glcid^fd^cnflig, unb man ^at

bemnad^:

^UP" = PUsin^= rssin-r-'
-ä 4 4

ßntmidtelt man sin j naä) obiger ®Ieid^ung für sin s unter Serüdt*

fid^tigung ber ©lieber gmeiter Drbnung, fo erl^ölt man:

UP" = \rs^

ober, fang man s burd^ bie ©leid^ung rs = ct fortfd^afft,

1 c2
UP"==- — t\

2 r

8lud^ l^ier gelangt man für Umt = erft nad^ ©ioifwn burd^ r» ju

1 c2
ber enblid^en ®rö^e ^ —

J r

®ie SRid^tung ber Slbmeid^ung ift l^ier fenfred^t 3ur Sal^n, ba

2i PUP" = 90^ — \s ben ©renamert 90« erl^ölt, menn s mit t jugleid^

bie ©renje 9luD erreid^t.

§ 26.] Die Slbnjcidjunß t)on bcr UrBenJcgunö (2)et)tation). 95

3Ifö' brtttcg Scifpicl mag bic glcid^mä^igsgcänbcrte SJctücgung ouf einem
flreife bienen, gemöfe gig. 46.

Xrögt man auf ber SCangente t)on P au8 ein ©tüd P (? ab, meld^eS bie
ßängc beg »ogenS FF" l^at, fo tft: .

[UF''] = [UQ] + [ÖP"]. ^

[cr(?] I^at bie SRid^tung* ber Sangente unb benSBert Iht^ baFQ = FF''
bm äßert \vr 4- ^^2 I)at, faD^ man mieber bie Sefd^Ieunigung ber Se«
megung mit b Bejeid^net.

[QF"] txi)ält beim OrenaüBer gange, mie bd^ oorige SSeifpiel jetgt, bte

gig. 45. gig. 46.

1 c^
SRid^tung ier Slormale unb ben SBert ^ — r^, falfö c bie Oefd^minbigleit ber

gleid^förmigen Semegung Bejeid^net, bei meld^er in ber 3^it r ber SBeg

FO

FQ = vt + ^hr^ burd^Iaufen mürbe. 3Kan f)at bemnac^ c = --^

= t? + |br unb c^ = v^ + vlt + ife2|r2^ b. 1^. für Zmr = tft d^ = v\
fo ba^ -^-^ beim ©renäüBergange ben SBert ^ — erl^ölt.

S)ie SIBmeid^ung fegt fi(^ alfo l^ier auS ben Beiben ©eitenöBmeid^ungen
[| b r2] in ber tftid^tung ber S^angente unb o" "" ''^^ ^^ ^^^ SWd^tung ber

Slormalen gufammen, fo ba^ fte leidet fonftruiert merben iann.

®ie Setrad^tungen beS britten SeifpieK laffen ftd^ junöd^ft auf jebe
ungleid^förmige Semegung, beren SSal^n ein Äreig tft, übertragen, ba jebe
Setoegung in groeiter Slnnöl^erung afö gleid^mö^ig ^ geanberte 33emegung auf*
gefaxt merben barf, v^ox^. l^at nur b burd^ ben SBert j für bie ©teile F ju
erfegen.

2)urd^ ®infüf)rung.beg ÄrümmunggIreifeS lö^t fid^ enblid^ ber Übergang
3u jeber Beliebigen Semegung l^erftellen, man l^at nur ben f onftanten SlabiuS r
beg Ärcifeg burd^ ben oariaBeln SftabiuS q be8 ÄrümmunggfreifeS ju erfegen.

©emgemöfe gilt für jebe BelieBige S3emegung, ba^ fid^ bie 81B==^
metd^ung aug jmei SeitenaBmeid^ungen aufammenfegen lö^t, t)on benen
bie eine bie Sltd^tung ber S:angente unb ben SBert \ix^ unb bie an^^J^ 31)

v^

bere bie SRid^tung ber Slormalen unb ben SBert ^ — r^ I)at.

96 3wette8 Äapitel. [§ 27.

aSergletd^t man bicfcS ßrgcfimS mit bcm SrgcBniffe auf ®. 91, fo ftc^t
man, ba^ bic flomponcnten bcr 3lBn)ei(^ung auS bcn cntfprcd^cnbcn Äom*
ponenten bcr Sef d^Icunigung entftcl^cn, n)cnn man btcfc mit | r^ multipliziert
unb ba^ btmnaä) gig. 43 aud^ für bic ©erftcHung bcr gefamten Slbmcid^ung
gilt , faKg man fic im 3RaMtabc ^ r^ : 1 ocrHcinert benft. fjür ben SBert
bcr Slbmeid^ung, beren 9tid^tung mit bcr Scfc^Icunigung übcreinftimmt, finbet

man tJqt^.

2)araug fd^Iicfet man, ha^ bic Scmcgung, bcren SBeg burd^ bic 316*
n)ci(^ung bargcf teilt mirb, atö gleid^mö^igs^gcänbertc Scmcgung mit bcr
SlnfangSgcfd^minbigleit unb ber Scfd^Icunigung jq aufgefaßt mcrbcn mu^.

Sei einer beliebigen Semegung gcjd^icl^t alfo bcr Übergang t)om Sal^n*
punfte F nai) bcm unenblid^ * naiven Sal^npunftc P" in ber 3^it ^ \^, ^o!\i
fid^ mit ber SBcrlcgung [vt] in SRid^tung ber 2^angente, meldte einer Ur*
bemegung mit ' bcr ®cf d^minbigf eit v cntf prid^t , nad^ bcm ^ßaraHelogramm:*
principe eine SSerlcgung [\3Qt^] in beftimmter SRid^tung oereinigt, meldte
einer glcid^mäfeigs^gcönbcrten Semegung mit ber StnfangSgcfd^minbiglcit
unb ber Sefd^Ieunigung jq entfprid^t. 3ft W jur ^txi i in P, fo ift v bie
©cfd^minbiglcit jur 3^it t ht^xo. im 5ßunftc P unb ja bie ©cfamtbcfd^Icu*
nigung jur '^xi t Begn). im 5ßunftc P.

3ft Bei einer Semegung biefe 8luffaffung be^ ÜBcrgangeg oon P ju P"
für eine enblid^e Qeit t Bered^tigt, fo l^at man bie Sßcrcinigung bcr Semcgungcn
s = et unb s = Iht^ auf ämei gerablinigcn Sahnen mit gemeinfamem
8tuIIpun!tc burd^gufül^rcn. S)aBei crl^ölt man (oergl. ©. 84) eine 5ßaraBcI
atö ääal^n einer SBurfBcmcgung.

S)cmgemöfe erfd^cint eine BelicBigc Semegung, meldte fid^ in erfter 8lns
nöl^erung atö eine Äette ancinanber gcrcil^ter UrBcmcgungcn barftcHt, in
ameiter Slnnöl^erung atö eine flcttc ancinanber gcrcil^tcr SBurfBcmcgungcn, fo
ba^ bic a3af)n l^icr an^ uncnblid^sfleinen 5ßaraBeIBogcn aufammcngcfeftt gebadet
merben mu^.

27. ©enanere Setra^tung bcr imiUn Stnnäl^etuitg für eine Bc«
Itebtge Vetticgung. ®ic SBurfBcmcgung geigt unS, gcmiffcrmafecn in uncnblid^*
ftarler SBergrö^erung , mic eine BelicBigc Semegung in ameiter äfnnä^crung
auf einem ©Icmcntc ausfielet. SBir Betrad^ten bcSl^alB bie SShtrfbemegung
nod^ ctmaS genauer.

3n gig. 47 ftcHt [ÜP"] bic SIBmeid^ung für P mä) SlBIauf bcr 3eit t
bar, eg ift Pü'=c^ unb UP" = ^ht^ moBei ftatt g bcg SScrgleid^eg
megen h gefd^ricBcn ift. SIm ^obograpl^en , mcld^er l^icr eine ^ßaraUcIc ju
II ift, l^at man WH = c unb EH" = 6f. SScrlöngert man nun UP"
um fid^ fcIBft Big U\ fo l^at Uü' bic ßöngc ht^ unb eg ift /^PüU'
^ A WHW^ unb amar für bcn aKobuI ^ : 1. ®a Beibe 2)reicdEc öl^nlid^
liegen, fo ift Pü' // WH" unb bemnad^ gicBt Pü' bie SRid^tung ber Xan*
gente P" T in P" an, mcil [t;"] am §obograpf)cn bcren SRid^tung l^at. S)cr
®d^nittpun!t S oon P CT unb P" T liegt in bcr 3Kittc oon P U, mcil P" T
atö ^arattcle au Pü' baS 2:ciIung8ocr^äItni8 1 : 1 oon ^?7' auf üP xAtx^
trögt. 3ie]^t man nod^ SQ // U V, f o mirb aud^ PP" in M unb P U' in

§27.]

Genaue löetrad&tung ber aweiten Slnnä^erung u. f. to.

97

^ l^alBicrt. ®a II bie 3Id^fcnri(^tung bcr $arabcl bcjeid^nct, fo ftnb TJIJ'
unb iS(?, rocld^c 3u II parallel ftnb, S)urd^mcffei* ber 5ßarabel. 3Ran ge:=
langt hzmnaä) ju bcm Safte: ;,3«'ci S^angenten einer ^JJarabel {PU unb
P"T) fd^eiben ftd^ auf bem 2)urd^ineffcr (SQ) ber 5ßarabel, UJeld^er tl^rc
aJerül^rungSfel^ne (PP") l^albtert* ober: ^3ißf|t tnan burd^ bie Serü^rungg^^
punfte (P unb P") grocier ^arabeltangenten 3U biefen $araDeIen, fo liegen
bie anbeten beiben ©dpunfte {S unb N) beS entfte^enben 5ßaraMogranun8
auf einem S)utc^. g^^^ 47^ ^ ^ g^g. 47 b,

mcffer ber ^ßara^
bei/ SSon bicfem
nüftlid^en ©afte
au§, ber ftd^ aud^
rein ^ geometrif d^
beroeifen lö^t, f ann
man rüdEmörtS gu J
ben Sejiel^ungen
gefangen, oon ht^
nen mir ausgingen,
ßr bifbet bie
®runblage für bie
S)arfteIIung einer
S3emegung in gmei*
ter 3Innäf)erung.

aBill man biefe Slnnöl^erung non ber früf)er gegebenen (oergl. ©. 68)
ameitcn Slnnö^erung unterf d^eiben , fo fann man fie ooUftönbig nennen,
meil fie bie Snberung non SBert unb Slid^tung ber ©efd^minbigfeit
(JT unb jiv) berüdffid^tigt, roä^renb bie frül^er gegebene nur ber ©leid^ung

= j begm. = JT entfprad^ unb alfo nur bie 9lnberung hz§>

©efd^minbigfeitSmerteS auf ber Sal^n (Siangentenrid^tung) barfteHte.

3IIS Seifpiel für eine fold^e noUftänbige 3lnnäf)erung möl^Icn mir gu-
näd^ft bie gleid^förmige Semegung auf einem flreife, meld^er mit ber ©e-
fd^minbigfeit c in ber '^tii T burd^Iaufen merben foK. ©iefeg Seifpiel ge*
ftattet, bie ©enauigfeit ber ©arfteHung leidet gu neranfd^aulid^en. S)a f)ier

^^ = c ift, fo l^at ber SlabiuS beS flreifeS ben SBert ~

Steilen mir bie geit] T in n gleid^e S:eile non ber Sauer t, fo bemegt
fid§ W in ber ^t\i r auf einem Sogen, ber bem 3KitteIpunft§minfeI

s = begm. — entfprid^t. ®er ^obograp^ ber Semegung f)at bem?

nad^ bie ©eftalt, meldte gig. 48 (a. f. ©.) für n = 16 barfteKt. Um bie
S3emegung in gmeiter Slnnäl^erung barguftellen, bilben mir in Po ba§
A WHo Hl burd^ A Po E'o H[ ä^nli^ ab nad^ bem 3KobuI 1 : r, f ba^
FoH'o = et ift, unb gmar in äl^nlid^er ßage gu WH^Hi.

S)\xxä) bie 3Kitte Pi non H'oH'i giel^en mir eine $araDeIe gu Po-Si unb
fd^neiben auf i^r PiHi = r . WH^ = P^B'i ob, fo ba^ an i^r A WH^ B^

SBctnicfc, ailcc^onif. I. 7

98

StDtitt» Aapitel.

[§27.

bwcä) A P1E1H2 nad^ bcm 3KobuI 1 :r in äl^nßd^er ßage abgcBilbet iDcrben
fann. S)urd^ bie 3Rttte P^ oon £?i fii gicl^en tx)ir nun eine ^araDele ju
Pif^i unb fd^ncibcn auf il^r Pg-^i' = t^ . WH^ = P1H2 06, fo ba^ an

Sig. 48 b.

et H'o

i^r A WH^Hs bur(^ A P^H'iH'^ na^ bem artobul 1 : r in ö^nliti^cr ßage
abgebilbet ujcrben fann, u. f. f.

^arabelbogcn PoPi, Pi P2, P2 P%, . . v für raeld^e Po H'^^ ^1 -^i'. A^2/ • • -
S^angenten finb, fteUcn bann bie SJeroegung in jroeiter Slnnäl^erung bar.

®er aSogen PqPi entfielet atö SBurfbenjegung, inbem W auf FqBq gleid^^
förmig in ber geitr mit ber (Sefd^minbigleit WH^ fortf (^reitet unb jugleid^ in
ber SRid^tung H'o H'i um bie ©trecf c Hq Pi gleid^mäfeig:sbcfd^leunigt föHt mit ber

TT TT

aSefd^Ieunigung — — - • ®er Sogen P, P2 entfielet atö SBurfBenjegung, inbem

t

W auf Pi Hl gleid^f örmig in ber 3cit r mit ber ®cf c^minbigleit WHi forts=

fd^reitet unb auglei(^ in ber Slid^tung Hl H2 gleid^mä^gs^befd^leunigt föDt mit

H H

ber Sefd^Ieunigung — — - u. f. ro.

Um biefe Slnnöl^erung mit ber genauen Semegung 3U oergleid^en, bc^
red^nen mir ben SlabiuS r beg 5h:eife8, meld^er burc^ Pq, Pi, P2, ... gel^t.

a

CtCOS-pr
6 £ 2

3Jtan l^at |Pü Pi = r . sin — unb PoPi = et . cos—, b, f), r =

2 stn -

Srmeitert man mit n, wm nt = T einfül^ren ju lönnen, f ift :

£

cos

cT

2nsin —

SHe ©leic^ung:

sin

gte:6t:

1 1 , .

Hsw| = ^(w«) — J8^"*^ . «ä + . • . = 2 (2«) — 4g(2=^) • «" +

. • ».

§ 27.] Genaue ©etradötung ber ansciten 8lnnäf|ertm0 u. f. to.

©Benfo ift:

99

unb man f)at:

• • •

cos^

2 n sin —

1-8^^ +

• • •

'('-^

£2 +

•)

S)emnad^ ift:

= !!(• - n- + ■ ■ •)•

fjfür Z«w w = 00 Bc3tt). Um r = ober Zim £ = ift:

_ cT
^ ~2%'

b. 1^. man gelangt ju bcm genauen SBerte.

®S ip fel^r nüftltd^, l^iermtt bie erfte Slnnöl^erung ju oergleid^en, bei ber
bie Bewegung au§ Urberoegungen erraäd^ft. §ier mu^ man annel^men, bafe
Po -Pi init ber Oefd^minbigleit WH^ glei^förmig burd^Iaufen mirb (gig. 49),

gig. 49 b.

unb ha^ in P^ plöglid^ bie ©efd^minbigleit [B^Hi] bajufommt, fo ha'i^
nun bie ©efd^minbigleiten [TFiZo] "nb [H^H^ möfirenb ber Qeit r gugleid^
auftreten, um bag Sal^nftücf F^P^ ju bilben, meld^eg mieberum mit ber ®z^
fd^minbigfeit [WE^] gleid^förmig burd^Iaufen mirb. 3n P^ tritt bann plöft*^
1x6) bie ®ef(|n)inbigfeit [HiH^ i^inju, fo ba^ nun bie ©efd^minbigleiten
[TFITJ unb [HiH^ mö^renb ber geit r jugleid^ auftreten, yxm ha% Sal^s^
ftüd P2P3 8u bÜben u. f. f.

3n gig. 49 finb APiH'.P, unb AWHoH,, AP^H^P^ unb-
AWH1H2 u. f. f. äf)nlid^ gelegen Bei einer SttBBilbung naify htm 3Kobu£
1 : r.

SBir ftetten aud^ l^ier bie ®enauigleit feft.

m ift:

7*

100

3tt)eite8 Äapitel.

[§27.

et

2 sin-

6 n

2 sin —

=ll('+ä-+

■)

2 n sin —
2

gür Ziwtw = 00 bcjrr). ?imr = ober limB = crl^ölt man auc§
l^ier bcn genauen SBert:

8118 roettereS SJeifpiel für bie Sel^anblung einer anleiten Slnnöl^erung
UJöl^en xd\x bie SBurfbenjegung mit ber ©efd^roinbigleit [c] üon beliebiger SRid^*
tung unb ber Sefd^Ieunigung \g\ in ber SRid^tung na(^ bcm 3KitteIpmtfte ber
®rbe. ®emä^ ber ©leid^ung v ■= gl f)at man f ür ^ = r, 2 r, . . . gegeben

gifl. 50 a. ^ H Sig- 50 b.

y\ AgT«

V = gt, 2 gr, . , . S)iefen Segiel^ungen entfprid^t ber ^obograpl^ in gig. 50,
nad^ roeld^em bie angenäl^erte Sal^n Pq, Fi, F2 - - > gegeid^net ift. S)ie
^araöele AB gum ©obograpl^en in g^Ö- öO oerlürgt bie ©efd^minbigfeiten
im aSer^altniS 1 ; r. §ier finb bie 5ßun!te Po, Pi, Pj ... in genau rid^s
tiger 2age, mie an^ ber Setrad^tung il^rer ^orisontalprojeltion unb il^rer
Oenlung gegen I unmittelbar l^eroorgel^t. ®ie $arabeIbogen Po Pi, Pi P2, ...
finb l^ier ^tMt einer unb berfelben 5ßarabel.

äöir fügen an^ l^ier jum SSergleid^e bie erfte Stnnäl^erung f)in3u, meWje
gig. 51 barfteUt. ®ie ^origontalprojeftionen ber 5ßun!te Po, Pi, Pa, . . .
liegen aud§ ^ier rid^tig.

§ 27.] ©enaue SBctrad&tung ber araeiten Slnnäl^erung u. f. n).

gür bie @cn!ung gegen J gilt:

101

S)auer :

.
2x

, t
2r
3r

vSp

enlung :

2gr^

(n — 1) T . . . »^ T (n — 1) ^ t^.
S)emgemä§ ift bie gefamte ©enfung t)on P« gegeben alg:

[0 + 1 + 2 + • • • (w — 1)] ^t2 = 1 7i(n — 1) ^r2

= |-(nr)2 - f (nt)t = ft^ - ftr,

gür lim w = 00 I|at aud^ f|ier bie Senlung ben SBert ^ g t^. '

S)iefe Seifpiele itxQtn, ba§ \oxutlif, bie etfte al§ aut^ bie jnjeite Sin««
nöl^erung Bei einem geeigneten ®ren3übergange genaue Srgebniffe liefern.

gtg. 51a.

gig. 51b

c' c' ' C • c' ' c' c'

obrool^t Bei jeber eine gang oerft^iebene Sluffaffung oon ber SJlatur einer
SSeraegung, n^eld^e feine UrBeroegung ift, jur ©eltung lommt.

S)er erften SInnafierung liegt bie SSorfteKung ju ©runbe, haüi^ bie ®t^
f d&n)inbigf eit , n^eld^e ber SSeft^Ieunigung ht^vo. ber 3lbn)ei(^ung entfprit^t,
plöglid^ auftritt unb il^rem SBerte nad^ proportional ju r ift (jr).

102 Snieiteg StapiUl. [§ 27.

S)cr iXDtxien 3Innä]^crung liegt bie SSorfteKung ju ®runbc, ba§ ftd^
jene ®ej(5ix)tnbig!ett (jr) ftetig Bilbet.

S)cn!t man bic Scfd^Ieunigung burd^ eine flraft htmxtt, fo ^öt man fid^
biejette im erften gaUe periobifd^ mirffam (pulfterenb) ju ben!en. Sie er:^
teilt bem 5ßun!te W immer na(^ SlMauf ber geit t eine ju t proportionale
©efd^minbigfeit j t oon Beftimmter SRit^tung, fo ba^ fie für Um r = in
jeber enblid^en, nod^ jo Seinen geit, unenblid^ oft pulfiert.

Sei ber jmeiten Slnfd^auung mu^ bie Kraft ftetig mirifam gebadet
merben, fo ba§ fie in ber ^z\i t eine (Sefd^minbigleit entftel^en lä^t, meldte
möl^renb biefer S^it oon Big jt möd^ft.

aSeibe SSorfteHungen finb jutöffig. S)ie erfte liegt htm 5ß]^gfi!er unb 2;ed^*
niler (namenttid^ in ^inBIidE auf bie neueren Sluffaffungen ber Slggregat^^
auftänbe) näl^er, meil fie anfd^aulit^ ift, bie ameite htm aKat^ematüer, meil
fte bie l^ier auftretenben gunftionen ftetig erfd^einen lö^t unb bemnad§ i^re
leidste aSermenbBarleit fid^ert.

Sei ber erften SSorfteHung ift ber ^obograpl^, eBenfo mie für bie SJe^^
wegung auf einem enblid^en ©tredtenjuge, etma mie eine Ul^r mit fpringenbem
3eiger (oon oerönbertid^er (Srö^e) aufaufaffen. S)ie einfad^fte 35emegung auf
einem enblid^en ©tredtenauge lonnten mir unS burd^ eine SReil^e t)on Stößen
l^eroorgeBrad^t beulen unb unS baBei bie SSerl^öItniffe oor unb nad^ jebem
©to^e beutlid§ oeranfd^aulid^en, möl^renb ber lurje, aBer^ uermidtelte ©tofe:=
t)organg felBft nur in feiner SBirlung, nömlid^ in ber SInberung ber ®t^
fd^minbigleit, nad^ SBert unb SRit^tung erfd^ien. S)arum Beftanb ber $obo*
grap]^ l^ier nur auS einaelnen fünften, beren fef|tenber SSerBinbung bie geit
eines ©tofeoorgangeS entfprid^t. Seim ©renjüBergange BleiBt bief e gange 3lufs
faffung Beftel^en.

Sei ber gmeiten SSorfteHung ift ber $obograpl^ eine ftetig crgeugte ßinie.
©d^Iie^Iid^ i) mag nod^ barauf l^ingemiefen merben, ha^ aud^ bie erfte unb bie

gmeite Slnnäfjerung einer Semegung unmittelBar
in Segie^ung gefegt merben lönnen. ©teKen
F' F unb FP" in gig. 52 jmei aufeinanber
folgenbe fel^r Heine, aBer enblid^e Sa^nftüdEe bar,
meldte Bejm. mit ben S)urd^fd^nittSgefd^minbig=^

leiten v unb v burd^Iaufen merben, fo ift

F'F ='vt unb FF" = vt, S)iefe ©eft^minbigleiten v unb 1? finb oon
ben ©efd^minbigleiten v', v unb v" in F\ F unb F" oerfd^ieben, fie ent*

fpred^en Begm. ^ßunften M unb M gmifd^en F' unb F Begm. F unb F'\

aSiH man alf o bie SIBmeid^ung barfteHen , f o l^at man MU =^ F' F

aBsutragen unb U mit M gu ocrBinben; bie SIBmeid^ung entftel^t bann afö

lüM\. dagegen ift ber entfpred^enbe 2;eil beg ^obograpl^en gemö§ [^'^^]

^) Dief e Setrad^tungen muffen etmaS auSfü^rlid^er fein, meil ancrfannte ßel^r*
fiüd^er bei ber JBel^anblung ber erften unb ber jroeiten Slnnä^erung oielfad^ Unüar^s
Reiten, ja fogar gel^Ier enthalten.

§ 29.] S)te sptojieftionSmetl&obe füt bte SSei&anblung t)Ott Seraegungen. 103

unb [PP"] 3U bilbcn, fo ba'^ btcfcr für P ff = P'P burd§ A PHP" ä^n^
lid§ abgcbilbct tüirb nad^ bem 3Kobul r : 1.

Seim ©rcnsübergang rüdtcn Jtf" unb M btiw, in bic OKitten oon P'P

unb PP", fo bafe crS = fffP" unb UM // HP" ift, tuäl^rcnb fid^ bcr

entfprcd^cnbe $arabcIbogen ber 3n)citen 3InnaI)crung sroijd^cn M unb 3/
bilbet.

28. 2)te 6)runbmct4obe ffit bte Sel^anblung t>t>n Setoegungen. S)ie

(Sefamtl^eit ber bi^l^erigen Unterfut^ungen, bei raeld^en bte SSa^n ber Se*
u)egung afö gegeben uorauSgefegt nuurbe, f äffen xüxx unter bem Sftamen
(Srunbmetl^obe aufammen. ©o unentbel^riid^ fie ift, um über bie SRatur
einer beliebigen Semegung Sluffd^Iufe in erl^alten, fo ungeeignet ift fie boä)
meift in ber bisher gegebenen gorm für bie ©arfteKung bcftimmter ^e-
megungen ber Stu^enmelt. Um fie ^i^^^för oöHig geeignet ju mad^en, bilbet
man fie burt^ Sinfül^rung oon ^ülfgbal^nen um. Qwtx fold^e Um=
bilbungen finb befonberS mid^tig, fte mögen ^rojeltiongmetl^obe unb
^ßotarmetl^obe l^eifeen, meil fie begm. bie ^rojeltionen beS ftd^ bemegenben
^unlteS unb beffen 3lbftänbe t)on einem feften fünfte ($|Sr)t) benugen.

29. 2He ^tojIetttonSiiiet^obc für bie Scl^anblung 'oon S^etoegungeit.

äBenn bie SSal^n ber Semegung eben ift, fo fül^ren mir in ber Sbene ber
aSemegung ein $|SaraIIetfloorbinatenft)ftcm ein mit ben 3td^fen OX unb OY
unb beulen ben 5ßun!t W in jebem g^itpi^^ft^ fomo^I auf bie X^^Sttd^fe al8
aud§ auf bie r^Sttd^fe projiaiert. Segcid^nen mir bie 5ßroie!tionen beS SBa]^n=
puniteg P, in bem fit^ W augenblidtlid^ befinbet, auf bie beiben Sld^fen
bejm. mit Px unb Py, fo geftattet bie Angabe ber ßage oon P« unb Py
mieberum, bie 2age oon P gu beftimmen. Qat man alfo ftatt ber einen
©tettungSgleid^ung s = f(t), meldte für bie Sal^n bcr SJemegung gilt unb
auf il^r bie Stellung P beftimmt, gmei (Sleid^ungen Sx ^^fx(t) unb Sy=fy{t)
gegeben, melt^e begm. bie Oleüung oon Px auf ber X^^Sttd^fe unb oon Py auf
ber rs»3Ic§fe beftimmen, fo giebt biefeS ©qftem oon ©tettungS^^
glcid^ungen für jeben Qexiij>nntt bie ßage oon Px unb Py unb bamit auÄ)
bie ßage oon P, b. 1^. e§ beftimmt bie Semcgung oon W einfd^üe^Iid^
ber SBal^n.

3lfö aSeifpiel fann bie SBurfbemegung bienen, für meldte Sx = et unb
Sy = \gt^ ift. $ier ermöd^ft bie Semegung auf ber $|SarabeI auS iwex
gerabtinigen ©eitenbemegungen, unb bieg lenngcid^net überfiaupt unfere SKe^^
tl^obe, bei meld^er bie gerablinigcn SSemegungen ber ^ßrojeltionen oon W
auf jmei Stt^fen atö ©eitcnbemegungen ber SBemegung oon W betrad^tet
merben. ®iefe ©eitenbemegungen bilben ein SBerfd^iebungSfqftem.

3ft bie Salin ber Semegung gemunben, fo mu§ man ein räumlid^eS
?JJaraKeI«floorbinatenfqfiem einfül^ren mit ben Sld^fen OX, OY, OZ. S)ag
©t)ftem ber ©tcHungSgleid^ungen beftel^t l^ier an^ brei ©liebem Sx = fx (f),

^y =fy(ß\ s, = fz(t).

©tatt Sx, Sy, Sg fann man ancij einfod^er bejm. x, y, z fd^reiben.

104

gtücite« Äapitel.

[§29.

®ie aScrIcgung [0W] = [r] t)on W erraad^ft l^ier ftctS auS bcn Scr*
Icgungen [a;], [i/], [^r] nacij bcm ^araKctogrammprincipc ; bic ©eitcnberocgungcn
bilben ein aSerj^icbungSfqftem.

Um bic ©cfd^toinbiglcit ber 35cn)cgung mit ben (Scfd^minbigleitcn ber
5ßroic!tionSBcn)egungcn (Px unb Fy) in Sejicl^ung gu fegen, fteHen roir folgenbe

aSetrad^tung an, unter ber SSorauS*

Siö. 53.

jegung rcd^tminfligcr 3l(ftfen.

3n ber SBene YOX liegt eine

©erabe (oergl. gig. 53), auf ber

fid^ W in ber Qext x t)on P naä)

P" bemegt, möl^renb bie 5ßroje!tion

oon W auf bie X^SId^fe glei(|äeitig

t)on Px nad^ P'x unb bie ^rojefs:

tion t)on W auf bie r* 3Id^f e gleid^^^

X 3eitig t)on Py nad^ Py %ti)t

S)ie S)urd^fd^nittSgefdt)n)inbig!eit

PP"
ber aSemegung l^öngt mit ber

T

3)urd^fd^nittggefd^n)inbig!eit ber Semegung auf ber Z^^Sld^fe, b. 1^. mit
ba PP" . cosa = Px P'x ift, auf ammen burd^ bie einfädle ©leid^ung :

P P" Px Px

' cosn = •

r r

©el^t man ju ben betreffenben ©efd^minbigfeiten in P über, fo ift bem^
nad^ V , cosa = Vx, falls man bie ©efd^minbigfeit für bie Semegung auf
ber X*3ld§fe mit Vx begeid^nct. ©teilt man [«•], meld^eg bie JUid^tung PP"
l^at, grapfiifd^ bar unb ebenfo [vx], metd^eS bie JRid^tung Px P'x ^at, fo erl^ölt
man bm ©aft: ®ie Jßrojeftion ber ©eft^minbigfeit ber Semegung-
auf bie X*3Id^fe ift bie ©efd^minbigleit ber ^rojcftionSbemegung
auf ber X=9i(5fe.

®a jebe aSemegung für ein Bauelement atö Urbemegung aufgefaßt
merben lann, fo gilt biefer @a§ (oergt. gig. 54) allgemein unb ^mar für
jebe 3ld^fe.

3Kan ^öt alfo:

^^ = vcoscc\ 32a)

Vy = vsina J

3m SRaum gilt ebenfo für red^tminKige Sttt^fen, faUg [v] mit biefen besm.
bie SBinfel a, ß, y bittet:

Vx = i/cosa j

Vy r= vcosß \ 32 b)

Vg = vcosy }

S)ie ©efd^minbigfeit oon W ermäd^ft l^ier ftetS au§ ben ©efd^minbig^
feiten ber ^ßrojeftiongbemegungen nat^ bem 5ßaralIelogrammprincipe.

§ 30.] S)ie ^polormetl^obe für bte löel^onblung ber Seroegungen. 105

Um au(^ nod^ bte Scfd^Icunigung ber Scracgung mit bcn Sefd^Icum«
gungcn ber ^roieftiongfiemegungen in Sejiel^ung 3U fegen, öetrad^ten mir

ig. 55. S)ie Seft^Ieunigung ber Semegung ift ber ©rengmert t)on -L

bie aäeft^Ieunigung ber $ro]eItton8bemegung auf ber X^^^td^fe ift ber (Sreng^

mert von — • SKan fielet unmittelbar, bafe l^ier ber ©ag gilt: S)ie ^ßros»

jeltion ber Sefd^Ieunigung ber Semegung auf bie X^Sld^fe ift bie
Sefd^Ieunigung ber 5ßrr)je!tion§bemegung (jx) auf ber Xs3l(§fe.

Siß. 54. gig. 55.

\

^►X

Sßatürtid^ gilt ber ©aft für jebe gid^fe. »übet atfo [ja] mit ben red^t::
minfeligen 3fi^fen bie SBinlcl a, ß, y, fo ift bei entfpred^enber SSegeid^nung :

Jx = Ja cos cc

jy = JGCOsß

jz = JG cos y

33)

gür bie (Sruppen x, y, z unb r, v^, Vy, v^ unb v, jx, jy, jz unb ja gelten
bie Sntmicfelungen ber Sinleitung, ©. 24 u. f. ®abei merben bie S^^^^
yi^) unb Yx o^ne Unterfd^ieb gebrandet, je nad^bem i!^re SSermenbung amedts^
mö^ig erfd^eint.

S)ie ©rö^en Sx ober a?, t^a? ttnb jx ftel^en in berfelben Sejiel^ung 3U ein^
anber mie s, v unb j, oergl. ®. 69 u. f.; baSfelbe gilt für bie r:!®ruppe unb
für bie Zs@ruppe.

S)ef Sern ber ^rojcItionSmetl^obe ift bie SSermenbung eineS 33er *
fd^iebungSfgftemg t)on gerablinigen aäemegungen, meldte fid^ afö ©eitern
bemegungcn ber 5U bel^anbelnben Säemegung (3KitteIbemegung) auffaffen
laffen.

30. 2)te ^olatmetl^obe für bie Sel^anblung bet Setoegnngen. ä3ei
ber ^ßolarmet^obe benft man fid^ W mit einem feften 5ßunlt 0, bem ^ole,
ocrbunbcn unb betrachtet OW alg SSeltor. 9lennt man beffen ßönge r, fo
tnu^ r = f{t) gegeben fein, menn bie ©röfee r 3U jeber ^zxi befannt fein
foll. Äennt man au^erbem 3U jeber '^txi bie ßage oon [OW] im SRaume,
fo ift bie 2age oon W su jeber ^zxi beftimmt. gür Semegungen auf
ebener Sal^n ift bie ßagenänberung oon [OW] a\% S)re!^ung barfteKbar,
mäl^renb fie für gemunbene SSal^nen al§ ©d^menfung erfd^eint.

106

gnjciteg 5hjpttel.

[§ 30.

SJUmmt man für eine cBcnc S5af|n in beren Ebene ben 5ßoI an, unb
legt man femer burd^ il^n für bte SBinlelmeffung eine Sld^fe OX, fo ift bie

Sig. 56.

ßage vom $unlt W, raenn er fid^
in F befinbet, burt^ OF = r unb
2iF0X= 6 beftimmt. (SBergl.
f5ftg. 56.)

Um bie 2age von W für jeben
3eitpunlt t 3u beftimmen, finb alfo
amei SteHungSgleit^ungen r =fr (t)
unb (i=f,j(t) nötig. ®abei mag
ö als SBinlelmeg (SlrcuS) aufgefaßt
merben, moju man fit^ am beften
OE = 1 auf [OTF] abgetragen
beult, um E auf btm Sin^eitSIreife
oerfofgen ju lönnen.

3IIg aSeifpiel biene r = St nnb 6 = 2t.

®a (J = 2 7r '\m t = Jt eintritt, fo ift eg amedtmö^ig, für ben Snts
murf einer ZaUUt t naä) Srud^teilen t)on jt fortfd^reiten 3U laffen. ©egt

man — = ä;, f o ergiebt ftd^ für ^ = 0, Je, 2k, , , .:

Sig. 57.

t

r

G

k

Sk

2k

2k

6 k

4/-

Sk

9 k

6Ä:

• . •

• • •

• • •

©iefer SabeHe entfprid^t gig. 57, fie ift für n = 16 bcam. für äj = 7^

Ib

burd^gefül^rt. ®ie Sal^n ift eine Slrd^imebifd^e Spirale. aSergl. ba^ Sei*
fpiel 2 auf ©. 84.

Um bie (Scfd^minbigleit [v] ga beftimmen, tragen mir in giß- ^8 auf

OF' = r' ab 0Q= OF = r unb aiel^en bie ©tredte QF. Wtan f|at bann:

gig- 58. pfQ — ^_ ^'

-d" unb

^ ^ 6 — 0'

QF= 2rsin

= r((J — (J') +

®ie ®urdöfd^nitt§gefd^minbig!eiten
F'Q r — r'

\ unb

■^-^^X QF

6 — & ,

r \-

§30.]

2)ie ^olaxmet^oht für bte IBe^anblung hex IBetDegungen.

107

gelten für lim r = üBer in bic ©cfd^tDtnbiglciten «;r wnb r . g?, fo baft

für V = lim ■

gilt:

[v] ^ K] Hh [^ 9^]-

®abct bebeutet Vr bte ®efd§n)inbtglett, mit ber P' im ©rensübergange
nad^ ö rüdt, b. 1^. bie ©efd^minbiglcit von W auf bem ©tral^Ie OW, 3ft
r =fr (0/ f ift alf «;r bie Sttbleitung von fr (t),

S)abei bebeutet ferner g) bie SBinlelgefd^minbigleit für bie S)ref|ung von
OW nm unb rq) bie ®efd^minbig!eit, meldte ein 5ßunlt t)on OTT im Slbs»
ftanbe r oon bei bief er S)ref|ung l^at. 3ft 6 = f^j (t) , fo ift dfo g? bie
31blcitung vvn fa(t) unb r . (p = r .fa{i\

S)emnad^ l^at man, mic gig. 59 jeigt.

unb

unb

V

ivi

+

r*

9'

cos B

V

sine

Tip

V

34)

S)abei bebeutet a ben SBinfel, ben \v\ mit bem @traf|Ie [OP] \^zixo.
\0W\ bilbet; mit ber Süt^fe bilbet {v\ ben äBinlel a -\- b,

©rgöngt man bie X^Std^fe burc§ ein 2ot auf il^r in 3u einem red^t*
minleligen @r)ftem YOX, fo lann man bie ©eitengef(|minbigleiten v^^ unb Vy,
meldte ber ^projeltionSmet^obe entfpred^en, leidet beftimmen. OKan l^at:

Vx ^=- V ,cos{p -j- £) = t; cos ö cose — v sin 6 sin 6

= Vr COS 6 — rq) sin <5
t7y = t; . sin (6 -\- 8) =. V sin 6 cose -\- v cos 6 sin s

= Vr sin ö -\- rq) cosö,

gig. 59.

nnb

Slu^erbem ift:

Sx =^ X = r cos ö

»V

nnb

unb

= y =z r sin 6,
Umgefel^rt ift:

r = yx2 + y^

cosö

X

r

y

sin ö = — '
r

Vr = Vx cos (5 -{- Vy sin 6
rq) = — VxSinö + Vy cos ö.

108

3roctlc8 Äapttel.

[§30.

S)a [v] btc SRid^tung bcr Tangente in P ^at, fo löfet ftd^ bie Xangcntc
in P lonftruicrcn, n)enn [«;r] unb [r (p] bcftimmt raerben fönnen. Sntfpret^enbeg
gilt aviäi, racnn [vx] unb [vy] gegeben fmb, unb überl^aupt für jebe 8et*=
legung ber SBeroegung, n^el^e bie Sa^n t)on W erjeugt.

Um bie a5ef(§Ieunigung ber Seroegung auS r = fr (t) unb 6 = fa (t)
^ersufteHen, t)erfaf|ten mx folgenbermafeen: ®ie Seroegung auf OP
raürbe TT^ für fid^ von P mä) Öi fönten, raobei PQ^ in graeiter
9lnnö^erung al§ Vrt^ + fjrt^^ erft^eint, faHS Vr unb > für bie ©teile

P gelten. S)ie Scroegung um O

gig. 60.

fo ba'i}

SP" =

Pft

SP"

i^Ös

mürbe P für fid^ t)on P nad^ §2
fül^ren, mobei PQg in ameiter Sin*
nöl^erung al§ rg)r -f ^rtr« er*
fd^eint, faÖS 9 unb 6 für bie ©teile
P gelten, dürfte man beibe Se*
megungen nad^ bem ^ßaraKrtogramm*
principe 5ufammenfegen, fo mürben
fie gufammen P nad^ S fü^ren^
möl^renb P tl^atfäd^Iid^ nad^ P" ge*
langt. S)er Übergang oon S nad^
P" löfet fid^ alg eine ®re]^ung um
Q2 auf f äffen. 3Slan l^at:

SQ2 : PO,

OP

( r(pt + lrLr^)(vrT+yrt^)

r

ift unb Sp' bemnad^ ol^ne 91nfang§gefd^minbigleit mit ber S^angential*
befd^Ieunigung 2<pvr bur^Iaufen gebadet merben lann. ®ie juge^örige

Sftormalbefd^Ieunigung ift

^2

mobei v =

SP"

unb Q = Q2S au fe^en

ift, b. f), fie mirb

1 /CpVrt^ +

r2 -f

unb erljölt alfo für

limr =z ben SBert SßuH.

®ie aSemegung auf S P" ift bemnad^ bei ber gemöl^Iten Stnnöl^erung alS
gerablinig auf guf äffen, beftimmt burd^ bie (Sefamtbefd^Ieunigung [2(pvr],
beren Sftit^tung fenlted^t gu Q^S htiw, iu OP ift unb 3mar im ©inne ber
aSemegung.

S)emnad^ fegt fid^ bie ©efamtbefd^Ieunigung [jo] für bie aSe*
megung oon W ftet§ au§ brei ©eitenbefd^Ieunigungen sufammen,
ber aSefd^Ieunigung [>] für PQu ber Sefd^teunigung für PQ2, meldte
bie 2;angentiaIIomponente rt unb bie 3lormaI!omponente rg?2 j^t, unb
ber aSefd^teunigung [2vrCp], meldte fenlred^t gu r ift im ©inne ber
aSemegung.

©inb bie a3emegungen auf PQ^ unb PQ2 gteid^förmig, fo ift > =

35)

§ 30.] S)te ^olavmü^obt für bie IBelganblung ber ^etoegungen. 109

unb rt = 0, b. f|. man f)at nur [rg?2] unb [2g?t;r] 3U bcrüdfid^tigcn für
e;^ = c unb q) = y.

SttK aScifpiel für bicfc cinfad^eren SScrl^ältniffe fül^rcn n)tr bic Unterfud^ung
roettcr, tücld^c ©. 84 gcmöfe gig. 36 Begonnen raurbe. SBir fteHen unS oor^
ba^ ftd^ ein 5ßunlt T7 auf einer gleid^förmig rotierenben (y) ©d^eibe mit
lonftanter ®efd^n)inbig!eit (c) rabial nad§ au^en Benuegt; feine Salin gegen
bie fefte Unterlage ift bann ein a^ ^^

©tüdt einer 3lrc§imebifd^en @pi==
rale, me fie auc§ gig. 57 3eigt.
Um bie SSemegung genauer 3U
beftimmen, greifen u)ir auf gig. 60
aurüdt unb bilben mit ber lon^^
ftanten ©efd^minbigleit c für PQi
unb ber lönftantenSBinletgefd^min^
bigleit y für FQ^ äunöd^ft ba^
S)reiedE ber ©cfd^minbigfeitcn aug
[c] unb [ry] unb barauf ba§
©rciedf ber Sefd^Ieunigungcn aug

[ry2] unb [2yc] am 5ßunfte P, mie eg g^Ö- ^^ ä^ifl*- 2:rägt man c aud^
auf ber anberen Seite vm F (A {FC = c), fo ift AVCC ^ AFNJ
m^ bem OKobut 1 : r, unb bemnat^ ift 2i FJN= 2iVC'C. 3nfoIge=
bcffen fte^t FJ auf FC fenlred^t, fo ba^ bie JUid^tung oon [ja] fd^on burd^
ba§ (Seft^minbigfcitSbreiedE beftimmt ift. ®ie S^rf^Ö^ng oon [ja] in [jj^],
metd^eg fenfredEjt 3U [v] ift, unb in [jt], meld^eg bie SRid^tung t)on [v] f)ai,
mat^t leine ©c^micrigfciten.

Sei gcmiffcn 3Iuf gaben ift eg amedtmä^ig, nid^t bie ßinie ju betrad^ten,
meldte ber Snbpunit oön [OW] bei feiner Semegung eraeugt, fonbem bie
glätte, meldte [OW] fclbft befd^reibt.

Segcid^net man bie glöt^e, meldte [OW] jur 3ßit t im Sinne ber
SBinlelmcffung (ö) mit ber X^^Sit^fe bilbet, entfpred^enb bem früfier für bie
Stellung benugtcn Qtxi^en s, mit S, fo mufe nun S für jeben 3^itpunft be^
ftimmt merben. äftan bcbarf alfo einer ©leid^ung smifd^cn S unb *, für
meldte S =^ Sq + Ct ba^ einfad^fte Seifpiel ift, entfpred^enb ber ©leid^ung
s = So + et für bie gleid^förmige Semegung. SluS S = So + Ct folgt
(j^S_—_So ^jg gjj^^ ^«^ jjj^ .^ jjg^ ßeiteinl^eit eraeugte giöt^e; biefeg

SHafe (0) fieifet bie gläd^engcfd^roinbigfeit ber Scmcgung.
SttKgemein ift bie glad^engeft^minbigleit V gegeben burd^:

F = Um = Um

L ^ Jr=o L ^ Jt=0

(Sbenfo ift bie gläd^enbef d^Ieunigung J gegeben burd^ :

FF— F'l FF" — Fl
/ = Um = Um

L "i^ Jt=0 L T^ Jt=0

gläd^engefd^minbigleit F unb ßineargefd^minbigleit v ftcl^en in
einer einfad^en Segiefiung. Semegt fid^ W bei einer gerabUnigen Seroegung

HO

3n)eite8 Äapitel.

[§30.

in bcr Qzxi t t)on F na^ F", jo Befd^reibt [OW] in ber ^txi t baS ffirciedt
OPP", beffen Sn^dt ipp" . j) ift, gemöfe Sig. 62. ®a ^^-^unb

T
1 PP" Ü

L^ jejjj,. (jj^ j)e^ (Srcnjc in v unb F übergeficn , f o ift F = 3 «^ !>•

©teUt man v in P alS SSeftor bar, n)ic cg gig. 63 jeigt, fo l^at bie gföd^e
bcg fd^rafficrten ©rcicdtS bcn SBcrt 1 1; jj, b. 1^. F. Sielet man t)on ber SSar»^
giß. 62. seid^cnBcftimmung ab, fo fteHt vjp == 2 F hci% aKomcnt

oan [t;] für afö S)rcf|punft bar, mie c§ in bcr Einleitung
©. 36 u. f. eingefül^rt mürbe. SBiH man aud^ aSorjeid^en
einführen, fo ift e§ amcdEmöftig, l^ier SKomente atö pofitio
anaufefien, beren S)ref|ung ber Semegung beS Ul^raeigerg
entgegengefe^t ift, meil bie ber SBinfelerseugung (0) tnU
fpred^enbe gläd^engefd^minbigleit in biefem gatte alg pofitit>
angefcl^en mtrb. SebcnfaHg mufe man haxan feftl^alten, ha^
3Bomente oon entgegengefegtem S)ref|unggfinne mit ent»:
gegcngefefetem aSorgeid^cn eingefül^rt merben , mag man nun bief e ober jene
Srcl^ung atö pofitit) beaeid^ncn. (SJergl. ben ©t^Iufefag ber Sinlcitung, ®. 37.)
Unter bief er SSoraugfegung fann man ber Oleid^ung V= ^vp ben SluSbrudt
geben:

SDie glädöengefd^minbigfeit in P ift ba^ ^albe 3Kr)ment\ .
ber ßineargefd^minbigleit in P unb amar für jeben ^olf ^

Siß. 63. ^ ^„ gtg. 64.

(Sine anbere S)arfteIIung oon F ergiebt fi(§ auS gig. 64.

gär r > / ift glöd^e OP'P smifc^en ben ÄreiSaugfd^nitten OPQ unb
O^'P' gelegen, b. §• i^t: SBert ift begrenat burd§ bie SBerte lr^((S — ö')
unb l (r'y (ö — ö').

gür r — / = ci ift (r'y = r^ ^ 2rd + d'^ unb man i^at:

2 '

l'>Ö£^>.(,a._2.. + ,0^_:=^'

Seim ®ren3übergange oerfd^minben auf ber redeten Seite d unb d^ gegen
r2, b. ]^. man f|at:

V=lr^(p . . . . • 37>

S)a§fclbe SrgebniS liefert V = ^vp, ba p = rsin e unb sine = ^
ift (uergl. gormel 34 unb gig. 63).

§30.]

2)te ^olaxmtt^obt für bie IBelganblung ber SBetDegungen.

111

Um aud§ bie gläd^enbcfd^Icunigung J mit bcr ajcfd^Icunigung [ j©] in Sc*
gicl^ung ju fegen, betrat^ten mir [v] in P unb [v"] in P". ®emö^ fjfig. 65
ift bann V= ^vp unb F" = ^v"p", alfo F" — 7 = iKi>" — ^P)-

Xrögt man [t;"] in P atö [PiT"]

an, fo erf (feinen bie beiben SSel*

toren [v"] in P" unb in P gegen*

einanber oerjt^oben; ber fenf«»

redete Slbftanb bie jer SJerf d^iebung

mag u l^ei^n. SerooIIftänbigt

man bag S)rcie(f PHjff" burd^

ijinjunal^me t)on Q ga einem

^Parallelogramm, fo gilt für [PH]

unb [P Q] als ©eitenoeltoren unb

[PH"] afö aftitteloeltor ber 8Ko*

mentenfag (oergl. Sinleit., @. 36),

unb man l^at:

{p" — u)v" = p V + qz,

b. §.:

giö. 65.! .

unb

p'W ■

pv

qz +

uv\

©etngemö^

ift:

V"

—

- V —

\{<l^

+ wt;")

V"

T

- V

\{^'

X

u

X

.v'\

u

X

aSeim ®ren3übergange ift u atö PP" . sin P" PH" aufaufaffen, fo bafe

PP"
-sinP"PH" für limx = oerf (§minbet , mä^renb babei

lim \ — \ = JQ xüxxh.
aKan l^at alfo:

J= l^ ' JG-

®ie gläd^enbefd^Ieunigung in P ift bag l^albe 3Komentl ^^.
ber (Sefamtbefd^Ieunigung in P unb 3mar für jeben 5poI. / ^

3lfö Seifpiel biefer 8lrt ber ©arftcHung betrad^ten mir ben bereits er*
roäl^nten %aä ber SSemegung genauer, für meldten S = Sq + C* gilt, fo
ba'^ V= C unb J= ift.

Z)a J = ^q .JG ift, fo ift g . ^'^ = für / = 0, b. f|. man f)at ent*
meber jg = ober 2 = 0.

3ft JG = 0, fo liegt eine Urbemegung oor. aSerbinbet man l^ier W
mit irgenb einem 5ßoIe aufeerfialb ber Sal^n, fo finb bie mä^renb ber
Semegung entftel^nben glöt^^nftüdfe ®reiedfe, xod^t aud^ bei einer enblid^en
Einteilung ber 3^it in gleite Steile fläd^engleid^ finb (fonftante §ö]^e unb
gleid^e ©runblinie); liegt auf ber Sal^n^ fo l^at man ben (SrenjfaH oon
S)reied(en mit ber gläd^e SluH.

SHe Sttngabe q = bebeutet, ba^ bie ßote oon bem 5ßoIe auf bie

112 3w>eitc8 Äapitel. [§ 30.

aScItorcn, toeld^e bie ©cfamtbefdileumgung barftcUcn, ftetS SRuQ ftnb, b. 1^.
bicfc SSeftoren tnüfjen burd^ bcn 5ßoI gelten. S)ic8 ift aber im allgemeinen
nur für eine bc ftimmte ßage beS Jßolcg möglid^, möf|renb im befonberen
für bie aSemegung auf geraber ßinie, bei meld^er jn = ift, ho§> (Sebiet ber
möglichen 5ßoIe eben auf biefe (Serabe eingefd^rättft ift.

©(^lie^t man Semegungen auf geraber ßinie junöc^ft auS,
fo ift bie Semegung, für meldte S = So + 0^ gilt, baburc^ gefenngeic^net,
ba^ il^re (Sefamtbefd^Ieunigung ftetS burd^ einen feftcn 5ßunlt (^znitvixa ber
Seroegung) gel^t, man nennt fie begl^alb ßentralbemegung. (Sine ge^
nauere Unterfud^ung geigt bann, ho!^ aud^ gßtüiffc Semegungen auf geraber
ßinie, nämlid^ gerablinige ©d^roingungen, a(8 ©entratbemegungen aufgefaßt
merben bürfen.

S)er einfad^fte gaÖ ber Eentralbcmegung ift bie gleid^förmige SSemegung
auf einem Äreife; f|ier ift jt = unb bemnad^ jq = jy, b. i^. bie ©efamt*
befd^Ieunigung ge^t ftetS burt^ ben 3KitteIpunIt be§ SreifeS.

^rojigiert man biefe Säemegung auf eine (Serabe innerl^alb ber (Sbene
beg Äreifeg, fo fteHt biefe ^ßrojeftionSbeftjegung bie einfad^fte 8lrt oon
gerablinigen Sd^mingungen bar; bie Scfd^Ieunigungcn bleiben babei nad^ ber
^Projeltion beg SreiSmittelpunfteS gerid^tet.

äftan barf fid^ ba^ (Zentrum ber 35en)egung ftetS alg 3Iu§ganggpun!t
(®ift) einer angiel^enben ober abfta^enben Sraft beulen, meldöe bie Sefd^Ieu*
nigungen ber Säemegung l^eroarruft. Snncrl^alb bicfer SSorfteHung lann man
fagen: 3ft ein 5ßun!t W in Jftufje, ober beroegt er fid^ auf einer burd^ ba^
(Zentrum gel^enben ©eraben, fo entftel^t unter bem (Sinfluffe be§ angiel^enben
unb abfto^enben (Zentrums eine gerablinige Semcgung oon W, möl^renb biefeS
bei anbcrS geridE)teter (Sefd^minbigleit oon W eine Irummlinige aSerocgung
i^eroorruft.

@o ift 3. S. bie aSemegung be§ ßrbmittelpunfteS W eine ©entralbemegung,
für meldte ber 3KitteIpunft ber ©onne afö angiel^enbeS (Zentrum angefel^en
merben lann; bie ©efd^minbigleit oon W (al§ SSeltor) trifft l^ier ba§ (Sen*
trum nid^t. SBürbe bie Srbc aber plö^tid^ in i^rer Sal^n angeljalten, ober
erl^ielte il^r äftittelpunit burt^ anberc Sinflüffe (ßufammenfto^ u. f. ro.) eine
aSemegung in ber SRid^tung auf ba§ Sonnencentrum ju ober oon biefem fort,
fo mürbe ber (Srbmittelpunft eine gerablinige Sa^n einfd^Iagen.

gür eine Irummlinige Eentralbemegung gilt aud^ umge!ef|rt ftetS bie
©leid^ung J = 0, faUg man i^r Eentrum jum $oIe möl^It, unb bemnad^
aud^ V= C unb S = So + Ct ®a^ bie gläd^engefd^minbigleit in biefem
gaöe eine Sonftante ift, lä^t fidE) aud^ burd^ eine einfädle geometrifdEje SSetrad^^^
tung geigen, gemä^ gig. 66. $at fid^ ^ßunlt W in ber Szxt x gleichförmig oon
Po nad^ Pi beroegt, fo mürbe er bei einer Urberoegung in ber anfd^Iie^enben
3ßit t xidä) Pi gelangen (PoPi = P1P2). (urteilt il^m aber in ber @tel:=
lung Pi eine Sefd^Ieunigung, roeld^er bie plö^Iid^ auftretenbe Verlegung
[A öl] cntfprid^t, fo gelangt er roä^renb ber '^txi x in Urberoegung nad^ Pg.
(Erteilt if)m in ber Stellung P2 roieberum eine SSefd^Ieunigung, roeld^er bie
plöglid^ auftretenbe SSerlegung {P^ Q^ entfprid^t, fo gelangt er roö^renb ber
3eit X in Urberoegung nat^ Pg u. f. f.

§31.]

ÜBertragung bcr (StgeBniffe auf ÄörpcrBetoegungcn.

113

S)a PoPi = Pi J^2 tft, fo ift A OPo^i = A OPiJ^a, unb ba ferner
Pi P2 // -Pi Öl ift, fo ift A OPj I2 = A OP1P2, b. ^. man ^at A OPqPi
= A OP1P2.

®a P1P2 = PaP's ift, fo ift A OP1P2 = A OP^H, unb ba femer
PjPs // P2 Ö9 ift, \o ift A 0P2P^3 = A OP2P3, b. f). man ^at A OP^P^
= A OPaPs VL. f. f.

©0 ergießt fid^ A OPqPi = A OPjPa = A OP^P^ u. f. f., b. 1^.

innerl^alb ber 3^it t^ merben t)on [OW] ftetS gteit^e glätten Befd^rieBen,

gig, 66. oorauSgef e^t , ba^ bie SSerlegungen

^, ,-''''' [Piöi], [P2Ö2] «. f. lü./ njeld^e übri^^
genS t)on gan3 beliebiger ßönge
finb, ftetS nad^ SCblauf ber geit r aufs:
treten.

ga^t man biefe SarfteHung afö
erfte Slnnöl^erung einer beliebigen Irumm*
linigen ßentralbemegung auf^ fa fül^rt
ber ©rengübergang aud^ für biefe 3U
bem gleid^en Srgebniffe.

©anbelt eS ftd^ bei ber ^ßolar*
met^obe um gemunbene Salinen, fa
beult man fid^ um ben ^ol eine flugel
oom JRabiug 1 gefd^Iagen unb be*
ftimmt auf biefer bm ©d^nittpunlt mit
[OTT] nad^ ßönge unb breite, mie auf ber ßrboberfläd^e.

S)ie Stellung t)on [OW] ift bann ju jeber 3ßit flegeben, menn r==OW
unb aSreite unb ßänge in jeber 3ßit gegeben finb.

8lu(5 l^ier ift bie Sinfü^rung ber gföd^engefd^minbigleit unb gläd^eu:*
befd^Ieunigung unter Umftänben oon Sebeutung; man betrad^tet baju bie
gläd^e, meldte [OW] erjeugt, in il^ren ^ßrojeflionen auf bie Squatorialcbene
beS ^ßoIarfqftemS unb auf amei Sbenen, meldte mit biefer ein red^tminfligeS
©gftem von ^ßaratteHoorbinaten bilben.

Sei ber ^olarmetl^obe oermenbet man für ebene SSal^nen eine SSer^
fd^iebung auf [OTT] unb eine Srel^ung um 0, für gemunbene Salinen
eine SSerfd^iebung auf [OW] unb eine ©d^menlung \xm 0:

31. Übertragung ber (Srgebniffe auf ^örfierbetoegungen. f^ür Sitr^^
fd^iebungen unb S)re]^ungen von Äörpern laffen fid^ natürlid^ aud§ bie oor*
ftel^enben (Sntmidtelungcn ol^ne meitereS oermenben.

SBcrntcfc, SRcdöonif. l.

S

S)rttte§ Siapttel.

32. Sagenänberung einci^ ftanen Stitptt^ bur^ äSerbinbung tiott
9Serf(^ie]6un0 unb Stellung. SBcnn ein ftarrcr Äörpcr aug einer ßage I in
eine ßage II raeber. allein burd^ aSerft^iebung nod^ allein burd^
Stellung übergefül^rt raerben lann, wie im folgenben ftetg oorauS^
gefegt n^erben folt, fo gelingt bie ÜBerfül^rung , inbem man eine SSer*
fd^iebung mit einer ©^menfung be§ flörperS uerbinbet. $at baS Se*
megunggbreiedE J.i?0 beg fförperS (t)crgl. @. 40) einmal (I) bie ßage
Ä'iB'id unb bann (II) bie ßage Ä2B2C2 im Jftaume, fo lann man z^
3. as. unter Stuggeid^nung beg ^ßunlteS C junöd^ft au§ ber Sage
Ä'iB'iC'i bmcij eine SSerfd^iebung längS irgenb einer ßinie Ol C2 in bie
3mif<^entage A' B' C2 unb bann burd^ eine St^menfung um O2 au8 biefer
in bie ßage Ä2B2C2 bringen.

3ft einmat 5ßun!t G auggegeid^net morben, fo giebt eg unter ben un^^^
enblid^ oielen Sttrten ber angegebenen Überfül^rung eine von möglicf)ftcr ®in*
fad^l^eit; bei if|r folgt bie SSerfd^iebung ber gerablinigen ßeitlinie
C'iC2, möl^renb fid^ bie ©d^menlung afö eine Srel^ung um eine he^
ftimmte aid^fe burd^ C^ barftettt.

Um bie Sld^fe biefer S)re]^ung ju beftimmen, legen mir um O2 eine
flugelflöd^e, meldte einerjeitg C2Ä' in A' unb C2B' in B', anberfeitg-
02^2 in >42 unb C2J52 in B2 ft^neibet, mal^renb fie bah Semegunggbreiedf
feffift in A unb B trifft. Sei ber ©d^menfung um ^i gefjt bann auf biefer
Äugelflät^e ber $auptbögen AB aug ber ßage A'B' in bie ßage A2B2 über.

Um bie einfadEjfte SIrt ber Überfül^rung biefeg Sogeng auf ber fiugel:?
fläd^e 3u beftimmen, be^anbeln mir junäd^ft bie entfprec^enbe, aud^ an unb
für fid^ mid^tige 3tufgabe ber (Ebene.

Sine them gigur, meldte fid^ innerl^alb einer (Sbene bemegt QXm^
Happen auggefd^Ioffen), ift il^rer ßage nad^ beftimmt, menn jmei 5ßunlte Ä
unb B ber gigur mit gmei ^ßunlten Ä' unb B' ber Ebene (AB = Ä'B'}
^ufammenfaUen, fo ba^ bei fold^en Semegungen nur bie ßagcnönberung einer
a5emegunggftredEeJ.J5 ju oerfolgen ift. Qat eine fold^e ©tredte einmal bie
ßage A'iB'i unb bann bie ßage ^2^52, fo ift für bie aHittetlote oon A'iA2
unb B'iB2 im allgemeinen, mie gig. 67 jeigt, ein ©d^nittpunft ober O^

§ 32.] SaaenänbeninB eineß ftatren flötpei« u. f. m. 115

ootfianben, her alS 3)re^nlt füi; bie Übetfüfirung btx Sttetfe J^5 auiS her
ßage -dis; in bie Soge .-liBi fienugt roecbcn fann. ©entt man fiii) nämlidi
A unb JS in bei Sage A', B'i mit butd^ Streifen feft oerbunben, fo gleitet
Bei einer Ske^mtg Don aOAB um im ©inne beS *jjfeüe8 äugleitf) ^ auf
Sogen 41 Ja von A'i mät A'^ unb B auf SBogen Bi^i Don B'-, m^
Bi (AOA'iB[ ^ AÖA'^Bi). b. ^. AB flelongt burt^ bie Sre^ung um
au§ ber &ige I in bie &ige II.

Sentt man in fenhedit aur ®6ene ber ^cit^ng «n !öot erriifitet
unb mit biefem bie ©trede AB feft oerbunben, fo ift biefeS ßnt bie 9t^fe
für bie betrachtete S)ref)ung.

$ätte man ftott A unb B gniei onbete *lJun!te C unb D ber gigur
als ßnbpunfte einer SeroegungSftrecfe au8gen>af)lt, fo mürben bie Ültittellote
non C; C'i unb Dl Di (Dergl.gi9.67) gj g?.

ju bemfel6en fünfte füljren, ber
oben geuionnen rourbe, b. ^. bie Sage
üon ift bei einer beftimmten ßagens
finberung ber flfigur unabhängig oon
ber SluSnia^l ber SBemegungjSftrede.
©aSfelbe gilt bemnac^ outfi für bie
Slf^fe in 0, mit bei man fit^ bie gigur
feft oerbunben bentt. Sie Sw^ung
(flnn ouf boppelte SBeife oorgenomraen
roerben, nrie in gig. 67 im ©inne beiS
UiiraeigerS, ober auc§ in umgetc^rtcm
©inne. 3m ungemeinen beroirft man
bie ©re^ung auf bem türaeften SSege,
fo ba^ nur Sioppelbeutigleiten ents

fte^n, trenn ber ©re^ungSroinfel = A',OA'i (beim. = BjOB'3 u. f. m.)
gerabe 180" beträgt.

iSbenfo roie mon einen 3JeItor oon ber QJlofeaal)! s in feiner ooUftfln»
bigen (obgefel^en oom Urfprunge) SBeflimmung bur^ [s] auSbrücft, fo foH
out^ eine Sire^ung oon ber aUa^jo^l <f, roeliie ftets als 9lrcu§ bargeftelCt
gebocfit roirb, in i^rer oollftänbigen SBeftinunung burc^ [tf] 6eaeid)net »erben,
©flau gehört Eingabe ber Süc^tung ber 9IiJ|fe im fflaume, Eingabe beS
©re^unggfinneS unb 3lngabe beS ©re^ungSrotnlelS 0, roeldier qui^ SImpti =
tube genannt roirb. S)en(t man eine SretjungSacfife burt!^ ben eigenen
Körper ge^enb, fo lann man auf i()r burc^ einen $feil, ber bie SHic^tung
oon ben güfeen ium flopfe f|at, ben, Sre^ungSfinn Bejeic^en, roclc^er für
ben nat^ unten fc^auenbeu Seobac^ter mit ber Ufjraeigetberoegung übereim
ftimmt, ben umgelc^rten ©re^ungäfinn buri^ einen $feil, ber bie SlHrfitung
Dom flopfe ju ben güfeen ^at. Sßä^It man folt^e Pfeile jur ©eaeid^nung
ber 3Hditung eineS SßeftorS, toeli^er bie Öönge a ^at, fo fteHt biefet äJettor
[a] bie S)refiung für eine beftimmte Sli^fe unb für baau parallele 9Ii^fe« bar;
man nennt i^n eine S)reE|ungäftreiie. @iebt man if|m noc^ einen be»
ftimmten Urfprung, fo ift au^ unter ben sporaQelac^fen biejenige bcjeii^net,
nieli|e für bie S)re^ung ju roäl|len ift. 9Jlit [+0] unb [ — 0] (önnen bamt

116

S)ritteg Äapitcl.

[§32.

©rc^ungcn oon glcid^cr ®rö^c unb entgcgcngefcfttcm Sinne bcjcid^nct njcrbcn,
fo bafe bie aSerbinbung oon [+ <J] unb [— ö] auf bcrfclbcn Sld^fe
eine S)re^ung um bicfe auSfd^lie^t; eine foI(i)e SSerbinbung foH ein ©riftem
t)on ©egenbre^ungen ^ei^en.

Sei unferem Seifpiele (gig. 67) n)äre [<J] in fenhed^t jur (Sbtm
ber 3^^<^^^iJ"8 öufautragen unb jroar ^ötte [<J] einen nad^ oben gerid^teten
5ßfcil.

S)er ©d^nittpunlt ber ajlittellote ift nid^t oorl^anben, tütnnÄ[A2//B\B2
ift, unb biefeS tritt ein bei 5ßaraIIeIIage unb bei SlntiparaHellage von Ä'iB'i
unb A2BI gür bie ^araDellage (oergl. gig. 68a) ift. inS Unenblid^e
gerüdft, fo ba^ eine Sßerfd^iebung oon AB oorliegt; für bie SÄntiparoHellage
(oergl. gig. 68b) tritt ber ©d^nittpunft oon A[B'i unb A2B2 afö ©rc)^*
punlt ein.

3Jlan bc^eid^net ben ©rc^punft in j[ebem galle atö 5ßoI unb fagt im
gfalle ber Sßerfd^icbung, ba^ ber 5ßoI inS Unenblid)e gerüdft fei.

gür eine fpljärifd^e ^XQixx, bie fid^ innerl^alb einer ftugelflöd^e
beroegt, gilt (Sntfpred^enbeg. ©ie ift in i^rer ßage beftimmt, menn jroei

gig. 68 a. glg. 68 b.

' I

^un!te ber gigur A unb B, meldte man ftd^ burd^ btn ©auptbogen AB

oerbunben benft, mit aroci^ßunlten A' unb B' in ber Äugelfläd^e (AB = aFb')
auf ammenf allen, fo bafe bei i^rer Scmegung nur bie ßagenänberung eines

Seroegun gg bogeng Jlb au oerfolgen ift. ®enft man fid^ gig. 67
fp^ärifdt) umgeroanbelt, fo finb bie aRittellote oon AxA2 unb B'^B'i ©aupt^
Ireife, meldte fid^ ftetg in lonjugierten 5ßoIen unb Ö fd^neiben. S)urd^
biefe lonjugierten 5ßoIe mirb bie ©erabe OÖ afö S)rel)unggadöfe für bie

Überführung oon AB aug ber ßage I in bie ßage II einbeutig beftimmt,
fie ge^t naturlid^ ftetg burd^ ben ajlittelpunit ber Äugel.

S)ie aSeftimmung ber SIcfife ift aud^ ^ter unabljängig oon ber Slugroa^I
ber 5ßunfte A uxüi B.

S)amit ift audE) bie Sld^fe für bie ©rel^ung beftimmt, melcfie für bie
©d^menfung beg flörpcrg um C2 eintreten foüte, fie ift bie ©d^nittlinie ber
ipauptlreigflädEien, meldte für bie Sogen A' A2 unb B' B2 bie 3loae oon äftittet
loten fpielen, unb ge^t infofgebeffen burc^ C2.

S)ie einfadEjfte 9trt ber Überführung cineg ftarren Äörperg aug einer
Sage I in eine Sage II befteljt bemnacf), fallg man ben ^unlt C beg

§ 33.] ßagenänbcrung eincS ftatren Äörperg burd5 Sd^raubung. 117

SSetücgunggbreicdfg von üornl^crcin aug^ctd^nct, bax'm, ba^ man
^unac^ft ha^ SerocgungSbrcied ABC ücrfd^icBt längg bct ßeitfttcdc
C'i Ci unb e§ bann brcl^t um bte oben bcftimmtc Sld^fe burd^ C2.

(£§ ift crftd^tltc^, ba^ man anä) erft bic cntfprct^cnbc ®rc^ung um d
üorncl^mcn unb bann bic 3Scrf(^tebung Iang§ C'iC2 folgen laffcn lann.

SDlan barf aud^ bctbc Scroegungcn gleid^gcttig oorgcnommcn beulen,
fall§ man bic Sld^fe burd) C[ ober C2 im Äörper burt^ C Derjeic^nct bcn!t
unb nun ben flörpcr in bcrfclben ßeit um biefc 3ld^fc burd) C bxef^i, in
melt^er er ftd^ mit G an^ CIC2 oerfd^iebt.

Sicfc cinfad)fte 3Irt ber Überfül^rung foll im folgcnben ftctg gemeint
fein, mcnn oon ber ßagcnönbcrung cinc§ ftarren flörpcrg burdE) 3Serf(f|ieBung
nnb ®re]^ung he^w. burd^ Sre^ung unb SSerfd^iebung gefprod^en roirb, unter
9lug3eicf)nung be§ 5ßun!teg G.

©a je brei 5ßunfte be§ ftarren SörperS., meldte nid^t auf einer ©eraben
liegen, aß SdEpunlte Ä, B, G be§ SSeroegung^breiecfS geroöl)lt merben
lönnen unb ba audE) unter biefen (SdEpunften A, B, G bie iperoor^eBung non
G burd^auS mÜHürlid^ ift, fo fteUt jeben beliebigen ^un!t be§ ftarren
Körpers bar.

33. £agenänbernug eittei^ ftarren ^ör^icri^ burd) Sd^raulbung. S)ie
einfadEjftc SIrt ber Überführung eineS ftarren Äörperg an% einer ßagc I in
eine ßagc II ift nur bann ein beutig beftimmt, menn oon oorn^erein ein
bcftimmtcr ^unft G bz^ flörpcrS für bie Setrad^tung auSgeaeid^net mirb.
SBir moHcn jegt anbere fünfte beg flörperS an bie ©teile oon G treten
laffen unb bic cntfpred^cnben Überführungen ncrglcid^cn. Sei ber S)re^ung
um bic Sld^fc burci^ G2, roelcf)c c' ^^igen mag, bleiben alle ®erabcn beS
ÄörperS, meldte biefer 3l^f e oor ber Sre^ung parallel finb, bief er SIcfifc parallel,
fo ba^ fic il^r auc^ naS) ber S)rc^ung, b. \ in ber ßagc II beS ftörperS,
parallel finb. ®a ber flörpcr oor ber S)re]^ung einer SSerfd^iebung unterlag,
bei mcld^er \tbt ©crabc fid^ felbft parallel bleibt, fo maren biefc ©craben aud^
oor ber aSerfd^iebung, b. 1^. in ber ßagc I be§ ÄörperS gur 3ld^fc c' paraHcL
SS gicbt alfo für bic ßagen I unb II be§ ÄörperS eine bcftimmtc SHd^*
tung (c') im Sftaume, mit mcld^er bic Slid^tung cincS ©qftcmg oon ®txabzn
im Äörpcr roö^rcnb ber gefamten ßagcnönbcrung be§ flörpcrS übereinftimmt.

Srfegt man für bic S3etradE|tung burdt) einen anberen 5ßunlt A bcS
Äörperg, fo bleibt biefeg ©r)ftem oon ©erabcn audö bei ber aSerfd^iebung längS
A'iA^ ber SInfangSlage I paraM. S)a eg naS) ber S)rel)ung um bic 9Id^fe
a', bic burd^ A2 ge^t, in bie ßagc II !ommt, in mcld^er eg gteid^faUg feiner
Stnfangglagc (I) parallel ift, fo mu^ bic 3ld^fc a' bic SRid^tung beg ©r)ftemg
l^abcn, melcf)c burd^ c' beftimmt mürbe, b. \ d unb o! \fibtn biefetbc 9lidi^
tung. ®a A irgenb einen oon G oerfd^iebenen "^nxi^ be^cic^net, fo giü:
®ic ßagen I unb II be§ Äörperg beftimmen eine unb nur eine
Sftid^tung im Slaumc, mit ber bic Slid^tungcn alter ®re]^ung§*
ad^fen für ocrfd^icbcnc Übcrfül^rungcn (ber SluSacid^nung oer==
fd^iebener fünfte entfpred^enb) übercinftimmcn.

Setrad^tet man nun eilte Sbenc E beg Sörperg, meldte 3U biefer SHid^-

118 S)rttte8 Äapitel. [§ 33.

tung fenlred^t ift, bei trgenb einer Überfüljrung au8 ber ßage I in bie
ßoge II, fo lann biefe Sbene burd^ jebe ©rel^ung nur in fid^ gebrel^t
werben unb mu^ bal^er atö ©anaeg betrad^tet (b. 1^. abgefel^en oon ber nod^
folgenben S)re5ung in fid^) burd^ jebe aSerfddieBung in biefelbe ßage
lümmen. $at E im 3laume gunädift (I) bie ßage E'i unb bann (II) bie
ßage E2, fo beftimmt ber fenlred^te Slbftanb [p] von E'i unb E2 eine be*
ftimmte aSerfd^iebung.

®iebt man bem Äörper in ber ßage I bie SSerfd^iebung [p], fo gelangt
bie (Ebene E an$ ber ßage E[ in eine Qmifd^enlage E', meldte fid^ non ber
ßage E2 nur burd^ eine ©rel^ung ber Sbene in ftd^ unterfcfieibet. SSeaeid^net
man ben ©rel^punlt in ber Sbene für biefe ©re^ung in fid^ mit 0\ fo ift
bie burd^ 0' gel^cnbe Stormale ber Sbene einbeutig beftimmt im 3laume;
fie l^ei^t Kentralad^fe für bie ßagen I unb II beS ftörperS.

Um fie aus ben ßagen Ä'iB'i d unb Ä2B2C2 beg SJemegungSbreiedEg
ABC in beftimmcn, nerf al^ren mir f olgenbermafeen :

S)en aSeltoren [AUi], [B'iB^l [Ci C2], meldte begm. bie SBerfd^iebungen
tjon A, B, C barfteHen, geben mir einen gemeinfamen Urfprung unb föHen
aus il^m in ber, burd^ bie brei SSeltoren beftimmten 5ßgramibe bie $ö^e.
S)iefe ift, als SSeltor aufgefaßt, bie gefud^te SSerfd^iebung [p],
S)a namlid^ bie SSerfd^iebung längS A\A2 ieben 5ßunlt be§ ÄörperS, alfo
aud^ einen beftimmten 5ßun!t ber obm betrad^teten ®bem E um eine ©trecife
[J.i-42] tjerfd^iebt, möl^renb babei bie Sbene um [p] norrüdEt, fo ift [p] bie
fenf rechte 5ßroje!tion von [^i-4i] auf eine Stormale ber Ebene E, unb baS^
felbe gilt für [B[ B2] unb [C[ Ca].

®urd^ bie aSerfijiebung [p] gelangt ba^ ©reiedP ABC an^ ber ßage I
in eine beftimmte g^ifd^enlage AB' C, au8 ber cS burd^ ©re^ung um eine
beftimmte ®erabe (Eentralad^fe) von ber SRid^tung beS SSettorS [p] in bie
ßage II übergefül^rt merben !ann. Dabei mu^ Bugleid^ A' nai) A2, B' nad^
B2 unb C nad^ Ci rüdEen, unb infolgebeffen ift ber ©d^nitt ber aJlttteÜot*
Ebenen für bie ©tredfen A'Ä2 unb B'B2, meldEjer jugleid^ bie aJlitteIIot*Sbene
für bie ©tredPe C C2 aufnimmt, bie gef ud^te Eentralad^fe. gur SSer*
anfd^aulid^ung ift eS nüglid^, bie breifeitige ^gramibe auS [^iAi], [^lJ?i]
[CiC2] in iebem ber 5ßunlte A'i, B'i, d 3U fonftruieren unb in biefen brei
5ßgramiben bejm. bie ^öl^en auS A\, B'i, Gl a^^ fäHen, meldte famtlid§ [p]
barfteßen; bie gufepunfte biefer Qö^zn finb bann begm. A', B\ C, unb bie
$r|ramibenfläd§e burdE) A' entijält bie 5ßunfte A' unb A2, bie 5ßt)ramiben*
f[äd^e burd^ B' bie fünfte B' unb ^2, bie ^ßgramibeupd^e burd^ C bie
$unlte C unb Ci, fo ba^ bie aJlittellot^ßbenen für bie ©tredEen^'^i, B' Bl
C Ci itgto. auf ben unter ftd^ parallelen 5ßr)ramibenfläd^cn burd§ A', B', C
fenfred^t ftel^en, meldte felbft fenlred^t ^ [p] finb.

©d^neibct bie Eentralad^fe bie (Ebene oon A' A2 in 31', fo ift 2$: ^'31' ^i
ber SBinlel <J, meld^er bie ®rö^e unb btn ©inn (oon A! nad^ A2) ber
5)re!^ung um bie (Sentralad^fe beftimmt.

SInftatt bie SSerfd^iebung [p] unb bie Drel^ung [0] ober anä) bie

Srel^ung [<J] unb bie SSerfd^iebung [p

man fid^ aud§ roieberum oorftcKen, ba^ beibe ßagenönberungen augleid^ oor

nad^einanber oorgunel^men , lann

§:33.]

ßogenönberung eine« ftarren 5lörpcr8 burd^ ©d&rauBung.

119

ftd^ gc^en unb atoar al8 glcid^förmtgc SScrocgungcn, 3ft r bic S^itbauer
bicfer bcibcn SBcrocgungen, fo oerfd^icbt ftd^ bcr ftörpcr mit bcr ®efd§n)tnbtg*

Icit c = - in ber Slid^tung ber Eentralad^fe unb brel^t ftd^ gugleid^ mit ber

T

SBinlcIgcfd^trinbigleit - = y um bicfc, SIHc 5ßunltc beS Äötpcrg, meldte

T

nid^t auf ber Kentralad^fc liegen, befd^rcibcn ©tüdP e oon ©d^raubenünten.

Stennt man biefe SÄrt ber »eroegung beg ftörperS lurameg ©d^raubung,
to ift burd^ bie Sagen I unb II eine unb nur eine ©d^raubung oon
bcftimmter Kentralad^fe unb beftimmtem [p] unb [<J] gegeben.

SBir betrad^ten biefe SSeroegung, für meldte bie Seroegung einer ©d^rauben*
fpinbel in il^rer äftutter jur SSeranfd^auIid^ung bient, nod^ ttxüa^ x\äfjex.

Sftad^t man bie eine flatl^ete eineg red^tminfeligen ®reiedE8 gleid^ bem
Umfange be§ Sftormalfd^nitteS eineg geraben ftreiScgIinberS vom SRabiu^ r,

Sig. 69. ^.-— ^ Sifl- 70.

2Tn mTy

2 TU

fo lö^t fid^ ha& S)reiedP auf beffen aHantel fo aufmidfeln, ba§ biefe ftatl^ete
(2 r Tc) ein Jlormalfd^nitt mirb, mä^renb bie anbere Äatl^ete (h) in eine ©eite
beS KglinberS föllt; babei fteHt bie ©r)potenufe einen (üoHen) Umgang einer
©d^raubenlinie (©^raubengang) bar non ber ©angl^öl^e h unb ber ©teigung

tang a = (SSergl. gig. 69, SIufmidEelung nad^ norn ober nad) leinten.)

©oH ein 5ßunlt W biefen ©d^raubengang in ber Qtxt T gleid^förmig
burd^Iaufen, fo mu^ feine ^ßröjeftion auf eine Jlormalebene beg Kglinberg

hzn Äreig nom 3labiug r mit ber ©efd^minbigleit

2r%

= ry unb feine

^rojcftion auf bie 3ld§fe beg Eglinberg bie ©angl^ö^e mit ber ©efd^minbig*
feit — := c befd^reiben, fo hoHj^ feine ©efd^iüinbigfeit, mie eg gig. 70 jeigt,

burd^ [WH] bargefteßt rairb.

Sejeid^net W einen ber 5ßunfte beg oben betrad^teten Äörperg, roeld^er
oon ber Ecntralad^fe ben 3lbftanb r l^at, fo ift:

2r7t rö , h p

—. = ry=- unb -=c = -^

S)araug folgt:

tang a = — = ^^ unb h = -—- * V

ry r6 <J u

S)ie (Sleid^ung für tanga 3eigt, ioH;^ bie ©teigung ber ©d^raubenlinie, meldte
W befd^reibt, nid^t blofi oon ber SSerfd^iebung p unb ber 31mplitube <J abl^öngt.

unb T =

2%

T,

120 5)rittcS Äapitcl. [§ 34.

fonbern aud^ üon r urtb ba'^ fte proportional gu — ift, b. !^. je toeitcr bcr

T

^unft TF bcg ÄörperS oon bcr 3ld^fe entfernt tft, um |o fla(§er ift bie
©d^raubenlime, bie er befcfireibt. ®ie ©leid^ung für h geigt, ba^ bie ©ang^
f)Sif)t ber ©d^raubenlinie , roelc^e W befd^reibt, nur oon p unb <J unb nid^t
oon r abl^angig ift, b. I). aße 5ßunfte be§ flörperS befd^reiben ©d^rauben*
Knien oon gletd^er ©angl^ö^e. S)ie ®Ieicf)ung für T geigt, ba^ bei ber
©d^raubung beg Äörperg felbftoerftanblid^ bie geit eines ooKen Umganges
für alle biefe ©cfiraubenlinien biefelbe fein u)ürbe, fattg überl^aupt ein ooHer
Umgang ju ftanbe !äme.

Um bie ©efd^minbigleit oon W alg aSeftor baraufteHen, l^at man, mie

in gig. 70, [c] unb [ry] für bie SBerte c = ~ unb ry = — mm S)reiedf

T T

ju oereinigen. Xl^ut man bie§ für brei beliebige 5ßunfte Wi, W2, Wg beS
Äörperg, bie begm. bie Sübftönbe r^, r^, rg oon ber SÄd^fe l&aben, fo ftimmen
bie entfpred^enben S)reiedfe, meldEje begra. bie ©efd^roinbigfeitcn [cj, [cg], [e^]
liefern mögen, in ben Katheten [c] überein. ©d^iebt man biefe brei SreiedEe
im aiaume fo aneinanber, b(x^ bie Satl^eten [c] aufeinanber fatten, fo legen
fid^ [n y\ [^2 y\ [^3 y] in biefelbe (Sbene , meldte babci im allgemeinen atö
®runbpäcf)e ber nun oyx% [c,], [c,>], [cg] gebilbeten ^r)ramibe erfd^eint. ®em*
nad^ !ann man umgefel^rt au§ [^J, [cg], [c^] fomol^I [c] atö aud^ \y\y\
\y%y\ \x^y\ iinb boxoXi y finben. ®inb alfo für brei beliebige 5ßun!te "FFi,
TTa/ ^3 beg Sörperg bie ©efd^roinbigleiten afö 35eftoren gegeben, fo ift
bamit (iwi:^ [c] unb y gegeben unb ebenfo bie 2age ber Kcntralad^fc, ba
brei Sbenen beam. burd^ Wi, w:2, TTg unb begro. fenfred^t gu \r^y\ \r^y\
\X'}>y\ fi^ öuf biefer fd^neiben.

®er 3wfömmen!^ang ber beiben Äonftrultionen für bie Kentralad^fe mirb
erfid^tlid^, menn man in ber erften Ä^Ä^, B\B\, CxG'^ nid^t afö enblid^c
©tredfcn, fonbern afö (Elemente auffaßt.

34« ^^f^^t^^itf^^itngen '^^vi £ageuänbentngen etned ftattett ^öt^icti^
^vA enblid^en S^etfc^iebitngett unb 2)tel^ungen viv^ bie entf^ited^enben ^tx*
legungen* S)a jebe ßagenönberung eineg ftarren Äörperg burdE) SSerbinbung
oon einer 35erfd^iebung unb einer S)re^ung, im aSefonberen burd^ eine
©d^raubung bargefteHt merben fann, ifo liegt eg na^e, beftimmte golgen
oon beftimmten ßagenönberungen eineg ftarren ÄörperS, meld&c
ben a3ebürfniffen ber 2^ed^nif entfpred^en, auS SSerfcfiiebungen unb ©re^ungen
unb aud^ <iyx% ©d^raubungen äufammengufegen, gumal fid^ biefe eirif ad^en
Sagenanberungen burd^ materielle Sonftruftionen (gül^rungen, 3Icf)fen, ©pinbel
unb äRutter) oerl^öItniSmäfeig leidet erreid^en laffen.

Slfö einfädle SDlaf deinen finb (xyx% ber 5ß^gfiJ belannt: ©d^iefe Ebene,
§ebet, ©cfiraube.

^iergu fommt nod^, bofe bie §§ 32 unb 33 nod§ eine fjrage nal^e
legen in ä3e3ug auf ben 3ufammenl^ang ber Uberfül^rung unter Slug^eic^nung
trgenb eineS $unlteg G unb bcr ©c^raubung. ®ie SSerfd^iebung ^GxO'^^ 3er*
legt fic^ bei ber ©d^raubung in beren SSerf d^iebung [ G\ C] =^ [jj] unb in

§ 34.] 3i^f<Jniw^^«f^few«Ößtt ^on ßagenänberungen eines jtarren Äörperg u. f. xo. 121

[C'Ci], \o ba^. bte SScrfd^iebunö [C C2] in 35crBinbung mit bcr
Stellung um C2 bcr einen ©rel^ung für bic ©d^raubung entfprid^t.
©ier fü^rt alfo eine S)re^ung in aSerbinbung mit einer aSerfd^iebung, fenl-
red^t 5ur ©rel^ungSad^fe, 3U einer Sre^ung. S)iefe unb äl^nlid^e aSetrat^tungcn
legen c8 na^e, foroo^I au8 tl^eoretif d^en afö aud^ au§ praüif d^en SRüdEficf)ten
feftjuf teilen, meldte refultierenbe ßagcnönberungen btn SSerbinbungen oon
beftimmten aSerfd^iebungen unb S)re]^ungen alg fornpcnierenben Sagen*
änberungen entfpred^en. SDabei ift arn^ ju unterfud^en, oi biefe flompos:
nenten nadf)einanber in bestimmter golge eingcfül^rt merben muffen, ober in
beliebiger 3lnorbung, unb ob fie aud^ gleid^seitig sufammenroirfen !önnen.

1. SBirb ein ftöqjer nacfieinanber mehreren SSerfd^iebungen unter*
morfen, fo fegen fid^ biefe, unab^öngig oon ber SInorbnung, nad^ bem
5ßaraIIeIogrammprincipe ju einer einjigen aSerfd^iebung ^ufammen,
mie ol^ne meitereg au§ ber ^ß^^ronomie beS 5ßunfteg folgt. S)ie refultierenbe
ajerfd^iebung mirb aud^ erl^alten, mcnn man bie lomponierenben aSerfd^ie*
bungen gteid^geitig oorgenommcn benit.

©d^lie^t fid^ ber ©tredPengug ber aSerfd^tcbungen oon felbft, fo ftimmt
bic Snblage beg SörperS mit ber SInfangSlagc überein, fo ba^ bicfer bei
gleid^aeitigem Sluftrctcn ber aSerfcfiicbungen in Sftul^e bleibt. Sßatürlid^
finb bic aSemegungen 'be§ Äörperg oerfd^ieben, menn bie aScrfd^iebungen nacf)«
einanber in biefer ober jener gfolge unb menn fie gleid^seitig auftreten. Snt*
fpred^enbeg gilt für S^ri^O^^O^"-

2. S)ic 3^fömmenfe§ung' mel^rerer S)re^ungcn um biefelbe 8ld^fc
bietet glcid^faHS feine ©d^roierigleiten, ba fid^ bie einseinen 91mplituben burdE)
algebraifcf)c 3Ibbition oer einigen laffen. ®ic aSeftoren, meldte bie einseinen
©rcl^ungcn barfteüen, liegen I)ier alle auf ber Sld^fe unb jerftören fid^ gegen*
feitig, menn bie algebraifdEjc ©umme ber Slmplituben SftuH ift. 3m übrigen
gelten bic SSemerlungcn ber Sßr. 1.

3. $anbelt eS ficf) um beIiebig*DieIe aSerfd^iebungen \ixü> um
beIiebig*oieIe Srel^ungcn um biefelbe Sld^fc, fo ift nad^ Str. 1 unb
3tr. 2 fd^Iie^Iid^ nur eine refultierenbe ajerfd^iebung unb eine refultierenbe
©rel^ung ju betrad^tcn. ßcrlcgt man bic ajerfd^iebung in smei Komponenten
fenfeed^t [s] unb parallel [p] gur Sld^fc bcr ©rel^ung, fo ift crftere [s] in
aSerbinbung mit ber 2)rc]^ung nur imftanbe, eine Sbene E beg ftörperg,
fcnlred^t jur Süd^fe, in ftd^ gu breiten, a3etrad^tet man in einer fold^en
Sbene ben 5ßunlt A, burd^ meldten bic Sld^fe l^inburdEigel^t, unb nod^ einen
Smeiten 5ßunft B, meldte aunäd^ft in ben fünften A' unb B* beg dianmt$
(oergl. gig. 71, a. f. ©.) rul^en mögen, fo füljrt junäd^ft bie aSerfd^iebung A
von A! nad^ A'x unb B oon B' nad^ ^i unb bann bic ©rel&ung um A ^it'^,
Äx ferner B\ nadE) B'i, fo ba^ AB fd^IiefelidE) oon ber ßage A!B^ in bic
ßage Ä^B'^, gelangt. Äel^rt man bie fjfolge ber lomponierenben a^emegungen
um, fp fü^rt (oergl. gig. 71b) bic Srel^ung um A begm. AI gunödfift B'
nadEi B\ unb bann bic aSerfd^iebung A! nai) Ä^ unb B\ nadE) B'i, fo bo!^
AB fd^Iiepd^ in bic ßage Ä^B'^ gelangt. S)a A!xB\ in gig. 71a ju A! B*
in gifl- 71b- parallel ift, fo ift bie aSerlegung [J5l^i] in gig. 71a ber ajer*
legung \B'B\\ in gig 71b glcid^, unb bemnadE) ift ani:^ bie (Scfamtoerlegung

122

2)titteS Stapxttl.

[§34.

[B'B'i] in gig. 71a ber ©efamtocrlegung [B'B'z] in gig. 71b gletd^, fo
ba'^ B2 Betbe SKal bicfelbe Sage erl^ölt, ebcnfo tote Ä[ in gig. 71a unb
A2 in gig. 71b. ©emgcmöfe ift cg glcid^ gültig, 06 crft bic JBcrfd^ieBung
[s] unb bann bie S)re!^ung [<J] ober erft bie S)re5ung [0] unb bann bie SSer^s
fc^ißBung [s] oorgenömmen roirb; man lann fid^ au(| beibe lomponierenbe
ßagenänberungen atö gleid^aeitig entfte^enb beulen.

S)ie aJHttellote uon Ä'Ä'i unb B'B2 in gig. 71a unb t)on J.'-42 unb
^ J?2 in gig. 71b geben in il^rem ©d^nittpunlte ben 5ßoI ober 0', um ben bie
eine S)re]^ung ftattfinbet, meldte bie fenlred^te ftomponente [s] ber gegebenen
aSerfd^iebung unb bie gegebene Srel^ung [<J] jugleid^ erfegt. Sei ber Srel^ung
um Ä' in gig. 71b l^ötte ben SJogen OO'i, entfpred^enb [0], befdEjrieben,

Sig. 71 a.

Q, gtg. 71 b.

'>P'

mäl^renb tl^atföd^Iid^ in Stulpe geblieben ift; infolgebeffen mu^te bie SJer*
fd^iebung [s] ^unftO oonOi nad^ & aurüdffül^ren, b. ^. eg ift [0[0'] = [s]
unb bemnai) anä), ba 0' 0[ A! Ä2 ein ^ßaraßelogramm ift, 2i Ä2 0' A! = 6,
fo ba^ bie Sre^ung um 0' mit ber ©rel^ung yxm A' übereinftimmt. 3Kan
gewinnt alfo ben ®ag: S)ie SSerbinbung einer ©re^ung [<J] um eine
8ld^fe {Ä) unb einer SSerfd^iebung [s] fenfred^t ju biefer Sld^fe
lä^t fid§ erfegen burd^ eine ®re!^ung [<J] um eine Sld^fe {O),
meldte ber erften parallel ift. 3n einer ^htnt, fenfredt^t 3U beiben
Sld^fen, bifbet ber S)urd^tritt ber neuen 3Id^fe (0) mit ber, oom Surd^tritt
ber alten 9Icf)fe {Ä) au§ gejeid^neten SSerfd^iebung [s] atö ©runblinie ein
gleid^fd^enlligeg SreiedE, beffen SBinlel an ber ©pige <J ift, unb amar liegt
baS S)reicdE red§t§ oon einem Sefd^auer, ber in ber ®re]^ung8ftredEe oon A
fte^enb (bei unferer gigur auf btm 5ßapiere) in bie SWd^tung ber SSerfd^ie*
bung blidPt.

Sie 35erfd^iebung ift ftetS ©e^ne 3um Eentriminlel <J.

Umgefel^rt lä^t fid^ nad^ biefem ©age bie ©re^ung \6\ \xxa eine
8Id§fe in roieber erfegen burd^ eine Srel^ung [<J] um eine 8ld§fe
in A, meldte ber erften parallel ift, in SSerbinbung mit einer
aSerfd^iebung fenlred^t 5U biefer neuen Sld^fe.

§ 34.] S^^ammzn^eisvinqzn t)on Sagen&nberungen eines ftarren 5!5rperS u. f. to. 123

Srfegt man bic Stellung um u4 in SSerBinbung mit bcr SJerjd^icbung
[s] bvLxä) bie Stellung um 0, fo Bleibt no6) bie SBerfd^ieBung [p] au bcrüd^
fi^tigcn. S)ic ©rel^ung um liefert in SSerbinbung mit ber anbeten jur
Slijfe parallelen ftomponente [p] ber gegebenen SSerfd^iebung eine ©d^raus^
bung.

4. SSei S)re]^ungen um oerfd^iebene 3ld^fen, meldte für fid^
ober in SSerbinbung mit beliebig^oielen SSerfd^ieBungen ju be»
trad^ten finb, ift bie Sleil^enfolge ber S)re]^ungen ftetS von SJebeutung. S)ie8
jeigt fid^ fd^on im einfad^ften fJaHe, nömlid^ bei S)re]^ungen nm jmei $araHet
ad^fen.

®ie betben ^ßaraüelad^fen mögen eine Sbene E beg ÄörperS, fenlred^t
3u iljnen, in ben 5ßunften Ä unb B fd^neiben, meldte junöd^ft in ben 5ßunlten
-4' unb B' beS ^anmt^ rul^en. gür biefe (Ebene ift in giö- 72 a unb
gig. 72 b ber Unterfd^ieb ber ßagenönberung bargefteHt, meldte ber SSer*

Sig. 72 a. gfig. 72 b.

.q:-

taufd^ung ber ©rel^ungSfoIge entfprid^. 3n gig. 72 a ift erft bie ©rel^ung
[<Ji] nm Ä vorgenommen, bei meld^er B an$ ber ßage B' in bie Sage Bi
gelangt, unb bann bie ©rel^ung [Ö2] um B, bei meld^er Ä au§ ber Sage Ä'
in bie ßage A2 gelangt. 3n gig. 72 b ift bie golge ber ©rel^ungen oer*
taufd^t. ®er Unterfd^ieb ift erfid^tlid^.

3n jebem gaHe ift bie Sufammenfe^ung ber beiben ©rel^ungen 3U einer
Sre^ung möglid^, bie SDlittellote für J.'-4i unb B'B[ in gig. 72 a unb bie
artittellote für Ä' Ä'i unb B'Bi in gig. 72b geben in i^ren ©d^nittpunlten
bie ba3u gel^örigen 5ßoIe 0'.

S)er 5ßoI 0' rüdft inS Unenbltd^e, fo ba'$ eine SSerfd^iebung oorliegt,
menn in gig. 72 a Ä'B' // A^B'i unb menn in gig. 72b Ä'B'//Ä[B2 ift.
3n biefcm galle ift 6^ = 6^ unb jmar l^aben bie beiben S)re]^ungen, mie in
gig. 72, umgefeljrten ©rel^ungSfinn. ©ie SSerbinbung ameier fold^er ©rel^ungen
l^ei^t ein Srel^ungSpaar.

3n ben gig. 73 a unb 73 b (a. f. ©.) finb bie beiben ©rel^ungen bar^*
gefteHt, meldte ben gig, 72 a unb- 72 b entfpred^en für ö^ = ö^ = <J. ®er
SRei^enfoIge Ä,B entfprid^t bie SSerfd^iebung [sa,b] in gig. 73 a, ber SReiJ^en*
folge B,A entfprid^t bie SSerfd^iebung [sb,a] in gig. 73 b. SJeibe SSerfd^ie«»
bungen liegen in einer Sbene, fenlred^t ga ben 8lc|fen, unb ^aben benfelbcn

3Bert s = 2ÄBsin-, il^re Steigungen gegen bie ßbene ber 8Id^fen finb aber bejm.

124

5)ritte8 Kapitel.

[§34.

90<> + - unb 90«

-, gemeffcn im ©innc bt^ aBinlcIpfetlcg P, fo ba"^

ftc miteinanber bcn SBinfel ö Bilbcn.

Sei cnblidEjen Stellungen ift alfo ein ©rel^ung^paar erft nad^ geft^^
feftung ber golge feiner Stellungen iÄ,B) ober (B,Ä) einbeutig Beftimmt.
S)a bie aSerfd^icbung [sa,b] ober bie aSerft^iebung [sb,a] t\xä)t an einem
beftimmten fünfte be§ flörperg l^aftet, fönbern allen 5ßunften begfelben gu^
fommt, fo barf ein beftimmteS Srcl^ungSpaar ftetg in feiner Sbene unb
parallel 3U biefer oerrüdt- merben, faHg [AB] babei nur ocrfd^oben mirb.

gig. 73 a. gfig. 73 b.

'iL.B

Umgelel^rt lä^t fid^ eine SSerf d^iebung [s] ftetS auf unenblid^ := niele SBeif cn
burd^ ein Srel^unggpaar erfeften. S)ie 3ln3aI)I ber ßöfungen mirb beftimmt^^
fobalb anbere Slngaben in l^inreid^enber äftenge l^ingutreten. 3ft 5. S3. bie
Sld^fe Ä in Ä' unb bie Sre^ung [ö] um biefe gegeben, fo l^at man gemö^
gfig. 74 a für bie ^olgc Ä,B unb gemä^ gig. 74 b für bie gfolge B,A bie
2age t)on B xn B',

3n beiben göHen erfegt ba§ Srel^unggpaar, meld^eS in gig. 74 burd^
bie fd^mad^en Pfeile bei ~Ä' unb B* begeid^net ift, bie SSerfd^iebung.

gtg. 74 a. gig. 74 b.

A ^1

äftit $ülfe be§ SDrel^unggpaareS erl&att man an^ eine neue ßinfid^t in
bie Sufammenfeftung einer SDrel^ung unb einer fen!re^t au ber 3Id§fe gerid^*
teten aSerf d^iebung , bie mir bereite oben (©. 122) bel^anbclten. Sritt gu
einer Srel^ung [<J] um eine Sld^fe Ä (oergl. in gig. 74 bie ftarfen mit D
beaeid^neten 5ßfeile) eine SJerfd^iebung [s], fenlred^t au biefer 3Id^fe, ^inau, fo
lann man biefe aSerfd^iebung burd) ein ©rel^unggpaar fo erfegen, bafe fid^
bie Srel&ung um Ä aufl^ebt unb ft^lie^fid^ nur eine Srel^ung um B übrig
bleibt. 3m ©egenfag a« ^^^ früheren (@. 122) »e^anblung biefe§ gatteS
fd^einen ^ier ixvzi ßöfungen aufautreten, gemöfe gig. 74 a nnb gig. 74 b. ®ine
genauere a3etrad^tung a^igt, ba^ nur bie Söfung gig. 74 b richtig ift, roeldEje
mit ber frül^er gegebenen genau übereinftimmt. 3n giß- "^^a fül^rt bie SSer*

giß. 75 a.

giß. 75 b.

§ 34 J 3"f ottxmenf efeung oon ßogcnänberungen eines jtarren JlötperS u. f. to. 125

fd^tebung A von Ä nad^ Ä^ unb B om, B* nad^ 51, fo ba§ J? burd^ bie
folgenbe Stellung um A in Ä^ nid^t nad^ J?' gurüdPgefül^rt wirb; ebcnfos^
tücnig n)irb A burd^ bic Stellung um -B in B* oon ^' nad^ M% gcfül^rt.

dagegen ftimmt alleS für gig. 74 b. §icr mcrben A )xxä^ B burd^
bic aSctf(J)ieBung [s] ht^xo. oön A' nad^ :Ai unb oon 5' nad^ B'% gefül^rt, fo
ho.^ eine bar auf folgenbe S)re^ung um ^ in ^1, "ttxn ftarlen ^ßfeile ent*
fpred^enb, B t)on 5 2 nad§ B*
jurüdEbringt; ebenfo mirb-4 burd^
eine ©re^ung um J? in J5' üon
A! nad^ Äx gebrad^t.

®te gig. 74 a fteHt eine rid^^^
tige ßöfung bar für \^tn %(&,
"t^^ bie gegebene ©rel^ung, bem
ftarlen 5ßfeile B entfpred^enb, um
B erfolgt, fo h(x^ A bie neue
Sld^fe ift.

Unterfd^eiben mir bie Sld^fen
eines ©rel)ung§paare§, ber g^Ifle
feiner S)re]^ungen entfpred^enb,
afö erfte unb aroeite Sld^fe, fo
ba^ in gtg. 74 a bie erfte Sld^fe
burd^ A unb bie gmeite Sld^fe
burd^ B, in gig. 74 b bie erfte
3Id^fe burd^ B unb bie aroeite
8ld^fe burd^ A beacid^net roerben,
fo gilt bemnad§:

©oH ein beftimmteS ©re^ungS*
paar, roeld^eS eine aSerfdEjiebung
[s] erfegt unb roeld^eS unter Si^
Haltung ber Slic^tung beS SßeftorS
\AB\ beliebig beroegt roerben
barf, baau bicnen, bie ©rel^ung
um eine beftimmte 3ld^fe aufau*
lieben, fo mu^ baau ftetS bie
aroeite Sld^fe be§ 5ßaare8 benufet
roerben.

Umgefel^rt lö^t ftd^ eine ©rel^ung um eine 3Id^fe B (ftarfer 5ßfeil D)
nad^ Siß- 74 a ober eine Srel^ung um eine 3Id^fe A (ftarfer 5ßfeil JS) nad^
gig. 74b auf unenblid^soiele 3Betfen ([s] unb \AB\ finb oeränberlid^) itx*
legen in eine ©refjung berfelben 3Irt um eine Sld^fe, parallel anr gegebenen,
unb in eine aSerfd^iebung, roobei biefe flomponenten ftetS oertaufcfibar finb.
$at man alfo beliebig oiele ffirel^ungen \xm 5ßarallelad^f en {n)
au oereinigen, fo fann man alle biefe ©rel&ungen auf eine 3ld^fe, paraÖel
au ber gegebenen, übertragen, unter Slbfpaltung oon n SSerfd^iebungen, fenl*
red^t anr Sld^fenrid^tung. SBegen ber 3Sertaufcf)bar!eit ber Komponenten jeber
einaelnen S)rc!^ung baif man bic ©rc'^ungen an ber einen 8Id^fe unter ftd§

126

2)rttteg Äopitcl.

[§34.

burd^ algebratfd^c Slbbttion unb cBcnfo bic SBerfd^iebunöen unter fid^ burd^
geomctrifd^e SIbbttion vereinigen, fo ha^ bann eine ©rel^ung mit einer
aSerfd^iebung, fenlred^t 3ur 8ld^f enrid^tung , ju vereinigen ift, uield^e fd^Iiefelid^
ju einer SDre^ung um eine 3Id^fe ber gegebenen Sftid^tung fül^rt. treten

gig.' 76 a.

B'

OV

Bi giß- 76 b.

au^erbem beliebig^:
viele aSerfd^ie^:
bungen l^insu, fo
ergiebt ftd§ eine
Sd^raubung.

Dbige ©arftel*
lung tonnte bm
Slnfd^ein ermedfen,
als ob babei eine
einbeutige ßö^^

jung erl^aüen
mürbe. ®ieg ift
nid^t ber ^all,
babieurfprüng»
lidE) gegebene

golge ber
©rel^ungen bie
Sftid^tungen ber
einjelnen SSer*
fd^iebungen,
meldte fenfredEjt jur
9IdE|fenrid^tungauf*
treten, burd^auS
beftimmt. Sieg
foß an bem gaße
ameier ©rel^ungen
in hen giguren 75
(a. 0. ©.) unb 76

neranf(|aulid^t
merben.

3n f?ig. 75 a
ift bie golge A, B
unmittelbar bel^ans^
belt, in gig. 75 b
burd^ aSerfd^iebung
ber 3ld§fen nad^ P'.
3n gig. 76 a ift bie g^Igc B,A unmittelbar be^anbelt, in §fig. 76 b
burd^ SJerfd^iebung ber Sld^fen nad^ P.

S)er aSergleid^ ber giguren 75b ViX& 76 b aeigt, hoüi^ bie Drel^ung vixa
F', meldte ber S)re]^ung um A! entfprid^t (40»), ha% eine aJlal bie SSerfd^ie^
bung [^i^'J unb bag anbere ÜJtal bie aSerfd^iebung [u!l2^i] forbert unb hoü^
biefe jmar im SBerte, nid^t aber in ber SRid^tung iJöereinftimmen. Sbenfo

o;-::-

§ 35.] Swfötnmenf efeungcn t)on ßagcnänberungcn eines ftarren ÄörpetS u. f. ro. 127

fielet eS in Sejug auf bie Drcl^ung für B' mit bcn SJerfd^ieBungen [-BiÄ]
unb [B'i B']. S)cmnad^ ift aud^ in fjfig. 75 b bic ©efamtoerfi^ieBung

[B'2Bs] -^= [B'2 B[] + [B[ B'sl raofeci [B'i B's] ^ [AU'] tft, unterf^eben

t)on ber in gig. 76b auftretenbcn ©efamtoerfd^ieBung [B[N] ^ [B'iB'] + [B'Nl
wobei [B'N] ^ [A2Ä[] ift, unb aroar mä) SBert unb SHd^tung.

©anbclt c8 fid^ um Stellungen unb BelieBig := niele Sld^fen^ meldte
fid^ in einem fünfte P fd^neiben, fo tritt an bie ©teHe ber Unter*
fud^ung in ber SBene, meldte für ^ßaraßelad^fen burd^gefül^rt mürbe, eine
entfpred^enbe Unterfud^ung auf ber flugelfläd^e. 2)ie einzelnen Sld^fen Be*
ftimmen auf einer Äugelflöd^e uom 3KitteIpunIte P bie ©rel^punfte für
bie fp^Ärifd^en SBemegungen, meldte ben Sld^fenbrel^ungen entfpred^en. SÄHe
biefe fpl^örifd^en Seroegungen führen fd^Iie^Iid^ Bei Beftimmter g^Ige irgenb
eine gigur ber flugelflöd^e aug einer Slnfangglage in eine Beftimmte Snblage,
in bic jene gigur antS) burd^ eine S)rcl)ung l^ötte geBrad^t merben fönnen.
®emgemä^ ift bie ©efamtl^eit ber Sre^ungen um 3Id^fen au8 P burd^
eine ©re^ung um eine Sld^fe au8 P erfegbar, fo lange eg fid^ nur um
ßagenänberungen l^anbelt.

2^reten BelieBig * oiele SSerfd^ieBungen Binsu, fo ift beren Sftefultante
mieber in eine Komponente fenfred^ gur refultierenben 3Id^fe, unb in eine
Komponente parallel gur refultierenben 3Id^fe ju jerlegen, fo ba^ aud^ l^ier
im aHgemetnen eine ©d^rauBung entfteljt.

©anbett e§ fid^ enblid^ um ©re^ungen um BelieBig^^oiele Sld^fen^
meldte ju einanber minbfd^ief liegen, fo erfegt man bie Stellung
um jebe Sld^fe burd^ eine ©rel^ung um eine parallel 3u i^r liegenbe ^d^fe
unb eine SSerfd^ieBung, unb aroar fo, ba^ bie neuen 3ld^fen alle burd^ einen
5ßun!t gelten. ®amit ift btefer gaK auf ben norigen jurüdEgefü^rt, mögen
nod^ BeIieBig = t)ieIe SSerfd^ieBungen l^in^utreten ober nid^t.

SBeifpiele: aSeranfd^auIid^ung an 3Kafd^inenmobeIIen.

35* ^^f^^^^ttfe^ungen tiiin £agenänberungen eined ftatten ^örperi^
an^ elementaren ä$etf(|ieliitngen nnb 2)re^ungen nn\> bie entfpted^enben
Verlegungen* Um eine Beftimmte SBemegung eineS ftarren ÄörpeS bar*
aufteilen, ^at man bie Sagenänberungen, benen er baBei inner^alß einer
Beftimmten Seit unterliegt, 3U biefer 3eit felbft in Se^iel^ung gu fefeen.
®iefe SIufgaBe ift für SSerfd^ieBungen unb S)re]^ungen in ber ^ßl^oronomie beS
5ßunfteS mitgelöft roorben, unb an^ anbere einfädle Säeroegungen, mie 3. 35.
bie gleidEjförmige ©d^rauBenbemegung (oergl. ©. 119), Bieten gemftfe ber
früheren Setrad^tung ber Se^anblung feine ©d^roierigfeiten. ÜBerl^aupt l^at
man Bei ber Unterfud^ung einer 39emegung eineg Äörperg ftetS auf bie
aUetl^obif ber ^l^oronomie beS 5ßunfteS 3urüdE3ugreifen, b. 1^. man l^at bie
S)auer t ber Semegung in n unter fid^ gleid^e Xeile t 3U 3erlegen unb bie
btn 2^eilpunften non t entfpred^enben Sagen beS Sörperg 3U Beftimmen, fo
ba^ gegeBenenfaHS ein ®ren3üBergang für Um r = 3ur S)arfteßung ber
aSemegung beg Äörperg fül^rt.

128 S)ritte8 Äapitcl. [§ 35.

Sei bcr aScbcututtg, rocld^e aScrfd^iefeungen unb ©rc^ungcn atö
Komponenten ber ßagenönberung l^aben, tft eS gunät^ft erforberltd^, biefe für
eine elementare Seilung ber S^it an betrad^ten unb babei bie ent*
fpred^enben ©efd^minbigfeiten eingufül^ren.

Die Sufammenfcfeung unb ßerlegung oon enblid^en SSerfd^iebungen
ift fo einfad^, ba^ fid^ l^ier beim Übergange 3U elementaren 35erfd^iebungen
!cine neuen ®efi(f|t§punfte ergeben.

SInberg fte^t eS beim Übergange oon enblid^en ©rel^ungen 3U ete^
mentaren Drel^ungen unb bemnad^ anä) mit ber SSerbinbung oon SSer«
fd^iebungen unb ©rel^ungen bei elementarer S^eilung.

SBö^rcnb nämlid^ eine beftimmte ßagenönberung au§ beftimmten aSer*
fcf)iebungen ermäd^ft, mögen biefe nad^einanber in beliebiger golge ober
gleid§3eitig auftreten, ift bei ber SSerbinbung mehrerer enblid^en
S)re]^ungen oon oerfd^iebenen 3Id^fen ftetS auf beren Speisenfolge
3lüdEfid^t 3U nehmen, unb beS^alb ftö^t a\xäi bie SSorfteHung oon einem
gleid^3eitigen Stuftreten fold^er Srel^ungen oon oornl^erein auf ©d^mierig:«
feiten. ®iefe oenoidfelten a3e3ie]&ungen oereinfad^en fid^ beim Übergange oon
enblid^en Drehungen 3u elementaren Drehungen au^erorbentlid^.

Sen Sftad^meiS bafür beginnen mir mit ber S)arfteIIung be§®re]^ungg:=
paareg für elementare ©re^ungen. 9lad^ gig. 73 (©. 124) ergab fid^
für bie beiben aSerfd)iebungen, meldte btm Dre^ungSpaare h^tv, bei ben

ö

folgen Ä, B unb B, A entfpred^en , ber gemeinf ame SBert s = 2AB sin-^,

mäl^renb il^re Stid^tungen um 6 abmeid^en. 3e Heiner <J mirb, um fo ge*

ringer ift ber gel^Ier bei ber SJertaufd^ung oon sin- burd^ -, fo boüi^ fid^ s

für ^ jB = Z bei abnel^menbem <J ber ©rense l . 6 nähert, gül^ren mir bie

SBinfelgef d^roinbigleit 9 = Zm - unb bie ßincargcfd^minbigleit t; = Zim -

s ö

ein, fo folgt auS ber ©leid^ung - = Z . - für bie ©rense v = 1 . (p, mö^-

T T

renb 3ugleid^ ber Unterfd^ieb in bm SRid^tungen ber beiben SSerfd^iebungen
oerfd^roinbet.

©in elementares Sre^unggpaar, meld^eS ber aßinlelgcfd^minbigs^
feit q) entfprid^t, ift alfo o!^ne SRüdEfid^t auf bie ^Jolge feiner beiben
Drehungen burd^ eine elementare aSerfdEjiebung oon ber ©efd^minbigfeit
V = l . q) erfcfebar, beren 9licf)tung in ber Sbene ber ®re!^ungen unb 3mar
fenfred^t 3ur 35erbinbunggftredEe ber Dre^punfte (AB = T) liegt. S)ie beiben
©rel^ungen eineS folc^en elementaren 5ßaareg tonnen infolgebeffen aud^ al§
gleid^3eitige SSorgänge aufgefaßt merben. Qnv weiteren ©rlöuterung
biene gig. 77 a. ®ie ©rel^ung um A bemegt B in ber geit t um l q) , t,
möl^renb 3ugleid^ bie ©re^ung um B in berfelben Qext A nml(p . r bemegt,
beibe 9Kale im ©inne ber ge3eid5neten aSerfd^iebungSpfcile. ©benfo mirb
Jßunlt P 3ugleid^ um l(p.r bemegt, ba i^n bie ©rel^ung um A um AP.(p.t
l^ebt (im Sinne ber S^^nung), mä^renb il^n bie ©rel^ung um B um

§ 35.] Sufommenfctungen oon ßagenänberungen eines ftorren ÄörperS u.f.n). 129

Stg. 77 a.

An Q

l9?.r

^

^

ß

R

BP.(p .r fenft, fo ba§ er ftd^ im ganaen um (BP — ÄP).<p . r = Zg? . r
fcnit. S)a8fcl&c gilt für aUe anbeten 5ßunlte^ mie Q unb Ä.

S)a Bei elementaren S)re]^ungeh bie unenblid^sHetnen ©rel^ungSftredPen bcn
entfpred^cnben SBinlcIgefd^njinbigleiten proportional ftnb, fo Brandet man biefe
in ber ß^^^i^^fl ^^^ ©rel^ungSftretlen,
mte eS gig. 77 b für ha^ ©rel^ungSpaar
t)on gig. 77 a jetgt.

SBenn gig. 77 a in ber SBene beS
5ßapiereg liegt, ift gtg. 77b fenlred^t
baju ju benlen unb jmar fo, hci^ ber
5ßfcil oon u4 nac§ oben, ber 5ßfeil oon B
naä) unten jetgt.

§at man femer jmei oerfd^iebene
elementare Skel^ungen [(Jj unb [ö^l
bencn bie SBinlelgef d^minbigleiten g?i- unb 92 entfpred^en, um Jßarallelad^fen A
unb B au oereinigen, fo oerfäl^rt man für S)rc]^ungen oon oerfd^iebenem
©inne nad^ gig. 78, für
©rel^ungen obn gleid^em
©inne nad^ gig. 79 ; ba^

iip.i

A

L^.r l^.i ^*p.t

^

:b

gig. 77 b.

^

Bei ift oorauggefeftt, ba^

<^il>02 ift. 2)te Beiben
Seile ber gig. 78 u. 79
ftel^en ju einanber in
berfelBen Sejiel^ung mie
bie Beiben Seile ber
gig«^ 77.

3n gig. 78 bcnic
man ftd^ bie S)re]^ung

gig. 78 a.

«

B

^

A

19^

^

Sifl. 78 b.

f

^

gtg. 79 a.

s^

B

^

um J? burd^ eine ©re^ung um Ä au einem ©rel^unggpaare crgftnat, fo ba'^
eine ^xzf)mQ um Ä oon ber 91mplitube <Ji — (J2 itn Sinne oon [<5,] übrig
BleiBt. S)ag ®re^ungS^
paar liefert bie SSer:*
fd^ieBung [la^], \o bafe
biefe mit ber ©rel^ung
[<Ji — (jj] um Ä in
oereinigen ift. 3n
gig. 78 a roerben burd^
bie ©re^ung um Ä alle
5ßunlte red^tS oon Ä
gefcnft, alle 5ßunlte
linfS oon A ge^oBen,
möl^renb bie SBerf d^ieBung
aHe Jßuntte fenlt; btm^
gemö^ mufe ber ®rel^*

:^-

^.

A* yh

B

%

T

'M
I

JLI

gig. 79 b.

puntt für bie Bereinigung ber .SSerf d^ieBung unb ber ©rel^ung linfö oon
A liegen.

SBetnicCe, aried^anif. I. 9

130 5)rttteg Äopttel. [§ 35.

gür feine aSeftimmung l^at man:

9i —^2

S)a nun 0-B = 0^ + Z = Z — ^ — x\i, fo tft OAiOB = q><,:q)u

q>i — 9?2

b. ]^. tft ber Safere Scilpunlt ber ©trede ^J? für ha% SScrl^öItnig 92:9^1.

®iefe äußere Teilung nad^ bem umgefel&rten SSerl^öItniS ber SSinfel*

gefd^roinbigf eilen oeranfd^aulid^t gig. 78 b.

gür gig. 79 ben!e man ftd§ ein S)ref|unggpaar [ — (Ja] unb [+ 6^ fo

jugefefet, bafe bie ©rel^ung um B oerfd^minbet unb alfo eine ®re^ung \xm

A t)on ber Slmplüube 6^ + 6^ im ©inne oon [<5i] auftritt. S)ie aSerfd^ie^^

bung ^9?a/ meldte htm eingeführten S)re]^ung8paar entfprid^t^ ift nad^ unten

gerid^tet unb mufe burd^ eine nad^ oben gerid^tete aSerfd^iebung l q>2 mieber

auSgeglid^en merben, fö hoüi^ l^ier bie S)re]^ung unf A mit biefer nad^ oben

gerid^teten aSerfcf)ieBung vereinigt merben myx^. 3n gig. 79 a merben burd^

bie S)re]^ung um A aße 5ßunfte red^tS oon A gefenit, aße $unlte linfö tjon

J. gel^oBen, mäl^renb bie aSerfcf)ieBung aße 5ßun!te l^ebt; bemgemöfe mu^i^

ber ©re^punlt für bie aSereinigung ber ajerft^iebung \xxä> S)re]^ung red)t8

tjon J. liegen, gür feine aSeftimmung l^at man AO((px + (p^) = lq>^,

b. B. J.O = Z — ^ — unb A0< AB,

g>i + 92

S)a nun OB =1 — A0 = l — p^ — ift, fo ift AO:OB = q)^i (pu

9>1 + 92

b. ^. ift ber innere 2^ilpunlt ber ©tredfe J.^ für baS aSerl^ältniS 92 -^i-
S)iefe innere Seilung nad^ htm umgelel^rten aSerl^ältniS ber äBinlelgefc^mins
bigleiten oeranfd^aulid^t gig. 79 b,

®ie gig. 78b unb 79 b fteßen in i^rer aSereinigung eine l^armonifd^e
Seilung bar, für meldte femer gig. 77b ben ©onberfaß ber gig. 78b für
bag ajerl^öltnig 1 : 1 Beaeid^net (00). ©erfelBe ©onberfaß ber gig. 7^b
mürbe in ber SKitte oon AB aeigen.

®iefe aSetrad^tungcn laffen fid^ leidet auf Sld^fen auSbel^nen, bie fid^
fd^neiben. ®aau benfen mir bie ^d^fen Beffer in ber SBene ber geid^nung
gelegen, mie eg gig. 80 a für bie Sld^fen AA' unb BB' iexqt, meldte fid§
in fd^neiben. SHe SBene ber S^i^^wng a^^fößt in oier gelber, für
meldte burd^ bie aSud^ftaBen H unb S atö SIBfüraung für $eBung unb
©en!ung l^eroorgel^oBen ift, meldten Sinflu^ bie Beiben S)re]^ungen l^eroor*^
rufen. Sie Srel^ung um AA' fud^t aße 5ßunlte red^tS oon AA' ga fenlen
unb aße 5ßunlte linK oon AA' ^n IjeBen, bie ©rel^ung nm BB' fud^t aße
5ßunlte red^tS oon BB' ^n fenlen unb aße 5ßunfte linfg oon BB' ^n lieben.
Srtur in bem (fd^raffierten) gelbe, für roeld^eg ftd^ Hebungen unb ©en!ungen
oerBinben, lönnen 5ßunfte liegen, meldte burdE) Beibe Srel^ungen in Sftul^e
BleiBen. aSeaeid^net F eineti fold^en fraglid^en 5ßun!t, fo Betragen feine
©enfung burd) bie 9tcf)fe AA' unb feine $ebung burd^ bie 3ld§fe BB* in
ber Seit r Beam. r^ q)^ t unb rg 92 ^/ f^ß^ ^^^ entfpred^enben aSinfelgefd^min:»
bigfeiten 91 unb (p2 finb. S)ie Stulpe oon F forbert r^ (pi = rg q>2 ober, ba
ri = OFsinUi unb rg = 0Fsinu2 ift, (p-^^sinui = (p^sina2, b. 1^.

§ 36.] ^utiimm^t^ftutiS^i '»"^ iiasenOnbeiungen etneS {tonen ftStpeiS u. f. in. 131

sincii : sinat, = <p^ : <p,. ©emgetnäft fmb olle ?ßimlte bet 3li§fe OP m
3hi^, fflUS 2t AOS fo innertii^ geteilt ttittb, baft bie ©inu8 ber Keil«
ttitntet im umge(e^cten aJet^ältttiffe ber eittfprei^enben aBiirfeIgef^inbig=
feit fte^en. 3>ie entfpreifienbe Süeilung jeigt gig. 80 b.

®fl nun ftatt ber beiben Sli^fen ÄA' imb BB' bie eine Kt^fe OP ouf«
tritt, fo mufe itgenb ein 5|Jun!t ber Qeic^enebene, j. 33. B', bun^ bie Site^mia
um OP in biefelbe ßage tommen, wie burd^ bie S>te^unQen um AA' unb
BB'. Sa B' auf ber SSi^fe gjg go«.

5B' liegt, fo tommt nur
bie Hebung buri^ bie Ske^ung
um 4^' in groge, roeldie

B'^' . 9),T für bie 3eit x ö'ß. 80 b.

beträgt, unb bemnoc^ mufe
B' burcEi bie Sre^ung um
OP um biefeCbe Streife ge=
^ben itterben. SBejeic^net man
bie SBintelgefdinnnbigfeit ffir
OP mit rp, fo ))at bie ent»
fprei^nbe Hebung bun§ bie
Mälfe OP fäc £' ben SBett
B'P'.rpt, unb mon ^at alfo
B'A'. tptt ^ B'P' . <pT,

b. ^. jjsjr

®Q B'A' = 05'. stn(a, + «a) unb £'i>' = OB' . st««, ift, fo ^flt

mon <p = ipj "^ .' "*" — ^, b. ^ 9 ift bie ©iagonole ju bem in gig. 80b

öuS <pi unb va gebilbeten ^atoHelogromm unb aroor fo, bofe gugteit^

[9] ^ [Vi] 4- [9»»]
gilt.

Sxmnaä) laffen fi<^ bie äSinMgefc^nbigletten bei gniei fn^ fc^neibenben
hälfen na<$ bem $araI(eIogrammprtncipe oereintgen, morauiS o^ne
iDeitereS eine 9lu§bef|nung auf be(iebig*DieIe 9Iii|fen, bie fi(^ in einem Spunde
ft^neiben, folgt. 9tat&ili(| ift auc^ ^ier bie äiorfteUung gleid^geitiger
Stellungen julfiffig, roeil bie golge btx Ste^ngen teinen Kinflufe auf baS
Ergebnis ^at.

SS liegt ttun na!^ au fragen, ob nit^t aucEi ber gaQ ber ^oraQelac^en
burdi baS $aiaDeIogramin)]rincip bel)anbelt nierben tonn. SiieS ift ntOglidi,
toenn man awei ©re^ungSftreden oon gleici)er ©röfee unb entgegengefegtem
@inne, ueli|e in einer @eiaben liegen, einfö[)rt, fte mögen @egens
Sre^ungSftred en ^ei^en. Solche ©egen^Xtre^ungSftreden tann man ftetS
aufegen ober fortne^en, o^ne an bem gegebenen fflemegungSjuftanbe etroaS
ju änbem, ba bie entfpiedienben Slreljungen um bie ©erobe, auf meli^er fte
liegen, fic^ für jebeS 3eitelement t jerftöten.

132

S)titted 5hif)Uel.

[§35.

gül^rt man in gfig. 78 auf AB jwci fold^ ©trccfcn [o] unb \m\ ein,
n)te gig. 81 jcigt, fo gcBcn [o] unb [q>i] für fi(^ unb [5] unb [g?,] für
fid^ nad^ bem eBen 6ett>iefenen @a^e Begm. bie Stefultanten [qi] unb [q^],
beten 8I(^fen fid^ in 0' fd^neiben. S)a eg gleid^gültig ift, an raeld^cr ©teüe
ber Sttd^fen ©rel^ungSftredten gejeid^net njerben, fo barf man [pj] unb [92]

gig. 81. naäi 0' t)crf(|ie.=

Ben unb fie bort gu
einer siefultante
vereinigen. Um
bieg ju Bemirlen,
aerlegt man [qi]
unb [Qi] am Beften
mieber Bejm. in
[cd] unb [9)1] unb

in [©] unb [9)2],
fo ha^ ftd^ un*
mittelbar bie Sie*
f ultante [91 — 9 j]
im Sinne oon [91]
ergieBt. 2)a^ i^re
Sld^feJLJB in bem*

felBen ^ßunltc fd^neibet, ber in gig. 78b gewonnen mürbe, ift leidet er*

ftd^tlid^.

SBürbe man bieg SBerfal^ren auf gig. 77 b anmenben, fo erl^telte man

ftatt beS gegebenen S)re^ungl^paarei^ nur ein anbereS, ol^ne ha^ fid^ baBei

glg. 82.

bie aSerf d^ieBung l(p.t önberte.
SHefe ift eine flonftante für
äße foIdi|e Umformungen.

©agfelBe SJerfal^ren fül^rt.
für gig. 79b ju ben flon*
ftrultionen, meldte gig. 82
barfteHt

3Rit biefer neuen Sel^anb*
lung ber S)re]^ung um $araM*
ad^fen ift nun aud^ bie 2Rög*
lid^feit gegeben, BelieBigsoiele
elementare ©rel^ungen
um BelieBig* gelagerte Sld^fen
nad^ htm ^Parallelogramm*
princip ju vereinigen, aud^
in aSerBinbung mit BelieBig*
oielen SSerfd^ieBungen. Äommen Std^fen vor, meldte minbfd^ief gu einanber
liegen, fo legt man burd^ eine biefer aid^fen ^Parallelen gu ben übrigen utü>
oermanbelt beren 3)re^ungen, unter SIBfpaltung oon SSerfd^ieBungen, in
©re^ungen xm 8ld^fen au8 einem fünfte.

®iaii man jebe elementare S)re]^ung burd^ bie entfpred^enbe S)re]^ung8*

§ 36.] 2)ie ebene S3emegung unb bie f pl^ätifdge )iBett)egung beS jtarren Stöxptx», 133

fttcde bor, fo ift jcbe btcfer ©trcden auf i^rcr ®craben (Sld^fe) Beliebig oers
fd^ießBar, fte bürfen aud^ parallel mit fid^ wrfd^oBen toerben, faHS man ber
Sirel^ung eine entfpred^enbe SBerfd^ieBung ^inaufügtO.

3[m allgemeinen gelangt man Bei ber äSereinigung oon äSerfd^ieBungen
unb elementaren S)rel^ungen gu einer ©d^ouBenBemegimg.

SSeifpiete: Sßeranfd^aulid^ung opn SKafd^inenmobeHen.

36. 2)te ebene Setoegnng unb bie ffi^firifc^e Setoegung be^ ftorren
Sörfieri^. SBcnn eine SBene E beS ftörperS Bei beffen Semegung ftetS mit
einer SBene E' be8 SRaumeg aufammenföllt, fo mirb bie Semegung beS Äör*
perS eine eBene Semegung genannt. 3n biefem gaUe ift bie Semegung
beS flörpcrS nollftänbtg Beftimmt, menn man für jeben geitpunft bie 2age
oon E in E' fcmtt. SRan Betrad^tet baju bie Sagen einer ScmcgungS*
ftrcdte AB non E in E' aur geit 0, z, 2x, . , ,, meldte ier Slleil^e nadE)
A!(iB'Q, Ä[Bi, A2B2 fein mögen unb f teilt für je jmei Jftad^Barlagcn ben
©rel^punlt (5ßoI) für beren ÜBerfül^rung fcft. Sejeid^net man bie Sleil^e biefcr
2)re]^punlte (5ßoIe) in E burd^ 0,, O2, . . . unb in E' bnx^ O'i, O2, . . .,
fo föHt Ol mit O'i aufammen möl^renb ber Seit . . . r, Oj mit O2 toöfy^
rcnb ber 3eit t . . . 2t u. f. m. S)emnad^ faßt jur Seit t fomo^I Oj auf
Ou atö aud^ O2 auf Oi, alfo aud^ bie ©tredte Oi O2 auf OlOi u. f. m.
S)er ©tredtenjug OiOq . . , unb ber ©tredtenjug OiOi l^aBen alfo ber Sfieil^e
nad^ je eine Seite gemcinfam, fte rollen aufeinanber aB, ol^ne gu gleiten,
gür limt = gelten bie Beiben ©tredtenjüge im aHgcmeincn in Äumen
üBer, meldte atö Bemeglid^e unb atö fefte ^ßoIBal^n unterfd^ieben merben, fo
ba^ jebe Semegung oon E in E' atö 9lBroIIen einer Bemeglid^en 5ßoIBa^n
auf einer feften 5ßoIBal^n angefe^en mcrbcn lann; bie Serül^rungSpunlte Beiber
Salinen finb baBei iebeSmal bie aiigenBIidtlid^en 3)rc]^punlte.

aSeifpiel: Sei ber Krjeugung ber EgHoibe roßt ein Bcmeglid^er ftreiS auf
einer feften (Seraben, meldte Bcjm. atö Bemeglid^e unb fefte 5ßoIBa^ auf«
gefaxt merben tonn.

Rennt man bie Salinen oon Ä imb B in E\ fo Beftimmt ber ©d^nitt*
punit äufammengel^öriger SRormalen bcrfelBen ftetg einen augenBIidtlid^en S)re^s

punit, mie eS gig. 83 für bie ßagen A!oBo unb
Ä[ B[ erlöutert. S)te Tangenten in Äo unb ^0
ftimmen üBerein mit ben augenBIidHid^en Se*
megungSrid^tungen , mö^renb bie jugel^drigen
Sttormalen JiJOi unb B'oO'i fid^ im augenBlidts»
Kd^en S)re^punlt fd^neiben. 3)er elementaren
aSerfd^ieBung entfprid^t bie ßage 0[ im Unenb:s
lid^en.

gür jeben britten 5ßunlt G, ber in gig. 83
in ber ßage Co gejeid^net ift, gieBt ber ftrcig mit
Ol Ci um Ol bie SemegungSrid^tung an. 3ft

gfig. 83.-

*) ®8 entfprid^t bieg ber fpöter au Be^anbelnben ^Bereinigung Bellebig süieler
Ärftfte mit aerftreuten SlngriffSpunften»

134 2)ritteS ßapitel. [§ 36.

bie ®cf(^tt)inbtglctt v irgcnb ctncS ^ßunlteS P unb bcffcn 3lbftanb r oom
augenblidlid^cn S)rc]^punlt Ol gegeben, fo ift — = 9 bie SBinlelgefd^toinbig*

T

lett ber Stellung für 0[ unb Ibemnad^ ift aud^ bie ®efdön)tnbigleit jebcg
anbcren in feiner 2age gegen Oi ^gegebenen 5ßunIteS Belannt, fie ift 3. 83. für
Ä unb JB beanj. O'iAüi. (p unb 0[Bo . (f.

Seifpiel: Sei ber Kgfloibe ift bie SSerbinbungggerabe beS Serül^rungS*
punfteS oon flreig unb ©erobe unb bcg erjeugenbcn ^ßunlteS Jftormale, fo
ba§ bie augel^örige S^angente leidet geseid^net n:)erben lann.

Sei ber in gig. 84 angebeuteten Bewegung einer Äurbelftange unterliegt
Ä ber ©erobfül^rung in ber SRid^tung AM, n)ö^rcnb fid^ B auf beut ftreifc

-^. g- um M bewegt. ®en SenjegungS*

rid^tungcn entfprec^enb, tiefern bie
Sftormalen oön^ unb B ben äugen*
Blidtlid^en S)re^punlt 0, fo bafe
bamit bie a3en)egung8rid^tung für
jebcn anberen ^ßunlt C bcftintmt ift.
Qat B bie ©efc^njinbigleit c, fo ift
bie augenblidtlid^e SBinlelgef d^tt)inbigs=

leit für gegeben oIS r^-pr, fo ba^

d ;>>^... C bie ©efc^rainbigleit v = c r^-pr

l^at.

S)cnlt man fenlred^t ju J?' unb E auf ben beiben ^ßolbal^nen Kglinber*
flÄd^en crrid^tet, fo entfprid^t bem 3lbroIIen ber ^ßolbal^nen ein 3IBroHen
biefer Kglinberfläd^en, b. 1^. bie ebene Semegung eineg fldrperg Bc*
ftel^t ftetS in bem SlBroIIen einer im ffiörper gelegenen Eglinber*:
flöd^e auf einer im Sllaume gelegenen Kglinberflöd^e, beren
Sttormalfd^nitte bie augel^örigen ^ßolbal^nen ber ebenen Semegung
finb.

S)enft man ftd^ mieber bie S3etrad^tung ber Ebene auf eine Äugel*
flocke übertragen, fo gelangt man ju einer ©arftellung ber fp]^ärif,d^en
Semegung eineS ftarren Äörperg, bei raeld^er eine flugelflöc^e £: beSÄörperS
ftctS mit einer (lonäentrifd^en) ftugelfläc^e K' be§ SRaumcS aufammenfäöt, fo
ha^ fid^ ber ftdrper um beren gemeinfameS Eentrum M afö fcften ^ßunft
brel^t. ®en beiben ebenen ^ßoIBal^nen ber ebenen Semcgung entfpred^en l^ier
fpl^örifd^e ^ßoIBal^nen, ben Kglinbern flegel mit ber ©pifte M (beren ©eiten
je einen ^ßol mit M oerbinben), b. 'S), bie fpl^örifdie Semegung eineS
ffiörperS beftel^t in bem SttbroIIen einer im ffiörper gelegenen flegel*
flöd^e auf einer im Sllaume gelegenen Segelfläche oon gemeinfamer
©pige M, beren Surd^bringungen mit einer ffiugel au8 M bie ju*
gehörigen ^ßolbal^nen ber fpl^ärif(§en Semegung finb.

9lüdtt -af ing Unenblid^e, fo gel^t bie fpl^örifd^e S3emegung in bie ebene
aSemegung über.

§ 37.] SHc attgcmeine aJetoegung eine» ftarren flörpcr». 135

37. 2)te aUgemeitte Setoeguttg eine!» ftanett Stotptx^. ®inb bie
Sagen cineg Sctocgunggbrcicdg Jl^C jur gcitO, r, 2r, . . . gegeben, fo !ann
man unter Sttugaeid^nung beS 5ßunlteg C (oergl. § 32), beffen ßagen
Co, Gu Ci, . . . im 3taume burd^ einen ©trecfenjug oerbinben unb biefen
©tredenaug afö ßeitlinie für aufeinanbcr folgenbe SSerfd^iebungen beg ftör»
perS, entfprec^enb [C'oC'i], [C'iC2l . . . Benufeen. ©(galtet man amift^en je
amei fold^e SSerfd^iebungen je eine Srel^ung beam. um eine 3ld^fe burd^ Ci, C2,. . .
ein, fo bafe ba^ Semegunggbreiedt ABC burd^ bie SSerfd^iebung löngS [CiCi]
unb burd^ bie ©rel^ung um bie Sld^fe burd^ G\ in bie ßage ÄiB[C'i, burd^
bk aSerfd^iebung löngS [CiCi] unb burd^ bie ©rel^ung um bie Sld^fe buf^
Ci in bie ßage Ä2B2C2 lommt, fo erl^ölt man eine um fo genauere S)ar*
fteUung ber nrirllit^en Semegung, je Keiner man t mad^t. Sie 3ld^fe, meldte
burd^ Cp gel^t, ift fomol^I eine 9ld^fe im Sftaume (cp), afö au^ eine Sld^fe (cp)
im flörper, S)ie Steffen im ffiörper (ci, c^, . . .) gelten aUe burd^ ben
5ßimlt C unb bilben bemnad^ für Um r = einen Siegel mit ber ©pifee C
im flörper. giel^t man burd^ jjeben SRaumpunIt Cp au aßen 8Id^fen cl, ci,...
au^er Cp, 5ßarallelen, fo bilbet fid^ in jebem ^ßunfte Cp ein ©gftem oon
aid^fen, ba^ für Umr = in einen Regel im SRaume üBergel^t. S)a aDe
biefe Segel in ben 5ßunften C'i, C2, . . . unter fld^ fongruent unb paraM
gelagert finb, fo !ann man fte aI8 ßagen eineS unb beSfelben, fid^ im SRaume,
längs ber OiClOi, ... für limt = entfpred^enben ßinie oerfd^iebenben
Äegetö anfeilen. S)ie ©pige biefeS bemeglid^en Äegefö mu§ ftetg mit bem
5ßunfte C beS ffiörperS a^f^^^^^^föHen, in meld^em aud^ bie ©pige beS flörpers^
legete liegt, möl^renb bie ©teöung ber beiben Siegel ga einanber baburc^ be*
ftimmt ift, ba^ ftetS bie Sld^fe Cp mit ber 3ld^fe Cp aufammenfäHt, fobalb ber
SRaumpunft Cp oon ben Slegelfpigen erreid^t mirb. S)a bemnad^ ber Sfteil^e
nad^ aufeinanber folgenbe ©eiten ber beiben ftegel afö 3ld^fen für bie
©rel^ungen aufeinanber fallen, fo roHt ber eine Äegel auf bem anberen ab.

S)emnad^ löfet fid^ jebe Semegung eineS ftarren ÄörperS, unter
3lu8aßici)nung eineg ^ßunfteS 0, barftellen alS ba^ SttbroIIen eines
im fldrper feften ÄegelS mit ber ©pi§e C auf einen im Sftaume fid^
oerfd^iebenben Äegel mit ber ©pige C, für beffen SJerfc^iebung bxz
Sal^n oon C ßeitlinie ift.

Seifpiel: S3ei ber SSemegung ber ®rbe ift bie SSerbinbungSIinie ber 5ßoIe
nic^t Srel^ungSad^fe, eS roHt oielmel^r ein Segel oon 0,"0087 Öffnung, beffen
3ld^fe bie Srbad^fe unb beffen ©pige ber ©rbmittelpunft ift, in einem flegel
oon 231/2 ®Tcab Öffnung, beffen 3ld^fe Sftormale ber ©rbbal^n ift unb beffen
©pige mieberum ber Srbmittelpunit ift. S)ie SSerfd^iebung beS at^^it^^ Siegels
auf ber Krbbal^n mirb burd^ bie Semegung beS SrbmittelpunfteS beftimmt,
mäl^renb ber erfte Äegel in il^m im ©inne biefer SJerfd^iebung abroöt unb
amar fo, bafe in einem S^age ein ooller Umgang erfolgt. Snfolgebeffen
änbert fid^ bie ßage ber ßrbac^fe unb beS Äquators fortmäl^renb, fo ba^ bie
©d^nittpunfte ber ©rbbal^n unb einer bem Sc(uator ftetS parallel laufenben
Sbene burd^ ben 3KitteIpunIt ber ©rbbal^n auf biefer 50" im Saläre fort*
rüdten, ber SSemegung ber ßrbe entgegen. S)aS gortrüdEen biefer Squinoltiat
punite l^ei^t ^^ßröceffion ber Xag* unb Sftad^tgleid^en".

136 2)ritteS Stap\ttL [§ 38.

SBirb ber 5ßunlt C fcftgcl^altcn, fo gcl^t bie allgemeine Setüegung toieber
in bie fpl^örifd^e Semegung über.

©inb bie ben geitpunften 0, t, 2 t, . . . entfpred^enben Sagen beg Se*
wegungSbreiedS ABC oK ÄqBoCo, ÄiBiCi, . . . gegeBen, fo lann man
au(^ burd^ eine @d^rauBung gemä^ § 33 bie Überfül^rung auS jeber Sage
in bie 5ftad^6arlage bemirlt benlen. SDabei ft^neibet jebe Kentralad^fe, meldte
jugleid^ atö Stid^tung ber SSerfd^iebung unb atö S)re]^ungdad^fe bient, bie foU
genbe nid^t mel^r, fo ba^ i^t ©gftem im Körper eine SRegelfläd^e unb im
Slaume eine anbere 9tegelf[öd^e bilbet, oon benen je eine ffirjeugenbe für eine
aSerfd^iefimtg unb eine S)rel^ung beS flörperg aufammenföHt.

SDemnad^ lä^t fid^ bie Semegung eineS ftarren flörperS an^
barftellen aI8 ©leiten unb SRoIIen einer Sftegelfläd^e beS ÄdrperS
auf einer Stegelflöd^e bej^ StaumelS.

S)iefe SDarfteHung ift ein beut lg, möl^renb bie üorl^er gegebene für
ieben 5ßunlt C beS ffidrperS burd^gefü^rt merben lann, alfo uncnbIid^*oiefc
beutig ift.

38. XQgenteine Sel^attblung ber SRitteKetoegttng einei^ ^unftei^;
@a^ t)on Surinlii^. 2)ie S9etrad^tungen ber oorigen ^aragrapl^en geftotten
nun aud^, eine ßüdte (üergl. § 21 unb § 25) auSaufüßen, meldte in ber
5ß]^oronomie beS ^ßunlteS offen gefilieBen mar. Solange bie ©eitenbemegungen
eines 5ßimfte8 ein SBerfd^ieBungSfgftem (oergl. § 21) Bilben, ermöd^ft bie
SRittelbemegung au8 ben ©eitenbemegungen ol^ne meitereS nad^ htm
^ßarallelogrammprincipe. ®ie8 ift nid^t me^r ber ^ati, menn bie
©eitenbemegungen nid^t aK SBerfd^iebungSfgftem auftreten.

S)enft man fid^ bei jmei ©eitenbemegungen eines ^ßunfteS W bie Sal^n

ber einen burd^ irgenb eine ßinie beftimmt (g. S. auf einem ftarren Sdrper)

«^g 85 unb bie Sal^n ber anberen baburd^ gegeben,

ba^ biefe ßinie im Sftaume irgenb eine be*
ftimmte Semegung (3. S. mit hem ftarren
Äörper) ooHfül^rt, fo ift ben frül^eren (SnU
midtelungen gegenüber eine Krgönjung nots=
menbig, für meldte im mefentlid^en hk Se«
trad^tungen ber ^olarmetl^obe auf ®. 108
ma^gebenb ftnb.

SBir geben biefe ©rgön^ung junöd^ft
gemöfe gig. 85 für bie ®bene. äBöl^renb W
in ber geit t auf ber gegebenen ßinie oon
F'i nad^ Pi' fortrüdtt, mag ba^ entfpred^enbe Salinftüdt felbft au8 ber ßage
P'iFi in bie ßage F2JPÜ übergel^en unb gmar fo, ba^ feine SJerfd^ie*
bung oorliegt. ärtan lann bann junäd^ft, einer SJerfd^iebung ent*
fpred^enb, bie gmifd^enlage PiP" einfd^alten, fo ba^ ber Unterfd^ieb gegen
bie frül^eren Setrad^tungen barin beftel^t, ba^ nun nod^ au^erbem eine
2)re]^ung [e] um Pi ju berüdtfid^tigen ift, bei ber W au8 ber ßage P" in
bie ßage P'a rüdtt.

SBirb bie ©urd^fd^nittSgefd^mtnbigleit für ha^ S)urd^Iaufen oon Pi Pi

§ 38.] TOgcmclnc SBcl^anblung ber aJUttelbcmcgung eine» Spunfte» u. f. to. 137

mit c beaeid^net, fo ift PiPi' = P2P"= er unb bemgemö^ Sogen
P" P2 = c T arc 6, S)a bie ©rel^ung um ben SBtnfel e in her S^it r t)or
fid^ gel^t , fo beaeid^net ^^ = y bie burd^f d^nittlit^e aBinlelgcfd^minbigleit

für bie Sracugung beS Sogeng P" Pi', ber fid^ btmnaä) afö c y . r» barfteöt.
gür 7m r = ift c burd^ v nvb y burd^ 9 ju erfeften, fo ba^ ber Sogen

P" Pa für eine elementare Teilung bie ßänge t; <p r» l^at unb alfo in Sejug
auf X oon ber jmeiten Drbnung ift. Sei einer erften Stnnöl^erung oer*
fd^minbet alfo ber ©influ^ ber aujufeftenben ©rel^ung ooCftönbig, fo ba§ bie
Seftimmung ber (Sefd^minbigleit gegen frül^er leiner Ifnberung unter«
liegt, mie bereits in § 21 oon einem anberen Oeftd^tSpunlte au8 gejeigt mürbe.

Sagegen meift ber Slugbrudt v^ix'^ =^\{^vKp)x^ auf eine neu l^inau*

tretcnbe Sef d^teunigung 00m SBcrt 2v^> l^in, meldte tangential ju P" Pi ge«
rid^tet ift. ®ine entfprec^enbe normale Äomponente märe x^ioii:^ einer ber gor«
mein 9h:. 28 ju bilbcn, 3. S. gemöfe ry"^, mobei in biefem gaHe r burd^
P2P" = t;r unb y burd^ ^i ju erfe^en ift, fo \^^^ fid^ vx^>^ ergäbe, b. 1^.
bie Stormalbefc^Ieunigung ift l^ier SRuH für Um r = 0.

S)er Sinflu^ ber ©rel^ung beftel^t alfo in bem ©injutritte einer Se*
fd^Ieunigung ^v^>\ beren Sftid^tung im Sinne ber ©rel^ung fenlred^t ju "t^zxa
fid^ bre^enben Saljnteild^en fielet.

Um biefe Setrad^tung auf ben Sftaum ju übertragen, l^at man nur auf
bie ®re]^unggadE)fe oon Pi, meldte für bie 3lufgabe ber Sbene (in gig. 85)
in Pi fenlred^t auf ber ®bene ber S^it^ni^ng
ftel^t, aug P" ein 2ot P" Jlf au fäUen; bicfeg

tritt für bie ©rjeugung \^t% Sogeng P" P2'
an bie ©teile oon :P'%^'\ mie c8 gig. 86

aeigt. mm. ^at l^ier -PPi' = MF\ arcs
= P2 P2 . sin d" . arc s = vfpsind" , r^
= I (2v(p sin d") x^, fo ba| fidE) nun bie
Sefd^Ieunigung [2v(p] für bie ßbene alg
©onberfaH (d- = 90^) ber Sefd^Icunigung
[2v(p sin d"] für hm 3taum barftellt.

3lbfd^Iie^enb lann man alfo fagen:
Semegt fid^ ein 5ßunft W auf einer ßinie, bie
fetbft in Semegung ift, fo crmäd^ft für bie bamit bcftimmte äHittelbemegung
oon W bie ®efd^minbig!eit ftetg aug ben beiben ©efd^minbigs
leiten ber ©eitenbemegungen nad^ htm 5ßaraHeIogrammprincipe. ^a^
biefem ^principe bilbet fid^ an^ bie Sefd^Ieunigung oon W, aber aug
brei Äomponenten, oon benen bie erften beiben bie Sefc^leunigungen
ber ©eitenbemegungen finb, mäl^renb bie britte burd^ [2(pvsind'] bargefteHt
mirb. ®abei bebeutet v ben SBert ber ©efd^minbigfeit oon W auf ber fid^
bemcgenben ßinie aur Seit t, q> bie SBinlelgefd^minbigleit für bie augenblidC«
lid^e S)re]^ung biefer ßinie (um Pi) unb O" ben SBinlel atoift^^n [v] unb ber

138

2)tittes Kapitel.

[§39.

augenfiltdlid^en Sld^fe; btc SRid^tung btcfcr brittcn ffiomponcntc fttmmt mit bcr
augcnblicflid^en S)rc]^un8 übcrcin, b. 1^. ftc ift fenlrcd^t ju einer ßbene burd^ [v]
unb bie augenblidlit^e ©rel^ungSad^fe unb entfprid^t bcm ©inne ber Stellung.

S>iefe aSeftimmung ber Sefd^Ieunigung av3 brei Komponenten ift\ '
anäj afö »Sag oon Koriolig" befannt. /

aSeifpiel: S)ie Semegmtg, bie ®. 109 bel^anbelt mürbe.

39* 9ttlaüt>Umiuni ftamt ÄBr|ier. äBcnn fid^ gmei ^ßunlte P
unb § ooneinanber unabl^öngig Bemegen, fo lonn man bie oeränberüd^en
SSeltoren [PQ] unb [QP] jeberjeit bejm. aK bie SSerlcgungen oon Q gegen
P unb oon P gegen Q (oergl. @. 83) auf f äffen, inbem man fid^ oorfteHt,
P bejm. Q folle auf lürjeftem SBege nad^ Q itivo. P bemegt merben. SDa
bie aSemegung oon P unb § gegen irgenb einen afö unbemeglid^ geltenben
flörper btixv, gegen ben afö unbemeglid^ gebadeten unenblid^en Sftaum be^
ftimmt merben mni, fo lann man bie 2age non P unb Q in biefer ©infid^t
afö abfolute 2age bejcid^nen, unb banon bie relatioe ßage non Q
gegen P, beftimmt burd^ bie Verlegung [PQ], unb bie relatine ßage oon
P gegen Q, beftimmt burd^ bie SSerlegung [QP], unterfd^eiben. (SJergl.
®. 3 u. f.) §aben nun P unb Q jur geit t bie Sagen P' unb Q' unb jur

Stg. 87 a.

giß. 87 b.

Seit f + r bie ßagen
P" unb ö", fo lann
man aud^ oon einer
relatioen ßagen*
önberung oon Q
gegen P unb oon P
gegen Q möl^renb ber
3eit T fpredE)en. S)enlt
man fic^, mie gig. 87 a
aeigt, Q in ber ßage
Q' mit P in ber ßage
P' feft oerbunben (burd^ einen SSeltor) unb au^erbem ol^ne eigene ^t^
megung, fo mürbe ^unft P ben ^ßunft Q bei feiner Semegung mit fid§
fül^ren unb nad^ Q bringen, fo ba^ nun Q gu P" biefelbe relatioe ßage l^at,
mie oorl^er Q' ga P'. S)ie relatioe ßagenänberung oon Q gegen P mirb alfo

burd^ [QQ"] bargefteüt, fo ha^

ober aud^

ift. ®a

ift/ fo gilt aud^

[Q'Q] + [QQ"]^[Q'Q"]
[Q Ql ^ [Q' «"] ^ [Q' Q]
[Q'Q]^-[QQ']^-[P'i'']

[QQ"] ^ [Q'Q"] + [QQ'] ^ [Q'Ql + [i^"n

S)emnad^ gut: S)ie relatioe ßagenänberung [QQ"] oon Q gegen
P lö^t fid^ barfteüen alS SRefuItante au§ ber [abfoluten] ßagenönberung . . .
[Ö' Q"] ^ön Q unb ber umgelel^rten (abfoluten) ßagenänberung [P"P'] j ^
oon P. j

§39.1

8fleIatit)Ben)C0unö ftarrcr ilörper.

139

S)tcfcn ©ag ocranfd^aulid^t gig. 87 a na^ Umld^rung beS 5ßfctlc8 oon
Q'Q, ober ttod^ bcutlic^cr gig. 87 b.

S)ie Umlcl^rung bcr ßagcttönberung [F'^F'] oon P lö^t pd^ aud^ un-
mittelbar 3ur Stnfd^auung bringen, n)enn man fid^ § in ber 2age Q" mit
F in ber ßage P" feft oerbunben (burd^ einen SBeltor) unb aufeerbem ol^ne
eigene Semegung benit unb fic^ bann oorfteHt, ba^ bie Semegung oön F
mit ben feft oerbunbenen 5ßunlten F unb Q rücflöufig Vorgenommen mürbe,
fo ba^ F auf feiner Sa^n in bie alte ßage P' gelangt, flommt babei,

mie eg gig. 88 jeigt, Q in bie Sage Q, fo fteHt [Q'Q] mieberum bie rela:=

gig. 88.

tit>e ßagenönberung oon Q gegen P bar.
SHe entfpred^enben SSeftorenbreiedte ber ^U
guren 87 unb 88 bilben jufammen ein
5ßaraHeIogramm, fo ha^ ber Unterfd^ieb oon

[ÖC] unb [Q'Q] nur barin befielet, bafe ber
eine ®eItor an ber ©nblage Q" oon Q, ber
ameite an ber 3lnfang§Iage Q' oon Q l^aftet.

S)enlt man fid^ in P einen Seobad^ter,
bcr, an ber Semegung oon P teilnel^menb,
biefe felbft nic^t bemerft, fo nimmt er nur
bie 3telalit)bemcgung oon Q gegen P mal^r, meldte für il^n eine fd^einbare
aSemegung ift; barum nennt man bie relatioe S3emegung an^ fdE)einbare
Semegung.

Um bie Sal^n ber relatioen Semegung oon Q gegen P ga beftimmen,
l^at man bie rclatioen ßagenönberungen für entfpred^enbe ©lemente ber

gfig. 89.

(abfoluten) Salinen

oon P unb. C aK

SSeftorcn aneinanber

3U tragen. Sftel^men

P unb Q beam. gur

3eit 0, T, 2 r, . . . bie

ßagen P', P", F"', . . .

unb Q', Q", Q'", . . .

ein, fo mai!^t man

bagu, mie gig. 89

jcigt, in einer Steben^

ffiaae (mte beim $obograpI)en) P aum Slugganggpunlt ber SSeltoren [F' Q'],

[P" Q"l [F'" Q'% . . V n>eld^e bie relatioen ßagen oon Q gegen P 3ur 3eit 0,

T, 2r, ... beftimmcn; ber ©tredfenaug 012... ift bann eine angenäherte S)ar*

fteHung bcr relatioen Sal^n oon Q gegen P, meldte burd^ einen ©renaüber*

gang ga einer genauen ©orfteEung fül^rt.

©inb aud^ [F'F''] unb [Q'Q"] in gig. 87 unb 88 nid^t blofe ^tx^
legungen für irgenb meldte Salinen P' ... P" unb Q' . . . Q", fonbem bie
»a^ncn für P unb Q felbft, fo fteHen

140 2)ritted Stap\tel. [§ 39.

6cgtt). bic ©urc^fd^nittSgcfc^nnnbifllctten her brei Betrad^tctcn Scrocgungcn bar.
S)ur(^ ben ©rcnjübcrgang für Zem r = 0. gelangt man alf o ju bcm Safte :

SHe relattoe ©eft^njtnbtgleit oon Q gegen P ift bie Sftefut
tante au8 ber (abfoluten) ©efd^iotnbtgleit üon Q unb ber umgelel^rten [ 42)
(abfoluten) ®ef(^n)tnbtgfeit oon P,

S)te Setrad^tung W^t \x6) aud^ ol^ne njeitereS auf bie relatioel .
Sefd^Ieuntgung auSbe^nen, für raeld^c ber entfpred^enbe Saft gilt. j '^

®in fiefonberS einfad^er gaU oon SftelatioBenjegungen für Q gegen P
tritt ein, wenn ber ^unlt Q in Sftul^e ift.

S)ie bclannteften Seifpiele für SHelatioBenjcgungen oon ^ßunften liegen
rvoijl in ben SeoBad^tungen oor, bie faft jeber afö SReifenber in ffiifenba^n*
3ügen mad^t Seim ©urd^fal^ren einer ßanbfd^aft ermöd^ft oft ber ©d^ein,
als menn man felbft fid^ in SRul^e befönbe, mö^renb bie rul^enben ©egen*
ftönbe fid^ ju bemegen fd^einen. Sine genaue ©arfteöung biefer SSerl^öItniffe
mirb baburd^ fd^mierig, ba^ bie SftelatioBemegung ber ®egenftönbe gegen ben
afö rul^enb erfd^einenben 3^8 ^^^ ^^^ Sluge nid^t ungeftört aufgenommen
mirb, fonbem beeinflußt burd^ bie Segiel^ungen gmifd^en htm ®efid^tgu)inlel
mib ber fd^einbaren ®röße ber ®egenftänbe (Ärümmung paralleler Sldter^
furd^en u. f. m.). ©iel^t man oon biefer Segiel^ung aB, fo ift eS leidet, nad^
gig. 89 bie relatioe Sal^n für einen rul^enben 5ßunlt Q, ber 3. 85. auf einem
Beftimmten ffireife ober auf einer beftimmten anberen fluroe umfal^ren mirb,
gegen einen Bemeglid^en 5ßunlt F biefe ßinie baraufteHen.

SeoBac^tungen aug einem in Semegung Befinblid^en (gifenBa^njuge an
einem gleid^fallS fid^ Bemegenben ameiten fold^en guge oerooöftönbigen oBige
Setrad^tung. gür ^araDelgeleife Beiber 3üge finbet Bei gleid^er ga^rrid^txmg
unb gleid^er gal^rgefd^minbigleit überhaupt feine relatioe Semegung Beiber
3üge ftatt. Silt ber eine 8ug bem anberen ooraug, fo merben fofort rela^
tioe ßagenönberungen BeoBad^tet. Sei BelieBiger Sage ber Beiben ®eleife
treten für ben SeoBad^ter alle ffirfd^einungen ber SlelatioBemegung auf, mie fie
oBen Betrad^tet mürben.

3118 erfteS auSfül^rlid^eg Seifpiel für bie meitere SJeranfd^auIid^ung biefer
SSerl^Ältniffe mag bie Seftimmung ber relatioen Seaiel^ungen jmeier 5ßunlte P
unb* Q bienen, meldte bie ärtittelpunlte ameier Bejm. mit ben ©cfd^minbig-
feiten Cj unb Cg unter ben SBinfeln «i unb Og 3« gleid^er geit in ber*
felBen SSertifaleBene geworfenen ober aBgcfd^offenen Äugeln fwb, moBei
aBer mieber ber ©influß ber ßuft unBerüdtfid^tigt BleiBen foll. S)a bie @en*
fung, wie gig. 90 oeranfd^aulid^t, für bie 5ßunfte P unb Q 3U berfelBen Seit
ftetg biefelBe ift, fo ftellt j. 33. [Ä^B^] eBenfomol^I bie relatioe ßage oon
Q in P 3ur geit 4:t hax, wie [Pi^i]- Überträgt man bie SSeftoren

[P[Q[] = [A^B.l [Piöi] = [Ä,B,] auf 5ßunft P, wenn fi(§ biefer

in ber ßage Pi Befinbet, fo ftnb bercn ©nbpunfte Cu O2, . . . 5ßunfte ber
relatioen Sal^n oon Q gegen P. S)a 3. 85. [Pi C4] ber übertragene SSeltor
[A4 ^4] ift, fo ift 04^4 # Pi Jl4 unb bemgemöß ftel^en bie ^ßaraHelftredten
CiBi, C2B2, C^B^, ... im aSerl^öItniS 1:2:3..., b. i bie fünfte
Qo, Ci, O2, Ca, . . . liegen auf einer ©eraben xmb jmar gleid^möftig oerteüt.

§39.]

9fleIatioBen>egung ftattet Jlötper.

141

S)emgemft^ ift bie ®erabe Qo O5 bte relatbe SSal^n t)on Q gegen P unb
jtDar tDtrb fie glemörmig burd^Iaufen. S)agfeI6e jeigt bte S3ttbung beS
(Sefd^tombigleögbreiedS qvi& [c^] für ö unb — [ci] für P, weld^eS 3. SB. öl^n^^
liciÖ ift au A <2i^i Ci, n)obei [ÖiCJ :4 [gi ^J JJL [B, C,] ift, fo bafe [(?iCJ
bie ®efd^n)tnbiglett ber relattoen S3en)egung t)on Q gegen P nadg bemfelben
äflobul abbtlbet, na(^ bem bie ®efd§n)inbigleiten non P unb Q begn). burd§
[PUi] ^ [Ci-Bi] unb [Öi-Bi] oBgebilbet finb.

SBei ber SSilbung b^ ©efd^nrinbigleitöbreiediS müjsten, ben ©enhtngen
entf pred^enb , junöd^ft für Q m^ eine SBerttfoHomponente [gt] unb für P

gig. 90.

eine SBertttaHom*
ponente — [gt]
berüdftd^tigt wtx^
bm, bo(^ ließen
ftt^ biefe ftompo*
nenten ju jeber
8«t auf.

S)a8 aSefd^Ieu:»
nigungSbreied ift
aug [^r] unb [—g]
3U bilben, fo ba^
eis atö S)£)ppd[ftre(Ie
erfd^eint unb für
bie relatioe fdaffti
von Q gegen P
nneberum eine Ion*
ftonte ®ef d^nmtbig*
!ett anjeigt.

3u bemerlen ift
nod§, ba^ ftd^ bie
(abfolute) a3en)ess
gung oon Q a\x& ber
9lelatit)ben)egung
oon Q gegen P
unb aus ber (ab«;
foluten) SJeroegung

üon P n)teber l^erftetten löfet, nad^bem legtere S5en)egung auf § übertragen
njorben ift. S)iefe Übertragung beftel^t barin, ba^ man fid^ P unb Q in
ben 3lnfangglagen Pi unb ^i burd^ einen SSeltor [Piöo] feft nerbunben
beult, xoä^ex burt^ bie Sewegung oon P tranSlatorifd^ bewegt wxxb, f ba^ fein
Snbpunit eine non Qo aul^ge^enbe Sinie befd^reibt. ©iel^t man junftd^ft oon
ben ©enhmgen be8 ?ßunlte8 P ab, fo lamt man [Po Co] cax\ ber ®eraben
Pi-ii-äa . . . gleiten laffen; babei Befd^reibt Q bie ©erabe QoD, auf melt^er
3. 85. ber Sage Ä^ bie Sage A entfprid^t, fo ba'j^ P5 aK oierter ffidtpunlt
beS ^Parallelogramms auS [fiiCj] unb [öiA] ermöd^ft, mobei man unter
nad^räglid^er SBerüdtftd^tigung ber ©enhrng UßPi] = [P5 ös] 8«Ö6 gelangt.
9ns gmeiteS SBeifpiel betrad^ten mir bie Stelatiobemegtmg gmeier fünfte

142

2)ritte8 flapitcl.

l§ 39.

P unb Q, bic mit glcid^cr fonftantcr SBinlcIgcft^rainbigfcit y bcnfcttctt
aWittelpunlt in glcid^cm ©innc umlrcifcn, toic c§ gig. 91 acigt. Biegen
P unb C aunäd^jt in P' unb Q', fo ftcHt [P' C'] bie relatioe ßage oon ^
gegen P bar. SJBürben P unb Q mit fcft oerbunbcn unb mürbe bann
i>oS> S)reiccf FOQ mit ber SBinlelgefd^minbtgleit y um im ©irnte ber ge*
gebenen Semegungen gebrel^t, fo erhielten P unb Q ftetS biefelbcn ßagen, bie
fte tl^atföc^Iid^ einnel^men. S)emgemä^ mirb bie relatioe ßage üon Q gegen
P ftetS burd^ einen SSeltor t)on berfelben ßönge mie [P'^'] bargefteDt,

mö^renb bie ßagenönbe«
rung oon [P^] bei
einem üoHen Umgange
t)on P unb Q gleid^falfö
einem ooöen Umgange
entfprid^t. S)ie relatioe
Sal^n oon Q gegen P
ift alfo ein ÄreiS mit
bem SRabiug P' Q\ beff en
aftittelpunft P ift; er
mirb im ©inne ber ge«
gebenen S3emegungen mit
ber SBinfelgef d^minbigleit
y burd^Iaufen. '^yx btm^
fetten Krgebniffe fül^rt
aud^ bie Setraci^tung ber
©reiede ber (Sefdömin*
bigfeiten unb ber SSe^

fc^Ieunigungcn (— V

Um bie (abfolute) Semegung oon Q l^erauftellen, l^at man bie relatioe
Semegung oon Q gegen P mit ber (abfoluten) SSemegung oon P ju oer^
Binben, nad^bcm legtere burd^ eine fefte SJerbinbung auf Q übertragen morben
ift. S)enlt man fid^ P unb Q burd^ einen SJeftor [PQ] feft oerbunben, fo
mirb biefer burd^ bie Semcgung oon P tranSIatorifdE) bemegt, unb jmar
fo, h(x^ Q auf einem flreife oom 3KitteIpun!t Oi läuft. SJerbinbet man biefe
Semegung oon Q mit ber SRelatiobemegung oon Q gegen P, fo gelangt man
mieber, mie eS bie flonftruftion in gig. 89 für bie ?ßun!te Q" nxü) Q'" aeigt,

aur (abfoluten) »emegung oon Q aurüdt (2t P' OP" = 2i Q" P" Q'\
2i P'OP'" = 2t Q'"P'"Q'").

(Snblid^ mag nodE) eine Sttufgabe auS bem (Sebiete ber Sftelatiobemegungcn
ameier 5ßunlte be^anbelt merben, bie in f el^r oerfd^iebenen Sinfleibungen mieber*
feiert. Sin 5ßunlt P, ber ftd^ mit ber ©efc^minbigleit Ci in Urbemegung
befinbet, foK mit htm ^ßunfte Q aufammentreffen, ber ftd^ an einer beftimmten
©teile Q'i bcg SlaumcS befinbet unb mit einer beftimmten ®efd^minbig!cit c^
in eine Urbemegung oon beliebiger SHc^tung oerfegt merben fann. Unter Q
fann man fic^ 3. 35. einen beftimmten 5ßunlt eineg ®efd^offe§ beulen, ha&
ein Beliebig 3U rid^tenbeS ©efd^üg gegen einen (Segenftanb treibt, auf bem

§39.]

Sflclattobetoegunö jtarrer Äörper.

143

fid§ P Bcfittbct, foHS man babci roicbcr üon bem ßinfluffc bcr ßuft abpelzt
utü) falls man lebtglic^ bie iporijontalprojeltton beS ganzen SSorgangeS be«'
trad^tct. SBcfinbct jtd^ P augcnBUdlidö in bcr Sage Pi, mö^renb ö i« Qi
rul^t, mic cg gig. 92 jcigt, fo mufe btc rclatioc SSal^n oon § eine nad^ P
geriditete Ocrabe fein, meldte bemnad^ burt^ Q[P[ bargefteHt mirb. S>te
©efd^minbigleit [c] für biefe relatioe Sal^n ift au8 [cj] unb — [cj ga Be*
ftimmcn, fo ha^ üon bem fc^raffierten ©reiede neben a gegeben ift q unb cj.
ajlit ber Seftimmung biefeS S)reiecf8 ift bie SRic^tung Q'iN gegeben,
in Tüü^tx Q fxä) bemegen mn^, mn in ^ mit P^aufammenjutreffen
(AQ[NF[^ AQ[FG).

gör bie red^erif d^e SBeftimmung bief er 3Wd^tung ^at man sin ß = — • sina.

©ie ßöfung ift einbeutig für a > /3, b. f). für Cj > Ci; fte ift bopptU
beutig für Ci >> Cj > c^sina. 3n gig. 92 ift eine boppelbeutige ßöfung
bargefteHt, unb amar fmb bie beiben Krgebniffe burd^ bie S^ger I unb n
unterfd^ieben.

Slyd^ für biefeS Seifpiel geigt eine meitere Surd^fü^rung, bafe bie (abfo*
lute) SBemegung oon Q av& ber relativen SSemegung oon Q gegen P unb

Stfl. 92.

^n^

O^x.

Ni

ber (abfoluten) Semegung non P juf ammengefegt merben lann, nai^^htm
legtere burd^ eine fefte SSerbinbung auf Q übertragen morben ift.

S)a^ biefe Segie^ung allgemein gültig ift, lel^rt fd^on bie SSetrac^tung üon
AQfQ''Q in gtg. 87 a, ha \a [Q' Q''] ^ [Q'Q] ^ [QQ^^] ift. 3nfoIgebeffen
fann man überl^aupt oon ämci Semegungcn eineg ^ßunfteS W, meiere eine
britte aufammenfegen, bie eine alg abfolute SSeraegung unb bie anbere
afö relatioe Semegung gegen biefe auf f äffen. S)ieg geigt 3. S. beutlid^
baS Seifpiel ber gig. 32 auf Seite 79, bei ber bie SSemegung auf B C aug
btn Semegungen auf JBC unb BB' ermäd^ft, oon benen bie Semegung beS
©d^iffeS (BC) afö abfolut, bie anbere (BB') afö relatioe S3emegung gegen
bie aSemcgung beg ©d^iffeg betradE)tet merben lann. SBürbe man ba^ ®d^iff
gemö| BB' gleichförmig oerfc^icben, möl^renb auf bzm ©d^iffe eine ent*
fpred^enbe Semegung gemö^ B C t)or fic^ ginge, fo mürbe biefelbe SSe*
megung (BC) ermad^fen, aber man l^ötte jegt bie Semegung auf BB' atö
abfolute unb bie Semegung auf BC' aI8 relatioe Semegung auf juf äffen.

144

2)titted jtapitel.

[§39.

3^X'

BBcnfo Wfet ftd^ 3. ». in § 38 btc »cnjegung ouf bcr ßmte P\P'i oIS
StelattobetDegung auffaffen.

Oft ift ^ aiDedmöltg, bie StelottoBetoegung eineS $utti(ted Q gegen einen
5ßimlt P auf ftoorbinaten ju beaiel^en. ©aju benit man ftt^ (gfig. 93)
burd^ 5PunIt P j« ^^«^^ gegebenen feften 8I(^fenft|ftem Z r ein ixmit%
ben)egli(5e8 ©gftem PX'Y* gelegt, gegen u)eId^eS ö f^w^ Slelatinbewegung
auSfül^rt, njöl^renb biefeS ©gftem felBft burt^ bie ^Bewegung oon P gegen
bag etfte fefte Stiftern OXY üerf d^Ben wirb. SKan lann fid& OXY cü^
»latt beS Seic^enbretteS unb PX' Y' atö ein »latt 5ßaugpapier benfen,
ttjeld^eS barüBer liegt. S)ie Senjegung oon Q auf htm 5ßau8papier ift bie

9lelatit)6en)egung t)on Q
gegen P, bie SSenjegung
oon P ouf itm SSIotte
bei» 3eid§en6retted ift
bie (aBfoIute) Senjegung
non P; überträgt man
bie Säemegung t>on Q
oon bem ^auSpapier
auf baS SSIatt beS
3ei<§enbretteg, fo erl^ölt
man bie (abfolute) S5e«
megung oon Q.

93eftimmen bie ©tels^
lungl^gleid^ungen

^1 =/i(0 "^
yi = F^ (Ö • bie (abf 0*

lute) Semegung oon P,

n)ö]|renb für bie (abfo:=

lute) a3en)egung oon ^ bejm. iCa = AO) "^ ^a = J^2(0 gelten, fo finb

bie ©teUungSgleid^ungen für bie Sllelatiobemegung oon Q gegen P gegeben oIS :

a;' = iCa — iCi =/, (<) — /^ (t)

y' = y2 — yi = F^it) — f^ (t).

S)ie 9tbleitung biefer ©leid^ungen fül^rt fofort ju ben entfpred^enben
SSejie^ungen ber (8efd5n)inbigleiten, eine meitere SKbleitung ju ben
entfpred^enben Sejiel^ungen ber Sefd^Ieunigungen.

S)iefe Setrad^tung lö^t ftd^ ol^ne meitereS auf ben SRaum (x,y,z) au8*
bel^nen.

Um aUe biefe Setrad^tungen oon $ßun!ten auf Körper ju übertragen,
unterfud^en mir gunöd^ft bie Sllelatiobemegung eineS 5pun!te8 Q
gegen einen Körper P. 3!Benn Q in ber geit t oon öi ^^d^ öi Ö^^t
(oergl. gig. 94), möl^renb fein jum Körper P gehöriger SBeg (bei fefter SSer»»
binbung mit P) für biefe Qüi Q[ Q^ ift, fo ift bie relatioe ßagenönberung
beS frei bemeglid^en 5ßun!te8 Q gegen ben mit bem Körper feft oerbunbenen
5ßunlt Q natürlid^ mieberum ^2 Ö2 . ®icf e ßagenönberung ift aber im oE*
gemeinen nur eine Komponente ber relatioen ßagenönberung gegen ben Körper,

§39.]

Sftelattobcnjegung ftarrer flörper.

145

ba bicfcr in bcr 3^* ^ ini allgemeinen eine SScrfd^ieBung unb eine Stellung
oollfül^rt ]^at. geic^net man für bic ®arftcllung bcr SBcmegungen beS Äör*

perS P ben 5ßunft § aug (§ 32), fo ftcHt ^l^a lebiglid^ bic SJerfd^icbung
beg ffiörperS bar, möl^renb bic Srcl^ung um Q nod^ Berüdfid^tigt merbcn mufe.
'SStwx fielet baS am beftcn ein, mcnn man jeftt §i mit bcm Äörpcr P feft

ocrbunben bcnit unb biefen ben SBeg Q^ Q'i tranSlatorifc^ jurudmad^cn löfet,

mobei Q'^ nad^ ^a öctongt, möl^renb Q miebcrum bic 2age Q'i einnimmt.
Um ben flörpcr in feine erfte 2agc ju bringen, ift nod^ erf orberlid^ , bic in

bcr ^i\i X erfolgte ffirel^ung um Q, mieber rüdtgöngig ju moäi^tx^, mobei Öj
etma in bic 2age ^a femmen mag. SBürbe man alfo bic rclatioe Sagen*
änberung beg $ßunlte8 q gegen ben ftörper P atö [^2^2] ober atö [ÖiÖ2]
bered^nen, mie biSl^cr, fo mürbe man ^ eine falf(|e ©tcHung ju P geben,
beren Äorreltur burdE) bic Serüdtfid^tigung ber S)re]^ung um ^ gefdpiel^t. 3Ran

l^at alfo bic relatioe ßagenönberung atö [^i ^2] = [öi öi] + [^2 Ö2] ö^flcB^n,
mobei [Ci Ö2] njie früher aK [(jKji] 4- [Ci^s] öesm. alS [^2 Ci] + [<?i «2]

Sig. 94.

erfd^cint. S)cmnad^ fegt fid^ bic relatioe
Sagenönberung beS 5ßunlte8 Q gegen ben
fldrpcr P möl^rcnb bcr 3cit t au§ brei
Komponenten gufammen, auS bcr (abfo*
luten) 2agcnönberung [Qi^i] oon §
mäl^rcnb ber '^txi r, aug ber umgefcl^rten

aSerfd^iebung [ÖjÖi] öi>e^ [^^^2] t)on Ö,
meldte erfolgen mürbe, menn Q, mit bem
Körper P möl^renb ber 3^t t feft oer*
bunbcn märe, unb einer Komponente

[^2^2]/ meldte ber umgefel^rten, in ber
Seit X erfolgenben S)rel)ung beg mit §
bei Seginn ber '^txi x feft ocrbunben
gebadeten Äörperg um bie S^d^fe burd^ Q
entfpred^en mürbe.

gür Um r = ift bie britte Komponente [^2 Ö2] genau fo ju berechnen,
mic ^^^Fl\ in § 38, fo \^o!^ fic in erftcr 3lnnä^erung oerfd^minbet unb
bemgemöfe aud^ feinen ßinflu^ auf bie ©efd^minbigfeit ber SRcIatio*
bcmegung I)at. Sagegen beftimmt fie beren_a5cfd^Ieunigung mit, inbcm fic

beren beiben [öl Ö2] unb [^2Öi] ober [Ö'2Ö2] entfpred^enben Komponenten
eine britte Komponente [2 1; 9 sin %^\ l^injuf ügt. ©ierbei ift v ber augenblidf *
lid^e SBert ber ©cfd^minbigfeit bcr Slelatiobemegung, ^i bie SBinfelgefd^minbig*
feit ber augenblidElid^cn ©re^ung beg Körpcrg um bie Sld^fe burd^ Q unb %^
ber SBinlel amifc^en biefcr Sld^fe unb' \y\ mäl^rcnb bie Sftid^tung biefer Kom^^
:ponente ber umgelel^rten S)re^ung entfpridE)t (oergl. ben ©d^Iu^ oon § 38).

SBenn ber Körper P fid^ lebiglic^ oerfd^iebt, fo !ommt bie britte Kom«
ponente überhaupt nic^t in grage, fo \^^^ bie Sftelatiobemegung oon Q gegen
P in biefem galle genau fo au beftimmen ift, afö menn P ein 5Pun!t märe,

aBerntcfe, ÜRcd^antf. I. j^q

146 S)ritteg Äopitel. [§ 39.

b. I|. man fann einen beliebigen $unlt beS flörperg auSroäl^Ien (alle ^unlte
Iiabcn ja biefelbe SJerft^iebungl) unb auf il^n bie Slelatiobenjegung oon Q
beaiel^en.

Seifpiel : ©teilt P in gig. 92 einen beftimmten 5ßunlt eineS Kifenbal^n*
gugeS bar, ber in N oon bem ©efd^offe au8 Q[ getroffen roirb, fo ift bie
^origontalprojeltion ber relatioen SBal^n ber Äugel Q in SBegug auf ben 3^0
burd^ bie 9lic|tung Q[P[ beftimmt; in einer SSertilalebene burd^ biefe 9lid^s=
tung würben 3. SB. .go^^ßöfte bie Äugel burt^ baS 3lbteü fliegen feigen.

®ur(^ $in5ufägung ber cntfpret^enben (Senlungen (s=^tA erl^ält man

leitet bie relatine Sal^n felbft.

Gebeutet in biefer gigur ci bie ©efd^ujinbigfeit eineS gluffeg unb foß
auf biefem ein fta^n in ber 9li(^tung Q'iN mit ber ©efd^minbigleit c^ über^
fal^rcn, fo muft er relatio jur Strömung in ber SRid^tung Q'iP[ mit ber
©efd^minbigleit ^iö^ bemegt merben.

©enlrcd^t faüenbe 9legentropfen befd^reiben für einen SBeobat^ter in einem
in Urbemegung befinblid^en ©ifenbal^nguge fd^ einbar paraboUft^e Salinen,
bei meldten bie 2^ropfen ber ga^rrid^tung entgegengetrieben ju fein fd^einen.
©in ©egenftanb, ber aug einem in Urbemegung befinblid^en ©ifenba^nauge
fenlred^t l^erabföHt, befd^reibt relatio jum 3^9^ ^we ®erabe, möl^renb feine
aSemegung gegen bie ®rbe eine ^ßarabel ift, meldte fid^ in ber 3«grid^tung
entmidfelt.

Stellt man auf einer Srüdfe, fo ^at man gelegentlid^ bie ßmpfinbung,
atö menn ba^ SBaffer ftiH ftönbe unb fid^ bie Srüdfe bemegte; man bemerft
bann bie Sletatiobemegung gegen ha^ äJBaffer.

3n einem befd^Ieunigt (j) fal^renben 3^9^ I|öngt ein ru^enbeS ^ßenbel
fd^ief unb jmar ber gal^rritfitung entgegen (Sftefultante au^ g unb . — j);
um biefe Sage afö 3lul|elage erfolgen ^ßenbelfd^mingungen, faUg beren 6bene
eine SSertifalebene ber gal|rrid^tung ift.

3ft bie SBemegung beg fförperg P leine SSerfd^iebung, fo I|ängt
bie relatioe fiagenönberung oon Q gegen P ftetS aud^ oon ber britten
Komponente ab, falls biefe nid^t unter befonberen Umftönben oer*
fd^minbet.

Solche befonbere Umftönbe finb, ba biefe ftomponente bei elementarer
©inteilung ber ^vi ben SBcrt \x^[2v(p sin '9'] l^at , gegeben , menn t; =
ober 9? = ober 0* =r ift.

S)er %cXi 9? = 0, meld^er ber bereits betrad^teten SBerfd^iebung ent^
fprid^t, ift l^ier auSgefd^Ioffen.

S)er gaH '9' = bebeutet, ba^ bie augenblidflid^e S)rel^ung um ha^
z entfpred^enbe Clement ber relatioen SBal^n erfolgt.

S)er gfall i; = geigt an, bo!^ bie 9leIatiobemegung leine ©efd^minbig^
!eit befi^t, bo!^ fid^ alfo ^ in relatioer Sftu^e gum Körper P befinbet. 3n
biefem %(iSit, meld^er bei gleid^förmig fid^ brel^enben Körpern P oon SBid^:^
tigicit mirb, lann bie (abfolute) Semcgung oon Q natürlid^ gerabe fo be-
l^anbelt merben, atS menn $ ein 5ßunlt beS KörperS P märe.

44)

§39.]

Olelattübeioegunö ftarter Körper.

147

®oH 3. as. ein Steinblodf am Äquator ber ©rbc relatit) in SRul^e Wciben,
fo mufe er \\ä) mit bcr Squatorialgcfd^minbtgfeit c ber ®rbc auf einem

Äreifc (J?) Bcmegen unb infolgebeffen bie Stormalbcfd^leunigung — erhalten.

Siefe mirb burd^ feine gfaHbefd^leunigung g geliefert, fo ba^ bie ejperimens=

teile 3Keffung biefer gaHbefd^Ieunigung nur ben SBert g — — geigt, gfür

c = ^Wg mürbe ber ©teinblodf f darneben, für c^ ^B g mürbe er abge^

f(f)Ieubert merben. ^^atföd^Iid^ ^at — für JR = 6 370 000 m unb eine üm^

laufggeit T = 86164" ben SBert 0,034 ■^, fo ha'^ g = 9,815 ^ nur

sec

a

sec

2

menig verringert mirb. 3Bürbe fid^ bießrbe zixoa 17 mal raft^er bre^en, ate fie
e§ tl^ut, fo mürbe ein ©darneben beS S3lodfe8 eintreten, bei meiterer Steigerung
ber (äefd^minbigleit mürbe ein Slbfd^leubern erfolgen (oergl. ©. 152 u. f.).

3110 allgemeine^ aSeifpiel für bie SRelatiobemegung eineg 5ßunlte8 Q gegen
einen Sörper F mag foIgenbeS bienen: P bre^t fid^ gleid^förmig (y) um

gig. 95.

eine 8l(f)fe, mä^renb fid^ Q gleid^förmig (c) auf einer (Seraben bemegt, meldte
bie 3ld^fe fenfred^t fd^neibet.

Spannt man bid^t über einer rotierenben Sd^eibe (P) in biametralcr
3lid^tung einen S)ral^t au8, fo geid^net eine an bem S)ra^te gleid^fdrmig gleise
tenbe SSIeiftiftfpiöe {Q) auf ber ©d^eibe bie gefud^te relatioe Sa^n auf.

10*

148 2)ritteg Stapittl. [§ 39.

3Bir Bel^anbcln biefeg Seifpiel aunäd^ft genau naä) b^m aßgemctncn
aSerfa^rcn, tuelt^cS gig. 94 cntfprid^t, um biefeS babtx gu tjeranfd^aulid^cn.
3fi Q gunöd^ft (oergL gig. 95 a. t). ®.) in ber Sage Q[ unb nad^ Silblauf ber
Seit IT in ber Sage Q2, fo tuürbe ^ in fefter aSerbinbung mit ber ©d^eibe

m&^^enb ber 3^^ r nad^ Q2 gelangt fein. SBir matten jegt bie (abfolute)

SSemegung beg flörperg P baburd^ rüdHäufig, bafe mir guerft Ö2 ^^^^ ßine
aSerfd^iebung mieber in bie Sage Q'i bringen, mobei Q2, in fefter SSerbinbung

mit bem flörper gebat^t, nad^ Q^ gelangt, möl^renb ber 3KitteIpunIt M ber

©d^eibc nad^ M^ rüdft Um bie ©treibe nun nod^ au8 ber neuen, bzm

3KitteIpunIte M^ entfpred^enben (punitierten) Sage in bie alte, bem ällittel*
punfte M entfpred^enbe 2age gu bringen, brel|en mir fie um ^1 fo, ba'^

Mi nai) M rüdft, mobei Ö2 in bie Sage Ö2 gelangt. S)amit ift bie

relative 2age ^2 ^^on Q jur ©treibe (P) beftimmt.

3lun löftt fid^ biefe aSeftimmung in unferem gfaHe mefentltd^ abfürgen, ba

bie ©d^eibe burd^ eine S)re^ung um Jf, bei ber Ö2 i" ^^^ 2^0^ Öi 3Utüdfs=

le^rt, il^re alte Sage erl^ölt. ©ierbei gelangt Q^ unmittelbar in bie 2age Q^,
meiere fid^ atö ©d^nittpunlt beg ftreifeg com 3labiug MQ'c^ um M unb beg

©tra^leg MA' ergiebt, faCg ^A! = (^Q^ ift. Semnad^ entfprid^t bie
relative Sa^n für bie ©tredfe Q^M ber Sal^n eineS 5ßunlte§ Q, ber ftd^ auf
bem SRabiuS einer fid^ umgefel^rt mie bie gegebene ©d^eibe gleid^förmig ( — y)
brel^enben ©d^eibe gleid^förmig (c) nad^ btm 3KittelpunIte gu bemegt. gür bie
©trecEe MN gilt ä^nlid^eg, nur ift bie Semegung beg 5ßun!te8 Q nom SKittel^
punite fort gerid^tet. 3n beiben göHen entftel|en (nergl. ©. 109) 3lrd^i^
mebifd^e ©piralen, fo ba^ bie relatine aSal^n aug jmei, in M vereinigten,
fold^en ©piralen befielet, ^üx bie Säeftimmung oon (Sefd^minbigleit unb 83 e?
fd^leunigung gelten oljne meitereg bie Setrad^tungen, meldte gig. 61 entfprecfien.

S)a^ bie urfprünglid^e unb bie abgelürgte ffionftrultion non Q^ mxU
einanbcr übereinftimmen, ift fofort erfid^tlid^, ba bie SSerfd^iebung [^2 Ol]
in aSerein mit ber ©rel^ung [0] um Q'i einer S)rel^ung [0] um M entfpric^t.

®g ^at feine ©d^mierigfeit, bie a9etra(f)tungen auf ben gaH augjube^nen,
in meld^em oer&nberlid^e ©efd^minbigf eiten an bie ©teile ber lonftanten &e^
ft^minbigleiten y unb c treten.

©d^neibet bie aSal^n oon Q bie Sld^fe unter f(f)iefem SBinfel, fo ner*
anfd^aulid^t man ftd^ bie aSeäiel^ungen am beften an einem rotierenben
ftegel, längS beffen einer ©eite ein Sral^t für bie gül^rung eineS aSleiftifteS
gefpannt ift.

gül^rt man gmei ftoorbinatenfrifteme ein, beren eineg bemeglit^ unb mit
bem Äörper P feft nerbunben ift, fo ift bie aSemegung oon Q gegen biefeg
bie SRelatiobemegung oon Q gegen P, meldte im aSerein mit ber auf ba^ fefte
©qftem bejogenen (abfoluten) aSemegung oon P (aSerfd^iebung unb S)rel^ung)
bie auf ba^ fefte ©qftem bejogene (abfolute) aSemegung oon Q giebt.

ßg bleibt nod^ übrig, alle biefe aSejiel^ungen auf bie 9lelatio*
bemegung eineg flörperg Q gegen einen Äörper P gu übertragen.

§39.]

Slelattübeioegung ftarter Äörper.

149

©dangt ein SeraegunggbrciecE ABC bcg flörperg Q raöl^rcnb bcr gcit r
au§ ber Sage ^iJBiCi in bte 2age Ä2B2C2, roöfycenh gugleid^ ein Se*
racgungSbretcd D ^ F bcg ftörpcrg P aug ber Sage 2)i ^1 J'i in bic Sage
Di ^2 ^2 übergebt, fo crl|ält man bic rclatiüe ßagcn&nberung oon Q gegen
P, inbem man fid^ /SDEF in ber ßagc Di-Ea^i mit A ^i^ C in ber
Sage Ä2B2C2 feft oerbunben bcnit unb nun A DEF, unter Umleljr ber
aSemegung beS flörpcrg P, an^ ber Sage Da^i^i in bie Sage I)\ExF{
gurüdfü^rt. S)ie relatioc fiagenönberung ermäd^ft (A\o auc^ I|ier au8 ber
(abfoluten) Semegung oon Q, meldte burd^ eine Sd^rauBung (SScrfd^iebung
unb S)rel^ung) bargefteßt merben lann, unb ber umgelel^rten (abfoluten), auf
Q übertragenen Semegung oon 1\ meldte gleid^fallS att eine Sd^raubung
(Serfd^iebung unb S)rel^ung) bargefteßt merben !ann. S)a l^ier im aßgemeinen
am ei S)re!^ungen vereinigt merben muffen unb ba ferner bagffirgebniS biefer
aSercinigung üon ber golge ber ©rel^ungen abfängt, fo ift eS im allgemeinen
nid^t erlaubt, für jene SSereinigung bie golge ber S)re]^ungen gu oertaufd^en.
Sef(f)ränlt man bie Setrad^tung auf elementare Semegungen,
fo ift bie gegebene Seftimmung einbeutig, unabl^öngig oon ber
golge ber Srcl^ungcn.

3llg Seifpiel mag gunäd^ft angeführt merben, bafe bie SRelatiobemegung
einer rul^enben ©d^raubenmutter in S3eaug auf bie fid^ in fie ^tneinfd^r au^

Sig. 96.

benbe Spinbel bie um:=
gelehrte Semegung ber
©pinbel ift, meldte alfo
einem ßinauffd^rauben
ber 3Kuttcr auf bie
rulienbe ©pinbel ent*
fpred)en mürbe.

3lu8fül^rlid^er mag
öie Stelatiobemegung oon
Q gegen P betrad^tet
merben für ben %dSi, ia^
beibe flörper fid^ gleid^-
förmig um 5ßaraHeIad^f en
bre^en unb jroar gegen*
finnig.

gtg. 96 fteße einen
©urd^fd^nitt ber flörper
bar, fenfeed^t a« ben
5ßaraßelad^f en , meldte
begro. für P unb Q in
B unb A burd^treten.
aSon bem ajemegungS*
brciecE DEF t)on P
liege E gleid^falfö in ber Std^fe unb F in ber ©bene ber geid^nung auf D A,
oon bem »emegunggbreiedf ABC oon Q liege B gleid^faHS in ber 3ld^fe
unb C in ber ffibenc ber Qeid^nung auf DA.

150 S)ritte8 Äapitel. [§ 39.

®a A in Sht^e bleibt, fa tft bte relatioe Sal^n oon ^ gegen ben
flörpcr P ein flreiS ^ Zg J^ . . . um B, ber im umgelc^rten Sinne gu bem
5ßfeile t)on D bürt^toufen mirb. 3Benn Q in ber '^txi x auS ber ßage Gi
in bie Sage Ci rüdt, mäl^rcnb ¥ jugleid^ ^yx% ber ßage Fl in bie ßage K
übergebt, fo mürbe nun bie rüdK&ufigc Semegung oon ¥ au8 ber ßage Fi

in bie ßage Y\ ben 5ßunlt C bei fcfter JBerbinbung oon P unb Q nad^ G^

fül^ren unb jugleid^ ^ na(§ Ja- ®iß SRelatiobemegung oon G mirb alfo
burd^ eine ffirel^ung um A im ©iratc beS bort gegeid^neten 5ßfeile8 unb burd^
eine ©re^ung um D im ©egenfirate beS bort gegeic^neten ^ßfeileS beftimmt.
SBerben bie SBerte ber entfpred^enben SBin!elgef(^minbigIeiten htixo, burd^
yq unb yp bejeid^net (in gfig. 96 ift y^ : yp = 2 : 1, fo ba^

2i G2AG[ : 4; DO2C2 = 2:1 ift), fo ift cTCa = AG'i . yq , r unb

Oi ^ = D O2 . yp . T. Unter ben auf A D gelegenen 5ßunlten beg ftör*
perS Q giebt eg einen 0, ber burd^ bie beiben glcid^finnigen S)rel^ungen um
A unb 2) jufammen für ein Seitelement in relativer SRul^e bleibt (gig. 79), fo
ba^ bie relatioe Semegung oon Q gegen P möl^renb biefeg ä^it^I^w^^nteg afö
eine ©rel^ung um il^n (0) erfd^eint. ©eine ßage (Ol in g^Ö- 96) mirb burd^
OD . yp = OA . yq beftimmt, bie SBinlelgefd^minbigf cit für il^n atö ^xz^^
punft betrögt yp -f yq. ©d^Wgt man um A mit -ä. in ber ®bene ber
3eid^nung einen ftreig, fo rüctt bei ber 9leIatiobemegung oon Q gegen P ber

3KitteIpunIt biefeS ftreifeg auf Al^ fort, mö^renb für biefeg gortrücEen ftetg
ber 5ßunlt beS ftdrperS Q, meld^er mit ber urfprünglid^en ßage 0' oon im
Sftaume aufammenf&Ht, atö augenblidElid^er S)re]^pun!t angefel^en mcrben !ann.
©t^Iägt man aud^ nod^ um D mit DO in ber 6bene ber S^^^i^ng einen
SreiS, fo roHt alfo auf biefem feften ffireife 00m 3JKttelpun!t D ber bemeg^
lid^e ÄreiS oom 3KitteIpunIte A ab unb jmar fo, ba^ fein 3KitteIpun(t A

bie Sa^n AÄ2 befd^reibt. ftonftruiert man gu biefen ffireifen, ben 3ld^fen
parallel, bie entfprec^enben ßglinber, fo fteHt fi(^ alfo bie SRelatiobemegung
oon Q gegen P, meldte eine ebene Semegung (oergl. § 36) ift, bar afö Slb*
roHen eineg bemeglid^en ßglinberg oon Q auf einen feften Kglinber oon P;
babei befd^reibt jeber 5ßun!t oon Q, mie 3. ^. 0, eine ©picgHoibe unb im

befonberen ber entfpred^enbe 3Jun!t eine gemeine ®picr)floibe Ol Ö2 O3 , . . .,
oon ber in gig. 96 bie §&lfte eineS ooHen SBogenS gcgeid^net ift.

®iebt man ben Äörpem felbft bie cglinbrif d^en gormen, meldte ben
Sreifen um D unb A entfpred^en, fo gelangt man ju SBegiel^ungen, mie fie 3. 83.
bei 3f^!tiongroIlen auftreten. S)enft man biefe ßglinber mit 3^5^^^ befe§t,
fo fteHen jene ffreife für Saf)nxäbex bie fogenannten ^ßrimitioumfänge für
cglinbrifd^e SSergal^nung bar.

SBenn fid^ bie 3ld^fen oon P unb Q fd^neiben, fo fül^rt eine entfpred^enbe
Betrachtung gu btm relatioen SlbroHen eineS ftegetö Q auf einem anberen P,
mag einer fp^örifd^en Semegung (oergl. § 36) entfprid^t. ®iebt man
ben ftörpern felbft bie g^^rmen entfpred^enber Äegel, fo gelangt man ju
ber grunblegenben Setrad^tung für bie ©erfteHung einer lonifd^en aSer:=
3a]^nung.

§ 39.] Otelattobetoegunö ftarrer Äörper. 151

©c^Itcpd^ mag nod^ Bcmcrit xvexhtn, baft man fid^ ftatt bc8 flörpcrS P,
gegen meldten bte Sftelattobemegung eineS ^unlteS ober eineS ftörpcrS be*
trad^tet mirb, aud^ einen gmeitcn, burd^ ein bemeglid^eS ftoorbinatenfriftem
d^arafterifierten 9laum P in unferem SRaume Bemegt benfen lann, fo ba^
f\ä) Q gunöd^ft in jenem 9laum P bemegt. S)ic Übertragung ber Semegung
üon P auf Q, meldte jur relatioen Semegung oon Q in biefcm 9laume P
hinauf ommt, um bie (abfolute) Semegung oon Q in unferem 9laume gu ht^
ftimmen, gefd^iel^t bann baburd^, hoü^ bie Semegung beSjenigen 5ßunlte8
be§ gmeiten Jiaumeg, meld^er gerabe mit bem 5ßunlte Q ober mit einem Be*
ftimmten 5ßunltc beg flörperg Q aufammcnföHt, nun mit beffen 9lelatit)^
Bemegung vereinigt mirb, um beffen (aBfoIute) Semcgung ju BUben.

h S)tc SJcf (i^IcuntflMng bcö freien gaßciS. S)a aßc fförpcr bcr
3lufeentt)elt in ber Slö^c ber ©rboBcrflöd^c mit ber Scfd^Ieunignng g fallen,
fo ift eine genauere ftenntniS biefer oer&nberlid^en (Sröfee innerl^alB ber
pl^i)fifalifd^en begn). ted^nifd^en 3Ked^anif dufeerft roid^tig. ©ine angenötjerte
Seftimmung t)on ^ lann fd^on burd^ SSerfud^e an ber 3ltn)r)obfd^en gall:=
mafd^ine, an o. Sa Bog gaUBrett u. f. xo. crrcid^t werben, niö^renb bei
Slnforberungen größerer ©enauigleit am Bebten ^ßenbelBeoBad^tungen (tjergl.
3lnn)enbung Str. 10) ju il^rer SBcftimmung üerwenbet werben.

Um bie SBerönberltd^Ieit ber Oröfee g für tet^nifd^e SBerl^öttniffe bar^
gufteHen, reid^t eS au§, bie ®rbe afö flugel ju Betrauten unb alg bercn
OBerfl&d^e bag mittlere 3Keere8nit)eau anjufel^en. 3nner]^aIB biefer ®enauig==
leit barf bann g, ben SJeoBad^tungen gemä^, für aHe 5ßun!te eineg 5ßaraHet
freifeg afö Äonftante gelten, mö^renb e§ oon 5ßarallelfrei8 gu ^ßaraHellreig^
ber geograp^ifd^en SBreite ß entfpred^enb, üeränberlid^ ift. 3Kit bem 3Kittet

merte 5^450 = 9,806 — r für ß = 450 Mngt bann auf (Srunbtage ber a5c:=

üba(f)tungen ber SBert g^ für eine BelieBige Sreite ß gufammen burd^ bie
^formet :

g^ = ^450 (1 ~ 0,00259 cos2ß) 45)

gür ben Äquator gilt goo = 9,781, für ben 5ßol 5^900 = 9,832.

3m allgemeinen reid^t eg aug, mit bem SJtittelmerte

^450 = 9,81 — - gu red^nen.

sec

®ie SBerte, meldte man für g burd^ ^enbelBeoBad^tungen erl^ölt, finb
infofem fd^einbare SBerte, als fie auf ber fid^ gleid^förmig um i^re Sld^fe
brel^enben ®rbe Beftimmt merben. S)a, aBgefe^en von ben ^ßolen, jeber 5ßun!t
ber SrboBerfläd^e gleid^förmig einen flreiS üon enblid^em 3labiug Befd^reiBt^
fo ift für ithtn fold^en 5ßunft eine Beftimmte $ftr)rmalBef(f)leunigung in SRed^s^
nung ju ftellen, meldte von ber gaEBefd^leunigung geliefert mirb. 3Kan l^at
alfo bie gaUBefd^leunigung ^ für bie ruBfenbc Srbe üon ber gfaHBefd^leu^
nigung g für bie ftd^ brel^enbe ®rbe gu unterfd^eiben.

So Befd^reiBt a« 83. ber 3KittelpunIt einer Sugel, meldte am ©rb&quator
rul^t, gleid^förmig einen SreiS 00m Srbrabiug R= 6 370 000 m unb a^Jar

1.]

Slntüenbungen ber spi^oronomie.

153

in bcrfclben S^xt T= 86164<> mittlerer 3^^, in weither bie Srbe ftd^ zxn^
mal um tt)re 3l(^fe brel^t; ^tx^yx ift (oergl. ®. 88 u. f.) bie StormalBeft^leu*

"iflw^Ö ^T^ • ^ erforberlit^ , fo bafe fid^ ^o*) in ^o« unb ^^j- • E fpaltet. S)a

43r2

2^2

. E =1 0,03391 ift (üergt. ®. 147), fo ift ^oo = ^oo + 0,034 = 9,815.

giß. 97.

gür bie Srcite ß l^ot ber entfpred^enbe Äreig
ben aiabiug Bcosß, fo ba^ l^ier eine ^oxmaU
befd^leunigung

Pßz=^ . Bcosß = 0,03391 cos /J

auftritt, meldte innerl^alb berglöd^e beS5ßaraIIel==
Ireifeg oon ß fenfred^t gur ©rbad^fe gerid^tet ift,
unb alfo, abgefel^en oon ber SBreite ß = 0,
oon ber 9lid^tung ber g^J^^^f^teunigung ab^
meidet, i&ier gilt alfo, mie gig. 97 für ben
©rbmittelpunlt M unb bie ffirbad^fe MN geigt,

[9ß] = [9^] 4- [P;i]
unb bemgemöfe meidet [^f^] in feiner Slid^tung
oon [g^] ab. 3Kan l^at

g^ =g^^+p^—^gßPß cosß
unb

2iLcos

b. I). eg ift angenähert:

g^ = g^ — 0,034 cos2 ß

'g(i = 9?.+ 0,034 cos^/J.
S)ie Slbmeid^ung 8^ oon g^ unb ^^ beftimmt bie ©leid^ung:

.. ^ 'PS . ^ 0,034 cos /J . sin j3 0,017 siw 2 /J
Siw :^ = -'- - stnß = =- = •

9ß 9? 9{i

Ungefäl^r für 45^ ^at d^ fein aJlajimum oon etma 6', m&l^renb für
ß — 0«, b. ^. am Äquator unb für ß = 90^, b. ^. an ben 5ßolen 3Kinima
oom aBerte auftreten.

S)a cos2 j3 für ben Sereid^ 0^ ... 90® oon 1 ... abnimmt, fo mufe
g^-i beim Übergange oom Squator ga ben 5ßoten um immer Heinere SBerte oer^^
beffert merben, um 'g^ gu liefern; für /J = 90® l^at man ^qo^ = ^900.

i5ür eine l^omogen gefd^id^tete Äugel müftte 'g^i eine flonftante fein, fo
ba^ 'g^ burcf) ben SBert ^o» == 9,815 erfegt merben Wnnte unb bemnad^:
g^ = 9,815 — 0,034 C0S2/J

= 9,781 + 0,034 sin2/3 = 9,781 (1 + V2 89sm2/J)
möre.

9? =9^\^ —

/Q , i>' p _ - A P^ cos ß , \

unb

154 «rft« a6(*nitt. [1.

Seig(ei(f|t man biefe gurmel mit ben btoba^itttn äBecten oon g^j, fo
EiflieSt fit^, bfl§ her SInfag

gn = 9.781 + 0,051 sin^ß 46)

ben tt|aHä(^Iid^en Sßet^ättniffcn ent|pttdEif. SJemgemöfe tft fn nii^t als Äons
ftonte ju betrachten, fonbem als eine Sierdnberli^e, beten Sßeränberung bm^
(0,051 — 0,034)sinaj3 = Ofillsin^ß beftimmt irirb. iDlan ^at olfo:
yy ="^^1 + 0,017 s("näjj.

Siefe SBerbefTerimg entfpridit ber tfiatfödilit^ not^nbenen Slbplattung
bec Stbe, bei ju golge bie gaObeft^leunigung 'g.^ ooa bem Squatoi nac^
ben ißDlen ^in annimmt.

Semgemäg Beniegt fid) j/^ in ben ©renjen goa = 9,815 unb gm = 9,832
unb (7) in ben ©renjen po» = 9,781 unb ^soi ^ 9,832,

gür sf'n*^ =^ g ^ erhält man nod£):

3^ = 9,806 — 0,025 cos 2 ß.
^a cos2ß = ift für (i = 45o, fo ift ij«. = 9,806 unb ma : |at aa^:
g^ = j,,6" — 0.025 cos 2 /3

= «(«;o(l — 0,00259 COS2/3).

gßr fünfte aufeerfialb bet SrboBerflfliiie mufe unterf trieben

roetben, ob e6 fii^ um baS Snnete bet Srbe (©cEiäd^te u. f. ro.) ober um

ben fie umgebenben 9iaum (SBetgf ptgen , ÖuftboBon u. f. in.) fionbett.

gig. 98. aäegeii^net man ben ifiabiuS hex Srbe rotebet

a, mit R unb ben 8tbftanb eineS beliebigen ^untteS

I oon bem äRittelpunlte mit q, fo ift bie 3iet=

I änberlic^ieit von g auf einem ©tral)le au8 bem

ajlittetpuntte aunäi^[t für p = . . . fi unb

/ bann füt p ^= Ä . . , co feftauftetten, ©i^neibet

ber Strat)l bie Obetflädie in einem $untte tion

bet »reite ß, ]o läftt ft(§ bet aBert- oon 'gjm

SIbftanbe p für bie ru^enbe (Erbe buti$ g,,,;!

beacic^nen, fo baft gn.fi baSfelbe bejeii^net roic

gß. äJlan f)Qt bann für Sßunlte im Srbe

inneren (^ropDitionoIitÄt gu p):

Slwfeenraume (

47)

2

2.] ^ntDenbungen ber ^l^oronomie. 155

3für 5ßunltc bcr (Erboberfläd^c (9 = S) geben beibe gormein roicber
bcnf elben 3Bert 'qb, /».

S3etbc gormeln gelten in aller Strenge nur imter SBoraitSfegung einer
beftimmten aJlaffennerteilung in SSegug auf ba^ 3nnere ber ®rbe, roeld^e tl^at*
fäd^lid^ nur angen&l^ert erfüHt ift; infolgebeflen liefern aud^ beibe Formeln
nur eine angenäherte S)arfteIIung ber SSer^öItniff e , unb groar ift bie Slb*
UJeit^ung oon ber SBirttid^Ieit bei ber gformel fiur 5ßun!te beS ßrbinneren
größer atö bei ber gormel für 5ßunlte be§ SlufeenraumeS.

Sur aSeranfd^auIit^ung ber aScränberlid^Ieit non ^ biene gig. 98, in
raeld^er bie entfpred^enbe S3efd^Ieunigung*^SBegIinie (nergl. ©. 71 u. f.) ge*
aeid^net ift.

gür 5ßunlte be8 3IufeenraumeS, roeld^e eine ffirl^ebung h über ber Ober*

flftt^e ^oben, x^t q = R + h vtvbj^ = {^^)
3ft h gegen B ocrl^ältntSmäfetg Hein, fo ift

iE + /.)- = E-' (l + ^)- = B-> (1 - ¥ + •••),
unb bemnad^ I&^t fid^ — r angenäl^ert afö 1 ^ barfteHen, fo ha^

Q^ Ji

'9^^.ti=^B.^ (1 - ^) = 'gn.fi (1 - 0,00000032 Ä)
ift.

2« 2)ie SBefd^Ieumgung bei^ freien $aOei^ in i^ter SBejie^ung jur
äJetoegung beö @rbtttottbei^. (£8 ^at eine geraiffe SBebeutung, feftaufteHen,
unter roeld^en Umft&nben für 5ßun!te beS ©rbaquatorg bie gaHbefd^teunigung
burd^ bie Jlormalbefd^Ieunigung ber ftreigbenjegung nöllig aufgegel^rt roirb.
S)ie8 lönnte für eine am ffirböquator ruljenbe flugel eintreten, menn bie ffirbe
ftd^, mie eg in frül^eren ^ßerioben ber gaU mar, mit größerer ^quatorialgef dE|min:=
bigfeit breite, olS fte e8 je^t tl^ut, eS lönnte aber aud^ unter ben tl^atföd^Iid^en
aSerl^öItniffen eintreten, faUg eine Äugel löngS beg Äquators mit einer be^
ftimmten lonftanten ©efd^minbigfeit bemegt mürbe. 3m erften gaße folgt au8

^. B = go bie ®Iei(^ung T=2n 1/^ = 5064,99" mittlere 3eit, mä^:^

renb T t^atfäd^Iid^ ben SBert 86164,00" mittlere Seit ^at, fo ha"}^ bie SSer^
önberung oon T etwa bem SSer^öItniffe 1 : 17 entfpred^enb erfolgen müfete.
SBürbe fid^ bie ®rbe alfo etma 17 mal rafd^er um il^re 3ld^fe bre^en, afö e§
tliatföd^Iid^ ber gaU ift, fo mürbe bie ffiugel am Säquator fc^meben, o^ne eine
gaUbefd^Ieunigung gu geigen; bei meiterer Steigerung ber Umbre^ungS^
gefd^minbigleit ber ®rbe mürbe bie ftugel gegen bie ®rbe velatio gurüdf^
bleiben unb gmar mürbe fie babei bie ®rbe atö 2^rabant umheifen mit ber
©cfd^minbigieit, meldEje il^rem ©t^meben in relatioer SRul^e gur ßrbe entfprid^t,

b. 5. mit ber ®ef(^minbig!eit g^l^ = 1,0418 -^^^—^^ 3m gtoeiten

156 (Srfter Slbfd&nttt. [3.

gaHc l^ältc man einer Äugel langS einer 2:angentc beg SquatorS bie[el6c

®ef(^n)inbi0lett 1,0418 ^^^^^^f^ burt^ irgenb roclt^e tet^nifc^e aKittel gu

geben, xdoUx ga Bemerlen ift, ba^ unfere Äanonen i^ren ©cfd^offen etraa ein
3el^ntel biefer ©efd^rainbigleit gu erteilen imftanbe ftnb (oergl. ®. 147).

Stimmt man an, ba^ ber ©rbmonb in einer frül^eren 5ßeriobe ber ®rbe,
afö biefe nod^ ein gröfeereg JBoIumen befa^ unb nod^ eine größere ^C{na^
torialgejd^minbigfeit ^otte, oon biefer abgefd^Ieubert morben ift, fo ift feine
aSemegung ganj ebenfo aitfgufaffen mie bie beiben eben betrad^teten fbz^
megungen.

aSegeid^net q ben SlabiuS ber 3Konbbal^n, fo ift bie a3efd^Ieunigung für
bm freien gaH beS aJlonbeS 3ur ®rbe beftimmt burc^ bie gormel (üergl.

Q

®. 154) g

^m Q = 51694,13 geogr. 3KeiIen ift angenähert -|- = 6^,1, b. f).

B^ 1

^ • — l^at angenähert ben SBert -öökr ' 9- Segeid^net man bie Umlaufgjeit beS

4 Ji^

aJlonbeg burd^ T, fo ift bie 3lormaIbef d^lcunigung feiner ffireigbemegung ^i- • 9,

fte \)ai für T= 2360592" ben äSert 0,0027174 -^. Unfercm SSergleid^e

entfpred^enb müfete bemnacf) angcnöl^ert

1

3600

g = 0,00272

fein, moraug fi(^ g = 9,792 — - crgiebt. SHefer SBert t)on g, ber nur auS

S6C

ben ffionftanten ber 3Jtonbbal^n mtb bem ®rbrabiu§ R bered^net mürbe,
ftimmt fo genau mit bem burd^ SSerfud^e beftimmten SBerte von g für bie
©rboberfläd^c überein, ba\i bie 3lormaIbefd^Ieunigung ber 3Konbbemegung
tI|atfödE|Iidö afö a9ef(f)Ieunigung feincS freien ^aUt^ gur ®rbe aufgefaßt merben
barf. Sie ©infid^t in biefe SBeaie^ungen üerbanfen mir Stern ton, ber in
SSejug auf ben aJlonb

fe^tc unb babei angenöl^ert x = 2 erl^ielt.

3. 2)ie 9torntaIl6efd^Ieutttguttgen ber ^lattetenbetoegungen bei^ Sonnen«
f^ftemiS. Übertrögt man bie SSegiel^ungcn oon ©rbe unb aJlonb auf bie
SSejicI^ungen oon ©onne unb ®rbe, fo gelangt man gu ber SSorfteHung, ba^
bie Slormalbcfd^teunigung beg ffirbmittelpunfteS in feiner SSal^n atö SSefd^leu*
nigung feines freien gaUeg jur Sonne aufgefaßt merben lann. ©ntfpred^en*
be§ gilt für bie anberen 5ßlaneten unfereS ©onnenfr)ftem§, beren gegenfeitige
SJejiel^ungen in bem britten flepplerfd^en ®efe§e kn^bxnd gefunben l^aben.

4.]

Slnroenbungen ber ^l^oronomie.

157

^a^ biefem ocrl^alten fid^ bie Duabrate ber UmlaufSjeiten je ixütxtx 5ßla^
ncten n)ie bie ffiuben i^rcr mittleren ©onnenentfernungen, fo ba\i für je gtoei
5ßlanetcn bie ©leid^ung

-^1 ^1

^2

,3

gilt, fallg man beren Umlaufggeiten Begm. mit T^ unb Ta unb bie mittleren
3lbftänbe il^rer 3KitteIpunIte t)on hem 3Kittelpun!te ber Sonne Beam. mit r^
unb ra Begeit^net. ®iel|t man bie Salinen ber Paneten in Slnnä^^rung als
ftreife (üergl. gig. 99) mit bcn SRabien r^ unb r^ an, \o fmb bie ent:^
fpred^enben SftormalBefd^Ieunigungen :

4^2

T'{

unb Pj =

4^2

rp i
^2

2/

12.

ift. grfe§t man baS SJer^öItnig ber Umlaufs^

Seiten gcmöfe ber gformel beg britten flepplerfd^en ©efefeeg, fo erl^ält man:

JPi : i>2 =

r^ : r/

2 •

n

S)emgemäfe finb bie gfaHBefd^Ieunigungen jur Sonne für bie einjelnen
Paneten Bcgm. htn Duabraten i^rer SBftönbe oon ber Sonne umgeletjrt
proportional.

S)icfe einfid^t, monad^ man fid^ oorfteHen !ann, ha^i^ bie Sonne bie
^Planeten mit einer, bem umgclcl^rten Duabrate ber Entfernung cntfpred^en^

gig. 99.

ben Äraft angiel^t, mürbe oon mehreren
öfteren 3ßit genoffen 3lemtong gemonnen,
nad^bem ©urigl^enS gum erftenmale bie
SHormalBefd^Ieunigung Be^anbeft ^öttc. SHefe
©infid^t gaB Sftemton bie SInregung 3ur
SluffteHung feineS Berül^mten (Sefefeeg, mo:^
nad^ oBige Se^ie^ung nid^t Blofe für bie
®rbe alg ®anae§ in Sejug auf ben
3Konb unb für bie Sonne alg ©anaeS in
aSegug auf bie einjelnen 5ßlaneten, fonbern
üBerl^aupt für je gmei 2^eiIdE|en ber 3Katerie
in ©eftung ifti).

4* 2)ic Scbcutung bct Scpplcrfd^cu ©cfc^e» Sie SBetrad^tung ber

oorigen Stummer fe^te oorauS, ha^ bie PanetenBal^nen alg Greife angefe^en

merben bürfen. S)iefe Slnnäl^erung foll je^t burd^ bie genauere ©runblage
erfe^t merben, meldte bie Äepplerfd^en ©efe^e Bieten.

S)ie erften Beiben ©efe^e (1609) ftepplerg lauten:

SBergl. SBernide, Setträge aur S^eorie ber centrobgnamifd&en 5törper.
©gmnafialprogramm, 1892, SBrauufd^raeig.

158

drfter Slbfd&mtt.

[4.

I.

II.

2)er ajlittclpunft ber Sonne fielet in bem einen Srennpunfte ber
(SHipfe, raeld^e oon b^m 3KitteIpun!te eineg paneten Befd^rieben

XDXXb.

S)ie ©tredfe (radius vector), raeld^e ben 3KitteIpunft ber Sonne mit
bem 3JKtteIpunIte eineg 5ßlaneten oerbinbet, erjeugt in gleid^en Qeitzn
gleid^e giäd^enftüde.

S)ur(^ biefe beiben ®efe§e rairb eine gan3 beftimmte ßentralberaegung
(oergl. ®. 111) be[d^rieben. 3n gig. 100 mag S ben 3JtitteIpunIt ber
Sonne begeid^nen unb S' ben anberen SBrennpunIt ber ©Hipfe, auf meld^er

gig. 100.

ber aJlittelpunft be§ 5ßlaneten augenblidlid^ bie Stellung Pi f)at Silbet man
für bie (Sefd^minbigleit [v^] in Fi baS 3Koment au§ S, fo gilt nad^ gormeI36
bie ©leid^ung ^PiVi = V, mobei V einen fonftanten SBert C f^at, ba eS
ftd^ um eine Kentralbemegung l^anbelt. SSegeid^net man bie l^albe Heine Sld^fe
ber (Sii\p\t mit l, fo gilt für bie bciben 2ote p^ unb ^i ^^^ ben beiben
SBrennpunIten S unb S' auf bie Tangente inPi bie (Sleid^ung p^ Qi = h^, unb

bemgemä^ ift ^i erfe^bar burd^ —, fo ba^ ^ — Vi = C unb Vi = ' ^^

4.] Slnroenbungen ber sp^oronomie. 159

Totrb. S)emnad^ ift ii proportional ju 2 ^i- SScrlöngert man S'^' um ftd^
felbft, fo bafe S'Xi = 2gi ift, fo ließt L-, auf bem Seitfreifc ber gffipfe, ber
au8 S Bef daneben roerbcn lann, b. 1^. bie ©tredfcn au8 S' nat^ irgenb einem
5ßunlte (Xi) be§ ßeitlreifcS finb proportional gu ben entfpred^cnben ©efd^minbig*
feiten (Pi unb Xi entfpredEjen fid^) beg PanetenmittelpunfteS. Srel^t man
alfo bie ©tredfc S' L^ im ©inne ber Semegung beS 5ßlaneten um 90^, fo bafe
fte in ber Sage S' Hi ber 2^angenfe in Pj parallel roirb, fo ift [S'J/i] pro^^
portional ju [t^i]. ®en!t man biefe Setrad^tung für aUe 5ßunlte ber SHipfe
burcfigefü^rt, b. I|. brel|t man ben ganaen fieitfreig um S' unb groar um 90^
im Sinne ber ^ßlanetenbemegung, mobei 5. 39. L^ in bie ßage 11^ lommt,
ebenfo mie L^ in bie ßage H^, fo fann ber ßeitheiS in ber neuen ßage
als §obograp| ber Semegung bienen.

Um bie Sefd^leunigung ber Semegung burd^ bie Oeft^min*
bigfeit für bie Srgeugung beg ©obograpl^en (oergl. ®. 88) ju

Tll TT

beftimmen, betrad^ten mir bie S)urd^fd^nittggefd^minbigfeit für ein

©tüdf H' H be8 ßobograpl^en , meld^eS bei rüdfläufiger Semegung beg ßeit*
f reifes in bie ßage L' L gelangt unb ben 5ßlanetenftcllungen P' unb P
auf ber ^a^n entfprid^t. Sejeid^net man für ben Übergang oon P' nad^ P
bie SBinfcIgcfdEiminbigfeit mit q), fo gilt nad^ gformel 37 für SP = r, unter

2 Q

Serüdffid^tigung oon V = C, bie (Sleid^ung C =^ ir^q), b. 1^. 9 = —-.

S)a aud^ ber Sogen L' L mit bicfer SBinfetgeft^minbigfeit bef daneben mirb,
fo gilt für SL = 2a bie ©leid^ung

.. [L'L-] ,. [H'Hl ^ ' o 2C

Z«m[^-— J = ?^»w[^~^J = 2a . 9 = 2a . — ,

faH8 P'P in ber Qtxt t burd^Iaufen mirb.

S)a ber ©obograp^ entfpred^enb 2 qi fonftruiert mürbe, ma^renb bie

C 2 ff
©efd^roinbigfeit v^ ben SBert — 'zr^ §at, fo ift ber eigentlid^c igobograpl^

ber SJemegung ein Ärei8, ber ju bem gejeid^neten Äreife im ßinearoerl^öltniffe
(j

— : 1 fielet. S)cmgemä^ ift bie Sefd^leunigung ber Semegung für P

2 r* r* 4/2 r'2

(entfpred^enb H) gegeben atö 2a • -^ • — = ^ , b. 1^. bie Sefd^Ieu^i

nigung ber Semegung [jo], meldte ftetg burd^ ben aJlittelpunft ber
Sonne gel^t (oergl. ®. 111 u. f.), ift umgelel^rt proportional gu bem
Duabrate ber (Sntfernung (radius vector) oon Sonnenmittelpunit
unb Sßlanetenmittelpunft.

S)a^ bie SSefd^leunigung [je], beten SHd^tung burd^ bie 2^angentc in H

beftimmt mirb, burd^ S gel^t, aeigt übrigen^ aud^ ^\q. 100, ba HT // PS ift,
meil [HT"] gegen [LT] um 90» gebre^t mürbe.

äBirb bie g^a^c ber ßllipfe (ahTt) in ber Qext T bef daneben, fo ift

ahn

160 ©rfter atbfd^nitt. [5.

unb man ^at:

2^2

3la^ bcm brittcn ©cfefee ftcppicrg (1619) mx^alitn jt(^ bei oer^
fd^tebenen panctcn be8 ®onncnfi)ftem§ bie Duabratc ber Umlauf Sactten
(T2) mic bic fluben il|rcr mittleren Sntfernungen (a^) t)on ber @onne, fo

baft — für alle Paneten be8 SriftemS eine ffionftante i jt, meldte -r—^ l^ei^en
mag. ffiemgemö^ gilt:

iG = K^^ 49)

S)iefe g^rmel fteHt mieberum, jefet aber bei größerer Slnnäl^erung, ben
pljoronomifd^en 2^eil beg berül^mten Slemtonft^en ©efefeeS bar, monad^ ftd^
überl^aupt gmei ^Dtaffen gegenfeitig SBefd^leunigungen erteilen, meldte einerfeitS
t)on biefen 3Kaffen felbft abl^öngen unb anberfeitg bem Duabrate il^rer ffint^
fernungen umgefel^rt proportional finb^.

Sine weitere Slnnäl^erung , bei meld^er ba^ Slemtonfd^e Oefeg felbft
erhalten mirb, entfprid^t ber Il^atf ad^e, ba^ bie flepplerfd^en ©efege nur
bie 9lelatiobemegungen ber ^Planeten gur ©onne bef einreiben, möl^renb bie
©arfteHung oon beren abfotuten SSemegungen nod^ bie Serödffid^tigung ber
aJerfd^tebung beg @onnenmittelpun!te8 erforbert.

5* ^ie ^affu ber 9tetoitonfcl^en Gietttralbetoegitng. ^an pflegt eine

©entralbemegung , meldte burdE) Sftemtong (Sefeg (ja = — ) be^errfd^t

mirb, oon anberen Eentralbemegungen als 3lemtonfd6e Eentralbemegung ju
unterfd^eiben. ®§ liegt nun nal^e, ju fragen, ob eine fold^e (Eentralbemegung
aud^ ftetS mieberum ben ffiepplerfd^en ©efe^en entfprid^t ober ob fie au^
anbere Slrten umfaßt. Um biefe fjrage gu beantworten, betrad^ten mir gu^
näd^ft ben i&obograpl^en einer beliebigen (Eentralbemegung etmaS genauer,
gem&fe gfig. 101. SBenn P ein 5Pun!t ber »a^n für ba^ (Zentrum S ift, fo
läftt fid^ V gemäft ber ©leid^ung ^pv =^ C au§ C unb p leidet fonftruieren,

menn man mit ^2 C einen ÄreiS um S fd^lögt unb in S3e5ug auf il^n ben
fonjugierten 5ßol JEf a« i^^nt g^^^punlte N ber Slangente in P beftimmt. Sie
grunblegenbe ©leid^ung SH . SN= (VFc)^ geigt, baft SH=v ift, unb
jmar finb bie SRid^tungen oon [v] unb [SH] mieber um 90o gegeneinanber
gebretjt. fjaftt man H afö einen 5ßunft be§ ©obograpl^en auf, fo giebt beffen
Sangente in JEf bie SRid^tung ber Sefd^leunigung oon P, meldte burd^ [PS]
beftimmt ift, unb gmar and^ mit einer ©rel^ung oon 90^ b. 1^. biefe San==
gente ift ba^ 2ot IfT oon H auf SP. »etrad^tet man einen 5ßunlt P',
ber oor P liegt, fo entfprid^t biefem ein 5ßunlt H' beS ©obograpl^en unb
Smar bilben bie Sangenten in H' unb H benfelben SBinlel e, ben SP' unb

SSergl. l^ierju @. 157, Slnmerfung.

6.]

Slntücnbungcn ber sp^oronomic.

161

SP mitctnanbcr Bilbcn, unb infolgebcffcn an^ bic Sflormdcn in jff' unb
Ä aJcacid^nct man bcn ÄrümmunoSrabiuS hz^ ^obograpl^cn mit q, fo
gilt bcmnad^ für Um a = bic Olcid^ung q . € = H' H mb aud6 bic

Olcid^ung Q - - = -—-, b. 1^. man l^at q . <p =ja. S)cmgcmä^ ift bcr

JG

flrümmunggrabiuS bc8 §obograp]^cn p = ^ unb man l^t für | r» 9 = C
aud^

•2

Q

JG

20

gür bic Sflcmtonfd^c Ecntralficmcgung ift ja = K - —, b, ^.

man l^at l^icr p = — unb crl^ölt alfo l^icr afö §obograp]^cn einen ftrciS,

ba 'q eine Äonftante ift. S)a biefer ffreiS burd^ bie au N tonjugierten 5ßoIe
H befd^rieBen mirb unb gmar in Seaug auf ben §ülf§freig vom SftabiuS

V2 C, fo fiefd^reibt aud^ gig. lOl.

N einen ÄreiS, benn bie

^olarluroe eineS ÄreifeS

in Seaug auf einen

Äreig ift felBft ein Sreig.

Semgemöft ift bie Sal^n

eine ßinie, bei meld^er

bie gu^pun!te für S alS

ßentrum auf einem Äreif e

liegen. ® ie if t ein Ä e g e I *

f(%nitt, für meldten S

S3rennpun!t ift, fo ba^

bie eHiptifd^e Sal^n ber

Ä e p p I e r f d^en ®ef efte

als Sonberfalt a^ bz^

trad^ten ift.

6. 3)er freie tiaU
nnb ))et SBertifalttmrf
unb bie entf:)irecl^enbeti
äJetoegungen anf bet
fd^iefen dbeue. SSürbe
ein 5ßlanet plöftlid^ in
feiner Sal^n angel^alten, fo mürbe er in freiem fJaHe in bie Sonne ftüraen;
baSfelbe mürbe für ben SKonb in 39eaug auf bie ßrbe gelten. SBenn mir
bzn freien gaH oon flörpem in ber Ställe ber Srboberfläd^e Betrad^ten, fo
Begnügen mir unS smä^'it für bie SarfteHung beS ganaen SBorgangeg mit
einer gemiffen Slnnöl^enmg, mie bie äJergleic^ung mit btm faHenben 3Konbe
fofort oerbeutlid^t. äCBgefel^en baoon, ba^ mir oon bem SBiberftanbe ber 2uft
abfeilen, oernad^Iöffigen mir aud^ bie SSerönberlid^Ieit ber fJallBefd^Ieunigung

aSernicfe, aßed&ont!. I. n

162 ©rfter 8lbfd6nltt. [6.

unb ben (Knfluft ber Sld^fcnbrcl^img bet Srbc. Snncrl^alb biefcr Slnnöl^crung
gelten bie gormein s = ^t^, v = gt unb j = g, raeld^e man etma burd^
aSerf ud^e an ber Sltmoobfd^en f5fallmaf(§tne ableitet S)a8fel6e gilt für ben

gig. 102.

E Sr

gig. 103.

ajertifalmurf, mag bie Oefd^minbigfeit c bie
gaHBemegung ocrftärlen ober abfd^mäd^en,
b. \ für bie Qformeln s = ct±_ \gi^,
V = c ± gt, j = g.

Um bie 3JeranberIid^!eit ber gaUbefd^Ieu*
nigung au berüdtfid^tigen , l^at man für

5ßunlte be8 Srbinnern j z= -^ - gs

\tait j = g ^n fegen, unb bann ben Über*
gang oon j ju v unb r ju s ju bemer!:»
fteHigen. S)oau bctrad^ten mir für p = ... 2?
bie a}efd^Ieunigungs:3BegIinie ber gig. 98 in
ber meitcren 3lu8fü]^rung, meldte gig. 102
3ctgt.

göHt eine Jhigel in einem ©d^ad^te
oon A, xüo fie bie ®efd^minbig!eit vq ^at,
big JB, XÜO fie bie ®ef(|minbigfcit v l^at,
fo fteHt bie in AB gel^örige gläd^
AA' B'B bie ä^nberung beS l^alben Duaa^
brateS ber ®ef d^minbigfeit bar, b. 1^. man l^at :

AA' + BB'

2 ^0

V^

AB.

gür 0A = Q^ unb OB = q ift
A^ = Po — p unb -4A' = -^ • ^jj

unb BB' = ^ . g^, b. 1^. man l^at:

iv^

2^0 2 WO V J -D

unb .—

B

= Vv^ + (P

2

ü

^^ B

SBag bie geitbauer bc8 freien gaHeS an*
langt, fo ergiebt eine weitere 3led^nung(t)ergL
©. 175) für ha^ S)urd^Iaufen oon -EJO bei

vo := bie einfache gormel t

^'^ir.

gür 5ßun!te beS SlufeenraumeS

JJ2

^at man j = --^ * gR ftatt j = ^ gu

fegen.

e^

6.] Slmücnbungcn bcx sp^oxotiomic. 163

gür bcn gaÖ oon -4, voo btc Ocfd^toinbiölctt t?o tft, BtS 5, n)o bie
Ocfd^tDtnbiglcit v {% gilt tuicbcr (ocrgl. gig. 103):

Um glöd^c ÄÄ'B'B au Bercd^ncn, jcrlcgen lüir -4J5 burd^ btc 2:cit
punftc Ti, Ta, . . V ^n-i in n ©tüdtc Wi, «^g, . . v «^n unb jtoar fo, ba§
0^, OTi, OT2, . . ., OTn-i, OB eine geometrifd^e Steige oom Quotienten g
Bilben. ßS ift bann J? = A . g* unb man ^at :

_0B _ Q

OA "~ (>o

aSered^net man bie g^öd^enftreifen über w-^, w^, . , ., Wn Beam. mit ben
QM)zn ÄÄ', Ti Ti . . V Tn-i Tn-i, \o erl^dlt man eine untere (Srenje F«,
Bered^net man fte beam. mit ben QM)m T^ T'i, T^Ti,..., BB', fo erl^ölt man
eine obere Orenae J^o för bie gefuc^te giöd^e F =^ AA! B' B.

S)a bie §ö]^en, meldte ben 5ßun!ten A, Ti, T^, . . ., Tn-i, B entfpred^en,
gemäfe beut Slnfage 0-4 = q^, Ti = Q^ct, OT^ = poä!^ • • v

OT„_i = Q^q!'-^, OB = poö** wni> gemöfe ber gormel j zz= ^-^ gj^ Bcam.

2" = ^ = -^ unb g= 1/-^.

r Po

proportional finb au --2, -^^^, --^, ... -ä^äl,::^. -ä^i; "^^ ^^ ^i' «^2. • • . Wn,

Po Po ä Po 3 Po ä Po ä

begtt). bie SBette po(l — a), po2(l — 3) • • • » Po2"~^(l — a) ^ßöen,

fo ift:

r? — m r. f go (1 — g) , Pog(l — g) , Po g»-' (1 — g) ]

- Po ^ äJ\^i + ^+ ^_i; ^^ (.1 *^ ä«(l-g)

= ~ • g •(-=• — 1 ) = ^ • «'s • g ( — ;r )

Po \g" / \Pog" Po/

= U« . </je . gfi — i-)

\P Po/
unb

j,. = S..,..l(l_l). _

Sfür , = ».-.«*»,= |/± = |/^ =(.- ^)^ b»

SBert 1 h • • •/ f*J i^^fe Zimg = 1 ift für Zim n = co, folange —

felbft enblidö ift, maS ftetS ber Sali ift.

8Iug ber Oleid^ung Fu < F < Fo folgt alf o für lim n = co:

©emgemö^ gilt:

.= |/.„^+2ii^.,.(i-l)

11

164 ®rftcx Slbfdlnttt., [6.

gällt 3. aS. ein Äörpcr an^ bcr ipöl^c ä über ber ©rboberflöd^c ol^ne

SlnfongSgcfd^tDinbigleit auf bic ßrbobcrjTöd^c, fo ift t^o = 0, q = B unb
Po =: i? 4" Ä «nb man l^at:

«' = y^^^^^-^^x) = y^^- '^

jB

JR + Ä

3ft h gegen JS fefir Hein, fo ift ^ , , angcnal^ert 1 unb man erl^ölt

bie gewöl^nlid^e gormel für v.

gür Ziw Po = 00 unb Q = B erholt man bei t?o = ben SBert :

V = \2B .Ob = 11250 —,
' 8ec

b. 1^. bie Oefd^minbigleit einer Jhigel, bie an^ unenblic^er gerne im freien
gaÖe auf bie Krboberflöd^e gelangt, ift mäji unenblid^^gro^, fonbem genau
fo gro^, aI8 menn ber ßrbrabiug mit ber fonftanten SÖefd^Ieunigung gs
burc^Iaufen morben märe.

®ine meitere 3lec^nung ergtebt für bie ßeitbauer beS freien gaüeSoon
Ä nad^ B für vq = bie Formel :

©el^r oermidtelt merben alle biefe Sfted^nungen bei aSerüdfic^tigung
beS ßuftmiberftanbeS, melc^er bem Duabrate ber ®ef(§minbig!eit pro^?
portional (Je) 3U fegen ift, fo ba^ bei conftantem g für 3lbmört8bemegungen

j= +g(i—kv^)

unb für 8lufmart8bemegungen

j=+gil +1cv^)
ftatt j = -\- g einjufül^ren ift.

gür ben äJertilalmurf nad^ oben mit ber 3lnfangggcfd^minbig!eit c f)at
man 3. 39. unter S3erü(ffid^tigung beg ßuftmiberftanbeS bie Sauer beS ®tei*
genS bei conftantem g burd^ bie fjormel:

^ = ~~7if- arc tg c VJc
gyjc ^ ^

nnb bie Steigl^öl^e burd^ bie gormel

1
h = ^ — - log, nat (1 -|- c- k)

gegeben. ^

ßnblid^ ift nod^ 3u bemerlen, ba^ bie aSal^n be8 freien gaHeS megen
ber Sld^fenbrei^ung ber ®rbe leine gerabe ßinie ift unb ba^ infolgebeffen ber
faüenbe flörper fomol^l eine äquatoriale aK oud^ eine öftlid^e ^b^
meic^ung oon ber geraben gajttinie 3eigt. ®rftere 8Ibmeft^ung erllört fid^
leidet gemöfe gig. 97, bod^ ift il^r experimenteller Stad^meiS fd^mer, meil bie
aSIeilote, meldte bie SSertüale be3eid^nen, biefelbe 8lbmeid^ung 3eigen.

®ie öftlid^e 3lbmeid^ung, beren Seftimmung 3uglei^ ein a5emei8 für bie
Sld^fenbrel^ung ber Srbe ift, berul^t barauf, ba'^ ber faHenbe flörper in ben

6.J

$lnn)enbutigen ber ^^oxonomxt.

165

gtfl. 104.

oberen ©d^id^ten eine größere ©efd^njtnbiglett (t)on SBeften nad^ Dften) f)at
als bie 5ßunlte ber grbofierfläd^e unb infolgebeffen fetner SJerttlalprojeftton
gegenüber nad^ Dften ga norauSeilt.

SHe grunblegenben Oefege beS freien gaUeS ftnb urfprünglid^ an ber
fd^iefen ßbene (Oalilei 1602) gefunben worben. $ier tritt (oergl. gig.104)
eine StxUqnxiQ non g in bie beiben Äom?
ponenten g , cosa unb gsina ein, fo ha^
bie aSeroegung l^ier mit ber geringeren
Sef d^Ieunigung j = g sin a x>ox fid^ gel^t,
fonft aber hzxa freien gaH begn). bemSJers«
tüatourf genau entfprid^t.

S)ie Oleid^ung \v^ — \v^ = j , w
liefert l^ier:

V = y^o + 2 g ,w , sina,

®a w , sina =h x\t, mz Qfig. .104
aeigt, fo ift v für jebeS w unb jebeS a baSfelbe, falfö w . sina = h ben*
felben SBert l^at, b. 1^. man l^at ben @a§: SBenn oerfd^iebene 5ßunlte aug
berfelben ^origontalen mit berfelben 3lnfang8gefd^minbig!eit vq oerfd^iebene
fd^iefe Sbenen l^erabgleiten, fo l^aben fie in einer unb berfelben ^orijontalen
ftetS bicfelbe ©efd^minbigleit v, meldEje an^ beim freien gaHe (a = 90^)
erreid^t mürbe.

®abei mirb jebe §orijontaIe oon ben oerfd^iebenen fünften im att*

gemeinen nad^ SIblauf oerf d^iebener S^^en erreid^t, ba w = vot + ^ sinat^

ift. gür Vo = ift ^ = 1/ — ^, fo ba^ t benfelben SBert erl^ölt, menn
benfelben SBert m l^at. ®a in einem Äreife oom 2)urd^meffer m bie

w

stna

jum 5ßerip]^erieminlel a gel^örige Seltne w ben SBert msina f^at, fo ift für

Seltnen (w) eineS Äreifeg (m) bie Orö^e c^, .^^

-: — eine flonftante (m). 3Kan gelangt alfo 8

(oergl. gig. 105) ju htm Sage: SBenn oer*
fd^iebene fünfte au^ bemfelben ^ßunljje S mit ^^^^
ber 8Infang8gefd^minbig!eit StuH auf oerfd^ie^
benen fd^iefen (Ebenen (w^, «i; w^, a?;...) l^erab*
gleiten, fo befinben fie fxä) ju berfelben 3cit t auf
einer Äugel, beren ©urd^meffer bie SSertilalftredte

stn Ui stn «2

ift, meldte in berfelben ßeit t im freien gaHe
burd^Iaufen mirb.

SHatürlid^ fmb für bo^ ©leiten auf ber fd^iefen (Ebene bei meiterer 8ln*
nöl^erung entfpred^enbe florre!turen anjubringen, mie beim freien gaHe, an^txbtm
ift bann aud^ nod^ bie 3leibung auf ber fd^iefen (Ebene gu berüdEfid^tigen.

166

(Stfter SlbfcSnitt.

[7.

7. ®ic äBurfietoegung. ®in flörpcr, &cr in bcr Ställe bcr ®rboBer*
flftd^c fo gctDorfcn ober aBgcfd^offcn toirb, ba^ bic 3fHd^tung bcr tl^m erteilten
®efd^n)inbtglett nid^t in eine SJertifoIe fällt, unterliegt einer Bewegung, raeld^e,
oBgcf el^en oon ben nötigen ftorrciturcn , ben erftcn beiben • fl e p p I e r fc^en
Oefetien entfprid^t. ®a biefcr Seraegung ftetS burtf) bie Krboberpd^e ein

gtg. 106 a.

Stg. 106 b.

csin«

■*^

ccosa

8xd gefegt wirb, \o tommt
nur ein relatio Heiner S^eil
il^rer SSal^n wirf lid^ auftanbe,
unb biefer lann mit SftüdE*
fid^t auf bie relatio gro^e
(Entfernung beS ©rbmittet
punfteS afö ©tüd einer
Snipfe angefel^en werben,
t)on roeld^er ein ajrenn^
punlt (®rbmittelpun!t) in
ba§ Unenblid^e gefallen ift,
b. 1^. aI8 Stüd einer 5ßarabel. ©emgemö^ ift bie Sal^n eineS geworfenen
Äörperg in einer gewiffen Slnnäl^erung aK ©tüd einer 5ßaraBeI (oergl.
©. 84 u. @. 100) anaufel^en, beren OrenafaH bie gerobe Sal^n be8 SJer:*
tüatourfeS borfteHt. Sie beiben Bewegungen, weld^e jur parabolifc^en Se«
wegung auf ammentreten , lönnen burd^ il^re ®tellung§glei(§ungen, ober burd^
i^re ©efdEjwinbigleitSgleid^ungen, ober burd^ il^re aSefd^IeunigungSgleid^ungen
gegeben fein.

SBir wollen l^ier ben legten %aU betrad^ten, gemä^ g^g. 106, unb gwar
auf Orunblage ber 5ßroje!tion§met]^obe. Sa nur eine aSefd^Ieunigung, nömlid^
[gl in ber SUd^tung ber r*3ld^fe auftritt, fo ift:

jx = unb jy = g,

Semnad^ gilt, gemä^ bem Übergange oon ber SIMeitung gum Stamme:

Vx = Gl unb Vy ■= C2 ■\' gt,

falls man mit C^ unb O2 flonftanten beaeidEjnet.

gür t = ergiebt fid^ Va: = Ci unb Vy = O2, b. 1^. Ci unb Ca finb
bie Komponenten ber ®efd^winbig!eit gut Qtxt t = 0. Beginnt bie Bewegung
aur 3^it ^ = mit einer lonftanten ©efd^winbigleit c, weld^e gegen bie
©oriaontale ben SBinlel 360« — a im Sinne beg 3Bin!eIpfeiIe§ (gig. 106 b)
^at, fo fmb biefe Komponenten beaw. c.cosa unb — c, sinoc, b. f).
man l^at:

7.] Slmücnbungen bex ^i^oxonomxt. 167

Vx = c cos a unb Vy = — csina -\- gt.
©emnad^ gilt, ^zmä^ bcm Übergange oon ber 8I6Ieitung jum Stamme:

a; = s» = Äi + ccosat unb y = Sy = Äj — csinat -\- ^ t^,

falls man mit Ki unb Za flonftanten Beaeid^net. Qfür f = crl^ält man
s^ = Kl unb Sy = Ki, b. 1^. Äj unb Ä2 ftnb bie Stellungen jur gett
t = 0. ajeginnt bie Semegung in 0, \o l^afien biefe Stellungen ben SBert
3bxü, b. \), man l^at:

2

a; = Sa; = c cos a f unb y = Sy = — csinat + -^f*.

Sntmirft man fomol^I für x atö aud^ für y eine loBeHe, entfpred^enb
t = 0, 1, 2, S, . , ,, fo lann man bie Stellungen ber 5ßrojeItioricn beg fid^
Bemegenben 5ßunlte8 W auf ber XMijl\t unb auf ber F^SId^fe für bie geit«
punfte 0, 1, 2, 3, . . . unb bamit aud^ bie Stellungen beS 5ßunfte8 W felBft
3u biefem geitpunlte leidet Beftimmen.

3n gig. 106 ftnb hierfür bie SBcrte c = 20 unb a = 60« Benuftt.

SHatürlid^ lann man an^ für jeben BelieBigen geitpunft t, meld^er
3ntereffe barBietet, s» unb Sy Bered^nen unb bemgemäft bie ßage oon TT Be*
ftimmen. __

ga^t man bie aSemegungen Sx = ccosat unb Sy = — c sin at in

eine gufammen, ber bann bie SSemegung Jy = ^t^ gegenüBertritt, fo gelangt

man jurüdt gu ber flonftruftion auf S. 84.

Um bie paraBoIifd^e Sal)n in analgtifd^^geometrifd^er gorm ju erl^alten,
l^at man t au8 einer ber Oleic^ungen für x unb y ju Beftimmen unb in bie

X

anbere einautragen. SKan l^at t = unb bemnad^:

c cos a

y = ^x.tanga + l^^ 60)

X y = zx^m man x (^— tanga + | j^^^) = 0, b. §. a?! =

. 2c^Sina COSa C^ , ^ as an j. r^ ^c '^± c

unb xo = = — Sin 2 a. ©er SBert x^ = entfprtdöt bem

5ßunlte 0, ber SBert xq fteUt bie fogenannte SBurfmeite W für bie §ori«
aontale X bax, b. f), c8 ift :

W= —sin2a 61)

9 ^

S)ief e ift ein 3Kajimum für sin 2 a = 1, b. 1^. für a = 46^ unb l^at

Bier ben SBert —

9
Um bie fogenannte SBurfl^öl^e H für bie ^origontale au Beftimmen,

lann man oon bem ®eban!en auSgel^en, bo!^ jebe §ö]^e y, meldte oBerl^alB

ber ©oria^ntalen üBerl^aupt erreid^t mirb, im allgemeinen an^cintal erreid^t

mirb. Beim 8Iuffticge unb Beim 3lBftiegc, b. 1^. für ein BeftimmteS äJj unb x^.

168 ®rftcr SlbfcSnitt. [7.

xoäf^xmb bic SBurfl^öl^c im ficfonbcrcn nur einmal crrcid^t mirb, fo ba^ für
ftc Xi = X2 fein m\x%

ßöft man bie ©leid^ung ber aSal^n für x ouf, fo erl^ölt man:

X

c^ sin a cos u , 1 / c* sin^ a cos^ a . 2 c^ cos^ u
= ± 1/ i H y-

9 f g^ g

x'^ = • y

S)ie Sebingung x^ = X2, für meldte bie Duabratmurjel tjcrfd^minbct,
giebt :

c^ sin a cosa 1 c^ , ^ 1 .^^

Xi = Xi = = - — sin 2a = - W,

g ^ g 2

1 c^
y = —-—sin^a,

^ g

b. 1^. man erreid^t über ber l^alben SBurfmeite W bie SBurfljöl^c:

H=^—sin^a 52)

ßegt man in ben ©d^ eitel, beffen floorbinaten x = IW unb
y == — H fmb, ein floorbinatenlreuj 0' X' T, n)el(§e8 bem flreuac XY
parallel ift, fo gilt:

x = x' + ^W

y = y' — H

unb man l^at für bie Oleid^ung ber aSal^n:

2c^cos'^a

g

c^ cos^ w
b. 1^. biefe ift eine 5ßaraBeI 00m Parameter

gür «=900 erl^ölt man ben SBertüalmurf nad^ oben, y = —ct + ^t^,

1 c^
für ben W= unb H = -^ — ift ; man nennt bie bei ber ® ef d^minbig*

^ g

leit c im äJertifalnmrf noc§ oben erreid^te SBurfl^öl^e (Steigl^öl^e) aud^ mol^I

®efd^minbigleit8;]^ö]^e, jie ift bag 3Kajimum für H bei oerönberlic^em «.
gür « = 450 erl^ölt man ben SBurf ber maximalen SBurf meite W=^ — ,

»7

1 C2

beffen H ben SBert j — l^at; l^ier ift W bie boppelte unb H bie l^albe

©efd^minbigleitgl^öl^e.

2 c^
gür « = 00 erl^ölt man ben iporijontalmurf x^ = — - y, für meldten

T7 = unb -ff = ift.

©oH ein 5ßunlt Z, beffen Äoorbinaten a unb h finb, burd^ ben SBurf
ober (B^n^ getroffen merben, fo mv!^ für bie ©teile Z außfeid^ gelten x = a

unb y = b, b. 1^. man l^at:

g a^
b ==r — a fang a + -^

2 C2 cos2 06

7.] Slntüenbungen bcx ^pi^oronomic. 169

Set gegebenem a tft bmäj biefe ©letd^ung ein Beftimmter SBert non c
beftimmt, bie erforberltd^e 8lnfang§gef(^n)inbiglett beS SBurfeS ober
®(^uffe8.

S3ei gegebenem c fmb burd^ biefe Oleid^ung 3m ei beftimmte SBerte
üon a beftimmt, bie erforberlic^en ßlenationgminlel beS SBurfeS ober
®(§uf|c8.

Um a mirflid^ ju beftimmen, erfegt man in obiger Oleid^ung — —

burd^ 1 + tang^a, fo ha'ii^

q Qi
h = — a tang a -|- -^— ^ (1 -f tow^^ «)

ift, unb erl^ält:

^ana a = — -t- l/ -r — - — 1 H —

aSon ben beiben SBerten «i unb «2^ meldte l^iermit beftimmt finb, ent*
fprid^t ber eine (— ) bem giad^fd^ufje (Sftafante g^ugbal^n), ber anbere
htm aSogenld^uffe (SJertüalfeuer, oon oben).

SBirb bie Duabratmurael imaginär, fo ift unter ben gegebenen äJerl^öIt*
nifjen ein Sireffen beS gieleS auSgefd^Ioffen. S)ie Orenglagen ber crreid^baren
Siele beftimmt ber StuHmert ber Duabratmurael, bem bie Oleid^ung entfprid^t:

«■=^7^('+ft)

S)iefe ftellt für a unb l afö Äoorbinaten eine, fqmmetrifd^ aur äJerti*
!alen oerlaufenbe 5ßarabel bar, bcren Sd^eitel in gig. 106 in ber ®nt*

femung ^— über htm 5ßun!te liegen mürbe; man nennt fie Orenaparabel.

S)re]^t man biefe Orenjparabel, meldte bei gegebenem c alle möglid^en biefem
SBerte entfpred^enben SBurfbal^nen uml^üllt, um bie Y^^ä\\e, fo entfielet ein
9lotationg*5ßaraboIoib. SlHe 5ßunlte, meldte aufterl^alb biefeS 5ßaraboIoib8
liegen, finb bei einer gegebenen Oefd^minbigleit c nid^t erreid^bar, aüe^ßunltc
innerl^aib biefeS 5ßaraboIoib8 finb mit glad^^* unb Sogenfd^ufe («i unb «2)
SU treffen, bie 5ßunfte auf bem $araboIoibe felbft nur burd^ eine SBurfbal^n

(«1 = CCi)'

gür b = 0, b. ^. innerl^alb ber ©orijontalebene burd^ ift a^ =

+ c^
b. f). a = (— ) — unb tang a = + 1, b. 1^. a = 45«, fo ba^ alfo für bie

y
^orijontale baS SKaj^imum ber SBurfmeite bei a = 45<^ eintritt unb ben

SBert — l^at. gür alle 5ßunlte innerl^alb beg ffreifeg 00m Sftabiug - in

ber ©orijontalebene burd^ gilt:

2c2

tang^ a tang a -f- 1 = 0,

ag

170 ©rftcr TOfd^rntt. [7.

b. f), man l^at l^tcr tanga^ -(- tanga.^ = unb tanga^. tanga^ = + 1,

fo ha^ tang «^ = cot «i unb «2 = 90^ — «i tft.

Um btc Seit t au ficfttmmen, inncrl^alfi tocld^er Z crrcid^t tuirb, ßcl^t
man auf bte ©leid^ungcn

a = ccosat unb 6 = — c sm a < + ^t^
inxM, bcren crftc für eine Beftimmte (Entfernung a ben SBert t = gtebt,

C cos 06

möl^rcnb bte gmette bte beiben SBerte ti unb U liefert, meldte einer beftimmten
Qbf)t b entfpred^en.

Um bie ©efd^minbigleit in Z a« beftimmen, l^at man, mie gig. 106
aeigt, bie beiben Komponenten Vx = c cos a imb Vy = — csina -\- gt für

t = a" vereinigen, b. f), Vx = c cos d unb Vy = — c sin a +

ccosa ü ' / ^ ccoscc

Statt beffen fann vaan aud^ [c] mit [g f ] für ^ = nereinigen, mie

C cos CO

gleichfalls gig. 106 aeigt. 3Kan erl^ölt in jebem ^aHe

Vx

möl^renb ber SBinfel s non [v] gegen bie aSerttlale burd^ sins = — unb

V

V

cosB = -^ gegeben ift.

V

S)a aber b = — a lang « + -| —^ — — ift, f o l^at man (xVi6^ füraer :

Sa \y\ bie 3fhd^tung ber Siangente in Z l^at, fo ift bie S^angential^^
befd^Ieunigung j ober jr burd^ g cos s unb bie SHormalbefd^teunigung jx burd^
gsins gegeben, fo baß bie ©leid^ung

v^
JN = g sm 6 = —

au

_ i;2 _ v^ _ Vc2 + 2gh^

g sin s g Vx g ccosk

fül^rt.

SHefelben Krgebniffe laffen fid^ aud^ (oergl. @. 71) mit §ülfe ber
(Sleic^ung \v^ — ^vg = ji ^o^ + jzw^ + - - - geminnen. fjafet man bie
Sal^n aI8 ©renafaÖ eineS Stredenaugeg auf, beffen einaelne ©tredEenM;i,«(;2,...
fd^iefe Ebenen barftellen, fo ift für eine ©tredfe Wj au bilben jiWi. S)abei
htbtVLtzt ji bie tangentiale ffiomponente ber ®efamtbef(|leunigung, meldte nad^
gig. 107 ben SBert gcoss l^at, fo ba^ jiWi = gwicossi ift. Sftun lann
man aber w^^cossi an^ afö aSertüalprojeltion /^ oon Wi auf f äffen, fo ba§
j^Wi = ghi ift. SSeaeid^net man bie gefamte ©enlung für irgenb eine

7.] Slnroenbungen bcx ^l^oronotnic. 171

SSciücgung, tüeld^c nur ber SScfd^Icunigung [g] unterliegt, mit h, fo
tft ji «^1 4- i2«'2 + • • • = gQh + h + " ') = gh b' ^> man l^at:

\v^ — lvS = gh 63)

3n unfcrem goUe ift vq = c unb ä = b, f o ba'^ \\^ raieber

ergieBt.

äBiQ man bie ©teQungggleid^ung auf ber Sal^n Beftimmen, fo lann man
(ocrgl. @. 69 u. f.) in beftimmter Slmtö^erung mit ber ®cfd^n)inbiglett*3rit''
Knie arbeiten, inbem man t = 0,T,2r,...
f eftt unb bie bicf em Qtxipnnftz entfprec^en*
ben Oefd^minbigleitSmerte c, v^, v^,... au8
Vx = c cos a unb Vy = — c sin a -\- gt
Berechnet.

gu einem genauen ßrgebniffe gelangt

man burc§ einen entfpred^enben (Srenj*

Übergang, gör ben ^oriaontalmurf (a = 0)

c^
erl^ölt man babei, falfö man — burd^ p

ablürgt,

_ 1 cfVi?» + cH^
^~2 ^

gig. 107.

+ \P log not

et + Vi)a + cH^

V

gcopcj

3^re Slbleitung fül^rt jurüd au:

unb man gewinnt barauS burd^ eine meitere 8l6Ieitung mieberum

g^t gl Vy

•^ Vc2 + gH^ ^ ^ V ^

2)ie SSal^n be8 3KitteIpunIte8 einer geworfenen ober abgefd^offenen Äugel
lö^t ftc§ nur bann atö 5ßarabel auf f äffen, menn man oom ßuftmiberftanbe
abfeilen barf. S)ie8 ift bei relatio geringen (Sefd^minbigleiten ber gaH, menn
bie Sid^tigleit beg geworfenen Äörperg gegenüber ber Sid^tigleit ber ßuft
relatio gro^ ift. So jeigen 3. 33. SBafferftral^Ien bei Springbrunnen, beim
8luSfIu^ au8 Oefä^en u. f. m. bie parabolifd^e Sal^n in jiemlid^er Sin*
nö^erung.

Sei Serüdtfid^tigung beS ßuftmiberftanbeS ift mieber (oergl. ©. 164) ber
aSemegungSrid^tung entgegen eine aSefd^Ieunigung g .k . v^ anaufegen, beren
Äomponenten nad^ ben 3ld^fen X unb Y beam. g .k.v^ sine unb g.k.v^cose
finb, fo ba^ jx = — gkv^ sin s unb jy — g ± gkv'^ cos s ift. Sine aiemlid^
meitlöufige Sied^nung ergiebt bann für rafante (fel^r flad^e) g^^gbal^nen:

y

= ^x(arcu + ^^ + ^

_ (^^- - 1)

172 @rftcr Stbfd^nitt. [8.

als ©Icid^ung bcr Sal^n unb

gür eine bcfttmmte SBurftueite TF in ber ^orijontalen («/ = 0) l^at
man bann auS ber erften Oleid^ung arca gegeben.

S)te ^ßrojeftion beS Sd^eitelg teilt W in TFi unb TFg, fo baft w; bem
auffteigenben 3lfte unb W^ bzm afijteigenben 8Ifte entfprid^t. 3Kan l^at

unb

W, =l'^r-r ^og nat (1 + 2c^k , arccc)
^* ^2gk ^ ^ ' ^

W2= W— Wi

unb finbet nun bie SSJurfliöl^c H au8 ber Oleu^ung ber Sal^n (y) für ir = TFi.

SBä^renb 6ei ber 5ßarabel W, = W^ x\t, ^at man in aBirflid^Ieit ftetS
bie »eäie^ung TFj > Wi.

ßnt|pre(§enb ben SSetrad^tungen 6eim freien gälte finb a\x^ l^ier nod^
weitere florrefturen l^injuaufügen, anä) im befonberen in SBegug auf bie ®e*
fd^offe unferer flanonen.

SWan nennt bie SBurffial^n im allgemeinen ^Salliftifd^e fiinie" unb
i^re S^eorie .aSalliftü-'i)-

8. ^te l^atmotttfd^e (gleid^mägige) @il|tt)iugnng auf getaber Stute.

^ßrojijiert man eine gleid^förmige flreiSbemegung auf eine Oerabe i^rer
Ebene, fo entftel^t eine l^armonifd^e ©d^mingung auf geraber Sinie. aSefinbet

gig. 108.

ISO'+f

fid^ W bei Se*
ginn ber Semegung
(nergl. gig. 108)
auf htm Äreife in
Ä, fo ift ber 5ßro*
jeftion§pun!t Wx
bei SSeginn ber
Semegung in Ä'
unb gel^t bann t)on
Ä' über M' m^
B* unb üon B'
über M' nad^ A\
mö^rcnb W felbft
ben flreiS oon A
über nad§ B unb
üon B über U
nad^ JL burd^Iöuft.
3ebem ooHen Um*

lauf oon TT auf bem Äreife entfpric^t eine noHe Sd^mingung (S)oppeI*

fd^mingung) oon TT«; auf ber ©eraben iJf'X

^^x

SSergl. (Er ans, Äompenbium ber SBaHiftif. ßeipaig, 1896.

8.] Slntüenbungen bcr Spi^oronomic. 173

Scr Stellung P oon W, für xozlä^t 2iPMA= s x% cntfprid^t btc Stet
lang P' oon Wx, für tücld^c Sa? = a; = Jf ' P' ift.

3Kan l^at bcmna(§ : s^ = a? = + r cos £.

ffonftruiert man in P btc @cfd^n)tnbtg!ctt [c], fo gicfit bcrcn ^ßrojcltton
Va: bte @efd^n)tnbig!ctt für TTa; unb man ^at:

Vx = c COS (90<> 4- = — ^ ^*** ^*
Äonftruiert man in P bic OcfamtBcfd^Icunigung — L fo gicbt bcren

5ßroj[cftion jx btc Scf d^Icunigung für Wx unb man l^at :

c^ c^
jx = — COS (1800 -|- a) = cos s.

T T

Scmnad^ gilt a\x^:

Jx = ' X = — Je . X

für Ä; = 1/-, b. 1^. btc Scfd^Icunigung bcr ©d^mingung ift ftctg proportional

Qc) jur (Entfernung (x) au§ bcr Slul^clagc (Jf' ).

Um fid^ oon bcr ftrciSbcmcgung oöllig unabl^öngig ju machen, fül^rt
man bic S)aucr T cincS ooHcn Umganges oon W, meldte guglcit^ bie Sauer

einer ooHcn ©d^mingung oon Wx ift, ein. SBirb ÄF oon W, ficam. Ä'P'
oon Wi in bcr gcit t burd^Iaufcn, fo gilt:

6 : 3600 = t:Z h. ^. s = I- . 360«
ober für 8Ircu§ma^

S)ic SScmcgungSglcid^ungcn für bie ©d^mingung finb bemnad^:

X = Sx = -\- r . cos

(-4)

Vx = — c . sin ( 2 Ä • — j

C2

jx = —y cos (^27t . 1.^ = —

' X = — k , X

54)

§ier ^tbtvXti r ben größten 3lu§fd^Iag nad^ bcr einen ober bcr anberen
©eite {^mTfXxiVib^), T .bic Sauer einer Soppclfd^mingung unb c bie größte ®c*

JE 3 Jf

fd^minbiglcit bcr ©d^mingung, meldte für ß = o, "ö"'*"' ^^3"^- f"^ t = \T,
f T, ... eintritt, b. 1^. bem S)urd^gange burd§ bie Sftu^elage M' entfprid^t.
Sie ®rö^e 27C - — = s mxb 5ß]^afe ober aud^ 5ß]^afenminlel genannt.

2 T ^

Sa für bie flreigbemegung c = — - ift, fo ftnb bie ©rö^cn c, r, T
aviä^ bei bcr ©d^mingung nid^t ooneinanber unab^öngig, eS genügen oielme^r

174 (grfter Slbfd6nttt. [8.

jtDct bcrfcIBen bcjiD. eine bcrfcIBcn in SBcrbinbung mit jfc = -- jur Scjtim*

mung ber gegebenen Seraegung.

äBä^It man r unb T, fo ergtebt jtd§:

a; =r Sa; = r . cos

2%r . /^ ^

(-f)

VX = y— S«»

J': = j^ cos

(-4)

3n biefer gorm ift Vx unmittelbar bie 81bleitung oon Sx unb ja; bie
8lbleitung non Vx,

S)ie ©leid^ung c = -7=- liefert aud^ — = -7=-, fo ba^ ftd^ alfio

Jc =

r

r£2

unb _

T = 2Ä|/i: 56)

ergiebt.

flennt man alfo ben ^roportionalitätSfaftor ä in ber
Oleid^ung j« = — ifc . a;, fo lennt man aud| bie S)auer einer oollen
©d^mingung.

SS gilt aud^ bie Umf el^rung unferer Setrod^tung : ®o oft für eine gerab»
linige aSemegung bie Sefd^Ieunigung 0«) bem 3lbftonbe {x) oon einem be*
ftimmten 5ßun!te (Jf) ber ©erabcn proportional unb biefem augemanbt
( — Ä . a;) ift, bilbet fi^ eine l^armonif d^e ©d^mingung.

2)ie l^armonifd^e ©d^mingung ift eine gerablinige Centralbemegung.

aSeginnt bie flreiSbemegung nid^t in A, fonbern in 0, fo beginnt bie
©d^mingung nic^t in Ä, fonbern in M', b. 1^. auS ber SRul^elage. ßö^t man
bei unferer oorigen Säetrad^tung bie SSemegung möl^renb ber geit * = . . . ^ T
aufeer Sld^t unb beginnt erft oon t^=\T an ju beobad^ten, fo ift bie Se*
obat^tungSaeit ^' f ör ^ = . . . ^ T afö angufel^en, b. 1^. man ^at <' = ^ — ^ T

unb . t'+\T\

X =^ r , cos [2% ' j=f — j

= — r sm I 2 3r • — )

für bie Semegung auS ber Slul^elage bei bem einmal gemöl^Iten SSemegungS*
ftnne ber flreiSbemegung.

©oH ber erfte 3lu§fd^Iag (x\x% ber SRul^elage nad^ red^tS erfolgen, fo mn^
man bie geit . . . f T aufeer 3ld|t laffen unb i! z=it — \T fegen, mobei

x= -{-rsin ( — ^ )
erl^dlt.

8.] 8(nrDcnbungen bcr gjl^oronomie. 175

ÜBcr btc 8lrt bicfer Sctocgung geben fd^on bte »ctrad^tungen auf
@. 53 unb @. 59 naivere Slugfunft.

aSeifptel: Belegung bcr Äurbelfd^Ieife. glutlurocn. Sd^tDitt*
gungen febernber flörpcr.

3Kit $ülfe ber SSetDcgungSgletd^ungen für bte ©(^tuingung löftt fid^ anä)
bte SSetrad^tung für faHenbe Äörper im Srbtnttem, lüeld^e ©. 162 gegeben

raurbe, nodt) etoaS toettcrfül^ren. S)a in ©d^öd^ten ^p = -|- . ^22 ift, fo

Wfet fid^ gfi mit j^^ p mit x unb ^ mit jfc in unferer SSetrad^tung oer*

gleid^en. ©teilt alfo Ä' B' in gifl- 108 einen ©d^ad^t ip ber ®rbe bar, ber
vom Sftorbpol (Ä') jum ©übpol (J5') oerWuft, fo mürbe eine flugel oom
SKittelpunlte Wx in biefem bei freiem fjaHe fortgefe^t ©d^mingungen
Ä' M' B' M' Ä^ üoÖfü^rcn unb gmar nad^ btxn ©efe^e:

j^= ^jc,x für ^=^'
S)emnad^ märe l^ier nac§ gormel 55:

T = 2n Xl— = 8M aJHnuten
unb ^ ^^

= 2^ = 7905^.
T sec

2)ie SSemegung ift im übrigen genau beftimmt burd^ bie Oleid^ungen:

X = B , cos

Vx =^ — c . sin i2n ' —\
9b

Jx = -^^X.

©d^Iögt man itod^ einen Äreig wm A' B' aI8 S)urd^meffer unb überträgt
man auf biefen bie SSemegung beS ÄreifcS nom S)urd^meffer AB, fo !ann
man W alS SKittelpunlt einer bie Srbe mit ber Oefd^minbigleit c non A*
aus umireifenben Äugel (nergl. @. 155) anfeilen unb Wx afö 3KitteIpuTtft
einer jugleid^ in ben ^ä^aS^i A' B^ t)on Ä auS frei faHenben Äuget

^ßrojigiert man bie urfprünglid^e ÄreiSbemegung auf eine 3ld^fe {y),
fen!red^t gu x, fo erl^ölt man eine ©d^mingung, für metdEje

y = Sy=r,sin{2%' — j
gilt, fo ha^ umgelel^rt bie ÄreiSbemegung au8 gmei ©c^mingungen

X

= r cos ( 2 ;r • — j unb ^ == r sm ( 2 jr • — j

aufammcngefeftt merben fann, faHS man biefe auf ein Äoorbinatenfgftem
{x, y) begiel^t, 3. S. auf bie ©urd^meffer A B unb ü ber Sigur 108. äftan

176

finbet aud^ bemgema^:

aj2 -[- 2,2 =

drftcr Stbfd&nttt.

[9. u. 10.

.2

^os^(^2n^±-^ + sm«(^2jr.l.)]

= r2.

9* Sie ^anttomfd^e (gletd^tttägtgc) Sd^mingntis anf frummer Sal^n.

®cnft man ftd^ bic Sal^n -4' 5' oon Wx beliebig oerbogen, ol^ne bafe bie
SettJegung auf Ä' B' felbft gcönbert xüixb, fo mu§ man in iebem fünfte
ber Sal^n ber Sefd^Ieunigimg jx, tüeld^e nun atö [jr] aufauf äffen ift, eine

entfpred^enbe Äomponentc [jjv] = — J^ingufügen, unb bcmgemäfe [je] bilben,

®iebt umgefel^rt bei einer Irummünigen Seroegung bie Serlegung oon
[jg] ^n [Jt] unb [j^r] für [jr] ben SBert — k . s für s ate Stellung auf
ber SJal^n, fo ift bie Scroegung eine l^armonifd^e ©d^roingung.

10. Sie ^mtinuitn bed (matl^ematifd^cn) ^enbeld in [einet: S^er«
tifalebene uub in einet: ^otijontalebene. äBenn fid^ ein $unlt W unter
bem ©influffe non [g] auf einer Sugelfläd^e beroegt, fo roirb bie Seroegung
eine (matl^ematifd^e) ^enbelbeniegung genannt. Sine Sleilugel (9le]^poften),
bie an einem ©eibenfaben im luftleeren 9laume fd^mingt, fteHt angenöl^crt
ba^ 3KobeII für eine fold^e (matl^ematifd^e) ^enbelBemegung bar (gaben*
penbel).

Verläuft bie Semegung oon W in einer burd^ ben 5DtitteIpunIt ber Äugel
gel^enben SSertilalebene, fo ift bie Sal^n oon W ein ÄreiS, unb eg treten im

allgemeinen fogenannte ebene ©d^min*
gungen auf einem Sogen biefeg ftreifeS auf.
SBie gig. 109 geigt, ift für bie Sage P'

oon W bie Stellung M' P' = 8=1 arc e,
möl^renb bie entfpred^enbe S^angential*
befc^Ieunigung ben äBert gsins l^at unb
bem Sinne ber ©teHunggmeffung entgegen:^
gerid^tet ift.

aSerfud^t man ben Stnfaft:

j = JT = — k . s = — k . l . arc s

unb oergleid^t man biefen mit ber tl^at*
fad^Iid^en Segiel^ung

j = — g sin 6,

©emgemäfe ift k leine Äonftante unb infolgebeffen ift aud^ bie ebene
©d^mingung beg ^enbefö leine l^armonifd^e ©d^mingung. ®a aber

[sin £1 n
= 1 ift, fo näl^ert ftd^ k btm lonf tauten SBerte y unbegrenjt
ÜTC Bjgz=o '

mit abnel^menbem SBinlel s unb bemgemö^ barf aud^ bie ebene ©d^mingung

gig. 109.

gC08£

10.] Slnroenbungen ber spi^oronomic. 177

bz^ 5ßcnbete für rclatit) Ilcinc SBinlcI s angenöl^crt afö l^armomfd^c ©d^tuin*
gung betrad^tet ttJcrbcn. ©rfcgt man bcmgemöfe sine bnxä) arcs, fo crl^ält
man

k — l
unb man f)at nad^ gormel 55:

T = 2 ;r 1/-

56)

afö SttuSbrudE für bic ®auer T einer ooffen ©d^mingimg eineS fold^en $en«
befö, meld^er alfo unabl^öngig i[t von bem SluSfdöIagSminlel ^^ M'OÄ'
= 2i M'OB' = a.

3[t bte ©rfegung von sin s burd^ arc s ntd^t julöfftg/ fo gilt für T bic
oerbefferte fjormel:

T = 2 jr y -

[1 + K]

unb

1 . 3 . 5\2 . a

^ = (2) ^" 2 + m) ^^^* 2 + (2:170) ''''' 2 +

57)

gür K gilt bie Tabelle:

a = 10 K= 0,000019

a = 50 ^ = 0,000476

a = 100 js:= 0,001907

Sie 3ulaffig!eit beS ®rfaöe§ oon sm a burd^ arc £ ift natürlid^ oon
gaH 3U gött im ipinblidE auf bie ©enauigleit, beren man bebarf, ju ent*
fd^eiben (oergl. bie 2^af ein für sm e unb arc s).

SBä^It man ftatt be§ ÄreigbogenS ate »a^n für T7 einen Kqüoiben^^
bogen, fo ift eine SBerbefferung ber gormel für T nid^t nötig Ofod^roniSmuS).
Um bemgema^ ein ^enbel gu lonftruieren , l^öngt man eine Rugel an
einem gaben gmifd^en jmei fgmmetrif^en cqf loibif d^ * cqlinbrif d^en Sadten auf,
fo ba^ fid^ ber gaben auf biefen beim ^ßenbeln ftetig auf* unb abmidtelt.
®er aJUttelpunft ber flugel befd^reibt babei einen KgHoibenbogen, unb eg gilt
in aHer Strenge (oergl, SInmenbung 7 be§ 2. 3lbf d^nitteS) :

T= 27iV-'

8lug ber gormel T = 2 jr 1/-

folgt ^ ^

^ = 4;r2..—

unb bemgemöfe lann g burd^ Seobad^tung oon ^enbelfd^mingungen, bei
benen l unb T feftgefteHt mirb, beftimmt merben.

S^l^atfäd^Iid^ oerbanft man bie genaue Äenntnig t)on g für bie oerfd^ie*
benen ^^un!te ber Srboberflöd^e, fomie in ©d^öd^ten unb im ßuftraume ber
Seobad^tung oon ^enbelfd^mingungen.

SB c r n i tf c , SRedöontr. I. 12

178

®ryter «bfc^nitt.

[10.

®ie aSeffcIfd^c aUctl^obc für bie Scftimmung oon g Bcnuftt tl^ats^
fäd^Iid^ einen S[pparat, racld^er angenaljert atö matl|ematifd^c§ 5ßenbel gu be^
3et(|nen ift^).

©in ^enbel, ba§ für einen ipingang ober einen Hergang (^aI6e ©c^roingung)
gerabe 1" Brandet §ei^t ©elunbenpenbel. S)a l^ier T = 2" ift, fo ift bic
ßönge Zq beg ©efunbenpenbefö gegeben alS

7 — ^

58)

aKan ^at 3. S. für Serlin Zo = 0,994224 m, für $arig /o = 0,993856 m.
3n ber auSIönbifd^en ßitteratur wirb oft bie Ijalbe ©ci^n)ingung burc^

T begeid^net, fo ha^ bann T

= nf-^X

gilt unb bie ooHe ®c^n)ingung atö

®oppeIfd^n)ingung erfc^eint.

Unter itn Sen)egungen eineg $un!te§ W unter bem Sinfluffe oon [g]
auf einer flugelflöd^e lö^t nod^ ein anberer gall eine einfädle Sel^anblung

gig. 110.

3U. Sefc^reibt ein gaben«
penbel gleid^f örmtg ben 3Kantel
eines geroben ffireiSf egetö, beff en
9ld^fe bie SRul^elage be§ 5ßen«
betö ift, fo bewegt fid^ ber
SKittelpunft ber ^enbellugel in
einer ^orijontalebene. Sei
biefem !onifd§en penbel (ßen«
trifugalpenbel) ift bie hoX)xi
oon W ein ©orijontalfreig^
ber gleid^förmig burd^Iaufen
rairb. S^riegt man (oergL
gig. 110) bie S3efd^Ieuntgung
[g] in ber SHd^tung beS %a^

benS unb fenftced^t gur SRul^elage beS ^enbetö in bie Äomponentcn — ^ I

unb [gtanga], fo liefert [gtanga] bie nötige SRormalbefd^Ieunigung ber
JlreiSbenjegung. ®iefe l^at für eine SBinlelgefd^roinbigfeit y unb einen 3tb:^
ftanb r ben 3!öert r y\ fo ba^

g tang a ^ r y'^
unb bemnad^ (r = 7 sin a)

9

unb

ift.

Icosa
gür bie Umlauf§aeit T I|at man:

cosa =

J_
ly'

l cosa

9

59)

S^ergl. SB er ni de, (Srunbaügc 2c., ©. 397 u. f.

11.] Slntüenbungen bcr sp^o^onomie. 179

Sic ßincargefd^wmbiglcit c für bic ftreigbcrDegung Betrögt:

c =z ry = sm

• 11« ^ie etttptifd^e Sc^lotngung. ^rojigiert man bie gleid^fdrmige
ÄrciSbertJcgung nid^t, ttJtc eS in 9lr. 8 gcfd^al^, auf eine ©erabe il|rer ©bcne,
fonbern auf eine aroeite Sbene, fo entfielet im allgemeinen eine elliptifd^e
©d^mingung. 3ft a ber SteigungSminlel ber beiben Sbenen, fo ift bie gro^e
Sld^fe ber (SHipfe 2 a = 2 r, möl^renb il|re f leine 3fd^fe 2h = 2r cos a ift.
®ie Betrachtungen ber ^ßrojeftionSmetl^obe (©. 103 u. f.) gelten aud^ für
biefe ^rojeftion. Sie SBefd^Ieunigung ift für bie ©d^eitel ber großen 3td^fe

unb für bie ©d^eitel ber Keinen Sld^fe

— cos a = ( — j . r cos a = y2 , 5

unb beträgt überl^aupt für irgenb einen 5ßunlt P ber SHipfe, ber t)on bem
mtelpunite ben 3lbftanb , M, (|)^. P = >'» 9- S)a bie Sef^Ieumgung

au^erbem ftetS nod^ bem 3Kitte(pun!te ber Sttipfe gerid^tet ift, fo ift bie
eHiptifd^e ©d^mingung eine ßentralbemegung, für meldte bie Sefd^Ieunigung
bem 3I6ftanbe oom ßentrum proportional ift. ®er ©leid^ung

[io] ^ fe . [p]
entfprid^t aud^ l^ier für

. = 0)' = (-:)'= ,.

bic SJe^ieljung

ha T ^= ift.

c

S)te größte (Sefd^minbtgfeit c tritt in ben ©d^eiteln ber Keinen Sld^fe auf,
ha l^ier bie ©efd^minbigleit ber SreiSbemegung unoerlürjt projijicrt mirb; bie

fleinfte @ef d^minbigleit ccosa = c • — tritt in ben ©d^eiteln ber großen

3rd^fe auf.

fjül^rt man bie glöd^engcfd^minbigfeit G = —=^ ein, fo gilt für einen

©d^citel bcr ftcinen 3ld^fe

2 C

ibc=(7, b. ]^. c = — •

®cmgcmäfe ift:

12*

180 dryter Stbfd&nitt. [12.

Stellt bic ®6cne bcr JheiSbctDegung fcnfrcd^t auf bcr (SBenc, ttjcld^c bic
5ßrojcItion86en)cgung aufnimmt, fo gel^t bie cHiptifd^c ©d^mingung in eine
l^armonifd^c ©d^mingung auf gcrabcr ßinic über (b = 0).

SBie bie ÄreiSBemegung auS gmei ©d^mingungen oon ben ©leid^ungen

x = rcos(27t — \ unb t/ = rsm(2jr — j

ermöc^ft, fo entftel^t bie eHiptifc^e Semegung auS gmei ©d^mingungen oon
ben ®Ieid)ungen

X = acos(2 Jt ' —\ unb y = 6sm(2 jr • — V
benn man l^at l^ier

(^y + (I) = ""'i^ « 4) + «~«(2 « • 1) = 1.

12. Sie teguläte SBellettBeioegutig. äBenn ber Sleil^e nad^ alle fünfte
einer ©eraben nad^einanber bicfelbe gcrabtinige ]^armonifd)e ©d^mingung
(t)on beftimmt gerid^teter Sal^nftredEe) a\i^ ber 9lu]^e(age auSfül^ren unb gmar
fo, ba^ bie 3^^*/ toßl^ß für je gmei 5ßunfte ber ©eraben gmifd^en ben ^n^
föngen il^rer »emegungen liegt, beren (Entfernung proportional ift, fo be*
fd^reibt bie ©efamtl^eit ber 5ßunlte ber Oeraben (^unltreil^e) eine regu*
löre SBelle. ^tzüt man fid^ oor, ba^ ieber $un!t nad^ SIblauf feiner
erften ©d^mingung in eine jmeite, britte u. f. m. oon genau berfelben 3trt
eintritt, fo folgt ber erften SBeHe eine gmeite, britte u. f. m.; man nennt
bann bie ©efamtl^eit biefer SBeHen eine reguläre SBellenbemegung.

göHt bie aSal^nftredte ber ©d^mingungen in bie ®erabe, fo l^eifet bie
aSBeHe longitubinal; ftel^t fie fenfred^t au il^r, fo l^ei^t bie SBeDe tranSs*
oerfal.

beginnt ein $unlt ber ©eraben im SrtuHpunlt ber Qeitmeffung feine

©d^mingungen gemöfe ber ©leid^ung s = r .8in(2jt - — Y fo gilt für einen
?ßunlt P ber ©eraben, meld^er nad^ SIblauf ber 3^it /s feine ©d^mingung be-
ginnt (z < T), bie »emegungSgleid^ung s = rsin(2jt - —YfaUSf =;? + *'

gefefet mirb. fjür 0F = x ift ber SSoraugfeftung gemäfe - eine Äonftantc,

meldte c l^eifeen mag, fo bafe fid) ;? = - unb t = - r\- i/ ergiebt.
®emnad^ ift bie SemegungSgleid^ung für P barfteHbar afö

s = r .sin^27t(^- — -^J^ 60)

®ie§ ift bie fogenannte SBellengleid^ung, in meld^er r unb T bejm.
8lmplitube unb S)auer ber einzelnen ©^mingung be^eid^nen, möl^renb c
bie ©efdöminbigfeit beS gortfd^reitenS ber »emegung auf ber ©eraben bar*
fteHt, b. I|. bie gortpflanjungSgefd^minbigleit ber aSBellenbemegung.
©el^t man . oon ber einaelnen SBelle au einer bauernben SBellen*

18.] Änioenbunflen btt iß^otonomie. 181

fieraegunfl ö6er, fo ititrb bie SSetrai^ung unobliätigig von btx ffiebinflung

« < r.

Unter biefec SßorauSfegunß l^ofeen aSe fünfte P, für meldte

i = 0,±l,±2,...

ift, ju betferbcn Seit (, auf if|ren Salinen biefelbe Stellung s. Slrögt tnon
fllfo Don auiS noi^ teifitg unb na(§ linfS bte ©treden c T, 2cT, . . . auf,
fo begeit^nen beten Enbpunlte fol«^ $un!te ber ®eroben, hie fict) ftctS mit
in bemfelben SBeroegunflSauftonbe befinben. Sa abtv in legtet ginfii^t

ein roiHtüriii^ geroöfilter ?ßunlt bet ©eraben ift, fo gilt
übet^Qupt, bafe fi^^unlte oon bem SIbftonbe cT.2cT,...
ftetS tn bemfel&en ^eroegungSjuftanbe befinben.

ältan nennt cT = X bie aSellentänge unb
gewinnt fo bie SBorfteHung, ba& bie Sßjedenberoegung
immet irfl^renb bet Sei'bauer T einer ©d^roingung mit
bet Oeft^niinbigleit c um eine aBeDenlönge oorrödt.

3ig. 111 ftent für eine Steigung oon 60» jroifdien
ber ®eraben unb bet aSa^nftrecte her ©t^ingung eine
SBeHe bar unb jroar ju ben 3^'**" t ^= 0, t = \ T,
( =7 I 3', ( = f r.

aiton f)ot bflju a. SB. für

»(-4)

au entmideln, roeliie

x"

.

»

T

— 0,71 r

Ä

T

~ ''

31

-0,71r

-I- 0,71 r
+ r
+ 0,71 r

eine Xtibtüt jmifctien x unb
ne&enftet)cnbe ©eftalt ^at.

13. 33cmntgnng jtoticr (cgulärct ^tütu von vcrfi^itbener 91mfplt>
tube ttwf einer ®ctaben. ßagem ftc^ atoei aSiellenberoegungen, metdie in^c

unb X unb bemnoc^ aud^ in r ^ - Übereinftimmen, auf berfelbeir

©etaben ü&ereinanber, (o ift oot allem a" unterfifieiben, o6 bie Sa^n=

Xl

_ 1

- o( l , P ^

2

.o^:

2 ,^

I 2

-^-^/ ■

^ -^ ^

^

Xi

X2

X2

182 drjter 9tbfd6nitt. [13.

ftrcdcn bcr ©d^mngungcn für 6ctbc Scnjcgungen gleid^c ober t)crfd)ic*
bcnc aiid^tung l^abcn, aufecrbcm an^, ob btc SBcIIcn mitcinanbcr ober
gegcncinanber oerlaufcn. S9ci gleid^cr Sfttd^tung ber Sal^nftrcdcn ocrcintgen
fid^ gtoei SBeUcn oon gleid^cm SJcrlaufc ^u einer neuen äBeDe, roöl^renb bei
entgegengefegtem SScrlaufe Snterferen^en (3. 33. Änoten unb SSöud^e ber
Äunbtfd^en ©taubfiguren) auftreten. ®ie gange Seroegung gel^t in ber
(gbene oor ftd^, welche burd^ bie ©erabe unb bie Slic^tung ber Sal^nftrede
fieftimmt rairb. Sei oerfd^iebener Slid^tung ber SSaljnftredEen beroegt fid^ ein
?ßun!t ber (Seraben in ber burc^ feine SRul^elage unb burd^ bie Stid^tungen
ber beiben Sal^nftredten beftimmten Sbene unb ooHfül^rt in biefer im aü^
gemeinen eHiptifd^e ©d^mingungen. ®ie ganae Semegung gel^t nid^t mel^r in
einer Ebene oor fid^.

®ie (Srunblage für alle biefe Setrad^tungen bilbet gemä^ g^g. 112
folgenbeg: beginnt bie erfte SBeHenbemegung jur Qtit t = in 0^, fo gilt

für bie ©d^mingung oon Oi bie ©leid^ung s = rj sin ( 2 sr . — j • ©d^reitet

biefe SBeHe fort big jum $unft F, fo gilt für bie ©d^mingung biefeS $un!te8,

gig. 112. ^oM man O^F = xi fegt 3«=^

nad^ft bie ©leid^ung:

beginnt bie gmeite SBeKen*
bemegung jur Qeit * = 0, in

O2, fo gilt für bie ©d^mingung oon O.2 bie ©teid^ung s = r2sin(27t • —y

©d^reitet biefe SBeUe fort bis 3um fünfte P, fo gilt für bie ©d^mtngung
biefeS fünftes, faHS man OgP^ aig fegt, ferner bie ©leid^ung:

Sa = ra sin [^^{jT "^ j)\ '

ßiegt nun P au§erl|alb ber ©tredte Oi 0^ = e, fo mirb er oon smci
SBeHen gleid^en SSerlaufeS getroffen; liegt er innerl^alb ber ©tredfe 0^0^,
fo mirb er oon gmei SBellen oerfd^iebenen SSerlaufeS getroffen, gür ben
erften gaH gilt e = ± (xi — x^, mäl^renb für ben 3meiten e = Xi + X2
ift. ©iel^t man 0^ alg ben 3lnfang§punlt ber floorbinaten x an, fo ift im
erften ^aUe bei unferer 3^i^nung, mo Xi > X2 ift, a^a = a?i — e unb im
ameiten ^aUt X2 = e — xi iu fegen. ®emnad^ ift im erften göHe P augleid^
ben beiben Verlegungen

Si = ri sin 1 2 jr ^— — ^ jj unb Sa = r^ sin hjcf^ — ^^ ~ ^ \\

unb im ameiten ^faHe 3ugleid^ ben beiben aSerlegungen

. Si = ri sin \^^{jr — j)\ ^^^ «2 = ^2 sin] 2 ^(jr ~ ^~Ij
untermorfen.

13.]

^nmenbungen bet Sßlgoronomie.

183

SBct glctd^cr Sltd^tung bcr Sa^nftredcn ift im erftcn goUe bic ®cfamt-
Verlegung oon P barftcKbar atS

s = Si + Sa = 12 . sm 2 :n; ^— — ^ + y j

unb grbar [tnb 12 unb rf burd^ bag g^^^^^^f^^ ^Parallelogramm (ocrgl.

2 jt e
gig. 113) Beftimmt, oon bem f)\ex r^, r^ unb 2^— y- gegeben tft.

(S§ entftel^t alfo eine neue SBeHe oon ber SImpIttube B, für meldte
oufeerbem unter \izxn ©inu§ ftatt ber SBerte t)on Si unb s^ ber SBert

— — y + y eingetreten ift (5ß^af enönberung !).

Sei gleicher 9lic%tung ber Sal^nftreden ift im ameiten gaUe bie
©efamtoerlcgung oon P für ben gaU ri = ra barfteübar alS

s = Si + s.2 = B .sin2Tt\ — — ^V

©abei ift 12 = 2rcos jr-f — ^ jL b. ^, abhängig t)on iCi, fo

ba^ alfo l^ier bie eingelnen fünfte mit oerfd^iebener 3lmplitube fd^mingen.
®ie8lmplitubel2 ^at i^r 5»Hnimum ^SrtuH-' fürjr^

e |_ JT I 8ä

ober für 2xi — e =

2 '

, . , „ b. f). für bie Steffen:

.x, = (2n + l)j + ^,

n = 0, ±1, ±2, . . .

®ie 3lmplitube 12 l^at il^r 3Kajimum 2r ^üx 7t — i-y = 0, ± w, + 2 jr, . . .

ober für 2a;i — e = 0, + A, +2 A, . . ., b. \), für bie Steffen:

n = 0, ± 1, ± 2, . . .

Xi = (2n) j + -g,

©iel^t man bie 3Kitte (-^\ oon 0^ 0^ alS Urfprung an, fo l^aben bie
Sftinima, meldte Snotenpunfte l^ei^en, bic 2age (2w + l)j unb bie

SKajima, meldte Saud^pu nfte ^eifeen,

bie ßage (2 n) j, bie ärtittc felbft ent*

fprid^t einem 3Jlajimum.

®er ©inug, meld^cr s = Sj + Sj
beftimmt, ift unabl^öngig oon x^, b. ^.
alle fünfte bcr ©eraben finb ju ber^
felben ^txi in berfelben $l^afe, mobei
aber gu bebenfen ift, bo!^ B in ber 3Jlitte

giß. 113.

Ine \^

R

\

\

K'''\

. 2nd'

^
•■
^

184 drfter SIbfd&nitt. [13.

pofitit) i[t unb eS Bleibt Bis — -j unb +-T-' ^^" ^^ ^^^^ ^^^ jcbem gort«

gange nm — fein SJoracid^en tüed^felt.

3Kan f priest l^ier oon ftel^enbcn SBeHen, tüeil bie ganje $unf treibe in
lauter Steile (—\ jerföHt, roeld^e burd^ rul^enbe fünfte (flnoten) Begrcn3t

njcrben (ffinoten unb Söud^e ber ffiunbtfd^en ©tauBfiguren!).

SBir Bel^anbeln noc^ bie S^f^^^^^^nfegung sroeier SBeHen von oerfd^ie:^
bener Slmplitube Bei gleid^em SSerlaufc, n)enn bie Sal^nftredcn ber ©d^rain*
gungen ga einanber unb ju ber ©eraben fenfred^t ftel^en. 3n biefem gaUe
finb alfo Si unb Sg/ votlijz aufeinanber fenfred^t fteljcn, in einer SBene fenf-
red^t 3ur ©eraben nad^ bem ^ßaraHelogrammprincip gu vereinigen unb barum
tft e§ gnjedfmä^ig, s^ burd^ y unb Sa burd) z gu Begeid^nen unb bie SIngaBen
X, y, z auf ein red^tn)infelige§ breiad^figeS floorbinatenfgftem ju Bejiel^en. 3lu§

unb

folgt nad^ (gntroidtetung beS ©inu§ oon z\

^ . /^\^ c^ y ^ 2ne , „ 2 :n:e

cös — ; — = stn^

als ©leid^ung für y unb z, b. 1^. bie SSal^n ift ein Segelfd^nitt unb groar
n)egen ber Segrengung ber Seioegung eine SHipfe.

SBenn e eine ungerabe Slnga^I oon SSiertelraellenlangen Betrögt,
fo gel^t oBige ©Icid^ung üBcr in:

©'+a)"=''

b. 1^. in biefem gatte ftimmen bie 3l(^fen ber SHipfe mit ben Siid^tungen
Si= y unb Si = e überein.

« — ••• 4' 4''^4'+4

ift

Z = S-i = -{- Ti COS

%üx

Hw-n

— 6A — A .SA 7A

«— ••• 4' 4'"''4'^4'

ift

^

= s, = -r,cos[2 7i(±-^J^

13.] ^ntDenbungen ber $^oronomie. 185

3m erftcn x^aüt gcl^t bic cHiptifc^c ©d^tuingung oon (^ == 0, jer = + rg)
nad^ (y = +ri, ;er = 0), b. 1^. oon bcr pofttiocn ©albad^fc OZ nad^ ber

pofittoen ^albad^fe r, im gmcitcn g^l^^ ^^^^ ^^'^ (y = ö/ ^ = — ^2)
nad^ Cv = +^1/ ^ = 0), b. 1^. oon ber negatben ©albad^fe OZ nad^ ber
pofititjcn ©albad^fe OT; betbe SKipfen mcrben alfo gegenftnnig burd^Iaufen.
SBenn e eine gerabc 3ln3a]^I t)on SSicrtelmellen (= ganje Slnjal^I
t)on ©albmeHcn) betrögt fo gel^t obige (Slcid^ung über in:

(:

unb smar gilt "to.^ geidien +, falls e eine ungerabe Slnjal^I l^alber SBeHen:*
längen betrögt, unb "to.^ 3cidöen — , fall§ e eine gerabe Slnaal^I |a(ber SBeHen*
löngen betrögt. 3n beiben göUen finb bie eEiptifd^en Sd^mingungen gerab*
linig gemorben (Heine 3Id^fe ber (SHipfe =0); im erften gaDe gel^t bie
©erabe burd^ hQ& gmeite unb oierte g^Ib, im gmeiten goHe burd^ \io.% erfte
unb britte gelb bcS Äoorbinatenfreu^eg YOZ.

gfür ri = ra merben bie eHiptifd^en ©d^mingungen 3U ÄreiSfd^mingungen,
mö^renb bie Slid^tungcn ber gerablinigen ©d^mingungen bie %^tc l^albiercn.

Um t)on ben elliptifd)en ©d^mingungen eine Slnfd^auung gu ge*
minnen, gel^t man baoon au§, "to?^ alle Salinen einen gcraben elliptifd^en
ßqlinber bilben, beffen 3Id^fc bie urfprüngli(|en SRul^elagen ber fd^mingenben
5ßunfte ent^ölt. ®ie 2age ber eingelnen 5ßun!te ayx\ biefem ©glinber 3U

jÜ/i

einer beftimmten geit i \\i gunöd^ft baburd^ beftimmt, ba^ 3U biefer -j- unb

-^— j für n atö gan3e '^oi^ biefelben SBerte y unb z liefern, b. \

fünfte, meldte in ber SRul^elage um eine gan3e SBellenlönge oon:*
einanber abftel^en, ^aben auf il^ren Sllipfen 3ur S^it ^ biefelbe
©tellung.

®e]^t man nun im gaHc e = (2 n + 1) -j- oon ber ©teHe iCi = A —

aus, für meldte 2/ = unb -er = ± ^2 ift ^"^ verfolgt man oon biefer ^yx%

eine ©tredEe big 3ur ©teHe oji = A — — k, für meldte mieber y = ^ unb

;er == ± rg ift, fo erhält man auf ben nerfd^iebenen SHipfen ber ©tredEe — A
ber Steige nad^ ßagen ber oerfd^iebenen fünfte, meldte auf einer Sttipfc einem
tJoHen Umgang entfpred^en mürben, b. f). bie 5ßunfte bilben auf bem
elliptifd^en ßqlinber einen nollen ©d^roubcngang.

Semgemö^ bilben alle ^unlte 3ur geit i eine ©d^raubenlinie
beS elliptifd^en ßglinberS unb 3mar fo, "t^"^ jebcr SBeUenlönge ber
9lu]^elage ein ooUer ©d^raubengang entfprid^t.

®a nun ein ^unft mäfjrenb ber Seit T feine SEipfe einmal burd^Iöuft,
fo brel^t ftd^ bie eHiptifd^e ©d^raubenlinie unter SSerönberung il^rer gorm in
biefer Seit einmal um i^re Sld^fe. gür r^ = r^ gel^t ber eUiptifd^e ßglinber
mit feiner ©d^raubenlinie in einen SrciSci)Iinber mit einer gemeinen ©d^rauben*
Knie über.

186 (Srjter 8lbfd&nitt. [14.

14. ^ie slemötttttge Setoiegung auf bet (geloöl^tilid^ett) Sd^taulben«
ntilc. ®tc Bewegung, lücld^e ©.119 betrad^tet würbe, foH l^ier im ©inbltd
auf bic 5ßroicItion8met]^obc genauer unterfud^t tuerben. ®ie ©c^rauöenlmie
mag einen fenfred^t ftel^enben ©glinber vom SRobiuS r mit bcr Steigung
tang a umlaufen. SBir legen burd^ ben 3KittcIpunIt ber unteren Orunb«
flöd^e be§ KglinberS, meldte oon ber ©d^rauöenlinie im 5ßun!te Ä gcfd^nitten
merben mag, ein red^tminleligeS Roorbinatenireuj XOY unb gmar fo, ba^
bie pofitioe X*8Id^fe burd^ Ä ge^t unb ba^ man, von A au8 auf ber
©d^raubenlinte fortfd^reitenb, gunäd^ft bie pofttioe r^Sld^fe, bann bie negatioe
Xs'SId^fe, bann bie negatioe TsSId^fe u. f. f. üöerfd^reitet.

©el^t bie Semegung oon A aug mit ber ©efd^minbigleit [c], fo ift
[ccosa] beren ©oriaontattomponente, b. 1^. bie ^rojeltion ber ©d^raubenltnie
auf bie ©ori^ontatebene, meldte ein Streik oom 9labiu8 r ift, mirb mit bcr
©efd^minbigfeit ccosa gleid^förmig burd^Iaufen.

ßöft man bicfe ffireigbemegung in gmei l^armonifd^c ©d^mingungen auf,
belogen auf X unb Y, fo erl^ält man für biefe atö ©teHungSgleid^ungen :

X

= rcos\2Tt ' —j unb y = rsin(27t • — j.

falls man bie Umlqufgaeit für ben ÄreiS mieberum mit T bejeid^net.

^ ^ 2 rn , g .^ t ccosa ^ , ^„^,

®a nun T = tft, fo tft 2jr • -— = t unb man erbalt:

c cos a ' T r

X

(c cos a A c . /c cos a \
= r cosi • t j unb fj = r sin i • t j

©iel^t man bie ©qlinberad^fe, bem ßaufe ber Semegung entfpred^enb, al8 britte

Sld^fe OZ an, fo ift auf i^r eine gleid^förmige Semegung mit ber SSertifaU

fomponente oon [c], b. ^. mit [c sin a] oorl^anben, meld^er bie ©leid^ung ent*

f prid^t : ,

z = csmat,

SKan l^at femer:

, . . /ccosa \
Vx = — (ccosocjstn ( • tj

. f . (ccosa \
Vy = -\- (c cosa) . cos { ' t\

Vg = -{- c sin a.

SRatürlid^ fül^rt vi -^ vi '\- v^ micbcr gurüdE ju c^ unb ju ber SRid^s
tung a oon [c].
3Iufecrbem ift:

(c cos a)2 /c cos

jx = — ' — cos '

r

(c cos a \
. /c cos a .\

3z = 0.
man 5at alfo: ja = VjI + fy + jl = (^^21^ „nb atoor tft [ja]

(c cos a)2 . /c cos a
jy = — ^ — — ^^ sin '

T

14.]

9(nn)enbun0en ber ^^oronomte.

187

parallel 3ur ©orijontalcn (i, = 0) unb ^at bie Sftic^tung nac^ bcr Sttd^fc
(ÄrciSbertJegung). ®a bie Seroegung auf ber ©d^raubcnlinie glcid^förmig ift,
fo tft für fie jt = unb [jq] tft bcmnad^ lebiglic^ SRormalbefc^euntgung.

V'

3tu8 ber (Sletd^ung jn = — folgt l^ier für jn
©leid^ung ^ I

(ccosocy

r

unb t' = c bie

b. ]^. ber 9labtu8 g bcr (erften) ffrümmung i[t fonftant. g^Kt man t)on
einem fünfte P ber ©d^raubenlinie ein ßot auf bie 9ld^fe unb gtebt man
biefem bie ßönge PM = q, fo ift M ber ÄrümmungSmittelpunft für P.
3Kad^t man biefe Äonftrultion für alle fünfte P ber Schraubenlinie, fo
ge6cn bie ©nbpunite M eine gmeite ©d^raubenlinie, bie einem ©qlinber oom
SRabiuS q — r = rtang^a angehört. ®a biefe biefclbe ©angl^öl^e
Ä = 2r7ttanga f|at mie bie erfte, fo ift il^re Steigung tanga' beftimmt
burd^ bie (Sleid^ung ä = 2 (r tang^ a) n tang a', b. f). man l^at
tang a . tang a' = 1.

3tuf ber Sal^n gelten natürlid) bie einfachen SemegungSgleid^ungen :

s = et

V = c

j = 0.

Um bie Semcgung bilblic^ barjuftellen, ftellt man für t = mT bie

XabtVit für x, y, z %tx, mobei 3U bead^ten ift, "i^^^ für z bie ©röfee

csina , T = h nrirb.

Stg. 114.

t

aj

y

-?

4" *'

\T

4" ^

h
4

\T

— r

2

3 /TT

4 ^

— r

3/*
4

2'

+ r

Ä

h

r "■

)

T

4^

^

^

>

^

4

<r^

h

\.

T

N

-s^

1

h

4

>

-^ Y

-r

Ö+r

m

1

1

^

\

4

1

^

4

\

^

^

i

y

-r

fi^i

® emäfe einer f old^en
%6b^z, meldte oor*
fteljenb angebeutet ift,
entmirft man ben
©runbrife [x, y) unb
bie beiben älufriffe
{x, z) unb {y, z) ber Semegung, mie e§ %\q. 114 für a = 26^30' barfteHt.
©el^nt man bie 2^abeIIe auS auf v^, Vy, Vg unb jx, jy, jz, fo laffen fid^ aud^
Oefc^minbigleit unb Sefd^Ieunigung für bie brei ^ßrojeftionSbemegungen gu
jeber Qtxt leidet barftcHen.

188

(Srfter SIbfd6nftt.

[15.

15. ^^otottontif^e Settad^tittig tion fintkieti. 2)a jebe Sinte burd^
SetDcgung cincS 5ßunftcg cntftanbcn gebadet Toerbcn !ann, \o lä^t fid^
bic 5ß]^oronomte gclcgentlid^ (ocrgl. ©. 108 oben) aud^ mit SSorteil für bie
Unterfud^ung t)on fturoen ocrtücnbcn. SBir geben bafür einige Seifpiele.

I. ®enft man bie gllipfe ber gig. 115 burd^ bie belannte gaben^*
lonftrultion entftanben vmb gmar im Sinne bcg ge^cid^neten 5ßfeile8, fo löfet
ftd^ bie S^angente in F, meldte ©renalage ber ©cfantc PP" ift, folgenber^
ma^en lonftruieren. SSerlöngert man J\ P big Qi , fo ba^ Fi Qi = F^ P"
ift unb oerfürat man F^ P bis Q^, fo bafe F<, Q<, = F^P" ift fo ift PQi = P Qs,
meit F^P + PF^ = F^P" + P"F^ ift. 3e nö^er P" an P liegt, um

Sig. 115.

fo geringer ift bie 3tbs
meid^ung ber ©tredten
CiP" unb QjP" beam.
t)on ben ßoten in Qi unb

Ö2 auf Fl öl unbFa^a.
mäl^renb ftetS

PQ, = PQ^

bleibt. Sirägt man alfo
oon P über P^i unb
PQ^ biefelbe ©tredfc
m auf, fo ba^ man ju
ben fünften Mx unb M^
gelangt , unb errid^tct
man f enter in M^ unb M^ ßote begm. gu Pilfi unb PM^, meldte fid^ in T
fd^neiben, fo ift bag SSieredt PM^ TM^ eine ö^nlid^e Slbbilbung beS SSieredfeS
-PÖi^"Ö2 föt limPP" = 0. ©emnad^ ift T ein 5ßunlt ber Sangente au8
P. ®a «1 = «2 tft, fo l^albieren PT unb PN bie SBinfel ber ©tral^Ien
Fl P unb Fa P unb e§ bilben PFj, PiV, PF,, P T ein ^armonifd^eS Süfd^el
befonberer 3trt (9led^tn)inlelig!eit eineS gugeorbneten ©tral^IenpaareS). SHefc
SBetrad^tung läfet ftd| ol^ne meitercS auf bie ©qperbel unb auf bie Parabel
übertragen.

Sie beruht barauf, ha^ ftatt ber Verlegung [PP"] einmal beren
flomponenten [PC2] iinb [Q^P"] unb bann beren Komponenten [PQi\
unb [QiP"] 6etrad^tet merben.

II. Sie Spirale beS Slrd^imebeS (oergl. @. 106) entfielet gemä§
gig. 116, menn ein $unft W auf einem ©tral^tc OS oon auS mit Ion*
ftanter ©efd^minbigfeit c oorrüdtt, mä^renb ber ©tral^I felbft fid^ oon OX
av& mit lonftanter SBinfelgefd^minbigfeit y brel^t. 3ft P bie ßage oon W
3ur Seit t, fo ift OP=r = et mb 2i XOP = ö = yt ®a§ ^afjn^
ftüdt PP" ber Spirale entfte^t in ber geit r, inbem W um P" ^ OP
= PCi = er auf htm ©tral^Ie OS fortrüdtt, möljrenb fid^ augleid^ bcrStral^t
felbft um B bre^t. (Sciangt P bei ber Srel^ung um e nad^ Q2, fo ift

p^3 z=re = ryt. S)a baS SSer^ältniS oon P^i : PQ^ ftetg ben SBert
c : ry ober — : r l^at, unb ba bie ©tredfe P ^2 wm fo meniger oon bem ßotc

15 ] jttnnjenbungen ber Spi&oronomic. 189

in P an^ OP obwcid^t, je Heiner r begn). PP" ift, fo mxb boS SSiered
-P^i^'' ^2 fö^ '«»»^ = ö ^11^^ basaSiered PJfi Tüfj ä^nlid^ abgebilbet, wenn

man PMi = — mad^t, bem ßote PM^ in P auf OP bie ßönge r giebt

unb bemgemä^ ba^ Parallelogramm PMi TM2 nerooHftönbigt. S)emnad^
ift T ein 5ßunlt ber

gtg. 116.

S^angente an^ P.

Sielet man noc^
N'r buxi) fenf*
rec^t au OP, fo ift
APN'O^APTM^
im aSer^öItniffe 1:1 ,
unb bemnad^

N'O : OP = -:r

unb ^

y

b. ]^. bie ^olarfub^
normale ift Ijier fon^:
ftant.

«. ^ .. U. 8«. «M.U.. «., „a„ ,„ .„„ M««»- e«.

lung t)on r aug, 3. S. t)on r = OL = 1 für<J = ^- 3Kan l^at bann

— = yt unb Z = et unb alfo — = —
2 ' y :r

3n aSegug auf bie Äonftrultion

2 ?
oon — oergl. IV. in biefem ^ßaragrapl^en.

7t

S)ie Betrachtung berul^t barauf, ba^ au8 btm SSerl^öItniffe-ber ®e«
fd^minb ig leiten für bie Semegungen auf OS unb um ba& ^araHelo^
gramm Pilfi TJfg bargefteHt mürbe.

S)iefe Betrachtung gilt für jebe Ruroe, nac3&bem fie in ^olarloorbinaten
bargefteHt morbcn ift.

III. ®ie ©qlloibe entftel|t, mcnn ein Rreig M auf einer ©eraben
PoO roDt (oergl. gig. 117 a. f. ©.). ®abei läfet [xd) bie Oerabe PoO alS
fefte, ber flreiS M afö bemcgiidje Sßolbal^n auf f äffen (oergl. ©. 133). ®er
Serü^rungSpunft beiber Salinen ift augenblidlici^er ®re]^punlt, fo ba^
limPP" ein Slreigbogen an^O ift für beffen ©renageftaltung^ OPP" = 90«
gilt. aSerbinbet man dfoP mit ben beiben Snbpunlten beg ©urci^mefferS 00',
fo ift P T Stangente unb PN SWormale für ben ^unlt P ber gqHoibe.

— J in P t„ amei Äotn.

ponenten, beren eine in bie 2^angente PT' beS bemeglid^en ÄreifeS föDt,
möl^renb bie anbere ber (Seraben Pq parallel ift, fo bilben biefe ffompo^^
nenten mit v gleid^e SBinfel, ba s' aI8 ©el^nentangentenminfel bem $eri*

190

(gtftcr Slbjd^nttt.

[15.

pJ^ericttJtnlel b glcid^ tft unb ba s" mit 90® — s einen redeten Bilbet. 3nfoIge:s
beffen ftnb bie Beiben Komponenten oon [v] einanber gleid^ unb l^obcn bcn SBert

©el^t bie Stellung um mit ber SBinfelgefd^minbigfcit y oor fic^.

2 cos 6

ppif

fo ift V = lim = OP.y. ^aOP = 2rcoss x% fo ift v = 2rycose

unb bie Komponenten erljalten ben SBert r y, b. 1^. \ioS> SIbroHen beg flreifeS
auf ber ©eraben mit ber fonftanten äßinlclgefd^minbigleit y lä^t fid^ qm\^

Sig. 117.

löfen in eine gu P^O
parallele SSerfd^iebung
mit ber lonftanten ®e*
fd^minbigfcit c -=1 ry
unb- in eine ©rel^ung
um M mit ber !on:=
ftanten äBinlelgefd^min*

bigleit — = y. ©iefer
t

Verlegung entfprec^enb
ermöd^ft bie Sefd^Icuni*
gung ber Semegung au§
brei Komponenten (oergl.
®. 136); bie »ejd^Ieu*
nigung ber ©rel^ung um
M \)oX bie SRid^tung
PM unb ben SBert ry'^,
bie aSefd^Ieunigung ber
aSerfd^iebung ift SRuK,
unb bie gufaöbefd^Ieunigung [2 1; r 9?] ift glcid^f aUS SRuH. ©emgemäfe ift bie
©efamtbefd^ieunigung ber SSemegung oon P nad^ M gerid^tet unb l^at ben
SBert ry^, S^^I^gt man fie nad^ ben 9lid^tungen PT unb PJ\r, fo erl^ölt
[jjv] ben SBert ry'^cosh unb [;>] ben SBert ry'^sm^, ®ie g'^rmel

- = h Rßf ett

4 r^ y2 QQ^i £
Y y^ cos e

= 4:rcos€ z= 2 PO,

fo ba^ für GP = 2 0P ber ^unf t G ben äftittelpunft beg Ärümmungg^
IreifeS für P bejeid^net.

IV. ©iefluroe be§ ^ippiaS entfielet al§ Drt ber ©d^nittpunfte
ameier fid^ bemegenben ©craben I unb II, oon benen fic^ bie eine (I) in
glcid^förmiger aSerfdfjiebung (c) unb bie anbere (II) in gleid^förmiger S)re^ung
(y) um einen feften ^unft befinbet, fall§ I unb II für ben ©urd^gang ber
©eraben I burc^ ben ©rel^punft oon II aufammenfaUen. ©cl^t man
(oergl. %\q. 118) oon ber Sage OX au^, in ber beibe ©eraben aufammen^^
fallen, fo ift I nad^ 31blauf ber Qdt t um bie StredEe et fortgefd^ritten^

15.] SlnttJenbuttöen ber jpi^oronomie.

raäl^renb ftd^ gugleid^ II um ben aBinlcI q) = yt gcbrc^t ^at
bcmnad^ für P = ^ bie ©leid^ung P ^ == c ^ = p sm g) =

Sig. 118.

191
Q sin (y t).

S)a (p = yt ift, jo ift ^ = ~ unb FQ = ^, b. ^. man ^at aud^:

C . c WC

w ' — = Qstnw unb p = . —
y stnq) y

gut Zimg)

tütrb p = — , b. ]^. bic Suroe jd^ncibet btc Z^Sld^fe

im Slbftanbc 0A =

gür eine SSicrtelbrel^ung (<jp = -jift p = — ; beacid^net man bicfcn
SBcrt t)on p, meldtet in gig. 118 burd^ OB bargcf teilt ift, burd^ r, \o ift:

V %

Semnad^ lann man bie ©tredte OA = — benufeen, um einen St eis oom

SHabiuS r burd^ eine oiertc ^Proportionale gu reltifi gieren, man erl^ölt

2r
nämlid^ für a; : 2 r = 2 r : — ben SBert o; = 2 r ;r. Silbet man femer

%

ein SreiedE mit ber (Srunblinie x unb ber ©öl^e r, fo ift beffen glöd^e r'^n,
b. 1^. ber ÄreiS ift bamit aud^ quabriert. S^f^^Ig^MI^^^ ^^fet bie Äuroe
beS $ippiag oyxi:^ Duabratrij.

©ie ermöglicht au^erbem bie 3^rf^ßwng eineg gegebenen SBinfelg ft in
n gleid^e Seile. Srögt man nämlid^ SBinfel ft fo, roie gig. 119 (a. f. ©.)

192

drftcr 8lbfd&nltt.

[16.

jctgt, in gtg. 118 ein, jo ficftimmt fein freier ©d^enlel auf ber fluroe beS
©ippiaS ben Jßunlt P, meld^em eine Beftimmte ©teHung ber ®eraben I unb

II entf priest, fo
. ^^ö- ^^^' ba^Stredemunb

Äy SBinlel fi gufams!

mengel^ören. Seilt
man m in n gleid^e
S:etle(3.a3.w = 5),
f geben bie biefen
S!eilpunltenl,2,...
entfprcd^enben 2a*
gen oon I auf ber
Suroe bie ent«
fpred^enben Seil*
punite V, 2\ . . ,,
X burd^ meld^ bie
guge^örigen ßagen
oon II beftimmt
finb.

3n ^araHellüorbinatcn l^at unferc Äuroe, raeld^e aug unenblid^ ^ oicien
Steigen Befielet, bie ©leid^ung:

X

= ^^^^(7*1)'

oa 77^ = — = cotw unb w = yt = - — - = -^
QP y -r ^ I ^ 2r

S)ie S^angentenfonftruftion erlebigt fid^ leidet nad^ II biefeg 5ßaragrap]^en.

16. €arbanoi^ getablintge ^ü^tnng einet ebenen ^tgur. S)ie SSe^»
raegung einer ^^^Ö^^ ^^^ ßbene in biefer felbft ift burd^ bie Semegung einer
SeraegungSftredte AB =^l (t)ergl. ©. 115) beftimmt. SBeift man ben (£nb*
puniten A unb B ber SeroegungSftredte jmei gerabe ßinien al8 Säal^nen an,
fo ift bamit eine Beftimmte Semegung ber gigur gegeben, ©inb bie ®eraben
parallel, fo ift leine meitere Unterfud^ung nötig; mir bel^anbeln bal^er im
folgenben (oergl. gig. 12a) bie SSeroegung für groei fid^ in unter bem
SBin!eI X fd^neibenbe ®eraben I unb IL

SSetrad^ten mir nun bie Seroegunggftredte AJ5 in einer ßage Ä B\ fo
geben hz^xo. bie ßote auf OA' unb OB' in A' unb B' in i^rem ©d^nitte
Jf ober M' ben augenblidtlid^en Srel^punlt für bie SBeiterbemegung oon AB,
unb aroar mag biefer 5ßunft gunöd^ft afö 5ßunft ber beroeglid^en gigur M'
unb afö ^unlt ber ebene Jf ^eifeen. S)a 2i A'M'B' = I8O0 — A
unb ha A'B' = 1 ift, fo ift oon A A' M' B' eine ©eite (?) unb beren
(Segenminlel (180<^ — X) gegeben, fo ha^ ber ©d^eitel M' biefeg SBinlefö auf

16.]

$(nn)enbungen ber ^Igoronomie.

l

193

bcm entfprcdöcnben Äreife vom Surd^meffcr

sin k

liegen mu§. S)tefer

ÄrciS ge^t burd^ 0, ba A* M' B' für il^n ein ©e^ncnoiered ift, unb gmar
rairb M'O ein ©urd^meffer, weit 2$: Jf' A'O = ^:5ilf'J5' = 90« ifl.

S)a nun OM' = -r-^ ift unb ber 5ßunlt M' ber gigur ben ^ßunltütf

sink

J

ber ßbene bedt, fo f)ai M oon ben 8lBftanb -r-r-, b. f). M liegt auf

sin k

einem Streife auS oom SRabiuS

l

sin k

©emnad^ befielet bie Semegung in bem SlbroIIcn cineg flreifeS oom

Surd^meffer -r—r-f tüeld^er ber benjeglid^cn gigur angehört, inner l^alB

stn A

eincg ÄreifeS üom StabiuS -:—r, mcld^er ber feften Ebene angehört. 3eber

stn A

5ßunlt ber gigur befd^reibt alfo eine $r)pr)ct)IIoibe. gür ba^ SSerl^ältniS 1 : 2

ber Stabien ber crjeugenben ftreife, ba^ f)itx gu ®runbe liegt, gelten biefe

^ripocglloiben in

gHipfen über, gum Sig. 120.

S:eil fogar in
©tredfen. Setrad^^
tet man nömlid^
einen Surd^meffer
D^ beg roHcnben
ÄreifeS innerl^alb
ber bemeglid^en
gigur, fr) bleiben
2> unb E mö^renb
berSemegung auf
ben fid^ fd^neiben*
ben (Seraben OD
unb E ber feften

Ebene , meil
2il)* A' unb
2S:J5'0i;'füriebe
ßage oon C begm.
über benfelben
Sogen 7)'A' unb
E' B' beg rüUcn*
ben ÄreifeS ftel^en
unb barum unoer»^
änberlid^ finb.

S)a jeber $ßunlt P ber gigur afö 5ßunlt eineg beftimmten ©urd^mefferS
beS ftreifeS um C aufgefaßt merben lann, fo ift bie Sa^n iebeS 5ßunlte§
P bcftimmt , roenn man mei^ , meldte ßinien bie 5ßunlte einer ©tredte B E
begm. bie ^unlte beren SSerldngerung befd^teiben, menn biefe auf ben

SBernitfe, SWedöottif. I. 13

194

(Srftcr 8lbfd&nltt.

[16.

©d^enleln cineS redeten SBinlelS gleitet. Setrad^tet man (oergl. gig. 121) ju*
nö^ft einen ^unlt Pi auf ber ©trede DE, rccld^e fid^ in ber ßage D' E'

befinbct, fo gilt cosS =: — unb sin ö = — unb man l^at nad^ Duabrieren
unb 8lbbieren beiber Oleid^ungcn bie Segeid^nung:

^' i y! — 1

bi

a.

gür einen 5ßunlt Pq auf ber SSerlöngerung ber ©trcdfe DE gilt ebenfo:

cos

— X

= - — unb

b. ^. man ^at:

sind = -^,

V ^ «^ ~

S)emnad^ befd^reiben bie fünfte ber ©tredte SHipfen, für meldte bic
©umme ber ©albad^fen ben SBcrt DE = -r-r- l^at, mö^renb bie fünfte

StYh A

auf ber JBerlängerung ber ©tredte ßHipfcn befd^reibcn, für meldte bie S)iffe:'
reng ber $aIbadE)fen ben SBert DE = -v—r- ^at. S)er Unterf d^ieb gmif dE)en

Stil A

beiben (SHipfenarten oerfd^minbet für 5i = feg = 0, b. 1^. für D, unb ßnt*
fpred^enbeS gilt a\xä) für E, fo bafe bie ©tredfen, meldte D unb E befd^reiben,

«^ 121 ^'^ eHipfen mit

^^^' oerfd^roinbenber

iEfeiner 3Id§fe an^
anfeilen finb.

Um bie ®e«
fd^minbigleit für
einen $unlt P ber
gtgur 3U beftim*
men^beaeid^nenmir
bie ©efd^minbig*
feit t)on A auf I
mit t?A, fo bafe -4
möl^renb ber geit
r ben SBeg va^t
befd^reibt, ber für
lim r = aK
flrcigbogen aug ilf'
erfd^eint. ©efd^ie^t
bie S)re^ung um
Jf' mit ber SBinlefc
gefd^roinbigleit q),

fr) ift biefer Sogen jugleid^ M' A\q)t, b. 1^. man ^at 9 = ^7-77* Sör
einen Jßunlt P erl^ölt bemnad§, ber Srel^ung \xm M' entfpred^enb, bie ®e=»

ttnioEnbutiBEii bei Sp^oronomte.
M'P

WT'

Ein S^Dt in r ju M'P im Sinne bcr S)ie()ung von Ä um 3f' &eflimmt
ift (oergl. in ber gigut 120 unten ben 5pfril xson 1'', cnUptedienb ben
5ßfeiien bei Ä' mib B' unb Jlf').

9Iuf ©tunblage »Dtftefienber ©etca{^tunß (flfet ficfi eine ©erobfüfirung
lonftruieren. ßä^t mon ein cqlinbrifd^eS gQ^f^iti (C') innerf|al& eineS on*
beren (0) oom boppdten SRobiuS mit Singriff laufen (Äurbelöemegung beS
Heineren SHabeS bei Sßeröinbung ber ßentren butc^ eine brefibare ©c^iene),
fo fc^roingt jeber UmfnngiSpuntt be§ Heineren 9tabe8 auf einer ©treie, ntetdje
fo lang ift, niie ber ©urcEinieffer beg größeren StabeS, Sliefe @erabfü^rung
rourbe »on ßorbano (1501 big 1576) gefunben.

StnberfeilS lann man gemä^ gig. 121 einen SIpparat jur aeit^uerift^en
(grjeugung non lättipfen tonftruicren. (Snic^tet man in D' unb E' beim.
2ote auf Y unb X, fo fdinetben fic^ biefe niieber in einem Qugenblid*
ticken sire^punll M. fo bo6 MP, eine !ftormnIe ber ßllipfe unb fanS 2ot in
Pi auf MPj eine Jangcnte ber ßttipfe ift.

17. Üeonarbog SSeuitpitg einer ebtntn t^igni. ©tatt bte Semegung
einer Sigur in i^rec S6ene burd) bie Seroegung einer ©eroegungäftrecte ju
beftitnmen, fann man gtg 122.

auä) anberS werfafiten.
©in ©eifpiel bafür ift
bie -SBeftimmung, ba^
bie betben ©i^entel eines
rechten aSinfefS (C) bet
Dfigur buri^ jtDei fefte
9|Junlte A unb B ge^en.
®o ber ©cEieitel Ü beS
rechten äSintelS mit A
unb B ein rei^troinleligeß
3)retec( bilbet, beffen

§t)potenufe AB ift, fo x

benegt er ftc^ auf

einem fflreife nom Shirt^e ,,ju

meffer-dB. ©inb(nergl.
gifl. 122) nun C unb
G" gnsii Sagen oon
C, fo ift ber gjuntt Ä'
beS teerten äBinlelS, ber
in bet Sage C mit Ä

jufaimnenfiel, in bet ßage C" nac^ A" gelangt (CA = C"Ä") unb
ebenfo ift ber 5ßun(t B' beS rechten SSinfelS, ber in ber Sage C mit B
3ufammen(icl, in ber Sage C" noc^ B" gelangt {C B ^= C" B"). Sllatür=
lic^ fann man unter onberem fomo^l C"A" als aui^ C" B" afS SBeroegungS*
ftreeCe ber gigur ünfef)en. gär limC'C" = liegt ber augenblitflic^e SJtet)»

196 erftcr Slbfi^nitt. [18.

punlt ber Überfül^rung von C xia^ C" auf bem S)urd^mcffcr C M'. ßäge
biefer S)rc]^punft inncrl^aK beg S)urd^mcffcr§ C'ilif', tote 3. S. D[, jo tüürbc
btc Srcl^uttg utn Di bctt $uttlt -4' an^ Ä tttd^t ttad^ -4", fonbern auf ben
aSogctt A F führen, ßäge ber 3)re^punlt aufeerl^alb bc8 Surd^tncfferS C Jf' ,
tüte 3. S. D2, fo tüürbe bie ©re^ung uitt D2 ben 5ßunft 5'^ aug 5 ttid^t
nad^ B'\ fonbertt auf ben Sogett JBG fül^rctt. S)er g^l^Icr ber Überfül^rungett
totrb utn fo Heiner, je näl^er Di unb Di an üf' rüden, b. 1^. itf' ift augem
Bltdltd^er ®re]^punlt.

Snnerl^alb ber beroegltd^en fjfiflii^ ^^t iJf t)on C ftetg ben Surd^meffer
bcS ftretfeS um AB = 1 alg Slbftanb, fo ba'j^ alfo tnnerl^alb ber gigur M
auf einem Rrctfe vom SRabiug l liegt, beffen SRittelpunlt C ift.

3n ber feften Ebene bitbet M mit ben feften fünften Ä unb 5 ftetS
einen redeten SBinlel, fo ba§ alfo ber Ärei§ mit bem Surd^meffer l inner*
J^alb ber feften (Ebene ben €rt t)on M be3cid^net.

S)emnad^ befte^t bie Semegung in bem SlbroHen eineS ftreifeg (0) t)om
Stab iug 1, mcld^er ber bemcglid^en gigur angcl^ört, auf einem Äreife (0)
t)om Surd^meffer 7, meld^er ber feften Sbenc angel^ört, unb 3mar bei um*
fd^Iiefeenber Serul^rung beiber Jlreife.

®d§Iägt man innerl^alb ber gigur twd^ ben Rrei§ mit htm ßentrum F',
meld^er ben feften RreiS um in berüfjrt, fo roHt biefer bei bem 8lbs
rollen beS SreifcS oom Kentrum auf bem Rreife vom ©entrum felbft
auf bem Äreife ab. äftan barf alfo ben bemcglid^en Äreig vom Kentrum C
b\xxä) einen bemeglid^cn Ärcig vom Eentrum F erfefeen, b. 1^. bie Semegung
lö^t fid^ aud^ auf f äffen atö ba& 3lbroIIen eineS Streif eS (r) t)om ©itrd^*
meffer l, meld^er ber bemeglid^en 3figur angel^ört, aufeerl^atb eineS flrcifeS
(0) t)om ©urd^meffer 1, meld^er ber feften ßbene angehört. S)emgemö^
ftnb bie ßinien, meldte ein $unft F ber gigur bcfdE)reibt, Spicgtloiben, unb
ixvax t)on befonberer 3Irt, ba bag SSerl^ftltnig ber SRabien ber er3eugettben
ftreife 1 : 1 ift.

Sie t)orIiegenbe Setrad^tung, meldte auf ßeonarbo ba SSinci (1452
bis 1519) 3urüdt3ufül^ren ift, l^at für bie Ronftrultion ber Doalmerfe (SHipfen«
bre^banl) Sebeutung, ba bie SRcIatiobemegung beS feften ÄrcifeS (0) gegen
ben bemeglid^en ftreiS (C) 3U ben ßHipfen ber oorigen Sir. 16 3urüdffü]^rt.

18. t^oucaulti^ ^enbeltierfitd^. SBenn man ein j^obtrof^zrAtl über btm
^ole ber (Srbe aufl^öngen fflnnte, fo mü^te fid^ beffen Sbene für ©d^toin*
gungen au§ ber SRul^elagei) gegen jebe beffunmte SSertilalebcne beg
^oleS in retatioer ©rel^ung befinben/ falfö bie Srbe, ber gebräudEjüd^en 8ln=
na^me cntfpred^enb, fid^ um i^re 3ld^fe bre^t. gür einen Seobad^ter auf ber
Erbe mürbe bie Sbcne beS ^enbelS mäl^renb einer ooHen Umbrel^ung ber ßrbe
felbft eine ooHe Umbre^ung mad^en. Söenn man über einem 5ßunlt beS ^qua^
torS ein gabenpenbel aufl^öngt, fo ift für ebene ©d^mingungen inner*

*) SInbernfallS tritt, ftreng genommen, übcrl^aupt leine ebene (Sd^toingung
ein, ba bann burd^ bie S)re]^ung ber @rbe ftctS feitlid^e ©efd^roinbigleitglompo*
nenten ]&in3U0efügt werben.

18.]

Slnroenbungen ber jpi^oronomie.

197

\)ali bcr 3[quatoriale6enc0 feine Stellung ber 5ßenbelcbene gu Beob*
achten, mag nun bie (Srbe in SRuI)e fein ober ftc^ um i^re 8lci)fe breiten.

äBenn man, rote gig. 123 anbeutet, über einem Sßunit P irgenb etneS
Sreitenireifeg (9) ein gabenpenbet aufljängt, \o laffen fic^ jroar, ftreng ge*
nommen, unter ^ßoraugfe^ung ber ©rbbre^ung überliaupt feine ebene ©d^roin*
gungen l^erfteHen, boä) fönnen ©d^roingungen, roelcfie innerl)alb beS 3Keribian8
Don F eingeleitet roerben, in großer Slnnöl^erung aK ebene ©d^roingungen
gelten.

ßegt man burd^ ben 3KitteIpunft M ber Erbe eine Sld^fe HH', roeld^e
htm ©d^nitte bcg 3Keribian§ oon F mit ber ©orisontalebene oon F paraM

gig. 123 a.

gig. 123 b.

27r

RlTk<p

ift, fo lann biefe 3ld^fe HH' in SSerbinbung mit ber SSertifalen MV oon

F für eine S^rf^Ö^^^B ^^^ Srbbrel^ung um ü)xt 9Id^fe NS oerroenbet roerben.

Segeid^net man bie UmlaufSjeit ber ßrbe mit T, fo ^at beren SBinfels:

23r

gefd^roinbigfeit für bie Sld^fe NS ben SBert — , fo ba^ eine Verlegung biefer

SBinfelgefd^roinbigfeit (oergl. ©. 131), rote fie gig. 123 b jeigt, für bie Sld^fen

2 TT 2 ?r

HH' unb MV be^ro. bie SBerte —cos<p unb —sinq) liefert.

SHe S)rel^ung um HH' bxtf^t bie ßbene beg 5ßenbelg gugleid^ mit ber
aSertifalebene beg SJleribang von F, fo bafe burd^ fie überhaupt feine rela*
tioe ßagenänberung ber ^enbelebene gegen irgenb eine SSertifalebene t)on F
beroirft roerben fann.

Sie Sre^ung um MV brel^t, öl^nlid^ roie am 5ßoIe, bie ^origontalebene
t)on F gegen bie ©bene beg 5ßenbelg, unb jroar mit ber SBinfelgefd^roinbigfeit

2 7t

—-sinq), fo ba§ bie 3ßit eineg t)oIIen Umlauf eg T^;, ber ©orijontalebene

^) ©iel^e tJorftcJ^enbe Slnmerfung.

198 (grfter TOfd^nitt. [18.

von F, XDtl^zx einem SBeobad^ter in P dS ooHer Umlauf ber 5ßenbcle6ene

T

erfd&eint, ben SBert -. — hat. 8lu§ bem 3Infafee, hai an einem €rte oon

T
ber Sreite op ber vdüz Umlauf oon seo«^ in ber R^it T,« = -^ — t)or fid6

ge^t, folgt bie fd^einbare ®re]^ung für eine ©elunbe, eine 3JHnute u. f. ra.

gür aSerlin (ip = 62^ 30') ift T,;, = 30»^ 10' 1" mittlerer 8^^, fo
ba^ ^ier auf ben Sag etroa 285^ 36' unb auf bie Stunbe etma 15^ 1' f(^ein=s
bare Srel^ung lommen.

S)te Seobad^tung biefer fd^einbaren S)rel^ung, meldte 3uerft(1851)
t)on goucault ausgeführt mürbe, giebt ben SemeiS für bie Slnnal^me
ber SldEifenbrel^ung ber ßrbe. S)a bie fd^einbare S)re^ung, meldte man
l^ier beobad^tet, ber mirflic^en ©rel^ung ber ßrbe entgegengefegt ift, fo bre^t
fld^ bie ^enbelebene auf ber nörblid^en $alblugel fd^einbar non Dften burd^
©üben nad^ SBeften, auf ber füblid^en ©alblugel fd^einbar oon SBeften burd^
©üben nad^ Dften.

gür einen auf bem Jlorbpole ftel^enben Seobad^ter brel^t fid^ bie drbe
umgele^rt mie ber 3^0^^^ f^^^^^ S^afc^cnul^r (giffernblatt oben!), möl^renb
beren ©inn ber ©rel^ung ber ^enbclebene entfprid^t. ®ef)t ber Seobad^ter,
bie Ul^r in ber $anb, auf einem 3Keribian nad^ bem ©übpole, fo tritt beim
Übcrf(^reiten beS Squatorg für beibe Semegungen in SSergleid^ gu bem
©inne ber Ul^rgeigerbemegung (Siffemblatt oben!) eine fd^einbare Umlel^r beg
©inneS ein.

1. Sei bcr aScrfd^tcBung eincS ftarrcn flörperS legt ein beftimmter
5ßunlt beSfelben einen Söeg oon 5 m ^urücf. SBcId^en SBcg legt babci irgenb
ein anberer 5ßunlt beS ÄörperS gurüd?

5 m.

2. 3für £ = 30 ober IQo ober 25^ 17' 3" ober 275» 20' 47" ift arce
3U bered^ncn, einmal unmittelbar unb einmal mit ©ülfe ber S^afeln für s
unb arcs, fr) ba§ eine SSergleid^ung beiber SRed^nungen unb il^rer Srgebniffe
ftattfinben fann:

3* gür arc£ = 5,317 ober. 2,681 ober 1,234 ober 0,012 ift s au
bered^nen, einmal unmittelbar u. f. m. (oergl. 3tx. 2.):

,a = ^ . 360".

27t

4. Sei ber ©rel^ung eineg ftarren RörperS legt ein 5ßunft be8 ßinl^eitSs^
freifeg einen SBeg oon 10 m jurüd. a. SBeld^en SBeg legt babei ein ^unlt
jurüd, ber 5 m 3Ibftanb oon ber 8ld^fc ^at? b. SBeld^em Srel^ungSminfct
entfpred^en obige Slngaben?

a. 50 m. b. 572,960.

5* »ei ber Srel^ung eineS ftarren ÄörperS legt ein ^unft, ber 3 m
3lbftanb oön ber Sld^fe l^at, einen SBeg oon 15 m aurüdf. a. SBetd^en SBeg
burd^Iöuft babei ein 5ßunft be§ gin^eit§!reifeg? b. SBeld^cm Srel^unggroinfel
entfpred^en obige Slngaben?

a. 5 m. b. 286,480.

6* gür einen beliebigen Duerfd^nitt ift gemöfe gig. 16 a unb 16 b bie
SSerfd^iebung unb bie Sre^ung beS entfpred^enben Sörperg bargufteHen, babei
finb bie Salinen eingclner fünfte beg Duerfd^nitteg in beiben ©Kjjen gu oer^
gleid^en.

gür einen beliebigen Duerfd^nitt ift ferner bie Serfd^iebung löngS einer
5ßarabel ober SHipfe ober ©gperbel gu geid^nen.

gür bie 3lufgaben 7 big 35 gelten bie ©teid^ung w = c . ^
unb bie anberen Sejiel^ungen a. ©. 46 u. 47, oergl. aud^
©. 66.

200 ®rfter Slbfd^nitt. [7. — 13.

7. a. SBcId^e Sntfcmung legt ha^ ßtd^t in ad^t aHinutcn äurücf, raenn
btc ßtd^Bctücgung afö glcid^förmigc ScrtJegung mit ber ©cfd^rombtgtcit

300 000 — angelegen tüirb? b. SBeld^e Qtxt gebraud^t eS, um oon bcr

Sonne jur ßrbc gu gelangen, menn bcrcn burdöfd^nittlid^e Sntfemung ju
153 3KtÖ. km angenommen mirb?

a. 144 aHin. km. b. 8' 30".

8. SBeld^e Sntfernung f)ai eine (SemitterrooIIe, roenn gmifd^en htm be?
obad^teten Stifte unb Sonner 9" oergel^n, falls bie ©d^aflbemegung afö

gleid^förmige Semegung mit ber ©efd^minbigleit 330 — angefel^cn mirb?

sec

2970

m.

9^ gür ein ©efd^üft, bag ein ßiel in ber Sntfernung oon 2000 m be*
fd^ie^t, finbet man, ba^ ber 9luffd)Iag beS ©efd^offeg gu berfelben Qzxt gefeiten
mirb, ju metd^er man ben RnaH beg ©efd^üfteS l^ört, menn man 1700 m oon
bem ©efd^üfte abfielet? SBie grofe ift bie burd^fd^nittlid^e ©efd^minbigleit be8 ®e*

m

fc|offc8 für 340 -^ ©d^aagefd^minbigleit?

sec

400 "^

sec

10* 3n roeld^er Qtxt burd^löuft ber Bä^aU eine eiferne SRöl^renleitung
oon 1200 m, menn bie ©d^aUgefd^minbigleit im (Sifen ju 5127 — angefcftt

sec

mirb?

Ungefähr in 0,23".

!!♦ SBeld^en S^itgeroinn l^at man bei 3tx, 10 gegenüber ber ßeitung
burd^ bie ßuft, menn für biefe bie SdbaHgefdbroinbigleit 340 — beträgt?

sec
Ungefähr 3,30" = 3,53" — 0,23".

12» SBie grofe ift bie ©efd^inbigleit eineg 5ßuntte§ bcr ßrboberflad^e:

a. am Squator,

b. in ber Sreite oon 60^

für 2 22 = 12 755 km unb T= 86164"?

a. 465-^. b. 232,5 — .
sec sec

13. SBetd^er Sreite (oergl. SRr. 12) entfprid^t bie ©efd^minbigleit

150^?
sec

710 11'.

14. — 20.] Übungen aur ^^oronomie. 201

14^ SBic grö^ tft bte ®cf(§n)tnbiglett ber 2ufttcUd)cn in einer §ö]^c
von 2 aßeilen (= 7500 m) über bcr ©rbobcrfläd^c für eine »reite von 45o?

329,2 ^

sec

15^ 2öte grofe mürbe bte ©efd^roinbigleit eineg ©oI)IcnpunIte§ für einen
fenfred^ten ©c^ac^t von 2 3KetIen ©entung unter ber ßrboberfläd^e für eine
SSreitc von 45® fein?

328,5^^.
sec

16, Sin ©ampfroagen roHt mit einer burd^fd^nittlid^en ©efd^minbigfeit

oon 10 ; meldten SBeg mirb er ttac^ einer l^dben ©tunbe ^urüdgetegt

l^aben?

18000 m = 18 km.

17. SBie gröfe ift bie burd^fc^nitttid^e ©cfd^minbigleit eincg 5ßferbe§, bag
möl^renb 4 ©tunben einen SBeg t)on 24 000 m jurüdtlegt?

1,667 "^

sec

18» Sin aSöte, ber fid^ mit einer burd^fd^nittlid^en (Scfd^minbiglcit t)on
1,5 bcmcgt, foU einen SBeg t)on 3000 m aurüdflegen. 3n metd^er 3<^it

sec

fann er ba^ augfül^ren?

3n 331/3 SRinuten.

19» Sin Äouricr mafi)^ in a ©tunben burd^fd^nittlid^ h 3Keiten.
n ©tunben nad^ feiner 3tbreife merbc i^m ein jmeiter nac^gefd^idft, ber in
c ©tunben burd^fd^nittlid^ d 3BeiIen mad^t. S)er Ort, aug meld^em bcr
gmeite Äourier abgebt, liege um q 3JleiIcn gegen ben erften €rt gurüdt ober
vox. 3n roeld^cr Qzxt x erreid^t ber gmeite Courier htn erften?

X = -3 1 c ©tunben.

ad — CO

SBenn a = S, c = 10,

h = 51/3. d= %,

n = 6, unb g = 12

gefegt mtrb unb ber ßmeite Ort gegen hzn erften 3 u r ü df liegt, f ergiebt fid^

X = 120 ©tunben.

20» Sin auf ber Oberfläd^e eine§ gtuffeS fd^roimmenber Körper legt

mftl^renb brei 3Kinuten einen SBeg oon 150 m 3urüdE. SBie grö^ ift bie

burd^fd^nittlid^e (Sefd^minbigfeit beS Sörper§ ober be§ flie^enben SBafferS an
ber Dberfläd^e?

0,833 — .

sec

202 (Srfter 9Ibf d^nitt. [21. — 27.

2U ®tn 3Kenjd^ betüege jid^ auf bzm SSerbcdc etneg ©d^iffcS mit einer

burd^fd^nittlid^en ®cfd^n)inbig!cit oon 1,5 — in Slid^tung ber Seraegung,

BcC

xoä^xtnb ha^ ®^iff fd^ft rine burd^fd^nittlid^c ®efd^n)inbigleit oon 7 —

sec

l^at. SBie grofe ift bie ©efd^roinbigfcit beS aUenfd^en für bie ofö feft an*
genommene ©rboberflöd^c ?

8,5^.
sec

22. ©in ftörper bemege fid^ in t ©cfunben non Ä nad^ B. S)ie beiben
5ßunfte liegen in einer ®bene unb finb burd^ il^re Äoorbinaten xi, yx unb
^2/ Vi gegeben. (£g ift l^ieraug bie burd^fd^nittlid^e ©efd^minbigfeit beS Rör*
perS fomie bie SRid^tung non AB gegen bie XMi)^\z ju finben:

V(^2 — xiY + (2/2 - y^y

tang a =

t
Vi — Vi

23* SBie gro^ ift bie ffiurd^fdönittSgefd^minbigleit eineg l^origontolen
©ögegatterS, baS 200 Xouren ^ai, b. 1^. 200 ©oppelfd^nitte (= 400 ©d^nitte)
in ber ERinute mad^t, menn jebcr Si^Ö ö,75 m lang ift?

5

sec

24t. SBie gro^ ift bie SBinlet* unb bie Umfangggefd^minbigleit eineS
Äörperg, ber einen ffreiS t)on 4 m ©albmeffer in 10 ©elunben burd^Iöuft?

y = 0,628

c = 2,513 — .
sec

25» (Sin aJtül^Iftein von 1,3 m ©urd^meffer mad^t 120 Umbrel^ungen
in ber SKinute. SBetc^e ®efd^roinbig!eit i^at ein 5ßunlt feineS 3KanteK?
SBeld^e aSinlelgefd^roinbigleit ift üorl^anben?

c = 8,168—,
sec

y = 4:JT.

26. 9ln einem ®öpel arbeiten gmei 5ßferbe, an einem gugarme oon

5 m, mit einer ©efc^minbigf eit t)on 0,8

sec

a. äöetdöe äöinletgefd^minbigleit I)at bie ftel^enbe SBelle beg ©öpelS?

b. SBie niel Umbrel^ungen merben in einer 3JHnute gemad^t?

a. 0,16. b. 1,53 Umbrel^ungen in einer SJlinute.
27* (Sine 2ofomotit)e l^at eine ©efd^minbigleit t)on 11 — unb bieS^riebss

sec

28.-33.]

Übungen 5ur ^t)oronomte.

203

räbcr mad^cn 180 Umbrcl^ungen in einer SRinute. SBeld^en 2)urdömeffer l^ot
ein S^riebrab?

1,6 m.

28» a. SBeld^e ßineargefd^roinbigleit i)at bie ©pige eine§ 10 cm langen
SRinutengeigerS ? b. SBie gro^ ift bie entfpred^enbe SBinfelgefd^njinbigleit?

a. 0,0175— — 0,000175 — .

sec sec

b. 0,00175.

29. ©in aftül^Iftein vom SRabiuS 0,5 m ^at augenbticfli(§ bie S^ouren^
jal^I n = 200, b. 1^. er mad^t 200 Umbrel^ungen in bet SKinute. SBie grofe
ift bie Umfangggejc§n)inbigleit c? SBie grofe ift bie aBtnlelgefd^roinbigfeit y?

8lngenä£)ert: y = 0,1 . n = 20 unb c = r . y = 10

m
sec

©enauer: y = 20,933 unb c = 10,467

m

sec

m

30» aBefd^em StabiuS entfprid^t bie Umfangggefd^n)inbig!eit 7,5 -^bei

sec

bcr S^ourengoi^I n = 110?

8lngcnä]^ert : y = 11 utxb r = 0,68 m.
©enauer: r = 0,651 m.

31» SBeld^er S^ourenjal^I unb weld^er äöinfelgefd^roinbigteit entfpric^t

eine ©efd^nrinbigfeit oon 10 — im Slbftanbe 2 m oon ber 3td^fe?

sec

Slngenöliert: y = 5 unb n = 50.
©enauer: y = 5 unb n = 47,75.

32. SBie gro^ ift bie burd^fd^nittlid^e flülbengef(§n)inbigleit, rocnn ber
©üb, b. i). bie ßntfernung ber beiben öu^erften RoIbenfteHungcn, 0,45 m bc^
trögt unb ber ©oppell^ub (b. ^. ein ©ingang unb ein ©ergang) bie Qzxt S"
erförbert?

0,3^?-.
sec

33. 3n gig. 124 ift bie geroöl^nlid^e Überfüfjrung einer fd^roingenben
ftolbenberocgung in eine Srel^ung ffigsiert, raobei ber Kolbenhub h ftetS mit btm
S)urd^meffer 2 r übereinftimmt. S)ie burd^f d^nittlid^e Äolbengef d^minbigleit q ,

gig. 124.

'///////////////////////^//X//////'/////////////////.

Pt

K

ci

I
I
I

//x/////x/////x//xy///x/////yy/y//////y///xxx/y///.

k h

204 @rfter 9lbf d^nitt. [34. — 36:

lüeld^c anä) 5ßunlt Ä jetgt, unb bie burd^fd^mttltd^c ©cfd^rotnbtgleit oon B
l^öngen folgcnbermafecn jufammcn. gür eine volU Umbrcl^ung maä)t Ä
ben SBcg 2 h unb B bcn SBeg 2r7t, fo bafe Ci : c^ = ä : r jr = 2 : 3r
gilt, ©er S^ourengal^I n cntjprcd^en 2n cinfadEje ober n ©oppell^ube, fo ba§

n . 2h 71 h . n . 2m n , ^r ..^

"> = -6Ö" = 30 ""^ '■^ = -60— = '^'' ■ 3Ö =^ '^'^ • 6Ö '^*-

SBie gro^ ift Ci unb c^ für ii = 35 unb r == 0,6 m ? 3Bie gro^ ift
bie cntfpred^enbc burd^fd^nittltd^e SBinfelgefd^njinbigleit y? SBic gro^ bie
Seit T eines noUen Umlaufes (Umlauf Sjeit)?

c, = M — ; Ca = 2,2—; y = 3,67; T = 1,714".
sec sec

34. SBie grofe ift (tJergl. SUr. 33) bie Sourenaa^I n für h = 0,9 m

unb ci = 1,50—? aBie grofe ift T? SBie grofe ift c,? äBie grofe ift y?

sec

n = 50; T= 1,2"; Ca = 2,35—; y = 5,22.

35. gal^nräber ober SRiemfd^eifien, meldte fid^ auf berfeI6en
SBelle Befinben, mad^en, roenn bicfc in brel^enbe Semegung oerfeftt mirb,
in berfelBen Qzxt eine gleid^e Slngal^I oon Umbrel^ungen, fie ^a6en alfo gleid^e
äöinlelgefd^roinbigfeiten. ßa^nräber, bie miteinanber im (Sin^
griffe, ober Sd^eiBen, bie burc^ SRiemen oerBunben finb, l^aben Bei
gel^öriger Übertragung gteid^e ^eripl^criegefd^minbigleiten. Sei einem
foId)en SctrieBe l^ei^t bie äöeHe, auf meldte bie med^anifd^e Äraft gunöd^ft
mirlt, bie ÄraftmcIIe, bie bagcgen, meldte mit ber gu leiftenben SlrBeit un*
mittcIBar in SSerbinbung ftel^t, bie ßaftmetle. S)ie baamifd^en liegenben
äöeHen, meldte gur Übertragung ber Semegung notiDenbig finb, l^ei^en SSor*
legemellen; biefe tragen groei S^l^nröber (gmei Sftiemfd^eiben), ein getrie^:
beneS unb ein treibenbeS, mäl^renb fid^ auf ber flraftmeDe nur ein
treibenbeS, auf ber ßaftmeHe ein getriebenes diab befinbet. Unter bem Um*
fegungSoerl^ältniS u gmeier miteinanber arbeitenber S^^^^^öber ober SRiems*
fd^eiben oerftel^t man bie SBinfelgefd^minbigleit y' beS getriebenen SRabeS,
bioibiert burd^ bie äBinfelgefd^minbigfeit y beS treibenben StabeS. SS ift alfo:

y'
y

äBie brüdtt fid^ u auS, menn bie entfpred^enben $albmeffer r unb r'
ober bie entfpred^enben S^ourenja^Ien (3ln5a^I ber Umbrel^ungen in ber 3Ki*
nute) n unb n' eingefül^rt werben?

r w'

r' n

aBirb hierin w = 1 gefegt, fo ift u = n', b. 1^. baS Umf efeungSoerl^öItniS
brüdtt bie Slnjal^I Umbrel^ungen beS getriebenen SRabeS auS, für bie Qexi, in
roeld^er fid^ baS treibenbe einmal umgcbre^t l^at.

36» Sei ßö^nrabern, bie miteinanber arbeiten, ift bie ßänge beS

37.]

Übungen 5ur Spi^oronomie.

205

SogenS ^tüifd^en bcn 3Kttten graeier aufcinanbct folgcnber Qä^m, bic 2^ et*
lung genannt, gleid^ grofe. Se^eic^nen rair bte gö^ne^a^Ien in bciben Stöbern

mit Z' unb Z, \o ift biefe S^eilung gleid^ —^j- unb — ^j-, bal^er

Z

u

Z^
Z'

Söieoiel S^ouren mad^t ein ^ab oon 24 3ö^nen, ba§ burd^ ein SRab oon
108 3ö^nen mit bet S^ourenjal^I 22 getrieben mirb?

w = 99.

37^ (Sin Scii^nräber s: ober SJHemfd^eibenbetrieb (gig. 125) beftel^e au8
m äöeHen, bie $albmeffer ber treibcnben SRäber feien E^, B^, Hz, . . ., -Rm-i;
bie ber getriebenen r^, r^, r^, . . .,
r^_i; bie in einer SJlinute oon ben
SBeHen gemad^ten Umbre^ungen feien
Wi, nj,..., rim, unb bie IJöIine^al^Ien
mögen mit Zj, Z.2, Z^, . . ., Z^ _ i be^m.
mit z\, Hp ^zp ' ' 'p ^m-\ begeid^net
merben. S)ann ift bo^ UmfcöungS*
oerl^öltniS beS erften ©d^eibenpaareS

gig. 125.

Wi

^
n

^2

^1

©teilt man nod^ bie UmfegungS*
oerl^öltniff e für bie übrigen ©d^eiben^
paare auf unb multipliziert biefe
©leid^ungen, fo ift baS UmfegungS^
oerl^öltnig u- jmifd^en ber erften unb
legten SBette:

u

U\ , U2 • Uz , . . ^m— 1 = • •

E,

E,

Ez

n

n

»•3

^1

^2

• ■ ■■

^1

^2

^3

• • •

An— 1
^m— 1

SSenugen mir nod^ bie erfte unb legte ^eripl^eriegefd^minbigfeit ber m\U
cinanber arbeitenben 3<J^uraber (üerbunbenen SRiemf d^eiben) , b. i. Ci unb

Cn»-i, fo tft Ci = — ^ ' unb Cm-i = ^7i , bager

U "=

b. 1^.:

60

n.

Cfn — l • -^1
^» • **»» — 1

60

Cm — 1 • ^w - 1

t*

aBinlelgefd^minbigfeit ber ßaftroeUe

SBtnfelgefd^minbigteit ber ÄraftrocHe

206 (Srttcr Slbfd^nitt. [38.-44.

ffiin SBafjcrrab, ba^ 6 Umbrc^uttöen in einer aWinutc mac^t, treibt
einen 3Ka]^Iganö, beffen ßaufer 140 Umbrel^unöcn in bcr 3Jlinute mad^cn
fotl. SS foH eine SSortegenjeHc eingef ehaltet werben, \o ba'j^ ba^ Umfcgunö^*
oerl^ättniS vom Slabe gegen biefe SBeHe ebenfo gro^ ift, roie oon biefer gegen

bag giab auf bem aßü^Ieifen.

140
S)a8 Umfc^ungSoerl^ältnig u ift f)ier -g- • S8 ift :

_ 140 ^ ^ ^
6 ri r-i'

roenn i?i ben SRabl^albmefjer auf ber aBafferrabroeüe, r^ ben beg SlabeS auf
btm aWül^Ieif en , ri unb J?2 bagegen bie ^oIBnieffer ber SRäbcr auf ber SSor^s

legeroeHe beAeicfinen. Sa -^ = — fein foH, fo ift :

t\ r.2 f 6

bal^er J?j = 4,83 ri unb ebenfo i?2 = 4,83 rg.

14
Slimmt man bagegen i?i = 5ri, fo crgiebt fid^ B^ = -^-^2-

38* Sin 9lab oon 560 cm S)urd^meffer unb bcr S^ourenjaf)! 60 treibt
brei 3laber (SranSmiffion) bz^w. oon ben 2:ouren3a]^Ien 140, 160, 240.
SBeld^e Surd^meffer muffen biefe erl^ilten?

240 cm; 210 cm; 140 cm.

39. S)ie Sliemfc^eibe einer ©rel^banl foH 140 S^ourcn mad^en. SBeld^cn

©urd^meffer mu^ fie erl^alten, mcnn fie burd^ eine 3Hemfd^eibe üon 42 cm

^©urd^meffer auf einer aSorlegemeCc getrieben mirb, meldte felbft burd^ eine

gmeite 3Hemfd^eibe oon 35 cm ®urdE)meffer mit einer OHemfd^eibe oon 45 cm

©urd^meffer auf ber mit 70 Souren laufcnben ^auptmelle in SSerbinbung

fte^t ?

27 cm.

40* ©emäfe gig. 19 unb 20 ift bie »emegung für bie ©teöungg*
gleid^ungen 5=5 + 7* unb s = — 5 — 7 t baraufteHen.

41. S)cggl. f ür s = 5 + 4 * — 3 <2.

2 —

®er Umlefirpunit liegt für * = - in s = 6, 3 . . .

42. S)eggl. für s = 24 — 14 * — *2 4. ^3.

Sie Umlel^rpunlte, in bcnen bie ©cfc^minbigleit ben SBert SRuH l^at,
liegen für t^ = 2,519 in Sj = — 1,63 unb für t^ = — 1,853 in s = 40,18.

43. ®eggl. für s = r . sin(2 tt. - — Y unb jmar a. für r = 2 cm

unb T = 20" unb b. für r = — 2 cm unb T = 20".

44. SeSgl. für s = r e« *, unb gmar a. bei r = 2 cm unb a = + 0,5
unb b. bei r = 2 cm unb a = — 0,5.

45. — 73.] Übungen jur Iß^oronomie. 207

45» 2)c§gL für s = re'^* sin{27c - —\ unb graar a. bei r = 2cin

unb a = + 0,5 unb T = 20" unb b. bei r = 2 cm unb a = — 0,5 unb
T = 20".

46 Bis 51* gür bic Seifpicle 40 bi§ 45 ift bie S)urd^fd^nittgöefd^rDtn^
bigleit für bic g^itbauer oon fi = 3" bis fi = 7" l^eraufteHen (ücrgl. @. 53
unb 54).

52 bis 57. fjfur bie Scifpiele 40 big 45 ift bic ©efd^roinbiöleitg^
glcid^ung (oergl. § 7) j^erauftellen.

58 Big 63. gür bie »eifpielc 40 big 45 ift bie S)urdöf(^mttgbef(^teii«:
nigung für bic gcitbauer üon ^ = 3" big fj = 7" l^eraufteHen (ücrgl. § 8).

64 Big 69. gür bie »eifpicic 40 big 45 ift bie »cfd^Ieunigungg*
gleid^ung (oergl. § 10) J^eraufleHcn.

gür bic 3Iufgabcn Sftr. 70 big Ä6 gelten bie gormcin bcg
§ 9, oergl. aud^ ©. 66.

70. ©in ftörper befinbe ficf) 10 ©efunben lang in gteid^mä^ig bc^

fc6Ieuntgtcr Scroegung mit ber Sefcfilcunigung 8 . SBie groft ift bie Snb*

sec"''

gcfd^roinbiglcit beg ftörperg nac§ biefer geit unb wie gro^ ift ber burd^*
laufene SBcg?

V = jt unb s = |j<2

V = 80 — ; s == 400 m.

sec

71. Sin Äörper befi^t eine Oefd^roinbtglcit oon 7,7 — unb nrirb in
eine glcid^mäfeig befd^Ieunigte Seroegung oerfe^t, beren SIcccIeration 5,5

seo^

ift. Slad^ rocld^cr 8^it l^ot ber fförper einen SBcg oon 2200 m jurütf gelegt?

t = 26,9 @c!unben.

72. Sin Sörper, ber fid^ in gleid^mä^ig geönberter SBenJcgung be*
funbcn, habt bei einer 3lnfangggefd^nnnbig!eit oon 7 — eine Snbgefd^roinbig*

sec

Icit oon 125 — erlangt unb babci einen SBcg oon 3250 m gurüdfgclcgt. SBie

sec

gro^ njar bie für bie SScroegung oorf)anbcne a3cf d^Ieunigung ?

s = o • / J = 2,4 — '
Zj sec2

73. Sin ftörper Bcroege ftc§ Bei einer Slnfangggefc^roinbigfeit oon 100 —

sec

unb einer 3lcceIeration oon 1 — - glcid^mö^ig oergögert unb erlange eine Snbs=

sec^

208 (Srfter 8lbf d^nttt. [74. — 79.

gcfd^iDtnbtgleit oon 7 — . SBicüicl Q^t ift baju erforbcrlid^ unb toelcfecn

sec

SBefl l^at ber Äörpcr gurüdf gelegt?

t; = c — jt
s =ct -- Ijt^
93"(Scfunbcn; 4975,5 m.

74» Sine ßofomottoe l^abe in einem Beftimmten 3lugeti6It(fe eine ®t^
fd^rt)inbig!ett oon 13 — . Sic roerbc fo gcbrcmft, ba^ fie in jeber ©elunbe

sec

m

2 — an ®ef(fin)inbtgfett verliert.

sec

a. SBie Qxo^ tft bte ©efd^roinbigfeit naä) 6 ©elunben, rote gro^ ift ber
gurüdgelegte SBeg?

b. 3la(i) roeld^er geit ftel^t bie ßofomotioe ftiH?

c. SBie Qxo^ mu^ bie ©efd^rainbigleitSoBnal^me fein, bamit bie 2ofo*
motioc nad^ 30 @e!unben in 9lu^e !ommt?

a. 1 — ; 42 m ; b. 6,5 ©elunben ; c. 0,43

sec ' sec2

75» Sin Äörper ift im luftleeren 9laume 4 ©elunben frei gefaCcn.
SBie gro^ ift bie erlangte ßnbgefd^minbigfeit, mie gro^ ber burc^faHene SBeg?

39,24—; 78,48m.
sec

76» Sin im luftleeren SRaume frei faCenber Äörper l^at eine ffinb*
gef(§n)inbigleit oon 250 — erl^alten. SBie lange ift ber flörper gefallen,

sec

meldten SBeg f^at er jurüdgelegt?

25,48 ©elunben; 3185 m.

77* Sin Körper ^at im luftleeren 3laume einen SBeg üon 85 m frei
faHenb jurücfgelegt. SBie lange ift ber Körper gefallen, meldte Subgefd^min«
bigfeit l^at er erlangt?

4,1 ©efunben; 40,22 — •

sec

78^ SBie ^od^ fteigt ein Körper, ber mit einer ©efd^minbigfeit üon
40 — fenlredöt im luftleeren 9laume in bie §ö^e gemorfen mirb, unb meld6e

sec

3cit gebrandet er baju?

4,07 ©efunben; 81,55 m.

79» Sin Körper, ber im luftleeren 3laume fenfred^t in bie $öf)e ge*
morfen mürbe, fam nad^ 18 1/2 ©efunben gur Srbe jurüdf. SBie grofe mar
bie 3Infangggcfd^minbigfeit beS Körper^, mie fjoä\ mar er geftiegen?

90,74—; 419,67 m.
sec

80. — 84.] Übungen aur Ißl^orottomie. 209

80* SBelc^en Slaum burd^föHt ein, in einen »runncn fenlred^t l^inoB*
gcnjorfcner ©tein, ben man nac§ t ©efunben auffd^agen §ört, wenn man
ben Suftmiberftanb nt(§t Berücfftd^tigt unb bie (Sefd^minbigleit beg ©d^aHeS
gleid^ a fcjt?

^ gt + a — i2agt + a\

9

3n ©(^meben gießt eS ^ai^Ien, für bie ^ = 25 au fegen ift. SBie tief

ftnb biefetten, mcnn bie ®ef(§minbigleit beS ©d^aHeS ju 340 — gerechnet mirb?

86C

1870 m.

81» ©in Äörper, ber im luftleeren Slaume frei fönt, l^at an einem
gemiffen 5ßunlte feiner Sal^n eine ©efd^minbigleit oon 17 — , an einem tiefer

sec

m

gelegenen bagegen eine ©eftfinrinbigleit oon 90 — . SBie groft ift bie ©nt*'

sec

fernung ber Beiben 5ßunfte; meldte S^ü gebrandet ber ftörper, um biefette
jurüdfjulegen?

398,11m; 7,44 ©elunben.

82» 3IuS einer QSf)t h faDcn nad^einanber gmci SBaffertropfen. S)er
erfte ift Bereits d mm gefallen , e^e ber jmeite oon bemf elBen Orte avi&
ju faöen Beginnt. SBeld^e Entfernung x l^aBen Beibe SBaffertropfen, menn
ber erfte Sropfen auffd^Iögt, faDS auf Suftmiberftanb, ftapiUaranaic^ung u. f. m.
leine SRüdffid^t genommen mirb? (3erft&uben beS SBafferS in SBafferföHen.)

x = 2 ^hd — d.
gür Ä = 400 m unb d = 0,001 mm ift a? '^ 40 mm.

83» ein flörper nrirb mit 5 — ©efd^minbtgfcit fenlred^t emporgemorfen

sec

unb trifft Bei 0,6 m ©teigl^öl^e ein elaftifd^eS ^inbemiS, oon bem er ol^ne SSer*
luft an ©efd^minbigfeit fenlred^t l^erabpraöt. a. SBeld^e geit ift bei unBel^in«
berter Semegung für 3Iuffteigen unb QmM^oXim nötig? b. SBie gro^ ift
bie unBel^inberte ©tcigfiöl^e? c SRit meld^er ©efd^rainbigleit mirb baS
©inbernig getroffen? d. SBeld^e 3cit ift für Sttuffteigen unb 3urüdffaaen Bei
Bel^inberter SSemegung nötig? e. SBieoiel ©oppell^uBc (3luf* unb SIBftiege)
erfolgen Bei Bel^inberter SBemegung in ber 3Jlinute, menn aud^ eine ooö*
lommen elaftifd^e Unterlage oorauSgefefet mirb?

S)iefe SBejicl^ungcn gelten angenöl^ert für bie 3lufn)urf Jammer ber
SifenfaBrilation, bie mit il^rem flopfe gegen einen SReitel (Ö0I3) fd^Iagen.

a. 0,5097" für STuffteigen unb 0,5097" für Sutüdffaßen. b. 1,274 m.
c. 8,6368 — . d. 0,1390" für 3Iuffteigen unb 0,1390" für Surüdffallen.

sec

e. 215,8.

84. a3ei einer gleid^mö^tg^geänberten Srel^ung eineS flörperg §at bie
SBinlelgefd^nrinbigleit anfönglid^ ben SBert 10 unb nad^ fünf 3Jlinuten ben

SBetnide, aned^anif. I. 14

210 drfter Srbfd&nitt. . [85. — 87.

SBert 20. a. SBcId^e lourenjal^Icn cntfpte(§en bem Übergänge? b. SBeld^e
SBinlelbefd^Ieumgung tft anjufegen? c SBie groft tft bcr SBinletoeg, rocnn
bie 3lnfangSfteIIung K) ben SBert n §at?

a. 3Ingenä^ett: 100 Big 200. ©enauer: 95,493 Big 190,986.

1

b.

30

c. == 31 + 4500 == 4503,142, entfpred^enb 716,4 Umlaufen.

85^ SBie l^cifeen für Sir. 84 bie Sewegungggleid^ungen für einen 5ßunlt
im SlBftanbe r = 0,5 m oon ber Sld^f e ?

1 m

60 8ec2
s = 1,571 + 5 ^ +

120

<2

1^2 __ 152 ^_(s_ 1^571).

86. Sine SBelle, mit ber S^ourengal^I 100, fommt burd^ Sremfung in
glcid^mö^ig^geänberter SSemegung in fünf 3Kinuten jur SRul^e. a. SBie gro^
ift bie SBinlelbefd^Icunigung (SSerjögerungl)? b. aBeI(§en SBcg burd^töuft
babei ein 5ßunlt im SIbftanbe 2 m t)on ber 3Ic§fe?

a. j8 = — 0,0349. b. 3142 m.

87» SHe Semegung, beren ©teHungggleid^ung s = 2 — 3^ + 4 ^2
-\- bt^ — St^ \\i, foH in erfter unb ameiter 3Innä]^erung be^anbelt merben,
gcmöfe § 11.

giß. 126.

88. — 99.] Übungen jur ^^oxonomu. 211

88 Big 95. ©rapl^ifd^e S)arftcIIung bcr Scroegungcn bcr 9lr. 40 Bis 45,
unb ber Sir. 85 unb 87.

96* S)ic SBcgIuroe einer gleid^fönnigen Seraegung ju jeid^nen, welche
bur(§ folgenbe SeftimmungSftüde gegeben (gig. 126) ift.

aSon

Bis t

10

ift tang<p

1

3

10

/r

12

t, iang (p —

—

12

/r

22

, tang (p —

3

m

22

/r

52

^ tang (p =

2
5

IT

52

m

72

, tang (p —

IT

72

w

100

^ tang q)

1

2"

3Ifö aSeifpiel für bie praftifc^e SSenoenbung bicfer SBegfuroen bienen bie
grapl^ifd^en gal^rplöne ber Sifenbal^nen. 3n gig. 127 (a. f. ©.) ift ein
fold^cr gal^rplan ber ©trecfe a3re8Iau*SBoIbenburg bargcfteüt, raie er ber 3Kitte
ber f iebaigcr Saläre entfprad^. Sluf ber X* 3l(§f e ift bie 3lbf al^rtS^^ ref p. 3lnf unft8:=
aeit ber einzelnen güge in ©tunben angegeben; bie bei ben SBegluroenftreden
fte^enben Qaf^Un geben bie jroifc^en ben einzelnen ©tunben liegenben 3Kinuten
an unb begieljen fid^ biefe auf bie SlnlunftS* unb Slbfa^rtS^eit bei ben ein*
meinen Stationen. S)ie auf ber r^Sld^fe ftetjcnben QalUtn finb bie ©ntfemungen
ber betreff cnbcn 5ßunlte in Äilometem, non SBreSlau an^ gered^net. Sin
©d^nittpunft jroeier fluroen bebeutet bcmnad^, ba'j} ju ber baju gel^örigen
3eit graei ßögc benfelben $unlt auf ber ©tredEe erreid^t l^aben. SHe unter
ben S;age§ftunben befinblid^en Saijlm hebtnUn bie SRumnter beg betreffenben

3u0eg. S§ finben fid^ in bcnt gol^rplane ^ßerfonenjüge ( ), ©üterjüge

( ), ffol^Ienaüge ( ) unb aroei ©jtrajüge ( ) jroifd^en SreSlau

unb fjreiburg, roeld^e nur jeben ©onntag gur Senu^ung lamen.

97. gür ben freien gall mit neränberlid^em g ift bie ®efd^n)inbigs
feitSfuroe gu jeid^nen: a. für ba^ Srbinhere, b. für ben 3lu^enraunt ber
grbe.

Sei b. ift junäd^ft für q foraol^I v atö oud^ t ju bered^nen (oergl.
©. 162 u. f.) unb bemgcmö^ v unb t in SSerbinbung gu fegen.

98. SBeld^e ®rö^e erl^ölt bie (Snbgefd^rainbigleit v unb bie Sefc^Ieu*
nigung j einer gerablinigen SSeroegung, für njctd^e ber SBeg

s = 2 + 1 * + 1/2 4_ .^ ^3 ift? (asergl. § 13.)

3 15

^■=2+T*-

3 5

99. SBeld^e ©leid^ungen gelten für s unb j, wenn v ^= 6 -- -^t + ^f^

unb So = 10 ift?

14*

100. -<t 116.] Übungen aut Sßl^oionomie. 213

s = 10 + 5<-|««+A<3

3 5
^■=-2 + 3*-

100. SBeld^e ®Ieid§unöen gelten für s unb v, raenn j =z 1 — -t + 2t^

ö

unb So = ö unb vq = 2 ift?

101 Bis 110* gür ben Satt, bafe bie »eroegungen ber STh:. 40 Big 45
unb ber 3h:. 87, 98, 99, 100 auf einer ©crobcn ober auf einem flreife vox
ftc§ gelten, ift ber ^obograp^ ju jeid^nen.

111» 2)ie Beiben Seroegungen s = — St + 4:t^ unb s = bt — ßt^
bilben ein SBerf(§ieBung8fgftem. 31^re Salinen finb jnjei Oerabe, bie fic§ fo
unter 60® fd^neiben, ba^ bie pofitioen ^alBftral^Ien ben SBinlel t)on 60^
einfd^ße^cn. 2)ie Seroegung ift ju Bel^anbeln.

112* S)ag »eifpiel ber gig. 36 ift auSaufü^ren für bie »eftimmung,
ha^ fx^ bie ©d^eiBe in berfelBen Qtxt einmal um il^re 3l(§fe brel^t, in ber
ber 3labiu8 bur(|laufen mirb.

113. ©aSfelBe (oergl. 3lr. 112), faüg »cmegung I einen S)ur(§meffer
ate Sal^n f)at unb falls biefer in berfelBcn 3^^^ burd^Iaufen mirb, in ber
ft(^ bie ©d^eiBe einmal um il^re Sld^fe brel^t.

114. SBie gro^ ift bie SRormalBefd^Ieunigung eine« 5ßunIteS, ber fic§ in
einem flreife vom fialBmeffer 4 m mit einer Öef(§n)inbigfeit oon 8 — Bemegt?

sec
16-"'

sec^

115. Sin 5ßunlt Bemegt ftd^ in einem flreife, beffen ^alBmeffcr 18 m

Beträgt. ®ie JlormalBefd^Ieunigung beS ^unlteS mag 5 ^^^^^^ fein, mie gro^ ift
bie ©cfc^minbigfeit beSfelBen?

sec

sec

116. Sin 5ßunlt, ber eine ©efd^minbiglcit oon 10 — Beftftt, mirb burtfi

sec

eine Sftormallraft, beren Sefd^Ieunigung 2 — - Beträgt, in eine IreiSförmige

sec

ajemegung oerfejt. SBie gro^ ift ber $aIBmeffer ber Sa^n?

50 m.

214 drfter 8Ibf(3&ttitt. [117.-^121-

117. gür btc parabolifd^e Sal^n eincS ©cfd^offeS tft bcr flrümmungS*^
l^alBmejfer im ©(^citel unb in irgenb einem anbeten 5ßunlte ju Beftimmcn,
gemöfe gformel 29 b. (SBergl. ©. 170.)

118. Sin 5ßunlt f)at nad^ jraci aufeinanber normalen SRic^tungen bic
®ef(^n)inbigfeiten (Sefd^Ieunigungen) oon 35— unb 87 — - Sg ift bie re*

sec sec

fultirenbe ©efd^minbigleit (SSefd^Ieunigung) ber ©rö^ unb SKd^tung nat^ gu
Beftimmen.

93,77 — ; 68^5' mit ber ©efdöminbigleit oon 35 —•

sec sec

119. 3Kan foll bie einem 5ßunlte eigene ©efc^minbigleit t)on 120 — in

sec

jmei aufeinanber red^tminllige ©efd^roinbigleiten jcriegen, oon benen

a. bie eine gleid^ 75 — fein mag;

sec

b. bie eine einen SBinfel oon 34^ 7' 3" mit ber refultierenben ®efd^mins
^igfeit Bilben foH.

a. 510 19' 4" mit 75 — ; 93,68 —•

sec sec

b. 99,343— an htm gegebenen SBinlel liegenb; 67,306 — .
sec sec

120. Qxütx in einem 5ßunlte mirifame a3efd^Ieunigungen oon 115

sec

unb 89-^ bilben miteinanber ben äöinlel 147« 8' 3".

sec^

a. SBie gro^ ift bie refultierenbe a3ef d^Ieunigung ?

b. SBie gro^ ift ber SBinfel, ben bie gegebenen Sefc^Ieunigungen mit*
einanber bilben, menn bie refultierenbe aSefc^teunigung gleid^ ber Heineren
ober gleid^ ber größeren ber gegebenen Scfd^Ieunigungen ift?

a. 62,865 -^ mit 89 -^ ben SBinfel 83o 4' bilbenb.
sec^ sec^

b. 1300 14' 44"; 112« 45' 54".

121. S)ie einem 5ßunfte eigene SBefd^Ieunigung oon 77,5 — ^foHinjmei

aSefd^Ieunigungen gerlegt merben:

a. roenn bie Komponenten mit ber gegebenen SSefc^Ieunigung bie SBinfel
350 7' 11" unb 520 9' 8" uibzw]

b. menn eine ber Komponenten gleid^ 50,5 — - ift unb mit ber gegebenen

sec

2

a3ef(^Ieunigung einen SBinfel oon 36o 8' 6" bilbet ;

m

c. menn eine ber Komponenten gleid^ 60,0 — - genommen mirb unb bic

sec

anbete nod^ ju Beftimmenbe Komponente mit ber gegebenen SSefc^temitgung
ben SBinfel 47» 10' 11" Bilbet;

122. — 124.] Übungen aur spi&oronomie. ^'^ 215

d. rocnn bic Betben Äomponenten bcr ®rö^e nad^ glelc^ 46,2 -^ unb

35,0 — ä flßfl^^n fmb.

86C

a. 61,266-^, 44,634 ^

.2

seC sec'

b. 47,27-^, 390 2' 3".

c. 71,88^ ober 33,48-^, 61« 28' 17" ober 24^9' 4".
sec2 sec^

d. aSeibe flomponenten Bitten ben SKnlel 35^4' unb bie refulticrenbe 8e*
fdöleunigunö fd^Iie^t mit 46,2-^ ben SBinlel 15« 2' 18" ein.

sec^

122^ ®in Äörper bewege fxd^ WngS ber geBrod^enen 2tme ABCDEF

ig. 128); a, ß, y, 8 feien bie SBinlel, bie bie aufcinanber folgenbcn Seile

gig. 128. i>^^ ßinic miteinanber Bilbcn. S)er flörper

F/ l^oBe ju 3lnfang ber Senjegung bie ®e*
fd^roinbigfeit c gel^abt.
^ e/ a. 3Kit roeld^er ©efd^roinbigleit v

lommt ber flörper nod^ F, njenn jebeS*
mal bie Äomponente ber ©efd^minbiglcit,
fenhed^t jur Sal^n, in einem Sdpunft oer^*
ioren ge^t?
b. SBeld^eg SrgeBniS tritt bei einem regelmäßigen n^Sdf ein für

a=/3 = y = --- = — , falte lim n •= 00 ift?

n

a. V = ccosa cos ß cosy cos d,

b. V = c,

123» 3luf einem gli^ffe, ber mit einer ©efd^minbiglcit Cj = 1 — fließt,

S6C

erl^ölt ein Äaf)n burd^ Sftuberer eine ®ef d^minbigleit c^ = 1,3 — , meldte mit

ber ©tromgefd^nJinbigleit einen SBinfel oon 150^ Bilbet. Sg ift bie ®röße
unb Slid^tung ber refultierenben ©efd^minbigfeit c ju Beftimmen:

c = 0,66 —
sec

9)1 = 100« 57'
9a == 4903'.

124» Sin 5ßunlt Beftge na(§ oier in einer SBene liegenben JRid^tungen
bie ®efd^n)inbigfeiten (Sefd^teunigungen) 12 — , 24 — , 36 — , 48 — , bie

SGC S6C 86C 86C

mit einer, burd^ ben 5ßunlt gezogenen Sinie, ber X*3ld^fe, nad^ ber SReil^e bie

216 (Srfter TOfdönttt. [125. — 132.

2BmIeI 16^ 29o, 33o, 75o Btibcn. ßS ift bic rcfutticrenbc ®ef(§tt)mbi0leit
ber ®rd^e unb Sftid^tung nad§ ju beftimmen. . .

Va, = 75,142; Vy = 80,915; v = 110,424; « = 47« 7' 10";

ß = 420 52' 50".

125* ffim 5ßunlt l^at baS Scftreben, [xä) na^ bret aufemanber nor*
malen Stid^tungcn, bie alfo ntd^t in einer Ebene liegen, in gleid^mö^ig * ge*

önberte Seroegungen mit bcn SefAIeunigungcn 35 — -, 67 — - unb 98 — -

ju oerfejen. ßS ift bie ®rö^c unb SHd^tung ber refultierenben SJefd^Ieunigung
ju beftimmen.

123,766-^; 73« 34' 24", 57n3' 30", 37o38'42".
126. ffitn 5ßunft beflfit eine ©efd^minbigfeit t)on 550 — , bie nad^ brei

BOG

aufeinanber normalen Slid^tungen jerlegt merben foH, menn

a. jmei ber ftomponenten 100 — unb 230 — betragen;

S6C S6C

b. eine ber flomponenten eine ®rö^e oon 120 — l^at unb bie gegebene

©efd^minbigleit mit einer jmeiten flomponente ben SBinlel 150 6' 14"
bilbet;

c. bie gegebene ®efd^minbigleit mit gmeien ber Komponenten bie SBinlel
87n3'12" unb 54n7'8" bilbet.

a. 489,49—. 79^31' 27", 65n6'49", 27» 7' 43".
sec'

i,. 120— mit 770 23' 51"; 531,02— mit 15^^ 6' 14";
sec sec

78,2— mit 81 049' 32".
sec

c. 445,7—; 321,06—; 26,676—; 36^23' 46".
sec sec sec

127 bis 132. 3ta^ ber ^ßrojeltionSmet^obe jinb für rec^tminfelige
3l(§fen ju bel^anbeln bie Seifpiele:

j Sa: = X = 2 — 4:t \

\sx = x = a. sin [2 n • — j

Sy = 2/ = 6 . cos{2% . — j

für a == 5 cm unb 6 = 3 cm
unb T = 20"

183.-- 138.]

8,

X

Übungen gut ^l^oronomie.
a

217

in{2it^^

sin

Sy = y = bco* ^2;r—j

für a = ö cm unb b = 8 cm
unb T = 20"

s^ = X = S + ^t

Sy T= y =z — 2 + 5<
s, = z = —S + 2t

s^ = X = |-V2 . cos (25^-y )

Sy = y = ji2 .COs(27tYj

$g = z = a . sin(2 n • —\

für a = 5 cm unb T = 20".

133 big 136» "^^i:^ ber ^ßolarmetl^obc fmb ju bel^onbcln btc SBeifptelc:

r — 2«

=
r =
=

i»»2 — —

ioo.^ = iL.f

2^

90«
i

- iL 1 1

"2 * ^ J

a^ cos (4» • — j

r

für a =
unb T

5 cm
r 20".

= 3«

(J = y logiS)

137. Slad^ ber 5ßoIarmet^obe \\i ju bel^anbeln, falls A bte ßängc unb
/3 bte Srctte (rate auf ber ®rbe) unb r bie Sntfemung t)om 5ßoI (beut ßrb^s
mtttelpunfte entfpred^enb) bejett^net:

^ = 2 3r • —

tangß = m . A

r« = aa (1 + wi^ A»)

für m = 3 unb

T = 20"
unb a = ö cm.

138» ®S ftnb bie SeroegungSocrl^ältniffe eincS 5ßunlte8 ju beftimmen,
für ben gegeben ift

Cx = 0, jx =16; Cy = — 32; jy = 4<.

218 @rfter abfd^nitt. [139. — 140.

16 4:t

JQ = Viea -\- Uty- cos l = ; cosa = ,

t;^ = 16 ^; vy = — 32 + 2 <2
t. = V(160' + (2<'-32)a = 2<a + 32; cos« = ^j^; cos/J=J4=i|

J>= Vi^ — jl = 16 unb ba p = ^—, fo erf)ält man p = 7^ — - •

3n lo

88 ijt njcttcr für iCo = unb yo =

y = |^3_32<
unb burd^ Elimination oon ^ ergiefit fid^ bic ©leic^ung bcr SBal^n

3Iu8 v erl^&It man nod§ ben SBeg s = |«3 _|_ 32^.

139» S)tc aSemcgungSoerl^ältniffe eincg 5ßunIteS ju finbcn, für ben
gegeben ift:

Cx = 2, ja, = 0; Cy = 0, jy = 3; Cg = 4; j, = 5.

Jö

= yo2 _|_ 32 -^ 52 == y34; cos A = -^ = 0; cos ft =

V34 ' ySi'

5

V34

t;^ = 2; t;y = 3 ^; ?;, = 4 -f 5 t\ v = ^2^ + (St)^ + (4 + ö 0^

2

= y34<2 4. 40^ + 20; cos cc =

y34<2 _|_ 40^ 4. 20'

^ 3< 4 + 5f

cos p = ; cos y ^=

3 ^ 1^ 3lu8 je ameien biefer (Sleid^ungen merbe t eliminiert^

y34*2 ^ 4,0 t + 20' y34e2 +40^+20

X = 2t

^ I fo crMIt man:

^=4^ + 1*^

y = -s^^

SHefe Oleic^ungen finb bie ^ßrojeftionen ber SBafin im SRaume auf bie
Xr« unb XZ^^hzm, unb bie ©urd^fd^nittSIinie ber ju biefen Äuroen gc*
f)örigen projijierenben gflöd^en ift bie Sa^n felBft.

140. Stuf einer geneigten (Sbene com SleigungSminfel 60^ liegt ein
flörper, ber ftd^ innerl^alb 15 ©efunben auf bcr f (Riefen SBene in gleid^s:
tttö^ig*geänberter SJemegung abmörtS oerfc^iebt. 3Jlit meld^er ©efc^minbigleit

141. — 147.] Übungen bcr sp^oronomie. 219

lommt ber flörpcr in bte ©orijontolcbcnc unb tt)el(§e Sänge f)at bie fc^tefe
SBene?

V = 127,4—: s = 966,74m.
sec

141* 3luf bcrfelben fd^iefcn Ebene (nergl, 9lr. 140) erlangt ein ftörper
eine ßnbgefd^njtnbigleit t)on 45 —

sec

3n njeld^er 3^it legt ber Äörper ben SBeg auf ber fd^iefen (SBene jurüd?
3BeI(§e ßönge §at bie fd^iefe ßbene?

5,3 ©elunben; 119,3 m.

142* ©in Äörper foÖ tnnerl^alb 5 ©elunben bei ber Seujegung auf

einer geneigten Ebene eine ©efd^ujinbigleit von 17 — erlangen.

sec

SBeI(§en SteigungSrainfel f)at man für bie fd^iefe Ebene anjuncl^nien?
SBelc^e Sänge l^at bie geneigte Ebene?

a = 200 16' 40"; s = 42,5 m.

143* Eine geneigte Ebene t)on ber Sönge 40 m burd^Wuft ein flörpcr
innerl^alb 4 ©elunben.

SBie gro^ ift ber 9leigungSn)inIeI ber Ebene?
SBcId^e ®efd§n)inbigfeit erlangt ber Äörper?

a = 300 38' 30": t; = 20 — •

sec

144» 3^^ geneigte Ebenen finb an il^rem tiefften 5ßunfte allmäpd^
ineinanber übergefüffrt. SHe Sänge ber erften Ebene fei 70 m mit bem
SlcigungSnrinlel 53» 17' 20", bie jmeite Ebene fei gegen ben ^orijont um 20^
geneigt. Ein flörper burc^Iaufe bie erfte Ebene mie in 3lx, 140.

SBcId^en SBeg mirb berfelbe auf ber jmeiten Ebene jurüdHegen?

s sin cc = X sin ß

X = 164 m.

145* Um micoiel ift eine in l^orijontaler SKd^tung abgefd^offenc Äugel
nad§ einer l^alben ©efunbe gefunfen?

2ca

x^ = — y

9
1,23 m.

146» SBon einem 5ßunfte, ber 1,8 m über einer ^orijontalebene liegt,
mirb ein flörper mit einer ©efd^minbigleit oon 10 — l^orijontal gcmorfen.

sec

Slad^ meld^er ^t\i errcid^t er bie fcfte fiorigontalebene , meldte ®rö^e l^at bie
SBurfmcite?

0,6 ©elunben; 6 m.

147» Unter einem Eleoationgminicl oon 30 o foH ein ©ebäube, ba§ ftd^
in einer l^orijontalen Entfernung oon 1200 m befinbet, befd^offen merben.

220 ßrfter 8lbf d&nttt. [148. — 150.

a. 3Ktt toeld^er Slnfangggefd^totnbiöfett muft ber ©d^uft gcfd^el^cn?

b. Sftad^ tt)clc§cr 3^tt f dalägt bte Äugel auf?

c. SBte gro^ ift bte SBurftöfie bei biefen eingaben?

d. aiKt xütläjtx ®ef(^n)tnbigfett trifft bxe Äugel ba$ 3«I?

a. 116,6—; b. faft 12 ©efunben; c 173,21m; d. 3tnfong8gcf(^rt)inbtgfett.
sec

148» ßin ®ebäubc foH oon einem 5ßunfte, ber 100 m tiefer gelegen
ijt unb ftc§ in einer ^orijontolen (Sntfemung oon 1525 m bejtnbet, mit einer

SlnfangSgefd^nnnbigleit t)on 150 — befd^ojfen merben:

a. SBeld^er Sleoationgminfel mn^ babei jur 3lnn)enbung fommen?

b. aWit melt^er ©efd^minbigfcit trifft bag äöurfgefd^ofe ba$ Oeböube?

c. SBieüiel 3ßit ift ju einem ©d^uffe erforberlid^ ?

lang a == — ^=^-^ ^-^ ^ .

gx

a. <

680 28' 50" für »ogenft^ufe,
250 16' für giad^fd^uft.

b. 143,3 —
sec

■■[

27,72 ©efunben für »ogenfd^ufe,
11,24 , , f5flac§f($u%.

149. SSon einer Slnl^ö^e foH ein ©ebäube befd^offen merben, ha% 70 m
tiefer afö bie 3lnl^ö^e in einer ^orijontalen Sntfemung t)on 800 m liegt. %a%
®efd^ü§ ift für bie größte SBurfmeite gerid^tet, ber ®Iet)otion8n)in!eI ift df o 45o.

a. 3Kit meld^er Sünfangggefd^minbigfcit mw'ii bie Äuget abgefd^offenmerben?

b. SBie gro^ ift bie (Snbgefd^minbigfcit beim 3Iuff dalagen?

c. Unter meld^em SBinlel trifft bie ftugel ha^ ©cböube?

a. 84,95—; b. 92,6—; c. 49^33'.
sec sec

150. Seim (Eintreiben eineg l^rijontalen Sol^rlod^eS ftö^t man auf
SBaffer, meld^eS burc§ ha^ So^rlod^ auSbrid^t unb auf eine l^orijontale ^xiU
femung a = 5 m (©prungmeite) eine üertifale ©enlung 5 = 0,5 m (©prung*
tiefe) jeigt. SBeld^em SBafferftanbe h entfpred^en biefe SSerl^ältniffe, menn
bte Oefc^minbigleit c ein eg un ter bem SBafferftanbe h augtretenben ©tral^IeS
burd^ bie gormel c = ^2gh befttmmt ift unb t)om (Sinfluffe ber Sfteibung
abgefc^en loirb? S)ie 5ßarabel beg augbred^enben SBafferftra^Ieg ift beftimmt

burd^ a •= et unb h r= i-t\

h = 12,5 m

c = 15,66 —
sec

151. — 156.] Übungen jur $l^otonomie. 221

151* S)ie @d^n)tngungl^3etten t)on t^obenpenbeln au bered^nen, heren
Sängen gletd^ 1,5 m unb 3 m gegeben ftnb.

I T = 1,23 unb 1,74 @elunben.

152» Sin gabcnpenbel von bcr ßftngc 1,4 m mad^t in einer Bcftimmten
Seit 12 ©d^roingungen.

Um nDiemel tft boi^felbe gu Derlürgen, bamit eS in berfelben Q^xt
20 ©d^roingungen ma(i)e'}

l^ = 0,604 m, bälget um 0,896 m gu rytxt&xim.

153. 2)te ß&ngc be8 einfad^en ©clunbenpenbete ift unter 52o Sreitc
gleid^ 440,65 ^JJortfer ßinien.

SBie gro^ ift ^iemad^ bie Sefc^Ieunigung bcr ©d^mcre für Drte unter
520 ajrcite, für Orte am l[quator?

1 m = 443,296 5ßarifer ßinien.
9 = ln^ unb g^ = </o (1 + Va89 sinß^).

9,810^; 9,78965 ^

sec sec

2

154* @g ift bie Sönge bed einfad^en ©elunbenpenbelS gu bered^nen für
bie Drte, bie unter ber Srcite oon 5®, 76« unb 90« liegen:

991,92 mm; 995,13 mm; 995,33 mm.

155* Um mieüiele ©elunben eilt eine Ul^r mit ©elunbehpenbel, bie am
Sctuator rid^tig ge^t, unter 75« Sreite töglid^ oor?

3ft l bie Sönge beS ©ehmbenpenbefö am l[quator, fo gilt für bie ^td*
bauer einer ©d^mingung beSfelben an einem Drtc oon ber SBreite /?:

~'^~''}l 9^ "rl + V289 sin /32-
3Wad^t baS 5JJenbeI an biefem Drte töglid^ n ©d^mingungen, fo ift banad^

'fi

= 86 400 ©elunben.

+ V289 sin ß^

n = 86540,

b, f). 140 ©d^mingungen finb gu oicl üor^onben. 2)ie Uf)r gef)t alfo um
140 ©elunben, b. 1^. um 2 3Kinuten 20 ©elunben oor.

156* (Srfejt man ^r^ in 9lr, 153 burd^ o?, fo lö^t fid^ x au8 ber Sänge

gmeier ©ehtnbenpenbel für oerfd^iebene 99reitengrabe bered^nen. äSegeid^nen mir
bief e Orabe mit ß unb /Sj, bie ßängcn ber ©elunbenpenbcl mit l unb l^, fo ift :

n^l = go (1 + xsin ß^)

nn, = ^0 (1 + ^stn/J,^), ba^er - = rT^^i^^^*

gür »erlin, unter 52» 30' 16" nörblid^er »reite gelegen, ift bie beobad^tete
Sänge 440,665 5ßarifcr Sinien unb für $ßarig, unter 48^ 50' 14" nörblid&er

222 ®rfter TOfd^nitt. [157. — 162.

»rette, ift btefe Sänge 440,53 5ßarifer ßtnien. gör btcfe burd^ Seöba(§tung

gefunbenen ©töfeen ergiebt ftd^

X = 0,00489,

tx)ä^renb Vasa 91^^ 0,00346 ift, tüaS feinen ©runb barin l^at, h(i^ bei bcm
frül^eren gaH bie Srbe aI8 oolllommene ftugel oorauSgefe^t roorben ift.

157^ gur Drte, unter ber ©reite /3 ^m Sftioeau beg 3Keere8 gelegen,
fei bie ßftnge beS ©elunbenpenbetö \.

SBie gro^ ift biefe ßänge unter berfelben S3reite in einer $öl)e oon Am
über bem 3Keere8fpiegel? (»ergl. @. 154.)

S)ie aSered^nung fei für ben 3Kont Slanc, 4900 m über bcm 3Weere, unter
ber aSreite oon 45<>45' gelegen, burd^jufül^ren.

S)er aiabiuS B. ber Srbe ift 6366198 m.

?2 = 994,2 mm.

158. Sin ©efunbenpenbel oon ber ßänge l rairb burd^ SBörme um
0,01 1 länger.

SBieotel ©d^mingungen mad^t eS täglid^ meniger?

429 ©d^mingungen.

159» S8 feien jmei ocrfd^iebene Eentrifugalpenbel gegeben:
SBie oerl^alten ftd^ bie in berfelben S^it i gemad^ten Umläufe n^ unb n^ ?
SBie oerl^alten ftd| bie ßängen ber Kentrifugalpenbcl, menn in berfelben
3eit eine gleid^e Slngol^I oon Umläufen gemad^t mcrben foD?

^2 : nj = y?i cos «1 ; ^l^ . cos a^
/j : Zg = cos «a : cosot^,

160. Sin Sentrifugolpenbel oon ber ßänge l m^xi^t in einer SKinute
n Umläufe.

SBie gro^ ift bie $öl^e beS babei befd^riebenen ffiegelmantetö?

894,56 m

n

2

161. aSei ber ffiurbelfd^leife (oergl. gig. 129) ift bie Semegung beS
$ßunlteg Pa; eine f)armonifd^e ©d^mingung, "t^ F^ = x :=^ r cosb ift, f oHS
bie flurbelbemegung gleid^förmig (c) oor ftd^ gel^t. ®a bie SJemegung, bei
meld^er ber ^©tein* iS in htm ©d^Ii^c AB gleitet, megen ber feitlid^en
gül^rungen Fi unb F^ eine SSerfd^iebung ift, fo fteHt bie SSemegung oon P^
aud^ bie Semegung jebeg anberen ^ßunlteg bar.

S)iefe Säemegung ift ju bel^anbeln (oergl. ©. 172) für r = 36 cm bei
einer Sourenjal^I n = 50.

162. Slngenäl^ert gilt bie Setrad^tung ber 9lr. 161 aud^ nod^ bei bem
3Wed^ani8mu8 ber gig. 124 für bie ©d^mingung beS ^unlteg A begm. für
jeben $ßuntt beS ftoIbenS, faHS B ftd^ gleid^förmig bemegt. Sine genaue

163. — 170.]

Übungen aur Sp^oronomie.

223

ÜBcrcinfttmmung tüürbe nur für eine uncnbltd^ lange ftölbenftanöc AB ein*
treten.

®ie (Senauigleit ber 3Innö]^erung foD für eine ©inteilung beS ffireifeS (r)
t)on 150 ju 150 Beftimmt werben, xooS> ©teQung, (Sefd^rainbigleit unb Se*
fd^Ieunigung üon A betrifft, für AB : BO = ? : r = 5 : 1.

Sei ber SluSfül^rung lann r = 40 cm unb n = 60 gefegt werben.

gig. 129.
A

163* ®ie ftonftrultion ber Eentralad^fe auf ®. 118 ift geid^nerifd^
burd^jufül^ren.

164* S)er 3iifotnmenI)ang ber Beiben flonftrultionen für bie ßentral*'
ad^fe (üergl. § 33, ©d^tu^) ift genauer ju entraiieln.

165* ©enlred^t ju einer (SBene liegen oier ^ßaraHelad^fen für S)re]^ungen,
beren ©inn innerl^alB ber (SBene im SSergleid^ mit ber UfirjeigerBemegung
burd^ + unb — Bejeid^net merben mag. ®ie 2age ber ©d^nittpunlte ber
Std^fen unb ber ßbene finb in biefer für red^tminlelige ftoorbinaten gegeBen
Bejm. burd^ bie ^Punfte^):

P, = (2; 3), P, = (8; 5), P, = (12; 7), P, = (13; 9).

SHe ©rel^ungen Bejm. burd^ + lOo, — 20», — 50«, + 70«.
®iefe golge oon S)re]^ungen ift lonftrultiü au oereinigen.

166. ©emäft gig. 78 ift für 91 : 92 = 5 : 3 ju lonftruieren.

167. ©emäfe fjig. 79 ift für 91 : 92 = 5 : 3 gu lonftruieren.

168 u. 169. Sie SIufgaBen 166 unb 167 finb Beam. gemöfe gig. 81
unb 82 gu Bel^anbeln.

170. ©emafe gig. 80 ift 9 lonftrultit) f)eraufteQen für 91 = 10,
92 = 15, «1 = 20, «2 = 420.

*) Pi l^at fl? = 2 unb 2/ = 3 u. f. n).

224

drfter SOafdgnitt.

[171. — 176.

SHc ftonftrultion ift burd^ bte SRcd^nung gu prüfen unb beten ®enautgs=
lett feftjufteQen.

17L äBeld^cr $unlt X ber Stange B G bc8 in ben 5ßunlten Ä,B, C,D
bur(§ (Selenle oetBunbenen ©tangenpoIggonS (oergr. gig. 130) beroegt ftd^

giß. 130.

bei ajeginn oon S)rc]^ungen oon
-45 im Sinne ber 5|JfeiIe 1 ober 2
in ber ©origontdebene ?

S)ie ffionftruttion für X ift in
gig.180 angebeutet, njobeio äugen*:
Uxdlx^tx S)re]^punlt ift.

172. ©emöfe bem »eifpiele auf
©. 135 ift bie ^^rftaefpon ber Sag*
unb aiad^tgleid^en* genauer gu ent*
roideln. Statt 23V2® ift genauer
3U red^nen 23» 27' 32", ein ooHer
Umlauf ber Squinoltialpunfte mürbe
25868 Saläre (grofteS platonifd^eS
Sal^r) erforbem. gür baS 8lbroEen gmeier Regel gilt foIgenbeS: f5fäEt man
oon einem gemeinfamen 5ßutrfte beiber 3JlänteI, ber oon ber gemeinfamen
Spi^e ben Slbftanb l f^at, auf bie beiben ftegelad^fen itiw. Sote r^ unb r,,
fo gelten für bie btiw, Regelaffnungen «i unb s^ bie Segiel^ungen n = l sin Si
unb rs = Isins^. S)a8 SlbroHen mirb bemnad^ (§aralteriftert burd^ bie
®Ieid^ng

x(2ri7c) = 2 ^2 yt,
b. I|. burd^

a? sw «1 = sin «2«

173* SBenn eine Oerabe, bie burd^ einen feften 5ßunlt gef)t, mit einem
i^rer $ßunlte auf einer feften ©eraben bleibt, fo befd^reibt jeber 5ßunlt eine
Rond^oibe. 3)iefe Sinie ift gu unterfud^en gemö^ ber S)arfteQung auf
S. 188 u. f.

174. S)ie Semcgung beS Äurbelmed^ani8mu8 ber gig. 124 ift genauer
ju unterfud^en gemft^ ber 2)arfteHung auf S. 192 u. f.

175. SHe Rond^oibenbemegung (oergl. 9lr. 173) ift genauer ju unter*:
fud^en, gemö^ ber S)arfteHung auf S. 192 u. f.

176. 8luf jmei geraben SSal^nlinien, bie ftd^ unter 60^ fd^neiben, be*
megen fid^ (oergl. gig. 131) jmei ßifenbafinaüge gleid^förmig bejm. mit ben

®efd^nnnbig!eiten Ci = 10 — unb Ca = lö — • Qnx Qüt t f)aben fte oom

S6C b6C

Sd^nittpunft ber »al^nlinien bcjm. bie STbftänbe 1100 m unb 800 m. S)ie
SRelatiobemegung beS erften 3"B^ 9^8^" ^^^ gmeiten ift für ben JBerlauf
oon fünf 3JHnuten barguftellen.

3)ie aielatiobemegung f)at eine ©efd^minbigleit oom SBerte c = 13,23 — ,

S6C

177, — 178.] Übungen jur ^l^oronomie. 225

bcren SHd^tung 139o 6' 24" von bcr a9cn)cgunggri(§tung bc§ jraeitcn 3wge§
abnjcid^t. S)ie relative ^aijn ift eine ©tredte Zi R in ber Sftid^tung ber rela»
tioen ®ef(i^n)inbiglett von ber Sänge 3969 m.

Sig. 131.

^. ^^

Sejeid^net man bte Snblagen oon Zi unb Z^ bejn). burd^ Zi unb Zi,

fo f)at man für ZaP # ZaZi bte «eaie^ung [ZaZi] ^ [ZaP] + [^^11
au8 ber [Z2ZI] folgt; für bte SRed^nung ift babei nod^ 2i OZ^Zi gu be^
ftimmen. ,

177» SluS einem Sifenbalinjuge n)irb fenfred^t gegen einen anberen,
baju paraQelen, ein ©tein gef d^Ieubert , unb ixvox mit einer (Sefd^minbtgleit

oon 5—- 3Wit tt)eld^er (Sefd^minbigleit trifft ber Stein ben jtüeiten '^mq,

sec

m

a) menn beibe 3^9^ ^it ber (Sefd^minbigleit 15 — in gleid^em ©inne fal)ren.

sec

b) menn ber erfte ^vlq ruf)t unb ber gmette ftd^ mit ber ®efd^minbig!eit

15— bemegt, c) menn ber ameite Rüg rufit unb ber erfte ftd6 mit 15 —
sec 11^ ggg

bemegt , d) menn beibe Söge mit ber ©efd^minbigleit 15 ^^ in entgegen«
gefegtem ©inne fal^ren?

sec

a. 5 — fen!red&t 3U IT. b. 15,81 — unter bem SBinlel 161^ 35' au IL
sec sec

c. 15,81— unter bem SBinlel 18^25' au IL
sec

d. 30,42 — unter bem SBinlel 170^30' au IL
sec

178* S)ie Oefd^minbigleit eineS SBaffertropfenS in Sejug auf ein
©eföfe Beträgt in bem STugenblidte be§ STuSfluffeS 7,85 — , möl^renb bie

sec

m

STuSfluMteHe beS ©efäfeeg bie ©efd^minbigleit 6— ^at. SBeld^eg ift bie

sec
aSß erntete« SWct^anlf. I. J5

226

@rfter 2lbf(I)nitt.

[179. — 184.

(abfolutc) ©efd^tuinbigfcit bcS SBaffcrS, racnn bic 3Hd^tungcn Bctbcr ®z^
fd^tüinbtgfcitcn einen SBinfcI oon 130® Bilben?

6,09 ^ .
sec

179» Sin ffialjn, bcm SRuberer eine ®ejd^n)mbig!eit oon 2 — geben.

sec

m

xüxxb in einem gluffe oon 1,6 — ©cjd^roinbigfeit einmal burd^ bic 3luber

sec

fletS red^tminllig jum Ufer in Semegung gefegt, ba^ anbere 3KaI fo, bafe
feine aSal^n red^tminflig gum Ufer Hegt. SBie üerljalten fid^ bie Überfal^rtS^^
aeitcn bei einer ©trombreite üon 1200 m?

3 : 5.

m

180. ®in Saften bemegt ftd^ mit ber Sefd^Ieunigung 2 — - fenfred^t

sec

nad^ oben. SBie gro^ ift bic ©d^mingungSbauer cineS ißenbefö, ba^ an ber
S)edte beS flaftenS f)öngt?

= 2«|/

l

9 + 2

m

181» Sin Saften bemegt ftd^ mit ber S3efd[jleunigung 2 — - fenlrcd^t

sec

nad^ unten. SBie gro^ ift bic ©d^mingungSbouer eineS $ßenbefö, baS an ber
S)edfe beS SaftcnS l^öngt?

'='-'^^2-

182. 3Bic önbem fid^ bie Srgebniffe ber SUr. 180 unb 181 für eine

Sefd^Ieunigung non 12

m

sec

3m gaDe ber SUr. 181 mü^te ba^ ^ßenbel an btm Soben be§
SaftenS befeftigt merben unb man l^dtte:

183* 3n einem Saften, ber fid^ l^oriaontal mit ber SSefd^Ieunigung
i- bemegt, mirb in SRii^^tung ber Semegung eine Sugel mit einer ®e^

Sig. 132.

m

fd^minbigfeit non 10 — gemorfen. S)ie

sec

10

entfpred^enbe parabolifd^e ^af)n ift au
geid^nen.

S)ie ßöfung giebt gig. 132.

184. Unter meld^em SBinfel gu
einanber fteljen bie SBinbfal^nen jmeier fid^
gegenlöufig bemegenben ©d^iffe, meldte bic
SBinbrid^tung fenfred^t Ireujcn?

90^

185. — 190.] Übungen aur Spi^oronomic. 227

185. ßntfprcd^cnb gig. 90 ift btc Unterführung burd^jufü^rcn, a. n)cnn
bic Betben ©efd^offe etnanber entgegenfitegen, b. raenn bie SBeraegung oon Q
erft beginnt, nod^bem bie Seraegung üon P bereits 5" gebauert l^at.

186. (Sntfpred^enb gig. 91 ift bie Unterfud^ung burd^jufül^ren, a. wenn
fid^ bie fünfte gegenläufig mit berfelben SBinfelgefd^njinbiglcit bewegen,
b. n)cnn fid^ bie 5ßunlte mit nerfd^iebenen SBinlelgefd^minbigfeiten mitläufig
ober gegenläufig bemegen.

187. 8luf einer ©d^eibe S, bie fid^ um eine Sld^fe Ä bxt\)t, ift eine
Sld^fe B befeftigt, bie ju Ä paraQel ift. Söeld^e (abfolute) Semegung voU^
fül^rt ein flörper K, ber fid^ um bie Std^fe B mit einer SBinlelgcfd^minbigleit
bref)t, meldte ber SBinlelgef d^minbigleit oon iS um ^ entgegengef egt gleid^ ift ?

ftreiSnerfd^iebung.

188. ©ntfpred^enb gig. 95 ift bie Unterfud^ung für eine gerabe Sal^n
burd^jufül^ren, melt^e bie ©rel^ungSat^fe fd^ief fd^neibet.

Übertragung auf einen flegelmantel.

189* Sntfpred^enb gig. 96 ift bie Unterfud^ung für gleid^finnige
©rcl^ungen burd^aufül^ren.

190. ßntfpred^enb gig. 96 ift bie Unterfud^ung für jmei firf) fd^nei*
benbe Std^fen burd^aufüliren.

Übertragung auf Segelmäntel.

15=

QtoettcrStbfd^nttt.
(Seigre t)om materiellen Sßunfte.)

40* ^ie bi)namif(i^e @(runbglei(i^ung für matetteffe ^örfierelemeute
(9(tomc)* ®emä^ bcm ^Principe ber Xrägljcit bcbarf niäjt bie S5c^
tüegung, fonbcrn bie SeraegunöSänberung einer tueiteren Srllörung (üergl.
§ 17). ©iefe SenjegungSönberung würbe gunöd^ft für einen jid^ Bcroegen^
ben ^ßunÜ W in jebem 3citpunfte t aI8 ®ej"amtBef(^Ieuntgung [jo]
bargefteQt (üergl. § 25), raöl^renb bann weitere Unterführungen über bie
Seraegung üon ftarren Äörpern e§ ermögli(§ten, bie§ aud^ für jeben
^ßunft eines ftarren flörperS burd^gufüliren. SInberfeitS raeifen aQe unfere
®rfal)rungen bar auf l^in, ba^ bie SBefd^Ieunigungen, raeld^e mx an ^bx^
pern ber 8lu^enn)elt beoBpd^ten, burd^ eine gegenfeitige ®inn)ir!ung
fold^er Äörper bebingt ftnb, b. I). voxx muffen minbefteng gmei flörper bt^
trachten, menn mir eine beobad^tete Sefd^Ieunigung auf il^re legten, un§
gugänglid^en Sebingungen gurücEfü^ren moHen, ben flörper, an bem fie
beobad^tet mirb, unb au^erbem einen anberen Äörper, oon bem fie an^^
äugelten fd^eint.

aSeifpiele: S)er faQenbe Stein unb bie Srbe, ber 3Konb unb bie ßrbe,
bie Srbe unb bie Sonne; aHe SemegungSönberungen, bie burd^ bie Serül^rung
ameier Sörper bebingt finb (Sto^, ©d^lag u. f. m.).

Unfere ßrfal^rungen leieren unS aber ferner, ha^ fid^ bie gegenfeitige
®inmir!ung ber flörper ber Slu^enmelt bei SBemegungSanberungen nid^t blo^
in bem Sluftreten von Sefd^Ieunigungen aeigt, ba^ t)ielmel)r bie reine Se^s
megungSIelire (^l^oronomie) in gang beftimmtem Sinne (S)gnami!) ermeitert
merben mu^, menn jene gegenfeitige ©inroirlung voU aur SarfteHung fommen
foH. S)ie§ folgt fd^on allein barauS, ba^ alle Rörper in ber Stalle ber
©rboberfläd^e mit berfelben Sefd^Ieunigung [g] frei fallen, m&^renb
ber 3^19 ^^^^ ®rudE, ben mir in einjelnen Seilen unfereS eigenen flörperS
auSl^alten muffen, menn mir burd^ il^n üerfd^iebene flörper am freien
gaQen oerl^inbern, unter fonft gleid^en Umftönben l^öd^ft oerfd^ieben fein

§ 40.] S)ie bgnamlfdöe (Srunbgletdöung für materielle Äörperelcmente. 229

fann. S)a^ btefer Quq ober Srudt Bei Äörpern von gleid^em ©toffc
(3. 35. S3Iet) mit bem Sftauminl^alte (SSolumen) mäd^ft unb abnimmt unb ba'^
er für t)erf(^tebene Stoffe (3. 35. 35Iei unb Sifen) bei oerf d^iebenem Sftauminl^alte
berfclbc fein lann, tft ba^ ßrgebniS alter, menn aud^ rol^er ©rfal^rungen.
@te leieren, ba^ unfere, in ber (Smpfinbung oon 3^19 i^nb S)rucf unmittelbar
abgefd^ä^te ßeiftung, nömlit^ eine beflimmte 35efd^Ieunignng [g] fortgefegt
im ®ntftef)en gu unterbrüden, nid^t blo^ oon bief er Sefd^Ieunigung [g] abl^ängt,
fonbem au^erbem oon bem SRauminl^alte unb ber ©toffart ber ftörper, an
benen biefe 35ef(^Ieunigung auftritt.

S)tefe rol^e 3tbfd^ö§ung oon 3^9 ^nb ©rud, meldte un§ unfere
©mpfinbung giebt, ift fd^on in fel^r alten Qzxitn (oergl. 3. 35. bie 35aubent
möler %t)pten§) burd^ bie 3Keffung an einem 3nftrumente erfegt
morben, meld^eS aQerbingg urfprünglid^ oor aßem für bie 35eftimmung oon
SBarenmengen oon 35ebeutung mar. S)iefe§ Snftrument ift bie gleid^*
armige ßebelmage,

Qxvti flörper, meldte afö 35elaftungen ber gleid^armigen ©ebetmage beren
35aHen ]^ori3ontaI fteQen, üben erfa^rungSma^ig unter fonft gleid^en Um^
ftänben auf Seite unfereS eigenen flörperS benfelben 3^9 ^^^^ S)rudf au8,
menn mir fic burdt) i^n am freien gaQen l^tnbern. 3nbem man biefe (Srf al^rung
auf anbere unb 3mar au(5 auf leblofe Sörper übertrug, meldte einen ht^
ftimmten Körper am freien gallen l^inbern, fam man ba3u, aud^ 3. 35. in
bem belafteten ©exte einen S^q unb in ber belaftet^n Stüge einen S)rudf
an3une]Ömen, unb biefen 3^9 ^^^^ S)rudE ber burd^ bie gleid^armige QebtU
mage gemcffenen SSelaftung proportional 3U fegen.

®a^ biefer 3i^9 ober S)rudE, ober genauer, ber entfpred^enbe 3^^^^^^ in
ben leblofen flörpern, aber anä) ber 35cfd^Icunigung proportional ift, oon beren
35etrad^tung mir ausgingen, 3cigt am einfad^ften bie Unterfud^ung beS gaUeS
auf einer fd^iefen ßbene. ©d^on rol^e Srfal^rungen lehren, ba^ ber S^Q ober
S)rudE, ben mir empftnben, menn mir einen beftimmten flörper auf einer
fd^iefen Sbene am gaßen l^inbern, oon bzm 9leigung§mtnlel (a) ber (Sbene
gegen ben ©ori3ont abl)ängt, ba'^ er für bie ®rcn3en « = unb a = 90»
be3m. feinen Heinften SBert (0) unb feinen größten SBert (bem freien
gaÜ entfpred^enb) l^at unb ba3mtfdöen 3ugleid^ mit bem JleigungSminfel be3m.
3unimmt unb abnimmt, gine genauere, nur pl^oronomifdCje "ßjperi^^
mentalunterfud^ung (oergl. SImoenbungen 3ur ^^oronomie, Jlr. 6) beg
gaHeS auf ber fd^iefen ßbene (a), mie fie 3uerft ©alilei (1602) angeftcQt
^at, 3cigt, ba'^ eine gleid^mäfetg^geänberte 35emegung mit ber SSef^leunigung
[gsin cc] oorliegt, afö beren ©onberfaK für a = 90<> fid^ ber freie gaß ergiebt.
©rgöngt man biefe Unterfud^ung in bgnamtfd^er^infit^t, inbem man
feftfteHt, meldte (burd^ bie gleid^armige ©ebelmage gemeffenen) 33elaftungen
einen beftimmten Körper bei beftimmten Stellungen («) ber fd^iefen ßbene
auf biefer am ^aSien l^inbern, fo finbet man biefe 33elaftungen proportional
3U ben oorl^er beftimmten 35efd^leunigungen.

®ie§ beftätigt aud^ bie ßrfal^rung, ba ber ®rudE ober 3ug einer 35c^
laftung für eine bemeglid^e Dbcriage ober Unterlage um fo geringer mirb,
je befd^leunigter fid^ biefe in ber SRid^tung be§ freien gaUeS bemegt.

230 3«>ettcr 8l6fd&nitt. [§ 40.

tüölirenb bei umgclel^rtcr Slid^tung eine SScrftarfung be§ Quqz^ ober ®rucfe§
auftritt, ©d^on xo^t Srfa^rungen an ber eigenen belaftcten $anb geigen bieg
bei beten SSeroegungen aufwärts ober abroärtS. $ier wirft bie SBefc^Ieunigung
beS freien gaHeS nur relatio in aJejug auf bie beroeglid^e Dberlage ober
Unterlage, fo ba^ für biefe bei einer abwÄrtS gerid^teten SBefd^Ieunigung [g]
fein Srud ober gug auftritt.

8lu§ fold^en Überlegungen folgt, ba^ man ben betrachteten S^Q ober
Srud forool^l ber (burd^ bie gleid^armige ©ebelroage gemeffenen) Selaftung
als anc^ ber Scfd^Ieunigung proportional ju fegen l^at, ba^ alfo baS
$ßrobuft aus SJelaftung unb Sefd^Ieunigung ber cinfad^fte StuSbrudE
für bie 3Keffung biefeS Quqz^ ober 2)rudEeS ift.

gül^rt man bie 3Jleffung ber Selaftung burd^ bie gleid^armige QtbtU
xvüQt auf eine beftimmtc ®inl)eit jurüdf (oergl. Sinl., ®. 9), fo barf man
fid^ bie oerfd^iebenen Stoffe afö SSerbid^tungen cincS unb beSfelben ®x\xnb^
ftoffeS (3Jlaterie) oorfteQen, beffen 3Kenge bann unter bem Flamen 3Kaffe
burd^ bie gleid^armige ßebelmage beftimmt mirb.

S)abei mirb bie 3Jlaffe (ocrgl. ginl., @, 9) eineS SörperS barfteDbar al§
5ßrobuft au8 feinem Jftauminl^alte (SSoIumen) unb feiner S)id§tigfeit.

Sejeid^net man bie 3Kaffe eineS flörperS burd^ m, fo l^at bemnad^ ber
betrad^tete gug ober S)rudt beim freien gaüe ben SBert mg, beim gaUe auf
ber fd^iefen (Sbene (a) ben SBert mg sin a,

SRennt man ben S)rudE ober QnQ, ber bei ber aSerljinberung be8 freien
gaQeS auftritt, im ©egenfage au anberen QnQ^ unb S)rudf arten ©d^mer«
brudE ober ©d^meraug, mofür aud^ ba^ aufammenfaffenbe SBort ©emid^t
gebrandet merben f ann , f o fül)ren unf ere Überlegungen i) f d^lie^Iid^ ju ber
Segiefiung :

©emid^t = (3Kaffe) . (Sallbefd^Ieunigung) ... 61)

Jftennt man nun aDe gcgenfeitigen ©inmirfungen aroeier Sörper, meldte
fid^ mit ber SBirfung ber ßrbe auf einen a^^ i^^ faUenben flörper ^ai^kn^
mä^ig oergleid^en, b. f). burd^ ©emit^te meffen laffen, fträfte, fo mürbe
bie möglid^ft auSgebel^nte SSeraUgemeinerung ber eben gemonnenen Segiel^ung
au ber ©leid^ung:

Äraft = (3Jlaffe) . (»efd^Ieunigung) .... 62)
fül^ren.

9Kan l^at biefe ©leid^ung, meldte erft bq§ SBort ^Sraft* genau befiniert,
unter einer gana beftimmten SSorauSfegung feitSftemtonS S^agen
ben einfd^Iägigen Unterfud^ungen a^ ©runbe gelegt unb ift babei ol^ne StuS:^
na^me in ooQer Übereinftimmung mit ber ßrfal^rung geblieben. Sarin liegt
bie Semöl^rung jener ©leid^ung, meldte natürlid^ nid^t ^bemiefen" merben fann.

3ene SSorauSfegung beftel^t barin, ba^ bie ©ültigfeit ber ©leid^ung gu^
näd^ft auf einen fid^ bemegenben $unft eingefd^rönft mirb, ben man fid^
babei al§ Siröger einer unenblid^^fteinen 3Kaffe (im SSergleid^ au ben SKaffcn

Sabet ift natürltd^ in 33caug auf SJlcibung, ßuftroiberftanb u. f. m. ber
belannte (Sd^Iu^ gemad&t, ba^ bie (Erfd^cinung um fo reiner au Sage tritt, je mc^r
bie ftörenben @inflüffe, n)eld5e fid^ nid^t gana befcitigen laffen, aurüdCtrcten.

§ 41 u. 42.J S)ie SJcrrocnbung bcr bt)namifd)en Orunbglcidöung u. f. rv. 231

bcr flörpcr ber Slufecnnjclt) oorfteHt. S)icfc ginfc^rönfung tft nötig, ttJcU an
bcn ctnaclncn fünften cineg ÄörpcrS fel^r ocrfd^tcbenc Sefd^Icuntgungen
bcobat^tet racrbcn fönncn, raälircnb bcm Äörper nur eine 3Kaffe gulommt.
ajlan ]|at fid^ babei ooraufteHen, ba^ ber Äörper au§ unenblid^soielen fold^en
unenblid^^lieinen SJlaffen, roeld^e materielle ffiörperelemente ober Sttomc l^ei^en
mögen, guyammengej'egt ift bt^xü. in fie aerlegt raerben fann, unb ba^ babei
ftetS bie ®efamtr)eit ber 2:etlmafjen gleid^ ber 3Kaffe beS ÄörperS x% mie eS
erfal^rungSmöfeig für enblid^e Seilmaffen (ftonftana ber 3Jlaffenfumme) bcr
gaU ift.

3Kan be^eit^nct einen 5ßunft, ber SCröger non SKaffe ift, im (Segen ja§
3U ben 5ßun!ten ber ©eometrie unb ber ^ßl^oronomie alS ^materiellen $ßun!t*.

©old^e 5Pun!te fmb entmcber S^röger einer uncnblid^ := fteinen 3Kajfc
(Sltome) ober S^räger einer enblid^en 3Kaf|e, meldte in i^nen gemiff ermaßen
t)erbi(^tet gebadet merben barf (bt)namifd^e ßentren, mie 3. 33. bie ©d^roer:'
punüe).

S)ie Oültigfeit berCSIeic^mig ^flraft = (ärtaffe) . (Sefdöleunigung)*, meldte
je^t meift ^br)namx]ä)t (Srunbgleid^ung* l^eifet, mirb für bie materieQcn
fünfte erfter 9Irt (Sltome) üorauSgefegt. €b fie aud^ meitere ©ültigleit
beftgt, mu^ oon gaU ju gaU unterfud^t merben^).

41. 2)ie 93ejie^ung non ^raft unb 93ef(^Icuntgung iuuet^alb ber
b^namift^cu @(runbglct(^nug unb bad $ataac(ogramm bcr Gräfte. S)ie
©rfal^rung lel^rt, bafe bie SRid^tung einer Sraft atö ß^^fl ^^^ 2)^^cE ftetS mit
ber SRid^tung ber i[)r entfpred^enben Sefd^Icunigung übcreinftimmt ober um«
geleiert, mie eg für ©dömerbrucE ober ©d^mergug in SJejug auf bie g^H*
befd^Ieunigung erfid^tlid^ ift. S)ie Äraft erfd^eint alfo afö SSeltor [K] unb
^ängt mit ber i[)r entfpred^enben Sefd^Ieunigung [ja] fo 3ufammen, ba'^ beibe
biefelbe Sichtung unb SBertc 00m Serljöltniffe ft : 1 l^aben, falls man bie
SKaffe mit ft bejeid^net. S)abei erfd^eint öie Sefd^Ieunigung felbft alS Äraft
für ben ©onberfaß ft = 1. S)er Ürfprung ber Äraft alg SSeltor l^eifet ber
?tngriff§punlt.

9IIg Folgerung ergiebt fid^, ba'^ Äräfte an einem fünfte gemafe
bem ^ßarallelogrammprincipe oereinigt merben bürfen, fo ba^ bie ent«
fpred^enben ©ntmicEelungen ber Einleitung (®. 24 u. f.) aud^ für Sröfte
gültig finb.

42. Sie ä^erlueubung ber bi|uamtfd)eu (Srunbgletd^ung bei 93e«
uicgungen materieller Äörpcr. ®ie Überlegungen, meldte gur bgnamifd^en
©runbgleid^ung fül^rten, ftüfeten fid^ auf ©rfal^rungen an Äörpern bcr Stufen*
melt, möfircnb bie ©ültigfcit jener ©Icid^ung gunäd^ft auf 3ttomc ein^
gefd^rönlt murbc. 3Kan ftel)t infolgebeffen oor ber Slufgabc, bie tl^atföd^Iid^

@ie mufe an^ bie Sl^coric bcr gleicharmigen ©cbelraagc, rccld^c aud^ ieber
feftcn (ScilroHc gu (Srunbe liegt, nad^träglid^ redjtf ertigen , ba biefeS 3nftrument
für bie aJlaffenbcftimmung bient. S)er fd^einbare S^^^^^ ift innerhalb bcr p^t)fi=«
falifd^cn ^Jlcd^anil unocrmciblid^.

232 Sroeiter Srbfd5nitt. [§ 42.

gegebenen aSegtel^ungen ber Rörper ber 8lu^enn)elt abauleiten, inbcm man
bie bgnamijd^e ©runbgleid^ung auf beren 8ltome anroenbet unb bann oon
ben 31 tonten (SIementen) jum gangen flörper Ontegrum) einen Übtx^
gang gu finben fut^t, b. 1^. oon ber bgnamifd^en (Slementargleid^ung ju ent^
fpred^enben Sntegralgleid^ungen 3U lommen ftrebt, wie e8 guerft ©uggl^eng
unb bann vox aDem Slewton getl^an J)at.

gür einen fold^en Übergang lönnen yelbftoerftanblid^ nur ©rfal^*
rungen in ber Slufeenraelt bie nötigen ©ülfSmittel bieten.

S)iefe ©ülfgmittel ftnb nerfd^ieben je nad^ bem Slggregatjuftanbe
ber betrad^teten Äörper.

S)abei ftel^t jebeS SItom infofem unter einem geroiffen QroanQt, atö
eS mit anberen SItomen ju btm ©angen eineS flörperS nerbunben ift,
unb bemgema^ l^at man aud^ bie gegmungene Semegung beS 3ltom8
als ajeftanbteil eineS flörpcrS non feiner freien Semegung ju untere
fd^eiben.

SBöfirenb bie Seljanblung ber freien Semegung eineS 8ltom§ it^
reitg burd^ bie ^^oronomie erfebigt ift, erforbert bie SSel^anblung ber ge*
gmungenen Semegung eineS SltomS oon galt gu gaQ neue Unterf ud^ungen.

®ie ßrfal^rung Ief)rt, ba'^ ber S^^^Q ft^tS burd§ Rröfte bargefteHt
merben lann.

S3ei ber Semegung eineS freien 9Itom8 non ber 3Kaffe (i ftellt
[Ä] = f4[jö] für eine Sefd^Ieunigung [je] oI)ne meitereg bie t)on au^en,
infolge gcgenfeitiger ©inmirfung beS 9Itom§ unb eineS anberen matt^
rieHen (SebilbeS, an ba§ 8ltom l^erantretenbe flraft bar, meldte ber Slb^^
meid^ung ber Semegung beS SltomS oon ber Urbemegung entfprid^t. ®tefe
Rraft [IC\ lann babei natürlid^ au8 beliebig ^oielen Komponenten crmad^fen.

gür Körper oeranfd^aulid^t bieS ber freie g^Q; l^ier tritt infolge ber
gegenfeitigen ßinmirlung oon Rörper unb Srbe im ©d^merpunfte be§ Äör*
perS bie Äraft [K] = m [g] auf , meldte au§ ben uncnblid^ * oielen flom*
ponenten crmöd^ft, meldte ber gegenfeitigen Slngiel^ung ber einzelnen, bie
®rbe unb ben Rörper bilbenben 8Itome entfpred^en.

aSei ber Semegung eineS gegmungenen SltomS gilt gmar für
ba§ SItom felbft nod^ genau baSfelbe, bod^ mu^ l^ier für eine meitere Unterst
fud^ung [K] = f*[JG] in amei Komponenten gefpalten merben, beren eine
ber (Sinmirlung be§ Rörperg entfprid^t, bem ba^ Sltom angel^ört, beren
anbere bie (Sinmirlung aller anberen materiellen ©ebilbe,
meldte gu berüdffid^tigen ftnb, barfteUt.

®a ba^ 9Itom al§ S^eil beg Körpers angefel^en mirb, fo pflegt man
nur bie gmeite ©eiteniraft (begm. beren Komponenten) aI8 oon au^en
^erantretenbe Kraft angufel^en, toö^renb man bie erfte Seitenfraft (bejtt).
beren Komponenten), meldte ben 3t^ong barfteUt, afö innere Kraft ht^
jeid^net.

®ie Kraft [K] = [jo], meldte bie in ber Semegung mirllid^ jur ©et
tung fommenbe Kraft barfteÜt unb beSl)aIb (Sffeftiofraft l^ei^t, ift alfo
l^ier atö Sftefultante auS ber, oon au^en Ijerantretenben ober ber äußeren
Kraft (Ä) unb bzm gmange ober ber inneren Kraft (/) an^ufel^en.

§ 43.] Die fflerroenliung ber biinamifi^en ©ranbgteii^ung u. (. ro, 283

S)o8 freie SItcm roürbe butc^ [^1] getrieben, fo bafe eä bie ÜSefc^leu»

nigung s^ erhielte, ba§ geaitungene 9ttom ecfiaU tfiatfäc^lit^ bie SBefc^leu=

nigung !^, weit i^m aufeerbem noif) bec QmmQ [J] bie Seft^Ieunigung

^ erteilt (oergl. gig. 133).
(*

gür Störper neranfcgouli^t bieg einigermaßen ber gaU auf ber fi^iefcn
@6ene (tergl. gig. 134), falls man ben Äörpec mib bie fi^iefe ®6ene aI8 ein
©onjeS auffaßt, öier ift [A] ^ m[g] unb «i^ 133

[K] ^ mysina], fo bafe [J] butt§

[K] Ä [J] l [J]
ju beftimmen ift; man ^at f|ier /= mocosn.

SJiefe Setlegung »an [ä:] in {Ä\ unb [/]
rechtfertigt ftt^, toeil baS ©qftem aUer Ärßfte
[/], roeli^e innerhalb eineS fflötperS jnitf(§en
ben eiiijetnen SKtomen auftreten, eine ganj be=
fonfcere ©igenfifjaft f|üt, bem allgemeinen ^rin»
cipe ber ^aatmirtung (nergl. Einleitung, i

©. 12 u. f.) entfpreiienb , roelt^eS in § 44 ge=
nauer be^anbett metben foD.

©prii^t man non Srflften, bie auf einen
Jlötpet mieten ober einen flßiper an*
greifen, fo meint man bamit ftetS Äräfte, bie
oon außen an feine Sttome herantreten, fie finb
ftetS ber eine S^eil einer gegenfeitifien Sinroirtung
jmift^en bem Sörper unb anberen moterieHen
©ebilben, roöfirenb babei ber onbere, on jenen
materiellen ©ebilben ^aftenbe Xeit biefer ®in'
roirtung unfere Stufmertfamfeit meift niift
feffcit. ©D entfprii^t ber gug eineS flörperS
on einer Cberlage ober fein S3rud auf eine
Unterlage ber Einroirtung ber Srbe auf if|n,
roä^renb un§ bie ©inrairlung beS SörperS auf bie ®rbe junädift nii^f
iutereffiert. ©0 ift ber Qug ober ®ru{f, ben [ebenbe Sffiefen auäüben, beren
©inniirtung auf einen flörper, roölirenb unS bie Sinroirtung beg SörperS auf
fie nii£|t befc^äftigt. Senugen mir ein Oeroii^t, etroa burcfi Sßermittelung oon
©i^nurlauf unb Molle, aur Einleitung einer SSerocgung, fo geben wir ber
gegenfeitigen Einwirfung oon ©eroiäit unb Erbe ©efegentjeit , in S^ötigleit
3H treten, eS tntereffiert un§ aber nur bie Einroirtung ber Erbe auf ben
Äörper unb bie bomit gegebene Einwirkung beS flörperS auf bie ju be=
roegenben 3]ffaffen.

43. 2)te äJettvtnbuttg )>et bqnomifi^ett @ninbgltt(^itng bei Se<
tDtpugett fiavtet matetiellet ^Örpet uub beten €^arattcTiftif. S)a§

Stg, 134.

234 Sw^tter SlDfdjnitt. [§ 44.

befonbcre ßüIfSmittcI,- racld^cg Bei ftarrcn flörpcrn ben Übergang oon bcr
Slementargleid^ung gut Sntegralgletd^ung ermöglid^t, befteljt in ber SScrs»
raertung bcr Srfal^rung, ba^ groei gleid^e Rräfte (3ug ober ©rud) oon
entgegengefegtem ©tnne, bte tnnerf)alb berfelben Oeraben an einem
Rörper beobachtet merben, non um fo geringerer SBirfung ftnb, je näl)er ber
Sörper bem Silbe eineS ftarren SörperS lommt.

Seifpiet: 3Wan benle eine cglinbrifd^e ©icgeQatfftange in i^rer ßängSs^
ad^fe beiberfeitS burd^ je 2 kg gegogen, junöd^ft bei gioimertemperatur, unb
bann bie ©tegeßadmaffe mel^r unb mef)r crmärmt.

SRennt man fold^e Rröfte, bie man burd^ [K] unb [K] bejeid^nen fann,
(Scgenfröfte ooneinanber, fo gelangt man für ftarre materieHe Äörper
ju bem Sage: 8tn jebem ftarren materiellen Sörper bürfcn ®egen=:
fräftc tiingugefügt unb fortgenommen merben.

®urd^ llmfef)rung gelangt man 5U einer Definition beS ftarren mate^^
rieDen SörperS: Sinb an einem Äörper in je ber ©er oben ©egenlröfte oljne
SBirfung, fo ift ber Äörper ein ftarrer materieller Äörpcr.

SluS bem Sage fliegt nod^ afö Folgerung, ba^ inuerl^alb eineS ftarren
materießen SörperS jebe Äraft auf ber ©eraben, oon ber fie al8 StredEe
ein Seil ift, beliebig oerfdfjoben werben barf, ba fie ja in jeber ßage
im aSerein mit einer bcflimmten ©cgenfraft aufgefjoben mirb.

Söill man fid^ ben inneren Sau eineS ftarren materieDen flörperS ocr*
anfd^aulid^en, fo fann man fid^ je ^mei feiner 2ttome burd^ ©egenfräfte oer«
bunben benfen, meldte jebe SSerönberung in ber ßage ber 9Itome oerl^inbern.

44. ^ad ^nnctp ber ^aartuitfung itnb bte Gräfte am ftanen
<9iir)ien ®a8 au8 ber ßrfal^rung erfd^Ioffene ^rincip bcr ^ßaarmirfung
fagt auS: Sei ber, burd^ Sröfte bargeftellten, gegenfeitigen ffiinroirfung
jmeiet flörpcr P unb Q ber Slufeenroelt ift bie (Sinmirfung oon P auf Q
ftetS ber ©inmirfung oon Q auf P entgegengefegt -gteid^, fo ba^ beibe Sin*
mirfungen, menn ftc an einem unb bemfelben ftarren Sörper aufträten, biefen
ju feiner SemegungSönberung oeranlaffen mürben. S)emgemö^ erleiben
gmei ftarre flörper P unb Q infolge i^rer gegenfeitigen ßinmirfung feine
Semegunggönberung, menn fie felbft ftarr oerbunben finb.

SaSfelbe gilt aud^ für gmei beliebige Äörper P unb Q ber Slu^enmelt,
faH^ man bie 8ltome jebeS ÄörperS für ein Qtxitkmtnt in il^rer augenblidf*
iid^en ßage ftarr oerbunben benft.

Seifpiel: ®ie gegenfeitige Sinmirfung gmifd^en einem frei faüenben

flörper P unb ber Srbe Q fül)rt gu feiner SemegungSänberung, menn beibe

flörper burd^ eine ba3mifc^en gefd^obene ©tüge feft miteinanber oerbunben

merben.

S)a bei ber gegenfeitigen ßinmirfung ^meier flörper P unb Q oft ga^

näc^ft bie eine Seite beS ganjen SorgangeS, etma bie ßinmirfung oon Q

auf P (5. S. ber ßrbe auf ben frei faHenben flörper) bie Slufmerffamfeit

feffelt, fo l^ebt man oft biefe eine Seite be§ gangen Vorganges afö SBirfung

(9Iftion) ^eroor unb begeit^net bemgegenüber beffen anberc Seite, b. f), bie

ßinmirfung oon P auf Q (3. S. bie ßinmirfung be8 faüenbeti ©tcineg auf

§ 45.] Sie ajebeutung ber b^namifd&en ©runböleid&unö u. f. to. 235

bic ®rbc) afö Ocgcntoirlung (9lcaftton). Snfolgebeffen fü^rt obtgeg ^rincip
anä) bcn SRamcn: 5ßrtncip bcr ©Ictd^l^ctt oon SBirlung (Stitton) unb
®egenn)trfung (SRcaltton).

aSct bcr Übertragung btejeS ^ßrtnctpS auf Sltome entj"pri(^t im
fiefonberen jeber ftraft, bte an einem Sltome auftritt, ba fte nur ber eine
Sieil einer gcgenfetttgen ©inmirlung ift, eine anbere Rraft von gleid^em SBerte
unb* entgegengefe^tcm Sinn, meldte mit ber erften flraft innerhalb berfelBen
©eraben liegt, fo ba^ 6eibc flräfte ©egenfröfte ooneinanber finb (oergl.
§ 43).

Sei ber gejmungenen Semegung eineS, einem materteHen Äörpcr an*
gel^örigen SltomS liegt bie ©egenfraft t)on [A] au^erljalb beS betrad^tcten
ÄörpeiS, matjrenb bie ©egenfraft üon [J] inmx^alb be§ betrad^teten Sörperg
liegt. Setrat^tet man nun baS gange ©riftem ber Äräfte [Äi], [^a]/---/ meldte
an ben eingelnen Sltomen beS flarperS auftreten, fo unterliegt biefeS ©gftem
ntd^t bem $ßrtnctpe ber 5ßaarn)ir!ung, meil bie flräfte [Äi], [Xj], . . .
au^erl^alb beS ftörperS aur ©eltung lommen. Setrad^tet man aber ba^ ganje
©gftem ber inneren Kräfte [/J, [Ja]/ . . v meldte an ben einzelnen Sltomen
beg flörperS auftreten, fo löfet fid^ biefeS auflöfen in bie ^ßaarmirlungen je
gmcier S[tome, meldte bem ffiörper angel)ören, fo ba'^ für biefeS ©gftem ba§
5ßrinctp bcr ^aarmirfung in ©eltung ift.

®ag ®t)ftem bcr ©ffeftiolröfte [K^], [K^], . . ., meldte an bcn eins
gelnen SItomen cineg SörperB auftreten, entfpringt alfo au8 bem ©gfteme
[Äi], [Az], . . ., meld^eS bem principe ber ^ßaarmirlung nid^t unters^
liegt, unb bem @t)fteme [Ji], [Jj], . . ., für meld^cS ba^ ^ßrincip ber
^aarmirfung in ©eltung ift.

Sei einem ftarren Äörper l^cbt fid^ ba^ ©qftcm [Ji], [J^], ... in fid^
auf, mcit e§ au8. lauter ©cgcnlröften an ftarr ocrbunbencn fünften befielet,
fo ba^ alfo l^icr baS ©gftem ber ©ffeltiofräftc unb baS ©gftem bcr äußeren
ffiräfte genau biefclbe SBirlung l^at.

2)iefer Sag für ftarre flörper ift ein S^cil beS fpötcr nod^ auSf ül^rlid^er ju
bel^anbclnbcn 5ßrincipe§, mcld^eS nad^ feinem ©ntbedfer b*8Ilembert benannt
mirb (oergl. ®inl., @. 19).

45. Sie Sebeutung ber b^namifd^cn @(runbgleid^ung bei S^etft^te«
bungen ftarrer materieller Körper. ®ie (Srfal^rungen, meldte gur bgna^
mifd^en ©runbglcid^ung fül^rtcn, mürben an beftimmten SBcmegungen oon
flörpem ber Stu^enmelt (freier goß tinb ^aU auf ber fd^tefen ßbcne) gc«
mad^t, meiere in großer Slnnäl^erung al§ SSerfd^iebungen ftarrer ffiörper
angefel^en merben lönnen. ®§ liegt bal^er nal^c, oor allem 3U untcrfud^en,
ob bie bgnamifd^e ©runbgleid^ung ftd^ auf SSerfd^iebungen ftarrer
materieller flörper übertragen läfet.

^aiu betrad^ten mir gunäd^ft bie SSerfd^iebung eineS ftarren SBlolcs^
füB, b. % einer abgöl^lbaren (n) ©ruppe oon ftarr miteinanber ocrbunbencn
aitomen.

3mei 9ltome ber ©ruppc (ocrgl.- gig. 135, a. f.®.) begm. oon ben 3Kaffen
fti unb fi2 tnögen -^i unb A.2 l^ei^cn unb fid^ in bcr SSerfd^iebungSrid^tung V

236

atoeitcr Slbfdönitt.

[§45.

gut Seit t mit ber aScfd^Ieunigung [ja] auS bcr 3lu^c oerfd^icBcn, fo ba^ an
i^ncn Bejit). bie (gffeltiolröfte [K^] =^ fti . [jo] unb [Jlg] =^ f*2 • [id ^uf*
treten.

SBegen ber ftarren SßerBinbung oon -4i unb Äq ift eS erlaubt (oergL

§ 43), bie ©eßenlräftc [H] unb [S] 3U3ufet;en, fo bafe [K] unb [5] gur
aiefultante [R^] unb [iCa] unb [H] 3ur Sflefultantc [i^a] a^fammengefafet

gig. 135.

Ao

y I

' I .

/ I

/ I

/ 1

H ^1

Aij2_ Aa H

werben lönncn, b. 1^. bie Äröfte [Ki] unb [K2]
laffen fid^ burd^ bie fträfte [EJ unb [E2] ^^^^
fegen. 2)a [iC,] unb [K2] beim Übergange in
[Ej] unb [R^] Beibe (im Sinne ber 5ßfeile ber
gig. 135) nad^ aufeen gebrel^t erfd^einen, fo
l^abcn [Ri] unb [E-J einen ©c^nittpunlt 0, an
ben fie (nad^ § 48) oerf droben merbcn bürfen,
fall§ man fid^ mit Ä^ unb A^ feft oer*
bunbcn beult. Um [Ri] unb [R2] in gu
einer Sefultante gu oereinigen, gerlegt man fie
am Beften mieber Be^m. in [iCJ unb [H] unb
in [K2] unb [2], fo ba'^ ftd^ bie SRefuItante
unmittelbar ate eine Äraft 00m SBerte JöTj + ^^
unb ber SHd^tung oon [K^] ober [Zj] ergiebt^),
fie mag [Zi, 2] l^ei^en. SDiefe Sefultante trifft bie ©tredte Äi A^ in einem
5ßunlte ^1,2 unb man l^at megen ber S^nlid^teit ber entfpred^enben S)reicdfe

ber fjfigur:

1)

OA,,

= ^ unb 2)

^1,2-^1

unb alfo burd^ S)ioifion oon 1) unb 2)

A\, 2 ^2 ^

3)

0^2

IT

-4l. 2 A

b. ]^. ©trecEe ^1^2 ^"^^b burd^ ^1,2 innerlid^ geteilt unb amar gemäfe bem
SBer^ältniffe ft2 • H^ fö ba^ ft(^ ^1 unb ^2 unb ftj unb /Ua Bei ber 2^ei=
lung umge!e]^rt entfpred^en. Sie 2age oon Ax,% ift unaBl^öngig
oon ber Sid^tung ber SSerfd^ieBung.

Sei ber Betrad^teten SSerfd^ieBung laffen fid^ bie Beiben SItome A^ unb
J.2 burd^ irgenb einen 5ßunlt P ber (Seraben 0^1,2 erfegen, menn man an
il^m bie ffraft [Äi, 2] = (f^i + ^^2) • [ie] oorl^nnben benft. (Siebt man
bem 5ßunlte P bie 3Kaffe (/ii + ^^2)/ fö entftel^t bie an il^m auf*
tretenbe Äraft \K\,^ Bei ber Betrad^teten SSerfd^ieBung gemöfe
ber bgnamifdöen ©runbgleid^ung.

©oll bieg für alle möglid^en SSerfd^ieBungen gelten, fo l^at
man nid^t einen BelieBigen ^un!t P ber (Seraben 0^1,2 a\x%^
gumöl^Ien, fonbern bzn 5ßunlt J.1,2/ um ben fid^ [^^1,2] Bei SSnbe*
rung ber SRid^tung oon \K^ unb [iC,] brel^t.

S)er 5ßunft A^,^ ift ein materieller 5ßunlt gmeiter Slrt, b. 1^. ein

SScrgl. ^ierau bie SSetrad^tung in SSejug auf gig. 82.

§45.]

S)ie SBcbcutung bcr bgnamifc^cn Orunbglctc^ung u. f. xo.

237

bt)nawtf(^c§ Ecntrum, man I)at in t^m bic 3Jlaffcn fti unb 112 oon J.i
unb -^2 vereinigt 3U bcnlcn, iDenn man Ai unb -^2 i^urc^ i^n Bei ber 6c*
trachteten Seroegung erfegen voxü, 3Jlan nennt btefen 5ßunlt, roeld^er bte Sßer*
BinbungSftrede ber betben SItonte im umgele^rten SSerl^öItntffe i^rer 3Jlaffe
teilt, btn aJlaffenmittelpunft beg ärtolelüfö.

©emgemä^ gilt ber ©ag: 5Die bgnamifd^e Orunbgleid^ung,
meldte aunöd^ft nur für ein 8ttöm gilt, Ia|t fid^ Bei SSerfd^ie*
Bungen auf ein ftarreg SJloIefüI an^ gmei SItömen anmenben,
menn man biefeg burd^ feinen Sfflaffenmittelpunlt erfegt.

SHefer Sag ift t)on großer SBid^tigleit, meil er fid^ fofort auf ein ftarreS
3JloIe!üI aug n SItomen augbe^nen lä^t.

S)a3u l^at man nur erft A^ unb A^ bixxä) Ai,2 3U erfegen, bann ^1,2
unb -4:^ eBenfo 3U ^1,2,3 äufammenguf äffen , bann Ai,2,z unb A^ u. f. f.,
unb au^erbem 3U geigen, ho!^ ber fd^lie^Iid^ gemonnene 5ßunft Ai,2,..n, ber
lurg burd^ A Bejcid^net merben mag,
t)on ber SJlaffe Mi + ^^2 + • • • f*n
in feiner Sage una6I)angig ift t)on
ber guföHtgen SReil^enfoIge 1, 2, ... n
ber Sufammenfaffung. Um btefe
UnaBl^öngigleit nad^gumeifen, projis^
eieren mir, mie eg gig. 136 ^eigt,
bie 5ßun!te A-^, A^,2, A^ auf irgenb
einer ©Bene E burdE) ^arattelftredten
^1/ ^1,2/ oc<i. ßegt man 3ur ^röj[efs=
lion oon A-^A^ burdE) Ai,% bie
5ParaHeIe ^1^2/ f^ ift n^egen ber ä^nlid^feit ber entfpredEjenben 2)reiedEe

B\A^ — . -^1 ^i> 2 ^

^2 A2 A2 Ai, 2 ^1

®a jBi^i = a?i,2 — ^i unb .^2^2 -= iC2 — iri,2 ift, fo l^at man alfo:

^1.2 — Jgi _ {^^ ^ ^ ^^ _^ ft2)a^i,2 = i^iOOi + il2Xi.
^2 — a;i,2 ^1

SBenbet man biefeg Sßerfal^ren auf jeben 5ßun!t beg 3JloIefüIg an, fo ift
3unad^ft für ^1,2,3 atg gufammenfaffung oon Ai,2 unb -^3 in ©eltung:

^^1,2,3(^1 + i^2 + i^ä) = (^1 + ^^2)^1,2 + /^8%

= f^l^l + (^2X2 + f*3^3.

S5e3eid^net man iri,2 n bex flür3e megen burd^ x, fo gelangt man

bann burd^ ben ©dfjlu^ oon n — 1 auf t^ 3U ber (Sleid^ung:

^(f*l + f*2 + ' ' ' i^n) = (^iXi +^12X2 + • • • ^nXn ... 63)

2)emnad^ ift ber 8tBftanb x beg ^unfteg A oon ber SBene JE un*
aBl^ängig oon ber Sleil^enfolge ber Sufammenfaffung ber ein3elnen SKaffen,
ba X alg bag SSerl^ältnig 3meier ©ummen erfdfjeint, beren 5ßoften natürlidf)
BelieBig oertaufd^t merben lönnen. ®a E eine gan3 BelieBige ßBene beg

238 SnJßtter 8tbfd)nitt. [§ 45.

Sftauntcg \% fö tft bie 2aQt oon A t)on her atei^enfolgc ber Swfömmenfaffung
ber cingelncn 3Kaffen unaB^öngig.

SKan nennt bcn fo gcroonnenen 5ßunlt, ber ein materieller 5ßunlt groeiter
8Irt, b. ]^. ein bgnamifd^eg Kentrum ift, ben ällaffenmittelpunlt be§ 3JloIc:s
Iül§; man i}at ftd^ in il^m bie SKaffe fti + ft^ + • • • ft„ vereinigt gu benfen.

S)emgemä^ gilt ber Sag: ®ie bgnamifd^e Orunbgleid^ung lö^t
fid^ Bei SBerfd^ieBungen auf ein ftarreg 3KoIeIüI aug n 8ttomen
übertragen, menn man biefeS bur(§ feinen SJlaffenmittelpunlt
erfegt.

Um bie Sage t)on Ä ju Beftimmen, Benufet man am Beften bie gformel
3tr. 63, inbem man fie auf brei, 3U einem Äoorbinatenfgfteme vereinigte
©Benen anmenbet.

aSeaeidfinet man in einem fold^en ©gfteme bie ftöorbinaten eineg 5ßunfte8
Äp ber Oruppe Äi, Ä2, , . . An burd^ Xp, yp, Zp unb lür^t man ferner

p = n

i^iOC\ + {L^x^ + ' ' ' [in Xn burt^ ^ ^p Xp otzx burdf) E ^p Xp für

p = 1, 2, , . , n, unb f^i + ^^2 + • • • ^''n bur(§ ^ ^p ober burd^ S ^p

p=i
für i? = 1, 2, . . . w aB u. f. f., \o ift bie Sage beg 3JlaffenmitteIpun!te§ Ä
gegeben burc^ bie brei Äoorbinaten:

^_£^ 2^, . = ^P .... 64)

U^p Ziip L^ip ^

für ^ = 1^ 2, . . . n,

3Jlan pflegt bag 5ßröbuft au8 einer 3Jlaffe unb einer ©trede im oXi^
gemeinen al§ Sfflaffenmoment gu Begeid^nen, fo ha^ in ben görmein
Sftr. 64 Befönbere SKaffenmomente oorfommen, geBilbet au§ ben Äoorbinaten
(3. SB. xi, x^i, , , , Xn unb x) nai) einer SBene. S)a biefe Befonberen 3Kaffen*
momente ryoxi l^eroorragenber Sebeutung finb, fö pflegt man ben 3n]^alt ber
gormein Dir. 64 lurg aß ^@ag t)on ben SBaffenmomenten* gu Be^
aeid^nen. ©ein genauer 8tu§brucE mürbe lauten : Senugt man für bie "^iomt
eine§ 3JloIeIüfö unb für beffen SBaffenmittelpunlt bie Äoörbinaten nad^ einer
©ßene aur Silbung t)on 3Kaffenmomenten, fo ift ha% 3Jloment be§ 3Kaffcn:=
mittelpun!te§ gleid^ ber Summe ber 3Kaffenmomente ber eingelnen
Sltome.

SKan lann bie brei gormein ber Sßr. 64 leidet in eine gufammenfaffen,
moBei mir ber ©infadfjl^eit megen ba§ Benugte ffoorbinatenfgftem atö red^t*
minfelig oorauSfefeen.

S)ie aSeltoren [0A;\, [OA^], . . . [OAn] aug htm 8InfangSpun!te
beg Äoorbinatenfr)ftemg, meldEje bur(| [rj, [r^],, . . [r„] BcaeidEjnet merben foHen,
megen mit hzn Sld^fen Beam. bie SBinfel {(h,ßuy\\ («2. ß^^ V2)f''*(pCn,ßn,yn)
ßilben. Drbnet man jebem SSeltor [rp] einen SSeltor ^p [rp] t)on gleichem iXx^
fprunge unb gleid^er Sid^tung gu, mie [rp], fo gilt Bei ^rojeltion oon [rp]
auf bie SKd^fen:

1^1 p ^p = i'p Tp cos ccp, [ip yp •= ^p rp cos ßp, {ip Zp = fip rp cosyp.

§ 45.] S)ic SScbeutung ber b^namifdicn ®runb0leid)ung u. f. id. 239

Stibct man alfo an^ bcn SScItoren f^i [ri], ftg [^2]/ . . . f*« [*•»»] t)on
au§ einen ©tredengug, fo ftnb beffen ^ßrojelttonen auf bie Sld^fen, gemä^ ben
fjormeln 3lx, 64,

X Z! (ip, y Z iLp, zZ iip für p = 1, 2, . . . n,

S)a rr, t/, ^ bie Soorbinaten oon ^ ftnb, fö ftnb a;, 2// -s? ^^^ ^ßrojeftionen
beg aSeltorg [0^4] == [r] auf bie 9IdE)fen, unb bemnatf) laffen fid^ ^i^Z^p,
yZiip, zZ^p als bie Sßtöieltionen einc§ [r] gugeorbneten SSeltorg Z [ip . [r]
barftellen, n)eIdE)er alfo bie ©c^Iu^ftrede bcg StredEengugeS au§ ben SSeftoren

f*i [^1]/ f*2 k2]/ . . . f*n [r„] ift.

9luf biefem SSeftor OiS liegt ber ^un!t A unb groar fo, bafe
-. , OS,.,

OA = -r^ tft.

Setngemä^ fann man A aud^ erljalten burd^ bie ©dfjlu^ftredte OS beS
©tredf enaugeS ber SSeltoren ^1 [rj ], ^2 [^2]/ . . . f*n [^«]/ inbem man aug biefer

[0 ^] ^ ^^ bilbet.

5Der Slugbrudt biefeS SSerfa^renS ift:

^1 [u] -f ^2 [**2] + . . . i^n[u] = ZiLp[r\ . . , . 65)

Um fd^Iie^Iid^ oon einem ftarren 3KoIe!üIe gu einem ftarren materiellen
Äörper üBcrgugeljen, l^at man bie Setrad^tung unter ber SSorauSfegung, ha'\^
Z iip einen enblid^en SBert m l^at, auf unenblid^^oiele ftarr miteinanbev
oerbunbene 3ltome auSgubel^nen. ®te f^^rmeln 9tr. 64 Bleiben aud^
l^ter in Oüttigfcit. Se^eidfinet man nämlid^ gunöd^ft für ein 3KoIe!üI bett
größten SBert oon srp mit xo, fo ift Z^pXp < XoZ^p unb alfo
ZfipXp

Ziip

< XqI be^eid^net man ben Ileinften SBert oon Xp mit Xu, fo ift

ebenfo ^^ ^ > x^, S)emgemä^ gilt Xu <. x <C Xq, unb ©ntfpred^enbeS

Zj ^p

gilt für y unb z, S)icfer ©d^Iu^ lä^t fid^ unter ber SSorauSfegung, ba'^ lein
$ßun!t beg ftörperg oon btn Äoorbinatenebenen i) einen unenblid^^gro^en 8lb:=
ftanb l^at unb ha^ Z^p ben enblid^en SBert m i)at, ol^ne meitereS auf
Äörper auSbel^nen.

f5für bie tl^atf äd^lid^e S3eftimmung ber ßage beg 3Kaff enmittelpunfteS eine§
gegebenen SörperS, meldte un§ fpäter (oergl. baS Kapitel 00m ©d^merpunfte)
noc^ auSfül^rlid^er befd^öftigen mirb, geben bie fjormeln 5ftr. 64 unb 65 bie
nötigen ^ülfSmittel.

f5für einen Sörper mit einer ©t)mmetrieebene giebt g^rmel Sßr. 65
ba^u ol^ne meitereS eine mid^tige SRegel.

S)a bie ©gmmetrie barin beftel)t, ba'^ jebem Sltome^^ oon ber aJlaffe
^p auf ber einen Seite ber Sbene ein 3Itom Ap oon berfelben SBaffe ^p auf
ber anberen Seite ber Sbene entfprid^t unb ^mar f , ba^ Ap Äp auf ber
ßbene fenfred^t ftel^t unb burd^ fie l^albiert mirb, fo liegt ber Snbpunft oon

1) S3ei ber Beliebigen Sage beS Äörperg barf man ftetg annel^men, ba^ xp,
■yp, zp pofttio finb.

240 Stüeiter 8tbfd)nitt. [§ 45.

[rp] + [r'p] unb bcmnad^ aud^ ber Snbpunit t)on ft^ [rp] + f^i) [^p] in bcr
©qmmetrieebenc, falls man bcn Urfprung bcr Jßcftorcn in bie ©gmmctric^
eBcne legt (ocrgl. gtg. 137). S)a btcfcS für je gitjet Stttomc ^p unb Ap gilt,

gig^ 137. fo liegt aud^ bcr SKaffcnmtttel:^

iLp punft in bcr ©gmntetrteebene.

^-'"^^-^.^ Qat ein Äörper mcljrere

^.'"■^ I *'^**-^^ ©gmntetrieebencn, fo liegt er in

0^.-"^^ I ^ -A. jeber bcrfcIBen, b. 1^. in il^rer

^^-.. ; ©d^nittlinie Begit). in il^rem

^"^-^^ I ©d^nittpunlte.

^^-^^ fjür l^omogene OcBilbe

^P (^1 = ^2 = • • W^t fic^ btm^

nad^ bie 2age beS 3Kaffenmittetpunfte§ oft ol^ne Slct^nung Beftimmen. ^m
bie ftugel ift ber Sfflittelpunf t , für ben geraben Et)Iinber ber Sfflittetpunft bcr
9Id^fe, für bag SRed^tlant ber ©d^nittpunlt bcr SDiagonalad^fen n. f. xv.
SWaffenmittelpunft.

Semnad^ gilt: ®ie bt)namif(^e ©tunbglcid^ung, rocld^e urfprüng:^
lid^ nur für ein SItom gilt, löfet fid^ Bei aSerfdEjiebungen auf einen
ftarren materiellen Körper übertragen, menn man biefen burd^
feinen aWaffenmittelpunlt erfefet.

Siefcr ift 'ein materieller 5ßunlt ämeitcr 3lrt, b. 1^. ein bvjxia^
mifd^eS ©entrum; man l^at fid^ in il^m ftetS bie äftaffe m = Z!fip
bc§ Körpers oereinigt gu benfen.

3ur Seftimmung feiner 2age bienen bie gormein 9tr. 64 Begm.
gormel 9tr. 65.

SS gilt bann: [K] = m . [jo],

®cmä§ biefer Unterfud^ung töfet fi^ bie Betrad^tete SSer-fd^iebung (au^
ber SRul^e) eines ftarren materiellen Körpers aufgeben, menn man in beffen
SDtaffenmittelpunfte eine äußere Kraft [K] oom SBerte m . ja unb t)on einer
Slid^tung, meldte ber SftidEjtung oon [jg] entgegengefegt ift, anbringt, fo ha^
[K] unb [K] ®egen!röfte finb.

®ieS oeranfd^aulid^t unS am einfad^ften ein fefter Körper, meld^er in ber
9täf)e ber Dberfläd^e aufgefangen ober unterftügt ift. Dbmol^I jebeS feiner
SItome bei feiner gegenfeitigen Sinmirfung mit ber ßrbe bie Sef^Ieuntgung
[g] erl)ält, fo genügt bod^ bie 3lufl^angung ober Unterftügung in ber SSer*
tifalen beS äJlaffenmittelpunlteS, meld^er l^icr (ja = g) ©dömerpunit l^eifet^
\xm bie Semegung gu oerI)inbem. S)ie 3Iuf^ängung ober Unterftüfeung lie^

fert l^icr bie ftatifd^e Straft \K\, meldte bie SntmidEelung ber (linetifd^en)
Kraft [K\ in jebem 8tugenblidt unterbrücEt (K=K = mg),

©iefelbe Setrad^tung gilt aud^ für ben gaH auf ber fd^iefen ßbene.
SDafe umge!e]^rt eine äußere Kraft K, meldte burd^ ben ajlaffenmittelpunit
eines ftarren materiellen Körpers oon ber äJlaffe m gel)t, biefem auS ber

Jftul^e eine SSerfd^iebung oon ber Sefd^Ieunigung [ja] = '^-^ erteilt, folgt

aus bcr ©d^Iu^betrad^tung beS § 44 auf ©. 234, ba baS ©t)ftcm ber

§ 46.] S)ie SBcbeutung ber b^ttomifd^en ©runbgleidöung u. f. n). 241

äußeren ftröfte, raeld^eS ^ter in ber einen Shaft [K] Befielt, unb baS ©qftem
ber ßffeltioftöfte, lueld^S l^ier gu ber einen Äraft m [jo] f ül^rt, ju bemfelBen
©rgefiniffe fül^ren müjfen.

Sftatürlid^ gilt bic ganje Setrad^tung , bie für eine Seraegung au8 ber
Stulpe ängeftettt njurbe, aud^ für jeben 3^ttp"txlt innerl^alB ber Seroegung,
ttjenn man au^erbem bie Bereits oorl^anbenen ®ef d^roinbigleiten für fid^ Bel^anbelt.

Site SfteBenergeBniS ber gangen Unterfud^ng folgt nöd^ eine njid^tige
Siegel für bie ^Bereinigung eineS ©gftentS oon parallelen Äröften
gleicher SWid^tung, bie in einzelnen 5ßunften eineS ftarren materiellen Äör*
perS angreifen.

SBenn bie Äröfte [K^] unb [JEg] ber fjftg. 135 nid^t Begm. bie SBerte ^ jq
unb {L^ja l^aBen, fonbem BelieBige anbere SBerte, fo ift il^re SSereinigung auf
einem ©tral^Ie OAi,^ genau fo ju Bemirlen, mie oorl^er, nur lö^t ftd^ ha^

aSerl^ältnig —^ ber ®Ieid^ung 3) nid^t auf hoS> SSerl^ältniS ^ ivixM^xtn.

®g ift alfo bann ^1,2 ber innere leilpunlt oon Ä^A^ gemä^ bem umge*
leierten ffiraftoerl^ältniffe, nid^t aBer gemö^ bem umgelel^rten SJlaffenoerl^ält^
niffe. ®te meitere (SntmtdEelung Bleißt Big gu ben f?ormeIn Str. 64 oöllig
Befielen, falls man in il^r ftetS ftatt ber ärtaffen bie flräfte feft^ält. 3Kan ge*
langt baBei gu einem 3JlitteIpunIte beS ©tjftemS ber parallelen Äröfte,
für beffen ßage bie g^rmeln gelten:

"" - -^^' y - -Ek;' ' - -ITk;- • • • • 66)

®a8 ©t)ftem mirb burd^ bie refultierenbe Äraft t)om SBerte B = £ Kp
unb VQXi ber 3Kd^tung beS ©qftem§ erfefet, faHS man fte in biefem ^itttU
punite anBringt, beffen Sage oon ber 3lid^tung beS ©t)ftemS unaßl^öngig ift.
Slad^bem [R] ßeftimmt ift, barf man [B] natürlid^ auf feiner Oeraben BelieBig
oerfd^ieBen (oergl. ©. 233).

46. $te SBeiuegnngdgleic^ungeu ber Sqnamtf für ein 9tom* ^a^:^
bem bie meitere aSermcnbBarleit ber, urfprünglid^ nur für ein 8ltom geltenben
bgnamifd^en Orunbgleid^ung im vorigen 5ßaras g^g ;^3g

grapl^en bargelegt morben ift, moHen mir bie
Folgerungen Betradfjten, meldte ftd^ au§ i^r für
bie SSemegungen oon 3ltomen ergeBen. ©agu
Betrad^ten mir junödEift bie mid^tige Verlegung
ber ©efamtBefd^Ieunigung in ber Slid^tung oon
Sangente unb Sftormale (ocrgl. §25) oon bem
neuen ®eftd^t§punlte au§.

®er ^raft K = ^ . [jq\ entfpred^en nun
bie Beiben Komponenten [JTt] = f* . [ir] unb
[Kn\ = ft . [jn], meldte Begm. Sangentialfraft unb Sftormalfraft ober
©entripetallraft genannt merben. S)a [jr] bie Sefd^Ieunigung löngS ber
3Sa^n mi^t , meldte mit ber au§ ber ©teIIung§gIetdE)ung für s gemonnenen

Sefd^Ieunigung j üBcreinftimmt, mäl^renb jn = — ift, fo gilt:

Q

SBernicfe, a^ec^anif. I. lg

242 groeitet Slbfd^nitt. [§ 46.

1) Kt = lij unb 2) Kn=}i — 67)

f5für bcn Ü6crgang t)on bcr ^ß^oronomtc jur S)t)namil ift junä(§ft bie crfte
©Icid^ung bcr 3tr. 67 ooh SSebcutung, racil bic ©runbmctl^obc (ocrgl. § 28)
Icbifllid^ bie SScrl^öltniffe auf bcr aI8 gegeben oorauggefc^tcn Sa^n fietrad^tet.

ßrfefet man l^ter j burd^ — , fo gel^t jebe Oleid^ung ber ^ßl^oroninnte in eine

Oleid^ung ber ®t)namil über, ©agu ift femer gu bcmerlen, ba^ neben bem
5ßröbulte auS einer 3Jlaffc unb einer SBcfc^Ieunigung (Äraft) unb neben bem
5ßrobuIte au8 einer 3Kaffe unb einer ©trede (3Jlaffenmoment) aixä) nod^
bag ^ßrobuK au8 einer 3Kaffe unb einer ®ef d^roinbigleit , njcId^eS 33 e»
n)egung§grö^e (B) genannt rairb, eine geroiffe SSebeutung ^at^). SBir
betrad^ten nun bie p|oronomifd^en Olcid^ungcn ber ^Paragraphen 11 unb 12
au^ bem neuen Ocfid^tSpunlte.

SBenn ein 8ltom in gleid^förmigcr Semegung ift, [o gelten auf
bcr aSa^n bie SemegungSgleid^ungcn s = sq + et, v =^ c, j = 0, meldte
burd^ ältuttiplilation mit ber SDtaffe ^ beS äitomg, nJcnn ber SBeg s — s^
mieber burd^ w bejeid^net mirb, bie Oeftalt

1. in iß — So) = fit«' = (ftc) ^1

2. ^ = ^v = ^c i 68)

3. ilj = Kt=0 J
erl^alten.

S)ie legte ©leid^ung fagt au8, ho!^ I)ier feine Äraft löngS ber SJal^n
mirlt, bie gmeite, ha^ bie SemegungSgrö^e lonftant ift, bie erfte, ha^ hc&
5ßrobuIt aus 3Kaffc unb SBeg ftctg gleid^ bem 5ßrobuIte au§ ber
SBemegungSgrö^e unb ber abgelaufenen 3^it ift.

SBenn ein 8ltom in gleid^mä§ig*geänberter SSemegung ift, fo

gelten auf ber SSal^n bie Semegungggleid^ungen s = s^ '\- v^t -^ —t^,

V =zVq -\- It, j :=h unb \v^ -^ \v^ = 'b{s — sq), meldte burd^ 3KuIti*
plilation mit ber SJlaffe ft beg 8ltom§, menn bcr SBeg s — Sq mieber mit w
begeidfinet mirb, bie Oeftalt

ober

ober

erl^altcn.

1. iL(s - s,) = {p.v,)t + ^t^

liw = Bot + iKfi^

2. ftt; — iivq = {iL}))t

B — jDq = K.T . t

3. iij = iih = KT

4. |^V2 _ 1 ^|;^2 ^ (^^ J,)(g _ g^^ _ Xrp.W

69)

S)ie ©eujegungggrö^e ift eine SftidötungSgrö^e, wenn man ijr bie SHd^tung
ber entfpredöenben (Scfdöroinbigleit giebt.

§ 46.] S)ie SBebeutung bcr b^namifd^en ©ninbgleidöung u. f. n). 243

®tc brüte ©leid^ung jagt aug, ba^ l^ier längS ber SBal^n eine Ion*
ftantc Äraft Kt = (ih in SBirlung ift.

Sßon Befonberer Scbeutung finb nod^ bie Oletd^ungcn 2) unb 4), lueil
man il^re Oültiglctt gcmö^ § 12, Str. 2 unb 3 auf Beliebige SBeroegungen
auSbel^nen lann.

gür bic Seftanbteile bief er Oleid^ungen l^at man f olgenbe Sftamen cingefül^rt :

1. 3Kan Bejeid^net ba^ 5ßrobu!t auS ber lonftanten flraft unb ber aB*
gelaufenen geit atö ÄraftantrieB, fo ba^ Kt . t ben tangentialen Sraft«
antrieB barfteKt.

2. 3Kan Bejeid^net baS 5ßrobuIt l^iv^ a\x& ber l^alBen 3Kaffe unb bem
Duabrate ber Oefd^minbigleit atö SBemegungSenergie (E) ober linetifd^e
(Energie, ober furj afö Snergie, ober auc§ aK ^ßeBenbige ftraft".

3. 3Jlan Bejeid^net ba^ 5ßrobuIt Kt . w auB ber lonftanten S^angential*
traft unb bm. SBege il^reS Singriff Spunfte§ al§ SlrBeit (31).

Snergie unb 8lr6eit finb leine 3lic^tung§grö^en, raöl^renb fid^ ber
Ar aft antrieB afö folc^e auffaffen lä^t.

SDemgemö^ fagt Oleid^ung 2) CLVi§>: ®ie Snberung ber Semegungg«
grö^e möl^renb ber.3ßit t ift glei(§ bem entfpred^enben tangcn*
tialen ÄraftantrieBe.

gemer fagt Oleid^ung 4) avS>\ 2)ie Säuberung ber Snergie mö^*
renb ber S^it t ift gleid^ ber entfpred^enben 3lrBeit.

SBid^tige ©onberföHe ber ®Iei(§ung 4) treten für -yo = Begm. ^o =
unb i; = Begip. ^ = ein, man l^at, gemö^ E — Eq = % für ^o =

4a. E = %

b. ]^. bie mäl^renb ber '^txi t erzeugte (Energie ift gleid^ ber ent«
fpred^enben ä^rBeit, unb für ^=

4b. Eq = —%

b. ^. bie möl^renb ber geit t öerBraud^te (Energie ift gleich ber cnt*
fpred^enben 8trBeit.

Um bie SJebeutung bief er ®ä§e eingufei^en, l^at man fid^ an bie geläu^
ftge (Erfal^rung gu erinnern, bajj ein Bemegter ftörper im ©egenfa^ gu
einem rul^enben eine genriffe SBirlung au§üBt, bie man im gemöl^nlid^en
ßeBen atö SBud^t (beg ©to^eg ober beS ©d^IageS) ober Slnprall u. f. m.
3U Bejeid^nen pflegt. Um ein 3Jla^ für bief e SBirfung gu geminnen, lann man
baoon auSgel^en, ba^ biefe ol^ne S^J^if^I ^it ber 3Jlaffe unb ber ©efd^minbig^s
leit mäd^ft unb aBnimmt, fo ba^ gunitionen oon ber fjorm Cm^v^ für C
afö lonftante unb p unb g afö ganae pofitioe Qai^lm bie einfad^ften SInföge
für eine berartige 3Jleffung finb. Unter biefen einfadfjften 9lnfä^en treten
ani^ bie SJemegungSgrö^e (mv) unb bie (Energie (^mt?2) an^, fie
j^aBen oor anberen berartigen 3lnfä^en ben großen SSorgug, ^u ber Äraft
ober genauer 3u beren tangentialer Komponente in einer einfad^en SSegiel^ung
ju fielen. 2)te Straft, meldte fid^ infolge ber gegenfeitigen (Sinmirlung ber
ftörper seigt, tritt Bei freier (Entfaltung afö Sefd^Ieunigung einer Bemegten
aftaffe auf (finetifd^e Straft), Bei ooUftönbiger ©emmung nur als gug ober
S)rudt (ftatifd^e ftraft). Sllan fann bie ftraft afö ein SKa^ für bie äugen*

16*

244 aroeiter TOfd^nitt. [§ 46.

blidtlid^e geßenfeittge ©iniDtrlung ber ftörper anfeuert, xüäfyctnb ftc^ für
bie baucrnbe gegenfeitige gintoirlung aroei ocifd^icbc^e aJla^e ergeben,
nömlid^ ba^ 5ßrobuft auS ber (fonjtanten) Äraft unb ber Sauer tl^reg 8tuf*
tretend, b. ^. ber ffiraftantrieb, unb ba^ ^ßrobult au8 ber (tonftanteu)
Äraft unb ber in i^rem Sinne ober im Oegenftnne erfolgten SSerrüdung i^reS
5lngrippunfte8, b. 1^. bie 3lr6eit. 2)ie SJewegungSgröfee ftel^t nun a« bem
ffiraftantrieb, bie Energie i\xx 8lrBeit in einfad^er »eaiel^ung, n)ie e§
bie oben entoideltcn ©leid^ungen 2) unb 4) aeigen.

Sie Segriffe Sen^egungSgrö^e unb Äraftantrieb ftnb einfad^er atö bie
begriffe (Energie unb Slrbeit, unb eS erfd^eint alfo burd^auS natürlid^, ba^
©leid^ung 2) gefd^id^tlid^ frül^er aufgefteHt unb benufit rourbe aK Oleid^ung 4).
SDa^ Oleid^ung 2) feit ber 3Kitte beS 19. Sal^rl^unbertg langfam burd^
Oleid^ung 4) oerbrängt morben ift, liegt bartn, ba^ bie Snoeiterung oon
Oleid^ung 4) für beliebige Seujegungen frud^tbarer ift ate bie ent:^
fprcd^enbe StuSbel^nung oon Oleid^ung 2).

Um bieS einaufel^en, mu^ man ben Segrtff Slrbeit nod^ etmaS genauer
betrad^ten. 3n bem erften ßel^rgange ber ^l^tjfil mirb er an ber fenl^
redeten ©ebung unb ©enlung oon Äörpern oeranfd^aulid^t, mobei er alS^ßro*

gig. 139 a. gig. 139 b.

buft oon Oemid^t (Cr) unb ©ebungS:^ ober ©enlungSftredte (h) eingefül^rt
mirb. aSei ber ©enfung entfprid^t bie Scmegung ber gegenfcitigen Slnaiel^ung
oon Srbe unb Körper, bei ber $ebung ift fie biefer entgegcngefe^t, fo.ba^
man ben UnterfdEjieb ber 8lrbeiten in beiben fJöHen burdf) + unb — be^
aeid^nen lann, unb itoat empfiehlt eg fid^, ba^ 3^i<^ßn + für bie 3trbeit a«
oermenben, meldte ber 3Inaie]^ung entfprid^t, b. f). für bie ©enlung§arbeit,
ba l^ier bie SRid^tung ber flraft (Oemid^t G) unb ber SSerfd^icbung (©enfung h)
übereinftimmen.

ajetrad^tet man (oergl. @. 165) bie fenlred^te ©enfung ober ©ebung
h auf einer fd^iefen Sbene (a) für eine fd^iefe ©enfung ober ©ebung w
löngS ber Sbene, fo ift h = w sina, gül^rt man (oergl. fjfig. 139 a u.b)
ben SBinfel atüifd^en Äraftrtd^tung unb SSerfdEjiebunggrid^tung ßi ober ß^ ein,
fo ift h = w cos ßi unb man l^at für bie ©enfung + Gh = + Gw cosßi,
unb für bie ©ebung — Gh = — Gwcos ßi =^ + Gw cosßi, ba
ß^ -\- ß^ =L 180« ift. §ier merben alfo beibe Slrbeiten burd^ ben einen
8tu8brudf + G wcosß bargefteHt , \aM man bzn SBinfel an^ifd^en Ärafts=
ridEjtung unb aSerfd^iebungSridEjtung burd^ ß beaeid^net.. %vix ß = erl^ült
man mieber bie pofitioe Slrbeit ber fenfred^ten ©enfung (w = h), für
ß =r 1800 mtebcr bie negattoe Slrbeit ber fenfred^ten ©ebung (w = h), fo
ba^ an^ biefe beiben Slrbeiten burd^ ben einen SluSbrudt mitumfafet merben.

§ 46.] S)ie ©ebeutung ber b^namifd^en Orutibgleid^ung u. f. n). 245

®enft man bie SScrfd^icBung [w] auS ber fenlred^ten Äomponcnte [h] uttb
bcr toagered^tcn ffiomponcnte [s] jufantmcngcfcöt, fo ift bie fettttd^e Sßerfd^ies
6ung [s] für bie ©tcHung oon Körper unb ßrboberflöd^e ol^ne Selang, fte
iDürbe ftd^ 6ei einem frei Berocglid^en Äörper, raenn fein ßuftroiberftanb vox^
l^anben roäre, aud^ gang ol^ne ffiraftaufroanb (Sefd^Ieunigung) burd^ eine ein*
mal oör^anbcne l^origontal gerid^tete ©efd^rainbigleit (oergl. SBurfbcroegmtg)
in Beliebiger Orö^e ergeugen laffen. Setrad^tet man für bie Seftim*
mung ber SIrbeit nur bie Stellung oon Äörper unb ©rboberflad^e
als mefcntlid^, fo ift bie 3Irbeit für bie bctrad^tete fdfjiefe ©enlung
ober ©ebung biefelbe mie für bie fenlred^te ©enlung ober §ebung
unb jwar gilt bann für bie Sered^nung ber 9lr6eit 81 gang all*
gemein:

31 z= + Gwcosß 70)

S)icfer 3lu8brudt löfet eine boppeße S)eutung au, je naä)btm man i^n
als G(wcosß) ober aI8 (G cos ß) w auffaßt. 3m erften gfaHe bejeid^net
w cos ß bie ^ßrojeltion ber Jßerfd^icbung [w] auf bie Oerabe ber Straft, b. ^.
bie Jßerfd^iebungSlomponente innerhalb ber Oeraben, meldte burc^ bie 3lid^*
timg ber Äraf t beftimmt mirb ; im jmeiten gaUe bejeid^net G cos ß bie ^ßrojef «
tion ber Äraft [G] auf bie ©erabc ber Jßerf d^iebung , b. ^. bie Äraftlompo*
nente innerl^alb ber Oeraben, meldte burc^ bie SRic^tung ber SSerfd^iebung
beftimmt mirb (ocrgl. Sinl. au gig. 14).

(Be^t man allgemein feft, ba§ bie 8lrbeit nur burd^ bie SSer*
fd^iebungSlomponente innerhalb ber Oeraben ber ffiraft ober
nur burd^ bie Äraftlomponente inncrl^alb bcr Oeraben ber SSer*
fd^iebung beftimmt mirb, fo gelangt man für eine lonftante Äraft
(K) oon bcftimmter 3flidE)tung unb für eine gerablinige SSerfd^ie*
bung (to) oon beftimmter Slid^tung, menn biefe Slid^tungen ben
SBinlel S bilben, ju ber Definition ber 3Irbeit:

^ = + Kwcosd 71)

b. f). SIrbeit = 5ßrobuft auS Äraft unb SSerfd^icbung unb ffiofinuS
bejj gmifd^enminlelg.

Sei einer oerönberlid^en ffiraft unb bei einer beliebigen SSer*
rüdtung oon beren 8lngriff8punlte ftcHt fjormel 3lr. 71 bie gormel
für bie elementare 3lrbeit bar Qimr = 0), gemö^ meld^er bie 3lrbeit
für eine enblid^e Qeit bcrcd^net merben mu^.

gür eine lonftante ffiraft oon beftimmter 3lid^tung gilt j. 33.
bei beliebiger aSerrüdtung beg 3lngriff8punfteS (oergl. ®. 170) bie
fjformel

fang man mit h bie ^ßrojeltion beS SBegeS, ben ber 3lngrippun!t befd^reibt,
auf bie Oerabe ber ffiraft bejeid^nct, ba ^ier jcbcS Element beS SBegeS auf
biefelbc Oerabe projtaiert merben mu^.

gerlegt man bei einer SJemegung auf beliebiger Sal^n bie
ffiffeftiolraft K ftetS in bie 2:angentiaIIraft Kt unb in bie Sßor*
mallraft Äjy, fo fällt Kt ftetg in bie Oerabe ber augenblidflid^en

246 3n>etter «afd^nttt. [§ 46.

Jßerrüdtung (Tangente ber fdaf)n), fo ba^ fte allein für bie Säe*
red^nung ber SlrBcit in grage lommt

gür ben fjfall, ba^ 3. 33. JöT^ einen lonftanten SBert \)at, gilt
alfo (oergl. ©. 243) bie gormcl

fang man mit w ben SBeg beS SKngriffgpunlteS im ©inne oon s — Sq = w
6e3ei(§net, ba I)ier iebeS ßlement beS SBegeS mit berfelben Orö^e Kt mnltu
püriert merben mu|.

2)a Bei ber SäegriffSbeftimmung ber 3lrBcit bie ßeiftung ber
Srtormallraft, meiere in ber Krümmung ber Sal^n befielet, gang
au^er Setrad^t bleibt unb nur bie ßeiftung ber X^angentiallraft,
meldte löngS ber Sa^n jur Oeltung lommt, Berüdfid^tigt mirb,
fo ift eg für bie Sered^nung ber Slrbeit gteid^gültig, oB man bie
3Ir6eit oon [K] =^ ft . [jq] ober oon [Kt] = ft . [jt] einfül^rt; bie
Srtormallraft [Kn] leiftet im ©inne ber ganjen Setradfjtung über«
l^aupt leine 3Irbcit (cosS = für d = 90» unb für S = 270^).

Sluf bicfer Oleid^mertigleit oon [K] unb [Kt] bei SJcrcc^nung ber SlrBeit
Berul^t nun aud^ oor allem ba^ ÜBergcmid^t, meld^eg ber SSegriff SlrBeit
unb bamit aud^ ber 33egriff ©nergie über bie alten begriffe ffiraftantrieb unb
aSemegungSgrö^e erl^alten l^at; ber flraftantrieb ift für bie ganje Straft [K]
ein anberer aK für beren tangentiale ftomponente [Kt], bie SlrBeit ift für
Beibe Strafte genau biefelBe.

2)arum l^at aud^ bie Übertragung ber Oleid^ungen 2) unb 4) gemö^
§ 12^ 9lr. 2 unb 3 auf BelieBige SSemegungen Bei ©Icid^ung 4) eine
meit umfaffenbere Sebeutung afö Bei Oleid^ung 2).

Seid^net man für bie Übertragung ber Oleid^ung 2) ftatt ber SSefd^leu«
nigung * S^itlinie bc8 § 12 bie 2:angential!raft==8^itlinie, inbem man
bie gufammengel^örigen SBerte oon t unb Kt aK 8lBfciffen unb Orbinatcn
aufträgt, fo crl^ält man bie SSejie^ung:

B — Bo = Fl(KTli) 72)

b. ^, bie l^nberung ber Semegungggrö^e mirb Bei jeber Säe*
megung burd^ bie cntfpred^enbe gfläd^e ber langentiallraft*
Seitlinie bargeftellt.

5Da biefc g^öd^e für bie Semegung oon Bi§ t bie ©ummation ber
tangentialen ftomponenten ber elementaren Äraftantriebe barfteHt, meldte in
il^rer 3Sereinigung mieberum als ^tangentialer ÄraftantrieB" für bie Seit
. . . t Bejeid^net merben fönnen, fo gilt and) :

®ie Snberung ber SemegungSgrö^e ift Bei jeber SSemegung
gleid^ bem entfprcd^enben tangentialen ÄraftantrieB.

3eid^net man für bie Übertragung ber ©Icid^ung 4) ftatt ber Sefd^leu*
nigung==aBeglinie be§ § 12 bie 2:angentialfraft*a!Beglinie, inbem man
bie jufammengel^örigen SBerte ber ©teHung s für w =: s — so unb ber 2^an*

Slu^erbem barauf, ba^ bie beobad&tctcn Gräfte ber Slu^enroelt meift nur burd^
bie Sage ber Äörper bcbtngt ftnb, beren gegenfeitiger ©inrairlung fte entfpred^en.

§ 46.] S)ie SBcbcutung ber b^namifd&en Orunbgleid&ung u. f. to. 247

gentiaßraft Kt atö 3l6fciffcn unb Orbinaten auf trögt, fo crl^ält man bic

S3c3ie§ung: je; — ^o = ^^^K^S^t 1 «;) = FJ/iCr 1 «c^) .... 73)

b. ]^. bie l^nberung ber ©nergte rairb 6ei jcber SJctücgung burc§ bie
entfpred^enbc f5flä(§e ber XangentiaIIraft:=SBegItnte bargeftellt.

S)a biefe glöd^e für bie SJeiDegung t)on Big t Begn). oon So bi§ s bie
©ummation ber elementaren Slrbeiten barfteHt, für beren Seftimmung
etiüaige Sftormallomponenten Kn ber Äraft K gar nid^t in grage
lommen, unb ha man biefe elementaren SIrBeiten in i^rer SSereinigung mieber
afö ^SlrBeit" Begeic^nen lann, fo gilt aud^:

5Die änberung ber Snergie ift Bei jeber Semegung gleid^
ber entfpred^enben StrBeit.

©inb 3. SB. Bei einem gemorfenen Äörper bie Oefd^minbigleiten in gmei
^ßunlten ber Sal^n, meldfje ben fenlred^ten 8lBftanb h l^aBen, Bejm. vq unb v,
fo ift bie entfpred^enbe 3lrBeit Bei einem Oemid^te G beg ÄörperS ±G}i
unb man I)at: j^; _ ^^ ^ 4. qj,

SDagfelBe (SrgeBniS liefert biefjformel Sftr. 53 auf®. 171 nad^ 3BuItipIiIation
mit IL.

3n einem gaHe flnb bie Beiben Oleid^ungen 2) unb 4) oon gleid^ um*
faffenber SJebeutung, namlid^ bann, menn J5r„ fortgefegt ben SBert l^at,
fo hci^ leine Ärümmung ber Sal^n erfolgt; t% ift bann [K\ =^ [J^r].

gür Semegungen auf geraber ßinie gilt alfo: 5Die Snberung
ber SemegungSgrö^e ift gleid^ bcm entfpred^enben ffiraftantrieB.

S)iefer ©ag mirb natürlid^ aud^ für Irummünige SJemegungen
oon Sebeutung, menn man fie nadf) ber 5ßrojeftion8met]^obe Bel^anbelt;
man mu^ baBci ben $ßroj[eItioncn beg SltomS biefelBe ällaffe ft 3uf(|reiBen,
mie biefem felBft.

(grmöd^ft bie Straft K au8 mel^rercn ©eiteniröften K^, K2, . . , Kn, fo
ift bie SIrBeit ber 3BitteIIraft K für eine elementare SBerfd^ieBung
w jtetS gleid^ ber (algeBraifd^en) ©umme ber 3trBeiten ber ©eiten«
Jröfte. Silben nömlid^ K unb K^, K^, . . . Kn Begm. mit ber 9Wdf)tung ber
aSerfd^ieBung bie SBinfel « unb «i, «2/ • • • ««/ fo if* K^t einerfeit§ K cos a
unb anberf eit§ Ki cos oc^ + K^cosa^ 4- • • • -S^n cos «» unb bcmnadf) Kt . w
einerfeitg Kwcoscc unb anberfcitS K^ w cos «i + K^wcos «2 + • • • Knwcosocn
(oergl. bagu ®int. ©. 37).

©egt man bem ©gftcm K^ K^, . , . Kn nod^ bie Oegeniraft oon K ju,
fo aerftören fid^ bie Äröfte (Sleid^gemid^t), unb bie SttrBeit ift S«uII. ®ieg gilt
natürlid^ für jebe SSerrüdfung, nid^t BIo^ für bie tl^atföd^Iid^ oorl^anbene w,
fonbem für eine BelieBig erbadEjte (oirtuelle), b.l^. bie SirBeit oon Kräften,
bie an einem 5ßunlte im Oleid^gemid^t finb, ift für jebe oirtuelle
aSerrüdtung SRulI, unb umgefe^rt.

©d^Iie^Iid^ ift nod^ gu Bemerfen, ho!\^ e§ oft gmedtmö^ig ift, bie SKrBcit 81
im SSerl^ältniffe 3U ber 3^^ t ju Betrachten, innerl^alB meld^er fte geleiftet

31
mirb; man Begeid^net biefeS SSer^ältniS — aI8 burd^fd^nittlid^e SlrBeitgftörfe.

V

248 3n>eitet «bfd&nitt. [§ 46.

w w

gür ^ z= Kt .w zx^üi cg bie ®eftalt Kt • —, tooBet — bie burd§:=

fd^nittlid^c ®cft^niinbiflleit für ha% ©urdfjlaufen oon w, b. 1^. für bie SBc:»
tuegung beg StngriffSpunlteS ber Äraft barftcllt.

SBetm Übergänge gur (Srcnje (?iw r = 0) crl^ölt man aud^ l^tcr ftatt
be§ ©urd^fd^ntttgtoerteS bie SBerte für beftimmte S^üpunlte, lueld^e gelegentlich
aud^ Äonftanten fein fönnen.

gür ftilogramm unb 9Keter atS (Einheit bejeid^net man 75 Sinl^eiten
ber 3lrbeit8ftärle, alfo 75 Kilogramm «^äßeter pro ©efunbe ate 5ßferbeftärle.

8lIIe fjörmeln biefeS 5ßaragrap]^en ftnb lebiglid^ al8 Umformungen
ooneinanber au betrad^ten, beren 8luSgangSpunIt bie ©teHungSgleid^ung ber
5ß^oronomie bilbet. ©ie begießen fid^ junäd^ft auf ßffeftiolröfte beju). auf
bie anberen (effeftioen) Orö^en, meldte au8 ber Semegung felbft abgeleitet
merben.

©oBalb ho§> Sltom aK ßlement eines ÄörperS betrad^tet mirb, l^at man
bie ©ffeltiolräfte mieberum afö 3lefultanten oon äußeren unb inneren
Straften anäufe^en, mobei man gu beftimmten SBejiel^ungen jmifd^en ben
®rö^en, meldte ben öu^eren fträften ent fpred^en , unb jmijdfien ben
©rö^en, meldfje ben ßffeltiolräften entfpredfien, gelangt (oergl. ©. 232).

3n biefen SBejte^ungen jeigt fidf) bann erft bie eigentlid^e SBebeutung ber
^ier entmidtelten fjormeln.

Um biefe Sebeutung oon oomi^erein gu d^araf terifieren , lann man aud^
für bag eingelne 3ltom bie äußere Sraft unb bie ®f feltit)!raft unter*
fd^eiben, obmo^I i)ier, mo ja feine inneren flräfte in 3frage lommen, beibeS
nur ein anberer SluSbrudt für biefelbe S^^atfad^e ift.

SBöl^renb man tl^atfäd^lid^ auS einer Beobad^teten S3efd^Ieuntgung auf eine
flraft fd^Iie^t, meldte für eine lonftante Sefd^leunigung felBft fonftant genannt
mirb/ unb biefe ftraft aß ben einen S^eil einer gegenfeitigen ßinmirlung an*
anfeilen ^at, ift eS für eine erfte Jßeranfd^aulid^ung ganj nüglid^, biefen %z\i
unter htm Flamen ^Su^ere ffiraft" alS ^Urfad^e" anjufel^en unb il^m
bie ^(Sffeltiolraft" afö SBirlung gegenüberjufteHen. aJlan mufe ftd^
bann irgenbmo im Slaume einen ©ig ber äußeren Äraft [-4] oorfteHen, etma
atö angie^enbeS ober abftofeenbeS Eentrum, oon htm auS in ber 3lid^tung
ber ftraft SemegungSönberungen auf hci% 8ltom oon ber SBaffe ft über*
tragen merben, fo bafe fid^ an biefem eine, ber öu^eren ftraft [-4] propor*
tionale (gffeltiolraft [K] entmidtelt. 3ft ha^ 3ltom auf ber ©eraben ber
Shaft in Sflul^e, fo entftel^t eine gerablinige SBemegung, Bei ber bie äußere
ftraft bie ©efd^minbigleit beS SttomS mä^renb ber n aufeinanber folgenben
3eiten z,r, . . ,x oon auf v^, oon v^ auf v^, . . ,, oon Vn-i auf Vn fteigcrt^
fo ba^ bie SemegungSgrö^e beg 3[tom8 bemgemä^ oon auf ^vi, oon
^Vi auf iiv.2 . . V t)on iiVn-i auf fivn gefteigert mirb. ®abei finb bie mitt«

leren SBefd^Ieunigungen -^ , -^ -, . . . — "^^ unb bie mittleren

§ 47.] S)ie bgnamtfd^en Otogen für matcrieEe Äörpcr. 249

fteHen. ©inb biefe Jonftant, fo ba'^ — ^^^ = h gefegt iDcrben barf,

fo Brmgt bic öujjcrc ftraft in ber gciteinl^eit bte lonftantc SJcfd^Icu*
ntgung b f)exmx, fo bajj bic cntfprcdfjcnbc Ion ft ante ©ffcitiolraft [jiih] atö
il^r 3Kafe gelten barf. 3ft biefc ffionftanj nid^t oorl^anben, fo tft butd^ einen

Orenaufiergang aug -^^ , -^ ^, . . . — — für Zmr = ber

IT IT T^

SBert j für bie geit ^ l^eraufteHen, fo bajj nun bie entfpred^enbe oeränber*
l\ä)z (gffettiolraft iij afö SKa^ ber äußeren Straft [K] 3U gelten l&at. D6
man ftd^ bie Äraft ftetig ocränbert (groeite Slnnö^erung) ober unenblic^ oft
pulfierenb (erfte 3lnnäl^erung) benft, ift für ba& ßrgefinig Qim r = 0) gleid^*

göltig.

Snnerl^alB biefer SSorfteÜung lann man aud^ für ein 8ltom oon bem
3tntrieB ber äußeren Äraft unb oon ber Slrbeit ber äußeren
Äraft fpred^en, im Oegenfage gu bem SIntrieB ber Sffeltiolraft unb
ber 9lrbei^t ber (gffeltiolraft, bod^ fielet man babei nur biefelbe
®rö^e oon gmei oerftfjiebenen (Sefid^tSpunften auS an.

S)er ©egenfag mirb aber oon Sebeutung, fobalb beim 9Iuftreten innerer
Äräfte gmifdEjen öu^erer flraft unb ©ffeltiofraft tl^atföd^Iid^ ein Unterfd^ieb
oorl^anben ift.

3n Segug auf bie ©leid^ungen 2) unb 4) mag in SJegug auf § 14 nod^
bemerft merben, ba^ bie bort gegebenen ®Ieid§ungen 1, 2, 3 burd^ ajlultis^
plilation mit ^ übergel^cn in

3. fivdv =^ Kxds
unb boüii bie Umfe^rungen

1. ^s = Äonftante -\- ^B . dt

2. B = Äonftante -\- \KT.dt = Ronftante + 2:angentiaIsÄraf tantrieb

3. ^^v^ = E = Äonftante + ^Kt .ds = Äonftante + Slrbeit
lauten.

47. 2)ic b^namifd^eu ©röficu fiit materictte fiör^ien Um bie S)efi*
nition einer bgnamifd^en Orö^e, meldte für ein 3Itom gegeben ift, auf ein
ajlolefül ober auf einen Äörper gu übertragen, gel^t man baoon auS, ba^
einerfeitS bie pl^oronomifd^en Oröfeen für ein 8Itom burd^ ällultiptilation mit
ber aJlaffe in bie entfpred^enben bgnamifd^en Orö^en übergeben unb bajj
anberfeitS bie 3Jlaffe eine^ ÄörperS burd^ bie 3Jlaffenfumme feiner Sltome
bargefteHt mirb. ©0 ergiebt fid^ atö fad^gemä^e fjfeftfegung, ba'^ bie bqna*
mifd^en Ordnen für Äörper aug ben entfpred^enben brjnamifd^en Ordnen für
Sltome überl^aupt burd^ Stbbition entftel^en, burcf) geometrifd^e, menn fie SRid^*
tungSgrö^en finb, burd^ aritl^metifd^e, menn fie einfädle, gegebenenfalls burdf)

250 3«)eiter TOfdönttt. [§ 48.

bie Jßorjctd^en + ober — untcrfd^icbcnc (Sröfecn (©calaren) fmb. ®aBet
tft abergu Bemcrlcn, ba^ fid^ bic gcomctrtfd^e SIbbition crft auS*
füi^ren löfet, tuenn für bic SBeretnigung jtocter fold^er 3lt(i)tung8*
grölen an octfd^iebcncn Sttomcn gemä^ ber SBefd^affen^cit beS
ÄörpcrS beftimmte gcftfc^ungen getroffen finb.

SBö^renb bie ß^fommcnfaffung ber SBlaffen ber eingelnen SKtome gur
SRaffe beS ftörperS burd^ aritl^metifd^e SIbbition gefd^al^, gab bie S^fantmen*
faffung ber Sffcitiolräfte ber eingclnen Sttome bei ber SBerfd^iebung eineS
ftarren materiellen ÄörperS ein Seifpiel oon geometrifd^er SIbbition, für beren
SluSfül^rung aber bie Sfeftfe^ung über ben S^tfö^ unb bie Xilgung
oon Oegenlröften grunblegenb roar.

S)ie aSeroegungSgrö^e eineS 8ltom8 wirb ftetS alS Slid^tungSgröfee
aufgefaßt inbem man bie 3lid^tung ber entfpred^enben Oefd^minbigleit auf fie
überträgt unb bemgemäjj ift bie SSemegungSgrö^e eineS ffiörper^ für jebeS
Seitelement burd^ geometrifd^e SIbbition iieräufteHen.

®a§felbe gut in SSejug auf ben ffiraft antrieb, bem man bie 3li(§«
tung ber entfpred^enben Äraft beilegt.

dagegen mirb bie ßnergie eineS SKtomS nid^t afö Slid^tungSgrö^e ein*
gefül^rt, fo bajj alfo bie (Energie eineS ÄörperS burd^ arit^metifd^e 3lbbition
gewonnen mirb.

®a§felbe gilt in Segug auf bie Slrbeit.

S)ie 5ßoften, meldte jur (Energie beS ÄörperS jufammentreten, l^aben aUe
ba§felbe 3Sorjeid^en (v^), bie 5ßoften, meldte in i^rer 3Sereinigung • bie Slrbeit
für ein ©riftem oon an eingelnen 3ltümen mirfenben Sräften borfteUcn, fönnen
ba^ aSorgcid^en + ober ba^ SJorgeid^en — l^aben.

48. ^te ä3etofegnngdg(etc^uttgen bcv ^qnamtf für ä^erfcQiebuttgeu
ftarrer materieller ^ürper unb bie Sebeutuug bed ältaffenmittel^unftei^
bei beliebigen 9)eiueguttgeu* SDie Silbung ber Segriffe, meldte in § 46 für
ein 3ltom eingefül^rt unb in § 47 auf Äörper auSgebel^nt mürben, entfprid^t
Seobad^tungen oon Semegungen fcfter Äörper ber 3lu^enmelt (oergl. aud^
bie entfpred^enben Seifpiele) unb gmar im befonberen oon Serfd^iebungen,
mö^renb bie entfpred^enben SemegungSgleid^ungen mieberum gunäd^ft
nur für ein 8Itom aufgefteHt merben fonnten. (SS ergebt ftd^ bal^er bie
gfrage, mie meit fid^ jene (Sleid^ungen auf SSerfd^iebungen ftarrer ma^
terieller Sörper übertragen laffen.

SBir ftcHen gunöd^ft bie SemegungSgröfee für eine fold^e Semegung
feft. ®ie Scltoren oon ber ©eftalt ft [v] bilben ein 5ßarallelfgftem, baS btm
in § 45 bel^anbelten ©qfteme ber 3Seftoren oon ber ©eftalt ii[ja] genau
entfprid^t. S)ie Sel^anblung mürbe alfo aud^ ^ier ju einem entfpred^enben
Srgebniffe führen, falls man oorauSfcfeen* bürfte, ba^ aud^ jmei SSemegungS*
grölen oon gleidfjem SBerte unb entgegengefefeter SUd^tung innerl^alb berfelben
ftarren ©eraben fid^ aufgeben.

S)enlen mir unB, mie %xq. 140 jeigt, ben bciben SItomen Ä^ unb
Äq h^vo, oon ben SJlaffen fti unb fta i^iß ©efd^minbigleiten [vj unb [v^]
erteilt, fo ba^ ii^v^ = ii^v^ ift, fo mü^te biefer SSorauSfe^ung gemö^ ba&

§ 48.] 2)te S3en)e0un0l^0let(jgungen ber 2)9namil u. f. tt). 251

au§ ^1 unb ^2 Beftel^cnbc SRoIelüI Bei ftarrcr SScrBinbung oon Äi unb ^2
in 3lu]^c bleiben, falls e§ oor bem 8luftreten oon [vi] unb [f?2] in SRul^e voax.
S)enlen n)ir unS [vj burd^ eine lonftante 5lraft [Ki] =^ ftj [dj unb [vj]
burd^ eine lonftante Äraft «Ig ;^4q

[Z2] :^ ft, [&3] eracugt unb amar ^^ ' ^^

innerhalb ber ß^it t, fo ift ^» * ^ • ^ • * ▼ < — ^ ^

e;i = bi * unb V2 = h2 1, fo ba^

bie ©leid^ung ^iv^ = ih ^2 S^ ^^^ ©leid^ung E^t = K2 1, b. ^. ju jKj = K^

fü^rt.

S)enft man nun A^ unb J.2 junäd^ft begn). unter bem ©influffe oon
[jKi] unb [Zg] aus ben Sftul^elagen auf ber ©eraben L^ L^ frei bemeglid^, bis
fie bejm. bie ©efd^minbigfeiten [vj unb [v^ erhalten ^aben, unb bann plöft^
Kd^ ftarr oerbunben, fo l^at bie ftarre SBerbinbung je^t beiberfeitS einen gug
ober S)rudf proportional ju Ki = Äg auSju^alten, b. 1^. fie bleibt in Slul^e
gemä^ bem ©a^e über ©egenlröfte an ftarren SSerbinbungen. (Sergl. aud^
bie ajetrad^tung am ©d^Iuffe oon § 46.)

3)a alfo bie betradfjtete SSorauSfe^ung rid^tig ift, fo gilt ber Sag: 3)ie
ajemegungSgrö^e eineS ftarren materiellen ftörperS ift bei
aSerfd^iebungen gleid^ ber SemegungSgrö^e feines aHaffen*
mittelpunIteS.

gerlegt man bie ßffeltiolraft i^ljo] jebeS 8ltomS nad^ ber Tangente
unb nadf) ber SRormale ber Sal^n, fo entf teilen jmei ®t)ftcme ht^vo, oon ber
(Seftalt ft[jr] Vi.vi> ii[JN], meldte gemö^ § 45 bel^anbelt merben lönnen.
S)aS erfte ift burd^ eine flraft w[jr] i»t äftaffenmittelpunite, baS jmeite burd^
eine Äraft m[J2J\ im aWaffenmittelpunlte erfeftbar, beibe Äräfte laffen fid^
mieber jxt m \jq] oereinigen. •

S)emgemä^ gilt ber ©a^: 3)er Ar aft antrieb für einen ftarren
materiellen ftörper ift bei SSerfd^iebungen gleid^ bem Äraft^
antriebe für feinen 3KaffenmitteIpun!t unb jmar fomol^I im
gangen, als aud^ in tangentialer unb in normaler aiid^tung.

ajilbet man für jebeS 8ltom bie (Energie \ii'V^, fo ift bie Summe alter
biefer Snergie J v^Cfti + f*2 + • • = |^^^ i>- ^« ^^^ ßnergie eines
ftarren materiellen ÄörperS ift bei SSerfd^iebungen gleid^ ber
©nergie feineS 3KaffenmitteIpun!teS.

S)a bei SSerfd^iebungen ber SBeg beS ängriffSpunfteS für jebe ftraft auS
ber ©ruppe ft [jr] unb für bie ftraft m [ jr] berf elbe ift , unb ha femer

^[»'ph = mJT ift, gilt aud^:

Sie arbeit für einen ftarren materiellen Äörper ift
bei aSerfd^iebungen gleid^ ber SIrbeit für feinen aWaffen*
mittelpunit.
3luS aUebem folgt:

Sei aSerfd^iebungen lö^t fid^ ein ftarrer materieller ]
Äörper in btinamifd^er ©infid^t ftetS burd^ feinen >74)
Sßaffenmittelpunlt erfe^en. j

S)abei bleiben ^aSeroegungSgrö^e* unb ^ßnergie* als ©ffeltiogröfeen

Beftel^en, b.l^. fie finb auS ber Semegung ju bered^nen, möl^renb^Sraftantrieb*

252 Stoetter ?Ibf(3&nitt. [§ 48.

unb ^Slrbctt* afö ,8lntrteB bcr äußeren fträftc" unb ofö ^SlrBeit
bcr äußeren ftröfte* aufgefaßt tucrbcn bürfcn, jüobct boran eritmert
njerben mag, ba^ i)xtt bic äußeren fträftc einer im Sßajfenmittel*
punite angreifenben äußeren Äraft gleid^mertig finb.

3)aju ift nod^ ju bemerfen, ba^ ftd^ für ein großes ®ebiet oon Gräften
ber 8lufeenn)elt bie 8lrbeit 81 in ber ©leid^ung

E — Eo = Z

in ber gorm — (ü" — Üq) barfteHen lä^t, mobei Eq unb Uq ber geit
unb E unb U ber ß^it iJ entfprcd^en. ©fingt ü, abgcfel^en non flonftantcn,
nur oon ber Stellung beS 5ßunfte8 ju ber, mit i^m in Sinmirfung ftel^enbcn
äftaterie im SRaume ah, \o l^ei^t ü ba^ Potential ober anä) bie potentielle
Energie (©pannungSenergie) füx bie beftimmte Stellung ober für bie beftimmte
3ßit. 3Jlan ^at bann:

E — Eo = — (ü — üq)
ober

E + U= Eo + üo.

ajejeid^net man ben lonftanten SBert Eq + Üq burd^ C, fo gilt:

E + ü= C 75)

b. 1^. bie (Summe oon SBemegungSenergie unb SpannungSenergie ift eine
Äonftante. (Saft oon ber Sr^altung ber (Energie.)

gfillt j. 33. ein Äörper oon ber SWaffe m, beffen äftoffenmittelpunit fid^
im 3lbftanbe h oon ber Srboberflfid^e in 3lul^e befinbet, frei, fo gilt für gmei
SteEen 1 unb 2, bie ben 3lbftonb a l^abcn,

* Imv^ — \mvl •= mg a.

©at ber SRaffenmittelpunft für 1 ben Stbftanb \ unb für 2 ben 31b:'
ftanb Äa t)on ber ßrboberflfid^e, f o ift a = Äi — /i,, b. ^. eS ift :

\mv^ --\- m ghi = \mVi -^ m ghi = C.

Um C 3u beftimmen, laffen mir bie Stelle 1 mit ber 3lnfang8lage
jufammenf allen, für meldte h^ = h unb v^ = ift unb erl^alten C = mgh.

3)ie®nergie mgh jerlegt fi(§ alfo für jebe Stelle in einen altueHen Seil
l m vi unb einen potcngiellen S^eil m g hp. S)ag ^Potential ü = mghp er«
|ält für einen beftimmteS hp einen beftimmten SBert, b. 1^. eS ift für eine
Sbene im 3lbftanbe hp tonftant. 3Kan nennt eine fold^e glfid^e (U = ßbn:«
ftante), mie l^ier bie ©bene, eine SRioeauflöd^e.

S)a beliebige Semegungen eincS ftarren materiellen ftörpcrS, unter
StuSjeid^nung bcS 3KaffenmitteIpunIte§ (oergl. § 32) auf SSerfd^iebungen
biefeS 5ßun!te§ unb 3)re]^ungen nm 3ld^fen burd^ biefen 5ßunlt jurüdf geführt
merben lönnen, fo Ififet fid^ ein ftarrer materieller Äörper aud^ bei
beliebigen SJemegungen in gemiffer ipinfid^t burd^ feinen äftaffen«
mittelpunit erfegen, nfimlid^ bann, menn bie ©rel^ungen gegenüber ber
aSerfd^iebung jurüdftretcn ober menn fte au8 irgenb einem ©runbe unfere 8luf*
merffamleit nid^t feffeln. äBill mon alfo bie Semegung eineS ftarren
materiellen ÄörperS burd^ bie Semegung eineS $unlte8 oeranf d^au«

§ 49.] Soleenineen au8 bei bqnamif^n Siunbglci^ung u. {. ro. 253

tiefen, [o ^ot mon baau im ollgemetnen ben äRaffetiinittelpunÜ
311 rofl^Ien.

SInbeie Setfpiete fta bie 3«tegung oöh 81 in — (U — Ua) folgen ouS
ben S9etta(^tuiigRi auf ®. 162 u. f. (SBergl. bie ^niDenbung 9h:. 3 biefeg
Slbfc^itteS.) S)o8 ^Jotentiat ift- ber Sntmiftelung entfprec^enb, eine 66=
ftimmte SIrßeit unb tann als foläie con 3aD ju gaU oeronfi^aulii^t roetben.

49. ^ttlgttrmitn aaS ber bqnointfi^tii ©nnibgleii^iittg ffit S^te^uitgen
ftarrtr malertcllci ^ürpet. aSerfud^ mcm einen ftarren materiellen Sbxpev
oui^ bei S)rel^ungen mit^Ife bet b^nomifc^en Onmbgteit^mtg burc^ einen
moterietlen ^piinft jiueiter 9Irt ju eifegen, fo gelangt man fdion 6ri
ben einfadiften Doibereitenben Stuf gaben nit§t jnm giele'),

SBenn fid| i. S. ein ftatreS 3FtotefQI auS groei SItomen oon berfd&en
Slttiffe (1 um eine ga ÄiA^ fenfeet^ 3lii)fE burt^ feinen SDlaffenmittelpmitt
breift, mie eS ^g. 141 ffit eine in auf bei 3e)<$nunggebene fenfredite 9Ii^fe
anbeutet, fo treten an bciben Sltomen A, unb A^ Sffeltinlräfte oon bem«
felBen aBerte ouf. gfit bie a5inlel= gjg 14^

geft^minbigfeit (p unb bie aBin!Etbefi|Ieu=
nigung 1 treten fentrec^t gu Äi A^ bie
beiben S:an0entiaItrafte [Ei\ unb fÄ'j]
oom SBerte (tri auf, roä^renb fit§ bie
beiben Jlormalltäfte innerhalb A^ At cHä
(Segentrflfte 00m äSerte ftr^^ aufgeben.
aSerfuc^ man bie beiben langentiatftäfte
[Ki] unb [E^] nriebenim buid^ @infül|iung
Don ©cgenttöften [E] unb [H] a« »«'
einigen, fo treten an bie ©teUe oon [iC,]
unb [Äa] bie ftrfifte [B,] unb [B,], roelc^e
(f, = e,) im ffinblit^en feinen ®(^nitt=
punft fiaben, ebenfowenig nüe [£*,] unb
[Ä,] fettft. gür üHe Hiöfte [B,] unb
[JJii, roelcfie bei beliebigen ^Berten oon
[H] unb [fi] eingefü^ roerben lönnen,
gilt gemä^ ber $[f|nli(${eit ber fi^afe
fierten S)reie(fe:

Ä, __ ^_ 2p

Bi "~ Ba '" 2 r'
b. f|. man ^at:

K .2r = R .2p.

falls mon bie gcmeinfamen SlBerte oon [KJ unb [K2] burt^ B" unb oon [B,]
unb [Bj] bur<^ B bejetc^net.

') ©iE fogenannte SRebuttion träger aUaffen (a- ffl- für ein S^towngrab) Benu^t
au^er bem materiellen SßunÜe, in rocld)ctn bie Otaff« Derbid)tet gebac^ roerben
mufe, noä) bie fünfte (ober roenigftcnS einen $unlt) ber feften Md^fe.

254

3n)etler SlBfdinitt.

[§ 49.

Set aßen Umformungen Bel^ölt aljo ba^ ^ßrobult au8 R unb au§ bem
aibftanbe (8lrm ober SSrette) 2p oon [i?i] unb [R^] benfelben äBert, nänttt(§
K .2r,

S)iefer SBert ift bemnad^ für bie betrachtete ©rel^ung bejeic^nenb unb
!ann aK bercn 5Kafe Beftimmt werben. ^5Kan nennt jn^ct Strafte njte [Ki\
unb [Ej] ober [Ri] unb [i?2] jufammen ein fträftepaar unb bejettlnet
ba^ entfpred^enbe 5ßrobuIt au§ ftraft unb 8Irm aI8 beffen 3Koment.
SBill man aud^ nod^ ben ©inn ber S)re]^un8 mit bejeid^nen^ fo fann man
ben 5ßaaren unferer gigur, meldte ber Ul^rjeigerBemegung entfpred^en, ein
pofitioeS, 5ßaaren oon entgegengefe^tem S)re^ung8finn ein negatioeS SDtoment
geben.

^an fann ba^ 9Roment eineS ßraftepaare§ anä) burc^ bie
beiben fträfte, meldte eS Bilben, barf teilen, gemäfe folgenber S)efinitbn:

Snnerl^alB ber Sbene oerftel^t

man unter bemäftomente einer Äraft

in Seaug auf einen S)re]^punft

ba^ 5ßrobuIt aug ber ffraft unb

beren 8IBftanbe oom S)rc]^punlte unb

jmar mit pofitioem ober negatioem

aSorjeid^en, je nacl^bzm bie Srel^ung

ber Ul^raeigerbemegung entfprid^t

ober nid^t. (SSergL Sinl. au gig. 13.)

ߧ ergieBt fid^ bann nad^ gig. 142

unmittelbar bie Sejie^ung: S)a§ SKoj»

mcnt eines ÄröftepaareS ift gleid^ ber (algebraifd^en) Summe ber aftomente

ber fträfte, meldte e§ Bilben, unb jmar für jeben S)re]^punlt innerl^alB ber

ßbene beS ÄröftepaareS.

3Kan l^at in gig. 142 a bie Segiel^ung -\-2p.R = + p^Ri — p2^2
= + Ripi — P2) «^ i^ S^B- 142b bie Sejiel^ung — 2p.R

= —Pl ^1 + 1>2 -R2 = — ^ (Pl — ^2)-

aJegeid^net man ba^ SJloment be§ ÄröftepaareS , ba$ man aud^ Iura
Straf tmoment nennen lann , mit Jfo , fo ift Jfo = ^ . 2 r = t (2 ft r^) unb

Mo

m

[. 142 a.

gig. 142 b.

/■

\

Pf

R> «

w Rfl

'K

\ ^^

k

•P.

Pi

1

[ir'^ + ftr2

S)a ein ftröf tepaar nid^t auf eine ftraft a^i^t^gcfö^i^ merben !ann, fo
ift boS> SWoIelüI bei ber betrad^teten S)re]^ung nid^t burd^ einen materiellen
5ßunlt erfe^bar.

SBir betrad^ten nod^ bie ©rel^ung einer ©tredfe L^ Lq , meiere mit
beliebig oielen SDloIefüIen ber oben bttta^ittm 8lrt ft)mmetrifd^ a« Befeftt
ift, moBet bie aWaffe oon aftoIeJüI au SDloIefüI oerfd^ieben fein lann, unb amar
um eine 8Id^fe fenJred^t a« L1L2 bnxä) il^ren äftittelpunit 0.

aSeaeid^nen in gig. 143- ^^ unb Äp bie 3ltome einer ©ruppe oon ber
3Kaffe ^p, fo finb für eine SBinlelbefd^leunigung t in Sled^nung a« ftellen
bie j^angentiallröfte [Kp] unb [Kp] vom SBerte ^pfpi, mäl^renb bie ent*
fpred^enben SRormallräfte fid^ mieber aerftören.

§49.]

golgerungen au8 ber bgnamtfcjöen (Srunböleidgung u. f. tu.

255

S)Q§ ®t)ftem aller parallelen Äröfte [Kp] für OXi ^at einen aJHttel*
punit, befjen 3lbftanb oon auf OXi burd^ pi Bejetd^nct werben mag. ®8
tft bann nad^ gormel 3lr. 66:

b. ]^.:
ober

. • .

_ /^l y*!^ + ^2 ^2 +

f*!**! + ^2^2 + • • •'

3)cr 3ö§ter oon Pi mag burt^ 5Cri bejeid^net werben, ber SRenner oon
Qi löfet ftd^ nod^ umformen, menn man ben aRaffenmittcIpunIt oon OLi
fut^t bßt oon ben Stbftanb Si l^aben mag. S§ tft nad^ gormel Sir. 64:

Sl (f*l + ^2 + • • = ^1 »"l + f*2 ^2 + • • •

unb bemnad^ ergtefit ftd^ für fti + ftg + • • • = »w bie SJejte^ung :

2r,

Stg. 143.

/" S)te ftraft [i^i], meldte im 8lbftanbe Qi ba^ ®t)ftem ber betrad^teten
fträf te erfe^t, ^ai bm SBcrt ^ Oi rj + ft2 »'2 + • • = wt (t Si). SBetrad^tet
man ebcnfo bie ©tredEe OL2, fo gelangt man
ju einer Straft [R2] im 3l6ftanbe 92 oon
auf 0X2-

SBegen ber ©gmmetrie ift R^ = R^ = R
unb Qi = Q2 = Q> fö ba^ ein Äräftepaar oon
äftomenten Mo = R(2 q) entfielet. SWan l^at:

üfo = wt si (2 ^^ = L (2 Sri),

\ W Si/

b. ^. für 2 Sri = Zx:

_ Mo

^ ~ Xr"

S)ie ©röfee 2r mirb S^rägl^eitSmoment genannt, gemöfe folgenber
SrHörung: äBenn man für ein ftarreS SWoIelüI bie äftaffe j[ebe§
3ltom8 mit btm Duabrate feineS 3lBftanbe8' oon einer Beftimmten
©eraben multipligiert unb bie fo gemonnenen 5ßrobuIte abbiert,
fo l^ei^t bie erl^altene Summe ba§ Irögl^eitSmoment in Segug auf
bie ©erabe.

S)iefe SrHörung gut aud^ für Äörper, faUS mieber ü^ip ben enblid^en
SBert m ^at Segeid^net man nömlid^ unter ber l^ier felbftoerftönblid^en
aSorauSfeftung, bafe jebeS rp enblid^ ift, ben größten Slbftanb rp mit Tq unb
ben Heinften mit r„, fo liegt Xx in ben ©rengen rä m unb r^ m,

S)ie beiben Bel^anbelten Seifpiete fül^ren 3U ber ©leid^ung:

. = ^, b. 5. 2Binfelbef<^Ie«mg«nö = ^.^g^SToment }' '^>

S)iefe ©leid^ung l^at eine meit umfaffenbere ©ültigJeit, aI8 man auf
®runb ber Bel^anbelten einfad^en Seifpiele oermuten follte. 3)er Slad^meiS

256 3tt>eiter TOf d6ttttt. [§ 49.

biefer toettcren ®ülttg!ett, ttJcId^cr un8 fpftter fiefd^öfttgen mxb, gcl^ört nid^t
an biefe ®teQe, ido nur gegeigt n^erben foQte, ba^ bei S)te^ungen ber
Srfag eines ftarren materiellen Körper^ burc^ einen materiellen
5ßunlt nit^t möglid^ ift.

®enlt man in ben be^anbclten SBeifpielen äußere Äräftepaarc angebracht,
beren beiben flräfte ®egenlräfte ber bargefteOtcn ffiräfte [Ki] unb [K2] Bejm.
[Ri] unb [R2] fmb, fo mirb bie S)re]^ung, fomeit fte von fträften abl^ängt,
aufgel^oben, e§ tritt entmeber 3lu§e ein ober glei(|förmigc 3)re!^ung.

SS ift nun bie grage, ob umgelel^rt ein äufeereS Äräftepaar nom
3Komente Mo, beff en (Ebene burc^ ben 5Kaf jenmittelpunf t cineS ÄörperS gcl^t 0/

btefem eine ©rel^ung non ber SBinlelbefd^Ieunigung t = -^ erteilt unb

jmar um eine 8I(^fe burd^ ben aWaffenmittcIpunft, fenfred^t gur ebene be^
5ßaare8, für meldte ber Äörper ba^ irögl^eitSmoment Xx ^at

S)icfe grage ift im allgemeinen ju nemcinen, boä) mag vorgreif enb bc^^
merlt merben, bai^ bei Sre^ungen um eine fefte 3ld^fe (nergl. 3Kafd^inen«

mobelle) bie ©leid^ung l = -^r gilt, unter ber SBorauSfe^ung, ba^ bie Sbene

xr

beS 5ßaare8 nom SKomente Mo fenlred^t gur S)re]^ungSad^fe liegt, unb ba^

ber ftörper in Segug auf biefe 8Id^fe ba^ Xrög^eitSmoment Xx ^at

3n biefem ^aUt unb in anberen gölten, für meldte l = — gilt, ge^cn

bie pl^oronomifd^en (Sleid^ungen für gleid^möftig^^geönberte ©rel^ungen
(®. 66), meldte ja nur einen befonberen galt ber allgemeinen ®Ieid^ungen
be§ § 11 barfteHen, burd^ 3KuItipIifation mit Xx über in:

1. Xx(p — <Jo) = Sr qpo < + \Mot^

2. 2r qp — Xx (po = Mot

3. Xxi = Mo

4. lXx(p^ — \Xx(p^ = 3Io(p—öo)

eine entfpred^enbe Setrad^tung fül^rt bann xtjieber ju ber erweiterten
@ültig!eit ber ©leid^ungen 2) unb 4).

2)abei bebeutet \ Xx qp2 jt)ieberum bie Summe ber Snergien ber cinjelnen
3ltome, b. \ alfo bie Snergie beS ÄörperS, bcnn man l^at:

= i^i«^]^ + IH'^I + • • •

S)abei bebeutet ferner Mo (<? — <Jo) = ^ . 2 r (ö — <Jo) für ein ton*
ftanteS K mieberum bie geleiftete 3lrbeit, b(x jebe ber Shöfte [^J unb \K^
in il^rer SRid^tung ben SBeg r ((J — (Jq) gurüdflegt , möl^renb für oerönberlic^e
Äröfte bie entfpred^cnbe grapl^tfd^e ©rmeiterung eintreten mu^.

S)te 8Irbeit fteltt fid^ alfo fjier bar al§ 5ßrobu!t au8 Äraftmoment
(Ä'.2r) unb 3ßtnfetrx)eg {p — 6^^, bie 3lrbeit§ftär!e (oergl. ©. 248)
bemnacl atS 5ProbuIt au8 Äraftmoment unb SSinfelgefd^minbigfeit.

77)

*) S)ie S^erfc^tebung ber SIräftepaare ift l^ier nodg nid^t al8 guläfftg errotefen.

§ 49.] golgerungen au» btx b^namifd^en (SrunbgleicJöung u. f. n). 257

Sei gleid^förmigcn S)rc]^un8en ober bei pertobtf(§*t)erönbcrItd^cn S)rc^ungcn^
tüüäjz burc^fd^mttßdö afö gleid^förmtg angefcl^en joerben Wnncn, Indien fld^
oft groci Äräftcpaarc oon gießen unb cntgegengcfefetcn 3Komentcn ba§ (Slctd^s
getotd^t. gör bte 3lrBett§ftärfe eineg oon i^ncn gilt bann, tocnn man bic
Slnja^I w btx Umbrc^ungen in bcr 3Kinute einfül^rt, bcr SlnSbrud :

Jlfo .

60

SBiH man biefc in 5ßfcrbcftärfcn (N) umrcci^nen, fo l^at man für Silo»

gramm unb SRetcr atö Sinl^cit nod^ burd^ 75 ju biotbicren, fo ba^ fid^

crgiebt :

n , 2jt Mo . n

^=^'" 60775= -716-
ober

Mo = 71ß — 78)

N
aWan begeid^nct — mol^I atö Sffeltquoticnt.

aScrfud^t man für S)re^ungen, in meldten bie (Sleid^ung t = -^ gilt,

bcn Äörpcr burd^ einen materiellen 5ßunlt E jmeiter 3lrt ju erfe^en, meld^er
in ber ßntfcmung l oon ber 8ld^fe bie äftaffe m be§ ÄörperS in fid^ oer*
einigt fo l^at man anaufe^en:

m
unb

l^ = Xx, b. ^. Z = V —

l . L = Mo, b. ^. L = —

79)

(ir biefen $un!t ift:

unb

L

Mo

Xx

m

ja

L

ml

Li

•

j =

L

' m'

b. f). er Bemegt fid^ fo, al§ menn er tangential oon einer Sraft L ges^
trieben mürbe unb babei bie Si^angentialbefd^Ieunigung j = tZ, ent*
fpred^enb ber SBinJelbefd^Icunigung l, erl^ielte.

Solange man nur biefe tangentialen Sejiel^ungen bead^tet,
lö^t fid^ alfo ber Körper burd^ einen materiellen 5ßunft jmeiter
3lrt erfe^en. (3tebu!tion träger äftaffen.) SBiH man aber aud^ bie
Äröfte normal jur Sal^n unb bie 9lea!tionen berüdffid^tigen, fo ift jene
©rfeftung unooHftänbig.

Sei biefem Krfage mürbe in ben beiben bel^anbelten Seifpielen für eine

©efd^minbigleit v be§ erfefeenben 5ßun!te§ E bie SRormalfraft — =- in dit^^
nung 3U ftellen fein, ju beren Qzx^töxnxiQ tiwa in alß ©egeniraft eine Äraft

SBctnlde, aWed&onll. L 17

258 3n>eitet 5lbf(J6nitt. [§ 50.

vom SBcrte -=— angcbradEjt roerben müfete, ba ftd^ bie SRotmatlräf tc ber be*

trad^tetcn SDtoIcfüIc tl^atföd^Iid^ jerftörcn ; erft E unb jufammen geben eine
fad^gemöfee ©rfe^ung beS ÄörperS, bei ber auc^ nod^ bie Slealtion oon X ju
berüdfid^tigen ift.

Slufeerbem ift bie ßage oon ^ auf bem Kglinber vom 9labiu§ Z, beffen
8l(^fe bie ©rel^ungSad^fe ift, ganj raillfürlid^, fo bafe bie oorl^er bel^anbcltc
aSerfd^icbung (SDtaffenmittelpunlt) gang anbere SSerl^öItniffe barbietet, atö
bie Srel^ung.

Snblidö liegt l^ier aud^ eine geroiffe äBiUIür barin, bie SRaffe w in ^
3U vereinigen, benn für eine gang beliebige SWaffe w' gilt ebenfo:

m'V^ = Zx, b. ^. V = V^^

f m

unb

1/

80)

SDlan lann olfo in izbzm 8Ibftanbe V einen 5ßunft E' einfül^ren, weld^er

ben Äörper t)on ber SWaffe m in tangentialer $inft(^t erfe^t, norauSgefegt, ba^

%x Mo

man x^m bie SDtaffe w' = p^ giebt unb il^n burd^ eine Äraft L' = -y

getrieben bcnit. i

gür bie Sen)egung§gröfeen fü^rt eine entfpred^enbe Unterfud^ung '

ju entfpred^enben ßrgebniffen.

50* ^tc einfädle ^u^angdbetocguttg cinei^ materiellen ^unftci^ jiocttcr
ärt» S)ie ajeraegungen ber eingelnen 3ltome, raeld^e einen materiellen Äörper
jufammenfe^en, mürben im ©egenfag ju ben Semegungen freier SItome ge^
jmungene Semegungen genannt, meil bie 8ltome afö Seftanbteile eineS
Äörperg einem gemiffen S^^önge unterliegen, ber il^re freie SJemegung abönbert.

(gntfpred^enbeS gilt aud^ für materielle 5ßunfte ameiter 3lrt, b. 1^. für
materielle 5ßunfte, meldte einen beftimmten Äörper bei einer beftimmten
JBemegung erfegen, faE§ biefer Äörper burd^ anbere Äörper in feiner freien
Semegung gel^inbert mirb. S)er einfad^fte gall ift l^ier ber, ba^ bem mate*
rieHen 5ßunlte gmeiter 9Irt burd^ gül^rungen unmittelbar eine beftimmte
Sal^n oorgefd^rieben mirb. Sine centrifd^s^burd^bol^rte Äugel, meldte auf einem
beliebig gebogenen S)ra]^te, ober eine Äugel, meldte innerl^alb einer fie eng
umfd^Iiefeenben ^Sf)xt beroeglid^ ift, Wnnen biefen Sw^ong für ben SWittel*
pun!t ber Äugel oeranfd^aulid^en. Senft man fid^ ben gaben eineS gaben::
penbelS burd^ eine gemi(^tgIofe ftarre ©tredEe erfegt, fo ift aud^ ber äftitteU
punft ber 5ßenbeIIugeI ein materieller 5ßunlt gmeiter SIrt, ber bei ebenen
©d^mingungen auf einen ÄreiSbogen gegmungen mirb.

®ie ©rfal^rung lel^rt, ba^ aud^ ein fold^er B^^ng ftetS burd^
Äröfte bargeftellt merben lann, unb jmar burd^ Äräfte, meldte
oon 5ßun!ten ber oorgefd^riebenen Sal^n auSgel^en ober non fold^en
auSjugel^en fd^einen.

§ 50.] S)te einfädle SroanöSbetDegung eineg materiellen spunites stoeiter 9lrt. 259

aScjetd^nct man bte äußere Äraft, tüelt^er bcr materielle SJJunlt folgen
mürbe, menn er frei märe, mit [A], bic Straft, meldte ben Sxoanq barfteHt
itnb ber für ein 8Itom cingefül^rten Kraft [J] cntfpri^t, mit [Z], fo ift bic
ßffeltiolraft [K], meldte ber materielle 5ßunft tl^atföd^Iid^ Bei feiner Semegung
jeigt, bic Sftefultante au8 [Ä] unb [Z], 3ctlegt man biefe Äräfte in tan^
gentialer unb in normaler Sid^tung (SRormalebcne), fo ift

1. [Kt]^[Ät] + [Zt\]
mb i 81)

SBenn [Z^] = ift, b. ^. menn bie gül^rung in Stid^tung ber Sangente
ber Sa^n leinen Sinflu^ auf bie SJemegung ausübt, fo ift [Z] = [Zn] unb
man l^at für bie (Sefdjminbiglcit v unb bic SJefd^Ieunigung jq ber Semegung
bei einem ÄrümmungSrabiuS q bie cinfad^eren SJegiel^ungen :

1. [KT]^m[JT]^[ÄT\

-J ^ [an] 4- [Z]

Sei gegebener Sal^n (q) unb Bei gegebenem m beftimmt [Ä] bie tan*
gentialen Sejiel^ungen (s, v, jt = j) nad^ Oleid^ung 1, fo ba^ bamit aud^
[Z] gegeben ift nad^ ©leid^ung 2.

S)ie 3lrBeit mirb Icbiglid^ burd^ [Ät] beftimmt.

SHefer SonberfaH ift oon großer SBid|tigIeit, meil bie Äomponente [Zt],
meldte bei unmittelbarer gö^i^i^ng be§ materiellen 5ßunfte§ bie SReibung für
bie SBal^n barftellt, erfal^rungSmö^ig in oielen gälten bzm SBerte SRuH
fel^r na|e gebrad^t merben lann, fo ba^ fie für ba§ 5ßrobIem leine mefents
lid^e Sebeutung l^at.

SRed^net man für Zt = 0, fo erl^ält man in biefem ^^aäe jebenfalfö eine
Slnnäl^crung, man fprid^t bann oon einer abfolut^gtatten Sal^n.

Semegt fid^ eine ftugel in einer ^orijontalen, IreiSförmigen SRinne mit
lonftanter @ef d^minbigleit , fo lä^t fid^ bcr S^eil be§ gmangeS, meld^er btm
Oemid^te ber ffugel entfprid^t, oon ber Setrad^tung auSfd^eiben, meil er nad^
bem ^Principe ber 5ßaarmir!ung biefem ©emid^te entgegengefe^t^gleid^ ift.
Unter SBemad^Iäffigung ber SReibung ift bann [Ä] = ju fegen, fo ba^ J^ier
für einen JlreiS oom JRabiuS r gilt:

[Z] = m[^].

©ier ift nur bie äußere SBanb ber SRinne nötig, fie entmidfelt für ben
Äugelmittelpunft (oergl. ©. 240), faHS beffen 3Ibftanb oom 3KitteIpunIte ber
ajal^n r ift, bie ©entripetallraft [Z]. 3ta^ bem 5ßrincipe ber Jßaar»
mirlung entfprid^t biefer Äraft [Z] eine (Segeniraft, meldte Eentrifugals=
Iraft genannt mirb, fie mirft auf bie SBanb ber SRinne nac^ aufeen unb läftt
fid^ an ber 3lbnufeung nad^meifen. SBäl^renb bie Eentripetaüraft am
materiellen 5ßun!te angreift, greift bie Kcntrifugallraft an btm
materiellen ©ebilbe an, meld^eS ben S^^ang auSübt.

17*

260 S^tUzv 8lbfd6ttitt. [§ 50.

aSon btefen beiben Äröften barf jebe aK 31 c alt ton bcr anbeten Bc*
jetd^net njerben.

®tefe »etrad^tung läfet ftd^ in Slnnäl^erung auf einen ©ifenBal^njug
übertragen, weither mit lonftonter ®cf(!)U)inbigfeit eine fturne burd^Iöuft; bie
©entripetollraft gel^t vom ©eicife au^ unb roirlt an htm SuQt, bie Eentri*
fugalfraft gel^t vom QvLQt ouS unb wirft auf ba^ ©eleife unb lann an
beffen 8lbnuftung nod^gemiefen werben.

©dringt man einen Stein an einem gaben im Streife l^erum, fo l^in«
bert bie Kentripetallraft beffen fortfliegen in ber Sangente, mal^renb
beren Sleaftion, bie Kentrifugalfraft, aI8 Qvlq an ber §anb (nad^ au^en)
bemcrlbar mirb.

UnglüdEIit^ermeife bejeid^net man au^erbem mit htm SBorte Eentri*
fugallraft nod^ eine t^atföd^Iic^ nid^t oorl^anbene, alfo an^
experimentell nid^t nad^meiSbare ftraft oon ber ©röfee unb SRid^*
tung ber Eentrifugallraft, meldte man ftd^ am materiellen 5ßunfte
mirlenb benftO-

SDtan fül^rt biefe txba^tt (fingierte) ftraft, meldte bei tl^atföd^Iid^er Sji*
ftenj bie Eentripetatlraft ger abe aufl^eben mürbe, ein, meil fie gelegentlid^ ju
einer amedfmöfeigen SSeranfd^außd^ung bienen !ann. ®o gel^t unfere ©leid^ung

[Z]^m[^]-^[^^],

falls man biefe fingierte ©egeniraft ber KentripetaHraft mit [G] be3eid§net,
über in:

ober in

[Z]^[G]^[Ä2,]^0 83)

b. f). bie brei Äröfte [Z], [G] unb [An] jerftören fiäj, fie ftel^en im ©leides
gemid^te.

Stimmt man ba^ Kentrifugalpenbel afö Seifptel, fo 3eigt gig. 144 a, mie

geben, gig. 144b, mie [Z] einer feitg bie

liefert unb anberfeitS [Ä] burd^ bie anbere Äomponente

[Ä] aufl^ebt, gig. 144 c, mie [Ä] einerfeitS bie Komponente liefert

unb anberfettS [Z] burd^ bie anbere Komponente [Z] aufl^ebt. 3)agegen
jeigt gig. 144 d, mie man burd^ einen, ben tl^atfäd^Iid^en SSerl^ältniffen

burd^ beren ©egeniraft [G]

eine gegenfeitige gerftörimg ber Ärafte [Z], [Ä] unb [G] oeranfd^aulid^en
lann. SHefe SSeranfd^auIid^ung l^at l^ier ben SBert, ba^ man bie (linetifc^e)
Spannung beg gabenS, meldte bei ber Semegung auftritt, mit einer

^) 3^re ma^re a3ebeutung als eine drgänaunöSIraft ber Slelatio*
bemegung mirb im näd^ften Paragraphen erllärt merben.

§ 50.] S)te einfa(3&e Stt^öngSbetoegunö eineg materiellen ^ßunlteS stoeiter 9lrt. 261

cBcnfo großen (ftatifd^cn) Spannung bt^ gabenS, roeld^e bei di\x\)e ein*
treten würbe, t)ergiei(§cn lann; bie ünetifc^e Spannung ift §icr fo groft,
atö n)enn bcr gaben beS 5ßenbefö ru^te unb etwa burc^ ©eroid^te [C] unb [A]
gefpannt raürbe.

®a^ bie hiermit gegebene Sel^anblung beS KentrifugalpenbeK (oergl.
aud^ ©.178) mit ben allgemeinen ®Icid^ungen übereinftimmt, geigt ber 8lnfa^

jo ba'^ ^kx

[Ä]^[mg]^[Äj,] unb [ir^]^m[-^],

[^]=^^[f]

^m[g]

x% mobei [Z] in bie SHd^tung be§ gabenS (nad^ bcr Sefeftigung ju) fällt

unb für einen 8lugf(filaa a ben SBcrt -^^ bat.

3n einer gemiffen Slnnäl^erung gelten btefe Sctrad^tungen aud^ für bie
gebröud^Iidjen Kentrifugalpenbel, bie an einer ocrtilalen SBeHe burd^ ein Oe*
Icnl bcfeftigt finb.

gtg. 144 a. glg. 144 b. gig. 144 c. gig. 144 d.

oafir

A/

1^-J

v*-..r..-*i

w--r---

3Kan beftimmt l^ier mieber bie 3ln3at)I (n) ber Umbrel^ungen in ber
aftinutc, fo ba^ y /^ 0, 1 w ift i), für c = ry.

Sei ben ebenen ^ßenbelfd^mingungen ift bei SBemad^Iäffigung be§ ßuft*
• miberftanbeS u. f. m. gleid^faHS Zt = 0. äJtan l^at l^ier (oergl. ®. 176)
für ben aftittelpunft ber 5ßenbeIIugeI

[Ät] — in[g sin a] unb [An] — ni[g cos et],
b. ^. c§ ift

[Z]

JL

m

m

m [g cos «].

*) S)aS 3cid6en ^ bebeutet ^.angenäl^ertsgleldö''.

ii32 StDeiter 8lbf(3&nitt. [§ 50.

S)a h^ nad^ bcm SKittcIpunltc bc8 ftrctfeS (Sluf^öngung) ßerid^tet tft,
ttJäl^rcnb [gcosa] btc cntgegengcfeftte SRid^ung l^at, jo ift

Z = mi- — h ^cosaj

unb e§ ^at [Z], njeld^eS l^ter augleid^ btc gabcnfpannung barf teilt, bic
aWd^tung naä) htm SJUttcIpunfte beS ftreifcS.

gür 3U)et ©teilen ber Sal^n, t)on bencn bte jjoette t)on ber erften ben
fenlred^ten 3Ibftanb h f)ai, gilt nad^ gormel 73:

|w«?2 — iwt;(? = Slrbcit oon [-4r] = 3lrBcit oon [Ä] = ±mgh,

b. f). e§ tft

v^ = v^ ±2gh.

S)er Stt^^nß^ i^ß^ ^i^ ®^5" ^i^^ ausübt, ift fe^r beutlid^ ju erfc^en,
wenn man fid^ junöd^ft oorftellt, ba^ ftd^ bie 5ßenbeIIugcI in einer abfolut«
glatten freiSförmigen Sftinne bewegt ober (burd^bol^rt) auf einem abfolut«
glatten freiSförmigen S)ra]^te, anftatt burd^ ben gaben befeftigt ju fein; bie

3linne ober ber ©ral^t mufe fomol^I bie Rraft »^ -7- Hcf ern, alS a\xä\ bie il^r
entgegengefeftte 5lraft m[gcosa] aufl^eben.

^aä) bem ^Principe ber ^ßaarmirlung erleibet babei bie Sftinne ober ber
S)ral^t fettft, ait^er bem S)rudfe m[gcosa], nod^ einen SrudC 00m SBerte

m —, beffen 3Hd^tung ber Eentripetalfraft ber Semegitng entgegengefegt ift.
1/

S)iefe 3leaItion ber Kentripetallraft, meldte nid^t an btm bewegten

Äörper, fonbem an ber SJal^n l^aftet, ift wieber aK Eentrifugallraft ga

begeid^nen.

SBirb ber S^^^Q i^^t burd^ eine Stinne ober burd^ einen ©ral^t oer«
mittelt, fonbem, wie gewöl^nlid^, bnrd^ ben %abm unb beffen Sefeftigung, fo
fteHt [Z] ben ©influ^ ber Sefeftigung auf bie 5ßenbeIIugeI bar, ber l^ier
burd^ ben %abzn oermittelt wirb. ®ie Sfteaftion biefeS KinfluffeS, b. ^. ber
8ug an ber Sefeftigung, weld^er l^ier gleid^faHS burd^ ben gaben oermittelt
wirb, befielet wieber an^ bem ß^ge m[gcosa] unb an^ einem centrifugalen

8uge 00m SBerte >w —

Sine Ilare Sinftd^t in biefe a3e3ie]^ungen erl^ölt man nur, wenn man eine
beftimmte 8lrt ber SJefeftigung genauer betrad^tet. S)en!en wir un§
oben an btm gaben eine Äfe, weld^e auf einem runben ©tifte rul^t, bejw.
eine ftarre gewid^tSIofe SSerbinbung, wie fie gig. 145 jeigt, fo liefert ber (im

©d^nitte fd^raffierte) Stift eincrfeitS bie Eentripetallraft »w -^ unb l^ebt

anberfeitS bie SRormaÜomponente m[gcosa] auf, fo ba^ biefe Äröfte 00m
©tifte auSgel^en unb an bem 5ßenbel wir!en. ®a baS 5ßenbel afö ftarrer Äörper
aufjuf äffen ift, fo lieben fid^ bie beiben Oegenlröfte 00m SBerte mgcosa

§ 50.] 2)ie einfa(3&e SmangSberoegung eines materieaen Sßunfteg anjeiter 9ltt» 263

tl^atfäci^Iid^ auf, tuöl^renb an htm materiellen 5ßunlte bie Äräfte »w y unb

m [^ sm a] ju einer Straft [^] aufoötmentreten, njcld^e bcn materiellen 5ßunlt
nun bemegt, afö menn er frei möre. ®ie gerlegung biefer Straft K in tan«

gig. 145.

- mg coB a

-f mv'

+ ingco8a 1

gentialer unb nor*

maier SKc^tung

liefert natürlid^
mieber

[Kt] = m[g sin cc]

unb

3ltö 3leaIttonen ber
t)on htm ©tifte
auf ba^ 5ßenbel

übertragenen
Jlröfte greifen an
bem Stifte bie
®egen!räfte an,
b. ^. einmal ber
©rud m lg cos a]
unb anberfeitS bie
Kentrifugal:*
fraft vom SBerte

l
Eentripetal*
Iraftunbßentri«
fugaüraft grci*
fen alfo aud^ l^ier
an oerfd^iebenen
ftörpem an.

SBirb einem materieHen 5ßunlte burd^ bie ©inflüffe anberer materieller
Oebilbe eine gläd^e afö SemegungSgebiet angemiefen, fo liegt [Z] bei SBer*
nad^Iöffigung be§ tangentialen 3njange§ in ber 9brmalen ber gläd^e. 3ft bie
3fli(|tung ber Semegung gegeben, fo liefert jebe Sbene, meldte burd^ bie
entfpred^enbe S^angente ge^t, in ifjrer ©d^nittlinie mit ber glöd^e ben 3lnfang
für eine möglid^e Sal^n be§ 5ßun!te§, für meldte bie fd^neibenbe ©bene
©d^miegungSebene ift. gür alle biefe Sahnen oon gemeinfamer Tangente
liefert [Ä] burd^ S^^I^Ö^^Ö [^t] unb [An], ®a nun

b. ^.

[Z] A m[^]

[^k] + [ZI

[^^]

264 3«>eitcr «l^fdinitt. [§ 51.

ift, fo mufe w — -^ [uijv] eine flraft barfteHen, raeld^e in bic SRormale
ber glätte fällt. S)ie8 läfet fid^ auf unenblid^^oiele 3lrten erreid^en, ba bie
fträfte [Z], m\ — unb [Ä^] auf ber S^angente ' in einem 5ßunltc fenfrct^t

ftel^en unb alfo in einer Sbene liegen.

3Birb nod^ ber SBert ber ®ef(^n)inbig!eit v gegeben, fo wirb bie
8lufgabe Beftimntt. 3ft [An] = 0, fo gel^t bie ©d^miegunggebcne ber SBal^n
burc^ [v] unb \Z], b. ^. bie Sal^n ift eine (burd^ einen gefpannten gaben
ju oeranfd^auUd^enbe) geobötifd^e ßinie ber ^&ä\z.

51« Sie jttfamntettgcfc^te S^^H^^^^^i^H ^i^^^ materiellen
^nuftei^ imittt %tt unb bie fingierten Prüfte ber StelatitiBetoiegttng*

SÖtSl^er n)urbe norauSgefefet, ba"}} bie materiellen gö^^w^Ö^n, bie ben mate«
riellen 5ßunlt in feine Safin gmingen, in Siu^e fmb. Semegen fid^ biefe, fo
gilt bie allgemeine ^Betrachtung beS norigen 5ßaragrap]^en für bie (abfolute)
ajal^n beg materiellen 5ßunlte§ jmar meiter, aber bie SSereinf ad^ung , meldte
in bzm fortfallen ber tangentialen Komponente beg gmangeS lag. Bleibt
felbft bei reibungSIofen gül^rungen im allgemeinen nid^t mel^r Beftel^en.

aSemegt fid^ j. 89. eine ftugel in einer geraben Sinne einer l^orijontalen,
ftdt) brel^enben ©d^eibe, fo ift bie (abfolute) Sal^n beS ÄugelmittelpunIteS eine
]^ori3ontaIe Äuroe oon l^öd^ft oermidfelter Oeftalt, für meldte ber gmang
burd^auS nid^t mel^r in bie iebeSmalige SRormalebene fällt. 3n fold^en
gälten ift e§ jmedEmä^ig, bie Sefd^Ieunigung ber abfoluten Semegung, meldte
natürlid^ nad^ mie oor burd^ bie äußeren Äräfte unb burd^ ben QtüaxiQ be«
ftimmt mirb, aufjulöfen in bie Sefd^Ieunigung, relatio jur gül^rung, meldte
in unferem Seifpiele bie gerabe Slinne ift, unb in bie anberen beiben Äom^
ponenten, meldte bem ©afte oon KorioIiS (oergL § 38) entfpred^en.

©ierju lommt nod^, ba^ in ted^nifd^er ©infid^t gerabe bie 3les
latioBemegung jur gü^rung in fold^en gätten oft eine größere Sebeus
tung ^ai atö bie (abfolute) Semegung felbft. @o ift j. S. bei einer 3labiak
turbine bie Semcgung ber SBaffertropfen relatio jur ©d^aufel oon großer
aSebeutung, ba oon i^r bie S^rieblraft beS ^abt^ aBl^ängt, mä^renb bie
abfolute Semegung lebiglid^ tl^eoretifd^eS Sntereffe l^at.

3nfoIgebeffen mirb l^ier aud^ bie unmittelbare Seftimmung ber
Sfielatiobefd^Ieunigung in Sejug auf bie gül^rung (oergl. ©.146)
t)on aSebeütung.

Sejeid^nen mir bie ©efamtbefd^Ieunigung ber abfoluten Semegung beS
?ßunlte8 für einen beftimmten geitpunlt t nad^ mie oor burd^ [ja], fo ift
bie entfpred^enbe ftraft ebenfo mie im oorigen 5ßaragrap]^en bie 3lefultante
au§ ben äußeren Äräften unb an^ ben 3^öng8!röften.

SSegeid^nen mir femer bie ©efamtbefd^Ieunigung ber Semegung beS
5ßunlteg, relatio jur güf)rung (in ber gül^rungSba^n) , für benfelben Qtxt»
punit t burd^ [jr], bie SSerfd^iebungSbefd^Ieunigung beS SIementeS ber
gül^rung, mit bem ber materielle 5ßunft augenblidflid^ jufammenfäHt, burd^

§ 51.] S)ie sufammengefe^e Stfctngl^betDegung eines materiellen $un!teS u. f. n). 265

[jf] unb bic beffcn ©rcl^ung cntfptcd^enbe ßrgönsungSfomponcntc vom
SQ3erte 2vxpsind' bmäj ja, fo gilt na^ bzm ©a§c oon KorioIi^O-

unb bemnad^ aud^

©oH bie redete ©cite bcr jn^chen ©leid^ung eine ©umme werben, jo
mufe man [j/] bnxä) bie ©egenbefd^Ieunignng []}] erfeften^ jo ba^
\Jf] + b/] = ö x% unb ebenfo [jd] burd^ [fd\. 3Kan erl^ölt bann:

3. [jr] ^ [ja] ^ [Jf] l [fäl

b. ]^. man gelangt jurüdE ju bem Srgebnijfe ber SJetrad^tung auf ©. 145.
S)urd^ aftultipitlatton mit ber 3Kaffe m erl^ölt man au8 ben ©lett^ungcn 1, 2
unb 3 jmei ©leid^ungen jmifd^en flraften, bie einer Beftimmtcn 3crf^9ung ber
am materieHen 5ßtmlte mirlfamen ftraft m[JQ] entfpred^en.

aSon biefen Straften löftt fid^ w[jr] fel^r einfad^ beuten afö bie Straft,
meldte bic rclatioe Semegung be^ materiellen 5ßuniteg erjeugen mürbe, menn
biefe eine abfolute Semegung märe, fte mag 3lelatir)lraft ^eifeen.

S)agegen finb bie Jtröfte m[jf] unb m[jd], fomie beren ®egenlräfte

*w [Jf] ^"i^ *^ [jd] ^^^ infofern ju beuten, atö man fid^ bie Sefd^Ieunigungen
beS entfpred^enben ßlementeS ber gül^rung ober beren (Segenbefd^Ieunigungen
auf ben materiellen 5ßunlt übertragen beult.

3Kan nennt bie fingierten Äräfte m[Jf] unb m[Jd], meldte bejm. ber um^
geleierten SSerfd^iebung unb ber umgeJel^rten Srel^ung bt^ gül^rungSelementeS
entfpred^en, hesto. bie erfte unb bie jmcite S^f^filraft ober ßr:»
gänjungSiraft ber SRetatiobemcgung.

S)ie oben entmidfelte gormel fagt bann an^, ba^ bie SRelatiofraft bie
SRefuItante au§ ber (abfolutcn) Sffeltiolraft unb ben beiben 3^=*
fa^Iräften ber SRelatiobemegung ift.

S)iefer ©ag ift aud^ aufeerl^alb ted^nifd^er SSerl^ältniffe oon großer Se*
beutung, meil mir junöd^ft alle Scmegungen, bie mir beobad^ten, fo be*
l^anbeln, afö menn bie ®rbe in einem abfoluten Sftaum in abfoütter Sftul^e
märe. SBir oemad^Iäffigen alfo 3unädeft bie beiben 3nfaöfräfte, meldte ber
©igenberoegung ber Srbe entfpred^en, unb arbeiten anftatt mit ©leid^ung 3
mit ber ©leid^ung:

w [jr] ^ wi [ja\

*) gier 5at man (oergl. gig. 85 unb 86) ein (Slement P' P" ber gül^runggr^
bal^n 8U betrad&ten, meld^eS au8 ber ßage P'iP'{ burd& SSerfd^iebung läng» beg
©a^nftüdeS P\P'^ in bie amifdöenlage P'^F" unb bann burd& S)rej^ung in bie
ßage Pg ^2 gelangt. Sie SBefd^Ieunigung für bie a^erfd^iebung ift \Jf\ roä^renb
V bie (Sefdgroinbigfeit beS materiellen Jßunfteg für ba% 2)urdölaufen oon P' P" unb
(p bie SSHnfelgefdeminbigleit für bie S)re]^ung bcS (Elementes P' P" um P^ unb »
ben Söinlel 5n)lf(|en [v] unb ber burd^ P'a ge^enben S)reieung8adöfe beseid^net. Sie
9Hd&tung oon {ja] ift burd^ bie Sangente (im Sinne ber Säeroegung) beS ©ogenS
T' P'i in P" beftimmt.

266 Sweiter TOfd^nitt. [§ 51.

3m voxxQtn 5JJaragrap]^cn tüurbc ficrcttS Bcmcrit, ba^ btc K^corie bc?
fficntrifugalpcnbetö afö cincS gfabcnpcnbcK in Slnnöl^erung auc^ für bic ü6*
lid^cn Kcntrifugalpcnbcl unfcrcr 3Kafd5tnen gilt.

aSci bicfcn rairb bem aftittclpunftc bcr ^cnbcllugcl burd^ bie gül^rung
im einfac^ftcn galle ein Sogen cincS üertilalcn ÄrcifcS atö Sal^n an^
gcmicfcn, mäl^rcnb bic ©rc^ung bcr ücrtilalcn Sld^fc, an melc^cr bic gü^rung
ficfcftigt ift, bicfcn Sogen um einen ocrtifalcn ©urd^mcffcr fcincS ÄrcifcS
brc^t.

Solange man nur eine fieftimmte Stellung bcr ^cnbclfugcl fictrad^tet,
Bcfinbct fid^ biefc in relatiocr Shil^c 3U bcr gfü^rungSbal^n, fo ba^ [>] = ift.
©in 5ßunft beS oertilalen ffreiSfiogcnS Befd^reibt Bei gleid^förmigcr ©rcl^ung
einen ftreiS, für meldEien leine KangcntalBcfd^Ieunigung anäufcficn ift, fo ba^

[jjr] = r^l ift, mö^renb [ja] = ift, meil fid^ bcr 3JlitteIpunIt bcr

5ßenbelfugel auf bcr gü^rungSbal^n ni(^t oerfd^iebt. S)cmnad§ gel|t l^icr
®Ieid§ung 3 nad^ 3KuItipIiIation mit m über in:

^m [jo] + m []}].

Sabei ift mijf] micber bie fingierte Kentrifugalfraft [C], möl^renb
m[JQ] bic Slefultante aug [Ä] mb [Z] ift, fo ba^ [Ä], [Z] mb [C] fid^
gcgenfeitig jerftören. SBir lommen alfo auf gig. 145 d gurüd, lernen jegt
aber [C] alS eine erfte Sufafilraft ber Slelatiobemegung lenneni).
S)ieS gilt natürlid^ für alle gleid^förmigen ®ref)ungen oon gfü^rungSbal^ncn,
falls ber materielle $unft gu ifinen relatio in Sftul^e ift.

Site aScifpiel betrad^ten mir bic SBcmegung, oon bcr mir in biefem $aras:
grapl^en ausgingen, ctmaS genauer, gig. 146 ftclle eine l^origontal gelagerte
©d^eibe bar, bic fid^ mit lonftanter SBinlcIgefd^minbigfeit y bxe^t 3n einer
gerabcn Sftinne Ä B ber ©d^eibe, meldte afö reibungslos oorauSgefc^t merben
foH, bcfinbet fi(^ eine ffugel, beren SJlittelpunIt W ber materielle 5ßunft ift, ben
mir betrad^tcn. 81IS äußere ffraft mirlt auf W nur baS ©emid^t [m g], neben
btm nod^ ber 3w:'tmg [Z] ber Sftinne, fenlred^t ju beren Sld^fc, 3U BerüdEfid^tigen
ift. S)aS ©emid^t [m g] !önncn mir oon bcr SSetrad^tung auSfd^Iic^en, ba eS
burd^ bic fefte Unterlage aufgehoben mirb. 3Sir Betrad^ten im folgenben
nur bie obere §ätfte ber @(|eibe im ©inne ber gigur 146. S)er SJKttet
punft W ber Sugel mag 3U einer Beftimmten 3^^ bie Sage Pq ^ctBen unb
in biefer bie ©efd^minbigleit v^ Beftfecn; in bem folgenben S^itclementc t
f ann bie aSemeguug oon W nad^ au^en (Po -Pa) ober nad^ innen (Pq -PO t)or
fid^ ge^en.

ßat bie ©d^eibe in bcr g^it r fid^ fo gcbrcl^t, ba^ babei AB vx bie
Sage Ä' B' gelangt, fo ift PoPa burd^ SSerfd^iebung in bie Sage PoFa unb
burd^ ©rcl^ung in bie Sage FoFa gelcmgt, ebenfo PoP» burc^ aScrfd^iebung in
bie Sage PoP» unb burd^ ®rel|ung in bie Sage PiPj. ®abei finb bic
Beiben aScrfd^icBungSpfcilc mitläufig, bie S)reI|ungSpfeilc gegenläufig. 3n

^) SJcrgl. bie Slnmcrlung auf ©. 260.

§ 51.] Sie julammenBefegte QmajXQSbtmtßatis eines materiellen ÜßunlteB u. V vo. 267

fietben galten tft al(o für bie Sßerf(^ieBunfl Iftngs beS iheiSBogenS PoPi,
iier ßteiilförniig burii)Iaufen roirb, eine ßentripetolBefi^leunigung Dom aSerte
U V^ in bex Jflic^tung J*,, an^ufegen, fo bo^ [j/] ^= [r^y^] ift. SJagegen
gig. 146, r ift Bei ber Sce^ung bte

~^' Se|c!^Ieumgunfl,[jd] in

Po fenfre(^t gu AB,
für P|,Pn mit einem
3ßfeile nod^ te»i)tS, föt
PoPi mit einem Pfeile
nai) linfS anzubringen.
9Iugeibetn ift noi^
in Po ber Sroong Z
fentrei^t gu 4 B einau=
f ü^en , entnwbet mit
einem Pfeile nQ<§ tecEitS
aber mit einem Pfeile
na(^ lintS, je nad^bem
er Don bec linten ober
ncn ber reiften 95anb
ber SRinne ausgeübt
rottb.

Sa bie Jfietatios
beroegunfl ^ier gerabs
Itnig ift, fo i^at [i.]
(eine PtormaHompos
nente unb beSl^alb
] gemäfe ber gormel:

bie Stowialtompmienten ber Sef c^Ieuniflungen ■ auf ber reiiiten ©eite ber
©leiiiung nufEieben ; baSfelBe gilt notürfit^ für bie entfpteii)enben Rrflfte.
giß. 147 8. gig. 147 b.

lüffen fii^ bei ber EBUbung non [?V]

©ie ©Hjsen Stg. 147 a unb 147 b geigen bejuj. für bie Seroegung nac^
fluften unb für bie Seraegung na^ innen bie ßoge ber SrgflnjungSfräfte
m{Jf] unb m[j,i], unb gniar ift js in ben giguren buri^ Se (Scheinbare

268 3tt>eiter «bfd&nitt. [§ 51,

Srßänaung) Bc^eid^net. ©oHcn bicfc mit [Z] ju einer Serftörung her 3loxmaU
lomponente führen, fo fann [Z] in giß- 147 a forool^I nad^ Knfö atö aud^
nad^ rechts gerid^tet fein, in gig. 14:7 b nur nad^ linfö.
SS ergefien fid^ alfo brei göHe:

l.*3n gig. 147 a ift [Z] nad§ linlS gerid^tet:

Z -\- mse = mroy^ cos b,

2. 3n gig. 147 a ift [Z] nad^ red^tS gerid^tet:

Z + m ro y2 cos £ = m Sg.

3. 3n gig. 147 b ift [Z] nad^ linlS gerid^tet:

Z = mse -\- mr^y^ cos s,

3n allen gällen ^at bie SSefd^feunigung ber Slelatioberoegung , bie
ftetS in ber Slic^tung Po-P« Kcgt, für Po ben SBert roy^sine = x^y^ unb
für eine beftimmte ©teile P, ber bie ©efd^nrinbigfeit v entfpred^en mag, ben
aSBcrt xy^, faUS man Jf Po = iCo unb Jf P = a; fefet.

3lun gilt (oergl. @. 72):

Um bie redete ©eite ber ©leid^ung auSgumerten, l^at xmxi auf ber
©tredfe PoP 2ote aufzutragen t)on "tzm SBerte x^y'^ big a;y?. ®abei ent:*

ftel^t ein Xrapea t)on ber glöd^e ^^^"^ j" ^^' • PoP = ^y^^^ — ^^» ^^
FqF = X — xo ift. Semgemöfe gilt:

3Jlit biefer Seftimmung t)on v ift aud^ Z beftimmt, ba Se öf^m meitereS
burd§ bie gormel 2vg)sind' gegeben mirb, mobei v bie ©efd^minbigleit ber
SRelatiübemegung ift unb mobei ferner g? = r unb ^=:90<^ ift, lefetereS, meil
bie ©rel^ungSad^fe fenfred^t jur Slid^tung ber Sftelatiobemegung fte^t.

S)en obigen brei göHen entfprid^t, menn man nod^ ro cose = e fegt :

1. Z == my(ey — 2v),

2. Z = my(2v — ey).

3. Z = my(2v + ey).

gür V = ^ey ^at Z in ben gäHen 1 unb 2 ben SBert 0, für
«'> l^y ^^^^ Z in gormel 1, für t; <;|ey mirb Z in ber gormel 2 negatio.

Segeid^net man bie Slid^tung oon Z, meldte in unferer gigur ber Sre^ung
ber ©d^eibe entfprid^t, atö pofitib unb bie ©egenrid^tung atö negatio, fo
laffen fid^ bie gormein 1 unb 2 jufammenf äffen burd^ 2:

Z = my(2v — ey),
Sei ber Semegung nad^ au^en gilt bemnad^:

gür «; = . . . 1 6 y ift Z negatio, b. §. er ift nad^ linlS gerid^tet.
gür V = \ey ift Z = 0.
ör «; = |ey . . . 00 ift Z pofitio, b. §. er ift nad§ red^tS gerid^tet.

§ 52.] S)te (Sin^etten unb bU SDimenfionett ber bgnamifd&en Otogen. 269

3n gormcl 3 ift Z ftctS nad^ linfö gcrid^tct, alfo ftctS ncßatio, fo ba|

gcfd^rieBen itJcrbcn mu|. gül^rt man nod^ bie SKd^tung bcr ©efd^njtnbigfeit
ein, fo ba| v für bic Slid^tung Jf J. (nac^ au^cn) pofitit) unb für bie aiid^*
tung J-Jf (nad^ innen) negatit) ift, fo ift in gormel 3 nodö v mit — v i\x
oertaufd^en, fo ba^ fid^ aud^ §ier

3[u8 ber ®Icid§ung für v ftnbet man burd^ eine, bei elementarer Se*
trad^tung fel^r umftänblid^e SRed^nung, faHS man bie 3^^* ^^ ^^^ ©teßung
^0 3^ aö^Ien anfängt:

2x = (xo + ^)e^r* + (..-^)e-rK

SluS btefer ©leid^ung folgt burd^ SIBIeitung (oergl. ©. 73) ol^ne meitereS
ein'anberer SluSbrudE für 2v, nömlid^:

2v = (xoy + Vo)e-^y* — (x^y — Vo)e-'y*.

S)urd^ eine meitere Slfileitung gewinnt man:

2j = (xoY^ + Voy)e+y* + {xoV^ — vor)e-y*

unb bemgemä^ ift, mie fd^on oben gefunben mürbe, aud^

jr = j = + V^x,

b. I|. bie SRelatiobemegung ge^t fo oor fid^, afö menn ber materielle 5ßunlt W
in P eine mit MF gleid^gerid^tete Sefd^leunigung erl^ielte, bie bem 3Ibftanbe
MF proportional ift, fo ba'^ fid^ M mie ein abfto^enbeS Kentrum oerljölt.

Sie abfolute Säemegung oon W roxtb lebiglid^ burd^ bie Straft [Z] be*
ftimmt, fie lä^t fidE) aud§ au§ ber relatioen Semegung unb ber SSemegung
ber ©d^eibe aufammenfe^en.

S)ie aSemegung ber ©d^eibe mirb beftimmt burd^ bie ©feid^ung:

ö = 00 -\- yt ober für <>o = burd^ = yt,

fo boü^ W bei ber Stellung P in ber S^it ^ burd^ bie ©d^eibe um OF,y .x
unb gugleidE) auf feiner relatioen SJal^n um «;r weitergeführt mirb für
lim r = 0.

gür ben ©onberf au e = 0, b. 1^. bei einer rabiolen Slinne ift Z = 2mvy
unb ro = xo unb r = x. ßier l^at man für z= yt o^ne meitereS

2, = (n + ^)e.. + (..->)

e-^

afö ©leid^ung für bie SSal^n (Spirale) ber abfoluten SSemegung oon W in
$oIarIoorbinaten, für bie ber unbemeglid^e äftittelpunft ber ©d^eibe ber 5ßoI
unb bie ßorisontalprojeltion ber SRinnenad^fe in beren ©teHung für f =
bie 3Id^fe ift.

52. 3)te ©inl^eiten unb bie S)imenftonen ber b^namifd^en @rögen.

3fnner]^alb ber ted^nifd^en afted^anil ringen augenblidflid^ amei 3Jla^fr)fteme
miteinanber, meldte al§ pl^gfilalifd^eg unb atö ted^nifd^eS SDlaiftiftem

270 3töciter Slbfd&ttitt. [§ 52.

untcrfd^tcbcn toerben (ocrgl. Sinl., @. 17). ^nmx^atb be^ pl^tjfilalifd^en
©riftcmS fielet man für tecfinifd^e SScr^öItniffc in einem ftiloftüde, mie eS ber
©emid^tSfaft einer SBage bariietet, bie Sinl^eit ber 3Jlaffe, bie man afö
3Jlaffen*ÄiIo beaeid^nen fann, innerhalb bcS ted^nifd^en ©gftemS benft
man fid^ ba^ ÄiloftüdE aufgel^angen ober unterftügt unb betrad^tet feinen
Sd^merbrudE ober feinen ©d^mergug (©emid^t) afö ßinl^eit ber Äraft/ ben
man aK ffraft^Äilo (kg) begeid^nen lann.

Snnerl^alb beS ted^nifd^en ®r)ftemS, meld^eS l^ier benufit merben foH,
liefert bie ©leid^ung:

©emid^t = 3Waffe x gciHbefd^Ieunigung

für 1 ffiraft^Äifo bie 3Jlaffe —, fo ba'^ für G ffiraft^Äilo bie aJlaffe —

angufegen ift, mä^renb umgefel^rt bie 3Jlaffenein]^eit burd^ g JKIoftüdEe bar*
gefteöt mirb. 3Kan fjat alfo l^ier für bie SRed^nung ben SInfag .

^ „ ©emtd&t in 5tiIo (G)

gaUbef d^Ieunigung (^r)

®ie ßin^eit ber Äraft ift l^ier bie Äraft, meldte 1 ÄiloftüdE bie SSefd^Ieu»:
nigung g — ^ erteilt, mie eS ber freie ^aU oeranfd^aulid^t.

gür bie SäcgeidEinung ber 3Kaff eneinl^eit fel^It leiber ein
SBort, fo ba'^ man ju bem fd^Ieppenben 31u8brucle ^Sied^nifd^e
JDlaffeneinl^eit " gcgmungen ift.

Qat man feine SSenoed^felung mit btm plitiftlalifd^en ©riftem^) gu Be«
fürd^ten, fo lann man , Straf tsJKfo" einfach bur(| ^flilo" begeitlnen.

Semgemö^ §at ein ©unbertKIoftüdE — = 10,2 tedEinifd^e 3Jlaffen:=

einlieiten unb liefert afö ©emid^t 100 ftraft*ÄiIo. SBirb einem ©ifenbal^nauge,

ber 200000 ffiloftüdfen entfprid^t, eine SSefd^Ieunigung oon 0,1 -^ erteilt,

fo finb l^ier an 3Kaffe = 20400 ted^nifd^e SKaffeneinl^eiten angafegen,

■ %/

^) 3n bem p^^filaUfd^en, ted^nifd^en SJer^öItniffen angepaßten ©gftem ift bie
(Stn^eit ber Äraft baS ©emtd^t oon — Ätio (= — ^oft^Äilo), b. J^. fte ift bie

Äraft, raeld^e einem ÄiloftüdCe bie S3cfdöteunigung 1^ erteilt. Sin ber Sltraoob*

f d&en gaUmaf d^ine rairb biefe (Sin^eit burd^ einen ÜberbrudC oon — fiilo bei beiber:^

feitiger ©claftung oon ^ — 5!iIo oeraufd^aulid^t, b. f\, angenähert burd& einen

ÜberbrudC oon t^ ^ilo bei beiberfeitiger SSelaftung oon öä ^Ip.

(Sin öunbertliloftüdC ^at ^ier 100 artaffen^Mo on ariaffe unb liefert ofö @e:=
mid^t 100 g = 981 Äraftein^eiten.

(Ein (Sifenba^ngug, ber 200000 ÄiloftüdCen entfprid^t, l^ot 200000mio an 9Jlaffe,

fo ba^ einer SBefd^Ieunigung oon 0,1^ ^ier eine 5h:aft oon 20000 ©in^eiten

S6C

etitfprid^t.

§ 52.] S)ie (Einheiten unb bte S)tmenftonen hex btjnomifd^en (Stößen. 271

fo ha^ bie cntfptcc^cnbc Äraft (= 3Kaffc x SBefd^Icunißung), b. 1^. bic 3ug*
fraft bcr ßolomotioe 20400 . 0,1 = 2040 Straft^Ätlo ficträgt (aBgcfc^cn t)on
bcr Überrainbung bcr SBtbcrftänbc).

Sie anbeten brjnamifc^en ®rö^en werben nun im allgemeinen auf Sin:»
l^eiten fiegogen, meldte ben Sinl^eiten ,1 Äraft^^Äilo, 1 3Keter, 1 ©elunbe''
entfprecfien.

©0 mirb bie SttrBeit afö $robuIt aug ftraft unb SBeg in Äraft!iIo^3Jlcter
(Kilogramm « 3Jleter = kgm) gemeffen, b. ^. bie ßinl^eit ber Slrbeit ift bie
©eBung ober ©enlung t)on 1 ffitoftüd um 1 3Keter. SiefelBe Sinl^eit gilt
au(§ für bie 3Keffung ber Energie unb beS ffraftmomenteS.

®ie airbeitSftärle (oergl. @. 248) ^ai 1 Kilogramm :=aReter in bcr
©clunbc als ßinficit, moBci man 75 Silogramm ^ 3Ket er in ber ©clunbc afö
5ßfcrbeftörlc (PS) 8«fctmmcnf a^t i).

aSBir ftcHcn bemgemä^ für einige (Srö^cn bie Simenfionen in bmt
pl^t)filalif(§en, tet^nifd^en SSerl^öItniffen angepaßten 3Kaßfr)ftem unb bie
Simenfionen in bem ted^nifd^en 3Jlaßfr)ftcm sufammen.

3m erften finb 3Jtaffe (m), Qüt (i) unb Sänge (0 bie ©runbgrößen,
au8 meldten alle anberen guf ammengefegt merben, im gmeiten finb biefe Äraft
(K), 3eit (0 unb ßönge (0-

S)imenfion
im

laltfdocn
©gftcm

2)imcnfton

im

tc(5nif(|cn

@t)ftem

yjtaffe

m

Kl—it^

'*'»**ii*' ?••• •••••••••••.•

traft — artaffe x SSefd^Ieunigung

mlt-^

K

S5cn)egung8größe 3Jlaffe x ®efd&n)tnbtgleit ....
5!rafttf9lntrieb — traft x i^eit

m l *-i
mlt-i

Kt
Kt

STrbeit = 5h:aft x SBcg

JöcmegungSenergie ©älfte ber 3Jlaffe x Quabrat ber
©cfd^rainbigfeit

traftr^aJtomcnt — traft x 9Irm

ml^t-^

Kl

Kl
Kl

3Jtaffen^3Jtoment = äJlaffc x Slrm

ml

Kt^

S:räg5eit8moment 3Jlaffe x Quabrot beg Slbftanbeg
oon bcr 9ld&fc

ml^

Klt^

SlrbcttSftärfe — 5h:aft x ©cfd^rainbiglcit

1

Klt-i

1) SBcgcn bcr SScgic^ungcn 3ur (Elcltrotcd^nil mag nod^ angcfül^rt mcrbcn, ba^
im pfigfüaltfd^cn ©tjftcm bic traft, mctd^c einem ©ramm 3Jlaffc bic S3cfrf)Icunigung
1cm erteilt, unter bem 9flamcn S)9n als @inf)ctt bient. S)tc @inl)cit beS V^^^i^
lalifd^cn, tcrfinifd^cn SJcrl^öltniffcn angepaßten ©tjftcmg, für meldte baQ ©ramm
burd& baS tilogramm unb baS Zentimeter burd& ba& 3Jlcter crfe^t ift, ift bann
100000 S)i)n, mofür man ba» (allerbingS aud^ anberS oerroenbetc) Söort 9Jlegabt)n
oorgefd^lagcn ^at. S)te SIrbeit oon 1 S)i)n für 1 cm SJerfdfiicbung Reifet (Srg, roobel
10 7 (Erg als 1 3ouIe beaeid^net merben. S)ie SIrbeitgftörle für 1 Soule fieißt Söatt, b. 5-

1 Söatt = 1 ^^. Unter bem 9^amcn tiloroatt roerben 1000 Söatt auf ammengefaßt,

sec . .

^nmtnHnitn i^tt leljw mm mtttmtlkn funkte.

1. Slllgemetned« a) S)ic angreifenben flr&ftc. Sei ^nxüm^
bungen Wnncn l^ier (im Ocgcnfo^ gur t^eorctifd^cn Orunblcgung) natur*
gcmö^ nur materielle 5ßunlte gmeiter 8Irt in grage fommen, b. §. 5ßunfte
materieller flörper, meldte für biefe bei beftimmten Säemegungen bgnamift^e
(Sentren finb. S)abci merben bie Äörper ftetS bur(§ öu^ere Kräfte angegriffen,
unb biefe Jhäfte fmb entmeber 3Waffenfräfte, meiere unmittelbar auf bie ein«
gelnen S^tome be8 fförperS mirlen, ober DBerfläd^enlräfte, meld^ unmittelbar
auf eine, einem Steile ber geometrifd^en Dberflöd^e be§ fförperS Benachbarte
©c^id^t non SItomen mirlen unb non biefer auS mittelbar meiter mirlen.
aSon ben 3Koffen!räften fommt l^ier nur ber ©d^roerbrudf ober ©d^mergug
(©eroid^t) in grage, meld^er auf ber gegenfeitigen ©inroirlung eineS Äörperg
unb ber ßrbe berul^t. 3ft allein biefe Äraft gu betrad^ten, fo l^aben xvix eS
mit bem freien gaöe gu tl^un.

@oH ba^ Eintreten biefer SSemegung gefjinbert merben, fo finb babei
au^erbem Dberfläd^enfräfte in SSctrad^t gu gießen, ba bei ber Slufl^ängung,
g. 33. an einem ©eile, ober bei ber Unterftüfeung, g. S. burd^ eine ©tange
ober eine ©äule, ein beftimmter Seil ber Dberfläc^e beg fförperg mit
beftimmten Steilen ber Dberfläd^e anberer fförper in materielle SSerbinbung
gefegt mirb.

Sl^nlic^cS gilt für ben gaH auf beftimmter SSa^n, beff en einfad^fteS Sei*
fpiel bie SSemegung auf ber fd^iefen Sbene ift, bei melt^em ber QxoanQ ber
Sal^n neben bem ©emid^te beS fförperS gu bead^ten ift.

aSenuftt man ba^ ©emid^t eineS ÄörperS Ä, um einen ftörper B in SSe*
megung gu fegen, fo mu^ man entmeber beibe Äörper mit Xeiten i^rer Ober*
fläd^en in SSerül^rung bringen ober man mu^ irgenb eine Übertragung, g. 33.
ein ©eil mit SRottenfül^rung, oermenben, mobci mieberum eine Sfteil^e oon Ober«
fläd^enfröften in grage fommen. jSntfpred^enbeS gilt aud^ für bie Slufl^ebung
einer oorlianbenen SSemegung. S^nlid^eg tritt auf, menn man burd^ ben
®rudE ober gug ber eigenen ©anb (SSerü^rungSflöd^e) SSemegungen einleitet ober
üor^anbene SSemegungen aufgebt u. f. m. 3n allen biefen gällen läfet
fid^ erfal^rungSmö^ig jebeSmaf eine ©erabe angeben, innerl^alb
meld^er fid^ bie Äraftmirlung fo gu fagen oerbid^tet, fo ba'^ bei einem
ftarren Äörper irgenb ein $un!t biefer ©eraben alS bgnamifd^eS Kentrum
biefer SBirlung angefel^en merben barf.

1.]

Slnroenbungen ber Seilte vom materiellen $Punfte.

273

®§ fjängt bieg bamit gufammen, ba^ nur bicjenigen SBirfungen inner*
f^alb ber 3lu§cnn)clt afö Äräfte fiegeit^net werben, njeld^e mit bem ©cfimcrs^
brud ober ©d^meraug, ber fi(^ ja ftetS im 3KajfenmitteIpunIte (Sd^merpunlte)
fo 5U fagen üerbic^tet, gafilenmä^ig t)ergli(§en merben lönnen. Slu^erbem lommt
oud^ ba^ 5ßrinctp ber 5ßaarn)irlung baBei in SSetrad^t.

SBenn mir 3. SS. ben einfad^en ÄurBelmed^aniSmuS, meldten gig. 124
barftellt, Betrad^ten, fo mirft Bei einer Sampfmafd^ine bie ©pannung beS
S)ampfe§ aitf bie ÖBerfläd^e be§ ÄoIBenS K unb bamit auf bie ÄolBenftange
KÄ, meldte mieberum burd^ SSermittelung ber DBcrflöd^e be§ gangen ffreuä:«
lopfftüdEeS Ä bie flraft gum Seil auf bie gül^rung biefeS ©tüdfeS unb gum
S:etl auf bie ÄoIBenftange Ä B überträgt u. f. m. $ier benlen mir un8 ben
gangen SBorgang ber Kraftübertragung bei ftjmmetrifd^er ©erfteHung ber fion^
ftruftionSteile in beren SIKittellinien hz};co, 5DlitteIpun!ten ocrbid^tet, obmol^I
t^atföd^Iic^ überaß auSgebe^nte gläd^en in grage lommen. ßntfpred^enbeS
gilt auc^ bei Übertragungen burd^ ©eile unb SftoHcn.

b) Sie Äraftgerlegung. SSei SInmenbungen ift ju bead^ten, ?afe eine
3erlegung t)on Gräften, meldte in tfieoretifd^er ©infid^t rid^tig ift, ben
t^atföd^Iid^en SSerl^ältniff en burd^auS nid^t immer entfprid^t, unb ho!^ über biefe
gig. 148. tfiatföd^Iid^en SSerl^öItniffe nur bie ©rfal^rung htn nötigen
Sluffd^Iu^ geben lann. ©0 gerlegt fid^ 3. S3. eine ffiroft
[K], meldte bei gmei, burd^ ein ®elen! oerbunbencn ©taugen
bie anitte beg ©elenfeg (Änoten) trifft, bei fgmmetrifd^er
©erftellung ber eingelnen fionftruftiongteile, nad^ ben Sld^fen
ber ©tangen, mie eg gig. 148 geigt. äSirb bagegen eine
beiberfeitg eingefenfte ©tange (gig. 149) t)on einer ffraft
[K] nid^t in einem ber ©elenle getroffen, fo gerlegt fte fid^
bei ftjmmetrifd^er ©eftaltung ber eingelnen Sonftruftiong*
teile in gmei Gräfte [K^] unb [K^], bie in ben ©elenimitten
angreifen. Dabei muffen [K^] unb [K^] ber Sraftgerlegung ber gig. 149 b
entfpred^en, fo ha^ burd^ SSerfd^iebung nad^ in gig. 149 a eine 5ßaraMo*

gig. 149 a.

gig. 150.

Sig.l49b.

grammgerlegung entftel^t. 3m übrigen ift aber bie 2age oon [K^] unb [Äg]
in tl^eoretifd^er ©infid^t oöHig unbeftimmt, erft bie ©rfal^rung entfc^eibet,
meld^eg ber ungal^Iig oielen möglid^en S)reiedEe über K bie tl^atfäd^lidt)e ger:*
legung barfteHt.

SBernidc, SWedöonif. i.

18

274 3«citer Slbfd&nitt. [1.

Set einem ©eile, ba^ atö voUtommm Biegfam DorauSgejegt wirb, faHcn
bie beiben, eben für Stangen betrachteten Äraftaerleßungen sufammen, falls
ftd^ an ber 3lngripfteIIe UJieber ein neuer Änoten bilben fann; bie ©eil*
ri(|tungen ftimmen bann mit ben ffraftrid^tutigen überein, mie eS gig. 150
(a. t). ©.) geigt.

Sei gtöd^en, meld&e ftd^ berühren, folgt bie Äraftgerlegung ber Jlormalc
begm. ber Sftormalrid^tung ber SBerü^rungSfteHe, fo ba^ eine Komponente in
biefe Slit^tung fäHt unb fid^ bie anbere ober bie anberen Komponenten fenfred^t
ba^n bilben. SefonberS ju Beacf)ten ift nod^, ba^ burd^ eine SRoHei), über
meldte ein gaben ober ein ©eil jum Qwzd^ ber Kraftübertragung gel^t, nur
bie SHd^tung ber Kraft geönbert mirb, folange alle SBiberftönbe oemat^Iäffigt
merben.

c) Sie 3Jlaffe ber treibenben nnb ber Übertragenben Körper.
SBerben aSerfd^iebungen eineS ftarren materiellen Körpers burd^ ©emid^te oon
aScIaftungSförpern bemirlt, f o ift bei ber SSermenbung ber bgnamifd^en ®runb*
gleid^ung ftetS 3U bead^ten, ba^ burc^ ba^ ©emid^t audE) bie 35laffe beS Kör:»

gig 151^ perS, bem eS entfpridE)t, in SSemegung

^ I i iniij^in^ gefegt mirb. Seim freien galle be*

megt ja ba^ ©emid^t auc^ bie 3Kaff e
beS Körperg, bem e§ angel^ört, unb
amar nur biefe. Qwc ßrläuterung
betrod^ten mir ben, burd^ gig. 151
bargefteüten Vorgang. $ier ift P
unb Q nebft beren SSerbinbung afö
ein ftarrer Körper aufguf äffen, ben
ba^ ©emid^t oon P, meld^eS felbft

P Iieifeen mag, treibt. ®ie gu bemegenbe 3Jlaffe ift Bier ^ "*" ^ , falls ba^

9
©emid^t oon Q aud§ einfad^ burd^ Q begeid^net mirb. aWan I|at alfo nad&

ber btjnamifd^en ©runbgleic^ung:

Sl

m

ll'

= r> ■ r. =9

P + <g "P + Ö

9

Sftu^t Q bei SSeginn ber SSemegung, fo entfpred^en. ber fonftanten Sc*
f d^Ieunigung j bie ©teid^ungen s = \jt^, v =jt unb ^v^ = js, beren
SRid^tigfeit an einer l^origontalen 3Jle^Iatte für Q unb ba^ eine ©eilftüdE, an
einer oertÜaten aWe^Iatte für P unb ba^ anbere ©eifftüdf geprüft merben
!ann.

Sei einer genauen Setrad^tung mu| am^ nod^ bie 3Kaffe beS oerBin*
benben ©eileS in SRed^nung geftellt merben.

®a§ Seifpiel geigt unS aber nod^ mel^r, ba neben ber SJlaffe beS trei*
benben Körpers P aud^ nod^ bie SUlaffe eineS, ber Übertragung bienenben
Körpers, nämlid^ ber SRoHe, mit Bemcgt mirb. Um beren ®influ^ ju Be*

^) @ie ift alg eine gletd^armige ©ebelmage anäufeljcn.

2.] ainDtnbunaen bn ße^ce Dom moteiieUen Sßunlte. 275

ftitnmen, tebuatett man bie Sftoffe auf einen materiellen 5ßunft B, bei auf
bet SecütimngiSfIficfie oon ©eil unb SftoHe liegt, fo ba^ man bie(en ^unft
B gemifferma^en in baS ©eit eingefnotet unb bann mit beroegt beuten
tonn, asirb ber 8ttftanb bcS *Puntteg B am bei Sl^fe ber DtoHe, bte bflS
SrÄg^eitSmoment %i ifoben mag, r genannt, fo mu^ man B eine 3Jloj(e m

jufd^reitien, fo ba^ mr'^ ^%z ift, b. f|. man ^at m ^ —•

Siemgemä^ gilt genauer:

^+» %+« + !#

©ie tl^atfäi^Iiil nor^anbenen SfteiBungen oon Q ouf ber Unterlage mib
bec fRoOenal^fe in ifiren Sägern, foroie bie ©eiCfteifigtcit forbern nocf) roeitere
SBetfiefferungen bet gotmel.

SBir betrocEiten noi§ bie Scroegung, «ett^e gig. 152 borfteDt, unter ber
SBoronSfefeung, ba^ P > ^ t[t. $iet ift P unb Q nebft bercn Sßerfcinbung
als ein ftorrer flörper aufaufaffen. SJenIt man ftc^ m», 152.

im obcrften Sßimlte ber giguc eine S^angente on ben
ÄreiS, fo jie^t in biefer F no<f| IinI8 unb Q ntxä^
rei^tiS, fo bofe ^iet bie flroft F — Q, nacEi VintS ge»
rilltet, aK Bemegenbe flraft ü6rig HeiBt. aJlan ^at

alfo:

J— Q _ -P— <

®a bie SftoHe oom iRobiuS r„ roelifie boS Srflg:
fieitSmoment %x ^abm mag, als Üfiectrogenber fflöcper p
mit Bemegt nntb, fo ift föt btefe noii) eine aJlaffe m
anaufefeen gemö^ bet ©teidiung mr/ = Xx. OTan ^at alfo genouer:

■ Q

9 =

^+« + '-?5

3m üBrigen gelten entfprec^enbe Semertungen wie für gig. 161,

2. Site b^namififie SBtlPeutung bcg 9ltWton\iSitn @efe^eS. @S
njurbe Bereits erroölint (nergl. ©. 160), ba^ bie Äeppterfi^en ©efege nur bie
SHetatiobcroeguns ber ^Planeten jur ©onne Befc^ceiben. SIBäte nur bie
©onne S unb ein ^planet 1' im Sßeltentaum oor^anben, fo mürbe gemö§
bem ^principe ber ^Paanuirfung niilit bie ©onne in SRu^e oetliarren, fon«
bern bet 3)laffenmittelpunft M beS ©qftemS, nieli^eS bie ©onne unb ber
$(anet Bilben.

iöeaeic^net man bie Entfernung jraififien ben SÜHttelpunften S unb P
Beibec Sörper, in benen man if)re Sßaffen m, unb m^ oerbid^tet benlen botf,
mit l, fo roirb biefe dntfernung burc^ ben 5DlaffenmitteIpunft im umgefe^rten

276 3tt>eitet 8fi>fd6ttttt. [2.

3Kaffcnt)er]^äItm8 geteilt (oergl. @. 237). Semnad^ ift SM = — ^ l

whß -j~ fyip

AM

unb P-af= — -7^^ l S)ie flepplerfd^en ®efe§e fegen FS = l an

bxt Stelle Don Pitf, fo ba^ bie il^nen entfpre(§enbe ßntraidelung (©. 157u.f.)

m

aUt ßineargrö^en ber aBirllit^f eit gegenüber im SSerliältniffe 1:1-

oergröfeert barfteHt. ®emgemä§ ift aud^ bie: Sef(§Ieunigung [jq], raeld^c
(@. 160) erl^alten raurbe, im SSerl^öItniffe m« : (m« + m^ gu oerfleinem,
menn man bie SBefd^Ieunigung ber aBfoIuten SSemegung erl^alten miH. @ic
ift bemnad^ für biefe:

4 %^ a^ ms

"72" ' T2 ' m, + m-p

SBöre nun bog britte ®efeg Äepplerg in aller Strenge rid^tig, fo
mürbe biefe SSeft^Ieunigung aud^ t)on ber SJlaffe ber 5ßlaneten mp abhängen

unb lönnte bemnad^ nid^t für alle 5ßlaneten auf bie gorm K • — gebracht

merben, eS mürbe oielmel^r für jeben 5ßlaneten ein befonberer äSert t)on K
eintreten.

Sejeid^nen mir bie ©rö^en T unb a für einen beftimmten Paneten burd^

al

Tp unb üp, fo mürbe bie alte SSegiel^ung erl^alten bleiben, menn -=^. •

von Planeten äu 5ßlaneten fonftant märe, b. ^. menn ba^ britte Sepplerf(|e
©efefe lautete: fjür je ^mei Planeten t)erf)alten fid^ bie ^ßrobulte aug ben
Duabraten ber Umlauf^aeiten unb ben Summen t)on Sonnenmaffe unb 5ßlas
netenmaffe mie bie Äuben i^rer mittleren Sonnenentfernungen.

aSegiel^en mir biefeg ©efeg auf bie @rbe, für meldte bie betr. ©rö^en
burd^ Te, üe unb nie begeic^net merben mögen, fo gälte bemnad^:

Tl {ms + mp) ^ /r^Y ^ ms _ /Op^y

1 +

m.

gür mp < me ift bie fforreltur ein ed^ter Srud^, für mp > me ift bie
Äorreltur ein uned^ter Srud^, fo hoüi^ für bie Paneten, beren 3Jtaffe Heiner ift

alg bie ber ©rbe, (-^j ^\t) ^"^ ^^^ ^^^ Paneten, beren 3Kaffe größer
ift alg bie ber ßrbe, ft(§ ("-^V > ("^V ergeben müfete.
3lun gilt folgenbe Tabelle:

2.]

Slntüenbungen ber ße^te vom motertetten Sßunlte.

277

Supiter
©otutn
Uranus
Sfleptun

-0,0000003

— 0,000002

— 0,00001
-f 0,131
+ 0,256
+ 0,37
+ 1,6

mp •< We

mp > me

S)a unfcrc tl^corctifd^c SBctrad^tung Doraugf efttc , ba^ nur ein 5ßlanct
ncBcn ber ©onne im SBcItcnraumc oorl^anben raärc, fo ficftätigt bicfe Ka:?
6cHc im ßinblid auf bie ö^S^tifcitigen SBecinfluffungcn ber ©onne unb ber
üerfd^iebenen Planeten unb biefer unter fit^ mit Ijinreid^enber Seutlid^feit, ba^
bie Befprod^ene Äorreftur geboten ift. @egt man alfo in bie gormel für bie
Sefd^Ieunigung für

43r2

T^(ms + mp)

eine ffonftante k ein, fo gel^t biefe üBer in

k . nis

unb bemgemö^ ift bie entfpred^enbe Äraft, mit meld^er ber 5ßlanet oon ber
©onne angezogen mirb:

k . mp . nig

3lai^ bem 5ßrincipe ber 5ßaarmirfung ift bieg gugleit^ bie ffraft, mit
meld^er ber planet bie ©onne angiel^t.

®ef)t mon oon biefem SInfafie für bie Straft au8, fo lann man au(§
rüdmärts^ bie florreftur ber Äepplerfd^en ©efe^e mieber leicht gewinnen.

Sftad^ ber bgnamifd^en ®runbglei(|ung ftnb namli(§ bie gegeneinanber
gerid^teten Sefd^Ieunigungen für ba^ ©onnencentrum unb für ba^ 5ßlaneten»

centrum Begm. — ^ unb — ^ , fo ba^ bie SRelatioBef d^Ieunigung für eineS

ber Kentren, menn man bQ& anbere rul^enb benft (oergl. gmei einanber ent*
gegenfal^renbe SifenBal^ngüge), ben SBert

knip knis k(mp + w«)

erl^ölt.

Sie für baS ruljenbe Kentrum abgeleitete (oergf. ©. 157 u. f.) 35es»
fc^Ieunigung ift tl^atföd^Iid^ afö SlelatioBefc^Ieunigung in SSegug auf biefeS
ßentrum aufguf äffen, b. f), man ^at:

43r2 a^ k(mp + m«)

f2 ' 2^ J^2

278 3«etter Slbfd^ttitt. [2.

unb crl^&It tmcber

Jc = 4:n^' ^'

T^(mp + ms)

S)tc für bte flraft her gcgcnfeitiflcn ©initjirfting ber ©onnc unb eincg
5ßlancten getoonncnc gformel

r2

84)

ftcnt nun ba^ Sterotonfd^c ®cfcg in feiner ooUftänbigen ©eftaltung bar.

3le'n)ton tl^atben großen ©d^ritt, biefeS ®efe§ für Elemente bcr 9Jla*
tcrie (3ltome) alS ftrcng= gültig anjufel^cn unb barauS feine ©ültigleit für
Beftimmte bgnamifd^e ©entren fieftimmter flörper ^erjuleiten. ®r
n)ieS t)or oHetn nad^, ba^ bie aWittefpunfte ber ©immeföförper tl^atfäd^Iit^
für beren Slufeenraum aI8 btjnantifd^e Kentren, in benen il^re 3Raffe oer*
bid^tet erfdE)cint, ongefel^en njerben bürfen, faHS man fie aI8 l^omogene ober
als concentrifd^^Iiomogenssgefd^id^tete Äugeln auffaffen barf.

gür iXDtx 3[tome von btn 3Jlaffen ^ unb ^' erl^ölt Stemtong ®efefi
bie ^oxm

^ 86)

r'

b. ]^. bie beiben Ärafte, n)eld^e ber gegenfeitigen ßinroirlung juieier
SItome entfpred^en, finb beren 3Jtaffen unb bzm regiprofen Qua*
brote i^rer ßntfernung proportional.

3lu§ biefem ©efege folgt atö ßel^rfag, ba^ u. a. ftatt ber 9Itome
bie 3KitteIpunIte homogener ober concentrifd^s5omogen:sgefd^i(^teter Äugeln eins=
treten lönnen, faÖS man beren 5Dlaffen in i|rem 3JlitteIpunfte oerbid^tet benft.

Srf cgt man baS Äraftgefeg StemtonS burd^ irgenb ein onbereS, 3. S.
burd^

k ^^'

für n^ 2, fo Bleiben gmar bie 3KitteIpunIte fold^er Äugeln infofem btina*
mifd^e Kentren, afö man in il^nen bie 3Waffe t)erbi(|tct benfen barf, aber bie
gange Äugel übt nun im allgemeinen auf fünfte beS Slu^enraumeS eine
anbere Äraft a\x^ olg bag eingelne 3Itom.

Stur f ür n = — 1 unb für n = 2, b. 1^. für bie 3ItomIröfte

kii^i'.r unb — ^

übt ba^ Kentrum einer fold^en Äugel oon ber 3Raffe m auf einen materiellen
5ßunlt oon ber 3Jlaffe ft' in ber ßntfernung r begm. bie Äräfte

kmu! . r unb — ~-
aug, mölirenb 3. SB. bei ber SItomfraft

ba§ Kentrum • einer l^omogenen Äugel 00m SlabiuS R bie Äraft

2J Slntoenbungen ber Seilte oom materiellen Spunfte. 279

'^ V ' 5 r2 35 r*/
entmdüt i).

S)ie ftonftante ä; bcS StctDtonfd^cn ©ejeftcS ift leidet gu Beftimmen.
@ic6t man i^m für attJct aftaffcn mi unb mg bic fjform

^^fcm^^ gg^

fo ift i; = Ä; für mj = 1, w, = 1, r = 1, b. 1^. fc Bebeutet bte ffraft
ber gegettfettigen (SinitJtrlung graeier 3Jtaffenein§eiten in ber Sin*
l^eit ber ffintfernung.

Statürlid^ §ängt ber 8af)Iennjert t)on k ab oon ben getoö^Iten Sinl^eiten.
3m ted^nifc^en 3Jla^fr)ftemc (ffiraft^ftilo, 3Wcter, ©elunbc) ift:

1010 fc = M 87)

SBöl^It man n&ml\ä\ bie SDlaffc ber ßrbe atö m^ \xrib,*al^ m^ irgenb
eine ftuget in ber Jlöl^ ber ßrboBerfläd^e, fo ift bie ftraft ber gcgcnfcitigcn
Sinmirlung burd^ ha% ®en)i(5t m^g gegeBen, b. 1^. man l^ot, fallS B ben
SlabiuS ber Srbe Begeid^net,

k m-im^

Stimmt man 5,6 afö Sid^tigfeit 2) ber Srbe, Begogen auf SBaffer, fo ift
im ted^nifd^en 3)lafefr)fteme

I E3 3r . 5600 ShaftÜIo

9
meil B in 3)letern gemeffen mcrben mu^ unb 1 ÄuBümcter äSaffer 1000 flilo,
alfo 1 ÄuBif meter ber Srbe im SKittef 5600 Äilo on ©emtd^t ^at.
3Wan l^at alfo:

3^2 _ 3 . (9,81)g ^ 6444

~ iBn , 5600 ~" 80000000 . 5600 ~ lOJo

3m pl^gfif altf d^en , ben tct^nifd^en aSerl^ältniffen angepaßten 3Jlaßft)ftemc
(ailaffen^flilo, aWetcr, ©efunbc) ift

3^ _ 6,569
~ 4i2jr . 5600 "" 10" '

$icr l^at k bic SHmenfton m-^ P t-^.

©el^t man alfo gum gemö^nlid^en 3Jlaßft)fteme ber 5ß]^r)ftl (®ramm,
Zentimeter, ©efunbe) über, fo ift

6,569

k =

108

SJergl. bie Slnmerlung auf @. 157.

2) »ergl. 0. gollg, SBiebemannS STnnalen 1881.

I

280 3tt>eiter Slbfdönitt. [3.

?luf bcr angemeinen ©ültiglett beS SleuJtonfc^en (Elementargefcfteg^
xDonaä) k für je jroei Sltome bcnfelben SBert f)at, Beruht aud^ bie 3Kaffen:=
befttmmung bcr SBettförper. SSergleu^t man bie SSemegung eines 5ßfoneten
in SSejug auf bie ©onne mit einer SSemegung eineS 3Jlonbeg beSfelben ^la^
neten in Se^ug auf bicfcn, fo erl^ftlt man baS SSerljältniS ber SJlaffe oon
Sonne (m«) unb 5ßlaneten (wp).

Sei fceigförmigen SSatinen ^at bie ßentripetalBefd^Ieunigung bcS 3JlonbeS
für einen ÄreiS com SRabiuS r^ unb einer Umlauf^seit Tm btn SBert:

4jr2

I

qi2 • '♦»»

. rm !

m

unb biefeS ift gugleid^ bie a5ef(§Ieunigung, meldte ber 5ßtanet nad^ htm ®ef ege
SftemtonS bem SJlonbe erteilt, b. 1^. — j^-
3Jlan ]^at alfo:

— ^^ — Ämp.

gür planet unb ©onne gilt efienfo:

= knia.

4:71^ . r|

©emgemöfe gilt:

Tp

2 niiiPS'

mal nip •= -^

Stimmt man junöd^ft bie ßrbe al§ Planeten, fo erl^alt man bie ©onnens^
maffe (355000 ßrbmaffe). 3lu8 biefer folgt bann für anberc Planeten nod^
berfelben ©leid^ung beren 2Raffe. gör bie 5ßfaneten, meldte leinen 3Konb
fiaben, unb für bie aWonbe muffen bie SJlaffen auf aicmlidE) umftänblid^em
SBege au8 i^ren Störungen erfd^Ioffen merben; für ben 5Dlonb ber Srbe bietet
bie ßrfd^einung ber (ibhe unb glut überbieS ein 3JlitteI für feine 3Kaffen*
bered^nung.

3. ^al^ Potential bei^ freien $aKei^ unb ber Scntralbetaegung« S)ie
beiben gormen ber Äraft (oergl. @. 278), für meldte bei l^omogenen ober
concentrifd^:j{)omogen5gef(^ic^teten Äugeln beren 3KitteIpunft alg bgnamifd^eg
Kentrum angefefjen merben barf, entfpred^en ben beiben 33efd5Ieunigung§==
gefe^en, meldte früher (oergt. ©. 162 u. f.) für fünfte be§ ßrbinnem unb
für 5ßunfte in beren Slu^enraum bel^anbelt mürben. 3ft bie gegenfeitige ßtn*
mirlung gmeier 5ßunlte burd^ ba^ Sfterotonfd^e ©efcg beftimmt, fo gilt ba^^
felbe ©efeg für ben 3BitteIpun!t einer folc^en Äugel, in bcm man bie 3Kaffe
ber Sugel ocrbid^tet ju benfen l^at, unb für einen materiellen 5ßun!t in i^rem
Slu^enraume, möl^renb für einen materiellen 5ßunft im Snnern ber Äugele
falls fie l^omogen ift, bie anbere g^rm ber Sraft in ©eltung ift.

aJlan 5at alfo bei ©ültigleit beS 3temtonfdt)en ©efefeeS für
Sltome bie Äraft ber gegenfeitigcn ßinmirfung be§ mit ber Srbmaffe be*
j^afteten 3KitteIpunfteS ber ®rbe unb eineS materiellen 5ßunlte8 oon ber

3.] SlntDcnbungen bcr ßc^rc vom matericEcn Sßunfte. 281

3Kaffe m (afttttelpunft einer l^omogenen Sugel oon ber SKaffe m) bargefteHt
burd^

a. m ' -^ ' qb für einen materiellen 5ßunft im 3nnem ber Srbe

b. m • — • pb für einen materiellen ^un!t im Sluftenraum ber Erbe

|2

c. m . gs, für einen materiellen 5ßunft an ber Oberflöd^e (9 = IS),

S)ie aSefd^IeunigungsaBeglinien ber giguren 102 unb 103 ftcHen biefe
Äraft f ür m = 1 unmittelbar bar, fte gelten in bie cntfpred^enben Äraft«
SBeglinien für bie 3Kaffe m über, menn il^re Drbinatcn im aSer^öItniffe m : 1
oerönbert merben.

®ie bort entmideltcn ©leid^ungen für t?« gelten bur(§ äRuItipIifation mit
m bejm. über in

a. \mv^ — X = ^??^(p^2 _ ^2) für Q,<Rmh Q< B,

b. \mv^ — \vnv^ =^ mguB^i ) für Qq> B unb q ^ B,

möl^renb btxn gaUe c bie frül^er entmidelte ©leid^ung (@. 252)

entfprid^t, in meld^er h eine ©ebung ober ©enlung in ber SRöl^e ber Erb*
Oberfläche Bebeutet.

^aä) ber allgemeinen Setrad^tung auf @. 247 fteHt bie redete ©eite
biefer gormein ben SBert ber Slrbeit bar, meld^er ben Übergängen 0,..^
ober ^ . . . entfprid^t. S8 liegt l^ier ber gall oor, in htm fid^ biefe 3lrbeit
in ber gorm —(ü—Uo) barf teilen läfet, unb amar fo, ba^ U, abgefel^en
oon ffionftanten, nur oon ber gur ^zxi t oorl^anbenen Stellung beS materiellen
5ßun!te8 3U ben mit il^m in gegenfeitiger Sinmirfung ftel^enben 3Kaffen,
b. ^, f)xtx oon Q abl^ängt. 3Kan l^at nömlid^ für E == ^mv^ unb

a. für +cr=--|^92:

unb b. für — U

E — Eo = —(U— üo)
mgnB^

E- Eo = —(U— Uo\
b. f), in beiben gäHen:

E -\- U = Eq -\- Uq = canstans,

$ier ift alfo ein Potential U oorl^anben, fo ba^ bie ©umme ber fßt^
megungSenergie E unb ber ©pannungSenergie U ju jeber Qext einen fon*
ftanten SBert bel^ält.

3n beiben gäHen l^ängt baS Potential nur oon q ah, fo ba^ bie SRioeau*
flöd^en l^ier Äugelfläd^en ftnb, beren 3KitteIpunft ba^ Kentrum ber Erbe ift.

1282 Sioelter TOfd^nitt. [3.

®a btc Slrbctt bcS Überganges ... * ober ^ . . . l^ier atö ©tffercna
ier 5JJotenttaIn)erte für unb t ober für ^ unb erfd^eint, fo tft baB
^Potential felbft, tote a\xä) bie ®itnenfton beS SluSbrudCg jeigt, afö Slrbeit
itnaufel^en.

Utn btefe 3lrbeit gu vexan\ä)anlxä)tn , l^at man nur Uq =^ gu fegen,
toag bei a. für Qo = unb bei b. für Qq = co eintritt.

3m gaUe a. beaeid^net ba^ 5ßotentiaI für q ben SBert ber 8Irbett, raeld^e
t)etn Übergange ootn 3KitteIpunIte ber Krbe big jur ©teile q entfprid^t, ober
betn umgefcl^rten Übergange.

3tn gaUe b. beaeid^net ba^ 5ßotentiaI für q ben SBert ber 3lrbeit, njeld^e
beut Übergange oon ber ©teile q big inS Unenblid^e entfprid^t, ober btm
ittngeiel^rten Übergange.

®a e§ fid^ um eine Slnaiel^ung l^anbelt, fo entfprid^t bie 3lrbeit im
©inne ber ffiraft, meldtje atö pofitio bejeid^net merben foHte, ber S5e:=
Toegung gum ßrbmittelpunit ^in.

3m gaHe a. ift U pofitio, fo ba^ l^ier ba^ 5ßotentiaI bem Übergange
t)on ber ©teße q big jum Erbmittelpunft entfprid^t; im gatte b. ift U
negatio, fo ba^ l^ier ba^ 5ßotentiaI bem Übergange oon ber ©teile q big ing
Unettblid^e entfprid^t.

gü^rt man bie ffionftante k beg Jßemtonfd^en (Sefegeg ein, fo gilt für
ben 3Iuftenraum ber Srbe, beren 3Kaffe mieber burd^ m^ bejeid^net merben

mag, ba Tc = — -^ ift,

*^* hme . m

itnb btmxiaä) attgemein für Slnatel^ungen nad^ btm Stemtonfd^en ©efege
(bei S3efd^rön!ung auf ben 3lufeenraum):

U=-^J!li^

SBiH man für bag 3nnere ber Krbe eine öl^ttlid^e gormel geminnen, fo

1 n

muft man h' = — - — einfül^ren; man erl^ält bann:

ü = -^^h'me . m , Q^
atnb btmnaä) attgemein:

ü= +^1c'm^m2 . Q^ 89)

9Kan bemerlt leidet, ba'j^ bie SIbleitung oon U für g im gmetten galle
ben SBert ber ffiraft h' m^m^Q giebt, bagfelbe gilt aud^ im erften gatte, ba

bie 3lbleitung oon — = q-^ ben SBert — q-^ l^at.

S)ie aSebeutung ber 3lblettung beftanb barin, bie ©ifferen^ ber SBerte einer
^unftion für q' unb q ju ber ©ifferenj oon q' unb g felbft ing SSerl^öItnig
3U fegen unb gegebenenfaUg ben Orenamert biefeg SSerl^öItniffeg ju beftimmen.

$ier l^at man alfo:

S)ur<fif(^nitt8lrttft = ^ ^otentialbtfferena

Slnberung ber Entfernung oom ßentrum

3.] 9lnn)enbungen ber ße^re com materiellen spuntte. 283

®agfeI6e ©rgcBntg jctgt aud^ unmittelbar bie grapl^ifd^e S)arfteIIung ber
giguren 102 unb 103, meldte a\x^ bartl^ut, ba^ bie Sraft felBft atö ber
©ren^mert obigen äJerl^öItntffeS erfd^eint.

S)te8 mirb von Sebeutung, menn man nöd^ bie Slioeaufläd^en für bie
fieoBad^teten 5ßotentiaIe ]^eran3ie]^t.

Slllgemein gilt l^ier föIgenbeS:

S)a E + ü = constans ift, fo entfprid^t jeber SRioeauflöd^e (Äugelflöd^e
«m ben Srbmittelpunit) ein Beftimmteg E, b. f). eine Beftimmte ©efd^minbig*
•lett. Semegt fid^ alfo ber materiette 5ßun!t in einer Sftineauflad^e, fo änbert
fidö feine ©efd^minbigfeit burd^ bie gu ü geljörtge Äraft nid^t; biefe leiftet
alfo Bei biefer Semegung leine 3lrBeit unb fielet bemnad^ fenlred^t 3ur SSol^n,
1). f). fenlred^t 3ur Slioeaufläd^e. giel^t man t)on einer SRioeauflöd^e, fenlred^t
3U biefer, au einer Benad^Barten Slioeauflad^e ein ßinienelement u. f. f., fo ift
iie U entfpred^enbe Sraft ftet^ Xangente an bie entftel^enbe Sal^n, meldte
beS^alB Äraftlinie ^ei^t.

(Sel^t ber materielle 5ßunlt oon einer Stioeaupd^e (üi) au einer anberen
{U2) üBer, fo ift bie SlrBeitSIeiftung für biefen ÜBergang ftetS biefelBe, ba
El — E2 = ^ (JJi — Ü2) ift, b. f). fte ift unaBffängig oon bem
SBege, fo ba^ biefer SBeg 3. 33. aud^ burd^ ben SBeg auf einer flraftlinie
^mifd^en U^ unb U^ erfefet merben lann.

3ebem 5ßunlte P beg SftaumeS entfprid^t alfo l^ier ein Beftimmter SBert
beS ^otentiafö, unb bie 8IrBeit8leiftung für einen ÜBergang auf irgenb einem
SBege oon Pi nad^ Pg l^öngt nur oon btn 5ßotenttaImerten in Pi unb P2 aB.

3n unfercm gaUe finb bie Jlioeaufläd^en , meldte für ein lonftanteS g
»SBenen (oergl. @. 252) maren, concentrifd^e Sugelflödöen, bie Äraftlinien alfo
©tral^fen (Oerabe) aug bem Kentrum.

3Kan lann bie Beiben Potentiale, meldte l^ier Bel^anbelt mürben, natürlid^
«aud^ in grapl^ifd^er ©arftellung unmittelBar oeranf(|auIidöen, inbem man q
auf ber SIBfciffenad^fe unb U alS Drbinaten ba3u auftrögt. ®aBei erfföft man
für ba^ Potential ber inneren 5ßunfte eine 5ßaraBeI, für ba^ 5ßotentiaI ber
äußeren 5ßun!te eine gleid^feitige ©gperBel.

SBenn bie Äraf t ber gegenf eitigen Sinmirlung ameier materieller 5ßun!te,
aBgefel^en oon Äonftanten, nur oon ber Entfernung q aBl^öngt, fo ift üBrigeng
ftetg ein 5ßotentiaI oorl^anben unb amar gieBt beffen SlBIeitung naäj g ftetg
bie entfpred^enbe Äraft. äRan meift bieg, entfpred^enb bem SSerfal^ren für
gig. 102 unb 103, nad^, inbem man für ganse pofitioe n bie Sefd^Ieunigung

G . p^ unb bie SSefd^feunigung C Bel^anbelt, momit aud^ bie grage für

iie aSefd^Ieunigung:

^ '••+ ?3 + S + ^ + ^ + ^1^ + ^2 9^ + 039« + ... CnQ-

für ein enblid^eg m unb n erlebigt ift.

aSon biefem ßrgeBniffe aug mufe man ben ÜBergang 3U entfpred^enben
HJotenareil^en (mit unenblid^soielen ©liebem) BemerffteHigen.

S)ie Seaiel^ung biefer Setrqd^tungen 3U ben ßentralBemegungen,

284 3n>ßiter «Bfriftnitt. [4. u..5.

ßei njeld^cn btc Scfd^Icumgung oöh btm 3lBftanbe bcS Betocglid^en 5ßunftcS
oom ßentrum oBl^ängt, tft crft(^tli(§.

4. ®tc @nei:(|te bcr ©efd^offe. StuS ber 8luffd^Iaggef(^n)inbtg!eit v
am gtcle Z fö^t fi^ bei äJernad^Iöffigung bcS 2uftn)ibcrftanbe§ bte Sncrgtc
cineg ©cfd^offcS ol^ne raettercS nad^ ^^^ %ovtml J w v^ bcted^ncn. SJct Se«
rüdftdötigung bicfcS SBtbcrftanbeg mufe btc ffionftantc fc bcr gormein auf
®. 164 u. f. ctngcfül^rt merbcn. g^i^ P^ 0^^^ erfal^rungSmöftig ber 9Infa^:

]/LJL.±

in mefd^em F bm größten Duerfd^mtt beS bemegtcn Sörperg, fenfred^t 3ur
3K(§tung ber SJemegung, G beffen ©cmid^t unb g eine oon ber gorm ber
Dberflöd^e abl^ängige Äonftante be^eic^net, m&l^renb 8 ba^ (Semid^t t)on
1 cbm beS miberftefienben 3Ktttetö barftcHt.

gür Äugeln ift g = 0,5.

gür 2uft lann man im äftitel d = 1,29 fe^en.

3lu8 ber SlnfangSgcfd^minbigleit c Bered^net fid^ Beim fenlred^ten ©d^uffe
nad^ oben bie Sluffd^Iaggefd^minbigleit nad^ ber gormef:

V

yi + c^h

gür bie S)auer bcS gaßeS oom pd^ften fünfte gilt bie gormef:

1 , , 1 + vjk
^= log nat. ■ ^=r.

2g\k 1 — i; Vä;

Seim rafanten ©d^uffe ift, für x al8 ©origontalftredEe

3U fegen.

5. 3)te ^armonift^e @(^ttiingung Bei tonftantet SBelaftnitg in Ottc^«
tnn^ ber Schwingungen. S)ie S3ef d^f eunigung , meldte ber l^armonifd^en
©d^mingung entfprid^t, l^atte (oergl. ©. 173) ben SBert j = —h . x, \o ba^
fid^ bie entfpredEjenbe Äraft für einen fdEimingenbcn materießen 5ßunft oon
ber 9Kaffe m afö — h . m , x barfteHt. 3ft aufterbem in ber Sftid^tung bcr
©d^mingungen ba^ ©emid^t ber 3Kaffc m ober eine anbere lonftante ftraft K
3U BerüdCfid^tigen, fo ift in gig. 153 für OP = x bie Äraft

— kmx -\- K

einaufül^rcn, meld&e an ber ©tcHc x = — - ben SBert Bat. Stimmt man

mk

^unlt 0', ber oom 3KitteIpun!t ber unbclafteten ©dEjmingung ben SlBftanb
-^ l^at, afö neuen ärtittefpunft, fo ift für 0'P = x':

X = OP = 0' + x' = ^ + x'

mk

6-1 Stnmenbungen bet SeJ^tt Dom mafetieHen ißuntte. 2Ö5

unb bemgemüS ift bie Braft

— hmx -\- K^ — K — ktnx' -\- K ^ —limx'.
Siemnoc^ entfte^t unter bem ffitnflufje her Äraft K eine ©c^roingunß,
xozXi^ mit bei; gegebenen ®(f|n)ingung genau übeietnftimmt , nur ift i^r
Snittelpunft 0' gegen ben früheren SDlittelpuntt um bie ©ttede —^ oers

ft^oben.

SMefe Sßettflc^tunß gilt oielfoi^ für elöftift^e ©cfiroingungen , 6ei benen
bie ajiaffe beS fc^ioingenben ftÖrperS gegenü&er ber angetjöngten ®Blaftung
oemac^iafftgt nietben lann.

gifl. 153. gig. 154.

6. 3iie Stntttfngallia^n. Sine Bügel beroege fic^, roie Dfig. 154 an=
beutet, in einet gefcugenen 9tö[|re Don A ü6er C unb ^ nacö unb oon
übet M unb IT nacfi B unb jirar unter ber Sßorau8fe§ung, ba^ ber mittlere
Xeit ber SRö^re Ireißförmig gebogen ift. SS ift ber ^roaaQ Z für bie Safin
beS fflugelmittctpuntteä au unterfuc^en, falls oon bem Sinftuffe ber Dieibung
abgefc^en roirb. S^i^'sgt man boS öeroii^l ber Bugel narf) 3;angente unb
Sftotmole ber iBa^n i^reS WittelpunlteS, fo fteHt bie iJiormalfomponente ftetS
ben £inid( auf bie Slö^re bar, ben biefe buri^ i^re SReaftion oufjufieben ^at.
SJenft man f«^ bie SRöfite fen£re(^t jur Gbene ber ^fii^nung 'n ber Sßa^n
beS ÄuflelmittetpunIteS 3erfct)nitten , fo !ann mon ben einen Seil bie äußere,
ben anbeten bie innere 31öf)ren^aifte nennen. 3Iuf bet ßinie A UN unb bann
roiebet auf ber ßinie MUB f|at bie öuftete 91ö^ren£)älfte bie DIotmaHorapoB
nente beS ©eniii^tS gu übeminben, auf ber Stnie NOM fiat baS bagegen
bie innere SHöfirentiälfte gu t^un, folIS bie Äuget on jfiber Stelle
ber Sa^n rufienb gebac^t rairb. S)a bie Äuget tbatfä^Iti^ in See
megung ift, fo ^at i^r bie 9iöfire, unb amar lebiglicti bur^ bie fluftere ©ßlfte,
aufierbem bie nötige Kenttipetolbefc^leunigung ju liefern, ©emgcmßft ift bet

286 Swtittx ?lbfd6nitt. [6.

QxoanQ bcr SRöl^rc, abgcfc^en oön bcr ßinic NOM, für aCc Stellen leidet gu
6eftttnmen. 3luf ber ßinie NOM toürbe bte innere ©älfte ber Sftöl^re burd^
tl^re Sfteaftbn bie 5ftorntaIfontpönente beS @en)id^tg ber rul^enben ftugel auf^
l^efien, raöl^renb für bie bett)cgte Sugel bie öufecre ©älfte bercn EentripetaU
Bcfd^Ieunigung gu liefern l^at. SS frogt fi(§, n)ef(§e SJeaiel^ungen l^ier für bie
ol^ne SReibung fid^ Beraegenbe Äugel tl^atföd^Iid^ auftreten. Saju Betrad^ten
rair bie Äugel in ber Stellung P, n)eIdE)e gegen bie Stellung N um
2i PCN= 6 abweidet. $ier gilt:

L^J = f^ + f*^ ^ ^*** ^^•

®a aße ju betrod^tenben Äröfte in berfelben (Seroben C Q liegen, fo gilt^
wenn bie Sftid^tung QG atö pofttit) angenommen u)irb, aud^

= Z + mg sin 6,

b. 1^. man l^at Z = mgsins unb graar fteDt Z bei pofittnem SBor^

aeid^en eine Äraft bar, bie non ber öu^eren ©ölfte, bei negativem SSoracid^en
eine Äraft bar, bie non ber inneren ©ölfte ber Sftöl^re auSgel^t. SBirb bie
®efd^n)inbigfeit in P burd^ v begeid^net, fo gilt, wenn bie ®efd|nnnbiglett in
A ben aBert l^at:

iwt;2 _ 1 ^02 = Arbeit für AUNP.

SHe 8lrbett ber ©ffeltiohaft, u)eld^e bie Sftefultante oon Äugelgeraid^t unb
8n)ang ift, ift ^ier gleid^ ber Slrbeit bcg Shtgelgeraid^teg, ha ber Sraang ftet^
fenlred^t jur ^Jal^n fielet unb alfo !eine Slrbeit leiftet. SHefe Slrbett entfpridöt
ber ©cnlung oon P gegen A, ujcld^e a -\- y betrögt, fo ho!^ alfo gilt:

\mv^ = mg(a -\- y),

gür y = r — rsins erl^ött man:

v^ = 2g (a -\- r — r sin e)
unb bemnad^:

Z = 2mg ( h 1 — -^ sinsy

©oH nun Z ftetS pofttio fein, fo mu^ für ben größten SBert oon sin e

gelten, b. 1^. man l^at:

7 + 1 > 2 ^^'^ 7 > 2 ^^"^ "* > 2 •
3ft alfo bie Sftöl^re fo lonftruiert, ba'^ a>j ift, fo ift Z ftetS pofitto,

b. ^. in ber 3lid^tung QG gelegen, fo ba"^ in biefem galle bie äußere
§älfte ber SRöl^re allein ben 8^^"Ö ßuSübt.

3n biefem gaUe !ann man bie innere ©ölfte ber Sftöl^re ganj fort*

7.]

Slntocnbungen bcr ße^re com materiellen Spunfte.

287

nel^men. ©rfcfet man bic äußere ©ölfte bur(§ einen cntfpred^enb gebogenen.
Sled^ftretf en , fo entfielet bte (anä) atö ftinberfpielgeug) Befannte Eentrt*
fugalbol^n, bei ber ein SBagen aud^ ba^ »al^nftüd NO M burd^Iöuft, ol^ne
abjufaHen.

7^ 2)aö (£^tfotbciH)cnbcK Um bte ©d^mtngung (nergl. gig. 155) auf
ber ßglfotbe gu unterfud^en, f)at man ben SBert non [jt] für eine beftimmte.

Stellung P beS ma*
terieöen $un!teS mit
ber ßänge beS SogenS
SP 3U oergleidö^n
(nergl. ©. 176), ber
ben ttefften $un!t S
ber eqHoibe (9lui)e*
läge) mit P nerbinbet.
3ft bie Sage beg er^
jeugenben flreifeg für
P bmä) ben SßäU
gung^minlel s be^
ftimmt, fo bilbet [g]
in P mit ber San*

gente ben SBinfel ^z

gig. 155.

fo ba'^
[h] = [

g cos

ift. Um iSP 3U be*
ftimmen, benfen mir unS bie ßglfoibe burd^ ein gleid^förmigeS SlbroHen
beS erjeugenben ÄreifeS beftimmt, fo ba^ s ber Qtxi t proportional {p) ift.
3ft bie ©teHung beg eraeugenben iheifeg jur ^txi t burdE) b unb jur Seit
*" =:^ # + r burd^ e" beftimmt, fo lä^t fid^ ber entfpred^enbe, in ber geit r

erzeugte Sogen PP" für Umx = aK ein ÄreiSbogen auS btxa 3Kittet
punite be§ ffirümmung§!reife§ auffaffen. S)ie SRormalen oon P unb P'' bilben

mit ben SSertifalen begm. bie SBinfel 90o

SBinlel jmif d^en bief en Sftormalen — g — = - — ^ = i P ^^ ift- ® <^ ^^^

3KitteIpunIt beg ÄrümmungS!reife8 ber ©d^nittpunlt benad^barter SRormafen ift,..

fo ift limPP'' ein flreiSbogen mit btm Sftabiug (> = 2PJf=4rsm —

pt
= irsin^ oom Kentrum8min!el ^pr für 7m r = 0. S)emgemäfe ift bie-

SraeugungSgefd^minbigleit w ber ßgfloibe beftimmt atö

1 unb 900 — ^, fo ba^ ber

i<?

= lifn[^] =

4r ' ^ ' striY'

288 3«)eiter 8IBfd)nttt. [7.

S)cmna(§ tft bte jugel^örige ©tcHungSgleid^ung (oergl. ©. 73):

s == Äönftantc — ircos^*

S)a für t = 0, falls man bte Stcßung in J. ju jöl^Ieti beginnt, s =

ift/ \o gilt:

= flonftante — 4 r ober Äonftante = 4 r,
b. 1^. man l^at:

s = AP = 4tr — 4trcos^-

-l = ^ = 90o = l:r.

S)araug folgt J.iS = 4:rfür£=i)^ = ISOo = 7t, b. 5. für:

£ pt

2" """2
b. 5. man l^at:

PiS = ^S— ÄP= 4trcos'^ = 4trcos-^'

aSerfuc^t man ben 8Infag

jj.= —]c, SP,
fo erl^ölt man:

b. 5. JT ift in aller Strenge au SP proportional.
3Iu8 Je = -ß- folgt ol^ne meitereS (oergl. ©. 174):

Seaeid^net man bie (SefdEiminbigfeit beg materiellen 5ßunfte8 in P mit
V., fo gilt für ben 8 mang [Z] ber Sal^n, falls feine SReibung oor^anben ift:

Z = h m g stn —

Q »2

unb amar l^at [Z] bie SftidEjtung PM.

aSeginnt bie a3emegung in Ä, fo ift bie Oefd^minbigfeit «; in P Beftimmt
burd^ bie gormel

\mv^ — = SIrbeit für AP.

S)a ber S^^ong ber 33af|n gu biefer fen!re(§t ftel^t unb alfo leine Slrbett
leiftet, fo ift nur bie Slrbeit oon m g für bie ©en!ung h oon A nad^ P in
3led^nung au fteCen, b. ^. man \)ai:

8

^mv^ = mgh = mg , P Msin — •
S)emnad^ ift:

£

2 mq , PM , sin ^

z=z mg sm —

Q 2PM ^ 2

7.] SlntDenbungen gur Se^vt oom mattiitüttt $unlte. 289

unb

Z = 2mg sin Y'

gut st« "ö" tann miin ouc^ yö~ f*6™-

gür sfrt-|- = 1, b. ^. für e = 180" im $unlte S t|Qt Z fem
SItaEimum.

beginnt bie SBeroegung in 4', fo gilt für P:
lmv^ = mg(h — h')

unb

Z = 2n,g(sin-I--

V2rÄ '

b. ^. flu(^ jeSt ^ot 2 fein aHoEimum in S.

S)ieS gilt fßi @(^tvingungen einer ßuget in einer ct)fIoibifc^en Mmtt
ober .für eine bun^öo^ute ftugel auf einem cgttoibif ^ = gäogenen Sca^te.
bei SJemai^IflTfigung jeber SReibung.

3Iu|etbem (nnn man m^ gabenpenbet Ipnftruieren , für melä)t ber
anittelpunlt bei SuQti auf einer Spfloibe fäiroingt. @S berul|t bieS auf ber
gifl. 156.

BemertenSroeiten Sigenfc^flft ber ßqfloibe, baft ber georaetrifc^e Ort i^rer
Srflmnumggmittetpunfte roieberum eine 6t)(Ioibe ift, roie eS gig. 156 aeigt,
in nwli^er ber Ärei§ unterhalb ber ©traben MN bie Eqfloibe A SC erjeugt,

SBerniife. rniefianlt. I- 19

290 Sweiter 8lbfd6nitt. [7.

bercn flrümmungSmittcIpunlte bann bic ßglloibc AB'C bilben, für vozl6)t
M'N' bic feftc ^olha^n ift (11' = 2 . 1 1, 22' = 2 . 2 II u. f. xo,).

fjä^t man ^'S = 4r atö ein gabenpenbel auf, fo xüxdtlt fid^ beffcn
^obm Bei einer ©d^roingung nadE) linfö ftetig auf ber EgHoibe B'Ä auf,
njöl^renb ber 3KitteIpun!t ber flugel bie Egllotbe S Ä 6efd^reibt.

Jlennt man ben geometrifd^en Ort ber flrümmungSmittelpunfte einer
Jluroe beren Koolute unb bie fluroe feI6ft in Segug auf biefe beren Kooloente,
fo löftt fid^ bie Soöloente ftetS barfteHen burd^ ein berartigeg SIufmidEeln eine§
gabenS auf bie Soölute, nur finb im aßgemeinen Soölute unb (Sootoente
l^öd^ft üerfd^iebene fluroen.

Um biefen (3eban!en praltifc^ auS3ufü^ren, i}ai man ein gabenpenbel
jmifd^en gmei ct)IinbrifdE)en SSadEen oam Schnitte B'Ä nnb B' C aufäul^öngen,
mie eS gig. 156 anbeutet.

SBeil bie Seit für bie ©d^mingungen auf ber ßgflotbe vom 3lu8fd^Iage
SP üöttig unabl^öngig ift, ma§ Beim Äreigpenbel nur angenöl^ert für ge^
ringe 3lu8f daläge gilt, fo mirb jeber Sogen PiS in berfelBen ßeit burd^Iaufen^
falls bie (Sefd^minbigfeit in P ben SBert l^at. SJlan nennt beSl^alB biefe
©d^mingungen ifod^ron (oon gleid^r g^itbauer) unb beaeid^net bie ßt)!Ioibe
felBft afö S^autodEjrone (ßinie gleid^cr goögeit). Unter allen eBenen Suroen
ift bie ßt)!Ioibe bie einzige 2^auto(|rone ; midfeft man beren Sbene auf
©glinber auf, fo entftel^en gemunbene 2iautod^ronen. (Sine anbere BemerlenS*
merte SigcnfdEiaft ber ßtjlloibe folgt nod^ au§ bzm 3Iu§brudEe für i^re @t^

jeugungSgefd^minbigfeit [w], ba biefe mit ben äJertifalen ben SBinlel -^

Bilbet unb ben SBert 2rp sin -^ l^at. SSetrad^tet man nömlid^ brei Bcnad^:*

Borte fünfte P'PP" ber eqüoibe in erfter atnnä^erung, fo finb P' P unb

«Ig -^57 PP" proportional gu ben ©efdEinrinbig:*

leiten w . unb w" in P unb P", unb
bemnad^ entfprid^t bie (Sleid^ung:

p' p '''' T

PP'' . €"

sin-^

bem Sred^ungSgefege beS ßid^teg, mie
gig. 157 aeigt, Bei \mti ÜBergange auS

^ einem 3Kebium, für ba% bie ©efd^minbigs:

feit be§ ßic^teg w ift, au einem äßcbium,
für bci% bie ©efd^minbigfeit beS ßi^teg w" ift. SBenn fid^ olfo in einem
3Kebium bie (SefdEjminbigleit beS ßid^teS fenfred^t gu einer Ebene proportional
ju w änbert, fo finb bie Salinen be§ oon einem leudEjtenben 5ßunfte jener SBene
auSgel^enben ßic^teg Eglloiben, beren Ebenen auf jener Ebene fenlredEjt ftel^en.
®a nun für ba^ ßid^t ba% 5ßrincip ber fd^neflften 3lnfunft gilt,
monad^ bie tl^atf ödEjIid^e oorl^anbene SSal^n beS ßid^teS oon einem
5ßunfte 3u einem anberen unter allen amifd^en il^nen benIBarcn

7.]

Slnrocnbunöen gut Seigre odm materiellen SPunlte.

291

Salinen bte jeringfte gett Beemfpritc^t ; fd loirb bie KtjÄoibe bei ber qz^
gebencn ©efdgnrfnbtgfeit w^ raf(ä^er burd^teufert ^ aB irgenb eine anbete ßtnte
(einf d^Itefettc]^ ber ©eraben) , ' bte man jmifd^en arteten il^rer $ßunlte geid^nen
lann.

S)a nun aber bie SrgeugungSaefd^mtnbi&Ieit w ber ßqllöibe ^proportional
ift 3U ber ®ef(f)mtnbtgfeit v, mit ber ein fd^merer ^unft auS ber Sftuljefage
auf i^r faßt, \o gilt biefe SctradEitung auc^ für ben gatt auf ber EgHoibe,
b. f). ein ^un!t föDt auf ber KgKoibe twn einer ©teile Pi ju einer ©teße Pj
raf^er, atö menn man Pi unb Pa burd^ irgenb eine anbere ßinie oerbinbet.
goßt ber $ßunft auf ber ßglloibe (oergl. gig. 155) au§ ber Sftul^elage Ä nad^
P, fo l^at er in P bie ®efc^n)inbtgfett -

V = '^2gh = y2g .P M sin -|- = 2 V^ . sin y,

fo bafe w; = «; ift für 2rp = 2 V^, b. §. für i? = l/|.

3Jlan nennt bte Stjfloibe megen ber entmidEeften Kigenfd^aft a5rad^t|5=
ftod^rone (ßinie ber lürgeften gaUa^it).

äßtll man biefe ©igenfd^aft ableiten, öl^ne fic^ auf bie ßid^tbemegung gu
be^iel^en, fo lann man fölgenbermaften oerf al^ren. 3n brei benad^batten 5ßunlt€n
P\ P, P" einer
Äurt)e(t)gL3ig.l68) m- ^^^

fei bie @ef d^minbigf eit
eineg auf il^faHenben
$unlte§ beam. v', v, v*',
fo ha^ in aW^Her
8Innäl^erung . ■

P'P= — - — r

unb
PP" =

2

ift. Sür

t;

unb

V + v"

V

.,,.-;?',

P'

v'

X

\

\ ' \q'

V

Pl>#\

1 ^ ^s^ ^s^

1 ^Sw N.

^

^^^^^^

V

x"

^^<l

V*

P"

ift alfo bie S^it, meldte ba^ Surc^taufen oon P'PP" erforbert,

; p'p pp"

—^ h ~^ —

V V

®iebt man P' unb P" bte feften Äoorbinaten x' unb x" unb P bie
oeränberlidEie Äoorbinate x, fo ift biefe Qzxt eine g^nltion t)on iP, bie fid^ für
limr = leidet al§ /(ic) beftimmen la^t, maS aber nid^t erforberfid^ ift.

S)a für ben freien ^ati bie Jlioeauflöc^en l^oriaontal liegen, fo gilt für
eine anbere Äuroe, meldte burdE) P', Q, P" gel^t, baSfelbe ©r)ftem ber ®e^

19*

292

Sroetter SlBfc^nttt.

[8.

fd^ratnbigicitcn, fattS fie ftatt ber crftcn unter fonft gIctdEien Umftönben bic
Sal^n eitieS faHcnben matertcHcn ^unftcg tft. ®ie 3ßtt, raeld^e auf biefer
fluroe für bic ^af^xi P'QP'' nötig tft, ^at für P^ = I i^en SBert /(Ä^+i),
bcm aud§ ber 3lu§brn(f

P^ ^'

gegeben raerben fann.

©oII biefe Seit ein 3Jlinintum fein, fo mu^ bie 8l6Ieitung oon f(x) t)er*
fd^minben, b. f). e§ mufe

,.^r/(^ + g)-/(x)i^

fein, ©er SluSbrud in ber Älammer f)at bie ©eftalt

F'Q — P'F _ PP^^ — QP"
v.PQ v.PQ

unb nimmt für P' Q' = P' P unb P" Ö" = P" ^ an ber ©renae bie gorm

^g^ PQ" _ sinÖ_ _ sin S"

v.PQ v.PQ^v

an. S)emgemö^ gi(t für bie Orenge lim | == :

V

V

stn

S" '

b. 1^. baS gefud^te 3Jlinimum tritt ein, menn ber Oefd^minbigfeitSmert ftetS bem
©inug gmifd^en Süangente unb SSertüale proportional ift, b. f). für bie ©glloibe.

8* 5)cr ©d^ttiungfugelregulator. 3n gig. 159 fteHe OX eine
S)re]^ung8adE)fe unb ON bie SffHtteflinie eineS geraben, mit ber 8Id^fe feft oer*

gig. 159.

Bunbenen ©ral^teS bar, meld^er bem 3JlitteIpunfte einer ffiugel oon ber aitaffe
m al§ gül^rung bient. S§ ift ju unterfud^en, unter meldten SSebingungen

8.]

Slntücnbungen jur ßei^re vom materiellen Spunfte.

293

bte flugel für eine 6cftimmtc aßinlelgefdEirainbtgfett y relatto gur gul^rung
in 9lul^e x\t, falls leine Sfteibung in grage lontmt. 3ft bie Äugel an ber
©teile P in relatioer Sftu^e, fo muft ber Sw^^^Ö ^^^ gü^rung einerfeitS bie
ßentripetalfraft myy^ liefern unb anberfeitS bag ©eraid^t mg aufgeben, fo

ba^ Z sin u r== myy^ unb Zcosa = mg unb bemnad^ ^ = -~ . ta7ig a

ift. S)emnad^ gicbt e8 nur eine ©teile, für raeldje ber flugelmtttelpunit in xt^
latioer Slu^e in ON bleibt. SBäd^ft y, fo u)äd^ft aud^ w? y y^ unb bemnad^
Z, fo baft Zcosa > m^ rairb, b, i), bie Äuget gleitet aufraärtg; nimmt y ab,
fo gleitet bie Äugel abmärtS.

©rfefet man bie (Serabe ON bnxäj eine ebene Äuroe (oergl. giö« l^ö),

in bercn Kbene bie ©rel^ungSad^fe liegt, fo ift n' = y cotg a = ~, b. ^, bie

©ubnormole für eine ©teile P erl^alt einen beftimmten SBert. gür ben
ftreiS ift 3. 39. bie igö^e h beS Sugelmittefpunfteg über gegeben alS

r — n' = r — ^^, fallS refatioe 3lu§e eintreten foU.

S)a bie 5ßarabel y^ = 2px bie !onftante ©ubnormale p f^at, fo ift

2/2 = 2 ^ a; bie ©leid^ung

einer 5ßarabel, auf ber
bie flugel an jcber
©teKe in relatioer Stulpe
ift.

SJladEit bie Jßarabel
n Umbrel^ungen in ber
aKinute, fo ift

gtg. 161.

y^ =

1790

n^

X

(für n = 40 ift 3. 33.

t/2 = 142 a;), b. ]^. bie

eine, h\xx6) biefe ©lei?

d^ung bargefteDte 5ßa*

rabel entfprid^t ber

S^ourengal^I n. S)a^ bie

$arabel bie entmidEefte

ßigenf d^aft l^at , lann

man aud^ folgenber*

moü^tn abfeiten. ©oH

bie Äugel auf einer

Äuroe an jeber ©teile in relatioer 3luf)e fein, fo erl^alten in ber Ofeid^ung

(oergl. ®. 265)

m [jr] — m [jg] ^m[Jf\\. m [fa]
bie (Sröfeen [>] unbTjd] ben 2Bert 0.

294 Smxttx m^^nitt [8.

2)a nun m[ja] bic SRefultattte aug [mg] unb [Z] x\t, roö^rcnb [J/] btc
fingierte Eentrifugalfraft oom SBerte myy^ barfteHt, fo ^erftören ft(| biefe
brei .fträfte gegenfeitig, il^re SlrbeitSleiftung für eine beliebige oirtueHe SBcr*:
rüdung ift alfö SftuH. SJenu^t man bag »a^nftüd OP atg oirtueHe SSa^n,
fo leiftet [Z] leine Slrbeit, ba e§ ftetS fenfred^t 3U ben Stementen oon P
ftel^t, unb eg mu^ alfo bic Summe ber 8lrBett ncn [m^f] unb [mj/] für OP
ofö aSa^n bcn SBert l^aben. S)ie 9trBctt t)on [w p] ift — mg x, ba eine
§ebung vom SBerte a; oorliegt; bie Slrbett Don [mJ}] ift + |my2y2^ ^eii
wi ^ t)on Big w y y2 joäd^ft unb bie Summe ber ^röjeltionen ber ©al^ns
elemente auf bie Äraftrtd^tung ben 3Bert y f)at, unb mcil bie SSerrüdungen
im ©inne ber ffiraft erfolgen.

3Kan l^at alfo:

— m g X + l m y^ Y^ = 0, b. J). y^ = 2-^x,

S)a eine Suget, meldte in ber parabplifd^en gül^rung für ein BeftimmteS
y in 9luf)e ift. Bei SSergröfterung oon y fteigt unb bei ber SSerKeinerung oon
y fmft, fo !ann man bicfeg Steigen unb ©inlen Benu^en, um bie Sre^ung
einer 3l4fe, meldte eine Beftimmte aBinfeIgef(§minbigIeit y fjobtn foll, gu
regufieren. Sei einer ®ampfmafd^ine 3. S. mu^ ba^ Steigen ber Äugel ben
Sutritt beg ©ampfeg l^emmen, bag Sinlen il^n erleid^tem. ®a in fold^n
gößen ber SelbftrcguUerung nur ein fel^r Heiner Sogen ber 5JJaraBeI be^^
f(^rie6en mirb, fo fann man biefen 5ßaraBeI6ogen burc^ einen flreigbogcn
erfegen, ber aug btm entfpred^enben flrümmunggmittelpunft ber ^arabel be*
fd^rieben ift.

ßiegt in gig. 161 (a. 0. S.) für P ber Srümmunggmittelpunit in C, fo mirb
für ben fÜjgierten Sftegulator bie gül^rung burd^ bie 5ßaraBeI üBerflüffig. SKan
l^at ^C^ C = PC sin a — y, moBei PC = q, a unb y burd^ bie $ßarabcl

y^ = 2—^x nxü> bie ßage oon P auf xf)x gegeben finb. $at man für eine

beftimmte SBinfelgefd^minbigleit y, meldte bie ©rel^ung l^aben fott, bie ent::
fprec^enbe 5ßarabel lonftruiert unb auf il^r bie Stelle P miHIürlic^ gemöl^It,
fo ift bamit G unb alfo a\x(^ bag ÄonftruftiongftüdE C G gegeben.

S)enlt man fid^ gig. 161 um 180^ gebrel^t, fo fann man bie $ßarabcl
alg bie Sal^n eineg in 0. entfpringenben ^origontalmurfeg oon ber ©efd^minbig^^
feit c anfe^en unb für biefe bie SßormalBefd^Ieunigung in P Beftimmen, um q
ju erl^alten. SKan finbet gunäd^ft a\x^ y = et unb x = \gt^ bie Oleid^ung

2 c^ Q

y^ = X, fo ba^ c = - ju fegen ift, bann v^ = c^ + g^t^ ^= c^ + 2 gx,

9 y

femer cos 00=- unb sinu=— = ^ unb fd&IteWid6 = — — Sgl. S. 170.

V V VC \ J y^ -> ^ gcosa

gig. 161 entfprid^t btn SIngaben n = 50, b. i). y ^ b, c ~ 2 — ,

sec

c^
p = — ~ 0,4 m. SBitt!ürIid^ gemäl^tt ift y = 0,Sm für bie Sftul^elage oon

P, ber aufeerbem x = 0,1125 entfprid^t, fo ba^ nun v^ ^ 6,25 unb
a ~ 360 62' unb q ^ 0,78 m mirb.

c

9.]

SlntDenbungcn äur ße^te com materiellen spunfte.

295

9^ ®ic Dtabtalturiiue« ©ine Äugcl foH bie Sftinnc .A J? ber l^ortgöntal
gelagerten Sd^eibe, bie giö- 162 barftellt, ol^ne Sfteibung burd^faufen, raal^renb
fi(§ bie ©d^etbe felbft mit ber lonftanten SBinfelgefd^rotnbigfeit y um eine
üertilale 3l(|je burd^ brel^t. K§ ift ber '^xoan^ für bie SSemegung bcS
SugelmittelpünfteS gu Beftimmen.

3ur 3^it ^ ^ög bie (abfolute) 2age ber Sftinne burd^ AB unb bie ßage
be§ ÄugelmittefpunfteS TT in Vyc, ber bie ©efd^minbigleit v l^aben mag, burd^
P bargeftettt merben. Snnerl^alb ber 3^^^ t . . ,t -^ t bemege fid^ W oon
P bis ^ in ber Sftinne, möl^renb btefe au§ ber (abföluten) ßage AB vx bie

giß. 162-

iü

Norm.

2vy

^-^^ P

Q

r;'2co8C Tang.
--> >

. N

(abfolute) ßage A' B' gelangt. %^x bie Sef d^Ieunigung [>] beS flugelmtttet
punlte§ in ber Sftinne gilt bann (oergl. ©. 265):

[ir] ^ ba] + [J/] + [J.].

S)a ba§ Oemid^t ber Äuget burd^ bie Sfteaftiön ber Unterlage ftetS auf»
gei)o6en mirb, fo !önnen mir eS aufeer Setrad^t laffen, fö hoü^ [jq\ allein
burd^ htxK S^tJang Z, ben bie 9löf)re in normaler SRic^tung ausübt, beftimmt
mirb. S)ie SSefd^feunigung ber SSerfd^iebung ber fjül^rung für bie 8^tt t ift
bie ßentripetalbefd^Ieunigung, bie gu bem Sogen PP' gel^ört, für Zimr = 0,
b. ^. r y^ fo ha^ affo [^>] =^ [r y^] ift unb bie Sftid^tung P §at. S)ie Se*

fdEjleunigung [jd] entfprid^t ber Semegung auf bem Sogen Q Q\ fie l^at ben

SBert 2vy unb bie SRid^tung oon Q Q' für lim r = 0.

296 grocüer 8lbfd6nüt. [9.

SBirb nun bic SRöl^rc AB bei J. mit bcr ©efd^toitibtgfeit c betreten, fo
gilt für bie ©teilen A unb P:

Um bie rechte Seite auSaumerten, bebenlen mir, ba^ j I|ier bie tan*
gentialc ftomponente ber Slelatiobefd^Ieunigung [jr] bejeid^net, meiere bur(§
jy coss = r y2 cos 6 bargcfteUt mirb. gür Um r =^ entfprid^t alfo bem
»al^nftüd c P Q bag SRcd^ted P ö • r y2 ^ös « = ry^(PQ cos e). ®a nun,
mie gig. 162 geigt, PQcoss = P S '{üx limx = ift, fo lann biefeS
SRed^tedt aud^ atö ry2 . pjs bargcftellt merben. S)em SBege AB, oon bem
PC ein Seil ift, entfprid^t ber SBeg MN, oon bem PS ber entfprcd^enbe
Seil ift, fo ha^ bie gefud^te glöd^e getuomten mirb, menn man fenlred^t au
MN ßote oom SBerte rj y^ big aum SBerte r y^ aufträgt.

SS entfielet ein Xrapeg oom 3nl^alte

unb bemgemö^ ift

V = Vc2 + y2 (y^i _ ^2).

S)ie normale ftomponente ber SRetatiobefd^Ieunigung [>] ift für bie
©teile P einerfeitS — , falls bcr ftrümmunggrabiuS oon ^ 5 in P ben SBert q

l^at, möl^renb fie anberfeitS burd^ bic SSereinigung ber Slormallomponenten oon

[iG\ UA ""^ \Jä\ ßcBilbet merben lann. ©emnad^ gilt, falls Z nad^ biefer
Komponente gerid^tet ift:

— = ry^sine 4- 2vy.

9Kan l^at alfo:

/t;2 ^ \

Z = mi 1- ry^sin 6 — 2vy \

3luS ber Oeftalt ber Suroe A B folgt für ieben 5ßunlt P ber SBcrt oon
Q unb s, fo ba^ aud^ Z mit §ülfe oon v für jeben 5ßun!t oon AB beftimmt
ift. ®ie Sleaftion ber Sugel gegen bie SRöIire ftellt bie ©egeniraft Z oon Z
bor, fie liegt in ber Slid^tung p ü', menn Z bie Sftid^tung P ü l^at.

Solange Z pofitio ift, l^t eS bie Sftid^tung ber Eentripctalbefd^feunigung
ber Sftelatiobemegung, b \ bie SRid^tung P U, ber bann P Z7' für Z entfprtd^t,
fo ba^ in biefem gaHe bie l^intere SRöl^rcnmanb (im ©inne ber Semegung y)
übcrpfftg ift.

®rfe§t man bie gange SRöl^re bei pofitioem Z burd^ i^re SSorbcrmanb, fo
ftellt fie angenäl)ert eine ©d^aufel einer SRabialturbinc bar, für meldte bic
betrad^tete Äugel burd^ ein SBafferteild^en gu erfcfeen ift. ©oH alfo umgelel^rt
bie SRcaltion Z, b. % ber ®rudE beS SBafferS, meld^er bie treibenbe Äraft
bilbet, ftetS auf bie ©d^aufel mirfen, fo mu^ Z > fein.

aSerlöfet bie Sugel bie ©d^cibe bei B mit einer beftimmten StetatiD*
gefd^minbigleit [c'], fo ermäd^ft beren abfolute ©efd^minbigfeit [c«] auS [c'] unb
[r^y\ gür ben Eintritt bei A gilt Sntfpred^enbeS.

10.] Slntücnbungcn aur ßcl^rc oom materiellen Sßunfte. 297

10« 2)ie öftlifi^e Stbtticic^ung bei^ freien ^attej^. äBenn eine tugel
t)on bcr 3Jlaffe m in einer geraben fenlred^ten Slöl^re ol^nc SRetbung fäöt, fo
ift beren rclatioe Sal^n eine ®erabe, roäl^renb bie 3Id^fe ber SRöl^re felbft in^
folge ber Srbbrel^ung oon ber SBinlelgefc^njinbigleit o einen ftegelniantel
befd^reibt, ber bie Öffnung 90^ — ß l^at, raenn ber Ort ber Seobad^tung
bie aSrette ß l^at.

Serlegt man für ein (Element ber SRö^renad^fe bie SScmegung auf bem
Segelmantel in eine SSerfd^tebung unb in eine SDre^ung, fo ift 90® — ß ber
SBinlel ^mifd^en ®(emcnt unb ®re]^ungSad^fe, fo ba^ bie nad^ Dftcn gerid^tctc
aSefd^Ieunigung [ja] für bie ©efd^minbtgfeit w ben SBert

2 wo sin (900 — ß) = 2w (o cos ß
§at.

S)te aSefd^Ieunigung j/ ift 0, mcnn man ber Sftöl^re oon ooml^erein bie
SRid^tung ber beobad^teten ©rbfd^mere giebt.

®ö [ja] aus [g] unb ou§ bem QxvaxiQe ermäd^ft fo finb für bie Slelatio:«
bemegung, fenfeed^t jur relatioen Sal^n nur bie flröftc Z unb m[Jd\ oor*
l^anben.

S)a bie relattoe Sal^n gerabc ift, fo gilt:

Z = m [Tdl

b. ^. ber 3^ong beftel^t in einem ©rudte m[Jd] nad^ SBeften, htm afö
9teaItion ber S>rudt ber ftugel m [ja] nad^ Dftcn entfprid^t.

©emnad^ ift bie Seroegung ber flugcl, nad^ Sefeitigung ber Sftöl^re,
burd^ bie Sefd^leuntgungen [g] unb [ja] beftimmt.

gür [g] gilt v = gt unb s = -^ <^ fallg man g atö ftonftante be^^

trad^tet. Um au§ ja ='2wg) cos ß bie jugel^örigen SBerte oon v unb s
abzuleiten, müfete man bie ©efd^minbiglett w auf ber relatioen SSal^n
!ennen.

3nner]^alb ber gemöl^lten Slnnöl^erung , bei ber g atö Sonftante be*
trad^tet unb ber ßuftmiberftanb oemad^Iäffigt mirb, lann man w burd^ v
erfefeen.

Unter biefer SSoraugfegung ift

jd = 2 g o cos ß , t

unb bemnad^ ift bie jugel^örige ©efd^minbiglett gcjcos ß t^ unb ber ^n^

gel^örigc SBeg

a = l g G) cos ß P,

gür eine mäßige gafl^ö^e h ift P = —, fo ho!^

y

a = l(ocosß • h' 1/— 92)

ift.

®te berül^mten SSerfud^e im ©d^ad^te oon greiberg (^ = öl^) ergaben
für h = 158,5 m:

a = 0,0283 m.

298 groctter SJbfd^nttt. [10.

S)ie SRed^nung für ftc liefert Bei ber l^ier Qtw&fßtn Sttnnäl^erung :

a = 0,0276 m.

®er geringe Unterfd^ieb entfprid^t burd^auS ber 3lrt ber 3lnnäl^erung,
ba bie gaHgcit rocgen be§ ßuftroiberftanbeg t^atfäd^Iid^ größer tft al§ t in
unferer gomtcl, fo ha'$ bie SSerf ud^e al§ Seftötigung ber Sld^fenbrel^ung ber
®rbe gelten bürfen.

itirung^n jur l^lfr^ mm matnulitn funkte.

1. 8Iuf einen 5ßunlt roirfen teils na(^ berfelBen, tcitö nad^ ber gerabe
entgegengefe^ten SHd^tung bie Kräfte + 130 kg, — 50 kg, — 70 kg,
— 320 kg, + 75 kg, + 400 kg, beren SRefuItante ber (Sröfee unb Sftid^tung

nad^ Beftimmt werben foH.

B= + 165 kg.

2. .3Iuf einen ^unlt rairlen bie Äräfte oon 35 kg unb 87 kg unter

einem rechten SBinlel. S§ ift bie SRefuItante ber Orö^e unb Slid^tung nad)

3U beftimmen.

R = 93,77 kg.

680 5' mit ber Kraft von 35 kg.

3. ailan foH bie auf einen 5ßunlt mirifame Kraft non 120 kg in gmei
aufeinanber red^tminlelig ftel^enbe Kräfte 3erlegen, t)on benen

a bie eine gletd^ 75 kg fein mag,

b. bie eine einen SBinlel non 34« 7' 3" mit ber 9tefultantc bilben foH.

mit ber Kraft von 75 kg.

f 510 19' 3,75" ^ii
*• \ 93,65 kg.

^' 167,1

,343 kg an bem gegebenen SBinlel liegenb.
,306 kg.

4. Sluf einen 5ßunlt mirlen brci Kräfte gleid^ 35, 67 unb 98 kg, bie
nid^t in einer (^btnt liegen unb med^felfeitig aufeinanber red^tminlelig ftel^en.
ES ift bie (Sröfee unb SRic^tung ber 3flefultante ju beftimmen.

123,766 kg
730 34' 24"
570 13' 30"
370 38' 42"

5. 3Iuf einen 5ßunlt mirb ein S)rucf oon 550 kg ausgeübt, ber nad^
brei aufeinanber normalen SRid^tungen 3erlegt merben foE.

a. gmei ber Komponenten feien 100 unb 230 kg.

b. Sine ber Komponenten l^abe eine (Sröfee non 120 kg unb bie ge:=
gebene Kraft Bilbe mit einer jmeiten Komponente ben 3Bin!eI 15^6' 14".

300

3n)citcr SlBftJ&nttt

[6. — 7.

a.

c. SDic gegebene Kraft bilbe mit aroeien ber Komponenten bie SBinfel
870 13' 12" unb 54« 17' 8''.

489,49 kg

790 31' 27"

650 16' 49"
270 7' 43''.

120,00 kg mit 770 23' 51"

531,02 , , 150 6' 14"

[ 78,2 ^ , 810 49' 32"

360 23' 48".

445,7 kg
321,06 ^
26,676 ,

b.

(

c.

6» 8luf einen $unlt mirlen gmct Äräftc oon 115 unb 89 kg, bie mit*
einanbcr ben SBinfel 147o8'3" bilben.

a, SBie grofe ift bie SRefuItante ber Oröfee unb SRid^tung nac^?

b. aSie gro^ ift ber SBinfel, ben bie gegebenen Kräfte bilben, menn bie
SRefuItante gleid^ ber fleineren ober gleid^ ber größeren ber gegebenen
Kräfte merben foH?

f 62,865 kg, mit ber Komponente

*• joon 89 kg ben SBinfel 83o4' bilbenb.

(1300 14' 44"
^- ( 1120 45' 54".

7. ®ie Kraft oon 775 kg, an einem 5ßunfte mirffam, foH in jmei
©citenfräftc ^erlegt merben.

a. SBenn bie Komponenten mit ber gegebenen Kraft bie SBinfel
350 7' 11" unb 520 9' 8" j^ubcn.

b. SBenn eine ber Komponenten einen SBert oon 505 kg erl^alten unb
einen SBinfel oon 36o 8' 6" mit ber gegebenen Kraft bilben foH.

c. SBenn eine ber Komponenten gleid^ 600 kg genommen merben foH,
unb bie onbere nod^ gu beftimmenbe Komponente mit ber gegebenen Kraft
einen SBinfel oon 47oiO'll" bilben mufe.

d. SBenn bie beiben Komponenten ber ®rö^e nad^ gleid^ 462 unb
350 kg gegeben finb.

1 612,65 kg

I 446,34 ,

a.

1 472.7 kg
\ 390 2' 3".

1 718.8 ober
'• \ 610 28' 17"

334,8 kg
ober 240 9' 4".

d. SHe beiben Komponenten bilben bie SBinfel 3504' unb bie 3tefut
tante mit ber Kraft 462 kg ben SBinfel 15o 2' 18".

8. — 12J Übungen gut ßcl^re vom materiellen spunfte. 301

8* S)rei Sröfte von 32, 45 unb 50 kg foHen in einer ßbene fo an
einen 5ßunft gelegt werben, ba^ fie fid^ baS ©leid^gerotd^t l^olten. SBic gröfe
finb bie SBinfcI, roeld^e bie Sröfte mitetnonber Bilben?

®er SBinfel arotfd^cn 32 unb 45 = 100^59' 22"

32 ^ 50 = 1170 55' 58"
45 ^ 50 = 1410 4' 40".

9. S)ie ©untnte breier Sr&fte, bie in einer ®bene an einem 5ßunfte
mirffam finb unb ft(^ bag Oleid^gemid^t galten, tft 478,75 kg. ®ie Äröfte
mögen mitetnanber bie SBinfel

1470 19', 650 13', 147o 28'

bilben. SBeld^e ®rö^e ^at jebe ber Äröfte?

130,195 kg
129,66 ^
218,895 ^

10. ®S ift ein ffiretedt ABC gegeben. 3Kan foU innerhalb begfelben
ben $unlt X beftimmen, fo ba^ bie aSerbinbungSIinten XÄ, XB, XC ber
®rö^e unb ßagc nad| brei ßräftc barftcßen, bie fic^ on X ba^ Olcid^gemid^t
l^alten.

3ebe ber ©tredtcn mufe, DerWngcrt, 3JlitteIIime für ba^ ffireied merben.

11. Sluf einen 5ßun!t mirfen od^t Äräfte, bie im SRaume liegen unb ber
(Sröfee unb Sftid^tung nad^ in einem beliebig gemäl^ltcn red^tminfeligen So*
orbtnotenfgfteme gegeben finb. ߧ ift bie Oröfee unb SRid^tung berjenigen
Kraft 3u beftimmen, bie, an ben 5ßun!t oerfefet, ©leid^gemid^t l^eroorbringt.

Pi = 75 kg; «1= 630 27'; ft= 48o36'

«2 = 153044'; ^2 = 670 13'

«3 = 760 14'; ^3 = 147012'

«4 = 1150 7'; ß^ = 1370 9'

cc, = 760 3'; ß^= 350 3'

«ß = 1450 7'; .ße= 780 3'

C67 = 620 10'; ßj = 1490 8'

«3 = 123058'; ^s = 127056'

Pj = 80
F,= 95
P4 = 135
P5 = 670

^6= 37
P7 = 95

^2 =^ ftumpf,
^3 = ftumpf,
^4 = ftumpf,
y-o = fpt6,

n = fpie,

ys = ftumpf.

Ps = 140 ,

X = 2PC0SC6 = +24,393 kg; Y= IJPcosß = + 290,290 kg;

Z = UFcosy = + 221,295 kg.

B = 365,84; a = 860 10' 36"; ß = 37o29'14"; y = 52o46'43".

®te SRefultante ber Äröfte liegt im erften SRaumc, bie entgegengefegte
3tefultante alfo im ad^ten SRaume, unb bie SBinfel, meldte bie tegtere mit
ben 3Id^fcn bilbct, finb fömtlid^ ftumpf unb amar:

ä = 930 49' 24"; ß = 1420 30' 46"; y = 127o 13' 17'',

12* ®te Strebe eineg ®ad^binber^ übt in ber Sftid^tung il^rer 8Id^fe
auf eine ]^ori3ontale SKouer einen ®rudE Don 10000 kg au§, ber fic^ paraÖel

302

3n)citer SrBfd^nitt.

[13. — 15.

(®d^ub) unb fenlred^t (SBcrtilalbrudt) jur 3Jlaucr 3crlcgt. SBtc gro^ ift bcr

©d^ub unb ber aSertilalbrudP, trenn bie ©trcbc einen SBinlel Don 30» mit ber

$ori3ontaIen bilbet?

8660 kg unb 5000 kg.

13. Sei einer S)ampfmaf(^inc (oetgl. gig. 124) jcrlegt fid^ ber ®ru(f
P, bcn bie Solbenftange KA auf ben ffireuglopf -ä. übertrögt, fenlrcd^t jur
Oleitbal^n beS ÄreuatopfeS unb nad^ bcr SRid^tung ber ©d^ubftange AB.
SBie grofe ftnb bie beiben Äomponenten, roenn bie flurbel B red^troinfelig
3ur ©d^ubftange fielet?

ÄurbelrabiuS r = 40 cm, ©d^ubftange l = 2000 cm, P = 6000 kg.

Pi = 1200 kg,

Pa = 6119 kg.

14. Qxütx ©taugen AB unb AC (gig. 163) ftnb bei A hmij ein
(Selenl miteinanber Derbunbcn. 8In A ift eine Äraft P = 50 kg rairf f am,
bereu 3Hd^tung mit ben ©taugen bie SBinlel a bilbet. 3ft ber 5ßunft B
feftgemad^t, möl^rcub ftd^ C gegen ein nad^giebigeS ©tüd ftügt, fo mirb bei
Sinmirhing uon P in C ein normaler ®rudt D l^eroorgerufen, ber bered^net
merbcn foK. S)er 8Ipparat l^eifet bie einfädle Äniel^ebetprcffc.

JD = \F fang a.

gür meldten aSinJel « mirb B = F^i

a — 150

D

6,7 kg.

350

17,5

630 26'

50

650

53,6

850

285,7

900

00

giß. 163.

g

MmMMMM/Mk

gifl. 164.

«f

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Y
D

15. SS ift ber ausgeübte S)rudt bei ber aufammengefegten flniel^eBcIs
preffe (gig. 164) ju beftimmen, menn P, a unb ^ gegeben finb.

16. — 20.] Übungen ^ux ßc^te com materiellen SPunf te. 803

P = 50 kg, a = /3 = 760,
Dl = \Ftanga fang ß.

= 201,08 kg.

16* Qtütx Stangen (oergl. gtg. 148) ftnb unter 40o35''bur(^ ein ©e*

lenl oerbunbcn, auf melc^eS eine Äraft t)on 940,5kg rvxxtt,.bk mit ben

betbcn Stangen Beam. bte SBtnfel 24^31' unb 16^4' bilbet. SBeld^e Qn^^

legung tritt ein?

400 kg unb 599 kg.

17. ®inc BeiberfeitS etngelenfte ©tange (oergl. gig. 149) mirb in
einem 5ßunlte Ä, für ben A^ A : AA^ = 1 : 1 gilt, burd^ eine Äraft non
4000 kg unter 2i BAA2 = ^0^ angegriffen. SBeld^e Komponenten mirlen
in ben ©elenlen, menn ^ B^ A^ A^ = 120o ift?

Zi = 2000 kg,

K^ = 3464,1 kg.

18» ®ie ßnben eines ©eileS, baS über amet JftoKen läuft, finb Begm.

mit 3 kg unb 4 kg Belaftet. SBelcfieS Semid^t mu^ gmifd^en biefen SftoEen

an bem ©eile angeBrad^t merben, bamit biefeS Bei ©leic^gemit^t ber Äröfte

einen redeten SBinfel Bilbet?

5 kg.

19. ®in Oemid^t 6r (gtg. 165) liegt auf einer gegen ben $ori3ont ge*
neigten oottfommen glatten ®Bene nrib xoxxb bnxij brei gleid^e Sröfte, gleid^
|6r, an feinem Pag crl^alten.

S)ie oier Sröfte liegen in einer SBene unb greifen ben SKaffcnmittelpunlt
beS flörperS an. ®a8 (Semid^t G mirlt in einer gur JQorigontaleBene nor/^
malen 3lid^tung. | Cr mirlt l^origontal, l G mirlt parallel ber geneigten
ßBcnc, unb | G mirft ber Äraft G gerabe entgegengefefet.

äöeld^en SBinfel Bilbet bie geneigte ©Bene mit ber ^origontaleBene?

530 r 48".
Sig. 165,. gig. 166.

G

20. ßS fei eine ©tange AB (giß. 166) in fefter ißage gegeBen, um
btn SBitdel a gegen bie ^origontaleBene geneigt. 3In einem SRinge, ber fid^
an ber ©tange oerfd^ieBen löfet, rairlen gmei Kräfte P unb Q, bie mit ber
©tange in berfelBen ®Bene liegen, oon benen P normal gur ^orijontaleBene
mirifam ift, mäl^renb bie Äraft Q x^xt Sftid^tung mit ber Sage beS SftingeS
änbert. S§ ift für biefe 3Inorbnung ber ©leid^gemid^tSguftanb beS 3linge§

304

3n)eiter Slbfd&nitt.

[21. — 45.

giß. 167.

3U beflimmcn, roenn bic ßagc bcr fcften SRoHe, fotrie bereit ipalbmeffer be==
lannt ift.

®te ßagc beS SftingeS toirb burd^ bie 2:an9ente beS StoKenumfangg 6e*
fttmmt, tDeld^e bie Stange unter £ fd^netbet für Qcose = Fsinoc,

21. es ftnb ixvex fefte 5ßunfte Ä unb C gegeben (gig. 167), ein voH^
fommen btegfamer gaben ift in Ä Befeftigt, bei G burd^ einen 3ting gefül^rt

unb in einem bagroifd^en liegenben 5ßunfte

B bmäj eine Äraft P angegriffen, bie

normal aur aSerbinbungSIinie AG mirft.

S)ag über C fortgefül^rte ßnbc beS ga*

benS trägt ein ©emid^t Q, fo ba§ AG

unb bie beiben flraftrid^tungen fid^ in

berfelben Sbene Befinben. ©§ möge

©leid^gemid^t ftattfinben unb babei AG

burd^ bie Äraftrid^tung P halbiert merben.

SBeld^e Oröfee mufe ha^ ©cmtd^t Q

erl^alten?

aSeaeid^nen mir AB mit a, ^C mit ?>, fo ift für ben ©leid^gemid^tS*

juftanb :

y4 a2 — 52

22» 3"^^i unoerrüdfbare (Ebenen ftnb unter einem SBinfcI feft mit-
einanber oerbunben, unb gu ber ®urd^fd^nitt§Iinie mirft normal eine ffiraft P,
meldte mit ber einen ®bene einen SBinlel a, mit ber anberen ben SBinf el ß
Bilbet.

a. SBeld^e Orö^e l^aben bie barauS ju ben ©benen refultierenben not*
malen S)rudtfräfte?

b. SBeld^e (Sröfee er[)alten biefelben, menn bie Äraftrid^tung mit ber
®urd^fd^nitt8Iinie ben SBinlel y bilbet, unb menn a unb ß bie SSJinlel ftnb,
meldte bie burd^ Äraftrid^tung unb S)urd^fd^nittSIinie gelegte Sbene mit ben
gegebenen Sbenen bilbct?

a. <

COSOi

sin (a + ß)
cosß

b.

I

sin y cos cc
sin (a + ß)

sin y cos ß

sin (a -[- ß) [^ sin (a + ß)

23 big 44, Sie Sttufgaben 1 bi§ 22 finb fonftruftio (grap^ifd^) 3u
bel^anbeln. ®ie ©rgebniffe ber Äonftruftion finb mit ben (Srgebniffen bcr
Sfted^nung in Säegug auf i^re Oenauigleit ju oergleid^en.

45. (Sin Körper oon htm (Seroid^te 20 kg mirb burd^ eine Kraft in
eine gleid^mofeig befd^teunigte SettJegung oerfegt, bereu SSefd^Ieunigung gleid^

m

2,7 — - fein mag. SBeld^e (Srö^e ^at bie Äraft ?

sec

5,5 kg.

46.-53.] Übungen aur ßc^re vom matcricffen Sßunftc. 306

46^ ein ftörpcr oon bcm Ociüid^tc 50 kg bcftgt eine ©cfd^iüinbiglcit

Don 13 — Er xüiib burd^ eine fonftant roirlenbe ftraft P in eine aleid&*

sec

m&^8 tjergögerte Semegung gebrad^t unb tommt nad^ lOSelunben gut Slul^c.
aSHe gro^ ijt bie roirtfame flraft? SBeld^en SBeg l^at ber Äörper 8urüdtgelegt?

sec^

47. ©ine Äraft oon 150 kg f^at eine ©elunbc lang auf einen Äörpcr
t)on 200 kg Oennd^t eingemirlt. SBeld^e Ocfd^nrinbigleit erl^ält bcr Äörper?

7,3^.
sec

48. 2^tx Äörper Don ben (Semid^ten 5 unb 12,5 kg befinbett ftd^ in
gleid^mö^ig befd^Ieunigter Seroegung htixv. mit ben Säefd^Ieunigimgen 4

unb 4,5

m

sec*
m

sec^

SBic oerl^alten fid| bic bemegenben Kräfte ber Oröfee nad^?

SBie oerl^alten fid^ biefelben bei btn oben angegebenen SSefd^Ieunigungen,
roenn bie ftörper baSfelbe ®eu)id^t l^aben?

SBie oerl^alten fic^ bie flröfte bei ben oben angegebenen ®twxä)ttn, totnn
bie aSefd^Ieunigungen bei ben beibcn Seroegungen gleid^ gro§ fein foHen?

1 : 2,8; 1 : 1,125; 1 : 2,5.

49. ®in ftörper oon 50 kg (Seraid^t roirb oermittelft eineg gabenS
aufgcl^öngt. ffiS ift bie Spannung beS gabenS 8u beftimmen, roenn ber 8Iuf*
l^öngepunlt mit einer Sefd^Ieunigung oon 1,5 m in fenlred^ter 3Hd^tung ab^
märtS ober aufmörtS bemegt mirb.

42,4 kg unb 57,6 kg.

50. Qmei ftörpcr oon 25 unb 36 kg (Semid^t beftfeen Oefd^minbigleiten

oon 10 — unb 16 — 2Bie oerl^alten fid^ bie SemegungSgröfeen (3Intriebe)?

S6C B6C

SBic oerl^alten fid| biefelben bei gleid^en ©emid^tcn unb mie bei gleid^n ®e*

fd^minbigfeiten?

1 : 2,16; 1 : 1,5; 1 : 1,44.

51. SBie lauten bie SäemegungSgleid^ungen für gig. 151, faHS P=5kg
unb Q = 195kg ift?

J = Tö9 ^' f. n).

52. SBie tauten bie SemegungSgleid^ungen für gig. 1 52, f allg P = 500,5 kg
unb (2 = 499,5 kg ift?

j = Toöö9 ^' f- ^'

53. SBie gro^ ift bie Eentripetallraft einer Säleilugel oon 2,5 kg Oemid^t, bic

fid^ mit einer Oefd^minbigfeit oon 5 — in einem Sreife oon 2 m ipalbmeffer
bemegt? ^2kg.

aBetnicfe, SOlec^anif. i. 20

306 Stoetter STBf (j&nitt. [54. — 57.

54. Sine cifeme ShxQÜ, bie burc^ ein ©eil mit einer ftel^enben SBeHe
oerbunben ijt, roirb um biefe in bre^enbc Semegung Derfefet, fo ba^ ba§
©eil gerreifet. SBie grofe ift bie ©efd^minbigleit ber Äugel? SBie oiel Um*
brc^ungen merben in ber 3Jlinutc gemad^t?

Sie Äugel l^abe ein ©emid^t mn 175 kg, baS ©eil eine ßänge oon
7 m, einen Duerfd^nitt non 3,42 qcm unb ber Quq , meld^er ba^ ©eit gu
jerrei^en oermag. Betrage 500 kg pro Duabratcentimcter.

*

175 t;2

Pj-y = 3,42.500

V = 25,9 ^
sec

n = 35V3 in ber SJlinute.

55. Smei burd) eine Sette miteinanber oerbunbene ftugeln (gig. 168)

giß. 168. ^^^ ^'^'^ "^^ ^'^^ ^fif ©emid^t ftedEen

leidet bcmeglid^ auf einem SKetaKbral^t,
ber in l^orijontaler ßage mit ber ipülfe h
an ber oertif alcn ©rel^ad^f c einer ©d^mung*
mafd^ne Befeftigt ift. ®ic crfte ffugcl
Beflnbet fid^ 9 cm Don ber ®rel^ad§fe ent*

femt. Stuf meldte (Entfernung ift bie ameite Sugel gu fd^ieben, bamit Bei

einer BcticBigen SBinlelgefd^minbigleit y ber 3Kafd^ine

a. Beibe flugein il^ren £)rt Bel^oupten?

b. bie fd^mcrere flugel bie tei(^tere nad^ fid^ jiel^e?

c. bie ieid^tere flugel bie fd^merere in Semegung fefee?

a. 5,25 cm. «

b. SMc (Entfernungen ber fd^mereren Äugel, bie größer als 5,25 cm finb.

c. 3IIIe Entfernungen ber fd^mereren Äugel, bie Heiner afö 5,25 cm finb.

56. SBcId^c Steigung a gegen bie SSertilalc mufe ein 9teiter Bei einer
©efd^minbigf eit Don 4 — annebmen, mcnn er einen flreig oon 2,5 m SRabiug

sec

Befd^reiBen nrill?

tanga = 0,662.

57. Um mieoiel (h) mu^ in einer l^orijontalen ©ifenBal^nfuroe oom
SRabiuS r bie öufeere ©d^iene gegen bie innere für eine beftimmtc (Sefd^min^:
bigleit v üBerl^öl^t merben, bamit fid^ bie SRabflantfd^en nid^t an bie äußere
©d^iene legen?

©oH bie nötige ©entripetaHraft nid^t burd^ bie öu^ere ©d^iene, fonbern
burd^ bie eine (Semid^tSfomponente beS fd^ief gelagerten SBagenS geliefert
merben, fo mufe beffen ©emid^t. in l^origontaler Sllid^tung unb fenfred^t jur
©eleiSöBerflöd^e jerlegt merben.

gür bie ©purmeite s ergiebt fid^:

h =

58. — 64.] Übungen aur ßc^re oom materiellen ^nfte. 307

Sei ben SBerten t; = 10 — , s = l,bm, r = 300 m fiat man:

sec

h '^ 0,05 m.
58* Sin (Sifenbafinroagen Bat eine ©efd^roinbigfeit üon 10 — unb be=

sec

raegt \xij l^ortaontal nur unter bem Sinflufe ber SReibung, roeld^e -^ feincS
Ocraic^tS betrögt. 3n raeld^er geit !ommt er jur Sftul^e? SBeld^e ©tredc
burd^läuft er nod^?

J = —2h9 u. f. ^'

59* ©ine SBeHe, bie einfd^Iic^Itd^ tl^reS Slabraerfeg ha^ Xrägl^eitSmoment
Xx f)ai, brel^t fid^ mit ber SBinfetgefd^mtnbigfeit y. 3n meld^er ^exi (t)
fömmt fie jur SRul^e unb mieotel (x) Umbrel^ungen ma(§t fie noc^, menn jie
plögUc^ auSgef (galtet mirb, fo ba^ nur ba§ 3Köment M ber SReibung atö
Sroftmirfung in Setrad^t ga ixzf)m ift?

L = —, = y — Lt, b. §. t = y ' ~

1 -*üi

M

_ ö _ y^ . %x

2n 4:7tM

Str
Sntfprid^t y ber Xonrengal^I 40, möl^rcnb — == 238,5 ift, \o ift

t -^ 1000" unb X ~ 333.

60* SBeld^e SIrbeit mirb bei einem ^ube non einem 5ßo(^ftempeI cer^
rid^tet, ber ein ©emid^t von 97 kg l^ot, unb beffen ©ubl^öl^e 0,4 m ift?

38,8 mkg.

61. aSeld^e STrbeitSftörle entfprid^t ben STngaben voxx Sir. 60 bei
50 ©dalägen in ber 3Kinute?

32,33 ^ = 0,43 P S.
sec

62* SBeld^e 3Irbeit nimmt ber Körper ber Slufgabe 140 beS erften
3Ibfd^nitteS auf, menn er 25 kg miegt?

20681 mkg.

63. SBcId^e STrbeit nimmt ber Körper ber 3IufgaBe 143 beS erften 3Ib:=
fd^nitteg auf, mcnn er 100 kg miegt?

2038,7 mkg.

64. Sine geneigte Sbene non ber ßönge 40 m unb bem SfteigungSminlel
50 ^ bie attmöl^Iid^ in bie iporigontatebene übergefül^rt ift, burd^töuft ein 200 kg
fd^merer Körper.

SBic meit bemegt ber Körper, in ber ßorigontalebene angelommen, ein
©inbernig t)on 14 kg unb nad^ meld^er 3^^^ !ommt ber Körper gur Stulpe?

437,7 m; 35,7 ©elunben.

20*

308 an^^tter 8Ibf(J6nitt. [65. — 67.

65. ein 5ßfcrb §at eine 2aft 70 m roeit fortgcf(|afft. ®cr mittels
eines ÄraftmefferS gefunbenc Srud in ben Sugfirängen Betrug au 8Infang
ber Seraegung 55 kg, unb in ben Sntfemungen oon 1, 14, 21, 28, 35, 42,
49, 56, 63, 70 m xoax berfelbe gleid^ 62, 52, 55, 65, 60, 57, 63, 70, 55,
65kg. SBie grofe ift l^iernad^ bie 3lrbeit beS 5ßferbeS gentö^ ber ©impfon*
ft^en Siegel (Dergl. ©. 70)?

81 = Vs . Vio . 70 . { 55 + 4 (62 + 55 + 60 + 63 + 55)
+ 2 (52 + 65 + 57 + 70) + 65} = 4172 mkg.

66. es ift bie 8Ir6eit einer Der&nberlid^en Äraft P gu bercd^nen, beren
3IngriffSpunIt einen SBeg s oon 0,7 m ginrüdlegt. S)ie SSerönberlid^Ieit non
P ift burd^ folgenbe 8lnga6cn Beftimmt: 3luf ber ©tredte Don s = bis
s = 0,2 m ift ber ®ru(f gleid^ 2500 kg, oon s = 0,2 Bis s = 0,3 nimmt
berfelBe ftetig bis 1600 kg ab, für bie folgenben ©tredten non 0,1m er*
reichen bie S)rudte, imter 8Inna^me ftetiger Slbnal^me, bie SBerte 1250, 1000,
830 \xvi^ 720 kg.

81 =. 2500 . 0,2 + ^ (2500 + 2 . 1600 + 2 . 1250 + 2 . 1000

+ 2 . 830 + 720)
81 = 1129 mkg.

67* Sie töglid^e med^anifc^e 3trBeitSIciftung (L) belebter SBcfen fd^öfet
man oib, inbem man bie burd^fd^nittlid^e 8lrbeitSft&rIe mit ber StrbeitSjeit
(0 in ©tunben multipßaiert.

Seaeid^net man bie angemanbte Sraft mit K unb bie Oefd^minbigleit
ber Sraftnermenbung mit v, fo ift:

L = KvL

gür ben 3Jlenfd^en ift Bei « = 8 ©tunben = 28 800 sec alS 5Rorm au

fegen iC = 10 kg unb t; = 0,8 — , für baS 5ßf erb bei ^ = 8 ebenfo Z = 70 kg

sec

m

unb t; = 1,25 — ©emnadf) ift für ben äFleufd^en L = 230400 mkg, für

sec

baS 5ßferb i = 2 520 000 mkg.

SBiH man oon ber 9lorm abmeid^en, inbem man ftott K, v, t bie SBerte
IC, v\ i! einfül^rt, fo gilt für bie SIBfd^öfeungen ber au^ergemöl^nlid^en 2ei*
ftungen, faHS feine Überanftrengung eintreten foH, erfal^rungSmä^ig bie fo*
genannte Oerftnerfd^e gormel:

^'=<-e(^-f)

SBiH man a- S9. für einen 3Kenfd^en v' = 1 — unb «' = 10 ©tunben

sec

anfegen, fo folgt K' ^ 5,6 kg, b. ^. unter biefen Umftönben barf man nur
einen burd^fd^nitttid^en flraftaufmanb oon 5,6 kg forbem.

Sei je einer ftarlen, aber luraen 3lnfpannung, ber iebeSmal eine 9lu^e«
paufe folgt, l^at man *' = au fegen.

68. — 75.] Übungen jur ße^re- vom materießen SPunItc. 309

SBic grofe ift bie Äraft, btc ein 3lrbeitcr mit fel^r geringer ©efd^roinbig*
!cit augenblidtlidd ausüben lann? K' ^ 4:K

SBie gro^ ift biefe Sraft bei normaler Oefc^minbigleit? K' = 2K.
aBet(§e ftraft barf man non einem 5ßferbe bei fcc^gftünbigcr 3lrbeit83eit

fprbern, faQg bic Oefd^minbiglcit 2— ift? K' = 0,5 K

86C

68. 9lr. 58 ift burd^ bie @Ieic§ung amifd^cn ffinergie unb 2lrbeit ju
löfen.

1 ^ , a
V' = — • s.

2 g 200

69. SWr. 59 ift burd^ bie (Sleid^ung gmifd^en Energie unb 3lrBeit ju
löfen.

M .27C . x = IXr . y2.

70. SBeld^en burd^fd^ittlid^cn gug mu^ eine 2oIomotit)e entmidteln,
um SBogen im Oemid^tc oon 60000 kg in einer äHinute bie (Sefd^minbigfeit

10 — ju erteilen, mcnn bic SleiBung -^ beS ®emid^te8 ift?

S6C

3Ingcn&]^ert 1319 kg.

71* Sei einem ©eföttc non 6 m ftrömen in einer ©elunbe 3 cbm
SBoffer au. SBcId^e $ßferbeftörle ift oor^anben?

240 PS.

72. Sine ftugel von 10 kg fd^I&gt mit einer (Sefd^minbigfeit oon

105 — ouf einen Körper, ber fie bei Slnnal^me eineS lonftanten SBiberftanbeg

52 mm einbringen läfet. SBie grofe ift l^iernad^ ber burdfifd^nittlid^e SBiber=:
ftanb, mcld^er ber Äugel entgcgengefefet mirb?

P= 108060 kg.
73* SBcId^e 2lrbeit ift notmenbig, um einen SBagen non 3000 kg ®t^

mid^t in eine (Scfd^minbigleit oon 10 — ju oerfefeen?

sec
15290 mkg.

74. ein SBagen üon 2000 kg ®emid)t f)at eine ©cfd^minbiglcit Don
3,3 — aSie grofe ift bie gunol^me ber Slrbeit, menn bie (Sefd^minbigleit

S6C

auf 12 — gebrad^t mirb ?

sec

13 569 mkg.

75. Sin Äörper oon 250 kg ©emid^t bemegt fid^ mit einer (Sefd^min^^
bigleit Don 1,2 — unb erl^ölt einen Sw^^od^S an SIrbeit Don 780 mkg. SBie

sec

gro^ ift bie ©efi^winbtgfeit beS Äörperg nad^ älufnol^me biefer 3lr6cit?

7,91 i^.
sec

310 Sweitcr 9Ibf (j^nitt. [76. — 82.

76* Sine ftraft ocrrid^te in ber ©clunbc eine 3Irbeit t)on 3200 mkg

unb bringe bem Beilegten Äörper eine ©efd^roinbigleit von Iß — Bei. SBic

S6C

gro^ ift ber ausgeübte ®rudP?

aSie grofe ift bie ©eft^roinbigleit beS Bewegten ÄörperS, wenn ber
SBiberftanb ber Bewegung 250 kg Betrögt?

2000 kg: 12,8 — •
^' sec

77* ßS werben 20 5ßferbejt&rlen übertragen. 3Jlit welcher Oefd^win-
bigfeit wirb ein fförper Bewegt, ber einen SBiberftanb von 27 kg leiftet?

SBie grofe ift ber ausgeübte ©rud Bei einer (Sefd^winbigfeit von 3,6 — •

S6C

55,6— ; 416,7kg.
sec

78. stuf ber ftel^enben SBelle einer S^urBine Beftnb^t ftd^ gur Über*
tragung ber Bewegung einen gal^nrab oon 2 m ©urd^meffer. SBie gro^ ift ber
im Umfange be§ Qaf^nxabz^ wirffame ©rudt , wenn bie S^urBine 40 5ßferbe:=
ftörlen übertragt unb babei 120 Umbrel^ungen in ber SJUnute mac^t?

N
Pr = 716 —
n

P = 238,7 kg.

79, SBieoiel Slrbeit gieBt ein ©t^wungrab non 3000 kg (Sewid^t ab,
beff en 3Jlaff e fid^ im Slbftanbe 2 m non ber ©rcl^ungSad^fe oerbid^tet beulen lä^t,
wenn e§ uon 5 Umbrel^ungen auf 4 Umbrel^ungen in ber 3Kinute l^erabgei^t?

60,36 mkg.

80» SDer flolben einer SBafferpumpe l^at einen ©urd^meffer von 0,4 m
bei einer Qub^Sif)z non 1,5 m. S)aS SBaffer wirb auf eine ipöl^e oon 10 m
gel^oBen, woBei bie 5ßumpe in einer 3Kinute 20 Sotbenfpiele ma^tn foH.
SBeld^e 3lrBeit entfprid^t einem ÄoIBenfpiele?

SBie grofe ift bie SttrbeitSftörfe?

Slrbeit = 1885 mkg.

SIrBeitSftärfe = 1885 . |2 = 628^ = 8,4 PS.

bO sec

81* aSei einer ®ampfmafd^ine ift ber SoIBenburd^meffer 40 cm, ber
Sotbenl^uB 0,8 m, bie Sampffpannung 6 3Itm., b. ^. 6 kg für ba^ >Quabrat:=
centimeter. SBeld^e 81rbeit§ftärle l^at fie ol^ne Serüdffid^tigung ber Sfteibungen
für bie Xourenaal^I 45, faßg bei S)üppelwirlung aSoHbrudt oorl^anben ift?

120,67 PS.

82* @in 3Jloment non 20 mkg erteilt einem rutjenben Kglinber in gteid^*
mäßiger Steigerung bie S^ourenjal^I 120 bei einer Srel^ung um feine geo*
metrifd^e Sld^fe.

3n weld^er gett gefd^iel^t bieS, faßg ber SRabiuS be§ KglinberS, beffen
©ewid^t 4000 kg ift, ben äBert 20 cm §at? S)a§ 2:räg§eit§moment für bie
geometrifd^e Sld^fe beg ©glinberS ift Jmr^.

83.-87] ÜBungen aur ße^e oom materiellen ghtnüe. 311

.=.^-2,45.

120 . 2ag

^=^=—^=5,13".
L 2,45

83» SBcnn eine geber (innerhalb ber JßroportwnalttötSgrenjc) beim
Spannen burd^ eine Sciaftung K um bie ©trede s gufammengebrüdt roirb,
fo entfprid^t tvk üorgretfenb bemerft roirb, bie in ber geber aufgefpeid^ertc
Sttrbeit (potcngiellc Snergie) bem gleid^mö^igen SBad^fen ber Äraft üon
bis K für bie ©trede s, fo ba'^ bie entfpred^enbe gflöd^e ein ©reied ift.
(^ = lKs.)

aSic lange (0 retd^t bie (Energie einer fjfeber, falls — PS erforbert mirb?

n
gür K = 2000 kg unb s = 5 cm = 0,05 m ift bei n = 1000:

31 = 50 mkg unb n = 666,6".

84» Seim gemö^nlic^cn Sto^c (bem geraben Eentralftofee) jmeier
Sörper ift bie SemegungSgrö^e eine flonftante. SBie gro^ ift bie ©ef^roin-
bigfett c ber gu einem Körper ücreinigten Körper, menn fie im ©to^c an*
einanber l^aften bleiben? SBeld^e ßerlegung ber ©nergie tritt in biefem
gaöe ein?

SBenn bie Körper cor bem ©to^e bejm. bie 3Kaffcn mi unb m^ unb bie
©efc^minbigleiten v^ unb v^ ^aben, fo ift

mi Vi -|- 1^2 1?2 = (w^i + m^) c.

®ie (altueKc) gncrgie oor bem ©tofee V{i E = ^m^v^ -\- ^ m^ v'^, naä)
bem ©to^e Ei = \ (wi + mj) d^, f o ha^ ein f c^einbarer SSerluft

eintritt, meld^er neben ber ßrmörmung u. f. m. ber Körper beren fjformönberung
beroirlt.

85* SBeld^e 3lrbcit ift crforberlid^, um ein Kiloftüd auS htm Srbmittel*
punite in unenblid^e gerne ju bringen? SSergl. ©. 282.

9 675000 mkg.

86. 3Bit meld^er ©efd^minbigfeit mürbe ein Kiloftüd, ha^ au% unenbs
lid^er gerne im freien galle in einen ©c^ad^t ber ®rbc ftürjt, beren SDtittel:*
punit burc^Iaufen? SSergl. ©. 282.

m

13778

sec

87» SBie gro^ ift bie gaKgefd^minbigleit an ber Dberflöd^e ber ©onne?
aSergt. ©. 280.

278 — ^ = 28,3 g.

312 3n>ettet 8lbf d^nitt. [88. — 94.

88^ SBic grofe ift bic Srbßefc^njinbigleit in ber ©onnennäl^c unb in
ber Sonnenferne? SSergl. ©. 281.

30 750— unb 29250 — .

sec sec

89^ SBie gro^ tft bte aHaffe beS 3uptter§, njenn für ben öu^erften
feiner äRonbe T = 16,689 ©terntage unb r = 27,00 a Betrögt, njobei a
ben IftabiuS beS 3wpiter8 (70000 km) beaeid^net, nnb raenn ber mittlere 316?
ftanb be§ SupiterS oon ber ©onne r' = 806789250 km unb feine UmlaufS:=
geit T = 11,815 Saläre beträgt? SHe äRaffe ber Sonne entl^ölt 355500grb:^
maffen.

340 Srbmaffen.

90^ 3in Slbftanbe q oon einem feften Kentrum l^at bie nad^ biefem
gerid^tete 5h:aft ben SBert C • — • S8 ift ho& entfpred^enbe 5ßotentiaI au Be*

ftimmen, gernö^ bem SSerfal^ren für gig. 102 ober gig. 103.
S)ie fjtäd^e erl^ölt für q = j/-^ ben SBert

F= G . lim[n(l — q)]n = ^.
gür 9 = 9o — « liefert bie Binomifd^e (SntmicEelung ber fliammer für
limn = 00 bie SReil^e für — log, nat. (l h fo ba^ fid^ ergieBt:

F = — Clog. nat (l — — j = — G log, nat, (—j

= G log, nat, ( — \=G Qog, nat, Qq — log. nat, q).

9L SBeld^eS ßrgeBniS l^at bie »etrad^tung ber Str. 90 für C . p*»?

92. SBetd^eg SrgeBniS l^at bie »etrad^tung ber S«r. 90 für C • ^ ?

93. SBeld^eS 5ßotentiaI ergieBt ftd^ auf ®runb ber oorigen Setrad^*
tungen, menn

bie entfpred^enbe ffiraft barfteüt?

aintmort für 9tr. 91, 92, 93 oergl. @. 282.

94. gür eine ©ufeeifenfugel oom Iftabiug r = 0,03 m foH ber äJer*:
tifalmurf mä\ oben Bri SerüdEfid^tigung be§ ßuftroiberftanbeg oerglic^en
merben mit bem SSertilalmurf nac^ oben Bei äJernac^Iäfftgung be§ ßuftmiber?

ftanbeS: a. für bie ©efd^minbigleit 25—; b. für bie ®ef d^minbigleit 50—;

sec sec

c. für bie ©efd^rotnbigleit 500 — - SSergt. Slnmenbung. 4.

sec

95. — 97.] fteungcn aut Seigre tjom moterielTen spunüc. 313

gür ©ufeeifen ifl ba^ ®twx^t bt^ ffiuBtlmcterS afö 7200 kg anaufegcn,

fo bafe k = 222014:. r ^^^' ^^^^ ^^^^ ^^" ^^^^ 876042 ^^*'

95» S9ci einem ocrttfal aufgel^öngten ©ta6e entfprtd^t nad^ bcm
§oof efd^en Oefe^e eine SSerlöngerung x einer ©pannlraf* —^ • o;, faUg E

V

eine SKateriallonftante (ßlafticitätgmobul), / ben Duerfd^nitt unb l bie ßönge
be§ ©tabeg Begeic^net. SBirb .ein fold^er Stab, an beffen ©teile man fid^
anc^ eine Spiralfeber bcnfen fann, an feinem unteren Snbe burd^ eine Äugel
vom ©emid^t G belaftet unb burd^ einen Quq naäj unten in ©djmingungen
nerfefet, fo gelten für biefe bie ßntmidEelungen ber Slnmenbung 5.

©efet man — f^ * x =^ hmx, fo ift hm = —^ unb 0' = -^Er-y

i i ^ * J

Sie SSerfd^iebung 0' \fiX eine beftimmte Sebeutung, ba bie Selaftung G

an ber rul^enben Stange, gemö^ ber ©leid^ung G = — ' / bie SSer^

G l
längerung A == — -^ l^eroorruft, b. ^. e§ ift 0' = X.

gür bie ©d^mingung um 0' gilt:

' G_

g

4:r2 l . G

unb bemnöd^ ift:

^^ T^ f.g

ginbet man an einem ©tal^Iftabe, für benj = 5m unb/= Iqcm
ift, bei einer Selaftung G = 1000 kg burd^ Seobad^tung T = j^ ©efunbe,
fo ift E= 2500000.

96» ein Äörper foH, nad^bem er fic^ au§ ber Sftul^elage auf einer

fd^icfen ßbene oon ber ßänge 7 m unb bem SReigungSminfel 75^ bemegt Ijat,

. eine in ber SSertilalebene liegcnbe IreiSförmige ^a^n ooEftanbig burd^Iaufen.

a. SBeld^e ©röfee barf ber ^albmeffer beg RreifeS l^öd^ftenS erhalten?

b. SBie grofe lann ber §albmeffer gemäl^It merben, menn ber Körper au

SInfang feiner Semegung bereits eine ©efd^minbigleit oon 12 — befa^?

S6C

.a. r <C. 2,7 m. b. r <; 5,64 m.

97. SBetc^e Qzxi brandet eine flugel me^r, menn fie ol^ne 3Infang§s:
gefd^minbigleit auf ber ©eraben GS ber gigur 156 föHt anftatt auf bem
eglloibenbogen GDS'i _

gür bie Sglloibe ift J T = :r 1/-^, für bie ©erabe l^at bie entfpred^enbe

Seit ben SBert V4 + n^ 1/- = 1,19 .tcV--

314 3welter STbfd&ttttt. [98. — 105.

98» (^ ®d^n)ung!ugels3lc8u(ator ift gemöfe ber gigur 161 gu he^
ftimmen, falls gegeben ift:

n = SO, PQz=zy = 0,5 m.

99. gür 3IufgaBe 151 beS erften aiBfd^mtteS finb Bei einem SÄuÄfd^Iage
t)on 50 bic göbenfpannungen ber 5ßenbel im ticfften 5ßunlte 3U Bered^nen.

aRan erl^ölt für Beibe 5ßenbel 1,0076 . m . g, faüS bic äftaffc ber Sugel
mit m Beaeid^net mirb.

100» S)er Sw^öng ber Semegung beS ^enbefö ift für einen Slu^fd^Iag
t)on 5<> für bie ganje SSa^n grapl^ifc^ barjufteüen.

101» ®er Sn'tmg ber Semegung ift Bei ber ßentrifugalBal^n für ben
IreiSförmigen S^eil ber Sal^n grap^if^ barjufteKen, falls a = 4 r ift.

102» Stuf ber ©d^eitellinie eineS ffireiScgIinberS mit l^origontater 3ld^fe
(3. 83. ©tra^enmatae) liegt eine flugel xytm ber äHaffe m. ®ieBt man bem
ajlittelpunfte ber Äugcl in ber SJertif ateBene , welche bie Sld^fe be§ ßt)tinber§
fenlred^t fd^neibet, einen Keinen ®to^, fo Bemegt fid^ bie Äugel auf htm
Kt)ItnbcrmanteI aBmärtS. Sin meld^er ©teile üerläfet fie ben Sglinber, menn
man oon ber 3leibung aBfiel^t? ®ie paraBoIifd^e Sal^n, meldte ber Semegung
auf bem Kglinber folgt, ift gu Beftimmen.

Sftad^bem fie einen Sogen oon ungeföl^r 48^ Befd^rieBen , Bemegt fid^ bie
Sugel mit ber anlegt erl^altenen Oefd^minbigleit lonftant meiter unb unter?
liegt au^erbem ber Sefd^Ieunigung [g\

103. es ift ber 3"^ö«fl 8« unterfud^en für bie Semegung eines
materiellen 5ßun!teS auf einer 5|JaraBel mit oertüaler Sld^fe (jmei Sagen !), unter
aSernad^Iäffigung ber SleiBung,

Unter meldten Sebingungen entftel^t bie freie SBa^n ber SBurf Bewegung?

104* es ift ber S^Jong ju unterfud^en für bie Semegung eines
materiellen 5ßunfteS auf eine ©d^rauBenlinie mit fenfred^ter Sld^fe.

105* es ift ber gmang 3U Beftimmen für eine Äuget, beten äftittct?
punft fid^ auf einem 3Keribian ber (fid^ breljenben) erbe Bemegen mu^. ^laä^
SIuf^eBung beS ^vooiX\%'^^ ift bie entfpred^nbe freie Semegung (©dju^ in ber
äUeribianeBene) 3U Beftimmen.

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NEW YORK